J. Plasma Fusion Res. Vol.85, No.9 (2009)６
２０‐６３０講座 流体乱流研究から診たプラズマ乱流データの解析

２．相関とスペクトル解析
辻義 之，田 中 宏 彦，大 野 哲 靖
名古屋大学大学院工学研究科（原稿受付：２００
９年８月３日）本章では，計測された時系列データの変動特性を解析するための基本的なツールであるフーリエ変換によるスペクトル解析の基礎について説明する．実験データにスペクトル解析を適用する際に留意すべき点を明らかにする．また相関関数とスペクトルの関係について解説し，スペクトルの理解に資する．クロススペクトルやバイ
スペクトルなど，さらに進んだ解析手法についても概説する．説明した手法を実際のプラズマ揺動データに適用
し，得られた解析結果に対して解釈を与える．
Keywords:
statistical analysis, fluctuation, Fourier transform, spectrum, correlation, scaling, numerical filter

２．
１ はじめにデータであり，空間に固定された数点のプローブからの時

ランダムな変動を解析する統計処理の基本ツールはスペ

系列信号や，数値シミュレーションによる離散点での時空クトルと確率密度関数である．前者はその時間的な変動の間データとした．これらのデータは通常はランダムな変動

特性を明らかにするために不可欠であり，後者からは変動と呼ばれるが，第１章で触れたように本講座ではランダムの大きさがどのような割合で存在するかを知ることができ変動にある種の統計的性質を仮定して話を進めたい．そのる．本章では，まずスペクトルについて解説を行う．

性質とは，「定常性」である．自己相関関数を取り扱うと定常な確率変数の時間に関する情報や特定の周期運動のきに詳しい定義を述べるが，定常ではない変動（非定常）有無を調べるためには，フーリエ級数（変換）を用いた解については，より特殊な解析手法が必要となる．

析が用いられる．スペクトルは時系列の変動として記録さ解析に用いた実験データは，その大半が名古屋大学大学

れた信号をフーリエ級数に展開した際の各係数の大きさ，院エネルギー理工学専攻大野研究室に設置されている

即ち各周波数の波が持つエネルギーから定義される．確率

NAGDIS-II を用いて計測されたものである．その計測条件

密度関数は変動の大きさに関する情報を与えるが，時間にに関して最後に付録としてまとめた．

関する性質を明らかにすることはできない．スペクトルが時間情報を含むことは，最初はなかなか理解できないかも２．
２ フーリエ級数とフーリエ変換しれない．これは，スペクトルが周波数空間（もしくは，波２．
２．
１ 定義と具体的な計算方法
フーリエ級数展開とは，周期!の任意関数 (%'&を三角関数空間）で定義されたものであり，我々が物理現象を直感的に理解するのは実空間だからである．２つの信号がどれ数の級数和としてあらわすものである［１］．

くらい似通っているかを定量化する指標に相関関数があ

$

"
&"'
&"'
(%
'
()# "#&'# "，&# !"# !"& $
&)
!
!
# &#"

る．相関関数は実空間で定義されるが，そのフーリエ変換
はスペクトルと等価となることを理解できると，よりスペ（１）

ここで，各係数はクトルの理解が進むであろう．
実験などから計測される時系列データからスペクトルを

#
!!
&"'
"&# #$ (%'$()# %'，&!
! !!!#

計算するには，いくつかの注意が必要である．それらは有限個数の離散データを取り扱うことから生じるものであ&"'#$!!#(')#'# %'，%&&&#!
! !!!#

り，また，計算を如何に効率よく進めるかが問題となる．
本章では，スペクトルに関する基本的事項を解説し，さら（２）に進んだ概念として，クロススペクトル，コスペクトル，で 与 え ら れ る．オ イ ラ ー の 公 式（$%# #$()#"%)&'#，

バイスペクトルについてふれる．具体的なデータ解析例を!
#&$%#"$!%#&#，()%#%%#'!"は虚数単位）を用いると，$踏まえながら，流体乱流の解析と対比させ，現象が理解で#&$%#!$!%#&%!
)&'%#となる．この関係式を式（１）に#!%きるようにしたい．解析の対象としたデータは主に，実際代入すると，にプラズマ乱流中で計測されるイオン飽和電流や浮遊電位
2. Correlation and Spectral Analysis
TSUJI Yoshiyuki, TANAKA Hirohiko and OHNO Noriyasu

corresponding author’s e-mail: ohno@ees.nagoya-u.ac.jp

６２０!2009 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note

2. Correlation and Spectral Analysis

&

&

0%!

0%!

2'
1
(
%' !0*,#%01"& "' "0*!,#%01"&，

Y. Tsuji et al.

（３）

#
&"

)
"
0
!0 % (0!,1*!,#%01"&(1(% ( 2'& !&"##（４）)" &"# 1*,#%01"&(1，0"0 % (0",(% ( 2'& !&"##

図１

級数展開する際の総和を!& から"& として，式（３）を１

フーリエ級数展開の概念図．

つにまとめると，簡素な表現を得ることができる．
#
周期 +の波の振幅であり，)はその波のエネルギーに
''
+
(
)

&

2'
1
(
% ' #0*,#%01"&，

対応する．フーリエ係数は，$!
##%の範囲で算出さ
!&"
"&"

（５）

0%!&

れていることから区間 &を１周期と考え，周期&での平均#&"#0 % "( 2'1*!,#%01"&(1．
(& !&"#（６）

エネルギーを用いてパワースペクトル（密度関数）を定義する．

上式を複素フーリエ級数という．つまりフーリエ級数展開
#
+
'#'
''
+
+
%'
+
*
, %")
*
, %"''(()((%+&， （１１）&% +&, & &&, & &

では，区間 *!
&"##+で定義される任意の時系列データ
!&"
#%01
,
"
&

!
!
!
"
#
- ）の三角関数の波（*
0（0%!
2'
1
(は周期 &"）の和としてあらわされ，その波の振幅は式（６）により与え

ここで，上付き添え字 #は複素共役数をあらわす．図２にられる．図１にフーリエ級数展開の概念図を示した．

スペクトルの概念図を示した．縦軸に %'，横軸は周波数+(

周期&が有限の場合には，&"
0は 0次高調波の周期で，そで あ る．周 波 数 ++の 波 が 持 つ エ ネ ル ギ ー は，
"と +
""$

の逆数は周期 +
&，$
+
"
& とお
%"
0 である．ここで，+
0 %0"

%'
+
(+となり斜線部で示される．各周波数でどれだけ大き(いて，式（５）に代入し，&, & とすると，なエネルギーをもった波が存在し，それらの総和として全#&"*, ' %"( 2'
2'
1
(% +
1
*!,#%01"&(1(&*,#%01"&&, & 0%!& & !&"#体の変動が構成されていることを理解することができる．

&

#
&"

&

すべての周波数からの寄与をあわせると（即ち，スペクトルと横軸で囲まれた部分の面積は），変動 2'
1(の二乗平均（７）2'1*!,#%+01(1+((%&*,#%+01，
*
, ' $
%+
#
!&"
&, & 0%!&

値と等しくなる．これについては，後ほど触れる．
２．
３．
１ スペクトルの計算方法と留意点
実験や観測から得られたランダム信号 2'
1(は，有限時間

すなわち，の離散データとして収録される．したがってフーリエ変換

&

1 ，
2'
1
+
*,#%+
(+
(
%( ''
(
!&

&

（８）

（式（９））を行う際には，離散データを扱うことによるい
くつかの制約をうける．以下には，スペクトルを計算する

#%+
!,
1

1
*
''
+
(
(
%( 2'
!&

(1．

上での注意すべき点をまとめる．離散データの個数を $（９）とすると，式（９）の有限離散フーリエ変換は，上式をフーリエ変換と呼び，互いに逆変換の関係にある．
$!"

& &，
%$.$ $
''
.(
)2/!,
(
$
%' 2'
# #
& $ $
-%!

フーリエ級数における周期 &"0の波は，三角関数の合成
から

（１２）

となる．
ここで，離散周波数.は.%!
!
!
!
$"
$，
"
#
#，#1%&"
-!

%01
%01
%01
#
#
(0 '
.0# ")*-# %*(0.0!# !&0"，
")
00
0'
&
&
&
（１０）

，+
#+
"
&，1%%"
#1%&"
$(
#+
&%."
$#1
'
%.
%."
'
(とな
る．ナイキスト周波数（後述）は， +
&(
"
#1
#
#
'
%"
'
(で与
$ %$"
えられる．

#
#
，位相
となるから，周期 &"0の波の振幅は )(0
#0)
")
0 %)
!"
は &0 %1)(0(で 与 え ら れ る．し た が っ て，周 期
&
- '
0"

!

区間 &の選定：ランダム変動では，解析区間&を１周&"0と周期 &"/ の波の位相差（%&0!&/ ）はゼロとはならないことに注意しよう．

２．
３ スペクトルの定義
フーリエ級数では，任意の時系列信号が三角関数の和として表現できることを見てきた（図１参照）．分解された
各周波数の波が，どれくらいのエネルギーを持つのかを知ることは，時系列信号を特徴づける上で有用であり，それがスペクトルである．
フーリエ成分 ''+(は，式（６），（９）から明らかなように

図２

６２１

からの寄与．
スペクトルへの周波数帯［f1, f1+$f ］

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.85, No.9 September 2009期とみなしてスペクトルを計算する．その際に，/(.
)がどトルそのものを平滑化することも可能であるが，経験的にれくらいの時間で変動しているかが % を決める指標にな

この方法は推奨できない．
区間 % に限ってフーリエ変換することは，時系列 /(.
)

る．式（１２）から，周波数 (と離散周波数 +の関係は (%$+"となり，最も低周波の変動は ""% となる．つまり，最も周に箱型のデータウインドー &(:.
)

期の長い変動が含まれるように区間 % を設定すればよい．

! ０：.!!
#&(.
)$" １：!%.%%#$ ０：%!.

!

最高周波数の制約：例えば，#.$0.2 sec でサンプリン

グされた周期 1 sec の波を考える．図３の白丸がサンプリ
ング点，黒実線が対象とする波を表す．しかし，離散点の（１４）数が少ないと，実際には存在しない周期 1/4 sec の波も検をかけた /(.
&(.
.
))の変換を行うことに相当する．&()

知してしまう（波線）．これはエイリアシングとよばれる．

のように急激に変化する関数はフーリエ級数で表現するこま た，真 の 変 動 を 正 確 に 捉 え る た め の 最 高 周 波 数 は，とが難しい．つまり，角部のある関数を滑らかな三角関数

"
#.
(
#
(
)までとなり，これをナイキスト周波数とよ# $"で近似することが困難であることを想像すればよいであろぶ．周波数範囲 (はナイキスト周波数より小さいという条

う．このような場合には，フーリエ級数は角部で振動を起件から +の範囲は，+%#"#となる．つまり，フーリエ成分

こす（ギブス現象）ことになる．この影響がスペクトルにの個数は，総データ数の半分になってしまうので，対象と含まれないようにするために，&(.
)を滑らかにコサインする変動 /(.
)がどれくらいの小さな変動を含むのかに型に減衰させることが提案されている（図４参照）．コサ

よって，#.を決める必要がある．

イン型ウインドーを用いる場合には，/(.
)の信号の大きさ"を変えてしまうことになるので，スペクトルの大きさを補離散データの収録：データをパソコンなどを用いて取り込む際には，A/D ボードを用いてアナログデータをデジ正する必要がある．例えば，%""!区間をコサイン関数としタル（離散）データに変換する．サンプリング時間 #.ととて用いた場合には，スペクトルは 1/0.875 倍する必要があもに注意したいのは，データ分解能である．A/D ボードのる．アンサンブル平均を行う場合には，このようなウイン

入力が 0〜10 V で 12 bit の能力を持つ場合には，分解能は10/212 & 0.00244 V となる．分解能を最大限に利用するため

ドーを気にすることはない．
$

高速フーリエ変換（FFT）：膨大なデータを効率よくに，入力信号を 0〜10 V 内の範囲で広く使用することであ計算するためには，FFT を用い る．そ の 詳 細 は，文 献る．入力信号の変動が 1 V であるなら 7 V 程度まで増幅し（［２，３］）を参照されたい．FFT はサブルーチンパッケージてからA/D変換するとよい．これは高周波でのスペクトルとして提供されており，用いるプログラム言語にあわせての分解能を改善することにつながる．

利用できる．また，その計算アルゴリズムから，データ個#

数 # が #,（,は整数）を満たす必要がある．FFT のサブ

アンサンブル平均とウインドー：ランダム変動 /(.
)のスペクトルは区間 % で計算される．しかし，/(.
)は周期ルーチンでは，#.
#)を省略した演算($%"関数ではないため，時刻の異なる区間 %でスペクトルを計

#!"

!+")
*
$*+$")*"+ $) /(
$*+$&
$
)*##
%
(##
)
（１５）
，
%
#
#
*$!

算すると両者は一致しない．通常は時系列データ全体を時
間 %の等区間に分割し，各々の区間で計算されたスペクト
ルをアンサンブル平均して計算される．アンサンブル平均が実行される．
したがって，
フーリエ係数 '(
+)
')(
+)
+)
")
$'-(

の回数は，数十回程度が目安であるが，計算されるスペクの実数部と虚数部はそれぞれ，!+と "+に%"# を乗じて与トルが滑らかになるまで行うとよい．つまり，式（１１）でえられる．

定義したスペクトルは，ランダム変動を解析する際には，
アンサンブル平均 *+を用いて，

+)
'-(
$

#
$(
(
(
'#(
'(
(
(
%
' '",
%
' '"'(
)
$&
)
)
,
)
($ &
(，（１３）
%
%
%- '
%- '

%
')(
+)
$! "+，#（１６）

式（１３）からスペクトルは，
% !#
#. !#
$#+$$ #!
""+#"$ !
""+#"，+# +%#と定義される．データ数が限られている場合には，スペク

図３

%! ，
# +

エイリアシングとナイキスト周波数．

図４

６２２

（１７）

箱型フィルタ（実線）とコサイン関数（波線）．

Lecture Note

2. Correlation and Spectral Analysisと与えられる．ここで，*#%$(である．
!

Y. Tsuji et al.

#
#&
&
&
#
!&
,
-&
,
#
-&
,
!'
'
$!&
'
$-&
'
"&
'
'
．

スペクトル計算の誤差：スペクトルを計算する際に含（１９）

まれる誤差は，主に有限長さの離散データを用いることにしたがって，#&!'$"となり，ランダム変動が時間 &だけ起因する．その詳細については割愛する［１］が，誤差を小さ離れたときの変動とどれだけ大きな相関を持つのかを示す! データ長さは変動に含まれる大くするためには，まず，$統計量と考えられる．図５にプラズマ乱流中で計測されたきな周期の数十倍から数百倍とる．これは，式（１３）のアン（付録 A 参照），イオン飽和電流の自己相関係数を示す．グ" A/D
サンブル平均の回数を多くすることに対応する．$

ラフが振動しているのは，プラズマが周方向に回転していコンバータの分解能を有効に利用する．-&,'の細かな変動ることから，飽和電流もその回転周期に合わせて変化するを十分に捕らえられるようにサンプリング周波数を決めためである．例えば，三角関数の自己相関は周期的な変動# 計測器に含まれるバックグランドノイズを小さくする．$

を繰りかえす．&が大きくなるに従ってその値がゼロに近る．わずかこれだけのことに留意するだけで誤差は大幅にづくのは，プラズマの回転周期が完全には一定でないため抑えられる．

相関が小さくなることによる．自己相関関数は，式（１８）か"ら明らかなように遇関数（!&）であり，&$!
&
'
$!&
!&
'
において最大値をもつ．自己相関係数が最初に -軸と交わスペクトルの周波数領域：スペクトルの周波数領域

は，!% "("% として扱ってきたが，実験や観測データの解析では !"("% とするほうが便利である．そこで，ス

る時間遅れを &!とする．&!は，イオン飽和電流の時間変動

ペクトルの大きさを２倍にした "+&
(
"&
(
'
$#
'を定義する場を特徴付ける時間スケールとなる．+$!mm と +$$mm

合がある．積分領域が &(!%!%'のスペクトル "&'を twoを比較すると，前者のほうが &!が大きくなっている．これ-sided spectrum，"+&('を one-sided spectrum と呼ぶ［１］．

は，プラズマ中心の変動が外縁に比べて緩やかに変動していずれにしても，スペクトルがどの周波数帯で定義されていることをあらわしている．
いま，&% &）．
%(''を以下のように定義する（'$#いるのか注意する必要がある．

#
%#

"
,
'!)',%,，''&% &'$ # -&% !%###

以上，スペクトルを計算する上で，注意すべき点を簡略にまとめた．文章を読むだけでは，なかなか理解が進まな
いと思うが，実際にプログラムを作成したり，解析をする（２０）

このとき，式（８）を式（１８）に代入すると，際の参考としていただきたい．

"#%##-, #% & ' ')'&,"&'%' %,
&'
!
"
%& '
% !%##
!%
（２１）
#
%
%#
"
)
'&
)
',
# -&
''
' !
,
' %,
&
( # &&%'，'$'"%* % % !%
#
!%#

&
(
!&
&
'$ '

%* %

２．
４ 相関関数２．
４．
１ 自己相関
自己相関関数 !&&'とスペクトルの関係を知るとスペク
トルが変動 -+&,'の時間情報を含むことが，より明確にな+

ここで，-&,!
%###)以外ではゼロであること'が区間 (
!%#

+

る．-&
,
,
,
'の平均値を $とすると，変動 -&
'
$-&
'
!$に対

を考慮すると，右辺の積分区間は (!%!%)に置き換えらする自己相関関数は以下に定義される：

れる．したがって，自己相関関数とスペクトルの関係が以下のように導かれる．

#
%#
!&
&
,
-&
,
,
-&
,
%,．（１８）&( "# -&
'
$-&
'
"&
'$ '
'
"&
'
%* % % !%#
#

%&&
''
&#&
'' )'&#' %'"%!% %* %%&(!&&'$# !'

ここで，上付きのバーは時間平均をあらわす．つまり，時"&における変動
刻 ,での変動 -&,'が &だけ離れた時刻 ,

%

%

!%

!

''
')'&%'$# $+&''')'&%'，
$# $&

-&
,
"&
'とどれくらいの関連があるのかを見積もることが（２２）

できる．ゆるやかに変動する -&,'を想定すると，&が小さな場合には -&
,
,
'と -&
"&
'はともに同じ符号を持っているので，両者の積の時間平均はゼロでない値を持つ．しかし，&が大きくなると，両者の符号はデタラメに変化するので，その積の時間平均はゼロに近づくことが期待される．&をプラスにとれば，自分自身の変動の未来とどれだけの関連をもつのか，マイナスにとれば過去との関連を定量化できることとなる．自己相関とは，己の過去・未来との相関の大きさをあらわしたものである．自己相関関数が ,によらず &のみの関数であるとき，-は定常確率過程と定義される．本章の最初で，確率過程の「定常性」について触れたが，その定義は自己相関関数によってなされる．!&&'を&$!の値で無次元化したものを自己相関係数という．

図５

６２３

イオン飽和電流の自己相関係数．rはプラズマ中心からの距離をあらわす．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.85, No.9 September 2009

ここで，')&*は式（１１）に定義したスペクトルの周波数 ,と呼ばれる．デルタ関数のフーリエ変換は定数となるのを角周波数 &$#に書き換えたものと等価である．'/)$,&*で，スペクトルも一定値となる．つまり，すべての周波数

は one-sided スペクトルである．また，逆フーリエ変換をおからの寄与が均等であることを意味する．よく知られた例

こなえば，スペクトルから自己相関を求めることができは，白色雑音（ホワイトノイズ）がある．すべての周波数る．このような両者の関係を Wiener-Khintchine の公式とからの寄与が均等に混ざりあうことを

#

いう
［１，
４］．特に %$!の場合には，!)/!*$0)* であるから，
#

'

白色

と表現した

ものと考えられる．自己相関の型は多種多様であるが，しばしば見られるものに指数型がある．0)/*がマルコフ過程

/

0)
/
&*
%&，
* $# ' )!

やポワッソン分布に関連して生成される場合に観測され，

（２３）

!)
%
%
*
$&+*)
!++
+
*とあらわされる．このときスペクトルが成り立つ．スペクトルを計算する方法として，相関関数

#
は，$)
,
+"
$#,
+#"$
*
$#
*となる．つまり，低周波では一)を計算してそれをフーリエ変換する方法がある．FFT アル

!#
定値：$)
,
"
+，高周波ではベキ指数 !#)
*
&#
$)
,
*
(,
*で

ゴリズムが開発される前には，この方法が用いられていた

減衰する．

が，計算に膨大な時間を要する．また，FFT や相関関数を

２．
４．
２ 相互相関関数，1/)
相互相関関数は，二つのランダム変動 0/)
/
/
*
*の相

用いずに，全く異なった原理に基づく最大エントロピー法［５］がある．

関の大きさを定量的に特徴づけることができる．平均値を差し引いた変動を 0)
/
/
/
/
*
$0/)
*
!#0，1)*!#1とする*$1/)

式（２３）は，0)/*の分散値がスペクトルに関連付けられることを示した重要な式である．図２との対応を考えると，と，自己相関と同様に次のように定義される．

スペクトルと 0軸とで囲まれた面積が分散値に等しくな

#
("

（２４）
!01)
/
1)
/
%
/
1)
/
%/．
'
) "# 0)
*
"%
*
*
$0)
*
"%
*$ (
(. ' ( !("#る．その分散への寄与を周波数ごとに定量化したものがスペクトルと理解することができる．また，式（２３）はスペク

&01)
%
*
$

トルの計算結果をチェックするのに有効である．アンサン
ブル平均する前に各区間(でのフーリエ変換の結果を用い

0)
/
1)
/
*
"%
*
!01)
%
*
．
$
!0)
!1)
!*
!*
#
#
$0%1

（２５）

相互相関関数は式（２４）から明らかなように，!01)
%
*
$!10)
!%
*

て 0)
/
*の分散を計算し，時系列信号から直接に計算した分散と一致することを確認できるようにプログラムに組み込を満たし，相関係数は !"%&01)%*%"となる．相関係数

んでおくとよい．

は，二つの信号が %の時間遅れをもったときにどれくらい

図６には，プラズマ中のイオン飽和電流から計算されたの関連があるのかを定量化した指標である．また，結合確

スペクトルを示した．データは図５に示した自己相関に用率 密 度 関 数（第３章）で 説 明 す る 期 待 値 ",
,
0
!
1*
)
-は，

いたものと同一である．スペクトルには約55 kHzで小さな!01)!*と等価である．

ピークが観察できる．これは，イオン飽和電流がプラズマ

時系列信号 0)
，1)
，*)
/
/
&*
&*
*
*のフーリエ変換を ))の回転に伴い，準周期的に揺らいでいることを反映していとすると，スペクトルの定義に習い，以下のクロススペク

る た め と 考 え ら れ る．ス ペ ク ト ル ピ ー ク の 大 き さ は，トルが定義される．

.$8 mm で最も大きく，外縁や中心部では小さくなってい

$
#
'01)
&*
&*
*)
&*
$! )#)"(

る．自己相関関数の %が大きなところでの変動の大きさが.$8 mm がもっとも大きいことにもよく対応している．

（２６）%$!の場合には，相互相関関数との関係が時系列 0)/*が過去とも未来とも無相関の場合には，自己相関は %$!のみ存在する．数学的には，これはデルタ関数

'

!01)
&*
!*
%&，
$# '01)!'（２７）と導かれる．つまり，クロススペクトルと相互相関関数は，フーリエ変換，逆フーリエ変換の関係にある．
フーリエ級数展開は時系列信号を三角関数波に分解する（図１参照）が，二つの信号の同一周波数の三角関数波が互いにどれだけの相関をもつかを定量化したものが，クロス
スペクトルである．相関係数は種々の周波数の変動成分の寄与から構成されると考え，その周波数帯)&!
&"%&*からの寄与 '01)&*%&がクロススペクトルと理解できる．クロススペク
トルは一般に複素数であり，'01)
&*
&*
%01)
&*とあ
$#01)
!らわすと，#01をコスペクトル，%01をクオドスペクトルと呼ぶ．コスペクトルは，相関関数のコサイン変換，クオド
図６

スペクトルはサイン変換として計算される．相関係数は実

イオン飽和電流のスペクトル.r はプラズマ中心からの距離をあらわす.グラフが重ならないように，r = 8 mm は 1/10
倍，r = 14 mm は 1/100 倍してある．

数であるから，式（２７）ではコスペクトルの積分が相関係数となる．しかし，慣例的にはコスペクトル，クオドスペク
６２４

Lecture Note

2. Correlation and Spectral Analysis

Y. Tsuji et al.

２．
４．
３ 相関に基づく時間スケール

トルに分けて用いることは少なく，クロススペクトルとして用いるようである．本章でも，特別に混乱しない場合に流体乱流の解析でよく用いられる時間スケールとして積
分スケールがある．積分スケールは自己相関係数と ,軸とは「クロススペクトル」を用いる．
各周波数の変動がどれくらいの相関を持つのかをより定で囲まれる面積として定義される．そもそも，流体乱流中

量的に知るためにコヒーレンスが計算される．コヒーレンで計測される統計量（速度，圧力，温度など）に相関が存

スは，２つの信号のフーリエ周波数成分の相関係数に相当在するのは，乱流中の渦が関係している．１つの渦に含まして，!$'''.)#&$"を満たす．

れれば，計測量は時間的，空間的に何らかの相関をもつことが予想される．ある時間遅れで相関がゼロになること

#
#
#
',-&
",-&
''
''
''
(
(
"%,-&
，（２８）
''
'
.) &
#
#
',,&
',,&
''
'--&
''
''
'--&
''
#

は，それ以上大きな時間スケールの渦が統計的には見いだ
せないことに相当する．したがって，自己相関係数を積分した (% は，乱流中の平均的な大きさ（時間・空間）の渦ス

また，位相の差は %,-&''により定量化される．
%,-&
''
%,-&
''
&
-!"!
#/
"．
",-&
''

ケールをとして理解されている．
（２９）%(# ## &&
&
(&
'
．
!

図７
（a）には，プラズマ乱流中の異なる２点で計測された（３０）

イオン飽和電流のクロススペクトル の 実 部（",-）を示

しかし，図５に示した自己相関係数のように，周期成分がす．１つのプローブを中心から 2 mm の位置に固定して含まれている場合には，上式の積分がうまく収束しない．

（固定プローブ），他のプローブを半径方向に移動させた

そのような場合には，式（２２）を変形して以下のように算出（移動プローブ）場合で，"*は２点間の距離をあらわす．

される［６］．

約 14 kHz でスペクトルが負に大きくピークを持っている

%
%
&
&
''
+
*
, '*&
(&# $## &&(&''### !&!
!%,&+'

ことがわかる．これは，２点でのイオン飽和電流の変動に') !

負の相関があり，それは主に特定の周波数（約 14 kHz）に#よってもたら さ れ て い る こ と を あ ら わ し て い る．つまり，１点での飽和電流が平均値よりも大きな値を示した場

$ (
．
# %
,&
+
'

（３１）

合，他の一点では平均値よりも小さな値を示す可能性が大

自己相関係数は偶関数であるから，&#!での微係数はゼロ

きいことが理解できる．このスペクトルのピークは，"*である．しかし，２階の微 分 係 数 &**&!'は 負 の 値 を 持が 10 mm よりも小さな場合に顕著であること，それよりもち，ゼロとならない．この結果を利用して，他の時間ス大きい場合には見られないことから，プラズマ中心部でのケールが定義される．&#!において自己相関係数に接する放現象に起因していると予想できる．図７（b）には同一デー

#
物線 $&
*
'を考える．対称性を考えると，$&
*
&
!
!'
#
'
#""&**&

タの位相差 %,-を示した．スペクトルピークが確認されたと置くことができる．いま，時間スケールとして，マイク

約 14 kHz に注目すると，"*が小さな場合には負の位相遅

ロスケール (# を以下に定義する．

れが存在するが，距離が大きくなるに従って正の位相遅れ(# #へと変化することがわかる．位相差は２つの波の時間遅れ$)&#&'に対応する．つまり，２点間での周波数約
,
-#%
,
-!

"
．
*
*
!
!'
#
&
!&
$

（３２）

つまりマイクロスケールは，自己相関係数に接する放物線

14 kHz の波は，半径位置によって時間遅れをもって観測され，それは半径方向へ移動するプラズマの流れがあることを示唆するものである．

図８
図７ （a）
イオン飽和電流のクロススペクトルの実部．（b）
イオン
飽和電流の位相差．"r は２点間の距離をあらわす．

６２５

自己相関係数（実線）とマイクロスケールの模式図．波線は自己相関係数に接する放物線，横軸と交わる時間スケー
ルがマイクロスケールに相当する．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.85, No.9 September 2009

が横軸と交わる時間スケールとなる．%が小さなところでら に 周 期 成 分 ,%と 非 周 期 成 分 ,*に 分 け ら れ る：は小さな渦の情報が反映されるから，小さなスケールの代-#$",+#$",%",*．これを三成分分解と呼び，周期成,表としてマイクロスケールがよく用いられる．自己相関係

分は流動場における大きな構造と関連づけるが可能とな数は，時間遅れのみでなく，空間の距離 *に対しても同様

り，現象の理解に役立つ．これについては，第４章で解説に定義される．その際に計算される積分スケールやマイクする．

ロスケールは，空間スケールとなる．流体乱流では，速度２．
５．
２ 数値微分変動の自己相関係数が用いられることが多い．いま，-軸離散データとして収録された観測値を微分する必要に迫方向の変動速度を ,とすると，マイクロスケールは簡単なられることがある．数値解析の本には，中心差分や重みづ計算から次のように導かれる［７］．

けをした最小二乗近似式を用いることを説明してある

"
,+
"
),
#-#
"．
(
,
!
(
-'
&
#

［８］．しかし，フーリエ級数展開を用いると，容易に数値微分を計算できる．式（５）の両辺を時間で微分すると，

（３３）

+
&-&
' %
$)(&("$)+!#"# ! !)．
#&+ )#!%

ここで，,+),は速度変動の標準偏差値（root mean square）
である．つまり，マイクロスケールは速度の微分値に直接（３４）に結びつけて考えることができる．プラズマ乱流でも，観つまり，いったん -&+'のフーリエ級数展開を作ってしまえ

測データから自己相関係数を計算することは容易であり，ば，係数に "$)(!
#を乗じて和をとったものが時刻 +におけ

積分スケールやマイクロスケールも算出できる．これらのる微係数&-!
&+を与える．例えば，第３章で計算する条件つスケールがプラズマ乱流の物理とどのように関係するのか

"
"
"
.
/
.
.
，(
き統計量 (
-#')
!
-#')
!
*
(
)
)などもこの方法*(

は実に興味深い．

を用いて計算したものである．

２．
５ スペクトル解析の応用

２．
５．
３ Pre-Multiplied Spectrum（PMS）

時系列信号 -&+'をフーリエ級数に展開し，スペクトルを

スペクトルをグラフに表示する際には，その周波数帯が計算する方法を説明してきた．時間信号を周波数空間で捉非常に大きいため，両対数プロットが用いられる．式（２３）えることは，いくつかの利点と応用を可能にする．本章でに示したように，スペクトルを周波数で積分した値は，変はその一例を紹介する．

動の分散値に等しくなる．しかし，対数プロットされた場

２．
５．
１ バンドパスフィルタ

合には，この分散値への各周波数からの寄与をグラフから

図６には，プラズマ乱流中で計測された飽和電流のスペ

正しく読み取ることは難しい．そこで，横軸が対数表示さクトルを示した．変動中に周期成分が含まれると，スペクれた場合にも，スペクトルと横軸とで囲まれた面積が分散

トルにはその周波数に対応してピークが現れ，計測データ値に比例して対応するように式変形をすると，には約55 kHzで小さなピークが存在する．物理現象をより

%

%

!%

!%

" "&
&'
&'
&'
&&#" &"&&(*'&，

深く理解するためには，特定の周波数を取り出したり，逆に除去することが行われる．このような操作をフィルタと（３５）呼ぶ．周波数 '!より高い周波数をカットするものがローパとなる．ここで，"$#%#&"&&'を Pre-Multiplied Spectrum

スフィルタ，'"よりも低い周波数をカットするものがハイ（PMS）と定義する．縦軸は通常の表示とすると，PMS

パスフィルタである．両者を組み合わせると， '
$'
"$'
!

と横軸との面積が変動の分散値へのその周波数帯からの寄の周波数帯のみの変動を取り出すことができる．実験デー

与として把握できる．図１０は，プラズマ乱流中のイオン飽

タを取り込むデータロガーには，あらかじめこのような電和電流の PMS を半径からの距離を変えてプロットしたも気回路が組み込まれているものが多い．また，数値的にこのである．各測定位置において，周波数ピークへの寄与すの操作を行うことも可能である．ランダム変動をいったんる大きさが明確にわかる．また，高周波では中心から離れフーリエ級数表示して（式（５）），注目する周波数帯以外

るに従って，スペクトルの減衰が顕著であることがわかのフーリエ係数をゼロとすればよい．ただし，急激に係数る．測定点を稠密にとれる場合には，PMS の等値面を書く

をゼロに変化させることを避けるために重みづけをして滑ことができる．図１１は乱流境界層中で計測された速度変動

らかに変化させることもある（図４と同様の考え方）．

の PMS を壁からの距離（.
）に対してプロットした結果で

図９には，*#6 mm において計測されたイオン飽和電流ある（乱流境界層については４章で説明する）．この図か波形（実線）およびバンドパスフィルタを通した波形（赤波

らは，壁からどの位置において，どの周波数帯で大きなエ線）を示した．バンドパスフィルタは，図６のピーク周波

ネルギーをもった運動が存在しているのかが一目でわか数まわり "'の領域に設定してある．このような操作を行う

る．流体乱流の研究では，近年この PMS を用いた研究が注ことにより，特定周波数帯の変動を抽出することができ-を 時 間 平 均 値る．乱 流 変 動 の 解 析 で は，速 度 変 動 ,目されている［１０，１１］．

-）と 変 動 ,+に 分 解 す る こ と が 行 わ れ る；（$#,２．
６ 相関関数の応用-#$",+．これをレイノルズ分解と呼ぶ［７］．速度成分に,

乱流中の１点にプローブを固定し（固定プローブ），そ何らかの周期成分が含まれている場合には，変動成分はさのまわりに他のプローブを配置して移動させ（移動プロー
６２６

Lecture Note

図９2. Correlation and Spectral Analysis

Y. Tsuji et al.

r = 6 mm において計測され た イ オ ン 飽 和 電 流 波 形（実線）およびバンドパスフィルタを通した波形（赤波線）．バ
ンドパスフィルタは，図６のピーク周波数まわり "f の領域に設定してある．

図１
２ イオン飽和電流の時空間相関（#=0）の等値面．計測領域は
付録 A を参照のこと．

図１０ 中心からの距離（r mm）を変えながら計測されたイオン飽
和電流の PMS．

図１
３ 乱流中のエネルギースペクトル［１４］．

図１
１ 乱流境界層中で計測された速度変動の PMS 等値面．y は壁からの距離を境界層の厚さ h で無次元化した．また，縦軸は周波数の逆数（すなわち，波数）をとってある．

#
!
$
!
"
#
$と置くと，時空間相関係数は以下のように定義
&
$
'#
される．

ブ），二点相関の等値面を調べることがある．これは，注目!%&$'##$"

した点まわりに，平均的にどれくらいの構造が存在するのかを知るために有効である．あくまでも平均的な構造を知

#
!
$
!
"
#%!
$%!
"
#
#
$
!#
$
&
$
'#
&
$
'#

．
"
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#
!
$
!
"
#%!
$%!
"
$
$
&
$
'#
&
$
'#
!#
!#

（３６）

るためであり，瞬間的な現象や確率的に小さな事象につい

図１２には，##!
$$!
"!$に固定プローブを設置し，移動プ"#ては，長時間平均をする際に埋もれてしまうので，相関図ローブをその近傍の約 30 mm 四方の領域で移動させながからは把握することはできない．プローブ計測では時系列ら計測した，時間遅れゼロ（#"!）の結果を示した．計測

データしか得られないが，２点での時間をずらしたり進め領域については，付録 A を参照されたい．固定プローブとたりしながら，空間内での相関の等値面を描くことができ

移動プローブが近接している場合には，高い正の相関値がる．これらを時空間相関と呼ぶ．位置##!
$$で観測されるイ

観測されるが，移動プローブが離れると負の相関が観測さオン 飽 和 電 流 の 変 動（時 間 平 均 値 を差 し 引 い た 値）をれる．この負の相関の領域では，飽和電流のスペクトルに
６２７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.85, No.9 September 2009

改めてまとめることとしたい．

顕著なピークが見られ，プラズマが回転もしくは振動して流体解析では，速度変動の二成分を用いてクロススペクいると考えられる．相関の等値面は，注目した点周りにどれくらい相関の大きな領域が広がるのかを把握することがトルが計算される．せん断がある流れ場での流れ方向速度できる．相関の大きな領域には，何らかの構造が存在する,とせん断がある軸方向の速度 -を用いると，次元解析かことを予測させる．しかし，これらはあくまでも平均的な

ら−7/3 乗のべき指数を持つことが予想される．実際に，描像であることを注意しなければならない．

多くの観測や実験ではその指数が観測されている［１５］．慣
性小領域よりも小さなスケールでは，流体の粘性によりエ２．
７ 流体乱流のスペクトル解析の例

ネルギーは消散される．このような小スケールでは，速度流体乱流の実験や観測では，時系列データの統計性を知

変動は互いに等方的となり，その相関はゼロとなる．このるためにスペクトルが広く利用されてきた．その中で，様子は，コヒーレンスにより理解されよう［１５，
１６］
．慣性小

Kolmogorov が提示した乱流の小スケール運動に関する普領域では正の値を持ったコヒーレンスは，粘性領域ではゼ遍性を描写する概念には，スペクトルが利用されている．

ロ近くを変動する．

Kolmogorov は単位質量あたりに伝えられる平均的エネ
ルギーと粘性係数 'が支配パラメータであるとの直感に基

２．
８ プラズマ乱流のスペクトル解析の例

づき，次元解析から以下の関係式を導いた［１２，１３］．渦のス

これまでにランダム変動の二次モーメント（相関関数）

ケールは波数 *.
#"+/であらわされ，そのスケールの渦がのフーリエ変換がエネルギースペクトルとなることをみて持つ単位質量あたりの１次元エネルギースペクトル密度

きた．確率密度関数は第３章で述べる予定があるが，ラン#**+は，普遍関数 +により記述される

ダム変動の特徴づけには，より高次のモーメントを利用す

"#
%
#
#*
*+
#
,%
*
%+
%"
*+
#
$'&/
%+*
%#*
,
.
!
，
"#
%

$

ることが不可欠である．スペクトルに関しても自然な拡張（３７）で，三次相関，四次相関のフーリエ変換として，バイスペ"#%

ここで，,%%*'#$'+ [m/s]，%%*$,,+ [m]であり，最クトルや trispectrum が定義される．
のフーリエ変換をバイスペクトルと定三次相関%*))""#+

小渦の速度および長さスケールと考えられている．,'-は'の平均をあらわす．図１３には実験より得られたデータを義する．

基に計算したスペクトルが表示されている．流体乱流で)" #)(!)** )"* )+()
)
)
""
#+
"(
#，
# # %*
(+ !)
#
*
（３８）
%*
)
+
,*
+
,*
+
)
%,*
+
")
")
．
（３９）
""
#+
"+
#+

!*
*""
*#+
%

は，乱流がどれだけ発達しているかを示す指標としてレイノルズ数 Re が定義される．レイノルズ数は，慣性力と粘性力の比：Re＝（慣性力）／（粘性力）として定義される無次""##元数である．流体の持つ粘性力に対して外部から加わる慣,*++が速度変動などの実数で定常過程とすると，バイスペ
クトルには *"，*#に関するいくつかの対称性が備わって性力が大きいと（すなわち，レイノルズ数が大きいと），流
体はより発達した乱流となる．レイノルズ数は長さスケールとし##て Taylor の マ イ ク ロ ス ケ ー ル（&'$,1#
：
,
,#
,
.+
,
*
小さな渦をあらわす一つの指標），速度スケールとして変おり，それを利用すると，

動速度の標準偏差に基づき，%& '&,1#'と定義する．室内!**""*#+
)
+
%*

&0 )

実験の種類については，図中のポンチ絵が役に立つだろ

$*
*"+
$*
*#+
$*
*$+
,
，
&
，（４０）
*""*#"*$%!+*

う．大きなスケールを誘起するためには，格子を用いたり

#
&#

,*
+
+
%#

（格子乱流），固体壁上に流れをつくったり（乱流境界層），$**+()*+(*，#!&#

ノズルから直接噴出したり（噴流），障害物をおいたり（後（４１）流）している．このようにしてつくられる大きなスケール

$
となる．)
,*
+
+
"%)
#%!の場合には，三次モーメント ,の渦は，互いにまったく異なった個性を持っていることはへの各周波数 **#+からの寄与の大きさを知ることがで*""容易に想像できよう．しかし，*("#%付近では，スペクト

きる．

ルの形はほぼ同一の曲線上に載っている．つまり，式（３７）,*++の確率分布がガウス分布の場合，三次モーメントはの関数 +の存在を示唆しており，細かなスケールについてゼロとなる．したがって，バイスペクトルもゼロとなる．まの普遍的構造が実現されている．

た，式（４０）からわかるように，バイスペクトルは二つの波

大きなスケールについてはどうだろうか？

の二次的非線形干渉の程度を表すと考えられる．つまり，Kolmogorov$!&#
仮 説 に 従 う と，式（３７）の 関 数 +は，+*
*
%+
*
%+
%"*$
*

二つの波が決まると三つ目は自ずと決まることになり，複となる．−5/3 乗則の成立を期待して，*%&!
!
"を眺めてみ雑な非線形現象の力学機構を知る手がかりとなる．最近，ると，残念ながら %& が小さな場合にはそれが実現されてプラズマ乱流の解析でバイスペクトルが用いられる［１７］．

##
$ !&#
い な い．挿 入 図 は，縦 軸：#**+#$* $"で あ り，,$!

図６に観察されたイオン飽和電流のスペクトルピーク−5/3 乗のべき乗則の範囲では一定値 "*になる．おおよそ

が，他の周波数とどのような相互作用があるのかを調べる%& が３００よりも大きくなると，"* (!
!
'の一定になる領域

ためにバイスペクトルを計算した（図１４）．*$をピーク周を見出すことができる．このような普遍性の成り立つ範囲(#55 kHz と な
波 数 55 kHz に 固 定 す る と，*""*#%#

を慣性小領域という．乱流速度変動の普遍性については，る．したがって，*" のみ決めれば，*#は一意に決まる．バ
６２８

Lecture Note

2. Correlation and Spectral Analysis

Y. Tsuji et al.

図１
４ r = 8 mm におけるイオン飽和電流のバイスペクトラム．図６でのピーク周波数 55 kHz に "3 を固定した場合．

図 A−１

装置断面内でのプローブ配置１．

図 A−２

装置断面内でのプローブ配置２．

図 A−３

装置断面内でのプローブ配置３．

図１５ 直線型ダイバータ模擬実験装置：NAGDIS-II．

イスペクトルは，ピーク周波数あたりの変動と関連があるようであるが，これは図６のスペクトルピークがシャープではなく広がりを持つためと考えられる．一方，300 Hz
程度の周波数とも関連が示されるが，その物理的解釈は，今後進めていきたい．

付録 A：プラズマデータ
解析に用いたプラズマデータは，名古屋大学工学研究科
大野研究室に設置された直線型ダイバータ模擬実験装置
NAGDIS-II を用いて測定された．装置は放電部，プラズマテスト部により構成され全長および内径は，それぞれ約
2.5 m と 0.18 m である．生成される磁場強度は最大で 0.25 Tである．プラズマは外部加熱型熱陰極を用いた TP-D 型直流放電によって生成される．テスト部における代表的なプ
ラズマパラメータは，ヘリウムプラズマに対して電子密度!!!1020 m−3，電子温度＜10 eV である．小口径の電気的に浮いた中間電極（内径 20 mm）と接地された陽極（内径24 mm）を用いることで中性ガスのコンダクタンスを下げ，かつ 2000 liter/sec の排気が可能な２台の大容量複合
ターボ分子ポンプを用いてプラズマテスト部を排気するこある．計測プローブは直径 0.4 mm のタングステン棒を先とで放電部圧力が数百 mTorr 程度であるのに対して，プラ

端だけ出し，セラミックでコーティングしたものを使用しズマテスト部圧力は数 mTorr という高い中性ガス圧力差ている．探針計測ではバイアス電圧〜−100 V をかけてイを実現している．これにより，安定したプラズマ源によっ

オン飽和電流を測定，これにより密度を計測した．サンプて非接触再結合プラズマに関する実験を行うことが可能で

リング周波数は 1 MHz である．
６２９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.85, No.9 September 2009

参考文献

データは以下の３つの条件で計測を行った．
（１）１点での電位および密度の同時計測

半径 90 mm の円［１］日野幹雄：スペクトル解析（朝倉書店，１
９
８
９）第１
７刷．
［２］Numerical Recipes in FORTRAN 77, 2nd Edition (Cambridge University Press, 1992).
［３］Numerical Recipes in C［日本語版］（技術評論社，１９８８）．
［４］日野幹雄編集：スペクトル解析ハンドブック（朝倉書
店，２
０
０
４）
．
［５］常盤野和男，大友詔雄，田中幸雄：最大エントロピー法
による時系列解析（北海道大学図書刊行会，２００２）．
［６］O.J. Hinze, Turbulence, (McGraw-Hill Classical Textbook
Reissue Series, 1975).
［７］S.B. Pope, Turbulent Flow (Cambrige Univ. Press., 2000).
［８］桑原邦郎，河村哲也：流体計算と差分法（朝倉書店，
２
０
０
５）
．
［９］河合勇太，辻 義之，久木田 豊：日本機械学会論文集（B 編），72, 915 (2006).
［１０］J. Jimenez, Alamo Del and O. Flores, J. Fluid Mech. 505,
179 (2004).
［１１］N. Hutchins, I. Marusic, J. Fluid Mech. 579, 1 (2007).
［１２］Kolmogorov in Perspective, History of Mathematics, vol.20,
American Mathematical Society, (2000).
［１３］K.R. Sreenivasan and R.A. Antonia, Annu. Rev. Fluid
Mech. 29, 435-472, (1997).
［１４］パリティ乱流特集号 17, No.10, (2002).
［１５］S. Saddoughi and S.V. Veeravalli, J. Fluid Mech. 268, 333(1994).
６］A.S. Monin and A.M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics,［１
volume 2, Cambridge, MA: MIT Press, (1975).
［１７］T. Yamada, S.-I. Itoh et al., Nature Physics 4, 721 (2008).

筒管装置内に圧力 4 m Torr でプラズマが封入してある．このプラズマの電位および密度の時間変化を，静電プローブを用いて計測した．装置断面の中心を原点として，半径方向の位置を !とすると，測定箇所は中０点，サンプリン
心から 2 mm ずつ，!!20 mm まで計１
グ周期は 1 μsec，計測点数は 106 である．
（２）平面格子上での２点同時計測

２つのプローブを用いたプラズマ密度の同時計測を行った．装置中心を原点として，水平方向に "軸，垂直方向に #軸をとる．この と き，１つ の プ ロ ー ブ を "
"
!
##
!
"
!#に 設 置 し!"て，他のプローブを格子上で 2 mm 間隔で移動させて，固定プローブと同時に全２４０点計測した．サンプリン
グ周期は 1 μsec，計測点数は 5×104 である．
（３）三点での密度の同時計測

３つのプローブを互いに 3mm 離して設置し，３点のプラズマ密度の同時計測を行った．プローブ位置は!!0 mm から!!24 mmまで，
3 mm 刻みで４セットの計測をおこなった．!プロー
ブは !!0，3，6 mm に設置，"プローブは !!6，9，12mm に設置，#プローブは !!12，15，18 mm に設置，$プローブは !!18，21，24 mm に設置した．サンプリ
ング周期は 1 μsec，計測点数は 105 である．

６３０