1ガンマ関数
このファイルは §1 の続きなので，式番号は (1.3) から，定理の番号は 1.10 から，例の番号は 1.2 から始める．
階乗 n! を一般化してガンマ関数を導入する．
√−n n+ 12 になる（スターリングの公式）．
n が大きいとき，n! はほぼ 2πe n1・5ガンマ関数の定義と基本的な性質∫ ∞n!
定理 1.3
定義 1.1−t n
L[t ](s)=だった．とくに，s = 1 のとき n!
=e t dt であn+1s0∫ ∞−t x−1る．
e tdt は x が整数でなくても x > 0 ならば定義できるので，0∫ ∞−t x−1
Γ(x) :=(x > 0)e tdt(1.3)
n0

とおいてガンマ関数とよぶ．明らかに n が 0 以上の整数のとき

Γ(n + 1) = n!

(1.4)

である．また，( )√1= π2であることが知られている．さらに，x > 0 のとき
∫ ∞
∫ ∞
(1.3)
−t ′ x−t x(−e ) t dt
Γ(x + 1) =e t dt =Γ[00]−t x ∞= −et(1.5)∫ ∞+0e−tx−1(xt) dt

0= xΓ(x)が成り立つ．これは n! = n · (n − 1)! の一般化である．例えば，
√( )
()
( )
3π111Γ
=Γ+1 = Γ
=.
22222(1.6)(1.7)

ガンマ関数を使ってさまざまな積分の値を求めることができる．このことについては［藤岡 1］を始め，微分積分学の教科書を見てほしい．

ガンマ関数

21・6スターリングの公式

n! はどれくらい大きいのか（例えば 50! は何桁の自然数なのか）知りたいときに便利なものがスターリングの公式である．

定理 1.10（スターリングの公式）(1) x → ∞ のとき，√−x x− 122πe x
左辺が成り立つ．ここで，∼ は x → ∞ のときに→ 1 となることを意味する（もち右辺ろん，どちらをどちらで割ってもよい）．
Γ(x) ∼(2) n → ∞ のとき，n! ∼√−n n+ 12.
2πe n√

1

証明 (2) は (1) から従う．実際，(1) で x = n とおくと (n − 1)! ∼ 2πe−n nn− 2であり，両辺を n 倍すれば (2) を得る．
後は (1) を示せばよい．ここでは大まかな考え方だけ述べる．この方法はラプラスの方法と1)よばれている ．
Γ(x + 1) = xΓ(x) なのでΓ(x + 1) ∼√−x x+ 12πe x 2(1.8)

を示せばよい．Γ(x) よりも Γ(x + 1) の方が式が見やすくなるのでこうする．

∫ ∞Γ(x + 1) =e−t x0=e−x xt dt = e∫ ∞xe0∫ ∞ex−x x−t+x−t+x( )xtdtxexp (x log(t/x)) dt(1.9)02)であるetx．ここで s = （x は固定）と置換し，f (s) = s − 1 − log s とおけば，Γ(x + 1) =−x x+1∫ ∞xexp (−xf (s)) ds である．

01)

フーリエ変換の形の積分もよく似た方法（根拠はやや異なる）で調べられる．その方法は停留位相の方法という．ラプラスの方法（およびその発展である最急降下法）と停留位相の方法については参考文献の［AF］を勧める．

2){}xxexp(log a) = a（対数の定義）なので exp(x log a) = exp(log a)= a である．

a = t/x を代入すれば，(t/x) = exp (x log(t/x)) となる．
xガンマ関数

3f (s) = s − 1 − log s のグラフ
f (s) のグラフは上図のようになっている．f (s) は s = 1 で極小値 0 をとり，s = 1 でのテイラー展開は(s − 1)3(s − 1)2−+ ···(1.10)
23である．s ̸= 1 では f (s) > 0 なので x → ∞ のとき exp (−xf (s)) は急速に 0 に近づく．x が∫ ∞大きいとき，s が 1 から遠いところの積分は非常に小さい．したがって，exp (−xf (s)) ds0∫ 1+δはexp (−xf (s)) ds にほぼ等しい．ここで，δ は非常に小さい数である．積分の範囲
f (s) =1−δを 1 − δ ≤ s ≤ 1 + δ という小さい区間に限ったから，ここで f (s) をも積分の値はほぼ等しく，

Γ(x + 1) = e−x x+1(s − 1)2に変えて2∫ ∞xexp (−xf (s)) ds0∼e−x x+1∫ 1+δxexp (−xf (s)) ds1−δ)x(s − 1)2ds(1.11)∼e x
exp −21−δ∫ 1+δ ∫ ∞である．f (s) の場合と同様の理由から，最後の積分のをに変えても積分の値は−x x+1∫ 1+δ(1−δ

ほとんど変わらず，ガウス積分を計算して(∫

Γ(x + 1) ∼ e−x x+1∞xexp−∞−x(s − 1)22)
ds =−∞√−x x+ 12πe x 2(1.12)

である．これで (1.8) が成り立つ根拠を大まかに示すことができた．厳密な証明は例えば参考
文献［BW］にある．

◇4ガンマ関数

1・7スターリングの公式の応用例

例 1.2

数式処理アプリ Maxima を用いて，スターリングの公式による近似の精度を調√n!
−n n+ 12,べてみると次のようになる．S(n) = 2πen
R(n) =とおく．スターリS(n)ングの公式は lim R(n) = 1 である．n = 10 のときn→∞

10! = 3628800, S(10) ≒ 3598695.618741045, R(10) ≒ 1.008365359132397 であり，かなり良い近似になっている．

(例 1.32 項係数について(式の (2) より2nn)
=

◆2nn)

22n
∼ √(n → ∞) である．実際，スターリングの公πn√1(2n)!
22n
2πe−2n (2n)2n+ 2.
∼
= √)
(√
1 22n+(n!)πn22πe−n n◆log 50!
が成り立つ．分
log 10
母は log 10 ≒ 2.302585092994046 である．また，分子の log 50! は，スターリングの公式

例 1.450! の桁数を調べよう．底の変換公式より log10 50! =より())(√1
1−n n+ 122πe n= log 2π − n + n +log n22()11なので，log 50! ≒ log 2π − 50 + 50 +log 50 である．以上より，
22log n! ≒ log(1.13)

log10 50! ≒ 64.48235105798541
がわかる．k ≤ log10 a < k + 1 のとき 10 ≤ a < 10kk+1

で a は k + 1 桁なので，50! は65 桁である．

例 1.5
注意 1.1◆log10 150! ≒ 262.7566521365713 より 150! は 263 桁である．
カシオが運営する keisan というウェブサイトでさまざまな計算ができる．URL

は https://keisan.casio.jp である．上の 2 つの例の桁数は「フリー計算」のページで確かめられる．もちろん Maxima (https://maxima.sourceforge.io/) などの数学用ソフトウェアも大変便利である．
◆