光学 第３章
幾何光学1http://www.opt.utsunomiya-u.ac.jp/~kuroda/

この章で学ぶこと
レンズ
レンズの焦点・主点・
焦点距離
結像関係式・倍率

1 1 1+ =a b f
複合レンズのsystematicな取り扱い2http://www.opt.utsunomiya-u.ac.jp/~kuroda/

結像
光線

発散光束

収束光束

波面

発散球面波

収束球面波

O

物体
物点

I

L

像
像点

共役点
3

レンズの種類• 屈折レンズ• フレネルレンズ• 屈折率分布型レンズ• 反射鏡• 回折レンズ• フレネルゾーンプレート• ホログラフィック結像素子

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焦点距離

ΣΣ

F
F

f>0凸レンズ

f<0凹レンズ5http://www.opt.utsunomiya-u.ac.jp/~kuroda/

薄肉単レンズnR1R2dlens maker's formula

レンズ職人の公式" 111%= ( n ! 1) $ ! 'f
# R1 R2 &6

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ベンディング
焦点距離は同じでも，形状の異なるレンズが存在する

メニスカス，平凸，両凸レンズ

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複合レンズの焦点距離
焦点距離はどこから測る?

焦点8http://www.opt.utsunomiya-u.ac.jp/~kuroda/

複合レンズの焦点距離

主点

焦点

FHf9

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F値，口径と焦点距離
D 口径

主点

D

焦点

θf
H

H'

F値，F number F = f/D
開口数，numerical aperture, NA = sin! = 1/2F10

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絞り，入射瞳，射出瞳

P'

S: 絞り，stopP, P': 瞳，pupil

S P

絞りは，物理的に光束を制限する物体，瞳は，絞りを外から見たときの像
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顕微鏡対物レンズ

倍率NA12

光学系の設計と評価• レンズ要素の決定• 面の曲率，厚さ，直径，ガラスの種類• 近軸光線追跡• 焦点距離，焦点や主点の位置，結像関係式，倍率• 光線追跡• 結像特性評価• 収差• スポットダイヤグラム

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光学系
例：3枚レンズ, triplet
ガラス材質

レンズ間隔

要素レンズのパワー(焦点距離の逆数)14

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光線追跡
スポットダイアグラム

光学系

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近軸光線追跡要素レンズの，焦点距離，材質，間隔
凸凹凸P1=1/f1 P2

P3

パワー光線
光軸d1d2間隔

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光線
光線 (x, u)
高さ xux光軸

角度 u
近軸光線： x, u が十分小さい
sin u ~ utan u ~ uなどと近似できる

すなわち，線形近似が成り立つ
線形代数＝行列を使って表現できる
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移行u
x1x2

z

x2 = x1 + z tan u ! x1 + zu

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屈折u'uxfuu
Ff

平行光線は焦点で一点に集まる
角度uの平行光線が集まる点の高さ：fu
レンズに高さxで入射した光線：x + fu' = fu
x1u ! = u " = u " Px, P =ff
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行列による表現：移行u1x1x2 = x1 + zu1z
u 2 = u1

! x2 $ ! 1 z $ ! x1 $#& =##&#" u2 &% " 0 1 &% #" u1 &%! 1 z $T(z) = #&" 0 1 %20

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行列による表現：屈折u

x x'u’ = u – Px

x' = xP = 1/f" x! % " 1 0 % " x %$# u ! '& = $# (P 1 '& $# u '&" 1 0 %
R(P) = $# (P 1 '&21http://www.opt.utsunomiya-u.ac.jp/~kuroda/

2枚組レンズ (doublet)! x1 $#&#" u1 &%
d1! x1' $! x1 $#& = R(P1 ) #&#" u1' &%#" u1 &%

f1

f2

! x2 $! x1' $
! x1 $#& = T(d1 ) #& = T(d1 )R(P1 ) #&#" u2 &%#" u1' &%#" u1 &%
! x2' $! x2 $! x1 $! x1 $#& = R(P2 ) #& = R(P2 )T(d1 )R(P1 ) #& ( M#&#" u2' &%#" u2 &%#" u1 &%#" u1 &%! A
M = R(P2 )T(d1 )R(P1 ) = #" C

B $D &%

光線行列
ABCD行列22http://www.opt.utsunomiya-u.ac.jp/~kuroda/

複合レンズ
231K
光軸

d1P1

d2
P2P3

PK

並びが逆順
! AM=#" C

B $= R(PK )T(dK '1 )R(PK '1 )!R(P2 )T(d1 )R(P1 )&D %行列式

det M = AD – BC = 123http://www.opt.utsunomiya-u.ac.jp/~kuroda/

ダブレット" 1M=$# !P20 % " 1 d1 % " 1 0 %1 '& $# 0 1 '& $# !P1 1 '&"%1 ! d1P1
d1=$'$# !P1 ! P2 + d1P1P2 1 ! d1P2 '&d1

複合レンズのパワーf1

f2

P = P1 + P2 – d1P1P224

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結像関係式

xM

uu’zz’T(–z)! AM=#" CM

B $ ! 1 z' $ ! A& =#&#D % " 0 1 %" Cx’T(z')
B $ ! 1 (z $D &% #" 0 1 &%! A + Cz' (Az + B ( Czz' + Dz' $=#&C(Cz+D"%25

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結像関係式２x ! = Ax + Bu
u ! = Cx + Du
共役関係があれば，x'はuに依存しない

Az " B
B = "Az + B " Czz! + Dz! = 0 # z! = "Cz " Dxx'26

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倍率

huz

u'
z'

h'

横倍率：β = h'/h
角倍率：γ = u'/u at x = 027

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光線行列と倍率
x ! = Ax + Bu "$) x! = ' x# & *u ! = Cx + Du $%+u ! = Cx + ( ux!
' = = A = A + Cz!
x1u!
=( == D = D , Cz'u x=0

光線行列の行列式が１である
βγ = 1

横倍率と角倍率は反比例する
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ヘルムホルツ・ラグランジェの不変式

huxu'z'zh'

横倍率：β = h'/h = z'/z
角倍率：γ = u'/u =βγ = 1x/z'= z/z'x/zhu = h'u'

光線についての保存量29

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輝度不変則dΦdΩdSθ

輝度：単位面積あたり，単位立体角あたりの光量dΦ = BcosθdSdΩ

光学系を通しても，輝度は不変である

ヘルムホルツ・ラグランジェの不変式より

dS'dΩ'
2 2=β γ =1dSdΩ
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主要点!

')
&

$%

('"

()

!#
$#"#%#

像側

焦点 F, F'：平行光線束の収束点
主点 H, H'：横倍率が1の共役点
節点 N, N'：角倍率が1の共役点
焦点距離&)

物体側

β = 0, β = ∞β=1
γ=1
f = HF, f' = H'F'

物体空間と像空間の屈折率が等しいとき，主点と接点は一致する
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光線行列と主要点
物体

像倍率β

物体側焦点

D/C

∞

∞

像側焦点

∞

–A/C

0

主点(D–1)/C–(A-1)/C1

焦点距離

1/C

–1/C

焦点距離：f' = –f = –1/C
パワー：P = 1/f '= –C32http://www.opt.utsunomiya-u.ac.jp/~kuroda/

ニュートンの式!

')&$%

焦点から測る

()

('&)
!#

$#

""#

%#

h"
ft"
!= =# =#ht
f"tt " = ff " = # f "2

結像関係とは反比例である
33

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結像関係式の標準形

!

')
&

$%

主点から測る

('"&)

()

!#
$#"#

%#

h"
fs" # f "!= =#=#
hs# f
f"
1ss"
= 1 # = 1 + sP, ! = 1 #= 1 + s"P!
ff"
1 1
1
# =P=s" sf"34http://www.opt.utsunomiya-u.ac.jp/~kuroda/

縦倍率

"z"z'

f!
t! = "t2
dt ! f !
#== 2 = $2dtt
2ニュートンの式
縦倍率

縦，横，角倍率は互いに従属である。
立体を忠実に結像するのは，# = ±1の場合に限る。
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Nodal slide

節点 = 主点の位置を決定

u' ≠ uuu'u' = u

レンズを回転回転中心が節点のとき，ビームは回転しない36

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アフォーカル系
f' = ∞
主要点は存在しない
倍率：β = 1/γ = –f2/f1

x1
f1

f2x2

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球面による屈折nθn'Qθ'xuPRσOzCu'P'z'n!u ! = nu " Px
n! " nP=R38

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球面による反射xnzn!u ! = nu " Px
2nn! = "n, P = "R39