シュバルツシルト解〜外部〜

真空 (物質なし空間) でのアインシュタイン方程式を、静的で球対称の条件のもとで解きます。
条件によって、計量の 16 成分（独立成分は 10 個）のうちの対角成分のみになります。
静的は、時間独立で時間反転に対して不変な場合です。
最初に、一様と等方について簡単に言っておきます。3 次元空間座標 x の平行移動後の座標 x′ は

x′ = x + aと書けて (a は定数)、これを運動方程式 (ラグランジアン) に入れても運動方程式の形が変わらないとき、空間は一様と言います。同様に時間 t に対しても (a は定数)t′ = t + aこのような変換に対して運動方程式が変わらないとき、時間は一様といいます。座標が時間に依存しない回転変換の直交行列 T による

x′ = T xという変換に対して運動方程式が変わらないとき、空間は等方と言います。簡単にまとめれば、時間と空間が平行移動に対して変化しないとき一様、空間が回転変換に対して変化しない (どの方向を向いても同じ) とき等方と言います。
空間の性質に漸近的平坦な空間というのを加えます。これは、原点から無限遠に離れていくとミンコフスキー空間になるという性質です。つまり、ミンコフスキー空間での線素

ds2 = c2 dt2 − (dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 )x0 = ct , x1 = r , x2 = θ , x3 = φが無限遠で現れるとすることです (極座標にしています)。これによって、重力場の中心から離れるにつれて重力は弱くなるという性質を表現します。注意として、ct, r, θ, φ と書いたときのの計量は gµν に対応します。これは

x0 = ct, x1 = r, x2 = θ, x3 = φ から分かると思います。
静的で球対称な線素を作ります。静的は時間独立で時間反転に対して不変なので、時間反転 dx0 ⇒ −dx0 のもとで不変という条件が出てきます。このため、線素において dt と他の成分が混ざるような部分は 0 になる必要があるので、gi0 は 0 になります (i = 1, 2, 3)。そして、球対称であるためには、dθ, dφ は立体角部分を表すように出てきて、なおかつ角度の反転 dθ ⇒ −dθ、dφ ⇒ −dφ に対して線素は不変でなければいけないです。よって、

dθdφ, drdθ のような項が出てきてはいけないです。
これらから計量テンソルは対角成分しかないことになるので、線素はds2 = Ac2 dt2 − (Bdr2 + Cr2 dθ2 + Dr2 sin2 θdφ2 )1という形になります。時間独立で球対称なので、A, B, C, D は r の関数です (球対称のために角度依存しない)。

C, D は等方性によって同じです（角度方向の微小距離なので区別しない。θ = 0 と θ = π/2 で対応がとれる）。動
径 r を変換して式をもっと簡単にします。
動径 r をr′ =√Cr , r′2 = Cr2√
として、 C 倍に変換します。そうすると
1 dC
11+ C 2 )−2 dr′2dr2 = ( rC − 22drより、r′ で Bdr2 を表現すると

1 dC
11+ C 2 )−2 dr′2
Bdr2 = B( rC − 22dr

1dC 2dC −1 ′2= B(C + r2 C −1 () +r) dr
4drdr=r dC −2 ′2B(1 +) dr
C
2C dr= B ′ dr′2なので、線素を r′ で表してやれば

ds2 = Ac2 dt2 − B ′ dr′2 − (r′2 dθ2 + r′2 sin2 θdφ2 )このように、動径 r の基準の取り方によって C = 1 の形できるので

ds2 = Ac2 dt2 − Bdr2 − (r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 )となります。
残っている未知関数 A, B を A = eν(r) , B = eλ(r) とします。計量テンソルの符号の関係上 A, B は正なのでこのように置いて問題ないです。よって

ds2 = eν(r) c2 dt2 − eλ(r) dr2 − (r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 )(1)

これが静的で球対称という条件での線素の形です。例えば、適当な動径 r を選んだときの 3 次元での球の表面での線素は

ds2 = −(r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 )なので、球の赤道（θ = π/2）部分の長さは2l=∫ 2π √∫ 2π−ds2 =r2 dφ = 2πr00

これは通常の球の赤道の長さです。
また、シュバルツシルト解を求めるには球対称という条件だけでも十分です。球対称だけで静的を要求しないときの一般的な形は

ds2 = Ac2 dt2 + Bdr2 + 2Cdrdt + f (dθ2 + sin2 θdφ2 )A, B, C, f は t と r の関数です。細かい理由は省いて簡単に言っておきます。球対称であるために必要となる条件
は、2 次元球の線素 dl2 = f (r, t)(dθ2 + sin2 θdφ2 ) が含まれていることです。後は 2 次元球と直交に交わる線の条件によって drdθ, dtdφ のような項が落とされて上のような形になります。さらに、座標変換によって、B は消せ、f は r2 にできるので、A, B が r だけでなく t にも依存するという点以外は同じ形にできます。なので、t の依存性を含ませたままでも同じ手順で計算していくことは可能です。しかも、t の依存性は座標変換によって吸収することができ、静的として始めた結果と同じものになります。このように、真空における球対称な空間は静的になることをバーコフ (Birkhoﬀ) の定理と呼んでいます。
重力による空間はアインシュタイン方程式に従うので、今の計量を使ってアインシュタイン方程式に現れる 0 でないクリストッフェル記号を地道に計算していきます。そのために測地線方程式{αẍ +}αβηẋβ ẋη = 0(2)を利用します。ドットは弧長 s による微分とします。測地線方程式はオイラー・ラグランジュ方程式から求められるものなので、(1) を使った変分問題と測地線方程式の対応を使います。オイラー・ラグランジュ方程式は変分問題∫δds[eν(r) (ẋ0 )2 − eλ(r) ṙ2 − (r2 θ̇2 + r2 sin2 θφ̇2 )] = 0によって求められて (「運動方程式と測地線方程式」参照)、[ ] 部分を F とすると∂Fd ∂F=ds ∂ ẋα∂xαとなります。これが今の測地線方程式に対するオイラー・ラグランジュ方程式なので、これを計算したら (2) と同じ式になります。
まず α = 0(xα = x0 ) の場合を見ます。オイラー・ラグランジュ方程式の左辺は

d ∂F
d=(2eν ẋ0 )0ds ∂ ẋ
ds= 2eν ẍ0 + 2ẋ0 eν

dν dr
dr ds

= 2eν ẍ0 + 2ẋ0 eν ν ′ ṙ

右辺は当然 0 なので32eν ẍ0 + 2ẋ0 eν ν ′ ṙ = 0「′ 」は r での微分とします。これから 2eν を割れば

ẍ0 + ν ′ ẋ0 ṙ = 0(3)

これと測地線方程式 (2) を比べます。α = 0 での測地線方程式は{}

00ẍ +ẋβ ẋη = 0βη

第一項は明らかに同じ形で、第二項は{}

0{ẋβ ẋ0 +β0}0ẋβ ẋ1 + · · ·β1となっています。そして、オイラー・ラグランジュ方程式からは ẋ0 ṙ の項しか出てきていないので、測地線方程式における他の項は当然消えなければいけません。言い換えれば、ẋ0 ṙ 以外の項でのクリストッフェル記号が 0 になっているということです。よって、0 になっていないクリストッフェル記号の部分は、r = x1 から{0βη}{β ηẋ ẋ⇒}

0{βẋ ṙ +β101η}ṙẋηさらに ẋ0 となるように β = 0 もしくは η = 0 を選ぶので、0 でないクリストッフェル記号として{0}{,010}

10そして、測地線方程式と (3) から、この二つを足したものが ν ′ と等しくなっていればいいことが分かるので{010}{=001}=ν′2となります。
今度は α = 1 (xα = x1 = r) の場合ですd ∂F∂F=1ds ∂ ẋ∂x1−2eλ r̈ − 2eλ λ′ ṙ2 = eν ν ′ (ẋ0 )2 − eλ λ′ ṙ2 − 2rθ̇2 − 2r sin2 θφ̇2−2eλ r̈ − eλ λ′ ṙ2 = eν ν ′ (ẋ0 )2 − 2rθ̇2 − 2r sin2 θφ̇2r̈ +λ′ 2 ν ′ eν−λ 0 2ṙ +(ẋ ) − re−λ θ̇2 − re−λ sin2 θφ̇2 = 0224同じように測地線方程式との対応を見ると、クリストッフェル記号は

{1}

00

ν ′ eν−λ=,2{1}11λ′=,2{}

1{= −re22−λ,1}= −re−λ sin2 θ33となっています。

α = 2 (xα = x2 = θ) の場合では、オイラー・ラグランジュ方程式は2θ̈ + θ̇ṙ − sin θ cos θφ̇2 = 0r
第三項部分はそのまま{}233= − sin θ cos θ

第二項部分では{2}{,12}221を足したものになるので

{212}

{=2}
=211rとなります。
最後の α = 3 (xα = x3 = φ) の場合では、オイラー・ラグランジュ方程式は2φ̈ + 2 cot θθ̇φ̇ + ṙφ̇ = 0rなので、クリストッフェル記号は{323}{=332}{= cot θ ,313}{=331となります。これがクリストッフェル記号が 0 にならない全てのものです。
結果をまとめると

5}
=1r

{}

0=10{}

100

{=13}
=01{}

30

ν ′ eν−λ=,2}212{{2}

21{

=331}

ν′2{}

111

1= ,r
1
= ,r

{

λ′=,2{

23{

1= −re−λ ,22}= −re−λ sin2 θ33}
= − sin θ cos θ33{}

1}

{=23}

332

= cot θこれでクリストッフェル記号は求まりましたが、アインシュタイン方程式には縮約された{}

ααβというのが含まれています。これには「共変微分」の発散の式を求めるときに出てきた{}

α=αβ√√∂
log −g = (log −g)|β∂xβを使います (g は gµν の行列式)。
真空でのアインシュタイン方程式 Rµν = 0 は{Rµν =}αµν{−µν{=α|α}αµα}− (log√{−}{αβµ|ν{−g)|µ|ν −|α}βανα}{

ββµαν

000

{+µν}

{+計量 gµν は今使っている線素 (1) からeν 0gµν =  000−eλ00−r2000−r2 sin2 θ

なので、行列式 g は

g = −eν+λ r4 sin2 θこれから6}{ββµν}

αβα}(log√−g)|βlog√−g =11log(eν+λ r4 sin2 θ) = log eν+λ + 2 log r + log | sin θ|22

これでアインシュタイン方程式に必要なものは揃ったことになります。記号が重なってますが、eν(r) の ν(r) とRµν の ν は無関係なので混同しないでください。
Rµν を計算していき、eν と eλ を決定します。ここで求められる Rµν は、球対称という条件の空間に対してはそのまま適用できます (ただし、当たり前ですが Rµν = 0 とした場合は真空でのみ使用できます)。

R00 (µ = ν = 0) は

R00 = −(log√{−g)|0|0 +α}00{−α}{}{+α0β0|αβα}(log00√−g)|α = 0

計量は時間独立なので第一項は消えます。クリストッフェル記号が 0 にならないものを入れていくと

{
R00 =

100

=({}−|1100}{010{}−0}{10100{}+100}(log2ν ′ ν−λ ′ ν ′2 ν−λ ν ′ ν−λ 1 ′e) −e+ e( (ν + λ′ ) + )
2222r

=

ν ′′ ν−λ ν ′ ′ν ′2 ν−λ 1 ν−λ 1 ′22e+ (ν − λ′ )eν−λ −e+ e( (ν + ν ′ λ′ ) + ν ′ )22222r=eν−λ ′′
12(ν + ν ′2 − ν ′ λ′ − ν ′2 + (ν ′2 + ν ′ λ′ ) + ν ′ )
22r

=

1
12eν−λ ′′(ν − ν ′ λ′ + ν ′2 + ν ′ λ′ + ν ′ )222r=eν−λ ′′ ν ′2
ν ′ λ′
2ν ′(ν +−+)
222r

R00 = 0 なので

ν ′′ +ν ′2
ν ′ λ′
2ν ′−+=022r

同様に R11 (µ = ν = 1) では

7√−g)|1

R11 = − (log= − (log{−√√221{−g)|1|1 +221−11}{}−}{3}{031}β30}

31{+111}α(log11{−01}{+α101|1{}{αβ1|α1−g)|1|1 +{−11{}{}

α}{111}(log√√1−g)|α}11−g)|1=11
ν ′2λ′2
12λ′′
1λ′ 1(ν + λ)′′ − 2 2 −+++ 2 + 2 − ( (ν + λ)′ + )
2r
244rr
2 2r

=

1 ′′ ν ′2λ′2λ′λ′ν ++− (ν ′ + λ′ ) −2444r=λ′ ν ′λ′1 ′′ ν ′2
ν +−−244rとなって、R11 = 0 より

ν ′′ +

ν ′2
ν ′ λ′2λ′−−=022r

ν ′′ +

ν ′ λ′2ν ′ν ′2−+=022r(4)ν ′′ +

ν ′2
ν ′ λ′2λ′−−=022r(5)

R00 と R11 の結果

から、ν ′ と λ′ の関係は

ν ′ = −λ′と分かります。積分すれば

ν + λ = const
定数を a とします。
a

この定数 a を使って、時間座標 x0 での eν c2 dt2 を t ⇒ e 2 t と変換します。細かく書けば計量に対するg 00 =∂xα ∂xβ∂x0 2g=() g00αβ∂x0 ∂x0∂x0aという座標変換です。空間成分 α, β = 1, 2, 3 の変換はしません。なので、∂x0 /∂x0 を e 2 と選んだことになります。そうすると、計量の時間成分の係数が eν+a と変わります。つまり、ν ⇒ ν + a となることから8ν+λ=a ⇒ ν+λ=0となります。なのでν = −λとすることで、

ds2 = e−λ c2 dt2 − eλ dr2 − (r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 )そして、eλ = 1 となら、e−λ = 1 になるために (λ = 0)、このときの線素はミンコフスキー空間でのものになります。つまり、r 無限大で eλ = 1 になるなら、時間成分も e−λ = 1 になることが要求されるので、この座標変換で漸近的に平坦になるという制限がかかったことになります。
この関係を (5) に入れると0 = − λ′′ +λ′2λ′22λ′+−22r= λ′′ − λ′2 +2λ′r

これは(re−λ )′′ = 0と書けるので、積分することで(re−λ )′ = constとなります。
アインシュタイン方程式の計算に戻って、今度は R22 (µ = ν = 2) を計算して9R22 = − (log{+√122{−g)|2|2 +}(log√}

1{−22|1}{1222}

12{−2}{12}22{−332}{3}32−g)|1= −∂2λ′ + ν ′2(log | sin θ|) − (e−λ r)′ + 2e−λ − cot2 θ − re−λ (+ )2∂θ2r= −λ′ + ν ′∂ cos θ cos2 θ− (e−λ r)′ + 2e−λ − e−λ (r−+ 2)2∂θ sin θ2sin θ=1sin θ cos2 θ cos2 θλ′ + ν ′+−− (e−λ r)′ + 2e−λ − e−λ (r+ 2)
22sin θ2sin θsin θ= 1 − (e−λ r)′ − e−λ r= 1 − (e−λ r)′ − r

λ′ + ν ′2λ′ − λ′ −λe2

= 1 − (e−λ r)′ = 0
ν ′ = −λ′ を使っています。なので(e−λ r)′ = 1
これから、(e−λ r)′ = const となっていたものは 1 です。これを積分すれば

e−λ r = r + C = r − 2mC は積分定数で、それを −2m としています。これによって eν と eλ を求めることができて

e−λ = eν = 1 −12m, eλ =r
1 − 2mrとなります。
よって、線素はds2 = (1 −2m1)(cdt)2 −dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 )r
1 − 2mr

これが静的で球対称としたときの真空でのアインシュタイン方程式の解で、シュバルツシルト解 (Schwarzschildsolution) と言います。これに対応する計量をシュバルツシルト計量と言います。
リッチテンソルは残り 7 個 (R01 や R33 とか) ありますが、これらから eν .eλ の情報は出てきません。例えば R12の場合では10R12 = − (log= − (log√√{−g)|1|2 +{−g)|1|2 +}α12{−|α}2{−12}{βτ 1}{

331|2τ
β23}

{

τ12+}

{+322}(log}

12(log√√−g)|τ−g)|21
1= − cot θ + cot θ = 0rrとなって、恒等的に 0 です。R33 も求めてみると

R33 = − (log{=√+{+33|1133α−g)|3|3 +}1{{}(log= − (re−λ sin2 θ)′ −{−2−g)|1 +}{}{133}

313}

2}

τ
β333|2{βτ 3|α}33{−332√}(log√{+{−2τ}332}{33(log3√−g)|τ}32−g)|2∂2(sin θ cos θ) + 2e−λ sin2 θ + 2 cot θ sin θ cos θ − re−λ sin2 θ − cos θ∂θ
r= − (re−λ )′ sin2 θ + sin2 θ= − ((re−λ )′ − 1) sin2 θ
この式は R12 とは違いそのまま 0 にはならないですが、R22 の式に sin2 θ を掛けたものになっています。なので、R22 と同じ結果になり、(re−λ )′ = 1 を入れることで 0 になります。というわけで、結局 eλ , eν は今求めたもの以外に出てこないので、ここでのアインシュタイン方程式の解はシュバルツシルト解のみになっています。
積分定数 2m が何かを調べます。重力が弱いとして、ミンコフスキー計量の微小な項を加えたときの計量は「真空でのアインシュタイン方程式」で求めたように

g00 ≃ 1 +2ϕc2となっていて、ϕ が重力ポテンシャルであるならニュートンの重力理論から

ϕ=−κMrκ は重力定数、M は粒子の質量です。これから

g00 ≃ 1 −2κMc2 rとなり、これとシュバルツシルト解の時間成分

1−2mr11を比べると、積分定数 m はm=

κMc2と求まります。m の単位は、cgs 単位系では

κ = [dyn · cm2 /g2 ](dyn = g · cm/s2 )M = [g]c2 = [cm2 /s2 ]から[dyn · cm2 /g2 ] × [g] × [s2 /cm2 ] = [cm]なので、m は距離の単位を持ちます。そして、幾何学単位系 (c = 1, κ = 1) を使うと

m=Mとなり、質量となるために、m は幾何学的な質量と言えます。
このように、ニュートンによる重力ポテンシャルと対応させることで、質量 M の物体を発生源とする静的で球対称な空間をシュバルツシルト解は表現していると考えられます。このため、星の周りにできる重力場の影響を考える時に用いられます。
シュバルツシルト解を見ればわかるように、r = 2m のとき dx0 の係数 (g00 ) は 0 になり dr2 の係数 (g11 ) は無限に発散しています。この r = 2m となるところをシュバルツシルト半径もしくは重力半径と呼んでいます。シュ
バルツシルト半径の距離で特異点と呼ぶようなこともあるようですが、ここは本当の特異点ではありません。この領域は座標のとり方のせいで発散するようになっており、座標を上手く取ることで発散しないものを導けます。
なので、真の特異点は r = 0 のことになります。シュバルツシルト半径の面は特異点ではなく事象の地平面 (eventhorizon) と呼ばれます。ちなみに、太陽のシュバルツシルト半径は約 3km、地球は約 0.9cm です。
また、最初の方でも触れましたが、バーコフの定理から、球対称であることさえ要求してしまえば静的であるという条件を加えなくてもシュバルツシルト解が唯一の解になることが分かっています。静的という条件が外されても成り立つために、例えば球対称でありさえすれば星が動径方向に振動してようとも星の外部の計量（シュバルツシルト計量）には何の影響もないということになります。よって、球対称なものが振動しても重力波は放出しないということになります。
シュバルツシルト半径を求めるだけなら簡単な方法があって、静止エネルギーと自己重力が釣り合う条件

M c2 =

κM 2r

M c2 =

κM 2rr=κM
c2から12r が積分定数 m と同じ式になっているので、これを 2 倍すればそのままシュバルツシルト半径になります。静止エネルギーとせずに、光速での運動エネルギーとポテンシャルが釣り合うとしても出てきます（ラプラスの発想と同じ）。
静的で球対称として、極座標によってシュバルツシルト解を求めましたが、これを別の座標系にできます。ここでは、変換後の座標系はds2 = A(r)(dx0 )2 − B(r)dσ 2という形にします。空間成分を全て dσ 2 の中にいれてしまい、係数が B(r) になる座標系です。このような座標を等方座標といいます。等方なので方向に依存してないです。シュバルツシルト解

ds2 = (1 −2m1)(cdt)2 −dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 )r
1 − 2mrds2 = (1 −2m)(cdt)2 − B 2 (ρ)[dρ2 + ρ2 (dθ2 + sin2 θdφ2 )]rの空間成分をとして、動径 r を新しく ρ(r) に置き換え、係数が B(ρ) になるようにします。二つの角度成分を比べればB 2 ρ2 = r2
同様に、動径に対しては1dr2 = B 2 dρ21 − 2mr
この二つから

1r2 222m dr = ρ2 dρ
1− r
±√
∫±∫
±1(r2 − 2mr)−1/2 (r − m) + 1∫

drr2 − 2mr=√dr=r2 − 2mr√du=r2 − 2mrdρρ∫∫dρρdρρ(u =∫dudρ±=ρ(r − m) + (r2 − 2mr)1/2
∫
∫
dudρ
±=u−m
ρ
√
± log | r2 − 2mr + r − m| = log ρ + C

13√

r2 − 2mr + r)

C は定数です。これは r が大きい場合では± log[2r] = log ρ + Cとなり、r と ρ は無限遠で等しくなって欲しいので、符号はプラスとし、定数 C を log 2 とすることで両辺は等しくなります。よってr−m+√

r2 − 2mr = 2ρ

これを変形させると√r − m − r2 − 2mr
1√
√
=222ρ
(r − m + r − 2mr)(r − m − r − 2mr)r−m−√

r2 − 2mr =これを変形させる前のものと足し合わせることで2(r − m) = 2ρ +m22ρ

後はこれを r の式にすればいいので

r =ρ+m2
m+ m = ρ(1 + )24ρ2ρ

よって、B はB = (1 +m 2)
2ρとなります。
これで空間部分はわかったので、時間成分の式の r も ρ で置き換えて(1 −2m2m)= 1−m 2rρ(1 + 2ρ)==

m 2
ρ(1 + 2ρ) − 2mm 2ρ(1 + 2ρ)m 2(1 − 2ρ)m 2(1 + 2ρ)よって、等方座標でのシュバルツシルト解は

14m22ρds2 =m 2(1 − 2ρ)m 4 22) [dρ + ρ2 (dθ2 + sin2 θdφ2 )]m 2 (cdt) − (1 +(1 + 2ρ )2ρm
これは m = 0 でミンコフスキー計量になります。このため、重力が弱いと近似するためには≪ 1 とすればいρ
m 2,4いので、(1 ±) の部分を 1 次まで展開した
2ρ

(1 ±m 2mm) ≃ 1 ± 2 ± ··· = 1 ±± ···2ρ2ρρ(1 +m 4m2m) ≃ 1 + 4 + ··· = 1 ++ ···2ρ2ρρを使うことでds2 ≃ (1 −mm2m)(1 − )(cdt)2 − (1 +)dσ 2ρρρ= (1 −2m m22m+ 2 )(cdt)2 − (1 +)dσ 2ρρρ≃ (1 −2m2m)(cdt)2 − (1 +)dσ 2ρρ

弱い重力での計量 g00 はg00 ≃ (1 +2ϕ2κM) = (1 − 2 )c2c ρ

なので(1 −2κM2m) = (1 −)c2 ρρm=κMc2となり、m は最初に求めたシュバルツシルト解での結果と一致します。
量子論との関係もついでに簡単に見ておきます。シュバルツシルト半径とコンプトン波長が等しくなるとしてℏκM= 2Mcc√ℏcM=κh = 2πℏ はプランク定数です。この質量 M をプランク質量と言います。プランク質量でのコンプトン波長をプランク長と呼びます。プランク質量には重力定数とプランク定数という重力と量子論の基本的な定数を含まれているので、量子重力に関わっていることが予想されています。このときのエネルギースケールは

15√
2Mc =ℏc5∼ 1019 (GeV)
κとなっていて、これは現在観測可能な標準模型でのエネルギースケール 100(GeV) に比べたらかなり大きなものになっています。
こういったことから、もし質量がプランク質量より小さい場合だと、シュバルツシルト半径がコンプトン波長よりも短くなります。つまり、量子論的な効果が確実に表に出てくるために一般相対性理論は使い物にならなり (相対論は古典論)、量子重力理論を必要とします。もっと細かい話になりますが、そんな量子重力理論の候補の一つである弦理論においては、プランクスケールよりも大きなスケール (ミリメートル程度) でわけのわからない状況(高次元からの寄与) が発生すると予想されています。ここまで大きなスケールだと量子論の話ではなくなるので、相対論による重力崩壊の理論は修正が必要となります (弦理論が正しいなら)。
ちなみに、コンプトン波長を求める方法もシュバルツシルト半径を求める方法と同じようにして求めることができます。重力の代わりに静電ポテンシャルを使って

mc2 =e2rr=e2mc2

これは古典電子半径と呼ばれるもので、電磁相互作用での重力定数 (結合定数の意味) である微細構造定数 α で割ると

ℏc e2ℏ
=e2 mc2mcとなり、プランク波長を求めることができます。これをさらに α で割ると

ℏ2ℏc ℏ=2e mcme2
これがボーア半径になります。

16