反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

円管内伝熱
化学工業は、物質の状態変化や化学変化を利用して化学製品を生産する装置産業であり、反応工程に加えて蒸留工程や晶析工程、乾燥工程など、熱のやり取りを伴う工程が多い。たとえば、多管式熱交換器の伝熱管本数や、回分反応器に付属する伝熱コイルの巻き数などの化工設計は、伝熱計算が基本となる。また、熱収支を取ることで、蒸発缶に供給すべきスチーム量や触媒反応器内の温度分布を見積もることができる。伝熱機構には、原子や分子の運動によって熱が伝わる伝導伝熱、気体や液体の流れによって熱が伝わる対流伝熱、物体から放出される電磁波によって熱が伝わる放射伝熱がある。

１．伝導伝熱１．１ フーリエの式
物体を構成する原子・分子の熱振動による伝熱機構を伝導伝熱(heat conduction)という。伝導伝熱は、固体中だけでなく、液体中でも起こる。物体の内部を熱が伝導によって伝わる速さ Q [W]は、熱の移動方
向に垂直な伝熱面積 A [m2]と温度勾配 dT/dy に比例する。これをフーリエの法則(Fourier’s law)といい、次式で表される。
Q

kA

dT
dy

…(1.1.1)

ただし、k は熱伝導度[W/(m･K)]。熱伝導度(thermal conductivity)は、熱の伝わりやすさを表し、物体をなす材質の種類によって異なる。また、熱の移動方向が正となるように y 軸をとるとき、温度勾配 dT/dy は負の値をとることから(y の増大に伴い T は減少)、負号を付すことで正の値とした。
上式を熱移動流束 q [J/(m2･s)]で表す場合は、次式となる。
q

k

dT
dy

…(1.1.2)

流束(flux)は、単位面積および単位時間あたりの物理量の移動速度であり、フーリエの式で表される熱移
動流束 q [J/(m2･s)]のほか、フィックの式で表される物質移動流束 J [mol/(m2･s)]や、ニュートンの式で表される運動量移動流束 τ [(kg･m/s)/(m2･s)]が代表的である。

１．２ 平面壁内伝導
単一平面壁内の伝熱速度 Q [W]は、平面壁の熱伝導度 k [W/(m･K)]、温度差 T (=T1－T2, T1>T2) [K]、伝熱面積 A [m2]、厚み l (=y2－y1) [m]として、Q の式を積分することで導かれる。
Q

Q

y2
y1

dy

kA

kA

T2
y2

T2
T1

dT

…(1.2.1)

T1…(1.2.2)y11

反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

Q

T T
kA 1 2 …(1.2.3)
l

Q

ΔT
R

l
kA

R

…(1.2.4)

ただし、R は伝熱抵抗[K/W]。
伝熱過程は、電気回路に置き換えることができる。すなわち、伝熱速度 Q は電流 I、温度差 T は電圧V に相当する。抵抗 R は、熱の伝わりにくさを表し、端的には熱伝導度の逆数 1/k に相当すると考えてよい。電気回路の考え方は、粉体層内伝熱のように、複数の伝熱機構が混在する場合に便利である。すな
わち、各伝熱機構の合成抵抗を求めてその逆数を取れば、それが総括の熱伝導度となる。
材質と厚みの異なる平面壁を３枚重ね合わせた場合の材質ごとの温度差は、それぞれ次式で表される。
（平面壁１） T1 T2

Q…(1.2.5)
k1 A l1（平面壁２） T2 T3

Q…(1.2.6)
k2 A l 2（平面壁３） T3 T4

Q…(1.2.7)
k3 A l 3

上式を辺々加えると、多層平面壁の伝熱速度 Q [W]を得る。
(T1 T2 ) (T2T3 ) (T3 T4 )Q

1
k1 A l11
k2 A l 2Q

T1 T4(l1 k1 A) (l2 k2 A) (l3 k3 A)…(1.2.9)

Q

ΔT
R

l2
k2 A

ΔT

T1 T4 , R

l1
k1 A

l3
k3 A

1
k3 A l 3…(1.2.8)…(1.2.10)

総括式を用いずとも、３式のいずれかを用いて伝熱速度 Q を求めることもできるが、いずれの式も平面
壁間の温度 T2 と T3 が含まれており、こういった部分は測定しにくい。総括式には、これらの温度が含まれておらず、測定の容易な外表面温度 T1 と T4 を用いることができる。

+y

+y

k
T1

k1 k2 k3
T1

A

T2

Q
ℓ

A

T2

T3

ℓ1 ℓ2 ℓ3

図 1.2.1 平面壁内の伝導伝熱(左)単一平面壁、(右)多層平面壁

2

Q
T4

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１．３ 円管内伝導
単一円管の肉厚 l (=r2－r1) [m]の部分を熱が伝導によって伝わる場合を考える。円管内の中心から外側に向かって r 座標を正にとり、円管の肉厚内部において微小厚み dr (=r～r+dr)をもつ薄肉の円筒を考えると、円筒内の温度勾配は dT/dr で表される。また、伝熱面積 A は座標 r によって変化し、円周 2πr と管長
L を乗じた A=2πrL で表される。したがって、薄肉円筒内の伝熱速度 Q [W]は次式で表される。
Qk (2 rL)dT
dr…(1.3.1)

上式を積分すると、単一円管の伝熱速度 Q [W]を得る。
Q
2 L

r2 d rr1krQln(r2 r1 )
2 L

T2
T1

dT

…(1.3.2)

k (T2 T1 )…(1.3.3)k

2 L(r2 r1 ) T1 T2
ln(r2 r1 )r2 r1…(1.3.4)Q k

2 L(r2 r1 )ΔTln(2 Lr2 2 Lr1 ) l…(1.3.5)

Q k

A2 A1 ΔTln ( A2 A1 ) l

2 r1 L, A2

Q

Q

kAlm

ΔT
l

Alm

A1

A2 A1
ln ( A2 A1 )2 r2 L…(1.3.6)…(1.3.7)

ただし、Alm は対数平均伝熱面積[m2]。
Q

ΔT
R

R

l
kAlm

…(1.3.8)

材質と厚みの異なる２種類の断熱材を円管に巻いた場合の材質ごとの温度差は、次式で表される。
管） T1 T2Q
k1 Alm,1 /l1…(1.3.9)（断熱材１） T2 T3Q
k2 Alm,2 /l2…(1.3.10)（断熱材２） T3 T4Q
k3 Alm,3 /l3…(1.3.11)（円

上式を辺々加えると、多層円管の伝熱速度 Q [W]を得る。
(T1 T2 ) (T2Q

T3 ) (T3 T4 ) Q

1

1

1

k1 Alm,1 l1

k2 Alm,2 l 2

k3 Alm,3 l 3

T1 T4
l1 (k1 Alm,1 ) l2 (k2 Alm,2 ) l3 (k3 Alm,3 )…(1.3.13)

3…(1.3.12)

反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

Q

ΔT
R

ΔT

l1
k1 Alm,1

T1 T4 , Rl2
k2 Alm,2

l3
k3 Alm,3…(1.3.14)

L

L
r+dr

r1

r2
r2

T+dT

T
dr

T1

r1
r3

T1
T2

Q
ℓ

r4

T2

T3

ℓ1 ℓ2 ℓ3

Q
T4

図 1.3.1 円管内の伝導伝熱(左)単一円管、(右)多層円管(２重巻き)

２．対流伝熱２．１ 熱伝達流 体 塊 の 移 動 と と も に 熱 が 輸 送 さ れ る 伝 熱 機 構 を 対 流 伝 熱 (heatconvection)という。たとえば、流体と固体壁の間に温度差があると、両者流が重要となる。流体－固体間での伝熱をとくに熱伝達という。流体本体側では、流体の混合が良好であり、熱が迅速かつ均一に伝わることから、（低温側固体壁）う。工業的には、撹拌などによって流体の移動を強制的に行わせる強制対T1（
高温側流体）の間で密度差が生じて、流体の移動が自然に起こる。これを自然対流といQ

定常条件下では温度分布は存在せず、温度一定とみなすことができる。一方、固体壁近傍では、流体の流れに乱れが無く、層流状態にあることから、

y2
+y

y1

伝導伝熱にしたがって熱が伝わる。対流伝熱抵抗のすべてを伝導伝熱の抵抗に集約した仮想的な領域を境膜(film)という。流体－固体間の実際の温度変化は曲線的だが、境膜の概念を用いると温度変化を近似的に直線で表せるため、取り扱いが容易になる。流体温度を T1 [K]で一定、固体壁温度を

液
本
体

境
膜

T2

固
体
壁

T2 [K]で一定とするとき(T1>T2)、境膜内の伝熱速度 Q [W]は、次式で表される。
Q

hA(T1 T2 )…(2.1.1)

ただし、h は境膜伝熱係数[W/(m2･K)]であり、伝導伝熱式の k/l に相当する。なお、材質厚み l に相当す

4

反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

る境膜厚み δ [m]が不明であることから、ここでは k/δ をひとまとめにして h と置いている。

２．２ 熱貫流
円管や円筒槽の内側と外側を温度の異なる流体が流れているとき、熱は固体壁の肉厚部分とその両側の境膜を通じて伝わる。このような伝熱機構を熱貫流あるいは熱通過という。熱交換器の伝熱管や撹拌槽のジャケットを介した熱交換操作で見られる。

r1

T1

ℓ

T2

T2
Ts2
Tw2
ℓ

T1

境 ス 固 ス 境
膜 ケ 体 ケ 膜
１ ｜ 壁 ｜ ２
ル
ル
１２
h1 hs1 kw hs2 h2
A1 As1 Aav As2 A2

r1

境 ス 固 ス 境
膜 ケ 体 ケ 膜
１ ｜ 壁 ｜ ２
ル
ル
１２
h1 hs1 kw hs2 h2
A1 As1 Aav As2 A2（高温流体）

（
高温流体）

Tw2
Ts2

r2

Q

Tw1
Ts1

（低温流体）

Ts1
Tw1

（
低温流体）

r2

Q

図 2.2.1 固体壁周りの温度分布
固体壁周りの各部位における温度差は、対流伝熱速度 Q [W]を用いて次のように表される(T1>T2)。
（境膜１）

T1 Ts1Q
h1 A1（スケール１）

Ts1 Tw1Q
hs1 As1（固体壁）

Tw1 Tw2（スケール２）

Tw2

Ts2

Q
hs2 As2

（境膜２）

Ts2

T2

Q
h2 A2

…(2.2.1)…(2.2.2)Q(kww ) Aav…(2.2.3)…(2.2.4)…(2.2.5)

ただし、h は境膜伝熱係数[W/(m2･K)]、hs は汚れ係数[W/(m2･K)]、kw は固体壁の熱伝導度[W/(m･K)]、ℓw
は固体壁の厚み[m]、A は伝熱面積[m2]、添え字 s はスケール、av と w は固体壁。
上式を辺々加えると、基準 1 の総括伝熱係数 U1 [W/(m2･K)]が導かれる。

5

反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

Q

Q

Q

Q

Q

T1 T2
1
h1 A1

1
hs1 As11
hs2 As2w

k w Aav…(2.2.6)

1
h2 A2

ΔT
1 A1
hs1 As1

1 1
A1 h1

w

kw

A1
Aav

1
hs2

A1
As2

1
hs2

1 A1
h2 A2

ΔT
1 1
A1 h1

1
hs1

A1
Aav

w

kw

A1 As1 1, A1 As2

ΔT
1 1
A1 h1

1
hs1

D1 L
Dav L

w

kw

1
hs2

1
h2

1
hs1

D1
Dav

w

kw

1
hs2

A

D1 L
D2 L

ΔT
1 1
A1 h1

[ΔT

1 A1
h2 A2

DL

T1 T2 ]

1…(2.2.7)…(2.2.8)…(2.2.9)…(2.2.10)

1 D1
h2 D2

…(2.2.11)Q

U 1 A1ΔT

1
U1

1
h1

1
hs1

kw

1
U

1
h1

1
hs1

kw

w

w

D1
Dav

1
hs2

1
hs2

1
h2

1 D1
h2 D2
U

Dav

U1 , D1 Dav

D1

D2…(2.2.12)1…(2.2.13)

2

1, D1 D2

同様にして、基準 2 の総括伝熱係数 U2 [W/(m2･K)]が導かれる。
Q

Q

Q

Q

Q

Q

T1 T2
1
h1 A1

1
hs1 As11
hs2 As2w

k w Aav1
h2 A2…(2.2.14)

ΔT
1 1
A2 h2

1
hs2

A2
As2

w

kw

A2
Aav

1 A2
hs1 As1

1
hs1

1 A2
h1 A1

ΔT
1 1
A2 h2

1
hs2

w

kw

A2
Aav

A2 As2

ΔT
1 1
A2 h2

1
hs2

D2 L
Dav L

w

kw

1
hs1

1
h1

ΔT
D2
Dav

1 1
A2 h2

1
hs2

U 2 A2 ΔT…(2.2.19)

w

kw

1
hs1

1 D2
h1 D1

[ΔT

1 A2
h1 A1

1, A2 As1 1

A

D2 L
D1 L

…(2.2.18)

6

T1 T2 ]

DL…(2.2.15)…(2.2.16)…(2.2.17)

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1
U2

1
h2

1
hs2

1
U

1
h1

1
hs1

w

kw
w

kw

D2
Dav
1
hs2

1 D2
h1 D1

1
hs1
1
h2

U

Dav

U 2 , D2 Dav

２．３

D1

D2

…(2.2.20)

1…(2.2.21)

2

1, D2 D1

境膜伝熱係数

境膜伝熱係数 h は、流動状態(u)、流体特性(ρ, μ, Cp, k)、伝熱面形状(D, L)などの影響を受ける。工学的には、これらの影響因子を無次元化した関係式を導いてこれを推算式の基本構造とし、式中のべき乗や比例定数などの定数項を実験によって求める。円管内対流伝熱の各推算式を見ると、式の基本構造はおおむね同じであり、定数項のみが異なっていることが分かる。式の基本構造は、次元解析を用いて導く。
伝熱係数(h)、流動状態(u)、流体特性(ρ, μ, Cp, k)、伝熱面形状(D, L)の関係は、次式で表される。
h＝KCpakbμcρdDeLfug …(2.3.1)
ただし、K は定数[－]、Cp は流体の比熱[J/(kg･K)]、k は熱伝導度[W/(m･K)]、μ は粘度[Pa･s]、ρ は流体の密度[kg/m3]、D は管径[m]、L は管長[m]、u は流速[m/s]。
与式の単位を M(質量)、L(長さ)、T(時間)、Θ(温度)の次元に置き換えると、次式となる。
h [W/(m2･K)]=[(J/s)/(m2･K)]=[{(N･m)/s}/(m2･K)]=[{(kg･m/s2)･m/s}/(m2･K)]=[kg･s－3･K－1]=[MT－3Θ－1]…(2.3.2)
Cpa [J/kg･K]=[N･m/(kg･K)]=[(kg･m/s2)･m/(kg･K)]=[m2･s－2･K－1]a=[L2T－2Θ－1]a…(2.3.3)

kb [W/(m･K)]=[(J/s)/(m･K)]=[{(N･m)/s}/(m･K)]=[{(kg･m/s2)･m/s}/(m･K)]=[kg･m･s－3･K－1]b=[MLT－3Θ－1]b…(2.3.4)
μc [Pa･s]=[(N/m2)･s]=[{(kg･m/s2)/m2}･s]=[kg･m－1･s－1]c=[ML－1T－1]c
ρd [kg･m－3]d=[ML－3]d
De [m]e=[L]e…(2.3.7)

Lf [m]f=[L]f…(2.3.8)…(2.3.5)…(2.3.6)

ug [m･s－1]g=[LT－1]g …(2.3.9)
質量(M)の項について両辺を比較すると、次式となる。
1=b＋c＋d …(2.3.10)
長さ(L)の項について両辺を比較すると、次式となる。
0=2a＋b－c－3d＋e＋f＋g …(2.3.11)
時間(T)の項について両辺を比較すると、次式となる。
－3=－2a－3b－c－g …(2.3.12)
温度(Θ)の項について両辺を比較すると、次式となる。
－1=－a－b …(2.3.13)
全因子数(a～f の 6 個)から数式の数(上の 4 式)を引いた因子数(6－4=2 個)を定数とみなして固定する。a, d,f を定数とみなすと、残りの b, c, e, g は、次式のように導かれる。
b は、温度(Θ)の式より導く。

7

反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

b=1－a …(2.3.14)
c は、質量(M)の式より導く。
c=1－b－d=1－(1－a)－d=a－d …(2.3.15)
g は、時間(T)の式より導く。
g=－2a－3b－c＋3=－2a－3(1－a)－(a－d)＋3=d …(2.3.16)
e は、長さ(L)の式より導く。
e=－2a－b+c+3d－f－g=－2a－(1－a)+(a－d)+3d－f－d=－1＋d－f …(2.3.17)
与式に代入して各項のべき乗を整理すると、次式のようになる。
h＝KCpak1－aμa－dρdD－1＋d－fLfuda a －a

－d d

Cp μ

Duρ
μ

…(2.3.18)

h＝K(Cp μ k )(μ ρ D u )(D L )(kD－1)

hD
k

K

Nu

KRe Pr

k

L
D

d d

－f f

L
D

…(2.3.19)…(2.3.20)…(2.3.21)

Nu はヌッセルト数であり、工学的には、①対流伝熱速度が伝導伝熱速度の何倍にあたるか(相対的な伝熱速度)、②代表長さ(管径、粒径、装置長)が温度境膜厚みの何倍にあたるか(相対的な代表長さ)、を表す。
対流伝熱速度
伝導伝熱速度

qconv
T T
k i
L

qconv LTi T k

hd L
k

代表長さ
温度境膜厚みL

hd L
k…(2.3.23)

h

L
k hd

Nu

Nu

…(2.3.22)

Pr はプラントル数であり、工学的には、①流体が保有する運動量の輸送能力は熱の輸送能力の何倍にあたるか、②速度境界層厚みは温度境界層厚みの何倍にあたるか、を表す。運動量の輸送能力は動粘度(動粘性係数)ν(=μ/ρ)[m2/s]、熱の輸送能力は熱拡散率 α(=k/ρCp)[m2/s]で表される。
運動量の輸送能力
熱の輸送能力

Cp
k

Cp

k

Pr

…(2.3.24)

運動量の輸送能力、すなわち動粘度 ν は、流体内部で発生する応力の伝わりやすさを表す。値が大きい
ほど遠くの静止流体をいち早く動かすことができる(運動量がいち早く拡散してゆき、遠くの流体にいち早く作用する)。粘度 μ は、発生する応力の大きさを表す。

２．４ 汚れ係数
伝熱操作を続けていると、溶液中の難水溶性成分である硫酸カルシウム、炭酸カルシウム、水酸化マ
グネシウム等が伝熱面上に析出し、伝熱効率が低下する。この異常現象をスケーリングという。装置の運転を定期的に停止して、物理的に削り落とすか、酸や有機溶媒でスケールを洗浄する。スケール部位の伝熱係数や関係式についてはよく分かっていない。実測値、または経験的な値を用いる。

8

反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

３．円管内流れの伝熱
３．１

相変化が起こらない場合

相変化が起こらない場合の境膜伝熱係数 h [W/(m2･K)]の推算式は、流動状態によって場合分けされる。
(ア)乱流の場合(Re>10000)は、Sieder-Tate(シーダー･テート)の式を用いる。[文献 1]
hD
k

0.023

0.8

DG

1/3

Cp

0.14

…(3.1.1)kw

ただし、Cp は比熱容量[J/(kg･K)]、D は管径[m]、G は質量流束[kg/(m2･s)](=ρu)、k は熱伝導度[W/(m･K)]、
μ は粘度[Pa･s]、μw は壁面温度における粘度[Pa･s]。それ以外の各物性値は、境膜温度に対応した値を用いる。なお、Sieder-Tate 式の指数 0.023 は原報[文献 1]では 0.027 であったが、その後 0.023 に修正された。
(イ)層流の場合(Re<2100)は、Sieder-Tate の修正式を用いる。
hD
k

1.86

DG

1/3

Cp

1/3

k

D
L

0.14

1/3

…(3.1.2)w

層流の場合は、円管形状(管径 D と管長 L)の影響が大きくなる。
(ウ)遷移流の場合(2100<Re<10000)は、Hausen(ハウゼン)の式を用いる。[文献 2]
hD
k

0.116

DG

2/3

125

Cp
k

1/3

1

D
L

0.14

2/3

…(3.1.3)w

9反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

2/3

0 0
0
60 12 18 24
D= /D= /D= /D=
L/
L L
L

(h/CpG)(Cp /k) ( w / )

0.14

0.01

0.001
103

104

105

DG/
図 3.1.1 円管内流れの伝熱係数に関する相関図

３．２ 相変化が起こる場合
相変化を伴う伝熱現象の例として、過熱飽和水蒸気(スチーム)の凝縮伝熱がある。熱媒としてのスチームの熱的価値は、

膜状凝縮

スチーム自身の温度ではなく、スチームが凝縮する際に発生する蒸発潜熱にある。たとえば、130℃のスチームが 30℃分の顕熱を低温流体に与えて自身は 100℃のスチームになったとして滴状凝縮も、さほどたいした熱を与えていない。100℃のスチームが100℃の水になる場合に与える潜熱の方がはるかに大きく、熱的価値は高い。
凝縮伝熱機構には、壁面が凝縮液膜で覆われて流下する膜状凝縮と、壁面に多数発生した液滴が流下する滴状凝縮がある。ここでは、膜状凝縮伝熱に基づくものとする。凝縮液膜のレイノルズ数 Ref は、次式で表される。
Ref

D (Wcl /Aw )(4 Aw /lw )(Wcl /Aw )4Wcl /lw

cl

cl

cl

4

…(3.2.1)
cl

ただし、Aw はぬれ面積[m2]、D は管径[m]、lw はぬれ辺長[m]、Wcl は凝縮量[kg/s]、Γ(ガンマ)はぬれ辺長あたりの凝縮量[kg/(m･s)]、μcl は凝縮温度における凝縮液の粘度[Pa･s]。
垂直管と水平管の別、管内凝縮と管外凝縮の別で推算式が異なる。

10

反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

cl (

1/3

2
cl
cl (

cl

cl (

1.51

v )g

1.88

v )g

cl

cl

0.0077

v )g

cl

0.4

4
cl

1/ 3

4

1/3

4

1/3

2
cl

（垂直管(管内及び管外凝縮); Re>2100） hk cl（水平管(管内凝縮)） h
k cl

1/3

2
cl

（垂直管(管内及び管外凝縮); Re<2100） h
k cl

Wcl
L

cl

Wcl
DN T
Wcl
DN T

…(3.2.2)…(3.2.3)…(3.2.4)

ただし、水平管が上下に NR 段配列されている場合は、h に NR－1/4 を乗じる。
多管式熱交換器のように段の集合が複数存在する場合は、中央段に配列されている本数の３分の２を NR にとる。[文献 3]
ただし、g は重力加速度[m/s2]、h は凝縮伝熱係数[W/(m2･K)]、NR はある段に配列されている伝熱管の本
数[－]、NT は伝熱管の全本数[－]、kcl と ρcl は凝縮温度における凝縮液の熱伝導度[W/(m･K)]と密度[kg/m3]、
ρv は凝縮温度における蒸気密度[kg/m3]。各推算式の左辺を凝縮数という。なお、垂直管式の係数 1.88 について、Nusselt(ヌッセルト)の理論式では 1.47 であり、実用的には 1.28 倍した 1.88 を用いる[文献 4]。
飽和水蒸気の凝縮温度は、飽和水蒸気圧と水の蒸気圧曲線との交点より読み取る。

４．二重円管内流れの伝熱
４．１

伝熱量

向流式二重円管の内側を高温流体が流れ、外側を低温流体が流れている。高温側流体が失う伝熱量と低温側流体が得る伝熱量 Q [J/s]は、それぞれ次式で表される。
（高温流体側） Q CphWh (Th1 Th2 )…(4.1.1)（低温流体側） Q CpcWc (Tc1 Tc2 )…(4.1.2)

ただし、Cp は平均比熱容量[J/(kg･K)]、T は温度、W は質量流量[kg/s]、添え字 c は低温側流体、h は高温
側流体、1 は左端、2 は右端。

低温流体側出口(Tc1)

高温流体側
入口(Th1)

2(L=L)Tc

Tc+dTcTh

Th+dThdL
1(L=0)

低温流体側入口(Tc2)

図 4.1.1 向流式二重円管内流れの例(熱交換器)

11

高温流体側
出口(Th2)

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４．２

伝熱面積

向流式二重円管内の任意の微小区間 dL において、高温側流体から低温側流体へ移動する微小伝熱量 dQ[J/s]は、次式で表される。
（高温流体側） dQ CphWh [Th(ThdTh )]（低温流体側） dQ CpcWc [Tc (Tc dTc )]…(4.2.1)

CphWh dTh
CpcWc dTc…(4.2.2)

微小温度変化 dTh および dTc は、それ自身、負の値であることから、いずれの dQ も正となる。
上式を微小温度変化について整理する。
dTh

dQ
CphWh

…(4.2.3)

dTc

dQ
CpcWc

…(4.2.4)

両者の差をとる
dTh

dTc

dQ
CphWh

dQ
CpcWc

…(4.2.5)

d(Th

Tc )

1
CphWh

1
dQ
CpcWc

…(4.2.6)dQd(Th Tc )1
1
CphWh CpcWc…(4.2.7)

対流伝熱速度 Q を代入する。
UdA(Th Tc )d(Th Tc )Th Tcd(Th Tc )1
1
CphWh CpcWc
1
CphWh…(4.2.8)

1
UdA
CpcWc

…(4.2.9)

二重円管の全長にわたって積分する。
Th2 Tc2 d(ThTh1 Tc1ThTT
ln h2 c2
Th1 Tc1

Tc )
Tc

1
CphWh

1
CphWh

A
1
U dA
0
CpcWc

1
UA
CpcWc

…(4.2.10)…(4.2.11)

熱収支の式を用いると、二重円管の所要伝熱面積 A [m2]と二重円管の長さ L [m]が導かれる。

12

反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

ln

Th1 Tc1
Th2 Tc2

Th1 Th2Q

Tc1 Tc2
UA
Q

Q UA(Th1 Tc1 ) (Th2 Tc2 )ln[(Th1 Tc1 ) (Th2 Tc2 )]Q UA

ΔT1 ΔT2ln( ΔT1 ΔT2 )

A

Q
UΔTlm

ΔTlm

L

A
Dav

Dav =

CphWh

ΔT1 ΔT2
ln(ΔT1 ΔT2 )D2
2

Q (Tc1 Tc2 )…(4.2.12)…(4.2.13)

ΔT1 Th1 Tc1 , ΔT2

D1

Q (Th1 Th2 ), CpcWc…(4.2.14)

Th2 Tc2…(4.2.15)…(4.2.16)

ただし、D1 は内側の円管径[m]、Do は外側の円管径[m]、 Tlm は対数平均温度差[K]。
境膜伝熱係数の推算には、円管内伝熱の式を用いる。なお、外管側の流路形状は円管ではないことから、流動と同じように相当直径 Deq [m]に換算して計算する。伝熱基準の場合は、流動基準におけるぬれ辺長
lw を伝熱辺長 lh [m]に置き換える。
Deq

4Aw
lh

…(4.2.17)

環状流路における相当直径 Deq は、次式で表される。
(流動基準)(伝熱基準)

Deq

4 Aw
lw

4 [( D2 2)2 ( D1 2)2 ]
2 ( D2 2 D1 2)
2

Deq

4 Aw
lh

2

4 [( D2 2) ( D1 2) ]2 ( D1 2)

D22
D2

D2

D12
D1
2

D12
D1

D2

D1

…(4.2.18)
D1…(4.2.19)

D2

ただし、添え字 1 は内側円管、2 は外側円管。
外管側の伝熱計算に用いる相当直径について、伝熱基準ではなく流動基準の値を採用している成書も多い。いずれの相当直径を採用すればよいかについてはとくに決まりはないが、伝熱基準の場合において境膜伝熱係数の推算値が小さくなることから伝熱面積が大きくとれ、設計上の余裕を見込めるので安全である。[文献 5-7]

参考文献
[1] E.N. Sieder and G.E. Tate; Ind. Eng. Chem., 28, 1429-1436(1936)[2] H. Hausen; Verfahrenstecknik, Beih. Z. Ver. Deut. Ing. 4 (1943) p.91
[3] G. Towler, R. Sinnott; Chemical Engineering Design 2nd Ed., Butterworth-Heinemann (2012), Chapter 19
Heat-transfer equipment[4] 尾花英朗; 熱交換器設計ハンドブック, 工学図書(1974), 8 章 凝縮伝熱
[5] 熱交換器ハンドブック編集委員会編; 熱交換器ハンドブック, 日刊工業新聞社(1965), p.203[6] 化学工学協会編; 化学工学便覧 改訂四版, 丸善(1978), p.278[7] 水科篤郎, 桐栄良三編; 化学工学概論, 産業図書(1979), p.6113

反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

問

題

水の物性値：密度 1000 kg/m3、粘度 0.001 Pa･s、平均比熱容量 4200 J/(kg･K)、熱伝導度 0.58 W/(m･K)
重力加速度：9.81 m/s2
(1) 1B 鋼管内を飽和水蒸気(スチーム)が流れている。管壁の内側温度が 120℃、外側温度が 100℃のとき、管長 1 m あたりの熱損失量[W]を求めよ。ただし、鋼管の熱伝導度を 40 W/(m･℃)とする。
(2) 90A 鋼管(熱伝導度 46.5 W/(m･K))に２種類の断熱材を巻いている。断熱材の種類は、鋼管に近い側から順に、マグネシア材(厚さ 50 mm、熱伝導度 0.058 W/(m･K))、コルク材(厚さ 80 mm、熱伝導度 0.043
W/(m･K))である。鋼管の内面温度が 120℃、コルク材の外面温度が 35℃のとき、①管長 1 m あたりの熱損失量[W]、②鋼管とマグネシア材の接触温度[℃]、③マグネシア材とコルク材の接触温度[℃]、をそれぞれ求めよ。
(3) 単一の 1B 垂直鋼管(管長 2.4 m)に水を 1080 kg/h で流し、鋼管の外側からスチームで管内の水を加熱している。鋼管内側の境膜伝熱係数[W/(m2･K)]を求めよ。壁面温度に対する粘度の影響は無視できるものとする。管径は、内径と外径の算術平均を用いること。
(4) 前問において、鋼管外側のスチームは 0.020 kg/s で流れており、外壁表面で膜状凝縮している。鋼管
外側の境膜伝熱係数[W/(m2･K)]を求めよ。鋼管の外壁を覆う凝縮水の密度は 934 kg/m3、粘度は 0.215
mPa･s、熱伝導度は 0.58 W/(m･K)、スチーム密度は 1.50 kg/m3 である。
(5) 前問において、総括伝熱係数[W/(m2･K)]を求めよ。ただし、鋼管の熱伝導度は 20 W/(m･K)、鋼管内側の汚れ係数は 5000 W/(m2･K)、鋼管外側の汚れ係数は 10000 W/(m2･K)である。なお、管径比は 1に近似する。
(6) 二重円管の内管に 75℃の温水を毎時 9 m3 で流し、外管に 5℃の冷水を毎時 12 m3 で流して、温水を50℃まで向流冷却する。このとき、①流体間で熱交換される伝熱量[kJ/s]、②冷水の出口温度[℃]、をそれぞれ求めよ。壁面温度に対する粘度の影響は無視できるものとする。管径は、内径と外径の算術平均を用いること。
(7) 前問において、内管を 80A 鋼管、外管を 90A 鋼管とするとき、①内管側の境膜伝熱係数[W/(m2･K)]、②外管側の境膜伝熱係数[W/(m2･K)]、③総括伝熱係数[W/(m2･K)]を求めよ。ただし、鋼管の熱伝導度
は 20 W/(m･K)、内管側と外管側の汚れ係数は 5000 W/(m2･K)である。なお、管径比を 1 に近似する。
(8) 前問において、①対数平均温度差[K]、②所要伝熱面積[m2]、③所要管長[m]を求めよ。
答(1)24.1 kW,(2)①21.0 W,②120℃,③80.4℃,(3)1578 W/(m2･K),(4)6910 W/(m2･K),(5)807 W/(m2･K),(6)①262
kJ/s,②23.8℃,(7)①1387 W/(m2･K),②5522 W/(m2･K),③661 W/(m2･K),(8)①48.0 K,②8.26 m2,③28.8 m[参考]数値の丸め方(ア)切り捨てと切り上げの値を比較してより近い値を採用する。
12.313 → (切り捨て)12.31／ (切り上げ)12.32 →(採用)12.31(イ)(ア)で差が等しい場合は、偶数値を採用する。
12.305 → (切り捨て)12.30／ (切り上げ)12.31 →14(採用)12.30

反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

単位換算
1 in（インチ）=2.54 cm
1 ft（フィート）=12 in=0.3048 m
1 lb（ポンド）=0.4536 kg
1 gal（ガロン）=0.004546 m3
1 lb/ft3（ポンド毎立方フィート）=16.02 kg/m3
1 cP（センチポアズ）=0.0006720 lb/(ft･s)=0.001 Pa･s
1 dyn/cm（ダイン毎センチ）=1 mN/m ※表面張力の単位。dyn は、力の単位。
付表 配管用炭素鋼鋼管(JIS G3452)
呼び径
A
6
8
10
15
20
25
32
40
50
65
80
90
100

外径
[mm]
10.5
13.8
17.3
21.7
27.2
34.0
42.7
48.6
60.5
76.3
89.1
101.6
114.3

B
1/8
1/4
3/8
1/2
3/4
1
1 1/4
1 1/2
2
2 1/2
3
3 1/2
4

15

厚さ
[mm]
2.0
2.3
2.3
2.8
2.8
3.2
3.5
3.5
3.8
4.2
4.2
4.2
4.5

反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

解答(1)1B 鋼管の(内径 D1)=(外径 D2)－(厚み l)×2=(34.0)－(3.2)(2) = 27.6 mm
Q=k[(A2-A1)/ln(A2/A1)](T1-T2)/l=k[(πD2L-πD1L)/ln(πD2L/πD1L)](T1-T2)/l=k[π(D2-D1)L/ln(D2/D1)](T1-T2)/l
Q=(40)[(π)(0.0340-0.0276)(1)/ln(0.0340/0.0276)](120-100)/0.0032=24103 W=24.1 kW(2)①90A 鋼管の(内径 D1)=(外径 D2)－(厚み l1)×2=(101.6)－(4.2)(2) =93.2 mm(Alm)1=(A2-A1)/ln(A2/A1)=π(D2-D1)L/ln(D2/D1)=(π)(0.1016-0.0932)(1)/ln(0.1016/0.0932)=0.3058 m2
マグネシア材の(外径 D3)=0.1016+(0.050)(2)=0.2016 m(Alm)2=(A3-A2)/ln(A3/A2)=π(D3-D2)L/ln(D3/D2)=(π)[0.2016-(0.1016)(1)]/ln(0.2016/0.1016)=0.4585 m2
コルク材の(外径 D4)=0.2016+(0.080)(2)=0.3616 m(Alm)3=(A4-A3)/ln(A4/A3)=π(D4-D3)L/ln(D4/D3)=(π)[0.3616-(0.2016)(1)]/ln(0.3616/0.2016)=0.8603 m2
Q=(T1-T4)/[{l1/k1(Alm)1}+{l2/k2(Alm)2}+{l3/k3(Alm)3}]
Q=(120-35)/[{0.0042/(46.5)(0.3058)}+{0.050/(0.058)(0.4585)}+{0.080/(0.043)(0.8603)}]=21.0 W②マグネシア材とコルク材の式を辺々加えると Q=(T2-T4)/[{l2/k2(Alm)2}+{l3/k3(Alm)3}]
T2=T4+Q[{l2/k2(Alm)2}+{l3/k3(Alm)3}]=35+(21.0)[{0.050/(0.058)(0.4585)}+{0.080/(0.043)(0.8603)}]=120℃③コルク材の式を変形すると T3=T4+Q{l3/k3(Alm)3}=35+(21.0){0.080/(0.043)(0.8603)}=80.4℃(3)25A 鋼管の(内径 Di)=(外径 Do)－(厚み l)×2=(34.0)－(3.2)(2) = 27.6 mm
代表管径 D=(Di+Do)/2=(27.6+34.0)/2=30.8 mm
G=w/[(π/4)D2]=(1080/3600)/[(π/4)(0.0308)2]=402.65 kg/(m2･s)
Re=DG/μ=(0.0308)(402.65)/0.001=12401(乱流)Pr=Cpμ/k=(4200)(0.001)/(0.58)=7.2413
Nu=0.023Re0.8Pr1/3μ/μw0.14=(0.023)(12401)0.8(7.2413)1/3(1)0.14=83.771
hi=(Nu)(k/D)=(83.771)(0.58/0.0308)=1577.5 W/(m2･K)≒1578 W/(m2･K)(4)Γ=Wcl/(πDN)=(0.020)/[(π)(0.0308)(1)]=0.20669 kg/(m･s)Re=4Γ/μcl=(4)(0.20669)/(0.000215)=3845.3(乱流)ho=0.0077Re0.4[μcl2/(kcl3ρcl(ρcl－ρv)g)]－1/3=(0.0077)(3845.3)0.4[(0.000215)2/{(0.58)3(934)(934－1.5)(9.81)}]－1/3
ho=6910.1 W/(m2･K)≒6910 W/(m2･K)(5)U=1/[(1/hi)+(1/his)+(l/k)+(1/hso)+(1/ho)]=1/[(1/1577.5)+(1/5000)+(0.0032/20)+(1/10000)+(1/6910.1)]
U=807.34 W/(m2･K)=807 W/(m2･K)(6)①Wh=ρhQh=(1000)kg/m3(9/3600)m3/s=2.5 kg/s
Q=CphWh(Th1－Th2)=(4200)J/(kg･K)(2.5)kg/s[(273.15+75)－(273.15+50)]K=262500 J/s≒262 kJ/s
②Wc=ρcQc=(1000)kg/m3(12/3600)m3/s=3.3333 kg/s
Tc1=Q/(CpcWc)+Tc2=262500/[(4200)(3.3333)]+5=23.750℃≒23.8℃(7)①80A 鋼管の(内径 Di)=(外径 Do)－(厚み l)×2=(89.1)－(4.2)(2)=80.7 mm
80A 鋼管の代表管径 D80=(Di+Do)/2=(80.7+89.1)/2=84.9 mm
80A 鋼管の断面積 S=π(D80/2)2=π(0.0849/2)2=5.6611×10－3 m2
平均流速 ū=Qh/S=(9/3600)m3/s/(5.6611×10－3)=0.44161 m/s
Re=D80ūρ/μ=(0.0849)(0.44161)(1000)/0.001=37492(乱流)16反応装置工学「円管内伝熱」(新潟大・三上貴司) 令和３年１２月２１日改訂版

Pr=Cpμ/k=(4200)(0.001)/(0.58)=7.2413
Nu=0.023Re0.8Pr1/3μ/μw0.14=(0.023)(37492)0.8(7.2413)1/3(1)0.14=202.99
h2=(Nu)(k/D80)=(202.99)(0.58/0.0849)=1386.7 W/(m2･K)≒1387 W/(m2･K)②80A 鋼管の代表管径 D80=84.9 mm
90A 鋼管の(内径 Di)=(外径 Do)－(厚み l)×2=(101.6)－(4.2)(2)=93.2 mm
90A 鋼管の代表管径 D90=(Di+Do)/2=(93.2+101.6)/2=97.4 mm
流路断面積 Aw=π[(D90/2)2－(D80/2)2]=π[(0.0974/2)2－(0.0849/2)2}=1.7897×10－3 m2
平均流速 ū=Qc/A=(12/3600)m3/s/(1.7897×10－3)m2=1.8625 m/s
伝熱基準の相当直径 Deq=4Aw/lh=4π[(D90/2)2－(D80/2)2]/(πD80)=(D902－D802)/D80=[(97.4)2－(84.9)2]/84.9
Deq=26.840 mm
Re=Deqūρ/μ=(0.026840)(1.8625)(1000)/(0.001)=49989(乱流)Pr=Cpμ/k=(4200)(0.001)/(0.58)=7.2413
Nu=0.023Re0.8Pr1/3μ/μw0.14=(0.023)(49989)0.8(7.2413)1/3(1)0.14=255.52
h1=(Nu)(k/Deq)=(255.52)(0.58/0.026840)=5521.6 W/(m2･K)≒5522 W/(m2･K)③U=1/(1/h1+1/hs1+lw/kw+1/hs2+1/h2)=1/[(1/5521.6)+(1/5000)+(0.0042/20)+(1/5000)+(1/1386.7)]
U=661.26 W/(m2･K)≒661 W/(m2･K)(8)① T1=Th1－Tc1=(273.15+75)－(273.15+23.750)=51.25 K
T2=Th2－Tc2=(273.15+50)－(273.15+5)=45 K
Tlm=( T1－ T2)/ln( T1/ T2)=(51.25－45)/ln(51.25/45)=48.057 K≒48.0 K②A=Q/(U Tlm)=262500/[(661.26)(48.057)]=8.2603 m2≒8.26 m2③Dav=(D80+D90)/2=(84.9+97.4)/2=91.15 mm
L=A/(πDav)=8.2603/(0.09115π)=28.846 m≒28.8 m

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