I-1 (力学：拘束系) (100 点)
図のように鉛直に固定された半径 a の滑らかな円周の内側を運動する質量 m の質点を考える。ここで重力加速度を g とする。ただし、図に描かれている (x, y) 座標
は、円の中心を原点とし、y は鉛直上向きに、x は y と直交するようにとってある。

y

x

θ

(1) 極座標 (r, θ) を
x = r sin θ,

y = −r cos θとして、(r, θ) 座標でラグランジアンを書け。ここで、拘束条件 r = a を考慮し、ラグランジアンに λ(a − r) を加えよ。ただし、λ は、ラグランジュの未定乗数である。

(2) (a) (r, θ) に関するオイラー · ラグランジュの運動方程式を書け。また、この運動方程式において λ に比例する項は、どのような力を表すか簡単に述べよ。
(b) λ を一般座標とみなし、オイラー · ラグランジュ方程式を書け。
(3) この質点が円周上を運動し、θ3 が θ に比べて無視できる場合の θ に関する運動方程式を書き、それを解け。ただし、t = 0 で θ = θ0 , θ̇ = 0 となる初期値を与えたとする。ここで、θ̇ = dθである。
dt(4) (3) のような近似が有効でない場合を考える。t = 0 で θ = π/2 の円周上で初速度ゼロ（θ̇ = 0）でこの質点を滑り落す。このときの周期 T を求めよ。た∫ π/2
だし、定積分 F ≡ 0 dθ(cos θ)−1/2 を使って T を表せ。
（この定積分を実行する必要はない。）(次ページに続く)2√(5) t = 0 で、θ = 0 の点で速さ aθ̇ = 2 ag で、円周上を滑らせる。
(a) 角度 θ の点での λ を求めよ。
(b) この質点が円周上を離れる cos θ の値を求めよ。

3

I-2 (電磁気学：磁性体) (100 点)
真空の透磁率を µ0 とし以下の問いに答えよ。
真空中に半径 R の球形の磁性体があり，一様な磁化 M をもっている。ここで磁化 M は B = µ0 (H + M ) を満たすように定義されているとする。磁化に平行にz 軸をとる。外部磁場はなく，定常であり電流も流れていないとする。

(1) 球の内部の磁場 Hin ，磁束密度 Bin と外部の磁場 Hout ，磁束密度 Bout は一般に球の表面で連続にはつながらない。球の表面における磁場と磁束密度の接続の条件を示せ。ただし，球の表面上の各点での単位法線ベクトルを n とし，単位接線ベクトルを t とする。
(2) 球の内部および外部それぞれについて H がスカラーポテンシャル φ を用いて表わせることを示せ。また，φ が Laplace 方程式を満たすことを示せ。
(3) 全空間で磁場 H と磁束密度 B を求めよう。z 軸対称な系の Laplace 方程式の極座標での一般解は，an , bn を定数として，
φ=

∞ (
∑

n

an r +n=0となる。ここでPn (x) =

bn
rn+1

)
Pn (cos θ)

1 dn 2(x − 1)n
2n n! dxn

は Legendre の多項式である。
球の表面で (1) で求めた接続条件を適用して全空間で磁場 H と磁束密度 Bを求めよ。

(4) この磁性体において
µ0
−
2

∫

µ0
H · M dV =
2
球の内部

∫
H 2 dV
全空間となることを示せ。
この等式は磁性体を磁化させるのに必要なエネルギーは，仮想的に球の表面に誘起される磁荷の作る磁場のエネルギーに等しいことを示している。

4

I-3 (量子力学：調和振動子) (100 点)
一次元調和振動子のハミルトニアンは

H=

1 2 1
p + mω 2 x2
2m
2

(A)

で与えられる。ここで、x は座標演算子、p は運動量演算子を表し、ω は角振動数、m は粒子の質量である。系は量子力学に従うものとする。
エネルギー固有状態（定常状態）は、

H |ψn ⟩ = En |ψn ⟩(B)を満たす解である。ただし、|ψn ⟩ および En は n 番目 (n = 0, 1, 2, · · ·) のエネルギー固有状
態および固有エネルギーである。

(1) 以下の消滅演算子 a と生成演算子 a† を定義する。
√

a=

mω
1
(x + i
p)
2h̄
mω

(C)

√

mω
1
(x − i
p)
(D)
2h̄
mω
交換関係 [x, p] = ih̄ より、a,a† の交換関係は [a, a† ] = 1 である。このとき、ハミルト
ニアンは
1
H = h̄ω(a† a + )(E)2と表せることを示せ。
†

a =(2) 演算子 N ≡ a† a は粒子数演算子と呼ばれ、エネルギー固有状態は N の固有状態として表すことができる。基底状態 |ψ0 ⟩ は a|ψ0 ⟩ = 0 を満たす解である。ここで |ψ0 ⟩ は⟨ψ0 |ψ0 ⟩ = 1 に規格化されているとする。このとき、n 番目の固有状態 |ψn ⟩ は1|ψn ⟩ = √ (a† )n |ψ0 ⟩n!

(F)と表せることを数学的帰納法を用いて示し、その固有エネルギー En を求めよ。また、
この |ψn ⟩ は規格化条件 ⟨ψn |ψn ⟩ = 1 を満たすことを示せ。

(3) ⟨ψk |x|ψl ⟩ および ⟨ψk |p|ψl ⟩ を求めよ。
(次ページに続く)

6

次に、基底状態を x 軸方向に微小距離移動させた状態について、その時間発展を考える。
運動量演算子 p が微小並進の生成子であることから、x 軸に沿って微小距離 ϵ だけ移動させた状態は
1(1 − i ϵp) |ψ0 ⟩(G)h̄のように表せる。時刻 t = 0 のときに式 (G) の状態にあったとし、この系の時間発展 |ψ(t)⟩を考える。

(4) t = 0 での状態 |ψ(t = 0)⟩ を |ψn ⟩ で展開し、|ψ(t = 0)⟩ =∑Cn |ψn ⟩(H)nと表した時の係数 Cn を求めよ。

(5) 状態 |ψ(t)⟩ について、x の期待値 ⟨x⟩ = ⟨ψ(t)|x|ψ(t)⟩ および p の期待値 ⟨p⟩ = ⟨ψ(t)|p|ψ(t)⟩En
を求めよ。ただし、エネルギー固有状態 |ψn ⟩ の時間発展は |ψn (t)⟩ = e−i h̄ t |ψn ⟩ と表せる。
また、X ≡ ⟨x⟩, Y ≡ ⟨p⟩ としたとき、点 (X, Y ) の軌跡を X-Y 平面上で図示し、t = 0
での点の位置を示し、その移動方向を矢印で表せ。

7

II-1 (統計力学：混合のエントロピー) (100 点)(1) 混合のエントロピー（混合前と後のエントロピー変化）を熱力学的に求めよう。２種類の理想気体 α, β があり、それぞれの分子が体積 Vα , Vβ の中に Nα個、Nβ 個ずつあるとする。また、温度と圧力は等しいものとし、N = Nα +Nβとおく。更に分子 α, β の間に相互作用はないものとする。
(a) 気体 α が体積 Vα から等温のまま膨張して体積が Vα + Vβ になった時のエントロピー増を求めよ。ただし Boltzmann 定数を k 、温度を T とする。
(b) 体積が Vα + Vβ である気体 α, β を半透膜を通してそれぞれ体積一定のまま準静的に混合したとする。図１はこれを図示したもので、それぞれ
体積 Vα + Vβ の箱に入った気体 α, β を C − D, A0 − B0 に張った半透膜を通しながら混合し、最終的に全体の体積が Vα + Vβ になったことを表している。また半透膜 C − D は気体 β のみを、半透膜 A0 − B0 は気体 α のみを通すものとする。この過程でエントロピーがどのように変化するか
答えよ。
A

B

A'

C

B'

D

C'

D'

図1

(次ページに続く)

2

(c) 気体 α の全体に対する混合比を φ(= NNα ) と置いたときの混合のエント
ロピーが∆S = −N k[φ log φ + (1 − φ) log (1 − φ)](A)と書けることを示せ。

(2) 次に混合のエントロピーを、統計力学的に求めてみよう。分子の総数を N とし、α 分子、β 分子の数をそれぞれ Nα 、Nβ とする。系全体を N 個の格子点で表し、各格子点に 1 個ずつ分子を置くものとする。系を左右に分割し、左側の Nα 個の格子点に分子 α を、右側の Nβ 個の格子点に分子 β を置くものとすると、この時の配置は 1 通りしかない。
(a) N 個の格子点にランダムに分子 α, β を配置したとする。この時の状態数とエントロピーを求めよ。
(b) 完全に２つに分かれている状態との差から、混合のエントロピーが式(A) と同じ形に書けることを示せ。ただし Stirling の公式
log x! ≈ x(log x − 1)

(B)

を用いよ。

(3) 分子 α、分子 β を格子点上に配置したとき、最隣接点間のみに相互作用が働くものとする。α − α 間相互作用を ²αα 、β − β 間相互作用を ²ββ 、α − β 間相互作用を ²αβ と書き、また最隣接格子点の数が z だとする。このとき系が一様に混合したとして、混合前と後の内部エネルギー差が∆U = N χφ(1 − φ)kT(C)の形に書けることを示せ。またこの時の χ の表式を求めよ。

(4) 混合の自由エネルギー ∆F を φ, χ, T で書き表せ。また χ を変化させたときの ∆F の φ 依存性の概略を図示し、一様な混合状態が不安定になる χ の値を求めよ。

3

ÁÁ¹¾ 物理数学：ブラウン運動

 点

単位時間に１回ずつ，左右ランダムに単位ステップで移動する粒子を考える．１
単位時間に右向きに進む確率を   ，左向きに進む確率を  とする．
  単位時間が経過する間に，右向きに  ステップ（左向きに  ステップ）
進む確率  を与えよ．規格化条件    を満たすことも確認せよ．
    なら    で上記確率分布はガウス分布に漸近する．これを以  
下の手順で調べよう．まずスターリングの公式     を用い，
 を     に置き換えることにより，上記確率は   を使って
 Ø·Ü
¾





 

と表すことができる．この  も  も共に



と


 

 ¾  ¾
Ø



Ü

を求めよ．



Ü



ÚÜ

¾

 の微小量とすれば，例えば   ¾と近似できる．このような近似を用いることによって，時刻  に粒子が位置  から    の間にいる確率分布    を求める．   の基本ステップ幅が  であることに注意を払って    と表すことができる．この  を求めよ．
 このようなブラウン粒子が，時刻    に位置    から運動を開始して位置    を初めて通過する時刻（初期通過時刻）が     の区間内にある確率   を以下の方法で求めよ．
x
θ
0

t’

0

t

時刻  に位置    に到着するには，必ず  は一度は通過するから         が成り立つ．この関係にラプラス変換   を施すことによって初期
通過時刻の分布   を求めることができる．ここで，











 








 










 

 







の関係を使うとよい．















 





 











II-3 (力学：減衰振動) (100 点)
1 本のバネでつないだ おもり の運動を考える。バネの一端を固定し他端に おもり をつけ（バネ振り子）、液体で満たされた箱の床面に置く。バネ定数を k 、液体の粘性係数を η とする。おもり の質量を m とし、平衡点からの位置を x ととる。以下では、バネの質量と抵抗は無視でき、床は水平で滑らかであるとする。

おもり が液体から受ける粘性力は粘性係数と おもり の速度に比例し、−Aη dxのように書dt
ける。このとき、おもり の運動方程式は、

m

d2 x
dx
= −kx − Aη
2
dt
dt

(A)

となる。x = Cegt とおいたとき、上述の運動方程式は以下の代数方程式に変換できる。

g 2 + 2αg + ω02 = 0Aη
ただし、α = 2m
および ω0 =

√

(B)

k
である。
m

(1) 初期条件として t = 0 で x = 0, dx= v0 とする。α > ω0 および α < ω0 の場合のそれ
dt
ぞれについて x(t) を求めよ。x(t) は実数のパラメータと変数のみで記述すること。
(2) 同じ初期条件で、α < ω0 の解で α → ω0 の極限をとることによって、α = ω0 の場合の x(t) を求めよ。
次に、上述と同じバネ振り子を二つ用意し、バネ定数 k1 のバネで連結して液体中 (粘性係
数 η ）の床面に置いた場合の２個の おもり の運動を考える。バネの両端は自然長の状態で固定してあり、平衡点からの おもり の位置を図のように x1 ,x2 ととる。

(3) おもり 1,2 の運動方程式を書け。
(次ページに続く)

6

(4) x1 ,x2 の線形結合 q1 ,q2 を考える。q1 ,q2 の方程式が以下のとおり独立になるように適当な線形結合を選び、以下の式の ω1 ,ω2 を求めよ。
d 2 q1dq1+ 2α+ ω12 q1 = 0
2dt
dt
d 2 q2dq2+ 2α+ ω22 q2 = 0
2
dt
dt

(C)
(D)

1
2
(5) 初期条件として、t = 0 で x1 = x2 = 0, dx= v0 , dx= 0 とする。粘性係数 η = 0 のとdt
dt
き、おもり 1,2 の運動にはうなり現象が生じる。η を次第に大きくしたとき、ある臨
界の粘性係数 ηc でうなり現象は消える。ηc を求め、そのときの x1 (t), x2 (t) を求めよ。

ここでは、「うなり」とは異なる周波数の振動が重なり、振幅が周期的に変動する現象を呼び、
e−γt [B1 sin (Ω1 t + b1 ) + B2 sin (Ω2 t + b2 )](E)の形式で表せることとする。（ここで t 以外の変数は時間に依存しない実数パラメー
タで、Ω1 ̸= Ω2 かつ Ω1 ,Ω2 ,B1 ,B2 はゼロ以外の数である。)

7

III-1 (電磁気学：双極子放射) (100 点)(1) スカラーポテンシャル φ(x, t)、ベクトルポテンシャル A(x, t) と電磁場 E(x, t)、B(x, t) との関係は、以下の式で与えられる。
E(x, t) = −∇φ(x, t) −∂A(x, t),∂t

B(x, t) = ∇ × A(x, t)(A)(a) ４つの Maxwell 方程式のうち、電荷密度 ρ(x, t)、電流密度 j(x, t) を含
む２つの方程式は、以下の通りである。
∇ · D(x, t) = ρ(x, t),∇ × H(x, t) −∂D(x, t)= j(x, t)∂t(B)

ここで、D(x, t) = ε0 E(x, t), H(x, t) = c2 ε0 B(x, t) であり、c は光速、
ε0 は真空の誘電率である。
式（A）より、∇ · B(x, t), ∇ × E(x, t), ∂B(x,t)
に関する（式（B）以外∂tの）Maxwell 方程式を導け。

(b) 式（A）には、ゲージ変換の不定性がある。
∇ · A(x, t) +1 ∂φ(x, t)
=0
c2 ∂t

(C)

という条件を課した上で、式（A）を式（B）に代入し、φ、A についての２階微分方程式を導け。ただし、必要なら以下のベクトルの積の公式を使え。
K × (L × M) = L(K · M) − (K · L)M(D)(2) 電荷 e、質量 m をもつ荷電粒子が軌道 xe (t) を描いて運動している。この粒子がつくる電荷密度、電流密度は、ρ = eδ 3 (x − xe (t)), j = eẋe (t)δ 3 (x − xe (t))
である。ここで、ȧ(t) = daとする。
dt(a) この荷電粒子の運動方程式
md2 xe= eE(xe , t) + eẋe × B(xe , t)
dt2

(E)

と Maxwell 方程式を使い、
[

]

∫
d 1
1∫ 3
mẋ2e +d x (E · D + B · H) = − d3 x∇ · (E × H)
dt 2
2

(F)

を示せ。また、この式は物理的に何を表すか簡単に述べよ。必要なら以下のベクトルの積の公式を使え。

∇ · (L × M) = M · (∇ × L) − L · (∇ × M)

(G)

(次ページに続く)
2

(b) この荷電粒子の速さが c に比べて十分小さいとき、この荷電粒子がつくる電磁場は、十分遠方でE(x, t) =e[x × (x × v̇)] ,4πε0 c2 r3

B(x, t) =

x×E
rc

(H)

で与えられる。ここで、r = |x|、v = ẋe である。このとき、(F) の右辺が S = −e2 v̇2 /(6πε0 c3 ) となることを示せ。
また、この荷電粒子が半径 a、角速度 ω の円運動をしているとき、S の表式を求めよ。

3III-2 (量子力学：摂動論) (100 点)
系のハミルトニアンとして

H = H0 + λVを考える。ここで，λV はハミルトニアン H0 に対する微小な摂動である。H0¯ の固
〉
¯ (0)
(0)
有状態は既知とし，エネルギー固有値を εk (k = 1, 2, ...)，その固有状態を ¯φk(0)と表す。εk は離散的とする。λ は実数のパラメータであり，0 ≤ λ ≤ 1 である。

¯
〉
¯ (0)
(1) まず簡単のために ¯φk が縮退していない場合を考える。
H のエネルギーの固有値をεk と表し，その固有状態を |φk 〉 と書こう。|φk 〉
¯
〉
¯ (0)
は λ → 0 の時に ¯φk に一致するとする。ここで λV が十分小さいとして，
(0)

(1)

(2)

ε = εk + λεk + λ2 εk + ...
¯
¯
¯
¯ 〉k
〉
〉
〉
¯ (2)
¯ (1)
¯ (0)
¯
= ¯φk + λ ¯φk + λ2 ¯φk + ...
¯φkと展開できるとしよう。|φk 〉 として
¯ 〉
¯ 〉
¯
¯
= εk ¯φk
H ¯φk
¯
¯ 〉
〉
〈
〈
(0) ¯ (0)(0) ¯= φk ¯ φk = 1
φk ¯ φk

¯

¯ (1)
(1)
を満たすものを考え, εk ，¯φk

(A)

(B)

¯
〉
〉
¯ (0)
(0)
(2)
，εk を εk と ¯φk と V を用いて表せ。

(0)(2) 次に εk に対応する H0 の固有状態に縮退がある場合を考える。この場合，(0)
εk ¯ を固有値として持つ部分空間を考え，基底として適当な直交規格化関数〉¯ (0)列 ¯φkα を採用することにしよう。ここで α はこれらの基底の指標であり，
¯
〉
¯ (0)
¯φkα は以下の式を満たす。
¯
¯
〉
〉
¯ (0)
(0) ¯ (0)H0 ¯φkα = εk ¯φkα¯〉〈(0) ¯ (0)φkα ¯ φkα′ = δαα′

(C)

(0)

この基底を用いると H0 の固有状態でエネルギー εk に対応する状態は，aαを係数として
¯
〉
〉 ∑ ¯
¯ (0)
¯ (0)
(D)
aα ¯φkα¯φk =α（次ページに続く）

4

(1)のように展開される。この場合のエネルギーに対する摂動の一次補正 εk の満たすべき関係式を求めよ。

(3) 縮退している場合の具体的な例として水素原子の主量子数 n = 2 の状態を考えてみる。この場合，状態は 1 つの 2s 軌道 (l = 0，m = 0) と 3 つの 2p 軌
道 (l = 1，m = −1, 0, 1) からなっており，それぞれの状態は極座標表示ではBohr 半径 a を用いて
ψnlm (r, θ, ϕ) = a−3/2 gnl (r/a)Ylm (θ, ϕ)(E)で表される。ここで Ylm (θ, ϕ) は球面調和関数であり，)(
1g2s (ρ) = √ (1 − ρ/2) e−ρ/22(√ )6ρ e−ρ/2
g2p (ρ) =
12

(F)
(G)

である。z 軸方向に電場 E = E ẑ がある場合，電子の電荷を −e とすると，ハ
ミルトニアンに eEr cos θ という項が加わる。eEr cos θ が小さいとしてエネ(1)
ルギーに対する 1 次補正 εn を求めよ。（Linear Stark Eﬀect）。
ただし，以下の公式を用いてもよい。
∫ 2π
∫ π
′
dϕ
sin θdθ Ylm∗ (θ, ϕ)Ylm′ (θ, ϕ) = δmm′ δll′0cos θ Yl0m[(l + 1 + m)(l + 1 − m)=
(2l + 1)(2l + 3)

]1/2

[
m
Yl+1
+

(H)
(l + m)(l − m)
(2l + 1)(2l − 1)

]1/2
m
Yl−1

(I)

5

ÁÁÁ¹¿ 統計力学：イジング・スピン

 点

 上下２方向しか向くことができないスピン（イジング・スピン）が外場

中に置かれている状況を考える．スピンは状態   に応じて，エネルギーをとる．ここではスピン磁気モーメント．









 として，この１スピンの分配関数を求めよ．
このスピンがとる状態の平均値  とエントロピー  を求め それらの外場への依存性を図示せよ（   のみならず   も考える）．
 次に，   個のスピンが互いに同じ強さ
 で強磁性相互作用している平均場（分子場）結合系を考えよう．各スピン  が受けている分子場
は，系の全スピンの平均値を     とおくと，      
温度を ，ボルツマン定数を





 





と表すことができる．温度 で，分子場の中でスピンがとる平均値
 が，全スピンの平均値 に等しいとおいた方程式（自己無撞着方程式    ）を書き下し，系を高温から冷やしていくときに，自発磁化   が生じ始める臨界温度  を求めよ．系の自発磁化の温度依存性を描け．また系のエントロピーの温度依存性を描け．

 





 別の考え方で臨界温度が存在することを示そう．この平均場結合イジング・スピン系のエネルギーは     


 





   













と書き換えることが出来る．磁化のない状態
 のエネルギーは，スピンがすべてそろった基底状態   のエネルギーに比べれば
 と非常



に大きいので，その滞在確率は基底状態に比べればと微小である．
このようなきわめて小さい滞在確率にもかかわらず，温度がある値より大きくなると系が磁性を失うのはなぜか，その理由を考察せよ．

系がとり得る微視的状態の数は  と概算されること，     であること，の知識に基づいて臨界温度を概算せよ．



 



III-4 (物理数学：熱伝導) (100 点)
地表を無限に広い平面と見なし、その温度が周期 T で変動しているものとする。地表から下向きに x 軸を取り、温度 u を x と時間 t の関数であるとすると、その分布の時間依存性
は次の熱伝導方程式に従う。

∂u
∂2u
=a 2
∂t
∂x
−7 2
ここで a は地殻の熱拡散率で、a = 2.53 × 10 m /s と仮定する。

(A)(1) 式 (A) を解き、x → ∞ で有限な解がu(x, t) = A0 + 2∞
X

An e−αn x cos (nωt − αn x + φn )

(B)

n=1

と書けることを示せ。ただし
r

2π
,
ω=
T

αn =

nω
2a

(C)

で、φn は t と x によらない位相成分である。また必要であれば
Ã

i=

1+i
√
2

!2

Ã

,

−i =

1−i
√
2

!2

(D)

を用いよ。

(2) 地表の温度変化がf (t) = a0 +∞X(an cos nωt + bn sin nωt)

(E)

n=1

と書けるとき、式 (B) の係数の満たすべき式を求めよ。

(3) 地表の温度が、1 年（T = 60 × 60 × 24 × 365 ' 3.15 × 107 s）周期で、平均値 15◦ C、
振幅 15◦ C で変動しているものと考える。すなわちµ¶

2πf (t) = 15 + 15 cos
t
T

(F)

とする。このとき、地上における温度変化と逆転している（すなわち地上の夏に最低温度、冬に最高温度になる）深さの中で、最も小さい x の値を求めよ。またその深さ
における温度変化の振幅を求めよ。ただし exp(−π) = 0.043 である。

8 

 "!

# $'&)(+*-,".0/21436587'9;:<*;=?>8@BABCEDGF0HJILK<M?9N%#8$<&( PO<Q D%
R8ST6U *+/GVXW3<5Y6DZ[9'\]7^9+N43'5_Y<*3[54`"a[b cd_eBf 9g\Ghjik/
V  U Wk3[5_Y[D+Z69g\jlGV  U WmonJ7g9'\]7g9+Ngpk*klGV<*4q[b;i"rXs?tLu%v
w%x D_y<Hi f 9 zO'Q D2{ U *-l8VgWGn)|-94}Ja~b
 T
!
  { !
{<eG M(g9;N!"f 9 O?Q Dkn|9+lGV"q^WLi ! *_}%a "w x Dy8\-i^"* R"S b T
e i8o "B[b T¡£¢ eof 9?p?\14¤X¥"NG¦ h]i§eXf 9kN¨c©

  { !

ª OgQ *+« w 1¬­G®6\LiJ#8$g&(*+=o>gb RJS e T ª \¯)°±i0²J³%i<%*+@JA
bGrXsgtGu"v w"x *B"J´\µK'M8I[¶;HB* e T ª ! ¡£¢ \4¯o9+N;y2­+I-i-=0>@%A
C[b T ª¸·  T ª ! ¡£¢ ´ T ª ! ¡£¢ \4¯¹°24ºGWGi%@JAJ»6b'p+?ºB¼ e bJ¯%HN8½X¾o&(À¿<­IÂÁ9_/8V)ÃÀ@%A%» \4¯o9  p4'1Ä"Å0/\H ! N+½o¾0&(b;i ÆO^Q D RSÇJU *k/8V?W3[5_Y6D+ZÈ° i6p;*_qÃ_rXs?tGu%v w"x DyNkÉ[D+i ª O^Q « wh®+ÊED_3E5+YEDJ®XËB­®l8V1Ì6Í05G7":[DgÃÎ@JA1;n|L9;Np+<14Ì[Ío5[h@JA\4HJHi^r?s[t"uJv w%x D+y<Ho%*_o"B[bÏ eXf 9;NG=o>G@JA0C21+Ð^Ñ
9"DJbki)p4(BÒÓFX*;@%A1ÔgILÕ'Öoº×ÙØ?Ú_Û'*+@JA1Ü8Ýg7'94ÞBß^W f 9;Nà! G
² á<D+i_â"ã<¯GrosXtLu%v wGx^e0f 9   { ! \ ä  { ! D%?å-y Ó}"aæ qE*+ç1_K'M^96\Ài[B* wJx *_oBB6b  TÂègÇ ! ¡£¢ \_¯?9kNp61Ké hILi ª O^Q *_« w 1?hIÌ'Ío5<h+®LêX*k#8$[*_=o>@%ABCE1_Ð?Ñg¶N  ¦h]i T i Ç iJÏ'bê Q D^¶?(ë"²8ì eXf 9;N !
íoî D;i%ï

(?®;=X>G@JAJC6DGF0H"ILKJð^7g9;N Ò ! ÏXW-ñ6*;@JA~D+C^ò0I8ó w Dô26Áõñ6*;@JAgW-öB.X,8÷<¯;øJù  p4[1Ì<Í56h]@BAûúüBtE×+\þýÿ ! i"=^>8@0A0C21 à ¶6ÁÀ7[9%DBbi"« w ê Q 1
D<h;¯B¼L %¯2(¯%H8&  ! @%A[*e ½X¾^* ^9+W%» \4¯X­;IJHX9?Ãk*W)Ã ´hIÂ° i?"*ñ6*+@%A'W-öJ.o,8÷<¯+øBù  p[14Ä"Åo/úLü%tE×+\µýÈ ! i8=o>G@JABCE1 à¶[ÁÀ7g9"D%bki"« w ê Q 1
D<h+¯0¼-J¯2(4¯%H"&  Ø%DûÁ !
¸e bi"365+Y6*!"Jù$#0i%&[D(''H Q ) M +*L! « w h,~¼o9-6be L¯"HNggp e i /. *+« w ê Q 1 ) M10 ª \%h4ILip*+« w 1 +*Je324. Á°65 h]i 7oïÂhk® 8XØ^ÚB19 h]ù:B¥[9[\H)<;>=14¬ÿõNp-*;øBùoi ×þØ?Ú+Û
Q ? b 2 0 ª \_¯o9;N*+« w ê 3

 :<*!%ì @!

%&~DA'H8#"$[&Â(+*/21_3258769_øoù?i0²"á2DBb B. *« w ê Q WDC6H\ Ì'ÍB5<hÀ@%Aÿú-üJt6× D8¯)°±i f 9E$F í #$ÿ
' Á]¯o9<\µÄ"Å0/úLü%t6× D?  ²Gì !e^f ­®ê'Dki"Ì6Ío56h]@BA¯?9N ×µØ^Ú+Û'*k« w ê Q W~
G | H´
ú-ü%t6×Ù* o
8 ØXÚ"1I>)F ÃJJ
7 ï¹hI4Â
9 hþù%: ¥'9ø%ù \þiLÄ"Å0/ú-ü%t~×Ó*
8 ØXÚ"1I$)oF ÃJJ
7 ï¹hI4Â
9 hþù%: ¥'9ø%ù e b;iLK!<
M (W=o>@%AJC´\GhIb;ï217g9-&c

III-7 (実験：レーザー) (100 点)(1) レーザーに関する以下の問いに答えよ。
(a) レーザーの原理を述べよ。
(b) 発振器から波長 8.00 × 10−7 m のレーザーが出力 1.00kW で放射されているとす
ると、振動の 1 周期の間に放射される光子の数はいくらか。光速を c=3.00 ×
108 m/s、プランク定数を h=6.63 × 10−34 J・s とし、有効数字に注意して計算せよ。
(c) 波長 λ のレーザーを共鳴吸収する原子が静止している。この原子が速度 v でレー
ザーの進行方向に対向して移動する場合、原子に共鳴吸収させるにはレーザーの波長を ∆λ だけシフトさせる必要がある。シフト量を求めよ。ただし、共鳴吸収時に起こる原子の反跳は無視する。
(d) 静止している励起原子から λ の光が放出されれば、その正反対の方向へ原子は反跳する。原子質量を M 、光放出前後の原子の内部エネルギー差を ∆E として光放射後の原子の速さ v を求めよ。
(e) 発振器から放射されるレーザーの波長は共振器内に配置した分散素子を使って変化させることができるが、波長範囲は主にレーザー媒質によって決まる。ある標的原子を共鳴遷移できる波長を発振するレーザーを製作したい。図 1 に標的原子のエネルギー準位を示す。光学的に許される遷移は選択規則により与えられる。いま、∆J=0,±1 の遷移が許され、偶項は奇項（奇項は偶項）へ遷移できる、という選択規則が成立する場合、標的原子の遷移可能な準位の組み合わせを全て記せ。ここで、1 S0 は標的原子の基底準位で偶項を、3 Pn（n=0,1,2）は励起準位で奇項を示す。
3

P2
P1
3
P0
3

1

S0
図 1:

(次ページに続く)
14

(f) 設計したレーザー発振器は直線偏光となるよう製作した。この発振器から放射されるレーザーの光軸上に λ/4 波長板を配置し円偏光となるよう λ/4 波長板を調整した。円偏光の電場振幅は直線偏光のものに比べ何倍になるか。
(2) 図 2 に示すような 2 個のスリットによる光の干渉実験を行った。以下の問いに答えよ。
(a) S1,S2 における光の電場振幅を A1 ,A2 とし、位相が距離 r とともに exp(ikr) の形で変化するものとして、スクリーン上に表れる干渉パターンの強度分布をス
クリーンの中央からの距離 x の関数として求めよ。ただし、S1,S2 における光の位相は一致しているものとし、lÀx, lÀd を満足しているものとする。ここで、k=2π/λ であり λ は光の波長を示す。簡単のため電場振幅は距離 r とともに変化
しないものとする。
(b) スクリーン上の干渉パターンの強度分布について、極大から次の極大までの距離を測ったところ、3.16cm であった。l=10.0cm、d=2.00µm とし、(a) で求めた近似的な関数を使って光の波長を求めよ。
(c) 一方のスリット S2 を小さくし通過しにくくし、S2 を通過する強度が S1 を通過する強度の 4% にしても、スクリーン上の干渉縞濃度の極大と極小値にかなりの違いがあって、干渉効果が認められる。極大値と極小値の比を示せ。

ǴȥǾȃ

ǴǪȥÓȮ
x

S1
஝܎‫ے‬

d/2
x=0
d/2
S2
l
図 2:

15

   ) (100 )!#"%$#&')(+*,-/.0132%45.60782:9+;<3= 621?>@6ABCD4FEHG8I.01FJKD4/LNM8;PO =QR *S#7T7U
V1WNXZY+[6\6C%4^]7_8`Eba5I);?G =III-8 (∇ × (A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B,cd B ?egf4h66 σ i.60kj v *kJKlahIG- =Hmn a c 4hoj:93ahIp |v|  c 9rqP- =ts 3uk+.0vi. j +6e E
wix C (Ohm ?y6z ) S?C (A) H;PO5{i|P}%~v- =∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − 4A.

(1)

54  s6s *}8IG-/6e.60v?6)(?1#Hu?vF$79q!-P9 l/τ ∼ |v|  c ieF636.t4qH- s 9*P$+- =m +6.60PSiP(6{h*7,-P9qv- =)s Fe6 Maxwell ABCvSpTUH;POh{i)- =j = σ (E + v × B) .

(A)

l, τ

∇ · E = 0,
∇ · B = 0,
∂B
∇×E =−,∇ × H = j.
∂tµ0
B = µ0 H*,- = 3p
6s s *p6eD4 H vF8D4 9rqP-v9
68 σ SF89rqH- =)s ie638c6dP3ui67pC (B) *k|H}~P- s 9#4h7 =∂B
1= ∇ × (v × B) +
4B.
∂t
µ0 σ

(2)

(B)

6*1$8-5e6 (σ → ∞) F.09¡e1FJK¢45£¤¢;PO =.60)Fj%4 v 9q1-196.60¢#¥¦§ δr #.606JKt{¨7© m 
(a)
++C (C) *|P}D~H- s 9?45 = ( ¬­ X : A(r),(Lagrange ª6« )~h-i¥6¦§v#.06j v(r, t) {¨© m u#D4
B(r + δr) ®
6}- = )dδr = (δr · ∇) v.
dt(b)

.01k'¯dD4 ρ 96a5I+3°7±AB6C ('¯²³z ) 9C (B) 4
E7G8I σ → ∞ *7 B/ρ Lagrange ª« 4h´vµv; =13m  s ?¶·
9¸C (C) 9?4¹6ºba^Ik s 19k$r¥PS568.0l99p»#{hJKq!- s
9?4h7 =%s v4 Alfvén ?66¼6¶6½:9h¾ <={F±Ã )(¿7ÀÁÂ
16

(C)

(3)

¼¶8½vt9,t~6{i  Pi 8eH,- = {8S   ® ~  1{ 6-h P(8?8e !,- =+m    ® ~hS  
N9p; kH-h686P/HG? "!# $%8 & 'viv () v{i". HaIG7- =1s   "!# $ %*+1,.- ÁP­ SF  0/218JKP m µ{; 79   ®
3 ,54#iY v{3- = ¼¶8½ ® ~ 6   0!# $ %{8;~ :76$ / m +¥g» s <!# $ % 3 ,54#i
Y ,=- ÁP­ 4p< >© m 
%@4 ?A s 9i{8- ( B 1)=Ds6s *7S?< C ® ~5DE r ≥ 10r (r S CF<G ) *7S? H6 I)* J m e C)"!K# $%S?K G 8A L6{ V *p\8"j M?¥
JKt4FqH-7»?)9qP- =  NOgf{8,P-   PF8e t{ w a^IpT
UQ{ R }v; =Kt989p»?{ RpHS+j6 ω * TU1q!@- I* J m V! #$%hJ6K(a)4#}# s I7*75!4; WN9rqH- 2 ¿ XYZ [ (r, φ) *+ r ≥ 10r{8,- 3 ,A4 #FY88e)?3¥   (\  ) @4 !q+ABCD4h´1µP; =0/21 S3j ω = 3.0 × 10 [rad/s]6  FG r = 7.0 × 10 [km]
(b) H/jD V = 4.0 × 10 [km/s]  ¢^9 ] _P8DEt4 r = 1.5 ×
93a^Ip) ] _ *O<`a!*p+¥N9  D29 ]_¢4h¶ < ¥P8q
10 [km]S ψ 4h´vµP; =
5

−6

2

0

8

ᄥ㓁

࿾⃿

NO<D fF*  P 3 ,54#FY38e = V S  0!# $ %/j B
B 1:  SC
6P?3¥¢4;q =17   ) (100 )!#"%$'&)(*+,-/.01243!65798;:!+<%=?>"078@%ACBEDGF 7H'I0J?KML%GNPOPQC:R+%<TSVUW578XI#NYOPQI[Z]\_^Y`!aPb&cQ\edPf"CbgT&h5Y78;ij!a4kl/:R+/SCIm(Rn&o";PpUG$ &[(Wqr.W7P8
2?3GstCaWuPv @A +0<GwPx%"myz9{!.0798R243|s?tUW}?~pG+m<?243Ym9
 H (H )"PGH (H =p)" D%F 7PH (e ) U?]_v+I"4!][UW8 r[m] (C + A!4A UGT n (r) [m ]" n (r) [m ]" n (r) [m ] I6:+W</.
 "V78293|st De ]E @0A +59HU09P"4/%HUW(Cn4+ H U78 9W¡¢;:+W< H W£/¤V¥P¦d9f(9*+I6:+m<$9© (1 Hz) * B &)U05Y9"9b!gp&ª5P99 L (ν) [J s Hz ] «!b(1) §?¨P9!]¬8 r[m] U ¨/­ (  Z¤V" §4¨ 9® (1 m ) §?¨!¯ 1 (1 s) * B&h°9/U H aG798 @0A +G4< B9± e"%79895H(mz:!+ H U²|³P´Vµ ® I:+%<g B "¶S|U ¨­ (%·¹¸[gVºC(W78P5PHRaV7P8p(W»C¼ A ¤a(ν) [m ]½E+[¾Y¿%À @ ¸e¤?¡¢;ºÁ+I:R+W<=Y>Y" §¨ ;®  §P¨¯ 1C* B &(|¶ÁP+WNCOYQpUGTV"9NCOQÂPÃ β(2)I?¤|" n (r) · n (r) · β ºWÄ/E A +0<?Å[Æ;ºY*+[!U[ÇQ ξ(r) =[m s ]
mÈ;Z¤4"5P78Yi9jUmÉT[Ê  < B± " n (r) = n (r) +n (r)/n (r)º;*+W<n (r)wCxV"7P8E293VstÌË0Cº=ÍU n = 1 × 10 [m ]"9P/¶ §¨/¯ 1(Î @GA +78P5YHpU|9a 5 × 10 [s ] ºC*;+0Ï;QMV;!+G</.  " a(ν) 
7Y8P5HEUG$Y© ν (%Ð'Ñ=9Í!º a ∼ 6 × 10 [m ] I#Ò;ÓÔm¤?ÕZ?<g B "º*+W<β ∼ 3 × 10
[m s ]º%Ö/× B ÉCM_" r = 1 × 10 [m] (  + ξ Ø¾Ù=?ÚºVÛ?ÜYÝEn<(3) (2)
S9SVgGºV"|798959H!aGÞEÅ|ºG798(%»Y¼ A ¤V½+¾¿p[¡9¢¶[¤Á B <E
(4)
"|P9!¶ß]àm!+(4b A ¤V"ES%U0¾¿T[¡9¢;ºÁG.Ã¸á.+m<S%U0¾¿p[â9ã:!+ B ×P(m"|$9© ν [Hz] «pä B N (ν)  [Hz ] U079895H!aV"åYæ r [m] UmyçR] r + dr [m] U0y9çCèé9À998 dr [m] ±Pê/ë± IVÁ|UPìYí dN (ν) [Hz ]  ξ(r) mÈCZ¤Gî!Ý9<
782934stIWU%ïUÅ0Æ2934stImUWðñmUGs9tMòóPstI?nGô4<(5)
SGUWstT[õ9^!:/+|ö;(079859HEU0/a 1/e (m½E+ (e  De÷ zUW¦ ) I
;+;SIm(Cn&ø"4òPó9stUWù @ [Ø¾99ÙC=Ú;ºVÛÜ;ÝEn< B9± "TS%U
stE(  Z¤ ξ ∼ 0.5 I_ÒYÓÔ¤n%Z4<79823VstUmåPæEØ¾99Ù;=Ú;º4ÛÜ;Ýpn<4úû.T π ∼ 1.5 0È;Z(6)¤n%Z?<
III-9 (

0

+

−

−3

H0

−3

p

−3

e

0

0

−1

ν

−1

3

0

0

2

3

−1

H0

p

e

H

H

p

7

H
48

−3

−1

2

−22

−19

3

−1

17

ν

ν

−1

−1

1/3

18

H0