Université Claude Bernard Lyon 1
Semestre de printemps 2024

Master 1
UE Algèbre Linéaire AvancéeFeuille 0 : Groupes

Exercice 1. Lemme Chinois sur Z
1. Soit n1 et n2 deux entiers non nuls et premiers entre eux. Rappeler pourquoi il existe deux entiers uet v tels que un1 + vn2 = 1.
2. Utiliser l’algorithme d’Euclide pour trouver u et v pour n1 = 27 et n2 = 22.
3. Soit n1 , . . . , ns des entiers naturels non nuls et deux à deux premiers entre eux et n leur produit.
Montrer que « l’application diagonale » δ : Z −→ Z/n1 Z × · · · × Z/ns Z induit un isomorphisme entre
Z/nZ et Z/n1 Z × · · · × Z/ns Z.
Penser à utiliser le cardinal.
4. Traduire l’énoncé précédent en terme de sytème de congruences.
5. Ici s = 2. Soit a1 et a2 dans Z. Décrire en fonction de u et v, l’ensemble{x ∈ Z : x ≡ a1 [n1 ] et x ≡ a2 [n2 ]}.
6. En déduire un algorithme pour résoudre un système du type∀i = 1, . . . , sx ≡ ai[ni ].

Exercice 2. Soit G un groupe agissant sur un ensemble X et K un corps. Montrer que G agit naturellement
sur l’ensemble des parties de X et sur l’espace vectoriel K X des fonctions de X dans K.

Exercice 3. Théorème de Cauchy
Soit G un groupe fini et p un diviseur premier de ]G. On considère l’ensemble
E = {(x1 , . . . , xp ) ∈ Gp : x1 . . . xp = e}.
1. Dénombrer E.
2. Montrer que l’action naturelle de Z/pZ sur Gp induit une action de Z/pZ sur E.
3. Montrer qu’il existe un élément d’ordre p dans G.

Exercice 4. Groupes Linéaires
Soit Fq un corps de cardinal q.
1. Déterminer le cardinal de GLn (Fq ).
2. Déterminer le cardinal de SLn (Fq ) ainsi que celui de PGLn (Fq ).
3. Montrer que l’action naturelle de PGLn (Fq ) sur l’ensemble des droites vectorielles de Fnq est fidèle.
4. En déduire que PGL2 (F2 ) est isomorphe à S3 et que PGL2 (F3 ) est isomorphe à S4 .
5. Montrer que PGL2 (F4 ) est isomorphe au groupe alterné A5 .
Exercice 5. Décrire un système complet de représentants de l’action de GLp (K) × GLq (K) sur Mpq (K)définie par(g, h) · M := gM h−1 .

1Exercice 6. Théorèmes de Sylow.
Soit G un groupe fini et p un diviseur premier de ]G. Soit α ∈ N tel que pα divise ]G et pα+1 ne divise
pas ]G. Un p-Sylow de G est un sous-groupe de cardinal pα .
1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, le groupe GLn (Fp ) admet un p-Sylow.
2. Soit S un p-Sylow de G et H un sous-groupe de G. Montrer qu’il existe g ∈ G tel que gSg −1 ∩ H est
un p-Sylow de H. Indication : considérer l’action de H sur G/S et déterminer les stabilisateurs.
3. En déduire que G admet un p-Sylow.
4. Soit S un p-Sylow de G et H un p-sous-groupe. Montrer qu’il existe g ∈ G tel que H ⊂ gSg −1 .
5. Montrer que deux p-Sylow de G sont conjugués. Montrer que le nombre np de p-Sylow vérifienp ≡ 1 [p]]Gnp | αpIndication : considérer l’action par conjugaison d’un p-Sylow S sur l’ensemble des p-Sylow.
6. Montrer qu’un groupe de cardinal 200 n’est pas simple.
7. Soit p un nombre premier. Déterminer le nombre de p-Sylow du groupe symétrique Sp .
Exercice 7. Stabilisateurs
Soit K un corps et n ∈ N∗ . Soit B (resp. T ) l’ensemble des matrices de GLn (K) qui sont triangulairessupérieures (resp. diagonales).
1. Montrer que T et B sont des sous-groupes de G = GLn (K).
2. Exhiber des actions pour lesquelles T et B sont des stabilisateurs.
3. En déduire des descriptions de G/B et G/T .
Exercice 8. Matrices échelonnéesSoit K un corps et p, q ∈ N∗ . On étudie ici l’action de GLp (K) sur Mpq (K) par multiplication à gauche.
On définit trois relations d’équivalence sur Mpq (K) :i Deux matrices sont dites GL-équivalentes si et seulement si elles aparatiennent à la même orbite.
ii Deux matrices A et B sont dites Ker-équivalentes si et seulement si KerA = KerB.
iii Deux matrices sont dites op-équivalentes si et seulement s’il existe une suite d’opérations élémentaires
sur les lignes transformant l’une en l’autre. Ici les opérations élémentaires utilisées sont les échanges dedeux lignes, les multiplications d’une ligne par des scalaires non nuls, les ajouts d’un multiple d’une ligneà une autre.
Soit M ∈ Mpq (K). Pour 1 ≤ i ≤ p, on note λi la colonne contenant le premier élément non nul de laligne i. Si la ligne est nulle on pose λi = ∞. On dit que M est échelonnée si les lignes nulles de M sont enbas et λ1 < · · · < λs , où s est le nombre de ligne non nulles. On dit que M est échelonnée réduite si pourtout i ≤ s, le premier élément non nul de la ligne i vaut 1 et si c’est le seul élément non nul de sa colonne.
1. Montrer que deux matrices de Mpq (K) sont GL-équivalentes si et seulement si elles sont Ker-équivalentes.
2. Montrer que si deux matrices de Mpq (K) sont op-équivalentes alors elles sont Ker-équivalentes.
3. Montrer que toute matrice de Mpq (K) est op-équivalente à une matrice échelonnée.
4. Montrer que toute matrice de Mpq (K) est op-équivalente à une matrice échelonnée réduite.
5. En déduire que le groupe GLp (K) est engendré par les matrices de transvection, dilatation et permutation.
6. En déduire la réciproque de la question 2.
7. Montrer que toute matrice de Mpq (K) est op-équivalente à une unique matrice échelonnée réduite.

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