ペンローズ過程

ブラックホールからエネルギーを取り出す過程であるペンローズ過程の話をします。
カー解での有効ポテンシャルを導出して、そこからエネルギーの関係を見ます。
また、カ−・ニューマン解での場合も結果だけ載せています。

カー解での有効ポテンシャルを求めたいので、「近日点」でのように変分問題から始めます。なので、簡単にするために赤道軌道 (θ = π/2) のみにして、カー解での粒子の軌道を求めます。θ = π/2 でカー解は

ds2 = (1 −2mρ
ρ2 + a2 cos2 θ)(cdt)2 −− ((a2 + ρ2 ) sin2 θ +ρ2 + a2 cos2 θ 2dρ − (ρ2 + a2 cos2 θ)dθ2
a2 + ρ2 − 2mρ

2mρa2 sin4 θ2mρa sin2 θ2)dφ−2cdtdφρ2 + a2 cos2 θρ2 + a2 cos2 θ= (1 −ρ22ma24ma2m)(cdt)2 − 2dρ2 − ((a2 + ρ2 ) +)dφ2 −cdtdφ2
ρa + ρ − 2mρρρ

= (1 −2m2m a2 −1 24ma2m)(cdt)2 − (1 −+ 2 ) dρ − (ρ2 + a2 (1 +))dφ2 −cdtdφρρρρρ

また、カー・ニューマン解なら

ds2 = (1 −r22mr − e22)(cdt)−
dr2r2
r2 + a2 − 2mr + e2− ((r2 + a2 ) +(2mr − e2 )a2(2mr − e2 )a2)dφ−2cdtdφ
r2r2r と ρ は同じものです。
変分問題を考えます。今の場合では∫δ[(1 −2m2m a2 −1 22m 2 4ma)(cṫ)2 − (1 −+ 2 ) ρ̇ − [ρ2 + a2 (1 +)]φ̇ −cṫφ̇]ds = 0ρρρρρ

オイラー・ラグランジュ方程式

d dF
dF= iids dẋ
dxを使うことで、時間成分は

d2m 24ma(2(1 −)c ṫ −cφ̇) = 0dsρρ
(1 −2m2ma)cṫ −φ̇ = clρρl は積分定数で、無限遠での µc2 によって割られた粒子のエネルギーに対応します。φ 成分は
1d2m4ma(−2(ρ2 + (a2 +))φ̇ −cṫ) = 0dsρρ(ρ2 + a2 (1 +2m2ma))φ̇ +cṫ = hρρh は積分定数で角運動量に対応します。
よって、必要な方程式は(1 −2m2ma)cṫ −φ̇ = clρρ(ρ2 + a2 (1 +1 = (1 −(1a)2m2ma))φ̇ +cṫ = hρρ

(1b)2m2m a2 −1 22m4ma)(cṫ)2 − (1 −+ 2 ) ρ̇ − (ρ2 + a2 (1 +))φ̇2 −cṫφ̇ρρρρρ

これらは ρ が大きく、a, e が無視できるならシュバルツシルト解と同じです。
カー・ニューマン解では(1 −2m e22m e2+ 2 )cṫ − a(− 2 )φ̇ = clrr
ρr(r2 + a2 (1 +1 = (1 −2m e22m e2− 2 ))φ̇ + a(− 2 )cṫ = hrrrr

2m e22m a2e22m e22m e2+ 2 )(cṫ)2 − (1 −+ 2 + 2 )−1 ṙ2 − (r2 + a2 (1 +− 2 ))φ̇2 − a(− 2 )cṫφ̇rrrrrrrrrとなっています。

(1a) から φ̇ はφ̇ = −ρρ2m
cl +(1 −)cṫ
2ma2maρ(1b) から cṫ はcṫ =ρρ
2mh−[ρ2 + a2 (1 +)]φ̇
2ma2maρ

これらから(ρ2 + a2 (1 +clρ2m ρ2ma2m))(−+ (1 −)cṫ) +cṫ = hρ
2ma
ρ 2ma
ρcl((ρ2 + a2 (1 +2m2ma2m 22m2ma 2)) +h = (1 −)(ρ + a2 (1 +))cṫ + () cṫρρρρρ= (a2 + ρ2 (1 −22m))cṫρ(1c)よってDcṫ = cl((ρ2 + a2 (1 +2m2ma2m)) +h (D = a2 + ρ2 (1 −))ρρρφ̇ は (1a) から(1 −ρρ2m2ma2m)[h−[(ρ2 + a2 (1 +)]φ̇] −φ̇ = clρ 2ma2maρρ(a2 + ρ2 (1 −2m2ma2m))φ̇ = −cl + (1 −)hρρρなのでDφ̇ = −2ma2mcl + (1 −)hρρcṫ と φ̇ を (1c) に入れるときに

x = (1 −2m2m2ma) , y = ρ2 + a2 (1 +), z=ρρρ

とすればx(cly + hz)2ρ22z(clx + hz)(−clz + hx)y(−clz + hx)2− ρ˙2 −−=12D
D
D2D2これから、ρ̇2 はx(c2 l2 y 2 + h2 z 2 + 2clhyz) y(c2 l2 z 2 + h2 x2 − 2clhxz)−ρ˙2 =ρ2 D
ρ2 D−2z(−c2 l2 yz + h2 xz − clhz 2 + clhxy)
D− 22ρ Dρµ2 をかけてµ2 ρ̇2 =(µ2 c2 l2 xy 2 + µ2 h2 xz 2 + 2µ2 clhxyz) (µ2 c2 l2 yz 2 + µ2 h2 x2 y − 2µ2 clhxyz)−
ρ2 D
ρ2 D−2(−µ2 c2 l2 yz 2 + µ2 h2 xz 2 − µ2 clhz 3 + µ2 clhxyz)
D− 2
ρ2 D
ρ

エネルギー E と角運動量 L として

3

E = µlc3
L = µhc
EL = µ2 hlc4と定義すればµ2 ρ̇2 =µ2 l2 c6 (xy 2 + yz 2 ) µ2 h2 c2 (−xz 2 − x2 y) µ2 hlc4 (2xyz + 2z 3 ) µ2 D++− 2c4 ρ2 D
c2 ρ2 Dc3 ρ 2 D
ρ

=E 2 y(xy + z 2 ) L2 x(z 2 + xy) 2ELz(xy − z 2 ) µ2 D−+− 2c4 ρ2 D
c2 ρ2 Dc3 ρ 2 Dρ=

1 E 2 [ρ3 + a2 (ρ + 2m)] L2 (2m − ρ) 4maEL(++− µ2 ρ2 (ρ − 2m) − a2 ρµ2 )ρ3c4c2c3

この式はシュバルツシルト解での有効ポテンシャルを一般化したものになり、a = 0 で一致します (「近日点」参照)。
今は EL という混ざった項が生じているために、2 つの有効ポテンシャル V± を定義できµ2 ρ̇2 =1(E − V+ )(E − V− )c4

転回点 ρ̇ = 0 で V = E となるので、V± は

ρ3 + a2 (ρ + 2m) 2 4maL
L2 (2m − ρ)E +E+− µ2 ρ2 (ρ − 2m) − a2 ρµ2 = 04
3ccc2から

V± =−2maLc ± [(2maLc)2 − (ρ3 + a2 (ρ + 2m))(c2 L2 (2m − ρ) − c4 µ2 ρ2 (ρ − 2m) − c4 a2 ρµ2 )]1/2
ρ3 + a2 (ρ + 2m)

分子は[]1/2−2maLc ± (2maLc)2 − (ρ3 + a2 (ρ + 2m))(c2 L2 (2m − ρ) − c4 µ2 ρ(ρ2 + a2 − 2mρ))[= − 2maLc ± (2maLc)2 − c2 L2 (−ρ4 − a2 ρ2 + 4m2 a2 + 2mρ3 )+ c4 µ2 ρ(ρ2 + a2 − 2mρ)(ρ3 + a2 (ρ + 2m))

]1/2

= − 2maLc ± [c2 L2 ρ2 (ρ2 + a2 − 2mρ) − c4 µ2 ρ(ρ2 + a2 − 2mρ)(ρ3 + a2 (ρ + 2m))]1/2= − 2maLc ± [(ρ2 + a2 − 2mρ)]1/2 [c2 L2 ρ2 + c4 µ2 ρ(ρ3 + a2 ρ + 2ma2 )]1/2となるのでV± =−2maLc ± [ρ2 + a2 − 2mρ]1/2 [c2 L2 ρ2 + c4 µ2 ρ(ρ3 + a2 ρ + 2ma2 )]1/2
ρ3 + a2 (ρ + 2m)
4(2)これがカー解での有効ポテンシャルです。ρ が大きいとすればV± ⇒±ρ[c2 L2 ρ2 + c4 µ2 ρ4 ]1/2
⇒ ±µc2
ρ3となるので、力学の結果を一般化したものと考えられます。また、a = 0 として符号を + に選べば

[ρ2 − 2mρ]1/2 [c2 L2 ρ2 + c4 µ2 ρ4 ]1/2
ρ3√
(ρ2 − 2mρ)(c2 L2 ρ2 + c4 µ2 ρ4 )=
ρ2 ρ4V+ =√=(1 −2m c2 L2)( 2 + c4 µ2 )ρρ√= c2(1 −2m µ2 h2)( 2 + µ2 )ρρとなるので、シュバルツシルトの場合と一致します。
カー・ニューマン解での友好ポテンシャルはなんとなく予想できるように
2V± =2−aLc(2m − er ) ± [(r2 + a2 − 2mr + e2 )]1/2 [c2 L2 r2 + c4 µ2 r(r3 + a2 (r + 2m − er )]1/2
r3 + a2 (r + 2m − er )2e = 0 でカー時空と一致します。
カー空間での有効ポテンシャルが求まったところで、ペンローズ過程の話に移ります。シュバルツシルト解での有効ポテンシャルは r > 2m で正になりますが、カー解ではそうなっていないことがペンローズ過程への発想につながります。
ブラックホール半径となる ρ2 + a2 − 2mρ = 0 での V+ はV+ =−2maLc
ρ3 + a2 (ρ + 2m)

これは a, L が同じ符号であればマイナスになります。そして、a はブラックホールの角運動量 J とは逆向きなので、マイナスになるのは物体の角運動量 L が J と反対になる時です。つまり、ブラックホールと逆向きに回転する粒子に対してマイナスのエネルギーを許します。マイナスのエネルギーが許されることから特殊な性質を考えることができます。
例えば、始めに E1 というエネルギーを持っている粒子が二つに分離し、E2 , E3 となったとします。エネルギー保存則より E1 = E2 + E3 が成り立つので、もし E2 がマイナスであれば E3 は E1 よりも大きくなります。つまり、このことを利用すればブラックホールからエネルギーを取り出せます。また、取り出すエネルギーはブラックホールの回転エネルギーなので、エネルギーを取り出しきったとすればブラックホールの回転はなくなります。この回転ブラックホールからエネルギーを取り出す過程をペンローズ (Penrose) 過程と呼びます。現実にエネルギーを取り出そうとすると問題がありますが、取り出す方法はいろいろと考えられており実際に取り出すのは可能なようです。
ペンロース過程がどの領域で起こるのか見ます。(2) で、µ を 0 とし光子とすれば

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V+ = −2maLc +√(ρ2 + a2 − 2mρ)ρ2 L2 c2

V+ がマイナスもしくは 0 になる範囲は

4m2 a2 L2 ≥ (ρ2 + a2 − 2mρ)ρ2 L2
このとき、V+ = 0、つまり最大の ρ は ρ = 2m です。よって、光子に対してマイナスの全エネルギーとなること√m2 − a2 と 2m の間です。このことは赤道軌道のみでなく一般化することができ、その時のを許す範囲は m +領域は地平面 ρ+ と無限赤方偏移面 ρ+∞ の間になります。つまり、エルゴ領域で起こる現象です (カー・ニューマン解でも同様)。
今度は、回転ブラックホールからどれだけのエネルギーを取り出せるのか求めます。ここで、ホーキング (Hawking)の表面積定理を持ち込みます。これは、ブラックホールの表面積は始状態よりも小さくならないというものです。
この定理を使うためにはカーブラックホールの表面積を知らなくてはならないので、求めます。
表面積を求める式は、体積を求める式を変形させればいいだけで∫ 2πA=∫ πdφ0空間成分のみになるので√−g →√√dθ −g0g になり、g22 , g33 だけで行列式を作ります。そして、ブラックホールの表面は地平面のことなので、地平面の半径 (∆ = 0）として行列式を求めれば∫ 2π
AKerr =

∫ πdθ(ρ2+ + a2 ) sin θ = 4π(ρ2+ + a2 ) = 4π[(m +dφ0√

m2 − a2 )2 + a2 ]0

これがカーブラックホールの表面積です。そして、始状態のブラックホールは最大の角運動量を持っているとし、終状態としては回転の止まったシュバルツシルトブラックホールになると考えます。
なので、シュバルツシルトブラックホールの表面積も必要になりますが、カーブラックホールで a = 0 にしたものです。本当にそうなのか確かめたければカーの表面積と同じようにして求めてやればいいだけです。というわけで、シュバルツシルトブラックホールの表面積はASch = 16πm2となっています。
カー解では ρ+ = m +√m2 − a2 のために、回転のパラメータは |a| ≤ m という制限を持つので、最大回転はa = m です。よって、そのときの表面積はA = 8πm2
そうすると、ホーキングの表面積定理より

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Af inal ≥ Ainitial
16πm2f ≥ 8πm2i
1mf ≥ √ mi2
この関係から、取り出せるエネルギーには上限があるのがわかり

1∆E = mi c2 − mf c2 ≤ mi c2 (1 − √ )2
よって、最大で最初のエネルギーの約 30 ％のエネルギーを取り出せることがわかります。
同様にカー・ニューマン解でも求められます。表面積は∫ 2πAKN =∫ πdθ(ρ2+ + a2 ) sin θ = 4π(ρ2+ + a2 ) = 4π[(m +dφ0√

m2 − a2 − e2 )2 + a2 ]0

これの回転最大での状態は a2 ≤ m2 − e2 よりAinitial = 4π(2m2i − e2 )今度は回転が止まればライスナー・ノルトシュトレームブラックホールになるので

ARN = 4π(m +√m2 − e2 )2となります。これをホーキングの表面積定理にいれて

Af inal ≥ Ainitial√(mf +m2f + mf

m2f − e2 )2 ≥ 2m2i − e2√m2f − e2 ≥ m2i

m2f (m2f − e2 ) ≥ m4i + m4f − 2m2i m2fm2f ≥m4i
2m2i − e2mf ≥ √mi2 − ( mei )2

よって、カー・ニューマンブラックホールでは1∆E = mi c2 − mf c2 ≤ mi c2 (1 − √)2 − (e/mi )27

となります。
カー解で回転が最大となるときを√m2 − a2 から |a| ≤ m としました。これはルート部分が虚数にならないようにするためです。しかし、虚数が許されるとしてみます。虚数になると、地平面は実数としては存在しない、つまり現実には存在しなくなります。この状況で何が起きてるのかを想像しやすく言えば、回転が速くなりすぎて地平面がなくなります。そして、地平面がなくなると、地平面の内側にあった特異点が剥き出しになります。
地平面に隠されない裸の特異点 (naked singularity) が現実に存在すると因果律を破ってしまうので物理としては困った状況になります。そのため、ペンローズは裸の特異点は存在しないとして宇宙検閲仮説 (Cosmic CensorshipConjecture) を考えました。これは、特異点は全て地平面の内側にあり裸の特異点は存在しないという仮定です。
仮説と言っているように証明されていないものですが、因果律を守るためには有効な考えなので前提条件のように使われています。ただし、重力崩壊によってブラックホールができる過程において、先に裸の特異点が現れてからブラックホールになるという理論も存在しているので、宇宙検閲仮説は必要ないとする考えもあります。

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