電磁気の単位系

電磁気を扱うときに混乱を起こす単位系について見ていきます。

力学での単位をまとめておきます。運動方程式は、長さ (位置)、質量、時間で構成されています。長さの次元を L、質量を M 、時間を T とすれば、力の次元は M L/T 2 です。なので、力学では質量、長さ、時間の単位を決めて、余計な比例定数が出てこないように力を与えればいいです。通常は長さはメートル m、質量はキログラムkg、時間は秒 s とする MKS 単位系が使われます。また、力にはニュートン N = kg · m/s が使われ、質量 1[kg] を1[m/s2 ] で加速させる力が 1[N] と定義されています。
電磁気を見ていきます。クーロンの法則から、点電荷 Q1 が r 離れている Qt へ作用する力はFe = αQ1 Qtr2α は比例定数です。Fe は力なので次元は M L/T 2 です。しかし、点電荷の次元は力学から与えられないので、右辺ではっきりしているのは r2 による 1/L2 だけです。このため、電荷をどう定義するか、もしくは比例定数をどう決めるかが任意です。
磁場は電流から作られるので、電荷の任意性の影響を受けます。直線の定常電流 I1 が It に作用する力は、ビオ・サバールの法則から

fm = 2βm

I1 Itrβm は比例定数です。直線の長さで割って、fm を単位長さあたりの力にしています。電流は電荷によるので、この場合も右辺ではっきりしているのは位置 r による 1/L だけです。
電場は E = F /Q と定義されているので、α, Q によってそのまま決まります。しかし、磁場は fm /I に比例するとしか定義されていないので、比例定数が出てきます。その比例定数を βb として

B = βbfm
I1= 2βm βbItr

この変更でローレンツ力に βb が現れます。β = βm βb とします。

Fe /fm は長さの次元でFe
α Q1 Q2 1=fm
2βm I1 I2 r
α と βm を除いた次元は T 2 /L で、α/βm の次元は L2 /T 2 です。これは速度の次元の 2 乗です。
次元を { } で表記します。例えば、電荷の次元を {Q}、電流を {I} とします。電流は単位時間あたりの電荷な√ので {I} = {Q}/T です。また、 α/βm の次元は速度なので {v} = L/T とします。

βb がローレンツ力に出てくることを見ます。電場の次元を {E} とすれば、Fe から{E} = {α}{Q}T{I}T {v}{Q}{I}T{I} 1= {α} 2= {α} 2 = {α} 2= {α}L2L TLL {v}{v} L

磁場の次元 {B} は fm から1

{B} = {βm }{βb }{I}{E}{v}{E}{v}2{E}= {βm }{βb }= {βm }{βb }= {βb }
L{α}{α}{v}{v}

そうすると、ローレンツ力の磁場と速度の積なので、次元は{Q}({E} + {βb }{E})なので、{βb } を消すために Q(E + βb−1 v × B) となります。
さらに、ファラデーの法則から電場と磁場の関係が与えられています。ファラデーの法則は、起電力は磁束の時間変化に比例する、です。比例定数は磁場のローレンツ力による起電力から与えられるので∇×E =−1 ∂Bβb ∂t

1/βb でなく新しい比例定数を導入しても実験結果から結局 1/βb になります。というわけで、マクスウェル方程式は∇ · E = 4παρ , ∇ · B = 0 , ∇ × E = −1 ∂Bβm βb ∂E, ∇×B−= 4πβm βb jβb ∂tα ∂tもしくは、βb−1 B を B ′ と定義してしまえば∇ · E = 4παρ , ∇ · B ′ = 0 , ∇ × E = −βm ∂E∂B ′, ∇ × B′ −= 4πβm j∂t
α ∂t

ローレンツ力も Q(E + v × B ′ ) となり βb は消せます。
ここで、ρ = j = 0 とします（電荷と電流が分布していない領域）。このときβm βb ∂ 2 E∂= (∇ × B) = −βb ∇ × (∇ × E)
α ∂t2∂tx 成分ではβm ∂ 2 E x= − (∇ × (∇ × E))xα ∂t2= −(∂∂(∇ × E)z −(∇ × E)y )∂y∂z= −(∂Ex∂ ∂Ex∂Ez∂ ∂Ey(−)−(−))∂y ∂x∂y∂z ∂z∂x= − ((= −(∂ 2 Ey
∂ 2 Ex∂ 2 Ez∂ 2 Ex)−(−−))
22
∂y∂x
∂y∂z
∂z∂x

∂ 2 Ey∂ 2 Ex∂ 2 Ez∂ 2 Ex−+−)∂y∂x∂y 2∂z 2∂z∂x∇ · E = 0 から2∂ ∂Ex∂Ey∂Ez∂ 2 Ex∂ 2 Ey∂ 2 Ez(++)=++=02∂x ∂x∂y∂z∂x∂x∂y ∂x∂zなので∂ 2 Ey∂ 2 Ez∂ 2 Ex∂ 2 Ex
∂ 2 Ex∂ 2 Ex∂ 2 Ex+−−=−−−∂y∂x ∂z∂x∂y 2∂z 2∂x2
∂y 2∂z 2
よってβm ∂ 2 Ex
∂ 2 Ex∂ 2 Ex∂ 2 Ex=++222
α ∂t∂x∂y∂z 2= ∇2 Ex
他の成分も同様で、

βm ∂ 2 E= ∇2 Eα ∂t2
磁場でも同じ式になり、電場と磁場は波動方程式に従います (「電磁波」参照)。実験から、光速を c として1βm= 2αcとなっています。α = c2 βm なので、α か βm を消せますが両方残しておきます。
単位と比例定数を決めます。主な単位系である、SI、CGS-esu、CGS-emu、CGS ガウス単位系、ヘヴィサイド・ローレンツ単位系を求めます。
長さ、質量、時間は MKS 単位系とし、新しく電流の単位を定義します。その電流の単位をアンペア (ampere)Aと呼び、2 つの電流間に作用する力に対してfm [N/m] = 2 × 10−7

1[A2 ]1[m]と定義されます。つまり、1[m] 離れた電流間に働く力が 2 × 10−7 [N/m] のとき 1[A] の電流が流れているとされます。電流の単位が与えられたので電荷の単位も決まり、クーロン (coulomb)C と呼ばれ、1C = 1[A · s] です。電流は L, M, T に新しく加わる次元として扱われます。

βm は

fm = 2βm

I1 ItI1 It⇔ 2 × 10−7rr(1)と対応させるので、µ0 = 4π × 10−7 [N/A2 ] と定義して

βm =µ01
c2 µ0, α = c2 βm ==4π4π
4πϵ0βb は3(ϵ0 µ0 =1)c2

B = 2βbfm
I1µ0 I1Nµ0 1[A2 ]= 2βm βb = βb⇔ fm [ ] =Itr
2π rm2π 1[m]から、βb = 1 です。ϵ0 は真空の誘電率 (permittivity)、µ0 は真空の透磁率 (permeability）と呼ばれます。
このように単位を決めるとマクスウェル方程式は∇·E =1∂B∂Eρ , ∇·B =0 , ∇×E =−, ∇ × B − ϵ0 µ 0= µ0 jϵ0∂t∂t

ローレンツ力は Q(E + v × B) です。電場、磁場の次元は電流の次元を A として{E} = {α}{Q}
N L2 ATLM==L2A2 T 2 L2AT 3{B} = {βm }{βb }(N =LM)
T2{Q}
TM= {βb }{E} =LTLAT 2となります。このときは国際単位系 (international system of units)、略して SI と呼ばれます。また、SI には熱力学などの量も含まれているので、電磁気では MKSA 単位系と言うこともあります (MKS に A が加わるだけだから)。電流の次元を新しく加えるのは SI だけで、他は L, M, T で次元を与えます。
電場の単位はクーロンを使って{E} =1 1 L2 M
1
1
1[J] 1
1[V]LM=⇒
1[J] ==32AT
AT L T
1[C] 1[m]1[C] 1[m]1[m]と与えられ、V をボルト (bolt) と呼びます。J = N · m はジュールです。電位ポテンシャルは

V =αQ1r(E = αQ1)r2なので、ボルトは電位ポテンシャルの単位に使われます。また、クーロン力から見ると

Fe = Qt E ⇒ 1[N] = 1[C] × 1[V/m]
このため、1[J] = 1[C · V] です。磁場の単位であるテスラ (tesla)T は

B=

µ0 I1
(2 × 10−7 )−1 [A]
5 × 106 [A]⇒ 1[T] = 2 × 10−7= 2 × 10−72π r1[m]1[m](2)と定義されます。つまり、5 × 106 [A] の電流から 1[m] 離れた地点での値を 1[T] としています。
注意ですが、2019 年 5 月 20 日に SI の定義が新しくなり、アンペアの定義が変更されました。定義が変わっただけで、値そのものの大きな変更はないです。新しい定義では電子の電荷の絶対値 (素電荷、電気素量)e の値

1.602 176 634 × 10−19 [C] を与えられたものとし（新しい SI では素電荷は定義された値）、それによって 1[A] を定義しています。この定義では 1[A] は

1[A] =

e[s−1 ]
1.602 176 634 × 10−194となります。新しい SI では素電荷が定義された値となり、ϵ0 , µ0 は定義された値ではなくなっています。

MKS 単位系でなく、長さの単位をセンチメートル cm、質量をグラム g、時間を秒 s とする CGS 単位系に対応する単位がいくつも与えられています。CGS 単位系での力にはダイン dyn が使われ dyn = cm · g/s2 です。MKSと CGS は基準となる大きさが違うだけなので、どちらを選んでも式は変更されません。

βm = 1 として、SI と同じように

fm = 2I2= 2[dyn/cm]
1[cm]として電流の単位を定義します。これに対応してアブアンペア (abampere)abA という単位を作り、[abA] = [dyn1/2 ]と与えます。対応する電荷の単位は 1[dyn1/2 ] で 1 秒間に流れる電荷として定義し、それをアブクーロン abC と呼びます。なので、アブクーロンは [abC] = [abA · s] = [dyn1/2 · s] となります。また、電荷の次元は L1/2 M 1/2 です

βm = 1 (α = c2 ) では

B = 2βbfm
I1I2= 2βb⇔ fm = 2= 2[dyn/cm]
Itr
1[cm](3)なので、βb = 1 となり、

∇ · E = 4πc2 ρ , ∇ · B = 0 , ∇ × E = −1 ∂E∂B, ∇×B− 2= 4πj∂tc ∂tローレンツ力は Q(E + v × B) です。電場、磁場の次元は{E} = {α}{Q}
L2 L1/2 M 1/2
L1/2 M 1/2= 2=22LTLT2{B} = {βb }{E}TM 1/2= 1/2LL Tとなります。このときは CGS 電磁単位系、略して CGS-emu(electromagnetic units) と呼ばれます。ちなみに、電流の次元に書き換えると SI と一致します。これは µ0 が L, M, T では無次元だからです。
電場の単位は単純に dyn を使って [dyn1/2 /s] と与えられます。電位ポテンシャルの次元は {E} に L をかけたものなので L3/2 M 1/2 /T 2 となり、ボルトに対応するアブボルト (abvolt)abV は1[abV] = 1[dyn1/2 · cm/s]と定義されます。磁場でも同様に単位は [dyn1/2 /cm] と与えられ、これをガウス (gauss)G として1[G] = 1[dyn1/2 /cm]と定義されます。ガウスの定義は、今の磁場においてB=2I
0.5[abA]⇒ 1[G] = 2= 1[dyn1/2 /cm]
r1[cm]と与えられています。

5

今度は Fe から電荷を決めます。CGS 単位系とし、α = 1 と選びます。r = 1[cm] でFe =Q2= 1[dyn]1[cm2 ](4)となる電荷を 1[stC] と定義します。stC はスタットクーロン（静電単位、statcoulomb）と呼ばれ、[stC] = [dyn1/2 ·cm]です。対応する電流の単位はスタットアンペア (statampere)stA で、[stA] = [stC/s] = [dyn1/2 · cm/s] です。電荷の次元は L3/2 M 1/2 /T です。

α = 1 から βm = 1/c2 となりますが、今は Fe から決めているので βb を決めきれません。βb = 1 と選べば、マクスウェル方程式は∇ · E = 4πρ , ∇ · B = 0 , ∇ × E = −∂B
1 ∂E4π, ∇×B− 2= 2j∂tc ∂tc

ローレンツ力は Q(E + v × B) です。電場、磁場の次元は{E} = {α}{Q}
L3/2 M 1/2 1
M 1/2== 1/222LTL
L T{B} = {βb }{E}T
M 1/2 T
M 1/2= 1/2= 3/2
L
L T LL

このときは CGS 静電単位系、略して CGS-esu(electrostatic units) と呼ばれます。
電場の単位は [dym1/2 /cm] で与えられ、電位ポテンシャルは [dym1/2 ] です。ボルトに対応するスタットボルト(statvolt)stV は1[stV] = 1[dym1/2 ]と定義されます。磁場の単位は [dym1/2 · s/cm2 ] です。
電場と磁場の次元が同じになるように βb を決められます。α = 1, βm = 1/c2 なので、電場と磁場の次元は{E} =T{Q}, {B} = {βb }{Q} 3L2
L

これらから、βb が L/T の次元を持つと電場と磁場の次元が揃うので、βb = 1 でなく βb = c と選びます。そうすると、マクスウェル方程式は∇ · E = 4πρ , ∇ · B = 0 , ∇ × E = −1 ∂B
1 ∂E4π, ∇×B−=jc ∂tc ∂tc

ローレンツ力は Q(E + c−1 v × B) です。電荷の次元は L3/2 M 1/2 /T です。電場、磁場の次元は{E} = {B} =1 L3/2 M 1/2
M 1/2= 1/22LTL Tとなり、同じになっています。単位はどちらも cm,g,s で書けば [dyn1/2 /cm] です。このときは CGS ガウス単位系と呼ばれます。電荷、電場の次元が CGS-esu と同じなので、stC が使われます。一方で、磁場の次元は CGS-emuと同じなので、単位にガウスが使われます。これは CGS-emu での磁場を6

B=2I
1 cI=2rc rと書いて、CGS ガウス単位系の磁場にc[cm/s] × 1[abA] = c[cm/s] × 1[dyn1/2 ] = 102 c0 [dyn1/2 · cm/s] = 102 c0 [stA]と対応させればいいです。c0 を無次元の光速の値 2.998 × 108 とし、c[cm/s] ≃ 2.998 × 1010 [cm/s] です。
最後に、ヘヴィサイド・ローレンツ単位系を求めます。CGS ガウス単位系でのマクスウェル方程式にいる 4π を消します。そのためには、SI のように、F, fm に 4π が出てくるようにすればいいので、α = 1/4π, βm = 1/4πc2とします。これによってF =1 Q2= 1[dyn]4π 1[cm2 ]√となり、電荷の単位は [stC/ 4π] になります。βb = c はそのままにして∇ · E = 4παρ , ∇ · B = 0 , ∇ × E = −1 ∂E
1
1 ∂B, ∇×B−= jc ∂tc ∂tc

これをヘヴィサイド・ローレンツ単位系と呼びます。次元は CGS ガウス単位系と同じです。また、マクスウェル方程式から 4π をなくすことを有理化と言います。
単位換算を求めます。SI と CGS-emu での (1),(3) は

fm = 2 × 10−7 [N/A2 ]fm = 2

1[A2 ]= 2 × 10−7 [kg/s2 ]1[m]1[abA2 ]= 2[g/s2 ] = 2 × 10−3 [kg/s2 ]
1[cm]

これらが同じ値になるには

10−4 [abA2 ]10−4 [abA2 ]10−2 [abA2 ]1[A2 ]===
1[cm]10−2 [m]1[m]1[m]となればいいので、アンペアとアブアンペアの関係は

1[A] = 10−1 [abA]
クーロンでも同様で 1[C] = 10−1 [abC] です。
スタットクーロンは、Fe を使うので SI での α = 1/4πϵ0 と CGS-esu での (4) からFe =22µ0 1[A2 · s2 ]1 1[C2 ]−72 2
2 2 1[A · s ]==10[N/A]c[m/s]= 10−7 c20 [m · kg/s2 ]
4πϵ0 1[m2 ]
4πϵ0 µ0 1[m2 ]1[m2 ]

Fe =1[stC2 ]= 1[cm · g/s2 ] = 10−5 [m · kg/s2 ]1[cm2 ]
7(5)

c0 を無次元の光速の値 2.998 × 108 としています。これらが一致するには10−2 c20

22
1[C2 ]
1[stC2 ]−2 2 1[stC ]2 2 1[stC ]=10c=10c=00
1[cm2 ]
10−4 [m2 ]1[m2 ]1[m2 ]なので、クーロンとスタットクーロンは

1[C] = 10c0 [stC](6)

アンペアでも同様で 1[A] = 10c0 [stA] です。アブクーロンとは

1[abC] = 102 c0 [stC] , 1[abA] = 102 c0 [stA]となります。
テスラとガウスの関係は、(2) を cm,g,s を使って

B=µ0 I⇒ 1[T] = 1[N/(A · m)] = 105 × 10−2 [dyn/(A · cm)]
2π rと書けば、1[A] = 10−1 [abA], [abA] = [dyn1/2 ] なので

1[T] = 103 × 10[dyn/(abA · cm)] = 104 [dyn1/2 /cm] = 104 [G]と与えられます。
比例定数だけをまとめると (α = c2 βm , β = βm βb )1µ0SI: α=βm =4πϵ04πCGS-emu: α = c2βm = 11CGS-esu: α=1βm = 2c1CGS ガウス: α=1βm = 2c11
ヘヴィサイド・ローレンツ : α =βm =4π4πc2βb = 1βb = 1βb = 1βb = cβb = cµ04πβ=11β= 2c
1
β=c1
β=4πc
β=

ついでに、素電荷 e の値もまとめておきます。(5),(6),(7) からe ≃ 1.602 × 10−19 [C]e ≃ 1.602 × 10−19 × 3 × 109 [stC] ≃ 4.8 × 10−10 [stC]
1× 10−10 [abC] ≃ 1.6 × 10−20 [abC]3√√√e ≃ 4.8 × 10−10 × 4π[stC/ 4π] ≃ 1.7 × 10−9 [stC/ 4π]e ≃ 4.8 × 10−10 ×[abC] = [dyn1/2 · s], [stC] = [dyn1/2 · cm] です。

8(7)