心身科学 第２巻第１号（43‒48）（2010）

一対比較データのための最尤非対称多次元尺度構成法の適用事例
──東アジア諸国及び関係国間の友好度データの分析──
佐部利

真

吾＊1）

千

野

直

仁＊2）

本研究では，一対比較データのための最尤非対称多次元尺度構成法の適用事例を示す．この方法はAIC により様々な候補モデルを比較でき，また各種対称性仮説を検定することができる．本研究ではこの方法を，拡張された完全三組法により収集した，中国，日本，北朝鮮，ロシア，韓国，アメリカ間の友好度データに適用した．対称性検定の結果，いくつかの対称性仮説は棄却されず，他の対称性仮説に対する検定では概ね有意傾向であった．AIC により，３次元ユークリッド距離モデルが最適モ
３次元の Okada & Imaizumi（1987）によるモデルもほぼ同じ AIC の値を示した．
デルとなったものの，これらの結果は同様の関係を扱った先行研究の結果と比較された．
キーワード：asymmetric multidimensional scaling, maximum likelihood method, paired comparisonⅠ問案している．そして Saburi & Chino（2007）はこの方法を非対称 MDS に拡張した方法を提案した．ここで題多次元尺度構成法（Multidimensional Scaling: MDS）

扱うのは，例えば，ＡとＢ間の非類似度と，ＣとＤ間とは，対象をある次元の空間に埋め込んで対象間の（非）類似度等の関係を表現する手法である．伝統的の非類似度の，どちらが高いかというデータや，完全三組法（the complete method of triads; Torgerson, 1952）には対象間の関係は対称であると仮定されてきたものを用いた，ＡはＢとＣのどちらにより近いかといったの，実際の現象には必ずしも対称でない関係も存在す

データである．

る．小集団内の成員間の好き・嫌いの関係がその典型

本研究では，まず Saburi & Chino（2007）の方法をである．こういった非対称な関係も扱うことができる“非対称” MDS も様々提案されてきている（例えば，（中国，日本，北朝鮮，ロシア，韓国，アメリカ）間

概観し，次にその方法を，東アジア諸国とその関係国

Borg & Groenen, 2007）． 特 に Saburi & Chino（2008）の友好度を調べたデータに適用した事例を示す．そしは非対称 MDS のための最尤的方法を提案し，それをASYMMAXSCAL（ASYMmetric MAXSCAL）と呼んだ．

てそ の 結果を， 同様 の関 係を 評定 尺度 法 で 測 定 しASYMMAXSCAL を 適 用 し た 事 例（Saburi & Chino,

ASYMMAXSCAL は，Takane（1981） に よ る 対 称

2008）との比較により検討する．

MDS のための最尤的方法である MAXSCAL を非対称
MDS に拡張したものであり，モデル選択や最適な尺Ⅱ分析手法の概要

度水準の決定，各種対称性仮説の検定ができる等の特長を有する．この方法が対象にするのは評定尺度法に

１

下位モデル

より得られたデータであり，例えば，人物Ａから人物

本方法は表現モデル，誤差モデル，反応モデルの３Ｂへの好意度を「好き」〜「嫌い」の５段階で第三者

つの下位モデルを仮定する．そのうち表現モデルは非類似度の表現を定義する．ここでは対象 i の対象 j へに尋ねたものがこれにあたる．その一方で，Takane（1978a, b）は一対比較データのための最尤 MDS を提の 非 類 似 度 g i j に つ い て，Okada & Imaizumi（1987）＊１）愛知学院大学大学院心身科学研究科心理学専攻＊２）愛知学院大学心身科学部心理学科（連絡先）〒 470‒0195 愛知県日進市岩崎町阿良池 12 E-mail: saburi@dpc.agu.ac.jp

─ 43 ─

ͨσʔλͰ͋Δɽ
ɼਓ෺ A ͔Βਓ෺ B ΁ͷ޷ҙ౓Λʮ޷͖ʯʙʮ‫͍ݏ‬ʯͷ̑ஈ֊ͰਘͶͨ΋ͷ͕͜Εʹ͋ͨΔɽͦA ͔Βਓ෺
B ΁ͷ޷ҙ౓Λʮ޷͖ʯʙʮ‫͍ݏ‬ʯͷ̑ஈ֊ͰਘͶͨ΋ͷ͕͜Εʹ͋ͨΔɽͦɼਓ෺
Saburi& Chinoʢ2007ʣͷํ๏Λ֓‫͠؍‬ɼ࣍ʹͦͷํ๏Λɼ౦ΞδΞॾࠃͱͦͷ‫Ͱڀݚ‬͸ɼ·ͣํͰɼTakaneʢ1978a, bʣ͸ҰରൺֱσʔλͷͨΊͷ࠷໬ MDS ΛఏҊ͍ͯ͠Δɽͦͯ͠ Saburi
Takaneʢ
1978a,bʣ͸ҰରൺֱσʔλͷͨΊͷ࠷໬ MDS ΛఏҊ͍ͯ͠Δɽͦͯ͠ SaburiํͰɼࠃʢதࠃɼ೔ຊɼ๺ே઱ɼϩγΞɼ‫ࠃؖ‬ɼΞϝϦΧʣؒͷ༑޷ؔ܎Λௐ΂ͨσʔλʹద༻ͨ͠ࣄ
noʢ2007ʣ͸͜ͷํ๏Λඇରশ MDS ʹ֦ுͨ͠ํ๏ΛఏҊͨ͠ɽ͜͜Ͱѻ͏ͷ͸ɼྫ͑͹ɼ
no
ʢ
2007
ʣ͸͜ͷํ๏Λඇରশ
MDS ʹ֦ுͨ͠ํ๏ΛఏҊͨ͠ɽ͜͜Ͱѻ͏ͷ͸ɼྫ͑͹ɼ
ASYMMAXSCAL Λద༻ͨ͠ࣄྫ
ࣔ͢ɽͦͯͦ͠ͷ݁ՌΛɼಉ༷ͷؔ܎Λධఆई౓๏Ͱଌఆ͠
B
ؒͷඇྨࣅ౓ͱɼC ͱ D ؒͷඇྨࣅ౓ͷɼͲͪΒ͕ߴ͍͔ͱ͍͏σʔλ΍ɼ‫׬‬શࡾ૊๏ʢtheBriؒͷඇྨࣅ౓ͱɼ
C
ͱ
Dؒͷඇྨࣅ౓ͷɼͲͪΒ͕ߴ͍͔ͱ͍͏σʔλ΍ɼ‫׬‬શࡾ૊๏ʢ
the& Chino, 2008ʣͱͷൺֱʹΑΓ‫ݕ‬౼͢Δɽ
真吾，千野 直仁
etemethodoftriads;Torgerson,
1952ʣΛ༻͍ͨɼA ͸ B ͱ C 佐部利ͱൺ΂ͯͲͪΒʹΑΓ͍͔ۙͱete method of triads; Torgerson, 1952ʣΛ༻͍ͨɼA ͸ B ͱ C ͱൺ΂ͯͲͪΒʹΑΓ͍͔ۙͱͨσʔλͰ͋ΔɽͨσʔλͰ͋Δɽ
&2007
ʣͷํ๏Λ֓‫͠؍‬ɼ࣍ʹͦͷํ๏Λɼ౦ΞδΞॾࠃͱͦͷ‫Ͱڀݚ‬͸ɼ·ͣ Saburi
2 ࠷໬‫ج‬४
３ データ収集法
によるモデル（OI
モデル）
Saburi& ChinoChinoʢ
ʢ2007
ʣͷํ๏Λ֓‫͠؍‬ɼ࣍ʹͦͷํ๏Λɼ౦ΞδΞॾࠃͱͦͷ‫Ͱڀݚ‬͸ɼ·ͣ෼ੳख๏ͷ֓ཁ
ࠃʢதࠃɼ೔ຊɼ๺ே઱ɼϩγΞɼ‫ࠃؖ‬ɼΞϝϦΧʣؒͷ༑޷ؔ܎Λௐ΂ͨσʔλʹద༻ͨ͠ࣄ
2 ࠷໬‫ج‬४ࠃʢதࠃɼ೔ຊɼ๺ே઱ɼϩγΞɼ‫ࠃؖ‬ɼΞϝϦΧʣؒͷ༑޷ؔ܎Λௐ΂ͨσʔλʹద༻ͨ͠ࣄ
実際のデータ収集場面では，完全三組法が，判断者͢΂ͯͷ૊Έ߹Θͤͷ൑அ͕૬‫ʹޓ‬ಠཱͰ͋Δͱ͢Δͱɼຊํ๏Ͱ࠷େԽ͢΂͖໬౓͸
(1)
g i j = d i j ­ r i +r j,Λద༻ͨ͠ࣄྫ
ࣔ͢ɽͦͯͦ͠ͷ݁ՌΛɼಉ༷ͷؔ܎Λධఆई౓๏Ͱଌఆ͠ԼҐϞσϧ
ASYMMAXSCALΛద༻ͨ͠ࣄྫ
ࣔ͢ɽͦͯͦ͠ͷ݁ՌΛɼಉ༷ͷؔ܎Λධఆई౓๏Ͱଌఆ͠
2 ASYMMAXSCAL࠷໬‫ج‬४
が判断しやすく判断者数も抑えられる．
この収集法は，∏ Y͢΂ͯͷ૊Έ߹Θͤͷ൑அ͕૬‫ʹޓ‬ಠཱͰ͋Δͱ͢Δͱɼຊํ๏Ͱ࠷େԽ͢΂͖໬౓͸ri&Chino,
2008ʣͱͷൺֱʹΑΓ‫ݕ‬౼͢Δɽ
nijkl −Yijkl
ijkl
ri
&
Chino,
2008ʣͱͷൺֱʹΑΓ‫ݕ‬౼͢Δɽ
L
=
p
(1
−
p
)
,
i, ijklj, k の組み合わせについ
g i j に構
g i j = d i j，そしてํ๏͸ද‫ݱ‬Ϟσϧɼ‫ࠩޡ‬Ϟσϧɼ൓ԠϞσϧͷ
3 ͭͷԼҐϞσϧΛԾఆ͢Δɽͦͷ͏ͪද‫ݱ‬Ϟσϧ
本論文の表記ではすべてのと，ユークリッド距離モデル͢΂ͯͷ૊Έ߹Θͤͷ൑அ͕૬‫ʹޓ‬ಠཱͰ͋Δͱ͢Δͱɼຊํ๏Ͱ࠷େԽ͢΂͖໬౓͸∏ Yijkl
nijkl −Yijkl
ijkl
Ω
= o∏
− pijkl ),i ͷର৅ j （saturated
΁ͷඇྨࣅ౓
gij ʹ͍ͭͯɼOkada
ྨࣅ౓ͷද‫ݱ‬Λఆٛ͢Δɽ͜͜Ͱ͸ର৅＞ o iL＜ijkl
representationo i k(1て o&i j Imaizumi
造を仮定しない飽和表現モデル
かを判断させるものである．
kかij p
nijkl −YijklΩ pYijkl (1 − pʣʹΑΔϞσϧʢ
OI
Ϟσϧʣ
L
=
)
ijkl
model: SR モデル）Yただし，非対称性を許すモデルを考える場合，このタ
nijkl ͸ o, ij ͱ okl ͷ૊Έ߹Θͤʹର
，g i j = g j i を仮定したͱॻ͚Δɽ͜͜Ͱɼ
“対称” 飽和ijkl
෼ੳख๏ͷ֓ཁ
ijkl ͸ oij > okl ͱ൑அ͞Εͨ౓਺ɼ෼ੳख๏ͷ֓ཁ
Ω
g
=
d
−
r
+
r
,
(1)
ij モデル）を用いる．ここで，d
ij
i
j
Ω͸
jɼ
ͷ૊Έ߹Θͤͷू߹Ͱ͋அͷ૯਺ɼͱॻ͚Δɽ͜͜Ͱɼ
͸ oij > okl ͱ൑அ͞Εͨ౓਺ɼniɼ͸k ɼoijl ͱ
okl ͷ૊Έ߹Θͤʹର͢kl ʹର͢Δ൑அ͕࣮ࡍʹߦΘΕͨɼ
イプのデータだけでは不定性が生じる恐れがある．そ表現モデル（対称 SRi j oij ͱYo
ijkl
ijkl
ԼҐϞσϧ
“୯Ұ൑அ
ͷ൑அͷಠཱੑΛ֬อ͢Δ୯७ͳํ๏͸ɼ൑அऀ͕།Ұͷ૊Έ߹ΘͤͷΈ൑அ͢Δ
Ω
͸
o
ͱ
o
ʹର͢Δ൑அ͕࣮ࡍʹߦΘΕͨɼ
i
ɼ
j
ɼ
k
ɼ
l
ͷ૊Έ߹Θͤͷू߹Ͱ͋அͷ૯਺ɼͱॻ͚Δɽ͜͜Ͱɼ
Yijkl
oij > okl ͱ൑அ͞Εͨ౓਺ɼ
nijkl ͸ oij ͱ ooklԼҐϞσϧϢʔΫϦου‫཭ڑ‬Ϟσϧ
gij ʹߏ଄ΛԾఆ͠ͳ͍๞࿨ද‫ݱ‬Ϟσϧʢ
＞i, j, k の組み合わせについて
kl ͸saturatedの場合，すべてのは対象 igと対象間のユークリッド距離であり，rij = dijjɼͦͯ͠i は ijj i ͷ૊Έ߹Θͤʹର͢”ʢsingle-judgment
sampling;
Bock&
Jones,
1968ʣΛߦ͏͜ͱͰ͋ΔɽϦϯά“୯Ұ൑அαͷ൑அͷಠཱੑΛ֬อ͢Δ୯७ͳํ๏͸ɼ൑அऀ͕།Ұͷ૊Έ߹ΘͤͷΈ൑அ͢ΔΩ ͸ oij ͱ ooklk i ʹର͢Δ൑அ͕࣮ࡍʹߦΘΕͨɼiɼj ɼk ɼl ͷ૊Έ߹Θͤͷू߹Ͱ͋அͷ૯਺ɼ
entation model: 対象
SR Ϟσϧʣɼgij = gji ΛԾఆͨ͠“ରশ”๞࿨ද‫ݱ‬ϞσϧʢରশSRo Ϟσϧʣi に付随する円（または球，ํ๏͸ද‫ݱ‬Ϟσϧɼ‫ࠩޡ‬Ϟσϧɼ൓ԠϞσϧͷ
3 ͭͷԼҐϞσϧΛԾఆ͢Δɽͦͷ͏ͪද‫ݱ‬Ϟσϧ超球）の半径である．
か
j i ＜ o k i かを判断させたデータを加えることがํ๏͸ද‫ݱ‬Ϟσϧɼ‫ࠩޡ‬Ϟσϧɼ൓ԠϞσϧͷ 3 ͭͷԼҐϞσϧΛԾఆ͢Δɽͦͷ͏ͪද‫ݱ‬Ϟσϧ”ʢsingle-judgment
sampling;
Bock&
Jones,
1968ʣΛߦ͏͜ͱͰ͋ΔɽϦϯά“୯Ұ൑அαͷ൑அͷಠཱੑΛ֬อ͢Δ୯७ͳํ๏͸ɼ൑அऀ͕།Ұͷ૊Έ߹ΘͤͷΈ൑அ͢Δ
d
͸ର৅
i
ͱର৅
j
ؒͷϢʔΫϦου‫͋Ͱ཭ڑ‬Γɼr͸ର৅
iʹ෇ਵ͢Δԁʢ·
͍Δɽ͜͜Ͱɼ
ijiii ͷର৅
j ΁ͷඇྨࣅ౓ gij ʹ͍ͭͯɼOkada&ࣅ౓ͷද‫ݱ‬Λఆٛ͢Δɽ͜͜Ͱ͸ର৅
g i j には誤差が付随すると仮定し，誤差モデルはそ考えられる．
ͷର৅ j ΁ͷඇྨࣅ౓ gijʹ͍ͭͯɼOkada& Imaizumi
Imaizumiࣅ౓ͷද‫ݱ‬Λఆٛ͢Δɽ͜͜Ͱ͸ର৅”ʢsingle-judgment
sampling;
Bock&
Jones,
1968ʣΛߦ͏͜ͱͰ͋ΔɽϦϯά‫ٿ‬ɼ௒‫ٿ‬ʣͷ൒‫͋Ͱܘ‬Δɽ
ʣʹΑΔϞσϧʢ
OIの誤差分布を特定する．ここでは次の加算誤差モデル
ʣʹΑΔϞσϧʢ
OI ϞσϧʣϞσϧʣ
3 σʔλऩू๏
ʹ͸‫෇͕ࠩޡ‬ਵ͢ΔͱԾఆ͠ɼ‫ࠩޡ‬Ϟσϧ͸ͦͷ‫ࠩޡ‬෼෍Λಛఆ͢Δɽ͜͜Ͱ͸࣍ͷՃࢉ‫ࠩޡ‬Ϟ
ggij =drri +
rrj ,,(1)ij −を仮定する：
=
d
−
+
(1)
ij
ij
i
j
3 σʔλऩू๏ ４ モデル比較
ΛԾఆ͢Δɿ
࣮ࡍͷσʔλऩू৔໘Ͱ͸ɼ‫׬‬શࡾ૊๏͕ɼ൑அऀ͕൑அ͠΍͘͢൑அऀ਺΋཈͑ΒΕΔɽ
()ϢʔΫϦου‫཭ڑ‬Ϟσϧ gij(t)= dij ɼͦͯ͠gʹߏ଄ΛԾఆ͠ͳ͍๞࿨ද‫ݱ‬Ϟσϧʢ
saturated
本方
法 は ASYMMAXSCAL と 同 様，AIC（Akaike
ij (t)(t)3 σ2 σʔλऩू๏ϢʔΫϦου‫཭ڑ‬Ϟσϧ gτij ==dijsaturatedeij ∼ N 0,
gijɼͦͯ͠
+ eij , gij ʹߏ଄ΛԾఆ͠ͳ͍๞࿨ද‫ݱ‬Ϟσϧʢ(2)oij> oik(2)͔ oij < oik ͔Λ൑அͤ͞Δ΋ͷͰ͋Δɽͨͩ͠ɼඇରশੑ
ू๏͸ɼຊ࿦จͷද‫Ͱه‬͸
ij .
ij࣮ࡍͷσʔλऩू৔໘Ͱ͸ɼ‫׬‬શࡾ૊๏͕ɼ൑அऀ͕൑அ͠΍͘͢൑அऀ਺΋཈͑ΒΕΔɽ͜
entationmodel:
SR
Ϟσϧʣɼ
g
=
g
ΛԾఆͨ͠
“
ରশ
”
๞࿨ද‫ݱ‬Ϟσϧʢରশ
SR
Ϟσϧʣ
ij
ji
Information
Criterion; Akaike, 1973）
entation model: SR Ϟσϧʣɼgij = gji ΛԾఆͨ͠2 “ରশ”๞࿨ද‫ݱ‬Ϟσϧʢରশ SR ϞσϧʣojϞσϧΛߟ͑Δ৔߹ɼ͜ͷλΠϓͷσʔλ͚ͩͰ͸ෆఆੑ͕ੜ͡Δ‫ڪ‬Ε͕͋Δɽͦͷ৔߹ɼo>o͔ू๏͸ɼຊ࿦จͷද‫Ͱه‬͸࣮ࡍͷσʔλऩू৔໘Ͱ͸ɼ‫׬‬શࡾ૊๏͕ɼ൑அऀ͕൑அ͠΍͘͢൑அऀ਺΋཈͑ΒΕΔɽ͜Ͱ(t)͸൑அͷ‫ػ‬ձΛࣔ͠ɼ͜ΕҎ߱͸লུ͢Δɽσʹ͍ͭͯ͸ɼ͜͜Ͱ͸iɼjʹ‫ڞ‬௨ͷύϥ
ijik͸ର৅ i ͱର৅j ؒͷϢʔΫϦου‫͋Ͱ཭ڑ‬Γɼ
rri ͸ର৅
ii ʹ෇ਵ͢Δԁʢ·ʹ෇ਵ͢Δԁʢ· oij < oik ͔Λ൑அͤ͞Δ΋ͷͰ͋Δɽͨͩ͠ɼඇରশੑ
͍Δɽ͜͜Ͱɼdijここでij
は判断の機会を示し，これ以降は省略する．
͍Δɽ͜͜Ͱɼdij ͸ର৅(t)i ͸ର৅
2i ͱର৅
2 j ؒͷϢʔΫϦου‫͋Ͱ཭ڑ‬Γɼ͔o<o͔Λ൑அͤͨ͞σʔλΛՃ͑Δ͜ͱ͕ߟ͑ΒΕΔɽoϞσϧΛߟ͑Δ৔߹ɼ͜ͷλΠϓͷσʔλ͚ͩͰ͸ෆఆੑ͕ੜ͡Δ‫ڪ‬Ε͕͋Δɽͦͷ৔߹ɼ
o
>
o
͔
o
<
o
͔Λ൑அͤ͞Δ΋ͷͰ͋Δɽͨͩ͠ɼඇରশੑ
ू๏͸ɼຊ࿦จͷද‫Ͱه‬͸
(6)
‒
+
AIC
2
ln
L
2í,
ji
ki
＝
σ
=
σ
ͱ͢Δɽ
λΛԾఆ͢Δɽͭ·Γɼ
ji
ij
ik
ij
ik
2
‫ٿ‬ɼ௒‫ٿ‬ʣͷ൒‫͋Ͱܘ‬Δɽ
iji，j に共通のパラメータを
ó i j については，ここでは‫ٿ‬ɼ௒‫ٿ‬ʣͷ൒‫͋Ͱܘ‬Δɽ͔o<o͔Λ൑அͤͨ͞σʔλΛՃ͑Δ͜ͱ͕ߟ͑ΒΕΔɽoϞσϧΛߟ͑Δ৔߹ɼ͜ͷλΠϓͷσʔλ͚ͩͰ͸ෆఆੑ͕ੜ͡Δ‫ڪ‬Ε͕͋Δɽͦͷ৔߹ɼ
i
ͷର৅
j
΁ͷྨࣅ౓
o
͕ɼର৅
k
ԠϞσϧ͸൑அऀͷ൑அաఔΛಛఆ͢Δɽ൑அऀ͸ɼର৅
ji
ki
ji
ij
ʹ͸‫෇͕ࠩޡ‬ਵ͢ΔͱԾఆ͠ɼ‫ࠩޡ‬Ϟσϧ͸ͦͷ‫ࠩޡ‬෼෍Λಛఆ͢Δɽ͜͜Ͱ͸࣍ͷՃࢉ‫ࠩޡ‬Ϟ
22ʹ͸‫෇͕ࠩޡ‬ਵ͢ΔͱԾఆ͠ɼ‫ࠩޡ‬Ϟσϧ͸ͦͷ‫ࠩޡ‬෼෍Λಛఆ͢Δɽ͜͜Ͱ͸࣍ͷՃࢉ‫ࠩޡ‬Ϟ仮定する．つまり，ó i j = ó とする． ͔ o < o ͔Λ൑அͤͨ͞σʔλΛՃ͑Δ͜ͱ͕ߟ͑ΒΕΔɽ
によりモデル間でデータとの適合度を比較でき，最適
৅
l
΁ͷྨࣅ౓
o
ΑΓେ͖͍ʢo>oͱද‫͢ه‬Δʣ͔Ͳ͏͔Λ൑அ͢Δ΋ͷͱ͢Δɽ͜͜Ͱɼ
ji
ki
kl
ij
kl
ΛԾఆ͢ΔɿΛԾఆ͢Δɿ
( 4 2 ))Ϟσϧൺֱ
反応モデルは判断者の判断過程を特定する．判断者
なモデルを選ぶことができる．ここで，í はモデルの(t) g ɼτ (t)Λࠞಉ͠ͳ͍Α͏ʹ஫ҙ͢Δɽαʔετϯͷ(t)oij ͱɼϞσϧ্ͷऀͷ൓Ԡͷද‫͋Ͱه‬Δ(t) , ij(t) = gij + eij(2)eeij(t)
∼N
N (0,
0, σ
σij
ττij
2 .
ij ∼
.
(2)
,
=
g
+
e
ij
4
Ϟσϧൺֱ
ij k の対象 lij
ijo i j が，対象
OI モデル，iijの対象j への類似度は，対象
有効パラメータ数である．
候補モデルには，
lawof comparative
judgmentoij >okl ͱ൑அ͞ΕΔ֬཰͸ɼ൑அͷ๏ଇʢThurstone’sຊํ๏͸
ASYMMAXSCALͱಉ༷ɼAICʢAkaike
Information Criterion;
Akaike, 1973ʣ
2 ʣʹ४͡ɼ
Ͱ (t) ͸൑அͷ‫ػ‬ձΛࣔ͠ɼ͜ΕҎ߱͸লུ͢Δɽσijiɼjʹ‫ڞ‬௨ͷύϥ
2 ʹ͍ͭͯ͸ɼ͜͜Ͱ͸
4
Ϟσϧൺֱ
Ͱ
(t)
͸൑அͷ‫ػ‬ձΛࣔ͠ɼ͜ΕҎ߱͸লུ͢Δɽσʹ͍ͭͯ͸ɼ͜͜Ͱ͸iɼjʹ‫ڞ‬௨ͷύϥ
＞SR モデAkaike, 1973ʣoo
ユークリッド距離モデル，SR
モデル，対称への類似度より大きい（oと表記する）かkl
ij
ij k l‫ࠩޡ‬ϞσϧͷԼͰɼຊํ๏͸
ASYMMAXSCAL
ͱಉ༷ɼ
AIC
ʢ
AkaikeInformation
Criterion;2
2
λΛԾఆ͢Δɽͭ·Γɼσij
2 = σ 2 ͱ͢Δɽσij
= σ ͱ͢ΔɽλΛԾఆ͢Δɽͭ·Γɼ
AIC = −2 ln L + 2ν,
３つの下位モデルのいずれも仮定しない“飽ルに加え，どうかを判断するものとする．ここで，判断者の反応
ຊํ๏͸
ASYMMAXSCALͱಉ༷ɼAICʢAkaike Information Criterion; Akaike, 1973ʣ
iͷର৅ j ΁ͷྨࣅ౓o͕ɼର৅kԠϞσϧ͸൑அऀͷ൑அաఔΛಛఆ͢Δɽ൑அऀ͸ɼର৅
p
=
Pr(τ
<
0),
(3)
ij
ijkl
ijkl
j ΁ͷྨࣅ౓和モデル”（saturatedoij ͕ɼର৅ k AIC model）も含めることができる．
ԠϞσϧ͸൑அऀͷ൑அաఔΛಛఆ͢Δɽ൑அऀ͸ɼର৅= −2 ln L + 2ν,g i j ，ôii jͷର৅の表記である o と，モデル上の
を混同しな
∫ 0
৅ l ΁ͷྨࣅ౓ okl ΑΓେ͖͍ʢoiji j > okl ͱද‫͢ه‬Δʣ͔Ͳ͏͔Λ൑அ͢Δ΋ͷͱ͢Δɽ͜͜Ͱɼ
ʹΑΓϞσϧؒͰσʔλͱͷద߹౓ΛൺֱͰ͖ɼ࠷దͳϞσϧΛબͿ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜͜Ͱɼ৅ l ΁ͷྨࣅ౓ okl ΑΓେ͖͍ʢoij >=okl ͱද‫͢ه‬Δʣ͔Ͳ͏͔Λ൑அ͢Δ΋ͷͱ͢Δɽ͜͜Ͱɼ
AIC= −2 ln L + 2ν,ϕ(τijkl ) dτijkl ,(4)飽和モデルでは，pいよう
注 意する．サーストンの比較判断の法則
i j k l を直接 Y i j k l/n i j k l と推定する．
o にͱɼϞσϧ্ͷg−∞τij Λࠞಉ͠ͳ͍Α͏ʹ஫ҙ͢Δɽαʔετϯͷऀͷ൓Ԡͷද‫͋Ͱه‬Δ
OI ϞσϧɼϢʔΫϦου‫཭ڑ‬ϞσϧɼSR Ϟσϧͷ༗ޮύϥϝʔλ਺Ͱ͋ΔɽީิϞσϧʹ͸ɼij ɼʹΑΓϞσϧؒͰσʔλͱͷద߹౓ΛൺֱͰ͖ɼ࠷దͳϞσϧΛબͿ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜͜Ͱɼ
ऀͷ൓Ԡͷද‫͋Ͱه‬Δ oijij ͱɼϞσϧ্ͷ gij ɼτij Λࠞಉ͠ͳ͍Α͏ʹ஫ҙ͢Δɽαʔετϯͷlawof comparative
judgment）に準じ，o（Thurstone’s
さらに，対称性を仮定した“対称” 飽和モデルも取りi j ͱ൑அ͞ΕΔ֬཰͸ɼ
lawofcomparative
judgment
ʣʹ४͡ɼ
o
>
o
൑அͷ๏ଇʢThurstone’sSRϞσϧʹՃ͑ɼ
3ͭͷԼҐϞσϧͷ͍ͣΕ΋Ծఆ͠ͳ͍
“๞࿨Ϟσϧ”ʢsaturated SR
mod
ରশ
ij >
OI
ϞσϧɼϢʔΫϦου‫཭ڑ‬ϞσϧɼϞσϧͷ༗ޮύϥϝʔλ਺Ͱ͋ΔɽީิϞσϧʹ͸ɼʹΑΓϞσϧؒͰσʔλͱͷద߹౓ΛൺֱͰ͖ɼ࠷దͳϞσϧΛબͿ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜͜Ͱɼ
2 okl ͱ൑அ͞ΕΔ֬཰͸ɼ
Thurstone’s
judgment൑அͷ๏ଇʢ
͚Δɽ͜͜Ͱɼ
τijkl = τijlaw− τofͰ͋Γɼϕ ͸ฏ‫ۉ‬gij −ʣʹ४͡ɼgkl
ɼ෼ࢄo2σͷਖ਼‫ن‬෼෍ͷີ౓ؔ਺Ͱ
ijkl
kl comparative＞ o k l と判断される確率は，加算誤差モデルの下で，入れることができる．
‫ࠩޡ‬ϞσϧͷԼͰɼ
p
Λ௚઀
Y
/n
ͱਪఆ͢Δɽ͞ΒʹɼରশੑΛ‫ؚ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ๞࿨ϞσϧͰ͸ɼ
SRϞσϧʹՃ͑ɼ
3ͭͷԼҐϞσϧͷ͍ͣΕ΋Ծఆ͠ͳ͍
“
๞࿨Ϟσϧ
”
ʢ
saturatedmodରশ
OIϞσϧɼϢʔΫϦου‫཭ڑ‬ϞσϧɼSRϞσϧͷ༗ޮύϥϝʔλ਺Ͱ͋ΔɽީิϞσϧʹ͸ɼ
ijkl
ijkl
ijkl
‫ࠩޡ‬ϞσϧͷԼͰɼɽ”๞࿨Ϟσϧ΋औΓೖΕΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ
ͨ “ରশ
p
Λ௚઀
Y
/n
ͱਪఆ͢Δɽ͞ΒʹɼରশੑΛ‫ؚ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ๞࿨ϞσϧͰ͸ɼ
SRϞσϧʹՃ͑ɼ
3ͭͷԼҐϞσϧͷ͍ͣΕ΋Ծఆ͠ͳ͍
“
๞࿨Ϟσϧ
”
ʢ
saturated
mod
ରশ
ijkl
ijkl
ijkl
p
= Pr(τ
Pr(τijkl <
0),
(3)
(3)
ijkl
pijkl
=
(3) p
ijkl < 0),５ 対称性検定∫“ରশ”๞࿨Ϟσϧ΋औΓೖΕΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽͨ‫ؚ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ๞࿨ϞσϧͰ͸ɼ
ijkl Λ௚઀ Yijkl /nijkl ͱਪఆ͢Δɽ͞ΒʹɼରশੑΛ
∫ 00
=
ϕ(τ
ASYMMAXSCAL と同様，各種対称性仮
本方法は (4)ͨ, “ରশ”๞࿨Ϟσϧ΋औΓೖΕΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ
=ϕ(τijkl )) dτdτijkl(4)
ijkl ,(4)−∞ f ijkl
5ରশੑ‫ݕ‬ఆ−∞説を検定することができる．本方法で検定できる対称25ɼ෼ࢄରশੑ‫ݕ‬ఆ
͚Δɽ͜͜Ͱɼτijkl = τij − τkl Ͱ͋Γɼϕ ͸ฏ‫ ۉ‬gij − gkl
2σͷਖ਼‫ن‬෼෍ͷີ౓ؔ਺Ͱ
͚Δɽ͜͜Ͱɼτijkl= τij − τkl Ͱ͋Γɼ͸ฏ‫ۉ‬
− gkl ɼ෼ࢄ2σ 2ASYMMAXSCALͷਖ਼‫ن‬෼෍ͷີ౓ؔ਺Ͱ
gij
ô i j ‒ ô gk lijであり，fຊํ๏͸ͱಉ༷ɼ֤छରশੑԾઆΛ‫ݕ‬ఆ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽຊํ๏Ͱ‫ݕ‬性仮説は３種類ある．その１つは飽和モデルに基づくと書ける．ここで，ô
は平均
i j kϕl =ɽ
5 ରশੑ‫ݕ‬ఆɽ
3 छྨ͋Δɽͦͷ
1 ͭ͸๞࿨Ϟσϧʹ‫ͮ͘ج‬΋ͷͰɼσʔλऩू๏ʹΑΓҟͳΔରশੑԾઆ͸‒ g k l，分散 2ó 2 の正規分布の密度関数である．
ຊํ๏͸ ASYMMAXSCALͱಉ༷ɼ֤छରশੑԾઆΛ‫ݕ‬ఆ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽຊํ๏Ͱ‫ݕ‬ఆ
もので，データ収集法により異なるものの，上述した“֦ு”‫׬‬શࡾ૊๏ʹΑΔσʔλͰ͸ɼͷɼ্ड़ͨ͠
3 छྨ͋Δɽͦͷ
1 ͭ͸๞࿨Ϟσϧʹ‫ͮ͘ج‬΋ͷͰɼσʔλऩू๏ʹΑΓҟͳΔ
ΔରশੑԾઆ͸ຊํ๏͸ ASYMMAXSCALͱಉ༷ɼ֤छରশੑԾઆΛ‫ݕ‬ఆ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽຊํ๏Ͱ‫ݕ‬ఆ“拡張” 完全三組法によるデータでは，”‫׬‬શࡾ૊๏ʹΑΔσʔλͰ͸ɼͷɼ্ड़ͨ͠ “֦ு
3 छྨ͋Δɽͦͷ
1 ͭ͸๞࿨Ϟσϧʹ‫ͮ͘ج‬΋ͷͰɼσʔλऩू๏ʹΑΓҟͳΔ
ΔରশੑԾઆ͸
２ 最尤基準(cs/ct)H0: pijik = pjiki ,for all i and j > k,k, (7)“
֦ு”‫׬‬શࡾ૊๏ʹΑΔσʔλͰ͸ɼͷɼ্ड़ͨ͠
࠷໬‫ج‬४
すべての組み合わせの判断が相互に独立であるとす(cs/ct)H0: pijik = pjiki ,for all i and j > k,ͱॻ͚Δɽ࢒Γͷ 2 ͭͷରশੑԾઆ͸SR Ϟσϧͱ OI Ϟσϧʹ‫ͮ͘ج‬΋ͷͰɼͦΕͧΕ
SR(cs/ct)ると，本方法で最大化すべき尤度はと書ける．残りの２つの対称性仮説はそれぞれ: pijik = pjiki ,for all i and j > k, モ΂ͯͷ૊Έ߹Θͤͷ൑அ͕૬‫ʹޓ‬ಠཱͰ͋Δͱ͢Δͱɼຊํ๏Ͱ࠷େԽ͢΂͖໬౓͸H0
ͱॻ͚Δɽ࢒Γͷ 2 ͭͷରশੑԾઆ͸SR Ϟσϧͱ OI Ϟσϧʹ‫ͮ͘ج‬΋ͷͰɼͦΕͧΕ
デルと OI
モデルに基づくもので，それぞれ(s/sr)∏ Y
H0: gij = gji ,(1 ≤ i < j ≤ n),n−Yijklijkl
2ͭͷରশੑԾઆ͸SR Ϟσϧͱ OI Ϟσϧʹ‫ͮ͘ج‬΋ͷͰɼͦΕͧΕ
L=
pijkl(1 − pijkl ) ijkl ͱॻ͚Δɽ࢒Γͷ
,
(5)
(5)
(s/sr)(s/oi) : g = g ,
(8)
H
(1
H00
rij
Ω
1 = r2ji= · · · = r≤n , i < j ≤ n),(s/sr)(s/oi)
H:: gr1ij ==rg2ji=, · · · =(1r≤
i < j ≤ n),
H00n,
Yijkl は oij ＞ okl nと判断された度数，と書ける．
͚Δɽ͜͜ͰɼYijkl
͸ oij >ここで，okl ͱ൑அ͞Εͨ౓਺ɼ͸ oij ͱ okl ͷ૊Έ߹Θͤʹର͢Δ൑
ijklͱॻ͚Δɽ͜͜Ͱn ͸ର৅ͷ਺Ͱ͋Δɽຊํ๏Ͱ͸ɼ͜ΕΒͷରশੑԾઆΛ໬౓ൺ౷‫ʹྔܭ‬Α(s/oi)(9)
H0: r1 = r2 = · · · = rn ,iɼj ɼk ɼl ͷ૊Έ߹Θͤͷू߹Ͱ͋Δɽ͜
૯਺ɼΩ ͸ oij ͱ onkli j kʹର͢Δ൑அ͕࣮ࡍʹߦΘΕͨɼl は o i j と o k l の組み合わせに対する判断の総数，
Ͱ͖Δɽ
ͱॻ͚Δɽ͜͜Ͱn ͸ର৅ͷ਺Ͱ͋Δɽຊํ๏Ͱ͸ɼ͜ΕΒͷରশੑԾઆΛ໬౓ൺ౷‫ʹྔܭ‬ΑΓ“୯Ұ൑அαϯϓ
அͷಠཱੑΛ֬อ͢Δ୯७ͳํ๏͸ɼ൑அऀ͕།Ұͷ૊Έ߹ΘͤͷΈ൑அ͢ΔΩ は o i j と o k l に対する判断が実際に行われた，と書ける．ここで n は対象の数である．本方法では，こͰ͖Δɽi，j，k， n ͸ର৅ͷ਺Ͱ͋Δɽຊํ๏Ͱ͸ɼ͜ΕΒͷରশੑԾઆΛ໬౓ൺ౷‫ʹྔܭ‬ΑΓͱॻ͚Δɽ͜͜Ͱ
sampling; Bock & Jones, 1968ʣΛߦ͏͜ͱͰ͋Δɽά” ʢsingle-judgmentl の組み合わせの集合である．この判断の独立性を確
れらの対称性仮説を尤度比統計量により検定できる．
Ͱ͖Δɽ
保する単純な方法は，判断者が唯一の組み合わせを判σʔλऩू๏ 断 す る “ 単 一 判 断 サ ン プ リ ン グ ”（single-judgment

sampling; Bock & Jones, 1968）を行うことである．
ࡍͷσʔλऩू৔໘Ͱ͸ɼ‫׬‬શࡾ૊๏͕ɼ൑அऀ͕൑அ͠΍͘͢൑அऀ਺΋཈͑ΒΕΔɽ͜ͷऩ͸ɼຊ࿦จͷද‫Ͱه‬͸ oij > oik ͔ oij < oik ͔Λ൑அͤ͞Δ΋ͷͰ͋Δɽͨͩ͠ɼඇରশੑΛ‫͢ڐ‬oji > okiϧΛߟ͑Δ৔߹ɼ͜ͷλΠϓͷσʔλ͚ͩͰ͸ෆఆੑ͕ੜ͡Δ‫ڪ‬Ε͕͋Δɽͦͷ৔߹ɼ
─ 44 ─
< oki ͔Λ൑அͤͨ͞σʔλΛՃ͑Δ͜ͱ͕ߟ͑ΒΕΔɽ

一対比較データのための最尤非対称 MDS の適用事例

Ⅲ

方

表１

法
対称性仮説

調査は，2009年６月〜７月に愛知県内の複数の大対称性検定の結果

次元数

χ2

自由度

p-値

1

9.29

5

0.098

2

9.10

5

0.105

3

9.42

5

0.093

4

9.45

5

0.093

(s/oi)

H0

学において大学生を対象に行った．そのうち，回答のあった 1800名の日本人の大学生のデータを分析の対象とした．対象者は男性1003名，女性 797名で，平均
年齢は 19.13歳，標準偏差は1.55であった．各対象者は，Ａの政府がより友好的なのはＢの政府とＣの政府のど

5

9.45

5

0.093

(s/sr)

−

17.17

15

0.309

(cs/ct)

−

64.93

60

0.309

H0

ちらだと思うか，または，Ａの政府に対してより友好

H0

的なのはＢの政府とＣの政府のどちらだと思うか，のいずれかを，中国，日本，北朝鮮，ロシア，韓国，ア

表２

メリカの中から無作為に割り当てられたＡ，Ｂ，Ｃの組み合わせについて判断した．したがって設問は全部で 120通りあり，１つの設問につき15名の対象者が割各候補モデルの適合度

候補モデル

次元数

AIC

lnL

í

OI モデル

1

67.00‒1022.00

10

2

9.29

‒989.15

14

3

0.80

‒981.90

17

4

3.91

‒981.45

19

り当てられた．このように１人の対象者につき１つの判断を求める単一判断サンプリングを行ったのは，上述したように分析手法がすべての組み合わせの判断の独立性を仮定しているためである．

Ⅳ

結

5

5.91

‒981.45

20

1

66.28

‒1026.64

5

2

8.39

‒993.70

9

3

0.22

‒986.61

12

4

3.35

‒986.18

14

5

5.35

‒986.18

15

SR モデル−

16.18‒977.5929

対称 SR モデル−

3.35

‒986.18

14

飽和モデル

−

69.01

‒913.01120

対称飽和モデル−

13.94‒945.47

60

ユークリッド距離モデル

果

対称性検定の結果を表１に示す．これより，H0(cs/ct)と H0(s/sr)

は棄却されず，H0(s/oi)の検定では概ね有意傾向であることがわかる．

各候補モデルの適合度を表２に示す．これより，３次元ユークリッド距離モデルが最適モデルであることがわかる．なお，３次元 OI モデルの AIC は最適モデ
ルの AIC よりも若干大きいものの，ほぼ同じ値であ注１）lnL は対数尤度，í はモデルの有効パラメータ数を示す．
注２）AIC からはあらかじめ 1997 を引いてある．

ることがわかる．図１に３次元ユークリッド距離モデ
ルで得られた布置を，図２に３次元 OI モデルで得られた布置と付随する球を，それぞれ示す．なお，
図１の
D3

D3

RussiaRussia
USA

D2

Japan
USA

South Korea
China

North Korea

D1

図２

３次元ユークリッド距離モデルで得られた布置─ 45 ─South Korea
China

D2

North Korea

図１

Japan

３次元 OI モデルで得られた布置と付随する球D1

佐部利 真吾，千野直仁

布置は主軸回転を施したもので，図２の布置は図１の布置に近づけるように Schönemann & Carroll（1970）に

い上に，それ以外の国の球は無視できるほど小さい（半

よるプロクラステス問題の解法を適用したものであ

北朝鮮の球の半径は０としてある）ことから，全体と径のパラメータの不定性のため，６カ国中最小である
して先行研究よりも歪対称性が小さいことがわかる．

る．

Ⅴ

考

これは，３次元 OI モデルよりも３次元ユークリッド
距離モデルの方が AIC 基準で適合が若干ではあるが察良かったことや，対称性検定の結果と概ね整合する．
(s/oi)
対称性検定の結果，H0の検定では概ね有意傾向であり，他の仮説は棄却されない結果となった．同様

この歪対称性の小ささについても，上述したデータ収集法の違いが影響している可能性が考えられる．

の国家間友好度（ただしロシアを含まない）を評定尺
度法により調べたデータに ASYMMAXSCAL を適用した事例（Saburi & Chino, 2008）では，いずれの対称性仮説も棄却されている．これには，今回はロシアを含めている点や調査時期による国際情勢の違いがある
他，特にデータ収集法の違いが影響していると考えられる．評定尺度データは，ある国から別のある国への謝

辞

本研究におけるデータ収集に際しては，愛知県内の複数の大学で授業の時間をお借りし，実施させていただいた．貴重な授業の時間を割いていただいた先生方，ご協力いただ
いた学生の皆様に謝意を表わす．

友好度を「友好的」「敵対的」などのカテゴリーに分類したものであり，絶対的な評価であるのに対し，今引用文献

回の一対比較データは，ある国から別のある国への友Akaike, H. (1973). Information theory and an extension of the
maximum likelihood principle. In B. N. Petrov & F. Csaki(Eds.), The second international symposium on information
theory. Budapest: Akadémiai Kiado.
Bock, R. D., & Jones, L. V. (1968). The measurement andprediction of judgment and choice. San Francisco: HoldenDay.
Borg, I., & Groenen, P. J. F. (2007). Modern multidimensional
scaling: theory and applications (2nd edition). New York:
Springer.
Okada, A., & Imaizumi, T. (1987). Nonmetric multidimensional
scaling of asymmetric proximities. Behaviormetrika, 21,
81‒96.
Saburi, S., & Chino, N. (2007). An ML asymmetric MDS for
paired commparison data. Abstracts of the 72nd Annual
Meeting of the Psychometric Society (p. 9). Tokyo, Japan.
Saburi, S., & Chino, N. (2008). A maximum likelihood method
for an asymmetric MDS model. Computational Statistics
and Data Analysis, 52, 4673‒4684.
Schönemann, P. H., & Carroll, R. M. (1970). Fitting one matrix
to another under choice of a central dilation and a rigid
motion. Psychometrika, 35, 245‒255.
Takane, Y. (1978a). A maximum likelihood method for nonmetricmultidimensional scaling: I. The case in which all empiricalpairwise orderings are independent- Theory. Japanese
Psychological Research, 20, 7‒17.
Takane, Y. (1978b). A maximum likelihood method fornonmetric multidimensional scaling: II. The case in which
all empirical pairwise orderings are independentEvaluations. Japanese Psychological Research, 20, 105‒114.

好度を第３の国との比較によって得ており，相対的な評価である．また，今回の拡張完全三組法によるデー
タ収集では，o i j と o j i を直接比較することは求めていない．そのため，H0(cs/ct)もあくまで間接的に対称性を定義しているに過ぎない．こういった今回のデータの性質が，先行研究とは異なる対称性検定の結果をもたらした可能性が考えられる．
図１と図２より，最適モデルである３次元ユークリ
ッド距離モデルの布置と，最適モデルに近い AIC を示した３次元 OI モデルの布置は，ほぼ一致している
ことがわかる．この共通の布置の第１次元では，
日本・アメリカと北朝鮮が対峙しており，中間に韓国，中国，
ロシアが位置している．同様の次元は Saburi & Chino（2008）においても得られている．第２次元では韓国とロシアが対峙しており，第３次元はそれらの両国と他の国との対立軸であることがわかる．
また，最適モデルではないものの，適合度がほぼ同じであった３次元 OI モデルにおいて得られた球については，日本の球が他国に比べ大きいことがわかる．
球の大きさは，他国に対して友好的で，他国からは敵対的に見られるという歪対称性を示しており，日本におけるこの傾向は Saburi & Chino（2008）においても得られている．加えて，本研究ではロシアの球も日本に次いで大きいことを示している．ただし，今回得られた日本の球は Saburi & Chino で得られた球よりも布置に対して相対的に小さく，ロシアの球はさらに小さ─ 46 ─

一対比較データのための最尤非対称 MDS の適用事例
Takane, Y. (1981). Multidimensional successive categories
scaling: A maximum likelihood method. Psychometrika, 46,
9‒28.

Torgerson, W. S. (1952). Multidimensional scaling: I. Theory
and method. Psychometrika, 17, 401‒419.
最終版平成 21年 12 月 25 日受理

─ 47 ─

Journal of the Institute for Psychological and Physical Science, Vol. 2, No. 1, 43‒48, 2010

An Application of Maximum Likelihood Asymmetric Multidimensional
Scaling for Paired Comparison Data
—Analysis of Friendship Data Among Nations in East Asia and the Related Nations—
Shingo SABURI, Naohito CHINO
Abstract
This study shows an application of maximum likelihood asymmetric multidimensional scaling for paired
comparison data. This method enables us to compare various candidate models by AIC, and to test several
symmetry hypotheses. It was applied to the friendship data among China, Japan, North Korea, Russia, South
Korea, and the U.S.A., which was collected by an expanded complete method of triads. As a result, somesymmetry hypotheses were not rejected and others were largely tended to be rejected. According to AIC, threedimensional Euclidean distance model was the most optimal model, but three-dimensional Okada and Imaizumi(1987)’s model showed almost the same AIC value. These results were compared with those of the preceding
study dealing with the similar relationship.
Keywords: asymmetric multidimensional scaling, maximum likelihood method, paired comparison

─ 48 ─