電子-陽子散乱

電子と陽子の散乱を考えます。ただし、陽子はディラック方程式に従うとして近似したものです (陽子は内部構造を持つので点粒子ではない)。
ラザフォード散乱では運動量は保存されませんでしたが、今回は標的が動くので、運動量も保存されます。

「ラザフォード散乱」では 4 元ベクトルポテンシャル Aµ のうちクーロンポテンシャルしか考えませんでしたが、ここでは 3 次元ベクトルポテンシャル部分も含めた４次元ベクトルになります。また、電子-陽子散乱の様子
は下の図のように書かれます。

Aµ はマクスウェル方程式に従い□Aµ (x) − ∂ µ ∂ν Aν (x) = 4πκe J µµνAµ を κ−1b A としています。ローレンツゲージ ∂ν A = 0 を取ることにして□Aµ (x) = 4πκe J µ
これから、ディラック方程式と同じように伝播関数を作ります。電磁場の伝播関数 DF (x, y) が従う方程式は□x DF (x, y) = 4πκe δ(x − y)と定義します。□x は x の微分であることを表わしますが、混乱が起きなそうなときは x を外して書きます。DF (x, y)
は差 x − y のみに依存しているとして (並進不変性)、フーリエ変換は∫DF (x, y) =d4 k
exp[−ik · (x − y)]DF (k)(2π)4

これとデルタ関数∫δ (x − y) =4d4 k
exp[−ik · (x − y)](2π)41から□x DF (x, y) = 4πκe δ(x − y)□x∫)d4 k4πκed4 k exp[−ik · (x − y)]D(k)exp[−ik·(x−y)]=F(2π)4(2π)4∫∫42− d k k DF (k) exp[−ik · (x − y)] = 4πκe d4 k exp[−ik · (x − y)](∫なので、DF はDF (k) = −4πκek2

これは k 2 ̸= 0 の必要があります。しかし、積分の範囲は k 2 = 0 を横切っているので、ここでも極の避け方を設定する必要があります。
すでに伝播関数と呼んでいるように、ディラック方程式と同じように微小部分 iϵ を加えるだけでよく4πκeDF (k) = − 2k + iϵ
これが運動量表示での電磁場の伝播関数の形になり、電子の伝播関数と同じように QED での中心的なものです(+iϵ を加えたことから分かるように、時間の進みが過去から未来と、未来から過去の両方を含んでいる)。ただし、伝播関数と言ったときはDFµν (k) = −4πκe g µνk 2 + iϵとしたものを指すのが一般的です。
また、ここでの話からは分からないですが、電磁場を量子化すると光子が出てくることから、DF は光子の伝播関数とも呼ばれます。これは場の量子論の範疇です。光子は電子と違い電荷がないために、光子とその反粒子とには区別がないです。このため、光子に関しては粒子、反粒子の意味が同じになっています (光子の反粒子は光子)。
そして、未来から過去へ進む負エネルギー粒子 (光子) が、過去から未来へ進む正エネルギー反粒子 (光子) になるというのは電子と同じです。
位置表示での DF (x, y) は∫DF (x, y) =d4 k −4πκe −ik(x−y)e(2π)4 k 2 + iϵとなり、Aµ (x) は∫µA (x) =d4 yDF (x, y)J µ (y)2

両辺に □x を作用させれば成立していることが確かめられます。この Aµ (x) を S 行列にいれれば、入射してくる電子を「ラザフォード散乱」と同じように、波動関数を平面波 ϕi として∫
S = − iqd4 xψ f (x)γ µ Aµ (x)ϕi (x)∫∫= − iqd4 xψ f (x)γ µd4 yDF (x, y)Jµ (y)ϕi (x)∫= −id4 xd4 y(qψ f (x)γµ ϕi (x))DF (x, y)J µ (y)括弧部分は「ラザフォード散乱」でも触れたように電子のカレントに相当し (q = −e)、入射してくる始状態と散乱後の終状態によるものなので、遷移カレント (transition current) と呼ばれます。いちいち遷移カレントと呼ばずにカレントと呼ぶことが多いです。
マクスウェル方程式での J µ は電流密度なので、これは陽子によって発生していると考えられます。そして、陽子はディラック方程式に従うとしているので J µ はそのカレントとします。なので、陽子の電荷 q = +e にして、eψγ µ Aµ ψ とします。そして、電子と同様に始状態から終状態へのカレントになっているはずなのでPJ µ (y) = eψf (y)γ µ ψiP (y)添え字の P は陽子を表わします。このように、S 行列は DF (x, y) を無視すれば、カンレト × カレントという構造にします。
陽子は電子と質量が異なるだけとし、陽子の波動関数を電子の平面波によって√Mu(Pi , Si ) exp[−iPi · y]EiP VψiP (y) =√ψfP (y) =Mu(Pf , Sf ) exp[−iPf · y]
EfP V

M は陽子の質量です。大文字の運動量とスピンは陽子のものとします。これを入れれば、J µ (y) は√eJ (y) =VµM2
exp[i(Pf − Pi ) · y]u(Pf , Sf )γ µ u(Pi , Si )EiP EfPとなるので、S 行列は

√
1S=
V2

m2
Ei Ef∫×√M2Eip Efp

d4 k(2π)4∫d4 xd4 y exp[i(pf − pi ) · x − ik · (x − y) + i(Pf − Pi ) · y]−4πκe× ie2 u(pf , sf )γµ u(pi , si ) 2u(Pf , Sf )γ µ u(Pi , Si )k + iϵ3

x, y 積分は∫
d4 x exp[i(pf − pi − k) · x] = (2π)4 δ 4 (pf − pi − k)∫d4 y exp[i(Pf − Pi + k) · y] = (2π)4 δ 4 (Pf − Pi + k)なので、2 行目と 3 行目は∫d4 k−1(2π)4 δ 4 (pf − pi − k)(2π)4 δ 4 (Pf − Pi + k) 2(2π)4k + iϵ= (2π)4 δ 4 (Pf − Pi + (pf − pi ))−1(pf − pi )2 + iϵ

1 行目から 2 行目へ行くとき、デルタ関数の関係から k µ = pµf − pµi となり、k µ は電子の始状態と終状態の 4 元運動量の差になっています。なので、k µ が電子と陽子の間のやりとりを表しています。この 4 元運動量の移動を担っているものを仮想光子 (virtual photon) と呼びます。仮想とついているのは、エネルギーと運動量の移動なので一般的に k 2 ̸= 0 であるためです (現実の光子は k 2 = 0 を満たしている)。実際、仮想光子は観測することができなく (そもそも k は積分変数で最後の結果に現れない)、実在しているかどうかわからない計算上出てきた存在です。量子論的には、不確定性関係の範囲内で存在が許されているとも言えます。
陽子側から見ても同様で

k µ = pµf − pµi = Piµ − Pfµ
これは、陽子の始状態と終状態のエネルギーと運動量の差を持った仮想光子が、始状態の電子に加わって終状態の電子状態に変化させています。このように、仮想光子が電子と陽電子のやりとりの仲介役を担っていることになり、それが伝播関数 DF によって与えられています。
積分実行後の S 行列は

√1
S= 2
Vm2
Ei Ef

√

M2(2π)4 δ 4 (Pf − Pi + pf − pi )EiP EfP× ie2 [u(pf , sf )γµ u(pi , si )]−4πκe[u(Pf , Sf )γ µ u(Pi , Si )](pf − pi )2 + iϵ

電子と陽子が対称な式になっているため、陽子を標的にしようと、電子を標的にしようと物理的には同等であることがはっきりと表われています。
ラザフォード散乱での S 行列との違いはデルタ関数部分にエネルギーだけでなく運動量も含まれていることで、それによって運動量も保存します。ここまでが物理としての設定で、後は断面積を求めればいいです。
ここから断面積に今の S を入れます。断面積は

dσ =|S|2 N
T V |Jin |4

T は時間、V は体積、N は終状態の可能な状態数、Jin は入射フラックスです。断面積を求める前に不変振幅(invariant amplitude) を定義しておきます。不変振幅 Mf i を−4πκe−iMf i = ie2 [u(pf , sf )γµ u(pi , si )] 2[u(Pf , Sf )γ µ u(Pi , Si )]k + iϵ= [u(pf , sf )(ieγµ )u(pi , si )]−i4πκe[u(Pf , Sf )(−ieγ µ )u(Pi , Si )]k 2 + iϵと定義します。ただし、今の場合の不変振幅がこれであるというだけで、全てがこうなるわけではないです。2 行目の形に書き換えたのにもちゃんと意味があり、「ファインマン図」で触れます。不変振幅は重要なもので、これ以降は S 行列に変わって、この不変振幅に中心的な役割を担わせます。その理由は、S 2 は不変振幅を使うと|S|2 =)2
1 m2 M 2 (4 42p p (2π) δ (Pf − Pi + pf − pi ) |Mf i |4V Ei Ef Ei Efとなり、規格化とデルタ関数を外に出した部分になるからです。不変振幅は一般的にS = −iC0 δ 4 (Pi + pi − Pf − pf )Mf iという形で定義され (C0 は規格化定数に相当するもの)、S 行列から −i、N0 、デルタ関数を除いたものです。
断面積の計算に戻ります。ここでもデルタ関数の 2 乗がいるので、「ラザフォード散乱」で求めたものを使います。ただし、「ラザフォード散乱」ではデルタ関数が 0 成分しかなかったですが、今は空間成分も含んでいるので、その部分だけを変更して()2(2π)4 δ 4 (Pf − Pi + pf − pi )()2= (2π)4 δ(Pf0 + pf0 − Pi0 − pi0 )δ(Pf1 + pf1 − Pi1 − pi1 )δ(Pf2 + pf2 − Pi2 − pi2 )δ(Pf3 + pf3 − Pi3 − pi3 )0 成分である時間の場合は同じように時間 T が出てき、1〜3 成分である空間座標では長さ L が出てくることになり、3 次元なので体積 L3 = V となります。よって)2((2π)4 δ 4 (Pf − Pi + pf − pi ) = (2π)4 δ(0)(2π)4 δ 4 (Pf − Pi + pf − pi )というわけで()2(2π)4 δ 4 (Pf − Pi + pf − pi )⇒ T V (2π)4 δ 4 (Pf − Pi + pf − pi )となり|S|2 =

1 m2 M 2T V (2π)4 δ 4 (Pf − Pi + pf − pi )|Mf i |2V 4 Ei Ef Eip Efp5となります。
断面積にいる入射フラックス Jin も「ラザフォード散乱」と同じで|Jin | =|v − V |Vv, V は電子、陽子の 3 次元速度です (体積と記号が重なりますが陽子では大文字にしているので V を使います)。
両方とも動いているので相対的な速度を使います。|S|2 を |Jin | で割るのでm M
mM
1mM
√
==P
2
Ei EiP V |Jin |Ei EiP |vi − Vi |Ei Ei vi + Vi2 − 2vi · Vi√=Ei EiP= √mM
p2i
Ei2P2pi+ (E Pi )2 − 2 E· EPPiiiimM
p2i (EiP )2 + Pi2 Ei2 − 2pi ·Pi Ei EiP

ここで、pi と Pi の間の角度が 0 として(pi ·Pi )2 ⇒ p2i Pi2
これは共線性と呼ばれ、同じ軸上のときになりたつ関係です。同じ軸上なら内積(pi ·Pi )2 = (|pi ||Pi | cos θ)2において、θ = 0 のことなので、|pi |2 |Pi |2 となります。共線性とすることでm M
1mM= √Ei EiP V |Jin |p2i (M 2 + Pi2 ) + Pi2 (m2 + p2i ) − 2pi · Pi Ei EiPmM≃ √ 22222pi (M + Pi ) + Pi m + (Pi · pi )2 − 2pi · Pi Ei EipmM= √ 22222pi M + pi Pi + Pi m2 + (Pi · pi )2 − 2pi · Pi Ei Eip
mM= √ 2222(pi + m )(Pi + M ) − m2 M 2 + (Pi · pi )2 − 2pi · Pi Ei Eip
mM= √Ei2 Eip2 − m2 M 2 + (Pi · pi )2 − 2pi · Pi Ei Eip
mM= √(Ei Eip − pi · Pi )2 − m2 M 2mM= √(pi · Pi )2 − m2 M 26

共線性を使うときに ≃ としています。このときを共線衝突 (collinear collision) と呼びます。
後は周期的境界条件として、可能な状態数

N =V2d3 pf d3 Pf(2π)3 (2π)3を使うことで (今は電子、陽子の終状態がいるのでそれぞれの可能な状態数の積を取る)、断面積 dσ はdσ =331m2 M 2|S|2 N
4 42 d pf d Pf=(2π)δ(P−P+p−p)|M|
fififi
T V |Jin |V |Jin | Ei EiP Ef EfP(2π)3 (2π)3=33mMmM4 4
2 d p f d Pf(2π)δ(P−P+p−p)|M|fififi(2π)3 (2π)3Ei EiP V |Jinc | Ef EfP= √mM(pi · Pi )2 − m2 M 2|Mf i |2 (2π)4 δ 4 (Pf − Pi + pf − pi )d3 pf m d3 Pf M(2π)3 Ef (2π)3 EfPとなり、後はスピンの計算をすることになります。最後の部分

dLips = (2π)4 δ 4 (Pf − Pi + pf − pi )mM

d3 p fd3 Pf(2π)3 Ef (2π)3 EfP

これは Lips=Lorentz invariant phase space と呼ばれ、ローレンツ不変な位相空間の体積です。
ローレンツ不変であることを示します。E 2 = p2 + m2 として

δ(p2 − m2 ) = δ(p20 − p2 − m2 )= δ(p20 − E 2 )= δ((p0 + E)(p0 − E))=11
δ(p0 − E) +δ(p0 + E)
|2E|
| − 2E|=1(δ(p0 − E) + δ(p0 + E))
2E(E > 0)使っているのはデルタ関数の性質

δ(f (x)) =∑k1
δ(x − xk )|df (x)/dx|xk(f (xk ) = 0)

この変形はいろいろなとこで出てくるので覚えておくと便利です。これによって∫ ∞0

dp0 δ(p − m ) =22∫ ∞dp00711δ(p0 − E) =2E2E(1)δ(p0 − E) だけになるのは、p0 が 0 から ∞ の範囲だからです。また、p0 は負の値を許してないので、階段関数 Θを使って p0 < 0 で消えるという制限を入れれば∫ ∞dp0 δ(p − m ) =
220

∫ ∞−∞

dp0 δ(p2 − m2 )Θ(p0 )4 次元積分にするために d3 p の積分をくっつければ∫

d3 p=2E

∫ ∞−∞

∫
dp0

∫
d3 pδ(p2 − m2 )Θ(p0 ) =d4 pδ(p2 − m2 )Θ(p0 )最右辺の 4 次元積分とデルタ関数部分はローレンツ不変です。そして、階段関数は p0 > 0 ならよく、これは時間反転のローレンツ変換でなければ維持されます。よって、右辺は相対論的量子力学での「ローレンツ変換」で分類した det[aµν ] = +1, a00 ≥ 1 のローレンツ変換に対して不変で、d3 p/2E も不変と分かります。よって、(1) はローレンツ不変となります。

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