Université Claude Bernard Lyon 1

LICENCE Math VI
REPRESENTATIONS DES GROUPES FINIS
EXAMEN
14 Juin 2012
Durée : 3 heures

Afin de ne pénaliser personne, nous avons explicité au maximum les résultats attendus ; ainsi, le candidat qui nesaurait répondre à une question, éventualité à envisager, pourra passer à la suivante. Il est donc clair que c’est leraisonnement qui sera évalué et que toute tentative d’escroquerie sera interprétée comme une insulte à l’intelligencedes correcteurs.

PROBLEME. Représentations du groupe diédral D5 .
2π4πPréliminaires. On note ω = ei 5 , a = cos( 2π5 ) et b = cos( 5 ). On étudie dans cette partie les caractères du groupe
Z/5Z.
’ le groupe des caractères du groupe abélien Z/5Z, c’est à dire le groupe des morphismes de Z/5Z dans
1) Soit Z/5Z
∗C . Décrire ce groupe en fonction du caractère χω donné par χω (k̄) = ω k , où k̄ désigne la classe de k modulo 5.
2) Dans l’espace des fonctions sur Z/5Z, on définit le produit scalaire hermitien4hφ, ψi =1X
φ(k̄)ψ(k̄).
5
k=0

Justifier l’égalité χ−1
ω = χω̄ .
Après avoir énoncé un théorème du cours, donnez sans calcul la valeur de hχω , χω i et hχω , χ−1ω i.
3) On décompose χω = Rω + iIω sa décomposition en partie réelle et partie imaginaire. A l’aide des résultats du 2,montrer en résolvant un système que hRω , Rω i = 21 .
4) En déduire que a2 + b2 = 34 .
A. On considère un pentagone régulier P dans le plan affine euclidien. On se propose dans cette partie de décrirele groupe Is(P ) des isométries qui laissent fixe P . On rappelle que toute isométrie d’un polygone convexe permute
l’ensemble des ses sommets.
1) Montrer que tout élément de Is(P ) laisse fixe l’isobarycentre O des sommets de P . En déduire que l’on peut voir
Is(P ) comme un sous-groupe de GL2 (R).
1

2) Montrer qu’il y a exactement 5 rotations dans Is(P ) et qu’elles forment un sous-groupe cyclique de Is(P ). Onnotera r la rotation de centre O et d’angle 2π
5 .
3) Montrer que si s et s0 sont deux symétries de Is(P ), alors ss0 = rk pour un k de [0, 4].
4) Déduire que Is(P ) = {Id, r, r2 , r3 , r4 , s, sr, sr2 , sr3 , sr4 }, avec s2 = Id, r5 = Id, srs−1 = r4 .
”5 de D5 , c’est àB. On notera maintenant D5 le groupe ainsi obtenu. On veut décrire dans cette partie le dual D
dire le groupe des morphismes de D5 dans C∗ .
1) Montrer que si χ est un tel morphisme, alors χ(s) = ±1. Montrer également que χ(r) = 1.
”5 est isomorphe à Z/2Z.
2) Montrer que DOn pourra penser au déterminant.
3) Quels sont des caractères de Z/5Z que l’on peut prolonger à D5 ?
C. On veut maintenant trouver la table des caractères de D5 .
1) Montrer que D5 possède exactement 2 représentations irréductibles de degré 1 et deux de degré 2.
2) Combien D5 possède de classes de conjugaisons ? Les décrire explicitement en fonction de r et s.
3) On considère la représentation ρ de D5 donnée par D5 = IsP ⊂ GL2 (R). Montrer que son caractère χρ vérifieχρ (r) = 2a, χρ (r2 ) = 2b, χρ (s) = 0. En déduire que ρ est une représentation irréductible.
On pourra utiliser le préliminaire.
P4) Soit g un élément de D5 distinct du neutre. Expliquer la formule χ χ(e)χ(g) = 0, où χ parcourt l’ensemble descaractères irréductibles de D5 .
5) Montrer que la table de caractère de D5 est donnée par#CggTrivialdetρρ∗1111222r
112a2b2r2112b2a5s1-100D. On sait que D5 permute les sommets S := {A, B, C, D, E} du pentagone P . On note π la représentation complexe de D5 sur CS muni de sa base canonique (eA , eB , eC , eD , eE ) telle que π(g)(eS ) = eg(S) pour tout sommet Sde S.
1) Soit χπ le caractère de cette représentation. Montrer que χπ s’annule sur toute rotation non triviale de D5 etvaut 1 sur toute symétrie.
2) Décomposer la représentation π en représentations irréductibles.
E. 1) Montrer qu’il existe une représentation ρ0 de degré 3 telle que son caractère associé vérifieχρ0 (r) = 1 + 2a, χρ0 (r2 ) = 1 + 2b, χρ0 (s) = −1.
2) Pouvez-vous réaliser géométriquement cette représentation dans R3 ?

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