ハミルトン・ヤコビ方程式

正準変換によって出てくるハミルトン・ヤコビ方程式を扱います。具体的な問題を解いているのは単振動だけです。
最後の方で添え字の扱いを変えているので気を付けてください。
「・」は t による微分です。

「正準変換」で見たように、ハミルトニアン H は正準変換によって正準方程式を変えずに別のハミルトニアンK に変換できます。これを利用して、変換前の座標と運動量を q, p とし、変換後の Q, P をK(Q, P, t) = 0となるように選ぶとします。q, p, Q, P は、q = (q1 , q2 , . . . qn ) として、n 個の変数を持っているとします。また、qiは i = 1, 2, . . . , n とします。
母関数を W (q, P, t) として、正準変換はK=H+∂W (q, P, t)∂t(det∂2W
̸= 0)∂qi ∂Pj(1a)pi =∂W (q, P, t)∂qi(1b)Qi =∂W (q, P, t)∂Pi(1c)なので、K = 0 のとき

H(q, p, t) +∂W=0∂tという方程式が出てきます。p も書き換えてH(q,∂W∂W, t) +=0∂q∂t

今は K = 0 にしているので、変換後の Q, P による正準方程式は

dQi
dPi=0,=0dtdt
このため、W を t で微分すると

nn∑∂WdW (q, P, t) ∑ ∂W dqi=+=
pi q̇i − Hdt∂qi dt∂ti=1i=11これはラグランジアン L の定義なので、時間 t0 から tf までの積分によって

dW=Ldt∫ tfW =dt Lt0となり、W は作用 S になっていることが分かります。

W を作用 S に書き換えたH(q,∂S∂S, t) +=0∂q∂t(2)

これをハミルトン・ヤコビ (Hamilton-Jacobi) 方程式と言います。正準変換を K = 0 になるように行っただけなので、もとの運動方程式は変更されていません。見てわかるように作用に対する偏微分方程式なので、直接的にハミルトン・ヤコビ方程式を解けば作用 S が求まります。なので、q, p は母関数の関係式から分かります。
しかし厄介なことに、例えば 1 次元ハミルトニアンとして

H=1 21 ∂S 2
p + V (q, t) =( ) + V (q, t)
2m2m ∂qとしたとき、ハミルトン・ヤコビ方程式は非線形の 1 階偏微分方程式になります。このように、ハミルトン・ヤコビ方程式は一般的に非線形です。問題によってはハミルトン・ヤコビ方程式を解いたほうが簡単な場合もありますが、よくある問題だと運動方程式を解いたほうが簡単なことが多いです。
例として 1 次元単振動を見ます。単振動のハミルトニアンはH(q, p) =1p2+ mω 2 q 22m 2m は質量、ω は角振動数です。これをハミルトン・ヤコビ方程式に入れれば

1 ∂S 2∂S(( ) + m2 ω 2 q 2 ) +=02m ∂q∂t
ここで、S の形をS(q, E, t) = G(q, E) − Etと仮定し、正準変換後の変数は (Q, E) とします。ハミルトニアンが陽に時間に依存していなければこの形を仮定できます（より一般的には S(q, λ) = G(q, λ) − E(λ)t）。これを入れると

2

1 ∂G 2(() + m2 ω 2 q 2 ) − E = 02m ∂q(∂G 2) = 2mE − m2 ω 2 q 2∂q√√∂Gmω 2 q 2= 2mE 1 −∂q2E(3)となり、時間依存性がない項の式になります。正の場合を取り出しています。変数と母関数の関係 (1b),(1c) から

p=∂S∂S, Q=∂q∂Eなので、p は∂G √∂S== 2mEp=∂q∂q√1−mω 2 q 22E

これから

p2mω 2 q 2= E(1 −)2m2EE=

p21+ mω 2 q 22m 2となるので、E はエネルギーです。これは、今の場合でのハミルトニアン・ヤコビ方程式はH=−∂S=E∂tとなっているためです。

QはQ=

∂S
∂=
∂E
∂E

∫dq (2mE − m2 ω 2 q 2 )1/2 − t∫
1m dq(2mE − m2 ω 2 q 2 )−1/2 − t2√∫mω 2 2 −1/2
1 2mdq(1 −q )
=
2E2E√
√
∫
1 2m2E=dz (1 − z 2 )−1/2 − t2Emω 2=

1arcsin z − tω√1mω 2= arcsin(q) − t
ω
2E=

3

√
(z =mω 2q)2E

微分なので積分定数は出てきません (積分を先に実行すれば積分定数は微分で消える)。よって√q=2Esin(ω(t + Q))mω 2

これを p に入れればp===√√√√
2mE2mE1−mω 2 2Esin2 (ω(t + Q))
2E mω 2√1 − sin2 (ω(t + Q))

2mE cos(ω(t + Q))となって、q, p が求まります。Q, E は変換後のハミルトニアンが K = 0 であるために時間独立な定数です。なので、定数を 2 つ含む解が求まったことになります。
また、G は√∂G= 2mE∂q√mω 2 q 22E√∫√mω 2 q 2G(q, E) = 2mE dq 1 −2E∫√√mω 2= 2mE dq 1 − c2 q 2 (c2 =)2E∫√cos θ √c= 2mE dθdq)
1 − sin2 θ (sin θ = cq, dθ =ccos θ√∫
2mE=dθ cos2 θc√2mE 1
1=( θ + sin 2θ) + C
c24√√
2mE 1
1=
( θ + sin θ cos θ) + C (sin 2θ = 2 sin θ cos θ, cos θ = 1 − c2 q 2 )c22√2mE 11 √=( arcsin(cq) + cq 1 − c2 q 2 ) + C
c22√√
√
√
2mE2Emω 2mω 2 2arcsin(=(q 1 −q +q)) + C
222Emω
2E1−C は積分定数です。
ついでに、単振動を使って作用・角変数 (action-angle variables) にも簡単に触れておきます。ハミルトン・ヤコビ方程式は1 ∂G 2(() + m2 ω 2 q 2 ) = E2m ∂q4(dG= p , H = E)
dq

これから

√
p = 2mE − mkq2

p= ±√2(ω =k)
m2mE − mkq 2q 2 なので p の値は q の正負で同じです。q も√q± = ±1(2mE − p2 )mkとなるので、p の正負で同じです。そして、|p| は q = 0 のときに最大になり|pmax | =√√2mE , p± = ± 2mE

p = 0 のときに |q| は最大になり√|qmax | =2E, q± = ±k√

2Ekというわけで、単振動での q, p は、q, p の位相空間 (q, p による 2 次元平面) で楕円を描きます。
ここで、その楕円の面積になる積分を∫J=dq p(4)γと与えます (2π で割っていることが多い)。γ は面積になるように取った q の範囲を表します。q, p は与えられた力学的エネルギー E の値で取れる範囲が決まるので、γ は E によって決まります (E の値を変えれば楕円の大きさが変わる)。また、この積分はIdq pと書かれることが多いですが、紛らわしいのでこの表記は使っていません。楕円の面積になるように積分するので

5∫J=∫ q+dq p = 2

γdq p+q−∫ q+=2dq√2mE − mkq 2q−√=22mEk√= 4E√= 4Emk∫ θ+√dq√
2E(1 − sin θ)2(q =θ−2Esin θ , dq =k√2Ecos θdθ)k

∫ θ+dθ cos2 θθ−]θ+m[11θ + sin 2θ θ−k 24θ± は√√2E2Eπq+ :=sin θ ⇒ θ+ =kk2√√2E2Eπ=sin θ ⇒ θ− = −q− : −kk2なので√J =4m π
E = 2πk 2√mEk

これは長半径、短半径を q+ , p+ とした楕円の面積の式 πq+ p+ と一致します。この結果で重要なのは、J は E に対応する定数という点です。逆に見れば

1E(J) =2π√

1kJ=ωJm2π(5)

これを利用して、E を J に変えた正準変換を作ります。
そのために、正準変換後のハミルトニアン K をK(J) = H = E(J) =1ωJ = ωJ ′2π(J ′ =1J)
2π(6)と与えることにして、正準変換をK(J) = H(q(ϕ, J), p(ϕ, J)) , p =6

∂W (q, J)∂W (q, J), ϕ=∂q∂J(7)母関数は時間依存性を持たせずに W (q, J) とし、変換前は q, p、変換後は ϕ, J としています。ハミルトン・ヤコ
ビ方程式での正準変換と違い、ハミルトニアンに ∂W/∂t の項がいないために K = 0 ではなくなっています。このため、今の W (q, J) は時間依存しない部分 G(q, E) に対応し、J と E の関係は (5) で与えられています。

ϕ の正準方程式dϕ∂K(J)=dt∂Jにおいて、左辺は ϕ、右辺は J に依存するために両辺は定数です。定数を C として

dϕ=Cdtϕ = Ct + C0

C0 は定数です。(6) から C = ω/2π です。
母関数 (3) での E を J に変えるのでW (q, J) = G(q, E(J)) = G(q, ωJ ′ ) =∫dq√2mωJ ′ − m2 ω 2 q 2J で微分すると∂W (q, J, t)
1 ∂W (q, J ′ , t)
1
ϕ===′
∂J
2π∂J
2π∫dq √mω

2mωJ ′ − m2 ω 2 q 2∫mω
11√dq √=2π 2mωJ ′1 − mωq 2 /2J ′積分は∫mω 2 −1/2q )=dq(1 −2J ′√2J ′mω

√∫2 −1/2dz(1 − z )なので7=2J ′arcsin zmω√(z =mωq)
2J ′

1mω
√
2π 2mωJ ′ϕ=∫dq √11 − mωq 2 /2J ′

√mω
2J ′
1√arcsin z=2π 2mωJ ′ mω√1mω=arcsin(q)2π2J ′√mω
arcsin(q) = 2πϕ2J ′√2J ′sin(2πϕ)
q=mω√
2J ′=sin(ωt + C0 )mω
J に共役な量 ϕ は角度と分かり、楕円の積分において∫∫ 2πdϕ =γdϕ = 2π(8)0となっています。
このようにして導入される J を作用変数、ϕ を角変数と呼びます。作用変数と呼ばれるのは、J の次元が、長さを L、質量を M 、時間を T とすれば

pdq = [L2 M T −1 ]となって、作用の次元 (エネルギー × 時間 = [L2 M T −2 · T ] = [L2 M T −1 ]) と一致するからです。作用・角変数が導入されるのは、今のように q, p が周期性を持ち、(4),(7),(8) が定義されるときです。これは 2 つのパターンがあり、1 つは、周期を T としてq(t + T ) = q(t) , p(t + T ) = p(t)となる場合で、単振動はこれです。このように、q, p の両方が周期を持つとき秤動 (ひょうどう、libration) と呼ばれます (天体物理の用語)。もう 1 つはq(t + T ) = q0 + q(t) , p(t + T ) = p(t)として、q の一定間隔 q0 ごとに p が周期的な値を持つときで (例えば位相空間で三角関数のような振動になるとき)、回転 (rotation) と呼ばれます。このときの面積は 1 周期の範囲で取ります。例えば、振り子の回転のときに起こります。
単振動の話は終わりにして、ハミルトン・ヤコビ方程式を別の方法で求めます。話は同じなので 1 次元で行います。作用 S はラグランジアンから

8

∫ tf
S(tf , t0 ) =dt L(q, q̇, t)t0

積分範囲に合わせて S(tf , t0 ) と書いていますが、正確には積分経路の両端の位置にも依存しています。これの位置 q を q + δq に動かしたとして、そのときの作用の差 δS は、「オイラー・ラグランジュ方程式」で見たように

∫ tf
dt δL

δS =t0∫ tf=dt (L(q + δq, q̇ + δ q̇, t) − L(q, q̇, t))t0∫ tf=dt (∂L∂Lδq +δ q̇)∂q∂ q̇

dt (∂L∂L dδq +δq)∂q
∂ q̇ dtt0∫ tf=t0∫ tf=dtt0d ∂L(δq) +dt ∂ q̇

∫ tfdt(t0d ∂L∂L−)δq∂qdt ∂ q̇

ここで、オイラー・ラグランジュ方程式が常に成立しているとします (運動方程式に従う経路を選ぶ)。そうすると

∫ tf
δS =

dtt0d ∂L
∂L
∂L(δq) =δq t −
δq t0fdt ∂ q̇
∂ q̇
∂ q̇

t0 では δq = 0 とし、tf では δq ̸= 0 とすれば

δS =

∂L
δq t = p(tf )δq tff∂ q̇

このように、もとの経路と動かした経路での作用の差は tf での運動量 p(tf ) によって与えられます。微分の形にすれば、tf において∂S
∂L= p(tf )=∂q∂ q̇ tf(9)となります。
今度は時間も動かして、tf を tf + δt とします。t0 , tf + δt での q は q(t0 ), q(tf ) に固定したままにします。このときの作用の差は∫ tf +δt
δS =dt L(q + δq, q̇ + δ q̇, t) −∫ tfdt L(q, q̇, t)

t0∫ tf=t1dt (L(q + δq, q̇ + δ q̇, t) − L(q, q̇, t)) +∫ tf +δtdt L(q + δq, q̇ + δ q̇, t)
tft09(10)第一項は単に δq 動かしたときと同じで、∫ tfdt(L(q + δq, q̇ + δ q̇, t) − L(q, q̇, t)) =∫ tf
dtt0t0d ∂L(δq) +dt ∂ q̇

∫ tfdt(t0∂Ld ∂L−)δq∂qdt ∂ q̇

経路上でオイラー・ラグランジュ方程式が成立しているとして、これの第 2 項は消します。(10) の第 2 項は積分と微分の関係から

ddy∫ y+δydx f (x) = f (y + δy)yd(y + δy) − f (y)dy= f (y + δy)(1 +≃ f (y)(1 += f (y)=dδy) − f (y)dyddfδy) +δy − f (y)dydyddfδy +δydydyd(f (y)δy)dy∫ y+δydx f (x) = f (y)δyyとなるので、δt, δq, δ q̇ の 1 次までで∫ tf +δtdt L(q + δq, q̇ + δ q̇, t) = L(q + δq, q̇ + δ q̇, t)δt t ≃ L(q, q̇, t)δt tftf

f

よって、t0 では δq = 0 なので (10) は∫ tf
δS =dtt0∂L∂Ld ∂L(δq) + L(q, q̇, t)δt t =δq t −
δq t + L(q, q̇, t)δt t0fffdt ∂ q̇∂ q̇
∂ q̇
= pδq t + L(q, q̇, t)δt t
ff

ハミルトニアンに書き換えると

pδq + Lδt = pδq + pq̇δt − Hδtq の変化は

q ′ (t) = q(t) + δq(t) , q ′ (t′ ) = q ′ (t + δt) = q(t) + δη(t)10となっていてq ′ (t′ ) = q ′ (t + δt) = q ′ (t) +dq
dqδt = q(t) + δq(t) + δtdtdtから

δη(t) = δq + q̇δt
そして、今は q は tf で固定させて、q ′ (tf + δt) = q(tf ) としているので δη(tf ) = 0 です。このため(pδq + pq̇δt)|tf = pδη|tf = 0となるので

δS = (pδq + L(q, q̇, t)δt)|tf = (pδq + pq̇δt − Hδt)|tf = −Hδt|tf
よって、tf でH+∂S=0∂t(11)となります。(9),(11) は、正準変換 (1b),(1a) と同じになっていて、ハミルトン・ヤコビ方程式となります。
ハミルトン・ヤコビ方程式を解く方法として特性曲線法 (method of characteristics) を見ていきます。この方法はハミルトン・ヤコビ方程式の性質を知るためにも重要になっています。
ハミルトニアンは時間独立にし H(q, p) とします。表記を簡単にするために xµ = (t, qi ) とし、ギリシャ文字はµ = 0, 1, . . . , n、ローマ文字は i = 1, 2, . . . , n とします (x0 = t, xi = qi )。xµ はあるパラメータ s に従っているとして xµ (s) = (t(s), qi (s)) とおきます。f (x) のように書いているときは xµ に依存することを表します。

(1b) から

α0 (s) =∂S∂S∂S∂S=, αi (s) ==∂x0∂t∂xi∂qi(12)とします。これらからハミルトン・ヤコビ方程式はH(xi , αi ) + α0 = 0

左辺を F (x, α) として、F (x, α) = 0 とします。ハミルトン・ヤコビ方程式は S に直接依存していないので、F にS の依存性はないです。αµ を s で微分してみると
11n∑dαµd ∂Sdx1 ∂ ∂Sdxn ∂ ∂Sdxν ∂ 2 S==+ ··· +=dsds ∂xµds ∂x1 ∂xµds ∂xn ∂xµds ∂xν ∂xµν=0(13)

そして、F を xµ で微分し、(12) を入れてみると∂∂∂α1 ∂F∂αn ∂F∂FF =(H(xi , αi ) + α0 ) =+ ··· ++∂xµ∂xµ∂xµ ∂α1∂xµ ∂αn∂xµ=n∑∂αν ∂F
ν=0=∂xµ ∂αν+∂F∂xµn∑∂F∂ 2 S ∂F+=0∂x∂x∂α∂xµννµν=0

これと (13) は似ているのが分かります。このことを利用して、第 1 項の x による 2 回微分を消すことを考えます。
そのために、ハミルトン・ヤコビ方程式の解として S(x(s)) = u(s) を仮定し、このとき∂dxµ=F (x, α; u)ds∂αµとなっていると仮定します。この仮定によって、(12) はαµ (s) =∂u∂xµ

F の xµ 微分はn∑∂∂ 2 u ∂F∂FF (x, α; u) =+=0∂xµ∂x∂x∂α∂xµν
νµν=0

これに (14) を入れてn∑

∂F∂ 2 u dxµ+=0∂x∂xds∂xµνµ
ν=0
そして、(13) はn∑dαµdxν ∂ 2 u=dsds ∂xν ∂xµ
ν=0

なので

12(14)

dαµ (s)∂F (x, α; u)=−ds∂xµ
そして、u の s 微分はnn∑du ∑ dxν ∂u∂F (x, α; u)==αν (s)dsds∂x∂αννν=0ν=0となっています。というわけで、ハミルトン・ヤコビ方程式からdαµ∂F (x, α; u)=−ds∂xµ(15a)dxµ∂F (x, α; u)=ds∂αµ(15b)ndu ∑ ∂F (x, α; u)=αν (s)ds∂αν
ν=0(15c)という微分方程式が出てきます。これらは形式的には、(15b) から xµ が求まれば (15a) から αµ が求まり、xµ , αµが求まれば (15c) から解 u が求まるという構造になっています。というわけで、これらからハミルトン・ヤコビ方程式の解が求まります。このように 1 階偏微分方程式を常微分方程式の組に変えて解く方法が特性曲線法です。

(15a),(15b),(15c) は偏微分方程式の言葉で特性方程式 (characteristic equations)、これらの解による曲線 (積分曲線) は特性曲線、特性曲線の集まりは integral surface と言います。また、xµ は projected characteristic のように呼ばれることもあります。
式をはっきりさせるために、(15a),(15b) を成分を分けて書くと

∂Fdxi
∂Fdα0
∂F dαi∂Fdt=,=,=−,=−ds
∂α0ds
∂αids
∂tds
∂xi
F (x, α) = H(xi , αi ) + α0 から

dtdxi
∂F
∂H dα0dαi∂H=1,==,=0,=−dsds∂αi∂αidsds∂xiと書けて、αi は (1b) から pi であるので

dxi∂H dpi∂H=,=−dt∂pidt∂xiとなり、H(xi , pi ) の正準方程式になります。なので、特性方程式のうちの 2 つは正準方程式です。正準方程式だけで運動は記述できるので (位置と速度が分かるから)、物理の問題を解くのに (15c) は基本的に必要ないです ((15c)は作用を求める式)。

13(15c) はnnn∑∑∑du∂F∂F∂H∂H=α0 +αi = α0 +pi = −H +pids∂α0∂α∂p∂piiii=1i=1i=1

この式は正準方程式から

nn
∑∑dxi
du= −H +pi = −H +q̇i pi = Ldt
dt
i=1i=1となって、ラグランジアンと作用の関係となります。このように仮定 (14) による解は作用の関係を再現します。
ハミルトニアンが x に依存していないとして、H(∂S/∂xi ) としてみます。そうすると、正準方程式はdxi∂H dpi=,=0dt∂pidt
このため、pi は定数で、xi も定数になります。なので、特性曲線 xi は直線となります。この結果は幾何光学での真空中でのアイコナール方程式(∇ϕ)2 =ω2c2(∇ = (∂∂∂,,))∂x1 ∂x2 ∂x3との対応に使えます (一般的なアイコナール方程式でも使える)。ϕ は位相の座標依存部分 (exp[i(ϕ(xi ) − ωt)])、ω
は角振動数、c は光速です。大雑把に言っておきます。これは時間独立な (3) と同じなので、ϕ は作用に対応します。そうするとハミルトニアン H(∇ϕ) でのハミルトン・ヤコビ方程式なので、x が直線になり、向きは波数ベク
トル k = ∇ϕ の方向です。つまり、波面に垂直な方向に進みます。よって、アイコナール方程式は光を線として近似したとき (光の波長が十分小さいとき) の方程式なので、光は真空中を直線で進みます。
もう 1 つよく出てくる話として、シュレーディンガー方程式との対応があります。単純には量子力学での「シュレーディンガー方程式とハイゼンベルク方程式」で示してるように、プランク定数 ℏ が 0 の極限でシュレーディンガー方程式がiℏ∂ρ∂ρ∂ψ(x, t) = Ĥψ(x, t) ⇒ H(x,)−=0∂t∂x∂t(ψ(x, t) = eiρ(x,t)/ℏ ϕ(x, t))となるからです。ハミルトン・ヤコビ方程式との対応は、経路積分の定式化、ボーム (Bohm) による特性曲線は量子的な粒子の位相空間における軌道とする主張などに使われています。このように、波を粒子的に扱うとき (電磁気から幾何光学) と、粒子を波として扱うとき (力学から量子力学) の両方でハミルトン・ヤコビ方程式と同型の方程式が現れます。

14