J. Plasma Fusion Res. Vol.85, No.11 (2009)７
８３‐７９２講座 流体乱流研究から診たプラズマ乱流データの解析

５．流体およびプラズマ乱流の普遍性
辻義 之，田 中 宏 彦，大 野 哲 靖
名古屋大学大学院工学研究科（原稿受付：２
０
０
９年１
０月１
７日）

本章では流体乱流中に存在する普遍性に注目し，この解析手法を概説する．流体分野では一般的に知られる
Kolmogorov 仮説を説明し，速度構造関数との関わりについて述べる．複雑な形状や統計量分布を定量化するフラクタル解析やマルチフラクタルについて触れ，最後にプラズマへの応用例を紹介する．
Keywords:
statistical analysis, turbulence, universality, Kolmogorov K41, scale invariant, intermittency, structure function, fractal,
multi-fractal, extended self similarity, hurst exponent, fractional brownian motion

５．
１ はじめにAnd little whirls have lesser whirls（小さな渦はより小

流体乱流は流れの境界条件や初期条件によって，同じレさな渦を抱え）イノルズ数でも異なった様相を呈することは広く知られて

And so on to viscosity.（そしてそれが粘性まで続く．）いる．例えば，後流（第４章，図１（a））の円柱を，直径と同じ一辺をもつ四角柱に置き換えたり，表面に小さな突起

大きな渦の周りにはたくさんの小さな渦があり，大きなをつけたりするだけで，カルマン渦列の配置は変化する．

渦の運動に従うように小さな渦は揺らいでいる（図１）．

コーヒーにクリームを入れた際にも，スプーンのかき混ぜ

小さな渦の運動は大きな渦の運動からもたらされ，エネル

方しだいで，クリームが作る模様が大きく変わることも日

ギーが大きなスケールから小さなスケールへと伝わるイ

常経験として把握している．これは流体運動のとメージを与えてくれる．この過程はエネルギーカスケード

考えられるが，一方でどのような流体運動にも共通する

個性と呼ばれる．小さな渦はより小さな渦を抱えて運動し，こ

普遍 的性質が内在している．この普遍的性質が期待されのような階層構造は粘性によって渦運動が熱に変わるス

る物理的背景は，大きな渦が小さな渦へと徐々に崩壊してケールまで続いている．

いく過程が普遍であるという描像に基づいている．

Kolmogorov は１
９４１年に，物理的直観（仮説）と次元解析

流体乱流の普遍性を特徴づける統計的解析法がいくつかから，波数空間でエネルギーカスケードを特徴づけるスペ

提案されている．これらの手法をプラズマ乱流に応用した

クトル型を提示した（以後，Kolmogorov の仮説 を K41

場合に，どのような新たな知識を得ることができるか？こと略する）［２］．仮説は３つの部分から成り立つが，プラズれが本章のテーマである．もちろん，プラズマの普遍的性
質にはそれを抽出するのに適した手法を用いる必要がある．流体乱流と同様の性質が内在していると仮定すると，これらの手法からプラズマ乱流の新たな一面が見いだせることが期待される．

５．
２ 流体乱流の普遍性と Kolmogorov 仮説
乱流の中には大きなスケールから小さなスケールまでさ
まざまな大きさの渦が混在している．イギリスの気象学者
L.F.リチャードソンが彼の著書の中で J.スイフトの詩をもじって次の散文詩を掲げている［１］．流体乱流に普遍性を期待する背景には，この詩を紹介することから始めたい．
Big whirls have little whirls（大きな渦は小さな渦を抱え）
図１

That feed on their velocity（その速度を糧に生きている）
5. Universality in Fluid and Plasma Turbulences
TSUJI Yoshiyuki, TANAKA Hirohiko and OHNO Noriyasu

乱流中の渦のイメージ．

corresponding author’s e-mail: ohno@ees.nagoya-u.ac.jp

７８３!2009 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.85, No.11 November 2009

マデータの解析結果を理解する上でも有用と期待できるので，簡略に列挙する．文中で用いられるレイノルズ数とは，流体に働く二つの力の比：（慣性力）／（粘性力）で定義される無次元数で，その値が大きいほど，流体は変形をう
け乱れる，つまり強くスケールの大きな乱流となることを意味する．
［局所等方性仮説］ 十分に高いレイノルズ数において，乱流の小さなスケール（&$&!）の運動は，統計的に等方的となる．ただし，スケール &!は，エネルギーをもった大きな渦スケールとする．
［第一相似性仮説］

いかなる流れでも，十分に高いレイノルズ数において，小さなスケールの運動の統計的性質は普遍的となる．また，それらはエネルギー散逸率 )#*と動粘性係数 %から一意に決定され，特徴的長さ$，時間 $
(，速
""
%
""
#
""
%
さ$
，$
，$
．
%$"
%
"
#*
%)
#*
#*
)
(
(
)
(
*が定まる．$#'* #'(#'［第二相似性仮説］

図２

いかなる流れでも，十分に高いレイノルズ数において，小さなスケール（$$&$&!）の運動の統計的性質は普遍的となる．それらは，粘性の影響を受けエネルギースペクトル E (k)とエネルギー散逸スペクトル−
2 %k 2 E (k)．外部から注入されたエネルギーは，慣性領域を
とおり散逸領域まで運ばれて，粘性により熱エネルギーとなって流体系からでていく．

ずにエネルギー散逸率 )#*のみから定まる．
エネルギースペクトル !'（%は波数 +
，したがっ
%(
"
"
',

局所的なスケール領域に限られるので，この状況が実現す#て !'%(の次元は +('$",となる）の一般形は，

流体乱流に普遍性が期待できる背景には，流れ場の種類

" %!"
#
!'
%(
#$
"$! ! "，*"$$

ることを「局所等方性仮説」と呼んでいる［２］．
によらず，小さなスケールの運動が等方的になることがあ（１）$

る．大きなスケールから伝播されるエネルギーは，最終的で与えられる［３，４］．ただし， $,!
-(は無次元の関数であ'に流体の粘性によって散逸され熱エネルギーに変わる．

る．Kolmogorov 仮説から，乱流の普遍性が期待される場

従って，局所等方性が成り立つ波数領域において，現象を合には，!'%(は大きなスケール "にも粘性 %にも依存しな支配するパラメータは，平均のエネルギー散逸率 )
#*と流

' &

い．次 元 解 析 か ら， $,!
-('#, - と お く と，'#!，

体の動粘性係数 %と考えられる．エネルギースペクトルを&#&"$となるので，#*と%で無次元化した場合，流れ場の種類によらず１つに
)

#"
$ !&"
!'
%(
#*
% $，
&)

なることを予測したものが，「第一相似性仮説」である．

（２）第２章の図１をみると，高波数 %$%"ではレイノルズ数のとスケールされる．流体中のエネルギーは小さな波数 %!

大きさ，流れの種類によらず，スペクトルが互いに一致し（大きなスケール）で注入され，大きな波数 %#（小さなスていることがわかる．レイノルズ数が高くなると，局所等ケール）で粘性によって散逸される．中間のスケールでは方性が成り立つ波数領域において，粘性の影響を受けない

一定のエネルギーが小さなスケールに向かって流れ，スペ領域が現れる．この領域においては，物理現象を支配する

クトルに−5/3 乗があらわれる．この領域を慣性小領域とパラメータは )#*となり，スペクトルは次元解析から，式呼ぶ．図２には模式的にエネルギーの移行の様子を示し（２）に示すとおり，−5/3 乗のベキ乗則を示す．第２章のた．第２章で示したスペクトルには，異なるいくつかの流図１においても，高いレイノルズ数では−5/3 乗則が確か

れ場（境界層，噴流，後流，格子乱流，大気乱流）においに存在することがわかる．
「第二相似性仮説」は，このよて，確かに−5/3 乗領域が存在することがわかる．円柱のうな状況を予測したものである．

後ろにできる流れ（後流）と壁の上に発達する流れ（境界プラズマ乱流のスペクトル構造にも，普遍的な型が存在層）では，可視化された写真などを比較すると，流れの様することが期待されるであろう．その際には，Kolmogorov

相はまったく異なる．これは，大きなスケールの運動が境が与えたようなシンプルな物理的描写が与えられ，それら界条件の影響を受けているため，大きなスケールには流れを特徴づけるスケール（長さ，時間）が一意に決まると興の個性が反映されていると理解される．しかし，カスケー

味深い．

ドによって渦がより小さなスケールとなると，
「個性」は

５．
３ 流体乱流のスケール不変性と間欠性薄れ，したがってそこには個性のない等方的な性質が現れる．「等方」とは，速度変動')!
*!
+(の統計的性質が座標軸

Kolmogorov の第二相似性仮説が成り立つスケールは，によらずに等しくなることである［４］．つまり，大きなス

物理空間ではどのように解釈できるのか．また，多くの実ケールでは個性をもった運動があるにもかかわらず，カス験で観測されるエネルギースペクトルは，わずかに−5/3

ケードを経て小さなスケールにいたると，個性を持たない

乗からずれることが知られている．

等方的な運動が現れる．等方的な運動を期待できるのは，
７８４

Lecture Note

5. Universality in Fluid and Plasma Turbulences

５．
３．
１ 速度構造関数

Y. Tsuji et al.

できる．速度構造関数にベキ乗則が成り立つ範囲は，実空空間内に距離 (だけ離れた２点の速度差のモーメント

間での慣性領域に対応する．では，ベキ乗則が成り立つと($&'(を定義する．これは速度構造関数と呼ばれ，乱流のは，何を意味しているのであろうか？

速度変動の解析に広く用いられてきた［２］．$&'((は慣性

いま，カスケードにより渦サイズが次のように徐々に小小領域で (のベキ依存性を持つことが予想されており，そさくなっていく場合を考える．

の指数 +
［３］．
& の値が詳しく調べられている
&
(.(
*'
+"(.(
+(
$&'
#)
+
!*'
,
*
#!&(.+，
&

.
&，
& ##
!&
（３）

&&#&!&，

（４）

!
!
!
!
"
#
$
/ ，&#"とする．#!はエネルギーを
ただし，&#!

##&##の場合には，K41 から)
*'
+(
*'
+"(.(
*
#)
*を考慮す

保有する最大渦スケールである．渦サイズ .
&が持つ単位質

ると，$#'
(.(
*'
+(
*'
+"(.(
%"!)
*となる．従って，自己相量あたりのエネルギーを

関 関 数 !'
(.(
*'
+(
*'
+"(.(
#)
*と 等 価 と な る．つ ま り，

%&""

$#'
(.(をフーリエ変換するとスペクトルが得られることと

"& #!

%&

なる．Kolmogorov の次元解析に従えば，+
$となり，
& #&"
#"
$

#
，
"'
%(
%%# "$*&
#

（５）

$#'
(.(
%(. のベキ依存性が期待できる．速度変動のエネ
ルギースペクトルに−5/3 乗則が存在することと，速度構差とする．したがって，時間スケールが )$*& となり，&#.
&"

造関数に 2/3 乗則が存在することは，数学的には同じこと

渦の特性時間となる．)& は渦サイズ .
& から .
&""にエネルではあるが，慣性小領域が無限に大きい場合にのみ成り立

ギーを渡すまでの時間と解釈される．単位時間，単位質量つ．実際の乱流では，慣性小領域の大きさは有限であるたあたりの輸送されるエネルギーは，で定義する．$*& は，渦サイズ .
& だけ離れた２点での速度

め，その関係を見出すことは難しい．特に構造関数のベキ
"&
'
$
&$
)
&

乗領域は狭くなり，ベキ指数の値を特定することが困難となる．数学的に証明できるのか著者にはわからないが，速度構造関数よりもスペクトルを用いたほうがベキ依存性を

$
$*&(
'
，
.
&

（６）

と見積もられる．
密度 *が一定の場合，流体運動の基礎方程式は，速度明確に定めることができる．図３には，レイノルズ数の大

,#*
,'
,
，圧力 'とすると，
*
+
!
)
(

きな大気乱流場で計測された速度構造関数の計算例を示した．二点間の距離 (.が小さな場合 か ら 急 激 に 立 ち 上が

, ,
*
,(
,'")&#*
,，
,#!"&
*&
*
"'
&
*
)

り，ベキ乗則が成立する範囲が認められる．(.が十分に大きくなれば，乱流運動の相関はなくなるので，速度構造関（７）数の値は一定値に近づく．また，次数 &が大きくなるとベとなる．レイノルズ数が十分に大きい場合には，右辺第二キ領域が狭くなる傾向がある．一方，レイノルズ数が小さ項（粘性散逸項）は，他の項に比べて小さく無視することい場合には，ベキ乗領域はほとんど見出すことができなができる（厳密にはレイノルズ数が無限大となることを意い．そのような場合には，&次の速度構造関数を３次の構味するが，ここではあまり深入りはしない）．このとき，長造関数に対してプロットする方法がとられるが，これにつさ，時間，速度，圧力に関して次のようなスケール不変性

いては後述する．

を見出すことができる．

速度構造関数は任意の指数 &に対して計算することがで,- (%"$*,， '- (#%"$'． （８）,- (,，)- ("!%"$)，*++

き，&を変えることによって速度差の大きい平均構造や小さい平均構造をベキ指数 +& の変化として把握することが上記の関係を用いると，

図３ （a）
レイノルズ数の大きな大気乱流中で計測された速度信号を用いて計算された速度構造関数．グラフが重ならないように縦軸方向に移動してある．（b）
n 次の速度構造関数を３次の構造関数に対してプロットした場合（ESS5.5.1 を参照のこと）．

７８５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.85, No.11 November 2009

#'#
$
$"
，
#&#
#'!

#$#
#$"
$
，
#&#
#$!

'
#
$!"
.
#&#
'

（９）

ここで，式（３）との対応を考える．#'# は距離 &# 離れた２点間での速度差であるから，%*#&#，#'# #'&
("%*'
('
!'&
とおけば，($)#"$となる．つまり，エネルギースペク# #(トルにベキ乗則が観測されるスケール範囲では，流体運動の構造にスケール不変性を期待できることになる．
５．
３．
２ 流体乱流の間欠性
二点間での速度差を #'% $'&
("%*!
&
%*!
&
'
!'&
'とおく
*

と，#'% が時間的に揺らぐこと，したがって指数 $も本来*は場所と時間に依存して変動することが予想される．#'%*の揺らぎは，その確立密度関数型を調べることによって詳しいことが明らかとなる．指数 $の揺らぎは次章で説明する．"#&%*'と PDF の関係は，

図４

#
"#&
!&
#'%'
%*'
#'%'
#'%'
&&
#!&
，
*

*

*

（１０）

となる．第３章でも触れたが，#を大きくすると !&#'%'速度構造関数のベキ指数 n に対する変化．間欠性を取り入れたモデルとの比較．ESS を用いた流体乱流（×印）とプ
ラズマ乱流（●印）との比較．

たな情報を提示してくれる．

*のすそ野が強調され構造関数に反映される．通常の室内実

流体乱流の普遍的性質として間欠性が挙げられ，速度構

験では，指数##%程度までが計算できる限界である．PDF

造関数（式（３））のベキ指数 (# が詳しく調べら れ て き

型が %*によらずガウス分布で，かつ ("$を満足する場###

た．ベキ指数の変化を図４に示す（○印）．直線がK41に対合には，指数 ($が成り立つ．Kolmogorov が与えた描# ##"応するが，#が大きくなるほど差異が大きくなる．このわ

像は，エネルギーが空間的に一様に大きなスケールから小ずかなズレがおこる物理を理解することが，乱流の間欠性さなスケールへ流れるもので，式（９）から '#が一定になるを理解することにつながると考え，多くのモデルが提示さこと，すなわち $#"（($）に相当する．
# ##"れている．Kolmogorov 自身が提示した対数正規モデルがあり，他に %‐モデル，P‐モデル，マルチフラクタルモデ

その後，流体乱流に限れば速度構造関数は詳しく調べら
れ［５］，($となることが明らかになっている．図４##"#%

ル，対 数‐ポ ア ッ ソ ン モ デ ル な ど が 報 告 さ れ て い るには，図３に示した構造関数から計算された (#を○印で示［２，３，５］．これらはすべて，式（９）における $のゆらぎの統

してあ る．実 線 が Kolmogorov の ス ケ ー リ ン グ ($# ##"計性をモデル化したものである．図４にそれらの比較を示

であるが，#が大きくなると，両者は一致しなくなることした．#が大きくなるに従って，K41 からのずれが大きくがわかるであろう．このずれ ($は乱流場の間欠性に#!#"なっていく傾向がうかがえる．プラズマデータに関して起因するもので，K41 で仮定した一様なエネルギーの流れ

も，構造関数のベキ指数を調べることは興味深いし，そのが時間空間的に起こっているわけではなく，間欠的に強い変化を説明できるモデルを構築することも可能であろう．

（大きな）エネルギーが分布していることを示唆している．

５．
４．
２ フラクタル解析

つまり，式（９）における $が時間と場所によって大きく揺第４章の図１（b）に示した複雑な流体界面の形を特徴づ

らぎ，この揺らぎこそが乱流の普遍的性質として重視されける方法として，フラクタル解析がある．自己相似性を有るようになった．Kolmogorov はこの間欠性を取り入れた

する幾何学的構造をフラクタルと呼ぶが，その相似性には

新たな仮説を１
９６２年に発表している［２］．それは，第３章

数学的に厳密のものと統計的な相似性を対象にするものがでふれた対数正規分布に基づくもので，エネルギーカス

ある．実験データの解析では，フラクタルは後者の意味でケードをモデル化したものである．他にも間欠性を取り上用いられ，これはあるスケールの統計量とそれよりも小さげたモデルは多数提案されている［５］．K41 との差は，#なスケールでの統計量が同一則に従うことである．つまが大きくなるに従って増大していくことが明らかである．

り，コッホ曲線のように細部に厳密に同一の形が存在する

つまり，間欠性は#'%のPDFのすそ野の分布型が大きく影のではなく，統計的に見て同様の形が存在することをい響していると考えられる．

う．統計的相似性には，必ずその相似性が成り立つ最小と*最大スケールが存在する．それは実験装置，測定分解能，

５．
４ 普遍性を解析する方法

サンプリング時間といった外的要因から課される場合もあ５．
４．
１ 速度構造関数のベキ指数

るし，最大渦スケールや最小渦スケール（コルモゴロフス

速度構造関数は，流体乱流の２点間の速度差をもとに計ケール）といった物理的根拠から決まる場合もある．実験

算されているが，速度のみならず温度，圧力などについて

データの解析では，フラクタル性の成立する範囲を明確にも同様なベキ乗領域が存在する．ベキ指数 (#を調べること

して相似構造の複雑さを評価するフラクタル次元を求める

は，変動する物理量の統計的性質を特徴づけるうえで，新必要がある．図５には流体界面の模式図を示した．界面が７８６

Lecture Note

5. Universality in Fluid and Plasma Turbulences

Y. Tsuji et al.

図５ （a）
流体界面の３次元的な模式図（フラクタル次元 D (3)）．（b）
平面との交わり（フラクタル次元 D (2)），（c）
直線との交わり（フラクタル次元 D (1)）によってできる図形．

平板（２次元）と交差した場合，直線（１次元）と交差した場合をあわせて示す．フラクタル次元を求めるためには，図形を含む領域を大きさ #のボックス（２次元図形の場合には正方形，３次元図形の場合には立方体）に等分割する．図形を含むボックスの数を "%#&とする．#を変えながら "%#&を求めて，両者の間に "%#&$#!! の関係がある
時，図形はフラクタル構造を持っていることになり，!
がフラクタル次元である［６，７］．この方法をボックスカウ
ンテングという．! は一般には非整数となる．

図６ （a）
狭い隙間内の高粘性流体を粘性の低い流体で置換した
場合にできる構造（粘性指状体），（b）
右図の指状体をボッ
クスカウンテングで解析した結果．ベキ指数はフラクタル
次元 D (2)に相当する．

図６は粘性指状体と呼ばれ，狭い隙間に高粘性流体を満たし，外部から低粘性流体を注入したとき，その置換によってできる形である．細部と全体が同じような形を示べきである．

し，統計的相似性を有していることがわかる．ボックスカ
ウンテングによって得られた，"%#&と #の関係を図６（b）

フラクタルの最大の効力は，複雑な形状や統計量の分布に示した．実線と破線の二つのベキ乗領域が観測される．

をフラクタル次元によって定量的に特徴づけられることに実線のベキ指数は 1.74 で，これが指状体のフラクタル次元ある．前者は乱流・非乱流の界面や等スカラー界面の形状となる．次元が 1 と 2 の間になるのは，直線（一次元）よ（染料などの濃度がある一定値をもつ界面），後者は乱流エりも複雑であるが，平面（二次元）を覆い尽くすまでには

ネルギー散逸率分布について多くの成果が得られている．

いたらないと理解できる．破線のベキ指数は１であり，こ発達した乱流・非乱流界面の形状は，噴流，境界層，格子のスケールでは各指状体はもはや滑らかな曲線でしかない

乱流などその流れ場の性質によらず，普遍的にフラクタル

ことを表している．ボックスの大きさを逆に大きくしてい

次元 !%"&#1.35 を持ち，相似性の成り立つ範囲は最大渦と

!"

けば，"%
#
&
$# となる．つまり，このような大きなス

最小渦スケールとされる［８］．乱流が発達していない場合

ケールでみれば平面と同一であると解釈される．

には，フラクタル次元はレイノルズ数の関数になり，レイフラクタル図形を解析する上での注意点は２つある．まノルズ数とともに増加し !%"&#1.35 に漸近する．等スカず，相似性の成立する最小と最大スケールを明確にするこ

ラー界面については，バチェラースケールとコルモゴロフとである．最小スケールは，計測器の分解能から決まるこ

スケールの範囲でフラクタル次元 !%"&#1.36±0.05 と報告ともあるし，物理的な観点から定まる場合もある．最大スされている［８］．乱流場にどうしてフラクタル構造があら

ケールは，装置の大きさの制約をうけるであろう．これら

われるのか？今のところの解釈としては，非線形方程式にの範囲を把握することによって，実験条件等が変わった場

共通に備わっている相空間内での引き伸ばし，折りたたみ

合にも，それに伴うフラクタル構造の変化を理解すること機構によって，自己相似的な構造が形成されていると考えができる．また，多くの実験では計測器の制約から１次元られる．しかし，直観的なイメージとしては，リチャード

もしくは２次元のデータしか得られず，これらのデータをソンの詩にあるよな渦のカスケードがわかりやすい．

用いてフラクタル解析を行っている．３次元構造のフラクタル次

５．
４．
３ マルチフラクタル解析

元 !%#&を予測するときには，!%#&#!%"&"!#!%!&""の関図７に流体乱流中で計測されたエネルギー散逸率（１次係式を用いるが，これは一様等方なフラクタル構造につい元）の分布を示した．縦軸はその平均値で無次元化されててのみ成立する厳しい条件である（ただし，!%"&，!%!&

いる．散逸率の分布は，非常に間欠的となっており限られは２次元，１次元空間での次元）．室内乱流場でこの条件た狭い領域に高い値が集中する．速度構造関数のベキ指数を満たすことは難しく，また，容易に得られる時間信号かが K41 からずれる理由はこの間欠的な分布に起因していら空間スケールへの変換（凍結乱流仮説）を用いた場合にる．間欠性を特徴づける方法は，対数正規分布や対数ポは，上記の関係式は必然的に満たさなくなることに注意すアッソン分布などが提案されているが，本節ではマルチフ
７８７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.85, No.11 November 2009

"+ #&
%
'

+
#+!&
#+*
)
，
+!"

,- !

（１５）

と導かれる．"+ が求められると &
#*は，
)
&
#+*
#+!)
+!"*
"+，
)
#+
.
#+ # $ +
+!"*
"+,
)
$+
図７

大気乱流中で計測された１次元エネルギー散逸率の分布．
縦軸は平均値で無次元化してある．

（１６）+#"のとき #)，+#!のとき &
#)
#)
"*
"*
!*
#&
)
*
)
*
#"!とな
る．ま た， &#)+*)*が 有 界 で あ る こ と か ら，+#$( で#)$(*#"$( である．"+ に関してわかることは，+."+

ラクタルの手法を用いる［６，７］．横軸を大きさ,のボックス

ならば "+.&"+ であることである．"!は容量次元，""に等分割する．ボックス内で平均化された散逸エネルギーは 情 報 次 元，"#は 相 関 次 元 と 呼 ば れ る［６，７］．実 際 に%,を下記に定義する．

&#*を求めるには，実験データから一般化次元 "+ を求め)て，式（１６）から数値微分によって得られる．

#
'",!

"
%
%)
-.*
$-..
# "
,)
'*
, -'!,!#

マルチフラクタル分布を簡単な例から考えてみたい．い（１１）

ま，長さ１の線分を '"と '#の長さに分割する．線分の上に

ここで，'は等分割された '番目のボックスの中心位置を

は一様な確率がのっており，その確率は *" と *#に分割さ表す．いま，'を固定してボックスの大きさ ,を変化させれる．ただし，*""*##"である．この操作を )回繰り返#た時，近似的に %,', の関係が見出されたとする．指数

すと，線分はやがてまばらな点の分布となり，線分の一つ#は特異性の強さと呼ばれる．指数#の値は，ボックスごと

( )!(
( )!(
に乗っている確率は *"の長さ '*# となる（ただ'" #に異なっている．しかし，同じ指数を持ったボックスが空し，(&)，図８参照）．したがってこの区間のスケーリン

間中にどのように分布するかを特徴づけられれば，全体の( )!(( )!( #
グ指数は，*#*"*# #)'' * より，" #%の分布を知ることができる．指数 #をもったボックスの分布がフラクタルになっている場合がこの手法の特徴であ##り，フラクタル次元 &#*が与えられる．つまり，異なる指
)

)*
(!
)*
"!(!
&
(*#
&
(*"")
)
，
(!
)*
)*
&
('
"!(!
&
('
)
"")
#

（１７）

数 #をもつボックスが各々次元 &#*で分布しており，その)となる．左端の線分では，(#)のため，## #&
(*"!
&
('
"

集合体として全体が成り立っていると考えるわけである．

であり，右端の線分では (#!のため #% #&
(*#!
&
('
#とな

.

.

.

指 数 #が # と #"$# の 間 の 値 を と る ボ ッ ク ス の 数る．このように集合上のどの点を見るかによってスケーリ$)#.*$#.は，フラクタル分布の場合には，ング指数の値は異なる．一方，'" を ( 回，'#を )!( 回とる組み合わせの個数は，)!( なので，同じ指数 #をもつ線

.

$)
#.*
,!&)# *，#.*$#.'$#.&)

分の個数は，

（１
２）

$)
#*
#)!( ，と与えられる［７］．&#.*は，特異性指数 #.の乗っている集)（１８）

合のフラクタル次元である．&#.*は，一般化次元 "+ を介)となる．)が十分に大きいとき，線分の長さ 'に対するそして求められる．

の個数の増加が，$)#*''!&)#*と見積もられると，スターリングの公式を用いて

"+ #&
%
'

+*
&
($)
，
&
(,

,- !

+
．
%
$)
+*
,
#! +
,)
'*
'

（１３）
&
#*
)
#

+を変化させることは，いろいろな確率の分布を強調する

(!
)*
(!
)*
)*
)*， （１９）
&
()
"
&
()
"!(!
)
")
!(!
(!
)*
)*
&
('
"!(!
&
('
)
"")
#

)を変化させると表される［８］．)が十分に大きい時，(!

ことに 対 応 し て い る．+%"な ら ば 確 率 の 高 い 部 分 を，+- !( ならば確率の小 さ な 部 分 を 強 調 す る こ とになる．式（１３）の 'についての和を #.についての積分と考え直
して，
.

$)
+*
#*
,!&)#*"+# $#.，
#"&)

（１４）

と表わされる．いずれ必要となる ,の小さなところで，非積分関数は ,のベキ !&#.*#.が最小となる #.で鋭い)"+ピークを示す．この #.を +の関数として #+ とする．つま

図８

り，+#)
３）の一般化次!
$&$#.*# ## となる．よって，式（１
.

+

元は

７８８

初期条件として，長さ１の線分に一様の確率がのった場合を考える．長さを 1/4 と 2/5 に分割して，確率を 3/5 と 2/
5 に分ける操作を繰り返す．十分な回数の操作をくりかえ
すと，間欠的に分布する点の集合が構成され，その点には高い確率から低い確率までがのった分布が構成される．

Lecture Note

5. Universality in Fluid and Plasma Turbulences

Y. Tsuji et al.

ことにより，さまざまな $と #の関係を見出すことができる．線分の上に確率がのった場合には，１つのフラクタル次元のみでは分布を特徴づけることができない．
!
!
%と &"#"%の比に，線分を
図９（i）には，確率を &!##
'
!
!
$と '
%の比に分割した場合のマルチフラクタ!#!
"#"
ルスペクトルを示した．$#(の最大値がフラクタル次元に'相当する．つまり，点の集合はゼロ次元と１次元の間の次元をもつ．スペクトルは $#('##の直線と接して，このときの $#(の 値 が 情 報 量 次 元 !! と な る．式（１３）から，''

図９を変えることによって，確率の大きな部分と小さな部分を強調して取り出すことができる．確率の揺らぎの大きさ
は，#の変化する範囲として理解される．図９（ii）には，確率と線分の分割の比を変えた場合の比較を示した．（a）とマルチフラクタルスペクトル．（i）
確率を p1 = 4/5 と p2 = 1/5 の比に，線分を '1 = 1/4 と '2 = 2/5 の比に分割した場合のスペクトル．（ii）
確率と線分の分割の比を変化させた場合．
（a）p1 = 3/5 ，p2 = 2/5，'1 = 1/4，'2 = 2/5，（b）
p1 = 4/5，p2= 1/5，'1 = 1/4，'2 = 2/5，（c）
p1 = 2/3，p2 = 1/3，'1 = 1/5，
'2 = 1/6．

（b）は，線分の分割の比を同じにして確率の配分を変えた場合である．線分の分割の比が同じであることは，その点ある仮定のもとで導かれるので，構造関数を (,に対してプの分布がつくるサポートのフラクタル次元が同じになるこ

ロットすることも，"#'(,(に対してプロットすることも等とに相当する．一方，確率 &! と &"の差が大きければ，そ価と考えられている．この方法（ESS: Extended Self Simi-の二項分布から作られる確率の積の分布は変化の大きなも

larity）を用いると［３，５］，狭いベキ乗領域が拡張され，容のとなり，したがって，（a）に比べて（b）の結果は #の変化

易にベキ指数を決定することができる．流体乱流の解析でする範囲が広くなる．
（c）は分割の比を変えた場合で，１は，ESS から求まる指数と構造関数から直接に求まる指数回の操作で残る線分の割合がより短くなる．これは，点のがよく一致することが確認されている．図３（b）には，ESS

分布が疎になることに相当して，サポートのフラクタル次による構造関数のプロットを示してある．このデータはレ

元も小さくなる．

イノルズ数の大きな大気乱流データを用いているので，速度構造関数から直接にベキ指数を計算できる．両者から求められる &% を図４に示した（○：直接求めた場合，×：５．
５ プラズマ乱流への応用
構造関数やマルチフラクタル解析は，流体乱流の間欠性

ESS）．確かに両者の一致は申し分ない．

を特徴づける便利な手法として１９９０年代から広く用いられ

図１０（b）には，流体乱流の解析に倣い，%次構造関数をている．プラズマデータの解析においても，同様の解析が３次の構造関数に対してプロットした結果を示す．ベキ乗

利用され始めている．本章では，具体的なデータの解析を

領域は拡大され，広い範囲にわたってきれいな直線領域が通して，結果を解釈する上での注意事項をまとめる．

現れる．したがって，プラズマ乱流の変動データに関して

５．
５．
１ Extended Self Similarity

も ESS を有効に用いることができる．図４には，ESS から

プラズマ乱流中で計測された密度変動 $')(を用いて，次求まるベキ数を流体乱流の結果と比較したものである．%

式で定義される構造関数を計算した．その結果を図１０（a）が大きくなると両者の差は拡大する．しかし，この結果のに示す．")はデータのサンプリング間隔である．

解釈には注意がいるので，以下にこの点について述べる．

%
&
%.
%
$'
)
")
)
$%'
(
$)
+
"%
(
!$'
(
+
*
&%

図１１（a）は構造関数から直接求めたベキ指数をプラズマ中（２０）

心からの距離 (に対してプロットしたものである．&"の変とである［９，１０］．流体乱流の速度変動を解析する際には，化に注目すると，(#0 mm では &"#!であるが，外縁に向かうにしたがって減少し，(#6 mm で最小値を示してまた%##の構造関数は負になることが理論的にわかっている．

増加する．第２章の解析で明らかになったように，プラズ

しかし，プラズマ乱流では必ずしもそのことは保障されてマは準周期的に回転しており，半径方向への移動も存在す

いないため，絶対値を計算することとする．密度変動の大る．(#8 mm 付近では回転の影響がも っ と も 顕 著 に な

きさは有限であるため，%が大きくなると構造関数の値はる．ベキ指数が小さいということは，微小時間 %内におけ一定値となる．%が小さな場合には，緩やかに増加する傾向

る密度の変化が小さいことを表す．つまり，細かな構造にが観察される．この領域は狭いが，ベキ乗関数で近似する

よる緩やかな変化が存在することを予測させる．一方，外と指数 &% を得ることができる．構造関数の解析では，この縁に向かうと指数が増加するのは，微小時間内での急激なベキ乗領域の範囲が狭いことがしばしば問題になる．つま密度の変化が次第に多くなってくることに対応している．

ここで，式（３）との相違は，増分の絶対値を用いているこ

一様等方の乱流場では &!
#であるから，プラズマ密度"%"り，正確にベキ指数を決められないのである．
流体乱流の解析では，レイノルズ数が小さいとベキ指数の変動はそれに比べて活発な変動をしていると考えられの範囲が狭くなり，構造関数自体も滑らかに増加する．こる．一方，ESS から求まるベキ指数を図１１（b）に示す．こちのような場合には，構造関数を (,に対してプロットするのらは，(によらず，ほぼ一定の値を示す．流体乱流で ESSを用いることは，３次の速度構造関数が "#'(,(&(,，すな,ではなく，"#'((に対してプロットする方法が用いられ
,

,

わち &
##!となることが拠り所となっていた．しかし，プる．流体乱流の基礎方程式から，"#'((&( となることが
７８９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.85, No.11 November 2009

図１
０ （a）
プラズマ中心（r = 0）における密度変動のデータを用いて計算された構造関数．グラフが重ならないように縦軸方向に移動させてある．（b）
同一データを ESS によりプロットした場合．

図１
１ プラズマ密度変動の構造関数におけるべキ指数半径方向への変化．
（a）
構造関数から直接求まる場合，（b）
ESS を用いた場合．

ラズマ乱流では，必ずしも %##!とはならないので ESS場合（$が大きい場合）は，ブラウン運動と同一の指数となから求まる指数は，速度構造関数のベキ指数を表すものでり，飽和電流の変動は互いに相関をもたないことになる．

はなくなってしまう．この点は，プラズマデータの解析に領域!（$が小さな場合）に観察される指数は，プラズマ変

ESS を用いる場合には注意する必要がある．

動の物理的性質に起因する結果である．２つの領域を分け

文献［１１］では，直線型プラズマ装置の半径断面内で計測

る時間スケールは，プラズマの変動を特徴づけるタイムス

された密度変動データが ESS によって解析されている．半ケールであり，第２章で紹介したマイクロスケールや積分

径断面内では，プラズマは磁場の影響で強い２次元性を有スケールとの関連づけができるかもしれない．また，興味するので，その性質を２次元の流体乱流と比較したもので深いのは，領域!における変動の確率密度関数型が，ある．スケーリング指数は，%"#となることが報告さ
( #(

，
(%
*
!
$&
"
*!"$&
#"!%'&'
%
!*!$&
%
(

れている．また，文献［１２］では MHD 乱流（magneto-hydro-

!*

，
(%
*
!
%&
*"& &
#""%'&'!%%(

dynamic flow）における散逸（定義は文献参照）の構造関

（２１）
（２２）

数の指数を ESS で解析している．その結果が，図４に示しでよく近似されることである（図１３）．式（２１）は Fréchet

た Log-Poisson 分布に従うことが報告されている．しかし分布，式（２２）は Gumbel 分布と呼ばれ，$，%はフィッテ

ながら，この ESS を用いた結果の解釈には，上述の議論を

ングパラメータ，"!，""は規格化定数である．LHD プラズ

踏まえると，幾分の注意が必要であることを記しておきた

マのみならず，他のプラズマ現象でも同様の傾向が観測さい．

れていることは興味深い［１４］．

５．
５．
２ 構造関数

さて，領域!においてベキ指数が 0.8 になることを簡単

大型ヘリカル装置（LHD）では，計測されたイオン飽和なモデルを用いて理解してみたい．フラクタルの概念を物

電流信号を用いて構造関数が計算されている（図１２）［１３］．

理学一般に広めた Mandelbrot は，ブラウン運動の非整数'#"の場合，２つのベキ乗領域が観測されている．２つの回 微 分 を 定 義 し て，非 整 数 ブ ラ ウ ン 運 動 を 導 入 し た

領域を「領域!」，「領域"」と便宜的に表すと，ベキ指数［７，１５］．非 整 数 ブ ラ ウ ン 運 動 !# %)&は，ブ ラ ウ ン 運 動は，各々約 0.8，0.5 と見積もられる．（この論文では，構造!%)&から次の式で計算される．

関数の定義が異なっており，ベキ指数は後述のハースト指
!# %
)
&
#

数と等価となる．詳しくは文献を参照のこと）
．領域"の
７９０

)
!
) #!!"
).
! %
)
)
!)
& "$!%
&
#%
#"!
"
"&!$

（２３）

Lecture Note

5. Universality in Fluid and Plasma Turbulences

Y. Tsuji et al.

図１
２ （a）
LHD で計測されたイオン飽和電流から構造関数を計算した一例（n = 2 の場合）．２つの領域でベキ指数が異なっている．（b）
各領域におけるべキ指数の値をモーメントの次数に対してプロットした結果［１
３］．

ことができる．% は過去との相関の及ぶ範囲を規定しており，% よりも過去においては，無相関，つまりブラウン運
動的な振る舞いを示す．図１２において，領域!と領域"を分けるタイムスケールを % に設定すれば，実験で観測された結果をモデル化することができる．構造関数という名前ではないが，古くからハースト指数は気温や河川の放水量，降水量，年輪の幅などの時間的変化を特徴づける統計量として用いられてきた［７］．ハースト指数は，構造関数を計算することから求められるが，R/S 解析と呼ばれる方法も用いられ，プラズマデータの診断に用いることができるので，興味のある方は文献［７］を参照されたい．
５．
５．
３ フラクタル解析
図１４は，ヘリウムプラズマを用いてタングステン材料上

図１
３ LHD で計測されたイオン飽和電流の領域!（図１２参照）における確率密度関数［１３］．波線はガウス分布，実線は式
（２
１）
，式（２
２）
によって最小二乗フィットさせた結果．

に繊維状のナノ構造を形成し，単電極から放電を発生させたアークスポットの写真である．放電軌跡はナノ構造上をランダムウォークするかのように，フラクタル構造を形成

ここで，%&''はガンマ関数，指数 "をハースト指数と呼ぶする．詳しく見ると，小さなスケールでは，放電パターン（速 度 構 造 関 数 の ベ キ 指 数 と の 関 係 は，#
．
"#'
#）

は等方的に広がっているが，大きなスケールではある一定##となる．この定!""""であり，ブラウン運動は "#"の方向（反 $"!方向）に伸びている．このようなフラクタ

義によれば，時刻 &での !" &&&'は，ブラウン運動 !&'の過ルをセルフアフィンフラクタルと呼ぶ［１８］．小さなスケー

去&"&でのすべての変位 &!&&'に依存する．非整数ブラルでは，下地となるタングステン構造自体がスポットの動ウン運動の構造関数は，きに関与するが，大きなスケールでは磁場の影響が現れる

#
#"
，
!" &
$&
$&
!'
(
+
'
!!" &
,
)
$*
*

ことを反映していると考えられる．前者ではフラクタル次（２４）

元 1.79，後者では 1.20 と見積もられている．小さなスケーと見積もられる．仮に LHD で観測された飽和電流の変動

ルでは，アークスポットがブラウン運動と類似することかを非整数ブラウン運動で近似できるとすると，領域!でら，フラクタル次元は 2.0 に近づくことが期待される．しか!
"#!
!
$と な る．式（２４）か ら，時 刻 &%，領 域"で "#!

し，過小評価する結果となっている．その理由は，有限時と !&での相関係数は，間の観測であるためか，磁場の影響が小さなスケールまで

!" &
!" &
&
(
!&
'
'
)
，
"!##"!"'
##&
#
!" &
&
(
'
)

浸透していることなのか，今後の研究課題であろう．アー
クスポットの中間スケールの挙動は，フラクタル次元が（２５）

1.49 と見積もられる．このようなフラクタル構造にプラズと計算される．つまり，"#&##!
!
%の場合には，負の相関

マ装置に依存しない普遍性が期待できるのかは興味深い課となる．平均を差し引いた変動を考えた場合，過去との相題である．詳しい解析結果は文献［１７］を参照されたい．

関が負になるとは，平均値よりも小さな負の変動が急激にマルチフラクタル解析では，いくつかの異なる実験装置

正の変動に変化する，もしくはその逆の過程が起こること

で計測されたイオン飽和電流を解析した結果が報告されてを表している．つまり，短いタイムスケールでのバーストいる［１９］．プラズマ乱流の普遍性を調べる先駆けとして興的な変動が活発に起こっていると予測できる．非整数ブラ

味ある成果である．おそらく，現状のプラズマデータの解

ウン運動を数値的にシミュレーションする場合には，式

析には，ESS を併用するしかなく，その際の注意事項はす（２３）での積分範囲の下限!%を有限な値!% に置き換えるでに述べたとおりである．結果の物理的解釈には注意が必
７９１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.85, No.11 November 2009

速度（!"）で下流方向へ移動してプローブを通過することを意味する．瞬時の速度変動そのものには，凍結乱流仮説が成り立たないのは自明であるが，統計量に関してはよい
近似になっていることが，多くの研究者により報告されている．プラズマデータの解析においても同様のことが問題になるだろう．

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Phys. Plasmas 12, 022301 (2005).
［１３］J.M. Dewhurst, B. Hnat, N. Ohno, R.O. Dendy, S. Masuzaki,
T. Morisaki and A. Komori, Plasma Phys. Control. Fusion
50, 095013 (2008).
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［１９］V.P. Budaev, S. Masuzaki, T. Morisaki, N. Ohno, N.
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図１
４ ナノスケールの繊維状タングステン層に単極電極から放電を発生させた場合のアークの軌跡およびそのフラクタル解
析の結果［１６，
１７］．

要であるとともに，なぜプラズマ乱流にマルチフラクタル性が生まれるのか，その物理的描写がより一層明らかになることを期待したい．また，スケール不変性という観点か
らは，太陽風プラズマの解析［２０］などもあり，プラズマの多様性は尽きない．
最後に，波数スペクトルと周波数スペクトルについて触れておきたい．流体乱流の実験では，計測は空間に固定した数点で時系列データを取得する．したがって，ランダム
信号は時間の関数として得られることになる．これらを基に計算されるのが，時間周波数 "［1/sec］に対する周波数スペクトルである．一方，Kolmogorov 仮説では，空間に局在する波，つまり波数 #［1/m］をもとに計算される波数ス
ペクトルを用いる．しかしながら，実験や観測で周波数スペクトルを計算することは大変に難しい．そこで，大胆な仮説ではあるが，時間軸を空間軸に変換することを行う．
つまり，%"!"!$が成り立つとして，波数 #"!
""
!
!"を計
算する．ここで，!"は対流速度である．この仮説を Taylorの凍結乱流仮説という．G.I. Taylor が考案したもので，速度変動はその大きさと方向を変えずに（凍結して），一定

７９２