ฏ੒ 27 ೥౓େֶӃೖֶࢼ‫ݧ‬໰୊ɹ Iʢ3 ࣌ؒʣ஫ҙ(1) ໰୊ I–1ɼI–2ɼI–3 ͷղ౴͸ͦΕͧΕผͷղ౴༻ࢴ 1 ຕʹ‫ه‬ೖͤΑɽཪ໘Λ༻͍ͯ΋Α͍ɽ
(2) ֤ղ౴༻ࢴ͸ԣ௕ʹ࢖༻ͯ͠ɼղ౴༻ࢴදଆͷࠨ্෦ʢઢΑΓ্ʣʹ໰୊൪߸ɼड‫ݧ‬൪߸ɼࢯ໊Λ‫ه‬ೖͤΑɽղ౴༻ࢴͷଞͷ෦෼ʹड‫ݧ‬൪߸ɼࢯ໊Λॻ͍ͯ͸͍͚ͳ͍ɽ͜ͷઢΑΓ্ͷཝʹ͸දɼཪͱ΋ղ౴Λॻ͍ͯ͸͍͚ͳ͍.
(3) ղ౴༻ࢴ͸ 3 ໰͢΂ͯఏग़͢Δ͜ͱɽͳ͓ɼ໰୊࡭ࢠ͓ΑͼԼॻ͖༻ࢴ͸ճऩ͠ͳ͍ɽ(4) ໰୊࡭ࢠ͸දࢴΛ‫ؚ‬Ίͯ 7 ϖʔδ·Ͱ͋Δɽ

1

I-1 (෺ཧ਺ֶ) (100 ఺)࣍ࣜͰఆٛ͞ΕΔ x, x ͱ t ͷؔ਺ G(x, x , t) Λߟ͑Δ.

G(x, x , t) = √1 − (x−x )2
e 4t
4πt

(A)

(1) ҎԼͷੵ෼Λ‫ٻͯ͠ࢉܭ‬ΊΑɽ ∞e−x dx2(B)

G(x, x , t)dx

(C)

lim G(x, x , t)

(D)

−∞

(2) t > 0 ͷͱ͖ ∞−∞ͷੵ෼Λ‫ٻͯ͠ࢉܭ‬ΊΑɽ(3) x = x ͷͱ͖

t→+0Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(4) t > 0 ͷͱ͖ɼҎԼͰఆٛ͞ΕΔ H(x, x , t) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ
H(x, x , t) =∂G(x, x , t) ∂ 2 G(x, x , t)
−
∂t
∂x2

(5) ࿈ଓͰ༗քͳ೚ҙͷؔ਺ g0 (x) ʹରͯ͠ ∞v(x, t) =g0 (x )G(x, x , t)dx
−∞

(E)

(F)

Ͱɼ৽͍ؔ͠਺ v(x, t) Λఆٛ͢Δɽ͜ͷͱ͖ t > 0 Ͱw(x, t) =∂v(x, t) ∂ 2 v(x, t)
−
∂t
∂x2

(G)

Ͱఆٛ͞ΕΔ w(x, t) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(6) t > 0 ͷͱ͖ɼҎԼͷ‫ݶۃ‬Λ‫ٻ‬ΊΑɽ
lim v(x, t)

t→+0

(H)

(7) v(x, t) ͸ɼ͋Δภඍ෼ํఔࣜͷɼ͋Δॳ‫ظ‬৚݅ͷ΋ͱͰͷղʹͳ͍ͬͯΔ͕ɼͦͷภඍ෼ํఔࣜͱॳ‫ظ‬৚݅Λॻ͚ɽ

2ʢ͜ͷϖʔδ͸നࢴͰ͋Δʣ

3

I-2 (力学) (100 点)
重心を上下に移動させることでブランコを漕ぐ運動を簡単なモデルで考えてみよう．図１のように，O を支点として，質量 m のおもり（質点）がついた棒振り子の平面上の運動を考える（棒の質量は無視できるとする）．おもりの位置 P を極座標 (r, θ) で表す．おもりは棒の上を移動し，それを r = l(t) と表す．初期条件は，
t = 0 で，おもりは θ = θ0 の位置で静止していたものとする．重力加速度を g (> 0)
とする．

図１

(1) 支点 O を基準とし，おもりの持つ全エネルギー E を m，g ，r，ṙ，θ，θ̇ を使って表せ．
拘束条件は r = l(t) なので，ラグランジュの未定乗数法を使って拘束条件下でのラグランジアン L は，λ を未定乗数とし，1
L = m{ṙ2 + (rθ̇)2 } + mgr cos θ − λ{r − l(t)}2と表せる．λ は独立変数とみなせ，λ に関するラグランジュ方程式を計算すると，
r − l(t) = 0 となり，たしかに拘束条件が出てくる．

(2) r に関するラグランジュ方程式を導け．
(3) θ に関するラグランジュ方程式を導け．
問 (2) のラグランジュ方程式から，λ はおもりに対する拘束力であることがわかる．

4

(4) おもりのエネルギー E の時間変化を，
dE
= Aλ
dt
と表すとき，A を r，ṙ，r̈ を使って表せ．

次に，l(t) がl(t) = l0 +  cos(2ω0 t + γ)と周期的に変化する場合を考える（ただし l0 ，γ ， は正の定数，ω0 = g/l0 とする）．さらにおもりの移動量は l0 に比べて十分小さく，0 <   l0 とする．また振り子のふれも微小で sin θ ∼ θ ∼ θ0 cos ω0 t と近似できる間の運動を考え，振り子の周期の変化も無視できるとする．振り子の 1 周期を T = 2 /ω0 として，物理量 X
Tに対する平均を X = T1 0 X(t)dt と定義する．

dl d2 l(5)を計算して求めよ．
dt dt2 dE(6) エネルギー E の時間変化の平均
を，
dt
 
dE
= mgω0 θ02 B
dt
 
dl
と表すとき，B を γ を使って表せ．計算の途中で，= 0 という関係式
dtを使ってもよい．
 dE(7) この運動で，を最大にするための γ の値を求め，そのときの θ と l の
dt
時間変化の関係について説明せよ．

5

I-3 (ి࣓‫( )ֶؾ‬100 ఺)෺࣭தͷిࢠͷ‫ݹ‬యతͳӡಈΛߟ͑Α͏ɽిࢠͷ༗ޮ࣭ྔΛ me ɼిՙΛ −e (e > 0)
ͱ͢Δɽ੩ి৔ (ి৔‫ ౓ڧ‬E) ͱ੩࣓৔ (࣓ଋີ౓ B) ͷ΋ͱͰిࢠͷ (ฏ‫ )ۉ‬଎౓
Λ v e ͱͨ͠ͱ͖ɼిࢠͷӡಈํఔࣜ͸ɼ
dv e v emeʴ= − e (E + v e × B) ɹdtτeͰ༩͑ΒΕΔɽ͜͜Ͱ τe ͸িಥ (ຎࡲ) ʹΑΔ؇࿨࣌ؒͰ͋Δɽ(1) ੩࣓৔ B = (0, 0, B)ɼ੩ి৔ E = (Ex , Ey , 0) ͕͸ͨΒ͘ͱͯ͠ɼఆৗঢ়ଶ
(dv e /dt = 0) ʹ͋Δిࢠͷ଎౓ v e = (ve x , ve y , 0) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(͜͜Ͱ͸؆୯ͷͨΊిࢠͷ z ํ޲ͷӡಈ͸ߟ͑ͳ͍ͱ͍ͯ͠Δɽ)(2) ఆৗঢ়ଶͷిࢠ͸໰ (1) Ͱ‫ٻ‬Ίͨ଎౓ʹ͋Δͱ͠ɼిྲྀີ౓ j ͸ిࢠͷ਺ີ౓ n Λ༻͍ͯ j ʹ − env e ͱද͞ΕΔɽిྲྀີ౓ j ͷ x, y ੒෼͸ɼి‫఻ؾ‬ಋ౓ςϯιϧ σ Λ༻͍ͯҎԼͷΑ͏ʹ͋ΒΘ͞ΕΔɽ
jx
jy

=

σxx σxyσyx σyyExEyి‫఻ؾ‬ಋ౓ςϯιϧ σ ͷશ੒෼ΛɼeɼnɼB ‫ͼٴ‬ɼిࢠͷқಈ౓ μe = eτe /meΛ༻͍ͯදͤɽ
ਤ 1 ͷΑ͏ʹ x ํ޲ʹ௕͍๮ঢ়ͷࢼྉΛߟ͑Δɽࢼྉͷ x ࣠྆୺ʹ͚ͭͨి‫ʹۃ‬ΑΓి৔Λ༩͑ɼిྲྀ͕ x ํ޲ʹྲྀΕ͍ͯΔ΋ͷͱ͢Δɽ੩࣓৔ B = (0, 0, B) ΛҹՃͨ͠௚‫ޙ‬ɼ−x ํ޲ͷిࢠͷྲྀΕ͸ϩʔϨϯπྗͷͨΊ −y ํ޲ʹ‫͛ۂ‬ΒΕΔ͕ɼ֎෦ʹྲྀΕग़ͳ͍ (ઈԑ͞Ε͍ͯΔ) ৚݅ͷԼͰ͸ −y ࣠ํ޲ͷนʹిࢠ͕ͨ·Γి৔Λൃੜ͢ΔΑ͏ʹͳΓɼ໰ (1) Ͱߟ͑ͨఆৗঢ়ଶΛͱΔΑ͏ʹͳΔɽͦ͜Ͱ͸ൃੜͨ͠ి৔ʹΑΓϩʔϨϯπྗͷӨ‫ڹ‬͸ଧͪফ͞Εɼిࢠͷ −y ํ޲ͷҠಈ
͸ͳ͍ɽ

ਤ̍
ɽ

6

(3) ఆৗঢ়ଶͰ͸ɼjy = 0 ͔Β Ex ͱ Ey ͷؔ܎Λ஌Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜ͷؔ܎Λ
༻͍ɼ
Ey
RH =
B jx
ͱఆٛ͞ΕΔϗʔϧ܎਺ RH ɼ͓Αͼɼ༗ޮ఍߅཰ Rxx ≡ Ex /jx Λ‫ٻ‬ΊΑɽ࣍ʹిࢠͱਖ਼޸ (ిՙ eɼ༗ޮ࣭ྔ mh ) ͷೋछྨͷΩϟϦΞʔ͕ଘࡏ͢Δ෺࣭Λߟ͑Δɽਖ਼޸ͷ (ฏ‫ )ۉ‬଎౓Λ v h ͱͨ͠ͱ͖ӡಈํఔࣜ͸
dv h v hmhʴ= e (E + v h × B) ɹdtτhͰ༩͑ΒΕΔɽ·ͨɼిࢠͱਖ਼޸ͷ਺ີ౓ΛͦΕͧΕ n ͱ p ͱ͠ɼిࢠɼਖ਼޸ͷқಈ౓ΛͦΕͧΕ μe = eτe /me ɼμh = eτh /mh ͱ͢Δɽ(4) ੩࣓৔ B = (0, 0, B)ɼ੩ి৔ E = (Ex , Ey , 0) ͕͸ͨΒ͘ͱͯ͠ɼఆৗঢ়ଶ
ʹ͋Δిࢠɼਖ਼޸ͷ଎౓Λ v e ͱ v h ͱ͢Δɽ(؆୯ͷͨΊిࢠɼਖ਼޸ͷ z ํ޲ͷӡಈ͸ߟ͑ͳ͍ͱ͍ͯ͠Δɽ) ɹೋछྨͷΩϟϦΞʔ͕͋Δ৔߹ͷిྲྀີ౓͸ j ʹ − env e + epv h ͱද͞ΕΔͱͨ͠ͱ͖ɼి‫఻ؾ‬ಋ౓ςϯιϧ σ ͷશ੒෼Λ‫ٻ‬ΊΑɽ͜ͷ෺࣭Λਤ 1 ͷΑ͏ʹ഑ஔ͠ɼి৔Λ x ํ޲ʹɼ੩࣓৔ B Λ z ํ޲ʹ͔͚ॆ෼ͷ͕࣌ؒ‫ܦ‬ա͠ɼిࢠɼਖ਼޸ͱ΋ʹఆৗঢ়ଶʹ͋Δͱ͍͏ঢ়‫گ‬Λߟ͑Δɽ͜͜Ͱ΋ jy = 0 ΑΓ Ex ͱ Ey ͷؔ܎Λ஌Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ(5) ϗʔϧ܎਺ͷ B → 0 ͷ௿࣓৔‫͚͓ʹݶۃ‬ΔදࣜΛ‫ٻ‬ΊΑɽ(6) ϗʔϧ܎਺ͷ B → ∞ ͷߴ࣓৔‫͚͓ʹݶۃ‬ΔදࣜΛ‫ٻ‬ΊΑɽ͜ͷද͔ࣜΒϗʔϧ܎਺ͷූ߸͸ԿΛҙຯ͍ͯ͠Δͱ͍͑Δ͔ɽ

7

ฏ੒ 27 ೥౓େֶӃೖֶࢼ‫ݧ‬໰୊ɹ IIʢ3 ࣌ؒʣ஫ҙ(1) ໰୊ II–1ɼII–2ɼII–3 ͷղ౴͸ͦΕͧΕผͷղ౴༻ࢴ 1 ຕʹ‫ه‬ೖͤΑɽཪ໘Λ༻͍ͯ΋Α͍ɽ(2) ֤ղ౴༻ࢴ͸ԣ௕ʹ࢖༻ͯ͠ɼղ౴༻ࢴදଆͷࠨ্෦ʢઢΑΓ্ʣʹ໰୊൪߸ɼड‫ݧ‬൪߸ɼࢯ໊Λ‫ه‬ೖͤΑɽղ౴༻ࢴͷଞͷ෦෼ʹड‫ݧ‬൪߸ɼࢯ໊Λॻ͍ͯ͸͍͚ͳ͍ɽ͜ͷઢΑΓ্ͷཝʹ͸දɼཪͱ΋ղ౴Λॻ͍ͯ͸͍͚ͳ͍.
(3) ղ౴༻ࢴ͸ 3 ໰͢΂ͯఏग़͢Δ͜ͱɽͳ͓ɼ໰୊࡭ࢠ͓ΑͼԼॻ͖༻ࢴ͸ճऩ͠ͳ͍ɽ(4) ໰୊࡭ࢠ͸දࢴΛ‫ؚ‬Ίͯ 7 ϖʔδ·Ͱ͋Δɽ

1

II-1 (ྗֶ) (100 ఺)(1) x ͷؔ਺ y(x) ʹରͯ͠ y  =ͯ͠ੵ෼dyͱॻ͘ࣄʹ͢Δɽy ͱ y  ͷؔ਺ L(y, y  ) ʹର
dx
 b
T =
L(y, y  )dx(A)aΛߟ͑ΔɽT ͷ y ʹ͍ͭͯม෼͕θϩʹͳΔΑ͏ͳ y ͷै͏ඍ෼ํఔࣜΛॻ͚ɽͨͩ͠ δy(a) = 0, δy(b) = 0 ͱ͢Δɽ(2) y(x) ͕໰ (1) Ͱ‫ٻ‬Ίͨඍ෼ํఔࣜͷղͰ͋Δͱ͖


d
 ∂L
y  −Ldx∂y(B)Λ‫ٻ‬ΊΑɽਤ̍ͷΑ͏ͳ஍‫ٿ‬ͷද໘্ͷ఺ P(x = 0, y = 0) ͔Βɼ఺ Q(x = a, y = 0) ·Ͱɼ஍ԼͷτϯωϧΛ௨ͬͯɼྻंͰҠಈͰ͖Δ༷ʹ͢ΔࣄΛߟ͑Δɽ࣭ྔ m ͷྻं͸ॏྗͷΈͰՃ଎ͱ‫ݮ‬଎Λड͚఍߅θϩͰ૸ΕΔͱ͢Δɽ·ͨɼ஍‫ٿ‬ͷද໘͸ฏ໘ͱ͠ɼॏྗϙςϯγϟϧΤωϧΪʔ͸ g > 0 ΛҰఆͱͯ͠ɼmgy Ͱॻ͚Δͱ͢Δɽ఺ P ͔Β࠷΋ૣ͘఺ Q ʹ౸ண͢Δʹ͸ɼ͍͔ͳΔ‫ܦ‬࿏ y(x) ͷτϯωϧΛ۷Ε͹ྑ͍͔ΛɼҎԼͷΑ͏ʹͯ͠‫ٻ‬ΊΑ͏ɽɹ(3) ఺ P ͔Β଎౓θϩͰग़ൃͯ͠఺ (x, y) ʹ౸ணͨ࣌͠ͷྻंͷ଎͞ V Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(4) y(x) ʹԊͬͯྻं͕ਐΜͩͱ͖఺ Q ʹୡ͢Δ·Ͱͷ࣌ؒ T ͸ɼࣜ (A) ͷ‫ܗ‬ʹॻ͚Δɽy = y(x) ʹԊͬͨ௕͞ ds ͕ ds = 1 + (y  )2 dx ͱॻ͚Δࣄʹ஫ҙͯ͠ L(y, y  ) ͷ۩ମతͳදࣜΛॻ͚ɽ(5) ໰ (2) ͷ݁ՌΛੵ෼ͯ͠ y  Λ y Ͱදͤɽ(6) y  = −1/ tan θ Ͱ৽͍͠ม਺ θ Λఆٛ͢Δɽ͜ͷͱ͖ θ ͷؔ਺ͱͯ͠ y(θ) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ
(7) x ΋ θ ͷؔ਺ x(θ) ͱߟ͑Δͱ
dy 1
dx
=
dθ
dθ y 

(C)

ͱͳΔɽx(θ) ͸ɼ͜ͷඍ෼ํఔࣜΛղ͘ࣄʹΑΓ‫ٻ‬ΊΔࣄ͕Ͱ͖Δɽx = 0
ͱ x = a Ͱ y = 0 ͱͳΔ৚͔݅Β x(θ) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(8) τϯωϧͰҰ൪ਂ͍఺ͷ x ࠲ඪͱ y ࠲ඪΛ‫ٻ‬ΊΑɽ

2

(9) ࠷୹ͷ࣌ؒ T Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(10) g = 9.8 m s−2 ɼ a = 1.0 × 106 m ͱͨ࣌͠ɼ্Ͱ‫ٻ‬Ίͨ࠷୹ͷ࣌ؒ T ͸ɼԿඵ͔Λ༗ޮ਺ࣈܻ̎Ͱ౴͑Αɽਤ̍

3

II-2 (ྔࢠྗֶ) (100 ఺)զʑ͕‫؍‬ଌ͢Δঢ়ଶ͕ϋϛϧτχΞϯͷ‫ݻ‬༗ঢ়ଶͱҰக͢Δͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍. ྫ͑͹‫؍‬ଌ͞ΕΔχϡʔτϦϊͷऑ͍૬‫༻࡞ޓ‬ͷ‫ݻ‬༗ঢ়ଶ͸ɼχϡʔτϦϊҰཻࢠঢ়ଶͷϋϛϧτχΞϯͷ‫ݻ‬༗ঢ়ଶͱ͸Ұக͠ͳ͍. ͜ͷΑ͏ͳ৔߹ʹ‫͜ى‬Δྔࢠৼಈ‫ݱ‬৅ΛҎԼͷೋͭͷௐ࿨ৼಈࢠ͔ΒͳΔ‫ܥ‬ͷྔࢠྗֶͰߟ͑ͯΈΑ͏. ҎԼͰ͸ɼࣗવ୯Ґ‫ =  ܥ‬c = 1 Λ༻͍Δ.
ҎԼͷަ‫܎ؔ׵‬Λຬͨ͢ೋ૊ͷੜ੒ফ໓ԋࢉࢠ â1 , â†1 , â2 , â†2 Ͱද͞ΕΔௐ࿨ৼಈࢠΛߟ͑Δ.

[âi , â†j ] = δij , [âi , âj ] = 0(A)͜͜Ͱɼi, j = 1, 2ɼδij ͸ΫϩωοΧʔͷσϧλͰ͋Δ. ‫ܥ‬ͷਅۭ |0 ͸ɼ

â1 |0 = 0, â2 |0 = 0(B)Ͱఆٛ͞ΕΔ. ೋͭͷௐ࿨ৼಈࢠ͕૬‫͍ͯ͠༻࡞ޓ‬Δ৔߹ͱͯ͠ɼҎԼͷϋϛϧτχΞϯΛߟ͑Α͏. ୈ 2 ߲Λ௨ͯ͡ೋͭͷௐ࿨ৼಈࢠ͸૬‫͍ͯ͠༻࡞ޓ‬Δ.

Ĥ = ωA â†1 â1 + ωB (â†1 â2 + â†2 â1 ) + ωC â†2 â2= (â†1 , â†2 )

ωA ωB
ωB ωC

â1
â2

(C)

ͨͩ͠ɼωA ɼωB ɼωC ͸࣮਺ͱ͢Δɽ(1) ৽͘͠ফ໓ԋࢉࢠΛɼb̂1 = â1 cos θ + â2 sin θ,b̂2 = −â1 sin θ + â2 cos θͷΑ͏ʹఆٛ͢Δɻ͜ͷͱ͖࣮ύϥϝʔλʔ θ Λద౰ʹબͿ͜ͱͰɼϋϛϧτχΞϯ͸ɼ

ωi b̂†i b̂i = (b̂†1 , b̂†2 )

Ĥ =
i=1,2

ω1 0
0 ω2

b̂1
b̂2

ͷ‫͚ॻʹܗ‬Δ. ͜ͷͱ͖ɼω1 , ω2 , tan 2θ Λ ωA ɼωB ɼωC Λ༻͍ͯදͤ. ͨͩ͠ɼω1 ≤ ω2 ͱ͢Δ.

(2) ࣌ࠁ t = 0 Ͱ༩͑ΒΕΔॳ‫ظ‬ঢ়ଶ͕ |α = â†1 |0 Ͱ͋Δͱ͖ɼ࣌ࠁ t Ͱͷঢ়ଶϕΫτϧΛ |ψ(t) ͱ͠ɼ࣌ࠁ t Ͱ |β = â†2 |0 ʹ͋Δ֬཰ P (α → β)(t) =|β|ψ(t)|2 Λɼω1 ɼω2 ɼθ Λ༻͍ͯදͤ.
4

(3) લ໰Ͱ͸࣌ࠁ t = 0 ʹൃੜͨ͠ঢ়ଶ |α Λ࣌ࠁ t ʹঢ়ଶ |β ͱͯ͠‫؍‬ଌ͢Δ֬཰Λ‫͕ͨ͠ࢉܭ‬ɼ࣮ࡍʹ‫؍‬ଌ͞ΕΔ֬཰͸ɼҎԼͷִ࣌ؒؒ [t−ΔT /2, t+ΔT /2]ʹର͢Δ࣌ؒฏ‫ۉ‬
 t+ΔT /2
1
P (α → β)(t) =dt P (α → β)(t )(D)
ΔT t−ΔT /2
Ͱ͋Δͱ͢Δ. ͨͩ͠ɼt > ΔT ͱ͢Δ. ͜ͷͱ͖ P (α → β)(t) ͷදࣜΛ‫ٻ‬ΊΑ.

(4) ໰ (3) Ͱ‫ٻ‬Ίͨ P (α → β)(t) Λ ω2 > ω1 ͷͱ͖ʹ ΔT ͷؔ਺ͱͯ͠ਤࣔ͠ɼ
1/(ω2 − ω1 ) Ͱͷ‫ݶۃ‬஋Λਤʹ໌‫ͤه‬Α.
͜Εͷ ΔT = 0 Ͱͷ஋ɼ‫ ͼٴ‬ΔT

5

II-3 (౷‫( )ֶྗܭ‬100 ఺)෺࣭தͷిࢠ (࣭ྔ m) ͷঢ়ଶΛߟ͑Α͏ɽిࢠεϐϯ͸ɼz ࣠ΛྔࢠԽ࣠ͱ͠
sz = ±1/2 ͷ 2 ํ޲͔͠औΕͳ͍ঢ়ଶʹ͋Δɽ͜ͷిࢠͷू·Γ (“ిࢠ‫ͱ ”ܥ‬ΑͿ) ΛεϐϯΛ࣋ͭࣗ༝ཻࢠͷ‫͑ߟͱܥ‬ΔɽҎԼͰ͸ిࢠͷిՙͷޮՌ͸ແࢹ͢Δɽ͜ͷిࢠ‫ܥ‬͸ N ‫ݸ‬ͷిࢠ͔ΒͳΓɼମੵ V ͷ༰‫ʹث‬ೖ͍ͬͯΔͱ͢Δɽిࢠͷ 1ཻࢠঢ়ଶ͸ӡಈྔۭؒʹҰ༷ͳີ౓ V /(2π)3 Ͱ෼෍͍ͯ͠Δɽεϐϯࣗ༝౓΋ߟ
ྀ͢Δͱɼີ౓͸ 2V /(2π)3 ͱͳΔɽઈରྵ౓Ͱ͸ɼిࢠ͸ 3 ࣍‫ݩ‬ӡಈྔۭؒʹ͓͍ͯ‫఺ݪ‬Λத৺ʹඳ͍ͨ൒‫ ܘ‬pF ͷ‫ٿ‬ͷ಺෦ͷঢ়ଶΛຬͨ͠ɼpF ͷେ͖͞͸಺෦ͷঢ়ଶ਺͕શిࢠ਺ N ʹ౳͍͠ͱ͍͏৚͔݅Β‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖ΔɽpF ΛϑΣϧϛӡಈྔɼF = p2F /(2m) ΛϑΣϧϛΤωϧΪʔͱΑͿɽ(1) ϑΣϧϛӡಈྔ pF ͱϑΣϧϛΤωϧΪʔ F Λ N ɼV ɼmɼ Λ༻͍ͯ‫ٻ‬ΊΑɽ·ͨ D(F ) = dN/dF Ͱఆٛ͞ΕΔঢ়ଶີ౓ D(F ) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(2) ઈରྵ౓ʹ͓͚Δిࢠ‫ܥ‬ͷશӡಈΤωϧΪʔ U0 ͸ N ɼF Λ༻͍ͯ
 F
U0 =
D()d = a0 N F
0ͱද͞ΕΔɽa0 ͷ஋Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(3) ϑΣϧϛ‫ؾ‬ମͱΈͳͤΔిࢠ‫ܥ‬ͷѹྗ͸ P = ʵ (dU0 /dV ) Ͱఆٛ͞ΕΔͱ
͠ɼిࢠ‫ܥ‬ͷ P V Λ U0 Λ༻͍ͯදͤɽͨͩ͠ɼશཻࢠ਺ N ͸Ұఆͱ͢Δɽ࣍ʹɼϑΣϧϛॖୀΛ͍ͯ͠Δ N ిࢠ‫ܥ‬ͷઈରྵ౓ʹ͓͚Δ࣓Խ M ΛҎԼͷखॱͰ‫ٻ‬ΊΑ͏ɽిࢠεϐϯ sz = ±1/2 ͸࣓‫ؾ‬Ϟʔϝϯτ ∓μB Λ࣋ͪɼ֎෦࣓৔
B(> 0) ͷԼͰͷθʔϚϯΤωϧΪʔ͸ ±μB B Ͱ͋Δɽ࣓৔ B ʹ͓͚Δ sz = 1/2ͷిࢠɼsz = −1/2 ͷిࢠͷ਺ΛͦΕͧΕɼN + = N (1 − α)/2ɼN − = N (1 + α)/2ͱ͢Δ (α > 0)ɽ

(4) ༗‫࣓ݶ‬৔Ͱͷ sz = 1/2 ͷిࢠ‫͕ͭ࣋ܥ‬ӡಈΤωϧΪʔ E + Λɼ࣓৔ B = 0 ͷͱ͖ͷϑΣϧϛΤωϧΪʔ F ɼ͓Αͼ N ɼα Λ༻͍ͯදͤɽಉ༷ʹɼsz = −1/2ͷిࢠ‫͕ͭ࣋ܥ‬ӡಈΤωϧΪʔ E − Λ‫ٻ‬ΊΑ.
(5) ిࢠ‫ܥ‬ͷશθʔϚϯΤωϧΪʔ EZ Λ N ɼB ɼμB ɼα Λ༻͍ͯදͤ.
(6) ిࢠ‫ܥ‬ͷશΤωϧΪʔΛ Etot = E + + E − + EZ ͱ͢ΔɽμB B  F ͷͱ͖ Etot ͸ α  1 Ͱ࠷খ஋ΛͱΔɽEtot Λ࠷খʹ͢Δ α Λ‫ٻ‬Ίɼ͜ΕʹରԠ͢Δిࢠ‫ܥ‬ͷ࣓Խ M Λ F ɼN ɼB ɼμB Λ༻͍ͯදͤɽ

6͞Βʹɼ͜ͷ N ిࢠ‫ܥ‬ͷిࢠؒʹ࣍ͷΑ͏ͳ૬‫͕༻࡞ޓ‬ಇ͘ͱ͢Δɽ͢ͳΘͪεϐϯ͕ฏߦͳిࢠؒͷ૬‫༻࡞ޓ‬ΤωϧΪʔΛ −J(J ≥ 0) ͱ͠ɼεϐϯ͕൓ฏߦͳ
ిࢠؒʹ͸૬‫༻࡞ޓ‬͸ಇ͔ͳ͍ͱ͢Δɽ

(7) N  1 ͷ৚݅ԼͰɼsz = 1/2 ͷిࢠؒʹಇ͘શ૬‫༻࡞ޓ‬ΤωϧΪʔ͸ͲͷΑ͏ʹද͞ΕΔ͔ɽJ ɼN ɼα Λ༻͍ͯදࣔͤΑɽ(8) ిࢠ‫ܥ‬ͷશΤωϧΪʔ Etot ʹɼεϐϯؒʹಇ͘૬‫༻࡞ޓ‬΋ߟྀͨ͠શΤωϧΪʔΛ Ẽtot ͱ͢ΔɽμB B  F ɼN J  F ͷͱ͖ Ẽtot ͸ α  1 Ͱ࠷খ஋Λ
ͱΔɽẼtot Λ࠷খʹ͢Δ α Λ‫ٻ‬ΊɼରԠ͢Δ࣓Խ M Λ F ɼN ɼB ɼμB ɼJ Λ༻͍ͯදͤɽ

7

ฏ੒ 27 ೥౓େֶӃೖֶࢼ‫ݧ‬໰୊ɹ IIIʢ3 ࣌ؒʣ஫ҙ(1) ໰୊͸ III–1 ͔Β III–5 ·Ͱ 5 ໰͋Δɻ͜ͷத͔Β 3 ໰બ୒ͤΑɽ4 ໰Ҏ্બ୒ͨ͠৔߹͸͢΂ͯͷղ౴͕ແޮʹͳΔ͜ͱ͕͋Δɽ(2) બ୒ͨ͠໰୊ͷղ౴͸ͦΕͧΕผͷղ౴༻ࢴ 1 ຕʹ‫ه‬ೖͤΑɽཪ໘Λ༻͍ͯ΋Α͍ɽ(3) ֤ղ౴༻ࢴ͸ԣ௕ʹ࢖༻ͯ͠ɼղ౴༻ࢴදଆͷࠨ্෦ʢઢΑΓ্ʣʹ໰୊൪߸ɼड‫ݧ‬൪߸ɼࢯ໊Λ‫ه‬ೖͤΑɽղ౴༻ࢴͷଞͷ෦෼ʹड‫ݧ‬൪߸ɼࢯ໊Λॻ͍ͯ͸͍͚ͳ͍ɽ͜ͷઢΑΓ্ͷཝʹ͸දɼཪͱ΋ղ౴Λॻ͍ͯ͸͍͚ͳ͍.
(4) ղ౴༻ࢴ͸ 3 ໰͢΂ͯఏग़͢Δ͜ͱɽͳ͓ɼ໰୊࡭ࢠ͓ΑͼԼॻ͖༻ࢴ͸ճऩ͠ͳ͍ɽ(5) ໰୊࡭ࢠ͸දࢴΛ‫ؚ‬Ίͯ 11 ϖʔδ·Ͱ͋Δɽ

III–1 ɹి࣓‫ֶؾ‬ɿి࣓೾
III–2 ɹྔࢠྗֶɿਫૉ‫ࢠݪ‬
III–3 ɹ౷‫ֶྗܭ‬ɿ1 ࣍૬సҠ
III–4 ɹ࣮‫ݧ‬ɿ์ࣹઢଌఆ
III–5 ɹఱจֶɿ‫ٿ‬ରশΨεӢ1

III-1 (電磁気学：電磁波) (100 点)
Maxwell 方程式は電磁場の基本方程式であり，すべての電磁気的現象は下に示す
4 つの方程式によって記述される．
∇ · D(r, t) = ρ(r, t)∇ · B(r, t) = 0∂D∇ × H(r, t) −= j(r, t)∂t∂B=0∇ × E(r, t) +∂t
E と D (H と B) は，それぞれ電場強度と電束密度 (磁場強度と磁束密度) であり，誘電率  (透磁率 μ) により D = E (B = μH) として関連付けられる．また，j と ρ は空間的に分布する電流密度と電荷密度である．
図 1 に示すように誘電率と透磁率がそれぞれ (1 , μ1 )，(2 , μ2 ) である誘電体 1 と誘電体 2 が境界面 (z = 0) において接触している場合を考える．ただし，1 < 2 であり，誘電体はどちらも帯電していないものとする．図 1 は zx 平面を示した図であり，y 軸は紙面に対して上向きに定義されている．

E1, B1ㄏ㟁య 㻝
1, μ 1yቃ⏺㠃(z = 0)ㄏ㟁య 㻞2, μ 2x

E 2, B 2z
図１(1) 誘電体 1 の内部における電磁場の強度
E1 = (E1x , E1y , E1z ), B1 = (B1x , B1y , B1z )と誘電体 2 の内部における電磁場の強度

E2 = (E2x , E2y , E2z ), B2 = (B2x , B2y , B2z )とが境界面上において満たすべき境界条件を，Maxwell 方程式に基づいて導け．

2

(2) ρ(r, t) = 0 であり，かつ，j(r, t) = 0 である領域において，電場強度 E(r, t)が満たすべき波動方程式を Maxwell 方程式に基づいて導け．
この誘電体の境界面に対し，図 2 に示すように，誘電体 1 の側から電磁波 A が y = 0の面内を角度 φ (0 < φ < π/2) で入射して，境界面上で反射波 A と屈折波 A が発生する状況を考える．入射波の電場がE(r, t) = Iei(k·r−ωt)で与えられるとき，以下の問いに答えよ．ただし，I は電場の振幅を与える定ベク
トルである．

A

Aʼ
φʼ

φ

ㄏ㟁య 㻝
1, μ 1xyㄏ㟁య 㻞
2, μ 2χA”z
図２(3) 入射波の位相速度 v の絶対値を 1 と μ1 を用いて表せ．また，この位相速度 v と電場の振幅ベクトル I が成す角を求めよ．
(4) 入射波の磁場 B(r, t) を求めよ．
反射波 A と屈折波 A の電場をそれぞれ，






E  (r, t) = Rei(k ·r−ω t) ,E  (r, t) = F ei(k ·r−ω t)

とおくことにする．

(5) 問 (1) で得た境界条件は，境界面上の任意の点において常に満たされていなければならない．この事実に基づいて，反射角 φ と屈折角 χ を φ, 1 , μ1 , 2 ,μ2 のうち必要なものを用いて表せ．

3

III-2 (ྔࢠྗֶɿਫૉ‫( )ࢠݪ‬100 ఺)ਫૉ‫ࢠݪ‬ͷ‫ʹ֩ࢠݪ‬ର͢Δిࢠͷ૬ରӡಈ͸࣍ͷϋϛϧτχΞϯͰ‫ه‬ड़͞ΕΔɽ

H0 =

p2
e2
−
2μ |r|

ͨͩ͠ɼμ ͸‫ྔ࣭ࢉ׵‬ɼe ͸ૉిՙɼp ͸૬ରӡಈྔɼr ͸૬ରҐஔΛද͢ɽҎԼͰ͸εϐϯͱ૬ର࿦తޮՌ͸ແࢹ͢Δɽ
ΤωϧΪʔ४Ґͱఆৗঢ়ଶͷ೾ಈؔ਺ΛɼσΧϧτ࠲ඪ (xɼy ɼz) ͱ࣍ͷؔ܎Ͱ༩ϕ) Λ༻͍ͯ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱΛߟ͑Α͏ɽ͑ΒΕΔ์෺࠲ඪ (v ɼwɼ

x=√vw cos ϕ,y=√vw sin ϕ,z=1(v − w)2֤࠲ඪͷऔΓಘΔ஋ͷൣғ͸ɼͦΕͧΕ 0 ≤ v < +∞ɼ0 ≤ w < +∞ɼ0 ≤ ϕ < 2π
Ͱ͋Δɽ·ͨɼϥϓϥγΞϯ ∇2 ͸࣍ࣜͰ༩͑ΒΕΔɽ


4
∂ ∂
∂
∂
1 ∂2
2
∇ =
v
+
w
+
v + w ∂v ∂v ∂w ∂w
vw ∂ϕ2(1) ΤωϧΪʔ‫ݻ‬༗஋ E ͷఆৗঢ়ଶͷ೾ಈؔ਺ ψ(v ɼwɼϕ) ʹର͢ΔγϡϨʔσΟϯΨʔํఔࣜΛॻ͚ɽψ(v ɼwɼ
ϕ) = f1 (v)f2 (w)eimϕ ͱ͓͍ͯ v ɼw ʹ͍ͭͯ໰ (1) ͷγϡϨʔσΟϯΨʔํఔࣜΛม਺෼཭͢Δɽβ1 + β2 = 1 Λຬͨ͢৽ͨͳఆ਺ β1 ɼβ2 Λಋೖ͢Δͱɼ
f1 (v)ɼf2 (w) ʹର͢Δํఔࣜ͸ҎԼͷΑ͏ʹͳΔɽ
m2 μe2μEv−++ 2 β1 f1 = 0
22
4v



 
d
m2 μe2
df2
μE
w−
w
+
+ 2 β2 f2 = 0
dw
dw
22
4w

d
dv



df1
v
dv





(2) ্Ͱಋೖͨ͠ m ͸੔਺Ͱͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ɽͦͷཧ༝Λड़΂Αɽ(3) ҎԼͰ͸ E < 0 ͷղʹ͍ͭͯߟ͑Δɽํఔࣜ (A) ʹ͓͍ͯ
E=−

μe4
,
22 N 2

v=

N 2
s,
μe2

ͱ͓͖ɼg(s) ʹର͢ΔํఔࣜΛ‫ٻ‬ΊΑɽ

4

f1 (v) = g(s)

(A)
(B)

(4) ໰ (3) Ͱಋೖͨ͠ g(s) ʹ͍ͭͯɼs → +∞ɼs → +0 ͰͦΕͧΕ઴ۙతʹg(s) ∼ e−as ɼg(s) ∼ sb ͱԾఆ͢Δɽg(s) ͕ s → +0 Ͱ༗‫ ͔ͭݶ‬s → +∞ ͰθϩʹͳΔΑ͏ʹఆ਺ aɼb Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(5) ໰ (4) Ͱ‫ٻ‬Ίͨ a, b Λ༻͍ͯɼg(s) = sb e−as h(s) ͱ͓͖ɼh(s) ʹର͢ΔํఔࣜΛ‫ٻ‬ΊΑɽ(6) ߹ྲྀ‫ܕ‬௒‫ز‬Կؔ਺ F (αɼγʀz) ͸ҎԼͰ༩͑ΒΕΔɽ∞F (αɼγʀz) =(α)n z nαzα(α + 1) z 2
=1+
+
+ ···
(γ)
n!
γ
1!
γ(γ
+
1)
2!
n
n=0
n−1

ͨͩ͠ (x)n ͸ n ≥ 1 ʹର͠ (x)n =(x + k)ɼ(x)0 = 1 Λද͢ɽ
k=0

F (αɼ
γʀz) ͸ u(z) ʹؔ͢Δඍ෼ํఔࣜ
z

d2 u
du
+ (γ − z) − αu = 02dzdz

ͷ z = 0 Ͱਖ਼ଇͳղͰ͋Γɼα ͕ 0 ҎԼͷ੔਺ͷ৔߹͸ଟ߲ࣜͱͳΔ͕ɼͦΕҎ֎ͷ৔߹͸ z → +∞ Ͱ઴ۙతʹF (α, γ; z) ∼Γ(γ) α−γ z
z e
Γ(α)

ͷΑ͏ʹৼΔ෣͏ɽ͜ͷ͜ͱΛ༻͍ͯ h(s) ͱͯ͠‫͞ڐ‬ΕΔղΛ‫ٻ‬ΊΑɽ·ͨɼ͜ͷͱ͖ಋೖ͞ΕΔඇෛͷ੔਺ͷྔࢠ਺Λ n1 ͱ͓͖ɼ͜ΕΛ N ɼβ1 ɼmΛ༻͍ͯॻ͖Լͤɽ

(7) f2 (w) ʹ͍ͭͯ΋৽ͨʹඇෛͷ੔਺ͷྔࢠ਺ n2 Λಋೖͦ͠ͷղΛ‫ٻ‬ΊΔɽํఔࣜ (B) ʹରͯ͠໰ (3)–(6) ͷखଓ͖Λߟ͑Δͱɼ໰ (6) ͷྔࢠ਺ n1 Λ n2 Ͱஔ͖‫ͨ͑׵‬ղ͕ f2 (w) ͷղͱͯ͠ಘΒΕΔɽ݁‫ہ‬ɼΤωϧΪʔ४Ґ E ͱ೾ಈϕ) ͸ྔࢠ਺ (n1 ɼn2 ɼm) Ͱ‫׬‬શʹࢦఆ͞ΕΔɽE Λ͜ΕΒͷྔؔ਺ ψ(v ɼwɼࢠ਺Ͱදͤɽ

5

III-3 (౷‫ֶྗܭ‬ɿ1 ࣍૬సҠ) (100 ఺)࣓‫ؾ‬ϞʔϝϯτΛ࣋ͭ N ‫ݸ‬ͷཻࢠͷؒʹ‫ʹ཭ڑ‬ΑΒͳ͍૬‫͕༻࡞ޓ‬ಇ࣍͘ͷΑ͏ͳ‫ܥ‬Λ༻͍ͯɼ࣓ੑମͷ૬సҠʹ͍ͭͯߟ͑Δɽ͢ͳΘͪɼཻࢠ i (i = 1, . . . , N )ͷ࣓‫ؾ‬ϞʔϝϯτΛ μi ͱ͢Δͱ͖ɼ͢΂ͯͷཻࢠର (i, j) ͕૬‫༻࡞ޓ‬ΤωϧΪʔJ μ · μ (J > 0) Λ΋ͭͱ͢Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼϋϛϧτχΞϯ͸
−N
i
j

J
H ({μi }) = −
N

N

(i,j)

N

J
μi · μj = −μ ·μ2N i=1 j=1 i j

(A)

j=i

Ͱ༩͑ΒΕΔɽͨͩ͠ɼ࣓‫ؾ‬Ϟʔϝϯτ μi ͸ɼਤ 1 ʹࣔ͢Α͏ͳ‫ ʹ͍ޓ‬120◦ ͷ֯౓Λͳ͢ 3 ͭͷ޲͖ͷ͍ͣΕ͔ΛऔΔϕΫτϧͱ͠ɼͦͷେ͖͞͸ μ = |μi | ͱ͢Δɽ·ͨɼਤ 1 ͷΑ͏ʹ࣓‫ؾ‬Ϟʔϝϯτͷ޲͖ʹཻ͕ͨͬͯ͠ࢠͷঢ়ଶ 1, 2, 3ΛఆΊΔɽঢ়ଶ 1 ͷ޲͖͸ x ࣠ͷਖ਼ͷ޲͖Ͱ͋Δɽਤ̍(1) ঢ়ଶ 1ɼ2ɼ3 ΛऔΔཻࢠ਺ΛͦΕͧΕ N1 ɼN2 ɼN3 ʢ͕ͨͬͯ͠ N1 + N2 +N

N3 = N ʣͱ͢Δͱ͖ɼશ࣓Խ

μi ͷ x ੒෼ M Λ (N1 , N2 , N3 ) Λ༻͍ͯi=1දࣜ͢Λ‫ٻ‬ΊΑɽ·ͨɺಉ༷ʹϋϛϧτχΞϯ (A) Λ (N1 , N2 , N3 ) Λ༻͍ͯද͢ͱɼ

H(N1 , N2 , N3 ) =Jμ2
2N − (N1 − N2 )2 − (N2 − N3 )2 − (N3 − N1 )2 (B)
4NͱͳΔ͜ͱΛࣔͤɽ(2) (N1 , N2 , N3 ) ʹରԠ͢Δ‫ܥ‬શମͷঢ়ଶ {μi } ͷ਺Λ ν(N1 , N2 , N3 ) ͱ͢Δͱɼ
Τϯτϩϐʔ͸ S(N1 , N2 , N3 ) = kB log ν(N1 , N2 , N3 ) Ͱ༩͑ΒΕΔɽͨͩ
͠ɼkB ͸ϘϧπϚϯఆ਺Ͱ͋ΔɽN ͕େ͖͍ͱ͖ͷελʔϦϯάͷެࣜlog N !  N log N − N Λ༻͍ͯɼN1  1, N2  1, N3  1 ʹ͓͚Δ
S(N1 , N2 , N3 ) ͷ઴ۙ‫ܗ‬Λ‫ٻ‬ΊΑɽ6͜ͷ‫ܥ‬ͷԹ౓ T ʹ͓͚Δ෼഑ؔ਺ ZN (T ) =
{—i }



H({μi })
exp −
͸ɼ
kB T

F (T ; N1 , N2 , N3 ) = H(N1 , N2 , N3 ) − T S(N1 , N2 , N3 )ͱ͓͘ͱɼN ͷ෼ׂ (N1 , N2 , N3 ) ʹ͍ͭͯͷ࿨
F (T ; N1 , N2 , N3 )ZN (T ) =
exp −
kB T

(C)

(D)

(N1 ,N2 ,N3 )Ͱද͞ΕΔɽ·ͨɼࣜ (D) ͕੒Γཱͭͱ͖ɼ‫ܥ‬ͷࣗ༝ΤωϧΪʔ F (T ) ͸ N → ∞Ͱ઴ۙతʹ F (T ; N1 , N2 , N3 ) ͷ࠷খ஋ͱҰக͢Δɽ͢ͳΘͪɼF (T ) =min(N1 ,N2 ,N3 )F (T ; N1 , N2 , N3 )(E)͕੒Γཱͭɽ͜ͷ͜ͱΛ༻͍ͯ‫ܥ‬ͷ೤ྗֶతੑ࣭Λٞ࿦͠Α͏ɽ(3) N2 = N3 ΛԾఆ͢Δͱɼ F (T ; N1 , N2 , N3 ) Λ (N1 , N2 , N3 ) ͷ୅ΘΓʹ࣓ԽM Λ༻͍ͯද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜ͷؔ਺ F (T ; M ) Λ‫ٻ‬ΊΑɽ(4) N2 = N3 ͷ৚݅ͷԼͰɼF (T ; M ) ͷ‫ۃ‬஋Λ༩͑Δ࣓Խ M ͕ຬͨ͢΂͖ࣜΛ‫ٻ‬ΊΑɽ(5) ߴԹ͔ΒԹ౓ΛԼ͍͛ͯ͘ͱɼ͋ΔԹ౓ Tc Ͱ࣓Խ M ͕ 0 ͔Β Ms (= 0) ΁ෆ࿈ଓʹมԽ͢Δ 1 ࣍૬సҠ͕‫͖ͨى‬ɽTc ͱ Ms ͕ຬͨ͢΂͖ࣜΛ F (T ; M )Λ༻͍ͯදͤɽ
(6) Ms = N μ/2 ͕໰ (5) ͷ৚݅Λຬͨ͢͜ͱΛࣔ͠ɼసҠԹ౓ Tc Λ‫ٻ‬ΊΑɽ

7

III-4 (࣮‫ݧ‬ɿ์ࣹઢଌఆ) (100 ఺)์ࣹઢଌఆʹ͍ͭͯߟ͑Α͏ɽઢ‫͔ݯ‬Βग़ΔΤωϧΪʔ E0ʢͨͩ͠ E0 ͸ 1MeVྖҬʣͷ ઢʢޫࢠʣͷΤωϧΪʔΛଌఆ͢Δɽਤ̍ (a) ʹ࣮ࣔ͢‫૷ݧ‬ஔɼγϯνϨʔλͱޫిࢠ૿ഒ؅Λ࢖༻͠ɼਤ̍ (b) ͷΤωϧΪʔεϖΫτϧΛଌఆͨ͠ɽΤωϧΪʔεϖΫτϧʹ‫ݟ‬ΒΕΔΤωϧΪʔ஋ E1 ɼE2 ͸ E1  E0 ɼE1 > E2 ͷؔ܎
͕͋Δɽ











   




 



 










γ線











E2
E1
ਤ̍(1) ࣮‫ͨ͠༻࢖Ͱݧ‬γϯνϨʔλ͸ɼ(i) ϓϥενοΫγϯνϨʔλɼ(ii) NaI(Tl)γϯνϨʔλͷͲͪΒ͔ɽͦͷγϯνϨʔλΛબΜͩཧ༝΋આ໌ͤΑɽਤ̍ (a) ʹޫిࢠ૿ഒ؅ͷ໛ࣜਤΛࣔ͢ɽޫిࢠ૿ഒ؅͸ޫΛి‫ؾ‬৴߸ʹม͑ɼ͞Βʹ૿෯͢Δ૷ஔͰɼඍऑͳγϯνϨʔγϣϯޫͷଌఆʹ࢖༻͢Δɽޫిࢠ૿ഒ
؅ʹ͸ N ‫ݸ‬ͷμΠϊʔυʢD1 ʙDN ʣ͕͋Γɼޫి໘ͱୈ̍μΠϊʔυʢD1 ʣɼୈ i μΠϊʔυʢDi ʣͱୈ (i + 1) μΠϊʔυʢDi+1 ʣͷؒʢͨͩ͠ i = 1 N − 1ʣʹ͸ͦΕͧΕ V /N ͷిѹ͕͔͔͍ͬͯΔɽ֤μΠϊʔυʹ͓͚Δిࢠ਺ͷ૿෯཰Λ αV /N ͱ͢Δɽ(2) ޫిࢠ૿ഒ؅ͷಈ࡞‫ݪ‬ཧΛɼޫి໘ɼμΠϊʔυͱ͍͏‫ݴ‬༿Λ࢖ͬͯઆ໌ͤΑɽ(3) ޫిࢠ૿ഒ؅ͷ૿෯཰Λ‫ٻ‬ΊΑɽɹɹ(4) ޫిࢠ૿ഒ؅͔Βͷ৴߸Λॲཧ͢ΔͨΊʹɼߴप೾৴߸ͷΈΛ௨͢ճ࿏ʢϋΠύεϑΟϧλʔʣΛ఍߅ͱίϯσϯαʔͷΈͰ࡞Γ͍ͨɽͲͷΑ͏ͳճ࿏Λ࡞Ε͹Α͍͔ɽೖྗిѹΛ vi ɼग़ྗిѹΛ vo ɼάϥ΢ϯυ͸ GN Dɼ఍߅
Rɼίϯσϯαʔ C ɼͱͯ͠ճ࿏ਤΛॻ͚ɽ8ਤ̍ (b) ͷ ઢͷΤωϧΪʔεϖΫτϧʹ͸ೋͭͷಛ௃͕͋ΔɽҰͭ͸ΤωϧΪʔE1 ͷϐʔΫߏ଄ɼ΋͏Ұͭ͸ΤωϧΪʔ E2 ҎԼͷ࿈ଓ෼෍ߏ଄Ͱ͋Δɽ(5) ͜ͷΤωϧΪʔ E1 ͷϐʔΫߏ଄Λͭ͘Δ ઢͱ෺࣭ͱͷ൓Ԡʹ͍ͭͯઆ໌
ͤΑɽΤωϧΪʔ E2 ҎԼ͸ίϯϓτϯࢄཚʹΑΔ΋ͷ͕ࢧ഑తͰ͋ΔɽҎԼɼίϯϓτϯࢄཚʹ͍ͭͯߟ͑ɼͦͷ͓͜Δճ਺͸̍ճͱԾఆ͢Δɽిࢠ͸ͦͷଋറΤωϧΪʔΛແࢹͯࣗ͠༝ཻࢠͱͯ͠ߟ͑Δɽਤ̎ͷΑ͏ʹɼೖࣹ ઢʢޫࢠʣͷ 4 ‫ݩ‬ӡಈྔΛ (E0 , p0 c)ɼ‫ݕ‬ग़‫ث‬தͷిࢠͷ 4 ‫ݩ‬ӡಈྔΛ (me c2 , 0) ͱͯ͠ɼిࢠ͸࠷ॳ
ࢭ·͍ͬͯΔͱ͢Δɽme ͸ిࢠͷ࣭ྔɼc ͸ޫ଎Ͱ͋Δɽࢄཚ‫ޙ‬ͷɼ ઢͷ 4 ‫ݩ‬ӡಈྔΛ (Eγ , pγ c)ɼిࢠͷ 4 ‫ݩ‬ӡಈྔΛ (Ee , pe c) ͱ͢Δɽೖࣹ ઢͱࢄཚ ઢͱͷͳ֯͢ʢࢄཚ֯ʣ͸ ͱ͢Δɽ

γ線


2

(me c , 0)(Eγ , pγ c)

γ線(E0 , p0 c)

(Ee , pe c)ਤ̎(6) ΤωϧΪʔӡಈྔอଘଇΛ࢖ͬͯ Eγ Λ‫ͤࢉܭ‬Αɽ౴͑͸ E0 ɼme ɼ ɼc Λ༻͍ͯදͤɽ
(7)ઢ͕‫ࢄํޙ‬ཚͨ͠৔߹ɼଌఆ૷ஔͰ‫؍‬ଌ͞ΕΔΤωϧΪʔ͕࠷େͱͳΓɼਤ̍ (b) ͷ E2 ͱͳΔɽ͜ͷ E2 Λ‫ٻ‬ΊΑɽ౴͑͸ E0 ɼme ɼc Λ༻͍ͯදͤɽ

(8) ଋറ͞Ε͍ͯͳ͍ࣗ༝ిࢠʹ͓͍ͯ͸ɼ໰ (5) ͷ൓Ԡ͸͓͜Βͳ͍͜ͱΛࣔͤɽ

9III-5 (天文学：球対称ガス雲) (100 点)
星間ガスから星への進化の初期段階にある半径 R，質量 M のガス雲が，自己重力で自由落下して収縮する場合を考える．なお，以下の設問において必要であれば末尾に掲載する数値を用いよ．

(1) 球対称の運動方程式
ρdv
GM (r)= −ρdtr2

より，平均密度が 10−19 kg m−3 のガス雲について，自由落下時間のオーダーを計算すると ∼ 10A 年となる．ベキ指数 A を求めよ．ただし，ρ は密度，v
は速度，M (r) は半径 r 内の質量，G は万有引力定数である．
こうして収縮したガス雲は圧力が高まり圧力勾配が利くようになる．球対称なガス雲の力学的平衡状態について考えてみよう．ガスは理想気体でポリトロピック
状態方程式 p = Kρ1+1/n を満たすものとする．ここで p は圧力，K は定数，n はポリトロピック指数である．

(2) このガス球の静水圧平衡の式を書け．
(3) 問 (2) の式と次の質量保存の式
dM (r)= 4πr2 ρ
drから M (r) を消去し，ポリトロピック状態方程式を用いると



1
1+
n



d
K
dr


2

r ρ

1
−1
n

dρ
dr


=B

となる．B を求めよ．

(4) ここで r = αξ とし，ρ = ρc θn と変数変換すると(1−n)/n(n + 1)Kρc
4πGα2

1 d
ξ 2 dξ


ξ

2 dθ

dξ


=C

となる．ただし，α は定数，ρc は中心密度である．C を求めよ．
左辺の係数が 1 となるように α を定めれば，Lane と Emden が導いた方程式が得られる．以下の問では左辺の係数を 1 として答えよ．

10

(5) Lane-Emden 方程式は，中心 ξ = 0 における境界条件 θ(0) = 1 と，θ (0) = 0のもとで解くことができる．この境界条件の物理的意味を簡単に述べよ．また，n = 1 に対する解析解 θ(ξ) を求めよ（ヒント：変数変換 θ = χ/ξ を用いよ）．
(6) 問 (5) の解ではガス球の表面 ξ1 では θ(ξ1 ) = 0 となる．ξ1 を求めよ．
(7) 太陽質量 M と太陽半径 R をもつ n = 1 のガス球の中心密度，中心温度を
有効数字 1 桁の数値で計算せよ．ただしガスは電離水素からなるとせよ．
G  7 × 10−11 Nm2 kg−2 ，電離水素ガスの平均分子量 μ  0.5，原子質量単位 mu 
2 × 10−27 kg，ボルツマン定数 kB  1 × 10−23 J K−1 ，太陽質量 M  2 × 1030 kg，
太陽半径 R  7 × 108 m，1 年  3 × 107 秒．

11ฏ੒ 27 ೥౓େֶӃೖֶࢼ‫ݧ‬໰୊ɹ IVʢ1 ࣌ؒʣӳ‫ޠ‬ɹʢ100 ఺ʣ஫ҙ(1) ໰୊ IV–1ɼIV–2 ͷղ౴͸ͦΕͧΕผͷղ౴༻ࢴ 1 ຕʹ‫ه‬ೖͤΑɽཪ໘Λ༻͍ͯ΋Α͍ɽ
(2) ֤ղ౴༻ࢴ͸ԣ௕ʹ࢖༻ͯ͠ɼղ౴༻ࢴදଆͷࠨ্෦ʢઢΑΓ্ʣʹ໰୊൪߸ɼड‫ݧ‬൪߸ɼࢯ໊Λ‫ه‬ೖͤΑɽղ౴༻ࢴͷଞͷ෦෼ʹड‫ݧ‬൪߸ɼࢯ໊Λॻ͍ͯ͸͍͚ͳ͍ɽ͜ͷઢΑΓ্ͷཝʹ͸දɼཪͱ΋ղ౴Λॻ͍ͯ͸͍͚ͳ͍.
(3) ղ౴༻ࢴ͸ 2 ໰͢΂ͯఏग़͢Δ͜ͱɽͳ͓ɼ໰୊࡭ࢠ͓ΑͼԼॻ͖༻ࢴ͸ճऩ͠ͳ͍ɽ(4) ໰୊࡭ࢠ͸දࢴΛ‫ؚ‬Ίͯ 5 ϖʔδ·Ͱ͋Δɽ

1

(1) Foucault ͷޫ଎ଌఆͷํ๏ʹ͍ͭͯ, 100 ࣈఔ౓ͷ೔ຊ‫Ͱޠ‬આ໌ͤΑ.
(2) Michelson ͕ߦͬͨվྑͱͦͷ݁Ռʹ͍ͭͯ, 200 ࣈఔ౓ͷ೔ຊ‫Ͱޠ‬આ໌ͤΑ.
(3) Լઢ෦ (a) Λ࿨༁ͤΑ.

3ʢ͜ͷϖʔδ͸നࢴͰ͋Δʣ

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