回転球殻対流〜天体内部流体運動の基礎として

京都大学数理解析研究所
竹広 真一
GFD セミナー2012年夏「天体内部の流体力学」
平成24年8月20日 @ 休暇村支笏湖目次●

観測される天体表面の流れ–

木星・土星・天王星・海王星・太陽（・地球中心核）●

回転球殻対流問題の定式化

●

臨界対流

●

●

●

1970〜1980年代：理論摂動計算●

1980年代後半〜：臨界対流の数値計算

対流による帯状流生成●

1970〜1980年代：理論摂動計算●

1990年代〜：弱非線形数値計算

有限振幅対流●非線形時間発展数値計算

ガス惑星・氷惑星
木星

土星

天王星

海王星

(Welcome to the planets/NASA)●特徴的な縞状パターン●

地球より速い回転角速度

ガス・氷惑星の帯状流分布
木星

土星

天王星

海王星

(Sukoriansky et al., 2002)●

縞状パターンに対応して東西流互い違いに存在–

木星・土星：縞状パターン、赤道超回転–

天王星・海王星：縞なし、赤道亜回転–(太陽：縞なし、赤道超回転)大規模流のエネルギー源●●

入射太陽放射＜外向き熱放射→内部熱源の存在（天王星以外）
エネルギー源●

入射太陽放射

●内部熱源

木星の放射エネルギー収支(Pirraglia 1984)

ガス・氷惑星大気の鉛直構造●

表層の流体運動で説明(浅いモデル)●●●

入射太陽放射
内部熱源→下層の対流運動→表層の渦を励起

深部の対流運動に起源を求める(深いモデル)●

内部熱源→深部対流

木星の内部構造の模式図(Guillot et al, 2004)

ガス惑星の内部構造(Newton 別冊太陽系全カタログ, 2000)●

大部分が気体と金属流体、中心部に小さな核●

入射太陽放射＜射出放射 ⇒ 内部に熱源●

流れの原因：太陽放射 or 内部熱源

氷惑星の内部構造(Newton 別冊太陽系全カタログ, 2000)●

外側に大気、内側に氷、中心に小さい岩石と氷●

天王星：内部熱源なし ⇔ 海王星：内部熱源有太陽(柴田, 大山, 2004)(柴田, 大山, 2004)●

赤道で速い（差分回転、赤道加速問題）●

自転周期約27日

太陽の内部構造(Newton 別冊太陽系全カタログ, 2000)●●

外側3割の球殻領域で対流運動

日震学により観測された
回転角速度分布流れのエネルギー源
内部の核融合→対流層を加熱(Thompson et al., 1996)

地球(型惑星)の内部構造(Newton 別冊太陽系全カタログ, 2000)●(Schubert et al., 2001)

地震波速度の分析 : 1900 年初めに層構造が知られた●

マントル： 岩石、ゆっくりと流動している●

外核(流体核) ：融けた鉄＋α●

内核：固体鉄＋α地球型惑星の流体核(Newton別冊地球のしくみと進化の歴史, 2004)●

固有磁場の存在●

永久磁石では温度が高すぎ(キュリー温度約700度)●

内部に地震波の横波が通らない領域 ⇒ 流体領域●

融けた鉄の流体運動によるダイナモ作用

回転球殻内の熱対流問題●●

惑星・恒星内部の流れの共通の特徴を表現するモデル●

幾何学的相似：領域が球殻●

力学的状況の相似–

内部から熱せられる or 外側から冷やされる–

自転している

パラメターの差異 ⇒ 各惑星や太陽の流れの特徴をそれぞれ表現できるか？
–

木星・土星：縞状パターン、赤道加速–

天王星・海王星：縞なし、赤道減速–

太陽：縞なし、赤道加速(Sukoriansky et al., 2002)

天体規模流れ場の(基礎)研究●

浅いモデル：球面上の薄い大気の運動●●●

回転球面上の2次元乱流問題(順圧モデル,浅水モデル)
3次元惑星大気シミュレーション(多層モデル)

深いモデル：回転球殻対流
実際の天体にこだわらない系の性質を追求

回転球殻対流問題の定式化

回転球殻対流問題〜支配方程式系
運動方程式(速度の時間変化)

熱の式(温度の時間変化)

質量保存の式: 時間,: 速度, : 温度, : 密度, : 圧力
: 自転角速度, : 熱膨張率, : 重力加速度: 粘性率,: 熱拡散率,：内部熱源

支配方程式（無次元）●

長さスケール
温度スケール, 時間スケールで無次元化：回転軸方向の単位ベクトル●

境界条件：温度固定（熱フラックス固定）
自由すべり／すべりなし

無次元数
●

独立なパラメターは4つ–

長さスケール：球殻の厚さ–

温度のスケール：上下の基本場の温度差（内部熱源で定まる温度傾度●

エクマン数：粘性／コリオリ●

レイリー数：浮力／(粘性・拡散)●

プランドル数：粘性／拡散●

内外半径比）

各惑星大気の無次元数
太陽

木星・土星

天王星・海王星

エクマン数〜10-13〜10-18〜10-15

レイリー数〜1020〜1033〜1029

プランドル数〜10-7〜0.1〜0.1

内外半径比0.7〜0.8ー1〜0.8ー1(Ossendrijver, 2003; Aurnou et al., 2007)●●●

拡散パラメター不明, それでも見積もってみると・・・–

エクマン数小さい：回転の効果大きい–

レイリー数大きい：対流が激しい

実際のパラメターを用いた計算は不可能
現象の再現（シミュレーション）ではなく、数値実験 ⇒ 現象の理解をめざすトロイダル・ポロイダル●

速度場が非発散→トロイダル・ポロイダル表現
トロイダルポロイダル●

運動方程式に●境界条件（自由すべり）：：球殻中心からの位置ベクトルを作用スペクトル法●

水平方向：球面調和函数展開●

動径方向：チェビシェフ多項式：（経度, 緯度, 動径）●

非線形項：物理空間で評価しスペクトル空間へ（変換法）

1970〜1980年代
理論計算(Busse の世界)

1970年代〜線形論・回転が遅い場合●

Busse (1970a)●

回転が遅い→回転パラメターで摂動展開●

0次：回転がないときの対流,●

1次：retrograde に伝播●

2次：sectorial 型(のモードが縮退)の水平構造が臨界モード

1970年代〜線形論・回転が速い場合●

Busse (1970b)
●

●

●

●

高速回転する球
回転軸方向に一様な運動場を仮定、摂動計算(テイラー・プラウドマンの定理)
球の中程に対流渦が局所的に発生
対流セルは prograde
方向に伝播テイラー＝プラウドマンの定理●

回転が非常に大きい状況（地衡流バランス）

rotation を作用させると（密度一定なので）

流れは回転軸方向に一様⇒ 2次元的な運動 (e.g. テイラー柱)

ポテンシャル渦度保存則
円筒座標表示、渦度方程式の回転軸方向(z)成分を無視し変数が z によらないとして z 方向に平均z 方向の境界条件を用いると左辺を変形すると右辺が無視できるときポテンシャル渦度が保存ポテンシャル渦度保存則●

ポテンシャル渦度保存〜局所的な角運動量保存
shrinking減少

stretching増加対流渦の伝播方向●●

回転球殻中の臨界熱対流渦の伝播方向●回転が遅い：回転と逆方向(retrograde)●

回転が速い：回転と順方向(prograde)

伝播メカニズム●

回転が遅い：？？？

●

回転が速い：地形性ベータ効果

対流渦の伝播方向が変わるのは？
●

回転小：retrograde ⇔ 回転大：prograde●

渦の子午面構造に関係 (Takehiro 2010)–

回転小：球殻に沿って反り曲がる–

回転大：回転軸方向に伸び、外側境界でつぶされる

回転小：retrograde 伝播

回転大：prograde 伝播臨界モードの構造の比較
E=0.1,P=1

回転が遅い場合

E=0.01,P=1

回転が速い場合

渦度の絶対値の等値面（黒が緯度成分が負の値、白が正の値）(Takehiro, 2010)

臨界モード(回転が遅い場合)
温度場（中層）と速度場（上層）

子午面断面（温度・速度）

赤道断面（温度・速度）

E=0.1,P=1
・球殻に沿ったバナナ状の渦・赤道動径外向き流に伴い中高緯度へ拡がる流れ(Takehiro, 2010)

臨界モード(回転が速い場合)
温度場（中層）と速度場（上層）

子午面断面（温度・速度）

赤道断面（温度・速度）

E=0.01,P=1・回転軸に沿ったテイラー柱型の渦・赤道動径外向き流に伴い中高緯度から集まる流れ(Takehiro, 2010)

渦度収支解析●

渦度方程式の緯度成分

渦度時間変化(Takehiro, 2010)

惑星渦度の伸縮 惑星渦度の傾け 惑星渦度の伸縮 浮力による渦度生成（速度緯度成分）（速度動径成分）
粘性散逸

惑星渦度の伸縮（速度緯度成分）

惑星渦度の傾け

惑星渦度の伸縮（速度動径成分）

渦度収支解析●

渦度方程式の各項の分布(赤道面)
渦度時間変化

低緯度では
惑星渦度の伸縮（速度動径成分）卓越(Takehiro, 2010)

惑星渦度の伸縮（速度緯度成分）

惑星渦度の伸縮（速度動径成分）

E=0.1,P=1
惑星渦度の傾け浮力による渦度生成と粘性散逸項

渦度収支解析●

渦度方程式の各項の分布(中緯度)
渦度時間変化

惑星渦度の伸縮（速度緯度成分）

中緯度では
惑星渦度の傾け卓越(Takehiro, 2010)

惑星渦度の伸縮（速度動径成分）

E=0.1,P=1
惑星渦度の傾け浮力による渦度生成と粘性散逸項

プランドル数依存性
●

E=0.1

渦度方程式の各項の大きさの比較–

赤道面で渦度時間変化最大の点での緯度分布

P=0.1

P=1

惑星渦度の伸縮（速度動径成分）
惑星渦度の傾け渦度時間変化

P=10

惑星渦度の伸縮（速度緯度成分）浮力による渦度生成と粘性散逸項●

低緯度：速度動径成分による惑星渦度の伸縮●

高緯度：惑星渦度の傾け(Takehiro, 2010)

対流セルの伝播方向：まとめ●

回転が遅い場合の臨界対流の逆行メカニズム●

赤道付近：速度動径成分による惑星渦度の伸縮●

中高緯度：惑星渦度の傾け(Takehiro, 2010)

Busse の漸近理論●●

Busse (1970b) による高速回転での漸近状態●

球の中程に対流渦が局所的に発生●

臨界東西波数、臨界レイリー数、臨界振動数

本質は高速回転円筒モデル

高速回転する円筒対流モデル●

モデルの仕様●円筒の上下面：傾いている（傾きη(y)）●

高速に回転→流れは回転軸方向に一様（2次元的）●

重力が円筒内向きに働く●

円筒内外の温度差→対流を駆動

高速回転円筒対流モデル
●

支配方程式

●

地形性ベータパラメター(Busse 1986, Takehiro et al. 2008)

高速回転円筒対流モデル：線形化●●

傾き(β)一定、線形化

解を→分散関係の形に仮定

高速回転円筒対流：臨界状態●

臨界状態→ωを実数、実部と虚部に分ける●

虚部から対流渦の振動数が求まる●

実部から中立レイリー数が求まる

高速回転円筒対流：漸近解●

高速回転→β大での漸近状態→

●

臨界状態

●

漸近性質：

高速回転円筒対流：漸近状態●

回転大での漸近状態の解釈●

波数：粘性とベータ項のバランス●

振動数：ロスビー波●

レイリー数：浮力トルクとベータ項のバランスBusse (1970) の簡単な見積もり方●

一定に傾いた回転円筒対流の中立曲線と臨界値●球に適用すると●浮力が動径の2乗に比例：●

地形性β項：●が最大となるのは

球の中程で対流が発生するのは？
●●対流を発生させる要因：内部熱源と重力⇒不安定度 に比例対流を妨げる要因：球の傾き（地形性β効果）●

外側：傾きがきつくなり対流を妨げる●

内側：浮力が弱くなり対流が発生しなくなる⇒ 球殻中程でもっとも対流がおこりやすい対流の発生場所●

対流の発生場所
●

重力分布
–

●

基本場温度分布–●

密度一様の自己重力 or 内球の重力
一様内部熱源 or 上下温度差のみ

たとえば上下温度差のみの基本場温度→対流渦は内球に接するように発生

対流の発生場所
内部熱源あり重力分布

速度動径成分
（赤道断面）
重力分布

内部熱源なし1980年代後半〜
臨界モードの数値計算

1980年代〜数値計算の黎明期●

Zhang and Busse (1987)●

広い範囲で臨界モードを数値的に求めた●

赤道壁面モード (equatorially wall-attached) の発見(Zhang and Busse 1987)

1980年代〜数値計算の黎明期

Columnar mode (Pr 大)●

Spiral-columnar mode(Pr 中)

Wall-attached mode(Pr 小)

Zhang (1992)●●

臨界モードの数値計算（高速回転, Taylor 数O(1011)）
対流渦は局在しない ⇔ Busse (1970b)
螺旋状に延びる（螺旋状柱状モード, spiral-columnar）
赤道に張りつく（赤道壁面モード, equatorially wall-attached）

螺旋状対流の解釈●

数学的な記述：2000 年ごろに解決したらしい●

Jones et al. (2000), Dormy et al. (2003)–●

Busse (1970b) の漸近展開の見直し、正しく?展開すれば螺旋状構造が記述できるらしい

物理的な理解をしたい●

ロスビー波の性質で議論してみる

(地形性)ロスビー波
局所直交座標系, 静止状態,の周りで線形化(地形性β効果)

流線関数 を導入すると一定, 平面波解

よりロスビー波は東に伝播

螺旋状対流とロスビー波●

螺旋状構造の出現の理由●●●

外側ほど傾きが大きい⇒ロスビー波の位相速度大きい⇒外側ほど速く伝播⇒波面が傾く間違い：臨界モードだから位相速度はどこでも同じ
正解：位相速度を一定に保つべく動径方向波数 が変化する⇒螺旋状に傾く

螺旋状対流とロスビー波●●●の 方向の変化⇒ 方向波数 が変化（は一定に保たれる）大⇒ 大（に注意）⇒外側ほど波面が傾く⇒螺旋状パターン
傾く向き⇒内から外へロスビー波伝播（内側で対流不安定大）⇒群速度(竹広, 入江 2001)

支配方程式●

球の形状の効果:●

P:プランドル数, R:レイリー数, E:エクマン数

局所分散関係の導出●

熱と粘性の効果を無視●

ゆっくりと振幅が変調する波型の解●

地形性β効果の係数もゆっくり変化する：

局所分散関係と波数・振動数●ε0の式→局所分散関係●

振動数、波数の式●

は保存、 は保存しない局所分散関係を用いた解の構成●の変化：局所分散関係から●

このを用いて解を構成できる●

さらに粘性の効果を考慮すれば

螺旋状対流と柱状対流〜プランドル数依存性●●●

プランドル数小⇒粘性小⇒ロスビー波遠くまで伝播⇒螺旋状対流
プランドル数大⇒粘性大⇒ロスビー波すぐに減衰⇒柱状対流
波線理論で計算：(Takehiro 2008)

ロスビー波の伝播距離●

粘性の効果を導入
P=0.1

P=0.2

P=0.5

P=1.0

(Takehiro 2008)

回転球殻対流の運動エネルギー収支●

運動エネルギーの式
粘性散逸

運動エネルギーの時間変化=0●

ロスビー波によるエネルギー輸送収束

浮力によるエネルギー生成

粘性によるエネルギー
輸送収束(ほぼ0）

粘性輸送・散逸項の表現(Takehiro, 2010)

高速回転する球殻内の臨界対流の場合

●流線

P=0.1

P=0.3

P=0.5

P=1.0

温度場 速度(方位角)(Takehiro, 2010)

回転球殻対流のエネルギー解析
P=0.1

浮力生成

ロスビー波

P=0.5

P=0.3

粘性散逸

P=1.0

(Takehiro, 2010)

回転球殻対流のエネルギー解析●

回転軸方向に積分した運動エネルギー収支各項
P=0.3

P=0.1

P=0.5

P=1.0

浮力生成

ロスビー波

●

粘性散逸

プランドル数小：ロスビー波による外向き輸送(Takehiro, 2010)

赤道壁面モード●

プランドル数小さい→赤道壁面モードの出現●●

ロスビー波で解釈できる？

螺旋状対流の出現困難になる理由（の試案）●

プランドル数小→螺旋が延びる→動径波数大→粘性散逸大→対流するのが難しくなる？

対流による帯状流生成〜Busse の世界（1970〜1980年代）

1970年代〜弱非線形論
回転が遅い場合の帯状流生成●

Busse (1970a, 1973)●

Sectorial 型の水平構造→コリオリ力で水平風が曲げられる→赤道に東向き運動量輸送→赤道超回転生成1970年代〜弱非線形論
回転が速い場合の帯状流生成●

Busse(1976,1983)●●

レイリー数大⇒ 対流渦が動径方向に多数並ぶ⇒ 縞状パターン形成
平均帯状流生成← 外側球面の曲率← 対流セルの傾き← 動径方向へ運動量輸送

平均帯状流生成メカニズム(Busse, 2002)●

外側境界の曲率 ⇒ 対流渦の傾き⇒ 内から外への運動量輸送 ⇒ 帯状流生成

対流による帯状流生成
弱非線形計算弱非線形計算とは●

臨界対流の解を非線形項に代入、その線型応答を求める●

元の方程式：●

臨界モード：●

弱非線形場：

帯状流生成〜弱非線形計算●

赤道上端の流れ： 小 prograde,
西向き伝播 東向き伝播

超回転大 retrograde

厚い球殻

亜回転

亜回転
超回転
超回転

亜回転
超回転

薄い球殻
超回転

(Takehiro and Hayashi, 1995 1999)

帯状流生成メカニズム（P小）レイノルズ応力●大規模渦のレイノルズ応力⇒赤道超回転生成

回転小

回転大

臨界モードと帯状流（回転小、P小）外側境界水平流と中層温度

子午面断面

平均帯状流
外側境界拡大図

赤道断面(Takehiro and Hayashi 1995,1999)

臨界モードと帯状流（回転大、P小）外側境界水平流と中層温度

子午面断面

平均帯状流
外側境界トロイダル場

赤道断面(Takehiro and Hayashi 1995,1999)

帯状流生成メカニズム（P大）平均子午面循環による角運動量輸送●

対流による熱輸送⇒平均温度赤道上層で高温, 高緯度で低温⇒平均子午面循環の誘起
惑星角運動量を大きく輸送⇒惑星角運動量の輸送⇒赤道上端で亜回転
惑星角運動量を小さく輸送Hot平均温度場と帯状流（回転小、P大）

臨界モード
外側境界水平流と中層温度場

平均温度場と平均子午面循環

平均帯状流(Takehiro and Hayashi 1995,1999)

帯状流生成メカニズム（P大）温度風バランス●

地衡流バランス＋浮力●

Rotation をとると●prograde

方位角成分をとると

Cold

浮力
コリオリ力
●

温度風バランス：
コリオリ力のトルク＝浮力のトルク

Hotretrograde

平均温度場と帯状流（回転大、P大）

臨界モード
外側境界トロイダル場

平均温度場と平均子午面循環

平均帯状流(Takehiro and Hayashi 1995,1999)

有限振幅対流の数値計算

1980年代〜数値計算の黎明期

動径速度の水平分布
平均子午面循環●

平均帯状流

表面東西風分布

Glatzmaier (1987)●

太陽対流層の数値シミュレーション(内外のおおきな密度差、磁場の効果)●

回転軸方向に一様な帯状流分布●

表面東西風は観測とあっているように見えた、が・・・

1990年代〜太陽の内部構造明らかに●●

日震学の発達⇒ 太陽の内部構造
明らかにシミュレーション
結果と違う！
●

回転軸方向に一様でない

日震学により観測された
回転角速度分布(Thompson et al., 1996)

Gltatzmaier(1987)の計算結果

1990年代〜本格的な数値計算時代へ

動径速度の赤道面分布●

平均帯状流分布

表面帯状流分布Sun and Schubert (1995)●●

高解像度・高レイリー数・低エクマン数での有限振幅対流の時間発展数値計算
縞状パターンの形成？

2000年代〜より大規模な数値計算へ

赤道面温度場●

渦度回転軸方向成分(赤道面, 子午面)

平均帯状流

Christensen (2002)●

系統だった高レイリー数対流の有限振幅計算●

縞状パターンは生成されない.

●

Sun and Schubert (1995) の縞状パターンは偽り. 初期場が残っていただけ.

●

赤道で回転と同方向（赤道加速状態)

木星・土星大気シミュレーション？
帯状流分布●

Heimpel andAurnou (2007)●薄い球殻(1/8セクター計算)●

超粘性の計算●高レイリー計算●

赤道付近：強い東向き流れ(赤道加速) ← レイノルズ応力の運動量輸送●

中高緯度：縞状パターンの形成 ← (地形性)β面上の2次元乱流

2次元β面乱流問題●

ベータ面モデル（ポテンシャル渦度保存則）●

回転球殻問題〜地形性ベータ効果●

cf. 惑星ベータ効果〜浅いモデル

2次元乱流（β＝0）
エネルギーの逆カスケード●

エネルギー・エンストロフィー保存●

エネルギーの中心波数●

スペクトルの広がり●

スペクトルが広がると仮定すると–2次元系：エネルギーは低波数側へカスケードするラインズ効果〜帯状構造の出現●

Rhines (1975)●

非線形項と線形項が同程度となるスケール(波数)→ラインズスケール(波数)U は特徴的な速度スケール●

ラインズスケールで逆カスケード止まる→帯状構造の出現

流線関数

帯状構造出現の説明●

β項のスケーリング：x方向の長さスケールで大きければ逆カスケード可能⇒●

波数で表わせばcf. Vallis and Martlud (1993)–

ダンベル領域を避けて逆カスケード

エネルギースペクトルの時間変化

ラインズ効果による高緯度の縞状構造の説明●

高緯度：回転系の熱対流⇒2次元的な小スケールの渦生成⇒逆カスケード⇒ラインズ効果で帯状構造

ラインズスケールとジェットの幅の比較(Heimpel and Aurnou, 2007)

海王星大気シミュレーション？

帯状流分布
●

帯状流分布

温度分布

渦度回転軸方向成分

Aurnou et al. (2007)●より高レイリー数計算(1/8セクター計算)

●

超粘性計算

●

流れ場は回転軸方向に一様でない●

角運動量の混合 ⇒ 赤道で回転と逆方向(赤道加速ではない)角運動量混合の発生●

浮力項/コリオリ項の大小で混合の様子が決まる

柱状対流

接円筒外で混合

全球殻で混合(Aurnou et al, 2007;Gilman, 1977)

角運動量一様化●●●とある領域で角運動量が混合・一様化：
回転系の静止状態からスタート⇒相対角運動量の領域積分が0帯状速度分布：

平均惑星角運動量の計算
●

全球殻平均

平均惑星角運動量の計算●

接円筒外側平均角運動量一様分布●

全球殻で一様化：●

接円筒外側で一様化：

全球殻で一様化

接円筒外側で一様化(Aurnou et al., 2007)

角運動量一様分布との比較●

数値計算と理論の比較 (Aurnou et al, 2007)

帯状流分布

帯状流分布

帯状流分布（理論と計算）現在〜非弾性系への拡張●

Jones and Kuzanyan (2009)
ブシネスク系

非弾性系

動径速度

帯状流

帯状流

非弾性系での対流発生場所●

非弾性系→外側境界付近に対流発生●

基本場エントロピーの式

拡散係数が外側ほど小さい→基本場の温度分布が外側ほど勾配大→外側で不安定性大まとめ●

回転球殻対流と平均帯状流生成●

パラメターにより様々な臨界対流パターンの出現
柱状・螺旋状・赤道壁面モード, 渦の伝播方向の変化●●●

ロスビー波 (地形性β効果, ポテンシャル渦度保存) の性質による解釈

プランドル数により帯状流生成メカニズムが変わる–

プランドル数小：レイノルズ応力–

プランドル数大：平均子午面循環, 温度風

薄い球殻での有限振幅対流⇒ガス・氷惑星の帯状流を説明できる？
–

レイリー数中間的：赤道で超回転, 高緯度でラインズ効果の縞々–

レイリー数大：角運動量混合で赤道亜回転

おまけ
●

●

現実のパラメターからはほど遠いことに注意●

計算できている≠現象を再現できている●

メカニズムの多様性を調べて知見を増やす

プランドル数：帯状流生成のキーパラメタ●

熱と運動量の乱流輸送の相対強度⇒帯状流生成メカニズムへの示唆

参考文献その1
Aurnou, J., Heimpel, M., Wicht, J., 2007 : The effects of vigorous mixing in a convective model of zonal flow on the icegiants. Icarus, 190, 110—126
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