エルミート多項式直交多項式であるエルミート多項式を求めます。ロドリゲスの公式から導出し、基本的な関係を求めています。
その後に、グラム・シュミットの正規直交化法、一般化されたロドリゲスの公式による導出を示しています。
エルミート多項式 (Hermite polynomials) を作るだけなら簡単です。e−x の微分は222d −x2d2 −x2d3 −x22 −x2e= −2xe−x ,e=(−2+4x)e,e= (12x − 8x3 )e−x , . . .
dxdx2dx32となっていて、ex がなければ多項式になります。そして、x のべき乗の最大は

dn −x2dn−1dn−2dn−2 −x2−x22 −x2e=(−2x)e=(−2x)
e−2edxndxn−1dxn−2dxn−2=n−2dn−3dn−2 −x23 −x22−x2 d(−2x)
e(−2x)−2e+edxn−3dxn−2dxn−2= (−2x)n e−x + · · ·22として出てくるので、微分に (−1)n ex をくっつけてH(n) (x) = (−1)n ex2dn −x2edxn(1)としたものがエルミート多項式です。これはエルミート多項式のロドリゲスの公式と呼ばれます。n = 4 まで求めるとH(1) = (−1)exd −x2e= 2xdx22H(2) = (−1)2 ex

2H(3) = (−1)3 ex

2H(4) = (−1)4 ex

2dd2 −x2e=(−2xe−x ) = −2 + 4x2dx2dx2dd3 −x2e
= − (−2 + 4x2 )e−x = −(8x + 4x − 8x3 ) = −12x + 8x3dx3dx2d4 −x2de=(12x − 8x3 )e−x = (12 − 24x2 − 24x2 + 16x4 ) = 12 − 48x2 + 16x4
dx4dxとなっています。H(n) の n は n 次多項式であることを表します。

H(n) が直交していることを示します。そのために∫ ∞−∞dm e−xH(n) (x)dxm2dxとしてみると、例えば m = 2, n = 1 では

1(2)

∫ ∞
−∞

d2 e−xH(1) =dx22dx∫ ∞dx−∞d d −x2( e)H(1)
dx dx

[]∞
2= − 2xe−x H(1) −∞ + (−1)∫ ∞= (−1)

dx(−∞= (−1)2dx(−∞d −x2 dH(1)e)
dxdx

d −x2 dH(1)e)
dxdx[2 dH(1) ]∞+ (−1)2= − e−x
dx −∞
∫ ∞

∫ ∞

dxe−x−∞

2∫ ∞dxe−x−∞

2d2 H(1)dx22d H(1)dx2=0H(1) は x の 1 次までの多項式なので 2 回微分すれば 0 です。このように、n 次多項式 H(n) の m 回微分が出てくるために、m > n では 0 になります。m = n では

∫ ∞−∞dn e−xH(n) = (−1)ndxn
2dx

∫ ∞

dxe−x−∞

2dn
H(n) = Andxn∫ ∞−∞√2dxe−x = An π

H(n) は xn までの多項式なので n 回微分すれば定数になり、それと (−1)n を合わせて An としています。H(n) は係数を ck としてH(n) = c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + 2n xnとなっているので、n 回微分すればdn H(n)= 2n n!
dxn
これから

An = (−1)ndn H(n)= (−2)n n!
dxnと求まるので∫ ∞−∞√dn e−x
H(n) = (−1)n 2n n! πndx2dx

このように、(2) は m > n では 0、m = n では値を持ちます。

2今見てきた積分は∫ ∞−∞dxH(m) H(n) e−x = (−1)m2∫ ∞dm e−xH(n)dxm2dx−∞として出てきて、どちらも同じエルミート多項式なので m > n は m ̸= n とできます。よって、エルミート多項式の直交関係はクロネッカーデルタ δmn を使って

∫ ∞−∞√2dxH(m) H(n) e−x = 2n n! πδmne−x は (2) にするために付けていて、今の内積におけるウェイト関数です。この内積のもとでエルミート多項式2の直交性は与えられています。
エルミート多項式のべき乗は偶数か奇数かで出てきます。これは簡単に分かります。x の符号を反転させると2H(n) (−x) = (−1)n ex1dn −x2e= (−1)n H(n) (x)(−1)n dxn

なので、H(n) が x2n (n = 0, 1, 2, . . .) までならH(2n) (x) = c2n x2n + c2n−2 x2n−2 + · · · + c2 x2 + c0

(H(2n) (x) = H(2n) (−x))となる必要があり、x2n+1 までならH(2n+1) (x) = c2n+1 x2n+1 + c2n+1 x2n−1 + · · · + c3 x3 + c1 x

(H(2n+1) (x) = −H(2n+1) (−x))となり、偶数だけか奇数だけの多項式になることが分かります。
エルミート多項式は積分から与えることもできます。e−x の微分から作られているので、フーリエ変換を使って
2∫ ∞I(x) =dt e−t e2ixt2−∞とします。x で微分すると

dI= 2idx

∫ ∞−∞

2

∫ ∞

d −t2 2ixte )edt−∞
∫ ∞[ −t2 2ixt ]∞2= −i e e− 2xdte−t e2ixt−∞

dt te−t e2ixt = − idt(= − 2x∫ ∞= − 2xI
3−∞−∞dte−t e2ixt2これの解はI = Ce−x2

C は定数です。よって

1C

∫ ∞

dte−t e2ixt = e−x22−∞

t = 0 のとき、ガウス積分から∫ ∞dxe−x =2√π−∞なので、C は

1=1C

∫ ∞dxe−x =2−∞

√1√
π ⇒ C= πC

よってe−x21=√π∫ ∞dte−t e2ixt2−∞として、e−x を積分で表せます。
2

これを微分していくと

1d −x2e= √ (2i)dxπ∫ ∞dt te−t e2ixt2−∞

d2 −x21e= √ (2i)22dxπ∫ ∞dt t2 e−t e2itx
2−∞

なので

dn −x21e= √ (2i)nndx
π∫ ∞dt tn e−t e2ixt
2−∞

よって

H(n) (x) = (−1)n ex22dn −x2(−1)ne= √ (2i)n exndx
π

4

∫ ∞−∞

dt tn e−t e2ixt2となり、積分を使った形になります。
直交多項式には母関数 (generating function) と呼ばれるものがあります。これは、直交多項式を F(n) として∞∑G(x, r) =gn rn F(n) (x) = g0 F(0) (x) + g1 rF(1) (x) + g2 r2 F(2) (x) + · · ·n=0と定義されます。つまり、r で m 回微分して r = 0 にすれば F(m) が取り出せる関数です。エルミート多項式では、積分形を使うと∞∑∫ ∞∞ex ∑gn r H(n) (x) = √(−2i)n gn rn
πn=0n=02ndt tn e−t e2ixt
2−∞gn = 1/n! とすると

2ex
√π

∫ ∞
dt
−∞

∞
∑(−2irt)nn=0n!

22exe−t e2ixt = √π2ex= √π∫ ∞dte−2irt e−t e2ixt2−∞∫ ∞dte−t e2i(x−r)t2−∞= ex e−(x−r)
22= e2xr−r2

これから、エルミート多項式の母関数は2G(x, r) = e2xr−r =∞∑H(n) (x)n=0n!

rn(3)と与えられます。
指数関数を展開すると

e2xr−r = e2xr e−r =22∞∞∑(2xr)m ∑ (−r2 )km=0m!

k=0k!

=∞ ∑∞
∑(−1)km=0 k=0=∞ [n/2]∑∑
n=0 k=0(−1)k(2x)m m+2kr
m!k!
(2x)n−2k nr(n − 2k)!k!

(n = m + 2k)級数の積の関係を使っています。k の範囲は m = n − 2k ≥ 0 から、n が偶数なら 0 から n/2 まで、奇数なら 0 から (n − 1)/2 です。それらをまとめて [n/2] と表記しています。(3) での rn の項を比較すれば∑∑
n!
n(n − 1) · · · (n − 2k + 1)(−1)(2x)n−2k =(−1)k(2x)n−2k(n − 2k)!k!
k!

[n/2]

H(n) (x) =k=0

[n/2]

kk=05となり、エルミート多項式の和による形が求まります。ちなみに、これから∑dn −x2n!
e=(−1)k(2x)n−2kndx(n − 2k)!k!
[n/2](−1)n ex2k=02 ∑n!
dn −x2e= e−x(−1)n+k(2x)n−2kndx(n − 2k)!k!

[n/2]k=0として、e−x の微分が分かります。
2母関数からエルミート多項式が従う漸化式と微分方程式を求められます。母関数を r で偏微分すると

2∂G= (2x − 2r)e2xr−r = (2x − 2r)G∂r

これに

∞
∞
∞
∂G ∑ H(n) (x) n−1 ∑ H(n) (x) n−1 ∑ H(n+1) (x) n=nr=r=r∂rn!
(n − 1)!
n!
n=0
n=1n=02xG = 2x∞∑H(n) (x)n=02rG = 2n!

rn∞
∞
∞
∑∑
∑
H(n−1) (x) nnH(n−1) (x) nnH(n−1) (x) nH(n) (x) n+1r=2r =2r =2rn!
(n−1)!
n(n−1)!
n!
n=1
n=1
n=0
n=0∞
∑を入れればH(n+1) (x) = 2xH(n) (x) − 2nH(n−1) (x)(n = 1, 2, . . .)(4)として、漸化式が求まります。x の偏微分からも漸化式が求まります。このときは∂G= 2rG∂xなので、H は x しか変数に持たないので常微分に変えて

dH(n)= 2nH(n−1)
dx(n = 1, 2, . . .)この漸化式は H(n) の微分と H(n−1) の関係を与えているので、便利な関係になっています。

(5) を (4) に入れて、x で微分すると

6(5)H(n+1) = 2xH(n) −dH(n)dxdH(n)d2 H(n)dH(n+1)= 2H(n) + 2x−dxdxdx22(n + 1)H(n) = 2H(n) + 2xd2 H(n)dH(n)−dxdx2d2 H(n)dH(n)− 2x+ 2nH(n) = 02dxdx
この形の微分方程式をエルミート方程式と言い、エルミート多項式はエルミート方程式の解になっているのが分かります。ただし、n = 0, 1, 2, . . . であることに注意してください。
まとめると• ロドリゲスの公式

2H(n) (x) = (−1)n ex

dn −x2edxn• 積分形

2(−1)nH(n) (x) = √ (2i)n exπ∫ ∞dt tn e−t e2ixt2−∞• 和による形∑[n/2]

H(n) (x) =(−1)kk=0n!
(2x)n−2k(n − 2k)!k!

• 直交関係∫ ∞−∞√2dxH(m) H(n) e−x = 2n n! πδmn

• H(n) (x) = (−1)n H(n) (−x)• 母関数

G(x, r) = e2xr−r

2• 漸化式 (n = 1, 2, . . .)H(n+1) = 2xH(n) − 2nH(n−1)dH(n)= 2nH(n−1)
dx7• 微分方程式 (エルミート方程式)dH(n)d2 H(n)− 2x+ 2nH(n) = 02dxdx
エルミート多項式で関数を近似する例を 1 つ示します。ここでの近似は関数 f をエルミート多項式によって

f (x) =∞∑an H(n) (x)n=0と展開することです。このとき求めたいのは係数 an です。例えば、f (x) = eαx (α は定数) とすれば、直交関係から

eαx =∞∑an H(n) (x)n=0H(m) eαx =∞∑an H(m) H(n)

n=0

∫ ∞
−∞

dxH(m) eαx −x2e=∞
∑∫ ∞
an

n=0−∞

dxH(m) H(n) e−x2√
= 2m m! πam
am =1√
2m m! π∫ ∞−∞dxH(m) e−x eαx2

積分は

∫ ∞
−∞

dxH(m) e−x eαx = (−1)m2∫ ∞dxeαx−∞

dm −x2e= (−1)mdxm

∫ ∞−∞

dxeαx

d dm−1 −x2edx dxm−1[dm−1 e−x ]∞= (−1)m eαx− (−1)mdxm−1 −∞∫ ∞2dm−1= (−1)m+1 α
dx eαx m−1 e−xdx−∞
2

∫ ∞
dx−∞

deαx dm−1 −x2edx dxm−1

2 行目の第 1 項では e−x が常に出てくるため、無限大で 0 です。同じことをすれば
2

∫ ∞−∞

([dm −x2dm−2 e−x ]∞e= (−1)m+1 α eαx+ (−1)m+2
mdx
dxm−2 −∞
∫ ∞2dm−2dx eαx m−2 e−x= (−1)m+2 α2
dx−∞2dxeαxと続いていくので、m 回繰り返せば

8

∫ ∞
−∞

dx eαxdm−2 −x2 )edxm−2∫ ∞dxeαx−∞∫ ∞2dm −x22m me=(−1)αdx eαx−xdxm−∞∫ ∞11= αmdx exp[−(x − α)2 + α2 ]
24−∞
∫ ∞
2′2
1= αm eα /4dx′ e−x(x′ = x − α)2−∞√2= αm πeα /4よって

am =αm

22m m!

eα /4と求まり、エルミート多項式による展開は

2eαx = eα /4∞∑αnn=02n n!

H(n) (x)となります。
ここから、グラム・シュミットの正規直交化法と一般化されたロドリゲスの公式からエルミート多項式を求めます。別の方法から同じ結果を求めるだけです。また、「エルミート方程式」ではエルミート方程式の級数解として求めています。

• グラム・シュミットの正規直交化法
Ln (x) = xn として、すでに分かっているので内積を∫ ∞−∞dx Lm Ln e−x2と与えます。ガウス積分は n = 0, 1, 2, . . . として∫ ∞x2n e−x dx =2−∞

∫ ∞(2n − 1)!! √π2n(n!! = n(n − 2)(n − 4) · · · )x2n+1 e−x dx = 02−∞

なので、L0 , L1 では

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

dx L0 L0 e−x2

∫ ∞=dxe−x2=√∫ ∞π,−∞

dx L0 L1 e−x =2∫ ∞−∞dx xe−x = 02−∞

9dx L1 L1 e−x2

∫ ∞=2 −x2dx x e−∞√=π2

L0 , L1 を 1 に規格化したのを

P0 =

√

1π, P1 =1/42xπ 1/4とすれば、P2 はグラム・シュミットの正規直交化法から

P2 (x) = L2 − P0

∫ ∞1= x2 − √π
= x2 −−∞

dxP0 L2 e−x − P12∫ ∞22xdx x2 e−x − √π−∞

∫ ∞dxP1 L2 e−x−∞∫ ∞dx x3 e−x22−∞

12P0 , P1 とは√√
1 −x2ππdxP0 P2 e=dx(x − )e=−=0222−∞−∞
√ ∫ ∞
∫ ∞
221−x2dxP1 P2 edx(x3 − x)e−x = 0= 1/42π−∞−∞∫ ∞−x2∫ ∞2となるので、直交しています (1 に規格化はしていない)。P3 も求めてみると

P3 = L3 − P0

∫ ∞1=x −√π32x= x3 − √π−∞dxP0 L3 e−x − P1

∫ ∞23 −x2dx x e−∞∫ ∞dx x4 e−x2x−√π∫ ∞−∞dxP1 L3 e−x − P22∫ ∞4 −x2dx x e−∞∫ ∞−∞1− (x − )22dxP2 L3 e−x2∫ ∞21dx(x5 − x3 )e−x2−∞2−∞2x 3 √= x3 − √ππ43= x3 − x2Pn の xn の項の係数を 2n とするために係数を変えると

H0 = L0 = 1 , H1 = 2L1 = 2x , H2 = 22 P2 = 4x2 − 2 , H3 = 23 P3 = 8x3 − 12xとなり、エルミート多項式になります。

• 一般化されたロドリゲスの公式「直交多項式」で求めている関係は説明なしで使っていきます。一般化されたロドリゲスの公式は
10

C(n) (x) =1 1 dn(w(x)sn (x))
Kn w(x) dxn(n = 0, 1, 2, . . .)C(n) (x) は n 次多項式、s(x) は 2 次以下の多項式、w(x) は正の実数、Kn は規格化定数です。直交関係は∫ bdx C(m) C(n) (x)w(x) = 0(m ̸= n)a∫ bcn n!
2dxC(n)w = (−1)nKna∫ bdx w(x)sn (x)acn は C(n) の xn の係数です。s(x) を定数 α とします。そうするとC(n) (x) =1 1 dnα n 1 dnn(w(x)s(x))=w(x)
Kn w(x) dxn
Kn w(x) dxn

C(1) は 1 次多項式なのでC(1) = −1xK1

とすれば

−1
1 1 d(w(x)s(x))
x=K1
K1 w(x) dx−x =1 dwds(s+w )w dxdx1 dw
1 ds= − (+ x)w dxs dx1xα
∫1log w = −dx x
α= −w = A exp[−定数 A は 1 にし、x を√

1 2x ]
2α2αx と置き換えれば

w(x) = e−x

これから

112(6)

C(n) (x) =1 1 dn1 1 dn1 x2 dn −x2n(w(x)s(x))
=w(x)
=ee
Kn w(x) dxn
Kn w(x) dxn
Kndxn

Kn = (−1)n とすれば (1) になるので、C(n) はエルミート多項式です。
直交関係は、sw(x) = αw(x) は a, b で 0 になる必要があるので、a = −∞, b = ∞ となり∫ ∞dxC(m) (x)C(n) (x)e−x = 02−∞∫ ∞hn =−∞(m ̸= n)2dxC(n)(x)e−x = (−1)n2cn n!
Kn∫ bdxw(x)sn (x)a

そうすると、(6) から

hn = (−1)n

cn n!
Kn

∫ ∞

dxe−x = (−1)n2−∞

cn n! √πKn

Kn = (−1)n として

hn =

√√
πcn n! = 2n n! π

(cn xn =(−1)n n n2 x = 2 n x n ⇒ cn = 2 n )Knというわけで∫ ∞−∞√2dxC(m) (x)C(n) (x)e−x = 2n n! πδnmとして、エルミート多項式の直交関係になります。
ここから C(n) はエルミート多項式 H(n) としていきます。

H(n) が従う漸化式と微分方程式を求めます。一般化されたロドリゲスの公式から出てくる漸化式は

H(n+1) = (An x + Bn )H(n) + Dn H(n−1)(n+1)

An =cn+1(n)

cncn

(n)

cn

(n+1) (n−1)(n+1) (n)(n+1)

, Bn = an =−cn+1 cn−1(n)(cn )2, Dn = an−1 = −(n)cn は H(n) での xn の係数です。エルミート多項式はH(n) (x) = 2n xn + · · ·として作っているので

12

hn cn+1 cn−1
hn−1 (cn(n) )2

(n+1)(n−1)

nn+1c(n), cn−1 = 2n−1
n = 2 , cn+1 = 2(n+1)

H(n) には偶数か奇数のべき乗しか現れないので、cnAn = 2 , B n = 0 , Dn = −(n), cn−1 = 0 です。これらから√2n n! πhn 22n√ = −2n=−hn−1 22n2n−1 (n − 1)! πとなり、漸化式は

H(n+1) = 2xH(n) − 2nH(n−1)と求まります。
微分方程式はdH(n)d(ws) = −wλn H(n)dxdxλn = −n(KdH(1)1d2 s+ (n − 1) 2 )dx2dxで与えられます。K はKH(1) =dss dw+dx w dxとしています。s は定数 α で、w = e−x なので22dH(n)2 dH(n)2 dH(n)2 d H(n)dd(ws) = α (e−x) = α(−2xe−x+ e−x)
dxdxdxdxdx
dx2H(1) = 2x から λn はλn = −2nK = −2n(dss dw −11+)H(1) = −2αn(−2x)= 2αndx w dx2x

よってα(−2xd2 H(n) −x2dH(n)2)e= − 2αnH(n) e−x+2dxdx

d2 H(n)dH(n)− 2x+ 2nH(n) = 02dxdx
13(7)として、エルミート方程式になります。また、微分を含む漸化式

2An sdH(n)1 d(ws)= (−An+ (An x + Bn )(λn − λn+1 ))H(n) + Dn (λn−1 − λn+1 )H(n−1)
dx
w dx

からは

4αdH(n)= (−2α(−2x) + 4αx(n − (n + 1)))H(n) − 4n((n − 1) − (n + 1))H(n−1)
dx4dH(n)= (4x − 4x)H(n) + 8nH(n−1)dxdH(n)= 2nH(n−1)
dxとなります。

14