単振り子での摂動展開

非線形な微分方程式を摂動展開で解く例として単振り子を見ていきます。摂動展開で解いていくだけなので、非線形振動の物理的な話はしていません。
摂動展開の話は数学での「非線形微分方程式」を見てください。
非線形な振動の問題としては、「単振り子」で出した (l は紐の長さ、g は重力 )d2 θ= −ω02 sin θdt2√
(ω0 =g)l

これが最初によく出てきます。これは第１種完全楕円積分によって厳密に解け、それによって非線形振動の振る舞いを見ることができます。しかし、ここでは近似的に解く方法を見ていきます。
まず、sin θ の展開は1
sin θ = θ − θ3 + · · ·6となっているので、方程式をd2 x+ ω02 x − ϵω02 x3 = 0dt2(1)と書き直します (θ を x と書き直している )。これは Duﬃng 方程式と呼ばれています。x3 の項が非線形項で、ϵ = 0ならよくある単振り子の方程式になります。ϵ = 0 のときの解はx(t) = a cos ω0 t(2)初期条件はx(t = 0) = a ,dx=0dt(3)としています。
ここで数学での「非線形微分方程式」での摂動展開をします。ϵ が小さいとして ((2) の非線形項の寄与は小さいとする)、x(t) をx(t) = x0 (t) + ϵx1 (t) + ϵ2 x2 (t) + · · ·と展開します。ϵ の 2 次の項までも見ることにして、これを (1) に入れれば

0=2d2 x0
d2 x12 d x2+ϵ+ϵ+ ω02 (x0 (t) + ϵx1 (t) + ϵ2 x2 (t))
dt2dt2dt2− ϵω02 (x0 (t) + ϵx1 (t) + ϵ2 x2 (t))3≃2d2 x0
d2 x1222 32 d x2+ωx+ϵ+ϵωx−ϵωx+ϵ+ ϵ2 ω02 x2 − 3ϵ2 ω02 x20 x1010000dt2
dt2
dt2

これから、ϵ のオーダ (次数) ごとに式を取り出すと

1

ϵ0 :

d2 x0+ ω02 x0 = 0dt2

ϵ1 :d2 x1+ ω02 x1 − ω02 x30 = 0dt2

ϵ2 :d2 x2+ ω02 x2 − 3ω02 x20 x1 = 0dt2

ϵ = 0 のときの解が (2) で与えられていて、今は非線形項からの寄与は小さいとしているので、(1) の解に含まれる振動数 ω も ω0 によってω = ω0 + ϵω1 + ϵ2 ω2 + · · ·と展開できると考えます。これを式の中に入れるために、t を t′ = ωt と変換してddt′ dd2⇒=
ωdt
dt dt′dt′2dt′ d dt′ dd2d2⇒() = ω 2 ′22′dt
dt dt dt dtdtとすることで ϵ0 のオーダの式は
22d2 x0
22 d x0
222 d x0+ωx=
ω+ωx=(ω+ϵω+ϵω)+ ω02 x00001
200dt′2dt′2dt′2

ϵ1 はϵ(2d2 x122 32 d x1+ωx+ωx)=ϵ(ω+ ω02 x1 − ω02 x30 )100 0dt′2dt′2()
d2 x1= ϵ (ω0 + ϵω1 + ϵ2 ω2 )2 ′2 + ω02 x1 − ω02 x30dt
ϵ2 はϵ2 (2d2 x222 222 d x2+ωx+3ωxx)=ϵ(ω+ ω02 x2 − 3ω02 x20 x1 )2
1000dt′2dt′2()
d2 x2= ϵ2 (ω0 + ϵω1 + ϵ2 ω2 )2 ′2 + ω02 x2 − 3ω02 x20 x1dt
ここからまた ϵ のオーダで分ければϵ0 : ω02

d2 x0+ ω02 x0 = 0dt′2

ϵ1 : ω02d2 x1d2 x0+2ω
ω+ ω02 x1 − ω02 x30 = 001dt′2dt′2

ϵ2 : ω022d2 x2d2 x1d2 x02 d x0+2ω
ω+ω+2ω
ω+ ω02 x2 − 3ω02 x20 x1 = 001021dt′2dt′2dt′2dt′22

これから x(t) を求めるには、ϵ0 の式から x0 の解、その解を ϵ1 の式に入れて x1 の解、…として求めていけばいいです。x0 の解は単純に

x0 (t) = a cos ωt(t′ = ωt)

初期条件は (3) です。これを ϵ1 の式に入れて

0==d2 x1
ω1 d2 x0+2+ x1 − x30′2dt
ω0 dt′2d2 x1
ω1− 2a cos t′ + x1 − a3 cos3 t′dt′2
ω0d2 x1
ω1+ x1 = 2a cos t′ + a3 cos3 t′′2dt
ω0= 2aω1a3cos t′ + (cos 3t′ + 3 cos t′ )
ω04= (2a(cos3 θ =1(cos 3θ + 3 cos θ))4

ω13a3a3+) cos t′ +cos 3t′
ω044(4)

これは非同次の線形微分方程式です。線形方程式なので、この方程式の解は

d2 x1
ω13a3+x=(2a) cos t′+1dt′2
ω04(5a)d2 x1a3+x=
cos 3t′1dt′24(5b)としたときの、2 つの解の和とすることができます。単純に言えば、この 2 つの方程式を足せば元の方程式に戻るからというだけです。このとき、1 番目の方程式 (5a) は、「減衰振動・強制振動」で力を F cos(ωt) と加えたのと同じです。そのとき、解は

x = A cos(Ω0 t + α) +1Fcos(Ωt)
2m (Ω0 − Ω2 )(md2 x+ mΩ02 x = F cos(Ωt))
dt2(6)と求められました (A, α は定数 )。第一項は同次での解、第二項が特解です。F の形自体はどうでもよくて、注意すべきなのは cos(Ωt)/(Ω20 − Ω2 )) 部分です。今は Ω = Ω0 の場合なので、cos(Ωt)/(Ω20 − Ω2 ) は発散しています。
なので、この場合を知るにはこの解ではなく、さらに抵抗を加えたmdxd2 x+ 2mγ+ mω02 x = F cos(ωt)
2dtdt

(7)

に対する解で γ = 0 として求める必要があります。しかし、大雑把に知ることはできるので、(6) を使ってしまいます。簡単にするために初期条件として

x(t = 0) = 0 ,とすれば

3dx=0dtA=−1F, α=0m Ω20 − Ω2となります。これからx=

F1(cos(Ωt) − cos(Ω0 t))m Ω20 − Ω2

Ω = Ω0 + ϵ として展開すれば (ϵt ≪ 1)cos(Ωt) − cos(Ω0 t) ≃ cos(Ω0 t) − ϵt sin(Ω0 t) − cos(Ω0 t) = −ϵ sin(Ω0 t)となるので

x≃−FϵF Ω0 − ΩF1t sin(Ω0 t) =t sin(Ω0 t) =t sin(Ω0 t)
m Ω20 − Ω2m Ω20 − Ω2m Ω0 + Ω

よって、Ω → Ω0 の極限で t に比例することが分かり、時間が経過するにつれて振幅が大きくなることが分かります。(7) からも同様の結果が出てきます。
今考えている状況は単振り子の運動なので、振幅が時間の経過でどこまでも大きくなるという状況は考えていません。というわけで、物理としての理由からこの解は消えるべきです。そのためには、方程式 (5a) が出てこなければいいと考えることで (右辺が 0 なら同次方程式になる)

2aω1
3a3=0+ω043
ω1 = − ω0 a28という条件を入れればいいです。これによって

a3d2 x1+ x1 =cos 3t′′2dt4の解だけを求めればいいことになります。これも同じように (6) が解なので、x1 (t) = A cos(ωt + α) += A cos(ωt + α) −a3 ω 21cos(3ωt)
24 (ω − 9ω 2 )a3cos(3ωt)
32

第一項は同次の解なので、これで (5b) の解になります。x(t) には初期条件 (3) があるので、それを満たすためにはx1 (t) =a3(cos t′ − cos 3t′ )32とする必要があります。これは x0 (t) が初期条件 (3) を満たしているので (x0 (0) = a)、x1 (t) は初期条件 t = 0 を入れたとき 0 にならないといけないからです。

4

摂動展開による解法は、解の精度 (厳密解にどれだけ近づくか) は ϵ のオーダをあげていくにつれてよくなっていくと期待して、後も同じように ϵ の次のオーダの式に入れて解くというのを繰り返していきます。ここまで求めた状況は (ϵ1 のオーダまで)

x(t) ≃ a cos ωt + ϵ3ω ≃ ω0 − ϵ ω0 a28a3(cos(ωt) − cos(3ωt))323(ω1 = − ω0 a2 )8となっています。ちなみに、ω の ϵ2 のオーダは ϵ2 の式に x0 , x1 を入れれば微分方程式を解かなくても求められます。ϵ2 の式は

d2 x2
ω1 d2 x1
ω12 d2 x0
ω2 d2 x0+2++2+ x2 − 3x20 x1dt′2
ω0 dt′2
ω02 dt′2
ω0 dt′20=d2 x2
ω1 d2 x1
ω 2 d2 x0
ω2 d2 x0+ x2 = − 2− 12 ′2 − 2+ 3x20 x1′2′2dt
ω0 dt
ω0 dt
ω0 dt′2
ω2
ω2
ω1 a33a5(cos t′ − 9 cos 3t′ ) + a 12 cos t′ + 2a cos t′ +cos2 t′ (cos t′ − cos 3t′ )
ω0 16
ω0
ω032

=

=(a3 ω1
ω2
ω2
9a3 ω1
3a5
cos2 t′ (cos t′ − cos 3t′ )+ a 12 + 2a ) cos t′ −cos 3t′ +16 ω0
ω0ω0
16 ω032

第三項はcos2 t′ ( cos t′ − cos(3t′ )) = cos3 t′ − cos2 t′ cos 3t′= cos3 t′ − cos2 t′ cos 3t′= cos3 t′ − cos2 t′ (4 cos3 t′ − 3 cos t′ )= cos3 t′ − 4 cos5 t′ + 3 cos3 t′= 4(cos3 t′ − cos5 t′ )1
1= 4( (3 cos t′ + cos 3t′ ) − (10 cos t′ + 5 cos 3t′ + cos 5t′ ))
4
16
なので(

ω2
ω2
9a3 ω1a3 ω1+a 12 + 2a ) cos t′ −cos(3t′ )
16 ω0
ω0
ω0
16 ω0+=(13a5 1( (3 cos t′ + cos 3t′ ) − (10 cos t′ + 5 cos 3t′ + cos 5t′ ))8 4
16a3 ω1
ω2
ω2
3a5
9a3 ω13a53a5+ a 12 + 2a+) cos t′ − (+) cos(3t′ ) −cos 5t′16 ω0ω0ω064
16 ω0128128

よって ϵ2 のオーダでは

5d2 x2a3 ω1
ω12
ω23a59a3 ω1
3a53a5′′+a+2a+)
cost−(+)
cos(3t)−cos 5t′+x=(2dt′216 ω0ω02ω064
16 ω0128128
これも ϵ1 のオーダでの式と同じ非同次の線形微分方程式です。ここでも第一項は (6) での第二項を作るようになっています。なので、この項が消える条件によって ω2 が

ω2a3 ω1
ω23a5+ a 12 + 2a+=0
16 ω0ω0ω064ω23a4a2
ω1 + 1 + 2ω2 +ω0 = 016ω064
ω23a41 a2ω0 )ω2 = − ( ω1 + 1 +2 16
ω064
1 a2 31 9 2 4 3a4= − (−ω0 a2 +ω a +ω0 )2 16 8
ω0 64 064
3931++ )a4 ω0= − (−2 128 64 64= −21 4a ω0256と求まります。そうすると、ω は ϵ2 のオーダまでで321 4ω ≃ ω0 − ϵ ω0 a2 − ϵ2a ω08256となるのが、方程式を解かなくても分かります。この結果は第１種完全楕円積分を使った厳密解と近似的に一致しています。
このように単振り子を摂動展開によって解いてきましたが、この方法を使うときに注意すべき問題があります。
ここでは x(t), ω を摂動展開して解くときに、単振り子の振る舞いから、時間の経過で振幅が増えていく部分を消すようにしました。しかし、単振り子のことは忘れて単に微分方程式 (簡単にするために ω0 = 1 にして ω が出てこないようにします)

d2 x+ x − ϵx3 = 0dt2
を摂動展開で解こうとすると、解はx(t) ≃ a cos t + ϵa33(cos t − cos 3t) − ϵ a3 t sin t328として出てきます。第三項は大雑把には、ϵ1 のオーダの式

0=d2 x1+ x1 − a3 cos3 tdt2

d2 x1
31+ x1 = − a3 cos t + a3 cos 3tdt244での右辺第一項が、(1) から6(8)313F1t sin(Ω0 t) ⇒ − a3 t sin t = − a3 t sin tm Ω0 + Ω4283(Ω = Ω0 = 1, F = − a3 )4となることで出てきます。
この微分方程式の解として知りたいのは x(t) が t によってどのように振舞うかです。t の範囲は時間だと思えば0 ∼ ∞ に取るので、解は t の 0 ∼ ∞ の範囲に対して意味のあるものでなければいけません。しかし、(8) は3ϵ a3 t sin t8という項のせいで、t → ∞ で発散してしまいます。尚且つ、t が 1/ϵ 程度になれば、この項は ϵ1 のオーダですらなくなります。これは摂動展開が破綻していることを意味していて (ただし ϵt ≪ 1 なら成立している)、このように摂動展開を破綻させる項 (時間の増加によって解を増加させる項) のことを永年項 (secular term) と言います。この項がいると摂動展開が破綻する理由を単純に言えば、摂動展開は ϵ のオーダが低い項の寄与が大きいと考える(期待する) のでO(ϵ) > O(ϵ2 ) > O(ϵ3 ) > · · ·となるべきだからです。例えば、ϵ2 のオーダの項 O(ϵ2 ) に永年項がいると ϵ1 のオーダの項 O(ϵ) よりも大きな寄与になってしまいます。上では永年項を物理的な要請から除外したということです。

7