三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

３．化学装置内における物質移動
３．１

濡れ壁塔

吸収液が塔壁を液膜状に流れており、塔内部を上昇するガス中の溶質成分を吸収させる。多管式に対応できるため、熱交換性能が高い。工業的には、ベンゼンの塩素化やスルホン化、塩酸製造など、発熱量の多い気液反応に用いられる。
ガス側境膜物質移動係数の推算式については、Gilliland & Sherwood の式がある。[文献 1]
kC DT pB,lm

0.023

DAB PTDT u G

0.83

0.44
G

(2000<Re<35000, 0.6<Sc<2.5)

GDAB

G

…(3.1.1)

液側境膜物質移動係数について、擬層流域(4Γ/μL<1000～2000)の場合は、疋田らの式がある。[文献 2]
4( ReL ) c のとき

HL

L

4

1/3

Lg

22.8

L

0.24

( ReL ) c

93.3

1/3

L

L

LD L

2

0.08

L

2

gZ 3
L

0.04

HL

LDL

0.15

…(3.1.2)

2

w

0.5
L
L

gZ 3

L

LD L

4

2.36

L

L

0.38
L

L

Lg

HL

( ReL ) c のとき

0.5

4

L kL

,

w
DT

…(3.1.3)

0.30…(3.1.4)

2w

ただし、HL は液側の移動単位高さ[m]。
乱流域(4Γ/μL>2000)の場合は、亀井らの式がある。[文献 3]
HL
Z

14

0.3

4

0.556
L

L

LD L

L

2

gZ 3
L

2

0.25

HL

L kL

,

w
DT

…(3.1.5)

ただし、DT は液膜厚みを無視した塔内径[m]、DL は液相拡散係数[m2/s]、g は重力加速度[m/s2]、kL は液側
境膜物質移動係数[m/s]、(ReL)c は液膜流れの流動状態が変化する臨界のレイノルズ数、w は液膜の質量流量[kg/s]、Z は塔高[m]、Γ は濡れ辺長あたりの液膜流量[kg/(m･s)]、μL は液粘度[Pa･s]、ρL は液密度[kg/m3]、(σ/σw)は水に対する界面張力の補正項[－]。無次元項 4Γ/μL は液膜流れのレイノルズ数 ReL(=LV/ν)、無次元
項 μL/ρLDL は液相シュミット数 Sc(=ν/D)、無次元項 ρL2gZ3/μL2 はガリレイ数 Ga(=gL3/ν2)。
【計算例(濡れ壁塔)】
多管式濡れ壁塔に 8 vol%のアンモニアガス(密度 1.2 kg/m3, 粘度 18 μPa･s)を濡れ管 1 本(内径 25 mm, 管
長 2000 mm)あたり 6.3 m3/h で向流に流して 1 気圧 20℃の条件下で濡れ管 1 本あたり 36 kg/h で流れる水(密度 1000 kg/m3, 粘度 1 mPa･s)の液膜に吸収させる。塔出口側のアンモニア濃度が 1 vol%のとき、濡れ管 1 本あたりのガス側境膜物質移動係数 kG [mol/(m2･s･Pa)]、液側境膜物質移動係数 kL [m/s]、液側総括物
質移動係数 KL [m/s]、物質移動流束 NA [mol/(m2･s)]、および濡れ管 20 本の場合のガス吸収速度 WA [mol/s]を求めよ。ただし、推算式中の界面張力の補正項は 1、水に対するアンモニアのヘンリー定数は 1.4
Pa/(mol/m3)、空気中におけるアンモニアの気相拡散係数は 2.4×10－5 m2/s、水中におけるアンモニアの液相拡散係数は 2.3×10－9 m2/s である。
1

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

u=Q/S=Q/[π(DT/2)2]=(6.3/3600)/[π(0.025/2)2]=3.5650 m/s
νG=μG/ρG=18×10－6/1.2=1.5×10－5 m2/s
ReG=DTuρG/μG=DTu/νG=(0.025)(3.5650)/(1.5×10－5)=5608.3
ScG=νG/DAB=1.5×10－5/2.4×10－5=0.625
Sh=0.023ReG0.83ScG0.44=(0.023)(5608.3)0.83(0.625)0.44=24.179
yA1=nA1/nT=(pVA1/RT)/(pVT/RT)=VA1/VT=0.08
yA2=nA2/nT=(pVA2/RT)/(pVT/RT)=VA2/VT=0.01
pA1=PTyA1=(1)atm(0.08)=0.08 atm
pA2=PTyA2=(1)atm(0.01)=0.01 atm
pB1=PT－pA1=1－0.08=0.92 atm
pB2=PT－pA2=1－0.01=0.99 atm
pB,lm=(pB1－pB2)/ln(pB1/pB2)=(0.92－0.99)/ln(0.92/0.99)=0.95457
kC=ShDABPT/(DTpB,lm)=(24.179)(2.4×10－5)(1)/[(0.025)(0.95457)]=0.024316 m/s
kG=kC/RT=(0.024316)/[(8.314)(293.15)]=9.9768×10－6 mol/(m2･s･Pa)≒9.98×10－6 mol/(m2･s･Pa)
Γ=wπDT=(36/3600)(0.025)π=7.8539×10－4 kg/(m･s)ReL=4Γ/μL=(4)(7.8539×10－4/0.001)=3.1415(<2000)
νL=μL/ρL=0.001/1000=10－6 m2/s
Ga=ρL2gZ3/μL2=gZ3/νL2=(9.81)(2.000)3/(10－6)2=7.8480×1013
ScL=νL/DL=10－6/2.3×10－9=434.78(ReL)c=93.3ScL－0.24Ga0.08(σ/σw)0.30=(93.3)(434.78)－0.24(7.8480×1013)0.08(1)0.30=280.72(>3.1415)
HL(ρLg/μL)1/3=HL(g/νL)1/3=22.8ReL0.5ScL0.38Ga0.04(σ/σw)0.15=(22.8)(3.1415)0.5(434.78)0.38(7.8480×1013)0.04(1)0.15=1461.6
HL=(1461.6)(g/νL)－1/3=(1461.6)(9.81/10－6)－1/3=6.8276 m
kL=Γ/(HLρL)=(7.8539×10－4)/[(6.8276)(1000)]=1.1503×10－7 m/s≒1.15×10－7 m/s
1/KL=1/kL+1/HkG=(1/1.1503×10－7)+1/[(1.4)(9.9768×10－6)]=8.7649×106 s/m
KL=1/(1/KL)=1/8.7649×106=1.1409×10－7 m/s≒1.14×10－7 m/s
NA=kG(pA1－pA2)=(9.9768×10－3)(0.08－0.01)atm(101325)Pa/atm=0.070762 mmol/(m2･s)≒0.0708 mol/(m2･s)
AT=2π(DT/2)LN=2π(0.025/2)(2.000)(20)=π m2
WA=NAAT=(0.070762)(π)=0.22230 mmol/s≒0.222 mol/s

３．２

充填塔

内部にリング状の人工物や触媒粉体などの充填物を詰めた液分散型の気液分離装置であり、圧力損失が小さく、構造が単純で安価である。気液接触方式は、一般に向流操作が用いられる。塔頂より供給される吸収液は、充填物を濡らしながら流下する。塔底より供給されるガスは、充填物の間隙を通って上昇する。充填物の表面上で気液接触することで、ガス側の目的成分が吸収液側へ物質移動する。吸収液の種類について、回収の成分がアセトンやアンモニアなど水溶性の場合は水、ベンゼンなど油溶性の場
合は鉱油、二酸化炭素や硫化水素など酸性ガスの場合はアルカリ溶液が用いられる。
2

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

ガス側および液側基準の境膜物質移動係数の推算式として、疋田(ひきた)の式または恩田の式がある。
(疋田の式) [文献 4-6]
23

kG pB.lm
GM

G

1.02

GDG

0.35

Dpe G
G (1

Dpe G

適用範囲：

)

G (1

)

100 ~ 50000…(3.2.1)

ラシヒリングの場合 Dpe=1.40Dp、ベルルサドルの場合 Dpe=1.26Dp
kL Dp

4L
C
a L

DL

0.45

0.5
L

L
LDL

2

gDp3
L

1/6

適用範囲：

2

4L
a L

5 0 ~ 1 0 00…(3.2.2)

ラシヒリングの場合 C=0.31、ベルルサドルの場合 C=0.37aat

CL0.455 (1000 )n…(3.2.3)

ラシヒリングの場合 C=2.26, n=－0.091Dp－0.48、ベルルサドルの場合 C=0.768, n=－0.00543Dp－0.98(恩田の式) [文献 7,8]
kG RT
atDG

5.23

G

0.7

13

( at Dp ) 2.0

G

at G

GDG

適用範囲：

G
at G

2 ~ 1000…(3.2.4)

称呼寸法 15 mm(≒0.6 in)以下のラシヒリングとべルルサドルの場合は、5.23 の代わりに 2.0 を用いる。
1/3

kL

aw
at

L
Lg

1 exp

0.0051

1.45

23

L
aw

at

L

LDL

L

0.1

L

1/2
L

at L2
2
Lg

0.05

(at Dp )0.4

0.2

L2
L

適用範囲：

L
aw L

1 ~ 1000…(3.2.5)

0.75
c

at

…(3.2.6)

ただし、at は充填層容積当たりの充填物の全表面積[m2/m3](1 in 磁性ラシヒリングのとき 190 m2/m3, 1 in
ベルルサドルのとき 249 m2/m3)、aw は充填層容積当たりの充填物の濡れ面積[m2/m3](気液接触面積 a に相当)、D は拡散係数[m2/s]、Dp は充填物の称呼寸法[m]、Dpe は充填物の球相当径[m]、g は重力加速度[m/s2]、
G は混合ガス(溶質と同伴ガス)の質量流速[kg/(m2･s)]、L は吸収液(溶質と溶媒)の質量流速[kg/(m2･s)]、Rは気体定数[J/(mol･K)]、ε は空隙率[－](1 in 磁性ラシヒリングのとき 0.74, 1 in ベルルサドルのとき 0.68)、
μ は粘度[Pa･s]、ρ は密度[kg/m3]、σ は吸収液の界面張力[N/m]、σc は充填物材質に対する液の臨界界面張力[N/m](磁製 0.061、鋼製 0.075)、下付き文字の G はガス、L は液。無次元項 μL/ρLDL は液相シュミット
数 ScL(=ν/D)、4L/atμL、G/atμG、L/atμL はレイノルズ数 Re(=LV/ν)に相当、ρL2gDT3/μL2 はガリレイ数 Ga(=gL3/ν2)、
atL2/ρL2g はフルード数 Fr(=V2/gL)に相当、L2/ρLσat はウェーバー数 We(=ρLV2/σ)に相当。
【計算例(充填塔)】
2 mol%のアセトン(分子量 58)を含む空気(分子量 28.8, 密度 1.2 kg/m3, 粘度 18 μPa･s)を 1.2 kg/(m2･s)で充填塔(層高 700 mm, 塔径 70 mm)の塔底より供給し、塔頂より水(密度 1000 kg/m3, 粘度 1 mPa･s, 界面張力
72 mN/m)を液ガス比 2 で向流に流して空気中のアセトンを 1 気圧 25℃の条件下で吸収させる。塔頂ガス
3

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成のアセトン濃度が 0.002 mol%のとき、ガス側境膜物質移動容量係数 kGa [mol/(m2･s･Pa)]、液側境膜物質
移動容量係数 kLa [m/s]、液側総括物質移動容量係数 KLa [m/s]、ガス吸収速度 WA [mol/s]を求めよ。ただし、充填物は 1 in 磁性ラシヒリング、水に対するアセトンのモル分率基準のヘンリー定数は 2.1、空気中におけるアセトンの気相拡散係数は 0.95×10－5 m2/s、水中におけるアセトンの液相拡散係数は 1.2×10－9
m2/s である。
(疋田式)L=(L/G)G=(2)(1.2)=2.4 kg/(m2･s)
Dp=(1)in(2.54)cm/in(0.01)m/cm=0.0254 m
Dpe=1.40Dp=(1.40)(0.0254)=0.03556 m
n=－0.091Dp－0.48=－(0.091)(0.0254)－0.48=－0.53054
a/at=CL0.455(1000σ)n=(2.26)(2.4)0.455[(1000)(0.072)]－0.53054=0.34810
a=(a/at)at=(0.34810)(190)=66.139 m2/m3
ReG=DpeG/μG(1－ε)=(0.03556)(1.2)/[(18×10－6)(1－0.74)]=9117.9
ScG=μG/ρGDG=(18×10－6)/[(1.2)(0.95×10－5)]=1.5789
ShG(=kGpB,lm/GM)=1.02ReG－0.35ScG－2/3=(1.02)(9117.9)－0.35(1.5789)－2/3=0.030931
yav=(y1+y2)/2=(2+0.002)(10－2)/2=0.01001
Mav=MAyav+MB(1－yav)=(58)(0.01001)+(28.8)(1－0.01001)=28.300 g/mol
GM=G/Mav=1.2kg/(m2･s)/0.028300kg/mol=42.402 mol/(m2･s)
pA1=PTyA1=(1)atm(0.02)=0.02 atm
pA2=PTyA2=(1)atm(0.00002)=0.00002 atm
pB1=PT－pA1=1－0.02=0.98 atm
pB2=PT－pA2=1－0.00002=0.99998 atm
pB,lm=(pB1－pB2)/ln(pB1/pB2)=(0.98－0.99998)/ln(0.98/0.99998)=(0.98995)atm(101325)Pa/atm=100306 Pa
kG=ShG(GM/pB,lm)=(0.030931)(42.402/100306)=1.3075×10－5 mol/(m2･s･Pa)
kGa=(1.3075×10－5)(66.139)=8.6476×10－4 mol/(m3･s･Pa)≒8.65×10－4 mol/(m3･s･Pa)
ReL=4L/atμL=(4)(2.4)/[(190)(0.001)]=50.526
ScL=μL/ρLDL=(0.001)/[(1000)(1.2×10－9)]=833.33
Ga=ρL2gDp3/μL2=(1000)2(9.81)(0.0254)3/(0.001)2=1.6075×108
ShL=CReL0.45ScL0.5Ga1/6=(0.31)(50.526)0.45(833.33)0.5(1.6075×108)1/6=1219.1
kL=(ShL)(DL/Dp)=(1219.1)(1.2×10－9/0.0254)=5.7595×10－5 m/s
kLa=(5.7595×10－5)(66.139)=0.0038092 1/s≒3.81×10－3 1/s
CT(=Cav)≒(ρ/M)w=(1000/18×10－3)=55555 mol/m3
H=(PT/CT)m=(101325/55555)(2.1)=3.8301 Pa/(mol/m3)
KLa=1/[(1/kLa)+(1/HkGa)]=1/[(1/0.0038092)+(1/3.8301)(1/8.6476×10－4)]=0.0017716 1/s≒1.77×10－3 1/s
NV=KLa(C1－C2)=KLaCT(x1－x2)=(0.0017716)(55555)(2－0.002)(10－2)=1.9664 mol/(m3･s)
Vb=π(DT/2)2Z=π(0.07/2)2(0.7)=0.0026939 m3
WA=NVVb=(1.9664)(0.0026939)=0.0052972 mol/s≒5.30 mmol/s(恩田式)L=(L/G)G=(2)(1.2)=2.4 kg/(m2･s)
ReL=L/atμL=(2.4)/[(190)(0.001)]=12.631
4

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

Fr=atL2/ρL2g=(190)(2.4)2/[(1000)2(9.81)]=1.1155×10－4
We=L2/ρLσat=(2.4)2/[(1000)(0.072)(190)]=4.2105×10－4
aw/at=1－exp[－1.45ReL0.1Fr－0.05We0.2(σc/σ)0.75]=1－exp[－(1.45)(12.631)0.1(1.1155×10－4)－0.05(4.2105×10－4)0.2(0.061/0.072)0.75]=0.42278
aw=(aw/at)at=(0.42278)(190)=80.328 m2/m3
ReG=G/atμG=(1.2)/[(190)(18×10－6)]=350.87
ScG=μG/ρGDG=(18×10－6)/[(1.2)(0.95×10－5)]=0.15789
atDp=(190)(1)in(2.54)cm/in(0.01)m/cm=4.8260
ShG(=kGRT/atDG)=5.23ReG0.7ScG1/3(atDp)－2.0=(5.23)(350.87)0.7(0.15789)1/3(4.8260)－2.0=7.3403
kG=Sh(atDG/RT)=(7.3403)(190)(0.95×10－5)/[(8.314)(298.15)]=5.3449×10－6 mol/(m2･s･Pa)
kGa=kGaw=(5.3449×10－6)(80.328)=4.2934×10－4 mol/(m3･s･Pa)≒4.29×10－4 mol/(m3･s･Pa)
ScL=μL/ρLDL=(0.001)/[(1000)(1.2×10－9)]=833.33
ShL(=kL(ρL/μLg)1/3)=0.0051ReL2/3ScL－1/2(atDp)0.4=(0.0051)(12.631)2/3(833.33)－1/2(4.8260)0.4=0.0017984
kL=(ShL)(ρL/μLg)－1/3=(0.0017984)[1000/(0.001)(9.81)]－1/3=3.8498×10－5 m/s
kLa=kLaw=(3.8498×10－5)(80.328)=0.0030924 1/s≒3.09×10－3 1/s
CT(=Cav)≒(ρ/M)w=(1000/18×10－3)=55555 mol/m3
H=(PT/CT)m=(101325/55555)(2.1)=3.8301 Pa/(mol/m3)
KLa=1/[(1/kLa)+(1/HkGa)]=1/[(1/0.0030924)+(1/3.8301)(1/0.00042934)]=0.0010735 1/s≒1.07×10－3 1/s
NV=KLa(C1－C2)=KLaCT(x1－x2)=(0.0010735)(55555)(2－0.002)(10－2)=1.1915 mol/(m3･s)
Vb=π(DT/2)2Z=π(0.07/2)2(0.7)=0.0026939 m3
WA=NVVb=(1.1915)(0.0026939)=0.0032097 mol/s≒3.21 mmol/s

３．３

気泡塔

ガスを液中に分散させて吸収や反応を行わせる。構造が単純であるため安価であるのと熱の供給・除去が容易であるが、圧力損失が大きい。空気吹込みによる酸化反応や微生物反応に用いられる。気相抵
抗は液相抵抗と比較して十分に小さいため、総括抵抗は液相抵抗に近似される。
液側境膜容量係数および液側境膜物質移動係数の推算式については、秋田・吉田の式がある。[文献 9,10]
0.5

k L aDT 2
DL

aDT

d vs
DT

0.5
1
3

26

2

0.62
L

2

LD L
L

L gd vs

2

3/8
L

LD L
L gDT

2

2

2

0.5
L

2

gDT 3

0.50
L

2

2

gDT 3
L

2

0.31
g

2

gd vs 3
L

L

L gDT

gDT 3
L

1/ 2

k L d vs
DL

L gDT

L

0.6

2

1.1

(kLa の推算式) …(3.3.1)

1/ 4(kL の推算式)…(3.3.2)

0.1
g

1.13

0.12

(a の推算式)

uG…(3.3.3)

0.12(dvs の推算式)

gDT

5…(3.3.4)

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

g

(1

g)

4

0.2

L gDT

2

1/8
L

2

gDT 3
L

1/12

uG

2

(εg の推算式)

gDT…(3.3.5)

ただし、a は気液接触面積[m2/m3]、dvs は気泡径(体面積平均径)[m]、DT は塔径[m]、DL は液相拡散係数[m2/s]、g は重力加速度[m/s2]、kL は液側境膜物質移動係数[m/s]、uG はガス流速[m/s]、εg はガスホールド
アップ[－]、μL は液粘度[Pa･s]、ρL は液密度[kg/m3]、σ は界面張力[N/m]。無次元項 μL/ρLDL は液相シュミ
ット数 ScL(=ν/D)、ρLgDT2/σ はボンド数 Bo(=ρgL2/σ)、ρL2gDT3/μL2 はガリレイ数 Ga(=gL3/ν2)、uG/(gDT)1/2 は
フルード数 Fr(=V2/gL)。
【計算例(気泡塔)】
塔径 200 mm の標準気泡塔に水(密度 1000 kg/m3, 粘度 1 mPa･s, 界面張力 72 mN/m)を 0.1 m3 仕込み、空気を 10.8 m3/h で吹き込んで 1 気圧 25℃の条件下で酸素を回分吸収させる。液側総括物質移動容量係数
KLa [1/s]、最大酸素吸収速度 NA,max [mmol/s]を求めよ。ただし、水中における飽和酸素濃度は 0.263 mol/m3、
液相拡散係数は 2.1×10－9 m2/s である。総括抵抗は、液相抵抗に近似できるものとする。
uG=(10.8/3600)/[π(0.200/2)2]=0.095492 m/s
νL=μL/ρL=0.001/1000=10－6 m2/s
ScL=νL/DL=10－6/2.1×10－9=476.19
Bo=ρLgDT2/σ=(1000)(9.81)(0.200)2/(0.072)=5450
Ga=ρLgDT3/μL2 =gDT3/νL2=(9.81)(0.200)3/(10－6)2=7.8480×1010
Fr=uG/(gDT)1/2=(0.095492)/[(9.81)(0.200)]1/2=0.068173
εg/(1－εg)4=0.2Bo1/8Ga1/12Fr=(0.2)(5450)1/8(7.8480×1010)1/12(0.068173)=0.32328
εg=0.16054(数値解)
Sh=0.6ScL0.5Bo0.62Ga0.31εg 1.1=(0.6)(476.19)0.5(5450)0.62(7.8480×1010)0.31(0.16054)1.1=865215
KLa≒kLa=ShDL/DT2=(865215)(2.1×10－9)/(0.200)2=0.045423 s－1≒0.0454 s－1
NV,max=KLa(C*－C)=(0.045423)(0.263－0)=0.011946 mol/(m3･s)
VM=V/(1－εg)=0.1/(1－0.16054)=0.11912 m3
NA,max=NV,maxVM=(0.011946)(0.11912)=0.0014230 mol/s≒1.42 mmol/s

３．４

気泡撹拌槽

ガス分散器と撹拌によりガスを液中に分散させて吸収や反応を行わせる。ガスの種類が空気の場合を通気撹拌といい、酸化反応や微生物反応に用いられる。吸収性能は高いが圧力損失が大きい。気相抵抗
は液相抵抗と比較して十分に小さいため、総括抵抗は液相抵抗に近似される。
液側境膜物質移動容量係数の推算式として、八木・吉田の式がある。[文献 11]
kL ad 2
DL

0.060

L nd
L

2

1.5

0.5
L
LDL

n2 d
g

0.19

LU g

0.6

nd
Ug

0.32

…(3.4.1)

ただし、d は撹拌翼径[m]、n は撹拌回転数[1/s]、Ug はガス空塔速度[m/s]、σ は界面張力[N/m]。無次元項6

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

kLad2/DL はシャーウッド数 Sh(=kL/D)、nd2ρL/μL はレイノルズ数 Re(=Lu/ν)、μL/ρLDL は液相シュミット数
ScL(=ν/D)、n2d/g はフルード数 Fr(=V2/gL)、μLUg/σ はウェーバー数 We(=ρLV2/σ)。
非ニュートン流体の場合は、各項の粘度 μ を見かけの粘度 μ*に変更する。
推算式の多くは、液体積あたり通気撹拌所要動力 Pg/V [W/m3]とガス空塔速度 Ug [m/s](=通気量 Qg/装置断面積 S)のべき乗の積で報告されている。Van’t Riet の式を以下に示す。[文献 12]kL a(空気－水系)

0.026

Pg

U g0.5 …(3.4.2)

V

kL a

(空気－電解質溶液系)

0.4

0.002

Pg

0.7

V

U g0.2…(3.4.3)

ただし、Pg は通気時撹拌所要動力[W]、Ug はガス空塔速度[m/s]、V は無通気時液体積[m3]。
空気－水系では気泡の分散と合一が容易に起こり、空気－電解質溶液系では気泡の合一が起こりにくい。
通気時撹拌所要動力 Pg の推算には、Calderbank の式が簡便である。[文献 13]

Pg
P
Pg
P

0.62 1.85NA

P Np n3d 5
NA(NA 0.035)

1 12.6 N A

Qg
nd 3

…(3.4.4)(NA 0.035)…(3.4.5)…(3.4.6)…(3.4.7)

ただし、d は撹拌翼径[m]、n は撹拌回転数[1/s]、NA は通気数[－]、Np は動力数[－](タービン翼のとき 6、パドル翼のとき 1.7、プロペラ翼のとき 0.32)、P は無通気時撹拌所要動力[W]、Qg は通気量[m3/s]、ρ は液
密度[kg/m3]。
単位体積当たりの通気量 Qg [m3/min]/V [m3]を通気速度 Qg/V [vvm] (gas volume per liquid volume perminute)といい、1 分間に液体積の何倍の空気が吹き込まれるかを表す。通気数 NA は、吐出流量に対する通気量の比を表している。値が大きいほど通気支配(望ましくない)に近づき、小さいほど撹拌支配(望ましい)に近づく。気泡の分散を良好にするには、通気量を抑えるか、あるいは撹拌速度を大きく取ることが推奨される。
気液接触界面積 a [m2/m3]については、Calderbank & Moo-Young の式が簡便である。[文献 14](空気－水系)a0.55(空気－電解質溶液系)

Pg
V

0.4

U g0.5

a 0.15Pg
V…(3.4.8)

0.7

U g0.3…(3.4.9)

ガスホールドアップ εg [－]については、タービン翼に関する Sensel の式がある。[文献 15]7

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

g

0.105

Qg

nd 2

0.1

nd 3

n2d
g

0.5

…(3.4.10)【計算例(気泡撹拌槽)】
邪魔板付き平底円筒槽(槽径 1000 mm)に水(密度 1000 kg/m3, 粘度 1 mPa･s, 界面張力 72 mN/m)を槽径と同じ液深となるように仕込み、タービン翼による撹拌条件下(翼径 500 mm, 撹拌速度 120 rpm)、空気を
1.5 vvm で吹き込んで 1 気圧 25℃の条件下で酸素を回分吸収させる。液側総括物質移動容量係数 KLa[1/s]、最大酸素吸収速度 WA,max [mmol/s]を求めよ。ただし、水中における飽和酸素濃度は 0.263 mol/m3、
液相拡散係数は 2.1×10－9 m2/s である。総括抵抗は、液相抵抗に近似できるものとする。
(八木・吉田式)S=π(DT/2)2=π(1.000/2)2=0.78539 m2
V=SH=(0.78539)(1.000)=0.78539 m3
Qg=(Qg/V)vvmVm3=(1.5)1/min(0.78539)m3=(1.1780)m3/min(1/60)min/s=0.019633 m3/s
Ug=Qg/S=0.019633/0.78539=0.024997 m/s
νL=μL/ρL=0.001/1000=10－6 m2/s
Re=ρnd2/μ=nd2/ν=(120/60)(0.500)2/(10－6)= 5×105
ScL=νL/DL=10－6/2.1×10－9=476.19
Fr=n2d/g=(120/60)2(0.500)/(9.81)=0.20387
We=μLUg/σ=(0.001)(0.024997)/(0.072)=0.00034718
nd/Ug=(120/60)(0.500)/(0.024997)=40.004
Sh(=kLad2/DL)=0.060Re1.5ScL0.5Fr0.19We0.6(nd/Ug)0.32=(0.060)(5×105)1.5(476.19)0.5(0.20387)0.19(0.00034718)0.6(40.004)0.32=9.3600×106
kLa=Sh(DL/d2)=(9.3600×106)(2.1×10－9)/(0.500)2=0.078624 1/s
KLa≒kLa=0.078624 s－1≒0.0786 s－1
NV,max=KLa(C*－C)=(0.078624)(0.263－0)=0.020678 mol/(m3･s)
NA=Qg/nd3=(0.019633)/[(120/60)(0.500)3]=0.078532
εg=0.105NARe0.1Fr0.5=(0.105)(0.078532)(5×105)0.1(0.20387)0.5=0.013829
VM=V/(1－εg)=0.78539/(1－0.013829)=0.79640 m3
WA,max=NV,maxVM=(0.020678)(0.79640)=0.016467 mol/s≒16.5 mmol/s(Van’t Riet 式)S=π(DT/2)2=π(1.000/2)2=0.78539 m2
V=SH=(0.78539)(1.000)=0.78539 m3
Qg=(Qg/V)vvmVm3=(1.5)1/min(0.78539)m3=(1.1780)m3/min(1/60)min/s=0.019633 m3/s
Ug=Qg/S=0.019633/0.78539=0.024997 m/s
P=Npρn3d5=(6)(1000)(120/60)3(0.500)5=1500 W
NA=Qg/nd3=(0.019633)/[(120/60)(0.500)3]=0.078532(>0.035)
Pg/P=0.62－1.85NA=0.62－(1.85)(0.078532)=0.47471
Pg=(Pg/P)P=(0.47471)(1500)=712.06 W
Pg/V=712.06/0.78539=906.63 W/m3
8

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kLa=0.026(Pg/V)0.4Ug0.5=(0.026)(906.63)0.4(0.024997)0.5=0.062645 s－1
KLa≒kLa=0.062645 s－1≒0.0626 s－1
NV,max=KLa(C*－C)=(0.062645)(0.263－0)=0.016475 mol/(m3･s)
Re=ρnd2/μ=(1000)(120/60)(0.500)2/(0.001)=500000
Fr=n2d/g=(120/60)2(0.500)/(9.81)=0.20387
εg=0.105NARe0.1Fr0.5=(0.105)(0.078532)(500000)0.1(0.20387)0.5=0.013829
VM=V/(1－εg)=0.78539/(1－0.013829)=0.79640 m3
WA,max=NV,maxVM=(0.016475)(0.79640)=0.013120 mol/s≒13.1 mmol/s

３．５

スプレー塔

多孔板型の分散器により液滴分散させた分散相と連続相を塔内で向流接触させ、抽出液と抽残液に分離する。多孔板の孔は、突起状になっており、ノズルの役割を果たす。構造が単純な液液抽出装置であり安価だが、単一段での接触操作となることから、段効率は良くない。
分散相側境膜物質移動係数 kD [m/s]の推算式は、連続相側の滴レイノルズ数 ReC に依存する。
ReC<40 の場合(剛体球)、滴内循環流は存在しない。滴内平均濃度 CAm [mol/m3]の時間変化に関する厳密式は、Newman の式で与えられる。[文献 16]
C A0
C A0

C Am
=1
CA *

6
2

4n2

1
exp
2
n
n 1

2

DD

…(3.5.1)

dp2

上式に対する近似式として、Vermeulen(ベルミュレン)の式がある。[文献 17]
C A0
C A0

C Am
= 1 exp
CA *

4

2

DD

…(3.5.2)

dp2

分散相側の物質移動速度 NAm [mol/s]は、次式のように導かれる。
N Am

V

d C Am
= k D S (C Am
dt

d C Am6=k D (C Am
dt
dp
C Am
C A0

d C Am6=
k D dt0
C Am C A * d p
C Amln(C AmC A *) C =

C Am
C A0

CA *
(C
= ln A0
CA *

ln

C A0
C A0

C A *)

A0

C Am
CA *

1 exp

6kD
dp
C A *)
C A0

6 kD
dp

C A *)…(3.5.3)SV

4 (dp /2)2 N
3(4 /3)(dp /2) N6
dp…(3.5.4)…(3.5.5)…(3.5.6)
(C A0
CA *

C Am )C A0
C A0= ln 1…(3.5.8)

滴内平均濃度の時間変化式と比較する。
9

C Am
CA *

6kD
dp

…(3.5.7)

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

1 exp

6 kD
dp

6kD
dp

ln 1

1 exp

ln 1

1 exp

dp

kD

kD

6

dp

dp
6(l u t )DD

kD d p

dp

DD

6l

ln 1

(ReC<40; 剛体球)

2

4

1 exp

DD

…(3.5.9)

dp2

2

4

DD
dp2

4

2

…(3.5.10)

DD…(3.5.11)

dp2

ln 1

4

1 exp

dp

ShD =

2

DD ( l u t )

dp

2

DD

dp

(l d p )d put

d p u t DD

DD

ln 1

6l

2

4

1 exp

4

1 exp

…(3.5.12)…(3.5.13)

2(l d p )

PeD

PeD

ShD

kD d p
DD

, PeD

d put
DD

…(3.5.14)

十分に長い時間が経過した後は、Traybal の定数式を用いる。[文献 18]
ShD≒6.6 …(3.5.15)
40<ReC<250 の場合(層流循環滴)、滴内循環流が存在する。滴内平均濃度 CAm [mol/m3]の時間変化に関する厳密式は、Kronig & Brink の式で与えられる。[文献 19]
C A0
C A0

C Am
=1
CA *

64 n DD3
B n 2 exp
8 n 1

dp2

…(3.5.16)

上式に対する近似式として、Calderbank & Korchinski の式がある。[文献 20]
C A0
C A0

C Am
= 1 exp
CA *

9

2

DD

dp2

…(3.5.17)

上と同じ手順にしたがい、次式が導かれる。
(40<ReC<250; 層流循環滴)

ShD =

dp
6l

ln 1

1 exp

9

2

(l d p )PeD

PeD…(3.5.18)

十分に長い時間が経過した後は、Calderbank & Korchinski の定数式を用いる。[文献 20]
ShD≒17.9 …(3.5.19)
250<ReC<460 の場合(乱流循環滴)、滴内循環流によって界面が更新されるとする Handlos & Baron の式を用いる。[文献 21](250<ReC<460; 乱流循環滴)ShD =0.00375PeD
1 ( D C)…(3.5.20)

10

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

500<ReC の場合(振動滴)、滴内は振動状態にある。Skelland & Wellek の式を用いる。[文献 22](500<ReC; 振動滴)

0.14

PeD

ShD = 0.264

3

ReC 0.68

g

C

C

2

0.10

…(3.5.21)4

ただし、dp は液滴径[m]、l は液滴の移動距離[m](=utτ)、PeD はぺクレ数(=dput/DD)、滴 ReC はレイノルズ数(=dputρC/μC)、ShD はシャーウッド数(=kDdp/DD)、ut は液滴の終末速度[m/s]、τ は液相間の接触時間[s](=VM D/QD)、Δρ は分散相と連続相の密度差[kg/m3]、σ は界面張力[N/m]、添え字 C は連続相、添え字 Dは分散相。
滴レイノルズ数 ReC と終末速度 ut は、抵抗係数 CD に関する Hu & Kintner の式より求める。[文献 23]
C DWeP 0.15 =(dp>dpc; 振動滴)C DWeP 0.15 = 0.045(振動開始臨界径)d pc = 7.19

4 gd pCD

3u t

d put 2

, We

2

C

,P

C

1.275

4 ReC
3 P 0.15(dp<dpc; 非振動滴)

C

g

2

C

4

2.37

ReC

…(3.5.23)

0.75

P 0.15

P 0.15g…(3.5.22)

0.75…(3.5.24)

3

, ReC

d put

C

C

液滴径 dp [m]と液柱径 dJ [m]の推算には、Christiansen & Hixson の式を用いる。[文献 24]
dp
dN

1.92

dJ
dN

…(3.5.25)
Δ gd N 2

Δ gd N 2

0.616…(3.5.26)

Δ gd N2

Δ gd N 2

0.616…(3.5.27)

dN
dJ

1 0.485

dN
dJ

0.12 1.51

ただし、dJ は分散器ノズルから噴出される液柱の直径[m]、dN は分散器ノズルの孔径[m]、無次元項 ρgdN2/σは、ボンド数 Bo(=ρgL2/σ)。
液相接触界面積 a [m2/m3]は、混合液体積(装置容積相当)に対する両相間の接触面積の比で定義される。

4 (d p /2)2 N

S
VM

a

3

(4 /3)(d p /2) N

D

6 D
dp

…(3.5.28)

分散相ホールドアップ D は、次式より求める。

uC

uD
D

1

V0 (1

D)

…(3.5.29)

D

ただし、u は空塔速度[m/s]、V0 は特性速度[m/s]。
スプレー塔および多孔板塔の特性速度 V0 [m/s]は、次式で与えられる。
V0

0.0268d p 2 Δ gu N 0.64
C

0.19

d N 0.74…(3.5.30)
11

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

ノズル流速 uN [m/s]は、液滴の比表面積が極大となる最適流速 uM [m/s]を用いる。[文献 24]uMd2.69 JdN

2

dJ
0.5137 D 0.4719 C[ uN ]…(3.5.31)

連続相側境膜物質移動係数 kC [m/s]の推算式については、数多くの報告例がある。[文献 25,26]
ReC<40 の場合(剛体球)、Ranz-Marshall の式を用いる。[文献 27]

ShC

2 0.6ReC1/2 ScC1/3…(3.5.32)

40<ReC<460 の場合(層流および乱流循環滴)、Garner らの式を用いる。[文献 28]

ShC

126 1.8ReC1/2 ScC0.42…(3.5.33)

500<ReC の場合(振動滴)、Garner & Tayeban の式を用いる。[文献 29]

ShC

50 0.0085ReC ScC0.7…(3.5.34)【計算例(スプレー塔)】
10 mol%の酢酸(分子量 60)を含むイソプロピルエーテル(分散相; 密度 740 kg/m3、粘度 0.35 mPa･s、流量
1 t/h)と水(連続相; 密度 1000 kg/m3、粘度 1 mPa･s、流量 1 t/h)をスプレー塔内(塔径 500 mm、液高 5 m)で向流に流してエーテル相から水相へ酢酸を連続抽出させる。塔出口側のエーテル中の酢酸濃度が 1 mol%のとき、分散側境膜物質移動容量係数 kDa [1/s]、連続相側境膜物質移動容量係数 kCa [1/s]、分散相側総括
物質移動容量係数 KODa [1/s]、液液抽出速度 WA [mol/s]を求めよ。ただし、分散器のノズル孔径は 3 mm、抽剤相(E)濃度に対する抽料相(R)濃度の分配係数は 0.35、界面張力は 12 mN/m、イソプロピルエーテルの分子量は 102、水中における酢酸の液相拡散係数は 1.2×10－9 m2/s、イソプロピルエーテル中における酢酸の液相拡散係数は 0.7×10－9 m2/s である。
(dp の計算) ρ=1000－740=260 kg/m3
Bo= ρgdN2/σ=(260)(9.81)(0.003)2/(0.012)=1.9129(>0.616)
dN/dJ=0.12+1.51Bo0.5=0.12+(1.5)(1.9129)0.5=2.2084
dJ=dN/(dN/dJ)=0.003/2.2084=0.0013584 m≒1.36 mm
dp=1.92dJ=(1.92)(0.0013584)=0.0026081 m≒2.61 mm(ReC および ut の計算)P=ρC2σ3/(gμC4Δρ)=(1000)2(0.012)3/[(9.81)(0.001)4(260)]=6.7748×108
dpc=(7.19)(σ/g ρP0.15)0.5=(7.19)[(0.012)/(9.81)(260)(6.7748×108)0.15]0.5=0.0033937 m(≒3.39 mm)(>dp)
CDWeP0.15=(4gdpΔρ/3ut2ρC)(dput2ρC/σ)P0.15=(4/3)(gdp2Δρ/σ)P0.15=(4/3)[(9.81)(0.0026081)2(260)/(0.012)](6.7748×108)0.15=40.708
CDWeP0.15=0.045(ReC/P0.15+0.75)2.37
ReC=P0.15[(CDWeP0.15/0.045)1/2.37－0.75]=(6.7748×108)0.15[(40.708/0.045)1/2.37－0.75]=134.40≒134
νC=μC/ρC=0.001/1000=10－6 m2/s
ut=ReC(νC/dp)=(134.40)(10－6/2.6081×10－3)=0.051531 m/s≒0.0515 m/s(V0 の計算)uN(=uM)=2.69(dJ/dN)2[(σ/dJ)/(0.5137ρD+0.4719ρC)]0.5
12

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成=(2.69)(1/2.2084)2[(0.012/0.0013584)/{(0.5137)(740)+(0.4719)(1000)}]0.5=0.056162 m/s
V0=0.0268dp2ΔρguN0.64/(μC0.19 dN0.74)=(0.0268)(0.0026081)2(260)(9.81)(0.056162)0.64/[(0.001)0.19(0.003)0.74]=0.020137 m/s≒0.0201 m/s( D および a の計算)uD/ D+uC/(1－ D)=V0(1－ D)
uDS/ D+uCS/(1－ D)=V0S(1－ D)
QD/ D+QC/(1－ D)=V0S(1－ D)(wD/ρD)/ D+(wC/ρC)/(1－ D)=V0S(1－ D)[(1000/3600)/740]/ D+[(1000/3600)/1000]/(1－ D)=(0.020137π)(0.500/2)2(1－ D)(1/2664)/ D+(1/3600)/(1－ D)=(0.0039538)(1－ D)
D=0.11839≒0.118(数値解)a=6 D/dp=(6)(0.11839/0.0026081)=272.35 m2/m3≒272 m2/m3(kDa の計算)ShD≒17.9 (十分な時間経過後を仮定)
kD=ShD(DD/dp)=(17.9)(0.7×10－9/0.0026081)=4.8042×10－6 m/s≒4.80×10－6 m/s
kDa=(4.8042×10－6)(272.35)=0.0013084 1/s≒0.00131 1/s(kCa の計算)ScC=νC/DC=10－6/1.2×10－9=833.33
ShC=－126+1.8ReC1/2ScC0.42=－126+(1.8)(134.40)1/2(833.33)0.42=225.73
kC=ShC(DC/dp)=(225.73)(1.2×10－9/0.0026081)=1.0385×10－4 m/s
kCa=(1.0385×10－4)(272.35)=0.028283 1/s≒0.0283 1/s(KODa の計算)1/KODa=1/kDa+m/kCa=(1/0.0013084)+(0.35/0.028283)=776.66 s
KODa=0.0012875 1/s≒0.00129 1/s(WA の計算)Mav,1=(0.10)(60)+(0.90)(102)=97.8
Mav,2=(0.01)(60)+(0.99)(102)=101.58
Cav=ρD/Mav=[(ρD/Mav,1)+ (ρD/Mav,2)]/2=[(740/0.0978)+ (740/0.10158)]/2=7425.6 mol/m3
NV=KODa(CD－CD*)=KODaCav(xD－xD*)=(0.0012875)(7425.6)(0.10－0.01)=0.86044 mol/(m3･s)
VM=SH=π(0.500/2)2(5)=0.98174 m3
WA= NVVM=(0.86044)(0.98174)=0.95809 mol/s≒0.958 mol/s

３．６

抽出撹拌槽

原料と抽出剤を混合槽(ミキサ)に供給して撹拌した後、分離槽(セトラ)で静置して抽出液と抽残液に分離する。汎用の液液抽出装置であり、液の分散度や段効率が高い点が長所である反面、床面積が大きい
ことや運転費が高い点が短所である。ここではミキサの物質移動特性を扱う。
分散相側境膜物質移動係数 kD [m/s]の推算には、スプレー塔と同じ式を用いる。
分散相のホールドアップ D [－]は、液滴が均一に分散されている条件下において次式で表される。
D

QD
QC QD

P
g (QC

QD )

1000

…(3.6.1)

ただし、g は重力加速度[m/s2]、P は撹拌所要動力[W]、Q は流量[m3/s]、添え字 C は連続相、D は分散相。
撹拌所要動力 P [W]は、次式で与えられる。
13

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

N p M n3 d 5

P

C (1

M

…(3.6.2)
D)…(3.6.3)

D D

ただし、d は撹拌翼径[m]、n は撹拌速度[1/s]、Np は動力数[－](タービン翼のとき 6、パドル翼のとき 1.7、プロペラ翼のとき 0.32)、ρM は混合液密度[kg/m3]
液滴径 dp [m]は、液相接触界面積 a [m2/m3]の式より求める。

4 (d p /2)2 N

S
VM

a

3

(4 /3)(d p /2) N

6 D
a

dp

6 D
dp

D

…(3.6.4)…(3.6.5)

気液接触界面積 a [m2/m3]は、以下の推算式で与えられる。[文献 30](パドル翼;

D<0.2)a100 DWe 0.6(1 3.75 D ) d…(3.6.6)(パドル翼;

D>0.2)

a25.4 D 0.5We 0.6
d…(3.6.7)a

100 DWe0.6(1 9 D ) d

a

212
d

(タービン翼)(プロペラ翼)C nd…(3.6.8)
2

C

C

2

C

0.56

0.25

Δ

d

0.27
C

C

D

d
DT

1.21
D

0.32

…(3.6.9)

ただし、d は撹拌翼径[m]、DT は槽径[m]、We は撹拌ウェーバー数(=ρCn2d3/σ)、 D は分散相のホールドア
ップ [－]、σ は界面張力[N/m]。
連続操作における平均滞留時間 τ [s]は、次式を用いる。
VM D
QD

VM

VM
QC QD

DT 2 H
4

D

QD
QC QD

…(3.6.10)…(3.6.11)

ただし、H は液深[m]、VM は混合液体積[m3]。
連続相側境膜物質移動係数 kC [m/s]の推算には、Skelland & Moeti の式を用いる。[文献 31]
kC d pDC= 1.237 10

5

2
C nd
C

2/3

1/3
C
CDC

n2 d
g

5/12

D gd p

2

5/4

d
dp

2

dp
DT

1/2
D

1/2

…(3.6.12)

無次元項 ρDgdp2/σ は、ボンド数 Bo(=ρgL2/σ)。
【計算例(抽出撹拌槽)】
10 mol%の酢酸(分子量 60)を含むイソプロピルエーテル(分散相; 密度 740 kg/m3、粘度 0.35 mPa･s、流量36 t/h)と水(連続相; 密度 1000 kg/m3、粘度 1 mPa･s、流量 36 t/h)を抽出撹拌槽(槽径 800 mm、液深 800 mm)
でエーテル相から水相へ酢酸を連続抽出させる。装置出口側のエーテル中の酢酸濃度が 1 mol%のとき、
14

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

分散側境膜物質移動容量係数 kDa [1/s]、連続相側境膜物質移動容量係数 kCa [1/s]、分散相側総括物質移動
容量係数 KODa [1/s]、液液抽出速度 WA [mol/s]を求めよ。ただし、撹拌翼はタービン翼(翼径 400 mm)、撹
拌速度は 120 rpm、抽剤相(E)濃度に対する抽料相(R)濃度の分配係数は 0.35、界面張力は 12 mN/m、イソプロピルエーテルの分子量は 102、水中における酢酸の液相拡散係数は 1.2×10－9 m2/s、イソプロピルエ
ーテル中における酢酸の液相拡散係数は 0.7×10－9 m2/s である。
( D の計算)QC=(36000/3600)/1000=0.01 m3/s
QD=(36000/3600)/740=0.013513 m3/s
D=QD/(QC+QD)=0.013513/(0.01+0.013513)=0.57470≒0.575

ρM=ρC(1－ D)+ρD D=(1000)(1－0.57470)+(740)(0.57470)=850.57 kg/m3≒850 kg/m3
P=NpρMn3d5=(6)(850.57)(120/60)3(0.400)5=418.07 W
P/[g(QC+QD)]=418.07/[(9.81)(0.01+0.013513)]=1812.4 kg/m2(>1000)(a および dp の計算)We=ρCn2d3/σ=(1000)(120/60)2(0.400)3/(0.012)=21333
a=100 DWe0.6/(1+9 D)d=(100)(0.57470)(21333)0.6/[{1+(9)(0.57470)}(0.400)]=9212.2 m2/m3≒9212 m2/m3
dp=6 D/a=(6)(0.57470)/(9212.2)=0.00037430 m≒0.374 mm(ReC の計算) ρ=1000－740=260 kg/m3
P=ρC2σ3/(gμC4Δρ)=(1000)2(0.012)3/[(9.81)(0.001)4(260)]=6.7748×108
dpc=(7.19)(σ/g ρP0.15)0.5=(7.19)[(0.012)/(9.81)(260)(6.7748×108)0.15]0.5=0.0033937 m(≒3.39 mm)(>dp)
CDWeP0.15=(4gdpΔρ/3ut2ρC)(dput2ρC/σ)P0.15=(4/3)(gdp2Δρ/σ)P0.15=(4/3)[(9.81)(0.00037430)2(260)/(0.012)](6.7748×108)0.15=0.83844
CDWeP0.15=0.045(ReC/P0.15+0.75)2.37
ReC=P0.15[(CDWeP0.15/0.045)1/2.37－0.75]=(6.7748×108)0.15[(0.83844/0.045)1/2.37－0.75]=56.707≒56.7(kDa の計算)ShD≒17.9 (十分な時間経過後を仮定)
kD=ShD(DD/dp)=(17.9)(0.7×10－9/3.7430×10－4)=0.33475×10－6 m/s≒0.335×10－6 m/s
kDa=(0.33475×10－6)(9212.2)=0.0030837 1/s≒0.00308 1/s(kCa の計算)νC=μC/ρC=0.001/1000=10－6 m2/s
ReC=ρCnd2/μC=nd2/νC=(120/60)(0.400)2/10－6=320000
ScC=νC/DC=10－6/1.2×10－9=833.33
Fr=n2d/g=(120/60)2(0.400)/(9.81)=0.16309
Bo=ρDgdp2/σ=(740)(9.81)(0.00037430)2/(0.012)=0.084753
d/dp=0.400/0.00037430=1068.6
dp/DT=0.00037430/0.800=4.6787×10－4
ShC=1.237×10－5ReC2/3ScC1/3Fr5/12Bo5/4(d/dp)2(dp/DT)1/2 D－1/2=1.237×10－5(320000)2/3(833.33)1/3(0.16309)5/12(0.084753)5/4(1068.6)2(4.6787×10－4)1/2 0.57470 －1/2=381.14
kC=ShC(DC/dp)=(381.14)(1.2×10－9/0.00037430)=0.0012219 m/s
kCa=(0.0012219)(9212.2)=11.256 1/s≒11.2 1/s(KODa の計算)1/KODa=1/kDa+m/kCa=(1/0.0030837)+(0.35/11.256)=324.31 s
KODa=0.0030834 1/s≒0.00308 1/s(WA の計算)Mav,1=(0.10)(60)+(0.90)(102)=97.8
15

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

Mav,2=(0.01)(60)+(0.99)(102)=101.58
Cav=ρD/Mav=[(ρD/Mav,1)+ (ρD/Mav,2)]/2=[(740/0.0978)+ (740/0.10158)]/2=7425.6 mol/m3
NV=KODa(CD－CD*)=KODaCav(xD－xD*)=(0.0030834)(7425.6)(0.10－0.01)=2.0606 mol/(m3･s)
VM=πDT2H/4=π(0.800)2(0.800)/4=0.40212 m3
WA=NVVM=(2.0606)(0.40212)=0.82860 mol/s≒0.829 mol/s

３．７

吸着塔

吸着剤粒子が充填された固定層内に流体を透過させると、流体中の溶質が吸着剤粒子の細孔内を拡散して物理吸着される。工学的な物理吸着過程は、(1)流体境膜内拡散、(2)粒子内拡散、(3)表面吸着の直列モデルで表される。多くの場合、境膜内拡散と粒子内拡散が律速となる。
NV

qm
t

b

K F a (C

1
KFa

C *)

1
kf a

1
ks a

…(3.7.1)p

ただし、a は充填層体積あたりの粒子表面積[m2/m3-bed]、dp は粒子径[m]、Di は表面拡散項を含めた粒子
内有効拡散係数[m2/s]、KF はモル濃度基準の総括物質移動係数[m/s]、NV は平均吸着速度[mol/(m3 ･s)](=ρb(∂qm/∂t))、qm は溶質の平均吸着量[mol/kg]、β は吸着係数[m3/kg](=q0/C0)、ε は粒子層内の空隙率[－]、c は形状係数(球のとき1)、ρb は充填密度(かさ密度)[kg/m3-bed](=ρp(1－ε))、ρp はみかけ密度(粒子密度)[kg/m3]。
平均吸着量 q の単位は、[mol-溶質/kg-吸着剤]に加えて[kg-溶質/kg-吸着剤]もある。吸着係数 β は、溶質の入口濃度 C0 に対する平衡吸着量 q0 の比 q0/C0 で定義され、操作線の傾きに等しい。
気相系における流体境膜物質移動係数 kf [m/s]の推算には、Chu らの式を用いる。[文献 32]
J

5.7 Re 0.78

(1<Re<30)J

1.77 Re 0.44

(30<Re<105)

StM Sc 2/3 =

J
J

d pG

Sh
,Re
Re Sc1/3

(1

d pG

Sh
,Re
Re Sc1/3

(1

)

, Sc

)

, Sc

D

D

…(3.7.2)…(3.7.3)

ただし、G は質量流速[kg/(m2･s)](=ρu)、StM は物質移動におけるスタントン数。
液相系における流体境膜物質移動係数 kf [m/s]の推算には、Carberry の式を用いる。[文献 33]
J

1.15

Rep

0.78

d pu

Sh
,Rep
Re Sc1/3

J

, Sc

D

…(3.7.4)

充填層体積あたりの粒子表面積 a [m2/m3-bed]は、次式より求める。
a

Sp

Sp

Vb

Vp (1

Sdp

)

2

(1

Vdp

)
3

6(1
cdp

)

…(3.7.5)

ただし、dp は粒子径[m]、Vb は粒子層体積[m3]、Sp は粒子表面積[m2]、Vp は粒子体積[m3]、ε は粒子層内の空隙率[－]、 c はカルマンの形状係数(球のとき 1)。
粒子内物質移動容量係数 ksa[1/s]は、粒子内拡散方程式の解析解を近似して導かれる。粒子内拡散方程
式は、粒子内の微小球殻を出入りする溶質に対する物質収支式より導く。

16

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

q(4 r 2 NA ) r r (4 r 2 NA ) r rt

4 r2 r b
r2 bqt(r 2 N A ) r r
(r

r) r

r2 b

q
t

(r 2 NA )r

F (r )tq D
qr2
t r2 rr(r 2 NA ) r r

r

NA

bD

…(3.7.7)

F (r ) r r

lim

Δr

…(3.7.6)

r

(r

0

q
r

F (r ) r r

r

r) r

, F (r ) r 2 N A…(3.7.8)…(3.7.9)①解析解近似モデル[文献 34] 初期条件 t=0 のとき q=0、境界条件 q=qi のとき r=Rp(粒子表面)、∂q/∂t=0のとき r=0(粒子中心部)の下で解くと、直線平衡における平均吸着量分布 qm [mol/kg]の解析解を得る。
qm
1
qi

6

qm
qi

1

6

qm

qi

exp( n2 kpt )

2

Di 2

kp

n 1

[exp( kpt ) exp( 4kpt )2

62

qi exp( kpt )…(3.7.10)

Rp 2

p

6

] 1

2

exp( kpt )…(3.7.11)…(3.7.12)

時間微分して上式の指数項を代入すると、平均吸着速度式が導かれる。
dqm
dt
b

d
qi
dt

dqm
dt

6

6

qi exp( kpt)2

kp b (qi qm )2

qi kp exp( kpt)

Di 2

kp

p

…(3.7.13)…(3.7.14)

Rp 2

粒子相の平均吸着速度式(ρb(∂qm/∂t)=ksaρp(qi－qm))と比較すると、粒子内物質移動容量係数 ksa[1/s]を得る。

kp b

ks a p

ks a

kp

b

…(3.7.15)
kp

p

ks a

39.5 Di (1
p

dp

Vp
Vb
)

2

kp (1

)

2

Di

(1
Rp

p

Di

De

Ds

p

)
2

9.87 Di (1
p

Rp

)
2

kp

Di 2
p

Rp 2

…(3.7.16)…(3.7.17)

ただし、Di は表面拡散項を考慮した粒子内拡散係数[m2/s]。
②線形推進力近似(LDF)モデル[文献 35] 吸着量分布 q(r)を粒子中心部からの位置 r の２次式で表す。

a1r a2 r 2

q(r ) a0…(3.7.18)

上式は放物線であることから、その対称性により r=0(粒子中心部)において極小値∂q/∂r=0 を取る。
q
r

a1

q
rr 0

2 a2 r…(3.7.19)

a1…(3.7.20)

017

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

吸着量分布 q(r)は、次式のように書き直される。

q( r )

a2 r 2a0…(3.7.21)

体積基準の重み付き平均吸着量 qm [mol/kg]は、次式のように導かれる。
Rp
0

qm

4 r 2 q(r )dr…(3.7.22)

Rp

4 r 2 dr

0
Rp
0

qm

0

qm

qm

a2 r 2 )dr…(3.7.23)(4/3) Rp3
Rpqm

4 r 2 (a0Rp

4 a0 r 2 dr0

4 a2 r 4 dr(4/3) Rp3
(4/3) a0 Rp 3

(4/5) a2 Rp5…(3.7.25)(4/3) Rp 33
a2 Rp 25

a0…(3.7.24)…(3.7.26)

上式の 4πr2dr は、厚み dr の薄い球殻の体積 V を表す。
4
(r
3

V

dr ) 3

4 3
r
3

4
(r 3
3

3r 2 dr3r d r 2

4 3
r3

dr 3 )

4(r 3
3

3r 2 d r

0 0)

4 3
r
3

4 r 2 dr…(3.7.27)
粒子表面(r=Rp)における吸着量 qi [mol/kg]は、次式となる。
qia0a2 Rp 2…(3.7.28)

qm と qi の式より定数 a0 を消去すると、a2 が導かれる。
qi

qm

(a0

a2

5
(qi
2 Rp 2

2 Rp 23
a2 Rp 25

a2 Rp 2 )

a0

qm )

…(3.7.30)

5a2…(3.7.29)

平均吸着速度は、Fick の式を用いて次式のように導かれる。
b

qm
t

b

b Di

q
r

qm
t r R

SV

b Di

qm
t r R

3
Rp

b Di (2a2 Rp )

SV

p

b

p

r

Di

De

Ds

(a0

a2 Rp 2 )p

6 b Di a2…(3.7.31)
q ( Rp )SV

a2 Rp 2

a0
Sp
Vp

18

…(3.7.32)

4 Rp 2(4/3) Rp

33
Rp…(3.7.33)

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

b

qm
t r R

6 b Dip

5(qi
2 Rp 215 b Di

qm )

Rp 2

(qi

qm )

…(3.7.34)

ただし、SV は粒子の比表面積[m2/m3]、ρb は粒子層体積あたりの粒子重量(かさ密度)[kg/m3-bed]。
Fick 式の負号が無い理由は、吸着量の少ない粒子中心部(r=0)から吸着量の多い粒子表面(r=Rp)に向かって r 軸を取っているため、吸着量勾配(∂q/∂r)が正になるからである。
粒子相の平均吸着速度式(ρb(∂qm/∂t)=ksaρp(qi－qm))と比較すると、粒子内物質移動容量係数 ksa[1/s]を得る。
15 b Di

ks a
ks a

15Di
Rp

…(3.7.35)

ks a p

Rp 2
2

b
p

60 Di (1dp

215Di Vp
Rp 2 Vb
)

Di

15Di
Rp 2
De

(1
Ds

)

…(3.7.36)p…(3.7.37)【計算例(吸着塔)】
20 ppm のベンゼン(分子量 78)を含む空気(密度 1.2 kg/m3, 粘度 18 μPa･s)を固定層型吸着塔内(層高 1000mm, 塔径 100 mm, 粒子層内空隙率 0.5)に空塔速度 0.25 m/s で流し、塔内の球状活性炭粒子(平均粒子径
2 mm、みかけの粒子密度 800 kg/m3)に 1 気圧 20℃の条件下で連続吸着させる。塔出口側のベンゼン濃度が 1 ppm のとき、流体境膜物質移動容量係数 kfa [1/s]、粒子内物質移動容量係数 βksa[1/s]、総括物質移動
容量係数 KFa [1/s]、平均吸着速度 WA [mol/s]を求めよ。ただし、吸着はマクロ孔内で起こるものとし(孔径 0.4 µm, 粒子内空隙率 0.3, 迷宮度 4)、表面拡散項は無視できるものとする。空気中におけるベンゼンの液相拡散係数は 0.9×10－5 m2/s である。
(βksa の計算)DK=97.0re(T/MA)0.5=(97.0)(0.4×10－6/2)(293.15/78)0.5=3.7609×10－5 m2/s
1/DN=1/DK+1/DM=1/3.7609×10－5+1/0.9×10－5=137700 s/m2
DN=1/137700=7.2621×10－6 m2/s
De=(εp/τ)DN=(0.3/4)(7.2621×10－6)=5.4465×10－7 m2/s
Di=De+Dsρpβ≒De=5.4465×10－7 m2/s
βksa=39.5Di(1－ε)/(ρpdp2)=(39.5)(5.4465×10－7)(1－0.5)/[(800)(0.002)2]=0.0033615 1/s≒0.00336 1/s(kfa の計算)ν=μ/ρ=18×10－6/1.2=1.5×10－5
Sc=μ/ρD=ν/D=1.5×10－5/0.9×10－5=1.6666
Re=dpG/μ(1－ε)=dpuρ/μ(1－ε)=dpu/ν(1－ε)= (0.002)(0.25)/[(1.5×10－5)(1－0.5)]=66.666
J=1.77Re－0.44=(1.77)(66.666)－0.44=0.27890
Sh=JReSc1/3=(0.27890)(66.666)(1.6666)1/3=22.044
kf=Sh(D/dp)=(22.044)(0.9×10－5/0.002)=0.099198 m/s
a=6(1－ε)/ Cdp=(6)(1－0.5)/[(1)(0.002)]=1500 m2/m3
kfa=(0.099198)(1500)=148.79 1/s(KFa の計算)1/KFa=1/kfa+1/βksaρp=1/148.79+1/[(0.0033615)(800)]=0.37857 s
KFa=1/0.37857=2.6415 1/s≒2.64 1/s
19

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成(WA の計算)C=(20mg/L/92000mg/mol)(1000)L/m3=0.25641 mol/m3
C*=(1mg/L/92000mg/mol)(1000)L/m3=0.012820 mol/m3
NV=KFa(C－C*)=(2.6415)(0.25641－0.012820)=0.64344 mol/(m3･s)VT=π(DT/2)2Z=π(0.1/2)2(1)=0.0078539 m3
WA=NVVT=(0.64344)(0.0078539)=0.0050535 mol/s≒5.05 mmol/s

３．８

晶析撹拌槽

種晶が添加された原料溶液を撹拌しながら冷却していくと、準安定域内で種晶が成長する。工学的な結晶成長過程は、流体境膜内拡散と結晶表面拡散(表面集積)の直列モデルで表される。
境膜物質移動係数 kd [m/s]の推算には、撹拌槽内における固体粒子の溶解速度係数またはイオン交換速度係数の推算式を用いる。
固液間物質移動の汎用式として、Levins & Glastonbury の式がある。[文献 36]

kd L
2 0.5
D

0.62

1/3 4/3
T L

1/3
T

D

P
slV

…(3.8.1)

結晶粒子の溶解および成長実験に基づく推算式として、石井・藤田の式がある。[文献 37]
0.690

kd L
N 1/3nL5/3
0.100 P
D
DT

D

kd L
N 1/3nL5/3
0.0264 PDDT
kd L
N 1/3nL5/3
0.549 P
D
DT

0.5

1.00

0.5

D
0.633

0.5

D

N P1/3 nL5/3
DT

1 ~ 100

N P1/3 nL5/3
DT

100 ~ 1500

NP1/3nL5/3
DT

1500 ~ 15000…(3.8.2)…(3.8.3)…(3.8.4)

ただし、d は撹拌翼径[m]、L は固体粒子径[m]、D は液相拡散係数[m2/s]、DT は槽径[m]、n は撹拌速度[1/s]、Np は動力数[－](タービン翼のとき 6、パドル翼のとき 1.7、プロペラ翼のとき 0.32)、P は撹拌所要
動力[W]、εT は液重量あたり撹拌所要動力[W/kg]、ν は動粘度[m2/s](=μ/ρ)。
溶解と晶析は移動論的に必ずしも真逆の過程ではないため、推算値をそのまま用いると成長速度の実測値から大きく外れる。ここでは、温度依存項を乗じて補正した値を用いる。
kd

kd0 exp

Ed
RT…(3.8.5)

kd0 は補正前の境膜物質移動係数[m/s](推算式で得られる kd を kd0 と置く)、R は気体定数[J/(K･mol)]、T は
温度[K]、 Ed は物質移動過程の活性化エネルギー[J/mol]。(一般に、 Ed=10～20 kJ/mol [文献 38])撹拌所要動力 P [W]は、次式で与えられる。
P

N p sl n3 d 5

sl

(1

) s

…(3.8.6)20

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

ただし、ε は懸濁率[－]、ρ は液密度[kg/m3]、ρs は固体密度[kg/m3]、ρsl は懸濁液密度[kg/m3]。
表面集積速度係数 kr [m/s]の推算式は、一部に限られる。
(硫酸カリウム)

kr 1.24 1011 exp

17.2 103
RT…(3.8.7) [文献 37](硫酸銅一水和物)

kr4.87 107 exp

12.3 103
RT…(3.8.8) [文献 39](過塩素酸ナトリウム)kr

4.6 1011 exp

16.9 103
RT…(3.8.9) [文献 40]

ただし、上３式の Er 項の単位は[cal/(mol･K)]、気体定数 R は 1.987 cal/(mol･K)。
【計算例(晶析撹拌槽)】
晶析撹拌槽(槽径 300 mm)に濃度 300 kg-溶質/kg-溶液の硫酸カリウム水溶液(密度 1100 kg/m3、粘度 1 mPa･s)を平均粒径 100 µm の種晶(結晶密度 2660 kg/m3、体積形状係数 1、表面積形状係数 6)とともに仕込み(懸濁液密度 2000 kg/m3、液深 300 mm)、撹拌速度 150 rpm の下で回分冷却晶析した。操作後の硫酸カリウム
濃度が 150 kg-溶質/kg-溶液のときの種晶の最大許容線成長速度 Gmax [m/s]を求めよ。ただし、質量成長速度は過飽和度の 1 乗に比例するものと仮定する。また、撹拌翼形状はパドル翼(翼径 500 mm)、水中における硫酸カリウムの液相拡散係数は 1.3×10－9 m2/s、温度補正項における物質移動の活性化エネルギー
15000 J/mol、平均液温 40℃である。
(Levins & Glastonbury 式)P=Npρsln3d5=(1.7)(2000)(150/60)3(0.500)5=1660.1 W
V=πDT2H/4=π(1)2(1)/4=0.78539 m3
εT=P/(ρslV)=1660.1/[(2000)(0.78539)]=1.0568 W/kg
Lav=(Ls+Lp)/2=(0.0001+0.001)/2=5.5×10－4 m
ν=μ/ρ=0.001/1100=9.0909×10－7 m2/s
Re=εT1/3Lav4/3/ν=(1.0568)1/3(5.5×10－4)4/3/(9.0909×10－7 )=50.490
Sc=ν/D=(9.0909×10－7)/(1.3×10－9)=699.3
Sh=2+0.5Re0.62Sc1/3=2+(0.5)(50.490)0.62(699.3)1/3=52.486
kd0=(Sh)(D/Lav)=(52.486)(1.3×10－9/5.5×10－4)=1.2405×10－4 m/s
kd=kd0exp[－ Ed/(RTav)]=(1.2405×10－4)exp[－(15000)/{(8.314)(313.15)}]=3.9034×10－7 m/s≒3.90×10－7 m/s
kr=1.24×1011exp(－17.2×103/RT)=1.24×1011exp[(－17.2×103)/(1.987)(313.15))]=0.12257 m/s≒0.122 m/s
1/KG=1/kd+1/kr=1/3.9034×10－7+1/0.12257=2.5618×106 s/m
KG=3.9035×10－7 m/s≒3.90×10－7 m/s
Rm,max=KG(C－C*)g=(3.9035×10－7)(300－150)1=5.8552×10－5 kg/(m2･s)≒5.86×10－5 kg/(m2･s)
Gmax=Rm,max/[3ρc( V/ S)]=(5.8552×10－5)/[(3)(2660)(1/6)]=4.4024×10－8 m/s≒4.40×10－8 m/s(石井・藤田式)ν=μ/ρ=0.001/1100=9.0909×10－7 m2/s
Lav=(Ls+Lp)/2=(0.0001+0.001)/2=5.5×10－4 m
21

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

Re0=Np1/3nd5/3Lav4/3/(DTν)=(1.7)1/3(150/60)(0.500)5/3(5.5×10－4)4/3/[(1)(9.0909×10－7 )]=27.951(<100)
Sc=ν/D=9.0909×10－7/1.3×10－9=699.3
Sh=0.100Re00.690Sc0.5=(0.100)(27.951)0.690(699.3)0.5=26.323
kd0=(Sh)(D/Lav)=(26.323)(1.3×10－9/5.5×10－4)=6.2218×10－5 m/s
kd=kd0exp[－ΔEd/(RTav)]=(6.2218×10－5)exp[－15000/(8.314)(313.15)]=1.9577×10－7 m/s≒1.96×10－7 m/s
kr=1.24×1011exp(－17.2×103/RT)=1.24×1011exp[(－17.2×103)/(1.987)(313.15))]=0.12257 m/s≒0.122 m/s
1/KG=1/kd+1/kr=1/1.9577×10－7+1/0.12257=5.1080×106 s/m
KG=1.9577×10－7 m/s≒1.96×10－7 m/s
Rm,max=KG(C－C*)g=(1.9577×10－7)(300－150)1=2.9365×10－5 kg/(m2･s)≒2.94×10－5 kg/(m2･s)
Gmax=Rm,max/[3ρc( V/ S)]=(2.9365×10－5)/[(3)(2660)(1/6)]=2.2078×10－8 m/s≒2.21×10－8 m/s

22

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

参考文献[1] E.R. Gilliland and T.K. Sherwood; Ind. Eng. Chem., 26 (1934) 516-523[2] 疋田 晴夫, 中西 和弘, 片岡 健; 化学工学, 23 (1959) 459-466[3] 亀井 三郎, 大石 純, 飯島 宏, 糸井 光夫, 蒲田 昌和; 化学工学, 20 (1956) 65-70[4] 疋田 晴夫, 前田 道宏, 梅村 実; 化学工学, 28, 214-220 (1964) ※ガス側境膜物質移動係数[5] 疋田 晴夫; 化学工学, 26, 725-729(1962) ※液側境膜物質移動係数[6] 疋田 晴夫, 片岡 健, 中西 和広; 化学工学, 24, 2-8(1960) ※気液接触面積[7] K. Onda, H. Takeuchi and Y. Okumoto; J. Chem. Eng. Japan, 1, 56-62(1968) ※境膜物質移動係数[8] 恩田 格三郎, 竹内 寛, 小山 恭章; 化学工学, 31, 126-134(1967) ※濡れ面積[9] K. Akita and F. Yoshida; Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev., 12 (1973) 76-80[10] K. Akita and F. Yoshida; Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev., 13 (1974) 84-91[11] H. Yagi and F. Yoshida; Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Dev., 14 (1975) 488-493[12] K. Van’t Riet; Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev., 18, 357-364(1979)[13] P.H. Calderbank; Trans. Inst. Chem. Eng., 36, 443-463(1958)[14] P.H. Calderbank, M.B. Moo-Young; Chem. Eng. Sci., 16, 39-54(1961)[15] M.E. Sensel, K.J. Myers and J.B. Fasano; AIChE Symposium Series, No.293, 89, pp.76-84(1993)[16] A.B. Newman; AIChE Trans., 27 (1931) 203-220[17] T. Vermeulen; Ind. Eng. Chem., 45 (1953) 1664-1670[18] R.E. Treybal; Liquid Extraction 2nd Ed., McGraw Hill Inc. (1963)[19] R. Kronig and J.C. Brink; Appl. Sci. Res., A-2 (1950) 142-154[20] P.H. Calderbank and I.J.O Korchinski; Chem. Eng. Sci., 6 (1956) 65-78[21] A.E. Handlos and T. Baron; AIChE J., 3, (1957) 127-136[22] A.H.P. Skelland and R.M. Wellek; AIChE J., 10, (1964) 127-136[23] S. Hu and R.C. Kintner; AIChE J., 1, (1955) 42-48[24] R.M. Christiansen and A.N. Hixson; Ind. Eng. Chem. 49, 1017-1024(1957)[25] 化学工学協会編; 化学工学便覧 改訂四版, 丸善(1978), 10 章
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問題(1) 【濡れ壁塔】多管式濡れ壁塔に 12 vol%のアンモニアガス(密度 1.2 kg/m3, 粘度 18 μPa･s)を濡れ管 1本(内径 20 mm, 管長 6000 mm)あたり 4 m3/h で向流に流して 1 気圧 20℃の条件下で濡れ管 1 本あた
り 180 kg/h で流れる水(密度 1000 kg/m3, 粘度 1 mPa･s)の液膜に吸収させる。塔出口側のアンモニア
濃度が 1 vol%のとき、濡れ管 1 本あたりのガス側境膜物質移動係数 kG [mol/(m2･s･Pa)]、液側境膜物
質移動係数 kL [m/s]、液側総括物質移動係数 KL [m/s]、物質移動流束 NA [mol/(m2･s)]、および濡れ管
50 本の場合のガス吸収速度 WA [mol/s]を求めよ。ただし、推算式中の界面張力の補正項は 1、水に対するアンモニアのヘンリー定数は 1.4 Pa/(mol/m3)、空気中におけるアンモニアの気相拡散係数は2.4×10－5 m2/s、水中におけるアンモニアの液相拡散係数は 2.3×10－9 m2/s である。
(2) 【充填塔】8 mol%のアンモニア(分子量 17)を含む空気(分子量 28.8, 密度 1.2 kg/m3, 粘度 18 μPa･s)を
1.5 kg/(m2･s)で充填塔(層高 700 mm, 塔径 70 mm)の塔底より供給し、塔頂より水(密度 1000 kg/m3, 粘
度 1 mPa･s, 界面張力 72 mN/m)を液ガス比 2.5 で向流に流して空気中のアンモニアを 1 気圧 25℃の条件下で吸収させる。塔頂ガスのアンモニア濃度が 0.1 mol%のとき、ガス側境膜物質移動容量係数kGa [mol/(m2･s･Pa)]、液側境膜物質移動容量係数 kLa [m/s]、液側総括物質移動容量係数 KLa [m/s]、ガス吸収速度 WA [mol/s]を求めよ。ただし、充填物は 1 in 磁性ラシヒリング、水に対するアンモニアのモル分率基準のヘンリー定数は 0.75、空気中におけるアンモニアの気相拡散係数は 2.3×10－5 m2/s、水中におけるアンモニアの液相拡散係数は 1.6×10－9 m2/s である。
(3) 【充填塔】0.04 mol%の二酸化炭素(分子量 44)を含む空気(分子量 28.8, 密度 1.2 kg/m3, 粘度 18 μPa･s)を 3.0 kg/(m2･s)で充填塔(層高 700 mm, 塔径 70 mm)の塔底より供給し、塔頂より水(密度 1000 kg/m3,
粘度 1 mPa･s, 界面張力 72 mN/m)を液ガス比 2.5 で向流に流して空気中の二酸化炭素を 1 気圧 25℃の条件下で吸収させる。塔頂ガスの二酸化炭素濃度が 0.01 mol%のとき、ガス側境膜物質移動容量係
数 kGa [mol/(m2･s･Pa)]、液側境膜物質移動容量係数 kLa [m/s]、液側総括物質移動容量係数 KLa [m/s]、
ガス吸収速度 WA [mol/s]を求めよ。ただし、充填物は 1 in 磁性ベルルサドル、水に対する二酸化炭
素のモル分率基準のヘンリー定数は 1640、空気中における二酸化炭素の気相拡散係数は 1.6×10－5
m2/s、水中における二酸化炭素の液相拡散係数は 1.8×10－9 m2/s である。
(4) 【気泡塔】塔径 1000 mm の標準気泡塔に水(密度 1000 kg/m3, 粘度 1 mPa･s, 界面張力 72 mN/m)を 4
m3 仕込み、空気を 270 m3/h で吹き込んで 1 気圧 25℃の条件下で酸素を回分吸収させる。液側総括
物質移動容量係数 KLa [1/s]、最大酸素吸収速度 WA,max [mmol/s]を求めよ。ただし、水中における飽和酸素濃度は 0.263 mol/m3、液相拡散係数は 2.1×10－9 m2/s である。総括抵抗は、液相抵抗に近似できるものとする。
(5) 【気泡撹拌槽】邪魔板付き平底円筒槽(槽径 300 mm)に水(密度 1000 kg/m3, 粘度 1 mPa･s, 界面張力
72 mN/m)を槽径と同じ液深となるように仕込み、パドル翼による撹拌条件下(翼径 150 mm, 撹拌速度 240 rpm)、空気を 1 vvm で吹き込んで 1 気圧 25℃の条件下で酸素を回分吸収させる。液側総括物
質移動容量係数 KLa [1/s]、最大酸素吸収速度 WA,max [mmol/s]を求めよ。ただし、水中における飽和酸
素濃度は 0.263 mol/m3、液相拡散係数は 2.1×10－9 m2/s である。総括抵抗は、液相抵抗に近似できるものとする。
(6) 【スプレー塔】10 mol%のジエチルアミン(分子量 73)を含む水(連続相; 密度 1000 kg/m3、粘度 1 mPa･
24

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

s、流量 10 t/h)と純トルエン(分散相; 密度 875 kg/m3、粘度 0.53 mPa･s、流量 20 t/h、分子量 92)をス
プレー塔内(塔径 1000 mm、液高 10 m)で向流に流して水相からトルエン相へジエチルアミンを連続抽出させる。塔出口側の水中ジエチルアミン濃度が 1 mol%のとき、分散側境膜物質移動容量係数 kDa[1/s]、連続相側境膜物質移動容量係数 kCa [1/s]、連続相側総括物質移動容量係数 KOCa [1/s]、液液抽
出速度 WA [mol/s]を求めよ。ただし、分散器のノズル孔径は 2.5 mm、抽剤相(E)濃度に対する抽料相(R)濃度の分配係数は 0.715、界面張力は 25 mN/m、水中におけるジエチルアミンの液相拡散係数は1.0×10－9 m2/s、トルエン中におけるジエチルアミンの液相拡散係数は 2.4×10－9 m2/s である。
(7) 【抽出撹拌槽】10 mol%のジエチルアミン(分子量 73)を含む水(連続相; 密度 1000 kg/m3、粘度 1 mPa･s、流量 10 t/h)と純トルエン(分散相; 密度 875 kg/m3、粘度 0.53 mPa･s、流量 10 t/h、分子量 92)を抽出撹拌槽(槽径 600 mm、液深 600 mm)で水相からトルエン相へジエチルアミンを連続抽出させる。
装置出口側の水中ジエチルアミン濃度が 1 mol%のとき、分散側境膜物質移動容量係数 kDa [1/s]、連続相側境膜物質移動容量係数 kCa [1/s]、連続相側総括物質移動容量係数 KOCa [1/s]、液液抽出速度 WA[mol/s]を求めよ。ただし、撹拌翼はパドル翼(翼径 300 mm)、撹拌速度は 180 rpm、抽剤相(E)濃度に対する抽料相(R)濃度の分配係数は 0.715、界面張力は 25 mN/m、水中におけるジエチルアミンの液相拡散係数は 1.0×10－9 m2/s、トルエン中におけるジエチルアミンの液相拡散係数は 2.4×10－9 m2/s である。
(8) 【吸着塔】20 ppm のトルエン(分子量 92)を含む空気(密度 1.2 kg/m3, 粘度 18 μPa･s)を固定層型吸着塔内(層高 750 mm, 塔径 75 mm, 粒子層内空隙率 0.5)に空塔速度 0.1 m/s で流し、塔内の球状ゼオラ
イト粒子(平均粒子径 4 mm, みかけの粒子密度 1500 kg/m3)に 1 気圧 25℃の条件下で連続吸着させる。塔出口側のトルエン濃度が 1 ppm のとき、流体境膜物質移動容量係数 kfa [1/s]、粒子内物質移動
容量係数 βksa[1/s]、総括物質移動容量係数 KFa [1/s]、平均吸着速度 WA [mol/s]を求めよ。ただし、吸着はマクロ孔内で起こるものとし(孔径 0.8 µm, 粒子内空隙率 0.4, 迷宮度 3.4)、表面拡散項は無視できるものとする。空気中におけるトルエンの液相拡散係数は 0.8×10－5 m2/s である。
(9) 【晶析撹拌槽】晶析撹拌槽(槽径 300 mm)に濃度 300 kg-溶質/kg-溶液の硫酸カリウム水溶液(密度 1100kg/m3、粘度 1 mPa･s)を平均粒径 100 µm の種晶(結晶密度 2660 kg/m3、体積形状係数 1、表面積形状
係数 6)とともに仕込み(懸濁液密度 2000 kg/m3、液深 300 mm)、撹拌速度 600 rpm の下で回分冷却晶析した。操作後の硫酸カリウム濃度が 150 kg-溶質/kg-溶液のときの種晶の最大許容線成長速度 Gmax[m/s]を求めよ。ただし、質量成長速度は過飽和度の 1 乗に比例するものと仮定する。また、撹拌翼
形状はプロペラ翼(翼径 100 mm)、水中における硫酸カリウムの液相拡散係数は 1.3×10－9 m2/s、温度補正項における物質移動の活性化エネルギー15000 J/mol、平均液温 40℃である。

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解答(1) u=Q/S=Q/[π(DT/2)2]=(4/3600)/[π(0.020/2)2]=3.5367 m/s
νG=μG/ρG=18×10－6/1.2=1.5×10－5 m2/s
ReG=DTuρG/μG=DTu/νG= (0.020)(3.5367)/(1.5×10－5)=4715.6
ScG=νG/DAB=1.5×10－5/2.4×10－5=0.625
Sh=0.023ReG0.83ScG 0.44=(0.023)(4715.6)0.83(0.625)0.44=20.938
yA1=nA1/nT=(pVA1/RT)/(pVT/RT)=VA1/VT=0.08
yA2=nA2/nT=(pVA2/RT)/(pVT/RT)=VA2/VT=0.01
pA1=PTyA1=(1)atm(0.12)=0.12 atm
pA2=PTyA2=(1)atm(0.01)=0.01 atm
pB1=PT－pA1=1－0.12=0.88 atm
pB2=PT－pA2=1－0.01=0.99 atm
pB,lm=(pB1－pB2)/ln(pB1/pB2)=(0.88－0.99)/ln(0.88/0.99)=0.93392
kC=ShDABPT/(DTpB,lm)=(20.938)(2.4×10－5)(1)/[(0.020)(0.93392)]=0.026903 m/s
kG=kC/RT=(0.026903)/[(8.314)(293.15)]=1.1038×10－5 mol/(m2･s･Pa)≒1.10×10－5 mol/(m2･s･Pa)
Γ=wπDT=(180/3600)(0.020)π=0.001π kg/(m･s)ReL=4Γ/μL=(4)(0.001π/0.001)=12.566(<2000)
νL=μL/ρL=0.001/1000=10－6 m2/s
Ga=ρL2gZ3/μL2=gZ3/νL2=(9.81)(6.000)3/(10－6)2=2.1189×1015
ScL=νL/DL=10－6/2.3×10－9=434.78(ReL)c=93.3ScL－0.24Ga0.08(σ/σw)0.30=(93.3)(434.78)－0.24(2.1189×1015)0.08(1)0.30=365.41(>12.566)
HL(ρLg/μL)1/3=HL(g/νL)1/3=22.8ReL0.5ScL0.38Ga0.04(σ/σw)0.15=(22.8)(12.566)0.5(434.78)0.38(2.1189×1015)0.04(1)0.15=3335.1
HL=(3335.1)(g/νL)－1/3=(3335.1)(9.81/10－6)－1/3=15.579 m
kL=Γ/(HLρL)=(0.001π)/[(15.579)(1000)]=2.0165×10－7 m/s≒2.02×10－7 m/s
1/KL=1/kL+1/HkG=(1/2.0165×10－7)+1/[(1.4)(1.1038×10－5)]=5.0237×106 s/m
KL=1/(1/KL)=1/5.0237×106=1.9905×10－7 m/s≒1.99×10－7 m/s
NA=kG(pA1－pA2)=(1.1038×10－5)(0.12－0.01)atm(101325)Pa/atm=0.12302 mol/(m2･s)≒0.123 mol/(m2･s)
AT=2π(DT/2)LN=2π(0.020/2)(6.000)(50)=6π m2
WA=NAAT=(0.12302)(6π)=2.3188 mmol/s≒2.32 mol/s(2) (疋田式)L=(L/G)G=(2.5)(1.5)=3.75 kg/(m2･s)
Dp=(1)in(2.54)cm/in(0.01)m/cm=0.0254 m
Dpe=1.40Dp=(1.40)(0.0254)=0.03556 m
n=－0.091Dp－0.48=－(0.091)(0.0254)－0.48=－0.53054
a/at=CL0.455(1000σ)n=(2.26)(3.75)0.455[(1000)(0.072)]－0.53054=0.42648
a=(a/at)at=(0.42648)(190)=81.031 m2/m3
ReG=DpeG/μG(1－ε)=(0.03556)(1.5)/[(18×10－6)(1－0.74)]=11397
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ScG=μG/ρGDG=(18×10－6)/[(1.2)(2.3×10－5)]=0.65217
ShG(=kGpB,lm/GM)=1.02ReG－0.35ScG－2/3=(1.02)(11397)－0.35(0.65217)－2/3=0.051580
yav=(y1+y2)/2=(8+0.1)(10－2)/2=0.0405
Mav=MAyav+MB(1－yav)=(17)(0.0405)+(28.8)(1－0.0405)=28.322 g/mol
GM=G/Mav=1.5kg/(m2･s)/0.028322kg/mol=52.962 mol/(m2･s)
pA1=PTyA1=(1)atm(0.08)=0.08 atm
pA2=PTyA2=(1)atm(0.001)=0.001 atm
pB1=PT－pA1=1－0.08=0.92 atm
pB2=PT－pA2=1－0.001=0.999 atm
pB,lm=(pB1－pB2)/ln(pB1/pB2)=(0.92－0.999)/ln(0.92/0.999)=(0.95895)atm(101325)Pa/atm=97165 Pa
kG=ShG(GM/pB,lm)=(0.051580)(52.962/97165)=2.8114×10－5 mol/(m2･s･Pa)
kGa=(2.8114×10－5)(81.031)=2.2781×10－3 mol/(m3･s･Pa)≒2.28×10－3 mol/(m3･s･Pa)
ReL=4L/atμL=(4)(3.75)/[(190)(0.001)]=78.947
ScL=μL/ρLDL=(0.001)/[(1000)(1.6×10－9)]=625
Ga=ρL2gDp3/μL2=(1000)2(9.81)(0.0254)3/(0.001)2=1.6075×108
ShL=CReL0.45ScL0.5Ga1/6=(0.31)(78.947)0.45(625)0.5(1.6075×108)1/6=1290.6
kL=(ShL)(DL/Dp)=(1290.6)(1.6×10－9/0.0254)=8.1297×10－5 m/s
kLa=(8.1297×10－5)(81.031)=0.0065875 1/s≒6.59×10－3 1/s
CT(=Cav)≒(ρ/M)w=(1000/18×10－3)=55555 mol/m3
H=(PT/CT)m=(101325/55555)(0.75)=1.3679 Pa/(mol/m3)
KLa=1/[(1/kLa)+(1/HkGa)]=1/[(1/0.0065875)+(1/1.3679)(1/0.0022781)]=0.0021154 1/s≒2.12×10－3 1/s
NV=KLa(C1－C2)=KLaCT(x1－x2)=(0.0021154)(55555)(8－0.1)(10－2)=9.2841 mol/(m3･s)
Vb=π(DT/2)2Z=π(0.07/2)2(0.7)=0.0026939 m3
WA=NVVb=(9.2841)(0.0026939)=0.025010 mol/s≒25.0 mmol/s(恩田式)L=(L/G)G=(2.5)(1.5)=3.75 kg/(m2･s)
ReL=L/atμL=(3.75)/[(190)(0.001)]=19.736
Fr=atL2/ρL2g=(190)(3.75)2/[(1000)2(9.81)]=2.7236×10－4
We=L2/ρLσat=(3.75)2/[(1000)(0.072)(190)]=0.0010279
aw/at=1－exp[－1.45ReL0.1Fr－0.05We0.2(σc/σ)0.75]=1－exp[－(1.45)(19.736)0.1(2.7236×10－4)－0.05(0.0010279)0.2(0.061/0.072)0.75]=0.48156
aw=(aw/at)at=(0.48156)(190)=91.496 m2/m3
ReG=G/atμG=(1.5)/[(190)(18×10－6)]=438.59
ScG=μG/ρGDG=(18×10－6)/[(1.2)(2.3×10－5)]=0.65217
atDp=(190)(1)in(2.54)cm/in(0.01)m/cm=4.8260
ShG(=kGRT/atDG)=5.23ReG0.7ScG1/3(atDp)－2.0=(5.23)(438.59)0.7(0.65217)1/3(4.8260)－2.0=13.768
kG=ShG(atDG/RT)=(13.768)(190)(2.3×10－5)/[(8.314)(298.15)]=2.4272×10－5 mol/(m2･s･Pa)
kGa=kGaw=(2.4272×10－5)(91.496)=0.0022207 mol/(m3･s･Pa)≒2.22×10－3 mol/(m3･s･Pa)
ScL=μL/ρLDL=(0.001)/[(1000)(1.6×10－9)]=625
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ShL(=kL(ρL/μLg)1/3)=0.0051ReL2/3ScL－1/2(atDp)0.4=(0.0051)(19.736)2/3(625)－1/2(4.8260)0.4=0.0027962
kL=(ShL)(ρL/μLg)－1/3=(0.0027962)[1000/(0.001)(9.81)]－1/3=5.9858×10－5 m/s
kLa=kLaw=(5.9858×10－5)(91.496)=0.0054767 1/s≒5.48×10－3 1/s
CT(=Cav)≒(ρ/M)w=(1000/18×10－3)=55555 mol/m3
H=(PT/CT)m=(101325/55555)(0.75)=1.3679 Pa/(mol/m3)
KLa=1/[(1/kLa)+(1/HkGa)]=1/[(1/0.0054767)+(1/1.3679)(1/0.0022207)]=0.0019539 1/s≒1.95×10－3 1/s
NV=KLa(C1－C2)=KLaCT(x1－x2)=(0.0019539)(55555)(8－0.1)(10－2)=8.5753 mol/(m3･s)
Vb=π(DT/2)2Z=π(0.07/2)2(0.7)=0.0026939 m3
WA=NVVb=(8.5753)(0.0026939)=0.023101 mol/s≒23.1 mmol/s(3) (疋田式)L=(L/G)G=(2.5)(3.0)=7.5 kg/(m2･s)
Dp=(1)in(2.54)cm/in(0.01)m/cm=0.0254 m
Dpe=1.26Dp=(1.26)(0.0254)=0.032004 m
n=－0.00543Dp－0.98=－(0.00543)(0.0254)－0.98=－0.19863
a/at=CL0.455(1000σ)n=(0.768)(7.5)0.455[(1000)(0.072)]－0.19863=0.82147
a=(a/at)at=(0.82147)(249)=204.54 m2/m3
ReG=DpeG/μG(1－ε)=(0.032004)(3.0)/[(18×10－6)(1－0.68)]=16668
ScG=μG/ρGDG=(18×10－6)/[(1.2)(1.6×10－5)]=0.93750
ShG(=kGpB,lm/GM)=1.02ReG－0.35ScG－2/3=(1.02)(16668)－0.35(0.93750)－2/3=0.035450
yav=(y1+y2)/2=(0.04+0.01)(10－2)/2=0.00025
Mav=MAyav+MB(1－yav)=(44)(0.00025)+(28.8)(1－0.00025)=28.803 g/mol
GM=G/Mav=3.0kg/(m2･s)/0.028803kg/mol=104.15 mol/(m2･s)
pA1=PTyA1=(1)atm(0.0004)=0.0004 atm
pA2=PTyA2=(1)atm(0.0001)=0.0001 atm
pB1=PT－pA1=1－0.0004=0.9996 atm
pB2=PT－pA2=1－0.0001=0.9999 atm
pB,lm=(pB1－pB2)/ln(pB1/pB2)=(0.9996－0.9999)/ln(0.9996/0.9999)=(0.99974)atm(101325)Pa/atm=101298 Pa
kG=ShG(GM/pB,lm)=(0.035450)(104.15/101298)=3.6448×10－5 mol/(m2･s･Pa)
kGa=(3.6448×10－5)(204.54)=0.0074550 mol/(m3･s･Pa)≒7.46×10－3 mol/(m3･s･Pa)
ReL=4L/atμL=(4)(7.5)/[(249)(0.001)]=120.48
ScL=μL/ρLDL=(0.001)/[(1000)(1.8×10－9)]=555.55
Ga=ρL2gDp3/μL2=(1000)2(9.81)(0.0254)3/(0.001)2=1.6075×108
ShL=CReL0.45ScL0.5Ga1/6=(0.37)(120.48)0.45(555.55)0.5(1.6075×108)1/6=1756.5
kL=(ShL)(DL/Dp)=(1756.5)(1.8×10－9/0.0254)=1.2447×10－4 m/s
kLa=(1.2447×10－4)(204.54)=0.025459 1/s≒2.54×10－2 1/s
CT(=Cav)≒(ρ/M)w=(1000/18×10－3)=55555 mol/m3
H=(PT/CT)m=(101325/55555)(1640)=2991.1 Pa/(mol/m3)
KLa=1/[(1/kLa)+(1/HkGa)]=1/[(1/0.025459)+(1/2991.1)(1/0.0074550)]=0.025429 1/s≒2.54×10－2 1/s
NV=KLa(C1－C2)=KLaCT(x1－x2)=(0.025429)(55555)(0.04－0.01)(10－2)=0.42381 mol/(m3･s)
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Vb=π(DT/2)2Z=π(0.07/2)2(0.7)=0.0026939 m3
WA=NVVb=(0.42381)(0.0026939)=0.0011417 mol/s≒1.14 mmol/s(恩田式)L=(L/G)G=(2.5)(3.0)=7.5 kg/(m2･s)
ReL=L/atμL=(7.5)/[(249)(0.001)]=30.120
Fr=atL2/ρL2g=(249)(7.5)2/[(1000)2(9.81)]=0.0014277
We=L2/ρLσat=(7.5)2/[(1000)(0.072)(249)]=0.0031375
aw/at=1－exp[－1.45ReL0.1Fr－0.05We0.2(σc/σ)0.75]=1－exp[－(1.45)(30.120)0.1(0.0014277)－0.05(0.0031375)0.2(0.061/0.072)0.75]=0.54550
aw=(aw/at)at=(0.54550)(249)=135.82 m2/m3
ReG=G/atμG=(3.0)/[(249)(18×10－6)]=669.34
ScG=μG/ρGDG=(18×10－6)/[(1.2)(1.6×10－5)]=0.93750
atDp=(249)(1)in(2.54)cm/in(0.01)m/cm=6.3246
ShG(=kGRT/atDG)=5.23ReG0.7ScG1/3(atDp)－2.0=(5.23)(669.34)0.7(0.93750)1/3(6.3246)－2.0=12.542
kG=ShG(atDG/RT)=(12.542)(249)(1.6×10－5)/[(8.314)(298.15)]=2.0157×10－5 mol/(m2･s･Pa)
kGa=kGaw=(2.0157×10－5)(135.82)=0.0027377 mol/(m3･s･Pa)≒2.74×10－3 mol/(m3･s･Pa)
ScL=μL/ρLDL=(0.001)/[(1000)(1.8×10－9)]=555.55
ShL(=kL(ρL/μLg)1/3)=0.0051ReL2/3ScL－1/2(atDp)0.4=(0.0051)(30.120)2/3(555.55)－1/2(6.3246)0.4=0.0043805
kL=(ShL)(ρL/μLg)－1/3=(0.0043805)[1000/(0.001)(9.81)]－1/3=9.3773×10－5 m/s
kLa=kLaw=(9.3773×10－5)(135.82)=0.012736 1/s≒1.27×10－2 1/s
CT(=Cav)≒(ρ/M)w=(1000/18×10－3)=55555 mol/m3
H=(PT/CT)m=(101325/55555)(1640)=2991.1 Pa/(mol/m3)
KLa=1/[(1/kLa)+(1/HkGa)]=1/[(1/0.012736)+(1/2991.1)(1/0.0027377)]=0.012716 1/s≒1.27×10－2 1/s
NV=KLa(C1－C2)=KLaCT(x1－x2)=(0.012716)(55555)(0.04－0.01)(10－2)=0.21193 mol/(m3･s)
Vb=π(DT/2)2Z=π(0.07/2)2(0.7)=0.0026939 m3
WA=NVVb=(0.21193)(0.0026939)=0.00057091 mol/s≒0.571 mmol/s(4) uG=(270/3600)/[π(1/2)2]=0.095492 m/s
νL=μL/ρL=0.001/1000=10－6 m2/s
ScL=νL/DL=10－6/2.1×10－9=476.19
Bo=ρLgDT2/σ=(1000)(9.81)(1)2/(0.072)=136250
Ga=ρLgDT3/μL2 =gDT3/νL2=(9.81)(1)3/(10－6)2=9.8100×1012
Fr=uG/(gDT)1/2=(0.095492)/[(9.81)(1)]1/2=0.030488
εg/(1－εg)4=0.2Bo1/8Ga1/12Fr=(0.2)(136250)1/8(9.8100×1012)1/12(0.030488)=0.32328
εg=0.16054(数値解)
Sh=0.6ScL0.5Bo0.62Ga0.31εg 1.1=(0.6)(476.19)0.5(136250)0.62(9.8100×1012)0.31(0.16054)1.1=2.8437×107
KLa≒kLa=ShDL/DT2=(2.8437×107)(2.1×10－9)/(1)2=0.059717 s－1≒0.0597 s－1
NV,max=KLa(C*－C)=(0.059717)(0.263－0)=0.015705 mol/(m3･s)
VM=V/(1－εg)=4/(1－0.16054)=4.7649 m3
WA,max=NV,maxVM=(0.015705)(4.7649)=0.074832 mol/s≒74.8 mmol/s29

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成(5) (八木・吉田式)S=π(DT/2)2=π(0.300/2)2=0.070685 m2
V=SH=(0.070685)(0.300)=0.021205 m3
Qg=(Qg/V)vvmVm3=(1)1/min(0.021205)m3=(0.021205)m3/min(1/60)min/s=0.00035341 m3/s
Ug=Qg/S=0.00035341/0.070685=0.0049997 m/s
νL=μL/ρL=0.001/1000=10－6 m2/s
Re=ρnd2/μ=nd2/ν=(240/60)(0.150)2/(10－6)= 90000
ScL=νL/DL=10－6/2.1×10－9=476.19
Fr=n2d/g=(240/60)2(0.150)/(9.81)=0.24464
We=μLUg/σ=(0.001)(0.0049997)/(0.072)= 6.9440×10－5
nd/Ug=(240/60)(0.150)/(0.0049997)=120.00
Sh(=kLad2/DL)=0.060Re1.5ScL0.5Fr0.19We0.6(nd/Ug)0.32=(0.060)(90000)1.5(476.19)0.5(0.24464)0.19(6.9440×10－5)0.6(120.00)0.32=4.0043×105
kLa=Sh(DL/d2)=(4.0043×105)(2.1×10－9)/(0.150)2=0.037373 1/s
KLa≒kLa=0.037373 s－1≒0.0374 s－1
NV,max=KLa(C*－C)=(0.037373)(0.263－0)=0.0098290 mol/(m3･s)
NA=Qg/nd3=(0.00035341)/[(240/60)(0.150)3]=0.026178
εg=0.105NARe0.1Fr0.5=(0.105)(0.026178)(90000)0.1(0.24464)0.5=0.0042541 (タービン翼ではないが計算した)
VM=V/(1－εg)= 0.021205/(1－0.0042541)=0.021295 m3
WA,max=NV,maxVM=(0.0098290)(0.021295)=2.0930×10－4 mol/s≒0.209 mmol/s(Van’t Riet 式)S=π(DT/2)2=π(0.300/2)2=0.070685 m2
V=SH=(0.070685)(0.300)=0.021205 m3
Qg=(Qg/V)vvmVm3=(1)1/min(0.021205)m3=(0.021205)m3/min(1/60)min/s=0.00035341 m3/s
Ug=Qg/S=0.00035341/0.070685=0.0049997 m/s
P=Npρn3d5=(1.7)(1000)(240/60)3(0.150)5=8.2620 W
NA=Qg/nd3=(0.00035341)/[(240/60)(0.150)3]=0.026178(<0.035)
Pg/P=1－12.6NA=1－(12.6)(0.026178)=0.67015
Pg=(Pg/P)P=(0.67015)(8.2620)=5.5367 W
Pg/V=5.5367/0.021205=261.10 W/m3
kLa=0.026(Pg/V)0.4Ug0.5=(0.026)(261.10)0.4(0.0049997)0.5=0.017028 s－1
KLa≒kLa=0.017028 s－1≒0.0170 s－1
NV,max=KLa(C*－C)=(0.017028)(0.263－0)=0.0044783 mol/(m3･s)
Re=ρnd2/μ=(1000)(240/60)(0.150)2/(0.001)=90000
Fr=n2d/g=(240/60)2(0.150)/(9.81)=0.24464
εg=0.105NARe0.1Fr0.5=(0.105)(0.026178)(90000)0.1(0.24464)0.5=0.0042541 (タービン翼ではないが計算した)
VM=V/(1－εg)= 0.021205/(1－0.0042541)=0.021295 m3
WA,max=NV,maxVM=(0.0044783)(0.021295)=9.5365×10－5 mol/s≒0.0954 mmol/s(6) (dp の計算) ρ=1000－875=125 kg/m3
Bo= ρgdN2/σ=(125)(9.81)(0.0025)2/(0.025)=0.30656(<0.616)
30

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

dN/dJ=1+0.485Bo=1+(0.485)(0.30656)=1.1486
dJ=dN/(dN/dJ)=0.0025/1.1486=0.0021765 m≒2.18 mm
dp=1.92dJ=(1.92)(0.0021765)=0.0041788 m≒4.18 mm(ReC および ut の計算)P=ρC2σ3/(gμC4Δρ)=(1000)2(0.025)3/[(9.81)(0.001)4(125)]=1.2742×1010
dpc=(7.19)(σ/g ρP0.15)0.5=(7.19)[(0.025)/(9.81)(125)(1.2742×1010)0.15]0.5=0.0056691 m(≒5.67 mm)(>dp)
CDWeP0.15=(4gdpΔρ/3ut2ρC)(dput2ρC/σ)P0.15=(4/3)(gdp2Δρ/σ)P0.15=(4/3)[(9.81)(0.0041788)2(125)/(0.025)](1.2742×1010)0.15=37.451
CDWeP0.15=0.045(ReC/P0.15+0.75)2.37
ReC=P0.15[(CDWeP0.15/0.045)1/2.37－0.75]=(1.2742×1010)0.15[(37.451/0.045)1/2.37－0.75]=535.10≒535
νC=μC/ρC=0.001/1000=10－6 m2/s
ut=ReC(νC/dp)=(535.10)(10－6/4.1788×10－3)=0.12805 m/s≒0.128 m/s(V0 の計算)uN(=uM)=2.69(dJ/dN)2[(σ/dJ)/(0.5137ρD+0.4719ρC)]0.5=(2.69)(1/1.1486)2[(0.025/0.0021765)/{(0.5137)(875)+(0.4719)(1000)}]0.5=0.22765 m/s
V0=0.0268dp2ΔρguN0.64/(μC0.19 dN0.74)=(0.0268)(0.0041788)2(125)(9.81)(0.22765)0.64/[(0.001)0.19(0.0025)0.74]=0.069661 m/s≒0.0697 m/s( D および a の計算)uD/ D+uC/(1－ D)=V0(1－ D)
uDS/ D+uCS/(1－ D)=V0S(1－ D)
QD/ D+QC/(1－ D)=V0S(1－ D)(wD/ρD)/ D+(wC/ρC)/(1－ D)=V0S(1－ D)[(20000/3600)/875]/ D+[(10000/3600)/1000]/(1－ D)=(0.069661π)(1/2)2(1－ D)(2/375)/ D+(1/360)/(1－ D)=(0.054711)(1－ D)
D=0.11828≒0.118(数値解)a=6 D/dp=(6)(0.11828/0.0041788)=169.82 m2/m3≒170 m2/m3(kDa の計算)VT=SZ=π(1/2)2(10)=7.8539 m3
τ=VT D/QD=(VT D)/(wD/ρD)=(7.8539)(0.11828)/[(20000/3600)/875]=146.31 s
PeD=dput/DD=(0.0041788)(0.12805)/(2.4×10－9)=222956
P=ρC2σ3/(gμC4Δρ)=(1000)2(0.025)3/[(9.81)(0.001)4(125)]=1.2742×1010
ShD=0.264(PeD/τ)0.14ReC0.68P0.10=(0.264)(222956/146.31)0.14(535.10)0.68(1.2742×1010)0.10=540.84
kD=ShD(DD/dp)=(540.84)(2.4×10－9/0.0041788)=3.1061×10－4 m/s≒3.11×10－4 m/s
kDa=(3.1061×10－4)(169.82)=0.052747 1/s≒0.0527 1/s(kCa の計算)ScC=νC/DC=10－6/1.0×10－9=1000
ShC=－126+1.8ReC1/2ScC0.42=－126+(1.8)(535.10)1/2(1000)0.42=631.68
kC=ShC(DC/dp)=(631.68)(1.0×10－9/0.0041788)=1.5116×10－4 m/s
kCa=(1.5116×10－4)(169.82)=0.025669 1/s≒0.0257 1/s(KOCa の計算)1/KOCa=1/kCa+m/kDa=(1/0.025669)+(0.715/0.052747)=52.512 s
KOCa=0.019043 1/s≒0.0190 1/s(WA の計算)Mav,1=(0.10)(73)+(0.90)(18)=23.5
Mav,2=(0.01)(73)+(0.99)(18)=18.55
31

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

Cav=ρC/Mav=[(ρC/Mav,1)+ (ρC/Mav,2)]/2=[(1000/0.0235)+ (1000/0.01855)]/2=48230 mol/m3
NV=KOCa(CC－CC*)=KOCaCav(xC－xC*)=(0.019043)(48230)(0.10－0.01)=82.659 mol/(m3･s)
VM=SH=π(1/2)2(10)=7.8539 m3
WA= NVVM=(82.659)(7.8539)=649.19 mol/s≒649 mol/s(値が大き過ぎるため条件変更を要する)(7) ( D の計算)QC=(10000/3600)/1000=0.0027777 m3/s
QD=(10000/3600)/875=0.0031746 m3/s
D=QD/(QC+QD)=0.0031746/(0.0027777+0.0031746)=0.53334≒0.533

ρM=ρC(1－ D)+ρD D=(1000)(1－0.53334)+(875)(0.53334)=933.33 kg/m3≒933 kg/m3
P=NpρMn3d5=(1.7)(933.33)(180/60)3(0.300)5=104.10 W
P/[g(QC+QD)]=104.10/[(9.81)(0.0027777+0.0031746)]=1782 kg/m2(>1000)(a および dp の計算)We=ρCn2d3/σ=(1000)(180/60)2(0.300)3/(0.025)=9720
a=25.4 D0.5We0.6/d=(25.4)(0.53334)0.5(9720)0.6/(0.300)=15269 m2/m3≒15300 m2/m3
dp=6 D/a=(6)(0.53334)/(15269)=0.00020957 m≒0.210 mm(ReC の計算) ρ=1000－875=125 kg/m3
P=ρC2σ3/(gμC4Δρ)=(1000)2(0.025)3/[(9.81)(0.001)4(125)]=1.2742×1010
dpc=(7.19)(σ/g ρP0.15)0.5=(7.19)[(0.025)/(9.81)(125)(1.2742×1010)0.15]0.5=0.0056691 m(≒5.67 mm)(>dp)
CDWeP0.15=(4gdpΔρ/3ut2ρC)(dput2ρC/σ)P0.15=(4/3)(gdp2Δρ/σ)P0.15=(4/3)[(9.81)(0.00020957)2(125)/(0.025)](1.2742×1010)0.15=0.094193
CDWeP0.15=0.045(ReC/P0.15+0.75)2.37
ReC=P0.15[(CDWeP0.15/0.045)1/2.37－0.75]=(1.2742×1010)0.15[(0.094193/0.045)1/2.37－0.75]=20.191≒20.2(kDa の計算)ShD≒6.6 (十分な時間経過後を仮定)
kD=ShD(DD/dp)=(6.6)(2.4×10－9/2.0957×10－4)=0.75583×10－6 m/s≒0.756×10－6 m/s
kDa=(0.75583×10－6)(15269)=0.011540 1/s≒0.0115 1/s(kCa の計算)νC=μC/ρC=0.001/1000=10－6 m2/s
ReC=ρCnd2/μC=nd2/νC=(180/60)(0.300)2/10－6=270000
ScC=νC/DC=10－6/1.0×10－9=1000
Fr=n2d/g=(180/60)2(0.300)/(9.81)=0.27522
Bo=ρDgdp2/σ=(875)(9.81)(0.00020957)2/(0.025)=0.015079
d/dp=0.300/0.00020957=1431.5
dp/DT=0.00020957/0.600=3.4928×10－4
ShC=1.237×10－5ReC2/3ScC1/3Fr5/12Bo5/4(d/dp)2(dp/DT)1/2 D－1/2=1.237×10－5(270000)2/3(1000)1/3(0.27522)5/12(0.015079)5/4(1431.5)2(3.4928×10－4)1/2 0.53334 －1/2=83.646
kC=ShC(DC/dp)=(83.646)(1.0×10－9/0.00020957)=0.00039913 m/s
kCa=(0.00039913)(15269)=6.0943 1/s≒6.09 1/s(KOCa の計算)1/KOCa=1/kCa+m/kDa=(1/6.0943)+(0.715/0.011540)=62.122 s
KOCa=0.016097 1/s≒0.0161 1/s(WA の計算)Mav,1=(0.10)(73)+(0.90)(18)=23.5
Mav,2=(0.01)(73)+(0.99)(18)=18.55
32

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

Cav=ρC/Mav=[(ρC/Mav,1)+ (ρC/Mav,2)]/2=[(1000/0.0235)+ (1000/0.01855)]/2=48230 mol/m3
NV=KOCa(CC－CC*)=KOCaCav(xC－xC*)=(0.016097)(48230)(0.10－0.01)=69.872 mol/(m3･s)
VM=πDT2H/4=π(0.600)2(0.600)/4=0.16964 m3
WA=NVVM=(69.872)(0.16964)=11.853 mol/s≒11.9 mol/s(8) (βksa の計算)DK=97.0re(T/MA)0.5=(97.0)(0.8×10－6/2)(298.15/92)0.5=6.9848×10－5 m2/s
1/DN=1/DK+1/DM=1/6.9848×10－5+1/0.8×10－5=1.3931×105 s/m2
DN=1/1.3931×105=7.1782×10－6 m2/s
De=(εp/τ)DN=(0.4/3.4)(7.1782×10－6)=8.4449×10－7 m2/s
Di=De+Dsρpβ≒De=8.4449×10－7 m2/s
βksa=39.5Di(1－ε)/(ρpdp2)=(39.5)(8.4449×10－7)(1－0.5)/[(1500)(0.004)2]=0.00069494 1/s≒0.000695 1/s(kfa の計算)ν=μ/ρ=18×10－6/1.2=1.5×10－5
Sc=μ/ρD=ν/D=1.5×10－5/0.8×10－5=1.875
Re=dpG/μ(1－ε)=dpuρ/μ(1－ε)=dpu/ν(1－ε)= (0.004)(0.1)/[(1.5×10－5)(1－0.5)]=53.333
J=1.77Re－0.44=(1.77)(53.333)－0.44=0.30767
Sh=JReSc1/3=(0.30767)(53.333)(1.875)1/3=20.233
kf=Sh(D/dp)=(20.233)(0.8×10－5/0.004)=0.040466 m/s
a=6(1－ε)/ Cdp=(6)(1－0.5)/[(1)(0.004)]=750 m2/m3
kfa=(0.040466)(750)=30.349 1/s(KFa の計算)1/KFa=1/kfa+1/βksaρp=1/30.349+1/(0.00069494)(1500)=0.99226 s
KFa=1/0.99226=1.0078 1/s≒1.01 1/s(WA の計算)C=(20mg/L/92000mg/mol)(1000)L/m3=0.21739 mol/m3
C*=(1mg/L/92000mg/mol)(1000)L/m3=0.010869 mol/m3
NV=KFa(C－C*)=(2.6415)(0.21739－0.010869)=0.54552 mol/(m3･s)VT=π(DT/2)2Z=π(0.1/2)2(1)=0.0078539 m3
WA=NVVT=(0.54552)(0.0078539)=0.0042844 mol/s≒4.28 mmol/s(9) (Levins & Glastonbury 式)P=Npρsln3d5=(0.32)(2000)(600/60)3(0.100)5=6.4 W
V=πDT2H/4=π(0.300)2(0.300)/4=0.021205 m3
εT=P/(ρslV)=6.4/[(2000)(0.021205)]=0.15090 W/kg
Lav=(Ls+Lp)/2=(0.0001+0.001)/2=5.5×10－4 m
ν=μ/ρ=0.001/1100=9.0909×10－7 m2/s
Re=εT1/3Lav4/3/ν=(0.15090)1/3(5.5×10－4)4/3/(9.0909×10－7 )=26.390
Sc=ν/D=(9.0909×10－7)/(1.3×10－9)=699.3
Sh=2+0.5Re0.62Sc1/3=2+(0.5)(26.390)0.62(699.3)1/3=35.766
kd0=(Sh)(D/Lav)=(35.766)(1.3×10－9/5.5×10－4)=8.4537×10－5 m/s
kd=kd0exp[－ Ed/(RTav)]=(8.4537×10－5)exp[－(15000)/{(8.314)(313.15)}]=2.6601×10－7 m/s≒2.66×10－7 m/s
kr=1.24×1011exp(－17.2×103/RT)=1.24×1011exp[(－17.2×103)/(1.987)(313.15))]=0.12257 m/s≒0.122 m/s
1/KG=1/kd+1/kr=1/2.6601×10－7+1/0.12257=3.7592×106 s/m
KG=2.6601×10－7 m/s≒2.66×10－7 m/s
33

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(装置内物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

Rm,max=KG(C－C*)g=(2.6601×10－7)(300－150)1=3.9901×10－5 kg/(m2･s)≒3.99×10－5 kg/(m2･s)
Gmax=Rm,max/[3ρc( V/ S)]=(3.9901×10－5)/[(3)(2660)(1/6)]=3.0000×10－8 m/s≒3.00×10－8 m/s(石井・藤田式)Lav=(Ls+Lp)/2=(0.0001+0.001)/2=5.5×10－4 m
ν=μ/ρ=0.001/1100=9.0909×10－7 m2/s
Re0=Np1/3nd5/3Lav4/3/(DTν)=(0.32)1/3(600/60)(0.100)5/3(5.5×10－4)4/3/[(1)(9.0909×10－7 )]=7.3045(<100)
Sc=ν/D=9.0909×10－7/1.3×10－9=699.3
Sh=0.100Re00.690Sc0.5=(0.100)(7.3045)0.690(699.3)0.5=10.428
kd0=(Sh)(D/Lav)=(10.428)(1.3×10－9/5.5×10－4)=2.4648×10－5 m/s
kd=kd0exp[－ΔEd/(RTav)]=(2.4648×10－5)exp[－15000/(8.314)(313.15)]=7.7559×10－8 m/s≒7.76×10－8 m/s
kr=1.24×1011exp(－17.2×103/RT)=1.24×1011exp[(－17.2×103)/(1.987)(313.15))]=0.12257 m/s≒0.122 m/s
1/KG=1/kd+1/kr=1/7.7559×10－8+1/0.12257=1.2893×107 s/m
KG=7.7561×10－8 m/s≒7.76×10－8 m/s
Rm,max=KG(C－C*)g=(7.7561×10－8)(300－150)1=1.1634×10－5 kg/(m2･s)≒1.16×10－5 kg/(m2･s)
Gmax=Rm,max/[3ρc( V/ S)]=(1.1634×10－5)/[(3)(2660)(1/6)]=0.87473×10－8 m/s≒0.875×10－8 m/s

令和 4 年 10 月 23 日作成

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