日本知能情報ファジィ学会

ソフトサイエンス研究部会

第２１回
ソフトサイエンス・ワークショップ
講演論文集■ 日時：平成 23 年 3 月 19 日(土)・20 日(日)■ 共催：日本知能情報ファジィ学会北海道支部■ 協賛：日本知能情報ファジィ学会評価問題研究部会
ＥＳＡ（教育システム解析）研究会■ 会場：北海学園大学 豊平キャンパス 7 号館

第 21 回ソフトサイエンス・ワークショップ開催にあたって
実行委員長

山ノ井

髙洋（北海学園大学）

21 回目を迎えるソフトサイエンス・ワークショップが，札幌市の北海学園大学
豊平キャンパスで開催される運びとなりました．日本知能情報ファジィ学会ソフ
トサイエンス研究部会主催，日本知能情報ファジィ学会北海道支部共催，日本
ファジィ学会評価問題研究部会協賛，ESA(教育システム解析)研究会協賛としてご援助をいただきました．
北海学園大学での開催は，1996 年第 6 回の旧ノンエンジニアリング・ファジィ
ワークショップとして工学部山鼻キャンパスで行われたのに続き２回目となります．また知能情報ファジィ学会関係では，2006 年第 22 回ファジィシステム
シンポジウムが開催され，その次の年にはファジィ学問塾を開いております．
例年と同じく本ワークショップでは，｢近年，ファジィ理論およびソフトコン
ピューティングは，工学領域で用いられるだけでなく，開発された各種の手法や理論が，理学，医学，人文社会科学等の領域で広く利用されるようになっています．より幅広い，そして新しい分野の方々の研究発表，参加を歓迎いたします．｣と謳って参加を呼びかけた結果，本ワークショップに長年ご尽力をいただいたお二方，塚本弥八郎先生(名城大学名誉教授)の特別講演と中島信之先生（富山大学名誉教授）の企画講演に加え 23 編の一般講演が整いました．年度末のお忙しい
中，多くの方々が札幌にお集まりくださり有難うございます．本ワークショップのために尽力くださった日本知能情報ファジィ学会北海道支部の河口万由香・
村井哲也プログラム共同委員長をはじめ北海道支部関係者の方々には，ここで改めて御礼申し上げます．
また，来年は同じく北海学園大学で ISCIIA2012 (International Symposiumon Computational Intelligence and Industrial Applications) が開催されます．
シンポジウムには道内を巡りながらラウンド・テーブル・ディスカッションの計画もあります．ISCIIA は隔年で開催され，第 1 回は 2004 年に中国の海南島，
第 2 回は 2006 年に中国の広州，第 3 回は 2008 年に中国の大理，昨年 2010 年は中国ハルビンで開催されました．毎回日本知能情報ファジィ学会や IFSA の後援をいただいています．いままで中国大陸ばかりで開催されていた国際会議を日本で初めて開催します．皆様のふるってのご参加を期待しております．
親学会の名称も日本ファジィ学会から日本知能情報ファジィ学会と変更され，
狭い意味での「あいまい性」を考える学会から，広く学際領域を扱う学会へと分野の広がりを期待されています．同様に本ソフトサイエンス・ワークショップがより幅広い新しい領域へとその内容を広げ，益々，発展していくことを祈念しております．

第21回ソフトサイエンスワークショップ講演論文集
目次
特別講演
確率とファジィ測度の同型写像による態度分析 ················································ 1
塚本弥八郎（名城大学名誉教授）

企画講演
ファジィ論理のほとんど全て（22）―直観主義的ファジィ論理（とその背景）― ·················································· 7
中島信之（富山大学名誉教授）

一般講演
Ａ１：可能性理論・意思決定
1. 一般の必然性測度を用いるファジィ線形計画法は線形性を損なわない ····················· 13
乾口雅弘（大阪大学）
2. 輸送問題と遺伝的アルゴリズムによる輸送コストマネジメント手法························ 17
安高真一郎（大阪国際大学）
3. 内部従属AHPの総合重要度の一表現 ······················································· 21
大西真一，齋藤達彦，山ノ井髙洋（北海学園大学），今井英幸（北海道大学）
4. ファジィ指数型AHPによる一対比較値の考察··············································· 23
小谷直也（大阪国際大学）
Ｂ１：ファジィ数学
5. ファジィ数空間上のベキ級数についてⅣ ················································· 27
稲井田次郎（日本大学）
6. 補償型・非補償型モデルとショケ積分モデル― 補償型・非補償型の中間のモデルとその程度の推定 ― ································ 31
高萩栄一郎（専修大学）
7. 自由モノイドから見た[ファジィ][マルチ]集合 ··········································· 35
村井哲也（北海道大学），宮本定明（筑波大学），乾口雅弘（大阪大学），
工藤康生（室蘭工業大学），赤間世紀（C-Republic）
8. Suppressed Fuzzy c-Means の挙動分析およびパラメータ決定法 ····························· 39
淺木宏視，河口万由香，宮腰政明（北海道大学）
Ａ２：心理・感性9. Building Multi-attribute Decision Model under Hybrid Uncertainty·························· 43
Junzo Watada and Nureize Arbaiy（早稲田大学）
10. 曖昧さの理由 ·········································································· 47
竹村和久（早稲田大学），松本丈広（早稲田大学），若山大樹（駒沢大学）
11. 勉強時ＢＧＭの感性とパフォーマンスからみた適性······································ 51
北村裕美子，中村和男（長岡技術科学大学）
12. ラフ集合を用いたプログラムソースコードからの作者推測の試み························· 53
工藤康生，越前谷 理（室蘭工業大学），村井哲也（北海道大学）

Ｂ２：論理13. 拡張ファジィ論理におけるIFSとHLSの比較―HLSの推論結果が非IFS領域に入る場合―·············································· 55
黄暁玉，小田哲久（愛知工業大学）
14. Formalizing Constructive Discursive Logic ··············································· 59
Seiki Akama（C-Republic） and Tetsuya Murai（北海道大学）
15. ラフ集合の近似概念と音楽コード進行··················································· 63
村井哲也，生方誠希（北海道大学），工藤康生（室蘭工業大学），
赤間世紀（C-Republic）
16. 三段論法を有する論理代数と含意断片論理の対応について ······························· 67
小田智也，河口万由香，宮腰政明（北海道大学）
Ａ３：計測・環境
17. 感性纏覧と教育の課題について ························································· 71
中島洋一（滝川市立明苑中学校）
18. ＳＯＭによる温度ファジィ制御における簡易型パラメータの決定························· 73
松田充夫（大島商船高専），但馬文昭（横浜国立大学），宮武直樹（千葉科学大学）
19. イチョウの黄葉と都市の微気候について（Ⅱ） ·········································· 77
松原健太（法政大学），松田修三（法政大学），小沢和浩（法政大学），
但馬文昭（横浜国立大学），宮武直樹（千葉科学大学）
20. 銀コーティングナノワイヤーの太さと屈折率の測定とプラズモン効果 ···················· 81
但馬文昭（横浜国立大学），西山善郎（横浜国立大学），松田充夫（大島商船高専）
宮武直樹（千葉科学大学），松田修三（法政大学）
Ｂ３：医学・認知21. EEGを用いた脳内活動部位推定法について················································ 85
山ノ井髙洋（北海学園大学），山﨑敏正（九州工業大学）
22. ひらがな単語認知過程における時空間的脳活動 ·········································· 89
豊島 恒（ジャパンテクニカルソフトウェア），
山ノ井髙洋，大西真一（北海学園大学），
山﨑敏正（九州工業大学），
菅野道夫（ソフトコンピューティングヨーロッパセンター），
エリー・サンシェーズ（地中海大学）
23. 中年群および青年群、高齢者群の生涯発達過程における自立関連度認知 ·················· 93
奥田裕紀（金城大学）

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）確率とファジィ測度の同型写像による態度分析
Isomorphism between probability and fuzzy measureswith its applications to attitude analysis
塚本弥八郎
Yahachiro Tsukamoto
名城大学名誉教授
Emeritus Professor, Meijo University
abstract: There exists an isomorphism between probability space and fuzzy measure space consistingof essential 0-1 necessity measure, λ-fuzzy measures and essential 0-1 possibility measure. This
presentation shows the derivation of such an isomorphic mapping, its applications to analysis of risk
averters or uncertainty averters, and a way to automatically generate an appropriate modal verb withthe use of truth qualification technique. In addition, some other studies than those described above will
also be briefly presented.
keywords: probability, Φs -transformation, fuzzy measures, linguisistic measures, risk averter,
truth qualification, modal verbs in everyday life








はじめに

1

本稿では, 確率とファジィ測度の同型写像について次Φs (u) =節で簡単に述べ, その応用として, 第３節でリスク態度の記述, 第４節で Allais Paradox の解法について, 第
ただし,

５節では日常英会話における Modality の使用法との[u]u

if s = 0
if s = 1

1 − [1 − u]su − 1s−1

if s = ∞{関連について具体例を参照しながら述べる. なお, 第４[u] =節までは過去の研究であり, 第５節は新しく, 「日常用else

0 if u = 0
1 if u ̸= 0

語における真理値限定とその逆問題」について述べて
さらに,

いる.

∀s ∈ [0, ∞] :2Φs (0) = 0.

ただし，s = 0, 1, ∞ での Φs は L’hopital’s Rule から

Φs -変換も導くことができる.

本稿で述べる写像は Φs -変換と呼ばれるもので, それ例)：ここでは十分条件を示すものとして, 確率測度にこの変換を行いファジィ測度を得ることを示す.
確率の加法性は以下のように表される.

は関数方程式:f (u + v) = f (u) + f (v) + (s − 1)f (u)f (v), s ∈ [0, ∞]を解くことにより導出される (塚本 [5]). これはまた∀A, B ∈ X : A ∩ B = ∅ → P (A ∪ B) = P (A) + P (B)M.J.Frank[2] の t-norm の Multicative Generator で簡単のために, P (A) = u, P (B) = v とおく.
上式右辺の Φs -変換に注目する.

もある.
以下で, 最初の [0, 1] は確率測度の, 最後の [0, 1] は(ファジィ測度の Codomain を表し, また, [0, ∞] はパラ

Φs (u + v) = (su+v − 1)/(s − 1))

= (su − 1) + (sv − 1) + (su − 1)(sv − 1) /(s − 1)= Φs (u) + Φs (v) + (s − 1)Φs (u)Φs (v)

メータ s の値域である.

Φ : [0, 1] × [0, ∞] → [0, 1]

Φs (1) = 1,

上式は s = 0, ∞ を除けば, 菅野の λ ファジィ測度 (菅野,(1)

室伏 [9]) に他ならない, ただし, λ = s − 1.

1

3は A ≻ B（C ≺ D）という選択がなされるという２つ

リスク態度分析への応用についての前提から出発する. ただし, B(40(0.8), 0(0.2)) など
リスク態度分析では, パラメータ s は, ヒトが確実性

は確率 0.8 で賞金 40 万円が貰える抽選券であることを重視か可能性重視かといった態度を表すものとして理意味する. 以下, A ≻ B を前提１,（C ≺ D）を前提２解する. すぐ前に述べた ∀s ∈ [0, ∞] : Φs (1) = 1 は,と呼ぶことにする.

確率が１のとき（それは現実または過去の事実として）
主観的傾向にかかわらずファジィ測度も１となること

これらの２つの選択を説明しようとする４つのモデル（塚本 [12]）について考える.

を, また, ∀s ∈ [0, ∞] : Φs (0) = 0 は, 完全な偽命題については, 主観的態度にかかわらずファジィ測度も 04.1であることを物語る.
さて, 扱いやすく s の値域を以下のように [0, 1] へと

期待利得最大仮説

賞金の期待値の大きい方が選択されると仮説する.

変換する.

ξ : [0, ∞] → [0, 1]
1√
ξ(s) =
1+ s

E(A) = 30, E(B) = 32
最初の選択で, E(A) < E(B) となり前提１と合わない.

(2)

何程か確実性重視を示唆している.

ポーラーケースとして, s = 0(ξ = 1) のとき es-sential 0-1 possibility measure に, s = ∞(ξ = 0) で

4.2

期待効用最大仮説

は, essential 0-1 necessity measure（付録１）に, また,
賞金の効用 U の期待値の大きい方を選択すると仮定.

s = 1(ξ = 0.5) では確率をそのまま受けとめる恒等写像となる. ξ が大きい（小さい）とき, 確率を過大（過E(U (A)) = U (30),E(U (B)) = 0.8U (40)少）に評価する態度に対応する. この ξ の値域を全体E(U (C)) = 0.25U (30),集合とするファジィ集合を言語的ファジィ測度として定義し, 日常的様相言語, たとえば, kind of possible,E(U (D)) = 0.2U (40)前提１からは, U (30) > 0.8U (40),not very probable などと対応させようとした研究は塚本（[6], [7], [10]）に見られる.

前提２からは, U (30) < 0.8U (40)となり矛盾し, この仮説でもうまく説明できない.

ここでは留意事項として, 確実性重視-可能性重視の軸と楽天的-悲観的の軸との違いについて述べておこう.

4.3

事前に判断する事柄が祝福されるべきものであるとき（たとえば, 合格）, 可能性重視は楽天的と捉えること

IEV 最大仮説

これは Yager により提案された修正確率1 を用いるができるが, そうでない（不合格）とき, 可能性重視は方法で, パラメータ α が大きいほど楽観的, 0 に近いほ

悲観的と同意語となる. いま, 合格, 不合格が確率が５

ど悲観的とするモデルである. ４つの抽選券の IEV を分５分としよう. 可能性重視 (ξ > 0.5) ということは計算する.

ファジィ測度の値は G(“合格”) も G(“不合格”) も 0.5よりも大きくなる. 他方, 楽天的態度とは合格の確率をIEV (A) = 30

大きめに, 不合格の確率を小さめに受けとめることを

IEV (B) = 32α/(0.2 + 0.6α)意味する. 前者の軸は様相論理での必然性と可能性に

IEV (C) = 30α/(3 − 2α)

対応していることに留意する.

4

IEV (D) = 40α/(4 − 3α)
前提１から, α < 0.4286, 前提２から, 0 < α を得る.

Allais の反例の４つの解法

まとめて,

0 < α < 0.4286

Allais の問題とはまず次のような４つの抽選券：
A(30(1), 0(0)), B(40(0.8), 0(0.2)),
C(30(0.25), 0(0.75)), D(40(0.2), 0(0.8))

1 次式で修正された確率により期待利得を計算する.

p′1 =について, A と B（C と D) のどちらかの選択で, 通常

2

αp1
,
αp1 + (1 − α)p2p′2 = 1 − p′1

(3)

4.4

CIFM 最大仮説

CIFM は (Choquet Integral with respect to Fuzzy
Measures（付録 2）) のことで, これは確率を Φs -変換

5

日常英会話に見る Modality

5.1

真理値限定など

かなり以前に, L.A.Zadeh(Zadeh[1]) により示されたして得るファジィ測度による賞金のショケ積分値で比真理値限定 (Truth Qualification) は良く知られている

較するモデルである.

が, そこでは言語的真理値 (LTV) の使用による数理的CIF M (A) =30

CIF M (B) =40Φs (0.8)

確率を Φs -変換して得るファジィ測度の値は, 真理値

CIF M (C) =30Φs (0.25)

限定と関連させて考えるとき,TQ の理論での LTV に

CIF M (D) =40Φs (0.2)

方法（付録４）が示されている.

対応する数値的真理値 (NTV) と位置づけることができる.
以下では, 言語的確率や言語的可能性を使った真理前提条件を満たす (2) 式の ξ は以下のようになる.

値限定問題について, 具体的な文例に基づいて述べる.

0.25 < ξ < 0.41

4.5

(4)

5.2

考察

言語的確率表現と TQ

The future conditional と言われる表現にたとえば
Allais の問題は, 期待利得と期待効用最大仮説では説明できない. IEV 最大仮説ではそれなりにリスク回避者の選択ということで説明可能であるが, α の値が 0以下のようなものがある.

I1:

If I study, I will get an A.

I2:

If I study, I must get an A.

と思われる.

I3:

If I study, I should get an A.

CIFM 最大仮説ではそれなりのリスク回避者の程度が表現されていると思われるがどうであろうか. すな

I4:

If I study, I may get an A.

わち, IEV 値の使用の場合と違って, ξ の値が 0.25 以下

I5:

If I study, I might get an A.

I6:

If I study, I could get an A.

に近いところまで含むのが不自然である. 極端なリス
ク回避者は抽選券 C と D では明らかに C を選択するのとき, C を選択する.

4.3 節（4.4 節）に述べたことは risk averters (uncertainty averters) の態度に対応することに注意する.
Things (not) to be wished を高め（低め）に評価す

文の原型としては, ”I get an A.”

で, どれも未来のことなのだが, いろいろ変化する. 英会話では, will はるのは, まさに, 楽観的態度であり, その逆の組合せ

the most likely, might は the least likely のときによくは悲観的態度を表している. Allais の問題では, 悪い

使われる.

方の Outcome（賞金）が 0 であることにより, 隠さ

未来についてのことだから未来形を使うというより2れてしまった感がある . 4.4 節のモデルは事柄の善しは, 未来のことなので分からない部分があり, その分か悪しによらず, 不確実さを回避したいという意味でのらなさの程度に応じて, modal verbs で使い分けていuncertainty averter の態度を表している.3
総合評価においては確実性重視と可能性重視から得る CIFM を使い分けることができる. なお, 確率的状

る. いま, might を使うべき学生が, will でものを言っ況あるいはリスク態度の表現が言語的であれば, 総合

truth status は true (or unitary truth value) に近いも評価値の出力もまたファジィ集合となる.

のとなるであろう4 .

たとしよう. そうすると, 原型の ”I get an A.” の真理値（truth status) は低くなる. might を使えば, その

さて, 以下のような文構成を考える.

2 積分は, 畢竟, 積和であり積において一方が常に 0 のとき, もう
一つがどんな変化をしても反映されない
3 日常生活ではリスクを避けようとする行動や逆に適当な不安を求める行為も多々見られる. 通常は適度の回避行動が必要だが, 過度の回避からはモラルハザードが起きたり, 病的にさえなりかねない.
他方, まったくの無頓着は周囲に大きな迷惑をかもし出すことになる.

4 このような使い分けは, 人々は日常会話といえども, その発言内容が true に近いものになるように自然に努力していると考えることができる. そうでないとき, たとえば, ハッタリ, ごまかし, うやむ
やなどとなって, 情報交換が滑らかに行われないことになる.

3

おのずと違ってくる.

I7:

It is the most likely that I will get an A.

I8:

It is probable that I will get an A.

I9:

It is likely that I will get an A.

(s2):The way things are going, I will probably pass it.

I10:

It is not very probable that I will get an A.

(S3):The way things are going, I will possibly pass it.

I11:

It is the least likely that I will get an A.

(S1):The way things are going, I will certainly pass it.

いま, 自分の普段の勉強状況から, (S2) がもっとも自上の文で that 以下に登場する will は, この場合単然に聞こえる表現だとしよう. このとき (S1) で発話すに tense 合わせの意味で, これと, たとえば, the least

ると文全体の truthfulness は低くなる. また, (S3) をlikely が合わさって, I might get an A. となると考え使うと文全体の truth status は高くはなるが, あまりるとその構造が見えてくる. 上の I10 で,に当たり前のことを言っただけということで何らかの

not very probable などは確率の言語的表現であると考えられる. 少し長くなるが情報を提供しているとは言い難くなる.
確率的状況にありながら, こうした主観的確信に基““I will get an A” is not very probable” is true.
のように書けば明らかである. このときもし, most

づいて発話する言葉が, また, 多岐に亘る.

likely を使うと, 真理値限定の理論にしたがえば, その
truth status は自動的に変化して以下のようになろう.
““I will get an A” is the most likely” is rather false.

I12:

certain ( least certain, somewhat certain,
almost certain, most certain)

以上述べたことは未来について比較的冷静な立場での表現についてである.

I13:

sure ( can be sure, be totally sure)

I14:

believe (with evidence)

I15:

confident (with evidence)

I16:

should (expect, hope)

I17:

100 ％ positive

この考え方は可能性限定, あるいは必然性限定ともつながるものである.

5.3

可能性限定

ここでは可能性-必然性の軸での真理値限定について

さらに, Intention の表現には, 強い意志表示, 義務感か考える. 0-1 possible と 0-1 necessary の中間に位置す

ら来る意思表示, どちらかと言えばといった弱い意志,

る言葉がいくつもある. たとえば,意図などさまざまな日常用語が使い分けられている.5

possible, sort of possible, probable,
somehow certain, certain.

6

おわりに

上の言葉には順序性が見られると同時にオーバラッ
本稿では, 確率の Φs -変換とこの変換により得るファ

プする部分が多い. 文献 Tsukamoto[6] では, これら

ジィ測度を使った応用について述べた.

の言葉を言語的測度と呼び, 前出 (2) 式で定義した ξの値域を全体集合とするファジィ集合を簡単な実験に今回, 特別講演にご招待くださいました山ノ井高洋

基づいて定めている. ただし, 本稿では, NTV で語る先生（北海学園大学工学部), 河口万由香先生, 村井哲

possibility qualification として考えると, 前に述べた5 強い意志表示：
I would not be caught dead wearing that hat.
Nothing is going to stop me from winning.
I am definitely going home early tonight.

ように, Φs -変換して得るファジィ測度の値は LTV に代わる数値的真理値 (NTV) と位置づけることができる. 文例を使って説明しよう. 自分の普段の勉強状況

義務感から生じた意志
I have to do home work.
I am supposed to visit her tonight.
I am planning to attend the meeting tomorrow.

から, ある程度, 確率についての判断をしつつも, 合格の「可能性」を重視して物事を考えるのか, あるいは,「確実性」を強く意識してものを見るのか, ではかなり意図の表現
I did not mean to hurt her.

異なり, こうした主観のフィルターを通しての発話も4也先生（北海道大学大学院情報科学研究科）に心から[11] 塚本弥八郎：不確実性を伴う意思決定問題のファ御礼申し上げます.

ジィ測度論による分析，講座ファジィ第 14 巻，ファまた, 本稿をまとめるにあたり貴重なご議論いただ

ジィ理論と人文社会科学，日本ファジィ学会編, 日いた畑中美穂先生（名城大学人間学部）に謝意を表し

刊工業新聞社, pp.148-170, 1994

ます.

[12] Y.Tsukamoto : アレの反例をめぐる四つのモデル,
第６回東海ファジィ研究会講演論文集, pp.39-46,
1998

参考文献

[13] 高萩栄一郎：重要度と λ による λ ファジィ測度の[1] L. A. Zadeh, “The concept of linguistic vari-

同定について，知能と情報 (日本知能情報ファジィ

able and its application to approximate reasoning Part 1,2,3”, Information Sciences, Vol.8, 9学会誌)，Vol.12, No.5, pp.665-676, 2000

(1975, 1976)[14] 塚 本 弥 八 郎：婉 曲 表 現 生 成 ア ル ゴ リ ズ ム の 基
礎研究 第 16 回人工知能全国大会講演論文集[2] M.J. Frank, “On the simultaneous associativityof F (x, y) and x + y − F (x, y)”, Aequ. Mathe-（CDROM), 2002

matics, 19, pp.194-226, 1979[15] Y. Tsukamoto and Xi. Zhou : Cost Analysis of
Joint Products with the Use of Fuzzy Integral,
知能と情報，Vol 14, No.4, pp. 384-392, 2002

[3] Y.Tsukamoto : On density function of λ-fuzzymeasureProc.of Joint Congress on Applied System Research and Cybernetics, Acapulco,1980[16] 室伏俊明他：特集「ファジィ測度・積分」, 知能と情報 Vol.16, No.4, pp.2-35, 2004

[4] Y.Tsukamoto : A Measure Theoretic Approach[17] R. Carter and M. McCarthy : Cambridge Gram-to Evaluation of Fuzzy Set Defined on Probability Space, Journal of Fuzzy Mathematics, Journal of Fuzzy Mathematics, Vol.3, pp.89-98, 1982

mer of English, Cambridge University Press,
2006[5] 塚本弥八郎 : 確率とファジィ測度の同形性, 計測
自動制御学会論文集, Vol.19, No.3, pp83-85, 1983[18] V. Torra and Y. Narukawa：Modeling Decisions,(Chapter 5. Fuzzy Measures, Chapter 6. From
the Weighted Mean to Fuzzy Integral), Springer,
2008[6] Y. Tsukamoto and M. Hatano：Fuzzy Statement Formation by means of Linguistic Mea-

[19] 藤本勝成：「入門：ファジィ測度とその周辺，第１回〜第４回，知能と情報，Vol.20, No.2, No.3,

sures, Proc. of IFAC Symposium, pp.129-134,
Marseille, 1983

No.4, No.5, 2008[7] Y. Tsukamoto：A theory of linguistic fuzzy mea[20] 高萩栄一郎：可変ファジィ測度によるショケ積分
モデル，第 19 回ソフトサイエンス・ワークショッ

sures, 名城商学, 名城大学商学会, Vol.36, No.4,
pp8-24, 1987

プ講演論文集 (日本知能情報ファジィ学会 ソフト[8] 廣田薫編：ファジィシステム, (塚本：第３章 ファジィ測度), 計測自動制御学会, 1990

サイエンス研究部会主催), pp.111-114, 2009[9] 菅野道夫，室伏俊明 : 講座ファジィ第３巻, ファ[21] 竹村和久, 大久保重孝： 特集「曖昧さの心理学」,
知能と情報，Vol.22, No.4, pp.13-20, 2010

ジィ測度, 日本ファジィ学会編, 日刊工業新聞社,

1993[10] Y. Tsukamoto：A Fuzzy Measure Model of Uncertainty Averter, Proc. of 1st Asian Fuzzy Systems
Symposium, Singapore, pp918-923, 1993

連絡先
塚本弥八郎

E-mail: yytsukamoto@ac．auone-net．jp5付録１：記号と定義など

このとき, Eq.(5) は次の Eq.(6) 式でも表すことがでI で実数 R 上の閉区間 [0, 1], ∅ で空集合, また, R のBorel Field を B で表す. (R, B, G) を G の測度空間ときる.

f (x) =

呼ぶ. 本稿では, G(∅) = 0, G(R) = 1 を満たす集合関m∑(ai − ai−1 )XBi (x), (a0 = 0)

(6)

i=1

数 G : B → I を扱う.

ショケ積分は上の単関数表現から次式で定義される.

∃B ∈ B についての0-1 可能性測度：{
1
if A ∩ B ̸= ∅∀A ∈ B : Π∗B (A) =0
if A ∩ B = ∅

定義 1

∫
(c)

f (x)dG =m∑(ai − ai−1 )G(Bi )

(7)

i=1

定義 2 ∃B ∈ B についての{ 0-1 必然性測度：
1
if A ⊃ B∀A ∈ B : NB∗ (A) =0
if not付録３：補題
確率が密度関数 ρ により与えられているとき,

定義 3 可能性測度は以下の性質をもつ集合関数：

T = {u | ρ(u) > 0}

∀A, B ∈ B : Π(A ∪ B) = max{Π(A), Π(B)}と定める.
定義 4 必然性測度は以下の性質をもつ集合関数：

補題 1 ∀A ∈ B : Π∗T (A) = Φs=0 (P (A)),

a.e.
A が Null Sets の と き 常 に 0 と な る の で,∀A, B ∈ B : N (A ∩ B) = min{N (A), N (B)}almost everywhere でしか成立しないが, この点を考慮した上で, Π∗T は Φs=0 により P と準同型で定義 5 適当な性質をもつ２つの集合関数 F と G について, G が F に準同型とはある.

∃ϕ ∈ G(B)F (B) : G = ϕ ◦ F

補題 2

NT∗ は Φs=∞ により P と準同型である.

定義 6 定義 5 で ϕ が連続かつ全単射のとき, F と Gは同型, または, G は ϕ により F と同型という.

付録４：真理値限定とその逆問題
A, H, LT V で, 順に, Hedge, Adjective, Linguistic
truth value を表すものとする.
通常の真理値限定とは, “X is A” is u-true, の下で,

付録２：ショケ積分
集合 X = {x} の部分集合 Ai (i = 1, 2, . . . , m) の定

T ruth(H, A) = LT V

義関数を XAi (x) で表す． f : X → [0, ∞) が以下の単関数で与えられているとする.

f (x) =m∑ai XAi (x)において, LT V が与えられて適切な H を探すことを,また, その逆問題とは H を与えて LT V を求めること(5)を意味する.

i=1

ただし,

本稿での真理値限定とは,

Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j)
T ruth(P r, LM ) = N T V

0 ≤ a1 ≤ · · · ≤ am .

において, P r と N T V を与えて適切な LM を探すこBi (i = 1, . . . , m) を以下のように定める,とを, また, その逆問題とは P r と LM を与えて N T V

Bi = Ai ∪ Ai+1 ∪ · · · ∪ Am .

を求めることを意味する.

6

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）ファジィ論理のほとんど全て（22）— 直観主義的ファジィ論理（とその背景） —中島 信之
NAKAJIMA, Nobuyuki

概要 本発表では，直観主義的ファジィ論理について解説する．そのために必要な，➀論理と集合論と数学の関係，➁基礎となる直観論理と集合論と数学，➂証明方法としての LK と LJ，などについて説明する．単位区間 [0,1] 上の直観（主義的）論理を直観主義的ファジィ論理といい，[0,1] の代数的演算を加味したものを単にファジィ論理という．これらについて解説する．
鍵言葉

1

論理，集合論，数学，ファジィ論理，ファジィ集合論，ファジィ数学

はじめにところで，われわれにお馴染みのウカシエヴィッツの多値論理はなぜ出てこない？

ファジィ論理の歴史をひもとき，その始まりを考え

どこに消えた？

このことに関して，竹内ら [9] は「ウカシエヴィッ

ると，4 つの起源にたどり着く1 ．

ツの論理では，P ∧ (P ⊃ Q). ⊃ Q は成り立たない．

➀あいまいさのファジィ論理➁回路のファジィ論理

これを集合論の言葉に翻訳すれば，外延の公理が成り立たないということである．
」と書く．外延3 の公理と➂ファジィ・アルゴリズム➃ ザデーのファジィ論理

は，公理的集合論 ZF4 の 10 個の公理の 1 で，∀x(x ∈ a ≡ x ∈ b) → a = b

1970 年代の末から，2 つの新たなファジィ論理の芽が生まれた．1 つがパヴェルカのファジィ論理（これは公理や推論規則もファジィ化した）で，もう 1 つはである5 （『岩波・数学辞典』）．

直観主義的ファジィ論理である．今回の発表は後者に成り立たないということ，すなわち，ウカシエヴィッ

ついてである．

ツの多値論理は集合論を生み出しえない，ということ

外延性の公理を満たさないということは，集合論が直観主義的ファジィ論理は竹内と千谷によって始めである．

られた．竹内氏は古くからファジィ論理に関心をもって

竹内らは「論理学の観点からは，各論理は対応するおられた（たとえば，『線形代数と量子力学』[6]，1981）．

集合論をもつ6 ．
」（[9]）という．集合論をともなわない

なぜファジィ論理（なんぞ）に？と — 正直なところ

ウカシエヴィッツの多値論理は，この観点からすれば，— 不審に思ったものだった．
さあて，わたしの『ファジィ論理のほとんど全て』もそろそろ佳境に入ってきて（！），直観主義的ファ

論理学欠格である．わたし個人としては，集合論をとジィ論理の読解からいつまでも逃れているわけにもいがファジィ集合論に，そしてファジィ数学につながっ

かなくなった．理解できぬまま — 無理矢理 — 読みていると知ったからだと拝察する．ただし，そのファもなわない論理学もアリ，だと思うが，それはそれ．
竹内氏がファジィ論理に関心をもった理由は，それ進めてみると，それまでわからなかったことが，少しジィ論理は直観主義的ファジィ論理であって，ザデー

ずつ見えてきた．最も役に立ったのが竹内の『数学的（やわれわれ）の考えるウカシエヴィッツの含意をもつ世界』[7] であった．かれは，この書の「新しい論理，

ファジィ論理ではない．

新しい数学」（p.62〜）以降で，新しい論理として，➀本論文では，まず，論理学と集合論と数学の関係に

直観論理，➁真偽以外の中間の値をいくつかとる論理，

ついて，竹内の考えを（わたしなりに解釈して）紹介➂量子論理の 3 つをあげる（p.65）．ファジィ論理は➁の中に含まれている2 ．

3 たとえば，集合の定義としては，要素を列挙する外延と，性質による内包とがある．
4 ZF は Zelmelo-Fraenkel の集合論の謂い．
5 「P ∧ (P ⊃ Q). ⊃ Q が成り立たなければ外延性の公理がが成り立たない」をどう証明したらいいかわからなかった．畏友の近藤通朗氏（数理論理学が専門）に尋ねたが，わからないとの返答であった．竹内先生を信じて，そのままでご勘弁いただく．
6「each logic has its correseponding set theory」で，「should
have」でない．のちに論じる．

1 「ファジィ推論の論理」というのも入れるべきか，と考え始めている．
2 とは明記されていない．ファジィ集合が「数学の外で発生して，最近さかんに研究されて」いる．

7

し，そのあとで直観主義的ファジィ論理とファジィ論立っていた「外延性の原理」を突き崩したのである．

理を紹介する．

外延性の原理とは2(V) 9 概念 F の外延が概念 G の外延と同一であるのは，すべての対象 x について，x が F であれば x は論理学主義と不完全性定理

G であり，そして x が G であれば x は F である
場合，またその場合に限る

論理学と集合論と数学の関係といえば，ふつうに考えれば，論理学の上に集合論が乗り，集合論の上に数学が乗る，という図式になるだろう．何かの上に何か

これがどうしてラッセルの逆理によって矛盾にいたるが乗る，とは，何か（の公理系）に何か（公理 — 空

か，など，くわしいことは，三平の「論理主義の現在」

かもしれない）をつけ加えると，何かが得られる，と[3]（pp.160-161）をご覧いただきたい．

いうことである．すなわち，集合論は論理学の公理系

フレーゲ（とデデキント）は撤退したが，（いろんに公理をつけ加えることで，数学は集合論に公理をつな面で）その衣鉢を継いだラッセルは，フレーゲが撤け加えることで，得られる．あるいは，論理学に（直退した地点から出発して，論理主義確立に立ちあがった．かれが自らの逆理を退治するために提唱したのは接）公理をつけ加えることで数学が得られる．
数学を得るために（論理学に）つけ加える公理がも「型の理論」であった．結果はどうだったか．
「残念なし空だったら，数学は論理学の原理だけで構築できるがら，フレーゲやラッセルの試みはことごとく失敗しことになる．もしそうなら，数学の無矛盾性などを論

たか，あるいは成功していないと言わざるをえない．
」

理体系で論じることができるわけだから，たいへん（三平 [3]，p.164）

結構である．こうした立場を論理主義 formalism といもしかしたら奇妙なことというべきかもしれないが，う．論理主義を奉じた数学者・論理学者には超大物の「論理主義が破綻した」という明確な記述はあまりみ

フレーゲやデデキント，ラッセルがいる．

られない．たとえば『岩波・数学辞典』をみても，結論として「この本（『数学原理 Principia Mathematica』）

2.1

で定式化された論理，ならびに……型の理論は，いま論理主義の興亡

なお数理論理学の重要な対象となっている．
」と述べるのみである．

論理主義を初めて唱えたのはフレーゲである．かれ
7は算術 にしっかりした基礎をあたえようとし，そのこれで終わらないところが哲学界である．1960-80

さい，障碍になるのが自然言語と論理の不完全さであ

年代に，論理主義を見なおそうという動きがあった．

ることを見出した．そして，おそらく，かれは論理を（よくはわからないが，）（V）を避けてもフレーゲの整備しているうちに，整備が完了したあかつきには，算術を展開できるのではないか，と考えられるように算術も論理の枠内に収まるのではないかと考えた（だなった（らしい）．そうであれば，論理主義は，完全

ろうと，想像する）．事実，かれはその証明に成功しに息の根を止められたわけではない，ということにな

たと考え，『算術の基本法則 ， 』でまさにその成果るが…．
何はともあれ，これまでの結論としていえるのは：を公刊しつつあった．

論理主義の成立は，かぎりなく黒に近い灰色である，だが，第 巻の最終校正のさなかに，ラッセルからというところか．

手紙が届いた．その手紙は，いわゆるラッセルの逆理 paradox を伝えていた．ラッセルの逆理とは，R ={x | x ∈/ x} とおくと，

2.2

R ∈ R ⇐⇒ R ∈/R

不完全性定理ゲーデルには，完全性定理と不完全性定理がある．

というものである8 ．この逆理が，フレーゲの拠って完全性定理とは「古典 1 階述語論理は完全である．
」
いいかえると，1 階述語論理では，証明可能な命題は

7 「算術」というと，何となく昔の小学校の「算数」のようなお真であり，真なる命題は証明可能である．

もむきがあるが，図形の数学である幾何学 geometry に対して，数の数学である arithmetic をこうよぶ．なお，フレーゲは，幾何学の方は，論理に還元しえない空間的直観に基づくと見なされるので，論理主義は適用されず，算術に限定される，と考えていた（三平 [3]，p.151）．
8 三平 [3]，pp.160-161 を見ると，ラッセルの逆理はこれと違っていたようにも思えた．ラッセルの書簡の訳が『フレーゲ著作集 6
書簡集・付［日記］』にあるので，興味のあるかたはぜひご覧い
ただきたい．

一方，不完全性定理は（多少の不正確さを覚悟していえば）「古典論理（公理系）に新たな公理をつけ加

9 フレーゲが設けた基本法則の第 5(V) 法則であるらしい（飯田 [1]，p.15）．

8¬, ∧, ∨, →, ∀, ∃ のそれぞれに左，右の推論規則がある．

えて得られる理論は不完全である．
」いいかえれば，真10であっても証明できない命題が存在する ．
性定理により古典述語論理は完全であり，その上に乗LJ の推論規則は，千谷 [11]，p.35 以降にも，竹内の『数学基礎論』[5]13 ，p.65 以降にも載せられている

る数学も完全である．

が，LK を変形することによって得られる．すなわち，

もし論理主義が成り立っておれば，ゲーデルの完全

それに対して，もし論理主義が不成立ならば，数学

Γ −→ Δ の，→のうしろの Δ は，LK の有限個の論理は論理学の公理系だけでは足らず，（プラス）何らかの式の列に対して，LJ では空かまたはただ 1 つの論理公理系が必要である．ゆえに，その数学理論（の系）式からなる（千谷 [11]，p.35）．LK のすべての→のは不完全である．

うしろの Δ を D で置きかえ，公理も D −→ D すれ
ば LJ が得られる．

2.3

証明の形式化3

論理学整備の目は，証明にも向けられた．現在証明の手法としては，自然演繹法，シーケント計算，ヒル

論理学と集合論と数学
上で論理主義の成立は，かぎりなく黒に近い灰色だ

ベルト流の 3 つがある．

と書いたが，不成立とすれば，論理学と数学のあいだ

ウィキペディアなどを参考にすると，論理をより自には，（公理系という意味で）段差がある．すなわち，

然なかたちであつかうべきだという考えは，1926 年，

論理学から集合論へと，集合論から数学へという（たポーランドで行われた一連の講義で，論理のより自ぶん）2 つの段階で，公理をつけ加える必要がある．

然なあつかいを主張したウカシエヴィッツに始まっただが，完全性という点では，論理学から集合論へ進ようである．これと独立に，1935 年，ゲンツェンにんだ段階で，すでに失われており，集合論から数学へ

よって学位論文として提案されたのが自然演繹 naturalの段階では — 不完全から不完全に移るだけで — さdeduction である．だが，かれは自らそれを使ったが，あまりに複雑で，新たな証明の道具の必要性を感じた．
その結果がシーケント計算である．

らに失うものはない．竹内は，くりかえし，「現代数[7]，p.11）あるいは「集合論は現代数学をその内部にそれに対して，ヒルベルト流はあまり由来がはっき含む体系です14 ．
」（同 p.50）と述べる．その際，どうりしない．なぜヒルベルトの名が使われたのかわからいった公理をつけ加えるかは数学による．少なくとも，ない，と書く本もある（鹿島『数理論理学』，現代基論理学の手を離れている．結局のところ，論理学から

礎数学 15，朝倉書店，2009 だったかな？）．

集合論へ進む段階が問題になる．

学は，集合論の内部で構成されます．
」（『数学的世界』

シーケント計算（ゲンツェン流ともいう）とヒルベ
ルト流の最も大きな違いは，ヒルベルト流が複数（古3.1

典論理の場合は 3 つ）の公理と 1 つの推論規則，分離論理学から集合論へ

11

規則（モーダス・ポネンス） とからなるのに対し，論理学と数学の関係といっても，要するに，論理学

シーケント計算は，1 つの公理（α → α）と複数の推と集合論の関係である．

論規則からなる，という点であろう．

集合論

シーケント計算 sequent calculus

最初に「集合論」について解説する．われわれが集

シーケント sequent は「次にくる，順々に続く，連合論と聞いて思い浮かべるのは，（たとえば平面上の）続的な」などを意味する単語であるが，適切な訳語は点を要素とする，いわゆる点集合論であろう．だが，ないようである．

竹内がいう集合論は，そういった個々の集合論ではなシーケント計算には古典論理向けの LK（logistischer

く，いわば「集合論の理論」である．
（数学で用いられ

klassischer Kalkül）と直観論理向けの LJ（logistischer
intuitionistischer Kalkül）とがある12 ．

る）あらゆる集合とその構造（公理系）とからなる体系のことである．したがって，集合論の構築は，➀素

LK の推論規則は，式の構造に関して，増，減，換，材となる集合の生成，➁公理系の設定による．

三段論法（カット）があり，論理記号に関しては，
10 不完全性定理は，理論を完全にしたら矛盾が生じ，無矛盾にす
れば不完全になる，ということでもある．あるいは，自分が正常であることを自身では証明できないこと，を意味する．
11 これに代入規則を加える場合もある．
12 自然演繹の場合は NK と NJ である．

13 いまから 50 年まえ，大学 3 年に数学科に進んで，数学をやる
ならこの書も読むべきかと買ったのは懐かしい思い出だ．今頃になってあらためてページをくるとは思わなかった．
14 集合論は数学をその内部に含むが，同時に，それ自体が数学の一部をなしている，のも確かである．

9ここで，たとえば {a} と a を同一視する17 と A を含む．

「集合論は二つの原理によって構成されます．第一の原理は（最初にのべた）順序数構成の原理です．第

このように，積集合の積集合，さらにその積集合と，二の原理は（次の）積集合の原理です．
」（同 p.54）

次々に積集合をつくっていけば，順次前の集合を含みながら拡大していく．この作業を超限順序数に平行し(1) 順序数構成の原理てくり返す．以下の構成法は竹内 [6]（pp.145-146）でまず順序数（序数）ordinal number とは何かを簡あたえられている．

単に説明する．
（日本人の）われわれには，ちょっとぴ(a) 順序数 0 をつくったとき，V0 を ∅ として構成する．

んとこないが，数には 2 つの数がある．基数と順序数（序数）である．英語でいうと，one，two，three，…

(b) 順序数 α から α+1 をつくるとき，Vα+1 を P(Vα )として構成する．ここで P(V ) は V のベキ集合である．
(c) 極限順序数 α をつくるとき，Vα を β<α Vβ として構成する．

が基数 cardinal number で，ﬁrst，second，third，…
が順序数である（日本語には，こうした区別はない）．
順序数も 1，2，…と表す．
順序数は 1 から始めて 1 の次を 2，2 の次を 3，…

(d) 順序数の生成をつづけるかぎり，Vα の構成をはてしなくつづける．すべての順序数 α についての Vα
の和 α Vα を V と名づける．V がすべての集合を含と順々に生成される．だが，次の次の…という作り方
では，それ以上にはいかない．ではどうするか．見てみよう．

む集合の世界である18 ．

まず空集合 ∅ から出発する．これを（順序数）0 と15する ．次に 0 だけからなる集合 {0} を作る．これを（順序数）1 とする：1 = {0}．ここでわれわれは 2 つ

3.2の順序数 0 と 1 を得たから，次にこれら 2 元からなる集合論の公理系

集合 {0, 1} を作り，これを 2 とする：2 = {0, 1}．これ

すでに何度も述べたように，もし論理主義が成り立を順々にくり返し，n + 1 = {0, 1, . . . , n} とする．こてば，集合論に新たな公理の必要性はない．だが，このようにして，順序数 0, 1, 2, . . . , n, . . . を得る．

れも何回も述べたように，論理主義の成立はかぎりな

ここまでは，それまでに得られた順序数の集合をく黒に近い灰色である．論理主義の成否にかかわらず，

新たな順序数と定めた．この伝でいけば，無限の順集合論はいくつかの公理をもつ．

序数の集合 {0, 1, 2, . . . , n, . . .} もまた新たな順序数

竹内は「集合論で用いられるすべての概念は，論理を定める．これを ω と表す：ω = {0, 1, 2, . . . , }（ω

的概念と，集合 A が集合 B に属する（または元であのような順序数を極限順序数という） ．その次はる，または要素である）という，「属する」という唯一ω + 1 = {0, 1, 2, . . . , ω}，またその次は ω + 2 ={0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1} である．この作業をつづけていけば，（次の）極限順序数 ω + ω が得られる．ω + ω をの基本概念とから構成することができます．
」(*)（『数学的世界』[7]，p.34）と書く．これは，ツェルメロ-フ
ランケルの集合論 ZF の公理を意味するものと理解すω·2 と表し，同様の作業をつづけると ω·3, . . . , ω·n, . . .

べきであろう．

が，そして次の極限順序数 ω · ω = ω 2 が得られる．さ『岩波・数学辞典』の「公理的集合論」の項には ZF

らに ω 3 , . . . , ω n を経過して，極限 ω ω が得られる．この 10 箇の公理が示されている．今も書いたとおり，‘∈’の作業をどこまでもどこまでもつづけることで，あり以外の述語を含まない（とのことである）．名前だけとあらゆる順序数が得られる．

挙げておくと，(2) 積集合の原理

1．外延性公理，2．対の公理，3．和集合の公理，
4．ベキ集合の公理，5．空集合の公理，6．無限積集合とは何か．ある集合の部分集合の全体の集合をこうよぶ（[7]，p.54）．たとえば A = {a, b, c} の部

公理，7．分出公理，8．置換公理，9．正則性公分集合の全体は，理，10．選択公理．

{∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}}である19 ．
竹内らは [9] で，これらの中でも，特に外延性公理

である．A の濃度を |A| と書くと，A の積集合の個数を取りだし，「集合論のこのまさに基本的な原理 this（濃度）は 2|A| である．そこで，積集合を 2A と表す16 ．

very basic principle」とよんだ．
17 先に {∅} を ∅ とは異なるもとのあつかったのに！

15 順序数を 1 から始める場合と 0 から始める場合とがある．

18 すなわち，数学で用いるすべての集合の意であろう．

16 よって，積集合はベキ集合ともよばれる．じつは，ベキ集合の

19 ZF の公理系としては 10 を含まない．1-9 だけのようである．

方がふつうだと思う．

10

4

直観主義的ファジィ論理c, ¬ c = b, ¬ 0 = 1 を得る．

4.1

直観論理

線形モデル [0,1]上で直観論理のモデルは上下非対称と書いたが，[0,1]古典論理が神の論理であるのに対し，直観論理は人は上下対称である．どうなっているかというと，位相の論理だといわれる．古典論理は，すべての命題が真

空間 X の開集合の全体が（もう 1 つの）直観論理のモ

か偽のどちらかであるのに対し，直観論理は，真偽のデルである（竹内 [6]，p.133）．X = [0, 1) とし，[0, x)

判明しない命題の存在を認める．たとえば，双子素数なる X の部分集合を開集合と定義する．この定義に（2 違いの自然数がともに素数であるような対）が無

よって X は cHa になる．

限に存在するかどうかは，現在のところわかっていな
いし，将来においてもわかるという保証はない．
「双子

4.2

素数が無限に存在する」という命題を P と表すと，古典論理は（現在はわかっていないが）P は真か偽のど

直観主義的ファジィ論理

先に，集合論をともなわないので論理学として欠格

ちらかであると主張し，直観論理は P も ¬P も真とであるウカシエヴィッツの多値論理とは対照に，（直観はいいがたい，すなわち，P ∨ ¬P は真でない，と主主義的）ファジィ論理は ‘合格’ である．さらに [0,1] を張する．

真理値とする論理学が直観主義的ファジィ論理になる

直観論理では，「真である」のかわりに「確認するという事実が，以下の論文 (2) で指摘されている．す方法をもっている」を使う．
「双子素数が無限に存在す

なわち，ファジィ命題 ϕ の真理値を [ϕ] で表すとき23 ，る」かどうかについて，われわれは（現在のところ）

含意 ⊃24 がP と ¬P のどちらも確認する方法をもっていない．
直観論理は，古典論理から排中律 P ∨ ¬P を除去(a) (p ⊃ q) = 1 ⇐⇒ p  q,(b) (p ⊃ (q ⊃ r)) = ((p ∧ q) ⊃ r) を満たせば，⊃して得られる．排中律を除くと，それに付随していく

は直観主義の含意，すなわち

1 if p  q
p⊃q=q if p > q

つもの式・法則がうしなわれる．たとえば，2 重否定の法則は半分成り立たない（p → ¬¬p は成り立つが，¬¬p → p は成り立たない）．こうした点は，杉原 [4]，第 4 章にくわしいので，ご覧いただきたい20 ．

である（[10]，pp.2-3，[11]，pp.93-94）．
竹内と千谷の直観主義的ファジィ論理の論文・著書

直観論理の代数には，

ブール代数は古典論理の構造をもつ．このことを古典論理のリンデンバウム代数はブール代数である，と(1) G. Takeuti and S. Titani, Intuitionistic fuzzy logic
and intuitionisitic fuzzy set theory [9], J. of Symbolic
Logic, 49, 851-866, 1984

いう（リンデンバウム代数については近藤 [2] にくわしい）．直観論理のリンデンバウム代数は完備ハイティ(2) G. Takeuti and S. Titani, Fuzzy logic and fuzzy set
theory [10], Archive Mathematical Logic, 32, 1-32,
1992

ング代数 cHa21 である．直観論理では，2 重否定が半分しか成り立たないので，そのモデルの図式は上下非(3) 千谷慧子, 『ファジィの数学的基礎』[11]，講座ファジィ
第 1 巻，日刊工業新聞社, 1992

対称である（杉原 [4]，p.81）．完備束が完全分配則
p∧qi = (p ∧ qi )
i

がある．

i

千谷は [11] で「直観主義的ファジィ論理は，完備ハを満たすとき，cHa である．

イティング代数 [0,1] を真理値集合とする世界の論理有限モデル（非線形）であり，…」と書く（p.93）．単位区間 I =[0,1] は，一菱形を考える．下の頂点を 0，上の頂点を a，左右

般の cHa と異なり，線形全順序かつ稠密である．これの頂点を，それぞれ，b と c とする．さらに，a の上が直観主義的ファジィ論理を特徴づける．

に 1 点をおいて，これを 1 とする．{1, a, b, c, 0} は 5

I-値論理は直観主義的ファジィ論理 IF とよばれ（千谷 [11] は IFL とよぶ（p.96）），I-値集合論は直観主点からなる束である．

義的ファジィ集合論 ZFIF とよばれる．論文 (1) では

x → y = sup{z | x ∧ z  y}

これらの性質を調べた．また I は実数としての算術のとし22 ，¬x = x → 0 とすると，¬ 1 = ¬ a = 0, ¬ b =20 といっても，簡単には手に入らないでしょうが．

23 原典では 2 重カッコである．

21 complete Heyting algebra.

24 含意は ⊃ と書かれたり，→ と書かれたりする．どちらも一長一短である．

22 これは直観論理の定義そのものである．

11

構造をもつ．それらを組み込んだ論理はファジィ論理

このとき，FL の完全性が証明される（(2)，定理 1.4.3

FL とよばれ，集合論はファジィ集合論 FZF とよばれおよび [11]，定理 6.2.3（p.140））．定理 6.2.3 は「FLる．論文 (2) では FL と FZF の性質をそれぞれ調べた．

のすべてのモデルで恒真な論理式は FL で証明可能で

ところで，直観主義的ファジィ論理および直観主義

ある．
」

的ファジィ集合論は論理学と数学の知識を前提にする．

ここでもファジィ集合論については省略する．

それにもかかわらず，数学・論理学の論文であるがゆえだろうが，(1) と (2) では，それらにまったくふれ

5ていない．千谷の著書 (3) は，大はばな修正と少なからぬ磨きをくわわえているだけでなく，数学・論理学

最後に — ファジィ語録
現在わたしは『ファジィ論理のほとんど全て』を書の知識に不案内なわれわれ（ファジィ研究者）を，手きつつある（2006 年以来だから，すでに 5 年になろう

にとって導こうという，企図壮大かつきわめてすぐれとしている）．その中に「ファジィ語録」というページた書である．だが，残念なのは，それでもなおわれわがを設けている．小寺平治氏（愛知教育大名誉教授）

れには取っつきやすいといいがたいことであろう．

はわたしあての私信で「ぼくは，ファジィ数学は，直観主義の special case と思っていましたが，菅野積分

論文 (1) [9]（[11] では第 5 章に相当）
論文 (1) は，I =[0,1] を真理値集合とする直観主義を取ってもそうでない（ルベーグ積分＋直観主義論理的ファジィ論理と直観主義的ファジィ集合論を論じた．

になっていない！）ことに気がつきました．
」と書いた．

I が線形全順序なので，一般の直観論理では成り立たない

このたび，河口氏からメールをいただいたが，「「直観(A −→ B) ∨ (B −→ A)

いと感じて興味が持てなかったのですが、今となって主義的ファジィ論理」を初めて知ったときは視野が狭はとても重要な土台だったのだと思い至り，反省してが成り立つ．

いる次第です．
」とあった．なかなか好一対な発言だと

本論文では，IF の公理系25 をあたえた．LJ の公理系

思う．

に，線形全順序性と稠密性から定まる（[11]，pp.96-7）

6 つの公理と 1 つの推論規則を新たに加えたものである．なお，千谷 [11] では公理は 4 つで，2 つ減って

参考文献

いる．

[1] 飯田隆，論理学と哲学，論理の哲学第 1 章, 講談社選
書メチエ，5-24，2005

そのうえで，系の強完全性を示した（(1)，定理 1.2，
および [11]，定理 5.1.3）．後者定理 5.1.3 は，「IFL の[2] 近藤通朗，ファジィ論理とその代数，日本ファジィ学
会誌，6, 1067-1074, 1994

論理式は，すべての [0,1] 値モデルで恒真ならば IFL[3] 三平正明，論理主義の現在，論理の哲学第 5 章，講談社選書メチエ，149-182, 2005

で証明可能である．
」
第 2 節では直観主義的ファジィ集合論をあつかっているが，今回は省略する（まだ読解できるチカラがな[4] 杉原丈夫，非古典論理学，槇書店，1975

いので）．

[5] 竹内外史, 数学基礎論, 共立出版, 1956
[6] 竹内外史, 線形代数と量子力学, 裳華房, 1981

論文 (2) [10]（[11] では第 6 章に相当）[7] 竹内外史, 数学的世界, 紀伊國屋書店, 1982

千谷 [11] は，実数の演算＋，・，−に「対応する論[8] 竹内外史, 世界ファジィ・コングレスに参加して 2，数学セミナー, 29/2, 64-71, 1990

理演算 ，
・，−26 を直観主義的ファジィ論理に追加し[9] G. Takeuti and S. Titani, Intuitionistic fuzzy logic
and intuitionisitic fuzzy set theory, J. of Symbolic
Logic, 49, 851-866, 1984

たものをファジィ論理（fuzzy logic）と呼ぶ．
」と書く（p.123）．
ファジィ論理 FL の公理系は，推論規則を 2 箇，公[10] G. Takeuti and S. Titani, Fuzzy logic and fuzzy set
theory, Archive Mathematical Logic, 32, 1-32, 1992

理を [10] では 46 箇，[11] では 47 箇の式27 を LJ に加[11] 千谷慧子, ファジィの数学的基礎, 講座ファジィ第 1 巻，日刊工業新聞社, 1992

えて得られる．
25 ここで公理系とは，公理の集まりと推論規則の集まりをいう．

26 原典では−の上に・だが，記号がないので実数演算とおなじ記
号を用いる．
27 これらは「[0,1] 値の世界で常に成り立つ式，すなわち真理値
が恒等的に 1 になる論理式を表し，…」（[11]，P.127）とある．1
箇の違いは A −→ A のようである．もちろんこれら 46 箇ないし
47 箇はすべてが独立ではない．独立なものにしぼるのは容易でな
いと，千谷氏本人から聞いた．

［問い合わせ先］
中島 信之
930-0077 富山市磯部町 2-1-24
TEL & FAX:076-493-2104

12

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）一般の必然性測度を用いるファジィ線形計画法は線形性を損なわない
Fuzzy Linear Programming with General Necessity Measures Preserves the Linearlity.
乾口 雅弘
Masahiro Inuiguchi
大阪大学 大学院 基礎工学研究科
Graduate School of Engineering Science, Osaka University
Abstract: In this paper, treatments of possibilistic linear programming problems by necessity measures
are studied. We show that the necessity fractile optimization model is reduced to a semi-infinite linear
programming problem under several natural conditions on implication functions defying necessity measures.
We show that the problem can be reduced to a linear programming problem when fuzzy parameters havelinear membership functions and implication functions satisfy a certain condition. Moreover, the same
results are given in the case when necessity measures are defined by two modifier functions. We demonstrate
the results when S-, R- and reciprocal R-implications are employed to define necessity measures.

1

はじめに

必然性測度は含意関数 I を与えることにより定めら

通常の数理計画問題では，目的関数や制約条件の係れるが，適切な I を直接与えることは必ずしも容易で数や右辺値は実数値として定められるという前提の下ないことから，A, B に度合 h に応じた修飾子母関数で扱われてきた．しかし，現実の問題においては，環境変動や知識不足により，係数や右辺値が不明確にし

g m , g M : [0, 1]×[0, 1] → [0, 1] を施した mh (A)，Mh (B)の包含関係により定める方法が提案されている [2, 3] ．

か与えられない場合がある．また，目標や制約が漠然

すなわち，後に述べる性質をもつ g m , g M を定め，としか与えられない場合も考えられる．これらの不確

NA (B) ≥ h ⇔ mh (A) ⊆ Mh (B)

実性を扱うための方法の一つとして，可能性計画法が(2)と定めると，次の含意関数をもつ必然性測度が得られる．

提案されている [1]．可能性計画法は ill-posed な問題で明確に記述されていない．可能性測度や必然性測度をI(a, b) = sup{h ∈ [0, 1] | g m (a, h) ≤ g M (b, h)}用いて定式化される．ここでは，ロバスト最適化の一(3)h種となる必然性測度を用いて定式された問題について

ただし，mh (A)，Mh (B) のメンバシップ関数は議論する．従来は，ある特定の含意関数により定められる必然性測度を用いる場合しか考察されてこなかっµmh (A) (u) = g m (µA (u), h),(4)

たが，本研究では，種々の含意関数により定められるµMh (B) (u) = g M (µB (u), h)(5)

必然性測度を用いる場合を考察する．

2と 定 め ら れ る ．特 に ，あ る h

必然性測度
ファジィ集合 A のもとで B の必然性測度は，メンバ

シップ関数 µA ，µB ，含意関数 I : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]

u∈U(0, 1] に 対 し てMの性質が仮定される．

を用いて次式で定義される [2]．

NA (B) = inf I(µA (u), µB (u))∈

g (a, h) = a，g (a, h) = a，∀a ∈ [0, 1] と定めれば，NA (B) ≥ h は包含関係を表す．これより，NA (B) ≥ hは包含関係の一般化とみなされる．g m , g M に対して次m(g1) g m (a, ·)，g M (a, ·) は，それぞれ，任意の a ∈[0, 1] に対して下半連続，上半連続となる．

(1)(I0) I は上半連続関数である．

(g2) 任意の h > 0 に対して，g m (1, h) = g M (1, h)= 1，g m (0, h) = g M (0, h) = 0 となる．
(g3) 任意の a ∈ [0, 1] に対して，g m (a, 0) = 0，

(I1) I(0, 0) = I(0, 1) = I(1, 1) = 1 かつ I(1, 0) = 0となる．

g M (a, 0) = 1 となる．
(g4) 任意の a ∈ [0, 1] に対して，h1 ≥ h2 な(I2) if 0 ≤ c ≤ a ≤ 1 かつ 0 ≤ b ≤ d ≤ 1 ならば，I(a, b) ≤ I(c, d) となる．

らば g m (a, h1 ) ≥ g m (a, h2 )，g M (a, h1 ) ≤ここでは，含意関数 I に対して，次の自然な仮定を置く．

g M (a, h2 ) となる．

13

1.0

1.0

0.8

0.8

Ii (µ
0.6

ATi x

0.6

Bi

0.4

0.4

0.2

0.2

0.0

0

1

2

3

4

5

6

0.0

ATi x

0

1

2

,µ )

Bi

3

4

5

6

i
図 1: ATi x ⊆ Bi と NAT (Bi ) ≥ hi

計画問題として定式化することができる．

(g5) 任意の h ∈ [0, 1] に対して，a ≥ b ならば g m (a,h) ≥ g m (b, h)，g M (a, h) ≥ g M (b, h) となる．

maximizesubject to(g6) 任意の a ∈ (0, 1) に対して，g m (a, 1) > 0，
g M (a, 1) < 1 となる．

t
C T x ⊆ [t, +∞)ATi x ⊆ Bi , i = 1, 2, . . . , mx≥0

修飾子母関数 g m , g M を用いれば，必然性測度(7)

NA (B) が度合 h ∈ (0, 1] 以上であること，すなわち，
この問題を解けば，係数の変動しても制約を満たし，
NA (B) ≥ h が成立することを「ファジィ集合 A を修
目的関数値の最悪値が t で保障されたロバストな解を飾子関数 g m (·, h) で狭め/広げ，ファジィ集合 B を修求めることができる．しかし，包含関係を完全に要請
飾子関数 g M (·, h) で広げ/狭めたときに包含関係が成することは解が存在しなかったり，控えめ過ぎて意思り立つ」ことと意味づけできる．h に応じて，A，B を決定者が満足できない解となることがある．一方，通どのように変えるかを定めることになるので，含意関
常の包含関係より強い包含関係を要請することにより，
数 I を直接与えるより，意思決定者にとってイメージ
よりロバストな解を求めることも考えられる．そこで，しやすい．
本研究では，包含関係の度合付き一般化である必然性
測度を用いて問題を扱うことにする．

3

可能性線形計画問題

必然性測度 N i を用いると，要請する包含関係の意味

係数 cj および aij が明確にわからず，制約条件もだ

はその含意関数 Ii で捕えることができるとともに，度いたい bi 以下であればよいというように曖昧さを含む

合 hi を導入することができる．これにより，問題 (6)線形計画問題，すなわち，可能性線形計画問題

maximizesubjec to

cT x
<
aT
i x ∼ bi , i = 1, 2, ..., mは次のように定式化できる [1]．

maximizesubject to

(6)

x≥0

t
0
0
NC
T x ([t, +∞)) ≥ hiiNAT x (Bi ) ≥ h , i = 1, 2, . . . , m

(8)

i

x≥0
を考える．ただし，c，ai の成分 cj および aij は不明
確で，それぞれ，ファジィ数 Cj ，Aij により制限されi
図 1 に ATi x ⊆ Bi と NAT (Bi ) ≥ h の相違を示す．右る．ファジィ数 M は，任意の h ∈ (0, 1] に対して h-レi
図の場合，条件 AT
i x ⊆ Bi は満たされないが，h = 0.8

ベル集合 [M ]h = {u ∈ U | µM (u) ≥ h} が有界閉区間となる実軸上のファジィ集合である．<∼ bi は「だいたとすることにより，関数 Ii (µAT x (r), µBi (r)) の値が常iiに 0.8 以上にあり，右図は NAT (Bi ) ≥ hi 満たす．たi

い bi より小さい」を表す上半連続で単調減少なメンバ

だし，Ii (a, b) = 1 − a + ab (Reichenbach 含意) である．

シップ関数をもつファジィ集合 Bi により定められる．

本研究では，まず，問題 (8) が半無限線形計画問題に帰着されることを述べる．次が成立する [4]．

不明確な係数 aij が Aij 内で変動しても左辺値の範囲が満足な領域 Bi に包含されるように要請し，目的

NAi (B) ≥ h ⇔ ∀k ∈ [0, 1]; [A]k ⊆ [B]θi (k,h) (9)関数に関しては，係数 cj が変動してもその値が必ず t

ただし，θ(k, h) = inf{s ∈ [0, 1] | I(k, s) ≥ h} である．

以上となる範囲で t を最大化することにすると，次の14LcLj (h) = inf[Cj ]h , cR
j (h) = sup[Cj ]h , aij (h) =R
inf[Aij ]h , aRij (h) = sup[Aij ]h , bi (h) = sup[Bi ]h とすると，問題 (8) は半無限線形計画問題，

maximize t,
subject ton∑cLj (k)xj ≥ t, ∀k ∈ [0, 1], θ0 (k, h0 ) > 0
j=1

n
∑

(10)
R i
i
aR
ij (k)xj ≤ bi (θ (k, h )), ∀k ∈ [0, 1],

j=1

i = 1, 2, . . . , m

図 2: 修飾子母関数 gim , giM で定められる場合

x≥0

が値域 (0, 1) で凹なメンバシップ関数をもてば，に帰着できる．このことから，十分多くの有限個の k ∈{[0, 1] を選べば，問題 (8) は近似的に線形計画問題に帰着できることがわかる．

iiNAT x (Bi ) ≥ h ⇔i[mihi (ATi x)]ϵ ⊆ [Mhi (Bi )]ϵi[mihi (ATi x)]1 ⊆ [Mhi (Bi )]1(13)が成立する．一方，無条件に，i

ここで，ファジィ数 Aij や Bi が線形メンバシップ関数
で定められる場合を考えると，θi (·, hi ) : [0, 1] → [0, 1]が凸関数であれば，問題 (10) は次の線形計画問題に帰着できる．

maximize

T
0
0
0
NC
T x ([t, +∞)) ≥ h ⇔ [mh0 (C x)]ϵ ⊆ [t, +∞)
n
∑

(14)
cLj (h̄0 )xjが成立する．

j=1

ファジィ数 Aij や Bi が線形メンバシップ関数で定め

subject to
n
∑
i
R i
aR
ij (ϵ)xj ≤ bi (θ (ϵ, h )), i = 1, 2, . . . , m
j=1n∑られる場合には，式 (4)，(5) より，gim (·, hi ) : [0, 1] →[0, 1]，giM (·, hi ) : [0, 1] → [0, 1] がそれぞれ，値域 (0, 1)で凸関数，凹関数であれば，問題 (8) は次の線形計画

i
R i
aR
ij (1)xj ≤ bi (θ (1, h )), i = 1, 2, . . . , m

問題に帰着する．

j=1

x≥0
(11)

maximize

ただし，h̄0 = sup{k ∈ [0, 1] | θ0 (k, h0 ) > 0} で，ϵ はn∑cLj (g0m∗ (ϵ, h0 ))xj

j=1

subject to
n
∑
m∗
i
R M∗
(ϵ, hi )),aR
ij (gi (ϵ, h ))xj ≤ bi (gi

十分小さい正数である．
一方，ファジィ数 Aij や Bi が線形メンバシップ関数
で定められる場合に，θi (·, hi ) : [0, 1] → [0, 1] が凹関数

j=1

i = 1, 2, . . . , m

であれば，問題 (10) は緩和法 [4] と二分法とを併用すn∑

ることにより，解くことができるが詳細は省略する．
次 に 必 然 性 測 度 N i が 修 飾 子 母 関 数 gim ,giM
で 定 め ら れ る 場 合 を 考 え る ．こ の 場 合 ，制 約 条 件

(15)

m∗
i
R M∗
aR
(1, hi )),ij (gi (1, h ))xj ≤ bi (gij=1

i = 1, 2, . . . , m

0
0
i
i
NC
T x ([t, +∞)) ≥ h ，NAT x (Bi ) ≥ h は，それぞれ，

x≥0

i

i
m0h0 (C T x) ⊆ [t, +∞), mihi (ATi x) ⊆ Mhi (Bi ), (12)一方，ファジィ数 Aij や Bi が線形メンバシップ関数で定められる場合に，gim (·, hi ) : [0, 1] → [0, 1]，

giM (·, hi ) : [0, 1] → [0, 1] がそれぞれ，値域 (0, 1) で凹関数，凸関数であれば，問題 (8) は緩和法 [4] と二分と表される．ただし，mihi , Mhi i は gim , giM および hiに依存して定められる．
この場合，図 2 に示すように，mihi (ATi x) が値域法とを併用することにより，解くことができるが詳細(0, 1) で凸なメンバシップ関数をもち，かつ，Mhi i (Bi )は省略する．

15

S-含意，R-含意，対偶 R-含意の場合

4が凸関数となる t-ノルム t で定められる対偶 R-含意

仮定し，必然性測度を定める含意関数が S-含意，R-含ii
I r−R [t, n] であれば，条件 NA
T x (Bi ) ≥ h は 2 本の連i
立線形不等式条件に帰着できる．

意，対偶 R-含意である問題 (8) を考察しよう．S-含意，

最後に，S-含意 I S [t, n] の場合を考えよう．この場

R-含意，対偶 R-含意は，四つの性質，(t1) t(a, 1) = a,合，θ(·, hi ) の凸性を直接示すことは容易ではない．そ∀a ∈ [0, 1], (t2) t(a, b) = t(b, a), ∀a, b ∈ [0, 1],(t3) t(a, t(b, c)) = t(t(a, b), c), ∀a, b, c ∈ [0, 1]，(t4)こで，t-ノルム t が f (1) = 0 なる厳密減少な連続関t(a, b) ≤ t(c, d), ∀a, b, c ∈ [0, 1]; a ≤ c, b ≤ d を満たす
t-ノルム t : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] と二つの性質，(n1)n(0) = 1，(n2) n(n(a)) = a, ∀a ∈ [0, 1] を満たす連続数) を用いて，t(a, b) = f (−1) (f (a) + f (b)) と定めら

ファジィパラメータが線形メンバシップ関数をもつと数である f : [0, 1] → [0, +∞) ∪ {+∞}(加法的生成関れる場合を考える．ただし，f (−1) は f の擬逆関数で，f (−1) (x) = f −1 (min(f (0), x)) と定められる．すなわ
ち，t は連続でアルキメデス的な t-ノルム [2, 3] とな

関数 n : [0, 1] → [0, 1] を用いて，それぞれ，次式で定る．このとき，S-含意 I S [t, n] は，次の修飾子母関数
(
)
f (a)
m
g (a, h) = max 0, 1 −(19)f (n(h))()
f (n(a))g M (a, b) = min 1,(20)
f (n(h))

められる含意関数である．

I S [t, n](a, b) = n(t(a, n(b)))
I R [t](a, b) = sup{s ∈ [0, 1] | t(a, s) ≤ b}
I

r−R

(16)
(17)

[t, n](a, b) = sup{s ∈ [0, 1] | t(n(b), s) ≤ n(a)}(18)

を用いて式 (3) で定められる含意関数に一致する．これより，f が凹関数で n が凸関数である場合には，条

まず，R-含意 I R [t] を考えると，任意の k, h ∈ [0, 1]

i
i
件 NA
T x (Bi ) ≥ h は 2 本の連立線形不等式条件に帰に対して，θ(k, h) = t(k, h) となる．したがって，問
i

i

着できる．

i

題 (8) における必然性測度 N を定める含意関数 I がt(·, hi ) が凸関数となる t-ノルム t で定められる R-含意ii
I R [t] であれば，条件 NA
T x (Bi ) ≥ h は 2 本の連立線
i
形不等式条件に帰着できる．

参考文献[1] M. Inuiguchi, J. Ramik, “Possibilistic linear programming: A brief review of fuzzy mathemati次に，対偶 R-含意 I r−R [t, n] について考察しよう．
cal programming and a comparison with stochasこの場合，θ(k, h) = inf{s ∈ [0, 1] | t(n(s), h) ≤ n(k)}tic programming in portfolio selection problem,”となる．そこで，必然性測度 N i を定める含意関数 I i
Fuzzy Sets and Systems 111 (2000) 29–45.
が n(a) = 1 − a と t(·, hi ) が凸関数となる t-ノルム t で[2] M. Inuiguchi, T. Tanino, “Necessity measures and定められる対偶 R-含意 I r−R [t, n] であるとき，θ(·, hi )parametric inclusion relations of fuzzy sets,” Funが凸関数となることが次のように示すことができる．
damenta Informaticae 42 (2000) 279–302.
いま，k1 , k2 ∈ [0, 1]，λ ∈ [0, 1] とする．このとき，[3] M. Inuiguchi, S. Greco, R. Slowinski, T. Tanino,θ(λk1 + (1 − λ)k2 , hi )“Possibility and necessity measure specification= inf{s ∈ [0, 1] | t(1 − s, hi ) ≤ 1 − (λk1 + (1 − λ)k2 )}= inf{λs1 + (1 − λ)s2 ∈ [0, 1] |using modifiers for decision making under fuzziness,” Fuzzy Sets and Systems 137 (2003) 151–
175.

t(λ(1 − s1 ) + (1 − λ)(1 − s2 ), hi )[4] M. Inuiguchi, “A semi-infinite programming approach to possibilistic optimization under ne-≤ λ(1 − k1 ) + (1 − λ)(1 − k2 )}≤ inf{λs1 + (1 − λ)s2 ∈ [0, 1] |cessity measure constraints,” Proc. IFSA2009,(2009) 873–878.

λt(1 − s1 , hi ) + (1 − λ)t(1 − s2 , hi )≤ λ(1 − k1 ) + (1 − λ)(1 − k2 )}連絡先：大阪大学大学院基礎工学研究科≤ λθ(k1 , h ) + (1 − λ)θ(k2 , h)i

乾口雅弘

Tel/Fax: 06-6850-6350
E-mail: inuiguti@sys.es.osaka-u.ac.jpが成立し，θ(·, hi ) が凸関数となる．したがって，必然性
測度 N i を定める含意関数 I i が n(a) = 1 − a と t(·, hi )16

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）輸送問題と遺伝的アルゴリズムによる輸送コストマネジメント手法
The Transportation Cost Management Technique using
Transportation Problem with Genetic Algorithm
安高 真一郎Shinichiro Ataka
大阪国際大学
Osaka International University
Abstract: Logistics network design is one of the most important phases in supply chain management (SCM).
Transportation problem (TP) is a we11-known basic network model that can be generally defined as a problem tominimize the total delivery cost. However, the concept of inventory is not included in a traditional TP model. Moreover，
time concepts， such as carrying costs in a certain period，are not treated. These restrictions on this model profoundly
affect the use of the TP model in the real world. In this paper，we formulate a Progressive Flexible Logistics Network
Model (PFLN). In this model，l year is divided into several terms and the annual demands of delivery centers are
satisfied for each term. To solve the problem，we applied an effective Genetic Algorithm (GA).

１. はじめにオペレーションズ・リサーチの分野で一般的に用いられる輸送問題(TP: Transportation Problem)は，
Hitchcock らによって定式化された．その目的は，複数の供給地から複数の需要地へ，各需要が満たされる上での総配送コストの最小化である．これまでにも，従来の TP を改良した，2 段階輸送問題(two-stage Transportation Problem)や，固定費輸送問
題(Fixed Charge Transportation)， 排他的制約を伴う 配 送 問 題 (escTP: Transportation Problem with
exclusionary side constraints)といったモデルが提案されているが，現実モデルと比較した場合，考慮
さ れ て い る事 象 は わ ずか な も の とな っ て い る[1-3]．例えば，在庫の概念および時間の概念は，従来の TP モデルに含まれていない．不良在庫及びその費用の削減は，ロジスティクスや経営・経済の分野で注目されている問題であり，不足を起こさず可能な限り少ない在庫量を維持する方法が研究され続けている．また，在庫の問題を取り扱う場合，同時に考慮する必要があるのが時間の概念である．ここでの時間とは，保管期間や納期等を考慮する上で必要な時間的要素を指す．他にも，多段階化したモデルにおいて，全てのノードが接続されているような，フレキシブルな配送経路を持つネットワークモデルや，多品種の生産状
況下への対応，さらには今日のように短い製品ライフサイクルを考慮したモデルが昨今の研究課
題となっている．
そこで本研究では，近年のロジスティクスの課
題を反映した，発展型フレキシブル・ロジスティ
ク ス ネ ッ ト ワ ー ク モ デ ル (PFLN: Progressive
Flexible Logistics Network Model)を提案し，物流において考慮すべき主要コスト最小化を行う．問題の計算手法には，問題の構造変化に柔軟に対応で

17

き，比較的短時間に良質の解が得られる遺伝的ア
ルゴリズム(GA: Genetic Algorithm)を採用する．

２. PFLN の概要
これまでに提案された TP の中で，図１のような今日の配送経路をより多く考慮したモデルとして，フレキシブル・ロジスティクスネットワー
クモデル(FLN: Flexible Logistics Network Model)がある[4][5]．この FLN では，ネットワーク上に存在する各施設が相互に結合されているという特徴を持っており，製品をメーカーから顧客へ直接輸送する事象も再現されている．しかしながら，一般的な TP と同様，在庫や時間に関する概念は含まれていない．ロジスティクスの改善は，多くの企業が目標としており，その中で大きな問題であるのが在庫管理(inventory control) である．在庫を抱えることはコスト要因となるため，在庫管理ではできるだけ在庫を少なく抑えることが目標になる．しかしながら，在庫が不足するとサービスレベルが下がる可能性があるため，適切な在庫を維持することに伴う在庫コストと，サービスレ
ベルをうまくバランスさせる必要がある．つまり，機会損失を最少に，かつ不良在庫を削減し，部品や製品の在庫量を適正に維持管理することは業績を左右する重要課題なのである．
本論文で提案する発展型フレキシブル・ロジス
ティクスネットワークモデル(PFLN: Progressive
Flexible Logistics Network Model)は，従来の FLNに在庫の概念を付加し，工場で製造される製品は多種として拡張させたモデルといえる．モデル作
成にあたり，在庫の概念を考慮する上で必要となる期間の概念についても考慮した．通常，製品または部品等の発注は，規定の在庫量を下回った場
合(定量的)，または定期的に行われる．ここでは，

c 0pi : 製品 p の製造費期末に在庫維持費を計算する，時期発注量を決定するモデルであるため定期的な発注方式を考慮しモデル化を行った．具体的には，1 年間を 4 期に分け，各期の総配送コスト，及び在庫維持費の最小化を目的にしている．

cpj : 製品 p における DC j の運営費
qpi(t): 期間 t におけるプラント i での製造量
決定変数

x1pij (t ) : 期間 t におけるプラント i から DC j まで
plant

DC

retailercustomer

plant

DC

retailercustomer

の輸送量
2
pjk

x (t ) : 期間 t における DC j からリテーラーk ま
での輸送量
3
pkl

x (t ) : 期間 t におけるリテーラーk から顧客 l ま
plant

DC

での輸送量

customer4pikx (t ) : 期間 t におけるプラント i からリテーラー
plantcustomerk までの輸送量

図 1. 配送経路の例

5pil

x (t ) : 期間 t におけるプラント i から顧客 l までの輸送量

customer l
x16jl (t )

bp1

1
c1ij

1

x12ij (t ) 1

i
･
･
･

apI

I

retailer K

x 5pil (t )4ep4(t)

dp1

x22 jk (t )K

x (t )

ep3(t)

送量
upi(t): 期間 t におけるプラント i の在庫量
upj(t): 期間 t における DC j の在庫量
zi: プラント i が稼動する場合は 1，それ以外は 0

1

J

1
pij

3

x (t ) : 期間 t における DC j から顧客 l までの輸

dpK

3
c2kl

なお，PFLN の数学モデルは以下のようになる．

c 5pill: product 1: product 2: product pL

epl(t)
･
･
･

･
･
･

api

bpJ

ep2(t)

6pjl

x23kl (t )x12jk (t )

c2ij

2

c16jl

･
･
･

x (t )
1

･
･
･

ap1

DC j
1
1ij

ep1(t)･･･

plant I

1min
epL(t)

図 2．PFLN のイメージ

s. t.

インデックス:i: プラント (i = 1, 2,…,I)j : DC (j = 1, 2,…,J)k : リテーラー (k= 1, 2,…,K)l : 顧客 (l= 1, 2,…,L)
p : 製品の種類

T
P
J
K
K
L
I
K
⎛ I J
z = ∑ ∑ ⎜ ∑ ∑ c1pij x1pij (t ) + ∑ ∑ c 2pjk x 2pjk (t ) + ∑ ∑ c 3pkl x 3pkl (t ) + ∑ ∑ c 4pik x 4pik (t )t =1 p =1 ⎝ i =1 j =1
j =1 k =1
k =1 l =1
i =1 k =1
I
L
J
L
J
I
⎞
+ ∑ ∑ c 5pil x 5pil (t ) + ∑ ∑ c 6pjl x 6pjl + ∑ c pj u pj (t ) + ∑ c 0pi zi (t ) ⎟i =1 l =1
j =1 l =1
j =1
i =1
⎠

J

K

L

j =1

k =1

l =1

u pi (t ) = u pi (t − 1) + q pi (t ) − ∑ x1pij (t ) − ∑ x 4pik (t ) − ∑ x5pil (t ), ∀t, i, p
I

K

L

i =1

k =1

l =1

(2)

u pj (t ) = u pj (t − 1) + ∑ x1pij (t ) − ∑ x 2pjk (t ) − ∑ x 6pjl (t ), ∀t, p, j

(3)u pi (t − 1) + q pi (t ) ≤ a pi z i (t ), ∀t , p, i

(4)Iu pj (t − 1) + ∑ x1pij (t ) ≤ b pj , ∀t , p , j
I

i =1
J

∑ x (t ) + ∑ x (t ) ≤ d , ∀t , k , p
i =1

I

4
pik

j =1

J

2
pjk

pk

K

∑ x (t ) + ∑ x (t ) +∑ x (t ) ≥ e (t ), ∀t, l, p
i =1

5
pil

j =1

6
pjl

k =1

3
pkl

pl

x1pij , x2pjk , x3pkl , x4pjk , x5pil , x6pjl ≥ 0, ∀i, j, k, l, p

パラメータ
api : 製品 p におけるプラント i の許容量
bpj : 製品 p における DC j の許容量
dpj : 製品 p におけるリテーラーk の許容量
el(t): 期間 t における製品 p に対する顧客 l の要求

(1)

(5)
(6)
(7)
(8)

u pi (t ) ≥ 0, ∀ p , i , t(9)u pj ( t ) ≥ 0, ∀ p , j , t(10)zi (t ) = {0,1} , ∀i(11)

制約条件である式(2)と(3)は，期間 t におけるプラ
ント i と DC j の在庫量をそれぞれ表す．式(4)～(7)は，各施設の最大許容量に関する制約条件である．前述のとおり，本モデルでは多期に渡る輸送プランを決定する．そのため，前期より繰り越されてきた在庫量も考慮しながら次期発注量を決定する．次期発注量の決定については次章で述べる．式(6)と(7)は，非負条件である．

c1pij : 製品 p のプラント i から DC j までの輸送費
c2pjk : 製品 p の DC j からリテーラーk までの輸送費
c3pkl : 製品 p のリテーラーk から顧客 l までの輸送
費
4pik

c : 製品 p のプラント i からリテーラーk までの輸送費

３. 数値実験

5pil

c : 製品 p のプラント i から顧客 l までの輸送費

ここでは，以下の 5 手法による比較実験を行い，どの手法が PFLN に適しているのか検証する:

6
pjl

c : 製品 p の DC j から顧客 l までの輸送費

18

1. スパニングツリー型 GA(st-GA: spanningtree-based GA) [6]2. 優先順位型 GA (priGA: priority-based GA)
3. ハイブリッド優先順位型(h-priGA: hybrid
priority-based GA ) [6]4. ボルツマン・ランダムキー型 (Brk-GA:
Boltzmann random key-based GA ) [7]5. ハイブリッド・ボルツマン・ランダムキー
型 GA(h-BrkGA: hybrid Boltzmann random
key-based GA )下記に，各 GA の設定を示す．

の最良解，解の平均，標準偏差(SD)，そして平均計算時間(ACT)を示す．また，最良解の下に示されているのは，各期での配送費用(解)である．図 3
は，問題 4 を t =1 として実行した場合の進化のグラフである．ここでは，500 世代以降，各 GA の進化は見られなかった．

４. 結果と今後の課題

表 1. 比較に用いる GA とその設定
GA

染色体表現

交叉

突然変異

flc

選択

st-GA

Prufer数ベース

一点交差

交換

-

ルーレット戦略

priGA

優先順位ベース

WMX

交換

-

ルーレット戦略

h-priGA

優先順位ベース

WMX

交換

on

ルーレット戦略

Brk-GA

ランダムキー
ベース

一点交差

交換

-

ボルツマン・
ルーレット戦略h-BrkGA

ランダムキー
ベース

一点交差

交換

on

ボルツマン・
ルーレット戦略

ここで，Weight Mapping Crossover (WMX)は，
priGA に適した交叉法として提案された手法である[6]．この手法は，一点交叉の拡張型として見ることができる．また，ファジィロジックコントローラ(flc: fuzzy logic controller)は，交叉率と突然変異率をオートチューニング手法である[6]．本手法を用いる場合，進化の速度は劇的に向上するが，局所解へ早熟収束する可能性が考えられる．そこで，今回はこれまでに著者が設計した多様性を考慮する Brk-GA との比較を行う[7]．本研究で提案する TP モデルは，t 期末に DC の次期発注量を決定するモデルとなっている．次期の需要予測値は指数平滑法を応用した以下の式で決定され，この予測値から現在の在庫量を差し引いた量が次期発注量となる．
予測値 ＝ α×前回実績値＋（１－α）×前回予測値
FFyejk(t ) = αyejk (t − 1) + (1 − α ) yejk(t − 1)(12)

ここで，係数 α（平滑定数）は，0＜α＜1 の範囲で設定される．α が 1 に近いほど直前値を重視
し，0 に近いほど過去の経過を重視することにな
る．表 2 に，実験に用いたテストデータを示す．
数値実験を行うには，計算スタート時(t=0)の予測値が必要となるため，ここでは 100-150 の間でランダムに発生させた．また，DC の初期在庫量は，それぞれ 10-20 間でランダムに作成した．
表 2. テストデータ
ProblemNo.

No. ofplants (i)No. ofDCs (j)No. ofretailers (k)No. ofcustomers (l)Population
size

Crossoverrate

Mutation
rate

1

2

5

08

20

100

0.2

0.1

2

3

7

12

30

100

0.2

0.1

3

5

3

12

45

100

0.3

0.1

4

6

8

20

80

100

0.3

0.1

表 3 に，各アルゴリズムを 30 回ずつ実行した時

19

結果から，5 手法全てにおいて PFLN を解くこと が 可 能 であ っ た ． また ， 全 て の問 題 に 対 し
Brk-GA が最良解(Best)を得ていることがわかる．
さらに，解の平均(AVG)と平均計算時間(ACT)においても最良であることが確認された．これは，ランダムキーベースの染色体表現によりシンプルな交叉法を適用できたことが作用していると考えられる．また，ローカルサーチを含んでいながら，短い計算時間で解を求めることが可能であった．問題 4 では, stGA と priGA が低い標準偏差(SD)値を示した.しかしながら，AVG を Brk-GA と比較した場合，探索がよい解を得る前に収束したことを確認することができる．また，FLC を導入する
ことで，計算時間が短縮されることが確認できる．
しかし，priGA と h-priGA，Brk-GA と h-BrkGA をそれぞれ比べた場合，SD 値が劣化していることが見て取れる．これは，急速な進化のために，毎回大きく異なる解を算出してしまっていることを表している．得られた解の質から見て，Brk-GA
は効果的に計算時間を削減していると言える．
Brk-GA と比較手法の中で一番古い TP 用 GA である st-GA を比較すれば，最良了解は 6.3%改善され，計算時間は 66.1%改善されている.

参考文献[1] M. Sun, “The Transportation Problem with
Exclusionary Side Constraints and Two
Branch-and-boundAlgorithms”,
European
Journal of Operational Research, vol.140(3), pp.
629-647, 2002
[2] N. Jawahar, A.N. Balaji. “A Genetic Algorithm for
the Two-stage Supply Chain Distribution Problem
Associated with a Fixed Charge”, EUROPEAN
JOURNAL OF OPERATIONAL RESEARCH,
vol.194, no.2, pp.496-537, 2009.
[3] 安高真一郎, 玄光男, “ハイブリッド型遺伝的アルゴリズムによる配送経路に制約を伴う多品種2段階配送計画モデルの解法”, 電気学会
論文誌C, vol.128, no.3 pp.456-461, 2008.
[4] L. Lin, M. Gen, and X.Wang, “A Hybrid Genetic
Algorithm for Logistics Network Design with
Flexible Multistage Model”, International Journalof Information Systems for Logistics andManagement, vol.3(1), pp.1-12, 2007.
[5] L. Lin, M. Gen, and X. Wang, “Integrated
Multistage Logistics Network Design by Using
Hybrid Evolutionary Algorithm”, Computers &Industrial Engineering, vol.56(3), pp.854-873,
2009.
[6] M. Gen and R. W. Cheng and L. Lin, “Network
Models and Optimization: Multiobjective Genetic
Algorithm Approach”, Springer, 2008.
[7] S. Ataka, B.Kim, M. Gen, “Optimal Design ofTwo-stage Logistics Network Considered
Inventory by Boltzmann Random Key-based GA”,

IEEJ Transactions on Electrical and Electronic
Engineering, 5: 195–202, 2010.

連絡先
大阪国際大学 ビジネス学部 経済ファイナンス学科
安高 真一郎(Tel.: 072-858-1616, E-mail: s-ataka@oiu.jp)

表 3. 実験結果
st-GA
Problem
No.
1
2
3
4

priGA

Best

AVG

SD

ACT (s)

Best

AVG

SD

ACT (s)55318.12
59601.00
82874.00
87038.01

56763.05
60743.65
85566.35
88138.30

778.97674.841108.78765.76

14.45
24.79
34.66
34.84

55188.0359280.22
82331.00
86915.00

55888.55
60621.00
83917.25
88369.35

576.54762.911315.4755.95

15.25
24.47
31.01
32.61

h-priGA
Problem
No.
1
2
3
4

h-BrkGA

Best

AVG

SD

ACT (s)

Best

AVG

SD

ACT (s)

55045.40
59065.03
81726.06
85921.00

56191.05
60600.90
84165.50
87878.05

573.02582.70991.041000.40

10.80
16.04
19.89
20.42

54929.00
58887.80
79875.00
82391.20

56349.15
60229.00
81827.60
85845.55

756.64696.651044.151476.72

3.83
5.00
6.17
7.17

Brk-GA
Problem
No.
1
2
3
4

Best

AVG

SD

ACT (s)54909.2258263.17
79761.87
81544.05

55003.15
59978.9080949.85
83480.15

294.20570.62669.86948.74

3.73
4.95
6.13
6.91

24000
stGA
priGA
h-priGAh-BrkGA
Brk-GA

23000
22000
21000
20000
19000
18000
0
1

50
51

100
101

150
151 200
201

250
251

300
301

図 3. 各 GA における進化の様子

20

350
351

400
401

450
451

500

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）

内部従属 AHP の総合重要度の一表現
On a Representation of weights for Inner Dependence AHP
大西 真一
齋藤 達彦
山ノ井 髙洋Shinichi Ohnishi
Tatsuhiko Saito
Takahiro Yamanoi
北海学園大学
北海学園大学
北海学園大学
Hokkai-Gakuen Univ. Hokkai-Gakuen Univ. Hokkai-Gakuen Univ.

今井 英幸
Hideyuki Imai
北海道大学
Hokkaido Univ.

Abstract:
AHP (Analytic Hierarchy Process) has been widely used in decision making. Inner
dependence method AHP is one technique even in case of criteria have dependency. However comparison
matrices as data do not always have enough consistency. In these cases, fuzzy representation forweighting criteria is useful. In this paper, we refine fuzzy weights of alternatives using results from asensitivity analysis. It also can show its usefulness when the comparison matrix data do not haveenough reliability.
w(1)=(wk(1))は適当な係数 gij, hkij を用いて次のように表現できる．

１. はじめに
内部従属法は評価基準に独立性が仮定できない場合に用いるＡＨＰの一手法である．しかし実際の応用では一対比較行列が十分な整合性を持たないために，データに信頼性が損なわれている場合が見受けられる．このような場合，重要度のファジィ表現が有用であることが知られている．
本研究では以前に提案した感度分析結果を用いたウ
ェイト表現について考察し，あいまい性の処理について改良を続けた．そしてデータに十分な整合性が無い場合の曖昧さを表すための，総合度の重要度（ウェイト）表現を提案，考察する．

n

n

i

j

C.I.(1)   g ij d ij ,
n

n

i

j

wk(1)   hkij d ij .

(2)
(3)

これら２式より変動部分は dij の一次結合で表されていることが分かり，dij の係数 gij と hkij から，それぞれ整合度とウェイトに対する一対比較行列の成分の影響の大きさを評価することができる．

４. ファジィ数による評価基準ウェイト

２. 内部従属 AHP
通常の AHP においては評価基準の独立性を仮定する必要がある．しかし実際の応用においてはそのような評価基準をいつも選定することが難しい状況が存在する．内部従属法[5]はこのような状況で用いる一つの AHP の拡張的手法である．
内部従属法では従属行列 F={ fij },を用いて，真のウェイト w(N) を次の式で計算する．
w(N)=Fw(1)

ここで w は評価基準に独立性を仮定した時のウェイトベクトル，つまり通常 AHP のウェイトである．
また従属行列 F は実際には各評価基準に対する影響行列の固有ベクトルから計算される．

３. AHP における感度分析
意思決定者の回答パターンがデータ構造にどのように影響を与えているかを調べる方法に感度分析がある．本研究ではデータの構造を変えずに，比較的簡便に使用できる AHP の感度分析[4]を利用する．
それは一対比較行列に摂動を与えたときの整合度やウェイトの変動に，行列各成分がどのように影響を与えているのかを探索する手法である．
一対比較行列 A=(aij), (i,j=1,…, n)に摂動を与えた行列を A(ε) = A+εDA, DA=(aijdij)とする．摂動を与えた後の整合度の変動部分 C.I.(1)とウェイトの変動

21

実際の AHP データの信頼性不足の原因は評価項
目の多さや意思決定者が持つあいまいさなどであり，一対比較行列の整合度が多少悪く(0.1<C.I.<0.2)なるという結果に現れる．そのようなときは一対比較行
列の各成分（意思決定者の判断）があいまいさを含んでいると考えられるので，ウェイトもまたクリス
プな値でなく，あいまいさを含んだ形で表現することが望ましい．
式(2),(3)に現れた係数の積 gijhkij は，一対比較行列の成分 aij が項目 k に与える影響と見ることができる．
この積が正なら項目 k の真のウェイトは，クリスプ
なウェイト w1k よりも大きいと考えられ，負であれば小さいと考えられる．よって係数の積 gijhkij の符号はファジィ数の広がりの方向を示していると見ることができる．また，積の絶対値|gijhkij|は影響の大きさとみなせる．ここで係数 gij は常に正であるので，実際は係数 hkij の符号のみに注意すればよい．さらに，整合度 C.I.が大きくなればあいまい性が増していることを考慮すると，積 C.I.gij|hkij|が項目 k のウェ
イトを表すファジィ数の（一対比較行列の成分 aij
に関しての）広がりの大きさと考えられる．よって
一対比較行列の整合度が良くない場合の項目 k のウ
ェイトは，次の L-R ファジィ数で表現することが可能である．

~  (w ,  ,  )
w
k
1k
k
k LR
ここで

(4)

n

限と上限として計算される[6]n k  C.I. s( , hkij ) g ij | hkij |,
i

j

n

n

(5)

５. おわりに k  C.I. s( , hkij ) g ij | hkij |,i

内部従属 AHP では評価基準の独立性が不十分な場合の意思決定が可能になる．しかし実際はデータ行列が充分な整合性を持たないため，データ自体の信頼性の悪さがしばしば指摘される．本研究では内部従属法のウェイトもあいまいさを含むものと仮定
し，感度分析結果を用いたファジィ集合によるウェ
イト表現をする場合の評価基準ウェイトの一算出法を改良提案した．この表現により，結果にどのようなあいまいさが含まれているかをより効果的に評価することが可能になると考えられる．
今後の課題としては整合性が無いデータのための
他の拡張手法への適用との比較考察が必要になると
思われる．

(6)

j

1, (h  0)
1, (h  0)
， s( , h )  s ( , h )  
0.(h  0)
0.( h  0)であり，w1k は各評価基準の独立性を仮定したときに計算される項目 k のクリスプなウェイトである．
さらに内部従属法の場合のファジィウェイト表
現が著者らによって提案されているが，あいまいさの取り扱いがファジィ集合の特性を生かすには不十分だったと考えられる[6]．そこでファジィ数の積演
算と(1)式から wk ,  k ,  k
( N)

( N)

( N)

が算出され次の表現がより適切であると考えられる．

参考文献

w(kN) (wk(N) ,  k(N) , k(N) ) LR

[1] T. L. Saaty: The Analytic Hierarchy Process,
McGraw-Hill, New York, 1980.
[2] D. Dubois and, H. Prade: Additions ofInteractive
Fuzzy
Numbers,
IEEE
Transactions on Automatic Control, vol. AC-26,
no.4, Aug.1981.
[3] D. Dubois and H. Prade: Possibility Theory An
Approach to Computerized Processing ofUncertainty,. Plenum Press, New York, 1988.
[4] T. L. Saaty. Inner and Outer Dependence in
AHP. University of Pittsburgh, 1991.
[5] 大西真一，今井英幸，河口至商：ファジィＡＨ
Ｐにおける感度分析を用いた重要度の安定性の評 価 ， 日 本 フ ァ ジ ィ 学 会 誌 ， vol.9, no.1,
pp.140-147, 1997.
[6] 大西真一，今井英幸，河口至商：内部従属ＡＨ
Ｐにおけるウェイト表現について，第 26 回ファジィシステムシンポジウム講演論文集，57-58,
2010

この表現を用いることにより，各評価項目のファ
ジィウェイトと代替案の局所的なクリスプなウェイ
トが計算され，拡張原理に基づくファジィ数の演算により，最終的な代替案ウェイトの表現が可能となる．通常，ファジィ数同士の演算では，回数を重ねるごとにあいまいさの広がりが大きくなっていくので，結果が分かりにくいものになる場合が多い．しかしここで計算された項目におけるファジィウェイ
トは和が 1 に規準化されているので，これをファジィ数の制約条件（相互作用）と見ることにより，あいまいさの広がりが緩和される．
一般には制約条件を持つ変数の拡張原理による演算は容易ではない．しかし線形の場合には可能なことが示されている．特に，すべてが正規三角型でそれぞれのコアを ui としたとき，nui  1 という制約i条件が成り立ち，シングルトンの係数の大小の順が仮定されるなら，線形和の可能性分布のα-カット集
合の下限と上限が容易に計算される[3]．本研究における総合代替案ウェイトのファジィ表現でも，代替案 t の項目 k に関する局所的クリスプウェイト
f t ( xk ) を 0  f t ( x1 )  f t ( x2 )    f t ( xn ) と 仮

連絡先
大西 真一
北海学園大学工学部電子情報工学科〒064-0926 札幌市中央区南 26 条西 11 丁目
TEL: 011-841-1161 内線 7862
FAX: 011-551-2951(事務室)E-mail: ohnishi@eli.hokkai-s-u.ac.jp

定し，簡単のために評価項目ファジィ数の両側の型関数を同じもの（L-L ファジィ数）とすると，代替案 t の総合ウェイトは，やはり L-L ファジィ数とな
り，次のように表現される．

v~t  (vt , lt , rt ) LL

(7)

ここで
n

vt   w1k f t ( xk ) ，(8)klt  vt  inf supp(v~t ) ，rt  sup supp(v~t )  vt

(9)
(10)

であり，この中の inf supp, sup supp は台集合の下22第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）ファジィ指数型 AHP による一対比較値の考察
A Study on Pairwise Comparison Scales of Fuzzy Exponential AHP
小谷

直也

古殿

幸雄

Naoya Kotani

Yukio Kodono

大阪国際大学
国際関係研究所研究協力員

大阪国際大学
Osaka International University

Institute of International Relations Research Fellowof Osaka International University
Abstract：In this paper we propose to introduce the concept of exponential fuzzy number into a simple
AHP(Analytical Hierarchy Process) model. The variety of the bottom “ a ” in the exponential fuzzy number
has a big influence on the decision making of AHP method. We will discuss the optimal bottom “ a ” which
maximizes the difference of weights between two alternatives.
Keywords：
AHP, 一対比較値, ファジィ指数, 意思決定

1.はじめに対比較値に関する考察を行う．

AHP（階層化意思決定法）[1],[2]は，階層的構造
を基本的構造の道具として用いており，1970 年代に
Saaty によって開発された[1]意思決定の手法である[2]．
本研究では，AHP で用いる一対比較値に，ファジ
ィ概念を導入する方法について検討している．
AHP をファジィ化する方法としては，1985 年にBuckley によって，L-R 型ファジィ数を用いた方法が提案されている[3]．
この他に，AHP にファジィ概念を導入する方法としては，一対比較行列に含まれる不確実さを反映させるために，ウェイトを区間値にする方法[4]や一対比較行列の要素にファジィ数を導入し，ファジィ逆数行列を用いる方法[5]などが提案されている．これ
らは，一対比較値の段階において，ファジィ概念を直接導入しない方法である．あるいは，ファジィ積
分の概念を用いる方法[6]もあるが，これも一対比較値の段階でファジィ概念を直接導入しない方法と考えることができる．
また，一対比較値をファジィ数で表現する方法[3]やファジィ指数により表現する方法[7]，ファジィ対数により表現する方法[8]なども提案されている．これらは，一対比較値の段階において，ファジィ概念を直接導入する方法で，先に記載した Buckley の研究もこれらの研究に入れることができる．
さて，一対比較値にファジィ概念を導入するために，一対比較値の形状を検討する実験が行われ，その実験結果からファジィ一対比較値を推定し，このファジィ一対比較値の代表値を用いた実証的実験を行うことで，新たなファジィ一対比較値が提案[9]されている．その後，被験者にとって一般的で扱いやすい数値の一対比較値を作成し，一対比較値のス
ケール変化に伴う実験的考察が行われている[10]．
これらの実験結果をふまえて，一対比較値に対して直接ファジィ概念を導入する方法としてファジィ指数を用いたファジィ指数型 AHP が提案されている[11]．
本研究では，提案するファジィ指数型 AHP の一

2.ファジィ指数を用いる一対比較値
ここでは，一対比較値に直接ファジィ概念を導入するファジィ指数を用いる一対比較値について述べる．
文献[9]において，比較の対象が離れるにつれ，回答確率が下がっていることなど，人間の感覚において，比較のしやすい対象どうしはあいまいさが小さ
く，比較がしにくくなる対象どうしに対しては，あいまいさが大きくなる傾向がみられた[9]．これは，直観的に考えても妥当な結果である．したがって，一対比較値に指数を用いることで，一定間隔の一対比較値ではなく，指数的な間隔で表現した表 2-1 のような一対比較値が提案された．そして，このときn一対比較値 a ~ ij の n に対してファジィ数を用い，こ~れをファジィ指数型 AHP と呼ぶことにする．
表 2-1 指数を用いる一対比較値（要素 jと比較して要素 i は）→

 a ~n ij 

同じくらい重要

→

a

若干重要

→

a~

少し重要

→

a~

重要

→

a~

かなり重要

→

a

4
~

絶対的に重要→a~a ii  a  10n~

a ji  a

n
~

0

1

2
3

5

ij

具体的には，ファジィ指数型 AHP の一対比較値
n~a ij の n に，区間[ m0 ,m2 ]とした三角型のメンバー
シップ関数を用いる．三角型のメンバーシップ関数の頂点を m1 とする（図 2-1）．表記が複雑になるため， [m0 , m1 , m2 ] の 3 点で表記する．

n  0,1,2,3,4,5 とし，区間は m1  1 とする．メン
バーシップ関数で示すと図 2-2 になる．
図 2-2 のメンバーシップ関数の 0 は同じ対象を評価する場合で，あいまいさが含まれることは尐なく，

23

0 に対しは，あいまいさはほぼ除外できる．すなわ
ち， a  1 である．
また，具体的に a に対して近似的な数値として1.5,1.6,1.7 を代入すれば表 2-2 を得る．これまでの研究において a の値の大きさは，被験者がその問題に対してどの程度知識を有しているかによって変わるものと考えている．すなわち， a =1.7 は a =1.5
よりもあいまいさが広がり，あまり意思決定問題に対して知識を持たない意思決定者に対して用いられ，
a =1.5 は a =1.7 に比べて，あいまいさが小さく，意思決定問題に対して，ある程度の知識を持っている
意思決定者に対して用いられる．また，図 2-3 は，a=1.6 のときの具体的な一対比較値をメンバーシッ
プ関数で示したものである．
0

3. 一対比較値の考察実験
本研究は，シンプルな問題として評価基準を 2 項目，代替案を 2 項目で実験を行う．評価基準は評価
基準 A と評価基準 B とし，代替案は代替案 P と代替案 Q とする．
また，評価基準 A と評価基準 B の一対比較において，評価基準 A は評価基準 B より評価が高いものと仮定し，評価基準 A に対する代替案 P と代替案 Qの一対比較において，代替案 P は代替案 Q より評価が高いものと仮定し，評価基準 B に対する代替案 Pと代替案 Q の一対比較において，代替案 P は代替案
Q より評価が高いものと仮定して実験を行う．階層
図で表すと図 3-1 のようになる．

n問題

このように，これまでの研究では a ~ ij の a 値を
AHP の一対比較値で用いられる，1～10 までの間隔に近い値である a =1.5 や a =1.6 や a =1.7 を用いて演算を行っていたが，実際にどのような値が適切な値であるかはウェイト結果から推測することを行っていた．
そこで，本研究において，提案するファジィ指数
n

代替案 P

代替案 Q

A

B

n

さらに，a ~ ij の n に対して，変数 x, y, k を用いる．

を行うこととする．

変数 x, y, k は一対比較値である 0~5 を入力値として代入する．
具体的には，評価基準 B に対しての評価基準 A の評価の際には変数 x として，評価基準 A に対しての評価基準 B の評価の際には負値を用いた変数 ( x)

1


0

m1

m0

m2

とする．評価基準 A に対する代替案 Q に対しての

x

m 2

m 0

代替案 P の評価の際には変数 y として，評価基準 A

図 2-1 三角型のメンバーシップ関数
1

2

3

4

5

～

～

～

～

～

0

評価基準 B

図 3-1 階層図

型 AHP の一対比較値 a ~ ij の a 値を導くための実験

グ
レ
ー
ド

評価基準 Aに対する代替案 P に対しての代替案 Q の評価には負値を用いた変数 ( y ) とする．評価基準 B に対する

1

代替案 Q に対しての代替案 P の評価の際には変数 k
として，評価基準 B に対する代替案 P に対しての代替案 Q の評価には負値を用いた変数 (k ) とする．

グ
レ
ー
ド

0
-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

n

6.5

ファジィ指数型 AHP による a ~ ij の n に対してのn の範囲

図 2-2 n に対してのメンバーシップ関数

一対比較の結果を表 3-1~3-3 に示す．

表 2-2 具体的な一対比較値

n
一
対
比
較
値

a

表 3-1 評価基準の一対比較行列

ファジィ指数の代表値

0
1
2
3
4
5

1.5

1.6

1.7

1
1.5
2.25
3.375
5.06257.59375

1
1.6
2.56
4.096
6.553610.48576

1
1.7
2.89
4.913
8.3521
14.19857

評価基準A

評価基準B

評価基準A

[0,0,0][(x-1),x,(x+1)]

評価基準B[-(x+1),-x,-(x-1)][0,0,0]

表 3-2 評価基準 A に対する代替案の一対比較行列
1

グ
レ
ー
ド

0
0

1

2

3

4

n 

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

一対比較値
0

同じくらい
重要

1

～
若干
重要

2

～
少し
重要

3

～
重要

4

～
かなり
重要

5

～
絶対的に
重要

図 2-3 具体的な一対比較値のメンバーシップ関数

24

評価基準A

代替案P

代替案Q

代替案P

[0,0,0][(y-1),y,(y+1)]

代替案Q[-(y+1),-y,-(y-1)][0,0,0]表 3-3 評価基準 B に対する代替案の一対比較行列
評価基準B

代替案P

代替案Q

代替案P

[0,0,0][(k-1),k,(k+1)]

代替案Q[-(k+1),-k,-(k-1)][0,0,0]様に幾何平均法による演算を行うと，同様にして，評価基準 B による代替案 P のウェイトは Wd B1 ，代替案 Q のウェイトは Wd B 2 となる（式 3.5）
．



2
2
2
Wd B1   ( k a1) ( k 1) , ka k , ( ( k a1) ( k 1)  a 2 a 2 a2 a 2 a 2 a 2 ( k 1)

表 3-1 の評価基準 A，評価基準 B の評価として一対比較行列 H をファジィ理論の拡張原理 を用いて幾何平均法によるウェイトの演算を行う．

a 0,0,0
H   ( x 1),  x ,  ( x 1) aa ( x 1), x ,( x 1)  a 0,0,0 



2
2
2
Wd B 2   ( k a1) ( k 1) , ka k , ( k a1) ( k 1)  a 2 a 2 a2 a 2 a 2 a 2 ( k 1)

（3.1）

a

( x 1), x , ( x 1)  2)

Wd B1  Wh1 
WdSW   A1

Wd A2 Wd B 2  Wh2 （3.2）
 ( x 1),  x ,  ( x 1) a

0, 0, 0 )12  ( x 1) x  ( x 1)  2 , 2 , 2 SWQ  (Wd A2  Wh1 )  (Wd B 2  Wh2 )でウェイト Wh1 ,Wh2 を求める．



2
2
2
Wh1   ( x a1)  ( x 1) , xa  x , ( ( x a1)  ( x 1)  a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 x

 ( x 1)

（3.3）

したがって，（3.3）式は，評価基準 A のウェイトと評価基準
B のウェイト Wh2 となる．
Wh1

表 3-4 代替案 P の総合評価（swP）a=1.6, x=3
代替案P
a=1.6 x=3
0
1
2
k
3
4
5

次に，表 3-2 の評価基準 A による代替案 P，代替案 Q の評価として一対比較行列 D A を評価基準と同様に幾何平均法による演算を行うと，同様にして，評価基準 A による代替案 P のウェイトは Wd A1 ，代替案 Q のウェイトは Wd A2 となる（式 3.4）
．



2
2
2
Wd A1   ( y a1) ( y 1) , ya  y , ( ( y a1) ( y 1)  a 2 a 2 a2 a 2 a 2 a 2 ( y 1)y

( y 1)y

( y 1)y
00.50000
0.522640.542990.55961
0.572140.581031
0.59274
0.61538
0.63574
0.65235
0.66488
0.67377

20.67611
0.69875
0.719100.73572
0.748240.7571430.744160.766800.787150.80377
0.81630
0.8251940.795480.818120.838470.85508
0.86761
0.87651

50.831900.85455
0.874900.891510.90404
0.91294

表 3-5 代替案 Q の総合評価（swQ）a=1.6, x=3
代替案Q
a=1.6 x=3
0
1
2
k
3
4
5

( y 1)
2
2
2
Wd A2  ( y a1) ( y 1) , ya  y , ( y a1) ( y 1)  a 2 a 2 a2 a 2 a 2 a 2 （3.7）

ファジィ数 SWP のメンバーシップ関数の頂点をswP とし，ファジィ数 SWQ のメンバーシップ関数の頂点を swQ とする．
総合評価 SW（3.7）式に対して a=1.6, x=3 とし，y, k に対して 0,1,2,3,4,5 の代入を行い，メンバーシップ関数の頂点の swP と swQ 算出結果をまとめた表が表 3-4,3-5 であり，グラフにしたものが図 3-2,3-3である．

( x 1 )

x



2
2
2
Wh2   ( x a1)  ( x 1) , xa  x , ( x a1)  ( x 1)  a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2  ( x 1 )（3.6）

SW p  (Wd A1  Wh1 )  (Wd B1  Wh2 )つぎに， h1 , h2 の演算結果をその総和で割ること( x 1)

（3.5）

出する．

 ( x 1) x ( x 1)  2 ,2, 2 h2  (aa1a( k 1),Wd B1 ,Wd B 2 を用いて総合評価 SW の演算を行う．
評価基準のウェイト Wh1 ,Wh2 と各代替案のウェ
イト Wd A1 ,Wd A2 ,Wd B1 ,Wd B 2 を行列演算すること
で代替案 P，代替案 Q の総合評価 SW （代替案 Pの総合評価 swP ，代替案 Q の総合評価 swQ ）を算を求める．

h1  (ak

最後に，各評価のウェイト Wh1 ,Wh2 ,Wd A1 ,Wd A2

まず， H の各行を h1 , h2 として，各々の幾何平均

0, 0 , 0 ( k 1)k（3.4）

また，表 3-3 の評価基準 B による代替案 P，代替案 Q の評価として一対比較行列 D B を評価基準と同25y00.50000
0.477360.457010.440390.42786
0.418971
0.40726
0.384620.36426
0.34765
0.335120.326232
0.32389
0.301250.280900.264280.25176
0.2428630.25584
0.233200.21285
0.196230.183700.1748140.204520.18188
0.161530.14492
0.132390.1234950.168100.145450.125100.10849
0.095960.08706

代替案P-代替案Q（k=5とk=0の差）

代替案P a=1.6 x=3 (swP)

0.2
1
0.9
0.8
0.7
0.6
総合評価 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0.15
総
合
0.1
評
価
4
2

0

1

0.05
変数k

0

2
変数y

3

0

4

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3
変数a5

図 3-2 代替案 P の総合評価（swP）a=1.6, x=3

図 3-6 代替案 P と代替案 Q の差(k=5 と k=0 の差)
したがって，代替案の優劣を明確にする最適な底代替案Q a=1.6 x=3 (swQ)

a 値は 1.3 前後であると推察される．

1
0.9
0.8
0.7
0.6
総合評価 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

4. まとめ本研究では，ファジィ指数型 AHP の一対比較値

4
2
0

1

2
変数y

3

n

a ~ ij の a 値を導くための実験を行った．問題をシンプルな形にして検討を行った．これは a 値の変化を考察しやすくしたためであるが， a 値におけるある

変数k

0

4

5

図 3-3 代替案 Q の総合評価（swQ）a=1.6, x=3程度の方向性を検討することができた．
なお，本研究を遂行するにあたり，大阪国際大学
植松康祐教授に有益な助言を頂いた．ここに記して謝意を表する．

最適な底 a の選定を試みる．最適な底 a とは，意思決定者が回答する重要度 x, y, k に対して，代替案
P と Q の有意性を明確に示すことであるために，数値計算した swP と swQ の差に注目する．swP－swQ はx, y, k, a の 4 変数関数で，底 a に関しては単調増加関数である．swP－swQ の x, y の値を固定し k に 0～5の値を入力した数値例のグラフを図 3-4,3-5 に示す．

参考文献
[1] T.L.Saaty：The Analytic Hierarchy Process，McGraw-Hill，
1980[2] 木下栄蔵：AHP 入門-決断と合意形成のテクニック-，日科技連出版社，2000[3] J.J.Buckley：Fuzzy Hierarchical Analysis，Fuzzy Sets andSystems，Vol.17，pp.233-247，1985[4] 円谷友英，杉原一臣，田中英夫：QP による区間 AHP の定式化，日本知能情報ファジィ学会第 20 回ファジィシステムシン
ポジウム講演論文集，pp.503-504，2004 pp.505-506，2004[5] 大西真一，D.Dubois，H.Prade，山ノ井高洋：ファジィ逆行列を用いた AHP の整合度とウェイトについて，日本知能情報
ファジィ学会第 20 回ファジィシステムシンポジウム講演論文集，pp.505-506，2004[6] 高萩栄一郎：一対比較法を利用したファジィ積分の入力値の固定，日本知能情報ファジィ学会第 20 回ファジィシステムシンポジウム講演論文集，pp.703-706，2004[7] 増田達也，中村泰，夜久正司：指数型ファジィ一対比較値を用いた AHP の相対的重要度の導出法，電子情報通信学会論文
誌，Vol. J75-A，No.3，pp. 646-650，1992[8] 倉重賢治，亀山嘉正，宮﨑茂次：AHP における対数型ファジ
ィ数を用いた相対的重要度決定法，日本経営工学会論文誌，Vol.50，No.4，pp.216-225，1999[9] 小谷直也，古殿幸雄：ファジィ一対比較値の提案とその実証的実験，日本知能情報ファジィ学会第 21 回ファジィシステム
シンポジウム講演論文集，pp.15-18，2005[10] 小谷直也，古殿幸雄：一対比較値のスケール変化に伴う実験的考察，日本知能情報ファジィ学会ソフトサイエンス研究会第 16 回ソフトサイエンス・ワークショップ講演論文集，pp.94-95，2006[11] 小谷直也，古殿幸雄：ファジィ指数型 AHP に用いるウェイ
ト推定法の考察，日本知能情報ファジィ学会第 24 回ファジィ
システムシンポジウム講演論文集，pp. 72-75，2008

代替案P-代替案Q( swP  swQ ) k 5, 4,3, 2,1,0 , xx=33,, yy=33
1

0.9

総
合
評
価

0.8

変数k

0.7

0
1
2
3
4
5

0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
3.3

3

3.2

3.1

2.9

2.8

2.7

2.6

2.5

2.4

2.3

2

2.2

2.1

1.9

1.8

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

0
変数a

図 3-4 代替案 P と Q の総合評価の差 x=3, y=3
代替案P-代替案Q( swP  swQ ) k 5, 4,3, 2,1,0 , xx=35,, yy=35
1

0.9

総
合
評
価

0.8

変数k

0.7

0
1
2
3
4
5

0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
3.3

3.2

3.1

3

2.9

2.8

2.7

2.6

2.5

2.4

2.3

2.2

2.1

2

1.9

1.8

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

1.2

0
1.1

(swP  swQ ) k 5  (swP  swQ ) k 0 x = 3, y = 3

変数a

図 3-5 代替案 P と Q の総合評価の差 x=5, y=5
ここでの最適な a 値とは x,y を固定した場合において，評価基準 B における代替案 P と Q の重要度 kに対して，( swP  swQ ) k 5  ( swP  swQ ) k 0 を最

連絡先：
小谷 直也
大阪国際大学国際関係研究所研究協力員〒573-0192 大阪府枚方市杉 3 丁目 50 番 1 号
Phone: (072)858-1616(代) E-mail: kotani@stu.oiu.ac.jp

大化するものである．すなわち，評価基準 B を全く考慮しない k  0 と最大限に効かせた k  5 との差を大きくすることは，代替案 P と Q の差を明確に示すことになる(図 3-6)．

26

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）

ファジィ数空間上のベキ級数について IV
Infinite Series on the Fuzzy Number Space
稲井田 次郎Jiro Inaida
日本大学

Nihon University
Abstract: It is well known that fuzzy mapping plays an important and fundamental role in fuzzy analysis.
In this paper, we attempt to determine extensive classes of these fuzzy mappings that are represented by their
Taylor expansion. We have first obtained that the continuous function f(x) can transform a fuzzy mapping f(u)using the extension principle. And we discuss some properties of the series of fuzzy numbers. From theseproperties we have seen that f(u) has the property of being analytic for the analytic function f(x). Finally as
an application, we give a suﬃcient condition for convergence of a fuzzy alternating series.
Keywords: fuzzy number, fuzzy mapping, fuzzy sequence, fuzzy series

１．はじめになるメンバシップ関数 µA (x) によって特徴付けら各項がファジィ数であるような数列，ファジィれる。今後，簡単のため µA (x) を A(x) と書くこと数列を考える。このとき，任意の Cauchy 列が収にする。

束するかどうかが問題となる。ファジィ数におけ

X 上のファジィ集合全体を F (X) と書く。特に，る基本定理を用いることにより，この問題が肯定

メンバーシップ関数 A(x) が０あるいは１のみを的に解決される。

とるファジィ集合は普通の意味の集合であるが，さらに，一般項がファジィ数であるファジィ級

ファジィ集合と区別するためクリスプ集合という。
定義２ α-レベル集合 [1] （α-カット）数が自然に定義されるが，一般項間の演算が和だ

A を X 上のファジィ集合とするとき，A の α-レ

けではなく，差の場合も考えると，必ずしも差がベル集合（α-カット）を次式で定義する：

定義されない。したがって，ファジィ級数の収束を定義する場合，各第 n 部分和の存在の保証が必[A]α = {x ∈ X | A(x) ≥ α} , 0 ≤ α ≤ 1

要である。
本稿では，最初にこのようなファジィ級数の収拡張原理 [1]束・発散を定義する。つぎに，特別な場合として，(1)

f は集合 X から集合 Y への写像とする。このとき，下式によって F (X) から F (Y) へ

交代級数の収束に関するライプニッツの定理をの写像 f ，および F (Y) から F (X) への写像 f −1 を

ファジィ数空間上に拡張する。

定義する：




A(t), y ∈ f (X) fsup(t)=yf (A)(y) = 
0 , y < f (X)

２．ファジィ数
定義１ ファジィ集合 [1]全体集合 X 上のファジィ集合 A はµA : X −→ [0, 1]

f −1 (B)(x) = B( f (x)), x ∈ X

27

(2)

ただし，A ∈ F (X), B ∈ F (Y) とする。また，ファ

ならば

u≤v

ジィ集合の直積 A × B ∈ F (X × Y) を下式によって定義する：とする。これは，任意の実数 r を r = [r, r] と考えれば，実数間の順序の拡張になっている。

(A × B)(x, y) = A(x) ∧ B(y)定義５ ファジィ数間の距離 [5]f は直積集合 X × Y から集合 Z への

[5]

定理１

u, v ∈ E 1 とするとき，u, v 間の距離 ρ を次式で写像とする。このとき，下式によって F (X × Y) か

定義する：

ら F (Z) への写像 f は表される：f (A × B)(z) = sup {A(s) ∧ B(t)}ρ(u, v) = sup {|v− (α) − u− (α)| ∨ |v+ (α) − u+ (α)|} (4)
0≤α≤1

(3)

スカラー倍 ku (k ∈ R)，および２つのファジィ数

f (s,t)=zu, v ∈ E 1 の和 u + v は拡張原理および定理１によただし，A ∈ F (X), B ∈ F (Y) とする。

り，次式で定義できる：

今後，全体集合 X として，ユークリッド空間 Rを考える。
定義３ ファジィ数 [1](u + v)(x) = sup (u(s) ∧ v(t)), x ∈ R

(5)




u(x/k), k , 0







(ku)(x) =  1，x = 0(0u)(x)= 0, x , 0

(6)

s+t=x

R 上のファジィ集合 u が，つぎの条件を満たすと
き，ファジィ数という:

1) 正規
ある x0 ∈ R が存在して，u(x0 ) = 1

2) ファジィ凸

このとき，次の定理が成立する。

u(λx+(1−λ)y) ≥ u(x)∧u(y), x, y ∈ X, 0 ≤ λ ≤ 1

定理２ [4]3) u(x) が上に半連続

1) u, v ∈ E 1 ならば，u + v ∈ E 14) [u]0 = {x ∈ R : u(x) > 0} が有界

2) k ∈ R，u ∈ E 1 ならば，ku ∈ E 1

今後，ファジィ数を u, v, w,・・・で表し，ファ

注２ ファジィ数 u の和に関する逆元は必ずしも存

ジィ数全体を E 1 とおく。この E 1 をファジィ数空

在しない。

間という。
注１

例１

集合 S に対し，S は S の閉包 (closure) を

u + [0, 1] = 0 を満たすようなファジィ数 u

は存在しない。

表す。

定義６ ファジィ数の差 [2]台が有界閉区間 [a, b] で， x = c (a ≤ c ≤ b) で

u, v ∈ E 1 とする。ある w ∈ E 1 が存在して，１をとる三角型ファジィ数 ≪ a, c, b ≫ は，応用

u = v + w が成立すれば，w を u と v の差といい上よく使われる。

u−v

定義４ ファジィ数間の順序 [2]で表す。

ファジィ数 u, v の α-レベル集合は，有界閉区間

注３

であるから

このような w が存在すれば，それは一意的

である。
α

α

[u] = [u− (α), u+ (α)], [v] = [v− (α), v+ (α)]

注４

ファジィ数の差は，必ずしも存在しない。

例えば， 0 − [0, 1] は存在しない。

とおくことができる。ここで，0 ≤ α ≤ 1 である。

ファジィ数の差の存在に関しては，参考文献 [2]

このとき，を参照のこと。

u− (α) ≤ v− (α), u+ (α) ≤ v+ (α), 0 ≤ α ≤ 1

Lemma １ u, v, w ∈ E 1 とする。

28

1) v − w が存在すれば今後， pn (u) を un で表すことにする。

u + (v − w) = (u + v) − w.

４．ファジィ数列2) u − v, v − w が存在すればファジィ数列｛un ｝がファジィ数 u に収束すると(u − v) + w = u − (v − w).

は，任意の正数 ϵ に対して，ある番号 N が存在して，n > N なるすべての n に対して ρ(un , u) < ϵ が３．ファジィ写像 [3]1

ファジィ数空間 E 上に，部分集合 U が与えら成立するときをいう。この u をファジィ数列｛un ｝

れたとき，の極限値という。

f : U (⊂ E 1 ) −→ E 1(7)

Lemma ３ ファジィ数列｛un ｝が収束すれば，その極限値は一意に定まる。

をファジィ写像といい

定理３ Cauchy の判定条件 [3]w = f (u), u ∈ Uで表す。u が U 全体にわたるときの w 全体からな

ファジィ数列｛un ｝が収束するための必要十分る集合を，このファジィ写像の値域といい， f (U)

条件は，任意の正数 ϵ に対して，ある番号 N がで表す。

存在して，n, m > N なるすべての n, m に対し

定義７ ファジィ写像の連続性 [3]て ρ(un , um ) < ϵ が成立するときをいう。

Lemma ４ ファジィ数列｛un ｝，｛vn ｝がそれぞれ

u0 ∈ U とする。任意の正数 ϵ に対し，ある正数

u, v に収束する。このとき

δ が存在し，ρ(u, u0 ) < δ, u ∈ U なるすべての u に

1) 実数 k に対し，{kun } は ku に収束する。

対し，ρ( f (u), f (u0 )) < ϵ とできるとき， f (u) は u02) ｛un + vn ｝は u + v に収束する。

で連続であるという。これを

3) 各 un − vn が存在すれば，｛un − vn ｝は u − v

lim f (u) = f (u0 )u−→u0に収束する。

と書く。

Lemma ５ ファジィ数列｛un ｝が収束するための必f (u) が U に属するすべての u で連続であると要十分条件は，任意の α ∈ [0, 1] に対して，[un ]αき， f (u) は U で連続であるという。

が α に関して一様収束することである。

Lemma ２ f (x) を区間 I で定義された連続関数と定理４ [3] ファジィ数列 {un } に対してする。このとき，任意のファジィ数 u ([u] ⊂ I ) に0

1) u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ · · ·対して， f (u) はファジィ数になる。

2) あるファジィ数 v ∈ E 1 が存在して，x

例２ 指数関数 e ，三角関数 cos x, sin x は全区間でun ≤ v, n = 1, 2, · · ·定義された連続関数である。よって，任意のファならば，あるファジィ数 u が存在して，この数列

ジィ数 u ∈ E 1 に対し，eu , cos u, sin u はいずれも

は R 上ほとんど至るところ u に収束する。

ファジィ数になる。したがって，eu , cos u, sin u は
すべて，E 1 上で定義されたファジィ写像である。

５．ファジィ級数 [6]

例３ 三角関数 tan x は I = (− π2 , π2 ) で連続である。

ファジィ数の級数∑∞

n=0 (kn ⊗ un ) (u0 is determined to be 1. )よって，任意のファジィ数 u ([u]0 ⊂ I ) に対して，= (k0 ⊗u0 )⊕(k1 ⊗u1 )⊕(k2 ⊗u2 )⊕· · ·⊕(kn ⊗un )⊕· · ·tan u は常にファジィ数となる。したがって，tan u
は F (I) 上で定義されたファジィ写像である。

をファジィ級数という。ここで，kn を実数，⊗,⊕例４ ベキ [2]を形式的な演算とする。
この級数の第 n 部分和を

pn (x) = xn , n = 1, 2, · · ·vn = (k0 ⊗u0 )⊕(k1 ⊗u1 )⊕(k2 ⊗u2 )⊕· · ·⊕(kn ⊗un )は，全区間で定義された連続関数である。よって，とおく。ただしpn (u) は E 1 上で定義されたファジィ写像である。

29

√
√
2) sin u = u − 3!1 u3 + 5!1 u5 − · · · , − 2 ≤ u ≤ 2

v0 = k0 ⊗ u0 = k0 ,






k0 + k1 u1 , k1 ≥ 0
v1 = v0 ⊕ (k1 ⊗ u1 ) = k0 − |k1 | u1 , k1 < 03) log(1 + u) = u − 12 u2 + 13 u3 − · · · , 0 ≤ u ≤ 1,4) tan−1 u = u − 13 u3 + 15 u5 − · · · , −1 ≤ u ≤ 1のようにし，一般には

vn−1 + kn un , kn ≥ 0
vn = vn−1 ⊕(kn ⊗un ) = vn−1 − |kn | u1 , kn < 0

とおく。

参考文献

[1] Wu Congxin and Ma Ming：Foundations of
Fuzzy Analisys，National Defense Industry
Press ，1994.(in Chinese)∑(kn ⊗ un ) がファジィ数 u に収束[2] A.Kaufmann and M.M.Gupta: Introduction

するとは，第 n 部分和 vn がすべて存在し，ファto Fuzzy Arithmetic,Van Nostrand Reinhold

ファジィ級数

ジィ数列 {vn } が u に収束するときをいう。ファCompany Inc.,1991. (邦訳：ファジィ数理と応

ジィ級数が収束しないとき，発散するという。

用：田中 英夫，松岡 浩訳, オーム社, 1992.)

例えば，ｋ1 = 1, k2 = 2, k3 = −3, · · · とすれ[3] Wu Congxin ＆ Wang Guixiang:

ば，Convergence of sequences of fuzzy numbers

u1 + 2u2 − 3u3 + · · ·and fixed point theorems for increasing fuzzyとなる。u1 = [0, 1], u2 = [−1, 1], u3 = [1, 3] ならmappings and application, Fuzzy Sets and Sys-

ば，

tems 130.383-390, 2002.

v1 = u1 = [0, 1][4] Wu Congxin: Some advances on the calcu-

v2 = v1 + 2u2 = [0, 1] + 2[−1, 1] = [−2, 3]

lus of fuzzy mappings, The 19th Fuzzy Systemとなり，v2 は存在するが，Symposium Proceeding, 2003.

v3 = v2 − 3u3 = [−2, 3] − 3[1, 3][5] Shiji Song ＆ Wu Congxin:Existance and= [−2, 3] − [3, 9]

uniqueness to Cauchy Problem of fuzzy diﬀer-

であるから，v3 は存在しない。よって，このファ

encial equations, Fuzzy Sets and Systems

ジィ級数は発散する。

110.55-67, 2000.

特に，k0 = 0, kn = (−1)n−1 のとき，すなわち[6] 稲井田 次郎他：ファジィ数空間上のベキ級

u1 − u2 + u3 − u4 + · · ·数の研究，早稲田大学数学教育学会誌, 第 23をファジィ交代級数という。ファジィ交代級数に号第 1 号，pp.37-45,2005.

関して，次の定理が成立する：[7] 稲井田 次郎: ファジィ数空間上のテーラー

定理５ ファジィ交代級数

展開, The 25th Fuzzy System Symposiumu1 − u2 + u3 − u4 + · · ·Proceeding, 2009.

に対して[8] 稲井田 次郎，御前 憲廣，白川 幸子: ファ1) u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ · · ·ジィ交代級数について, バイオメディカル・2) lim un = 0

ファジィ・システム学会 第 22 回年次大会講n−→∞3) un − un+1 (n = 1, 2, · · · ) がすべて存在する。

演論文集, 2009.

ならば，あるファジィ数 u ∈ E 1 が存在して，この級数は R 上ほとんど至るところ u に収束する。

連絡先

例５

日本大学理工学部

1) cos u = (−1)((−1) + 2!1 u2 − 4!1 u4 + · · · ),√0≤u≤ 6

稲井田 次郎E-mail:daojingtian@penta.ge.cst.nihon-u.ac.jp30

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）補償型・非補償型モデルとショケ積分モデル– 補償型・非補償型の中間のモデルとその程度の推定 –The Choquet integral model include compensation and non-compensation models: Estimation of compensation level of marketing data
高萩栄一郎
Eiichiro Takahagi
専修大学

Senehu University
Abstract: Choquet integral models can do the intermediate evaluation among maximum, weighted averaging and minimum. In marketing non-compensation models, the maximum model is the conjunctivemodel and the minimum is the disjunctive model and compensation model is the liner functions. To
apply the Choquet integral model, we can do the intermediate evaluation among non-compensation andcompensation models. Lastly, we estimate the degree of non-compensation and compensation level.

1

はじめに

本稿では，各属性の重要度と，各代替案（評価対象）

マーケティングモデルにおいて，財やサービスを属の属性毎の評価値，総合評価値を AHP の一対比較で性とその評価値に分け，その総合評価を行うモデルを求め，そのとき，もっとも当てはまる ξ の値を推定す

考える．購買等の態度形成のモデルは，補償型と非補る．この ξ を推定することにより，どの程度，補償型

償型に分類される [1]．補償型モデルは，ある 1 つの属または 非補償型の総合評価を行っているのかが分かる．

性で低い評価であっても，他の属性が高い評価であれ

2

ば，その低い評価を補うことができるというモデルでファジィ測度ショケ積分モデル
ファジィ測度ショケ積分モデルは，属性間の相互作ある．非補償型モデルは，各属性に対して閾値を持って用を表現できる線形関数（加重和）の拡張である．さいて，その閾値に達しない属性の評価値の低さは，他

まざまな相互作用を表現できるが，本稿では，連結型，の評価値の高さでは補うことができないというモデル

線型，分離型を拡張するため，φs 変換 [6] を使った最である．

小値平均値最大値の中間の評価 [5] を利用する．

濱岡ら [2],[3] によると，補償型モデルは線型計算を

属性の数を n とし，その集合を X = {1, . . . , n} とあげ，非補償型モデルとして「連結型 (Conjunctive) モ

する．x1 , . . . , xn を各属性の評価値とし，同じ評価単デル」と「分離型 (Disjunctive) モデル」を提示してい位（strong commensurability, 属性間で比較可能など）

る．連結型モデルは，すべての属性の評価値が，それで測られているものとする

ぞれの属性の閾値を超えていないと受容されないとい

ファジィ測度は，線形関数の重みに相当し，重みはうモデルである．分離型モデルは，ある属性の評価値

いつも一定の値ではなく，相互作用の指標（どれくらが，その属性の閾値を超えていれば受容されるというい最大値に近い評価なのかなど）と評価値の大小関係モデルである．濱岡らは，受容される確率として，ロにより異なる（順序依存）．φs 変換は, 次式で定義する．
⎧⎪
はなく，総合評価値を求めるものとして，総合評価値⎪
u
if ξ = 1⎪⎪⎪⎪
y を出力値として求め，確率は求めない．
⎨uif ξ = 0.5
φ(ξ, u) =(1)
ファジィ測度ショケ積分モデル [4] は，評価項目間⎪⎪
1 − 1 − u
if ξ = 0⎪⎪の相互作用を考慮したモデルを作成することができる．
⎪⎪⎩(su − 1)/(s − 1) otherwise
ファジィ測度を変更することにより最大値，平均値，⎧最小値の中間の評価が可能である [5]．また，パラメー⎨1 if 0 < u ≤ 1
2(1 − ξ)ただし s =, u =タ ξ を変更することにより，最大値 (ξ = 1)，平均値
2⎩0 if u = 0ξ(ξ = 0.5)，最小値 (ξ = 0) での総合評価を行うことがジスティック関数を使っているが，本稿では，確率でに対応し，補償型の線型は平均値 ξ = 0.5 に，連結型

φs 変換によるショケ積分モデルでは，i 番目の属性へ
の重要度 wi (ただし，wi ≥ 0, wi = 1) を与え，評価モデルは最小値での総合評価 ξ = 0 に対応する．

値を大きい順に並べ替え，入力値の順位を表す関数をできる．分離型モデルは最大値での総合評価で ξ = 131

σ とする．すなわち xσ(1) ≥ . . . ≥ xσ(n) とする（ただし，X = {σ(1), . . . , σ(n)}）．総合評価値 y を次式で
計算する．

80

3
70 f(ξ,1/3,1/3,1/3)(60, 60, 60)
60

y = f(ξ,w1 ,...,wn ) (x1 , . . . , xn )
≡

n


φ(ξ,

i=1

=

n


i


50

wσ(j) )(xσ(i) − xσ(i+1) )(2)

2
f(ξ,1/3,1/3,1/3)(60, 70, 45)40

1f(ξ,1/3,1/3,1/3)(60, 80, 30)

j=1

{φ(ξ,

i=1

i


wσ(j) ) − φ(ξ,

j=1

i−1


30

wσ(j) )}xσ(i)

0

(3)

0.5

1 ξ

j=1

図 2: 総合評価値の変化

たとえば，x1 = 60, x2 = 80, x3 = 30, w1 = w2 =w3 = 1/3, ξ = 0.2 の場合，σ(1) = 2, σ(2) = 1, σ(3) =3 となり，

このように，各評価値 x1 , x2 , x2 への係数の値は，最y ={φ(ξ, w2 )}x2 + {φ(ξ, w1 + w2 ) − φ(ξ, w2 )}x1

小値，平均値，最大値の値を補間するように係数を連続+{φ(ξ, w1 + w2 + w3 ) − φ(ξ, w1 + w2 )}x3

的に変化させ，その中間の総合評価を可能にしている．
この連続的な変化は，評価値の順序や重みに依存して異=0.1013 × 80 + (0.3566 − 0.1013) × 60

なる．ξ とその意味を表 1 に示す．また，φ(ξ, 0.5) = ξ+(1 − 0.3566) × 30

で，n = 2 で等重みの場合の大きい評価値への係数にと な る ．図 1 は ，ξ を 0 か ら 1 に 変 化 さ せなる．ξ が大きければ高い評価値を重要視，小さけれ

た と き ，各 評 価 値 xi , i = 1, 2, 3 に 係 る 重 みii−1{φ(ξ, j=1 wσ(j) ) − φ(ξ, j=1 wσ(j) )}を グ

ば低い評価値を重要視することになる．

1
2 は ，f(ξ,1/3,1/3,1/3)(60, 80, 30),2
3
f(ξ,1/3,1/3,1/3) (60, 70, 45), f(ξ,1/3,1/3,1/3) (60, 60, 60) をグラフ化したものである．

ラ フ 化 し ，図1x3 への係数ξx2 への係数 (φ(ξ, w2))φ(ξ, w1 + w2 + w3) − φ(ξ, w1 + w2)

0.5

x1 への係数φ(ξ, w1 + w2) − φ(ξ, w2 )

3

0
0

0.5

1 ξ

表 1: ξ と総合評価法
総合評価法

1
..
.

最大値 (分離型)

0.5
..
.

加重平均 (線型)0

最小値 (連結型)

最大値と加重平均の中間の評価

最小値と加重平均の中間の評価

補償型，非補償型とファジィ積分
補償型モデルとして線型モデル，非補償型モデルとして，連結型モデルと分離型モデルを取り上げる．

図 1: 係数の変化 (等重み,x2 ≥ x1 ≥ x3 の場合)

各属性の評価値は，ショケ積分を行うために間隔尺度とし，その間隔は各属性で等しいとする．また，各ξ = 1 のとき，図 1 のように最大値 x2 への係数のみが 1 となり，他が 0 になっている．したがって，図

属性の評価値には閾値が存在し，その値は各属性で一2 のように，各評価値のパターンでも最大値を出力している．ξ = 0.5 のとき，図 1 のように各属性への係い場合，満たすように基準化するものとする．

定の値 (x∗ ) とする．もし，これらの条件が満たされな線型モデル (補償型) では，w1 , . . . , wn として，数は，wi に等しくなり，図 2 のように，各評価値のパターンでも加重平均値を出力している．ξ = 0 のとき，
図 1 のように最小値 x3 への係数のみが 1 となり，他

y=

n


wi x i(4)

i=1が 0 になり，図 2 のように，各評価値のパターンでもで総合評価する．これは，明らかに ξ = 0.5 の場合の最小値を出力している．

ショケ積分モデルである．

32

連結型モデルは，すべて属性の評価値 xi が閾値 x∗

代替案の評価値を xji (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m)(iを超えていれば受容されるというモデルである．
⎧⎨1 if x > x∗i
(5)
T (xi , x∗ ) =⎩0 otherwisae

は属性の番号，j は代替案の番号, m は代替案数)とする ( j xji = 1, ∀i)．
重要度 各属性間の一対比較を行い重要度 wi (i =
1, . . . , n) を求める ( i wi = 1)．

として，

z = min(T (x1 , x∗ ), . . . , T (xn , x∗ ))総合評価値 AHP での一対比較に加え，各代替案の総合(6)

評価についても一対比較を行う．y j , j = 1, . . . , m
を求める ( j y j = 1)．

と定式化できる．この z が 1 であれば受容され，0 ならば受容されない．この問題は，一対比較値が，第 3 節の述べた条件 (間隔尺度，間隔z = T (min(x1 , . . . , xn ), x∗ )が等しい，閾値が等しい）を満たしているか考察する．

(7)

AHP の一対比較値は比例尺度であるので，間隔尺度である．また，評価値別に求めた重要度をそのまま使い加重和しているので，属性間では，間隔の効果が等しとも表現できる．これは，

y = min(x1 , . . . , xn )(8)いという前提である．間隔の効果が等しく和が 1 に正∗を総合評価値とする評価法であり，T (y, x ) で受容の規化されているので，閾値が等しいと仮定する．この有無が決まる．min(x1 , . . . , xn ) は ξ = 0 とするショケ問題により厳密に対処するには，[7] で提案されている

積分モデルである．

理想点，満足点を含む一対比較で同定（閾値を満足点∗∗

分離型モデルは，z = max(T (x1 , x ), . . . , T (xn , x ))とする）する必要がある．

と定式化でき，連結型と同様に y = max(x1 , . . . , xn )評価値と総合評価値の間隔は異なると考える．連結を総合評価値とする評価法であり，ξ = 1 とするショ型に近い場合，すべての属性が満たされていることがケ積分モデルである．

必要なので，総合評価値は，属性の評価値に比べて小これらの定式化を利用すれば，ξ を変化させることさくなる．逆に，分離型に近い場合は大きくなる．本により，連結型，線型，分離型の中間の総合評価を行

稿のモデルでは，ファジィ測度は正規化されており，属うことが可能になる．ただし，厳密に言うと ξ = 0, 1

性の評価値も総合評価値も和が 1 に正規化されている以外の場合，ある評価値の悪さは，他の属性の評価値

ので，そのまま ξ を求めると，加法的 (ξ = 0.5) になの良さで補うことができる（ξ = 0, 1 付近ではほんのわる傾向にある．そこで，総合評価値の間隔は，属性のずか）ので，中間の評価は補償型の総合評価法である． 評価値と異なると考え，比例尺度で測られているので，
k > 0 倍して考える．
[3] の定式化では，受容される確率を

Πni=1 P (xi > x∗ )問題は，y j , wi , xji を与え，次の数理計画問題を解き，(9)

ξ, k, d を求める．

で定式化し，ロジステイック関数で推定しており，本最小化 : d =稿のモデルは，[3] の定式化とは異なる．また，本稿でm(ky j − f(ξ,w1 ,...,wn ) (xj1 , . . . , xjn ))2

j=1

は，総合評価値を考察しており，受容確率についての議論は別稿に譲りたい．

制約条件 : k > 0, 0 ≤ ξ ≤ 1

45

補償型・非補償型の度合いの求め方

(10)

同定例

本節では，どの程度，連結型なのか分離型なのか線

同定例1 を表 2 に示す．デジタルカメラとポテトチッ型なのかを求める．求め方は，AHP で用いられる一対プに関しては連結型の決定を行っている．液晶テレビ

比較で，各属性の評価値，属性の重要度，総合評価値

については，0.31 と連結型と線型の中間の総合評価でを求め，もっともあてまりのよい ξ を求める．

ある．
図 3 と 4 は，ξ を 0 から 1 に変化させ，式 (10) で，一対比較で次の 3 種類の値を求めた．

ξ も固定して，d や k を求めたグラフである．図 3 に属性の評価値 各属性について，代替案間の一対比較を

1 本データは専修大学大学院「情報処理特講 II」で履修生から収集したデータである．協力してくれた院生に感謝する．

行いそれぞれの代替案，属性の評価値を求めた．各33

線形関数の部分をショケ積分モデルに置き換えること
表 2: 同定例で可能であろう．今後の研究課題にしたい．

問題 (m)属性ξ
k
デジタルカメラ (8) 価格, 画素数, 光学ズーム 0 0.20
液晶テレビ (8)価格, サイズ, 満足度 0.31 0.74
ポテトチップス (9)価格, 味, 量
0 0.59

参考文献[1] Roberts, J. H.and G. L. Lilien (清水聰訳): Chapter 2 Explanatory and predictive models of consumer behavior (第 2 章 消費者行動の予測と説

よると，最小点の左右で単調に最小値に収束して行っ明) ,in Maeketing, Handbooks in Operations Re-ていることがわかる．図 4 によると，ξ の増大に伴い

search and Management Science, Vol.5, 27-82,
Elsevier (邦訳 「マーケティングハンドブック」,
朝倉書店, 27-84, 1997).

k も増大している．これは，ξ の増大により，ショケ積分モデルによる総合評価値も増大していることによることが裏付けられている．

[2] 濱岡豊, 古川一郎, 片平秀貴: 非補償型 (最尤満足d0.2化) モデルによる広告への態度の分析, 日経広告研

デジタルカメラ究所報 31(4), 18-23, 1997, 日経広告研究所.

0.15[3] 濱岡豊: 消費者の広告への態度は補償型モデルで近似できるか？ – 広告への態度への非補償型モデ

液晶テレビ

0.1

ポテトチップス

0.05

ルの適用–, 学術振興財団 未来市場開拓プロジェ
クト・ディスカッションペーパー, 東京大学経済

0
0

0.5

学部, 1999.

1ξ

[4] T. Murofushi: A Theory of fuzzy measure : rep-

図 3: ξ と d の関係

kresentation, the Choquet integral and null sets,
J. Math. Anal. Appl., 159, pp.532-549,1991[5] 高萩栄一郎: 重要度と λ による λ ファジィ測度の同定について, 日本ファジィ学会誌, 12, 5, 665-676,
2000.

1.5
液晶テレビ
1
ポテトチップス[6] Y.Tukamoto, A Measure Theoretic Approach to
Evaluation of Fuzzy Set Deﬁned on Probability
Space, Journal of Fuzzy Math(模糊数学), 2, 3,
89-98, 1982.

0.5
デジタルカメラ
0
0

0.5

1ξ

[7] 高萩栄一郎: 一対比較によるショケ積分の被積分
関数 (入力値) の同定について, 知能と情報（日本

図 4: ξ と k の関係

知能情報ファジィ学会誌),19, 1, 22-30, 2007.

6

おわりに

連絡先
高萩栄一郎 (専修大学商学部)

ショケ積分モデルを使い，連結型，線型，分離型の程度を測定する方法を提案した．[1] や [3] で，補償型

Tel：044-900-7988と非補償型の差異は，その対象への関与の度合いや知E-mail：takahagi@isc.senshu-u.ac.jp

的水準が指摘されている．また，対象や属性の性質によることもあるだろう．
マーケティングモデルでは，ロジットモデルを使い，受容確率を求めている．ショケ積分モデルモデルでは，[3] で提案されている補償型モデルのロジットモデルの34第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）自由モノイドから見た [ファジィ][マルチ] 集合[Fuzzy] [Multi] Sets and Free Monoids⃝ 村井 哲也◦Tetsuya Murai

宮本 定明

乾口 雅弘

工藤 康生

赤間 世紀

Sadaaki Miyamoto

Masahiro Inuiguchi

Yasuo Kudo

Seiki Akama

北海道大学

筑波大学

大阪大学

室蘭工業大学C-リパブリック

Hokkaido Univ.

Univ.of Tsukuba

Osaka Univ.

Muroran IT

C-Republic

Abstract: In this presentation, we make some consideration on the concepts of [fuzzy] [multi]sets from a point of viewof free monoids and on roles of sequences in uncertain information processing. For the purpose, we reformulate naı̈vesubsets and multisets as some quotient sets induced from free monoids as the set of finite sequences, i.e, strings basedon equivalence relations. Finally we remark that fuzzy multisets would be better defined as multisets on the set of truth
values excluding 0, which should behave as the identity element because multisets must not count non-membership.

1. はじめに最大元である．べき集合の各要素 A に対して，特性関
数 χA : U → 2 (ここで，2 = {0, 1}) を

例えば，「集合 {3, 3}」と書くと，誤りであろうか ? こ 1, x ∈ A のとき
χA (x) =  0, それ以外のときの問いは次のいずれを採るか，を迫る!?

(1) 集合では，実際に要素の重複があろうが，なかろう
か，気にしない (無視する)．

(2) 集合には，要素の重複はあってはならない．

によって定義でき，以下，部分集合とその特性関数を一般には，前者の解釈が採られていると考えられる． 同一視する： P(U) = {A | A : U → 2}.
有限集合の外延的記法 {x0 , · · · , xn−1 } に対して，メタ変
2.2. マルチ集合
数 xi (i = 0, · · · , n − 1 ∈ N) は異なる要素を表す，といU 上のマルチ集合はカウント関数 µ : U → N としてう注意は (少なくとも筆者は) 見たことがない．なお，
定義される．集合 supp(µ) = {x ∈ U | µ(x) > 0} を µ の自然数全体の集合は 0 を含むとする： N = {0, 1, 2, ...}．
台と呼ぶ．マルチ集合 µ, µ′ 間の相等性と包含関係は以上から，集合の表現として重複は許容するが，し、、µ = µ′ ⇔ ∀x ∈ U (µ(x) = µ′ (x))
かし，無視する，という見方が妥当そうである．しかし，後者の立場もある．例えば，Codd の関係データµ ⊆ µ′ ⇔ ∀x ∈ U (µ(x) ≤ µ′ (x))

ベースの理論 (cf.[1, 8]) において，タプルの重複が許されない，という説明がある．一方，SQL(cf.[2]）では重によって定義される．また，∪ (合併) および ∩ (共通部

複が許されるべきであり，マルチ集合で理論化するの分) に加え，+ (加法) の演算も要素毎に定義される：が本来の姿であろう，という議論が展開される．

(µ ∪ µ′ )(x) = max(µ(x), µ′ (x)),

以上のように，最初の問いは微妙な性格を孕んでい(µ ∩ µ′ )(x) = min(µ(x), µ′ (x)),

る．本稿では，自由モノイド (cf.[10]) の立場から，列(µ + µ′ )(x) = µ(x) + µ′ (x).

の概念 (cf. [5, 10]) を基本として，[ファジィ][マルチ]集合 (cf.[10, 12, 6, 7, 11, 9, 3, 14]) について考察する．

U 上のマルチ集合全体を M(U) で表す：

2. 準備
2.1.

def

M(U) = {µ | µ : U → N}.

部分集合
構造 ⟨M(U), ∪, ∩⟩ は分配束をなす．マルチ集合 0 を

U を記号の有限集合 U とする．U のベキ集合 P(U) ={A | A ⊆ U} は集合演算 ∪ (合併) と ∩ (共通部分), C (補集合) に空集合 ∅ と全体集合 U を加えて，ブール代数

0(x) = 0 (∀x ∈ U).

⟨P(U), ∪, ∩, C , ∅, U⟩ をなす．空集合 ∅ と全体集合 U は包含関係 ⊆ を順序と考えた時の，それぞれ，最小元とで定義すると，加法 + に関する単位元になるから，構造 ⟨M(U), +, 0⟩ は可換モノイドになる．よって，両者35

を併せた ⟨M(U), ∪, ∩, +, 0⟩ は束順序可換モノイドであで定義できる．相等性に関して，次が成り立つ：

る．また，⟨M(U), ⊆⟩ は順序集合であり，0 (∈ M(U)) は[s] M = [s′ ] M ⇔ ∀x ∈ U(ct M (x, [s] M ) = ct M (x, [s′ ] M ))この順序 ⊆ に関する最小元である． M(U) は最大元を[s] M の台を次式で定義する：

持たないので，一般に補元演算は定義できない1 ．

2.3.

def

supp M ([s] M ) = {x ∈ U | ct M (x, [s] M ) > 0}.

列列の定義は複数ある (cf. [5, 10])．本稿では有限記号

同値類 [s] M , [s′ ] M ∈ U ∗ / ∼ M に対して，

集合 U から生成される自由モノイド U ∗ の要素とする(1) ct∗ (x, t) = max(ct M (x, [s] M ), ct M (x, [s′ ] M )) である

定義を採る．U の要素をつなげる連接演算 · で生成されような t ∈ U ∗ があって，その選び方に依らずにる記号列全体を U ∗ と書く．演算 · は結合則 (s·(s′ · s′′ ) =(s · s′ ) · s′′ (∀s, s′ , s′′ ∈ U ∗ )) を満たし，空列 ε は連接演算に関する単位元である (s · ε = ε · s = ε (∀s ∈ U ∗ ))．
よって，構造 ⟨U ∗ , ·, ε⟩ モノイドであり，U 上の自由モ[s] M ∪ M [s′ ] M = [t] M ,def(2) ct∗ (x, t) = min(ct M (x, [s] M ), ct M (x, [s′ ] M )) であるような t ∈ U ∗ があって，その選び方に依らずにノイドと呼ばれる．U ∗ の要素を列と呼ぶ2 ．

[s] M ∩ M [s′ ] M = [t] M .
def

各列 s(∈ U ∗ ) に関して，各記号 x の s 中の出現回数を与えるカウント関数

で演算を定義すると，次が成り立つ：

ct∗ : U × U ∗ → N

ct M (x, [s] M ∪ M [s′ ] M ) = max(ct M (x, [s] M ), ct M (x, [s′ ] M )),を仮定する．ct∗ (x, s) は x が s 中に出現する回数であct M (x, [s] M ∩ M [s′ ] M ) = min(ct M (x, [s] M ), ct M (x, [s′ ] M )).

る．列 s の台は次式で定義される：

従って，以下の諸式が成り立つことが分かる：

supp(s) = {x ∈ U | ct∗ (x, s) > 0}.
def[s] M ∪ M [s] M = [s] M ,[s] M ∩ M [s] M = [s] M ,[s] M ∪ M [s′ ] M = [s′ ] M ∪ M [s] M ,列 s = x1 x2 · · · xn , s′ = y1 y2 · · · ym に関して， s が s′の部分列である (s ⊑ s′ と書く) とは，順序保存単射[s] M ∩ M [s′ ] M = [s′ ] M ∩ M [s] M ,φ : n → m が存在して，任意の k ∈ n に対して， s(k) =[s] M ∪ M ([s′ ] M ∪ M [s′′ ] M ) = ([s] M ∪ M [s′ ] M ) ∪ M [s′′ ] M ,′s (φ(k)) となる時である．ここで，一般に，自然数 n (≥1) に対して，n = {0, 1, · · · , n − 1} である．部分列の関係⊑ は U ∗ 上の順序であり，⟨U ∗ , ⊑⟩ は順序集合である．し[s] M ∩ M ([s′ ] M ∩ M [s′′ ] M ) = ([s] M ∩ M [s′ ] M ) ∩ M [s′′ ] M ,[s] M ∪ M ([s] M ∩ M [s′ ] M ) = [s] M ,かし，任意の列 s, s′ に関して，上限 (join) と下限 (meet)[s] M ∩ M ([s] M ∪ M [s′ ] M ) = [s] M ,は必ずしも存在しないので，一般に，束にはならない．

[s] M ∪M ([s′ ] M ∩M [s′′ ] M ) = ([s] M ∪M [s′ ] M ) ∩ M ([s]M ∪ M [s′′ ]M ),[s] M ∩M ([s′ ] M ∪M [s′′ ] M ) = ([s] M ∩M [s′ ] M ) ∪ M ([s]M ∩ M [s′′ ]M ).

3. 自由モノイドとマルチ集合

よって，∪ M と ∩ M はそれぞれ，join と meet であり，構U ∗ 上の二項関係 ∼ M を次式で定義する：′∗∗

造 ⟨U ∗ / ∼ M , ∪ M , ∩ M ⟩ は分配束である．

′s ∼ M s ⇔ ∀x ∈ U (ct (x, s) = ct (x, s )).

商集合 U ∗ / ∼ M の要素 [s] M , [s′ ] M に対して，列間の連接演算を利用して，同値類間の演算 + M を

これは同値関係であり，交換律で一致する列を互いに同値とする．商集合 U ∗ / ∼ M . の要素を [s]∼M ではなく，∗

単に [s] M と書く．任意の [s] M (∈ U / ∼ M ) について，[s] M + M [s′ ] M = [ss′ ] Mdefで定義すると，s′ ∈ [s] M ⇒ ∀x ∈ U (ct∗ (x, s′ ) = ct∗ (x, s))

ct M (x, [s] M + M [s′ ] M ) = ct M (x, [s] M ) + ct M (x, [s′ ] M ).

が成り立ち，ct∗ (x, s) の値は代表元の取り方に依らず，[s] M に関するカウント関数 ct M : U × (U ∗ / ∼ M ) → N をが成り立つ．よって，+ M は同値類間のカウント関数

ct M に関する加法であり，次も成り立つ：

ct M (x, [s] M ) = ct∗ (x, s).

[s] M + M [s′ ] M = [s′ ] M + M [s] M ,1 補元演算を相対的に定義する研究として，[4, 13] がある．

([s] M + M [s′ ] M ) + M [s′′ ] M = [s] M + M ([s′ ] M + M [s′′ ] M ).

2 連接演算はしばしば省略される： xyz = x · y · z．

36

[µ]P の特性関数 ct P : U × (M(U)/ ∼P ) → 2 を


P


 1, x ∈ supp ([µ]P ) のとき,
ct P (x, [µ]P ) =  0, それ以外のとき

def

演算 + M に関するゼロ (単位) 元を 0 M = [ε] M で定義で
き，実際，[s] M + M 0 M = 0 M + M [s] M = 0 M である．よって，構造 ⟨U ∗ / ∼ M , + M , 0 M ⟩ は可換モノイドである．更に，加法と join および meet との間に，それぞれで定義する．任意の [µ]P , [µ′ ]P ∈ M(U)/ ∼P に対して,[s]M +M ([s′ ]M ) ∪M [s′′ ]M ) = ([s]M +M [s′ ]M ) ∪M ([s]M +M [s′′ ]M ),演算 ∪P と ∩P をそれぞれ，[s]M +M ([s′ ]M ) ∩M [s′′ ]M ) = ([s]M +M [s′ ]M ) ∩M ([s]M +M [s′′ ]M )[µ]P ∪P [µ′ ]P = [µ ∪ M µ′ ]P ,defが成り立つ．よって，構造 (U ∗ / ∼ M , ∪ M , ∩ M , + M , 0 M ⟩ は[µ]P ∩P [µ′ ]P = [µ ∩ M µ′ ]P
def

束順序可換モノイドである．
前述の join (meet でもよい) から，U ∗ / ∼ M 上の順序
′

def

′

で定義する時，特性関数に関して，次が性質が成り立つ：′

を [s] M ⊆ M [s ] M ⇔ [s] M ∪ M [s ] M = [s ] M によって定

ct P (x, [µ]P ∪P [µ′ ]P ) = max(ct P (x, [µ]P ), ct P (x, [µ′ ]P )),義でき，構造 ⟨U ∗ / ∼ M , ⊆ M ⟩ は順序集合である．0 M はこの順序の下で最小元である．明らかに次式が成り立つ；

これから，以下の性質が容易に導かれる：[s] M ⊆ M [s′ ] M ⇔ ∀x ∈ U (ct M (x, [s] M ) ≤ ct M (x, [s′ ] M )).

[µ]P ∪P [µ]P = [µ]P ,混乱が生じない限り，構造 ⟨U ∗ / ∼ M , ∪ M , ∩ M , + M , 0 M ⟩ を[µ]P ∩P [µ]P = [µ]P ,′[µ]P ∪P [µ ]P = [µ′ ]P ∪P [µ]P ,

単に，U ∗ / ∼ M と書く．

[µ]P ∩P [µ′ ]P = [µ′ ]P ∩P [µ]P ,U 上のマルチ集合の全体 M(U) と本節の U ∗ / ∼ M との関係について述べる．写像 ψ : M(U) → U ∗ / ∼ M を各[µ]P ∪P ([µ′ ]P ∪P [µ′′ ]P ) = ([µ]P ∪P [µ′ ]P ) ∪P [µ′′ ]P ,µ ∈ M(U) に対して，ψ(µ) = [t] M で定義する．ここで，列 t は任意の x ∈ U に対して，ct M (x, t) = µ(x) を満たすように選ばれる．この時，ψ は全単射であり，M(U)[µ]P ∩P ([µ′ ]P ∩P [µ′′ ]P ) = ([µ]P ∩P [µ′ ]P ) ∩P [µ′′ ]P ,[µ]P ∪P ([µ]P ∩P [µ′ ]P ) = [µ]P ,[µ]P ∩P ([µ]P ∪P [µ′ ]P ) = [µ]P ,の演算 ∪ および ∩, + を保存する：[µ]P ∪P ([µ′ ]P ∩P [µ′′ ]P ) = ([µ]P ∪P [µ′ ]P ) ∩P ([µ]P ∪P [µ′′ ]P ),ψ(µ ∪ µ′ ) = ψ(µ) ∪ M ψ(µ′ ),′ct P (x, [µ]P ∩P [µ′ ]P ) = min(ct P (x, [µ]P ), ct P (x, [µ′ ]P )).

[µ]P ∩P ([µ′ ]P ∪P [µ′′ ]P ) = ([µ]P ∩P [µ′ ]P ) ∪P ([µ]P ∩P [µ′′ ]P ).

′ψ(µ ∩ µ ) = ψ(µ) ∩ M ψ(µ ),よって，∪P , ∩P はそれぞれ join，meet であり，構造ψ(µ + µ′ ) = ψ(µ) + M ψ(µ′ ).

⟨M(U)/ ∼P , ∪P , ∩P ⟩ は (少なくとも) 分配束である．
部分集合の加法 +P はマルチ集合の加法 + M から，任つまり，ψ は M(U) から U ∗ / ∼ M への同型写像であり，意の [µ]P , [µ′ ]P ∈ M(U)/ ∼P に対して,
これによって， M(U) と U ∗ / ∼ とを同一視する：
M[µ]P +P [µ′ ]P = [µ + M µ′ ]P .
def

M(U) = {µ | ∃s ∈ U ∗ (µ = [s] M )}.

によって定義できる．しかし，演算 ∪P に縮退する：

4. 自由モノイドと部分集合[µ]P +P [µ′ ]P = [µ]P ∪P [µ′ ]P .

M(U) (= U ∗ / ∼ M ) 上の二項関係 ∼P を

def

M(U)/ ∼P 上の順序を [µ]P ⊆P [µ′ ]P ⇔ [µ]P ∪P [µ′ ]P =[µ′ ]P ( ⇔ [µ]P ∩P [µ′ ]P = [µ]P ) で定義すると，台に関しµ ∼P µ′ ⇔ supp M (µ) = supp M (µ′ ),て次式が成り立つ：

によって定義すると，明らかに同値関係であり，マルチ集合上へのべき等性の導入を意味する．以下，商集[µ]P ⊆P [µ′ ]P ⇔ supp M (µ) ⊆ supp M (µ′ )合 M(U)/ ∼P を考える．同値類 [µ]P の台は代表元の取def

り方に依らずに suppP ([µ]P ) = supp M (µ) で定義できる． 順序集合 ⟨M(U)/ ∼P , ⊆P ⟩ において，0P def= [0 M ]P は順序
同値類 [µ]P , [µ′ ]P の相等性について次が成り立つ：⊆P に関する最小元となる：[µ]P = [µ′ ]P ⇔ suppP ([µ]P ) = suppP ([µ′ ]P ).

[µ]P ∪P 0P = 0P ∪P [µ]P = 0P .

37

一方，supp M (µ) = U となる µ があり，その選び方に依らは U から M(2) への写像である．しかし，明らかにマ

defず，1P = [µ]P を定義でき，⊆P に関する最大元となる：

ルチ集合ではない．よって， M(U) ⊂ MY (U) である．
これを避けるためには，0 に対して，空列 ε を対応[µ]P ∩P 1P = 1P ∩P [µ]P = [µ]P .

させればよい．正確には，次の写像⟨M(U)/ ∼P , ⊆P ⟩ に最大元が存在するので，任意の [µ]P

τ : 2 → {ε, 1} (ただし，
τ(0) = ε, τ(1) = 1)に対して， supp M (µ) = (supp M (µ′ ))C を満たす µ, µ′ がを考え，M(2) の要素に記号毎に適用する．例えば，

存在し，それらの選び方によらずに，演算 C を([µ]P )

CP

τ([02 ] M ) τ([01 13 ] M ) τ([14 ] M )
,
,
}
x
y
z
[ε2 ] M [ε1 13 ] M [14 ] M
={
,
,
}
x
y
z
[10 ] M [13 ] M [14 ] M={,,} (ε = 10 に注意)xyz

τ(µY ) = {′= [µ ]Pで定義できて，次が成り立つ：([µ]P )CP ∪P [µ]P = 1P ,([µ]P )CP ∩P [µ]P = 0P .

従って ，構 造 ⟨M(U)/ ∼P , ∪P , ∩P , CP , 1P , 0P ⟩ は ブ ー

これはマルチ集合の値域を M({1}∗ ) としたことになる：

ル 代 数 で あ る ．以 下 ，混 乱 が 生 じ な い 限 り，構 造⟨M(U)/ ∼P , ∪P , ∩P , CP , 1P , 0P ⟩ を M(U)/ ∼P と略記する．
べき集合 P(U) と本節の M(U)/ ∼P との関係について述べる．写像 ξ : P(U) → M(U)/ ∼P を，A ∈ P(U) に対µ = τ(µY ) : U → M({1}∗ ).
しかし，{1} は一元集合ゆえ

し ct P (x, [µ]P ) = A(x) を満たす列 µ があり，その選び方

M({1}∗ ) = {1}∗ / ∼ M  {1}∗ = {ε, 1, 12 , · · · }  Nに依らず，ξ(A) = [µ]P で定義できる．ξ は全単射であとなり，τ(µY ) はカウント関数自身，すなわち，当然のり，演算 ∪ および ∩, C ，最大元，最小元を保存する：

ξ(A ∪ B) = ξ(A) ∪P ξ(B),

結果なのである．ファジィの場合は会場で報告する．

ξ(A ∩ B) = ξ(A) ∩P ξ(B),文献

ξ(A ) = ξ(A) , ξ(U) = 1P , ξ(∅) = 0P .
C

CP

[1] 赤間世紀 (2001): データベースの原理, 技報堂出版．

従って，ξ は P(U) から M(U)/ ∼P への同型写像であり，これによって，P(U) と M(U)/ ∼P を同一視する：[2] 赤間世紀 (2007): 初歩の SQL, 技報堂出版．
[3] 赤間世紀, 宮本定明 (2008): ソフトコンピューティングのロジッ
ク, 工学社.
[4] K.Chakraborty, R.Biswas, S.Nanda, On Yager’s Theory of Bags
and Fuzzy Bags, Computer and Artificial Intelligence, VOl.18,
pp.1.-17.

P(U) = {X | ∃µ ∈ M(U) (X = [µ]P )}.

5. おわりに[5] D.Gries and F.B.Schneider (1993): A Logical Approach to Discrete Math. Springer.

Yager[12] はファジィマルチ集合を写像 µ̃ : U → M(I)[6] 宮本定明, キム キョンスウ (1998): １変数関数によるファジィマ
ルチ集合の像とその応用について．日本ファジィ学会誌, Vol.10,
No.1, pp.157-167.

として定義した．ここで，I = [0, 1] である．この定義の問題はグレード 0 (属さない) をカウントしている点の要素が属すとはカウントしないと注記している．便[7] S.Miyamoto (2004): Generalizations of Multisets and RoughApproximations, International Journal of Intelligent Systems,
Vol.19, pp.639-652.

法とはいえ，定義とは矛盾する．

[8] 村井哲也 (2004): 初歩のデータベース, 昭晃堂.

である．にも関わらず，Yager[12](p.33) ではグレード 0[9] 中島信之 (2006): あいまいさの系譜, 三恵社.

この点の理解のため，Yager 定義のクリスプ版を考えると，マルチ集合は µY : U → M(2) である．しかし，M(2) = 2∗ / ∼ M = {[0k 1m ] M | k, m ∈ N}

[13] S.P.Jena, S.K.Ghosh, B.K.Tripathy, On the Theory of Bags andLists, Information Sciences, VOl.132, pp.241-254.

で，0k = |00{z· · ·}
0，1m = 11· · · }1 であり，特に，00 =| {z[14] L.A.Zadeh(1965): Fuzzy Sets, Information and Control, Vol.8,
pp.338-353.

m

10 = ε である．実際，マルチ集合の外延的記法をµn−1µ0} (µi ∈ M(2)) とする時，{ ,··· ,x0
xn−1µY = {

2

1 3[11] 塚本弥八郎 (2004): ファジィ情報論, 大学教育出版.
[12] R.R.Yager(1986): On the Theory of Bags, International Journalof General Systems, Vol. 13, pp.23-37.

であるから，一般に，0 を k 回カウントしている．ここk[10] 小野寛晰 (1994): 情報代数, 共立出版.

連絡先
村井 哲也
E-mail: murahiko@main.ist.hokudai.ac.jp

4[0 ] M [0 1 ] M [1 ] M
,
,
}
x
y
z

38

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）Suppressed Fuzzy c-Means の挙動分析およびパラメータ決定法
Some Behavior Analysis and a Method of Parameter Selection in Suppressed Fuzzy c-Means淺木 宏視
Hiroyoshi Asaki
北海道大学
Hokkaido University

河口 万由香Mayuka F.Kawaguchi
北海道大学
Hokkaido University

宮腰 政明
Masaaki Miyakoshi
北海道大学
Hokkaido University

Abstract: This research work focuses on Suppressed Fuzzy c-Means (S-FCM) as a fuzzy clustering method.
In S-FCM, a parameter α weights each membership, and the iteration count of the algorithm is reduced incomparison to the case of FCM. Also, Modiﬁed Suppressed Fuzzy c-Means (MS-FCM) has been proposedin order to select α automatically. In this report, the authors show how clustering result of S-FCM behaves
with the variation of α. And then we propose a new method to select α by using variance of each cluster.
Some numerical experiments show that our proposed method is eﬃcient in both aspects of the clustering
performance and the iteration count of the algorithm.

1

序論を決定する modiﬁed suppressed fuzzy c-means(MS-クラスタリングとは，類似する要素を持つデータをFCM) を提案した．しかしこの手法は，α の選択の際

グループ (クラスタ) に分割する手法であり，データのに，クラスタ同士の重なりを表す指標としてデータ全

構造や傾向などの知見を得るために用いられる．その体の分散を用いるが，データ全体の分散とクラスタ同手法の 1 つとしてクラスタセンタと呼ばれるクラスタ

士の重なりとは一概に関係するとは言えない．

の代表を元にデータを c 個のクラスタに分類する hard

本論文では，α を変化させたときの S-FCM の位置

c-means(HCM) が提案されている [5]．また，クラスタ
リングに帰属度と呼ばれる，各データがクラスタに属する度合いの指標を導入することで，データを曖昧な付けを数値実験と数学的検証によって示す．さらに α

要素を含ませながら分類することが可能で，柔軟に扱

クラスタリング性能，およびアルゴリズムの収束までう手法が提案されている．この手法はファジィクラスの反復回数が削減できることを数値実験で示す．

の選択の際にクラスタ同士の重なりを表す指標としてクラスタそれぞれの分散を用いた手法を提案し，そのタリングと呼ばれ，医学や生命工学についてのデータ2によく用いられる．HCM に帰属度を導入したものがfuzzy c-means(FCM) であるが [1]，この手法は計算量

FCM の記号の定義

この問題を解決するために，Fan et al.[2] はパラメー

n をデータ数，p を次元数とし，サンプルデータをX = {x1 , ..., xn } ⊂ Rp と表す．このサンプルデータ
を複数のクラスタに分割することを考えるとき，xj がタ α(∈ [0, 1]) によって帰属度を制御し，アルゴリズム

クラスタ i に属する度合いを示す指標として帰属度 uij

収束までの反復回数を減らす手法，suppressed fuzzyを導入する．

が多いという問題点がある．

c-means(S-FCM) を提案した．S-FCM は α = 1 のとき FCM になり，α = 0 のとき HCM となるが，α の値

さらにクラスタの中心を表すクラスタセンタの集合
を V = {v1 , ..., vc } ⊂ Rp と表す．ここで c をクラスの変化によって FCM と HCM の間をどう位置付けさタ数とする．uij は以下の条件を満たすことが要求されるかについて明らかにされていない．また，S-FCMれる．

は α の値によってクラスタリング結果が変化するため(i) uij ∈ [0, 1]∑c(ii) i=1 uij = 1∑n(iii) 0 < j=1 uij < nα の選択は非常に重要であるが，α の選択手法については明らかにされていない．
そこで Hung et al.[3] はアルゴリズム内で自動に α39ここで 0 • i • c，0 • j • n，2 • c • n ¡ 1 である． S3:式 (3) に vi を代入して，uij を計算する．
また，c £ n のファジィ分割行列を U = (uij ) とする． S4:式 (4) により，uij を修正する．

3

S5:式 (2) に修正された uij を代入して，vi を更新する．

既存研究

UNTIL(vi が収束する)
S-FCM は α = 0 のとき HCM となり，α = 1 のとき
FCM の評価関数 JF CM は以下のように定義される． FCM となるが，α の値の変化によって FCM と HCM

3.1

FCM

JF CM (U, V ) =

c ∑
n
∑

(uij )m ||xj ¡ vi ||2の間をどう位置付けされるかについて詳しく言及され(1)ていない．そして妥当な α を選択したとき，S-FCM は

i=1 j=1

HCM のアルゴリズム収束までの速さと FCM の柔軟な分割性能を兼ね備えるものであるが，Fan et al.[2]は α の選択方法を示していない．

ここでパラメータ m(> 1) はファジィの度合いを調節するものである．式 (1) の最小化問題を解くと∑nmj=1 (uij ) xj
vi = ∑n, i = 1, ..., cm
j=1 (uij )
( c
)¡1
2
∑ ||xj ¡ vi || (m−1),uij =
2(m−1)
k=1 ||xj ¡ vk ||i = 1, ..., c，j = 1, ..., n

3.3

(2)

MS-FCM

Hung et al.[3] はアルゴリズム内で変動しながら，自動的に α を決定する手法，MS-FCM を提案した．

α の選択の際に基準となるものは与えられたデータのクラスタ同士の重なりである．この重なりが多いほ(3)

ど，データのファジィ要素が高いとみなせるので FCMとなる．この U と V を求めるアルゴリズムを以下に寄りの手法，つまり α は大きい値をとるべきである．

示す．

Hung et al.[3] はクラスタ同士の重なりを表す指標として以下を与えた．

[FCM アルゴリズム]
S1:パラメータ m，c，および初期値 vi を与える．
REPEATmini6=k||vi ¡ vk ||β(5)

S2:式 (3) に vi を代入して，uij を計算する．
S3:式 (2) に uij を代入して，vi を更新する．

β はデータ全体の分散を表す．
MS-FCM において，パラメータ α は式 (5) に関して

UNTIL(vi が収束する)

単調減少するように次式で計算される．
()||vi ¡ vk ||2
α = exp ¡ min
i6=k
β

3.2

S-FCM

FCM のアルゴリズムでは収束までに時間がかかりすぎることが問題であり，その問題を解決するために，

Fan et al.[2] は S-FCM を提案した．この手法はパラメータ α(∈ [0, 1]) で帰属度に重み付けを行う手法であS1:パラメータ m，c，および初期値 vi を与える．
REPEATS2:vi を式 (6) に代入してパラメータ α を計算する．

える．

S2⁄ :以下のように帰属度 uij を修正する．
xj の s 番目のクラスタへの帰属度が他のクラスタへの

uij = αuij(i 6= s)

クラスタリングとパラメータ選択を同時に行う MS-

FCM のアルゴリズムを以下に示す．
[MS-FCM アルゴリズム]

り，アルゴリズムとしては FCM の S2 の後に S2⁄ を加帰属度と比べて一番大きい値を取るときに{∑
usj = 1 ¡ α i6=s uij = 1 ¡ α + αusj

(6)

S3:式 (3) に vi を代入して，uij を計算する．
S4:式 (4) により，uij を修正する．
S5:式 (2) に修正された uij を代入して，vi を更新する．
UNTIL(vi が収束する)(4)とする．ここで 0 • α • 1 である．以下にアルゴリズ

4

ムを示す．

S-FCM の位置付け
α の値によって S-FCM がどのように変化するかを[S-FCM アルゴリズム]
S1:パラメータ m，c，および初期値 vi を与える．

データ数 n = 40，クラスタ数 c = 3，次元数 p = 4のサンプルデータを用いた数値実験によって検証する．

S2:パラメータ α を与える．
REPEAT

さらに，アルゴリズムの反復 1 回につき，S-FCM の帰
属度がどのように変化するかを数学的に検証する．

40

図 1 は α を変化させたときの S-FCM のアルゴリズ
ム収束までの反復回数を示し，図 2, 図 3 はそれぞれ

α = 0.2，α = 0.8 としたときの S-FCM の各データの帰属度をプロットしたものである．uij の条件 (ii) からそれぞれの帰属度は図の三角形の平面上にプロットされる．そして三角形の頂点の近くに多くプロットされるほど，HCM に近いクラスタリング結果であることが言える．さらに，図 4 に α を変化させたときの S-FCMの帰属度の分散を示す．
図 1 より α の値が大きくなるにつれて S-FCM の反復回数は増加傾向にあることが分かる．また，図 2 よ図2S-FCM の帰属度の分布 (α = 0.2)

図3

S-FCM の帰属度の分布 (α = 0.8)

り α が小さい値を取るとき三角形の頂点の近くに多くプロットされていることから，HCM に近いクラスタ
リング結果となっていることが分かる．図 3 より α が大きい値を取るとき三角形全体にプロットされていることからファジィな傾向の強いクラスタリング結果となっていることが分かる．また，図 4 から α の値が大きくなるにつれて S-FCM の帰属度の分散は減少傾向にあることから α の値が小さくなるほど三角形の頂点に多くプロットされ，α の値が大きくなるほど三角形
全体にプロットされることが分かる．
以上の結果から反復回数と帰属度の観点からは S-

FCM は α の値を小さくするほど HCM に近づき，大きくするほど FCM に近づくと言える．
定理 α1 < α2 のとき var(U (α1 )) < var(U (α2 )) が成り立つ．
ここで var(U ) は U のクラスタごとの分散の総和を表し，U (α) は U に対して式 (4) による修正を 1 回行った結果を表す．
定理から S-FCM の帰属度はアルゴリズムの反復回
数 1 回のみに着目すると，α の値が大きいほど FCMに近づき，小さいほど HCM に近づくことが分かる．
図4

5

S-FCM の帰属度の分散

提案手法
α の選択の基準となるのは，クラスタ間の重なりである．式 (5) ではデータ全体の分散を用いるが，i と kのクラスタ間の重なりを比較するのにデータ全体の分散を用いることは妥当性に欠ける．
そこで本稿では α の選択の際に，クラスタ i と k そ
れぞれのクラスタごとの分散を用いて，式 (6) を以下

図1のように修正することを提案する．
)(||vi ¡ vk ||2
α = exp ¡ mini6=kβi + βk

S-FCM における α と反復回数の関係

41

(7)

∑
βi

2
j∈Ai ||xj ¡ x̄i ||=n(Ai )∑

図 5 から正答率に関して，提案手法は一部を除き，

j∈Ai xj, x̄i =

他の手法を上回っていることが分かる．図 6 から反復

n(Ai )

回数に関して，提案手法は S-FCM には劣るものの，一

ここで n(Ai ) はクラスタ i への帰属度が最大であるデー
タの数とする．この手法のアルゴリズムを以下に示す．

[提案手法のアルゴリズム]

部を除き，MS-FCM を上回っていることが分かる．

7

S1:および m，c，および初期値 vi を与える．
REPEAT

結論
本論文では，S-FCM の反復回数と帰属度を精査し，数値実験と数学的検証から，α を変化させたとき S-

S2:vi を式 (3) に代入して，uij を計算する．
S3:vi を式 (7) に代入してパラメータ α を計算する．
S4:式 (4) により，uij を修正する．

FCM が α の値が大きいほど FCM に近づき，小さいほど HCM に近づくことを示した．

さらに S-FCM のパラメータ α の選択方法において，
S5:式 (2) に修正された uij を代入して，vi を更新する． MS-FCM のデータ全体の分散を用いる手法ではなく，
UNTIL(vi が収束する)
それぞれのクラスタに属するデータの分散の和を用いて α を決定する手法を提案した．数値実験によって，

数値実験

6

提案手法はクラスタリング性能を維持しつつ，さらに実験データとして，データ数 n = 40，クラスタ数

反復回数削減という目的を達成し得ることを示した．

c = 3，次元数 p = 4 の British Data[4] を用いる．この実験データにおいて，FCM，S-FCM(α = 0.5)，MS-

参考文献

FCM，提案手法について m を変化させたときの正答[1] Bezdek, J.C., Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithms ，Plenum Press, New

率 (図 5) とアルゴリズム収束までの反復回数 (図 6) を比較した．

York，pp.43-93, 1981．

0.94
MS-FCM
S-FCM
FCM
proposed method[2] Fan, J.L., Zhen, W.Z., Xie, W.X., Suppressed

percentage of right answer

0.92

fuzzy c-means clustering algorithm, Pattern
Recognition Letters 24, pp.1607-1612，2003.

0.9[3] Wen-Liang Hung,
0.88

Miin-Shen Yang,

De-HuaChen., Parameter selection for suppressed fuzzy
c-means with an application to MRI segmenta-

0.86

tion, Pattern Recognition Letters 27, pp.424-438,
2006.

0.84
1

1.5

2

2.5

3

m

[4] Moser, C.A., Scott, W., British Towns,
図5

Olivesand Boyd, Edinburg, 1961.

m を変化させたときの正答率[5] J.B.MacQueen,

Some methods of classiﬁcation

40
MS-FCM
S-FCM
FCM
proposed method

35

and analysis of multivariate observations, Proc.
of 5th Berkeley Symposium on Math. Stat. andProb., pp. 281-297, 1967.

30

count

25

連絡先
河口 万由香

2015

北海道大学 大学院情報科学研究科 CS 専攻

E-mail: mayuka@main.ist.hokudai.ac.jp

10

5
1

1.5

2

2.5

3

m

図6

m を変化させたときの反復回数

42第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）

Building Multi-attribute Decision Model under Hybrid Uncertainty
Junzo Watada ∗Nureize Arbaiy †∗† Graduate School of Information, Production and System,† Faculty of Science Computer

Waseda University,
2-7 Hibikino, Wakamatsu, Kitakyushu
808-0135, Fukuoka, Japan,∗ Email: junzow@osb.att.ne.jp,

and Information Technology,
University Tun Hussein Onn Malaysia,
86400 Batu Pahat, Johor, Malaysia† E-mail:nureize@uthm.edu.my

Abstract—In this study, we present the fuzzy random variable based multi-attribute decision model. The proposed
concept can be used to model multi-attribute problem wherefuzziness and randomness are accompanied. We include theprocedure for building a multi-attribute evaluation where
the attribute’s weighting is performed by fuzzy random
regression method. This emphasized that the proposedmodel is useful to facilitate this decision model in evaluating alternatives and indicating optimum choice under thepresence of hybrid uncertainty.
Index Terms—multi-attribute decision making, fuzzy random variables, fuzzy random regression.

I. I NTRODUCTION
The ultimate goal in multi-attribute decision model aredescribing the decision making with more than single
attributes to obtain the best alternatives among the set of
evaluated alternatives. In a linear evaluation problem theﬁnal ratings of each alternative are assessed by a linear
function of relative merits of attributes. The relative meritsof the alternatives are judged by comparing and ranking
the ﬁnal ratings. Therefore, weighting the alternatives
plays a pivotal role in multi-attribute decision making.
It requires weight information for attributes. Typically,
decision makers play an essential role in deciding theweight. However, in real situations it is sometimes difﬁcult to estimate the weights when the appropriate value
can not be provided. Even though mathematical analysis
may contribute to determine these weight, historical data
used may contain fuzzy and random properties and shouldbe treated properly.
The traditional multi-attribute method was developed
to handle problem with certain information. That is, crisp
evaluation is used in the formulation of multi-attributeproblems. Nevertheless, it found difﬁculty with the factthat human judgments are included in the decision process model. In the representation of human’s knowledge,a crisp expression is not always appropriate. In many
multi-attribute problems, the information available to adecision-maker is often imprecise due to inaccurate attribute measurements and inconsistent priority judgments[4]. Decision knowledge is represented with uncertainty inboth qualitative and quantitative forms. In such situations,
uncertain and imprecise data are usually present whichmake the decision making process complex and challenging. Furthermore, random characteristics may be observedin the evaluation process at the same time. Fuzzy random
situations exists when the response is not known may be
expected from any given respondent, and the responses

will be characterized by fuzzy number [2]. Thus, the fuzzy
random variable is then useful to deal with the situations
where the actual value of random variable is ambiguous[1]. When a regression analysis will be possibly used
to estimate the weight of the attributes, a fuzzy random
regression is introduced to approximate the weight [5],[6] where hybrid uncertainties co-exist.
In this paper, we propose the multi-attribute decision
making scheme to accommodate the evaluation process
in the hybrid uncertainty situation. We highlights two
issues that should be addressed. First, it is necessary
to derive a set of numerical weights representing theimportance of the attributes with respect to the total
evaluation. Second, when both of the random and fuzzy
information are present in the observed data, it is required
to characterize the data not only by using the formalismof random variables. Hence, the objective of this study is
to build a fuzzy random regression model with conﬁdence
intervals in the fuzzy multi-attribute decision making
design. The use of the fuzzy multi-attribute decision
making scheme enables decision makers to evaluate andﬁnd the importance weight and further provide a ranking
for selective samples.
The remainder of this paper is organized as follows.
Section 2 describes the preliminaries of fuzzy regression
model and fuzzy random regression model. Section 3
explains the solution of Fuzzy Random Regression for
multi-attribute decision making. Finally, conclusions are
drawn in Section 4.
II. P RELIMINARIESIn this section, a fuzzy regression model and fuzzy
random regression model are explained. Speciﬁcally, thefuzzy random regression model is built on the basis of
conﬁdence intervals.
A. Possibilistic Fuzzy Regression Model
A possibilistic regression analysis is characterizedbased on the concept of possibility, where a fuzzy regression model is reinterpreted in the context of possibility[9], [8]. Additionally, a fuzzy regression model was introduced for fuzzy data, which involve heuristic methods
to determine the product value between fuzzy numbers[10]. In such a case, a fuzzy regression model is handledwithin a fuzzy methodology and this methodology canbe utilized for the evaluation of multi-attribute decision
making problems [4].
A possibility model is a re-interpretation of fuzzy
equations and deals with a linear regression analysis

43formulated by possibilistic linear systems. The extension
principle used in the model formulation can be explainfrom the possibility measure. A fuzzy regression model
is built in terms of fuzzy numbers and all observed
values expressing uncertainty in the system. That is, thefuzzy regression models ought to contain all observed
data within the estimated fuzzy numbers. Assume that wehave K attributes and N samples, use k for indicating an
attribute number, and i as a sample number. The inputoutput data point Di = (xi , yi ) is interpreted in such a
way that a fuzzy number xi is the ith input for a certain
system and yi is the associated output, i = 1, · · · , N .
Assume that, regression coefﬁcient Ak is a triangularfuzzy number Ak = (ak , λk ), k = 1, · · · , K with centre
ak and width λk . An input vector xi of all attributes ischaracterized for the ith sample.
The fuzzy regression is written as follows:
Y = [Yi ] = [A1 xi1 + · · · + AK xN K ] = AXti
xi1 = 1; i = 1, · · · , N.

(1)

Deﬁnition 1: Let us denote a symmetric fuzzy number
Ai as Ai = (ai , λi )L and is deﬁned by:μAi (ci ) = L((ci − ai )/λi )(2)where reference function L(x) satisﬁes L(x) =L(−x), L(0) − 1 and L is strictly decreasing on [0, +∞].
According to the extension principle, Equation (1) isrewritten as following possibilistic linear equation:
Yi = AXti = (axti , λ|xi |t )(3)

where |xi | = (|xi1 |, · · · , |xiK |). The possibility output
Yi is calculated by a possibility measure. The output of
the fuzzy regression (1), whose coefﬁcients are fuzzy
numbers, results in a fuzzy number.
The regression model with fuzzy coefﬁcients can be
expressed using the lower boundary axti − λ|xi |t , centre axti and upper boundary axti + λ|xi |t . The total
evaluation centre for a sample (yi , xi ), i = 1, · · · , N
is described as a fuzzy number yi = (yi , γi ). yi andγi are the total evaluation centre value and its width.
Considering a value vector, xi , of all attributes, where
the template membership function of fuzzy coefﬁcients is
set to L(α), and membership grade α, should extend asample included in the regression model. The inclusion
relation between the model and the samples are expressed
as follows:
Yi + L−1 (α)γi ≤ axti + L−1 (α)λ|xi |t
Yi − L−1 (α)γi ≥ axti − L−1 (α)λ|xi |t(4)

In other words, the fuzzy regression model is built tocontain all samples in the model. This problem results ina linear program.
The regression model can be written as the following
linear programming problem.
min
a,λ

N


λ|xi |ti=1

subject to:Yi + L−1 (α)γi ≤ axi t + L−1 (α)λ|xi |t
Yi − L−1 (α)γi ≥ axi t − L−1 (α)λ|xi |t
i = 1, · · · , N ;λ ≥ 0,

where (yi , xi ), yi = (yi , γi ), xi = [xi1 , · · · , xiK ], for i =1, · · · , N are the notations of observed data and fuzzy
coefﬁcient vector A consists of fuzzy coefﬁcients Ak =(ak , λk ) for k = 1, · · · , K .
The linear programming Equation (5) minimizes theN
λ|xi |t , subject to constraints explained by the
width
i=1

inclusion relation (4) in order to determine the fuzzy
parameters.
B. Conﬁdence Interval Based Fuzzy Random

Regression ModelIn this section, the fuzzy random regression model
is built by using conﬁdence intervals. Fuzzy randomvariables are introduced as random variables whose values
are fuzzy numbers as follows.
Deﬁnition 2: Given a universe Γ, let Pos be a possibility measure deﬁned on the power set P(Γ) of Γ. Let 
be the set of real numbers. A function Y : Γ →  is said
to be a fuzzy variable deﬁned on Γ.
The possibility distribution μY of Y is deﬁned byμY (t) = Pos{Y = t}, t ∈  which is the possibilityof event {Y = t}. For fuzzy variable Y with possibility
function, μ(y) the possibility and necessity of event{Y ≤ r} are given, respectively, in the following forms:
P os{Y ≤ r} = sup μY (t),
t≤r

(6)

N ec{Y ≤ r} = 1 − sup μY (t).
t>r

The expectation based on an average of possibility andnecessity is deﬁned from [3]. The expected value of a
fuzzy variable is presented as follows:
Deﬁnition 3: Let Y be a fuzzy variable. Thus, let us
consider the credibility measure. Under the condition thatthe expected value of Y is one of the two integrals is ﬁnite
and deﬁned as:∞E[Y ] =

 
1
2



1 + sup μY (t) − sup μY (t)  t≥r
0 1

0

−



1 + sup μY (t) − sup μY (t)

2

−∞

dr

t <r

t≤r

t >r

(7)
dr

Note that the credibility measure is an average of thepossibility and necessity measures.
Deﬁnition 4: Let X be a fuzzy random variable deﬁned
on a probability space (Ω, Σ, P r). Let us denote,[c = 1 + sup μZ(ω)(t) − sup μZ(ω)(t) ], and
t <r

t≥r

[d = 1 + sup μZ(ω)(t) − sup μZ(ω)(t) ]. The expectedt≤rvalue of X is deﬁned as
  ∞
 1
E[X] =

Ω

0

2

t >r

[c] dr −

0
−∞


1
[d]
2

dr

Pr(dω).

(8)

Deﬁnition 5: Let X be a fuzzy random variable deﬁned
on a probability space (Ω, Σ, P r) with expected value e.
The variance of X with e = E[X] given by Deﬁnition 4
is deﬁned as:var[X] = E[(X − e)2 ].

(5)

(9)

In this paper the main concern is on the propertiesof possibilistic linear model which is considered during

44TABLE IF UZZY E VALUATION S CALE .

the formulation of fuzzy random regression model. A
possibilistic linear system can be used as a model forinterval analysis. Let us regard that the input data Xik =lu(xik , xlik , xuik )T and output data Yik = (yik , yik, yik)Tare taken for values of fuzzy random variables for all i =1, · · · , N and, k = 1, · · · , K. Here for all i = 1, · · · , N
and, k = 1, · · · , K, Yi and Xik are fuzzy random datadeﬁned as
MYi

Yi =

(Yit , Yit,l , Yit,u )T , pti

(10)

t
t,l
t,u
t
(Xik
, Xik
, Xik
)T , qik(11)

Crisp Value
1
2
3
4
5
6
7
8
9

t=l
MX

ik

Xik =
t=l

respectively. That means that all values are given as
fuzzy random variables, where the fuzzy values Yi =(yi , yil , yiu )T and Xik = (xik , xlik , xuik )T are obtainedtwith probability pti and qik
for i = 1, · · · , N and,k = 1, · · · , K or t = 1, · · · , MXik , respectively. Let
us denote a fuzzy linear model with fuzzy coefﬁcientsA∗1 , · · · , A∗K as follows:Yi∗ = A∗1 Xi1 + · · · + A∗K XiK ,(12)

where Yi∗ denotes an estimate of the output and A∗k =[A∗l +A∗u ]∗u( k 2 k , A∗lk , Ak )T are symmetric triangular fuzzy

coefﬁcients for given triangular fuzzy random data Xikfor i = 1, · · · , N ; k = 1, · · · , K. When fuzzy random
MYi 


outputs Yi =(Yit , Yit,l , Yit,u )T , pti , i = 1, · · · , N
t=l

are given at the same time, the fuzzy random linear modelis used so that the model includes all given fuzzy random
outputs. Therefore, the following relation should hold:Yi∗ = A∗1 Xi1 + · · · + A∗K Xik ⊃F R Yi , i = 1, · · · , N, (13)where ⊃F R is a fuzzy random inclusion relation.
At this stage we establish the conﬁdence interval
which is induced by the expectation and variance of a
fuzzy random variable. A one-sigma conﬁdence interval
expresses the consideration of conﬁdence interval of eachfuzzy random variable and is expressed as follows:I[eX , σX ]Δ[E(X) −var(x), E(X) +var(x)](14)The σ-conﬁdence intervals based fuzzy random regression
model is described as follows:
⎫
K

⎪
⎪
⎪
min J(A) =(Auk − Alk )
⎪
⎪
A
⎪
⎪
k=1
⎬
u
l
Ak ≥ Ak ,

Yi∗ =

K


A∗i I[{eXik , σXik ] ⊃h̃ I[{eYi , σYi ]k=1

i = 1, · · · , N ; k = 1, · · · , K.

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭

(15)

The inclusion relation should be written as follows:Yi∗ + {eYik + σYik } ≤K(Auk · {eXik + σXik })k=1

Yi∗ − {eYik − σYik } ≥

K

k=1

(16)
(Alk · {eXik − σXik })Intensity of Importance
Fuzzy Value Fuzzy membershipA = (a, λ)(1, 1)
1̃
(2, 1)
2̃
(3, 1)
3̃
(4, 1)
4̃
(5, 1)
5̃
(6, 1)
6̃
(7, 1)
7̃
(8, 1)
8̃
(9, 1)
9̃

Deﬁnition

Very poor
Fairly poor
Poor
Below acceptanceAcceptable
Fairly good
Good
Fairly excellent
Excellent

Given this formulation, the solution of the problem
may be found using some heuristics or convex hullconsideration as proposed in Watada [11]. The solutionof the fuzzy random regression model with conﬁdence
interval can be rewritten as a problem of N samples with
one output and K input interval values [12].
III. M ULTI -ATTRIBUTE D ECISIONM ODELIn this section, we explain a fuzzy multi-attributedecision model under hybrid uncertainty circumstances.
We introduce the fuzzy evaluation scale as listed in Table
I to express the expert’s evaluation. The triangular fuzzy
numbers are used instead of crisp numbers to describe thefuzzy importance level.
Letusregards
thefollowing
notationforconvenience
for
model
deﬁnition.
: decision variablesXi: attribute’s weight vectorA∗: expected value of attribute k for sample i
eXik
σXik
: variance of attribute k for sample i
I[eXik , σXik ] : 1 × σ− conﬁdence interval: interval numbers[al , au ]where i = 1, · · · , N, and k = 1, · · · , K.
The proposed methodology is as follows:
1) Problem Description and Data Preparation.
The multi-attribute evaluation model of this system
consists of total evaluation, attributes, and alternatives to be evaluated. Data are collected fromhuman graders and the values for each criterion
were assigned in a straightforward manner basedon fuzzy evaluation scale as shown in Table I.
2) Weight Estimation.
The following steps explain the Fuzzy Random
Regression Model, which is used to estimate theweight of attributes.
a) Organize the fuzzy random data that result in
the form of (Yi , Xik ) for all i = 1, · · · , N andk = 1, · · · , K. Yi denotes the total evaluationof each ith sample, and Xik represents theassessment of the attributes.
b) Compute the conﬁdence interval of eachfuzzy random values to construct the 1 ×
σ−conﬁdence interval.
i) Calculate the expected value of triangularfuzzy random variable E[x] as equation

45

(8).
ii) Calculate the variance var[x] as equation(9).
c) Estimate the attribute’s weight by using Fuzzy
Random Regression Model (15). Let X∗i denote an attribute vector of sample i and Yi∗
is the total evaluation of sample i wherefor i = 1, · · · , N and N is the number ofcandidate alternatives to be evaluated. Fuzzy
random multi-attribute decision model is described in terms of fuzzy regression model(15) and inclusion relation (16) is described asfollows. All conﬁdence intervals I[eXik , σXik ]are non-negative values in this problem.

min J(A) =A

subject to
auk ≥ alk ,K(auk − alk )k=1

yi∗ + (eYi + σYi ) ≤

K

u

⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬

ak (eXik + σXik ) ⎪
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
 l
⎪
⎪
∗
ak (eXik − σXik ) ⎪yi − (eYi − σYi ) ≥
⎪
⎪
⎪
⎪
k=1
⎭
k=1
K

for i = 1, · · · , N and k = 1, · · · , K.

alk

auk

ratings are given, the total scores for alternatives can beanalytically obtained as fuzzy numbers.
IV. C ONCLUSIONS
The multi-attribute evaluation is one of useful method
to assess information relating to the evaluation’s attributes. The methodology should then be useful to model
problems incorporating knowledge and judgments. A better understanding of this judgment and knowledge canbe represented by weights of attributes during a decision
making process. This uncertainty element is important toproperly treated, as the judgment evaluation somewhat
strongly involves individual human preferences. Hence,in this paper, a multi-attribute decision model is built
based on Fuzzy Random Regression Model (15). Our
work described in this paper reveals that fuzzy decision
in a multi-attribute structure can be effectively used tobetter facilitate the decision making process during theevaluation of contractors.
Acknowledgments: A. Nureize would like to thank to
University Tun Hussein Onn Malaysia (UTHM) and Ministry of Higher Education Malaysia (MOHE) for a study
leave.
R EFERENCES

(17)

where
and
are the lower and upperboundary for estimated weight. The solution
for fuzzy random variables results in an interval numbers [alk , auk ].
3) Ranking the alternatives.
The weights [alk , auk ] are obtained from fuzzy random regression model (17) and can be used to
calculate the ﬁnal score of evaluation for ranking purpose. In order to build the multi-attributedecision model, let us denote a judgment matrix
by A = [aik ]n×K and a fuzzy weight vector of
attribute selection by W = [Wi ]1×K . The total
score vector R = [ri ]n×1 of alternatives can becalculated with the following expressions:⎫
R = [ri ] = A · W T ⎪
⎬
K

(18)
ri =
(aik · wi ), ⎪⎭k=1

where T is the transpose of a matrix or vector. In
Equation (18), the total score R can be used to rank
the alternatives.
4) Decision analysis.
Decision analysis can be made based on the result
obtained from Step 1 to Step 4. The analysis may
contain the most appropriate alternative (choice),a complete order of the alternatives (rank) and aordered list of best alternatives (sort).
Hence, the solution’s steps embrace two main points.
The analysis begins by establishing attributes using fuzzy
random variables-based regression that can measure relevant goal accomplishments. Second, we provide a multiattribute decision scheme to evaluate and rank the alternatives under consideration of multiple attributes. In thisstudy, when the fuzzy importance weights and fuzzy scale[1] H. Katagiri, M. Sakawa, and H. Ishii, ”Multiobjective fuzzy random linear programming using E-model and possibility measure,”IFSA World Congress and 20th NAFIPS International Conference,
2001. Joint 9th , Vol.4, pp.2295-2300, 2001.
[2] H. Kwakernaak, ”Fuzzy Random Variables-I. Deﬁnitions andTheorems,” Information Sciences, Vol. 15, No. 1, pp. 1-29, 1978.
[3] B. Liu, and Y-K. Liu, ”Expected value of fuzzy variable and fuzzy
expected value models,” IEEE Transactions on Fuzzy Systems
Vol.10, No.4, pp.445-450, 2002.
[4] A. Nureize, and J. Watada, ”A fuzzy regression approach to hierarchical evaluation model for oil palm grading,” Fuzzy Optimization
Decision Making, Vol.9, No.1, pp. 105-122, 2010.
[5] N. Arbaiy, and J. Watada, ”Approximation of Goal Constraint
Coefﬁcients in Fuzzy Goal Programming,” Computer Engineeringand Applications (ICCEA), 2010 Second International Conference
on , vol.1, no., pp.161-165, 2010, doi: 10.1109/ICCEA.2010.39.
[6] A. Nureize, and J. Watada, ”Building fuzzy random objectivefunction for interval fuzzy goal programming,” Industrial Engineering and Engineering Management (IEEM), 2010 IEEE International Conference on , vol., no., pp.980-984, 2010, doi:
10.1109/IEEM.2010.5674223[7] H. Tanaka, S. Uejima, and K. Asai, ”Linear regression analysis
with fuzzy model,” IEEE Transactions on Systems, Man andCybernetics SMC, Vol.12, No.6, pp.903-907, 1982.
[8] H. Tanaka, I. Hayashi,and J. Watada, ”Possibilistic linear regression for fuzzy data,” European Journal of Operational Research,
Vol.40, No.3, pp.389-396, 1989.
[9] J. Watada, and H. Tanaka, ”The perspective of possibility theory
in decision making,” Post Conference Book, Multiple Criteria
Decision Making - Toward Interactive Intelligent Decision Support
Systems, VII-th Int. Conf. ed. by Y. Sawaragi, K. Inoue and H.
Nakayama, Springer-Verlag, pp. 328-337, 1986.
[10] J. Watada, ”Possibilistic time-series analysis and its analysis ofconsumption,” In: Dubois D, Yager MM (Eds), Fuzzy Information
Engineering, John Wiley & Sons, pp. 187-200, 1996.
[11] J. Watada, ”Applications in business, multi-attribute decision making,” In: Terano T, Asai K, Sugeno M (Eds), Applied Fuzzy
System. AP Professional, pp. 244 - 252, 1994.
[12] J. Watada, S. Wang, and W. Pedrycz, ”Building conﬁdenceinterval-based fuzzy random regression model,” IEEE Transactions
on Fuzzy Systems, Vol.11, No.6, pp.1273-1283, 2009.

46

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）

曖昧さの理由Reasons of Ambiguity
竹村和久
松本丈広
若山大樹
Kazuhisa Takemura
Takehiro Matsumoto
Daiki Wakayama
早稲田大学
早稲田大学
駒澤大学
Waseda University
Waseda University
Komazawa University
Abstract: We examined psychological causes of ambiguity. In the pilot study, we collected 175
scenes and 175 reasons of ambiguity from the data of 42 university students. Based on the findingsof the pilot study, we examined 16 reasons of ambiguity for 19 situations. Results of factor
analysis and cluster analysis indicate that there are a variety of rational reasons ambiguity
affects social judgments and choices in the ways it does. We argue that the reasons of ambiguity
are related to not only uncertainty and ignorance but also politeness and social norms.

１. はじめに

表 1 状況のカテゴリーと内容

人々の表現の曖昧さについては，様々な文脈のもとで議論がなされている[1]。曖昧さをどのように処理しているかについての心理学的研究はこれまでにある[2,3]。また，この問題について，多角的観点から哲学的な議論を行ったものに，Smithson による研究がある[1]。彼は，曖昧さは，不確実性の中に含
まれ，様々な理由によって表現されるとしている。
このような哲学的分析による先行研究は大変意義があるものの，曖昧な表現がどうしてなされるのかという心理調査や心理学的分析はこれまでなされてこなかった。本研究では，この問題について探索的な検討を行う。本研究の目的は，日常のコミュニケーションにおいて，人々が曖昧に回答する理由を探り，実際どのような意味や理由，目的であいまいさを取り扱っているのか，その内容を明らかにすることである。

カテゴリー
金額
個人情報
恋愛
知識
時間
秘密
予定
ネガティヴ
成績
誘い
年齢
親しくない人記憶
物の感想
人の評判
何度も聞いた
道徳
分量
その他

内容
金額に関する状況
個人情報に関するプライベートな状況
恋愛に関する状況
専門的な知識や一般的な知識に関する状況
時間や時刻に関する状況
秘密や内緒ごとに関する状況
予定やスケジュールに関する状況
ネガティヴな感情が喚起される状況
成績に関する状況
イベントに誘ったり誘われたりする状況
年齢に関する状況
親しくない人、知らない人が関わる状況
記憶に関する状況
物品の感想に関する状況
誰かに対する評価やうわさ，判に関する状況
何度も相手から話を聞いている状況
道徳的なモラルが問われる状況
分量に関する状況
上記以外

表 2 理由のカテゴリーと内容

２. 予備調査
２.１ 調査対象者 早稲田大学の学生および，
聴講生計 27 名に対して，どのような状況においてあいまいに答えるか，またその理由は何かを，自由記述させた。また，同様の調査を駒澤大学の学生 15 名（男性 8 名，平均年齢 21.88 歳，
SD=1.76 ； 女 性 7 名 ， 平 均 年 齢 20.57 歳 ，
SD=0.49；経営学部 15 名）に対して行った。
２.２ 予備調査手続 「あなたはどのようなとき，あいまいに答えますか。あいまいに答える状
況と理由をできるだけたくさんあげてください」と聞き，自由記述させた。その結果，175 の状況と理由をテキストデータで得た。その後，内容を確認し，状況については 19 のカテゴリーを作成
し，175 項目を分類した。
２.３ 結果と考察
曖昧さの理由については 16 のカテゴリーを作成し，175 項目を分類した。それぞれのカテゴリ
ー名と内容について，表 1，表 2 に示した。これによると，曖昧に反応をする場合にも，さまざま状況と理由があることがわかる。

47

カテゴリー
相手を傷つけたくない
恥ずかしい
ごまかしたい
自信がない
記憶にない
知識がない
プライベートで知られたくない
マナー，規範として正確に答えない
何度も聞き返すのが申し訳ない
相手も正確な答えを期待していない
特にこだわりがない
分からない，判断ができない
見栄
面倒くさい
相手を怒らせたくない
その他

内容
相手を傷つけたくないから自分が恥ずかしい思いをするからごまかしたいと思うから
正確に回答する自信が無いから記憶に無いから
専門的，一般的な知識が無いからプライベートに関わることだからマナーや規範として曖昧に回答するべきだと思うから何度も聞き返すのが申し訳ないから相手も正確な答えを期待していないだろうから
そもそも特に正確な答えを決めるほどこだわっていないから情報が無いため，分からない，判断できないから見栄を張りたいから面倒くさいから相手を怒らせたくないから
上記以外

２.４ 再分類
分類の信頼性を確認するために，24 歳男性と
26 歳男性に，状況と理由について同様の分類を行わせた。分類が一致しなかった項目について，分類の統一を試みた。その際，状況と理由を照合し，どのような背景があるかを推測，議論した上で，一意に分類できるものは分類を統一し，できない
ものはその他に統一した。
その結果，状況については表 3 のように，理由については表 4 のように分類された。曖昧に答え名，大学院文学研究科 9 名，聴講生 3 名，無記名2 名），駒澤大学の学生 25 名（男性 9 名，平均年
齢 18.67 歳，SD=0.47；女性 16 名，平均年齢 19.00
歳，SD=0.50；経営学部 25 名），計 97 名に対して調査を行った。ただし，1 項目でも無回答を含
む質問紙は今回分析から除外し，計 76 名のデー
タを有効回答とし，分析対象とした。
３.３ 調査手続き 調査参加者には質問紙の内容について教示の上，回答方法を十分理解してもらった上で，質問項目すべてに回答してもらった。
回答者にはまず，18 の各状況について，「あなたは次のような状況において，どの程度あいまいに回答したいですか。あてはまる程度を 1～7 から選択してください。」と尋ね，「非常にはっきり答える」場合には 1 を，「非常にあいまいに答える」場合には 7 を選択させる，7 段階評価をさせた。さらに，18 の各状況について「次の各状況に対して，もし「あいまいに」答えるとしたら，その理由はなぜですか？あげられた理由それぞれについて，あてはまる程度を 1～7 から選択してください。」と尋ね，「その他」を除く 15 の理由
それぞれに対して，あてはまる程度を「全くあてはまらない」場合には 1 を，「非常にあてはまる」
場合には 7 を選択させる，7 段階評価をさせた。
３.４ 結果と考察
3.4.1 状況のクラスター分析・非計量多次元尺度構成法 状況 1 から状況 18 の計 18 項目の項目
得点に対して，ward 法によるクラスター分析を行った。デンドログラムを高さ 30 で切断し，18
項目を 3 つのクラスターに分け，C1，C2，C3 と命名した。また，それぞれのクラスターの平均値を算出した。
さらに，状況 1 から状況 18 の計 18 項目の項目
得点に対して，得られたデータが間隔尺度である
ことから，分析ソフト R のプログラム isoMDS を利用し，非計量多次元尺度構成法を行った。関数
isoMDS は，次に示すストレスを最小になるように座標を決めた。

たい状況としては，金額について，個人情報について，知識について聞かれたとき，曖昧に答えた
い程度が高かった。また，曖昧に答えたい理由としては，分からない・判断ができないから，ごまかしたいから，プライベートで知られたくないから，あいまいに答えたい程度が高かった。
表 3 議論後の状況の分類
項目
状況1
状況2
状況3
状況4
状況5
状況6
状況7
状況8
状況9
状況10
状況11
状況12
状況13
状況14
状況15
状況16
状況17
状況18
状況19

カテゴリー
金額
個人情報
知識
恋愛
時間
成績
秘密
予定
ネガティヴ
物の感想
親しくない人
人の評判
誘い
記憶
何度も聞いた
年齢
分量
道徳
その他
合計

項目数
21
16
14
11
9
8
8
7
6
6
5
5
5
3
2
2
2
1
44
175

表 4 議論後の理由の分類
項目
理由1
理由2
理由3
理由4
理由5
理由6
理由7
理由8
理由9
理由10
理由11
理由12
理由13
理由14
理由15
理由16

カテゴリー
分からない・判断ができない
ごまかしたいプライベートで知られたくない
見栄
マナー・規範として正確に答えない
相手を傷つけたくない
面倒くさい
恥ずかしい
記憶にない
相手を怒らせたくない
知識がない
自信がない
相手も正確な答えを期待していない
何度も聞き返すのが申し訳ない
特にこだわりがない
その他
合計

項目数
21
16
12
11
10
10
10
6
5
5
5
4
4
1
1
54
175

３. 本調査３.１ 質問紙 予備調査にて得られた結果をもとに，本調査で使用する質問紙を作成した。まず，予備調査にて得られたあいまいに答える状況
175 項目から，「その他」に分類された項目を除き，
18 カテゴリーそれぞれに相当する項目を 1 つず
つ，計 18 項目採用した。その際，理由のカテゴ
リー「その他」を除く，15 の理由がなるべくばらつくように，一般的と考えられる項目を採用した。
３.２ 調査対象者 早稲田大学の学生及び聴講生計 72 名（男性 40 名，平均年齢 23.48 歳，
SD=6.46 ； 女 性 32 名 ， 平 均 年 齢 21.91 歳 ，
SD=3.51；政治経済学部 1 名，第一文学部 2 名，
第二文学部 1 名，文学部 33 名，文化構想学部 21

48

ただし，

は個体 と個体 との間の距離を表し，は，用いた距離の推測値である。

3.4.2 状況の主成分分析 状況 1 から状況 18の計 18 項目の項目得点に対して，主成分分析を行った。主成分の固有値は順に，3.88，1.84，1.59，
1.50，1.36，1.10，1.03 で，第 7 主成分までの累積寄与率は，68.35%であった。成分行列を表 5に示した。
単純構造が得られなかったため，プロマックス回

とき」の 2 つの項目であった。
第 6 主成分は，状況 11「街で人から声をかけら
れ，いろいろと質問されたとき」状況 12「本人がいない状況で，その人のことをどう思うかと，人から聞かれたとき」状況 8「かなり先の予定を，人から聞かれたとき」の 3 つの項目であった。
第 7 主成分は，状況 5「今の時刻を，人から聞かれたとき」の 1 つの項目であった。
3.4.3 曖昧に答える理由のクラスター分析・非計量多次元尺度構成法 状況 1 から状況 18 それ
ぞれについて，理由 1 から理由 15 の計 15 項目のward 法によるクラスター分析を行った。デンド
ログラムを高さ 30 で切断し，15 項目をクラスターに分け，C1，C2，C3，…のように命名した。
また，それぞれのクラスターの平均値を算出した。
さらに，状況 1 から状況 18 それぞれについて，
理由 1 から理由 15 の計 15 項目の項目得点に対して，分析ソフト R のプログラム isoMDS を利用し，非計量多次元尺度構成法を行った。
3.4.4 曖昧に答える理由の主成分分析
理由 1 から理由 15 の計 15 項目の項目得点に対して，主成分分析を行った。主成分の固有値は順に，3.86，2.90，1.81，1.08 で，第 4 主成分までの累積寄与率は，64.29%であった。成分行列を
表 7 に示した。

転を行い，主成分解による因子分析を行った。プロマックス回転によって得られた成分行列を表 6に示した。
表 5 状況の主成分分析で得られた成分行列
項目
状況3
状況13
状況7
状況15
状況6
状況14
状況18
状況4
状況2
状況1
状況17
状況9
状況8
状況16
状況5
状況10
状況11
状況12

主成分
第1主成分 第2主成分 第3主成分 第4主成分 第5主成分 第6主成分 第7主成分
0.65
-0.21
0.31
-0.09
0.16
-0.01
-0.13
0.63
-0.34
0.04
0.39
-0.10
0.01
-0.07
0.63
0.08
-0.25
0.02
-0.26
0.16
-0.32
0.57
-0.32
-0.05
0.06
0.37
0.11
0.37
0.53
0.23
-0.46
-0.28
0.03
0.04
-0.09
0.50
-0.40
0.18
0.26
0.09
-0.40
0.25
0.50
0.07
-0.03
0.38
-0.13
-0.33
-0.38
0.27
0.57
0.25
0.12
0.01
0.09
0.51
0.33
0.56
-0.12
-0.01
0.34
0.25
0.02
0.44
0.48
-0.27
-0.19
0.11
-0.37
-0.02
0.39
0.44
0.32
-0.02
-0.04
-0.38
0.10
0.41
-0.26
-0.66
0.15
0.24
0.05
0.04
0.43
0.12
0.46
0.22
-0.31
0.19
-0.08
0.45
0.04
0.39
-0.54
0.21
0.05
-0.30
0.02
0.19
0.19
0.53
0.39
0.50
-0.22
0.47
-0.38
0.17
-0.52
0.15
0.19
0.15
0.32
-0.11
0.00
-0.26
-0.64
0.28
0.07
0.39
0.14
-0.25
0.13
-0.42
0.18
0.33

表 6 状況の主成分解による因子分析で得られた
因子負荷行列（プロマックス解）項目
項目内容
状況15 何度聞いても、相手の話を理解できなかったとき
状況14 自分のことを覚えているかどうかを、覚えていない人から聞かれたとき
状況9 自分が嫌いなものについて、好きかどうかを、人から聞かれたとき
状況6 勉強したかどうかを、テスト直前に人から聞かれたとき
状況1 現在の貯金額を、人から聞かれたとき
状況2 住んでいる場所を、人から聞かれたとき
状況7 秘密にしておきたいことを、人から聞かれたとき
状況16 普段会うことのない親戚の年齢を、人から聞かれたとき
状況10 読んではいない本の感想を、本を貸してくれた人から聞かれたとき
状況3 あまり詳しくない事柄や知識について、人から聞かれたとき
状況18 友人の不幸に関する具体的な話を、人から聞かれたとき
状況13 特に予定はないが、あまり行きたくはない集まりに、人から誘われたとき
状況4 恋愛対象になる異性の年齢の幅を、人から聞かれたとき
状況17 料理で使用する材料や調味料の量を、人から聞かれたとき
状況11 街で人から声をかけられ、いろいろと質問されたとき
状況12 本人がいない状況で、その人のことをどう思うかと、人から聞かれたとき
状況8 かなり先の予定を、人から聞かれたとき
状況5 今の時刻を、人から聞かれたとき

因子
第1因子 第2因子 第3因子 第4因子 第5因子 第6因子 第7因子
0.83 0.07 0.16 -0.17 0.11 -0.05 0.10
0.72 -0.21 -0.01 0.33 0.19 -0.15 -0.22
0.51 0.47 -0.19 0.10 -0.33 -0.04 0.06
-0.01 0.74 0.16 0.05 -0.03 0.17 -0.09-0.03 0.71 0.05 0.21 0.33 -0.14 -0.23-0.01 0.52 0.11 -0.11 0.32 -0.10 0.41
-0.12 0.42 0.11 0.42 -0.17 0.40 0.09
-0.10 0.18 0.90 0.00 0.00 -0.10 0.03
0.40 0.03 0.69 -0.36 -0.07 0.16 -0.14
0.32 0.01 0.55 0.24 0.02 -0.05 0.08
-0.03 0.19 -0.09 0.84 -0.02 -0.08 0.04
0.44 -0.11 -0.02 0.50 -0.10 0.17 0.13
0.17 0.06 -0.14 -0.24 0.85 0.18 0.13
-0.01 0.16 0.12 0.26 0.63 -0.07 -0.16-0.16 -0.02 0.11 -0.07 -0.03 0.85 -0.26
0.14 0.17 -0.35 -0.02 0.28 0.65 -0.10-0.08 -0.26 0.14 0.31 0.27 0.37 0.24
0.02 -0.14 -0.01 0.11 -0.02 -0.25 0.92

表 7 理由の主成分分析で得られた成分行列

第 1 主成分は，状況 15「何度聞いても，相手の話を理解できなかったとき」状況 14「自分のことを覚えているかどうかを，覚えていない人から聞かれたとき」状況 9「自分が嫌いなものについて，
好きかどうかを，人から聞かれたとき」の 3 つの項目であった。
第 2 主成分は，状況 6「勉強したかどうかを，
テスト直前に人から聞かれたとき」状況 1「現在の貯金額を，人から聞かれたとき」状況 2「住んでいる場所を，人から聞かれたとき」状況 7「秘密にしておきたいことを，人から聞かれたとき」の 4 つの項目であった。
第 3 主成分は，状況 16「普段会うことのない親
戚の年齢を，人から聞かれたとき」状況 10「読んではいない本の感想を，本を貸してくれた人から聞かれたとき」状況 3「あまり詳しくない事柄や知識について，人から聞かれたとき」の 3 つの項目であった。
第 4 主成分は，状況 18「友人の不幸に関する具体的な話を，人から聞かれたとき」状況 13「特に予定はないが，あまり行きたくはない集まりに，人から誘われたとき」の 2 つの項目であった。
第 5 主成分は，状況 4「恋愛対象になる異性の年齢の幅を，人から聞かれたとき」状況 17「料理で使用する材料や調味料の量を，人から聞かれた

49

項目
理由12
理由14
理由9
理由11
理由10
理由4
理由3
理由1
理由2
理由13
理由6
理由7
理由15
理由5
理由8

第1主成分
0.71
0.68
0.64
0.63
0.61
0.58
0.09
0.57
0.40
0.29
0.51
0.19
0.39
0.28
0.51

主成分
第2主成分 第3主成分
-0.50
0.02
0.08
-0.03
-0.45
0.11
-0.60
0.01
0.24
-0.55
0.40
0.03
0.71
0.32
-0.62
0.00
0.61
-0.15
0.18
0.66
0.32
-0.58
0.09
0.56
0.05
0.51
0.49
-0.05
0.46
0.16

第4主成分
-0.03
0.04
0.01
0.01
0.15
-0.51
0.11
0.04
-0.13
0.20
0.26
0.08
0.25
0.56
-0.52

単純構造が得られなかったため，プロマックス
回転を行い，主成分解による因子分析を行った。
プロマックス回転によって得られた成分行列を
表 8 に示した。
第 1 主成分は，理由 11「正確に答えるだけの知識を持っていないから」理由 12「答えに自信がな
いから」理由 1「十分な情報がないため，判断ができないから」理由 9「記憶になく，はっきり覚えていないから」理由 14「何度も聞き返すことが相手に申し訳ないから」の 5 つの項目であった。
第 2 主成分は，理由 6「相手を傷つけたくないから」理由 10「相手を怒らせたくないから」理由

5「社会的なマナー，一般的な規範として，はっきり答えるべきではないから」の 3 つの項目であ
った。

ている。
表 9 各状況における 4 つの主成分得点の平均値と SD

表 8 理由の主成分解による因子分析で得られた
因子負荷行列（プロマックス解）項目
項目内容
理由11 正確に答えるだけの知識を持っていないから
理由12 答えに自信がないから
理由1 十分な情報がないため、判断できないから
理由9 記憶になく、はっきり覚えていないから
理由14 何度も聞き返すことが、相手に申し訳ないから
理由6 相手を傷つけたくないから
理由10 相手を怒らせたくないから
理由5 社会的なマナー、一般的な規範として、はっきり答えるべきではないから
理由8 恥ずかしいから
理由4 見栄が邪魔をするから
理由2 ごまかしたいから
理由13 そもそも、相手も正確な答えを期待していないだろうから
理由15 そもそも、特にこだわりがないから
理由7 正確に答えることがめんどうだから
理由3 プライベートなことで知られたくないから

状況1

因子
第1因子 第2因子 第3因子 第4因子
0.88 0.02 -0.03 0.06
0.85 0.05 0.08 0.07
0.85 0.01 -0.09 0.04
0.77 0.01 0.04 0.17
0.39 0.34 0.22 0.15
0.07 0.89 -0.01 -0.24
0.19 0.79 0.11 -0.25-0.17 0.74 -0.28 0.37
-0.01 -0.13 0.91 0.07
0.08 -0.04 0.89 -0.03-0.20 0.38 0.50 -0.02
0.10 -0.09 0.02 0.77
0.25 0.04 -0.06 0.67
0.09 -0.19 0.06 0.59
-0.46 0.18 0.22 0.46

状況2
状況3
状況4
状況5
状況6
状況7
状況8
状況9
状況10
状況11

第 3 主成分は，理由 8「恥ずかしいから」理由
4「見栄が邪魔をするから」理由 2「ごまかしたいから」の 3 つの項目であった。
第 4 主成分は，理由 13「そもそも，相手も正確な答えを期待していないだろうから」理由 15「そもそも，特にこだわりがないから」理由 7「正確に答えることがめんどうだから」理由 3「プライベートなことで知られたくないから」の 4 つの項目であった。
3.4.5 各状況に対する主成分得点による平均値の比較
主成分分析の結果をもとに，18 状況それぞれに対して，4 つの主成分得点の平均値と SD を算出したものを，表 9 に示した。

４．結

状況12
状況13
状況14
状況15
状況16
状況17
状況18

平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD
平均値
SD

主成分得点
主成分1 主成分2 主成分3 主成分4
-0.31
-0.14
0.31
0.89
0.83
0.68
0.87
0.92
-1.12
-0.68
-0.47
0.28
0.51
0.54
0.79
0.89
1.13
-0.43
0.42
-0.24
0.52
0.74
1.01
0.77
-0.61
-0.41
-0.01
0.48
0.61
0.78
0.83
1.00
0.32
-1.15
-1.12
-0.42
0.77
0.61
0.49
0.84
-0.61
-0.29
0.74
0.58
0.65
0.85
0.88
0.92
-1.16
0.11
0.92
0.29
0.59
0.80
0.86
0.75
0.51
-0.60
-0.45
0.06
0.55
0.84
0.84
0.88
-0.78
0.33
0.08
-0.20
0.60
0.94
0.86
0.88
0.73
0.55
0.53
-0.84
0.68
0.69
0.93
0.89
-0.27
-0.07
-0.14
0.57
0.98
0.80
0.89
0.97
-0.58
0.87
-0.26
0.09
0.68
0.87
0.75
0.83
-0.46
0.68
-0.08
-0.45
0.66
0.79
0.68
0.91
0.86
1.15
0.48
-0.68
0.74
0.70
0.87
0.78
0.59
0.63
0.88
-0.49
0.63
0.88
0.96
0.92
0.98
-0.38
-0.55
0.38
0.56
0.95
0.79
1.13
1.00
-0.86
-0.56
-0.27
0.62
0.66
0.82
0.84
-0.22
0.67
-0.71
-0.03
0.76
0.69
0.61
0.79

参考文献

論

本研究の目的は，曖昧に回答する状況において，
なぜあいまいに回答するのか，その理由を明らかにすることであった。全体を通して，曖昧に答える程度が高い状況においては，「正確に答えることが面倒な状況」，「社会的な規範としてはっきり答えられない状況」が，他の状況と比較して多く挙げられた。また，その理由として，「相手への配慮による理由」「知識・情報の不足による理由」
が，他の理由と比較して多く挙げられた。
以上のように，人々は様々な状況に対して，あいまいさに複合的な意味合いを持たせ，日常生活に対処していることが示唆された。このことは，
曖昧さが，これまで指摘されていたような，不確実性などのいわゆる無知などの問題だけではな
く，礼儀や社会的規範や，他者への配慮などの社
会の多次元的な側面と関係していることを示し

50[1] Smithson, M. (1989). Ignorance anduncertainty. Emerging paradigms, New
York, NY: Spring Verlag.
[2]Smithson, M., Bartos, T. and Takemura, K.
(2000). Human Judgment under sample
space ignorance, Risk, Decision and Policy,
5, 35-150.
[3]Takemura, K. (2000). Vagueness in humanjudgment and decision making. In Z. Q. Lis
and S. Miyamoto (eds.), Soft computing forhuman centerd machines, Spring Verlag,
Tokyo, 249-281.

連絡先〒162-8644 東京都新宿区戸山 1－24－1
早稲田大学意思決定研究所
竹村和久(Tel.: 03-5286-3549, E-mail: kazupsy@waseda.jp)

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）勉強時 BGM の感性とパフォーマンスからみた適性
Kansei and Performance Approach to BGM while Studying
北村 裕美子
中村 和男
Yumiko Kitamura
Kazuo Nakamura
長岡技術科学大学
Nagaoka University of Technology
Abstract: Music is an important part of life. Back ground music is practically available while
studying. However, there are many different opinions concerning the effectiveness of listening
music while studying. The objective of this research is focused on finding the adequate music foreach individual to positively affect the work they do while studying. Beginning point of this study is
to find an appropriate music style that can help people in general to positively improve their study
aptitudes. Concerning the characteristics addressed, it has been proven that depending on
simplicity of music structure, music helps to relax while studying.

１. 研究背景・目的
音楽は、人に影響を与える。また現在、至る所で音楽が流されており、生活する上で欠かせないものとなっている。学習する際にも、音楽が活用されることもある。だが、音楽を聴きながら勉強することの是非や効果については議論 1)2)がある。そこで本研
究では、個人個人に合った勉強を行う際に流す音楽を見つけることを目標とした。本稿では、その基礎となる多数の人が勉強を行う際に向いていると感じる音楽を見つけることを目的とした。

３. 音楽を流しながらの勉強実験
音楽を聴きながら勉強をしてもらうことにより、作業中に音楽を聴いた印象や、音楽が実際の作業の効率や成果にどのように影響がするのかを調査した。
3.1 実験方法
被験者 26 名に、無音の状態と音楽が流れている状
態で各作業を 5 分ずつ行わせた。作業内容は、「タイ
ピング」、「暗記」、「計算」の 3 種類である。被験者をランダムに 3 グループに分け、異なる作業から始めることにより順序効果に配慮した。今回も 5 分の作業が終わる毎に楽曲と作業の印象に関するアンケートを記入させた。
使用曲は、前実験で使用した 20 曲のうちの 4 曲とした。(図 1 の○参照) 前実験より、｢弛緩の印象を持つ楽曲が勉強をする際に流す音楽として向いていると感じやすい」ということが分かっている。そこでこの 4 曲はすべて第二因子の値が異なるものとした。緊張の印象をもつ楽曲として曲 6、やや緊張の印象を持つ楽曲として曲 10、やや弛緩の印象を持つ楽曲として曲 8、弛緩の印象を持つ楽曲として曲 11を選定した。

２. 音楽の感性的印象評価実験 3)作業を行いながらではなく、音楽（RWC 研究用 4)）を聴いただけの感想をアンケートに記入させ、その結果を用いて因子分析や回帰分析を行った。
因子分析では、第一因子を「高揚－沈静」、第二因
子を「弛緩―緊張」、第三因子を「熱い－クール」と名付けた。その際に出された因子得点分布を図 1 に示す。図 1 の横軸が第一因子、縦軸が第二因子である。さらに、勉強への主観的適性の因子得点との回
帰分析では、第二因子と深く関連をしていることが分かった。
これらの分析より、曲を聴いた多様な印象は、潜在因子（基本印象）「沈静－高揚」、「緊張－弛緩」、「クール－熱い」が与えていると考えられる。また、特に「緊張－弛緩」が勉強への主観的適性評価に大きな影響を及ぼしていることが分かった。

3.2 実験結果
3.2.1 平均的実験結果
以下に作業毎の結果の平均を表 1～表 3 に示す。
本研究では、効率を解答数、成果を正答数として定義した。効率・成果ともに曲 11 が良い結果となった。
表 1 タイピングの平均結果

図 1 因子得点分布

51

曲番号

入力数
(文字)

正入力数
(文字)

誤入力数
(文字)

誤入力率
(%)

無音
6
10
8
11

336.3
343.8
345.0
343.2
350.8

334.6
342.2
343.8
341.7
349.22

1.73
1.58
1.19
1.46
1.58

0.49
0.48
0.34
0.41
0.46

3.2.2 個人別実験結果
以下個人毎にみた結果を表 4～表 6 に示す。1 つ

4.1 スペクトログラム結果
図 2~図 5 に勉強実験使用曲のスペクトログラムを示す。このグラフは縦軸が周波数、横軸が時間、色の濃淡で強さを表示している。各楽曲で違いが出ており、それらから弛緩の印象を与える楽曲の特徴として、「曲の構造が単純でなおかつ曲調が急激に変化しない」ことが考えられた。

の作業について各 5 回異なる曲の提示状態がある
作業の中で、どの状態での作業が、正答数に一番良い結果を与えているかを調査した。同数の正答数だった場合は、その両方の曲で人数カウントを行った。個人差を考えても曲 11 が一番良い結果となった。
3.2.3 感性印象評価実験との比較

印象評価実験では、全般的には「弛緩の印象を与える楽曲が勉強時に流す音楽として向いていると感じやすい」という結果となった。
今回の勉強実験で、実際に勉強を行って良い結果になった曲も弛緩の印象を与える楽曲となった。

図 2 緊張の印象を与える楽曲(曲 6)

４. 物理的特徴の抽出
ここまでの結果で、ある程度勉強時に流す音楽の適性が見えてきた。しかし、「感性」だけでなく、物理的特徴を抽出することにより客観的に適性をとらえられるようになる。ここでは、 スペクトル解析、

スペクトログラム、ピッチ解析を行った。本稿ではスペクトログラムを用いて説明する。

図 3 やや緊張の印象を与える楽曲(曲 10)

図 4 やや弛緩の印象を与える楽曲(曲 8)

表 2 暗記の平均結果
曲番号

解答数
(語)

正答数
(語)

誤答数
(語)

誤答率
(%)

無音
6
10
8
11

16.50
15.31
16.35
16.54
18.38

15.73
14.31
15.27
15.74
17.11

0.77
1.00
1.08
0.80
1.27

5.31
7.64
7.40
5.29
6.85

図 5 弛緩の印象を与える楽曲(曲 11)

5. まとめ
勉強時に流す音楽として多数の人に適性があると考えられる楽曲は、「弛緩の印象を与える楽曲」である。そうした楽曲には「曲の構造が単純で、曲調が表 3 計算の平均結果
曲番号

解答数
(問)

正答数
(問)

誤答数
(問)

誤答率
(%)

無音
6
10
8
11

20.11
21.64
20.96
21.15
22.54

17.92
19.61
18.88
19.53
20.42

2.19
2.03
2.08
1.62
2.12

11.9
9.34
9.82
7.04
9.63

あまり変わらない」という傾向が見られた。

参考文献
1）菅千索，後藤順子：計算および記憶課題が及ぼすBGM の影響について,和歌山大学教育学部教育実践
総合センター紀要 NO18，59‐68，2008.
2）杉原太郎，森本一成，黒川隆夫：SD 法を通してみた音楽に対する感性の基本特性,映像情報メディア学会

表 4 最良正当曲の被験者数（タイピング）

無音
4人

曲6
4人

曲 10
4人

曲8
6人

技術報告 25(48)，57‐63，2001‐07‐26.

曲 11
8人

3）北村裕美子：勉強時に流す音楽の適性について, 人
間工学会関東支部 40 回大会・卒業研究発表会,2010.
4）RWC 研究用音楽データベース：

表 5 最良正当曲の被験者数（暗記）

無音
6人

曲6
2人

曲 10
9人

曲8
7人

http://staff.aist.go.jp/m.goto/RWC-MDB/index-j.html

曲 11
10 人

[連絡先]
北村裕美子

表 6 最良正当曲の被験者数（計算）

無音
4人

曲6
6人

曲 10
8人

曲8
6人

長岡技術科学大学

曲 11
8人〒940-2188 長岡市上富岡町 1603－1

e-mail：s073357@stn.nagaokaut.ac.jp52

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）ラフ集合を用いたプログラムソースコードからの作者推測の試みAn Attempt of Author Identiﬁcation of Program Source Codes Using Rough Sets
工藤 康生
越前谷 理
Yasuo Kudo Satoshi Echizenya
室蘭工業大学
Muroran Institute of Technology

村井 哲也
Tetsuya Murai
北海道大学
Hokkaido University

Abstract: We apply rough set data analysis to author identiﬁcation of program source codes of the C
programming language. In general, program source codes include authors’ characteristic coding patterns
even though some programming style is provided. In this paper, we concentrate coding patterns about
how to use spaces around statements in “for” and “if”, “while” sentences and around relation and logicaloperators. We then extract authors’ coding patterns about how to use spaces by generating relative
reducts and decision rules. Experimental results indicate the possibility that rough set data analysis canappropriately describe tendencies of authors’ coding patterns.

1

はじめに

3

プログラムソースコードからの特徴抽出
作成者に由来するソースコードの書き方の特徴とし複数名でプログラムのコーディングを行う場合，関数および変数の命名規則，コメントの書き方等は統一て，ソースコード中の for 文および if 文，while 文，4することが一般的である（例えば [1]）．しかし，それ種類の関係演算子 (==，!=，<=，>=) ，2 種類の論理以外の部分の書き方には，作成者に由来する書き方の演算子 (||，&&) における，以下に示すスペースの使違いが存在する場合がある．本研究では，ラフ集合 [2]

い方のパターンに着目し，スペースの使い方と作成者による実データ分析事例として，ラフ集合による相対との関係を表す決定ルールを抽出することで作成者の縮約および決定ルールの抽出を用いて，C 言語のプロ推測を試みる．

グラムソースコードの書き方の違いに関する特徴を抽出し，ソースコードの作成者を推測することを試みる．

2• for 文：(初期化式; 条件式; 次処理式) における，初期化式の前後および条件式の前後，次処理式の前後の 6 か所におけるスペースの有無．

ラフ集合
文献 [3] に基づき，ラフ集合によるデータ解析を概• if 文および while 文：(条件式) の条件式の前後に説する．ラフ集合によるデータ解析では，カテゴリカ

おけるスペースの有無．

ルなデータを決定表として表し，分類可能かつ決定属• 関係演算子 (==，!=，<=，>=) および論理演算子(||，&&)：演算子の前後におけるスペースの有無．

性の値が異なる対象をすべて正しく分類するための必要最小限の条件属性を抽出する縮約計算，および条件
属性と決定属性との関係を記述する if-then 形式の決

スペースの使い方に関する各パターンの，ソースコー

定ルールの抽出等に基づいてデータを解析する．決定

ド内での出現回数を用いて決定表を作成する．決定表

ルール A → B の評価指標として，以下の確信度およにおける対象は各ソースコードの ID である．また，決び被覆度が用いられる:
def |A ∧ B|

確信度 =

|A|

定属性は作成者を表す．条件属性および各対象が持つ
def |A ∧ B|

, 被覆度 =

|B|

属性値を以下に示す．

.

• for 文: 3 個の条件属性（for 1 および for 2，for 3）

ここで，記法 |A| は条件 A に該当するデータの個数をを用い，対象の属性 for i における値は，対象が表表す．確信度は決定ルールの正確さを，被覆度は決定

すソースコードで i 番目に出現回数が多いスペー

ルールの一般性を表す指標である．

スのパターンの ID とする．

53

• if 文および while 文: if 文および while 文に関する表 1: スペースの使い方の傾向

条件属性 (if および while) を用い，対象の各属性における値は，それぞれ if 文および for 文で最も出現回数が多いスペースのパターンの ID とする．

作成者

for 1

if

while

ro

lo

1

(ST;ST;ST)

×

×

×

×

• 関係演算子および論理演算子: 4 種類の関係演算子 (==，!=，<=，>=) に関する属性 (ro) および 2種類の論理演算子 (||，&&) に関する属性 (lo) を

2(ST;ST;ST)

×

×

○

○

3

(ÃSTÃ;ÃSTÃ;ÃST)

×

×

○

○

4

(ÃST;ÃST;ÃSTÃ)

○

○

○

○

用いる．スペースの各パターンごとに，4 種類の5関係演算子における出現回数を合計し，最も出現

6(ST;ST;ST)

×

×

×

○

回数が多いスペースのパターンの ID を，属性 ro

7(ST;ST;ST)

×

×

○

○

傾向なし

における対象の属性値とする．属性 lo における対象の属性値も同様の方法で求める．
平均で 4〜5 個の特徴が抽出された．項目の出現・未出
なお，7 種類の条件属性はそれぞれ，該当する構文， 現のみが異なる決定ルールが複数個抽出される傾向が演算子がソースコードに一度も出現しない場合があり 見られたため，多少の例外を許容しルールをまとめる
うるため，未出現を表す null 値も値として含む．

4

実験

4.1

実験方法

ことで，より簡潔な特徴が得られる可能性がある．
抽出したルールを分析し，作成者ごとの傾向をまとめた結果を表 1 に示す．なお，記号Ãはソースコード内の空白文字を，ST はステートメントを表す．for 1 のC 言語によるプログラム作成にある程度習熟した，
項目は，作成者が最も使用する頻度が高い for 文の書
室蘭工業大学情報工学科および大学院情報電子工学系
き方を表す．○は条件式または演算子の前後にスペー専攻の学生 7 名から，各自が単独で作成した C 言語プスがあることを，×はスペースがないことを表す．こログラムソースコード (作成者ごとに 6〜20 個) を集の結果から，スペースの使い方の特徴は主に for 文おめ，前節の手法を用いてソースコードの作成者を推測
よび演算子の前後に見られること，作成者 2 と作成者 7
する実験を行った．実験手順を以下に示す．
はスペースの使い方が類似していることがわかる．ま1. 作成者ごとにソースコードを半分に分け，一方を た，作成者 5 については明確な傾向を見出せなかった．
コード集 A，もう一方をコード集 B とする．
2. コード集 A を決定ルール抽出用とし，for 文，if5

本研究では，ラフ集合の手法を用いてプログラムソー

文，while 文，関係演算子，論理演算子におけるス

スコード内のスペースの使い方に関する特徴を抽出す

ペースのパターンの出現回数を調べる．

ることによる，ソースコードの作成者の推測を試みた．

3. スペースのパターンの出現回数を基に決定表を作成し，相対縮約および決定ルールを抽出する．
4. コード集 B から評価用決定表を作成し，3. で抽出

今後の課題として，他の特徴も分析することによる推測精度の向上，より多人数での評価実験等が挙げられる．

した決定ルールを評価用決定表に対して用い，確

参考文献

信度および被覆度を分析する．

[1] Free Software Foundation: GNU coding standards,
http://www.gnu.org/prep/standards/, 2010.

5. コード集 A と B を交換し 2〜4 までの手順を行う．
4.2

おわりに

[2] Pawlak, Z.: Rough Sets: Theoretical Aspects ofReasoning about Data, Kluwer Academic Publisher,
1991.

実験結果および考察

コード集 A および B から計 3 種類の相対縮約が得ら[3] 森 典彦, 田中 英夫, 井上 勝雄 (共編): ラフ集合と感性〜データからの知識獲得と推論〜, 海文堂出版, 2004.

れ，延べ 70 個の決定ルールが得られた．これら 70 個の決定ルールを評価用決定表に対して用いた結果，確信度の平均値は 0.65 であった．この結果から，抽出さ連絡先れた決定ルールは作成者に由来するスペースの使い方

室蘭工業大学 しくみ情報系領域 工藤 康生
Tel: 0143-46-5469
E-mail: kudo@csse.muroran-it.ac.jpの特徴を，ある程度捉えていることが示唆される．また，被覆度の平均値は 0.23 であり，作成者 1 人当たり54

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）

拡張ファジィ論理における IFS と HLS の比較―HLS の推論結果が非 IFS 領域に入る場合―
愛知工業大学黄暁鈺

小田哲久

Comparisons of the Two Extended Fuzzy Logic Models, IFS model and the
HLS model: Detailed Analysis of the Case that the Result of the Reasoning by using
the HLS model is not Included in the IFS Area
Aichi Institute of Technology

Huang Xiaoyu ,Tetsuhisa Oda

Abstract: After the proposal of the Fuzzy Set theory by L.A.Zadeh, several kinds of extended fuzzy set/logic models have beendeveloped. For example, the Interval Valued Fuzzy Set (IVFS) model is one of the well-known extended models. In Bulgaria, K.
Atanassov proposed the Intuitionistic Fuzzy Set (IFS) model. The IFS assumes the degree of membership and the degree of
non-membership of an element of an ambiguous set. In Japan, the Hyper Logic Space (HLS) model was proposed by T. Oda. The
HLS expanded the numerical truth-value of the fuzzy logic in order to define the degree of contradictions of the Fuzzy-set Concurent
Rating (FCR) method, which was proposed as a new psychological measurement method. Since the HLS closely resembles to the
IFS, the superiority of the HLS to the IFS has been unclear. This study compares the results of each model’s implication and shows
the limited superiority of the HLS model.

１.はじめに
拡張ファジィ論理には、命題 A の真理値を(t,f)の対で表すタイプがある。t は真理値、f は偽値を表す実数値で、t ,f ∈ [0,1]である。拡張ファジ
ィ論理モデルとしては、Atanassov の直観的ファジィ集合 IFS (Intuitionistic Fuzzy Set)[1]のモデルと、小田の HLS(Hyper Logic Space)[2]のモデルがあり、両者は定義域と否定演算が異なる。
本研究では、命題 A=(ta,fa), B=(tb,fb)を HLS 上の、IFS 領域（t+f≤1）に配置して推論演算を行った場合、IFS と HLS とで演算結果がどう違うか比較し、さらに、どちらに優位性があるかを考察する。特に今回は、HLS モデルの推論結果が矛盾領域(t+f>1)に落ちるケースについても、両者の特性を考察する。

小田の複合スコア法１（I4）を採用する。また、・
２次元ファジィ論理空間（T F）上の１点
A=(ta,fa) は 、 数 値 真 理 値 空 間 V 上 の 閉 区 間[ta,1-fa]に変換されるとする。
３.HLS モデルと IFS モデルの比較
３.１ データ領域の違い
任意のファジィ命題 A および B について、その真理値と偽値の対を、それぞれ、
A=(ta,fa), B=(tb,fb), ta,tb,fa,fb∈[0,1] ------(1)と表記する。
IFS モデルは、t+f≦１という制約を定義とする。
一方、HLS モデルは、t, f は完全に独立とする。
３.２ 否定演算の相違
HLS モデルの否定は、真偽完全独立で、それぞれ、１からの補の演算であり、¬A=(1-ta,1-fa) -----(2)と表記する。
一方、IFS モデルの否定は、真偽交換型で、~A=(fa,ta) --------(3)と表記できる。(3)では、否定の結果が IFS 領域を
はみ出すことはない。

２.研究方法
著者らの最近の報告 [5]では、IFS に対する HLSの比較という視点から、点 A,B はともに IFS 領域にあり、結果も IFS 領域に収まるようなケースを分析した。IFS による推論 A→B を~A∨B、HLS による推論 A→B を¬A∨B とし、どちらのモデルが優位かを調べている。
今回の研究も、[5]に引き続き、HLS モデルのほうが、IFS モデルより優位にあると示すことを目的とするが、点 A,B はともに IFS 領域にあっても、HLS モデルでは、推論結果が IFS 領域に収まらず、矛盾領域にはみ出す場合にはどうなるかを分析す
る。IFS モデルの推論結果は IFS 領域外に出ることはないので、その場合、推論結果の統合値が同じかどうかを調べることにする。なお、ここでは、推論結果の一方が優位であるとは、「統合値が高いこと、ただし、同じ統合値なら、区間の幅が狭いこと」であるとする。統合アルゴリズムとしては、

３.３ 含意演算の相違
両モデルの含意演算（A→B）としては、最も一般的と思われる「A の否定と B との論理和」を採用して比較することにする。否定演算記号の表記
で、モデルを区別する。
HLS モデルでは、¬A∨B={max(1-ta,tb),min(1-fa,fb)} ------(4)
また、IFS モデルでは、~A∨B={max(fa,tb),min(ta,fb)} ------(5)
となる。

55

1- ta+fb≦1すなわち、ta≧fbの場合に限られる。これを図に書き加えると、

４．分析１：HLS による推論結果が IFS 領域に収まる場合
HLS モデルでは、矛盾領域(t+f>1)のデータも扱うことができるが、IFS モデルでは無関心領域(t+f<1)と数値真理値領域(t+f=1)しか扱えない。このことだけでも、HLS モデルは優位にあるといえるが、あえて両者を比較するために、データ A,Bはともに IFS 領域にあるとする。
すなわち、
ta+fa≦1, tb+fb≦1--------(6)とする。
この章では、まず、(6)式の条件下で、HLS モデルによる含意演算結果¬A∨B が IFS 領域内に収まる条件を求め、両モデルの含意演算の性質を比較する。以下では、[5]で示した分析とは別の、より簡明な方法を示す。

1-fb

tb
B

fb

T
fb

tb

1-tb 1-fb

図２ Case１で、推論結果が IFS に収まる領域（３）Case 3 について
条件より、(1-ta<tb )&(1-fa<fb)
式を変形して、(ta>1-tb)&(fa>1-fb)を得るが、この条件を満たす領域が存在しないことは、以下で明らかである。
条件より、(ta>1-tb)&(fa>1-fb)
これより、
ta+fa≧(1-ta)+(1-fb)
ta+fa≧2-(tb+fb)
ところで、tb+fb≦1 なので、ta+fa≧1となり、「点 A が IFS 領域に存在する」という前提に矛盾する。
（４）Case 4 について
(1- ta<tb )&(1-fa≧fb)より、(ta>1-tb)&(fa≦1-fb)
以下に A の領域を図示する。

４ ．１ HLS モデルによる推論結果の 分 析(4)式は、HLS モデルによる推論結果であり、パラメータ値によって、４ケースに分類される。
Case 1： (1-ta≧tb )&(1-fa<fb) の場合、
¬A∨B={1-ta, 1-fa} ----- ¬A 点に一致
Case 2 : (1-ta≧tb )&(1-fa≧fb) の場合、
¬A∨B={1-ta, fb}
Case 3 : (1-ta<tb )&(1-fa<fb) の場合、
¬A∨B={tb, 1-fa}
Case 4 : (1-ta<tb )&(1-fa≧fb) の場合、
¬A∨B={tb, fb} -----B 点に一致
（１）Case 1 について
(1- ta)+(1-fa)≦1 となるのは、1≦ta+fa
これは前提条件(6)に合わない。
Case 1 は、IFS 領域に入らないので、この章では使用しない。
（２）Case 2 について
条件より、(1-ta≧tb )&(1-fa≧fb)
式を変形すると、 (ta≦1-tb)&(fa≦1-fb)
これを図示する。

Aの存在領域を示す
F

1-fb

斜線はAの存在領域を示す

F

斜線はAの存在領域を示す

F

1-fb

tb
B

fb

tb

T
B

fb

fb

tb

1-tb 1-fb

図３ A 点が Case4 の条件を満たす領域¬A∨B は、B 点そのものなので、これは問題なく
IFS 領域に入る。

T
fb

tb

1-tb 1-fb

図１ A 点が Case1 の条件を満たす領域
この条件下で、IFS に収まるのは、（５）４つのケースのまとめ

56

Case 2 から、1-fb≦ta <1-tb ------ ¬A∨B=(1-ta, fb)
Case 4 から、ta≧1-tb ------------- ¬A∨B=(tb, fb)
において、HLS モデルでの含意演算 A→B の結果
は IFS 領域に収まる。
要約すると、HLS モデルの推論結果は次のとおり。

A点の配置と、 HLS,IFS両モデルの推論結果
Fの式の摘要範囲をまとめて表記

この中では、Case i

1-fb~A∨B=(fa,fb)

この中では、Case iii

(1 − t a , f b ) f b ≤ t a < 1 − t b¬A ∨ B = 
t a ≥1 − t b
(t b , f b )----(7)~A∨B=(tb,fb)

tb

~B
B

fb

€

４ ．２ IFS モデルによる推論結果の 分 析
IFS モデルによる推論結果は、下記のように表される。

{~ A ∨ B = max( f a ,t b ),min(t a , f b ) }

€

fb

図５

----(8)~ A " B = ( fa, fb )

!
!
!
!

if f a ≥ t b€€~ A " B = ( f a , ta )and t a < f b thenCase iii :if f a < t b and t a ≥ f b then€€
~ A " B = (t b , f b )Case iv :if f a < t b f a < t b and t a < f b then€€
~ A " B = (t b , t a )これらの中で、Case iii は、推論結果が B 点に重€€!
なることを意味する。
~B に対する A の相対的位置関係を分析すると、IFS の推論結果が求まる。（図４）

Case ii

Case iv~B

Case i

1-tb

T

HLS、IFS の両モデルの推論結果分析すべき領域を Area1 から Area3 とする。
Area 1: ¬A∨B=(tb,fb)~A∨B=(tb,fb)
Area 2: ¬A∨B=(1-ta,fb) ------区間は[1-ta,1-fb]~A∨B=(tb,fb) ------区間は[tb,1-fb]
Area 3: ¬A∨B=(1-ta,fb) ------区間は[1-ta,1-fb]~A∨B=(fa,fb) ------区間は[fa,1-fb]
これらを評価する。
Area 1 は、モデルによる違いなし。
Area 2 は、下図のように、区間の右端は同じ値。
左端は~A∨B が固定値 tb、¬A∨B は 1-ta で、Area
2 の領域の範囲は fb≦ta≦1-tb なので、ta≦1-tb を変形して、1-ta≧tb となり、¬A∨B の区間のほうが一般的に幅が狭い。同じ幅になるのは、1-ta=tb の場合に限られる。
Area 3 についても同様に、推論結果の区間の右端の値は同じである。
¬A∨B、~A∨B とも、A の位置（実際は ta の値）によって、幅が変わる。
¬At∨B の区間[1-ta,1-fb]について、領域の条件は、fb≦ta≦1-tb なので、区間の下限
はta≦1-ta≦1-fb
また、上限は、1-fb として固定。
一方、~A∨B の区間について、下限は tb≦fa≦1-fb であり、同程度の自由度をもつ。しかし、
ta+fa≦1 なので、
fa≦1-ta -------- つまり、¬A∨B のほうが一般的には右方にある。
以上より、両者の区間の上限は同じだが、¬A∨Bの区間のほうが一般的に幅は狭い。同じ幅になるのは、1-ta=fa の場合に限られる。

(8)式は、条件によって、以下の４パターンに分類できる。
Case i : if f a ≥ t b and t a ≥ f b thenCase ii :tb

Case iii

図４ ~B 点に対する A 点の相対的な位置関係による IFS の推論結果のケース分類

４ ．３ 両モデルによる推論結果の 評 価
以上をまとめ、 HLS と IFS の両モデルの推論
結果を１つの図にまとめて表記する。

５.分析２： HLS モデルの推論結果が IFS 領域に収まらない場合の分析 （一部）
このケースでは、推論結果がモデルによって違57

う領域に属することになり、直接的な比較が行えないので、推論結果の統合値を算出し、同じ１次元上の１つの値に集約して比較する。比較するのは、各種統合値アルゴリズムの中で、逆 FCR 法にも使える、「複合スコア法１」(記号は I4)とする。
（１）I4 の定義
I4 は、次のように定義される。

する。それ以外の２つの領域では、統合値 I3>I1になる。図７を見ると、確かに I3> I1 である。このことからわかるように、¬A∨B の統合値は~A∨
B より大である。すなわち、このケースでは、HLS
が IFS より優位と判断される。
６.結論
本研究は、２種類の拡張ファジィ論理モデルにおける推論結果について、下記の仮定を置いて、モデルの優位性についての比較を試みた。
・推論 A→B の式は、古典論理の場合と同じく、(Not A) ∨ (B) を採用する。
・推論結果を同じ統合式 I４で評価する。
A,B の２点が IFS 領域にあると仮定し、推論結果が IFS 領域に入る場合と、入らない場合の両方を分析した結果、A 点が B 点の左側にある場合にのみ、HLS の推論結果が IFS の外に出ることがあるとわかった。
推論結果が IFS の外に出るケースを３つのパターンに分けて分析した結果、一つのパターンでは統合値 I3=I1、他は I3>I1 となった。以上より、
HLS モデルは、IFS 領域のデータに対しても IFS モ
デルより優位性を示すケースがあるといえる。

I4 = I1 if t + f ≤ 0 otherwise I4 = 0.5
ここでの、I1 と I3 は、それぞれ、基本的な統合
アルゴリズムである。方程式を以下に表す。
I1 単純スコア法

€

t
t+ f

I1 =
I3

€

€

if t + f ≠ 0 otherwise I1 = 0.5

逆スコア法

1− f
I3 =
2−t − f

if t + f ≠ 0 otherwise I3 = 0.5FA

第５ 1-fb
章
で
検
討
す
る
領
域

B

fb

fb

図６

７ .将 来 の 課 題
これまでの研究[5]に加え、今回の分析で，IFS
領域のデータに対して HLS モデルの考え方で矛盾領域を利用すると、より良い推論結果を得る可能性があるとわかった。今後、A が B の左下、右上、右下にあるような３つのパターンで¬A∨B が IFSに収まらず矛盾領域に出る場合について HLS モデ
ルの優位性を実証するため、さらに詳細な分析を
進めたい。

T

tb

HLS の推論結果が矛盾領域に入る領域（２）両モデルの統合値比較
今回 A が B の左上にある場合のみをとりあげ、¬A∨B を I3 の式に代入し、~A∨B は I1 に代入して、それらの大小関係がどうなるかを確かめる。
分析結果を要約して図示する。（図７）￢A∨Bの式が変わる

参考文献[1]K. Atanassov: Intuitionistic Fuzzy Set Theory andApplications, Physica Verlag, pp.1-60, 1999
[2]小田：多次元多値論理の提案,日本経営工学会論
文誌, Vol.49, No.3, pp.135-145, 1998
[3]向殿、菊池：ファジィ・インターバル論理の提案、日本ファジィ学会誌、Vol.2,No.2,pp.97-110,1990[4]小田、大庭、程、黄：FCR 法と Intuitionistic Fuzzy
Set の比較研究、ファジィシステムシンポジウム講
演論文集、Vol.23,WC1-4,2007[5]黄、小田：拡張ファジィ論理における推論結果の比較̶ATANASSOV の IFS モデルと HLS モデルの比較̶、第 44 回日本経営システム学会全国研究発表大会講演論文集 pp74-75,2010
連絡先
愛知工業大学 小田哲久
(Tel.:052-757-0810,E-mail:oda@aitech.ac.jp)

A点がこちら側にあると、FHLSの推論結果はIFS領域に入る

AがBの
左上の
場合

1-fb
￢A

この中にA
があると、 tb
推論結果
￢A∨Bは、

A=(ta.fa)

IFS領域に収
まらない
B=(tb,fb)

fb

〜A

fa

￢A∨B=(1-ta,fb)〜A∨B〜A∨Bの式
が変わる

T
fb

ta

tb

図７ 両モデルの要約図
IFS 領域に収まらない３つの領域の分析によると、一番上の領域では、統合値 I3 と I1 値は一致

58

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）Formalizing Constructive Discursive Logic
構成的議論論理の形式化

Seiki Akama
赤間世紀
C-Republic

Tetsuya Murai
村井哲也
北海道大学
Hokkaido University

Abstract: We propose constructive discursive logic, which is a constructive version of Jaskowski’s discursive logic. We give its proof and model theory. The proposed logic can be used to describe paraconsistentand non-monotonic reasoning.

1

Introduction

intuitive interpretation.
Such a calculus has, among others, the following
intuitive properties remarked by Jaskowski himself:
suppose that one desires to systematize in only one

Jaskowski’s discursive logic (or discussive logic) is
the ﬁrst formal paraconsistent logic which is classiﬁed
as a non-adjunctive system; see Jaskowski [6]. Discursive logic can be motivated by the nature of ourdeductive system all theses defended in a discussion.
In general, the participants do not confer the same
meaning to some of the symbols.

ordinary discourse. That is, in a discourse, several
participants exist and have some information, beliefs,
and others.

One would have then as theses of a deductive system that formalize such a discussion, an assertion andIn this regard, truth is formalized by means of thesum of opinions supplied by participants. Even if each

its negation, so both are “true” since it has a variationin the sense given to the symbols.
Jaskowski’s D2 contains propositional formulas

participant has consistent information, some participant could be inconsistent with other participants.

built from logical symbols of classical logic. In addition, possibility operator ♢ in S5 is added. Based on

This amounts to supposing that A∧ ∼ A does nothold while both A and ∼ A do. This means that theso-called adjunction, i.e. from ⊢ A, ⊢ B to ⊢ A ∧ B

the possibility operator, three discursive logical symbols can be deﬁned as follows: A →d B =def ♢A →B, A ∧d B =def ♢A ∧ B, and A ↔d B =def (A →dis invalid. Jaskowski modeled the idea founded onmodal logic S5 and reached the discursive logic in
which adjunction and modus ponens cannot hold. InB) ∧d (B →d A).
Additionally, we can deﬁne discursive negation ¬d A

addition, Jaskowski introduced discursive implication
A →d B as ♢A → B satisfying modus ponens.

as A →d f alse. Jaskowski’s original formulation of
D2 in [6] used the logical symbols: →d , ↔d , ∨, ∧, ¬,and he later deﬁned ∧d in [7].

The aim of this paper is to provide a foundation for
constructive discursive logic. All proofs of the resultspresented in this paper can be found in [1].

2

The following axiomatization due to Kotas [8] has
the following axioms and the rules of inference.

Jaskowski’s Discursive Logic

AxiomsDiscursive Logic was proposed by a Polish logician
S.Jaskowski [6] in 1948. It was a formal system J(A1) 2(A → (¬A → B))(A2) 2((A → B) → ((B → C) → (A → C))satisfying the conditions: (a) from two contradictory
propositions, it should not be possible to deduce any(A3) 2((¬A → A) → A)
(A4) 2(2A → A)

proposition; (b) most of the classical theses compatible with (a) should be valid; (c) J should have an(A5) 2(2(A → B) → (2A → 2B))
(A6) 2(¬2A → 2¬2A)

59

3

Rules of Inference

ways from D2 : (1) it does not take classical logic as(R1) substitution rule
(R2) 2A, 2(A → B)/2B

its starting point; and (2) it does not use the possibility operator ♢ as a modality, but a negation with

(R3) 2A/22A(R4) 2A/A(R5) ¬2¬2A/A

modal operators.
CDLSN can be deﬁned in two ways. One is toextend N − with discursive negation ¬d . The other isto weaken intuitionistic negation in N − . We adopt
the ﬁrst approach.

Constructive Discursive Logic

Discursive logic is motivated by using the modal
logic S5 to deﬁne discursive logical connectives which

Here, we ﬁx the language of the logics which we use
in this paper. The language of Int+ is deﬁned as theset of propositional variables and logical symbols: ∧can formalize a non-adjunctive system. It can be seen
as a paraconsistent logic, which does not satisfy ex-(conjunction), ∨ (disjunction) and → (implication).
The language of Int is the extension of that of Int+

plosion of the form: {A, ¬A} |= B for any A and B,
where |= is a consequence relation. Say that a system
is trivial iﬀ all the formulas are provable. Paraconsis-

with ¬ (intuitionistic negation). The language of N −is the extension of that of Int+ with ∼ (strong negation). The language of CDLSN is the extension oftent logic can be used to formalize inconsistent but
non-trivial systems.
A question arises. Most works on discursive logic

N − with ¬d (discursive negation). Additionally, we
use the logical constant f alse as the abbreviation of∼ (A → A).
We believe that CDLSN is (constructive) improvement of D2 . First, CDLSN uses Int+ rather thanutilize classical logic and S5 as a basis. However, we
do not think that these are essential. For instance,
an intuitionist hopes to have a discursive system in aconstructive setting.
To make the idea formal, it is worth consideringclassical logic as the base. Second, CDLSN simulates
modality in D2 by negations, although D2 needs the

Nelson’s constructive logic with strong negation N −of Almukdad and Nelson [4]. In N − , ∼ denotes strong

possibility operator.
¬d is similar to ¬, but these are not equivalent. The
motivation of introducing ¬d is to interpret discursive

negation satisfying the following axioms:(N1) ∼∼ A ↔ A

negation as the negation used by an intuitionist in
the discursive context. Unfortunately, intuitionistic(N2) ∼ (A ∧ B) ↔ (∼ A∨ ∼ B)
(N3) ∼ (A ∨ B) ↔ (∼ A∧ ∼ B)
and the axiomatization of the intuitionistic positive

negation is not a discursive negation. And we needto re-interpret it as ¬d . Based on ¬d , we can deﬁne→d and ∧d .

logic Int+ with modus ponens (MP), i.e. A, A →B/B as the rule of inference.

Discursive implication →d and discursive conjunction ∧d can be respectively introduced by deﬁnition

Note here that N − is paraconsistent in the sensethat ∼ (A∧ ∼ A) and (A∧ ∼ A) → B do not hold. If
we add (N0): (A∧ ∼ A) → B to N − , we have N of

as follows.

Nelson [9].
In N , intuitionistic negation ¬ can be deﬁned as

Observe that A → (∼ A → B) is not a theorem
in CDLSN while A → (¬d A → B) is a theorem infollows: ¬A =def A → ∼ A.
If we add the law of excluded middle: A∨ ∼ A to
N , the resulting system is classical logic.

CDLSN . The axiomatization of CDLSN is that of
N − with the following three axioms.
(CDLSN1) ¬d A → (A → B)

Indeed, N − is itself a paraconsistent logic, but canalso be accommodated as a version of discursive logic.

(CDLSN2) (A → B) → ((A → ¬d B) → ¬d A)(CDLSN3) A → ∼ ¬d A

Now, we introduce the constructive discursive logic
with strong negation CDLSN . It diverges in two

Here, an explanation of these axioms may be in order. (CDLSN1) and (CDLSN2) describe basic prop-(N4) ∼ (A → B) ↔ (A∧ ∼ B)

A →d B =def ¬d A ∨ B
A ∧d B =def ∼ ¬d A ∧ B

60

erties of intuitionistic negation. By (CDLSN3), we

where W ̸= ∅ is a set of worlds, w0 ∈ W satisfying

show the connection of ∼ and ¬d . The intuitive interpretation of ∼ ¬d is like possibility under our se-∀w(w0 Rw), R ⊆ W × W is a reﬂexive and transitive relation, and V : P V × W → {0, 1} is a partial

mantics developed below.
¬d is weaker than ¬. Vorob’ev [11] proposed a constructive logic having both strong and intuitionistic

valuation satisfying that V (p, w) = 1 and wRv ⇒V (p, v) = 1 and V (p, w) = 0 and wRv ⇒ V (p, v) = 0
for any formula p ∈ P V and w, v ∈ W . Here,negation. It extends N with the following two axioms:

V (p, w) = 1 is read “p is true at w” and V (p, w) = 0
is read “p is false at w”, respectively.

∼ ¬A ↔ A

We can now extend V for any formula A, B in atandem way as follows.

∼ A → ¬A, where A is atomic
If we replace (CDLSN3) by the axiom of the form
∼ ¬d A ↔ A and add the axiom ∼ A → ¬d A, then¬d agrees with ¬. Thus, it is not possible to identify

V (∼ A, w) = 1 iﬀ V (A, w) = 0.
V (A ∧ B, w) = 1 iﬀ V (A, w) = 1 and V (B, w) = 1.
V (A ∨ B, w) = 1 iﬀ V (A, w) = 1 or V (B, w) = 1
V (A → B, w) = 1 iﬀ ∀v(wRv and V (A, v) = 1⇒ V (B, v) = 1)

¬ and ¬d in our axiomatization.
We use ⊢ A to mean that A is a theorem in
CDLSN . Here, the notion of a proof is deﬁned as
usual. Let Γ = {B1 , ..., Bn } be a set of formulas and
A be a formula. Then, Γ ⊢ A iﬀ ⊢ Γ → A.

V (¬d A, w) = 1 iﬀ ∀v(wRv ⇒ V (A, v) = 0)
V (∼ A, w) = 0 iﬀ V (A, w) = 1
V (A ∧ B, w) = 0 iﬀ V (A, w) = 0 or V (B, w) = 0
V (A ∨ B, w) = 0 iﬀ V (A, w) = 0 and V (B, w) = 0
V (A → B, w) = 0 iﬀ V (A, w) = 1 and V (B, w) = 0

Notice that ¬d has some similarities with ¬, as thefollowing lemma indicates.
Lemma 1 The following formulas are provable in
CDLSN .

V (¬d A, w) = 0 iﬀ ∃v(wRv and V (A, v) = 1)
Additionally,(1) ⊢ A → ¬d ¬d A

V (A∧ ∼ A, w) = 1 for some A and some w, which
is used to invalidate (A∧ ∼ A) → B, and guarantees
the paraconsistency of ∼ in CDSLN .

(2) ⊢ (A → B) → (¬d B → ¬d A)(3) ⊢ (A ∧ ¬d A) → B(4) ⊢ ¬d (A ∧ ¬d A)(5) ⊢ (A → ¬d A) → ¬d A

Note that ∼ ¬d behaves as a modality. In thisregard, we do not need to introduce a possibility op-

It should be, however, pointed out that the follow-

erator into CDLSN as a primitive.

ing formulas are not provable in CDLSN .

We say that A is valid, written |= A, iﬀ V (A, w0 ) ≠⊢∼ (A∧ ∼ A)
̸⊢ A∨ ∼ A

1 in all CDLSN -models. Let Γ = {B1 , ..., Bn } bea set of formulas. Then, we say that Γ entails A,

̸⊢ (A → B) → (∼ B →∼ A)̸⊢ ¬d ¬d A → A
̸⊢ A ∨ ¬d A

written Γ |= A, iﬀ Γ → A is valid.
Lemma 2 The following hold for any formula A
which is not of the form ∼ ¬d B, and any worlds̸⊢ (¬d A → A) → A̸⊢ ∼ ¬d A → A

w, v ∈ W .
V (A, w) = 1 and wRv ⇒ V (A, v) = 1,
V (A, w) = 0 and wRv ⇒ V (A, v) = 0.

̸⊢ A →d A

4

we need the following condition:

Kripke Semantics

Lemma 2 does not hold for the formula of the form
∼ ¬d A. We think that the fact is intuitive because∼ ¬d A behaves as possibility.

It is possible to give a Kripke semantics for
CDLSN which is a discursive modiﬁcation of thatfor N provided by Thomason [10] and Akama [2, 3].
Let P V be a set of propositional variables and p

Theorem 1 (soundness) ⊢ A ⇒ |= A.

be a propositional variable, and F or be a set of formulas. A CDLSN -model is a tuple ⟨W, w0 , R, V ⟩,Now, we give a completeness proof. We say that a
set of formulas Γ∗ is a maximal non-trivial discursive

61

theory (mntdt) iﬀ (1) Γ∗ is a theory, (2) Γ∗ is non-Third, we could extend CDLSN with some inten-

trivial, i.e. Γ∗ ̸⊢ B for some B, (3) Γ∗ is maximal, i.e.
A ∈ Γ∗ or A ̸∈ Γ∗ , (4) Γ∗ is discursive, i.e. ¬d A ̸∈ Γ∗

sional operators. For example, it will be interesting
if knowledge and temporal operators are introduced

iﬀ ∼ ¬d A ∈ Γ∗ . Here, discursiveness is needed tocapture the property of discursive negation.

into CDLSN .

References

Lemma 3 For any mntdt Γ and any formula A, B,
the following hold:[1] Akama, S., Abe, J.M. and Nakamatsu, K.: Constructive discursive logic with strong negation, toappear in Logique et Analyse.

(1) A ∧ B ∈ Γ iﬀ A ∈ Γ and B ∈ Γ(2) A ∨ B ∈ Γ iﬀ A ∈ Γ or B ∈ Γ[2] Akama, S.: Constructive predicate logic with strong
negation and model theory, Notre Dame Journal ofFormal Logic, 29 (1988), pp.18-27.

(3) A → B ∈ Γ iﬀ ∀∆(Γ ⊆ ∆ and A ∈ ∆⇒ B ∈ ∆)
(4) ¬d A ∈ Γ iﬀ ∀∆(Γ ⊆ ∆ ⇒ A ̸∈ ∆)[3] Akama, S.: Subformula semantics for strong negation systems, Journal of Philosophical Logic, 19(1990), pp.217-226.

(5) ∼ (A ∧ B) ∈ Γ iﬀ ∼ A ∈ Γ or ∼ B ∈ Γ(6) ∼ (A ∨ B) ∈ Γ iﬀ ∼ A ∈ Γ and ∼ B ∈ Γ[4] Almukdad, A. and Nelson, D.: Constructible falsity
and inexact predicates, Journal of Symbolic Logic,
49 (1984), pp. 231-233.

(7) ∼ (A → B) ∈ Γ iﬀ A ∈ Γ and ∼ B ∈ Γ(8) ∼∼ A ∈ Γ iﬀ A ∈ Γ(9) ∼ ¬d A ∈ Γ iﬀ ∃∆(Γ ⊆ ∆ and A ∈ ∆).

[5] da Costa, N.C.A. and Dubikajtis, L.: On Jaskowski’s
discursive logic, A.I. Arruda, N.C.A. da Costa and R.
Chuaqui (eds.), Non-Classical Logics, Model Theory
and Computability, pp.37-56, North-Holland, Amsterdam, 1977.

Based on the maximal non-trivial discursive theory,
we can deﬁne a canonical model (Γ, ⊆, V ) such that
Γ is a mntdt, ⊆ is the subset relation, and V is avaluation satisfying the conditions that V (p, Γ) = 1
iﬀ p ∈ Γ and that V (p, Γ) = 0 iﬀ ∼ p ∈ Γ.

[6] Jaskowski, S.: Propositional calculus for contradictory deductive systems (in Polish), Studia Societatis
Scientiarun Torunesis, Sectio A, 1 (1948), pp. 55-77.
[7] Jaskowski, S.: On the discursive conjunction in
the propositional calculus for inconsistent deductive
systems (in Polish), Studia Societatis Scientiarun
Torunesis, Sectio A, 8 (1949), pp. 171-172.

Lemma 4 (truth lemma) For any mntdt Γ andany A, we have the following:
V (A, Γ) = 1 iﬀ A ∈ Γ[8] Kotas, J.: The axiomatization of S. Jaskowski’s discursive logic, Studia Logica, 33 (1974), pp. 195-200.

V (A, Γ) = 0 iﬀ ∼ A ∈ Γ
Theorem 2 (completeness) Γ |= A ⇒ Γ ⊢ A.

[9] Nelson, D.: Constructible falsity, Journal of Symbolic Logic, 14 (1949), pp. 16-26.

5[10] Thomason, R.H.: Semantical study of constructible
falsity, Zeitschrift fü r mathematische Logik undGrundlagen der Mathematik, 15 (1969), pp. 247-257.

Concluding Remarks
We proposed a constructive version of discursive

logic CDLSN with an axiomatization and semantics.
Finally, we mention some applications of CDLSN ,which will be explored elsewhere.

[11] Vorob’ev, N.N.: A constructive propositional calculus with strong negation (in Russian), Doklady
Akademii Nauk SSSR, 85 (1952), pp. 465-468.

First, we can study a multi-agent system based on
CDLSN . By using discursive logical symbols, we
連絡先
C-Republic

can deal with various inferences performed in a multiagent system, which are inconsistent but non-trivial.

赤間世紀 (Seiki Akama)

Second, in CDLSN it is possible to describe nonmonotonic reasoning, in which new information can

E-mail: akama@jcom.home.ne.jp

invalidate old theorems. For instance, a formula ofthe form: A∧ ∼ ¬d B → B can serve as the non-北海道大学

monotonic rule which reads “if A holds and B is constructively consistent, then B holds”.

E-mail: murahiko@main.ist.hokudai.ac.jp

村井哲也 (Tetsuya Murai)

62第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）ラフ集合の近似概念と音楽コード進行
Chord Progression in Music and Approximations in Rough Set Theory
村井 哲也
Tetsuya Murai

生方 誠希
Seiki Ubukata

北海道大学
Hokkaido University

工藤 康生
Yasuo Kudo

赤間 世紀
Seiki Akama

室蘭工業大学
Muroran Institute of Tech.

C-リパブリック
C-Republic

Abstract: We present in this paper some basic consideration on how we can describe chord progression
using approximations in rough set theory.
定を与えていることが分かる．

１. はじめに
近年，計算論的音楽理論が発展している(cf.[1])．
本稿ではラフ集合論(cf.[3])における近似の概念を使った音楽のコード進行に関する分析について基礎的考察を行う．これは同時に様相論理(cf.[2])による考察にもなっている．

２. 可能世界としてのコード
2.1. 調性と可能世界限定
一般に，伝統的な和声学(cf.[4])では，和音を構成する音の高さも含めて，共通音がある場合やない場
合などにおいてどう連結するか，詳細に論じされている．しかし，ここでは，第一段階として，音高は考慮せず，構成される音のオクターヴによる同値類
だけを対象とする．
それらのオクターブの違いを同一視した 12 音をそれぞれ原子命題と考えると，可能世界は和音を表すと考えられる．例えば，ハ長調の主要三和音は次の表で表されるクリプキ･モデルの付値関数で表現
Kripkeモデルと主要三和音
できる．

図１．ハ長調の世界限定(主要三和音)

ダイアトニック・コードとKripkeモデル

表 2．可能世界としてのダイアトニック・コード

原子命題＝12音(オクターヴは同一視)
可能世界＝コード
表 1．可能世界としての主要３和音
D♭

E♭

G♭

A♭

B♭
A

C C

D

D

E

F

F

G

G

A

A

B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

Dm

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

Em

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

F

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

B

G7

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

C

C

D

D

E

F

F

G G A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

Am

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

C

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

Bm-5 0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

F

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

G7

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

長短３和音のコードを配置した五度圏図上では，調性の指定はコードを表す可能世界上の制約(可能世界限定)として表現できる．例えば，右上の図１はハ長調による可能世界限定を表している．
以下では，コードの名称として，伝統的和声学[4]で使用する，個々の調性に相対的な表記 I, II, III, …
ではなく，ポップスにおけるコード記号(cf.[5])を，簡単のため，ハ長調(C major)のコードに限定して記述する．
例えば、ハ長調のスケール，すなわち，ピアノなど標準的キーボードの白鍵のみで構成される和音を考える．これらはダイアトニック・コードと呼ばれ，
表２にある７つがあり，やはり可能世界から構成される．図２で示すように、調性の指定が可能世界限

図 2．ハ長調の世界限定(ダイアトニック・コード)63

2.2. 到達可能世界としての代理コード
図３に見るように，コードから到達可能な世界が代理コードであるとみなすことができる．

ハ長調のダイアトニック･コードの場合は図５にあるように，下近似は世界限定と一致し，上近似をそれを含むコードの集合である：

３. コード進行とクリプキ･モデル
3.1. コード進行と世界間遷移
楽曲のコード進行は離散時間軸に沿ってコードとしての可能世界を渡り歩くプロセスとみなすことができる．実際，表３にあるように，コードを今度は原子命題をみなし，時点集合という上位の可能世界集合を考慮したクリプキ･モデルで記述することができる．
原子命題＝コード表３. コード進行と世界間遷移
可能世界＝時点

コード列とKripkeモデル

図 3．各長調から到達可能な世界(代理コード)
2.3. 調性の代理コードによる近似
前分節の到達可能関係を使って調性が与える可能
世界限定に対して，ラフ集合[3]でいう近似を求めることができる．例えば，ハ長調の主要三和音について，代理コードによる到達可能関係の下では，図４にあるように，下近似はなく，上近似のみ存在する．

C

Dm Em

F

G7

Am Bm-5 …

1

1

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

1

0

0

0

3

0

0

0

0

1

0

0

4

1

0

0

0

0

0

0

⋮

五度圏図上では時間軸に沿った世界間遷移として理解できる．いくつかの例を示す(図６,７).

図 6.

C→G7→C の世界間遷移

図 4. ハ長調(主要三和音)の(上)近似

図 7. C→F→G7→C の世界間遷移

図 5. ハ長調(ダイアトニックコード)の近似

64

3.2. 近似と世界間の遷移
前節の近似と組み合わせると，一つの調性の枠で収まるコード進行，枠を超えるコード進行などを記述できる．例えば，図８に示す例は調性の枠内の標
準的な世界間の遷移となっている．

図 10. Dm→G→Em→A7→D の世界間遷移 (転調)４. コード進行と推論

図 8.

C→F→G7→C の世界間遷移

図９の例は代理コードを使って変化を与えている．
しかしながら，まだ調性の枠内であることが理解できる．

コード進行は，各時点毎に音楽の文脈で形成される様相の下で得られる上近似または下近似から，次の時点のコード名を選ぶことで生成する意思決定過程として定式化できる可能性があり，その意思決定による選択はデダクションまたはアブダクションによる推論とみなすことができる(図 11)．
Abduction(backward)

Deduction(forward)

G7

C
Dm

C
F

F
Fm7

Background
KnowledgeG

図 11．推論とコード進行
コード進行をデダクションなど推論としてみなすためには，公理群あるいは仮定集合に相当する基
本的コード進行を設定する必要がある．本稿では，
実際にその可能性を検討するために，コードの基本的進行に関して，今後の展開を踏まえた考察を行いたい．
和声学[4,5]では，コードの役割は，トニック(T)，および，ドミナント(D)，サブドミナント(SD)に分けられ，それぞれ，ハ長調では C, G, F である．その他のダイアトニック・コードも構成される音の同値類の共通性に基づいて，役割が与えられる．

図 9. C→Am→Dm→G7 の世界間遷移
図 10 の例は，転調の要素を備えているため，調性の枠内(この場合，下近似でもある)を超えた遷移がある．しかし，最後のコードが上近似の範囲内にとどまっており，特に異常な転調ではないことが見
てとれる．

65

表５．トライコードの解決

例えば，コード C－Bbm は共通音がないが，しかし，後者のテンション 9th が C であるから，そこに共通音が見いだせる：C－Bbm9．

図 12．トニックとドミナント，サブドミナント
各ダイアトニック・コード間の共通音の数をカウントしたのが，表４である．

表６．テンションによるコード進行

表４．ダイアトニック・コード間の共通音

５. おわりに
今後の課題としては，コードの解説本などによく登場する「感性語」－「コード」の対応をどうコー
ド進行に生かすか，がある．すなわち，感性語が与える近似(世界限定)をコード進行生成に利用できるかどうかである．また，粒状計算の立場から，コード進行からの粒状化，ローカル構造からグローバル
構造への変化の記述，逆に，グローバル構造からの詳細化などが検討課題である．

この表に基づいて，可能なコード進行を表したもの
が次の図 13 である．

文献[1] 平田圭二, 東条敏, 浜中雅敏, 平賀譲 (2008):
道しるべ：計算の視点から音楽の構造を眺めてみると(連載)．情報処理 Vol.49, No.7--11．
[2] Z.Pawlak (1991), Rough Sets: Theoretical Aspects of Reasoning about Data, Kluwer Academic
Publishers.
[3] B.F.Chellas (1980), Modal Logic: an Introduction. Cambridge University Press.
[4] 池本武 (1980): 和声学の学び方．全音楽譜出版
社．
[5] 北川佑 (2004): ポピュラー音楽理論 改訂版．リットーミュージック．
図 13．共通音に基づく可能なコード進行

連絡先
村井 哲也

ここで，太い線は共通音３(それ自身)，通常の線が２，破線が１である．これの進行が推論のベースとなる公理群あるいは仮定集合に相当する．図中の各コードに代理コードに基づく上近似が設定され，コード進行の多様性が獲得される．
もちろん，三和音だけでは，音楽の表現の幅が限定されるし，ノンダイアトニック・コードを使うことも 20 世紀以降あたりまえとなった．例えば，増四度の解決は通常，G7－C か，Bm7―5―C が順当だ
が，ノンダイアトニック・コードを使えば，Db7－Cも可能となる．

(E-mail: murahiko@main.ist.hokudai.ac.jp)

66第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）三段論法を有する論理と含意断片論理の対応について
A Correspondence between Logical Systems with Syllogism
and Implication Fragment Logics
小田 智也
Tomoya Oda
北海道大学
Hokkaido University

河口 万由香Mayuka F. Kawaguchi
北海道大学
Hokkaido University

宮腰 政明
Masaaki Miyakoshi
北海道大学
Hokkaido University

Abstract:
This research work treats a logical algebra with syllogism from the viewpoint of implication fragment logics.
The framework of implication fragment logics has been generated in the researches on formal systems ofseveral propositional logics. On the other hand, the algebra P has been introduced as the weakest logicalalgebra equipped with syllogism. In this report, the authors try to specify an implication fragment logic
corresponding to the algebra P.

1

序論

される論理体系である．
すなわち，含意断片論理の定義は以下の要素からな

命題論理の形式体系に関する研究の中で発生した論

る．

理の一つとして含意断片論理が存在する．含意断片論
理は一般的な論理記号 ∨ ， ∧ ， ⊥ を用いず，含意「ならば」を表す論理記号⊃⊃ のみに関するいくつかの公理・推論規則 MP(modus ponens)
・論理記号のみを有する形式体系である．

Iseki et al. [3] によって提案された BCK 代数は，集α⊃β αβ
公理には以下のようなものがある．
B :(β ⊃ γ) ⊃ (α ⊃ β) ⊃ α ⊃ γ合論における差集合演算と論理における含意演算の共通かつ必要不可欠な性質を抽象化した代数であり，含意断片論理の一つである BCK 論理に対応するとされている．
小池 [1][2] は，三段論法を有する論理代数の中で最も条件の弱い体系として代数系 P を提案した．代数系

P は BCK 代数の公理を緩和して定義されている．したがって，代数系 P に対応する論理として，BCK 論
理よりも弱い含意断片論理が存在すると予想される．
本研究では，代数系 P に対応する含意断片論理を特

B’
C
K

:
:
:

(α ⊃ β) ⊃ (β ⊃ γ) ⊃ α ⊃ γ(α ⊃ β ⊃ γ) ⊃ β ⊃ α ⊃ γ
α⊃β⊃α

I
P

:
:

α⊃α
((α ⊃ β) ⊃ α) ⊃ α

W
S

:
:

(α ⊃ α ⊃ β) ⊃ α ⊃ β(α ⊃ β ⊃ γ) ⊃ (α ⊃ β) ⊃ α ⊃ γ

定することを目的とする．2 節において含意断片論理

ただし，公理も含めて論理式を記述する際は，括弧の基本構成や各公理の関係を概観し，3 節では BCK 代が省略され，以下のように右側から補うものとする．

数の公理や代数式を含意断片論理における論理式に対α ⊃ β ⊃ γ ≡ (α ⊃ (β ⊃ γ))

応させる．4 節においては，代数系 P の公理や代数式の中から含意断片論理の公理に対応するものを抽出す

また，上記の公理を組み合わせることにより，種々ることにより，代数系 P に対応する含意断片論理を特の含意断片論理が定義され，公理のラベルを羅列して定する．

各々の論理が命名される．例えば，三つの公理 B, C,

2

K とただ一つの推論規則 MP とをもつ論理は BCK 論理と呼ばれる．

含意断片論理
含意断片論理とは，含意「ならば」を表す論理記号⊃ のみに関する公理とただ一つの推論規則で定義

このようにして得られた論理で証明できる論理式の集合の包含関係を図示すると図 1 のようになる．

67

代数式表現をとることができる．さらに論理式が証明可能であるならば，対応する代数式の演算結果は常に1 である (すなわちトートロジーである)．ここで 1 とは，付値の真に対応する代数の要素である．
例えば，公理 B は以下のような代数式 (B) に対応付けられる．

B : (β ⊃ γ) ⊃ (α ⊃ β) ⊃ α ⊃ γ⇔ (B) (y → z) → ((x → y) → (x → z)) = 1

BCK 代数3

古典集合論における差集合に関するいくつかの関係のうち，以下の単純かつ有用な関係がある．

(A − B) − (A − C) ⊆ C − B
A − (A − B) ⊆ B

図 1: 各論理で証明できる論理式の集合の包含関係

これらの関係は，命題論理における以下の式にそれぞれ相当する．
含意断片論理は論理的推論として一般的な三段論法(p → q) → ((q → r) → (p → r))
p → ((p → q) → q))を表す公理 B を基として構成されている．
推論規則 MP を用いて，以下の関係が証明できる．

(すなわち証明図が書ける)

Iseki et al.[3] は集合論における差集合と命題論理における含意演算の共通の関係を解明するために，BCK代数と呼ばれる代数系を導入した．

I ≡ CKKBCK 代数の原型は差集合演算の概念によって記述されているが，本研究では，論理系との対応を取るために BCK 代数の定義を含意演算の概念によって記述すB ≡ B′ C
B′ ≡ BCS ≡ B(BW)(BBC)る．

I≡CKK の証明図.
C : r1 ⊃ r0 ⊃ α ⊃ α K : r1
CK : r0 ⊃ α ⊃ α
CKK : α ⊃ α

定義 3．代数系 (B; →, 1) が，∀x, y, z ∈ B に対して 以下の条件を満足するとき，BCK 代数と呼ばれる．

K : r0(B-i)(x → y) → ((y → z) → (x → z)) = 1(B-ii) x → ((x → y) → y) = 1(B-iii) x → x = 1

ただし，

r0 ≡ α ⊃ β ⊃ α ．
r1 ≡ α ⊃ r0 ⊃ α(B-iv) x → 1 = 1(B-v) x → y = y → x = 1 ⇒ x = y

I は C と K を用いることにより証明可能なので，図1 における C と K を持つ論理は I を内包している．また，同様に B と C を持つ論理は B′ を内包し，B′ と C

また，二項関係 ≤ を以下で定義する．

を持つ論理は B を内包している．

(B-vi)x≤y⇔x→y=1′

しかし，C は B と B からは導出できないので，例
えば BB′ I 論理で証明できる論理式は BCI 論理ですべ

このとき，(B; ≤, 1) は最大元 1 をもつ半順序集合でて証明できるが，逆は正しくない．

ある．
すなわち，(B-iii) から反射律，(B-v) から反対称律，

上述の論理式において論理記号
子

→

⊃

を代数演算

(B-i) と (B-iv) から推移律が導かれる．

と対応させることにより，論理式に対応する

68

ただし，(B-v)，(B-vi) における⇒ ， ⇔ は二ることがわかる．

項演算子ではなく，それぞれ if then ， if and only ifを意味するメタ記号である．
定義 4．BCK 代数 B において，任意の要素 x, y ∈ B に

4

代数系 P

4.1

代数系 P の定義と基本的性質

対して，x ≤ y → z を 満足する z ∈ B の最小値が存在

三段論法を保持しながらも BCK 代数の条件を緩和

するとする．このとき，
BCK 代数 B は条件 (S) を満足した代数系の提案が小池 [1][2] によってなされた．BCKするといい，z の最小値を x ◦ y で表す．

代数と代数系 P との定義の変更点は以下の通りである．
・公理 (B-i) の変更 ((B′ ) を (B) に置き換える)

条件 (S) は含意演算子 → に対し，連言演算子 ◦を与えるものである．また，条件 (S) により，演算 →・公理 (B-ii) を除去と ◦ の間には以下に示す随伴性が成立する．

・性質 (B-1) の追加

x≤y →z ⇔x◦y ≤z

以上の点を踏まえ，代数系 P の定義は以下のように与えられる．

BCK 代数の定義 3 から以下の定理が導かれる．

定義 5．代数系 P(P ; →, 1) は，∀x, y, z ∈ P に対して
以下の条件を満足する．

定理 4．BCK 代数 B において，以下が成り立つこと(B-i)′

を公理 (B-ii) を用いずに証明できる．

(y → z) → ((x → y) → (x → z)) = 1(B-iii) x → x = 1(B-iv) x → 1 = 1(B-v) x → y = y → x = 1 ⇒ x = y(B-1) x → y = 1 ⇒ (y → z) → (x → z) = 1(B-2) x → y = 1, y → z = 1 ⇒ x → z = 1(B-1) x → y = 1 ⇒ (y → z) → (x → z) = 1

定理 5．BCK 代数 B において，以下が成り立つ．

また，二項関係 ≤ を以下で定義する．

(B-3) x → (y → z) = y → (x → z)(B-4) x → (y → z) = 1 ⇒ y → (x → z) = 1(B-5) x → y = 1 ⇒ (z → x) → (z → y) = 1(B-vi)(B-6) x → (y → x) = 1(B-7) 1 → x = xる．

定理 6. BCK 代数において以下の代数式が成立する．

(B-1) は集合論，命題論理における以下の関係に相当する．

x≤y⇔x→y=1

このとき，(P ; ≤, 1) は最大元 1 をもつ半順序集合であ(B′ ) (x → y) → ((y → z) → (x → z)) = 1(C) (x → (y → z)) → (y → (x → z)) = 1(K) x → (y → x) = 1

A⊆B ⇒C −A⊆C −Bx≤y⇒y→z≤x→z(B) (y → z) → ((x → y) → (x → z)) = 1(I) x → x = 1

これらは集合論，命題論理それぞれにおいて自然か
つ妥当な性質であり，また，(B-ii) を除去した代数系に
性質 (B-1) を付加しても公理 (B-ii) は導出されず，独

この代数式表現から論理式への対応を考えると， 立に扱える性質である．
BCK 代数に対応する論理は B′ ，C，K，B，I を公理
また，BCK 代数における公理 (B-ii) は代数式 (C) をとして持つ論理であることがわかる．しかし，すでに導出し，BCK 代数が可換性をもつことを特徴付けてい′定理 1 において B ≡BC, I≡CKK であることがわかっる．このことから，代数系 P は公理 (B-ii) を除去するているので、本質的な公理は B, C, K である．以上のことにより，非可換な代数系となっている．

ことから BCK 代数に対応する論理は BCK 論理であ69

定理 7. 代数系 P において，以下の性質が成り立つ．

(P-1)
(P-2)

条件 (S) は先に述べたように 代数系 P に連言演算のx ≤ y ⇒ (z → x) → (z → y) = 1
x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z

概念を導入するものである．これにより，含意断片論
理の枠組みで論じることはできないが，その公理に対応する代数式を抽出すると，条件 (S) を持つ代数系 Pに対応する論理において論理式 B，I，K が成り立つ．

ここで，代数系 P の公理および成り立つ式を数学的以上のことから，条件 (S) を持つ場合，論理式 B，I，K

意味や役割に基づいて分類を行う．

(B-i)′(B-1)′(P-1)(B-v)′(P-2)−→ 三段論法−→ 含意演算における単調減少性−→ 含意演算における単調増加性
−→ 反射律 −→ 反対称律 半順序集合の定義
−→ 推移律(B-iv)′−→ 最大元の存在(B-iii)′4.2

を公理として持つ BIK 論理に相当すると予想される．

BIK 論理は図 1 において，BI 論理，BCK 論理と包含関係にあり，BB′ I 論理，BCI 論理と包含関係にない
含意断片論理の一つである．

5

まとめ
本研究では，三段論法を満足する代数系 P を分析し，代数系 P に対応する論理について含意断片論理の枠組

代数系 P の論理系への対応

みでの位置づけを明らかにした．また，連言演算を定

本小節では，本研究の目的である代数系 P に対応す義した場合についても同様の分析を行い，位置づけをる含意断片論理を特定する．そのために，代数系 P の明らかにした．

公理や代数式の中から含意断片論理の公理に対応する

今後の課題として，代数系 P に対応する論理と BI式を抽出する．

論理が一致することの証明を残しており，BI 代数とその性質について明確にする必要がある．

定理 8. 代数系 P において以下の代数式が成り立つ．

(B)(y → z) → ((x → y) → (x → z)) = 1

参考文献

(I)

x→x=1

[1] 小池 寧 : 三段論法を満足するファジィ論理の代数系に関する研究, 北海道大学 大学院情報科学研究
科 修士論文 (2010).

代数系 P は BCK 代数の可換性 (C) を導く (B-ii) を除去した代数系であるため，代数系 P に対応される論[2] 小池 寧, 河口 万由香, 宮腰 政明 : BCK-代数に対応するファジィ論理に関する一考察, 第 23 回多値論理とその応用研究会 技術研究報告，MVL10-

理は証明可能な論理式の集合として BCK 論理と包含関係にある．
また，代数系 P に対応する論理は論理式 B,I を公理

11(2010)pp.61-65.

として持つことは定理 8 より明らかである．
さらに，代数系 P において成り立つ式は三段論法，
含意演算として必要な単調性，半順序集合の定義のみである．以上のことから，代数系 P に対応される論理は含意断片論理の枠組みにおいては BI 論理に相当す[4] 小森 雄一，小野 寛晰 : 現代数理論理学序説, 日本ると予想される．

4.3[3] K.Iseki and S.Tanaka : An introduction to thetheory of BCK-algebras, Math. Japonica 23,
No.1(1978)pp.1-26.

評論社 (2010).

[5] 小野 寛晰 : 情報科学における論理, 日本評論社(1994).

条件 (S) を持つ代数系 P

BCK 代数において設定された定義 4 の条件 (S) は，
代数系 P にも同様に適用することができる．

[6] 小森 雄一 : BCK 代数と BCI 代数の語の問題, 数理解析研究所講究録, 786 巻 (1992)pp.27-31.

定理 9．条件 (S) を持つ代数系 P において，以下の代連絡先
河口 万由香

数式が成り立つ．

北海道大学 大学院情報科学研究科 CS 専攻(K) x → (y → x) = 1

E-mail: mayuka@main.ist.hokudai.ac.jp

70第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）感性纏覧と教育の課題について
Forsight Kansei(Kansei Tenran) and about the problem of the Japanese Education

Takikawa

中島 洋一
Yoichi Nakajima
滝川市立明苑中学校
Meien municipal junior high school

Abstract:
Reason is included by the Kansei. Maintenance must be difficult man's vital activity without
the Kansei. The Kansei Tenran explains the side that is an autonomous vital activity to which the
Kansei does the growth development.
学書によれば、生まれたばかりの人間の赤ん坊は目が開いても外界がまだ見えていないと報告している。
１. はじめに
そして、眼球が対象を追いかけるようになるのは生
カントは著書「純粋理性批判」の中において、感後数時間を経過するころからだという。ではそれ以性を理性の下におき、感性を理性に従わせるものと前に感性は機能しているのだろうか。医学的見地かして説明している。しかし、近年の感性研究によれ
ら新生児は胎児の時にすでに母体を通して体外音やば、理性こそが感性に含まれる下位概念もしくは後
母親の心音を聞いている。また、羊水の臭いを嗅ぎ、天的に獲得される能力として説明され、その基本的
皮膚感覚を持っていると考えられている。つまり、な概念構造が根本的に書き換えられようとしている。
基本的な感覚器による感覚はすでに準備され、機能人間は生まれた時にすでに本能と感性の働きによが始まっているのである。視覚は生後、外界の光をって生かされている。本能による生命維持の機能と認識するまでの数時間機能していないが、それもや
外界情報を感受し活動する機能である。本拙稿におがて機能し始め、徐々に外界認知をし始める。大脳
いては、外界情報を感受し活動する機能について「感はすでに人間の中心的な知覚機能を働かせていると性纏覧」と呼び表し、具体的な事例によってこの概考えられる。新生児が彼の人生で一番最初に見るも念の説明を試みている。また、感性纏覧は教育活動のはおそらくほとんどの場合、彼の母親の顔であろにおける「陶冶」と「発達」の概念に類似しており、う。生理的早産である彼の生命維持を助け育て続け
感性自体が自律的可塑的な性質能力を持っているこる母親の顔を認識することは生きるために必要不可とを予見する。感性纏覧の概念構築は未完成のため、欠の行為であり、まさにこの時、体内にある自分の本拙稿においてはその１つの事例のみ紹介し、全容感性を見つけ出していると考えるのである。
については別の機会に述べることとし、多くの忌憚纏覧というのは、「纏う」「見つめる」という働き、のない御指摘を賜りたいと思う。
「見せる」「わからせる」という働きの両方を含む造語であるが、感性の最初の働きの様子を説明すると
２. 感性の発見
ともに、その後の成長発達を調整支援する基本的な感性を見つけるとはおかしな事を言い出すと思わ機能概念である。
れるかも知れない。そもそも科学的に感性を取り出して、説明しようということ自体、科学的ではない。
３. 陶冶と感性纏覧
一般に対象を分析し、記述し、そこにある法則を
教育は学問である以上科学的な側面、客観的事
発見し、このことによって事実を説明し、そこから実に基づく合理的説明を要求される側面を持つ。
演繹して普遍妥当な統一的知識を組織することを科その一方において、教育はその時代・地域・社会学という。ならば、感性という事象は人間の内部ににおいて、価値や理想を基盤として成り立つ当為
存在すると考えられることから、これを取り出して的性質を持った営みであることも事実である。そ
客観的記述によって表すことは不可能である。
れはこの世に自然に「在るもの」ではなく人間にもしも感性を扱う学問が社会科学や原初の心理学
よって「在るべきもの」として要請されなければのように対象の具体的全一的な生ける姿を捉えるこならないものである。従ってその法則は「在る」とが目的となる科学の場合、この科学は事象の概念の自然必然的な法則ではなく、事実を規制するとをノルム（規範）の樹立によって行うこととなる。
ころのノルムでなくてはならない。
ノルムとは当為（理想）の法則であり、「べきの法則」
感性が自己形成力を持っているかという問いと、である。このことから、倫理学や美学はこれらの典教育によって人間が発達成長し、その人格が生ま型的な学問だと言えよう。また、もう一つの側面とれた国における民族性・伝統文化・生活一般の諸して感性を扱う学問が客観的記述できないものであ能力を獲得するかという問いは直接的な関係をりながら、それをとりあえず「あるものとして仮定」
認めにくい。一般に教育は他者（外界）からの言した上、実際に活用した結果、現実の様々な現象を葉かけ（働きかけ）によって、それを認識・習得
うまく説明できることから、帰納法的に感性は「あした学習者側の行動変容であるとされる。ヘルバ
るに違いない」と信じられている概念でもある。
ルトやシュプランゲルによれば、教育的働きかけ
では感性は人間の体内にいつから存在し、それはによる学習者の行動変容を「陶冶」という。また
どのように振る舞っているのであろうか。多くの医71

「陶冶性」とは陶冶を可能にする性質や能力のことである。それらの性質や能力の根本が感性の働きにあると仮定するとき、陶冶と感性纏覧は密接な関係にあると考えざるを得ないのである。

５.教育における感性纏覧の展望〜心は教育できるか〜
以前、宮武氏に教えられ、感性評価という概念を作り出して実践していた時、教師の持っている直感を支援するシステムとして感性評価を活用することがよいのではないかと考えていた。感性評価は今や様々な部面で活用される工学的ツールである。しかしながら、この学問の哲学的なメトーデを構築せずに、運用面のみ拡張していってもやがて衰退する時が必ずくるのではないかと考え、感性纏覧の考えに至ったのである。昨今教育界では「心の教育」が叫ばれているが、実際に心を教育することができるかどうかわからない。しかし、教師の教育力によって人を動かすことはできる。教育によって行動変容した学習者は心も変わると考えるのである。本拙稿では感性纏覧は知覚感覚を包含し、さらにその中に悟性、理性を包含する構造を持ち、悟性・理性が人間以外の生命においては発現しないこともあると考えている。
（下図参照）これらの概念構築について多くの先生方のご意見を頂ければ幸いである。

４.陶冶過程を感性機能で説明する〜中学生に美術科でデッサンを指導する場面〜
ある静物モチーフをそのまま生徒に提示し、それを与えられた画用紙に描くよう指示する。
すると多くの生徒の反応は「難しそうだ」「上手く描けないかも知れない」「上手くできるか不安」という気持ちが現れる。
不安を感じる心理は、未来予測が不能である場面で極大化し、次の行動ができないストレスを感じている状態である。
そこで教師は、支援策として静物モチーフの２次元化したイメージ（写真など）を生徒に配布してこ
れをトレース（複写）するよう指示する。各自考えて自席を立って、窓で透かして写し取るなど工夫してよいと指示を与えると、できるだけ正確に写そうとする行為が始まる。教師の支援は生徒の不安を和らげ、学習行動を助長している。
静物モチーフの「形」を正確にトレースし終えると、次の不安が生徒を支配し始める。「色（濃淡）」を上手くつける作業である。デッサンは輪郭だけでは完成しない。そこで技法を教える必要が生じる。
教師は画材や絵の具どのように扱うとどう変化するのかを教える。生徒は教えの通り画用紙に試し、確かめていく。先ほどのトレースよりも少しだけ難易度が高い課題である。再び慎重に作業を始め。徐々に「色（濃淡）」をつける作業が進んでいき、やがてバランスの取れた濃淡の表現に至る。鉛筆デッサン
は基本的な絵画表現の一つであり、丁寧に何度も体を使って覚えていくべき、身体的な知識である。この指導過程はそのまま陶冶過程である。生徒の感性
は目の前の静物モチーフをどのように画用紙に再現できるのかを確かめ、自らの表現を認知し、１つ１つ安心できる時「ＧＯサイン」を出しながら作業を進めていくのである。感性機能としては、①外界の感受＝静物モチーフの受け止め、②静物モチーフの形状再現＝トレース可能かどうかの判断、③トレー
ス後に着色作業の難易の度合い＝鉛筆の技法習得訓
練の要請・・・。感受しているものは自分の表現した作品であるが、これによって不安と葛藤を本人に知らせてくる働きが感性である。
一方、教育的配慮により、①、②、③をかみ砕いてわかりやすく説明した上、生徒に与えることで、不安は解消していく。生徒の感性は正しく機能し、それに対して教師の働きかけは、感性の機能をコントロールして、より高次の認識へ至るよう認知機能を支援するのである。陶冶によって学習者が行動変容するのは、学習者の感性を高機能化する過程だとも言えそうである。

感性と理性の包含関係図※纏覧＞直観＞感受＞感覚知覚＞五感知覚＞悟性＞理性

参考文献[1] 日本教育学原義, 渡部征盛、昭和十三年 啓文社[2] 現代の認知心理学１ 知覚と感性 三浦佳世編
平成二十二年 北大路書房[3] ゆ と り 教 育 か ら 個 性 浪 費 社 会 へ 岩 木 秀 夫
平成十六年 ちくま書房[4] 教 育活動 におけ る感 性の相 互作 用につ いて ,中島洋一,平成二十二年五月,日本感性教育学会

連絡先
滝川市立明苑中学校 中島 洋一
Tel.:0125-24-5895(自宅)E-mail:newton_nkj4111@yahoo.co.jp

72

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）

SOM によるファジィ温度制御における簡易型パラメータの決定

Compact Method for Determination of Parameters of Fuzzy Control
System in Temperature Controller by using SOM
松田 充夫
Nobuo MATSUDA
大島商船高専Oshima College of Maritime
Technology

但馬 文昭
Fumiaki TAJIMA
横浜国大
Yokohama National
University

宮武 直樹
Naoki MIYATAKE
千葉科学大学
Chiba Institute of Science

Abstract: We propose a compact method for determination of parameters of fuzzy control system intemperature controller by using the SOM. The controlled system was analogically approximated with anelectronic circuit RLC and the behavior of the circuit was simulated with mathematical technique. The indexes of
the circuit performance were mapped on a SOM map and optimal parameters were selected and estimated fromthe map.
Key Words: Fuzzy control, Self-Organizing Map, Determination of Membership function, Temperature
controller.
１．はじめに
温度制御は，
製造装置や企業設備で最も登場する基本的な制御である。しかし最近の製品の高品質化，エネル
ギーコスト管理，
環境負荷の軽減から高度で正確な温度制御の必要性が高まっている。
簡易計装の分野の温度制
御システムにおいては，制御動作のわかりやすさやパラメータのチューニングが簡単なことから従来から専ら
PID アルゴリズムが使われている。しかし，温度制御の制御対象はむだ時間と時定数の特性から，外乱応答時の温度波形の乱れや整定時間の減少などの制御性能においてこのアルゴリズムでは難点もある。
この問題を解決するためにファジィ制御アルゴリズムを導入することが行われてきた。
ところで，PID アルゴリズムでは古くからステップ
応答法や限界感度法などの最適な PID 定数を簡便に求める方法がある。一方，ファジィ制御におけるメンバー
シップ関数やファジィルールの獲得やパラメータの決定法として，ワングとメンデルの方法[1]，ニューラネ
ットの学習を利用したリンとリーの方法[2]や数値デー
タによる動的な領域を近似する方法[3]などがある。また最近では遺伝的アルゴリズムを適用した方法などが提案されている。しかしこれらに手法は最適な PID 定数の決定法に比べても簡便でわかりやすい方法とはとても言い難い。
またニューラルネットを用いた手法では，誤差関数を最小化する原理に基づきパラメータを修正するのでパラメータの修正が収束しない場合もある。
そこで，本研究では簡便で直観的にわかりやすく，パラメータがうまく収束しない場合に指針を提供できる
自己組織化マップを用いた簡易型パラメータの決定法を提案し，その有効性について検討した。

73

２．温度制御とファジィ制御の概要
２．１ 想定する温度制御システム
図 1 に想定する温度制御システムとその制御系の挙動を近似するＲＬＣ回路を示す。

図１ 温度制御システムとＲＬＣ回路
２．２ ファジィルールとメンバーシップ関数
電気的なＲＬＣ回路を制御するファジィルールを表1 に示す。ラベルの NB,NS,ZO,PS,PB の N は Negative（負），P は Positive（正），B は Big（大きい），Sは Small（小さい）， Z は Zero（零）を表す。

電圧となる後件部のファジィ集合を図４に示す。
表１ ファジィルール表
出力電圧の変化率
NB
NS
ZO
PS
NB
PB
出
NS
PS
力
ZO
PB
PS
ZO
NS
電
PS
PS
NS
圧
PB
NB

PB
NS
NB

３．解析データと解析方法
３．１ 自己組織化マップ（ＳＯＭ）の概要
コホネンにより考案された SOM[4]は，各入力ベクト
ルが 2 次元的に配置された自己組織化層の全ユニットと完全に結合している 2 層構造の教師なし学習アルゴ
リズムである。SOM は入力ベクトルに最も近い結合荷重ベクトルを持つユニットおよびその近傍ユニットが学習し，その 学習は式（１）に従って進められる。
mi (t + 1) = mi (t ) + hci (t )[ x(t ) − mi (t )] (1)

図 2 出力電力の前件部メンバーシップ関数

ここで mi(t)は参照ベクトルで，x(t)は入力ベクトルである。近傍関数 hci(t)は式（２）のように表される。

hci (t ) = α (t )i ∈ Nchci (t ) = 0

i ∉ Nc(2)

ここで Nc は勝者ユニット近傍，α(t)は学習係数である。
このような学習の結果，自己組織化層は入力ベクトルの特徴を分類する 2 次元的な近傍関係を生成する。
図３ 出力電力の変化率の前件部メンバーシップ関数
３．２ 簡易型パラメータの決定手順
ＳＯＭによるファジィ温度制御のパラメータを決定する手順は次のようになる。
①温度制御パターンを構成する電気回路の抵抗（Ｒ），
コイル（Ｌ），静電容量（Ｃ）の値を定義する。
②基準となるメンバーシップ関数を定義する。
③制御過程の計算を行い，評価指数を求める。
④各メンバーシップ関数の中心値を一定量シフトし，
ステップ③を繰り返す。
⑤評価指数データを一定数作成した後，ＳＯＭマップを作成する。
⑥ＳＯＭマップを評価して，性能改善に貢献するファジィラベルを検討し，所望の性能を達成するまでス
テップ②から⑤までを繰り返す。
図４ 後件部メンバーシップ関数

３．３ 評価指標
制御性能の評価指数として２つの指標を用いる。
１つは動的な性能を評価すための指標となる時定数，
もう１つは静的性能を評価する指標となる２乗制御面積とする。

前件部に用いる出力電圧と出力電圧の変化率のファジィ集合を図 2 と図 3 に示す。また回路に入力する

74ファジィ制御なしの性能領域

ファジィ制御を実施した
ときの高性能領域

図７ 評価指標のＳＯＭマップ
時定数は平衡出力値の０．
６３倍に到達するまでの時間
で，２乗制御面積は目標値と出力値との差の二乗の平均誤差量である。

４．実験結果４．１ RLC 電気回路の応答
抵抗（R,），コイル（L），静電量（C）の値を変化させた場合のファジィ制御を行わない温度制御の応答特性を図５に示す。（a）タイプⅠ（R=L=C=1）の応
答 は 振 動 的 な 過 渡 特 性 を 示 す 。 (b) タ イ プ Ⅱ（R=3,L=C=1）の応答は通常よく見られる特性，(c)のタイプⅢ（R=C=3,L=1）はなかなか目標値に達しない応答である。
図６はタイプⅠ（R=L=C=1）のファジィ制御を行なった場合（曲線Ｂ）と行わなかった場合（曲線Ａ）の温度制御の応答特性を表す。
曲線ＣとＤはそれぞれの場合に出力電圧の変化量を表す。
曲線ＡとＢの応答を比較す
ると明らかに時定数は１．５２から０．６２と，動特性は５９．２％，２乗制御面積の静特性は０．１２７から
０．０８３と３４．６％も改善されている。しかし，フ
ァジィ制御を行った場合には突き出し量は０．
２７０か
ら０．７５０と大きく振動している。

図５ ＲＬＣ回路の特性曲線

４．２ 評価指標から得られた SOM マップ
図 7 は，評価指数を要素とする測定値から自己組織化のソフトウェア SOM_PAK Version 3.1[5]を用いて得られたマップである。
マップの左上の濃度の濃い領域
がファジィ制御を使わない制御で得られた評価指標の領域を示している。

図６ ＲＬＣ回路の特性曲線75

図８ タイプⅠの評価指標の SOM マップ
また，右下端の領域はファジィ制御を実施した時に，最も高い性能が得られた領域を示している。
マップ上のラベルは P-Q-R の形式で標記している。
Q は R,L と C の比率を表している。
P と R はファジィラ
ベルとメンバーシップ関数の中心値のシフト量を表す。
すなわち Q が“111”のときは R=L=C=１を表している。
図８はタイプⅠの評価指数ＳＯＭマップの一部を表している。マップの右端の一群にある円形（点線）で示
した中にある“R1FO”は基準メンバーシップの場合の評価指数を示している。この一群のラベル PBM05 から
PBM25 はメンバーシップのラベル PB のシフト量が 0.05
から 0.125 まで 0.05 ずつシフトさせてもその評価指数は変化しないことを示している。
すなわちこの操作条件
では，メンバーシップラベル PB のルールが冗長ルールになっていることを示している。
反対に，R1ZOnP の形式のラベルをみると nP の n の値が大きくなるごとにマップの右側から左側に矢印方向に移動している。これはラベル ZO のシフト量が大きくなるにつれて評価指数が低下していることを示している。このように，評価指数のマップを解析にすることによって冗長ルールの発見や最適制御に貢献するメンバーシップの選択，
メンバーシップ中心の移動量を推定することが可能になる。
さらに突き出し量を評価指数に加えた場合，制御に最適なパラメータ範囲も変わることが予想される。

５．まとめ
ファジィ制御による温度制御システムにおいて，
自己組織化マップを用いた簡易型パラメータの決定法を提案してその有効性を検証し，以下の結果を得た。

76（１）
評価指数のＳＯＭマップを解析にすることによって冗長ルールの発見や最適制御に貢献するメン
バーシップの選択ができる。
（２）評価指数のＳＯＭマップの解析から，メンバーシップ中心の移動量を推定でき，最適制御のパラメータチューニングができる。

参考文献[1]L.-X.Wang and J.M.Mendel, ”Generating Fuzzy
Rules by Learning from Examples,”IEEE Trans.
Syst., Man, Cybern., Vol.22,No.6, pp.1414-1427,
1992.
[2]C.-T. Lin and C. S. G. Lee,”Nearal-Network-Based
Fuzzy Logic Control and Decision System,”IEEE Trans. Computers, Vol.40, No.12, pp.13201336, 1991.
[3]阿部重夫：ニューラルネットとファジィシステム
理論と応用, pp.153-181, 近代科学社 1995.
[4]Kohonen, T., Self-Organizing Maps, Springer
Series in Information Sciences, Vol. 30, 20001.
[5]http://www.cis.hut.fi/research/som-research/nnrc-p
rograms.shtml
連絡先〒742-2193 山口県大島郡周防大島町小松 1091-1
国立高等専門学校機構 大島商船高等専門学校
電子機械工学科
Tel/Fax 0820-74-5581
e-mail:matsuda@oshima-k.ac.jp

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）

イチ
チョウの黄
黄葉と都
都市の微気
気候につ
ついて（
（Ⅱ）
Visualizattion of a Sub
burban Areaa Climate ussing Yellow Leaves of G
Ginkyo(Ⅱ)○松原原 健太
Kenta M
Matsubara
法政
政大学
Hoseei Univ.

松田 修三
三
Shuzo Matsu
uda
法政大学
学
Hosei Uniiv.

小沢
沢 和浩
但馬 文昭
昭
宮武
武 直樹
Kazuhhiro Ozawa Fumiaki Tajiima Naokii Miyatake
法政
政大学
横浜国立大
大学
千葉科
科学大学
Hossei Univ. YokohamaYnatt.Univ. Chibba lnst.Sci.

１．はじめ
めに
自然や都
都市の微気候環境（主に気気温環境）を
を広葉樹の紅紅葉（または黄黄葉）や落葉葉などの進行
行状態を観察（感性計測測）し，紅葉（黄葉）の状
状況から気温温環境の可視視化およびそののモデル化にに関する研究究を行っている．具体的的には東京都多摩ニュータ
タウンの周辺辺の地形的要要因や人工構築
築物による人
人為的な要因因及びこの両者の要因がが混在する気候
候環境を多摩摩ニュータウウン通りのイチョウ並木のの 1 本 1 本のの黄葉に注目し，黄葉度の感性計測測を行っている．2009 年と 2010 年でで得た観測デデータをもとにに気候環境のの違いによる黄葉度の進
行過程を表表現する数理的モデル化をを試みた結果果，累積分布
布関数としてののロジスティ
ィック関数は
は観測値とよく適合するることが分かった．ここでではこの関数数の数式モデデルとしての有有効性についいて報告する．
対象地域
２．調査対
調査対象
象地域は，図 1 に示すように多摩ニュュータウン通通り(都道 158 号線)の京王
王永山駅付近近から京王多摩境駅まででの東西に伸びた 12km の区間である
の
る．
測定はこの
の道路の南北北側面（中央分
分離帯も含むむ）の約 1200
本のイチョ
ョウの黄葉の進行状況を観観測する．調調査地域の西西部は自然が多多く残されてており，東部
部へ向かって都市化が進進んでいる．またこの多摩
摩ニュータウウン通りは二二つの尾根（トンネルが貫貫通）が縦断断しており，
自然と都市市化が混在し，調査対象地
地域の微気候
候も，この両両気候が複雑にに混在し合っっているのがが特徴的である．

高度[m]

図 1 対象象地域と対応
応する高度

77

３．計測方法
イチョウの黄葉は対象地域を 30～60 日間以上の期間をかけて進み，自然が比較的多い対象域西部では一定の速度で進行し，都市の中心部である東部は黄葉の始まりは遅いが短い期間で，進むことが過去の測定(1)からわかっている． 2010 年の計測は 9/30 から 12/16 の約 70 日間，一週間毎に車で移動しながら目視による観測およびビデオカメラによる録画を行った．
（2009 年の場合も同様な方法で行っている．
）
3.1 黄葉度の数値化
イチョウの黄葉度は一本一本について，以下の 5 段階に数値化した．
0 ･･･ 未黄葉（緑） 1 ･･･ 一部で黄葉が見られたとき 2 ･･･ 木の 5 割程度が黄葉3 ･･ ･緑色はまだ残るがほぼ黄葉
4 ･･･ 完全黄葉3.2 区間分割と平均黄葉度
調査対象地域全域を特定の交差点毎に 26 の区間に区切り（図 1 参照），区間ごとに木々の黄葉度の平均値を求め，区間の平均黄葉度とした．
４．結果
観測域でのイチョウの黄葉のふるまい
2009年の結果の分析より黄葉のパターンはつぎに示す(1)～ (3)の要因により分類できることが分かっているので(2)，そこに属する3つの区間（図１における①，②，⑨）についての黄葉度の変化を図2に示す．
実線は2010年，破線は2009年を表している．

2010年は気象庁が統計を開始(1898年)して以来，猛暑が続いた年であった．図2より，どの地域についても平均して黄葉の開始時期が遅れ，黄葉期間も短縮されていることがわかる．

4
多摩センター09年
多摩センター10年
南大沢2丁目09年

3

南大沢2丁目10年
内裏橋09年
内裏橋10年

黄葉度(1)…自然の多い地域①内裏橋 ᇞ(09)▲(10)(2)…都市部で高度が高い地域②南大沢2丁目 □(09)■(10)(3)…都市部で高度が低い地域⑨多摩センター駅 ○(09)●(10)

2

1

0
9/30

10/7 10/14 10/21 10/28 11/4 11/11 11/18 11/25 12/2

12/9 12/16

図2 2009年と2010年の黄葉度の変化

５．モデル化
ロジスティック関数を用いたイチョウの黄葉の分析
2009年と2010年で得た観測データ（図2はその一例）をもとにイチョウの黄葉の進行をモデル化することを試みる．イチョウの葉の黄葉が始まる条件は，秋口にかけて昼と夜との比較的大きな気温差が生じる
ことや周辺の最低気温が（7～10℃）以下となること，などと一般にいわれている．このような気温をTSと考えたとき，日々の最低気温がこのような温度TS 付近を継続することで黄葉の度合いは一様に進んでいくと考えられる．葉の黄葉の細かなメカニズムは考えないで，単に葉の色が緑から黄に変化するという特徴のみに注目して，1本のイチョウの木の全部の葉が，気温TSを機に順次黄葉していくとすれば，その黄葉の仕方はある種の確率分布をするであろうと考える．そこでこの確率分布関数を f y (x ) とすれば

f y (x)  n  ecx2(1)で与えられるものとする．ここで n は葉の総数，c は環境条件で決まる係数，x は時間（日）である．

78

日数の経過とともに式(1)に従って黄葉が進んでいくとすれば，式(1)を積分することで得られる累積分布
関数は時間とともに黄葉度の進行を表すものとなる．したがって黄葉度を y(x) とすればxey (x)   f y (x)dx

(2)

x0

となる．ここで x0 は黄葉の開始日，xe は全黄葉となる日である．
これはわれわれが観測で得た図 2 の黄葉度の進行曲線と同じ S 字曲線となる．ここでは式(2)の具体的な形としてつぎの式(3)を考える．この式は生物の成長過程を示す曲線として使われるロジスティック曲線と呼ばれる．

y (x) A
1  B  e  c (x d )(3)

ここで A は全黄葉度（A =4）とする．B は黄葉の始まりに関係する係数であり，B の値として 9 を与えた．これは全黄葉のうち 1 割の黄葉の段階(y=0.4)を，感性計測すなわち目視による感度と考え，黄葉開始の閾値(y=yL)とし，その日を黄葉の開始日( x－d = 0)として算出したものである．x は任意であるが観測を開始する日（計算上の基準日）とした．d は基準日から黄葉が始まるまでの日数である．c は黄葉が開始されてからの進行の速さを決めるパラメータと考えられる．黄葉期間を定量的に扱うため完全黄葉となる閾
値(y=yH)を開始日の閾値と同様の考えから yH=3.6 とした．このような条件により観測データから式(3)における c と d の値を最小二乗法により求め，区間ごとの開始日，完全黄葉日の推定値を表１に示す．
表 1 最小二乗法によりパラメータ c と d を求めて得た推定値
2009年

2010年

区間名

基準日からの
遅れd

完全黄葉日
E

黄葉日数
T (E-d)① 内裏橋② 南大沢二丁目③ 新道橋④ 松ｹ谷トンネル西⑤ 松が谷トンネル入口⑥ 松ｹ谷高校入口⑦ 多摩中央署入口⑧ 多摩山王橋⑨ 多摩センター駅入口

11
22
44
24
10
17
42
37
41

43
55
64
58
48
65
64
68
63

32
33
20
34
38
48
22
31
22

2009年

基準日からの 完全黄葉日 黄葉日数
遅れdE
T (E-d)

14
41
49
58
40
33
38
45
45

55
66
70
71
66
52
69
68
67

41
25
21
13
26
19
31
23
22

2010年
c

0.14
0.13
0.22
0.13
0.11
0.09
0.19
0.14
0.20

0.11
0.17
0.21
0.33
0.17
0.23
0.14
0.19
0.20

図１における②の区間である南大沢 2 丁目の場合について，表１に示すパラメータ c の値を用いて式(3)により計算した黄葉度進行曲線と観測値を図 3 に示す．さらに表 1 に示す各区間の係数 c と黄葉日数の関係を図 4 に示す．

10/14 10/21 10/28 11/4 11/11 11/18 11/25 12/2 12/9 12/16

4

3

3
T

黄葉度

黄葉度

9/30 10/7

4
yH

2
1

1

d

yL

2

2010年

2009年
0

0
0

20

40

60

0

80

20

40

60

基準日からの経過日数

基準日からの経過日数

図3 南大沢の2009年と2010年の黄葉度の観測結果とロジスティック関数へのあてはめ

79

80

0.4

0.4

2010年

20
009年
0.3

0.2

0.2

c

c

0.3

0.1

0.1

0.0

0.0
0

10

20

30

40

0

5
50

10

20

30

40

50

黄葉期間 T [day][黄葉期
期間 T [day]図4 係数cとと黄葉期間d の関係

図 4 の結結果より，黄葉
葉の速さに関関係する係数数 c と黄葉期間
間 T の関係を 2009 年と 22010 年についいて求めるとそれぞれ c==4.39/T，c=4.38/T となり，c=K/T の関関係が導かれれる．このこととより係数 c と黄葉期間 T とは反比例の関係にあるとみなすこことができ比例例定数 K は一一定値になると考えられる
る．
さらに表
表１より求めた各区間の黄黄葉開始日とと黄葉期間を図 5 に図示すする．横軸はは基準日(9/30
0)を 0 とした日数を表表している．

図 5 20009 年と 201
10 年の黄葉開開始日と黄葉期
期間

りに
６．おわり
今回、感
感性データを用いて数理的的手法を導入入したイチョウの黄葉度のの解析を試みみた．成長曲曲線を表すロジスティッ
ック関数を利用して，そののパラメータタの決定を試試みた結果，観
観測年による
る気温変動やや地域による
気候環境のの違いがあってもよく実測測に適合したた．また，この分析過程ででイチョウのの黄葉に関与与する様々な要因も推測測される．とくに得られたた比例定数K
Kの持つ意味はは今後の研究究課題としたたい．
献><参考文献(1) 小沢和和浩・田淵洋洋・宮武直樹「イチョウのの黄葉度を利利用した都市微
微気候の可視視化」法政大大学多摩研究報告 20、pp.81～9
98、2005 年(2) 角田明
明美、松田修修三、小沢和浩
浩、宮下清栄栄（法政大）、但馬文昭（横浜国大）、宮武直樹
樹（千葉科学大）、「イチョウの黄葉度を利利用した都市
市微気候について」、ソフ
フトサイエン
ンス・ワークショップ講
演論文
文集、Vol.20tth、pp.63-64（2010）
連絡先： 松原 健太 法政大学工学学部 システ
テム制御工学科
科 kenta.matsubara.xv@@stu.hosei.ac.jp
工学部 電気気電子工学科松田 修三 法政大学理工野町 3-7-2〒184-8584 小金井市梶野

230042-387-62

80

matuda@@hosei.ac.jpp第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）

銀コーティングナノワイヤーの太さと屈折率の測定とプラズモン効果
Determination of diameter and refractive index of a silver-clad nano-cylindersuggesting plasmon effect
但馬文昭

西山善郎

松田充夫

宮武直樹

松田修三

Fumiaki Tajima

Yoshio Nishiyama

Nobuo Matsuda

Naoki Miyatake

Syuzo Matsuda

横浜国立大学横浜国立大学

大島商船高等専門学校

千葉科学大学

法政大学

Yokohama Nat.
Univ.

Yokohama Nat.
Univ.

Oshima Coll. Maritime Tech.

Chiba Inst. Sci.

Hosei Univ.

Abstract: A plane-polarized laser wave with a wavelength of 441.6 nm illuminates with a nano-cylindercoated by silver at normal incidence. The measured angular distribution of the scattered light intensity
corresponds well with the one calculated by a rigorous solution of scattering theory for the problem. Diameterand refractive index of the cylinder are determined by the calculation at a minimum point of the uncertainty
index.
Keywords: Light scattering, Silver-clad nano-cylinder, Diameter, Refractive index, Plasmon
１．はじめにそこで，本研究では，プローブによる散乱光強よく知られているように，ステンドグラスやリ

度を予め正確に規定できれば，微粒子の近接場もュクルグス・カップの赤い色はガラス中の金コロ解明できると考えた。そのために，太さ 100 nm

イド粒子の吸収による[1,2]。このような貴金属ナ程度の透明な糸に銀コーティングを施して，太さノ粒子の呈色は古くから知られている。この現象

100-200 nm 程度の銀コートナノワイヤーを作成しは微粒子の表面プラズモン共鳴によるものであり， た。そして，これにレーザー光を当ててできる散表面プラズモンを応用する科学技術分野はプラズ

乱光の角度分布を測定することにより，コーティ

モニクスと呼ばれ，近年世界的な高まりを見せてングの膜の厚さ，複素屈折率の決定を試み，プロいる。その主な理由として，光の回折限界を超えーブとして定量的な応用への可能性を検討した。

るナノ領域での光制御を可能にする技術であるこまた，その過程でプラズモン効果とみられる現象と，金属ナノ構造を理論，実験の両面から設計・を確認した。

創製・解析する技術が発展したことなどが挙げら
れる。

２．理論

しかし，未だ十分にその挙動が解明されている

Fig.1 に示すように平面波（平行偏光光 E|| ）が，とは言いがたい。それは，その現象を起こしてい銀コーティングワイヤーのクラッド部の半径がる微粒子の近傍の電磁場（近接場）の強度などを

r ，複素屈折率が n ，コアの半径とその屈折率が知る必要があるが，このような微視的な情報を直r1

接かつ正確に得ることが容易でないからである。
例えば，微小なプローブを目的の電磁場の中に挿Incident wave
E S
E||
H
S
or

入 す る た め に 金 属 化 し た AFM （ atomic force
microscope）の単針を金属ナノ粒子の周辺で走査するという実験が試みられている[3]が，このような方法では，現在までに意味のある情報を得るに

n

x
θsc

E

E⊥
H

至っていない。AFM 単針であっても，その大きさ

n

r2

φ

r

などは金属ナノ粒子よりもはるかに大きく，プローブからの散乱が最も大きい擾乱となって，肝心Fig.1 Schematic of a silver-clad cylinderのナノ微粒子からの信号を覆い隠してしまうから

and coordinate axes.

である[4]。

81

それぞれ r ，n の同軸二重円柱に垂直に入射するとして，散乱断面積 σ|| を求めると，

∑

σ|| θ

B|| m cos mθ

ε

n
0
0

0
n
0

0
0
n||

(4)

(1)
とした。ここで，ε は真空中の誘電率である。

となる。ただし，B|| m は，次式により与えられなお，この問題の解として，文献[5]がそのままる。

利用できる。そこでは，ワイヤーのクラッド及びコアは両方とも透明な材料で，それらの屈折率は
J

J

B|| m

H

実数であるが，金属等の導体の場合は屈折率を複H2素屈折率に置き換えるだけで，式は同形である。

δ(2)

銀コーティングワイヤーのクラッドの太さ及び屈折率のパラメータ値の決定は，次式の偏差指標

ここで，を最小にするようなフィッティングにより行った。
n kr

H
n H

n kr

H

n kr

n H

UI n , n , D ,

n kr

n H

n kr

H

n kr

n H

n kr

H

n kr

J

I

,

,D ,

∑ I

(5)
σ|| または σ

ただし，I ，σ
散乱角 θ

(3)

J

∑ I

はそれぞれ測定θ における散乱光強度の測定値及び(1)式による計算値を表す。
である。ただし，k は波数，J ，Hはそれぞれ

m 次の第１種ベッセル関数，ハンケル関数である。
δはクロネッカーのデルタ，プライムは微分を表

３．実験
散乱光強度の角度分布測定の概要を Fig.2 に示す。実験用サンプルの作成手順は以下のとおりです。垂直偏光 Eの場合は(3)式で係数の n ，n

を 1/n ，1/nに置き換えたものとすればよい。

ただし，n ，nはそれぞれ，垂直偏光光 Eにある。まず，１本のクモの糸（gossamer）を体長
１ mm 程 度 の ク モ か ら 採 取 し ， そ の 太 さD

対するクラッド及びコアの複素屈折率及び屈折率2rと n を文献[6]により予め決定する。

次に，このクモの糸にイオンコーターにより銀コである。また，コアの誘電率については一軸異方性を仮定し，

Light trap

Sample wire
Laser

Polarizer

θiPhoto Multiplier Tube

Fig.3 Optical micrograph of a silver-coatedFig.2 Experimental setup.

sample wire.

82▽,▼coating 2●n2=1.564

Intensity (x10 counts/s)○,△,▽Experiment●,▲,▼Theory●D2=210nm

2▼D1=245nm

1~▲n1=1.170+i1.980▲D1=231nm

0

−100

0

○,△,▽Experiment○,●No coating△,▲coating 1●,▲,▼Theory

4 ▽,▼coating 2●n2=1.722●D2=198nm

4~▼n1=0.890+i2.100

4

Intensity (x10 counts/s)

3 ○,●No coating△,▲coating 1

2

0
100

~
▼n1=0.410+i1.420▼D1=266nm~▲n1=0.850+i1.820▲D1=228nm−100

Scattering angle (deg)0100Scattering angle (deg)(a) E⊥(b) E||

Fig.4 Angular distribution of the scattering intensity for r1~100nm.
ーティングを施し，散乱光強度の角度分布を測定

で散乱光強度が小さくなっている。また，コーテする。そして，予め決定した r ，n を用いて，ィング膜厚は，１回目が 20 nm 程度，２回目では散乱断面積の計算値を測定したデータにフィッテ

50 nm であるが，この場合は，膜厚が厚くなるほィングし，円柱の外径 D

2r ，n を決定する。 ど散乱光強度が大きくなっている。コーティング

Fig.3 に実験に使用したサンプルの顕微鏡写真を部分の複素屈折率については，実部より虚部の方示す。これは暗視野照明により撮影している。白が大きいが，その比はコーティング膜厚が厚いほ色のハロゲン光源により照明しているが，うすい

ど大きくなっている。
Fig.5(a)については，コーティング後に散乱光強青色を呈し，実際よりも太く見える。断定はできないがプラズモン効果が現れていると推定される。 度がかなり大きくなっているが，Fig.5 (b)では逆に
コーティング後は 1/3 程度以下に減少している。
４．結果および考察

複素屈折率は，いずれの場合も実部より虚部の方

実験結果の一部を Fig.4 及び 5 に示す。図中のが大きくなっており，その度合いも Fig.4 よりも0 でデータが欠落している部分があるが，こ大きい。Fig.5(a)については，コーティング膜厚がれは，サンプルホルダーの影になる範囲で，測定

coating 1，
coating 2 と 10 nm 程度ずつ増加すると，できないためである。

散乱光強度が θθ80(deg) 付近を除いてかな

図中の coating 1 は１回目のコーティングを行っ

り増大している。これらは，プラズモン効果によた後，測定した結果を表し，coating 2 は，さらにるものと考えられ，(a)では局在型のプラズモン，

それぞれ同じサンプルに２回目のコーティングを(b)では伝搬型のプラズモン効果が現れていると行い，測定した結果を表す。図より，計算結果と考えられる。前者の場合，散乱光強度が増大し，実験結果がよく一致していることが分かる。
また，

後者では減少していると考えられる。このようなFig.4，5 のコーティングワイヤーのコア径はそれ現象については，文献[7]の実験結果にみられる現ぞれ 200 nm，100 nm 前後であることが分かる。

象と対応させて考えることができる。すなわち，Fig.4(a) ， (b) の い ず れ に つ い て も 散 乱 角 が局在型プラズモンでは，入射波の多くがそのまま

80 (deg) では，コーティング前後

散乱波となって測定されるが，伝搬型プラズモン

80

θ

83

▽,▼coating 2~▼n1=0.760+i2.550▼D1=134nm○,△Experiment●,▲Theory

Intensity (x10 counts/s)○,△,▽Experiment●,▲,▼Theory

44○,●No coatingn2=2.148
D2=104nm

3

3

Intensity (x10 counts/s)

6△,▲coating 1~▲n1=1.010
2+i2.800▲D1=124nm

0○,●No coating
n2=1.460, D2=113nm
−100

0

2

~
▲n1=0.360+i3.800▲D1=126nm△,▲coating 1

100

−100

Scattering angle (deg)0100Scattering angle (deg)(a) E⊥
Fig.5 Same as Fig.4 for r1~50nm.
では，入射波が銀ワイヤーに沿って伝搬していく(b) E||

ある。

ため，入射波が当たっている周辺からの散乱波が小さくなっていると考えられる。

参考文献[1]田丸博晴 他，応用物理，73，6，pp.786-771，
2004．

５．まとめ
太さ 100 または 200 nm 程度のクモの糸に銀コ[2]S. A. Maier and H. A. Atwater, J. Appl. Phys., 98,
011101, 2005.

ーティングを施した太さ 110 または 210 nm 程[3]G. A. Wurtz, et al., Jpn. J. Appl. Phys., 41, pp.L351

度のワイヤーにレーザー光を垂直に当ててできる-L354, 2002.

散乱光の強度を測定し，同軸二重円柱問題の回折理論の解に基づく計算結果と対照した。
その結果，測定値と理論に基づく計算値が概ね良好に一致し，[4]田丸博晴，宮野健次郎，光学，33，3，pp.165-170，
2004．
[5] F. Tajima, et al., J. Opt. Soc. Am. A27, 1, pp.1-5,

コーティング部分の複素屈折率，外径を決定でき2010.

ることを明らかにした。大きな屈折率虚数部の変[6] F. Tajima and Y. Nishiyama, J. Opt. Soc. Am. A22,

動はプラズモン効果を示していると考えられる。

6, pp.1127-1131, 2005.

ワイヤーの銀コート部の膜厚，屈折率が求められ[7] 山田淳監修，プラズモンナノ材料の設計と応たので，プローブとして利用することにより，プ

用技術，
シーエムシー出版，
第 11 章，
pp.128-140，

ラズモン効果を定量評価できる可能性を得た。

2006．

なお，太さや屈折率などのパラメータ値の不確かさの範囲については，文献[5]に示されている方連絡先：法が応用できると考えられるが，偏差指標が十分小さい良好な測定データが得られない限り決定す但馬文昭（横浜国立大学教育人間科学部）

るのは困難との判断から，今回は求めなかった。

〒240-8501 横浜市保土ヶ谷区常盤台 79-2

このような不確かさの範囲は，ファジィネスとも

Tel: 045-339-3448

関係があると考えられるが，今後検討する課題で

E-mail: tajima@ynu.ac.jp84第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）EEG を用いた脳活動部位推定法について

Dipole Localization of EEG for Human Brain Activities
山ノ井 髙洋Takahiro Yamanoi
北海学園大学
Hokkai-Gakuen University

山﨑 敏正
Toshimasa Yamazaki
九州工業大学
Kyusyu Institute of Technology

Abstract: The present authors and his collaborators have been investigated into recorded electroencephalograms (EEGs), especially the event related potentials (ERPs), from subjects viewing many typeof visual stimulus. In this series of research, the equivalent current dipole source localization (ECDL)
method has been applied to these ERPs. The method enables to localize the origins ofelectroencephalograms (EEGs) measured from subjects as ECDs. The paper introduces a confidential
region, which is implemented with the ECDL software; SynaCenterPro (NEC Corporation). The
confidence limit is defined on a direction of the radius. The method improves spatial resolution of EEG
measurement, which has an advantage of temporal high resolution against other studying apparatus forfunctions of the human brain.

１. はじめに
古くは，ヒトの脳における高次機能を解明する手段としては，開頭時の術中刺激と剖検による方法しかなかった．しかしながら，近年，コンピュータの発達によって，様々な非侵襲的計測手法が開発されてきている．ヒト脳機能に関するこれまでの研究によれば，視覚刺激に関する処理は後頭葉でなされ，その後の高次処理の機能は，完全分化ではないが，左脳と右脳とで分化されていると言われる[1][2]．山ノ井らは先行研究[3][4][5][6]において言語および空間認知等に関する脳活動部位の推定を行い，詳細な
時空間的脳活動のモデルを得た．さらに逆の向きに直線移動する視覚刺激に対する脳活動の比較を行った 結 果 ， 事 象 関 連 電 位 (event related potential:
ERP)のピーク時の極性反転，および高次脳活動での前頭葉での脳活動を確認した[5]．また向きを示す単語と記号に関する脳内処理部位の推定および比較を行うため，被験者が視覚刺激として提示された向きを示す単語（漢字：上，下，左，右）と記号（矢印：↑，↓，←，→）とを観察する際の脳波(electroencephalograms: EEGs)を計測し，等価電流
双 極 子 推 定 (equivalent current dipole source
localization: ECDL)法を試み，脳活動の時空間的な比較を行った[7]．この結果，潜時 400 ミリ秒前後で漢字と矢印とで共通した脳活動が前頭葉で観察された．さらに，これらの潜時で逆の向きを示す視覚刺激に対して得られた ERP を比較した結果，ERP のピーク極性の反転を確認した[7]．この事実に着目し，山ノ井らは，ピーク極性の反転により，被験者がイメージした矢印の種類を判別できると考え，ブレイ
ン・コンピュータ・インタフェース(brain computerinterface: BCI)への応用を試みた[8][9]．その結果，全被験者で 80%を超える判別率を得た．
本稿では著者らが北海学園大学ハイテク・リサー
チ・センターのこれら一連の研究において利用している EEG を計測し，このデータに対し等価電流双極 子 推 定 法 (Equivalent Current Dipole Source

85

Localization: ECDL) を 適 用 し ， 等 価 電 流 双 極 子(ECD)を推定する一連の処理を行う SynaCenter‐
Pro (NEC)の原理について，特にダイポール推定の信頼限界計算法に焦点を絞って紹介する．

２. 脳機能検査法について
ヒト脳における機能局在は，従来，外傷や血管障
害によって脳の一部に損傷を被った患者が示す臨床症候を詳細に観察することによって推測されてきた．
これらには，運動麻痺，失語症，記憶障害，痙攣等がある．このような局所脳機能は，てんかん患者の外科的治療に際して，大脳皮質の表面を電気刺激す
ることによって生じる現象からも推測されてきた．
しかしながら，単なる臨床症候と病変部位との比較
では，一定の部位がその機能に重要な役割を果たしていることは推測可能であるが，脳内の異なった構
造間の機能的関連やマクロ的なネットワーク機能について実体を把握することは困難である．
近年における各種テクノロジーの開発と発展によって，ヒト脳の働きの可視化技術がめざましく進展してきた．その中には，頭皮上における脳電位または脳波(electroencephalogram: EEG），あるいは脳磁図(magneto encephalogram: MEG)を記録して，これらの種々の脳機能に伴うヒト脳皮質の電気活動を解析する電気生理学的方法と，最近特に広く用い
ら れ る よ う に な っ た 経 頭 蓋 的 磁 気 刺 激 法 (transcranial magnetic stimulation: TMS），放射性同位元 素 を 利 用 す る ポ ジ ト ロ ン 断 層 法 (positronemission tomography: PET)およびシングルフォト
ン 断 層 法 (single photon emission computed
tomography: SPECT），さらに，最近多く用いられて いる 磁気 共鳴 機能 画像法 (functional magnetic
resonance imaging: fMRI），および近赤外線を用いる光イメージング法(near Infrared spectroscopy:
NIRS)があげられる．このような研究手段は，いずれも程度の差こそあれ，被験者にはほとんど侵襲を加 え な い も の であ り ， その た め 非 侵 襲 的検 査 法

(non-invasive studies)と称されている．これらの検査法はそれぞれ独自の特徴を有しており，その中でも電気生理学的検査法は，磁気刺激法も含めて，脳機能に関する比較的詳細な時間的情報を提供してくれるのに対し，それ以外の狭義の脳機能イメージン
グ法は比較的精密な空間的情報を与えてくれる．
これまで山ノ井らが一連の脳機能研究に用いてきた SynaCenterPro システムは，種々の間接的な脳への刺激によって起こる EEG，特に事象関連電位と呼ばれる ERP を記録し，これをもとに ECDL 法を適用する．このシステムは，事前に撮像しておいた
被験者の MRI 画像に時刻毎に推定された等価電流
双極子(ECD)をスーパーインポーズし，脳機能の画像化を時空間的に行うことが可能である．この方法
は，EEG の時間的高分解能を保持し，空間分解能を高める利点があり，従来の fMRI 等では検出不可能
な１秒以内のループ経路も推定できる．

 nξ
d n ≡ [(n + 1)ξ + n]
+ 1 + (1 − ξ ) n +1 × [(n + 1)ξ + n] f12 n +1 − f 22 n +1()

2 n +1

 f − n(1 − ξ ) 2  1  f2 
となる．なお， ( x, y , z ) と ( R, θ , ϕ ) の関係及び
ECD モデルを Fig.2 に示す．

３. 複数 ECD の導出アルゴリズム
頭皮上に張り付けられた電極を介して，観測された EEG から脳内の ECD を推定するためには，一般に頭皮上の電位分布の理論値を計算する「順問題」と，理論値と計測値の間の誤差が最小となるように ECD
パラメータを最適化する「逆問題」とを解くことになる．
ここで順問題の解は，頭部モデルとして３層同心球(Fig.1)が仮定されたもとで，推定する ECD の総数
を L とすると，l 番目の ECD の位置 Pl とモーメン

Fig.1 Concentric 3-sphere model of human headト M l (l = 1,  , L) が，それぞれにおいて ( r0 ,0,0) とl( M rl , M θl ,0) で与えられる場合，極座標で表現された電極位置 ( R, θ , ϕ ) に作る電位 φ は

φ = ∑ φ ( R, θ , ϕ ; r0l , M rl , M θl )(1)lで与えられる．ただし，

φ = ( R, θ , ϕ ; r0 , M r , M θ )1 ∞ 2n + 1  r0 ≡ ∑
4πσ 1 n =1 n  R 

[

n −1

ξ (2n + 1) 2
d n (n + 1)

× nM r Pn (cos θ ) + M θ P (cos θ ) cos ϕ
1
n

(2)

Fig.2

]

とする．ここで Pn (cos θ ) と Pn (cos θ ) はそれぞれ
1

Relationshipamong
3-dimensional
orthogonal coordinate system, polar
coordinate system, and ECD model.

逆問題の解法は，地震計のデータからその震源を求めるアナロジーとして直観的には理解できるであろう．しかしながら，計測される電極の数と推定されるパラメータの数の関係から，いわゆる不良最適化問題に帰着される．本システムでは，以下の手順で解を求める：

Legendre 関数と Legendre の随伴関数である．またヒトの頭部モデルを， R, R1 , R2 をそれぞれ頭皮，脳（皮質）および頭蓋骨の外側に相当する同心球の半径，また σ 1 ， σ 2 をそれぞれ脳および頭皮の導電率とする３層同心球モデル(Fig.1)とし，

f1 ≡

R1
,
R

f2 ≡

R2
,
R

ξ≡

1) 最適化には繰り返し計算が伴うが，計算を開始するためには初期値が必要である．必要な初期値は ECD の位置とモーメントの向き及び大きさであり，例えば，乱数などで３層同心球モデル内に ECD を配置させる．

σ2
σ1

とすると

86

2) 定位された ECD を，回転により x − z 平面
上に移動させる（ECD の始点は z 軸上）．

[

T

*

また，ν k ≡ (ν k 1 ,  ,ν kL ) T とする．ここで Gro は r0 を~L中心とする R 内の楕円体であり，その軸の半分はと計測値 φ i の間の nRMS(

∑ φi −φi

E=

)

i =1

~2

I

∑ φi

pβ k−1ν k (k = 1,  , L)

(3)となる．更に真の ECD パラメータ rˆ0 ( k = 1,  , L)ki =1に対する 99（あるいは 95）％の信頼限界はを計算する．

r0*k − δ k ≤ rˆ0k ≤ r0*k + δ k5) 最初に設定した初期値を少し変更し，上記の
手順 2)～4)を行い，nRMS が最小となるまで
これらの手順を繰り返す．なお，パラメータ
値を変更する方法としては，Gauss-Newton
法と最急降下法を混合した Powell の hybrid法を採用した．

(

 ∑V
− Vi
i

i
= 1 2
Vi meas
∑
i


(

)

)

δk ≡

すべき推定精度を ECD 位置の動径成分に限定すると，式(2)から明らかなように，変数と見なせる ECD
パラメータは r0 のみである．従って，式(2)の r0 に関する１階偏微分は
 × 100



n −1

[

ξ (2n + 1) 2
d n (n + 1)

× nM r Pn (cos θ ) + M θ Pn1 (cos θ ) cos ϕ](7)となり，式(7)と順問題の解を与える式(2)は非常に類似しており，両式の右辺における無限級数の各項が*0

Gr0 = r0 : (r0 − r ) A A(r0 − r ) ≤ p(n − 1) r0 だけしか異ならない．更に，ECD 位置パT

2

ラメータに関する Jacobian 行列 A の各成分の値は，各電極位置 ( Ri , θ i , ϕ i )(i = 1,  , I ) に対して，

}

Ail =

で表される．ただし行列 A は順問題の解であり，式(1)の ECD パラメータに関する偏微分を成分とする Jacobian 行列， p は自由度 L の χ
2

i

i

0

0

T

で求まる．この A を使って行列 A A に固有値分解を施し，式(6)を計算すれば，式(5)によって信頼限界の範囲が具体的に求まる．
ここで提案された信頼限界は動径成分のみに関するものである．従って，信頼限界の範囲は動径方向，
即ち，座標系の原点と推定された ECD の位置を通2

分布の 99（あるいは 95）％点とする．なお，上記*の楕円体は， r0 が r̂0 に十分近いとして一次近似

φ (r0 ) ≈ φ (rˆ0 ) + A(r0 − rˆ0 )る直線上で定義される．次の Fig.3 に示す例のように，２ダイポールでの推定を行った場合，得られた−1により， r0 が平均 r̂0 ，共分散行列 ( A A) の正規T∂φ∂r0l R = R ,θ =θ ,ϕ =ϕ ,r l =r *li[A]ij = (∂φi ∂r0j )(r0* j ) (i = 1,, I ; j = 1,, L)*1*2

２つの ECD の位置がそれぞれ， r0 と r0 の時，そT分布に従うことから得られる．更に，行列 A A の
T

(6)

βl )2

1 ∞ n − 1 2n + 1  r0 
∂φ
=
 
∑
n R
∂r0 4πσ 1 n =1 r0

ラメータ r̂0 に対する信頼限界は楕円体

固有値分解を A A =

kl

で求まる．
ここで順問題の解が式(1)と式(2)で与えられ，評価**∑ ( pν
l

推定された ECD パラメータ r0 に関して，真のパ{− rˆ0kの最大値であり，

４. 信頼限界の算出方法

* T
0

*k

k

Goodness_of_fit(GOF)[%]
cal 2

(5)

で与えられる．ここで，δ は Gro に接する r0

なお「順問題」と「逆問題」に関する上記の手順を実行するために，PC 版 Windows 対応の ECDL
法解析システム SynaCenterPro（NEC）が製品化されている．
ここで，繰り返し計算の打ち切り基準を与える
Goodness of fit（GOF）[%]は以下の式で表される．
meas

(4)

列 A A の固有値と対応する固有ベクトルとする．

4) 電位の理論値 φ i (i = 1,  , I ) （ I は電極数）~2
p 2 ≤ 1を得る．ただし， β k , ν k (k = 1,  , L) は，それぞれ行

3) 2)と同じ回転により各電極位置を移動させ，その位置における電位値を計算する．

I

]

2

Gr0 = r0 : ∑ β k2 ( r0 − r0* )T ν kk

れぞれのダイポールに対応する信頼限界の範囲が∑ β k2νk νkT とすれば87

perception of circle movement by use ofequivalent current dipole analysis, 2004 IEEE
international Conference on Fuzzy Systems
Proceedings VOLUME 1, pp.321-324, 2004
[6] 豊島恒，山ノ井髙洋，山崎敏正，大西真一：時空間等価電流双極子推定法によるＲＤＳ両眼立
体視の脳内処理部位の解析，知能と情報（日本
知 能 情 報 フ ァ ジ ィ 学 会 誌 ）， Vol.18 ， No.1 ，pp.102-110，2006[7] 豊島恒，山ノ井髙洋，山崎敏正，大西真一，菅野道夫：向きを表す単語と記号に対する時空間的脳活動の比較，知能と情報（日本知能情報フ
ァジィ学会誌），Vol.18，No.3，pp.425-433，2006[8] 山ノ井髙洋，豊島恒，山崎敏正，菅野道夫：向きを表す記号イメージング時 EEG によるマイクロロボット制御, 第 24 回ファジィシステムシン
ポ ジ ウ ム 講 演 論 文 集 , WD2-1, pp. 200-203,
2008[9]Takahiro
Yamanoi,HisahiToyoshima,
Toshimasa Yamazaki, Shin-ichi Ohnishi,
Michio Sugeno, and Elie Sanchez: Micro Robot
Control by Use of Electroencephalograms from
Right Frontal Area, Journal of Advanced
Computational Intelligence and Intelligent
Information (JACIII), vol. 13, No. 2, pp. 68-75,
2009[10] 山崎敏正：32 チャンネル電極キャップによる脳内等価電流双極子推定，CLINICAL NEURO－SCIENCE，18-2，pp．186－190，2000[11] Y. Kuroiwa, & M. Sonou (Eds.): Clinical
Evoked Potential Handbook (in Japanese),
Reed Education & Professional Publishing Ltd.,
1994.
[12] T. Yamazaki, K. Kamijo, T. Kiyuna, Y. Takaki,
Y. Kuroiwa, A. Ochi, and H. Otsubo: PC-based
multiple equivalent current dipole source
localization system and its applications,
Researches Advance in Biomedical Eng., 2, pp.
97-109, 2001.

 r * 1 − δ 1 , r * 1 + δ 1  と r * 2 − δ 2 , r * 2 + δ 2  で
 0

 0

0
0
与えられることを示している．

Fig.3 Example of confidence limits for 2-dipole
localization
以上のように求められた信頼限界は，ソフトウェ
ア SynaCenterPro の ECD 実行結果の表示の一部として実現されている．

謝辞
本研究は，2008 年に採択された文部科学省私立大
学戦略的研究基盤形成支援事業に伴う北海学園大学
ハイテク・リサーチ・センター研究プロジェクト「電磁・光センシングを主体とする生体関連情報の先進的計測・処理技術の開発と応用」の一環として行わ
れた．

参考文献

[1] R. A. McCarthy, E. K. Warrington（相馬芳明，
本田仁視 監訳），認知神経心理学，医学書院，
1996[2] 中川敦子，単漢字の処理における左右半球機能の検討 －漢字の構造と音訓を通して－，神経心理学，第 18 巻，第 2 号，pp.120-128，2002[3]Takahiro Yamanoi ， Masaaki Saito ， Michio
Sugeno and Elie Sanchez：Difference in Areasof the Brain for Fuzzy and Crisp Calculation，JournalofAdvanced
Computational
Intelligence (JACI）Vol. 6, No. 1, pp. 51-55,
2002[4] T. Yamanoi, T. Yamazaki, J.-L. Vercher, E.
Sanchez,M.
Sugeno,“Dominanceofrecognition of words presented on right or lefteye -Comparison of Kanji and Hiragana-”,
Modern Information Processing, From Theory
to Applications, B. Bouchon-Meunier, G.
Coletti and R.R. Yager Eds., Elsevier Science
B.V. , pp.407-416, 2006
[5] Takahiro YAMANOI, Hisashi TOYOSHIMA,
Toshimasa YAMAZAKI, Shin-ichi OHNISHI:
Localization of brain activity during

連絡先
北海学園大学工学部電子情報工学科
山ノ井 髙洋(Tel.011-841-1161E-mail: yamanoi@eli.hokkai-s-u.ac.jp)

88第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学 豊平キャンパス）ひらがな単語認知過程における時空間的脳活動

Spatiotemporal localization of brain activity during hiragana words recognition
豊島 恒
Hisashi Toyoshima
ジャパンテクニカルソフトウェア
Japan Technical Software

山ノ井 髙洋Takahiro Yamanoi
北海学園大学
Hokkai-Gakuen University

山﨑 敏正
Toshimasa Yamazaki
九州工業大学
Kyushu Institute of Technology

大西 真一
Shin-ichi Ohnishi
北海学園大学
Hokkai-Gakuen University

菅野 道夫
Michio Sugeno
ソフトコンピューティングヨーロッパセンター
European Centre for Soft Computing

サンシェーズ エリー
Elie Sanchez
地中海大学
University of the Mediterranean

Abstract: The authors recorded nineteen-channel event-related potentials (ERPs) during recognition of
one type of Japanese character; Hiragana (one type of phonetic characters). By field-sequentialstereoscopic 3D display with liquid crystal shutter, a word and a non-word were simultaneously andindependently presented to the left (right) and the right (left) eyes, respectively. Each word consists ofthree Hiragana characters. Three subjects were instructed to press a button after they understood themeaning of the visual stimuli after 3000 ms poststimulus. Equivalent current dipole source localization(ECDL) with three unconstrained ECD was applied to the ERPs. In the case of right-handed subjects,
the ECDs were localized to the Wernicke's area at around 600ms. The latter ECD for one left-handed
subject was localized at the Wernicke's homologue. After that ECDs were localized to the prefrontal area,
the superior frontal gyrus and the middle frontal gyrus. Then at around 800ms, the ECDs were localized
to the Broca's area and after that ECDs were localized again to the Wernicke's area and then to the
Broca's area.
本研究では，先行研究[2]で行ったひらがな認知過程における脳活動の２双極子による推定に対し，３双極子による再推定を行い，高次脳活動を詳細に時空間的に推定した．

１. はじめにヒトが言語を認知する際には，多くは左側頭部の聴覚性言語野（Wernicke 野）により言語野への入力処理がなされ，認知および発話を行う際には発話性言語野（Broca 野）により言語野からの出力処理がなされる，と言われている[1]．著者らの一部は，先行研究として左右視野に提示された言語刺激（漢字とひらがなの単語）に対する脳活動について等価
電流双極子推定（equivalent current dipole source
localization: ECDL）法による推定を行い，左右の脳機能に差が存在すること，そして漢字とひらがなの認知では優位な脳半球が異なることを確認した[2]．また向きを示す単漢字および矢印を認知する過程の脳活動の推定を行い，単漢字および矢印の認知過程における高次脳活動の詳細な時空間的推移を明らかにした[3]．さらに視覚刺激の向きを黙読する過程における脳活動の推定を行い，視覚刺激の種類に依存しない高次脳活動を明らかにした．
また，著者らの一部はランダムドットステレオグ
ラムによる立体視認知過程における脳活動の２双極子および３双極子による推定を行い，３双極子による推定結果をもとに視覚刺激認知過程における高次脳活動の詳細な時空間的推移を得た[4]．

２. ひらがな提示実験
２.１ 提示した視覚刺激および解析対象
先行研究[2]では被験者の左右の視野に対して，意味を持つ漢字とひらがなの単語およびその順序を入れ替えた意味を持たない漢字とひらがなの単語を画面の左右に独立に提示した．この視覚刺激により，
漢字とひらがなの認知時における大脳機能の優位性を確認した．この際に，単語の意味認知の反応時間も同時に計測して解析を行っている．一人の被験者
は言語野が右脳に存在することが明らかとなった．
本研究では，先行研究で行った実験により得られた脳波（electroencephalogram: EEG）から，被験者に対して優位な視野に提示されたひらがな認知過程の EEG を解析対象データとし，加算平均して求められた事象関連電位（event related potential:
ERP）に対して，ECDL 法を試み時空間的推移を検
討した．

89

２.２ 刺激提示装置と脳波計測装置

３. 脳内処理部位の推定結果

本研究では，視覚刺激の提示を被験者の左右の眼に対して独立に行うために液晶シャッター眼鏡を使用した．液晶シャッター眼鏡は，画像を高速に切り替える垂直シンクロナイザーと同期して左右のシャッターの開閉が行われる．CRT に左眼提示用画像が提示されている場合には左眼側のシャッターのみが開き，右眼提示用画像が提示されている場合には右眼側のシャッターのみが開く．これにより液晶シャッター眼鏡を装着した被験者の左右の眼にほぼ同時に異なる画像が提示される．
被験者が視覚刺激を観察する際の EEG 計測には
時間分解能が１ミリ秒で，19 チャネルでの EEG 計
測 が 可 能 で あ る デ ジ タ ル 多 用 途 脳 波 計 (Synafit
EE2500：NEC 日本電気)を使用した．被験者は 19
チャネルの電極キャップを装着し，これを介して実験中の EEG を計測する．計測された EEG は A/D
変換ボードを介してデータ保存用の PC に出力される．実験時には電極接触抵抗値は最大でも 10kΩ以下で計測を行った．EEG 計測時のサンプリング周波数は１KHz，バンドパスフィルタは 0.15～100Hzとした．本実験では，正常な視覚を有する 20～22
歳の３名の男子学生（利き手：右利き２名，左利き
１名）に対して，これらの装置構成による実験をそれぞれ複数回行った．なお，左利きの被験者については先行研究により，言語野が対側に存在する推定結果を得ている．

実験で得られたひらがな認知時の EEG に対して，被験者ごとに加算平均を求め，ERP を得た．脳内処
理部位の推定を行った結果,３名の被験者ともに，潜時 600ms 前後で Wernicke 野に ECD が推定された．
なお，右利きの被験者 NS および MY は左脳半球に，左利きの被験者 MT は対側の右脳半球に ECD が推定されている．先行研究により被験者 MT は言語野が対側（右脳）にある事が確認されている．
Wernicke 野に ECD が推定された潜時（図１）以後は，前頭前野（prefrontal area: PFA）（図２），
Wernicke 野と同側の上前頭回（superior frontal
gyrus: SFG），中前頭回（middle frontal gyrus:
SFG）（図３）および PFA（図４）に ECD が推定された．そして潜時 800ms で Broca 野に ECD が推定された（図５）．さらに，Broca 野に ECD が推定された以後の潜時では再び Wernicke 野に ECD が推定され（図６），潜時 970ms で Broca 野に ECD が推定され，処理のループが確認された（表１，図７，
図８参照）
．

図1

潜時 586ms で Wernicke 野に推定された ECD（被験者 NS）

図２

潜時 638ms で PFA に推定された ECD（被験者 NS）

図３

潜時 741ms で MFG に推定された ECD（被験者 NS）

図４

潜時 766ms で PFA に推定された ECD（被験者 NS）

２.３ 脳内処理部位の推定方法及び推定範囲

実験で得られた ERP に ECDL 法を適用した．一
般に，ECDL 法では，頭部モデル内に ECD を置いて，頭皮上の電位分布の理論値を計算する「順問題」と，理論値と計測値の間の誤差が最小となるように
ECD パラメータを最適化する「逆問題」を解く．逆問題の解析は，不良最適化問題となり，格子点に初期値を設定した数値解析法を用いて解くことになる．
頭部モデルとしては，導電率の異なる頭皮，頭蓋骨および皮質の３層を同心球としてモデル化した．
被験者毎の同心球モデルの設定には被験者各自の
MRI 画像を利用した．また，推定結果の精度および信頼性については，それぞれ，Goodness of fit (GOF)
および統計的な信頼限界[5]の値によって評価した．
これらの解析には PC 版双極子推定ソフトウェア[6]（SynaPointPro：NEC）を用いた．なお，ECDL法による推定結果に関しては， GOF 値が 98％以上，95％の信頼限界が１mm 以下である結果を採用した．
実験で得られた EEG には被験者のまばたきなど
によりノイズが混入する．この様な測定時のノイズを軽減するために，計測された全ての EEG について波形を観察し，大きな乱れの存在する計測データについては解析対象から除外した．本研究では初期視覚過程が完了したと考えられる 400ms 以後のEEG を解析の対象とした．

90

図５

潜時 807ms で Broca 野に推定された ECD（被験者 NS）

図６

潜時 809ms で Wernicke 野に推定された ECD（被験者 NS）
図８
表1

Subject

MY
NS
MT

図７

推定された ECD と潜時の関係
Wernicke

593
586
615

PFA

MFG

677
638
634

Broca

Wernicke

810
807
822

830
809
825

PFA

712
741
711

861
881
873

４. 考察

749
766
758

PFA

推定された ECD の時空間的推移（ひらがな提示，潜時 800ms 以後）

３名の被験者の推定結果を比較すると，被験者MT の推定結果が他の２名の被験者とは異なり対側に推定されている以外は，推定された部位とその潜時に大きな差は見られなかった．潜時 600～800msの，Wernicke 野から Broca 野に至るまでの遷移については，短期記憶および長期記憶想起時の脳活動と同様に，記憶と言語に関する部位に推定された．
また，潜時 800ms 以後の解析結果では，再びWernicke 野から Broca 野への推移が見られた．この２回目の推移は１回目の推移とほぼ同様であった．
同一部位での遷移の繰り返しは記号および単漢字の認知過程では確認されなかった．一方，想起の研究[7]では同じ部位での遷移の繰り返しがみられた．想起の場合では脳内処理として，提示されたキーワー
ドを認知，キーワードに関連して記憶した内容を検索，の様な複数段階での処理を行っている．このため同一部位での遷移の繰り返しが発生したと考えられる．
本研究では，意味のあるひらがな単語（例：ほたる）とその順序を換えた意味のないひらがな単語（例：たるほ）の様に，視覚刺激が既知の単語ではない可能性があるため，単語の理解過程としては，
音声的な認知を経てから意味的な認知を行っている可能性が考えられる．この結果から，言語処理に関連する部位での脳活動推移の繰り返しは，表音文字
に対する脳内認知過程が，最初に文字を音として認知し，その後に認知した音に該当する単語を想起することにより言葉の認知がなされる，という複数の段階で言語認知が行われていることを示唆している．
本研究で行った実験では，同時に漢字の提示に対する脳活動の計測を行っているが，その結果はひらがな認知過程とは異なり，Wernicke 野に ECD が推定された後の潜時で Wernicke 野と対側の MFG に
ECD が多く推定された（表２，図９）．この傾向は，
向きに限定した視覚刺激を提示した場合の脳活動

Broca

973
977
972
単位：ms

推定された ECD の時空間的推移（ひらがな提示，潜時 800ms 以前）91

[3]とも異なっていた．この違いは，向きに対する認知過程では提示される漢字が限られており瞬時に意味を理解可能であることに対し，本研究で行った実験では被験者は提示される単語が予測出来ないために，漢字を瞬時に既知の単語としては理解が出来ないことに起因すると考えられる．
以上のことから，視覚刺激が事前に提示されている少数の選択肢の中から表示される場合と，視覚刺激の内容が不定または多量である場合とでも，高次脳活動に差が存在すると考えられる．
漢字提示時の脳活動の推定結果では，ひらがな提示時の脳活動と比較すると言語野での脳活動があまり見られなかったことから，言葉の意味の判断ではなく既知の熟語であるかの判断を優先した脳活動であった可能性がある．また脳活動部位の遷移の繰り返しが見られなかったことから，漢字提示時には視覚刺激がより直接的に言語として認識している可能性を示唆している．
表2
Subject

本研究は平成１９年３月に終了した文部科学省私立大学学術研究高度化推進事業ハイテク・リサー
チ・センター整備事業に伴う北海学園大学ハイテ
ク・リサーチ・センター研究プロジェクト｢視覚・画像・音声・言語情報の高度化と知的計測制御技術への応用｣ならびに，平成１９年度新規に採択された文
部科学省私立大学戦略的研究基盤形成支援事業に伴う北海学園大学ハイテク・リサーチ・センター研究
プロジェクト｢電磁・光センシングを主体とする生体関連情報の先進的計測・処理技術の開発と応用｣の一環として行われた．本研究を行うにあたり協力を頂いた被験者および援助を頂いた方々に謝意を表す．

参考文献[1] R. A. McCarthy, E. K. Warrington (相馬芳明，
本田仁視 監修)，認知神経心理学，医学書院，
1996[2] T.Yamanoi et al., Dominance of recognition ofwords presented on right or left eye Comparison of Kanji and Hiragana -, toappear in Modern Information Processing,From Theory to Applications, edited by B.
Bouchon-Meunier, G. Coletti and R.R. Yager,
Elsevior Science B.V., pp.407-416, 2005
[3] 豊島 恒，山ノ井髙洋，山崎敏正，大西真一，
菅野道夫：向きを表す単語と記号に対する時空間的脳活動の比較，知能と情報（日本知能情報
ファジィ学会誌），Vol.18，No.3，pp.425-433，
2006[4] 豊島 恒，山ノ井髙洋，山崎敏正，大西真一：
時空間的等価電流双極子推定法による RDS 両眼
立体視の脳内処理部位の解析，知能と情報（日本知能情報ファジィ学会誌），Vol.18，No.1，
pp.102-110，2006[5] 山崎敏正，上條憲一，剣持聡久：動径成分の信頼限界に基づいた脳波信号源推定の精度評価，
医用電子と生体工学，37-4，pp.336-341，1999[6] 山崎敏正：32 チャネル電極キャップによる脳内等 価 電 流 双 極 子 推 定 ， CLINICAL
NEUROSCIENCE，18-2，186-190，2000[7] Takahiro Yamanoi, Hisashi Toyoshima,
Hidetomo Ichihashi: Spatiotemporal Brain
Activities in Recalling Sentences by Loci
Mnemonic System, 2007 IEEE International
Conference on Systems, Man and Cybernetics,
pp.1878-1883, 2007-10

推定された ECD と潜時の関係
Wernicke

R-MFG

481
470
473

572
575
588

MY
NS
MT

図９

謝辞

L-MFG

600
587
599

Broca

738
752
748
単位：ms

推定された ECD の時空間的推移（漢字提示）

５. おわりに本研究で３双極子によるひらがな単語の処理過程を推定した結果，Wernicke 野，Broca 野などの言
語野での脳活動を確認した．そしてこれらの結果のみならず，同一部位の遷移の繰り返しなど，先行研究よりも詳細な脳活動を得た．
本研究で得られた同一部位での遷移の繰り返しの傾向は，時間分解能に優位な EEG 計測および空間分解能に優位な ECDL 法によって得られたものであり，本研究で適用した手法がヒトの高次脳活動を解析する上で有効な手法であると考えられる．

連絡先
ジャパンテクニカルソフトウェア
豊島 恒(Tel:011-737-9131,E-mail:toyoshima@jtsnet.co.jp)

北海学園大学山ノ井 髙洋(Tel:011-841-1161,E-mail:yamanoi@eli.hokkai-s-u.ac.jp)

92

第21回ソフトサイエンス・ワークショップ（平成23年3月19－20日，北海学園大学

豊平キャンパス）

中年群および青年群、高齢者群の生涯発達過程における自立関連度認知Recognition Concerning Independence Level in Life-Span Development in Middle-age,
Young Person and Elderly Groups
奥田裕紀
Hiroki Okuda
金城大学
Kinjo University
Abstract: In this investigation, subjects of young person, middle-aged and elderly group were asked
to evaluate the degree of relation between the independence level of 1-80 year old and 5 estimation
item groups. In the 3 groups, the degree of relation between the independence level of 1-80 year old
and 5 estimation item groups were changed by various patterns. Some different types, such asincrease-decease, increase-constancy, decrease-increase and unspecified type were shown inevaluation patterns of the 3 groups. In the 3 groups, the appearance ratio of increase-decrease type
was the highest among 4 types. The appearance ratio of increase-decrease and increase-constancy
type in the middle-aged group was the lowest of the 3 groups. The appearance ratio of
decrease-increase type and unspecified type in the middle-aged group was the highest of 3 groups.
The difference of the appearance ratio of each type between 3 groups was statistically significant(p<0.01). Difference of recognition of the developmental change and independence level between 3
groups and difference of research method are discussed.

１. はじめに自立とは何であるか（どのような状況なのか）については様々な考え方があり、研究者や政府関係機関など各々の立場により、またどのような人達の“自立”を問題とするかによって多様な定義が存在し、共通的に認められたものはないとされる。
例えば、「青少年育成施策大綱」（平成15年 内閣府）では、青少年の“自立”には、“就業による経済的自立”に限定せず、“親からの精神的独立”、“社会に関心を持ち公共に参画する”など，多様な要素を含むものとされている。一方、介護保険法でいう“自立（非該当）”とは、要介護にも要支援にも含まれない状態のことであり、介助が必要ないと判定されたものである。
従来の自立に関する研究では、それぞれの研究者などの自立の定義に従って、様々な人達の自立にどのような事項・要因が関与しているかを研究しているものが多く、幅広い年齢の人達の自立関連事項・要因を比較することを困難にしていた。
奥田（2010）は、自立に関連していると思う程度を評定する対象となる評定項目群や、評定方法などを統一して、1 歳〜80 歳までの評定対象年齢ごとに区分して、5 評定項目群が自立に関連すると思う程度（自立関連度）の評定を求め検討を行った[1]。
しかし、奥田（2010）では、青年群および高齢者群のみに評定を求めていたために、この間の年齢の人達に関する情報は得られていなかった。そこで本研究では、奥田(2010)と同様な方法で、中93年群に対して自立関連度などに関する評定を求め、他群との比較を行うこととした。

２. 方

法

(1) 研究協力者
研究協力者は、中年群（40〜49 歳）61 名、青年群（18〜22 歳）59 名、高齢者群（60 歳以上）56 名であった。
(2) 手続き
① 自立関連度の評定
各研究協力者に対して、5 評定項目群（運動、
新規・操作、コミュニケーション、社会的ルール、生活の 5 群、各評定項目群には 4 項目が含まれており、計 20 項目であった）が、1 歳、3 歳、5 歳、10 歳、20 歳、40 歳、60 歳、80 歳の人達の自立に関連していると思う程度を、個別の無段階スケー
ルを用いて評定することを求めた。
② その他の評定奥田（2010）の結果と比較するために、自立関連度の評定に先立って、5 評定項目群に関して、1〜80 歳の人達が、他者の援助や、補助器具、特別な環境の整備などがなくても、自分でうまくできると思う程度、各評定対象年齢の人達が自立していると思う程度などについても評定を求めたが、これらの評定の結果などについては、本論文では
省略する。

３.

結果と考察

(1)各評定項目群の自立関連度の変化

図 1、2、3 に示したように、中年群においても、
青年群、高齢者群と同様、評定対象年齢により自立関連度の平均評定値は変化し、一定ではないことが示された。この結果から、中年群においても他群と同様、多くの人達は 5 評定項目群の自立関連度は、評定対象者の年齢により変化すると認知していることが示唆された。実際、評定者の中には、評定対象年齢が変わっても（あるいは評定項目群によって）評定値をあまり変化させない人も含まれてはいたが、その比率は高くはなかった(10％以下であった)。
また、中年群においても青年群、中年群と同じ
く、評定対象年齢による評定平均値の変動が比較的小さく、全体がフラットになる評定項目群（例
えば、運動評定項目群）と、評定対象年齢による評定平均値の変動が比較的大きい評定項目群（例
えば、生活評定項目群）があり、各評定項目群により、評定対象年齢による自立関連度の平均値の変化パターンは同一ではなく、評定対象年齢による評定平均値の変動の大きさも、評定項目群により異なることが示された。
中年群においても他群と同様に、生活評定項目
群における評定対象年齢による評定平均値の変動が 5 評定項目群の中で最も大きかった。一方、
図 1 に示したように、評定対象年齢による自立関連度の評定平均値の変動が、比較的少なかった運動評定項目群では、評定項目群に含まれる評定項目に関して自分で上手くできる程度の評定平均値が高まる年齢（20 歳、40 歳）でも、自立関連度の評定平均値は 0.8 以下であった。しかし、運動評定項目群では、低年齢期や、高齢期でも自立
関連度の低下は比較的少なかった。

図1

中年群における 1〜80 歳に関する各評定項
目群の自立関連度の評定平均値

94

図2

青年群における 1〜80 歳に関する各評定項
目群の自立関連度の評定平均値

図3

高齢者群における 1〜80 歳に関する各評定
項目群の自立関連度の評定平均値(2)各評定対象年齢に関する評定値の変化パター
ンの出現比率中年群、青年群、高齢者群における各評定者の評定対象年齢による評定値の変化パターンを、増加減少型（ある年齢までは評定値が高くなり、その後低下するパターン）、増加一定型（ある年齢までは、評定値が高くなりその後あまり変化しな
いパターン）、減少増加型（ある年齢までは評定値が低下し、その後高まるパターン）、その他（のパターン）に区分した場合、3 群間の各型（パターン）の出現比率は、有意に異なっていた（p＜0.05、図 4 参照）。
中年群においても青年群、高齢者群と同様、最も出現比率が高かったのは増加減少型であった。
しかし、中年群における増加減少型の出現比率は、3 群の中で最も低かった。また、中年群における増加一定型の出現比率も、3 群の中で最も低かった。
一方、中年群における減少増加型、その他（のパターン）の出現比率は 3 群の中で最も高かった。
このように、中年群では他の群に比較して、減少増加型や、その他（のパターン）の評定が示される比率が高かった。
この結果は、減少増加型は、自立度はその人の最も苦手なこと、機能・能力の低いことにより大きな影響を受ける（最も機能の低い領域でカットオフされる）というような評定者の認知から示されたものなのか、評定対象・方法の誤解などから示されたのかという問題（奥田，2010）に、1 つの情報を提供すると思われる。
中年群には、子育て中か子育てを終わって間もない時期の人達で、こどもの発達過程を身近に経験し、発達過程に関する記憶もあまり薄れていない人達が、数多く含まれていたものと思われる。
このような中年群において、増加減少型、増加一定型の出現率が低下し、減少増加型、その他（のパターン）が増加したことは、減少増加型のような評定が、評定対象の理解不足や誤解などに基づ
くものではなく、その人なりの発達過程や自立に関する認知から行われたものである可能性を高めるものとも考えられよう。

図４

中年群、青年群、高齢者群における自立関連度の評定変化型別の出現比率(3) 各群の自立に関する認知の多様性
奥田（2010）における青年群と高齢者群の比較
では、高齢者群の方が増加減少型の出現比率が高く、他の型の出現比率が低かった。このことから、
青年群の方が自立に関する認知が多様である可能性が考えられた。しかし、青年群は全員が社会福祉学部の学生であったことから、評定者の年齢ではなく、社会福祉に関する様々な学習・経験な
どが、自立に関する認知の多様性の要因となった可能性も否定できなかった。
本研究の結果、中年群では、青年群、高齢者群に比較して、増加減少型、増加一定型の出現頻度が低く、減少増加型、その他（のパターン）の出現比率は 3 群の中で最も高かった。本研究において、中年群の方が青年群よりも、自立関連度に関95する評定パターンの多様性が高まったことから、3 群間に見られた各型の出現比率の差異は、福祉に関する学習等の影響ではなく、年齢による差異である可能性が高まったと考えられよう。
(4) 認知の多様性と研究方法の影響
本研究において、自立関連度の評定に先立って行った。各項目がうまくできると思う程度に関する評定は、多くの場合 20 歳または 40 歳までは徐々に評定値が高まり、その後次第に低下するというパターン（増加減少パターン）を示していた。
このため自立関連度の評定の際に、これらの評定の区分が適切に行えなかった可能性、先行評定の影響を受けた可能性には留意が必要であろう。特にこのような評定課題にあまり慣れていないと思われる高齢者群で、先行評定の影響が強く現れたことは、このような可能性を高めるものとも考えられる。
また、奥田（2010）でも指摘したように、研究者が、評定対象年齢ごとに自立関連度を評定するよう求められたために、評定対象年齢ごとに異なった評定を行った可能性にも留意が必要であろう（年齢ごとに評定を求めることにより、評定者
は年齢により変化する評定を期待されていると受け取ったり、自立関連度は、年齢により変化するものと決め付けたりする可能性があろう）。
(5) 自立関連度に関するその他の研究との関連
三野ら（2004）は、小学生、中学生、高校生、大学生を調査対象者として日常生活の“自立度”
に関する質問紙調査を行った[2]。この調査においては、一人暮らしをするための家事能力を高める
ことが、“自立”につながると考えられている。
この調査の結果では、各種の家事能力は、中学生、高校生、大学生と年齢が高まるにつれて向上し、この調査で定義される“自立”の程度、すなわち“一人暮らしをするための家事能力”に関する自信も高まっている。
家事能力は、本研究における 5 評定項目群（20項目）のうち、生活評定項目群（家事をする）、
運動評定項目群（食事をする、細かい作業をする）などとの関連が深いと思われる。また、家事作業を可能にする基礎として、新規・操作評定項目群（他人の顔・名前をおぼえる、新しい電化製品を使う）、コミュニケーション評定項目群（ことばを話す、文字の読み書き、他人の表情・身振りを理解する、他人の気持を理解する）、社会的ルー
ル評定項目群（あいさつをする、規則・ルールを守る）なども関連していると思われる。
一方、本研究においては、10 歳の生活評定項目
群の自立関連度は、3 群とも 5 評定項目群の中で最も低くなっていた。この結果は、生活評定項目
群には、“家事をする”の他に“仕事をする”、

“生活費をかせぐ”が含まれていたことが影響していると思われる。
松本ら（2005）は、高齢者の多い病棟に勤務す
る看護師を調査対象として、自由記述による調査を行った[3]。記述は、“自立イメージ”（一般的に高齢者をイメージするとき自立していると思う内容）、“自立”に関する看護計画、情報収集時における“自立”などの領域について求められた。
ま た 、 記 述は そ の 内 容に よ り 、 日常 生 活 動 作（ADL）、意欲、意思表示、一人暮らしなどの 14
項目と、その他に区分された。
“自立イメージ”に関しては、日常生活動作に関する回答比率が最高で約 40％と、第 2 位の意欲の 2 倍以上であった。全調査領域を合わせた場合には、日常生活動作に関する回答比率は、全体の約 49％を占め、第 2 位の意欲の 4.8 倍以上と圧倒的に高かった。この研究では、高齢者と接することの多い看護師を調査対象者として調査を行っているため、評定者のサンプリング方法などに大きな偏りがあり、結論の一般化は限定的に行う必要があることに留意しなければならないが、“高齢者の自立”とは日常生活動作の能力であるという認知が強く示されている。
日常生活動作については、本研究の 5 評定項目
群のうち運動評定項目群（歩く、食事をする、細かい作業をする）や、生活評定項目群（家事をするの一部）との関連が深いと思われる。
図 1〜3 に示したように、本研究の結果では、
中年群、青年群、高齢者群とも、各群の評定平均
値を見ると、60 歳、80 歳の人達の運動評定項目
群の自立関連度の評定平均値が最高値となるということはなかった。松本ら（2005）の調査では、評定者の多くは“入院治療を必要とする高齢者”
を想定することが多かったと思われる。一方、本研究の結果は、高齢であっても健康で在宅で生活している人達を含む（と思われる）自立関連度の評定である点が異なっており、このような結果の相違の要因となったことが考えられる。
また、本研究は、幅広い年齢の対象者の自立を問題としており、高齢者に限定した研究ではないことや、無段階スケールを用いた評定を求めたことなど、研究方法の相違も影響した可能性が考えられよう。
多様な定義による“自立”によって示される年
齢ごとの自立関連度の変化と、ある集団から得られたデータを比較するためには、評定項目群ごとにまとめた自立関連度ではなく、単一項目ごとの自立関連度の評定を求めることが必要になる。
また、各種の定義に合致させるためには、本研究で提示した以外の項目や評定対象年齢について研究することも必要になる。しかし、そのような方法を用いた場合、研究協力者が多数必要であったり、各研究協力者の負担が非常に大きくなっ96たりなどの問題が生じるであろう。
(6) 今後の課題
本研究では、中年群、青年群、高齢者群について、評定対象年齢ごとに区分した自立関連度評定の比較を行ったが、各評定者の評定パターンの差
異の要因に関して、直接的な情報を得ることはできなかった。この問題を検討するための情報を得る方法の一つは、評定者による（そのような評定を行った理由に関する）内省報告を得ることであろう。
ただし、このような内省報告は、評定者にとって容易なものではないと思われ、正確な報告が得られない可能性も考えられる。また、内省報告を求めることによって、評定過程に対する注意あるいはアテンションを高め、そのことによって評定過程そのものに影響を与えてしまう可能性もあろう。

４. 参考文献[1]

奥田裕紀 青年と高齢者における自立関連度の認知 第 26 回ファジイシステムシンポジ
ウム講演論文集 WA3-1, pp.1-4, 2010[2] 三野たまき，霜田里美，塩入純子，大熊恵
美子 日常生活における自立意識調査 ‐長
野県北信地方の小学校・中学校・高等学校・大学における実態調査‐ 信州大学 教育
学部紀要 114, pp.25-35, 2005
[3]

松本啓子，松井優子，池田敏子，羽井佐米子，清田玲子，高田三千代，赤木節子 看
護職の考える高齢者の自立に関する意識調査‐自立イメージと実践事例に基づいた自立援助の計画から- 川崎医療福祉学会誌，14,
pp.277-285, 2005

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