日本包装学会誌 Vol.20 No.1（2011）

一般論文～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

尖度を考慮した非ガウス型ランダム振動生成法
細 山亮＊、中 嶋隆 勝＊

The Method of Generating Non-gaussian Random Vibration
Using Kurtosis
Akira HOSOYAMA* and Takamasa NAKAJIMA *現状の振動試験は、与えられたパワースペクトル密度に従って振動が生成され、その振動の確率密度分布は常にガウス分布（ガウス型ランダム振動）となる。しかしながら、実際の輸送振動は非ガウス分布（非ガウス型ランダム振動）となる場合が多いため、振動試験と実際の輸送では確率密度分布が異なり、振動試験の試験精度が十分に高いとは言い難い。そこで、本研究では、振動試験の試験精度向上を目的として、尖度を考慮した地震動再現手法に基づく非ガウス型ランダム振動生成法を提案した。さらに、非ガウス型ランダム振動を生成する際のパラメータである群遅延時間の標準偏差と尖度との関係についても明らかにし、実輸送時の振動加速度から得られる尖度を持つ非ガウス型ランダム振動が生成できることを示した。非ガウス型ランダム振動試験を実施することにより、試験精度の向上、輸送トラブルの減少、および過剰包装の適正化が期待できる。

On the current vibration testing, vibration was generated by the power spectral density based on theactual transportation vibration. The probability density function of the acceleration generated by thevibration testing machine is different from that of the actual transportation vibration. The former
probability density function is always gaussian, and the latter is usually non-gaussian. So, the accuracy ofthe current vibration testing is not high enough. In this research, we proposed the method of generating
non-gaussian random vibration using kurtosis in order to improve vibration testing accuracy.
Furthermore, we made clear the relationship between kurtosis and the standard deviation of group delay
time which is the parameter when we generate non-gaussian random vibration. And we showed that it ispossible to generate the non-gaussian random vibration with the kurtosis calculated from the actual
transportation vibration. It is expected to improve the vibration testing accuracy, decrease the transport
troubles, and optimize the transport packaging by non-gaussian random vibration testing.
キーワード：包装、輸送、振動試験、加速度、非ガウス分布、尖度
Keywords : Packaging, Transportation, Vibration Test,Acceleration, Non-Gaussian Distribution,Kurtosis＊大阪府立産業技術総合研究所 〒594-1157 大阪府和泉市あゆみ野 2-7-1 TEL:0725-51-2703
Technology Research Institute of Osaka Prefecture, 2-7-1, Ayumino, Izumi, Osaka 594-1157, Japan－ 27－

尖度を考慮した非ガウス型ランダム振動生成法

１． 緒言

案する。

製品を安全に輸送するために製品には包装２． 尖度を考慮した非ガウス型ランダム振動生成法が施され、包装貨物の安全性を事前に確認するために振動試験が実施される。しかし、振動試験を行ったにもかかわらず、実際に輸送加速度波形をそのまま再現させることなく、を行うと製品が損傷している場合があり、現ランダム振動を再現するためには、PSD と位状の振動試験が現場で起こる損傷を十分に再相を与える必要がある。現状の振動試験では、現しているとは言い難い。その理由として、

PSD に関しては実輸送を考慮して決められる振動試験と実輸送とでは振動加速度の確率密が、位相に関しては特に実輸送を考慮するこ度分布が異なること、すなわち、振動試験でとなく、乱数を用いて値が与えられているだ

は確率密度分布は常にガウス分布となるが、けである。そのため、現状の振動試験では、実輸送時には非ガウス分布となる場合があガウス分布以外の確率密度分布を持つ加速度

る 1)ことが挙げられる。

を発生させることができない。一方、実際の2)や輸送中に発生する加速度に目を向けると、確

Smallwood3) 、Steinwolf4)は、非ガウス型ラン率密度分布が非ガウス分布となる場合があダム振動を生成する方法を提案している。こる 1)。

このような課題に対して、Rouillard

れにより、非ガウス型ランダム振動が生成でそこで、振動試験機が実輸送時の振動特性きるようになったが、(i)発生させた振動の確をより忠実に再現できるように、非ガウス型率密度分布が実輸送の確率密度分布と一致しランダム振動生成法を提案する。具体的には、ない場合がある、(ii)振動を生成するときにパ非ガウス型ランダム振動を生成するための新ワースペクトル密度（以下、PSD と略す）がしい位相設定法を構築する。

変化してしまう、(iii)技術的に振動制御システムに組み込むことが困難であるといった問題

2.1 非ガウス分布の定量化点があり、決定的な方法は確立されていないのが現状である。

非ガウス分布を定量化するために、尖度（Kurtosis）と呼ばれる統計量を用いる。尖度

そこで、本研究では、確率密度分布の非ガK は以下の式で表わされる 4)。

ウス性を表す統計量である尖度を導入し、(i)発生させた振動の尖度を実輸送と一致させることができ、(ii)振動を生成したときに PSDが変化せず、(iii)振動制御システムに実装容易な新しい非ガウス型ランダム振動生成法を提－ 28 －

1 N
∑ (( xi − m) 4 )
i =1
N
K=1 N
( ∑ (( xi − m) 2 )) 2
N i =1(1)ここで、 xi は加速度、 m は加速度の平均、

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N はデータ数を表す。上式より加速度がガウが展開されてきた 5)。その中で、位相を周波ス分布の場合は尖度は 3 となるが、非ガウス数で微分した位相の傾きが波形の包絡線に影分布の場合は尖度は 3 以外の値となる。特に、響を及ぼすことが示されている。ここで、位尖度が 3 より大きくなれば、ガウス分布の場合と比べて大きな加速度の発生割合が高くなる。

相の傾きを t gr (ω ) 、角振動数を ω 、位相を φとおくと、位相の傾きは以下の式で表される。

t gr (ω ) =2.2 ガウス型ランダム振動生成法
ランダム振動の時刻歴波形 x(t ) は、フーリエ級数の和を用いて次式で表される 4)。

k =1(3)

この位相の傾きは群遅延時間とも呼ばれ、この値の分布が平均 m 、標準偏差 σ の正規分
布 に従うとすると、平均 m が時刻歴波形のLx(t ) = ∑ Ak cos(2πk∆f t + φ k )dφ (ω )dω(2)Ak = 2∆f S (k∆f )重心位置を、標準偏差 σ が波形の広がりを表す 6)。すなわち、平均 m が波形の最大値を表す時刻位置を示し、標準偏差 σ が大きくなる

ここで、 S ( k∆f ) は PSD、φk は k 次成分のほど、振動波形が時間軸方向に広がり、標準位相、 ∆f は周波数分解能、 L はデータ数を偏差 σ が小さくなるほど、振動波形が加速度表す。

方向に広がるようになる。また、平均 m の変

このとき、ランダム振動を発生させるため化は、波形の最大値を時間軸方向に平行移動には、PSD と位相を与える必要がある。しかさせるだけであるので、波形の包絡形状にはし、JIS や ASTM などの規格をみると、PSD影響を与えない。そのため、尖度を任意の値については値が規定されているのに対し、位に設定した非ガウス型ランダム振動を生成す相についてはなんら規定がされていない。そるためには、群遅延時間 t gr (ω ) の標準偏差 σのため、位相については 0～2πまでの値が一をパラメータとして変化させればよい。
ここで、k 次成分の位相 φk は式(3)より、次様乱数で与えられ、振動加速度の確率密度分布は常にガウス分布となっている。しかしな式で表すことができる。

がら、実際の輸送ではガウス分布とならない

φ k = φ k −1 + t gr (ω k )dω(4)ことが多いため、振動試験と実輸送では振動ただし、初期位相 φ 0 は 0～2πの一様乱数

加速度の確率密度分布はかけ離れたものになから与えられる。式(4)から得られた位相をラっている。

ンダム振動の時刻歴波形を表す式(2)に代入することで、非ガウス型の時刻歴波形を得る

2.3 非ガウス型ランダム振動生成法
これまで、耐震工学の分野において、地震ことができる。

動を再現する方法として位相に着目した研究－ 29－

尖度を考慮した非ガウス型ランダム振動生成法

３． 結果と考察

タ数を 1024 とし、これを 100 フレーム生成し3.1 数値例て繋ぎ合わせ、合計 102400 点の時刻歴データ

Fig.1 に示す PSD（JIS Z 0232:2004）を用いとした。非ガウス型ランダム振動の生成におて、従来法によりガウス型、提案手法によりいて、ガウス型と非ガウス型の差が明確に現非ガウス型のランダム振動波形を生成した。

れるような値として、標準偏差 を 200 と設定

その結果を Fig.2、Fig.3 に示す。ガウス型、した。また、群遅延時間の平均値については、非ガウス型ともに、1 フレームあたりのデー1 フレームの波形の中央に波形の最大値が来1102 3PSD(m /s )2Acceleration(m/s )40010-110-210310Freqency(Hz)100200-20-40
0200

Fig.1 Acceleration PSD(JIS Z 0232:2004)

2468Time history data104x 10Fig.3 Non-gaussian random vibration

2Acceleration(m/s )40
200-20-4002468Time history data104x 10

Probability density function(Kurtosis=4.46)

10-1

10-210-310-410-5

Conventional (Kurtosis=2.97)
Proposed (Kurtosis=4.46)-610-40-20020Acceleration(m/s2)

40Fig.2 Gaussian random vibration

Fig.4 Relation of probability density function(Kurtosis=2.97)

between proposed and conventional method

Table1 Kurtosis obtained by conventional method and proposed method
Kurtosis

Probability Density Distribution

Parameter

Conventional Method

2.97

Gaussian－Proposed Method

4.46

Non-Gaussian－ 30 －

m=512
σ=200日本包装学会誌 Vol.20 No.1（2011）

るように 512 と設定した。Fig.4 に両者の確率確率密度分布を目標にして波形を再現させる密度分布を比較したグラフを示す。また、ことは行われていない。そこで、確率密度分

Table1 に従来法と提案手法により得られた布に着目し、非ガウス性を表す統計量である加速度の尖度を示す。

尖度を目標として振動波形を再現させるため提案手法と従来法との唯一の違いは、位相に、標準偏差と尖度の関係を明らかにする。の設定方法であり、PSD についてはいかなるそして、目標の尖度を持つ非ガウス型ランダ処理も施していないため、提案手法、従来法ム振動を生成できることを示す。

ともに得られる PSD は等しくなる。一方、標準偏差と尖度の関係を調べるために、Fig.4 の確率密度分布を見ると、従来法は常にFig.1 の PSD を用いて振動波形を生成した。

ガウス分布となるのに対し、提案手法では、このとき生成した時刻歴データは、前節と同従来法のガウス分布と比べて分布の裾野が広様、1 フレームあたりのデータ数を 1024 とし、くなっており、大きな加速度の発生割合が高これを 100 フレーム生成したものを繋ぎ合せくなっているのが見て取れる。

た合計 102400 点とした。そして、この時刻歴次に、従来法、および提案手法によって得データに対して、尖度を求めた。この操作をられた波形について比較を行う。今回、ラン10 回繰り返して得られた尖度のデータ 10 個ダム振動を生成するために用いた PSD は、JISに対して、平均値を求め、最終的な尖度の値Z 0232 に記載されているものであり、RMSとした。なお、標準偏差は、110 から 400 ま

2値は 5.8m/s である。いま、振動加速度の確率での値に設定し、平均値は先程と同様、512密度分布がガウス分布に従うとすると、加速と設定した。Fig.5 に得られた尖度と標準偏差2度が RMS 値の 3 倍である 17.4m/s までに入の関係を示す。

る確率は 99.7%となる。Fig.2 の波形を見ると、
2Fig.5 のグラフを見ると、標準偏差の値を大20m/s 以内にほとんどの振動が収まっており、きくすれば、尖度は 3 に近づいていくこと、

また RMS 値の 4 倍を超えるような加速度はすなわち、ガウス型ランダム振動が得られる発生しておらず、ほぼガウス分布に従っていことがわかる。一方、標準偏差の値を小さくることがわかる。これに対し、Fig.3 の波形では、RMS 値の 4 倍を超える加速度が多く見られ、ガウス分布に比べて大きな加速度の割合が高い分布となっていることがわかる。
3.2 尖度と標準偏差の関係
位相に着目することにより波形を制御する手法は、耐震工学の分野において発展を遂げてきた。その中で振動波形を生成する際、加速度応答スペクトルや振動波形の包絡線に適合するように再現させることはあった 5)が、

－ 31－

Fig.5 Relationship between kurtosis andstandard deviation

尖度を考慮した非ガウス型ランダム振動生成法

していくと、尖度の値が大きくなっていくこ得られているが、Fig.5 のグラフを見ることで、とがわかる。また、Fig.5 のグラフから、所望標準偏差を 200 に設定した場合に、尖度の値の尖度を持つランダム振動を得るために設定が約 4.5 になることを予想することができる。

すべき標準偏差の値を、読み取ることができ

以上のように、尖度と標準偏差の関係を用る。ここで、前節において標準偏差を 200 にいることで、任意の尖度を持つ非ガウス型ラ設定した場合に尖度が 4.46 のランダム振動がンダム振動を生成することが可能となる。

40Acceleration(m/s2)

Acceleration(m/s2)

40200-20-4002468Time history data

200-20-400104x 10(a) Polynomial transformation method

2468Time history data104x 10(b) Proposed method

101101010010-110-2

10PSD(m2/s3)

PSD(m2/s3)

Fig.6 Comparison of Acceleration by polynomial transformation method and proposed method-110-210310Freqency(Hz)1002003(a) Polynomial transformation method

10Freqency(Hz)100200(b) Proposed method

Fig.7 Comparison of PSD by polynomial transformation method and proposed method
Table2 Kurtosis and skewness obtained bypolynomial transformation method and proposed method
Kurtosis

Skewness

Polynomial Transformation Method

3.99-0.05

Proposed Method

3.99

0.09－ 32 －日本包装学会誌 Vol.20 No.1（2011）

3.3 多項式変換による方法と提案手法の比較振動を生成する際、PSD に歪みが生じると制1)

では、ガウス型と非ガウス型ランダ御が困難になるという問題点があるが、本手ム振動における蓄積疲労の評価を行った。そ法では、原理的に PSD に歪みが生じることはこで非ガウス型ランダム振動を生成する際、ない。そのため、現在のランダム振動制御シ前報7)

Winterstein の多項式変換による方法を用いステムにも実装が容易な手法であると言える。

た。しかしながら、多項式変換による方法では非ガウス型ランダム振動を生成する際に４． 結論

PSD が変化してしまい、PSD を制御することが困難であるという問題点があった。そこで、本研究では、地震動再現手法に基づいて、本研究で提案している手法の有効性を示すた

尖度を考慮した非ガウス型ランダム振動生成

めに、提案手法と多項式変換による方法、そ方法を提案した。

れぞれにより非ガウス型ランダム振動を生成

以下得られた結果を示す。

し、両者の PSD について比較を行う。

(1) 群遅延時間に基づいて位相を設定す

ここでは、尖度を 4、歪度を 0 に設定し、ることにより、非ガウス型ランダム振Fig.1 の PSD を用いて振動を生成した。先程動が生成できることを示した。と同様、１フレームあたりのデータ数を 1024(2) 尖度と標準偏差の関係から、標準偏差とし、これを 100 フレーム生成して繋ぎ合わが小さくなると尖度が高くなり、標準せ、合計 102400 点の時刻歴データとした。提偏差が大きくなると尖度の値が 3 に収案手法において、先程と同様に群遅延時間の束していくことがわかった。

平均値を 512 と設定し、標準偏差に関しては、(3) 本手法により生成した振動の尖度をFig.5 より尖度が 4 になるときの値を読み、実輸送時の振動加速度から得られる220 と設定した。また、PSD の算出において尖度と一致させることで、試験精度のは、各フレーム毎に PSD を算出し、得られた大きな向上が見込まれる。

100 フレーム分の PSD について平均を求め、最終的な PSD とした。

今後は、振動試験のさらなる再現精度向上のために、尖度だけでなく歪度も考慮した振動試

Fig.6 に多項式変換による方法と提案手法

験方法について研究を進めていく予定である。

による方法により得られた振動波形を、Fig.7に PSD を示す。また、Table2 に多項式変換

５． 謝辞による方法と提案手法により得られた加速度本研究を遂行するにあたり、多大な御指導の尖度と歪度を示す。
Fig.7 (a)の PSD を見ると、振動を生成するを賜りました神戸大学大学院・斎藤勝彦教授

際に設定した Fig.1 の PSD と比べて歪みが生に甚大なる謝意を表します。また、本研究のじていることがわかる。一方、Fig.7(b)では、一部は、JST 地域イノベーション創出総合支

Fig.1 と全く同じ PSD が得られており、PSD

援事業、平成 20 年度シーズ発掘試験「振動破の歪みが生じていない。非ガウス型ランダム損事故の防止に役立つ非ガウス型ランダム振－ 33－

尖度を考慮した非ガウス型ランダム振動生成法動試験機の開発」の援助のもとに実施しました。本援助に深く謝意を表します。

＜参考文献＞
1)

細山亮、中嶋隆勝、日本包装学会誌、
19(2)、113-121(2010)

2)

V.Rouillard and M.A.SEK, Packaging
Technology and Science, 13, 149-156(2000)

3)

DavidO.

Smallwood,Sound

andVibration, October, 18-24(2005)
4)

A.Steinwolf, Probabilistic Engineer-ing
Mechanics, 14, 289-299 (1999)

5)

理論地震動研究会編、"地震動 その合成と波形処理"、鹿島出版会、19946)

和泉正哲、勝倉裕、日本建築学会論文
報告集、第 327 号、20-27(1983)

7)

S.R.Winterstein, Journal of Engineering
Mechanics, ASCE, 114(10), 1772 -1790(1988)（原稿受付 2010 年 10 月 8 日）
（審査受理 2010 年 11 月 17 日）－ 34 －