エネルギー環境論
担当教官：谷本 潤 教授

第５回講義

経済性評価２

効用（Utility）
人が判断する価値，評価のこと．
（１）順序効用（Ordinal Utility）
価値が順序だけで表される．
A：あけみ B:ベティー C:キャッシー に対する好悪Af B∧ BfC⇒ Af BfC

f :つつき（選好強さを表す）（２）基数効用（Cardinal Utility）
選好順序を実数で表現したもの．選好を量として表現する．

A f B f C ⇔ U ( A) > U (B ) > U (C )U( ・ )を効用関数（Utility Function）と云う．

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50万円しか持たない人にとって10万円は大金であるが，10億円の資産がある人にとって10万円は端金に過ぎない．
→効用の増加分は前者の方が大きい．
効用U(x)

１０万円

１０億円

金額

一般に効用は逓減する．これを「限界効用がある」と云う．
効用の逓減を表す効用関数として、logや√などがよく使われる．
効用関数は逓減する→効用関数の曲線形は上凸（ U(x)’’<0）．

効用を人間の感覚量として捉えると…
ウェーバー･フェヒナーの法則

ウェーバー･フェヒナーの法則
は人間の効用関数はlogで近似出来ることを示唆している

感覚量

Δ感覚量／Δ刺激量=k／刺激量
感覚量=log（刺激量）

00

刺激量

人の感覚は物理的刺激が増すと次第に逓減する

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期待効用仮説（Expected Utility Hypothesis）
くじαがあり，1等の商品はx1，その出現確率p1のように表記し，まとめて以下のように表す．
α＝［ x1, x2,…, xk; p1, p2,…, pk ］
このとき，人がこのくじを購入するか否かは，各結果の価値（すなわち効用）の期待値を基準に意志決定される（フォン･ノイマン＆モルゲンシュテルン）．これは以下で表される効用関数U( ・ )が存在することを示唆している．

U (α ) = p1U ( x1 ) + p2U ( x2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + pkU (xk )アレーのパラドクス
いま，以下の4種のくじがあるとする．
a1 ＝［ 10000円, 0円; 0.1 , 0.9 ］
a2 ＝［ 15000円, 0円; 0.09, 0.91 ］］
a3 ＝［ 10000円, 0円; 1 , 0
a4 ＝［ 15000円, 0円; 0.9 , 0.1 ］
経験的には a2 f a1 ∧ a3 f a4 なる選好．
U( 10000円 )=x， U( 15000円 )=yとおいて，期待効用仮説を適用すると，

a2 f a1 ⇔ 0.09 y > 0.1x
a3 f a4 ⇔ x > 0.9 y

不等式は相矛盾する．本来は以下の関係が正しい．

a3 f a4 ⇒ a1 f a23

リスクプレミアム
いま300万円の資金があり．ある会社の株式に投資するか否かを意志決定する場面を考える．上昇すれば株価は500万円，下落すれば100万円になることは分かっているが，昇騰，下落は五分五分であると云う．金利によるキャピタルゲインは考えない．あなただったらこの儲け話にのりますか？

1/2･500万円+1/2･100万円=300万円→期待値からは評価出来ない

効用逓減および期待効用仮説の出番になる！

U(100)

1/2･U(100)+ 1/2･U(500)

U(300)

中点連結定理U(500)

効用曲線が上凸であれば，必ずU(300) > 1/2･U(100)+1/2･U(500)となる．→この株式投資はハイリスクにつき控えるべきである．

100万円

確実同値額

300万円→現在額期待金額

500万円

x［万円］

（Certainty Equivalent, C.E.）と云う

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log 100log 500

いま効用関数を U(x)=log x としてみると，1/2･ log 100 +1/2･log 500= log (100･500）0.5

100万円

300万円

500万円

x［万円］

確実同値額 C.E.= (100･500）0.5 = 223.6万円

逆に云えば，現在期待金額と確実同値額（C.E.）との差額；
300-223.6=76万円を貰えばリスクと引き換えにこの投資に参加してもよい，と判断するだろう．

log 500

この差額ρのことをリスクプレミアムと云う．

リスクプレミアム

100万円

223.6万円

300万円

500万円

x［万円］

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よりリスキーとは？
Def:
2つの確率変数X,Y（ただしE(X)=E(Y)）に対し，XがYよりリスキーとは，上に凸な全ての関数Uに対して，E[U(X)]≦E[U(Y)]である．ただし， E(･)=は期待値を表す．

例題
20万8千円の2つの富くじX,Yはどちらがリスキーだろう？
X ＝［ 1万円,100万円 ; 0.8 , 0.2 ］
Y ＝［ 10万円,1090万円; 0.99, 0.01 ］
効用関数としては自然対数（底がeの対数=LN）logを用いる．
まず期待値を見てみよう．
E(X)=0.8･1+0.2･100=20.8万円
E(Y)=0.99･10+0.01･1090=20.8万円…期待値は同額である．
次は分散（=平均値まわりの2次モーメント）を見てみる．
V(X)= 0.8･(1-20.8)2+0.2･ (100-20.8)2 =1568.16
V(Y)= 0.99･(10-20.8)2+0.01･ (1090-20.8)2 =11547.36
よって標準偏差は（=√分散）それぞれ，39.6万円，107.5万円となる．
標準偏差だけで判断すると， Yの方がリスキーだと思ってしまう．

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｢リスキー｣の定義に則って，対数効用の期待値を見てみる．
E[U(X)] = 0.8･log 1+0.2･log 100 =0.92
E[U(Y)] = 0.99･log 10+0.01･log 1090 =2.35
よって定義により，富くじXの方がよりリスキーと判定される．

課題 （保険Insurance；リスクプレミアムの応用）
保険は中世欧州に地中海貿易の安全（破船や海賊による被害）への投資として確立された海上保険が原型とされている．

3000ドルの車体盗難保険をかけたい．保険料は年間30ドルで，盗難の確率は0.1%（年間の生起確率）であると云う．この保険はかけるべきか否か？もしかけるべきであれば保険料がいくらまでが許容範囲になるか？（逆にかけるべきでないのなら保険料がいくら以下なら加入すべきか？）
ただし，金銭xに対する効用関数は，（x≦0；損失の場合）
U(x)=-x2
U(x)=√x（x＞0；利得の場合）とせよ．

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まず期待金額で評価してみる．
加入の場合：
E(X)=0.001･(-30)+0.999･（-30）=-30ドル
非加入の場合：E(X)=0.001･(-3000)+0.999･(0)=-3ドル
これだけで見ると，加入しない方がよさそうだ．
本当か？期待効用で評価しないといけないのだ！

解答
効用の期待値で評価すると，加入の場合：E[U(X)] = 0.001･ U(-30) + 0.999･ U(-30) = U(-30) =-900ドル
非加入の場合：E[U(X)] = 0.001･ U(-3000) + 0.999･ U(0) = 0.001･ U(-3000)=-9000ドル
被害に見合う保険料の限界価格は，
U(-x) = -9000
を解いて，x = √9000=94.87［ドル］
完全保険（complete insurance）：契約者の損失が完全に保証される保険
保険学的公平：(プレミアム)/(補償額)=(生起確率)．これは，(プレミアム)×(契約者数)=(補償額)×(生起件数)なるレクシスの法則から導かれる．

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