社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

正弦波重畳モデルのパラメータ最適化アルゴリズムの導出
亀岡 弘和†

小野 順貴†

嵯峨山茂樹†† 東京大学大学院情報理工学系研究科
E-mail: †{kameoka,onono,sagayama}@hil.t.u-tokyo.ac.jp
あらまし 正弦波重畳モデル [1] は、McAulay らが分析合成系に適用し、高品質な合成音声を生成できることを示して以来、分析合成系に留まらず、テキスト音声合成、音響信号符号化圧縮などの用途としても用いられてきた。高品質な合成音声を生成できることは、正弦波重畳モデルが音声や楽音などの音響信号を極めて良く表現するモデルであることの根拠となっているため、音源分離への応用に対する期待も大きい。この枠組においては、正弦波重畳モデルのパラメータの推定精度があらゆる応用における性能に直結する。本章で提案する最適化アルゴリズムは、正弦波重畳モ
デルのパラメータを効果的に推定するためのものであり、補助関数を介した目的関数の非増加更新法の原理を基礎とする。この考え方は、EM アルゴリズムのヒントにその本質が何であるかを理解した上で明らかになったものである。
キーワード

正弦波重畳モデル, EM アルゴリズム, 補助関数, Gabor 変換

Parameter Optimization Algorithm for Sinusoidal Signal Model
Hirokazu KAMEOKA† , Nobutaka ONO† , and Shigeki SAGAYAMA†† Graduate School of Information Science and Technology, The University of Tokyo
E-mail: †{kameoka,onono,sagayama}@hil.t.u-tokyo.ac.jp
Abstract McAulay et al. used the sinusoidal model in a speech analysis and synthesis system and showed that
it is able to produce high-quality synthetic speech [1]. This result suggests that the sinusoidal model expresses well
the acoustic signals of speech. The performance of any application that uses the sinusoidal model depends criticallyon how accurate the model parameters can be estimated. This paper aims at presenting an efficient algorithm that
optimizes the parameters of the sinusoidal model, inspired by the idea of the EM algorithm.
Key words sinusoidal signal model, EM algorithm, auxiliary function, Gabor transform

1. 序

論

がいずれも定常であることを仮定した K 個の周波数成分を重畳した解析信号正弦波重畳モデル [1] は、McAulay らが分析合成系に適用し、高品質な合成音声を生成できることを示して以来、分析合

s(t) ,

成系に留まらず、テキスト音声合成、音声加工、符号化などの

K
X
k=1

Ak ejµk t , t ∈ (−∞, ∞)(1)

用途として広く用いられてきた。特に、高品質な合成音声を生である [1]。ただし、µk 、Ak はそれぞれ k 番目の正弦波成分の成できることは、正弦波重畳モデルが音声や楽音などの音響信

周波数、複素振幅を表す。短時間分析区間 t ∈ [−T, T ] におけ号を極めて良く表現するモデルであることの根拠となっている
ため、音源分離への応用に対する期待も大きい。一方、音声の自己相関関数を少数の正弦波の重ね合わせで表現しようとする
複合正弦波モデル [21] もまた良好な音声符号化方式として知られている。応用場面に依らずこの枠組 (正弦波重畳モデルを用いた信号分析) において共通するのは、いかにして正弦波重畳モデルのパラメータを精度良く推定するかが最も重要な問題となっている点であり、その推定精度があらゆる応用における性る対象信号の解析信号を ye(t) とするとき、ye(t) がye(t) = s(t) + ²(t), t ∈ [−T, T ]と表され、²(t) が Gauss 性白色雑音 ²(t) ∼ N (0, σ 2 I) であるという仮定のもとで Θ = {µk , ak , ϕk }1<
の最尤パラ
=k <
=K

メータを求めることが具体的な問題設定である。この場合、²(t) ∼ N (0, σ 2 I) であるため、Θ の最尤解は、L2 ノルム誤差を最小にする解能に直結する。

McAulay らが採用した正弦波重畳モデルは、周波数と振幅(2)b = argmin
Θ
Θ

Z ∞ °
³
´°2
°
°
°w(t) ye(t) − s(t) ° dt

(3)

−∞

—1—

に相当する。ただし、ここでは w(t) を t ∈ [−T, T ] においてµk の最尤解を得るのは上記の McAulay らのモデルの場合より

1、それ以外では 0 をとる矩形窓としている。式 (1) が示すよ

さらに難しくなる。例えば、上記のうちの前者のアプローチの

うに、正弦波重畳モデルは、Ak に関しては線形に依存するが、ように中にはピーク抽出後の処理により µk を推定する手法もµk に関しては非線形に依存するため、µk が固定の場合には Ak

提案されているが、抽出されたピークがどの調波信号の何番目の最尤解が解析的に得られることはただちに分かるが、Ak がの調波成分に対応するかを決定するための場当たり的な閾値判

固定であったとしても µk の最尤解は解析的に得られない。こ定に頼らざるを得なくなり、得られた µk の解の最尤性に関すの点が正弦波重畳モデルのパラメータ最適化における難しさのる議論が煩雑化する。そのため、このモデルを用いた従来の音本質であり、そのため、統計的信号処理の分野では µk の最尤源分離法では、後者のアプローチ (勾配法やサンプリング手法)解を得るための方法がこれまで長年に渡り数多く研究されていがとられることが多い [11]〜[13]。しかしながら、こういった

る [1]〜[14] 。

数値計算法には常に局所最適解の問題がつきまとう。勾配法のMcAulay らの手法では Θ = {µk , ak , ϕk }1<
の推定値を
=k <
=K

場合には収束に至るまでの反復計算を無数通りの初期点から行得るのに、対象信号の離散パワースペクトル密度 (ピリオドグ

わない限り、また、確率的サンプリング手法の場合には無数回ラム) が最大となるピーク成分の周波数と振幅と位相を決定し、の反復試行を行わない限り、式 (3) の大域的最適解を得られる

そのピーク成分を信号から減算する操作を K 回繰り返すとい保証はない。そのため、少ない計算量でいかに解探索を行える

う簡便な方法が用いられた [1]。単一正弦波のピリオドグラムのかが問題となる (計算量が少なく済むということはその分だけ最大値を与える周波数が最尤推定量であり、かつその推定量が多くの異なる初期値条件から解探索が行える) が、勾配法やサ

不遍推定量であるとする Rife らの指摘 [17]〜[19] が上記の周波ンプリング法のようないわば力任せな数値計算しか適用されて数推定法が式 (3) の近似解であることの正当性に対する 1 つのいないのが現状である。

根拠であると言えるが、(1) 離散的なピリオドグラムのピーク

以上のように、正弦波重畳モデルは音声や楽音を極めて良くが真の連続ピリオドグラムの最大値とは必ずしも対応しないこ表現するモデルであるにもかかわらず、そのパラメータ推定法と、(2) 周波数成分が複数ある場合には周波数成分間の干渉のに関しては議論する余地が残されていた。このような背景のもため上記理論が成立しなくなること、(3) 複数の周波数成分がと、正弦波重畳モデルの最尤パラメータを求めるための新しい

近接する場合にはエネルギー拡散のため各々のピークが正しく

最適化アルゴリズムを導出することが本稿の目的である。

検出できないことが起こり得ること、などを考慮するとこの単純な周波数推定法より高精度な推定法の開発が望まれることはごく自然な成り行きと言えるだろう。そうした中で、ピーク成

2. 正弦波重畳モデルと目的関数
まず、混合信号を次のような正弦波重畳モデル

分のパラメータを直接推定値として扱うのではなくピーク近傍の複数点を結ぶ補間曲線から極大点を求めてパラメータ推定の高精度化を試みたもの [4]〜[9] がその簡便さから近年特によく用いられているようだ。しかしながら、これらの手法は、上記

s(t) =

K
N
X
X
k=1 n=1

ek,n ejnµk t , t ∈ (−∞, ∞)A(5)でモデル化する。この中で未知パラメータは K 個の調波信号の (2) と (3) の問題は依然解決されておらず、McAulay らの方の基本周波数 µk 、n 次調波成分の複素振幅 Ak,n (すなわち、

法と同様、式 (3) の近似解を与えるに過ぎないため、その近似

ak,n = |Ak,n | は振幅、ϕk,n = arg(Ak,n ) は初期位相を表す。)

精度を向上するための零詰め量や窓関数の設計方法などが中心的な議論の対象である [8], [9]。一方で、式 (3) の解を最急降下法や Newton 法などの勾配法、あるいは Gibbs サンプラーやであり、これらをまとめて

©

©

ek,n
Θ = µk , A

ª

1<
=n<
=N

ª

(6)

1<
=k <
=K

マルコフ連鎖モンテカルロ (MCMC) 法などの確率的サンプリと表記する。ここで、考える問題は、観測混合信号 y(t) の t = 0

ング手法のような非線形最適化法により数値的に探索する方法

における最尤の瞬時特徴量 Θ を求めることであり、これは
Z ∞ °
³
´°2
°
°
Φ(Θ) ,(7)°w(t) y(t) − s(t) ° dtも提案されている [3], [10]〜[14]。
ところで、McAulay らのモデルが K 個の純音信号を混合し−∞たものであるのに対して、K 個の調波信号 (N 個の調波成分でを最小化する Θ に相当する。さて、窓関数 w(t) は、先に用い構成され、n 次調波成分の周波数が基本周波数 µk の n 倍であた矩形窓の代わりに、時刻 t = 0 を中心とした Gauss 窓るような信号) を重畳した解析信号

s(t) ,

K
N
X
X
k=1 n=1

Ak,n ejnµk t , t ∈ (−∞, ∞)2w(t) , e−dt , t ∈ (−∞, ∞)(4)も同様に考えることができる。このモデルは、対象の混合信号
が調波信号のみから構成されているような場合の 1ch 音源分離におけるモデルとしてしばしば用いられる [11]〜[15]。式 (4) において N = 1 としたとき、式 (1) と同じモデルを想定したこと(8)とすると、Φ(Θ) は周波数領域では Parseval の等式により、

°

°

K
N
Z ∞ °
°2
X
X
(ω−nµk )2°°4d
Φ(Θ) =
Ak,n e−°Y (ω) −° dω (9)−∞°k=1 n=1eA°であり、d は窓の拡がりを表と書ける。ただし、Ak,n = √k,n2d
す、分析条件によって決まる定数、Y (ω) は w(t)y(t) の Fourierになるため、McAulay らのモデルは式 (4) の特殊なケースと変換であり、すなわち、Gabor 変換による t = 0 における時間

見ることができる。しかしこのモデルでは、各正弦波の周波数

周波数分解成分を意味する。次章より、式 (9) を最小化するパがそれぞれ自由度をもたず nµk のような拘束関係をもつため、ラメータ最適化アルゴリズムを導出していく。

—2—

3. 2 Feder の補題 [20]3. 最適パラメータ推定アルゴリズム

式 (9) の補助関数は、Feder らが示唆した次のような補題 [20]によって作ることができる。

3. 1 補助関数を用いた目的関数の非増加更新法
本章が提案するパラメータ最適化アルゴリズムは、EM アル
ゴリズムからヒントを得て導かれた、補助関数を用いた目的関

補題 2. t ∈ (∞, ∞) においてある複素数値関数 mi (x) がI
X

数の非増加更新法の考え方を基礎とする。次節以降の定式化に向けた準備として、まず補助関数の定義を行ったのちに、補助i=1関数に関する補題を示す。
定義 1. パラメータ Θ = (Θ1 , · · · , ΘI ) に関して最小化したい

目的関数を Φ(Θ) とすると、¡ ¢¡Φ Θ 5 Φ+ Θ, m

¢

(10)

を 満 た す と き 、Φ+ (Θ, m) を 目 的 関 数 Φ(Θ) の 補 助 関 数 、

m = (m1 , · · · , mJ ) を補助変数と定義する。
補題 1. 目的関数を Φ(Θ)、Φ(Θ) の補助関数を Φ+ (Θ, m)、補助変数を m = (m1 , · · · , mJ ) とすると、補助関数の、補助変数に関する最小化と、パラメータ Θ1 , · · · , ΘI に関する最小化¡mb = argmin Φ+ Θ, mm

b 1 = argmin Φ
Θ

+

Θ1

..
.

..
.

ΘI

¡

¡
+

b I = argmin ΦΘ¢Θ1 , · · · , ΘI , m

(11)

¢

b 1, · · · , Θb I−1 , ΘI , mΘ

証明： 任意のパラメータを Θ

(17)

i=1

を満たすとき、

°

°

°
°2
°2
I Z °mi (x)y(x) − si (x)°
I
Z °
X
X
°
°
°y(x) −si (x)°dt° dt 5
°
βk,n
i=1

i=1

が成り立ち、

"

µ

¶#

X
1
mi (x) =si (x) + βi y(x) −si (x)
y(x)
I

i=1

(18)

P

のとき等号が成立する。ただし、βi は βi ∈ (0, 1),iを満たす任意の係数である。

βi = 1

証明： Lagrange 未定乗数法を用いた変分法により、不等式のまた、そのときの mi (x) を求める。そこでまず、不等式の右辺

¢

(12)

ならば、上記の一連の更新の反復計算は収束性が保証される。
(0)m∗i (x) = 1

右辺の mi (x) に関する最小値が左辺と等しくなることを示す。

を行うと、目的関数 Φ(Θ) は単調減少する。Φ(Θ) が下に有界とし、式 (11) と式 (12) により Φ(Θ) が単調減少することを示す。まず式 (11) により、

Φ(Θ(0) ) = Φ+ (Θ(0) , m)
b

(13)

b m)
Φ+ (Θ(0) , m)b = Φ+ (Θ,
b

(14)

b m)
b
Φ+ (Θ,b = Φ(Θ)(15)に条件 (17) のための Lagrange 未定乗数項を付加した汎関数

°2
I
Z ∞ °
X
°
°
1
°
J[m] ,mi (x)y(x) − si (x)°
°
° dt
βi −∞
i=1
Ã I
!
Z ∞
X ∗
−

δJ[m] =i=1

mi (x) − 1¶
I Z ∞ µ
X
∂J[m]
i=1

dt

(19)

−∞

δm∗i dt

∂m∗i

(20)
∂J[m]

と書かれるが、これが恒等的に 0 であるためには、 ∂m∗ = 0iである必要がある。よって、である。補助関数の定義 (10) より、b m)b
Φ(Θ(0) ) = Φ+ (Θ(0) , m)b = Φ+ (Θ,b = Φ(Θ)λ(x)−∞の極値を求めることとする。J[m] の m∗i (x) に関する変分は、であり、式 (12) の更新により明らかに

なので、

I
X

mi (x) =

³

´

∂J[m]
1
= y ∗ (x) mi (x)y(x) − si (x) − λ(x)
∂m∗
βi

(21)

を 0 とおくと、(16)である。以上より、各更新による目的関数の非増加が示された。
この目的関数更新法をある最適化問題に応用するにあたり、不等式 (10) の等号が成立するときの補助変数が解析的に求め³´°2 βi λ(x) + y ∗ (x)si (x)°y(x)°mi (x) = °

1

(22)

を得る。条件 (17) より、°°2

λ(x) = °y(x)° − y ∗ (x)IX

si (x)(23)

i=1

られるかどうか、補助関数を最小化するモデルパラメータが解である。これを式 (22) に代入すると、最終的に式 (18) を得る。

析的に求められるかどうかが鍵であり、そのようになるように

これを上不等式の右辺に代入すると、たしかに左辺と等しくな

うまく補助関数を設計することが重要である。ところで、これる。次に、この極値が最小解であるかどうかは、J[m] の m(x)までの章で議論してきた EM アルゴリズムは、この反復最適化に関する Hesse 行列 diag

法の原理の 1 つの例に相当する。

ることから示すことができる。

¡ ky(x)k2
β1, · · · , ky(x)k
βI

2

¢

が正定値であ—3—

3. 3 補助関数の設計
補題 2 より、βk,n ∈ (0, 1),(ω−nµk )2−
4d

Ak,n eい。そこで、µk の更新式に関する議論の前に、µk を固定した

Pk,nβk,n = 1 とし、Sk,n (ω) ,と置くと式 (9) に関して次のような不等式

Z ∞ °
°

°Y (ω) −Φ(Θ) =
°
−∞

K
N
X
X
k=1 n=1°2°
Sk,n (ω)°
° dω

βk,n

−∞

が成立し、等号は mk,n (ω)Y (ω) がSk,n (ω) + βk,nÃ

Y (ω) −K
N
X
X

Sk,n (ω)

k=1 n=1

k,n

Ak,n = √

K
N
Z ∞ °
°2
X
X
1
°
°
5
°mk,n (ω)Y (ω) − Sk,n (ω)° dω (24)k=1 n=1

状態での振幅 ak,n と位相 ϕk,n の更新式に関しては解析的に得∂Φ+ (Θ,m)= 0 を解くと、られることをひとまず確認しておく。 ∂A∗

1
2πd

Z ∞

e

(ω−nµk )2−
4d

Yk,n (ω)dω

(29)

−∞

を得る。振幅と位相は、それぞれ上で求まった Ak,n を用いて

¯

¯

¢

¡

ak,n = ¯Ak,n ¯、ϕk,n = arg Ak,n と書ける。なお、この極値が最小解かどうかは 2 階偏導関数が正であることから明らかである。次節では、指数関数の性質に着目し、それに基づき、µkの更新式を解析的に得るためのさらなる補助関数が作れること

!

を示す。

(25)

3. 4 凹関数の性質に基づく補助関数の設計
式 (28) において µk の更新式が解析的に得られない原因と(ω−nµk )2) である。ここで、4dのとき成立する。不等式 (24) の右辺を Φ+ (Θ, m) と置く。定なっているのは、非線形項 exp(−

義 1 より、Φ+ (Θ, m) は目的関数 Φ(Θ) の補助関数であり、我々が着目したのは、−e−x のような型の関数が微分可能な凹

mk,n (ω) は補助変数である。そして式 (25) は、補題 1 の式
(11)(補助変数の更新式) に相当する。

関数である点と、微分可能な凹関数に対して次のような定理が成り立つということである。

ところで、この不等式が意味するところは、混合信号と正
弦波重畳モデルの複素スペクトル領域の L2 ノルム誤差が、混合信号を分配フィルタ mk,n (ω) によって任意に分解した各

補題 3. 実関数 f (x) が微分可能な凹関数のとき、任意の点

α ∈ R において次の不等式が成り立つ。

成分 mk,n (ω)Y (ω) と各正弦波成分との L2 ノルム誤差の総和

f (x) 5 f (α) + (x − α)f 0 (α)

をとったものの最小値となっているということである。そし(30)て、式 (25) は、混合信号と正弦波重畳モデルとの間にある誤差を配分率 βk,n に応じて {k, n} 番目の正弦波成分に付加したものを mk,n (ω)Y (ω) とすることが、Y (ω) の最適な分解の仕方であることを表している。以後、表記の簡略化のため、

Yk,n (ω) , mk,n (ω)Y (ω) とする。
補題 1 より、次に、Φ+ (Θ, m) を Θ に関して最小化するこ

証明： 凹関数の定義より、任意の異なる 2 点 x, α ∈ R、任意の実数 γ ∈ (0, 1) に対して、³´

f γx + (1 − γ)α = γf (x) + (1 − γ)f (α)
が成り立つとき、f (x) を凹関数という。上式は、とを考える。Φ+ (Θ, m) は

Ã
K
N
Z ∞ °
X
X
° °
°
1
+
°Yk,n (ω)°2 +°Sk,n (ω)°2
Φ (Θ, m) =k=1 n=1

− 2e−

βk,n

(ω−nµk )2
4d

−∞

h

i

∗
Re Ak,n Yk,n
(ω)

!

dω

(26)

(x − α)³´

f α + γ(x − α) − f (α)γ(x − α)

lim

³

γ→0

(27)

であり、この項は µk に依らない。以上より、式 (26) は次のよ+

k=1 n=1

− 2e

−

βk,n

(ω−nµk )2
4d

−∞

Re

h

°2
Yk,n (ω)°∗
Ak,n Yk,n(ω)= f 0 (α)(x − α)f 0 (α) = f (x) − f (α)

(33)

(34)

を得る。

点 α ∈ R において

βk,n

K
N
Z ∞ µ°XX
1°γ(x − α)−e−x は微分可能な凹関数であるから、補題 3 より、任意の°°X X °Ak,n °2N

k=1 n=1´

f α + γ(x − α) − f (α)

より、これを式 (32) に代入すると、うに書ける。

√
Φ+ (Θ, m) = 2πd(32)分可能であるので、−∞K= f (x) − f (α)と書き換えることができるが、γ → 0 のもとでは、f (x) は微と書けるが、上式の第二項の積分は Gauss 積分により解析的に計算可能であることに気づく。すなわち、
Z ∞ °
°
°
°
√
°Sk,n (ω)°2 dω = 2πd°Ak,n °2

(31)

¡

¢

−e−x 5 −e−α + x − α e−αが成り立つ。従って、式 (35) の x を

i¶

dω

(35)

(ω−nµk )2、α を実関数4d

αk,n (ω) と対応させると、∀ω ∈ R において
(28)

式 (28) の補助関数は依然として µk に関して非線形であり、このままではまだ µk の更新式に関しては解析的に求められな− e−(ω−nµk )24d−αk,n (ω)

5−e

+

µ

¶

(ω − nµk )2− αk,n (ω) e−αk,n (ω) (36)4d—4— 

 



Step 1 式 (25) による mk,n (ω)Y (ω) の更新。

Φ(Θ,m,α)Φ(Θ,m)
Φ(Θ)Φ(Θ,m,α)Step 2 式 (38) による e−αk,n (ω) の更新。

Φ(Θ,m,α)Φ(Θ,m)

Φ(Θ)Φ(Θ,m)

Step 3 式 (29) による Ak,n の更新。

Φ(Θ,m,α)Step 4 式 (39) による µk の更新後、Step 1 に戻る。
m



α

4. 評 価 実 験 


Φ(Θ)

Φ(Θ,m)

4. 1 シミュレーションによる収束性の確認

Φ(Θ,m,α)Φ(Θ,m,α)Φ(Θ,m)

ここでの目的は、提案法と勾配法によるパラメータ推定の初
ΘΦ(Θ)&')( !#"% $Φ(Θ,m,α)期値依存性や収束速度を比べることである。ここで比較対象の勾配法を用いたパラメータ推定法 (以後、単に勾配法と呼ぶ。)
は、Jinachitra の手法 [12] を参考にしたもので、式 (11) によ

Φ(Θ)


Θ
図1

り mk,n (ω) を更新するステップ、式 (29) により Ak,n を更新す

補助関数を介したパラメータ最適化アルゴリズムの図解。

るステップ、式 (28) を µk に関する最急降下更新により減少させるステップによって構成される。これと提案法を比べること
により、本稿で提案したピッチ周波数推定方式が局所解回避能のような不等式が立てられる。式 (36) より、

Φ+ (Θ, m) <
=

√

°
°
X X °Ak,n °2K2πd力などの面で有効かどうかを示すことができる。
この比較実験では、パラメータの真値があらかじめ分かって

N

βk,n

k=1 n=1+

いる信号 (合成信号) を分析対象とした。具体的には、2 つの周

"

K
N
Z ∞ °
h
i
X
X
°
1
∗
°Yk,n (ω)°2 + 2Re Ak,n Yk,n(ω)
k=1 n=1½βk,n−αk,n (ω)

−e

−∞

+e

−αk,n (ω)µ¶¾#(ω − nµk )2−αk,n (ω)
4ddωe (Θ, m, α)のように、式 (28) の上限を得る。上不等式右辺を Φ
+

と置くと、

e + (Θ, m) 5 Φ
e + (Θ, m, α)Φ(Θ) 5 Φ(37)であるので、定義 1 より、これもまた Φ(Θ) の補助関数として扱える。また、mk,n (ω) および αk,n (ω) が、この場合、いずれも補助変数となる。そして等号成立は、m が式 (25) のときと2

αk,n (ω) =(ω − nµk )
4d

(38)

期信号 (ピッチ周波数が 270Hz、200Hz) は 10 個の調波成分からなり、各成分の振幅と位相は乱数生成により決め、これらを加算して混合信号を作成した。n 次調波成分の振幅と位相の乱数値の範囲はそれぞれ [ n1 , n3 ) および [0, 2π) とした。また、正弦波重畳モデルにおいて K = 2, N = 10 とした。この合成信号 (16KHz サンプリング) から Gabor 変換により短時間複素スペクトル Y (ω) を得た。ただし、Gabor 変換における拡散パ
ラメータ d は 0.067 とした。
さまざまな初期値条件のもとで、ピッチ周波数 µ1 , µ2 が、提案法および勾配法によって各ステップで更新されていく様子をそれぞれ図 2、3 に示す (ピッチ周波数以外のパラメータの更新
模様については省略する)。各図の上下のグラフにおいて、同色および同線種の折れ線は同一の反復計算による µ1 と µ2 の更新値の変遷を表す。なお、振幅 Ak,n の初期値は 0 とした。
図 2、3 を比べてみると、勾配法では、µ1 , µ2 の初期値が真値(270Hz、270Hz) にある程度近い値でないと、真値以外の停留のときである。

点に陥ってしまうことが多いが、提案法では、広範囲の初期値以上の補助関数を導いたことの最大の意義は、Φ(Θ, m, α)から真値に素早く収束していく様子が確認できる。このシミュを 最 小 化 す る µk を 解 析 的 に 求 め る こ と が で き る 点 に あ

レーション実験の結果は、勾配法を用いる多数の従来法よりもる 。こ こ で は 実 際 に ピッチ 周 波 数 µk の 更 新 式 が 解 析 的 に∂e
Φ+ (Θ,m,α)= 0 を解くと、得られることを確認しておく。
∂µ

提案法が局所解回避能力と収束速度の面で優れていることを示

P

k

Z ∞
∗
n2
e−αk,n (ω) Re[Ak,n Yk,n(ω)]dω =| 0 であるならば、
n βk,n −∞X n Z ∞
n

βk,n

−∞

−αk,n (ω)

e

Re

h

∗
Ak,n Yk,n
(ω)

i

(39)

n

が得られる。

3. 5 最適パラメータ推定アルゴリズムのまとめ
以上の正弦波重畳モデルのパラメータ最適化アルゴリズム
は次のようにまとめられる。また、この反復計算における各ス
テップでの目的関数値の変遷を図解したものを図 1 に示す。

} =k <
Step 0 {µk , {Ak,n }1<の初期設定。
=n<
=N 1<
=K

4. 2 混合音声の 1ch ブラインド音源分離
次に、ここでは提案法の 1ch ブラインド音源分離としての基本性能を確認する。対象とする混合信号は、ATR 研究用日本

ωdωµk = X 2 Z ∞hin∗e−αk,n (ω) Re Ak,n Yk,n(ω) dω
βk,n −∞

す 1 つの例証である。

語音声データベースのセット B 中の音声データを用い、男性同士、女性同士、男性と女性の音声波形を加算したものとした。
すべての音声データは 16kHz にリサンプリングし、フレーム間隔 10ms の Gabor 変換により周波数解析した。前節同様、Gabor 変換における拡散パラメータ d は 0.067 とした。また、
正弦波重畳モデルの各調波信号の調波成分数 N は 30 とした。
ここで採用したアルゴリズムの全容は次のとおりである。正弦波重畳モデルの初期調波信号数 K を 10 から開始し、パラメータの反復推定の過程で、複数の調波信号モデルのピッチ周
波数パラメータが (1) ある一定値より近くなった場合、(2) ほ

—5—

330

(a)

320
310
300

0

290
280

µ 1 27002603.75 (s)

250

(b)

240
230
220
210

0

300
290
280

µ

0

210
200
190
180

3.75 (s)

(c)

270
260
250
2 240
230
220

0

3.75 (s)

0

図4
0

10

20

30

40

50

iteration #

60

70

80

90

女性話者音声 (a) と男性話者音声 (b) とその混合信号 (c)。

100

図 2 提案法によるピッチ周波数パラメータ更新の様子
0

330
320
310

µ

0

300
290
280
1 270
260
250

3.75 (s)

0

0

240
230
220
210

3.75 (s)図 5 女性および男性話者音声に対応する分離信号。

300
290
280

するため、分離信号の位相変化が不連続になったり、振幅が急

270
260

µ

250
2 240
230
220

激に変化することが多々あるため、今後、隣接する複数フレームに渡った協調的なパラメータ推定を行うことができれば、大

210
200
190
180

幅なミュージカルノイズ軽減や SN 比改善が見込まれる。
0

10

20

30

40

50

iteration #

60

70

80

90

100

図 3 最急降下法によるピッチ周波数パラメータ更新の様子

5. ま と め
本章では、正弦波重畳モデルのパラメータ推定問題の核であぼ整数倍関係になった場合には低い方の調波信号だけを残し、る周波数推定ないし基本周波数推定の難しさの本質が、正弦波残りは除外する。収束後、エネルギー全パワーの大きい 2 つの重畳モデルが周波数パラメータに関して非線形である点にある調波信号だけを残し、再びパラメータ推定を行う。このようにことに注目し、EM アルゴリズムをヒントにした補助関数を用して、最終的に得られた 2 つの調波信号を分離推定信号とすいた新しい反復推定アルゴリズムを導いた。

る。また、µk の初期値は、まず観測混合信号の複素スペクトルの実部または虚部において極大/極小点を与える周波数をすべて見つけ、その中でパワーの大きいものから順に選んだ 10 個の周波数とした。上記は、各短時間窓 (フレーム) で分離信号を推定する手続きであるが、各々のフレームで分離した信号がどの音源に対応したものであるかは本来は定かではない。今回の実験では、この対応づけができている状況での仮の音源分離性能を調べるために、分離信号がどの音源に対応するかを混合す
る前の各信号との近さを調べて判定することにした。
以上の条件のもとで、図 4 に示す混合音声を実際に分離した結果の例を図 5 に示す。男性話者 A と女性話者 B の混合音
声 (男性話者 A から見て SN 比が-0.3dB) の分離後の双方の SN
比は、7.2dB, 6.4dB(7.5dB, 6.1dB の改善)、女性話者 A と女
性話者 B の混合音声 (女性話者 A から見て SN 比が 1.5dB) の分離後の双方の SN 比は 6.0dB, 4.8dB(4.5dB, 6.3dB の改善)、
男性話者 A と男性話者 B の混合音声 (男性話者 A から見て SN
比が-0.3dB) の分離後の双方の SN 比は 4.8dB, 4.3dB(5.1dB,

4.0dB の改善) であった。提案法では、話者間のピッチ周波数の違いが、音源分離の手がかりとなっているため、同性同士の混合音声の分離精度が異性同士のそれよりいくらか下回ってしまうのは予想通りの結果と言える。
本稿で提案した手法はフレームごとに独立にパラメータ推定

文

献[1] R. J. McAulay et al., IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal
Process., 34(4), 744, 1986.
[2] D. C. Rife et al., Bell System Technical Journal, 55(9),1389, 1976.
[3] T. J. Abatzoglou, IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process., 33(1), 77, 1985.
[4] J. O. Smith III et al., In Proc. ICMC’87, 290, 1987.
[5] Ph. Depalle et al., In Proc. IEEE WASPAA’97, 1997.
[6] Y. V. Zakharov et al., IEEE Electronic Letters, 35(19),1608, 1999.
[7] S. S. Abeysekera, In Proc. IEEE Workshop on Statistical
Signal Processing (SSP), 417, 2001.
[8] J. C. Brown et al., J. Acoust. Soc. Am., 94(2), 662, 1993.
[9] 安部ら, 信学技報, EA2004-61, 7, 2004.
[10] D. Starer et al., IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal Process., 40(6), 1528, 1992.
[11] D. Chazan et al., In Proc. ICASSP’93, 2, 728, 1993.
[12] P. Jinachitra, In Proc. ICASSP’03, 6, 609, 2003.
[13] S. Godsill et al., In Proc. ICASSP’02, 2, 1769, 2002.
[14] T. Tolonen, In Proc. AES 106th Convention, 1999.
[15] T. Virtanen et al., In Proc. ICASSP’00, 2, 765, 2000.
[16] D. J. Thomson, In Proc. IEEE, 70(9), 1055, 1982.
[17] D. C. Rife et al., IEEE Trans. Info. Theory, 20(5), 591,
1974.
[18] B. G. Quinn, IEEE Trans. Signal Process., 42, 1264, 1994.
[19] B. G. Quinn, IEEE Trans. Signal Process., 45(3), 814, 1997.
[20] M. Feder et al., IEEE Trans., Acoust., Speech, Signal Process., 36(4), 477, 1988.
[21] 嵯峨山ら, 通信学会誌, J64-A(2), 105, 1981.

—6—