１９８７年

青山学院中等部

算数問題

(３の１)
解答は解答用紙にかきなさい。円周率を使うときは，３ .１４を用いなさい。
( 1)

２０÷６×１２÷８×２４＝( 2)

０.７２５÷０.６＋０.７２５×

( 3)

(１０−４

( 4)

(１９５３＋( 5)

７を１６個かけた数の１の位の数は( 6)

ある月の火曜日は４回あって，その日付の和は６６でした。この月の１日は

１
＝
３

１ ３
５
× )÷８ ＝
２ ４
６

)÷１０３＝２７ あまり ５

2

です。

曜日です。

3

( 7)

厚さ１.２㎜，面積２.５ｍ の鉄板の重さが２３.７㎏でした。この鉄板の１㎝ の重さは
です。

( 8)

ケーキ５個を箱につめてもらうと１０８０円です。同じケーキ８個を箱につめてもらうと１７４０円でした 。ケーキ１個の代金は円です 。ただし ，ケーキ８個分の箱代は５個分の箱代の２倍です 。

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(３の２)( 9)

１００人以上２００人以下の生徒がいます。この生徒を４人ずつ分けると１人あまります。３人ずつ分けても１人あまります。７人ずつならあまりなく分けられます。この生徒数は
人です。

(10)

右の図のように○をならべて三角形をつくりました。○の中に，１から９までの数をすべて入れて各辺の和をそれぞれ等しくなるようにします。ア＝１，イ＝５，
ウ＝９とすると，各辺の和は
です。

(11)

ある道のりを行くのに，車なら８分，自転車なら３６分，徒歩なら１時間１２分かかります。この道
のりを車，自転車，徒歩で，それぞれ同じ時間ずつかけて行くとすると分かかります。

(12)

１分間に５５回点滅する車のランプがあります。この車が１５００ｍ走るのに，このランプがちょうど１３２回点滅しました。この車の時速は
㎞です。

(13)

５００ｇの水に，５０ｇの食塩をまぜた食塩水を作りました。この食塩水３３０ｇに，○
ア
水と○イ
ｇの食塩を加えたら，１５％の食塩水が４６０ｇできました。

(14)

右の円グラフは，ある製品について，Ａ，Ｂ２社の国内と国外における販売量の割合を示したもので，○
ア，○
イの角はそれぞれ１１０度，５０度です。このＡ，Ｂ２社の販売量の比は，２：３でした。２社合わせての国内と国外の割合を１つの円グラフで示すと，国外の部分の角度は度になります。

(15)

１００の位が１である３けたの数があって，この数は１１でわりきれます。この数の１０の位と１の位をとりかえた数は６でわりきれるそうです。もとの数は
です。

めつ

ｇの

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(３の３)(16)

図のような，一周が１㎞ある円形の道路があります。この道路をＡ君は
毎分３００ｍ，Ｂ君は毎分２４０ｍでアの点から矢印の方向に走ります。
Ｂ君が出発してから，１分後にＡ君が出発しました。Ａ君がＢ君に３回目に追いついた地点は，アの点から矢印の方向にｍのところです。

(17)

油を，１ç当たり定価１００円で毎日６０ç売っている店があります。１ç当たり１円値下げするごとに，売り上げ量が１日３çの割合で増すといいます。そのため，定価を４％値下げしても，利益はかわりませんでした。この油の原価は１ç当たり
円です。

(18)

図のような，長方形の紙ＡＢＣＤがあります。まず，Ａを中心に，短い方の辺ＡＤの長さを半径とする円をかいて，ＡＢと交わった点をＥとします。
次にＢを中心として，ＢＥを半径とする円をかいて，ＢＣと交わる点をＦとします。さらに，Ｃを中心としてＣＦを半径とする円とＣＤの交わる点をＧ，Ｄを中心としてＤＧを半径とする円とＡＤの交わる点をＨとします。
ある大きさの長方形の紙で，上と同じようにして点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈを求めていったら，点ＨがちょうどＡと重なってしまいました。この紙の長い方の辺と短い方の辺の長さの比は
：
です。

(19)

右の図１のような，直角二等辺三角形があります。図２のように，頂点Ｂを辺ＡＣに合わせて折ってみました 。ＡＢの長さが３㎝のときには ，ＢＥ ，
ＢＦ，ＢＣの長さが等しくなりました。このとき，
2三角形ＢＥＦの面積は
㎝ です。

(20)

図１のような，３種類の目もりがついているびんに液体の洗剤が入っています。図２はその目もりの一部を拡大したもので，それぞれ１
目もりは１回に使う洗剤の量をあらわしています。①は１目もり２５
ãです。
花子さんは③の目もりを使うところをまちがえて，②の目もりを使ったため，洗剤が４回分足りなくなりました。はじめに洗剤はã入っていました。

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１９８７年

青山学院中等部

算数解答用紙

氏

名

受験番号

(1)

( 11 )

分(2)( 12 )㎞(3)( 13 )(4)( 14 )(5)( 15 )

○
ア

ｇ

○
イ

ｇ

度

(6)

曜日

( 16 )

ｍ(7)

ｇ( 17 )

円(8)

円( 18 )(9)人( 19 )㎝( 20 )ｍç( 10 )：

合2計

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１９８７年

青山学院中等部

算数解答用紙

氏

名

受験番号

(1)
(2)
(3)

１２０

１

９
２０
３
４

( 11 )

１８分

３ ７ .５

㎞

○
イ

３９

ｇ

度

または

１ .４ ５( 12 )

または

０ .７ ５( 13 )

○
ア

９１

ｇ

(4)

８３３

( 14 )

７４(5)

１( 15 )

１６５

(6)

木

曜日

( 16 )

２００

ｍ

(7)

７ .９

ｇ

( 17 )

７６

円

(8)

２１０

円

( 18 )

(9)

１３３

人

( 19 )

６ .３( 10 )

２０( 20 )

６００

３

：

合

２

㎝

2

ｍç

計

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１９８７年
配点

国語１００点，算数１００点

算数の合格基準点(予想)

青山学院中等部

算数解説

合計２００点

男子７２点，女子７９点

題 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

問

難易度 Ａ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ
難易度

Ａ→１００％正解してください。
Ｂ→８０％以上正解してほしい問題です。
Ｃ→６０％の正解が要求されます。
この問題がどれだけできるかどうかが合否の分かれ目です。
Ｄ→難問です。
わからなかったら時間をかけずにさっさとあきらめることが必要です。

ワンポイントヒント( 1)

たとえば１０÷２×５は，１ではなくて２５ですね。案外まちがえる問題です。

( 2)

ただ分数にして計算するよりは，もっと簡単でミスなくしかも早くできる解き方があります。

( 3)

５３で約分することに気づかないと，大変な計算になってしまいます。

( 4)

１３÷３＝４ あまり １( 5)

まともに計算すると大変ですが，１の位だけ求めればよいので，規則があります。

( 6)

たとえばある月の３日が火曜日ならば ，次の火曜日は１週間後 ，つまり７日後の１０日ですね 。

( 7)

青山学院の問題では ，毎年単位の問題が必ずといっていいほど出題されます 。注意しましょう 。

( 8)

ケーキ１個を①，ケーキ５個分の箱代を１として，式を作ってみましょう。

( 9)４でわっても３でわっても１あまる数をどんどん書いてみましょう。

(10)

１から９までの和を求めてみましょう。すると，アイウ以外の数の和がわかります。

(11)

道のりを，８と３６と７２の最小公倍数にします 。「同じ時間ずつ」というのを，とりあえずのように，簡単な計算を書いてから計算の方法を考えましょう。

１分ずつにしてみます。
(12)

１３２回は，５５回の何倍なのかを求めましょう。

(13)

はじめの食塩水の濃さを求めようとすると，計算が大変になります。それよりは，もし食塩水の量が半分なら，中にふくまれる食塩の量も半分になる，と考えて解いていきます。

(14)

Ａ社とＢ社の販売量の比は２：３なので，Ａ社を ３６０×２，Ｂ社を３６０×３とします。

(15)

３けたの数で百の位が１ ，しかも１１でわり切れる数というのは ，そんなに多くはありません 。
全部書き出してから解いてみると良いでしょう。

(16)

まずは１回目，２回目，３回目に追いつく時間を求めましょう。

(17)比を使って解いていきましょう。

(18)

問題の図をそのまま使っても答えは求めにくいです。自分で図を書き直しましょう。

(19)

図２の図ではなく，ＢＥ，ＢＦ，ＢＣの長さが等しいときの図を自分で書きましょう。

(20)①と②の１目もりの長さの比を求め ，②と③の１目もりの長さの比を求め ，あとは連比ですね 。

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解説
( 1)

分数にして一気に約分していきましょう。はじめの整数は分子，あとはかけ算なら分子，わり
算なら分母におきます。

２０÷６×１２÷８×２４＝( 2)

２０×１２×２４
６ × ８

5
＝

1
2
２０×１２×２４
６ × ８
1
2

＝１２０

1

「０.７２５」が２回出てきています。それをどう利用するかですね。
１
３
１
０ .７２５÷０.６＋０ .７２５× ＝０.７２５÷ ＋０.７２５×３
５
３＝０.７２５×５３＝０.７２５×(＋０.７２５×
５
３

＋

１
３

１
３

)

＝０.７２５×２
＝１.４５

( 3)

４

１
２

×

１０−
５３
８

( 4)

３
４

＝

２７
８

÷８

５
６

９
２
＝
＝

×

３
４

８０
８
５３
８

＝
−
÷

９×３
２×４
２７
８
５３
６

＝
＝

＝

２７
８

５３
８
５３× ６
８ ×５３

たとえば１３÷４＝３ あまり １

1
＝

3
５３× ６
4

＝

３

８ ×５３ ４1です。これは，１３の中に４が３回あって，１あまっている，という意味ですね。
では，□÷４＝３ あまり １だったら，どのようにして□を求めるのでしょう。
これは，□の中に４が３回入っていて，あと１あまっている，という意味ですから，
４×３＋１＝１３となるわけです。
同じようにして ，□÷１０３＝２７ あまり ５ だったら ，□の中に１０３が２７回入っていて ，
あと５あまっているわけですから，１０３×２７＋５＝２７８６ となります。
かっこの中の１９５３＋□が２７８６ですから，□は，２７８６−１９５３＝８３３ となり
ます。
( 5)

７を１６個かけるというのは，７×１６ではありません。７を１６回かけるのですから，
７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７という意味です。

まともに計算すると大変な数になりますが，１の位だけわかればよいのですから，まだましですね。たとえば５４１３６８９×３０７８４２３という計算をすべて暗算でするのは無理です
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が，１の位だけ暗算でするならば簡単です。それぞれの１の位の，９と３をかけて２７，ですか
ら１の位は７とわかりますね。
この問題も，１の位だけ計算しようとします。そのとき，７を４回かけた数，７×７×７×７を考えると考えやすくなります。７×７は４９ですから７×７の１の位は９です。７×７×７×７の１の位は，(７×７)×(７×７)と考えて，９×９を計算すればわかりますから，９×９＝
８１の１の位である１となります。
結局７×７×７×７の１の位は１であることがわかりました。
すると，７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７×７は，(７×７×７×７)×(７×７×７×７)×(７×７×７×７)×(７×７×７×７)と考えれば，１の位は１×１×１×１ですから，結局１になります。
( 6)

ある日が火曜日だったら，次の火曜日は１週間後，つまり７日後になります。その次の火曜日はさらにまた７日後，つまりある日の１４日後です。その次の火曜日は，さらにまた７日後ですから，ある日の２１日後です。その日付の和が６６ですから，右のような線分図になります。
６６−(７＋１４＋２１)＝２４
２４÷４＝６ ですから，ある日は６日になります。
つまり，６日がこの月の最初の火曜日です。ここから１日ずつもどっていくと，５日が月曜日，４日は日曜日，３日は土曜日，２日は金曜日，１日は木曜日になります。

( 7)

まず単位を㎝にします。厚さ１.２㎜は，０.１２㎝です。
2

2

面積２.５ｍ は，２５０００㎝ です。
右の図のような鉄板があることになります。この鉄板の体積は，２５０００×０.１２＝３０００㎝ 3 です。
この鉄板の重さは，２３ .７㎏＝２３７０００ｇですから，
3

３０００㎝ あたり２３７０００ｇになります。
3

１㎝ あたり，２３７０００÷３０００＝７.９(ｇ)になります。
( 8)

ところで，ケーキ８個のときの箱代はケーキ５個のときの箱代の２倍ですから，ケーキ５個のときの箱代を①とします。ケーキ８個のときの箱代は②になります。
ケーキ１個の値段を１とすると，ケーキ５個＋箱代で１０８０円ですから，
５＋①＝１０８０円…アとなります 。また ，ケーキ８個＋箱代で１７４０円ですから ，

８＋②＝１７４０円…イとなります。

アとイの○をそろえます。アを２倍すれば，10 ＋②＝２１６０円…ア×２となり，イとくらべると，

２１６０−１７４０＝４２０円が，10 −８＝２にあたります。
１あたり，４２０÷２＝２１０円になります。これがケーキ１個の代金です。

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( 9)

生徒の人数は，４人ずつ分けても３人ずつ分けても１人あまります。４と３の最小公倍数は１２ですから，１２人ずつ分けると１人あまることになります。そのような人数は，１人に１２人をどんどん加えていった人数です。１００人以上２００人以下では，１人に１２人の９倍を加えて，１＋１２×９＝１０９(人)，さらに１２人を加えていって，
１０９＋１２＝１２１(人)，１２１＋１２＝１３３(人)，１３３＋１２＝１４５(人)，１４５＋１２＝１５７(人)，１５７＋１２＝１６９(人)，１６９＋１２＝１８１(人)，１８１＋１２＝１９３(人)これだけが考えられます。
この中で ，「７人ずつならあまりなく分けられる 」，つまり７でわり切れるものを探すと，１３３人だけが，１３３÷７＝１９(10)となって割りきれます。生徒数は１３３人になります。

右の図のように，各辺にＡ，Ｂ，Ｃと名前をつけます。
１から９までの和は，(１＋９)×９÷２＝４５ですが，Ａ，Ｂ，Ｃの和は残念ながら４５ではありません。それは，ア，イ，ウがだぶっているからです。だぶっている分だけ，４５よりも多くなるわけです。ア，イ，ウは，１，５，９ですから，Ａ，Ｂ，Ｃの和は，
４５＋(１＋５＋９)＝６０ になります。
ところで，各辺の和はそれぞれ等しいのですから，各辺は，６０÷３＝２０(11)となります。

ある道のりを行くのに，車なら８分，自転車なら３６分，徒歩なら１時間１２分＝７２分かかります。この道のりを，適当に決めましょう。適当といっても，８と３６と７２の最小公倍数である７２㎞にすると考えやすくなります。
７２㎞の道のりを，車なら８分かかるのですから，車の分速は ７２÷８＝９(㎞)です。
同じようにして，自転車の分速は ７２÷３６＝２(㎞)，徒歩の分速は ７２÷７２＝１(㎞)になります。
いま，この道のり(７２㎞)を，車・自転車・徒歩で，それぞれ同じ時間ずつかけて行く，と書いてありました。この「同じ時間」というのを，それぞれ１分にしてみます。すると，
車・自転車・徒歩はそれぞれ９㎞，２㎞，１㎞進みますから，合計で，９＋２＋１＝１２(㎞)しか進めません。この道のりである７２㎞は全然進んでいませんね。
進んだ道のりを７２㎞にするためには，７２÷１２＝６(倍)しなければいけません。つまり，
車・自転車・徒歩とも６分進めばよいことになります。
それぞれ６分進めばよいのですから，全部で ６×３＝１８(分)かかります。
最後に６を３倍するのを忘れやすいです。注意しましょう。

(12)

１分でこのランプは５５回点滅します。１３２回は５５回の １３２÷５５＝２ .４(倍)ですから，１３２回点滅するのに２ .４分かかります。この時間でこの車は１５００ｍ走ります。
２ .４分間でこの車は１５００ｍ走るのですから，１分あたり，１５００÷２ .４＝６２５(ｍ)走ります。この車の時速つまり１時間あたりに進む距離は，１分あたりに進む距離の６０倍ですから，６２５×６０＝３７５００(ｍ)です。１㎞は１０００ｍですから，３７.５㎞です。
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(13)５００ｇの水に５０ｇの食塩をまぜたら，５００＋５０＝５５０(ｇ)の食塩水ができます。右の図のようになります。
この食塩水の濃さは分数になるし求める必要がないので，求めないようにしましょう。
さて，この食塩水３３０ｇは，５５０ｇのも３５になり，５０×

３
５

３３０

３
＝ ですから，食塩の量
５５０ ５＝３０(ｇ)になります。このときの図が右の図です。

この食塩水に，○
ア ｇの水(こさは０％にします)と○
イ ｇの食塩(こさは１００％にします)を加えると，１５％の食塩水が４６０ｇできます。このときの図が下の図です。最後にできた食塩水の中の食塩の量は，４６０×０ .１５＝６９(ｇ)です。

この図の食塩のところを見ると，３０ｇ＋０ｇ＋イｇ＝６９ｇですから，
イは ６９−３０＝３９(ｇ)です。
また，食塩水のところを見ると，３３０ｇ＋アｇ＋イｇ＝４６０ｇです。イは３９ですから，
アは ４６０−(３３０＋３９)＝９１(ｇ)です。
(14)

Ａ，Ｂ２社の販売量の比は２：３でした。この販売量を適当に決めてしまいましょう。
何に決めても良いのですが，円グラフですから３６０度を利用しましょう。
Ａ社の販売量は ３６０×２＝７２０，Ｂ社の販売量は ３６０×３＝１０８０ と決めます。
Ａ社の円グラフの１度あたりは，７２０÷３６０＝２，
Ｂ社の円グラフの１度あたりは，１０８０÷３６０＝３となります。

Ａ社の国外の割合は１１０度ですから，２×１１０＝２２０，
Ｂ社の国外の割合は５０度ですから，３×５０＝１５０ となります。
２社を合わせると，全体販売量は ７２０＋１０８０＝１８００，
国外の販売量は ２２０＋１５０＝３７０ となります。
これを円グラフで表すと，全体販売量の１８００が３６０度になりますから，１度あたり，
１８００÷３６０＝５ です。国外の販売量は３７０ですから，３７０÷５＝７４(度)となります。
(15)

３けたの数で百の位が１ ，しかも１１でわり切れる数というのは ，そんなに多くはありません 。
全部書き出してから解いてみると良いでしょう。
いちばん小さい数は１１×１０＝１１０，次々に１１を加えていくと，１２１，１３２，
１４３，１５４，１６５，１７６，１８７，１９８です。
十の位と一の位をとりかえると ，それぞれ１０１ ，１１２ ，１２３ ，１３４ ，１４５ ，１５６ ，
１６７，１７８，１８９となります。
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これらのうち６でわり切れる数をさがせばおしまいです。６でわり切れる数は，２でも３でもわり切れる数ですから，まず一の位を見て２の倍数かどうかを判定しましょう。すると，
１０１，１２３，１４５，１６７，１８９は２でわり切れないので消します。残っている数は，
１１２，１３４，１５６，１７８です。これらのうち，３でわり切れる数をさがすことになりますが，３でわり切れる数は，各位の数の和が３でわり切れるのですから，
１１２…

１＋１＋２＝４

→

×

１３４

…

１＋３＋４＝８

→

×

１５６

…

１＋５＋６＝１２

→

○

１７８

…

１＋７＋８＝１６→

×

結局，１５６だけがあてはまります。もとの数にもどすと，１６５ですね。
(16)

Ａ君が出発するときにＢ君はすでに１分間進んでいます。Ｂ君は毎分２４０ｍですから，
Ｂ君が２４０ｍ先に進んだときに，Ａ君は追いかけます。Ａ君の速さは毎分３００ｍですから，
２４０÷(３００−２４０)＝４(分後)に追いつきます。これが１回目に追いついた時間です。
２回目は，さらにＡ君がＢ君を１周(＝１㎞＝１０００ｍ)追いぬくのですから，
１０００÷(３００−２４０)＝１６２
３(分後)です。

３回目も，さらに１周追いぬくときですから，１６

２
３

分後です。

結局Ａ君がＢ君に３回目に追いつくのは，出発してから ４＋１６です。この間に，Ａ君は ３００×３７

１
３

２
３

×２＝３７

１
３

(分後)

＝１１２００(ｍ)進みます。

１周は１０００ｍですから，１１２００÷１０００＝１１ あまり ２００

により，１１周とあと２００ｍ，つまりアの点から２００ｍのところになります。
( 17)

定価は１ ç あたり１００円ですから，定価を４％値下げすると，１００×０ .０４＝４(円)だ
け値下げになります。１ ç あたり１円値下げするごとに，売り上げ量が１日３ ç ずつ増すのですから，４円値下げすると，３×４＝１２(ç)だけ売り上げ量が増えます。つまり，売り上げ量は ６０＋１２＝７２(ç)になります。
１çあたり４円値下げしたときの売り値は，１００−４＝９６(円)ですから，(１ç を１００円で売ったときの利益)×６０ç＝(１ çを９６円で売ったときの利益)×７２ç
となります。売った体積の比は，６０：７２＝５：６ ですから，(１ç を１００円で売ったときの利益)：(１ çを９６円で売ったときの利益)は逆比になって，６：５となります。利益は４円ちがいですから，４円が ６−５＝１ にあたります。
６にあたるのは，４×６＝２４円です。つまり，１ ç を１００円で売ったときに２４円の利益があるのですから，この油の原価は，１００−２４＝７６(円)になります。

( 18)

点ＨがちょうどＡと重なるときに，ＡＤの長さとＨＤの長さが等しくなりますから，右の図のようにＢＦとＣＦの長さも等しくなります。
よって，ＢＦの長さを１とするとＣＦの長さも１となり，ＢからＣまでの長さは２となります。また，ＢＥとＢＦの長さはどちらも同じ四分
円 の半径で同じですからＢＥも１となり，ＡＤは２ですからＡＥも２，ＡＢの長さはＡＥとＢＥの長さの和なので ２＋１＝３ となります。
したがって，この長方形のたての長さは３で横の長さは２となりますから，答えは３：２となります。

( 19)

図１の三角形ＡＢＣは直角二等辺三角形ですから，辺ＡＢと辺ＡＣは同じ長さです。辺ＡＢは７ .２㎝ですから，辺ＡＣの長さも７ .２㎝となります。
いま ，図２のＡＢが３㎝になったそうです 。ＡＣは７.２㎝ですから ，ＢＣの長さは ７.２−３＝４ .２(㎝)です。
ところで，ＢＥ，ＢＦ，ＢＣの長さが等しいのですから，ＢＥ，ＢＦの長さも４ .２㎝です 。ＡＥとＢＥの長さの和がＡＢの長さの７.２㎝で ，ＢＥの長さは４ .２㎝ですから，ＡＥの長さは ７ .２−４ .２＝３(㎝)です。ＡＢが３㎝，ＡＥも３㎝ですから，図２ではちょっとおかしいですね。図２を書き直したのが図３です。三角形ＢＥＦを広げたのが図４です。辺ＥＢと辺ＦＣが平行であることがわかりますね。
図４で，三角形
2

ＡＥＢの面積は，３×３÷２＝４ .５(㎝ )で，
角ＦＢＣは直角ですから三角形ＦＢＣの面積
2は，４.２×４.２÷２＝８.８２(㎝ )です。
図４の全体の面積は ７ .２×７.２÷２＝
２５ .９２(㎝ 2)です。よって，図４の☆の面積
は，(２５ .９２−４ .５−８ .８２)÷２＝６ .３
2(㎝ )となり，これが求めるべき面積になります。
(20)

図２を見ると，③で１０目もりぶん使う量で，②だと９目もりぶんしか使えないことがわかります。１０−９＝１(目もり)ぶん足りなくなってしまうわけですね。花子さんは４回分足りなくなったのですから，図２のときの４倍の量がびんの中に入っていたことになります。つまり，①の目もりでは ９×４＝３６(目もり)ぶんですね。
ところで①の１目もりは２５ m ç ですから，びんの量つまり３６目もりぶんは，２５×３６＝６００(m ç )となります。