１９８６年

青山学院中等部

算数問題

(３の１)
解答は解答用紙にかきなさい。円周率を使うときは，３ .１４を用いなさい。
( 1)

１
÷０.０５÷０.１＝１００( 2)６.３×４×１.２９−２.６×２×１.２９＝( 3)

１÷｛２−１÷(１( 4)

(( 5)

( 6)

１−３)｝＝８

４ ３
２５１１− )×(５ −４ )÷１＝７ ８
３６２４

時間分÷４時間３０分＝１.３

次の式を，答えの小さいものから順に記号で並べると
２４１○
ア １５÷１○
イ １５ .２÷
○
ウ １５×１
３５９９です。
○エ１４ .８×( 7)

３９万㎞のきょりを毎秒( 8)

２割５分引きで買ったテレビの代金は５９８５０円でした。定価は

３７４

オ○１５÷

３ ２×
４ ３㎞の速さで進むと，８時間２０分かかります。

円でした。

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(３の２)
４ 2(9) １ ｍ の畑に３å の農薬をまきました。この割合で４.５ａの畑にまくには５要です。

ç の農薬が必(10)

右の図は中心Ｏの２つの円で，小円，大円の半径はそれぞれ８㎝，１８㎝です。小円の円周の長さと，大円のＡからＢまでの太い線で表された部分の長さが等しいとき，χの角度は度です。

(11)

右の図は同じ大きさの１２個の立方体を，すきまなく並べたものです。立方体どうしが接している面の数は個です。

(12)

男子３５人，女子１５人を，３０人のグループと２０人のグループに分けました。どちらのグループも男子の数と女子の数の比は等しくなっています。３０人のグループは男子ア人，女子イ人です。

(13)

Ａ君とＢ君は二人の家を結ぶ道のまん中で待ち合わせました。二人同時にそれぞれの家を出て，Ａ君は時速３ .５㎞，Ｂ君は時速２ .８㎞で歩いたところ，Ａ君は約束の場所で９分待ちました。Ａ君の家からＢ君の家までの道のりは㎞です。

(14)

右の図の四角形ＡＢＣＤ，ＥＦＧＨはともに正方形で，その面積の比が2３：４です。斜線の部分の面積が１８㎝ ならば，正方形ＡＢＣＤの面積2は㎝ です。

(15)

３２０００ ha の自然公園内にいる鹿の数は，５年前の調査によると１６０００頭でした。今回の調査で，１辺２㎞の正方形の地域内で１４４頭が確認されました。他の地域も同じ割合でいるものとして全体の数を予想すると，５年前に比べて％の鹿が減ったと考えられます。

しかhttp://www.sugurunet.com

(３の３)(16)

普通電車と急行電車が，普通，普通，急行，普通，普通，急行，……という順序で発車する駅があります 。その発車時刻の間かくは普通から普通は１１分，普通から急行は９分 ，急行から普通は６分です 。
午前９時ちょうどに急行電車が発車しました。午後１時台の最後の電車は，午後１時分発の電車です。

(17)

５人のテストの結果を調べたら，同じ点数の人はなく，点の高い方の２人の平均点は９２点，低い方の２人の平均点は７６点でした。５人の平均点は最も低い場合点です。(テストは１００点満点で，その点数は整数とします。)(18)

小，中，大の３つの球Ａ，Ｂ，Ｃと，水をいっぱいに満たした容器があります。はじめにＡ全体を容しず器に沈めました 。つぎに ，Ａを容器からとり出して ，Ｂ全体を沈めました 。そのつぎにＢをとり出して ，ＡとＣ全体を一緒に沈めました。おのおのの回に容器からあふれた水の量を比べると，１回目は２回目１の で，３回目は１回目の２.５倍でした。ＢとＣの体積の比は：です。
３(かんたんな整数の比で表しなさい。)(19)

右の図は同じ大きさの正方形の紙２枚を重ねたものです。○アの部分と○イの部分の面積の比が３：２のとき，○アの部分と○イの部分の周の比は：です。(かんたんな整数の比で表しなさい。)(20)

右の①，②，…の図はＡの長方形の下こうごの辺と左の辺を交互に１㎝の幅で折っていったものを示しています。②からあとのどの図においても紙のもっとも多く重なる部分は，左下の１辺１㎝の正方形の部分です。⑨の図ではこの部分に枚の紙が重なることになります。

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１９８６年

青山学院中等部

算数解答用紙

氏

名

受験番号

(1)

( 11 )(2)( 12 )(3)( 13 )㎞(4)( 14 )㎝( 15 )％(5)

時間分(6)(7)( 16 )

個ア人イ

午後１時

2分発

㎞

( 17 )(8)円( 18 )：(9)

ç( 19 )：( 10 )度( 20 )

毎秒人

点枚合計

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１９８６年

青山学院中等部

算数解答用紙氏

名

受験番号(1)２( 11 )

(2)

２ ５ .８( 12 )

４(3)

５
１１(4)

９８(5)

５(6)

○
エ ア
○ ○
オ ○
ウ ○
イ

(7)

時間

５１分

１７ア

２１ 人

イ

９人

( 13 )

４ .２㎞( 14 )

４ ３ .２㎝( 15 )

２８％５２分発

８ ２ .８点( 16 )

午後１時

１３㎞( 17 )

(8)

７９８００

円

( 18 )

８ ：

１１(9)

７５

ç

( 19 )

１０ ：７( 10 )

１６０度( 20 )毎秒個

３０合2枚計http://www.sugurunet.com

１９８６年
配点

国語１００点，算数１００点

算数の合格基準点(予想)

青山学院中等部

算数解説

合計２００点

男子７２点，女子７９点

題 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

問

難易度 Ａ Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ｄ
難易度

Ａ→１００％正解してください。
Ｂ→８０％以上正解してほしい問題です。
Ｃ→６０％の正解が要求されます。
この問題がどれだけできるかどうかが合否の分かれ目です。
Ｄ→難問です。
わからなかったら時間をかけずにさっさとあきらめることが必要です。

ワンポイントヒント( 1)

小数で計算するときは，小数点の位置に注意しましょう。
分数で計算するときは，０の個数に注意しましょう。

( 2)「１.２９」が共通であることに注意しましょう。

( 3)

たとえば２０÷□＝５０のときに，□は２０÷５０となります。

( 4)

かけ算，わり算は一気に計算してしまいましょう。

( 5)

時間を分に直してから計算します。

( 6)

答えを求めなくても大小比較はできますね。

( 7)

何の単位で計算しているのかを考えながら解いていきましょう。

( 8)

２割５分引き＝(１−０ .２５)倍＝０.７５倍です。

( 9)

青山学院の問題では ，毎年単位の問題が必ずといっていいほど出題されます 。注意しましょう 。

(10)

３ .１４の計算をしては面倒になります。きちんと式を書いて考えましょう。

(11)

上の段の面，下の段の面，上の段と下の段をくっつけている面のように分けて考えましょう。

(12)「男子と女子の比は等しい」のですから，簡単ですね。

(13)

Ａ君とＢ君の進んだきょりは同じなので，速さの比とかかる時間の比は逆比になります。

(14)

正方形において，対角線を１本ひいてできる２つの三角形の面積はそれぞれ正方形全体の対角線を２本ひいてできる４つの三角形の面積はそれぞれ正方形全体の１４１２，になります。

(15)

比例式を使ったり，何倍になっているのかを求めます。

(16)

ある程度時間を書いていくと周期がわかってきます。

(17)

平均点を低くするためには ，点数のわかっていない人の得点を低くすればよいことになります。

(18)

１回目から３回目までのあふれた水の量の体積の比を求めてから，問題に取り組みましょう。

(19)○イ に補助線を引いて２つに分けましょう。いろいろな辺の長さの比がわかってきます。

(20)

下の辺と左の辺を交互に折っていったのですから ，重なりの枚数も交互に書いていきましょう。

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解説
( 1)

12×１００×１０
÷０ .０５÷０.１＝÷÷
＝＝２１００１００ １００ １０ １００× ５ × １
11( 2)

６ .３×４×１.２９−２.６×２×１ .２９＝(６.３×４−２ .６×２)×１.２９

１１５１

１

＝(２５ .２−５.２)×１.２９＝２０×１.２９＝２５.８( 3)１÷{２−１÷(１２−１÷(１１÷(１１( 4)(＝(＝＝14＝( 5)１３

４
７３２５６５６３８−)×(５２１５６５６÷８１５２３)}))＝１＝３×３３−−−−−１１１１１−４)×(５４６＝

７＝８１８ですから，

５６)÷１−４５６＝１÷８＝ですからですから，(８とすると＝２−)＝１÷１＝１１３−８１５７８１÷＝１１８１５８５１５−＝１＝１８７８８１５８１５＝１２１５＝４５１１２４)÷１１１２４３５２４14１１×５×２４

1５６×６×３５
17１１９８
４時間３０分＝(６０×４＋３０)分＝２７０分
分÷２７０分＝１.３ですから，＝２７０×１.３＝３５１３５１÷６０＝５ あまり ５１ ですから，５時間５１分になります。
( 6)

すべての式を，Ａ×Ｂ
ア …１５÷１○２
３＝１５÷というかけ算の形に変えましょう。
５３＝１５×３
５４
５
イ …１５.２÷ ＝１５.２×○
５４
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ウ …１５×１○１９９エ …１４.８×○オ …１５÷○３
４＝１５×１００９９３
７４×２
３＝１５×４
３×２
３＝１５×４×２
３×３＝１５×８９

これで，すべての式が Ａ×Ｂの形になりました。このうちのＡは，○ア〜○オの順に，１５，１５.２，１５，１４ .８，１５３

５

１００３８５，４， ９９ ，７４，９となっています。Ｂは，○ア〜○オ の順に，となっています。いちばん大きいのはＡもＢも大きい○イで，いちばん小さいのはＡもＢも小さい○エ であることがわかります。残った○ア と○ウ と○オ は，Ａはすべて１５ですから，Ｂによって大きいか小さいかが決まります。Ｂは，○ア，○ウ，○オの順に，３１００８５， ９９ ，９は通分するとです。この中では２７４５と４０４５１００９９になりますからが１より大きい分数ですからもっとも大きく，８９３５と８９の方が大きくなります。結局○ア ，○ウ，○オ の中では大きいに順に○ウ，○○オ ，○アとなります。
ア〜○○オ を小さい順に並べると，○エ ，○ア，○オ，○ウ，○イとなります。
( 7)

８時間２０分は ，６０×８＋２０＝５００分です。これは ，６０×５００＝３００００秒です 。
よって，３００００秒で３９００００㎞を進むのですから，１秒あたり，３９００００÷３００００＝１３(㎞)進みます。

( 8)

２割５分引きとは，１−０.２５＝０.７５(倍)のことです。これが５９８５０円ですから，定価は ５９８５０÷０.７５＝７９８００(円)になります。

( 9)

22４ .５ａは４５０ｍ です。これは，１ .８ｍ の ４５０÷１.８＝２５０(倍)ですから，３×２５０＝７５０(å )となります。１ ç は１０ å ですから，７５０ å は７５ ç になります。

(10)

３ .１４の計算をしては面倒になります。きちんと式を書いて考えましょう。
小円の半径は８㎝ですから，小円の円周は，８×２×３.１４となります。
χ大円の半径は１８㎝ですから，太い線の長さは，１８×２×３.１４×となります。
３６０χ
よって，８×２×３.１４＝１８×２×３.１４×となります。
３６０
この式には ，「×２」と「×３ .１４」が共通ですから，これを取り除いても等しくなります。
８＝１８×χ
３６０

χは３６０度の４９となるわけです。

χ３６０＝８÷１８＝８
１８＝４９ですから，，つまり ３６０÷９×４＝１６０(度)になります。

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( 11)

上の 段にはのように立方体が並んでいます。太い線で表した面が，接している面ですから，４個あります。
下の 段にはのように立方体が並んでいます。太い線で表した面が，接している面ですから，８個あります。
また，上の段と下の段をくっつけている面は ，右の図のように５個あります 。
全部で，４＋８＋５＝１７(個)になります。
(12)

全体の男子と女子の人数の比は，３５：１５＝７：３ですから，どちらのグループも男子と女子の人数の比が等しくなるためには，３０人のグループも７：３，２０人のグループも７：３にならなければいけません 。よって ，３０人のグループの男子は ３０÷(７＋３)×７＝２１(人)，女子は ３０÷(７＋３)×３＝９(人)になります。

(13)

比を使って求めるのがもっとも簡単でしょう。
Ａ君とＢ君の速さの比は，３ .５：２.８＝５：４です 。２人とも進んだきょりは同じですから ，かかった時間の比は逆比になって，４：５となります。Ａ君の方がＢ君よりも９分早く着いたのですから，９分が ５−４＝１ にあたります。Ａ君がかかった時間は４にあたりますから，９×４＝３６(分)です。１時間は６０分ですから，３６÷６０＝０.６(時間)です。
Ａ君は時速３ .５㎞で０ .６時間進んだのですから，３ .５×０ .６＝２ .１(㎞)を進みました。これがＡ君の家からＢ君の家までのきょりの半分ですから，２ .１×２＝４ .２(㎞)が正解になります。

(14)

正方形ＡＢＣＤ，正方形ＥＦＧＨの面積をそれぞれ３，４としましょう。
三角形ＤＥＣの面積は，正方形ＡＢＣＤの面積の１４ですから，３÷４＝０.７５ になり，三角形ＨＦＧの面積は，正方形ＥＦＧＨの面積の半分ですから，４÷２＝２ になります。
斜線部分の面積は，三角形ＨＦＧから三角形ＤＥＣを引いたものですから，２−０.７５＝22１.２５になります。これが１８㎝ です。１あたり，１８÷１.２５＝１４.４(㎝ )です。
2

正方形ＡＢＣＤの面積は３にあたりますから，１４ .４×３＝４３ .２(㎝ )になります。
(15)

前回は，３２０００ ha あたり１６０００頭の鹿がいました。
2

今回は，１辺２㎞の正方形つまり面積が ２×２＝４(㎞ )の正方形の地域内で，１４４頭の鹿が確認されたそうです。４㎞ 2 は４００ ha ですから，４００ ha あたり１４４頭です。
３２０００ ha は４００ ha の ３２０００÷４００＝８０(倍)ですから，１４４×８０＝１１５２０(頭)の鹿がいると考えられます。
１６０００頭から１１５２０頭になったのですから，１１５２０÷１６０００＝０.７２倍，つまり７２％になったわけです。１００−７２＝２８(％)だけ減ったと考えられます。
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(16)

午前９時ちょうどに急行電車が出発しました。その後，急行から普通は６分，普通から普通は１１分，普通から急行は９分のくり返しです。１周期は，６＋１１＋９＝２６分です。
「午後１時台の最後の電車」というのは，午後２時直前の電車のことです。午前９時から午後２時(＝１４時)までは，１４−９＝５(時間)→６０×５＝３００分あります。
１周期は２６分ですから，３００÷２６＝１１ あまり １４により，１１周期とあと１４分あります。
下の図のように，１４時の１４分前の，１３時４６分に最後の急行が出発します。その次の普通電車は，１３時４６分＋６分＝１３時５２分に出発します。その次の普通電車はさらに１１分後ですから，１４時をこしてしまいます。
よって，午後１時台の最後の電車は，午後１時５２分の普通電車，ということになります。

(17)

点の高い方の２人の合計点は ９２×２＝１８４(点)，点の低い方の２人の合計点は ７６×２＝１５２(点)です。
点の高い方の２人と低い方の２人の合計点は，１８４＋１５２＝３３６(点)です。
全部で５人いますから，もう１人の人の点数によって，５人の合計点が決まり，５人の平均点も求められる，ということになります。
いま，５人の平均点が最も低い場合を答える問題でした。よって，もう１人の人の点数を，なるべく低くすることを考えましょう。この，もう１人の人を「Ａ君」とします。
ところで，点の低い方の２人の平均点は７６点でしたね。平均点が７６点になるように２人の得点を決めると，まず「７６点と７６点」のときが考えられます。２人とも平均点そのもの，というときですね。でもこれは ，「同じ点数の人はなく」という条件に合いません。それから，１人を平均点よりも１点増やして「７７点 」，もう１人の人は逆に平均点よりも１点減らして「７５点」にしても，平均点は７６点になりますね。
このように考えると，点の低い方の２人の点数は「７７点と７５点 」「７８点と７４点」…のようにどんどん考えられます。ところがこの２人は，点の低い方の２人でした。ですから，２点の点数をたとえば「７８点と７４点」としたら，Ａ君の点は７８点よりも良い点数にしなければいけません。つまり，Ａ君の点は最低でも７９点になりますね。このようにすると，５人の合計点が高くなってしまいます。
よってＡ君の点をなるべく低くするためには，点の低い方の２人を「７７点と７５点」にして，Ａ君の点を７８点にしなければなりません。
Ａ君以外の４人の合計点は３３６点ですから，５人の合計点は，３３６＋７８＝４１４(点)になり，５人の平均点は，４１４÷５＝８２.８(点)になります。

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(18)はじめに，容器には水がいっぱいに入っています。(図の①)
Ａを容器に入れるとＡのぶんだけ水があふれます。(図の②)…１回目にあふれた量は「Ａ」

次にＡをとり出すと，Ａの体積ぶんだけすきまができます。(図の③)
もしここで，ふたたびＡを容器に入れるとまた水がいっぱいに入った状態になり，水はあふれ出ませんね。でも今はＢを容器に入れたから，水があふれ出ます。これは，Ｂの方がＡよりも大きいからですね。よって，Ｂを容器に入れたときには，ＡよりもＢが大きいぶんだけ，水があふれ出ることになります。(図の④)…２回目にあふれた量は「Ｂ−Ａ」

次にＢをとり出すと，Ｂの体積ぶんだけすきまができます。(図の⑤)
今度はＡとＣを容器に入れました。すると，ＢよりもＡ＋Ｃの方が大きいから，また水があふれ出ます。(図の⑥)…３回目にあふれた量は「Ａ＋Ｃ−Ｂ」

これで，１回目は「Ａ 」，２回目は「Ｂ−Ａ 」，３回目は「Ａ＋Ｃ−Ｂ」の水があふれ出たことがわかりました。
ところで，あふれた水の量を比べると，１回目は２回目の１３ですから，１回目と２回目の比は１：３，３回目は１回目の２ .５倍ですから，１回目と３回目の比は１：２ .５＝２：５になります。よって，１回目と２回目と３回目の比は，２：６：５です。
よって，１回目の「Ａ」を２，２回目の「Ｂ−Ａ」を６，３回目の「Ａ＋Ｃ−Ｂ」を５とします。Ａ＝２，Ｂ−Ａ＝６，Ａ＋Ｃ−Ｂ＝５ですね。すると，Ｂ＝Ａ＋６＝２＋６＝８です

から，Ａ＋Ｃ−Ｂ＝５は，２＋Ｃ−８＝５となりますから，Ｃ＝５＋８−２＝１１となります。
いま，ＢとＣの体積の比を求める問題ですから，８：１１となります。
(19)

この問題は，１辺を適当に決めて解くのが解きやすいでしょうね。
正方形の１辺を１０にしてみましょう。すると，正方形の面積は１０×１０＝１００ になります。○アの面積と○イ の面積の比は３：２ですから，１００÷(３＋２)＝２０，２０×３＝６０…○アの面積

２０×２＝４０…○イの面積イの部分を右の図のように分けると，合同な三角形が２つできます。
○それぞれの面積は，４０÷２＝２０ です。この三角形の底辺は正方形の１辺と同じなので１０です。よってこの三角形の高さを□とすると，１０×□÷２＝２０□＝２０×２÷１０＝４となります。

右の図のようにＡからＦの記号をつけたとすると，○ア の周囲の長さは，ＡＢが１０，ＢＦが１０，ＦＥとＤＥの和はＣＥとＤＣの和と同じなので１０，ＤＡが１０ですから，１０×４＝４０となります。

また，○イ の周囲の長さは，ＢＣとＢＦが１０でＥＣとＥＦが４ですから，１０×２＋４×２＝２８となります。よって○ア の部分と○イ の部分の周囲の長さの比は，４０：２８＝１０：７となります。
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(20)

この問題は，左の辺の部分の重なり枚数，下の辺の部分の重なり枚数，左下の部分(ここの枚数を求める問題ですね)，それ以外の部分と分けて考えるとうまくいきます。
ここで，下の辺を折るとどうなるかを考えるために，図１のように左の辺の部分が３枚，下の辺の部分が５枚，左下の部分が７枚になっていたとしましょう。もちろんそれ以外の部分は１枚です。このとき下の辺を折ると，左下の部分は左の辺の枚数だけ増えて ７＋３＝１０(枚)，下の部分は以外の枚数だけ増えて ５＋１＝６(枚)となります。
次に，図２のように左の辺を折ったとしましょう。今度は左下の部分は下の辺の枚数だけ増えて，７＋５＝１２(枚)，左の部分は以外の枚数だけ増えて ３＋１＝４(枚)となります。

図１

図２

ここまででわかったことを整理すると，※下の辺を折ったとき左下…左の辺の枚数だけ増える。
下※左の辺を折ったとき…１だけ増える。

左下…下の辺の枚数だけ増える
左…１だけ増える。となります。
ところで問題の図を見ると，①は下の辺を折ったあとの図，②は左の辺を折ったあとの図，……となっていますね。ようするに，①，③，⑤，⑦，⑨の奇数のときは下の辺を折ったあと，②，④，⑥，⑧の偶数のときは左の辺を折ったあとです。
よって，右のような表を書くことができ，左の辺下の辺

左下

以外⑨のときは左下の部分には３０枚重なっていること

はじめ

１１１１がわかります。

①(下)１２２１②(左)２２４１③(下)

２３６

１④(左)

３３９

１⑤(下)

３４１２１⑥(左)４４１６１⑦(下)４５２０１⑧(左)５５２５１⑨(下)５６３０１

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