トポロジー理工学特別講義

トポロジー入門
２００８年４月１７日，北海道大学理学部２号館 2-211 に於いて
石川 剛郎 (いしかわ ごうお)北海道大学・大学院理学研究院・数学部門

新しい数理モデルとしてのトポロジー

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社会のシステム，自然のシステムを知るには，まず，それらを詳しく調べていろいろな情報を得なければならない．そのプロセスは不可欠である．しかし，詳しい情報をいくら集めて来ても，良くわからないことが多い．何かしっくりこない，腑に落ちない，見通しが立たない．
それは対象に近付き過ぎているか，細かな情報にこだわりすぎているか，ともかく，思い切って別の見方ができない．
無頓着，という言葉があるが，トポロジーの考え方は，詳しい情報を知っていながら，それを超えた見方を敢えてする，粗視化する，いわば「非頓着」の教え，と言えるかもしれない．
いままでの数学の応用と言うと，決まって微分積分であったり，複素関数であったり，フーリエ級数だったりした．もちろん，これらは現在も将来も役に立ち続けることは明らかである．その効用を誰も否定しない．しかしその上で，それに加えて，トポロジーのような新しい数学も，だんだんと諸科学に応用され出してきた，トポロジーの考え方を使うことで，新しい発見ができる，そのような趨勢が見えてきた，と言える．
「トポロジー」は数学の中で，主に２０世紀になってから発展した数学である．比較的新しい分野だ．新しい分野だが，それでも数学におけるトポロジーの研究には十分な蓄積がある．
トポロジーの考え方と共に，この知識の蓄積をいろいろな科学に活用し，社会に貢献していくことは，非常に意義のあるである．この２１世紀にトポロジーの応用が大いに花開くと思われる．

トポロジーとは？

2「トポロジー (topology 1 )」と言った時，トポロジーという “概念”を意味する場合と，その概念を使ったものごとのとらえ方 (“方法”)，あるいはその方法を使った幾何学（位相幾何学）を意味する場合とがある．
トポロジーとは，一言で言えば「ものごとのつながり具合を表す概念」
トポロジーは「柔らかい幾何学」
1

トポロジー (topology) の “topo” は「位置」とか「場所」といった意味である．したがって，昔（１９世紀末から２０世紀当初）は topology は「位置解析」と呼ばれていた．
「位相」という訳を誰がつけたかは不明だが，良い訳である．そして，topology という構造が付与されている空間を topological space と言い，位相空間と訳す．ところで，一部の本では，”phase” も “位相” と訳して，“phase space” を ”位相空間” と訳している場合があり，少し紛らわしい．“phase” は ”相” と訳すことが多いので，“phase space” は “相空間” と訳すのが紛れがなくて良い．もともと，位置の概念と結びついていた topology という用語と，位置の概念との結びつきがそれほど強くはない phase という用語の訳し分けは工夫することができる．たとえば，“geometric phase” という用語は “幾何学的相” と訳すのが適切であるかもしれない．

1

「つながり具合」ということで，一番わかりやすいのは，図形がひとつにつながっているか，
つながっていないか，ということである．
ひとつにつながっている状態を連結 (connected) であるという．空（くう）でない２つの閉集合に分けられる2 ときは連結でないといい，空でない２つの閉集合に分けられないときは連結であるという．
というのが定義である．
位相幾何学では，さらに，より「高次」のつながり具合，どうつながっているかを研究する．
たとえば，円筒とメビウスの帯は，両方とも連結であるが，そのつながり具合が異なっている．これらのつながり具合を「概念」や「数」あるいは「量」で表現して調べるのである．

ホモロジー入門

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トポロジーを調べる上で，重要な「ホモロジー」の概念を紹介する．図形のつながり具合だ
けを問題にしているので，図形を単純化して扱う．
点や線分や３角形や４面体などを，単体 (simplex) とよぶ．いくつかの単体からなる図形を単体的複体 (simplicial complex) とよぶ．q-次元単体をいくつか形式的に足し合わせたもの

c = n1 Sb1 + n2 Sb2 + · · · + ns Sbs
を q-次元鎖 (chain) とよぶ．ここで，ni は整数，つまり，ni ∈ Z (Z は整数の全体を表す）．
また Sb は，単体 S を「生成元」と考えた「単純鎖」である．
このような q-次元鎖を全部かんがえてできる群

Cq := {c = n1 Sb1 + n2 Sb2 + · · · + ns Sbs }を q-次元鎖群とよぶ．
q-次元単体 S に対して，境界 ∂ Sb とよばれる (q − 1)-次元鎖の定め方は講義中に説明する．
さらに，境界準同型写像 (boundary homomorphism) ∂q : Cq → Cq−1 :∂q c = n1 ∂ Sb1 + n2 ∂ Sb2 + · · · + ns ∂ Sbs
が考えられ，∂q−1 ∂q = 0 が成立する．
∂c = 0 となる q-次元鎖 c を q-次元輪体 (cycle) と呼ぶ．また，ある (q + 1)-次元鎖の境界となるものを q-次元境界 (boundary) と呼ぶ．
q-次ホモロジー群 (あるいは Betti 群) Hq は，q-次元輪体を q-次元境界を法として考えて得られる剰余類のなす加群として定義される：

Hq := {c ∈ Cq | ∂c = 0}/{∂c0 | c0 ∈ Cq+1 }.

例：３角形の境界部分（円周と同相3 な図形）のホモロジー群の計算．
３角形の３辺から C1 を作り，３頂点から C0 を作ると，C1 = Z3 , C0 = Z3 となり，境界準同2

空でない２つの開集合に分けられる，ということと等価である．しかし，閉集合で述べた方がわかりやすい
ので，閉集合を用いた説明を採用することにした．
3
両連続な一対一対応があること．

2




−1 0
1


型写像 ∂1 : C1 → C0 は，行列 A =  1 −1 0  で表示される．他の Cq や ∂q は 0 で
0
1 −1


1 0 0


ある．行列 A は，Z 上の行基本変形および列基本変形によって，A =  0 1 0  に変形さ0 0 0
れる．したがって，H0 = Z, H1 = Z となる．
演習問題：上の例の基本変形を実行し，ホモロジーの計算を確かめよ．
演習問題：漢字の「十」の字を図形と見た時のその図形 X のホモロジー群を求めよ．
演習問題：漢字の「日」の字を図形と見た時のその図形 B のホモロジー群を求めよ．
例：n-次元球体 Dn に対し，H0 (Dn ) = Z, Hq (Dn ) = 0, (q ≥ 1).
例：n-次元球面 S n に対し，H0 (S n ) = Z, Hq (S n ) = 0, (1 ≤ q ≤ n − 1), Hn (S n ) = Z.
例：n-次元トーラス T n に対し，Hq (T n ) = Zr , r = n Cq , (0 ≤ q ≤ n).
例：2-次元実射影空間 RP 2 に対し，H0 (RP 2 ) = Z, H1 (RP 2 ) = Z/2Z, H2 (RP 2 ) = 0.
ホモロジー群の位相不変性：連続写像に対して，ホモロジー群の間の準同形写像が対応し，写像の合成に関して自然なふるまい4 をする．とくに，同相な図形を定める２つの単体的複体のホモロジー群は同型である．
一般に，ホモロジー群 Hq は，

Zr ⊕ Z/t1 Z ⊕ Z/t2 Z ⊕ · · · ⊕ Z/tk Z(t1 , t2 , . . . , tk は２以上の整数で，ti は ti+1 の約数) の形に一意的に表される．r は Hq の階数(rank) と呼ばれるものであり，この場合，q-次ベッチ数 (Betti number) とも呼び，bq = rank(Hq )と書く．また cq = rank(Cq ) とするとき，n 次元単体的複体から得られる図形のオイラー標数(Euler characteristic) がχ = c0 − c1 + c2 − · · · + (−1)n cn = b0 − b1 + b2 − · · · + (−1)n bn .
で求められる．オイラー標数も位相不変量である．
例：b0 (Dn ) = 1, bq (Dn ) = 0(q ≥ 1). χ(Dn ) = 1.
例：b0 (S n ) = 1, bq (S n ) = 0(1 ≥ q ≥ n − 1), bn (S n ) = 1. χ(S n ) = 1 + (−1)n .
Pn
例：bq (T n ) = n Cq , (0 ≤ q ≤ n). χ(T n ) = q=0 (−1)q n Cq = (1 − 1)n = 0.
例：b0 (RP 2 ) = 1, b1 (RP 2 ) = 0, b2 (RP 2 ) = 0. χ(RP 2 ) = 1.

CW 複体: 単体の代わりに，いろいろな次元の球体を貼り合わせた形に図形を分解して考えたもの5 ．ホモロジー群を考えるとき，単体的複体をもとに計算するよりも，CW 複体をもとに
f : X → Y に対して f∗ : Hq (X) → Hq (Y ) が定まり，また，g : Y → Z について，g∗ ◦ f∗ = (g ◦ f )∗ が成り立つ．
5
貼り合わせ方に関してある適当な条件を付ける．C: closure ﬁnite. W: weak topology.
43計算する方が容易である．CW 複体に関するホモロジー群の定義も同様であり，単体的複体から計算するホモロジー群と同型になる．

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ブラウアーの不動点定理

中間値の定理：連続関数 f (x), a ≤ x ≤ b について，f (a) と f (b) が異符号ならば，f (x0 ) = 0となる x0 が a, b の間に存在する．
中間値の定理は，[a, b] × R を [a, b] × {0} が２つに分けることから証明できる．関連する定理として，次が知られている：
ブラウアー (Brouwer) の不動点定理（１次元版）：有界閉区間からそれ自身への連続写像には不動点が存在する．
この定理も [a, b] × [a, b] を対角線が２つに分けることから証明できる．
例題：A 市と B 町を結ぶ２本の道がある．２台の自動車が，長さ 2` のロープでつながったま
ま，A 市から B 町に移動できるとする．このとき，半径 ` の円板の形の２台の貨車が，それぞれ A 市から B 町，および，B 町から A 市へと反対方向に進んで，接触しないで，移動できるか？
答：できない．２本の道のそれぞれの位置の組（配位）を正方形 {(x1 , x2 ) | 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤x2 ≤ 1} であらわす．このとき，２台の自動車の配位は，A 市側の端の点の組 (0, 0) から B
町側の端の点の組 (1, 1) に至る連続曲線を描く．また，２台の貨車の配位は，A 市側の端の点と B 町側の端の点の組 (0, 1) から (1, 0) に至る連続曲線を描く．これらの曲線は，必ず共有点を持つので，２台の貨車は，ある瞬間，２台の自動車の位置関係とまったく同じ状態にある．そのとき，両者の距離は 2` 以下であるから，そのとき，接触が起きることになる．
ブラウアーの不動点定理（一般次元版）：n 次元円板 Dn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | x21 +x22 +· · ·+x2n ≤1} から Dn への連続写像には不動点が存在する．
ブラウアーの不動点定理の証明：一般の場合も同様なので，n = 2 の場合に示す．f : D2 → D2
を任意の連続写像とする．f の不動点が存在しないと仮定して矛盾を導く．任意の x ∈ D2 に対して f (x) 6= x なので，x から f (x) に向かう半直線が定まり，それが D2 の境界 S 1 と交わる点を h(x) と定まると，h : D2 → S 1 は連続写像となり，また，x ∈ S 1 のとき，h(x) = x とi∗h∗なる．このとき，準同形 H1 (S 1 ) −→ H1 (D2 ) −→ H1 (S 1 ) を考えると，H1 (S 1 ) ∼= Z の生成元

1 について，H2 (D2 ) = 0 なので i∗ (1) = 0 であるが，0 = h∗ (0) = h∗ (i∗ (1)) = (h∗ ◦ i∗ )(1) = 1となり，矛盾が導かれる．

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計算トポロジーの基礎

ホモロジー群や，ベッチ数の計算する際の基本的な考え方，方法を紹介する．
一般に鎖複体 (chain complex) (C, ∂) とは，加群の列 C0 , C1 , C2 , . . . , Cq , . . . と，加群準同型
写像 ∂q : Cq → Cq−1 の列
∂q+2

∂q+1

∂q

∂q−1

· · · −→ Cq+1 −→ Cq −→ Cq−1 −→ · · ·であって，条件 ∂q−1 ∂q = 0 （つまり，各 c ∈ Cq に対し，∂q−1 (∂q c) = 0) をみたすもののことである．単体的鎖複体や CW 鎖複体，下に述べる立方体的鎖複体は，すべて鎖複体である．

4

標準基底：各 q = 0, 1, 2, . . . について，Cq の自由生成元

aq,1 , . . . , aq,αq ; bq,1 , . . . , bq,βq ; cq,1 , . . . , cq,γq ; dq,1 , . . . , dq,δq ; eq,1 , . . . , eq,εq(rankCq = αq + βq + γq + δq + εq ), を選ぶと，２以上の整数 tq−1,1 , tq−1,2 , . . . , tq,βq で tq−1,j は
tq,j+1 の約数となるものが決まって，∂q aq,i∂q bq,j∂q cq,k∂q dq,`∂q eq,m=====eq−1,i ,tq−1,j dq−1,j ,
0,
0,
0,

(1 ≤ i ≤ αq ),(1 ≤ j ≤ βq ),(1 ≤ k ≤ γq ),(1 ≤ ` ≤ δq = βq+1 ),(1 ≤ m ≤ εq = αq+1 ),となる．このとき，q-次ホモロジー群は

Hq = Zγq ⊕ Z/tq,1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/tq,δq Zとなる．

Z-行基本変形，列基本変形 : 整数係数の行列を，整数の範囲で可逆な変形を繰り返して，簡単な形の行列にする．
Z-基本変形を用いて，aq , bq と eq , dq を決め，その後 cq−1 を決め，その後，再び，Z-基本変形
を用いて，aq+1 , bq+1 と eq+1 , dq+1 を決め，その後 cq を決める．この操作を q = 1 から n − 1
まで繰り返す．


3 2 3


演習問題 : 行列 A =  0 2 0  を Z-行基本変形，Z-列基本変形の両方を繰り返し行って，
2 2 2


1 0 0


B =  0 2 0  にできることを確かめよ．
0 0 0
最近発展している “デジタル・トポロジー”(digital topology) の分野では，単体複体の代わりに，次の立方体的複体を使う．
初等立方体 (elementary cube)．立方体的集合 (cubical set)．q-立方体的鎖 (cubical chain)．

b1 + n2 Q
b 2 + · · · + ns Q
bsc = n1 Q
q-立方体鎖群 Cq ．単体的複体のときと同様に，境界作用素 ∂q : Cq → Cq−1 が定義され，立方体的鎖複体 (C, ∂)，立方体的ホモロジー群 Hq が定義される．立方体的ホモロジー群は，単体的ホモロジー群と同型である．

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位相と位相空間
数学のトポロジーの本を読むときに，知っておくと便利な予備知識．

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集合 X が位相空間とは，X の部分集合の一つ一つが “X の開集合である”か “X の開集合でない”かが，いちいち明確に決められている (決める手続きが与えられている) 場合に言う．
ただし，次のことが最低限要求される (開集合の決めかたの条件，開集合系の条件)：
X の開集合たちの有限個の共通部分も X の開集合である．
X の開集合たちの和集合 (無限個の和集合であってもよい) も X の開集合である．
X 自身と ∅ ⊆ X は X の開集合である．

OX := {U | U ⊆ X は X の開集合 } ( ⊆ PX := {S | S ⊆ X は X の部分集合 })と書くことがある．OX は，X の開集合たちの集合である．位相空間 X の開集合系あるいは位相 (topology) あるいは位相構造 (topological structure) とよばれる．
開集合系が初めに与えられた場合，「閉集合 ⇔ その補集合が開集合」と定義される．
注：場合によっては，開集合系の代わりに閉集合系を指定することがある．
閉集合系の条件は次で与えられる：
X の閉集合たちの有限個の和集合も X の閉集合である．
X の閉集合たちの共通部分 (無限個の共通部分であってもよい) も X の閉集合である．
X 自身と ∅ ⊆ X は X の閉集合である．

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基本的な位相空間

n 次元デカルト (Cartesian) 空間 (ユークリッド (Euclid) 空間)：Rn := {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈R, (1 5 i 5 n)}.
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , kxk :=pPn

2
i=1 xi .

n 次元閉円板 (closed disk, 閉球体, closed ball)：Dn := {x ∈ Rn | kxk 5 1}.
◦

n 次元開円板 (open disk, 開球体, open ball)：Dn := {x ∈ Rn | kxk < 1}.
(n − 1) 次元球面 (sphere)：S n−1 := {x ∈ Rn | kxk = 1}. S 1 : 円周，S 2 : 球面，S 3 : 3 次元
球面．
単位区間 (unit interval, ゼロイチ区間) I = [0, 1] := {x ∈ R | 0 5 x 5 1}.
n 次元立方体 (cube)：I n := {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | 0 5 xi 5 1, (1 5 i 5 n)}.
◦◦◦例． D1 と R1 は同相である．D2 と R2 は同相である．Dn と Rn は同相である．

def.
同相である ⇐⇒ 同相写像 (両連続な全単射) が存在する．
演習． D1 と I 1 = I は同相である．D2 と I 2 が同相である．
※ Rn の開集合系．

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def.
U ⊆ Rn が Rn の開集合 ⇐⇒ 「∀a ∈ U, ∃ε > 0, ∀x ∈ Rn , (kx − ak < ε ⇒ x ∈ U )」演習問題． この Rn の開集合の決め方が開集合系の条件を満たすことを確かめよ．
◦

例． Dn ⊂ Rn は Rn の開集合である．
例． S n−1 ⊂ Rn は Rn の閉集合である．
例題． A 君は，「開集合でなければ閉集合だ」と言っている．彼は正しいか？
※ Rn の部分集合 A の開集合系 (誘導位相)．
def.

V ⊆ A が X の開集合 ⇐⇒「Rn のある開集合 U があって，V = U ∩ A と表される．
」
例．OA := {U ∩ A | U ∈ ORn } は開集合系の条件を満たす．
※ 位相空間 (X, OX ) の部分集合 A の開集合系 (誘導位相)．

OA := {V ⊆ A | ∃U ∈ OX , V = U ∩ A}.
相対位相を入れた部分集合を部分空間とよぶ．
例． 上の OA は開集合系の条件を満たす．
注：「開集合である」とか「閉集合である」という場合は，誤解のないように「D3 の開集合である」とか「S 2 の開集合である」という具合に，何処で考えているかを必ず明示しよう．

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トポロジーの本—トポロジーとは？
● 川久保勝夫 著「トポロジーの発想」ブルーバックス B1076 講談社．ISBN 4-06-257076-9
トポロジーの考え方を知るのに最適な啓蒙書．
● 本間龍雄 編「新しいトポロジー」ブルーバックス B214 講談社．ISBN 4-06-117814-8
現在品切れ．安野光雅氏による表紙．
● 永田雅宜 監訳，足立正久，小島誠訳「幾何学からトポロジーへ」紀伊国屋書店．
現在絶版．
● 本間龍雄・岡部恒治 著「微分幾何とトポロジー入門」基礎数学叢書６，新曜社．ISBN 4-7885-0900-6
基本的な話題を手際良く解説．
—トポロジー入門● 松本幸夫 著「トポロジー入門」岩波書店．ISBN 4-00-005729-4
トポロジー (位相幾何学) の標準的な教科書．
● 小島定吉 著「トポロジー入門」２１世紀の数学７，共立出版．ISBN 4-320-01559-2
トポロジー (位相幾何学) の標準的な教科書．
● 田村一郎 著「トポロジー」岩波全書，岩波書店．ISBN 4-00-021413-6
３角形分割やホモロジーに詳しい．
● 河田敬義 編「位相幾何学」現代数学演習叢書２，岩波書店．ISBN 4-00-005149-0
古いが，よい演習書．
● C. Kosniowski, A ﬁrst course in algebraic topology, Cambridge Univ. Press.1980. ISBN 0-52129864-4 トポロジー (位相幾何学) の標準的な教科書．
—応用トポロジー● 杉原厚吉著「トポロジー」朝倉書店．ISBN4-254-11580-6
わかりやすいトポロジーの概説．応用指向のトポロジーの教科書として，特に計算トポロジーとグラフ理論の解説がある．

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—計算トポロジー● T. Kaczynski, K. Mischaikow, Computational Homology, Applied Math. Sci., 157, SpringerVerlag. ISBN 0-387-40853-3
Cubical homology による定式化とその計算．力学系への応用．
—グラフ理論● N. ハーツフィールド，G. リンゲル著，鈴木晋一訳「グラフ理論入門」サイエンス社．ISBN4-78190654-0
図形としてのグラフ理論入門．
● 前原 濶，根上生也 著「幾何学的グラフ理論」朝倉書店．ISBN4-254-11421-4
グラフ理論の中の幾何学的部分（トポロジー的部分）の解説．
—結び目理論● 鈴木晋一 著「結び目理論入門」サイエンス社．ISBN 4-7819-0633-8
結び目理論の比較的わかりやすい入門書．
● L.H. カウフマン著，鈴木晋一・河内明夫 監訳「結び目の数学と物理」培風館．ISBN 4-563-00237-2
おもしろい話題が豊富．
L.H. Kauﬀman, Knots and physics. Third edition. Series on Knots and Everything, 1. World
Scientiﬁc ISBN: 981-02-4112-7● 河内明夫 編著「結び目理論」シュプリンガー・フェアラーク東京 ISBN 4-431-70571-6
結び目理論の概観を得るのに最適な専門書．
—特異点と微分幾何
トポロジーは微分幾何学 (曲率など) の知識があると，より活用できる．
● 小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」裳華房. 微分幾何の定評ある入門書．
● 梅原雅顕，山田光太郎 著「曲線と曲面」裳華房．ISBN 4785315318
新しい微分幾何の教科書．上の２冊ともに，閉曲線や閉曲面6 のトポロジーと曲率の関係 (ガウス・ボ
ンネの定理など) も説明されている．
● 泉屋周一・佐野貴志 著「幾何学と特異点」特異点の数理１，共立出版．ISBN 4-320-01670-x
幾何学にあらわれる特異点を解析する基本的な方法の概説．いろいろな可視化に活用できるのでは？
● 泉屋周一・石川剛郎 著「応用特異点論」共立出版．ISBN 4-320-01594-0
特異点論の応用に関する専門書．
● V.I. Arnold, Catastrophe theory. Third edition. Springer-Verlag, Berlin, 1992. ISBN: 3-54054811-4
カタストロフ理論に関する良い概説．
● T. Poston, I. Stewart, Catastrophe theory and its applications. ISBN: 0-486-69271-X
カタストロフ理論の応用に詳しい．
● J.F. Nye, Natural Focusing and Fine Structure of Light, Caustics and Wave Dislocations. Instituteof Physics Publishing, 1999. ISBN 0-7503-0610-6
特異点論，カタストロフ理論の光学への応用．
—トポロジーと物理● 倉辻比呂志 著「幾何学的量子力学」シュプリンガー現代理論物理学シリーズ２，シュプリンガー・
フェアラーク東京．ISBN 4-431-71171-6
縦糸に経路積分，横糸にトポロジー．
● 倉辻比呂志 著「トポロジーと物理」パリティ物理学コース，丸善．ISBN 4-621-04045-6● Giuseppe Morandi, The Role of Topology in Classical and Quantum Physics, Lecture Notes inPhysics, m7, Springer-Verlag (1992). ISBN 3-540-55088-7

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特異点がなく有界閉集合になっているもののこと．閉集合ということよりは強い意味で使う．

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