２００１年

青山学院中等部

算数問題

(３の１)
解答は解答用紙にかきなさい。円周率を使うときは，３ .１４を用いなさい。
( 1)

７８＋｛１３８−３×(１８−５)｝÷１１＝( 2)

０.０８×３.７＋０.８×０.１５−８×０.００２＝

( 3)

１
１２

−

１

＝

１
２０

５
１
１
− )÷１ ＝
１２ ６
２

( 4)

０.３−(

( 5)

３
１.０５：１を簡単な比にすると
５

ア

：

イ

です。

3

(6)

切り口が半径２０㎝の円で長さが５ｍの丸太の重さは３７６ .８㎏でした。この丸太の１㎝ の重さは
ｇです。

( 7)

日の出から日の入りまでを昼，日の入りから日の出までを夜ということにします。ある日の昼の長さと夜の長さの比は４：５で，日の出は午前６時３４分でした。日の入りは午後
ア
時
イ
分で
す。

( 8)

家からポストまで母と子がいっしょに並んで歩いて行きました 。母の歩幅は子の歩幅より１６㎝長く ，家からポストまで母は２１０歩，子は２９４歩でした。家からポストまでの道のりは
ｍです。

( 9)

次のような整数の並べ方を考えました。まず整数を２つ考えて１番目，２番目とします。３番目は１番目と２番目を足したもの，４番目は２番目と３番目を足したもの，５番目は……とします。３番目が１５，６番目が６１のとき７番目はです。

はば

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(３の２)(10)

一瞬光っては消えることをくり返す２種類の電球Ａ，Ｂがあります。Ａは８秒ごとに光り，Ｂは６秒ごとに光ります。３時ちょうどにＡが光りました。その４秒後にＢが光りました。このあとＡとＢが同時に２０回目に光るのは ア 時 イ 分 ウ 秒です。

( 11)

台形を右の図のようにア，イ，ウ，エの４つの部分に分けました。
2
アは平行四辺形 ，エは正方形です 。ウの面積は３０㎝ で ，２2
全体の面積のです。イの面積は
㎝ です。
３３

(12)

ア図のように分度器の中心Ａに１組の三角定規①と②の頂点を重ねます。矢印の方向に①を４３度，②を２４度回転させるとイ図のようになりました。このとき辺ＡＢは分度器の６１度の線と重なり，辺ＡＣは１７２度の線と重なりました。あの角は
度です。
Í

(13)

１から７までの７つの整数を１つずつ図の一番下の○の中に入れました。４と３の位置は図のようにわかっています。
そして２つの整数を比べて大きい方をその上の○に入れます。たとえばクとケを比べてクの方が大きければクの数をオに入れます。この図で「イとエは異なる 」「オとキの和は６」ということがわかっています。クとケの数の和は
で
す。

(14)

図のような円柱と円すいからできている立体があります。これを水の入っている直方体の容器に立体の底から５㎝しずめたところ，水面が６㎝上がりました。次に全部をしずめたところさらに水面が５.４㎝上がりました。円すいの部
分の高さは
㎝です。

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(３の３)(15)

赤と青のカードが合計１００枚あります。愛さんがそのうちの５０枚をとり，残りを勇君がとりました。愛さんは勇君に赤のカードを１２枚あげて，勇君から青のカードを６枚もらいました。その結果，愛さんの赤と青のカードの枚数は同じになり，勇君の赤のカードの枚数は青のカードの枚数の３倍になりました。最初の１００枚のうち赤のカードは
枚でした。

(16)

遊園地にＡとＢの２つのミニ列車があります。これらは中心が同じ２つの円の円周上を同じ向きに走ります。Ａは１周するのに９分かかり，
Ｂは１周するのに４分かかります。どちらも１回乗ると２周します。いま，図のように円の中心から見て一直線上にあるＡとＢが同時に出発しました。再び円の中心から見て一直線上の位置になるのは，出発し
てから
ア
分
イ
秒後です。

(17)

兄と妹はおこづかいを出し合ってお母さんへプレゼントをすることにしました。はじめ，兄は妹の２ .５倍のおこづかいを持っていましたが，１１００円ずつ出し合ってプレゼントを買ったところ，兄のおこづかいの残金は妹の残金の４倍より１８０円少なくなりました。兄の残金は
円です。

(18)

１辺が２㎝の立方体を図のように積み上げて表面にペンキで色をつけました(底面もふくみます)。そしてペンキがかわいてから一つ一つバラバラにしました。
① ３つの面に色がついている立方体は
個です。
②

(19)

色がついていない面の面積を合計すると

2

㎝ です。

明君は自転車で，お父さんは車で，自宅からおじさんの家へ行きます。明君は自宅を午後１時に出発
して，時速１２㎞で走っていると，明君より４５分おくれて出発したお父さんに午後２時に追いこされました。お父さんはおじさんの家に着いてから，３０分後に行きと同じ速さで自宅に向かって出発し，
午後４時２４分に明君と出会いました 。 明君の自宅からおじさんの家までの道のりは㎞です 。

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２００１年

青山学院中等部

算数解答用紙

氏

名

受験番号

(1)

( 11 )㎝2(2)( 12 )

度(3)( 13 )(4)( 14 )㎝( 15 )

枚

(5)

ア

イ

(6)
(7)

ア

時 イ

(8)

ｇ

( 16 )

分( 17 )

ｍ

ア

分 イ

秒後

円

①

個

②

㎝

( 18 )(9)( 10 )

ア

時 イ

分 ウ

秒

( 19 )

2㎞

合計

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２００１年

青山学院中等部

算数解答

氏

名

受験番号

(1)

８７

( 11 )

６０

㎝2

(2)

０ .４

( 12 )

２９

度

(3)

３０

( 13 )

７( 14 )

４ .５㎝( 15 )

６４

枚

２

(4)
(5)

１５
ア

２１

(6)
(7)

イ

３２

０ .６

ア

(8)

５

時 イ

１４

１ １ ７ .６ｇ

( 16 )

分( 17 )ｍア

７

分 イ １２

秒後

４７００

円

①

１６

個

②

５０４

㎝

７２

㎞

( 18 )(9)( 10 )

９９

ア ３

時 イ ７

分 ウ ５２ 秒( 19 )

合2計

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２００１年
配点

国語１００点，算数１００点

合格最低点

青山学院中等部

算数解説

合計２００点

男子１３５点，女子１４９点

題 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ① 18 ② 19

問

難易度 Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ
難易度

Ｃ

Ｃ

Ｃ

Ａ→１００％正解してください。
Ｂ→８０％以上正解してほしい問題です。
Ｃ→６０％の正解が要求されます。
この問題がどれだけできるかどうかが合否の分かれ目です。
Ｄ→難問です。
わからなかったら時間をかけずにさっさとあきらめることが必要です。

ワンポイントヒント( 1)「＋−よりも×÷が先」を忘れないようにしましょう。

( 2)

０ .８×０ .１５は，０ .８の方の小数点を左に１つずらせば０ .１５の方は右に１つずらせばよい
ので，０.０８×１ .５となります。

( 3)

分母だけを求めることに注意しましょう。

( 4)

分数で計算するようにしましょう。

( 5)

１ .０５：１.６は，１０５：１６とはなりません。１０５：１６０となります。

( 6)

単位を㎝，ｇにそろえてから計算しましょう。

( 7)

昼と夜の合計が１日，つまり２４時間であることを忘れないようにしましょう。

( 8)

少ない歩数ですんだ人の方が，歩幅が大きかったということです。歩数の比と歩幅の比は，逆比になります。
(別解)１歩あたりの差がわかれば，２１０歩あたりの差もわかります。

( 9)

４番目の数をＡ，５番目の数をＢとして式を書けば，和差算であることに気がつくでしょう。

(10)

まず力づくで１回目の時刻を求めましょう。そのあとは，最小公倍数ごとに同時に光ることに
なります。

(11)

全体の面積から，ア・ウ・エの面積をひけばイの面積になります。

(12)

いろいろな角度を書き込んでいけば，自然に答えがわかるでしょう。

(13)

適当に数字をあてはめてみて，試行錯誤することが大切です。

(14)

問題として不備があるので，解けなくてもかまいません。

(15)

愛さん，勇君の持っているカードの和は何枚になるのかを考えましょう。

(16)

１分あたり何度動くかをまず求めましょう。

(17)

残金はちょうど４倍ではなく ，「４倍よりも１８０円少なくなった」ことに注目します。

(18)①
②
(19)

１段目，２段目，…と分けて考えましょう。
バラバラにしたときの全体の表面積から，色がついている面積を引きます。
きちんと図を書いて考えましょう。

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解説
( 1)

７８＋{１３８−３×(１８−５)}÷１１＝７８＋(１３８−３×１３)÷１１＝７８＋(１３８−３９)÷１１＝７８＋９９÷１１
＝７８＋９
＝８７

( 2)

０ .０８×３.７＋０.８×０ .１５−８×０ .００２
＝０ .０８×３.７＋０.０８×１.５−０.０８×０ .２＝０ .０８×(３ .７＋１.５−０.２)＝０ .０８×５
＝０ .４
１

( 3)

１２

１

−

２０

＝

５
６０

−

３
６０

＝

２
６０

＝

１
３０

ですから，□＝３０

５
１
１
０ .３−(
− )÷１
１２ ６
２

( 4)
＝
＝

＝

＝
＝
＝
＝

３
１０
３
１０
３
１０
３
１０
９
３０

−(
−

−
−

１２
３

１２
1

−

５

−

÷

２
１２

)÷１

１
２

３
２

1
／
３ ×２
／

１２×３
／
6
1
１
６
５
３０

４
３０
２
１５
３

１

３ ２１ ８ ２１ ３２
：１ ＝
： ＝
：
＝２１：３２２０
５ ２０ ５ ２０ ２０( 5)

１ .０５：１( 6)

５ｍ＝５００㎝，３７６.８㎏＝３７６８００ｇ

５＝１

この丸太の体積は，底面積×高さ＝２０×２０×３.１４×５００＝６２８０００㎝

3

６２８０００㎝ 3 あたり３７６８００ｇですから，この丸太の１㎝ 3 の重さは，
３７６８００÷６２８０００＝０.６ｇ
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( 7)

１日は２４時間です。これを昼と夜に４：５に分けるのですから，昼の時間は，
２４÷(４＋５)×４＝１０
２
３

時間＝６０×２
３

２
３(時間)です。

分＝４０分 ですから，昼の時間は１０時間４０分になります。

日の出は午前６時３４分ですから，日の入りは，
６時３４分＋１０時間４０分＝１６時７４分＝１７時１４分＝午後５時１４分( 8)となります。

まず歩幅の比を求めます。母が２１０歩で歩く距離を子は２９４歩で歩くのですから，歩数の比は ２１０：２９４＝５：７になります。歩幅の比は逆比になるので，７：５です。
母と子の歩幅をそれぞれ⑦，⑤にすると，２人の歩幅の差は⑦−⑤＝②となり，それが１６㎝なので，①あたり，１６÷２＝８(㎝)です。
母と子の歩幅は，それぞれ ８×７＝５６(㎝)，８×５＝４０(㎝)となります。

家からポストまでの道のりは，母が２１０歩で進む距離ですから，５６×２１０＝１１７６０(㎝)→１１７.６(ｍ)となります。
(別解)

１歩あたりの差は１６㎝ですから，２１０歩あたりの差は，１６×２１０＝３３６０(㎝)です。つまり，２１０歩あるけば母はポストにつき，子はポス

トまであと３３６０㎝のところにいます。
子の残りの歩数は，２９４−２１０＝８４(歩)ですから，子は８４歩が３３６０㎝ということになります。
子の１歩は，３３６０÷８４＝４０(㎝)です。
家からポストまでは，子が２９４歩で歩く距離ですから，４０×２９４＝１１７６０(㎝)→１１７.６(ｍ)となります。
( 9)

４番目をＡ ，５番目をＢとすると ，３番目から６番目までは ，１５ ，Ａ ，Ｂ ，６１ となります 。
５番目は３番目と４番目を足したものですから，１５＋Ａ＝Ｂ…①

６番目は４番目と５番目を足したものですから，Ａ＋Ｂ＝６１…②①により，ＡとＢの差は１５，②により，ＡとＢの和は６１ですから，あとは和差算になります。
Ａは，(６１−１５)÷２＝２３，
Ｂは，２３＋１５＝３８ となります。
７番目の数は，５番目の数(＝Ｂ)と６番目の数(＝６１)の和ですから，
３８＋６１＝９９ です。
(10)

Ａは８秒ごとに光るのですから，０秒，８秒，１６秒，２４秒，…と光ります。
Ｂは，はじめは４秒に光り，そのあと６秒ごとに光るのですから，１０秒，１６秒，２２秒，…と光ります。
よって，ＡとＢが１回目に同時に光るのは，１６秒のときです。
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そのあと，８と６の最小公倍数である２４秒ごとに同時に光っていきます。
２０回目に光るのは，１回目の１９回あとですから，２４×１９＝４５６秒後になります。
１回目は１６秒のときで，その４５６秒後ですから，１６＋４５６＝４７２秒
４７２÷６０＝７ あまり ５２ ですから，３時７分５２秒になります。
(11)

全体の面積の2(㎝ )です。

２
３３

2がウの面積である３０㎝ ですから，全体の面積は，３０÷

２
３３

＝４９５

また，エは正方形で，横の長さが１５㎝です
から，たての長さも１５㎝です。
よって，アの平行四辺形の高さも１５㎝とな
2り，アの面積は，１２×１５＝１８０(㎝ )になります。
エの正方形の面積は ，１辺が１５㎝ですから ，
１５×１５＝２２５(㎝ 2)です。
2

2

ここまでまとめると，全体の面積は４９５㎝ で，アの面積は１８０㎝ ，ウの面積
22は３０㎝ ，エの面積は２２５㎝ ですから，イの面積は，
2４９５−(１８０＋３０＋２２５)＝６０(㎝ )となります。
(12)

右の図のように点Ｄ，点Ｅを決めると，三角定規の角ＡＢＤは４５度ですから，ＡＤの線はイ図
では，分度器の ６１−４５＝１６(度)のところにあります。よってア図では，１６＋２４＝
４０(度)のところにあったはずです。
また，三角定規の角ＣＡＥは６０度ですから，
ＡＥの線はイ図では，分度器の １７２−６０＝
１１２(度)のところにあります。よってア図では，１１２−４３＝６９(度)のところにあったはずです。
よって，あの角度は，６９−４０＝２９(度)○となります。

(13)

まず，「イとエは異なる」ということをよく考えてみましょう。
もし，キが５ならば，エは(キと３を比べて大きい方だから)５になりますね。そしてイも(４とエを比べて大きい方だから)５になります。
よって，イとエが同じ数になってしまうのでいけません。
同じようにして，キが６，７であってもいけません。
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これで ，キは５より小さい数であることがわかります 。４と３はすでに使ってありますから ，
キは１か２のいずれかになります。
ところがキが２ならば ，「オとキの和は６」と書いてありましたから，オは ６−２＝４となりますが，すでに４は使ってありますからいけません。
よってキは１になり，オとキの和が６ですから，
オは ６−１＝５ になります。
オが５だったら，クとケを比べて大きい方が５ですか
ら，クとケのいずれかは５，もう一つは５より小さい数になります。
５より小さい数というのは４，３，２，１ですが，すでに４，３，１は使っていますから，２しかありえません。
よって，クとケのいずれかは５，もう一つは２ですから，クとケの和は５＋２＝７となります。
(14)(この問題は不適切な部分があるので，できなくてもかまいません。)
この立体と同じ体積で，右図のように円柱だけからできている立体を考えます。この立体の底から８㎝までは，この問題の立体と同じなので，底から５㎝しずめた→

水面が２㎝上がった…①となるはずです。また，この円柱はこの問題の立体と同じ体積ですから，
この問題に書いてある通り，
全部しずめた→水面がさらに１.８㎝上がった…②となります。
②では，水面が ２＋１.８＝３.８(㎝)上がったことになりますから，①のときの，３ .８÷２＝１ .９(倍)となります。よって，②のときは，底から ５×１ .９＝９ .５(㎝)
だけしずめたことになります。これがこの円柱の高さになります。
ところが実際の立体は上の部分が円すいでしたね。よって，この円柱の上の部分の，９ .５−８＝１ .５(㎝)を，同じ体積の円すいに変えればよいことになります。
円すいの高さを□㎝とすると，円柱の体積は 底
面積×１.５で，円すいの体積は
底面積×□÷３ ですから，□÷３が１ .５になればよいことになり，□は，１ .５×３＝４ .５(㎝)とな
ります。
(15)

愛さんははじめに５０枚をとりました。そして，勇君に１２枚のカードをあげたら，
５０−１２＝３８(枚)になります。そのあと，勇君から６枚もらったら，３８＋６＝４４(枚)になります。このときに，赤と青のカードの枚数は同じになったのですから，赤は ４４÷２＝
２２(枚)となります。…①
また，勇君ははじめに１００−５０＝５０(枚)をとりました。愛さんから１２枚のカードをもhttp://www.sugurunet.com

らったら，５０＋１２＝６２(枚)になります。そのあと，愛さんに６枚あげたら，６２−６＝
５６(枚)となります。このとき，赤は青の３倍，つまり，赤と青の枚数の比は３：１だから，赤の枚数は，５６÷(３＋１)×３＝４２(枚)となります。…②①，②から，赤のカードは，２２＋４２＝６４(枚)となります。
(16)

このような問題は，１分あたりに動く角度で考えましょう。
Ａは１周するのに９分かかるのですから，１分あたり ３６０÷９＝４０(度)動き，
Ｂは１周するのに４分かかるのですから，１分あたり ３６０÷４＝９０(度)動きます。
つまり，１分あたり，９０−４０＝５０(度)ずつはなれていくことになります。
ところで円の中心から見て一直線上の位置になるためには，ちょうど１周ぶん，
つまり３６０度はなれなければならないわけですから，３６０÷５０＝７ .２(分)かかります。
０.２×６０＝１２ ですから，７.２分＝７分１２秒(17)となります。

はじめ，兄は妹の２ .５倍でした。つまり兄と妹の比は，２.５：１＝５：２となっていたわけです。そして，兄も妹も１１００円ずつ使ったら，兄は妹の４倍より１８０円少
なくなりました。この兄は使いすぎですね。使いすぎたから，(妹の４倍よりも)１８０円少なく
なってしまったのです。１１００円も使わずに，１１００−１８０＝９２０(円)だけ使っていた
ら，ちょうど妹の４倍になっていたはずです。
ここまでまとめると，
・兄と妹の比は５：２だった。
・兄が９２０円，妹が１１００円使ったら，兄は妹の４倍になった。
比例式にすると，(⑤−９２０)：(②−１１００)＝４：１となります。

比例式は，外項の積と内項の積が等しいので，(⑤−９２０)×１＝(②−１１００)×４
かっこをはずして，⑤−９２０＝⑧−４４００
４４００−９２０＝３４８０(円)が，⑧−⑤＝③にあたるわけですから，①あたり，３４８０÷３＝１１６０(円)。
はじめの兄は⑤でしたから，１１６０×５＝５８００(円)。
この問題は，兄の残金を求める問題です。兄は本当は１１００円を使ったので，
５８００−１１００＝４７００(円)。
(18)①

１段ずつスライスして考えましょう。
下の図に書いてある数字は，何面に色がついているかを示しています。○つきの場合は，上からまたは下から見える面です。

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３つの面に色がついている立方体は，１段目に５個，２段目に２個，３段目に２個，４段目に７個の，全部で ５＋２＋２＋７＝１６(個)になります。
②

この立体は，前・後・左・右・上・下のいずれから見ても１辺４個の正方形に見えます。１つの正方形の１辺は，２×４＝８(㎝)ですから，この正方形の面積は，８×８＝６４(㎝ 2)。
22

６方向のいずれから見ても６４㎝ ですから ，この立体の表面積は，６４×６＝３８４(㎝ )2になります。つまり，色をつけた面の面積は３８４㎝ です。
ところでこの立体は１段目から３段目までは７個，４段目は１６個の小立方体でできていま
すから，この立体をバラバラにすると，７×３＋１６＝３７(個)の小立方体になります。１つ2の小立方体の表面積は(２×２)×６＝２４㎝ ですから ，バラバラにしたときの表面積全体は ，2

２４×３７＝８８８(㎝ )となります。
このうち色をつけた面の面積は３８４㎝ 2 でしたから，色をつけていない面の面積は，
８８８−３８４＝５０４(㎝ 2)となります。
(19)

明君がお父さんに追いこされた地点をＡ地点，明君がお父さんと出会った地点をＢとします。
問題の内容は下の図のようになります。

家からＡまでの距離は，時速１２㎞の明君が午後１時から午後２時までの１時間で進む距離ですから，１２㎞になります。この距離を，父は 午後２時−午後１時４５分＝１５分 で進むことになりますから，父は１５分で１２㎞，つまり分速 １２÷１５＝０ .８(㎞)になります。
明君は，午後２時から午後４時２４分までの２時間２４分＝２ .４時間に，ＡからＢまで進みましたから，ＡからＢまでの距離は，１２×２.４＝２８.８(㎞)になります。
お父さんは，午後２時から午後４時２４分までの２時間２４分で，Ａからおじさんの家をＵターンしてＢまで進みましたが，この２時間２４分の中にはおじさんの家にいた３０分も入っていますから，お父さんが進んでいた時間は，２時間２４分−３０分＝１時間５４分＝１１４分となります。お父さんは分速０ .８㎞でしたから，１１４分間で ０ .８×１１４＝９１ .２(㎞)進んだことになります。
距離についてまとめると，
明君の進んだ距離は，家→Ａが１２㎞でＡ→Ｂが２８.８㎞ですから，１２＋２８.８＝＝４０.８(㎞) になります。
お父さんの進んだ距離は，家→Ａが１２㎞でＡ→Ｂ→おじさん→Ｂが９１.２㎞ですから，
１２＋９１.２＝１０３.２(㎞) になります。
よって，２人の進んだ距離の合計は，４０ .８＋１０３ .２＝１４４(㎞)になり，これが自宅からおじさんの家までの距離の往復にあたりますから ，答えは １４４÷２＝７２(㎞)となります 。

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