１９８９年

青山学院中等部

算数問題

(３の１)
解答は解答用紙にかきなさい。円周率を使うときは，３ .１４を用いなさい。
( 1)｛(８９−５３)×１７＋１０８｝÷６＝

( 2)

｛２−１

１
４
２ ２
×(２.４−１ )｝× − ÷１２＝
４
５
３ ３

( 3)

３２÷１

１
４
−８×１.４＋４× −１６÷２.５＝
３
５

( 4)

(０.０２＋( 5)×０.７)÷２

７
７
×２２＋
＝１１
５７
１１

下の式でア〜ケには１から９までの整数が１回ずつ入ります。Ａの値が２けたの整数になったとする
とＡの値は
です。
ア×イ×ウ×エ×オ＝Ａ
カ×キ×ク×ケ( 6)

１時間に３㎜の雨がふりました。この１時間に１ａの土地には
す。

( 7)

１２人で食事をするために
７５ｇずつ減ってしまいました。

( 8)ある水そうに一定の割合で水を入れると１時間でいっぱいになります。入れる水の割合を２０％少な
くすると，時間分でいっぱいになります。

( 9)

ある数を１番目とし，２番目には１番目の数に１を加えたものの逆数，３番目には２番目の数に１を４８加えたものの逆数というようにならべた数の列があります。７番目の数がのとき，１番目の数は７７です。

ç の雨がふったことになりま㎏の牛肉を用意していましたが，急に４人ふえたので１人あたり

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(３の２)(10)

右の２つのグラフはある商店の４月から９月までの売り上げ高と，そのうちでＡ社の製品が占める割合を示したものです。Ａ
社の製品が最も売れたのはア
月で，その売り上げ高はイ万円でした。

( 11)

右の図において長方形ＡＢＣＤの各辺上の点はどれもそれぞれの辺を３等分したものです。○の三角形の面積
ア22が２㎝ のとき斜線の部分の面積は
㎝ です。

(12)

Ａ，Ｂ２つの管があります。Ａ管からは８％の食塩水が毎分３㎏ずつ，Ｂ管からは水が毎分５㎏ずつ出ます。２％の食塩水を１５０㎏作るとき，Ａ管とＢ管を使用する時間の比をできるだけ簡単な整数で表すと：となります。

(13)

ある電気店で定価の２割引きの売り値をつけたテレビをさらに売り値の５％引きで売ったところ，定価より２２５６０円安くなりました。このテレビは円で売れたことになります。

(14)

ふもとのＡ駅と中腹のＢ駅を結ぶ登山電車があります。それぞれの駅を同じ時刻に発車すると，
２分４０秒後にすれちがいます。上り電車は発車して６分後にＢ駅に着きます。下り電車は発車
して分秒後にＡ駅に着きます。

(15)

正三角形ＡＢＣがあります。図１のようにＤＥを折り目にして折ると頂点Ｂは辺ＡＣ上の点Ｆに重なり，このときアの角は７４°でした。ＤＦ，ＥＦに折り目をつけて広げたものが図２です。図２から折り目がＥを通り頂点ＢがＤＦ上にくるように折った図が図３です。図３でイの角は度です。

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(３の３)(16)

右の図の６つの部分を，赤，青，黄の３色でぬり分けたいと思います。色のぬり分けかたは全部で通りあります。

(17)

１から３０までの数字を書いた３０枚のカードがあります。１のカードをＡさんに，２のカードをＢ
君に，３のカードをＣさんに，４のカードをＡさんにというような順に配っていきました。ところが途中で一度，Ｂ君をとばしてＣさんに配ったのに気づかなかったため，すべてのカードを配り終わったと
き，Ａさんのカードの数の合計はまちがえないで配ったときより２５だけ多くなってしまいました。このときＣさんの合計はＢ君の合計よりだけ多いことになります。

(18)

右の図のア〜ウは，直角三角形の各頂点を中心としたおうぎ形です。
Í Íア，イ，ウの半径をそれぞれ４㎝，３㎝，２㎝としたとき，イの面積がÍ Í ÍÍちょうどアとウの面積の和に等しくなりました。アの中心角は
Í Í
Í
度です。

( 19)

右の図のような直方体を図の頂点Ａ，頂点Ｂ，頂点Ｃを通る平面で切り，さらに点Ｄ，点Ｅ，点Ｆを通る平面で切ると４つの立体に分かれます。これらのうち面の数がいちばん多い立体は個の面で囲まれています。

(20)

六角形の中に四角形があります。(図１)六角形の頂点と四角形の頂点とを結ぶ線をひきます。
このとき線はすべておたがいに交わらないように，また中の四角形の辺を横切らないようにして，六角形と四角形にはさまれた部分を三角形だけに分けることができます。このときできた三角形は六角形の辺をふくむもの６個，四角形の辺をふくむもの４個の計１０個です。さらに四角形を三角形に分けると２個の三角形になり，三角形だけで分けられた図になります。(図２)
この図で頂点と頂点を結ぶ線の数は，三角形の各辺のうち外側の六角形の辺以外はすべて他の三角形の辺にもなっているので，(３×１２＋６)÷２より２１本と求められます。
同じように十二角形の中に六角形があるとき三角形だけで分けられた図をつくるとその図にふくまれる線の数は本です。

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１９８９年

青山学院中等部

算数解答用紙

氏

名

受験番号

㎝2

(1)

( 11 )(2)( 12 )(3)( 13 )(4)( 14 )(5)( 15 )

度

通り

：

円

分

秒後

(6)

ç

( 16 )(7)㎏( 17 )

分( 18 )

度( 19 )個( 20 )

本

(8)

時間

(9)
( 10

ア

月

イ

万円

合

計

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１９８９年

青山学院中等部

算数解答用紙

氏

名

受験番号

(1)

１２０
７

(2)

( 11 )( 12 )

９

(3)

９ .６

( 13 )(4)

１ .４( 14 )(5)

７０( 15 )

４

５

：

４ 分

２
３

㎝2

９

７１４４０

円

４８

秒後

２８

度

(6)

３００

ç

( 16 )

(7)

３ .６

㎏

( 17 )

１５ 分( 18 )

３ ７ .５

度

８( 19 )

７

個万円( 20 )

３９

本

(8)

１

時間

(9)
( 10

ア

９ 月

イ

６６０

１８

通り

２３

合

計

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１９８９年
配点

国語１００点，算数１００点

算数の合格基準点(予想)

青山学院中等部

算数解説

合計２００点

男子７０点，女子７８点

題 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

問

難易度 Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ
難易度

Ａ→１００％正解してください。
Ｂ→８０％以上正解してほしい問題です。
Ｃ→６０％の正解が要求されます。
この問題がどれだけできるかどうかが合否の分かれ目です。
Ｄ→難問です。
わからなかったら時間をかけずにさっさとあきらめることが必要です。

ワンポイントヒント( 1)

最後に６でわることを忘れないようにしましょう。

( 2)

分数にしてしっかり計算しましょう。

( 3)

小数で計算した方が早くできるし正確です。

( 4)

途中で１１や１９での約分があります。忘れないようにしましょう。

( 5)

５や７は必ず分子におかなければいけません。なぜでしょう。

( 6)

青山学院の問題では ，毎年単位の問題が必ずといっていいほど出題されます 。注意しましょう 。

( 7)

差集め算の解き方と，人数の比と１人あたりの重さの比は逆比であることを利用する解き方が
あります。

４

５

( 8)

反比例の問題です。２０％少なくする＝０.８倍＝( 9)

逆数というのは，分子と分母をひっくり返した数です。

(10)

それぞれの月の売り上げ高をすべて計算しましょう。

(11)○と斜線部分の三角形は同じ高さであることを利用します。ピラミッド形もありますね。
ア(12)

面積図を用いてＡとＢの重さを求めてから，時間の比を求めます。

(13)

９４０００円を答えにした人は，問題をよく読んでいない人ですね。

(14)

図を書いて考えます。上り電車と下り電車のかかる時間の比がわかります。

(15)

折り返しの問題では，二等辺三角形や，正三角形を探すことがポイントです。

(16)

まちがえやすい問題です。左側の３ますの色を決めたときに，右側の３ますの色のぬり分け

５倍です。時間は逆に４倍になります。

方が何通りあるか求めましょう。
(17)

３０枚くらいなら，全部書いてしまってもかまわないのではないでしょうか。

(18)

式をしっかり書くことと，３.１４の計算はしないことが大切です。

(19)

直方体の見えない面を点線にして書いてから考えましょう。
面と面が交わるときに，直線ができることもポイントです。

(20)

むずかしそうに見えますが，問題に書いてある通りに式を書いていけば，たとえ問題の意味がわからなくても解くことができます。

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解説
( 1)

｛(８９−５３)×１７＋１０８｝÷６＝(３６×１７＋１０８)÷６＝(６１２＋１０８)÷６＝７２０÷６
＝１２０

( 2)

( 3)

２
− ÷１２
４
５
３ ３
１
２
４
２ ２
＝｛２−１ ×(２ −１ )｝× − ÷１２
４
５
５
３ ３
１ ３
２ ２
＝(２−１ × )× − ÷１２
４ ５
３ ３
３
２ ２
＝(２− )× − ÷１２
４
３ ３
１ ２ ２
＝１ × − ÷１２
４ ３ ３
５
１
＝ −
６ １８
１５
１
＝
−
１８ １８
１４
＝
１８
７
＝
９
｛２−１

３２÷１

１

１
３

×(２.４−１

＝３２÷

４
３

４

)｝×

２

＝２４

８×１.４＝１１ .２
４×４
５＝４×０.８＝３.２

１６÷２.５＝６ .４
２４−１１ .２＋３.２−６.４＝９.６

( 4)

１１−
１１４
１１

７
１１

＝

１２１
１１

÷２２×２

−

７
５７

７
１１
＝

＝

１１４
１１

１１４

×１２１

１１ ×２２× ５７＝１

１−０.０２＝０ .９８
０ .９８÷０.７＝１.４

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( 5)Ａの値が２けたの整数になるためには，

ア×イ×ウ×エ×オ
が約分されて分母が１にならなけ
カ×キ×ク×ケ

ればなりません。ところが分母に５をおくと，１から９までの整数の中に５を約分できる整数はありませんから，５は分子におくしかありません。同じようにして，７も分子におくしかありま
せん 。アを５ ，イを７にしてみると ，

５×７×ウ×エ×オとなります 。よって，この分数の値は ，カ×キ×ク×ケ

５×７＝３５の倍数，つまり３５×１＝３５か，３５×２＝７０ しかありえません。３５×３＝
１０５だと，３けたになってしまい条件に合いません。

ウ×エ×オ
よって，５と７以外の１・２・３・４・６・８・９を使って，を１か２にする
カ×キ×ク×ケ

必要があります。１はかけ算をしても変わらないから無視するとして，残りの整数は，
２，３，４＝２×２，６＝２×３，８＝２×２×２，９＝３×３となっていますから，２が(２と ，４で２個と６で１個と８で３個の合計)７個 ，３が(３と，６で１個と９で２個の合計)４個あります。これらを使って１か２になる分数を作る，という問題になります。
すると，２は分子に４個で分母に３個，３は分子にも分母にも２個ずつ使うことしかありえ
２×２×２×２×３×３
なく，
２×２×２×３×３としなければいけません。２が奇数個である以上１になる分数を作ることは無理なんですね。よって，求めるＡの値は，３５×２＝７０ となります。
実際にテストでこのような問題が出題されたときは，５と７を分子にすることはわかるとしてあとは試行錯誤で求めていくことになると思います。
( 6)

3

雨の量を㎝ の単位で求めてから çに直しましょう。
22

まず，１ａは１００ｍ ＝１００００００㎝ です。これだけの面積を持っている土地に，３㎜＝０.３㎝ぶんの雨がふったのですから，雨の体積は，１００００００×０.３＝３０００００(㎝ 3)となります。１ç＝１０００ですから，３０００００㎝ 3 ＝３００çになります。
( 7)

はじめからいる１２人から７５ｇずつ牛肉の量を減らすと，７５×１２＝９００(ｇ)の牛肉を減らすことになります。これで急に来た４人分をまかなうことになりますから，１人あたり，
９００÷４＝２２５(ｇ)ずつ分けることになったわけです。１２＋４＝１６(人)に２２５ｇずつ分けるわけですから，２２５×１６＝３６００(ｇ)→３ .６㎏だけ牛肉があったことになります。
また，この問題は比を使って求めることもできます。はじめは１２人で，後は１２＋４＝１６(人)ですから，はじめと後の人数の比は １２：１６＝３：４ となります。よって，１人あたりに分ける牛肉の量の比は ，逆比になって４：３となります 。１人あたり④だったのが③になった ，ということですね。すると，７５ｇが ④−③＝①にあたりますから，④あたり７５×４＝３００(ｇ)です。つまり，はじめは１２人に３００ｇずつ分けたわけですから，用意してあった牛肉の量は，３００×１２＝３６００(ｇ)→３.６㎏となります。

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( 8)たとえば入れる水の割合を半分にすると，時間は２倍かかりますね。このように，入れる水の割合と時間とは反比例(逆比)の関係にあります 。ですから ，入れる水の割合を２０％少なくする ，つまり １−０ .２＝０.８(倍)→
１時間の１

１
４

倍ですから，１４５
１４倍にすると，かかる時間は時間です。１

１
４

５
４

倍＝１

１
４

倍になります。

時間は，６０÷４＝１５(分)ですから，

１時間１５分となります。
( 9)

何番目かの分数を，たとえば数ですから，まず
７番目が

４８
７７

△
○

△
○

に１，つまりとしましょう。次の分数は，前の分数に１を加えたものの逆
○
○

を加えて

△＋○
○

とし，逆数にして○△＋○となります。

ですから，○が４８で△＋○が７７，つまり△は ７７−４８＝２９となりますから，６番目の分数は２９です。このように，前の分数にもどしていくためには，
４８分子…その分数の分母から分子をひいたもの
分母…その分数の分子という作業をどんどん続けていけばよいわけです。６番目の分数が５番目の分数…
４番目の分数…
３番目の分数…
２番目の分数…
１番目の数
(10)

…

４８−２９
２９
２９−１９
１９
１９−１０
１０
１０−９
９
９−１
１

＝

＝
８
１

＝
＝
＝

２９
４８

ですから，

１９
２９
１０
１９
９
１０

１
９
＝８

たとえば４月の場合，売り上げ高のグラフを見ると１０００万円であることがわかり，Ａ社
製品の割合を見ると６０％であることもわかります。よって，４月のＡ社製品の売り上げ高は，
１０００×０.６＝６００(万円)であることがわかります。同じようにして，
５月…７００万円×０.６＝４２０(万円)
６月…８００万円×０.８＝６４０(万円)
７月…８００万円×０.７＝５６０(万円)
８月…１０００万円×０ .６５＝６５０(万円)
９月…１２００万円×０.５５＝６６０(万円)
よって，最も売れたのは９月の６６０万円であることがわかりました。

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(11)

右の図のようにＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈの記号をつけます。
ＦからＨまでの長さを１とすると，三角形ＥＢＣは
三角形ＨＦＣの３倍ですから，ＥＢの長さは３になります。よってＡＥは，３÷２＝１ .５ になります。
ＡＢは，１.５＋３＝４.５です。よって，ＧＨは，４.５−１＝３ .５ になります。
○の三角形の底辺は１.５，斜線の部分の三角形のア
底辺は３ .５で，高さは同じですから面積の比は，１.５：３.５＝３：７となります。
2○の三角形の面積は２㎝ですから，斜線部分の面積は，２÷３×７＝
ア
なります。
(12)

１４

２
2
＝４ (㎝ )と３
３

Ａ管からは８％の食塩水が出て，Ｂ管からは水(０％の食塩水と考える)が出てきます。Ａ管とＢ管を利用して２％の食塩
水を１５０㎏作るのですから，右の図のような面積図になります。
アとイの部分の面積は同じです。アのたての長さは ８−２＝
６(％)，イのたての長さは２％ですから，アとイのたての長さの比は ６：２＝３：１となります。よって，横の長さの比は，１：３となります。Ａ管とＢ管から出す量の比が１：３となります。
ところで，Ａ管からは３㎏ずつ，Ｂ管からは５㎏ずつ出すのですから，出す時間の比は，(１÷３)：(３÷５)＝

１
３

：

３
５

＝

５
１５

：

９
１５

＝５：９

となります。

結局，１５０㎏は使いませんでしたね。(使ってもできます)(13)

テレビの定価を１とします。２割引きすると，１×(１−０.２)＝０.８ となります。
さらに０.８の５％引きで売ったのですから，０.８×(１−０.０５)＝０.７６ となります。
定価が１で，売った値段が０ .７６ですから，１−０ .７６＝０ .２４ だけ安くしたことになります。これが２２５６０円ですから，１あたり，２２５６０÷０ .２４＝９４０００円となります。これが，テレビの定価です。いま求めたいのは売った値段ですから，定価より２２５６０円安い値段，つまり ９４０００−２２５６０＝７１４４０(円)になります。

(14)

２分４０秒＝１６０秒，６分＝３６０秒ですから，右の
図のように下り電車が１６０秒で進むきょりを，上り電車
は ３６０−１６０＝２００(秒)で進むことになります。
同じきょりを上り電車は２００秒で，下り電車は１６０秒で進むのですから，かかる時間の比は ２００：１６０＝
５：４になります。よって，上り電車が３６０秒かかるきょりを下り電車は，３６０÷５×４＝２８８(秒)かかります。２８８秒＝４分４８秒です。
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(15)

このような折り返しの問題は ，「二等辺三角形」や「正三角形」を探すことがポイントです。
折り返しの場合，折る前と折った後では図形は同じですから，図２の三角形ＦＤＥと三角形
ＢＤＥは同じです。図１のアが７４度ですから，角ＦＥＤも角ＢＥＤも７４度です。また，全体の三角形ＡＢＣは正三角形ですから，角Ｂは６０度，角ＤＦＥも６０度になります。それから，
案外忘れやすいことですが，ＢＥとＦＥは(折る前と折った後の辺なので)同じ長さですね。これがこの問題のポイントになります。
さて，次は図３をよく見てみましょう。図２で，ＢＥとＦＥは同じ長さだったことを覚えていますね。それから，角ＤＦＥは６０度でした。よって三角形ＢＥＦは二等辺三角形で角ＢＦ
Ｅが６０度ですから角ＦＢＥも６０度，角ＦＥＢも，１８０−６０×２＝６０(度)になります。
三角形ＢＥＦは，二等辺三角形というよりも正三角形だったわけですね。

それでは，いよいよ図４を見ていきましょう。図４は，図３の斜線部分の折られた三角形をもどした図形です。この図で角ＦＥＢは６０度でした。また，角ＦＥ(Ｂ)は，図２を見るとわかるように，７４×２＝１４８(度)です。よって，角ＢＥ(Ｂ)は，１４８−６０＝８８(度)となります。角ＢＥＧと角(Ｂ)ＥＧは同じ大きさですから，それぞれ ８８÷２＝４４(度)です。
これで，角(Ｂ)ＧＥは，１８０−(４４＋６０)＝７６(度)とわかり，角ＢＧＥも７６度とわかります。イの角は，１８０−７６×２＝２４(度)になります。
(16)

まず，ア・イ・ウの部分を，赤・青・黄にします。すると，エやオはイの色つまり青は使えないので，赤か黄になります。すると，(エ，オ)＝(赤，黄)あるいは(黄，赤)になります。
※(エ，オ)＝(赤，黄)のとき※(エ，オ)＝(黄，赤)のとき

下の図のようになりますから，下の図のようになりますから，

カは赤でも青でもよいことになります。

カは赤になります。

よって，ア・イ・ウを赤・青・黄に決めたとき，(エ・オ・カ)は(赤・黄・赤)，(赤・黄・青)，(黄・赤・青)の３通りができます。
ところで，ア・イ・ウの決め方は，アが赤青黄のいずれかの３通り，イは残り２通り，ウはその残りの１通りですから，６通りになります。その６通りのそれぞれについて，エ・オ・カの決め方が３通りずつあるわけですから，全部で ６×３＝１８(通り)になります。
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(17)

本当なら，次のように配るはずでした。
Ａ…１，４，７，１０，１３，１６，１９，２２，２５，２８
Ｂ…２，５，８，１１，１４，１７，２０，２３，２６，２９
Ｃ…３，６，９，１２，１５，１８，２１，２４，２７，３０
ところが実際は，Ｂ君をとばしてしまったのです。たとえばＢ君に配るべき「１１」のカードをとばしたとしたら，次のようになります。
Ａ…１，４，７，１０，１２，１５，１８，２１，２４，２７，３０
Ｂ…２，５，８，，１３，１６，１９，２２，２５，２８

Ｃ…３，６，９，１１，１４，１７，２０，２３，２６，２９
Ａ君だけに注目してみましょう。次のようになっています。
はじめのＡ…１，４，７，１０，１３，１６，１９，２２，２５，２８
↓

↓

↓

↓

↓

↓

あとの Ａ…１，４，７，１０，１２，１５，１８，２１，２４，２７，３０
あとのＡは，カードの数字が途中から１ずつ少なくなっています。このままではあとのＡの方が少ないことになりそうですが，最後に「３０」がよけいにあるので，結局あとのＡの方が多くなるのです。この例では，↓が６個分つまり６だけ少なくなって，最後の３０でばんかいするので，３０−６＝２４だけ，あとのＡの方が多くなっています。
さて，この問題では，あとのＡの方が２５だけ大きい，と書いてありました。３０−２５＝
５ですから，↓が５個分つまり５だけ少なくなって，最後の３０でばんかいしたことになります。よって，Ａには次のように配られたことになります。
はじめのＡ…１，４，７，１０，１３，１６，１９，２２，２５，２８
↓

↓

↓

↓

↓

あとの Ａ…１，４，７，１０，１３，１５，１８，２１，２４，２７，３０
これでＡの配り方がわかりましたから，ＢやＣの配り方もわかりますね。
Ａ…１，４，７，１０，１３，１５，１８，２１，２４，２７，３０
Ｂ…２，５，８，１１，，１６，１９，２２，２５，２８

Ｃ…３，６，９，１２，１４，１７，１８，２３，２６，２９
↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

１

１

１

１

１４

１

１

１

１

１

…ＣがＢよりいくら大きいかを表す数

よって，ＣはＢよりも，１×９＋１４＝２３(18)

だけ多いことになります。

イの中心角は９０度ですから，アとウの中心角の和は，１８０−９０＝９０(度)です。
また，アとウの面積の和がイの面積と同じなので，次のように式を書くことができます。
ア
ウ
９０
４×４×３.１４×＋２×２×３.１４×＝３×３×３.１４×
３６０
３６０
３６０
この式の，３ .１４と分母の３６０は共通なので，省略することができます。すると，４×４×ア＋２×２×ウ＝３×３×９０

もっと簡単に，

１６×ア＋４×ウ＝８１０
さあこれで，２つの情報が得られました。
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ア＋ウ＝９０…①と，

１６×ア＋４×ウ＝８１０

…②

です。

…③

となります。②と③の式をくらべると，①の式を４倍すると，４×ア＋４×ウ＝３６０
８１０−３６０＝４５０が，１６−４＝１２

により，１２×アにあたることがわかります。

よってアは，４５０÷１２＝３７.５(度)となります。
(19)

まず，図１のように直方体に見えない辺を書いておきます。
この直方体を頂点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面で切ると，図２のようになります。
また，頂点Ｄ，Ｅ，Ｆを通る平面で切ると，図３のようになります。

図１

図２
図３

図４は，切った平面２面を両方とも書いたものです。
図５は，切った平面２面によってできた交点(切り口の線が交わった点)を黒点で書いたものです。
ところで，平面と平面が交わると，交わったところに直線ができます。その直線を太線で表したものが，図６です。

図４

図５

図６

図７は，４つに分かれた立体のうち面の数がいちばん多い立体を斜線で示したものです。
図８は，その立体だけをぬき出したものです。この図を見れば，面の数が７面であることがわかります。

図７

図８

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(20)まず，図２の中に三角形が何個あるかを考えます。もちろんかぞえればす
ぐわかりますが，計算で求めるようにしましょう。
図１のように，六角形の中に四角形があるときは，六角形の辺をふくむものが図３のように６個あります。四角形の辺をふくむものが図４のように４個あります。また，四角形を三角形に分けると図５のように２個あります。
よって三角形の数は，６＋４＋２＝１２(個)になります。

図３

図４

図５

この１２個の三角形の辺をすべて太線にしたのが，図６です。さらに六角形の辺も太線にしたのが，図７です。

図６

図７

図６の太線の本数は，三角形が１２個あるので ３×１２＝３６(本)です。
図７の太線の本数は，図６にさらにあと６本増やしたので，３６＋６＝４２(本)です。
ところで図７を見ると，すべての辺を２度ずつかぞえていますから，図２にふくまれている線の数は，４２÷２＝２１(本)です。ここまでのことを１つの式にまとめると，｛３×(６＋４＋２)＋６｝÷２＝２１(本)
↓
↓ ↓ ↓
↓
↓
ア
イ ウ エ
オ
カ

となります。

それぞれの数の意味を考えると，次のようになります。
ア…三角形には３本の辺があるから。

イ…外側の六角形の辺の数。

ウ…内側の四角形の辺の数。

エ…内側の四角形の中を，三角形に分けた個数です。

オ…外側の六角形の辺の数。

カ…どの太線も２度ずつ数えているから。

よって十二角形の中に六角形があるときは，式のアが３のまま，イが１２，
ウが６，エは右の図のように４，オは１２，カは２のままとなりますから，｛３×(１２＋６＋４)＋１２｝÷２＝３９(本)となります。
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