技 術 解 説

戦略の数理―ランチェスターの法則
Mathematical Model of Strategy：Lanchester s Laws

矢田部 学＊
Manabu Yatabe

第一次世界大戦中、ランチェスターは敵対する二つの戦力の状態を考察するための微分方程式を提案した。その方程式から導かれる法則は戦略の指針を示し、軍事的な作戦ばかりでなく、今日ではビジネスにおける経営戦略にも応用されている。本レポートではランチェスターの法則について一つの解説を試みる。
Lanchester formulated differential equations to describe two opposed war powers during the FirstWorld War. Laws derived from the equations indicate guidelines for battle plans. Nowadays the laws
are applied to not only military operations but also business strategy. We review the fundamental
concept of the Lanchester s laws in this report.

・戦力の減少は相手の武器性能に比例

1．まえがき
第一次世界大戦中の1916年、英国のランチェスター

これらは戦国時代の戦い方のイメージで、軍と軍の戦力は以下の方程式で記述される。

（Frederick W. Lanchester）は対立する戦力の変化を記述する方程式を提案した。これは時間に関する１階の連（1）立微分方程式である。この方程式に基づき、ランチェス
ターは１次法則（一騎打ちの法則)、２次法則（集中効初期条件：果の法則）と呼ばれる法則を見出した[1][2]。
ランチェスターの方程式・法則は軍事を分析するため（2）

ただし、に提唱されたものであるが、今日ではその考え方は経営：X軍の戦力数戦略にも適用されている[3]。これはビジネスの世界も企：Y軍の戦力数業の生存競争と考えれば当然のことであろう。

：Y軍の武器性能：X軍の武器性能

ランチェスターの方程式は比較的簡単な方程式である
ため、その考え方や解法は、様々な現象（人口問題、生（1）からわかるように と は独立である。したがっ存競争、環境問題、在庫状況など）のモデリングやシミて、それぞれを積分して、時刻 でのX軍とY軍の残存ュレーションに参考になると考えられる。そこで、本レ戦力は以下のようになる。
（3）

ポートでは、ランチェスター方程式の考え方や解析的な解法などについてまとめた私的メモの一部を紹介する。

これらより、t を消去すると（4）

2．基本法則ただし、ランチェスターの二つの基本法則である、１次法則と２次法則について述べる。

：武器性能比これがランチェスターの１次法則である。
X軍とY軍の初期戦力を、それぞれ2.1およびとする。また、X軍とY軍の武器性能を、それぞ１次法則

ランチェスターの１次法則は「一騎打ちの法則」とも呼ばれ以下を前提とする。

れおよびとする。つまり、初期戦力ではY軍が勝っているが武器性能はX軍のほうが高い。この場・一度に一人の相手と戦う「一騎打ち」を想定合の（1）の解（3）をプロットしたものが図１である。これ・つまり、近距離の戦いをモデル化

より、初期戦力が劣っていても、高性能の武器を使用す

39＊鎌倉事業部

第一技術部（博士（理学））れば勝つという結論になる。

（7）

X軍の残存戦力は１次法則（4）より、以下のように算

ただし、出できる。

：武器性能比これがランチェスターの２次法則である。
また、初期条件（6）で（5）を解析的に解くと、時刻 で同じ武器性能比であっても、異なる

武器性能とではY軍の戦力のX軍とY軍の残存戦力は以下のようになる（導出は付録参照)。

がゼロになるまでの時間が異なることが、式（3）よりわかる。
2.2

２次法則

ランチェスターの２次法則は「集中効果の法則」とも（8）呼ばれ以下を前提とする。

２次法則についても１次法則と同様に考えることがで・一人で複数の敵を同時に攻撃可能きる。X軍とY軍の初期戦力を、それぞれ・つまり、遠距離攻撃可能な武器を使用した場合に相当、X軍とY軍の武器性能を、それぞれび・戦力の減少は相手の武器性能と戦力の積に比例
これらは近代の戦争のイメージで、X軍とY軍の戦力は以下の方程式で記述される。

およびおよとする。この場合の（5）の解（8）をプロットしたものが図２である。
X軍の残存戦力は２次法則（7）より、以下のように算出できる。

（5）

１次法則と同様に、同じ武器性能比も、異なる武器性能

初期条件：

（6）

ただし、であってでは戦いの終了までの時間（一方の戦力がゼロ）になるまでの時間が異なることが、
式（8）よりわかる。

：X軍の戦力数：Y軍の戦力数2.3１次法則と２次法則の比較：Y軍の武器性能

以下の条件のもとに、１次法則と２次法則を比較する。

：X軍の武器性能・両軍の武器性能は同じとする（武器性能比：

第１式第２式の結果を時間 で積分して・初期戦力はX軍でX軍優勢とする

これらを式（4）の１次法則と式（7）の２次法則に適用する。
（：積分定数）（6）を適応すると、１次法則：

なので

２次法則：

7766_＝1，`＝2Y軍

0＝5， 0＝74X軍

3＝1， ＝3＝5， 0＝7Y軍

05
残存戦力5残存戦力、Y軍）

422110X軍

300.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0.0

0.1

0.2

時間

図１１次法則

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

時間

図２２次法則MSS技報・Vol.1940

技 術 解 説
つまり、戦力優勢なX軍は２次法則で戦ったほうが、：Y軍の武器性能残存が大きくなる。他方、戦力劣性のY軍は１次法則で：X軍の武器性能戦ったほうがX軍に大きな被害を与えることができる：作戦で生じるX軍の戦力減少（図３参照）。

：作戦で生じるY軍の戦力減少

これはビジネスにおける経営戦略についても同様であ：X軍の戦力増加（補給率）

ると考えられる。つまり、大企業は多角経営で２次法則：Y軍の戦力増加（補給率）

的に経営を行ったほうがよく、中小企業は特定分野に特初期条件：

で（9）を解析的に解化して１次法則的に経営を行ったほうが、業界にインパくと、時刻 でのX軍とY軍の残存戦力は以下のようにクトを与えることができる。

なる（導出は付録参照）。

3．基本法則の拡張
基本法則を拡張して、戦力の分割と補給の効果を取り入れた以下の方程式を考える。
（10）
ただし、

（9）

ただし、
：X軍の戦力数：Y軍の戦力数

1次法則
5.0
4.5

α＝1，β＝1

X軍

4.00

残存戦力

3.5＝5，0（11）＝3

X軍とY軍の初期戦力を3.0

および軍とY軍の武器性能は等しく2.5とし、Xおよびとする。

作戦で生じるX軍とY軍の戦力減少は等しく2.0
Y軍

1.5びとする。また、X軍の補給率をおよ、Y軍の1.0

それを0.5トしたものが図４である。初期戦力が劣っていても、戦0
0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0とする。この場合の（9）の解（10）をプロッ

力の補給率を大きくすると勝つことが可能となる。

時間
2次法則

4.0

5.0
X軍

4.0

P＝2，Q＝6，3.0

3.0

残存戦力

3.5
残存戦力

＝2， ＝2，c＝1，d＝1，X軍

3.5

4.5

＝1， ＝1＝5， 0＝30

2.5

0＝4，＝20

2.5
2.0

Y軍

1.5

2.0

Y軍

1.5

1.0

1.0

0.5

0.5
0.0

0
0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.00.7時間

図３41

１次法則と２次法則

0.2

0.4

0.6

0.8

1.01.2時間

図４

戦力分割と補給の効果を考慮したランチェスターの法則

5.04．簡単な応用例

4.54.0

ランチェスター方程式の簡単な応用を示す。X国とY

Y国空軍
X国海軍

3.5
残存戦力

国の戦いをモデル化する。
両国の戦力は海軍と空軍からなるものとする。これらの戦力が同時に戦闘を開始して、どちらか一方の国の戦

3.0
2.5
2.0

Y国海軍

1.5

力がゼロになるまで戦いを続けるものとする。これを以X国空軍

1.0下の方程式で表す。

0.50
0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

時間

図５（12）

X国とY国の戦い

参考文献[1]

金吉雅人：ランチェスター方程式の改良と動向，[2]

飯田耕司：戦闘の科学

MSS技報，Vol.1，pp.56-60，1989

ただし、：X国海軍の戦力

2005：X国空軍の戦力：Y国海軍の戦力[3]：Y国空軍の戦力

福永雅文：ランチェスター戦略「一点突破」の法則，日本実業出版社，2007：X国海軍に対するY国海軍の武器性能

付録：X国海軍に対するY国空軍の武器性能：X国空軍に対するY国海軍の武器性能

軍事OR の理論，三恵社，

A

厳密解の導出２次法則の方程式：X国空軍に対するY国空軍の武器性能

式（5）の第１式を で微分して第２式を代入すると：Y国海軍に対するX国海軍の武器性能：Y国海軍に対するX国空軍の武器性能：Y国空軍に対するX国海軍の武器性能

この方程式の一般解は、 と を定数として：Y国空軍に対するX国空軍の武器性能パラメーターとして以下を与える。

（A1）
初期条件（6）を代入すると（A2）（5）の第１式と（A1）よりつまり、武器性能はY国のほうがX国より勝っている。
また、初期戦力は初期条件（6）を代入してとする。式（12）を４次のルンゲ−クッタ法で数値的に（A2）と（A3）より（A3）積分したものを図５に示す。X国の空軍が全滅し、その後、海軍も全滅する。最終的にY国が勝つ結果となった。
5．むすびの第１式が得られる。
これらを（A1）に代入すると（8）
また、（5）の第２式を で積分すると、を定数として以上、ランチェスターの方程式とそれから導かれる法則について述べた。これらの考え方は比較的簡単である。
そのために数理的なモデルリングが未開発の分野の考察を開始するときには参考になる。そのような機会があれこれに（8）の第１式を代入し、初期条件（6）を適用するととなり、（8）の第２式が得られる。

ば積極的にランチェスターの考え方を適用したいと考えている。

MSS技報・Vol.1942

技 術 解 説B

戦力分割と補給を考慮した方程式と対角化される。

式（9）と初期条件を行列で表現すると他方、 を単位行列として
（B1）
（B2）

なのでただし、である。これを（B4）、（B5）および（B6）を用いて具体的に計算すると（B1）の両辺に左からを乗じ、時間 で積分して、初期条件（B2）を適用すると（B3）
ここで、行列したがって、を対角化して、（B1）を独立な二つの方程式にすることを考える。
行列の固有値 と固有ベクトル はに対してに対してなので、行列を対角化する行列はこれらを（B3）に代入すると（10）が得られる。
（B4）であり、その逆行列は（B5）と表される。ただし、 、 および は（11）に与えられている。これより、は（B6）43