数学科における言語活動
数学的な見方や考え方という観点で評価

数学的に考える力
数学的な思考力

数学的な表現力○多様に考える力○統一・一般化する力○分類・整理する力○見通しを立て予想する力○検証する力・数学的に考察したことを整理しまとめる力
・数学的に考察したことを人に説明する力・人が数学的に考察したことを読み取り評価する力

表現力の高まり双方で密接な関係
これら支える力として切り離すことのできない関係数学的に推論する力・演繹的に推論する力
・帰納的に推論する力
・類推的に推論する力

思考力の高まり言語活動による
数学的に考える力の高まり

言

語

活

動

数学における言語とは○言葉○教科固有の語彙

○数

○文字

○図

○式

○グラフ

○表

○記号

等

充実させたい言語活動充実させたい言語活動を実現するための視点
話す

書く

聞く

聞き取る・読み取る

・ラベリングとナンバリング・キーワードを意識・できるだけ多くの生徒が話せるように・話し言葉より難解な書き言葉でまとめる
・数学特有の言語を活用して・いかに能動的に聞
けるか・キーワードから他者の数学的な見方や考え方をひもとく・数学特有の言語を読み取る

言語活動によって可視化された数学的な思考指導に生かすための評価

指導に生かすための評価○事実や数学的な思考等を正確に理解し、他者に的確に分かりやすく伝えること○事実や数学的な思考等を解釈するとともに、互いにそれらを伝え合うことで、自分や集団の数学的な思考を発展させること

１

言語活動を通して高めたい力

最初に、言語活動を通して、本校数学科がどのような力を高めたいのかを確認しておきたい。
なぜなら、育てたい力が明確でなければ、効果的な実践は無理であろうし、また、数学教育の世界には、「数学的に考える力」「数学的な見方や考え方」「数学的な考え方」「数学的な思考力」
等、類似の言葉が多数あり、混乱を避けるためにも確認しておく必要があるからである。
まず、本校数学科が言語活動を通して育てたい力を「数学的に考える力」とした。この言葉は文部科学省が平成16年度から行った「特定課題に関する調査」において、育成すべき資質や能力を表すために用いられた言葉で、本校数学科が高めたい力を、最も的確に表現した言葉だと考えたのである。また、「数学的な見方や考え方」という言葉は、「数学的に考える力」を評価する
観点を表した言葉として位置付けた。さらに、「数学的に考える力」は、「数学的な思考力」と「数学的な表現力」から構成されていると考え、両者は相互補完の関係にあると捉えている。
「数学的な思考力」は、左図の６つの力【＊１】から構成されていると考えている。ただし、６つの力は並列的なものではない。例えば、「どのような三角形でも、内角の和は180°である。」という課題を解決するためには、「統一・一般化する力」と「数学的に推論する力」が必要である。両者の関係は、情意的側面を含んだ「統一・一般化しようとする力」と、それを実現する「数学的に推論する力」と捉えることができる。すなわち、「数学的に推論する力」は情意的側面を含んだ残りの５つの力を支える力として考えられるのである。一方、「数学的な表現力」は、左図の３つの力【＊１】から構成されていると考えている。
＊１：熊倉啓之編著

２

2011「数学的な思考力・判断力・表現力を鍛える授業24」明治図書より数学における言語とは

ダンツィク（T.Dantzig）は「数は科学の言葉だ」と提唱している。数や文字、式、記号を使った数学は、抽象的・形式的・論理的で一般性があり、これらの特徴は、数学のよさの一つであるといえる。よって数学における言語を考える場合、それらのものは不可欠であり、言葉と同様のようにして使いこなせるようにならなくてはいけないと考えている。

３

言語活動によって、どうして数学的に考える力が高まるのか（１）数学的な思考力と言語活動① 数学的な思考を可視化することの重要性
例えば相手に何かを説明する場合、まずは自分自身と向き合い、自分は何が分かっているのかを確かめなければならない。そして、最初は形式的に整っていない数学的な思考を、文字や記号、図や表などを用いて何とか伝えられるように整理する。この過程が、数学的な思考の可視化である。この過程は、数学的な思考を整理・洗練する過程そのものであり、言語活動を通して数学的な思考力が高められる理由だと考えている。
② 内言と外言
旧ソビエト連邦の心理学者であるレフ・ヴィゴツキー（L.Vygotsky)は、思考を言葉で説明することから論理が生まれるとしている。また、主として伝達の道具として使われる外言が、主として思考の道具として使われる内言を育てるとしている。本校数学科
ではこの考え方を基に、言語活動を用いて、伝達の手段である外言を育てることで、数学的な思考を高めるために必要な内言が育てられると考えている。
（２）数学的な表現力と言語活動
バーバルコミュニケーション、ノンバーバルコミュニケーション等の言葉が代表するよ
うに、「表現」する方法は、言語を介するもの、介しないものなど、様々な方法があるのではなかろうか。しかし、数学における表現は、言語を使って行われるものであり、そういった意味で、数学の授業において言語活動を充実させることは、数学的な表現力を高めることに直結していると本校数学科では考えている。

４

充実させたい言語活動とその実現のための視点「言語活動の充実に関する指導事例集－思考力・判断力・表現力等の育成に向けて－【中学校版】（平成23年５月 文部科学省）」を参考に、本校数学科では、左図の２つの言語活動を充実させたいと考えている。これらの充実に向けて本校数学科では、言語活動の形式面に注目し、「話す」「書く」「聞く」「読み取る」の４つの視点から実践を進めることとした。

５

言語活動を通した指導に生かすための評価

上記で可視化の重要性について述べたが、数学的な思考を可視化するということは、他者から観察可能な表現物（発言や記述等）が生まれるということである。その表現物から教師が数学的な思考を読み解き、現在行われている言語活動に生かしていくというのが、言語活動を通した指導に生かすための評価である。

言語活動を通して数学的に考える力を高める－「話す」「書く」「聞く」「読み取る」の４つの視点から－Ⅰ

１・２年目の実践

成果と課題

第65号参照）

実践を進めていくなかで、「まとめノート」についラベリングとナンバリングを意識して、根拠を示ては、日を重ねるにつれ、内容が充実していくとともし、筋道を立てて説明するに、ノートを取ることばかりに集中している生徒の数（本校研究紀要
１

３

他者に何かを説明する場合、特に大切にさせたいと考えたのが、根拠を示すことと、筋道を立てることでが減少するなどの効果も窺えた。しかし、説明することについては、以下のような課題が見えてきた。

あった。根拠を明らかにしながら説明していくことは、・根拠を示すことを気にするあまり、説明が長くな

言語活動を通して、数学的に推論する力（特に演繹的りがちで、ポイントを絞った説明ができない。

に推論する力）の育成につながると考えたのである。

・ラベリングしても、その重み付けができず、聞きまた、筋道を立てることは論証には不可欠な力であり、手からすると、どこがポイントなのか分からない。

特に、ラベリング（説明したいことの項目をはっきり・聞き手を意識した説明ができない。

させる）と、ナンバリング（ラベリングしたことをど

さらに、課題として見えてきたのが、「聞く」ことの順で説明するか）を意識して説明させるようにした。

の難しさである。最初は話し手ばかりを気にしていた

２が、聞く力も同時に育成しなければ、言語活動を通し

授業ノートとまとめノート
子どもの言語の発達を考えると、話し言葉を獲得した後に、書き言葉が獲得されていく。書き言葉は、話て数学的に考える力を育成することは困難であることが分かってきた。

し言葉より難解な存在であり、思考という視点から捉えると、話し言葉の段階に比べて、さらに思考が整理、Ⅱ３・４年目の実践（本校研究紀要

洗練された状態が書き言葉の段階ではなかろうか。そこで、言語活動を通して数学的に考える力を高めるた

１

第66号参照）

キーワードを意識してから説明する

めには、書いてまとめるという行為が、非常に有効な課題を解決できた生徒には、誰かが説明を始めるまのではないかと考え、ノート指導に力を注ぐこととしでの間、課題解決のためのキーワードを考えさせるよた。具体的には、「授業ノート」と「まとめノート」

うにした。キーワードを考えることは、自分の数学的と名付けた、２種類のノートを用いた実践である【資な思考の要点をつかめるとともに、つかんだ要点を中料１参照】。「授業ノート」は課題解決の過程を自由心に説明すれば、的確で、ポイントを絞った説明が可に書いたり、その日の授業で学習した数学用語などを能になると考えたのである。

簡単にメモしたりするノートである。
「まとめノート」

２

は、授業の終末や家庭で復習を兼ねてまとめるノート

自分が分からない部分を明確した後、他者からの説明を聞く→【実践事例２参照】

で、最終的な課題解決の過程を整理したり、新たな知「聞く」という行為は、説明などに比べると、他者識や技能を分かりやすくまとめたりするノートであからの観察が難しく、指導しにくい。そこで、能動的る。２種類のノートを用いたのは、思考を深める場とに聞けるような生徒を目指し取り組んだのが、一度説してのノートの役割と、数学に関する知識や考え方な明を聞き、分からない部分を明確にしてから、もう一どを記録し、後で振り返られるようにするノートの役

度説明を聞くという授業展開の工夫である。簡単にい割の両立を目指したのと、ノート指導に力を注いだた

えば、時間を取ることで、「分からない」から「何がめに、ノートをまとめることばかりに終始してしまう

分からないか分かる」状態で説明を聞かせるようにし生徒をなくしたいと考えたからである。

たのである。こうすることで、能動的に聞くことが実現し、言語活動を通して数学的に考える力が高まると５考えたのである。

成果と課題
１～４の視点を基にした取組は、それぞれに効果的であったが、以下のような新たな課題や、さらに効果
また、上記の視点の中で、１の視点は話し手に関すをあげるための視点が見えてきた。

ること、２の視点は聞き手に関する視点であるが、こ・キーワードを意識して説明することや、相手のニれらを逆の立場、すなわち、１の視点であれば聞き手、ーズを把握してから説明することは、ポイントを２の視点であれは話し手の立場から捉え直すと、別の絞った的確な説明を可能にし、話し手、聞き手と効果があるのではないかと考え、以下のような視点かもにかなり効果的であった。ただ、聞き手はあるらも実践を進めた。

生徒の説明を大人数で聞けるが、話し手は、１時間の授業において数が限られてしまう。

３

キーワードから他者の数学的な思考を解釈する・キーワードから他者の数学的な思考を解釈させる

数学の課題を授業で解決していく場合、課題解決にことは、特に難易度の高い課題では有効であった。

至った生徒に、課題解決の一連の過程を説明させ、そそれだけに、キーワード以外から、他者の数学的れを課題解決に至らなかった生徒たちを含めた教室全な思考を読み取るような授業展開を模索できない員の生徒で共有していくというスタイルが、本校数学だろうか。

科ではよく用いられていた。しかし、課題解決に至ら・話すことが、自らの数学的な思考を整理・洗練すなかった生徒といっても、あと少しで解決できるといる上で、非常に効果的であることが分かってきた。

う生徒もいれば、解決の糸口さえつかんでいない生徒

これを、書いて数学的に表現する力につなげるこもいる。また、このスタイルでは、課題解決の一連のとはできないだろうか。

過程をすべて聞くことになり、個人の数学的な思考が活発にならないことも懸念される。そこで、課題解決

Ⅲ

５年目の実践

に至った生徒たちが考えたキーワードを、課題解決の１

グループ学習やペア学習を取り入れ、より多くの一連の過程を聞く前に、課題解決に至らなかった生徒

生徒に説明する機会を設ける→【実践事例１参照】

たちに伝えることで、キーワードから他者の数学的な個人追究で課題解決に至った生徒を教師が把握し、思考を解釈したり、読み取ったりして、自らの数学的それらの生徒を意図的に振り分けたグループを作成しな思考を発展させることができるのではないかと考えて、追究過程を説明させることとした。また、個人追たのである。

究で課題解決に至った生徒が少ない場合などには、課

４

題解決に至った生徒に、教室全体に向けて説明させた

相手の分からない部分を聞いてから説明する
的確で分かりやすい、要点を絞った説明というのは、後、自分の言葉で、隣の生徒同士、互いに説明し合う

中学生にとっては非常に難しい。その原因として様々こととした。こうすることで、より多くの生徒が、説なことが考えられるが、その一つとして、１・２年目

明することを通して、数学的に考える力を高められるの実践における課題でも述べたように、説明という行と考えたのである。

為には相手があり、聞き手を意識する必要性があるの

２

図や式から、他者の数学的な思考を解釈するではないだろうか。自らの数学的な思考を整理するだ→【実践事例２参照】

けでも難しいのに、その上、相手のニーズを読み取る

キーワードから他者の数学的な思考を解釈することというのは確かに難解なことである。そこで、相手のの効果を確認できたことから、今度は、式や図だけか

ニーズ、つまり分からない部分を直接相手から聞いたら、他者の課題の追究過程をひもとくという取組を行後に説明させることで、的確で分かりやすい、ポイン

った。キーワードは、課題解決に至った生徒が考えるトを絞った説明ができるようになっていくと考えたのものであったが、図や式は、数学においては頻繁に用である。

いられるもので、この方が活用範囲が広いと考えたの

表現力を主に高めたいのかでも、取り入れる言語である。具体的には、課題を自力解決できた生徒に、活動が違ってくるのではなかろうか。

式または図だけを黒板に書かせ、言葉による説明を加・言語活動を通した指導に生かすための評価につえる前に、それらから追究過程をひもとかせるといういては、ほとんど解明できなかったのが実情でものである。

ある。ある意味、言語活動によって可視化され３

話し言葉で整えてから、書いて数学的に表現する

た数学的な思考を、その後の授業展開に生かし→【実践事例１参照】ていくことは当然のことであるが、より効果的

図形領域の論証の学習の様子などからも、書いて数な生かし方を探っていく必要性を感じる。

学的に表現することの難しさを感じている教師は多い・「数学的に考える力」とはどのようなものなのかのではなかろうか。すぐに言い直したり、相手の反応考えさせられる場面が多く、現在も模索中というによっては、途中を省略できたりする話し言葉での説のが実情である。高めたい力そのものを明確化す

明に対し、書いて数学的に表現するというのは、生徒る必要性を強く感じる。

にとっては本当に難しいのであろう。そこで、１で述＜参考文献＞

べたペア学習などと組み合わせて、相手に話し言葉で・幼稚園、小学校、中学校、高等学校及び特別支援学

説明させ、ある程度、数学的な思考を整理させてから、校の学習指導要領等の改善について

書いて数学的に表現させれば、生徒の抵抗感が軽減す（平成20年１月）中央教育審議会答申

るのではないかと考えた。特に２学年以降の図形の論

・中学校学習指導要領（平成20年３月）文部科学省

証指導などで、この取組は有効なのではないか。

・中学校学習指導要領（平成20年９月）
解説

Ⅳ

今後の課題

た。また、いくつかの取組を、実際の授業で具体的に

解説

－数学編－

見えてきたのが事実である。以下に、見えてきた課題を挙げておく。

評価の在り方に関する検討会の論点整理（平成26年３月）
・「特定の課題に関する調査」の調査結果（平成18年７月）国立教育政策研究所
・平成 20 年改訂

中学校教育課程講座
数学（ぎょうせい）

・今回の研究実践では、本校の過去の指導案を用い、そこに言語活動を取り入れてくことも多かったの

数学編（明治図書）

ことが多かった。言語活動を取り入れ、その効果

・ヴィゴツキー入門（寺子屋新書）をより多くの生徒に反映しようとすると、どうし・新訳版・思考と言語（新読書社）

・課題の難易度等によって、どのような言語活動が

清水

静海

柴田

義松

柴田

義松（訳）

・「説明力」を高める国語の授業（明治図書）米田猛
・数学的な思考力・表現力を鍛える授業24（明治図書）熊倉

最も有効なのかを検証していく必要がある。また、数学的に考える力を高めるといっても、数学的な静海

レフ・セミョノヴィチ ヴィゴツキー（著）

った場面で使うかなど、効果的に取り入れていくことが必要である。

清水・中学校新学習指導要領の展開

だが、全体的に前回の実践に比べ、時間がかかるても時間がかかるようである。言語活動をどうい

文部科学省

・育成すべき資質・能力を踏まえた教育目標・内容と使える手法や授業技術としてまとめられたのは、大きな成果といってよいのではなかろうか。ただ、課題も文部科学省

・中学校学習指導要領（平成20年９月）

５年間の実践を通して、言語活動が数学的に考える力を高めるために有効であることが少しずつ見えてき－総則編－

啓之（編著）

・「数学的な表現力」を育成する授業モデル
柗元新一郎

思考力を主に高めたいのか、それとも、数学的な・本校研究紀要

第65号、66号

実践事例１

できるだけ多くの生徒に説明する機会を設ける授業展開の工夫

Ⅰ 研究仮説
仮説１ より多くの生徒に、自らの考えを他者に説明する機会を設けることで、自分の説明は根拠が曖昧であることに気付かせ、新たな課題を見付けさせることができる。
Ⅱ

仮説２

他者の説明から分かったことを、形式にとらわれず、自分の言葉で説明する機会を設けること
で、証明を記述するための素地を培う。

教材の主な流れ
多角形の内角の和を求めてみよう。
↓
三角形の内角の和が１８０°であることをもとにして求めることができる。
↓
三角形の内角の和が１８０°であることを、小学校ではどのようにして確かめたか。
↓
分度器で実際に測ったり、３つの角を切り取って集めたりして確かめた。
↓
これらの方法では、実際に手で扱える範囲のものに限られる。１８０°であることは、目でしか確かめていない。
↓
新たな課題 三角形の内角の和が１８０°であることを説明してみよう。
↓
対頂角、平行線の同位角・錯角が等しいことを利用している。
（対頂角、平行線の同位角・錯角については、この段階ではまだ学習していないので、図で、どの角のことなのかを確認する。）↓
対頂角、平行線の同位角・錯角が等しいことを確かめれば、三角形の内角の和は１８０°だと説明できる。
↓
新たな課題
対頂角、平行線の同位角・錯角は等しいことを説明してみよう。
↓
多角形の内角の和は、三角形の内角の和が１８０°であることをもとにして求められる。

Ⅲ
１

研究の内容
仮説１について「三角形の内角の和は 180 °である」という課題を解決する場面において、自分なりの説明を見いだした生徒
を、まだ説明を見いだせていない複数の生徒がいるグループに入れ、自分の考えを説明する機会を設けることとした。小さなグループにすることで、聞き手側は自分が納得できない部分があれば、すぐにその場で説明者に質問することができる。また、説明者は相手がよく分からない所を丁寧に説明するようになり、自らの説明で根拠としている事柄に目を向けるようになる。そのようなやりとりを繰り返すことで、「対頂角は等しい」、「平行線の同位角や錯角は等しい」という根拠は、それ自身が曖昧であることに気付き、それらの事柄について、改めて確かめる必要があるのではないかという課題意識が、多くの生徒に生まれるのではないかと考えたのである。
２

仮説２について「三角形の内角の和は 180 °である」ことについて、小グループ内での説明や代表者によるクラス全体への説
明の後、隣の生徒とペアをつくり相互に説明させる場面を設けた。証明を学習する初期段階では、形式的な表現等に抵抗を感じる生徒が多いが、こうすることで、表現方法にとらわれず話し言葉で、相手に説明することができるので、証明というものに抵抗感を感じずに、その素地を培えると考えたのである。

Ⅳ
１

実際の授業
本時の展開
解
決
へ
の
過
程
○多角形の内角の和をどのようにして求めたか。
・三角形に分割し、三角形の内角の和が180°であることを利用して求めた。

配

慮

事

項

三角形の内角の和が１８０°であることは、どのようにしたら説明できるろうか。
○小学校ではどのようにして説明したか。
◇小学校での学習など、既習の内容や方法を想起さ
・合同な３つの三角形を並べる。
せる。
・３つの角を切り取って並べる。
◇実際に紙でつくった三角形を並べたり、切ったり、・折って３つの角を１カ所に集める。
折ったりさせる。
・分度器で角度を測る。
・正三角形や直角二等辺三角形の場合から考える。
○小学校での説明の問題点はどこか。
◇３つの角を１カ所に集めると、見た目では一直線・分度器で測る方法は正確でない。
になっていそうだが、本当にそうであるかは確認
・切ったり、折ったり、測ったりする方法は、手で扱えるできないことなどに気付かせ、具体的・実験的なような場合にしか使えない。
操作活動による説明の限界に気付かせたい。
・３つの角を集めた場合は本当に180°なのか。
◇小学校での説明を振り返ることで、「角を移す」、「直線」など、課題解決への見通しをもたせたい。
○どんな三角形でも内角の和が180°であることを説明できな ◇「式による説明」等の学習経験を振り返らせるこ
いか。
とで、一般性を保証する説明が必要であることに気付かせたい。
△○◇見通しがもてた生徒にはキーワードを考えさせ、○△△見通しがもてない生徒への手立てとしたい。
◇解決できた生徒を意図的に配置した小グループをつくり、グループ内で考えを説明させる。
○○○説明の中で疑問に思ったことはないか。
◇説明の中で、根拠が曖昧な部分や疑問に感じたこ・図の「○と○」、「×と×」が等しい理由がよく分からなとを考えさせることで、対頂角や同位角、錯角のい。
性質についての根拠が述べられていないことに気・図の「○と○」、「×と×」がなぜ等しいかと質問されて付かせ、それらについて確認する必要があるとい困った。
う課題意識を高める。
・図の「△と△」が等しいことは当たり前なだけに、その ◇全体の場で代表者に説明させた後、複数の生徒に理由に困った。
意見を述べさせることで、より多くの生徒に課題
意識の高まりを促したい。
d
f

a

b

c

２直線が交わるとき、
∠ａ＝∠ｂ

e

平行な２直線に１つの直線が交わるとき∠ｃ＝∠ｄ

平行な２直線に１つの直線が交わるとき∠ｅ＝∠ｆ

これらのことがらが成り立つことを説明できるだろうか。

○隣の人とペアをつくり、三角形の内角の和が180°である
ことを、自分の言葉で説明してみよう。
○振り返りカードを記入する。
実際の授業の流れ（仮説に関係する部分のみ）
教師の働きかけ・三角形の内角の和が180°だと説明できた人はいますか。
・では、説明できた人は、先生が指示するグループに入って、三角形の内角の和が180°であることを説明してください。

◇対頂角や同位角・錯角の関係については、次時に考えることを確認し、ここでは一旦認めた上で、隣の人とペアをつくり、互いに説明させ、見方や考え方を整理させる。

２・では、発表してもらいますね。

生徒の反応
・（10数名が挙手）
・（挙手した生徒を３～４人のグループに振り分ける）
・（聞き手側から、同位角が等しくなる部分について質問があったグループ：３グループ）・（説明者が、説明の過程で、同位角が等しくなる根拠に疑問をもちはじめたグループ：５グループ）
Ａ：まず三角形をかきます。次に底辺に平行になるようして、平行線をひきます。
○△△○

・ここがちょっと、よく分からなかったという人はいますか。
・他にも、Ｂさんと同じ疑問をもっている人はいますか。
・Ｃくんは説明していた側だけど、手を挙げていますね。
・Ｄくんはどうですか。

・この話は一旦ストップして、他の図で考えていた人もいましたね。

「△」と「△」が等しいのは分かりますか。次に平行だった場合、「○」と「○」、「×」と「×」が等しくなります。「○」と「△」と「×」を合わせると180°になります。どうですか。
・（半分くらいの生徒がうなずく）
Ｂ：全体はなんとなく分かったのですが、「○」と「○」、「×」と「×」がなぜは等しくなるのかがいまいち。
・（10数名が挙手）
Ｃ：自分では分かっていたんだけど、何で「○」と「○」、「×」と「×」等しいのかを聞かれて、うまく説明できませんでした。
Ｄ：Ｃくんと同じように、説明しながら途中で「○」と「○」、「×」と「×」、「△」と「△」が等しい理由も説明しないといけないなと思いました。
Ｅ：底辺を延長して、図のように平行線をひきます。
△○

・この考えについて何か意見のある人はいますか。

△「△」と「△」、「×」と「×」が等しくなるので、「○」と「△」と「×」を合わせると180°になります。
Ｆ：さっきの意見と同じで「×」と「×」が等しいことを説明していないと思います。さらに、「△」と「△」が等しいかどうかも分からないと思います。

・納得していないと言って手を挙げた人たちは、ここが説明されたら、そのほかの部分ではＡさんやＥさんの説明には納得できますか。
・では、これらのことは次の時間に考えるとして、
今日はこれらのことが一旦成り立つとして、隣の人とペアをつくり、お互いにＡくんの考え方を説明してみて下さい。
Ⅴ１

考察
仮説１について
以前は、平行線の同位角や錯角が等しいという性質に対して、疑問をもつ生徒は一部であった。しかし、今回は小グループにして説明させたことで、説明者自身が人に伝える際に根拠を強調して伝えようとしたり、聞き手からの質問に答えようとしたりする中で、説得力に欠けると感じる生徒が多く見られるなど、平行線の同位角や錯角が等しいことへの根拠について課題意識の高まりが感じられた。また、小グループにしたことで聞き手側は、自分が疑問に思ったことを聞きやすかったようで、平行線の同位角や錯角の関係について質問するなど、聞き手側の課題意識の高まりも見られた。自らの考えを説明する場面を与えることで、自分の説明に不足している部分に気付かせる手立てになったのではないかと考える。

・はい。

・（ペアになり、左の生徒から説明を行い、終わったとこ
ろから右の生徒が説明を行う。）

２

仮説２について
以前は、代表者が全体に説明したり、数名の生徒が同じ説明を繰り返すことで理解を深めるという授業展開を行っていた。しかし今回は、全体での説明の後にペアで説明し理解を確認したことで、自分では理解していたつ
もりの生徒が、人に説明することを通して、自分自身の理解が不足していたことに気付き、より正確に理解しようという姿勢が見られた。また、説明する際は、根拠を示さなければ相手を納得させることはできないということを体験的に捉えることができた生徒も多く見られ、演繹的な考え方のよさに触れ、証明を記述するための素地を培えたのではないかと考える。

実践事例２図や式から、他者の数学的な思考を解釈する授業展開の工夫－能動的に聞く態度の育成を通して－

Ⅰ 研究仮説
仮説１ 図や式から、他者の数学的な思考を解釈することで、数学的な思考力を高めることができる。
仮説２ 自分が分からない部分を明確にした後に他者から説明してもらうことで、能動的な態度で他者の説明を聞くことができる。
Ⅱ
１

研究内容
仮説１について数学における言語の特徴として、言語の種類の多さがある。数学では言葉だけでなく、数や文字、式、記号、図等も言語である。本校数学科では、この特徴を生かし、本来なら複数の言語を組み合わせて可視化される数学的な思考を、図や式などの言語から解釈することを通して、数学的な思考力を高める研究実践を試みた。こういった
取組は授業の中に、課題を自力解決できるか、できないかという段階に加え、すべては自力解決できないものの、
実際の授業
本時の展開
学 習 内 容前時までの確認

あともう少しで解決できるといった段階の生徒の数学的な思考力を高めることができると考えたのである。
２

仮説２について
言語活動を通して数学的な思考力の高まりを目指すに
あたり、本校数学科がまず着目したのが、説明することであった。この過程で明らかになってきた課題が、説明する側の指導も大切であるが、聞く側の指導も非常に大切であるということである。しかし、どのように聞いているのかは、説明などに比べると、教師からの観察が難
しく、指導しにくいのが現実である。そこで、能動的に聞けるような生徒を目指し取り組んだのが、一度説明を聞き、分からない部分を明確にしてから、もう一度説明を聞くという授業展開の工夫である。簡単にいえば、思考の過程を可視化し、どの部分が分からないかを意識させて他者の説明を聞かせるようにしたのである。

Ⅲ
１

解
決
へ
の
過
程
○作図の公法にしたがって作図できない図形は何だったか。
・長方形

配慮事項◇長方形を作図するためには、与えられた半直線の端に垂線を作図する必要があることを確認し、本時の課題への意
欲を高めたい。

課題の設定・把握点Ａを通る、半直線ＡＢの垂線はどのように作図したらよいのだろうか。
○作図の公法にしたがって作図できた図形の性質を確認する。
・二等辺三角形、正三角形、平行四辺形、ひし形の性質を確認する。
課題の追究・解決 ○作図の手順を考える①半直線を延長する。

②点Ａから等しい距離にある２点をとる。

- 10 -◇図形に関する定義と定理は、図形の性質として区別せず扱っていく。
◇作図の公法に従って作図できた図形の性質を想起させることで、課題解決への見通しをもたせたい。
◇まずは、フリーハンドでかかせること
で、垂線の作図の方法をイメージさせる。イメージできた生徒には、「ひし形」、「対角線」等のキーワードを考えさせ、自己の思考を深めるとともに、他者の気付きのきっかけとしたい。

③２点から等しい距離にある点を半直線の上下にとる。

◇作図の手順を段階的に板書させるとともに、手順のみを説明させる。特に、コンパスの長さを変えたかなどについては、全体で確認する。そうすることで、他者の数学的な思考を図のみから読み取らせたい。

④交わった２点を直線で結ぶ。

○点Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆは何を表しているのだ
ろうか。
・点Ａはひし形の対角線の中点
・点Ｃ、Ｄや点Ｅ、Ｆはひし形の向かい合った頂点【以下は略】
実際の授業の流れ（仮説に関係する部分のみ）
教師の働きかけ【個人追究をひととおり終えた場面から】・はい、ではＡくんに発表してもらいます。Ａくんには作図の手順だけを言ってもらいます。また、作図した順番が残るようにかいてもらいます。他の人は手順をしっかりと見ておきましょう。

◇どうして垂線が作図できているのかを読み取れない生徒には、どの点が分からないのかを明確にさせることで、能動的な態度で、その後の説明を聞けるようにする。

２

・コンパスの長さはどうしましたか。

生徒の反応
Ａ：まず、半直線を延長します。
（指導案の①を作図）
Ａ：次に点Ａから等しい距離に点をとります。
（指導案の②を作図）
Ａ：交わった点から等しい距離に点をとります。
（指導案の③を作図）
Ａ：②とは半径を変えてもいいですが、交わった点からは半径は変えません。
Ａ：最後にコンパスの交わった点どうしを直線で結びます。何か質問はありませんか。
全体：ないです。

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・どうしてこの手順でかくと、垂線が作図できたと言えるのでしょうか。垂線が作図できている思う
人は、その理由をノートに書いてください。
・これらの手順の意味が分からないという人は、どの手順が分からないのか、その番号をノートに書きなさい。手順の意味が分かった人は、説明する
準備をしなさい。
・②の手順が分からないという人が多いですが、②の手順の意味を説明してくれる人はいますか。

・意味が分かったという人は。
・Ｃくん、ホワイトボードにある性質を指し示してもう一度説明してくれますか。

・理解できた人は。
・点Ｄは何を表していますか。
・点Ａは何を表していますか。
・②の手順を理解できましたか。②がよく分からないという人が多くいましたね。もう一度、②にポイントをしぼって説明してくさい。
・それはどうしてですか。
・みなさん、②番の手順についてどうですか。
【以下は略】（10数名がノートに「ひし形の対角線だから」等の理由を書く。）（約20名が、②の手順が分からないとノートに書く。）

Ｂ：まず、半直線を延長します。次に点Ａから等しい距
離に点をとって、コンパスで等しい距離にＣとＤをとります。そこから、コンパスで等しい距離にＥとＦをとるとひし形ができるので、垂線が作図できます。
（約10人が挙手）
Ｃ：まず、半直線を延長します。次に点Ａから等しい距
離に点をとって、コンパスで等しい距離にＣとＤをとります。そこから、コンパスで等しい距離にＥとＦをとるとひし形ができます。ひし形の対角線は垂直に交わると小学校で習ったので、垂線だと言えます。
（約20人が挙手）
全体：ひし形の頂点全体：対角線の交点
Ｄ：点Ａをひし形の対角線の交点と見て、コンパスで等しくとるとひし形の頂点になります。
Ｄ：ひし形の対角線は残りの対角線を２等分するから。
（ほとんどの生徒がうなづく）

Ⅳ
１

考察
仮説１について本時の課題を自力解決できた生徒は５名程度であった。自立解決できた生徒が５名ということに賛否があるだろうが、今回の実践では、最初に自力解決できる生徒の数を絞りたかったので、生徒の実態を踏まえながら、
あえて課題の難易度を高めて実践してみた。５名のうちの１名に、図のみで作図の手順を示してもらい、そこから、垂線の作図の方法を解釈することを試みた。自力解決はできなかったものの、図から他者の数学的な思考を読み取り、ひし形の対角線の性質を利用すれば、垂線の作図が可能であることに気付く生徒が、10数名見られた。
これらの生徒からは、「なるほど」「うまい」等の声が数多く聞かれ、他者の数学的思考を解釈することが、自らの数学的な思考力を高めたことが伺えた。ただ、仮説２にも関連してくるのだが、自分では他者の数学的な思考を解釈できたと思っていても、実際には、ポイントとなる部分を把握していない生徒も、今回の実践では見受けられた。ポイントを捉えた上で、他者の数学的な思考を解釈させていくことが、今後の課題といえよう。
２

仮説２について今回の実践では、作図の手順の②の意味を理解できない生徒が多く見受けられ、そこにポイントを絞って説明させることで、能動的に聞く姿勢を養えたのではないかと考える。また、教師の立場でも、解明すべき点が明確に把握できたため、通常の授業より踏み込んで、説明を繰り返させることができた。そういった意味からは、言語活動に関する研究実践の中で、本校数学科が課題としている、「言語活動を通した指導に生かすための評価」にも、ある種の光明を見いだせたのではないかと考えている。

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