並列的解法を用いたトルクキャンセリングシステムの提案
松井 康将*1，近藤 健介*2，磯部大吾郎*3

Proposal of Torque Cancelling System
Using Parallel Solution Scheme
Yasumasa MATSUI*4, Kensuke KONDO and Daigoro ISOBE*4 Graduate School, University of Tsukuba,
1-1-1 Tennodai Tsukuba-shi, Ibaraki 305-8573, Japan
We propose a new concept of torque cancelling system which stabilizes mechanical sway inarchitectures. The torque cancelling system (TCS) cancels the reaction moment generated by motion ofan object. The reaction moment can be calculated accurately using the parallel solution scheme, whichhandles the dynamics of various robotic architectures by modeling them with finite elements. Onceknowing the reaction moment, it can be cancelled by applying an anti-torque to the TCS. An example of
torque cancelling is demonstrated using a simple rotor-TCS system. Also, a numerical example oftriaxial torque cancelling is shown to verify the use of the scheme.
Key Words : Torque cancelling system , Parallel solution scheme , Mechanical sway

1. 緒

言

ロボットが腕や脚，あるいは重量物を高速に振り回したりする場合に，機構全体に動揺が生じる場合がある．その原因は，入力トルクの反作用として回転軸回りおよび重心回りにモーメントが発生するためである．このような動揺を抑制する対策については，様々な分野で研究が行われている．
例えば航空宇宙の分野では，人工衛星やISS（国際宇宙ステーション）等にリアクションホイールやCMG(Control Momentam Gyro)といった機器を配備し，衛星本体の角運動量保存則を利用した姿勢制御を行っている(1)(2)．こうした回転体による角運動量の変化を利用した姿勢制御は，宇宙分野では主流となっている．しかし，高速動作を行う機器に対しては，動作対象のダイナミクスを正確に把握し，正確なトルクを供給しないと逆に動揺が激しくなる恐れがある．
他方，磯部らは柔軟リンクや劣駆動リンク，閉リンクなど様々なリンク系の逆動力学を正確に算出可能な並列的逆動力学計算法(3)(4)（以後，並列的解法と記す）を開発した．この手法を用いると，だった系に対しても，追従性の良い安定したフィードフォワード制御を実現している(5)~(8)．さらに，
本解法は有限要素法のアルゴリズムに基づいているために，モデル内の任意の箇所（節点）に発生するモーメントを正確に算出できる．すなわち，任意の箇所に加えるべき適切な反転トルクを算出することが可能となる．この特長を利用すると，例えば複雑な動作対象に対するトルクの供給，およびそれに伴う動揺を抑制するための反転トルクの供給が単一のシステムで実現され，ロボット機構の高速動作における安定性の向上に大きく貢献できるものと考える．
本稿では，動作対象の軌道から，並列的解法により逆動力学および系内に発生するモーメントを計算する過程を示す．そして，その発生モーメン
トをキャンセリングするトルクキャンセリングシ
ステム(9)(以後，TCS と記す)の概念について説明し，回転軸回りに発生するモーメントによる動揺を抑制する実験結果を示し，TCSの有効性を示す．
2. トルクキャンセリングシステム（TCS）
2・1 TCSの概念

本節では，TCS の概念に従来はダイナミクスを正確に導出することが困難ついて説明する．例えば，物体を振り回した時に*1発生するモーメントに対する反転トルクをTCS

非会員，筑波大学大学院（〒305-8573 茨城県つくば市天王台 1-1-1）*2
非会員，筑波大学工学システム学類*3正員，筑波大学
E-mail: e0712350@edu.esys.tsukuba.ac.jpに与えることにより，発生モーメントを打ち消し，動揺を抑制するというものである．

2・2

1軸回りのTCS

簡単のために1軸回りーメントが発生するだけでなく，他軸回りにもモのTCSを考える．1軸回りについてのTCSの概念図ーメントが発生する．つまり系全体の動揺を抑制を図1に示す．図上の物体を回転体，図下の物体をするためには，3軸回りのモーメントを打ち消すこ

TCS，上下の物体をつないでいるものを軸とするとが可能なトルクキャンセリングシステムと，ダとき，回転体を動作させると回転軸回りに反作用イナミクスを考慮した正確なモーメントをあらかモーメントが発生する．そのため，軸は回転体とじめ求めておく必要がある．これらを実現するたは反対回りに回転しようとする．しかし，下部のめに，本研究室で開発した並列的解法を適用する．

TCS に反対回りのモーメントを発生させるトル

3. 並列的解法

クを入力すると，お互いのモーメントが打ち消し

3・1 序合い軸は回転しなくなる．複雑なトルク制御は行っていないが，1軸回りのTCSの具体的な例として，いた並列的解法は，次の 2 つの過程で成り立つ．

挙げられる．一般的なシングルロータシステムのまず，モデル化されたリンク系の各節点に必要と場合，主軸の回転により発生したモーメントが機なる節点力を求める過程，およびそれによって得体自体を回転させてしまうため，胴体後部のプロられた節点力をその力学的関係から関節トルクにペラで調整する必要がある．しかし，ツインロー換算する過程である．並列的解法では，目標軌道タシステムでは，同軸上で主軸の回転と反対回りさえ正確に与えられれば系の剛性によらずトルクにもう一つのロータを回転させることで，機体をを算出することができる．なお，リンク系のモデ回転させるモーメントを打ち消している．

ル化には 3 次はり有限要素を用いる．

図2のように偏心性の3・2 節点力算出過程節点力の算出過程について説明する．並列的解法では，運動学計算で得られた加速度を元に以下のような力の次元での増分型運動方程式を解き，系内の非拘束節点における節点力を算出する．

ある物体を回転させる場合には，回転軸回りにモRotor

TorqueCancelling moment

与えた場合，その追従に必要な関節トルクを算出する逆動力学計算法について述べる．本研究で用ヘリコプタの同軸回転式ツインロータシステムが2・3 3軸回りのTCS

ここでは，リンク系に目標軌道を

Motor
Reaction moment[M ]{u&&}t +∆t = {F }t +∆t

Cancelling torque(1)

ただし，[M]は全体質量マトリクス，{F}は外力ベ& } は節点加速度ベクトル，t は時刻，クトル， { u&TCS

Fig. 1 General concept of uniaxial TCS

Δt は時間増分である．
本解法では，直交座標系に基づく全体座標系で節点力を定義しているため，回転座標系に特有の見かけの力（コリオリ力）などの非線形項と呼ば

TorqueReaction moment

れる力について独立に考える必要はない．また，重力補償については，質量マトリクス内の鉛直方

Cancelling moment

向成分に対して重力加速度をかけることにより実行する．
3・3 節点力の関節トルクへの換算過程

並列的解法では，入力データとして与えられる軌道より陽に算出される節点力を，力学的な関係に基Cancelling torque

づいてトルクに換算する．節点力からトルクに換算する過程をマトリクス形式で表したものが次式

TCSである(3)(4)．

Fig. 2 General concept of triaxial TCS2

{τ } = [L ][T ]{P }nnnTable 1 Parameter of rotor(2)

3 n× 6 n 6 n× 6 n 6 n×1rotor
Material

ここで，{τn}は求めるべき関節トルクベクトル，

Sec. area [m ]座標変換マトリクスである．[Tn]はリンクの長さな
変数右上の添字nは対象とするリンク系の総リン
Fig.4 Finite element

ク数を示し，例えば3nは直交要素座標系3軸回りのDensity [kg/m ]2.7×103

Young's modulus
[GPa]

70.3

subdivision
Torque [N*m]

自由度の総数を表す．
4. 1軸回りTCSに入力するトルクの算出
回転軸と同一軸上に TCSを配置した場合の実験を行うために，図 3 のようτxτyτz0.020

な実機を製作した．また，並列的解法の入力データとして用いた有限要素モデルを図 4 に示す．最0実機の回転体に 2 [s]で 4π0101.5 2Time [s]Torque [N*m]の動作によって TCS の位置に発生するモーメントを求める．回転体のパラメータを表 1 に示す．時間増分⊿t=0.01 [s]，ステップ数を 200 として自重を考慮して解析を行った．

0.5

11.5 2Time [s]Fig.6 Generated moment atTCSrotor

考える．TCS に与えるトルクを算出する前に，こ4・3 解析結果

0.5Fig.5 Required torque for[rad]回転させる動作をさせた場合の TCS について

MxMyMz0.02-0.02-0.02

下点では，鉛直軸回りの回転は自由となっている．
解析条件

0.13
3

どの情報を含む部材長マトリクスである．なお，

4・20.172は全体座標系を各リンクの要素座標系に変換する

4・1 解析モデル

Aluminum

Length [m]{Pn}は節点力に関するベクトルである．また，[Ln]Moment [N*m]

3 n×1nτxτyτz0.020

解析結果を図5～図7に示す．
-0.02

図中でx，y，zは要素座標系の軸で，回転体のモー0

タ（図4中の要素3）およびTCS（図4中の要素1）
では全体座標系の軸と一致する．図5は回転体を動0.5

11.5 2Time [s]Fig.7 Input torque forTCS

作させるために必要なトルクである．次に，この動作に伴ってTCSの位置に発生するモーメントを図6に示す．
ここでx軸，y軸回りにモーメントが発生していないのは，回転体が両持ち状態であるためである．
今回のモデルではTCSを回転体と同軸上に配置しているため，回転体の動作に必要なトルクと正負逆転させた波形のモーメントがTCSの位置に発生する．このモーメントを打ち消すためには，図6を正負逆転させたモーメントをTCSの位置に発生させれば良く，そのためには結局，図6のモーメン
トの波形をトルクとしてTCSに供給すれば良いことが分かる．動揺抑制のためにTCSに入力するト
Fig.3 Experimental setup

ルクを図7に示す．

for uniaxial TCS3

5. 1軸回りTCSの実験
5・1 実機の概要

6. 1軸回りTCSを回転体の軸からずらした位置に配置した場合の解析

4章では，並列的解法を用
6・1

いて，回転体を制御するトルクおよびTCSに入力

解析目的

軸回りではTCSによってモするトルクを算出した．本章では，算出したトルーメントを打ち消すことが確認された．しかし，

クについて図3に示す実機により検証を行い，この軸回りにしかTCSを装着できないのでは実用的と場合のTCSの有効性を確認する．

はいえない．本章では，TCSを回転軸からずらし回転体の材質は解析時と同じアルミニウムとし，TCSの材質はステンレスとする．モーメントが発た位置に配置したモデルについて考える．
6・2

解析モデル・解析条件

回転軸がずれ生すると，その影響により系全体が回転する．本た場合の実験を行うための実機を製作した．製作

体の回転量をエンコーダで検知するために，図3した実機を図10に示す．TCSは回転体中心から0.24下部にモータを配置した．

[m]ずれた位置に配置している．また，図10の実機

5・2

実 機 の 回 転 体 を 2[s] で実験方法を解析するために置き換えた有限要素モデルを図4π[rad]回転させる際に，発生するモーメントを11に示す．

TCSで打ち消すことが可能か確認を行う．動揺が解析条件は4章と同一の条件で，回転体を2[s]で抑制されることを確認するために，TCSを使用し4π[rad]回転させる動作をさせる場合の解析を行う．

ない場合と使用する場合の2種類で実験を行い，結また，回転体のパラメータは表1と同じとする．
6・3

果を比較する．制御用のトルクとしては，回転体には図5，TCSには図7のトルク曲線を使用する．
5・3 実験結果

解析結果

解析結果を図12～図14に示す．解析結果を見ると，回転軸を回転体のものと1軸回りのTCS実験の結果を一致させた場合のTCSに入力するトルクと同一と図8，図9に示す．図8に，最下部のエンコーダで検なることが分かる．これは，本機構では回転体の知した機構本体の支点（図4の最下点）回りの回転形状が左右対称であるため，軸のずれによるトル角度を示す．図より，TCSを使用していない場合クの変化が起こらないためである．にはモーメントの影響により本体が大きく回転し7. 1軸回りTCSを回転体の軸からずらしたていることが分かる．一方，TCSを使用した場合位置に配置した場合の実験には本体がほとんど回転していない．以上から，

7・1 実機の概要

回転体の動作によって発生する動揺をTCSにより6章では，回転軸からずれた位置にTCSを配置した際の入力トルクを並列的抑制できることが確認された．

解法により算出した．本章では，算出したトルク

図9は，回転体の全体座標系に対する絶対回転角について実験による検証を行い，この場合のTCSである．回転体の目標角度も図に併せて示す．図の有効性を確認する．

より，TCSを使用した場合の回転角度が目標角度

7・2 実験方法と一致していることが分かる．一方，TCSを使用実験方法，実験条件等は，5章と同一のもので，実機の回転体を2[s]で4π[rad]しなかった場合，目標角度に対し追従していない．

回転させた際に，発生する動揺をTCSで抑制でき特に，完全に固定されていない機構を正確に動作させる上で，TCSを使用することが有効であるこWith TCS
Without TCS

10.50Angle [rad]Angle [rad]とが確認された．
With TCS
Without TCS
Expected motion

15105-0.5

000.5

11.5 2Time [s]Fig.8 Motion ofarchitecture

012Time [s]Fig.9 Rotational

Fig.10 Experimental setup forangle of rotor

off-centered uniaxial TCS

4

Torque [N*m]Torque [N*m]

τx
τy
τz

0.02

00-0.02τxτyτz-0.04-0.02
00000.5

101.5 2Time [s]0.51001.5 2Time [s]Fig.14 Input torqueFig.13 Generated moment

0.05

-0.05

-0.02

-0.02

Angle [rad]With TCS
Without TCS
0-0.1

20.050τx
τyτz

-0.05
1.5 2
Time [s]at TCSWith TCS
Without TCS
Expect motion

15Mx
MyMz
0.5 1

Fig.19 Generated moment

for TCSat TCS

1.5

rotor

subdivision
τx
τyτz

0.02

1

Fig.18 Required torque forFig.17 Finite element

Torque [N*m]

Mx
MyMz

0.5

Time [s]Moment [N*m]Torque [N*m]Moment [N*m]01.5 2Time [s]for rotor

subdivision

Angle [rad]1

Fig.12 Required torqueFig.11 Finite element

0.02

0.5

00.5

11.5 2Time [s]Fig.20 Input torque forTCS

ある．

10以上より，回転体の回転軸からずらした位置に5TCSを配置しても，並列的解法により動揺を打ち消すためのトルクを算出でき，発生するモーメン

-0.2

000.5

11.5 2Time [s]00.51

トによる動揺を抑制できることが確認された．

1.5 2Time [s]Fig.15 Motion of

Fig.16 Rotationalarchitecture

angle of rotor

8. 3軸回りTCSの解析
実際のロボットでは，回転体のように両持ち状態のることを確認する．これを確認するために，TCSものを制御することは少なく，腕のように片持ち状態を使用しない場合と使用する場合の2種類の実験のものや多リンクのものを制御することが多い．片持を行い，結果の比較を行う．制御に使用するトル

ちの場合は両持ちの場合とは違い，重力等の作用によクは，回転体は図12，TCSは図14のトルク曲線をる影響がある．その場合に動揺を抑制するためには，使用する．

回転軸回りだけでなく，3次元的に発生モーメントの打実験結果を図15，図16に示

ち消しを行わなくてはならない．そこで，図17のモデ

す．図15にモーメントの影響により回転した機構

ルを作成し，図中の要素1の位置にTCSを配置し，2 [s]本体の回転角度を示す．図15を見ると，TCSを使で回転体を2π[rad]回転させる場合に必要なトルクを算用した場合，軸をずらした状態においても本体が出した．このときの回転体のパラメータは表1と同一とほとんど回転していないことが分かる．TCS使用する．

7・3

実験結果

如何に関わらず，図8に比べて回転角度が小さくな

図18～図20に解析結果を示す．図18は回転体が回転っているのは，TCSを回転体の回転軸からずらしするために必要なトルクである．τｙが大きな値を持った位置に配置したことで全体の重心が回転軸からているが，これは自重を考慮したためである．図19に離れ，慣性モーメントが大きくなったためである．

発生するモーメントを示すが，回転軸回りのモーメン

図16に回転体の回転角度と目標角度を示すが，ト(Mz)に比べ，それ以外のモーメントが相対的に大きこの場合にはTCS使用如何に関わらず，回転体そくなっていることが確認できる．TCSに入力するトルのものは正確に動作していることが分かる．これ

クは，前述と同様に発生するモーメントをトルクとしも，前述の慣性モーメントが大きくなったためでて入力すれば良い．そのトルク曲線を図20に示す．

5

9. 結Using Finite Element Approach, CD-ROM Proceedings

言of APCOM'07-EPMESC XI, 2007, Kyoto, Japan.

本稿では，ロボット機構などが高速動作をする際に発生する動揺を抑制する目的で，機構全体のダイナミ(9) Y. Matsui and D. Isobe: Proposal of Torqueクスおよび機構内部に発生する内力を正確に把握可能

Cancelling System for Stabilizing Mechanical Sway,な，並列的解法を用いたトルクキャンセリングシステ

CD-ROM Proceedings of the JSME Annual Conference

ムを提案した．具体的には，回転体の動作によって発on Robotics and Mechatronics '09, No.09-4, 2009, in

生するモーメントを並列的解法により算出し，そのモJapanese.

ーメントからTCSに入力するべきトルクを求めた．また，算出したトルクを実機に入力して実験を行い，その結果から1軸回りに関してはTCSが動揺の抑制に有効であることを確認した．
今後は，3軸回りのTCSを製作し実機による検証を行う予定である．
文献(1) Y. Ookami, N. Tomita, S. Nakasu and S. Matsunaga:
Introduction to the Space Station, University of Tokyo
Press, pp.204-208, 2008, in Japanese.
(2) K. Yoshida, D. N. Nenchev, K. Hashizume: FlightExperiments of ETS-VII for Advanced Space Robot
Control, Journal of the Society of Japanese Aerospace
Companies, Vol. 50, No. 584, pp. 351–359, 2002, inJapanese.
(3) D. Isobe: Deriving Inverse Dynamics for Link
Mechanisms by Using Finite Element Method, Journal ofthe Robotics Society of Japan, Vol. 20, No. 6, pp.
647-653, 2002, in Japanese.
(4) D. Isobe: A Unified Solution Scheme for Inverse
Dynamics, Advanced Robotics, Vol.18, No.9, 2004,
pp.859-880.
(5) D. Isobe, A. Yagi and S. Sato: General-Purpose
Expression of Structural Connectivity in the Parallel
Solution Scheme and Its Application, JSME InternationalJournal Series C, Vol.49, No.3, 2006, pp.789-798.
(6) D. Isobe and A. Kato: Feedforward Control ofFlexible Link Systems using Parallel Solution Scheme,
International Journal of Robotics and Automation, Vol.23,
No.1, (2008), pp.31-39.
(7) D. Isobe, K. Yamanaka and Y. Kitamura: Inverse
Dynamics Calculation of Underactuated Link Systems
Using Parallel Solution Scheme, Proceedings of the 34th
Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics
Society (IECON'08), pp.1632-1637, 2008, Orlando,
Florida, USA.
(8) D. Isobe and K. Yamanaka: Development of a Unified
Feed-Forward Control System for Robotic Mechanisms

6