１９９０年

青山学院中等部

算数問題

(３の１)
解答は解答用紙にかきなさい。円周率を使うときは，３ .１４を用いなさい。
( 1)

４８÷６×４÷８×３÷

( 2)

８

( 3)

１
(３.６７−２.８８＋０.２１)÷０.１６−４.１×１ ＝
２

( 4)

１日の

＝１

７
７ ７
７
×(１ − )÷２
＝
１３
９ ８
１５

１５３
は
２００

時間

分

秒です。

(5)

ある自動車のタイヤの直径は６０㎝で，エンジンが３.２回転するとタイヤは１回転します。このエンジンが４００回転すると自動車はｍ進みます。

(6)

１ ha あたり４ .５ｔの収穫のある水田があります。この割合で収穫できるとすれば，２０万分の１の2
地図で㎝ の水田からは７２００ｔの収穫が得られます。

( 7)ある学校では，男子は全体の５８％より２１人少なく，女子は全体の４６％より３人多い。生徒全体
の人数は
人です。

( 8)

右の図は半径２０㎝の円で，点ＡとＢはこの円周を４等分した点の中の２つです。
いま図のようにＡとＢを中心としてこの円の中心を通るような円の一部をかきました。図の太い線の部分の長さは㎝です。

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(３の２)( 9)

教室にいる生徒に２６枚ずつカードを配るとちょうどカードがなくなりました。３人の生徒が加わったので，全員から２枚ずつカードをもどしてもらってその３人に分け与えたら，全員のカードの枚数が等しくなりました。カードは枚あったことになります。

(10)

(11)

１
のところに直線
３をひいて２つの長方形に分けます。また図のように折れ線をひいて三角形○○○の部分には赤色，○○○の部分には黒色をぬりました。赤色にぬ
あいう
えおか
2
2
った部分の面積が１２㎝ のとき，黒色にぬった部分の面積は㎝です。
右の図のように横１２㎝，たて１８㎝の画用紙の横の

図１ような水そうがあり，Ａ管，Ｂ管からは毎分一定量の水を入れることができ，Ｃ管からは毎分一定量の水を排水できます。
はじめの３分間はＢ管とＣ管を閉じてＡ管から水を入れました。次の４分間はＣ管を閉じたままＡ管とＢ管から水を入れました。次の４分間はＢ
管はそのままでＡ管を閉じてＣ管を開けました。はじめから１１分間のよ
うすをグラフで表したのが図２です。
① Ｂ管からは毎分
çの水が出ます。
②

はじめから１１分後にＢ管を閉じてＣ管で排水すると，あと分で水そうの水がなくなります。

(12)

図１のように立方体の４つの辺のまん中を通るよ
うに２本の輪ゴムをかけました。図２はこの立体の展開図です。この中に輪ゴムの通る直線をかき入れたいと思います。たりない直線をかき加えて図２を完成させなさい。

(13)

４６人のあるクラスで算数のテストをしました。得点が７０点以上の生徒からは自分の得点から７０
点を引かせたところ，その合計は３６０点になりました。また，７０点未満の生徒からは７０点から自分の得点を引かせたところ，その合計は点になりました。このことからこのクラスの平均点は７５点であることがわかります。

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(14)Ａ地からＢ地まで自動車で時速４０㎞で行く予定でしたが，半分以上きてから時速６０㎞に変えたので予定より１５分早く着きました。時速４０㎞で走った距離と時速６０㎞で走った距離の差は４０㎞でした。
Ａ地からＢ地まで実際にかかった時間は
時間
分です。

(15)

右の図のように長方形を９つの正方形に分けました。正方形Ａ，Ｂ
はそれぞれ１辺が６㎝と１０.５㎝です。
この長方形のたては
㎝，横は
㎝です。

(16)

右の図で，ある点からたてまたは横に１ます移動することを１
歩とします。Ａから１歩で行ける点は○印の４つあります。また
Ｂは２歩で行ける点ですが，Ａ自身もＡ
ＣＡと考え(１歩) (１歩)ると２歩で行ける点です。したがってＡから２歩で行ける点は９つあります。
Ａから５歩で行ける点のうち，３歩で行ける点は
こあり
ます。

(17)

ある工場では何台かの機械を使って製品を生産しています。機械の台数をかえずにその６割の機械を
新しい機械にかえて生産すると，同じ時間内で今までの４倍の生産量になることがわかりました。けれ
ども実際には１０台だけ新しい機械にかえて生産することにしたので，生産量が同じ時間内で今までの２割増えるようになりました。
① 機械１台について，同じ時間内での新しい機械の生産量は，今までの機械の
倍になりま
す。
②

(18)

この工場では機械の台数はいつも決まっています。その台数は台です。

７６段ある石段の下にＡさんとＢさんがいます。２人はじゃんけんをしてグーで勝てば１段，チョキで勝てば２段，パーで勝てば５段上ることにして，早く石段を上ってしまった方を勝ちとしました。
今，２０回じゃんけんをして(ただし「あいこ」は回数に入れていません)Ａさんは下から３４段目にいます。勝負が決まるまでには少なくともあと回じゃんけんをする必要があります。

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１９９０年

青山学院中等部

算数解答用紙

氏

名

受験番号

(1)

①

ç

②

分後

( 11 )(2)(3)( 12 )
(4)

時間

分

秒

(5)

ｍ

( 13 )(6)㎝

2( 14 )(7)人( 15 )(8)㎝( 16 )(9)枚( 10 )

2

点

時間

たて

分

㎝，横

㎝

こ

①

倍

②

台

( 17 )㎝( 18 )

回合計

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１９９０年

青山学院中等部

算数解答用紙

氏

名

受験番号

(1)

１２

(2)

３

７ ç

②

３ 分後

( 11 )

１
８

１

(3)
(4)

①

１０
１８ 時間

２１ 分

( 12 )

３６ 秒(5)

２ ３ ５ .５ ｍ

( 13 )

(6)

４ ㎝

2

( 14 )(7)

４５０ 人( 15 )(8)

９ ４ .２ ㎝( 16 )

(9)

９３６ 枚

１３０ 点

２ 時間

たて

１５ 分

４ ８ ㎝ ， 横 ４ ９ .５ ㎝

１６ こ

①

６ 倍

②

２５０ 台

( 17 )( 10 )

４８ ㎝

2( 18 )

４ 回

合計

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１９９０年
配点

国語１００点，算数１００点

算数の合格基準点(予想)男子

青山学院中等部

算数解説

合計２００点

７０ 点，女子

７８ 点

題 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 ① 11 ② 12 13 14 15 16 17 ① 17 ② 18

問

難易度 Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ
難易度

Ｂ

Ｂ

Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ ＣＣ

ＣＣ

Ａ→１００％正解してください。
Ｂ→８０％以上正解してほしい問題です。
Ｃ→６０％の正解が要求されます。
この問題がどれだけできるかどうかが合否の分かれ目です。
Ｄ→難問です。
わからなかったら時間をかけずにさっさとあきらめることが必要です。

ワンポイントヒント( 1)

左から順にしっかり計算していきましょう。

( 2)

途中，13 や 37 で約分できることに注意してください。

( 3)

３ .６７−２.８８＋０ .２１の，２.８８＋０.２１を先に計算しないようにしましょう。

( 4)

１日は２４時間であることを忘れないようにしましょう。ついつい１日＝６０時間にしそうに
なります。

( 5)

ｍで答えることを忘れないようにしましょう。

( 6)

面積の単位の直し方をしっかりマスターしておきましょう。
２０万分の１の地図では，面積は (２０万×２０万)分の１になります。

( 7)

線分図を書いて考えるとわかりやすくなります。

( 8)

うまく点と点を結ぶと，正三角形ができます。

( 9)

はじめ，生徒には２６枚ずつカードを配っていましたが，全員から２枚ずつカードをもどしてもらったので，全員に ２６−２＝２４(枚)ずつカードを配ったことになります。もちろん，あとから加わった３人にも，２４枚ずつカードを配りました。

(10)

あ
い
う
○，○，○の三角形は高さがすべて等しいので，(底辺の和)×高さ＝(面積の和)になります。

(11)

グラフに，どの管を使用しているのかを書きこむと，ミスを防ぐことができます。

(12)立体の頂点に記号をふり，展開図にも記号を書きましょう。

(13)

面積図を書いてよく考えましょう。

(14)

速さの比と時間の比は逆比であることから問題を解くことができます。

(15)

いちばん小さい正方形の１辺を○として，いろいろな正方形の辺の長さを○で表しましょう。

(16)

１歩で行けるところは３歩でも行けるし５歩でも行けます。

(17)

機械の台数を⑤台とし，１台あたり１個の製品を作るものとして解いていきましょう。

(18)

Ａさんは最低何回勝ったのかを考えましょう。

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解説
( 1)

４８÷６×４÷８×３＝８×４÷８×３＝３２÷８×３＝４×３＝１２
よって，１２÷

( 2)

１
８
＝８
＝
1

3

＝

７
９

−

７
１３
７
１３

１１１
１３

７
８

＝１

×(１
×
×

５６
７２

７
９

６５
７２
６５
７２

＝１となりますから，

−

−

７
８

÷２

６３
７２

)÷２

＝

１２８
７２

−

６３
７２

＝

６５
７２

＝１２

ですから，

７
１５

７
１５

３７

÷

１５

5
5
１１１×６５×１５
１３ ×７２×３７
24
1
8
２５
1

＝

８

＝３

( 3)

１
８

３ .６７−２.８８＋０ .２１＝１１÷０.１６−４ .１×１
＝１÷
＝
＝
＝
＝

( 4)

２５
４

４
２５
−

１２５
２０

−

４１

×１

１０

１

ですから，

１
２

２

４１×３
１０×２
−

１２３
２０

２
２０
１
１０
１日は２４時間ですから，１日の

１５３
２００

す。これで１８時間が決定し，残りの
＝

１０８
５

＝２１

ら，６０×

３
５

３
５

９
２５

は，２４×

１５３
２００

＝

４５９
２５

＝１８

９
２５

時間になりま時間は，１時間が６０分ですから，６０×

分となります。これで２１分が決定し，残りの

３
５

９
２５

＝

分は，１分が６０秒ですか＝３６(秒)となります。
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( 5)タイヤの直径は６０㎝ですから，タイヤのまわりの長さは，直径×３.１４＝６０×３.１４＝１８８.４(㎝)となります。
エンジンが３.２回転するとタイヤは１８８.４㎝進みますから，エンジンが４００回転したら，３.２回転のときの ４００÷３ .２＝１２５(倍)進みます。よって，１８８ .４×１２５＝
２３５５０(㎝)進みます。１ｍは１００㎝ですから，２３５５０㎝＝２３５ .５ｍ進むことになり
ます。

( 6)

７２００ｔは４.５ｔの ７２００÷４.５＝１６００(倍)ですから，１ ha の１６００倍の，１６００ ha の面積があることになります 。これを ，２０万分の１の地図に直せばできあがりです 。
2

2

１ ha は１００００００００㎝ ですから，１６００ ha は１６００００００００００㎝ になります。２０万分の１の地図では，面積は(２０万×２０万)分の１になりますから，
１６００００００００００÷(２０００００×２０００００)＝４(㎝ 2)となります。
０が多いと計算ミスをしやすいので，注意しましょう。
( 7)

線分図を書いて考えてみてはどうでしょう。
全体はもちろん１００％で，男子は５８％よりも２１人少なく，女子は４６％よりも３人多いのですから，右のような線分図になります。
男子を２１人増やし，女子を３人減らすと，男子は５８％ぴったり，女子は４６％ぴったりになります。すると全体は１００％よりも２１人増えて３人減るわけですから，結局
２１−３＝１８(人)増えます。よって，右の
図のようになります。
男子は５８％，女子は４６％ですから，男子と女子の和は ５８＋４６＝１０４(％)になります。よって，１０４−１００＝４(％)が１８人になります。求めたいのは生徒全体，つまり１００％ですから ，４％の １００÷４＝２５(倍)，よって １８×２５＝４５０(人)になります 。

( 8)

下の図１〜図３のように，太い線を３つの部分に分けます。

図１の太い線は，Ａを中心としたおうぎ形の弧の部分ですから，図４のＡＣ，ＡＯ，ＡＤはす
べて２０㎝です。また，ＯＣ，ＯＤもこの円の半径ですから，やはり２０㎝です。よって，三角形ＡＣＯ，三角形ＡＤＯはどちらも正三角形になります。角ＣＡＤは，６０×２＝１２０(度)になります。図１の太い線は，半径２０㎝で中心角１２０度のおうぎ形の弧の部分になるわけですね。
また，図３の太い線は図１の太い線と同じ長さですから，ごれも半径２０㎝で中心角１２０度のおうぎ形の弧の部分です。
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あとは，図２の太い線についてわかればよいですね。これは，図５のようにＯから線をひけば，おうぎ形ＯＥＤができます。このおうぎ形の半径はもちろん２０㎝ですから，このおうぎ形の中心角を何とかして求めれば，答えがわかることになります。
ところで，図４の三角形ＡＤＯは正三角形です。点Ａや点Ｂは円周を４等分した点ですから，角ＡＯＢは９０度で，角ＡＯＤが６０度ですから，角ＤＯＢは ９０−６０＝３０(度)です。同じようにして，角ＥＯＡも３０度ですから，
おうぎ形ＯＥＤの中心角ＥＯＤは，９０−(３０＋３０)＝３０(度)となります。
これで，図１〜図３の太い線の部分はいずれも半径２０㎝のおうぎ形の弧の部分だとわかり，
しかも中心角は図１と図３では１２０度 ，図２では３０度だとわかりましたから ，中心角の和は ，１２０×２＋３０＝２７０(度)となります。太い線の長さは，２０×２×３.１４×

( 9)

２７０
３６０

＝(２０×２×３
４)×３.１４＝３０×３.１４＝９４.２(㎝)です。

はじめは，全員に２６枚ずつカードを配りました。
次に ，３人の生徒が加わったので ，全員から２枚ずつカードをもどしてもらいました 。よって ，全員に ２６−２＝２４(枚)ずつカードを配ったことになります。もちろん，あとから加わった
３人にも２４枚ずつカードを配ったのですから，この３人は，２４×３＝７２(枚)のカードを，はじめからいる人たちからもらったことになります。２枚ずつもらつて７２枚になったのですから，７２÷２＝３６(人)の人が，はじめからいたことになります。
はじめは，全員(３６人)に２６枚ずつカードを配ったのですから，カードの枚数は，
２６×３６＝９３６(枚)になります。

(10)

2○○○の三角形の面積の和が１２㎝で，高さは １２÷３＝４(㎝)ですから，○○○の三角形
あいう
あいうの底辺を□㎝とすると，□×４÷２＝１２となります。□＝１２×２÷４＝６(㎝)です。

よって ，○○○の底辺は，１８−６＝１２(㎝)となります 。高さは １２−４＝８(㎝)ですから ，えおか
2

面積の和は １２×４÷２＝２４(㎝ )となります。
( 11)①

はじめの３分間はＡ，次の４分間はＡとＢ，その次の４分
間はＢとＣを使ったのですから，右のグラフのように書きこ
むことができます。
はじめの３分間のようすから，Ａは１分間に ６÷３＝２( ç )ずつ水を入れることがわかります。また，次の４分間のようすから，ＡとＢは１分間に (４２−６)÷４＝９( ç )ず
つ水を入れることがわかります。次の４分間のようすから，
ＢとＣは１分間に (４２−３０)÷４＝３(ç)ずつ水を出すことがわかります。ここまでのようすを整理すると，
Ａ…毎分２ çずつ入れる。

ＡとＢ…毎分９ çずつ入れる。
ＢとＣ…毎分３ çずつ出す。
よって，Ｂだけでは毎分，９−２＝７(ç)ずつ入れることができます。
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②

Ｂだけでは毎分７ ç ずつ水を入れることができますが，ＢとＣでは毎分３ ç ずつ水を出すことになりました。ということは，Ｃではよっぽどたくさん水を出すはずですね。Ｃは毎分，
７＋３＝１０(ç )ずつ水を出すことになります。いま，はじめから１１分後(グラフを見るとわかるように，このときの水の量は３０ ç になっていますね)から，Ｃで１０ ç ずつ水を出すのですから，３０÷１０＝３(分)後に，水はなくなります。

(12)

まず，立方体の見取り図と展開図に記号を書いてから，直線を書いていきましょう。
図１

図２

図３

図４

立方体に，図１のように記号を書いたとします。ここで，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの反対の点は，それぞれＧ，Ｈ，Ｅ，Ｆであることに注意しておいてください。
さて，展開図ではまず図２のように点をつけることができます。反対の点は展開図では図３のような関係にありますから，図４のように展開図に記号を書くことができます。あとは，面を探して直線を描く，の繰り返しです。たとえば面ＡＥＦＢを見つけてＡＢの中点からＥＦの中点まで直線を描くと，図５のようになります。このように描いていくと，図６のようにできあがります。
図５

(13)

図６

右の図のように面積図を書きましょう。得点が良い人(７０点以上)と，悪い人(７０点未満)に分けます。すると，良い人からは自分の得点から７０点を引かせた得点の合計は，図のアとイの和ですから，ア＋イ＝３６０…①となります。

ところが，このクラスの平均点は７５点ですから，７５点よりも出ているところ(ア)と，７５点よりもへこんでいるところ(ウ＋エ)は同じです。よって①の式のアの部分をウ＋エにかえて，(ウ＋エ)＋イ＝３６０，整理して イ＋ウ＋エ＝３６０

…②

と

なります。
求めたいのは，悪い人の，７０点から自分の得点を引いた点数の合計，つまり図のエの部分です。②の式により，エ＝３６０−(イ＋ウ)ですから，イ＋ウがわかればよいですね。
ところが図のイ＋ウの部分は長方形で，たての長さは ７５−７０＝５，横の長さは４６です
から ，イ＋ウは ５×４６＝２３０

です 。よってエは ，３６０−２３０＝１３０となります 。

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(14)同じきょりを進むときに，速さの比と時間の比は逆比になることに注意して，問題を解いていきましょう。
右の図のように，途中の速さを変えた地点をＣ地とします。すると，Ａ地からＣ地までは時速４０㎞で進み，Ｃ地からＢ地までは予定では時速４０㎞で進むところ
を時速６０㎞で進んだので，１５分早く着いた，ということになります。Ｃ地からＢ地までの，予定の速さと実際の速さの比は ４０：６０＝２：３ なので，かかる時間の比は逆比になって３：２ になります。予定のかかる時間を③，実際にかかった時間を②とすると，③−②＝①が１５分にあたるのですから，実際にかかった時間は，１５×２＝３０(分)になります。
Ｃ地からＢ地までは，実際の速さは時速６０㎞，実際にかかった時間は３０分(＝０ .５時間)とわかったのですから，Ｃ地からＢ地までのきょりは，６０×０ .５＝３０(㎞)になります。
ところで ，「時速４０㎞で走ったきょりと時速６０㎞で走ったきょりの差は４０㎞」と問題に書いてありましたから，Ｃ地からＢ地までのきょりが３０㎞ならば，Ａ地からＣ地までのきょ
りは，３０＋４０＝７０(㎞)になります。この距離は，時速４０㎞で走ったはずなので，
７０÷４０＝１

３
４(時間)→１時間４５分かかります。

結局，Ａ地からＣ地までは１時間４５分，Ｃ地からＢ地までは３０分かかるのですから，
Ａ地からＢ地までは，１時間４５分＋３０分＝２時間１５分(15)となります。

右の図のようにＡとＢ以外の正方形にもＣからＩまでの名前をつけます。そして，いちばん小さい正方形Ｈの１辺を①とします。
Ａの１辺は６㎝，Ｂの１辺は１０.５㎝です。同じようにして，他の正方形の１辺も考えていきましょう。
まず，Ｇの横の長さは ６＋１０.５−①＝１６ .５−①
Ｅのたての長さです。

…Ｂより①だけ長いので，１０ .５＋① です。
横の長さも同じです。

Ｉの横の長さ…Ｅの横の長さより①だけ長いので，１０ .５＋② です。たても同じです。

Ｇのたての長さ…Ｉのたての長さより①長いので，１０.５＋③ です。

よって，Ｇの横の長さは１６.５−①で，たての長さは １０.５＋③です。たての長さと横の長さは等しいので，１６.５−①＝１０.５＋③ となります。よって，③＋①＝④が，
１６.５−１０.５＝６(㎝)となりますから，①あたり，６÷４＝１ .５(㎝)です。
①が１.５㎝であることがわかったので，もうすべての正方形の１辺がわかりますね。
Ｈ…１.５㎝です。
Ｇ…６＋１０.５−１.５＝１５(㎝)Ｅ…１０ .５＋１.５＝１２(㎝)Ｉ…１２＋１.５＝１３ .５(㎝)
Ｄ…Ｂ＋Ｅ＝１０ .５＋１２＝２２.５(㎝)
Ｆ…Ａ＋Ｇ＝６＋１５＝２１(㎝)Ｃ…Ｆ＋Ａ＝２１＋６＝２７(㎝)
長方形のたて…Ｃ＋Ｆ＝２７＋２１＝４８(㎝)
長方形の横…Ｃ＋Ｄ＝２７＋２２.５＝４９.５(㎝)
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( 16)

右の図は，１歩で行ける点，３歩で行ける点，５歩で行ける点をそれぞれ①，③，⑤とします。
この問題は ，「５歩で行ける点のうち，３歩で行ける点」の個数を求める問題です。これにあてはまるのは①の点と③の点ですから，全部で１６個あります。

( 17)

古い機械は，１台あたり１個の製品を作るものとしましょう。そして，機械が 10 台あるとしましょう。すると，古い機械だけでは， 10 個の製品を作ることができます。
ここで，６割を新しい機械に変えると，４台は古い機械で６台は新しい機械になり，生産量は４倍つまり，10 ×４＝ 40 個の製品を作ることになります。
このうち４台は古い機械ですから，１×４＝４ 個の製品を作るので，新しい機械６台では，
40 −４＝ 36 個の製品を作ることになります。新しい機械６台で 36 個の製品を作ることになりますから，１台あたり，36 ÷６＝６個の製品を作ることができます。
①

古い機械が１台あたり１個の製品を作るとすると，新しい機械は１台あたり６個の製品を作ることができることになりますから，６倍の生産量になります。

②

１台の古い機械を新しい機械に変えると，１個から６個に生産量が増えることになります。
つまり，６−１＝５(個)だけ増えることになります。
今，１０台の機械を変えると，５×１０＝５０(個)だけ生産量が増えます。これが今までの２割にあたるのですから，今までの生産量は，５０÷０ .２＝２５０(個)あったことになります。
今までは古い機械だけ使っていたのですから，１台あたり１個の製品を作れます。今までの生産量は２５０個ですから，２５０÷１＝２５０(台)の機械があることになります。

(18)

この問題のポイントは，Ｂさんについて考えることです。Ａさんは下から３４段目にいますが，Ｂさんはどこにいるのか書いていません。Ａさんがもし少ない回数で３４段目まで上がったとしましょう。なるべくパーで勝てば少ない回数になりますから，パーで６回，チョキで２回勝ったときに，５×６＋２×２＝３４(段)となりますから，６＋２＝８(回)が，もっとも少ない回数で３４段目まで上がった回数になります。このとき，Ｂさんは ２０−８＝１２(回)勝
ちました。１２回ともパーで勝って，５×１２＝６０(段目)まで上がったときが，もっともＢさんが上にいるときです。このとき，Ｂさんはあともう少しで石段を上ってしまいますね。上まで７６段ありますから，あとたった ７６−６０＝１６(段)です。５×３＋１×１＝１６(段)ですから，パーで３回グーで１回，３＋１＝４(回)で勝負が決まってしまいます。

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