繊維の配向性を考慮した架橋則の計算
Calculation of the bridging law
considering fiber orientation

筑波大学 金久保利之
Toshiyuki Kanakubo,University of Tsukuba
出典 1) Kanakubo, T., Miyaguchi, M., Asano, K., Influence of Fiber Orientation on Bridging
Performance of Polyvinyl Alcohol Fiber-Reinforced Cementitious Composite,
Materials Journal, American Concrete Institute, Vol.113, No.2, pp.131-141, 2016.3
2) Y. Ozu, M. Miyaguchi, T. Kanakubo, Modeling of Bridging Law for PVA FiberReinforced Cementitious Composite Considering Fiber Orientation, Journal of Civil
Engineering and Architecture, Volume 12, Number 9, pp.651-661, 2018.9

https://www.kz.tsukuba.ac.jp/~kanakubo/page7.htm

2計算の方法 Methodology
Orientation factor
配向係数
繊維の投影長さ(Projection length)
繊維の長さ(Fiber length)＝繊維が、ある平面を跨ぐ確率(Probability of bridging a crack)

3次元ランダムのとき、0.41(3D random = 0.41)

At Pa
Bridging forcelb
架橋力

ひび割れを跨ぐ繊維の引張力(Tensile force
bridging a crack)

At Pmax

At slipping out
Fiber

0.1mm
a =0.2mm

0.3mm
max =0.45mmlb

MatrixShort
embedded side
lb: Embedded length3計算の方法 Methodology
Bridging force

Pbridge

架橋力
ひび割れを跨ぐ繊維の引張力の合計(Summation of bridging tensile force)crack

Pij ( , ) p xy ( i ) p zx ( j ) p x ( yh , z h )hjPii→ 3次元に対して、(For 3D,)

Pbridge=Pii( yz)

Crack planeFiber

z-x planey x-y planezx
4計算の方法 Methodology
Bridging force

Pbridge

架橋力
ひび割れを跨ぐ繊維の引張力の合計→ 3次元に対して、

Pbridge=

Pi

繊維1本の引張力
Tensile force ofsingle fiber

crack

Pij ( , ) p xy ( i ) p zx ( j ) p x ( yh , z h )
hji

ひび割れ幅
Crack width

ひび割れ面
法線に対する角度
Angle to normal direction

Piix-y平面に対する角度
Angle to x-y planez-x平面に対する角度
Angle to z-x plane( yz)Crack plane
Fiberz-x planey x-y planezx5

計算の方法 Methodology
Bridging force

Pbridge

架橋力
ひび割れを跨ぐ繊維の引張力の合計

crack

Pij ( , ) p xy ( i ) p zx ( j ) p x ( yh , z h )hji

繊維の配向性や分散性を示す
確率密度関数
Probability density function (PDF)
to express fiber orientation and dispersion

Pii→ 3次元に対して、

Pbridge=Pi( yz)

Crack plane
Fiberz-x planey x-y planezx6

計算の方法 MethodologyBridging force

Pbridge

架橋力
ひび割れを跨ぐ繊維の引張力の合計

crack

Pij ( , ) p xy ( i ) p zx ( j ) p x ( yh , z h )hjix-y平面に対する配向角分布を表現する
確率密度関数PDF for orientation
to x-y plane

Pii→ 3次元に対して、

Pbridge=Pi( yz)

Crack planeFiber

z-x planey x-y planezx
7計算の方法 Methodology
Bridging force

Pbridge

架橋力
ひび割れを跨ぐ繊維の引張力の合計

crack

Pij ( , ) p xy ( i ) p zx ( j ) p x ( yh , z h )hji

z-x平面に対する配向角分布を表現する
確率密度関数PDF for orientation
to z-x plane

Pii→ 3次元に対して、

Pbridge=Pi( yz)

Crack plane
Fiberz-x planey x-y planezx8

計算の方法 Methodology
Bridging force

Pbridge

架橋力
ひび割れを跨ぐ繊維の引張力の合計→ 3次元に対して、

Pbridgej=iPicrack

Pij ( , ) p xy ( i ) p zx ( j ) p x ( yh , z h )hPi( yz)ix方向に繊維が存在する分布を表現する
確率密度関数xi

PDF for x-axis

9計算の方法 Methodology
Bridging force

Pbridge

架橋力
ひび割れを跨ぐ繊維の引張力の合計

i→ 3次元に対して、

PbridgejPi

crack

Pij ( , ) p xy ( i ) p zx ( j ) p x ( yh , z h )h=Pi( yz)i

3つの確率を掛け合わせる
Multiplying 3 PDFs

独立であることが前提
Assumed to be independent

PDF (Probability Density Function)
確率密度関数/2/2
lf /2lf /2

p xy ( ) d1,p x ( y , z ) dx 1/2/2

p zx ( ) d1l ：繊維長fFiber length10楕円関数による確率密度関数 PDF
Elliptic function
楕円関数
Enomae, T., Han, Y. H., and Isogai, A., “Fiber orientation distribution of
paper surface calculated by image analysis”, Proceedings of International
Papermaking and Environment Conference, Tianjin, P.R. China (May 1215), Book 2, pp.355-368, 2004.
もともとは、「和紙」の繊維の配向性を表現するためにあったものを、ウドくんが見つけてきた。
変数p( )kcos

2CA sin cos(1 k ) sin 2 r
A1 (k 1) sin 2 r

パラメーターParameter (constant)r

B sin
B

2k (k 1) sin 2 r
1 (k 1) sin 2 r

0 のとき，p ( )VariableC1
1 (k 1) sin 2

kcos 2r

1k sin 211

楕円関数による確率密度関数 PDF
Elliptic function
楕円関数

kk >1

k <1ap apabbr

r

x*by*

p( )

x*

kcos 2CA sin cos(1 k ) sin 2 r
A1 (k 1) sin 2 rry*B sin 2
Bk (k 1) sin 2 r
1 (k 1) sin 2 r

0 のとき，p ( )C11 (k 1) sin 2

kcos 2r

1k sin 212

楕円関数による確率密度関数 PDF
Elliptic function
楕円関数

kr

Orientation
intensity
配向強度
Principal
orientation angle
主配向角と、呼ぶことにする。
配向角相対度数分布に戻すと→Relative frequency
distribution

k <1ap apbr

r

x*0.2

楕円分布
y* k=11.5
r=2.52°

相対度数ab

k >1

x*b
y*

0.1

0-90-45045
配向角（°）

9013楕円関数の求め方 Elliptic function
40mm

40mm

160mm
40mm

①画像のトリミング
Cropping②画像の二値化③ラベリング

Binarization

Labeling+q+q-q
y-qx 試験体
長軸方向

相対度数

0.20.1z④繊維1本ごとの配向角の算出
Calculation of orientation angle

0-90-45045配向角（°）

90⑤繊維配向角分布の作成
Relative frequency distribution

14楕円関数の求め方 Elliptic function
0.2

相対度数40mm160mm
対応する元の画像

平面座標に変換

0.10-90-45045
配向角（°）90

繊維配向角分布15楕円関数の求め方 Elliptic function
0.2

相対度数40mm160mm
対応する元の画像

平面座標に変換

0.10-90-45045
配向角（°）90

繊維配向角分布（楕円近似）

a配向角xb楕円分布
k=8.59r=24.7°

θr=24.7°
k=8.59主配向角の方向k = a:配向強度への配向の強さbを示す指標
θr：主配向角 （-45°≦θr≦45°）
An index expressing
a: θrを偏角とする楕円の径
fiber orientation
toward the principal
b: θrに直交する楕円の径
orientation angley楕円による近似
16楕円関数の求め方 Elliptic function
100mm

0.1

0-90-45045
配向角（°）

90k=0.69xy0.2

楕円分布
k=4.34r=-3.1°
相対度数

0.2

楕円分布
k=0.69r=-35.0°
相対度数

相対度数

0.2

100mm

100mm

0.1

0-90-45045
配向角（°）

90

楕円分布
k=11.5
r=2.52°0.1

0-90-45045配向角（°）

k=11.5k=4.34xy
繊維配向角分布の平面座標変換
楕円近似による配向強度の算出

90xy17

楕円関数の求め方 Elliptic function
100mm

0.1

0-90-45045
配向角（°）

900.2

楕円分布
k=4.34r=-3.1°
相対度数

0.2

楕円分布
k=0.69r=-35.0°
相対度数

相対度数

0.2

100mm

100mm

0.1

0-90-45045
配向角（°）

90

楕円分布
k=11.5
r=2.52°0.1

0-90-45045
配向角（°）

90k ＜1 : x軸と直交方向に配向
k=11.5k=4.34
k=0.69Fibers tend to orient toward the perpendicular to x-axisxxx
k ＝1 : ランダム配向Randomky ＞1 : x軸方向に配向yyFibers 繊維配向角分布の平面座標変換
tendto orient toward x-axis
楕円近似による配向強度の算出
18PVA繊維の引抜モデル Pullout model

Redon, C., Li, V. C., Wu, C., Hoshiro, H., Saito, T., and Ogawa, A., “Measuring and Modifying Interface
Properties of PVA Fibers in ECC Matrix”, ASCE Journal of Materials in Civil Engineering, Vol.13, No.6,
pp.399-406, 2001
19

PVA繊維の引抜モデル Pullout model
Trilinear model
トリリニアモデル

Pullout load

PVA繊維の化学的固着力と抜出しをモデル化
Rupturestrength=0Pmax
PaamaxCrack widthlb20

PVA繊維の引抜モデル Pullout model
Trilinear model

Snubbing effectトリリニアモデル

スナビング効果

PVA繊維の化学的固着力と抜出しをモデル化

角度がつくと、抵抗力が増大

=0

引抜力増加
配向角θ

さPmax

R界面
せん断PaP応
力Rupture
strength

埋め込み長

Pullout load

マトリックスamax

Crack widthlb

角度大e.g., Li, V. C., Wang, Y., and Backer, S., “A Micromechanical Model of Tension-Softening and Bridging
Toughening of Short Random Fiber Reinforced Brittle Matrix Composites”, J. Mech. Phys. Solids, Vol.39,
No.5, pp.607-625, 1991
21

PVA繊維の引抜モデル Pullout model
Trilinear model

Fiber strength degradation

トリリニアモデル

強度低下

Pullout loadPVA繊維の化学的固着力をモデル化
Rupturestrength

角度がつくと、破断強度が低下=0Pmax
PaamaxCrack widthlb

破断強度低下角度大e.g., Kanda, T., and Li, V. C., “Interface Property and Apparent Strength of High-Strength Hydrophilic Fiberin Cement Matrix”, ASCE Journal of Materials in Civil Engineering, Vol.10, No.1, pp.5-13, 1998
22

PVA繊維の引抜モデル Pullout model
Trilinear model

角度大Pullout load

トリリニアモデル
Rupturestrength=0Pmax

破断強度低下

Pa:large:medium
Ruptureスナビング効果で引抜力増加amax

Crack widthlb

Crack width

Crack width
Crack plane
Fiberz-x planey x-y planezx23架橋則の計算 Calculation
Bridging force

Pbridge

架橋力
ひび割れを跨ぐ繊維の引張力の合計

i→ 3次元に対して、

Pbridgeji9090i9090
j
p x ( y h , z h ) constxgl b / 2)

PicrackPij ( , ) p xy ( i ) p zx ( j ) p x ( yh , z h )h(0=Piの範囲で、力業で数値計算必要なDimension（例）＝ 180度×180度×6mm×計算するステップ（100）（＝19,440,000）( yz)

p xy ( i ), p zx ( j ) は、

k：配向強度r：主配向角で、与える。
24

https://www.kz.tsukuba.ac.jp/~kanakubo/page7.htm

25https://www.kz.tsukuba.ac.jp/~kanakubo/page7.htm

26配向強度(Orientation intensity)
主配向角(Principal orientation angle)27

トリリニアモデルの第一折れ点(“a” point)
トリリニアモデルの最大点(max. point)

Trilinear model
Pullout load

トリリニアモデル
Rupturestrength=0Pmax
PaamaxCrack widthlb

28

P

Ppull e f

Prup e f 'スナビング効果
Snubbing coefficient

破断強度低下係数
Strength reduction factor

繊維の破断強度（メーカー値とは異なる）
Rupture strength29

マトリックス断面積
Matrix cross-sectional area

体積混入率
Fiber volume fraction

繊維断面積
Fiber cross-sectional area

繊維長Fiber length30クリックClick3132

σ－δ関係
Tensile stress – crack width relation

繊維長の半分で0Zero at half of fiber length33

ひび割れを跨いで応力を負担している繊維の割合
Ratio of bridging fiber34

抜け出しSlipping out

破断＋抜け出しRupture+ slipping out

Slippingout

Pii

RuptureFibercrack effectiveness=2/435

Kanakubo, T., et al., Influence of Fiber Orientation on Bridging Performance of Polyvinyl Alcohol
Fiber-Reinforced Cementitious Composite, ACI Materials Journal, 113(2), pp.131-141, 201636

縦打ちVC0.4
Calc.

2

Test0.2

105000.511.5
Crack width (mm)Crack width (in.)
0.02
0.04
0.06
TV20

43Calc.

20020.6
0.4
0.2

10Test0.5
11.5
Crack width (mm)Tensile stress (ksi)3Tensile stress (ksi)

2打ちH
C

Tensile stress (N/mm )2

Tensile stress (N/mm )Kanakubo, T., et al., Influence of Fiber Orientation on Bridging Performance of Polyvinyl Alcohol
Fiber-Reinforced Cementitious Composite, ACI Materials Journal, 113(2), pp.131-141, 2016
Crack width (in.)
00.02
0.04
0.06
5TH200.64
横0237