Vol.15 (2010年5月）

計算工学講演会論文集

計算工学会

WTCのリダンダンシーに関する検証解析
Analytical Verification on Redundancy of the World Trade Center Towers恩田 江理1)，久永 哲也2)，磯部 大吾郎3)
Eri Onda, Tetsuya Hisanaga and Daigoro Isobe
1) 筑波大学大学院（〒305-8573 茨城県つくば市天王台1-1-1, e0611326@esys.tsukuba.ac.jp）
2) 九州電力株式会社
3) 博（工） 筑波大学准教授（〒305-8573 茨城県つくば市天王台1-1-1, isobe@kz.tsukuba.ac.jp）
At the September 11, 2001 incident, the New York World Trade Center (WTC) towers did not collapse
immediately after the aircraft impacts. It was generally reported that the outrigger truss systems placed on
roof tops made structural redundancy and helped elongating the collapse initiation times of the towers. In thispaper, ASI-Gauss technique is applied to an aircraft impact analysis to investigate the redundancy producedby outrigger truss system at the moment of impact. It is shown that the outrigger truss system had clearlyaffected the redundancy of the WTC tower under dynamic load particularly in upper floors.
Key Words: ASI-Gauss technique, WTC tower, Redundancy, Outrigger truss system

1．はじめに2001年9月の米国同時多発テロによってニューヨーク世界貿易センター（WTC）ビルが完全崩壊したことは，世界得られる順応型Shifted Integration法（ASI法）[4]を改良し，弾性域での解の精度を向上させたものである．
（2）部材破断判定

中を震撼させた．その際に崩壊したWTC2は航空機衝突後

本解析で使用する部材破断判定式には，部材を構成するから崩壊までに1時間を要し，崩壊の進行速度は自由落下各要素の曲率，引張軸ひずみおよびせん断ひずみによる次速度に近かったことが観測されている．米国政府調査局で式を用いた．

あるFEMA[1]とNIST[2]がまとめた報告書によると，WTCビルが崩壊した主な要因は，航空機が積んでいたジェット燃料に引火し発生した火災による建物の耐力低下であるとしているが，風荷重に対する補強システムとしてビル上層部に設置されたアウトリガートラスシステムにより応κx≥ 1 or
κ x0

κy≥1
κ y0γ xz
≥ 1 orγ xz0orεz≥1ε z0(1)γ yz≥1γ yz0

力伝達経路が確保され，リダンダンシーが生まれ，崩壊ま

ここで，κ x , κ y , ε z , γ xz , γ yz は要素における x 軸・ y 軸回りでの時間を稼ぐのに有効であった可能性も示唆している．の曲率，引張軸ひずみ， x 軸・ y 軸方向のせん断ひずみでしかし，航空機衝突時のように，瞬時に動的な力が加わっあり，添字 0 は破断臨界値であることを示す．これらの破た場合に，アウトリガートラスシステムがどのような働き

断臨界値は実験結果[5]などから入手できるため，信頼性のをしたのかについては検証されていない．

高い判定を行うことが可能である．
（3）要素接触アルゴリズム

本研究の目的は，航空機衝突時におけるアウトリガートラスシステムの作用や建物全体の挙動に与える影響を数次に，本研究で使用した要素接触アルゴリズム[6][7]値解析により検証することである．使用するモデルには線について述べる．接触判定には内分ベクトル型アルゴリ形チモシェンコはり要素を用い，少ない要素分割数で高精ズムを用いた．この手法では，例えば図 1 における 2 つ度な解が得られるASI-Gauss法[3]を適用し，WTC2の航空のはり要素を 2 つの線分と考え，それぞれの要素の中点機衝突解析を実施した．

間距離 l と 2 つの要素の平均長 l’を計算し，l<l’となった
とき，衝突要素の近傍に他の要素が存在するとみなし，

2．解析手法図 2 のように衝突要素に垂直な平面に他方の要素を投影（1）ASI-Gauss 法する．そして，線分 A1A2 と線分 B1B2 との最短距離をと解析には，大規模骨組構造の構造解析において最小限のコストで計算可能である，ASI-Gauss法[3]を基に独自開発した有限要素解析コードを使用した．本手法は，通常の有限要素法に比べ格段に少ない要素数で高精度の収束解がる内分点 M を次式により導出する．

(xM , yM , zM ) = n(x1 , y1 , z1 ) + m(x2 , y2 , z2 )m+n(2)

A1l

B1A2A0B0A2 (x 2 , y 2 , z 2 )Mm

図 1 要素の中点間距離いる 4 つの節点の接触開始ステップから現ステップまで

d

当変位| u |を計算する．

P(B1 B2 )図 2 衝突要素 B1B2 と被衝突
要素 A1A2 間の最短距離A2ている変位情報とは，ギャップ要素によって拘束させての相対変位値である．この情報を用いて次式に従って相A1 (x1 , y1 , z1 )B2n

振動の少ない変位情報を用いることにした．ここで述べA14u =∑i =1{ (X + ∆X ) + (Y + ∆Y ) + (Z + ∆Z ) }
2i2ii

2iii

(6)

Xi，Yi，Zi はそれぞれ接触開始から現在までの全体座標系
X，Y，Z 方向の変位，Δは増分を表す．| u |がその最大値のある割合以下になったとき接触を解除する．この割合を接触解除判定比と定義し，今後の解析に用いる．ただし，「| u |の最大値が一定の値以下では接触を解除しない」

MMとする下限値を設定し，非常に弱い接触において過度に判定を繰り返さないように処理した．

B1

B2

A1(a)要素の位置関係（鋭角）A2

B1

B2(b)要素の位置関係（鈍角）

図 3 角度による接触判定

さらに，接触解除後すぐに接触判定を行うと，解除した瞬間に再接触する可能性がある．これでは跳ね返りが表現できないため，接触解除後一定時間は接触しないよう接触回避時間を設定した．この接触回避時間は，接触解除判定比の割合に比例して大きくする必要がある．

ここで (xM，yM，zM)は内分点 M の座標，(x1，y1，z1)およ接触解除判定比と下限値，接触回避時間を適切に設定し，び(x2，y2，z2)は端点 A1，A2 の座標である．次に図 3 のよ

最適な位置で接触を解除した場合，再び内分ベクトル型接うに衝突要素 B1B2 をなす 2 節点 B1，B2 と線分 A1A2 の内触アルゴリズムを通る．これを繰り返すことで何度でも接分点 M の 3 点からなる三角形を考える．∠ＭB1B2 および触表現が可能となり，部材の跳ね返りや部材同士の重なり∠ＭB2B1 が鋭角か鈍角かを次式に従って調べる．

が再現できる．

22B1 M ≤ B2 M + B1 B222B2 M ≤ B1M + B1 B222(3)(4)3．解析モデルの構成
モデルの各部材の決定には日本建築学会による報告[8]，並びに FEMA や NIST による報告書 [1][2] を参考にした．

式(3)，(4)がどちらも満たされた場合，図 3(a) のようにWTCの構造的特徴として，外周部とコア部からなるチュー∠ＭB1B2 および∠ＭB2B1 はどちらも鋭角となり，2 要素ブ構造であることが挙げられる．そして，外周部とコア部は接触していると判定され，節点間を計 4 本のギャップを繋ぎ，風荷重に抵抗するためのアウトリガートラスシス要素で結ぶ．

テムが上層部に設置されていた．コア部は建物重量の約（4）再接触アルゴリズム60%の鉛直荷重を支え，外周部は残りの約40%の重量支持

次に，再接触アルゴリズムについて述べる．これにはと水平力に対する抵抗を受け持っていた．コア柱の接合は接触した要素の組を拘束するギャップ要素を解除する処

エンドプレートをボルトで接合するものであり，その曲げ理，そして再び同じ組での接触を表現する処理が含まれ強度は部材の20~30%であった[1]．この接合部の脆弱性をる．1 組 4 本のギャップ要素に蓄積されている要素座標表現するために，以下の降伏関数fyに接合部強度係数CMを系 x 軸・y 軸回りの曲げひずみエネルギ和 BSE を次式に導入し，その値を0.3とした．

従って計算する．

1 4 2BSE = ∑∑{σ j }i {ε j }i Li
2 i =1 j =12(5)ここで，{σ}は一般化応力ベクトル，{ε}は一般化ひずみベクトル，L はギャップ要素長である．この式で得た
ギャップ要素の曲げひずみエネルギが最小になったときに解除するのが理想的であるが，ギャップ要素の曲げひずみエネルギは細かく振動する傾向があり，最適なタイミングで接触を解除することは困難である．そこで，ギャップ要素の曲げひずみエネルギと連動しており，値の22⎛ M ⎞ ⎛ M ⎞ ⎛ N⎞
fy =⎜⎜ x ⎟⎟ +⎜ y ⎟ +⎜⎜ ⎟⎟⎜⎟⎝ CMMx0 ⎠ ⎝ CMMy0 ⎠ ⎝ N0 ⎠(7)

ここで，Mx，Myはx，y軸回りの曲げモーメント，Nは軸力を表しており，下添字“0”は，各断面力成分が単独で部材断面に作用した場合の全断面塑性値であることを示す．
解析にASI-Gauss法を用いるため1部材を2要素で表現した． WTC ビルモデルの全要素数は 605314 ，全節点数は435394である．アウトリガートラスシステムを形成しているブレースは106階から110階に設置され，短辺方向に6フレーム，長辺方向に4フレームある．上部には四辺からの力を伝えるため，四辺と中央を結ぶブレースや109階から110階にかけて斜めの方向にブレースが入っている．

4．航空機衝突解析

701

WTC 全体モデルにアウトリガートラスシステムを付加したモデル[9]を作成し，衝撃的な破壊が生じた際の，901

アウトリガートラスの有無による軸力や変位の変化を調べるために，航空機衝突解析を行った．本解析において

1001

時間増分は 0.2ms とし，計算時間短縮のために，建物の1004

要素同士・航空機の要素同士のように，全体の挙動に大きな影響を与えないものと思われる接触は考慮しないものとした．衝突の様子を図 4 に示す．航空機の機首が 81

図 5 コア柱の配置

階外壁に衝突し，破壊しながら WTC 内へ侵入する．
-1.5

柱 901 は 81 階部分で破断する．
衝突開始から 0.100s までの柱 901 の 101 階での軸力推移を図 6 に示す．アウトリガートラスシステムを設置したモデルでは，その重量分だけ下方へシフトしている．
まず，衝突開始直後から 0.07s 近辺までの間では，アウAxial tension [MN]

0.048s で機首が図 5 に示すコア柱 901 に接触し，その後without outrigger truss systemwith outrigger truss system-2

トリガートラスシステムを設置していないモデルでは外-2.5

壁が破壊された際に圧縮力が増しているが，アウトリガートラスシステムを設置したモデルではあまり変化が見0られない．次に，0.07s 近辺以降の軸力推移を見ると，アウトリガートラスシステムを設置したモデルは設置して0.05

0.1Time [s]図 6 101 階における柱 901 の軸力推移

いないモデルと比べ，変動幅が比較的小さいことが分か
without outrigger truss systemwith outrigger truss system

る．
次に，破断していないコア柱に対するアウトリガート

1001，1004 について上層階と下層階の軸力推移の検証を行った．まず，上層階（101 階）での各コア柱の軸力推移を図 7 に示す．この場合にも，アウトリガートラスシ
ステムを設置しているモデルでは，設置していないモデ
ルに比べ軸力の変動幅が小さくなっている．次に，下層-2.2

Axial tension [MN]

ラスシステムの影響を調べるために，図 5 に示す柱 701，-2.4-2.6階（41 階）での各コア柱の軸力推移を図 8 に示す．下層
0階のコア柱では，どちらのモデルの場合でも軸力の変動0.050.1

Time [s]幅に大きな差が見られないことが分かる．

(a) 柱 701以上のことから，アウトリガートラスシステムが設置

without outrigger truss systemwith outrigger truss systemいては軸力を分散していることが分かった．これに対し，

Axial tension [MN]

されたことによりリダンダンシーが生まれ，上層階にお-5

-6

00.05

0.1

Time [s]0.000s

0.048s
図 4 航空機突入の様子

0.100s(b) 柱 1001
図 7 101 階における軸力推移下層階ではアウトリガートラスシステムによるリダンダ

without outrigger truss systemwith outrigger truss system

ンシーの効果はあまり見られなかった．

Axial tension [MN]

-2.8

5．おわりに-3

本稿では，WTC全体モデルの航空機衝突に対する動的解析を行い，アウトリガートラスシステムがもたらす影響に-3.2ついて検証した．その結果，アウトリガートラスシステムを設置しているモデルの方が，設置していないモデルと比較して上層階においては軸力の変動が小さいことが確認-3.4
00.050.1

できた．しかし，下層階においては両モデルの軸力変動幅Time [s]に差がなかった．つまり，動的な外力に対し，上層階にお(c) 柱 1004

いてはアウトリガートラスシステムの応力再配分能力が

図 7 101 階における軸力推移（続き）発揮されたものの，下層階においてはあまり効果がなかったものと考えられる．

without outrigger truss systemwith outrigger truss system

Axial tension [MN]

-18.3

本研究の最終目標は，航空機衝突から崩壊までの一連の挙動を検証することである．今後は，航空機が建物の構造-18.4を破壊していく過程を知るために引き続き解析を行い，機体貫通後においてもアウトリガートラスシステムの有無-18.5によるリダンダンシーへの影響を検証する予定である．

-18.6

参考文献

-18.7

1) ASCE/FEMA, World Trade Center Building Performance-18.8
00.050.1

Time [s]Recommendations, 2002.

(a) 柱 7012) NIST NCSTAR 1: Federal Building and Fire Safety
Investigation of the World Trade Center Disaster: Final

without outrigger truss systemwith outrigger truss system

Report of the National Construction Safety Team on the-39.5

Axial tension [MN]

Study: Data Collection, Preliminary Observation andCollapse of the WTC Tower, 2005.
3) 磯部大吾郎，チョウ ミョウ リン：航空機の衝突に伴う-40

骨組鋼構造の崩壊解析，日本建築学会構造系論文集，第579号, 2004, pp. 39-46.
-40.54) 都井裕，磯部大吾郎：骨組構造の有限要素崩壊解析における順応型Shifted Integration法，日本造船学会論文集，第171号, 1992, pp.309-317.

-410

Axial tension [MN]

-240.050.15) 濱田直之，他：高力ボルト継ぎ手の耐火性に関する実験Time [s]的研究（高力ボルト梁継ぎ手の高温時における純曲げ実(b) 柱 1001験），日本建築学会大会学術講演梗概集A-2, 2006, pp.

105-110.

without outrigger truss systemwith outrigger truss system

6) 久永哲也，磯部大吾郎：ASI-Gauss法を用いた衝突崩壊-24.1

解析コードにおける破断・接触アルゴリズムの検討， 日
本建築学会 2008 年度大会（中国）学術講演梗概集 B-1,

-24.2

2008, pp. 391-392.
7) 勝拓也，磯部大吾郎：高層建築物の発破解体計画システ-24.3

ムの開発，日本機械学会第22回計算力学講演会CD-ROM
論文集, 2009, pp.153-154.

-24.4

8) 日本建築学会WTC崩壊特別調査委員会：世界貿易センタ
00.050.1

Time [s](c) 柱 1004
図 8 41 階における軸力推移

ービル崩壊特別調査委員会報告書, 2003.

9) 久永哲也，磯部大吾郎：世界貿易センタービルのリダン
ダンシーに関する数値解析的研究，日本機械学会第22回
計算力学講演会CD-ROM論文集, 2009, pp.149-150.