地球環境研究，Vol.20（2018）

指数関数で近似された疑似多方大気において宇宙とのエントロピー交換率を最小にする気温減率
中

川

清

隆＊

渡

来

靖＊

キーワード：気温減率、疑似多方大気、エントロピー交換率最小Ⅰ．はじめに
日本工業規格JIS0201-1990（http://kikakurui.com/w/W0201-1990-01.html）により「標準大気」が定められている。これは1975年第一版（1978年修正再版）ISO 2533（Standard Atmosphere）および1985年版ISO 2533-1975/Addendum 1（Hypsometrical tables）を翻訳し、技術的内容および規格票の様式を変更することなく作成された我が国の国家規格であり、同規格１章において地球物理学的および気象学的観測から得たデータの処理にこの規格を使用することが推奨されている。同規格２．
６節が「温度および垂直温度こう配」を規定しており、ジオポテンシャル高度11.0021665㎞
までの垂直温度勾配を－6.50K/㎞と定めている。日本工業規格JIS0201-1990「標準大気」のいう垂直温度勾配－6.50K/㎞ は気象学的表現である気温減率6.50K/㎞と全く同等の概念である。標準大気の対流圏気温減率6.50K/㎞
は凝結を伴わない断熱的な上下混合の時に実現する乾燥断熱減率9.76K/㎞と凝結を伴う場合の減率（湿潤断熱減率）との中間的な減率となっており、凝結が部分的に起きていることと整合的であるため（時岡，2013）、凝結を伴う混合の出現比率を荷重とする乾燥断熱減率と湿潤断熱減率の荷重平均値であるとの認識が一般的である。
図１は、気象庁が館野高層気象台HPに公開している２月、５月、８月、11月の平年の気温鉛直分布である。大気下層はほぼ多方大気的に高度の増加とともにほぼ直線的に降温し、上層には安定層が形成されている。気温減率が高度に対して一定な大気を多方大気と呼び（正野，1942, 1960；AMS Glossary，http://glossary.ametsoc.org/wiki/
Polytropic_atmosphere）、多方大気に近い大気下層を対流圏、上層の安定層を成層圏、両者の境界面を対流圏界面と

図１＊

気象庁館野高層気象台における２月、５月、８月、11月の平年気温鉛直分布。横軸は気温（℃）、縦軸は高度（㎞）を示す（気象庁
館野高層気象台HPより）立正大学地球環境科学部・環境システム学科
103

指数関数で近似された疑似多方大気において宇宙とのエントロピー交換率を最小にする気温減率（中川・渡来）
中川・渡来
地球環境研究第 20 号
改良原稿（12 月 31 日提出版）
620

図 2 図版原稿

621
622

図２623 シンガポールにおける１月、８月、年平均の気温減率の鉛直分布。
図2 Singapore における1 月， 8 月，年平均の気温減率の鉛直分布．横軸は気温減率（℃/km），縦軸
624 横軸は気温減率（K/㎞）
は気圧（hPa）であり，ICAOは国際民間航空機関標準大気の気温減率を意味する．（吉﨑ほか，2015，よ、縦軸は気圧（hPa）であり、ICAOは国際
625り）
民間航空機関標準大気の気温減率を意味する（吉﨑ほか，2015より）
626
627
628

629
２段組の１段幅にして下さい
呼ぶ。地上気温が夏季（８月）に最大値をとり冬季（２月）に最小値をとる年変化を示すのは自明であり、対流圏界
630

631
面高度は冬季低くて夏季高く、圏界面温度は冬季高温で夏季低温となっている。平年の月平均鉛直気温分布において
632

さえ気温減率 γ が6.50K/㎞で一定という状況ではないことは明白であり、明瞭な年変化の存在が示唆される。吉﨑633
634

ほか（2015）は、高層観測結果およびJRA-55再解析結果により2014年の各地の気温減率の鉛直分布を調査し635た（図２参照）。赤道直下のシンガポールにおける2014年１月、８月の月平均および年平均の気温減率の鉛直分布は- 20 -

6.50K/㎞で一定ではなくて対流圏下層で小さく上層で大きい傾向があり、この傾向は極域以外の他地域でも同様であり、気温減率の水平分布は対流活動の活発・不活発にはよらずグローバルに決まっているとの見解を示している。
Manabe and Strickler（1964）以来、数値モデルにおいては、対流圏の平均気温減率が因って来る物理機構には立ち入らないで、単にこの6.50K/㎞を臨界気温減率とし気温減率がこの値を超えた場合にはそれを自動的に6.50K/㎞に置き換える、という便宜的な方法が採用されており、この操作は対流調節と呼ばれている（岸保ほか，1982）。6.50
K/㎞が臨界気温減率であれば、顕著な凝結を伴う混合の際の気温減率は必ず6.50K/㎞とならねばならないので、顕著な凝結を伴う混合の出現比率を荷重とする荷重平均値は必ず6.50K/㎞より小さくならねばならず、対流調節を採用
している数値モデルでは標準大気の気温減率6.50K/㎞は絶対に再現できないことになる。
最近、木村（2017）は、気温減率 γ が何故6.50K/㎞になるのか説明できないManabe and Strickler（1964）による

放射対流平衡モデルに代わる理論として、約2.8㎜/sで断熱下降する気流が放射冷却される「潜熱型対流による気温減率」を提唱した。
「潜熱型対流」は木村（2017）による造語であるが、地球-大気系内における面積比率をほぼ無視できるほど狭い積乱雲が形成されている地域のみで強い上昇気流が生じておりその地域内の気温減率は湿潤断熱減率となり、その他の大部分の地球-大気系は降下速度約2.8㎜/sの弱い補償下降流場を形成していて約40日掛けて10㎞下降しその間に35℃放射冷却されると主張した。大気が安定成層をしているために、下降気流は積乱雲の外側の全域に及ぶとしている。すなわち、大気は、ごく狭い範囲の上昇気流域と、広い範囲の下降気流域に分類され、上昇気流域
内の温度減率は湿潤断熱減率であり、下降気流域の温度減率が標準大気の気温減率6.50K/㎞であるとした。
仮に木村（2017）の主張通りだとしても、地球-大気系の平均の気温減率は、上昇気流域における湿潤断熱減率と下降気流域における気温減率6.50K/㎞の、面積を荷重とする荷重平均として求まることになるので、全球平均の気温
減率は必ず6.50K/㎞より小さくならねばならない。上昇気流域の面積が下降気流域の面積に比べて無視できる証拠は明示されていないので、木村（2017）の「潜熱型対流による気温減率」モデルによっても標準大気の気温減率6.50
K/㎞は絶対に再現できないものと思料される。
本研究は、Manabe and Strickler（1964）や木村（2017）とは異なる観点から、Paltridge（1975）が提唱する地球と宇宙の間でのエントロピー交換率最小法則により気温減率 γ が決定される可能性について検討することを目的とする。
104

地球環境研究，Vol.20（2018）

Ⅱ．非平衡定常開放散逸系におけるエントロピー生成率最大（Maximum Entropy Production）の仮説
現在の気象学の主流は、質量、熱量、運動量の保存則を表す６種類の方程式と状態方程式を連立させて積分して分析を進める力学的研究方法を志向している。しかしながら、従来の力学的方法には限界があり、例えば天気予報の場合には、未だに週間予報すら確率50％には及ばず、季節予報に至っては、高速のスーパーコンピュータに搭載された高精度の数値モデルを以ってしても、有意な再現・予測は困難である。この予測可能性限界の存在は、かつてLorenz（1963）が指摘した如く、非線形システムに共通して内在する本質的かつ根元的なカオスの問題である。個々の現象の再現・予測ではなく系全体の長期の平均的な特徴の再現・予測においては、従来の力学的方法論とは視点を異にする熱力学的方法論が注目されている。熱力学的手法の特徴は、系の細部に依存しないマクロな性質に着目して対象を議論するという点にある。
熱力学の第二法則によれば、エネルギーは有効性の高い方から低い方にしか変化できない。ないしは、エネルギーは利用価値が高い形態から低い形態、ないしは、秩序の高い形態から低い形態にしか変化できない。熱力学の第二法則はエントロピー S と呼ばれる状態変数を用いて議論される。閉鎖系においては、エントロピー S は単調に増加し、熱力学的平衡状態において最大値をとることが知られており、エントロピー増大の法則と呼ばれる。すなわち、である。エントロピー増大は、利用可能なエネルギーが減少し無秩序な状態、最終的には熱力学的平衡状態へ変化していくことを意味する。
熱力学の第二法則は、系外部との間でエネルギーおよび物質の交換を行う開放系にも拡張でき、…eq.（１）と表現できる。ここで、：開放系のエントロピー変化率、：系外部との間のエントロピー交換率、：開放系

内でのエントロピー生成率である。開放系内でのエントロピー生成は、放射、潜熱解放、熱伝導、運動エネルギーの散逸により現出する。従って、熱平衡状態から外れた開放系で定常状態がなりたっている場合には開放系のエントロ
ピー変化率はなので、eq.（１）は…eq.（２）

すなわち、…eq.（３）となる。熱力学の第二法則により、開放系内でのエントロピー生成率は常になので、非平衡開放散逸系が定常状態を保つためには、当然のことながら、系外部との間のエントロピー交換率は、常にでなくてはならない。
非平衡熱力学の分野では、開放散逸系の安定性に関して、非平衡度および非線形度の高い系においてはエントロピー生成率が最大となる状態で安定化するという、エントロピー生成率

最大の仮説が知られており（Sawada，1981）、Maximum Entropy Productionという意味でMEPと称される。これは非平衡度および非線形度の高い系においては非平衡をより効率よく解消できる状態、すなわち、系の平衡へと向かう割合を示すエントロピー生
成率の高い状態に遷移しようとする、と主張する仮説である。

地球-大気系は太陽（6000Ｋ）と宇宙（３Ｋ）の非平衡によって作り出された非平衡度および非線形度の高い非平105指数関数で近似された疑似多方大気において宇宙とのエントロピー交換率を最小にする気温減率（中川・渡来）

衡定常開放散逸系と捉えることができるので、非平衡開放散逸系が平衡へと向う割合、すなわち、エントロピー生成率が重要となる（例えば、杉本，1985）。Paltridge（1975, 1978）が最初に地球気候の形態がMEPで説明されることを提唱したとされている（例えば、Ozawa et al .，2003；Goody，2007）。しかしながら、Paltridge（1975）およびPaltridge and Platt（1976）は、惑星と宇宙の間のエントロピー交換率が最小にされるように地球-大気系の形態が採用されていると主張し、…eq.（４）を惑星と宇宙の間のエントロピー交換率とし、…eq.（５）として、E 0を最小にする気候要素の南北分布を求めた。ここで、大気上限を通過する正味の下向き短波放射、：南北一次元気候モデル第 番格子の：同格子の大気上限から宇宙に放出される地球出放射であり、α ：同格子の地球-大気系アルベドである。さらに、そのE 0を最小にする気候要素の南北分布が南方向の熱輸送によるエントロピー生成率の総和…eq.（６）も最小化すると主張した。ここで、 ：南北一次元気候モデル第 番格子の南方向の熱の輸送、 ：同格子の平均温度であり、…eq.（７）が完全に成り立つとしている。これではMEPではなく、むしろMinimum Entropy Production（MINEP）の趣である。
ところが、Paltridge（1978）は、eq.（４）を惑星と宇宙の間のエントロピー交換率と主張しつつも論文中の作業
ではこれを使用せず、Paltridge（1975）は負の値となる惑星と宇宙の間のエントロピー交換率最小は惑星内でのエントロピー生成率最大と同等であることを示唆したとして、自身の主張をMINEPからMEPに転じている。Paltridge（1975, 1978） を レ ビ ュ ー し て い る 研 究 は 多 い が（ 例 え ば、Grassl，1981；Essex，1984；Peixoto et al .，1991；
Ozawa and Ohmura，1997；Ozawa et al .，2003；Goody，2007；Fraedrich and Lunkeit，2008）、Grassl（1981）やEssex（1984）がPaltridge（1975）とPaltridge（1978）でのエントロピー生成率に関する記載の差異を指摘している以外は、いずれも、Paltridge（1975, 1978）を惑星と宇宙の間のエントロピー交換率最小理論ではなく、惑星内
でのエントロピー生成率最大理論と見做しており、Paltridge et al .（2007）もPaltridge（1975, 1978）をMEP-basedmodelと記載している。
Paltridge（1975, 1978）、Paltridge and Platt（1976）およびPaltridge et al .（2007）は、上述の如く、惑星と宇宙の間のエントロピー交換率を

惑星内部におけるエントロピー生成率と表記し、その逆符号値をと称しているが、この定義式 eq.（４）には問題がある。当然のことながら、MEPは水平方向に広がりを持たない鉛直１次元地球-大気系モデルにおいても成り立たねばならない。その場合、
地球-大気系全体では放射収支が成り立っているためなので、Paltridge（1975, 1978）およびPaltridge and Platt（1976）の定義式 eq.（４）のままだと、惑星と宇宙の間のエントロピー交換率はE 0＝ 0 となってしまう。惑星と宇宙の間のエントロピー交換率がE 0＝ 0 で、惑星内部におけるエントロピー生成率も-E 0＝ 0 ならば、惑星は非平衡定常状態ではなく熱平衡状態に陥っていなければならない。Paltridge（1975, 1978）およびPaltridge

and Platt（1976）は常に北極～南極間を地表面積が等しくなるように10分割した南北１次元地球-大気系モデルを用いていたためにこの矛盾に気づかなかったかあえて無視したものと思料される。
106

地球環境研究，Vol.20（2018）

この矛盾は、定義式 eq.（４）において、惑星と宇宙の間のエントロピー交換率をと表記したことに起因する。太陽表面から真空の宇宙に射出されて地球大気上限に到達するまで太陽放射のエント
ロピーは変化していないので、地球-大気系に吸収される日射のエントロピーはと表記されるべきである。従って、大気上限 z ＝∞を境界として、鉛直１次元地球-大気系モデルを設定すると、地球-大気系
は正味の太陽放射が持ち込むエントロピーを獲得し、地球放射を放出するので、惑星と宇宙の間のエントロピー交換率

が持ち出すエントロピー

は、Paltridge（1975）が主張する…eq.（８）ではなく…eq.（９）と表されねばならない。このような指摘はGrassl（1981）により初めてなされた。

T sun ＝ 5778Kで あ る が、T earth-atmosphereは、の 射 出 源 が 地 表 面、 途 中 の 大 気 層 お よ び 雲 か ら な る のと し て お り、Peixoto et al .（1991） はで 決 定 が 困 難 で あ る。Paltridge（1975） はとしている。いずれにしても、大気上限で放射収支が成り立っているからであり、T sun ≫ T earth-atmosphereなので、ある。

Fraedrich and Lunkeit（2008）は、Ozawa et al .（2003）に基づいて、エントロピー生成率

でを…eq.（10）と表記し直した。ここで、F turb：乱流フラックス（主として潜熱と顕熱のフラックス）、F SWR,S：地表面における太陽放射吸収量、F SWR,A：大気中における太陽放射吸収量、F LWR：長波放射による大気と地表面間の相互作用であり、T A：大気の有効温度、T s：地表面の有効温度である。第１項は地表面から大気への潜熱・顕熱の乱流輸送によるエントロピー生成率であり、地表面温度（射出温度）が気温（吸収温度）より高温であるほど大きくなる。第２項は地表面における太陽放射吸収によるエントロピー生成率であり、地表面温度（吸収温度）が低温であるほど大きくなる。
第３項は大気中における太陽放射吸収によるエントロピー生成率であり、気温（吸収温度）が低温であるほど大きくなる。第４項は地表面から射出され大気に吸収される正味の長波放射によるエントロピー生成率であり、地表面温度（射出温度）が気温（吸収温度）より高温であるほど大きくなる。上記４項が出現するのは地球-大気系の熱力学的非平衡を緩和するためであるので、効率よく熱力学的平衡を達成するために上記４項の和は最大値をとるように地表面
温度や気温の分布が制御される、というのがエントロピー生成率最大（MEP）の仮説である。
であるから、エントロピー生成率最大（MEP）の仮説は、エントロピー交換率最小理論と同等である。
しかしながら、地球-大気系のエントロピー生成率を評価するためには、地球-大気系内に生じるすべての非可逆過程により生じるエントロピー生成を正確に評価して積算する必要があり、極めて困難である。これに対して、地球-大気系のエントロピー交換率を評価するためには、大気上限を通過する短波放射と長波放射のフラックスと107

指数関数で近似された疑似多方大気において宇宙とのエントロピー交換率を最小にする気温減率（中川・渡来）

その温度を評価するだけでよいので、相対的に容易である。よって、本研究は、地球と宇宙の間でのエントロピー交換率を最小にするユニークな気温減率 γ を決定できるか否かについて検討する。

Ⅲ．疑似多方大気が宇宙と交換するエントロピー・フラックスを最小にする気温減率

Ⅲ．
1

Brutsaert（1975）の疑似多方大気モデルが宇宙に放出するエントロピー・フラックス

光学的厚さがの気層の射出率よる光学的厚さ（深さ）ををと表現し、高度 z における大気上限 z ＝∞ からの水蒸気に…eq.（11）で定義すると、灰色大気モデルでは、地球出放射と地表面大気放射

は、それぞれ、…eq.（12）…eq.（13）と表せる。ここで、：水蒸気密度、 ：気圧、σ：ステファン・ボルツマン定数であり、Brutsaert（1975）は、気圧 、気温T 、水蒸気密度：地上気圧である。

を、それぞれ、以下の指数関数…eq.（14）…eq.（15）…eq.（16）で近似した疑似多方大気モデルをeq.（13）に適用して、地表面における下向き大気長波放射フラックス密度を表

すBrutsaertの式…eq.（17）を解析的に導いた。ここで、定数、B （α , β ）：ベータ関数である。

であり、R ：乾燥空気の気体

Brutsaert（1975）の疑似多方大気モデルの気圧鉛直分布eq.（14）は、等温大気の測高公式である。気温鉛直分布

eq.（15）は地表面における勾配が気温減率 γ と等しくなるように係数を調節された指数関数である。水蒸気密度の鉛
直分布eq.（16）は、山本（1949）による水蒸気圧 の鉛直分布の式…eq.（18）を水蒸気の状態方程式に代入して得られる。ここで、ε ：乾燥空気に対する水蒸気の密度比（＝0.622）である。Brutsaert（1975）の大気モデルは対流圏中層以下では標準大気と良く一致するが、対流圏界面付近でやや高温で、成層圏中層以高では著しく低温である。

Brutsaert（1975）の大気モデルをeq.（12）に適用すると、大気上限からの出放射の式として、…eq.（19）が導かれる。第１項～第２項は地表面起源の放射であり、第３項は途中高度の大気からの射出起源の放射である。積分上限を 0 から z に代えた第３項
108地球環境研究，Vol.20（2018）…eq.（20）は、高度 z より高層の大気層から宇宙に出てくる放射置する層厚の薄気層から宇宙へ出てくる放射δをを意味するので、これを z で偏微分すれば、高度 z に位
…eq.（21）と表すことができる。従って、高度 z に位置する層厚の薄気層から宇宙へ放出されるエントロピーを…eq.（22）と表せるので、これを大気全層について積分し地表面から宇宙へ放出されるエントロピーを加えれば、大気全層から宇宙へ放出される全エントロピーは…eq.（23）と表せる。 Paltridge（1975）流にと見做す場合には、大気全層から宇宙へ放出される全エントロピーは…eq.（24）と表現できる。T earth-atmosphere＝T 0 と見做す場合にはと表現できる。上記３式は極めて類似しており、…eq.（25）の係数の分母が若干異なるのみであり…eq.（26）と表現できる。ここで、

Ⅲ．
２

である。

地球-大気系と宇宙との間のエントロピー交換率と気温減率の関係

大 気 全 層 か ら 宇 宙 へ 放 出 さ れ る 全 エ ン ト ロ ピ ー がeq.（26）で 表 さ れ、 太 陽 か ら 供 給 さ れ る エ ン ト ロ ピ ー がなので、eq.（９）で定義される地球と宇宙の間におけるエントロピー交換率

は…eq.（27）となる。これは、明らかに、地球出放射、太陽表面温度T sun、地上気温T 0、地上水蒸気圧 0、および気温減率

γ の関数である。地球と宇宙の間におけるエントロピー交換率の値が最小になるように地球-大気系内の諸要素が変化するとするのが、エントロピー交換率最小の法則である。上記の説明変数のうち、地球-大気系の温度構造を決めているのは、気温減率 γ である。

Paltridge（1975）が提唱する惑星と宇宙との間のエントロピー交換率最小の法則に従うと、関して独立なので、が最大にならねばならない。

の γ での偏微分を 0 とする γ である。ないしはを最大にする γ はは気温減率 γ に109

指数関数で近似された疑似多方大気において宇宙とのエントロピー交換率を最小にする気温減率（中川・渡来）…eq.（28）を満足する γ が地球-大気系に実際に出現する気温減率 γ となるはずである。
であり、かつ、は γ に対して独立なので、

⎡
⎣

⎤
⎦

…eq.（29）

でなくてはならない。γ に対する偏微分を実行すると…eq.（30）となる。両辺に

を掛けて

整理すると
…eq.（31）が得られる。
Ⅲ．
３

地球が宇宙に放出するエントロピー・フラックスを最大にする気温減率

eq.（31）を γ について陽に解いて解析解を得ることは困難なので、本研究では、…eq.（32）と…eq.（33）のグラフの交点から γ の値を求める。

は気温減率の自乗に急速に減少する。一方、 はに反比例する双曲線であり、気温減率 γ の増加ととも…eq.（34）と変形でき、気温減率 γ に反比例する２つの双曲線の和であり、気温減率 γ の増加とともに
eq.（23）～（25）の３種の地球出放射の有効温度を考慮するので、に比べて緩慢に減少する。

、、の組み合わせについて、非線形方程式の解を求める二分法（bisection method）を用いて交点の γ の値を求める。
さらに、 の計算においてはの値も必要である。

は光学的厚さ の気層の射出率 をと表現した

時の冪指数であるが、実験室における透過率・射出率測定の結果に基づいて、Brutsaert（1975）はとし、中川・榧根（1979）や中川（1983）は ≥0.1㎝の場合
冪指数
110

はBrutsaert（1975）の式＝0.090， ＜0.1㎝の場合＝0.154としている。また、

中川・渡来636

地球環境研究，Vol.20（2018）

図３項（急激に減衰している太線）、 項（緩慢に減衰している細線）‫ݕ‬ଵ 項（急激に減衰している太線），‫ݕ‬ଶ 項（緩慢に減衰している細線）のグラフの交点による気温

638

図３

639
640

減率ߛの決定．

641
642

における

644

改良原稿（12 月 31 日提出版）

図３ 図版原稿（カラー希望）

637

643

地球環境研究第 20 号のグラフの交点による気温減率 γ の決定…eq.（35）

２段組の１段幅にして下さいの冪指数であるから、地表面における下向き長波放射、地上気温T 0 および地上水蒸気圧 0 の測定値から統計的に求めることができる。Santos
et al .（2011）がまとめたところでは、Sugita and Brutsaert（1993）
645
が＝0.0687、Duarte
et al .（2006）が646＝0.131、Kruk et al .（2010）が＝0.202、そしてSantos et al .（2011）自身が 647＝0.0881 を提唱している。最近では、AL-Lami et al .（2017）はイラクでの648の値を統計的に決定して、
649＝0.3009としている。実験室データも現場測定値も種々の誤差を含んでいるが、概ね＝は0.090～0.300の範囲にあると判断されるので、本研究では650

図３はT 0＝288Kの時の気温減率 γ に対する
651

を赤、 ＝４の場合を緑表示している。細線が＝ １, ＝４の場合緑表示とし、小さい時には＞観測値からeq.（33）の冪指数とのグラフである。太実線が＜- 21 -

項eq.（32）であり、 ＝３の場合＝0.090の場合破線としてある。 図３より明らかに、γ がとなるので、地球と宇宙の間におけるエントロピー交換率には気温減率 γ に対する依存性があり、 ＝１， ＝３の場合、は γ ＝11.95K/㎞で最小となる。 ＝ ,＝0.090の場合について計算する。

項eq.（33）であり、 ＝１， ＝３の場合赤、 ＝ ， ＝３の場合紫、＝0.300 の場合実線、で、γ が大きい時には＝0.300の場合と＝３の場合、＝0.300の時は γ ＝6.36K/㎞で最小となり、＝0.300の時は γ ＝5.88K/㎞で最小となり、＝0.090の時＝0.090の時は

γ ＝10.19K/㎞で最小となる。地球出放射のエントロピーの見積もり方や実験定数である に対して敏感で、気温減率の具体的な値は5.88K/㎞～11.95K/㎞とバラつきを見せるものの、多方大気と宇宙の間のエントロピー交換率が最小となり、地球-大気系内でのエントロピー生成率が最大になるユニークな気温減率が存在し、かつ、その値は現実の対流圏気温減率に近い値となり得ることが確認された。つまり、標準大気が一定の気温減率を持つのは、地球-大気系と宇宙との間のエントロピー交換率を最小にするためにそのような鉛直気温分布が必要なためである可能性が示
唆された。
項も

項も地上気温依存性を有する。図４は、 ＝１， ＝３，＝0.300の場合において、地上気温T 0＝278K
111

中川・渡来地球環境研究第 20 号

改良原稿（12 月 31 日提出版）

指数関数で近似された疑似多方大気において宇宙とのエントロピー交換率を最小にする気温減率（中川・渡来）652

図４ 図版原稿（カラー希望）

653
654

図４

655

ܽ ൌ ͳǡ ܾ ൌ ͵ǡ図４
݉ ൌ ͲǤ͵ͲͲの場合におけるߛとܶ଴ の関係
γ とT の関係＝１， ＝３， ＝0.300の場合における
0656（水色），T 0＝288K（赤色），T 0＝298K（紫色）とした時の 項（太実線）と 項（細破線）の交点の変位を示した
657
ものである。 は比例定数が地上気温T に対して線形に増加するので、地上気温T が増加するにつれて上方に平行
0

0

658
２段組の１段幅にして下さい
移動する。このため、
項は正の地上気温依存性を有する。これに対して、 は、地上気温T 0が増加するにつれて、659
右辺第１項は γ 方向への水平移動が小さくなり第２項は比例定数が小さくなるので下方にほぼ平行移動するが、そ660の移動幅は γ が大きくなるにつれて徐々に小さくなる。 項は 項の正の地上気温依存性を上回る負の地上気温依661
存性を有する。このため、 項と 項の交点は地上気温T 0が増加するにつれて図の右側の気温減率γ が大きい領域に662
移動し、その結果、エントロピー交換率を最小にする気温減率 γ は地上気温がT 0＝278→288→298Kと上昇するにつ663
れてγ ＝6.13→6.36→6.60K/㎞と増加する。つまり、 ， ， の組み合わせにより具体的な交点の位置は変化するもの
664の、気温減率 γ は正の地上気温依存性を有することが示唆される。
665
666

Ⅳ．館野高層気象台の気温減率の実態との比較
667
668

疑似多方大気は地球-大気系と宇宙との間のエントロピー交換率を最小にするために特定の気温減率を有する可能669
性が示唆され、その気温減率は正の地上気温依存性を有することが示唆された。本節では、我が国を代表する高層気670
象観測所である館野高層気象台の高層気象観測結果との比較を試みる。

- 22 気象庁HPに1988年元旦以降毎日09時と21時のゾンデ観測結果（高度、気圧、気温、相対湿度）がアーカイブされている。同データには識別符が付されており、圏界面が明示されている。図５に館野における最近30年間の地上気温

T 0（●）と気温減率 γ （●）の時系列を示す。

図 ５ 横 軸 に は1988/1/1 00：00～2018/1/1 00：00の 間 の 時 間が1900年 か ら の 暦 年 単 位 で 目 盛 ら れ て お り、

1988/1/1 09：00～2018/1/1 09：00の間の全有効データ21526個がプロットされている。●は09時と21時のみの地上気温であるが、綺麗な年変化を繰り返しており、傾向直線は112

中川・渡来671

地球環境研究第 20 号

図 5 図版原稿（カラー希望）

改良原稿（12 月 31 日提出版）
地球環境研究，Vol.20（2018）

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図 5 館野における地上気温（●）と気温減率（●）の時系列の比較
図５ 館野における地上気 温 （● ） と 気 温 減 率 （ ● ） の 時 系 列 の 比 較

676…eq.（36）677となり、極めて決定係数が小さいものの3.57℃/100年という大きな上昇傾向を示している。「 と の間には相関が無678

t 0は5.23となり、 値＜0.001が得い」を帰無仮説とすると、自由度21524、相関係数0.0356なので、無相関検定統計量
２段組の２段幅にして下さい

679
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685

られ、0.1％有意水準で帰無仮説を棄却でき、両者には相関があると認められ、3.57℃/100年は有意なトレンドと判断される。

●は地上から第一圏界面高度までのすべての観測値を用いて求めた回帰直線の勾配として求めた気温減率である。回帰分析に用いたデータの数は、最大162個（2014/6/6 09：00）、最小12個（2007/2/2 09：00と2017/2/6

21：00）、

平均52.7個なので、自由度は大きくて地上や上層の逆転層の影響は小さい。気温減率の平均値は 5.92K/㎞（最大値8.66K/㎞、2005/2/1 09：00；最小値2.46K/㎞、2004/1/22 21：00）で教科書等に記載されている 6.50K/㎞より小さい。
また、6.50K/㎞近傍に臨界値が存在するようには見えない。地上気温と同期した綺麗な年変化が認められるとともに、
傾向直線は

686

…eq.（37）687となり、－0.01K/㎞/100年の極めて小さい下降傾向を示しているものの決定係数はほぼ０である。eq.（36）と同様に

688

無相関検定を実施すると、厳密には決定係数は0.00000107なので相関係数は0.00103となり、無相関検定統計量t 0 0.15、

689
690
691
692

値 0.879 が得られ、90％有意水準でないと帰無仮説を棄却できないので、両者には相関がないと判断される。地上

気温が大きな上昇傾向を示しているにも係らず、圏界面気温減率には有意な長期傾向は見出せない状況である。

地上気温には明瞭な昇温傾向が認められるにも係らず、対流圏気温減率にはそれに対応する明瞭な経年変化傾向は認められないものの、地上気温と対流圏気温減率は夏季に大きく冬季に小さい同期した綺麗な年変化を示している。
地上気温と気温減率の散布図を図６に示す。極めて特徴的な三角形ないしは扇形の散布域形態を示しており、地上気- 23 温が30℃程度以上の高温の時には対流圏気温減率はほぼ6.50K/㎞に収束するが、低温な時には様々な気温減率が出現する。地上温度 （℃）から対流圏気温減率 （K/㎞）への回帰直線は113

中川・渡来地球環境研究第 20 号

改良原稿（12 月 31 日提出版）

指数関数で近似された疑似多方大気において宇宙とのエントロピー交換率を最小にする気温減率（中川・渡来）

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図６

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中川・渡来

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図６ 館野における地上気温に対する気温減率の散布図
図７ 図版原稿（カラー希望）

図版原稿（カラー希望）

20上号
図６地球環境研究第館野における 地
気温に対する気温減率の散布図

改良原稿（12 月 31 日提出版）

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- 24 図７

館野における回帰直 線 の 切 片 温 度 に 対 す る 気 温 減 率 の 散 布 図

図７ 館野における回帰直線の切片温度に対する気温減率の散布図

地球環境研究，Vol.20（2018）

表１
事例
番号

特徴的な日の地上気象要素と圏界面気象要素および気温減率、切片温度等の一覧
地

日

時

上

圏

界

面

高度

気圧

気温

高度

気圧

気温

気温
減率

データ
数

m

hPa

℃

m

hPa

℃

K/㎞

1001.3

0.7

15702

106.0

－59.9

2.46

46

切片
温度

切片温度
－
地上気温

℃

℃

－15.8

－16.5

１

2004/01/22 21：00

31

２

2005/02/01 09：00

31

987.1

2.8

5292

485.4

－42.8

8.66

13

3.5

0.7

３

2004/07/21 09：00

31

1004.3

31.9

15062

130.7

－69.7

6.59

66

31.8

－0.1

４

2001/01/15 21：00

31

1012.1

－4.3

8562

313.3

－41.2

4.47

38

－5.0

－0.7

５

1996/08/15 09：00

31

989.1

29.0

15541

122.9

－72.1

6.57

64

35.0

6.0

６

2013/10/16 09：00

26

974.7

16.0

16851

95.6

－77.3

5.91

132

30.9

14.9

…eq.（38）となり、平均的には気温減率には0.197K/㎞ /10℃の正の地上気温依存性が認められるが、決定係数は約10％に留まる。
高温な時には気温減率はほぼ6.50K/㎞に収束するが、低温な時には様々な気温減率が出現するように見える原因として、地上付近の気温の日変化の影響があり得ると考えられるので、横軸を地上気温から地上から圏界面高度までの高層資料から作成した回帰直線の切片温度に変更して作成した散布図を図７に示す。図６に比べて横軸の分布範囲が上下に拡大され、地上気温では－５℃～30℃に分布していたプロットが、切片温度では－15℃～35℃の範囲に分布す
るようになった。切片温度 （℃）から対流圏気温減率 （K/㎞）への回帰直線は…eq.（39）となり、気温減率 γ の地上気温依存性は0.252K/㎞ /10℃と若干向上し、決定係数は約10％から約21％へ約２倍の増加が認められた。

図６と図７における特徴的な日の地上気象要素と圏界面気象要素および気温減率、切片温度等の一覧を表１にまとめた。
第１事例の2004/1/22 21：00では、館野高層気象台における1988年以降の有効な全高層観測結果において、気温減率、切片温度、および切片温度－地上気温の三者がすべて最小となる特異な結果が得られている。図８に2004/1/22
21：00における状態曲線と高度 z（ｍ）から気温 t（℃）への回帰直線 t ＝－2.46×10－３z －15.8を示す。冬季によく見られる温度プロファイルである。高度4644ｍ～9365ｍに３段の安定層が存在しているが、単一の安定層と見做せないため、高度4644mは圏界面と判定されておらず、高度15702ｍ以高の安定層が成層圏と判定されている。このため、地上～圏界面の回帰直線の勾配は1988年以降では最小の気温減率2.46K/㎞を示す結果となった。３本の傾向直線で示せ
るように見える対流圏気温の鉛直分布を１本の回帰直線で示したため、地上付近は実際の気温分布から大きく下に逸れ、切片温度が大きく地上気温を下回る結果となった。
第２事例の2005/2/1 09：00は、館野高層気象台における1988年以降の有効な全高層観測結果において、最大の気温減率8.66K/㎞を示す。図９に2005/2/1 09：00における状態曲線と回帰直線 t ＝－8.66×10－３z ＋3.5を示す。一見、
図８と類似の温度プロファイルで、高度5292ｍ～12241mに２段の安定層が存在しているが、この場合には、高度5292ｍが圏界面と判断されている。もし、高度5292ｍが圏界面と判断されなければ、第２圏界面とされた高度14985

ｍが第１圏界圏界面と判断されることになる。第１圏界面が「500hPa面以上の高さである面とそれより上２㎞以内の面内の平均気温減率がすべて2.0K/㎞を超えない面」と定義されているためにこの差異が生じている。地上～圏界面の回帰直線は実際の状態曲線とよく一致している。
図６において寒候季に同じような地上気温の時に大小様々な気温減率が現出するように見える原因の一端は、圏界面の定義により発生していると判断される。
第３事例の2004/7/21 09：00は、館野高層気象台における1988年以降の有効な全高層観測結果において、最大の地
上気温31.9℃が観測された時の処理結果である。気温減率は6.59K/㎞と標準大気の気温減率に極めて近く、回帰直線

t ＝－6.59×10－３z ＋31.8の切片温度と地上気温の差は－0.1℃に過ぎない。

第４事例の2001/1/15 21：00は、館野高層気象台における1988年以降の有効な全高層観測結果において、最低の115

指数関数で近似された疑似多方大気において宇宙とのエントロピー交換率を最小にする気温減率（中川・渡来）

地上気温－4.3℃が観測された時の処理結果である。気温減率は4.47K/㎞と標準大気の気温減率に比べてかなり小さ
いが、回帰直線 t ＝－4.47×10－３z －5.0の切片温度と地上気温の差は、第３事例より若干大きいものの、－0.7℃に過ぎない。

第５事例の1996/8/15 09：00は、館野高層気象台における1988年以降の有効な全高層観測結果において、地上～圏界面の回帰直線が地上と交わる切片温度が最高の35.0℃を示した。気温減率は6.57K/㎞と標準大気の気温減率に極めて近い。図10に1996/8/15 09：00における状態曲線と回帰直線 t ＝－6.57×10－３z ＋35.0 を示す。夏季によく見られる温度プロファイルである。高度561ｍ～1144ｍに上層逆転が形成されており、それ以高の状態曲線は極めて直線的
中川・渡来
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図８ 図版原稿（カラー希望）

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図
8 2004/01/22 21：00における館野の気温鉛直分布。○は地上と第１
21：00 における館野の気温鉛直分布．○は地上と第１圏界面を示す．赤線は高度 ‫（ݖ‬m)
図８2004/01/22
z（m）
t（℃）への回帰直線
圏界面を示す。赤線は高度738から気温‫)℃（ݐ‬への回帰直線 ‫ ݐ‬ൌ െʹǤͶ͸‫ݖ‬െ から気温ͳͷǤͺ
t ＝－2.46×10－３z －15.8
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図９ 図版原稿（カラー希望）

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２段組の１段幅にして下さい

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- 26 757

758
図
9 2002/02/0109：00における館野の気温鉛直分布。○は地上と第１
09：00 における館野の気温鉛直分布．○は地上と第１圏界面を示す．赤線は高度 ‫（ݖ‬m)
図９2005/02/01
z（m）
t（℃）への回帰直線
圏界面を示す。赤線は高度759から気温‫)℃（ݐ‬への回帰直線 ‫ ݐ‬ൌ െͺǤ͸͸‫ݖ‬൅ から気温͵Ǥͷ
t ＝－8.66 ×10－３z ＋3.5
760
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116

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763
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２段組の１段幅にして下さい中川・渡来
777

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図10
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図１０

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図版原稿（カラー希望）

1996/08/15
09：00における館野の気温鉛直分布。○は地上と第１
図 10 1996/08/15
09：00 における館野の気温鉛直分布．○は地上と第１圏界面を示す．赤線は高度 ‫（ݖ‬m)t（℃）への回帰直線
圏界面を示す。赤線は高度（m）から気温から気温 ‫)℃（ݐ‬への回帰直線 ‫ ݐ‬ൌ zെ͸Ǥͷ͹‫ݖ‬൅͵ͷǤͲ
t ＝ － 6.57×10－３z ＋35.0784
２段組の１段幅にして下さいである。この上層逆転は北太平洋高気圧下で高度1144ｍ～15541ｍの対流圏全層が下降気流場となり形成された沈降785

性逆転と判断される。この結果、顕著な下降気流が地上部まで至らないため、切片温度が地上気温より高温になった
786

可能性がある。日射により地上が加熱されて地上から混合層が発達してきて上層逆転上限にまで達すると、切片温度
787と地上気温はほぼ等しくなると見込まれる。
788
789 09：00は、館野高層気象台における1988年以降の有効な全高層観測結果において、切片温第６事例の2013/10/16
790

度が実際の地上気温より最も大きく高温側に偏った事例である。気温減率は5.91K/㎞と館野における平均気温減率791

t ＝－5.91×10－３z ＋30.9が地上
5.92K/㎞にほぼ等しかったものの、地上気温16.0℃に対して地上～圏界面の回帰直線
792と交わる切片温度は30.9℃に達した。
793

794
これらの事実から、冬季の対流圏中層の安定層や夏季の対流圏下層の沈降性逆転および地上近傍の混合境界層の日795変化により対流圏気温減率の地上気温依存性にノイズが乗っていることが明白となった。長期間の平均をとるとこれ
796

らのノイズがその影響を互いに打消しあって大気の鉛直構造が多方大気的になり、その気温減率は、宇宙とのエント
797
ロピー交換率を最小にするように決定されていると推測される。

- 28 -

Ⅴ．おわりに
本研究は、先ず、地球-大気系が指数関数で近似される疑似多方大気と見做せる場合に、地球から宇宙に放出されるエントロピーを、…eq.（40）と表現できることを導き、地球から宇宙に放出されるエントロピーは、地上気温T 0、地上水蒸気圧 0、および気温
減率 γ により決定されることを示した。次に、この地球から宇宙に放出されるエントロピーの表現を用いて、…eq.（41）の関係を満足する気温減率 γ が地球と宇宙の間のエントロピー交換率を最小とすることを導き、具体的な気象条件下
において6.50K/㎞近傍の気温減率の値が得られることが示された。さらに、地球と宇宙の間のエントロピー交換率を最小とする気温減率 γ は正の地上気温依存性を持つことも示された。

117

指数関数で近似された疑似多方大気において宇宙とのエントロピー交換率を最小にする気温減率（中川・渡来）

館野高層気象台の高層気象観測結果に基づいて1988年～2017年の対流圏気温減率を調査したところ、館野の気温減率の平均値は5.92K/㎞（最大値8.66K/㎞，最小値2.46K/㎞）であり、周知の臨界気温減率6.50K/㎞より小さく、
6.50K/㎞近傍に臨界値が存在するようには見えないものの、地上気温と同期した綺麗な年変化を示すことが明らかにされた。気温減率の地上気温依存性を調査したところ、暖候季には比較的綺麗な地上気温依存性が認められるものの、寒候季には明瞭な対応関係を認め難いことが明らかになった。寒候季に気温減率の地上気温依存性が低下するように見える原因の一つとして、WMOの圏界面の定義に影響されて、高度5000ｍ付近に出現する大規模な安定層下部を第一圏界面とするか否かの判断が不安定であるためであることが思料された。
本研究は、地球-大気系の鉛直気温分布は必ずBrutsaert（1975）の大気モデルで示されるような疑似多方大気となると仮定して議論を行った。しかし、Brutsaert（1975）の大気モデルには成層圏が存在しないため、現実大気に比べて上部成層圏以高は極めて低温である。このため、Brutsaert（1975）の大気モデルにより予測される地球出放射は過小となり、雲を考慮すると温室効果はもっと大きくなる（中川，1983）。さらに、東西平均した季節平均の対流
圏の鉛直気温分布は多方的ではなく、温位の鉛直分布に類似しているとする見解もある（Rennick，1977）。従って、現実大気の気温減率との比較を厳密に行うためには、多方大気を仮定することの是非、および成層圏、雲の効果等に関する検討が重要な課題である。また、本研究では、実際の大気中の気温減率の地上気温依存性を、館野においてのみ検討した。館野で認められる特徴が普遍的なものであるか否かを明確にするためには、館野以外の高層気象官署の観測結果についても検討する必要がある。この点も残された喫緊の課題である。
謝辞

本稿の骨子は、平成29年度の日本気象学会秋季大会および日本地理学会秋季学術大会で発表された。両学会における質疑の際に賜ったご教示・ご助言は本稿起草に大変役立った。匿名査読者から賜ったレフェリーコメントは原稿改良の際に大変役立った。また、高層気象資料はすべて気象庁HPから取得させて頂いた。記して深謝の意を表します。
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指数関数で近似された疑似多方大気において宇宙とのエントロピー交換率を最小にする気温減率（中川・渡来）The temperature lapse rate to minimize the total exchange rateof entropy between Earth and space, in the quasi-polytropic
atmosphere approximated by exponential functions
NAKAGAWA Kiyotaka＊ and WATARAI Yasushi＊＊

Faculty of Geo-environmental Science, Rissho University

Abstract:
Although the temperature lapse rate is a fundamental characteristic of the atmosphere, it seems to be almost
constant of 6.50K/km in the troposphere. The present paper investigates the possibility of the tropospheric lapse
rate being determined by the law of minimum entropy exchange rate between Earth and space.
Paltridge（1975）has proposed that Earth-atmosphere system has adopted a configuration such as the entropy
exchange rate between Earth and space is minimized. The present paper checked whether a unique value of thetemperature lapse rate in a quasi-polytropic atmosphere was dependent on minimizing the entropy exchange rate
between Earth and space. However, Paltridge（1975）regarded the entropy exchange rateas.

Since the temperature associated with the incoming solar radiation has to be the temperature of the photosphereof the Sun, the present paper has to split

intoemissivity of the air with optical thickness of,. Assuming that the, is expressed as, and the exponential

profiles of the atmospheric pressure, temperature and water vapor density, an expression ofas

is derived. The condition of temperature lapse rate γ for the minimum

entropy exchange is, but it is difficult to solve the equation explicitly. Therefore,

the present paper solved the equation numerically with bisection method.
As a result, it was shown that, e.g. in the case of ＝１,=３ and＝0.300, the temperature lapse rates which

minimize the entropy exchange rate between Earth and space are γ ＝6.13, 6.36 and 6.60K/km for T 0＝278, 288

and 298K, respectively. In other words, there is a unique value of the temperature lapse rate in the quasi-polytropic
atmosphere, which minimized the entropy exchange between Earth and space, and it depends on the surface airtemperature. Investigating the tropospheric temperature based upon the upper air data of the Tateno aerologicalobservatory from January 1988 to June 2017, it was clear that the temperature lapse rate varies annually in sync
with the surface air temperature.
Key words: temperature lapse rate, quasi-polytropic atmosphere, minimum entropy exchange rate120