2P2-C01

有限要素法を用いた有限要素法を用いた閉リンク機構の逆動力学計算を用いた閉リンク機構の逆動力学計算（系内のエネルギ消費量の検証）
系内のエネルギ消費量の検証）
Calculating Inverse Dynamics for ClosedClosed-Loop Link Mechanisms by Using FEM(Verification of Energy C
Consumption
onsumption Level in the System)○ 八木 淳（筑波大院）

正 磯部 大吾郎 (筑波大)In this report, a scheme using Finite Element Method (FEM) based on the Shifted Integration technique is applied to thecalculation of inverse dynamics for closed-loop link mechanisms. In this scheme, the entire system is subdivided into discreteelements and evaluated as a continuum. A single link structure of a pin joint and a rigid bar is expressed by using the Shifted
Integration technique. It calculates nodal forces by evaluating equations of motion in a matrix form, and thus information in theentire system can be handled in parallel. The obtained nodal forces are then conversed to joint torque in the system. Therefore,various parameters such as the binding condition, position of a passive joint and the torque distribution ratio, can be easilychanged. Some simple numerical tests are carried out to a closed-loop link mechanism, and the energy consumption levels arecompared and examined.
Keywords: Closed-Loop Link Mechanism, Inverse Dynamics, Finite Element Method, Energy Consumption Level

１．はじめにリンク機構の一般的な動力学方程式は，相対回転座標系に基づいているため各変数が相互に依存し合い，自由度数の多いリンク系や閉リンク系などではその導出が困難となる．一方，一種の並列解法である有限要素法を用いた逆動力学計算法[1]では，リンク系全体を有限要素に離散化し，要素座標系における各要素の情報を直交座標系に基づく全体座標系の情報に変換・重畳し，節点力情報をマトリックス形式により算出する．そのため，動力学方程式に相当する部分のアルゴリズムを変えることなく，入力値の変更のみでリンク系の物理的条件の変化に対応することが可能となり，系の拘束条件のみならず，例えば閉リンク機構内の受動関節位置やトルク配分比の変更などが容易に行える，といった特徴がある．
また，動作の高速化を目指すロボット等においては，バッテリーの容量や発熱の問題から，エネルギ消費量を抑える必要性が生じる．今後のロボットの発展には無視できない問題となることが考えられ，例えばその解決方法の一つとして，エネルギ消費量を抑えるための最適な目標軌道を求めようとするもの[2]などがある．そこで本報告では，有限要素法による逆動力学計算法を閉リンク機構に適用し，その受動関節位置やトルク配分比を変更することによるエネルギ消費量の推移について比較・検討を行った．
さらに，本計算法が機構形態の変化に対しても柔軟に対応可能であることを確認した．

２．有限要素法による逆動力学計算
リンク機構のモデル化には，本来は骨組構造の有限要素解析に用いられるShifted Integration 法(SI 法)[3]を適用した．１リンクに対して，重心部分で２つの有限要素(線形チモシェンコはり要素)に分割し，それぞれの数値積分点を重心部分に移動させることにより，リンクの部材両端にピン関節を，重心部分に質量が集中していることを表現した[1]．このように，１本のリンクを２つの有限要素のみで表現できるため，有限要素法を利用する上で大きな欠点となっていた計算時間の大幅な短縮化が可能となった．
仮想仕事の原理より導出された，時刻t＋Δt における増分型の運動方程式に Newmark のβ法(β=1/4)を適用し，さらに剛体リンク系を取り扱うために減衰マトリックスと剛性マトリックスを無視すると，節点力増分を求める次のような式が導出される．

 1{∆f } = {R}t − {F }t + [M ] β∆t2{∆u} − 1 {u&}t +  1 − 1{u&&}t β∆t

 2β

(1)

ここで，{∆f } は節点力増分ベクトル，{R} は内力ベクトル，{F }は外力ベクトル， [M ] は全体質量マトリックス，{∆u} は変位増分ベクトル，{u&} は速度ベクトル，{u&&} は加速度ベクトルである．
右下添え字 t は，それぞれ時刻 t での値であることを示す．入力
値が全体座標系の変位，速度，加速度であるため，上式で算出される節点力増分は全体座標系のものとなる．これを逐次足し合わせ，時刻t＋Δt における節点力を求める．
次に，求められた節点力を用いて関節トルクを算出する式を，全体座標系のマトリックス形式で表したものが次式である．

{τ }= [L ][T ]{P }nnnn(2)

ここで，{τ n }は関節トルクベクトル，[ Ln ]は部材長マトリックス，[ T n ]は座標変換マトリックス，{ P n }は節点力に関するベクトルである．また，右上添え字n は対象とする機構の総リンク数を示す．全体座標系で表された節点力ベクトルに，座標変換マトリックスをかけることにより要素座標系に変換し，さらに部材長マトリックスをかけることにより関節トルクを算出する．また，部材長マトリックスを次式のように複数の領域に分け，受動関節位置を操作する．

[L ] = L0 L0 anb

(a + b = n)

(3)

()

上式は，閉リンク機構を a 本と b 本のリンクに分け a + b = n ，その連結部分に受動関節がある場合の部材長マトリックスである．
このように，(1) 式によって逐次的に算出された節点力増分を使って，(2) 式でトルクの次元に変換することにより，機構内のｎ個の関節トルクを並列的に求めることが可能となる．

日本機械学会 [No.02-6] ロボティクス・メカトロニクス講演会'02 講演論文集
2P2-C01 (1)2002.6.7〜9

松江市

では，中央の質点を支えるためのトルク配分比を常に左右の機構で同程度としていた．そこで，Fig.2 に示すように，質点を支えるためのトルク配分比を動作過程で連続的に変化させ，その変化の有無によるエネルギ消費量の比較を行った．結果を Table 1 に示す．この比較から，トルク配分比を変化させることにより，エネルギ消費量をさらに抑制し得ることが確認された．
Table 1 Ratio of energy consumption
Without change of torquedistribution ratio
18.6%

With change of torquedistribution ratio
11.3%

Fig.1 Transition of energy consumption ratio

４．機構形態が変化する問題への適用
３．エネルギ消費量の検証
閉リンク機構の受動関節位置を変化させた場合の，エネルギ消費量の推移について考察を行った．モデルは，６つの能動関節と１つの受動関節を持つ，リンク部材長が0.5m の閉リンク機構である．Fig.1 に示すように Joint 4 に質点 1.0kg を配し，鉛直面内で運動させた．受動関節位置をそれぞれJoint 1,2,…,7 に設定した場合のエネルギ消費量の推移を同図に示す．ただし，受動関節を Joint 7 に配置した場合のエネルギ消費量を 100％として比較を行っている．エネルギ消費量は，次式から求められた各ステップにおける消費エネルギの累積値とした．
2τ 
P = τ iω +  i  R
 kτ (4)ここで， P は消費エネルギ，τ i はi 番目の関節トルク，ω は角速度， kτ はトルク定数， R は端子間抵抗である．各関節に配置するモータとしては，Maxon 社の RE40( kτ = 60.3 × 10 −3 [Nm/A]，R = 1.16 [Ω])を想定した．
Fig.1 から，受動関節の位置や機構の動作過程により，エネルギ消費量が大きく増減することが分かった．また，質点の位置によってもエネルギ消費量が変化することが予想できる．本解析の場合には，受動関節は中央付近の関節であるJoint 3 またはJoint
4 に配する場合に，最もエネルギ消費量が抑制されている．これは，質点を支える側には能動関節を配置し，発生トルクをあまり必要としない部分には受動関節を配置することにより，エネルギ効率が上がることを示している．
次に，トルク配分比を変化させた場合のエネルギ消費量について考察した．先の解析で受動関節がJoint4 に配置されている場合

Fig.2 Torque distribution for closed-loop linkmechanism

本手法が持つ並列解法的な特徴から，Fig.3 のように動作過程で拘束条件が変化するような，開リンクから閉リンク機構へと形態が変化した場合においても，アルゴリズムを変えることなく連続的に関節トルクを算出することが可能である．今後，動作中に受動関節位置を変化させる問題や，開・閉リンク機構が混在するような問題についても検討を行う予定である．

５．結論
本報告では，エネルギ消費量の抑制に対して受動関節位置やトルク配分比の変更は有功であることが確認された．特に，実機での実行の容易さなどの観点から，トルク配分比を操作する方法は効果的であると考えられる．さらに，有限要素法を用いた逆動力学計算法は，動作過程で拘束条件が変化するような問題に対しても，柔軟に対応可能であることが確認できた．今後は，実機への適用を考えたい．

参考文献[1] 磯部大吾郎 他: 有限要素によるリンク機構のモデル化（その１〜その３）,日本機械学会ロボティクス・メカトロニクス講演会, (2000,2001).
[2] 小野京右，劉栄強：２足歩行ロボットの最適軌道計画解，日本機械学会論文集(C 編)，第67 巻，第660 号，(2001)，pp.2601‑2608.
[3] 都井裕: 骨組構造および回転対象シェル構造の有限要素解析におけるShifted Integration 法について，日本造船学会論文集，第168 号，(1990)，pp.369-377.

Fig.3 Joint torque curves calculated in continuous procedure

2P2-C01 (2)