１９９１年

青山学院中等部

算数問題

(３の１)
解答は解答用紙にかきなさい。円周率を使うときは，３.１４を用いなさい。
(1)

１８÷３.６÷０.１８×０.３６＝

(2)

｛(

(3)

４.２－１

(4)

７分間に９００枚印刷する機械があります。この機械で１２０００枚印刷するには分秒かかることになります。

２ １
１ ５
７
＋ )×１ － ｝÷ ＝
５ ６
４ ８
９

１
×(０.３＋
２)－０.５＝２

３
４

3

時間

(5)

２.３７ｔの鉄のかたまりがあります。鉄１０㎝
はｍ 3 です。

の重さを７９ｇとすると，この鉄のかたまりの体積(6)

右の円グラフはある年の世界の乗用車の生産台数を国別に示したものです。世界全体の生産台数は４０００万台でした。日本の会社別の乗用車の生産台数を調べたところ，Ａ社の生産台数は４５０万台で日本全体の生産台数の３７.５％にあたります。図の円グラフで日本を示す部分の
中心角は
度です。

(7)

子供たちをベンチに９人ずつすわらせたら，５人あまりました。ベンチを増やして７人ずつすわらせたところまた５人あまりました。そこでベンチを１つへらして８人ずつすわらせたら人あまりました。ただし子供の人数は１００人以下です。

(8)ある学校では一年生全員をスキー教室につれていくことになりました。指導者の人数が予定より５人増えると生徒１２人に対して指導者が１人つき，予定より３人少ないと生徒２０人に対して１人になります。予定していた指導者は人です。

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(３の２)(9)図１のような三角形ＡＢＣを図２のよ
うにＢＥを折り目として折り，次に図３のようにＢＤを折り目として折り曲げた
ところ，点ＣがＢＥの上にきました。
Í の角は８２度です。Ａの角
このときアを３０度とすると，もとの三角形のＢの
角は
度です。

(10)

右の表はある食塩水に水１００ｇ，２００ｇ，
３００ｇ，４００ｇを加えた結果できた食塩水をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとし，その濃さ(食塩の食塩水全体に対する割合)を％で示したものです。Ｄ食塩
水の濃さは％になります。

ＡＢ
加えた水の量 100 ｇ 200 ｇ
濃さ
６％
４％

Ｃ
300 ｇ
３％

Ｄ
400 ｇ

(11)

１，２，３，４，……のように連続した整数の書いてあるカードが１０枚あります。その中で，３の倍数の書いてあるカードを選んでその数を加えると９９になり，２の倍数のカードを選んで加えると１７０になります。全部のカードの中でいちばん小さい数は
です。

(12)

４人ずつの２つのリレーチームＡ，Ｂがあります。Ａチームの４人が１００ｍを走る時間の平均はＢ
チームの４人の平均より０.４秒速くなっています。Ａチームの１００ｍ走１４.０秒の選手１人とＢチームの１５.８秒の選手１人を入れかえてチームをつくりなおしたところ，チームの時間の平均の方が秒速くなりました。

(13)

２通りの速さで録画できるビデオテープレコーダーがあります。今Ａ方式で２時間，Ｂ方式で６時間録画できるテープを使って２時間４５分の番組を録画するのに最初はＡ方式で録画しました。番組を全部録画するには少なくとも分後にＢ方式に切りかえなければなりません。

(14)

１辺１㎝の立方体１３個を積み重ねた立体があります。この立体を真正面から見た図が(ア)で真上から見た図が(イ)です。
2
この立体の表面積は４６㎝ でした。この立体を真横から見た図を解答
用紙のます目の上にかきなさい。

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(３の３)(15)

右の図は半径２㎝の円１０個をすきまなくならべたものです。
① 円の中心をむすんでできる正三角形は全部で
個です。

②

(16)

１０ｍの長さのパイプが５０本あります。これを利用して３ｍのパイプと４ｍのパイプを下の(ア)，(イ)，(ウ)の方法で切りとることにしました。(ただし１ｍ，２ｍのパイプをつないで３ｍ，４ｍのパイプを作ることは考えないことにします。)
最初に１０ｍのパイプ２０本を(ア)，(イ)の方法で切りとったところ，３ｍ，４ｍのパイプの本数が同じになりました。あとの３０本は(ア)，(ウ)の方法で切りとったところ，結局全部で３ｍのパイプが４ｍのパイプの２倍とることができました。
① 最初の１０ｍのパイプ２０本は(ア)の方法で本，(イ)の方法で本切りとったことがわかります。

②

(17)

2

斜線の部分の面積は㎝ です。ただし，Ａ，Ｂ，Ｃ，
Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊは円の中心です。

３ｍのパイプは全部で本作ることができました。

青山さんはＡ地を時速５４㎞の自動車で出発し，Ｂ地にむかいました。渋谷君は青山さんが出発してから３０分後にＡ地をある速さの自動車で出発しＢ地にむかいました。とちゅうＢ地から８４㎞手前のところで青山さんを追いこし，先にＢ地に到着しました。到着するとすぐ同じ速さで折り返し，Ｂ地から１２㎞のところで青山さんに会って今度は青山さんと同じ速さでＢ地に一緒につきました。
① 渋谷君の速さは時速㎞です。

②

Ａ地からＢ地までの距離は㎞です。

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１９９１年

青山学院中等部

算数解答用紙

氏

名

受験番号

(1)

(11)

(2)

(12)

(3)

(13)

(4)

時間

分

チーム

秒

分後

秒
(14)
3

(5)

ｍ

(6)

度

①

個

㎝

(15)
(7)

人

②

(8)

人

① (ア )本 ， (イ )

2

本

(16)
(9)

度

②

本

(10)

％

①

㎞

②

㎞

(17)

合

計

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１９９１年

青山学院中等部

算数解答

氏

名

受験番号

(1)

１０
３

(2)

１

時間

３３

分

２０

Ｂ

０ .５ 秒チーム

９ ７ .５ 分 後

(13)

３
１

２９

(12)

２８

(3)

(4)

(11)

秒
(14)
3

(5)

０ .３ ｍ

(6)

１０８ 度

①

１６

個

②

６ ２ .８ ㎝

(15)
(7)

４ 人

(8)

１５ 人

① (ア )

2

８ 本 ， (イ ) １ ２ 本

(16)
(9)

７８ 度

②

９２

本

(10)

２ .４ ％

①

７２

㎞

②

１９２

㎞

(17)

合

計

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１９９１年
配点

国語１００点，算数１００点

算数の合格基準点(予想)男子

青山学院中等部

算数解説

合計２００点

７０ 点，女子

７７ 点

題 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12 13 14 15 ① 15 ② 16 ① 16 ② 17 ① 17 ②

問

難易度 Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ
難易度

Ｃ

Ｂ

Ｂ

Ｃ

Ｂ

Ｂ

Ａ→１００％正解してください。
Ｂ→８０％以上正解してほしい問題です。
Ｃ→６０％の正解が要求されます。
この問題がどれだけできるかどうかが合否の分かれ目です。
Ｄ→難問です。
わからなかったら時間をかけずにさっさとあきらめることが必要です。

ワンポイントヒント(1)

分数にして計算しましょう。

(2)

最後のわり算を忘れやすいので注意しましょう。

(3)

最後に０.３をひくのを忘れやすいので注意しましょう。

(4)

１２０００枚は９００枚の何倍かを考えましょう。

(5)

１ｔ(トン)は１０００㎏，１ｍ は１００００００㎝ であることを忘れないようにしましょう。

(6)

まず，日本全体の生産台数を求めましょう。

(7)

差集め算のように見えますが，実は数の性質の問題です。

3

3「９人ずつにすると５あまり，７人ずつにしても５あまる」というところがポイントです。
(8)

指導者の人数は変わりますが生徒の人数は変わりません。生徒の人数を決めて解きましょう。

(9)

二等辺三角形に見えますが実際は違います。とにかくわかる角度を求めることが大切です。

(10)

水を加えても食塩の量は変わりません。その食塩の量を決めて解きましょう。

(11)

連続したカードが１０枚あったら，その中に２の倍数のカードは何枚あるでしょう。

(12)

速い選手と遅い選手を入れかえると，Ａチームは時間が増えてＢチームは減ります。

(13)

ビデオテープの長さを６ｍと決めると，Ａ方式では１時間で３ｍとわかります。Ｂ方式は１時間で１ｍです。あとは，○○○○算ですね。

(14)

くぼんでいる立体です。頭の中だけで考えるのは無理ですね。

(15)①

１辺が２㎝の正三角形の個数は簡単ですが，１辺が４㎝の正三角形を探すのはとてもむずかしいです。見落としが多い問題です。

②
(16)①

正六角形の内角の和を求めることがポイントです。
(ア)からは３ｍのパイプが３本，(イ)からは４ｍのパイプが２本取れます。３ｍ，４ｍのパイプの合計本数が同じであることから，(ア)と(イ)の本数の比がわかります。逆比ですね。

②

なかなか気づかないことですが，(ア)は３ｍや４ｍが３本取れ，(イ)も３ｍや４ｍが３本取れることがポイントです。

(17)①
②

渋谷君が青山君を追いこしてからのようすを図にすれば，２人の速さの比がわかります。
きちんと図を書けば簡単な問題。ただ最後の問題なのでテストの時間の余裕があるかどうかが最大のポイントになりますね。
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解説
(1)

100
1
１８×０.３６
１００＝＝＝１０
１８÷３.６÷０.１８×０.３６＝
３.６×０.１８ ３.６×０.１８ １０
10
1

(2)

｛(

(3)

１８×０.３６

２

＋

１

)×１

１

－

５

｝÷

７

５ ６
４ ８
９
１２
５
５ ５
７
＝｛(
＋
)× － ｝÷
３０ ３０４ ８
９
１７ ５ ５７＝｛× － ｝÷
３０ ４ ８
９
１７ ５
７
＝(
－
)÷
２４ ８
９
１７ １５
７
＝(
－
)÷
２４ ２４
９
２
７
＝
÷
２４ ９
3
１ ×９
＝
１２×７
4
３
＝
２８

４.２－１
２

１
２

３
) －０.５＝２
４

×(０.３＋

３

３ １
３ ２
５
１
＋０.５＝２ ＋ ＝２ ＋ ＝２ ＝３
４
４ ２
４ ４
４
４

４.２－

１

２

×(０.３＋

(4)

＝４

１

－３

１

) ＝３

１
４

１
２４
５
１９
－３ ＝３
－３
＝
４
５
４
５
４
２０
２０ ２０
１
１９
１ ×(０.３＋)＝となるから，
２２０
1
１９
１ １９ ３ １９×２ １９
÷１ ＝
÷ ＝
＝
２０
２ ２０ ２ ２０×３ ３０
10
１９
１９
３
１９
９
１０ １
－０.３＝
－
＝
－
＝
＝
３０
３０ １０ ３０ ３０ ３０ ３
４.２－３

１

１

＝３

６

１２０００枚は９００枚の，１２０００÷９００＝
よって７分間も４０
３倍になるので，７×

４０
３

＝

１２０００

２８０
３

９００
＝９３

１
３

＝

４０
３

(倍)。

＝９３分２０秒

９３分２０秒＝１時間３３分２０秒

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(5)１ｔ(トン)は１０００㎏ですから，２.３７ｔ＝２３７０㎏
１㎏は１０００ｇですから，２３７０㎏＝２３７００００ｇ
3

3

１０㎝ あたり７９ｇですから，１㎝ あたり７.９ｇです。２３７００００ｇは，
２３７００００÷７.９＝３００００００(㎝ 3)。
3

3

3

3

１ｍ は１００００００㎝ ですから，３００００００㎝ は０.３ｍ になります。
(6)

Ａ社の生産台数である４５０万台は，日本全体の３７.５％ですから，日本全体の生産台数は，
４５０万÷０.３７５＝１２００万(台)になります。世界の生産台数は４０００万台ですから，
日本の生産台数は世界の，

１２００万
４０００万

＝

３
１０

になります。

円グラフは全体の中心角が３６０度で，その
３６０×

(7)

３
１０

３
１０

が日本を示す部分ですから，＝１０８(度)。

子供たちを９人ずつすわらせていったら５人あまり，７人ずつすわらせていっても５人あまるのですから，子供の人数は，「９でわると５あまり，７でわっても５あまる」という人数です。
つまり，「９でわっても７でわっても５あまる」ということですね。９と７の最小公倍数は６３ですから，「６３でわると５あまる」ということになります。しかも１００以下ですから，
子供の人数は ６３＋５＝６８(人)となります。この６８人を８人ずつすわらせるのですから，
６８÷８＝８ あまり ４ により，４人あまることがわかります。
結局，「ベンチ」の数は使いませんでしたね。

(8)

指導者数が予定より５人増えたときの指導者数をアとすると，生徒数：ア＝１２：１です。
指導者数が予定より３人少ないときの指導者数をイとすると，生徒数：イ＝２０：１です。
右のように連比を求めると，生徒数：ア：イ＝６０：５：３

生徒数：ア：イとなります。
ところで，「指導者数が予定より５人増えたとき」と，「指導者数が予定より３人少ないとき」の差は，５＋３＝８(人)ですから，

１２ ：１
２０

：

１

６０ ：５：３

８人が ５－３＝２ にあたります。１あたり，８÷２＝４(人)です。
よって，アの人数は ４×５＝２０(人)，イの人数は ４×３＝１２(人)です。
アの人数は，予定より５人増えたときの人数ですから，予定の人数は，２０－５＝１５(人)とわかります。また，イの人数は，予定より３人少ないときの人数ですから，予定の人数は １２＋
３＝１５(人)としてもＯＫです。

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(9)三角形ＡＢＣは二等辺三角形のように見えますが，実際は二等辺三角形ではないことに注意しましょう。
右の図２において，○と○は折る前と折った後なので同じ角度です。また，図３の○と○も折る前と折った後なので同じ角度です。
ですから，角Ｂは○が３つぶんになります。
そこで，図１のＢの角を○○○，Ｃの角を×とすると，１８０－３０＝１５０ ですから，○○○×＝１５０…①となります。

また，図３において，１８０－○
ア＝１８０－８２＝９８ ですから，○×＝９８

…②となり

ます。
①と②から，１５０－９８＝５２(度)が，○○となり，○は ５２÷２＝２６(度)です。
求めたいのは角Ｂですから，○○○＝２６×３＝７８(度)になります。
(10)

Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄの食塩水は，もとの食塩水に水を加えたわけで食塩を加えたわけではありませんから，食塩の量は同じです。その食塩の量を，(６％と４％と３％の最小公倍数である)１２に決めます。
すると，Ａの食塩水の量は，１２÷０.０６＝２００，
Ｂの食塩水の量は，１２÷０.０４＝３００，
Ｃの食塩水の量は，１２÷０.０３＝４００となります。

ＡとＢをくらべてみましょう。Ａはもとの食塩水に水を１００ｇ，Ｂはもとの食塩水に水を２００ｇ加えて作ったものでした。ということは，ＡとＢの食塩水の重さのちがいは，２００－
１００＝１００(ｇ)になります。これが，３００と２００のちがいである１００にあたります。
よって，１００あたり１００ｇですから，１あたり１ｇとなり，Ａの食塩水の量ならば２００ですから２００ｇ，ふくまれている食塩の量は，１２ですから１２ｇとなります。
ここでＡとＤをくらべると，Ｄの方が ４００－１００＝３００(ｇ)だけ多くの水を加えていますから，Ｄの食塩水の重さは，Ａより３００ｇ多い，２００＋３００＝５００(ｇ)になり，
Ｄにふくまれている食塩の量は，Ａ～Ｄと同じく１２ｇですから，Ｄの濃さは，１２÷５００＝０.０２４ → ２.４％となります。
(11)

１０枚の連続した整数が書いてあるカードの中に，３の倍数のカードが何枚あるかははっきりとはわかりませんが，２の倍数のカードなら，必ず １０÷２＝５(枚)あります。１０枚のカード
は，「偶数，奇数」の順，あるいは「奇数，偶数」の順にならんでいるからです。２の倍数は，たとえば「１００，１０２，１０４，…」のように，２ずつ増えていて，全部で５枚あるわけですから，上のような線分図になります。
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２の倍数の中でいちばん小さい数は，｛１７０－(２＋４＋６＋８)｝÷５＝３０ですから，
１０枚のカードは，「３０，３１，…，３９」…①「２９，３０，…，３８」…②

か，あるいはの，どちらかになります。

ところで①の場合は，３の倍数は「３０，３３，３６，３９」の４枚ですから，その合計は，
３０＋３３＋３６＋３９＝１３８となり，いけません。②の場合は，３の倍数は「３０，３３，３６」の３枚で，その合計は ３０＋３３＋３６＝９９ となってＯＫです。よって，②の場合のいちばん小さい数である「２９」が正解になります。
(12)

Ａチーム４人の平均はＢチーム４人の平均よりも０.４秒速くなっているのですから，Ａチー
ム４人の合計はＢチーム４人の合計よりも，０.４×４＝１.６(秒)速くなっています。つまり，右のような線分図になるわけです。
ここで，Ａチームの１４.０秒の人とＢチームの１５.８秒の人とを入れかえると，Ａチームは
１５.８－１４.０＝１.８(秒)だけ遅くなり(時間が増える)，Ｂチームは１.８秒だけ早くなる(時間が減る)ので，右のような線分図になります。図の´の部分は，(１.８－１.６)＋１.８＝２(秒)になります。つまり，Ｂチームの合計の方がＡチームの合計よりも２秒速くなったので，Ｂチームの平均はＡチームの平均よりも，
２÷４＝０.５(秒)速くなります。

(13)

ビデオテープの長さを，(２と６の最小公倍数である)６ｍと決めたとします。Ａ方式では２時間で６ｍぶんを録画できるのですから，１時間あたり，６÷２＝３(ｍ)ずつ録画できます。
Ｂ方式では６時間で６ｍぶんを録画できるのですから，１時間あたり，６÷６＝１(ｍ)ずつ
録画できます。ここまでまとめると，１時間あたり３ｍずつ(Ａ方式)か１時間あたり１ｍずつ(Ｂ方式)で，合わせて２時間４５分(＝２.７５時間)で，６ｍのビデオテープを録画する，というつるかめ算になります。
すべてをＡ方式で録画すると，１×２.７５＝２.７５(ｍ)，実際は６ｍですから，６－２.７５＝３.２５(ｍ)の差。Ａ方式とＢ方式では，１時間あたり ３－１＝２(ｍ)の差ですから，
３.２５÷２＝１.６２５(時間)…これがＡ方式で録画した時間です。
つまり，６０×１.６２５＝９７.５(分)だけＡ方式で録画して，それからＢ方式に切りかえることになります。

(14)(ア)と(イ)から，まず右の図のような立体を考えてみましょう。この立体には，上の段と真ん中の段に３個，下の段に９個ありますから，全部で ３×２＋９＝１５(個)になります。ところが実際は１３個ですから，
１５－１３＝２(個)をとり除かなければなりません。

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２個の取り除き方はいろいろありますが，右の図のように取り除くと，真正面からは５面，真上からは９面，真横からは７面が見えますから，表2

面積は，(５＋９＋７)×２＝４２(㎝ )となります。
ところが，実際の表面積は４６㎝ 2 です。個数を変えずに，表面積を2

４６－４２＝４(㎝ )だけ，つまり４面だけ増やさなければなりません。
そのためには，真正面・真上・真横のどこからも見えない面を４面作る必要があるので，右の図のようにすれば，斜線の部分がちょうど４面になってＯＫです。このときの，真横から見た図が，答えになります。

(15)①

三角形ＡＢＩなどの小さい正三角形が１０個あることは右の図のようにすぐわかりますね。あとはもっと大きな正三角形が何個あるかわかればよいわけです。右の図で，三角形ＨＣＥ，三角形ＡＤＧが大きな正三角形であることがわかります。これで，全部で１２個になりました。でも，まだ他にもあります。下の図のように，三角形ＢＤＨ，三角形ＦＤＨ，三角形ＡＣＪ，三角形ＧＥＩも正三角形ですから，１２＋４＝１６(個)になります。まちがいやすい問題ですね。

②

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｇを中心にもつおうぎ形の中心角の和は，六角形の和になりますから，Ｎ角形の内角の和の公式である １８０×(Ｎ－２)で求められます。六角形の内角の和は，１８０×(６－２)＝７２０(度)となります。７２０÷３６０＝２ ですから，これらのおうぎ形だけで，円２つ分になりますね。
残りのＤ，Ｈのおうぎ形は，どちらも半円ですから，合わせて円になります。
よって，斜線の部分の面積の和は，円２つと円１つの和で円３つ分になりますから，
2

２×２×３.１４×３＝３７.６８(㎝ )になります。
(16)①(ア)からは，３ｍのパイプが３本取れます。(ア)をＡ本からは，３ｍのパイプが (Ａ×３)
本とれます。
(イ)からは，４ｍのパイプが２本取れます。(イ)をＢ本からは，４ｍのパイプが (Ｂ×２)
本とれます。
よって，(ア)，(イ)の方法で切りとって，３ｍ，４ｍのパイプの本数が同じになったときは，
Ａ×３＝Ｂ×２ ですから，Ａ：Ｂ＝２：３，つまり(ア)の本数と(イ)の本数が２：３になればよいわけです。
ところで，問題にはパイプ２０本を(ア)，(イ)の方法で切りとったと書いてありますから，
２０本を２：３に分ければよいことになります。
２０÷(２＋３)＝４

４×２＝８(本)…(ア)

４×３＝１２(本)…(イ)
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②(ア)，(イ)，(ウ)のパイプの切り方では，３ｍ，４ｍの他に１ｍ，２ｍのパイプもあります。この１ｍ，２ｍのパイプは短いので捨てることにして，３ｍ，４ｍのパイプだけを使うことにしましょう。すると，(ア)も(ウ)も「使えるパイプ」は３本ずつとることができます。
３０本は(ア)，(ウ)の方法で切りとったのですから，「使えるパイプ」は，３×３０＝９０(本)だけ増えることになります。
①のときは，(ア)の方法で８本切りとって，３ｍのパイプが ３×８＝２４(本)，(イ)の方法で切りとって，４ｍのパイプが ２×１２＝２４(本)できたわけですから，合わせて ２４×２＝４８(本)できていました。それからさらに９０本増えるのですから，「使えるパイプ」
は全部で，４８＋９０＝１３８(本)になります。
しかも，３ｍのパイプが４ｍのパイプの２倍になったのですから，右のような線分図になります。
よって，３ｍのパイプは，１３８÷(２＋１)×２＝９２(本)となります。

(17)①

渋谷君が青山さんに追いついたのは，Ｂ地から８４㎞手前の地点でした。渋
谷君はＢ地に到着すると折り返してＢ
地から１２㎞のところで青山さんに会いました。そのようすが右の図のようになります。
青山さんは渋谷君に追いつかれてから，８４－１２＝７２(㎞)を進んでいます。
渋谷君は青山さんに追いついてから，８４＋１２＝９６(㎞)を進んでいます。
よって，青山さんと渋谷君の速さの比は，７２：９６＝３：４となります。

青山さんは時速５４㎞ですから，渋谷君の時速は ５４÷３×４＝７２(㎞)となります。
②

渋谷君が追いついたところからＢ地までは８４㎞であることがわかっていますから，あとはＡ地から渋谷君が追いついたところまでの距離がわかればよいわけです。
渋谷君が出発するときに，青山さんはすでに３０分(＝０.５時間)進んでいます。青山さん
は時速５４㎞ですから，５４×０.５＝
２７(㎞)だけ先に進んでいるのです。
でも渋谷君は①で求めたように時速７２㎞ですから，２７÷(７２－５４)＝１.５(時間)で青山さんに追いつくことができるのです。渋谷君は追いつく
までに，７２×１.５＝１０８(㎞)進みましたから，Ａ地から渋谷君が追いついたところまでの距離は１０８㎞であることがわかりました。よって，Ａ地からＢ地までの距離は，１０８＋８４＝１９２(㎞)になります。

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