振動力学
機械系の標準的科目名としては「振動工学」 ※「機械力学」の後に学修する
内容レビュー：物理学アプローチで学んだ振動･波動論（小形正男「振動･波動」）をより大系的に，工学的応用を念頭において固有値に裏付けられたモードの概念を理解する．講述の大きな流れとしては，振動･波動論と同様，1自由度系→2自由度系→多自由度系の振動へと論を展開．夫々，自由振動，＋減衰，＋強制振動を考慮し，この過程
でモードの概念（複素数の美しい数学世界）を理解する．多自由度系
振動の無限極限として，連続体の振動すなわち波動を理解する．連続体振動の応用として弦の振動，梁の曲げ，膜振動の基礎理論を理
解する．
教科書；
安田仁
「改訂 振動工学 基礎編」 コロナ社
参考書；
長松昭男 「モード解析入門」 コロナ社 【best book】
安田仁「振動工学 応用編」 コロナ社
1

１．緒論
1.2.2 剛体の運動方程式＝並進運動＋回転運動（図1.3）
並進運動；
重心の定義； 離散系；(1.5)式，連続系；(1.6)式⇒ 並進運動のＮｅｗｔｏｎ第2法則；運動方程式(1.10)式
回転運動；
慣性モーメントの定義； 離散系；(1.7)式，連続系；(1.8)式⇒ 回転運動の運動方程式；(1.11)式
θ；回転角，Ｎ；モーメント2

1.3.2 関数の級数展開
既往書のどの説明より解り易くマクローリン展開，テーラー展開が導入されている．
前提； 如何なる関数も多項級数で近似できる：(1.27)式．
(1.27)式直下の説明⇒マクローリン級数：(1.28)式．
マクローリン級数はx=0を基準にしている（x=0まわりの展開）
が，任意定数x0まわりの展開を考えると(1.29)式となり，上記同様の考え方により⇒テーラー級数：(1.30)式；Δx=x- x0を導入して(1.31)式．

1.3.3 三角関数（おまけに双曲線関数）exp j   exp j 
sin  2jsinh  

exp   exp  
2cos  exp j   exp j exp j   cos   j sin 
2cosh  

exp   exp  
2オイラーの公式(1.39)式3

sinh    j sin( j )cos   sin   122

cosh   cos( j )cosh   sinh   122

sin    cos cos     sin sinh    cosh cosh    sinh tan    sec 21
tanh   sech  cosh 2 
2その他，三角関数の加法定理，半角公式，倍角公式etc．
(1.32)式⇒(1.33)式，さらに加法定理を適用して(1.34)式，(1.35)式の展開は重要．

双曲線関数にも加法定理etc．

1.4 周期運動と調和運動
PLS carefully read the textbook.
4

1.5 フーリエ級数とフーリエ積分（さらにフーリエ変換）
Carefully read the textbook.
既往書のどの説明より解り易い．
前提；どんな周期運動も調和運動の重ね合わせで表現できる⇒(1.47)式．係数a，bの決め方；(1.48-52)式．係数を決めるプロセスにおいてsinとcosの直交性を用いている．

既出の公式(1.53)式を使って，複素フーリエ級数；(1.58)式．
複素フーリエ級数をもとに(1.62)式と(1.63)式を導出（cf.図1.14の意味に留意）．
周期Tを∞に⇒級数(1.62)式が連続表記の積分になる⇒(1.62)+(1.63)式が(1.64)+(1.65)式になる（フーリエ積分）
f(t)→F(ω)（Fはfをフーリエ展開した係数に相当する）を
5
フーリエ変換と云う．

Exercise 1-1
質量m，長さ2lのまっすぐな棒を図のように壁に立てかけた．壁および床と棒の摩擦係数をμとするとき，棒が滑落しないときの最小角度θを求む．

6

図に既にヒントが埋め込まれている．
滑落限界における壁からの抗力をR1，R2とすると，力のつり合いから；･･･(1)
R1  R2  mg
R1  R2  0
重心まわりのモーメントつり合いから；

R1 cos   R1 sin   R2 sin   R2 cos   0 ･･･(2)(1)からR1，R2を求め，これらを(2)に代入すると；
1 2
2
cos  
sin 
2
2
1 
1 
2
1


表式整えて；   tan 12

7

Exercise 1-2傾斜角αの斜面を半径r，質量mの円柱が滑ることなく転がり落ちる．転がり始めたときから高さh下降したときの円柱の傾斜方向の速度を求む．

8図に示すように傾斜方向に変位xをとり，円柱の回転角をθとすると，円柱の運動エネルギーは，並進と回転の和だから；
円柱の慣性モーメント1  dx  1 r 2  d T  m  m
2  dt  2 2  dt 2

2･･･(1)

x=r･θより； d  1 dx
dt･･･(2)r dt

3  dx Tm (1)に(2)を代入して；
4  dt 

2･･･(3)

ときにポテンシャルエネルギーはU=mgh．
保存則よりT=U；

表式整えて；

23  dx m   mgh
4  dt 
1/ 2dx gh 
 2 
dt
 3 

9Exercise 1-3
図に示す厚み一様な二等辺三角形の重心位置(xG,yG)を
求む．

10

a
左右対称性から； xG 2

重心の定義から，二等辺三角形の厚をh，密度ρとして；y ha  dy 

y 
b

0

G

hab
2

b b y
b y
2
b

a   a
 だから； yG ay  dy  b 
ab a  b 
3



a b

以上より； xG , yG    , 
 2 3

11

Exercise 1-4
図に示す周期[-T/2,+T/2]の三角波をフーリエ展開せよ．

12

与題より；

13

２．２自由度無減衰（自由振動）系の振動
全ての基礎を与える系．
2.2.1 自由振動
高校以来の物理の基礎知識により，運動eqが(2.2)すな
わち以下となるのは諒解できよう．

m  x  k  x

バネの力は常に運動の方向とは逆に作用するから(2.2)；数学的に見ると線形微分方程式．それも1変数の斉次型で最も基本的な型だ．
教科書では解として(2.4)を仮定し，これを与式に代入した(2.5)を得，これが非自明なX=0以外の解をもつためには(2.6)を満たさねばならない，と説明している．
14線形微分方程式論に依れば，以下の手続きを踏めばよい．
m  x  k  x  0
微分演算子D=d/dxを用いると；m  D  k x  02斉次一般解はDをλで置き換えた特性方程式を解いた代数方程式の解（微分階数に応じ複数ある）の線形結合で与えられる．この場合，特性方程式は(2.6)式であり，その代数的解は(2.7)式だから（D2がある⇒2階微分⇒λの2次式⇒重根を含めλは2つ），解は(2.8)式で表式される．
(2.8)式は形式上(2.9-11)式で表しておいた方が以下の議論で便利なことがある．
【重要】表式上(2.8)は複素数になっているが，振動は実数空間での現象（(2.8)は共役になっていることに留意）．
15

以上の手続き（線形微分方程式論に準拠した解法）は減衰振動（3章），強制振動（2章後半で出てくる）が付加されても同様で，数学的には非斉次型になったならば，(一般解)＝(斉次一般解)＋(元の非斉次eqの特解)とすればよい（線形結合）ことを憶えておけばok．特解の求め方は，関数形（sinなのかexpなのかetc）により様々な方法が知られている（多項式の場合は山辺の方法が強力なツール）⇒少々テクニックが要る．
自由度が増えたら（4章以降），特性方程式の変数が増える．けれど，事の本質は同じ：特性方程式を眺め，非自明な解（X=0；boldはvector量を意味する）を持つには，特性方程式（scalar方程式でなくvector-matrix方程式で表される）が逆元（逆行列）を持たない条件を考えればよいだけ．
16

2.2.5 初期条件と自由振動(2.8)に初期条件(2.3)を代入すると(2.12)を得，結句，最終形として(2.13)式を決めることが出来る．
【again】 (2.13)は共役複素数表示になっていることに留意．つまり，表式上は如何にも複素数だが，実際には解は複素数ではない．⇒ガウスの複素平面をイメージしてみよ．共役複素数で表記される線形結合要素なら，実数軸を挟んで鏡像となって，実質上は実数である．
実際，この解の出発点として(2.8)式でなく(2.10)式として初期条件により未定定数をfixすると(2.14)式となる．
2.2.6 自由振動のエネルギー
運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和；初期条
件適用後の(2.14)を代入⇒(2.17)式．夫々開いて和を取り，加法定理など適用すると，(2.18)式となって，全エネ
ルギーは保存されている．実際，(2.19)式である．
17

18

線形バネ：
単純なバネ；バネによる復元力F=k･xとしたときkをバネ
定数あるいはバネ剛性という．次元は[N/m]．
作用するのがモーメント（トルク）；復元のモーメント
M=k0･θとしたとき，k0をねじりバネ定数あるいはねじりバ
ネ剛性という．次元は[Nm/rad]．

Exercise 2-1
図に示す系のバネ定数を求む．

19

(a) 作用する力Fによる2つのバネの変形量の和が全体の変形量xに等しいとしてバネ定数をも求めればよい．
1
F F
1 F
x 
 F    
k1 k 2
 k1 k 2  k
k1k 2
これ解いて； k （直列バネの合成）
k1  k 2⇔1  1  1
k k1 k 2
直列合成（加法）が成り立つのは｢抵抗｣の次元．｢コンダクタ
ンス｣（この場合，伸び易さ）の次元では和は成り立たない．

(b) バネの等しい変形xによる2つの復元力の和が全体の作用力Fに等しいから；F  k1 x  k2 x  k1  k2 x  kx
これ解いて； k  k1  k2 （並列バネの合成）

一見，直列にみえるが，中央で折り返された並列系．並列合成だから
20加法が成り立っているように見える．

Exercise 2-2
図に示す角度2θで結合された2本のバネ（バネ定数kは共通）に質量mがつり下げられている．系の固有振動数
を求む．

21

力Fを与えてxだけ変位したとすると；

F  2kx cos   cos   k  x⇔ k  2k cos 
2

k は合成バネ定数．よって固有振動数は；
n 

k

m

2k
cos 
m

22

Exercise 2-3
図に示すU字管の液面振動を考察する．U字管液体長さをl，断面積をA，液体密度をρとする．この振動の固有角振動数を求む．

23

液面の平衡一からの変位をxとする．このとき液体の運動エネルギーは；1
T  Ax 2
2

位置エネルギー；図示したρAxの部分が左から右へ移動
m g h
したと考えると；U  Ax  g  x  Agx 2
自由振動ではエネルギーは保存されることに基づき運動方程式を表式すると；dT  U   Ax  x  2Agx  x  0dt⇔ x  2 gx  0

これによりバネ定数が定まったところで，この自由振動の固有角振動数は；   2 g
n



24

Exercise 2-4
図のように，一端が回転支持された剛体が，角度α傾いてバネによって支持され，平衡状態にある．平衡位置ま
わりの微小振動の固有振動数を求む．

25

棒に作用する重力の成分のうち，棒に直角な成分
mgcosαはバネの復元モメントによってつり合っている．
棒の軸方向成分mg sinαが平衡位置からの棒の微小振動角θによって復元モーメン
トとなる．微小角θ変位したときの重力による復元力は； mg sin   sin   mg sin  
θ微小なら； sin   

よって，支持点まわりの回転の運動方程式は，バネによる復元モーメント（下式右辺第1項）も考えて；
J    kh  h  mg sin     s ⇔ J   kh 2  mgs sin    0
h sin ただし，Jは棒の慣性モーメント．表式された運動方程式
により，固有振動数は；kh 2  mgs sin 
n 

J

26

Exercise 2-5
図のような片持ちはりのバネの先端に質量mを付けた系の固有振動数fnをf1<fn<f2になるように設計したい．はりの重量を無視できるとして以下の数値が与えられたときのはりの長さlの変位を求む．あり厚h=0.5mm，幅
b=10mm，ヤング率E=206GPa，質量10g，f1=5Hz，
f2=20Hz．

27

先に示した表のデータから，片持ちはりのバネ定数kとその断面2次モーメントIは夫々；
3EI
k 2


bh 3
I
12

よって，固有振動数は； f n 

1
2

k
1

m 2

3EI
m 3

1
4 2 m 3
1
これから； f 2 3EI2f2
1

数値を入れると； 74.1[mm]    187 [mm]28２．３-４ 調和外力･変位による無減衰強制振動調和外力のある強制振動；
図2.6，(2.22)式⇒非斉次項（Fcosωt）のあるlinear eq.
この解き方は#16で述べたとおり；(一般解)＝(斉次一般解)＋(元の非斉次eqの特解)を踏襲すればよい．
まず，元の非斉次eqの特解を求める．
ω≠ωnの場合；(2.23)式を解と仮定して未定定数Xを(2.24)で同定⇒(2.25)式を得る．
ω=ωnの場合；(2.26)式を解と仮定して未定定数Xを(2.27)で同定⇒(2.28)式を得る．
は自由振動の解のうち(2.10)を採用して，これと上記の線形結合として，結句，(2.29-30)式を得る．
29

2.3.2 強制振動の性質●ω≠ωnの場合(2.24)のX0が正負に割れる；これは図的に示すと図2.7にあるように外力と強制振動が同位相(a)（ ω<ωnのケース）と逆位相(b) （ ω>ωnのケース）となる場合を意味する．(b)の外力に対して強制振動がπの位相遅れがある表式は，位相遅れがない場合を含めての表式が可能．それが(2.31-32)式．X0が絶対値表記になっていることに留意．
●ω=ωnの場合
外力と本来の振動系が同位相になると，外力とdx/dtの正負が一致して，外力は常に運動の方向に働いてエネ
ルギーを注入し続ける．これを共振（resonance）という．
図2.8；xの振幅は増大し続ける．
30

応答曲線；振幅応答曲線 ＋ 位相応答曲線
振幅応答；(2.24)の分母をkで除す．(2.7)の自由振動で定義した固有振動数 n  k を使って，(2.33)式を得る．
m

Xn=F/kは大きさFの力がstaticに作用したときのたわみを意味する．
そこで，(2.33)式で定義したX0のXnに対する比を振幅倍率と定義する．同様に外力の角振動数と系の固有振動数の比により，位相遅れの程度を無次元化して表す．

以上をまとめて，応答曲線の特性として，振幅倍率と位相遅れを(2.34)式で表し，応答曲線を描くと図2.9の如く
図中のζは減衰比のなる．
共振；   1 のとき X 0   ことで3章で出てくる
31

調和変位による強制振動
図2.6；質点mに直接的に調和外力が作用する．

構造物への地震の影響のモデルとしては，図2.10．
ここでは，変位y（構造物であれば変形）が調和振動する．
⇒(2.35)式．ところで，バネの伸びはx-yであり，質点がバ
ネから受ける力は運動と逆方向にk(x-y)である．結句，この系の運動方程式⇒(2.36)式.
これは本質的には前節で考察した調和外力による強制振動と同じである．
変位による調和振動の身近な例；図2.11により位相差が0かπ（逆位相）になるかを実感できよう．
32

Exercise 3-1
質量m=2kg，バネ定数k=200N/cmの1自由度系にFcosωtの強制力が作用している．
(1)F=100N，f=25Hxのときの強制振動の振幅を求む．
(2)強制振動の振幅をstaticなたわみ量の1/10以下に抑えたい．要請される条件を求む．

33

Cf. 図2.9上パネル

Remind Xn=F/kは大きさFの力がstaticに作用したときのたわみ

34

Exercise 3-2
コイル･バネによってよってつり下げられていた重さwの錘が正弦的な外力を受けて振動数15Hz，複振幅（振幅の倍）4mmで振動している．いま，重さ4kgfの鉄塊を錘部分に付加したところ中立点が1mm下がるとともに振幅は半分に減少した．強制力Fの大きさと錘wを求む．

35

←Remind Xn=F/kは大きさFの力がstaticに作用したときのたわみ←Remind (1.43)式←●→ (2.33)式は分母で絶対値が取られているが，ここでの議論において，振幅Aを評価する際には，
この左右で分母の正負が反転することに留意36

分母の正負が反転

37

２．５ 任意外力無減衰強制振動
系の線形性を根拠に重畳原理を適用；(一般解)＝(斉次一般解)＋(元の非斉次eqの特解)を踏襲すればよい．斉次一般解のことを余関数と云う．
さて，ここ（教科書）では斉次一般解は（自由振動なので；解は(2.9-11)）自明として，与えられた非斉次の特解をどう求めるが述べられている．それもどうと云うことはなくて，外力項別に分けて特解を求めておき，後で重ね合わせればよい⇒(2.45)式．

2.5.1 周期外力の場合外力をフーリエ展開すればよい．
(2.46)のような展開形を採るなら，特解は(2.53)式．
(2.54)のような複素フーリエ展開（(1.56)式）なら，(2.58)式．
38

ここで，線形微分方程式論を補足しておく．
以下は私がM1のときに卒論生の初期教育用に作成したレジメのコピペである．
算数が三度のメシより好きな変態野郎だったわけだ．

39

40

41

42

43

44

45

Exercise 4-1以上の線形微分方程式の解法テクニックを使って，(2.56)式を解いて，その特解としての(2.57)式を導出せよ．
(2.56)⇔ mD2  k  x  Fr exp  jrt 

⇔


k 
k 
F
D 
 D   x  r exp  jrt jj
m 
m 
m



k 

よって，余関数= Ci exp   jt 
m 

1
 Fr



exp
jr

t


特解 =
D2 

k m
m

但し，i=1,2．⇒(2.8)式



 Fr



exp
jr

t


 jr 2  k  m
m
1
 Fr




exp
jr

t


k
 r 2 2  mm
1Fr exp  jrt 2k  mr 

1⇒(2.57)式

46

Exercise 4-2
以下の線形微分方程式の一般解を求む．ただし，微分演算子をDとする．

(1)

D  2D  1y  exp x

(2)D  D  2y  sin x

2

2

47

(1) 特性eq⇔ f t   t  12  0  t  1 重根
よって，余関数=  Ax  B exp x 
1
1x2
特解 = D  12 exp x   exp x   D 2  2 exp x 
一般解はx2
y   Ax  b  exp x   exp x 
2

但し，A，Bは定数(1) 特性eq⇔ f t   t  2t  1  0  t  1, 2
よって，余関数= A exp 2 x  B exp  x1
D  1D  2
特解 = D  2D  1 sin x  D 2  1D 2  4 sin x





1 2
1

D  D  2 sin x   3 sin x  cos x 10101

一般解は y  A exp x   B exp  x   10  3 sin x  cos x 
但し，A，Bは定数48

2.5.2 任意周期外力の場合外力をF(ω)の逆フーリエ変換カマされたものと看做す．
すると，(2.61)式のようにΔωでデジタライズされた表式で分解できる（(1.64)式から）．(2.61)の特解は(2.62)式．
よって，求める解は(2.63)となる．

２．６ 各種の1自由度系
代表的対象の運動方程式を確認しておく．
弦；(2.64)
はり；(2.66)
振り子；(2.68) （sinθ=θの近似により(2.67)→(2.68)）
回転円板；(2.70)．

49

３．１＋２ 1自由度の減衰系自由振動
図3.2；粘性減衰，クーロン（乾性）減衰，2乗減衰．
粘性減衰を前提；運動方程式はm  x  c  x  k  x

バネの力も減衰力も常に運動の方向とは逆に作用するから結句，(3.2)式．

(3.2)；数学的に見ると斉次線形微分方程式．特性方程式は（変数をλとして）(3.6)．その解は(3.7)．
よって，一般解は
1
1
 c

 c

x  A  exp   
c 2  4mk   B  exp   
c 2  4mk 
 m 2m m 2m50

(1)ルートの中身が負値となる
図3.4(a)の不足減衰に相当．この場合は，一般解は(3.10)式のように表式出来る．
(2)ルートの中身が正値となる
図2.4(c)の過減衰に相当．この場合はは，一般解は(3.12)式のように表式出来る．
(3)ルートの中身がゼロとなる
図3.4(b)の臨界減衰に相当．この場合は，一般解は(3.14)式のように表式出来る．

臨界減衰係数cc；(3.15)，減衰比ζ；(3.16) の定義．
不足減衰；(3.10)⇔(3.17)⇔(3.18)式．⇒図3.5．
減衰自由振動(3.18)式中のωdを減衰固有角振動数と云
い自由振動の固有角振動数ωnとζで表式出来る；(3.19)．
51

3.2.3 振動エネルギーの考察
自由振動；(2.19)式；エネルギーは保存される．
減衰振動；(3.22)式．T+U=Eと定義すると(3.23)⇒減衰によってエネルギーが散逸することを表意している．
3.2.4 対数減衰率を定義することで実験的に減衰率を同定する方法（減衰率の小さい系における減衰率同定は困難なので）．【実際の同定法】LSMを適用（図3.6）．

3.2.5 クーロン摩擦のある減衰系
運動方程式；(3.33)式．全体は非線形で扱いにくい．
dx/dtの正負で切り分ければ，夫々は線形であり，定値外力が作用する自由振動と等価であることが諒解される．
p.67にあるように順次考察していくと，結句，解(3.40)（図3.8）を得る．
52

クーロン（乾性）摩擦のある減衰系のexcellentな扱い(3.33)式；両辺mで割って，
x  n 2 x  b sign  x   0
但し，ωn=k/m，b=Fc/k．
ここで， y  x  b sign  x  なる変数変換をカマす．
y  x なので，y  n 2 y  0を得る．これは無減衰自由振動と同型．よって，解はy  A cos nt  B sin nt⇔ x  A cos nt  B sin nt  b sign x 

あとは教科書同様，初期条件を与え，速度符号に注意して接続条件を加味してやれば，解が得られる．
53

教科書の図3.8では切れているが，もっとt大にいくとこのようになる．

54

Exercise 5-1

M=3kg，k=10N/cm，c=0.5Ns/cmの1自由度減衰系がある．
(1) 減衰比および減衰固有角振動数を求む．
(2) 初期条件x0=2cm，v0=50cm/のときの質量の運動を求む（xをtで陽に表せ）．
(3) このときの位相空間（横軸x，縦軸v（本来は運動量）
をとった空間）上の軌道を描け．

55

56

Exercise 5-2(1) バネ定数，質量，粘性係数ともに路の減衰系がある．
自由振動を実測したところ系の周期は0.2秒であり，振幅は指数関数的に減少して10サイクル後に1/50になった．この系の減衰比を求む．
(2) この系の錘にさらに質量2kgを付加した．系の減衰比はどう変わるか．
(3) 質量を付加した系の周期は0.25秒であった．もとの系のバネ定数および質量を求む．

57

58

Exercise 5-3(1) 1自由度の粘性減衰系における減衰固有角振動数との関係は教科書(3.19)式で与えられた．ζ－ωd/ωn
平面上にこの関係を描け．
(2) m=5kg，k=1000N/mの系で，ζ=0，0.2，0.4，0.6，0.8の角ケースにおける減衰固有振動数fd[Hz] を求む．

59

(3.19)⇔60

Exercise 5-4

クーロン摩擦と粘性減衰が同時に作用している系がある．
その自由振動を実測したところ図に示すような減衰カー
ブが得られた．クーロン摩擦と粘性摩擦の大きさを同定
せよ．

61

62

63

３．３＋４ 調和外力，任意外力による1自由度の減衰系自由振動
運動方程式；(3.41) cf.図3.9．
教科書p.69で導出されているのは，特解である．
(3.41)の一般解は；(一般解)＝(斉次一般解)＋(元の非斉
次eqの特解)により，斉次一般解である粘性減衰自由振
動解（スライド#50で導出した一般表記）と特解の線形結合．
特解の導出方法はスライド#39～45によってもよい（非斉
次項Fcosωtが右辺にあるだけだから簡単；各自で確認しておくこと）．教科書では，解の形式を推定して，推定表式（(3.42)or(3.47)の2パターン）中の未定係数を元の式(3.41)に代入して求める方法を採っている（数学的には一般的でない）．
64

2パターンの特解は(3.44)or（3.49)のように求まる．
結句，(3.41)の一般解は；(一般解)＝(斉次一般解)＋(元の非斉次eqの特解)により，(3.50)式となる．
3.3.2 強制振動の性質
特解である(3.44)式を議論する．
外力の角振動数と固有角振動数の比，減衰比を導入，無次元振幅と強制振動の外力に対する位相遅れを求めると；(3.54)式．
⇒ 図3.10【remark】減衰がない場合，位相差φは0かπだった（cf.p.40，図2.7）が，減衰があるとこのように共振前後で異なって来る．
X 0

 0 から導出

最大振幅；(3.56)を与える角振動数；(3.55)．

65

3.3.3 エネルギーの考察
いつものようにT+U=Eと定義して，(3.58)→(3.59)式．
(3.59)が語っていること「外力に投入されたエネルギーが粘性減衰で散逸し，残分が系の全エネルギー変化をもたらす」．
定常状態を考える．1周期分(3.59)式を積分すると，(3.60)．右辺第1項（粘性減衰由来）と第2項（外力由来）
を夫々計算；(3.61-62)．ここでsinφ=cωX0/Fを代入すると，
WF=WDすなわち，外力による仕事と粘性原意による仕事はつり合っている，ことが導かれる．
これは(3.63)式を意味するが，当然の結果とも云える．なぜなら，冒頭，定常（時間不変ならdE/dt=0である）を仮定したのだから．
66

3.3.4 ハーフパワー法
強制振動系の減衰係数を実験的に求める方法（自由振動計では3.2.4を説明した）．
(3.54）と(3.56)→(3.64)．
適宜，近似を入れて，結句，(3.66)．
3.3.5 振動の絶縁
工学的な応用例．
支持台にかかる力Ft；(3.68)．この振幅FT0を伝達力，無次
元化したTr=FT0/Fを伝達率という．
伝達率の特性→図3.15．外力の角振動数が相対的に大きくなると，伝達率小．逆に言えば，絶縁部のバネの固有角振動数の小さい，柔らかいバネにすればよい（構造物のダンパーを想像すればよい；地震のωは大きい）．
67

3.3.5 クーロン摩擦のある強制振動
クーロン摩擦の無減衰自由振動はp.66の(3.33)だった．
これに外力を加えると運動方程式は(3.71)式．
そのまま扱うのはしんどい．そこで，外力に対してクーロン摩擦が十分小さいときに，1周期間でクーロン摩擦により失われるエネルギーと等価な粘性減衰を考え，これにより代替え出来るとの近似により求解する．その手続きがp.78に詳述されている（【remark】各自で導出過程をト
レースしておくこと）．
3.4.1 周期外力による強制振動
調和外力でないなら，f(t)をフーリエ級数で開いて，各解を重畳すればよい；解は(3.84)．複素フーリエ採るなら；解は(3.86)式．
3.4.2 任意外力の場合→2.5.2 スライド#49 に同じ．
68

Exercise 6-1
質量m=2kg，バネ定数k=50kN/mの粘性減衰系がFcosωtの外力を受けて振動している．ただし，F=200N，f=20Hzである．
(1) 系にζ=0.2，0.4の減衰がある場合の振幅を求む．
(2) 強制振動数を変化させていったとき，ζ=0.2，0.4の条
件で振幅が最大となる振動数およびそのときの振幅
を求む．

69

70

Exercise 6-2
強制力Fを受けて21Hzで振動している1自由度振動系（固有振動数ｆｎ=40Hz）がある．いま，運動波形と強制力波形についてリサージュ図形を描かせたところ図のようになった．
(1) 強制力と運動波形との位相差を求む．
(2) 系の減衰比を求む．
(3) 系のバネ定数および質量を求む．

71

72

Exercise 6-3
図に示すように1自由度のバネ-質量系がバネkを介して変位により強制振動させられている．ここで，各パラメー
タはm=10kg，k1=30N/cm，k2=60N/cm，c=3Ns/cmである．
(1) 強制振動の振幅がa=2mm，振動数がf=4Hzのとき，質量を求む．
(2) このとき，k2の駆動端に作用する反力の大きさはどうなるか．

73

74

４．2自由度系の振動
例；図4.1，図4.2．質量が2つあり，互いに相互作用
がある．
運動方程式
無減衰自由振動系；(4.2)式（粘性）減衰自由振動系；(4.3)式→第1式右辺第2，3項は  c1 x1  c2 x1  x2 を切り分けたモノ
相対速度
運動方程式は連成系なので，連立して求解する要あり．このとき，Vector-Matrix方程式表現することで解法が見通しよくなる（線形代数はそもそもそのために作られた代数学である）．
75

i.e. (4.2)式⇔(4.7)式 但し(4.5-6)．
(4.3)式⇔(4.9)式 但し(4.5-6,8)．
初期条件(4.10-11)を与えれば，これらは数値的に解くことが出来る．図4.3がその例．複雑な時変動を示す場合と規則的な場合とが顕れる．
まず，(4.2)すなわち(4.7)式を考える．これはVectorMatrix表現されているが斉次線形方程式である．だから，一般解を何とかして求める算段をする．線形微分方程式論で説明した理屈（特性方程式の解をexpの肩に載せて，その線形結合したモノが斉次一般解だった）はスカラー（1変数系）が前提だったが，そのままVector-Matrix方程式に拡張してよい．
76

(4.7)のVector-Matrix方程式の特性方程式とは？
以下を天下りに認めて貰うが，スカラー系の特性方
程式の素直な拡張になっている．唯一の留意点は，スカラー系で「代数式=0（これが特性方程式）の解を求める」だったことが，Vector-Matrixでは「特性Vector-Matrix方程式の行列式=0の解を求める」ことに相当してること．

特性方程式の変数をλとおくと，上記はすなわち(4.18)式である（λ2はxから来ている）．(4.18)⇔(4.19)．
教科書p.86-87は，どうして(4.18)式が導出されるかを別ルートで丁寧に説明している．
77

つまり･･･
解として(4.12)を仮定．与式に戻って(4.13)．これが非自明が解X1=X2=0以外を持つには，(4.14)すなわち(4.15)を満たさなくてはならない．これは変形すると，(4.18)となり，すなわち(4.19)．
別の考え方；議論を線形代数的に処理する．
(4.12)を(4.16)のように表記．与式に代入して，(4.17)
式，このVector-Matrix方程式が解としてゼロベクトル（自明な解；{X}=0）となってしまわないためには，左辺のMatrixがinverse（逆元；Matrixでは逆行列）を持たないことを要請する．逆行列を持たないためには，その行列式がゼロであることを要請する．すなわち，(4.18)式である．
78

ハナシを先に進めると･･･(4.19)を解くとλは(4.20)の2セット，すなわち(4.21)に示
す4つ出てくる（(4.19)がλに関する4次式だから納得だろう？）．λが決まったところで，(4.12)の一般解表
式中の振幅ベクトル{X}を決めなければならないが，それは(4.13)にいれ戻せば自ずと決まる．が，{X}は
ユニークは決まらず，{X}=(X1,X2)の比が決まるだけ．
そこで，X1=1とする（これにより議論の一般性が損なわれることはない）．最終的結果が(4.22)である．
随分長い道のりだったけれど･･･
結句，2自由度無減衰系の一般解としては，(4.24)；
オイラー公式使って書き換えると，(4.25)式となる．
79

(4.24)式に(4.27)の表式（ここで{φ1}第1固有モードベ
クトル，{φ2}を第2固有モードベクトルと云う）を適用す
ると(4.28)式となる．同様に(4.25)→(4.29)式．これを位相差表記すると(4.30)式のように記述できることは，
これまで何度も出てきたことだ．
固有モードの直感的理解は図4.5を熟読玩味．実際は初期条件を付与して未定定数a*とb*をfixする．
ここで，以下のことが言えることに気付くだろう；
一般解(4.28-30)（どの表式でもよい）は固有モード（2
自由度の場合は2つあって，夫々の振幅比{φ1(2)}と角振動数ω1(2)}で表現される）の線形結合になっている．
これは，系が線形だから成り立つ，有り難くも美しい性質なのだ．
80

Exercise 7-1
図に示す2自由度のバネ-質量系について答えよ．
(1) 固有振動数を求む．
(2) 固有モードを求む．
(3) m=1kg，k=50kN/mのときの固有振動数を計算し，Hzにて示せ．
(4) 前問のケースについて，x1，x2の初期変異が夫々3mm，0mm，初速度がともにゼロのとき自由振動解を示せ．

81

82

83

Exercise 7-2
図の車体系について答えよ．但し，車体は剛体とし，質量をm，重心Gまわりの慣性モーメントをJとする．
(1) 重心の変位xと重心まわりの角変位θに関する運動方
程式を示せ．
(2) x方向とθ方向の振動が連成しない条件を求む．
(3) 固有振動数を求む．

84

85

４．３ 減衰系自由振動(4.3)式，Vector-Matrix表現した(4.9)式を考える．
(4.9)式は(4.7)式同様，斉次線形だから，前節と同じ解法でいける．
特性方程式；(4.37)式（cf．(4.18)式）．
λを求め（(4.38)），与式(4.34)式に戻って，X1=1としてX2をfix；(4.39)式．
よって，求める一般解は(4.40)式．ここでX**は未定定数（初期条件で決まる）．
表式変えて；(4.41)，
さらに，(4.40)⇔(4.43)式，(4.41)⇔(4.44)式のように書き換えられる．(4.42)が複素振動モードベクトル．
86

４．４ 強制振動
以下の章の議論でも同様だが，加える外力は多自由度系になっても同じωを持つ状況を前提にする．これは地震入力のような想定であり，各質量にてんでバラバラの周期を持つ外力が加えられる状況は考えない．
3.1.1 無減衰系強制振動
運動方程式；(4.45)式，複素表記して(4.46)式．

教科書の以下では，特解をどう求めるかが解説してある．
議論も強制振動の性質を観たいので，特解を議論しておけばよい．何度も書いたが；強制振動は非斉次だから，一般解は斉次形すなわち自由振動の一般解とここで求める特解の線形重合となる．
87

特解の求め方は，前に解説した線形微分方程式論によればよいのだが，2自由度形なので与式が連立方程式になっていてチトめんどう．ここでは，教科書のアプロー
チ法に依ろう．
以下，教科書では2通りの解法が解説されている．
【オーソドックスな方法】まず，求める特解を(4.47)式のように仮定する． (4.47)を与式に代入して(4.48)．これから
X1，X2をfixして(4.47)に代入すると(4.49)式を得る．ただし，(4.50)である．
【Vector-Matrixによる方法】本質的には上記を見た目，
エクセレントに行う手続き．(4.45)をVector-Matrix表式して(4.51)．解を(4.52)のように仮定．与式(4.51)にこれを代入して(4.53)．この両辺に[-ω2[M]+[K]]-1かけて，{X}をfix．
その結果を(4.52)に代入すれば，(4.54)式を得る．これは(4.49)に一致．
88

以下では，この特解の性質を議論．
(4.49)式を(4.55)，(4.56)式のように表記する．
教科書p.98には丁寧に解説してあるが，この特解の共振点を求めている．⇔(4.56)式の分母=0にするωを求めればよい；(4.57)．(4.58)の前後に書かれているが，要するに(4.57)の解ωは，系の固有角振動数ω1とω2となる．
応答曲線（振幅と外力の角振動数の関係）の例；図4.7．
図中の○；夫々の振幅がゼロになる角振動数ωa1，ωa2があることに留意（両者は同時には生じない）．

89

3.1.2 減衰系強制振動
これが最もフルに諸要素を考慮したバージョンだ．
運動方程式；(4.59)式，複素表記して(4.60)式．
特解の求め方；【オーソドックスな方法】(4.61)＋(4.62)式．
【Vector-Matrixによる方法】運動方程式(4.60)⇔(4.63)となり，解は(4.64)式．

90

Exercise 8-1
Exercise7-1に示した2自由度バネ質量系に図のように強制外力Fcosωtが作用する．m=1kg，k=1N/m、F=1Nのとき応答曲線の概略を描け．

91

92

Exercise 8-2
図のような同質量mの質点1と2が，3つのバネにより接続され，両端部が拘束されている．

変位をu(t)で表し，床面摩擦は無視する．

(1番目のバネが左側の壁に及ぼす力)＝－（1番目のバ
ネが質点1に及ぼす力）＝f1(t)=k･u1(t)93

(2番目のバネが質点1に及ぼす力)＝－（2番目のバネが質点2に及ぼす力）＝f2(t)=k’･(u2(t) –u1(t))(3番目のバネが質点2に及ぼす力)＝－（3番目のバネが右側の壁に及ぼす力）＝f3(t)=k･u2(t)
質点1と2に働く正味の力は； f1 t   f 2 t   ku1 t   k u1 t   u2 t 

 f 2 t   f 3 t   ku2 t   k u1 t   u2 t 
よって，運動方程式は以下となる．
m  u1  k  k   u1  k   u2 ･･･①m  u2  k   u1  k  k   u2･･･②
これは，教科書(4.1)式（図4.1）で質点を同質量に中央のバネだけ異なるバネ定数にした場合に一致する．
94

ここで，変数変換を考える．u1+u2（＝U1）すなわち①式と②式の辺々和を採る，-u1+u2 （＝ U2 ）すなわち②と①の辺々差を採ると，運動方程式は；d2
m  2 u1  u2   k  u1  u 2 dtd2m  2  u1  u 2   k  2k    u1  u 2 
dt

･･･③
･･･④

変数変換後の新たな変数U1とU2 は独立であり，運動方
程式③+④はもはや連立方程式でない．夫々，独立に求解すればよい．
この例のような，特別な2自由度系は適当な変数変換により1自由度系の問題に変換できる．独立になるような変換後の変数（座標）を基準（主）座標という．
95

４．５ 各種の2自由度系
1自由度系におけるハナシ（p.51～；スライド#49）と同様に例示．
代表的対象の運動方程式を確認しておく．
弦；(4.66)
はり；(4.74)
回転円板；(4.82)
直線運動と回転運動併存系；(4.84) ．

４．６ 動吸振器
主系に働く減衰力は無視．
4.6.1 無減衰の付加系の場合
運動方程式；(4.85)式．特解；(4.86)式．

96Normalizing parameterを教科書のように導入；(4.88)，(4.89)．
この無次元化の適否チェック；(4.89)で a  0 を代入す
ると確かに(4.90)となる→   1で X 0   となり共振するからok．
振幅応答曲線；図4.14；   1とすれば X 0  0 に制御すること（この点はp.98図4.7の振幅ゼロ点と同じ）が可能．
［どうしてこうなるのかの物理］(4.92-93)；主系に力が働かないから（なぜなら，付加系で(外力)=(バネ力)となるか
ら）．

⇒付加系が無減衰の動吸振器では質量比μが利かないから，質量は別因により適当に決めればよいことを示唆
している．
97

4.6.2 減衰のある付加系の場合
運動方程式；(4.94)式．特解を求め，その振幅；(4.95)式．
［極限のチェック］
ca=0で(4.87)式の無減衰をrecover．
ca→∞で(4.96)；質量m+maとし主系と付加系が一体化したと看做した1自由度自由振動（cf.(3.53)式）をrecover．
パラメータ減衰比ζaを導入して；(4.97)式．
振幅応答曲線；
まず，減衰比固定して図4.15→2つのピークともに小さくなる a が決められそう（図からは0.9くらいか）．
次に，減衰の影響図4.16→減衰比は大きくても小さくても振幅は大きくなってしまう．適切な減衰比が存在する．これの決め方；p.110以降に説明されている定点理論が有
効．
98

定点理論
図4.16で；①PとQで同じ振幅比を与える，②この2点P，Qにおける振幅比が極大を与える．
この②の条件は前スライド最後に書かれた図4.16から得られる考察に照らして必ずしも自明でないが，多分，②を満たすときに，最も振幅比が押さえられているのだろうと想像できる．
減衰比0と∞でもPとQは同じ振幅比⇔(4.98)→(4.99)①⇔(4.100)（但しζa=∞としている）→(4.101)
PとQを消去して(4.103)を得る．これに条件②を適用．
極大を与える減衰比として，最終的に(4.107)を得る（このプロセス，教科書の丁寧な記述を各自で追うこと）．
2つ出てくるが，この平均採って（(4.108)），減衰比と質量比の関係を特定できた．このとき(4.109)；質量比μ大ほど
振幅比最大値を抑えられるが･･･．Cf.図4.17．
99

100

101

Exercise 9-1

102

103

５．多自由度系の振動

多自由度系の無減衰自由振動の運動方程式；(5.1)．
Vector-Matrix表現し，粘性減衰を入れる；(5.7)式．
ここで，[M]；質量行列，[K]；剛性行列，[C]；減衰行列．
多くの場合，[M]は対角行列だが，一般に加速度の連成もいれて表現しておく．(5.8)にあるように[M]と[C]は対称行列．
(5.7)は線形である．また，外力なしとしているので自由振動系だ．

104

５．２ 自由振動の解析
粘性減衰項を入れる入れないは以下のハナシに本質的影響なので，(5.3)式すなわち無減衰多自由度
系自由振動の解析方法を論じる．
ハナシは2自由度系無減衰自由振動をVector-Matrix
表記でどうしたかを拡張すればよい（教科書p.87-88；
スライド#78-80）．
実際(5.12-16)までの流れは全く同じ．λを固有値，固有値を求める代数式を特性方程式という．
【remark】数学としては（線形代数では），Ax  x を満たすλを固有値とよんだから，(5.14)のλは当たらないように思われるが，固有値の本義はVector-Matrix
方程式の非自明な解を与えるパラメータの意味．
105

固有値と固有ベクトル（(5.17)式）を用いて(5.3)式の解（数学的には斉次方程式の一般解（であり特解でもある））を表式すると；(5.19)⇔(5.20)⇔(5.21)式．
要すれば，モードベクトルの線形重合で表現できる．
【例題5.2をref】
5.2.2 モードベクトルの直交性
2つのモード；rとsについて論じる．(5.13)に(5.18)を代入，(5.15)を適用すると，(5.22)式を得る．
ここで，前スライド（#105）で既往により皆が承知している数学の世界の固有値と些か異なる意味がある云々と説明したが，表式(5.22)は従来の固有値（ωr(s)2）と固有ベクトル（{φr(s)}）の表式そのままであることに留意．
106直交性；教科書の(5.22)から(5.28)式に至る丁寧な説
明を熟読玩味．すなわち，固有ベクトルは直交している．
厳密に言うと，対称行列[M]と[K]に関して直交している．単位元である単位行列[I]に関してこの関係が成り立っていれば，固有ベクトルのスカラー積がゼロになることを意味するから，モロに皆の知る”直交”に一致する．このように直交性は対称行列について概念を拡張できる．
（直交するように座標変換カマした基底が直交ベクトルなので，因果が逆で，当たり前の言明なのだが）．
107重要な性質；己自身は当然直交しない；(5.29)式．
モード質量，モード剛性→系の固有角振動数と一意に関係付けられる；(5.31)式．
(5.30)式；(5.23)に(5.29)を適用すると，代数的に導かれる．よって，(5.31)が導かれる．
モードベクトルの決め方；正規化条件として(5.32)を仮定すると，(5.22)と(5.30)から(5.33)となる；このとき定まるモードベクトルを正規モードベクトルと云う．
【例題5.3をref】

108

5.2.3 初期条件を付与して一般解中の未定定数を決める．
教科書p.127の丁寧な説明を熟読玩味．曰く，得られた代数方程式を解けば(5.20)式中のa*，b*をfix出来る．

モードベクトルの直交性を使うともっとエレガントに求まる；(5.38-39)．
←これこそが｢直交性｣のありがたさ（直交性なる概念を導入した意味）．

1095.2.4 エネルギーの考察
E=T+UでTは(5.40)，Uは(5.42)と表式される．
ここで，モードベクトルの直交性を使うと；(5.44)式
この意味するところ；各振動モードで定まる量だけで系の全エネルギーは決まる．つまり，各振動モードで定まる情報の線形重合により，系の全エネルギーは決まる．
初期条件で決まる運動エネルギーT0とポテンシャル
エネルギーU0は(5.45)式の最初の＝の右側．これにモードベクトルの直交性を適用すると，(5.45)式の最右側の項が出てくる．これに(5.44)式を勘案すると，初期条件で決まる全エネルギーで保存される，ことを言っている．
110

５．３ 強制振動の解析
粘性減衰項を入れる入れないは以下のハナシに本質的影響なので，(5.3)式すなわち無減衰系に外力を加えた系を考える．運動方程式は(5.46)式．
ハナシは2自由度系無減衰強制振動をVector-Matrix
表記でどうしたかを拡張すればよい（教科書p.96-99；
スライド#87-89）．
(5.46)を複素数表記して(5.47)．

(5.47)は非斉次線形なので，求めるべき(一般解)＝(斉次一般解)＋(与式(非斉次)特解)により求まる．斉次一般解は既に自由振動で求めている（例えば(5.19)）．
111

よって，あとは与式の特解を求めればよい．
が，これは一仕事だ．
なぜなら，このこと，すなわち(5.50)を解くことは[-ω2[M]+[K]]の逆行列を求めることを要請するから．

※斉次一般解を求める際に必要だった特性方程式を解いて固有値を求めること（(5.51)を解くこと）は前
節ではどってことないとした．なぜなら，ω2に関するN次方程式を求めればよいから．が，ここでは，逆行列を求めることは，それよりもっと手間が掛かるとしている．
これはチト出来ない相談→理論モード解析．

112

5.3.2 理論モード解析
斉次形（自由振動系）のモードベクトル{φ*}は求まっていることを前提にする．
(5.47)の解はモードベクトルの線形重合和で与えられるから；(5.52)→成分表示して(5.53)．これはxとζとの変数変換規則を意味している（x*→ζ*）．
よって，(5.47)を変数変換してζで表記すると；(5.54)．
ここで，直交性の性質を利用するのだ！
(5.55)→(5.56)⇔(5.57)．i.e.(5.58)式［教科書の(5.58)
式はtypoあり；左辺第2項のζの冠の･･はドットなしの間違いなり］．
兎に角，(5.58)式を得てみれば，これは各ζに関する2階の線形微分eq（右辺にexpがある非斉次型）だから，簡単に求解できる（→(5.59)式）．
113

{x}を物理座標，変換された{ζ}を基準（主）座標もしく
はモード座標という．特に{ζ}として正規モードベクトルを用いたときには，これを正規座標とよぶ．
例題Exercise 8-2（スライド#93）で説明したのは，ここでのハナシを2自由度系で質量が同じ場合に限定す
れば，もっと簡単になることを先走って論じたもの．

ハナシ元に戻って･･･(5.59)を(5.52)に代入して，結句，求めるべき特解として(5.60)式⇔(5.61)式が得られる．
※各モードにおける共振の様子も陽に看取出来よう．
ここで，説明した理論モード解析は，多変数逆行列を求めることなく，物理座標をモード座標へ変数変換して，直交性を旨く使って，強制振動の特解を求める方法である．実用上も重要．
114

Exercise 10/11-1 (for 12th class)
図のようなバネに支持された剛体の運動方程式をラグラ
ンジュ方程式により導出せよ．

115

T，U，Lを，夫々，運動エネルギー，ポテンシャルエネル
ギー，ラグランジュアンとする．
1
1 2
2

T  Mx  I
2
2
1
1
2
2
U  k1 x   1   k 2 x   2   Mgx
2
2

ゆえにL=T-Uをfixできる．本来，鉛直変位xと変位角θについて，夫々，立式する運動方程式だが，解析力学を思い出すと，普遍表式で表されるラグランジュ方程式と等価だった．つまり；   L   L  0
t  x x  L  L0
 t    

⇔











Mx  k1 x   1  k 2 x   2  Mg  0I  k x      k x      0
1

1

1

2



2



2

116

Exercise 10/11-2
図のような2重振り子の運動方程式を求む．但し，振幅は十分小さいとする．

117

118

119

Exercise 10/11-3
図のような無減衰2自由度系の運動方程式を求め，固有振動数，固有モードを求む．

120

121

122

123

Exercise 10/11-4
図のように，質量m，長さlの等しい2つの単振り子が弱い
バネkで繋がれている．
(1) 角変位θ1，θ2が小さいとして，運動方程式を示せ．
(2) 2つの固有角振動数，固有振動モードを求む．
(3) 初期条件としてθ1(0)=θ0，θ2(0)=0，dθ1/dt|t=0=dθ2/dt|t=0=0を与えたとき，自由振動応答
を求む．

124

125

126

127

128

Exercise 10/11-5
Exercise 10/11-3の系を前提とする．
(1) 固有振動モードの直交性を確認せよ．
(2) この系に適当な式変位を与えて自由振動させるとき，1次の固有モードのみ励起させるためには，どのような初期条件を与えればよいか．
(3) モード質量とモード剛性を求む．

129

130

(3) 前問131

６．連続体の振動
連続体の振動→波動方程式（双曲線型の線形微分方程式）；(6.4)式○教科書p.138はこの導出を与えている．
T0
θ
T0
θ
dx

sin   
図より，sin θ = S/T0
S ⇔ S = T0 sin θ = T0 θ = T0 du/dx；(6.1)式

du

図より，tan θ = du/dx
tan   

教科書では(6.1)の導入が唐突だが，上記で納得．あとはテーラー展開で(6.4)に至る．
p.139；境界条件
132

教科書における波動方程式；(6.4)の導出は今イチ．
小形「振動･波動」p.61-62では，多自由度系の運動方程
式の無限極限として波動方程式を与えていて，物理としてはそちらの理解が望ましい．
この教科書では例題6.1がそれを与えている．(3)式がuラ
プラシアンの差分近似であること（下記）理解すれば，その無限極限により(6.4)が得られることは納得だろう．

ui-1

ui

h

ui+1

h

さらに，この勾配（2次の微分に相当）を採ると；(ui+1-ui)/h(ui-ui-1)/hui 1  ui ui  ui 1

ui 1  2ui  ui 1
h
h

h
h2
133

(6.4)の解き方；時空間方向夫々の微分がある；偏微分
方程式である．
振動方程式の解法と同様に解の表式を仮定して，元式に代入して未定係数を求めるやり方でいく．
まず，uを時間の周期関数と仮定；(6.8)⇒(6.4)に戻ると(6.10)を得る．
次に，Uを空間の周期関数と仮定；(6.11)⇒(6.10)に戻る．
結句，Uに関しては(6.14)もしくは(6.15)なる解を得る［これを(6.8)に代入すればuを得る*］．
以下，(6.15)を採用して論を進める．未定定数C1，C2が非自明な値を持つ（ただしC1 =0）ために(6.18)の成立を要請する．結句，Uとしては(6.20)の表式を満たさねばならない；これモード関数（固有関数）．
さてさて，解の最終形（*）としては以上全てを反映させて，(6.21)もしくは(6.22)式を得る．
134

6.1.3 モード関数の直交性以上で観たように波動方程式は多自由度系振動方程式の素直な拡張（無限極限を採ったモノ）だから，モードベ
クトルに直交性があった如く，モード関数に直交性が成立することが期待されよう．
5.2.2（p.124／スライド#106）に倣って論を進める．
2つのモード；rとsについて論じる；(6.23)式．教科書の丁寧な記述を熟読玩味；部分積分を適用，境界条件を加味するな
どして，結句，(6.29)が導出出来る（cf.(5.27-28)）．
(6.31)式は多自由度系(5.29)第1式に相当．
(6.22)式の未定定数arとbrを初期条件を入れてfixする；(6.3336)式．ここでも直交性を旨く使う．
135

6.1.5 波動のエネルギー
E=T+Uとする．
T；教科書記述から(6.37)は納得だろう．
U；やや高級（テーラー近似を入れる）だが，p.149から(6.39)が導かれる．
得られたT，Uにuを代入して(6.40)式；これは，波動のエ
ネルギーはモードで決まる項の線形重合になっている（cf.多自由度系(5.43)／スライド#110）．
(6.40)でE=T+Uとると(6.41)；これは時間tに依存しない．すなわち，初期条件で決まるE0（(6.42) cf.多自由度系(5.45)）で保存される．

136

6.1.6 強制振動
運動方程式は(6.44)若しくは（複素数表記して）(6.45)式．
多自由度系の解法に倣って，解をモード関数の線形重合と仮定する；(6.46)．
元式に戻り，モードの直交性を利用すると，モード座標ζ
に関して独立な2階非斉次（右辺に外力項の影響が残る）常微分方程式が得られる．もはや偏微分eqではないので，これは容易に解けて（なぜなら夫々は1自由度の調和外力が作用する強制振動だから），(6.51)を得る．変数逆変換ζ→uして(6.52)式を解として得る．

137

６．２ はりの曲げ振動
教科書の丁寧な導出を熟属玩味せよ．
(6.53)；定義．
(6.54)；図6.11(c)のモーメントつり合いを丁寧に記述．
(6.54)に(6.53)を代入して剪断力Sを得る；(6.55)．
運動方程式は図6.10をrefして，切り出したピースに関して立式すればよく，(6.56)となる．
⇒最終形として(6.57)．空間4次微分が出てくる．
これは曲げだけでなくシアーを考慮するから．
境界条件；(6.58)．
支持端では曲げは拘束され生じない．変形もない．自由端では曲げもシアーも生じない．
138

(6.56)の解法；
例によって，特解の形状を仮定して，仮定中未定項を元式に戻ってfixするとの方針．(6.8)；u=U･exp(jωt)と仮定．

(6.59)ではtが消えている⇒(6.60)；Uのxに関する4次項を含む斉次線形微分eq．だから，一般解は特性eq解いた解をexpに持たせた項4つの線形重合で表記される．この導出は線形微分方程式論に依ってもよいが，教科書では，Uの形状を仮定して，仮定中の未定項を元式に戻ってfixする，との方法を再び適用．すなわち(6.11)；
U=A･exp(λx)と仮定．結句，(6.60)の一般解として(6.64)を得ている．別形として(6.65)式．
以下は境界条件に依る．ここでは，両方とも支持端139

以下は境界条件に依る．ここでは，両方とも支持端を仮定．
境界条件(6.66)を使って，(6.65)中の未定項（未定定数）
C1～C4を決めると，結句，Uとしては(6.71)を満たす形式を取らなければならない．これがはり曲げ振動のモード
関数；
図6.13に第1～3モードを示している．
(6.71)式によりUが決まったところで，元々の求解対象uは(6.72)もしくは(6.73)式のように決められる．
例題6.6は，固定端＋自由端のケース．端折って書いてあるが，フォローしておくこと．双曲線関数（cf．スライド#3-4）が出てくる．固有値を求める特性方程式として4×4の行列式が出てくる．他テクニックを駆使している．
140

6.2.3 モード関数の直交性
波動方程式における議論6.1.3（スライド#135）と同様に論を進める．

2つのモード；rとsについて論じる；(6.74)式．
教科書の丁寧な記述を熟読玩味；部分積分を適用，境界条件を加味するなどして；(6.79)式が導出出来る．
波動eqでは(6.29)に相当，多自由度系では(5.27-28)に相当．
また，(6.81)式が導かれる．
(6.81)式は波動eqでは(6.31)に相当，多自由度系では(5.29)に相当．
(6.82)は波動eqにおいては(6.32)に相当．

6.2.4 エネルギーT；(6.83)式．U；(6.85)式

141

６．３ 膜の振動
教科書p.163に導出されているが，結句，運動方程式は(6.87)式となり，これは2次元の波動方程式に外ならず，膜が2D波動である吾らが直感と一致する．
6.3.2 自由振動の解析
解Uを(6.90)のように仮定．キモは2DなのでUの形状としてX･Yと未定項の積を仮定すること．(6.94)が恒等的に成り立つために，(6.96)の成立を要請．xとy夫々に満たすべき要件；(6.98-99)が決まる．結句，モード関数が(6.101)のように導かれる．
解は，(6.102)，別形として(6.103)式．
6.3.3 モードの直交性を確認／6.3.4 エネルギーを確認．
142

Exercise 13/14-1 (for 15th class)
長さlの弦の端からsの一でaのたわみを与えて放した．連続体と看做した弦の自由振動を求む．但し，自由振動解
を；i
wx, t    sin
i 1

x Ai cos i t  Bi sin i t となせ．［教科書 例題6.4の類題］

143

144

145

Exercise 13/14-2
固定端はりの振動数方程式と固有モードを求む．

146

147

Exercise 13/14-3
長さlの両端自由はりの中央点をPcosωtで加振したときの応答を求む．

148

149

150

Exercise 13/14-4
両端単純支持はりのはり全長にわたってたわに方向に初期速度vを与えたときの自由振動解を求む．

151

152