食連星の物理量についての考察
佐々井祐二*A Note on the Physical Quantities of Eclipsing Binary Stars
Yuji SASAI
In the research activities of high school students, they derive the period of luminosity variation from the light curve ofeclipsing binary stars and often consider the aspects of the eclipsing binary stars in phenomenological terms. In addition tothe period of luminosity variation, what physical quantity may be drawn from the light curve? From the photometric andspectral data of eclipsing binary stars, we can also obtain physical quantities, such as the temperature ratio, the radius ratio,
and the mass ratio of binary stars, as well as the binary star distance. In simple assumptions, these can be understood in theknowledge of high school earth science. In this article, we discuss the physical quantities of eclipsing binary stars, and thefield of astronomy in high school earth science.
Key Words : Eclipsing Binary Star, Earth Science, High School

１．緒

言

２．食

著者の研究室では，3 年自発的学習科目「チャレンジゼミナール」の学生約 10 名と共に公開講
座「天体観測会－君も未来のガリレオだ！－」を
年 4，5 回開催する他に，短周期型食連星の測光観測及び分光観測に取り組んでいる 1)．2014 年 3
月に開催された日本天文学会ジュニアセッション
では，学生の一人が題目「短周期食変光星の測光観測」にて，V1191 Cyg と V0523 Cas の観測と解析について報告した．
食連星の光度曲線から変光周期の他にどのような物理量が引き出せるのか？ 光度曲線の形状を説明するモデルを考える定性的な手法以外に基礎的な知識で何ができるのか？ 調べていく内に，
第 38 回国際物理オリンピック イラン大会の Pink
問題 2)と出会った．そこには連星の測光観測および分光観測，星の一般的特性から，連星の変光周期，温度比，半径比，質量比，重心のまわりの公転角速度，重心からの距離，軌道速度，質量，輝度，地球からの距離・視差についての問題がある．
これらの内容は高校地学の知識でほとんど理解できるものである．
もちろん，連星は天文学の一つの学問分野になっているので，高度な内容があるが，本稿では簡単な仮定を置き，高校生レベルで計算ができる物
理量をまとめたい．
原稿受付 平成 27 年 10 月 7 日

連星２－１．食連星の一般論 3)-6)
2 成分星から成る連星には主星と伴星がある．
この成分星が重力により影響し合うことによって，図 1 のように重心のまわりで軌道運動をしている．
図 2 のように地球から見て，2 つの成分星が互いを隠しあう場合には変光する．これを食連星という．

図 1 連星の運動（主星，伴星から重心までの距離をそれぞれࢇ૚ ，ࢇ૛ としている）

図 2 視線方向から見た食連星連星間の距離は様々だが，接近して相互作用を及ぼし合うものを近接連星という．近接連星では互いの重力相互作用によりつぶれて楕円体のよう＊専門学科共通科目 sasai@tsuyama-ct.ac.jp− 145 −

津山高専紀要

第５７号

な形をしており，自転による光度変化が近接効果として光度曲線に現れる．
成分星の進化が進み，核融合の燃料である水素が枯渇してくると，膨張して温度も下がり，主系列星から赤色巨星になる．2 つの成分星の勢力圏の境界である臨界ロッシュ面を超えて膨張してくると，ガスが相手の成分星に流入を始める．
近接連星は図 3 のように，コパールにより 3 つに分類される．連星を構成する成分星が両方とも臨界ロッシュ面を満たしていない分離型，片方の成分星が臨界ロッシュ面を見たしている半分離型，両方の成分星が臨界ロッシュ面を満たし，互いのガスが内部ラグランジュ点を超えて共通大気を持つ接触型がある．
天体の 1/3 が連星と見積もられている．特に近接連星からは質量や半径などの様々な物理量を引き出すことができ，天文学における重要な情報源となっている．

（２０１５）

３．食連星の測光観測
図 1 のように 2 つの成分星が一定の角速度で共通重心のまわりを円運動し，我々は連星系の軌道平面上にいる（軌道面傾斜角 = 90∘ ）ものとする．
主星を記号 1，伴星を記号 2 で表す．主星，伴星の星の表面温度はଵ とଶ （ଵ > ଶ ）であり，半径はଵ とଶ （ଵ > ଶ ）であるとする．

図 4 食連星 V0523 Cas の光度曲線

図 3 連星のコパールによる幾何学的分類（平面上で 8 字型に見える曲線が臨界ロッシュ面を表す）

２－２．高校生が行っている食連星の研究一般的な高校生の活動として，学校あるいは天文台にて食連星を測光観測し，天体の撮影画像（ライトフレーム）から暗電流のみの画像（ダークフレーム）を減算し，周辺減光の影響排除のためフラットフレームで割ることからなる一次処理を行う．この一次処理済のデータから光度曲線（ライトカーブ）を作成し，変光周期を求め，連星系成分星の大小関係，距離，公転面上に地球があるかどうか，現象論的に考察する．
連星系の具体的なモデルを粘土等で考案し，地球から見た場合の光度を推定する高校生グループもある．また，食連星のモデルを考え，コンピュータシミュレーションで光度曲線を説明するグループもある．沢山の食連星を測光観測する作業も大変ではあるが，光度曲線を説明できる食連星のモデル考案が主流である．
天文台等の協力で，食連星の分光データ取得のできたグループは，光のドップラー効果により，各成分星の速度計算をしている．

縦軸を等級あるいは等級差，横軸を時刻とする
通常の光度曲線ではなく，図 4 は縦軸を比較星のカウント値に対する食連星のカウント値の比で表したものである．これは 2013 年 10 月 13 日に観測した V0523 Cas の光度曲線である 1)．
(1) 変光周期
連星系の共通重心のまわりの成分星の公転周期は次の変光周期により得られる．光度曲線の極大部分と極小部分それぞれを曲線で近似し，その極大時間と極小時間を求め，この極大周期と極小周期の平均を変光周期とする．図 4 の光度曲線から
V0523 Cas の公転周期は 5 時間 40 分程度と見積もった．
(2) 角速度角速度ωと周期 T の関係式 ω = 2⁄ から求めると，V0523 Cas の共通重心まわりの角速度は3.1 × 10ିସ rad/s と見積もれる．
(3) 半径比と温度比 2)

図 5 食連星の視線方向からの見え方星の単位時間，単位面積当たりに表面から放出されるエネルギーE が温度 T の 4 乗に比例するシュテファン・ボルツマンの法則 E= σ ସ を用い，周辺減光を無視し，地球方向に均一な放射がある− 146 −

食連星の物理量についての考察という簡単化のための仮定を置くと，図 5 を参考にして，最大光度は()

I 0 = σπ R12T14 + R 22T 24 ，

(1)

主極小時の光度はI 2 = σπ{( R − R )T + R T } ，
2122212242(2)副極小時の光度はI 1 = σπ R 12 T 14(3)である．
極大に対する副極小と主極小の光度比を，それぞれα = ଵ ⁄଴ ，β = ଶ ⁄଴ とすると，最大光度の副極小に対する光度比は2佐々井Δλ V≅
λc(7)により，その天体の地球から見た視線速度 V が求まる．
主星と伴星の両方のスペクトルを観測できる場合の連星を二重線分光連星といい，明るい主星のスペクトルしか観測できない場合の連星を単線分光連星という．図 6 のように縦軸に視線速度，横軸に時間あるいは位相をとったグラフを視線速度曲線という．

4⎛ R ⎞ ⎛T ⎞I0
1=1 + ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ，I1⎝ R 1 ⎠ ⎝ T1 ⎠ α(4)主極小の副極小に対する光度比は224⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞ ⎛T ⎞I2β=1 −⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ =I1⎝ R1 ⎠ ⎝ R1 ⎠ ⎝ T1 ⎠ α

図 6 食連星の視線速度曲線の例(5)となる．
この式を半径比ଵ ⁄ଶ ，温度比ଵ ⁄ଶ について解
くとR1α，=R21−βT1 4 1 − β=T21 −α(6)を得る．V0523 Cas の場合は，α = 0.63，β = 0.58
より，ଵ ⁄ଶ ≈ 1.2 ，ଵ ⁄ଶ ≈ 1.0 となり，主星の方が伴星よりやや大きく，温度はほとんど変わらないという結果が，数値的に確かめられる．

４．食連星の分光観測 3)-6)
分光観測では，天体望遠鏡に取り付けた分光器の焦点に CCD カメラを置き，天体のスペクトルを撮影する．輝線の波長が分かっている比較光源のデータを用いて，撮影スペクトルの波長同定を行う．
連星は共通重心のまわりを回転し，主星が遠ざかるときは，伴星は共通重心のまわりを回転するという意味で，地球に近づく．従って，光のドップラー効果により，連星から得られる光のスペク
トルは，地球から遠ざかる場合に比べ，近づく場合は波長が短くなる．
天体の大気中の原子による特徴的な吸収線（例えばナトリウムの線スペクトル）の波長λの静止系に対するシフト量λを計測すれば，ドップラー効果

本稿で考察している成分星が共通重心のまわりを円運動し，軌道面傾斜角が 90°の場合では，成分星の視線速度曲線は正弦曲線状になる．図 6 は二重線分光連星の場合の視線速度曲線の例である．
測定される主星，伴星の視線速度をそれぞれ ଵ ，ଶ ，周期を P とすると，成分星は円運動するのでV1 =2π a 1，P

V2 =2π a 2P(8)の関係がある．この式より，連星系の重心から成分星までの距離 ଵ ， ଶ ，連星間の距離 = ଵ + ଶが求まる．
ケプラー第 3 法則は

a3G(9)=(m 1 + m 2 )P 2 4π 2である．ここで， G は万有引力定数である．
ଵ ， ଶ は重心から成分星までの距離であることと，式(8)と(9)を用いると主星の質量はm1 =m1 + m 2
4π 2 a 2a2 =a2aG P2221 ⎪⎧ 2π ( a 1 + a 2 ) ⎪⎫1= ⎨(V 1 + V 2 ) V 2 P⎬ a2 =2π GG ⎩⎪P⎭⎪(10)となり，周期と成分星の視線速度が分かれば，質量を計算できる．同様にして，伴星の質量はm2 =21(V 1 + V 2 ) V 1 P
2π G(11)となる．質量比については，直接計算しなくても，成分星の視線速度を用い，角運動量保存則より求− 147 −津山高専紀要

第５７号

めることができる．
観測される大半の食連星である単線分光連星の場合は，伴星の視線速度 ଶ が分からない．主星の視線速度 ଵ と変光周期 P のみ分かるので，式(8)と(9)を用いると

V13 =プラーの法則，シュテファン・ボルツマンの法則などを組み合わせると本稿３～５章の内容は理解できるのではないかと考える．
表 1 啓林館高等学校理科用教科書「地学」の食連星関係の内容

8π 3 a13 8π 3m 23a3=
33P (m1 + m 2 ) P 2P=

m 23
8π 3G(m 1 + m 2 )3P ( m 1 + m 2 ) 4π 2

=

m 23
2π G
P ( m 1 + m 2 )2（２０１５）連星とその質量分光連星
食連星（参考）ドップラー効果
連星の質量（例題）恒星の質量
恒星の密度(12)より，質量関数f (m 1 , m 2 ) =m 23(m 1 + m 2 )=2PV132π G(13)が分かる．

５．質 量 光 度 関 係
質量の大きな恒星ほど明るく輝く．恒星の質量とその輝度（単位時間あたりの全放射エネルギー） との間に経験的関係式の質量光度関係α⎛ M ⎞=⎜⎟L S un ⎝ M S un ⎠L(α = 3 :～ 4)(14)がある．これより，連星系の成分星の質量 ଵ とଶ に対応する主星，伴星の輝度 ଵ と ଶ が推定できる．
連星が地球から距離の位置にあるとすると，連星の最大光度଴ は

I0 =

L1 + L 2
4π d 2(15)L1 + L 2
4π I 0(16)となる．これより，地球から連星までの距離d=が求められる．

６．高 校 地 学
高校地学の天文分野の内容を啓林館，数研出版，東京書籍の教科書について調べた．「地学基礎」のみで「地学」の教科書を用意していない出版社もある．ここでは食連星関係が詳しい啓林館の教科書の内容を紹介する 7)．
「地学基礎」（地基 303）には食連星の記述はな
い．「地学」（地学 301）には表 1 の内容が紹介されている．この他，天文分野で紹介されているケ

実際，著者が担当した平成 26 年度の津山高専 3年チャレンジゼミナールの学生は，第 38 回国際物理オリンピック イラン大会の Pink 問題や教科書「地学」の食連星分野について，ゼミを通じて理解することができた．必要性の有無は別にして，学習するかしないかであろう．
高専の理科では主に物理，化学を学習する．津
山高専では平成 28 年度の学科改組から生物を学習する．しかし，全国的に地学を履修する高専生は皆無だと考えられる．では，高校生の地学履修状況はどのようになっているであろうか．
高校地学履修者が少ないことが危惧されて久しいが，大学入試センターによると，平成 27 年度
センター試験受験者数 530,257 人の中で，物理基礎と物理の受験者合計 142,482 人，化学基礎と化学の受験者合計 263,559 人，生物基礎と生物の受験者合計 184,927 人に対し，地学選択者はかなり少なく，地学基礎（41,617 人）と地学（1,992 人）の受験者合計 43,609 人であった．つまり，食連星を高校授業で学習する可能性がある生徒は 4 万人強と非常に少ないことが分かる．
かく言う著者も，大学と大学院で物理系を専攻したにも関わらず，卒業した普通科高校では設定がないため，地学を学習していない．今，改めて地学の教科書を見ると大変興味深く，高校生や高専生も興味を持って学ぶのではないかと感じる．

７．結言

本稿では成分星が共通重心のまわりを円運動し，軌道傾斜角が 90°の場合の物理量を考察した．しかし一般的には，連星は 90°以外の軌道面傾斜角をもち，離心軌道のため軌道離心率をもつ．導出した物理量の公式を軌道面傾斜角 i と軌道離心率e を含めて書き直すことは，高校レベルからさほ− 148 −食連星の物理量についての考察

ど逸脱しない．
測光パラメータを仮定して理論光度曲線を計算し，観測光度曲線との差を調整して計算を繰り返し，ベストフィットするような 1 組のパラメータを決定する方法を光度曲線合成法という．測光パラメータとしては，成分星の質量比 = ଶ ⁄ ଵ ，軌道面傾斜角 i，成分星間の距離に対する成分星の 相 対 半 径 比 ଵ ， ଶ ， 成 分 星 の 表 面 温 度 比 量 比ଶ ⁄ଵ がある．
２章で述べたように，近接連星系の場合は次の近接効果がある．一方の成分星が相手の成分星から受ける輻射は，表面大気が輻射平衡状態にあるため，吸収されてから再放出されるという反射効果がある．楕円体の天体で高速回転する場合，遠心力により赤道では表面重力が弱くなり，極に比べ暗く冷たくなるという重力減光効果がある．また，恒星表面で中心から縁に向かうにつれて，赤みを帯び暗くなる周辺減光がある．これらの近接効果を含めて光度曲線を計算する必要があり，数値計算コードとしては Wilson-Devinney 法が主流である．高校レベルからはかけ離れてしまうが，指導者次第かも知れない．
今後は，本稿の内容を実際の近接連星の測光観測データおよび分光観測データに適用したい．次に，軌道面傾斜角，軌道離心率，近接効果を考慮

佐々井

した高校レベルで対応可能な物理量の導出方法をまとめたい．さらに，高専低学年生（高校生と同年齢）と共に Wilson-Devinney 法を用いた計算機シミュレーションによる近接連星系の物理量の導出を目指したい．
なお，本調査は科学研究費補助金（佐々井，23501047）を受けて行ったものであり，ここに謝意を表します．また，地学の教科書見本をご提供くださった啓林館，数研出版，東京書籍様に深謝いたします．
参 考 文 献1) 佐々井祐二，岸部仁美，大嶋真以：短周期食連星の測光観測，津山工業高等専門学校紀要，第 56 号 (2015) pp.71-76.
2) 第 38 回国際物理オリンピック イラン大会 Pink 問題：
http://www.jpho.jp/syllabus_w.html．
3) J. Kallrath and E. F. Milone : Eclipsing Binary Stars: Modelingand Analysis, Second Edition, Springer (2009).
4) 北村正利：宇宙物理学講座 第 2 巻

連星―測光連星論―，ごとう書房 (1992).
5) 野本憲一，定金晃三，佐藤勝彦 編：シリーズ現代の天文学

恒星，日本評論社 (2009).

6) 中村泰久：恒星の質量，半径などの導出過程を学ぶ，研究会「太陽物理学と恒星物理学の相互交流と将来的展望」収録 (2011，東京大学) pp.36-38.
7) 磯崎行雄，江里口良治 編：文部科学省検定済教科書− 149 −

等学校理科用高地学（地学 301），新興出版啓林館 (2013).