目的物探知の確率モデル
Probability Model for Detecting Objects

矢田部 学＊
Manabu Yatabe

捜索理論は「潜水艦探し」を目的として第二次世界大戦中に基礎が築かれた。その理論は確率モデ
ルをベースとして体系化されている。捜索理論はオペレーションズ・リサーチ（OR）の一分野とみなされる。戦後爆発的に発展した他のOR分野とは異なり、捜索理論は、その目的が特定の分野に限られていたために、少数派により研究されてきた。そのために、一般に知られることはあまりなかった。
本レポートでは、捜索理論の基礎概念（探知確率、探知ポテンシャルなど）について概観する。
A foundation of

search theory

was built for the purpose ofsubmarine hunting

during WorldWar II.The theory is formulated by probability models and is regarded as branch of operations
research（OR）.In the postwar period, many areas of the OR have been developed explosively.On thecontrary, the search theory has been researched by minority expert groups due to the purpose
restricted to specific areas.Therefore it has been little known to the general public.We review thefundamental concepts（detection probabilities, potentials, etc.）of the search theory in this report.

日常生活にも応用範囲が広いと考えられる。また、将来

1．まえがき的に人類が地球上から宇宙空間などに活動範囲を広げた

長い間、人類は生活の中で「物探し」という行為を繰場合、新たな応用の可能性もある。今後、いろいろな分り返してきた。物探しの基本は「ありそうな所を探せ」

野に捜索理論が適用され、発展していくことが期待されである。しかし、これが科学として体系化されたのは最る。

近のことである。物探しの理論、すなわち捜索理論はオ

本稿では、筆者が文献（3）に基づいて、捜索センサーペレーションズ・リサーチ（OR）の一分野として、第二の探知確率や区域捜索など捜索理論の基礎概念について次世界大戦中の「潜水艦探し」から生まれ、それは確率整理した私的メモの一部を紹介する。

モデルに基づいて体系化された 。米国はこの理論に基（1）

2．捜索センサーの探知能力モデル

づ き 独 海 軍 の Uボ ー ト（ 独 語 ： 潜 水 艦 das U-Boot，

捜索センサーの探知能力を特徴づける概念について述

Unterseeboot）の捜索に大きな成果をあげた。戦後まもなく、この研究内容は出版され、この分野の古典となっべる。ている（2）。
その後、捜索理論は、その研究目的が軍事などの特定

2.1

瞬間探知確率分野に限定されていたため、少数派により研究されてき捜索センサーの能力は「センサーからどの程度離れたた。そのために、捜索理論は他のOR関連分野（数理計画、目標を、どの程度の確率で探知できるか」により評価さ統計・データ解析、待ち行列、ゲーム理論など）が成しれる。センサーから遂げたような爆発的発展から取り残された。

間

この事情はわが国においても同様で、孤立した分野との距離にある目標を、微小時捜索したときの探知確率は捜索時間盧いう感がある。現時点で、入手可能な書籍は、飯田・宝崎による「改訂捜索理論（2003）」くらいである 。これと記す。この比例定数

は、捜索理論を数理科学として体系化し紹介したもので、確率を表し、「瞬間探知確率」という。

（3）

この分野の内容を「ちょっと知る」のに便利で貴重な本である。
他方、捜索理論の適用範囲は「物探し問題」であり、＊鎌倉事業部 第一技術部（博士（理学））に比例すると考えては、単位時間当たりの探知「単位時間当たり」という表現には注意を要する。
ならば、は単位時間当たりの探知確率である。しかし、これが１を超えると探知確率としてMSS技報・Vol.17

24

の意味を失う。つまり、盧の表現は微小な時間内で成り立つ。したがって、一般に積分の有限時間長である必要があるのでの蘯は確率の意味を持たない。なぜならば、有限時間で積分すると１を超えてしまうことが起こでなければならない。

るからである。後で述べるように、この積分は「探知ポテンシャル」としての意味をもつ（第2.2節を参照）。
瞬間探知確率を「距離-探知確率」で表す。典型的な場合を図１に示す。タイプIは距離内では確実に探知

2.1.2

不完全定距離発見則

微小時間で探知し、の捜索で距離が以内では一定確率より離れると探知しないとしたモデルを（確率１）される。タイプIIはセンサーの近傍では探知「不完全定距離発見則」という。これは図１のタイプIIIしにくく、距離の極端な場合である。近距離の探知確率が小さいセンサで最大となる。そして、タイプIIIはーはこのモデルで近似できる。

センサーの距離とともに探知確率が下がる。
瞬間探知確率は、センサーが捜索空間を連続的に捜索盻する場合のモデルである。センサーが離散的な捜索を行なうときの探知確率を「瞥見（べっけん）探知確率」といの場合、う。本稿は連続センサーに限定して、その考え方を述べ（式蘯のように考える。
）→∞とすれば完全定距離発見則となる。

る。したがって、この瞥見確率については、他の文献を2.1.3（3）参照されたい（例えば、飯田・宝崎、2003）。

距離-探知確率の数学的な表現を「発見法則」という。

逆３乗発見則

目視の探知モデルは「逆３乗発見則」で表現可能であると言われている。これは、瞬間探知確率は目標物の大以下に、代表的な発見法則について述べる。

きさ（目標物がセンサーに対して張る立体角）に比例す2.1.1るという考え方である。逆３乗発見則は図１の距離-瞬

完全定距離発見則

目標-観測者間距離が以内では必ず探知し、より離れると探知しないとした距離-探知確率曲線を「完全定距離発見則」という。これは、図１のタイプIの極端間探知確率曲線のI型及びIII型を近似する。
図２のように面積ている場合、面積の目標物を高度から見下ろしの視線 に垂直な投影面積はな場合と考えられる。近距離における探知確率が大きなセンサーについてはこのモデルで近似できる。
したがって、目標物がセンサーに対して張る立体角
盪のとき、が微小時間は、としてについて成り立つためにはセンサーのとき

より目標物相対距離
図１25

距離─探知確率図２

逆３乗発見法則の説明

瞬間探知確率は目標物の張る立体角に比例すると仮定すると、比例定数を としてしたがって、時刻0から時刻 までに目標を発見する探知確率

はとおくと

眄
眈

は目標物及び環境条件によって定まるパラメーターで

ここで、時刻0から時刻 に至る経路の探知ポテンシ

ャル

ある。
2.1.4

眩
逆を導入すると、探知確率眄は乗発見則

眤

瞬間探知確率が距離の単調減少関数で、至近距離の探知が確実な瞬間探知確率

これより、探知ポテンシャルは確率でモデル化できる。２つのパラメーター（，が増大すると、探知は１に近づくことがわかる。また、第2.1節

眇で述べた瞬間探知確率）は、として探知ポテンシャルは定義される。の有限時間にわたる積分センサーの種別、目標物、環境条件などによって決まる。
眇でとおくと、逆３乗発見則になる。また、[探知ポテンシャルの加法性]
探知ポテンシャルは「重ね合わせ」が可能である。図の極限では４のように、相対経路これにを乗じると、を二つに分解してとすると、それぞれの経路における探知確率は以下のよに対してなので、連続センサーの完全定距離発見則盪になうになる。

る。したがって、逆 乗発見則は、特殊なケースとして逆３乗発見則と定距離発見則を含む一般的な法則と考えここで、経路ることができる。

で目標を探知するということは、、の少なくともいずれかで探知することを意味するか
2.2

ら、余事象についての確率を考えて探知確率と探知ポテンシャル座標原点がセンサーに固定された「センサー座標系」からみた目標物の運動を考える（図３）。相対経路を目標が相対速度で運動している。時刻

目標物の位置ベクトルを距離上におけるテンシャルの加法性）を得る。とする。にある目標を時間が成り立つ。これを眤と比較すれば以下の関係（探知ポの間スキャンしたとする。時間的に重ならない探知が互いに独立と仮定すると、時刻 までに目標を探知しない確率は以下をみたす。
ここで、は確率で、瞬間探知確率をの捜索で目標を探知しないとすると、である。したがってとすると初期条件のもとに解くと（最初は目標を0％しか探知できない）

センサー
図３

センサー座標系からみた目標の運動

MSS技報・Vol.1726

センサー
探知圏

ー2サセン

センサー
横距離センサー1
図４

探知ポテンシャルの加法性のときこの加法性は、経路とに沿う探知ポテンシャルがのセンサーの合成についても成り立つ

（図４）。
図５

2.3
2.3.1

横距離

横距離探知確率と有効捜索幅
横距離探知確率探知ポテンシャル眩は一般的な曲線経路よい（図７を参照）。
について定義されている。現実問題では、センサーから見ると、

2.3.2

有効捜索幅

目標物は長時間、直線運動をする場合が多い。そこで、

横距離 の分布は目標物の分布を意味し、これは確率相対経路を直線経路に限定してモデル化しても差し支え変数と考えることができる。この の分布が一様、すなない場合がある。相対経路を直線経路に限定すれば、探わち目標が一様分布しているとき、横距離探知確率曲線

知ポテンシャルはセンサーからの最接近距離（CPA距離，の下の面積はClosest Point of Approach）で表される。このCPA距離眥を「横距離」という。
ここで、横距離 を通る直線を考え無限遠から接近しである（図６）。ここで、これと等価な面積を持つ高さ１、無限遠に去っていく目標を考える（図５を参照）。この目

幅標の探知確率を「横距離探知確率」

全定距離発見則に従うセンサーの横距離探知確率を表しといい、以下で定義する。の長方形を考えると、これは探知レンジている（式盪より、探知レンジ
眞

ただし、眩よりの完内にある経路上で横距離探知確率は１、それ以外では0）。したがって、面積は完全定距離センサーの探知レンジ幅を表す。

すなわち、眞はセンサーから測って横距離 の位置に置かれた無限長の直線経路上のどこかで目標を探知する確率を表す。

である。この意味でを「有効捜索幅」という。

いま、静止目標が単位面積あたり密度 で一様に分布

また、眞の定義では、無限長の直線経路を考えている。

しているとする。この空間を横距離探知確率有限の大きさの探知可能圏を考える場合は、探知可能圏センサーを用いて捜索速力 で目標を捜索するものとす内の直線経路で積分して探知ポテンシャルを算出すればる。十分長い時間

27の間に、横距離のの区間を通過する目標数はである。このうち[計算例]

が探知ポテンシャルを具体的に評価して、探知確率を算探知されるから、 の全域で探知される目標数の期待値出した例を示す。図７に示すような長方形（大きさは以下のように表せる。

）の領域を考える。この領域に外部から進入する物体があるとする。このとき、この進入物体が探知される確率について考える。

つまり、一定の捜索速力で目標空間を１回捜索するとき、以下の条件で、センサーからのCPA距離 の位置を通探知される目標数の期待値は、横距離探知確率曲線の形状に関係なく、有効捜索幅過する物体の横距離探知確率をモデル化する。に比例する。

すなわち、上述のような「区域捜索」では、センサーの蘆センサーの探知法則は逆３乗則に従う。

探知能力を表す特徴量として、横距離探知確率の代わり

蘆センサーは領域内の位置に有効捜索幅

蘆センサーの探知レンジはを用いることができる。

蘆進入物体がに設置されている。
である。に平行に速力 で進入し、進路は変更しない。
蘆進入物体の監視は、センサーに初探知されてから1領域を離脱するまで（図７秬参照）、または探知レン等面積ジを離脱するまで（図７秡参照）行なう。
蘆この監視時間に基づいて横距離探知確率を評価する。
まず、センサーの探知法則は、眈より以下のように表される。

眦0

図６

有効捜索幅と横距離探知率曲線の関係

進入点

離脱点
0（a）

（b）

センサー探知圏センサー探知圏00

図７

センサー位置と捜索領域

MSS技報・Vol.1728ここで、である。また、逆３乗発見則の係数はで表されることを用いた（3）。

次に、眦を積分して探知ポテンシャルを求める。
秬だだし、のときで進入物体はセンサーの位置に到達することを考慮して、積分区間はこのケースはセンサーの探知範囲が離脱点を越えて下る。としていとおくと方まで広がっている場合である（図７秬を参照）。
眷
これは、（i）の結果において、これは以下のように評価される。

する。

（i）

秡のときとおくととしたものに一致のとき

このケースはセンサーの探知範囲が離脱点を越えない場合である（図７秡を参照）。
積分範囲はとなるので

眛
秬の評価と同様にして（i）
ここで、のとき、（ii）のときとなる。
眸のとき
なので

（ii）のとき
ケース１

進入経路

50
40

S2
センサー配置10S1

S1：（20, 10）
S2：（40, 40）
S3：（60, 10）

S380

0

ケース２

ケース３

センサー配置センサー配置S1：（15, 10）
S2：（40, 40）
S3：（65, 10）

S1：（10, 10）
S2：（40, 40）
S3：（70, 10）

図８29

数値計算例

睇

で与えられる（図９参照）。

探知ポテンシャル眛、眷、眸、及び睇を用いると横距
3.2

離探知確率はカバレッジファクター

有効捜索率は、捜索ビークルの単位時間当たりの捜索睚

能力を表す特性値であるが、有効捜索率で算出できる。
進入物体が探知される確率を睚に基づいて調べてみる。

がのビークル時間捜索した場合、捜索領域をどの程度捜索した領域の大きさを a ＝80km、 b ＝50kmとする。探知レンか（捜索の割合）を表す量として、「カバレッジ・ファク

ジター（coverage factor）」CFがある。

＝20kmのセンサー３個（S1，S2，S3）を以下のよう有効捜索率に領域に設置する（図８参照）。
ケース１

S1：（20，10） S2：（40，40） S3：（60，10）

ケース２

S1：（15，10） S2：（40，40） S3：（65，10）

ケース３

S1：（10，10） S2：（40，40） S3：（70，10）ケース１と３は、センサーの探知範囲が離脱点を越えを、のビークルが、面積の領域時間捜索したときのカバレッジファクターは睨である（図９参照）。ている場合で、探知ポテンシャルは眛と眷で算出される。
他方、ケース２は、センサーの探知範囲が離脱点を越え3.3

区域捜索の探知確率モデルない場合で、探知ポテンシャルは眸と睇による。このと有効捜索幅、有効捜索率、及びカバレッジファクター

きの探知確率睚を示したものが、図８のケース１から３を用いる具体例として、区域をランダム捜索するモデルである。

について考える。
静止目標が領域（面積ケース１の横方向のセンサー配置では10＜ ＜70では）に存在する確率は一様分布

高い確率で探知されるが、その外側では探知確率は急激に従うものとする。捜索者は有効捜索幅、捜索速に下がる。したがって、物体が領域の両端付近から進入度 でランダム捜索をすれば、センサーに探知されずに通過できる可能性が高のとき、眤の導出と同様にして、時刻 までの目標の未くなる。

発見確率を時間実施するとする（図10）。ことすればケース２と３は、センサーS1とS3を領域の外側にずらした場合である。ケース２では、どのような位置 で物体が進入しても、およそ70％以上の確率で探知される。

が成り立つ。これよりケース３では、どのような位置 でも90％以上の確率となる。だだし、ケース２と比較して ＝25km及び55kmを得る。初期条件付近の確率が少し下がる。

間

3．捜索システムとしての探知能力の目標探知確率のもとに解けば、捜索時はこれまではセンサーの探知能力について述べてきた。
しかし、通常の捜索は、航空機で海域を捜索する場合の捜索領域ように、センサーを搭載したビークル（航空機や船舶のような移動可能物体）を用いて行なわれることが多い。

有効捜索率（捜索面積／単位時間）：

ここでは、センサーとビークルより成る捜索システムの能力について述べる。
3.1

有効捜索率

センサーを搭載したビークルが、単位時間に掃引する捜索面積の期待値を「有効捜索率」と定義する。この定義より明らかなように、有効捜索率は、「確率」ではなく、「時間率（rate）」の意味であり、［面積/時間］のディメンジョンをもつ量である。有効捜索幅のセンサ

時間捜索のカバレッジファクター：ーを用いて捜索速力 で捜索したときの有効捜索率は
図９

有効捜索幅とカバレッジファクター

MSS技報・Vol.1730た。また、内容を連続センサーについて限定し、離散セ捜索領域捜索速力ンサーについては言及しなかった。探知確率に関する事
項の詳細については、飯田・宝崎の教科書（3）を参考にされたい。

目標の存在確率は一様分布

物探しは日常生活で頻繁に遭遇する。その場合、捜索理論を適用すれば効率的な物探しができる可能性がある。
有効捜索幅

今後、捜索理論が一般の分野に広まり応用されることが期待される。
参考文献

図10

盧

ランダム捜索飯田耕司：情報化時代の戦闘の科学―軍事OR入門，
三恵社，190 pp.，2004.

盪Rep. No.56，172 pp.，1946.（2nd Ed.，Pergamon

睫Press，NY，1980.）
蘯となる。ただし、睨の関係を用いた。睫より、センサーの有効捜索幅が大きくなるほど、また捜索時間が長くなるほど、カバレッジ・ファクターCFが大きくなり、目標が探知される確率は１に近づくことが分かる。
4．むすび
目標物を探す場合の捜索理論の基礎概念について概観した。本稿では、探知確率の考え方（瞬間探知確率、探知ポテンシャル、探知確率）と捜索システムの能力（有効捜索率、カバレッジファクター）を中心として述べてき31

Koopman，B.O.：Search and Screening，OEG

飯田耕司、宝崎隆祐：改訂捜索理論―捜索オペレーションの数理，三恵社，450 pp.，2003.