大学院共通授業 「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」
2012年10月19日（金）

低次元導体とトポロジー

物理 ・ 低次元電子物性研究室
延兼 啓純

自然界のトポロジカルな現象や理論

トポロジー理工学教育研究センターHPより

トポロジーと不変量
連続変形で互いに変形できる空間は同じとみなす
同相

カップ

リングドーナツ穴は連続変形で消せない
トポロジカル不変量 1
（巻き数）

コーヒー
（中身）

ドーナツ表面のチョコレート
連続変形で一点にできる
トポロジカル不変量 0

個々の違いにとらわれずに分類する

トポロジーの観点から自然現象に対して新しい認識（普遍性）が得られないか
一つの方法としてトポロジカル不変量の実験的観測
新しい基底状態や励起状態の理解へ
例) 量子ホール効果とカイラル超伝導のアナロジー
凝縮系物理と素粒子物理のアナロジー

次元性～とくに低次元電子系について
３次元

２次元

１次元

０次元

地球
（球）

地球表面
（球面）

赤道（線）

極（点）

結晶中の電子の運動や統計性を制限

新奇な量子状態例) 分数統計粒子（エニオン）
(a)

(b)
1

では2次元では？
→ 連続変形で一致しない

2に制限のない粒子
anyon

3次元の場合連続変形で重ねられる

bosonfermion

分数量子ホール系

いろいろな低次元結晶
NbSe2

Graphene

2次元 NbSe2

劈開

超伝導
CDW
コステルリッツ・サウレス転移

1次元 (TMTSF)2ClO4
MoS2

Bi2Sr2CaCu2Ox

Novoselov, et al., Proc. Natl Acad. Sci. USA 102, 10451 (2005).

NbSe2
ナノチューブ

T. Tsuneta

超伝導SDW
朝永・ラッティンジャー液体

量子ホール効果
強磁場中の2次元電子系
GaAs/AlGaAs

B

VxyVxxI

R. Willett et al. PRL 59, 1776 (1987)

整数量子ホール
K. Klitzing, et al., PRL 45, 494 (1980)

分数量子ホール

量子ホールコンダクタンスの係数はトポロジカル不変量

量子ホール系とカイラル超伝導のアナロジー
カイラル超伝導量子ホール効果B

強磁場により時間反転対称性の破れ
自発的に時間反転対称性が破れている＝ カイラリティを持つ

E
エッジ励起

kF

自発的なカイラルエッジ流
k2次元電子系の端では一方方向に(1次元)エッジ電流が流れる

量子コンダクタンス(分数統計性)
半整数量子渦普遍性？

?

超伝導現象 電気抵抗ゼロ マイスナー効果

磁石
超伝導体

磁場を排斥
Kamerlingh-Onnes(1911)

応用例

超伝導ケーブル

古河電工HPより

リニアモーターカー

JR東海HPより

ボーズ・アインシュタイン凝縮
FermionBosonEE

各準位に1個たくさんつまる例） 電子、中性子、3He、・・・

例） 光子、4He、・・・

電子がペアを作って、ボゾンになる（ボーズ・アインシュタイン凝縮）
超伝導のオーダーパラメータ

巨視的量子状態

クーパー（電子）対の対称性
反対称
スピン 軌道
スピン一重項 S = 0

偶パリティ対称反対称L=0, s波対称性 : 単体金属 (Al, Nb, Pb,..)
L=2, d波対称性 : (BEDT-TTF)2X
銅酸化物高温超伝導体
スピン三重項 S = 1
対称

奇パリティ
反対称
L=1, p波対称性 : Sr2RuO4,(TMTSF)2X (X=ClO4, PF6)
UPt3, 3He

クーパー対の内部自由度により新しい物理現象が期待カイラル超伝導
運動量空間（超伝導ギャップの異方性）
d波

ky

p波

kyky

ノード
（超伝導ギャップがゼロ）-+++-kx+kx

kx

4回対称

2回対称

等方

Chirality+s波-+-++-++-有機d波超伝導体
H4-n Dn

H4-n’ Dn’

電子相関をより強くしていくと

K. Ichimura et al., JPSJ. 77, 114707 (2008).

kcor++

カイラルd波超伝導の探索

ka-K. Kuroki, et al. PRB, 65 ,100516(R), 2002

共存!?

!?

超伝導におけるトポロジカルな特異点
実空間(磁束量子)超伝導リングs波
3NbSe2 T=7.2 K, H= 1T

渦心STM像

21

B. S. Deaver, et al., PRL 7 (1961)43

Hess et al., PRL 62 (1989) 214

運動量空間（超伝導ギャップに現れるノード）
d波

p波

ky

ノード
（超伝導ギャップがゼロ）++kx-ky+kxディラック型分散を持つ特異点近傍でトポロジカル量子現象を探す

固体中のディラックフェルミオングラフェン（カーボンの一枚シート）においてディラックフェルミオンを発見
K. S. Novoselov, et al., Nature 438 (2005) 197

2次元量子ホール効果の発見
微細加工

グラフェン中の電子の速度(光速の1/300)
固体中の光速に対応相対論的な粒子（線形な分散関係を持つ）
ディラック方程式

グラフェンは相対論的量子力学を実験室で扱える

凝縮系物理と素粒子物理のアナロジー
素粒子物理

実験

固体物理

グラフェンの量子ホール効果（2005）

中性中間子の2光子への崩壊率

場の理論（３＋１）次元

カイラル対称性の破れ
S. L. Adler, R. Jackiw (1969)（２＋１）次元パリティ対称性の破れ
G. W. Semenoff(1984),
T. Matsuyama, Ishikawa(1987)

トポロジカル項に関する普遍数理構造

マヨラナフェルミオン
素粒子物理の未解決な問題
ニュートリノマヨラナフェルミオン!?

ディラック方程式

Ettore Majorana

虚数のみ

実数と虚数

ディラックフェルミオン
複素場
粒子と反粒子を区別

マヨラナフェルミオン
電子(粒子)

ホール(反粒子)

実数場
粒子と反粒子を同一視

自然界にマヨラナフェルミオンは存在するか？
トポロジカル超伝導・絶縁体などで検証が行われている超伝導体中におけるマヨラナフェルミオン
クーパー対E

ホールk電子F. Wilczek, Nature Phys. 5, 614 (2009)

渦心エッジ
ノード準粒子励起→ 相対論的

クーパー対の海の中に存在する準粒子は区別できない

マヨラナフェルミオンの観測の可能性

カイラル超伝導体とトポロジカル不変量

p波ky

ホール効果
エッジ流-+kx

ディラック型分散

新奇な渦素粒子物理と対応可能！？

Sr2RuO4
クーパー対の対称性に関する研究• NMR ナイトシフト K. Ishida et al., Nature, 396, 658 (1998)
Tc以下でスピン」磁化率が不変• μSR G. M. Luke et al., Nature, 394, 558 (1998)
内部磁場の発生

スピン三重項、カイラルp波超伝導体が有力

空間・時間反転対称性が破れる
3He-A相超流動に類似
層状ペロブスカイト構造

2次元性が強いY. Maeno et al., Nature, 372, 532 (1994)
Y. Maeno et al. JPSJ, 81, 011009, 2012

カイラル単一ドメイン

SROJunction
F. Kidwingira et al.,Science 314 1267 (2006)

クーパー対の内部自由度によるカイラルドメインが形成

mmサイズ+1or-1
マルチドメインc

自発磁化発生！

ba

平均化

カイラル単一ドメイン

接合間のジョセフソン電流により超伝導の対称性がわかる

マイクロメートルサイズ• Sr2RuO4 junction
F. Kidwingira et al., Science 314, 1267 (2006)• Kerr effectJ. Xia et al., PRL 97, 167002 (2006)

微細な試料準備
結晶評価

固相反応
2SrCO3 + RuO2
→ Sr2RuO4 + 2CO2(gas)

X 線回折
SIMS。
a = b = 3.867(  0.004A)。
c = 12.73(  0.02A)

不純物がないことを確認

滴下分散

SRO crystal
2-プロパノール
1μm
SiO
Si

SEM写真

単結晶特性
結晶方位解析 (EBSP)

Micro Chem, PMMA Data Sheetより分解能
多結晶のスズ

Sr2RuO4蒸着した
金電極
1μm

Sr2RuO4単結晶であることを確認

電子ビームリソグラフィー技術
による電極作製電子ビーム溶着
微細加工試料の問題点 → 電気的な接触の困難さ• レジスト膜の溶け残り• 伝導面が結晶表面にない(高温超伝導体)

実験条件
ビーム電流 :
照射時間 :
接触抵抗が大幅減少
電気測定可能に電子ビーム溶着は電気的接触をとるのに重要な技術
H. Nobukane et al., Jpn. J. Appl. Phys., 49 020209 (2010)

異常な電流-電圧(I-V)特性
単一ドメインサイズ
Sr2RuO4

偶関数

V+
V-I+

I2m

(長さ)

(幅)

(厚さ)

パリティの破れたI-V曲線
単一ドメインによる本質的な現象

磁場印加による I - V 特性

Sr2RuO4

コンダクタンスの磁場依存性
一般的な超伝導体の曲線0 試料自体がカイラル単一ドメイン

zll

自発磁化の発生 磁場方向によるドメインのカイラリティの変化

(2+1)次元カイラル超伝導体のエッジ状態
カイラルp波超伝導波動関数におけるBogoliubov-de Gennes方程式を試料端の境界条件のもとで解く

低エネルギー領域に線形な分散関係を持つ

N. Read, D. Green, PRB 61, 10267 (2000)
Y. Asano et al., PRB 69 134501 (2004)

試料E

V+
V0k

I2m

カイラルエッジ電流（トポロジカルに安定に存在）

試料端(１次元)において低エネルギー励起！

I+試料端でのマヨラナフェルミオンの励起(B) 右巻き準粒子ホール

試料の端（１次元）はギャップレス状態(A) 右巻き準粒子電子zzyyx(C) 左巻き準粒子ホールx(D) 左巻き準粒子電子zzyxyx

普遍数理構造
素粒子物理

固体物理

ディラック場 + トポロジカル項
グラフェン

マヨラナ場 + トポロジカル項!？
V+ニュートリノ

V-I+

I2 m

場の量子論に関する現象を扱える凝縮系

最近の微小Sr2RuO4に関する実験
マイクロカンチレバーによる磁化測定

J. Jang et al., Science, 331,186, 2011

半整数量子渦の観測
Volovik
Kopnin波動関数の一価性を満たすためトータルで2πまわすレポート課題
自然界のトポロジカルな現象とその不変量について調べてA4用紙一枚程度にまとめて下さい