数河原弘幸

学

長田正臣

科

中林雅史

富山大学人間発達科学部附属中学校研究紀要№66：「数学科」35－40（2013）ତ‫ڰࢊ࡞̫̤ͥͅشڠ‬൲ᢙቇ⊛ߥᕁ⠨ജ٤ᄙ᭽ߦ⠨߃ࠆജ٤⷗ㅢߒࠍ┙ߡ੍ᗐߔࠆജ٤⛔৻࡮৻⥸ൻߔࠆജ٤ᬌ⸽ߔࠆജ٤ಽ㘃࡮ᢛℂߔࠆജߎࠇࠄᡰ߃ࠆജߣߒߡᢙቇ⊛ߦផ⺰ߔࠆജ㧔⺰ℂ⊛ߦ⠨߃ࠆജ㧕࡮Ṷ➈⊛ߦផ⺰ߔࠆജ࡮Ꮻ⚊⊛ߦផ⺰ߔࠆജ࡮㘃ផ⊛ߦផ⺰ߔࠆജ⸒⺆ᵴേߦࠃࠆᢙ ቇ ⊛ᕁ ⠨ ജ ߩ㜞 ߹ ࠅᕁ⠨ജ߇㜞߹ࠆℂ↱Σᕁ⠨ߩ⸒⺆ൻߩ㊀ⷐᕈ࡮⥄ಽߪ૗߇ಽ߆ߞߡ޿ࠆߩ߆ࠍᝒ߃ࠆᔅⷐᕈ‫ޣ‬ᕁ⠨ࠍᝒ߃ࠆ‫ޤ‬࡮Ṽὼߣߒߚᕁ޿߿⠨߃ࠍᢛℂߔࠆᔅⷐᕈ‫ޣ‬ᕁ⠨ߣߩኻ⹤‫ޤ‬࡮ᕁ⠨ߩนⷞൻߦࠃࠆઁߣߩࠦࡒࡘ࠾ࠤ࡯࡚ࠪࡦ‫ޣ‬ᕁ⠨ߩ✵ࠅ਄ߍ‫ޤ‬ωᕁ⠨ജߩ㜞߹ࠅᕁ⠨ജ߇㜞߹ࠆℂ↱Τᕁ⠨ߣ⺰ℂ࡮ᕁ⠨ࠍ⸒⪲ߢ⺑᣿ߔࠆߎߣ߆ࠄ⺰ℂ߇↢߹ࠇࠆ‫ޕ‬࡮ਥߣߒߡવ㆐ߩ㆏ౕߣߒߡ૶ࠊࠇࠆᄖ⸒߇‫ޔ‬ਥߣߒߡᕁ⠨ߩ㆏ౕߣߒߡ૶ࠊࠇࠆౝ⸒ࠍ⢒ߡࠆ‫ޕ‬‫ޟޣ‬ᕁ⠨ߣ⸒⺆‫ࠅࠃޠ‬࡟ࡈ࡮ࡧࠖࠧ࠷ࠠ࡯⪺‫ޤ‬ωផ⺰ߔࠆജߩ㜞߹ࠅ⹤ߔᦠߊ⡞ߊ⺒ߺขࠆ࡮ᩮ᜚ࠍ␜ߒߥ߇ࠄ࡮‫ޟ‬૗ࠍߤߩ㗅ߢ‫ࠍޠ‬⠨߃ࠆߥߤ‫╭ޔ‬㆏ࠍ┙ߡߡ࡮⹤ߒ⸒⪲ࠃࠅ㔍⸃ߥᦠ߈⸒⪲ߦ࡮࿑߿ࠣ࡜ࡈߥߤ‫ⷞޔ‬ⷡ⊛ߦಽ߆ࠅ߿ߔߊ࡮޿߆ߦ⢻േ⊛ߦ⡞ߌࠆ߆࡮ࡔࡕࠍขࠅߥ߇ࠄ⡞ߌࠆജ࡮ઁ⠪ߩᕁ⠨ࠍ⺒ߺขࠆ࡮ᑼ߿࿑‫ߤߥࡈ࡜ࠣޔ‬ࠍ⺒ߺขࠆᢙቇߦ߅ߌࠆ⸒⺆ᵴേ࡮ᢙቇ⊛ߦ⠨ኤߒߚߎߣࠍᢛℂߔࠆ႐㕙࡮ᢙቇ⊛ߦ⠨ኤߒߚߎߣࠍઁ⠪ߦ⺑᣿ߔࠆ႐㕙࡮ઁ⠪߇ᢙቇ⊛ߦ⠨ኤߒߚߎߣࠍ⺒ߺขࠆ႐㕙࡮ᢙቇ⊛ߦ⠨ኤߒߚߎߣࠍ߹ߣ߼ߚࠅ‫ޔ‬ᝄࠅ㄰ߞߚࠅߔࠆ႐㕙ߤߩࠃ߁ߥ႐㕙ߢ࡮⸒⪲
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富山大学人間発達科学部附属中学校研究紀要

午前公開№66：「数学科」35－40（2013）

第２学年 数学科学習指導案
２年４組

男子23名
指１

題材名

２

題材について

導者

女子17名
長田

計40名
正臣

連立方程式の解き方

学習指導要領では、連立二元一次方程式の必要性と意味の理解が強調されている。しかし連立二元一次方程式の指導は、一連のアルゴリズムに従った形式的な反復練習となることもある。授業では、既習の内容や方法を生かして考察すること、数学的活動を充実させること、という二つの視点を大切に指導していきたい。
方程式は、変数（未知数）を含んだ相等関係についての条件を表した等式であり、条件を満たす値を的確に、能率よく求めるために必要である。第１学年では、方程式の解は等式の条件を満たす値であること、解を求めるとは一元一次方程式を等式の性質を用いることでｘ＝αの形に変形することを学んだ。第２学年では、二元一次方程式とその解の意味や二元一次方程式を連立させることの必要性と意味、及び、連立二元一次方程式の解の意味と解の求め方を学ぶ。第１学年で学習した一元一次方程式と関連付け、連立二元一次方程式を解くとはどういうことなのかを実感させることが大切であると考える。
前時では、一つの二元一次方程式しかつくれない条件を、具体的な場面として提示し、その解について考えた。一元一次方程式を学習している生徒たちは、二つの文字を用いて条件を式に表し、具体的な数を当てはめたり、等式変形したりするなどして、二元一次方程式の解を求めた。しかし、既習の内容や方法を生かしても解が一つに決められないことに疑問を抱き、解を一つに決めるためには条件が不足していることに気付いた。その後、一元一次方程式の問題と比較することで、解を一つに決めるために必要な新たな条件について考えている。本時では、もとの条件と新たな条件を比較し、連立二元一次方程式の解を求める方法について考える。まずは、二つの文字のうち、どちらか一方の文字の係数が等しい二つの条件を取り上げることで、加減法の概念に気付かせる。さらには、その概念や等式の性質を活用させることで、加減法の概念を拡張していきたい。授業の前半では、文章で表された条件をモデルに表し、外的思考を伴う操作活動を取り入れることで、内的思考の充足を図っていきたい。また、モデルで考える場面を意図的に設定することで、代入法の概念を使わなければいけない場面をつくり出したい。これら一連の過程を通して、連立二元一次方程式を解くには、二変数のどちらか一方を消去し、既習の一元一次方程式に帰着して考えればよいことを自ら見いださせたい。

３

題材の目標

（１） 二元一次方程式は、連立すれば解が一つに決まることに関心をもち、連立二元一次方程式の解き方を積極的に考えようとする。

（数学への関心・意欲・態度）（２） 一元一次方程式の問題と比較することで、二元一次方程式の解を一つに決めるためには、二つの条件が必要であることに気付くとともに、連立二元一次方程式を解くには、二変数のどちらか一方を消去し、既習の一元一次方程式に帰着して考えればよいことを見いだすことができる。
（３） 加減法や代入法を用いて、効率的に連立二元一次方程式を解くことができる。

― 36―（数学的な見方や考え方）（数学的な技能）富山大学人間発達科学部附属中学校研究紀要№66：「数学科」35－40（2013）（４） 二元一次方程式とその解の意味や二元一次方程式を連立させることの必要性と意味、及び、連立二元一次方程式の解の意味を理解することができる。

４（数量や図形などについての知識・理解）

全体計画（７時間）（１） 二元一次方程式とその解・・・・・１時間（２） 連立方程式の解と解法・・・・・４時間（本時１／４）（３） いろいろな連立方程式

・・・・・２時間

５

本時の学習（１） 目標①

二つの二元一次方程式のどちらかの文字の係数を揃えて差に着目すれば、連立二元一次方程式の解が求められることを見いだすことができる。

②（数学的な見方や考え方）

連立二元一次方程式はどちらかの文字を消去し、一元一次方程式に帰着して考えればよいことを理解することができる。

（数量や図形などについての知識・理解）（２） 身に付けさせたい力と言語活動
本時は、連立二元一次方程式の解き方を考えることを通して、数学的な思考力の中でも、一般化する力を付けていきたい。また、一般化する手段として、類推的に推論する力、帰納的に推論する力も付けていきたい。
そこで本時は、「話す」という言語活動の中でも、「説明する」ことを大切にし、自己の思考を捉え、対話させることで、ねらいとする力を付けていきたい。また、その過程では、外的思考を伴う操作活動を取り入れることで、自己の思考を捉えたり、自己の思考と対話したりすることを促進させたい。
（３） 展開
学習内容

解

決への過

程

指導上の留意点

前時の確認
Ａ、Ｂ２つの品物がある。Ａ２個とＢ５個の重さの合計は５０kgであった。Ａ、Ｂ１個のそれぞれの重さを求めなさい。
◇前時は、二元一次方程式の解が無数・解が無数にある・Ａ、Ｂ１個のそれぞれの重さは一組に決められないにあることを、表を用いたり、式を・Ａ、Ｂ１個のそれぞれの重さを求めるためには、新等式変形したりするなどして確かめたことを確認する。

たな条件が必要である
前時の課題

Ａ、Ｂ１個のそれぞれの重さを求めるには、他にどのような条件がわかればよいのだろうか。

◇前時は、一元一次方程式の問題と比較することで、解を一つに決めるた
めには条件が不足していることを確・Ａ２個とＢ３個の重さの合計が分かればよい

認し、新たな条件について考えてい・Ａ３個とＢ４個の重さの合計が分かればよいる。

・Ａ１個の重さとＢ１個の重さの差が分かればよい― 37―

富山大学人間発達科学部附属中学校研究紀要

課題の設定 ･把握№66：「数学科」35－40（2013）

Ａ、Ｂ１個のそれぞれの重さは、どのようにして求めたらよいのだろうか。

課題の追究 ･解決 【モデルで考える】
１◇まずは条件を式にせず、モデルで考Ａ２個とＢ３個の重さの合計が４２kg

もとの条件からえるものとする。
◇新たな条件の数値については教師から与える。

新たな条件から２つの条件を比べると◇求められたＡ、Ｂ１個のそれぞれのＢ の個数が２個の差で、重さが８kg違う重さは、二つの条件を満たしている

よって、Ｂ１個は４kgことを確認する。

これをどちらかの条件に代入すると
Ａ１個は１５kg
２

Ａ３個とＢ４個の重さの合計が４７kg◇どうすればよいか気付いた数名の生徒の考えを全体に広めるのではなく、もとの条件からできるだけ多くの生徒に自ら見いださせるために、時間を十分にとる。
◇気付いた生徒たちには、考え方のキーワードを考えさせることで、自己の↓両方の皿を３倍すると思考を深めさせるとともに、他者の気付きの手助けとしたい。
◇Ａを揃える生徒と、Ｂを揃える生徒が考えられるが、一方は丁寧に扱い、一方は簡単に触れる程度とする。
◇外的思考を伴う操作活動の手順を丁寧に説明させることで、自己の気付きをさらに洗練させたい。
◇等式の性質を用いて考えていること新たな条件からを確認する。

↓両方の皿を２倍すると― 38―

富山大学人間発達科学部附属中学校研究紀要№66：「数学科」35－40（2013）

２つの条件を比べるとＢ の個数が７個の差で、重さが５６kg違う
よって、Ｂ１個は８kg
これをどちらかの条件に代入すると
Ａ１個は５kg【式で考える】
１

Ａ２個とＢ３個の重さの合計が４２kg

もとの条件から◇形式的な表現にとらわれるのではな
く、モデルを想起させながら、式で２ｘ＋５ｙ＝５０考え方を確認していく。

新たな条件から
２ｘ＋３ｙ＝４２
２つの式の差は、２ｙ＝８◇「連立二元一次方程式」、「連立二元よって、ｙ＝４一次方程式の解」という語彙を定義

ｙ＝４をどちらかの式に代入するとするとともに、連立することの意味

ｘ＝１５や、解の意味について確認する。

２

Ａ３個とＢ４個の重さの合計が４７kg

もとの条件から
２ｘ＋５ｙ＝５０↓

両辺を３倍すると

６ｘ＋１５ｙ＝１５０
新たな条件から３ｘ＋４ｙ＝４７↓

両辺を２倍すると

６ｘ＋８ｙ＝９４◇１、２を振り返り、「どちらか一方の文字の係数を揃えて、差に着目す２つの式の差は、７ｙ＝５６れば、連立二元一次方程式の解が求よって、ｙ＝８められる。」ことを、生徒たちに試

ｙ＝８をどちらかの式に代入すると行錯誤させ、言葉でまとめさせるこｘ＝５とで加減法の概念の理解を深めたい。

課題の定着 ･発展 ３

Ａ１個の重さはＢ１個の重さより１８ kg重い
◇加減法で考える生徒と、代入法で考【式で考える】える生徒の二通りが予想されるが、もとの条件から加減法で考えている生徒を取り上げ２ｘ＋５ｙ＝５０
新たな条件からる。代入法で考えている生徒につい

ｘ＝ｙ＋１８ては、モデルで代入法の概念を捉え↓た後に、取り上げるものとする。

ｙを移項すると

ｘ－ｙ＝１８↓

両辺を２倍すると

２ｘ－２ｙ＝３６
２つの式の差は、７ｙ＝１４
よって、ｙ＝２ｙ＝２をどちらかの式に代入すると
ｘ＝２０― 39―

富山大学人間発達科学部附属中学校研究紀要№66：「数学科」35－40（2013）【モデルで考える】
もとの条件から◇「－Ｂ」など新たなモデルを定義させないことで、代入法の概念の気付きへの手立てとしたい。

新たな条件から↓

Ａ１個をＢ１個と１８㎏に置き換えるともとの条件は◇「連立二元一次方程式の解は、どちらか一方の文字を消去し、一元一次方程式をつくれば求められる。」ことを生徒たちに試行錯誤させ、言葉でまとめさせることで加減法、代入法の概念の理解を深めたい。

Ｂ の個数が７個で、重さが１４kg◇「加減法」、「代入法」という語彙をよって、Ｂ１個は２kg定義する。また、加減法の加法に着これをどちらかの条件に代入すると目させることで、次時への課題意識Ａ１個は２０kgを高めたい。

○振り返りカードの記入（４） 評価「どちらか一方の文字の係数を揃えて、差に着目すれば、連立二元一次方程式の解が求められる。」、「連立二元一次方程式の解は、どちらか一方の文字を消去し、一元一次方程式をつくれば求められる。」ことを自ら見いだすとともに、これらの考え方を自分の言葉でまとめ、加減法、代入法の概念の理解を深めることができたか。

― 40―