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ASI-Gauss 法による鉄骨構造の動的地震崩壊解析（その１）― 動的地震崩壊解析コードの開発（定式化を中心に）―正会員 ○井根達比古＊１ 同磯部大吾郎＊２ 準会員 片平直樹＊３ 正会員 梶原浩一＊４

２.構造-３応用力学・構造解析
数値震動台、梁要素、非線形 FEM、ASI-Gauss 法、地震崩壊、鉄骨構造
１．序

グランジェにより考慮した。塑性崩壊解析を効率よく行

数値震動台の整備については、旧科学技術庁の諮問機えることから、都井が開発した ASI 法[7]を基に、磯部が関への第 24 号答申、
「地震防災研究基盤の効果的な整備改良、発展させた ASI-Gauss 法[5、6]を使用する。以下、のあり方について」（平成 9 年 9 月 3 日）にその必要性が

第 2 章では ASI-Gauss 法による崩壊解析アルゴリズム、述べられている。すなわち、都市部の地震災害は社会的第 3 章では数値例、最後に、第 4 章で結言を述べる。

影響が大きく「地震に強い国土・社会を創ること」が必須であること、そのため中核目標として「地震災害時空２．ASI-Gauss 法による崩壊解析アルゴリズム間シミュレーションシステム」の開発が必要であり、と2.1 要素及び解析座標系りわけ数値震動台の開発が重要であることが強調されている。
地震時における構造崩壊過程の物理現象解明には、実大 3 次元震動破壊実験施設（Ｅ－ディフェンス）による実験が必要である[1]。数値震動台の開発では、地震時崩壊過程の物理現象を厳密に追跡することが必要であり、実大 3 次元震動破壊実験結果に基づく数理モデルを基礎として構築されるべきである。数値震動台の最終形態は、統合的な各種数理モデル体系となることが想定されており、従来型マクロモデル[2] から超精密超大規模のミクロ

図 1 線形 Timoshenko 梁要素と RBSM の物理的等価性モデル[3]、およびミクロ・マクロモデルによるマルチス

ASI-Gauss 法は、線形 Timoshenko 梁要素を 2 要素ケールモデル[4]などがその構成要素となる。
マクロモデルは、3 次元固体力学問題を 1 次元力学特性で 1 つのサブセット要素とし、弾性域ではその応力評価点をガウス積分点に置く方法である。

のみに縮約した梁理論、同じく、2 次元に縮約したシェル

図 1 に本有限要素モデルと要素座標系を剛体バネモデ理論に見られるような、ある方向の応力や歪み成分を無ル（Rigid Body Spring Model：RBSM と略称する）と視することで数学的に簡略化した力学モデルと言える。の物理的等価性を対比して示した。2 種類の梁要素の歪

また、広義には柱梁接合部を含む部分架構を 1 つの要素みエネルギの等価性から数値積分位置と塑性ヒンジ発生とするような、いわば簡易型計算モデルも含むものであ

点位置の関係は、るが、数学的簡略化のため適用範囲に制限があるものの、s1 = −r1構造の全体崩壊挙動を予測するには有効な手段であると表される。ここに、s1 と r1 はそれぞれ、図 1 の要素座

[1,5-7]。そのため、災害予測の高度化、効率化、高速化を標系において数値積分位置と塑性ヒンジ位置を示す。弾実現するためのマクロモデル解析の高精度化は、地震減性域での応力評価点の最適位置は、通常の ASI 法では梁災費用低減技術開発の面からも重要である。

要素中央点であるが、ASI-Gauss 法ではサブセット要素(1)

そこで、本論文では、マクロモデルとして梁要素を用内で 3 次梁要素と同様に図 2 に示される位置となる。

いた鉄骨構造の動的崩壊解析アルゴリズムについて述べs g = − rg

る。ここでは、計算における時間増分を大きく出来るこ

ここで、sg と rg はそれぞれ ASI-Gauss 法の弾性域におとから陰的時間積分法を採用し、幾何学非線形は更新ラ(2)2/4Member-1-1/√30

1/√3に下式により表せる。

1[ K ] = L ⎡⎣ B ( sg )⎤⎦ ⎡⎣ De ( rg )⎤⎦ ⎡⎣ B ( sg )⎤⎦T1rg 0 sg

sg 0 rg-1 -1

2.6 要素内応力場の仮定と降伏判定

1

梁理論によれば、曲げモーメントと剪断力は次の釣り合

Element 2

Element 1(10)い式を満たす。

sg = －rg = 1－(2/√3)

Vx = −

図 2 ASI-Gauss 法の数値積分点と応力評価点位置

dM x,dz

Vy = −dM y(11)dz

ける数値積分位置と応力評価点位置である。

曲げモーメントおよび剪断力の要素内の分布は、増分形

2.2 形状関数と変位自由度表示により、要素節点は x, y, z 軸のそれぞれに関し並進変位と回転変位の 6 自由度を持ち、参照面上の任意点座標、変位増分など形状関数 N I を用いて以下のように近似する。

{∆uI } = ⎢⎣ ∆uxI ∆u yI ∆uzI ∆θ xI ∆θ yI ∆θ zI ⎥⎦∆ui = ∑ N I ∆uiI ⎫⎪T(3)(4)⎬∆θi = ∑ N I ∆θiI ⎪⎭L⎫s + sg ) ⎪(⎪2⎬L∆ M y ( s ) = ∆ M y ( sg ) − ∆Vx ( sg ) ( s + sg ) ⎪⎪⎭2∆ M x ( s ) = ∆ M x ( sg ) − ∆Vy ( sg )(12)と表される。上式は、要素内に分布荷重が存在しない場
合、曲げモーメントが線形に変化し要素両端（s=±1）の何れかで絶対値が最大となることを示している。曲げ

ここに、Ｎｉは形状関数で下式による。
NI =モーメント以外の断面力（一般化応力）は要素内で一定

1(1 + ξ I ξ )2(5)値を取ると仮定し、下記の降伏関数から要素内の塑性化の位置（全塑性化位置）を判定する。
22.3 変位・歪み関係
要素座標系を参照して、歪み増分を変位増分により表222⎛ M ⎞ ⎛ My ⎞ ⎛ N ⎞ ⎛ Mz ⎞fy = ⎜ x ⎟ + ⎜++− 1 = 0 (13)⎜ M px ⎟ ⎜ M py ⎟⎟ ⎜⎜ N p ⎟⎟ ⎜⎜ M pz ⎟⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ここで、Mx，My，Mz、N は、それぞれ、x、y 軸周りの曲すと以下のようになる。
ひずみ増分ベクトルは次のように表すことができる。

げモーメント、z 軸周りの捩りモーメント、軸力を示す。

(6)

右下添え字の p は、全断面塑性値を意味する。
ここでは、{∆ε } = [ B ]{∆uI }

ここで、ひずみ増分ベクトル{∆ε } ，節点増分ベクトル{∆uI } とし、歪み・変位行列 B を次のように定義する。
BI =降伏に対する剪断力の影響を無視した。
梁要素の両端のいずれかが塑性化または破断した直後の増分計算ステップでは、要素内の積分点を(1)式に従っ∂N I∂z(7)て移動(Shift)する。例えば、全塑性状態の断面が要素の右端(s1=1)に発生した場合、数値積分点は要素の左端(s1=即ち、{∆ε ( r )} = ⎡⎣ B ( s )⎤⎦ {∆u}gg－1)に移動させる。同様に、全塑性断面が要素の左端(s1=(8)－1)に発生したら数値積分点は右端(s1=1)へ移動させればよい。この時、要素剛性行列、一般化歪み増分ベクト
ル、一般化応力（断面力）増分ベクトルは、ASI 法と同2.4 応力と歪みの関係{∆σ ( r )} = ⎡⎣ D ( r )⎤⎦ {∆ε ( r )}gegg

様に下式で与えられる［5,6］。
(9)

2.5 要素剛性方程式
仮想仕事の原理より、要素剛性行列は 1 点積分を前提[ K ] = L ⎡⎣ B ( s1 )⎤⎦ ⎣⎡ Dp ( r1 )⎦⎤ ⎡⎣ B ( s1 )⎤⎦T{∆ε ( r )} = ⎡⎣ B ( s )⎤⎦ {∆u}{∆σ ( r )} = ⎡⎣ D ( r )⎤⎦ {∆ε ( r )}111P

11(14)(15)(16)

ここで、［Dp］は塑性の応力・歪み関係行列である。

3/4

1000以上の積分点の移動操作（シフト操作）を順応的に行Acceleration (gal)うことで、最小限の要素数で塑性崩壊解を求めることが出来る。メモリの消費量を節約するため線形連立方程式のソルバーに共役傾斜法（CG 法）を使用した。動的問
題の質量行列は、整合質量行列を採用し、前述のようにJMAKobe(EW)*1.5500

0-500

陰解法（Newmark のβ法、β=4/9）を用いた。また、-1000

減衰は無視した。

01020Time (s)3040

図 5 加振入力波
150

3.1１層１スパン（x、y 方向）建物の 1 軸方向支持点加振による応答解析

変位計測点

Displacement (mm)

３．数値例

2elem
4elem
8elem
16elem32elem64elem100500-50010Displacement (mm)yx 軸方向にEW 成分地震波を支持点加振x

図 3 解析モデル
ヤング係数Ｅ : 206 GPa ポアソン比 : 0.33040(a) 通常法

150z20Time (s)

2elem
4elem
8elem

100500-50010

密度 : 7900 kg/m320Time (s)3040(b) ASI 法
150

降伏応力度 : 245 MPa 接線係数 : 0.0Ｅ
Displacement (mm)

加振入力波 : JMA-Kobe(EW 成分、１軸加振)
時間増分 : 5 ms
計算ステップ数 : 8000 step
合計加振時間 = 40 s部材長：L = 2.0 m
部材断面積：A = 2500 mm2500-5054

部材断面2次モーメント：Ix=Iy=5.21×10 mm

2elem
4elem
8elem

10001020Time (s)3040(c) ASI-Gauss 法
図 6 層間変位の時刻歴応答計算結果

図 4 解析諸元
立体骨組みが１軸の支持点加振を受ける場合について弾塑性解析を実施した（図 3,4）
。図 5 に時間軸を 1/2 倍した加振入力（加速度、JMA-Kobe,EW 成分）の時刻歴、3.2 １層１スパン（x、y 方向）建物の 3 軸方向支持点加振による応答解析

図 6 に層間変位の時刻歴応答を示した。通常法や ASI 法

3.1 節の例題と同じモデル（図 3,4）で、3 軸加振入力波に比して ASI-Gauss 法は収束性、弾性域の精度ともに良による応答計算を行った。加振入力波としては、図 5(EW好である。

成分)に加え、図 7 の JMA-Kobe の NS および UD 成分を加えた。3 軸加振の場合も、ASI-Gauss 法は他の方法と比し

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100

120050JMAKobe(NS)*1.5

Displacement (mm)Acceleration (gal)800
4000-50-100-150-400-200-800-120002elem
4elem
8elem

-250
0102030Time (s)40-3000600

Acceleration (gal)20Time (s)3040(c) ASI-Gauss 法

400

JMAKobe(UD)*1.5

図 8 層間変位時刻歴応答〔JMA-Kobe NS 成分〕続き

200４．結言0

本研究で得られた結論は以下のとおり。

-200１）ASI-Gauss 法を用いた線形 Timoshenko 梁要素に

-400-600

01020Time (s)3040よる鉄骨骨組み構造の崩壊解析ソフトを作成した。
２）数値例を通じて、本解析アルゴリズムの妥当性を確

図 7 加振入力波〔JMA-Kobe NS，UD 成分〕

認し、通常法など他の方法に比して収束性に優れることを示した。

10050Displacement (mm)10

今後の研究として、引き続き本シミュレータによる鉄0骨 2 層骨組みの地震崩壊解析を行う予定である。

-50-1002elem
4elem
8elem
16elem32elem64elem-150-200-250-30001020Time (s)3040(a) 通常法

100Displacement (mm)500-50-100-150-2002elem
4elem
8elem

-250-30001020Time (s)3040(b) ASI 法
図 8 層間変位時刻歴応答〔JMA-Kobe NS 成分〕

参考文献
1) 井根、他、
有限要素法による鉄骨構造の動的崩壊解析（その１，２）、2006 年日本建築学会九州支部研究発表会、2007.3
2) 都井、他、構造要素の衝突圧壊強度に関する基礎的研究（その１）、日本造船学会論文集、第 159 号、昭和61 年5 月
3) 渡邉、他、脳震盪限界に関する頭部衝撃シミュレーション、計算工学講演会論文集,Vol.11,日本計算工学会、2006 年 6 月
4) Guedes.J.M. and Kikuchi N., Preprocessing and postprocessing for
Material Based on the Homogenization Method with Adaptive Finite
Element Methods, Comp.Meth. in Appl. Mech.and Engrn., 83 (1990),
149-1985) 磯部、他、飛行機の衝突に伴う骨組鋼構造の崩壊解析、日本建築学会構造系論文集、第 579 号、2004 年 5 月
6) K.M. Lynn and D. Isobe, Finite element code for impact collapse
problems of framed structures, Int. J. Numer. Methods Eng., in press.
7) Y. Toi and D. Isobe, Adaptively Shifted Integration Technique forFinite Element Collapse Analysis of Framed Structures. Int. J.
Numer. Methods Eng., 36, 2323-2339, 1993.て収束性に優れることが分かる。

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＊2
＊3
＊4

（独）防災科学技術研究所 招聘研究員・博（工）筑波大学大学院 助教授・博（工）筑波大学工学システム学類（独）防災科学技術研究所 主任研究員・博（工）Invited Research Fellow,NIED, Dr. Eng.
Associate Professor, Univ. of Tsukuba, Dr. Eng.
Student, University of Tsukuba
Senior Researcher, NIED, Dr. Eng.