「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
2010/10/15(金) 16:30-18:00

泡の物理と幾何学
応用物理学部門・数理物理工学研究室

島 弘幸

参考文献:H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601
D. Weaire and S. Hutzler, “The Physics of Foams” (Oxford Univ. Pr. 2000)

von Neumann 則

dS n
平面系:
∝ (n − 6 )dt～ 発泡体 (Foam) おける泡の粗大化(Coarsening) を記述する方程式

「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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講義内容
Introduction
von Neumann則― 気泡の成長則 ―超伝導薄膜の「泡」― 意外?必然? ―三次元発泡体の成長則
曲面発泡体の成長則
まとめ・レポート課題― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―― 幾何と物性の新相関 ―「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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講義内容
Introduction
von Neumann則― 気泡の成長則 ―超伝導薄膜の「泡」― 意外?必然? ―三次元発泡体の成長則
曲面発泡体の成長則
まとめ・レポート課題― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―― 幾何と物性の新相関 ―「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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1. Foam(発泡体)とは①発泡ステンレス鋼②竹炭の断面

軽量性、断熱性、不燃性、制振性、

④硬質木材
圧密化前

防音性、衝撃吸収性、・・・etc
10mm※参考 ・多孔質材料 = 空隙率 0～30%
70%以上
・ 発泡体
=

③大腿骨骨頭の断面

圧密化後3mm

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2. 気泡の微視構造
ドライフォーム
液相1%以下結節点(Vertices)面(Face)稜(Edge)See 「泡の物理」 by D.Weaire (内田老鶴圃)Plateauの平衡則
ドライフォーム極限・平衡状態では、①1本の稜で交わる面は3つ。面同士のなす角度は120°②1つの頂点を共有する面の最大数は6ウェットフォーム
液相1%以上「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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3. 気泡の不安定性①気泡の粗大化～セル間の圧力差により、薄い膜を通してセル内の気体が拡散する

von Neumann 則
平面ではdS n 2π=γσ (n − 6 )dt3

J. von Neumann, in Metal Interfaces (1952).

②気泡の崩壊～セルが破裂・合体を繰り返す※フォームの位相幾何学的な変化

主な原因
・ 膜内の液体の排水、蒸発・ 界面活性剤の濃度の不均一性
・ 埃・不純物の付着

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講義内容
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von Neumann則― 気泡の成長則 ―超伝導薄膜の「泡」― 意外?必然? ―三次元発泡体の成長則
曲面発泡体の成長則
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4. 気泡の成長則
von Neumann relation

2D:

dS n 2π=γσ (n − 6)dt
3

①Plateau の 平衡則 ～ 1点で交わる線は3本で、交角は120O②Fick の 法則

dS n= −γ ∑ ( pn − p j ) idtj2σRi～ よくある拡散則③Laplace の 法則

Δpi =④曲率の総和則∑ R = 3 (6 − n ) ～ あるセルを囲む閉曲線のiiiπ～ 隣接セル間の圧力差はセルの曲率半径で決まる

曲率和は頂点の数で決まる

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5. 気泡成長則の導出● Fick の 法則

κdS n= −γ ∑ ( pn − p j ) idtj

～単位時間あたりに隣接セル間を移動する気体の体積2σ● Laplace の 法則 Δp =R

p1p2σ : 表面張力∵) 気泡半径の変化: R → R − δR
気泡エネルギーに対する平衡条件:

p1p2

δU = σ ⋅ δS = σ ⋅ 8πRδRδU = Δp ⋅ δV = Δp ⋅ 4πR 2δR
表面積減少に伴う表面エネルギーの減少

体積減少に伴う気体内部エネルギーの増加

Δp = p1 − p2

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5. 気泡成長則の導出● 曲率の総和則π∑ R = 3 (6 − n )
iiiπ

∵)

π 33× n + ∑ Δθ i = 2πΔθ i =iRi
Δθ iiRi

セル境界線の曲率の総和は、辺の数だけで決まる!
曲率和の値は、セルを連続変形しても不変に保たれる( = トポロジカル不変量)i

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5. 気泡成長則の導出①Fick の 法則

dS
= γ × i × Δpi
dt②Laplace の 法則

Δpi =③(平均)曲率の総和則∑ R = 3 (6 − n )ii2σRiπi

von Neumann relation(1952)

2D:

dS n 2π=γσ (n − 6 )dt
3・ 気泡の面積変化率は、気泡を囲む辺の数だけで決まる
・ 六角形の気泡はその面積を不変に保つ
・ 五角形以下の気泡は時間とともに消滅する

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講義内容
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von Neumann則― 気泡の成長則 ―超伝導薄膜の「泡」― 意外?必然? ―三次元発泡体の成長則
曲面発泡体の成長則
まとめ・レポート課題― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―― 幾何と物性の新相関 ―6. 超伝導薄膜の「泡」「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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鉛でできた円盤に磁場を印加→ 臨界磁場以下で、泡(金属領域)の発生“Suprafroth in type-I superconductors”
R. Prozorov et al.,Nature Physics 4 (2008) 327.

6. 超伝導薄膜の「泡」「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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R. Prozorov et al., Nature Physics 4 (2008) 327.

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6. 超伝導薄膜の「泡」

dSWhy∝ (n − 3) ?
dH… Nobody knows.

R. Prozorov et al., Nature Physics 4 (2008) 327.

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講義内容
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von Neumann則― 気泡の成長則 ―超伝導薄膜の「泡」― 意外?必然? ―三次元発泡体の成長則
曲面発泡体の成長則
まとめ・レポート課題― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―― 幾何と物性の新相関 ―「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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7. 三次元発泡体への拡張①Fick の 法則

dS
= γ × i × Δpi
dt②Laplace の 法則

Δpi =③(平均)曲率の総和則∑ R = 3 (6 − n )ii2σRiπi

von Neumann relation(1952)

2D:

dS n 2π=γσ (n − 6 )dt
3・ 気泡の面積変化率は、気泡を囲む辺の数だけで決まる
・ 六角形の気泡はその面積を不変に保つ
・ 五角形以下の気泡は時間とともに消滅する

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7. 三次元発泡体への拡張①Fick の 法則

dS= γ × i × Δpidt②Laplace の 法則

Δpi =③(平均)曲率の総和則∑ R = 3 (6 − n )ii

2σRidV= ∫ γ 3 D Δpi dA
dt Face⎛ 11 ⎞⎟⎟ = 2σHΔpi = σ ⎜⎜+⎝ Rmax Rmin ⎠πなし

※ガウス曲率Kについてはi∫ KdA = 2π − n(π − θ )0Facevon Neumann relation(1952)2D:

dS n 2π=
γσ (n − 6 )dt
3・ 気泡の面積変化率は、気泡を囲む辺の数だけで決まる
・ 六角形の気泡はその面積を不変に保つ
・ 五角形以下の気泡は時間とともに消滅する
Straightforward
generalization:

3D:

dVn
= −2γ 3 Dσ ∫ HdA
dt
Face

R.D. MacPherson et al.,Nature 446 (2007) 1053

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7. 三次元発泡体への拡張

R.D. MacPherson et al.,Nature 446 (2007) 1053

n本の稜で囲まれたセルDの体積変化:

dVndt= −2κγ ∫ HdA
Facen2π ⎡⎤=−κγ ⎢6 L(D) − ∑ ei (D)⎥3i =1⎣⎦3次元泡に対するvon Neumann則 !

ei : i 番目の稜の長さ

L : セルDの差し渡し長さの平均値

意義:・ 半世紀にわたる問題を初めて解決した・ 2次元におけるNeumann則:( 一般のd次元へも拡張可能 )dS n2π=−κγ (6 − n ) の自然な拡張
dt3

・ 2&3次元発泡体で観測されるスケーリング則 L(t ) ∝ κγ t を説明可能
・ 閉曲面全体における平均曲率の積分値を、簡略に表現する式

7. 三次元発泡体への拡張「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
2010/10/15(金) 16:30-18:00● 3次元wet foamsの粗大化実験 (気液比 14%～20% の泡で実験)
J. Lamnert et al., Phys. Rev. Lett. 99 (2007) 058304.
fヶの面で囲まれた泡の体積の平均値:V f ∝ f α with α ≈ 2.2

実際の発泡体で最も頻繁に実現されるにも関わらず、先行研究がほとんどない。

● 3次元dry foamsのMonte Carlo simulations
H. Wong et al., Appl. Phys. Lett. 93 (2008) 131902.

dD 2fdt∝ 6 − c2 f 1 2dV f2 3dt
dS fdt∝ f − 15.8

∝ f − 13.19

D f : 差し渡しの長さ: 体積f ≥ 8 の泡に対しては全て成立

S f : 面積

3つ全て、面の数だけで決まる
トポロジカルな式!

Vf「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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講義内容
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von Neumann則― 気泡の成長則 ―超伝導薄膜の「泡」― 意外?必然? ―三次元発泡体の成長則
曲面発泡体の成長則
まとめ・レポート課題― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―― 幾何と物性の新相関 ―「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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8. 曲面上の発泡体
von Neumann 則

dS n 2π
平面:=γσ (n − 6)dt3
以下の①～④から数学的に導出される。
①Plateau の 平衡則 ～ 1点で交わる線は3本で、交角は120°②Fick の 法則

dS n= −γ ∑ ( pn − p j ) i
dtj

Δpi =③Laplace の 法則

④曲率の総和則

2σRi～ よくある拡散則～ 隣接セル間の圧力差はセルの曲率半径で決まる

nni =1j =1j()π−α+∑∑ = 2πiRj「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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8. 曲面上の発泡体
von Neumann 則

dS n 2π
平面:=
γσ (n − 6)dt3以下の①～④から数学的に導出される。
①Plateau の 平衡則 ～ 1点で交わる線は3本で、交角は120°②Fick の 法則

dS n= −γ ∑ ( pn − p j ) i
dtj

Δpi =

③Laplace の 法則

④曲率の総和則

2σRi～ よくある拡散則～ 隣接セル間の圧力差はセルの曲率半径で決まる

nni =1j =1j()π−α+∑∑ = 2πiRj

曲面系では変更が必要

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8. 曲面上の発泡体
nnj()
π−α+
∑∑ = 2πi● 曲率の総和則

i =1j =1Rj

[平面時]

2π 3

例えば内角 α i ≡ 2π 3 の三角形foam(右図)では、確かにπ3× n + ∑ Δθ i = 2πΔθ i =iiRi

で成り立つ。

曲率和の値は、セルを連続変形しても不変に保たれる( = トポロジカル不変量)

Ri
Δθ ii

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8. 曲面上の発泡体● 曲率の総和則

j()
π−α+
∑
∑ = 2(π + ∫∫ KdS )inni =1j =1Rj

2π 3[曲面時]
例: 球面正三角形(半径 a )Ri⎛π⎞ ⎛ πa 2⎞× 3 ⎟ = 3π > 2π⎜ × 3⎟ + ⎜⎝2 ⎠ ⎝ a⎠Δθ i

X 曲率和の値は、セルを連続変形しても不変に保たれる( = トポロジカル不変量)
曲率和の値は、セルが囲む面積 S と、その領域のガウス曲率 K に依存する曲面上の von Neumann則はどう定式化される?

i9. モデル・条件「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

目的: 曲面形状が時間変化する場合のvon-Neumann則を導出する。
曲面曲率の増分:

セル面積の増分:「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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9. モデル・条件

See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

目的: 曲面形状が時間変化する場合のvon-Neumann則を導出する。
曲面曲率の増分:

セル面積の増分:

時刻における面積変化(ガス拡散の寄与):

γ : 隣接セル間のガス透過率

σ : セル壁の表面張力p0 : セルの初期内圧 (t=0)

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9. モデル・条件

See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

目的: 曲面形状が時間変化する場合のvon-Neumann則を導出する。
曲面曲率の増分:

セル面積の増分:

時刻における面積変化(ガス拡散の寄与):

γ : 隣接セル間のガス透過率

σ : セル壁の表面張力p0 : セルの初期内圧 (t=0)

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10. 考察結果

See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

過去に測定された物質パラメータ値:
See, J. Marchalot et al., Europhys. Lett. (2008)

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10. 考察結果

See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

過去に測定された物質パラメータ値:
See, J. Marchalot et al., Europhys. Lett. (2008)

曲面変形速度の調整により、頂点の数と無関係な泡成長過程の実現が可能。

11. 結論
平面上 von-Neumann則:「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～
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See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

多角形セルの成長は、頂点の数だけで決まる。
(セルの形や面積には依存しない)
可変形曲面上 von-Neumann則:

曲面変形速度の調整により、頂点の数と無関係な泡成長過程の実現が可能。
基盤変形を通した、2次元Foam粗大化プロセスの新規操作技術を示唆

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曲面発泡体の成長則
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12. 展望…未解決問題が山積。学際的アプローチによるBreakthroughが望まれる。
動的・不安定気泡のトポロジカル変形(泡の破壊、消失)

発泡体global構造の急速な変化

膜内部の液体流動(膜厚の変化)
泡の整流現象

現在の理解:「平衡状態」の「ドライ」フォームのみ!
静的・安定ドライフォーム

剛体フォームの力学特性
ウェットフォーム

レポート課題
1. 表面張力とは何か。そうした力が生じる物理的理由を説明しなさい。
2. 平面系発泡体の成長則をより厳密に導くには、他にどのような物理因子・化学因子を考慮する必要があるか。
3. 上で挙げた因子を新しく考慮に入れた場合、既存のvon Neumann則はどのような修正を受けると推測されるか。
4. (発展)発泡体を利用した工業技術の具体例を論じなさい。
5. (発展)気泡の成長を人為的に抑制するためのアイデアを提案しなさい。

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