地球環境研究，Vol.22（2020）

Euler関数の導来対数関数 L（x）の諸相
山

下倫

範＊宮

キーワード：Euler関数

１田

大藤田

菜

摘＊＊＊の導来対数関数L，の評価n ≦15までを計算する）プログラムとともに表１に示す．

はじめにEuler関数

輔＊＊n ≦23までの結果を得るためのプログラムは，並列化やの導来対数関数 Lについて，我々はそのabc 予想を提出している（［８］）．しかしながら，L およさまざまな最適化を施し求めたが，見通しが悪くまた本質的でもないので省略した．

び根基数の L 値に関しての諸性質の詳細がまだ不明の

このプログラムは，整数演算は （１）とし，N = ３ とままであるため解決の糸口は見つかっていない．本論文

して，時間計算量 （N log log N ），空間計算量 （N ）では，L に関する簡単な整数実験と共にその諸相一部をとなる．

nn = 23のとき N ≐1011なので一般的なPCでは記憶領域確認する．

が確保できない．一方，素朴な方法を使えば時間計算量２（N 1.5）
，空間計算量 （１）で m（n）を求めることがで

L（x）= n の集合２．
１

きる．

M（n）の要素について

M（n）=｛ xn = 23の結果を得る際には，このプログラムのアルゴ¦L（x）¦，m= n }，m（n）= ¦M（n）（０）= １とし，この m（n）を求めよう．
について，の素因数分解であることから，m（n）を求めることは，L（x）= n の n をL（pi）を基にした分割数問題となる．したがって，¦M（n）=｛ x：prime ¦L（x）=n｝，cn= ¦M（n）
ppとしたとき，Euler による無限和と無限積の恒等式を真リズムを使用して小さい n の結果をキャッシュし，大きい n については素朴なアルゴリズムを使用している．
この方法による時間計算量はやはり （N 1.5）となる．
今回 n ≦23の結果を得るのに，Core i7-8700のCPUを用いてCPU時間573分（実時間54分）と２Gバイトの記憶領域を要し，n = 24を計算するにはこの５倍以上の計算時間が必要となる．

似れば次の恒等式が得られる．
（n）について
表１．cn，mcn が具体的に求められれば，m（n）が求められる．
n = N までの m（N）までを求めるのであればの計算でよい．
［９］，［10］では n ≦16までしか求められていないので，

ncn

１２３４５６７８９101112２２３６12234694
198
4248541859

m（n）
２５112659137312719
1651
3816
8757
20202

n1314151617181920212223m（n）
3884
46440
8362
10695717837
24598938977
56656184188
1303968
183167 3002247
398685 6910122
874078 15909143
1914563 36621627
4208672 84308428
9268875 194080801
cnn ≦23での cn ，mn の計算結果（by Java）を（ただし，立正大学地球環境科学部
千葉商科大学商経学部＊＊＊（株）富士通マーケティング＊＊＊67

Euler関数の導来対数関数 L（x）の諸相（山下・宮田・藤田）＝＝計算プログラム＝＝M（８）＝｛ 257，353，359，389，401，409，443，449，p

LIMIT= 15

461，467，479，499，503，521，557，563，

Ｎ＝３＊＊LIMIT＋１

569，577，587，593，599，601，607，613，

phi ＝［ i for i in range（N）］

617，619，643，647，659，661，673，677，

for i in range（２，Ｎ）：

683，691，701，709，727，733，739，743，

if phi［ i ］＝ i ：751，761，787，797，827，829，839，859，

for j in range（ i ，N，i ）：

859，863，877，907，911，919，937，947，

phi［ j ］－＝ phi［ j ］// i

967，983，991，1009，1019，1033，1039，
1051，1063，1087，1091，1093，1103，1117，

Ｌ＝［０］＊Ｎ1171，1279，1291，1297，1303，1307，1373，

for i in range（２，Ｎ）：

1423，1471，1483，1549，1567，1597，1621，

if i % ２＝０：

1627，1783，1949，1999，2053，2269，2287，

Ｌ［ i ］＝Ｌ［ phi［ i ］］＋１
else：

2647，2917，3079 ｝
M（９）＝｛ 641，719，769，773，809，821，823，857，p

Ｌ［ i ］＝Ｌ［ phi［ i ］］

881，887，929，941，953，971，977，997，
1013，1021，1031，1049，1061，1069，1109，

ｃ＝［０］＊（ LIMIT＋１）

1123，1129，1151，1153，1163，1181，1187，

ｍ＝［０］＊（ LIMIT＋１）

1193，1201，1213，1217，1223，1229，1231，

for i in range（１，Ｎ）：

1237，1249，1259，1277，1289，1301，1319，

x ＝Ｌ［ i ］

1321，1327，1367，1381，1399，1427，1429，

if x ＜＝ LIMIT：1447，1451，1453，1481，1487，1489，1493，

ｍ［ x ］＋＝１

1499，1511，1523，1531，1559，1671，1579，

if phi［ i ］＝ i －１：

1583，1597，1609，1613，1657，1663，1667，

ｃ［ x ］＋＝１

1669，1693，1699，1709，1721，1723，1733，1741，1747，1753，1759，1777，1787，1789，

print（ ”n , c_n , m（ n ）”）1801，1811，1823，1831，1847，1861，1867，

for n in range（ LIMIT＋１）：

1873，1877，1879，1901，1933，1851，1979，

print（n , c［ n ］，m［ n ］，sep＝”，”）

1987，2003，2011，2017，2019，2039，2083，

以下，M（９）までのリストを示しておこう．
p2087，2089，2111，2129，2131，2143，2161，

M（１）＝｛ ２，３｝p

2179，2203，2207，2213，2221，2237，2239，M（２）＝｛ ５，７｝
p

2243，2251，2281，2293，2311，2341，2357，

M（３）＝｛ 11，13，19 ｝
p2371，2377，2383，2389，2399，2423，2437，

M（４）＝｛ 17，23，29，31，37，43 ｝
p2503，2521，2539，2549，2557，2591，2593，

M（５）＝｛ 41，47，53，59，61，67，71，73，７，109，p

2609，2617，2677，2683，2699，2711，2719，127，163 ｝

2731，2749，2791，2843，2851，2887，2927，

M（６）＝｛ 83，89，97，101，103，107，113，131，p

2971，3011，3049，3067，3109，3187，3253，

139，149，151，157，173，181，191，197，3259，3271，3307，3319，3331，3511，3529，

199，211，223，229，271，379，487 ｝

3533，3547，3557，3583，3613，3727，3823，

M（７）＝｛ 137，167，179，193，227，233，239，241，p

3889，3907，3919，3943，4051，4159，4219，

251，263，269，277，281，283，293，307，

4447，4549，4663，4789，4861，4871，4903，

311，313，317，331，337，347，349，367，5023，5347，5419，5869，6823，6967，8803 ｝

373，383，397，419，421，431，433，439，457，463，491，509，523，541，547，571，631，653，757，811，883，1459 ｝
68

地球環境研究，Vol.22（2020）

２．
２

M（n）の要素について
p7842，12096，13782，17720，43956，64822，82780，105106，152529，165896，191814，529680，1074726，の要素 q については
また，M（n）
p1086112，1175232の41個 と 報 告 さ れ て い る． 我 々 の記法では，これらの数に＋１したものとなる．無限にが成立しているが，この不等式での等号は外せない．
２・３n－1存在していると予想されているが現在未解決であり，＋１が素数になる場合があるからである．ただし，nのorderについても求められていない．

では，（実験では）素数になる確率は下がってゆくような振舞いを見せている．
２．３
因みにn ＜ 5000の範囲でy（n）= ２・３

n－1＋１が素数となるのは n = １，２，３，５，６，７，10，17，18，31，55，58，61，66，133，181，321，697，783，823，898，1253，1455，4218の24個だけである（by Maple & Python）．

１/fs³ s）を変形し数論的関数 （n）fに対して，ゼータ関数 （なる関数を考えてみよう．

た

例えば，f（n）＝ （n）とすると

y 181）（＝1523546 9609173278 4678579455
4412311235 0084960280 4790393448
0031314899 1427468606 6076039203＝＝計算プログラム＝＝
def prime_test（ p ）：q ＝ p －１
p2 ＝ q // ２であるが，具体的に計算してみると，この級数は

p3 ＝ q // ３
for a in range（２，ｐ）：
if pow（ａ，p2，ｐ）！＝ｑ：
continue
if pow（ａ，p3，ｐ）！＝１：return areturn －１ｃ＝０であり，Dirichlet 級数の特別な場合となる．しかも，この係数 h（n）は次のような数となる．
H=n｝，h（n）= ¦H（n）¦（n）＝｛ x ¦ （x）

for n in range（３，5000 ）：因みに，n ≧３なる奇数 n については h（n）＝０は自明

if n % ４＝０：continueであるが，p ＞３なる素数 p について，2p＋１が素数でif n % ５＝４：continueない場合にも h（2p）＝０である．

if n % ６＝２：continuef n）
いま， で考えたが，この を一般の数論的関数 （yn ＝２＊３＊＊（n－1）＋１

f x）（ただし，f（n）≧１かつ H（n）＝｛ x ¦ （=n｝
，h（n）＝x ＝ pow（２，yn－１，yn ）

¦H（n）
¦ ＜

if x ！＝１：continue

合となるが，f（n）に対しての新しい情報をもたらす．

root ＝ prime_test（yn））で置き換えてもDirichlet 級数の特別な場

L についてのDirichlet 級数

ｃ＋＝１
print（ｃ，ｎ，root ）この型の数については，既に，［11］では100万ほどまは，L（x）に関する不等式からで調べられている（［11］）．そこでは，０，１，２，４，５，６，９，16，17，30，54，57，60，65，132，180，320，696，782，822，897，1252，1454，4217，5480，6225，である．
69

Euler関数の導来対数関数 L（x）の諸相（山下・宮田・藤田）n
３ a ＋ b ＝２ でのL値

（証明終）以下，自然数 a，bについて a ＋ b ＝２ とする．このn２ ＋y，３ －z の L 値

とき

３．１

命題３．１．L（a）≦ n－１，L（b）≦ n－１である．さら命題３．４．y１ を１≦ y１ ＜２ として，x１= ２ ＋y１ を考にL（b）＜２ であれば，L（b）≦ k －１である．特に，a ＞ bえると，L（x１）≦ n である．

であれば，L（b）≦ n－２である．

証明．

証明．

∵k

L（a）≧ n とすると，a ≧２n でなければならないが，これはa ＜２ であることに矛盾する．∴ L（a）
≦ n－１．
nnnnnn＋1
L（x１）＞ n とすれば，x１ ≧２ でなければならな

いが，これはx１＜２ ＋２ ＝２nnに反するからである．

n＋1２

次に，１≦ y２ ＜２ ・（２ －１）として，L（２ ＋y２）nnkb についても同様．次に，L（b）≧ k（b）＜２ b のとき，Lを考えてみよう．

であるとすると，b ≧２ でなければならないが，これ

命題３．
５．１≦ y２＜２ ・（２２－１）として，x２= ２ ＋y２

は b の取り方に反する．∴ L（b）≦ k－１．また，a ＞ bを考えると，L（x２）≦ n＋１である．

であれば，b ＜２

証明．

kn－1であるので，L（b）≦ n－２である．

（証明終）

n∵

n

L（x２）＞ n＋１とすれば，x２ ≧２ n+2でなければならないが，これは x２ ＜２ ＋２ ・（２２ －１）＝２ （１＋nと素因数分解されているとき， （x）＝ s（２２－１））＝２n＋2nnの矛盾を引き起こすからである．
（証明終）としよう．このとき，
l ≧７であれば，
命題３．
２． （x）

以上の考察から，次のことが主張できる．
定理３．６．１≦ yk ＜２（２ －１）として，xk＝２ ＋yknknを考えると，L（xk）≦ n＋（k －１）である．
である．

証明．

証明．

∵（x）≧ ７ な の で，M （１）＝｛ ２，３｝，M（２）＝pp

L（xk）＞ n＋（k －１）とすれば，xk ≧２n＋k でなければならないが，これは xk ＜２ ＋２ ・（２ －１）= ２n｛５，７｝，M（３）＝｛ 11，13，19 ｝の要素に注意すれば， （１＋（２ －１））=２pkn＋knknの矛盾を引き起こすからである．

（証明終）
同様の議論を，３ －zについて試みよう．
n命題３．７．z１を０≦ z１< ２・３として，w１＝３ －z１n－1nを考えると，L（w１）≧ n である．
（証明終）系３．
３． （x）≧13であれば，証明.
∵

仮にL（w１）＜ n とすれば，w１ ≦３ならないが，これはw１ ＞３ －２・３nn－1n－1

でなければ＝３n－1に矛盾．

（証明終）
よって，一般的に次が主張できる．
である．

定理３．８．zk を０≦ zk ＜（３ －１）３証明．

３ －zk を考えると，L（wk）≧ n－（k －１）である．

∵

証明．

（x）≧13なので，さらにM（４）＝｛ 17，23，29，p31，37，43 ｝の要素に注意すれば，

kn－kとして，wk＝n∵

仮にL（wk）＜n－（k－1）とすれば，wk ≦３でなけn－kればならないが，これはwk ＞３ －（３ －１）
・３nk＝３n－kn－kに矛盾．
（証明終）４（x），x の根基の L 値評価

自然数 x について，70で x の根基とすれば， （x）と

地球環境研究，Vol.22（2020）

x の関係はこの根基を用いて次のように評価できる．いくつかの記号を準備しておこう．
・ （x）で x の異なる素因子数・ x の素因子 p についてを

定理４．
１．自然数 x がである．とする

よって，と素因数分解されるときもしくはまた，が成立する．
証明．
（以下，をと表記する）より以上により，（証明終）
この結果より，粗い評価ではあるが，以下の命題が系として得られる．自然数 x はと素因数分解されるとする．
このことから，に注意すれば

命題４．２．

もしくはより，が成立する．
命題４．３．
一方，が成立する．
また自明であるが，命題４．４．x が根基数であることと，次の等式は同値である．

であるので，この L 値は参考文献［１］山下倫範，宮田大輔，藤田菜摘：計算メモ：Euler関数φの導来対数関数Ｌの諸性質，国際ICT利用研究研究会

ここで，が，これは唯一のについては，素因数２が現れるについてのみ採用されるもの

であることから（この採用されたpi －１については i ＝

第５回講演論文集，国際ICT利用研究学会，第５回研究会，
千葉商科大学，E-ISSN 2432-7956，2019.03.17［２］M.Yamashita, D.Miyata, N.Fujita: The abc conjectureof the derived logarithmic functions of Euler’s function
and its computer verication, The Rissho International１とする），i ＞１については
71

Euler関数の導来対数関数 L（x）の諸相（山下・宮田・藤田）
Journal of Academic Research in Culture and Society,ける（１, b, c ）－triple の列挙について，2017年度第２回

Vol.2, Rissho Univ., 275－291, 2019.3.

国際ICT利用研究学会全国大会（IIARS）講演論文集（CD［３］山下倫範，宮田大輔，藤田菜摘：Euler関数の導来対数関数 L（x）の abc 予想とその検証，地球環境研究第20号，版），国際ICT利用研究学会，ユマニテク短大，2017.12.9，
D2－5，192－196［８］M.Yamashita, D.Miyata: On the abc conjecture

2018.3，143－150［４］宮田大輔，山下倫範：Euler関数導来対数的関数におfor a derived logarithmic function of the Euler function,

けるabc－tripleの列挙，2015年度パーソナルコンピュータ

Proceedings of

利用技術学会第１回合同研究会「数理科学とコンピューConference on Computer Application & TechnologieSタ」，パーソナルコンピュータ利用技術学会，立正大学，

2015），Session #7（9.2），Kunibiki Messe（Matsue），

2016.3.18，JPCATS 研究報告「数理科学とコンピュータ」
Vol.3

E-ISSN 2188-1685，23－24

1th CCATS2015 IEEE（International

2015.8.31－9.2［９］The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences,［５］山下倫範，宮田大輔： （a）＋ （b）＝ （c）の成立状

A064674: Number of primes q such that phiter（q）=n況とEuler 関数導来対数関数の abc 予想，2016年度第１回

where phiter（n）=A064415（n），https://oeis.org/A064674

国際ICT利用研究学会研究会講演論文集（OnLine edition:［10］The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences,

ISSN 2432-7956），国際ICT利用研究学会，立正大学品川

A064416:Number of integers q such that phiter（q）=nキャンパス，S3－4，2017.3.12.

where phiter（n）= A064415（n），https://oeis.org/［６］宮 田 大 輔 － 山 下 倫 範，Euler関 数 導 来 対 数 的 関 数 のA064416

abc－tripleの高速列挙アルゴリズム，国際ICT利用研究学［11］The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences,

会論文誌，第１巻第１号，国際ICT利用研究学会，111－

A003306:Numbers n such that 2 ＊ 3^n+1 is prime,116（2017.6.30）

https://oeis.org/A003306［７］藤田菜摘，山下倫範，宮田大輔：山下－宮田予想におOn various aspects of the derived logarithmic functionsof Euler’s function L（x）
YAMASHITA Michinori＊ , MIYATA Daisuke＊＊ , FUJITA Natsumi＊＊＊Faculty of Geo-Environmental Science, Rissho University
Faculty of Commerce and Economics, Chiba University of Commerce＊＊＊Fujitsu Marketing Limited＊＊＊

resume:We raised the abc conjecture of the derived logarithmic functions of Euler’s function L（x）．However, noclear clues have been found as the details of the properties of L and L－values of radical numbers are still
unknown. In this paper, we identify some of its various aspects, along with a simple computer verication on L.

Key words: Derived logarithmic function L of Euler’s function

72,＝n, Evaluation of L, （x）