すべり面の非線形性を考慮した逆Ｔ型擁壁の土圧算定法㈱第一コンサルタンツ㈱第一コンサルタンツ○㈱第一コンサルタンツ

右城猛

筒井秀樹

長山学史

1.まえがき著者らは逆Ｔ式擁壁の合理的な主働土圧評価式として改良試行くさび法を提案してきた．改良試
行くさび法は計算の簡便化を図るためすべり面を直線と仮定している．しかし，この仮定が理論的に成立するのは，盛土が水平か一様勾配である場合に限られ，嵩上げ盛土を有する場合のすべり面は曲線になる．
本論文は，すべり面を折れ線で近似させ，主働塑性場を任意の四辺形または三角形のブロックに分割し，各ブロックの極限平衡条件から逆Ｔ型擁壁の仮想壁面に作用する主働土圧を算定する方法を提案した上で，ブロック数が解析結果に及ぼす影響について検討したものである．

2.嵩上げ盛土がある場合のすべり面の形状
かかと版の長さが十分長い逆Ｔ式擁壁の場合，

βランキン場Ⅰω0

働すべり面は直線となる．しかし，嵩上げ盛土がち，地表面が水平に対応するランキン場Ⅰと一様である．ランキン場にはⅠ，Ⅱとも直線のすべり線網が形成されるが，遷移場は曲線のすべり線網F
ω1 遷移場ω2GⅢ

り面
すべ勾配βに対応するランキン場Ⅱ，そして遷移場ⅢⅡとなる．

り面ように３種類の主働塑性場が形成される．すなわ

ω0

すあり，地表面が折れ曲がっている場合には図-1 のC

べ

盛土地表面が水平あるいは一様勾配であれば，主ランキン場
BDA

このため，嵩上げ盛土がある場合のすべり面は，CG と BF は直線となるが AG と AF は曲線になる

図-1すべり面の形状と考えられる．

Q0

3.すべり面を折れ線で近似した解析法
かかとから前方へ向かうすべり面 AGC はほぼ直線となる．このため，すべり面は 図-2 のように仮定する．すなわち，すべり面 AGC は1 個の直線，すべり面 AFB は n 個の直線よりなる折れ線と仮定する．そして，すべり土塊を(n-1)個の任意の四角形と 1 個の三角形のブロ①②
ci-1li-1
k WPi-1cili H inックに分割する．
i 番目の任意ブロックに作用する力は，図PiWi

限平衡状態にあるものとすれば，i 番目のブロc･li
Ri

ック に作 用す る 力の 関係 は 図 -3(b)のよう に表される．ただし，c は粘着力，φは内部摩擦角，Fixed Point
Moved Pointi-3(a)に示す通りである．いま，各ブロックが極

図-2

Moved Line
Fixed Line

ブロックの分割

第 5 回技術・研究発表会（土質工学会四国支部） 、1996 年 12 月

δはブロック間面の摩擦角で，逆Ｔ式擁壁の場合はδ=φである．Q は地表面載荷重を意味し，1 番目のブロックのみに作用する．
各ブロックの形状が特定されているとすれば，ブロック頂点の各座標値は既知であるため，r i ，r i-1 ，l i ，θ i ， θ i-1 ，ω i はいずれも既知量となる．また，ブロックに作用する荷重のうち，物体力 W i ， k H ･W i も既知量である．

xu(i-1),yu(i-1)

Pi

θi-1

Pc･l i

WikH･Wiωixl(i-1),yl(i-1)π/2-θi-1
1
P i-φxli,yli

Q0Ri

ωi･r i-1

c･l ic i-1

c i･r i

ri

θi-1

Wi

π/2-ωi+φπ/2-θi-1+δi-1

li
xc i･r i･r i-1

Q0

kH･WiPi

θi

r i-1

c i-1

θi

yπ/2-θi+δiδ i-1

xui,yui

δii-1

Ri(b) i番目のブロックに作用する力の多角形(a) i番目のブロックに作用する力
図-3

任意のブロックに作用する荷重

ところで，1 番目のブロックに着目す

Eれば，P i-1 =P 0 =0 であり，未知量は P 1 ，R 1 の 2 個のみである．したがって，こCれらの未知量は力のつり合い条件（∑

kHWH=0，∑V=0）のみで決定される．次に2 番目のブロックに着目すれば，P 2-1 はP 2-1 =P 1 であり 1 番目のブロックのつり合い条件式で既に求められているので，

PAPVcn･lnφ

未知量は P 2 ， R 2 の 2 個のみになる．しPn

たがって，これらの未知量についても 2PVPHPnWWθn番目のブロックのつり合い条件から決PHcn･ln定される．同様に，i 番目のブロックにA作用する荷重についても未知量は P i ，kHW

R i の 2 個のみとなり，i 番目のブロック
図-4に関する力のつり合い条件のみで決定

仮想壁面に作用する主働土圧される．
1 番目のブロックから n 番目のブロックまで順次計算を進めていけば，最後の n 番目のブロックのP n も決定されることになる．
次に，擁壁のかかと後端から鉛直に立てた仮想壁面 AE と，すべり面 AC に囲まれた土塊 ACE に2

第 5 回技術・研究発表会（土質工学会四国支部） 、1996 年 12 月

作用する力のつり合いについて考える．この土塊に作用するのは，土塊 ACE の自重 W と慣性力 k H ･W，すべり面 AC からの反力 P n ，c n ･r n ， それに仮想壁面に作用する内力 P H ， P V である．これらの力のうち P H ，P V 以外はすべて既知量であるため，P H ，P V は力のつり合い条件のみで求めることができる．
以上を定式化すれば(1)～(6)式となる．

PA = PH + PV
22(1)PH = Pn sin( n −  n ) − k H  W − cn  rn cos  n(2)PV = W − Pn cos( n −  n ) − cn  rn sin  n(3)ここに、Pi = {Wi sec 0 sin(  i +  0 ) − ci −1  ri −1 cos(  i + i −1 ) + Q0 sin(  i + i −1 )+ Pi −1 sin(  i + i −1 −  i −1 ) − c  li cos( i −  i ) + ci  ri cos(  i + i )}1sin(  i + i −  i )(4)

 0 = tan −1 k H(5) i = i − (6)ただし、 i   i −1(1)～(6)式で，θ i ，ω i ，r i ，l i ，θ i-1 ，r i-1 ，l i を変化させて計算し，P H の最大値を探索すれば，P A が仮想壁面に作用する主働土圧の合力になる．

4.試計算の方法と結果
本論文で提案する主働土圧算定法

135.0の妥当性を検証する目的で，高さ
H=4m，底版幅 B=4.0m の逆Ｔ式擁壁
し ， β =33.69 ﾟ ， φ =35 ﾟ ， c=0 ， γ=19.6kN/m 3 ，Q 0 =0，k H =0 とした．
図-5 は分割ブロック数が解析結果

134.0

PA (kN/m)(図-6)について試計算を行った．ただ

0.999

133.00.999132.0に及ぼす影響を調べるため，分割数131.0

n=1，3，5，10，20，50 の 6 ケースに130.0ついてそれぞれ仮想壁面での主働土

1.000

0.997
0.9910圧の合力 P A を計算した結果である．

1.000

1020304050

ブロック分割数 n

た だ し ， 嵩 上 げ 盛 土 高 さ は H 0 =4.0mとして計算してある．図中に示してあ図-5ブロック分割数と解析結果の関係

る数値は，ブロック分割数を n=50 とした解析値に対する比を表している．ブロック数を 10 程度以上とすれば解析値は一定値に収れんする． 筆者らが提案してきた改良試行くさび法は n=1 の解析に相当するが，n=50 の場合との解析誤差は 0.9%であり，改良試行くさび法を適用したとしても実用上は全く問題ないといえる．
図-6 は，ブロック数 n=1，n=5，n=50 のそれぞれの解析で求められた主働すべり面を示している．
n=1 のすべり面は直線である．n=5 と n=50 ではほとんど差異が見られず， 図-1 に示したように遷移場では曲線となっている．

3

第 5 回技術・研究発表会（土質工学会四国支部） 、1996 年 12 月

図-7 は，本提案式でブロック数を n=1，n=108とした場合と，現在設計の実務で適用されてい7る道路土工指針の計算法（試行くさび法）とにで変化させて主働土圧の合力 P A を計算した結果 で あ る ． い ず れ の 計 算 結 果 も H 0 =0 で はP A =42.49kN/m であり，地表面が水平（β=0）

6鉛直距離 (m)ついて，嵩上げ盛土高さ H 0 を 0m から 20m ま.5
1:15β=33.69ﾟ

4n =13の場合の Rankine 解に完全に一致している．ま2た， H 0 =20m では地表面がβ=33.69ﾟで一様勾1配の Rankine 解 P A =205.93kN/m に収れんして0n =5n =500いる．

246水平距離 (m)図-6

主働すべり面0m<H 0 <20m の間でもブロック分割数あるいは解 析法 の 違い が主 働 土 圧に 及ぼ す 影響 は非常少ない．分割数 n=1 と n=10 による解析値の108250

差は H 0 が 5m～8m の間が最も大きくなるが，Rankine(β=33.69ﾟ)分割数 n=10 の解析値と道路土工指針の土圧算定法（改良試行くさび法）との解析値は H 0 =1mで 8%の差を生じるものの，それ以外では 1.4%以下に収まっている．

5.結 論

主働土圧合力 PA (kN/m)

それでも 1.2%以下である．また，提案式による

200150

提案式 n=1
提案式 n=10
道路土工指針100Rankine(β=0ﾟ)50

主働すべり面の非線形性を考慮した主働土圧問題の近似解法として，ブロック分割法を提案0し，その定式化を行うとともに，提案する解析

05の妥当性及びブロック分割数が解析結果に及101520嵩上げ盛土高 H0(m)ぼす影響について検討した．
図-7

その結果，以下の結論が得られた．

嵩上げ盛土高と主働土圧合力の関係
表-1①ブロック分割数を増やしていけば，解析値は嵩上げ盛土高と主働土圧合力一定値に収れんする．また，主働すべり面は曲線へと収れんしてゆく．

H0(m)②ブロック分割数 n が解析結果に及ぼす影響は極めて小さい．n=1 と n=50 との解析誤差は 1%程度以下である．
③盛土地表面が水平な場合のブロック分割法による解析結果は，Rankine 解と完全に一致する．また，嵩上げ盛土高さが大きくなれば，一様盛土勾配のRankine 解に収れんする．
④以上より，ブロック分割法を適用すれば，嵩上げ盛土を有する逆Ｔ式擁壁の主働土圧を合理的に評価することができる．

012345678910111520⑤これまで提案してきた改良試行くさび法を適用すれば，極めて高い精度で主働土圧を算定することができる．

4

提案法
n =1
42.49366.04288.112111.514131.222147.039
159.632
169.667
177.694184.132
189.297
193.442203.036205.927

土工指針
Rankinen =10 （試行くさび法）

42.49366.04288.219112.122132.271148.695
161.563
171.578179.703186.024
191.002194.922203.546205.933

42.49360.86887.661113.670133.966
149.940
161.700
171.500
179.350
185.220190.091
194.138202.855
205.79942.493205.929