分子の対称性（群論の補足資料）
1 群とは
1-1 定義群とは、ある一定の規則が成立している要素(element)の集合である。空でない集合{G}が次の条件(1)~(3)を満たすとき群をなすという。
(1) G の任意の要素 a, b, c に対し、a(bc) = (ab)c （結合則, associative law）
(2) ae = ea = a となる G の要素 e が一意的に存在する。(単位元の存在, identity element)-1-1-1(3) a a = a a = e となる G の要素 a が一意的に存在する。(逆元の存在, reciprocal)
一 般 的 に abba で あ り 非 可 換 (noncommutative) で あ る 。 た だ し 可 換 な(commutative) ab = ba の成立する群をアーベル群(Abelian group)という。
(4) G の任意の要素 a, b に対し、それぞれの二乗とそれらの積 ab は G の要素である。
-1-1-1-1(5) (abc) = c b a

ここでいう要素は集合の構成要素であり、抽象的なものである。点群では要素＝対称操作として考えればよい。

1-2 要素の数 群の要素の数を位数という。有限の場合は有限群(finite group)、無限の場合は無限群(infinite group)。

1-3 掛算表（乗法表）

有限群の h 個の要素を重複なく並べて、そのリストを作れば可能

2な積は h 個ある。各々の要素は一般的に可換出ないため、X 行と Y 列の積は要素 XY とする。掛算票に関連してつぎの定理が知られている。
再配列の定理掛算表の各行、各列にはその群の要素が一度だけ出てくる。そのことか

ら二つの行で同じものはなく、どの二つの列でも同じものはない。各行、列は要素を再配列したリストである。

1-4 掛算表の例

位数 2 の群 G2 はただ一つきまり次のような掛算表をもつ
G2E

A

E

E

A

A

A

E

位数３の場合 G2 はただ一つきまり次のような掛算表をもつ
G2E

A

B

E

E

A

B

A

A

B

E

B

B

E

A

(1)

(2)

位数 4 の場合 G4 は次のような掛算表をもつ 2 種類の群（G4 、G4 ）が得られる。
G4(1)

E

A

B

C

G4E

E

A

B

C

A

A

B

C

B

B

C

C

C

E

1-5 巡回群

(2)

E

A

B

C

E

E

A

B

C

E

A

A

E

C

B

E

A

B

B

C

E

A

A

B

C

C

B

A

E

n

群の要素 a とその冪 a をとることによって発生する群を巡回群(cyclicgroup)という。巡回群の重要な性質として、それらはすべてアーベル群である。巡回群のn要素 a の位数が有限であれば、群 G の位数は a = e を満たす最小の n である。ここで aを巡回群 G の生成元という。

1-6 部分群(2)G4 は内部に G2 を持つことが分かる。大きな群の中に含まれるそれより小さな群を部分群(subgroup)という。群 G の恒等要素それ自体が位数１の群{e}であり、また、群 G 自身も部分群である。{e}とも G とも異なる群を真部分群という。
部分群の位数 位数 h の群の、任意の部分群の位数 g は h の約数でなければならない。
（ただし、h の約数である全ての位数で部分群があるということは一般的に正しくない）
定義
群 G の部分集合 H が次の条件(1)(2)を満たす時、部分群という(1) a,b(2) aH

ab-1HaHH

これらの条件は(3)のように言い換えることも可能(3) a,bH-1abH1-7 共役と類 群の要素をより少ない集合で分類する方法の一つ。
-1X を群の要素とするとき B = X AX B は群の要素であり、A の X による相似変換

(similarity transformation)であると言われる。A と B の関係は共役(conjugate)である。
互いに共役である要素すべてからなる集合を、その群の類と定義する。
共役と類には次の性質がある。
1すべての要素は、それ自身と共役である。

2A が B と共役であれば、B は A と共役である

3

A が B および C と共役であれば、B と C は互いに共役である

4すべての類の位数は群の位数の約数である。

2 対称操作と対称要素

対称操作とは、物体を移動させたとき、移動の前後で物体の全ての点が一致しているときの移動である。つまり、前後で配置を区別できない移動のことである。
対称要素とは、線、面、点などであって、それをもとに対称操作がおこなわれる。対称操作は対称要素に関してのみ定義可能である。E, C, S, i, σ分子については４つのタイプの対称要素とそれに対応する対称操作がある。

表分子の対称性を指定するのに必要な４種の対称要素と対称操作（注意事項 対称要素がまずあり、それに対して対称操作が実行される。
）
対称要素

対称操作

1面（σ）

面での鏡映

２対称中心、反転中心（i）

中心を通って全ての原子の反転

３

本義回転軸（回転）(C)

軸まわりの回転

４転義回転軸（回映）(S)

軸まわりの回転＋回転軸に垂直な面内での鏡映

上記に恒等要素 E を加える場合もある。

nnn2-1 鏡映 操作を繰返す場合 σ と書き、n が奇数のとき σ = σ, n が偶数のとき σ = E
例

鏡映面を持たない分子は存在する。また、直線分子には無限個の鏡映面をもつ。アンモニア型分子には３つの鏡映面があり、それらが平面の場合は４つの鏡映面がある。また、正四面体には６つ、正八面体には 9 つの対称面がある。

nnn2-2 反転 操作を繰返す場合 i と書き、n が奇数のとき i = i, n が偶数のとき i = E
反転中心にはただ一つの原子しか存在できない。

2-3 回転 Cn と表示される。n は 2π/n の回転に対応し、これらの操作を m 回行う操作は
mn

Cn 定義より Cn =E となる。

2-4 回映2-5 対称操作の積
対称操作 X を行ってから Y を行う時、YX のように書く。これらの変換は集団の中にある変換 Z と等価になる。つまり。YX＝Z。ここで対称操作の集まりは群の定義を満たし、群をなす。

2-6 可換 次の操作の対は可換である。
1

同じ軸のまわりの二つの回転

2

互いに垂直な面による鏡映

３

反転と任意の鏡映あるいは回転

４

垂直軸のまわりの二つの C２回転

５

回転とその回転軸に垂直な面での鏡映

4 分子の対称による分類（点群）シェーンフリース系

主軸 0~3主軸 0

C1 Ci Cs

主軸 1Cn Cnv Cnh
Dn Dnh Dnd
S2n主軸 3 の例 2 回回転軸のため、主軸が区別できない。 D２D2h D2d多面体群 Td Th T Oh O I Ih

全回転群̶R3原子について用いられ、角運動量による分類がよく用いられる。その場合、オービタル量子数 l によって分類する。その場合の 2l-1 個の状態が取れる縮重状態になるので 2l-1 個の次元を持つ。

光学異性と対称要素対称中心(S1)や鏡映面(S2)をもたないことが条件として述べられるが正確ではない。正確には転義回転軸 Sn を持たないことが条件である。つまり、光学活性な分子は対称性をなにももたないか、本義回転軸のみをもつ。

極性

対称軸がなくかつ反転中心を持たない場合は極性を持つ。この場合は C1 と Cs が当てはまる。回転軸を持つ場合には分極は主軸内で発生するため、Dn,Dnh,Dnd,Cnh は分極しない。よって Cnv,Cn のみが分極を持つ

4 群の表現(マリケン記号)(1) A, B, E, T, G, H
１次元表記には A, B を用い、主軸の回転に対して変化しないものを A, 反転するものを B とする。E, T, G, H はそれぞれ 2,3,4,5 次元表記に対応する。３次元空間の最大縮退は Ih の H である。縮退を持つためには３回以上の回転軸が必要である。
(2) 添字ʼ ʻʼ 1 2 g u
ʻは鏡映に対して全対称､“は反対称に用いられる。
（Cs のみ）１、２は主軸とは別の対象操作（通常は C2 軸、ない場合はσ）に対して、1 は全対称､2 は反対称に用いられる。g,u は対称心があるときに用いられる。
(3) 大文字と小文字の違い
通常は大文字だが、軌道に対応するときだけ小文字を使用する。

5 並進対称性と両立できる点群（結晶点群 ３2 種類）
並進と矛盾しない n 回回転軸は n= 1,2,3,4,6 だけである。
C1 Ci Cs

C2 C3 C4 C6

C2v C3v C4v C6v

C2h C3h C4h C6hD2 D3 D4 D6

D2h D3h D4h D6h

D2d D3dS4 S6

T Td Th O Oh
ただし、以下は重複するために除外
C1v = C1h =Cs, D1 =C2, D1h = C2v, D1d = C2h , S1= Cs ,S2= Ci

6 結晶学 ヘルマン・モーガン系
シェーンフリース系には方位に関する情報がないために、原則、自由回転する分子の対称性を示すのに適している。いっぽう、固体中では対称操作に加えて対称要素の方位に関する情報も重要であるので、ヘルマン・モーガン系が適切である。
回転(n), 鏡映(m, /m), 回反(𝑛")を用いて表記する。

結晶点群の対応 シェーンフリース ⇄ ヘルマンモーガン
OhTdOTh
D6hD4hTC6v
D2dC4v

D4C2v

D2C4D3C2hC3Cs

C1

結晶点群の分類

D6C6h D3dC4h D2hC3v
S4D3hC2Ci

S6C3hC6中心対称性を持つ 1", 2/m, mmm, 4/mmm, 3", 3"𝑚, 6/m, 6/mmm, m3", 𝑚3"𝑚極性を持つ 1, m, 2, 2mm, 4, 4mm, 3, 3m, 6, 6mm
極性を持たない 222, 4", 422, 4"2𝑚, 32, 6", 622, 6"𝑚2,23, 432, 4"3𝑚
ホロシンメトリック それぞれの結晶形で最も対称性の高い点群
1", 2/m, mmm, 4/mmm, 3"𝑚, 6/mmm, 𝑚3"𝑚
エアアンチモーフィックな点群

反転中心も存在せず、右手系と左手系が混在しない１１の点群 1, 2, 222, 4, 422, 3, 32, 6, 622, 23, 432

ブラべー格子平面結晶群（文様群） ５斜方格子、長方格子、菱形格子(面心長方格子)、六角格子、正方格子

３次元結晶群（空間群） １４１次元 鏡映点
２次元 回転点、鏡映線、映進線
３次元 対称中心、回転軸、螺旋軸、鏡映面、映進面、

7 1 次元結晶の対称性 ２種類

8 フリーズ群の対称性 7 種類の分類
フリーズ(frieze)とは一方向に伸びた装飾である。このパターンは７種類に分類される。下の図はフリーズの例

河野俊丈 (2015) 結晶群 共立出版
9 並進対称操作 （ノンシンモルフィック操作）
２次元の場合はグライド操作

1/2 だけ進んで並進軸を含むように反転させる操作（並進＋鏡映）を行うことができる。３次元の場合はらせんとグライド操作の二種類がある。
らせんは Nm と表記して回転軸の方向に３６０/N 度回転するたびに軸方向に m/N 進むような操作である。グライドは２次元と同じだが a,b,c 軸に対して行うため以下の分類がある。
軸グライド a, b, c 軸へ 1/2 だけ移動した後に a, b, c 軸を含む鏡映面について鏡映操作をとる。これらは a グライド、b グライド、c グライドという。
対角グライド a+b, b+c, c+a 軸へ 1/2 だけ移動した後に各２軸を含む鏡映面についての鏡映操作をとる。これらは n グライドという。立方晶と正方の場合は a+b+c 軸へ 1/2 だけ移動した後に鏡映も取ることがある。
ダイヤモンド(d)グライドと二重(e)グライド 省略

supplement 1-2対称軸、対称⾯の⽅向と操作
Printed symbol Symmetry element and its orientation記号
対称要素とその⽅向（⊥は垂直な⽅向を表す)
鏡映⾯ Reflection plane, mirror plane

mDefining symmetry operation with glide or screw vector
対称操作(太字は軸を表す)⾯に対して鏡映軸映進⾯ ‘Axial’ glide plane

⾯に鏡映したのち、引き続いて下記の⽅向へ平⾏移動

a⊥[010] or ⊥[001]½ab⊥[001] or ⊥[100]½b⊥[010] or ⊥[010]½ca, b or c⊥[1-10] or ⊥[010]c__½ c (hexagonal coordinate system) (三⽅・六⽅晶系)⊥[110] or ⊥[120] or ⊥[-210]½ c (hexagonal coordinate system) (六⽅晶系のみ)

⼆重映進⾯ 'Double' glide plane

⾯に鏡映したのち、⾯に平⾏で互いに垂直な 2 ⽅向にそれぞれ下記の⽅向へ平⾏移動⊥[001]½ a and ½ b⊥[100]½ b and ½ c⊥[010]½ c and ½ a⊥[110]; ⊥[110]½ (a + b) and ½ c ; ½ (a - b) and ½ c⊥[011]; ⊥[011]½ (b + c) and ½ a ; ½ (b - c) and ½ a⊥[101]; ⊥[101]½ (c + a) and ½ b ; ½ (c - a) and ½ c_e____n

対⾓映進⾯ 'Diagonal' glide plane

⾯に鏡映したのち、引き続いて下記の⽅向へ平⾏移動⊥[001]; ⊥[100] ; ⊥[010]½ (a + b) ; ½ (b + c) ; ½ (c + a)⊥[110] or ⊥[011] or ⊥[101]½ (a + b + c)⊥[110] ; ⊥[011] ; ⊥[101]½ (-a + b + c) ; ½ (a - b + c) ; ½ (a + b - c)_d½c⊥[010] or ⊥[010] or ⊥[110]__ダイアモンド映進⾯ 'Diamond' glide plane

⾯に鏡映したのち、引き続いて下記の⽅向へ平⾏移動⊥[001]; ⊥[100] ; ⊥[010]¼ (a ± b) ; ¼ (b ± c) ; ¼ (c ± a)⊥[110] ; ⊥[011] ; ⊥[101]¼ (a + b± c) ; ¼ (b + c± a) ; ¼ (c + a± b)

___

___

⊥[110] or ⊥[011] or ⊥[101]¼ (-a + b± c) ; ¼ (-b + c± a) ; ¼ (-c + a± b)

映進⾯ (2 次元のみ)

⾯に鏡映したのち、引き続いて下記の⽅向へ平⾏移動⊥[01] ; ⊥[10]

½a;½b

1なし

恒等操作 (なにもしない)

2,3,4,6回転軸
n-fold rotation axis, n

軸の周りを反時計回りに 360/n °回転

⼀回回反、対称⼼、中⼼対称Centre of symmetry, inversion centre

点に対して反転

2 = m, 3, 4, 6

回反軸_
Rotoinversion axis, n, and inversion point on
the axis

軸の周りを反時計回りに 360/n °回転したのち、引き続いて軸上のある点について反転

21
31,32
41, 42, 43
61, 62, 63, 64, 65

らせん軸n-fold screw axis, np

軸の周りを反時計回りに 360/n °回転したのち、引き続いて軸の⽅向に軸の単位周期⻑さの p/n だけ平⾏移動g_1____

10 2 次元結晶の対称性（文様群） 17 種類の分類

以下省略

12 3 次元結晶の対称性（空間群） 230 種類の分類
13 シンモルフィック 73 （結晶点群と並進だけで作られる）
14 ノンシンモルフィック 157 （グライドとらせんを含む）