双曲デーン手術定理に向けて
安部哲哉

Abstract. このノートの目的は「双曲デーン手術定理を理解したい」と思わせることでる。

1. 導入
以下では、3 次元球面 S 3 内の結び目のみを考察する。双曲結び目 K ⊂ S 3 とは、S 3 \ K が完備かつ有限体積な双曲構造を許容する結び目のことである1。Thurston の双曲デーン手術定理とは、次のものである。
定理 1.1. K を双曲結び目とする。高々有限個の手術を除いて、K に沿った r-手術は 3 次元双曲多様体となる。

Thurston の双曲デーン手術定理に関する基本的な文献は、Thurston 自身による講義録 [4] である2。講義録の概要は、例えば著書 [1] の 4 章に書かれている。双曲デーン手術理論について
は、著書 [1] の 3 章に概説がある。関連する文献や教科書は沢山あるが、ここでは言及しない。
双曲デーン手術定理の勉強は、figure-eight 結び目 41 の補空間を調べることから始まる。具体的には(1) S 3 \ 41 が 2 つの理想四面体の貼り合わせであること。
(2) S 3 \ 41 が（完備とは限らない、たくさんの）双曲構造を持つこと。
(3) どの S 3 \ 41 の双曲構造が完備であるかを調べること。
(4) 完備ではない S 3 \ 41 の双曲構造と、41 の双曲デーン手術との関係。
を学ぶことになる。昔、私が双曲デーン手術定理を勉強しようとしたときは（双曲幾何学の知識を必要としない）(1) で挫折した（講義録 [4] の Chapter 1 の内容）。従って (2), (3), (4) も勉3強しなかった。次のセクションで (1) の概説をする 。
講義録 [4] の Chapter 1 の概要：いくつかの 3 次元多様体の構成方法（Dehn 手術、分岐被覆、ヒーガード分解、四面体の貼り合わせ等）が紹介されている。（理想）四面体の貼り合わせの具体例として、S 3 \ 41 が紹介されている。

Date: March 18, 2022.
1追記 (3/18)：自明な結び目の補空間は完備で無限体積の双曲構造を持つ。
2講義録の一部は、Thurston により加筆されて著書 [5] になっているが、いまだに基本的な文献は [4] のようである。
3時間の都合で、まだ（1）の概説しか書いていません。
12安部哲哉

2. 補空間 S 3 \ 41 について
8 の字結び目とは下図のものである。3 つの結び目が書かれているが、全てイソトピックであることが（手を動かせば）わかる。「Knot table（結び目のリスト）」では 41 と書かれる。

碗 蔵
Figure 1. 8 の字結び目 41
次の 2 つの四面体を考える。M を四面体を貼り合わせて得られたものとする。ただし、「矢印の種類」と「矢印の向き」が一致するように、面を貼り合わせる。

邇邇Figure 2. 2 つの四面体
M はセル複体となる。一方、M は多様体にならない。まず、元々の四面体の全ての頂点は、同一視により一つの頂点 v ∈ M となることに注意する（貼り合わせの仕方に注意すれば、こうなることが確認できる）。さらに、M の頂点 v の近傍はトーラスの cone になることがわかる（ここでは説明しない）。従って、M は多様体にならない。しかし、M \ {v} は多様体であり、次が成り立つ。
定理 2.1. M \ {v} は S 3 \ 41 と同相である。

Matsuzaki-Taniguchi の著書「Hyperbolic Manifolds and Kleinian Groups」の p34 では、M \{v}を S 3 \ 41 に変形する方法（図）が紹介されている（やや難解）。Google Books から閲覧可能である。
ここでは、講義録 [4] の Chapter 1 の方法を紹介する。つまり、S 3 \ 41 から、2 つの四面体を構成し、その貼り合わせが上のものと一致することを確認する。ただし、詳細は Lackenby の講義録 [3] に従う。

双曲デーン手術定理に向けて

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証明. まず、次の S 3 に埋め込まれたグラフを考える。
（「なぜこのグラフを考えるのか？」は考察しない）後の都合で辺に「向き」と「番号」をつける。これらは、適当に与えた。

翻豳Figure 3. S 3 に埋め込まれたグラフ
このグラフに 4 つの 2 セルを下図のように貼り付ける。S 3 内に埋め込まれた 2 セルを A, B,C, D と名付ける。得られた 2 次元セル複体を K と置く。

蘇 成翻鬭 香 奥50
Figure 4. 2 セルの接着
セル複体 K を上から見ると次のようになる。

鬻礀Figure 5. セル複体 K

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4安部哲哉辺 1, 2 のまわりが複雑である。その部分は後で調べる。セル複体 K に関して次が成り立つ。

Claim 1. S 3 \ K は、2 つの 3 次元球体の内部と同相である。
Claim 1 の証明の概略. 次の S 3 に埋め込まれたグラフを考える。このグラフに 4 つの 2 セルe B,e C,e De と名付ける。得られた 2を下図（右）のように貼る。S 3 内に埋め込まれた 2 セルを A,33e と置く。すると、S \ K と S \ Ke は同相である。（詳細はあとで述べる） □次元セル複体を K

豳eFigure 6. S 3 に埋め込まれたグラフと 2 次元セル複体 K
Claim 1（の証明）より、S 3 \ K は「上半空間」と「下半空間」に分かれることがわかった。
以下で、「上半空間」が Figure 2 の左側の四面体に対応して、「下半空間」が Figure 2 の右側の四面体に対応することを示す。
セル複体 K をより詳しく調べる。2 セル A, B の和集合は理解しやすい（下図（左）参照）。
また、2 セル C, D の和集合も理解しやすい（下図（中央）参照）。しかし、辺 2（と辺 1) の周りの様子が、わかりにくい。
わかりやすくするために、辺 2 の周りを（Manasco のバブルっぽく）下図（右）のように置く。つまり、 2 つのバブル（3 次元球体と同相なもの）以外では、グラフを S 2 上に配置する。

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Figure 7. セル複体 K の様子

双曲デーン手術定理に向けて讞

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辺 2 の周りでは、2 セル C, D, B, A は下図のようになる。B ′ や A′ は、B と A の裏面のことである。

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妻「・Figure 8. 辺 2 の周りの様子

別の見方をすると、辺 2 の周りは次のようになる。具体的には、辺 2 の周りにセルが 6 つ集まっている。
（図の雰囲気は著書 [2] を参考にした）辺 2 の周りなので、B や A ではなく、B ′ と′A が見えていることに注意。

Figure 9. 辺 2 の周りの様子

6

安部哲哉

「上半空間」において、2 セル A, B, C, D がどのように隣り合っているのかを調べる。2 セル A, C が隣り合っている部分は次のようになる（青線）。辺 1 は（「上半空間」では）隣り合っていないことに注意すること。

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Figure 10. セル A とセル C「上半空間」において、2 セル A, B が隣り合っている部分は次のようになる（青線）。辺 2は（「上半空間」でも「下半空間」でも）隣り合っていないことに注意すること。

Figure 11. セル A とセル B「上半空間」において、2 セル A, D が隣り合っている部分は次のようになる（青線）。辺 2は（「上半空間」では）隣り合っていないことに注意すること。

Figure 12. セル A とセル D

双曲デーン手術定理に向けて

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Claim 1（の証明）より、「上半空間」は 3 次元球体の内部と同相である。これを（貼り付けられた）3 セルの内部と見る。ここで、3 セルとは、（抽象的な）3 次元球体 B 3 をある写像∂B 3 → Kで貼り付けたものである。この写像を指定するために、3 次元球体（中身のつまった風船のイメージ）を次のように膨らませて、3 次元球体の境界が 2 セル A, B, C, D となるようにする。
（可能な限り膨らませた）3 次元球体の境界において、どのように 2 セル A, B, C, D が見えているのかを考察する。

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Figure 13. 3 次元球体を膨らませる
この 3 次元球体の境界に関して、A が下図のようになるように書くことにする。ただし、図は3 次元球体の中から見ているとする。（例えば上図の黒丸から見る）

闞::武呼蕪
寧越:::::
灩:

Figure 14. 3 セルの貼り付け方
残りは次のようになる。次の図により 3 セルの貼り付け方が指定される。

闞::武呼:::
蕪
寧越:

安部哲哉

8

灩::

Figure 15. 3 セルの貼り付け方
同様のことを「下半空間」に対して行うと、次が得られる。下図（左）は、セル複体 K を下から見た図である。

熟 ※
彌戴品6。

Figure 16. セル複体 K の裏側と 3 セルの貼り付け方
以上より、K に 2 つの 3 セルを貼ると（S 3 と同相な）セル複体 K 3 が得られる。ここで 41は、K 3 の全ての頂点と辺 3, 4, 5, 6 を合わせることにより得られる。

ii.
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ここで、辺 3, 4, 5, 6 を一つの頂点 v に潰す。得られたセル複体を M ′ と置く。構成より M ′ \{v}は S 3 \ 41 と同相である。M ′ は次の四面体を貼り合わせたものである。

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どIVFigure 17. セル複体 M ′・・v27

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27

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瀋 圏磯龝※ 餅:B

双曲デーン手術定理に向けて

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最後に M ′ と M が同相であることを確認する。そのために、上の四面体を次のように書き直す。M ′ は次の四面体を「矢印の色」と「矢印の向き」が一致するように、面を貼り合わせたものである。

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Figure 18. セル複体 M ′この貼り合わせは、Figure 2 と同じなので、M ′ と M は同相である。

□安部哲哉10

Claim 1 の証明を補完する。（論理的な間違いがあればご指摘ください）まず、次の二つの S 3に埋め込まれたグラフ G, G′ を考える。

虗Figure 19. S 3 に埋め込まれたグラフ G, G′
グラフ G, G′ の補空間は同相である。実際、S 3 内における G の閉管状近傍 N は、連続変形により G′ の閉管状近傍 N ′ になる。（下図参照）

婚-欗ii.

超Figure 20. S 3 に埋め込まれたグラフ G, G′
これより、同相写像 S 3 \ N → S 3 \ N ′ が存在する。S 3 \ N と S 3 \ G は同相であり、S 3 \ N ′と S 3 \ G′ は同相である。以上より、同相写像

f : S 3 \ G → S 3 \ G′が得られた。この写像 f は A を A′ に、B を B ′ に、C を C ′ に、D を D′ に写す。従って、S 3 \ Ke は同相である。S 3 \ K
e は 2 つの 3 次元球体の内部と同相なので、S 3 \ K も 2 つの 3と S3 \ K
次元球体の内部と同相である。

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References[1] 小島定吉・藤原耕二，サーストン万華鏡 ―人と数学の未来を見つめて.
[2] G. K. Francis, A Topological Picturebook, Springer-Verlag, 1987.
[3] M. Lackenby, Hyperbolic manifolds, http://peoplemaths.ox.ac.uk/lackenby/[4] W. Thurston, Geometry and topology of three-manifolds, Princeton Lecture Notes, 1977/78.
[5] W. Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology, Princeton University Press, 1997.
立命館大学理工学部
Email address: tabe@fc.ritsumei.ac.jp

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