van der Pauw 法による Hall 測定データの評価について
中野武雄

1995 年 4 月 7 日
概 要

van der Pauw 法によって測定したデータから、シート抵抗 (Ω/2) とホール係数 (シート単位) (C/m2 ) を計算する方法について記述する。それぞれの誤差を導出する方法についても述べる。

1測定方法
図 1 のようなサンプルを用いる。測定する値のうち、解析に必要になるのは、試料の 4 端のうちの 2 端に流す電流と、そのとき他の 2 端から得られる電圧、および電流印加時に電磁石に流している電流の 3 つである。この 3 つの組み合わせを、接続を変えながら測定して行く。なお、この図 1 における磁場 B の向きは、電磁石に流した電流 imag が正のときのものとする。

AD
B

BC

図 1: van der Pauw 法測定試料
いま A から B の向きに流した電流を IAB 、C から測った D の電圧を VDC のように表わすことにする。このとき、測定の組み合わせは以下の 6 通りであり、これは後藤・久保作製のスイッチボックスの切り替えに対応している。

1IAB

VDC

23IBC
ICD

VAD
VBA

45IDA
IAC

VCB
VBD

6IBD

VCA

各々の接続において、試料に流す電流を反転して 2 通りについて測定する。この 6 × 2 = 12 通りの測定を、ib = 0, +5, −5, 0[A] の 4 つの電磁石電流について行なう。電磁石の 磁場 B と 励磁電流 imag との関係は、一般にヒステリシスループとなる。このため、励磁電流を設定するときに、

1

電流を大きくして行く方向で合わせるか、小さくして行く方向で合わせるかによって、磁場の強度が変わってしまう。現在のところは、励磁電流値の “絶対値を大きくする方向” で合わせるようにする。
一回ごとの V◦◦ の値の取得は、以下のような手順で行う。

1. アドバンテスト製の定流定圧電源 ( TR6143) を見て、試料電流が流れていないことを確認し、スイッチボックスのスイッチを切り替える

2. HP 製デジボル (HP 34401A) の NULL をいったんクリアし、もう一度 NULL 設定をする( 液晶画面に “MATH” が出ているのが NULL 設定されている状態 )。
3. TR6143 の設定電流値を +20[mA] にする。
4. 電磁石の電流をチェックし、シートに記入する。
5. 試料に流すように設定した電流値をシートに記入する。
6. TR6143 の OPERATE ボタンを押し、電流を流す。
7. 電流印加後、3 秒程度待って HP 34401A の電圧値を読み、速やかにシートに記入する。続けて再び電圧値を読み、シートに電圧値を記入する。
8. TR6143 の電圧表示を読み、OPERATE ボタンを押して電流を止める。TR6143 の電圧値を読めた桁までシートに記入する。
9. TR6143 の設定電流値を −20[mA] にし、4 から 8 までの手順を繰り返す。
10. 終わり。
測定の 1 時間ほど前に、各種計測器と電磁石励磁用電源のメインスイッチを入れ、ウォームアップをしておく。また、測定場所付近にあるエアコンを『冷暖自動』モードで温度 23 ℃ にセットしておく。

2

シート抵抗とホール係数の計算

2.1

R◦◦,22 の決定

試料電流 IAB および 試料電圧 VDC から、RAB,DC を以下の式 1 のように定義する。

RAB,DC = (VDC /IAB )(1)

現在のところ、VDC は IAB が正のときに 2 回、負のときに 2 回測定しているから、合計 4 つのVDC /IAB の値を平均したものを RAB,DC とみなす。1 。

1 ただし、多数の V
DC を測定した場合には、測定時系列にそった傾向がないかどうかを注意する必要があろう

2

2.2

磁場の計算

励磁電流 imag b を完全に ±5[A] に合わせることは難しいので、imag から磁場 B が計算で求められるようにする必要がある。久保・後藤により、電磁石の電流と磁場の関係はすでに測定されている。現在用いている試料ホルダを磁極間に挟んだ状態で、励磁電流 ±5[A] 付近における電磁石の磁場 B と電流 imag との関係を以下に与える。
励磁電流が 5[A] のときは、励磁電流が増えて行く方向で合わせることになる。このとき、imagと B の関係は、次の式 2 で与えられる。

imag = au B + bu B 3 + cu B 5 + du(2)ただしここで au ∼ du は、久保・後藤によって測定から最小二乗法で決定されたパラメータであり、それぞれaubucudu====9.861012
4.294365
1.790570−1.600060

×10−3×10−5と与えられている。
同様に励磁電流が −5[A] のときは、imag –B の関係は、

imag = ad B + bd B 3 + cd B 5 + dd(3)で与えられ、各係数はaubucudu====5.961734
3.343184
3.051448
9.169160

×10−3×10−4となっている。これらの式を用いて、電流値 imag から 2 分法を用いて磁場 B を求めている。精度は 5 桁としている。

2.3

シート抵抗

文献 [1] によれば、シート抵抗 ρS は式 4 で与えられる。

π RAB,DC + RBC,ADf (x)ln 22
ここで x は以下のように定義される量であり、従って 0 < x ≤ 1 の間の値となる。
¶µRAB,DC RBC,AD,
x = min
RBC,AD RAB,DCρS =また、f (x) は次の超越方程式を解いて得られる解である。
½µ¶¾
ln 2
1 − x ln 2= ln 2 coshf1+x f(4)

(5)

(6)

実際には、式 5 より得られた x より、2 分法のアルゴリズムを用いて式 6 を解き、f を求めている。
以上の手続きを RAB,DC – RBC,AD のペアと、RCD,BA – RDA,CB のペアとに対してそれぞれ行い、得られた 2 つの ρS の値を平均して試料のシート抵抗とする。このようにして、各磁場強度におけるシート抵抗をそれぞれ求めることができる。

32.4

ホール係数

薄膜の “シート” ホール係数 RS [m2 /C] は、次の式 7 によって決まる [1]。

∆RAC,BDB
ここで ∆RAC,BD は、次の式で定義される量である。
RS =(7)∆RAC,BD = RAC,BD |B=B − RAC,BD |B=0
このときの磁場の向きに関しては、図 1 中の向きを正とする。
実験では、まず imag = 0, +5, −5, 0[A] の各点で RAC,BD を測定する。またそれぞれの imag における磁場 B の値を 2.2 の方法で決定する。この 4 つの ( RAC,BD , B ) データセットより、最少二乗法で傾き ∆RAC,BD /B を求める。
磁場 Bi における RAC,BD を Ri (i = 1 . . . 4) と表わすことにすると、この傾きを求める表式は以下のようになる [2]。

∆RAC,BD=B

4

X

Bi Ri −i4X

Bii

X

Bi 2 −

ÃXX

Rii(8)!2Biii

同様に ∆RBD,CA /B を求め、2 つの値の平均値を RS とする。

3

各値の誤差の導出

3.1

R◦◦,22 の誤差

現在は I > 0 で 2 点、I < 0 で 2 点、電圧を測定している。これらをそれぞれ R1+ 、R2+ 、R1− 、R2− とおくことにする。まず R± の誤差は、次の式 9 で与えられるものとする。
µ±

δR = maxµstdev(R1± , R2± ),δIs
δVm+V22I◦◦

¶¶

R±(9)

ここで stdev は標準偏差の意味である。δVm 、δIs はそれぞれ HP 34401A、TR6143 の機器誤差で、現在は Vm = 0.5[µV ]、Is = 0.5[µA] としている。これらはいずれも最小表示桁の 1/2 である。

δR◦◦,22 は、この δR+ と δR− を用いて、以下の式で決定している。
µ¶
δR+ + δR−
δR◦◦,22 = max stdev(R+ , R− ),2
ただし、R◦◦,22 ≈ R+ ≈ R− を仮定している。

3.2

シート抵抗の誤差

RAB,DC と RBC,AD から求まるシート抵抗 ρpivot−Bの誤差を、式 4 と誤差伝播の法則より求Sめると、RAB,DC > RBC,AD の場合においてµ¶δRAB,DC + δRBC,ADπpivot−BδρSf=ln 22µ¶ µ¶πRAB,DC + RBC,ADδRBC,ADRBC,AD δRAB,DC0+f+ln 22RAB,DCRAB,DC 24(10)となる。RAB,DC < RBC,AD の場合には、上式中の RAB,DC と RBC,AD とを入れ替える。またここで f 0 は、式 6 の両辺を x で微分して整理することによって、½µ¶¾2
1 − x ln 2tanh(1 + x)21+xf½µ¶¾f0 = f1 − x ln 21 − tanh1+xfで与えられる。
同様に δρpivot−Dも求め、最終的に δρS を次の式から求める。
S!
Ã³´δρpivot−B+ δρpivot−D
pivot−B pivot−DSSδρS = max, stdev ρS, ρS23.3

ホール係数∆RAC,BD /B と ∆RBD,CA /B とを最小二乗法で求めた際の傾きの誤差を、それぞれ δ(∆RAC,BD /B)および δ(∆RAC,BD /B) とする。具体的な表式は以下のようになる [3]。

Xµδ

∆RB

¶
=(δR)i−2i

X(δR)i−2iX

2Bi (δR)i−2−

ÃX!2Bi (δR)i(11)−2ii

これらから、µ ½ µ¶µ¶ ¾µ¶¶
1∆RAC,BD∆RBD,CA∆RAC,BD ∆RBD,CA
δRS = maxδ+δ+ , stdev,
2
BB
BB
で誤差を定める。

参考文献[1] 金原 粲, 藤原英夫: 薄膜, 裳華房 (1979) p.255[2] 1993-1994 計数実験第一テキスト p.7[3] 中野武雄: 『最小二乗法による線形モデルのパラメータ決定について』馬場研輪講資料 1995-09-145