Préparation à l’agrégation

université Lyon I — 2016-2017

Leçon 107 Représentations et caractères des groupes finis

1Questions possibles

Pourquoi les représentations irréductibles d’un groupe abélien
fini sont-elles de dimension 1 ?
Réponse : si G est abélien et r : G → GLn (C) est une représentation
irréductible, alors r(G) est formé de matrices diagonalisables (car annulées
par X |G| − 1 qui est scindé à racines simples sur C) qui commutent deux àdeux (car G est abélien) donc il existe une droite propre commune !
Exemple de groupes non isomorphes qui ont la même table decaractères sur C ?
Réponse : par exemple D4 , diédral d’ordre 8 et le groupe Q8 (sous-groupedes quaternions non nuls d’ordre 8 : {±1, ±i, ±j, ±k}.
Comment retrouver les sous-groupes distingués de G par sa
table de caractères ?
Réponse : les sous-groupes distingués sont des intersections de noyaux
de représentations irréductibles. Sio r : G → GL(V ) est irréductible, alors
ker r = {g ∈ X : r(g) = r(1)}.
Pourquoi les éléments de la table des caractères sont-ils desentiers algébriques ?
Réponse : les traces sont des sommes de valeurs propres, or les valeurs
propres sont des racines de l’unité car dans un groupe fini d’ordre d, toutélément g vérifie g d = 1, ....
Donner une représentation irréductible de Sn de dimension n−1.
Réponse : la représentation par permutation des coordonnées dans l’hyperplan {(x1 , ..., xn ) : x1 + .... + xn = 0}.
Justifier que si χ est un caractère, alors χ(g −1 ) = χ(g).
Réponse : χ(g −1 ) est la somme des inverses des valeurs propres de g, orcomme g est d’ordre fini, ses valeurs propres sont des racine s de l’unité. Or
pour un nombre complexe de module 1, l’inverse est le conjugué ...
Pourquoi y a-t-il des coefficients non réels dans la table de A4
où A5 ?
Réponse : dans A4 , le 3−cycle (123) n’est pas conjugué à son inverse(321), donc il existe χ irréductible tel que χ(g) 6= χ(g −1 ) = χ(g)2Développements possibles

Développement 1 Table des caractères de A5 . Référence : [3, Lect. 3]
1

Préparation à l’agrégation

université Lyon I — 2016-2017

Développement 2 Table des caractères des groupes diédraux Dn (cf. [5,exo 6, ch. XVIII])
Développement 3 Structure des groupes abéliens finis en utilisant que G 'b dual de G, si G est abélien fini. Dans ce cas, il faut savoir démontrer leG,
corollaire suivant : si G est un sous-groupe fini d’un K × où K est un corps
commutatif, alors G est cyclique. Référence :[2]Développement 4 La table des caractères de Sn est à coefficients entiers.
On utilise cette propriété remarquable de Sn : si σ est une permutation
d’ordre d, alors pour tout k premier à d, on a σ k conjugué à σ ... Référence = [4, Prob. 2.12]
Développement 5 Référence : [6, §13.2]
Théorème de Frobenius-Schur : Si r : G → GLn (C) est une représentation irré ductible d’un groupe fini G, on note ir son indice de Schur :ir =1 X
χr (g 2 ) .
|G| g∈GALORS : ir = 0, ±1 et on a :ir = 0 ⇒ χr 6= χr
ir = 1 ⇒ r « peut se réaliser sur R »ir = −1 ⇒ χr est réel mais r ne peut se réaliser sur R
Développement 6 (théorème de Burnside) Tout groupe fini G d’ordre
pa q b , où p, q sont des nombres premiers et a, b ∈ Z≥1 est résoluble i.e. :∃G = G0 . G1 . ... . GN = 1, ∀ 0 ≤ i ≤ N − 1, Gi /Gi+1 est cyclique.

Remarques : être capable de donner un contre-exemple : A5 est non résoluble d’ordre 22 .3.5.
Référence : [1, Append.]
Démonstration : Si p = q, c’est facile car dans un p−groupe le centre est
non trivial ... Supposons p 6= q et raisonnons par récurrence sur a + b.
C’est évident si a + b ≤ 1. supposons a + b ≥ 2 et que le résultat est vrai
si a0 + b0 < a + b. supposons p < q.
Soit Q un q−Sylow de G. Comme Q est un q−groupe, son centre est nontrivial donc il existe 1 6= g ∈ Q tel que Q ≤ C(g), centralisateur de g.
On a bien entendu [G : C(g)]|[G : Q] donc [G : C(g)] = pn pour uncertain n ∈ N.
2

Préparation à l’agrégation

université Lyon I — 2016-2017

Si n = 0, c’est fini car Q / C(g) = G et G/Q et Q sont résolubles (unp−groupe et un q−groupe.
Supposons n > 0.
Soit ρ : G → GL(V ) une représentation irréductible. Si C est la classe deest entier sur Z ! c’est le point difficile de laconjugaison de g, alors |C| χχ(g)ρ (1)démonstration ... :X

ρ(x)

x∈C

commute avec ρ(h) pour tout h ∈ G. En effet,
ρ(h)ρ(x)ρ(h)−1 =Xx∈CX

ρ(hxh−1 )x∈C=Xρ(x) .

x∈CTr(ρ(x))

Px∈C ρ(x) est une homothétie de rapport : λ =Pχρ (x)= |C| χχρρ (g). Or x∈C ρ(x) est aussi la restriction àχρ (1)(1)

D’après
le lemme
P de Schur,
P=PP
V vu comme sous-espace de C[G] de x∈C x : ey 7→ x∈C exy . Or ce dernier
endomorphisme de C[G] a une matrice à coefficients entiers (dans la base(ex )x∈G de C[G]. Donc ses valeurs propres et en particulier λ est un élémententier sur Z !
q.e.d.
x∈CdimVx∈CRéférences[1] Alperin & Bell. Groups and representations. Springer-Verlag, 1995.
[2] Colmez. Élements d’analyse et d’algèbre.
[3] Fulton & Harris. Representation theory, a first course. Springer, 2004.
[4] Isaacs. Character theory of finite groups. Dover Publications, 1976.
[5] S. Lang. Algèbre. Dunod, 2014.
[6] JP Serre. Représentations linéaires des groupes finis.

3