宇宙重力波望遠鏡がひらく未来藤田 龍一
京都大学基礎物理学研究所

第32回理論懇シンポジウム
2019年 12月27日(金)国立天文台三鷹キャンパス

藤田 龍一 (京大基研)

宇宙重力波望遠鏡がひらく未来

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内容• 宇宙重力波望遠鏡LISAとその重力波源• Extreme Mass Ratio Inspirals (EMRIs)• Black Hole Perturbation Club/Black Hole Perturbation Toolkit? 公開データと公開コード∗ ポストニュートン近似のデータ∗ Kludge Waveforms∗ Fast self-forced inspirals• まとめ

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Laser Interferometer Space Antenna (LISA)• 宇宙空間レーザー⼲渉計型重⼒波望遠鏡• LISA pathfinder（2015-2016年）の後継• ESA L3 mission採用 (2017年)• 2034(2032?)年打ち上げ予定• 数年(以上?)の観測期間• 干渉計の長さ: 250万km(cf. 4km for Advanced LIGO)? 低周波での観測? 新たな重力波源
藤田 龍一 (京大基研)[https://www.lisamission.org/articles/lisa-mission/lisa-mission-proposal-l3]
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nHz、mHz、kHz帯の重力波観測計画[http://rhcole.com/apps/GWplotter/]
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4 / 26LISAの重力波源• 大質量ブラックホールの合体• Extreme Mass Ratio Inspirals (EMRIs)• 銀河系内の連星白色矮星• 連星ブラックホール (例:GW150914)• 背景重力波- Astrophysical : Unresolved binaries, ...
- Cosmological : インフレーション、初期宇宙での相転移、...

以下では連星からの重力波(特にEMRIs)について
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コンパクト天体連星系からの重力波• GW150914 [Abbott+(2016)]• Inspiral期 (TRR  Torb )ポストニュートン近似が有効? 準円軌道の場合、inspiralは単調なチャープ信号• Merger期 (Dynamical phase)
数値相対論が必須• Ring down期 (減衰振動)
ブラックホール摂動が有効⇒ データ解析ではフーリエ変換(Matched filtering)藤田 龍一 (京大基研)

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6 / 26LISAで観測される連星重力波• heff (f ) ∝ f −1/6 , f ∼√G ρ ∼ 10−3

106 MM
6GM 3/2[Hz]c 2r[Babak et al.,arXiv:1702.00786]
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7 / 26LISA観測で期待されること• 大質量ブラックホールの合体 (チャープ信号)? MBHの合体率、質量や自転の進化、軌道離心率? 強重力場での相対論の検証? High red shiftでもSN高いため精度のよい観測可能• Extreme Mass Ratio Inspirals (複雑なチャープ信号)? コンパクト星が巨大質量BHを∼ 106 回周回しBH時空を検針[cf. GW170817 (連星中性子星合体) ∼ 3 × 103 回転]? ブラックホール摂動論で高精度の重力波理論波形予測可能• 銀河系内の連星白色矮星 (単色信号)? 重力波観測確実な連星系が存在する? 多すぎてconfusion noiseになりえる• 連星ブラックホール (チャープ信号)? GW150914の観測後、認識される [Babak et al. (2017)]? 恒星質量ブラックホール連星の合体予報 (多波長観測)
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8 / 26LISA観測で期待されること• 大質量ブラックホールの合体 (チャープ信号)? MBHの合体率、質量や自転の進化、軌道離心率? 強重力場での相対論の検証? High red shiftでもSN高いため精度のよい観測可能• Extreme Mass Ratio Inspirals (複雑なチャープ信号)? コンパクト星が巨大質量BHを∼ 106 回周回しBH時空を検針[cf. GW170817 (連星中性子星合体) ∼ 3 × 103 回転]? ブラックホール摂動論で高精度の重力波理論波形予測可能• 銀河系内の連星白色矮星 (単色信号)? 重力波観測確実な連星系が存在する? 多すぎてconfusion noiseになりえる• 連星ブラックホール (チャープ信号)? GW150914の観測後、認識される [Babak et al. (2017)]? 恒星質量ブラックホール連星の合体予報 (多波長観測)
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Extreme Mass Ratio Inspirals (EMRIs)
Mµµ<<MGW• 銀河中心の大質量ブラックホールを周回するコンパクト星? LISAの主要標的のひとつ: ∼ 101−3 events/yr out to z ∼ a few? µ/M ∼ 10−5 − 10−7 (M ∼ 105−7 M , µ ∼ 1 − 10M )? 銀河中心で捕獲されるため軌道離心率と傾斜角を持つ? 断熱的散逸: (TRR ∼ MTorb /µ ∼ year)  (Torb ∼ hour)? 重力波サイクル数 = NGW ∼ fGW Tobs ∼ 105 − 106(fGW ∼ mHz, LISA mission time = Tobs ≥ 3 yrs?)? EMRI重力波観測のために必要な理論波形の精度∆(dE /dt)∆NGW−5NGW ∼ dE /dt < 10? 質量、自転角運動量、光度距離、位置、相対論の検証、· · ·藤田 龍一 (京大基研)

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二体問題に対する近似法• M/µ  1 ⇒ ブラックホール摂動法が適用可能? 連星間の距離は小さくてもよい⇒ 強重力場の下でも近似は破綻しない• 異なる近似法は互いに相補的⇒ 比較により適用可能領域を確認できる[By TimothyRias, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=31967843]
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Black Hole Perturbation Club (BHPC)• Black Hole Perturbation Club (日本)
? EMRI重力波の計算に使えるデータが公開されている[http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/˜misao/BHPC/index.html]
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Black Hole Perturbation Toolkit (BHPT)• Black Hole Perturbation Toolkit (欧州)
? EMRI重力波の計算に使えるコードとデータの公開[https://bhptoolkit.org ]藤田 龍一 (京大基研)

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BHPC/BHPTの公開データとコードの一例• KerrGeodesics• QuasiNormalModes• PostNewtonian-SelfForce• Gremlin? Kerr BHを円軌道で周回する粒子からの重力波• EMRI Kludge Suite (後出)
? 重力波を評価する(その場しのぎの)コード• Fast Self-forced Inspirals (後出)? Schwarzshild時空でのinspiral(準楕円)軌道を求めるコード

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BHPC/BHPTの公開データとコードの一例• KerrGeodesics• QuasiNormalModes• PostNewtonian-SelfForce• Gremlin? Kerr BHを円軌道で周回する粒子からの重力波⇒ ポストニュートン近似の精度を確認できる• EMRI Kludge Suite (後出)
? 重力波を評価する(その場しのぎの)コード• Fast Self-forced Inspirals (後出)? Schwarzshild時空でのinspiral(準楕円)軌道を求めるコード

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Energy flux at 22nd post-Newtonian order• 22PN formula for circular orbits in Schwarzschild spacetime(22PN: リーディングから(v /c)44 までの補正を考える)
dE
dt

 "44711 48191 π 51247 23v + 4πv −v −v
1−
dt N
336
9072
672



dE

(6643739519=+69854400(−++−(++3178375200

dE
dt

2831932303200

N= 325105

4410
6848 γ π

2500861660823683

8399309750401 π

1712 ln v

232597 γ−

101708006400

−105323105549467

745113600+

1712 γ265978667519 π(where−+105++−+4410
6848 ln v π1057858620

1176+−

3232597 ln v

916628467 γ177293 γ π

16 π 2+−−3424 ln 21369 π 21267858620

1176+105

916628467 ln v

p6v −+−

16285 π 7v
50439931 ln 229413696 π ln 2177293 ln v πµ 2 10v and v =M)

105


v

−47385 ln 3)1568v

89424223 π 26804

8521283 π ln 2
17640

−

−

83217611 ln 21122660

142155 π ln 3784+47385 ln 3)

196v

10)

#v

11+ · · · + O(v44) ,GM/r .
[RF (2012)]

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PN近似と数値計算の位相差δψ22 (q = 0)

|Ψ22Numerical-Ψ22PN|[rad]• 位相計算は、円軌道でdv /dt = (dE/dt)(dE /dv )R−1 を使う。
R
(h22 =| h22 | e iψ22 , ψ`m ∼ m Ωφ (t)dt ∼ m v (t)3 dt)? BHへ落下する2年の間にずれる位相差⇒ 22PN ∼ 10−2 rads
105
104
103
102
101
100
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6

5.5PN
10PN
14PN
18PN
22PN

024System-II6810 12 14 16 18 20 22 24t[Month][Numerical results: RF and Tagoshi (2004,2005)]
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PN近似と数値計算の位相差δψ22 (q = 0.9)• 位相計算は、円軌道でdv /dt = (dE/dt)(dE /dv )R−1 を使う。
R
(h22 =| h22 | e iψ22 , ψ`m ∼ m Ωφ (t)dt ∼ m v (t)3 dt)? BHへ落下する2年の間にずれる位相差2⇒ 11PN ∼ 10
rads
6104PN-ρ
5PN-ρ
6PN-ρ
7PN-ρ
8PN-ρ
9PN-ρ

|Ψ22Numerical-Ψ22PN|[rad]

105
104
103
2System-II for q=0.90

1011010010-1-21010-310-410PN-ρ
11PN-ρ
0246810 12 14 16 18 20 22 24
t[Month][Numerical results: RF and Tagoshi (2004,2005)]
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EMRI重力波の振動数• 自転するBHのポストニュートン近似の位相は、数値位相からのずれが大きい• 最内安定円軌道におけるEMRI重力波振動数(BHの自転あり)? (参考) BHの自転なし: ΩGW = 4.4 × 10−3 Hz
a/M
1.0 (retrograde)
0.9 (retrograde)
0.5 (retrograde)
0.0
0.5 (prograde)
0.9 (prograde)
1.0 (prograde)rISCO /M
9.000000000
8.717352279
7.554584713
6.000000000
4.233002531
2.320883043
1.000000000

MΩISCO
0.03571428571
0.03754018063
0.04702732522
0.06804138173
0.1085883589
0.2254417086
0.5000000000



106 M
M



vISCO
0.3293168780
0.3348359801
0.3609525320
0.4082482904
0.4770835292
0.6086179484
0.7937005260[Sago et al., arXiv:1601.02174; Fujita et al., arXiv:1707.09309]
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ポストニュートン(PN)近似の収束性• PN近似のオーダーを上げれば収束領域も大きくなる傾向• しかし、q > −0.3だと11PNでは不十分

Orbital velocity at the edge of AR

0.8
N=4
N=5N=6N=7
N=80.70.6

N=10N=15
N=20vISCO

0.50.4
0.3
0.2
0.1-1

藤田 龍一 (京大基研)-0.8 -0.6 -0.4 -0.2

00.2 0.4 0.6 0.81q[Sago, Fujita and Nakano (2016); Fujita, Sago and Nakano (2017)]
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傾斜した楕円軌道• 3つの軌道要素:p
速度 v = M/p (軌道長 p)
離心率 e
傾斜角 θinc⇒ 運動の3定数に対応:
エネルギー E
角運動量 L
カーター定数 Cp⇒ r (t) = 1+e cos(χ(t)−χ,0)
Y ≡ cos θinc = √ L2z

Lz +C[arXiv:1903.03686]
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傾斜した楕円軌道• 3つの軌道振動数が存在
周回運動 Ωφ
軌道面運動 Ωθ
動径運動 Ωr⇒ 重力波の振動数ΩGW = mΩφ + nθ Ωθ + nr Ωr[arXiv:1903.03686]
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傾斜した楕円軌道からの重力波
dE

∞

dtt

2




1247
37 49181 2 809 48609 673 22v
e +e + −−e +e +e1+
5M
24
96
336
672
128
5376




 
731375
823
3935
949
10007
4912463+ 4π −qY +π−qY e +π−
qY e +
π−qY ev
124824192
329216192
44711
527 2 2329 2
1721574379 26533 2 22+ −+
q Y −
q + −
−
q +q Ye9072
96962592
192
192


 
3823 22764345
6753 2 23743
363 22855 2 24
64+ −
e +ev
q −+q Y−q +q Y25624192
2562304
512
1536
3665
8191
9 315 3 3+
qY −
π−
q Y −
Y q336672
3232

175944531
135 3225 3 3152+qY −π−q Y −Y q −qY e
5633664648
111203
4311389405 3675 3 3454+ −
qY −
π−
q Y −
Y q −
qY e
134443008
25625632
 
49685
15670391
45 37553 3658 6+ −qY +π−
q Y −
Y q −
qY e
v + · · · O(v , e ) ,448
38707251251264=−32µ2 3/2 10(1 − e )vwhere −1 ≤ Y ≤ 1 (Y = 1: equatorial orbit, Y = 0: polar orbit).
[Sago and RF (2015)]
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17 / 26傾斜した楕円軌道の場合のPN近似の誤差? |1 − dEdt PN /dEdt Num | for q = 0.9, e = 0.1, and 0.7, ι = 20◦101
q=0.9, e=0.1, ι=20°

100
-110

∝1/p3
∝1/p3.5

10-2
10-3∝1/p4.5

10-4-5102.5PN O(e42)3PN O(e6)4PN O(e )-61010-71101001000|1-dEdtPN/dEdtNumerical||1-dEdtPN/dEdtNumerical|

101

q=0.9, e=0.7, ι=20°

100
-1

10

10-2
10-3
10-4
10-5

2.5PN O(e2)3PN O(e46)4PN O(e )10-610-71p10100

1000

p

[Numerical results : RF, Hikida and Tagoshi (2009)]⇒ e = 0.1 (e & 0.5)の時、4PNの相対誤差は∼ 1/p 9/2 (& 1/p 9/2 )⇒ 矛盾はないが、不十分な精度
藤田 龍一 (京大基研)

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18 / 26

傾斜した楕円軌道からの重力波• 数値計算を含めLISAデータ解析につかえる波形はまだない• しかし、将来のデータ解析に向けた訓練は必要? LISA MOCK DATA CHALLENGE[Babak et al., arXiv:0912.0548]
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19 / 26

傾斜した楕円軌道からの重力波• 数値計算を含めLISAデータ解析につかえる波形はまだない• しかし、将来のデータ解析に向けた訓練は必要? New LISA Data Challenge 1 (∼ 2019年12月31日)[https://lisa-ldc.lal.in2p3.fr/ldc]
藤田 龍一 (京大基研)

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19 / 26

傾斜した楕円軌道からの重力波• 数値計算を含めLISAデータ解析につかえる波形はまだない• しかし、将来のデータ解析に向けた訓練は必要? EMRIs Analytic Kludge waveforms modeling[https://lisa-ldc.lal.in2p3.fr/ldc]
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Kludge Waveforms:その場しのぎのEMRI波形• Analytic kludge (AK) [Barack & Cutler (2004)]? Peter-Mathews waveforms∗ Kepler軌道∗ PN fluxで軌道進化⇒ 精度はよくないが、計算コスト小さい⇒ データ解析の訓練やパラメータ決定精度の見積りに便利

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Analytic Kludge waveforms• 円軌道 [ΩGW = mΩφ + nr Ωr = mΩφ + (n − 2)Ωr = mΩφ ]? 円軌道ではn = 2のモードのみ存在 ∝ f −1/6
6−19µ/M=10/10e(LSO)=0
ν(LSO)=2.20 mHz
ν(LSO−10yrs)=0.58 mHz

10n=2hc,nSinst+conf−2010Sinst−2110−3−21010f (Hz)藤田 龍一 (京大基研)

宇宙重力波望遠鏡がひらく未来−110[Barack and Cutler,gr-qc/0310125]
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21 / 26

Analytic Kludge waveforms• 楕円軌道 [ΩGW = mΩφ + (n − 2)Ωr ]? 軌道離心率が非ゼロだと動径方向の振動モードが複数ある−19106µ/M=10/10e(LSO)=0.1e(LSO−10yrs)=0.378
ν(LSO)=2.06 mHz
ν(LSO−10yrs)=0.49 mHz

n=2Sinst+conf−20

n=3Sinst
n=1hc,n10n=4−2110

n=5−3−21010f (Hz)藤田 龍一 (京大基研)

宇宙重力波望遠鏡がひらく未来−110[Barack and Cutler,gr-qc/0310125]
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21 / 26

Analytic Kludge waveforms• 楕円軌道 [ΩGW = mΩφ + (n − 2)Ωr ]? 軌道離心率が大きくなると多くのモードに分配される−1910

6µ/M=10/10e(LSO)=0.3e(LSO−10yrs)=0.77
ν(LSO)=1.65 mHz
ν(LSO−10yrs)=0.23 mHz

n=3Sinst+conf−20

n=5Sinst

hc,n10n=4n=6n=1n=7n=2n=8−2110

n=9−3−21010f (Hz)藤田 龍一 (京大基研)

宇宙重力波望遠鏡がひらく未来−110[Barack and Cutler,gr-qc/0310125]
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21 / 26

EMRI Kludge Waveforms• Kludge modelingsと数値波形モデル (赤道面楕円軌道)? Numerical Kludge(緑)、AAK(赤)? 公開コードは` = 2のモードしか含んでいないようだ? BHの質量によっては` ≥ 3しか見えないこともあるかも
M=106, mu=10, q=0.1, p0/M=11.4, e0=0.1-1810AAKNKTeukolsky (l=2)
Teukolsky (l=3)
Teukolsky (l=4)
SLISA(f)heff(f)

10-19
10-20
10-21
10-220.001

0.01
Hz

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EMRIのパラメータ決定精度• SNR=20で固定• 合体する最後の2年間でO(105 )程度の重力波のサイクル数• ∆ ln Mz , ∆ ln µz ,∆q,∆e合体時∼ 10−6 − 10−4• ∆Ω ∼ 10−5 − 10−3• ∆ ln DL ∼ 0.05 − 0.2[Gair et al., arXiv:1704.00009]
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Fast Self-forced Inspirals• Schwarzshild時空中のinspiral軌道? 以下の領域(∼ 4 × 104 点)でフラックスなどを数値計算
0.80.70.6e0.50.40.30.20.105101520253035404550p[Osburn, Warburton and Evans (2016)]

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Fast Self-forced Inspirals• Schwarzshild時空中のinspiral軌道? 数値内挿を実行して、inspiral軌道を求める
0.80.6-20e-25

0.4-5-10-15-30-35-40 -45-50-55-60

0.2-65-70-75

0.010203040p[Osburn, Warburton and Evans (2016)]
藤田 龍一 (京大基研)

宇宙重力波望遠鏡がひらく未来

第32回理論懇シンポジウム

24 / 26Fast Self-forced Inspirals• Kerrの場合に、同じことをするためには? (q, θinc )も考慮した数値データを増やす必要ある∗ 断熱波形はLISA Science Group Work Packagesの今後2年の目標(?)[1.2.1 “EMRI model development”, https://tinyurl.com/ybsul6vs][1.2.2 “EMRI waveform development”,https://tinyurl.com/y9qt4jjh]

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藤田 龍一 (京大基研)

宇宙重力波望遠鏡がひらく未来

第32回理論懇シンポジウム

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まとめ• 宇宙重力波望遠鏡LISAが2030年代前半に打ち上げ予定? ∼mHzに感度をもつ? 地上重力波望遠鏡とは違ったターゲット? Astrophysics, Cosmology, Fundamental Physicsへの影響∗ 大質量ブラックホールの合体∗ Extreme Mass Ratio Inspirals∗ 銀河系内の連星白色矮星∗ 連星ブラックホール∗ 背景重力波藤田 龍一 (京大基研)

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まとめ• 宇宙重力波望遠鏡LISAが2030年代前半に打ち上げ予定? ∼mHzに感度をもつ? 地上重力波望遠鏡とは違ったターゲット? Astrophysics, Cosmology, Fundamental Physicsへの影響∗ 大質量ブラックホールの合体∗ Extreme Mass Ratio Inspirals
LISA Data Challengeに使える理論波形の提供(Kludge modelよりも早く高精度な波形)
LISAデータ解析に適用できる理論波形の提供(Adiabatic waveforms ∼ 2 year?)(Post-adiabatic waveforms ≥ 5 year?)(??? for ??? year?)∗ 銀河系内の連星白色矮星∗ 連星ブラックホール∗ 背景重力波藤田 龍一 (京大基研)

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