受験番号2023 年度

一橋大学大学院ソーシャル・データサイエンス研究科（修士課程）
二次選考（筆記試験）

統計学・情報学 入試問題
2023 年 1 月実施【注意事項】

１．「解答はじめ」というまで開いてはいけない。試験時間：10 時 30 分～11 時 30 分。
２．問題は本文 16 ページ、解答用紙は２枚である。下書き用紙２枚は自由に使ってよい。
試験開始後、直ちに確認し、ページ数・枚数が異なる場合は、手を挙げなさい。
３．試験開始後、問題の表紙、解答用紙、下書き用紙に受験番号を正確に記入しなさい。
氏名は記入しないこと。
問題、解答用紙、下書き用紙は一切持ち帰らないこと。
４．統計学①

統計学②

情報学①

情報学②の４つの問題から２つを選んで、それぞれ別々の解答用紙に日本語または英語で解答を記入しなさい。
解答用紙上段の「問題名」の中から、各解答用紙で解答する問題名１つを選んで、○で囲みなさい。１枚の解答用紙で２つ以上の問題名を○で囲んでいる場合や、問題名を○で囲んでいない場合は得点を与えないので、以下の記入例をよく確認すること。
《記入例》 統計学① 及び 情報学① を解答する場合
解答用紙１枚目
問題名

以下の中から解答する問題名１つを選んで、○で囲みなさい。
もう一方の解答用紙で選択した問題を選ぶことはできません。

統計学① ／ 統計学② ／ 情報学① ／ 情報学②
解答用紙２枚目
問題名

以下の中から解答する問題名１つを選んで、○で囲みなさい。
もう一方の解答用紙で選択した問題を選ぶことはできません。

統計学① ／ 統計学② ／ 情報学① ／ 情報学②
５．解答を記入する際は、解答する問の番号（問１、問１.(1)等）を必ず記入すること。

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i=1Â↵n(1)–(3)kTHà(1) ãaA1 , A2 , . . . LíDkíÕgBãhoiFDFShK]nö©íyà(2) ∫ánl⌃1 – 3í(Df!na) – c)í:[a) P(ÿ) = 0;b) ãaA, BLB µ AíÄ_YhMP(B) Æ P(A);c) ÷¸ÎnI✏⇢˚✏nÍ6pnkdDfPA n€

i=1AiBÆnÿP (Ai ) .

i=1(3) Bã0!Ó¨n⌫H0,1 , . . . , H0,m k˛‹Yãp$í]å^åp1 , . . . , pm hYã
H0 : H0,1 ﬂ · · · ﬂ H0,mk˛Yã✏4ñ–n⌧öíÀ⇣[à–3–vs. H1 : not H0

Ó¨nD

O2
2!C«¸ø(y1 , x1 ), . . . , (yn , xn )oÂ↵n\(yiú = xi — + ui ,_`W ¨√Ø⌃⇤pxi o^∫áp⌫p‚«ÎkìFhYãY]1
yi =[0otherwise,¬p—o*Ân—È·¸øgBäP(ui Æ t) = (t) :=KânÏÀ⇡,hYã

if yiú Ø 0,§Ó⇧ui oÌ∏π∆£exp(t)
1 + exp(t)Â↵n(1)–(4)kTHàˆ(1) ˛p$¶¢phπ≥¢¢pí ˙W_FHg —n $®öœ—íö©[àˆ(2) ’£√∑„¸≈1œí ˙W_FHg —n8—⌃⇤íTHà 8—⌃⇤nÅjD(3) Ó¨nD
H0 : — = 0 vs. H1 : — ”= 0k˛Yã✏4ñ–n⌧öíÀ⇣[à(4) — = 1nhMn⌧˙õkdDfp÷[à–4–˙N↵o≈O3⁄bﬁ0‚«ÎkJQãà,§ÓU°í⇤Hã ~Z ijÓn«¸øíúD_⌦g®öWˆ 2_—n ✏åW®öœ—ˆ[i] í(Df à,§Ó(yi ≠x€
i —[i] ) íU°Yã _`W xi o(p+1)◊1n¨pn⌫ŸØ»ÎhYã Såíi = 1, . . . , nk˛Wfpä‘WLD Â↵nsGà,§Óí óYãMPE1 =1ÿ
ˆ 2(yi ≠ x€i —[i] )n i=1nSåo Â↵n!Xjbk¯MÙ[ãShLÂâåfDãMPE2 =_`W Xon ◊ (p + 1)n¨42n 3
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n i=1 1 ≠ x€ii (X X)pn’Î˚ÈÛØL⌫hYã(1) MPE2 nh˛k¯MÙ[ãShkàäKp÷[àsGà,§ÓnókinàFj·Í√»LBã(2) A œ Rn◊n on ◊ nncGL⌫ u v œ Rn◊1 í]å^ån ◊ 1n⌫ŸØ»ÎhYã SnB
Sherman-Morrison-Woodburynl✏oÂ↵nàFk Hâåã(A ≠ uv € )≠1 = A≠1 +A≠1 uv € A≠11 ≠ v € A≠1 u_`W 1 ≠ v € A≠1 u ”= 0hYã Ê∫íW Û∫íVhö©WIn í:[ _`W In on!CnXML⌫hYã(3) X[i] Y[i] o:[]å^åXYniLÓíJdW_L⌫hYã

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fV (v) =341vexp≠
2a22a2for v > 0g Hâåã SnB È◊Èπ⌃⇤ocè⌃⇤h⌥p⌃⇤nmixturegh˛gMãSh
í:[ d~ä Â↵nI✏L⇣ÀYãShí:[34 ⁄ Œ
1|x|exp ≠=
fX|V =v (x)fV (v)dv
2aa0_`W[à≈Åk‹XfÂ↵n⌃¨¶π⌃⇤(sG—È·¸øµ,f (v; µ, ⁄) =(2) Â↵n⁄bﬁ0‚«Îk˛Wf

Ú34⁄⁄(v ≠ µ)2exp≠2ﬁv 32µ2 vb∂—È·¸ø⁄)í)(for v > 0—nãM⌃⇤kÈ◊Èπ⌃⇤í⇤Hã d~ä‘ ≥ N (0, ‡ 2 In )34pŸ
1|—j |2ÔÔp(—|‡ ) =exp ≠2a ‡2
j=1 2a ‡y = X— + ‘,hYã 1)nh˛k˙eM —nãå⌃⇤L„êÑkà ≈Åk‹Xf Í⌃g—È·¸øíö©YãSh(3) (2)góâå_h˛í(Df˙gMãàFkp(—|‡ 2 )íb[—j nãå⌃⇤í„êÑk ˙[à(4) p(—|‡ 2 )k¨¶π⌃⇤íi(Yã4 k‘yf È◊Èπ⌃⇤íi(YãShginàFjUDL XFãKp÷[à .✏®öhn¢#Çp÷[à–6–≈1f`C ûkàã«¸øÀ í(D_∞È’¢"n◊Ì∞È‡kdDf Â↵nODkTHà jJ ⌅OkJDf ◊Ì∞È‡nΩ¸π≥¸…í⇠Yãõko Ê⌃ÖπL$%Ô˝jÏ<≥¸…gBåp ≥∆jC ûkìèjOfÇÔhYãO1πø√Ø ≠Â¸h|påã«¸øÀ
↵¶g¨ [àn!πLinàFj«¸øÀgBãKíè[f5LO2Â↵n◊Ì∞È‡ 1nàFkC• push():πø√ØxnÅûgπø√Øíü≈W Â↵nàFk¢píö©W_n˝†• pop():πø√ØnH-Å nJd• top():πø√ØnH-Å xn¢Øªπ~_ MAX_SIZEoöpgπø√Øn 'nµ§∫íhYﬁØÌgBã push()n¢pö©kBãz⌅`keã◊Ì∞È‡í1–3L↵¶g pop()n¢pö©kBãz⌅akeã◊Ì∞È‡í2–6L↵¶g¯Q–7–◊Ì∞È‡ 1Cûkàãπø√Ønü≈ã

1 #define MAX_SIZE 32
23 struct stack {45int top;
int data[MAX_SIZE];

6 };78 void init(struct stack *stk) {9stk->top = 0;

10 }1112 void push(struct stack *stk, int item) {1314
15

if (stk->top >= MAX_SIZE) {printf("stack is full\n");} else {1617`}

18 }19
20 void pop(struct stack *stk) {21a22 }
23
24 int top(struct stack *stk) {
2526
27
28
29
30
31

int item;if (stk->top == 0) {return -1;} else {item = stk->data[stk->top];
return item;}32 }–8–O3◊Ì∞È‡ 2nàFj¢pnç0|s˙Wkàã∞È’¢"n◊Ì∞È‡í\⇣W_ adjo¢"íLF∞È’n£•L⌫ (N ◊ N nÅ í d, ¨ o↵⇠) g FALSEg
Uå_ÅpN nM⌫visitedo ⌅⇥π*O gBãKí⇠2YãÇnhYã ~_ ∞È’n⇥πko0KâN ≠ 1~gn^†ntpgj˜L/âåfJä Àπo0gBã SSg¯KåfDã¢Î¥Í∫‡h ÿnKöMg Û 1n0jn⇥πíÀπhWf∞È’í¢"Yã4 nÔ˝j⇥
πn*O⌃ènãírhd¯Q£•L⌫: ∞È’íhYcπL⌫g ⌅Å o˛‹Yã⇥πìn∫n !íBâèY £•L⌫adjniLj⌫nÅ adj[i][j]o ⇥πi, jìk∫LX(YãhM1 ∫LX(WjDhM0gBã ◊Ì∞È‡ 2go£•L⌫o2!CM⌫ghUåfDã (ão Û 1í¬g)◊Ì∞È‡ 2ç0í(D_∞È’¢"

1 void recsearch(int adj[N][N], int visited[N], int start) {2345678910visited[start] = TRUE;
for (int dst = 0; dst < N; ++dst) {if (adj[start][dst] == 1) {if (visited[dst] == FALSE) {visited[dst] = TRUE;
recsearch(adj, visited, dst);}}}11 }Û1∞È’h£•L⌫–9–O4
O 2k:W_πø√Øí(D_◊Ì∞È‡ 3o ⌦⇠n◊Ì∞È‡ 2h ÿk∞È’nhfn⇥πí*OYãShLgMã ◊Ì∞È‡-nz⌅bkeã◊Ì∞È‡í1–3Lgckeã◊Ì∞È‡í2–5L↵¶g¯Q◊Ì∞È‡ 3πø√Øí(D_∞È’¢"

1 void dfsearch(int adj[N][N]) {23struct stack S;
init(&S);

45678

int visited[N];for (int i = 0; i < N; ++i) {visited[i] = FALSE;}

9101112

visited[0] = TRUE;
push(&S, 0);
while (top(&S) != -1) {13bfor (int dst = 0; dst < N; ++dst) {1415c1617}}

18 }O5O 3jâskO 4k¢Wf ç0í(D_¢Î¥Í∫‡àäÇπø√Øí(D_¢Î¥Í∫‡LóBìh·‚Í(œn!bgπáÑgBãShL⇢D ]n⌃1kdDf200áWÂÖg÷
\à– 10 –≈1fa – AË✏:≈1faíxûYã4koA, BnDZåKπnkdDf„TYãSh

íDk:%Ô˝jN ön´¸…íÈÛ¿‡k∑„√’ÎYã◊Ì∞È‡í\⇣W_D S
nàFj∑„√’Înπ’koFisher–Yatesn¢Î¥Í∫‡LÂâåfJä Â↵nπ∆√◊g∑„√’Îån´¸…n⌃èízöYã jJ Â↵n¨ go ∑„√’ÎMn´¸…n_íI ∑„√’Îån´¸…n_íOhhY
Fisher–Yatesn¢Î¥Í∫‡• InN ön´¸…KâÈÛ¿‡k1öíxs ]åíOn1jÓn´¸…hYã
• InãänN ≠ 1ön´¸…KâÈÛ¿‡k1öíHâs
ã]åíOn2jÓn´¸…hY• Â↵ ijÓnÕ\ (i = 1, 2, . . . , N )kJDfo InãäN ≠ i + 1n´¸…KâÈÛ¿‡k1ön´¸…íxs ]åíOnijÓn´¸…hYãÕ\íi = N hjã~gpä‘YSnàFj ´¸…nÈÛ¿‡∑„√’ÎkJDfåhjÈÛ¿‡∑„√’Î o In˚✏n´¸…kdDf ]n´¸…LOkJDfijÓn´¸…hjã∫áL hfnikdDf N1 hjãShí⌥Y Såí✏~HfÂ↵nODkTHàO1
InN ön´¸…nFan1ökËÓW_hM ]n´¸…LOn1jÓn´¸…hjã∫áoDOâKÿk2jÓn´¸…kjã∫áoDOâKO2
Fisher–Yatesn¢Î¥Í∫‡kàcf Ií∑„√’ÎWfOíó_hMåhjÈÛ¿‡∑„√’Î hjãShí:[– 11 –Sn∑„√’ÎLO3
Ik+~åfD_N ön´¸…íåhkÈÛ¿‡k∑„√’ÎYãShLgM_L ∏Á¸´¸1öíeåf∑„√’ÎYãníÿåfW~c_ Sn4
ÇF ¶hfn´¸…í∑„√’ÎYãShjO gMã`Q⌘jDÕ\g∏Á¸´¸í+Ä åhjÈÛ¿‡∑„√’Î íóãkoiFYåpoDK Såk¢Wf Â↵nOkTHà jJ ∏Á¸´¸?eånN + 1ön´¸…n_íÂ↵goOÕ hhèY(1) ∏Á¸´¸1öíOnN ön´¸…nH- +> BãDo´¸…nìnN + 1á@nDZåk?eYãÕ\í⇤Hã SnB ∏Á¸´¸LOÕ n-gijÓ(i = 1, 2, . . . , N + 1)keã∫áoDOâK(2) ∏Á¸´¸L?eUå_åk OnjjÓ(j = 1, 2, . . . , N )n´¸…LUjÓn´¸…kjã
Kí⇤Hã Såo ∏Á¸´¸LjjÓn´¸…àäMk?eUåfj + 1jÓkjãK åk?eUåfjjÓn~~ èâjDKnDZåKhjãL ]å^åLwMã∫áoDOâK(3) ⌦⇠(1), (2)í✏~Hf (1)gLc_àFj ∏Á¸´¸íÈÛ¿‡jMnk?eYãÕ\íLFh OÕ LåhjÈÛ¿‡∑„√’ÎhjãShí:[O4åhkÈÛ¿‡∑„√’Î Uå_ådn´¸…n_LBä ]å^åoSå~gÿN ön´¸…Kâ⇣ã SåâíO1 jâskO2 íhèY O1 O2 í⌦KO˜\ è[f2N ön åhkÈÛ¿‡∑„√’Î Uå_´¸…n_OÕÕ íó_D SnhM 2N ön´¸…íç¶∑„√’ÎWÙYShjO åhjÈÛ¿‡∑„√’ÎPúíóãkoiFYåpo
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ó_kJDf⌦⇠nàFjÈÛ¿‡∑„√’ÎíLFõko qpí ⇣Yãnk‘⇤Ñ'Mj ó≥π»L Xã_Å qp ⇣nﬁpL ✏hjãàFjπ’LinàFj
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≈1fa – BË✏:≈1faíxûYã4

koA, BnDZåKπnkdDf„TYãSh

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ã ,ÂnpLo «£¸◊˚’ß§ØÀÂ¸π (Òdf“ÄSkàcfÍ’ ⇣Uå_§c_≈1) në6 gBã]Sg ºﬂ n – Uìo–HíLc_ «£¸◊˚’ß§ØÀÂ¸πgBã_Ånaˆo`gYàm gBåp ~Zo◊Ì∞È‡gÍ’ ⇣Uå_áK∫Kg\⇣Uå_áKã⌃Qãπ’kdDfp÷WfoiFgWáFK? ]n✏ãoºﬂ Kâ€ íó_öQf XOºﬂ n — UìLz W_ áíXû⌫hWfã_hMk ∫ìkhcf
Í6j&snXû⌫kjcfDåp◊Ì∞È‡gÍ’ ⇣Uå_á`h$ögMjDgWá
FK? ]n✏ãkH oÄ≥W_T agSF c_go ánÍ6UíU°Yãπ’íìjg⇤HfàFK (z a)O1`krSYã⇧Óí↵⇠nxû¢ (a)–(d) Kâxû[à(a) ◊Ì∞È‡gÍ’ ⇣Uå_á(b) §c_≈1(c) ◊Ì∞È‡gÍ’ ⇣Uå_á Kd§c_≈1(d) ◊Ì∞È‡gÍ’ ⇣Uå_á ÇWOo §c_≈1– 13 –z ak¢Wf ánÍ6UíU°Yãπ’n HhWf↵⇠L⌧ Uå_ áíXû⌃rWf÷ä˙Uå_Xû⌫ S = (t1 , t2 , · · · , tN ) kJDf SnÍ6Uπ≥¢Fnat (S)í á-g#ö
YãkXûn&snÍ6UíhYãå⌃⇤nMgÂ↵nàFkhY

Fnat (S) =NŸ

i=1p(ti |ti≠1 )(1)_`W H-Kâ i jÓnXû ti nÍ6U$oÙMnXû ti≠1 nåk˙˛YãaˆÿM∫áp(ti |ti≠1 )ghYShhYã jJ t0 oá- (BOS = beginning of sentence)hW H-nX
û t1 nÍ6U$o t1 Lá-k˙˛Yã∫á p(t1 |t0 ) hWfó˙UåãShhYããHp áSsample : “John loves potatoes” nÍ6Uπ≥¢ Fnat (Ssample )í⇤Hfã áíXû⌫k⌃rYãh “John”, “loves”, “potatoes” LóâåãKâ Fnat (Ssample ) oFnat (Ssample ) = p(“John”|BOS) · p(“loves”|“John”) · p(“potatoes”|“loves”)
gó˙Uåã

(2)

h 1 naˆÿM∫áí(Dfó˙W_Pú
Fnat (Ssample ) = 0.25 · 0.20 · 0.20
= 0.01(3)

Lóâå_h1ti≠1p(ti |ti≠1 ) naˆÿM∫á (ãá)

BOS“John”“loves”“potatoes”“John”

0.25

0.00

0.10

0.00

“loves”

0.07

0.20

0.01

0.00

“potatoes”

0.15

0.01

0.20

0.01

ti– 14 –O2SS~gn¨ í✏~H h 2k:W_aˆÿM∫án$í(DfFa ÇÍ6Uπ≥¢nÿDáh]n$íTHà↵⇠ná S1 Kâá S5 n

• áS1 nXû⌫: “A”, “B”, “C”• áS2 nXû⌫: “D”, “E”• áS3 nXû⌫: “A”, “B”, “A”, “B”• áS4 nXû⌫: “C”, “B”, “A”• áS5 nXû⌫: “C”, “A”, “D”, “B”, “E”, “E”
h2ti≠1p(ti |ti≠1 ) naˆÿM∫á (O2)

BOS

“A”

“B”

“C”

“D”

“E”

“A”

0.07

0.00

0.04

0.00

0.05

0.01

“B”

0.01

0.04

0.00

0.01

0.12

0.03

“C”

0.04

0.00

0.05

0.00

0.07

0.07

“D”

0.01

0.02

0.07

0.03

0.00

0.05

“E”

0.01

0.05

0.01

0.07

0.07

0.00

ti– 15 –O3
✏ (1) í(DfánÍ6Uπ≥¢í óW_hSç ánwU (ák+~åãXûp) L'MO
jã{iπ≥¢L✏UOjä Í6jwáàäÇ Í6jÌánπLπ≥¢LÿOjãhDF˛aL≥,Uå_ Sn≤Lk¢W ánwUnqˇí◊QjDÍ6Uπ≥¢n ó✏í:W]n ó✏LánwUnqˇí◊QjD⌃1íyà _`Wó✏o↵⇠n✓dnaˆíÄ_YSh• ánhXûk¢YãaˆÿM∫á p(ti |ti≠1 ) (i = 1, 2, · · ·, N )í(Dã• ˚✏nikdDf p(ti |ti≠1 ) > 0gBãhM

A⌃'MjN k˛WfFnat > 0íÄ_YO4«£¸◊˚’ß§ØÀÂ¸πny¥íhœn≥πKâ 300 áWÂÖg÷\à∫Kg\⇣Yã’ß§ØÀÂ¸πh‘⇤WjLâ– 16 –Í