N 人ゲームによる企業の始業時刻決定モデルの構築

１．はじめに芝浦工業大学大学院学生会員○柳沼秀樹

芝浦工業大学正会員

岩倉成志

３．利潤関数モデルの構築

東京圏を中心とした都市鉄道において，ピーク時

ここで利潤関数は生産額と費用の差分とする式(1)の混雑は劣悪な環境にあり長年の政策課題となってで表す．そのため生産関数と費用関数を構築した．

いる．その中で注目を浴びているのが，フレックス

生産関数は既存モデルにならい時間集積性を考慮しタイム制度の促進，ピークロードプライシング等のたコブ・ダグラス型生産関数を用いた式(2)で表す．

TDM 施策である．

時間集積性変数は他社の出社人数と企業間の取引額

原田ら(2004)はピークロードプライシング施策下とが関連すると仮定し，両者を乗じて設定している．

における企業の始業時刻変更の可能性に注目し，始費用関数は生産額を所与とした費用最小化行動を仮

業時刻決定モデルの構築を行った．しかし 3 人以上定し，生産関数との双対性を利用して式(3)のようなのプレイヤーで分析が行えない等の実務適応上の問同一の関数型で導出できる．なお i は任意の企業，t は題がある．そこで本研究では，モデルの拡張を行う．

始業時刻を表す．

２．既存モデルの概要と問題点
原田らは企業の利益を時間集積性を考慮した生産関数により推定し，それを用いて企業間の相互関係での始業時刻選択をゲーム理論により推定する始業時刻決定モデルを構築している．このモデルの問題点として以下の 5 点が挙げられる．
（１）既存モデルでは２人ゲームとなっている．現

π it = Qit − C it

Qit = K iα ( pi Li ) β exp( γL*it + µFTi )L*it = ∑ R jt Pij

…（１）

…（２）

jC it = Qitδ…（３）

π it : 利潤額 , Qit : 生産額 , C it : 費用 , K i : 資本

実には企業は複数の主体を考慮して始業時刻を決Li : 労働 , p : 平均給与 , L*it : 時間集積性定していると考えられるため，N 人ゲームで解く

FTi : フレックスタイム制ダ ミー , Pij : 産業jとの取引割合必要がある．

R jt : 産業jの累積始業者数 , α , β , γ , µ , δ : パラメータ（２）産業単位をプレイヤーとし，いくつかの始業

パラメータ推定は東京都本社の上場企業 1703 社

時刻分布パターンを戦略として与えているが，実を 15 産業に分類し，会社四季報をベースにデータを際は企業単位をプレイヤーとし，始業時刻そのも作成し推定を行った．結果は良好で決定係数は生産のを戦略として与えることが望ましい．

関数，費用関数でほぼ 0.9 以上であった．しかし FT（３）複数均衡解が生じた場合に期待値をとって均ダミーと時間集積性の t 値が有意でないという問題衡解を集約しているが，その場合に均衡解からずがある．符号の正負は生産性への影響を表し，産業れる可能性が高い．の特性を見ることができる(表 1)．

（４）企業は利益を最大にすると仮定すれば，生産関数ではなく利潤関数で評価する必要がある．
（５）合理性の要求や情報完備などの仮定を有する
Nash 均衡解を用いることの妥当を検討する必要がある．
これらの問題は企業の利潤関数の推定とゲーム理論の拡張の２つの問題に集約される．
キーワード：始業時刻
連絡先：〒108-8548

N 人ゲームNash 均衡

東京都港区芝浦 3-9-14

表１ 生産関数のパラメータ符号
FT L * No
No産業
産業
1 サービス業− ＋9 食料品
2 情報・通信業 − − 10 化学
3 運送業＋ − 11 金属業
4 卸売業＋ − 12 非金属業
5 不動産業− − 13 機械業
6 金融業＋ ＋ 14 電気機械
7 建設業
＋ − 15 その他製造業
8 小売業
− −

EWA モデルTel 03-5476-3049

Fax 03-5476-3166

FT＋＋−−−＋＋

L*−＋＋＋＋＋＋

４．ゲーム理論の拡張
４−１

N 人ゲームへの拡張

N 人での Nash 均衡を計算するためには多次元での不動点を求める必要があるが，早くから線形計画問題等に帰着させる手法が確立されている．そこで広く用いられる Lemke-Howson の手法を拡張したものを用いた．これは N 人ゲームを 2 人ゲームに分解することにより解を求める手法であるが，すべての均衡点を求めることができない欠点がある．
４−２⎞⎛ φ ⋅ N (t − 1) ⋅ A ij (t − 1) +⎟⎜⎜ π (( s j , s (t )) ⋅ (δ + (1 − δ )) ⋅ I ( s j , s (t )) ⎟ii⎠A i = ⎝ i i −ijwhere⎧1 if sij = si (t )I sij , si (t ) = ⎨⎩0 otherwise(N (t ))…（４）exp( λ ⋅ Ai j (t ))Pi j (t + 1) = mi
∑ exp( λ ⋅ Aik (t ))

…（５）

k =1

複数均衡の選択Nash 均衡を算出するにあたって複数の均衡解が求まることがある．この時にどの解を選択するかという均衡選択問題が生じる．この解消策は現在のゲーム理論の研究において重要課題とされており，明確な理論は確立されていない．そのため本研究では

表２

ゲームの均衡解

A社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

B社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

C社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

D社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

E社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

F社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

G社8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

A社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

B社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

C社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

D社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

E社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

F社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

G社
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00

Nash 均衡解
戦略１戦略２戦略３戦略４
戦略５

EWA 解となる解を用いるものである．

戦略１戦略２戦略３戦略４
戦略５

４−３

５．シミュレーション

広く用いられるパレート優位による均衡選択を行う．
パレート優位とは各均衡解から得られる利得が最大均衡概念の検討

Nash 均衡は高い理論性を持つ反面，合理性の要求分析には異なる産業に属し，現状で同じ 9:00 に始や情報完備などの仮定が存在する．これらは企業行業している７社を対象に行った．時間集積性は A 社

動を分析する上で強い意味を持つ事となる．このよが最も強く B 社，C 社と徐々に弱くなってゆくとすうな仮定を緩和した均衡概念として，進化ゲームでる．ここでは７人ゲームで，同一の戦略を持つと仮用いられている ESS 等がある．また新たな手法とし定する．利得を利潤関数モデルより戦略別に算出して人間行動に立脚した EWA モデルの解などが挙げた．それらを用いて Nash 均衡解と EWA 解を求めた．

られる．EWA モデルは人間が戦略を選ぶ過程を前回またピーク時（8:01〜9:01）に始業する企業の利潤の選択結果より求めるものである．特徴としては他に対して 2%の課税を行った．

者の利得を所与とする必要がなく，ロジットモデル

表 2 に結果を示す．現状から始業時刻が変更されることがわかる．両分析で相違が見られる．Nsah 均により選択を表現している点にある．
jt 期において，プレイヤー i の戦略 jよる効用 Ai は衡解では同一時間帯に始業している様子が見てとれ

前回の学習 N (t − 1)と効用をパラメータ φ により割引る．これは時間集積性の影響であると考えられるが，jいたものに，自分の前回の選択結果 I ( si , s − i (t ))と相利潤関数の構造から端点解に落ちている可能性も考手の選択π i ( si , s −i (t ))によって経験づけるものが式(4)えられる．今後更に解析を進め原因を追究したい．となる．その効用を用いて次の選択時 (t + 1) に，式６．まとめjj(5)に表されるロジット型選択確率式によって各戦略iPの選択確率を算出する． φ , δ , λ はパラメータを表す．
このような過程を数回繰り返すと，経験による重みづけを行った個人ごとの解を求めることができる．
次節で Nash 均衡解と EWA モデルによる２つの分析を用いて比較を行う．

本研究では始業時刻決定モデルの N 人ゲームへの拡張を行うことができた．今後は官庁や非営利団体の利得推定方法の検討，情報不完備の表現や均衡選択手法の検討を行いたい．
【参考文献】
原田知可子，鍋山弘道，岩倉成志(2004)

ゲーム理論を用いた企業の始業時刻推定手法に関する研究，第 58 回年次学術講演会講演概要
集 CD-ROM