Cohomologie équivariante et application
momentexposé de Lucas Fresse
1 juillet 2008

1Introduction

1.1

Algèbre de cohomologie d’une variétéÀ une variété (différentielle), on fait correspondre son algèbre de cohomologieà coefficients dans Q, notée H ∗ (X, Q) ou plus simplement H ∗ (X). C’est unealgèbre graduée. Si f : X → Y est un morphisme de variétés, on lui associeH ∗ (f ) : H ∗ (Y ) → H ∗ (X). On définit ainsi un foncteur contravariant.
Exemples.
a) Si X = {x0 } est un point, alors H ∗ ({x0 }) = Q est concentré en degré 0.
b) Plus généralement, si X est contractile, alors H ∗ (X) = Q. En effet la cohomologie ne dépend pas du type d’homotopie. Deux applications continues
homotopes f et g définissent une même application H ∗ (f ) = H ∗ (g).
c) On dit que X est acyclique si H ∗ (X) = Q.
d) Si X = S n est la sphère, alors H ∗ (S n ) = Q[tn ]/(t2n ).
e) Si X = CPn est l’espace projectif complexe, alors H ∗ (X) = Q[t2 ]/(t2n+2 ).
Notre but est de déterminer l’algèbre de cohomologie de la variété drapeau.

1.2Variété drapeau

On note V = Cn . Un drapeau est une suite croissante de sous-espaces
D = (V0 = 0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ ... ⊂ Vn = V )1

avec dim Vi = i pour tout i. L’ensemble des drapeaux D est un sous-ensemble
fermé dans le produit des variétés grassmanniennes de V , c’est donc unevariété projective, appelée variété drapeau.
On fixe une base e1 , ..., en . On note D1 le drapeau dont e1 , ..., ei engendrent le i-ème espace. On dit que la base est adaptée au drapeau. Soit
G = GLn (C) le groupe linéaire. Soit B ⊂ G le sous-groupe des matrices
triangulaires supérieures. Alors D1 est l’unique point de D fixé par B et∼
G → D, g 7→ gD1 induit un isomorphisme G/B → D.
1.2.1

Calcul des nombres de Betti

On peut calculer la cohomologie d’une variété compacte, en tant qu’espacevectoriel, à l’aide d’une décomposition en cellules.
Proposition 1 Soit X une variété compacte, et supposons qu’elle admet une
filtration fermée:X = X0 ⊃ X1 ⊃ X2 ⊃ ... ⊃ Xr ⊃ Xr+1 = ∅avec pour tout p: Xp \ Xp+1 ∼= Cdp . Alors on a H l (X) = 0 si l est impair et2ldim H (X) = #{p : dp = l}.
La variété drapeau admet une décomposition en cellules, appelée décomposition de Bruhat. Les cellules sont appelées cellules de Schubert, on lesnote C(σ), elles sont paramétrées par les éléments du groupe symétriqueσ ∈ Σn . On peut les construire de la manière suivante. Pour σ ∈ Σn onnote Pσ = (δi,σj ) la matrice de permutation de σ. Alors G se décompose en
B × B-orbites:
GBPσ B,
G=σ∈Σnon déduit une partition de G/B:
G/B =G(BPσ mod B).

σ∈ΣnL’ensemble C(σ) = (BPσ mod B) est isomorphe à l’espace CI(σ) où I(σ)
est le nombre d’inversions de σ. Comme les ensembles C(σ) sont orbites dugroupe B, on peut les organiser selon une filtration fermée.
On déduit:
2Proposition 2 On a H l (D) = 0 pour l impair et dim H 2l (D) = #{σ ∈ Σ :I(σ) = l}. De plus dim H ∗ (D) = n! .
Mais cela ne donne pas encore la structure d’algèbre de H ∗ (D). D’autres
outils sont nécessaires.

2Fibrations

2.1

Définition et quelques exemples

Une fibration est une application continue π : E → B qui a la propriété derelèvement d’homotopie: dans un diagramme comme ci-dessous,{0} × A −→ Ei↓↓π[0; 1] × A −→ B(où i est l’inclusion) il existe une application [0; 1] × A → E telle que tout
commute. On peut observer que, si B est connexe par arcs, alors étant donnésb0 , b1 ∈ B, on a une équivalence d’homotopie π −1 (b0 ) ∼= π −1 (b1 ). En effet on
se donne un chemin (γt ) de b0 à b1 . Dans le diagrammej{0} × π −1 (b0 ) −→ Ei↓↓πk−1[0; 1] × π (b0 ) −→ B
on note j l’inclusion et k l’application définie par k(t, e) = γt . Le relèvement
fournit une application continue π −1 (b0 ) = {1}×π −1 (b0 ) → π −1 (b1 ). L’inverse
s’obtient similairement. On peut donc parler de la fibre d’une fibration. Dansles cas que nous rencontrerons toutes les fibres seront homéomorphes.
Exemples.
a) Un produit B × F → B est une fibration de fibre F .
b) Un revêtement est une fibration. En particulier si G est un groupe discret qui opère librement et proprement sur une variété X, alors l’application
quotient X → X/G est une fibration de fibre homéomorpheà G.
Sc) Si π : E → B est localement un produit (i.e. B = i∈I Ui avec π −1 (Ui ) ∼=F × Ui ) alors π est une fibration.
3

Il y a des relations entre les algèbres de cohomologie de la base, de l’espace
total et de la fibre d’une fibration. On aura besoin des deux propriétéssuivantes:
Proposition 3 (a) Soit π : E → B une fibration de fibre F acyclique. Alorson a H ∗ (E) = H ∗ (B).
(b) Soit G un groupe fini agissant librement sur une variété X. Alors l’application H ∗ (X/G) → H ∗ (X) induit un isomorphisme d’algèbres entre H ∗ (X/G)
et (H ∗ (X))G , la sous-algèbre de H ∗ (X) formée des éléments fixes sous l’action1
dim H ∗ (X).
de G. De plus on a dim H ∗ (X/G) = |G|On établit ces résultats en utilisant la suite spectrale de Leray-Serre.

2.2Fibrés principaux

2.2.1

Définition

On appelle fibré principal une fibration du type π : X → X/G, où G ungroupe topologique et X une variété sur laquelle G opère librement et proprement. Alors cette fibration a pour fibre G.
2.2.2

Construction de fibrations

Soit X → X/G un fibré principal. Soit F une variété sur laquelle G opèreà droite. On construit une application de fibre homéomorphe à F de lamanière suivante. Le groupe G opère à gauche sur le produit F × X parg(f, x) = (g −1 f, gx). On note F ×G X le quotient. On compose la projection
F ×G X → X et le fibré X → X/G. L’application πF : F ×G X → X/Gobtenue est un fibré de fibre F .

3Cohomologie équivariante

3.1Fibré principal universel: construction de Milnor

Théorème 1 Soit G un groupe compact connexe. Il existe un fibré principal πG : EG → BG localement trivial, tel que EG est contractile et BG est
simplement connexe.

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Un tel fibré principal sera qualifié d’universel.
Remarque. En fait si on a une fibration d’espace total contractile et de fibre
connexe, la base est toujours simplement connexe. En effet on a alors unesuite exacte· · · → Πn (E) → Πn (B) → Πn−1 (F ) → · · ·Exemples. a) Construisons le fibré principal universel du tore G := S 1 ={z ∈ C : P|z| = 1}. On note S ∞ l’ensemble des suites (zi ) ∈ C(N) à support
fini avec i |zi |2 = 1. C’est la limite inductive des sphères S 2n+1 = {z ∈Cn+1 : ||z|| = 1}. On note CP∞ le quotient C(N) \ {0}/C∗ . C’est la limite inductive des espaces projectifs CPn = Cn+1 \ {0}/C× . L’application naturelle
S ∞ → CP∞ est la limite inductive des applications de Hopf S 2n+1 → CPn .
C’est un fibré principal pour S 1 , localement trivial (on trivialise au dessus
de l’ouvert zi 6= 0). Comme S ∞ est la limite inductive des sphères S 2n+1 ,alors toute application S m → S ∞ est homotope à une constante, pour toutm, donc S ∞ est contractile. Comme CP∞ est la limite inductive des espaces
projectifs complexes, qui sont simplement connexes (en effet CPn s’obtient
par recollement de CPn−1 avec la boule D2n , le long de la sphère S 2n−1 enutilisant l’application de Hopf S 2n−1 → CPn−1 ), alors CP∞ est simplement
connexe.
b) Pour le tore (S 1 )l , le fibré produit (S ∞ )l → (CP∞ )l est un fibré principal
universel.
c) Soit πG : EG → BG un fibré principal universel pour un groupe compact
G. Soit H ⊂ G un sous-groupe fermé. Alors le quotient πH : EG → EG /Hest bien défini, et c’est un fibré principal universel pour le groupe H: il est
localement trivial et d’espace total contractile, de plus EG /H est simplement
connexe.

3.2

Cohomologie équivariante

Soit X une variété sur laquelle agit un groupe compact G. Soit πG : EG → BG
un fibré principal universel. Alors X ×G EG → BG est un fibré de fibre X.
L’algèbre de cohomologie équivariante de X est l’algèbre
HG∗ (X) := H ∗ (X ×G EG ).
00Observons que si πG: EG0 → BG
est un second fibré principal universel, alors
X × EG → X ×G EG est un fibré principal localement trivial et (X × EG ) ×G5

EG0 → X ×G EG est un fibré localement trivial de fibre EG contractile, doncH ∗ (X ×G EG ) = H ∗ ((X × EG × EG0 )/G). On a de même H ∗ (X ×G EG0 ) =H ∗ ((X × EG × EG0 )/G). Ainsi la cohomologie équivariante est bien définie.
Exemples.
a) Supposons X = G. Alors G ×G EG = EG et comme G est contractile onobtient HG∗ (G) = Q.
b) Supposons X = {x0 } un point. Alors
HG∗ ({x0 }) = H ∗ ({x0 } ×G EG ) = H ∗ (EG /G) = H ∗ (BG ).
Par exempleHS∗ 1 ({x0 }) = H ∗ (CP∞ ) = Q[t2 ](limite inductive de H ∗ (CPn ) = Q[t2 ]/(t2n+2 ) ).
∗∗∞ lH(S) ) = (H ∗ (CP∞ ))⊗l = Q[t21 , ..., t2l ]1 )l ({x0 }) = H ((CPpar le théorème de Künneth.
c) Supposons X = G/H où H est un sous-groupe fermé. Alors∗
HG∗ (G/H) = H ∗ (G/H ×G EG ) = H ∗ (EG /H) = HH({x0 }).

En effet EG /H est la base du fibré principal universel associé au groupe H,d’où la dernière égalité.

4

Cohomologie de la variété drapeau

La décomposition d’Iwasawa permet de réaliser la variété drapeau D commequotient d’un groupe compact: on note K = Un (C) et T ∼= (S 1 )n l’ensemble
des éléments diagonaux de K. On a ainsi K ∩ B = T . De plus le morphisme∼K → G/B induit un isomorphisme K/T → G/B ∼= D.

4.1

Cohomologie K-équivariante de la variété drapeau

La cohomologie K-équivariante de la variété drapeau se calcule simplement,d’après le point (c) de l’exemple du paragraphe précédent:∗∗HK(D) = HK
(K/T ) = HT∗ ({x0 }) = Q[t21 , ..., t2n ].

6

4.2

Lien entre la cohomologie K-équivariante de la variétédrapeau et sa cohomologie ordinaire

Revenons au cas d’une variété X sur laquelle opère un groupe compact G.
L’application
π : X ×G EG → BG
est un fibré de fibre X. Il induit un morphisme d’algèbresH ∗ (π) : H ∗ (BG ) = HG∗ ({x0 }) → H ∗ (X ×G EG ) = HG∗ (X).
En composant π par l’inclusion d’une fibre dans X ×G EG , on obtient une
application constante. Elle induit en cohomologie un morphisme d’algèbres:ρ : HG∗ (X)/(HG+ ({x0 })) → H ∗ (X)où (HG+ ({x0 })) ⊂ HG∗ (X) est l’idéal homogène engendré par les images parH ∗ (π) des éléments de HG∗ ({x0 }) de degré non-nul. En général ρ n’est pas unisomorphisme. (Par exemple si G = S 1 et X = G avec action par multiplication). On utilise ce résultat dû à Kirwan (proposition 5.8 du livre référencéplus bas):
Proposition 4 Supposons que X a une structure G-symplectique avec application moment µ : X → Lie(G)∗ . Alors ρ est un isomorphisme d’algèbres.
La variété D = K/T a une structure K-symplectique. Pour cela onréalise K/T comme l’orbite coadjointe d’un élément régulier de Lie(G)∗ .
L’application moment est alors l’inclusion K/T ,→ Lie(G)∗ . On peut donc
appliquer le résultat précédent au calcul de la variété drapeau. On obtient:+∗H ∗ (D) = HK
(D)/(HK({x0 })).

4.3

Calcul de la cohomologie équivariante de la variétédrapeau+
Dans la formule précédente, il reste à déterminer le terme (HK({x0 })). Calculons la cohomologie K-équivariante du point.
Notons N = NK (T ) le normalisateur de T dans K. Pour σ ∈ Σn , notons
Pσ = (δi,σj ) la matrice symétrique associée. Alors N est le produit semidirect de T et du sous-groupe {Pσ : σ ∈ Σn } = Σn . On a donc N/T ∼= Σn .
L’application naturelle

K/T → K/N = (K/T )/(N/T )7est un revêtement de groupe Σn . Il suit:H ∗ (K/N ) = H ∗ (K/T )Σnet dim H ∗ (K/N ) =1dim H ∗ (K/T ) = 1.
n!

Il résulte H ∗ (K/N ) = Q, donc K/N est acyclique. L’application
EK /T → EK /N = K/N ×K EK → EK /K = BK
est la composition d’un revêtement de groupe Σn et d’une fibration de fibre
K/N acyclique. Il suit∗
HK({x0 }) = HN∗ ({x0 }) = HT∗ ({x0 })Σn = Q[t21 , ..., t2n ]Σn .

Le calcul est achevé et on déduit l’algèbre de cohomologie de la variétédrapeau:H ∗ (D) = Q[t21 , ..., t2n ]/Ioù I ⊂ Q[t21 , ..., t2n ] est l’idéal homogène formé par les polynômes symétriquessans terme constant.

Références bibliographiques
Voici les références que j’ai consultées, pour préparer cet exposé:
M. Brion, Equivariant cohomology and equivariant intersection theory, Representation theories and algebraic geometry (Montreal, PQ, 1997), 1–37,
Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998.
D. Husemoller, Fibre bundles, Graduate Texts in Mathematics 20, SpringerVerlag, 1994.
F.C. Kirwan, Cohomology of quotients in symplectic and algebraic geometry,Princeton University Press, 1984.
J. MacCleary, A user’s guide to spectral sequences, Cambridge University
Press, 2001.
E. Spanier, Algebraic topology, Springer-Verlag, 1981.

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