２．確率分布•2.1 確率変数と確率分布– 2.1.1 確率密度分布と累積分布関数 Probability Density Function /•–Cumulative Distribution Function– 2.1.2 ベクトル量の確率密度分布

PDF of vector variables

2.2 重要な確率分布– 2.2.1 離散的確率分布と連続的確率分布 Discrete / continuous PDF• 二項分布• ポアソン分布• 正規分布– 正規化・標準化– 中心極限定理• その他の確率密度分布– 2.2.2 統計量の分布• χ2分布• Student’s-t分布

Binominal distribution
Poisson distribution
Normal distribution
Normalization/standardization
Central Limit theorem

Other distributions
Statistical distributions
χ2 distribution
Student’s-t distribution

2.1 確率変数と確率分布
確率変数と確率分布
大気海洋変数の確率密度分布（１）Probability density function for a random variable

度数分布
Histogram連続的確率密度分布
大気海洋変数の確率密度分布（２）札幌の日平均気温の時系列と度数分布（1976-1997）
Daily mean temperature at Sapporo
サインカーブとランダム分布の重ね合わせ
Probability density function for a random variable+sin

度数分布大気海洋変数の確率分布（3）Probability density function for a sinosoidal oscillation

確率密度関数

累積分布関数

Probability Density Function

Cumulative Distribution Function

0.5

1

0.45

0.9

0.4

0.8

0.35

0.7

0.3

0.6

0.25

0.5

0.2

0.4

0.15

0.3

0.1

0.2

0.05

0.1

0-50PDF (normalized aao index)

50-510
CDF (normalized aao index)

確率 Probability

5ベクトル量の確率密度分布
Probability distribution of vectors

Wind roses （風配図）

ベクトル量の確率密度分布
Probability distribution of vectors

Wind roses （風配図）

2.2 重要な確率分布
離散的確率分布

二項分布 Binominal distribution

E(B)=np
V(B)=np(1－p)

例題 Cayuga Lakeの凍結

次の10年間の間に一度だけ凍結する確率は？
p=0.045, n=10, x=1
10C1・0.045

1 ・(1-0.045) 10-1 = 0.30

2.2 重要な確率分布
連続的確率分布

ポアソン分布Poisson distribution

p(x)
μ＝1
μ＝2
μ＝3
μ＝4
μ＝5μ＝6E(P)=μV(P)=μμ＝10x実例

オホーツク海での海氷厚の頻度分布

Example: Sea ice thickness distribution in the Okhotsk Sea

氷厚の分布氷厚の頻度分布

乗りあげラフティング

氷厚m⊿Hの海氷のPDF⊿Hの厚さを持つ氷盤の多数回の乗り上げで説明できる

μ： 平均乗り上げ回数m⊿H:氷厚m: 乗り上げ回数μ=3.9 (Hm=20)
平均乗り上げ4回
pの分が乗り上げ
乗り上げのない1-pにpの分が乗り上げ

Raftingの確率過程モデル
モデルの検証（1999年の例）
実況： 船舶観測（実線）と係留氷厚計 N ラフティング回数
p 積み重ね領域率（破線）による氷厚分布
モデル： Hm=19.7cm,ΔH=5cmに対応
Nが大きくpが小さいときするポアッソン分布（一点鎖線）にはポアソン分布！

2.2 重要な確率分布
連続的確率分布

正規分布

Normal distribution（Gaussian）

0.95
0.90

E(N)= μV(N)= σ2

0.68

μ-2σ

μ-σ

μμ+σμ+2σ

この位置は？

正規分布の確率分布

上側⇔両側Upper tail ⇔Two tail0.05x2=0.10
1.65

1.96

0.025x2=0.05

正規化・標準化
Standardized anomaly
Z=X -μσ

Normalization/
Standardization

平均
標準偏差

ZはN(0,1)分布に従う

実例 南方振動指数
SO index
ダーウィン タヒチ

南方振動指数。太線は5か月移動平均値を示す。

タヒチ海面気圧標準化[A]ダーウィン海面気圧標準化[B][A]-[B]を標準化

http://www.data.kishou.go.jp/climate/elnino/faq/qa/sstsoi.html

A strongly negative SOI for several months indicates an El Nino event;a strongly positive SOI for several months indicates a La Nina

SO index

AAO index

0.5

0.5

0.45

0.45

0.4

0.4

0.35

0.35

0.3

0.3

0.25

0.25

0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

0-5-4-3-2-1

01
Normalized so index

23450-5-4-3-2-101
Normalized aao index

2345例題 月平均気温の分布
マイアミの1月の平均気温は、平均値19℃、標準偏差1.7℃の正規分布に従う。
• 1月の気温が15℃より低くなる確率を求めよ。
• 1月の気温で、上位1パーセントに入る気温は何℃になるか？

下側でも同じ(15-19)/1.7=-2.35

2.33X1.7 + 19=22.9

0.00939
約0.9%

中心極限定理

Central Limit Theorem

X1,X2,…XNが独立に同一の分布
E(Xi)=μ,V(Xi)=σ2に従うとき、 十分おおきなnに対してE,Vさえあえば分布の形はなんでもよい！

X= ∑Xi／nは正規分布

N(μ,σ2/n)に近似的に従う。

中心極限定理（Central Limit Theorem）
標本平均
Z=

母平均

X -μσ/√n
標準誤差としたZの分布は、nを大きくするとともに正規分布N(0,12)に近づく。

中心極限定理（Central Limit Theorem）

2.69/sqrt(5)=1.20

2.69/sqrt(10)=0.85

2.69/sqrt(15)=0.69

その他の確率密度分布

対数正規分布？

松山・谷本2005

2.2.2

統計量の分布χ2分布
nndegrees of freedom
自由度nに応じて形が異なる→30以上で正規分布
2

平均 n分散 2n
のちにスペクトル推定でStudent’s-t分布nn

平均 0分散 n/(n-2)

標準誤差で割ったもの

自由度nに応じて形が異なる→30以上で正規分布
のちにコンポジット・回帰でまとめ• 目的とする変数が従う確率密度分布を把握する。
• 二項分布は分布関数の基礎である。
• 正規分布は最も重要な分布関数である。標準化を行うと取り扱いが容易である。
• 中心極限定理により、すべての一様分布の標本平均の分布は正規分布に帰着する。
• 正規分布からχ2分布、Student’s t分布が導かれる。これらの分布は統計的検定に利用される。