UTILISATION DES REVÊTEMENTS
POUR LA RÉSOLUTION DU PROBLÈME
INVERSE DE GALOIS
Sous la direction de Monsieur
Kenji Iohara

Teddy Mignot
Année universitaire 2010-2011

Table des matières
I

GROUPES FONDAMENTAUX ET REVÊTEMENTS
3

1 Groupe fondamental
1.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Le groupe fondamental d’un espace numérique . . . . .
1.2.2 Le groupe fondamental du cercle S1 . . . . . . . . . .
1.2.3 Le théorème de Van Kampen . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Le groupe fondamental des espaces projectifs . . . . . .
1.2.5 Le groupe fondamental des groupes classiques . . . . .
1.3 Quelques exemples illustratifs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Le tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Une surface de genre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 La bouteille de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
8
10
11
11
14
16
18
21
21
27
31

2 Revêtements
34
2.1 Définitions et constructions des revêtements . . . . . . . . . . 34
2.2 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Revêtements et groupes fondamentaux
3.1 Groupes fondamentaux des revêtements . . . . . . . . . . . . .
3.2 Quelques rappels de théorie de Galois . . . . . . . . . . . . .
3.3 Revêtements/extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . .

45
45
52
54

II

56

SURFACES DE RIEMANN

4 Revêtements des surfaces de Riemann60
4.1 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Revêtements des surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 67
1

4.3 Revêtements du disque unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Prolongements des revêtements non ramifiés

73

6 Correspondance revêtements/extensions
6.1 Fonctions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Application à la sphère de Riemann . . . . . . . . . . . . . . .

77
77
80
81

A Liste des groupes fondamentaux
84
A.1 Groupe fondamental des espaces topologiques familiers : . . . 84
A.2 Groupe fondamental des groupes classiques : . . . . . . . . . . 85

2

PARTIE I
GROUPESFONDAMENTAUX ET
REVÊTEMENTS

3

Dans ce premier chapitre certains résutats, seront admis. Les démontrer
demanderait trop de temps et nous éloignerait du sujet qui nous intéresse. Le
lecteur pourra trouver des démonstrations complémentaires dans l’ouvragede Claude Godbillon, [G], dont ce chapitre est inspiré.

4Chapitre 1
Groupe fondamental
1.1

Définitions de baseDéfinition 1.1.1. On considère un espace topologique X. I désigne l’intervalle[0, 1]
1. Un chemin dans X est une application continue c : I → X. c(0) est
appelé origine de c et c(1) l’extrémité. Si x = c(0), y = c(1) on dit
que c est un chemin joignant x à y.
2. Pour tout point x ∈ X on désigne par cx le chemin constant d’origine
et d’extrémité x défini par : ∀t ∈ I, cx (t) = x.
3. Si c : I → X est un chemin joignant x à y, on désigne par c̄ le cheminjoignant y à x défini par c̄(t) = c(1 − t), c̄ est appelé chemin inversede c.
4. Si c est un chemin joignant x à y et c0 est un chemin joignant y à z
alors on note cc0 le chemin joignant x à z le chemin défini par :1
c(2t) si 0 6 t 62
cc0 (t) =10 c (2t − 1) si
6t61
2
cc0 est le chemin composé de c et c0 .
Définition 1.1.2. Deux chemins c et c0 de X ayant même origine et mêmeextrémité sont dits homotopes s’il existe une application continue5H : I × I → X telle que :i) ∀t ∈ I, H(t, 0) = c(t) et H(t, 1) = c0 (t).
ii) ∀s ∈ I, H(0, s) = x et H(1, s) = y.
La relation “être homotope à” entre les chemins est alors appelée relationd’homotopie.
Plus visuelement, un chemin c0 est homotope à un chemin c s’il peut être“déformé” continûement en le chemin c (voir dessin ci-dessous).

c’(t)

c’

c(0)

c

c(t)

c(1)

Figure 1.1: Le chemin c’ est homotope à c.
Proposition 1.1.1. La relation d’homotopie est une relation d’équivalencedans l’ensemble des chemins joignant x à y.
Nous allons par la suite considérer l’ensemble des classes d’homotopie deschemins joignant x à y que nous noterons Πx,y (X).
Notons [c] les éléments de Πx,y (X), et[
Π(X) =
Πx,y (X)x,y∈X. Nous allons munir ce dernier ensemble d’une loi de composition interne“.” définie par [c][c0 ] = [cc0 ] lorsque cela a un sens (i.e. lorsque c(1) = c0 (0))
L’étude des propriétés de la relation d’homotopie vont nous permettre dedéduire celles de la loi “.”.

Théorème 1.1.2. Soient c, γ deux chemins homotopes joignant x à y et c0 ,γ 0 deux chemins homotopes joignant y à z. On a alors :i) Les chemins inverses c̄ et γ̄ sont homotopes.
ii) Les chemins composé cc0 et γγ 0 sont homotopes.
6

Démonstration. Voir [G].Chapitre V.1.3.
Ce théorème assure la définition de la loi “.” lorsque c(1) = c0 (0).

Théorème 1.1.3. Soient c1 un chemin joignant x à y, c2 joignant y à z etc3 joignant z à u. Les chemins (c1 c2 )c3 et c1 (c2 c3 ) sont alors homotopes.
Démonstration. Voir [G].Chapitre V.1.4.
Par conséquent, on a ([c1 ][c2 ])[c3 ] = [(c1 c2 )c3 ] = [c1 (c2 c3 )] = [c1 ]([c2 ][c3 ]).
La loi “.” est donc “associative”.

Théorème 1.1.4. Soit c un chemin joignant x à y. Les chemins ccy et cx csont homotopes à c.
Démonstration. Voir [G].Chapitre V.1.6.
On en déduit : [c][cy ] = [c] et [cx ][c] = [c].
Les classes [cx ] et [cy ] sont donc les éléments neutres respectivement à droiteet à gauche pour la loi “.”.

Théorème 1.1.5. Soit c un chemin joignant x à y. cc̄ et c̄c sont alors
homotopes respectivement à cx et cy .
Démonstration. Voir [G].Chapitre V.1.7.
On a alors [c][c̄] = [cx ] et [c̄][c] = [cy ].
Ce théorème se traduit donc par le fait que [c̄] est l’inverse de [c] pour la loi“.”.
On constate que la loi “.” présente toutes les caractéristique d’une loi degroupe, mais qu’elle n’est pas définie sur Π(X) × Π(X) tout entier. Elle nepermet donc pas de munir Π(X) d’une structure de groupe.

71.1.1

Groupe fondamentalDéfinition 1.1.3. Soit x ∈ X. Un lacet de base x dans X est un chemind’origine et d’extrémité x dans X. On note π1 (X, x) l’ensemble Πx,x (X) desclasses d’homotopies des lacets de base x dans X.
Théorème 1.1.6. D’après ce qui précède, la composition des chemins induit
une structure de groupe sur l’ensemble π1 (X, x). ( L’élément neutre étantalors [cx ] et [c̄] l’inverse de [c] )Définition 1.1.4. Le groupe π1 (X, x) est appelé groupe fondamental de
X au point x.
Proposition 1.1.7. Soit c un chemin d’origine x et d’extrémité y dans X.
L’application αc : [γ] 7→ [cγc̄] est un isomorphisme de π1 (X, y) sur π1 (X, x)qui ne dépend que de la classe d’homotopie de [c].
Si c0 est un second chemin joignant x à y, alors les isomorphismes αc et αc0sont conjugués dans π1 (X, x).
Démonstration. Voir [G].Chapitre V.2.3.

Corollaire 1.1.8. Si x et y sont dans une même composante connexe pararcs de X, les groupes π1 (X, x) et π1 (X, y) sont alors isomorphes.
En particulier, si X est connexe par arc tous ses groupes fondamentaux sontisomorphes et on parlera alors du groupe fondamental π1 (X) de X.
Ceci nous permet d’introduire la notion d’espace simplement connexe :Définition 1.1.5. Un espace X est dit simplement connexe s’il est connexe par arcs et si tous ses groupes fondamentaux π1 (X, x) sont triviaux.
( Il suffit pour cela qu’un seul de ces groupes fondamentaux soit trivial. )Un exemple d’espace topologique simplement connexe est le plan R2 . En
effet, si l’on trace un lacet sur ce plan, on remarque que l’on peut le déformer
continûment jusqu’à obtenir un lacet trivial. Nous verrons une démonstrationde ceci dans la partie 1.2.1.
Considérons à présent deux espaces topologiques X et Y .
Si f est une application continue de X dans Y et c un chemin joignant x à ydans X, alors f ◦ c est un chemin joignant f (x) à f (y) dans Y . On remarque8

alors que :• La composition c 7→ f ◦ c est compatible avec l’homotopie des chemins( i.e. [c] = [c0 ] ⇒ [f ◦ c] = [f ◦ c] ), ainsi qu’avec la composition des chemins( i.e. f ◦ (cc0 ) = (f ◦ c)(f ◦ c0 ) ).
• f induit donc une application f? : Π(X) → Π(Y ) telle que :f? (αβ) = f? (α)f? (β) ( lorsque αβ est bien défini ).

Proposition 1.1.9. Une application continue f : X → Y induit un morphisme de groupe f? : π1 (X, x) → π1 (Y, f (x)).De plus :• si f = IdX , alors f? = Idπ1 (X,x)• si g : Y → Z est une application continue, on a (g ◦ f )? = g? ◦ f? .
Démonstration. Voir [G].Chapitre V.3.1.
Corollaire 1.1.10. Si f est un homéomorphisme de X sur Y , alors f? est
un isomorphisme de π1 (X, x) sur π1 (Y, f (x)), et on a alors (f? )−1 = (f −1 )? .
Dans le cas où X et Y sont des espaces connexes par arcs, ce théorème
se traduit par le fait que deux espaces connexes par arcs homéomorphes ont
des groupes fondamentaux isomorphes.
Le groupe fondamental constitue donc un invariant topologique des espaces
connexes par arcs.

Remarque 1.1.1. Si f est une application continue injective ( resp. surjective ), f? n’est pas nécessairement injective ( resp. surjective ). Nous verrons
un contre-exemple dans la conséquence 1.2.11, lorsque nous serons en mesurede calculer le groupe fondamental de certains espace topologiques.
Nous avons cependant la proposition suivante :Proposition 1.1.11. Soit C la composante connexe par arcs de x dans X.
L’injection canonique i : C → X induit un isomorphisme i? de π1 (C, x) sur
π1 (X, x).
Démonstration. Voir [G].Chapitre V.3.3.
91.2

Calcul du groupe fondamental

Proposition 1.2.1. Soient X, Y des espaces topologiques.
On note p1 (resp. p2 ) la projection de X × Y sur X (resp. Y ) Si (x, y) ∈X × Y , l’application (p1 )? × (p2 )? est un isomorphisme de π1 (X × Y, (x, y))sur π1 (X, x) × π1 (Y, y).
Démonstration. Voir [G].Chapitre VI.1.1.

Remarque 1.2.1. L’isomorphisme inverse de cette application est alorsl’application φ : ([c1 ], [c2 ]) 7→ ((i1 )? [c1 ])((i2 )? [c2 ]), où i1 : x 7→ (x, y) (resp.
i2 : y 7→ (x, y)) pour y (resp. x) fixé quelconque.

Corollaire 1.2.2. Si Y est simplement connexe, la projection p1 : X × Y →X induit un isomorphisme (p1 )? de π1 (X × Y, (x, y)) sur π1 (X, x) .

Corollaire 1.2.3. Si X et Y sont simplement connexes leur produit X × Y
est aussi simplement connexe.

Définition 1.2.1. Un sous-espace Y d’un espace X est un rétracte pardéformation de X s’il existe une application continue r : X → Y telle que
r|Y = IdY et une application continue H : X × I → X ayant les propriétéssuivantes :• H(x, 0) = x pour tout x ∈ X.
• H(x, 1) = r(x) pour tout x ∈ X.
• H(x, t) = x pour tout x ∈ Y et tout t ∈ I.

On dit alors que r est une rétraction par déformation de X sur Y .
Exemple 1.2.1. On note Sm−1 la sphère unité dans Rm , pour m > 1. Sm−1
est un rétracte par déformation de Rm \ {0}. En effet, on peut poser, pourxxx ∈ Rm \ {0}, r(x) = ||x||. En considérant H(x, t) = t ||x||+ (1 − t)x, onmvérifie que r est une rétraction par déformation de R \ {0} sur Sm−1 .

Proposition 1.2.4. Soit Y un sous-espace d’un espace X, i l’injection de Y
dans X et x ∈ Y . Si Y est un rétracte par déformation de X, le morphisme
induit i? : π1 (Y, x) → π1 (X, x) est alors un isomorphisme.
Démonstration. Voir [G].Chapitre VI.1.6.

Nous allons à présent calculer le groupe fondamental de certains espaces
topologiques.

101.2.1

Le groupe fondamental d’un espace numérique

On rappelle qu’un espace numérique est un espace topologique X tel qu’il
existe n ∈ N tel que X soit homéomorphe à Rn (Un tel espace est alorsnécessairement connexe par arcs).
Un tel espace X a donc un groupe fondamental π1 (X) isomorphe à π1 (Rn )(cf. corollaire 1.1.10) qui est homéomorphe à (π1 (R))n (cf. Proposition 1.2.1).
On s’est donc ramené au calcul du groupe fondamental de R.

Proposition 1.2.5. L’espace topologique R est simplement connexe.
Démonstration. Soit c : I → R un lacet (de base 0) dans R et soit
H : I × I → R l’application continue définie par H(t, s) = sc(t). Puisquec(0) = c(1) = 0, on a H(0, s) = H(1, s) = 0 pour tout s ∈ I. Par ailleursH(t, 0) = 0 et H(t, 1) = c(t) pour tout t ∈ I. Par conséquent le chemin c est
homotope au chemin constant c0 . R est donc simplement connexe.
Par conséquent tout espace numérique est simplement connexe.

1.2.2

Le groupe fondamental du cercle S1

On rappelle que le cercle S1 est connexe par arcs. S1 sera ici considéré commel’ensemble des nombres complexes de module 1.
Dans cette partie nous noterons p : R → S1 la projection t 7→ e2iπt , et pourn ∈ Z, γn désignera le lacet de base 1 dans S1 , défini par γn (t) = p(nt) pour
tout t ∈ I.

Théorème 1.2.6. Le groupe fondamental π1 (S1 , ∗) du cercle S1 est isomorphe à Z.
Plus précisément, l’application n 7→ [γn ] est un isomorphisme de Z sur
π1 (S1 , 1).
(Puisque S1 est connexe par arcs, pour tout z ∈ S1 , π1 (S1 , z) = π1 (S1 , 1).
Il nous suffit donc de montrer que π1 (S1 , 1) ' Z.)
11

Pour démontrer ce résultat, nous avons besoin du lemme suivant :Lemme 1.2.7. Si c : I → S1 est un lacet de base 1 dans S1 , il existe ununique chemin c̃ dans R ayant 0 pour origine et tel que p ◦ c̃ = c. c̃ est alorsappelé un relèvement de cDémonstration. Pour tout a ∈ R la projection p : R → S1 est un
homéomorphisme de ]a − 21 , a + 21 [ sur l’ouvert S1 \ {−p(a)}. Par conséquentsi l’on note p−1
a l’homéomorphisme inverse de p, et si c˜1 et c˜2 sont deux applications vérifiant la propriété de l’énoncé, alors elles vérifient c̃1 = c̃2 = c ◦ p−1
apour tout t ∈]a − 21 , a + 21 [. Donc c˜1 et c˜2 coı̈ncident sur tout intervalle]a − 12 , a + 21 [, donc sur R. D’o‘u l’unicité de c̃.
Par ailleurs, c étant continu sur le segment I, il existe n ∈ N tel que, pour0
tous t, ttels que |t − t0 | 6 n1 , ||c(t) − c(t0 )|| 6 1 (continuité uniforme), et donc
0

2

)||
1 − Re c(t)c(t0 ) = ||c(t)−c(t6 21 . On a donc c(t)c(t0 ) 6= −1. Donc pour
2


−1
1
0
0
0
t, t tels que |t − t | 6 n , p0 c(t)c(t ) est bien défini. Par conséquent, on
peut définir une application c̃ de I dans R par :  !
 ! X
j
i
j
i
−
1
p−1
c
c̃(t) = p−1
c(t)c
+
c
0
0
n
n
n
i=1

pour nj 6 t 6 j+1.
nCette application est continue et vérifie c̃(0) = 0 et p ◦ c̃ = c.
Définition 1.2.2. Si c̃ est le chemin correspondant au lacet c dans le lemmeprécédent, le réel c̃(1) est alors un entier appelé le degré du lacet c, et on
le notera deg(c). En particulier, on vérifie que le degré du lacet γn est n.
Lemme 1.2.8. Si H est une application continue de I × I dans S1 telle que
H(0, 0) = 1, alors il existe une unique application H̃ de I × I dans R telleque H̃(0, 0) = 0 et p ◦ H̃ = H.
La démonstration de ce lemme est identique à celle du lemme 1.2.7.

12

Définition 1.2.3. L’application H̃ est appelée un relèvement de H.
Proposition 1.2.9. Deux lacets c et γ de base 1 dans S1 sont homotopes si
et seulement s’ils ont même degré.
Démonstration. Si c et γ ont même degré, alors leurs relèvements c̃ etγ̃ ont mêmes extrémités. L’application continue H̃ : I × I → R définie parH̃(t, s) = (1 −s)c̃(t) + sγ̃(t) est alors une homotopie de c̃ à γ̃. Par conséquent
on vérifie que H = p ◦ H̃ est une homotopie de c à γ.
Réciproquement, si H est une homotopie de c à γ, et si H̃ est le relèvementde H, alors les applications c̃ : t 7→ H̃(t, 0) et γ̃ : t 7→ H̃(t, 1) les relèvements
de c et γ et c̃(1) = H̃(1, 0) = H̃(1, 1) = γ̃(1). c et γ ont donc même degré.
Proposition 1.2.10. Soient c et γ deux lacets de base 1 dans S1 . On a alorsdeg(cγ) = deg(c) + deg(γ).
Démonstration. Si c̃ et γ̃ sont desrelèvements de c et γ, alors l’application1c̃(2t) si 0 6 t 6
2 est una : I → R définie par a(t) =1 γ̃(2t − 1) + c̃(1) si
6t61
2
relèvement de cγ.
Ces deux dernières propositions nous permettent de conclure que
φ : π1 (S1 , 1) → Z définie par φ([c]) = deg(c) est un morphisme ayant pourinverse l’application n 7→ [γn ]. Cette dernière application est donc un isomorphisme de groupe et donc :π1 (S1 , 1) ' Z
Conséquence 1.2.11.
• Nous avons alors un exemple d’application injective d’un espace X dans un espace Y qui n’induit pas une injectionde π1 (X) dans π1 (Y ). En effet, S1 s’injecte naturellement dans R2 ,mais il n’existe pas d’injection de π1 (S1 ) ' Z dans π1 (R) ' {1}.
• Le groupe fondamental de l’espace R2 \ {0} est isomorphe à Z. En effet
nous avons déjà établi que le cercle S1 est un rétracte par déformationde R2 \{0}. Donc, d’après la proposition 1.2.4, π1 (R2 \{0}) ' π1 (S1 ) 'Z.

13

1.2.3Le théorème de Van Kampen

On considère X un espace connexe par arcs tel que X = X1 ∪ X2 où X1 et
X2 sont des ouverts non vides connexes par arcs tels que X0 = X1 ∩ X2 soit
lui aussi non vide et connexe par arcs.
Notations. Si x ∈ X0 , on pose :• π1 (Xα ) est le groupe fondamental π1 (Xα , x) pour α = 0, 1, 2.
• π1 (X) = π1 (X, x).
• jα le morphisme de π1 (X0 ) dans π1 (Xα ) induit par l’injection de X0
dans Xα pour α = 1, 2.
• kα le morphisme de π1 (Xα ) dans π1 (X) induit par l’injection de Xαdans X pour α = 0, 1, 2.
On a alors le diagramme commutatif suivant :k1/ π1 (X)t9 O
k0 ttt
t
j1
k2
tt
tt
/ π1 (X2 )π1 (X0 )π1 (X1 )O

j2

Proposition 1.2.12. Le groupe π1 (X) est engendré par les images de k1? etde k2? .
Démonstration. Voir [G].Chapitre VI.4.1.

Corollaire 1.2.13. Si X1 et X2 sont simplement connexes, alors X = X1 ∪X2 est simplement connexe.
Corollaire 1.2.14. Si m > 2 alors Sm est simplement connexe.
Théorème 1.2.15 (Van Kampen). Si hα est un morphisme π1 (Xα ) dans
un groupe G pour α = 1; 2, et si h1 ◦ j1 = h2 ◦ j2 , alors il existe un uniquemorphisme h de π1 (X) dans G tel que h ◦ kα = hα pour α = 1; 2.
Ce théorème siginifie donc que le diagramme ci-dessous est commutatif :

14

j4 G
jjjjxx; Exxx
xx

h1 jjjjjh xx

jjjjj
jjkj1j/ π1 (X)
π1 (X1 )Ot9 O
k0 ttt
t
j1
k2
tt
tt
/ π1 (X2 )π1 (X0 )h2

j2

Démonstration. Voir [G].Chapitre X.1.1.

Proposition 1.2.16. Soient H1 et H2 deux groupes. Il existe un groupe G et
des morphismes (injectifs) h1 : H1 → G et h2 : H2 → G ayant les propriétéssuivantes :1. G est engendré par Im(h1 ) et Im(h2 ),2. si ki : Hi → K, pour i = 1, 2, sont deux morphismes dans un groupe
K, alors il existe un unique morphisme k : G → K tel que ki = k ◦ hi ,pour i = 1, 2.
G est alors unique à isomorphisme près. On appelle G le produit libre deH1 et H2 , et on note G = H1 ? H2 .
Remarque 1.2.2. Lorsque les Hi , i = 1, 2, sont des groupes libres engendréspar Ai , i = 1, 2, alors H1 ? H2 est isomorphe au groupe libre engendré par
A1 ∪ A2 .
Remarque 1.2.3 (important). Nous pouvons reformuler le théorème de Van
Kampen de la façon suivante :π1 (X1 ∪ X2 ) = π1 (X1 ) ?π1 (X0 ) π1 (X2 ) := π1 (X1 ) ? π1 (X2 )/h(k1 ◦ j1 (g))(k2 ◦j2 (g))−1 , g ∈ π1 (X1 ∩ X2 )i (La notation ?π1 (X0 ) s’appelle produit amalgamé.
On a alors une formule explicite pour le groupe fondamental de X : c’est
le produit libre des groupes fondamentaux de X1 et de X2 quotienté par larelation qui identifie les classes des lacets de X1 ∩ X2 .
Corollaire 1.2.17. Si X0 = X1 ∩ X2 est simplement connexe, alors π1 (X)est isomorphe au produit libre π1 (X1 ) ? π1 (X2 ).

15

Exemple 1.2.2. On pose X = R2 \ {p1 , p2 } l’espace R2 privé de deux points.
On peut supposer p1 = (0, 0) et p2 = (1, 0). Posons alors X1 = {(x, y), x 6 21 }et X2 = {(x, y), x > 21 }. On a alors X1 ∩ X2 = {(x, y), x = 21 } qui est
homéomorphe à R, donc simplement connexe.
D’après le corollaire 1.2.17, π1 (X) ' π1 (X1 ) ? π1 (X2 ). Or X1 et X2 sonthoméomorphes à R2 \ {0} qui a pour groupe fondamental le groupe libre engendré par un élément Fa1 ' Z. Par conséquent, π1 (X) est le groupe libre
engendré par deux éléments Fa1 ,a2 .
On peut généraliser ceci au cas de l’espace R2 privé de n points p1 , ..., pn .
Le groupe fondamental de cet espace sera alors le groupe libre engendré parn éléments Fa1 ,...,an .
Corollaire 1.2.18. Si X2 est simplement connexe, et si J1 est le sous-groupe
distingué de π1 (X1 ) engendré par l’image de j1 , le groupe fondamental de X
est isomorphe au groupe quotient π1 (X1 )/J1 .
Démonstration. Voir [G].Chapitre VI.4.8.

1.2.4

Le groupe fondamental des espaces projectifs

Nous allons à présent utiliser le théorème de Van Kampen pour calculer legroupe fondamental des espaces projectifs complexes.
Pour cela, il nous faut avant tout introduire la notion de décomposition cellulaire :Définition 1.2.4. On considère K un espace topologique séparé. Une partition en cellules de K est une partition π de K dont chaque partie esthoméomorphe à Rm , l’entier m est alors appelé la dimension de cette partie. On désigne alors par K m la réunion des éléments de π de dimension
inférieure ou égale à m.
Une décomposition cellulaire de K est une partition en cellules de K
telle que, pour chaque élément e de dimension m de cette partition, il existe
une application continue f de la boule fermée D m dans K m vérifiant :1. f (Sm−1 ) ⊂ K m−1 .
2. f |Dm \Sm−1 est un homéomorphisme de D m \ Sm−1 sur e.
16

Si K admet une décomposition cellulaire, on dit que :• K est un complexe cellulaire• K m est le squelette de dimension m de K
• e est une cellule de dimension m de K
• f est une application d’attachement de la cellule e
On dit qu’un complexe cellulaire K est fini s’il admet un nombre fini decellules.
Une décomposition cellulaire de l’espace projectif complexe Pm C est déterminéepar Pm C = Am C ∪ Am−1 C ∪ ... ∪ A1 C ∪ A0 C (où Ap C désigne l’espace affine
complexe de dimension p).
La suite des squelettes de dimension 2p est alors P0 C ⊂ P1 C ⊂ ... ⊂ Pm C.

Théorème 1.2.19. Soit K un complexe cellulaire fini connexe, et soit x un
point du squelette K 2 . L’injection i de K 2 dans K induit un isomorphismede π1 (K 2 , x) sur π1 (K, x).
Démonstration. Voir [G].Chapitre VI.5.3.

Corollaire 1.2.20. L’espace projectif complexe Pm C où m > 0 est simplement connexe.
Démonstration. Si m = 0, Pm C est alors réduit à un point.
Si m > 0, le squelette de dimension 2 de Pm C est alors P1 C. Donc par lethèorème précédent, on a π1 (Pm C, x) ' π1 (P1 C, x).
Par ailleurs, P1 C est homéomorphe à la sphère S2 qui est simplement connexe (cf. corollaire 1.2.14) Par conséquent, P1 C est également simplement
connexe.
Nous pourrions déterminer de manière analogue le groupe fondamental
de l’espace projectif réel Pm R, en considérant la décomposition cellulaire
Pm R = Am R ∪ ... ∪ A1 R ∪ A0 R, mais c’est plus compliqué, et nous verrons,d’autre part, dans le chapitre 3 qu’il est possible de déterminer le groupe
fondamental de cet espace d’une autre manière. Nous établierons alors que
π1 (P1 R) ' Z et π1 (Pm R) ' Z/2Z pour m > 2. Voir 3.1.2 pour les détails.
17

1.2.5

Le groupe fondamental des groupes classiques

Nous allons à présent nous intéresser au groupe fondamental des groupes
topologiques classiques sous-groupes de GLn (C).

Lemme 1.2.21. Soit G un groupe classique admettant une décomposition polaire, c’est-à-dire un homéomorphisme G ' K × A où A est un espace affineet K un sous-groupe compact maximal de G. On a alors : π1 (G) ' π1 (K).
Démonstration. Si G ' K ×A, alors d’après la proposition 1.2.1, π1 (G) 'π1 (K) × π1 (A). Or A est un espace numérique, donc simplement connexe, etdonc π1 (G) ' π1 (K).

Pour plus de détails sur la décomposition polaire, voir, e.g. [M].
Nous allons donc exhiber les groupes fondamentaux des groupes (où K = R
ou C)
SLn (K) = {M ∈ Mn (K), det(M) = 1},
On (K) = {M ∈ Mn (K), t MM = In },SOn (K) = {M ∈ On (K), det(M) = 1},


Ip 0
t
,
Op,q (R) = {M ∈ Mp+q (R), MIp,q M = Ip,q } où Ip,q =0 −Iq
Un (C) = {M ∈ Mn (C), t M̄ M = In },SUn (C) = {M ∈ Un (C), det(M) = 1},
Up,q (C) = {M ∈ Mp+q (C), t M̄ Ip,q M = Ip,q },


0 −In
t
Spn (K) = {M ∈ M2n (K), MJM = J} où J =,In 0Sp(n) = Spn (C) ∩ U2n (C).

Théorème 1.2.22. On a les isomorphismes :π1 (SO2 (R), 1) ' Z,
π1 (SOm (R), 1) ' Z/2Z pour m > 3.
Démonstration.

18

• 
Le groupe SO2(R) est homéomorphe à S1 (via l’homéomorphismecos θ − sin θ
7→ eiθ ) et donc, π1 (SO2 (R), 1) ' Z.
sin θ cos θ
La deuxième partie de ce théorème se démontre par récurrence sur
m > 3.
• On montre que le groupe SO3(R) est homéomorphe à l’espace projectif
P3 R. Pour cela, on fait agir les quaternion de norme 1 sur l’ensemble desquaternions H ' R4 (ici, on identifiera S3 à l’ensemble des quaternions
de norme 1) : ∀q ∈ S3 , x ∈ H 7→ qxq −1 .
Cette action laisse {xi + yj + zk ∈ H} ' R3 invariant. Donc, à toutélément q ∈ S3 , on associe une isométrie h(q) de R3 , donc un élémentde O3 (R), et plus précisément, par connexité de S3 , un élément de
SO3 (R).
Le noyau de q 7→ h(q) est alors {−1, 1}.
De plus l’application q 7→
 h(q) est surjective
 (par exemple, si q =
1
0
0

0
cos
2θ
−
sin
2θ ).
cosθ + isinθ on a h(q) =0 sin 2θ cos 2θ
Par conséquent, SO3 (R) ' P3 R donc π1 (SO3 (R), 1) ' Z/2Z.
• On suppose que π1 (SOm−1 (R)) ' Z/2Z avec m > 4.
Soit n = (0, ..., 0, 1) ∈ Sm−1 , et U = Sm−1 \ {−n}, V = Sm−1 \ {n}.
On note q : SOm (R) → Sm−1 , α 7→ α(n). On peut alors montrer (cf.[G].Chapitre VI.6.1) que U × SOm−1 (R) ' q −1 (U) et V ×
SOm−1 (R) ' q −1 (V ).
Or, puisque m > 4, les morphismes induits par les injections de q −1 (U ∪V ) dans q −1 (U) et q −1 (V ), j1 : π1 (q −1 (U ∪ V )) → π1 (q −1 (U)) et
j2 : π1 (q −1 (U ∪ V )) → π1 (q −1 (V )) sont des isomorphismes. Donc,
d’après le théorème de Van Kampen on a le diagramme commutatif
suivant :ffff38 A G
fffffppppp
f
f
f
f
f
h pp 
f'ffffppp 
fffff
f
p
f
f
p
f
ff k1

/ π1 (q −1 (U ∩ V ))
π1 (q −1 (U))

'
O
O

ll5
k0lllll


l
'
k
2 
lll
lll

−1
−1
/
π1 (q (U ∪ V ))π1 (q (V ))'Par conséquent, k1 et k2 sont aussi des isomorphismes (admettent hcomme “réciproque”)
19Donc, on a finallement : π1 (q −1 (U)) ' π1 (q −1 (U ∩ V )) = π1 (SOm(R)).
Or, on a vu que π1 (q −1 (U)) ' π1 (SOm−1 (R)) et π1 (SOm−1 (R)) ' Z/2Z
par hypothèse de récurrence. Donc π1 (SOm (R)) ' Z/2Z.
Corollaire 1.2.23. π1 (O2 (R), 1) ' Z,
π1 (Om (R), 1) ' Z/2Z pour m > 3.
Par ailleurs, en faisant agir l’espace SUm (C) sur la sphère S2m−1 , on démontre
de façon analogue le théorème suivant :Théorème 1.2.24. Le groupe SUm (C) est simplement connexe pour m > 0.
Corollaire 1.2.25. Pour tout m > 1, π1 (Um (C), 1) ' Z.
Démonstration. C’est immédiat, en considérant l’homéomorphisme : Um (C) '{λIm |λn ∈ U} × SUm (C) ' S1 × SUm (C) (où U désigne l’ensemble des nombres complexes de module 1).
Par la même méthode que pour le calcul du groupe fondamental de SOm (R)et SUm (C), on peut détrerminer le groupe fondamental de Sp(n) = Spn (C) ∩U2n (C)Théorème 1.2.26. Pour n > 1, le groupe topologique Sp(n) est simplement
connexe.
En effet, on peut montrer que Sp(n) ' On (H) = {M ∈ Mn (H)|t M̄ M =1} où H est le corps des quaternions, et pour q = x + yi + zj + tk ∈ H,q̄ = x − yi − zj − tk. En faisant alors agir cet espace sur S4n−1 , on démontre,
comme pour SUm (C), que Sp(n) est simplement connexe. Nous sommesà présent en mesure de déterminer les groupes fondamentaux des groupes
topologiques GLn (R) et GLn (C) en utilisant la décomposition polaire. Voici
un tableau donnant les résultats obtenus :20

Espace topologiqueGLn (R)GLn (C)SLn (R)
SLn (C)Spn (R)Spn (C)On (C)
Op,q (R)Up,q (C)Décomposition polairen(n+1)GLn (R) ' On (R) × R 2
2
GLn (C) ' Un (C) × Rn

n2 +n−2

SLn (R) ' SOn (R) × R 2
2
SLn (C) ' SUn (C) × Rn −2
Spn (R) ' Un (C) × Rn(n+1)
2
Spn (C) ' Sp(n) × R4nn(n−1)On (C) ' On (R) × R 2
Op,q (R) ' Op (R) × Oq (R) × Rpq
2
Up,q (C) ' Up (C) × Uq (C) × R(p+q)

Ainsi, pour pouvoir déterminer les groupes fondamentaux de ces groupes nous
avons seulement besoin des groupes fondamentaux de On (R), SOn (R), Un (C),SUn (C), Sp(n) que nous avons déjà déterminé. Les voici regroupés dans untableau :Espace topologique
O2 (R)
SO2 (R)
On (R), n > 3
SOn (R), n > 3
Un (C), n > 1
SUn (C), n > 1
Sp(n)

1.3

Groupe fondamental
Z
Z
Z/2Z
Z/2Z
Z
{1}
{1}

Quelques exemples illustratifs

Voici à présent quelques exemples plus visuels de calculs de groupes fondamentaux.

1.3.1

Le toreNous savons que le tore T2 est défini comme le produit S1 ×S1 . Par conséquent,d’après la proposition 1.2.1, π1 (T2 ) ' π1 (S1 ) × π1 (S1 ) ' Z × Z.
Ce groupe fondamental admet donc deux générateurs. Les lacets c et c0 qui
engendrent le groupe fondamental sont assez simples à visualiser sur le dessin
ci-dessous :

21

c
c’

Figure 1.2: Les lacets c et c0 engendrent π1 (T2 )Ce groupe a pour présentation : ha, b | aba−1 b−1 = 1i.
On peut retrouver ce résultat de la façon suivante :Le groupe de présentation ha, b | aba−1 b−1 = 1i peut être représenté parle dessin ci-dessous :
b

a

a

b

Si l’on “recolle” les deux côtés du carré correspondant au générateur a (c’est
possible car les deux flèches se superposent), on obtient alors le cylindresuivant :
b

a

b

22

Enfin, si l’on “recolle” les deux cercles correspondant au générateur b (iciencore les flèches se superposent), on retrouve alors le tore T2 .
ab

Voyons à présent un exemple où le calcul du groupe fondamental peut paraı̂tre
moins évident : le tore épointé.
Comme nous l’avons fait précédemment, nous pouvons visualiser sur une
figure que le tore privé d’un point p admet (au moins) 3 lacets distincts (debase un point donné) que l’on nomme c1, c2, c3 :
c1

p
c2

c3

Ceci nous permet de supposer que le groupe fondamental du tore épionté est
engendré par 3 éléments. Quelle(s) relation(s) existe-t-il entre ces éléments?
Nous allons vérifier, par une méthode analogue à celle utiliser pour construire
le tore, que le groupe fondamental du tore épointé a pour présentation :ha, b, c | [a, b]c = 1i où [a, b] = aba−1 b−1 .
Ce groupe peut en effet être représenté par le dessin suivant :
b
a

c

b
a

23

On peut recoller les arêtes a entre elles. Une telle manipulation a pour effetde déformer l’une des arêtes b en un cercle, et de superposer deux arêtes b etc. Puis on transforme ces deux arêtes en des cercles en les “tordant dans lemême sens”. On obtient successivement les figures suivantes :
c
b
a

a
c

b

b

b

Par la suite, on peut “réduire le cercle c à un point” et “étirer l’arête a”, defaçon à obtenir une surface dont les contours sont indiqués en pointillés (cesmanipulations ne changeront pas le groupe fondamental de l’objet, car la
figure initiale est alors un rétracte par déformation de la figure finale) Enfin,
en joignant les deux cercles b, on retrouve bien le tore épointé.

c

b

a
c
11
00
00
11
00
11

b

b

le groupe fondamental de cet objet est donc π1 (X) ' G où G est le groupe deprésentation ha, b, c | [a, b]c = 1i où [a, b] = aba−1 b−1 (qui est aussi le groupe
libre engendré par deux éléments : F{a,b} ).
On peut le visualiser d’une autre manière : Le tore épointé peut être vu
comme un tore percé d’un trou. Ce trou peut être agrandit et déformé (lafigure obtenu sera un rétracte par déformation de la figure initiale), sans quecela ne modifie le groupe fondamental de la surface. Plus précisément onagrandit le trou jusqu’à obtenir une réunion de deux anneaux, par le procédé
24

suivant :

1
00
11
00
11
10
0
00
11
00
11
1
0
00
11
000
111
00
11
000
111

11
00
00
11

Chaque anneau peut être réduit à un cercle. Tout revient donc à calculer legroupe fondamental de deux cercles ( de groupe fondamental Z) reliés entre
eux par un point (simplement connexe). Donc, d’après le théorème de Van
Kampen, le groupe fondamental du tore épointé est le produit libre Z ? Z,
c’est-à-dire, le groupe libre engendré par deux éléments F{a,b} .
Voici, une troisième méthode pour retrouver le groupe fondamental du toreépointé :Considèrons a et b et c les lacets suivants :

a
c
p

b

On peut déformer le lacet c en le faisant tourner autour du tore dans le sens
inverse de b :25

p

On le déforme ensuite en le faisant tourner dans le sens inverse de a, et on
obtient le lacet suivant :bpa

On remarque alors que le lacet obtenu est engendré par les lacets a et b. Plusprécisément, c’est le lacet bab−1 a−1 . Mais c’est aussi le lacet c déformé, donc
le même lacet à homotopie près.
On a donc la relation : c = bab−1 a−1 , et donc on retrouve bien [a, b]c = 1
Essayons de généraliser pour le tore privé de n points :On peu “découper” une partie du tore contenant les n trous. Le tore privéde n points est alors la réunion des deux espaces X1 et X2 ci-dessous :

1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
X1

X2

26

L’espace X2 est un plan privé de n points. Son groupe fondamental est alors
le groupe libre engendré par n éléments c1 , ..., cn .
L’espace X1 est le tore privé d’un point (où l’on a “élargi” le trou). Songroupe fondamental est donc engendré par a, b, c avec pour relation [a, b]c =1.
Le lacet c est représenté ci-dessous :

c

1
0
0
1
X1

Mais c’est aussi un lacet de X1 ∩ X2 , donc ce lacet est homotope au lacetc sur X2 , qui est homotope au lacet c1 c2 ...cn . (d’après le théorème de Van
Kampen) Comme le montre le dessin ci-dessous :
c

c1
c5

c2
c3

c4

Ainsi, par le théorème de Van Kampen, on conclut que le groupe fondamental du tore privé de n points est :ha, b, c1 , c2 , ...cn | [a, b]c1 c2 ...cn = 1i
Nous allons à présent analyser le cas d’une surface de genre 2, et nous comparerons alors les résultats obtenus avec ceux du tore.

1.3.2

Une surface de genre 2

Comme nous l’avons fait pour le tore, nous pouvons remarquer qu’une surface
de genre 2 admet (au moins) 4 type de lacets distincts c1, c2, c3, c4 représentés
en pointillés sur la figure ci-dessous :

27

c1

c3

c2
c4

C’est pourquoi on peut supposer que le groupe fondamental d’une surface degenre 2 admet 4 générateurs a1 , b1 , a2 , b2 .
On montre alors qu’une surface de genre 2 a un groupe fondamental deprésentation : ha1 , b1 , a2 , b2 | [a1 , b1 ][a2 , b2 ] = 1i où [a, b] = aba−1 b−1 .
Un tel groupe peut être représenté ainsi :
b1
a1
a1

b2

b1

a2

a2
b2

En supperposant les arêtes a1 et les arêtes a2 , et en transformant les arêtes
b1 et b2 en cercles (comme nous l’avons fait pour le tore épointé), on obtient
le dessin ci-dessous :

28

b2

b1

a1

a2
b2

b1

Et finalement, en recollant les cercles b1 et b2 entre eux, on retrouve bien une
surface de genre 2.

b1

b2

Une autre manière de retrouver le groupe fondamental d’une surface de genre
2 est d’utiliser le théorème de Van Kampen, en coupant la suface en deux
tores privés d’un point.
Nous allons développer cette méthode dans le cas un peu plus général d’une
surface de genre 2 privée de n points :

1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

11
00
00
11
00
11

11
00
00
11

1
0
0
1
0
1

11
00
00
11

1
0
0
1
0
1

On commence par ramener tous les trous du même côté de la surface (c’est
possible par déformation). Puis, on coupe la suface en deux parties, comme29sur le dessin ci-dessous :

a1
c

c

1
0
0
1
0
1
0
1

b1

00 a2
1 11
0
00
11
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
00
11
0011
11
00
11
0000
11
00
00 11
11
b2

On obtient alors à gauche un tore privé d’un point dont le groupe fondamental est engendré par les lacets a1 , b1 et c, avec pour relation [a1 , b1 ]c = 1.
A droite on obtient un tore privé de n + 1 points dont le groupe fondamental
est engendré par les lacets a2 , b2 , le lacet c0 , et par n autres lacets c1 , ..., cn(un lacet pour chaque point que l’on avait retiré initialement à la surface de−1genre 2), avec pour relation [a2 , b2 ]c0 c1 ...cn = 1, donc c0 = [a2 , b2 ]−1 c−1n ...c1 =−1[b2 , a2 ]c−1
n ...c1
Par le théorème de Van Kampen, le groupe fondamental de la surface degenre 2 privée de n points est alors le produit libre des groupes ha1 , b1 , c |−1[a1 , b1 ]c = 1i et ha2 , b2 , c0 , c1 , c2 , ...cn | c0 = [a2 , b2 ]−1 c−1n ...c1 i, quotienté parla relation c = c0 (en effet, c et c0 sont les mêmes lacets sur l’intersection desdeux surfaces, donc ce sont les mêmes sur la surface de genre 2 d’après lethéorème de Van Kampen).
−1
On obtient le groupe ha1 , b1 , a2 , b2 , c1 , c2 , ...cn | [a1 , b1 ][b2 , a2 ]−1 c−1n ...c1 = 1i,
que l’on peut encore écrire, quitte à changer les notations : ha1 , b1 , a2 , b2 , c1 , c2 , ...cn| [a1 , b1 ][a2 , b2 ]c1 ...cn = 1i.
On calculerai de même le groupe fondamental d’une surface de genre 3 privéede n points :

1
0
0
1
0
1

11
00
00
11
00
11
11
00
00
11
00
11

1
0
0
1
1
0
0
1

1
0
0
1
11
00
00
11
00
11

11
00
00
11
00
11
1
0
0
1

Il suffit pour cela de ramener tous les trous au milieu, puis de découper lafigure comme ci-dessous, et il ne reste plus qu’à appliquer le théorème de Van
Kampen.

30

1
0
0
1
0
1

1
0
0
1
0
1

11
00
00
11

11
00
00
11

11
00
00
11
11
00
00
11
00
11

1
0
0
1

00
11
11
00
00
00 11
11

000
111
11
00
000
111
00
11
000
111
00
11
000
111
00
11
000
111
00
11
000
111

On trouve alors pour groupe fondamental ha1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 , c1 , c2 , ...cn |[a1 , b1 ][a2 , b2 ][a3 , b3 ]c1 ...cn = 1i.
On peut généraliser tout ceci en montrant par récurrence sur g que le groupe
fondamental d’une surface de genre g est ha1 , b1 , a2 , b2 , ..., ag , bg | [a1 , b1 ][a2 , b2 ]...[ag , bg ] =1i, et que le groupe fondamental d’une surface de genre g privée de n points apour groupe fondamental ha1 , b1 , a2 , b2 , ..., ag , bg , c1 , ..., cn | [a1 , b1 ][a2 , b2 ]...[ag , bg ]c1 ...cn =1i.
Voyons à présent un dernier exemple : la bouteille de Klein.

1.3.3

La bouteille de Klein

Le groupe fondamental de la bouteille de Klein est le groupe de présentation: ha, b | aba−1 b = 1i.
Voici pour nous en convaincre :Le groupe ha, b | aba−1 b = 1i peut être représenté par le dessin suivant :
b

a

a

b

Comme nous l’avions fait dans le cas du tore, nous pouvons recoller les arêtes
a entre elles, pour obtenir le cylindre suivant :

31

b

a

b

Par la suite, on peut déformer la figure de la façon suivante :

b

b

b

b

Et finalement, en recollant les deux cercles b, on retrouve bien la bouteille deKlein.

32

b

33

Chapitre 2
Revêtements
2.1

Définitions et constructions des revêtements

Définition 2.1.1. Soit B un espace topologique. Un revêtement de B est
la donnée d’un espace topologique E et d’une application continue p : E → B
tels que :Pour tout b ∈ B, il existe un voisinage V de b, un espace discret non vide F ,et un homéomorphisme Φ : p−1 (V ) → V × F tel que le diagramme ci-dessous
soit commutatif (où p1 : V × F → V est l’application : (y, f ) 7→ y) :p−1 (V )

Φ

FF
FF
F
p FFF
F#

V

/V ×F
xx
xx
x
xx p1
|x
x

On dit alors que :• p : E → B (ou parfois E) est un revêtement de B,• B est la base du revêtement,• E est l’espace total,• p est la projection (c’est une application nécessairement surjective),• p−1 (b) est la fibre au-dessus du point b de B,• V est un voisinage distingué de b,• Φ est une trivialisation de p au-dessus de V .

34

Par ailleurs, on dit que le revêtement p : E → B est connexe (resp. compact, simplement connexe,...) si l’espace total E est connexe (resp. compact,simplement connexe,...).
Exemple 2.1.1. Un premier exemple très simple de revêtement est l’application
R → R, x → λx où λ ∈ R∗ (C’est un homéomorphisme ).
Un autre exemple est le revêtement de C∗ donné par f : C → C∗ , z 7→ e2iπz ,qui induit même un revêtement de S1 : f |R : R → S1 .
Un troisième exemple est la projection p : Sm → Pm R, pour m > 2 qui est
un revêtement de Pm R ' Sm /{−1, +1}.
On dit qu’un revêtement p : E → B est trivial lorsqu’il existe une trivialisation de p au-dessus de B tout entier.

Définition 2.1.2. Soient E et B deux espaces topologiques. Soit p : E → B
une application continue. Une section de p au-dessus d’un sous espace A
de B est une application continue s : A → E telle que p ◦ s = IdA .
Voici à présent une proposition caractérisant les revêtements d’un espace
B au moyen de sections au dessus des voisinages distingués :Proposition 2.1.1. Soit B un espace topologique. Une application continue
p : E → B est un revêtement si et seulement si pour tout b ∈ B, il existe unvoisinage V de b et une famille non vide si (V ) de sections de p au-dessus deV satisfaisant les propriétés suivantes :1. pour tout i ∈ I, si (V ) est un ouvert de p−1 (V ),2. si (V ) ∩ sj (V ) = Ø,S
3. p−1 (V ) = i∈I si (V ).

Démonstration. Voir [G].Chapitre VII.2.2.

Théorème 2.1.2. Si p : E → B est un revêtement, et si B est connexe,
alors toutes les fibres p−1 (b) ont même cardinal. Si ce cardinal est un entierm, on dit que E est un revêtement à m feuillets de B.

35

Démonstration. Voir [G].Chapitre VII.2.3.
Nous allons à présent considérer le cas où des groupes discrets agissent sur
des espaces topologiques. Nous verrons alors que ces actions nous permettront d’exhiber des revêtements d’espaces homogènes.

Définition 2.1.3. Soit G un groupe topologique discret opérant sur un espace
topologique X. On dit que l’action est :• libre si pour tout x ∈ X, Gx = StabG (x) = {e}.
• propre si pour tout compact K de X, l’ensemble GK = {g ∈ G|gK ∩K 6= Ø} est relativement compact dans G (cette condition est toujours
satisfaite lorsque G est compact, ou lorsque G est discret et GK finipour tout compact K de X.
Théorème 2.1.3. Soit G un groupe discret opérant proprement et librement
sur un espace localement compact E, et soit p la projection de E sur l’espace
E/G des orbites de G. L’application p : E → E/G est alors un revêtement.
Démonstration. Voir [G].Chapitre VII.3.1.
Ce théorème nous permet de donner quelques exemples de revêtements nontriviaux :Exemple 2.1.2.
• Si l’on considère l’action naturelle de Zm sur Rm , lamprojection p : R → Rm /Zm est un revêtement du tore Tm ' Rm /Zm .
• Si l’on note U ⊂ S1 le groupe des racines n-èmes de l’unité agissant naturellement sur S1 , la projection p : S1 → S1 /U est alors un revêtement.
Par ailleurs, l’application h : S1 /U → S1 , [z] 7→ z n est bien définie etc’est un homéomorphisme. L’application qn := h ◦ p : S1 → S1 , z 7→ z n
est donc un revêtement. Nous verrons à la fin de la section 3.1 que tous
les revêtements connexes de S1 sont ou bien de cette forme, ou bien lerevêtement p : R → R/Z ' S1 défini précédemment.
• L’homèomorphisme Pm (R) ' Sm /{−1, +1} nous donne un revêtementp : Sm → Pm (R) de l’espace projectif Pm (R).

36

Nous sommes donc en mesure d’exhiber des revêtements connexes decertains espaces topologiques, mais pouvons-nous les trouver tous? Comment classifier les revêtements connexes d’un espace topologique donné? La
réponse à cette question sera donnée par le théorème 3.1.12.
Pour le cercle, il est assez naturel de penser que les seuls revêtements sontdonnés par le cercle lui même et par les droites du plan. Cela devient moinsévident en revanche si l’on demande de classifier les revêtements connexes
d’un objet tel que la bouteille de Klein. Nous serons pourtant en mesure dele faire grâce au théorème 3.1.12.
Voici à présent une proposition généralisant le théorème 2.1.3 dans le casoù l’espace topologique E considéré est localement connexe et localementcompact :Proposition 2.1.4. Soit G un groupe discret opérant proprement et librement sur un espace E localement connexe et localement compact, et soit H
un sous-groupe de G. La projection canonique q : E/H → E/G est alors unrevêtement.
Démonstration. Voir [G].Chapitre VII.3.4.
À présent que nous avons une idée de ce qu’est un revêtement, nous allons introduire la notion de morphisme de revêtement :Définition 2.1.4. Soit p : E → B et p0 : E 0 → B deux revêtements. Un
morphisme du revêtement E dans le revêtement E 0 est un couple (H, h)d’applications continues H : E → E 0 et h : B → B 0 telles que p0 ◦ H = h ◦ p.
Autrement dit, le diagramme ci-dessous est commutatif :
E

H

/ E0

p

p0





B

h

/ B0

On dit aussi que H : E → E 0 est un morphisme au-dessus de h, et plus
simplement un morphisme lorsque B = B 0 et h = IdB .
Voici un premier exemple de morphisme de revêtement :37

Exemple 2.1.3. Considérons les revêtements qn : S1 → S1 , z 7→ z n vus
précédemment. Soient n, m, r, s ∈ N∗ tels que nr = ms. Le couple (qr , qs )est alors un morphisme du revêtement qn : S1 → S1 dans le revêtement
qm : S1 → S1 . On a en effet qr ◦ qn (z) = z nr = z ms = qm ◦ qs (z).
Définition 2.1.5. Soit p : E → B et p0 : E 0 → B deux revêtements. Soit
(H, h) un morphisme de E dans E 0 .
On dit que (H, h) est un isomorphisme de revêtements lorsque H et h sontdes homéomorphismes (le couple (H −1 , h−1 ) est alors un isomorphisme de E 0
sur E).
Théorème 2.1.5. Soit p0 : E 0 → B 0 un revêtement, et soit h une application
continue d’un espace B dans B 0 . Il existe un revêtement p : E → B et une
application continue H : E → E 0 ayant les propriétés suivantes :• (H, h) est un morphisme de revêtements,• si q : D → B est un revêtement de B, et si K est un morphisme derevêtements de D dans E 0 au-dessus de h, il existe un unique morphisme de revêtements L : D → E tel que K = H ◦ L.
De plus le revêtement E est alors unique à isomorphisme près. On l’appellele revêtement image réciproque de E 0 par h, et on le note souvent h∗ E 0 .
Ce théorème signifie que le diagramme suivant est commutatif :D/ @PPP//@@ PPP// @@@L PPK
P// @@ PPPPP
//
H P'/
E0
q / E
//
//p
p0
/ 

/ B0
B
h

Démonstration (de l’existence de E, p, H). On cherche à déterminer un espace E et des applications continues p et H telles que le diagramme suivant
commute :
E

H

/ E0
p0

p





B

h

38

/ B0

On construit alors E à partir de B, E 0 , h et p0 : On pose alors E = {(b, x0 ) ∈B × E 0 |h(b) = p0 (x0 )}. Puis, on définit p : E → B comme la projection(b, x0 ) 7→ b, et H : E → E 0 comme la projection (b, x0 ) → x0 . On a alorsp0 ◦ H(b, x0 ) = p0 (x0 ) = h(b) = h ◦ p(b, x0 ).
On montre ensuite que p : E → B est un revêtement : soit b ∈ B, on
note b0 = h(b) ∈ B 0 . Puisque p0 : E 0 → B 0 est un revêtement, il existe unvoisinage distingué V 0 de b0 , un espace discret F , et une trivialisation de p0
au-dessus de V 0 , notée Φ0 : p0−1 (V 0 ) → V 0 × F . Notons p2 : V 0 × F → F laprojection sur F .
Soit alors V := h−1 (V 0 ), et Φ : V ⊂ B × E 0 → V × F , (a, x0 ) 7→ (a, p2 (Φ0 (x0 )).
Φ est alors une trivialisation de p au-dessus de V . p : E → B est donc bien
un revêtement.
Enfin, si l’on considère q : D → B un autre revêtement de B. et K : D → E 0
un morphisme de revt̂ements, on vérifie que L : D → E, x 7→ (q(x), K(x))
est le seul morphisme de revêtements tel que K = H ◦ L.

Voici quelques exemples de construction de revêtement image réciproque :Exemple 2.1.4.
1. Prenons B 0 = R, E 0 = R, p0 : x 7→ λx où λ ∈ R∗ ,B = R2 et h : (x, y) 7→ x.
Le revêtement image réciproque est alors h∗ E 0 = {((x, y), z) ∈ R2 ×
R|x = λz}. h∗ E 0 est donc le plan de R3 d’équation x = λz.
2. Un exemple moins trivial de revêtement image réciproque est le cas où
B 0 est le tore T2 = S1 ×S1 , B le cylindre R×S1 , et E 0 le cylindre S1 ×R,
0avec p0 : (x, θ) 7→ (x, e2iπθ ) et h : (θ0 , y) 7→ (e2iπθ , y). Le revêtement
image réciproque de E 0 est le plan R2 :

39

H

/

p

p

0


h

/
0

En effet, E = {((θ0 , y), (x, θ)) ∈ (R × S1 ) × (S1 × R)|x = e2iπθ , y =0e2iπθ } = {((θ0 , e2iπθ ), (e2iπθ , θ))|θ, θ0 ∈ R} ' R2
3. Considérons le cas où B 0 = S1 ' R/Z et B = S1 ' R/2Z, h : z → z 2
et où E 0 est la bande de Moebius, c’est-à-dire l’ensemble [0, 1] × [0, 1]
où l’on identifie les points (0, y) et (1, 1 − y). Un revêtement du cercle
est alors donné par p0 : E 0 → S1 , [(x, y)] 7→ e2iπx . Le revêtement imageréciproque de E 0 est alors “la bande de Moebius tordue deux fois” :

H/

p




h

p0

/

Nous allons à présent introduire la notion d’automorphisme de revêtements:

Définition 2.1.6. Soit p : E → B un revêtement. Un automorphisme durevêtement E est un isomorphisme H de E dans lui-même.
Dans ce qui va suivre, nous noterons Aut(E) l’ensemble des automorphismes d’un revêtement E.
40

Cet ensemble est muni de la composition des applications continues est alors
un groupe.
Ce groupe Aut(E) agit alors continûment sur chaque fibre p−1 (b) de E.
Voici un théorème utile :Théorème 2.1.6. Soient p : E → B et p0 : E 0 → B 0 deux revêtements et
h : B → B 0 une application continue. Si E est connexe, deux morphismes deE dans E 0 au-dessus de h qui coı̈ncident en un point sont égaux.
Démonstration. Voir [G].Chapitre VII.6.4.
Ce théorème permet en particulier d’établir le résultat suivant qui permet dedéterminer le groupe des automorphismes de certains revêtements.
Corollaire 2.1.7. Soit G un groupe discret opérant librement et proprement
sur un espace topologique E connexe et locallement compact. Le groupe desautomorphismes du revêtement p : E → E/G est alors isomorphe à G.
Démonstration. Voir [G] Chapitre VII.6.6.
La définition de ce groupes des automorphismes va alors nous permettred’introduire les revêtements galoisiens :2.2

Revêtements galoisiensDéfinition 2.2.1. Un revêtement p : E → B est dit galoisien si :• E est connexe,• Aut(E) agit transitivement sur chaque fibre p−1 (b), où b ∈ B.
On dit aussi que E est un revêtement galoisien de groupe G = Aut(E).
Lorsque E est un revêtement galoisien, on peut montrer que la projection
π : E → E/Aut(E) est un homéomorphisme.
Remarque 2.2.1. Lorsque G est un groupe discret opérant proprement etlibrement sur un espace E connexe et localement compact, le revêtement p :E → E/G est un revêtement galoisien de groupe G.
41

D’après cette remarque, les revêtement de l’exemple 2.1.2 sont alors tous
galoisiens.
Ce terme de revêtements galoisien n’est pas sans rapport avec la notion
d’extensions galoisiennes dans la théorie de Galois. Nous verrons apparaı̂tre
tout au long de ce chapitre certaines similitudes entre les résultats de lathéorie des revêtments et ceux de la théorie de Galois. L’origine de ces similitudes sera d’ailleurs explicitée dans la partie 2.
Rappelons-nous que la théorie de Galois permet d’établir une correspondance
entre les sous-extensions d’une extension galoisienne et les sous-groupes dugroupe de Galois de cette extension. Qu’en est-il pour les revêtements galoisien ?
Nous allons introduire la notion de revêtement associé à un revêtement galoisien E,
Considèrons un revêtement galoisien de groupe G, et soit F un espace discret sur lequel G opère à gauche. On peut alors montrer que pour g ∈ G,
g : (x, f ) 7→ (gx, gf ) est une action continue, libre et propre du groupe G
sur l’espace E × F . Par conséquent, d’après le théorème 2.1.3, la projection
πF : E × F → (E × F )/G est un revêtement. Notons alors EF = (E × F )/G.
On construit une application pF : EF → B une application continue telleque le diagramme suivant commute :
E×F

p1

/E
p

πF





EF

pF

/B

Cette application pF est alors bien définie et unique. En effet, si (x, f ) ∈E × F , (x0 , f 0) = (gx, gf ), et posons b = p(x). Puisque G agit sur la fibre
au-dessus de b, on a p(x0 ) = p(gx) = b. On a alors p ◦ p1 (x0 , f 0) = p(x0 ) =b = p(x) = p ◦ p1 (x, f ). Donc, si [x, f ] désigne l’orbite de (x, f ), l’application
pF : [x, f ] 7→ p ◦ p1 (x, f ) est bien définie, et elle est unique par construction.
On peut même démontrer que cette application est un revêtement. Il suffit
pour cela de considérer un point b ∈ B, x ∈ p−1 (b), V un voisinage distingué
de b (pour le revêtement p : E → B) et s une section de p au-dessus de V
telle que s(b) = x. On peut alors vérifier que la famille des σf : V → EF ,42

y 7→ πF (s(y), f ), pour f ∈ F , est une famille de sections vérifiant les hypothèses de la proposition 2.1.1.

Définition 2.2.2. Le revêtement pF : EF → B est appelé le revêtement
de fibre F associé au revêtement galoisien p : E → B.
Remarque 2.2.2. Un exemple de revêtement associé à un revêtement galoisien p : E → B de groupe G est donné par pG/H : EG/H → B, où H est
un sous-groupe de G.
De plus, ce revêtement est isomorphe au revêtement qH : E/H → B, [x] →p(x) (qui est bien défini car G, donc H agit sur les fibres p−1 ({p(x)})), via
le morphisme h : E/H → EG/H , [x] → [(x, H)].
On commence ici à remarquer une correspondance entre les sous-groupes
de G et les revêtements associés. La proposition suivante établit cette correspondance :Proposition 2.2.1. Si EF est un revêtement connexe associé à un revêtement
galoisien E, alors EF est isomorphe à un revêtement du type qH : E/H → B,où H est le stabilisateur d’un point de F .
Démonstration. Voir [G].Chapitre VIII.3.3.
Plus précisément, on a le théorème suivant :Théorème 2.2.2. Soit p : E → B un revêtement galoisien de groupe G.
1. L’ensemble des classes d’isomorphismes de revêtement connexes associés à E est en bijection avec l’ensemble des classes de sous-groupes
conjugués de G.
2. Un revêtement connexe associé à E est galoisien si et seulement s’il correspond à un sous-groupe normal de H de G. Son groupe d’automorphisme
est alors isomorphe au groupe quotient G/H.
Signalons que la bijection donnée en 1) est l’application [E/H] 7→ [H](de réciproque [H] 7→ [E/H]) où [E/H] est la classe d’isomorphisme durevêtement E/H (connexe) associé à E (pour plus de détails, voir [G].Chapitre
43

VIII.4.7). La proposition 2.2.1 assure que tout revêtement associé est bien
isomorphe à un tel groupe.
Cette correspondance nous rappelle bien la correspondance de Galois entre les sous-extensions d’une extension galoisienne et les sous-groupes de songroupe de Galois.
Grâce à ce théorème , nous pouvons à présent déterminer les revêtements associés à un revêtement galoisien d’un espace B de groupe G, en déterminantles sous-groupes de G.
Ajoutons à cela une proposition parfois bien utile :Proposition 2.2.3. Si p : E → B est un revêtement galoisien de B, alors
un revêtement connexe q : D → B est isomorphe à un revêtement associé à
E si et seulement s’il existe un morphisme de revêtements de E sur D.
Démonstration. Voir [G].Chapitre VIII.2.7.
Nous allons à présent introduire la définition d’un revêtement galoisien particulier : le revêtement universel.
Définition 2.2.3. Un revêtement universel d’un espace B est un revêtement
galoisien p : E → B tel que tout revêtement de B soit isomorphe à unrevêtement associé à E.
Les revêtement universel sont particulièrement intéressants à étudier,étant donné que leurs revêtements connexes sont tous isomorphes à desrevêtements connexes associés que nous pourrons identifier grâce au théorème
2.2.2. En somme, les revêtements universels d’un espace B sont des revêtements
qui nous permettrons de déterminer tous les revêtements connexes de B.
Cependant une question subsiste : comment déterminer le groupe d’un revêtement
galoisien ?
La partie qui va suivre va répondre à ce problème : elle nous permettra defaire le lien entre le groupe d’un revêtement galoisien et les groupes fondamentaux
des espaces topologiques considérés.

44Chapitre 3
Revêtements et groupes
fondamentaux
3.1

Groupes fondamentaux des revêtements

Définition 3.1.1. Soient p : E → B et h : X → B deux applications
continues. Un relèvement de h est une application continue H : X → E
telle que p ◦ H = h, c’est-à-dire telle que le diagramme suivant commute :
E
}>

H }}}

X

}
}}

h

p



/B

Remarquons que cette définition correspond bien à la définition d’unrelèvements des lacets dans S1 donnée dans le lemme 1.2.7.
Lorsque p : E → B est un revêtement, les relèvements de h sont particulièrement intéressants à étudier. En effet on a la proposition suivante :Proposition 3.1.1. Soient p : E → B un revêtement et h : X → B une
application continue. Si X est connexe, deux relèvements de h qui coı̈ncident
en un point sont égaux.
Démonstration. Voir [G].Chapitre VII.6.3.

Proposition 3.1.2.
1. Pour tout chemin c : I → B d’origine b ∈ B, etpour tout point x ∈ p−1 (b), il existe un unique relèvement γ : I → E
tel que γ(0) = x.
45

2. Soient c, c0 deux chemins d’origine b ∈ B ayant même extrémité etsoient γ, γ 0 leurs relèvements d’origine x ∈ p−1 (b). Si c et c0 sonthomotopes, γ et γ 0 ont même extrémité et sont homotopes.
Démonstration.
1. Si c : I → B est un chemin d’origine b, l’unicité du relèvement γ
tel que γ(0) = x est un corollaire immédiat de la proposition 3.1.1.
La démonstration de l’exitence d’un tel relèvement, utilise le lemmesuivant :Lemme 3.1.3. Tout revêtement du segment I = [0, 1] est trivial.
(Pour une démonstration de ce lemme, voir [G].Chapitre IX.2.1.)
Soit q : D → I le revêtement image réciproque de E par c : I → B, etsoit C le morphisme de D dans E au-dessus de c. Le revêtement D est
trivial d’après le lemme, donc il existe une section s de q au-dessus de
I telle que s(0) = (0, x). Le chemin γ = C ◦ s est alors un relèvement
de c tel que γ(0) = x.
2. La démonstration de la seconde assertion est analogue : voir [G].Chapitre
IX.2.2.
Dans le cas particulier où les chemins c et c0 sont des lacets de base b, nous
pouvons reformuler cette proposition de la façon suivante :La première assertion signifie que pour un lacet c sur B de base b donné
on peut construire un unique chemin γ sur E d’origine x ∈ p−1 (b) fixée, telque c = p ◦ γ.
La deuxième assertion se traduit par le fait que si c et c0 sont deux lacets
ayant même classe d’homotopie ([c] = [c0 ], alors les chemins γ et γ 0 construits
ont même classe d’homotopie ([γ] = [γ 0 ]). En particulier, si l’on se donne [γ]et [γ 0 ] deux classes d’homotopie de lacets sur E telles que p? ([γ]) = p? ([γ 0 ])alors [γ] = [γ 0 ].
On commence alors à entrevoir le lien entre le groupe fondamental de Bet celui de son revêtement E :Théorème 3.1.4. Soit p : E → B un revêtement, et soient x ∈ E etb = p(x). Le morphisme p? : π1 (E, x) → π1 (B, b) est injectif.
46

Voici un premier exemple simple pour illustrer ce théorème :Exemple 3.1.1. Nous savons qu’un revêtement du cercle S1 est donné par
p : R → S1 . On remarque que π1 (R) ' {1} s’injecte naturellement dans
π1 (S1 ) ' Z.
On peut se demander pour quels revêtements le morphisme p? est un
isomorphisme. La réponse est donnée par le lemme suivant (dans le cas où
E est connexe par arcs) :Lemme 3.1.5. Soit p : E → B un revêtement connexe par arcs de B, etsoit x ∈ E et b = p(x). Le morphisme p? : π1 (E, x) → π1 (B, b) est un
isomorphisme si et seulement si p est un homéomorphisme.
Démonstration. Voir [G].Chapitre IX.3.1.
Dans toute la suite de cette section nous allons supposer que B est un espaceconnexe et localement connexe par arcs.

Proposition 3.1.6. Soient p : E → B et p0 : E 0 → B deux revêtements
connexes de B, b ∈ B, x ∈ p−1 (b), x0 ∈ p0−1 (b). Il existe un morphisme h de
E dans E 0 tel que h(x) = x0 si et seulement si p? π1 (E, x) ⊂ p0? π1 (E 0 , x0 ).
Ce morphisme est alors un isomorphisme si et seulement si p? π1 (E, x) =p0? π1 (E 0 , x0 ).
Démonstration. Voir [G].Chapitre IX.3.5.
On comprend que si l’on considère le cas particulier où E = E 0 , on voit
apparaı̂tre une condition sur les groupes p? π1 (E, x) et p0? π1 (E 0 , x0 ) pour qu’il
existe un automorphisme de E tel que x = x0 . Ceci constitue donc une
première approche du lien entre les groupes fondamentaux des revêtements
et le groupe des automorphismes.
Théorème 3.1.7. Soit p : E → B un revêtement connexe, x ∈ E, b = p(x),et soit N le normalisateur de p? π1 (E, x) dans π1 (B, b). Il existe un (unique)morphisme h de N sur le groupe Aut(E) des automorphismes de E ayant lapropriété suivante :si c est un lacet de base b dans B tel que [c] ∈ N, et si γ est le relèvement
de c, d’origine x dans E, alors h([c])(x) = γ(1).

47Démonstration.(de l’existence de h) Posons y = γ(1) et soit [c] ∈ N.
D’après la proposition 3.1.2, y ne dépend que de la classe d’homotopie de c,et on a par ailleurs : p? π1 (E, y) = [c]−1 (p? π1 (E, x))[c] (cf proposition 1.1.7)
Or, [c]−1 (p? π1 (E, x))[c] = p? π1 (E, x) (car [c] ∈ N) On a donc p? π1 (E, y) =p? π1 (E, x), et donc, d’après la proposition 3.1.6, il existe un unique automorphisme h([c]) de E tel que h([c]) = y.
Nous avons donc construit l’application h : N → Aut(E), et c’est bien
un morphisme : en effet, si c, c0 sont deux lacets de base b dans B telsque [c], [c0 ] ∈ N, et γ, γ 0 leurs relèvements d’origine x. On vérifie alors que
γ(h([c])γ 0 ) est le relèvement de cc0 d’origine x. On a alors h([c][c0 ])(x) =h([cc0 ])(x) = h([c])γ 0 (1) = h([c])h([c0 ])(x).
Par conséquent, (par unicité de l’automorphisme de E transformant x enγ(h([c])γ 0 )(1)) on a h([c][c0 ]) = h([c])h([c0 ]).
h est donc bien un morphisme.
Remarque 3.1.1. On peut remarquer que le noyau du morphisme h est
p? π1 (E, x). De plus, il est facile de voir que h est surjectif : en effet, si k est
un automorphisme de E, il existe un chemin γ joignant x à k(x) dans E, eton vérifie alors que k = h([p ◦ γ]) et [p ◦ γ] ∈ N. (Pour plus de détails voir
[G].Chapitre IX.4.1.)
On comprend alors que si E est un revêtement connexe de B, et sip? π1 (E, x) est distingué dans π1 (B, b) pour tout b ∈ B et x ∈ p−1 (b), alors
N = π1 (B, b),et donc h induit un isomorphisme de groupes de π1 (B, b)/p? π1 (E, x)
sur Aut(E). Or pour tous x, y ∈ p−1 (b), on considère un lacet [c] dont lerelèvement admet x et y pour extrémités, et on a dans ce cas : h([c])(x) = y,donc Aut(E) agit transitivement sur chaque fibre p−1 (b). Le revêtement E
est donc galoisien.
Ainsi, si E est connexe et p? π1 (E, x) est distingué dans π1 (B, b), alors E
est galoisien. La réciproque est vraie et facile à vérifier (cf [G]. Chapitre
IX.4.3).
Le théorème suivant résume tout ceci :Théorème 3.1.8. Soit p : E → B un revêtement connexe.
E est un revêtement galoisien si et seulement si pour tout b ∈ B et toutx ∈ p−1 (b), p? π1 (E, x) est distingué dans π1 (B, b).
Si c’est le cas, on a alors l’isomorphisme Aut(E) ' π1 (B, b)/p? π1 (E, x).
48

Démonstration. Voir [G].Chapitre IX.4.3.
Ainsi d’une part ce thórème nous donne une condition nécéssaire et suffisante pour qu’un revêtement connexe soit galoisien (il existe d’ailleurs une
condition analogue pour qu’une sous-extension d’une extension galoisienne
soit galoisienne, nous la rappellerons dans la section suivante), et d’autrepart, elle nous donne un moyen d’identifier le groupe d’un revêtement galoisien en considérant les groupes fondamentaux des espaces E et B.
C’est plus simple encore dans le cas où E est simplement connexe, car alors,
on a le corollaire immédiat suivant :Corollaire 3.1.9. Si p : E → B est un revêtement connexe, et si E est
simplement connexe, alors p : E → B est un revêtement galoisien de groupe
G isomorphe à π1 (B, b).
En particulier, si G est un groupe discret agissant proprement et librement sur un espace E localement compact, localement connexe par arcs etsimplement connexe, alors on en déduit que le groupe fondamental de E/G
est isomorphe à G. On peut alors se servir de cette propriété pour calculer legroupe fondamental d’un espace topologique donné. Voici quelques exemples:
Exemple 3.1.2.
1. Le revêtement du tore p : Rm → Tm ' Rm /Zm nousmdonne π1 (T ) ' Zm .
2. p : Sm → Pm R est un revêtement simplement connexe pour m > 2. Par
conséquent on retrouve l’isomorphisme annoncé à la fin de la section
1.2.4 à savoir π1 (Pm R) ' Z/2Z pour m > 2.
3. Le groupe Z/nZ agit (proprement et librement) sur la sphère S2m+1 par: k̄.(z1 , ..., zm+1 ) = (ζ k z1 , ..., ζ k zm+1 ), où la sphère S2m+1 est considéréecomme l’ensemble des éléments de Cm+1 de norme 1, et ζ est une racine
primitive nème de l’unité. Si on note L2m+1:= S2m+1 /(Z/nZ) l’espacenlenticulaire de dimension 2m + 1 et de groupe Z/nZ le revêtement p :S2m+1 → L2m+1
est simplement connexe, et donc π1 (L2m+1) ' Z/nZ.
nnRemarque 3.1.2. L’intérêt de ceci est qu’à présent, nous sommes en mesurede déterminer un espace topologique ayant pour groupe fondamental un groupeabélien de type fini G donné. En effet, nous savons qu’un tel groupe peutsécrire sous la forme G ' Zm × Z/n1 Z × ... × Z/nr Z.
On sait que le groupe fondamental du tore Tm de dimension m (produitde m exemplaires du cercle S1 ) π1 (Tm ) ' Zm , et que pour tout entier n,
π1 (L2m+1) ' Z/nZ.
n) admet donc G pour groupe fondamental.
L’espace Tm ×(L2m+1)×...×(L2m+1
n1
nr
49

Ainsi, les revêtements simplements connexes d’un espaces B connexe etlocalement connexe par arcs est un revêtement galoisien dont on peut facilement déterminer le groupe d’automorphismes.
Si nous revenons à présent à notre problème de classification des revêtements,
nous avions, à la fin de la section précédente que les revêtements universels
permettent de retrouver tous les revêtements connexes d’un espace B à partir
des sous-groupes du groupe d’automorphisme.
Le revêtement “idéal” que nous aimerions avoir pour classifier les revêtements
connexes d’un espace B connexe et localement connexe par arcs serait donc
un revêtement universel simplement connexe. Mais c’est en réalité beaucoup
plus simple que cela car on a la proposition suivante :Proposition 3.1.10. Tout revêtement simplement connexe de B est unrevêtement universel.
Démonstration. Si q : D → B est un revêtement connexe de B, d’aprèsla proposition 3.1.6, il existe un morphisme de E sur D, et ceci implique que
D est isomorphe à un revêtement associé à E d’après la proposition 2.2.3.
La réciproque de cette proposition est aussi vraie (voir [Sp]).
Les revêtements universels de B sont donc exactement les revêtements simplements connexes de B. La question est donc à présent de savoir : dansquels cas l’espace B admet-il un revêtement universel?
Pour répondre à cette question, nous allons à présent introduire la notiond’espace semi-localement simplement connexe.
Définition 3.1.2. Un espace B est semi-localement simplement connexe si: pour tout b ∈ B, il existe un voisinage Vb de b tel que tout lacet de base bdans Vb soit homotope dans B au lacet constant cb .
On a alors le théorème suivant :Théorème 3.1.11. Un espace B connexe et localement connexe par arcs
possède un revêtement universel si et seulement s’il est semi-localement simplement connexe.
Voici une idée de la construction du revêtement universel lorsque B est
connexe, localement connexe par arcs et semi-localement simplement connexe.
On commence par recouvrir B par des ouverts V dont tous les lacets sonthomotopes au lacet constant (c’est possible car B est semi-localement simplement connexe).
On fixe b ∈ B et on note E l’ensemble des classes d’homotopies des chemins50

d’origine b dans B.
Soit p : E → B l’application définie par : p([c]) = c(1)Pour tout V , on fixe bV ∈ V et on note FV := p−1 (bV ) (que l’on considèrecomme un espace discret). p : E → B est alors un revêtement de B dont
les voisinages distingués sont les V , et les trivialisations sont donnée parles applications ΦV : p−1 (V ) → V × FV , [c] 7→ (p([c]), [γ]) de réciproque(x, [γ]) 7→ [γλ] pour b ∈ V fixé (où γ est un chemin joignant b à bV et λ un
chemin joignant bV à c(1) tels que [c] = [γλ]).
On montre enfin que le revêtement p : E → B est simplement connexe, donc
universel (cf. [G].Chapitre IX.5.3).
On peut alors donner le théorème suivant :Théorème 3.1.12. Soit B un espace connexe, localement connexe par arcs
et semi-localement simplement connexe; et b ∈ B fixé.
• L’espace B possède un revêtement simplement connexe p : E → B.
Ce revêtement est un revêtement universel de B, et le groupe G =Aut(E) des automorphismes de E est isomorphe au groupe fondamental
π1 (B, b).
• Si H est un sous-groupe de G, alors qH : E/H → B est un revêtement
connexe de B, et il est galoisien si et seulement si H est distingué dansG (et on a alors Aut(E/H) ' G/H).
• Réciproquement, si q : D → B est un revêtement connexe de B, alors
il est isomorphe à qH : E/H → B, (où H est le stabilisateur d’un point
x de q −1 (b), et c’est alors un sous-groupe de G).
• Deux revêtements qH : E/H → B et qK : E/K → B sont isomorphes
si et seulement si H est K sont conjugués dans G.
Ce théorème permet donc de classifier les revêtements connexes de B à
isomorphisme près.
Appliquons ce résultat au cas du cercle S1 et de la bouteille de Klein :Exemple 3.1.3.
• Nous savons que : π1 (S1 ) ' Z.
Les sous-groupes de Z sont les nZ où n ∈ N.
Un revêtement simplement connexe de S1 est donné par la projection :51

p : R → S1 , θ 7→ e2iπθ . Les revêtements connexes de S1 sont donc tous
isomorphes à un revêtement qnZ : R/nZ → S1 , [θ] 7→ e2iπθ , qui n’est
autre que le revêtement qn : S1 → S1 , z 7→ z n .
• Notons B la bouteille de Klein que l’on définit comme l’espace homogène: R2 /G où G est le groupe ha, b | bab = ai, où a : (x, y) 7→ (−x, y + 1)
et b : (x, y) 7→ (x + 1, y).
Les éléments de G s’écrivent alors de manière unique am bn avec m, n ∈Z.
Déterminons les sous-groupes de G : on peut vérifier qu’ils sont tous
de la forme Hm,n = (am bn ) ou de la forme Km,n,p = (am bn , bp ) avec
m 6= 0, p > 0 et 0 6 n < p. On vérifie alors que Km,n,p et Hm,n sontdistingués dans G si et seulement si m et pair (les revêtements correspondants seront alors galoisiens).
L’espace Em,n = R2 /Hm,n est homéomorphe au cylindre S1 × R pour mpair, et à la bande de Moebius pour m impair .
L’espace Em,n,p = R2 /Km,n,p est homéomorphe au tore T2 pour m pair,
et à la bouteille de Klein pour m impair.
Les seuls revêtements de B à isomorphisme près sont donc le cylindre S1 × R, le tore T2 , la bande de Moebius, et la bouteille de Klein
B.

3.2

Quelques rappels de théorie de Galois

Dans ce qui suit K désigne un corps isomorphe à un sous-corps de C.
Définition 3.2.1. Une extension de K de degré fini n est une K-algèbre
L, qui soit un K-espace vectoriel de dimension finie n. On note [L : K] = n
la dimension de L sur K, aussi appelée degré de L sur K.
Proposition 3.2.1. Soit L une extension de K.
Soit x ∈ L.
On note alors K[x] := {P (x)|P ∈ K[X]} et K(x) := {F (X)|F ∈ K(X)}.
On est dans l’un des cas suivant.
• Ou bien l’une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :1. [K(x) : K] < +∞2. Il existe un polynôme unitaire P ∈ K[X] tel que P (x) = 0.
52

3. Il existe un polynôme irréductible unitaire de degré fini noté Px,K ∈K[X] tel que Px,K (x) = 0. Le polynôme Px,K est alors uniqueet est appelé le polynôme minimal de x sur K et on a alors[K(x) : K] = deg(Px,K )4. K[x] = K(x)x est alors dit algébrique sur K.
• Ou bien [K(x) : K] = +∞, et on dit alors que x est transcendant
sur K.
Remarque 3.2.1. Tout comme nous avons défini K(x), on peut définir, pourx, y ∈ L, K[x, y] = {P (x, y)|P ∈ K[X, Y ]} = K[x][y]. Plus généralement encore, pour x1 , x2 , ..., xn : K[x1 , x2 , ..., xn ] = {P (x1 , x2 , ..., xn )|P ∈ K[X1 , X2 , ..., Xn ]}Définition 3.2.2. Soit P un polynôme unitaire de degré n de K[X] et soient
x1 , x2 , ..., xn ses racines dans une clôture algébrique de K (comptées avec
multiplicité).
Un corps de décomposition de P est une extension L de K de degré finitelle que L = K[x1 , x2 , ..., xn ].
Proposition 3.2.2. Soit L/K une extension de K de degré fini et GL/K songroupe de Galois. Les assertions suivantes sont équivalentes :1. LGL/K = K,
2. Pour tout x ∈ L, toute les racines de Px,K sont dans L,
3. L est un corps de décomposition d’un polynôme P de K[X],
4. [L : K] = |G|.
Si l’une de ces propositions est vérifiée on dit alors que L/K est une extension galoisienne de K.
Lemme 3.2.3 (Artin). Soit L/K une extension galoisienne de K (de degréfini). Soit H un sous-groupe fini de GL/K . On note LH := {x ∈ L|σ(x) =x, ∀σ ∈ H}.
L’extension L/LH est alors une extension galoisienne de groupe de Galois H
et on a donc [L : LH ] = |H|.
Théorème 3.2.4 (Correspondance de Galois). Soit L/K une extension galoisienne de K de groupe de Galois GL/K .

53

• Si H est un sous-groupe de GL/K , alors LH /K est une sous-extension
de L/K et elle est galoisienne si et seulement si H est distingué dans
GL/K (et on a alors GLH /K ' GL/K /H).
• Réciproquement, si E/K est une sous-extension de L/K, alors E =LH , (où H = GL/E , qui est un sous-groupe de G).
Remarque 3.2.2. On peut reformuler la correspondance de Galois de lafaçon suivante : On a la correspondance biunivoque entre l’ensemble E dessous-extensions E/K de L (i.e. les extensions de K incluses dans L) etl’ensemble G des sous-groupes de GL/K donnée par l’application :• φ : E → G, E 7→ GL/E
• Sa réciproque est ψ : G → E, H 7→ LH .
De plus, si l’on considère l’action de GL/K sur E donnée par GL/K × E,
(σ, E) 7→ σ(E), ainsi que l’action de GL/K sur G : GL/K × G, (σ, H) 7→
σHσ −1 , les bijections φ et ψ sont alors compatibles avec ces actions.
C’est-à-dire, si E ∈ E, σ ∈ GL/K , alors GL/σ(E) = σGL/E σ −1 , et si H ∈ G,
−1σ(LH ) = LσHσ

3.3

Revêtements/extensions de corps

Lors des sections précédentes, nous avons mis l’accent sur les similitudes que
nous avons pu rencontrer entre les résultats de la théorie des revêtements etde la théorie de Galois.
Ces similitudes ont ici été regroupées dans le tableau suivant : on y voit apparaı̂tre à gauche les objets et théorèmes de la théorie de Galois (cf. section
précèdente), et à droite les objets et théorèmes correspondants de la théorie
des revêtements.

54

Théorie de Galois
Extension L d’un sous-corps K de C
Extension galoisienne L de K
Sous-extensions E de L/KGroupe de galois d’une extension
galoisienne L : GL/K = AutK (L)Correspondance de Galois :H ⊂ GL/K 7→ LH
Si H ⊂ GL/K , alors(LH /K est galoisienne) ⇔ (H C GL/K )et GLH /K ' GL/K /H

Revêtements
Revêtement p : E → B
Revêtement galoisien p : E → B de B
Revêtements associés pF : EF → B
Groupe des automorphismes d’unrevêtement galoisien E : G = Aut(E)Correspondance :H ⊂ G 7→ (qH : E/H → B)
Si H ⊂ G, alors(qH : E/H → B est galoisien) ⇔ (H C G)et Aut(E/H) ' G/HCette comparaison peut paraı̂tre pour le moins surprenante, et nous serions en droit de nous demander s’il n’existe pas un lien direct entre ces deuxthéories.
En fait, c’est bien le cas, et ce lien sera détaillé dans la partie suivante, dansle cas des revêtements des surfaces de Riemann.

55

PARTIE IISURFACES DE RIEMANN

56

Mise en bouche
Le but de cette partie est d’utiliser les résultats obtenus dans la partie
précédente pour répondre au problème inverse de Galois. Dans son article Groupe de Galois sur Q, Jean-Pierre Serre expose le problème suivant(cf. [S]):étant donné un groupe G de type fini, existe-t-il une extension galoisienne
finie E de Q dont le groupe de Galois Gal(E/Q) soit isomorphe à G?
Dans le cas où G est un groupe abélien fini, le problème admet bien dessolutions :On suppose que G Qest un groupe abélien fini. On sait alors que G s’écrit sous la forme ri=1 Z/ni Z. Or d’après le théorème de la progression
arithmétique de Dirichlet, il existe une infinité de nombres premiers pi congrus à 1 modulo ni (pour tout i). Par conséquent, il existe une famille (pi )de nombres premiers distincts tels que (Z/pi Z)∗ contienne un sous-groupe∗
isomorpheà Z/ni Z. On a alors un morphisme
Qr
Qrsurjectif φ de (Z/pZ) dans
i=1 Z/ni Z = G où p désigne le produit p =i=1 pi . Soit L le corps cycloeme
tomique sur Q engendré par les racines p
de l’unité. Son groupe de Galois
est alors isomorphe à (Z/pZ)∗ . Or, (Z/pZ)∗ /Ker(φ) ' G. Mais par la correspondance de Galois, ceci est le groupe de Galois de l’extension LKer(φ) .
D’où le résultat.
Dans le cas où G est un groupe non abélien, c’est beaucoup plus difficile.
Une méthode efficace consiste à se ramener à l’étude des extensions de Q(T )(corps des fractions rationnelles sur Q).
Si ET est une extension galoisienne finie de Q(T ), de groupe de Galois G
d’ordre n. ET est alors un corps de décomposition d’un certain polynôme
PT (X) = X n + an−1 (T )X n−1 + ... + a0 (T ) ∈ Q(T )[X] irréductible sur Q(T ).
Le théorème d’irréductibilité de Hilbert assure l’existence d’une infinité derationnels t ∈ Q tels que Pt (X) = X n + an−1 (t)X n−1 + ... + a0 (t) ∈ Q[X] soitirréductible. Choisissons un tel rationnel t.
57

L’algèbre Et [X] := Q[X]/(Pt [X]) est alors une extension galoisienne de degré
n sur Q et de groupe de Galois G.
Ainsi lorsqu’on a une extension galoisienne de Q(T ) de groupe de Galois
G fini, on peut en déduire l’existence d’une extension galoisienne de Q degroupe de Galois G.
Pour faire le lien avec la théorie des revêtements, nous devrions identifier
Q(T ) à l’ensemble des fractions rationnelles sur P1 Q. Mais cet ensembleà une géométrie compliquée, voilà pourquoi, pour simplifier, nous allons
plonger P1 Q dans P1 C, et nous nous intéresserons alors exclusivement au
cas des extensions finies de C(T ).
Le problème devient alors : pour un groupe fini G fixé, existe-t-il des extensions galoisiennes de C(T ) de groupe de Galois G?
Une solution à ce problème consiste à utiliser la correspondance entre lathéorie des revêtement des surfaces de Riemann et la théorie de Galois. Plusprécisément, nous allons voir dans le chapitre 6 que si l’on a revêtement galoisien de la sphère de Riemann P1 (voir 4.1.1) de groupe d’automorphismeG, on peut en déduire l’existence d’une extension galoisienne de C(T ) degroupe de Galois G.
Nous ramènerons donc le problème à : pour un groupe de type fini G donné
existe-t-il un revêtement galoisien de P1 dont le groupe de Galois est G?
Pour construire un tel revêtement commençons par donner une présentationde G : Supposons que G admette n générateurs et posons F := F{a1 ,...,an}le groupe libre engendré par n éléments. On construit alors un morphisme
surjectif f : F → G de noyau H := ker(f ). On a alors G ' F/H.
Posons à présent X := P1 \ {z1 , ..., zn+1 } la sphère de Riemann privée den + 1 points. Le groupe fondamental de cette surface est alors π1 (X) ' F(signalons au passage que dans son exposé, Jean-Pierre Serre identifie plutôt
π1 (X) au groupe engendré par n + 1 éléments c1 , ..., cn+1 avec la relation
c1 ...cn+1 = 1, ce qui finalement revient bien à notre groupe libre F engendré
par n éléments). D’après la partie I, on sait qu’il existe un revêtement universel X̃ de X, et on a alors Aut(X̃) ' F .
Par ailleurs, H = ker(f ) est distingué dans F . Il suffit donc de prendre
l’espace homogène X̃/H pour obtenir un revêtement galoisien p : X̃/H → X
de groupe Aut(X̃/H) ' F/H ' G.
58

Nous déterminóns donc ainsi un revêtement galoisien de P1 \ {z1 , ..., zn+1 } degroupe G. Nous aimerions alors pouvoir le prolonger en un revêtement galoisien de P1 de groupe G. Nous verrons dans le chapitre 5 que c’est possible(dans un cadre plus général).
Le chapitre 6 nous permettra alors d’établir une correspondance entre lesrevêtements galoisiens de P1 et les extensions galoisiennes de M(P1 ) l’algèbre
des fonctions méromorphes sur P1 (voir chapitre 4).

59

Chapitre 4
Revêtements des surfaces deRiemann
4.1

Surfaces de Riemann

Pour définir les surfaces de Riemann, nous devons avant tout introduire lesnotions suivantes :Définition 4.1.1. Une variété de dimension n est un espace topologiqueséparé X tel que tout point x ∈ X admet un voisinage homéomorphe à unouvert de Rn .
Définition 4.1.2. Soit X une variété de dimension 2.
• Une carte complexe sur X est un homéomorphisme φ : U → V d’unouvert U de X sur un ouvert V de C.
• Deux cartes complexes φ1 : U1 → V1 et φ2 : U2 → V2 sont dites holomorphiquement compatibles si l’application : φ2 ◦ φ−1: φ1 (U1 ∩
1
U2 ) → φ2 (U1 ∩ U2 ) est biholomorphe.
• Un atlas complexe sur X est un ensemble A = {φi : Ui → Vi , i ∈ I}
de cartes complexes
S holomorphiquement compatibles et dont les ouverts
recouvrent X : i∈I Ui = X.

• Deux atlas complexes A et A0 sont analytiquement équivalents
si toute carte de A est holomorphiquement compatible avec n’importequelle carte de A0 . La relation “être analytiquement équivalent à” est
une relation déquivalence sur l’ensemble des atlas complexes sur X.
60

U1

1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111

U2

~_

~_
11111
00000
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
V111111
00000
11111

1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111

V2

Figure 4.1: cartes complexes• Une structure complexe sur X est une classe d’équivalence d’atlascomplexes sur X analytiquement équivalents.
Nous avons à présent tous les éléments nécessaires pour définir les surfacesde Riemann :Définition 4.1.3. Une surface de Riemann est un couple (X, Σ), où X
est une variété de dimension 2 connexe et Σ une structure complexe sur X.
Par la suite nous utiliserons la notation X pour désigner une surface deRiemann, lorsque la structure complexe dont elle est munie est claire.
Voici quelques exemples simples de surfaces de Riemann :Exemple 4.1.1.
• Le plan complexe est clairement une surface de Riemann (dont la seule carte complexe est l’identité sur C).
• La sphère de Riemann P1 := C ∪ {∞} est une surface de Riemann.
En effet on munit P1 de la topologie suivante : les ouverts de P1
sont les ouverts de C et les ensembles du type V ∪ {∞} où V est lecomplémentaire d’un compact dans C (La sphère de Riemann muniede cette topologie est alors compacte). On peut recouvrir P1 par lesouverts U1 := C et U2 := C∗ ∪ {∞}, et on définit 1 les cartes complexes
si z ∈ Cz. De plus
φ1 : U1 → C, z 7→ z et φ2 : U2 → C, z 7→
0 si z = ∞U1 et U2 sont connexes, donc P1 est bien connexe.
Remarquons bien que cette définition de la sphère de Riemann n’est pas
la même que celle donnée par la projection stéréographique : en effet,
si la projection d’un point sur la sphère S3 à partir du pôle nord N nous
donne un point z, la projection de ce même point à partir du pôle sud
S donne le point 1/z (et non le point 1/z).
61

N

00000
11111
11
00
00000
11111
00
11
00000
11111
00
11
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
00000
11111
00
11
z
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
00000
11111
00
11
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
010 1/z
0 1
00000
11111
00
11
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
00000
11111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
1010
00000
11111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
00000
11111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
10
00000
11111
10
00000
11111
S
_

Figure 4.2: projection stéréographique• Les tores : Soient w1 , w2 ∈ C. On définit Γ := Zw1 + Zw2 . Un tel
ensemble est appelé un réseau (voir dessin ci-dessous). L’espace homogène C/Γ muni de la topologie quotient est une surface de Riemann.
En effet si l’on considère un ouvert V de C qui ne contient pas depaire de points équivalents (par exemple les voisinages V1 , V2 , V3 sur ledessin) alors U := π(V ) (où π : C → C/Γ est la projection canonique)
est un ouvert de C/Γ, et on peut recouvrir cet espace par de tels ouverts. Puisque les V n’admettent pas de paire de points équivalents, onpeut définir les cartes φ : U → V (réciproques de π|V ), et on munit
ainsi l’espace C/Γ d’une structure complexe. De plus, puisque C est
connexe, C/Γ est connexe.
L’espace C/Γ est appelé tore car on a un homéomorphisme f : C/Γ →S1 × S1 défini par f (λw1 + µw2 ) = (e2iπλ , e2iπµ ) pour tous λ, µ ∈ R.
Nous allons à présent définir les fonctions holomorphes sur une surface
de Riemann donnée à valeurs dans C .
Définition 4.1.4. Soit X une surface de Riemann et Y un ouvert de X.
Une fonction f : Y → C est dite holomorphe si, pour toute carte complexe
φ : U → V sur X, la fonction f ◦ φ−1 : φ(U ∩ Y ) ⊂ C → C est holomorphe(au sens usuel). On notera O(Y ) l’ensemble des fonctions holomorphes sur
Y.
Remarquons qu’en particulier, les cartes complexes sur X sont holomorphes sur leur ensemble de définition. On définit ensuite les fonctions holomorphes d’une surface de Riemann dans une autre :
62

V2
11
00
00
11
00
11
00
11
V1

111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111

111
000
000V3
111
000
111
000
111
000
111
000
111

w2

w1

Figure 4.3: exemple de réseau
Définition 4.1.5. Soient X et Y deux surfaces de Riemann.
Une application continue f : X → Y est dite holomorphe si pour tout
couple de cartes φ1 : U1 → V1 sur X et φ2 : U2 → V2 sur Y , avec f (U1 ) ⊂ U2
l’application φ2 ◦ f ◦ φ−1
1 : V1 ⊂ C → V2 ⊂ C est holomorphe (au sens usuel).
Une application f : X → Y est biholomorphe si elle est bijective et si f ,f −1 sont holomorphes.
On dit que deux surfaces de Riemann X et Y sont isomorphes s’il existe
une application biholomorphe de X dans Y .
Exemple 4.1.2. Soient Γ := Zw1 + Zw2 et Γ0 := Zw10 + Zw20 deux réseaux.
Soit a ∈ C∗ tel que aΓ ⊂ Γ0 .
L’application C → C, z 7→ az induit une application holomorphe f : C/Γ →C/Γ0 , [z] 7→ [az].
En effet, si φ : U → V et φ0 : U 0 → V 0 sont des cartes telles que f (U) ⊂ U 0
respectivement sur C/Γ et C/Γ0 , on a alors φ−1 = π|V donc : ∀z ∈ V
φ0 ◦ f ◦ φ−1 (z) = φ0 ◦ f ([z]) = φ0 ([az]) = az + k1 w10 + k2 w20 où k1 et k2 sontdes entiers fixés indépendants de z ∈ V . On remarque que cette application
est bien holomorphe, donc f est holomorphe.
Voici un premier résultat sur les fonctions holomorphes d’une surface deRiemann dans une autre surface de RiemannThéorème 4.1.1. Soient X et Y deux surfaces de Riemann et f1 , f2 : X →Y sont deux applications holomorphes qui coı̈cident sur un ensemble A ⊂ X
qui admet un point limite a ∈ X.
Alors, f1 et f2 coı̈cident sur X.
Nous pouvons également définir les fonctions méromorphes sur une surface de Riemann :63

Définition 4.1.6. Soit X une surface de Riemann et Y un ouvert de X.
Une fonction méromorphe sur Y est une fonction holomorphe f : Y 0 → C
sur un ouvert Y 0 ⊂ Y tel que :1. Y \ Y 0 ne contient que des points isolés.

2. Pour tout point p ∈ Y \ Y 0 on a limx→p |f (x)| = ∞Les points de Y \ Y 0 sont les pôles de f .
L’ensembles des fonctions méromorphes sur Y sera noté M(Y ).
Remarque 4.1.1. Pour une surface de Riemann X donnée, l’ensemble
M(X) des fonctions méromorphes sur X forme un corps.
 1
si z ∈ Cz
Exemple 4.1.3. L’application f : z 7→
est holomorphe sur
0 si z = ∞l’ouvert C∗ ∪ {∞} de P1 . (immédiat car c’est une carte sur P1 ). On peut la
prolonger en une fonction méromorphe sur P1 . En effet, limz→0 | z1 | = ∞.
az+bPlus généralement, les homographies z 7→ cz+d
, avec ad − bc 6= 0, sont holomorphes (au sens usuel) sur {z ∈ C|cz + d 6= 0}. Ces fonctions peuvent être
prolongées en des fonctions méromorphes sur P1 .

Un autre exemple de fonction méromorphe est la fonction ℘ de Weierstrass:
Exemple 4.1.4. Soit Γ = w1 Z + w2 Z un réseau. La fonction de Weierstrass
est la fonction définie par

X 
1
1
1
−
℘Γ (z) = 2 +z(z − γ)2 γ 2γ∈Γ\{0}. Elle est méromorphe sur C, et ses pôles sont les points de Γ.
En effet, on remarque que la série converge absolument et normalement sur
chaque compact de C \ Γ (les termes de la séries étant majorés par |γ|−3). La
fonction est alors holomorphe sur C \ Γ. Il est clair que limz→γ |f (z)| = ∞pour tout γ ∈ Γ. ℘ est donc méromorphe sur C.
Nous allons à présent étudier les propriétés des fonctions holomorphes sur
des surfaces de Riemann. Nous verrons que l’on retrouve sensiblement lesmêmes résultats que pour les fonctions holomorphes au sens usuel.
Théorème 4.1.2 (des singularités de Riemann). Soit U un ouvert d’une
surface de Riemann et soit a ∈ U et f ∈ O(U \ {a}) bornée sur un voisinage
de a. f peut alors être prolongée en une fonction f˜ ∈ O(U). On dit alorsque a est une singularité apparente.
64Démonstration. Voir [F].Chapitre1.1.8.

Théorème 4.1.3. Soit X une surface de Riemann et f ∈ M(X). Pourchaque pôle p on définit f (p) := ∞. f : X → P1 est alors une application
holomorphe.
Réciproquement, si f : X → P1 est une application holomorphe, alors ou bienf est identiquement égale à ∞, ou bien f −1 (∞) est un ensemble de points
isolés et f : X \ f −1 (∞) est une fonction holomorphe sur X.
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.1.15.

Exemple 4.1.5.L’exemple 4.1.3 illustre parfaitement cette situation : f :1
si z ∈ Cz
P1 \ {0} , z 7→
est une fonction méromorphe sur P1 . Si
0 si z = ∞l’on pose f (0) = ∞, alors f : P1 → P1 est bien une fonction holomorphe(elle est même biholomorphe : on a f ◦ f = IdP1 )Théorème 4.1.4. Soient X et Y deux surfaces de Riemann et soit f : X →Y une application holomorphe non constante. Soit a ∈ X et b := f (a).
Alors, il existe k ∈ N∗ et des cartes φ : U → V sur X, et ψ : U 0 → V 0 sur Y
telles que :1. a ∈ U, φ(a) = 0, b ∈ U 0 , ψ(b) = 0,
2. f (U) ⊂ U 0 ,3. L’application F := ψ ◦ f ◦ φ−1 : V → V 0 est donnée par F (z) = z kpour tout z ∈ V . On appelle k la multiplicité au point a. On peutcaractériser cet entier ainsi : c’est l’entier k tel que pour tout voisinage
U0 de a, il existe un voisinage U ⊂ U0 de a et un voisinage V de b telque pour tout y ∈ V , f −1 (y) ∩ U contient k éléments.
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.2.1.

Exemple 4.1.6. Dans l’exemple 4.1.5, tous les points de P1 ont pour multiplicité 1. En effet, si nous reprenons les ouverts U1 et U2 ainsi que les cartes
φ1 et φ2 de l’exemple 4.1.1 on a :• Si z ∈ C, alors z ∈ U1 et φ2 ◦ f ◦ φ−1
1 (z) = z.
65• Si z = ∞, alors z ∈ U2 et φ1 ◦ f ◦ φ−1
2 (z) = z.
Un autre exemple est le cas d’une fonction polynôme f : z 7→ z n + an−1 z n−1 +... + a0 de C dans C prolongée en une fonction holomorphe f˜ : P1 → P1 en
posant f (∞) = ∞. ∞ a pour multiplicité k.
Voici à présent quelques corollaires de ce théorème :Corollaire 4.1.5. Soient X et Y deux surfaces de Riemann et soit f : X →Y une application holomorphe non constante. f est alors ouverte, c’est-àdire, l’image par f de tout ouvert de X est un ouvert de Y .
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.2.4.

Corollaire 4.1.6. Soient X et Y deux surfaces de Riemann et soit f : X →Y une application holomorphe injective. f est alors une application biholomorphe de X sur f (X).
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.2.5.

Corollaire 4.1.7 (Principe du maximum). Soit X une surface de Riemannet f : X → C une application holomorphe non constante. Le module de fn’atteint pas sa borne supérieure.
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.2.6.

Théorème 4.1.8. Soient X et Y deux surfaces de Riemann. On suppose que
X est compact. soit f : X → Y une application holomorphe non constante.
Y est alors compact et f est surjectiveDémonstration. Voir [F].Chapitre1.2.7.
Dans le cas particulier où Y = C, puisque C n’est pas compact, on en déduit
le corollaire suivant :Corollaire 4.1.9. Soit X une surface de Riemann compacte. Toute application holomorphe f : X → C est constante.
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.2.8.
66

4.2

Revêtements des surfaces de RiemannDéfinition 4.2.1. Soient X et Y deux surfaces de Riemann, et p : Y → X
une application holomorphe non constante.
Un point y ∈ Y est appelé point de ramification de p s’il n’existe aucun
voisinage V de y tel que p|V soit injective .
On dira que l’application p est non ramifiée si elle n’admet pas de point deramification.
On a une caractérisation des applications non ramifiées donnée par lethéorème suivant :Théorème 4.2.1. Soient, X et Y deux surfaces de Riemann.
Une application holomorphe non constante p : Y → X est non ramifiée si etseulement si c’est un homéomorphisme local.
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.4.4.
Voici quelques exemples :Exemple 4.2.1.
• Soit k > 2 et soit pk : C → C, z 7→ z k . Le point 0
est alors un point de ramification de pk (et c’est le seul). L’applicationp|C∗ est alors non ramifiée.
• L’application exp : C → C∗ est holomorphe et non ramifiée.

Remarque 4.2.1. D’après le théorème 4.1.4, le résultat du premier exemple
nous permet d’affirmer que, X et Y sont des surfaces de Riemann, et p : Y →X une application holomorphe non constante, un point y ∈ Y est un pointde ramification si et seulement si f prend la valeur x := f (y) en y avec
multiplicité k > 2.
Nous allons à présent reprendre les notions étudiée dans la partie précédente,
et voir quels résultats nous obtenons dans le cadre des Surfaces de Riemann.
Nous verrons entre autre que nous nous intéresserons plus particulièrement
aux revêtements holomorphes de surfaces de Riemann par des surfaces deRiemann (donc des revêtements connexes) .
Avant tout, nous allons donner un résultat qui généralise la proposition 3.1.2:
Théorème 4.2.2. Soient X et Y deux espaces topologiques séparés, p : Y →X un revêtement de Y .
Si Z un espace connexe, localement connexe par arcs et simplement connexe,
et f : Z → X une application continue, alors pour tout z ∈ Z et y ∈ Ytels que f (z) = p(y), il existe un unique relèvement f˜ : Z → Y de f tel quef˜(z) = y67

Démonstration. Voir [F].Chapitre1.4.17.
Voici à présent un premier résultat concernant les relèvements d’applications
holomorphes non ramifiées.
Théorème 4.2.3. Soient X, Y et Z des surfaces de Riemann.
Si p : Y → X est une application holomorphe non ramifiée et f : Z →X une application holomorphe, alors tout relèvement g : Z → Y de f est
holomorphe.
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.4.9.
Un exemple simple qui illustre cette situation est le logarithme d’une fonction:
Exemple 4.2.2. On considr̀e une surface de Riemann simplement connexe
X. Etant donnée une application holomorphe f : X → C∗ , on cherche àdéterminer un logarithme de f , c’est-à-dire une fonction F : X → C holomorphe telle que f = exp(F ), donc telle que le diagramme suivant commute:
C
|>

F |||

X

||
|| f

exp



/ C∗

Par conséquent chercher F revient à chercher un relèvement holomorphe def.
Or, exp : C → C∗ est un revêtement de C∗ , donc d’après le théorème 4.2.2,
un unique relèvement F : X → C tel que F (x) = z pour tout choix de (x, z)
tels que f (x) = ez .
Mais d’autre part, exp : C → C∗ est holomorphe et non ramifiée, doncd’après le théorème 4.2.3, chacun de ces relèvements est holomorphe.
Ainsi, toute application f holomorphe sur une surface de Riemann simplement connexe à valeurs dans C∗ admet localement un logarithme.
Nous allons à présent introduire les applications propres entre espaces
topologiques.
Définition 4.2.2. Soient X et Y deux espaces localement compacts.
Une application f : X → Y est propre si, pour tout K ⊂ X compact,f −1 (K) est compact.
68

Remarque 4.2.2. Une application propre est nécessairement fermée.
Lemme 4.2.4. Soient X et Y deux espaces localement compacts et p une
application propre et discrète. Alors pour tout point x ∈ X l’ensemble p−1 (x)est fini.
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.4.21.

Théorème 4.2.5. Soient X et Y deux espaces localement compact.
Si p : Y → X est homéomorphisme local propre, alors p : Y → X est unrevêtement.
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.4.22.
Appliquons ce théorème aux surfaces de Riemann (qui sont des espaces localement compacts) Considérons deux surfaces de Riemann X et Y , et soit
f : X → Y une application propre holomorphe non constante.
L’ensemble A des points de ramifications de f est fermé et discret (cf. théorème
4.1.4). Puisque f est propre, B := f (A) est également fermé et discret. On
appelle B l’ensemble des valeurs critiques de f .
Si l’on note Y 0 := Y \ B et X 0 := X \ f −1 (B) ⊂ X \ A.
L’application f |X 0 : X 0 → Y 0 est alors une application propre holomorphe
non ramifiée, et le théorème précédent nous permet de conclure que c’est unrevêtement non ramifié de Y 0 .
Avant d’aller plus loin, donnons quelques exemples de revêtements non ramifiés :Exemple 4.2.3.
• exp : C → C∗ est un revêtement holomorphe de C∗ ,et c’est même son revêtement universel (C étant simplement connexe).
• Soit Γ = w1 Z + w2 Z un réseau dans C. La projection canonique p :C → C/Γ nous donne alors le revêtement universel du tore complexe
C/Γ. Son groupe d’automorphisme est alors Aut(C/Γ) ' Γ ' Z × Z(on retrouve bien le groupe fondamental du tore).
Dans la section qui va suivre nous allons développer l’exemple des revêtements
non ramifié du disque unité privé d’un point et nous verrons alors qu’il est
possible de prolonger ce revêtement en un revêtement ramifié du disque unité.

69

4.3

Revêtements du disque unité

Dans cette section on notera D le dique unité (i.e. D = {z ∈ C||z| < 1}
Avant de parler de revêtements de D, nous allons nous intéresser aux revêtements
holomorphes non ramifiés du disque épointé D ∗ := D \ {0}.
Ces revêtements sont classifiés par le théorème suivant :Théorème 4.3.1. Soit X une surface de Riemann et f : X → D ∗ unrevêtement holomorphe non ramifié de D ∗ .
Deux cas se présentent:
1. Si le revêtement admet un nombre infini de feuillets, alors il existe uneapplication biholomorphe φ : X → H sur le demi plan H := {z ∈C|Re(z) < 0} tel que le diagramme suivant commute :
φ

X BB

BB
BB
f BB!

D∗

/H
|
|
||
||exp
|
}
|

2. Si le revêtement admet un nombre fini k de feuillets, alors il existe uneapplication biholomorphe φ : X → D ∗ telle que le diagramme suivant
commute (où pk : D ∗ → D ∗ est définie par z 7→ z k ).
φ

XB

BB
BB
B
f BB!

D∗

/ D∗
z
z
zz
zzpk
z
}z

Remarquons que les applications exp : H → D ∗ et pk : D ∗ → D ∗ sontdeux types de revêtements du disque épointé. Le revêtement exp : H → D ∗est d’ailleurs le revêtement universel de D ∗ (étant donné que H est simplement connexe).
Puisque l’application φ est biholomorphe (donc bijective), ce théorème implique que tout revêtement du disque épointé est ou bien isomorphe aurevêtement exp : H → D ∗ , ou bien au revêtement pk : D ∗ → D ∗ .
Démonstration. exp : H → D ∗ étant un revêtement universel , puisquef : X → D ∗ est un revêtement connexe de D ∗ , il est isomorphe à unrevêtement associé du type qG : H/G → D ∗ où G est un sous-groupe deAut(H).

70

1. Si G = {Id}, alors X est isomorphe au revêtement exp : H → D ∗ .
D’où l’existence d’un homéomorphisme φ tel que exp ◦φ = f . Mais φ
est alors un relèvement de X au-dessus de f qui est une application
holomorphe non ramifiée, donc d’après le théorème 4.2.3, φ est bien
holomorphe (et de même on conclut que f −1 est holomorphe). φ est
donc bien biholomorphe.
2. Supposons à présent que G est non trivial. On sait que Aut(H) 'π1 (D ∗ ) ' Z. On peut voir Aut(H) comme le groupe des translations
τn : z 7→ z + 2iπn où n ∈ Z. Puisque G est non trivial, il existe k ∈ N∗
tel que G = {τnk : z 7→ z + 2iπnk, n ∈ Z}. Soit g : H → D ∗ lerevêtement défini par g(z) = exp(z/k). De plus, H étant simplement
connexe, et puisque f : X → D ∗ est un revêtement, le théorème 4.2.2
nous affirme l’exitence d’un relèvement h : H → D ∗ de H au-dessus deexp : H ∈ D ∗ et ce relèvement est de plus holomorphe.
D’autre part, g(z) = g(z 0 ) si et seulement s’il existe τnk ∈ G tel que
z 0 = τnk (z). Il existe donc une bijection φ telle que le diagrammesuivant commute :
H

} BBB
BBg
}}
}
BB
}}h
B!
}
f
~}
φ
/ D∗
X

Puisque h et g sont localement biholomorphe, φ est biholomorphe. Il
est alors immédiat que exp ◦ φ = f .
Nous avons donc déterminé les revêtements holomorphes non ramifiés dudisque épointé par des surfaces de Riemann. Nous allons en déduire lethéorème suivant :Théorème 4.3.2. Soit X une surface de Riemann, D le disque unité et
f : X → D une application propre holomorphe non constante et dont 0 est
la seule valeur critique. Il existe alors un entier k > 1 et une application
biholomorphe φ : X → D tel que le diagramme ci-dessous commute (où
pk : z 7→ z k ) :
XA

φ

AA
AA
A
f AA

D
71

/D
~
~
~~
~~
~~~ pkDémonstration. Notons X ∗ := f −1 (D ∗ ). f |X ∗ : X ∗ → D ∗ est alors
un revêtement propre holomorphe et non ramifié de D ∗ . D’après le lemme
4.2.4, f |X ∗ admet un nombre fini de feuillets. Donc, d’après le théorèmeprécédent, il existe une application biholomorphe φ tels que le diagrammesuivant commute :
X ∗D

DD
DD
D
f DD!

φ

D∗

/ D∗
z
z
zz
zzpk
z
}z

Montrons à présent par l’absurde que f −1 (0) est un singleton (ce qui nous
permettra de prolonger l’application f )Supposons f −1 (0) contient n points b1 , ..., bn avec n > 1. Il existe alors n voisinages ouverts Vi des points bi disjoints et un disque D(r) = {z ∈ C||z| < r}avec 0 < r 6 1, tels que f −1 (D(r)) ⊂ V1 ∪ ... ∪ Vn .
Posons D ∗ (r) := D(r)\{0}.
Puisque f −1 (D ∗ (r)) est connexe car homéomorphe√∗∗ kà p−1k (D (r)) = D ( r) (f. diagramme ci-dessus).
Tout point bi étant un point d’accumulation de f −1 (D ∗ (r)), f −1 (D(r)) est
également connexe. Ce qui contredit : f −1 (D(r)) ⊂ V1 ∪ ... ∪ Vn .
On peut donc poser {b} := f −1 (0). On prolonge alors φ en b en posantφ(b) := 0. On a ainsi prolongé φ en une application biholomorphe φ : X → D
telle que pk ◦ φ = f .
Remarquons bien que dans cette démonstration nous avons prolongé le revêtement
holomorphe non ramifié f |X ∗ : X ∗ → D ∗ en un revêtement holomorphe nonramifié.
Nous aimerions savoir si un tel prolongement est toujours possible. C’està-dire, si l’on se donne deux surfaces de Riemann X et Y 0 , A un ensemble
fermé discret et p : Y 0 → X \A un revêtement propre holomorphe non ramifié
de X \ A, peut-on prolonger p en un revêtement holomorphe ramifié de X :p̃ : Y → X ?
Le chapitre qui suit va nous permettre de répondre à cette question.

72

Chapitre 5
Prolongements des revêtements
non ramifiésThéorème 5.0.3. Soit X une surface de Riemann, A ⊂ X un sous-ensemble
discret fermé, et soit X 0 := X \ A. Soit Y 0 une surface de Riemann et
p0 : Y 0 → X 0 un revêtement propre holomorphe non ramifié.
On peut alors prolonger p0 en un revêtement ramifié de X. C’est-à-direqu’il existe une surface de Riemann Y , une application propre holomorphep : Y → X et une application biholomorphe φ : Y \ p−1 (A) → Y 0 telle que lediagramme ci-dessous commute :Y \ p−1 (A)

Y

s
φ sss
s
s
ss
s
y s
0
p0

p|Y \p−1 (A)



/ X0

Démonstration. Pou tout a ∈ A on choisit un voisinage ouvert Ua de a telque Ua ∩ Ua0 = Ø pour a 6= a0 et ψa : Ua → D une carte complexe à valeursdans le disque unité du plan complexe telle que ψa (a) = 0
Soit Ua∗ := Ua \ {a}. Puisque p0 : Y 0 → X 0 est propre, p0−1 (Ua∗ ) admet un
nombre fini de composantes connexes que l’on note Va∗i pour i = 1, ..., n(a).
Pour tout i, l’application p0 |Va∗i : Va∗i → Ua∗ est un revêtement ramifié etpuisque ψa est une carte complexe (donc un homéomorphisme), ψa ◦ p0 :Va∗i → D ∗ constitue un revêtement ramifié de D ∗ . Soit kai son nombre defeuillets (nécessairement fini puisque p0 est propre). D’après le théorème
4.3.1, il existe une application biholomorphe φai : Va∗i → D ∗ telle que lediagramme suivant commute (où pai (z) = z kai )
73

Va∗i

φa i

/ D∗
pai

p0



Ua∗

ψa



/ D∗

On choisit à présent des points zai , pour a ∈ A, i = 1...n(a) d’un ensemble
Z tel que Y 0 ∩ Z = Ø.
On pose alors Y := Y 0 ∪ {zai |a ∈ A, i = 1...n(a)}. On peut munir cet ensemble d’une topologie : Si (Wi )i∈I est une base de voisinages de a, alors{zai } ∪ (p0−1 (Wi ) ∩ Va∗i ) est une base de voisinage de zai . On construit ainsi
une topologie telle que Y soit un espace séparé.
Par la suite, on définit l’application p : Y → X en posant p(y) = p0 (y)pour tout y ∈ Y 0 et p(zai ) = a. L’application p est alors propre.
Nous voudrions maintenant munir Y d’une structure de surface de Riemann.
Pour cela, nous définissons des cartes complexes en prolongeant les cartes
ψa : Va∗i → D ∗ sur Vai := Va∗i ∪ {zai } en posant ψa (z ai ) := 0. Ces nouvelles
cartes ψa : Vai → D sont holomorphiquement compatibles avec les cartes de
Y 0.
Le dessin ci-dessous résume les différents prolongements effectués :11111110000000
D
0000000
11111110000000
11111110000000
111111100000000
11111110000000
11111110000000
1111111Y
Va
11111111
00000000
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111z
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
i

aaii

p

X

p ai

p’

111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
aa
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
Ua
000000000
111111111

1111110000000000001111110000001111110000001111110000001111110000001111110000001111110000000111111000000111111000000 D
111111000000111111000000111111000000111111

L’application p : Y → X est alors holomorphe. De plus, puisque Y \p−1 (A) = Y 0 il suffit de poser φ := IdY 0 pour avoir l’application biholomorphe souhaitée.
74
La proposition suivante vient compléter ce théorème :Proposition 5.0.4. Soient X, Y , Z trois surfaces de Riemann et p : Y →X, q : Z → X deux revêtements propres holomorphes. Soit A ⊂ X un sousensemble fermé discret, et soit X 0 := X \ A, Y 0 := p−1 (X 0 ) et Z 0 := q −1 (X 0 ).
Alors toute application biholomorphe σ 0 : Y 0 → Z 0 telle que q|Z 0 ◦ σ 0 = p|X 0
peut être prolongée en une application biholomorphe σ : Y → Z telle queq ◦ σ = p.
En particulier, tout élément de Aut(Y 0 ) peut être prolongé en un élément deAut(Y ).
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.8.5.
Cette proposition assure donc l’unicité du prolongement du revêtement p0 :Y 0 → X 0 vu dans le théorème 5.0.3, à isomorphisme près.
Définition 5.0.1. Soient X et Y deux surfaces de Riemann, et p : Y →X un revêtement holomorphe ramifié. Soit A ⊂ X l’ensemble des valeurscritiques de p, et soit X 0 := X \ A et Y 0 := p−1 (X 0 ).
On dit que le revêtement p : Y → X est galoisien de groupe G si lerevêtement p|Y 0 : Y 0 → X 0 est galoisien de groupe G.
Remarquons à présent l’intérêt du théorème 5.0.3 pour notre problème :Rappelons que l’on souhaite construire un revêtement de P1 de groupe degalois G fixé engendré par n éléments.
La sphère de Riemann privée de n + 1 points, X := P1 \ {p1 , ..., pn+1 } esthoméomorphe au plan complexe privé de n points C \ {z1 , ..., zn } (il suffitd’identifier l’un des points pi à ∞).
X a donc pour groupe fondamental le groupe libre à n éléments F :=F{a1 ,...,an} .
On choisit alors un revêtement universel propre holomorphe de X, p : X̃ → X
qui admettra donc F pour groupe d’automorphismes.
Par ailleurs si l’on se donne un morphisme surjectif φ : F → G (un tel morphisme existe, il suffit d’envoyer les générateurs de F sur les générateurs deG), on a alors G ' F/H où H := ker φ.
Si l’on considére le revêtement associé qH : Y 0 → X, où Y 0 := X̃/H,
ce revêtement est alors propre holomorphe non ramifié et galoisien (carH = ker φ est distingué dans F ) de groupe F/H ' G.
Mais D’après le théorème 5.0.3, on peut prolonger qH : Y → X en un75

revêtement ramifié de P1 , qH : Y → P1 , qui sera alors galoisien de groupe G.
Nous pouvons donc assurer l’existence d’un revêtement galoisien de groupe
G de type fini donné.

Comment pouvons-nous en déduire l’existence d’une extension galoisiennede C(T ) de groupe G?
C’est l’objet du chapitre suivant.

76

Chapitre 6
Correspondance
revêtements/extensions
6.1

Fonctions algébriques

Soient X et Y deux surfaces de Riemann, p : Y → X un revêtement holomorphe non ramifié à n feuillets et f une fonction méromorphe sur Y . d’après la
proposition 2.1.1, tout point x ∈ X admet un voisinage V tel qu’il existe une
famille non vide de sections au-dessus de V , (si )i∈{1,...,n} telles que tem pour
tout i ∈ I,Ssi (V ) est un ouvert de p−1 (V ) que l’on notera Ui , Ui ∩ Uj = Ø, et
p−1 (V ) = i∈{1,...,n} Ui . p|Ui : Ui → V est alors holomorphe pour tout i. On
note alors fi := f ◦ si .
Considérons alors le polynôme :nYi=1(T − fi ) = T n + c1 T n−1 + ... + cn ∈ M(U)[X]

L̇es ci étant des fonctions méromorphes sur U et on a alors ci = (−1)i σi (f1 , ..., fn ),où les σi sont les polynômes symétriques élémentaires en n variables.
Par le même procédé on construit les fonctions ci sur des voisinages de tous
les points x ∈ X, et on peut alors définir les fonctions ci méromorphes surX.
On les appelle les fonctions symétriques élémentaires de f pour lerevêtement p : Y → X.

77

Proposition 6.1.1. Soient X et Y deux surfaces de Riemann, et p : Y → X
un revêtement holomorphe ramifié à n feuillets.
Soit A ⊂ X un ensemble fermé discret contenant toutes les valeurs critiquesde p, et soit B = p−1 (A).
Supposons que p est une fonction holomorphe sur Y \ B et que les fonctions
c1 , ..., cn ∈ O(X \ A) sont les fonctions symétriques él’ementaires de f .
Alors, f peut être prolongée en une fonction holomorphe sur Y si et seulement
si toutes les fonctions ci peuvent être prolongées en des fonctions holomorphes
sur X.
Démonstration. Soit a ∈ A et {b1 , ..., bn } := p−1 (a). Soit U un voisinage
ouvert relativement compact de a tel que U ∩ A = {a} et φ : U → C une
carte complexe sur X, telle que φ(a) = 0. V := p−1 (U) est un voisinage
ouvert relativement compact de chacun des bi .
• Supposons que f peut être prolongée holomorphiquement en tout pointbi . f est alors bornée sur V \ {b1 , ..., bn }. Les ci sont donc bornée sur
U \ {a}. Donc, par le théorème des singularités de Riemann, les ci
peuvent être prolongée holomorphiquement en a.
• Supposons que les ci peuvent être prolongées holomorphiquement en a.
Toutes les fonctions ci sont alors bornées sur U \{a}. Mais ceci impliqueque f est bornée sur V \ {b1 , ..., bn }, car si x = p(y) alors f (y)n +c1 (x)f (y)n−1 + ... + cn (x) = 0. D’après le théorème des singularités deRiemann, f peut être prolongée holomorphiquement en chaque bi .

Signalons que nous avons un résultat analogue pour les fonctions méromorphes:
Proposition 6.1.2. Soient X et Y deux surfaces de Riemann, et p : Y → X
un revêtement holomorphe ramifié à n feuillets.
Soit A ⊂ X un ensemble fermé discret contenant toutes les valeurs critiquesde p, et soit B = p−1 (A).
Si on suppose f holomorphe sur Y \ B et c1 , ..., cn ∈ M(X \ A).
Alors f peut être prolongée méromorphiquement sur Y si et selement si lesci peuvent être prolongées méromorphiquement sur X.
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.8.2.
Nous allons à présent voir apparaı̂tre un lien entre les revêtements de surfacesde Riemann et l’algèbre des fonctions méromorphes. Soit p : Y → X une application holomorphe non constante. Considérons alors p? : M(X) → M(Y ),78

f 7→ f ◦ p. Il est facile de voir que cette application est bien définie et que
c’est un morphisme de corps. Le morphisme p? : M(X) → M(Y ) permet
alors de munir M(Y ) d’une structure de M(X)-algèbre. De plus, M(Y )étant un corps, c’est une extension de M(X)
Ce morphisme est particulièrement intéressant dans le cas où p est un revêtement:
Soient X et Y deux surfaces de Riemann et p : Y → X un revêtement
holomorphe ramifié à n feuillets. Si f ∈ M(Y ) et si c1 , ..., cn ∈ M(X) sontles fonctions symétriques élémentaires assocées à f , alors f n + (p? c1 )f n−1 +... + (p? cn ) = 0 (d’après la définition des fonctions symétriques élémentaires).
Par conséquent toute fonction f ∈ M(Y ) est un élément algébrique sur
K := p? (M(X)). Par conséquent, M(Y ) est une extension algébrique de K
et tout élément de M(Y ) est de degré 6 n. (Par la suite, on identifiera K à
M(X) via le morphisme p? : M(X) → M(Y ).)On a de plus le résultat suivant :Proposition 6.1.3. On a [M(Y ) : K] 6 n.
Par ailleurs, s’il existe f ∈ M(Y ) et x ∈ X avec {y1 , ..., yn } := p−1 (x) tels
que les f (yi ) pour i = 1...n sont tous distincts, alors l’extension M(Y )/M(X)est de degré exactement n.
Démonstration. Posons L := M(Y ). Considérons f0 ∈ L un élément dedegré maximal n0 6 n sur K.
Soit f ∈ L quelconque. Par le théorème de l’élément primitif, il existe g ∈ L
tel que K(g) = K(f, f0 ). Par définition de n0 , on a [K(g) : K] 6 n0 , mais
par ailleurs, K(f0 ) ⊂ K(f, f0 ) donc n0 6 [K(f, f0 ) : K]. D’où finalement,K(f0 , f ) = K(f0 ) et donc f ∈ K(f0 ) pour tout f ∈ L.
Par conséquent, L = K(f0 ) et donc [L : K] = n0 6 n.
D’autre part, le polynôme minimal de f est de degré n0 , on le note P =T n0 + p? an0 −1 T n0 −1 + ... + p? a0 ∈ K[T ]. Si x ∈ X, et {y1 , ..., yn } := p−1 (x)alors pour tout i : P (f (yi )) = f (yi )n0 + (an0 −1 (x))f (yi )n0 −1 + ... + (a0 (x)).
Donc les f (yi ) sont racines d’un même polynôme de degré n0 6 n. Donc
f (yi ) peut prendre au plus n0 valeurs distinctes.
D’où, si les f (yi ) sont tous distincts, alors n = n0 .
On commence à comprendre qu’une correspondance entre les revêtementd’une surface de Riemann X et les extensions de M(X) sera donnée parl’application : (revêtement holomorphe ramifié p : Y → X) 7−→ (extension
M(Y )/M(X)).
79

Nous allons à présent introduire le concept de fonction algébrique :Théorème 6.1.4. Soit X une surface de Riemann, et P (T ) = T n +c1 T n−1 +... + cn un polynôme irréductible de degré n.
Il existe une surface de Riemann Y , un revêtement ramifié holomorphe àn feuillets p : Y → X et une fonction méromorphe F ∈ M(Y ) telle que(p? P )(F ) = 0. Le triplet (Y, p, F ) est alors unique au sens où, si (Z, q, G) est
un autre triplet satisfaisant les mêmes propriétés, alors il existe une uniqueapplication biholomorphe σ : Z → Y telle que q = p ◦ σ et G = σ ? F .
On dit que le triplet (Y, p, F ) est une fonction algébrique définie par lepolynôme P (T ).
Démonstration. Voir [F].Chapitre1.8.9.

6.2

Correspondance

Soient X et Y deux surfaces de Riemann et p : Y → X un revêtement holomorphe ramifié de X et posons :∀σ ∈ Aut(Y ),∀f ∈ M(Y ) σf := f ◦ σ −1 ∈ M(Y ). On a alors une correspondance entre Aut(Y ) et GM(Y )/M(X) donnée par :φ : Aut(Y ) → GM(Y )/M(X)σ 7→ (f 7→ σf )Cette application est bien définie car f 7→ σf est bien un automorphisme deM(Y ) (de réciproque f 7→ σ −1 f ) laissant K = p? M(X) invariant.
Par ailleurs, il est immédiat que φ est un morphisme de groupe.
On en déduit le théorème suivant :Théorème 6.2.1. Soit X une surface de Riemann. On pose K := M(X)et P (T ) un polynôme irréductible unitaire de degré n. Soit (Y, p, F ) la fonction algébrique définie par P (T ) et L := M(Y ). On considère K comme unsous-corps de L.
• L/K est alors une extension de degré n de K, et on a L ' K[T ]/(P (T )).
• De plus, le morphisme φ : Aut(Y ) → GL/K , σ 7→ (f 7→ σf ) est un
isomorphisme de groupes.
• Le revêtement Y → X est alors galoisien si et seulement si l’extension
L/K est galoisienne.
80

Démonstration.
• D’après la proposition 6.1.3, on a bien [L : K] = n.
• L’isomorphisme L ' K[T ]/(P (T )) est clair, puisque deg(P ) = n et
P (F ) = 0, et F est un élément primitif de L (cf. démonstration de laproposition 6.1.3).
• L’application φ est injective : en effet, soit σ ∈ Aut(Y ), telle que
σf = f pour tout f ∈ L. On a alors σF = F , c’est-à-dire (σ −1 )? F = F .
Or d’après le théorème 6.1.4, IdL est l’unique application biholomorphetelle que (σ −1 )? F = F . Donc σ = IdL .
• L’application φ est surjective : soit α ∈ GL/K , (Y, p, αF ) est une fonction algébrique définie par le polynôme P (T ). Donc il existe τ ∈Aut(Y ) tel que αF = τ ∗ F = τ −1 F . Puisque F engendre L, le morphisme f 7→ τ −1 f est le morphisme α.
• Enfin, p : Y → X est galoisien si et seulement si Aut(Y ) contientn éléments (car l’action de Aut(Y ) sur les fibres est alors transitive).
Et de même l’extension GL/K est galoisienne si et seulement si GL/K
contient [L : K] = n éléments.


6.3

Application à la sphère de Riemann

A la fin du chapitre 5 les revêtements galoisiens qH : Y → P1 que nous avions
construit, nous donnent donc, par cette correspondance, des extensions galoisiennes de K := M(P1).
Rappelons que nous avions construit ces revêtements à partir d’un revêtement
universel de la sphère de Riemann privée de n + 1 points.
Voici quelques exemples de tels revêtements universels :Exemple 6.3.1.
• La sphère de Riemann privée de 2 points P1 \ {z1 , z2 }qui est homéomorphe (et même biholomorphe) à C∗ (il suffit d’identifierz1 à ∞ et z2 à 0). Un revêtement universel de cet espace est alors donné
par p : C → C∗ , z 7→ e2iπz .
• Pour la sphère de Riemann privée de 3 points, c’est plus compliqué: On se ramène avant tout au cas de la sphère de Riemann privéedes points 0, 1, et ∞. On considère alors un tore C/w1 Z + w2 Z, quel’on peut ramener, par isomorphisme à un tore Tτ := C/Z + τ Z, avec81τ ∈ P , où P := {z ∈ C|Im(z) > 0} est le demi-plan de Poincaré. On
définit la fonction ℘ : Tτ 
→ P1 C de Weierstrass
sur Tτ (on rappelle queP11℘(z) = z12 + γ∈Z+τ Z\{0} (z−γ)
2 − γ 2 ). Cette fonction est doublementpériodique de périodes 1 et τ . On note alors e1 (τ ) := ℘( 21 ), e2 (τ ) :=℘( 21 (1+τ )), et e3 (τ ) := ℘( 21 τ ), les valeurs de ℘ en chaque demi-période.
)−e3 (τ )est alors un
L’application λ : P → P1 \ {0, 1, ∞}, τ 7→ ee21 (τ(τ )−e3 (τ )1revêtement universel de P \ {0, 1, ∞} (pour plus de détails, voir [L]).

Proposition 6.3.1. Toute fonction méromorphe sur P1 est rationnelle.

Démonstration. Soit f ∈ M(P1). Nous allons d’abord montrer que f
admet un nombre fini de pôles :Supposons que f admet une infinité de pôles. On peut alors construire une
suite de pôles (zi ) qui converge dans P1 (car P1 est compact). Donc par lethéorème 4.1.1, f est identiquement égale à ∞, d’où contradiction.
On peut à présent supposer que ∞ n’est pas un pôle de f . (si ce n’est
pas le cas, il suffit de remplacer f par 1/f
Notons alors a1 , ..., an ∈ C les pôles de f , et pour chaque pôle ai , on choisit
une carte complexe φi : Ui → Vi définie sur un voisinage ouvert Ui de ai .
On peut alors effectuer un développement
de f ◦ φi au
P−1 en série de Laurent
jvoisinage de ai . On note alors hi (z) = j=−ki cij (z − ai ) la partie principalede ce développement.
La fonction g := f − (h1 ◦ φ−1 + ... + hn ◦ φ−1 ) est alors holomorphe sur P1 .
Elle est donc constante d’après le corollaire 4.1.9.
On en déduit donc que f est rationnelle.

Remarque 6.3.1. Cette proposition est une conséquence du fait suivant :• En général une surface de Riemann compact se plonge dans un espace
projectif.
• D’après le théorème de Chow, toute sous-variété analytique d’un espace
projectif est algébrique (pour plus de détails voir [GH] ou [Si])Par conséquent M(P1 ) se plonge dans C(T ). Réciproquement, il est clair
que C(T ) se plonge dans M(P1 ).
On a donc que M(P1 ) ' C(T ). On a donc bien obtenu le théorème :Théorème 6.3.2. Pour tout groupe G de type fini donné, il existe une extension galoisienne de C(T ) de groupe de Galois G.
82

Voici un exemple d’application :Exemple 6.3.2. Posons G = Z/nZ le groupe cyclique d’ordre n (engendré
par un élément).
On considère alors la sphère de Riemann privée de 2 points P1 \ {z1 , z2 } qui
est homéomorphe à C∗ . Rappelons le revêtement universel de C∗ donné par
p : C → C∗ , z 7→ e2iπz .
2iπz
On considère alors le revêtement donné par qnZ : C/nZ → C∗ , [z] 7→ e n .
On a alors M(C/nZ)
est une extension de M(P1 ) ' C(t).
√nOr M(C/nZ) ' C( t), ( Si f ∈ M(C/Z) et g ∈ C(t)) telle que f ([z]) =2iπzg(e2iπz ), on associe à f la fonction h : z 7→ g(e n )).
Une extension
galoisienne de C(t) de groupe de Galois Z/nZ est alors donnée√par C( n t).

83

Annexe A
Liste des groupes
fondamentaux
A.1

Groupe fondamental des espaces topologiquesfamiliers :Espace topologiqueRn
R2 \ {p1 , p2 , ..., pn }S1
Tn
Sn , n > 2
Pn C, n > 1
P1 R
Pn R, n > 2
Tore privé de n points
Surface de genre gprivée de n points
Bouteille de Klein

Groupe fondamental{1}
F{a1 ,a2 ,...,an}
Z
Zn
{1}
{1}
Z
Z/2Z
ha, b, c1 , c2 , ...cn | [a, b]c1 c2 ...cn = 1i
ha1 , b1 , a2 , b2 , ..., ag , bg , c1 , ..., cn| [a1 , b1 ][a2 , b2 ]...[ag , bg ]c1 ...cn = 1i
ha, b | aba−1 b = 1i

84

A.2

Groupe fondamental des groupes classiques :Groupe Classique
O2 (R)On (R), n > 3
SO2 (R)SOn (R), n > 3
Un (C), n > 1Sp(n)SUn (C)GL2 (R)GLn (R), n > 3
GLn (C), n > 1
SL2 (R)
SLn (R), n > 3
SLn (C)Spn (R)Spn (C)O2 (C)On (C), n > 3
O2,2 (R)O2,q (R), q > 3
Op,2(R), p > 3
Op,q (R), p > 3, q > 3
Up,q (C)Groupe fondamental
Z
Z/2Z
Z
Z/2Z
Z
{1}
{1}
Z
Z/2Z
Z
Z
Z/2Z
{1}
Z
{1}
Z
Z/2Z
Z×Z
Z × Z/2Z
Z × Z/2Z
Z/2Z × Z/2Z
Z×Z

85

Références bibliographiques[F]

O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Graduate Texts in Mathematics 81, New York, Springer, (1981).

[G]

C. Godbillon, Éléments de topologie algébrique. Paris, Hermann,(1971).

[GH]

P. Griffiths, J. Harris Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics
Library, (1994).

[L]K. Lamotke, Riemannsche Flächen, 2ème édition Springer,(2009).

[M]

R. Mneimné, F. Testard, Introduction à la théorie des groupes de LieClassiques. Paris, Hermann, (1986).

[S]

J. P. Serre, Groupes de Galois sur Q, Séminaire Bourbaki n◦ 689,
(1987-1988).

[Si]

J. C. Sikorav Surfaces de Riemann, M1 Mathématiques approfondies,second semestre 2010-2011[Sp]

E. H. Spanier, Algebraic Topology, Corrected reprint, Springer, (1981).

86Remerciements
Merci à M. Kenji Iohara pour tout le temps qu’il a accepté de me consacrer,
pour sa patience, pour sa bienveillance, et pour ses précieux conseils. Merci à
M. Philippe Caldero pour ses conseils avisés pour l’année prochaine et pour
avoir suivi de près lévolution de ce travail encadré de recherche. Merci à
mes parents et à mes soeurs pour leurs encouragements et leurs témoignages
d’affection tout au long de mes études. Merci à Mireille pour avoir tout
fait pour assister à ma présentation orale. Merci également à Abdel pour
avoir bien voulu partager avec moi ses expériences de son année de Master
1. Merci aussi à Mme. Alessandra Frabetti, à M. Alexis Tchoudjem et à M.
Serge Parmentier pour l’intérêt qu’ils ont porté à ce travail. Merci enfin à
tous mes condisciples aux côtés desquels j’ai passé une année particulièrement
agréable et riche en échanges.

87