降伏条件
加藤博之

May 28, 2009
1. 降伏条件
最大せん断応力説（トレスカの説）、せん断ひずみエネルギー説（ミーゼスの説）がある。
トレスカ、ミーゼスの降伏条件を判定する手順は• 主応力を求める。最大主応力 σ1 、中間主応力 σ2 、最小主応力 σ3 とする。
• 降伏応力 Y と比較する。
• トレスカの条件
σ1 − σ3 ≥ Y(1)(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2≥Y2(2)• ミーゼスの条件r

2. ２次元応力状態の復習
３次元の一般論をする前に、２次元応力状態を復習しておこう。
直交座標 (x, y) をとる。応力 σx , σy , τxy が働いている場合を考える。この物体内の任意の面に働く垂直応力とせん断応力は、モールの応力円の上にある点の座標で与えられる。

(σ −σx + σy 2
σx − σy 22) + τ2 = () + τxy22(3)円の中心の σ 座標の値 (σx + σy )/2 を σm 、半径を k とすれば、主応力 σ1 軸から角度φ[rad] （図のようにとる）傾いた面が x 軸に垂直な面に働く垂直応力 σx , とせん断応力
τxy であり、(σx , τxy ) = (σm + k cos 2φ, k sin 2φ)(4)と書ける。また、最大せん断応力は k であり、最大主応力、最小主応力はσ1 = σm + k, σ3 = σm − k(5)σ1 − σ3 = 2k(6)主応力間の関係は

yσyτ
τφττ

σmσxσ3xk
Fig.1 Mohr`s circle

12φσ1要するに、主応力は、平均応力と最大せん断応力で書ける。モールの応力円で言うと、「円は中心の座標と半径が判れば描ける。その両端は、中心座標 ± 半径である。」
ところで、『任意の応力状態は、膨張（2 次元なら面積、3 次元なら体積変化）変形とせん断変形の和と見ることができる』ことが、モールの応力円を見て判りますか？例えば、
図２の単軸引張り変形では、引張り応力 σ が引張り軸方向で主応力となり、その他の応力成分はすべてゼロである。
これと同じモールの応力円は、図２の (b) の様に、x と y に σ/2 で引張り、かつ σ/2 のせん断力を加えた時のモールの応力円と同じである。他にもいくらでも考えられる。つまり、単軸引張りと同じモールの応力円を持つ荷重の掛け方は無限通りある、のである。

(c) k= σ/2ykykσσ(a)k(b)xσ2kσxkσ2

図２．単軸引張り（a）と、二軸引張りとせん断の組み合わせ (b) は、同じ外形のモールの応力円 (c) で表される応力状態となる。
次に、平面状態のひずみエネルギー密度を考える。

U==1(σx x + σy y + σxy xy + σyx yx ),21(σx x + σy y + τxy γxy )2(7)フックの法則を使って、応力だけの式に書き換えると

U=

1
1 2{σx2 + σy2 − 2νσx σy } +τ2E2G xy(8)さらに、次のように変形する。G = E/2(1 + ν) の関係だけを使う。

U=

1 − ν σx + σy 2
1σx − σy 22() +{() + τxy}
E22G2(9)つまり, モールの応力円の中心と半径を使うとU=

1 21−ν 2σ +kE m 2G(10)第１項は平均応力で決まる等方膨張のエネルギー、第２項がせん断ひずみエネルギーである。図３でイメージすると、第１項はモールの応力円の中心の位置で決まり、第２項は半径で決まる。
注意すること：２次元状態では、せん断ひずみエネルギーは最大せん断応力だけで決まる。３次元は、というと少し事情が異なってくる。３次元でも、最大せん断応力は、最大主応力と最小主応力の差を２で割った値であることはかわらない。しかしながら、主応力が３つあることから違いが出てくる。それを以下で説明する。

2⤘ᒛᄌᒻࠛࡀ࡞ࠡ࡯
∝ σm2σmߖࠎᢿ߭ߕߺࠛࡀ࡞ࠡ࡯ ∝ k2k

図３ ひずみエネルギーの内わけ
実用上は３次元で考えるので、ここまでの結果はあまり使わない。教科書にもかかれていない。では２次元の考えが不要かというと、２次元はわかりやすい、という長所がある。実は、３次元の理論にも２次元的な考え方が随所にでてくる。

3. トレスカの条件
トレスカの降伏条件は、最大せん断応力を基準とする、最大せん断応力説である。名前の通り、最大のせん断応力がある値に達すると降伏が起こるという考え方である。判定の手順は• 主応力を求める。
• 大きさで順番をつける。例えば、σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ならば、σ1 は最大主応力、σ3 は最小主応力、σ2 を中間主応力と呼ぶ。
• 最大せん断応力を記号 k を用いて,k=σ1 − σ32(11)• 単軸引っ張り試験の降伏応力を Y とすれば、σ1 = Y , σ3 = 0 を上の式に代入すると、k = Y /2 となる。つまり、トレスカの降伏条件は k = Y /2 あるいは
σ1 − σ3 ≥ Y
4.

(12)

ミーゼスの降伏条件
降伏はせん断ひずみエネルギーが限界値に達したとき起こるという考え方である。せん断ひずみエネルギー説という。ミーゼスの説とも呼ばれる。
３次元問題のせん断ひずみエネルギーを求める。単位体積あたりのひずみエネルギーは、
3U===31 XX
σij ij ,2 i=1 j=1(13)1(σx x + σy y + σz z + σxy xy + σyx yx + σyz yz + σzy zy + σzx zx + σxz xz ),21(σx x + σy y + σz z + τxy γxy + τyz γyz + τzx γzx )(14)2

ひずみエネルギーは、
ZZ
1Ū = U dV =(σx x + σy y + σz z + τxy γxy + τyz γyz + τzx γzx )dV2(15)弾性変形を考える。平面変形状態のモールの応力円を考えてみよう。任意の応力状態は、モールの応力円の中心と半径で表現できる。モールの応力円の中心は平均応力であり、

3

平面の等方膨張により生じる。応力円の半径は最大せん断応力の大きさである。これより、任意の平面変形のひずみエネルギーは、等方膨張のひずみエネルギーとせん断ひずみエネルギーの和として与えられると予想できるだろう。これは、３次元変形でも同様になりたつであろう。

U をフックの法則を用いて応力だけの式に書き換えるとU=

11 222{σx2 + σy2 + σz2 − 2ν(σx σy + σy σz + σz σx )} +(τ + τyz+ τzx)
2E2G xy(16)平均応力 σm と体積弾性率 K を用いて、次のように変形する：

U=

1 21+ν222σ +{(σx − σy )2 + (σy − σz )2 + (σz − σx )2 + 6(τxy+ τyz+ τzx)} (17)2K m6Eどの教科書にも載っている式であるが、係数がこうなることが納得できるから、自分で式（13）から出発して導いてみるとスッキリするだろう。第一項は、体積変化に伴うエネルギーである。

1 2σ2K m(18)1222{(σx − σy )2 + (σy − σz )2 + (σz − σx )2 + 6(τxy+ τyz+ τzx)}
12G(19)第２項、すなわちが、せん断ひずみエネルギーである。今、x, y, z 座標を主応力方向にとる。主応力をσ1 ,σ2 ,σ3 とし、せん断力は０になるので、
1{(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 }12G(20)単軸引っ張り試験を行い、σ1 = Y かつ σ2 = σ3 = 0 で降伏したとする。このときのせん断ひずみエネルギーは

1 2Y(21)6G
この大きさがミーゼスの条件における エネルギーの限界値 であるから、降伏条件は
1{(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 } ≥ Y 22(22)上式の左辺を相当応力と定義する。記号 σ̄ を用いることにする。２次元や３次元応力状態では、σ̄ が単軸引っ張りの降伏応力 Y を超えると降伏が起こると考える。

σ̄ ≥ Y
相当応力は

r
σ̄ =

1{(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 }2

これをミーゼス応力と呼ぶこともある。主応力の代わりに、
r
12 + τ 2 + τ 2 )}σ̄ ={(σx − σy )2 + (σy − σz )2 + (σz − σx )2 + 6(τxyyzzx2を用いてもよい。

4(23)

(24)

(25)

5. トレスカの条件とミーゼスの条件との比較
平面状態では、相当応力と主せん断の違いはなかった。三次元では、相当応力（式 2, 24）と主せん断応力（式 1, 11）を見比べると、前者には中間主応力が現れるが、後者にはない。相当応力は、3 つの主応力の差、すなわち、３つの主せん断力が現れる。
両者の降伏条件のいずれがよく当てはまるか、を実験で検証した例で、Taylor と Quinnyによる円管のねじり引っ張りの実験がある。塑性論の教科書には必ず紹介されている。
円管の表面法線が中間主応力方向で、σ2 = 0 である。主応力はrσσσ 1 , σ3 = ± ( ) 2 + τ 222(26)である。
ミーゼスの降伏条件は

σ 2 + 3τ 2 = Y 2(27)σ 2 + 4τ 2 = Y 2(28)

トレスカの降伏条件は両者を比較すると、違いが最も大きくなるのはねじり変形だけの場合 (σ = 0) である。

6. 主応力を降伏条件とする説もある。
塑性力学に関する参考図書を挙げる。他にもある。北大の機械知能では [1] を教科書として使っている。この本はＪ棟の研究室の本棚に”確実に”ある。だたし、塑性力学の本筋は降伏以降の変形にあるので、降伏条件は最初の少しだけである。降伏条件だけなら材料力学や弾性力学の本にも載っている。

[1] 石川博将、弾性と塑性の力学、養賢堂 (1999).
[2] 北川浩、塑性力学の基礎、日刊工業新聞社（1979）.
[3] 小坂田宏造、応用塑性力学、培風館 (2004).
[4] R. Hill, Mathematical Theory of Plasticity, Oxford, 1950.
[5] T.Mura and T.Koya, Variational methods in Mechanics, Oxford, 1992.

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