Question No. 1: Electromagnetics (1/2)

2021 年 8 月実施
問題 1 電磁気学(1 頁目／ 2 頁中)Fig. 1 に示す無損失の平行二本導線を考える．導線は円柱状である．導線の一方は #1，もう一方は #2 とする．導線は真空中にあり，長さは無限である．導線の半径は a，二本の導線の中心の間隔は d (! a) である．真空の誘電率，透磁率はそれぞれ !0 ，µ0 である．以下の問に答えよ．

(1) 静電荷が平行二本導線に一様に分布している．導線 #1 および #2 の線電荷密度はそれぞれ+τ ，−τ である．
(a) 導線の間 (a ≤ x ≤ d − a) にある点 P における静電界の大きさと向きを求めよ．

(b) 導線の単位長さ当たりの静電容量 C を求めよ．

(2) y 軸に沿った定常電流が平行二本導線に一様に流れている．導線 #1 および #2 の電流はそ
れぞれ +I ，−I である．
(a) 導線の間 (a ≤ x ≤ d − a) にある点 P における磁束密度の大きさと向きを求めよ．

(b) 導線の単位長さ当たりのインダクタンス L を求めよ．

1(3) 問 (1)(b) の C と問 (2)(b) の L を用いて √LCの値を求め，物理的な意味を述べよ．

yz#12aPx#2d xxd2aFig. 1

Question No. 1: Electromagnetics (2/2)

2021 年 8 月実施
問題 1 電磁気学(2 頁目／ 2 頁中)Let us consider lossless parallel two conducting wires shown in Fig. 1. The conducting wires
are cylindrical. One of the conducting wires is #1 and the other one is #2. The conducting
wires are in vacuum and the lengths are infinite. The radii of the conducting wires are a andthe spacing between centers of the two conducting wires is d (! a). The permittivity andpermeability of vacuum are !0 and µ0 , respectively. Answer the following questions.
(1) A static charge is uniformly distributed in the parallel two conducting wires. The line
charge densities of the conducting wires #1 and #2 are +τ and −τ , respectively.
(a) Find the magnitude and direction of the static electric field at a point P between theconducting wires (a ≤ x ≤ d − a).
(b) Find the electrostatic capacitance C per unit length of the conducting wires.
(2) A stationary current along the y-axis uniformly flows in the parallel two conducting wires.
The currents of the conducting wires #1 and #2 are +I and −I, respectively.
(a) Find the magnitude and direction of the magnetic flux density at a point P between
the conducting wires (a ≤ x ≤ d − a).
(b) Find the inductance L per unit length of the conducting wires.
1(3) Using C from the question (1)(b) and L from the question (2)(b), find the value of √LC
and describe the physical meaning.

yz#12aPx#2d xxd2aFig. 1

Question No. 2: Electrical circuits (1/3)

2021 年 8 月実施
問題 2 電気回路（1 頁目／3 頁中）(1) Fig. 2(a)に示す回路について，以下の問に答えよ．電源電圧の実効値は |𝐸| = 100 V，電源の角周波数は 𝜔 = 100𝜋 rad/s，回路に流れる電流は 𝐼 = |𝐼| 𝑒 !"（−𝜋/2 ≦ 𝜃 ≦ 𝜋/2 ）[A]，インダクタンスは 𝐿 = 1/(10𝜋) H, 抵抗は 𝑅 = 8 Ω, キャパシタンスは 𝐶 = 1/(200𝜋) Fである．
(a) 電流 𝐼 について，|𝐼|，𝜃 を求めよ．
(b) 回路全体における有効電力 𝑃# と無効電力 𝑃$ ，ならびに力率 cos𝜃 を求めよ．
(c) 力率 cos𝜃 = 1とするために，Fig. 2(b)に示すように，Fig. 2(a)の a-b 間にキャパシタン
ス 𝐶% を並列に接続する．𝐶% の値を求めよ．
(d) 問(c)において，Fig. 2(b)に示す回路全体の抵抗成分で消費される電力を求めよ．また，Fig. 2(b)に示す回路に流れる電流を 𝐼% とする．電圧 𝐸 （基準として），ならびに問(a)で求めた電流 𝐼 と 𝐼% のフェーザ図を描け．ただし，フェーザ図には，|𝐸|，|𝐼|，|𝐼% |，𝜃 の値を明記し，電流 𝐼 と 𝐼% の関係性が明確になるように記載すること．
(2) Fig. 2(c)に示すブリッジ回路について，以下の問に答えよ．自己インダクタンスは 𝐿' =24 µH, 𝐿( = 30 µH，抵抗は 𝑅) = 𝑅* = 𝑅' = 𝑅( = 50 Ω, 𝑅 = 100 Ω である．a-b 間の電位差がゼロであるとき，相互インダクタンス 𝑀 の値を求めよ．

IISaaL3LL

R1EbFig. 2(a)R ERCCb
Fig. 2(b)

MaRCS
R2bR3

L3

R4L4E
Fig. 2(c)Question No. 2: Electrical circuits (2/3)

2021 年 8 月実施
問題 2 電気回路（2 頁目／3 頁中）(1) Answer the following questions regarding the circuit shown in Fig. 2(a). Here, the root-meansquare value of the voltage source is |𝐸| = 100 V, the angular frequency of the voltage source is𝜔 = 100𝜋 rad/s, the electric current flowing in the circuit is 𝐼 = |𝐼| 𝑒 !" (−𝜋/2 ≦ 𝜃 ≦ 𝜋/2) [A],the inductance is 𝐿 = 1/(10𝜋) H , the resistance is 𝑅 = 8 Ω , and the capacitance is 𝐶 =1/(200𝜋) F.
(a) Calculate |𝐼| and 𝜃 of the electric current 𝐼.
(b) Calculate the effective power 𝑃# , reactive power 𝑃$ , and power factor cos𝜃 of the wholecircuit.
(c) To obtain the power factor cos𝜃 = 1, the capacitance 𝐶% is connected between points a andb of Fig. 2(a) in parallel, as shown in Fig. 2(b). Find the value of the capacitance 𝐶% .
(d) In the case of question (c), find the electric power consumed by the resistance component of
the whole circuit of Fig. 2(b). Furthermore, in Fig. 2(b), assume the electric current is 𝐼% . Draw
the phasor diagram of 𝐸 (as a reference phasor), 𝐼 solved in question (a), and 𝐼% . For thephasor diagram, indicate the values of |𝐸|, |𝐼|, |𝐼% |, and 𝜃 and clearly describe the relation
between 𝐼 and 𝐼% .
(2) Answer the following question regarding the bridge circuit shown in Fig. 2(c). Here, the self
inductances are 𝐿' = 24 µH and 𝐿( = 30 µH, and the resistances are 𝑅) = 𝑅* = 𝑅' = 𝑅( =50 Ω, and 𝑅 = 100 Ω. When the electric potential difference between points a and b is zero, findthe value of the mutual inductance 𝑀.

Question No. 2: Electrical circuits (3/3)

2021 年 8 月実施
問題 2 電気回路（3 頁目／3 頁中）

IIS

aa

L3L

L

R1

Eb
Fig. 2(a)R ERCCb
Fig. 2(b)

MaR

CS
R2bR3

L3

R4L4EFig. 2(c)Question No. 6: Basic mathematics (1／2)

2021 年 8 月実施
問題 6 数学基礎（1 頁目／2 頁中）

æ -1 1 0 ö（１）行列 A = ç -1 2 -1÷ について考える．以下の問に答えよ．
ç÷
ç 0 1 -1÷èø(a) A のすべての固有値と，それに対応する固有ベクトルを求めよ．

()

n(b) P -1 AP が対角行列になるような正則行列 P を用いて， P -1 AP および P -1 AP を求めよ．ここで，n は自然数である．
(c) An を求めよ.

（２）0 ≤ x ≤ 2pで定義される関数 f (x) = x に対し，フーリエ級数展開

f ( x) =a0 ¥+ å ( an cos nx + bn sin nx ) (0 < x < 2p )2 n =1を考える．ここで，an および bn は

an =12pp ò0f ( x ) cos nx dx,

bn =1p ò0で与えられる．以下の問に答えよ．
(a) a0 を求めよ．
(b) n ≥ 1 に対して，an および bn を求めよ．
(c) 問(a)および問(b)の結果を利用して，次式，

sin nx p - x=
n2n =1
¥

åを導け．

2p

( 0 < x < 2p )f ( x ) sin nx dx.

Question No. 6: Basic mathematics (2／2)

2021 年 8 月実施
問題 6 数学基礎（2 頁目／2 頁中）

æ -1 1 0 ö（１）Consider the matrix A = ç -1 2 -1÷ ． Answer the following questions.
ç÷ç 0 1 -1÷èø(a) Find all the eigenvalues and the corresponding eigenvectors of A.
(b) Find P -1 AP and( P AP ) by using an invertible matrix P so that P AP becomes a-1n-1diagonal matrix. Here, n is a natural number.
(c) Find An.

（２）For the function f (x) = x defined in 0 ≤ x ≤ 2p, consider the Fourier series expansionf ( x) =a0 ¥+ å ( an cos nx + bn sin nx ) (0 < x < 2p ).
2 n =1

Here, an and bn are given byan =1pò2p0f ( x ) cos nx dx,

bn =1

pò2p0f ( x ) sin nx dx.

Answer the following questions.
(a) Find a0．
(b) Find an and bn for n ≥ 1.
(c) By using the results of question (a) and question (b), derive the following equation,

sin nx p - x=n2n =1¥

å( 0 < x < 2p ).