CSIS Discussion Paper #22

二つの領域分割図の適合度評価と統合化の手続き
A procedure for evaluating the differences between two
spatial tessellations and unifying these tessellations
増山 篤・岡部 篤行・貞広 幸雄・島村 秀樹・三好 輝生
Atsushi Masuyama, Atsuyuki Okabe, Yukio Sadahiro,
Hideki Shimamura and Teruki Miyoshi

The Department of Urban Engineering, School of Engineering,
University of Tokyo7-3-1 Hongo, Bunkyo-ku, Tokyo113-8656
e-mail: masu@ua.t.u-tokyo.ac.jp

CSIS Discussion Paper #22

二つの領域分割図の適合度評価と統合化の手続き
増山 篤・岡部 篤行・貞広 幸雄・島村 秀樹・三好 輝生
A procedure for evaluating the differences between two spatial tessellations
and unifying these tessellations
Atsushi MASUYAMA, Atsuyuki OKABE, Yukio SADAHIRO,
Hideki SHIMAMURA and Teruki MIYOSHI
Abstract: This paper shows a procedure for evaluating the differences between two spatial tessellations
which are made by different mapmakers, and unifying these tessellations into one tessellation. First, weshow a pre-processing method. Second, we show a method for detecting topological differences andadjusting these differences. Third, we define the 'skeleton' of a boundary to make two corresponding
boundaries into a uniform coarseness and develop a method for analyzing whether or not skeletons ofthese boundaries are qualitatively similar. For qualitaitively similar boundaries, we develop a method formeasuring quantitative differences in terms of parallel motion, rotation and expansion. Last, we propose
a method for unifying two boundaries into one boundary.
Keywords: 領域分割図（Spatial Tessellation），境界線（boundary），骨格（skeleton）

1. はじめに分析を行うと，領域分割図間の不一致の程度によ

空間データには，いくつものタイプがある．中っては，深刻な分析上の問題を引き起こす可能性

でも，一つの地域をいくつもの小領域に分割したがある．例えば，人口密度はポリゴンの面積に直領域分割図は，代表的な空間データタイプの一つ接依存する量であるから，二つの領域分割図で面である．例えば，行政界，土地利用図，植生図な積に不一致が生じている限りにおいては，この密ど，枚挙に暇がない．そして，我々は，しばしば，度を用いた分析は信頼できない．

二つの領域分割図を組み合わせて分析を行う．とこの論文では，国土地理院による 1/2500 の新ころが，そのとき，同じ地域に関して同一となる宿区の町丁目界（以下，地理院地図と呼ぶ）と総べき領域分割図間に不一致が生じていることがあ

務庁統計局（以下，統計局地図と呼ぶ）による新る．それは，往々にして，それらが複数の主体に宿区の町丁目界を例にとって，以上のような不一よって作成されているという事情に起因する．例

致を見出し，その不一致の程度を評価し，二つのえば，新宿区の町丁目界という領域分割図は，国領域分割図を一つに統合するための一連の手続き

土地理院でも統計局でも作成されている．しかしを提案する．まず，第一に，これらのデータの前ながら，作成した主体が違うので，それらにおけ処理について述べる．第二に，これらの町丁目界る領域分割等が同一である保証はない．実際は，において，位相構造の違いを見つけ，それを修正むしろ，違う場合が多い．したがって，複数の主する方法を提案する．第三に，町丁目界の骨格と体によって作成された領域分割図を同時に用いていうものを定義し，二つの町丁目界の粗さを揃える方法を開発する．次に，それらの骨格が質的に増山：〒113-8656 東京都文京区本郷 7-3-1
東京大学大学院工学系研究科都市工学専攻

一致するかどうかを調べる手法を開発する．第四に，もし骨格が質的に一致するならば，それらのTel.03-5841-6259

平行移動，回転，拡大・縮小などの空間的関係を

E-mail: masu@ua.t.u-tokyo.ac.jp

分析する方法を開発する．最後に，違いが存在す

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る場合に，これら町丁目界を統合・修正する方法

図の場合，独自のファイル形式のデータである．

を示す．

そこで，地理院地図のファイル形式を同一のファ二つの領域分割図の境界線の適合度評価法にイル形式とする．

関する既存研究としては，Goodchild and Hunter(1997)，Skidmore and Turner (1992), Tveite andStep 2: 地理院地図の図郭線除去手続き

Langaas (1999) が挙げられる．しかしながら，地理院地図の場合，元々のデータにおいては，これらの研究では，領域分割図の適合度評価に止図 1(a)にあるように図郭線が存在している．そまっており，また，先に述べたような，二つの境こで，図 1(b)にあるように図郭線を除去する．

界線の質的違い，空間的関係などは扱われていな
い．また，本来同一であるべき，二つの空間デー

Step 3: 名称の対応チェックと修正タが一致しない状況下において，それらの違いを

例えば，新宿区には，下落合 1 丁目，西早稲評価し，修正・統合する一連の手続きを示した研田 2 丁目，高田馬場 3 丁目など様々な町丁目が究としては Walter and Fritsch (1999)がある．

存在する．ところが，実際には，こうした町丁目

具体的には，ドイツにおける二つの道路ネットワのリスト間において，対応関係にエラーがあるこークデータを題材として，情報理論に基づいた適とが多い．そもそも町丁目数が一致しないという合度評価法などが取り上げられているが，領域分ことがありうるし，また町丁目数が一致したとし割図を取り扱ったものではない．ても，町丁目リストの内容が全く同一であるとは限らない．例えば，この研究で用いたデータの場合，町丁目数が一致しないということはなかった．

2. 非空間データの整合性のチェック
二つの領域分割図の適合度評価，統合を行うた

しかしながら，例えば，下落合 1 丁目に関してめには，それらを比較可能なものとするために，言えば，統計局地図の場合，「下落合１丁目」，地その前段階としてデータに対して処理を行う必要

理院地図の場合「下落合一丁目」と入力されていがある．具体的には，ファイル形式の統合，不必る．この場合，「丁目」の前の漢数字を算用数字

要な線の除去，対応関係にあるポリゴンに対してに置き換えるだけでよいので，この場合は，シス共通の名称を振ることである．この論文では，こテマティックに内容を修正することができる．

うした処理のことを前処理と呼ぶことにするが，ここでは，いくつかの前処理手続き手法を提案し3. 領域間の接続関係の違いの検出，統合・修正ていこう．

Step 4: 位相（隣接）関係の表示
ここで言う位相関係とは，新宿区の町丁目界デStep 1: 地図ファイル形式の統一化

ータに関して言えば，町丁目の隣接関係のことで新宿区の町丁目界の場合，統計局地図のファイある．この関係を視覚的に表現するには，各町丁ル形式は，シェイプファイルであるが，地理院地目を一つのノードと表し，二つの町丁目が隣接し(a)(b)

図 1 図郭線の除去

地理院地図

統計局地図

図 2 町丁目の隣接関係を表すグラフ

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十字」の交点付近における境界線の交わり方が微妙に変化するだけで，図 4(a)〜(c)のように，位相関係が大きく変化する場合がありうる．このような場合，ある閾値を設定し，ポリゴンの境界線同士が交わる二点間の距離が，その閾値以下であった場合，それらを一つにまとめるような操作を
地理院と統計局

統計局と地理院

図 3 位相関係の相違行えばよい．例えば，図 4(a)における二点 A,B間の距離がある程度以下ならば，図 4(c)のような位相関係に機械的に修正することにすることがでている場合には，それぞれを表すノードを結ぶリきる．しかし，A,B 間の距離がその閾値を超えたンクを張ってグラフを生成し，これを表示してや場合は，機械的な修正は不可能である．

ればよい．図 2 は，地理院地図，統計局地図について，このようにして生成したグラフを視覚的に表現したものである．
Step 5: 位相（隣接）関係の違いを表示
以上のようにして生成された 2 つのグラフが図 5 致命的な位相関係の違い同相であれば，二つの領域分割図間において，町さらに，図 5 のような場合もあり得る．この

丁目界の接続関係に違いはない．しかし，往々に場合，機械的に位相関係を修正することはほとんしてこれらのグラフは同相ではない．しかも，全ど不可能である．おそらく，データの入力段階に体的にグラフの位相関係が一致しないということおいて，致命的なミスが生じたものと考えられる．

ではなく，部分的に位相関係が一致しないというこうした場合は，人間の手によってデータを入力ことが多い．実際，この新宿区町丁目界データにし直す必要がある．

関して，二つのデータ間で位相関係が異なる箇所を太線で表示すると図 3 のようになる．

この研究でも，上のような方法で，地理院地図と統計局地図の間で位相的に違う部分については，修正を行い，統合化する．図 6 は，その結Step 6: 位相（隣接）関係の統合化果である．

さて，このような位相関係の不一致が生じたとき，それをいかに修正すればよいか，ということを考えてみよう．

AB(a)

(b)

(c)

図 4 機械的に修正できる位相関係

まず，このような位相関係の不一致がもっとも生じやすいケースとしては，図 4 のように町丁目界が「ほぼ十字」に交わっていると，「ほぼ図 6 修正された位相関係

なお，領域分割図における位相的問題に関しては，岡部・貞広(1999)において，より詳しく議論されている．

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4. 二つの境界線の質的同一性の分析

い精度での近似が可能である．

町丁目の位相関係が一致すれば，町丁目の境界線同士に対応付けを行うことができる．しかしながら，これらはあくまで位相的に一致しているに過ぎず，これらの間には何らかのずれが生じてい元々の境界線

図 8 境界線の近似法る場合が多い．例えば，境界のデジタイジング精度が異なることは十分あり得る．また，入力精度が同じであったとしても，それらを重ね合わせたとき，完全に一致する保証はどこにもない．
この論文では，まず境界線の骨格を定義し，次に対応関係にある境界線の粗さを揃えるとは何かということについて述べる．次に，粗さが揃えられた二つの境界線の骨格が質的に同一かどうか調べる方法について述べる．最後に，もし，それらの骨格が質的に一致するならば，それらの空間的関係を調べる方法について述べることにする．

境界線を近似したもの

図 9 は，このような方法で，例題境界線について近似線分を求めたものである．
ここで，例えば東西軸を実数軸，南北軸を虚数軸とみることで，先の小線分からなる近似線分は複素数列とみなすことができる．具体的には，こ の 近 似 線 分 が 複 素 平 面 上 の ( n + 1) 個 の 点z (0), z (1),..., z (n) から成るものとする．なお，2点 z ( j ), z ( j + 1) （ただし， j = 0,1,..., n − 1 ）の距離は一定間隔δ とする．また，

なお，以下では，新宿区における全ての境界線の中から，図 7 にある特定の一組の境界線（以地理院-8300-8250-8200-8150-8100-33750

下，例題境界線と呼ぶことにする）を一例として取り上げ，これらの方法について説明していこう．

-33800

地理院
-8250

-8200

-8100

-33700-8050-33850-33700-8050-33900-33750

統計局
-8250

-8200

-8100

-33850-33700-8050-33750-33900

統計局
-8300

-8250

-8200

-8150

-8100

-33700-8050-33850-33750-33900

図 9 近似された例題境界線-33800-33850w( j ) =-33900

図 7 例題境界線z ( j + 1) − z ( j )
δ(1)

とおく．
Step 7: 境界線の粗さを揃える

さて，このようにして近似線分を複素数列とまず，境界線を長さの等しい小線分から成る見なせば，それに対して複素数列の離散フーリエ線分で近似する．例えば，図 8 のような近似を変換（上坂, 1983）を行うことができる．複素数行うということであるこのとき，近似線分におい列の離散フーリエ変換とは，先の近似線分を三角て小線分の長さを十分小さくとることで，十分良関数の和として表現することであり，数式を用いCSIS Discussion Paper #22て表現すると次のようになる．

なる式によって，点列 z N (0), z N (1),..., z N ( n) からなる線分を構築する．先に述べた c~( k ) の性質

まず，より， N を大きくするほど，フーリエ変換以前jk ϕ k ( j ) = exp − 2πi  , k = 0,1,..., n − 1n (2)の近似線分の微細な特徴まで復元される．逆に，

N を小さくとるほど，近似線分のマクロ的な特徴が抽出される．

とおく（ここで， i は虚数単位である）．このとこの論文では，上のようにして構築された線分のことをレベル N の骨格と定義する．また，き，対応関係にある二つの境界線に関し，共通のレベc( k ) =n −11∑ w( j )ϕ k ( j )n j =0(3)ル N で骨格を抽出することを 粗さを揃えると言うことにする．
なお，図 10 は， N = 72 として例題境界線のとすると，この式で求められる c が w の離散フ粗さを揃えた結果である．
さて，ここで，二つの境界線があるとしたとーリエ変換と呼ばれる．

き，N をパラメトリックに変化させながら，粗次に，さを揃えたとしよう．このとき，二つの骨格が質n
c( k )
k = 0,1, ,...,
2c~(k ) = nc(k − n) k = + 1,..., n − 1
2

的に一致するように見えることもあれば，そうで(4)ない場合もある．
では，次に，あるレベル N において骨格が質的に一致するとはどういうことかということを考と変数変換すると， c~( k ) において， k が 0 に近えてみよう．
地理院

いほど波長が長い成分となっている．以下，そのような c~( k ) のことを低周波成分と呼ぶことにする．逆に， k の絶対値が大きいほど，波長が短い

-8300

-8250

-8200-8150-8100-33700-8050-33750

成分となっており，そのような成分のことを高周-33800波成分と呼ぶことにする．

-33850

さて，ここで，最低周波数成分から数えて N-33900

個の c~( k ) を用いて線分を構築することを考える．
具体的には，まず，

統計局
-8300

-8250

-8200

-8150-8100-33700-8050-33750

wN ( j ) = ∑ ~c (k )ϕ * ( j )(5)-33800k ≤N-33850

なる w N ( j ) を求める（ここで， ϕ * ( j ) は ϕ ( j )の複素共役）．次に，これを用いて-33900

図 10 例題境界線の骨格（N=72）

j −1z N ( j ) = z (0) + δ ∑ wN (r )r =0(6)

Step 8: 境界線の特徴点を抽出
今，仮に，図 11 のように，境界線の骨格があったとしよう．このとき，この骨格上における白CSIS Discussion Paper #22にはどうすればよいか考えてみよう．まず，レベル N の骨格に関し，骨格の始点から終点に沿っ(a)て，隣り合う小線分同士がなす角度の列を求める．
このためには，複素平面上で， w N ( j + 1) と(b)特質点(c)

図 11 質的に一致する骨格と一致しない骨格
θjwN(j)w N ( j ) がなす角度を θ j としたとき，角度の列{θ 1 ,θ 2 ,...,θ n−1 } を求める．この論文では，この角度の列を局所角度線と言うことにする（図 12）．
次に，局所角度線において，180 度から大きく外れ，顕著なピークまたはボトムとなっている点を求める．これら顕著なピークまたはボトムが特質wN(j+ 1)

点に対応しているから，顕著なピーク・ボトムのzN(j)レベルNの骨格シークエンスを求め，それらが一致しているならば，二つの骨格は質的に一致していることになる．

θj
地理院

局所角度線
300250O 1n‑1j

図 12 局所角度線の求め方

200150100

丸および黒丸のような点は特徴的な点だと言えよ

501う．では，これらの点がどのような性質を持った

16 31 46 61点であるか，ということを考えてみると，こうした点においては，この骨格が 180 度から大きくかけ離れた角度で折れ曲がっていることがわかる．
以下，この研究では，このような点のことを特質点と呼ぶことにする．

統計局
300250200150

今，二つの骨格それぞれについて，特質点が求100められたとしよう．このとき，図 11(a)のように，50二つの骨格間で特質点の数が異なるとき，これらが質的に一致しているとは言い難い．また，図76 91 106 121 136 151 166

11631 4661 76

91 106 121 136 151 166

図 13 例題境界線の局所角度線

11(b)のような場合，特質点の数は一致している

図 13 は， N = 72 として，例題境界線に関しものの質的に一致しているとは考えにくい．なぜて求めた局所角度線である．ここで，記号を用いならば，特質点における左右への折れ曲がり方のて，顕著なピークを P ，顕著なボトムを B と表順序が違うためである．図 11(c)のような場合ですことにすると，地理院地図，統計局地図それぞあれば，これらは質的に一致しているとごく自然れの局所角度線がともに ( B , P, P, B, P ) というシに考えられる．そこで，この論文では，左右へのークエンスを持っていることがわかる．したがっ

折れ曲がり方も考慮して，特質点のシークエンスて，例題境界線は， N = 72 で，骨格が一致するが一致するとき， 二つの骨格は質的に一致すということが分かる．

る と言うことにする．
では，骨格が質的に一致するかどうか調べる

ただ，こうした顕著なピーク，ボトムのシークエンスが一致しなくても，骨格が一致する場合がCSIS Discussion Paper #22あり得る．例えば，片方の局所角度線が作を行うことで，もう片方の特質点の組と重ね合( B, P, P, B, P) というシークエンスを持ち，もう片方の局所角度線が，その逆 ( P , B, P, P, B ) といわせることができるかもしれない．また，回転あうシークエンスを持っているときに，それらの骨わせることができるかもしれない（図 15）．

るいは拡大・縮小といった操作によって，重ね合格が一致するということがあり得る．しかしながら，そうした場合が生じるのは，二つの境界線間において，始点と終点の対応関係が入れ替わっている場合など，非常に極端な場合にのみ生じる．
したがって，二つのデータ間で標準的なデータ構造が採用されているのならば，逆のシークエンスまで考慮する必要はない．
なお，図 14 は，例題境界線の局所角度線における顕著なピーク，ボトムに対応する特質点を抽出した結果である．
-8250

-8200

-8150

回転

拡大・縮小

図 15 二つの特質点の組の空間的関係

二次元平面上における二つの点列の空間関係の相違を計量的に評価するための分析手法として
は，複素数回帰分析がある（King, 1969）．この分析は，二つの点列が与えられたとき，平行移動，回転，拡大・縮小の三つのどれによって，どの程地理院
-8300

平行移動

-33700-8100-8050-33750-33800度まで重ね合わせられるかを分析する手法である．
具体的には，複素平面上における二つの点列{W1 ,W2 ,...,Wn } , {Z 1 , Z 2 ,..., Z n } が与えられているする．このとき，以下のようなモデルによっ-33850-33900て Z j によって，W j の予測値Ŵ j の予測値を求めるという問題を考えてみる．

統計局
-8300

-8250

-8200

-8150

-8100

-33700-8050

Wˆ j = A + BZ j-33750-33800(7)（ただし， A = a1 + ia 2 , B = b1 + ib2 ）-33850-33900

このとき，以下の最適化問題を解けばよい．

図 14 例題境界線の特質点

nmin

a1 ,a2 ,b1 ,b2∑ Wˆ − W

Step 9: 特質点の数で質的な相違を評価
例題境界線の場合，N =72 で骨格が一致したが，どのレベル N においても骨格が一致しない場合もあり得る．そのような場合，特質点数の差を用いることで，二つの境界線の質的な差の評価を行うことが考えられよう．
4. 二つの境界線の空間的関係の分析
Step 10: 骨格が質的に一致する場合における計量的相違の評価

jj =12(8)j

また，この最適化問題の解は以下のように一意に定まる（Dryden and Mardia, 1998）．
 n
 a1     0
 a2  b =  n
 1   ∑ xjb 
 2   j =n1
−yj ∑ j =1n0∑xn∑yj =1nj =1∑ y ∑ (xnj =1n

∑xj =1njjj =12j0


j =1
n
xj

∑j =1
0n22x j + y j ∑
j =1
n− ∑ yjjj+ yj2)

()

−1n
uj
∑
j =1n
vj

∑
j=1

n

 ∑ (x j u j + y j v j )
 j n=1
 (x v − y u )j jj j ∑ j =1

(9)ある粗さで二つの境界線の骨格が質的に一致したとき，片方の特質点の組に関して平行移動操

このようにして，先のモデルのパラメータが推CSIS Discussion Paper #22

定されれば， {W1 ,W 2 ,...,Wn } は {Z 1 , Z 2 ,..., Z n }することが，今後の課題として挙げられよう．

を謝辞

・ a1 + ia 2 方向に平行移動

この研究は東京大学空間情報科学研究センター

・ b1 + b2 倍に拡大
2・2との共同研究の一部を筆者らの責任でまとめたも22θ = cos−1  b1 / b1 + b2  ,22
θ = sin −1  b2 / b1 + b2  を同時に満たす θ0 ≤ θ < 2π ,だけ反時計回りに回転のである．
参考文献
Dryden, I.L. and Mardia, K.V. (1998) Statistical
Shape Analysis, Chicester, Wiley

させたものと解釈を与えることができる．

Goodchild, M.F. and Hunter, G.J. (1997) A
simple positional accuracy measure for linearfeatures,

5. 町丁目界の統合・修正International

JournalofGeographical Information Science, 11, 299-Step 11: 境界線の統合
いずれかのレベル N において粗さを揃え，二つの境界線の骨格が一致するのであれば，図 16のように，対応関係にある特質点間の中点を通っていくような新しい境界線を作成し，町丁目界の統合・修正を行なうという方法がある．こうした統合・修正はシステマティックに行うことができよう．しかしながら，いずれのレベルで粗さを揃えても，骨格が一致しない場合については，人間の手によって修正を行う．

306
King, L.J. (1969) Statistical Analysis inGeography, New Jersey, Prentice-Hall
岡部篤行，貞広幸雄 (1999) 二つの領域分割図の位相的適合状態を評価する方法と統合化する方法, Discussion Paper, 11, Center for Spatial
Information Science, University of Tokyo
Skidmore, A.K. and Turner, B.J. (1992) Map
Accuracy Assessment Using Line Intersect
Sampling,

特質点
対応する特質点間の中点ずれている二つの境界線
統合・修正された境界線

図 16 ずれている境界線の修正・統合

PhotogrammetricEngineeringand Remote Sensing, 58(10), 1453-1457
Tveite, H. and Langaas, S. (1999) An accuracy
assessment method for geographical line datasets

based

onbuffering,International

Journal of Geographical Information Science,
13(1), 27-47
6. おわりに

上坂吉則 (1983) かたちのスペクトル分析 視覚

この論文では，国土地理院，総務庁統計局によからみたパターン認識, 数理科学, 246, 38-45って作成された新宿区の町丁目データを題材としWalter, V. and Fritsch, D. (1999) Matchingて，二つの領域分割図間に生じた領域同士の接続

spatial data sets: a statistical approach,

関係の相違，境界線同士の質的相違，空間的関係Internationalを分析する手法を提案した．また，領域分割図間Information Science, 13(5), 445-473に生じた不一致を解消する手法も提案した．
この研究では，手法ごとにプログラムを作成し，分析，統合・修正を行ってきたが，これらをまとめ，GIS 上において対話型システムとして実装

Journalof

Geographical