Question No. 1: Electromagnetics (1／2)

2023 年 2・3 月実施
問題 1 電磁気学（１頁目／２頁中）

電荷も電流も存在しない, 3 次元空間（𝑥, 𝑦, 𝑧）の真空中を𝑧軸方向に伝搬する電磁波について, 次の問に答えよ. ただし, 真空中の誘電率, および透磁率をそれぞれ𝜀! , 𝜇! とする.
(1) 電界𝑬, 磁界𝑯を用いて, マクスウェルの方程式（ガウスの法則, 磁界に関するガウスの法則, ファラデーの法則, アンペア－マクスウェルの法則）を微分形で記述せよ. また, 電界および磁界の波動方程式(1A), (1B)を導出せよ. 必要であれば任意のベクトル𝑨に対する公式, ∇ × (∇ × 𝑨) = ∇(∇ ∙ 𝑨) − ∇" 𝑨を用いてもよい.
∇" 𝑬 − 𝜀! 𝜇!

𝜕"𝑬=0
𝜕𝑡 "

(1A)

∇" 𝑯 − 𝜀! 𝜇!

𝜕"𝑯=0
𝜕𝑡 "(1B)(2) 時刻𝑡における電磁波の電界は, 𝑬 = 7𝐸# , 𝐸$ , 𝐸% : = (𝐸! sin(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡), 0, 0)と与えられ, 𝑘,および𝜔は, それぞれ電磁波の波数, 角周波数とする.
(a) 波動方程式(1A)へ𝑬を代入することにより, 電磁波の伝搬速度（光速）𝑐を, 𝜀! と𝜇! を用いて導出せよ.
(b) ∇ × 𝑬 = 𝒋𝑘𝐸! cos (𝑘𝑧 − 𝜔𝑡)となることを示せ. ただし, 𝒋は𝑦軸方向の単位ベクトルである.
(c) ファラデーの法則より, 𝐻$ の振幅を求めよ. 𝐻$ は電磁波の磁界𝑯の𝑦軸方向成分である.

Question No. 1: Electromagnetics (2／2)

2023 年 2・3 月実施
問題 1 電磁気学（２頁目／２頁中）Answer the following questions, for an electromagnetic wave propagating along the 𝑧axis in a vacuum in three-dimensional space (𝑥, 𝑦, 𝑧) in which neither electric charge nor
current exists. Here, the permittivity and permeability of vacuum are 𝜀! and 𝜇! ,respectively.
(1) Describe Maxwell’s equations (Gauss’s law, Gauss’s law for magnetic field, Faraday's
law and the Ampère-Maxwell’s law) in differential form using the electric field 𝑬 andmagnetic field 𝑯 . Furthermore, derive the wave equations (1A) and (1B) for theelectric and magnetic fields. If necessary, use the formula ∇ × (∇ × 𝑨) = ∇(∇ ∙ 𝑨) − ∇" 𝑨for any vector 𝑨.
∇" 𝑬 − 𝜀! 𝜇!

𝜕"𝑬=0
𝜕𝑡 "

(1A)

∇" 𝑯 − 𝜀! 𝜇!

𝜕"𝑯=0
𝜕𝑡 "

(1B)

(2) The electric field of the electromagnetic wave at time 𝑡 is given as 𝑬 = 7𝐸# , 𝐸$ , 𝐸% : =(𝐸! sin(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡), 0, 0), where 𝑘 and 𝜔 are the wavenumber and angular frequency ofthe electromagnetic wave, respectively.
(a) By substituting 𝑬 in the wave equation (1A), derive the speed of theelectromagnetic wave (the speed of light) 𝑐, using 𝜀! and 𝜇! .
(b) Show that ∇ × 𝑬 = 𝒋𝑘𝐸! cos (𝑘𝑧 − 𝜔𝑡), where 𝒋 is the unit vector along the 𝑦-axis.
(c) From Faraday's law, find the amplitude of 𝐻$ . 𝐻$ is the 𝑦-axis component of themagnetic field 𝑯 of the electromagnetic wave.

Question No. 2: Electrical circuits (1/2)

2023 年 2・3 月実施
問題 2 電気回路（1 頁目／2 頁中）交流電源の電圧 𝑉 の実効値は 100 V で，角周波数は 𝜔 [rad/s] である．電源の内部抵抗は無視する．交流電源と，回路素子として，抵抗が 𝑅 [Ω] の抵抗器，インダクタンスが 𝐿 [H] のコ
イル，容量が 𝐶 [F] のコンデンサを用いた回路の設計について，以下の問に答えよ．
(1) 交流電源，抵抗器，コイル, コンデンサを 1 個ずつ用いて回路を設計することを考える．
ある特定の角周波数 𝜔! において，𝑅，𝐿，𝐶 の値を調整することで，全ての回路素子に流れる電流の実効値は 4 A，位相は電源電圧と同相になる．𝑅，𝐿，𝐶，𝜔! が満たすべき条件を説明せよ．
(2) 1 個の交流電源と，3 個の回路素子を用いて回路を設計することを考える．電源から流れ出る電流 𝐼 [A] は，並列接続により電流 𝐼# [A]と 𝐼$ [A] に分流され，𝐼# ，𝐼$ の実効値はそれ
ぞれ 4 A，2√2 A である．電源電圧 𝑉 を基準として，電流 𝐼# ，𝐼$ の位相進みはそれぞれ 0，𝜋/4 rad である．回路素子は，抵抗器，コイル，コンデンサの中から必要なものを選択することとし，それぞれを複数個用いてもよい．
(a) 電流 𝐼，𝐼# ，𝐼$ のフェーザ図を描け．ただし，電源電圧 𝑉 をフェーザの基準とする．
(b) この条件を満たす回路図を描け．ならびに，用いた回路素子のインピーダンスの値を回路図に明記せよ．

Question No. 2: Electrical circuits (2/2)

2023 年 2・3 月実施
問題 2 電気回路（2 頁目／2 頁中）For an alternating current (AC) power supply, the effective value of the voltage 𝑉 is 100 V andthe angular frequency is 𝜔 [rad/s]. The internal resistance is ignored. For a design of an electricalcircuit that uses the AC power supply and circuit elements, such as resistor(s) of resistance 𝑅 [Ω], coil(s)of inductance 𝐿 [H], and condenser(s) of capacitance 𝐶 [F], answer the following questions.
(1) Consider an electrical circuit design that uses the AC power supply, a single resistor, a single coil,and a single condenser. For a certain angular frequency 𝜔! , by adjusting the values of 𝑅, 𝐿, and𝐶, the effective value of the electrical current flowing through all circuit elements becomes 4 A
and the phase of the electrical current becomes the same as the phase of the voltage of the power
supply. Explain the conditions 𝑅, 𝐿, 𝐶, and 𝜔! should satisfy to achieve this.
(2) Consider an electrical circuit design that uses the AC power supply and three circuit elements. Theelectrical current 𝐼 [A] flowing from the power supply is divided into currents 𝐼# and 𝐼$ in aparallel circuit, where the effective values of 𝐼# [A] and 𝐼$ [A] are 4 A and 2√2 A, respectively.
As the voltage of the power source 𝑉 is a reference phasor, the phase leadings of the electricalcurrents 𝐼# and 𝐼$ are 0 and 𝜋/4 rad, respectively. The necessary circuit elements should bechosen from among resistors, coils, and condensers, and more than one of each element may beused.
(a) Draw the phasor diagram of 𝐼, 𝐼# , and 𝐼$ . Note that the voltage of the power supply 𝑉 is thereference phasor.
(b) Draw the electrical circuit that satisfies these conditions. You should write the impedance valueof each element you use in the circuit.

Question No. 6: Basic mathematics (1／1)

2023 年 2・3 月実施
問題６ 数学基礎（１頁目／１頁中）311𝑎２つの行列 𝐴 = $−2 4 −1+および 𝐵 = $0−2 −1 00数である．以下の問に答えよ．

0 0𝑏 1+について考える．ここで𝑎および𝑏は実0 𝑏(1) 行列𝐴の全ての固有値と，それらに対応する固有ベクトルを求めよ．
𝑎! 00!
(2) 𝐵 = $ 0 𝑏! 𝑛 ∙ 𝑏!"# +であることを示せ．ここで𝑛は正の整数であり，0$ = 1とする．
00𝑏!
(3) 𝑃"# 𝐴𝑃 = 𝐵となるような実数𝑎および𝑏，正則行列𝑃およびその逆行列𝑃"# を求めよ．
(4) 𝐴! を求めよ．ここで𝑛は正の整数である．

311𝑎Consider the two matrices 𝐴 = $−2 4 −1+ and 𝐵 = $0−2 −1 00numbers. Answer the following questions.

0 0𝑏 1+. Here, 𝑎 and 𝑏 are real
0 𝑏(1) Find all the eigenvalues and their corresponding eigenvectors of the matrix 𝐴.
𝑎! 00!
(2) Show that 𝐵 = $ 0 𝑏! 𝑛 ∙ 𝑏!"# +. Here, 𝑛 is a positive integer and let 0$ = 1.
00𝑏!
(3) Find real numbers 𝑎 and 𝑏, an invertible matrix 𝑃, and its inverse matrix 𝑃"# such that𝑃"# 𝐴𝑃 = 𝐵.
(4) Find 𝐴! . Here, 𝑛 is a positive integer.