長岡工業高等専門学校研究紀要

論第50巻（2014）

文新発田諏訪神社の紛失算額
涌田 和芳1・外川 一仁212

一般教育科－数学（Liberal Arts-Mathematics, Nagaoka National College of Technology）
電子制御工学科（Department of Electronic Control Engineering, Nagaoka National College of Technology）

The Sangaku Lost from the Suwa Shrine in Shibata
Kazuyoshi WAKUTA1 and Kazuhito TOGAWA2Abstract
A mathematical tablet called sangaku was dedicated to the Shibata Suwa Jinjya―the Shinto shrine in1808. Although the sangaku was lost, fortunately it was recorded in a book “Saishi Shinzan”―thecollection of sangaku problems. The sangaku is a historical work that shows the wasan―the traditional
Japanese mathematics in the Edo period. Then, we try to restore the sangaku through the drawing bycomputer. Also, from the literature,we infer the then solution to the sangaku problem.
Key Words : wasan, sangaku, restoration by computer, solution

１．はじめに
江戸時代, 各地の神社・仏閣に奉掲された算額をれ，海外にも紹介され反響を呼んだ 2)～5)．近年は，集録した中村時万編の『賽祠神算』 1)がある．この学術的な研究だけでなく，一般の人々への和算の紹

中 に ， 「 越 後 州新 発 田 諏訪 社 」 と し て ，文 化 5介や数学教育の立場からの研究も盛んである 6)～18)．

（1808）年に，高橋德通，塩原道明によって奉掲された算額が集録されている．現在，この算額は失われてしまった．算額は，和算の問いと答えを額にし２．算額復元図て神社や仏閣に奉掲したものである．新発田諏訪神社の算額は，江戸時代の和算の様子を知る上で貴重『賽祠神算』は稿本であり，その写本に算額の説な資料であり，後世に伝えられるべきものである．

明文と図がある．算額の大きさ，および説明文と図

この算額を，『賽祠神算』（巻之四）より描画ソフの配置等は不明である．漢字は写本により異同があトを用いて復元する．また，算額の問題は図形の問るが，原則として旧字体を用いた．図の彩色につい題が 2 題であり，奉掲者たちがどのようにして解いては，現存する他の算額を参考にした．ソフトは，たかは大変興味深いが，記録がなく不明である．そ描画ツール（Adobe Illustrator cs3）を用いた．

こで，公式集などの和算書等から当時の解法を推測作成した復元図を示す（図－1）．

する．
和算は，明治以後，科学史の立場から研究が行わ−31−涌田和芳 ・ 外川一仁

３．額文の解説
３．３ 奥付について

３．１ 額文の書下し文
額文の書下し文を一案として書き，その現代語

算額奉掲者は高橋德通，塩原道明であり，彼らの訳を示す．和算の用語については説明をしないが，師が丸田正通であること以外は何もわからない。丸

現代語訳と比較すれば，その意味が分かる．

田正通は，新発田藩士で最上流創始者の会田安明の高弟である．

第一問
今，図の如く，六線を以て八円，すなはち，陰陽円各一個，天地人円各二個を挟む有り．只云ふ，陰円径二寸．また云ふ，陽円径一十四寸．別に云ふ，天地円径相乗四個．人円径幾何と問ふ．
答へて曰く，人円径一寸五分．
術に曰く，陰陽円径相乗の内，別に云ふを減じ，余りを陰陽円径和を以てこれを除し，人円径を得て問
いに合す．
第二問
今，図の如く，圭の内に，直および大円一個，日円，月半円，木円，火円，土円，金円各二個，水円一個を容るる有り．只云ふ，日円径若干．大円径幾
何と問ふ． 月円径は直の平を用ふ．
答へて曰く，左の如し．
術に曰く，四十八個を置き平方に開く．以て八個七分五厘を減じ，余りに日円径を乗じ，大円径を得て３．２ 現代語訳
第一問
図のように，6 個の直線で 8 個の円，すなわち，陰陽円各 1 個，天地人円各 2 個を挟む．ただし，陰円の直径は 2 寸，また，陽円の直径は 14 寸．更に，天円と地円の直径の積は 4 とする．人円の直径はいくらか．
答．人円の直径は 1 寸 5 分．
術．陰円の直径と陽円の直径の積より天円の直径と地円の直径の積を引き，これを陰円の直径と陽円の直径の和で割り，人円の直径を得る．
第二問
図のように，二等辺三角形の中に，長方形と大円，日円，月半円，木円，火円，土円，金円が各 2 個，水円 1 個がある．ただし，日円の直径は任意に与えられる．大円の直径はいくらか．月円の直径は，長方形の短い辺（縦）である．
答．左の如し．
術．8.75 より 48 の平方根を引き，日円の直径を掛けて，大円の直径を得る．

−32−

図-1 復元図

問いに合す．

新発田諏訪神社の紛失算額

O3 A3 E ∽ O5 B5 E より*2

４．術の解説O3 A3 : EA3  O5 B5 : EB5

第一問，第二問ともに，当時の解法は不明である(5)ので，和算書等から当時の解法を推測する．第二問については，『新潟の算額』19)に解法があるが，和したがって，(3)より算書にある当時の公式を使って別の解法を示す．こEA3  EB5 の方が見通しが立て易い．ただし，表記は，現代数学に従う．

４．１

第一問についてO3 A3r EB5  3O5 B5r5r1r32 r1r2  ( r1  r2 ) r5(6)(1)，(2)，(6)より

A

B
O3 B
3A3DCBE  EB3  BB3  EA3  IA5O'3O1

B1EA1B5A5O5r ( r  r )  ( r1  r2 )r5
 1 2 32 r1r2  ( r1  r2 )r5GO'5I

F(3)，(4)より

HEF  EB5  FB5O2O4

O'4B'D'(7)

C'A'BE 

し，直線 AA' と円 On との接点を An ，直線 BB' と円

br3r2  r3(9)BF : B' F  r1 : r4 より

On との接点を Bn とする．そしてBF 

rn ：円 On の直径， b  BB'(8)BE : B' E  r3 : r2 より

図-2 第一問の解法図

図-2 のように，6 個の直線の交点と 8 個の円を表( r1  r2 )r52 r1r2  ( r1  r2 )r5

br1
r1  r4(10)

したがって

とおく．

BB3  EA1  IA5が成り立ち*1，またIA5 
EB5 
FB5 

r1r2  ( r1  r2 )r52

EF  BF  BE (1)b( r1r2  r3r4 )( r1  r4 )( r2  r3 )(11)(7)，(9)より



r1r52 r1r2  ( r1  r2 )r5
r2 r5
2 r1r2  ( r1  r2 )r5

r1r2  ( r1  r2 )r5
2 r1r2  ( r1  r2 )r5

br3
r ( r  r )  ( r1  r2 )r5
 1 2 3r2  r32 r1r2  ( r1  r2 )r5

(2)
(3)

(12)

(8)，(11)より
b( r1r2  r3 r4 )( r1  r2 )r5
( r1  r4 )( r2  r3 ) 2 r1r2  ( r1  r2 )r5

(4)

(13)

(12)，(13)より*1が成り立つ ．

r3 ( r1  r4 )r ( r  r )  ( r1  r2 )r5
 1 2 3
( r1r2  r3r4 )( r1  r2 )r5−33−(14)涌田

和芳 ・ 外川一仁r

これを r5 について解いてrr r rr5  1 2 3 4
r1  r2(15)(h  r2 )r1h

また， AO1 K1 ∽ AGH より

AK1 : O1K1  AH : GH

これが術で述べられている．

r1  2 ， r2  14 ， r3 r4  4 を (15) に 代 入 し て ，r5  1.5 を得る．すなわち，人円の直径は，1 寸 5分であることが分かる．

(19)

(20)

ここで，山本賀前編の『算法助術』20)の第 40 の公式より

GH  r1r2(21)が成り立つ*3．したがって
４．２

第二問についてrrr(h  1 ) 2  ( 1 ) 2 : 1  h : r1r2222A

したがってK1O1DEHOGO'1O2

IO3O 4O5O6 O 7FrC

『算法助術』の第 47 の公式より，3 円 O1 ' ， O3 ，(r3  r4 )r2  r3r4  2 r1r2 r3r4  0に垂線 O7 J を引く．

が成り立つ*4．したがって(r2  r3 ) 2 r4 2  2r2 r3 (2r1  r2  r3 )r4  r2 2 r32  0r12 r4 2  2( r1  r3 )r1r3r4  (r1  r3 )2 r32  0とおく．

(26)

(27)

これより

AO1 K1 ∽ AOK 2 より

{r1r4  (r1  r3 )r3 }2  0(16)

(28)

すなわち

すなわちr4 (17)( r1  r3 )r3r1(29)同様に，3 円 O1 ' ， O 4 ， O5 について

したがって

r2  r1  r3 なので(25)

これに， r2  r1  r3 を代入して*5rn ：円 On の直径， h  AH

(h  r1  r3 )r1h(24)次に， r2 を求める．と辺 DG の交点を H とする．辺 AC と円 O1 ， O の接点を，それぞれ， K1 ， K 2 とし， O7 から直線 AIr

3r1  4r24O 4 について

図-3 のように，二等辺三角形，長方形，円，半円を表す． A から辺 BC に垂線 AI を引き，直線 AIr rr r(h  1 ) : 1  (h  r1  r3  ) :2 22 2(23)(23)を(19)に代入して

図-3 第二問の解法図

AO1 : O1 K1  AO : OK 2

4r1r24r2  r1hK2J

B(22)(18)(r4  r5 )r2  r4 r5  2 r1r2 r4 r5  0が成り立つ．したがって−34−(30)新発田諏訪神社の紛失算額(r2  r4 ) 2 r52  2r2 r4 (2r1  r2  r4 )r5  r2 2 r4 2  0( r1  r3 ) 2 (r12  6r1r3  r32 ) 2 r7 2(31) 2(r1  r3 ) 2 r3 ( r14  6r13 r3  18r12 r32  6r1r33  r34 )r7

これに， r2  r1  r3 ， r4 を代入して( r1  r3 )22

r5  2r3 (r12  r32 )r5  (r1  r3 )2 r32  0

 ( r1  r3 )6 r32  0(42)(32)
これを因数分解してこれを因数分解して{(r1  r3 ) 2 r5  (r1  r3 ) 2 r3 }(r5  r3 )  0{(r12  6r1r3  r32 ) 2 r7  (r1  r3 ) 4 r3 }(33)

すなわち*6r5 (43)( r1  r3 ) 4 r3(44)すなわち*8( r1  r3 ) 2 r3( r1  r3 ) 2( r5  r6 )r2  r5r6  2 r1r2 r5r6  0r7 (34)また，3 円 O1 ' ， O5 ， O6 について(35)

( r2  r5 ) 2 r6 2  2r2 r5 (2r1  r2  r5 )r6  r2 2 r5 2  0 (36)
これに， r2  r1  r3 ， r5 を代入してrr
O1 ' J  1  r3  722(45)O7 J  r1r2  r2 r7(46)r r
O1 ' O7  1  72 2(47)

三平方の定理より*9r12 ( r1  3r3 ) 2 r6 2rr rr( 1  7 ) 2  ( 1  r3  7 ) 2  ( r1r2  r2 r7 ) 22 222

 2r1r3 (r1  r3 )( r12  2r1r3  5r32 )r6 ( r1  r3 ) 4 r32  0( r12  6r1r3  r32 ) 2

一方， O1 ' O7 J についてが成り立つ．したがって

(37)

(48)

r2  r1  r3 を代入して整理すると

r1  r3  2 r1r7

これを因数分解して

(49)

したがって

{r1 (r1  3r3 )2 r6  (r1  r3 )3 r3}{r1r6  ( r1  r3 )r3}  0 (38)すなわち*7r6 

 {(r1  r3 ) 2 r7  ( r1  r3 ) 2 r3}  0r7 ( r1  r3 ) 2
4r1(50)(44)，(50)より
3( r1  r3 ) r3
r1 ( r1  3r3 ) 2r32  14r1r3  r12  0(40)r3  (7  48 )r1

これに， r2  r1  r3 ， r6 を代入して(41)(52)(52)より， r3  r1 なのでが成り立つ．したがって( r2  r6 ) 2 r7 2  2r2 r6 (2r1  r2  r6 )r7  r2 2 r62  0(51)したがってまた，3 円 O1 ' ， O6 ， O7 について

( r6  r7 )r2  r6 r7  2 r1r2 r6 r7  0(r1  r3 ) 2 (r12  14r1r3  r32 )  0(39)

(53)

したがって

r2  r1  r3  (8  48 )r1
これを(24)に代入して−35−(54)

涌田

r

35  4 48
r1  (8.75  48 )r14

和芳 ・ 外川一仁

O2 DR ∽ RCO1 より(55)O2 D : RD  RC : O1C

これが術で述べてある．

RD 

注(64)

r1r24 RC(65)SD  RD  SK  RK ， SD  RC な の で ， (61) ，(63)，(65)より*1QPASD 2  SD( RD  SK  RK )HEIO1O3Rr r  ( r1  r2 )r3 124
したがってO2LJGCBKFSD S DIJ 

図-4 において(56)RK 雑論III』 22)にその解説があり，「新潟白山神社の算またRK SL 

r1r2  ( r1  r2 )r3
2
r1r3
2 r1r2  ( r1  r2 )r3
r2 r3
2 r1r2  ( r1  r2 )r3

r1r2  ( r1  r2 )r3

(57)
(58)

(68)

2

r1r3(69)

2 r1r2  ( r1  r2 )r3SL  SK 額」23)において紹介した．

IJ (67)2(63)，(67)よりが成り立つ．これは，『矩合枢要』21)に述べられている．加藤平左エ衛門著の『和算の研究

r1r2  ( r1  r2 )r3

IJ  SD なので図-4 注 1 の説明図

SD  RC  IJ(66)r2 r3(70)

2 r1r2  ( r1  r2 )r3*2 相似記号を用いているが，和算では相似という概念は表には出さず，直接，比例関係を述べる．
*3『算法助術』の第 40 の公式にある．これはよく知られた公式である．
*4『算法助術』に第 47 の公式として，次の公式が(59)ある．

Dが成り立つ．これは，『続神壁算法解義』24)において，播州明石柿本大明神社の算額の解法の中でC述べられている．これを紹介する．

hO2 DS ∽ SKO3 より

O2 D : SD  SK : O3 K(60)rr
SK  2 34SD(61)O1CR ∽ RKO3 より

O1C : RC  RK : O3 K
RK r1r34 RC

BAE(62)(63)−36−

図-5 注 4 の説明図

新発田諏訪神社の紛失算額

図-5 において，円 A ， B ， C の直径を，それぞれ， a ， b ， c とし，高さを h  DE とする．このとき(a  b)h  ab  2 abch  0(71)が成り立つ．これについては，「与板八幡宮の紛失算額(3)」25)において紹介した．
*5 r3  r2  r1 を代入してもよいが，この方がいくらか簡単になる．
*6，*7，*8方程式のもう 1 つの解は r5  r3 であるが，これは20) 山本賀前:算法助術，天保 12（1841）年，東北大学
和算資料データベース蔵．深川英俊校注：算法助術（復刻），朝日新聞社事業部名古屋企画事業チーム，2005 年．
21) 野村貞処:矩合枢要，天保 10（1839）年，東北大学
和算資料データベース蔵．
22) 加藤平左エ門:和算ノ研究 雑論 III，丸善，1956 年．
23) 涌田和芳，外川一仁：新潟白山神社の紛失算額，長岡工業高等専門学校紀要第 47 巻，pp.7-16，2011 年．
24) 白石長忠，御粥安本：続神壁算法解義，成立年不詳，
東北大学和算資料データベース蔵．
25) 涌田和芳，外川一仁：与板八幡宮の紛失算額(3)，長岡工業高等専門学校紀要第 49 巻，pp.1-6，2013 年．

求める解ではない．3 円 O1 ' ， O 4 ， O5 の関係から O5 の直径を求めようとするとき， O3 の直径も解となるのは当然である．このことについては、*7，*8 も同様である．
*9 三平方の定理は，和算において鉤股弦の術としてよく使われる公式である．
参考文献
1)

中村時万：賽祠神算，天保 2（1832）年，東北大学
和算資料データベース蔵．
2) 三上義夫: 文化史上より見たる日本の数学，岩波文庫，1991 年（1947 年初出）．
3) 深川英俊，ダン・ペドー: 日本の幾何 － 何題解けますか？， 森北出版，1991 年．
4) 深川英俊，ダン・ソコロフスキー: 日本の数学－何題解けますか？（上）(下)，森北出版，1994 年．
5) 深川英俊，Tony Rothman:Sacred Mathematics－
Japanese Temple Geometry ， Princeton Univ ．
Press，2008 年．（邦訳）聖なる数学：算額，森北出版，2010 年．
6) 小倉金之助: 日本の数学，岩波新書，1940 年．
7) 平山諦：和算の歴史－その本質と発展，ちくま文庫，2007 年（1961 年初出）．
8) 平山諦：和算史上の人々，ちくま文庫，2008 年（1965 年初出）．
9) 大矢真一: 和算入門，日本評論社，1987 年．
10) 平山諦：和算の誕生，恒星社恒星閣，1993 年．
11) 佐藤健一: 日本人と数 江戸庶民の数学，東洋書店，1994 年．
12) 深川英俊: 日本の数学と算額，森北出版，1998 年．
13) 佐藤健一: 新和算入門，研成社，2000 年．
14) 小川束，平野葉一: 講座 数学の考え方 24 数学の歴史，朝倉書店，2003 年．
15) 伊藤洋美: 手づくり選択数学 おもしろ和算，明治図書，2003 年．
16) 小寺裕： だから楽しい江戸の算額，研成社，2007年．
17) 桜井進：江戸の数学教科書，集英社，2009 年．
18) 小寺裕： 江戸の数学 和算，技術評論社，2010 年．
19) 道脇義正，八田健二：新潟の算額，私家版，1967 年．

−37−(2014.9.25 受付)