スペクトル解析（Spectrum analysis）
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5.1 フーリエ級数
Fourier series
5.2 フーリエ変換
Fourier Transform
5.3 パワースペクトル Power spectrum
5.4 離散データのフーリエ展開 For discrete time series– ナイキスト周波数とエイリアジング
Nyquist frequency and aliasing
5.5 ピリオドグラム法 Periodogram method
5.6 スペクトルと相関関数 Spectrum and correlation function
5.7 クロススペクトルとコヒーレンス
Cross-spectrum and coherency
5.8 スペクトルの推定法と推定誤差
Estimation of spectrum and its error
5.9 スペクトル解析の例 applications

5.1 フーリエ級数 Fourier series• 周期性を持った波は、どんなに複雑なものでも、たくさんの単純な波の足し合わせでできている。 → 単純な波に分解できる。

周期と振幅が異なる正弦波と余弦波

各周波数ごとの波の振幅
周波数1 周波数2Sin312Cos 1
周波数12周波数3233SC

スペクトル
フーリエ級数による表現は、、、

フーリエ級数

例題）矩形波をフーリエ級数で表す-ππ

T = 2 πなので、- πからπまで積分

f(x) は奇関数なので、奇関数である sin の項のみで表現される（和達, 1982）

1項目までn項目
この係数が大きい3項目(n=5)まで緑が再現波形6項目(n=11)まで

第1項から第10項までの和11項から100項までの和Contribution from high-frequency terms

Gibbs現象
関数の不連続点では短波長成分の寄与が顕著になる
塵も積もれば山（崖）となる、、、
Little strokes fell great oaks.

Every little bit helps.

複素フーリエ級数

5.2 フーリエ変換（積分）Fourier transform (integral)

周期 T が無限大ということは、非周期関数を意味しているC(f)5.3 パワースペクトル
フーリエ変換power spectrum
フーリエ変換の強度

フーリエ逆変換

波に分解→それぞれの振幅スペクトル！

周期無限大

周期信号

非周期信号

フーリエ級数展開

フーリエ変換（積分）

離散スペクトル

連続スペクトルパワースペクトル
power spectrum
エネルギースペクトルC(f)Power spectrum density

単位時間当たり5.4 離散データのフーリエ変換
Fourier transform for discrete data series
フーリエ変換（級数）は連続的な関数を対象にしているが、我々が扱うデータは、気温、風速などの離散データ

近似
この間は関数が一定であるとして積分を和で置き換えるエイリアジング

aliasing

2⊿tt

0⊿t

⊿tのサンプリングで表現できる最も短い波長は2⊿t
ナイキスト振動数（Nyquist frequency）
1/ 2⊿tfn =ωn=2πfn =π/ ⊿tエイリアジング
周期2の波を1.5毎にサンプル

Nyquist frequency（ナイキスト周波数）
実際にはこのようなスペクトルが得られてしまうエイリアジング周期

上記の1番目の式を適用

例題） T0 = 1.2の波をΔt = 1 でサンプルしたら？
上記の1番目の式で n = 1 として Ta = 6

エイリアジングの例

11.97

199.5

海洋潮汐
潮汐成分の残ったデータを⊿t＝24hで読み取る
場合、 2⊿t＝48h以下の周期の信号はエイリアジングを起こす。
Å読み取る前にフィルターをかけて潮汐成分を取り除く必要あり
小樽での2011年6月1日から14日にかけての潮位予測（気象庁HPで作成）

5.5 スペクトル（ピリオドグラム Periodogram)

伊藤・見延 (2010)

ピリオドグラムの特性・問題点

5.6 スペクトルと相関関数
ウィーナーヒンチンの関係
Wiener-Khinchin relation
Fourier transform
フーリエ変換
自己共分散関数
Auto-correlation フーリエ逆変換
function

スペクトルspectrum

例題) 白色雑音の相関関数とパワースペクトルは？

日野(1977)

5.7 クロススペクトルとコヒーレンス
cross-spectrum and coherence

フーリエ変換
自己共分散関数スペクトル

Auto-correlation

spectrum

相互共分散関数クロス・スペクトル

Cross-correlation

cross-spectrum

クロススペクトルとコヒーレンス

5.8

スペクトルの推定法と推定誤差
Estimation of spectrum

生データ
Raw data
相関
自己相関
correlation
Blackman-Tukey法

複素フーリエ成分
Fourier component
直接直接法の手法として、
Fast Fourier Transform(FFT)を用いる
スペクトル (Cooley-Tukey法)。
spectrum

Maximum Entropy Method : MEM
・スペクトルの周波数分解能と推定精度の向上が同時に図れる。
（直接法や相関法では不可能）
・最近まで標準的な有意性検定方法が提案されていなかった。

直接法（FFTを用いる）によるスペクトル解析の手順（概略）
1. データ数の決定
FFTを用いる場合には、一般にデータ数を2のべき乗にしければならない Æ データの一部を削るか、後ろに値が0のデータを加えるか（ゼロパッディング）する。
（ゼロパッディングにより周波数分解能が向上する。）
2. トレンドなどの除去（必要なら）
3. データウインドウの適用（必要なら）
cos20、Hanning、Hammingテーパーなど
4. FFTを用いて生のスペクトルを計算
5. 周波数空間で平滑化Æ 最終的なスペクトル（平滑化を分割平均で行う場合は、2の前に入力時系列を時間領域で分割し、そのそれぞれのスペクトルの平均を最終的なスペクトルとする。）
6. スペクトルの推定誤差を評価

Boxcarデータ・ウインドウとそのスペクトル・ウインドウ

データ数: 32
main lobe
side lobes

Hは最大値を1に規格化

データ・ウインドウとテーパー
Boxcarウインドウの両端で値が急激に変化するので、スペクトルのピークの周波数から他の周波数にスペクトルの漏れが発生
Æ データの両端で値を緩やかに減衰させるテーパーを適し、スペクトルの漏れを軽減
Æピークを解像する能力が低下（スペクトルの漏れを軽減するのは、スペクトル推定の周波数解像度を減少させるという犠牲の下でのみ可能）

テーパー
Cos20

小さな side lobe(Hamming)

HanningHammingÆ スペクトルの漏れを抑制Æ main lobe が広くなる

テーパーの効果
x(t)=cos(2πt/21)+0.2cos(2πt/9)

あるスペクトル・ピークの信頼限界の下限がその前後の周波数での信頼限界の上限を上回っている
場合に、そのピークは統計的に有意スペクトルの漏れが大スペクトルの漏れが小テーパーによって周波数解像能が低下
伊藤・見延 (2010)

平滑化による効果
周波数平滑化の強化
Æ精度の向上Æ周波数分解の低下(Emery andThomson, 2001)

生

平均数：

平均数：平均数：スペクトルの誤差推定

アルファの数え方
以前の表とは逆

2乗コヒーレンスの有意水準

5.8 スペクトル解析の実例 その１
スペクトルの形状の議論
水平スケールの違いによスペクトルの傾きの違い
海面水温の空間スペクトル解析
異なったレジームを示唆

縦軸・横軸ともに対数
座標(Toba et al., 1984)

5.8 スペクトル解析の実例 その２
宗谷暖流の5-20日周期の変動のメカニズム(Ebuchi et al., 2009)
レーダーによる表層の流速（月平均）

表層の流速と稚内と網走の水位差

水位（水位差）と表層の流速のスペクトル

縦軸・横軸とも対数でプロットz 水位（特に稚内）では13.66日の潮汐の周期が卓越
z 水位差と流速には5-20日周期の広いピークが有り

水位差と流速の2乗コヒーレンスと位相有意水準

点線は0.5, 1, 2日の位相差

南風Æ日本海とオホーツクの水位差が増大
Æ宗谷暖流の強化

z 5-20日の周期で2乗コヒーレンスが大きい（13.66日の周期では値が小さい）
z 負の位相は水位差が流速をリード

まとめ• 時系列は異なる周期を持つ波に分解できる。
パワースペクトルを計算することにより周波数空間での変動の強弱を調べることができる。
• ナイキスト周波数より高周波の信号は折りた
たみ効果により低周波スペクトルを汚染する。
（エイリアジング）• 相関関数とパワースペクトルは等価である。
• 相互相関関数とクロススペクトルは等価である。