数理統計学

前回の解答

第６回分

１）身長の分布が N (170.5, 7.62 ) に従うと仮定できる場合、自分の身長《○○○ cm（小数第１位を四捨五入）》以上になる確率 P (○○○ ≦ X) を求めよ> 1-pnorm(○○○,170.5,7.6)

で確率が出てくる。《> 1-pnorm((○○○-170.5)/7.6) でも可》主な確率の値
身長
確率

150
0.997

1550.979

160
0.916

165
0.765

1700.526

1750.277

1800.106

1850.0282

190
5.15 × 10−3２）母集団が母分散 (2.95)2 の正規分布に従うとき、９つのデータ
32.4, 39.2, 41.3, 43.7, 39.7, 37.2, 40.9, 39.9, 39.4が与えられたときの、標本平均を計算し、母平均 µ の 95%信頼区間を求めよ。

> x <- c(32.4, 39.2, 41.3, 43.7, 39.7, 37.2, 40.9, 39.9, 39.4)> mean(x)[1] 39.3> var(x)[1] 9.81
ここまでで標本平均 x̄ = 39.3、標本分散 s2 = 9.81 (s = 3.1320 · · · ) がわかる。
95%信頼区間を求めるための ε は> qnorm(1-0.05/2)[1] 1.959964《> qnorm((1+0.95)/2) でも可》によって求められるので、信頼区間は> 39.3-1.959964*2.95/sqrt(9)[1] 37.3727> 39.3+1.959964*2.95/sqrt(9)[1] 41.2273のように [37.4, 41.2] であることがわかる。
もし、99%信頼区間を求めるのであれば、> mean(x)-qnorm(1-0.01/2)*2.95/sqrt(9)[1] 36.7671> mean(x)+qnorm(1-0.01/2)*2.95/sqrt(9)[1] 41.8329
によって、[36.8, 41.8] である。
注）１．解答は有効数字３桁以上で答えること。
２．データの個数が９なのに例題のまま sqrt(10) とする人がいた。
３．区間推定の答えは区間 [a, b] または a ≦ µ ≦ b で答えること。
≪ (a, b) や a < µ < b でも可≫22
４．母分散 σ = (3.25) なのに、例題のまま 3 を使う人が多かった。
５．母分散既知なのに、s の値を使う人がいた。
６．qnorm とまちがえて pnorm を使い ε = 0.8352 としないように注意！
！

演習で使うデータ
学籍番号15230511723016
1823019
1823038
1823058
1823067
1823068
1823070

1 番目のデータ 18 番目のデータ
37.0
39.1
29.1
27.5
38.8
35.6
40.3
32.0
29.7
35.5
38.1
27.9
38.4
43.3
25.6
32.6

学籍番号
1823072
1823076
1823091
1823100
1823102
1823109
1823131

1 番目のデータ 18 番目のデータ
45.2
35.1
35.8
32.8
35.8
33.5
31.8
32.6
32.5
39.7
43.2
37.3
45.1
36.2

数理統計学

平均の区間推定

第７回

・平均の区間推定（母分散未知）
基本的には母分散既知と同じ考え方であるが、母分散 σ 2 の値がわからない（未知）のため

Z=X̄ − µ√σnでの変換ができない。そこで Z の変換において、母分散 σ 2 の代わりにその推定量である標本分散 s2 を使うことを考える。つまりT =X̄ − µ√Snと変換する。このとき、T は標準正規分布ではなく、自由度 n − 1 の t 分布に従うことがわかっている。よって Pr{−zα ≦ Z ≦ zα } = 1 − α ではなく、Pr{−tα ≦ T ≦ tα } = 1 − αになるように tα を求めてやればよい。確率の括弧の中身は母分散既知と同様に−tα ≦X̄ − µ√Sn

≦ tα⇒SSX̄ − tα × √ ≦ µ ≦ X̄ + tα × √nnと変形できるので、[x̄ − tα × √sn , x̄ + tα × √sn ] の間に真の平均 µ が入っている確率は、事前に決めた確率にすることができる。
・Pr{−tα ≦ T ≦ tα } = 1 − α となる tα の求め方

t 分布は教科書 P.54 にあるように、ほとんど標準正規分布と変わらない形をしている。母分散を推定しているために、誤差が大きくなる分だけ正規分布に比べて少しつぶれた形をしている。自由度 (= n − 1) が大きいほど正規分布に近づき、n → ∞ のとき t 分布は正規分布となる。コンピュータが無い場合は、t 分布の両側 100α% 点の表を使って tα を求めることになるが、R では正規分布と同様に T が t 分布に従うとき、Pr{T ≦ tβ } = β となる tβ はqt(β, 自由度) で与えられる。データの個数が７の場合、自由度が 6(= 7 − 1) となるので９５％信頼区間を求めるには、Pr{T ≦ tα } = 1 − 0.05/2 = 0.975 となる tα を> qt(1-0.05/2,6)[1] 2.446912のように求める。データの数が少ないので、標準正規分布の 1.96 に比べるとかなり大きな数字であることがわかる。データの数を増やしていくと> qt(1-0.05/2,50)[1] 2.008559> qt(1-0.05/2,100)[1] 1.983972と正規分布の場合の値である 1.96 に近づいていく。

例．母平均が未知の場合の区間推定ある工場で作られた電球 7 個の寿命を調べたところ、下記のような結果を得た。
76.5, 82.4, 93.0, 78.7, 86.6, 94.2, 82.9 (単位：日)
このとき、母平均 µ の 99%信頼区間を求めよ。
解答例）
標本平均と標本分散を計算すると、> x <- c(76.5, 82.4, 93.0, 78.7, 86.6, 94.2, 82.9)> mean(x)[1] 84.9> var(x)[1] 45.70667> sd(x)[1] 6.76067となるので、標本平均 x̄ = 84.9、標本分散 s2 = 45.70667、標本標準偏差 s = 6.76067 であることがわかる。母分散が未知なので、T =X̄ − µ√Snと変換すると、t は自由度 7 − 1 = 6 の t 分布に従うことになる。
よって、Pr{−tα ≦ T ≦ tα } = 0.99 = 1 − 0.01 となる tα は

Pr{T ≦ tα } = 1 −0.01= 0.995 ⇒ qt(1-0.01/2,6) = 3.707428
2となる。よって母平均の 99%信頼区間は−3.707428 ≦

84.9 − µ6.76067√7≦ 3.707428の不等式を解いて、84.9 − 3.707428 ×6.760676.76067√≦ µ ≦ 84.9 + 3.707428 × √7775.42643 ≦ µ ≦ 94.37357
75.4 ≦ µ ≦ 94.4と求められる。

中間レポートについて次回１１月２２日（金）に問題配布、１２月 ６（金）締め切りで中間レポートを行います。

2019 年度 数理統計学 D 科

小テスト解答用紙

2019.11.15

・母分散が未知の場合の母平均の区間推定
次のように作成した 18 個のデータに対して、母分散が未知の場合の母平均の99% 信頼区間を求めよ。

> set.seed(学籍番号)> x <- round(rnorm(18,34,5.5),digits=1)
注）1 番目のデータと 18 番目のデータは別紙に一覧表で載せておくので確認すること2019 年度神奈川工科大学学科学年組

学

籍番号

氏

名

数理統計学
演習問題
提出先：K3-3309 号室前

20 番のボックス 提出期限：１１月１８日（月）１７時頃まで