任意の屈折率を持つ層からなる光学多層膜フィルタの最適設計*中野 武雄、**前田真、***馬場茂

Optimum design of optical filter with multiple layers ofarbitrary refractive indices*Takeo NAKANO, **Shin MAEDA and ***Shigeru BABA

ABSTRACT: A computer program has been developed to search for the optimum multi-layer
filter structure by modifying the refractive indices (RI) of the layers continuously between 1.417 and2.435, which are the RIs of SiO2 and TiO2, respectively. It aims to propose a design strategy whereRI control of each layer is available by the recent progress in co-sputtering technique. We havetested the optimization of 3 kinds of initial structures for various numbers of layers (NL). These
initial structures are (HLHL…), (LHLH…), and (OOO…), where H denotes the TiO2 layer, L does
the SiO2 layer, and O denotes the layer whose RI is the halfway of H and L. The residual error
becomes smaller as NL increases, and the HL structure shows the best result at any NL. The OO isas good as the HL while the NL is small, but becomes worst at NL >20. By comparing the HL andLH, it is understood that the more the alteration periods of H and L layers in the initial structure is,the better the optimization result is.
KEYWORDS: optical filter, multilayer structure, optimum design

タを実現するもっともよく知られた構造は、高1. はじめに
近年進められている波長多重化光通信(Wavelength Division Multiplexing: WDM) のさらなる高密度化に伴い、信号以外の波長帯域をよりシャープにカットでき、なおかつ透過帯での透過率が高い光学フィルタの開発が強く望まれるようになっている。
誘電体多層膜として、反射/透過の帯域フィル*

物理情報工学科助手 **同 大学院生（現在 日本***

真空光学（株）） 同 教授

屈折率 ( n H ) の層 H と低屈折率 ( n L ) の層 Lとを交互に積層させたものである [1]。このとき各層の厚さ d は光学膜厚にして 1/4 波長、すなわち、反射させたい波長 λ0 に対する層材料の屈折率を n として、d = λ0 /( 4n ) とする。こうすると層の境界で反射した波が打ち消しあい、その波に対する禁制バンドができ、透過率が減少する。この構造では、中心波長 λ0 の両側 λ  2  n − nL ∆ 0  = sin  H
λ  π nH + nL (1)の範囲で高い反射率を持つフィルタとなる。こθ0の構造の反射フィルタは、HL の繰り返しの層n0数を多くすればするほど中心波長での反射率が増加し、かつ反射波長域の両端でのカット特θ1d1性がシャープになることが知られている。しかし、この場合、透過領域に side lobe と呼ばれる

n1θ2d2n2リップル構造が現われてくるのが欠点である。
これに対し最近では、製膜技術の進歩によっ

d3n3dm-1

nm-1て、異なる屈折率を持った二種類の材料を同時にスパッタ蒸着し、混合比を制御して任意の屈折率を持つ膜を精度良く作製することが可能

nmとなってきた。例えば Wang らは TiO2 と SiO2θmとを混合し、屈折率がなだらかに傾斜する zoneと、(HL) の振幅が徐々に増加するような zone

図 1. 光学多層膜構造とを含む 33 層からなるフィルタ構造を提案・

nr sin θ r = const. (r = 0...m)作成し、良好なフィルタ特性を得ている [2]。
本研究では、多層膜光学フィルタにおいて、(2)によって決定できる。

各層の屈折率を任意に選べると仮定し、フィル

このとき第 0 層における電磁場をそれぞれタ特性が最適となるような解を数値的に求めE o , H o とし、第 m 層における電磁場を E m ,H m とする。各境界面における電磁場の連続条るプログラムを開発した。これを用いて、層数と初期構造とを変えて最適化を行い、多層膜構件を繰り返し用いると、これらの間には最終的造とフィルタ特性との関係について考察した。に2. 多層膜フィルタの透過特性
平面基板上に屈折率の異なる複数の膜を積層して作製した多層膜構造の透過率・反射率の E0  m−1
 Em 
H  = ∏ M r H 
 0  r =1
 m

(3)

計算には、いくつかの手法が存在する [3,4]。

なる関係があることが示される。ここで M r は

ここでは本研究で用いた、マトリックス法と呼2 行 2 列の行列で、ばれる方法を、Macleod による解説 [5] に沿って簡単に紹介する。
いま図 1 のような、0〜m まで指数付けされた m+1 層からなる多層膜構造を考え、各層の屈折率を n r (r = 0...m) とおく。第 0 層と第 m 層は半無限の境界条件を持ち、第 1〜第 (m-1) 層までが実際の薄膜に相当する。この各層の厚さをd r (r = 1...m − 1) と置く。
いまこの多層膜構造に、第 0 層の側から入射角 θ 0 で波長 λ の光が入射した場合を考える。このとき各層における光路の傾きは、Snell の法則

 cos δ r
Mr = 
 iη sin δr rsin δ r ηrcos δ r i(4)と記述される。 δ r と η r とは、それぞれ光路長および光学アドミッタンスと呼ばれる量で、

δr =2πnr d r cosθ r

λ nr cµ cosθ r ( s 偏光)
ηr =  0nr

( p 偏光) cµ 0 cosθ rと表わされる。ただし c は光速で、µ 0 は真空の分をとる波長領域は、中心波長からフィルタ領透磁率である。

域両端までの波長幅をそれぞれ約 2 倍した、
530

このフィルタのエネルギー透過率 T は、第 0層と第 m 層それぞれにおける Poynting ベクトル〜1000 nm とした。
最適化のアルゴリズムには、local minimum にの大きさの比率で与えられ、結局落ち込む現象への耐性が強いと言われている、

1 B  m −1=M∏rη C   r =1
 m

滑降シンプレックス法 [6] を用いた。このパラメータ空間( x1 , x 2 , L , x m −1 ) の値 x r から屈折率nr への写像としてはなる B, C を用いてT=

4η 0 Re(η m )η0 B + C2nr =(5)と表わされる。以上の表式は各層が複素屈折率を持っている場合でもそのまま成立する。
本研究においては、簡単のため各層の屈折率は実数とし、さらに波長依存性は持たないものと仮定した。また垂直入射（ θ 0 = 0 ）の場合のみを対象とした。

3. 最適化プログラム
本研究では m+1 層の透明多層膜構造において、中間の m-1 層の屈折率を変化させ、最適な

nH − nLn + nL
sin x r + H
22(6)を用いた。また各層の厚さ d r は

nr d r =λ04(7)となるように決定した。
最適化を開始する前の初期構造としては、• 第 1 層の屈折率を n H とし、以降を n L , n H ,n L ,…と交互に重ねた構造（HL 構造）• 第 1 層の屈折率を n L とし、それ以降を n H ,n L , n H ,…と交互に重ねた構造（LH 構造）• 全ての層の屈折率を (n H + n L ) 2 とした構造

フィルタ構造を探索するようなプログラムを（OO 構造）開発した。Wang らの論文と同じく TiO2 と SiO2の三種類を試した。

を混合することを念頭に置き、各薄膜層の屈折プログラムは FORTRAN で記述した。開発率は、SiO2 の屈折率である 1.471 と、TiO2 の屈

お よ び 実 行 に 用 い た OS 環 境 は Debian

折率である 2.435 との間で変化させた。第 0 層

GNU/Linux（バージョン名 woody）[7] で、コには空気を想定して n0 = 1 とし、第 m 層にはガンパイラには GNU g77（バージョン 0.5.25ラスを想定して n m = 1.510 とした。

20010319 prerelease）[8] を用いた。このプログ最適化の目標とする理想のフィルタとして

ラムは http://surf.ap.seikei.ac.jp/fopt/ より取得

は 、 中 心 波 長 λ0 を 730 nm と し 、 (1) 式 にできるようになっている。プログラムの作成に

n H = 2.435 と n L = 1.471 とを代入して得らあたっては、最適化アルゴリズム・パラメータれる、631.7〜864.4 nm を反射帯とするものを考からフィルタ構造を構築するルーチン・最適化

えた。反射帯内部では透過率 T = 0 、外部では関数を求めるルーチンを、それぞれモジュールT = 1 とした。

化するよう配慮した。従って、これらの各部分

この理想的なフィルタのスペクトルと、フィに対するアイディアが将来生じた場合、本プロルタ構造から 2 節の方法に基づいて計算した透グラムを改造してそれらを試すことが容易に過スペクトルとの差分を波長 1 nm おきに取り、なっている。

それらの二乗を総和した値（残差）を、最適化の対象とする関数（評価関数）にした。この差102

Execution Time (sec)Residual Error (arb.)

10HLLHOO

210110110010010-10

10 20 30 40
Number of Layers

50510
Number of Layers50

図 2 残差と計算時間の層数依存性

4. 結果と考察
計算は層数 m + 1 の値が 5〜50 の範囲で行った。図 2 に計算の結果得られた、残差と計算時造でも残差は急激に減少しており、それ以降はより緩やかに、ほぼ層数の等比数列的な関係で減少していることがわかる。

間の層数依存性を示す。左が縦軸に残差を対数

ここで HL と LH を注意して見てみると、HL値で取ったグラフ、右は計算時間を両対数で示

では層数が奇数のときに、また LH では層数がしたグラフである。
この計算には AMD Athlon MP 1600+ の dual
CPU マシンを用いた。ただし実際に用いているのは、1 プロセスあたり 1 つの CPU のみである。
g77 コンパイラの最適化オプションとしては、-O のみを指定した。
計算時間には特に強い初期構造依存性は見らなかった。グラフより傾きを求めたところ、いずれも層数の 2.7〜2.9 乗で増加していることが分かった。
残差のグラフを見ると、まず初期構造に対する依存性が存在することがわかる。すなわち本プログラムで得られたフィルタ構造に対応する残差の値は、局所的な極小値である可能性が高い。
すべての層数において、最も成績が良いのはHL を初期構造とした場合であった。OO 構造は層数が少ないうちは HL と同じ残差になっているが、20 層程度以降では、最も成績が悪くなった。この層数 20 程度までは、いずれの初期構偶数のときに、残差の減少がより急激になっていることがわかる。すなわち、第 m 層が H になっているような初期構造が、最適化後により良いフィルタ構造を与えていると言える。さらに HL が LH よりも良い成績を収めていることから、同様に第 1 層も H になっている初期構造が好ましいと言える。
図 3 に、最適化後のフィルタ構造と、そのフィルタ特性との例を示す。この図では層数が 11,23, 35 層の場合を示してある。図の上部には最適化後の構造を、下部にはその時の透過スペクトルを示してある。HL, LH, OO 各初期構造の結果を縦方向に配列してある。
層数が 20 以下では、HL と OO はほぼ等しい残差となっていたが、この領域に含まれる 11層での結果を見ると、構造もほぼ HL と同じになっていることがわかる。これに対して、OOの残差が悪くなる領域にあたる 35 層の結果をHL および LH の結果と比べると、H と L の繰り返し構造が崩れていることがわかる。

次に LH に注目すると、いずれの層数でも第おそらくこのことに関連していると我々は考1 層と第 m 層とが L に固定されてしまっているえている。すなわち side lobe を減少させるためことがわかる。従って実質的には m-3 個のパラの構造は、H と L との周期的な繰り返しほどにメータしか動いていないことになる。実際、図は明瞭なパターンを持っていないため、残差の2 に示した残差の総数依存性のグラフを見ると、 近い何種類かの構造がありうるだろう。このたLH の結果は HL の結果を右に 2 層分ずらした

め OO 構造を出発点としても、それらのいずれ結果とほぼ重なるように見える。

かに到達できたのであろう。これに対して中央以上のことをまとめると、H 層と L 層が交互部の H と L の繰り返し数がフィルタの性能を決に繰り返される構造が、フィルタ特性を良くすめているような層数では、パターンの制約が厳るためにはまず必要なのであろう。その上で、しいため、そのような構造に対応するパラメーフィルタ構造の両端（ r = 0 と r = m に近い領タ空間の座標に到達する確率が小さくなって域）の数層分の屈折率を変化させて、side lobeしまったのであろう。

を減少させるような方向にパラメータが動くのだろうと考えられる。

HL 構造と LH 構造の結果を見てみると、第 1層や第 m-1 層が H になっている構造が好成績を今回用いた最適化モデルでは、m-1 次元のパ収めていた。この場合はそれぞれ第 0 層や第 mラメータ空間上に初期構造に対応する点が与層を起点とする LHLH…の繰り返しが初期構造えられ、そこから最適化探索が開始される。シとなる。逆に第 1 層や第 m-1 層が L になる場合

ンプレックス法ではこの点の周囲に m 個の頂では、空気やガラス基板に相当する第 0 層や第点を持つ多面体を作り、評価関数の値が小さくm 層の屈折率と、L 層の屈折率との差が小さいなる方向に多面体を動かしていく。OO 構造でために、実効的な H と L の繰り返し数が減っては全層が同じ屈折率からスタートするため、こしまうのであろう。第 1 層と第 m-1 層の両方がの多面体の形成に付随してまず屈折率の揺らL であるような場合には、全ての層を逆転させぎが生じ、これが成長して、図 3 に見られるよればより残差が小さくなるような構造にする

うなくし形の構造になっていくものと考えらことは可能だが、それにはパラメータ空間上のれる。このため層数が多くなると、H と L とが距離が遠すぎる、あるいはその中途にある極小交互に積層する構造に育つ確率が低くなり、パを避けられないのであろう。

ラメータ空間の局所的な極小値に落ち込んでしまうのであろう。

ところで、34 層における HL や LH の最適化
後の構造を見てみると、中心部の多層膜積層構

HL 構造の残差は、20 層程度までは層数とと造の両側に、徐々に屈折率が変化している領域もに比較的急激に減少し、その後はやや傾きのや、あるいは H と L の交互変化の振幅が、外に緩やかな等比数列的な減少を見せた。これは 20向かってだんだん減少しているような構造が層程度で、side lobe を押さえるためのフィルタ現われている。これらは [2] の文献で Wang ら両側の処理がすみ、後は内部の H と L の繰返しが設計したフィルタ構造と似ており、このよう数が増えることによって、透過スペクトルの反なゾーンがリップルを押さえるためにどのよ射帯両端でのカットが急激になっている（すなうな働きをしているかは興味深い。今回の研究

わちスペクトルが矩形に近づいている）結果ででは、パラメータ空間のそれぞれの成分をフィあると理解できる。20 層程度までの OO 構造のルタ構造の各層の屈折率に対応させるという結果が HL 構造と近い値を取っていたことは、最も単純な写像を用いた。これに対し、最初か

HL

LH

OO

2.5
2.0

Refractive Index

1.5

NL=11

1.0
2.5
2.0
1.5

NL=23

1.0
2.5
2.0
1.5

NL=351.001000 2000 3000

Transmittance

NL=35
NL=23NL=1101000 2000 3000

01000 2000 3000

Thickness (nm)1.00.50.0
600 700 800 900 1000

600 700 800 900 1000

600 700 800 900 1000

Wavelength (nm)図 3: 最適化後のフィルタ構造と透過スペクトルら屈折率が傾斜するゾーンや振幅が変化する

Wiley & Sons (New York), 1988, Chap. 6.

ゾーンを想定し、それらをいくつかのパラメー[2] X. Wang, H. Masumoto, Y. Someno, L. Chen

タによって制御して最適化するような計算も、

and T. Hirai, J. Mater. Res., 15 (2000) 274.

今後試してみる価値があるかと考えている。

[3] 吉田貞史 『薄膜』 東京大学出版会 (1990)、

5. まとめ
透明膜の多層構造からなる光学フィルタに対して、各層の屈折率を連続的に変化させ、特定の波長域で透過率 0、その外部で透過率 1 を

5.1 節[4] 吉田貞史、矢嶋弘義 『薄膜・光デバイス』
東京大学出版会 (1994)、1.4 節[5] H. A. Macleod “Thin-Film Optical Filters, 3rd

取るような透過スペクトルに最適化するプロEd.” IoP Publishing (Bristol and Philadelphia),

グラムを開発した。最適化前の初期構造として2001, Chap. 2.

は HL, LH, OO といった 3 種類のものを採用し、[6] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling

層数を変えながら最適化計算を行った。結果よand B. P. Flannery ”Numerical Recipes in

り、H と L が交互に並び、その繰返し数が多い構造ほど、目的とした透過スペクトルに対する残差が小さいフィルタが得られた。

参考文献[1] Pochi Yeh “Optical Waves in Layered Media”

FORTRAN, 2nd Ed.” Cambridge University
Press (New York) 1992, Sec. 10.4.
[7] http://www.debian.org/[8] http://www.gnu.org/software/gcc/gcc.html