る。逆固有値問題の他に，複数の固有モードの組や１次固有値と１次固有モードの組を指定して，それを実現するモデル

構造物の振動における逆問題の剛性や質量を求める「逆固有モード問題」に対しても研究がなされている[3,7‑16]。これらの研究は主として，非減衰系に対してなされているが，減衰系に対する研究も最近見ら

竹脇 出（京都大学）

れるようになった[17‑21]。さらに，広い意味では，システム同定問題も振動における逆問題に入るかもしれない[4]。しかし，ここでは触れない。前述の逆問題に関する国際専門誌の１．建築構造設計における現況
建築構造設計の実務では，通常，(i)経験や資料に基づく初

中では，主として逆問題に関する一般理論等が展開されてい期計画段階での部材断面サイズの仮定と，(ii)その仮定骨組る。建築構造物には特有の性質が存在するため，その性質をモデルに設計用外力を作用させたときの構造解析（応答解析）

十分利用した逆問題の設定が必要となる。

による設計条件の検定という大きな流れの中で，ほぼすべての設計条件が満たされるまで設計者の判断に基づく部材選定

３．全逆問題が繰り返し行われる。この過程を総称して構造設計と呼ぶこ

３．１ 固有値解析問題とが多い。しかしながら，建築構造物の大規模化，多種多様

図1に示すような２層剪断型構造物モデルについて考えよ

な新材料の開発が進む状況下では，構造設計者の経験やそれう。ここでは，各層の質量および層間剛性は与えられているに基づく判断が必ずしも有効に利用できるとは限らず，構造とする。このモデルの自由振動の支配式は次のように表現で設計過程の一層の数理化・論理化を促進させ，設計条件と設計目標から組織的に部材寸法や部材断面サイズが選定される，きる。

本来の意味での構造設計の体系を構築することが強く求めら

k1u1 − k2 (u2 − u1 ) + m1u1 = 0

(1)

れている。

k2 (u2 − u1 ) + m2u2 = 0(2)

固有ベクトルを Φ = {φ1 φ2 } （ベクトルや行列の転置を上付きT で表す），固有値を Ω(= ω 2 ) として，u1 = φ1eiωt ,u2 = φ2 eiωt を(1), (2)式に代入すると次のような固有値問題の支配式が得られる。
T

２．順問題と逆問題
上記のような問題点を解決する一つの方法として逆問題型の方法が存在する。これは，外乱に対する構造物の応答レベル（あるいは拡張して固有振動特性）を性能として分類し，⎛ ⎡ k1 + k2⎜⎢
⎝ ⎣ −k2

その性能を実現する構造物を試行錯誤的な方法に拠らずに見出す方法を意味している。

−k2 ⎤

⎡ m1
−Ω⎢
⎥
k2 ⎦
⎣0

0 ⎤ ⎞ ⎧φ1 ⎫⎧0 ⎫⎟ ⎨ ⎬ = (K − ΩM )Φ = ⎨ ⎬⎥m2 ⎦ ⎠ ⎩φ2 ⎭⎩0 ⎭応用力学の中の振動分野では，逆問題に関する研究が急速(3)に進展し，それに関する国際専門誌や多くの著書が存在してこのとき固有値は次の固有値方程式から求められる。

いる[1‑4]。逆問題という用語の定義は，そもそも相対的な側面を有しており，それまでに順問題と考えられていた問題がどのように構成されていたかに大きく依存する。逆に謂えば，det ( K − ΩM ) = ( k1 + k2 − Ωm1 )( k2 − Ωm2 ) − k2 2

逆問題と呼んでいる問題は，本来，順問題であるのかもしれ= m1m2 Ω 2 − {m1k2 + m2 ( k1 + k2 )}Ω + k1k2 = 0(4)ないのである。これまでの順問題の多くは，構造解析や応答(4)式を解くと，固有値が次のように求められる。

解析などの構造学の初期に発展した分野と密接に関わっている。従って，構造設計者が最終的に決定する部材サイズなど

Ω1 , Ω 2 =の量は予め与えられている場合が多い。それに対して逆問題

m1k2 + m2 ( k1 + k2 ) ∓ {m1k2 + m2 (k1 + k2 )}2 − 4m1m2 k1k2
2m1m2

では，構造物の応答量（あるいは固有の特性）を順問題を通(5)じて把握しながら，理想とする応答特性（あるいは固有の特性）を呈する構造物の部材サイズなどを決定することとなる。

(i )一方，i 次固有ベクトル {φ1φ2(i ) }T は(5)式の固有値を(3)

この場合には関数関係を逆に解かなければならないため，一式の第１式に代入することにより次のように得られる。

般に順問題よりも難しい取り扱いが要求される。
ここでは，構造物モデルおよび構造物と地盤の連成系モデ
ルの振動における逆問題について考えよう。
まず，構造物の振動における逆問題に関するこれまでの研究の流れについて解説しよう。これまでに，構造物の１次から高次までの固有値を並べた集合（固有値列と呼ばれている）
や，境界条件の異なる構造物の１次から高次までの固有値列を与えて，それを実現するモデルの剛性や質量を見い出す「逆固有値問題」に対しては多くの研究が蓄積されている。それ

図1

らの研究については，文献[1‑6]において詳しく解説されてい1

せん断型モデル

図2

固有モードの資格条件

(k1 + k2 − Ωi m1 )φ1(i ) − k2φ2(i ) = 0 (i = 1, 2)て示すことにしよう。
各層の床質量と回転慣性は， m1 , m2 , I1 , I 2 で与えられてお従って

φ2(i ) (k1 + k2 − Ωi m1 )=(i = 1, 2)
k2
φ1(i )

り，階高も h1 , h2 で与えられているとする。床面の回転による水平変位成分を含まない正味の層間相対変位（以下剪断変形(6)と呼ぶ）に関する剛性 k1 , k2 （以下せん断剛性と呼ぶ）と，
鉛直面内相対床回転角（以下曲げ変形と呼ぶ）に関する剛性

s1 , s2 （以下曲げ剛性と呼ぶ）を設計変数とする。本モデルで３．２ せん断型構造物モデルの逆固有モード問題

は，１次固有モードにおけるせん断変形成分と曲げ変形成分

前節では，各層の質量および層間剛性は与えられていると考えた。次に，その逆問題を考えるために，図1のモデルで，層間剛性 k1 , k2 を設計変数（設計問題における未知数）としよう。各層の質量は与えられているものとする。
このモデルの１次固有値（１次固有円振動数の２乗）が Ω1と一致し，１次固有モードにおける層間変位成分比(φ2 − φ1 ) / φ1 が α と一致するときの k1 , k2 を求める問題を考える。(φ2 − φ1 ) / φ1 = α より φ2 は次のように表現できる。

φ2 = (1 + α )φ1を，それぞれ Δ1 , Δ 2 , Γ1 , Γ 2 で表すと，各層せん断力と各層上端曲げモーメントは k1Δ1 , k2 Δ 2 , s1Γ1 , s2 Γ 2 で表現される。ここでは，「モデルの１次固有値が Ω1 に等しく，１次固有モードにおけるせん断変形成分および曲げ変形成分の比がΔ1 , Δ 2 , Γ1 , Γ 2 に一致するような構造物の各層剛性を求める問題」を考える。 Δ1 , Δ 2 , Γ1 , Γ 2 は１次固有モードにおける成分であるため，その比のみが意味を有する。ここでは正規化条件として Δ1 の値が指定されているものとする。

(7)

１次固有モードにおける床の水平変位と回転角を U1 ,U 2 ,Θ1 , Θ2 で表すと， Δ1 , Δ 2 , Γ1 , Γ 2 は，１次固有モード変位成
分 U1 ,U 2 , Θ1 , Θ 2 を用いて次のように表現できる。

Ω = Ω1 と(7)式を(3)式に代入し，k1 , k2 に関する連立方程式に書き換えると次式を得る。

⎡ m1⎡1 −α ⎤ ⎧ k1 ⎫⎢0 α ⎥ ⎨k ⎬ = Ω1 ⎢ 0
⎣
⎦⎩ 2⎭
⎣

0 ⎤⎧ 1 ⎫⎨⎬m2 ⎦⎥ ⎩1 + α ⎭⎧ Δ 2 ⎫ ⎡1
⎪ ⎪ ⎢⎪Γ 2 ⎪ ⎢0⎨ ⎬=⎪ Δ1 ⎪ ⎢0⎢⎩⎪ Γ1 ⎭⎪ ⎣0(8)(8)式より k1 , k2 が次のように求められる。

k1 = Ω1{m1 + m2 (1 + α )}(9)k2 = Ω1m2 (1 + α ) / α(10)

ただし， Φ = {φ10 −1 −h2 ⎤ ⎧U 2 ⎫1 0 −1 ⎥⎥ ⎪⎪Θ 2 ⎪⎪⎨ ⎬0 1
0 ⎥ ⎪U1 ⎪⎥0 0
1 ⎦ ⎪⎩ Θ1 ⎪⎭(11)(11)式を逆に解くと， U1 ,U 2 , Θ1 , Θ 2 は Δ1 , Δ 2 , Γ1 , Γ 2 を用い

φ2 }T が１次固有モードであるための条件て次のように表現できる。

として， α > 0 が必要となる。

⎧U 2 ⎫ ⎡1⎪ ⎪ ⎢⎪Θ 2 ⎪ ⎢ 0⎨ ⎬=⎪U1 ⎪ ⎢0⎢⎩⎪ Θ1 ⎭⎪ ⎣0

逆問題では，解が存在するように問題が述べられていることが重要である。このような条件のことを資格条件という。
問題として不適切な場合をill‑posedと呼び，適切な場合をwell‑posedと呼ぶ。逆問題の分野では，このような資格条件

0
1
0
0

1 h2 ⎤ ⎧Δ 2 ⎫⎪ ⎪0 1 ⎥⎥ ⎪Γ 2 ⎪⎨ ⎬1 0 ⎥ ⎪ Δ1 ⎪⎥0 1 ⎦ ⎪⎩ Γ1 ⎪⎭(12)を見出すことが研究の一部となっていると言っても過言では第i層せん断剛性は，第i層よりも上層の自由体の水平方向釣合ない。例えば，上記の例で α = −0.5 に対応する図2のような式より次のように求められる。

モード形状はどのような層剛性を有するモデルの固有モードでもない。これは，このようなモードについては上部質点の

k1 =

Ω1
{m1Δ1 + m2 (Δ1 + Δ 2 + h2 Γ1 )}
Δ1

(13)

k2 =

Ω1
m2 (Δ1 + Δ 2 + h2 Γ1 )
Δ2

(14)

動的な釣合いが満足されないことからも理解される。せん断型質点系の固有モードの資格条件については文献[3]に詳しく述べられている。
一般的な自由度数を有するモデルに対する解は文献[8] を一方，第i層曲げ剛性は，第i層よりも上層の自由体の第i床を参考にされたい。固有値解析の(3)式は固有値問題を形成して通る構面に垂直な水平軸回りのモーメントの釣合より次のよいるのに対して，逆問題の(8)式は非斉次方程式を形成していうに求められる。

る。つまり両者は数学的に異なる構造を有している。

s1 =３．３ 曲げせん断型構造物モデルの逆固有モード問題

Ω1
Γ1{I1Γ1 + I 2 (Γ1 + Γ 2 ) + m2 h2 ( Δ1 + Δ 2 + h2 Γ1 )} (15)次に，図3に示すような２層曲げせん断型構造物モデルについて考えよう。せん断型構造物モデルは，その剛性行列が３重対角となる近接連成系モデルであるのに対し，曲げせん断型モデルは，その剛性行列がフルマトリックスとなる遠隔連成系モデルの一種である。このようなモデルについても，せん断型構造物モデルについて示した逆固有モード問題に対す
図3

る理論と同様の理論が展開できることを２層モデルを例とし

2

曲げせん断型モデル

図4

分布質量棒モデル

s2 =

Ω1
Γ2

対する解法は文献[23, 24, 12]を参考にされたい。

I 2 (Γ1 + Γ 2 )(16)
４．混合型逆問題(13)‑(16)式の表現から， Δ1 , Δ 2 , Γ1 , Γ 2 として全て同符号の建築の世界で，最適設計理論や逆問題型の設計理論を最初

成分を指定すれば，正の剛性が求められるといえる。

に提示したのは京都大学の中村恒善博士であると思われる

一般的な自由度数を有するモデルに対する解は文献[22]（[8, 25‑27]）。逆問題には前述の全逆問題と混合型の逆問題

を参考にされたい。

がある。混合型とは，設計者の判断でデザイン可能な上部構造物と，一般的には設計行為が及ばない地盤などの下部構造

３．４ 分布質量棒モデルの軸振動における逆固有モード問題から構成される混合型のシステムを対象とすることを意味し図4に示すような，２要素からなる段付き棒の軸振動におけている。地盤などの非設計領域では解析問題が扱われ，上部る逆固有モード問題を考えよう。分布質量を考慮するために，構造物の設計領域では設計問題が扱われる。混合型逆問題に

線形の形状関数を有する有限要素モデルを用いる。各棒要素

おいては，問題設定によりいくつかの分類が可能であり，その断面積，密度，ヤング係数，材長を，それぞれ Ai , ρi ,れぞれに興味深い定式化が可能となる。

Ei , li (i = 1, 2) で表す。また，各節点には集中質量 m1 , m2 が存在している。このとき，第i要素の要素剛性行列，要素質量行５．スウェイ・ロッキングばねで支持されたせん断型質点系モデル

列は次のように表現できる。

の混合型逆問題ki =mi =

図5に示すような，地盤の剛性を代表する水平ばねと回転ば

Ei Ai ⎡ 1 −1⎤li ⎢⎣ −1 1 ⎥⎦(17)とにしよう。各層床の質量およびその重心回りの回転慣性は，

ρi Ai li ⎡ 2 1 ⎤6

ねで支持された２層せん断型構造物モデルについて考えるこ⎢1 2 ⎥⎣⎦

m0 , m1 , m2 , I R 0 , I R1 , I R 2 で与えられているものとする。また，
階高は h1 , h2 で与えられているものとする。１次固有モードにおける基礎版の水平変位成分，回転成分を U F , Θ F で表し，それらの成分を含まない上層床の水平変位成分を U1 , U 2 で(18)

ここでは断面積 A1 , A2 を設計変数としよう。このモデルの１次固有値が Ω1 に一致し，要素内で一様な各要素の１次固有

モードにおける軸方向ひずみ ε1 , ε 2 の比 ε 2 / ε1 が α と一致す表す。また，１次固有モードにおける基礎版の水平変位成分，
回転成分を含まない上層床の層間相対変位成分を Δ1 , Δ 2 でるときの断面積 A1 , A2 を求める問題を考える。１次固有モー表す。 U F , Θ F , U1 ,U 2 , Δ1 , Δ 2 は１次固有モード成分であドの節点変位 U1 ,U 2 は次のように表現できる。

U1 = ε1l1(19)

U 2 = ε1 (l1 + α l2 )(20)

るのでその比のみが意味を持つ。

このモデルの１次固有振動の支配式に， Ω1 = Ω1 と(19),(20)式を代入すると次式となる。

⎡ E1 A1 ⎡1 0 ⎤ E2 A2 ⎡ 1 −1⎤⎢ l ⎢0 0 ⎥ + l ⎢ −1 1 ⎥
⎦
⎣
⎦
⎣ 1 ⎣
2
⎛ ρ1 A1l1 ⎡ 2 0 ⎤ ρ 2 A2 l2 ⎡ 2 1 ⎤ ⎡ m1⎢
⎥ + 6 ⎢1 2 ⎥ + ⎢ 0⎣⎦ ⎣⎝ 6 ⎣0 0⎦−Ω1 ⎜⎧ ε1l1⎫ ⎧0 ⎫⎬=⎨ ⎬⎩ε1 (l1 + α l2 ) ⎭ ⎩0 ⎭⋅⎨0 ⎤ ⎞⎤⎟⎥

m2 ⎥⎦ ⎠ ⎦(21)
図5

ε1 ≠ 0 を用いて(21)式を A1 , A2 に関する連立方程式としてスウェイ・ロッキングモデル

書き直すと次のようになる。

⎡
Ω1 ρ1l12⎢ E1 −
3
⎢
⎢
0
⎢⎣
⎧

= Ω1 ⎨

m1l1−α E2 −

α E2 −

Ω1 ρ 2 l2

6
Ω1 ρ 2 l2
6⎤(3l1 + α l2 ) ⎥

⎧A ⎫
⎥⎨ 1⎬
⎥ ⎩ A2 ⎭(3l1 + 2α l2 ) ⎥
(22)
⎦

⎫
⎬

⎩ m2 (l1 + α l2 ) ⎭(22)式を A1 , A2 について解けば断面積が得られる。
ただし，U1 ,U 2 が１次固有モードであるための条件として，

α > 0 が必要となる。一般的な分布質量系有限要素モデルに

図63混合型の逆写像

のように未知剛性 k1 , k2 を含まない式となる。

モデルの全ての剛性 k H , k R , k1 , k2 が与えられているとき，固有値解析の節で示したように，モデルの１次固有値 Ω1 と１

2

i

i =1

j =1

−Ω1m0U F − Ω1 ∑ mi (U F + Θ F H i + ∑ Δ j ) + k H U F = 0

次固有ベクトル成分比 Δ 2 / Δ1 , U F / Δ1 , Θ F / Δ1 は，固有値問題から求められる（図6 参照）。 k H , k R , k1 , k2 と Ω1 ,(31)

Δ 2 / Δ1 , U F / Δ1 , Θ F / Δ1 の間の写像が一対一写像であるな
らば， Ω1 , Δ 2 / Δ1 , U F / Δ1 , Θ F / Δ1 を指定し， k H , k R ,k1 , k2 を求める逆写像が定義できる（図6参照）。このとき，剛性の一部と Ω1 , Δ 2 / Δ1 , U F / Δ1 , Θ F / Δ1 の一部を入れ替(30), (31)式を U F , Θ F について整理すると次式が得られる。

D1U F + D2 Θ F + D3 = 0(32)

D2U F + D4 Θ F + D5 = 0(33)

ただし， D1 , ⋅ ⋅ ⋅, D5 は次の諸量を表す。

えた混合型の逆写像を考えることができる（図6参照）。すな
わち，支持ばね剛性 k H , k R と１次固有値 Ω1 （指定値 Ω1 ），

2

D1 = ∑ mi −１次固有ベクトル成分比 Δ 2 / Δ1（指定値 q ）を指定して，せi =0ん断型構造物モデルの層間剛性 k1 , k2 と残りの１次固有ベク

トル成分比 U F / Δ1 , Θ F / Δ1 を求める問題（混合型逆問題）

2
2
i
kH
, D2 = ∑ mi H i , D3 = ∑ mi ∑ Δ j ,
Ω1
i =1
i =1
j =1

2

2

i =1

i =0

D4 = ∑ mi H i 2 + ∑ I Ri −を考えることができる。

2ikR, D5 = ∑ mi H i ∑ Δ j
Ω1
i =1
j =1

このとき，１次固有振動における混合型逆固有モード問題(34)は次のように述べられる。

(32), (33)式から U F , Θ F を Ω1 , Δ1 , Δ 2 で表現すると次式となる。

問題HIPSBUF =図5のモデルにおいて，階高 h1 , h2 ，各層床の質量およびその重心回りの回転慣性 m0 , m1 , m2 , I R 0 , I R1 , I R 2 ，および支持
ばね剛性 k H , k R は与えられているものとする。また，ω1 , q

ΘF =を指定値とする。このとき１次固有振動数が ω1 に等しく，１次固有モード層間相対変位成分比 Δ 2 / Δ1 が q と一致するよ

D2 D5 − D3 D4
D1 D4 − D2 2
D2 D3 − D1 D5
D1 D4 − D2 2

(35)

(36)

(35), (36)で得られた U F , Θ F を(23), (24)式に代入し，(31)うなモデルの上部層間剛性 k1 , k2 を求めよ。

式を用いると上部剛性 k1 , k2 が次のように求められる。

以下では，１次固有モードの一つの正規化条件として，１

k1 =

i
Ω1 2
mi (U F + Θ F H i + ∑ Δ r )∑Δ1 i =1
r =1

(37)

k2 =

2
Ω1
m2 (U F + Θ F H 2 + ∑ Δ r )
Δ2
r =1

(38)

層の層間相対変位成分の大きさを指定するものとし，その指定値を Δ1 で表す。また，Δ 2 = q Δ1 を新たに Δ 2 と表示する。
混合型逆固有モード問題としての１次固有振動の支配式は次のように表現できる。

(37), (38)式の剛性は， Ω1 と， Δ1 と Δ 2 の比により表現さ−Ω1m0U F + k H U F − k1U1 = 0

れている。

(23)

この定式化では，(35), (36)のように１次固有モードの残−Ω1m1 (U F + Θ F H1 + U1 ) + k1U1 − k2 (U 2 − U1 ) = 0 (24)−Ω1m2 (U F + Θ F H 2 + U 2 ) + k2 (U 2 − U1 ) = 0

りの成分を求める固有値問題と，(37), (38)のように剛性を(25)求める逆問題の両者が混在しており，一つの混合型逆固有モ−Ω1 ∑ mi (U F + Θ F H i + U i )H i − Ω1 ∑ I Ri Θ F + k R Θ F = 0

ード問題を形成している。一般的な自由度を有するモデルに

2

2

i =1

i =0

ここで，ω1 = Ω1 ,2∑

ついては，文献[28‑31]を参照されたい。

(26)

６．構造物‐地盤連成系モデル

ih = H i である。(23)‑(26)式を層間
j =1 j

地盤の影響を考慮した逆問題型解法の例を示そう。近年に相対変位成分を用いて表現すると次式となる。

おける震害調査から，構造物と地盤の動的相互作用を建築構−Ω1m0U F + k H U F − k1Δ1 = 0(27)造物の設計に組み込むことの重要性は度々指摘されており，−Ω1m1 (U F + Θ F H1 + Δ1 ) + k1Δ1 − k2 Δ 2 = 0(28)

工学的基盤面で設計用地震動を設定する一層詳細な手順が−Ω1m2 (U F + Θ F H 2 + Δ1 + Δ 2 ) + k2 Δ 2 = 0

(29)

2

i

2

i =1

j =1

i =0

2000 年に改正された建築基準法にも取り入れられている。
文献[27]は，その先駆的な研究として，工学的基盤面で設−Ω1 ∑ mi (U F + Θ F H i + ∑ Δ j )H i − Ω1 ∑ I Ri Θ F + k R Θ F = 0

計用地震動が規定される Penzien 型のモデルについて，上部骨組の部材端応力に関する制約条件を満足する骨組の部材サ
イズを見出す設計法を展開している。構造物と地盤の連成系(30)モデルでは，基礎固定モデルに比べて自由度が格段に増加す(27)‑(30)式は k1 , k2 , U F , Θ F に関する線形な式である。

るため，パラメトリック解析に基づく手法では多大な計算労(27)‑(30)式を直接解いてもよいが，工夫をすることにより，力が必要となる。これに対して，逆問題型の解法[27, 32, 33]

k1 , k2 と U F , Θ F が各々独立に求められる。(27)‑(29)式をでは，地盤‐基礎系の非設計領域を順解析的に取り扱い，上辺々加えると上部構造全体の水平方向の釣合式が得られ，次4

７．その他の振動逆問題や感度解析および最適設計

部構造の設計領域を逆問題的に取り扱うため，設計問題に即その他の振動逆問題や感度解析，および関連する最適設計

した取り扱いが可能となる。
図 7 に示すような有限要素地盤と曲げ棒でモデル化される関係の文献については文献[34‑56]を参照されたい。特に部分

杭系で支持された建築ラーメンについて，部材断面サイズを構造合成法は，混合型逆問題にも利用可能であり，興味深い

設計変数とする逆固有モード問題のからくりを示すことにし展開がいくつか提案されている[57, 58]。部分構造合成法につよう[13, 14]。図 8 に示すように，全体系を上部構造物，杭

いては文献[59‑63]を参照されたい。
また，最近では，連結制振関連の逆問題についても研究が‐地盤系，両者のインターフェイスに分割する。図 9 のよう行われている[64]。

にインターフェイス直下の断面で上部構造物を切り取り，上部構造物全体の釣合い式を考えることにより，構造物の設計

８．ロバスト性

変数を含まない式が誘導できる。この式と杭‐地盤系における順解析の式を連立させることによりすべての変位が求めら

混合逆問題型設計法では，比較的不確定性が小さいと思われる。部材サイズは上部構造における釣合い式から求められれる上部構造と，比較的不確定性が大きいと考えられる基る。つまり，このような連成系モデルでは，順解析と逆解析

礎・地盤系を扱うため，必然的に設計に関わる不確定因子にが同時に行われることになる。これらも混合型の逆問題の代よるロバスト性の問題がクローズアップされる。また，地震表的な例である。

入力については，基礎・地盤系よりも一層大きな不確定性を有しているとも考えられる。（図 10）最適設計や逆問題型設計は，それ自身，重要な分野を形成しており，構造設計の論理化に大きく寄与するものと期待さbuilding
frame

periodic
boundary
condition
pile

れる。同時に，現実の設計で有効に利用されるには，入力やperiodic
boundary
condition

構造要素が有する不確定性や情報不足についても十分認識しておく必要がある。すなわち，構造設計におけるロバスト性である。この方面の研究で，入力の不確定性に関する研究に

pile

は，クリティカル外乱法（最悪地震動モデル）という方法が存在する[65]。文献[66‑73]は，それを確率論的に取り扱い，
また，従来にはない制約を導入することでその解法にブレイ
クスルーを見出している。特に，地震動による構造物への入

bedrock

図7

力エネルギーをクリティカル性の指標とする場合には，Arias

２次元有限要素地盤‐杭系で支持された建築骨組

強度として知られている加速度波形の２乗時間積分以外に，速度波形の２乗時間積分に制約を設けることで，海溝型や内building frame

陸型を含むほとんど全てのタイプの地震動が有する極限性を統一的に説明し得る法則が存在することが明らかとなったUS
U0L

1st story（図 11）。この研究は，1935 年に京都大学の棚橋諒先生が提

U0R

UI

案された「速度・ポテンシャルエネルギー説」（建築雑誌，昭和 10 年）にも通じるところがある。シナリオ地震を用いた防UG災計画が，防災意識の向上や実際の地震防災活動において大surfaceground

図8

pile

U *G={U0LT U GT}

T

変重要な意味をもつことは事実である。しかしながら，活断
層位置や地質特性，地盤特性の不確定性を考えると，災害時

サブストラクチャーモデリングに重要な役割を果たすべき構造物や社会的影響が大きい巨大構造物などの設計段階では，「最悪地震動」の考え方も意味があると思われる。

inertia
force

さらに，構造物‐地盤連成系のような物理特性や領域の大きさが大きく異なる要素から構成されるモデルを扱う場合には，変形や力に関する検討よりも，エネルギー的な捉え方が有効である場合が多い。文献[70, 71]による振動数領域でのエ

reactionfrompile andgroundネルギー評価方法では，入力系と構造系を分離して取り扱うことが可能となり，構造物で消費されるエネルギーと地盤で消費される（あるいは地盤へ逸散する）エネルギーを明確に分離して定義することが可能となった。この方法は，入力系

surfaceground
図9と構造系の不確定性を分離して取り扱う新しい道を開いたと

pile

いえる。

上部構造物の「全体としての釣合」

5

設計問題

解析問題と
設計問題が
混在

いる。しかも，地震動観測が精力的に行われ始めてからまだ

不確定性
レベル

長期間経過していない。このような状況下で，安全性評価を行わなければならないことそのものに大きな問題が存在して上部構造いる。巨大構造物や重要構造物についてはその社会的影響は計り知れない。しかしながら，構造物の設計を行うことは避
けて通ることができないため，現時点で考えられ得る最善の方法を投入することが要請されている。

基礎・地盤

解析問題

設計用入力地震動が有する不確定性については，断層破壊からサイトへの波動伝播特性，さらには表層地盤における増幅特性など種々の要因が関係している。例えば，断層破壊で極限地震動モデル
により考慮

図 10

入力

生じるエネルギーの特性やモデルを構成するパラメターの変動幅など，物理的な側面から確かな量を設定することは可能

混合型逆問題の意味である。さらに，この変動幅を科学的に分析した上で必然的な不確定性はそのまま取り込む扱いが望まれているように思われる。このような不確定性の扱いがシステムの合理化とう
まくかみ合ったときに，合理的でしかも信頼性の高い構造設計システムが構成できるのではないかと思われる。
参考文献[1] Int. J. of Inverse Problems, 1985-, Institute of Physics
Publishing, UK.
[2] Int. J. of Inverse Problems in Engineering, 1994-, Gordon andBreach Science Publishers.
[3] G.M.L.Gladwell, Inverse Problems in Vibration, 1986
(Martinus Nijhoff Publishers); second edition 2004.

図 11[4] 久保司郎，逆問題，培風館，1992.

1995 年兵庫県南部地震において神戸大学で観測された地震動と同じ規模の最悪地震動に対応する
地震入力エネルギー[5] V.Barcilon, Inverse Problem for a Vibrating Beam, J. Applied
Mathematics and Physics, Vol.27, pp347-358, 1976.
[6] D.Boley and G.H.Golub, A Survey of Matrix Inverse

９．システムの合理化とロバスト性

Eigenvalue Problems, Inverse Problems, Vol.3, pp595-622,
1987.

システムの合理化を進めるとロバスト性が低下することが[7] B.Porter, Synthesis of Linear Lumped-Parameter Vibratingある。しかしこれは必然的ではない。またロバスト性の定義にも依存する。ロバスト性には，構造物の不静定性（不静定Systems by an Inverse Holzer Technique, J. Mechanical次数）を初めとする多くの要因が関係しており，同時にロバEngineering Science, Vol.12, No.1, pp17-19, 1970.

スト性を測る尺度も多様である。これまで，ロバスト性とい[8] T.Nakamura and T.Yamane, Optimum Design and Earthquake-

う用語は，制震・免震構造の分野を中心として頻繁に用いら

response Constrained Design of Elastic Shear Buildings,

れている。例えば，免震構造において，積層ゴムの剛性やダEarthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.14,

ンパーの減衰係数のばらつきを考慮して設計を行っているの

pp797-815, 1986.

は，一つのロバスト性を考慮した例であると考えられる。ロおよびバスト性という用語は盛んに用いられているものの，定量的T.Nakamura and Y.Nakamura, Stiffness Design of 3-D Shearに扱った研究はごく限られている（例えば[74]）。ある研究でBuildings

は，システムの合理化を進めるとロバスト性が増大するといEngineering, ASCE, Vol.119, No.1, pp50-68, 1993.

forSpecifiedSeismic

Drift,J.

Structural

う興味深い結果も得られている[74]。システムの合理化とロバ[9] Y.M.Ram, Inverse Mode Problems for the Discrete Model of a

スト性の向上は，建築物も含めた全ての構造物の設計におけ

Vibrating Beam, J. Sound and Vibration, Vol.169, No.2,
pp.239-252, 1994.

る大きなパラダイムを形成する可能性を秘めており，今後の[10] I.Takewaki and T.Nakamura, Hybrid Inverse Mode Problems

研究が期待される。構造委員会の応用力学運営委員会では，
このような要請に応えるために，2005 年度から新しい小委員

for FEM-Shear Models, J. Engineering Mechanics, ASCE,

会をスタートさせている[75‑77]。

Vol.121, No.8, pp873-880, 1995.
[11] I.Takewaki, T.Nakamura and Y.Arita, A Hybrid Inverse Mode

１０．今後の展望

Problem for Fixed-Fixed Mass-Spring Models, J. Vibration

建築物の安全性評価で対象とする地震の多くは，短いもの

and Acoustics, ASME, Vol.118, No.4, pp641-648, 1996.

でも数十年，長い場合には数百年にも及ぶ再現期間を有して[12] I.Takewaki, Optimal Frequency Design of Tower Structures6

[30] 中村恒善, 竹脇

via an Approximation Concept, Computers & Structures,出, 弾性支持されたせん断型構造物の一次固有周期制約条件下の最適設計, 構造工学論文集,

Vol.58, No.3, pp445-452, 1996.

Vol.31B, pp93‑102, 1985.

[13] I.Takewaki and T.Nakamura, Hybrid Inverse Mode Problem[31] 竹脇for Structure-Foundation Systems, J. Engineering Mechanics,

出, 中村恒善: 構造物‐基礎システムの１次固有振動における混合型逆問題, 日本建築学会大会学術講ASCE, Vol.123, No.4, pp312-321, 1997.

演梗概集(北陸), pp515‑516, 1992.

[14] I.Takewaki, T.Nakamura and K.Hirayama, Seismic Frame[32] 竹脇Design via Inverse Mode Design of Frame-Ground Systems,

出, 中村恒善, 下部剛性指定せん断型構造物モデ

ルの混合型逆定式化による地震時応答制約剛性設計,

Soil Dyn. Earthq. Eng., 17(3), 153-163, 1998.

日本建築学会構造系論文集, 第455号, pp47‑59, 1994.

[15] I.Takewaki, Hybrid Inverse Eigenmode Problem for a Shear[33] 中村恒善, 竹脇

Building Supporting a Finite-Element Subassemblage, J.

出, 浅岡泰彦, せん断型地盤で支持されたせん断棒型構造物の指定地震時変形に対する剛性

Vibration and Control, Vol.4, No.4, pp347-360, 1998.

設計, 日本建築学会構造系論文集, 第470号, pp53‑63,[16] I.Takewaki, Hybrid Inverse Eigenmode Problem for Top-

1995.

Linked Twin Shear Building Models, International Journal（その他の振動逆問題や感度解析および最適設計関係）

of Mechanical Sciences, Vol.41, No.9, pp1133-1153, 1999.
[17] P.Lancaster and J.Maroulas, Inverse Eigenvalue Problems for[34] I.Takewaki, Elastic Frame Redesign via a Performance- Based

Damped Vibrating Systems, J. Mathematical Analysis andIncremental Inverse Problem, Computers & Structures, Vol.63,

Applications, Vol.123, No.1, pp238-261, 1987.

No.2, pp217-224, 1997.

[18] D.J.Inman, Vibration with Control, Measurement, and[35] I.Takewaki, Incremental Inverse Eigenmode Problem for

Stability, Prentice Hall, 1989.

Performance-Based Structural Redesign, Finite Elements in[19] C.Minas and D.J.Inman, Matching Finite Element Models to

Analysis and Designn, Vol.27, No.2, pp175-191, 1997.

Modal Data, J. Vibration and Acoustics, ASME, Vol.112,[36]

pp84-92, 1990.

I.Takewaki,

Efficient

Elastically-Supported[20] I.Takewaki, Efficient Redesign of Damped Structural Systems

OptimalFrequency

Distributed-Parameter

DesignofCantilevers,

Computers & Structures, Vol.62, No.1, pp107-117, 1997.

for Target Transfer Functions, Computer Methods in Applied[37] K.A.Stetson, Perturbation Method of Structural Design

Mechanics and Engineering, Vol.147, No.3/4, pp275-286,

Relevant to Holographic Vibration Analysis, AIAA J., Vol.13,

1997.

No.4, pp457-459, 1975.

[21] I.Takewaki and K.Uetani, Efficient Redesign of Damped[38] K.A.Stetson and G.E.Palma, Inversion of First-Order

Large Structural Systems via Domain Decomposition with

Perturbation Theory and Its Application to Structural Design,

Exact Dynamic Condensation, Computer Methods in Applied

AIAA J., Vol.14, No.4, pp454-460, 1976.

Mechanics and Engineering, Vol.178, Nos.3-4, pp367-382,[39] K.A.Stetson, I.R.Harrison and G.E.Palma, Redesigning1999.
[22] 竹脇

Structural Vibration Modes by Inverse Perturbation Subject
出, 中村恒善, 弾性支持された曲げ剪断型構造物

to Minimal Change Theory, Computer Methods in Applied

モデルの混合型逆定式化による地震時変形制約設計,

Mechanics and Engineering, Vol.16, pp151-175, 1978.

構造工学論文集, Vol.39B, pp105‑118, 1993.
[23] 中村恒善, 林[40] K.-O.Kim, W.J.Anderson and R.E.Sandstrom, Nonlinear

龍憲, 梁の一次固有周期・一次固有モ−

Inverse Perturbation Method in Dynamic Analysis, AIAA J.,

ド指定設計法, 構造工学論文集, Vol.34B, pp95‑104,

Vol.21, No.9, pp1310-1316, 1983.

1988.

[41] R.L.Fox and M.P.Kapoor, Rates of Change of Eigenvalues and[24] I.Takewaki, Semi-Explicit Optimal Frequency Design ofEigenvectors, AIAA J., Vol. 6, No.12, pp2426-2429, 1968.

Chimneys with Geometrical Constraints, Finite Elements in[42] R.L.Fox, Optimization Methods for Engineering Design,

Analysis and Design, Vol.23, No.1, pp37-56, 1996.
[25] 中村恒善, 建築骨組の最適設計, 丸善, 1980.
[26] 日本建築学会，応用力学シリーズ第２巻「建築構造物の設計力学と制御動力学」, 1994.
[27] 中村恒善, 竹脇 出, 島野幸弘, 混合型逆定式化による建築骨組‐杭‐地盤連成系の地震時設計ひずみに対する剛性設計，日本建築学会構造系論文報告集, 第 440 号,
43‑56, 1992.
[28] 竹脇Addson-Wesley Publishing Company, 1972.
[43]

Simplified

Calculationof

Eigenvector[44] E.Haug and J.S.Arora, Applied Optimal Design, John Wiley &Sons, 1979.
[45] U.Kirsch, Optimum Structural Design, 1981（最適構造設計：
山田善一，大久保禎二監訳，丸善，1983）[46] G.N.Vanderplaats, Numerical Optimization Techniques for

出, 弾性地盤により支持された建築構造物の最適

Engineering Design, McGraw-Hill, 1984.

設計および地震時応答制約設計, 京都大学工学博士学位[47] 構造システムの最適化

論文, 1991年3月.
[29] 竹脇

R.B.Nelson,

Derivatives, AIAA J., Vol.14, No.9, pp1201-1205, 1976.

―理論と応用―, 土木学会,

1988.

出, 弾性支持された構造物の設計力学, 応用力学

[48] T.Nakamura and I.Takewaki, Optimum Building Design forシリーズ第２巻「建築構造物の設計力学と制御動力学」

Forced-Mode Compliance, J. Engineering Mechanics, ASCE,

第３章, 日本建築学会, pp53‑88, 1994.

7pp207-213, 1995.

Vol.111, No.9, pp1159-1174, 1985.
Earthquake-strain Constrained Designs of a Distributed[63] 長松昭男，大熊政明，部分構造合成法，培風館, 1991.
（連結制振関係の逆問題）

Parameter Structure for a Sequence of Design Strain[64] 伊藤[49] T.Nakamura, M.Ohsaki and T.Masui, Inverse Generation of宰, 辻

聖晃，吉富信太，竹脇出，アウトフレ

Functions, Computer Methods in Applied Mechanics andーム連結制振構法による既存建物耐震補強の逆問題型アEngineering, Vol.98, pp1-21, 1992.

プローチ, 日本建築学会構造系論文集, 第 73 巻，第 627[50] 辻号, pp725-732, 2008.

聖晃，中村恒善，Maxwell型の粘性ダンパーを有する

Applied Mechanics and Engineering, Vol.166, Nos.3-4,（極限外乱法関係）[65] R.F.Drenick, 'Model-Free Design of Aseismic Structures', J.
Eng. Mech. Div., ASCE, 96(EM4), 483-493, 1970.
[66] 竹脇 出，確率論に基づく新しい critical 外乱法，日本建築学会構造系論文集, 第 533 号, pp69-74, 2000.
[67] I.Takewaki, Probabilistic Critical Excitation for MDOF
Elastic-plastic Structures on Compliant Ground, Earthq. Eng.
Struct. Dyn., 30(9), 1345-1360, 2001.
[68] 竹脇 出，変動クリティカル外乱に対するグローバル性
能最大化設計，日本建築学会構造系論文集, 第 539 号,
pp63-69, 2001.
[69] I.Takewaki, Seismic Critical Excitation Method for Robust
Design: A Review, J. Struct. Eng., ASCE, 128(5), 665-672,
2002.
[70] 竹脇 出，多様な減衰分布を有する構造物に入力される
地震エネルギーの限界値，日本建築学会構造系論文集,
第 572 号, pp65-72, 2003.
[71] 竹脇 出，スウェイ・ロッキングモデルに入力される地
震エネルギーの限界値，日本建築学会構造系論文集, 第576 号, pp71-78, 2004.
[72] 竹脇 出，大渕邦之，山崎雅弘，構造物‐杭‐地盤連成系への地震エネルギー入力，日本建築学会構造系論文集,
第 583 号, pp39-46, 2004.
[73] I.Takewaki, Bound of Earthquake Input Energy, J. Struct. Eng.,
ASCE, 130(9), 1289-1297, 2004.
[74] 竹脇 出，不確定性を有する構造物のロバスト性の非確率的評価法，日本建築学会構造系論文集, 第 581 号,
pp55-61, 2004.

pp201-209, 1998.

（小委員会活動）

せん断型構造物の地震時指定層間変位に対する剛性設
計解列，日本建築学会構造系論文集, No.491, pp55‑,
1997.
[51] T.Nakamura, M.Tsuji, Inverse damping perturbation for
stiffness design of shear buildings. J Struct Eng ASCE,
Vol.122, 617–25, 1996.
[52] M. Tsuji and T. Nakamura, Optimum viscous dampers forstifness design of shear buildings, Struct. Design Tall Build.,
Vol.5, 217-234, 1996.
[53] I.Takewaki, Optimal Damper Placement for MinimumTransfer Functions, Earthquake Engineering and Structural
Dynamics, Vol.26, No.11, pp1113-1124, 1997.
[54] I.Takewaki, S.Yoshitomi, K.Uetani and M.Tsuji, NonMonotonic Optimal Damper Placement via Steepest Direction
Search, Earthquake Engineering and Structural Dynamics,
Vol.28, No.6, pp655-670, 1999.
[55] 井上喜雄，藤川猛，今西悦二郎，阿部亨，減衰振動系における感度解析と設計変更後の動特性予測，日本機械学会論文集（Ｃ編），50巻452号，pp597‑606, 1984.
[56] W.C.Gibson and E.M.Austin, Analysis and Design of Damped
Structures, Finite Elements in Analysis and Design, Vol.14,
pp337-351, 1993.
(部分構造合成法を用いた逆問題)[57] I.Takewaki, Inverse Component-Mode Synthesis Method forRedesign of Large Structural Systems, Computer Methods in[58] I.Takewaki and K.Uetani, Inverse Component-mode Synthesis[75] 日本建築学会，応用力学運営委員会，構造システム設計

Method for Damped Large Structural Systems, Computers &力学小委員会，応用力学シリーズ第 10 巻「建築構造物の創造的数理設計手法の展望」, 2002.

Structures, Vol.78, No.1-3., 415-423, 2000.
および[76] 日本建築学会，応用力学運営委員会，構造設計システム

I.Takewaki, H.Sato and K.Uetani, Reduced-Basis Stiffnessの数理化小委員会＋構造物の性能最適化とロバスト性小Inversion

委員会，「建築構造物の性能最適化とロバスト性に関するofaStructure-

Foundation

Systemvia

セミナー」資料，2005 年 12 月.

Component-Mode Synthesis, J. of The Structural Design of[77] 日本建築学会，応用力学運営委員会，構造物の性能最適

Tall Buildings, Vol.9, pp215-232, 2000.
(部分構造合成法に関する文献)

化とロバスト性小委員会，2008 年大会 PD「建築構造設計[59] W.C.Hurty, Vibrations of Structural Systems by Component

における冗長性と頑強性の役割
バスト性とは―」Mmode Synthesis, J. Engineering Mechanics Division, ASCE,
Vol.86, No.EM4, pp51-69, 1960.
[60] W.C.Hurty, Dynamic Analysis of Structural Systems Using
Component Modes, AIAA J., Vol.3, No.4, pp678-685, 1965.
[61] R.R.Craig, Jr. and M.C.C.Bampton, Coupling of Substructures
for Dynamic Analysis, AIAA J., Vol.6, No.7, 1313-1319, 1968.
[62] R.R.Craig, Jr., Substructure Methods in Vibration, Trans. of
the ASME, Special 50th anniversary design issue, Vol.117,

8―リダンダンシーとロ