Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続

Instantons and Four-Manifolds §3§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体
である。

丹下基生
筑波大学

2021/2/21

目次
Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理 (Â/G̃ が多様体であること)
dℓ−1 が多様体であるこ§3.5 パラメータ付きの接続の空間 SDと。
§3.6 既約接続のモジュライ空間 M̂ は多様体である

§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間
ベクトル束
Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

M：4 次元多様体
G：リー群
P → M：M 上の主 G 束
V：ベクトル空間
ρ : G → Aut(V) (表現)η：M 上の主 G 束に同伴する 2 次元ベクトル束。
η = P ×G V = P × V/ ∼ (u, v) ∼ (u · s, ρ(s−1 )v)

ベクトル束上のゲージ変換
Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間η：M 上の主 G 束に同伴するベクトル束。
ηx = π −1 (x) とおく。
ゲージ変換群§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

G = {s : η → η|π ◦ s(p) = π(p), s|ηx : ηx → ηx は同型写像}
をゲージ変換群という。
ゲージ変換は、Aut(V) 束Aut(η) = P ×Ad Aut(V)の C∞ 切断である。C∞ 切断を Γ(Aut(η)) とかく。
(π : E → B の C∞ 切断とは s : B → E(C∞ 級写像) であって
π ◦ s = idB を満たすもの。)

ソボレフ空間
Instantons
and FourManifolds§3∀σ, τ ∈ G(σ, τ )ℓ =丹下基生
§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理

XZ
i≤ℓ(Di σ, Di τ )gM

G の ℓ > 2 を満たす整数を用いた内積。
Hℓ (Aut(η))：|| · ||ℓ を用いた完備化。

§3.5 パラメータ付きの接続の空間G = Γ(P ×Ad Aut(V)) ⊂ Hℓ (Aut(η)) =: Gℓ§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

とおく。Aℓ−1 も同様の意味。
事実 1
十分大きい ℓ で Gℓ �Âℓ−1 は可分なヒルベルトリー群 (多様体) であり、G ⊂ Gℓ , Â ⊂ Âℓ−1 は稠密である。

曲率
Instantons
and FourManifolds§3

D ∈ Aℓ−1 とする。

丹下基生

D ◦ D : Ω0 (η)ℓ → Ω2 (η)ℓ−2§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性(sα ) 7→ (dsα +Aα sα ) 7→ (Dα (dsα +Aα sα )) = (dAα +Aα ∧Aα )sα§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

曲率
Fα = dAα + Aα ∧ Aα ∈ Ω2 (ad(η))ℓ−2
を曲率という。
F(D) = (Fα ) として
F : Aℓ−1 → Ω2 (ad(η))ℓ−2ゲージ群作用について
Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

まとめD∗ FD = 0：ヤンミルズ方程式
FD = ∗FD ：自己双対接続
FD = − ∗ FD ：反自己双対接続
Gℓ は Aℓ−1 に作用する。
M = {D ∈ Aℓ−1 |FD = ∗FD }/Gℓ ⊂ Aℓ−1 /Gℓ
自己双対接続のモジュライ空間という。

直線束の場合
Instantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間G = U(1) の場合
G = U(1) 上のヤンミルズ方程式のモジュライ空間 YMU(1)は b1 (M) 次元トーラス Tb1 (M) と微分同相である。

§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

証明
u(1) = iR
A = {Dα = d + aα |FD が調和形式}= {aα |daα = 0} = Z1 (M, iR), FD = daα
dF = d∗ F = 0：調和形式
G = Ω0 (M, U(1)) = C∞ (M, U(1))
g ∈ G (g = eiu に対して g−1 dg = idu)
g(D) = D + idu, (uα ) : uα : Uα → R|uα − uβ ∈ 2πZ
W = {idu = (iduα ) ∈ Ω1 (M)|eiuα : M → U(1)}証明の続きInstantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性

YMU(1) = Z1 (M, iR)/W
φ : H1 (M, iR) = Z1 (M, iR)/B1 (M, iR) → Z1 (M, iR)/W
Ker(φ) = H1 (M, 2πiZ)§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体
である。

を示す。
∀γ ∈ H1 (M, Z) とする。
∀idu ∈ Kerφ に対して u = (uα ) : Uα → RZ
du = [uγ(t)]10 ∈ 2πZγ

よって、idu ∈ H1 (M, 2πiZ) つまり、準同型定理から
Z1 (M, iR)/W ∼= H1 (M, iR)/H1 (M, 2πiZ) = Tb1 (M)Gℓ , Aℓ−1 の接空間
Instantons
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丹下基生

g:G のリー環
Gℓ = Hℓ (Aut(g)) = Hℓ (P ×Ad G) のリー環 Tid Gℓ は、§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間exp : [u, X(u)]ad 7→ [u, exp(X(u))]Ad§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間ad(X)(Y) = [X, Y] ; hgh−1§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

Hℓ (ad(η)) = Hℓ (P ×ad g)である。
ゲージ変換群の接空間
Tid Gℓ = Ω0 (ad(η))ℓ

Instantons
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Aℓ−1 = {d + Aα |Aα ∈ Ω1 (Uα , ad(η|Uα ))}：η 上の接続
Ω1 (ad(η)) の作用するアフィン空間。

丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間接続の空間の接空間§3.2 可約接続

TD A = Ω1 (ad(η))ℓ−1§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

D ∈ A に対して、

G→A

g 7→ g∗ (D) の微分は、
DΩ0 (ad(η)) → Ω1 (ad(η))(∵)g = eX とし、g∗ (D) − D = e−X ◦ D ◦ eX − D= e−X D(eX ) + e−X eX D − D = e−X eX DX = DX§3.2 可約接続
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体
である。

定義 1
η 上の SU(2)-接続 D が可約であるとは、直和分解
η = λ1 ⊕ λ2 をもち、D も分解に沿って D = d1 ⊕ d2 と分割されることをいう。ここで、di は λi の接続。
D が可約でないとき、既約という。
G = SU(2)su(2) = {A ∈ M(2, C)|tr(A) = 0, A + A∗ = 0}
ゲージ変換群 Gℓ,D ⊂ Gℓ の D を固定する部分群。
η = P ×SU(2) C2 ：主 SU(2) 束 P に同伴する C2 束ad(η) = P ×ad su(2)Instantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続

Gℓ,D ⊂ Gℓ 固定化部分群 (g∗ D = 
D) 

1 0
−1 0
Z2 ⊂ Gℓ,D (中心) Z2 =
,
0 1
0 −1

§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

定理 3.1FD 6≡ 0 となる接続 D に対して次は同値である。
1 Gℓ,D /Z2 ∼= U(1)
2

D : Ω0 (ad(η))ℓ → Ω1 (ad(η))ℓ−1 は非自明な Ker を持つ。

3

D が可約である。

4

Gℓ,D /Z2 6= 1

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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

(1) Gℓ,D /Z2 ∼= U(1)(2) D : Ω0 (ad(η))ℓ → Ω1 (ad(η))ℓ−1 は非自明な Ker を持つ。
証明(1)⇒ (2)
1 6= s ∈ Gℓ,D に対する Lie 環の元を u ∈ Ω0 (ad(η))ℓ とする。
st = exp(ut) ∈ Gℓ,D をとする。∀σ ∈ Γ(η) に対して
0 = (s∗t (D)) · σ − D · σ = s−1t ◦ D ◦ st σ − Dσ= s−1t (st D(ut) · σ + st Dσ) − Dσ= tD(u) · σ
t = 0 での微分を取ることで、D(u) = 0 となる。

証明の続きInstantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

(2) D : Ω0 (ad(η))ℓ → Ω1 (ad(η))ℓ−1 は非自明な Ker を持つ。
(3) D が可約である。
————–(2)⇒(3)Du = 0 となる u ∈ Ω0 (ad(η))ℓ を取る。
u は su(2)-束の切断。
√
u の固有値は± −1λ。(λ > 0)√
e1 を −1λ に属する局所固有ベクトル (e1 , e1 ) = 1
Re(De1 , e1 ) = 0
D(ue1 ) = (Du)e√ 1 + uDe1√= uDe1 (ライプニッツ則)√D(ue) = D( −1λe1 ) = −1(dλ)e1 + −1λDe1∗dλ = Im(uDe√ 1 , e1 ) = Im(De1 , u e1 ) = −Im(De1 , ue1 ) =−Im(De1 , −1λe1 ) = λRe(De1 , e1 ) = 0
よって λ は局所定数。
De1 は e1 に平行。

証明の続きInstantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体
である。



d1 0
0 d2



よって、D =
di は ei に作用する接続。
——–(3) D が可約である。
(4) Gℓ,D /Z2 6= 1——–
(3)⇒(4)
D = d1 ⊕ d2 とする。 √
!
e −1θ
0
√
θ ∈ R として、s =とおく。
0e− −1θ
s ∈ Gℓ,D
である。√
√
−
−1λ
(∵ e
◦ di ◦ e −1 = di より)——(4) Gℓ,D /Z2 6= 1
(1) Gℓ,D /Z2 ∼= U(1)——

証明の続きInstantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性(4)⇒ (1) s ∈ Gℓ,D が s 6= ±1 とすると、s = exp(u) となる
u ∈ Ω0 (ad(η)) となり、Du = 0 を満たす。D = d1 + d2 となる。ホロノミー群§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

Φu (D) = {a ∈ G|au = Pℓ (u), ℓ ∈ Ω(M, p)}
ここで Pℓ はループ ℓ に沿った D による平行移動。
GD = CG (Φu (D)) = {g ∈ G|gs = sg, ∀s ∈ Φu (D)}

証明の続きInstantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間GD ⊂ U(1) なら Φu (D) = U(1)しかし、GD に非可換元 s が含まれるのなら、§3.2 可約接続

Φu (D) ⊊ U(1)§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

Φu (D) ⊊ U(1) なら D は flat。
仮定に反する。よって Gℓ,D /Z2 = U(1)Âℓ−1 ：既約な接続全体
系2Gℓ /Z2 は Âℓ−1 に自由に作用する。

多様体に向けてInstantons
and FourManifolds§3

群 G が多様体 M に作用する。
p : M → M/G を自然な射影。

丹下基生

疑問 3

§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続

M/G がハウスドルフ多様体となるか？

§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

M/G がハウスドルフ⇔
Γ = {(x, g · x) ∈ M2 |g ∈ G} が閉集合である。(Γ をグラフという)
2 M/G は多様体⇐∀x ∈ M に対して、ある部分多様体 x ∈ N ⊂ M が存在する。N は開多様体。∀y ∈ N
1

Ty M = Ty G · y ⊕ Ty N
が成り立ち、p|N : N → p(N ) が全単射である。(Nをスライスという)

Instantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間ハウスドルフ性Â/G はハウスドルフである。

§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

証明
Γ = {(D, s∗ (D)) ∈ Â2ℓ−1 |s ∈ G̃} が閉集合であることを示せば良い。
(D + An , s∗n (D + An ))：Â2 での収束点列。
s∗n (D + An ) = s−1n ◦ (D + An ) ◦ sn
−1
−1
= s−1
n (Dsn ) + sn sn Dn + sn An sn= D + sn−1 (Dsn ) + s−1
n An sn= D + A′n

証明の続きInstantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

An → A ∈ Ω1 (ad(η))ℓ−1
A′n → A′ ∈ Ω1 (ad(η))ℓ−1
Dsn = sn A′n − An sn
sn は Hℓ (ad(η)) において有界
sn には収束する部分列が存在する (それを再び sn と書く)。
sn ∈ Hℓ−1 (End(η)) で収束する (レリッヒの定理)
Dsn ∈ Hℓ−1 (End(η))
sn ∈ Hℓ (End(η))
ここで、Gℓ ⊂ Hℓ (End(η))
は閉集合。
sn は s ∈ Gℓ に収束する。
s∗ (D + A) = D + A′

既約接続のモジュライ空間
Instantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

G：ゲージ群B̂ = Â/GD ∈ Â 起点。
D + A：任意の接続。(A ∈ Ω1 (ad(η)))
スライスは {Du|u ∈ Ω0 (adη)} と直交補空間をとる。
(A, Du) = 0 ⇔ (D∗ A, u) = 0
XD := {A ∈ Ω1 (ad(η))ℓ−1 |D∗ A = 0}がスライスになることを示す。

陰関数定理Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理

有限次元空間上の陰関数定理
f : Rn+k → Rk ：C∞ 級写像。
(x1 , x2 ) ∈ Rn × Rk において |∂2 f(x1 , x2 )| 6= 0 なら⇒ ∃Ui ：xi の近傍、∃h : U1 → U2 ：C∞ 級写像 s.t.
∀x ∈ U1 に対して f(x, h(x)) = 0 を満たす。

§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体
である。

x2

U2

U1
x1
n=k=1

バナッハ空間の場合
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

E1 , E2 , F バナッハ空間
バナッハ空間上の陰関数定理
f : E = E1 × E2 → F (C∞ 級写像)
(ξ1 , ξ2 ) ∈ E に対して δ2 f : E2 → F が可逆⇒ ∃Ui ：ξi の近傍、∃h : U1 → U2 ：C∞ 級写像 s.t.
∀η ∈ U1 に対して f(η, h(η)) = 0 を満たす。
U1 → S = {(η1 , η2 ) ∈ E|η1 ∈ U1 , f(η1 , η2 ) = 0}は同相写像

スライス定理
Instantons
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丹下基生

定理 3.2∀D ∈ Âℓ−1 に対して D の近傍の OD ⊂ Âℓ−1 が存在して、
ΦD : OD ∼= Ker(D∗ ) × G̃ℓ§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

さらに G̃ℓ の作用に関して同変である。
バナッハ多様体の間の陰関数定理を応用する。
Ω0 (ad(η))
D+A
D

Ker(D∗ )証明
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

Abℓ−1 = D + Ω1 (ad(η))ℓ−1
より
LD : Ω1 (ad(η))ℓ−1 × G̃ℓ → Ω0 (ad(η))
をLD (A, s) = D∗ (s−1 ◦ Ds + s−1 As)
LD の変分を考える。(s = ex )LD (A, eX ) = D∗ (e−X (DeX ) + e−X AeX )= D∗ (e−X eX (DX) + A + (e−X AeX − A))= D∗ (DX + A + (高次の項))
ゆえに、
δLD (A, eX ) = D∗ (DX + A)

証明の続きInstantons
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丹下基生

δ2 LD (0, X) = D∗ (DX)が成り立つ。

§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間D∗ D : Ω0 (ad(η)) → Ω0 (ad(η))§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

は可逆 (self-adjoint かつ単射 (D の既約性))
ゆえに、陰関数定理から、∃OD ⊂ Ω1 (ad(η)) (開集合)∃s : OD → G̃ℓが存在して、
Φ : OD → KerD∗ × G̃
A 7→ (s(A)∗ (D + A) − D, s(A))

証明の続きInstantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間(逆写像)
s−1 ◦ Ds + s−1 As = A′ とおくと、
D + A = s ◦ (D + A′ ) ◦ s−1 であることから(A′ , s) 7→ s ◦ (Ds−1 ) + sAs−1§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

=

s ◦ (−s−1 (Ds)s−1 ) + sAs−1 = −(Ds)s−1 + sAs−1
Φ−1 : (A′ , s) 7→ −(Ds)s−1 + sA′ s−1とすればよい。
(同変性)
LD (g−1 (Dg) + g−1 Ag, g−1 eX )= D∗ ((g−1 eX )−1 (D(g−1 eX )) + (g−1 eX )−1 (g−1 (Dg) +g−1 Ag)(g−1 eX ))= D∗ (e−X (DeX ) + e−X AeX ) = LD (A, eX )OD ∼= KerD∗ × G̃ℓ証明の続きInstantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間TD,ϵ = {A ∈ Ω1 (ad(η))|||A||ℓ−1 < ϵ, D∗ A = 0}

§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体
である。

とする。
系4
[D] ∈ B̂ = Â/G̃ に対して、ある [D] の開近傍 UD が存在して、UD は、TD,ϵ と微分同相である。

§3.5 パラメータ付きの接続の空間
計量摂動
Instantons
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§3

後半の目標
モジュライ空間 M̂ が多様体であること。

丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

問題
C を計量の空間。
M̂ は計量に依存して決まる。(∗ は計量に依存する)M̂g は特殊な g によっては possibly not 多様体。
dℓ−1
Âℓ−1 × C ⊃ {(D, g) ∈ Âℓ−1 × C|FD = ∗g FD } =: SDdℓ−1 が多様体であり
・SD
dℓ−1 /G̃ℓ = ∪g∈C M̂g → C
π : SD・π の正則値が存在すれば π −1 (g) = M̂g が多様体。

dℓ−1 が多様体であること
SD
Instantons
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dℓ−1
P −1 (0) = SD

丹下基生
§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間Â

§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

Cg0 を M 上の固定したリーマン計量g ∈ C は、g = φ∗ (g0 ) と書ける。
φ∗ (g)(v, w) = g(φ(v), φ(w))

Instantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理

計量の空間
C = Ck (GL(TM)) である。
C 3 g ↔ φ ∈ Ck (GL(TM))§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

P− : Ω2 → Ω2−
1
θ 7→ (θ − ∗θ)2P− (θ) = 0 ⇔ θ が self dual である

Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生

P : Âℓ−1 × C → Ω2− (ad(η)) = Γ(∧2− T∗ M ⊗ ad(η))
を(D, φ) 7→ P− ((φ−1 )∗ FD )§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

と定義する。
P− ((φ−1 )∗ FD ) = 0⇔ φ∗ (g) において、FD が self dual である
dℓ−1 := P −1 (0) ⊂ Abℓ−1 × C
SD
書き、パラメータ付きモジュライ空間という。
定理 3.4
P は 0 で正則値を取る。
P −1 (0) は滑らかな多様体になる。

計量の無限小変換
Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間計量の変換は、C = Ck (GL(TM))。φ ∈ Ck (GL(TM)) に対して、
g : TM × TM → R§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

を
g 7→ g(φ(·), φ(·)) =: φ∗ gとする。
V = Tp M とおく。
無限小変換は Tφ C = Γ(gl(TM)) = Γ(End(TM)) = Γ(
直交変換は C を変えない。
対称変換の方向が g を変える向き。

定理3.4の証明のための準備
Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

e1 , · · · , en ：V の正規直交ベクトル。
End(V) の生成元はrii = ei ⊗ ei
rji = ei ⊗ ej + ej ⊗ ei
転置r ; r∗ ∈ End(V∗ )r∗ ∈ End(V∗ ) に対して、r∗ (v ∧ w) = r∗ (v) ∧ w − v ∧ r∗ (w)として計算することで、r∗ : ∧2 V∗ → ∧2 V∗を得る。

Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

i, j, k, ℓ は互いに異なる(rii )∗ (ei ∧ ej ) = ei ∧ ej
(rii )∗ (ej ∧ ek ) = 0(rik )∗ (ek ∧ ej ) = ei ∧ ej(rik )∗ (ei ∧ ek ) = 0(rik )∗ (eℓ ∧ ej ) = 0∗：ホッジ作用素
P± : Ω2 (ad(η)) → Ω2± (ad(η))：射影1
θ 7→ (θ ± ∗θ)2
σ ij = P− (ei ∧ ej ), αij = P+ (ei ∧ ej )(rii )∗ (σ ij ) = σ ij + αij , (rik )∗ (σ ij ) = αkj

いくつかの補題
Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理

補題 3.7
W：内積を持つベクトル空間F ∈ ∧2+ V∗ ⊗ W, Φ ∈ ∧2− V∗ ⊗ W
もし、任意の r ∈ gl(V) に対して、(r∗ F, Φ)W = 0 なら、∧2+ V∗ ⊗ ∧2− V∗ 3 (F, Φ)W = 0 である。

§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体
である。

証明
P
F = 4i=2 σ 1i ⊗ Fi ∈ ∧2+ V∗ ⊗ WP
Φ = 4i=2 α1i ⊗ Φi ∈ ∧2− V∗ ⊗ W∀r ∈ End(V) に対して、(r∗ (F), Φ) = 0 と仮定する。
r = r13 + r24 とすると、(r∗ F, Φ) = (F2 , Φ4 )r = r14 + r23 とすると、(r∗ F, Φ) = (F3 , Φ2 )r を変えて続ける · · · → (Fi , Φj ) = 0

Instantons
and FourManifolds§3su(2) の基底
σ1 =

丹下基生








0 1
0 i
i 0
, σ2 =, σ3 =
0 −i
−1 0
i 0

§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性

補題 3.12§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

非ゼロ X, Y ∈ su(2) に対して、内積が (X, Y) = 0 であるなら[X, Y] 6= 0 である。
証明

P
P
X = 3i=1 Xi σi , Y = ni=1 Yi σi を非ゼロベクトルとする。
(X, Y)
 = −tr(XY) =


X1 i
X2 + iX3
Y1 i
Y2 + iY3−tr−X2 + iX3
−iX1
−X2 + iY3
−iY1
= 2(X1 Y1 + X2 Y2 + X3 Y3 )

証明の続きInstantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

X×Y = (X2 Y3 −X3 Y2 , X3 Y1 −X1 Y3 , X1 Y2 −X2 Y1 ) = (b1 , b2 , b3 )とおく。

−(X, Y) + ib1
b2 + ib3[X, Y] =−b2 + ib3−(X, Y) − ib1 )(X, Y) = 0 かつ [X, Y] = 0 ならば、
b1 = b2 = b3 = 0 であり、X × Y = 0 であり、
X k Y よって、X = Y = 0 これは X, Y が非ゼロに反する。
よって、(X, Y) = 0 なら [X, Y] 6= 0 である。

定理3.4の証明
Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理

定理3.4
P は 0 で正則値を取る。
C = Ck (GL(TM)) のリー環 c は Ck (End(TM)) = Ck (M(n, R))
P : Âℓ−1 × C → Ω2− (ad(η))ℓ−2§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

(D′ , φ′ ) 7→ FD′ ,−φ′∗ gの変分 δP が全射であることを示す。
δP : Ω1 (ad(η))ℓ−1 ⊕ c → Ω2− (ad(η))ℓ−2
δP = δ1 P ⊕ δ2 P
δ1 P(D,φ) (A) = P− ((φ−1 )∗ DA)
δ2 P(D,φ) (r) = P− ((φ−1 )∗ (r∗ FD ))証明の続きInstantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

ここで、計量 φ∗ g での次の完全系列を考える(δ1 P = P− ◦ D)
D

δ P

1
0 → Ω0 (ad(η))ℓ → Ω1 (ad(η))ℓ−1 →Ω+− (ad(η))ℓ−2 → 0

証明の続きInstantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間から、Φ ∈ Cok(δP) とし、Φ 6≡ 0 とする。
Z
Z
(P− (φ−1 )∗ DA, Φ)g =(DA, φ∗ Φ)φ∗ g
0=
M

M

Z

§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

(A, D∗ (φ∗ Φ))φ∗ g=§3.4 スライス定理

M

よって、D∗ (φ∗ Φ̃) = 0Z0=M(where Φ̃ = φ∗ Φ)(P− ((φ−1 )∗ (r∗ FD )), Φ)g
Z

=
M

よって、

(r∗ FD , Φ̃)φ∗ g

証明の続きInstantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

補題3.7より Im(FD ) と Im(Φ̃) は直交する。
dim su(2) = 3 より、FD , Φ̃ ∈ Ω2 (adη) であり、FD , Φ 6= 0 の点において、FD , Φ̃ のどちらかは rank = 1
FD は self-dual,Φ̃ は anti-self-dual より、
DFD = D∗ FD = 0, DΦ̃ = D∗ Φ̃ = 0
より、FD , Φ は DD∗ + D∗ D = 0 の解。
(Φ が su(2) の中で 1 次元の場合。)
ある開集合 U で、∀x ∈ U
Φx = αx ⊗ ux (where α(x) ∈ Ω2− , u(x) ∈ Ω0 (ad(η)))(u, u) = 1 としておく。

証明の続きInstantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

0 = DΦ̃ = dα ∧ u + α ∧ Du
0 = d(u, u) = (Du, u) + (u, Du) = 2(Du, u) より、上の式に、u を内積をとる。
0 = (dα ∧ u, u) + (α ∧ Du, u) = dα + α ∧ (Du, u)より、dα = 0
よって、α ∧ Du = 0 ⇒ Du = 0
Im(FD ) ⊥ Im(Φ̃) であるから、(FD , u) = 0
D2 u = FD u = [FD , u] 6= 0 (補題3.12)
これは、Du = 0 に矛盾。
(FD が su(2) の中で 1 次元の場合。)
FD = σ ⊗ u かつ、σ ∈ Ω2+ (ad(η)), |u| = 1 とする。
DFD = 0 より、Du = 0 よって、F = 0 以外の部分が連結であれば、F 6= 0 の点から、u の定義域を F = 0 にまで拡張することができる。

証明の続きInstantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

F は楕円型方程式 ((D∗ D + DD∗ )F = 0) の解の一般論より、
F = 0 の部分は余次元が 1 より大きい。よって、F 6= 0 とな
る場所は連結。
よって、Du = 0 となる切断が存在する。
これは、D が既約であることに矛盾。
つまり、この場合はありえない。つまり、Φ̃ = 0 となり、Pは全射。

Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間定理 3.13d ℓ−1 /G̃ℓ−1 はバナッハ多様体である。
SM§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

証明
d ℓ−1 に対してスライスが存在することを証明する。
∀p ∈ SM
p = (D, φ) とする。制限P : {D + A ∈ Âℓ−1 |D∗ A = 0} × C → Ω2− (ad(η))ℓ−2(D′ , φ′ ) 7→ FD′ ,+φ′∗ g
が 0 で正則値であることを示す。

証明の続きInstantons
and FourManifolds§3
丹下基生が完全。(δ1 P = P− ◦ D)

§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間ImD ⊥ KerD∗§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理

ImD ⊂ Ker(δ1 P)§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体
である。

δ P

D

1
0 → Ω0 (ad(η)) → Ω1 (ad(η)) →Ω2− (ad(η)) → 0

ゆえに、
δ1 P(D,φ) = δ1 P(D,φ) |KerD∗ = δ1 P (D,φ)
c には制限をかけないので、
δ2 P(D,φ) = δ2 P (D,φ)δP(D,φ) = δ1 P(D,φ) ⊕ δ2 P(D,φ) = δP (D,φ)
より、δP は全射より、δP (D,φ) も全射。

Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体
である。

d G̃ℓ
(D, φ) において、作用のスライスの近傍と [D, φ] ∈ SM/の近傍が同相。
d ℓ−1 /G̃ℓ−1 は多様体。
SM§3.6 既約接続のモジュライ空間 M̂ は多様体である
Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理

d ℓ−1 /G̃ℓ = ∪φ∈C M̂ℓ−1,φ∗ g → C
π : SMM̂ℓ−1,φ∗ g = Âℓ−1,φ∗ g /G̃ℓ

§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

サードスメールの定理
π : M → N をパラコンパクトなバナッハ多様体の間のフレ
ドホルム写像とする。この時、π の正則値の集合は、ベール集合である。

Instantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続

定理 3.14C のベール集合が存在して、φ ∈ C に対して、π −1 (φ) = X̂φ
は 5 次元多様体である。
証明§3.3 ハウスドルフ性

dℓ−1 /G̃ℓ → C
π : SD§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

がフレドホルム写像であることを示せばよい。
def(⇔ δπ が dim(Ker) < ∞ かつ dim(coKer) < ∞)
δ1 P = P− ◦ D であり、楕円型複体
E:

D

δ P

1
0 → Ω0 (ad(η)) → Ω1 (ad(η)) →Ω2− (ad(η))) → 0のコホモロジー
H0D (dη), H1D (ad(η)), H2D (ad(η))

証明の続きInstantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

dℓ−1 , Tφ C = c
p = (D, id) ∈ SDdℓ−1 /G̃ℓ → c
δπ : T[p] SD
dℓ−1 = {(A, r) ∈ Ω1 (ad(η))ℓ−1 ⊕ c|δ1 P(A) + δ2 P(r) = 0}
Tp SD


dℓ−1 /G̃ℓT[p] SD= {(A, r) ∈ Ω1 (ad(η))ℓ−1 ⊕ c|δ1 P(A) + δ2 P(r) = D∗ A = 0}(dim(Cok(δπ)) < ∞ について)r ∈ Im(δπ) ⇔ δ2 P(r) = −δ1 P(A) ∈ δ1 P(KerD∗ )⇔ r ∈ δ2 P −1 (δ1 P(KerD∗ ))δ2 P −1 (δ1 P(KerD∗ ))= δ2 P −1 (δ1 P(KerD∗ ⊕ ImD)) = δ2 P −1 (Im(δ1 P))

証明の続きInstantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続

dim(Cok(δ1 P)) < ∞dim(Cok(δπ)) = dim((δ2 P −1 )⊥ ) ≤ dim(Cok(δ1 P)) < ∞(dim(Ker(δπ)) < ∞ について)§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

Ker(δπ) = {(A, r) ∈ Ω1 (ad(η))ℓ−1 ⊕ c|δ1 P(A) = D∗ A = r = 0}
= {A ∈ Ω1 (ad(η))ℓ−1 |δ1 P(A) = D∗ A = 0} = H1A (ad(η))
dim(H0D (ad(η))) = h0 = 0 (Dは既約)
dim(Ker(δπ)) = h1
dim(Cok(δπ)) = h2
ind(δπ) = h1 − h2 = −ind(E) = 5(Atiyah-Patdi-Singer’s index theorem)計量の等角類
Instantons
and FourManifolds§3
丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性

Conf(M)：M 上の計量の等角類とする。
[g0 ] ∈ Conf(M) とする。
Λ±
0 = {ω| ∗g0 ω = ±ω}
補題 3.15
Conf(M) は、§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

{f ∈ Hom(Λ− , Λ+ )||µ| < 1}と同一視される。ここで、|µ| は作用素ノルム。
Conf(M) 7→ {µ ∈ Hom(Λ− , Λ+ )||µ| < 1}を、
g 7→ µ−2Λ−g := {ω + µ(ω)|ω ∈ Λ } ⊂ Λ

ここで、Λ−
g = {ω| ∗g ω = −ω}Instantons
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丹下基生§3.1 接続、ゲージ変換群の接空間§3.2 可約接続§3.3 ハウスドルフ性§3.4 スライス定理§3.5 パラメータ付きの接続の空間§3.6 既約接続のモジ
ュライ空間は多様体である。

この時、[g] ∈ Conf(M) に対して、µg : Λ− → Λ+ を Λ− の µg のグラフ {ω + µg (ω)|ω ∈ Λ− } がΛ−g となる様に決める。
Conf(M) ∼= {µ : Λ− (M) → Λ+ (M)||µx | < 1∀x ∈ M}[g] 7→ µg