基礎物理学１
Basic Physics 1 Course

運動の表し方1

はじめに － 講義ガイダンス、すすめ方

授業 ：講義、デモ実験、小テスト
力学（7回）、惑星の運動（２回）、波動（5回）○Hu-Web：授業のパワーポイント、小テストの解答、連絡、質問など (前年度の授業の録画が見れます。ただし、学内からのアクセスに限定）
http://socyo.high.hokudai.ac.jp/BP07/BP07.html

授業

N304 （Class ４６，４７）運動の表し方2

物理学とは何か？
私たちの住む自然の仕組みは？

（人類としての知的好奇心、文化）

２１世紀：高度な科学技術社会

北大生として、日本の未来をリードするための科学的素養高校で履修しなかったのに必要？
答：必要です。現代の先端の問題解決に物理的なものの考え方が大事
単位は取れますか？
答：大丈夫です。授業、演習、予習復習をきちんと。
運動の表し方3

物理を作った人々

運動の表し方4

勉強のしかた

教科書： 「大学物理への招待」（北海道物理学教育研究会：学術図書）
 予習 ： 教科書を読む、Hu-webを利用
 復習 ： 例題、章末の演習問題を解く
 図書館：教材Video － MECHANICALUNIVERSE

授業：1章を講義２回のペース(第1章は導入のための章）
運動の表し方5

第一部：力学編


力学？ー物の運動のルール
私たちの身の回りの物：どのような法則に従って運動？
規則的に繰り返す運動 ： 星の運動 （なぜ？－法則性）



テニス、サッカー、野球→ボールがでたらめな運動なら試合にならない。



Galiｌeo(16C）、Newton(17C)が体系化！
初めて自然の仕組みをより良く理解●２０C：量子力学が発展－現代科学の基礎
ここで学ぶ力学：古典力学。
自然記述の本質にふれる一般性。

力学は物理学の基礎運動の表し方

6

第1章 運動の表し方§１．物はなぜ落ちる？
そんなことは当たり前‥‥本当？ なぜ？
物は下に落ちる ← 事実だ！

なぜ？→重いから？→重い物ほど速く落ちる？
→高い所にあるから？→月はなぜ落ちない？

Newtonの命題「林檎は落ちるのになぜ月は？」

よく考えると分かったようで？
運動の表し方7

Newton以前の考え

古代ギリシャのAristotle （BC３８４－３３２）
運動の速さは力に比例、力がないと停止
重いものほど早く落下「羽根」と「石」 ： 重い石が早く落ちる！

でも、、、、と、Galileo （１５６４－１６４２）は考えた。
それは抵抗によるためで、本質ではない。
 実験で検証をしよう！→ピサの斜塔運動の表し方8

Galileoの実験


物はどのように落下するか？
重いものと軽いものは？
思考実験：
重いボールと軽いボールの実験
二つを細い糸で結んで実験したら？
重いものが速く落ちるのなら、糸が切れる！
運動の表し方9

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた
画像を省略させて頂きます。

10

運動の表し方落下実験


ボール：速さは段々速くなっている。

真下に落下 横に投げたときの落下

落下距離は同じ。

落下は同じ法則による運動の表し方11

落下実験の結果
等間隔で光を当てたストロボ写真 重いものも軽いもの落下は同時

落下の速さ（スピード）は速くなる。
速さ＝距離÷時間ｖ ＝ ｈ/ｔ運動の表し方12

落下運動のまとめ
V 重いものも軽いもの：同時に落下
V 落下の速さは重さに無関係

確かに物は下に落ちる
落下と共に 速さは増加
V では、（法則が何かを考える前に）落下スピードはどのように変化しているだろうか？
続きは来週
運動の表し方13

14

運動の表し方基礎物理学１－第２回－

今日のテーマ●落体の法則●直線上（１次元）の運動●速さ、加速度の表し方

先週の復習• 物は、なぜ（Why）下に落ちるのか？
どのように(How)落下しているか？
（１）落下の速さは重さに関係しない（２）落下の速さはだんだん速くなる。
v ∝ ｔ
v=gt
でも、落下は速すぎ、観測が難しい。
何か工夫を？

Galileoの斜面の運動
Galileoのアイデア
斜面を利用して運動を遅くする⇒正確に観測
速度計（スピードガン）がない⇒速さｖ の関係
を距離ｈ に[距離]＝[速さ]×[時間]ｈ ＝ ＜ｖ＞ ｔ
ｖ ＝ gｔフィレンツェ博物館 HP
http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/esim.asp?c=404013
IV.13 Inclined plane

ｈ∝ｔ２

‡

制限資料

斜面の実験
１秒毎の進む距離は、
１，３，５，７↓
スタート地点からの距
離にすると
１，４，９，２５‥

斜面では ｈ ∝ ｔ ２
傾斜角を増しても同じ

角度90°でもOK!
真下に落下の時も成立

落体の法則高い所から静かに落下
実験から
ｖ ＝ g ｔｈ = （１/２）g ｔ ２
観察⇒ひらめき⇒検証（研究のプロトタイプ）
注意点
上の式に質量ｍがない

http://science.ksc.nasa.gov/mirrors/images/images/pao/AS15/10075755.jpg

でも、現実には抵抗があるのでしょう！

空気による抵抗がないとき
真空落下実験
羽根とボールは本当に同時に落ちるか？

ガラス柱の中の空気（酸素分
子と窒素分子）をポンプで排気して真空にしてみます。

アリストテレスとガリレオ
( m)
5

4
ガリ レ オ距離

3

2
アリ スト テ レ ス
1
実験で得ら れた値
0
0 .2

0 .4

0 .6

0.8

1 . 0 ( sec)

時間

アリストテレス：速度は常に一定。重さとともに速度は増加する。
ガリレオ：速度は時間とともに増加。速度は重さによらず一定。
実際の実験では：媒体（空気など）によって異なる。アリストテレスもガリレオも条件次第で正しい。

直線上の運動－速さと加速度
速さの定義[速さ]＝[進んだ距離]÷[かかった時間]
直線上の時刻ｔAにA点（xA)から出発し、B点（xB)へｔBに到着した：
速さ（Velocity）

xB − x Av=
tB − t A速さが速くなったり遅くなる時：
時間の間隔があまり長いと不正確！
短い時間Δｔ で考えよう
その間の位置の変化
ΔX = xB - xA
そうするとv = ΔX /Δｔ
Δｔ を短くしたほうが、、、
これは数学の微分！

v ＝ ｄX / ｄｔ

速さを加速、または、減速：
このような運動を表す⇒加速度a
加速度 : v の時間変化

a = dv / dt
t – v のグラフを描くと、a は各点の接線（傾き）
v と a の関係は？
v= dX / dt だから ⇒ a = dv/dt = d2X / dt2

使うと便利！)
微分と積分 ((使うと便利！)
微分と積分は逆の関係
微分は傾き(接線）
積分は面積v - ｔ グラフ
速さｘ時間 ⇒ 進んだ距離（面積）距離、速さ、加速度の関係
距離－（微分）→速さ
速さ－（微分）→加速度
加速度－（積分）→速さ
速さ－（積分）→距離

dx
dv d 2 xv= , a=
= 2
dt
dt dt
v = ∫ a dt, x = ∫ vdt = ∫∫ adt

運動は速度と加速度で表される。
微分や積分を使うと、運動を表すのが簡単

2

今日のPOINT
落体の法則
v = g t, h = (1/2) g t2
速さ v
v = ｄｘ / ｄｔ
加速度aa = dv / dt = d2x / dt2
落体の法則に適用すると高さ h が落下方向の距離なので
v = dh / dt
= d{（1/2)gt 2} / dt

v=gt
また、落下運動の加速度は

a = d v / dt = g(定数gは加速度！)物理は科学研究の基礎
21世紀に挑戦（Ｂｅ Ａｍｂｉｔｉｏｕｓ！）

北海道大学大学院水産科学院

‡

制限資料

Come Back Herring !

例題1 地上１ｋｍで雨粒が静かに落下を始めた。地上での速さは？
落下距離の式から (g = 9.8 m/s2)
h = （1/2）g ｔ ２ = 1000 m
t 2 = 2 × 1000m / 9.8m/s2 = 204.08 s2
t = 14.3 s ← 雨粒は地上まで14.3秒かかる
その時の速さｖ はv = gt = 9.8 m/s2 × 14.3 s = 140 m/s
時速になおすと（1h = 3600 s ）、140 ×3600 = 504km/h
新幹線よりも速いスピード！ ← そんなことはない！

空気の抵抗があるとしたら、どうなる？

空気抵抗を考える必要がある時

空気により、雨粒は速さ（v）に比例した抵抗力を受ける
落下中:落下させようとする力（mg）=摩擦力（ｋ v）
mg = ｋ vｔ
したがって、 vt = mg / k
計算すると、 vt = 8.9 m/s (100mを11.2秒）

基礎物理１－ 第3回 －
v = ∫ adt , x = ∫ vdt

今日のポイント●2次元、3次元の運動の表し方●投げたボールの運動

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

1

先週のまとめ


落体の法則

v=gt

(g = 9.8 m/s2)
h = (1/2) g t 2
 速さ、加速度の表し方

v = d ｘ / dt
加速度 a = d v / dt

速さ

積分を使うと

v
x

=
=

∫

t
adt
0

∫

t
vdt
0

2

§5 二次元、三次元の運動

これまで ： 直線上（1次元）の運動
位置、速さ、加速度で運動を表す。

● 一般に、平面（２次元）、空間（3次元）の運動は？
平面（２次元）： ｘｙ座標系で

位置 ｒ ＝（ｘ、ｙ）

空間（3次元）： ｘｙｚ座標系で 位置 ｒ ＝（ｘ、ｙ、ｚ）
速さは「大きさ」と「方向」をもつ⇒ 速度（velocity） v = dr / d t

加速度(acceleration) a : a = d v / d t3位置ｒ、速度ｖ、加速度a：「大きさ」と「方向」をもつ⇒ベクトル成分で表すとV = (Vx, Vy, Vz)= (dX / dt, dy /dt, dZ/dt )a = ( ax, ay, az )= dV / d t= ( dVx / dt, dVy/dt , dVz/ dt )4§６ 投げたボールの運動

ボールやスペースシャト
ルはどのような軌跡を描
いて飛ぶだろうか？
丘の上からボールを投げる（ける）と？
ボールの運動 ⇒ 平面内
直線的に落ちる落下運動と違う。
下（垂直方向）と横（水平方向）も！
5

ボールの運動は？

まず、よく観察しよう ⇒ 実験１● ボールはどう落ちる？
ストロボ写真で調べよう

落下とどこが違うのか？
落下距離は：⇒ 同じ
横の距離は：⇒ 違う
横方向の運動：どのように違う？
6

平面の運動は複雑？

－Galileoのアイデア－

水平方向（x軸）と鉛直方向（y軸）の二つの運動に分解
鉛直方向：「落体の法則」に従う

y＝½ g t2vo)で運動

水平方向：同じ速度(

x ＝vo t●これだとよく実験を再現
7

道筋（軌跡）はどのような曲線？


二つの式から ｔ を消去

t=x / Vo を 代入

y = ½ g t 2 =½ g (x / Vo)2=k

x2

ただし、k = ½ g (1/Vo) 2


この美しい関数 → 放物線
ボールは放物線を描きながら落下！
Voを大きくすれば、遠くまで届く
8

ボールを投げ上げるときは－応用問題－


ボールを角度Θで投げ上げる場合を考えよう
投げる方向： x 軸 →Vo cosΘの一定速度で運動
垂直方向： y 軸 →初速度Vo sinΘ＋加速度g
で落体の法則に従う。
9

Galileoの運動の分解法で考えてみよう！


x軸方向： Vo cosθx = ∫ Vo cosθ dt = (Vo cosθ ) t
y軸方向：重力による加速度(– g)Vy = ∫ – g d t= – g t + Constant= – g t + Vo sinθy = ∫ Vy dt= - ½ g t 2 + Vo sinθ t
10

これだけ分かると運動はOK！


色々な角度で投げたときでも、

11

運動をマスターした人にクイズ！
どのボールが一番速く到着する？
－ 佐藤さんの実験 －まとめ
初速度Vo = ( Vo cosθ, Vo sinθ ) で投げられた物体の運動
Vx = Vo cosθVy = Vo sinθ – g t

x = xo + Vo cosθ t
y = yo + Vo sinθ t - ½ g t 2
ポイント：運動を分解して考える
12基礎物理１－ 第4回 －
前回までの講義スライド
http://socyo.high.hokudai.ac.jp/BP07/BP07.html●今日のポイント－Ｎｅｗｔｏｎの運動の三法則
力と運動方程式
慣性の法則
作用・反作用の法則

先週の復習－運動の基本的な理解－● 運動をどのように表すか？ － 時間と空間

位置(r )、速度(v)、加速度(a)v = dr /dt,
⇔ r = ∫v dt
a = dv/dt = d2r/dt2 ⇔ v = ∫a dt
z

2次元、3次元の運動は「鉛直方向」と「水平方向」に分解して考える事が出来る。
z

でも、自然ではなぜそのような運動をするのだろうか？

Ｃｈａｐｔｅｒ ２

Ｎｅｗｔｏｎの運動の三法則
z 運動の仕方：どのように？ → なぜ？
z 運動を引き起こす原因は何？

⇒ 力（Force, F）
速度を加速させるほど ⇒ 力（Force, F）
重い物を動かすほど

z 物の状態を変化させ、運動を起こすには力が必要F∝ ma(m : 質量）私たちの経験と一致する

Ｎｅｗｔｏｎ : 運動法則を体系化

z

物の性質：同じ状態を続けようとする〔慣性の法則：第一法則〕

z

第2法則： 力の定式化
Fとmaの間の比例係数=１とし力を定
量的に定義

Ｆ＝ma

[N]

= kg m / s2

運動方程式
z

(運動の時間発展を記述）
感覚（定性的な量)から定量化（万人に共通な科学へ）Newton

力と運動方程式z 力の単位Ｎ(ニュートン） : Ｎ ＝ kg m/s2z 物理の基本単位： Length (m), Mass (kg), Time (s)z 運動方程式を微分で表すとF = m a = m d 2 r / dt2成分で表すと（ Fx = m d2x/dt2, Fy = m d2y/dt2, Fz = m d2z/dt2 ）自然界の4つの力

重力：万有引力、 全ての粒子間に作用、惑星の運動
電磁気力： 電荷に比例。原子、分子を作る（重力は電磁気力の１０－３８）

弱い力： 電磁気力の１０－３．極めて短距離でのみ作用,中性子やπ中間子などの崩壊の始まりに係わる。ベータ崩壊
強い力: 電磁気力の100倍、クオークを結び付け陽子、中性子を作る

なぜ、力が4種類も必要か？
⇒統一的に理解できないだろうか？（現代物理学の課題）

具体的な例：バネによる単振動(教科書ｐ.２9）
力を何も加えない時の球の位置：原点(O)z 球を引く⇒ 元に戻ろうとする力z 球を押す⇒ 元に戻ろうとする力F = - k x+ p x 2 + q x 3 + s x 4 + ‥(フックの法則）
復元力F ：原点からの伸縮の長さ

そうるすと、運動方程式は？

x に比例

運動方程式を立ててみる

球に働く力: F = - k x なので、運動方程式に代入2d x
F = m 2 = −kxdt

よく出る方程式

この方程式（微分方程式）はどのように解く？

x がt とともにどのように変化？

⇒ 球の位置

実験で微分方程式を解く
周期的に振動する解 ⇒ sin, cos
x = sinωt を代入してみる
d sin t= cos t ,dt
d cos t= − sin t
dt
d sin α t
= α cos α t ,dt
d cos α t
= −α sin α tdt

d 2x
d ⎛ dx ⎞d ⎛ d sin ωt ⎞m 2 =m ⎜ ⎟ =m ⎜⎟dt
dt ⎝ dt ⎠dt ⎝ dt ⎠dd cos ωt
= m (ω cos ωt ) = mωdtdt2
= −mω sin ωt ← − k sin ωt

ω2 = k/m とすれば、確かに解になっている。

同様に B cosωt も解
2
2
=
A
+
B
cos(ωt + φ )そうすると、 A sinωt +B cosωt
性質：解の重ね合わせ（線型性）

Θ＝ωｔ＋Φ ：位相(phase)
Φ：初期位相ω：角速度（角振動数）
微分を2回して元に戻る関数
指数関数

e iωt

( i2 = -1)e iωt = cosωt + i sinωt振 動 － 自然に良くみられる運動z 繰り返す周期的な運動

波、音、電波、光、振り子、結晶中の原子
惑星の運動、円運動（x方向+y方向振動の合成）

x = Rcosωty = Rsinωt
角度θ=ωｔが時間とともに進む(円運動）（x = v t との類似性からωを角速度という）§2 Newtonの三法則
z 第一法則（慣性の法則）z「外から力を加えなければ、物体はその状態をとり続ける」

z

運動方程式で考えるとz

F = ma = m dv /dt
F =0よりdv / dt =0 となるので⇒v は t に不変（速度vは時間がたっても変わらない）

第三法則 ー 作用・反作用の法則「物体１が物体2に作用すると、反対向きの反作用を受ける」

応用：直線上でビリヤードの球が衝突（カーリング）F = m dv/dt = d(mv)/dt
運動量P≡mv を導入
F = dP/dt ⇒ ΔP = FΔt 〔力積〕
●１が●2に短時間Δt 衝突●１： 運動量がP1からP1’へ●２： P2 から P2’
球の運動量の変化ΔPは？
●1 ΔP1= P1’ － P1 ＝ FΔt●2 ΔP2= P2’ － P2 ＝－FΔt
両式の和をとりP1 + P2 = P1’ + P2’（衝突前後で運動量は不変）⇒運動量保存則

反発係数： 完全弾性衝突と非弾性衝突

z ボール１（速度v）とボール2 (速度Ｖ）が衝突した。このとき、運動量保存則は成立するが、z 運動エネルギーが失われない時：完全弾性衝突
z 摩擦などで失われる時：非弾性衝突
z e (反発係数)

V’ – v’ = - e (V – v)
e=1 (完全弾性)、 e=0 (完全非弾性）例題：直線運動のカーリングz

20Ｋｇのストーンを４０ｍ先のハウス中央に止まっている
ストーンに向けて初速度3m/sで投げた。
完全弾性衝突（e=1)とe=0.7の時、止まっていたストー
ンはどのような動きをするか？

解：運動量保存則と反発係数の式が必要。
まず、教科書(2.12)式と(2.13)式から(2.14)式を出してみよう。
e＝１の時： Ｖ‘， ｖ’は？
e=0.7の時： Ｖ‘とv’は？
を考える。

今日のPoint－運動の法則
z Ｎｅｗｔｏｎの運動の三法則

第１法則： 慣性の法則
第2法則： 運動方程式 F = ma
第3法則： 作用・反作用の法則
d 2x
2
微分方程式
=
−
ω
x
x = A sin(ωt + φ )2dt●運動量（P=mv）, 力積（FΔt)●運動量保存則

基礎物理１－ 第５回 －
前回までの講義スライド
http://socyo.high.hokudai.ac.jp/BP07/BP07.html●今日のPOINT:
運動量とその保存則
作用・反作用の法則

先週の復習－Newtonの運動の法則－● 第一法則：慣性の法則
慣性(inertia)という性質（同じ状態であろうとする性質）z

第2法則：運動の法則
F ＝ ｍ ｄ２ ｒ / ｄ ｔ ２
m: 質量(mass)z

ばね：フックの法則

F= -kx微分方程式： md2x /dt2 = -kx
x = αcos(ωｔ + φ）

Ｎｅｗｔｏｎ : 運動法則を体系化

zNewton：力の定式化

z 第2法則Fとmaの間の比例係数=１とし力を定量的に定義

Ｆ＝ma

[N]

= kg m / s2

運動方程式
(運動の時間発展を記述）
z 感覚（定性的な量)から定量化（万人に共通な科学へ）バネによる単振動 (教科書ｐ.２9）←-kx
力を何も加えない時の球の位置：原点(O)z 球を引く⇒ 元に戻ろうとする力z

球を押す⇒ 元に戻ろうとする力

F=-kx(フックの法則）

2dx
そうるすと、運動方程式は？ F = m
= −kx
2
dt

ω2 = k/mとおくと解は⇒

A sinωt, 又は B cosωtAsinωt, B cosωt も解
2
2
=
A
+
B
cos(ωt + φ )そうすると、 A sinωt +B cosωt
性質：解の重ね合わせ（線型性）

Θ＝ωｔ＋Φ ：位相(phase)
Φ：初期位相ω：角速度（角振動数）
微分を2回して元に戻る関数
指数関数

e iωt

( i2 = - 1)e iωt = cosωt + i sinωt振 動 － 自然に良くみられる運動z 繰り返す周期的な運動

波、音、電波、光、振り子、結晶中の原子
惑星の運動、円運動（x方向+y方向振動の合成）

x = Rcosωty = Rsinωt
角度θ=ωｔが時間とともに進む(円運動）（x = v t との類似性からωを角速度という）§４ Newtonの第三法則－

作用反作用の法則－

z 第一法則（慣性の法則）z「外から力を加えなければ、物体はその状態をとり続ける」

z

運動方程式で考えるとz

F = ma = d(mv) /dt
外からの力F =0より

d(mv） / dt =0となるので⇒mv は t に不変
このｍｖを運動量（momentum)といい、pと表す（mvは時間がたっても変わらない－同じ速度をとり続ける）

第三法則 ー 作用・反作用の法則「物体AからBに力を作用すると、反対向きの力（反作用）を受ける」

A
B

運動量P≡mv 、 〔力積〕 ≡ FΔt
F = dP/dt ⇒ ΔP = FΔt応用：直線上で球が衝突 （ビリヤード、カーリング）
運動量P≡mv 、F = dP/dt ⇒ ΔP = FΔt 〔力積〕

●１が●2に短時間Δt 衝突●１： 運動量がP1からP1’へ●２： P2 から P2’
球の運動量の変化ΔPは？
●1 ΔP1= P1’ － P1 ＝ FΔt●2 ΔP2= P2’ － P2 ＝－FΔt

両式の和をとるとP1 + P2 = P1’ + P2’（衝突前後で運動量は不変）⇒運動量保存則

反発係数： 完全弾性衝突と非弾性衝突
z ボール１（速度v）とボール2 (速度Ｖ）が衝突した。
このとき、運動量保存則は成立するが、z 運動エネルギーが失われない時： ⇒完全弾性衝突
z 摩擦などで失われる時：⇒非弾性衝突z e (反発係数)

V’ – v’ = - e (V – v)
e=1 (完全弾性)、
e=0 (完全非弾性）

例題：教科書(2.14),(2.15)式から（2.16)式を出しなさい例題2：直線運動のカーリングz

20 Ｋｇ のストーンを1０ｍ先のハウス中央に止まっているストーンに向けて初速度 3 m/s で投げた。
e=1 と、 e=0.7の時、衝突後のストーンのそれぞれの速度は？

解：運動量保存則と反発係数の式が必要。
教科書(2.16)式と(2.17)式を用いてe＝１の時： Ｖ‘， ｖ’は？
e=0.7の時： Ｖ‘ と v’ は？

今日のPoint－運動の法則
z Ｎｅｗｔｏｎの運動の三法則

第１法則： 慣性の法則
第2法則： 運動方程式 F = ma
第3法則： 作用・反作用の法則●運動量（P=mv）, 力積（FΔt)●運動量保存則●反発係数e●衝突の問題⇒完全弾性衝突、非弾性衝突

基礎物理学１
基礎物理学１第第 ６
６ 回
回－円運動と重力（万有引力）－－円運動と重力（万有引力）－

今日のPoint
円運動と林檎の落ちる訳
万有引力の法則

先週のＰＯＩＮＴ
Newtonの三法則●慣性の法則：外力が作用しないとそのままの状態を保つ。
●運動方程式：F=mdv/dt =md2x/dt2(t と共にどのように運動するかを表す方程式)●作用反作用の法則
運動量p＝mv（勢い）、力積FΔt（衝撃）
運動量保存則：球の衝突前後で運動量不変§1 円運動
昔の説（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ）：地上は直線運動が起こり、天上はより完全な円運動に従う。 本当？
円運動を考えてみよう！

ボールを一定速度で回転（等速円運動）

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

速度：大きさは変わらず
角度のみ変化→加速度a

もし糸が切れたら？

ボールは接線方向飛び続けようとする！
距離: S = Rθ
速度：v=ds/dt=Rdθ/dt =Rω(ω=dθ/dt :角速度）

速度変化：Δv

Δv ≈ vΔθ
加速度：aa = dv/dt = vω=Rω2
（方向は中心方向）

円運動に働く力 : F = ma = m v2/R

別な観点から考えてみよう
微小な角度θ回転：
球はＡから速度vでＢへ（実際はＣ）
球はＢから距離Ｓだけ落下（落体の法則から）
1 v2 2t
2 R
なので、２式を比較す ると
S ≈ R 2 + (vt ) − R ≈
2

a=

v2
R

vt
2
1
v
S ≈ R 2 + (vt ) − R ≈t 2 だから
2 R
1 2
落体の法則 s = gt と比較すると
2
v2
a=
R
2

R

円運動では中心方向に
F= - mv2/R = - mRω2
円運動も地上の直線運動と同じくNewtonの運動の法則に従って理解できる。

v=Rω
ω = dθ /dt
a = v 2/R (= R ω 2)
F = ma
天上の円運動である惑星の運動もNewtonの法則で理解できる§3. 万有引力の法則
1687年 Ｎｅｗｔｏｎ 「Ｐｒｉｎｃｉｐｉａ」を発表
力学の体系を確立 ⇒ 科学の規範
二つの物体が距離Ｒ離れているとき、mM
F = −G 2
R（Ｇ = 6.67259×10-11 Nm2/kg2）の引力が働く。
これを万有引力の法則、Ｇを万有引力定数という。

例題2.2 地球と月の運動
惑星の運動を調べ、そこに働く力を考える。
これまで、Ｆ＝ma(運動方程式)から運動を調べた。
反対に惑星の運動から、両者に働くＦ を求めよう！
惑星の運動：Keplerの法則 （長年の観測結果）
周期：１回転に要する時間
第3法則：Ｔ２＝ｋＲ３

惑星の軌道を円と考える:１周期Ｔで２πＲを運動
T=2πR/v ⇒ T2=4π2R2/v2

v2 = 4π2/ kR

円運動の式に代入
F = - mv2 / R = - 4π2m / kR2
これが月に働く力：月の質量mに比例、R2に反比例
ここで、作用・反作用の法則を思い出すと、同じ作用(力）が地球にも作用する筈

地球(質量M)に作用する力
F = - 4π2M / k’R2という解になるはず両者がみたされる解は？

mM
F = −G 2R

月や惑星の運動もNewtonの運動法則で理解される。（一つの法則で統一的に理解）
そうすると、
地球上のりんごは？
万有引力：地球とりんご(m)にも作用（地球とりんごの距離＝地球半径Ｒ）
F = - GmM/R2= - m (GM/R2)
重力加速度 g = (GM/R2) とすれば、、、、、

私たちの良く知っている F = - mg

ＧＭ／Ｒ２を実際に計算してみる！

GM 6.67259x10-11x5.974x1024=2(6.378x106)2
R= 9.8 m/s2
GMR2

これは、落体の実験から求めた重力加速度g
地上で物が下に落ちるのは、万有引力のため！
惑星の運動もりんごが落ちるのも同じ原因！
Ｎｅｗｔｏｎの法則で理解できる
月や火星の重力加速度はいくら？

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた「ニュートンのリンゴの木」についての記事を省略させて頂きます。

基礎物理学１－第7回－
前回までの講義スライド

http://socyo.high.hokudai.ac.jp/
BP07/BP07.html

今日のＰｏｉｎｔ
仕事とエネルギー
科学者、哲学者。Ｅｎｅｒｇｙの概念を提案

先週のPoint 等速円運動：前回までの講義スライド
http://socyo.high.hokudai.ac.jp/
BP07/BP07.html

速度の大きさは同じで、方向が変化
加速度がある → 力が働いている
v=Rω
 回転の加速度 a = v2/R = Rω２
 円運動に必要な力 F = ma = m v2/R
 速度

 では、地球の周りを円運動する月に働く力は？

Ｆ＝ - GmM/R2(万有引力の法則）

g＝ＧＭ/Ｒ２＝９．８０

重力の原因応用：円運動と遠心力
 円運動：向心力、円運動をしている物体には遠心力が働く（テキストp.４５）

m v2/R‡

制限資料

江差町役場HPより

振り子式：カーブを滑らかに走行
85 km/h (直線は130km/h)

ｍｇ

地球の自転 ： 地上の私たちも遠心力を受けている

§1 仕事って？
 仕事（Work）,

エネルギー（Energy）は良く聞く言葉！
「将来どんな仕事をする？」、「エネルギー危機」

 荷物を運ぶ⇒重いものを長い距離運ぶ⇒今日は疲れるほど仕事をした！
仕事Ｗの定義：力×移動距離
W=FS

力はベクトルなので、動かしたい方向と別方向にＦを加えても駄目！
移動方向と角θでＦ を加えると？
Ｗ= FScosθ
ベクトルの内積を用いるとＷ＝ Ｆ ・Ｓ

力が場所で変わる場合
W = ∫Ｆ ｄ ｒ
仕事の単位：J（ジュール）=Nm = kgm2/s2（1J=1Nの力で１ｍ移動するときの仕事）例題４.1 物を高さｈ持ち上げるときの仕事は？
 垂直に引上げるとき重力－ｍgに逆らい、力F=mgで引上げる
Ｗ= Fh = mgh
 角度θの斜面を利用するとき
重力の斜面方向成分（-mg）sinθ
斜面の移動距離 h/sinθ
Ｗ＝ mgsinθ×h/sinθ

仕事率（Power)

P = W/t [W]
単位はW〔ワット）２．運動エネルギーとポテンシャルエネルギー エネルギー：仕事をする能力
 高さｈ持ち上げる(W=mgh)

手を離す⇒仕事mghをする能力
 高さに関係するエネルギー：

Potential Energy (mgh) 落下途中：高さが減少←エネルギーが減る？
落体の法則： v が増加⇒運動エネルギー （½mv2）←なぜ？

運動方程式を詳細に調べる
 運動方程式（F= ma = m dv/dt ）から

Ｗ＝∫F dr v=dr/dt , F=m(dv/dt) なので
Fdr = Fvdt = m （v dv/dt) dt
2
dx
dx
= 2x
vdv/dt = ½d(v2)/dt を用いると
 仕事Ｗは

dt

dt

d ⎛1
2⎞
W = ∫ ⎜ mv ⎟ dt
dt ⎝ 2
⎠
to
t

⎛1
2⎞
= ∫ d ⎜ mv ⎟
2
⎠
vo ⎝
v

1
1
2
= mv − m v o 2 ½mv2：運動エネルギー22t=0の時の速度vo, vo=0 なら W =(1/2)mv2

落下運動の例: 運動方程式から考えてみよう⇒ Ｆ = ma = - mg なので 運動方程式F=mdv/dt=-mgの両辺にv を掛けて

vF = mv (dv/dt) = -mgv
½md(v2)/dt = -mg dz/dt
d(½mv2) = d(-mgz)/dt
 移項して整理d(½mv2 + mgz )/dt = 0
運動エネルギーとPotential エネルギーの和は保存される(エネルギー保存則）

例4.2 落下運動のエネルギー変化
 質量ｍのボールを高さｈから落下させる

このときのエネルギー変化は？
 （１）t=0でボールは高さz=ｈ の位置
U = mgh
K=0 (v=0なので）
 （２）落下からt秒後： v=gt, z=h-½gt2
U=mg(h - ½gt2), K=½m(gt)2
 (3)机に落下： v=gt =g√2h/g, z=0
U=0, K= ½mv2

U+K＝一定今日のPoint （１）仕事（Work）:力Ｆを加えて物をＳ移動

Ｗ＝ Ｆ・Ｓ ＝ FScosθ(いくら力を加えても移動しなければ仕事をしたことにならない）

結果をだせ！

：仕事をする能力

 （２）Energy（能力であって、仕事をするしないに無関係）

運動エネルギー K=½mv2
ポテンシャルエネルギー U=mgh
 (3)エネルギー保存則 Ｋ＋Ｕ＝一定

基礎物理学１－ 第8回 －

今日のPoint
エネルギー保存則
ポテンシャルと力先週の復習
先週の復習（１）仕事（Work）:力Ｆを加えて物をＳ移動
Ｗ＝ Ｆ・Ｓ ＝ FScosθ(いくら力を加えても移動しなければ仕事をしたことにならない）

結果をだせ！

（２）Energy：仕事をする能力（能力であって、仕事をするしないに無関係）

運動エネルギー K=½mv2
ポテンシャルエネルギー U=mgh(3)エネルギー保存則 Ｋ＋Ｕ＝一定

例4.2 落下運動のエネルギー変化
質量ｍのボールを高さｈから落下させる
このときのエネルギー変化は？
（１）t=0でボールは高さz=ｈ の位置
U = mgh K=0 (v=0なので）（２）落下からt秒後： v=gt, z=h-½gt2
U=mg(h - ½gt2), K=½m(gt)2(3)机に落下： v=gt =g√2h/g, z=0
U=0, K= ½mv2

U+K＝一定§3 力学的エネルギー保存則
保存力：力を加えて仕事をする⇒
経路に依らず、始点と終点の位置だけで決まる。
バネによる力、重力、万有引力など

力 F ⇔ Potential Energy U
保存力の場合、⎛ ∂U ∂U ∂U ⎞⎟⎟
F = − ⎜⎜,,⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠= −∇ U偏微分？ ここで覚えよう
Uは x, y, z の関数 ⇒ U(x, y, z)
微分はその位置での傾き
X方向の傾きは？

y、z は定数とみなして x で微分Ｙ方向の傾きＺ方向の傾き

∂U
∂y

∂U
∂z

∂U
∂x

例： 偏微分の計算例
U = x2 + y2 + 3xyz +2yz
偏微分を求めてみよう！
y , z を定数とみなすと、∂U= 2 x + 3 yz∂x
y の偏微分は x , z を定数とみなして∂U= 2 y + 3 xz + 2 z
∂y
同様に
∂U
= 3 xy + 2 y∂z

力はポテンシャルエネルギーＵの傾き⎛ ∂U ∂U ∂U ⎞⎟⎟,,
F = −⎜⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠= −∇ U

逆に言うと、力を積分すればポテン
シャル・エネルギーが得られる

バネや振り子 : 単振動の場合 U=1/2kx2

万有引力をもたらすポテンシャルは?
万有引力の法則はF = - GmM / r2
( F = -∂U / ∂ r )なので、Ｕを求めると良いから
U = - ∫Ｆdr
1
1
2)dr
=
−
dr
=
GmM
∫
(1/r
∫ r2
r
= -GmM / r

万有引力を与えるＵは（１/ ｒ）の関数
単位質量あたりのＵ⇒重力ポテンシャル

Φ = - GM/r

例：振り子の単振動
長さℓの糸につながれた重り
位置 ℓθ
速さ ℓdθ/dt
加速度 ℓd2θ/dt2
運動方程式
F = mℓd2θ/dt2 = - mg sinθd2θ/dt2 = - (g/ℓ) θ =−ω2θ
d 2x
2
=
−
ω
x
2
dt

バネの運動と同じ運動方程式⇒ 単振動 （sinωt, cosωt)振り子の運動を調べる
角速度（角度の進む速さ）ω
周期（一周するときの時間）Ｔ
Ｔ＝ ２π/ω
= 2π√（ℓ/g）⇒重力加速度 g = 4π2ℓ /Ｔ２
振り子の周期を測定すると重力加速度が分かる
逆に、、、周期 T がちょうど １ 秒になるには、ℓ の長さは？

実験をしてみよう
1周期の時間を測る？
20周期の時間を測定して 2０で割るℓ＝２．27 ｍ なので

ｇ = ??? m/s2

g=9.8048 m/s2

ついでに、地球の質量Ｍを計算しよう！
ｇ＝ＧＭ／Ｒ２なので

M=5.974x1024 kg

Ｍ＝gR2 / G = ??? kg今日のまとめ
保存力とエネルギー保存則
力を与えるポテンシャルエネルギーＵ
Ｕのグラフ下で、物体の運動
振り子の運動⇒単振動
振り子の実験でｇを求める
地球を測る

私たち人類は数千年かけて、やっと自然の真理に触れることができたのである。

基礎物理 I第５章 惑星の運動
角運動量とその保存則
力のモーメント、
慣性モーメント
ケプラーの三法則-９回目-

先週のPoint
保存力とエネルギー保存則
力を与えるポテンシャルエネルギーＵ
Ｕのグラフ下で、物体の運動
振り子の運動⇒単振動
振り子の実験で重力加速度gを求める
地球の質量Ｍを測る

§1. 角運動量とその保存則
惑星の運動：Newtonの三法則で理解できる万有引力のもとで運動：角運動量が保存（したがって、平面の運動を考えるとよい）

惑星は古代から回転運動をし続けている。
回転運動を維持する特性：角運動量という概念

角運動量:半径ｒ、速度vで回転する（質量ｍ）とき、

角運動量：L ＝ r× P （Lは回転軸方向を向く）
運動方程式 F = ma = dP / dt
回転を表す L の時間微分を調べてみよう

外積の定義 の復習（p.317）
内積
A・B = ABcosθ, A・A = A2
A・B = B・A
外積
A×B : 大きさABsinθ
(方向AからBへ右ねじを回すときの進行方向)
A × B = - B × A, A × A =0

dL/ dt = (dr / dt ) × p + r × (dp / dt)+ r×F= m v×v=r×F= N(力のモーメント, またはトルク)

もし、N=0ならば、Lは時間によらず一定 (保存)
今、Fは万有引力なので、
F = - (G Mm/ r３ ) r
Fの方向は ｒ と同じ → r × F = 0
角運動量Lは保存 （宇宙のはじめから未来永劫一定）
一般に回転運動の時、力Fは中心方向：⇔ Lは保存

簡単な問題例
同じ力Ｆでレンチを回した。一番良く力のモーメント（トルク）が加わるのはどれ？

回転運動ではLは一定（回転軸を保ち続ける性質）
惑星の運動： 回転軸を保ったまま、ｒ と P の張る平面内で回転を続ける。
地球の自転： 〈潮汐現象は自転の抵抗〉
摩擦などの非保存力がない限り、一度回転したら回転しつづける
ジャイロスコープ（目印のない闇夜の航行の指針）
自転車 （２輪車なのに倒れない理由）
こままわし

例題

カーブを曲がる車の角運動量

車（1500kg)が v =40 m/s, R=50mの円形コースを走るときのLは？
L=r×p
r と v はθ=90°なので
L = r mv sinθ
= 50m × 1500kg × 40m/s= 3 × 106 kgm2/s（車は半時計周りのとき、向きは垂直上向き）

慣性モーメント
今まで、物体を点と考えた（質点）
惑星や円盤：大きさのある物（剛体）の運動
Hard Disk (HD)のような円盤の運動は？
v = Rωなので、円盤のvはRで異なる⇔不便
回転運動は角速度ωを用いたほうが便利
回転運動の運動エネルギーKはK = (1/2)mv2 = (1/2)mR2ω2 = (1/2)( mR2)ω2= (1/2) Iω2
回転運動での質量に対応する量 I （慣性モーメント）

質点系と剛体系の対応
質量ｍ ⇔ 慣性モーメント I
速度 v ⇔ 角速度ω
運動量ｐ ⇔ 角運動量 L
運動量 P
角運動量L

P = mv
L = Iω

一般には I = Σmi ri2 = ∫r2dρ惑星の運動ー 歴史的意味
アリストテレス

宇宙と地上の法則？
地球は宇宙の中心。宇宙が回転している。宇宙は球体で完全な世界→ 地球は自転しながら太陽のまわりを回る。
（コペルニクス革命）

自然界は同じ（簡単な）法則のもとに成立

惑星の運動
ーケプラーの法則ー
１．惑星は太陽を焦点とする楕円上を運動
２．惑星と太陽を結ぶ線が一定時間に通過する面積（面積速度）は一定。
３．惑星の公転周期の二乗は，軌道の半長軸の三乗に比例Keplerティコ・ブラーエによる測定を活用

３．公転周期の二乗は，軌道の半長軸の三乗に比例今日のＰｏｉｎｔ
角運動量 Ｌ＝ｒ×ｐ
保存力なら、角運動量は保存される力のモーメント Ｎ ＝ｒ×Ｆ
慣性モーメント Ｉ＝∫ｒ２ｄρ

長年にわたる観測結果：Keplerの法則
１）惑星は太陽を焦点とする楕円軌道
２）面積速度一定（角運動量保存）
３）惑星の公転周期TはR３（半長軸）に比例
この３法則はNewtonの法則で説明できる。
（人工衛星はNewtonの法則で計算される）

基 礎 物 理 学I
-第10回-

今日のPoint : 惑星の運動の理解§3 惑星の運動§4 ケプラーの第二法則
面積速度一定§5 ケプラーの第一法則
楕円軌道

J. Kepler§6 ケプラーの第三法則
周期T2∝長半径a3-2-前回の復習♦ 角運動量保存則 L = r×ｐ （惑星の運動にも適用）♦ 力のモーメント （トルク） N＝ ｒ×F♦ 慣性モーメント I （＝Σmi ri2 =∫r2 dρ)♦ 外積 A×B : ABsinθ，方向AからBへ右ねじを回すときの進行方向
A × B = -B × A, A × A = 0 ,A × 0 =0B

A
-3-

惑星の運動ー 歴史的意味
アリストテレス♦ 宇宙と地上の法則？
♦ 地球は宇宙の中心。宇宙が回転している。宇宙は球体で完全な世界♦ → 地球は自転しながら太陽のまわりを回る。
（コペルニクス革命）

自然界は同じ（簡単な）法則のもとに成立-4-

惑星の運動
ーケプラーの法則ー

１．惑星は太陽を焦点とする楕円軌道を運動
２．惑星と太陽を結ぶ線が一定時間に通過する面積（面積速度）は一定。
３．惑星の公転周期の二乗は，軌道の半長軸の三乗に比例
J. Kepler

Ｔｙｃｈｏ Ｂｒａｈｅによる測定データを解析-5-

３．公転周期の二乗は，軌道の半長軸の三乗に比例-6-ケプラーの第二法則
rとvの外積： rとvが張る平行四辺形の面積
面積速度
S=（1/2)(r×v)=L/(2m)（ここで、Lは一定なので）= 一定(Keplerの第２法則)
7ケプラーの第一法則


惑星の運動は平面なので、2次元（x、y）での運動を考えればよい(5.14)式 m(d2r/dt2 ) = - GMm/r2
r = (rcosθ, rsinθ) なので、速度vは

r dr
dθ r
dθ r drv = ( cos θ − r sin θ)i + ( sin θ + r cos θ
)j
dt
dt
dt
dt

L=mr2θ’ になるので、それを用いると加速度aは、
ax = (r” – L2/m2r3)cosθ
ay = (r” – L2/m2r3)sinθ
よって、d2r/ dt2 = (r” – L2/m2r3) = - G M/r2

8

運動方程式：d2r/ dt2 = (r” – L2/m2r3) = - G M/r2
u = (1/r) – GMm2/L2 とおくと
d2u/dθ2 = - u
これは、前に出てきた微分方程式 ⇒ cos, sin
整理すると、、、、(1/r )= Acos(θ –θo) + GMm2/L2
r = 1/(Acos(θ-θo) + GMm2/L2)= ro/(1 + ε cos(θ- θo))
このεは離心率といい、ε<1 のとき楕円になる-9-θο=0なら、結局

r0
r=
1 + ε cos θ

これは楕円軌道の式
P
F1a

近日点の距離abF2aεa(1-ε)r0= a(1 − ε )1+ ε

遠日点の距離r0= a(1 + ε )
1− ε

-10-

ケプラーの第三法則 T2∝a3
楕円の面積はπab、毎秒L/2mの面積を掃過
周期

2πabm
T=
L

楕円の性質から 2a = F1 P + F2 P
P
F1
a

b

a
F2
aε a(1-ε)r0
r0
r0 (1 − ε + 1 + ε )
2r0
+
=
2a =
=
2
1+ ε 1− ε
1− ε
1− ε 2
L2
r0 =
GMm 2

L2
a (1 − ε ) =
GMm 2
2

-11-

楕円の焦点は（±aε,0）

a2=b2+a2ε2, b2= a2(1-ε2)L2
a (1 − ε ) =
GMm 2
2

2πabm
T=
L

(2πab) 2 m 2
a
4π 2 32= (2πab)
=
T =
a
2
2
L
GMb
GM
2

P
F1
a

周期T2∝長半径a3
a

b

F2
aε

に代入して

b2
L2
=
a GMm 2

この関係は偶然ではなかった

a(1-ε)-12-このような美しい体系:
自然は単純な法則で成立♦ スコラ哲学（ビュリダン）♦ インペトゥス理論（オレーム他、14世紀）

運動は制止するものが無い限り継続♦ 天球の回転について（N. Copernicus）♦ 望遠鏡と観測器具の発明・進歩（Tycho Brahe，J. Kepler，G. Galilei）♦ 微積分の発見（I. Newton，G.W. Leibnitz）

Newtonによって、初めて本質が理解された-13-

基 礎 物 理 学Ⅰ
-第11回：振動波動（Wave)
媒質：波を伝える物質（媒質の各点は単振動）1
単振動
2,3 1次元の波動
4,5 波動としての音と光

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

< Today’s Point >１．単振動の例
２．減衰
３．強制振動４．共鳴（共振）前回のまとめ：惑星の運動
ケプラーの３法則→万有引力

運動方程式＋初期条件→運動が決まる
d 2r
GmM
惑星の運動方程式 m 2 = − 2dtr（初期条件：太陽系生成時に決定）
角運動量保存則：L＝一定（Kepler②）
運動方程式を解く→「楕円軌道」
:r =
a3 GM
=
2
T
4π2

（Kepler③）ro1 + ε cos(θ )( Kepler①)

「波動」の例
著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

波動：波、音、光（電磁波）波動現象の原理：通信、楽器、操船
各分野の測定装置：科学、検査、医療波動で導入された概念は日常用語として使用（干渉、共鳴、うなり、屈折、波長、偏向、減衰）

波
動
は
力
学
の
応
用

具体的現象（イメージ） 概念としての把握 数学的表現

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

単振動のバネモデルー平衡位置ー
力の釣合った位置（エネルギー最小）から
の微小変位
復元力：F
外力（外場）
ーバネモデル以外ー
平衡位置→？
変位→？
外力→？
置き換える

復元力

単振動の運動方程式と解（復習）d x
m 2 = −kx
dt
2

解

→

x = α sin(ω0t + ϕ )d x2= −ω0 x2dt2

α：振幅、ϕ：初期位相2πx = α sin (ｔ +ϕ) ,
T

x 0 = α sin ϕ

２π
ω０ ≡, T : 周期、Ｔ１
ν 0 ≡ : 振動数
Ｔ

ー単振動の理解に必要な概念ー
初期条件→振幅と初期位相方程式→周期(振動数・角振動数)

u

u
u0

u0 α

Ｖ＝αω
α
a=αω２

速度

加速度

単振動の速度と加速度α単振動の例ー自然界に一杯• 円運動の射影• 放物面上の球• 単振子（柱時計の振り
子、釣鐘）
• 音叉
• 結晶中の原子・分子の振動（時計）• つり橋・建物等• 電気回路の電流・電圧• 化学振動• 生命体中の周期運動

平衡状態からの微小変化：減衰、強制振動の対応現象

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた写真を省略させて頂きます。

十
津
川
の
吊
橋

単
振
子

釣り鐘
著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた写真を省略させて頂きます。

単振動の例

d 2 Q (t )dQ ( t ) Q ( t )L+R+= φ ( t ); Q ( t ); 電荷
2
dt
dt
C

Ｃ：コンデンサー容量、Ｒ：電気抵抗
Ｌ：コイル・自己インダクタンス

電
気
回
路
と
振
動
の
対
応
関
係

α

e

α

–Γｔ

減衰振動
水分子による摩擦 ⇒ 振幅が減衰●抵抗が大きい場合：減衰するだけ

減衰振動
d 2u
du
m 2 = − ku − γ
dt
dt

γ

d 2u
du
2
(Γ ≡
)→
= −ω 0 u − 2 Γ
2
2m
dt
dt

解 u = α e − Γt sin (ωt + ϕ ) ( ω ≡ ω0 − Γ 22)は方程式を充たす

1
2(−ω0 ) u = (−ω0 )[e− Γt sin(ωt + ϕ )]α
1 du(−2 Γ )= (−2 Γ )[(− Γ ) e− Γt sin(ωt + ϕ ) + ω e− Γt cos(ωt + ϕ )]α dt
1 d 2u2 − Γt− Γt2 − Γt
=
[(
−
Γ
)
e
sin
(
ω
t
+
ϕ
)
+
ω
(
−
2
Γ
)e
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
−
ω
e sin(ωt + ϕ )]
2
α dt
2

2

1 ⎛ dx ⎞ 1
減衰振動によるエネルギー : E (t ) = m⎜ ⎟ + kx 2 の減衰
2 ⎝ dt ⎠ 2
単位時間になされる仕事

dE (t )⎛ dx ⎞⎛ dx ⎞= −γ ⎜ ⎟⎜ ⎟ < 0dt⎝ dt ⎠⎝ dt ⎠数学的に解が厳密に解ける

強制振動
d 2u
du
m 2 = −ku − γ+ F sin(ωt )
dt
dt
d 2u
du
2
→ 2 = −ω0 u − 2 Γ+ f sin(ωt )dtdtu = α e − Γt sin( ω t + ϕ )( 減衰振動 ) + 強制振動解(ω 0 − ω 2 )+ χ R (ω ) f sin( ωt ) ; χ R (ω ) ≡2(ω 0 − ω 2 ) 2 + ( 2 Γ ω ) 222 Γω− χ I (ω ) f cos( ω t ) ; χ I (ω ) ≡2(ω 0 − ω 2 ) 2 + ( 2 Γ ω ) 2
ラジオやＴＶのチューニングに応用

共
鳴
・
共
振

振
動
数
が
一
致
す
る
と
大
き
な
応
答

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた著作権処理の都合で、図を省略させて頂きます。

この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

共鳴著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

人の歩行

人がこぐ

演奏する

強制振動と共振の例
電気的信号

人が押す

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

振動電場

弦の振動

十勝沖地震
著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。
（http://www.nhk.or.jp/special/libraly/04/l0001/l0118.html）

構造物にはある特定の周期の揺れに対して共振する。大きい構造物
ほど周期が長い（ω０大）
この際に石油の液面が大きく上下（スロッシング液面揺動）。ＮＨＫHP
２００４：1．18放送

長期的地震動（周期２秒以上）の発生。Ｍ８以上
で特に強く発生。
深い岩盤上に柔らかい堆積物のたまったすり鉢
状地下構造で増幅

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。
（http://www.nhk.or.jp/special/libraly/04/l0001/l0118.html）

強風下でのタコマ橋の崩壊ー共鳴現象

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた「タコマ橋」の図を省略させて頂きます。

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた「タコマ橋の崩壊」の図を省略させて頂きます。

11
2
E
=
E =
kk αα 222

運動エネルギーu 位置エネルギーu

単振動の有するエネルギー

基礎物理学 Ｉ

12回 一次元の波動ー

Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ Ｌａｓｔ Ｗｅｅｋ
１．振動の概念の復習
２．単振動の例
３．減衰する振動
４．共振〔共鳴）著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた

今日のＰｏｉｎｔ
１．波の表し方
２．縦波と横波
３．波動方程式

図を省略させて頂きます。

水
面
上
の
円
形
波

点波源の時
水の波面は円形に広がる↓‡
デジタルカメラ研究マガジン（http://www.digicame.com）よりどの方向にも同様に
円形波(三次元なら球面波）
制限資料

波源が2点なら

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

平面
波

波源が沢山あり、その１点、１点が一緒に振動波源が１列に並んでいるため
波は１列になって進む↓
平面波

波をどのように数式で表すか？

波の表し方

糸を上下に揺らして考える● sin, cosで表される

α sin{q( x − υt ) + ϕ} = α sin{qx − ωot + ϕ}2πq (=)：波数、ω：角振動数, α: 振幅oλ

波の進行

波の作図法＊P0：ｔ＝０で単振動を開始＊時刻ｔ＝T(周期）の到達点までの距離を８等分し、横軸を等間隔に並べる＊1/8T遅れてP1が振動開始＊次々に、各点（Pi）が、1/8T
遅れて振動＊波の速度：1周期Tに進む距離λv=λ/T＊x＞0方向に伝わる波：進行波

波は正弦波（sin波）で表される
波長： λu ( x , t ) = α sin{ q ( x − υ t ) + ϕ }= α sin{ qx − ω 0 t + ϕ }
q=

2π

λ

: 波数、

λ
υ＝ ：

Ｔ

波の速度

2π
ω 0 = qυ == 2πυ : 角振動数T

2種類の波 ー 横波と縦波（粗密波）

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

横波 （Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｗａｖｅ）
媒質の変位が進行方向に垂直電磁波、光縦波（Longitudinal Wave)
媒質の変位が波の進行方向と同じ
音波

音 ： 空気を媒質とする縦波（粗密波）
音速：ｖ＝331.5 + 0.6 t (t:温度℃）

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

縦波の波形の表し方

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

sin波で表される

波の性質
回折：波の回り込み現象（スリットを波源として円形状に広がるため）著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた「鳥取県皆生温泉海岸」の写真を省略させて頂きます。

干渉：シャボン玉、CD
共鳴：楽器
屈折、反射

海
の
波
の
回
折
鳥
取
県
皆
生
温
泉
海
岸

波動方程式 ： 波の運動方程式∂ u (t , x)
2 ∂ u (t , x )
=υ
2
2
∂t
∂x
2

2

（Newton の運動方程式から導き出される）

2π

2π
sin{q ( x − υt ) + ϕ} = sin{ x −t + ϕ}
T
λは波動方程式の解 λ ：波長、Ｔ ： 周期

波の性質ー重ね合わせの原理
同位相の重ね合わせ
波が強めあう逆位相の重ね合わせ
波が消える

位相が違う波の重ね合わせ- sin波の合成 -楽器によって音色が違う
ー 波形の変化はどうして起こる？

豊かな音色 ⇒ 倍音のため！良い楽器、良いスピーカー

正弦波(sin波)の重ね合わせ
4π{sin ( 2 π x )1sin ( 3 × 2 π x )31+ sin ( 5 × 2 π x )51∑n 2 n + 1 sin ( ( 2 n + 1 ) × 2 π x )}+Ｆｏｕｒｉｅｒの定理：どんな波も、正弦波の重ね合わせで表せる

基礎物理学 Ｉ - 第13回 －波動としての音と光ー
Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ Ｌａｓｔ Ｗｅｅｋ
１．波をサイン波で表す
２．偏微分
３．波動方程式

Ｔｏｄａｙ‘ｓ Ｐｏｉｎｔ
１．音速
２．音の三要素
３．電磁波としての光、偏光

波の表し方ー糸を上下に揺らす● sin, cos α sin{q( x − vt ) + ϕ} = α sin{ 2π x − 2π t + ϕ}
T
λ
で表される
λ ：波長、Ｔ ：周期,α: 振幅

波は正弦波（sin波）で表される
波長： λu ( x , t ) = α sin{ q ( x − vt ) + ϕ }= α sin{ qx − ω 0 t + ϕ }
q=

2π

λ

: 波数、

λ
v＝ ：

Ｔ

波の速度

2π
ω 0 = qv == 2πν : 角振動数T

波動方程式 ： 波の運動方程式∂ u (t , x)
2 ∂ u (t , x )
=v
2
2
∂t
∂x
2

2

2π

2π
sin { q ( x − vt ) + ϕ } = sin{x−t + ϕ}λTは波動方程式の解
λ ：波長、 Ｔ ： 周期

2種類の波 ー 横波と縦波（疎密波）

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

横波 （Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ Ｗａｖｅ）
媒質の変位が進行方向に垂直電磁波、光縦波（Longitudinal Wave)
媒質の変位が波の進行方向と同じ
音波

音 ： 空気を媒質とする縦波（疎密波）
音速：ｖ＝331.5 + 0.6 t (t:温度℃）

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

空気中の音速
空気中の音速（ｍ/ｓ）（ｍ/ｓ）と媒質中の音速の比較と媒質中の音速の比較
温度Ｔの空気中の音速：Ｖ＝３３１．５＋０．６Ｔ
7000

6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

１．Ｈｅ(0℃)
２．ＣＯ2(0℃）
３．Ｎ２（０℃）
４．水（２５℃）
５．海水（20℃）
６．エチルアルコール(25℃）
縦棒 1
７．ガラス（縦波）
８．Ｆｅ（縦波）
９．Ｆｅ（横波）
１０．Ａｌ（縦波）
１１．Ａｌ（横波）地震波も波動
地震波も波動• P波（Primary Wave）固体を伝わる疎密波（最初に伝わる地震波でv=5000~7000 m/s)
• S波（Secondary Wave）ねじれ波で進行方向と垂直に振動する波で大きな揺れを示す。3000~4000m/s• 表面波：レイリー波とラブ波があり、地表のみを伝わる。減衰しにくい。音速はS波と同程度• 2000年鳥取地震のシュミレーション• 1995年神戸地震のシュミレーション• 1960年チリ地震の津波の伝播

楽器によって音色が違う
ー 波形の変化はどうして起こる？

豊かな音色 ⇒ 倍音のため！良い楽器、良いスピーカー

楽器の物理学 ：管楽器はどうやって音を出す？

音の３要素
高さ：周波数
強さ：振幅
音色：波形

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた「オシログラフに表れる音色の波形」の図を省略させて頂きます。

§２．電磁波としての光§２．電磁波としての光

光は媒質のない真空を伝わる電場、磁場の波動
光は媒質のない真空を伝わる電場、磁場の波動
光速度 ｃ= 2.99792458×108 m/s

光は横波で、振動方向に垂直に振動する

２．３ 横波と偏光
光は横波であり、振動方向に垂直に振動
自然光は色々な波長の光が一様に混ざっている。
振動方向が一様でなく１方向になっている光を偏光という。

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた「偏光」の図を省略させて頂きます。

基礎物理学Ⅰー第１４回ー
波動としての光と音（２）
今日のポイント
１．波の進み方
反射、屈折、分散
２．干渉
３．回折
４．ドップラー効果

平面波と球面波
平面波と球面波水面による光の反射（鏡面になっている）

ホ
イ
ヘ
ン
ス
の
原
理
に
よ
る
反
射
の
説
明

反射では入射角が同じ

ホイヘンスの原理と屈折の法則

n12=sin(θ1)/sin(θ2)= n2/n1= λ1/λ2(Snellの法則）

光の屈折－レンズによる集光
光の屈折－レンズによる集光

光の屈折ー全反射

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた『全反射の図』を省略させて頂きます。

光ファイバースコープの原理
光ファイバースコープの原理

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた「光ファイバー中の光の全反射」の図を省略させて頂きます。

プリズムによる光の分散－色によって屈折率が違う（分散）－

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

音の干渉－
音の干渉－ うなり：わずかに振動数が違う音の干渉
うなり：わずかに振動数が違う音の干渉(msec)

上段Aは20Hz，Bは23Hz。二つの波を合成すると下段のようになり，うなりを聞くことができる。

光（音）の回折と干渉
光（音）の回折と干渉

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた図を省略させて頂きます。

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた「円形波の干渉」の図を省略させて頂きます。

二つの波源による干渉

著作権処理の都合で、この場所に挿入されていた「薄膜に斜めに入射した光の干渉」の図を省略させて頂きます。

Doppler効果
Doppler効果
波源での波の振動数；
波源の速度；

V

波の伝わる速度 ；f０（近づく場合）υｔ 秒後に静止している観測者に伝わる波の入っている距離 υt-Vt υ − V
λ−＝==送り出された波の数
f 0t
f0
静止観測者；

振動数 f =

υ
υ −V

f0

ドップラー効果の応用例
ドップラー効果の応用例

野球などで使われるスピードガン
飛行場，管制塔のレーダー

ドップラー効果の応用例
振動数の変化は精度よく測定できる！