本講義の課題
1. 大気・海洋（どちらか、もしくは両方）の観測データや客観解析データなどに関するデータ解析の論文をレビューし、その研究で 用いられている解析方法について詳しく説明せよ。その研究の結論と関連付けて、採用されている解析方法が適当であるかどうか、理由を述べて議論すること。
2. レビューした論文を自分なりにどのように発展させるかを考えてみよ。解析の視点や方法、新たに扱う資料など、発展の方針について説明せよ。
3. 2.を実際に行ってみよ。図などを用いて結果を説明し、それに対して議論を加えよ。
レポートはA4用紙に自由な形式で用意し、大海気候コース事務室 (C308) に8月20日（月）17時 までに提出すること。レ
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ポートは返却しないので、必要な場合はコピーをとること。

取り扱う論文については自分で適宜判断するものとするが、指導教員にアドバ イスを受けるのもよい。特に良い論文が見当たらない場合には、下記のサイトにいくつかの論文をおいておくので、参考としてもよい。
http://climbsd.lowtem.hokudai.ac.jp/group/people/shigeru/tc/dataan2012/papersample/index.html

2

6. 多変量解析(Multi-variate analysis)• 6.1 EOF解析とは？

What is EOF?

– 身近なイメージ

An everyday example• 6.2 EOF解析の方法• 6.3 EOF解析の実例

MethodApplications– (1)AO/AAO (2)Air-sea interaction in the South Atlantic– Northの経験則
North’s Rule-of-Thumb• 6.4 EOF解析の応用

Extensions– CEOF• 6.5 SVD解析• 6.6 SVD解析の実例

Singular Value Decomposition– (1)Air-sea interaction in the South AtlanticApplications

6.1 EOF解析とは？
••

EOF 経験的直交関数解析– Empirical Orthogonal Function analysis
PCA 主成分解析– Principle Component Analysis

データを眺める軸を変えて、主要な特徴=モードを抽出する方法

PCARegress生徒３０人の３教科での得点分布

散布図（property – property plot）

80

eg

7060

数学-英語

50
40

80

80

70

70

6060

eg

国語-数学

mt

40

50

50

40

40
40

60
jp

80

60
mt

80

国語-英語

40

60
jp

80

特徴は？

評価に用いる軸を変換する

主成分
もっともバラつくように新しい軸を定める
できるやつはできるモード
文系理系モード

第一主成分
第二主成分

国際派モード第三主成分
主軸変換

それぞれのモードは規格化されている

2つの教科で考えると、、、第二モード

第一モード
教科の数だけモード“経験的”な直交座標系で表現

主成分を求めることは、共分散行列の固有ベクトルを求めることに等しい！

6.2 EOF解析の方法
データ行列 時間 空間t: transpose
最も分散の大きくなるよう新たにこれらを求めたい

時間関数の直交性

λm1はモードm1のもつ分散空間関数の直交性と正規性
x(時系列の共分散を要素とする)

実対称行列
symmetric

時間関数の直交性から（）

空間関数が規格化
・直交性から全分散は保存する

共分散行列の固有値問題に帰着される。
固有値の大きいモードが多くの分散を説明する。

30人の得点分布の例

182.55
総分散の保存182.56=変動の損失なし
第一モード 81.3%
第二モード 16.8%
第三モード 2.0%

生徒３０人の３教科での得点分布

３？
-１
１
１２？

EOF解析の手順• データを読み込み行列で表現する。
• （場合によっては各点で正規化する。）• 共分散行列を求める。
• 共分散行列を固有値展開し（通常統計パッケージを使用）、固有値・固有ベクトルを求める。
• 固有値の大きい順から並べる。
• 寄与率を求める。
• 各モードの時間関数を求める。
• 結果をファイルに保存する・図化する。

EOF解析の特徴• EOFの空間構造・時間構造のモードは互いに直交する。
• 分散が大きいモードほどより多くの変動成分を説明する。
• EOFを共分散行列に対して求める場合と相関行列に対して求める場合がある。
• 得られるモードは定在的パターン。伝播するパターンをモードとして抽出するには不向き。
• EOFで得られた主要なモードが物理的な根拠をもったモードであるとは限らない。

2006年夏の天候不順
夏の北極振動 正→オホーツク高気圧発達→冷たく湿った海風(北東風)→曇りがちで日照不足
冷夏

6.3 EOF解析の実例
空間関数(時間関数)

AO / AAO

1. Arctic / Antarctic Oscillation (AO/AAO)
Monthly mean 1000-hPa (700-hPa) height anomalies
poleward of 20° latitude for the Northern (Southern)
Hemisphere.
The NCEP/NCAR reanalysis dataset was employed at ahorizontal resolution of (lat,lon)=(2.5°X2.5°) for theperiod 1979 to 2000. データは3次元だが位置と時間に。
To ensure equal area weighting for the covariance matrix, thegridded data is weighted by the square root of the cosineof latitude.
Daily and monthly AO (AAO) indices are constructed byprojecting the daily and monthly mean 1000-hPa (700hPa) height anomalies onto the leading EOF mode.
Both time series are normalized by the standard deviation of
the monthly index (1979-2000 period).
正確には時間関数ではない（最少二乗フィット）

http://www.cpc.ncep.noaa.gov/products/precip/CWlink/daily_ao_index/history/method.shtml

The "high index" of the AO is defined as periods of below normal Arctic SLP, enhanced
surface westerlies in the north Atlantic, and warmer and wetter than normal conditions innorthern Europe.

http://jisao.washington.edu/ao/

“low index" of the AO

North’s Rule-of-Thumb
ノースの経験則
寄与率が近いモードは独立なデータ数が少ない場合うまく分離できない。

North et al.(1982) Mon.Wea. Rev. 699-706

第1モード経験則に基づく⊿λ
第2モード
2 ⊿λで95%

第3モード

第4モード

N=1000の場合
14.02±1.2212.61±1.1010.67±0.93

ここは分離可能ここは分離不能10.17±0.91 Effective

SamplingSizeもあり、実際には、、、

N=300の場合
14.02±2.2412.61±2.02

10.67±1.71

10.17±1.67

分離不能、、、

EOF解析のまとめ• 卓越する空間パターンの抽出にはEOF解析（とその仲間たち）がよく用いられる。EOF
では変動をよく説明する「軸」を見出す。
• EOF解析は、共分散行列の固有値問題として理解できる。
• 固有ベクトルは空間モードに、固有値はそのモードの寄与率に対応する。
• モードの統計的な卓越性は力学的な背景を保障しない。

CEOF解析• Z＝X*T• Zは複素化した時系列。X、Tも複素数。
• 複素化にはヒルベルト変換(フーリエ展開して位相を90度進ませた関数を虚部とする)を用いる。
• Xの位相は時間的に一定でも、Tの位相が時間的に変化するため各モードの位相は時間的に変化する。
• 伝播する信号を表現することができる。

CEOF解析の例

SSTの十年規模変動

Latif and Barnett (1994) ScienceCEOF解析の例

2.5 years

10 years…rotates clockwise, reminiscentof the general gyral circulation
第一モード 33%、約20年周期

Latif and Barnett (1994) Science6.4 特異値分解解析
SVD(Singular Value Decomposition)
異なる二つの物理量の関係を見出す手法。
To extract the dominant spatial pattern which
Was cross-correlated between two different fields.

covariance function
cross-covariance function

orthogonalDiagonal matrix

Singular value

Singular vectors

各モードで互いに関連

2. Air-sea interaction in the South Atlantic Ocean
SVD 1stSVD 2nd

SSTSLPSST EOF 1st

SLP EOF 1stSterl, A., and W. Hazeleger, 2003: Coupled variability and air-sea
interaction in the South Atlantic Ocean. Clim. Dyn., 21 (7/8), 559-571.

SST/Wind偏差のSST SVD主成分に対するラグ回帰time

dT<0
U>0
Built-up phase
SST/wind関係あり=風が冷やした？
Arrow :windContour: SLP Color: SST

Destruction phase time
SST/wind
関係弱Cool SST/strong wind

EOF・SVD解析のまとめ• 卓越する空間パターンの抽出にはEOF解析（とその仲間たち）がよく用いられる。EOF
では変動をよく説明する「軸」を見出す。
• EOF・SVD解析は、共分散行列の固有値展開・特異値分解問題として理解される。
• 固有ベクトルは空間モードに、固有値はそのモードの強さに対応する。
• モードの統計的な卓越性は力学的な背景を保障しない。