2008/6/25

200

母集団と標本

基本編：推測統計学
pp27～46150

 母集団
 ある調査において，調査対象全体からなる集団

 母集団と標本
 無作為抽出

 標準化

 確率変数 95%信頼区間

 期待値と分散

 2項確率の信頼区間0

 母集団の中から要素を選び出す

例 ある高校に3年生男子200名，女子180名が在籍している。
この男女380名を母集団とし，その中から1名を無作為に抽出したとき，その生徒が女子である確率は？

座高の相対度数

変数Xを定義 ：男子→X=0，女子→X=1

区間

0.25

82.5-84.0

相対度数

0.2
0.15
0.1
0.05
0
82.584.0

84.085.5

85.587.0

87.088.5

88.590.0

90.091.5

91.593.0

93.094.5

94.596.0

96.097.5

97.599.0

99.0100.5

座高Y=1-X と定義すると，Yも確率変数
P(Y=0) = P(X=1)=9/19
問1 上の記号でP(X=0)は何を意味するか。
また，この確率を求めなさい。

男子

従って，確率は 180/380=9/19

度数

相対度数

累積相対度数30.015

0.015

4

0.02

0.035

14

0.07

0.105

84.0-85.5
85.5-87.0
87.0-88.5

23

0.115

0.22

88.5-90.0

33

0.165

0.385

90.0-91.5

40

0.2

0.585

91.5-93.0

35

0.175

0.76

93.0-94.5

20

0.1

0.86

94.5-96.0

18

0.09

0.95

96.0-97.5

6

0.03

0.98

97.5-99.0

30.0150.995

99.0-100.5

10.0051

計2001

無作為抽出した生徒の座高をX
座高<90の相対度数は0.385⇒ P(X<90)=0.385

女子

無作為抽出した生徒が女子の確率？
全員が同じ確率で抽出 すべての要素が同じ確率で選ばれるようにする

 2項分布

X=1となる確率 P(X=1)= 9/19
X=0となる確率 P(X=0)=10/19⇒Xは確率変数50

 無作為抽出 正規分布

高校3年生
女子180名男子200名100

左スソ5本の柱の面積

母集団と標本 調査対象全員を母集団
 抽出された要素を標本
 無作為抽出したとき無作為標本

無作為標本でない例
座高の高い生徒を選ぶと P(X<90)≒0
座高の低い生徒選ぶと標本が特定の区間に含まれる確率
無作為 ⇒ 母集団から推測可
無作為でない ⇒ 推測困難

標本に含まれる要素の個数：標本サイズ

復元と非復元1.
2.

母集団から1人抽出し，もう1人抽出 復元抽出：最初に抽出した人を戻す 抽出対象者が減っていく

サイコロを振って出た目を順にX1, X2,…, Xnとする。
これは S={1,2,…,6} からの復元抽出によるサイズｎの無作為標本

全員の名札を入れた箱から抜く
大小2つの乱数サイコロを用意 同じ人を抽出する可能性有 非復元抽出：最初に抽出した人を除く

期待値

クラスから1人無作為に抽出

標本は母集団の部分集合
サイズは部分集合の要素数

3.

大コロは10の位，小コロは１の位
生徒に番号をふり，サイコロをふる
出た番号の生徒を抽出
該当者がいないときは再度ふる

乱数表を使う

最初の位置を乱数サイで決定
56が出たら5行6列が始点2桁の乱数なら2つずつとる
Excelには乱数生成機能あり

P(X<90)≒1

相対度数分布から求めた P(X<90)=0.385とならない

賞金150,000

10,0005000

計

本数2102007881000

このくじを毎日買い続けて損をしない金額は？
長い眼で見れば全部買うのと同じ全部買ったときの１本当りの賞金？
１本当り賞金=賞金総額／総本数

150000x2+10000x10+500x200+0x788＝5001000
これが期待値

書き直すと今後，標本といったら無作為標本

150000 

210200788
 10000  500  0
1000
1000
1000
1000

期待値とは(賞金×確率)の和1

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平均値（期待値）の定義
確率分布表
X x1, x2, …….., xm
P p1, p2, …….., pm
平均値 E(X)= x1p1+ x2p2+……..+ xmpm
例：乱数サイをふって出る目をX Xの10倍を賞金YとするとE(Y)=10･0･0.1+･･･
X 0, 1， …, 9+10･9･0.1
P 0.1, 0.1, …, 0.1=45=10 E(X)E(X)=0･0.1+1･0.1+･･･+9･0.1=4 .5

P(表が2)=p2

0.25

P(表が1)=2p(1-p)

0.5

P(表が0)=(1-p)20.25

E(V)=(0 - 4.5)2･0.1 + (1 - 4.5)2･0.1+･･･+ (9 - 4.5)2･0.1= 8.25 これが分散：V(X)と書く
 SD=

n回投げたときの表の回数をT
P(T=k)=nCk pk(1-p)n-k, k=0, 1, 2,...,n T～B(n,p)
 Excel関数：
BINOMDIST(k,n,p,FALSE )V  X   8.25

1回目

2回目

結果

表の数

表

表表2確率pp裏

表裏1p(1-p)

表裏表

1(1-p)p

裏裏裏0(1-p)(1-p)

表

これが標準偏差裏

試行を増やしてみると表が出る確率がpのコインを10回投げる

1回

p1-p

表の数

10

二項確率 B(10,p)と呼ばれる

2回p22p(1-p)(1-P)2

表の数

2

10

3回

p3

表の数

3

4回

p4

表の数

4二項分布
 公式：

P(表)=p, P(裏)=1-p のコイン:

 V=(X－平均値)2とするとP(表)=p, P(裏)=1-p のコイン
P=0.5のとき2項確率･･･確率のシーラカンス

分散・標準偏差3p2(1-p) 3p (1-p)22(1-P)3104p3(1-p) 6p2(1-p)2 4p (1-p)332

1(1-p)40

公式：n回投げたときの表の回数をT
P(T=k)=nCk pk(1-p)n-k, k=0, 1, 2,...,n
T～B(n,p)組み合わせの数
 相異なるｎ個のものからｒ個を取って得られる
集合の数
n
C または  r  とかくn

定義 X：表ならX=1，裏ならX=0 r

 公式

二項分布の期待値と分散
P(表)=p, P(裏)=1-pのコインnn  1n  2 n  r  1r!
Pn!
 n r r! n  r !r!

E(X)=1p+0(1-p)=p
V(X)=p(1-p)2+(1-p)(0-p)2n Cr  Excel関数：COMBIN(n,r)=p(1-p)公式
期待値： E(X)= x1p1+ x2p2+･･･+ xmpm
分 散： V(X)=p1(x1 -E(X))2+ ･･･+ pn(xn -E(X))22

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コインをn回投げる

正規分布

ヒストグラムを連続関数で近似する

Xk：k回目が表ならXk=1 裏ならXk=0E(Xk)=p，V(Xk)=p(1-p)

 定義

μ=443.5

Normal

赤血球数は

σ=35

相対度数(%)
12.00

近似的に

10.00

T=X1+ ･･･ +Xn
表の数～B(n,p)E(T)=E(X1+･･･+Xn)=E(X1 ) + ･･･ + E( Xn)=np
V(T)=V(X1+ ･･･ +Xn)=np(1-p)

 定義

6.00

正規分布に従う

4.00
2.00

赤血球数
0.00
310 330 350 370 390 410 430 450 470 490 510 530 550

 2つの値(μミュー, σシグマ)で決定 平均μ，標準偏差(SD)σ，分散σ2正規確率関数
1  x 

平均443.5，SD35の8.00

データの特徴を2つの数で表現
2 
1f x  e 2  2 

平均μ,分散σ2 の正規分布をN(μ,σ2)とかく赤血球数の分布からの標本をXとすると
Î x (%)

10.00
8.00

 様々な実測データによく適合

6.00

 ｅ = 2.71828･･･自然対数の底4.00

 μ(ミュー), σ(シグマ)の2つのパラメータで決まる

2.00

 正規確率密度関数ともいう

0.00
310 330 350 370 390 410 430 450 470 490 510 530 550

 Excel関数：NORMDIST(x,μ,σ,FALSE)

抽象化：正規確率変数 X の定義
 P(a<X<b)正規分布のグラフのx=aからx=bまでの面積となる
確率変数 X を考える。
Xは正規確率変数と呼ばれる。
ab

P(400<X<500)＝ヒストグラムで斜線の柱の面積12.00≒正規分布N(443.5, 352)のグラフでx=400とx=500の間の面積座高は近似的にN(91, 3.232)に従う

クイズ
 ケトレーは，フランス兵士10万人の身長のヒストグラムに正規分布を重ねた結果，身長が低いと偽って徴兵免除された者が2000人いると結論した。
徴兵免除者を調査せず何故推定できたのか？

μ=0, σ=1の正規分布 N(0,1) は標準正規分布
身長 X～N(170,52)
 全員に10cmの下駄を履かせて測れば，分布が10cm平行移動
X～N(170,52) → X+10～N(180,52)
 X～N(μ,σ 2) → X+c～N(μ+c,σ 2)

 身長をmで測れば，100分の1

X～N(170,52) → X/100～N(1.7,0.052)
 X～N(μ,σ 2) → cX～N(cμ,c2σ 2) 標準化とはX～N(170,52) → X-170～N(0, 52) →X  170~ N (0,1)
53

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標準化定理

0.1

標本平均の定理
0.05X  ...  X n
標本平均
X 1nX 



・・・

標本平均
標本平均

Y2
正規分布 N   ,   となる

Z=(X-μ)/σは標準正規分布N(0，12)に従う



Ｎ(170，52)→Ｎ(170，52 /n)n 160

170

180

190

0.25Z

 ・・・，標本平均を無数に得たそれら標本平均の分布は
 Xが正規分布N(μ,σ2)に従うとき，

X

150

 さらに， Z1 ,･･･,Zn ～ N(μ,σ2)~ N (0,1)

180，・・・，1580 新たに， Y1 ,･･･,Yn～N(μ,σ2)

Z

サイズ10の標本
165，・・・，175

 無作為標本 X1,･･･,Xn～N(μ,σ2)

X～N(μ,σ2)N(170,52)

Xの分布

標本平均

0.2

168，178，0.15・・・，X

x1，・・・，x10

25 N 170 , 10 


X の分布

0.1
0.05
0



150

160

170180190

0.5Ð =1@ i n=25)Ð =1.25(n=16)
Ð =5



160
-10-9-8 -7-6165-5-4 -3-2 -1 170
0 1 2 3 4 175
5 6 7 8 9 180
10



 N(170,5 2 /16)＝Ｎ(170,1.252 ) Ｎ(170,5 2 /25)＝Ｎ(170,1)
 n が大きいと分布がμ に集中する

4