修士論文 要旨

ガウシアングラフィカルモデルの構造保存群の従順性
数理情報学専攻 48-166220
指導教員

鈴木大智
駒木文保 教授により定める．ただし，N (i) は i の G 上の近傍であ1 はじめにる．そのもとで，ガウシアングラフィカルモデルとは，多変量正規分布の精度行列の非零成分に辺を割り当てたグラフを考G0 = {g ∈ GL(Rm ) | j ̸⪯ i ⇒ gij = 0}

えることで変数間の関係を視覚的に表現するモデルでと定義する． すると，G は G0 と G の自己同型群ある．ガウシアングラフィカルモデルの精度行列の推Aut(G) を用いて，G = Aut(G)G0 と書ける．G の頂定は与えられた変数間の関係を見出す上で重要である．

点番号を適当に付け替えることによって，G0 の元はブガウシアングラフィカルモデルにたいして，構造を保ロック下三角行列にできることが知られている．

存して作用する群 G に着目すると，G が従順性を持っモデルに対して群 G が作用しているとき，作用に対ているときはミニマックスの意味で良い推定量が構成して不変な推定量（共変推定量）を考えることが自然でできることが知られている．さらに，G 上の右不変分ある．群の作用と推定量の関係を考える上で重要な性

布を事前分布としたベイズ解が最良共変推定量と一致質の一つが群の従順性である．

することが知られている．本研究ではガウシアングラ
フィカルモデルに作用する群が，従順群であるための必要十分条件を求め，さらに構造保存群が推移的にモデルに作用している場合の右不変分布と左不変分布の具体形を導出した．

定義 1. G を局所コンパクト群，L∞ (G) を G の左不変測度について測度 0 の集合を除いて有界であるような関数 G → C がなす線形空間とする．G が従順とは，次を満たす線形関数 µ : L∞ (G) → C が存在することである．

2 既存研究(1) µ(1) = 1.

無向グラフ G = ([m], E) が与えられたとき，G に対(2) ∥µ∥ := sup∥φ∥∞≤1|µ(φ)| = 1.

(3) g f (g ′ ) := f (gg ′ ) で定める g f について，µ(g f ) =応する精度行列集合 SG+ を{SG+ = K ∈GL(Rm )µ(f ).

| K は正定値, (i, j) ̸∈ E ⇒ Kij = 0}

Kiefer [3] や Wesler [4] は，G が従順性を持つならばミニマックスの意味で良い推定量を共変推定量の中により定める．ガウシアングラフィカルモデルとは，SG+ の元を精度行列に持つような多変量正規分布の集合
M = {pK (·) | K ∈ SG+ }から見つけ出す事ができることを述べている．また，ミニマックスの意味で良い推定量は，構造保存群上の右不変測度に基づく事前分布を用いたベイズ解として構成することができることも知られている (cf.[1]).

である．X が平均 0, 精度行列 K の正規分布に従う
とき，g ∈ GL(Rm ) について， gX は平均 0, 精度行列 (g−1 ⊤) Kg −1 の正規分布に従う．よって，ガウシアングラフィカルモデルに対する g の作用を g • K =⊤3 ガウシアングラフィカルモデルの構造保存群の従順性
以上の背景を踏まえ，ガウシアングラフィカルモデル(g −1 ) Kg −1 )−1 により定めることができる．g • SG+ ⊆の構造保存群が従順であるためのグラフの構造に関す

SG+ であるような g の全体 G はガウシアングラフィ

る次のような必要十分条件を求めた．

カルモデルの構造を保存している群であると考えられ，

Draisma ら [2] は G の具体形を次のように求めた．ま定理 1. グラフ G に基づくガウシアングラフィカルモ

ず，[m] 上の擬順序 ⪯ をデルの構造を保存する群を G とする．G が従順とな

i ⪯ j ⇔ N (j) ⊆ N (i)(i, j ∈ [m])る必要十分条件は G の任意の辺 {i, j} について，頂点k ̸= i, j であって，{i, k} と {j, k} のうちどちらか一方のみが G の辺であるようなものが存在することである．

ガウシアングラフィカルモデルの構造保存群の従順性 (鈴木大智)を用いると，L(g • K, g • K ′ ) = L(K, K ′ ) が成り立つ．
観測を生み出すパラメータを

t
gt = 0.50.5

0 01 0
0 1(0.5 ≤ t ≤ 1.5)

として，t の変化に従ってリスクがどのように変化するのかを調べる．まず，i = 1, · · · , 200 について，⊤Xi ∈ R3×10 を平均 (0, · · · , 0) , 分散共分散行列 gt gt ⊤の正規分布にしたがって発生させた 5 個の乱数とする．

Xi を用いて，事後分布 πL (g | Xi ), πR (g | Xi ) から，1000 個の標本 gLij , gRij (j = 1, · · · , 1000) をサンプリングして，分散共分散行列のの事後平均

図 1: 右（左）不変分布に基づいた分散共分散行列の事
後平均のリスク

1000∑
1Σ̂Lt (Xi ) =(gLij • Im )−1 ,1000
j=11000∑
1
Σ̂Rt (Xi ) =(gRij • Im )−11000
j=1G が従順なとき，G0 の元は下三角行列にすることがを求めた．各 Xi について損失 L(gt • Im , Σ̂Lt (Xi )−1 ),できる．また，各 g ∈ G に対して， g = σL hL = hR σRL(gt • Im , Σ̂Rt (Xi )−1 ) を求め，その i に関する平均をなる σL , σR ∈ Aut(G) , hL , hR ∈ G0 が一意的に存在す計算した結果を分散共分散行列の事後平均のリスクとる．これらを g の関数 σL (g), σR (g), hL (g), hR (g) とみする．図 1 は t とリスクとの関係を表したグラフであなす. すると，次のように G 上の不変分布が得られる．

る．右不変分布を用いた場合のリスクは理論的には定定理 2. G 上の左不変分布は数リスクであるが，図 1 をみると，ばらつきが生じている．これは，サンプリングを行う際に MCMC を用

1πL (g) = ∏mii=1 (hL (g)ii )いているため，サンプル間に依存関係が生じていることと書ける．また，G 上の右不変分布はをもつため，サンプリングを行う際に局所解に陥ってし1m−i+1i=1 (hR (g)ii )πR (g) = ∏mが一因として考えられる．また，事後分布関数は多峰性まった可能性も考えられる．実際に，サンプル数を変化させて実験行っても得られるグラフの形状はほとんど変化しなかった．一方で，全体的に右不変分布を用いたと書ける．

場合のリスクは，左不変分布を用いた場合のリスクよりも小さく，また，定数リスクに近いことを読み取ること

4 数値実験
••• のような形をしたグラフ G について，右（左）不変分布に基づいた事後分布 πL (g |X), πR (g | X) を用いて分散共分散行列の事後平均を数値的に計算し，右不変分布を用いた場合と左不変分布を用いた場合のリスクを比較する．精度行列の損失関数
として，Kullback-Leibler ダイバージェンス∫′

L(K, K ) ==p(x | K) logp(x | K)dxp(x | K ′ )}1{log |K| − log |K ′ | + tr(K ′ K −1 ) − m2ができる．

参考文献[1] J. Berger. Statistical decision theory and Bayesiananalysis. Springer Science & Business Media, 2013.
[2] J. Draisma, S. Kuhnt, and P. Zwiernik. Groups acting
on Gaussian graphical models. The Annals of Statistics, Vol. 41, pp. 1944–1969, 2013.
[3] J. Kiefer. Invariance, minimax sequential estimation,and continuous time processes. The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 28, pp. 573–601, 1957.
[4] O. Wesler. Invariance theory and a modified minimax principle. The Annals of Mathematical Statistics,Vol. 30, pp. 1–20, 1959.