第２２ 卷第１ 期
２０１１ 年
１月
ＤＯＩ

水科学进展

，，Ｖｏｌ ２２ Ｎｏ １
Ｊａｎ． ２０１１

ＡＤＶＡＮＣＥＳ ＩＮ ＷＡＴＥＲ ＳＣＩＥＮＣＥ：ＣＮＫＩ：３２１３０９ ／ Ｐ ２０１１０１１５ ２２０８ ００４

浓度梯度引起的固相速度测量误差
石 健，郭 波，弓扶元，何小刚，李丹勋（清华大学水利水电工程系，水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京１０００８４ ）摘要： 用粒子示踪技术测量明渠挟沙水流中固相颗粒的速度时，流速梯度和浓度梯度的存在会引起测量误差。选用
典型的垂线流速与浓度分布公式对时均速度测量误差进行分析，得出了误差的解析表达式。对该解析式的理论分析表明，测量误差恒小于零，即速度测量值比实际值偏小。误差的大小与采样窗口的相对位置、尺寸及颗粒的悬浮
指数有关。对误差大小随自变量的变化规律进行的数值分析结果表明，在一定的流场条件下，测量误差的最大值出现在床面附近，误差从床底至水面呈现出先减小后增大的特点。
关键词： 流速；浓度；梯度；误差；粒子示踪测速中图分类号： ＴＶ １４９ ３
文献标志码： Ａ
文章编号：１００１６７９１ （２０１１ ）０１００６７０８

实验测量是流体力学中研究复杂流场的重要手段。明渠挟沙水流是自然界中常见的固液两相流，对其流
速分布和紊动特性的研究，虽已有很多试验成果，但结果之间还存在矛盾，远未达成共识［ ］。这一方面体
现了明渠挟沙水流的复杂性，另一方面也表明所使用的测量技术可能存在一定局限性。
明渠紊流流速分布的测量方法通常有传统的接触式和非接触式两类，前者如热丝法，后者如激光测速（ＬＤＶ ）、粒子图像测速（ＰＩＶ ）、粒子示踪测速（ＰＴＶ ）等。不同的流速测量方法有一个共同的特点，即都是在
采样窗口范围内对所测得的数据进行统计平均。不同之处仅在于，ＬＤＶ 等仪器的采样窗口的尺寸大小是确定的（一般为ｍｍ 或ｃｍ 量级），空间平均的过程固化在仪器内部，使用者无法改变；而ＰＩＶ ／ ＰＴＶ 法的空间平均过程是计算机程序的后处理，试验者可自行确定采样窗口（或相关域）的大小［ ， ］。由于流速梯度和浓度梯
度的存在，空间平均的过程会带来系统误差。首先，流速梯度的存在使得空间平均后的结果偏离采样窗口中
心点的实际流速，并且这个偏差不是常数，而是采样窗口位置和大小的函数［ ］。其次，在应用ＰＴＶ 方法测
量固相悬浮颗粒的速度时，单个颗粒的速度虽然能准确测得，但由于重力作用，颗粒沿垂向的分布上少下多，存在浓度梯度，所以采样窗口下部所获得的源数据就多于上部，空间平均的结果就会使流速计算值向下部偏移，引起系统误差。
实验流体力学中对紊流测量的各种误差来源分析与估计一直非常重视，文献［８ ］系统地讨论了流速梯度
对测量误差的影响，并给出了误差大小的解析表达式。然而涉及浓度梯度影响这方面的研究还未见报道，连
平均流速和脉动强度是被高估还是低估这一基本问题也尚无明确解答。本文将分析流速梯度和浓度梯度共同
存在时颗粒相时均速度测量误差的大小，并给出误差的解析表达式和数值计算结果。研究结果不仅具有一定的理论意义，而且有助于改变之前实验中完全依靠经验确定采样窗口大小的办法［ ， ，］，对实验设计（确定采样窗口大小）和数值模拟（确定计算网格大小）有一定的参考价值。由于不同测量仪器的空间平均方法并不
一致，本文的分析结果只针对ＰＴＶ 方法。
１７２ ４５８２ ４５ ９

收稿日期：2010-03-22；网络出版时间：2011-01-15
网络出版地址：http://www. cnki. net/ kcms/ detail/ 32. 1309. P. 20110115. 2208. 004. html
基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０７７９０２３）；清华大学ＳＲＴ 资助项目（０８２Ｔ００１９）
通信作者：李丹勋，E-mail: lidx@tsinghua.edu.cn

水科学进展

６８１

第２２ 卷

流速测量误差的理论分析明渠二维紊流时均流速一般表达形式
考虑平面二维恒定均匀明渠流动，沿流线方向（纵向）建立ｘ 轴，自渠底竖直向上（垂向）建立ｙ 轴，如图
１所示（只适合底坡很小的情况）。任意点的瞬时流速有ｘ 和ｙ 方向的分量，记为（Ｕ ，Ｖ ）。本文只研究ｘ 向速
度Ｕ ，不考虑ｙ 向速度Ｖ。
把Ｕ 分解成时均速度Ｕ （ｙ）和脉动速度ｕ（ｙ，ｔ）：
Ｕ （ｙ ，ｔ ） ＝ Ｕ （ｙ ）＋ ｕ （ｙ ，ｔ ）（１ ）对于常见的明渠均匀紊流，Ｕ （ｙ）沿ｘ 方向不变，沿ｙ 方向存在流速梯度，即Ｕ （ｙ ）Ｕ （ｙ ）
＝ ０ ，（２ ）≠０ｘｙＵ （ｙ ）由下式定义：
１Ｕ （ｙ ） ＝Ｕ （ｙ ，ｔ ）ｄｔ（３ ）Ｔ∫
式中 Ｔ 是能消除随机脉动效果的特征时间，即∫ ｕ（ｙ，ｔ）ｄｔ ＝ ０ 。
１ ２ 速度测量误差的一般形式
速度测量误差定义为测速方法给出的测量值与所测位置实际速度之差。测速仪器的采样窗口见图１ ［ ］，图
中ｈ 为水深，Δｈ 为采样窗口大小，ｙ 为采样窗口中心位置。
在不短于特征时间Ｔ 的时段内，对采样窗口内速度值取空间平均得到测量值，记为珚Ｕ ， ｙ ＝ ｙ 处的实际流速表示为Ｕ （ｙ ）。则速度测量误差可表示为
（４ ）Ｕ － Ｕ （ｙ ）ΔＵ ＝ 珚
按照ＰＴＶ 测速方法的空间平均过程，在采样窗口内测得多个悬浮粒子的运动速度之后，将所有这些速度
进行平均即可得到窗口中心处的速度值。该过程可以用下式表达：∫ Ｓ （ｙ）Ｕ （ｙ）ｄｙ珚
Ｕ ＝（５ ）（）Ｓｙｄｙ∫
图１ 采样窗口和流场相对位置示意图式中 Ｓ （ｙ）为颗粒在ｙ 方向的浓度分布。
把式（５ ）代入式（４ ），可得流速测量误差的表达式： Ｆｉｇ １ Ｖｅｒｔｉｃａｌ ｌｏｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｂｉｎ∫ Ｓ （ｙ）Ｕ （ｙ）ｄｙ（６ ）－ Ｕ （ｙ ）ΔＵ ＝（）
Ｓｙｄｙ∫
式（６）就是速度测量误差的解析表达式。由上式可以看出，ΔＵ 是ｙ 和Δｈ 的函数，并且与Ｓ （ｙ ）、Ｕ （ｙ ）都有关。
１ ３ 测量误差的具体形式
对于不同流速分布和颗粒浓度分布，测量误差有不同的具体形式。本文研究明渠二维挟沙紊流，流速分
布选用对数律分布公式［ ］：
Ｕ （ｙ ） １ｕ ｙ（７ ）＝ｌｎ＋Ｂｕκ ( ν )
１ １ＡＡＡＡＡＡＴ

Ａ０Ｔ

０８ｍｍ

Ａｍｍｍｍ

Ａ

ｍｙｍ ＋ Δｈ ／ ２ｖ

Ａｙ ｍ － Δｈ ／ ２

ｍｙｍ ＋ Δｈ ／ ２ｖ

ｙ ｍ － Δｈ ／ ２ｖ

ｙｍ ＋ Δｈ ／ ２ｖ

Ａｙ ｍ － Δｈ ／ ２ｍＡｙｍ ＋ Δｈ ／ ２ｍｖ

ｙ ｍ － Δｈ ／ ２

ｍ１０Ａ

ｍｖ

Ａ

第１ 期

石健，等：浓度梯度引起的固相速度测量误差６９式中 ｕ 为摩阻流速；ν 为流体动粘度系数；κ 为Ｋáｒｍáｎ 常数（本文取κ ＝ ０ ４ ）；Ｂ 为由边界条件决定的积分常数。需要指出的是，式（７ ）是清水水流的流速分布。试验表明在一定条件下悬浮颗粒速度的垂线分布也可
以用对数律形式来表示［ ］，作为初步分析，本文用式（７ ）来近似表示颗粒的速度分布。
浓度分布可用基于扩散理论的Ｒｏｕｓｅ 公式［ ］表示。
Ｓ （ｙ ）
ｈ － ｙ ａ＝（８ ）Ｓ （ａ ） ( ｙ ｈ － ａ )式中 ｈ 为水深；Ｓ （ａ）为参考点ｙ ＝ ａ 处的颗粒浓度；Ｓ （ｙ）为任意ｙ 处的颗粒浓度；指数Ｚ 为Ｒｏｕｓｅ 数，又称悬浮指标，其表达式为ωＺ ＝（９ ）
κｕ
式中 ω 为颗粒的静水沉降速率。Ｚ 值表示颗粒在ｙ 方向上分布的均匀程度，其值越小，颗粒分布越均匀。
当Ｚ ＝ ０ 时，Ｓ （ｙ）＝ Ｓ （ａ），不存在浓度梯度。
注意到式（８ ）等号左边是比值形式，表示相对浓度。绝对浓度可表示为
ｈＳ （ｙ ） ＝ α (（１０ ）－ １)ｙ
式中 α 为比例系数，由参考点绝对浓度决定。
把式（７ ）和式（１０ ）代入式（６ ），得１ｙｕ∫ α ( ｈｙ － １ ) [ κ ｌｎ ( ν ) ＋ Ｂ ] ｄｙ １ ｙ ｕ
ΔＵ－ [ ｌｎ (＝＋ Ｂ]（１１ ）ｕκｈν )
ｄｙα
－
１(ｙ )
∫化简上式可得ｈｌｎｙ (－ １ ) ｄｙΔＵ
１ ∫ｙ
＝（１２ ）－ ｌｎｙ 
ｕκｈ

ｄｙ－
１(ｙ )
 ∫
可以发现，式（１１ ）中的α、ν、Ｂ 、ｕ 均已消去，式（１２ ）中只包含ｙ 、Δｈ、Ｚ 和ｈ 这４ 个变量，进一步可证明变量ｈ 非独立。证明过程如下：
令ｔ ＝ ｙ ／ ｈ，则ｙ ＝ ｈｔ，ｄｙ ＝ ｈｄｔ，且积分上下限变成ｙ ／ ｈ － １２ （Δｈ ／ ｈ ）与ｙ ／ ｈ ＋ １２ （Δｈ ／ ｈ ），代入式（１２ ）中替换各项，得（ ）１∫ｌｎｔ (－ １ ) ｈｄｔ（）
ｔΔＵｙ１
＋ ｌｎｈ － ( ｌｎ＝（１３ ）＋ ｌｎ ｈ ) （ ） １ｕκ ｈ－ １ ) ｈｄｔ
 ∫（ ）( ｔ消去ｈ 和ｌｎｈ，并把记号ｔ 重新改为ｙ，得（ ）１∫ｌｎｙ－ １ ) ｄｙｙ （ ） ( ｙΔＵ
１ － ｌｎ ＝（１４ ）（ ） １ｈｕκ － １ ) ｄｙ ∫（ ）( ｙ式（１４ ）说明，测量误差ΔＵ ／ ｕ 是采样窗口相对大小Δｈ ／ ｈ、窗口中心相对位置ｙ ／ ｈ 和悬浮指标Ｚ 的函数，而与流场的绝对水深ｈ 无关，即ΔＵ ／ ｕ ＝ ｆ（ｙ ／ ｈ，Δｈ ／ ｈ，Ｚ ）。
该函数的定义域，即３ 个自变量的取值范围分别为：Ｚ ＞ ０ 、Δｈ ／ ｈ ＞ ０ 、ｙ ／ ｈ ＞ ０ 。同时应注意到自变量的１１１２１０Ｚｖ

ｖｖｖ

ｖｖ

Ｚｖ

ｙｍ ＋ Δｈ ／ ２Ｚｙ ｍ － Δｈ ／ ２ｍｍ ｙｍ ＋ Δｈ ／ ２

Ｚｙ ｍ － Δｈ ／ ２ｙｍ ＋ Δｈ ／ ２Ｚｙ ｍ － Δｈ ／ ２

ｍｙｍ ＋ Δｈ ／ ２

ｍＺｙ ｍ － Δｈ ／ ２ｍ

ｍ１ｍｙｍ ／ ｈ ＋ ２Δｈ ／ ｈ１ｙｍ ／ ｈ － ２Δｈ ／ ｈ１ｙｍ ／ ｈ ＋ ２

１ｙｍ ／ ｈ － ２ＺｍΔｈ ／ ｈ

ＺΔｈ ／ ｈ１

ｍｙｍ ／ ｈ ＋ ２Δｈ ／ ｈ

１ｙｍ ／ ｈ － ２Δｈ ／ ｈ
１ｙｍ ／ ｈ ＋ ２

Δｈ ／ ｈ１ｙｍ ／ ｈ － ２ｍｍ

Ｚｍ

ＺΔｈ ／ ｈｍ

ｍ

ｍｍ

水科学进展７０

第２２ 卷

实际物理含义：采样窗口底部不能低过槽底，顶部不能高出水面，记ａ ＝ ｙｈ － １２ Δｈｈ ，ｂ ＝ ｙｈ ＋ １２ Δｈｈ ，则有ａ ＞ ０ 且ｂ ＜ １ 。所以ｙ ／ｈ 和满足Δｈ ／ ｈ 应
１１（（１５ ）Δｈ ／ ｈ ）≤ ｙ ／ ｈ ≤ １ － （Δｈ ／ ｈ ）２２
使用不在该范围内的ｙ ／ ｈ 与Δｈ ／ ｈ 值计算出的误差值没有物
理意义，文献［８ ］中忽视了此问题。
不等式（１５ ）所表示的范围如图２ 阴影部分所示。
１ ４ 测
量误差的定性分析
图２ ｙ ／ ｈ 和 ／ ｈ 取值有意义的范围（阴影部分）
式（１４ ）给出了量纲一化的测量误差ΔＵ ／ ｕ 的表达式，可Ｆｉｇ ２ Ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ Δｈａｒｅａ （ｓｈａｄｅｄ ａｒｅａ）ｏｆ ｙ ／ ｈ ａｎｄ Δｈ ／ ｈ以证明，ΔＵ ／ ｕ 恒小于０ ，即测出的速度值不是采样窗口中心ｙ 点的速度，而是其下方低流速区某点ｙ′ 的流速（ｙ′ 的示意见图１ ）。证明过程如下：
记式（１４ ）的中括号内部分为η（ａ，ｂ），因为κ ＞ ０ ，所以ΔＵ ／ ｕ 的符号由η （ａ，ｂ ）决定。 ａ、ｂ 的定义同上，注意到ａ ２＋ ｂ ＝ ｙｈ ，可将η（ａ，ｂ）作恒等变换：
ｍｍｍ

ｍｍｍｍ

ｍｍ

ｍｍｍｍ

ｍｂＺ（ ） ｄｙ ｙ ∫ ( ｌｎｙ － ｌｎ ａ ２＋ ｂ ) ( ２ ／ （１ａ／ ｙ＋ －ｂ）１ － １ ) ｄｙ
∫
－ ｌｎ＝
（１６ ）
η （ａ ，ｂ ） ＝ｈ
１／ｙ － １１／ｙ－
１ｄｙｄｙ（）∫∫ ( ２ ／ （ａ ＋ ｂ）－ １ )因为０ ＜ ａ ＜ ｂ ＜ １，则ｙ∈［０，１］，所以η（ａ，ｂ）中分母的被积函数恒正，由定积分保号性，得知分母恒大于零。
下面考察分子的符号。
（１ ）当Ｚ ＝ ０ 时 式（１６ ）可简化为ａ ＋ ｂｄｙ
ｌｎｙ － ｌｎ(∫２ )（ａ，ｂ） ＝
（１７ ）ｂａＺ

ｌｎｙ １ ／ ｙ － １ａｍｂｂＺＺａａｂηａｂ －ａ记分子为Ｆ （ａ，ｂ），则
ａ ＋ ｂａ ＋ｂｄｙ ＝ ｂｌｎｂ － ａｌｎａ － （ｂ － ａ ）－ （ｂ － ａ ）ｌｎ
Ｆ （ａ ，ｂ ） ＝ ∫ ｌｎｙｄｙ － ∫ ｌｎ
（１８ ）
２２式（１８ ）对ｂ 求偏导，得－ｂ２ｂｂ
Ｆ （ａ ，ｂ ）
＝ ｌｎ
－１ －
＜
＜ ０ａ ＋ｂａ ＋ ｂａ ＋ ｂｂ
说明Ｆ （ａ，ｂ）关于ｂ 单调递减，因０ ＜ ａ ＜ ｂ ＜ １ 且Ｆ （ａ，ａ）＝ ０ ，故Ｆ （ａ，ｂ）＜ ０ 。所以当Ｚ ＝ ０ 时η（ａ，ｂ）＜ ０ 。
（２ ）当Ｚ ＞ ０ 时 把Ｆ （ａ，ｂ）拆成两项，写成（ ）Ｆ （ａ ，ｂ ） ＝ ∫（１９ ）( ｌｎｙ － ｌｎ ａ ２＋ ｂ ) ｄｙ ＋ ∫ （ ）( ｌｎｙ － ｌｎ ａ ２＋ ｂ ) ｄｙ记式（１９ ）等号右边第一项为Ｆ （ｙ），第二项为Ｆ （ｙ ）。因为对数函数单增，所以Ｆ （ｙ ）的被积函数小于
０ ，Ｆ （ｙ ）的被积函数大于０ ，由定积分保号性得：Ｆ （ｙ）＜ ０ 、Ｆ （ｙ）＞ ０ ，而Ｆ （ｙ）＋ Ｆ （ｙ） ＝ Ｆ （ａ，ｂ） ＜ ０ 。
（ ）定义Ｆ′ （ｙ） ＝ ∫ ( ｌｎｙ － ｌｎ ａ ２＋ ｂ ) θ（ｙ）ｄｙ，Ｆ′ （ｙ） ＝ ∫ （ ）( ｌｎｙ － ｌｎ ａ ２＋ ｂ ) θ（ｙ）ｄｙ。其中θ （ｙ ）＝[ ２ ／ （１ａ／ ｙ＋ －ｂ）１ － １ ] ，ｄθ ／ ｄｙ 在［０ ，１ ］上，恒小于０ ，即θ（ｙ）在［０ ，１ ］上，单调递减，在［ａ，（ａ ＋ ｂ）／ ２ ）区间上，θ（ｙ）＞ １ ，在（（ａ ＋ ｂ）／ ２ ，ｂ］上０ ＜ θ（ｙ）＜ １ ，当ｙ ＝ （ａ ＋ ｂ）／ ２ 时，θ（ｙ）＝ １ 。
ｂｂａａ１２ａ＋ｂｂ１２ａ１２２１１１２１ａＺａ＋ｂ２ａ＋ｂ１

ｂ２

１２ａ＋ｂ２

第１ 期

石健，等：浓度梯度引起的固相速度测量误差７１

由θ（ｙ）的性质可知，在各自积分域上，Ｆ′ （ｙ）的被积函数绝对值比Ｆ （ｙ ）的被积函数绝对值大，且均为负值，Ｆ′ （ｙ）的被积函数绝对值比Ｆ （ｙ ）的被积函数绝对值小，且均为正值。由定积分保序性得：Ｆ′ （ｙ ）＜Ｆ （ｙ ）＜ ０ ，０ ＜ Ｆ′ （ｙ ）＜ Ｆ （ｙ ），所以有
Ｆ′ （ｙ ）＋ Ｆ′ （ｙ ） ＜ Ｆ （ｙ ）＋ Ｆ （ｙ ） ＜ ０（２０ ）故Ｚ ＞ ０ 时，η（ａ，ｂ）＜ ０ 。
综合Ｚ ＝ ０ 和Ｚ ＞ ０ 所述，η（ａ，ｂ）＜ ０ 对于所有ａ，ｂ∈ ［０ ，１ ］恒成立，所以ΔＵ ／ ｕ 恒小于０ 。同时从式
（２０ ）可以看出，Ｚ ＞ ０ 的误差相比Ｚ ＝ ０ 的误差要大，并且随着Ｚ 的增大，误差也相应增大。其物理意义为：浓度梯度增大，采样窗口下部颗粒（速度较小）占窗口颗粒总数的比例增大，低速度值的权重就增大，速度测
量值就更加偏向高浓度（即低流速）区。这就是说，浓度梯度的存在并不会抵消由流速梯度所引起的误差，而
且会与原误差叠加，使误差更大。
１２１１２２１２

１２１２ｍ２

测量误差的数值计算结果尽管可以证明出ΔＵ ／ ｕ ＜ ０ ，但其表达式很复杂，用解析方法考察３ 个自变量变化对误差的影响并不直观，因此采用数值计算方法进行分析。
２ １ 相同悬浮指标下采样窗口位置和大小变化对误差的影响分别固定Ｚ ＝ ０ 、０ ５ 、１ ０ 、２ ０ ，绘出｜ ΔＵ ／ ｕ ｜ 的等值线图，横纵坐标分别是Δｈ ／ ｈ 和ｙ ／ ｈ，见图３ ，其中的图线均在图２ 所示区域范围内描绘。每个子图的｜ ΔＵ ／ ｕ ｜ 都取０ ５％ 、１％ 、２％ 、５％ 、１０％ 。
ｍ

ｍｍ



ｍ



图３ 不同Ｚ 值下测量误差的等值线Ｆｉｇ ３ Ｃｏｎｔｏｕｒ ｌｉｎｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｉａｓ ｅｒｒｏｒ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ Ｚ ｖａｌｕｅｓ水科学进展

７２第２２ 卷

图３ （ａ）是Ｚ ＝ ０ ，即无浓度梯度存在的情况，等值线基本为直线（线性相关系数在０ ９９９ ９ 以上）。从图
３ （ａ ）可看出：在同样的ｙ ／ ｈ 处，测量误差会随着Δｈ ／ ｈ 的增大而增大；若Δｈ ／ ｈ 不变，测量误差会随着ｙ ／ ｈ的增大而减小。即当采样窗口位置不变时，窗口大小越大，测量误差越大；若窗口大小不变，则越靠近自由水面，测量误差越小。
对比图３ （ｂ）～ 图３ （ｄ）与图３ （ａ）发现，５ 条等值线的位置总体向左推移，而且随着Ｚ 的变大，等值线的位置越来越靠左。这说明浓度梯度的存在的确增大了测量误差。但注意到当Ｚ 不大时，等值线向左推移不太明显，也就是说当颗粒浓度梯度不太大时，测量误差基本由流速梯度决定，浓度梯度的影响可以忽略。
图３ （ｂ）～ 图３ （ｄ）中还有一个特征，就是在ｙ ／ ｈ 较大处出现“回拐”，而且Ｚ 越大，“回拐”得越多，这与图３ （ａ）的直线趋势不同。不论Ｚ 为何值，“回拐”的“顶点”均在ｙ ／ ｈ ＝ ０ ７ 左右。“回拐”现象的物理意义
是：采样窗口大小不变时，当采样窗口高度增大，误差反而变大。这表明，在测量流场上部流速时，虽然上部颗粒较少，采样较为困难，但为了保持测量精度，采样窗口并不能开得过大，以往的实验没有认识到这一点，普遍采用上大下小的窗口尺寸［ ， ］。
２ ２ 采样窗口位置和大小相同时悬浮指标变化对误差的影响分别固定ｙ ／ ｈ 取０ ２ 、０ ４ 、０ ７ 、０ ９ ，绘出｜ ΔＵ ／ ｕ ｜ 与Ｚ 关系图线，Δｈ ／ ｈ 作为参量，取值分别为０ ０１ 、０ ０２ 、０ ０５ 、０ ０８ ，见
图４ 。图４ （ａ）～ 图４ （ｄ）４ 个子图反映了当采样窗口高度逐渐增大时，测量误差与悬浮指标的关系。从４ 个子图中均可以看出，｜ ΔＵ ／ ｕ ｜ 总随着Ｚ 的增大而增大，而当Ｚ 相同时，Δｈ ／ ｈ 越大
则｜ ΔＵ ／ ｕ ｜ 越大，这与２ １ 节得出的结论相同。对比４ 个子图还可以看出ｙ ／ ｈ 对误差的影响：当ｙ ／ ｈ 较小，即采样窗口靠近水槽下部时，误差较大；随着ｙ ／ ｈ 的增大，误差水平整体下降，至ｙ ／ ｈ ＝ ０ ７ 左右为最低。ｙ ／ ｈ 继续增大，Ｚ 较大处误差又略有增大（对比图４ （ｃ）与图４ （ｄ）），这就是图３ 中“回拐”现象。可以进一步解释如下：当Ｚ 较小时“回拐”不明显，所以图４ （ｄ）中Ｚ 较小的区域内｜ ΔＵ ／ ｕ ｜ 仍比图４ （ｃ）小。
ｍｍｍ

ｍ

４ ８ ９ｍ

ｍ

ｍ

ｍ

ｍ

ｍｍ

ｍ

ｍｍ

图４ 测量误差与悬浮指标关系曲线Ｆｉｇ ４ Ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｉａｓ ｅｒｒｏｒ ｗｉｔｈ Ｒｏｕｓｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ



第１ 期
３石健，等：浓度梯度引起的固相速度测量误差７３

结论通过理论分析和数值计算，对挟沙水流中固相颗粒速度的测量误差进行了分析，结果表明：（１ ）从对误差的贡献来看，流速梯度是“固有”因素，而浓度梯度可以看成“附加影响”，若不存在
流速梯度，浓度梯度本身不会造成误差。
（２ ）采样窗口中所测得的平均速度不等于采样窗口中心点的实际速度。对于本文所分析的情况，所测得测量值较实际值是偏小的。
（３ ）误差大小取决于采样窗口中心位置、窗口大小，也取决于流速分布的形式和浓度分布的不均匀程度，这４ 个因素相互关联，共同作用。采样窗口越大、浓度梯度越大误差就越大；存在浓度梯度时，误差随着采样窗口高度的增加先减小后增大；当浓度梯度很小时，误差主要由流速梯度造成，浓度梯度的影响可忽略。
在实际测量中，实验者可根据本文结果，在给定误差限、采样窗口位置和悬浮指标的情况下，合理选择采样窗口大小。如果固定采样窗口位置、窗口大小和悬浮指标，则可以求出误差大小，从而对所测得的流速进行修正。
需要指出的是，对数公式和Ｒｏｕｓｅ 公式具有一定的通用性，因此本文的结果具有一定的代表意义，但由于近底区和近水面区的流速分布和浓度分布比较复杂，难以用对数公式和Ｒｏｕｓｅ 公式来准确表示，所以本文的分析结果也具有一定的局限性。若需要对误差进行更加客观和深入的分析，可以根据挟沙水流情况，选用
更符合实际的流速分布和浓度分布公式。
本文的分析方法也可以方便地推广到其它复杂流场测量的误差分析中，只需选取该流场合适的速度分布
和浓度分布公式进行推导和计算即可。需要指出的是，如果采用其它类型的分布公式，推导过程中不一定能消去某些边界常数，情况可能会变得更加复杂。
参考文献：［１ ］ ＷＡＮＧ Ｘｉｎｇｋｕｉ，ＱＩＡＮ Ｎｉｎｇ Ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｓｅｄｉｍｅｎｔｌａｄｅｎ ｆｌｏｗ［Ｊ］ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｙｄｒａｕｌｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９５ ，１１５（６ ）：７８１８００
［２ ］ ＫＡＦＴＯＲＩ Ｇ ，ＨＥＴＳＲＯＮＩ Ｇ ，ＢＡＮＥＲＪＥＥ Ｓ Ｐａｒｔｉｃｌｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ ｔｈｅ ｔｕｒｂｕｌｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｌａｙｅｒ：ＩＩ：Ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｎｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｐｒｏｆｉｌｅｓ［Ｊ］ Ｐｈｙｓ Ｆｌｕｉｄｓ，１９９５ ，７ （５ ）：１１０７１１２１［３ ］ ＢＥＳＴ Ｊ，ＢＥＮＮＥＴＴ Ｓ，ＢＲＩＤＧＥ Ｊ Ｓ，ｅｔ ａｌ Ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅ ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓ ｏｖｅｒ ｆｌａｔ ｓａｎｄ ｂｅｄｓ ａｔ ｌｏｗ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｒａｔｅｓ［Ｊ］ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｙｄｒａｕｌｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９７ ，１２３ （１２ ）：１１１８１１２９［４ ］李丹勋，王兴奎，禹明忠 悬移质颗粒运动的脉动强度［Ｊ ］ 水科学进展，２００２ ，１３ （２ ）：１４６１５２ （ＬＩ Ｄａｎｘｕｎ，ＷＡＮＧ
Ｘｉｎｇｋｕｉ ，ＹＵ Ｍｉｎｇｚｈｏｎｇ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｕｓｐｅｎｄｅｄ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ［Ｊ ］ Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｗａｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ，２００２ ，１３ （２ ）：１４６１５２ （ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ ））［５ ］ ＮＥＺＵ Ｉ，ＡＺＵＭＡ Ｒ ，Ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐａｒｔｉｃｌｅ ａｎｄ ｆｌｕｉｄ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｌｅｌａｄｅｎ ｏｐｅｎ ｃｈａｎｎｅｌ ｆｌｏｗｓ［Ｊ］
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｙｄｒａｕｌｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ，２００４ ，１３０ （１０ ）：９９８１００１
［６ ］周家俞，陈立，叶小云，等 泥沙影响流速分布规律的试验研究［Ｊ ］ 水科学进展，２００５ ，１６ （４ ）：５０６５１０ （ＺＨＯＵ Ｊｉａｙｕ，
ＣＨＥＮ Ｌｉ ，ＹＥ Ｘｉａｏｙｕｎ ，ｅｔ ａｌ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｓｅｄｉｍｅｎｔ ｏｎ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｎ ｓｅｄｉｍｅｎｔｌａｄｅｎ ｆｌｏｗ ［Ｊ ］ Ａｄｖａｎｃｅｓ
ｉｎ Ｗａｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ，２００５ ，１６ （４ ）：５０６５１０ （ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ ））［７ ］刘春晶，李丹勋，曲兆松，等 过渡区动床明渠流的流速分布［Ｊ ］ 水科学进展，２００６ ，１７ （１ ）：４９５４ （ＬＩＵ Ｃｈｕｎｊｉｎｇ，ＬＩＤａｎｘｕｎ ，ＱＵ Ｚｈａｏｓｏｎｇ ，ｅｔ ａｌ Ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｐｒｏｆｉｌｅ ｏｆ ｏｐｅｎｃｈａｎｎｅｌ ｆｌｏｗｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎａｌ ｒｏｕｇｈｎｅｓｓ ｒｅｇｉｏｎ ｏｎ ｍｏｂｉｌｅ ｂｅｄｓ ［Ｊ ］ Ａｄ
ｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｗａｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ，２００６ ，１７ （１ ）：４９５４ （ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ ））［８ ］ ＬＩ Ｄ Ｘ ，ＭＵＳＴＥ Ｍ ，ＷＡＮＧ Ｘ Ｋ Ｑｕａｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｂｉａｓ ｅｒｒｏｒ ｉｎｄｕｃｅｄ ｂｙ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｇｒａｄｉｅｎｔｓ［Ｊ］ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈ
ｎｏｌｏｇｙ ，２００８ ，１９ （１ ）：５４０２
［９ ］ ＭＵＳＴＥ Ｍ ，ＹＵ Ｋ ，ＦＵＪＩＴＡ Ｉ，ｅｔ ａｌ Ｔｗｏｐｈａｓｅ ｖｅｒｓｕｓ ｍｉｘｅｄｆｌｏｗ ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ ｏｎ ｓｕｓｐｅｎｄｅｄ ｓｅｄｉｍｅｎｔ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｉｎ ｔｕｒｂｕｌｅｎｔ ｃｈａｎｎｅｌ
ｆｌｏｗｓ ［Ｊ ］ Ｗａｔｅｒ Ｒｅｓｏｕｒ Ｒｅｓ ，２００５ ，４１ （１０ ）：１０４０２１０４２３水科学进展

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第２２ 卷［１０ ］钱宁，万兆惠 泥沙运动力学［Ｍ ］ 北京：科学出版社，１９８４ （ＣＨＩＥＮ Ｎｉｎｇ，ＷＡＮ Ｚｈａｏｈｕｉ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｏｆ ｓｅｄｉｍｅｎｔ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ［Ｍ ］ Ｂｅｉｊｉｎｇ ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ ，１９８４ （ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ ））［１１ ］李丹勋 悬移质颗粒运动特性的研究［Ｄ ］ 北京：清华大学，１９９９ （ＬＩ Ｄａｎｘｕｎ Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ｍｏｔｉｏｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｓｕｓ
ｐｅｎｄｅｄ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ［Ｄ ］ Ｂｅｉｊｉｎｇ ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ，１９９９ （ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ ））［１２ ］禹明忠 ＰＴＶ 技术和颗粒三维运动规律的研究［Ｄ ］ 北京：清华大学，２００２ （ＹＵ Ｍｉｎｇｚｈｏｎｇ Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ＰＴＶ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅａｎｄ ３Ｄ ｍｏｖｅｍｅｎｔ ｏｆ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ［Ｄ ］ Ｂｅｉｊｉｎｇ ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ，２００２ （ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ ））Ｂｉａｓ ｅｒｒｏｒ ｉｎｄｕｃｅｄ ｂｙ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ ｇｒａｄｉｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｏｆ ｓｅｄｉｍｅｎｔｌａｄｅｎ ｆｌｏｗｓ ，，，，ＳＨＩ Ｊｉａｎ ＧＵＯ Ｂｏ ＧＯＮＧ Ｆｕｙｕａｎ ＨＥ Ｘｉａｏｇａｎｇ ＬＩ Ｄａｎｘｕｎ（Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｈｙｄｒｏｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｈｙｄｒａｕｌｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８４ ，Ｃｈｉｎａ ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ ｇｒａｄｉｅｎｔｓ ｓｈｉｆｔｓ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｌｏｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｐｏｒｔｅｄ ｍｅａｎ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｗａｙ ｆｒｏｍｔｈｅ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｂｉｎ＇ｓ ｃｅｎｔｅｒ ｉｎ ｓｅｄｉｍｅｎｔｌａｄｅｎ ｆｌｏｗ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｖｅｌｏｃｉｍｅｔｒｙ． Ｕｎｄｅｒ ｔｙｐｉｃａｌ ｖｅｌｏｃｉ，，ｔｙ ａｎｄ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ ｐｒｏｆｉｌｅｓ ｆｏｒ ｏｐｅｎ ｃｈａｎｎｅｌ ｆｌｏｗｓ ｔｈｅ ｂｉａｓ ｅｒｒｏｒ ｐｒｏｖｅｓ ｔｏ ｂｅ ｃｏｎｓｔａｎｔｌｙ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｚｅｒｏ ｌｅａｄｉｎｇ ｔｏ ａｎｕｎｄｅｒｅｓｔｉｍａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｖｅｌｏｃｉｔｙ． Ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｉｓ ｃｌｏｓｅｌｙ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｔｈｒｅｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｌｏｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ，，ｆｌｏｗ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｂｉｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｉｎｄｅｘ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｄｉｍｅｎｔ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔｔｈｅ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｆｏｌｌｏｗｓ ａ ｆｉｒｓｔｄｅｃｒｅａｓｅｔｈｅｎｉｎｃｒｅａｓｅ ｐａｔｔｅｒｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｔｏ ｔｈｅ ｗａｔｅｒ ｓｕｒｆａｃｅ ａｌｏｎｇ ｔｈｅｖｅｒｔｉｃａｌ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ

：ｖｅｌｏｃｉｔｙ；ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ；ｇｒａｄｉｅｎｔ；ｂｉａｓ ｅｒｒｏｒ；ｐａｒｔｉｃｌｅ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｖｅｌｏｃｉｍｅｔｒｙ

Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｉｓ ｆｉｎａｎｃｉａｌｌｙ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（Ｎｏ． ５０７７９０２３ ）．