数理解析研究所講究録
第 853 巻 1993 年 118-132

118

ディリクレの類数公式の組合せ論的変形(A Combinatorial Deformation of Dirichlet’s Class. Number Formula)

佐賀大学大学院工学系研究科システム生産科学専攻情報システム学大講座
博士後期課程 3 年 三ッ廣 孝 (Takashi Mitsuhiro)

1. 序
素数判別式をもつ実 2 次体に対するディリクレの類数公式の変形については, H. Hasse[3] ,P. $Ch\circ wla[1|$ や T. $On\circ[6|$ によるいくつかの結果が知られている. 私達はここでディリクレの類数公式の変形の 1 つの結果として, 組合せ論を使って次の定理を [5] に基づいて示す.
および $\chi(x)$ で素数判別式 $p\equiv 1(m\circ d4)$ をもつ実 2 次体 $Q(\sqrt{p})$定理 1. $\epsilon(>1)$ ,の基本単数, 広義の類数およびクロネッカー記号を表すとし, さらに $T$ で単数のト$h$$\epsilon^{2h}$レース$\epsilon^{2h}+\epsilon^{-2h}$を表すとする. そのとき
$T=(1/p)( \sum_{k=0}^{(p-1)/2}a_{k})^{2}-2$が成り立つ.

ここで各有理整数$b_{n}$

は次の漸化式,$2na_{n}=$ $\sum_{k\cdot=0,n-1}^{n-1}\{a_{k}+\chi(n-k)b_{k}p\}$,$2nb_{n}= \sum_{k\cdot=0}\{b_{k}+\chi(n-k)a_{k}\}$$a_{0}=2$$b_{0}=0$$a_{n},$$(1\leq n\leq(p-1)/2)$ ,$(1\leq n\leq(p-1)/2)$

でそれぞれ定められるものとする.

私達は最近になって T. Ono による上の定理よりも少し強い次の結果を知った.
定理 2 ([6]). 素数 $p\equiv 1(mod 4)$ に対して $N=(p-1)/4$ ,$(1-\sqrt{P})/2$ とおき,$\omega=(1+\sqrt{p})/2,$$\omega’=$$\alpha_{\nu}=\{\begin{array}{l}\omega\chi(\nu)=+1\emptyset\ g\omega\chi(\nu)=-1\emptyset\ g\end{array}$とする. ここで $\chi(\nu)=(\nu/p)$ はルシャンドル記号を表すとし, さらに $k=Q(\sqrt{p})$ で判別の基本単数, 広義の類数を表すとする.
式 p/をもつ実 2 次体を表し,
でそれぞれそのとき関係式$\epsilon,$

$h$

$k$

$\sqrt{p}\epsilon^{h}=2\sum_{n=0}^{N-1}d_{n}+d_{N}$が成り立つ. ここで

$k$

の各整数

$d_{0}=1,$$d_{n}$$d_{1}=\omega,$,は次の漸化式$nd_{n}= \sum_{\nu=1}^{n}\alpha_{\nu}d_{n-\nu}$$(1 \leq n\leq N)$

119で定められるものとする.

2. 組合せ論からの準備
この節で私達は後の節の準備として組合せ論からいくつかの定義と結果とを引用する([4], [7], [8] 参照).
補題 2.1. $(V,$$\mu(x, y)=0$ ,$\preceq)$

で順序$\preceq$をもつ有限束を表すとするとき, 3 つの条件 (i)(ii) 任意の $x\in V$ に対して $\mu(x, x)=1$ , (iii) $x\prec y$ のとき$x\not\leq y$のとき$\sum_{x\preceq z\preceq y}\mu(x, z)=0$を満たす関数 $\mu:V\cross Varrow R$ が一意的に定まる.
この関数

$\mu$

は有限束 $V$ 上のメビウス関数と呼ばれる.

補題 2.2 (メビウスの反転公式). 有限束上の関数 $f,$$(V, \preceq)$

に対して

$g$

$(\forall x\in V)$$g(x)= \sum_{\nu\preceq x}f(y)$が成り立てば,$f(x)= \sum_{y\preceq x}g(y)\mu(y, x)$$(\forall x\in V)$

も成り立っ.
に対して, 反順序
補題 2.3. 有限束 $(V,$の順序を $x\preceq_{*}yrightarrow y\preceq x(x, y\in V)$
も有限束をなし, 各有限束 $(V,$上のメビウス, $(V,$
で定義する. そのとき $(V,$$\mu_{*}(x,y)=\mu(y,x)(\forall
x,
y\in
V)$
とするとき,
関数をそれぞれが成り立つ.
$\preceq)$$\preceq*$$\preceq$$\preceq_{*})$$\mu,$$\preceq_{*})$$\preceq)$$\mu_{*}$

補題 2.4. $\langle n\rangle=\{1,2, . . . , n\}$ とし,で表す. 各分割の分割全体の集合を$A$$A=\{A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{\iota}\}\in P_{n}$ に対して各 $A_{i}(1\leq i\leq s)$ をのブロックという. そのとき
$B=\{B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{t}\}\in P_{n}$ に対して,$A=\{A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{l}\}$ ,各ブロック $A_{i}(1\leq i\leq s)$$P_{n}$$\langle n\rangle$

なるブロックが存在するとき $A\preceq B$ とし
上の順序
を定義す
は最大元 $1=\{\{1,2, \ldots, n\}\}$ , 最小元 $0=\{\{1\}, \{2\}, \ldots, \{n\}\}$ を
とすれば,
も有
上の順序
もつ有限束をなす. そしての反順序を限束をなす.
に対してると, 順序集合$4\subseteq B_{j}$$P_{n}$$B_{j}$$\preceq$$(P_{n}, \preceq)$$(P_{n}, \preceq)$.

$\preceq$$(P_{n}, \preceq*)$$\preceq*$

上のメビウスをそれぞれ有限束
いま上の記号のもとに以下$k(1\leq k\leq q)$ に対して $(q)_{k}=q(q-1)\cdots(q-k+1)$関数を表すとする. また自然数のとおき, これを q-k 順列という. また集合の元の個数を一般に $|S|$ で表すとき,
各分割 $A=\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{\delta}\}$ に対して各 $c_{i}^{A}(1\leq i\leq n)$ を $c_{i}^{A}=|\{j;|A_{j}|=i\}|$ で定義し,$c_{i}^{A}\geq 0(1\leq i\leq n)$組のタイプという. そのときを分割が成り立つ. さらに分割 $A$ のブロックの個数をで定義する.
$\mu$$(P_{n}, \preceq),$$\mu_{*}$$(P_{n}, \preceq*)$

$q,$

$S$

$(c_{1}^{A}, c_{2}^{A}, \ldots, c_{n}^{A})$$A$$\langle n\rangle$$\Sigma_{=1}^{n}i\cdot c^{A}=n,$$w_{A}=\Sigma_{i=1}^{n}c_{i}^{A}$

補題 2.5. 次が成り立つ:$\sum q^{\iota}\mu(0, A)=(q)_{n}$$A\in P_{\mathfrak{n}}$$(q\geq 1,1\leq n\leq q)$.

120
補題 2.6. $n\geq 1$ とするとき, タイプ $(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n})$ をもつ$\langle n\rangle$の分割の個数は,$n!$$\prod_{i=1}^{n}\{c_{i}!\cdot(i!)^{c_{i}}\}$

で与えられる.
補題 2.7. 次が成り立つ:$\mu(0, A)=\prod_{i=1}^{l}\{(-1)^{|A;|-1}(|A:|-1)!\}$$(A=\{A_{1},A_{2}, \ldots, A_{\iota}\}\in P_{n})$.

系 27.1. 次を得る.
:$\mu(0, A)=(-1)^{n+w_{A}}\prod_{i=1}^{n}\{(i-1)!\}^{c^{A}}$$(A=\{A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{\iota}\}\in P_{n})$.

証明. 補題 27 および分割のタイプの定義よりわかる.
$-\vee$の節の最後として, 記号
で条件\Sigma ni$=1i\cdot c_{i}=n,$すべてにわたる和を表すとき,
次対称群$\Sigma_{n}^{*}$$(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n})$

を

$n$

$n$

$c_{i}\geq 0(1\leq i\leq n)$$S_{n}$の巡回置換指数を満たす組$\mathcal{I}_{n}(x_{1}, \ldots, x_{n})$変数多項式$\mathcal{I}_{n}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})=(1/n!)\sum_{n}^{*}h_{c_{1}c_{2}\cdots c_{n}}x_{1}^{c_{1}}x_{2}^{c_{2}}\cdots x_{n}^{c_{n}}$で定義する. ここでと表すとき,$n$文字の置換$h_{C1c_{2}\cdots c_{n}}=|${$\sigma\in S_{n}$$\sigma\in S_{n}$;$|\rho_{j}$を互いに素な巡回置換$\rho_{j}$の積としてof length in $\sigma|=c_{i}(1\leq i\leq n)$ }
$i$

$|$

と定義する. 特に為 $=1$ とする.
補題 2.8. 次が成り立つ:$(n\geq 1)$$\mathcal{I}_{n}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})=\frac{1}{n!}\sum_{n}^{*}\frac{n!}{\prod_{i=1}^{n}\{c_{i}!\cdot i^{c_{i}}\}}x_{1}^{c_{1}}x_{2}^{c_{2}}\cdots x_{n}^{c_{\mathfrak{n}}}$補題 2.9. 次の漸化式が成り立つ:$n \mathcal{I}_{n}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\mathcal{I}_{n-k}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-k})$$(n\geq 1)$.

.

$\sigma=\rho_{1}\cdots\rho_{\ell}$121
3. 有限体上の方程式の解の個数
この節では, 奇素数 p に対して標数 p なる有限素体上の方程式の解の個数について考え
る.

そこで

で標数

$F_{p}$$p$なる有限素体を表し, その既役剰余類群を$F_{p}^{\cross}$で表す. また$F_{p}^{\cross}$

上で定義される 2 次の指標 $\chi(x)$ を$a^{2}=x$a\in Fp i“存在するとき,$\cross$

なるその$\chi(x)=\{+1-1$$\{\{\mathfrak{g}$で定義する. また $n\geq 1$ とし,$a_{1},$$a_{2},$$\ldots,$$a_{n}\in F_{p}^{\cross}$に対して$F_{p}$

上の方程式$a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots+a_{n}x_{n}^{2}=0$の$F_{p}$

における解 $x=t_{1},$$x=t_{2}$, . . . , $x=$ ち全体の集合を$S(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n})$で,そでそれぞれ表す. 同様ににおける解全体の集合をで, その解の個数をで表す. さらに
における$t_{i}^{2}\neqt_{j}^{2}(1\leq
i<j\leqn)$で, その解を満たす解全体の集合を
解で条件
と表す.
で表す. 特にの個数をの解の個数を$S^{\cross}$$\mathcal{N}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$$F_{p}^{x}$$(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n})$$\mathcal{N}^{x}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$$F_{p}^{\cross}$$\mathcal{D}S^{\cross}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$$\mathcal{D}\mathcal{N}_{n}^{\cross}=\mathcal{D}\mathcal{N}^{\cross}()\frac{1,1,\ldots,1}{n}(n\geq 1)$$\mathcal{D}\mathcal{N}^{\cross}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$

ここで国で

$x$

を越えない最大の有理整数, つまりガウス記号を表すとき$\mathcal{N}(a_{1}, \ldots, a_{n})$の値について次の結果が知られている.
補題 3.1 (G. Fujisaki[2]). $n\geq 1,$ $m=\lfloor n/2\rfloor$ とする. そのときして$\mathcal{N}(a_{1}, \ldots, a_{n})=\{\begin{array}{l}p^{n-1}p^{n-1}+\chi(a_{1}\cdots a_{n})(p^{m}-p^{m-1})\end{array}$$a_{1},$,$\ldots$$a_{n}\in F_{p}^{x}$に対$ni_{\backslash 1^{Q}\mathfrak{F}^{\backslash }\text{数のとき}}ni^{\grave{\grave{a}_{\backslash }}*\text{数のとき}}’$,が成り立っ.
次に $n\geq 1,0\leq r,$ $v\leq n$ とするとき,$D_{n}(v)$$K_{n,.’

とおく.

$=$

$(1+\sqrt{p})^{n-v}(1-\sqrt{p})^{v}+(1+\sqrt{p})^{v}(1-\sqrt{p})^{n-v}$,r}(v)=s_{f}(-1, -1, \bigvee_{v}’-1,1,1,\ldots, 1)\bigvee_{n-v}$

ここで $s_{f}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ は $n$ 次の基本対称式$s_{f}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})=\vee\{\begin{array}{l}1(r=0)\sum_{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdot<j_{\prime}\leq n}..x_{j_{1}}x_{j_{2}}\cdots x_{j_{\prime}}(1\leq r\leq n)\end{array}$を表す. さらに数を表すとする.

$a_{1},$$a_{2},$$\ldots,$$a_{n}\in F_{p}^{x}$に対して $v(a_{1}, a_{2}, . :. , a_{n})$ で $\chi(a_{j})=-1$ なる

$i$

の個

122
命題 3.1. $v=v(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$ とおくと,$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}K_{n,2k}(v)p^{k}=\frac{1}{2}D_{n}(v)$$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\in F_{p}^{x})$が成り立っ.
証明. $1\leq r\leq n$ に対して
$K_{n,r}(v)= \sum_{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdot<j_{f}\leq n}..(-1)^{v(a_{j_{1}},a_{j_{2)}},\ldots a_{j,})}=\sum_{j=0}^{f}(-1)^{\dot{J}}(\begin{array}{l}n-vr-j\end{array})(\begin{array}{l}vj\end{array})$が成り立ち, 特に $r=0$ のときも成り立つ. ゆえに$\{\begin{array}{l}(1+x)^{n-v}(1-x)^{v}=\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}()()x^{k}=\sum_{k=0}^{n}K_{n,k}(v)x^{k}(1+x)^{v}(1-x)^{n-v}=\sum_{k=0}^{n}K_{n,k}.(v)(-x)^{k}=.\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}K_{n,k}(v)x^{k}\end{array}$となり,$\frac{1}{2}\{(1+x)^{n-v}(1-x)^{v}+(1+x)^{v}(1-x)^{n-v}\}=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}K_{n,2k}(v)x^{2k}$が成り立つ. 特に $x=\sqrt{p}$ として命題が成り立つ.
命題 3.2. 命題 3.1 と同じ記号のもとで,$\mathcal{N}^{x}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})=\frac{1}{p}\{(p-1)^{n}+(-1)^{n}\frac{1}{2}(p-1)D_{n}(v)\}$

を得る.
証明. $1\leq r\leq n$ に対して集合$M_{f},$を$\overline{M_{f}}$’$\{\frac{M_{f}}{M_{f}}==\{\{\{t_{1}^{1},t_{2}^{2},\ldots,b_{n}^{n}$$\in S(a_{1}^{1},a_{2}^{2},\ldots,a_{n}^{n})t,t,\ldots,b)\in S(a,a,\ldots,a)|_{l_{f}^{f}\neq 0\}}^{t=0\}},$)

とおき, また集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ の各部分集合 $\{j_{1},j_{2}, \ldots,j_{f}\}$ に対して補集合 $\{1, 2, \ldots,n\}\backslash$$\{j_{1},j_{2}, \ldots,j_{f}\}$を $\{i_{1},i_{2}, \ldots,i_{n-r}\}$ で表す. そのとき$|M_{j_{1}}\cap M_{j_{2}}\cap\cdots\cap M_{j_{f}}|=\{\begin{array}{l}N(a_{i_{1}},a_{i_{2}},\ldots,a_{i_{n-r}})(1\leq r<n)1(r=n)\end{array}$

であり, 特により$|\overline{M_{1}}\cap\overline{M_{2}}\cap\cdots\cap\overline{M_{n}}|=\mathcal{N}^{x}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$が成り立つ. ゆえに包除原理に$\mathcal{N}^{\cross}(a_{1}, a_{2}, \ldots,a_{n})=\sum_{t=1}^{n}(-1)^{n-f}\sum_{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdot<j,\leq n}..\mathcal{N}(a_{j_{1}}, a_{j_{2}}, \ldots, a_{j_{r}})+1$

123が成り立つ. そこで $m=$ \lfloor n/2」とおくとき$1 \leq j_{1}<<\cdot<\leq n\sum_{j_{2}j_{r}}..\chi(a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j,})=K_{n,\prime}(v)$

に注

意して,
$\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}\sum_{1\leq j_{1}<\dot{p}<.<j_{k}\leq n}..\mathcal{N}(a_{j_{1}}, a_{j_{2}}, \ldots, a_{j_{k}}+1)$$=(-1)^{n} \{\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}(\begin{array}{ll} nk +1\end{array})p^{k}+ \sum_{k=1}^{m}K_{n,2k}(v)(p^{k}\cdot-p^{k-1})+1\}$$= \frac{1}{p}\{(p-1)^{n}+(-1)^{n}\frac{1}{2}(p-1)D_{n}(v)\}$となり, 命題が成り立つ.
さて$a_{1},$$a_{2},$$\ldots$$a_{n}\in F_{p}^{x}$\langle } の空でない部分集合 $M$ に対して

とし,

$n$

$\lambda_{M}$$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})=$と定義する.

$\Sigma_{j\in M}a_{i}\in F_{p}$命題 3.3.

,$a_{1},$ $a_{2},$$\ldots,$$a_{n}\in F_{p}^{\cross}$とし,$\lambda_{M}=\lambda_{M}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})\neq 0$$(\phi\neq\forall M\subset\langle n\rangle)$が成り立つと仮定する. そのとき$\mathcal{N}^{x}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})=\sum_{A=\{A_{1},A_{2},\ldots,A.\}\in P_{n}}2^{n-\epsilon}\mathcal{D}\mathcal{N}^{\cross}(\lambda_{A_{1}}, \lambda_{A_{2}}, \ldots, \lambda_{A}.)$

を得る.
証明. {

の各分割 $A=\{A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{s}\}$ に対して, 各 $i\in A_{k},$ $i\in A_{l}$ に対してなる $(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n})\in S^{x}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$ 全体の集合をで表す.

$t_{:}^{2}=$$n\rangle$$t_{j}^{2}rightarrow k=l$

$S_{A}^{\cross}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$そのとき$\mathcal{N}^{\cross}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})=\sum|S_{A}^{x}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})|$$A\in P_{n}$が成り立ち, また各$(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{\epsilon})\in DS^{x}(\lambda_{A_{1}}, \lambda_{A_{2}} , .

$[t_{1},t_{2}, \ldots , t_{\delta}]=${$(\overline{t_{1}},\overline{t_{2}},$$\ldots,\overline{t_{n}})\in F_{p}^{n}$.

.

, \lambda_{A}.)$に対して; if $i\in A_{j}$ then$\overline{t_{i}}=\pm t_{j}$}と定義すると,$S_{A}^{x}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})=\bigcup_{(t_{1},t_{2},\ldots,t.)\in DS^{X}(\lambda_{A_{1}},\lambda_{A_{2}},\ldots,\lambda_{A}.)}[t_{1},t_{2}, \ldots, t_{\delta}]$$[t_{1}, \ldots, t_{\epsilon}]\neq[t_{1}’, \ldots, t_{l}’]rightarrow[t_{1}, \ldots , t_{\theta}]\cap[t_{1}’, \ldots,t_{l}’]=\phi$,$[t_{1}, \ldots,t_{\delta}]=[t_{1}’, \ldots,t_{l}’]rightarrow(t_{1}, \ldots, t_{\iota})=(\pm t_{1}’, \ldots, \pm t_{l}’)$なので,$|\{[t_{1},t_{2}, \ldots,t_{\epsilon}];(t_{1},t_{2}, \ldots,t_{\delta})\in DS^{\cross}(\lambda_{A_{1}}, \lambda_{A_{2}}, \ldots, \lambda_{A}.)\}|$$= \frac{1}{2^{l}}\mathcal{D}\mathcal{N}^{x}(\lambda_{A_{1}}, \lambda_{A_{2}}, \ldots, \lambda_{A}.)$,

124となり, 以上を組み合わせて求める命題が成り立つ.

命題 3.4. 命題 3.3 と同じ記号, 仮定のもとで,$\langle n\rangle$の分割 $B=\{B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{t}\}$ に対して$\sum$$\frac{1}{2^{t}}\mathcal{N}^{x}(\lambda_{B_{1}}, \lambda_{B_{2}}, \ldots, \lambda_{B_{2}})=$$\frac{1}{2^{l}}D\mathcal{N}^{x}(\lambda_{A_{1}}, \lambda_{A_{2}}, \ldots, \lambda_{A_{\iota}})$$A=\{A_{1},A_{A^{2}\preceq J\epsilon^{A.\}\in P_{n}}}$が従う.
証明. \langle$n$} の各分割$F_{p}(\phi\neq\forall M\subset\langle t\rangle)$$B=\{B_{1}, B_{2}, \ldots , B_{t}\}$とおくと, 仮定よりに対して$\overline{\lambda_{M}}\neq 0$$\overline{\lambda_{M}}=\lambda_{M}(\lambda_{B_{1}}, \lambda_{B_{2}}, \ldots, \lambda_{B},)\in$がわかるので, 命題 3.3 より$\mathcal{N}^{x}(\lambda_{B_{1}}, \lambda_{B_{2}}, \ldots, \lambda_{B_{n}})=\sum_{A=\{A_{1},A_{2},\ldots A_{*}\}\in P_{t}},2^{t-\epsilon}D\mathcal{N}^{x}(\overline{\lambda_{A_{1}}},\overline{\lambda_{A_{2}}}, \ldots,\overline{\lambda_{A}.})$

が成り立つ.
ここで$\langle t\rangle$の各分割 $A=\{A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{s}\}$ に対して万$(1\leq i\leq s)$$P_{n}$

とおくと,$\overline{A}\preceq*B$$\overline{A}\in P_{n},$$=\{\overline{A_{1}},\overline{A_{2}}, \ldots,\overline{A_{\delta}}\},$

であり, 写像$\varphi_{t}$: $P_{t}\ni A$は単射で\varphi t(Pt) $=\{X\in P_{n} ; X\preceq*B\}$ がわかる. ゆえに–\mbox{\boldmath$\lambda$}A:$\mathcal{D}\mathcal{N}^{x}(\overline{\lambda_{A_{1}}}, \overline{\lambda_{A_{2}}}, \ldots,\overline{\lambda_{A}.})=\mathcal{D}\mathcal{N}^{\cross}(\lambda_{\overline{A_{1}}}, \lambda_{\overline{A_{2}}}, \ldots , \lambda_{\overline{A}})$

命題 3.5. 命題 3.3 と同じ記号, 仮定のもとで,$\overline{A_{1}}=\bigcup_{j\in A;}B_{j}$$=\lambda_{\overline{A:}}$$\overline{A}\in$に注意して,となり, 以上より命題が成り立つ.
$\langle n\rangle$の分割 $B=\{B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{t}\}$ に対して$\sum$$\mathcal{D}\mathcal{N}^{\cross}(\lambda_{B_{1}}, \lambda_{B_{2}}, \ldots, \lambda_{B_{t}})=2^{t}$$\frac{1}{2^{\epsilon}}\mathcal{N}^{x}(\lambda_{A_{1}}, \ldots, \lambda_{A}.)\mu(B, A)$$A=\{A_{1},\ldots,A.\}\in P_{n}B\preceq A$が成り立っ.
証明. 2 つの関数 $f:P_{n}arrow R$ と $g:P_{n}arrow R$ を,$\{g(X)=(1/2^{l^{l}})\mathcal{N}^{x}(\lambda_{X_{1}}, \lambda_{X_{2}},.., \lambda_{X}.)f(X)=(1/2)\mathcal{D}\mathcal{N}^{x}(\lambda_{X_{1}},\lambda_{X_{2}}.’\ldots,\lambda_{X}.)(X=\{X_{1},X_{2}, \ldots, X_{l}\}\in P_{n})$で定義する. そのとき命題 3.4 より任意の \langle } の分割 $X=\{X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{\delta}\}$ に対してが成り立つ. ゆえに補題 23 およびメビウスの反転公式より, 各 {$g(X)= \sum_{*X}f(Z)z\preceq$$n$$n\rangle$の分割 $B=\{B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{t}\}$ に対して
$D \mathcal{N}^{x}(\lambda_{B_{1}}, \lambda_{B_{2}}, \ldots, \lambda_{B_{t}})=2^{t}f(B)=2^{t}\sum_{A\preceq.B}g(A)\mu_{*}(A, B)=2^{t}\sum_{B\preceq A}g(A)\mu(B, A)$となり, 命題が成り立つ.

さてこの節の最後として, 各...,$|A_{\delta}|$$\langle n\rangle$の分割 $A=\{A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{s}\}$ に対して $v_{A}=v(|A_{1}|,$) とおき, さらに $1\leq n\leq p-1$ に対して$H(n)=$$\sum(-1)^{w_{A}}(1/2^{w_{A}})D_{w_{A}}(v_{A})\mu(0, A)$$A\in P_{\mathfrak{n}}$$|A_{2}|$

,

125
と定義し,

$\mathcal{D}\mathcal{N}_{n}^{x}(n\geq 1)$の値を決定する. すなわち

命題 3.6. 次を得る:$\mathcal{D}\mathcal{N}_{n}^{\cross}=2^{n}\frac{1}{p}\{(\frac{p-1}{2})_{n}+\frac{1}{2}(p-1)H(n)\}$$(1 \leq n\leq p-1)$.

に対して $\lambda_{M}=\lambda_{M}(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})\neq 0(\phi\neq\forall M\subset\langle n\})$証明. もし,が成り立つと仮定すると, 命題 3.5 より$a_{1},$ $a_{2},$$\ldots$$a_{n}\in F_{p}^{\cross}$$\mathcal{D}\mathcal{N}^{\cross}(a_{1}, a_{2}, .

..\cdot, a_{n})=D\mathcal{N}^{\cross}(\lambda_{\{1\}}, \lambda_{\{2\}}, \ldots, \lambda_{\{n\}})$$=2^{n}$$\sum$$\frac{1}{2^{l}}\mathcal{N}^{\cross}(\lambda_{A_{1}}, \lambda_{A_{2}}, \ldots, \lambda_{A}.)\mu(0, A)$$A=\{A_{1},A_{2},\ldots,A_{*}\}\in P_{\iota}$が成り立つ. そこで特に $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=1\in F_{p}^{\cross}$ とすると$|M|\neq 0(\phi\neq\forall M\subset\langle n\rangle)$$\mathcal{D}\mathcal{N}_{n}^{x}=2^{n}$$\lambda_{M}=\lambda_{M}(_{\frac{1,1,\ldots,1}{n}})=$

なので, 命題 3.2 および補題 2.5 より$\sum$$\frac{1}{2^{\delta}}\mathcal{N}^{x}(|A_{1}|, |A_{2}|, \ldots, |A_{\delta}|)\mu(0, A)$$A=\{A_{1},A_{2},\ldots,A_{\ell}\}\in P_{n}$$=2^{n} \frac{1}{p}\sum_{A=\{A_{1},A_{2},\ldots,A.\}\in P_{\mathfrak{n}}}\frac{1}{2^{\delta}}\{(p-1)^{s}+(-1)^{s}\frac{1}{2}(p-1)D_{\delta}(v_{A})\}\mu(0, A)$$=2^{n} \frac{1}{p}\{\sum_{A=\{A_{1},A_{2},\ldots,A.\}\in P_{\mathfrak{n}}}(\frac{p-1}{2})^{\delta}\mu(0, A)$$+ \frac{1}{2}(p-1).\sum_{A=\{A_{1},A_{2},\ldots A_{*}\}\in P_{n}},(-1)^{\epsilon}\frac{1}{2^{\delta}}D_{\iota}(v_{A})\mu(0, A)\}$$=2^{n} \frac{1}{p}\{(\frac{p-1}{2})_{n}+\frac{1}{2}(p-1)H(n)\}$が成り立っ.

4. 類数公式の組合せ論的変形
この節で私達は定理 1 の証明を行い, 例とともに定理 1 と定理 2 との関連について少し述べる. そこで $\theta=\exp(2\pi i/p)$ とおき, $\chi(x)$ で実 2 次体 $Q(\sqrt{P})$ に対するクロネッカー

上の 2 次指標 $\chi(x)$ と同記号を表す. ここでクロネッカー記号は, 第 3 節で定義した一視できることに注意する.
私達はよく知られている次のディレクレの類数公式を出発点とする.
$F_{p}^{\cross}$

126
補題 4.! (ディレクレの類数公式).

定理 1 と同じ記号のもとで,$\prod_{0<n<p}(1-\theta^{n})$$\epsilon^{2h}=\frac{\chi(n)=-1}{\chi(r)=+1\prod_{0<r<p}(1-\theta^{f})}.\cdot$が成り立っ.
$Aa$

ま$N( \theta)=\prod_{0<n<p}(1-\theta^{n})$,$R( \theta)=\prod_{0<r<p}(1-\theta^{f})$$\chi(r)=+1$$\chi\langle n)=-1$

とおき,

さらに $T$ で単数$\epsilon^{2h}$のトレース$\epsilon^{2h}+\epsilon^{-2h}$を表すとする.

命題 4.1. 次が成り立つ:$T= \frac{\{N(\theta)+R(\theta)\}^{2}}{p}-2$.

.

証明. $N( \theta)R(\theta)=\prod_{0<k<p}(1-\theta^{k})=p$ に注意するど$T= \epsilon^{2h}+\epsilon^{-2h}=\frac{N(\theta)^{2}+R(\theta)^{2}}{N(\theta)R(\theta)}=\frac{\{N(\theta)+R(\theta)\}^{2}}{p}-2$となり成り立っ.
さて $1\leq m\leq(p-1)/2$ および $0\leq s\leq p-1$ に対して, 条件 $t_{1}+t_{2}+\cdots+t_{m}\equiv$$s(m\circ dp),$$1\leq t_{1}<t_{2}<...<t_{m}\leq p-1,$ $\chi(t_{i})=1(1\leq i\leq m)$ を満たす組$(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{m})$全体の集合を $W_{m}(s)$ で, その元の個数を $S_{m}(s)=|W_{m}(s)|$ で定義する. さらに各 $0\leq k\leq p-1$ に対して$\alpha_{k}=\sum_{m=1}^{R_{2}^{-1}}(-1)^{m}S_{m}(k)$とおく.

命題 4.2. 次が成り立つ:$R( \theta)=1+\sum_{k=0}^{p.-1}\alpha_{k}\theta^{k}$

証明. $\chi(r)=1$ なる $r(1\leq r\leq p-1)$ を$r_{1},$$r_{2},$.

$\ldots,$$r_{L_{2}^{-\underline{1}}}$

とおくと, 一般に$\prod_{i=1}^{k}(1-\theta^{r;})=1+\sum_{=1}^{k}(-1)^{i}\sum_{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdot<j;\leq k}..\theta^{r+r+\ldots+r}J_{1}j_{2}j_{j}$が成り立つので,$R(\theta)$$=$$g_{\frac{-1}{\prod_{=1}^{2}}}\ell(1-\theta^{r;})=1+(-1)^{i}\sum_{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots<j:\leq z_{\frac{-1}{3}}}\theta^{f}i^{\frac{-1}{\sum_{=1}^{2}}}j_{1^{+\prime}}j_{2^{+\ldots+f}}j_{i}$127$1+ \sum_{=1}^{L_{2}^{-\underline{1}}}(-1)^{i}\sum_{k=0}^{p-1}S_{i}(k)\theta^{k}=1+\sum_{k=0}^{p-1}\alpha_{k}\theta^{k}$$=$.

となり命題が成り立つ.
命題 4.3. $\chi(i)=\chi(j)$ のとき$\alpha:=\alpha_{j}$である.

証明. 各 $1\leq i<i\leq p-1$ に対して $u_{ij}i\equiv j(mod p)$ なる $u_{\ddot{v}}(1\leq u_{ij}\leq p-1)$ を
$=$
考えると,
\chi (ののとき $\chi(u_{ij})=1$ である. そこで各元を を法とする代表元で$\chi(i)$考えるとき,$\varphi_{ij}$

の

$P$

:

で写像
: $W_{m}(i)rightarrow W_{m}(j)(1\leq i<i\leq p-1)$ を定義すると, $\chi(i)=\chi(j)$ のときすべては単射であり, $S_{m}(i)=|W_{m}(i)|=|W_{m}(j)|=S_{m}(j)(1\leq m\leq(p-1)/2)$ なので,$\varphi_{ij}$$W_{m}(i)\ni(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{m})\mapsto(t_{1}\tau\iota_{ij}^{-1},t_{2}u_{ij}^{-1}, \ldots, t_{m:j}u^{-1})\in W_{m}(j)$$\varphi_{ij}$$\alpha:=\sum_{m=1}^{L_{2}^{-\underline{1}}}(-1)^{m}S_{m}(i)=\sum_{m=1}^{L_{2}^{\underline{-1}}}(-1)^{m}S_{m}(j)=\alpha_{j}$$r$

そこで命題 4.3 より $\chi(n)=-1$ なるに対する共通の値\alpha 7 を
で表す.

$n$

がわかる.

に対する共通の値\alpha n を$\alpha_{N}$で, $\chi(r)=+1$ なる、$\alpha_{R}$

命題 4.4. 次を得る:$\alpha_{N}+\alpha_{R}=-\frac{2}{p-1}(1+\alpha_{0})$.

証明. 各 $1\leq m\leq(p-1)/2$ に対して, 条件 $1\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{m}\leq p-1,$ $\chi(t_{i})=$$1(1\leq i\leq m)$を満たす組$(t_{1},t_{2}, \ldots, t_{m})$全体の集合を$V_{m}$

で表すと,$\sum_{0<r<p,\chi(r)=+1}S_{m}(r)\}$$\sum_{m=1}^{L_{2}^{-\underline{1}}}(-1)^{m}|V_{m}|=(-1)^{m}m^{g_{\frac{-1}{\sum_{=1}^{2}}}}\{S_{m}(0)+$$\sum_{0<n<p,\chi(n)=-1}S_{m}(n)+$$= \sum_{m=1}^{L_{2}^{-\underline{1}}}(-1)^{m}S_{m}(0)+$$\sum_{0<r<p,\chi(r)=+1}\sum_{m=1}^{L_{2}^{-\underline{1}}}(-1)^{m}S_{m}(r)A$$\sum_{0<n<p,\chi\langlen)=-1m^{\frac{-1}{\sum_{=}^{2}}}1}(-1)^{m}S_{m}(n)+.$$=\alpha 0+$$\sum_{0<n<p,\chi\langle n)=-1}\alpha_{n}+$が成り立つ. 一方$\sum_{0<r<p_{1},\chi(r)=+}\alpha_{f}=\alpha_{0}+\frac{p-1}{2}(\alpha_{N}+\alpha_{R})$$\sum_{m=1}^{L_{\frac{-1}{2}}}(-1)^{m}|V_{m}|=\sum_{m=1}^{L_{\frac{-1}{2}}}(-1)^{m}(\begin{array}{l}L^{-\underline{1}}2m\end{array})=-1$なので命題が成り立つ.

命題 4.5. 次が成り立つ:$N( \theta)+R(\theta)=\frac{2p}{p-1}(1+\alpha_{0})$.

証明. 命題 4.2 より $R(\theta)=1+\alpha_{0}+$$\sum_{0<n<p,\chi(n)=-1}\alpha_{n}\theta^{n}+$$\sum_{0<r<p,\chi(r)=+1}\alpha_{f}\theta^{f}=1+\alpha_{0}+\alpha_{N}$$\sum_{0<n<p,\chi\{n)=-1}\theta^{n}$128であり, また $\chi(s)=-1$ なる$+ \alpha_{R}\sum_{0<t<p}\theta^{f}$$s$に対して $N(\theta)=R(\theta^{8})$ に注意すると$\chi(f)=+1$が$N(\theta)=1+\alpha 0+\alpha_{N}$$\sum_{0<n<p,\chi\langle n)=-1}\theta^{\epsilon n}+\alpha_{R}\sum_{\chi(r)=^{<}+^{p}1}\theta^{\iota r}0<\cdot=1+\alpha_{0}+\alpha_{N}$ $\sum_{0<,\chi(r)^{f}=^{<}+^{p}1}\theta^{f}+\alpha_{R}$$\sum_{0<n<p,\chi(n)=-1}\theta^{n}$

成り立っ.
ゆえに

$\sum_{0<n<p}\theta^{n}+\sum_{0<r<p}\theta^{f}=\sum_{k=1}^{p-1}\theta^{k}=-1$

および命題 4.4 より$\chi(f)=+1$$\chi(n)=-1$$N( \theta)+R(\theta)=2(1+\alpha_{0})+\frac{2}{p-1}(1+\alpha_{0})=\frac{2p}{p-1}(1+\alpha_{0})$が成り立っ.
命題 4.6. 次が従う :$\alpha_{0}=-\frac{1}{p}+\frac{p-1}{2p}\sum_{m=1}^{L_{2}^{\underline{-1}}}(-1)^{m}\frac{1}{m!}H(m)$.

証明. 各 $1\leq m\leq(p-1)/2$ に対して

$D\mathcal{N}_{m}^{\cross}$

なので,

$=$

$|\{(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{m})\in F_{p}^{m}|t_{i}^{2}\neq^{\dot{s}}t(1\leq^{\leq_{i}\leq^{m}m^{=0}’}t_{1}^{2}+t_{j^{2}}^{2}+\cdots+_{i_{<}}t_{j\leq^{)_{m)}}}^{2}t\neq_{2}0(1,\}|$$=$$2^{m}|\{(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{m})|t\not\equiv t(1nodp)(1\leq^{i}i<j\leq^{p_{m)}}t_{i^{1}}+t+\cdots+t\equiv 0(mod )\chi_{j}^{2}(t_{i})=1(1^{m}\leq\leq m),\}|$$=$$2^{m}m.!|\{(t_{1}, t_{2}, \ldots,t_{m})|t+t+\cdots+t..\equiv 0_{m}(mod p)_{1}1^{1}\leq t<t_{2}<<t\leq\chi_{1}^{2}(t.\cdot)=1(.1^{m}\leq i\leq m)_{p-}\}|$$=$$2^{m}m!S_{m}(0)$$S_{m}(0)=(1/2^{m})(1/m!)D\mathcal{N}_{m}^{x}(1\leq m\leq(p-1)/2)$が成り立つ.

ゆえに命題 3.6 より$\alpha_{0}$

$=$

$=$

$=$

$m^{\frac{-1}{\sum_{=1}^{2}}} \epsilon(-1)^{m}S_{m}(0)=\sum_{m=1}^{L_{\frac{-1}{2}}}(-1)^{m}\frac{1}{2^{m}}\frac{1}{m!}\mathcal{D}\mathcal{N}_{m}^{x}$$\frac{1}{p}\{_{m^{g_{\frac{-1}{\sum_{=1}^{2}}}}}(-1)^{m}(\begin{array}{l}e_{\frac{-1}{2}}m\end{array})+\frac{1}{2}(p-1)\sum_{m=1}^{L_{2}^{-\underline{1}}}(-1)^{m}\frac{1}{m!}H(m)\}$$- \frac{1}{p}+\frac{p-1}{2p}(-1)^{m}\frac{1}{m!}H(m)m^{\frac{-1}{\sum_{=1}^{2}}}\epsilon$

129が成り立っ.
次に $q_{i}=(1+\chi(i)\sqrt{P})/2(1\leq i\leq(p-1)/2)$ とおき, また実 2 次体 Q( 力の整数$\sqrt{}$$x$に対してその共役元を万で表す.
命題 4.7. 各 $1\leq m\leq(p-1)/2$ に対して$(-1)^{m} \frac{1}{m!}H(m)=\mathcal{I}_{m}(q_{1},q_{2}, \ldots, q_{m})+\mathcal{I}_{m}(\overline{q_{1}},\overline{q_{2}}, \ldots,\overline{q_{m}})$

を得る.
証明.

$v_{A}=v(|A_{1}|, |A_{2}|, \ldots, |A_{w_{A}}|)=|\{A: ; \chi(|A_{i}|)=-1\}|=\sum_{(\chi^{1\leq\leq n}i)^{i}=-1}c_{:}^{A}$

および WA–VAに注意すると,$=| \{A;\chi(|A_{i}|)=+1\}|=\sum_{(x^{1\leq\leq n_{1}})^{i}=+}^{\cdot}c_{i}^{A}$$D_{w_{A}}(v_{A})=(1+\sqrt{p})^{w_{A}-v_{A}}(1-\sqrt{p})^{v_{A}}+(1+\sqrt{p})^{v_{A}}(1-\sqrt{p})^{w_{A}-v_{A}}$:$= \prod_{:\chi^{1<i\leq}(\gamma=+^{n_{1}}}(1+\sqrt{p})^{c^{A}}:$ $\prod_{1\leq\cdot\leq n,\chi(:)=-1}(1-\sqrt{p})^{c_{i}^{A}}+$$\prod_{1\leq\leq n,\chi(i)^{i}=-1}(1+\sqrt{p})^{c_{i}^{A}}\prod_{i\chi^{1<i\leq}(\gamma=+^{n_{1}}}(1-\sqrt{p})^{c^{A}}$:$= \prod_{1\leq:\leq n}(1+\chi(i)\sqrt{p})^{c_{i}^{A}}+\prod_{1\leq:\leq n}(1-\chi(i)\sqrt{p})^{c^{A}}$が成り立っ.
ゆえに補題 2.6, 2.8 および系 2.7.1 より各 $1\leq m\leq(p-1)/2$ に対して$(-1)^{m} \frac{1}{m!}H(m)=(-1)^{m}\frac{1}{m!}\sum_{A\in P_{m}}(-1)^{w_{A}}\frac{1}{2^{w_{A}}}D_{w_{A}}(v_{A})\mu(0, A)$:$=(-1)^{m} \frac{1}{m!}\sum_{A\in P_{n}},[(-1)^{w_{A}}\frac{1}{2^{\sum_{:}^{\mathfrak{n}}c_{i}^{A}}=1}\{\prod_{i=1}^{m}(1+\chi(i)\sqrt{p})^{c^{A}}$$+ \prod_{i=1}^{m}(1-\chi(i)\sqrt{p})^{c^{A}}:\}(-1)^{m.+w_{A}}\prod_{i=1}^{m}\{(i$$1)!\}^{c^{A}}:]$

一$= \frac{1}{m!}\sum_{A\in P_{m}}\{\prod_{i=1}^{m}\{(i-1)!\}^{c^{A}}:\}\{\prod_{i=1}^{m}q_{i}^{c_{i}^{A}}+\prod_{i=1}^{n}arrow q_{i}^{A}i\}$$= \frac{1}{m!}\sum_{m}^{*}\frac{m!}{\prod_{i=1}^{m}\{c_{1}!\cdot(i!)^{c_{1}}\}}\{\prod_{i=1}^{m}\{(i-1)!\}^{c_{i}^{A}}\}\{\prod_{i=1}^{m}q_{\dot{a}}^{c_{i}^{A}}+\prod_{1=1}^{m}\overline{q_{i}}^{c^{A}}:\}$$= \frac{1}{m!}\sum_{m}^{*}\frac{m!}{\prod_{i=1}^{m}\{c_{i}!\cdot i^{c_{1}}\}}\{\prod_{=1}^{m}q_{i^{:}}^{c^{A}}+\prod_{i=1}^{m}arrow q_{i^{j}}^{A}\}$$=\mathcal{I}_{m}(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m})+\mathcal{I}_{m}(\overline{q_{1}},\overline{q_{2}}, \ldots,\overline{q_{m}})$130が成り立つ.
命題 4.8. 次が祥う:$N(\theta)+R(\theta)=\{\mathcal{I}_{m}(q_{1},q_{2}, \ldots,q_{m})\dotplus \mathcal{I}_{m}(\overline{q_{1}},\overline{q_{2}}, \ldots,\overline{q_{m}})\}m^{g_{\frac{-1}{\sum_{=}^{2}}}}0$

証明.

命題 4.6, 4.7, 3.8 および為 $=1$ に注意すると,$N( \theta)+R(\theta)=\frac{2p}{p-1}(1+\alpha_{0})=2+\sum_{m=1}^{0}(-1)^{m}\frac{1}{m!}H(m)L_{\sim}^{-\underline{1}}$.

$=2+ \sum_{m=1}^{0}\{\mathcal{I}_{m}(q_{1}, q_{2}, \ldots,q_{m})+\mathcal{I}_{m}(\overline{q_{1}},\overline{q_{2}}, \ldots,\overline{q_{m}})\}L_{\sim}^{-\underline{1}}$$= \sum_{m=0}^{L_{2}^{-\underline{1}}}\{\mathcal{I}_{m}(q_{1},q_{2}, \ldots,q_{m})+\mathcal{I}_{m}(\overline{q_{1}},\overline{q_{2}}, \ldots,\overline{q_{m}})\}$

が成り立っ.
定理 1 の証明. $\mathcal{I}_{n}(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n})=(a_{n}+b_{n}\sqrt{p})/2(n\geq 0)$ とおくと,$(a_{n}-b_{n}\sqrt{p})/2$ に注意して$\mathcal{I}_{n}(\overline{q_{1}},\overline{q_{2}}, \ldots,\overline{q_{n}})=$$N( \theta)+R(\theta)=\sum_{m=0}^{L_{2}^{-\underline{1}}}\{\mathcal{I}_{m}(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m})+\mathcal{I}_{m}(\overline{q_{1}},\overline{q_{2}}, \ldots,\overline{q_{m}})\}=a_{m}m^{g_{\frac{-1}{\sum_{=}^{2}}}}0$なので, 命題 4.1 より$T= \frac{\{N(\theta)+R(\theta)\}^{2}}{p}-2=\frac{1}{p}\{\sum_{m=0}^{R_{\sim}^{-1}}a_{m}\}^{2}-2$が成り立っ.
また$a_{n},$$b_{n}(n\geq 0)$に関する漸化式については,.

$(n\geq 0)$$a_{n}$$=$$\{\mathcal{I}_{n}(q_{1}, q_{2}, \ldots,q_{n})+\mathcal{I}_{n}(\overline{q_{1}},\overline{q_{2}}, \ldots,\overline{q_{n}})\}$$b_{n}$$=$$\frac{1}{\sqrt{p}}\{\mathcal{I}_{n}(q_{1}, q_{2}, \ldots,q_{n})-\mathcal{I}_{n}(\overline{q_{1}},\overline{q_{2}}, \ldots,\overline{q_{n}})\}$,$(n\geq 0)$

および補題 2.9 よりわかる.
例.

$p=229$ のとき, 各$a_{n},$$b_{n}(n\geq 0)$

は表 1 のようになり, これより $T=$ 11696402がわかる. ゆえにペル方程式 $T^{2}-pU^{2}=4$ より $\epsilon^{2h}=\frac{11696402+772920\sqrt{229}}{2}$ となり,$\epsilon=\frac{15+\sqrt{229}}{2}$なので $h=3$ がわかる.

131
注意.
$a_{n},$$N=(p-1)/4$ とおくとき, 定理 2 の中の $d_{n}(1\leq n\leq N)$ は定理 1 の中の$b_{n}(1\leq n\leq N)$を使って$d_{n}= \frac{a_{n}+b_{n}\sqrt{p}}{2}$と表せ,$(1\leq n\leq N)$

さらに $\mathcal{I}_{n}(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n})=(a_{n}+b_{n}\sqrt{P})/2$ より$d_{n}=\mathcal{I}_{n}(q_{1},q_{2}, \ldots,q_{n})$$(1\leq n\leq N)$とも表せる.

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Graduate School of Science and Engineering
Saga University
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132

表 1. $p=229$ のときの各$a_{n},$$b_{n}$の値