修士論文 要旨

A Study on Music Similarity by Recurrence Plots
リカレンスプロットを用いた楽曲の類似度に関する研究
数理情報学専攻 66212
指導教員

澤井 賢一
合原 一幸 教授

す点の数の割合は，二つの時系列を生成する法則の類似

1 はじめに度を示す指標として用いられている．

近年の科学技術の発達により，個人が所有，アクセスできる情報の量は急速に増えている．またそれに伴い，

3 リカレンスプロットによる楽曲間類似度

文字情報だけでなく，音声や映像情報も多く流通するよ本研究では， i 番目から i + n − 1 番目までの n 個のうになった．そのため音楽情報処理の研究は，現在注目音符の列を，時刻 i におけるデータとみなす．そして，される研究分野の一つとなっている．その中でも類似n 個の音符列間に距離を定めることで，リカレンスプ度に関しては，音楽情報検索システムとの関わりから，ロットを楽譜に適用する．本研究では n 個の音符列に多くの研究が行われている．

対する距離関数として二つのものを提案し，それぞれ本

しかし，従来の類似度は短いフレーズが対象であり，節と次節で論じる．

楽曲全体の類似度を測ることには不向きであった．本

一つ目の手法では，音高とリズムの情報をもとに音符研究では，楽譜に時系列データ解析のための手法を適用

列間の類似度を定義し，これを距離関数と見る．この方することで，楽曲全体の情報を反映させて類似度を測る法で，三つの楽曲に対してクロスリカレンスプロット手法を提案する．

を適用し，前節で述べた特徴量の値を比較した．その結

2 リカレンスプロット
リカレンスプロットは，本来複雑な時系列データを視覚的に解析するために提案された手法である [1]．特に本研究では，リカレンスプロットから派生したクロスリカレンスプロットという手法を扱う．二つの時系

果，より似ていないとした楽曲の組に比べ，より似ていると感じる楽曲の組のクロスリカレンスプロットの二つの特徴量は，いずれも大きな値となった．

4 n-グラムモデルとリカレンスプロットの関係

列 xi , yj (i = 1, 2, . . . , M, j = 1, 2, . . . , N ) に対する

本節では前節とは異なり，音高の情報のみを用いる．

クロスリカレンスプロットとは，時刻 i, j におけるそれまた，同じ音名の音は同一視して扱う．すなわち，高ぞれのデータの値がある閾値より近いときに，平面上に音域にある「ド」も低音域にある「ド」も同じものとみ

点 (i, j) をプロットしたものである．具体的には次のよなし，扱う音高は { ド, ド♯, . . . , シ } の 12 種類とする．

{1Rij (ϵ) =0

うに定義される：(||xi − yj || < ϵ),otherwise.

そして，二つの音符列間の距離は，音高の列が一致したら 0，一カ所でも音高が異なれば ∞ とする．このような距離のもとで二つの楽曲間のクロスリカレンスプ

ただし ϵ は閾値で，また，Rij (ϵ) = 1 なる (i, j) がプロットを考えると，プロットされる点の数は，長さ n のロットする点を表す．

パターンの一致具合を表す．このクロスリカレンスプ

ある二つの時系列データに対するクロスリカレンス
プロットには，二つのデータが近い値を取りやすいとロットは， n-グラムモデルを用いた判別問題と関連付けることができる．

き，取りにくいときに比べてより多くの点がプロットさn-グラムモデルは，もともと自然言語処理の分野で広れる．そのため，プロットされうる点の数に対する実際く用いられてきた手法である．n-グラムとは，文章中にプロットされた点の数の割合は，二つの時系列データに含まれる長さ n の部分文字列のことで，各 n-グラムの類似度を測る指標とされている．の頻度を数え，その分布から文章の特徴を抽出するのまた，二つのデータ値が同じような推移をすると，たが n-グラムモデルである．この n-グラムモデルとリカ

とえば (i, j), (i + 1, j + 1), . . . , (i + l, j + l) がプロッレンスプロットの関係を説明するにあたり，まず一般的トされ，対角方向と平行な線分が現れる．このため，プな線形判別問題について述べる．ここでは，ある楽曲にロットされた点の数に対する対角線と平行な線分をなリカレンスプロットを用いた楽曲の類似度に関する研究 (澤井 賢一)∑

おける n-グラムの頻度ベクトルを楽曲の特徴ベクトル

内積は， xT
i xj =と考える．そして，特徴ベクトルに対する線形判別関数の二つの楽曲に対するクロスリカレンスプロットにおを訓練用の楽譜から算出する．

いて，パターン p に一致したことによる点だけ取り出す
Tp∈P ni (p)nj (p) と表わされる．こベクトル x に対する線形判別関数 f (x) = β x は，と，二辺が ni (p), nj (p) 個の点からなる長方形の格子と値の正負によって x が二つのクラスのどちらに属すなる．そして，その長方形をなす点の数は ni (p)nj (p)るかを判別する．ここでは関数を特徴づける定ベクトである．すべてのパターンに対してそれぞれに対するル β を，訓練用の楽譜から最小二乗法で求めることを長方形格子を考えれば，このクロスリカレンスプロット考える．すなわち，訓練用楽譜を x1 , x2 , . . . , xN ，それに現れる点の総数はらを横に並べた行列を X ，第 i 成分が xi の属するクラすなわち，特徴ベクトルの内積と一致する．

∑p∈P ni (p)nj (p) と表わされる．

スを表した教師信号ベクトルを y ∈ {−1, 1}N として，特徴ベクトルとして成分の和が 1 となるよう正規化

min. ||y − X T β||2 + λ||β||2 ,したものを考えれば，特徴ベクトルの内積はクロスリカ

β

レンスプロットでプロットされる点の数の割合に対応を解く．ただし λ は，判別関数が訓練用楽譜に対して過学習を起こさないためのパラメータである．この問
題の解は解析的に，する．この判別問題を 3 人の作曲家に対して適用した
ときの，部分列の長さ n と正答率の関係を図 1 に示す．
判別自体はリカレンスプロットを用いなくてもできる

β = (XX T + λI)−1 Xy,が，リカレンスプロットを用いることで計算量が減り，と求まる．この問題は，変数変換 β = Xα を行ってもより大きな n に対する問題も容易に扱うことができる．

等価であることが知られている．この変換により判別正答率の算出は，クロスバリデーションにより行った．

関数は f (x) = αT X T x となる．また解くべき問題は，この結果より，作曲家 C1 は n-グラムモデルにより特T訓練用楽譜の特徴ベクトルのグラム行列を K = X X徴が表せるという結論が得られた．と書くとmin. ||y − Kα|| + λα Kα,Tαとなり，その解は

α = (K + λI)−1 y,となる．ここで，判別関数に現れるベクトル (X T x) は，判別したい楽譜の特徴ベクトル x と楽譜 xi との内積を第 i 成分に持つベクトルで，行列 K も訓練用楽譜のpercentage of correct answers

902C85C80

12& C& C23C3 & C 1757065605550
451234567state length n

特徴ベクトル同士の内積が成分である．すなわち，この図 1. 3 人の作曲家の判別の結果．

変数変換を行うことで，各特徴ベクトルが陽に分かっていなくとも，お互いの内積が別に計算できれば，この判別問題を考えることができる．今考えている特徴ベク

5 おわりにトルは大きさが 12n で，行列 X を含む演算には大きな1-グラムに対応するリカレンスプロットにおいて，対空間計算量が必要となる．しかし，上のような変数変換

角方向と平行な長さ 3 の線分は， 3-グラムの一致がにより，計算すべき問題の規模を小さくすることができあったことを意味する．つまり， 1-グラムのリカレンる．このように，高次元の特徴空間を介さずに内積の値

スプロットには ∀n ≥ 2 に対する n-グラムの情報が含を用いることで問題の規模を縮小化することは，一般にまれる．すべての n に対する情報を包括的に扱う手法

カーネルトリックと呼ばれている．

を提案することが，今後の課題の一つである．

次に，本節で考えるリカレンスプロットにより，特徴ベクトル間の内積が求まることを示す．二つの楽曲 si , sjに対する特徴ベクトルを xi , xj とする．また，長さ n の音高パターンの集合を P = {p1 , p2 , . . . , pq } (q = 12n )とし，楽曲 si , sj 中にパターン p が出現する回数をそれぞれ ni (p), nj (p) で表す．このとき二つのベクトルの参考文献[1] Jean-Pierre Eckmann, Sylvie Oliﬀson Kamphorst, andDavid Ruelle. Recurrence plots of dynamical systems.
Europhysics Letters, 4(9):973–977, 1987.