5いろいろな確率─ 49

例題 1₄ 期待値
黒玉4個と白玉3個が入っている箱の中から3個の玉を同時に取り出すとき，取り出される白玉の個数の期待値を求めよ．
解取り出される白玉の個数をXとすると，Xのとりうる値は0，1，2，3である．
Xがそれぞれの値をとるときの確率を求めると，
X＝0 のとき， 4C34＝
C3 35

X＝2 のとき， 3C2×4C1 12＝35
7C37X＝1 のとき， 3C1×4C2 18＝357C3C31＝357C3

X＝3 のとき， 3

よって，求める期待値は，0･X

0

123

計

確率

435

18351235

135

141812145 9＋1･ ＋2･ ＋3･ ＝ ＝3535
3535 35 751 25 本のくじの中に当たりくじが5本ある．このくじを3回続けて引いたときの当たりくじの本数の期待値を求めよ．ただし，引いたくじはそのつどもとに戻すものとする．

52 ジョーカーを除いた 52 枚のトランプから同時に2枚を引くとき，その中のエースの枚数の期待値を求めよ．

53 赤玉が3個，白玉が6個入っている袋の中から，玉を1個ずつ，もとに戻さずに3個続けて取り出すとき，取り出された赤玉の個数の期待値を求めよ．

54 箱の中に1のカードが1枚，2のカードが2枚，3のカードが3枚，4のカードが4枚入っている．
この中から1枚のカードを引いてその数を読み，それをもとに戻してから再び1枚を引いてその数を読む．このとき，2つの数の和の期待値を求めよ．

55 袋の中に赤玉4個，白玉6個が入っている．この中から玉を1個ずつ取り出していき，白玉が出たら玉を取り出すのをやめる．このとき，取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ．

●ポイント
試行の結果によってその値が定まる変数Xがあり，Xのとりうる値が ≈1，≈2，…，≈n として，そ①れぞれの値をとる確率が p1，p2，…，pn であるとき，≈1p1＋≈2p2＋……＋≈npn

≈1

≈2……

≈n計

確率 p1p2…… pn1X

を，変数Xの期待値という．

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50 ─第 1 章／場合の数と確率
例題 15 期待値の利用
コインを4回投げて，表の出た枚数だけ 100 円硬貨をもらえるゲームがある．このゲームの参加料が 180 円のとき，このゲームに参加するのは得であるか，損であるかを答えよ．
解もらえる金額の期待値が参加料より大きければ参加するのは得，小さければ参加するのは損と判断する．
もらえる金額をXとすると，Xのとりうる値は0，100，200，300，400 である．
コインを1回投げるとき，表が出る確率は1だから，Xがそれぞれの値をとるときの確率は，
21 0
1 4 C
1X＝0 のとき，4C0  1−  ＝ 4 40 ＝
 2 2 216C
6X＝200 のとき， 4 42 ＝216C
4
同様にして，X＝100 のとき， 4 41 ＝216C
4X＝300 のとき， 4 43 ＝216

このゲームでもらえる金額の期待値は，
1464
10･ ＋100･ ＋200･ ＋300･ ＋400･1616161616C
1X＝400 のとき， 4 44 ＝216

X

0

100

200300400

計

確率116416616

416

116

1＝200 (円)
参加料より大きいから，参加するのは得である．

56 赤玉2個，白玉3個，黒玉4個が入っている袋から玉を1個取り出し，赤玉が出たら 400 円，白玉が出たら 150 円もらえ，黒玉が出たら 200 円を支払うゲームがある．このゲームに参加することは得であるか，損であるか答えよ．

57 6枚のカード₁，₂，₃，₄，₅，₆が入っている箱から同時に2枚のカードを取り出し，カードに書かれている2つの数の和の50倍の賞金がもらえるゲームがある．ゲームの参加料が400円のとき，このゲームに参加するのは得であるか，損であるか答えよ．

58 当たりくじ4本を含む 10 本のくじから，同時に3本を引くとき，当たりくじ1本について 100 円もらえるゲームがある．参加料が 100 円のとき，このゲームに参加するのは得であるか，損であるか答えよ．

59 A，B2 人が1個のさいころを2回ずつ投げ，出る目の数の差の絶対値が小さい方が賞金 900 円をもらい，引き分けなら 450 円ずつもらえるゲームがある．ところが，1回目にAが3，Bが5の目を出したところで停電になり，ゲームを中止した．このままゲームを続行するとしたときの，A，Bそれぞれがもらえる賞金額の期待値を求めよ．

●ポイント
①

ゲームに参加するのが得であるか損であるかは，受けとる金額の期待値と，参加料のどちらが大きいかによって判断する．

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混合問題─ 51

A

1

A，B，C，D4人の学生が，ある資格試験に合格する確率はそれぞれ

1
1
1
1， ， ， である
3456という．
⑴

ちょうど1人だけ合格する確率を求めよ．

⑵

少なくとも2人が合格する確率を求めよ．

2

あるゲームでAがBに勝つ確率はつねに一定で2とする．A，Bがゲームをし，先に3ゲーム3勝った方を優勝とする．ただし，引き分けはないものとする．

3⑴

3ゲーム目で優勝が決まる確率を求めよ．

⑵

4ゲーム目までしてAが優勝する確率を求めよ．

⑶

5ゲーム目までしてAが優勝する確率を求めよ．

箱の中に1のカードが1枚，2のカードが2枚，3のカードが3枚，4のカードが4枚入っている．この中から1枚ずつ続けて3枚のカードを取り出してその数を読む．ただし，取り出したカードはもとに戻さないものとする．
⑴

3枚目に取り出したカードの数が3である確率を求めよ．

⑵

3枚のカードの数がすべて同じとなる確率を求めよ．

⑶

3枚のカードの数の和が10となる確率を求めよ．

B

45

6

A，Bの2人が硬貨を投げる．Aは4回，Bは5回投げるものとする．
⑴

Aが表を3回出し，Bが表を2回出す確率を求めよ．

⑵

Aが表を出す回数よりもBが表を出す回数の方が多い確率を求めよ．

4人でじゃんけんを1回するとき，次の確率を求めよ．
⑴

1人だけが勝つ確率⑵

あいこになる確率

5回に1回の割合でかさを忘れてくるくせのあるK君が，A，B，Cの3軒をこの順に訪問して家に帰ったとき，かさを忘れてきたことに気付いた．2番目の家Bに忘れてきた確率を求めよ．

■ヒント

6

A，B，Cのどこかに忘れてくるという事象をE，Bに忘れてくるという事象をFとすると，求める確率は PE(F)である．まず，P(E)を余事象の確率を利用して求める．

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52 ─第 1 章／場合の数と確率Ａ1

Uを全体集合とし，その部分集合をA，Bとする．n(U)＝100，n( A∪B)＝90，n( A∩B)＝20，n( A∩B)＝30 のとき，次の値を求めよ．
⑴

2n( A)⑵

n(B)⑶n( A∩B)⑷

n( A∩B)

7個の数字0，1，2，3，4，5，6から，異なる4個の数字を取って並べ，4桁の整数をつくるとき，偶数は何個できるか．

3

大人6人と子供6人が丸いテーブルについて食事をするとき，大人と子供が交互に並ぶ座り方は何通りあるか．

4

5個の異なる箱に，異なる4個の玉をかってに入れるとすると，何通りの入れ方があるか．

5

次の問いに答えよ．
⑴

男子10人，女子10人から4人を選ぶとき，少なくとも男子が1人含まれる場合は何通りあるか．

⑵

15人を5人，5人，5人の3組に分ける方法は何通りあるか．

6

袋の中に赤玉5個，青玉8個，白玉7個が入っている．この中から3個の玉を同時に取り出すとき，次の確率を求めよ．
⑴

赤玉が2個以上出る確率⑵

玉の色が2色以上となる確率

7

1枚のコインを7回投げるとき，7回目に，ちょうど3回目の表が出る確率を求めよ．

8

5題のうち3題以上解いた生徒を合格とする試験がある．4題のうち平均して3題解ける生徒がこの試験に合格する確率を求めよ．

1等

4等あるか，損であるか答えよ．ただし，1等，2等，3等，4等それぞれが当た3等の中心角の大きさの比が 1：2：3：4 のとき，このゲームに参加するのは得で

2等

2等

150 円，4等を当てると 100 円がもらえる．1等，2等，3等，4等それぞれ

3等

4等

右のような半径1の円で作ったルーレットを使ったゲームがある．参加料が 200 円で，1等を当てると 600 円，2等を当てると 300 円，3等を当てると1等9る確率の比は，それぞれの面積比に等しいものとする．

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章末問題─ 53

Ｂ
1300以下の自然数のうち，次のような数はいくつあるか．
⑴

3，5，7のうち，少なくとも1つで割り切れる数⑵

3でも5でも7でも割り切れない数⑶

3では割り切れるが，5でも7でも割り切れない数

2

赤玉5個，白玉3個，黄玉2個，青玉1個を円形に並べる方法は何通りあるか．

3

nを3以上の自然数とするとき，次の問いに答えよ．
⑴

n人をA，B，Cの3つの部屋に入れる方法は何通りあるか．ただし，空になる部屋があってもよい．

⑵

n人をA，B，Cの3つの部屋のうちの2つに入れる方法は何通りあるか．

⑶

n人を3つの組に分ける方法は何通りあるか．

4

8人のレスラーがトーナメント戦を行う．次の問いに答えよ．
⑴

異なる組合せ方法は何通りあるか．

⑵

8人には実力差があり，試合ではつねに実力上位の者が勝つと想定する．このとき，実力3位の者が決勝戦に進出するような組合せ方法は何通りあるか．

5

袋Aには赤玉2個，白玉3個が入っていて，袋Bには赤玉2個，白玉2個が入っている．袋Aから1個の玉を取り，赤白を確認したあと，その玉を袋Bに入れる．次に，袋Bから1個の玉を取り，赤白を確認したあと，その玉を袋Aに入れる．以上を1回の試行とする．
⑴

1回の試行の後，袋Aに赤玉が2個，白玉が3個入っている確率を求めよ．

⑵

2回の試行の後，袋Aに赤玉がなくなる確率を求めよ．

6

4個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和が9以下になる確率を求めよ．

7

9個の白玉と1個の赤玉の入った袋Aと，8個の白玉と2個の赤玉の入った袋Bがある．コインを投げて表が出たらAの袋から玉を1個取り出し，裏が出たらBの袋から玉を1個取り出す．取り出した玉はもとに戻さず，続けて同じようにして玉を取り出す．こうして，2個の玉を取り出す．
⑴

1回目に赤玉を取り出す確率を求めよ．

⑵

1回目と2回目に赤玉を続けて取り出す確率を求めよ．

⑶

2個の玉のうち少なくとも1個が赤玉であったという条件の下で，1回目のコインが表であった確率を求めよ．

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