数理解析研究所講究録 1275 巻 2002 年 119-125

119

The spectrum of the infinitely extended
Sierpinski lattice
白井朋之 (東工大理工学研究科)

1

はじめに無限に広がったシエルピンスキー格子上のラプラシアンのスペクトルについて, まずその固有値と状態密度が福島・島によって計算された [1].
その後, A. Teplyaev はスペクトルが純点スペクトルであること, つまり固有関数全体がシエルピンスキー格子上の \ell 2-空間の正規直交基底をなすことを証明した [5].
定理 Ll ([1], [5]). $S_{n}(n\geq 2)$ を n-次元の無限に拡がったシエルピンスキー格子とする. このとき,$Spec(- \Delta_{S_{n}})=\cup k=0\infty\{\{g^{-k}(\frac{n+1}{2n})\}\cup\{g^{-k}(\frac{n+3}{2n})\}\}\cup\{\frac{n+1}{n}\}$ただし, $g(x)=-2nx^{2}+(n+3)x$ で,るラプラシアンである.

$\Delta_{S_{n}}$は$S_{n}$上の単純酔歩に対応すのいずれの場合も有限シェルピンスキー格子からの近似によって上の定理 1.1 を得ている. このノートでは, 無限シエルピンスキー (プ$[1, 5]$レ) 格子が正則グラフ上のある写像 (パラライングラフ) の固定点であるという事実と, 無限グラフとそのライングラフ・パラライングラフの上のラプラシアンのスペクトル集合の間の関係を用いて, 少し異なった視点から定理 1.1 を証明する.

このノートでシエルピンスキー格子というときは以下で定義するものの標準基底,を零ベクトルとする.
をを指す (図 1 参照).
をを $\varphi_{i}(x)=\frac{1}{2}(x+e_{i})(0\leq i\leq n)$ (こよって定義し,:$\{e_{i}\}_{i=1}^{n}$$\mathrm{R}^{n}$$e_{0}$$\mathrm{R}^{n}arrow \mathrm{R}^{n}$$\varphi_{i}$$V_{0}=\cup\{(1-t)e_{i}+te_{j}\in \mathrm{R}^{n}0\leq i\neq j\leq n ; 0\leq t\leq 1\}$

$V_{0}$

120

図 1: シエルピンスキー格子 $S_{n}(n=2)$として帰納的に$V_{n}=\cup\varphi:i=1n(V_{n-1})$とする. さらに,,

$V_{-n}=\varphi_{0}^{-n}(V_{n})$を無限グラフと見なす. この無限グラフのコピー
は原点を除いて次数 $2n$ で, 原点の次数は である.
を用意して, 原点で同一視したものをとする. こうやっ
$2n$て構成されたを n-次元シエルピンスキー格子と-正則無限グラフ
呼ぶ.
$\overline{S_{n}}=\bigcup_{n\geq 0}V_{-n}$$\overline{S_{n}}$$n$$\overline{S_{n}-}\cup\overline{S_{n}’}/\sim 0$$\overline{S_{n}’}$$S_{n}$$S_{n}$

2

ライングラフとパラライングラフ

グラフ $G=(V(G), A(G))$ とは頂点集合 $V(G)$ と (両方向の) 向きのついた辺集合 $A(G)$ の組であるとする. $e\in A(G)$ に対して,は逆向きの辺を表わすことにする. (ちなみに $e\in A(G)$ ならばである.)
頂点 $o(e),$ $t(e)$ をそれぞれ辺 の始点と終点とする.
$A_{x}(G)$ は頂点 $x\in V(G)$ の近傍の辺集合で, $A_{x}(G)=\{e\in A(G)|o(e)=$$x\}$ で定義されるものとし,点 における次数を $\deg(x)=|A_{x}(G)|$ によって定義する. 任意の $x\in V(G)$ に対して $\deg(x)=d$ であるグラフを d正則グラフという. 以下, グラフ $G$ は連結でかつ正則であるとし, d-正則グラフ $G$ 上のラプラシアン \Delta 。は$\overline{e}$$\overline{e}\in A(G)$

$e$

$x$

$\Delta_{G}f(x)=\frac{1}{d}\sum_{e\in A_{x}(G)}f(t(e))-f(x)$121によって定義されたものを上で考える. 任意のグラフ $G$ に対して, $Spec(-\Delta_{G})\mathrm{c}[0,2]$ となることを注意しておく.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}(V(G))$

2.1

ライングラフ

表題にあるライングラフとはグラフ理論でしばしば用いられるグラフの一つの変形である. ラフには, 元々のグラフの辺を頂点とするグラフであると言ってよい. 通常ライングラフの定義は単純グラフ (自己ループや多重辺を持たないグラカ に対して与えられるが, ここでは自己ループや多重辺を持つグラフに対しても定義を与えよう.
定義 2.1. グラフ $G=(V(G), A(G))$ に対して, 以下の性質で定まるグラ
フを $G$ のライングラフと言い, $L(G)$ と表わす.

1. $V(L(G))=\{[e]|e\in A(G)\}$ ,2. $A(L(G))=$ {$(e_{1}$, e2)$|e_{1}\neq\overline{e}_{2},$$t(e_{1})=o(e_{2})$}.

ただし, $e\in A(G)$ に対して $[e]$ は辺の向きを忘れて得られる無向辺である. また,とし, $o(e_{1}, e_{2})=[e_{1}],$ $t(e_{1}, e_{2})=[e_{2}]$ である.
$\overline{(e_{1},e_{2})}=(\overline{e}_{2}, \overline{e}_{1})$$\mathrm{G}$$\mathrm{L}(\mathrm{G})$

図 2: グラフ $G$ とライングラフ $L(G)$注意 22.

$d$-正則グラフのライングラフは (2d-2)-正則グラフ.

特に -正則グラフ $G$ とそのライングラフ $L(G)$ 上の単純ランダムウォ–
クに付随するラプラシアンのスペクトルについて, 以下のような結果が得られる.
$d$

122
定理 23([4]). $d\geq 3$ とする. $G$ は無限ライングラフとする. このとき,$d$-正則グラフで $L(G)$ は $G$ の$Spec(- \Delta_{L(G)})=\frac{d}{2d-2}Spec(-\Delta_{G})\cup\{\frac{d}{d-1}\}$

ただし,

2.2

$\frac{d}{d-1}$.

は無限多重度の固有値である.

パラライングラフ

パラライングラフとは, 樋口 (雄) [2] によって, グラフ $G$ とそのライングラフ $L(G)$ 上のランダムウオークの再帰性の比較のために導入された概念である.
グラフ $G$ のパラライングラフ $P(G)$ とは, 次で定義されるグラフである. [2] では簡単のため単純グラフについて定義されているが, ここでは単純グラフでない場合についても定義を与えておこう.
$V(P(G))$$=A(G)$ ,$A(P(G))$$=${$(e_{1}$, e2) $\in A(G)\cross A(G)|o(e_{1})=o(e_{2}),$
垣 $\{(e,\overline{e}) |e\in A(G)\}$

ただし,$e_{1}\neq e_{2}$}.

e2) $=(e_{2}, e_{1})$ であるとする.

$\overline{(e_{1},}$$\mathrm{x}$$\mathrm{e}_{1}$$\mathrm{y}$$\mathrm{G}$$\mathrm{P}(\mathrm{G})$

図 3: グラフ $G$ とパラライングラフ $P(G)$注意 2.4.

-正則グラフのパラライングラフは -正則グラフであり, d-正則グラフ全体はこの操作に関して閉じている.
$d$

このとき, パラライングラフについても,が成立する.

$d$ライングラフと同様の定理

123
定理 25([4]).

$d\ovalbox{\tt\small REJECT} 3$

パラライングラフとする.
$Spec(-\Delta_{P(G)})$

ただし, 1 と枝で,は無限 -正則グラフで $P(G)$ は $G$ の
このとき, $\varphi(x)\ovalbox{\tt\small REJECT}-dx^{2}+(d+2)x$ とおくととする.

$G$

$d$

$=$

$\varphi^{-1}(Spec(-\Delta_{G}))\cup\{1\}\cup\{\frac{d+2}{d}\}$$=$$\varphi_{-}^{-1}(Spec(-\Delta_{G}))\cup\{1\}\cup\varphi_{+}^{-1}(Spec(-\Delta_{G}))\cup\{\frac{d+2}{d}\}\mathrm{t}$$\frac{d+2}{d}$は無限多重度の固有値で,$\varphi_{\pm}^{-1}$は$\varphi$の逆関数の二つの$\varphi_{\pm}^{-1}(x)=(d+2\pm\sqrt{(d+2)^{2}-4dx})/2d$である.
は 4-正則グラフで $Spec(-\Delta_{\mathrm{Z}^{2}})=[0,2]$ になる. パ
注意 2 五例えばラライングラフをとる操作は繰り返すことができ,$\mathrm{Z}^{2}$$Spec(-\Delta_{P(\mathrm{Z}^{2})})$$=$$Spec(-\Delta_{P^{2}(\mathrm{Z}^{2})})$$=$$[0, \frac{1}{2}]\cup[1, \frac{3}{2}]$$[0, \frac{3-\sqrt{7}}{4}]\cup[\frac{3-\sqrt{5}}{4}, \frac{3-\sqrt{3}}{4}]$$\cup\{1\}\cup[\frac{3+\sqrt{3}}{4}, \frac{3+\sqrt{5}}{4}]\cup[\frac{3+\sqrt{7}}{4}, \frac{3}{2}]$. . .etc.となる. ただし,{1},は無限多重度の固有値である.
パラライングラフを繰り返しとることにより, スペクトル集合がカントール集合的になる様子が見てとれる.

3$\{\frac{3}{2}\},$$\{\frac{3\pm\sqrt{3}}{4}\},$$\{\frac{3\pm\sqrt{5}}{4}\}$定理の証明
定理の証明には次の事実が本質的である.

補題 31. $P(G)=G$ となる格子が存在する. 特に 次元のシエルピンのは, ある $P(G_{n}^{*})=G_{n}^{*}$ を満たす $n+1$ -正則グラフ
スキー格子ライングラフである.
$n$$S_{n}$$G_{n}^{*}$

124

図 4: シエルピンスキープレ格子 $G_{n}^{*}(n=2)$

注意 3.2. $P$ を -正則グラフ全体からそれ自身への写像と見なすと $P$ は(グラフ同型を除いて) 1 対 1 であることが知られている [3]. 固定点とな$d$るグラフは局所的には図 4 にあるシェルピンスキープレ格子と同型であるが, 無限遠の違いにより同型でないものが存在する.
補題 3.1 を考慮すれば次の形で定理を述べることができる.
定理 3.3. $n\geq 2$ とする. $P(G)=G$ である n+l-正則グラフのライング
ラフをとする. このとき,$S_{n}^{*}$$Spec(- \Delta_{S_{n}^{*}})=\cup k=0\infty\{\{g^{-k}(\frac{n+1}{2n})\}\cup\{g^{-k}(\frac{n+3}{2n})\}\}\cup\{\frac{n+1}{n}\}$ただし, $g(x)=-2nx^{2}+(n+3)x$ である. 特 [こは格子の例となっている.
$S_{n}$$n$,次元シエノレピンスキー$S_{n}^{*}$

定理 3.3 の証明. $P(G)=G$ を満たす $(n+1)$ -正則グラフの 1 つをする. 定理 25 と補題 3.1 により,$Spec(-\Delta_{G_{n}^{*}})$$=$$Spec(-\Delta_{P(G_{n}^{*})})$$=$$\varphi^{-1}(Spec(-\Delta_{G_{n}^{*}}))\cup\{1\}\cup\{\frac{n+3}{n+1}\}$を得る. ただし, $\varphi(x)=-(n+1)x^{2}+(n+3)x$ . つまり,はコンパクト集合に対する方程式$B= \varphi^{-1}(B)\cup\{1\}\cup\{\frac{n+3}{n+1}\}$,$G_{n}^{*}$と,$Spec(-\Delta_{G_{\tilde{\mathfrak{n}}}})$

125の解である.

ところが$B\mapsto\varphi^{-1}(B)\mathrm{U}\{1\}\mathrm{U}\mathrm{f}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} 3\}$は (ハウスドルフ距

離の下) 縮小写像であるから, 解は唯一存在し,$Spec(- \Delta_{G_{n}^{*}})=\cup k=0\infty\{\{\varphi^{-k}(1)\}\cup\{\varphi^{-k}(\frac{n+3}{n+1})\}\}$

によって与えられる.

$Spec(-\Delta_{S_{n}^{*}})$$S_{n}^{*}$

は$G_{n}^{*}$のライングラフであるから, 定理 23 より$=$$\frac{n+1}{2n}(_{k=0}^{\overline{\infty}}\cup\{\{\varphi^{-k}(1)\}\cup\{\varphi^{-k}(\frac{n+3}{n+1})\}\})\cup\{\frac{n+1}{n}\}$$=$$k=0 \cup\infty\{\{g^{-k}(\frac{n+1}{2n})\}\cup\{g^{-k}(\frac{n+3}{2n})\}\}\cup\{\frac{n+1}{n}\}$,となる. ここで, $g(x)=(f\mathrm{o}\varphi\circ f^{-1})(x)=-2nx^{2}+(n+3)x,$ $f(x)= \frac{n+1}{2n}x$である.

口参考文献[1] M. Fukushima and T. Shima, On the Spectral Analysis for the Sierpinski Gasket, Potential Analysis 1(1992), 1-35.

[2] Yu. Higuchi, Isoperimetric inequality and random walks on an infinite graph and its line graph, preprint.
[3]$\mathrm{Y}\mathrm{u}$. Higuchi, private communication.

[4] T. Shirai, The spectrum of infinite regularRans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), 115-132[5] A. Teplyaev, Spectral analysis on
J. Funct. Anal. 159 (1998), 537-567.

linegraphs,

infinite Sierpinski gaskets,