数理解析研究所講究録
第 853 巻 1993 年 133-147

133

2 次体の 2‐類群構造の有向グラフ化について
美文 *)

河野

徹 **)

中原

*)(Kohno Yoshifumi)**)(Nakahara Toru)*) 佐賀大学工学系研究科**) 佐賀大学理工学部\S 1 Introduction
2 次体の狭義イデアル類群の構造, 特に, その 2-part については Gauss 以来多くのアプロー
チがなされている. 4-rank の決定については,

R\’edei-reichardt[R-R] の定理が, よく知られていまた, そのグラフ版も Lagarias[L] によって導入され, グラフの類型による 4-rank の決定る.

やグラフ上の$\zeta$関数 を用いた 4-rank の有無の判定などが, なされている.([O],[K-K-N])

8-rank についての研究は, R\’edei ([RI][R2]) にはじまり, 彼は, 任意の 3 整数 $(a, b, c)$$a\geq b\geq c\geq 0$ に対して 2-rank $=a$ , 4-rank $=b$ , 8-rank $=c$ となる無限個の実 2 次体の存在を示した. 2-rank $=1$ の場合, 即ちイデアル類群の 2-part が, 巡回群となる場合は, 8-rank の判定を与える多くの結果があるが, それらはすべて ある Diophantaine 方程式の解 という形で与えられている.

\S \S 2-3 においては, P.Morton $([M2],[M3],[M4],[M5],[M6])$ P.Stevenhagen ([Stl],[St2]) による
次の Conjecture に対する応答及びそのグラフ化の試みについて述べる. \S 4 で我々の例を与える. P.Morton の結果については, [Kl に詳述されている.

Conjecture (Cohn-Lagarias [C-L])$d$

を $d\not\equiv 2mod 4$ である任意の整数とし, $w$ を 2 巾の自然数とする.

のある正規拡大$M/Q$が存在して,$d$を割らない奇素数$P$

このとき, 有理数体上

で $dp\equiv 0,1mod 4$なるものに対して次の性質が成り立っ. 即ち,$Q>\sqrt{dp}$のイデアル類群 $C(dp)$ の 2-part の w-rank が $M/Q$ における

$p$のFrobenius classのみによって決定される.

Remark 1-1
ここで Frobenius class は, $M/Q$$\{\tau\sigma\tau^{-1} ; \tau\in Gal(M/Q)\}$$\forall_{X}\in M$のガロア群 $Gal(M/Q)$ のある共役類であり, その元に対し,$\sigma$$x^{\sigma}\equiv x^{p}$は次の性質を満たす :mod$\mathcal{P}$,$P\in \mathcal{P}$: $M$ の素イデアル.

Definition 1-1 ([C-L])$D\not\equiv 2mod 4$である任意の整数

大 $M/Q$ が存在して,

$d$

$d$

と, 2 巾の自然数 $w=2^{j}$ に対して, 有理数体上の正規拡を割らない奇素数

がなりたっとき, その中の最小の体

$M$

$p$

で $dp\equiv 0,1mod 4$なるものに対して, Conjecture

を Governing-field (支配体) と呼び$\Omega_{j}(d)$

と表す.

134
Governing-field と\S \S 2

有向グラフ (1)R\’edei は 2 次体 $Q(\sqrt d)$ に於ける 2 類群の 4-rank,8-rank を -分解と 2 次の乗法的記号(‘ 条件付きアルティン記号’ と呼ばれる) によって特徴付けた. この記号は $Q$ の 8次拡大に於ける素数の分解に密接に関係している.
$d$$\{a_{1}, a_{2}, a_{3}\}$

そこで, 我々は以下のような 2 次体 $\Omega=Q(\int_{-\nabla q}\gamma$ に於けるイデアル類群の構造を考える. 後に同様の議論が実 2 次体

$Q(\sqrt{}\infty q$(2.1)$d=p_{1}\ldots.p_{r}$(2.2)$p;\equiv 1(mod 4)$ ,(2.3)$q\equiv 3(mod 4)$$C$に対して $C/C^{8}$においてもできることに触れる.

$( \frac{p_{i}}{p_{j}}I=+1$

for $i\neq j$

次の定理がこの節の目標である.

Theorem (Morton)
虚 2 次体 $Q(r-q$ に対して$\exists\Sigma_{d}/Q$

s.t.

$( \frac{\Sigma_{d}/Q}{q}I$によって $C/C^{8}$ の構造が決定される. ここで: Artin 記号$\Sigma_{d}$は拡大次数 $2(2)+2r$ 次のガロア拡大でによって決まる.

ここで, 与えられた 2 次体の類群の 8-rank までの構造$G=C/C^{8}$を計算する為に必要ないくつかの Lemmas を用意する. R\’edei のアルゴリズムである.

Lemma 2-1$G$:$\chi_{1},$$a_{1},$

有限アーベル群$\ldots,$$\ldots,$:$\chi_{r}$$a_{r}$:$X_{2}$の基底$A_{1}$の基底( $X_{2};G$ 上の 2 次指標の全体)( $A_{1;}G$ の位数 2 の元の全体)$\Rightarrow$

$G$

ここで,

$s$

の

4-rank $e_{4}=s$ .

は行列 $M=(\xi\chi_{j}(a;))(1\leq i, j\leq r)$
$\xi$

:

$\{\pm 1\}arrow F_{2}$$(\xi(1)=0, \xi(-1)=1)$

$d$

のみ

135
に対し $s=r-rankM$ で決める.

Lemma 2-2
$M=(\xi\chi_{j}(a;))(1\leq i, j\leq r, a;\in A_{1})$に対して,$M=(\begin{array}{ll}0 00 I\end{array})$と変形出来,I $=(r-s)x(r-s)$ 単位行列とするならば,\chi 1, ...,$\chi_{s}$は$G$の指標群 X において平方根をもっ全ての元の集合の生成系となる. そのとき,:$e_{8}=s-\rho$

ここで $b;^{2}=a;(1\leq i, j\leq s)$を用いて$\rho$は$GO$

8-rank$M’=(\xi\chi J(b_{i}))$のrank とする.

Lemma 2-3$\Omega=Q(\sqrt{\Delta}),$$\Delta$は判別式 とすると,$\Omega$

における狭義イデアル類群$C$の 2 次指標群$X_{2}$

は次のようになる.

$X_{2}=<\chi_{p_{1}},$

ここで $t=\#\{p;p|\Delta\},$$\mathcal{A}$は$\Omega$$\ldots,$$\chi_{Pi}(A)=(\frac{NA,\triangle}{p_{i}}I,$$\chi_{P(t-1)}>,$

における任意の分数イデアル,$(p:|\Delta)$$( \frac{a,.b}{p}I$はヒルベルト記号. 更に

いわゆる ‘積公式’$\prod_{p_{1}\cdot|\Delta}\chi_{p;}(A)=1$が成り立ち,$C$の$2-rank=t-1$ である.

Remark 2-1$a,$$b\in Z(a\neq 0, b\neq 0),$ $p$を素数とする.

$b$

で, $+1$ となるのはが平方数であれば$( \frac{a,b}{p}I=\pm 1$$k=Q(\sqrt{b})$の或る整数\beta e のノルムと合同であること :$a\equiv N_{k/Q}\beta_{e}(modp^{e})(e=1,2, \ldots)$と定める. その他の場合には, $-1$ とする.

Lemma 2-4

各$p||\Delta$

に対して,3P: :$\Omega$の素イデ ア $ys$ , s.t.

$\mathcal{P}^{2}=(p_{i})$となるが,$A_{1}$を, 2 乗して単項イデアルとなるイデアルの類よりなる群とすると,$A_{1}=<P_{1},$$\ldots,$が平方数が任意の $p^{e}(e=1,2, \ldots)$ を法として 2 次体

でなければ

$a$

$( \frac{a,b}{p})=+1,$ $b$$P_{t}>, \prod_{p:|\Delta}\mathcal{P}_{j}^{\epsilon_{p;}}\sim 1$,$\epsilon_{p;}=0$

or 1.

136
但し, 同値関係 $‘\sim$ ’ は, 次のように定義される:$A\sim \mathcal{B}\Leftrightarrow^{\exists}\alpha\in\Omega$, s.t.

$N\alpha>0,$ $A,$

$A=(\alpha)\mathcal{B},$$\mathcal{B}$は$\Omega$のイデアル.

Lemma 2-5
$A= \prod_{pj|\Delta}\mathcal{P}_{j}^{r_{p_{i}}}$,$r_{p:}=0$

or 1.

但し, 全ての $r_{Pi}=0$ ではないとする.

また,A があるイデアルの平方となり, $a=NA$ , 更に $(x, y)z)$ は次式の原始解とする.
$x^{2}-\triangle y^{2}-4az^{2}=0$$\Rightarrow$.

$N\mathcal{B}=z$

は$Q(\sqrt{d})$$\exists_{\mathcal{B}^{2}\sim A,s.t}$

Lemma 2-6$\gamma=\frac{x+y\sqrt{d}}{2}$$d\equiv 1(mod 4),$の整数,$(\gamma, 2)=1$$\Rightarrow$$\gamma^{3}=u+v\sqrt{d},$$u,$$v\in Z$の狭義イデアル類群
以上は,Redei のアルゴリズムを 2 次体に適用したものである. ここから, 判別式 $\triangle=-qd$ の場合を考察する. 但し,d,は, 次の条件を満たすと$\Omega=Q(\sqrt{\triangle})$$C^{+}$

$q$

する.

まず,

(2.1)

$d=p_{1}\ldots.p_{r}$(2.2)$p_{i}\equiv 1(mod 4)$(2.3)$q\equiv 3(mod 4)$,$( \frac{p}{p_{j}}I=+1$

for $i\neq j$

Lemma 2-3 より $e_{2}=r$ , また Lemma 2-1,3 より $e_{4}=s$ ,但し$s= \#\{p;;(\frac{q}{p}I=+1\}$

更に,$e_{8}=s-\rho$

但し,$\rho=rankM’$ ,ここで,$\mathcal{Z}^{2}\sim P_{i},$$(1\leq i\leq s)$.

$”=(\xi\chi_{j}(\mathcal{Z}_{i})),$$(1\leq i,j\leq s)$

137
次いで, 以下の Lemmas によりの 4 乗剰余記号$\chi_{j}(Z_{i})(1\leq i\leq s)$与える. 但し 4 乗剰余記号は $p\equiv 1(mod 4)$ なる素数

と法

$p$

$p$

$( \frac{a}{p})_{4}$を用いた 表現をの平方剰余 a に対しては$( \frac{a}{p})_{4}\equiv a^{L_{4}^{-\underline{1}}}(mod p)$と定義され,$( \frac{a}{p})_{4}=1$

(

$a$

: 法

$p$

の 4 乗乗除), または, $=-1(a$ : 法$p$のその他の平方剰余) となる.

Lemma 2-7

次が成り立っ :$(1\leq i\leq s)$$\chi;(\mathcal{Z}_{i})=(\frac{d/p_{i}}{p_{i}}I_{4}\cdot(\frac{-q}{p}I_{4}$

.

(pf)

Lemma 2-3,5 より$\chi;(\mathcal{Z};)=(\frac{z}{p}I$であり, $(x, y, z)$ は, 次式の $z>0$ なる原始解である.
$x^{2}+dqy^{2}-4p;z^{2}=0$

Lemma 2-6 を用い, Lemma の式は得られる.
Lemma 2-8$\mathcal{R}_{1j},$$D_{1j)}Q_{ij}$を$Q(\sqrt{p_{1}p_{j}})$$D_{ij}D_{ij}’= \frac{d}{p_{1}p_{j}},$における次式を満たす整イデアルとする, 但し$Q_{1j}\mathcal{Q}_{1j}’=q,$$D_{ij}Q_{ij}\mathcal{R}_{1j}^{2}\sim 1$($Q(\sqrt{p_{i}p_{j}})$$(1\leq i, j\leq s)$

.

において)

ここで, $(\mathcal{R}_{ij}, 2Dq\mathcal{R}_{ij}’)=1$ である. このとき$\chi_{j}(Z_{j})$$(r_{j}=N\mathcal{R}_{ij})$$=$$( \frac{p_{j}}{p_{j}})_{4}\cdot(\frac{r_{j}}{p_{j}})$$=$$( \frac{p}{p_{j}}I_{4}\cdot(\frac{pj}{p_{i}})_{4}\cdot\chi_{i}(Z_{j})$$(i\neq j)$(pf)

Lemma 2-7 と同様.
以下の Lemmas によって, $\chi_{j}(Z;)$ の値が, $Q$ 上の適当な Galois 拡大におけるによることを示す.

Lemma 2-9
$H_{:}= \{r\in Q;(r, 4p_{i})=1, (\frac{r}{p_{i}})=(\frac{r^{*}}{p})_{4}=1\}$$r^{*}=rv(r),$

; :

$K$

$H_{i}$$v(\neq 1)$:modulo 4 の指標に対応する $Q$ 上のアーベル拡大, 即ち $mod H$ ; の ray class field.

$\sigma_{i}(\neq 1)\in Ga1(K_{i}/Q(\sqrt{p_{i}}))$.

$(1\leq i\leq s)$

$q$

の分解のみ

138
$\Rightarrow$$\chi;(Z_{i})$はArtin symbol$( \frac{K_{i}}{q})$のみ \dagger こよ$\vee\supset$て決まる. 特 (こ$\chi;(\mathcal{Z};)=(\frac{d/p}{p}I_{4}^{2}\cdot(-1)^{a_{1}}$, ここで$( \frac{K}{q})=\sigma^{a}{}^{t}a;=0$or 1.

Lemma 2-10
$L_{1j}$:の種の体$Q(\sqrt{p_{i}pj})$の 2 次拡大$Q(\sqrt{p_{i}}, \sqrt{p_{j}})$$\lambda_{ij}(\neq 1)\in Ga1(L_{jj}/Q(\sqrt{p_{i}}, \sqrt{pj}))$$\delta_{ij}\in Gd(L_{ij}/Q(\sqrt{p_{j}p_{j}})$$\delta_{ij}$$\delta_{1j}=1$or$\lambda_{1j}$$:=( \frac{L_{\mathfrak{i}j}/Q(\sqrt{p_{\mathfrak{i}}p_{J}})}{\mathcal{D}_{j}})$: Artin 記号. $(1\leq i, j\leq s, i\neq j)$$\Rightarrow$$\chi_{j}(\mathcal{Z}_{i})=(\frac{p_{j}}{p_{j}})_{4}\cdot(-1)^{b_{ij}}$

ここで$( \frac{L:j/Q(\sqrt{PiPj})}{Q:j})=\delta_{ij}$$\lambda_{ij}^{b_{ij}}$.

, $b_{1j}=0$ or 1.

Lemma 2-11$h$

; : $Q(\sqrt{p:})$ の類数$\mathcal{P}_{ij}$:$Q(\sqrt{p_{1}})$$P_{1j}^{3h_{i}}=(\beta_{1j}),$における$p_{j}$

上の素イデアル$\beta_{jj}=x+y\sqrt{p_{j}},$$N\beta_{1j}=p_{j}^{3h;}>0$$(1\leq i, j\leq s)$$x\equiv\{\begin{array}{l}+1(mod4)ify\equiv 0(mod4)-1(mod4)ify\equiv 2(mod4)\end{array}$$\Rightarrow$$L_{jj}=Q(\sqrt{p_{1}p_{j}}, \sqrt{\beta_{1j}})$Definition 2-1
ここで, 以下のように記号を定める.

.

139$K_{d}+=Kj$ の合成体,$(1\leq i\leq s)$の合成体,$(1\leq i\leq s)$$\Lambda_{d+}=L_{1j}$$\Omega_{d\star}=Q(\sqrt{p_{1}}, \ldots, \sqrt{p_{s}}),$

上記の各体は, 全て

$d$

の因子

$d^{+}$$\Sigma_{d+}=K_{d+}\Lambda_{d+}$のみによって定まり,$q$.

には依らない.

また,$\Sigma_{d+}\subseteq\Sigma_{d}$であり, $K_{d+},$$\Lambda_{d+},$$\Omega_{d+}$,についても同様である. 更に,Lemma 5-9, 10 より 全て $Q$ 上ガロア拡大となる.

Thorem 2-1 (Morton [M2])
$d,$

$q$

は, (2.1), (2.2), (2.3) を満たすとする. また$C$は$Q( \int_{-7q}\gamma$の類群とする.

$\Rightarrow$$C/C^{8}$は下の Artin 記号 によって完全に決定される.

$( \frac{\Sigma_{d}/Q}{q}I$,$(\Sigma_{d+}\subseteq\Sigma_{d})$ここで, Artin 記号の性質より以下のように表せる.

$( \frac{\Sigma_{d}/Q}{q})=\{\{\frac{\Omega_{d}/Q}{\frac{\frac K_{j})L^{q^{j}}.\cdot/Qq}{q}})_{)}$$0^{o_{nL^{\Omega}’}^{o_{n}n_{K_{j^{d}}}}}.\cdot$$1\leq i\leq s1\leq i<j’\leq s$,
最後に,$\mathcal{Q}_{jj}$が $Q(\sqrt{p_{j}p_{j}})$ における$q$の素因子イデアルとすると$( \frac{L_{ij}/Q}{q}I=(\frac{L_{j}/Q(\sqrt{p.p_{j}})}{Q_{ij}}I\cdot$

以上のように $C/C^{8}$ の構造は governing field$\Sigma_{d}$におけるかった. また $C/C^{8}$ が, 与えられた構造を有するときの$q$の分解のみによっている事がわ$q\equiv 3(mod 4)$の存在の仕方はニウスの密度定理によって計算可能で, Morton は次の結果も得ている.

Definition 2-22 次体$Q(\sqrt{}-\nabla q\urcorner$において $d’|d,$$d’=p_{1}\cdots p_{s}$に対して以下のような記号を定義する.
$N(d, \rho)$ $:=\#$$N(1,0)=1${$R=(\epsilon_{1i});$

rankR

フロベ

$=\rho,$ $(-1)^{e_{ij}+e_{j1}}=( \frac{p_{i}}{p_{j}})_{4}(\frac{p_{j}}{p_{i}})_{4},1\leq i,j\leq s,$ $i\neq j$}

140(2.1), (2.2), (2.3) を満たすとする.
$0\leq\rho\leqs\leqr$に対して, 下の事が成り立っているとする.
の類群とし,

Theorem 2-2 (Morton [M2])$Q(\Gamma-\partial q\gamma$

$d,$

$q$

は,

$C$

は

$C/C^{8}\cong C_{2}^{(r-s)}xC_{4}^{(\rho)}xC_{8}^{(s-\rho)}$

但し,$C_{n}^{(m)}$は, 位数 $n$ の巡回群 $m$ 個の積を表す.

$\Rightarrow$$\partial(d, s, \rho)=2^{-()-r-s-1}2\sum_{d’,|d}N(d’, \rho)\nu(d)=s$

但し, $\nu(d’)$ は $d’$ の素因数の数を表す. また同様のことが, 実 2 次体

$Q(\sqrt{}\infty q$$\partial(*)$

は密度を表す.

,(2.4)$d=p_{1}\ldots.p_{r}$(2.5)$p;\equiv 1(mod 8)$ ,(2.6)$q\equiv 1(mod 4)$$( \frac{p_{i}}{p_{j}}I=+1$

for $i\neq j$

に対しても成り立つ事が Morton [M4] によって示されている. 更に, 実 2 次体においては単数のノルムと狭義イデアル類群の 2-part の構造とが密接に関係していることが指摘されている.
即ち, R\’edei は [Rll において次のことを示している.

Norm
但し,\eta q は$Q(\sqrt{}\eta_{q}$の単数,$\eta_{q}=-1\Leftrightarrow C_{q};\{2, \ldots, 2\}$

$C_{q}$

は$Q(\sqrt{}\infty q$型アーベル群のイデアル類群の 2-part である. Morton はこの結果を更に押し進めた. 以下の定理である.

$d,$Theorem 2-3 (Morton [M4])
は, (2.4), (2.5), (2.6) を満たしているとする. このとき
$q$

$T$

: 2-rank $=r$ の有限アーベル 2 群とする. 但し, $T$ の 8-rank 以上はないとする. また $\epsilon=\pm 1$ を表す.
$\Rightarrow$$\partial$

(

$\{q$

: 素数 ;$C_{q}\cong T$

上の定理は, 一般にイデアル類群の 2-partいる.

$C_{q}$, Norm$\eta_{q}=\epsilon\}$のみでは$\eta_{q}$) $>0$の符号が決まらないことも示して

141
Governing-field と\S 3$p,$ $q_{1},$ $q_{2}$

有向グラフ

(2)

は素数とする. P.Morton [M5] は, 次の 2 次体$(p\equiv q_{1}\equiv q_{2}\equiv 3(mod 4))$$Q(\sqrt{-q_{1}q_{2}p})$governing-field を決定し, 有向グラフを用いた reciprocityの 2 イデアル類群の 8-rank までのtheorem を与えた. まず初めに, [C-L] においてなされた予想について述べ governing field の明
確な定義を述べる.

Conjecture$C_{j}(d)$([C-L])$d(\not\equiv 2(mod 4))$

但し,に対し次のような体 $K$ が存在する.

$\in Z$$K=K_{j}(d)$:$P_{j}(d)$:$[(K/Q)/(p_{i})]$i.e. $[(K/Q)/(p_{j})]$$Galois/Q$ であり次の条件 $P_{j}(d)$ を満たす $(j\in N)$(sもt2し(pK 1 /)’,QpC2) /:(素12\aleph ) ]’:(2dk[’(-pKrja)/nQ=k)が(等)しい$=$:Frobenius class$= \bigcup_{p:\subseteq P;}$:

$C_{2}(dp;)$$(1 \leq k\leq i)${ $\sigma\in Ga1(K/Q)$ ;for$\forall_{X}\in \mathcal{O}_{K}$}: のイデアル類群における 2-sylow 部分群$Q(\sqrt pD$$j=3$ のときは, 2-類群が巡回群となる全ての$d=-p_{1}p_{2}\ldots p_{k}$$d=p_{1}p_{2}\ldots p_{k}$$x^{\sigma}\equiv x^{p_{1}}(modP_{i})$

,

,

$d$

に対して, また先に触れたように,$p_{i}\equiv 1(mod 4),$$p_{j}\equiv 1(mod 8),$$( \frac{p_{j}}{p_{j}})=1,$$( \frac{p}{p_{j}}I=1,$$(i\neq j)$$(i\neq j)$となるときは Morton $([M2], [M3], [M4])$ によって具体的に拡大体を構成することによって証明された. また, 任意の $d(\not\equiv 2(mod 4))$ に対しては, $j=3$ のときによって存在証明が与えられた. 彼は MortonのStevenhagen ([Stl],[St2])

idea を用いて一般化された類体論, 即ちイデールを用いた類体論によって証明した. 以下の定理である.

Theorem 3-1 ([Stl])$d$

を $d\not\equiv 2mod 4$ なる任意の $0,$ $\pm 1$ でない整数とする.

そのとき体 $K$ を次のように定義

する.

$K=Q$ ( $\sqrt{q}:q$ は $q|d$ なる 素判別式すべてをわたる).
そのとき, $Dp\equiv 0,1mod 4$ , なる 素数$p$に対して 2 次体 $Q(\sqrt{p})$ の狭義イデアル類群 $C(dp)$のなす商群 $C(dp)/C(dp)^{8}$ の構造は次のように決定される. 即ち, それは $K$ の最大アーベル拡

Frobenius class のみによって決定される. その体は $K$ 上$K$
上 exponent 2 のガロア群をもつ.
不分岐で大体における$p$の$2d\cdot\infty$

以外ではしたがって, 以下の議論において $8-rank$ の Governing field の存在は保証されている.

142
最小

$\text{の_{}-}K_{j}(d)$の存在は次の定理によって与えられる.

Theorem 3-2 ([C-L])各$j$(固定) に対して$\ni K_{j}^{(\lambda)}(d),$ $\lambda\in\Lambda$(: 適当な添数集合); Galois/Q, $s.t$ .

$P_{j}(d)$を満たす.

$\Rightarrow$$P_{j}(d)$$\Omega_{j}(d)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}K_{j^{(\lambda)}}(d);Galois/Q,$

Definition 3-1を満たす最小の体.

のことを governing field と呼ぶ.

$\Omega_{j}(d)$[C-L] においては, 任意に与えられた有限アーベル 12- 群$G$と同型な 2- 類群の存在密度についても予想が与えられている.

Density Conjecture$D_{j}(d)$([C-L])$d(\not\equiv 2(mod 4))\in Z$$G= \prod_{1\in I}G$$G$

; : アーベル 2-群; : $\# G;\leq 2^{j-1}(j\in N)$ となる巡回群$\Rightarrow$$\Sigma_{j}(d, G)=\{(p);C_{2}(dp)\cong G\}$

ここに$\Omega_{3}(21)$密度は$\#\{(p);C_{2}(dp)\cong G\}/\#$: 有理数値の存在密度をもつ.

{ $p;dp2$ 次体の判別式} で与えられる.

について次の予想を与えた. 後で述べるようにこの予想はそして, 最後にMorton $([M5])$によって更に一般化された形で証明された.

Conjecture 3-1$p\equiv 3(mod 4)$(Cohn-Lagarias) (Theorem 2-5 に含まれる)と仮定すると$C(-21p)/C(-21p)^{8}\cong Z_{8}xZ_{2}$と成るための必要十分条件は以下の $(A))(B)$ または (C) が成立するときである.

$\{(C)(B)(A)\{^{\frac{p}{\frac{\frac{3p}{p3}}{3}}}\}=(\frac{p}{7})=+1=(\frac{p}{7})=-1=+1,(\frac{p}{7})=-1,$$K_{C}K=QK_{B}^{A}==QQ\{\begin{array}{l}\sqrt{-3},\sqrt{-7},\sqrt{-2(3+\sqrt{21})})\text{で完全分解}\sqrt{3},\sqrt{7},\sqrt{2(7+\sqrt{21})})^{T_{\vee}^{arrow}}c^{\pi_{7C}4}=\sqrt{-3},\sqrt{7},\sqrt{1+2\sqrt{7}})\end{array}$

$ppp$

.
以下ではこの節の目的である

Morton ([M5]) により与えられた諸定理を述べる. 特に判別式

が 3 素因数からなる場合に reciprocity theorem とそのグラフ化を示す.

Theorem 3-3 (Morton [M5])$p\equiv q_{1}\equiv q_{2}\equiv 3(mod 4),$$( \frac{q_{2}}{q_{1}})=+1$と仮定すると$C(-q_{1}q_{2}p)/C(-q_{1}q_{2}p)^{8}\cong Z_{8}xZ_{2}$$t43$と成るための必要十分条件は以下の (A), (B) または (C) が成立するときである.

$\{\begin{array}{l}(A)(\frac{p}{q_{1}})=(\frac{p}{q_{2}})=+1p\cdot.K_{A}(q_{1},q_{2})\text{で完全分解}(B)(\frac{p}{q_{1}})=+1,(\frac{p}{q_{2}}I=-1p\cdot.K_{B}(q_{1},q_{2})\text{で完全分解}(C)(\frac{p}{q_{1}})=(\frac{p}{q_{2}})=-1p\cdot.K_{C}(q_{1},q_{2})\text{で完全分解}\end{array}$

ここで, $K_{A},$ $K_{B},$ $K_{C}$ は次の体である.

(3.1)$K_{C}(q_{1},q_{2})=QK_{B}^{A}(q,q)=QK(q_{1}^{1},q_{2}^{2})=Q\{\sqrt{-q_{1}},\sqrt{-q_{2}},\sqrt{\pi_{l2}})\sqrt{-q_{1}},\sqrt{q_{2}},\sqrt{\pi_{1}})\sqrt{q_{1}},\sqrt{q_{2}},\sqrt{-\epsilon_{2}\sqrt{q_{2}}\pi_{1}})$

更に$\pi_{12},$ $\pi_{1},$$\epsilon_{2}$は, 次のように定められる.

$N$

は $k_{*}/Q$ のノルムとする.
$(k_{12}=Q(\sqrt{q_{1}q_{2}}))$$N_{k_{12}/Q}\pi_{12}=-q_{1}$$\pi_{12}\equiv(\frac{2}{q_{1}})(mod 4)$$(k_{2}=Q(\sqrt{q_{2}}))$$N_{k_{2}/Q}\pi_{1}=-q_{1^{2}}^{h}$$h_{2}=k_{2}$の類数$\pi_{1}\equiv 1(mod 2)$$\pi_{1}<0$, ($\epsilon_{2}>1$:$\sqrt{q_{2}}>0$$k_{2}$

に対し), $(\pi_{1},1-a\sqrt{q_{2}})\neq 1$ ,$a^{2}q_{2}-b^{2}q_{1}=1,$$( \frac{q_{2}}{q_{1}})=+1$

.

の基本単数

もし, $( \frac{p}{q_{1}}I=-1,$ $( \frac{p}{q_{2}}I=+1$ と仮定すると,$C(-q_{1}q_{2}p)/C(-q_{1}q_{2}p)^{8}\cong Z_{2}xZ_{2}$

また, もし $(A)$ から $(C)$ の Legendre 記号条件のうちのーっが満たされるが,$P$が対応する体において分解しないならば$C(-q_{1}q_{2}p)/C(-q_{1}q_{2}p)^{8}\cong Z_{2}xZ_{4}$以上の結果と拡大次数に関する考察を併せて $K=K_{A}K_{B}K_{C}$ が $C(-q_{1}q_{2}p)/C(-q_{1}q_{2}p)^{8}$ の構造を決定する governing fieldとなることが示される. 即ち次の定理である.
$\Omega_{3}(-q_{1}q_{2})$144
Theorem 3-4 (Morton [M5])$K=K_{A}K_{B}K_{C}$, 但し,$K_{C}(q_{1_{1}},q_{2})=QK^{A}K^{B}((q_{1}qq_{2})=Q$

Q(〉!:了) を含み上最小な Galois 拡大体 であることがわかる.

のように Theorem 3-2 と同様に定める. そうすると$C(-q_{1}q_{2}p)/C(-q_{1}q_{2}p)^{8}$の構造を決定する
i,e.

$Q$

$K$

は

$\Omega_{3}(-q_{1}q_{2})=K=K_{A}K_{B}K_{C}$である.

最後に 3 素数は$q_{1},$$q_{2},$$q_{3}$$q_{1},$$q_{2},$$p$は全て法 4 で 3 と合同なので,$P$を$q_{3}$

で置き換えると$Q( \frac{-q_{1}q_{2}q_{3}}{}$

について対称に扱える. 従って, 以下のように有向グラフを定義すると Theorem7-2はグラフ表現され, ある種の相互法則を与える.

Definition 3-2 (Morton [M5])$q_{i}\equiv 3(mod 4)$,$(i=1,2,3)$ に対して$( \frac{q_{1}}{q_{3}}I=+1,$$( \frac{q_{3}}{q_{2}})=+1,$(3.2)$( \frac{q_{2}}{q_{1}}I=+1$となるとき quadratic cyclic triple といい, そのようになる順序がないとき noncyclic という.

Definition 3-3 (Morton [M5])頂点集合$\{q_{1}, q_{2}, q_{3}\}$グラフの有向辺 $(q;, q_{j})$ ($G$からなる有向グラフ$q_{1}$

から$q_{j}$) は$G$の有向辺を以下のように定義する :$( \frac{q_{j}}{q_{1}}I=+1$という条件によ.\supset て定められる.

Proposition 3-1 (Morton [M5])$(q_{1}, q_{2}, q_{3})$が cyclic (resp.

noncyclic ) のとき, またそのときのみグラフ$G$が cyclic (resp.

noncyclic) である.

Theorem 3-5 (reciprocity theorem) (Morton [M5])$(q_{1}, q_{2}, q_{3})$:non-cyclic triple, $q_{i}\equiv 3(mod 4),$ $(i=1,2,3)$ に対して次のような有向グラフが対応しているとする.

$q_{1}$:$K_{C}(q_{2}, q_{3})$$\Rightarrow$$\Leftrightarrow q_{2}$$\Leftrightarrow qs$

において完全分解:$K_{B}(q_{1}, q_{3})$において完全分解:$K_{A}(q_{1)}q_{2})$において完全分解145
ここで, $K_{A},$ $K_{B},$ $K_{C}$ は(3.1) 式で定められたものである.

Remark 3-1
theorem3-2$d;$

り$C(-q_{1}q_{2}q_{3})/C(-q_{1}q_{2}q_{3})^{8}\cong Z_{8}xZ_{2}$となる.

Remark 3-2$(q_{1}, q_{2}, q_{3})$が cyclic のとき$C(-q_{1}q_{2}q_{3})/C(-q_{1}q_{2}q_{3})^{8}\cong Z_{2}xZ_{2}$となる.

\S 4 Exampls
ここでは, 前節で示された P.Morton の結果を基にして素数 $p,$ $qj(1\leq j\leq 3)$ に対し, 次の2 次体$Q(\sqrt{-q_{1}q_{2}q_{3}p})(p\equiv 1(mod 4), q;\equiv 3(mod 4))$のイデアル類群の 2-part の 8-rank に対する Governing-field を探り, いくつかの実験例を与える.

Case 4-1$( \frac{q_{2}}{q_{1}}I=(\frac{q_{3}}{q_{2}}I=(\frac{q_{1}}{q_{3}}I=+1,$$(1\leq j\leq 3)$$( \frac{p}{q_{j}}I=+1,$のとき,$M=(-1-111$$-1-111$

したがって, $e_{4}=1$ となり$e_{8}=1\Leftrightarrow\chi_{1}\chi_{2}\chi_{3}(\mathcal{Z})=+1,$$x$($\mathcal{Z}^{2}\sim P,$$\mathcal{P}$は$p$上の素イデアル): の定義及び Lemma 2-1 より$\chi_{1}\chi_{2}\chi_{3}(Z)=(\frac{z}{q_{1}})(\frac{z}{q_{2}}I(\frac{z}{q_{3}}I\cdot$

ここで, $(x, y, z)$ は次の不定方程式の正の原始解である.
$x^{2}+q_{1}q_{2}q_{3}py^{2}-4pz^{2}=0$

(4.1)

146
Example$4arrow 1$とすると, これらは (4.1) 式の条件を満たす. $p_{1}=421,$ $p_{2}=2269$ ,を それぞれ 2 次体 $k_{j}=Q(-3\cdot 7\cdot 11\cdot p_{j})$ の類群
及び$p_{3}=2731,p_{4}=8737$ に対して,$q_{1}=3,$ $q_{2}=7,$ $q_{3}=11$$C_{j}$$h_{k_{\text{」}}}$

及び類数とすると$h_{k_{1}}=64=2x2x16$ ,i.e.
$h_{k_{2}}=192\equiv 0mod 2^{6}$ . i.e.
$h_{k_{\theta}}=768\equiv 0mod 2^{8}$ ,i.e.

$C_{1}\cong Z_{16}xZ_{2}xZ_{2}$$C_{2}\cong Z_{48}xZ_{2}xZ_{2}$.
.

$C_{3}\cong Z_{32}xZ_{2}xZ_{2}xZ_{2}$.

or $C_{3}\cong Z_{16}xZ_{4}xZ_{2}xZ_{2}$ .
or $C_{3}\cong Z_{8}xZ_{8}xZ_{2}xZ_{2}$ .
$h_{k_{4}}=928\equiv 0mod 2^{5}$, i.e.

$C_{4}\cong Z_{8}xZ_{2}xZ_{2}$

.

となる.

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