修士論文 要旨

散逸型微分方程式の構造保存モデル縮減
稲場 俊弥

数理情報学専攻 48176201

松尾 宇泰 教授

指導教員というフロベニウスノルムの最小誤差を達成する．

1 はじめに
高次元の力学系に対し，次元を落として低次元の問題に帰着させてから解くことで計算コストを抑える手

2.2

ハミルトン系の構造保存モデル縮減 ([3])

初期値 u0 ∈ R2n の 2n 次元のハミルトン系法のことを，モデル縮減という．モデル縮減の中でもdu= J2n ∇u H(u),dt

特に幅広く用いられる手法が，Galerkin 射影と POD（Proper orthogonal decomposition）[2] による基底の選び方の組み合わせであり，多くの力学系で良い挙動を示す．一方でこの縮減手法では，元の問題の持つ構造を破壊し，解が不安定になる場合がある．そこで，ハミルu(0) = u0(5)を考える．ここに，u : R → R2n ，H(u) : R2n → R は(エネルギー関数，J2n は J2n =OIn−InO)を満たす行列である．

トン系の微分方程式に対しては，縮減先もハミルトン系縮減行列 A ∈ R2n×2k を用いて u = u0 + Aũ (ũ :になるような縮減により，安定な解を求める手法が近年

R → R2k ) とモデル縮減を行う．なお，初期値を除く手提案された [3]．本研究はそれを応用し，散逸型微分方法は文献 [1] で考察されている．A⊤ J2n A = J2k を満程式に対し，散逸性を保存する縮減手法を提案する．

⊤ ⊤たす A を縮減行列に選び，A+ = J2kA J2n を用いた射影を行うことで，2 既存研究
2.1

dũ
= J2k ∇ũ H(u0 + Aũ),dt

Galerkin 射影と POD

初期値 u0 ∈ Rn の n 次元の常微分方程式

du(t) = f (u),dtũ(0) = 0(6)というハミルトン系の縮減モデルを構築でき，安定な解が得られる．

u(0) = u0(1)を考える．ここに，u : R → Rn ，f : Rn → Rn である．

3 提案手法

この常微分方程式を k(≪ n) 次元に落とす汎用的な手

以上の背景を踏まえ，本研究では散逸型微分方程式法が，Galerkin 射影である．列直交行列 Wk ∈ Rn×k ，（散逸系）の構造保存モデル縮減について提案する．初変数 ũ : R → Rk を用いた u = u0 + Wk ũ の変数変換

期値 u0 ∈ Rn の n 次元の散逸系のもとで，Galerkin 射影を用いると

dũ(t) = Wk⊤ f (u0 + Wk ũ(t)),
dtdu= Bn ∇u H(u),dtũ(0) = 0u(0) = u0(7)(2)を考える．ここに，u : R → Rn ，H(u) : Rn → R はと い う 縮 減 モ デ ル を 構 築 で き る ．縮 減 行 列 Wk はエネルギー関数，Bn ⪯ O(∈ Rn×n , 対称行列) である．

POD[2] により定められる．フルモデルを数値的に解d
散逸系は，エネルギーの散逸性 dt
H(u) ≤ 0 を満たす．

縮減行列 Wk ∈ Rn×k を用いて u = u0 + Wk ũ のいて得られた解を並べたスナップショット行列

Mx = [u1 − u0 , . . . , uns − u0 ] ∈ Rn×ns(3)に 対 し ，Mx の 特 異 値 分 解 が U ∈ Rn×n ，Σ ∈Rn×ns ，V ∈ Rns ×ns を 用 い て Mx = U ΣV ⊤ と書けるとする．ただし，r = rank(Mx ) とし，Σ =モデル縮減を行う．ある Bk ⪯ O(∈ Rk×k ) と射影行列

Wk− ∈ Rk×n に対しWk− Wk = Ik ,dũ
= Bk ∇ũ H(u0 + Wk ũ)dt

を満たすものとする．このとき，U の左 k 列を U1 ，右∥Mx − Wk Wk⊤ Mx ∥2F =r∑i=k+1(8)が成り立つとき，縮減先がdiag (σ1 , . . . , σr , 0, . . . , 0) は σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr > 0n − k 列を U2 とおくと，Wk = U1 がWk− Bn = Bk Wk⊤(9)と散逸系になる．構造保存の条件 (8) 式は以下が十分条件である．

σi2(4)

Wk− : rank が k の k × n 行列,(10)散逸型微分方程式の構造保存モデル縮減 (稲場 俊弥)

Bk = Wk− Bn (Wk− )⊤：正則,

(11)

00
full model
reduction model-0.02

energy(12)

特に (10) 式で，任意の正則行列 X ∈ Rk×k に対し

Wk− = XU1⊤ Bn† とおくことで，縮減誤差

-0.04

-0.04

-0.06

-0.06

-0.08

-0.08

energyWk = Bn⊤ (Wk− )⊤ (Bk −1 )⊤ .

full model
reduction model

-0.02

-0.1

-0.1

-0.12

-0.12

-0.14

-0.14

-0.16

-0.16

-0.18

-0.18
0500

10001500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0500

1000

1500

2000

tstepr∑((U1⊤ Bn† U1)−1

U1⊤ Bn† U2 (:, i − k)i=k+122

3000

3500

4000

4500

5000

(b) 提案手法 (k = 5)(a) POD(k = 30)+ 1 σi 2 (13)2500

tstep)

図 1: エネルギー変化（1 次元）を達成する．これは誤差の指標の 1 つを最小化する形での縮減になる．

2 次元 Cahn–Hilliard 方程式

4.2(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] で 2 次元 Cahn–Hilliard 方程式

4 数値実験()∂u= ∆ pu + ru3 + q∆u∂t

1 次元，2 次元 Cahn–Hilliard 方程式を用いて数値実験を行った．Cahn–Hilliard 方程式は数値的に解き(15)3づらい散逸系の方程式であり，特にモデル縮減にお∂ uの数値実験を行った．境界条件は ∂u∂x = ∂x3 = 0(x =ける 難 しさが 文献 [4] で指 摘され ている．実 験に使∂ u0, 1), ∂u∂y = ∂y 3 = 0(y = 0, 1) を課した．n = 961 点

が Intel(R) Core(TM) i7-6820HQ @2.70GHz，メイン（各軸 31 点）で離散化を行い，∆t = 3/2000 で 5000 ス
テップ解いた．
図 2 が POD と提案手法のエネルギー変化を表す．図

メモリが 16GB である．実装には MATLAB Version9.1.0.441655(R2016b) を用いた．各数値実験は 10 回ずつ行った．時間の結果は平均時間（± 標準偏差）の形で表す．また，両実験ともに，スナップショットはフルモデルの結果全てを使用しており，方程式のパラメータより，提案手法は，POD より低次元で安定な解が得られることがわかる．計測時間は，フルモデルが 95.978(±0.901) 秒，k = 20 の提案手法が 5.140(± 0.070) 秒であった．縮減による大幅な時間改善が見られる．

は p = −1.0, q = −0.001, r = 1.0 を用いている．前章

00
full model
reduction modelを使用した．

full model
reduction model

-0.05

-0.05

-0.1

-0.1

energyの正則行列 X は X = (−U1⊤ Bn† U1 )− 214.1

1 次元 Cahn–Hilliard 方程式

x ∈ [0, 1] で 1 次元 Cahn–Hilliard 方程式()
∂u∂2
∂2u3
=pu + ru + q 2∂t∂x2∂xenergy

用した環境は，OS が Windows 10 Education，CPU3-0.15-0.15-0.2-0.2-0.25-0.25
0500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

40004500

tstep

(14)

(a) POD(k = 40)

5000

0500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

tstep

(b) 提案手法 (k = 20)

図 2: エネルギー変化（2 次元）
3∂ uの数値実験を行った．境界条件は ∂u∂x = ∂x3 = 0(x =0, 1) を課した．n = 501 点で離散化を行い，∆t = 0.001で 5000 ステップ解いた．
図 1 が POD と提案手法における，エネルギー変化を表す．以降の図も含め，青線がフルモデルの結果，赤線が縮減モデルの結果を表す．図より，POD では k = 30の縮減でエネルギー散逸性が破壊されている一方で，提案手法では k = 5 の低次元でエネルギー散逸を保った安定な解が得られていることがわかる．計測時間は，フルモデルが 2.795(± 0.068) 秒，k = 5 の提案手法が0.822(± 0.067) 秒であった．低次元に縮減できたことから，高速化が見られる．

参考文献[1] Yuezheng Gong, Qi Wang, and Zhu Wang. Structurepreserving Galerkin POD reduced-order modeling ofHamiltonian systems. Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering, No. 315, pp. 780–798,
2017.
[2] Bruce C. Moore. Principal component analysis in linear systems: Controllability, observability, and modelreduction. IEEE transactions on automatic control,Vol. 26, No. 1, pp. 17–32, 1981.
[3] Liqian Peng and Kamran Mohseni. Symplectic model
reduction of Hamiltonian systems. SIAM Journal on
Scientific Computing, Vol. 38, No. 1, pp. A1–A27,
2016.
[4] 柳澤広大. モデル縮減に基づく散逸型微分方程式の数値計算に関する研究. 修士論文, 東京大学, 2018.