84 ─第 3 章／平面上のベクトル
例題 ９ 点の存在範囲②O，A，B が定点で，OA＝a，OB＝b とする．OP＝ma＋nb について，m，n が1≦m＋n≦3，m≧0，n≧0 を満たすとき，点 P の存在範囲を図示せよ．
m nm＋n＝k（k＞0）とおき，両辺をkで割って， ＋ ＝1k k解D→ →OA'=ka→ →OB'=kbA'mn
ここで， ＝m'， ＝n' とおくと，m'＋n'＝1 ……①kk
OP＝ma＋nb＝m'ka＋n'kb＝m'（ka）＋n'（kb）ka＝OA'，kb＝OB' とおくと，OP＝m'OA'＋n'OB' と①および，m'≧0，n'≧0 より，P は線分 A'B' 上を動く．

AB'→aO →Bb

更に，A'，B' はそれぞれ OA，OB をk倍した延長線上を動くから，

C1≦k≦3 より，P は右の図のような台形 ABCD の周上と内部を動く．
ただし，C は OC＝3OB，D は OD＝3OA を満たす点である．
〔注〕 存在範囲の図を簡単に類推するには，OA＝（1，0），OB＝（0，1）と定めて考える．
¥

OP＝（x，y）とすると，OP＝mOA＋nOB より，

3（x，y）＝m（1，0）＋n（0，1）＝（m，n）となり，m，n の条件と x，yの条件が一致する．そこで，1≦x＋y≦3，x≧0，y≧0 の領域を図示すると，右の図の影をつけた部分になる．ただし，境界線を含む．

1B

このような特別な OA，OB での図を参考にして考えるとわかり易

O A13≈く，結果が早く類推できる．

29 次の問いに答えよ．

O を座標平面上の原点とし，OA＝（1，0），OB＝（0，1）とする．P（x，y）に対し，⑴OP＝mOA＋nOB とおく．m，n が次の条件を満たすとき，点 P の存在範囲を図示せよ．
0＜m＋n＜1，m＞0，n＞0

ウ−1≦m＋n≦2，mn≧0⑵アイ0≦2m−n≦1⑴で求めたア～ウの図を参考にして，OA，OB が右の図のように与えられたAとき，OP＝mOA＋nOB で与えられる点 P の存在範囲を⑴のア～ウの条件で図示せよ．
B

O

30 O，A，B は定点とし，OP＝αOA＋βOB で与えられる点 P について，α，Aβが，1≦α＋β≦2，0≦α≦1，0≦β≦1 を満たすとき，点 P の存在範囲を図示せよ．

OB

●ポイント
①

OP＝ma＋nb，Am＋Bn＝C（Cm'＝0）のとき，P の存在範囲を図示するには，AB
CCm，n'＝ n， a' ＝ a， b' ＝ b とし，OP＝m' a' ＋n' b' ，m'＋n'＝1 で考える．
CCA
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3

平面図形への利用─ 85

例題 10 内積とベクトル方程式「定点 A（a）を通り，0 でないベクトル n に垂直な直線を g とする．このとき，g 上の任意の点を P（p）とすると，n⊥AP より，内積を用いて，n・（p−a）＝0 と表せる．
」
これも直線 g のベクトル方程式であり，n を法線ベクトルという．
このことを用いて，点（−2，1）を通り，n＝（3，−2）が法線ベクトルであ→nる直線の方程式を求めよ．
解a＝（−2，1），p＝（x，y）とすると，Ap−a＝（x＋2，y−1）だから，n・（p−a）＝0 より，→a（x＋2）
3−2（y−1）＝0

これより，3x−2y＋8＝0©
P→pO

31 次の点 A を通り，n が法線ベクトルである直線の方程式を求めよ．
⑴

A（2，4），n＝（5，3）⑵

A（−4，−1），n＝（−3，−1）

32 直線 2x−5y＋7＝0 に平行で，点 A（2，4）を通る直線の方程式を求めよ．
33 原点 O と異なる定点を A とし，OA＝a とする．動点 P に対し，OP＝p とするとき，p が次の等式を満たす場合，P はどんな図形を描くか．
⑴ （2p−a）
・a＝0⑵|p＋a|＝|p−a|34 A（a），B（b）を定点とするとき，等式 2p・（a−b）＝|a| −|b| を満たす点 P（p）はどんな図22形上にあるか．

例題 11 2直線のなす角2直線 x−2y＋4＝0，3x−y＝6 のなす鋭角を求めよ．
解2直線のなす角は，おのおのの直線に垂直なベクトル（法線ベクトル）である（1，−2），（3，−1）のなす角に等しい．
なす角をθとすると，cosθ＝

1・3−2・（−1）
1＝2
212＋（−2）2 32＋（−1）

よって，θ＝45° より，2 直線のなす鋭角は 45°〔注〕 cosθ＜0 で，θ が鈍角で求まったときは，鋭角は 180°−θ から求めればよい．
●ポイント
平行なベクトルは，（−b，a），（b，−a）（方向ベクトル）①

直線 ax＋by＋c＝0 に②ベクトル（p，q）に垂直で点（a，b）を通る直線は，p（x−a）＋q（y−b）＝0③

0 でない2つのベクトル a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）のなす角をθとすると，
cosθ＝

垂直なベクトルは，（a，b），（−a，−b）（法線ベクトル）a1b1＋a2b2
a12＋a22 b12＋b220060-0089̲1̲高校リード数学B＋C̲本冊̲InD20.indd 85

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86 ─第 3 章／平面上のベクトル

35 次の2直線のなす鋭角を求めよ．
⑴

x＋ 3y−1＝0，x− 3y＋4＝0⑵

2x＋3y＋1＝0，3x−2y−4＝0

36 次の問いに答えよ．
⑴

2直線 2x＋y＝5，ax＋（a＋1）
y＋2＝0 のなす鋭角が 45° となるようにaの値を定めよ．

⑵

点（− 3，1）を通り，直線 3x＋y＝2 とのなす鋭角が 30° である直線の方程式を求めよ．
例題 12 円のベクトル方程式平面上に動点 P と，3 定点 A，B，C がある．このとき，次の問いに答えよ．

⑴

等式 |AP＋BP＋CP|＝6 を満たす点 P はどんな図形上にあるか．

⑵⑴のとき，P（x，y），A（1，1），B（2，4），C（6，10）とする．x，y の関係式を求めよ．

解

⑴

P（p）
，A（a）
，B（b），C（c）とすると，条件式は，（p−a）|＋（p−b）＋（p−c）|＝6，|3p−（a＋b＋c）|＝6|

両辺を3で割ると， p−
よって，P は

a＋b＋c＝2 ……①3|

ABC の重心を中心とし，半径2の円周上にある．

a＋b＋ca＋b＋c＝（3，5）だから，p−＝（x−3，y−5）33⑵22よって，①より， （x−3）＋（y−5）＝2

両辺を2乗すると，（x−3）＋（y−5）＝422

37 A（2，3）を中心とし，B（5，−1）を通る円の方程式を求めよ．
38 平面上の2定点 A，B に対し，次の等式を満たすような点 P の軌跡を求めよ．
⑴

39|2AP＋3BP|＝15⑵AP・BP＝c 2（c は定数）

ABC の外心を O，外接円の半径を1とする．4OA＋5OB＋6OC＝0 であるとき，辺 AB の長さを求めよ．

40 平面上で c を定点 C の，p を動点 P の位置ベクトルとする．C を中心とする半径rの円周上の点 P（pにおける接線の方程式は，（p−c）
・（p1−c）＝r 2 で表されることを証明せよ．
11）

41 O を原点とする座標平面上で，A（1，1）に対し，OA・OP≦2，|AP| ≦5 を満たす点 P の存在範囲
2を図示せよ．

●ポイント①

A（a）を中心とする半径rの円のベクトル方程式は，|p−a|＝r22
p＝（x，y），a＝（a，b）とすると，円の方程式は，（x−a）＋（y−b）＝r 20060-0089̲1̲高校リード数学B＋C̲本冊̲InD20.indd 86

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混合問題─ 87

A

1 同一平面上に異なる3点 O，A，B があって，OA＝a，OB＝b，a™b とする．

OD＝3a＋b，OE＝2a−b，OF＝a−3b で定まる3点 D，E，F は一直線上にあることを示せ．

2 対辺がともに平行でない四角形 ABCD の辺 BA の延長上に点 E を，E

辺 BC の延長上に点 F をそれぞれ BA＝AE，2BC＝CF となるようにとり，BA＝a，BC＝b とおく．線分 AF と CE の交点が D とな

A→aるとき，次の問いに答えよ．
⑴

BD を a，b で表せ．

⑵

AED とD→bB

FC

CFD の面積の比を求めよ．

3 右の図のように，3 点 O，A，B があり，OP＝mOA＋nOB で定まる点 P

Aが次の条件を満たすとき，点 P の存在範囲を図示せよ．
⑴

2m＋3n＝1，−1≦n≦1⑵

1≦m−2n≦2BO

4 O を原点とする平面上の動点を P（p）とし，A（a），B（b）を定点とする．このとき，等式 |2p−a|＝|p＋b| を満たす点 P の軌跡を求めよ．

B

5 四角形 ABCD は，AB＋AD＝AC を満たすとする．次の問いに答えよ．
⑴

点 E が，EB＋EC＋ED＝−EA を満たすとき，点 E はどのような点か．

⑵

実数rが，−1≦r≦1 の範囲を動くとき，PB＋PC＋PD＝rPA を満たす点 P はどんな図形を描くか．
⑶ 辺 BC の中点を M とする．⑵において，3 点 D，P，M が一直線上にあるときのrの値を求めよ．

6 OA＝5，AB＝6，BO＝3 である OAB がある．このとき，
次の問いに答えよ．
⑴

OAB の ∠O 内の傍心（∠O の二等分線と ∠B および∠A の外角の二等分線の交点）を Q とするとき，OQ を OA，B
3O
6Q

5OB を用いて表せ．
⑵

線分 OQ の長さを求めよ．

A

■ヒント

56

始点を A にそろえ，AE や AP を AC で表してみる．
OB の延長上に OB＝BD となる点 D をとり，BQ と AD との交点を S として考える．

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88 ─第 3 章／平面上のベクトル

A
1

四角形 ABCD の辺 AB，CD の中点をそれぞれ M，N とするとき，

DABC＋AD＝2MNNであることを証明せよ．

M
B2C

a＝（2，3），b＝（5，1）のとき，次の条件を同時に満たす x の成分を求めよ．
（ x −b）™a，| x ＋b|＝133

OA＝a，OB＝b，OC＝c が，等式 |b|2−|c|2＝2a・（b−c）を満たすとき，ABC の形状を調べよ．

4

座標平面上に3点 O（0，0），A（2，3），B（6，1）がある．点 P が OP＝sOA＋tOB，2s＋3t≦1，s≧0，t≧0（s，t は実数）で表されているとき，点 P の存在範囲を図示せよ．

5

次の問いに答えよ．
⑴|a|＝|b|，|ta＋b|＝|a−tb|（t0）のとき，a，b のなす角 θ（0°≦θ≦90°）を求めよ．

⑵

a＝（0，3）となす角が 60° で大きさが2のベクトルを b とする．2 つのベクトル ta−b とa−tb が直交するとき，実数tの値を求めよ．

6

O，A，B は一直線上にないとする．OC＝2OA，OD＝3OB となるように点 C，D をとり，AD，BC の交点を E とする．このとき，次の問いに答えよ．

7⑴

OA＝a，OB＝b として，OE を a，b で表せ．

⑵

OE，AB，CD のそれぞれの中点 P，Q，R は一直線上にあることを示せ．

ABC において，辺 AB を 1：2 に内分する点を D，辺 AC を 3：1 に内分する点を E とする．
また，2 つの線分 CD と BE の交点を P とし，直線 AP と辺 BC の交点を Q とする．このとき，BP：PE，CP：PD，AP：PQ を求めよ．

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章末問題─ 89

B
1

平行四辺形でない四角形 ABCD の辺 AB，BC，CD，DA 上にそれぞS D

れ点 P，Q，R，S を AP：AB＝CR：CD＝α：1，A

BQ：BC＝DS：DA＝β：1 となるようにとるとき，次の問いに答えよ．

P⑴

PQ を AB と BC で表せ．

⑵

四角形 PQRS が平行四辺形になるための条件をα，βで表せ．

2

RB

C

Q

次の問いに答えよ．
⑴

xy 平面上の点（1，−1）を通り，u＝（2，1）を方向ベクトルとする直線lの方程式を x，y を用いて表せ．

⑵

3⑴の直線lと直交し，点（−4，2）からの距離が1である直線の方程式を x，y を用いて表せ．

OA＝ 3，OB＝ 5，AB＝ 6 のOAB の外心を P とする．OA＝a，OB＝b として，OP をa，b で表せ．

4

AB＝4，BC＝5，CA＝6 の
このとき，5ABC の重心を G，G から辺 BC に下ろした垂線の足を H とする．

HCの値を求めよ．
BC

3定点 A，B，C に対し，次の等式を満たす点 P の軌跡を求めよ．
PA・PB＋PB・PC＋PC・PA＝06

平面上に4点 O，A，B，C があり，OA＋OB＋OC＝0，OA＝1，OB＝2，OC＝ 2 のとき，ABC の面積を求めよ．

7ABC の辺 BC 上に点 D があり，次の等式が成り立っているとき，点 D はどのような点か．
AB2＋AC2＝2AD2＋BD2＋CD20060-0089̲1̲高校リード数学B＋C̲本冊̲InD20.indd 89

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