核データニュース，No.100 (2011)

話題・解説

共分散データは面白い小林捷平

k_koba84@tg8.so-net.ne.jp

1. はじめに共分散データの取り扱いに筆者が始めて関わりをもったのは、1979 年に Ispra で開催され た ASTM-Euratom シ ン ポ ジ ウ ム に お い て ド イ ツ PTB （ Physikalisch-Technische
Bundesanstalt）の Dr. Wolf Mannhart（以降、Mannhart 氏と記す）との出会いに始まる。当時、IAEA では高速中性子の標準場として 252Cf 自発核分裂中性子スペクトルを、準標準的な場として 235U 核分裂中性子スペクトルを提唱していた。Mannhart 氏は、この 252Cf
中性子場を用いてドシメトリー分野で注目される放射化断面積を高い精度で測定していた。同様に筆者もドシメトリーに関わる放射化断面積の積分的な評価の観点から 252Cf 中
性子場および 235U 中性子場において多くの核分裂スペクトル平均断面積を測定しており、
上記シンポジウムでは両研究グループそれぞれから発表があった。筆者は前もって PTB
訪問をお願いしていたこともあって、シンポジウム後の週末から PTB に Mannhart 氏を訪ねることになった。PTB では早速、筆者らのデータの詳細、データ解析の手順について質問を受け議論を交わすことから始まった。また、彼らの解析手法についても説明を受けると共に、データの信頼度を上げるためには「キチンとしたデータ解析」を行うべきだとして、筆者らのデータに対し共分散データを考慮した誤差解析法の手ほどきを受けることになった。筆者らのデータに対しても、一つ一つについて共分散データ解析のための作業が始まった。その時の成果の一部が後述の Mannhart 氏のレポートに掲載されている[1]。週末、こうした作業・議論を続ける中、休息時には構内を案内してもらい、研究炉（1MW）、加速器（サイクロトロン、VdG）施設の見学をさせてもらったが、最後にMannhart 氏らが行っていた 252Cf 実験の現場に案内された。丁度、日本の鯉のぼりを上げるように、252Cf 線源を照射試料と共にワイヤーに取り付けて、中性子場を乱さないために「空高く掲げて照射する」のだと言う。日曜日も朝から継続して共分散データの解析
作業・議論を重ね、やっと一段落した所で Braunschweig の街を案内してもらった。昔は王国だったこと、「ライオン」が街のシンボルマークであること、先の世界大戦では壊滅－ 45 －

的破壊を受け壊された教会なども、出来る限り使われていた石・ブロックを元の位置に配置して復旧が図られたこと等の説明を受け、ドイツ人気質を改めて感じたことが印象深かった。
最近、共分散データへの関心が再燃気運にあることもあって、この度 IAEA のご尽力によ り Mannhart 氏 が ま と め た レ ポ ー ト “A Small Guide to Generating Covariances ofExperimental Data” (’81) [1]の改定版が公開される事になった。このレポートは、初めて共分散を学習する場合にも、どのように共分散データを扱うのか、なぜ必要なのか、の課題にも応えてくれる「優れもの」であり、個人的にも筆者が自信を持って一読をお勧めしたいレポートである。Mannhart 氏は、筆者と議論して作成した共分散による解析例も
当該レポートに掲載しており、読者が共分散データを理解する上でも役立つことであろう。
本稿では、共分散を扱った面白い課題として、このレポート[1]の中から 2 つの例題とG.D. James の TOF 実験データ[2]から F.G. Perey が取り上げた解析例[3]について紹介したい。読者の皆さんに共分散法に関心をもって頂き、ご理解頂く上で参考になれば幸いである。

2. 長さ測定（線形関数の場合）[1]
三種類のゲージブロック（計器）ℓ1、ℓ2、ℓ3 を用いて下図の長さ X1、X2、X3 を測定する
場合、X1 は ℓ1、ℓ2 を、X2 は ℓ1、ℓ3 のゲージを用いると測定できる。ここで、各ゲージが持つ誤差（標準偏差と分散）は、以下の表の様に与えられているとする。

ゲージブロック

長さ(mm)

標準偏差(μm)

分散：Variance (μm2)

ℓ1

50

0.05

Var(ℓ1)＝0.0025

ℓ2

15

0.03

Var(ℓ2)＝0.0009

ℓ3

10

0.02

Var(ℓ2)＝0.0004

A 氏の測定X1 の測定のためには ℓ1 のゲージ(50 mm)と ℓ2 のゲージ(15 mm)を、X2 の測定のためにはℓ1 のゲージ(50 mm)と ℓ3 のゲージ(10 mm)を使った。その時の測定結果は(1)式、(2)式の様になる。ここで Var(X1)は X1 測定の分散を表している。

－ 46 －

X1＝ℓ1－ℓ2、

Var(X1)＝Var(ℓ1)＋Var(ℓ2)＝0.0034 μm2(1)

X2＝ℓ1＋ℓ3、

2

Var(X2)＝Var(ℓ1)＋Var(ℓ3)＝0.0029 μm(2)以上から、 X1＝35 mm、

標準偏差＝ Var

＝0.058 μm(3)

X2＝60 mm、

標準偏差＝ Var

＝0.054 μm(4)果たして、A 氏の考え方（処理）は正しいのだろうか？

B 氏の測定X3 の測定のために ℓ2 のゲージ(15 mm)と ℓ3 のゲージ(10 mm)を使った。
X3＝ℓ2＋ℓ3＝25 mm、 Var(X3)＝Var(ℓ2)＋Var(ℓ3)＝0.0013 μm2(5)

この両ゲージのデータ間には、共通して関わりの在るものは存在していない。

C 氏の測定C 氏は X3 の測定において X1 の測定結果と X2 の測定結果を用いた。すると X3 の測定値
は、それぞれの分散値 Var(X1)、Var(X2)を使って次のように計算される。
X3＝X2－X1＝25 mm、Var(X3)＝Var(X2)＋Var(X1)＝0.0063 μm2(6)(5)式と(6)式を比べる時、同じ X3 の測定に対して、分散値 Var(X3)に違いが存在している事が分かる。その原因はどこに在るのだろうか？
さて、再び A 氏の測定に戻ろう。A 氏が行った X1 と X2 の測定では、ゲージ ℓ1 が共通して使われているにも拘らず、この事が最終結果に反映されていない。A 氏の測定の全てを忠実に表せば、(1)式、(2)式の外、X1 、X2 の両式に共通する項 Var(ℓ1)が共分散項
Cov(X1,X2)として加わる。この共通項の存在が X1 と X2 のデータ間に相関をもたらしている。つまり何らかの繋がりが存在していることになる。
＝ Var(ℓ1)＋Var(ℓ2) ＝0.0034 μm2
Var(X1)＝ Var(ℓ1)＋Var(ℓ3) ＝0.0029 μm2
Var(X2)＝0.0025 μm2
Cov(X1,X2) ＝ Var(ℓ1)(7)

これらの関係をマトリックス（Covariance Matrix）として表示すれば、
Var
Cov ,

Cov ,
Var

このマトリックスの非対角要素 Cov

0.0034 0.0025
0.0025 0.0029

＝

,

(8)

がゼロではない事は、X1 と X2 は独立ではない事になり、X1 と X2 のデータ間には何らかの相関が存在している事を物語る。ここで、マトリックス要素 rxy の定義 Cov(x,y)／{ VarVar}に従って Covariance Matrix からCorrelation Matrix への変換を行うと、(8)式は次の様に導ける。
0.0034 0.0025
0.0025 0.0029

0.058 1.00 0.80
0.054 0.80 1.00

したがって、(1)式、(2)式に共分散の式が加わった(7)式から、最終結果として次のように－ 47 －

導け、X1 と X2 間の相関係数は 0.80 になる。
測定値
X1＝35 mm、
X2＝60 mm、

Correlation Matrix
1.00 0.80
0.80 1.00

標準偏差0.058 μm
0.054 μm

これらの情報を全て生かして適用すれば、C 氏が行った X3 の測定結果は次のように導かれる。

X3＝X2－X1＝25 mm、その標準偏差は 0.036 μm。何故なら(7)式から
Var(X3) ＝Var{X2－X1}＝Var(X2)＋Var(X1)－2 Cov(X1,X2)＝0.0029＋0.0034－2×0.0025＝0.0013 μm2（の平方根が 0.036 μm）

C 氏が行った測定結果にも共分散を考慮したデータ解析を進めると、ℓ2 と ℓ3 の間には何ら関わりが存在していなかった B 氏の測定結果：(5)式と同じ分散値 Var(X3)＝0.0013 μm2が得られている。これを見るとデータ間に何らかの関わりが存在している場合には、お互いの相関を考慮したキチンとしたデータ解析を行えば正しく結果を導き出せる事が分かる。
以上の例題から学べることは、①実験／測定に伴うデータ情報は共分散行列内に含まれており、データの情報提供が不十分な場合は、解析結果の信頼性に影響を与える。②
実験／測定誤差情報の詳細は当該者のみが把握できる立場にあり、その意味でも実験／測定に携わった人／グループからのデータ情報の提供は重要になる。③実験／測定に関する誤差の詳細情報は、次のステップに至る誤差解析、誤差伝播においても重要な役割を果たす。

3. 放射化断面積比の誤差解析（非線形関数の場合）[1]
ここでは 252Cf 自発核分裂中性子スペクトル平均断面積（放射化断面積）の比測定の場
合を例にとって考える。反応“ i ”に対し、反応率は次式で与えられる。
Pi＝Ai／{Ni εi}・∑ℓℓ(9)

Ai：計数率、εi：検出効率、Ni：原子核数、 ℓ ：各種実験の補正項。反応 i と j の比を Rijとして、次式を定義する。 R12＝P2／P1、

R34＝P4／P3(10)

ここに示した i = 1, 2, 3, 4 の反応の具体例としては、下記の表に示す反応に対応させる。
即ち、それぞれの誤差は(9)式に関わる右辺の各事象に対応して発生する。

－ 48 －

表 1 平均断面積測定における実験誤差(%)とその要因（a ~ h は相関の存在を示す）
Uncertainties
in % Due toSymbol

Run‐1

Run‐1

Counting Statistics

Ai

Efficiency

εi

1.06a

1.39a

2.23a

1.06a

Geometrical factor

2.0b

2.0b

2.0b

2.0b

Half life

0.4c

0.5

0.8

0.4c

0.1d

0.1d

0.1

0.2

0.7e

1.0e

1.0e

0.7e

Gamma ray attenuation

0.3f

0.5

0.4

0.3f

Gamma ray intensity

0.5g

0.5

1.0

0.5g

Others

0.1h

1.0

1.0

0.1h

Ni

Mass determination

27Al

27Al

n,n’
3
1.0

Run‐2

n,α
1
1.6

No.

n,p
2
2.0

Run‐2
115In

24Mg

n,p

4
3.2

Back
Scattering Irradiation& cooling time

1.0

a ： Partially correlated
Cor ε1, ε4
Cor ε1, ε3
Cor ε1, ε2
Cor ε2, ε3

1.00
Cor ε3, ε4Cor ε2, ε4
0.95

0.80
0.94

1.0
1.0
1.0
b,e
： Fully correlatedc, f, g, h ： Fully correlated same product nucleusd： Fully correlated same foil

これら相関係数は付録-1 を参照。付録 1 の結果がここに反映・適用され生かされている。
また、誤差要因となる項目・事項間には相関は存在しないと考える。

(9)式を偏微分形で表し(dPi／Pi)＝(dAi／Ai)－(dNi／Ni)－(dεi／εi)＋∑ℓ

ℓ

／ ℓ

(11)

この数式を便宜上、δx＝dx/x の定義に従って書き直すと、
δPi＝δAi－δNi－δεi＋∑ℓ
同様に(10)式は、ℓ

δR12＝δP2－δP1、δR34＝δP4－δP3

(12)
(13)

と書き表すと、反応 Pi と Pj の比（即ち断面積の比）Rij の分散、共分散は次式の様に書ける。
Var(δR12, δR12)＝<δP1 δP1>＋<δP2 δP2>－2<δP1 δP2>
Var(δR34, δR34)＝<δP3 δP3>＋<δP4 δP4>－2<δP3 δP4>

(14)

Cov(δR12, δR34)＝<δP1 δP3>＋<δP2 δP4>－<δP1 δP4>－<δP2 δP3>
ここでブラケット< >は、各誤差要素の分散の和を示し、表 1 の数値を用いた計算手順を次の表 2 にまとめる。

－ 49 －

表 2 分散、共分散における各誤差要素項の計算（数値の単位は%表示）<δPi δPj>

ηij<δεiδεj> <δ

δ

> <δ

δ

> <δNiδNj> <δ

> <δ

δ

> <δ

δ

> <δ

δ

>

(quadratic sum of all uncertainty contributions)<δP1 δP1><δP1 δP2>

0.94×1.60×1.39 + 2.0×2.0 + 0.7×1.0 + 0.1×0.1<δP1 δP3>

0.80×1.06×2.23 + 2.0×2.0 + 0.7×1.0<δP1 δP4>

1.00×1.06×1.06 + 2.0×2.0 + 0.7×0.7

下線部は各上欄の計算に対応+ 0.4×0.4 + 0.3×0.3 + 0.5×0.5 + 0.1×0.1(quadratic sum of all uncertainty contributions)<δP2 δP2><δP2 δP3>

0.95×1.39×2.33 + 2.0×2.0 + 1.0×1.0<δP2 δP4>

0.94×1.39×1.06 + 2.0×2.0 + 1.0×0.7(quadratic sum of all uncertainty contributions)<δP3 δP3><δP3 δP4>

δ

0.8×2.23×1.06 + 2.0×2.0 + 1.0×0.7(quadratic sum of all uncertainty contributions)<δP4 δP4>＊ ηij：共分散係数。上の表は η12<δε1δε2>＝0.94x1.60x1.39、<δ δ >＝2.0x2.0、- - - - - と順次対応。上δ >, <δ δ >の標示はスペースの関係で省略。quadratic sum の計算には含まれている。

欄に書くべき<δ

表 2 の結果をまとめると、<δP1 δP1>＝9.68、 <δP1 δP2>＝6.09、 <δP1 δP3>＝6.59、<δP1 δP4>＝6.12、 <δP2 δP2>＝13.69、 <δP2 δP3>＝7.94、 <δP2 δP4>＝5.08、<δP3 δP3>＝14.78、 <δP3 δP4>＝6.59、 <δP4 δP4>＝17.40 となる。
よって(14)式より、次の結果を得る。
Var(δR12, δR12)＝<δP1 δP1>＋<δP2 δP2>－2<δP1 δP2>＝11.20行列の対角成分

Var(δR34, δR34)＝<δP3 δP3>＋<δP4 δP4>－2<δP3 δP4>＝19.00

行列の対角成分

Cov(δR12, δR34)＝<δP1 δP3>＋<δP2 δP4>－<δP1 δP4>－<δP2 δP3>＝－1.39 非対角成分
したがって、共分散行列（誤差ファイル）

11.20
1.39

1.39
は、相関係数の定義に従えば、
19.00

r11＝r22＝1.00、r12＝r21＝－1.39／{√11.20・√19.00}＝－0.10 となる故、断面積比の誤差は
11.20
1.39

1.39
19.00

3.35 %
4.36 %

1.00
0.1

差

相関係数行列 (×100)

0.1
1.00

(15)

と導かれる。以上の結果をまとめると、
断面積の比
27

27

Al(n,p)／ Al(n,α)

115

24

In(n,n’)／ Mg(n,p)

誤：3.35 %
：4.36 %

(16)

1.00
10 100

もし、共分散項を無視すると、(14)式において<δPi δPj>のクロスターム(i≠j)が無くなるので、Var(δR12, δR12) ＝ <δP1 δP1>＋<δP2 δP2> ＝ 9.69+13.69

4.84 %

Var(δR34, δR34) ＝ <δP3 δP3>＋<δP4 δP4> ＝ 14.78+17.40

5.67 %となり、(16)式の結果と比べて誤差が大きく異なっている。これは各データが持つ情報が十分活用されていないために生じた結果で、解析結果に対する信頼度が下がることになる。

－ 50 －

4. 最尤推定4.1) 最小二乗法
最も確からしい値を求める最尤推定法として、最小二乗法は良く知られるところである。その基本は次式の χ2 を最小にするベクトルＰ’を決定することにある。

χ2＝(Ｐ－Ｐ’)t Ｍ -1(Ｐ－Ｐ’)＋(Ｄ0－Ｄ’)Ｖ -1(Ｄ0－Ｄ’)(17)

ここで、対象となる評価値（例えば中性子断面積の評価結果）をベクトル表示で次の様に示す。

Ｐ＝ (Pi) ＝ (P1, P2, ・・・ Pn ) ※、 i=1～n ．

(18)

Ｐの誤差を表す共分散行列をＭとすると、このＰとＭは計算に先立って既に与えられているとする。次に(Pi)に対応する実験データセットを次式の様に与える。

Ｄ0 ＝ (di0)、i =1～m ．

(19)

0

その共分散行列をＶ、Ｄ に対応する評価値をＤ＝(di)とする（例えば direct measurement
では di＝Pi、ratio measurement では dij＝Pi／Pj）。Ｐに代わる新しい値をＰ’とすると、Ｄ0
データを fit するモデルは、次式で与えられる。

Ｄ’ ＝Ｄ＋Ｇ(Ｐ’－Ｐ)(20)

Ｇ は m × n 行列の要素 gij＝∂di／∂Pi である（direct measurement ではＧ要素は 1 または 0となる）。ここでＮ＝ＧＭＧt の定義に従うと、新たなベクトルＰ’の解とその共分散行列

Ｍ’は次式で与えられる。
Ｐ’ －Ｐ ＝ＭＧ t (Ｎ ＋Ｖ)-1 (Ｄ0－Ｄ)
Ｍ －Ｍ’ ＝ＭＧ t (Ｎ ＋Ｖ)-1 ＧＭ(21)※ スペースの関係で line vector 表記になっているが、正しくは column vector で縦一列に列記

4.2) 飛行時間分析実験における中性子エネルギーの最尤推定
飛行時間分析実験法による中性子エネルギー測定において、共分散データを適用した場合の実験例について考えてみよう。すなわち、実験で得られた共分散行列の非対角要素も考慮に入れた最小二乗法の導入である。ここでは G.D. James が黒鉛の共鳴のエネル
ギー：2080 keV を Linac-TOF 法によって測定した時のデータを引用する[2]。中性子エネ
ルギー：E (eV)、飛行距離：L (m)、時間：t (μ sec)の間には、よく知られるように次式の関係がある。

E＝(72.3 L／t)2、∴dE／E＝2 dL／L－2 dt／t

(22)James の測定に係る 2 回の実験パラメータとしては、次の様に与えられている[2], [3]。
Run－1：L(1)＝100 m、その誤差
Run－2：L(2)＝50 m、

δLc(1)＝0.003 m、δtc(1)＝0.25 nsec、

δLc(2)＝0.006 m、δtc(2)＝0.5 nsec、

δLm＝0、δtm＝0.4 nsec。
飛行距離は二成分からなるとして L(i)＝Lm＋Lc(i)、i＝1, 2。Lm は各 Run に共通する距離（例えば中性子源から検出器までの距離）、Lc(i)は固有の距離（例えば中性子のエネルギーに－ 51 －

依存した検出器内の走行距離）、t(i)＝tm＋tc(i)、i＝1, 2 も同様に Lm、Lc(i)に対応する飛行時間とする。
まず、分散、共分散項 Var(Li, Li)、Cov(Li, Lj)、i,j＝1,2 に関する計算では、Var(Li, Li)＝<δLm δLm>＋<δLc(i) δLc(i)>＋2<δLm δLc(i)>＊
i

(i)

j

(j) ＊

(23)

(i) ＊

(j)

Cov(L , L )＝<δLm δLm>＋<δLc δLc > ＋<δLm δLc > ＋<δLc δLm>＊

* 印の項は、相関が無く 0 となる。また、時間成分の分散、共分散も同様に
Var(ti, ti)＝<δtm δtm>＋<δtc(i) δtc(i)>
i

(24)

j

Cov(t , t )＝<δtm δtm>と表せる。ここで(22)式の関係を使うと、エネルギーに対する分散、共分散の計算は次式のように求まる。

＝

＋

(25)

＝

＋

(26)

上に示してきた関係式に James のデータを適用すると、Run－1、Run－2 の測定に対する分散、共分散 <δE(i) δE(j)> , (i,j＝1,2) の結果は、次の(27)～(29)式の様に導かれる[3]。それらの数値導出計算は付録－２を参照されたい。
Var(δE(1), δE(1)) ＝ 0.1688 keV2

(27)

Var(δE(2), δE(2)) ＝ 1.379 keV2

(28)

(1)

(2)

2

Cov(δE , δE ) ＝ 0.2204 keV

したがって、共分散行列（Covariance Matrix in keV2）V は、V＝James の 2 回のエネルギー測定値を D0 ＝2078.312079.2(29)
0.16880.22040.2204となる。
1.379と与え、この実験では G＝.
.

となる（比測定ではない）。また、実験値に近い評価値として P＝(2078) keV、その誤差を 5
keV と大き目に選ぶと、即ち M＝(25)とおくと、N＝GMG t の定義に従って
N ＝

.
.

(25)(1 1) ＝

(1

1) ＝

25
25

25
25

故に(21)式は、

Ｐ’ －2078 ＝ (25)(1 1)

0.16880.220425 0.2204
25 1.379

1)

0.94690.90530.90530.9034＝ (25)(1 1)

0.94690.90530.90530.9034＝(25)(125 －Ｍ’

25
25－ 52 －

2078.31 2078
2079.2 2078

0.31 ＝ 0.2654
1.2
1 (25) ＝ 24.835
1以上より、Ｐ’＝2078.27、Ｍ’＝0.165（√ ’＝0.406≒0.41）を得る。したがって、最終的な評価値及びその誤差は、2078.27±0.41 keV となる。ここで注目される事は、最尤推定の結果 2078.27 が James の測定値 2078.31 と 2079.2 の間に存在していないことである。非対角要素を含む共分散行列の処理を行った場合、今回のように共分散行列の要素間に V11＜V12＜V22 の関係が存在している場合には、こうした事態が発生すると言われ、この種の問題は Peelle’s Pertinent Puzzle（ピールのパズル）問題として専門家の間では話題となっている[3]～[6]。この場合でも「誤差相関をキチンと評価した」共分散行列の導出が一層重要であることに変わりはなさそうである[5]。

5. おわりに
本稿では、三種類の実験を取り上げ、それぞれについて実際の測定数値を引用しながら、実験データ間に存在する相関関係に注目して誤差解析を行う手法を紹介した。これ
らを通して読者の皆さんには、共分散データの扱いに関心を持って頂くと共に、その重要さをご理解頂く上でも有用と思われる。また、例題にも見られたように、共分散デー
タ解析を進めることで、実験結果に対する信頼度の向上も期待できる。
『質の悪いデータの氾濫は、その全体の信頼度を悪くする』と云う Mannhart 氏の弁を待つまでもなく「実験者は丁寧な実験、信頼度の高い実験値の導出に努めなければならない」ことを改めて認識させられた。さらには、その後に続くデータ解析、誤差の伝播を考える時、共分散
データは誤差解析上重要な役目を果たしている。実験者／測定者側には今後、誤差行列の提示が望まれるところであるが、少なくとも、読み手側でも誤差解析が可能となるだ
けの十分な実験／測定データや情報提供がなされていることが期待されよう。
本稿をまとめるにあたり、その機会を与えて頂いた IAEA の大塚直彦氏、JAEA の中村
詔司氏に感謝致します。

参考資料[1] W. Mannhart, “A Small Guide to Generating Covariances of Experimental Data”,
PTB-FMRB-84 (1981)、および INDC(NDS)-0588, IAEA, 2011.
[2] G.D. James, Proc. Int. Symp. On Neutron Standards and Applications, NBS Special
Publication, 493 (1977) 319.
[3] F.G. Perey, Proc. Int. Conf. on Neutron Physics and Nuclear Data for Reactors and Other
Applied Purposes, Harwell, CONF-780921 (1978) 104.
[4] 千葉 敏、「ピールのパズルについて（1）」、核データニュース、No.41, p.54～63 (1992)。
[5] 千葉 敏、「ピールのパズルについて（2）」、核データニュース、No.42, p.16～25 (1992)。
[6] W. Mannhart, 上記の資料 INDC(NDS)-0588, IAEA, p.49～51, 2011.

－ 53 －

付録－1 ガンマ線エネルギーと検出効率に係る共分散行列[1]三種類のガンマ線エネルギー：E1＝0.336 MeV、E2＝0.844 MeV、E3＝1.368 MeV と検出b

効率の関係を εi＝aEi 式で近似する。先ず実験データから最小二乗法によって定数 a、bbbを決定（a＝2.803E－2、b＝－1.0659E+0）した後、上式の偏微分形 dεi＝Ei da＋aEi ℓnEi

db, (i=1～3)を書きなおして δεi＝δa＋b ℓnEi δb とした後、本稿 3 章の手法と同様に、分散、共分散データの計算を行う。ここで、i = 1, 3 の場合を例にとると、二種類のエネルギー：
E1＝0.336 MeV、E3＝1.368 MeV に対して、(14)式に相当する計算は次の様になる。
Var(δε1 , δε1) ＝ <δε1 δε1> ＝ 4.996
Var(δε3 , δε3) ＝ <δε3 δε3> ＝ 1.129
Cov(δε1 , δε3) ＝ <δε1 δε3> ＝ 1.897
2.23 %
1.06 %

4.9996 1.897
1.897 1.129

したがって共分散行列は

1.00
0.80

1.00

となる。

同様に i = 1, 2、i = 2, 3 の場合についても計算を行い、三種類のガンマ線エネルギーに対する相関係数行列をまとめると、以下の結果が得られる。
検出効率 %

ガンマ線エネルギー

ε1
ε2
ε3

115mIn 0.336 keV
27Mg 0.844 keV
24Na 1.368 MeV

相関係数行列（ 100）

2.23

100
95
80

1.39
1.06

100
94

100

この結果は、表 1 の脚注 a：において、相関係数として引用されている。

付録－2

James のデータによる共分散行列の計算｛(27)～(29)式の数値導出の計算｝

先ず、(27)式 Var δE 1 , δE 1 の計算：i.

＝＝ 3.6 10

10

＝ 3.6 10＋

＝ 3.6 10

＋

＋

.

.

354.16 10

1 のとき：(25)式に数値を代入して
0.4

0.16

10

0.06250.2225

10

, ∵

1

0.25

10

10
＝2080 keV ＝ 2080 10 eV＝ 3.9016 10

したがって、

3.9016 10＝＝ 2.0810

次に、(28)式 Var δE 2 , δE 2 の計算：i

＝

10

.

2.08

10

keV
3.9016 10＝ 0.1688 keV

2 のとき：(25)式に数値を代入して＋0.4－ 54 －

10

0.5

10

＝ 4 3.6 10 ／2500＋＋＝ 5.76 1010＝ 5.76 10

2.61035 10

0.16

10

0.41

10

.

.

＝ 2.0810

したがって、

10

の計算：i

＝

0.64

＝2080 keV ＝2080 10 eV

31.863510

2.08

31.8635＝

最後に、(29)式 Cov δE 1 , δE 2

10

,∵

10

＝ 31.8635 10

したがって、

4 0.16

0.25

1、j

3

2.08 102.08 1072.3 100 72.3 50
62.08 1072.3 100 72.3 50

∵

0.64

＝
＝ 2.0810＝1.379 keV

2 の共分散項：(26)式に数値を代入して

.

＝
3

10

keV

10

1

＝2080 keV ＝2080 10 eV,＝

107.9582105.0932510

2.08

5.09325－ 55 －

10

5.0932510keV
10 ＝0.2204 keV