数理解析研究所講究録 1293 巻 2002 年 154-167

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ある密性条件を満たす集合の一般化容量の評価
TOSHIYUKI SUGAWA

須川敏幸

広島大学大学院理学研究科

HIROSHIMA UNIVERSITY

1. HAUSDORFF 容量および測度
以下において $(X, \rho)$ は常に距離空間とする。 を計測関数とする、すなわち は $(0, +\infty)$
上で正値 (狭義) 単調増加連続関数とし $h(+0)=0$ を満たすとする。集合 $E\subset X$ および$t\in(0, +\infty]$ に対して
$h$$\mathcal{H}_{h}^{t}(E)=\inf\{\sum_{j}h$(diam$U_{j}$)$h$$;E \subset\bigcup_{j}.U_{j}$, diam $U_{j}<t\}$とする。 $E$ を被覆する集合の取り方には色々な流儀があるが、 ここでは任意の (有である界)Borel 集合でよいことにしておく。 $0<s<t\leq+\infty$ に対してと定める。 Borel 集合 $E$ に対しては $E$ のことに注意し、は $E$ の Hausdorff -容量と呼ばれる。 (一般の集合に
Hausdorff -測度と呼ばれ、””“対しては 内容量 や “ 外容量 といった概念が必要であるが、以下では特に必要ではな
を上のように定義しておく。) $E$ が有界
いので、簡単のために任意の集合に対してである。なお、であな場合は、 明らかに
$U_{j}$$\mathcal{H}_{h}^{t}(E)\leq \mathcal{H}_{h}^{s}(E)$$\mathcal{H}_{h}(E)=\lim_{tarrow 0}\mathcal{H}_{h}^{t}(E)$$h$$\mathcal{H}_{h}(E)$$h$$\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)$$\mathcal{H}_{h}^{t}(E)$$\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)>0\Leftrightarrow \mathcal{H}_{h}(E)>0$$\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)\leq h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E)$ることに注意しておく。
は -次元 Hausdorff 測度と呼ばれる。
特に $h(t)=t^{\alpha}$ の場合には $E$ の Hausdorff 次元と呼ばれ、と表される。 $\alpha=\mathrm{H}-\dim E\in(0, \infty)$ とす
ならばについてである。 しかしるとき、 容易に分かるようにかは、 一般には何とも言えない。 なお、 より一般にはそれが 0 か正の有限値か十$h_{1}(t)=\mathrm{o}(h_{2}(t))(tarrow\mathrm{O})$ である時、 条件
を計測関数としてからが従う。 ほとんど自明な結論であるが、以下の議論で少し有用となるので次のことに注意$\mathcal{H}_{t^{\alpha}}(E)$$\sup\{\alpha;\mathcal{H}_{t^{a}}(E)=$$\alpha$$\mathrm{H}-\dim E$$+\infty\}$$\beta>\alpha$$\mathcal{H}_{t}\beta(E)=0$$\mathcal{H}_{t^{\alpha}}(E)$$h_{1},$ $h_{2}$$\infty$$\mathcal{H}_{h_{2}}(E)<\infty$$\mathcal{H}_{h_{1}}(E)=0$しておく。

を完備距離空間とし、 $f$ : $Xarrow \mathrm{Y}$ を (全射とは限らない) 等
補題 LL $(X, \rho),$
距離写像、 すなわち $\sigma(f(x), f(y))=\rho(x, y)$ が全ての $x,$ $y\in X$ が成り立つとする。
が成り立つ。
このとき、 集合 $E\subset X$ に対して$(\mathrm{Y}, \sigma)$$\mathcal{H}_{h}^{t}(E)=\mathcal{H}_{h}^{t}(f(E))$

証明. 一般に連続写像に関して Borel 集合の逆像はやはり Borel 集合であるが、 Borel 集合の像が Borel 集合になるとは限らない。 しかし、 今の場合は $X$ の完備性と $f$ の等長性から $f(X)$ が $Y$ の閉部分集合となるのでこのことが容易に確かめられる。 これに留意すると次のように議論ができる。
$E$ の $X$ における被覆に対しては $f(U_{j})$ が $f(E)$ のにおける被覆となり、 $f$ の等$f(U_{j})$ であるから
距離性から diamは容易に従う。 逆には $E$ の $X$ におけるを $f(E)$ のにおける被覆とすると、 $U_{j}=f^{-1}(V_{j})$ とすると
$U_{j}$$U_{j}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}$$V_{j}$$\mathrm{Y}$$\mathcal{H}_{h}^{t}(f(E))\leq \mathcal{H}_{h}^{t}(E)$$\mathrm{Y}$1991 Mathematics Subject Classification. Primary 31Al5; Secondary$U_{j}$$30\mathrm{C}85$.

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被覆となり、$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{a}\mathrm{m}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathcal{H}RE)\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathcal{H}Xf(E))$

diam$\mathrm{v}\mathrm{y}$であることから、$\mathcal{H}RE$)$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathcal{H}\ovalbox{\tt\small REJECT}(f(E))$

が従う。 よって口である。

2. 一般化容量
一般化容量はユークリッド空間の部分集合については Frostman の学位論文 [1] により初めて定義が与えられた。 以下に述べる (可分) 距離空間への一般化および結果の精密化については亀谷 [3] による。 [3] では可分性が仮定されているが、以下に述べることに関しては特に可分性は必要ないように思われる。
を容量核とする、すなわち、連続 (狭義) 減少関数で $\Phi(+0)=+\infty$関数:
を満たすものとする。ただし、 ここでは正値とは限らないとする。有界 Borel 集合 $E$ に対
して $P(E)$ を $E$ に台を持つ $X$ 上の Borel 確率測度全体のなす集合とする。 また、 $P_{0}(X)$を有界集合に台を持つような $X$ 上の Borel 確率測度全体とする。 $\mu\in P_{0}(X)$ の \Phi -ポテン$(0, \infty)arrow \mathbb{R}$$\Phi$

シャノレ$u_{\mu}^{\Phi}$を$u_{\mu}^{\Phi}(x)= \int_{X}\Phi(\rho(x, y))d\mu(y)$,$x\in X$,.

によって定める。すると$u_{\mu}^{\Phi}$

は $X$ 上で下半連続である。 さらに有界 Borel 集合 $E$ に対して

$V^{\Phi}(E)= \inf_{\mu\in E)}||u_{\mu}^{\Phi}||_{\infty}$

,

ここ {こ

$||u_{\mu}^{\Phi}||_{\infty}= \sup_{x\in X}u_{\mu}^{\Phi}(x)$,とし、 $E$ の \Phi -容量を$C^{\Phi}(E)=\Phi^{-1}(V^{\Phi}(E))$

によって定める。 ただし $V^{\Phi}(E)=+\infty$ の場合は $C^{\Phi}(E)=0$ と定める。
なお、 もし $\mu\in P(E)$ が において点測度を持つ、 すなわち $\mu(\{p\})>0$ であるとするである。 (よって、 可算集合の \Phi -容&‘\not\in \hslash ‘ ら $u_{\mu}^{\Phi}(p)=+\infty$ となり、特にとなる。) 従って、 このような測度は容量を計算する際には排除してもよく、際には最初から non-atomic なものだけを$p$.

$\text{量}\ovalbox{\tt\small REJECT}\mathrm{h}1\mathrm{J}\mathrm{f}\acute{\dot{\mathrm{f}\mathrm{i}}}\}^{>}\Delta$$||u_{\mu}^{\Phi}||_{\infty}=\infty$$0$$\text{考}\overline{\mathrm{x}}\mathrm{B}1\mathrm{t}\mathrm{h}^{\grave{\backslash }}\text{十分^{}-}T^{\backslash ^{\backslash }}\text{ある_{。}}$$\text{ます_{、}^{}\backslash }P^{\lrcorner}\epsilon^{\tau}\prime \text{量の定義}\urcorner \mathrm{p}\mathrm{g}_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\not\in)}\mathrm{b}\text{含め_{、}}\mathrm{A}^{\text{、}の_{}arrow \text{と}[]\not\in_{d}\text{意し^{}-}T\mathrm{k}^{\backslash }\text{く_{。}}^{}}\tilde{\sim}\backslash$

補題 2.1. 距離空間 $X$ の有界 Borel 集合 $E$ に対して次の不等式が成り立つ :$C^{\Phi}(E) \leq \mathrm{a}\inf_{\mathrm{e}\in E}\sup_{y\in E}\rho(x, y)\leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}$$E$.

証明. $x\in E$ [こ対して $d(x)= \sup_{y\in E}\rho(x, y)$ と定めると、 任意の $y\in E$ {こついて $\rho(x, y)\leq$$d(x)$ だから $\Phi(d(x))\leq\Phi(\rho(x, y))$ が成り立つ。 これを $\mu\in P(E)$ について積分して$\Phi(d(x))\leq u_{\mu}^{\Phi}(x)\leq||u*$11 エが得られる。 さらに $\mu\in P(E)$ に関して下限を取れば、 $\Phi(d(x))\leq V^{\Phi}(E)$ となるが、 このの像に入り、 $C^{\Phi}(E)=\Phi^{-1}(V^{\Phi}(E))$ が定義ことから特に $V^{\Phi}(E)$ は値が十 でない限り$C^{\Phi}(E)\leq
d(x)$ を得るが、 最後に $x\in E$ に関して
これによりできることに注意しておく。
$E$ より明白である。
口
下限を取れば求める不等式が得られる。 最後の式は$\infty$$\Phi$$d(x)\leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}$$\Phi(t)=\log(1/t)$ の場合は$\Phi$-ポテンシャルは対数ポテンシャルに他ならず、$C^{\Phi}(E)$は $E$ の

通常の対数容量に一致する。 また、 $\Phi(t)=t^{2-d}$ の場合は -ポテンシャルは 次元 Newton
ポテンシャルに他ならない。従って、上の容量はこれらの古典的な容量の自然な一般化になっていると言える。
$\Phi$

$d$

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3.

$\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{U}\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{O}\mathrm{R}\mathrm{F}\mathrm{F}\Leftrightarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}*\geq-\backslash \mathfrak{R}l\mathrm{b}\Leftrightarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}*\geq\emptyset\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{f},\tau_{\backslash }+$次の結果は対数容量に関する Erd\"os-Gillis の結果の一般化である。
定理 3.1(Kametani [3]). $h$ を計測関数とし $E$ を可分距離空間 $X$ の Borel 部分集合とする。 $\Phi(t)=1/h(t)$ とするとき、 $\mathcal{H}_{h}(E)<\infty$ ならば $C^{\Phi}(E)=0$ である。

この定理は定性的なものだが、主張は弱くなるものの、可分性の仮定を外した上で定量的な結果も示される。 [3] に次の主張は明示的には現れないが、 証明から読みとれる。
を計測関数とし $E$ を距離空間 $X$ の Borel 部分集合とする。 $E$ を $X$ のコン
補題 3.2.
パクト部分集合とし、 $\Phi=1/h$ とする。 このとき
$h$1$\overline{V^{\Phi}(E)}\leq \mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)$が成り立つ。
証明. 便利のために証明を紹介する。 (Uj) を任意の $E$ の有界 Borel 集合による被覆とし、としてよい。 各 に対して $E_{j}=E\cap U_{j}$ とし、 $p_{j}\in E$とする。
を取る。 すると $\mu\in P(E)$ に対して
$d_{j}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}$$U_{j}$$U_{j}\cap E\neq\emptyset$$j$$\frac{\mu(E_{j})}{h(d_{j})}=\int_{E_{j}}\Phi(d_{j})d\mu(q)\leq\int_{E_{j}}\Phi(\rho(p_{j}, q))d\mu(q)\leq\int_{E}\Phi(\rho(p_{j}, q))d\mu(q)=u_{\mu}^{\Phi}(p_{j})\leq||u_{\mu}^{\Phi}||_{\infty}$

であるから、$\mu(E_{j})\leq||u_{\mu}^{\Phi}||_{\infty}h(d_{j})$を得る。 従って$1= \mu(E)\leq\sum_{j}\mu(E_{j})\leq||u_{\mu}^{\Phi}||_{\infty}\sum_{j}h(d_{j})$となる。 あらゆる被覆についての下限を取ることにより$1\leq||u_{\mu}^{\Phi}||_{\infty}\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)$を得るが、 さらに $\mu\in P(E)$ に関する下限を取ることにより、$1\leq V^{\Phi}(E)\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)$が示される。

口

ならば $C^{\Phi}(E)=0$ であることが従う。 また、 逆向
補題の不等式からは、
きの評価は、 $(X, \rho)$ がユークリッド空間である場合には次のような形で示される。 (これも [3] には明示的には現れないが、 やはり証明から読みとれる。 なお、 [6, p. 64] における$\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)=0$

hostman の定理に用いられる補題の証明も参照のこと。)
定理 33. $X=\mathbb{R}^{n},$ $\rho(x, y)=|x-y|$ とし、 $- \int_{0}^{t_{0}}h(t)d\Phi(t)$ く十が十分小さい$t_{0}>0$ に対して成り立つと仮定する。 このとき任意のコンパクト集合 $E\subset X$ に対して$\infty$(3.1)$V^{\Phi}(E)=\Phi(C^{\Phi}(E))\leq\Phi$(diam $E$ )が成り立つ。 ただし、 $A\text{ }=(3\sqrt{n})^{n}\Omega_{n}$ で、$\Omega_{n}$$- \frac{A_{n}}{\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)}\int_{0}^{2\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E}h(t)d\Phi(t)$は $n$ 次元単位球の体積を表す。

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同じ仮定の下で $\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)>0\Rightarrow C^{\Phi}(E)>0$ 力 成り立つ。

系 34(Kametani [3]).

$\grave{\grave{\mathrm{a}}}$この系はもともとは Frostman [1] が $h(t)=1/\log(1/t)$ の場合 (こ示したものである力
亀谷 [3] によりこの形に拡張された。

$\mathrm{a}\grave{\backslash }$、やはり便利のために定理の証明を与えておくことにする。その準備として、次の補題を示しておく。 以下では $B(p, r)=\{q\in X;\rho(p, q)\leq r\}$ としておく。

$E$ とする。 その上
補題 35. $E$ を距離空間 $(X, \rho)$ の有界 Borel 集合で、 $r_{0}=2$ diam
: $(0, r_{0})arrow \mathbb{R}_{+}$ で、 $\psi(+0)=0$ 力)に台を持つ $X$ 上の Borel 確率測度 と連続関数$\varphi_{p}(t)\leq\psi(t)$ を任意の
各 $p\in X$ に対して $\varphi_{p}(t)=\mu(E\cap B(p, t))$ と定める時、$\psi$$\mu$$\text{つ}$$0<t<r_{0}$ [こ対して満たし、$- \int_{0}^{r\mathrm{o}}\psi(t)d\Phi(t)<+\infty$となるものが存在すると仮定すると、$V^{\Phi}(E) \leq\Phi(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E)-\int_{0}^{r_{\mathrm{O}}}\psi(t)d\Phi(t)$が成立する。
を $f(q)=\rho(p, q)$ 一より定義する。 すると
証明. $p\in X$ を固定して連続写像 :l ま右(なお、 定義力) らに他ならなの $f$ による像測度が Riemann-Stieltjes 測度
連続である。) {\acute \pi って、一般論から $[0, +\infty)$ 上の連続関数 に対して
3 ま原点こが成り立つ。 ここで左辺は通常の Riemann-Stieltjes 積分としてよ 1)。 容量核$f$$Xarrow \mathbb{R}$$\mu$$1)_{\text{。}}$$\varphi_{p}$$d\varphi_{p}$$g$$\int_{E}g\circ fd\mu=\int_{0}^{r_{0}}gd\varphi_{p}$$\Phi$

おいて特異性を持つが、 連続関数で下から近似すれば容易に$u_{\mu}^{\Phi}(p)= \int_{E}\Phi(\rho(p, q))d\mu(q)=\int_{0}^{\infty}\Phi(t)d\varphi_{p}(t)$が得られる。 今、 dist$(p, E)<\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E$と仮定し、 $\varphi_{p}(0)=0$ に注意して部分積分を行うとさらに$u_{\mu}^{\Phi}(p)= \int_{0}^{r_{0}}\Phi(t)d\varphi_{p}(t)$$= \Phi(r_{0})\varphi_{p}(r_{0})-\int_{0}^{r_{0}}\varphi_{p}(t)d\Phi(t)$$\leq\Phi(r_{0})-\int_{0}^{r0}\psi(t)d\Phi(t)$$\leq\Phi(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E)-\int_{0}^{r\mathrm{o}}\psi(t)d\Phi(t)$を得る。 (正確には、 定数 $M$ に対して $\Phi_{M}=\min\{\Phi, M\}$ を考えて、 最後にする、 という議論を経る。)$E$ と仮定すると、任意の $q\in E$ に対して
次に dist(p, $E$ )となる。
となる。 ゆえ{ここれらの考察から$Marrow+\infty$$\rho(p, q)\geq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E$$\geq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}$$\Phi(\rho(p, q))\leq\Phi(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E)$$u_{\mu}^{\Phi}(p)\leq\Phi(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E)$$V^{\Phi}(E) \leq||u_{\mu}^{\Phi}||_{\infty}\leq\Phi(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E)-\int_{0}^{\tau 0}\psi(t)d\Phi(t)$

と

より

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$\square$$\hslash\grave{\grave{\backslash }}\{\yen^{\iota}\grave{\supset}\mathrm{n}/\mathrm{B}\xi)_{0}$定理 33 の証明.

内のコンパクト集合とし、正数 を市 am $E<d$ となるように任意に取り固定しておく。適当に平行移動して $E$ が “ 立方体 $C_{0}=(0, d]^{n}$ に含まれているとを個の交わらない立方体に等分割し、その全体をしてよい。 $Q_{0}=\{C_{0}\}$ とする。と表す。すなわち $C\in Q_{1}$ は、 $aj=0,1$ として $(a_{1}/2, (a_{1}+1)/2]\cross\cdots(a_{n}/2, (a_{n}+1)/2]$ のを個の交わらない立方体に等分割し、その全体をと表す。
形を持つ。 同様にして$c_{j}=(2^{j}/d)^{n}h(\sqrt{n}d/2^{j})$$\mu_{j}(j=0,1,2,\ldots)$l!J度を定義する。
に台を持つ正値 Borel
次にとし、 $C\in Q_{j}$ に対して、 $C\cap E\neq\emptyset$ であれば $C$ 上ではをルベーグ測度の $C$ への制限
$C\capE=\emptyset$の$d\mu_{j}(x)=c_{j}dx_{1}\cdots
dx_{n}$とし、
すなわちであれば $C$ 上では $d\mu_{j}=0$
9 倍、と定める。 $C\cap E\neq\emptyset$ であるような $C\in Q_{j}$ 全体の和集合をと表すことにすると、$C\cap E\neq\emptyset$ であればについてまた、であることになる。
$C\in
Q_{j}$
作り方からの台はが成り立つことに注意しておく。
に台を持つ新たな測度
次に $j\geq 1$ を固定して次のようにして
を順
$E$

を

$d$

$\mathbb{R}^{n}$”$2^{n}$$C_{0}$$C_{0}$$Q_{1}$$2^{jn}$$Q_{j}$$C_{0}$$\mu_{j}$$E_{j}$$\mu_{j}$$E_{j}$$\mu_{j}(C)=h(\sqrt{n}d/2^{j})=h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C)$$C_{0}$$\mu_{j}^{(0)},$$\mu_{j}^{(1)},$$\mu_{j}^{(j)}$$\ldots,$

次構成する。

$\mu_{j}^{(0)}=\mu_{j}$り立つ。 次に$\mu_{j}^{(1)}$とすれば、 定義から各 $C\in Q_{j}$ に対して$\mu_{j}^{(0)}(C)=h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C)$が成を各 $C\in Q_{j-1}$ 上で$d \mu_{j}^{(1)}=\mathrm{m}.\mathrm{n}\{\frac{h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C)}{\mu_{j}^{(0)}(C)},$$1\}d\mu_{j}^{(0)}$となるように定める。 作り方かて成り立つことに注意する。
が定まれば、を各 C\in Qj-t で
以下、$\downarrow-\supset\mu_{j}^{(1)}(C)$$\mu_{j}^{(k-1)}$$\leq h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C)$が全ての $C \in\bigcup_{m=j-1}^{j}$ Q。に対し$\mu_{j}^{(k)}$$d \mu_{j}^{(k)}=\mathrm{m}.\mathrm{n}\{\frac{h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C)}{\mu_{j}^{(k-1)}(C)},$となるように定義する。 すると、 やはり$1\}d\mu_{j}^{(k-1)}$$\mu_{j}^{(k)}(C)\leq h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C)$が全ての $C \in\bigcup_{m=j-k}^{j}Q_{m}$と定める。 特に、に対して成り立つことに注意する。 そして、 最後にはであることに注意せよ。 また、構成の仕方からに対して絶対連続であるので、 特にに含まれることが分かる。
の台はに対して、 次のことが成り立つ。 すなわち、 任意の $p\in E$ と $j\geq 1$ に対し
この測度$\mu_{j}^{*}=\mu_{j}^{(j)}$$h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C_{0})$$\mu_{j}^{*}$$\mu_{j}^{*}(C_{0})\leq$$\mu_{j}$$E_{j}$$\mu_{j}^{*}$$\mu_{j}^{*}$

てある整数
実際、 各

$0\leq k\leq j$$k$と $C\in Q_{k}$ が存在して、 $p\in C$ かつに対して$Q_{k}$の元で表すことにする。 先の注意から、$p$が成り立つ。
を含むものが唯一存在するが、 それを $C_{k}=C_{k}(p)$ とであったが、 等号が成立$\mu_{j}^{*}(C_{0})\leq h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C_{0})=\mu_{0}(C_{0})$しないとしてみよう。 すると構成の仕方から、ならない。すると$C_{1}$

に対して$\mu_{j}^{*}(C)=h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C)$$C_{0}$

上で $d\mu_{j}^{*}=d\mu_{j}^{(j)}=d\mu_{j}^{(j-1)}$ でなければ$\mu_{j}^{(j-1)}(C_{1})\leq h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C_{1})$であるが、 もし等号が成立しないとすると $d\mu_{j}^{(j-1)}=d\mu_{j}^{(j-2)}$ であったことになる。 これを繰り返して、等号が成立するような が $j-1$ まで現れなかったと仮定すると、 $C_{j-1}$ 上でとなるが、 この場合はとなり、 $k=j$ で等号が成立することになる。 よって、 これにて先の主張が示された。
さて、 整数 $j\geq 1$ 及び点 $p\in E$ に対して、が成り立つよう
$k_{p}(j)$$D_{j}(p)=C_{k_{\mathrm{p}}(j)}(p)$$D_{j}(p)\cap
D_{j}(q)\neq\emptyset$ な
を
と書き、
な最大の
と定める。 このとき、$k$$d\mu_{j}^{*}=d\mu_{j}$$\mu_{j}^{*}(C_{j})=\mu_{j}(C_{j})=h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C_{j})$$\mu_{j}^{*}(C_{k}(p))=h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C_{k}(p))$

$k$

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らば $D_{j}(p)=D_{j}(q)$ であることに注意する。 従って族 $D_{j}=\{D_{j}(p);p\in E\}$ は$E_{j}$の互いに交わらない有限被覆となる。 よって(3.2)$\mu_{j}^{*}(E_{j})=\sum_{D\in D_{\mathrm{j}}}\mu_{j}^{*}(D)=\sum_{D\in D_{\mathrm{j}}}h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}D)\geq \mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)$が得られる。 一方、 $\mu_{j}^{*}(C_{0})\leq h(C_{0})$ であるから集合は弱コンパクトである。 従って
に含まれて
の台は
適当な部分列を取ればある正値 Borel 測度に弱収束する。
$E$$2^{-j}\sqrt{n}d$
$E$
の
いたが、
が
-近傍に含まれることと、 が閉集合であったことに注意するとが成り立つ。 また、の台が $E$ に含まれることが分かる。 すなわち$\{\mu_{j}\}$$j_{m}$$\mu^{*}$$\mu_{j}^{*}$$E_{j}$$E_{j}$$\mu^{*}(\mathbb{R}^{n}\backslash E)=0$$\mu^{*}$(3.2) より
(3.3)$\mu^{*}(E)\geq \mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)$

も従う。
最後にこの

$\mu^{*}$

に対して

(3.4)

$\mu^{*}(B(a, t))\leq A_{n}h(t)$$\forall a\in \mathbb{R}^{n},$$\forall t>0$が成り立つことを示す。 ただし、 ここには定理 33 に現れる定数、 すなわち $A_{n}=$は 次元単位球の通常の体積である。
で、$C_{0}=\sqrt{n}d$ ならば
まずよりこの評価は自明に成り立つことに注意する。 よってと仮定してよいが、 そこで整数 $k\geq 1$ を $2^{-k}\sqrt{n}d\leq$$A_{n}$$(3\sqrt{n})^{n}\Omega_{n}$$\Omega_{n}$$n$$t\geq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}$$\mu^{*}(\mathbb{R}^{n})\leq h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C_{0})$$t<\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}C_{0}$$t<2^{-k+1}\sqrt{n}d$ となるよう (こ選ぶ。 さら (こ $t’$ を $t<t’<2^{k-1}\sqrt{n}d$ となるように任意 (こ取り、$Q_{k}(a)=\{C\in Q_{k};C\cap B(a, t’)\neq\emptyset\}$と定める。 $Q_{k}(a)$ の元の和集合は球 $B(a, t’+\sqrt{n}2^{-k}d)$に含まれるから、 体積を比較して$\# Q_{k}(a)\cdot(2^{-k}d)^{n}\leq\Omega_{n}(t’+\sqrt{n}2^{-k}d)$が得られる。 ただしここに $\Omega_{n}=\pi^{n/2}/\Gamma((n/2)+1)$ は$n$次元単位球の体積を表す。 よって$\# Q_{k}(a)\leq\Omega_{n}(\frac{t’+\sqrt{n}2^{-k}d}{2^{-k}d})^{n}\leq(3\sqrt{n})^{n}\Omega_{n}=A_{n}$を得る。 従って $j\geq k$ に対して$\mu_{j}^{*}(B(a, t’))\leq\sum_{C\in Q_{k}(a)}\mu_{j}^{*}(C)\leq\# Q_{k}(a)\cdot h(2^{-k}\sqrt{n}d)\leq A_{n}h(2^{-k}\sqrt{n}d)$が成り立つ。 ここで を $[0, 1]$ に値を取る
上の滑らかな関数で、台を $B(a, t’)$ 内に持ち、$B(a, t)$ 上では値 1 を取るものとすると、 任意の $j\geq k$ について$\mathbb{R}^{n}$$\chi$$\int_{\mathrm{R}^{n}}\chi d\mu_{j}^{*}\leq\mu_{j}^{*}(B(a, t’))\leq A_{n}h(2^{-k}\sqrt{n}d)\leq A_{n}h(t)$であることが分かるので、 $j=j_{m}$ として極限を取ると$\mu(B(a, t))\leq\int_{\mathrm{R}^{n}}\chi d\mu^{*}\leq A_{n}h(t)$が従う。 これにて式 (3.4) が示された。
今、 Borel 確率測度 $\mu=\mu^{*}/\mu^{*}(E)$ を補題 35 を適用すると、 (3.3) に注意して所期の口式 (3.1) が得られる。

160
重要な例として $\Phi(t)=\log(1/t)$ の場合を考えてみる。 まずを採ると、$\gamma$を正定数として $h(t)=t^{\gamma}$$- \int_{0}^{\delta}h(t)d\Phi(t)=\int_{0}^{\delta}t^{\gamma-1}dt=\frac{\delta^{\gamma}}{\gamma}<+\infty$であるから、 定理 33 の仮定を満たすことが分かる。従って、 特に、 Hausdorff 次元が正であれば対数容量が正であるというよく知られた結果が上の系から分かる。次に $\gamma>0$ に対して $h(t)=(\log(1/t))^{-\gamma},$ $0<t<\delta$ , (ただし $0<\delta<1$ ) とすると、$- \int_{0}^{\delta}h(t)d\Phi(t)=\int_{0}^{\delta}\frac{dt}{t(\log(1/t))^{\gamma}}$であるから、 この積分が有限であるための必要十分条件は $\gamma>1$ である。

不等式 (3.1) を用いれば、 $E$ の Hausdorff -容量の下からの評価から、 \Phi -容量の下からの評価が従うことになる。次節以下では Hausdorff h-容量の下からの評価を、適当な密性条件の下で導くことを考える。
$h$4. 主定理以下においては、 距離空間 $(X, \rho)$ は完備であると仮定する。 ( $X$ は可分である必要はない。)

を非減少関数で $0<\varphi(r)\leq r,$ $0<r<r_{0}$ , を満たすものとする。 これに対して $A_{\varphi}(a, r)=\{x\in X;\varphi(r)\leq\rho(x, a)\leq r\}$ と定める。
空でない閉集合 $E\subset X$ が -完全であるとは全ての $a\in E$ かつ $0<r< \min$ { , diam $E/2$ }が成り立つことをいう。 ある定数 $0<c\leq 1$ {こ対して $\varphi(r)=cr$に対してであるとき、 この概念は通常の一様完全性と一致する (cf. [4], [5])。
空でない閉集合が -完全であれば、完全集合 (すなわち孤立点を持たない集合) であ$0<r_{0}\leq+\infty$ に対して$\varphi$:$(0, r_{0})arrow \mathbb{R}$$r_{0}$$\varphi$$E\cap A_{\varphi}(a, r)\neq\emptyset$$\varphi$

り、 $X$ の完備性から非可算集合となる。

を計測関数、$h$$\epsilon_{1},$$\epsilon_{2}$:$(0, r_{0})arrow \mathbb{R}$(4.1)$\varphi$:$(0, r_{0})arrow \mathbb{R}$を$h( \varphi(x/3)/2)=\frac{\exp\epsilon_{1}(x)}{2}h(x)$によって定義する。
が関数:$(0, x_{0})arrow \mathbb{R}$$\nu$

を前節におけるような関数とする。 ここで補助関数$0<x<x_{0}$ において$\lambda$:,$(0, x_{0})arrow \mathbb{R}$$\lambda(x)\leq\nu(x)$$h(2 \varphi(x))=\frac{\exp\epsilon_{2}(x)}{2}h(x).(0<x<r_{0})$の単調優関数であるとは$\nu$が非負・非減少でであることをいう。

定理 41. $(X, \rho)$ を完備距離空間とする。 関数: $(0, r_{0})arrow \mathbb{R}$ はある定数 $0<c\leq 1$に対して $0<\varphi(r)<cr$ が成り立っと仮定する。
$\varphi$(i)$-\epsilon_{1}$(4.2)の単調優関数$\omega_{1}$で$\int_{0}^{r_{0}}\frac{\omega_{1}(x)dx}{x}<+\infty$が成り立つものが存在すると仮定すると、 任意の(4.3)-完全な閉集合 $E$ について$\varphi$$\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)\geq\frac{h(\delta_{0})}{2}\exp(-\omega_{1}(\delta_{0})-\frac{1}{\log(6/c)}\int_{0}^{\delta 0}\frac{\omega_{1}(x)dx}{x})$が成り立つ。 ただしここで \mbox{\boldmath $\delta$}。は $0< \delta_{0}<\min$ {$r_{0}$, diam $E/2$ } を満たす任意の数で

161
(ii)

$\mathrm{b}\mathrm{b}c<1/4T^{\backslash }\hslash l)_{\backslash }\epsilon_{2}\sigma)\mathrm{a}\mathrm{e}\underline{\frac{-}{-}}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}_{\mathrm{P}}\mathfrak{l}\mathrm{E}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\omega_{2}T^{\backslash ^{\backslash }}$(4.4)$\int_{0}^{r_{0}}\frac{\omega_{2}(x)dx}{x}$

く十$\infty$,を満たすものが存在するならば、 任意の $0<d_{0}<r_{0}$ に対して \mbox{\boldmath $\varphi$}-完全なコンパクト集合$E\subset[0, d_{0}]$

で

(4.5)

$\mathcal{H}_{h}(E)\leq h(d_{0})\exp(\omega_{2}(d_{0})+\frac{1}{\log(1/2c)}\int_{0}^{d_{\mathrm{O}}}\frac{\omega_{2}(x)dx}{x})$満たすものが構成できる。

本定理では可分性は必要ではないことに注意する。 なお、 もし $(X, \rho)$ がユークリッド空間であるならば、 上のに置き換えることができの定義において $\varphi(x/3)/2$ を$X$る (次節の注意参照)。 さらに後半の例は、に等距離に埋め込めるなら
または区間がば、 $X$ 内にも容易に実現できる (補題 1.1 参照)。
$\varphi(x/3)$$\epsilon_{1}$$\mathbb{R}$系 42.

$(X, \rho)$, とするとたす。

$r_{0}$$X$

を完備距離空間とする。 定数 $0<c<1$ に対して $\varphi(r)=cr,$ $0<r<$内の空でない任意の -完全集合 $E$ は $\mathrm{H}-\dim E\geq\log 2/\log(6/c)$ を満$\varphi$

証明. $\beta=\log 2/\log(6/c)$ として $h(x)=x^{\beta}$ とすれば、$h(\varphi(x/3)/2)=(cx/6)^{\beta}=x^{\beta}/2=h(x)/2$となるので $\epsilon_{1}(x)=0$ として定理が適用できる。

口

先の注意から、 $(X, \rho)$ がユークリッド空間である場合には $\varphi(x/3)/2$ の 1/2 が外せるので、 Hausdorff 次元の評価も改善され、 $\mathrm{H}-\dim E\geq\log 2/\log(3/c)$ が得られる。
なお、このような一様完全集合の Hausdorff 次元の下からの評価は、最初は J\"arvi-Vuorinen[2] によって示されたが、 定数はやや荒く、 空間の次元によるものであった。 [5] において次元によらない評価が与えられたが、それとてもユークリッド空間でしか適用できない議論であった。今回は、完備距離空間の場合に証明されたので、それだけでも新しい知見が得られたことになる。
しかし、 同じ $h(t)=t^{\beta}$ に対しては $\epsilon_{2}(t)=\beta\log(2c)+\log 2\neq 0$ であり、 定理における積分条件を満たす の単調優関数
は存在しないので、 この Hausdorff 次元の評価の最(Euclid良性は定理からは従わない。
空間の場合の評価 $\log 2/\log(3/c)$ でさえ最良ではな$\epsilon_{2}$$\omega_{2}$

いであろう。)

さらに、 この定理と評価式 (3.1) と組み合わせれば次の結果を得る。

系 43. 定理 4.1 と同じ状況で、 さらに $X=\mathbb{R}^{n},$ $\rho(x, y)=|x-y|$ とし、 容量核条件一 $\int_{0}^{t\mathrm{o}}h(t)d\Phi(t)<+\infty$ を十分小さい $t_{0}>0$ に対して満たすと仮定する。
このとき任意の -完全なコンパクト集合 $E\subset X$ に対して

. は$\Phi$$\varphi$$V^{\Phi}(E)=\Phi(C^{\Phi}(E))$$\leq\Phi$(diam $E$ )$- \frac{A_{n}}{h(\delta_{0})}\int_{0}^{2\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}E}h(t)d\Phi(t)\cdot\exp(\omega_{1}(\delta_{0})+\frac{1}{\log(6/c)}\int_{0}^{\delta_{0}}\frac{\omega_{1}(x)dx}{x})$162
は $0< \delta_{0}<\min$ { , diam $E/2$ } を満たす任意の数でが成り立つ。 ただし、 ここにあるとし、 A、は次元 $n$ にのみ依存する正定数である。
$\delta_{0}$$r_{0}$

より一般の についてはこの結果では不十分な場合がある。
の度合いが十分緩ければ、 定理の次のような変形も有用である。

$\varphi(t)$$\varphi$

定理 44.

を完備距離空間とする。 関数
が成り立つと仮定する。
での単調優関数$(X, \rho)$$\varphi$の $t=0$ における増加はある定数 $c>0,$ $\alpha>1$ に対して$\varphi(r)\leq cr^{\alpha}$(i)$\omega_{1}$$-\epsilon_{1}$(4.6)$\int_{0}^{r_{0}}\frac{\omega_{1}(x)dx}{x1\mathrm{o}\mathrm{g}(2r_{0}/x)}<+\infty$が成り立つものが存在すると仮定すると、任意の(4.7)$\varphi$-完全な閉集合 $E$ について$\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)\geq\frac{h(\delta_{0})}{2}\exp(-\omega_{1}(\delta_{0})-\frac{1}{\log\alpha}\int_{0}^{\delta_{0}}\frac{\omega_{\mathrm{l}}(x)dx}{x1\mathrm{o}\mathrm{g}(M/x)})$が成り立つ。 ただしここです任意の正数との単調優関数(ii) もし$\delta_{0}$は $cr_{0}^{\alpha-1}<1$ および $0< \delta_{0}<\min$$\text{し_{、}}.M=(2\cdot 3^{\alpha}/c)^{1/(\overline{\alpha}-1)}(>\delta_{0})$$\omega_{2}$$\epsilon_{2}$(4.8){ , diam } を満た$r_{0}$

$E$

とする。

で
$\int_{0}^{r_{0}}\frac{\omega_{2}(x)dx}{x1\mathrm{o}\mathrm{g}(2r_{0}/x)}<+\infty$,を満たすものが存在するならば、 $cd_{0}^{\alpha-1}<1/4$ を満たす任意の $0<d_{0}<r_{0}$ に対して-完全なコンパクト集合 $E\subset[0, d_{0}]$ で$\varphi$(4.9)$\mathcal{H}_{h}(E)\leq h(d_{0})$$\exp(\omega_{2}(d_{0})+\frac{1}{\log\alpha}\int_{0}^{d_{0}}\frac{\omega_{2}(x)dx}{x1\mathrm{o}\mathrm{g}(M/x)})$満たすものが構成できる。 ただし、 ここに $M=(2c)^{-1/(\alpha-1)}(>d_{0})$ とする。
具体的には書かないが、 この結果からも同様に一般化容量の下からの評価が従う。

5. 主定理の証明
以下では $a\in X,$ $r>0$ に対して 己号 $B(a, r)=\{x\in X;\rho(x, a)\leq r\}$ を用いる。
$\frac{-}{\frac{-}{\mathrm{p}}}$定理 4.1 の証明. { :を定理にある函数とし、 $E\subset X$ を \mbox{\boldmath $\varphi$}-完全な閉集合とす
を $\delta_{0}<\min$ { , diam $E/2$ } にとり固定しておく。 さらに $\delta_{n}=\varphi(\delta_{n-1}/3)/2$ にる。 正数
を 1|1 頁次定める。 $\varphi(r)\leq cr\leq r$ より $\delta_{n}\leq(1/6)\delta_{n-1}$ であること (こ注意する。
より$a\in E$ を任意に選び固定しておく。 $B=B(a, \delta_{0}/2)$ としておこう。 $a_{0}=a$ と定め、さらに$E$ のを取ることができる。従って $\rho(a_{0}, a_{1})\geq\varphi(\delta_{0}/3)=2\delta_{1}$-完全性から、となっていることに注意する。 そこで $B_{i}=B(a_{i}, \delta_{1}/2),$ $i=0,1$ , としておこう。 すると$(0, r_{0})arrow \mathbb{R}$$i$$\delta_{0}$$\delta_{1},$$r_{0}$$\delta_{2},$$\ldots$$a_{1}\in A_{\varphi}(a, \delta_{0}/3)$$\varphi$であるから特 [こ $B_{0}\cap B_{1}=\emptyset$ である。 また、.
$\rho(a_{0}, a_{1})+\delta_{1}/2\leq\delta_{0}/3+\delta_{1}/2\leq(5/12)\delta_{0}<$より $B_{1}\subset B$ である。

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(B_{0}, B_{1})\geq\rho(a_{0}, a_{1})-\delta_{1}\geq\delta_{1}>0$$\delta_{0}/2$

次に
として

$a$

$B(a_{ij}, \delta_{2})$りで置き換えて同様の構成を行う。すなわち各 $i=0,1$ に対して $a_{i0}=a_{i}$であるから、 $B_{ij}=$を選ぶ。 するととすれdist $(B_{i0}, B_{i1})\geq\delta_{2}>0$ となる. また $\rho(a_{i0}, a_{i1})+\delta_{2}/2\leq(5/12)\delta_{1}$ よが成り立つ。

の役割を$a_{i}$$a_{i1}\in A_{\varphi}(a_{i}, \delta_{1}/3)$$B_{i1}\subset B$$\#\grave{\mathrm{f}}$$\text{、}$$\rho(a_{i0}, a_{i1})\geq\varphi(\delta_{1}/3)=2\delta_{2}$163
以下同様にして $\underline{i}=(i_{1}, \ldots, i_{k})\in\{0,1\}^{k}$ に対してとするとき、 次のことが成り立つようにすることができる :$a_{\underline{i}}=a_{i_{1}\ldots i_{k}}\in E$

を定め、$B_{\underline{i}}=$$B(a_{\underline{i}}, \delta_{k}/2)$(1)(2) dist(3)$\rho(a_{i_{1}\ldots i_{k-1}0}, a_{i_{1}\ldots i_{k-1}1})\geq 2\delta_{k}$,$(B_{i_{1}\ldots i_{k-1}0}, B_{i_{1}\ldots i_{k-1}1})\geq\delta_{k}$,$B_{i_{1}\ldots i_{k-1}0}\cup B_{i_{1}\ldots i_{k-1}1}\subset B_{i_{1}\ldots i_{k-1}}$.

とすると $K$ は $E$ のコンパクト部分集合であは $X$ の完備性とに対してることが分かる。 実際、と表せば、写像 $f$ :から 1 点のみからなる集合となるが、その点を
そこで、

B。,

$K_{k}= \bigcup_{\underline{i}\in\{0,1\}^{k}}$$K= \bigcap_{k=1}^{\infty}K_{k}$$\underline{i}=(i_{1}, i_{2}, \ldots)\in\{0,1\}^{\mathrm{N}}$$\bigcap_{k=1}\infty B_{i_{1}\ldots i_{k}}$$\delta_{k}arrow 0$$\{0, 1\}^{\mathrm{N}}arrow X$$f(\underline{i})$は {0, 1}ゞに {0, 1} の離散位相から定まる直積位相を入れて連続写像となる。 {0, 1}ゞはコンパクトだから、 像 $K=f(\{0,1\}^{\mathrm{N}})$ もコンパクトである。
に対してさて、 計測関数 h}こ対して以下ではある正定数$L_{0}$(5.1)$L_{0}\leq 2^{k}h(\delta_{k})$,$k=0,1,2,$$\ldots$が成り立っていると仮定する。 (これについては後で検証する。)とする。すな
上の Bernouffi 測度の $f$ による像測度を
等確率分布から定まるを満たすものであ
わち は $X$ 上の Borel 確率測度で集合 $K$ に台を持ち、る。 これについて、 次のことが成り立つ。
$\{0, 1\}^{\mathrm{N}}$$\mu$$\mu(B_{i_{1}\ldots i_{k}})=2^{-k}$$\mu$

補題 5.1. 有界 Borel 集合 $U\subset X$ の直径を
立つ。

$t$

とすると、 $\mu(U)\leq 2h(t)/L_{0}$ が成りこれを認めると、集合 $K$ の Hausdorff -容量の下からの評価が Frostman の補題からすぐに従う。実際、 を $K$ の任意の Borel 被覆とすると、上の補題から$h$$\mu(Uj)\leq 4h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}Uj)/L_{0}$$U_{j}$

が得られるが、 これにより$1= \mu(K)=\mu(\cup U_{j})\leq\sum\mu(U_{j})$$\leq\frac{2}{L_{0}}\sum h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}U_{j})$が得られるので、 このような被覆に関する下限を取ることによりる。 構成から $K\subset E$ であったので、 最終的に

(5.2)$\mathcal{H}_{h}^{\infty}(K)\geq L_{0}/2$

が分か$\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)\geq\frac{L_{0}}{2}$が得られることになる。

補題 5.1 の証明.

まずの場合を考える。すると (5.1) より $h(t)\geq h(\delta_{0})\geq L_{0}$ だからとなの場合を考える。 $k\geq 1$ を
$4h(t)/L_{0}\geq 2>\mu(U)$ が成り立つ。次にの元の個数は高々2 個である。実際、るように選ぶ。 このときもし $\# I\geq 3$ であると仮定してみよう。するとある自然数 $l<k$ と $(i_{1}, \ldots, i_{l-1})\in\{0,1\}^{l-1}$
が $i=0,1$ に対して成り立つはずである。 すると条件の (2)が存在して$t\geq\delta_{0}$$t<\delta_{0}$$\delta_{k}\leq t<\delta_{k-1}$$I=\{\underline{i}\in\{0,1\}^{k};K_{\underline{i}}\cap U\neq\emptyset\}$$B_{i_{1}\ldots i_{l-1}i}\cap U\neq\emptyset$

から

diam
となるが、 一方では diam

$U\geq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(B_{i_{1},\ldots,i_{\iota-1}0}, B_{i_{1},\ldots,i_{1-1}1})\geq\delta_{l}$$U<\delta_{k-1}\leq\delta_{l}$$U \cap K\subset\bigcup_{\underline{i}\in I}B_{\underline{i}}$であったから、 これは矛盾である。

であるから測度の劣加法性から$\mu(U)\leq\sum_{\underline{i}\in I}\mu(B_{\underline{i}})=\# I\cdot 2^{-k}\leq 2^{1-k}$164が分かる。 さらに、 仮定 (示される。

$5.\mathfrak{y}$を用いると$\mu(U)\ovalbox{\tt\small REJECT} 2h(\delta,)/L_{0}\ovalbox{\tt\small REJECT} 2h(t)/L_{0}$が従い、 主張が口の代わりにを採用すると、球注意. 上において、以上であることしか言えず、 球の半径はとの中心の距離はと球だったのでこの二つの球が境界において共通点を持つ可能性が出てくる。 しかし、例
えばユークリッド空間のような強い凸性を持つような距離空間の場合はこのような共通点
は高々一点である。 従って Bernouffi 測度の像測度はこのような共通部分には正の測度を持ち得ず上の議論がほとんど同様に進む。 ただし、 最後の $\# I\leq 2$ という主張はそのままでは成立しない。 しかし $(X, \rho)$ がユークリッド空間の場合は、 [2] や [5] にある体積を用いた議論を使えば、 定数は次元に依存するものの、 $\# I$ が一様な定数で上から評価することができて、 同様の結果が示される。 Hausdorff 容量の下からの評価白体は悪くなるが、 正であることに変わりはなく、 Hausdorff 次元の評価には影響を及ぼさない。
$\delta_{k}=\varphi(\delta_{k-1}/3)/2$$\delta_{k}=\varphi(\delta_{k-1}/3)$$B_{i_{1}\ldots i_{k-1}0}$$\varphi(\delta_{k-1}/3)=\delta_{k}$$B_{i_{1}\ldots i_{k-1}1}$$\delta_{k}/2$

次に、評価式 (5.1) を示そう。 ここまでは条件式 (4.2) は必要なかったが、 ここで本質的の定義式を使えば、に用いられる。 まず関数$\epsilon_{1}$$h( \delta_{k})=h(\varphi(\delta_{k-1}/3)/2)=\frac{\exp\epsilon_{1}(\delta_{k-1})}{2}h(\delta_{k-1})$$= \frac{\exp(\epsilon_{1}(\delta_{k-1})+\cdots+\epsilon_{1}(\delta_{0}))}{2^{k}}h(\delta_{0})$が言える。 従ってこの指数部を下から評価すればいいことになる。
仮定 $\varphi(r)\leq cr$ を用いるとであることが分かる。 ただしここに $\lambda=c/6$ とすが一 の単調優関数なのでる。
$\delta_{k}\leq\delta_{0}\lambda^{k}$$\omega_{1}$$\epsilon_{1}$$-( \sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_{1}(\delta_{j}))\leq\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{1}(\delta_{j})$である。 $j-1\leq t\leq j$ ならば$\lambda^{j}\leq\lambda^{t}\leq\lambda^{j-1}$$\leq\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{1}(\delta_{0}\lambda^{j})$であることに注意すると、$\omega_{1}$の単調性から$\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{1}(\delta_{0}\lambda^{j})\leq\omega_{1}(\delta_{0})+\sum_{j=1}^{k-1}\int_{j-1}^{j}\omega_{1}(\delta_{0}\lambda^{t})dt$$= \omega_{1}(\delta_{0})+\int_{0}^{k-1}\omega_{1}(\delta_{0}\lambda^{t})dt$$= \omega_{1}(\delta_{0})+\frac{1}{\log(1/\lambda)}\int_{\delta_{0}\lambda^{k-1}}^{\delta_{0}}\frac{\omega_{1}(x)dx}{x}$が従う。 ただし、 ここで最後に変数変換
的に$x=\delta_{0}\lambda^{t}$を行った。 仮定 (4.2) を用いると、 最終(xx)dx<\infty 。

$-( \sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_{1}(\delta_{j}))\leq\omega_{1}(\delta_{0})+\frac{1}{\log(6/c)}\int_{0}^{\delta_{0}}\underline{\omega_{1}}$.

を得る。 よって (5.1) が定数$L_{0}=h( \delta_{0})\exp(-\omega_{1}(\delta_{0})-\frac{1}{\log(6/c)}\int_{0}^{\delta_{0}}\frac{\omega_{1}(x)dx}{x})$165
として得られたことになる。 よって (5.2) と合わせて不等式 (4.3) が証明された。
を $d_{0}<r_{0}$ にとり、 $d_{k}=2\varphi(d_{k-1})$ により順
次に、 定理の後半を証明する。 まず正数
より $2d_{k}<d_{k-1}$ が成り立つこと$\varphi(r)<r/4$
このとき、を定めていく。
仮定
次に注意する。 そこで、 以下のように 内に Cantor 集合を構成する。 まず $K_{0}=[0, d_{0}]=I$とする。 すとし、 区間 の端点から長さの閉部分区間を取り、 それを左から順に ,なわち $I_{0}=[0, d_{1}],$ $I_{1}=[d_{0}-d_{1}, d_{0}]$ とする。 そこで $K_{1}=I_{0}\cup I_{1}$ とする。の閉部分区間が定まったとき、その端点から長さの区間同様にして、長さとする。そこでをとり、それを左から順にと定める。 この $E$ が \mbox{\boldmath $\varphi$}-完全であることをこれからと定める。 そして最後に証明する。
$E/2$ (こ対して $E\cap A_{\varphi}(a, r)=\emptyset$ であったとする。
ある $a\in E$ とを含むの成分を $K_{k}(a)$ とし、 $E_{k}(a)=K_{k}(a)\cap E$ と定めると $E=E_{0}(a)\subset E_{1}(a)\subset$$\bigcap_{k=1}^{\infty}E_{k}(a)=\{a\}$ である。 $E_{k}(a)\subset B(a, \varphi(r))$ となる最小のを とする。 すると$E_{j}(a)<2\varphi(r)$ である。 ここで $2\varphi(r)\leq 2r<d_{0}$ であるから $j>0$ であること [こ注意する。仮定および の取り方から、集合 $E_{j-1}(a)\backslash B(a, r)$ は空でないので、その中か$E_{j-1}(a)=d_{j-1}$ であるから、 上の不等式とら一点 が取れる。 すると$d_{j}<2\varphi(r)\leq
2\varphi(d_{j-1})=d_{j}$を得るが、 これは矛盾である。 よって、 $E$ が \mbox{\boldmath $\varphi$}-完全
合わせてであることが証明された。
最後にこの $E$ が有限な Hausdorff -測度を持つことを証明すればよい。自然数 に対がしてが個からなる $E$ の被覆を与えるので、 $d_{k}<t$ に対して成り立つ。 従って
$d_{0}$$d_{1},$$d_{2},$$\ldots$$\mathbb{R}$$I$$I_{0}$$d_{1}$$d_{k}$$d_{k+1}$$I_{i_{1}\ldots i_{k}}$$I_{i_{1}\ldots i_{k}0},$$I_{1}$$K_{k+1}= \bigcup_{(i_{1},\ldots,i_{k+1})\in\{0,1\}^{k+1}}I_{i_{1}\ldots i_{k+1}}$$I_{i_{1}\ldots i_{k}1}$$E= \bigcap_{k=1}^{\infty}E_{k}$$a$$0<r<d_{0}/2=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}$$K_{k}$$k$$\ldots,$$j$$d_{j}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}$

$j$

$b$

$r<|b-a|\leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}$

$k$

$h$

$I_{i_{1}\ldots i_{k}}$$\mathcal{H}_{h}^{t}(E)\leq 2^{k}h(d_{k})$$2^{k}$$\mathcal{H}_{h}(E)\leq 1\mathrm{i}karrow\inf_{\infty}2^{k}h(d_{k})$が得られる。 そこで $h(d_{k})$ を上から評価することを考える。 関数
ると、$\epsilon_{2}$の定義式 (4.1) を用い$h(d_{k})=h(2 \varphi(d_{k-1}))=\frac{\exp\epsilon_{2}(d_{k-1})}{2}h(d_{k-1})=\cdots=\frac{\exp(\epsilon_{2}(d_{k-1})+\cdots+\epsilon_{2}(d_{0}))}{2^{k}}h(d_{0})$が得られる。 ここで$\omega_{2}$が$\epsilon_{2}$の単調優関数であることに注意して、 先と同様の議論を用いると$\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_{2}(d_{j})\leq\epsilon_{2}(d_{0})+\frac{1}{\log(1/2c)}\int_{0}^{d_{\mathrm{O}}}\frac{\omega_{2}(x)dx}{x}$が得られる。 よって (4.5) が示された。

定理 4.4 の証明. 証明の基本的な流れは前定理とほとんど同じであるが、$\epsilon_{1}(\delta_{k-1})$などの積分による評価が少し異なるだけである。この場合は$\alpha\log\delta_{k-1}+\log(3^{-\alpha}c/2)$$\beta)-\beta$

であるから、 $\beta=(\alpha-1)^{-1}\log(3^{-\alpha}c/2)$ とすれば、が得られる。 よって$-( \sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_{1}(\delta_{j}))\leq\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{1}(\delta_{j})\leq\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{1}(e^{-\beta}(e^{\beta}\delta_{0})^{\alpha^{j}})$という評価が得られる。 ここで(5.3)$c\delta_{0}^{\alpha-1}\leq 1$$\epsilon_{1}(\delta_{0})+\cdots+$$\log\delta_{k}=\log(\varphi(\delta_{k-1}/3)/2)\leq$より$\lambda=e^{\beta}\delta_{0}=(3^{-\alpha}c/2)^{1/(\alpha-1)}\delta_{0}\leq(3^{-\alpha}/2)^{1/(\alpha-1)}<1$$\log\delta_{k}\leq\alpha^{k}(\log\delta_{0}+$166$-\mathrm{C}^{\backslash ^{\backslash }}\hslash o\veearrow\not\in:l\subset\backslash \grave{l}\pm_{J}\Rightarrow \mathrm{s}\mu \mathrm{T}o_{0}\tau o\not\in:j-1\leq t\leq j[]\subset\vee\supset 41^{\vee}C\lambda^{\alpha^{j}}\leq\lambda^{\alpha^{t}}\leq\lambda^{a^{j-1}}\vee T^{\backslash ^{\backslash }}b$$\sigma)^{\vee}\zeta_{\backslash }^{\backslash ^{\backslash }}$$\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{1}(e^{-\beta}\lambda^{\alpha^{j}})\leq\omega_{1}(\delta_{0})+\sum_{j=1}^{k-1}\int_{j-1}^{j}\omega_{1}(e^{-\beta}\lambda^{\alpha^{t}})dt$$\leq\omega_{1}(\delta_{0})+\int_{0}^{k-1}\omega_{1}(e^{-\beta}\lambda^{\alpha^{t}})dt$$\omega_{1}(x)dx$$= \omega_{1}(\delta_{0})+\frac{1}{\log\alpha}\int_{\delta_{0}}^{e^{-\beta}\lambda^{\alpha^{k-1}}}$$x(\beta+\log x)$を用いた。今( .3\mbox{\boldmath $\alpha$}/c)l/(\mbox{\boldmath $\alpha$}刊とを得る。ただし、 ここで変数変換
おけば (5.3) より $\delta_{0}<M$ であることに注意する。すると条件 (4.6) より$M=\mathrm{e}^{-\beta}=$$x=e^{-\beta}\lambda^{\alpha^{t}}$$2$$-( \sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_{1}(\delta_{j}))\leq\omega_{1}(\delta_{0})+\frac{1}{\log\alpha}\int_{0}^{\delta_{0}}\frac{\omega_{\mathrm{l}}(x)dx}{x1\mathrm{o}\mathrm{g}(M/x)}<\infty$が得られ、 最終的に所期の (4.7) が得られたことになる。
後半 (こついても同様である。 $d_{k}=2\varphi(d_{k-1})\leq 2cd_{k-1}^{\alpha}$ より $\beta=(\alpha-1)^{-1}\log(2c)$ とお
けば、 $\log d_{k}\leq\alpha^{k}(\log d_{0}+\beta)-\beta$ となり、 仮定 $cd_{0}^{\alpha-1}<1/4$ より2-1/(\mbox{\boldmath $\alpha$}刊く 1 となる。 先と同様の計算により$e^{\beta}d_{0}=(2c)^{\overline{1}/(\alpha-1)}d_{0}<$$\sum_{j=0}^{k-1}\epsilon_{2}(d_{j})\leq\omega_{2}(d_{0})+\frac{1}{\log\alpha}\int_{0}^{d_{0}}x1\mathrm{o}\mathrm{g}(M/x)\omega_{2}(x)dx$が示される。 ただしここ [こ $M=e^{-\beta}=(2c)^{-1/(\alpha-1)}>d_{0}$ である。

6. 定理 4.4 の応用例
定理 4.1 は適用できないが、 定理 4.4 なら適用可能な例をここで一つ紹介しておく。
を満たしているとする。 これに対して$c>0,$ $\alpha>1,$ $r_{0}>0$ を定数とし、$\varphi(r)=cr^{\alpha}(0<r<r_{0})$ と定義する。 このようなに対しては、実は次のような計測関数$h(t)=(\log(2r_{0}/t))^{-\gamma},$がうまく働く :$0<t<r_{0}$ . 便宜上 $h(t)$ は $t\geq r_{0}$ については適当にを計算してみよう :定義されているとしておく。 これについて (4.1) で定義される$cr_{0}^{\alpha}\leq r_{0}$$\varphi$$\epsilon_{j}$$\epsilon_{1}(x)=\log\frac{2h(\varphi(x/3)/2)}{h(x)}$$= \log 2-\gamma\log(\frac{\alpha(1\mathrm{o}\mathrm{g}(2r_{0}/x)+C)}{1\mathrm{o}\mathrm{g}(2r_{0}/x)})$$= \log 2-\gamma\log\alpha-\frac{C\gamma}{\log(2r_{0}/x)}+O((\log(2r_{0}/x))^{-2})$

ただし、 ここで $C=\log(3/2r_{0})+(1/\alpha)\log(4r_{0}/c)$ と置いた。
で、 $C>\log 3-\log 2>0$ であることに注意する。 従つて(6.1)$\gamma=\frac{1\mathrm{o}\mathrm{g}2}{1\mathrm{o}\mathrm{g}\alpha}$$cr_{0}^{\alpha}\leq r_{0}$,と仮定していたの167となる。 この漸近展開から容易に分かるように、とおけば、の時は原点の近くで可積分ではないが、 $\epsilon_{1}(x)/x\log(2r_{0}/x)$ は可積分となる。従って定理 4.4 の前半が適用できる。
に対して同様の評価ができるも計算してみると、 (6.1) と同じ
さらに同様にしてことが分かり、 定理 4.4 の後半も適用可能である。 すなわち、 この場合には定理の例がを満たしていることになる。 以上をまとめると、 次の結果が得られる。
$xarrow+\mathrm{O}$$\epsilon_{1}(x)=\mathrm{o}(1)$$\epsilon_{1}(x)/x$$\gamma$$\mathcal{E}_{2}$$0<\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)\leq \mathcal{H}_{h}(E)<\infty$を満たす
定理 6.1. $(X, \rho)$ を完備距離空間とする。 $c>0,$ $\alpha>1,$ $r_{0}>0$ を$(0,r_{0})arrow\mathbb{R}$$\gamma=\log2/\log\alpha$と$\varphi(r)=cr^{\alpha}$
さらに、をにより定める。
定数とし、 :
して計測関数 $h(t)=(\log(2r_{0}/t))^{-\gamma},$ $0<t<r_{0}$ とする。 このとき、 \mbox{\boldmath $\varphi$}-完全な閉集合$E\subset X$ に対してが成り立つ。 さらに $(X, \rho)$ が 1 次元ユークリツド空間である時、 -完全なコンパクト集合 $E\subset X$ で、 $0<\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)\leq \mathcal{H}_{h}(E)<\infty$ を満たすものが存在する。
$cr_{0}^{\alpha}\leq r_{0}$$\varphi$$\mathcal{H}_{h}^{\infty}(E)>0$$\varphi$

なお、 3 節の最後に述べた例における計算結果を使えば、次の結果が系として導かれる。

系 62.

をユークリッド空間とし、 それ以外の仮定は前定理と同じとする。 $1<$$\alpha<2$ の場合は、-完全集合 $E\subset X$ は正の対数容量を持つ。 一方任意の $\alpha>2$ に対し$(X, \rho)$$\varphi$ては$\varphi$-完全であるにもかかわらず対数容量が 0 になるコンパクト集合が存在する。

証明. $\alpha<2$ の場合は $\gamma>1$ となるので、 3 節の例に注意すると結果が従う。 一方、だからこれは対となる -完全コンパクト集合 $E$ を取れば、の場合は、となるが、 Erd\"os-Gillis の数測度有限、 すなわち $h(t)=1/\log(1/t)$ に関して
$E$
口
である。
(
定理
参照
)
から、 このようなの対数容量は 0定理
3.1$\alpha\geq 2$$\mathcal{H}_{h}(E)<\infty$$\gamma\leq 1$$\varphi$$\mathcal{H}_{h}(E)<\infty$

REFERENCES
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.sci.hiroshima-u.
-mail address:$d$$118\mathrm{s}$$\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{p}$$E$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{a}\emptyset \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}$$\mathrm{a}\mathrm{c}.\mathrm{j}\mathrm{p}$