修士論文 要旨

Empirical Likelihood Incorporating the Existence Probability(存在確率を考慮した経験尤度)
数理情報学専攻 48186214
指導教員

坂東 拓馬
清 智也 准教授が常に 1 より小さいことが部分的な要因となっている．

1 はじめに[1], [3] の結果から，緩やかな条件のもとで経験尤度はノンパラメトリックな統計的推論手法であり，分布を仮定せずに信頼領域を構成できるだけでな

P (ℓ(µ0 ) ≤ γ) = P (ℓ(µ0 ) < ∞)P (χ2(q) ≤ γ) + O(n−1 )く，尤度に基づくパラメトリックな推論手法と類似したが成立し，これは Chi-squared calibration で構成した多くの良い特徴を持つ．しかしながら，小標本または多信頼領域の被覆確率が有意水準で定めたレベルより下回次元の設定においてその信頼領域の精度は悪い傾向にる傾向にあることを示唆している．反して，Bootstrapある．本論文では，経験尤度の推定精度を落とす要因のcalibration で構成した信頼領域の被覆確率は，多次元の一つを従来の経験尤度に組み込むことで，信頼領域の精設定において有意水準で定めたレベルより上回る傾向度を向上させる方法を提案する．にある．サンプルサイズ n が十分大きれば P (ℓ(µ0 ) <∞) ≃ 1 となり，存在確率が推論に及ぼす影響は無視

2 経験尤度とその問題できるが，そうでない場合にはこれを考慮する必要が独立で同一の分布から X1 , ..., Xn ∈ Rd が観測され，興味のあるパラメータをその平均 µ0 とする．µ に関する対数経験尤度比関数 ℓ(µ) は X1 , ..., Xn から計算可能ある．

3 提案手法であり，適当な閾値 γ を用いて信頼領域 {µ | ℓ(µ) ≤ γ}

存在確率の情報を従来の経験尤度に組み込むためのを構成することができる．この閾値を選択する代表的二つの手法，Quasi-Bootstrap calibration と Modify-な手法として，Chi-squared calibration と Bootstrap

ing chi-squared calibration を紹介する．まず，これcalibration がある．[3], [4] によると，緩やかな仮定のらの礎を築く Quasi-Bootstrap の説明を行う．Quasi-

下，真のパラメータ µ0 と Xi の分散共分散行列のラン

Bootstrap は存在確率を上手く推定できるように調整

ク q > 0 に対してℓ(µ0 ) ⇝ χ2(q)as n → ∞が成立する．この結果から，多くの状況でカイ二乗分布された Bootstrap である．観測された X1 , ..., Xn ∈ Rdに対し，その標本平均を X̄n ，標本分散共分散行列をV̂n ，経験分布関数を Fn とおく．また，ε = d/n, G =N (X̄n , V̂n ) に対して Quasi-Bootstrap 分布 Tn をTn = (1 − ε)Fn + εGのパーセンタイルが閾値 γ として用いられる．これをChi-squared calibration と呼ぶ．また，[2] によって提案された Bootstrap を用いて経験尤度比関数をリサンプリングし，そのパーセンタイルを閾値として信頼領域を構成する方法を Bootstrap calibration と呼ぶ．[5]で広く取り上げられているように，経験尤度の信頼領域には多くの優れた特徴がある．しかしながら，小標本または多次元の設定においてこの信頼領域の精度が悪くなる傾向にあり，対数経験尤度比関数の存在確率（Existence probability）

P (ℓ(µ0 ) < ∞)と定義する．経験分布の代わりに Tn を用いた Boot-strap のことを Quasi-Bootstrap と呼ぶ．以下では，この X1 , ..., Xn と Tn を用いた閾値選択手法のプロセスを説明する．

3.1

Quasi-Bootstrap Calibration

Quasi-Bootstrap calibration の手順は以下の通りである：

1.

X1∗ , ..., Xn∗ ∼ Tn をサンプリングする．

2.

X1∗ , ..., Xn∗ の X̄n に関する対数経験尤度比関数を計算する．

3.

十分大きな B に対して 1, 2 を B 回繰り返し，複製した対数経験尤度比関数を昇順に並べたものをEmpirical Likelihood Incorporating the Existence Probability(存在確率を考慮した経験尤度) (坂東 拓馬)ℓ∗(1) (X̄n ), ..., ℓ∗(B) (X̄n ) とおく．
4.

表 1. χ2(1) の 平 均 に 関 す る 信 頼 領 域 の 被 覆 確 率

P (ℓ(µ0 ) ≤ γ)；n はサンプルサイズ，d は次元，level は有意水準で定めたレベルを指す．

有意水準 α に対し，γ̂QB = ℓ∗(⌈(1−α)B⌉) (X̄n )を閾値とする．

ndlevelBart-ELMC-EL

B-ELQB-EL

10

1

0.90

0.876

0.888

0.861

0.859

0.95

0.908

0.923

0.901

0.903

0.99

0.935

0.951

0.956

0.959

0.90

0.850

0.871

0.933

0.877

0.95

0.870

0.925

0.943

0.935

0.99

0.894

0.943

0.943

0.943

0.90

0.872

0.880

0.938

0.878

3.2 Modifying Chi-Squared Calibration
Xi の分散共分散行列のランクを q > 0，カイ二乗分布
2,1−αの 1 − α パーセンタイルを χ(q)205とおく．Modifying

chi-squared calibration の手順は以下の通りである：
30

71.

c = 0 とおく．

2.

X1∗ , ..., Xn∗ ∼ Tn をサンプリングする．

0.95

0.905

0.916

0.980

0.936

3.

X̄n が X1∗ , ..., Xn∗ の成す凸包の内点となっていれ

0.99

0.934

0.982

0.984

0.984

0.90

0.902

0.902

0.927

0.887

50

ば c に 1 を足す．

10

4.

十分大きな B に対して 2, 3 を B 回繰り返す．

0.95

0.940

0.941

0.974

0.948

5.

p̂ = c/B とし，有意水準 α に対して

0.99

0.974

0.976

0.998

0.991

0.90

0.877

0.885

0.972

0.871

0.95

0.902

0.915

0.973

0.931

0.99

0.926

0.973

0.9730.973

152,(1−α)/p̂γ̂MC = χ(q)を閾値とする．

3.3 漸近的性質
Quasi-Bootstrap calibration と Modifying chisquared calibration について，以下が成立する．

経験尤度 Existence probability によって信頼領域の定理 3.1. 先の X1 , ..., Xn , Tn に対して
∗5 結論
被覆精度があまりよくないケースがある．従来の閾値

P

sup |P (ℓ (X̄n ) ≤ γ | Tn ) → P (ℓ(µ0 ) ≤ γ)| → 0γ

選択手法に Existence probability の情報を組み込むことで，被覆精度の改善が見られた．

が成立する．
⊤定理 3.2. lim sup∥t∥→∞ |E[eit Xi ]| < 1 を仮定する．
このとき，適当な定数 a に対してP (ℓ(µ0 )(1 − a/n) ≤ γ̂MC ) = 1 − α + O(n−2 )がいえる．

4 数値実験
表 1 では各閾値選択手法によって構成した信頼領域の被覆確率を比較している．Bart-EL は Bartlett 補
正 [1] した経験尤度，MC-EL は modifying chi-squared

calibration，B-EL は Bootstrap calibration，QB-EL はQuasi-Bootstrap calibration を指す．ほとんどのケースで QB-EL に軍配が上がっており，MC-EL は Bart-EL を優越しているのが見て取れる．いずれにせよ，本
論文の提案手法が既存手法を改善する結果となった．

参考文献[1] DiCiccio, T., Hall, P. and Romano, J. (1988).
Bartlett adjustment for empirical likelihood. Technical Report 298, Dept. Statistics, Stanford Univ.,
Stanford, CA.
[2] Efron, B. (1979). Bootstrap Methods: Another Lookat the Jacknife. Ann. Statist. 7 1–26.
[3] Owen, A. B. (1988). Empirical Likelihood ratio confidence intervals for a single functional. Biometrika
75 237–249.
[4] Owen, A. B. (1990). Empirical Likelihood ratio confidence regions. Ann. Statist. 18 90–120.
[5] Owen, A. B. (2001). Empirical Likelihood. Chapman
and Hall/CRC, London, 2001.
[6] Tsao, M. and Wu, F. (2013). Empirical likelihood on
the full parameter space. Ann. Statist. 41 2176–2196.