修士論文 要旨

離散微積分不等式の統一的解析に関する研究
数理情報学専攻 48196220
指導教員
kX∥u∥W k,p =

1 序論

殿岡 達也
松尾 宇泰 教授
!1/p

∥D u∥pLpii=0

偏 微 分 方 程 式 論 で は ，解 の 存 在 性 ，安 定 性 の 議
論 で 様 々 な 定 理 ，例 え ば Sobolev の 不 等 式 [1]，Gagliardo–Nirenberg の不等式 [8] などが用られている [2]．一方偏微分方程式の中には，解を初等的に書くのが困難なものが多い．そのため差分法を用い，偏微分方程式を離散化することで数値計算スキームを構成し，数値的に解かれている．そしてその数値計算スキームにも同様に解の存在性，安定性の議論することは自然である [3]．そこで頻繁に問題になるのが，連続での定理の離散版が成立するかである．周期境界条件の離散

Sobolev の不等式 [6] や離散 Gagliardo–Nirenberg の不等式の特殊形 [7] は成立する．しかし，その証明は定理ごとに煩雑に行われ統一的ではなかった．そこで近年，離散版の定理を証明する際に連続の定理を経由すること定義する．周期境界条件を課した長さ N のベクトルの集合を，

U = (. . . , U0 , . . . , UN −1 , . . . ) ∈ RZ
任意の i ∈ Z, UN +i = Ui

SN =と定義する．区間の長さを L とすると，∆x = L/N と定義する．これにより U ∈ SN の離散ノルムを，

δk+ Ui =∥U ∥Lp =Ui+1 − Ui，∆x∆xN−1Xd!1/p|Ui |p，i=0∥U ∥L∞ =d∥U ∥W 1,p =max0≤i≤N −1∆x|Ui |，

N−1X

d|Ui |p + |δk+ Ui |

p!1/pi=0とで証明する手法が考案された．１次元の周期境界条と定義する．これは Lp ノルム，L∞ ノルムとソボレフ

件においては区分線形に連続化し，連続の定理を用いてノルムの離散版である．

証明されている [5]．１次元では定理に含まれる微分は１階微分のみであることが多いため，この手法でも十3 既存研究分であった．しかし多次元においては高階微分が必要

命題 3.1 [5] U ∈ SN に対し，k = 0, 1, . . . , N − 1 におとされるため，直接多次元に適用することはできない．

いて，x ∈ [k∆x，(k + 1)∆x] に対し，そこで周期境界条件においては，Guo et al．[4] が離散フーリエ変換を用いた連続化を用いた証明をした．しŨ (x) =Uk+1 − Uk
(x − k∆x) + Uk∆x

かしこの証明は周期境界条件に強く依存しており，他のと区分線形化し，周期関数 Ũ を構成する．この周期関境界条件に直接適用することができず，また定理の適用

数 Ũ と U のノルムには，範囲も限られているといった問題点がある．本研究では境界条件に大きく依存せず多次元でも自然な統一的∥U ∥L∞ = Ũな証明方法を提案する．

du : [0，Li ]n → R に対して Lp ノルム，L∞ ノルム，W k，p ノルム を∥u∥L∞ =

L∞1
√ ∥U ∥W 1,2 ≤ Ũ≤ ∥U ∥W 1,2ddW 1,232 記法∥u∥Lp =1
√ ∥U ∥L2 ≤ Ũ≤ ∥U ∥L2 ，ddL23Z L1···

Z Ln|u|p dx1 . . . dxn00sup|u(x1 , . . . , xn )|，x∈[0,...,Li ]n∥Dk u∥Lp = !1/pX
α1 +···+αn=kという関係性が成立する．
以上の連続化を用いると，連続の定理を用いて，離散，Sobolev の不等式や離散 Gagliardo–Nirenberg の不等式の特殊形を証明することができる．

4 提案手法1/p
∥∂xα11 . . . ∂xαnn u∥pLp ，

本研究では境界条件に依存せず，高階微分に対応した連続化を提案する．

離散微積分不等式の統一的解析に関する研究 (殿岡 達也)

定理 4.1 U = (U0 , U1 , . . . ，UN ) に対し連続化を行う．

α∥(δk+ )a (δl+ )b U ∥Lpd ≤ (∂x)a (∂y)b Ũk ∈ (0, 1, . . . , N − m)，x ∈ (k∆x, (k + 1)∆x) に対し，

ab(∂x) (∂y) Ũ連続関数 Ũ : [0, (N − m + 1)∆x] → R の m 階微分Lp≤ β∥(δk+ )a (δl+ )b U ∥LpdLpが成立する．

Ũ (m) を，Ũ(m)(x) = (δk+ )m Uk

実用上は境界条件を考えることにより，離散 Lp ノルのように，m 階差分により定義する．

(δk+ )l U Lp =∆xdN−lX

ムに境界項を加えることが多い．一次元の周期境界条!1/p(δk+ )l Ui

件に適用する．
定理 4.3 U ∈ SN ，0 < m ≪ N に対し，

pi=0U ′ = (U0 , U1 , . . . , UN , UN +1 , . . . , UN +m−1 )と定義すると，初期値を適切に定めながら Ũ(m)をm 回積分することにより求めた Ũ には，任意の l ∈とおいて，この U ′ を用いて，本研究の手法により Ũ

(0, . . . , m)，0 < p ≤ ∞ において，l，p，m にのみ依存を構成する．任意の l ∈ (0, . . . , m)，0 < p ≤ ∞ におしたある定数 α, β > 0 が存在し，いて，l，p，m にのみ依存したある定数 α, β > 0 が存

α (δk+ )l U Lp ≤ Ũ (l)dLp≤ β (δk+ )l U Lp

(δk+ )l U Lp =が成立する．

d定理 4.2 ∆x = Lx /Nx , ∆y = Ly /Ny とおく．

U1,0U1,1..
.

...
...
..
.

UNx ,0UNx ,1..
.

U0,Ny U1,Ny
Uk+1,l − Uk,l，
δk+ Uk,l =∆x
Uk,l+1 − Uk,lδl+ Uk,l =∆y...

UNx ,Ny
U =

U0,0U0,1..
.




，


1)∆x] × [0, (Ny − m + 1)∆y] → R の m 階 微 分(∂x)m (∂y)m Ũ を， 2 mm∂
Ũ (x, y) = δk+ δl+ Uk,l∂x∂yのように m 階差分を埋め込むことによりを定義する．

∂2∂x∂ymŨ をx，y 方向それぞれ m 回積分することにより Ũ を構成する．Ũ に対し，任意の a, b ∈ (0, . . . , m)，0 < p ≤ ∞において，a，b，p，m にのみ依存したある定数 α, β > 0が存在し，∥(δk+ )a (δl+ )b U ∥Lpd
1/pNXy −bx −a NXp= ∆x∆y(δk+ )a (δl+ )b Ui,j 
j=0|(δk+ )l Ui |pi=0とおくと，α (δk+ )l U Lp ≤ Ũ (l)dLp≤ β (δk+ )l U Lpdが成立する．

参考文献(l∆y, (l + 1)∆y) に対し，連続関数 Ũ : [0, (Nx − m +i=0!1/p

Gagliardo–Nirenberg の不等式の一般系を証明した．

(0, 1, . . . , Ny − m)， (x, y) ∈ (k∆x, (k + 1)∆x) ×

このとき，初期値を適切に定めながらN−1X

提 案 手 法 を 用 い て 初 め て 多 次 元 の 離 散

で あ る と す る と ，(k, l) ∈ (0, 1, . . . , Nx − m) ×とおくと，在し，d[1] Robert A. Adams and John J.F. Fournier. Sobolev
spaces. Elsevier, 2003.
[2] Charles M. Elliott and Zheng Songmu. On the CahnHilliard equation. Archive for Rational Mechanics andAnalysis, 96(4):339–357, 1986.
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[4] Jing Guo, Cheng Wang, Steven M. Wise, andXingye Yue. An H 2 convergence of a second-orderconvex-splitting, ﬁnite diﬀerence scheme for the threedimensional Cahn–Hilliard equation. Communications in Mathematical Sciences, 14(2):489–515, 2016.
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[6] Fritz John. Lectures on advanced numerical analysis,volume 153. Gordon and Breach New York, 1967.
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