数理解析研究所講究録
第 1859 巻 2013 年 41-49

41

フレーリッヒ模型の数学的側面
北海道大学数学科宮尾忠宏
Tadahiro Miyao
Department of Mathematics,
Hokkaido University

1

1 電子フレーリツヒ模型の定義

1.1

背景と基本的な定義

フレーリッヒ模型とは，イオン結晶中を運動する電子を記述する模型である．1937 年に H. Fr\"ohlichが提唱して以来，固体物理学において活発に研究されてきた．具体的なモデルの定義は後で与えるが，理解の一助に直感的な議論を簡単に述べておく．フレーリッヒ模型は，電子と結晶の光学
フォノンの相互作用系を記述する．この相互作用の為に，電子の周囲にあるイオン結晶格子は歪
むことになる．従って，結晶中を電子が動くと，その周囲の格子歪も電子に一緒についてくる．或いは，電子が格子歪を引きずると言っても良いだろう．つまり，イオン結晶中では電子とその周囲の格子歪は切り離して考えることが出来ない．そこで電子と周囲の格子歪を合わせて一つの対象と見なすことは自然であると言えるだろう．この電子と格子歪の複合体を一般にポーラロンと呼ぶ．フレーリッヒ模型を解析することは，ポーラロンの性質を調べることと同義である．
イオン結晶中の 1 電子を記述するフレーリッヒ模型は，形式的には次式で与えられる$H=- \frac{1}{2}\triangle-\sqrt{\alpha}\lambda_{0}\int_{\mathbb{R}^{3}}dk\frac{1}{|k|}[e^{ik\cdot x}a(k)+e^{-ik\cdot x}a(k)^{*}]+N_{f}$$N_{f}= \int_{\mathbb{R}^{3}}dka(k)^{*}a(k) , \lambda_{0}=2^{1/4}(2\pi)^{-1}$$a(k),$ $a(k)^{*}$

,

(1.1)

.

(1.2)

は，フォノンの生成消滅作用素であり，つぎの交換関係を満たす :$[a(k), a(k’)^{*}]=\delta(k-k’) , [a(k), a(k’)]=0=[a(k)^{*}, a(k’)^{*}].$$\alpha$$H$ の作用する状態のヒルベルト空間はは電子-格子間の相互作用の強さを表す結合定数である．

$L^{2}(\mathbb{R}^{3})\otimes$

言で与えられる．ここで， は)$\mathfrak{F}$で定義される．記号$\otimes_{s}^{n}$$L^{2}(\mathbb{R}^{3})$上のフォック空間であり，$\mathfrak{F}=\oplus_{n=0}^{\infty}\otimes_{s}^{n}L^{2}(\mathbb{R}^{3})$は $n$ 重対称テンソル積を意味する．

$H$ の数学的な定義を明らかにする必要がある．というのも，電子・格子相互作用
まず最初に，
項の中にある 1/圃は，2 乗可積分ではなく，従って，相互作用項はヒルベルト空間上の線形作用素として ill-defined である．ここで，が数学的に意味を持つのは， が 2 乗可積分である場合であることに注意．物理学の文献でよく見かける，上述のハミルトニアン $H$ をどのように解釈すればよいのであろうか？ このことを説明する光めに，紫外切断が入ったハミルトニア$\int_{\mathbb{R}^{3}}dkf(k)a(k)$$f$

ンを導入する:$H_{\Lambda}=- \frac{1}{2}\triangle-\sqrt{\alpha}\lambda_{0}\int_{|k|\leq\Lambda}dk\frac{1}{|k|}[e^{ik\cdot x}a(k)+e^{-ik\cdot x}a(k)^{*}]+N_{f}$積分領域を A でカットしたために，$H_{\Lambda}$の中の相互作用項は数学的に意味をもつ．さらに，Kato-

Rellich の定理を応用することにより，$H_{\Lambda}$

は dom $(-\Delta)\cap$ dom $(N_{f})$上で，すべての$\alpha,$$\Lambda\geq 0$に対42
して，下に有界な自己共役作用素であることが分かる．次に，$\Lambdaarrow\infty$という極限操作を行う．すると，次の結果が得られる．

この命題で存在が保証されている自己共役作用素 $H$ を形式的に (1.1) と書くことにする．ここでの極限では数学的に意味付し難い項が出のポイントは，相互作用項のみ着目していると，$\Lambdaarrow\infty$てきてしまうのだが，相互作用のみならず格子と電子の運動エネルギー項まで含めて考えると，極限 $H$ の存在が示されるということである．直感的に言うと，相互作用項に生じる，ある種の 「発散」を運動エネルギー項に押し付けるわけである．このような描像を数学的に表現すると，命題の証明になる．

1.2

全運動量を固定したハミルトニアン

全運動量作用素$P_{t}$$t$。

は次式で与えられる :$P_{tot}=- i\nabla+P_{f}, P_{f}=\int_{\mathbb{R}^{3}}dkka(k)^{*}a(k)$系の全運動量は保存するために，次の性質を満たすユニタリー作用素

を具体的に構成できる :$\mathcal{U}$$\mathcal{U}P_{tot}\mathcal{U}^{*}=\int_{\mathbb{R}^{3}}^{\oplus}PdP, \mathcal{U}Hu^{*}=\int_{\mathbb{R}^{3}}^{\oplus}H(P)dP$

.

(1.3)

ここで，
$H(P)= \frac{1}{2}(P-P_{f})^{2}-\sqrt{\alpha}\lambda_{0}\int_{\mathbb{R}^{3}}dk\frac{1}{|k|}[a(k)+a(k)^{*}]+N_{f}$(1.4)

である．(1.3) の前の式より，記号 $P$ は系の取り得る全運動量の値を表している．このことと，後ろの式より $H(P)$ は「全運動量を固定した系を記述するハミルトニアン」 と解釈できる．(1.4) の$H$ のときと同様である．すなわち，$H(P)$ は紫外切断の入ったハミルトニアンの norm
読み方は，
$H(P)$
はヒルベルト空間言に作用する下に有界な自己共役作用素である．
resolvent 極限である．

2$H(P)$ のスペクトルの性質

まず，記号を用意する:$E(P)= infspec(H(P))$ ,$\Sigma(P)=\inf$ess.spec $(H(P))$ .

(2.5)

(2.6)

ここで，spec $H(P)$ , ess.spec $(H(P))$ は，それぞれ $H(P)$ のスペクトルと本質的スペクトルを表す．
これら諸量の間には次の関係がある．

Theorem[ll, 12, 26](i) $\Sigma(P)-E(P)=E(O)+1-E(P)$ .
(ii) $E(P) \leq E(0)+\frac{P^{2}}{2}.$
この二つの関係より，次の系が直ちに従う．

43
Corollary
不等式 $\Sigma(P)$–$E(P)\geq 1$–

有値，即ち基底状態である．

$\frac{P^{2}}{2}$$H(P)$ の固が成立する．従って，$E(P)$ は $|P|<$ 西のとき，上述の定理より，基底状態の存在がわかった．次の定理は，基底状態はもし存在すれば一意であることを主張する．

この定理の証明には，拡張された Perron-Ffobenius の定理を用いる．

3

強結合領域

$\alphaarrow\infty$

が非常に大きい場合 (強結合領域) の物理量はどのようにふるまうのであろうか？
ここでは，この質問に対するいくつかの結果を紹介する．そのために，Pekar 汎関数を導入する :相互作用定数$\alpha$$\mathcal{E}(\varphi)=\frac{1}{2}\int dx|\nabla_{x}\varphi(x)|^{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\int dxdy\frac{|\varphi(x)|^{2}|\varphi(y)|^{2}}{|x-y|},$$\varphi\in H^{1}(\mathbb{R}^{3})=\{\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})|\Vert\nabla\varphi\Vert<\infty\}$. 次の結果は， が非常に大きい場合， のエネルギー$\alpha$$H$は Pekar 汎関数を用いて表現することが出来ることを教える．

Theorem [4, 18]$E=$ inf spec $(H)$とする．また，$C_{P}= \inf\{\mathcal{E}(\varphi)|\varphi\in H^{1}(\mathbb{R}^{3}), \Vert\varphi\Vert=1\}$とする．このとき，$\lim_{\alphaarrow\infty}\frac{1}{\alpha^{2}}E=C_{P}$が成り立つ．

この結果は後で用いる．

4

有効質量

イオン結晶中の電子は，格子の歪を引きずることにより質量が増加することが予想される．格子歪の影響まで含めた電子の質量を，有効質量と呼ぶ．有効質量の数学的な定義は次式で与えられる:$\frac{1}{m}*=\frac{\partial^{2}}{\partial P_{1}^{2}}E(P)|_{P=0}.$

有効質量は
べると，

$\alpha$が小さい場合 (弱結合) には，摂動計算等を用いて容易に計算できる．結果だけ述$m^{*}=1+ \frac{1}{6}\alpha+\mathcal{O}(\alpha^{2}) , \alphaarrow 0.$

具体的な計算については [lO, 7] 等を参照．

44では，有効質量は が非常に大きい場合にはどうのように振る舞うのであろうか？ 実はこの問題は未だに解けてはいない．しかしながら，次の予想が Spohn により提案されている．
$\alpha$Spohn 予想 [25]:を Pekar 汎関数の minimizer とする．このとき，$\phi_{0}$$\lim_{\alphaarrow\infty}\frac{m^{*}}{\alpha^{4}}=\frac{1}{3}\int_{\mathbb{R}^{3}}dx\phi_{0}(x)^{4}.$5イオン結晶中の 2 電子 〜バイポーラロン$\sim$

これまでは，イオン結晶中の 1 電子を考えてきた．以降は，イオン結晶中の 2 電子について考える．素直な問題の拡張に思えるかもしれないが，以下に概説するように，状況は 1 電子の場合よりもずっと複雑になる．2 電子系の難しさを理解するために，まず，真空中の 2 電子を考える．電子間にはクーロン反発力が働くために，エネルギー的に安定な状態は，電子が可能な限り離れた場合である．次に，2 電子をイオン結晶の中においてみる．すると，先程と同様に電子間にはクーロン斥力が働く．一方，電子-格子間相互作用は 2 電子の間に引力を及ぼす．従って，2 電子間には (i) クーロン斥力と (ii) 電子-格子相互作用による引力の 2 種類の力が働くことになる．もし，引力が斥力に打ち勝てば，2 電子はペアを形成することが予想される．そのうえ，1 電子の場合と同様に，この電子対は周囲の格子の歪を引きずることもまた想像できる．格子歪を引きずって動
く 2 電子対をバイポーラロンと呼ぶ．

5.1

2 電子フレーリッヒ模型

イオン結晶中の 2 電子を記述する模型として，ここでもフレーリッヒ模型を採用する:$H_{2}= \sum_{j=1,2}\{-\frac{1}{2}\Delta_{j}-\sqrt{\alpha}\lambda_{0}\int_{\mathbb{R}^{3}}dk\frac{1}{|k|}[e^{ik\cdot x_{j}}a(k)+e^{-ik\cdot x_{j}}a(k)^{*}]\}$(5.7)$+ \frac{U\alpha}{|x_{1}-x_{2}|}+N_{f}$が作用するヒルベルト空間は，さを表すパラメータであり，物理的には，$L^{2}(\mathbb{R}^{3}\cross \mathbb{R}^{3})\otimes$$H_{2}$$U\geq 0$ は電子間のクーロン斥力の強言である．
を満たす．式 (5.7) は 1 電子の場合と同様に，$U\geq\sqrt{2}$紫外切断を除く極限で定義されていると読む．

5.2

全運動量を固定されたフレーリッヒ

ハミルトニアン2 電子系の場合も，全運動量を固定したハミルトニアンを考えることが出来る．ただし，1 電子系の場合と比べて，少々複雑である．

まず，2 電子の座標系$(x_{1}, x_{2})\in \mathbb{R}^{3}\cross \mathbb{R}^{3}$を重心系$(x_{c}, x)\in \mathbb{R}^{3}\cross \mathbb{R}^{3}$に移す．ここで， は質$x_{c}$

量重心で，と与えられる．また， は相対座標であり，$x=x_{1}-x_{2}$ で与えられる．
この座標変換のもとで，フレーリッヒ バミルトニアンは次のようになる:$x_{c}= \frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$x$$H_{2}=- \frac{1}{4}\Delta_{x_{c}}-\Delta_{x}+\frac{U\alpha}{|x|}-2\sqrt{\alpha}\lambda_{0}\Phi(x_{c}, x)+N_{f}.$ここで，$\Phi(x_{c}, x)=\int dk\frac{1}{|k|}\cos\frac{k\cdot x}{2}[e^{ik\cdot x_{c}}a(k)+e^{-ik\cdot x_{c}}a(k)^{*}].$

45
次に全運動量作用素を導入する:$P_{tot}=-i\nabla_{x_{1}}-i\nabla_{x_{2}}+P_{f}$$=-i\nabla_{x_{c}}+P_{f}.$

さて，ユニタリー作用素$\mathcal{U}$を$\mathcal{U}=\mathcal{F}_{X_{C}}\exp\{ix_{c}\cdot P_{f}\}$と定義する．ここで，$\mathcal{F}_{x_{c}}$は変数次のように変換される:$x_{c}$

に関するフーリエ変換である．この$\mathcal{U}P_{tot}\mathcal{U}^{*}=\int_{\mathbb{R}^{3}}^{\oplus}PdP$$\mathcal{U}$

により，

$t$
。

と

$H_{2}$

は

(5.8)

,

$\mathcal{U}H_{2}\mathcal{U}^{*}=\int_{\mathbb{R}^{3}}^{\oplus}H_{2}(P)dP$$P_{t}$

.

(5.9)

ここで，
$H_{2}(P)= \frac{1}{4}(P+i\nabla_{x}-P_{f})^{2}-\Delta_{x}-2\sqrt{\alpha}\lambda_{0}\Phi(0, x)+\frac{U\alpha}{|x|}+N_{f}.$を運動量を $P$ で固定したフレーリッヒ
ルト空間はで与えられる．

$H_{2}(P)$$H_{2}(P)$ の作用するヒルベ
ハミルトニアンという．

$L^{2}(\mathbb{R}^{3})\otimes \mathfrak{F}$6

バイポーラロンの安定性

束縛エネルギーを$E_{bin}(\alpha, U)=2E$で定義する．すると，すべての$\alpha,$$U\geq 0$–$infspec(H_{2})$$E_{bin}\geq 0$ となる．もし，に対して，$E_{bin}>0$ならば，束縛条件が成立するという．

$H_{2}(P)$ が基底状態をもつとき，バイポーラロンは固定された全運動量で安定であるという．
上述の定理より，バイポーラロンの安定性は，束縛条件に帰着される．残念ながら，束縛条件を証$P$$E_{bin}(\alpha=0, U)=0$ であるために，条件 $E_{bin}(\alpha, U)>0$
明することは簡単ではない．というのも，を証明するには非摂動論的手法が要求されるからである．しかしながら， が非常に大きい場合(強結合極限), 実際に束縛条件を証明することができる．このことを次に見てみよう．
$\alpha$467強結合領域におけるバイポーラロン形成

Pekar-Tomasevich 汎関数を次式で定義する :$\mathcal{E}_{bp}^{U}(\varphi)=\frac{1}{2}\int dx_{1}dx_{2}|\nabla_{x_{1}}\varphi(x_{1,2}x)|^{2}+\frac{1}{2}\int dx_{1}dx_{2}|\nabla_{x_{2}}\varphi(x_{1},x_{2})|^{2}$$+U \int dx_{1}dx_{1}\frac{|\varphi(x_{1},x_{2})|^{2}}{|x_{1}-x_{2}|}$$- \frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{i,j=1,2}\int dx_{1}dx_{2}dy_{1}dy_{2}\frac{|\varphi(x_{1},x_{2})|^{2}|\varphi(y_{1},y_{2})|^{2}}{|x_{i}-y_{j}|}.$

ここで，$\varphi\in H^{1}(\mathbb{R}^{6})$とする．この汎関数を用いて，次の重要な量を導入する :$C_{PT}(U)= \inf\{\mathcal{E}_{bp}^{U}(\varphi)|\varphi\in H^{1}(\mathbb{R}^{6}), \Vert\varphi\Vert_{L^{2}(\mathbb{R}^{6})}=1\}.$

この命題から，もし $2C_{P}-C_{PT}(U)>0$ ならば，十分大きな$\alpha$(強結合領域)に対して，束

縛条件 $E_{bin}(\alpha, U)>0$ が成り立つことがわかる．
$2C_{P}-C_{PT}(U)>0$ が実際に成立することを主張する．
次の定理は，
Theorem [19]$2C_{P}-C_{PT}(U)$ は$2C_{P}-C_{PT}(U)\geq 0$ が成り立つ．さらに，(i) すべての $U\geq 0$ に対して，$U$

に関して連続かつ単調減少である．

$( ii)_{\backslash }U_{c}=\sup\{U\in[0, \infty)|2C_{P}-C_{PT}(U)>0\}$$U_{c}>\sqrt{2}$とする．このとき，$Z\sqrt{2}<U_{c}$という結果は重要である．というのも，物理的には条件$U\geq\sqrt{2}$である．

が要求されるからである．ところで， の値はあまり大きくはないことが予想される．何故ならば， が大きいと，2$U$$U_{c}$

電子対は形成されず，$2Cp-C_{PT}(U)=0$ となることが予想されるからである．従って，$U_{c}>\sqrt{2}$が成り立つかどうかは実は微妙な問題である．また，この定理は次の意味でも自明ではない．
を Pekar minimizer としよう．直接計算により，$\phi 0$$\mathcal{E}_{PT}^{U=\sqrt{2}}(\phi_{0}\otimes\phi_{D})=2C_{P}$が分かる．このことから，性質硯$>$而を示すには電子相関が重要であることが窺い知れるだ

ろう．
以上の結果をまとめると，次を得る．

Corollary$U$

を $U<$ 仏となるようにとる．このとき，あるべての$\alpha>\alpha_{c}$$\alpha_{c}<\infty$が存在して，以下が成り立つ : すに対して，- $|P|<2$ ならば $H_{2}(P)$ は基底状態を持つ．

47
8

バイポーラロンの非存在について

先の章で，結合定数 がある程度大きく，かつ，電子間クーロン斥力がある程度小さい場合に束縛条件が実際に成り立つことを紹介した．ここでは，束縛条件が成立しない場合が実際に起こりうることを見ておこう．
Theorem [8]$\alpha$

ある $U^{*}<\infty$ が存在して，すべての $U>U^{*}$ に対して
$E_{bin}(\alpha, U)=0$が成り立つ．
$U$が大きくなると，電子間の引力よりも，斥力が支配的になるために電子対は形成されないことをこの定理は意味する．尚，原論文では $N$ ポーラロン系で上述の結果が証明されていること-を注意しておく．

9

バイポーラロンは one-center であること$E_{2}=$ inf spec
ここで，バイポーラロンの対称性について結果を紹介しよう．そのために，$(H_{2})$とする．また，． のヒルベルト空間を$H_{2}$$L^{2}( \mathbb{R}^{3}\cross \mathbb{R}^{3})\otimes \mathfrak{F}=\bigoplus_{n=0}^{\infty}L^{2}(\mathbb{R}^{3}\cross \mathbb{R}^{3})\otimes L_{sym}^{2}(\mathbb{R}^{3n})$と同一視する．各に対し，ユニタリー作用素$\Psi=\oplus_{n=0^{\Psi_{n}(x_{1},x_{2};k_{1},\ldots,k_{n})}}^{\infty}$$R_{g}$

を$(R_{g}\Psi)_{n}(x_{1}, x_{2};k_{1}, \ldots, k_{n})=\Psi_{n}(gx_{1}, gx_{2};gk_{1}, \ldots, gk_{n}), g\in SO(3)$と定義する．

Theorem [20]束縛条件 $E_{bin}(\alpha, U)>0$ を仮定する．このとき，$E_{2}= \inf\{\langle\varphi,$$H_{2}\varphi\rangle|\varphi\in$dom$(H_{2}),$$\Vert\varphi\Vert=1,$$R_{g}\varphi=\varphi,$$\forall g\in O(3)\}$(9.10)

が成り立っ．

が成り立つとき，one-center であると呼ぶ．上述の定理
は，最低エネルギー
電子の Fermi 統計性まで考慮したときには一般には成立しないことを注意しておく．
状態ベクトル$\Psi$

は $R_{g}\Psi=\Psi,$$E_{2}$

10$\forall g\in O(3)$を one-center の状態ベクトルで記述できることを主張する．この定理は，

Pekar-Tomasevich 汎関数に関する open problem

Pekar-Tomasevich 汎関数については，判っていないことも多い．未解決問題のいくつかを列挙し
ておく．

48

最近，Rank-Lieb-Seiringer[9] によりいくつかの問題について進展があったことを注意しておく．

11

その他の話題フレーリッヒバミルトニアンに関する幾つかの結果を紹介してきた．ここでは紹介できなかった最近の結果を列挙しておく．

Stability of matter [8, 15].
散乱理論 [5].
エネルギーの単調性 [21,22].

その他 [1,14,16].

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