数理解析研究所講究録909 巻 1995 年 54-64

54

DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR PRINCIPAL SERIES
WHITTAKER FUNCTIONS ON $SU(2,2)$
神戸大自然科学 早田孝博 (Takahiro Hayata)
保型形式を研究する際、 その Fourier 展開の係数は重要である。 そのため、 二次のエ
ルミート上半空間の波動形式のそれに現われる Whittaker 関数をできるだけ正確に求めるということは興味深い問題である。今回その Whittaker 関数の満たす微分方程式を得たので、 それについて説明する。

Whittaker 関数

1

まず、 Whittaker 関数の定義から始めよう。
を実半単純リー群、 $K$ をその極大コンパクト部分群、 $P$ を極小放物型部分群、 そを $N$ のを $G$ の P- 丸系列表現、 また、
して、 $N$ を $P$ のべき等根基とする。
素直としての intertwining 作用素の空間、
ユニタリ指標とする。 このとき、$G$$(\pi, H_{\pi})$$\eta$$(\mathfrak{g}, K)$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{(K)}(9,,\eta(H_{\pi}Kc\infty N\backslash G))$の元$\Phi_{\pi}$を Whittaker vector という。 ここで、
$C_{\eta}^{\infty}(N\backslash c)=\{\phi\in C^{\infty}(G)|\phi(ng)=\eta(n)\emptyset(g), n\in N, g\in c\}$とした。次に$.(\tau, V_{\mathcal{T}})$

を $K$ の有限次既約表現とし、 その双対表現となっているものとする。
$\Phi_{\pi}$$\iota_{\tau^{*}}$:$V_{\tau^{*}}arrow H_{\pi}$$(\tau^{*}, V_{\tau}*)$

が

$\pi$

の $K$ -type

をその K- 単射とするとき、 Whittaker vector

に対し、$\Phi_{\pi}(\iota_{\mathcal{T}}\cdot(v)*)(g)=<v^{*},$ $\Phi\pi,\tau(g)>$で定まる$\Phi_{\pi,\tau}\in$.

$c_{\eta,\tau}.\infty(N\backslash G./K.)$

を (

$\pi$

の

,

$K.- \mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}^{\mathrm{e}\mathcal{T}}*$$(v^{*}\in V_{\tau^{*}}, g\in c)$に付随する) Whittaker 関数という。

ここで、$C_{\eta,\tau}^{\infty}(N\backslash c/K)=\{F\in C^{\infty}(c, V_{\mathcal{T}})|F(ngk)=\eta(n)\mathcal{T}(k)-1F(g),$

であり
$A$

$<,$

$>$

は

を $G$ の

$V_{\mathcal{T}}*$$\mathbb{R}$と$V_{\tau}$$(n, g, k)\in N\mathrm{X}c\cross K\}$の内積である。

-split torus の単位元の連結成分とする。 このとき岩沢分解 $G=NAK$への制限で特徴付けられる。 これをの元はそのを考えることにより、その関数の動径成分 (radial part) と呼ぶ。 したがって、 Whittaker 関数の微分方程式と言った場合、 ここではその内径成分の満たす微分方程式を意味する。
$C_{\eta,\tau}^{\infty}(N\backslash G/K)$

$A$

55

2

Shifi operator について
これから shift operator を定義し、 その性質を見ていこう。

を Cartan 分解とし、上の $K$ の adjoint 表現 Adの複素化を考える。 Ad は自己双対的で、 以下その双対表現を Ad と同–視する。 ここで、を $K$ の有限次既約表現、を Killing 形式に関するの正規直交基底とするとき、を Schmid operator という。
次の K- 志変な写像

まず最初に$\mathfrak{g}=\mathrm{f}+\mathfrak{p}$$\mathfrak{p}$$\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}$$(\tau, V_{\mathcal{T}})$$\{X_{j}\}$$\mathfrak{p}$$\nabla$(1)$\nabla$:$C_{\eta,\tau}^{\infty}(N\backslash G/K)arrow C_{\eta,\tau}^{\infty}\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}(N\backslash G/K)$$F rightarrow‘\nabla.F=\sum R_{\mathrm{x}}F(j\cdot j.)\otimes X_{j}$これは正規直交基底の選び方によらない。
一般には既約とは限らない。 そのためその既約成分へ制限することを考えよ
はをそれへの K- 射影とする。 このときう。
をその既約成分とし、への K- 共変な写像となる。 これを shift operator とから呼ぶ。
Whittaker 関数の満たす微分方程式を求める際、 shift operator は重要な働きをする。
それは、
operator は Whittaker 関数を固有関数に持つ」 という性質を持つからである。 以下、 このことについて説明しよう。
がを $K$ の有限次既約表現でその双対表現
を $G$ の許容表現とし、の K-type となるものとする。
でその K- 単射を表す。簡単のため:$P=P_{\tau’}$ と置く。任意のに対し、$\tau\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}$$(\tau’, V_{\tau’})$$P_{\tau},$$P_{\tau’}$$C_{\eta,\tau}^{\infty}(N\backslash G/K)$$\circ\nabla$$C_{\eta,\tau’}^{\infty}(N\backslash G/K)$$\lceil_{\mathrm{S}\mathrm{h}}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{t}$$(\pi, H_{\pi})$$\tau^{*}$$(\tau, V_{\tau})$$\pi$$V_{\mathcal{T}}*arrow H_{\pi}$$\iota=\iota_{\mathcal{T}^{*}}$$v^{\prime*}\in V_{\tau}^{*},,$$v’\in V_{\tau’},$$X\in \mathfrak{p}_{\mathbb{C}}$.

$<P^{*}(v^{\prime*}),$ $v’\otimes

で自然な $K$ 単射$P^{*}$

X>=<v^{\prime*},$ $P(v/\otimes X)>$を定める。次に 「掛け算写像」 $m$ を、$m$:$V_{\tau^{*}}\otimes \mathfrak{p}_{\mathbb{C}}\ni v^{*}\otimes Xrightarrow\pi(X)\iota_{\mathcal{T}^{*}}(v^{*})\in H_{\pi}$で定義される K- 準同型とする。 さて、 写像、$m\circ P^{*}:$

を考えよう。

$\tau’$の既約性より、 恒等的に

(2)

$0$

$V_{\tau}’*arrow H_{\pi}$でないならば、$m\circ P^{*}=C\tau,\mathcal{T}’.\mathcal{T}’\iota*$となる K- 単射が存在することがわかる。 このとそれによってきまる定数
式が本質的に Whittaker 関数と shift operator の関係を述べているのである。 このことをもっと直接に見るため、 もうしばらく計算をして見よう。
), (resp.
) を, (resp.
) の基底、, (resp.
) を , (resp.
を (2) 式に施して基底を走らすと、の対応する双対基底とする。 Whittaker vector$\{v_{k}\}$$\iota’=\iota_{\tau’}*$$\{v_{k}’\}$$c_{\tau,\tau’}$$V_{\tau}$$\{v_{k}^{*}\}$$V_{\tau’}$$\{v_{k^{*}}’\}$$\Phi_{\pi}$(3)$\sum_{k}\Phi_{\pi}(m\circ P^{*}(v_{k})’*)v’kC_{\tau}=,\sum_{k}\tau’\Phi\pi(\iota(/v’k)*)v_{k}’$$V_{\tau}^{*}$$V_{\tau’}*$56を得る。各辺ごとに計算を進めると、 まず、(3) の右辺’$=c_{\tau,\tau^{\prime\sum>}}k<v_{k\tau}\Phi_{\pi}’*,,’(\cdot)v_{k}$$=c_{\tau,\tau’}\Phi_{\pi},\tau$ ’となる。 -方、(3) の左辺$<v_{k^{*}}’,$ $P(v\iota\otimes^{x_{j}})>\Phi_{\pi}(\pi(xj)\iota’(v_{\iota^{*}}))v_{k}’$

$=$

あんメ
$= \sum_{j,l}RXj\Phi\pi(\iota(v_{\mathrm{t}}^{*}))P(v_{l}\otimes Xj)$$=.. \sum_{j^{l}},P(<v^{*}l,x\mathrm{j}\pi R\Phi,\tau(\cdot)>vl\otimes x_{j})$$=P \circ(\sum_{j}R\mathrm{x}^{\Phi_{\pi,\tau}(}\mathrm{j}.)\otimes X_{j})$$=P\circ\nabla\Phi_{\pi,\tau}$である。 以上の結果を Proposition として述べる。

Proposition 21

を、 その双対表現が
$P$
の既約成分
を
であるような $K$ の有阻次既約表現とする。 またが存在して、に対し、 ある定数する。 このとき Whittaker 関数$(\pi, H_{\pi})$

を $G$ の許容表現、$(\tau, V_{\tau})$$\tau\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}$$\Phi_{\pi,\tau}$$\tau^{\prime*}$

が

$\pi$

$\tau’$のK-tyPeへの射影と$c_{\tau,\tau’}$$P\circ\nabla\Phi_{\pi,\mathcal{T}}=c_{\mathcal{T},\tau’}\Phi\pi,\tau$が成り立つ。 ただし

$\pi$

’

の K-type でないときは果,\tau ’ $=0$と約束する。

を繰り返し使って同じ $K$-tyPe の定義する Whittaker 関数に戻るになる) ことができれば、 その shift operator の合成は Whittaker

この shift operator(あるいはどこかで関数を固有関数に持つことが示されることとなり、 動径成分をとれば微分方程式も得られる。実際このことを見ていこう。
$0$

簡単のため、 $G$ をエルミート型の半単純り $-$ 群とする。定義より \sim は複素構造
ち、 固有分解$I$を持$\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}=\mathfrak{p}_{+}+\mathfrak{p}_{-}$を持つ。それに従って adjoint 表現はAd$=\mathrm{A}\mathrm{d}_{+}+\mathrm{A}\mathrm{d}_{-}$

への制限を表す。双対表現
はそれぞれ Ad のと既約分解される。 ただしここでは自然に Ad- と同–視できることに注意する。各成分への射影は、$\mathrm{A}\mathrm{d}_{\pm}$$\mathfrak{p}_{\pm}$$\mathrm{A}\mathrm{d}_{+}^{*}$$p_{\pm}=1/2(\mathrm{i}\mathrm{d}\mp\sqrt{-1}I)$:$\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}arrow \mathfrak{p}_{\pm}$57で与えられる。 ここで写像、$\nabla^{\pm}=(1_{V}\otimes p\pm)\tau 0\nabla$からへの写像となり、 先程と同を考えよう。 これは、$P$を合成することによって shift operator が得られる。特に、様に各既約成分への射影
を down-shift operator と呼ぶ o これらは互いに逆を up-shiftの「道」 を与えるのである。
後で計算に利用することを考慮してもう少し具体的に記述すると次のようになる。
の正規直交基底として、$C_{\eta,\tau}^{\infty}(N\backslash G/K)$$P\circ\nabla^{+}$$\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\text{、}$$C_{\eta,\tau\otimes \mathrm{A}}^{\infty}\mathrm{d}\pm(N\backslash G/K)$$P\circ\nabla^{-}$$\mathfrak{p}$$\{X_{1}, \ldots, X_{n/2}, Ix_{1}, \ldots, Ixn/2\},$$(n=\dim \mathfrak{p})$をとる。 これを Shmid operator の式に代入すると(4)$\nabla^{+}F=(1_{V_{\tau}}\otimes p_{+})\circ\nabla F=(1_{V_{\tau}}\otimes p_{+})(\sum_{j=1}RxjFn/2(\cdot)\otimes X_{j}+\sum_{j=1}^{2}RI\mathrm{x}_{\mathrm{j}}F(\cdot)n/\otimes IX_{j})$

$F/2$
RIx

$=1/2$ ( $\sum_{j=1}^{n/}R\mathrm{x}_{j}F2(\cdot)\otimes(X_{j}-\sqrt{-1}Ix_{j})+\sum_{j=1}^{n}$j$(\cdot)\otimes(IX_{j}+\sqrt{-1}X_{j})$)$=1/2 \sum_{j=1}^{n/2}R_{(X_{\mathrm{j}}}\sqrt{-1}IXj)F(+\cdot)\otimes(X_{j}-\sqrt{-1}IX_{j})$と書ける。 同様に、$\nabla^{-}F=1/2\sum_{j=1}^{n/}2R_{(}xj-\sqrt{-1}Ix_{j})F(\cdot)\otimes(X_{j}+\sqrt{-1}IX_{j})$がわかる。 もちろん、 定義から明らかではあるが、$\nabla=\nabla^{+}+\nabla^{-}$

も直接計算できる。
がのとき、例えば、
Proposition 21 において、の既約成分には必ず が現れることがわかり、る。 このとき$\tau’$$c_{\tau,\tau’}\neq 0$$\tau’\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}$$\tau\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}_{+}$の既約成分とす$\tau$$P_{\mathcal{T}}\mathrm{o}\nabla\Phi_{\pi},\mathcal{T}’=c_{\tau’}’,\tau\pi\Phi,\tau$とでき、 -つの K-type における関係式、$P_{\tau}\circ\nabla\circ P_{\mathcal{T}}’\circ\nabla\Phi\pi,\mathcal{T}=(const.)\Phi_{\pi,\tau}$を得ることができる。つまり、 エルミート型のときは、 与えられた Whittaker 関数を固有関数に持つ shift operator が必ず構成できるのである。一般の場合も、 Ad の既約成分をとることによりエルミート型のときと平行な議論ができる。

58

3$SU(2,2)$ の場合
ここでは、 特に $G=SU(2,2)$ のときに具体的な計算をしたいと思う。 実際に Whit-taker 関数の満たす微分方程式を導くことは誌面の都合上できないが、 だいたいの筋道が.
把握できるべく、 説明を試みたい。
今回、 -rank が 2 でエルミート型の半単純リー群 $SU(2,2)$ において、 主系列表現がが次元または二次元 -type を持つときは次の形の微分方程式で Whittaker 関数$\mathrm{R}$$\Phi_{\pi,\tau}$$\mathrm{K}$

特徴付けられることが分かった。

(5)$C_{2}\Phi_{\pi,\mathcal{T}}=\chi_{\pi}(c2)\Phi_{\pi,\mathcal{T}}$(shift(6))$\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}_{0}\mathrm{r}$$\Phi_{\pi,\tau}=(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{t}.)\Phi_{\pi,\tau}$

はの無限小指標)。従ってやるべきことは、 (I) shift
は Casimir 作用素、(
operator の構成、 (II) 各作用素の動径成分の計算、 (III) (特に shift operator の) 固有
値の計算、 である。 (II) については岩沢分解を利用して各関係式を実際に微分していくのであるが、 繁雑になるので別の機会に譲る ([1], [4], [7] で丁寧に計算されているのでそちらを参照のこと)。 以下、 特に (I) と (III) についてできる限り詳しく説明しようと思う。 (ところで、 Casimir 作用素も定数項を除いて shift operator で構成できるので厳密”“の生には (6) の形の二つの式で特徴付けられるというべきかもしれない。逆に、成元で特徴付けているということもできるが、 実際は特に二次元 K-type を持つ場合など、 shift operator の方がより詳しい情報を与え得ることがわかる。)
として、
まず、記号を定めることから始める。
$C_{2}$$\chi_{\pi}$$\pi$$Z(\mathfrak{g})$$G$$G=\{g\in SL4(\mathbb{C})|{}^{t}\overline{g}I_{2,2}g=I2,2\}$を選ぶ。 ここで、$I_{2,2}=$ とおいた。 この極大コンパクト部分群として、$K=S(U(2)\mathrm{x}U(2))=\cap SL_{4}(\mathbb{C})$をとる。 また $G$ の Cartan 分解$\mathfrak{g}=\mathrm{e}+\mathfrak{p}$は、$\mathrm{f}=\{\in\epsilon 1_{4}(\mathbb{C})|X_{j}\in \mathrm{u}(2)\}$$\mathfrak{p}=\{|X_{12}\in M_{2}(\mathbb{C})\}$ ,で与えられる。 $P=MAN$ を Langlands 分解とする。 ここで、
$M\simeq \mathbb{C}^{(1)}\cross \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$A\simeq(\mathbb{R}_{>0})^{2}$,

59

であり、 以下同–視する。 $P$ の指標をそれぞれの指標の tensor で次のように定義する。
.

$\sigma_{n,\epsilon}\otimes e^{\mu}\otimes$(ただし、$n\in \mathbb{Z},$$1_{N}((e^{\sqrt{-1}\theta}, \pm 1);(a_{1}, a_{2});x)=e^{\sqrt{-1}n\theta}\epsilon(\pm 1)a1a\mu_{1}2\mu_{2}$$\mu=(\mu_{1},$$\mu_{2})\in a_{\mathbb{C}}^{*},$$x\in N$) 。この指標から誘導して$G$の主系列表現$\pi=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}c_{(}\sigma n,\epsilon\otimes e\mu+\rho\otimes 1)$をつくる。 ここで、$\rho$

は正ルートの半分和で、 ここでは、$e^{\rho}(a_{1}, a_{2})=a_{1}a_{2}3$

となる。

3.1

(I) shift operator の構成

どのような shift operator を構成するのか説明しよう。 $K$ の既約表現は、$\overline{K}=\{[r, s;u]\in \mathbb{Z}_{\geqq 0}\cross \mathbb{Z}_{\geqq 0}\cross \mathbb{Z}|r+s+u\in 2\mathbb{Z}\}$

でパラメーターづけできることがわかる (cf.

\S 3.2)。また$\pi$の $K$ -tyPeのパラメーター空間における分布は次のようになる。
(i) が 1 次元 K-t.v を含むとき、 ( $m$ : 整数)
$\pi$

(ii)

$\pi$

$\mathrm{P}\mathrm{e}$が 2 次元$K- \mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}^{\mathrm{e}}$を含むとき、

shift operator の「道」 として次のようなものを選んだ o 定義の都合上、の双対を取っている。 そのため、と書くことにすると、 以下の $C[r, s;u]$ は上の図のちょうど
メーター空間として持つことに注意する。
としては$\eta_{r,s;u}$]$\eta_{r,S;-u]}$$\pi$の K-type$c_{\eta,u}\infty,\cdot(\tau_{\mathrm{l}s_{1}}f\mathrm{l}N\backslash G/K)=C[r, s;u]$$u$

軸を反対にした空間をパラ

60

(i)

$\dim \mathcal{T}=1$のとき、$D^{\mathrm{u}\mathrm{p}}$$D^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}$:$C[ \mathrm{o}, \mathrm{o};u0]-\nabla^{+}c[1,1;u_{0}+2]^{P}\frac{1^{\circ\nabla_{1}}}{r}o[0, \mathrm{o};+u0+4]$:$c[ \mathrm{o}, \mathrm{o};u0]\nabla^{-}-c[1,1;u_{0}+2]^{P}\frac{p\circ\nabla}{\backslash }-C[\mathrm{o}, \mathrm{o};u0+4]$.

(ii) $\dim\tau=2$ のとき、$\mathcal{E}^{(+,-)}$$\overline{\mathcal{E}}^{(-,+)}$:$C[0,1;u_{0}+1]^{P} \frac{\mathrm{a}^{0\nabla_{1}}}{},C[+1,0;u0+3]$:$c[0,1;u0+1]^{P} \frac{\mathit{4}^{0\nabla}}{\backslash }o[1,0;u0-+3]$.

ここで乃は適当な K- 射影である。 このように定めたとき、$\overline{\mathcal{E}}^{(-,+)}0\mathcal{E}(+,-)$$D^{\mathrm{d}_{\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}\mathrm{p}}\mathrm{o}\mathcal{D}\mathrm{u},$はそれぞれ、 4 次、 2 次の微分作用素を定める。我々はこれらを (6) 式の左辺として採用

する。

3.2

(III) shifi operator の固有値の計算

を 2 次元\S 2 で述べた事柄を--部、 具体的にやってみよう。
の標準的な基底とする。 $S^{d}(V)$ を 次対称 tensor の空間とし、 その基底を、$\{f1, f_{2}\}$$SL_{2}(\mathbb{C})$加群 $V$$d$$f_{p}^{(d)}=f_{1}^{\otimes}p\otimes f_{2}^{\otimes()}d-p$ととる。

$SL_{2}(\mathbb{C})$(対称 tensor),$(0\leqq p\leqq d)$の $S^{d}(V)$ への作用を、

sym d ( )$g$$(v1\otimes v_{2}\otimes\ldots\otimes v_{d})=gv_{1}\otimes gv_{2}\otimes\ldots\otimes gv_{d}$の既約表現はで定義する。 よく知られているようにる。 またこの微分表現も同様に定義され、 同じ記号で書く。例えば、$(\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}^{d}, S^{d}(V))$$SL_{2}(\mathbb{C})$

$h=,$
を

$\epsilon 1_{2}$$e_{+}=($

1),$e_{-}=(_{1}$

でっくされ

$)$

-triple とし、 下元の作用を見ると、,$\tau_{r}(h)f_{k}^{(}r)=(2k-r)fk(\Gamma)$$\tau_{r}(e_{+})f^{(r)}k=(r-k)fk+1(r)$$\tau_{r}(e-)f_{k}(r)=kf_{k-}^{(r)}1$となることがわかる。 さて、 我々の群に戻ろう。

,’$K_{\mathbb{C}}\simeq SL_{2}(\mathbb{C})\mathrm{x}SL_{2}(\mathbb{C})\cross \mathbb{C}^{\mathrm{x}}$ら、$\tau_{[r,S};u](g1, g_{2;}e^{\sqrt{-1}\theta})=\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}^{r}(g1)\otimes \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}(Sg_{2})\otimes e^{\sqrt{-1}}u\theta$

であるか

61

の既約表現を定義できる。 またそれぞれの表現空間罵, $=S^{r}(V)\otimes S^{s}(V)$ の基底をと書く。
次に adjoint 表現を具体的に書こう。

で$K_{\mathbb{C}}$$f_{kl}^{()}rs=fk(r)\otimes f\iota^{1}s)$$\mathfrak{p}_{+}=\{X_{ij}|i=1,2, j=3,4\}_{\mathrm{c}}$$\mathfrak{p}_{-}=\{X_{ij}|i=3,4, j=1,2\}\mathbb{C}$とする。 ここで$X_{ij}=\{\delta_{i_{\mathrm{P}}}\delta_{jq}\}pq$$\iota_{+}:$$\iota_{-}:$

によってそれぞれ’$\mathrm{A}\mathrm{d}\pm=\mathrm{A}\mathrm{d}\mathfrak{p}_{\pm}$$(X_{41}, X31, X42, X32)arrowf^{(}00’ f)(1111)-f1(0^{1}’ 0’-11)f1(11))1$$\tau_{[r,S;u}$$H_{\pi}\simeq L_{\sigma}^{2}(K)=$,’と同型になる。

の同型を与えよう。簡単のため、れているように制限写像によって$H_{\pi}$

は対応、$(X23, X_{1}3, X24, x14)rightarrow(f_{00’ f_{1}^{(11}}^{(11})0),$ $-f_{01}(11),$ $-f_{11}(11))$$\tau_{[]}1,1;\pm 2$の K-type とである。 すると,]$\sigma=\sigma_{n,\epsilon}$と置く。 良く知ら{ $F\in L^{2}(K)|F(mk)=\sigma(m)F(k)$ for $m\in M,$ $k\in K$ }となる。 以下これを同–視する。 関数(7)$a_{pq,\mathrm{t}m}^{(d)}(k)$を$\tau_{d}(k)fpq\sum_{\leqq\leqq}=a_{p}^{(}(d)k0\leqq^{\iota}\leqq r,0mSq,\mathrm{t}m)\mathrm{f}|_{m}$で定義する $(d=[r, s;u])$ 。このとき次のことがわかる。

Proposition 3.1$[\pi|_{K} :\tau_{d}]=1$とする。

(i) $n\geqq 0$ のとき、
(ii) $n<0$ のとき、は$L_{\sigma}^{2}(K)$$\iota_{\tau}$$\iota_{\tau}$::$f_{pq}^{(d)}rightarrow a_{pq,rs}^{(d)}$,$f_{pq}^{(d)}rightarrow a_{pq}^{(d)},00$

への K- 単射である。

を固定して考えるものとする。
について $n=1$ のときのみ具体的に見ていこう。 以下単にでは、と書くことにする。 まず $(\tau_{1}, V_{1})=(\tau_{1^{0}1;},],$$Vu001)$ とおく。適当なを選ぶことによりの双対表現、 $(\tau_{-1}, V_{-1})=(\tau_{[0,1}];-u0’ V_{01})$ が、に重複度1 で現れるようにできる。
は既約分解、を持つ。 また、
]
$K$
の
も
と置くと
-tyPe となる。 ここでは
乃$P$への射影として次で定義されるを選ぶ。
以下$\iota_{\tau}$$\mathcal{E}^{(+,-)}$$a_{pq}^{(d)}=a_{pq,rs}^{(d)}$$u_{0}$$\pi=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}c(\sigma_{1,\epsilon}\otimes e^{\mu+\rho}\otimes 1)$$\tau_{1}$$\tau_{1}\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}+$$=\tau_{[2]}1,0;u\mathrm{o}+,$$\mathcal{T}_{-2}=\mathcal{T}[1,0;-u0-2]$$\tau_{[u}1,0;0+2$$\tau_{-2}$$\oplus \mathcal{T}_{[2]}1,2;u\mathrm{o}+$$V_{2}=V_{\mathcal{T}2}$$\pi$$P(f_{00}^{(1)}\otimes X_{13})=P(f_{00}^{(1})\otimes X_{23})=P(f_{01}(1)\otimes X_{24})=P(f_{01}(1)\otimes X_{14})=0$(8)$P(f^{(1}\mathrm{o}0^{)(}\otimes x_{2}4)=P(f_{0}1\otimes^{x_{2}}1))=-f\mathrm{o}(2)30$’$P(f_{\mathrm{o}0}^{(})\otimes x_{1}4)1(=Pf01\otimes(1)x1)=-f_{10}(2)3$

.

,

62

$\{f_{kl}^{(j)*}\}$

を$\{f_{k\downarrow}^{(j)}\}$の双対基底とすると定義より、$P^{*}(f_{00}^{\mathrm{t}2})*)=-f_{0}(0\otimes X_{4}2^{-}f\mathrm{o}1)*(1)*1\otimes X_{32}$,$P^{*}(f_{10}^{(2)*})=-f0(0\otimes X_{4}1^{-}f\mathrm{o}1)*(1)*1\otimes X_{31}$がわかる。 V.* と$V_{-\dot{r}}$$\cdot$の同型を、 次で決あて固定する。

$V_{1}^{(*)}\ni\{f_{00}^{(}1)*, f_{0}(11)*\}rightarrow\{-f_{0^{-}}^{(1}1), f^{(-1)}00\}\in V_{-}1$,$V_{2}^{(*)}\ni\{f_{0^{2)}}^{(}0’ f_{1}*(2)*0\}rightarrow\{-f^{(}1^{-2}0), f_{0^{-2)}}^{(}\mathrm{o}\}\in V_{-}2$.

すると (2) は、$m\circ P^{*}(f_{1^{-2}}())0=m(f0(-\iota)(-1\otimes 0X_{32}\overline{}f01\otimes^{x_{4}}2))$$=\pi(x_{32})\iota_{\tau-1}(f^{(}00-1))-\pi(x_{4}2)\iota_{\tau-1}(f\mathrm{o}^{(-}1)1)$$=\pi(X_{32})a00-(-1)\pi(X_{4}2)a01(-1)$

より、

(9)

$\pi(X_{32})a_{00}-(-1)\pi(x42)a_{01}(-1)=c_{1},2^{\cdot}a_{10}(-2)$という関係式になる。
を求めるため、 両辺の単位元での値を比べてみよう。定義式 (7) より、
定数$c_{1,2}$$a_{10}^{(-}2)(14)=a_{10},10((-2)1_{4})=1$

がまずわかる。つまり右辺は$X_{32}$$=$$X_{42}$

$=$

( の元)
$\mathfrak{n}$$c_{1,2}$$+$となる。 $X_{32},$$(0,1/2)$となる。 すると、$=\mathrm{U}$であ$\gamma)_{-}$

主た同横に$a^{(-1)}\mathrm{f}\mathrm{i}1(1_{A}1--1$であるから、$X_{42}$の岩沢分解$(\mathfrak{g}=\mathfrak{n}+a+\mathrm{f})$

は、

63

となる。 以上より、$c_{1,2}=-\mathrm{i}/4(2\mu_{2}+u_{0}+1)$がわかる。

このようにして単位元の値を比べることにより、 shift operator の固有値は求まる。

4

主結果

以上の計算の結果、 次の定理を得た。 どの場合も (5), (6) に対応する順で書かれている。 また、に関する合同条件は $[\pi|_{K} : \tau^{*}]=1$ となる必要十分条件である。
$u$Theorem 4.1 $a=(a_{1}, a_{2})\in A,$
定し、$\partial_{j}=a_{j}(\partial/\partial a_{j}),$を正ルートの半分和とするとき、の連立偏微分方程式を満たす。

(i)$\rho$$(j=1,2)$ とする。 $[\pi|_{K} : \tau^{*}]=1$ と仮とおく。 このとき、 月よ次$I(a)=a^{-\rho}\Phi_{\pi},\mathcal{T}(.a)$のとき。 $\tau=\tau_{[;u]}0,0$ とおく。

$\dim \mathcal{T}=1$$\{\partial_{1}^{2}+\partial_{2^{-}}^{2}\eta_{2}^{2}a_{2}^{4}+u\eta_{2}a_{2}^{2}+2\eta_{0}(a_{1}/a_{2})^{2}\}I=(\mu_{1}^{2}+\mu_{2}^{2})I${,”$(\partial_{1}^{2}-(u/2+1)^{2})(\partial_{2}^{2}-(u/2+1)^{2}-\eta_{2}^{2}a_{2}^{4}+u\eta_{2}a_{2}^{2})$$-2\eta_{0}(a_{1}/a_{2})^{2}(\partial_{1}+1)(\partial_{2^{-}}1)-u(u/2+2)\eta_{0}(a_{1}/a_{2})^{2}+u\eta_{0}\eta 2a^{2}1$$+(a_{1}/a_{2})^{42}\eta_{0}\}I=(\mu_{1}^{2}-(u/2+1)^{2})(\mu_{2}^{2}-(u/2+1)^{2})I$(ii) $\dim\tau=2$ のとき。 $|n|=1$ と仮定する。 このとき適当な
;

の双対が

(a)

$\tau=\tau_{10,1;u]}$$\tau_{[u]}1,0$

$\pi$

$u$

を選べば、

$\mathcal{T}_{[0,1;u]}$または、に重複度 1 で現れる。

のとき。 $I(a)$ $=b00(a)f00+b_{01}(a)f\mathrm{o}1$ とおく.

$0$$=(\mu_{1^{+}}^{2}\mu 2)2$$=\{\mu_{2}^{2}\mu_{1}^{2}$$(n=1,u(n=-1, u\equiv-\epsilon(\equiv\epsilon(-1)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}-1)(\mathrm{m}\mathrm{o}4))\mathrm{d} 4))$

.
(b)

,

$\tau=\mathcal{T}_{[0;u]}1$のとき。 $I(a)=b00(a)f\mathrm{o}0+b_{10}(a)f10$ とおく。

$=(\mu_{1}^{2}+\mu_{2}^{2})$64$=\{\mu_{1}^{2}\mu_{2}^{2}$$(n=1,u\equiv\epsilon(n=-1, u\equiv-\epsilon((-1)-1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d})(\mathrm{m}\mathrm{o}4))\mathrm{d} 4))$.
ただし、
$P_{1}=\partial_{1}2+(a_{1}/a_{2})^{2}\eta_{0}$,,$P_{2}=\partial_{2}^{2}-\eta^{2}22+(aa_{1}4/a_{2})^{2}\eta_{0}$$\tilde{L}_{0=}\partial_{1}2+\partial_{2}2-\eta 22^{+0}\eta 24a(a_{1}/a_{2})^{2}$

とおいた。 また、$\eta 0,$$\eta_{2},$$\xi,$$\xi’$

は$\eta$

によって決まる定数である。

注意 : この結果は $Sp(2;\mathbb{R})$ の主系列 Whittaker 関数の満たす微分方程式と (定数を取り替えることによって) 一致する。

参考文献[1] T. Hayata, Differential equations of principal series Whittaker funcitons on $SU(2,2)$ ,preprint.

[2] A. W. Knapp, Representation theory of semisimple groups, –an overview basedon examples–, Princeton Mathematical Series, vol. 36, Princeton University Press,
Princeton, New Jersey, 1986.
[3] B. Kostant, On Whittaker vectors and representation theory, Invent. Math. 48(1978), 101-184.

[4] T. Miyazaki and T. Oda, Principal series Whittaker functions on $Sp(2;R)$ , –explicit
formulae of differential equations-, Proceedings of the 1993 Workshop, Automorphic
Forms and Related Topics, The Pyungsan Institute for Mathematical Sciences, 1993,
pp. 59-92.

[5] W. Schmid, On the realization of the discrete series of a semisimple Lie groups, Rice
Univ. Stud. 56 (1970), no. 1, 99-108.
[6] G. Warner, Harmonic analysis on semi-simple Lie groups , Springer-Verlag, BerlinHeidelberg-New York, 1972.
$I$[7] H. Yamashita, Embeddings of discrete series into induced representations of semisimple Lie groups , –general theory and the case of $SU(2,2)$ -, Japan. J. Math.
16 (1990), no. 1, 31-95.
$I$-mail address: hayata@math.s.kobe-u.ac.jp$E$$(\mathrm{N}.\mathrm{S}.)$