数理解析研究所講究録909 巻 1995 年 177-189

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Standard -functions for$\mathrm{L}$$U_{n,n}$

東北大学理学研究科修\pm 2 年高野啓児$\mathrm{C}$Kc$\iota_{\dot{\theta}^{\vee^{\backslash }}}\mathrm{T}oe\mathrm{k}a\mathfrak{n}\mathrm{o}\rangle$

Introduction.

$0$

$E/F$

する :

を数体の 2 次拡大、 $G=U_{n,n}(E/F)$ をこれに対応して定義されるユニタリ群と$G(F):=\mathrm{t}_{\mathit{9}\in c}L_{2n}(E)|gJ_{n}^{\ell}\overline{g}=Jn\},$$J_{n}$$:=$$1_{n}0$の尖点保型表現に対するスタンダード -関数の解析接続を、 [10] の方法を用いて調べることができる。 その具体的な計算等について以下で紹介する。 ちなみに、 [10] では、$G=Sp_{n},$の場合が調べられているが、分岐素点での理論については言及されていないので、 ここではそれたついても述べるつもりである。

$G(\mathrm{A})$$\mathrm{L}$$O_{n},n$1Notation.Definitions.
$G$の部分群について.

$S$: maximal$T$: maximal torus. $T(F)=\{diag(t1, \ldots,tn’ t^{-1}1^{-}, .., ,t_{n}^{--1})|t:\in E\}$

$B=T\ltimes N$$F$-split torus. $S(F)=\{diag(S1, \ldots, ss_{1}n"., s-1..-1)n|s_{i}\in F\}$

: Borel subgp where,$N(F)= \{|andb\in Matu\in GLn(E),uppe_{S}r.trianglarn(E)tb=^{t}\frac{u}{b}\}$$M^{(r)}(F)$$=$maximal parabolic subgp.where,$\{$$P^{(r)}=M^{(r)}\ltimes U^{(r\rangle}(1\leq r\leq n):\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}$$|g\in GL_{r}(\in Un-r,n-r(E/F)E)\}$$arrow.\lrcorner_{_{\sim_{\mathrm{r}}}\prime}.$

‘

178

$U^{(r)}(F)=\{$
特に、$F$$P^{(n)}$$1_{n-r}$$*$$\underline{0}$$\in N(F)\}$をたんに $P$ で表わす。

の素点 $v\text{での完備化を}F_{v}$ と書き、 その valuation ring を$O_{v}\text{、}$residue order を$q_{v}$で表わす。 また、 $E_{v}:=E\otimes_{F}$ 凡とする。 ここで、

(A)

$v$

split. :(B)$v$

non-split. :$E_{v}\simeq F_{v}\oplus F_{v}$$E_{v}/F_{v}$as$F_{v}$-algebra.

が体の 2 次拡大.

の二通りが考えられ、 それぞれで $G(F_{v})=:G_{v}$ は、(A)$G_{v}\simeq GL_{2n}(Fv)$(B)$G_{v}=U_{n,n}(E_{v}/F_{v})$となっている。
とし、埋め込み $i:G\mathrm{x}G-H$ を次のように定 . する。 まず $G(F)$ が
skew-hermitian space $(V, \phi v)$ の isometry group として実現されているとみて、$W:=V\oplus V$$H:=U_{2n,2}n(E/F)$とし、 W 上の sesquilinear form$\emptyset w$

を$\phi_{W}((v_{1}, v_{2}),$ $(v_{1’ 2}’v)’)=\phi_{V}(v_{1}, v_{1}’)-\phi V(v_{2}, v_{2}’)$で与えると、 $(W, \phi w)$ もまた skew-hermitian space になる。 これを $H(F)$ と同–視し、$i(g1,g_{2})\in H(F)$ を $W$ への作用が$(v_{1}, v_{2})\cdot i(g1,g_{2})=(v_{1}\cdot g1, v_{2}\cdot g_{2})$となるものとして $G\cross Garrow H$ がきまる。

に対して定義したのと同様の H の部分群を $S_{H},T_{H},$ $BH,$
etc. と書くことにする。
の good maximal compact subgroupをそおよび各素点 v で、 , および
れぞれ取っておき、 $K:=\Pi_{v}Kv’ KH:=\Pi v(IcH)_{v}$ とする。
$G$ の
L-group は $LG=GL_{2n}(\mathbb{C})\aleph Ga\iota(E/F)$ である。但しここで、 $Ga\iota(E/F)$ の nonへの作用は、trivial element の$G$$P_{H}$$G_{v}$$H_{v}$$K_{v}$$(K_{H})_{v}$$GL_{2n}(\mathbb{C})$$g\mapsto\sqrt n{}^{t}g^{-1}J_{n}^{-1}$で与えられる。 $LG$ の standard 表現とは、 ここでは
$r_{S}t=Ind_{G}LcL2\hslash(\mathbb{C})(\rho_{2}n)$で定まる-次元表現のことを意味する。
わしている。
$4\mathrm{n}$$\pi=\otimes_{v}\pi_{v}$$\text{ここで_{}\rho n}2$は

$GL_{2n}(\mathbb{C})$の自然な 2n-次元表現を表を $G(\mathrm{A})=\Pi_{vv}G$ の尖点保型表現とする。素点 が不分岐であるとは、
$v$

179

$\bullet$が不分岐球表現で、$\pi_{v}$$v$$\bullet$が non-split のときは $E_{v}/F_{v}$ が不分岐拡大.

のときにいう。不分岐素点での局所スタンダードに以下のように与えられる ;
(A)

$v$

split

$2\mathrm{n}$個の Fv の quasi-characters-因子 $L(s, \pi_{v}, rt)s=L(s, \pi_{v})$ は具体的$\mathrm{L}$)$\mu_{1}^{(v)},$を取って、$\mu^{(}2nv$$\ldots,$$\pi_{v}rightarrow Ind_{B_{v}^{v}}^{c(}(\mu 1’., \mu_{2n})v)..(v)$となっているとき、$L(_{S,\pi_{v}})=i \prod_{=1}L(_{S}, \mu^{()}i)vL(s, \mu^{()-1}i)v$

(B)

$v$

non-split$\mathrm{n}$個の Ev の quasi-characters$\mu_{1}^{(v)},$$\ldots,\mu_{n}^{(}v$

)

を取って、

$\pi_{v}-Ind^{c_{v}}(Bv\mu_{n}\mu_{1}^{()},.,)v..(v)$となっているとき、$L(_{S,\pi_{v}})=i=1 \prod^{n}L(S, \mu i)(v)(Ls, \mu_{i}(v)-\backslash 1)$

ここで $L(s, \mu)$ は局所体の quasi-character に対する Tate の L-因子である。素点 v の split/non-についての degree 1 ま
split によらず $L(s, \pi_{v})$ のになっていることに注意する。
を尖点保型表現の分岐素点の集合とする。 このとき、 これに対する standard
L-関数 $L_{S}(s, \pi, r_{S}t)=L(S, \pi)$ を、$4\mathrm{n}$$q_{v}^{-s}$$\mathrm{S}$$\pi=\otimes_{v}\pi_{v}$$L(s, \pi)=v\prod_{\not\in s}L(_{S}, \pi_{v})$で定義する。右辺の無限積が $Re(s)>>0$ で絶対収束することは知られている。 ([1] など。)

2

Basic Identity.
$P_{H}(\mathrm{A})$

ここで、上の complex character$\delta p_{H()}\mathrm{A}$は$P_{H}(\mathrm{A})$$\delta_{s}$:$P_{H}(\mathrm{A})arrow \mathbb{C}^{\mathrm{x}}$をの topological module を表わす。

の complex character) のように書かれ、具体的に各$(\mathrm{A})v$$(\mathrm{B})v$$\delta_{s}:=(\delta_{P_{H}(\mathrm{A}}))^{s/}2n$$\delta_{s}^{(v)}$split; $\delta_{s}^{(v)}()=|det(g_{1})|_{v}s|det(g2)|^{-S}v$ for
non-split;$\delta_{s}^{(v)}( (_{0}^{g} {}^{t}\overline{g}^{-1}*))$

で定義する。但し$\delta_{S}=\Pi_{v}\delta^{(v)}s(\delta_{s}^{(v)}$は $P_{H}(F_{v})$ 上

は、$g_{1},$$g_{2}\in GL_{2n}(F_{v})$$=|det(g)|_{E}^{S}v(=|det(g)\overline{det(\mathit{9})}|_{v}^{s})$for $g\in GL_{2n}(Ev)$180と与えられる。

$f_{\ell}\in ind_{P_{H}}H(\mathrm{A})(\mathrm{A})(\delta_{s})$に対し、$H(\mathrm{A})$

上の Eisenstein 級数を、$E(h;fs):= \sum_{\epsilon\gamma PH(F)\backslash H\mathrm{t}F)}fs(\gamma h)$で定義する。 この右辺は $Re(s)\gg \mathrm{O}$ で広義一様に絶対収束し、全平面に解析接続される。
をの尖点保温表現とし、$G(\mathrm{A})$$\pi=\otimes_{v}\pi_{v}$$\pi,\tilde{\varphi}=\otimes_{v}\tilde{\varphi}v\in\tilde{\pi},$$\tilde{\pi}=\otimes_{v}\tilde{\pi}_{v}$$s$について meromorphic にをその反訴表現とする。

$\varphi=\otimes_{v}\varphi_{v}\in$のとき、$fs=\otimes vf_{s}^{(v})\in ind(P_{H(^{)}}\mathrm{A})\delta s)H(\mathrm{A}$Theorem 1 (Piatetskii-Shapiro,Rallis)$\int_{G(F)\backslash }G\mathrm{t}\mathrm{A})\int_{G(F})\backslash c(\mathrm{A}))E(i(\mathit{9}1, g_{2});fs)\varphi(g1)\tilde{\varphi}(g2dg1dg_{2}$$= \prod_{v}^{:}\int_{G}(p_{v})(f_{S}^{(}v)(i(gv’)1)<\pi vgv)\varphi v’\tilde{\varphi}_{v}>dgv$と書くことにする。
, 右辺の各局所積分を
左辺の二重積分をの収束や、右辺の無限積の収束などはもちろん分かっていこの段階では、を形式的に変形して右辺がない。 $Re(s)\gg \mathrm{O}$ で $E(h;fS)$ を級数の形に書いて、得られるだけである。 (詳しくは [10] を参照。)
以下で [5] の-function machine の各 step を辿る。 (関数等式と関連したところについては触れない。 )$\mathcal{Z}_{v}(f_{s}^{(v});\varphi_{v},\tilde{\varphi}_{v})$$\mathcal{Z}(f_{s};\varphi,\tilde{\varphi})$$\mathcal{Z}_{v}(f_{s}^{(v});\varphi_{v},\tilde{\varphi}_{v})$$\mathcal{Z}(f_{s};\varphi,\tilde{\varphi})$.

$\mathrm{L}$

Eisenstein 級数の解析的性質.

3$\phi_{s}=\otimes_{v}\phi^{(v)}s\in ind_{P_{H}(\mathrm{A}}^{H}(\mathrm{A})()\delta s)$は$\phi_{s}\equiv 1$

on$K_{H}$となる唯–つの元とし、

で表わす.
-加群を
の部分許容
に倣って $E(h;fS)$ の解析的性質を詳しく調べることができる。

$ind^{H()}P_{H}\mathrm{A}(\mathrm{A})(\delta_{s})$$H(\mathrm{A})$$\mathcal{I}(s)=\otimes_{v}\mathcal{I}_{v}(S)$$f_{s}\in \mathcal{I}(s)$$\phi_{s}$が生成するのとき}ま、 [10]$\chi_{S}=(\delta_{S}\mathrm{I}\tau_{H}(\mathrm{A}))\cross(\delta_{B_{H}(}\mathrm{A}))^{-}1/2$

として、$f_{s}\in Ind_{B_{H}(^{)}\mathrm{A}}(\mathrm{A}(Hx)s)$と考えることができ、 [10] と全く同様にして、

const. term of
但し、
群$W_{H}$$\Omega_{H}$$E(h;f_{s})= \sum_{w\in\Omega_{H}}I_{w}(f_{s})$は、 その元がつぎの $(*)$ によって特徴づけられるような、 $H$ の (relative) Weylの部分集合である :$(*)\ldots\{1, \ldots, 2n\}$

の置換

$i$

で, ある番号$k$で$i_{1}<...$ $<i_{k},$ $i_{k+1}>...$ $>i_{2n}$181を満たすものを取って、 $w^{-1}\in W_{H}$ の $X^{*}(S_{H})$ の作用が$\chi_{\iota}\dot{.}$$w^{-1}\cdot\chi_{l}=\{$$-x$ :(if $l\leq k$ )(if $l\geq k+1$ )で与えられる。
また、$I_{w}(f_{s})$は $w\in W_{H}$ の定める intertwining operator で、各 $w\in W_{H}$ に対して $(N_{H})_{w}^{-}=$とするときに、$\Pi_{\alpha>0,w\cdot\alpha<}0(N_{H})\alpha$$I_{w}(f_{s})(h)= \int_{(N_{H})_{w}^{-}(}\mathrm{A})dfS(wnh)n$で定義されるものである。
以下特に、 $f_{s}=\rho(h)\phi_{s};h\in H(\mathrm{A}_{f})$ [resp. $f_{s}=\rho(X)\phi_{s}$ ;] の場合を考えればよ
このときは各に対応する $I_{w}(f_{s})(h)$ の極は Gindikin-karperevich の productformula によって調べられる。
$x\in \mathfrak{h}_{\infty}$$w\in\Omega_{H}$$\text{く_{、}}$

Proposition 2$Ind_{B_{H}(\mathrm{A}}(H(\mathrm{A}))w^{-}1\lambda_{\ell}^{\prime)}$の、 $K_{H}$ 上で恒等的に月こなっている元を$\phi_{w^{-1}\cdot s}$と書くことにすると、$I_{w}(\rho(h)f_{s})=c_{w}(_{S})\rho(h)fs$

但しここで、 $c_{w}(s)$ は についての有理型関数で、けられているときには、$s$$c_{w}(_{S)}$$=$$w\in\Omega_{H}$.

が (っの条件のように特徴づ$\iota=k\prod_{+1}^{2n}\frac{\zeta_{F}(2s-4n+2l-1)}{\zeta_{F}(2s-4n+2\iota)}\prod_{\iota=k+1}^{n}\frac{\zeta_{E}(2s-4n+2)}{\zeta_{E}(2s-2n+l)}2-1$$\prod$$\frac{\zeta_{E}(2s-4n+l+m-1)}{r’ \mathrm{o}_{-}A-11\iota-\backslash }$$\cross 1\leq\iota\leq k<m\leq 2n,.m>11.i\iota-\zeta E(\backslash \overline{2s-4n+l+m)}$は体 $F$, E の Dedekind ゼータを表わしている。対応する local version のを与える公式については、 (–般的な形で)[3],[6] を参照。
分母、分子の cancelling で実際はもうすこし簡単な形に書ける。
の longest element}は、 $(*)$ の特徴づけでいうと、 $k=0,$ $i\iota=2n-\iota+1$ の場合に
あたる。
ここで

$\zeta_{F},$$\zeta_{E}$$c_{w}^{(v)}(S)$$\Omega_{H}$$w_{0}$

Lemma 3$c_{w_{0}}(s)= \prod_{\iota=1}^{2n}\frac{\zeta_{F}(2s-2\iota+1)}{\zeta_{F}(2s-2\iota+2)}\prod\frac{\zeta_{E}(2s-4n+2\iota)}{\zeta_{E}(2s-2\iota+1)}l=1n$

182

この $c_{w_{0}}(s)$:の分母にあるゼータすべての積を $d_{H}(s)$ と書く$d_{H}(s):= \prod_{l=1}^{2n}\zeta F(2S-2\iota+2)\prod_{l=1}^{n}\zeta E(2_{S}-2\iota+1)$$r\in\{1, \ldots, 2n\}$に対し、$M(r):=\{m\in \mathbb{Z};k<m\leq 2n, i_{m}<i_{r}\}$とし、 $\mu(r)=\min(M(r))$ とおく。 (ここで、 $r\geq i_{2n}$ であれば $M(r)\neq\phi$ であることに注意。 )$d_{H}(s)$.

は、すべての$w\in\Omega_{H}$に対する $c_{w}(s)$ の分母のゼータをすべて払ってくれる

Proposition 4 $k\leq n$ ならば、
$n+[^{z}\dot{.}\mathrm{r}_{2}^{\underline{+1}}]-1$$d_{H}(s)c_{w}(s)$$=$$2n \prod_{l=1}^{-}\zeta F(2_{S}-k2\iota+1)\prod_{l=1}k\zeta_{E}(2S-4n+2k)$.

$\prod_{l=k+1}$.
$\zeta_{E}(2s-4n+2k)$$\cross\prod_{l=1}^{n-1^{:}]}\zeta 22\mathrm{k}E(2_{S}-2\iota+1)\prod_{l=i_{2}\hslash}^{k}\zeta_{E}(2s-4n+l+\mu_{l}-1)$

また $k>n$ ならば、
$d_{H}(s)Cw(s)$$=2n \prod_{l=1}^{-}k\zeta_{F}(2s-2l+1)\prod_{l=1}k\zeta_{E}(2s-4n+2k)$$\cross\iota=2n\prod_{-k+1}^{n}\zeta_{E}(2S-2\iota+1)\prod_{1l=}^{2n-k}\zeta_{E}(2S-2n-2\iota+l-i_{2n-l+1})$$\text{ここで},[\cdot]$はGauss 記号を表わす。

結局これらにより、Theorem 5$f_{s}\in \mathcal{I}(S)$ならば、$d_{H}(s)\mathrm{X}E(fs;h)$の極は有限個。 もっというと、 その極は
$s= \frac{m}{2}$: $m=0,1,$$\ldots,$$4n$のなかにしかなく、関数等式$d_{H}(s)E(f_{s}; h)=d_{H}(2n-s)E(f2n-s;h)$が成り立つ。

;

183

局所ゼータ積分の解析接続.

4以下 ‘ 各局所積分の解析接続について考える。次を証明することが目標である。

Theorem 6 各素点とする。 また$v$

で、 $G(F_{v})$ の既約許容表現$f_{s}^{(v)}\in \mathcal{I}_{v}(s)$$\pi_{v}$を取り、$\omega_{v}$をその$mat_{\dot{\mathcal{H}}x}$elementとする。 このとき、$Z_{v}(f_{sv}(v); \omega):=\int_{G(F)}f_{S}(v)(i(gv’))\omega v(v1g_{v})dg_{v}$は $Re(s)\gg \mathrm{O}$ で絶対収束し、全平面の有理型関数に解析接続される。 .

特に、
き}f‘

が non-arch. のときは、$v$$((po\iota_{y}nomia\iota_{\mathit{0}}fs))\cross$の有理関数になり、($(gamma$ functions)) の形となる。
$\mathcal{Z}_{v}(f_{s}^{(v)}; \omega_{v})$ま$q_{v}^{-s}$.
$v$

が arch. のと証明のアウトラインを以下に記す。 ごく大雑把にいうと、 ( の arch./non-arch. , split
はは最終的に次の形の二重積分に帰着される :-split にかかわらず)$GL_{m}$ の matrix element,$\Phi^{(2)}\in S(Mat_{m})$ として (但し arch place では polynomial
type ([7] or [4])$v$$z_{v}(f^{(v}s);\omega_{v})$$/\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\omega’$$\Phi^{(1)},$$\text{として})_{\text{、}}$$\int_{GL_{m}}\int_{GL_{m}}\Phi^{(1})(z_{1})\Phi^{(2)}(Z2)|det(Z1)|^{s}|det(z_{2})|s\omega_{v}(Z_{1}^{-}z12)dZ_{1}dZ_{2}$

この二重積分が、 Godement-Jacquet のゼータ積分の積の線型和に書かれることがすぐにわかる。実際、次の補題を用いればよい ;Lemma 7をとり、
elementary idempotentの basisとする。 (これは有限次元。)
を {とする。 このとき、任意の,$K_{v}$の$\beta_{v}$$V_{\pi_{v}}(\beta)$$\pi_{v}\}$$\varphi_{\beta v}^{(1)*},$$\varphi_{\beta_{v}}^{(N)*}$$V_{\pi_{v}}( \beta V):=\{\int_{K}\beta_{v}(k)\pi(vk)\varphi vkd;\varphi v\in$$\{\varphi_{\beta_{v}}^{(1)}, \ldots, \varphi_{\beta v}^{(N)}\}$$\varphi_{v}\in\pi_{v},\tilde{\varphi}_{v}\in\tilde{\pi}_{v}$$\ldots$

をとり、 その dual basis

に対し、$\int_{\mathrm{A}_{v}’}\beta_{v}(k)<\pi v(g_{1}kg2)\varphi v’\tilde{\varphi}v>dk=\sum<\piv(g2)\varphi_{v},$$\varphi_{\beta_{v}}><\pi((l)*)vg_{1}\varphi_{\beta},\tilde{\varphi}_{v}l(\iota)v>$

例えば$\int_{K_{v}}\beta_{v}(k)\Phi^{()}1(kZ_{1})dk=\Phi(1)(Z_{1})$となるように elementary idempotent

を取ってやって、 これを代入すればよい。
split case では、直接に上の二重積分に帰着できる。 まず $Re(s)>>0$ において、 $S$ $:=$$\beta_{v}$$S(Mat_{2n}\cross 4n)(F_{v})\mathrm{B}_{1}\text{ら}ind_{(P_{H}}^{H_{v}}()_{v}\delta^{(}v))s\wedge \text{の}H_{v}$-intertwining map$\Phi_{v}\mapsto F_{\Phi_{v}}(\cdot, s)*$$F_{\Phi_{v}}(h, s)=|det(h)|_{v}^{S} \int_{GL_{2_{\hslash}}(F)}\Phi v((\mathrm{o}, Z)vh)|det(z)|_{v}^{2s}d\mathrm{x}z$

184

で定める。

$\Phi_{v}$として non-arch. では Mat $2n\mathrm{x}4n(Ov)$ の特性関数を、 arch. では$\Phi_{v}(z)=$をとることにより.
$F_{\Phi_{v}}(i(g, 1),$ $S)$

をが $S$ の image にはいっていることがわかる。あと ま、$f_{s}^{(v)}(i(g, 1))=$$\mathcal{I}_{v}(s)$に代入すればよい。

$\mathcal{Z}_{v}(f_{s}^{(v)};\omega_{v})$

non-split case では、状況は複雑になる。 non-arch. のときは、部分表現定理を用いて、適
当なと、 $GL_{r}(E_{v})$ の許容表現\tau v’ さらに $U_{n-t,n-}r(E_{v}/F_{v})$ の supercuspidal 表現を取って、) とできることがわかる。 これによって matrix elementは次の形になる ;を用いてのところを書き換えて、岩澤分解$\mathrm{r}(1\leq \mathrm{r}\leq \mathrm{n})$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\pi_{v}rightarrow Ind_{P_{v}^{1)(\mathcal{T}}}^{H_{v}}rv\otimes\tau_{v}’$$G_{v}$$=P_{v}^{(r)}K_{v}$$\mathcal{Z}_{v}(f_{s}^{(v)}; \omega_{v})$$<(\tau\otimes v\mathcal{T}_{v}’)(m)\varphi v(k_{1}),$ $\varphi v(k_{2})>$$\int_{K_{v}}\int_{K_{v}}\{\int_{U_{v}^{\langle r}})\int_{M_{v}^{\langle)}}rs(i(um, 1)i(k1f(v), k2))$$\cross\delta_{P_{v}^{\langle r)}}(m)-1/2dudm\}dk1dk_{2}$

Kv 上での積分は有限和を作るだけであり、問題は結局、$f_{s}^{(v)}(i(um1m_{2},1))$$\int_{U_{V}}\langle r)\int_{GL_{r}(E_{v})}\int_{U_{\hslash-}(}r,\mathfrak{n}-rE_{v}/F_{V})$$\cross\omega_{1}(m1)\omega 2(m2)\delta_{Pv}(r)(m1m2)^{-}1/2dudm_{1}dm2$に帰着される。 (はそれぞれ\tau v’$\omega_{1},\omega_{2}$Lemma 8 $w_{r}\in W_{H}$ を、$X^{*}(S_{H})$$\tau_{v}’$の matrix element)への作用が$\chi_{1}\vdash\Rightarrow\lambda’1$.
.

$\cdot$,$w^{-1}$.

$\chi_{r}arrow\rangle\chi_{r}$$\chi_{n+1}rightarrow-\chi_{2r}$.

.
$\cdot$$\chi_{n+r}arrow\rangle-\chi_{r+1}$$\cdot$$\chi_{r+1}arrow\rangle\chi_{2r+1}$.

.
$\cdot$$\chi_{n}rightarrow\chi_{n+r}$$\chi_{n+r+1}-\rangle\chi_{n+r+1}$..
$\cdot$$\chi_{2n}rightarrow\chi_{2n}$$|$できまっているものとすると、$i(U^{(r)} \cross 1)=\prod_{0\alpha<0\ w_{\Gamma}\alpha>}(N_{H}-1.)\alpha$

これと \S .3 の intertwining operator の議論を使って、以下$f_{s^{v}}^{()}\in \mathcal{I}v(S)$の形であると仮定すれば、$\int_{U_{v}^{(}}$$f_{\ell}^{(v)}(i(u, 1)h)du=C(S)\cross\emptyset_{w^{-}}1.(s)(w_{r})vrw_{r}^{-}1hh_{0}$。

$\text{さらにこの}\emptyset_{w_{r}\cdot S}-1$

が、次のように積分表示できる ;が $f_{s}^{(v)}=\rho_{v}(h0)\phi_{s}^{(v)}$185

Lemma 9 $1\leq k\leq 2n$ で、$\Phi_{v}^{(k)}\text{を}Mat_{k}\mathrm{x}4n(o_{E_{v}})$の特性関数とし、$F_{v}^{(k})(h;s):= \int_{G}Lk(E_{v})(^{\sim}\Phi_{v}^{(}k)(0,$$\ldots,$$\mathrm{o}|z,\frac{0,,0}{2n-k}\cdot h)|det(z)|^{s}E_{v}d^{\cross}z$とする。 すると$\emptyset_{w^{-1},}.S(h)=\xi v(s)\mathrm{x}F^{(f})(v;hs1)F^{()}2r(v;hs2)p_{v}(n+r)(h;s_{3})F_{v}^{(}2n)(h;s4)$$(_{S_{1}=2_{S}3+2r}-n, s2=-s+3n-r, S3=-r, S4=s)$
ここで $\xi_{v}(s)$ はlocal zeta の積で書かれるの$E_{v}$$s$についてのある関数。

を代入して変数変換などを繰り返せば、本節のはじめに考えた二重積分と、 に関する積分とに分解できる。 の supercuspidality から後者の絶対収束は明らか。 (local unitary group の center は anisotropic 几たがって\mbox{\boldmath $\omega$}2 の台はコンパクト) よって non-split case でも定理は証明できる。
$h=w_{r}^{-1}\cdot i(m_{12}m,1)$$\omega_{2}$$\tau_{v}’$arch non-split では
を主系列表現として実現できるので、血脈で述べる不分岐の計算とほぼ同様に扱うことができる。
$\pi_{v}$5Explicit computations at unramified places.

不分岐素点 v で、をに対応する zonal spherical function として、 また\S .3 で定義した normalizing factor $d_{H}(s)$ の v-th factor とするときに、$\omega_{v}^{(0)}$$\pi_{v}$$d_{H}^{(v)}(s)$を$d_{H}^{(v)0}(_{S})\mathrm{X}z(v\phi_{S}^{(v)};\omega_{v})$がだいたい $L(s, \pi_{v})$ に–致することを示す。 (だいたい、 というのは Dedekind zeta の local

factor ぶんのずれがでてくるので。)split place では容易なので、以下 non-split の場合だ
け計算を述べる。
を spherical vectorと仮定。
,
をやはり spherical vector で、$\pi_{v}$$arrow$$Ind_{B_{v}^{v}}^{G}(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n})$$0\neq\varphi_{v}^{0}\in\pi_{v}$$(\mathrm{i}.\mathrm{e}.,K_{v^{-}}\mathrm{f}\mathrm{i}_{\mathrm{X}}\mathrm{e}\mathrm{d}.)$$\tilde{\varphi}_{v}^{0_{\in\tilde{\pi}}}v$$<\varphi_{v}^{0},\tilde{\varphi}_{v}0>=1$となるように取る。
$\tau_{v}:=Ind_{B_{v}\mathrm{n}M_{v}}Mv(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n})$とすると、の元とみて、$\pi_{v}rightarrow Ind_{p_{v}^{v}}^{G}(\mathcal{T}v)$と考えることができ、$\varphi_{v}^{0},\tilde{\varphi}_{v}0$をそれぞれ$\omega_{v}^{0}(_{\mathit{9}})=\int_{K_{v}}<\varphi_{v}(0kg),\tilde{\varphi}0(v)k>_{\mathcal{T}_{v}}dk$$Ind_{P_{v}}c_{v}(\tau_{v}),$ $Ind_{p_{v}^{v}}G(\tilde{\tau})v$

186と書き直すことができる。 ここから、$\mathcal{Z}_{v}(\phi_{s}^{()0}v);\omega_{v}=\int_{G_{v}}\int_{K_{v}}\emptyset_{s}^{(v})(i(g, 1))<\varphi_{v}^{0}(kg),\tilde{\varphi}v(0k)>\tau_{v}dkdg$

変数変換などによって、$= \int_{G_{v}}\phi^{(v}s)(i(g, 1))<\varphi_{v}(0g),\tilde{\varphi}0(v)1>\tau vdkdg$

つぎに岩澤分解 $G_{v}=U_{v}MvK_{v},$ $dg=\delta Pv(m)-1dudmdk$ により、$= \int_{U_{v}}\int_{M_{v}}\phi_{s}(v)(i(um, 1))<\tau_{v}(m)\varphi v(01),\tilde{\varphi}v(01)>_{\tau_{v}}\delta P_{v}(m)^{-}1/2dudm$

Lemma 8 を用いて、 ( $r=n$ の場合にあたる。)$c_{w\hslash}^{\langle v)}(_{S)} \cross\int_{M_{v}}\emptyset_{w}^{(}v\frac{)}{\mathrm{n}}1.(w_{n}^{-1}iS(m, 1))<\tau_{v}(m)\varphi^{0}v(1),\tilde{\varphi}_{v}^{0}(1)>r_{v}\delta_{P}(vm)dm$$\emptyset_{w^{\frac{)}{n}1}\cdot S}^{(v}(h)$の積分表示が、次式で与えられる ;$\phi_{w^{\frac{)}{n}1}\cdot\theta}^{(v}(h)=\xi 1(s_{1})\xi_{2}(S2)F_{1}(h;s_{1})F_{2}(h;s_{2})$

但し、 $s_{1}=2s-n,$ $s2=-S+n$ で、 また$01,h)|det(z1)|s_{1}Evd\mathrm{X}Z_{1}$$F_{1}(h;s_{1})= \int_{GL_{\mathfrak{n}}(E_{v}}))\Phi_{0((|_{Z\mathrm{o}}}^{(1)}\mathrm{o},$$F_{2}(h;s_{2})= \int_{GL_{2n}(}Ev)(\Phi^{(}0(2)(0|z_{2})h)|detz_{2})|^{S_{2}}Evd^{\cross}z_{2}$$(\Phi_{0}^{(},$$\Phi_{0}1)(2)$はそれぞれ $Mat_{n\mathrm{X}}4n(O_{E_{v}})$ , Mat $2n\cross 4n(o_{E_{v}})$ の特性関数) さらに、$\xi_{1}(s_{1})=\prod\zeta_{E_{v}}k=1n(s1-k+1),$ $\xi_{2}(s_{2})=\prod_{=k1}2n\zeta_{E_{v}}.(s_{2}-k+1)$$w_{n}\in(K_{H})_{v}$にも注意して、$\phi_{w^{\frac{)}{n}1}\cdot s}^{(v}(w_{n}^{-1}i(m, 1))=\phi_{w^{\frac{)}{n}}\cdot s}^{(v}1(w^{-}i(nm, 11)w_{n})$$m=$ :$g\in GL_{n}(E_{v})$と書けば、 これは$= \xi_{1}(s_{1})\xi 2(S_{2})\int GL_{\hslash}(E_{v})\Phi_{0}^{(1})((z_{1}, \mathrm{o})\cdot)|det(Z1)|sE_{v}1d^{\mathrm{x}}Z_{1}$$\cross\int_{GL_{2\hslash}(E_{v})}(0,$$z_{2}\cdot)|det(Z_{2})|s2d^{\mathrm{x}}z_{2}E_{v}$

187

-列から
If
数変換などによって、($\Phi_{0}^{(1)}$$(2\mathrm{n}+1)$$4\mathrm{n}$-列までの、$(\mathrm{n}\cross 2\mathrm{n})$-行列に制限している) と計算され、 さらに変$= \xi_{1}(s_{1})\cdot|det(g)|^{S}E_{v}^{2}\int_{GL_{n}(E_{v})}\Phi 0(Z|z\cdot{}^{t}\overline{g}-1)|det(z)|_{E^{1}}Svd^{\mathrm{x}}z$となる。 ( はの特性関数。)
以上により、 $\delta_{P_{v}}(m)=|det(g)|_{E}^{n}$ 。と合わせて、$Mat_{n\mathrm{x}2n}(O_{E_{v}})$$\Phi_{0}$$\mathcal{Z}_{v}(\emptyset_{s}^{(0)};\omega)v0(=Cw_{\hslash}v)(S)\xi_{1}(S_{1})^{-}1$$\cross\int_{GL_{\hslash}(E)}v\int_{c}L_{n}(E_{v})|_{E_{\text{。}}^{}2}\Phi_{0}’(Z)\Phi’(\mathrm{o}z\cdot{}^{t}\overline{g}-1)|det(z)S-n|det(g)|_{E_{v}}^{-}S+n/20(\omega \mathcal{T}vg)d\mathrm{x}dZg$$=c_{w_{n}}^{(v}()S)\xi_{1}(2_{S}-n)^{-1}\cdot Z(\Phi_{0}’-n/;s2,\omega_{\tau v})\prime Z(\Phi’;s-0n/2,\tilde{\omega}_{\tau_{v}}’)$$\text{ここでの}\Phi’0$

は $Mat_{n}(o_{E_{v}})$ の特性関数、 $Z()$ は Godement-Jacquet のゼータ積分、

不分岐表現\tau v((, ldots,$\omega_{\tau_{v}}$は)) からきまる zonal spherical function on $M_{v}(=$は g\mapsto \tau (tg--l)(やはり不分岐表現になる) からきまる zonal spherical function$GL_{n}(E_{v})),$を表わしている。
[4] での具体的計算から結局、と仮定すると、$=Ind_{B_{v}\cap v}^{M_{\text{。}}}$$M\mu 1$$\mu_{n}$’$\omega_{\tau_{v}}$$\pi_{v}rightarrow Ind_{B_{v}^{v}}^{G}(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n})$$d_{H}^{(v)0}(S)z_{v}(\phi^{(}s)v;\omega_{v})$$=d_{H(S}^{(v)})c_{w}^{()}vn(S) \xi_{1}(S_{1})^{-}1k=\prod_{1}^{n}L(s-n+\frac{1}{2},\mu k)L(s-n+\frac{1}{2}, \mu^{-}k)1$$=d_{H}^{(v)}(S)c_{w_{n}}^{()}(v)s \xi 1(S_{1})^{-}1L(S-n+\frac{1}{2}, \pi_{v})$split unramified place ではより容易な計算から、$\pi_{v}-Ind_{B_{v}^{v}}^{G}(\mu\iota, \ldots, \mu 2n)$と仮定すると、$d_{H}^{(v)}(s) \mathcal{Z}_{v}(\emptyset(s;\omega v)v)0=d^{(v})(H)\xi(S)^{-}1sL(s-n+\frac{1}{2})i$($(2s-k+1)$ )$\xi(s)=\prod_{k=1}\zeta F$。

となることがわかる。 ところで書くことにする。 これを計算すると、
split case$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}/\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}- \mathrm{s}_{\mathrm{P}}1\mathrm{i}\mathrm{t}$ともに出てくる ‘ おつり$d_{H}^{(v)}(s)= \prod k=12n\zeta_{F}v(2S-2k+2)\prod_{=k1}\zeta Fn$

”

の部分を

$(2s-2k+1)^{2}$。

なので、$b_{v}(s)=d^{(v)}\xi H(S)-1$$=$$..\cdot$.

$= \prod_{k=1}^{n}\zeta F_{v}(2s-2k+1)\zeta_{F_{v}}(2_{S}-2n-2k+2)$$b_{v}(s)$

と

188

non-split case$c_{w_{\hslash}}^{()}(vs)=k= \prod_{1}\frac{\zeta_{F_{v}}(2s-2k+1)}{\zeta_{F_{v}}(2s-2k+2)}nk1\prod_{=}^{n-1}\frac{\zeta_{E_{v}}(2s-2k)}{\zeta_{E_{v}}(2_{S}-k)}$となり、 よって、$b_{v}(s)=d_{H}(v)(_{S})c_{w_{\hslash}}(\langle v)s)\xi 1(s_{1})^{-}1$$=...= \prod_{k=1}^{n}\zeta Fv(2s-2k+1)\zeta_{F_{v}}(2s-2n-2k+2)$’$u$

つまりどちらの場合でも、 おつり$b_{v}(s)\}$

ま global zeta の積$b(s)=k1 \prod_{=}\zeta F(2_{S}-2k+1)\zeta F(2S-2n-2k+2)$の v-th factor

として揃った形になる。 まとめると、Theorem 10$d_{H}^{(v)}(s)z_{v}( \emptyset_{s}^{(}v));\omega^{0}v=b_{v}(S)L(s-n+\frac{1}{2}, \pi_{v})$但しここで、 $b(s)= \prod^{n}k=1\zeta p(2s-2k+1)\zeta F(2s-2n-2k+2)\text{、}b_{v}(s)$ はその v-th local factorとしている。

最後に、 \S .3 の Prop.4 と較べて、 $b(s)$ の各因子は、 normalized Eisenstein series$d_{H}(s)E(f_{s}; h)$ の constant term に必ず現われることがわかり(各 $c_{w}(s)$ ; $w\in W_{H}$ を$b(s)$ が割り切る) したがって $L(s, \pi)$ の possible poles をみるときにこのおつりは邪魔にはならないことに注意しておく。
$\backslash$

参考文献[1] A.Borel, Automorphic
Amer. Math. Soc.1979.

$\mathrm{L}$-functions,[2] P.Cartier, Representations of -adic
Amer.Math. Soc. 1979.
$\mathrm{p}$Proc.Symp.Pure Math.vol.33(2) pp.27-61.

$\mathrm{g}_{\Gamma \mathrm{o}\mathrm{u}}\mathrm{p}\mathrm{s}:\mathrm{A}$survey, Proc.Symp.Pure Math.vol.33(1)[3] W.Casselman, The unramified principal series of -adic groups.1, Comp.Math. vol.40.
1980. pp.387-406.
$\mathrm{p}$[4] R.Godement and H.Jacquet, Zeta functions of simple algebras, Lect.Notes in
Math.vol.260 Springer-Verlag. New-York.1972.

189[5] S.Gelbart and F.Shahidi, Analytic Properties of Automorphic -functions, Academic
Press. 1988.
$\mathrm{L}$[6] S.Helgason, Groups and Geometric Analysis, Academic Press.1985.
[7] H.Jacquet, Principal -functions of linear groups, Proc.Symp.Pure Math.Vol.33(2)pp.63-86. Amer.Math.Soc.1979.
$\mathrm{L}$[8]$\mathrm{R}.\mathrm{P}$.Langlands, Euler Products Yale Univ., 1967.

[9] I.Piatetskii-Shapiro and S.Rallis, -factors of representations of classical groups,
Proc.Nat.Acad.Sci.USA.,vol.83, 1986. pp.4589-4593.
$\epsilon$[10] I.Piatetskii-Shapiro and S.Rallis, -functions for Classical Groups, Lect.Notes in
Maht.vol. 1254 Springe -Verlag. New-York. 1987.
$\mathrm{L}$$r$