数理解析研究所講究録
第 1744 巻 2011 年 177-180

177

2010 年度冬の LA シンポジウム [Sl]

最急上昇法による尾根抽出
高加 晋司 *

野牧 賢志 \dag er

土田 賢省 \S杉田 公生 \d ag er

夜久 竹夫 \P

概要本論文では，2 節で前の方法等について解説し，3節で，最急上昇法と呼ばれる尾根抽出法のアルゴリ

本論文では，「最急上昇法」という新しい尾根抽出ズムを定義する．さらに，1 つの場所を参考にし，閾法を提案し，これを用いて日本と韓国の尾根抽出地値をパラメーターにして，最急上昇法と離散ラプラ形図を作成する [5]. この方法は，最急上昇線というス変換法を比較する．4 節で，DEM データから尾根隣接する 8 個のセルから一番大きな標高値をもつも抽出地形図までの作成プロセスを示す．その作成プのを選択し，線を引く方法である．さらに，この方ロセスを用いて，日本と韓国の尾根抽出地形図を作法がシンプルかつ日本全土のような広大な範囲に適成する．最後に，5 節で結論を述べる．
していて，3 次元地形図の尾根をより適確に抽出できることを示す．

1

はじめに

2

関連研究

2.1

離散ラプラス変換法

はじめに，格子点 $(m, n)$ に標高 $f(m, n)$ が与えら
3 次元地形図に尾根，谷，扇状地，クレーターな$(m, n)$ でのの離散ラプラシアン
どのような地理的特徴を併せて表示することは重要 れているとして，を次の式で定義する．
な課題である．この論文では，尾根を抽出して 3 次元地形図に重ねて表示する問題 (例えば [3]) を扱う．
$\Delta f(m, n)\equiv f(m-1, n)+f(m+1, n)+$特徴抽出の方法で以前から知られている離散ラプ$f(m, n-1)+f(m, n+1)-4f(m, n)$ラス変換法について紹介する．離散ラプラス変換法
図 1 で $\Delta f(m, n)$ を計算する格子点を丸で表す．
は，離散ラプラシアンと呼ばれる 2 階差分を求める$f$$\triangle f(m, n)$方法である．

しかし，離散ラプラス変換法は，尾根のような特徴を抽出するのに実際に適用すると不十分な結果しか得られない．本論文では，水滴原理 [4] を応用して新しい尾根抽出法を提案する．その方法を「最急上昇法」と呼ぶ．この方法がシンプルかつ日本全土のような広大な範囲に適していて，3 次元地形図の尾根をより適確に抽出できることを示す．
$*$

日本大学

第 1 著者に同じ\ddagger 東海大学
\S 東洋大学
1 第 1 著者に同じ$\dagger$

図 1: 標高値が与えられている座標．

次に，閾値 $h_{0}<0$ が与えられているとき，妬のとき $(m, n)$ の格子点を尾根であるとする．地図上では，地の色と異なる例えば，灰$\Delta f(m, n)\geqq$

色で表示する．

178
2.2

画像の中の尾根と谷

Lopez et al.[1] は，尾根や谷の原理を説明し，他の方法を提案している．

Ohtake et al.[2] は，周密な三角メッシュで近似された図形の 1 階と 2 階の曲率微分により定義される
尾根谷線を用いて，視点やスケールに独立な簡易かっ効果的な方法を発表している．

3最急上昇法3.1

アルゴリズム

Algorithm : 尾根抽出
$200\cross 200$ セル，
Input height:DEM データ，
$arrow\backslash$$(i_{\dot{\theta}})$$18km\cross 18km$$90m$ メッシュ，go: 閾値
Output color $(ii)$ : 尾根抽出地形図(灰色が尾根)Method

この節では，水滴原理を応用して新しい尾根抽出法を提案する．我々はこれを「最急上昇法」 と呼び，最急上昇線という隣接する 8 個のセルから一番大きな標高値をもつものを選択し，線を引く方法を用いる．その後，全てのセルで最急上昇線を引き抽出する．

図 2 では 1 個のセルから最急上昇線を求めながら，セルを移動していく様子を示す．セル内の数字は，そのセルの標高を示す．

$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{{}^{t}\delta\not\leq:}$

図 2:1 個のセル移動の様子．

最急上昇法アルゴリズムは次の通りである:

Initialization
Set color $(i,j);=$ Greenand count $(i,j)$ $:=0$ for all $j=1,.$ . . ,200;
Evaluation
for all $j=1,.$ . . ,200;
1: Evaluate count $(i,j)$ by the followings.
2: Let cell $(k,l)$ be the highest cell in theneighboring 8 cells of cell $(ij)$ .
i.e. $i- l\leqq k\leqq i+1,$ $j-1\leqq l\leqq j+1$ ,$i,$$i,$$k\neq i,$ $l\neq j$;

3: if height $(k,l)>height(i,j)$ ,then Count $(k,l)$ 十十，replaCe Cell $(i,j)$with cell $(k,l)$ and return to line 2,else quit.
Finalizat ion
if count $(i,j)\geqq g_{0}$ ,. . ,200.
then color $(i,j)$ $:=$ Grey for all$i_{\dot{\theta}}=1,.$

179
32

比較例

最急上昇法の特徴を次に示す．

図 3 で富士山を対象にし，閾値をパラメーターにClaim 1. 最急上昇法は，ノイズが少なく綺麗かつして，抽出法の違いによる優劣を比較した図を示す．
はっきりと尾根を抽出することができる．

Claim 2. 最急上昇法は，粗くしても線が途切れることなく尾根を抽出することができる．

Claim 3. 最急上昇法は，尾根を抽出するグローバルな閾値を決定することができる．

Claim 4. 最急上昇法は，グローバルな閾値で広範
図 3: 富士山の尾根抽出 3 次元地形図．(All mapsな尾根抽出地形図を作成することができる．

generated from NASA SRTM-3 DEM data.)

4

大域的な適用例

図 3(e) を見ると，離散ラプラス変換法を適用した場合，尾根が線にならずに全体的にぼやけてしまっ 4.1 地形図作成プロセスていることがわかる．この傾向は，他の線やエッジ前の節で述べたように，最急上昇法はシンプルでを抽出するための良く知られた方法でも同様に現れ 日本全土のような広大な範囲に適している．この節
る．一方，最急上昇法で抽出した尾根は，離散ラプ では，$90m$ メッシュDEM データの日本と韓国に我々ラス変換法よりも適切で，はっきりとした線と認識 の方法を適用する．
できる．

次に，閾値を変えたものを考える．(c) と (d) はそ

図 4 は地形図の作成プロセスを示す．

れぞれ閾値を $g_{0}=30$ と $g_{0}=250$ として最急上昇法で生成されたものである．しかし，閾値が go $=250$ の場合の地図では線の量が少なすぎるので，全ての尾根を抽出することができていないことがわかる．閾
値が $g_{0}=30$ , (C) のとき，尾根を十分に得ることができる上に，ノイズもほとんど見られない．このことから，最急上昇法を用いると (c) のように最適な閾値を得ることができる．それに対して，離散ラプラス変換法では，尾根のみが抽出できる最適な閾値を見つけることはできない．なぜなら，(f) と (g) を見られるように，離散ラプラス変換法では，平らな部分は小さな凹凸まで抽出してしまうだけでなく，閾値を大きくしていくとまばらにしか抽出できず，急な傾斜では線が途切れてしまう．
したがって，最急上昇法の方が，他の方法よりも尾根抽出のためにはより優れていると言える．

図 4:DEM データから尾根抽出地形図を作成するプロセス．

1. DEM データから中間リスト構造に自動的に変換する．

2. 次に，中間リスト構造から尾根抽出 3 次元地形図 (VRML) に自動的に変換する．

3. 最後に，尾根抽出 3 次元地形図 (VRML) から尾根抽出地形図 (JPEG) に手動で組み立てる．

18042適用例

参考文献

図 5 は，図 4 で説明したプロセスを用いて，日本列島全体と韓国に尾根抽出を適用したものである．

[1] A. M. Lopez, F. Lumbreras, J. Serrat, and J.
J. Villanueva, Evaluation of methods for ridgeand valley detection, IEEE $\pi ans$ . PAMI, 21,327-335, 1999.
[2] Y. Ohtake, A. Belyaev, and H. Seidel, Ridgevalley lines on meshes via implicit surface fit}$uns$ . Graph. (Proc. $ACM$ SIGting,GRAPH), 23, 3, 609-612, 2004.
$ACM\mathcal{I}$

図 5: 日本と韓国の尾根抽出地形図．(All maps gen-erated from NASA SRTM-3 DEM data.)

図 5(a) は日本 $(4.5\cross 10^{7}$ セル と韓国 $(3.3\cross 10^{7}$$)$

セル) の尾根抽出地形図である．(b) と (c) は (a) の拡大表示である．(b) は関東地方 (7.2(c) は富士山 (3.3$\cross 10^{5}$$\cross 10^{6}$セル),セル) の尾根の様子である．

((C) は閾値を変える事により異なった詳細度で尾根を抽出することができる．)

5

おわりに
本研究では，我々が最急上昇法と呼ぶ尾根抽出アルゴリズムを提案した．これまでの研究の多くは，局所的な範囲に対しては適切な尾根抽出が可能であるが，広大な範囲に対しては一部不適切な尾根抽出がある．しかし，最急上昇法では，非常に広大な範囲に対しても尾根抽出が鮮明に行われた．
今後は，解像度が不均一な地形図に対する尾根抽出法を考える．さらに，扇状地やクレータなどの地理的特徴についても抽出法の開発を行う．

謝辞
本稿の内容について貴重なコメントを頂いた日本大学の遠藤邦彦教授，中山裕則教授，安井真也准教

授，横山隆介氏，浅沼稔美氏，牧山華実氏，神藤悠希氏，早稲田大学高等学院の穴田浩一教諭，芝浦工業大学の赤木剛朗氏に深く感謝いたします．

[3] R. Yokoyama, A. Kureha, T. Motohashi, H.
Ogasawara, T. Yaku, and D. Yoshino. , Geographical Concept Recognition With the Octgrid Method for Learning Geography and Geology, Proc. IEEE ICALT 2007, 470-471, 2007.

[4] J. Cousty, G. Bertrand, L. Najman, and M.
Couprie, Watershed Cuts: Minimum Spanning
Forests and the Drop of Water Principle, IEEE
Trans. $PAMI,$ $31,1362-1374$ , 2009.
[5] S. Koka,K. Nomaki,K. Sugita,K.
Tsuchida, and T. Yaku, Ridge Detection
with a Drop of Water Principle, $SA’ 10$( $ACM$ SIGGRAPH ASIA 2010 Posters),

2010. DOI $=10.1145/1900354.1900392$
http: $//doi$ . acm. $org/10.1145/1900354.1900392$