修士論文 要旨

Eﬃcient discretization of measures by optimization:numerics of analytic functions and cubature construction(最適化による測度の効率的な離散化：解析関数に対する数値手法と cubature 公式の構成法)

早川 知志

数理情報学専攻 48196224

田中 健一郎 准教授

指導教員

そこで, 本研究では田中らの近似公式の誤差評価・準1 はじめに最適性, および積分公式の誤差評価を理論的に与えた.

積分計算あるいは期待値計算を計算機上で行うためには, 適切な離散化を施さなければならない. 本研究では, 測度の離散化としての数値積分公式∫Xf (x) dµ(x) ≃n∑

λi f (xi ) f ∈ F

ここでは関数近似についての我々の結果を紹介する. n点近似 f˜n であって

f˜n (x) =(1)i=1を考える. ここでは, X 上の測度 µ について, 集合 F に属する関数 f の積分を「よく」近似するような n 個の重み λi と点 xi ∈ X (i = 1, . . . , n) を数値積分公式と呼ぶ. この数値積分公式を与える問題を統一的なテーマとして, 本研究では重み付き Hardy 空間上の数値解析

j −1ℓ m∑∑f (k) (aj )φjk (x)j=1 k=0(ただし 1 ≤ ℓ ≤ n, m1 + · · · + mj = n, φjk は Dd上解析的) で定まるような近似公式について, 最適誤差を Enmin (H∞ (Dd , w)) := inf f˜n sup∥f ∥≤1,x∈R |f˜n (x) −f (x)| により定める. この値にどれくらい近い誤差を達成できるかが重要である.

手法および一般の空間における cubature 公式の構成法

定理 1 (準最適性). 田中・杉原の n 点近似公式を f˜nTSについて, 大きく分けて二つの問題を扱う.とすると次が成立：

2 重み付き Hardy 空間上の数値解析

supここでは被積分関数の空間 F として重み付き Hardyx∈R, ∥f ∥≤1|f˜nTS (x)−f (x)| ≤√2e3 Enmin (H∞ (Dd , w)) 2n .
n−1

また次の最適誤差の評価により, 田中・杉原の公式の空間 H∞ (Dd , w) を考える. この空間は,誤差も評価することができる.

• 帯状領域 Dd := {z ∈ C | | Im z| ≤ d} (d > 0)
• Dd 上の正則重み関数 w (ただし w(R) ⊂ (0, 1],log w は R 上狭義凸, その他条件をみたす)

定理 2. w が R 上で偶関数であるとする. αn > 0 が2′Q(αn ) +Q (αn )2αnπ tanh(d)Q(αn )

2≤ n をみたすとき, 次の評価が成り立つ：
が与えられたとき, ノルム ∥f ∥ := supx∈Dd |f (x)/w(x)|∞を用いて H (Dd , w) := {f : Dd 上正則 | ∥f ∥ < ∞}と定義される. 代表的な w として tanh や tanh ◦ sinh(二重指数) などがある.
田中らは H (Dd , w) 上で (1) と類似の近似問題をポπテンシャル論を通して考察し, K = − log|tanh( 4d·)|,Q = − log w とした凸最適化問題
mina1 <···<ani̸=jK(ai − aj ) +√2e3 exp()
n−1−Q(αn ) .
4n

こ の αn は 具 体 的 な Q で は Q(x) ∼ |x|ρ な ら ばρ∞∑Enmin (H∞ (Dd , w)) ≤n2(n − 1) ∑nQ(αn ) ∼ n ρ+1 , Q(x) ∼ exp |x| ならば Q(αn ) ∼ logn nとレートがわかるが, これらは [6] のヒューリスティッ
クな議論で示唆されていた結果と一致し, その予想を厳密に示したことになる.

Q(ai )(2)i=1の解を用いた Lagrange 補間公式 (および同様の手法に数値積分公式に関する誤差評価も, 近似の場合の評価を少し修正して導くことが可能である.

3 cubature 公式の構成

よる数値積分公式, 積分の場合は Q = − 12 log w) を提cubature 公式とは, (1) 型の数値積分公式であって,案した [5, 6, 7]. それらの公式は準最適性の示されていいくつかのテスト関数 φ1 , . . . , φd に関しては (1) におる既存手法 [3, 4] に対して実験的優越性を示していた

いて等式を成り立たせるようなものである. 古典的にはが, 理論的な (準) 最適性や誤差評価は不完全であった.

ユークリッド空間上である次数までの多項式を厳密に積分するような重み (正であることを課すことが多い)導関数が有界であるとする. ここで例えば Lipschitz 連と点配置のことをいう [2]. cubature はテスト関数に続な関数 f : RN → R に対して E [f (XT )] を求める問よってよく近似される関数の積分もよく近似できるた

題は, 数理ファイナンスなどで非常に重要な問題である.

め, 古典的なものは滑らかな関数に対して有効である.

このとき, RD 値有界変動パス w = (w1 , . . . , wD ) と多重指数 α = (i1 , . . . , ik ) ∈3.1 一般の cubature
今回は一般の確率測度についての cubature, すなわ
ち X 値確率変数 X と可積分なベクトル値関数 φ =(φ1 , . . . , φd )⊤ : X → Rd についてn∑jj=0 {0, . . . , D}に対しαて多重積分 I (w) を∫
dwi1 (t1 ) · · · dwik (tk )αI (w) :=
0<t1 <···<tk <10で定める (w (t) = t とする). また Brown 運動に対し

λi φ(xi ) = E [φ(X)](3)

i=1をみたすような総和 1 の重み λi > 0 と点 xi ∈ X を構成したい. X が超三角形や超球, X が一様分布, φ が多項式, などの特殊ケースには小さい n での構成が知られているが, 一般の場合の構成は知られていなかった. 非構成的な存在定理として次の Tchakaloﬀ の定理がある.
定理 3 ([8]). 上の設定のもと, n ≤ d + 1 をみたすcubature が存在する. また φ1 ≡ 1 のときは n ≤ d が達成できる.ても Stratonovich 積分を用いて同様に I α (B) を定めることができる. 長さと 0 の個数の和が m 以下の α について I α を並べてできるテスト関数ベクトルを φW とす
ると,∑ni=1 λi φW (wi ) = E [φW (B)] をみたす λi とパス wi の組を m 次の Wiener 空間上の cubature という[1]. B の代わりにこの wi たちについて (4) を解くことで, よい近似が得られる. 一般には m ≤ 5 の cubatureしか構成されていなかった.

Brown 運動の見本路は確率 1 で非有界変動なので定理 4 はそのままでは使えないが, 仮定を弱めて Brown

以下 φ1 ≡ 1 とする. Tchakaloﬀ の定理は E [φ(X)]が {φ(x) | x ∈ X } の凸包に入ることから示せるが,我々はより強い次の主張を示した.
定理 4. X1 , X2 , . . . を X と同分布の確率変数列とする
とき, E [φ(X)] が {φ(X1 ), . . . , φ(Xn )} の凸包に含まれるような有限の n が確率 1 で存在する.
この主張により, あとは線形計画問題

min 0∪∞s.t.

n∑運動の多重積分の性質を用いることで任意の次数 m について次を得た.
jjk) − wi ( k−1定理 5. M を十分大きい整数とし, wi ( MM )が平均 0 分散 1/M の正規分布に従うように w1 , w2 , . . .
をとると, E [φW (B)] が {φW (w1 ), . . . , φW (wn )} の凸包に含まれるような有限の n が確率 1 で存在する.

4 結論
重み付き Hardy 空間上のポテンシャル論を用いた数

λi φ(Xi ) = E [φ(X)] , λi ≥ 0i=1を解けば cubature 公式が構成できることになり, 例
えば単体法などを用いて実行可能基底解をとれば, そ値公式に対する理論保証, そして一般および Wiener 空間上の cubature の構成法を与えた. これらは数値積分法への最適化の応用として繋がっている.

れは Tchakaloﬀ の定理のバウンドをみたす公式とな

参考文献

る. したがって, X の分布に従う乱数が生成可能でかつ[1] T. Lyons and N. Victoir. Cubature on Wiener space. Proceedingsof the Royal Society of London Series A, 460:169–198, 2004.
[2] A. H. Stroud. Approximate calculation of multiple integrals. PrenticeHall, 1971.
[3] M. Sugihara. Optimality of the double exponential formula functional analysis approach . Numerische Mathematik, 75:379–395,
1997.
[4] M. Sugihara. Near optimality of the sinc approximation. Mathematics of Computation, 72(242):767–786, 2003.
[5] K. Tanaka, T. Okayama, and M. Sugihara. Potential theoretic
approach to design of accurate numerical integration formulas inweighted Hardy spaces. In G. E. Fasshauer and L. L. Schumaker,editors, Approximation Theory XV: San Antonio 2016, pages 335–360. Springer, 2017.
[6] K. Tanaka, T. Okayama, and M. Sugihara. Potential theoretic approach to design of accurate formulas for function approximationin symmetric weighted Hardy spaces. IMA Journal of Numerical
Analysis, 37(2):861–904, 2017.
[7] K. Tanaka and M. Sugihara. Design of accurate formulas for approximating functions in weighted hardy spaces by discrete energy
minimization. IMA Journal of Numerical Analysis, 39(4):1957–1984,
2019.
[8] V. Tchakaloﬀ. Formules de cubature mécanique à coeﬃcients nonnégatifs. Bulletin des Sciences Mathématiques, 81:123–134, 1957.

E [φ(X)] が既知のとき, cubature 公式が確率的に構成できることがわかった.

3.2 Wiener 空間上の cubature
次のような Stratonovich 型の RN 値確率微分方程式を考える.

X0 = x,dXt =D∑

Vi (Xt ) ◦ dBti + V0 (Xt ) dt. (4)i=1

ただし x ∈ RN , B = (B 1 , . . . , B D ) は D 次元 Brown
運動, Vi : RN → RN は滑らかな関数で, 任意の階数の