数理解析研究所講究録
第 822 巻 1993 年 231-247

231

W-infinity 代数の諸相

京都大学総合人間学部

最近数理物理において高崎金久 (TAKASAKI Kanehisa)“W-infinity 代数” と呼ばれる無限次元 Lie 代数がしばしば話題に登場するようになってきた.

ここでは非線形可積分系との関わり合いを中心にこの代数の果たす役割を解説する.

1 . W-infinity 代数とは何か ?[1]W-infinity 代数は大きく分けて “量子版” の$W_{\infty}$

代数と“古典版” の$w_{\infty}$

代数とがあり,これらの中にも様々なタイプがある. その他にもいろいろな変形や拡張が考えられている.

W-infty algebras

典型的な場合としては,$\{\begin{array}{l}W_{\infty}(quantum’ version)w_{\infty}(classical’ version)othervariations\end{array}$

1 変数の擬微分作用素 (あるいは Laurent 級数係数の微分作用

素) のなす代数$W_{\infty} \approx\{\lambda^{n}(\frac{\partial}{\partial\lambda})^{l}\}\approx\langle x^{l}(\frac{\partial}{\partial x})^{n}\}$が$W_{\infty}$のひとっの実現を与える. 対応する 2 次元シンプレクティック多様体上の函数 (つまりそれら作用素のsymbol’) に対する Poisson 括弧の代数あるいは無限小シンプレク

ティック写像の代数$w_{\infty} \approx\langle\lambda^{n}\mu^{\ell}\}\approx\langle\frac{\partial F}{\partial\lambda}\frac{\partial}{\partial\mu}-\frac{\partial F}{\partial\mu}\frac{\partial}{\partial\lambda}\rangle$$\{\lambda, \mu\}=1$,$F=F(\lambda, \mu)$

.

232
が

のひとっの実現を与える. これらに適当な 1 次元中心拡大を付け加えることもある.

$w_{\infty}$

このような代数の存在はもちろん昔から知られていたが,80 年代末, 共形場の理論の対称性 (Virasoro 代数) をさらに拡張するためのひとっの候補として (W-infinity 代
数という新しい名前まで貰って) 場の理論の観点から研究されるようになったも, 思いがけないことに,

[2].

しか

間もなく発見された 2 次元量子重力理論の厳密解 (これは K

ヒエラルヒーなどの非線形可積分系の理論と密接な関係がある)$P$を特徴付けるのにもこの代数が大変役に立つことがわかり, たちまち多くの物理学者の関心を集めることになった.
これまでに W-infinity 代数との関わり (多少怪しげなものも含め) が明らかになっている

数理物理の話題を列挙すると以下のようになる.

O W-infinity 対称性をもっ 2 次元場の理論の模型$O$

2 次元弦模型,$O2$ 次元量子重力,
$O$

$O$

$O$

自己双対重力, その他)

非線形可積分系 (ソリトン方程式,

量子 Hall 効果,$2$

black hole

Chern-Simons 理論, 1 次元量子流体

次元完全流体,その差分スキーム...

これらのうち最初の 4 っは実際には互いに密接に関連し合っている.

しかも,

いずれの場

合も W-infinity 代数がなんらかの意味で問題の可解性・可積分性の鍵となっているらしい.

2 .

2 次元の場の理論における共形 (Virasoro) 対称性の拡張

共形場の理論 [3] の基本的対称性は Virasoro 代数であるが, 実際に得られる共形場の模型
はもっと大きい対称性をもち,それによって模型の構造が決まることが多い. そのような拡大された対称性の代数として早い時期に見いだされたのは Zamolodchikov の $W_{N}$ 代数と呼ばれるものである
だが,$W_{N}$[4] .

代数はさらにVirasoro 代数は物理的には spin 2’

spin 3,$\ldots,$$N$ ’の対称性とみなせるのの生成元をもっ. ただしこれは Virasoro 代数と違って Lie 代数ではない.
$W_{N}$

はソ リトン方程式の Hamilton 構造とも関係がある[5] . $KdV$ 方程式の Hamilton

構造 (実は二通りあるが, そのうちのひとっ) は Virasoro 代数の実現を与えることが以前からわかっていた. $KdV$ 方程式の 2 階の Lax 作用素を $N$ 階に置き換えて得られる “一般化 $KdV$ 方程式” の Hamilton 構造についても同様にして一種の代数構造 (Gelfand-Dikii

233代数) が現れるが,それが $W_{N}$ 代数の一種なのである.

この

Hamilton 構造は一般化された変形 $KdV$ 方程式あるいは $s1(N)$ 戸田場の方程式によっても記述することができる.

またその幾何学的な意味は $s1(N)$ に関連した Hamiltonian reduction として説明される.

さ

本来の共形場の理論における $W_{N}$ 代数に対しても同様の解釈ができる [61.

らに,Bakas と Bilal はこのような
すること,
である)

$W_{N}$

その極限 (彼等はそれを代数に対して適当な意味で $Narrow\infty$ の極限が存在と名付けたが, 現在の記号の慣用ではむしろ$W_{\infty}$$w_{\infty}$

は 2 次元多様体上の面積保存微分同型 (つまりシンプレクティック写像) の群のLie 代数 $sdiff(\Sigma)$ に他ならないこと,などを見いだした[7]. 図式的に言えば次のようになる.
$\lim_{Narrow\infty}W_{N}\approx w_{\infty}\approx sdiff(\Sigma)$

正確に言えば,$sdiff(\Sigma)$

よりもむしろそれに付随するのだが, 物理学者はよくこの二っを混同するので,るさく言わないことにする.

とにかく,

.

Poisson 代数 Poisson$(\Sigma)$が現れる

我々もそれらの区別についてあまりう

この極限は Lie 代数であり, 従って数学的にはもとの $W_{N}$ 代数よりもわかりやすいものである.

当然,

このような代数がどのような場の理論の模型と対応しているのか,が問題になる.

Bakas [2] は$W_{N}$

代数と戸田場の方程式の関係に注目し,ということ$Narrow\infty$の極限において戸田場の方程式$\partial_{z}\partial_{\overline{z}}u_{n}+\exp(u_{n+1}-u_{n})-\exp(u_{n}-u_{n-1})=0$$u_{n}=u_{n}(z,\overline{z}),$,$n\in Z$

(正確には $s1(N)$ に付随するもの) のスケール極限$\partial_{z}\partial_{\overline{z}}u+\partial_{l}\exp(\partial_{\delta}u)=0$$u=u(z,\overline{z}, s),$が$w_{\infty}$

ただし,と関係するだろう,,$s\in R$と主張した. このことは Park [81 によって実際に確かめられた.

Park は Hamilton 構造よりもむしろ模型の対称性としての $s1(N)$ が $Narrow\infty$ の極限において$w_{\infty}$に移行することを指摘している.

その意味で Park の示したことは Lie

代数のレベルでは$\lim_{Narrow\infty}sl(N)\approx w_{\infty}\approx sdiff(\Sigma)$

234というように要約できる. (Bakas 自身は Saveliev-Vershik の “continuous Lie algebra” [9]に基づくやや異質の分析を行っている.)$s1(N)$ の $Narrow\infty$ 極限が $sdiff(\Sigma)$ていて[101 ,になる,という主張は以前から物理学者には知られそれを Yang-Mills 理論や相対論的膜 (membrane) の理論に応用する試みもなされていた [11].

Park はおなじ視点から 4 次元の自己双対重力を 2 次元の $s1(N)$ 対

称性をもつ模型の $Narrow\infty$ 極限として導く試みを行っている [12].

3.

なぜ $s1(N)$ は $Narrow\infty$ において W-infinity に化けるのか ?[13]次のような $NxN$ 行列を考える.

$g=(\begin{array}{lllll}1 \omega \omega^{2} \ddots \omega^{N-l}\end{array})$

ここで $\omega=\exp(2\pi i/N)$$hg=qgh$ (

$q$

な

$0$

$h=(\begin{array}{lllll}0 1 0 1 \ddots \ddots 0 11 0\end{array})$,. この 2 つの行列は次のような代数的関係式を満たす.
$hg=\omega gh$

この

,

,

$g^{N}=h^{N}=1$.

でない定数) という形の代数は昔のWeyl 型正準交換関係の研究から, 最近の非可換トーラスや量子群の研究にいたるまで, 様々な問題に顔を出す. 上の
$g,$

$h$

という行列はその一っの表現を与えるわけである.
$s1(N)$との関係を見るため,$g$, んを用いて$T_{m}^{(N)}= \frac{iN}{4\pi M}\omega^{m_{1}m_{2}/2}g^{m_{1}}h^{m_{2}}$という行列をっくる.

ここで $m$は整数値をとる double index $m=(m_{1}, m_{2})$ , また $M$ は

あとで $Narrow\infty$ の極限をとるときに用いるパラメータである. 上のような $g,$関係式からこれらが,$[T_{m}^{(N)}, T_{n}^{(N)}]= \frac{N}{2\pi M}\sin(\frac{2\pi M}{N}mxn)?_{m+n}^{\{N)}$$mxn=m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1}$

,

$h$

の代数的

235
という交換関係を満たすことはすぐにわかるが,さらに $m=(0,0)$ を除いておけば $s1(N)$の生成系 ((( $sine$ generator”) になることも知られている. [ $m=(0,0)$ を加えれば $g1(N)$の生成系になる.]の極限を Lie 代数の構造定数に対してとることを考える. これ$Narrow\infty$

さてここでには二通りの場合がある :$\ovalbox{\tt\small REJECT} iMNarrow\infty$

この極限で得られる交換関係は$[T_{m}, T_{n}]=mxnT_{m+n}$となる.

この形の交換関係は 2 次元の Poisson 代数 Poisson

ばトーラス$T^{2}=S^{1}xS^{1}$$(\Sigma)$に特徴的なもので, 例え上の Poisson 代数の場合$T_{m}=e^{im\theta}=\exp i(m_{1}\theta_{1}+m_{1}\theta_{2})$(ただし$(\theta_{1},$はトーラス上の角変数座標)$\theta_{2})$Poison 括弧の意味で満たす生成系が得られる.
同様の生成系がっくれる.

(ii) $M,$ $Narrow\infty$

.

これらは

$M/Narrow\Lambda(\neq O1$$w_{\infty}$という対応によって上のような交換関係を
この他にも平面$R^{2}$,

円柱 $RxS^{1}$ などで代数の実現を与える.

. この極限で得られる交換関係は$[T_{m}, T_{n}]= \frac{1}{2\pi\Lambda}\sin(2\pi\Lambda mxn)T_{m+n}$

となる.
り

$N$

これはもとの$T_{m}^{(N)}$の交換関係と実質的に同じで,パラメータのrescaling によ

依存性を消して普遍的な形に書き直したものと思ってもよい. 非可換トーラス代数

を初めとして,この

Lie 代数の実現もいろいろある. 例えば円周上の角変数$\theta$を使って定義される作用素$T_{m}=\exp[im_{1}\theta+2\pi\Lambda m_{2}\partial_{\theta}]$(1 次元におけるHeisenberg-Weyl 作用素そのもの)

はその一つの実現を与える.

これは円周上の函数のなす可換環とその上に作用する shift $\thetaarrow\theta+2\pi\Lambda$ の生成する離散群との接合積とみなすこともできる.
る

もう一っの重要な実現としては,トーラス上の函数に対す

Moyal 括弧$\{F, G\}_{A}=\frac{1}{2\pi\Lambda}\sin[2\pi\Lambda(\frac{\partial^{2}}{\partial\theta_{1}\partial\theta_{2}’}-\frac{\partial^{2}}{\partial\theta_{2}\partial\theta_{1}’}I]F(\theta)G(\theta’)|_{\theta=\theta}$

236
いずれの場合も特徴的なのは,がある.

Poisson 代数の場合と違って, Lie 積が結合代数の交換子として書けるということである. 最初の場合については定義によりそうなっている.

Moyal 括弧の場合も結合代数の構造を star product$F*G= \exp[2\pi\Lambda i(\frac{\partial^{2}}{\partial\theta_{1}\partial\theta_{2}’}-\frac{\partial^{2}}{\partial\theta_{2}\partial\theta_{1}’})]F(\theta)G(\theta’)|_{\theta=\theta}$

により入れると, ($2\pi\Lambda$というパラメータで正規化した) 交換子として書ける.

star productは実は (Weyl ordering” で書いた (擬) 微分作用素の合成規則そのものである. [定義式右辺の中の$\frac{\partial^{2}}{\partial\theta_{1}\partial\theta_{2}’}-\frac{\partial^{2}}{\partial\theta_{2}\partial\theta_{1}’}$

においてどちらか一方のみを残せば通常の“normal ordering” または (anti-normal order-$ing$ ’ での合成規則になる.]代数の実現を与えている.

(ii) は$\Lambdaarrow 0$

これらは$W_{\infty}$の極限において (i) に帰着する.

$\hslash=4\pi\Lambda$

は量子論から古典論への極限をとることに相当する.

を Planck 定数と思えばこれ

もともと$W_{\infty}$と$w_{\infty}$の関係はそのような関係にある.

4. K
K

$P$

$P$

ヒエラルヒー戸田ヒエラルヒーと W-infinity

ヒエラルヒーや戸田ヒエラルヒーの理論 [14]にW-infinity が現れるのは理論の構成(擬微分作用素や差分作用素を基本的な構成要素としている) から見て当然のことではある.
$\bullet$K

具体的には次のような形で現れる.
$P$

ヒエラルヒーの場合 :$W_{\infty} \approx\{x^{\ell}(\hslash\frac{\partial}{\partial x})^{n}\rangle\approx\{\lambda^{n}(\hslash\frac{\partial}{\partial\lambda})^{\ell}\}$

ここで$\bullet$$x$は空間座標,$\lambda$

はそれに双対なスペク トルパラメータ,$n\in Z,\ell\geq 0$.

戸田ヒエラルヒーの場合 :$W_{\infty} \approx\langle s^{l}e^{n\hslash\partial/\theta\iota}\}\approx\{\lambda^{n}(\hslash\lambda\frac{\partial}{\partial\lambda})^{\ell}\}$

ここで

$s$

\dagger ま格子の空間の座標,$\lambda$

は $\log s$ に双対なスペク トルパラメータ,

s-空間での表示は前節で触れた円周上の角変数によるに似ていることに注意.

$T_{m}$$n\in Z,$ $l\geq 0$.

の実現 (実質的には差分作用素)

237
いずれの場合も準古典極限 $(\hslasharrow 0)$ を考える際のPlanck 定数の入れ方を示してある.

通常は $\hslash=1$ とする. 戸田ヒエラルヒーの場合, 上の定式化では んが格子間隔の役割を果たしていることに注意されたい.

これは表現論的に見て戸田格子の各格子点が量子論的エネルギー準位に相当することによる.

また,Bakas, Park の仕事に現れた戸田場の方程式のスケール極限の導出もこの格子間隔の選び方によるものであって, 実は一種の準古典極限なのである.
これらの論に現れる.
て現れる$W_{\infty}$

代数の構造は大別して二通りの形で K$-$ っは$P$および戸田ヒエラルヒーの理Lax 方程式系の Hamilton 構造 (Gelfand-Dickey 理論の拡張)[15]. もう一っは理論の対称性 (頂点作用素から得られる)

これはちょうど, 既に述べたような $KdV$と $s1(N)$ の関係に相当する.

. 変形として現れるとし[14].

戸田場の方程式における $W_{N}$$KdV\cdot s1(N)$

これらは同じ代数構造 (上に示した擬微分作用素や差分作用

素により与えられる) が二っの異なる形態で現れてきたものと考えられる.

[16].

$KP$

ヒエラルヒーの場合について, 以上のことをもう少し詳しく説明しておくK

ヒエラルヒーの理論には通常は Planck 定数が入っていないが, 量子力学の通常$P$の処法にならって Planck 定数を入れて定式化することもできる. そのとき$\hslash\frac{\partial L}{\partial t_{n}}=[B_{n}, L]$で与えられる.

ここで$($$)_{\geq 0}$,$B_{n}=(L^{n})\geq 0$

は例のごとく擬微分作用素の(つまり微分作用素部分) をあらわす.

$\hslash\partial_{x}$で展開され,$\partial^{n},$$n\geq 0$, の 1 次結合の部分

Lax 作用素は$L= \hslash\partial_{x}+\sum_{n=1}^{\infty}u_{n+1}(\hslash, t, x)(\hslash\partial_{x})^{-n}$というようにLax 表示は,$\partial_{x}=\partial/\partial x$

その係数はゐに関して$u_{n}(\hslash, t, x)=u_{n}^{(0)}(t, x)+O(\hslash)$というように振舞うことを要請する.

このとき新たに$(\hslasharrow 0)$$k$という変数を導入して$\mathcal{L}=k+\sum_{n=1}^{\infty}u_{n+1}^{(0)}(t, x)k^{-n}$というLaurent 級数をっくると交換子を Poisson 括弧で置き換えた形の Lax 方程式系$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t_{n}}=\{\mathcal{B}_{n}, \mathcal{L}\}$,$\mathcal{B}_{n}=(\mathcal{L}^{n})\geq 0$

238
を満たす.

ここで

Poisson 括弧は$\{A, B\}=\frac{\partial A}{\partial k}\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial x}\frac{\partial B}{\partial k}$で定義され,す.

また$($

これが無分散 K$)_{\geq 0}$$P$は$n\geq 0$$k^{n},$

ヒエラルヒーの, の 1 次結合の部分 (つまり多項式部分) をあらわ

Lax 表示に他ならない.

ラルヒーは K $P$ ヒエラルヒーの準古典極限として得られる(擬微分作用素の代数) から$W_{\infty}$$w_{\infty}$

このように無分散 K

$P$

ヒエ

[17]. Lax 表示において確かに(Poisson 括弧の代数) への縮約が起きていることに注意されたい.
$KP$

に依存し,

Baker-Akhiezer 函数とヒエラルヒーを上のように定式化するとき,$\hslasharrow 0$$\tau$

函数も ゐにおいて次のような漸近形をもたねばならないことがわかる.
$\Psi(\hslash, t, x, \lambda)=\exp[\hslash^{-1}S(t, x, \lambda)+O(\hslash^{0})]$$\tau(\hslash, t)=\exp[\hslash^{-2}F(t)+O(\hslash^{-1})]$

,

,

ここで

$S(t, x, \lambda)=\sum_{n=1}^{\infty}t_{n}\lambda^{n}+x\lambda+\sum_{n=1}^{\infty}S_{n+1}(t, x)\lambda^{-n}$$S_{n+1}(t, x)=- \frac{1}{n}\frac{\partial F(t)}{\partial t_{n}}|_{t_{1}arrow t_{1}+x}$,.

Baker-Akhiezer 函数の漸近形は量子力学でよく知られた WK

$B$

形である.

$\tau$函数の方は 2次元量子重力理論などで知られた分配函数と自由エネルギーの関係式に対応している. 実
際, 無分散 K$P$

ヒエラルヒーとその仲間は 2 次元量子重力理論や位相的共形場の理論の解を特殊解として含んでいて [18], その場合には確かにそのような解釈ができる.
で無分散 $KP$ ヒエラルヒーの一般の解に対しても$F(t)$

を自由エネルギーと呼ぶ.

さらに頂点作用素や自由 fermi 場の理論を利用すれば,称性から無分散ヒエラルヒーのは引用文献にゆずる$w_{\infty}$

その意味$KP$ ヒエラルヒーの$W_{\infty}$対対称性を導出することもできる. 詳しいことについて[16].

戸田ヒエラルヒーとその準古典極限 (無分散 $KP$ ヒエラルヒーにならって無分散戸田
ヒエラルヒーと呼ばれるが, あまりよい呼び名とは思えない) の関係も同様に説明できる

[19].

239
5. 自己双対重力とその可積分変形
自己双対重力 (自己双対真空 Einstein 方程式) を Monge-Amp\‘ere 型方程式 (物理学者はPlebanski 方程式と呼ぶ)$\frac{\partial^{2}\Omega}{\partial p\partial\hat{p}}\frac{\partial^{2}\Omega}{\partial q\partial\hat{q}}-\frac{\partial^{2}\Omega}{\partial p\partial\hat{q}}\frac{\partial^{2}\Omega}{\partial q\partial\hat{p}}=1$の形に書くと$w_{\infty}$

代数の構造が見えてくる. 例えばという変数の組に注目して$(\hat{p},\hat{q})$$\{A, B\}=\frac{\partial A}{\partial\hat{p}}\frac{\partial B}{\partial\hat{q}}-\frac{\partial A}{\partial\hat{q}}\frac{\partial B}{\partial\hat{p}}$というPoisson 括弧を考えると, Plebanski 方程式は$\{\frac{\partial\Omega}{\partial p}, \frac{\partial\Omega}{\partial q}\}=1$

twistor 理論の立場から分析を進めることで実はこれは偶然ではな \langle ,と書ける.

$w_{\infty}$

の

ループ代数
$\mathcal{L}w_{\infty}=C[\lambda, \lambda^{-1}]\otimes w_{\infty}$

がこの$w_{\infty}$とを $s1(N)$

代数の背後に隠れていることがわかる [20]. 既に触れたように Park はこのこの$Narrow\infty$

ところで,

K

$P$

極限の立場から説明している

ヒエラルヒーと無分散 K

$P$

[12].

ヒエラルヒーが Lie 代数のレベルで$W_{\infty}\hslasharrow 0arrow w_{\infty}$という関係に結ばれていることを考えると$\mathcal{L}W_{\infty}\hslasharrow 0arrow \mathcal{L}w_{\infty}$という関係によって自己双対重力と結ばれる可積分系 (る) があってもおかしくない.
る[21] .

括弧

$\{$

これは

,

$\}$

$W_{\infty}$のループ代数$\mathcal{L}W_{\infty}$に対応す

じっはそのような方程式が Strachan によって提案されていPlebanski 方程式の Poisson 括弧$\{$

ゐで置き換えたもの$\{\frac{\partial\Omega}{\partial p}, \frac{\partial\Omega}{\partial q}\}_{\hslash}=1$

,

$\}$

を既に説明したような Moyal

240
である.
この

Moyal 代数により変形された自己双対重力も実は可積分であることがわかる[22] . しかもこの場合には Plebanski 方程式と違って $KP$ ヒエラルヒーの dressing operator$W=1+w_{1}\partial_{x^{-1}}+\ldots$に相当するものがっくれる. (実際には戸田ヒエラルヒーのように 2個の dressing operator $W,\hat{W}$ が必要.) これは Moyal 括弧の背後に star product による結合代数の構造があることによっている.

これらの dressing operator を使って $KP$

. 戸田

ヒエラルヒーの理論に近い解の記述が得られる.

6 . W-infinity に関連するその他の話題$\bullet$$W_{\infty}$

代数における余随伴軌道法

余随伴軌道法を$W_{\infty}$

代数の様々な実現に対して適用して得られる Lax 方程式や零曲率方程式の研究がいくっかなされている[23]. その中には K$P$. 戸田ヒエラルヒーに関連する見慣れない方程式や以下に述べる 2 次元流体の方程式のいわば‘q-変形” というべきものが含まれている.
$\bullet$2 次元理想流体の余随伴軌道法による記述, 差分スキーム

2 次元の理想流体の運動方程式を $sdiff(\Sigma)$ に関する余随伴軌道により説明したのは

Arnold である [24] . これは様々な応用をもっている.

さらに,して余随伴軌道法を適用することにより, 保存則の存在など,

差分スキームが得られることを Zeitlin が指摘している$\bullet$Moyal 代数係数の非可換 K
K

$P$

$P$

$sdiff(\Sigma)$

を $s1(N)$ で近似

もとの問題の特徴を保った[25].

. 戸田ヒエラルヒー. 戸田ヒエラルヒーの多成分版は擬微分作用素の係数を $NxN$ 行列値に置き換えることにより得られる.
れるだろう.

ここで$Narrow\infty$

これは発見的な議論だが,の極限をうまく取れば Moyal 代数が係数に現そのような Moyal 代数係数の K $P$. 戸田ヒエラル

ヒーの理論を実際に ( $Narrow\infty$ の極限によらずに) 直接つくることができる. またその準古典極限をっくることもできる.

これらは高次元における可積分ヒエラルヒーの例を与える.

その中には自己双対重力やその Strachan による変形が自然に埋め込まれることもわ

かる

[26].

$\bullet$

2 次元量子重力と弦理論

24
2 次元量子重力とそれに関係する弦の理論は W-infinity 代数が様々な形で関わっている.

いわば問題の宝庫である.

$Oc<1(d<1)$ の弦模型, 重力と結合した共形場
ヒーの解に対する“W-consraint”

ここでは K $P$ や戸田ヒエラル–という形で W-infinity 代数が現れる

[27].

また

Painleve 方程式 (I, II 型) を初めとする \yen ノドロミー保存変形の理論が関わってい
[28].

る
$O$

位相的弦模型, 重力と結合した位相的共形場一既に触れたように, 位相的共形場は
無分散 K

$P$

ヒエラルヒーなどと関係があるが,それが重力と結合したものはむしろ$K$

ヒエラルヒーに関係が深い [29].

この模型は上の模型の極限的な場合とも見なせる

が, 少し取扱いやすくなっていて,Kontsevich 積分という形で解を具体的に書くこと

$P$

ができる

[30]. この場合も W-constraint が現れる.

$Oc=1$ $(d=2 )$ の弦模型における “ タキオン” の動力学–

ここでも W-infinity に関連する非線形可積分系が解を特徴付ける方程式として現れる [31].

$Od=2$ の弦模型における “ BR$S$

コホモロジー” の構造的状態を決定するものであるが, そこに新たな$w_{\infty}$–

これは理論に含まれる物理代数が現れる [32].

この他に black hole の問題などさまざまな話題がある.
$\bullet$

4 次元における $N=2$ の超弦理論$d=4,$ $N=2$ の超弦理論に現れる物理的状態の運動方程式は Plebanski 方程式に他ならない [33]. 従って間接的にではあるが,$\bullet$

量子 Hall 効果,

それを通じて$\mathcal{L}w_{\infty}$と関係していることになる.

Chern-Simons 理論

量子 Hall 効果は 2 次元系に垂直に磁場がかかっている系で起きる. 磁場の存在は問題の自由度を実質的に空間 1 次元 (相空間では 2 次元) に落とす. 例えばこの系に関する

Chern-Simons 力学系と呼ばれる模型は変数$(A_{1}, A_{2})$とLagrangian$L \sim-\frac{k}{8\pi}\epsilon_{ij}A_{i}A_{j}$をもつ.

これはいわゆる特異系であって,$A_{i}$の正準共役量を計算すると$P_{i}= \frac{k}{8\pi}\epsilon_{ij}A_{j}$

$[$

242
というようにで書けて,$A_{i}$$(A_{1}, A_{2})$が正準共役になる.

この系の

Hamilton 形式では

Hamiltonian が消えて 2 次元のシンプレクティック多様体だけが残る. 系の対称性として
は $sdiff(\Sigma)$ っまり$W_{\infty}$

代数が現れる訳である. 以上のことを量子力学的に扱うと今度は$w_{\infty}$

[34].

が現れる

7 . 様々な W-infinity 代数[1].

これまで説明してきた以外にも W-infinity 代数の概念には様々な変形がある$O$

supersymmetric W-infinity (超対称性をもっ拡張).

$O$topological W-infinity (Witten の位相的場の理論に習った拡張).

$OW_{\infty}^{N}$

代数.

これは

えば $N$ 成分 K
$OW_{\infty}^{\infty},$$w_{\infty}^{\infty}$

代数.

系においては,た$O$$w_{\infty}^{\infty}$$P$$W_{\infty}$に $s1(N)$あるいは $g1(N)$ 内部対称性をとり入れたもので, 例

ヒエラルヒーの対称性として現れる.
これは$W_{\infty}^{\infty}$は$W_{\infty}^{N}$において$Narrow\infty$

Moyal 代数係数非可換 Kの極限をとったもの. 非線形可積分$P$

ヒエラルヒーの対称性として,はその準古典極限として実現されると期待される.

任意次元のシンプレクティック多様体 $M$ 上の Moyal 代数 Moyal $(M)$ ならびに Poisson
代数 Poisson(M). 上の$W_{\infty}^{\infty},$$w_{\infty}^{\infty}$は$\dim M=4$ の場合と考えられる.

代数は自己双対重力を高次元化した hyper K\"ahler 幾何学に伴って現れる$O$

ま

体積保存微分同型の Lie 代数 sdiff(V), $\dim V=3$

このような

[20].

. これは W-infinity とはかなり異質だが,自己双対重力のある種の可積分変形 (特殊な電磁場と結合したものなど)現れる[35] . また高次元の多様体上の $sdiff(M)$ を用いてある種の Calabi-Yau 多様体などを理解する試みもある

[36].
8.

W-infinity 代数は様々な可積分系, 特に K
いて,基本的な役割を果たす.

に

また,

まとめ

$P$

. 戸田ヒエラルヒーや自己双対重力などにお2 次元量子重力など様々な物理系にも姿をあらわす.

これらの W-infinity 代数はなんらかの意味で問題の可積分性・可解性と深く関わっている.

また共通の W-infinity 代数の構造をもっ系の間にはなんらかの内在的な関連があると期待
される.

さらに

W-inifinity 代数の概念自体も様々な形で拡張されている.

ことについて解説してきた.

以上のような243
W-infinity 代数が Kがこれらの. 戸田ヒエラルヒーにおいて演じる役割は Kac-Moody 代数$P$reduction として得られる可積分系 ( $KdV$ , Sine-Gordon, など) において演じる役割に比べることができる.

W-infinity 代数はどちらかといえばこのように, 様々な

reduction を行う前の, より普遍的な可積分系を理解することに向いている.

また見方を逆転して Kac-Moody 代数やそのもとになる $s1(N)$ から $Narrow\infty$ という極限を考えることによって W-infinity 代数に到達することもできる.

これは高次元の可積分系を見っける

重要な手がかりを与える. 実際, そのようにして 2 次元の可積分系から 4 次元の自己双対
重力の方程式を導いたり,K$P$や戸田ヒエラルヒーの高次元化を探ったりすることがなさ

れている.

参考文献

[1] 各種の W-infinity 代数とその応用に関する review として
Sezgin, E., Aspects ofsymmetry, Texas A&M preprint CTP-TAMU-9/91,$IC/91/206$ (hep-th/9112025); Area-preserving diffeomorphisms,
algebras andgravity, Texas A&M preprint CTP-TAMU-13/92 (hep-th/9202086).
[2] Bakas, I., The structure of thealgebra, Commun. Math. Phys. 134 (1990),$W_{\infty}$$w_{\infty}$$w_{\infty}$$W_{\infty}$

487-508.

Pope, C.N., Romans, L.J., and Shen, X., The complete structure of, Phys. Lett.
$236B$ (1990), 173-178.
Pope, C.N., Romans, L.J., and Shen, X., Ideals of Kac-Moody algebras and realiza, Phys. Lett. $245B$ (1990), 72-78.
tions of
$W_{\infty}$$W_{\infty}$[3] 共形場の理論とその応用に関する review として
Zamolodchikov, A.B., Exact solutions of conformal field theory in two dimensions
and critical phenomena, Reviews in Math. Phys. 1 (1990), 197-234.
[4] Zamolodchikov, A.B., Infinite additional symmetries in two-dimensional conformal
quantum field theory, Theor. Math. Phys. 65 (1986), 1205-1213.
Fateev, V.A., and Zamolodchikov, A.B., Conformal quantum field theory models in
two dimensions having
symmetry, Nucl. Phys. B280 [FS18] (1987), 644-660.
[5] Di Francesco, P., Itzykson, C., and Zuber, J.-B., Classical W-algebras, Commun.
Math. Phys. 140 (1991), 543-567 およびそこに引用されている文献参照.
[6] Radul, A.O., Lie algebras of differential operators, their central extension, and Walgebras, Funct. Anal. Appl. 25(1) (1991), 25-38, およびそこに引用されている文$Z_{3}$

献参照.

[7] Bilal, A., A remark on the $Narrow\infty$ limit of$W_{N}$-algebras, Phys. Lett. $227B$ (1989),

406-410.
Bakas, I., The
limit of extended conformal symmetries, Phys. Lett. $228B$(1989), 57-63.
[8] Park, Q-Han, Extended conformal symmetries in real heavens, Phys. Lett. $236B$(1990), 429-432.
$l\argrightarrow N$

244[9] Saveliev, M.V., and Vershik, A.M., Continual analogues of contragredient Lie algebras, Commun. Math. Phys. 126 (1989), 367-378.
[10] J. Hoppe, Quantum theory of a massless relativistic surface, Ph.D. thesis (MIT,1982); Elem. Part. Res. J. (Kyoto) 80 (3) (1989), 145-202.
Fairlie, D.B., and Zachos, C.K., Infinite-dimensional algebras, sine brackets, and$SU(\infty)$ , Phys. Lett. $224B$ (1989), 101-107.
Pope, C.N., and Stelle, K.S., $SU(\infty),$ $SU_{+}(\infty)$ and area-preserving algebras, Phys.
Lett. $226B$ (1989), 257-263.
Hoppe, J., Diffeomorphism groups, quantization, and $SU(\infty)$ , Int. J. Mod. Phys.
A 4 (19) (1989), 5235-5248.
[11] Floratos, E.G., Iliopoulos, J., and Tiktopoulos, G., A note on $SU(\infty)$ classical YangMills theories, Phys. Lett. $217B$ (1989), 285-288.
Floratos, F.G., and Leontaris, G.K., Integrability of the self-dual membranes in$(4+1)$ dimensions and the Toda lattice, Phys. Lett. $223B$ (1989), 153-156.
Hoppe, J., Membranes and integrable systems, Phys. Lett. $250B$ (1990), 44-48.
[12] Park, Q-Han, Self-dual gravity as a large-N limit of the $2D$ non-linear sigma model,
Phys. Lett. $238B$ (1990), 287-290; 2-D sigma model approach to 4-D instantons,
Int. J. Mod. Phys. A7 (1992), 1415-1448.
[13] この節の内容とそれに関連する各種の話題を紹介した本として
Hoppe, J., Lectures on integrable systems, Lecture Notes in Physics, New Series
m-10 (Springer-Verlag, 1992).
[14] Sato, M., and Sato, Y., Soliton equations as dynamical systems in an infinite dimensional Grassmann manifold, in: Nonlinear Partial Differential Equations in Applied
Sciences, U.S.-Japan seminar, Tokyo 1982 (North-Holland, Amsterdam, and Kinokuniya, Tokyo, 1982).
Date, E., Jimbo, M., Kashiwara, M., and Miwa, T., Transformation groups for soliton equations, in: Nonlinear Integrable Systems
Classical Theory and Quantum
Theory, Kyoto 1981 (World Scientific, Singapore, 1983).
Ueno, K., and Takasaki, K., Toda lattice hierarchy, in: Group representations andsystems of differential equations, Adv. Stud. Pure. Math. vol. 4 (Kinokuniya,
Tokyo, 1984).
[15] Watanabe, Y., Hamiltonian structure of Sato’s hierarchy of KP equations and a
coadjoint orbit of a certain formal Lie group, Lett. Math. Phys. 7 (1983), 99-106.
algebra, and selfYamagishi, K., A Hamiltonian structure of KP hierarchy,
dual gravity, Phys. Lett. B259 (1991), 436-441.
Yu, F., and Wu, Y.-S., Hamiltonian structure, (anti-)self-adjoint flows in KP hierarchy and thealgebras, Phys. Lett. $263B$ (1991), 220.
and[16] Takasaki, K., and Takebe, T., Quasi-classical limit of KP hierarchy, W-symmetries
and free fermions, Kyoto preprint KUCP-0050/92 (July, 1992). (hep-th/9207081)[17] Lebedev, D., and Manin, Yu., Conservation Laws and Lax Representation on Benny’sLong Wave Equations, Phys.Lett. $74A$ (1979), 154-156.
Kodama, Y., A method for solving the dispersionless KP equation and its exact
solutions, Phys. Lett. $129A$ (1988), 223-226.
Kodama, Y., and Gibbons, J., A method for solving the dispersionless KP hierarchy
and its exact solutions, II, Phys. Lett. $135A$ (1989), 167-170.
–$W_{1+\infty}$$W_{1+\infty}$$W_{\infty}$

245[18] Krichever, I.M., The dispersionless Lax equations and topological minimal models,Commun. Math. Phys. 143 (1991), 415-426.
Dubrovin, B.A., Hamiltonian formalism of Whitham-type hierarchies and topological Landau-Ginsburg models, Commun. Math. Phys. 145 (1992), 195-207.
Takasaki, K., and Takebe, T., SDiff(2) KP hierarchy, in: Infinite Analysis, RIMS
Research Project 1991, Int. J. Mod. Phys. A7, Suppl. 1B (1992), 889-922.
[19] Kodama, Y., Solutions of the dispersionless Toda equation, Phys. Lett. $147A$ (1990),

477-482.
Takasaki, K., and Takebe, T., SDiff(2) Toda equation–hierarchy, tau function andsymmetries, Lett. Math. Phys. 23 (1991), 205-214; Quasi-classical limit of Toda
hierarchy and W-infinity symmetries, in preparation.
[20] Boyer, C.P., and Plebanski, J.F., An infinite hierarchy of conservation laws andnonlinear superposition principles for self-dual Einstein spaces, J. Math. Phys. 26(1985), 229-234.
Takasaki, K., Symmetries of hyper-K\"ahler (or Poisson gauge field) hierarchy, J.
Math. Phys. 31 (1990), 1877-1888.
[21] Strachan, I.A.B., The Moyal algebra and integrable deformations of the self-dual
Einstein equations, Phys. Lett. B282 (1992), 63-66.
[22] Takasaki, K., Dressing operator approach to Moyal algebraic deformation of selfdual
gravity, Kyoto preprint KUCP-0054/92 (December, 1992). (hep-th/9212103)[23] Hoppe, J., Olshanetsky, M., and Theisen, S., Dynamical systems on quantum tori
algebras, Kahlsruhe preprint KA-THEP-10/91 (October, 1991).
[24] Arnold, V., Sur la g\’eom\’etrie diff\’erentielle des groupes de Lie de. dimension infinieet ses applications a l’hydrodynamique des fluides parfaits, Ann. Inst. Fourier 16(1966), 319-361.
[25] Zeitlin, V., Finitemode analogues of $2D$ ideal hydrodynamics: coadjoint orbits andlocal canonical structure, Physica D49 (1991), 353-362.
[26] Takasaki, K., in preparation.
[27] このことについては物理学者による多数の論文があるが, Communications in Mathematical Physics 誌に掲載されて数学者に入手し易い次の論文のみ掲げておく. そこでの引用文献も参照されたい. ([28][30] についても同様)
Fukuma, M., Kawai, H., and Nakayama, R., Infinite dimensional Grassmannian
structure of two dimensional string theory, Commun. Math. Phys. 143 (1991),$\cdot$371-403.

Yoneya, T., Toward a canonical formalism of non-perturbative two-dimensional gravity, Commun. Math. Phys. 144 (1992), 623-639.
[28] Moore, G., Geometry of the string equations, Commun. Math. Phys. 133 (1990),

261-304.
Fokas, A.S., Its, A.R., and Kitaev, A.V., Discrete Painlev\’e equations and theirappearance in quantum gravity, Commun. Math. Phys. 142 (1991), 313-344; Theisomonodromy approach to matrix models in $2D$ quantum gravity, Commun. Math.
Phys. 147 (1992), 395-430.
[29] 位相的共形場と非線形可積分系の関連についての review として
Dijkgraaf, R., Intersection theory, integrable hierarchies and topological field theory,
IASSNS-HEP-91/91 (December, 1991). (hep-th/9201003)

246[30] Kontsevich, M., Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix
Airy function, Commun. Math. Phys. 147 (1992), 1-23.
Adler, M., and van Moerbeke, P., A matrix integral solution to two-dimensional-gravity, Commun. Math. Phys. 147 (1992), 25-56.
[31] Avan, J., and Jevicki, A., Classical Integrability and Higher Symmetries of Collective
String Field Theory Phys. Lett. B266 (1991), 35-41.
Awada, M.A., and Sin, S.J. The string difference equation of $d=1$ matrix model
symmetry of the KP hierarchy, Int. J. Mod. Phys. A7 (1992), 4791-4802.
andD. Minic, J. Polchinski, and Z. Yang, Translation-invariant backgrounds in 1+1
dimensional string theory, Nucl. Phys. B369 (1992), 324-350.
G. Moore and N. Seiberg, From loops to fields in $2d$ gravity, Int. Jour. Mod. Phys.
A7 (1992) 2601-2634.
Das, S.R., Dhar, A., Mandal, G., and Wadia, S.R., Gauge theory formulation of the$c=1$ matrix model: symmetries and discrete states, Int. J. Mod. Phys. A7 (1992)$W_{p}$$W_{1+\infty}$

5165-5195.
Dhar, A., Mandal, G., and Wadia, S.R., Non-relativistic fermions, coadjoint orbitsofand string field theory at $c=1$ , Mod. Phys. Lett. A7 (1992), 3129-3146;
Classical Fermi fluid and geometrical action for $c=1,$ IASSNS-HEP-91/89 (March,
1992). (hep-th/9204028)
Marshakov, A., On the string field theory for $c\leq 1,$ FIAN/TD-8/92 (June, 1992).
(hep-th/9208022)
Dijgraaf, R., Moore, G., and Plesser, R., The partition function of $2D$ string theory,
IASSNS-HEP-92/48, YCTP-P22-92 (August, 1992). (hep-th/9208031)[32] Klebanov, I.R., and Polyakov, A.M., Interaction of discrete states in two-dimensional
string theory Mod. Phys. Lett. A6 (1991), 3273-3281.
Witten, E., Ground ring of two dimensional string theory Nucl. Phys. B373 (1992),$w_{\infty}$$\cdot$187-213.
Witten, E., and Zwiebach, B., Algebraic structures and differential geometry in 2-dstring theory, Nucl. Phys. B377 (1992), 55-112.
[33] Ooguri, H., and Vafa, C., Geometry of $N=2$ strings, Nucl. Phys. B361 (1991),

469-518.
[34] Cappelli, A., Trugenberger, C.A., and Zemba, G.R., Infinite symmetry in the quantum Hall effect, CERN-TH 6516/92 (May, 1992). (hep-th/9206027)
symmetry in a 2+1 ChernKogan, I.I., Area preserving diffeomorphisms andSimons theory, UBCTP-92-23 (revised August 1992). (hep-th/9208028)
Iso, S., Karabali, D., and Sakita, B., Fermions in the lowest Landau level: bosonization, $W$ infinity algebra, droplets, chiral bosons, CCNY-HEP-92-6 (August, 1992).
(hep-th/9209003)[35] Takasaki, K., Volumepreserving diffeomorphisms in integrable deformations of selfdual gravity, Phys. Lett. B285 (1992), 187-190.
[36] Park, Q-Han, A master equation for multi-dimensional non-linear field theories,
DAMTP R-9224, SNUTP 92-86 (July, 1992). (hep-th/9211037)$W_{\infty}$

補足:hep-th/xxxxxxx’ は高エネルギー物理のプレプリントライブラリーに Tex file247の形で保存されている論文の番号をあらわす. 京都大学基礎物理学研究所のプレプリ ン
トサーバーに($ftp’$

することによりこれらの論文を入手することができる. 例えば hep-

$th/9207081$ を入手するには以下のようにする.

1. ftp 130.54.107.21 (これはサーバーの IP address である)
2. user ID: anonymous (サーバーは user ID を聞いてくるので “anonymous” と答える)

3. Password: ... (次にパスワー

ドを聞いてくるので自分の E-mail address を答える.)

4. cd HEP-TH (hep-th のプレプリントを収めてあるディレク トリにうつる)

5. cd 9207 (ディレク トリは 4 けたの数を名前にもっサブディレク トリに分かれている.
最初の 2 けたが年, 次の 2 けたが月をあらわしている)

6. get hep-th.9207081 (自分の機械に TeX source file が送られてくる)
7. quit高エネルギー物理以外の分野のプレプリントもおなじサーバーから入手できる.

こ

うして入手した論文には各業界標準のプレプリント書式ファイルを input するものが多い.
にそれらの書式ファイルはサーバーの別のディレク トリに入っているので, 前述のようanonymous ftp でサーバーに入ってから捜してみるとよい.