与信ポートフォリオにおける損失率の近似的評価法に関する分析
76233 柳谷 雄太
指導教員 藤井眞理子 教授
2009 年 2 月 3 日 (火)はじめに1関数をもち，X の狭義単調減少関数である．

金融機関は，大規模な与信（貸付）ポートフォリオを保有し仮定 2 を満たすポートフォリオの損失分布を漸近損失分布ている．この与信ポートフォリオの最大損失率をある信頼水と呼ぶ．また 1〜4 の仮定を満たしているとき，与信ポート準の下で求める方法としては，モンテカルロ法 (以下 MC 法)

フォリオの損失率の 100q− パーセンタイルは，
Pn|X = α1−q (X)]Aii=1 E[UiP
αq (Ln ) ≅ni=1 Aiを用いることが一般的であった．
これに対し，Gordy[1] は債務者やモデルに関する一定の仮定をおくことにより，任意の信頼水準の下での損失率の近似(3)解を導出する方法を示した．Pykhtin and Dev[2] は Gordy[1]で近似的に求めることができる．現実問題には債務者数は有の枠組みを用いて，1 ファクターガウシアンコピュラモデルに限であり，貸付割合が無視できるほどに小さくない場合にはよる具体的な損失率の近似解析解を求めた．

実際の損失分布と漸近損失分布の乖離が存在する．この乖離

本研究では [1]，[2] の枠組みを用いて，様々な貸付割合のを埋めるための手段として，テイラー展開を利用したグラニュポートフォリオを設定し，近似解析解の近似精度を検証した．
適用可能か判断できるようにするため，近似精度に影響を与ラリティ調整がある．これは以下の式で与えられる．
µ¶¯
1dVar[Ln |X = x]f (x) ¯¯Gq (Ln ) = −2f (x) dx
dE[Ln |X = x]/dx ¯x=α1−q (X)えるポートフォリオの特性について指標を用いて分析した．

(4)

また，与えられたポートフォリオに対し，今回の近似手法がこのグラニュラリティ調整を加えてやることにより，より正漸近損失分布による損失率の近似

2確な損失率の近似解が得られる．

今，n 個の債務者からなる与信ポートフォリオが与えられているとする．X を確率変数，q ∈ [0, 1] とするとき，αq (X) ≡inf {x ∈ R : Pr {X ≤ x} ≥ q} を 100q− パーセンタイルと定3

上記の漸近損失分布による近似解を 1 ファクターガウシア義する．債務者 i (i = 1, · · · , n) に対する貸付元本を Ai （定ンコピュラモデルに適用する．デフォルト時刻 ti の同時分布数），債務者 i から被る損失率を Ui とするとき，ポートフォ
Pn
Pn
リオの損失率を，Ln = i=1 Ui Ai / i=1 Ai で定義する．Ui関数 F がガウシアンコピュラ，F (t1 ，. . . ，tn ) = Φn,R (Φ−1 (F1 (t1 ))，. . . ，
Φ−1 (Fn (tn ))) (5)は確率変数で債務者がデフォルトしなかったときは 0，デフォルトしたときは，Ui = Qi ∈ (0, 1] となる．

で表されると仮定する．Φn,R は相関行列 R の n 次元標準正今回の近似手法を用いるには以下の仮定 4 つを満たすこと

規分布の分布関数を表す，Fi は ti の周辺分布関数，Φ は標が十分条件となる．
仮定 1

準正規分布の分布関数を表す．このとき，Φ−1 (Fi (ti )) = Yip
とおいて，Yi = ai X + 1 − a2i Zi でモデル化できる．ai は債務者 i のデフォルト時刻 ti および Ui はシステマ

ティックリスクファクター X に関して条件付独立である．
仮定 2ファクターローディング，X はシステマティックリスクファク

債務者数が n → ∞ において，nX

Ai → ∞

ターを表し，X ∼ N (0, 1)，Zi は債務者固有のリスクを表し，Zi ∼ N (0, 1) である．このとき，pi を債務者 i のデフォルト確(1)率としたとき，Yi < Φ−1 (pi ) で債務者 i はデフォルトとなる．

i=1∃

ξ>0s．tAPn ni=1 Ai³´
1= O n−( 2 +ξ)

また，µ，σ をパラメータとして，債務者 i がデフォルトし(2)たときの損失率（loss given default:LGD）を Qi = µ + σWiでモデル化する．Wi は文献 [2] に従い，ファクターローディ
pング bi ，ζi ∼ N (0, 1) を用いて，Wi = −bi X + 1 − b2i ζi とが成り立つ．
仮定 3

システマティックリスクファクター X は単変量であして，デフォルト確率と LGD の間にシステマティックリスク

る．
仮定 4

デフォルト事象のモデル化

債務者 i の条件付期待損失率 E[Ui |X] は連続で密度ファクター X を通して，相関をもたせる．

1

これより，貸付割合が細分化されているポートフォリオほ以上の設定を漸近損失分布に適用すると，ポートフォリオど近似精度が良好であることが分かる．またいずれの貸付割の損失率の 100q− パーセンタイルは，

αq (Ln ) ≅nX¡wi µ − σbi Φi=1−1合型でも債務者数が増えれば，近似精度が良くなっているこ¢(1 − q)とが見てとれる．

¡¢
×pi Φ−1 (1 − q)となり，近似解析解が得られる．ただし，wi = Ai /続いて，具体的にポートフォリオのどのような特性が乖離(6)率に影響するのか，貸付割合の集中度を表すハーフィンダー
Pnル指数（= i=1 wi2 ）を用いて分析を行った．各ポートフォ

Pnj=1 Aj

リオに対しハーフィンダール指数を算出し，乖離率との関係は貸付割合を表し，pi (·) は条件付きデフォルト確率を表し，ppi (x) = Φ((Φ−1 (pi ) − ai x)/ 1 − a2i ) で求められる．

4を示したのが図 2 である．

近似精度に関する数値実験
今回の近似手法の前提は，債務者数が無限で，個々の貸付割合が無視できるほどに小さいというものである．本研究では，上記のモデルによる近似解析解が様々な貸付割合の状況を設定したポートフォリオに対して，どの程度の近似精度を有するのか検証を行った．
ポートフォリオは債務者数，貸付割合に応じて 30 通り設定した．債務者数を 6 通り，貸付割合を不均一なものから順に，1 先集中型，2 段階型，3 段階型，5 段階型，均一型の 5 通り

図 2: ハーフィンダール指数と乖離率の関係設けた．各ポートフォリオ内の貸付割合は表 1 の通りである．
設定に関する詳細は本論文を参照されたい．
これより，ハーフィンダール指数と乖離率にはおよそ正の相関があることが分かる．したがって，どのようなポートフォ

表 1: 各ポートフォリオ内の貸付割合貸付割合の分布
貸付比率

リオであれば，今回の近似手法が適用可能であるかを判断す

1 先集中型

100:1

る 1 つの材料として，ハーフィンダール指数を用いることが

2 段階型

100:1

有用であることが示された．

3 段階型

10:5:15 段階型

81:54:36:24:16

5

まとめ
漸近損失分布を 1 ファクターガウシアンコピュラモデルに各ポートフォリオに対し，近似解析解（漸近損失分布による適用した与信ポートフォリオの損失率の近似解析解の近似精近似解 + グラニュラリティ調整）による損失率（A），MC 法度を検証した．その結果，3 段階型や 5 段階型ほどに細分化さによる損失率（こちらを真値とみなす）（B）を求め，近似精れているポートフォリオでは，近似精度が良好であることが度の指標として，乖離率 = (A − B)/B × 100(%) を算出した．
√√
パラメータは，pi = 0.01，ai = 0.2，bi = 0.2，µ = 0.4，分かった．また，今回の近似手法の適用範囲を探るため，近似精度に影響を与えるポートフォリオの特性について分析し

σ = 0.25，q = 0.999 とした．シミュレーション回数は 10 万回である．この数値実験の結果をまとめたのが以下の図 1 でた．その結果，ハーフィンダール指数を用いて近似精度がおよそ説明できることが分かった．

ある．

参考文献
[1] Gordy, M. , ”A risk-factor model foundation for ratingsbased bank capital rules,” Journal of Financial Intermediation, Vol. 12, 2003, pp. 199-232.
[2] Pykhtin, M., and A.Dev, ”Analytical approach to credit
risk modelling,” Risk ，Vol．15，2002，pp．26-32.

図 1: 各ポートフォリオの乖離率2