ISSN 1880-2Sl8

数理解析研究所講究録 1874

解析的整数論とその周辺–近似と漸近的手法を通して見た数論

京都大学数理解析研究所
2014 年 1 月

数理解析研究所講究録は，京都大学数理解析研究所の共同利用研究集会および共同研究の記録として 1964 年に刊行が開始されました．現在の共同利用共同研究拠点(2010 年発足) の前身である，全国共同利用研究所として当研究所が発足した翌年のことでしたが以来半世紀，毎年数十巻を刊行し，2012 年には第 1800 巻が刊行されるに至りました．第 1 巻から第 1840 巻までに収録された論文数は 26,808 編，総頁数は 317,199 頁という膨大なものであり，最先端の数学数理科学分野の研究状況を伝えるのみならず，我が国の数学数理科学の発展の歴史を留める文献として，他に類例を見ない論文集となっています．

講究録の内容は当研究所のウェブサイトおよび京都大学の学術情報リポジトリにおいても公開され，年間の総アクセス数は 1254,383 回 (2012 年度) を数えるなど，多数の方にご利用いただいています．

講究録の使用言語は論文著者の判断に任されていますが結果的に日本語が多用されていることが特徴の一つとなっています．その結果，講究録は，数学数理科学の広い領域における最先端の専門知識に母国語でアクセスできるものとして，近年の英語化の流れの中で，重要な文献となりつつあります．

当研究所の共同利用事業に参加し講究録の論文を執筆していただいた多数の方々に対し，講究録を大きく成長させていただいたことを深く感謝いたしますとともに，これからも，当研究所の共同利用共同研究拠点としての活動にご参加いただき，講究録の発展にご協力いただけますよう心よりお願い申し上げます．

RIMS$K\hat{o}k\gamma\hat{u}roku$

Analytic Number Theory–1874

Number Theory throughApproximation and Asymptotics
October 29 31, 2012$\sim$

edited by Koji Chinen

January, 2014

Research Institute for Mathematical Sciences
Kyoto University, Kyoto, Japan
This is a report of research done at the Research Institute for MathematicalSciences, Kyoto University. The papers contained herein are in final form
and will not be submitted for publication elsewhere.

まえがき

この講究録は，2012 年 10 月 29 日 (月) から 10 月 31 日 (水) まで，京都大学数理解析研究所で開催された研究集会 「解析的整数論とその周辺近似と漸近的手法を通して見た数論 (Analytic Number Theory –NumberTheory through Approximation and Asymptotics) の報告集です．

-$\rfloor$

本研究集会では，ゼータ関数，-関数，超越数論，ディオファンタス近似論を中心に，解析数論に関連する多くの講演が行なわれました．さらに，本集会は，「平成 24 年度文部科学省数学数理科学と諸科学産業との連携研究ワークショップ」に採択され，現在ますます社会における重要性が高まっている暗号理論との連携を深めるため，暗号から解析数論への問題提起を企図した講演も配置されました．その結果，総講演数は 24 を数え，整数論，暗号理論両方の分野で活躍する内外の研究者 80 名が参加し，非常に活発な議$L$論が行なわれました．講演者および参加者の皆様に厚くお礼を申し上げるとともに，本研究集会が解析数論，暗号理論のさらなる発展に寄与できることを祈念いたします．

開催に際しましては，非常に多くの方からご援助，ご協力を頂きました．まず，松本耕二氏，小松尚夫氏は外国人講演者の招聰元となって下さいました．
企画段階では 2011 年度研究代表者，野田工氏にさまざまなご助言を頂きました．心より感謝を申し上げます．また「平成 24 年度文部科学省数学数理科学と諸科学産業との連携研究ワークショップ」への応募を薦めて下さり，種々の事務作業で集会を支えて頂きました京都大学数理解析研究所，そして，連携研究に関する講演者の旅費をご援助頂いた文部科学省に感謝を申し上げます．最後に，ご講演頂いた皆様，ご参加頂いて会を盛り上げて下さった皆様にお礼を申し上げます．
2013 年 9 月 1 日
知念宏司
研究代表者
副研究代表者 田中孝明

(近畿大学・理工学部)(慶磨義塾大学・理工学部)

解析的整数論とその周辺一近似と漸近的手法を通して見た数論
Analytic Number Theory-Number Theory through Approximation and Asymptotics

RIMS 研究集会報告集
2012 年 10 月 29 日 〜10 月 31 日
研究代表者

知念宏司 (Koji Chinen)

副代表者

田中孝明 (Taka-aki Tanaka)目次

1. 臨界線上におけるリーマンゼータ関数のオイラー積の挙動について
九大数理学 (Kyushu

$U$.)

赤塚

$————1$

広隆 (Hirotaka Akatsuka)

2. The explicit upper bound of the multiple integral of $S(t)$ on the Riemann Hypothesis— 12
名大多元数理科学 (Nagoya$U$.)若狭

尊裕 (Takahiro Wakasa)

3. Hardy 関数の高階導関数について $———————————————————–22$
名大多元数理科学 (Nagoya $U$ .)松岡

謙晶 (Kaneaki Matsuoka)

4. 暗号から数論へ 一代数曲線に関するいくつかのアルゴリズム
首都大理工学 (Tokyo Metro. U.)’/

5. Mean value theorems for double zeta-functions

ー$————–32$

内山

成憲 (Shigenori Uchiyama)内田

幸寛 (Yukihiro Uchida)–.)松本

耕二 (Kohji Matsumoto)

首都大理工学 (Tokyo Metro. U.)

津村

博文 (Hirofumi Tsumura)

名大多元数理科学 (Nagoya$U$45

6. Triple zeta values and asymptotic properties of triple polylogarithms $——————55$
近畿大量子コンピューターセンター (Kinki $U$ .)町出智也 (Tomoya Machide)

7. On an analogue of Je\’{s}manowicz’ conjecture on exponential Diophantine equations
首都大理工学 (Tokyo Metro. U.)

宮崎–

64

隆史 (Takafumi Miyazaki)

8. Arithmetical properties of real numbers with low density of nonzero digits $———–71$
日大理工 (Nihon $U$ .)金子元 (Hajime Kaneko)

9. Algebraic independence of the values of certain infinite products and their derivatives
related to Fibonacci and Lucas numbers
東京理大理 (Tokyo U. Sci.)
弘前大理工学 (Hirosaki .)慶磨大理工 (Keio .)$—————————————$
黒沢 健 (Takeshi Kurosawa)

$U$

$U$

$- i -$

立谷洋平 (Yohei Tachiya)

田中孝明 (Taka-aki Tanaka)8110. Schubert Eisenstein Series for $GL(3)$$——————————————————–94$

Daniel Bump
youngJu Choie

Stanford U.

POSTECH

11. Poly-Cauchy numbers and poly-Bemoulli numbers
弘前大理工学 (Hirosaki $U$ .)

–小松

98

尚夫 (Takao Komatsu)

12. ALGEBRAIC INDEPENDENCE OF VALUES OF EXPONENTIAL TYPE POWER
SERIES $——————————————————————————————112$
C. Elsner
FHDW Hanover, U. Applied Sci.
$Yu$
$U.$
. V. Nesterenko
Moscow State塩川慶磨大 (Keio $U$ )13.

-type balancing numbers
Eszterh\’azy K\’aroly Coll.

$(a, b)$

宇賢 (Iekata Shiokawa)$—————————————————————115$
K\’alm\’an Liptai

14. 自己相反多項式の零点と微分方程式 $—————————————————-125$
東工大理工学 (Tokyo Inst. Tech.)

15.

$A$

鈴木正俊 (Masatoshi Suzuki)

certain double series in aerodynamic interference calculations
日大工 (Nihon $U$ .)野田

16. 交代級数を用いた実数の構成法について
名大・多元数理科学 (Nagoya$U$.)–工 (Takumi Noda)$—–139$池田

創一 (Soichi Ikeda)

17. On some properties of Dirichlet series on a domain where it is divergent
長崎大教育 (Nagasaki $U$ .)

135

石川

$———-150$

秀明 (Hideaki Ishikawa)

18. Hypergeometric type generating functions of several variables associatedwith the Lerch zeta-function (summarized version) $—————————————161$
桂田 昌紀 (Masanori Katsurada)
慶磨大経済 (Keio .)$U$

19. DETECTING SQUAREFREE NUMBERS(JOINT WITH GHAITH A. HIARY AND JON P. KEATING)–

Andrew R. Booker

U. Bristol

20. The asymptotic behavior of multiple zeta functions at non-positive integers
名大多元数理科学 (Nagoya $U$ .)

小野塚

$U$.)

$- ii -$

岡本$——-183$

友一 (Tomokazu Onozuka)

21. Parity result on the partial Mordell-Tomheim double zeta function
立命館大理工 (Ritsumeikan174–

卓也 (Takuya Okamoto)19022. Multidimensional zeta distributions and infinite divisibility
東京理大理工 (Tokyo U. Sci.)〃青山

崇洋 (Takahiro Aoyama)

中村隆 (Takashi Nakamura)

23. Continued fractions and Dedekind sums for function fields
立命館大教育開発 (Ritsumeikan $U$ .)24. On the simultaneous equations$\sigma(2^{a})=d^{\iota_{q^{g1}}},$–

浜畑–$o(5^{c})=/q^{g3}$$—–215$

阪大日本語日本文化教育センター (Osaka $U$ .)$-\ddot{\dot{m}}$210

芳紀 (Yoshinori Hamahata)$\sigma(3^{b})=ji^{2}q^{g2},$

山田

198

智宏 (Tomohiro Yamada)講究録$\kappa_{\hat{D}}br\hat{u}roku$

RIMS K\^oky\^uroku was started in 1964 as the proceedings of symposia, colloquia andworkshops supported by RIMS, the Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto
University It was the next year of the establishment of RIMS as one of the nationwide

Cooperative Research Centers, the preceding system of the current Joint Usage/ResearchCenters that started in 2010. For half a century since then, about 50 to 60 volumes have been
issued each year, and the 1, $800th$ volume was issued in 2012. The volumes offrom$840th$
the lst through the 1,, containing enormous 26,808 articles and 317, 199 pages, not only
deliver the latest research activities in mathematics and mathematical scienoes but also
constitute valuable and incomparable collections of articles that pass down history of progress$K\hat{o}W\hat{m}h_{J}$of mathematics and mathematical science in Japan.

are available on the websites of RIMS and Kyoto University ResearchInformation Repository They are very frequently accessed on the internet, with a total of as
many as 1,254,383 accesses in 2012.
Articles in$ffi^{\wedge}ky\hat{u}\iota \mathfrak{v}ku$

The authors choose the languages to write articles, and many are written in Japanese, which
is one of the characteristics of K\^oky\^uroku. As a result, ]is regarded as a significant
and important literature which allows easy access to the latest specialized knowledge in thelarge fields of mathematics and mathematical sciences written in native language
Japanesereaders, while more and more research papers are being written in English in recent years.
$K\hat{o}$$q^{r}\hat{u}roku$$fOr$

We are deeply grateful to many of those who have participated in cooperative research

activities of RIMS and greatly developed. We heartily ask
your continuous
participation in research activities at RIMS as a Joint Usage Research Center and your warm
support and cooperation the fruitful development$K\hat{o}ky\hat{u}\iota \mathfrak{v}ku$$fOr$$ofK\hat{o}br\hat{u}1\mathfrak{v}ku.$$fOr$