広島工業大学紀要研究編
第 43 巻（2009）pp.131-139

論

文

非定常スペクトル解析理論による構造物の動的特性の同定
中山隆弘＊・鈴木悠紀賞＊＊・溝畑陽一＊＊＊・山光

涼平＊＊＊＊（平成 20 年 10 月 31 日受理）

Identification of Dynamic Characteristics of a Structure
Based upon Evolutionary Spectrum Analysis
Takahiro NAKAYAMA ＊, Yukitaka SUZUKI ＊＊, Yoichi MIZOHATA ＊＊＊ and Ryouhei YAMAMITSU ＊＊＊＊

（Received Oct.31,2008）

Abstract
This paper presents an identification algorithm of the dynamic characteristics, suchas the natural frequency and the damping factor, of a structure deteriorating undernatural environment. In this method, both an acceleration record x(t) of a seismic
ground motion at the location of the structure and the structural displacement y(t) due
to the ground motion are required. In addition, the respective non-stationary spectrumof x(t) and y(t) and the modulating function of x(t) found from evolutionary spectrum
analysis are required. The applicability of the proposed method was shownaccording to the numerical analysis to a one-degree of freedom system. In the caseof a multi-degree of freedom system, the dynamic properties of each mode can beobtained by making use of the modal analysis method. However, the identification of
the natural modes of the system will be an important task in the future.

Key Words: evolutionary spectrum analysis, dynamic characteristics, infra
structures, identification, seismic ground motion.

1．緒

45 年に建設されたもので，その中には架設後 50 年程度を言経過しているものも多い 1）。

近年わが国では，高度経済成長の時代に大量に建設されさて，構造物の点検方法の中，もっとも簡易な方法は目た社会基盤施設や構造物の多くが老齢期を迎え，それらの視点検であるが，鉄筋コンクリート構造の場合には打音法

健全性を点検によって評価し，不測の事態が生じる前に適も良く用いられる。一方，費用と時間をより掛けてでも精切に補修・補強することが極めて重要な課題になってきた。

緻な点検が求められる場合には，超音波や赤外線を利用し例えば広島県が管理する橋長 2m 以上の 3536 橋の橋梁に限ってみても，その中の 1500 橋程度が昭和 31 年〜昭和*広島工業大学工学部都市建設工学科** ㈱松下産業（元広島工業大学大学院工学研究科土木工学専攻）*** ㈱奥村組 （元広島工業大学大学院工学研究科建設工学専攻）**** 広島工業大学大学院工学研究科建設工学専攻―131―

た機器や磁歪法 2）による点検が行われる。
しかし，数年に一度程度とはいえ，これらの点検には人中山隆弘・鈴木悠紀賞・溝畑陽一・山光涼平

手が掛かり，かなりの費用と時間を必要とする。したがっdF (t, ~) = A (t, ~) dz (~)て最近では，できるだけ人手を掛けないで構造物の健全性を評価できるスマートモニタリング 3）に対する要望が強くとおくと求められるようになってきた。その場合，構造物に貼付し3

X (t) = # e i~t dF (t, ~)た加速度計などのセンサーによって収録した記録を解析し

（5）

-3

て構造物の力学的特性を同定する技術が必要になってくる。

が得られる。
このとき式（3）より， x (t)の非定常スぺクトルは

この同定法についてはこれまでに多数の研究がなさ
れ（4）4）〜 13），数多くの有益な成果が得られている。しかし，

g x (t, ~) d~ = E 8| dF (t, ~) | 2 B

地震国であるわが国では多くの地域がかなりの頻度で地震（6）と表わせる。

に見舞われる可能性が高いことを踏まえ，本研究では敢え

こ こ で dF (t, ~) の 実 部 と 虚 部 を そ れ ぞ れ ， dF R (t, ~) ，て地震時の加速度記録とそれに対する構造物の応答変位記

dF1 (t, ~)とすれば， 式（5）は次式のようになる。

録に対する非定常スペクトル解析を行うことによって，その時点における構造物の固有振動数と減衰定数を同定する

3

X (t) = # ( cos ~t + i sin ~t) {dF R (t, ~) + idF I (t, ~)}手法の開発を試みた。

-3
3= # {dF R (t, ~) cos ~t - dF I (t, ~) sin ~t}2．非定常スペクトル解析法

（7）

-3

3

+ i # {dF I (t, ~) cos ~t + dF R (t, ~) sin ~t}-3

非定常確率過程における位相の非定常性までを考慮できる汎用的な非定常スペクトル解析法 14） が 2.1 で述べる方

しかるに X (t)は実関数であるから，式（7）の虚部は 0 で法である。物理的解釈が容易で，その定義方法も定常確率ある。すなわち dF I (t, ~)と dF R (t, ~)はそれぞれ， ~ の偶関過程の拡張として理解しやすい Priestley の evolutionary

数および奇関数となる。したがって式（7）はspectrum 理論
complex15），16）に J.W.Tukey によって開発された

3

X (t) = 2 # {dF R (t, ~) cos ~t - dF I (t, ~) sin ~t}0

demodulation 法 17）（以下 CD 法と略記する）を

3（8）= 2 # | dF (t, ~) | cos {~t + { (t, ~)}適用している。

0となる。ただし， { (t, ~) = arctan {dF I (t, ~) /dF R (t, ~)}で2.1あり， { (t, ~) は - r # { (t, ~) # r で dF I (t, ~) と同符号に非定常パワースぺクトル密度関数の定義

なるように選ぶ。

非定常離率過程の非定常パワースぺクトル密度関数（以さらに式（8）の x (t)を近似的に次式によって表わす。

下では単に非定常スぺクトルという）を Priestly のevolutionary spectrum 理論によって定義する。ただし，

X (t) = 2

本論文で扱う非定常確率過程 X (t)は時間および周波数に| dF (t, ~ i ) | cos {~ i t + { (t, ~ i )}

（9）

i = 1

式（9）に CD 法を適用すれば dF (t, ~ i ) と { (t, ~ i )が得ら

対して，共にゆるやかに変化する確定的な変調関数（modulating function） A (t, ~)によってれ，さらに dF (t, ~ i ) が求まれば，式（6）によって X (t)の3

X (t) = # A (t, ~) e i~t dz (~)N（1）

非定常スぺクトル g X (t, ~ i )が得られる。
ただし，以降では ~ > 0 の領域でのみ定義される非定常-3と表わされるものとする。ただし式中の dz (~)は次式を満スぺクトル，いわゆる片側スぺクトル f X (t, ~)を X (t)の非たす直交関数である。

定常スぺクトル f X (t, ~)と考える。

E [dz (~ 1 ) dz * (~ 2 )] = *dG (~) (~ 1 = ~ 2 = ~)0 (~ 1 ! ~ 2 )

この場合

（2）

f X (t, ~ i ) D~ i = 2E [| dF (t, ~ i ) | 2 ]また， dz * (~) は dz (~) の共役複素数である。このとき（10）evolutionary spectrum g X (t, ~)は次式のように定義されとなる。ただし， D~ t はバンドバスフイルターの帶域である。

る。

g X (t, ~) d~ = | A (t, ~) | 2 dG (~)（3）

以上が非定常確率過程 x (t)に対する非定常スぺクトル解析法であるが，l つの確定時間関数 x (t)に対しても全く同様のプロセスによって，その非定常スぺクトル f x (t, ~)と2.2

CD 法を用いた非定常スぺクトルおよび位相の算定法

位相特性の時間的変化を求めることができる。すなわち，

式（1）において―132―

非定常スペクトル解析理論による構造物の動的特性の同定

f x (t, ~ i ) D~ i = 2 | dF (t, ~ i ) | 2（11）

力 y (t)も変調関数 G (t, ~)と直交過程 Y (~)によって次式のように表わされるものとする。

とすればよい。

3y (t) = # G (t, ~) e i~t dY (~)

なお，本研究では CD 法を利用する際に必要なフィルターとして Ormsby のフィルターを用いた。その詳細および本方法の妥当性については参考文献

14）に詳述されている。

3．非定常スペクトル応答解析法および変調関数の算

このとき y (t) の非定常スぺクトル f y (t, ~) は x (t) の非定
常スぺクトル f x (t, ~)とシステムの周波数応答関数 H (~)を用いて

f y (t, ~) = f x (t, ~)定法
従来，地震動を受ける構造物の応答解析においては，入力としての非定常特性を有する地震動を Jennings の包結

（13）

-3

| H (~) | 2 | G (t, ~) 2 || A (t, ~) | 2（14）なる関係式によって算定できる。
したがって A (t, ~)をなんらかの方法によって求めるこのような振幅の非定常性を表わす確定関数と定とができれば，次式によって 算定される G (t, ~)を式（14）常不規則関数の積によって表わすことが多かった。この場に用いて y (t)の非定常スぺクトルを求めることができる。

線関数

18）

合定常不規則変動外力に対するスぺクトル応答解析法をそ- i~xのまま利用することによって構造物の応答の非定常性を算G (t, ~) = # h (x) A (t - x, ~) e
dx
H (~)
-3

出することができるが，この方法ではあらゆる種類の地震

ここに h (x)は単位衝撃応答関数である。

3

（15）

動の非定常性，あるいはそれに対する構造物の応答の非定常性を正確に表現することはできない。これに対し，前述の方法によれば，非定常確率過程としての地震動の振幅，
周波数，位相の特性の非定常性を正確に把握できる。
さて，Hammond19）は， ジェットエンジンの吹き出し口付近の圧力変動を非定常不規則過程とみなして圧力変動解析を行うために，非定常不親則変動外力が非定常スぺク
トルで表現できるものとして線形 1 自由度系および線形多自由度振動系の入力・出力関係式を誘導している。しかし，外力の変調関数（modulating function） A (t, ~)について
は， A (t, ~) empirically derivedと述べているように，

2

A (t, ~) の平方根としている。すなわち，理論的根拠のない直観的な推論によって変調関数を実関数であるとして非定常スペクトル応答解析を行っている。その後
Shinozuka

18）

は，応答特性にその前提条件を付加することなく，形式的には Hammond と同様の関係式を導出している。しかし，上述の変調関数の具体的内容についてはな

変調関数の算定法

式（12）でdF (t, ~) = A (t, ~) dX (~)（16）とおけば，式（12）は3

x (t) = # e i~t dF (t, ~)

（17）

-3

となる。
さらに，

dF (t, ~) = | dF (t, ~) | e iz (t, ~)（18）とおけば，式（12）の代わりに
3x (t) = # | dF (t, ~) | e i (~ (t) + z (t, ~))

（19）

-3

が得られる。
ここで dF R (t, ~)と dF I (t, ~)をそれぞれ dF (t, ~)の実部と虚部とすれば，んら触れていない。

3.1

3.2

z (t, ~) = arctan )非定常スペクトル応答解析法

前述のように，Shinozuka は Hammond の示した非定
常不規則過程の入力一出力の関係式をより簡潔な方法で表dF I (t, ~)3
dF R (t, ~)

（20）

である。
さらに x (t)が実関数であることを考えれば，式（19）は次式のようになる。

現した。
いま，非定常不規則過程で与えられる入力 x (t)が3

x (t) = # A (t, ~) e dX (~)
i~t

3

x (t) = 2 # | dF (t, ~) | cos {~t + z (t, ~)}
（12）

-3

によって表わされるものとする。式中の A (t, ~)がここで問題としている変調関数であり， X (~)は直交過程である。
そして，この x (t)がある線形システムに作用したときの出
―133―

（21）

0

さらに式（21）の x (t)を次式で近似する。

x (t) = 2N

| dF (t, ~ i ) | cos {~ i t + z (t, ~ i )}

（22）

i = 1

さて，中心周波数が ~ i であるような狭帯域バンドパス

中山隆弘・鈴木悠紀賞・溝畑陽一・山光涼平

フィルターに x (t)を通し，得られた成分波を x i (t)と表せば，次式により与えられる。

式（22）より x i (t)はx i (t) = 2 | dF (t, ~ i ) | cos {~ i t + z (t, ~ i )}dX R (~ i ) = (2r/T) F X, R (~ i )dX I (~ i ) = (2r/T) F X, I (~ i )

（23）

（32）

ここに， F x, R (~ i ) ， F x, I (~ i ) はそれぞれ x (t) のフーリエ変換の実部と虚部である。

と近似的に与えられる。
式（23）の両辺にそれぞれ cos ~ i t を掛けて右辺を整理すしたがって 2.で述べた方法により dF R (t, ~ i )と dF I (t, ~ i )を求めれば， dF R (~ i )と dF I (~ i )は x i (t)のフーリエ係数でれば，x i (t) cos ~ i t = | dF (t, ~) | [ cos z (t, ~ i )+ cos {2~ i t + z (t, ~ i )}]（24）あるから，式（31）によって A (t, ~)の実部と虚部を求めることができる。

となる。同様に sin ~ i t を掛けると，

x i (t) sin ~ i t = | dF (t, ~) | [- sin z (t, ~ i )+ sin {2~ i t + z (t, ~ i )}]こ の よ う に し て 外 力 x (t) の 変 調 関 数 A (t, ~) の 実 部（25）

A R (t, ~)と虚部 A I (t, ~)を算出すれば，同定法で必要になる G (t, ~)を式（15）で，応答の非定常スペクトル f y (t, ~)を式（14）で算定することができる。

が得られる。
次に式（24）と式（25）のそれぞれにローパスフィルター処4．同定法

理 F を施して 2~ i の円振動数成分をカットすれば，F {x i (t) cos ~ i t} = | dF (t, ~ i ) | cos z (t, ~ i )4
F {x i (t) sin ~ i t} = - | dF (t, ~ i ) | sin z (t, ~ i )まず式（14）は（26）

f y (t, ~)| A (t, ~) | 2 = | H (~) | 2 | G (t, ~) | 2
f x (t, ~)なる関係式が成立する。これより，z (t, ~ i ) = arctan =- F {x i (t) sin ~ i t}G
F {x i (t) cos ~ i t}

（27）と変形できる。さらに式（33）を変形すれば

f y (t, ~)| A R + iA I | 2 = | H R + iH I | 2 | G R + iG I | 2
f x (t, ~)が得られる。

（28）

さらに変形すると，

f y (t, ~)| A R + iA I | 2 = | (HG) R + i (HG) I | 2
f x (t, ~)であることが理解できる。
すなわち， dF (t, ~ i )の実部と虚部は x (t)に 2 回のフィル（35）となり，実部と虚部とに分けると次の二つの式が得られる。

タ−処理を施すことによって求めることができる。したがってある ~ i の周波数に着目し，それに対する A (t, ~ i )を求めるには次のようにすればよい。
式（16）より，

f y (t, ~)A R = (HG) R
f x (t, ~)（36）

f y (t, ~)A I = (HG) I
f x (t, ~)（37）

また，単位衝撃応答関数を h (t)とすれば，不規則な外力

A (t, ~ i ) dX (~ i ) = dF (t, ~ i )P (t)が系に作用する場合の系の応答 y (t)はたたみこみ積分であるから， A (t, ~ i )の実部 A R (t, ~ i )と虚部 A I (t, ~ i )およを用いて次式で与えられる。

び dX (~ i )の実部 dX R (~ i )と虚部 dX I (~ i )を用いれば，{A R (t, ~ i ) + iA I (t, ~ i )} {dX R (~ i ) + idX I (~ i )}= dFR (t, ~ i ) + idF I (t, ~ i )（34）が得られる。ここに，添え字の R は実部， I は虚部を表す。

ここで式（20）と式（27）を比較することによって

dF R (t, ~ i ) = F {x i (t) cos ~ i t}
4
dF I (t, ~ i ) = - F {x i (t) sin ~ i t}

（33）

t

y (t) = # h (t - x) P (x) dx

（38）

0

（29）

地震動加速度を x (t)とすれば，式（12）より式（38）は，となる。そして式（29）の両辺の実部と虚部を対応させれば次式が得られる。
VR
S dX R (~ i ) - dX I (~ i ) W* A R (t, ~ i )4 = * dF R (t, ~ i )4 （30）
SS dX I (~ i ) dX R (~ i ) WW A I (t, ~ i )dF I (t, ~ i )X
T
したがって，V- 1
R
A R (t, ~ i )dX R (~ i ) - dX I (~ i ) W dF R (t, ~ i )*4 = SS*4（31）S dX I (~ i ) dX R (~ i ) WW dF I (t, ~ i )A I (t, ~ i )XTとなる。
また dX R (~ i )および dX I (~ i )は十分長い時間を T として式（38）の P (x)を地震力とみなし，さらに質点の質量を m，t

3y (t) = # h (t - x) = m # A (t, ~) e i~x dX (~) G dx
0

（39）

-3

となる。
ここで，式（39）と式（13）より
3

y (t) = # G (t, ~) e i~t dY (~)-3t3= # h (t - x) = m # A (t, ~) e i~t dX (~) G dx
0-3であることが理解できる。
―134―

（40）

非定常スペクトル解析理論による構造物の動的特性の同定

さらに， dY (~) = H (~) dX (~)として式（40）を整理するとなる。
式（48），式（49）の ~ k は着目周波数（rad/s）， x i は着目時と3

- i~ (t - x)

-3

H (~)

G (t, ~) = # h (t - x) A (t, ~) e

dx

（41）

が導ける。さらに H (~)を両辺に乗じると間（s）である。
この二つの式より，振動系の固有円振動数 ~ n と減衰定数 g を同定するための式（50）が得られる。

f y (t i , ~ k )A R (t i , ~ k ) 2 + A I (t i , ~ k ) 2 =f x (t i , ~ k )
V2
R
1
W
S
exp
{
g~
n (t - x j )}W
S j ~n 1 - g2
WSW
S # sin % ~ n 1 - g 2 (t i - x j )/W
SW
S # [A R ( tj , ~ k ) cos {~ k (t i - x j )}WS
S + A I (t j , ~ k )sin {~ k (t i - x j )}] Dx W
X
T
V2
R
1
W
S
exp
{
g~
n (t - x j )}W
S j ~n 1 - g2
WS
2W
+ S # sin % ~ n 1 - g (t i - x j )/WS
S # [- A R ( tj , ~ k ) sin {~ n (t i - x j )} W
WS
S + A I (t j , ~ k ) cos {~ k (t i - x j )}] Dx W
X
T
（50）

t

H (~) G (t, ~) = # h (t - x) : m : A (t, ~) e - i~ (t - x) dx（42）0となり，右辺を変形すると近似的に次式が成立する。

H (~) G (t, ~) =mh (t - x j ) {A R (t, ~) + iA I (t, ~)}

（43）

j

[ cos {~ (t - x)} - i sin {~ (t - x)}] Dx
このとき右辺の実部は

h (t - x j )(HG) R = m
j# 8 A R (t, ~) : cos {~ (t - x j )}（44）

+ A I (t, ~) : sin {~ (t - x j )}B Dx

式（50）には同定前には当然未知量である固有円振動数 ~ n

で，虚部は(HG) I = mと減衰定数 g の 2 つが含まれているので，本研究ではそれ

h (t - x j )j# 8- A R (t, ~) : sin {~ (t - x j )}（45）

+ A I (t, ~) : cos {~ (t - x j )}B : Dx

1 e - g~ (t - x ) sin ~ 'xnjm~ n '~n ' = ~n 1 - g

n

j

2

左 辺 の f y (t, ~) は 応 答 変 位 y (t) の 非 定 常 ス ペ ク ト ル ，

f x (t, ~) は入力地震動の加速度 x (t) の非定常スペクトル，となる。ここで，単位衝撃応答関数 h (t - x j )は

h (t - x j ) =らを試行錯誤法により求めることにした。

また A R (t, ~) ， A I (t, ~) はそれぞれ x (t) の変調関数の実部（46）と虚部であり，地震動加速度とその応答変位の非定常スペ
クトル解析によってすべて求めることができる。したがっ（47）て，右辺の値が左辺の値に一致するように ~ n と g を試行錯で与えられるので，式（44）に式（46）を代入すれば，式（36）

誤的に求めれば，それによって線形 1 自由度振動系の固有より式（48）が得られる。同様に，式（45）に式（46）を代入す

円振動数と減衰定数を同定することができる。

れば，式（37）より式（49）が誘導できる。

5．線形 1 自由度振動系の動的特性の同定

すなわち，式（36）は5.1

f y (t i , ~ k )A R (t i , ~ k ) =f x (t i , ~ k )1
exp {- g~ n (t - x j )}2
j ~n 1 - g# sin % ~ n 1 - g 2 (t i - x j )/概要

式（50）の同定式に基づいて地震動の作用を受ける線形 1
自由度振動系のモデルに対する数値解析を行った。すなわ（48）# [A R (t j , ~ k ) cos {~ k (t i - x j )}+ A I ( t j , ~ k ) sin {~ k (t i - x j )}] Dx

ち，本来であれば観測によって得られる応答変位 y (t)については，実測データではなく，あらかじめ固有振動数と減衰定数が既知である振動系の y (t)を時刻歴地震応答解析によって求めておいたものを使用した。そのことによって本となり，式（37）は同定法の妥当性を検証することとした。

f y (t i , ~ k )A I (t i , ~ k ) =f x (t i , ~ k )1
exp {- g~ n (t - x j )}2
j ~n 1 - g# sin % ~ n 1 - g 2 (t i - x j )/

5.2

数値解析

1）解析モデル（49）# [- A R (t j , ~ k ) sin {~ k (t i - x j )}+ A I (t j , ~ k ) cos {~ k (t i - x j )}] Dx

解析モデルの固有振動数 f n (Hz)および減衰定数 g については，それぞれ 2.5Hz，0.04 とした。また，入力地震波は
図− 1 〜図− 3 に示すように，EL-Centro 地震波（NS 成分），兵庫県南部地震波（神戸海洋気象台地盤上記録：―135―

中山隆弘・鈴木悠紀賞・溝畑陽一・山光涼平

NS 成分），宮城県沖地震波（開北橋周辺地盤上記録： NS

2r # 2.55 = 5.1r (rad/s)などとして解析した中から「左辺」

成分）とした。なお，各図には，時刻歴応答解析によってと「右辺」がもっとも良く一致したものを選んだものであ求めた振動系の応答変位 y (t)も示している。

り，この図より， ~ n が 5r (rad/s)，減衰定数 hが 0.04 のと

2）解析結果きに「左辺」と「右辺」が極めて良く一致していることが

各地震波の非定常スペクトルと変調関数をそれぞれ 2.2

分かる。

と 3.2 で述べた方法で，さらには応答変位の非定常スペク

同様に図− 4（b）および図− 4（c）は，それぞれ兵庫県南

トルを 2.2 に従って求め，式（50）によって振動系モデルの部地震波，宮城県沖地震波に対する結果である。これらの固有振動数と減衰定数を同定した。結果は次の通りである。

図からも ~ n が 5r (rad/s)，減衰定数 hが 0.04 のときに「左まず，図− 4（a）に EL-Centro 地震波に対する結果の一辺」と「右辺」が良好に一致していることが理解できる。

部を示す。図中の注釈欄で「左辺」として示した曲線は，

このように，式（50）の同定式によれば，地震波の特徴に

式（50）の左辺における着目周波数 ~ kを 2r # 2.5 = 5r (rad/s)

関わらず振動系の固有振動数と減衰定数を精度良く同定でとしたものであり，「 h = 0.02 + 0.06 」として示した各曲
線は，同式の右辺の ~ n を 5r (rad/s)と設定し，減衰定数 hをそれぞれ 0.02 + 0.06 として描いたものである。もちろん，
こ の 図 は ~ k を ， 2r # 2.45 = 4.9r (rad/s) ， あ る い は ，（a）EL-Centro 地震波

入力加速度

応答変位

図− 1 EL-Centro 地震波（b）兵庫県南部地震波
入力加速度

応答変位

図− 2 兵庫県南部地震波

入力加速度

応答変位

（c）宮城県沖地震波

図− 3 宮城県沖地震波

図− 4 解析結果―136―

非定常スペクトル解析理論による構造物の動的特性の同定きることが明らかとなった。

算しておき，それらを実測データとみなすことにした。
2）解析結果6．線形 2 自由度振動系モデルに対する同定法

まず 1 次モードの結果を図− 7（a）〜（c）に示す。これら::

6.1

は，それぞれ式（50）（ただし， x を b 1 z に， y を q1 に置き換

概要

上述のように，線形 1 自由度振動系でモデル化できる構

えて適用する必要がある）の右辺の固有振動数および減衰造物については，式（50）によって固有振動数と減衰定数を

定数を 0.800Hz，0.852Hz，0.900Hz と仮定したときの結果

高精度で同定できる。しかし，1 自由度でモデル化できるである。図− 7（b）の結果より，仮定した固有振動数と減構造物は限られているので，ここでは線形多自由度振動系

衰定数がモデルに等しい場合のみ，振動の継続時間全体のモデルへの拡張を念頭において線形 2 自由度振動系の動的時間領域で両辺の値がよく一致していることが分かる。

特性の同定法について言及する。

また 2 次モードについても図− 8（a）〜（c）のように，同様の結果が得られている。したがって，6.2 の方法を用い

6.2

同定法

ることで，線形 2 自由度振動系の場合でも，1 次モードお::モード解析の概念に従えば，地震加速度 z (t)の作用を受ける線形 2 自由度振動系における s 次モード(s = 1, 2)の振動方程式は次式で与えられる。
:::

よび 2 次モードの各固有振動数と各減衰定数を同定することが可能であると考えられる。
ただし，実際の構造物の場合，固有モード行列について::

q s (t) + 2hs ~ s q s (t) + ~ 2s q s (t) = - b s z (t)（51）

も未知であり，この問題の克服が今後の課題となる。

式中の q s ， ~ s ， hs ， b s は，それぞれ s 次モードの基準座
標，固有円振動数，減衰定数，刺激係数である。
このとき，質点 i の変位 y i (t)は式（52）によって計算できる。

y i (t) =q s (t) Y is

（52）

s = 1

式中の Y is は固有モード行列[Y]の各要素である。したがって，式（53）によれば，地震時における両質点の変位から基準座標 q1 (t)と q 2 (t)が計算できる。
V
R
q1
1
S1 - Y12 W y 1
（53）
* 4=
* 4
Y 11 - Y 12 SS- 1 Y11 WW y 2
q2XT
このとき，式（51）が線形 1 自由度振動系の振動方程式と図− 5 解析モデル

等価であることを考えれば，式（50）の同定式によって ~ Sと hs を同定することができる。

6.3

数値解析

1）解析モデル
6.2 で示した同定法の妥当性を数値解析によって検証することを目的にして，図− 5 に示す線形 2 自由度振動系モ（a） y 1 (t)デルに対する解析を行った。
固有値解析の結果，振動系の 1 次および 2 次の固有振動
数はそれぞれ 0.852Hz および 2.23Hz である。また，固有モード行列は式（54）の通りである。
V
V R
R
S Y 11 Y 12 W = S 0.618 - 1.618 W（54）
S Y 21 Y 22 W S1.00
1.00 W
X T
T
X
なお，入力地震波については前節で示した EL-Centro
地震波（NS 成分）を用いた。この場合も図− 6 に示すよ（b） y 2 (t)うに時刻歴応答解析によって y 1 (t)と y 2 (t)をあらかじめ計

図− 6 各質点の応答変位―137―中山隆弘・鈴木悠紀賞・溝畑陽一・山光涼平

7．結

地震動の加速度記録とそれによる振動系の変位記録の言

非定常スペクトル解析を行うことで固有振動数と減衰

本論文では非定常スペクトル解析理論を活用することに定数を精度良く同定できる同定式を誘導した。

より，地震動を受ける際の構造物の応答観測記録を用いて

2）あらかじめ固有振動数と減衰定数が既知の振動系モデ

その動的特性を同定する方法を提案し，数値解析の結果にルと複数の地震動に対する数値解析により，誘導した基づいてその妥当性を示した。

同定式の妥当性を検証した。

得られた結論を要約すれば次の通りである。

3）副次的ではあるが，2）の結論は，文献 21）において提1）線形 1 自由度振動系でモデル化できる構造物であれば，案した地震動の変調関数の算定法が妥当であることを（a）仮定固有振動数 0.800Hz（a）仮定固有振動数 2.10Hz（b）仮定固有振動数 0.852Hz（b）仮定固有振動数 2.23Hz（c）仮定固有振動数 0.900Hz（c）仮定固有振動数 2.30Hz

図− 7 1 次モードに対する解析結果

図− 8 2 次モードに対する解析結果―138―

非定常スペクトル解析理論による構造物の動的特性の同定示している。

定，土木学会論文集，No.647/I-51，pp.155-165，2000.4.

4）モード解析理論による線形多自由度振動モデルの固有

10）神田

順：一般建築物における地盤を考慮した動的

振動数および減衰定数の同定法を示した。ただし，固振動モデルに関する研究，平成 9 年度〜平成 11 年度

有モード行列の同定法が今後の重要な課題として残さ

科学研究費補助金研究報告書，2000.10.

れた。

11）安藤幸治，岩楯尚広：時間領域のモード解析による

なお，ここでは，できるだけ本論文のみで研究内容が理解できるよう，「土木学会論文集」に登載された論文の一部についても示したことを断りしておく。

謝
藤原建築事務所

振動系の動的特性の同定とその適用，土木学会論文集，No.450/I-20，pp.151-160，1992.7.
12）S. Hoffmann, K. Bergmeister, A.Strauss and M.
Presmayr: Identifying stiffness distribution by direct辞

influence measurements, Proc. of the 10th International

藤原豪紀博士には，研究遂行上欠かせConference on Applications of Statistics and

ない解析プログラムを提供していただくなど，絶大なるご

Probability in Civil Engineering, pp.589-590, Taylor

支援をいただいた。記して深甚なる謝意を表したい。また，& Francis, 2007.

本研究着手の時点でご協力をいただいた，当時本学大学院

13）G. S. Wang and F. K. Huang: Application of geneticに在籍していた松井稔昌氏（広建コンサルタンツ㈱）およalgorithm and local search method to structuralび山之内

dynamic system identification, Proc.

啓二氏（日本電子計算㈱）にも本紙面を借りて心より御礼を申し上げる。

参考International Conference on Applications of Statistics

文and Probability in Civil Engineering, pp.591-592,

献

Taylor & Francis, 2007.

01）広島県橋梁維持管理検討委員会報告書，広島県土木部
道路保全室，2007.3.
02）田村雄歩，岩上of the 10th明，松岡ィモデュレーション法による地震動の非定常スペクト
敬，中山隆弘：新しい鋼

構造物応力測定法，土木学会第 62 回年次学術講演会
講演概要集，Ⅰ-379，pp.753-754，2007.9.

ル解析，土木学会論文集，第 368 号/Ⅰ-5，pp.311-318，
1986.4.
15）Priestley, M. B. : Evolutionary Spectra and Non-

03）中山隆弘：全体的動向の解説，Intelligent Bridge/
Structure and Smart Monitoring に関する公開講演会
資料（構造工学技術シリーズ No.12），土木学会構造工学委員会，1997.10.
04）奥松俊博，岡林隆敏，中14）小松定夫，藤原豪紀，中山隆弘：コンプレックス・デ

stationary Processes, Jour. R. Statist. Soc. Ser. B,
Vol.27, pp.204-237, 1965.
16）Priestley, M. B.: Power Spectral Analysis of Nonstationary Random Processes, Jour. Sound Vib., Vol.6,

忠資，下妻達也，古賀進

No.1, pp.86-97, 1967.

一：遠隔モニタリングシステムによる鋼ランガー桁橋

17）Granger, C.W.J. : Spectral Analysis of Economic Time

振動数の長期観測，土木学会第 62 回年次学術講演会

Siries, Princeton Univ. Press, Chapt. 9, 10, 1964.

講演概要集，I-406，pp.807-808，2007.9.
05）星谷

18）Jennings, P. C., et al. : Simulated Earthquake Motions,

勝，斉藤悦郎：拡張カルマンフィルタを用いた

Earthquake Engineering Laboratory, CIT, Apr., 1968.

同定問題の各種振動系への応用，土木学会論文集，19）Hammond, J. K. : On the Response of Single and Multi-

No.339，pp.59-67，1983.11.
06）星谷 勝，丸山

degree of Freedom Systems of Non-satationary Random收：非線形構造系の地震時挙動特性

Excitations, J. Sound Vib., Vol.7, No.3, pp.393-416, 1968.

の同定，土木学会論文集，No.386/I-8，pp.397-405，20）Shinozuka, M. : Random Processes with Evolutionary

1987.10.
07）瀧本

幸，星谷

Power, Proc. of the ASCE, Vol.96, EM4, pp.543-545,
勝：カルマンフィルタを用いた非線形構造物の同定，土木学会論文集，No.556/I-38，
pp.179-187，1997.1.

21）中山隆弘，小松定夫，角田直行：構造振動系の非定常スペクトル応答解析法について，土木学会論文集，第08）佐藤忠信，竹井賢二：構造物の非定常動特性の漸化型
同定法，土木学会論文集，No.577/I-41，pp.65-73，
1997.10.
09）佐藤忠信，梶1970.

啓介：非線形構造物システムの線形同―139―

374 号/Ⅰ-6，pp.541-548，1986.10.