第 41 回の問題の解答編です。

【解答】

解答解説に入る前に簡単な問題の講評です。

(1)
台車の変位が x のときの加速度（右向き正）を a

第 41 回の問題は，(2) が難しく，ここから前へ進めなかった人が多かったかもしれません。ところが， とする。
(3) は (2) とはつながりがありません。しかも，(3)運動方程式
ma = - kx

はそれ程難しくありません。この (3) に手を付けることができたかどうかが，この問題で合格点を取る∴a=-

ための大きな鍵を握っています。どこの大学の問題ª ºkm2(x - 0)

よって，台車の運動は単振動となりでも，必ずしも前の設問が解けなければ後の設問が振動中心： xC = 0

解けないと言う訳ではありません（私の授業を受けている人は授業中に何回かそのことを聞いたはずで

km

角振動数： w =す）。難しい設問の後の設問が点数の稼ぎどころで

t = 0 に x = - A で台車から静かに手を離すことかある場合も少なくありません。入試直前ですので，ら特に受験生の皆さんはそのことを忘れずに試験を受

振幅 a = Aけるようにしてください。

初期位相 d =以上より1 つお詫びがあります。第 41 回の問題に誤植があ3pp （または d = - ）22x = xC + a sin(wt + d)

りました。(3) の下 3 行がxC， w ，a， d を代入して「コンデンサーを接続したときの台車の振動は，(2)で考察した場合に比べて，｛ ル ： 12台車の質量 ｝を数，2ヲ

ばね定数だけ｛ ワ：1，ばね定x = 0 + A sin（→イªºk3kt + p = - A costm2mの答）台車が右方に運動しているとき，誘導起電力は b か台車の質量 ｝させたときの振動と同じにら a に電流を流す向きとなるので，a が高，b が低なる。」

電位になる。（→ 1）（→｛となっていますが，正しくはヲ｝の答）

台車の変位が x のときの速度（右向き正）を v とする。
b を基準とした a の電位「コンデンサーを接続したときの台車の振動は，(1)で考察した場合に比べて，｛ ル ： 1ロ

ばね定数だけ｛ ワ：12台車の質量 ｝を増加2減少 ｝させたときの振動と同じになる。」

V = vBl，dxよりdtdx
V=Bldtx を代入して，v=となります。申し訳ありませんでした。

V = BlA（→1ハkksintmmの答）

よって，ジュール熱 W は，ばねの弾性力によるエネ(2)
一往復の運動を近似的に振幅 A の単振動と見なルギーから供給される。（→ 2）ホす。

（→｛w を用いてここでV = BlAw sin wt

DU ¢ =

抵抗での消費電力
V2
P=
RV を代入して( BlAw)2
P=sin 2 wt
R
一往復の間に抵抗 R で発生するジュール熱W =∫P を代入して2pw0となるのでW =x < 0 より（→2p2p1w
sin 2 wt dt
2p ∫ 0w

全エネルギー( BlAw)2 2p
W =sin 2 wt
Rw
1sin 2 wt = より
2p( BlA)2
W =w
Rw を代入してp( BlA)2
W =Rニ

E = U1 + U 3 + U 3
U1，U2，U3 を代入して
1
1
E = {m + C ( Bl)2 }v 2 + kx 222
よって，コンデンサーを接続することと，台車の質量を変化させることとは，台車の運動に関して同じkm働きをしている。（→ 2）（→｛の答）ヌ｝の答）

C = 0.10 [F ] ， l = 0.50 [m] ， B = 1.0 [Wb/ m 2 ] の と一往復の間の台車の運動エネルギーの変化を DK ，すると，コンデンサーを接続したときの台車の振動バネの弾性エネルギーの変化を DU とする。

は，(1) で考察した場合に比べて，台車の質量（→ 2）エネルギー関係を C ( Bl) = 2.5 × 10
2

- W = DK + DU
バネの弾性エネルギーの減少を DU ¢ = - DU とし，DK = 0 よりの答）

コンデンサーに蓄えられる静電エネルギー
1U 1 = C (vBl)22
ばねの弾性力による位置エネルギー
1U 2 = kx 22台車の運動エネルギー
1U 3 = mv 22（→ ト， チ ， リ の答）

sin 2 wt dt( BlAw)2 2p 1w
sin 2 wt dt
Rw 2p ∫ 0w
2sin wt の一周期の時間平均値（→ヘ2WkA2

台車の変位が x，速さが v のとき
2pw=

sin 2 wt を用いて

1
1kA2 - kx 222(3)( BlAw)∫0R

sin 2 wt =1
1kA2 - kx 222x = - A× 1 −Pdt
2W =｝の答）-2だけ増加（→ 1）させたときの振動と同じになる。
（→｛W = DU ¢2ル｝，ヲ，｛ワ｝の答）☆ (2) について【解説】
まず，【解答】について少し補足です。

「運動方程式」と「キルヒホッフの法則」から，「台(1) についてはほぼ問題ないでしょう。誘導起電力

車の運動の様子」，「エネルギー関係」について考察を考えるときに微分を使って良いものか迷った人もします。

いると思いますが，ここは微分を使わなければ，近運動方程式dvm= - kx - Bil  1dt
キルヒホッフの法則

似式を使って計算することになります。近似式が与えられている訳ではないですし，過程を書く必要がないので，遠慮せず微分しましょう。

vBl - Ri = 0  2(2) については積分を使って良いか迷った人が多◎エネルギー関係
dx
をかけて1 の両辺に v =dt
dvdx
mv= - kx- Bilv  2dt
dt
2 の両辺に i をかけていのではないでしょうか（(1) の微分以上に）。もしかすると，積分を使って良いか迷う以前に，「エネルギー関係」から抵抗のジュール熱を求めようとして失敗した人が多いのではないかと思います。「エネルギー関係」から抵抗のジュール熱を求めるのは

vBli - Ri 2 = 0  4

コンデンサー回路の問題では絶対に知っておかなけ

3，4 よりdvdx
mv= - kx
- Ri 2dtdt

ればならないことです。しかし，ここでは折り返し点の変位をエネルギー関係から求める必要がありまªd 1
1
mv 2 + kx 2
dt 22
両辺を t で積分して∴ - Ri 2 =す。抵抗のジュール熱は直接求めなければならないのです。ただし，解答では積分を使っている感じを少し和らげるために平均値を使っています。出題者º- W = DK + DUもおそらく平均値を使って解答することを想定してとなります。

いたのではないかと思います。(2) については後で詳◎台車の運動の様子しく説明します。

2 より(3) については最初の 3 つの設問は驚きでしょう。
(2) ができなくても挫けず (3) を解こうとした人へのBlv
R
1 に代入してdvBlm= - kx - Bv ldt
Rdv ( Bl)2∴m+v + kx = 0dt
Rdx
v=
よりdt
d 2 x ( Bl)2 dx
m 2 ++ kx = 0dt
R dt
i=ª º

ご褒美です。ここに手を付けることができたかどうかで大きさ差が付くでしょう。この問題は，個人的にとても好きな問題なのですが，1 つだけ残念だったのが (3) の最後でこの振動の周期を問う設問がなかったことです。京大の先生が作成された問題に対して意見するなんて生意気ですが。

d 2 x ( Bl)2 dx
k++x=02dt
mR dtmこれは「斉次の定数係数２階線形微分方程式」です。
∴では，ここで「斉次の定数係数２階線形微分方程式」の一般論について説明しましょう。

3

「斉次の定数係数２階線形微分方程式」の解法(ii) a 2 - 4b > 0 のとき

斉次の定数係数２階線形微分方程式
d2xdx+a+ bx = 0dt 2dt(i) a 2 - 4b < 0 のとき

x の 2 次方程式 x 2 + ax + b = 0 は相異なる 2 つの実数解を持つ。その 2 解を a ， b とする。
解と係数の関係より
a = - (a + b)b = aby = e kt x とおくとx = e - kt yªªdxdy= e - kt - ky +dtdtºd2xdy d 2 y= e - kt k 2 y - 2kk+ 22dt
dtdtとなるので
dy d 2 ye - kt k 2 y - 2 k+ 2dt
dtªºªd2xdx+a+ bx = 0 を書き直すと
2dt
dt
d2x
dx
- (a + b)+ abx = 0dt 2dtこの式を変形して
これよりºªªº ªº ªd dx
dx- bx = a
- bx
dt dt
dtººº

d dx
dx
- ax = b- ax
dy- ktdt dt
dt+ ae- ky ++ be y = 0dt
これらの微分方程式の一般解
2d ydydx
2∴ 2 + (a - 2 k)
+ (k − ak + b)y = 0- bx = D1 e at  1dtdtdt
ここで a - 2 k = 0 となるように k をとる，すなわち
dx- ax = D2 e bt  2
1dt
k = a とすると
2（D1，D2：積分定数）
1 2
1
1 - 2 より
k 2 - ak + b =a -a a +b22(a - b)x = D1 e at - D2 e bt
1= (4 b - a 2 )4D1(- D2 ) bt
∴x=e at +eとなるので
a-ba-b2d y 1
改めて+ (4 b - a 2 )y = 0
D1dt 24C1 =a-bd2y1∴ 2 = - (4 b - a 2 )ydt
4(- D2 )C2 =a 2 - 4b < 0 より 4b - a 2 > 0 だから
a-b2とおくとd y1=4b - a 2 2 y2dt
2x = C1 e at + C2 e bt（→単振動の微分方程式）（→過減衰）
この微分方程式の一般解- ktª º ª ºªº”ªº ’

14b - a 2 t + d
2（A：振幅， d ：初期位相）
1y = e kt x と k = a より
21at
1A sin4b - a 2 t + d = e 2 x
2y = A sin”ª1- at∴ x = e 2 A sin（→減衰振動）”ªº ’º ’

14b - a 2 t + d24

こ の 問 題 の 場 合，「 抵 抗 R が 大 き く 」 と あ り(iii) a 2 - 4b = 0 のとき
x の 2 次方程式 x 2 + ax + b = 0 は重解を持つ。そのd 2 x ( Bl)2 dx
kx=0 に お い++dt 2
mR dtmdx( Bl)2ての係数が 小 さ く な り ま す。 よ っ て，
dtmRd2xdx
dx+a+ bx = 0 においての係数 a が小さ2dtdtdt
ま す の で，重解を a とする。
解と係数の関係より
a = - 2ab = a2い場合に相当します。すると a 2 - 4b < 0 と考えるこ

d2xdx+a+ bx = 0 を書き直すとdt 2dtd2xdx- 2a+ a2x = 02dtdt
この式を変形してこれよりªº ªd dxdx- ax = a- axdt dtdt
この微分方程式の一般解
dx- ax = De atdt
（D：積分定数）とができ，この問題において台車の運動は「減衰振動」になります。さらに言うと，「減衰振動」の一
1- at

般 解 x = e 2 A sinº”ªº ’

14b - a 2 t + d に お い て，
21- ata が小さいことから e 2 の部分の変化が緩やかなため，「台車は x = - A から動き始め，再び x = - Aの近傍に戻って折り返した」ことになる訳です。

両辺に e - at をかけてdx
e - at- ae - at x = Ddtd∴ (e - at x) = Ddt
両辺を t で積分して以上で解答解説は終了です。
「減衰振動」の一般解を高校生が理解できる解法で説明しましたが，大学生向けの説明でも，解の形を仮定する方法，複素関数論の理解が十分でない学

e - at x = Dt + C

生が多いにも関わらず（理学部で数学を専攻してい∴ x = ( Dt + C )e at

ない学生が複素関数論を十分に理解することはなか（C：積分定数）iq
なか難しいです） e = cos q + i sin q を用いた方法（→臨界減衰）がほとんどで，納得のいく説明に出会うことはなかなかないかもしれません。理学部や工学部の物理系に進む人は，大学生になって「減衰振動」と再会す以上が「斉次の定数係数２階線形微分方程式」のる可能性が高いと思われます。そのときに理解に苦一般論です。

しんでいる友達がいたときに今回の説明で教えてあげると感謝されるかもしれませんよ（笑）
それでは受験生の皆さんの健闘を祈ります！

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