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題目(和文)

パーフェクトイド、対数的正則性と可換環論

Title(English)

Perfectoids, log-regularity, and commutative ring theory

著者(和文)

伊城慎之介

Author(English)

Shinnosuke Ishiro

出典(和文)

学位:博士(理学),学位授与機関:東京工業大学,
報告番号:甲第12636号,
授与年月日:2024年3月26日,
学位の種別:課程博士,
審査員:下元 数馬,落合 理,田口 雄一郎,内藤 聡,鈴木 正俊

Citation(English)

Degree:Doctor (Science),Conferring organization: Tokyo Institute of Technology,
Report number:甲第12636号,
Conferred date:2024/3/26,
Degree Type:Course doctor,Examiner:,,,,

学位種別(和文)

博士論文

Category(English)

Doctoral Thesis

種別(和文)

論文要旨

Type(English)Summary

Powered by T2R2 (Tokyo Institute Research Repository)

（博士課程）Doctoral Program論 文 要 旨ＴＨＥＳＩＳ ＳＵＭＭＡＲＹ系・コース：
Department of, Graduate major in

数学
数学

学生氏名：
Student’s Name系コース

伊城 慎之介申請学位（専攻分野）： 博士
Academic Degree Requested

審査員主査：
Chief Examiner

Doctor of（ 理学 ）下元 数馬

要旨（和文 2000 字程度）
Thesis Summary （approx.2000 Japanese Characters ）2016 年に Yves André によって混標数の可換環論における長年の懸案であった「直和因子予想」が解決された。その証明に用いられた理論は、Peter Scholze によって構築されたパーフェクトイド理論である。パーフェクトイド理論を用いた手法は、その後 Bhargav Bhatt や Linquan Ma, Karl Schwede らによって混標数の特異点の研究に応用された。これらの一連の研究によって混標数の可換環論のさらなる発展が期待されている。本論文では混標数の可換環論に関する二つの話題を扱う。
一つ目の話題は可換環論的な手法を用いた対数的正則局所環の研究である。対数的正則局所環は、ベースを持たないトーリック多様体の理論を構築するために、加藤和也によって導入された可換環である。対数的正則局所環の基本的な性質は加藤や Ofer Gabber、Lorenzo Ramero によって研究されてきた。しかし証明には代数幾何学や整数論など可換環論以外の道具が必要である。そこで、本論文では可換環論の手法のみを駆使して対数的正則局所環に関する次の二つの性質を解明した。
一つは対数的正則局所環の正準加群の構造である。正準加群は可換環論の重要な研究対象であり、特に Gorenstein 性などの可換環の双対性を調べる際に重要な役割を果たす。半群環の場合は正準加群の構造が既にわかっており、半群環の正準加群はそのモノイドが生成する錐体の相対内部で生成されることが知られている。完備対数的正則局所環は、完備な半群環やその準同型像と同型になることが知られている（加藤の構造定理）。私はこの構造定理を応用することで、対数的正則局所環の正準加群が付随するモノイドで生成される錐体の相対内部で生成されることを証明した。またその応用として対数的正則局所環が Gorenstein 環になるための必要十分条件を与え、特に付随するモノイドが二次元のとき、完備 Gorenstein 対数的正則局所環の具体的な表示を与えた。
もう一つは対数的正則局所環の因子類群の構造及びその有限生成性である。一般には可換環の完備化の因子類群とその完備化の因子類群は同型にならず、完備化に帰着させることができない。この部分は可換環の因子類群のみではなくモノイドの因子類群も考えることにより、対数的構造から誘導されるモノイドの因子類群から対数的正則局所環の因子類群への群準同型写像が同型になることを証明することで解決した。さらに Chouinard によって示されたモノイド代数の因子類群とモノイドの因子類群の同型を組み合わせることで、モノイド代数の因子類群と対数的正則局所環の因子類群の同型が得られる。
これにより対数的正則局所環の因子類群が有限生成であることを証明した。対数的正則局所環の正準加群の存在性や因子類群の構造は、既に Gabber と Ramero によって未出版の論文の中で証明されている。しかし、彼らの証明は代数幾何学を用いた難解な証明である。本論文で与えた証明は、既存の可換環論の手法を応用した初等的な別証明となっている。
二つ目の話題はネーター的なパーフェクトイド理論の構築とその応用である。パーフェクトイド理論の重要性の一つは傾化対応にある。傾化対応とは混標数と正標数のパーフェクトイド環を繋ぐ重要な操作であり、傾化対応を応用することで混標数の未解決問題を正標数の解決済みの問題に帰着させることができる。しかし、従来のパーフェクトイド理論や傾化対応は非ネーター的な対象にしか適用できない。そのためネーター的な対象を主な研究対象としている可換環論では、パーフェクトイド理論の適用範囲が限られる。このような困難を対処するために、下元数馬氏（東京工業大学）と仲里渓氏（株式会社Proxima Technology）との共同研究で、パーフェクトイド塔とその傾化を導入した。パーフェクトイド塔とはいくつかの公理を満たす順系であり、現在知られている、ネーター環からパーフェクトイド環を作るときに考える順系の多くはパーフェクトイド塔である。さらに、パーフェクトイド塔の公理から誘導される写像（Frobenius 射影）を用いて、パーフェクトイド塔の傾化を導入した。パーフェクトイド塔の傾化を応用することで、混標数のパーフェクトイド塔から正標数のパーフェクトイド塔を構成することができ、ネーター性などの多くの性質が傾化によって遺伝することを明らかにした。パーフェクトイド塔とその傾化の応用として、可換環のコホモロジー理論への二つの応用を与えた。一つは混標数のネーター正規局所整域のエタールコホモロジーの有限性である。特にパーフェクトイド塔の傾化のエタールコホモロジーが有限ならば、パーフェクトイド塔のエタールコホモロジーが有限であることを示した。二つ目は混標数の正則局所環からなるパーフェクトイド塔の局所コホモロジー次元とその傾化の局所コホモロジー次元の比較である。これは Mohsen Asgharzadeh 氏、下元数馬氏との共同研究の内容を、パーフェクトイド塔の理論を用いて一部再証明したものである。特に局所コホモロジーに関するある種の有限性を課すことで、未解決問題として残されている混標数の局所コホモロジーの第二消滅定理を部分的に解決した。
備考：論文要旨は、和文 2000 字と英文 300 語を 1 部ずつ提出するか、もしくは英文 800 語を 1 部提出してください。
Note : Thesis Summary should be submitted in either a copy of2000 Japanese Characters and 300 Words (English) or 1copy of 800

Words (English).
注意：論文要旨は、東工大リサーチリポジトリ（T2R2）にてインターネット公表されますので、公表可能な範囲の内容で作成してください。
Attention: Thesis Summary will be published on Tokyo Tech Research Repository

Website (T2R2).

（博士課程）Doctoral Program論 文 要 旨ＴＨＥＳＩＳ ＳＵＭＭＡＲＹ

系・コース：
Department of, Graduate major in

数学
数学

学生氏名：
Student’s Name系コース

伊城 慎之介申請学位（専攻分野）： 博士
Academic Degree Requested

審査員主査：
Chief Examiner

Doctor of（ 理学 ）下元 数馬

要旨（英文 300 語程度）
Thesis Summary （approx.300 English Words ）In this thesis, we primarily address two topics for commutative ring theory in mixed characteristic.
The first topic involves analyzing ring-theoretic properties of local log-regular rings. Kazuya Kato
introduced the class of local log-regular rings to establish the base-free theory of toric varieties.
In this thesis, we prove the two results of local log-regular rings using ring-theoretical
approaches.
The first is a structure theorem for the canonical modules. Gabber and Ramero established theexistence of canonical modules of local log-regular rings using algebraic geometry. We can not only
prove the existence but also determine the form of generators of canonical modules. As an application,
we give a criterion for the Gorenstein property of local log-regular rings.
Next, we present a structure theorem for the divisor class groups of local log-regular rings, which
was already proved by Gabber and Ramero. However, while their proof uses algebraic geometry, ourproof uses only the classical result in commutative ring theory. Computing the divisor class groupof a Noetherian normal domain is usually difficult because it is not isomorphic to the divisor classgroup of its completion. However, this difficulty is handled by considering the divisor class groupsof monoids.
The second topic aims to establish a Noetherian perfectoid theory. We introduce direct systems
called perfectoid towers and their tilts. These tools enable us to establish a comparison method
between Noetherian rings in mixed characteristic and those in positive characteristic. Therefore,
our treatment gives the Noetherization of the original perfectoid theory. As applications, we prove
two cohomological results. The first is the comparison between étale cohomology groups of perfectoidtowers and those of their corresponding tilts. More precisely, we present the finiteness result ofétale cohomology groups in mixed characteristic. The second is the comparison between the local
cohomological dimension of a perfectoid tower consisting of regular local rings and theircorresponding tilts. We can apply this result to prove a special important case of the second
vanishing theorem of local cohomology modules. Indeed, we provide a partial answer to the second
vanishing theorem in mixed characteriatic.

備考 : 論文要旨は、和文 2000 字と英文 300 語を 1 部ずつ提出するか、もしくは英文 800 語を 1 部提出してください。
Note : Thesis Summary should be submitted in either a copy of2000 Japanese Characters and 300 Words (English) or 1copy of 800

Words (English).
注意：論文要旨は、東工大リサーチリポジトリ（T2R2）にてインターネット公表されますので、公表可能な範囲の内容で作成してください。
Attention: Thesis Summary will be published on Tokyo Tech Research Repository

Website (T2R2).