てこ比に基づいた「外れ値」の検出
一法科大学院適性試験での事例一
杉澤武俊，椎名久美子（大学入試センター研究開発部）

法科大学院適性試験の得点データに対して，てこ比による基準を用いて外れ値の検出を行った。過去4回分のいずれの試験においても，散布図を目視した場合よりも多くのデータが外れ値として検出された。また，本ケースではてこ比によって機械的に外れ値を除外しても相関分析には実質的な影響を及ぼさなかった。さらに，外れ値と見なされた受験者の学部類型に着目することで，平均点の比較では表れてこなかった受験者集団の定性的な差異を検討し，試験問題を改善する新たな視点を与える可能性があることが示唆された。
1．はじめに1

入試研究では,さまざまな相関分析がなされる機会が多い。例えば，試験の科目間の相関，どのようなデータが｢外れ値」として検出されるか2．

検出された「外れ値」を機械的に除外する

センター試験と2次試験の得点間の相関,入試と相関係数をはじめとする分析結果にど成績と入学後の学業成績との間の相関等を求のような影響があるかめることによって,試験問題の妥当性の検討な3．

どを行う基礎的な資料となる。相関係数は,外検出された｢外れ値｣から試験問題や受験者等の性質について示唆が得られるかれ値,選抜効果,層別化の効果などの影響を非常に受けやすい指標であることが知られていということについて検討する。

るが,入試研究で扱われるデータはこれらの要因によって相関係数の値が歪められることが2.てこ比の定義と「外れ値」検出の基準多いと考えられる｡本研究ではこれらの要因のうち，外れ値に着目する。

繁桝･柳井・森(1999)はてこ比の値を求めるための計算法をいくつか紹介しているが,例え外れ値とは分布全体から大きく離れたデータのことを指す｡相関分析がなされるような多ば主成分分析に基づいて以下のように定義することができる。

変数を扱う場合では,個々の変数単独の分布で見たときには外れ値になら潅いが,多変数を総1．変数の個数をp個とし,その〃変数の相関合的に見ると全体の分布から大きく離れた｢多係数行列について主成分分析を行う。

変量外れ値」（伊藤2006）となって相関係数2.p個の主成分得点を平均が0,分散が1とに影響を及ぼす場合がある。

なるように標準化した得点をそれぞれZ11

どのようなデータを外れ値と見なすかについては目視によって主観的に判定する方法のZZ#…,ZPで表す。
3．

他にも,統計的な基準を用いたものも提案され各受験者の標準化された主成分得点の平方和を全受験者数(M 割った値ている｡本研究では,外れ値検出の方法として，
ji=統計的な指標である「てこ比」を基準として用いた場合に，212 +222 +… +2"2Ⅳをその受験者のてこ比とする。

こうして求めたてこ比は，(1)0≦方≦1および－191－

大学入試研究ジャーナル第17号

後半のデータがてこ比の基準によって外れ値(2)アー＃という性質を持つ。と見なされたことがわかる。

データが分布の中心から離れていくほどてこ比の値は大きくなるが,てこ比がいくら以上なら「外れ値」と見なすかということについて

一 一 配

圭一１１５１６１７試 例 試 試本 特 本 本・５(1978)はル≧2丁=2烏となるﾃｰﾀを外中一成 成 成 成平 平 平 平は明確な基準はなく,いくつかの異なる目安が提案されている。例えば, Hoaglin and Welsch

表1てこ比で外れ値と見なされた受験者数－－－ －-一一

一一巴､一一 一一 一 一

全受験者

外れ値

割合(%）

28,325

3,562

12．6

7,174

925

12．9

21,298

2,921

13．7

17,791

2,413

13．6

れ値と見なすという目安を提案している。
3.法科大学院適性試験データを用いた適用例「てこ比｣を用いた外れ値検出の適用例として,大学入試センターが調査研究の一環として実施している法科大学院適性試験（以下，「適性試験｣）のデータを用いた結果について紹介する。

ある（図中のA～Dについては後述)。
Ａ』

ｏＱ園§ＣＯ

○○〔Ｕ○

第２部得点

適性試験とは，「法律学についての知識ではなく,法科大学院における履修の前提として要求される判断力，思考力，分析力，表現力等の資質を試す」（司法制度改革審議会，2001）ことを目的として作成されており，平成15年から実施されている。試験科目は第1部「推論・分析力｣，第2部「読解・表現力」の2部構成である（各部50点満点，総合100点満点)。
本研究では,平成15～17年度の本試験および通常｢外れ値」と呼ばれるのはごく少数のデータであることを考えると，この割合は,やや多いように感じられる｡それでは一体どのようなデータが外れ値として検出されたのであろうか。そこで，ある年度の試験を例に，てこ比による基準でどのようなデータが外れ値と見なされるのかを散布図で示したものが図1で平成15年度に行われた特例措置試験の4回分○の試験を対象とし,第1部と第2部の相関関係を分析する場合の外れ値について考える。
本研究では, Hoaglin and Welsch(1973に，基づいて,てこ比の値が〃≧2%=莞となる受験者のデータを｢外れ値」と見なすことにす

第1部得点

図1てこ比により外れ値と見なされたデータる。

3.1「外れ値」として検出されるデータ

各受験者のてこ比を算出し，「外れ値」とみなされた受験者数を表1に示す。平成15年度の本試および特例では12％台後半,平成16お
よび17年度はそれよりもやや増加して13％台

てこ比の算出方法と合わせて考えると,分布において各主成分を軸としたある一定の大きさの楕円の外側にあるデータが外れ値とみなされることがわかる｡外れ値とそうでないデー
タの境界付近は分布が連続しており，目視による方法では通常外れ値とはみなされないと思－192－

てこ比に基づいた「外れ値」の検出われるデータであっても外れ値として検出さ係数の差の検定を行ってみても統計的に有意れ得る。

また,外れ値とみなされるデータは全方向的な差ではない。もともとのデータにおいて,極端な外れ値が存在しないことや,受験者数が非に広がっている。すなわち，適性試験の場合，常に多いためにごく少数の外れ値があってもてこ比によって外れ値とみなされるデータの全体として影響が弱いことなどが理由として得点パターンとして，（各カテゴリ間の境界は考えられる。極端な外れ値がない場合は，てこ明確には決められないが）大雑把に分けると，比に基づいて機械的に「外れ値」を削除しても以下のようなものがあるといえる（図のA～D相関係数の大きさについて考える上では特にに対応)。

支障は生じないともいえるであろう。

●A:第1部。第2部とも得点が高い●B：第1部に比べて第2部の得点が高い(読解・表現の問題に強い）

3.3「外れ値」に着目した試験問題。受験者
集団の性質の分析●C:第2部に比べて第1部の得点が高い(推論・分析の問題に強い）

前節ではてこ比に基づいて｢外れ値」を除外しても相関係数にはほとんど影響しなかった●D:第1部・第2部とも得点が低いが，このようなケースでは「外れ値」について考慮する意義はないのであろうか｡そこで,｢外3.2外れ値除外時の相関係数への影響れ値｣と見なされた受験者の属性に着目するこ

各回において外れ値を除外する前後の各種統計量の値を表2に示す。平均点についてはとで得られる示唆について検討する。

外れ値を除外する前後でほとんど変化がなく，標準偏差については外れ値除外すると概ね除外前の0．85倍前後の値になっている。また，最高点や最低点も変化し,特に第2部の最低点

適性試験では出願時に,受験者の出身学部類型として「法学部」「法学部以外の文系学部」「理系学部｣のどれに当てはまるかを自己申告させている（ただし，平成15年度の試験では受験資格の区分によっては学部類型の別を記が大きく引き上げられていることがわかる｡相関係数についてみると,外れ値除外後の値は平成15年度特例試験を除いてわずかに増大しているが，実質的にはほとんど変化がなく，相関入しなくてもよいケースがある)。ここでは，受験者の属性として,この出身学部類型に着目したときに外れ値の出現の仕方に特徴があるかを調べてみることとする。

表2外れ値除外前後の各種統計量の値

第1部得点

人数

033．48

7．91

50

0．599

6,249

7．28

43

10

34．35

6．49

49

18．592

21,298

8．43

50

0

27．42

7．19

49

2．479

18,377

7．17

42

9

27 57

6．05

41

14．493２

8 30501

0129 877 1250

0410

２

7 02

16

419

９
８
６

15,3781８
５
６

17,791

２
３５

本試

50

２

平成17

8．61

24,763

最高

最低

平均

SD

最高

9．19

50

0

34．18

6．88

50

7．96

47

1134．88

567

最低
2．550

47

21．560壼ﾄ器＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

２
３５

本試

26.31

２

平成16

7,174

28,325

０８６特例SD２

平成15

相関係数
相関係鞠一》｜認

本試

緬一雑一緬一峠一緬一鯲一胸一雑

平成15

第2部得点

43110130.1副5．94－193－44

大学入試研究ジャーナル第17号

表3～表6に各実施回における学部類型別の外れ値の割合を示す｡どの回においても法学部出見なされる割合がわずかに多いことがわかる。
平成15年度の特例措置試験は理系学部とそれ身者と法学部以外の文系学部出身者の外れ値以外の学部の差が若干大きくなっているが本の割合は同程度で,理系学部出身者は外れ値と質的な違いではない。

表3平成15年度本試験における学部類型別の外れ値の割合
法学部 文系学部

無記入

‘

合計

７－０

６－２

3,562

557

28,325－１

口2,646－

』

ニー

ロ

ロ

ー

２－４－

口

■

7,920

８－４
３－１

一口』

』

』

４－２

17,202４－３０－１口

一口１－一一一

９－０

６－２０－１

一一

口２一ロ

壷

ー一一

酉直一紛

州一洲

全体

理系学部

表4平成15年度特例試験における学部類型別の外れ値の割合
法学部 文系学部 理系学部
429
312151

外れ値

無記入
33

合計
925

－ ー ー一一 ー一一-一＝ ー■■■■■■ 一一一‐ロ ー ＝■■ ーー 一 一ー‐ ｰ‐ー ｰ■■ーーーー－ －■ ＝ ー■■ー ‐ ■ 一一‐や■■＝ ロー ーー ーー ー‐ ロ ー ーーー■■■■ ー ー

割合(%）

12．2

12．4

16．0

17．4

全体

3,517

2,522

945

190

7,174

表5平成16年度本試験における学部類型別の外れ値の割合
法学部 文系学部 理系学部

合計

1,765

2,921

外れ値

826

330

一一ー‐‐ ‐ロ ー－口 画一■■ 一一一‐＝■一一ー ｰ‐一 一‐■ ー‐‐ ー■■ ー ‐ ‐ ぬ 一一 一一 一 一 一 一一一 ＝ ‐つ ーーー 一角 ＝

割合(%）

13．4

全体

13,21913．9

15．65,9642,11521,298）

表6平成17年度本試験における学部類型別の外れ値の割合
４－９

一一17,791

口1，410

一2,413。

合計

二例えばある年度の試験について,学部類型別に外れ値とみなされた受験者を散布図で表す②4,386

一０－５二』

一11,995

９－３
５－１

一毎

口

一ロ

９－３

毎

－

刷一凪

一１－一

口

一や一一』

一

値一棚
れ一合
外一割
全体

理系学部

翠一躯

法学部 文系学部

常に少ないことがわかる｡この傾向はどの年度の試験においても共通している。すなわち，理きる割に推論･分析型の問題が苦手」という受験者に比べて，「推論・分析型の問題はよくできる割に読解･表現型の問題が苦手」という受験者がかなり多いということがわかる。
また,参考として，第1部と第2部を合計した総合得点の学部類型別平均点と標準偏差を表7に示す。どの回においても学部類型間差は非常に小さく,特に法学部出身者と理系学部系学部出身者は｢読解･表現型の問題はよくで出身者は平均点の観点から見る限りはほとんと，図2のようになる。

散布図より，理系学部出身者は,法学部や他の文系学部の出身者に比べると図1で示したAやCのパターンが多く,Bのパターンが非－194－

てこ比に基づいた「外れ値」の検出ど等質の集団であるといえる。つまり，平均点点からは現状においても一定以上の水準でそには表れてこない一種の定性的な受験者集団の目標を達成しているといえる。しかし，このの特徴が,外れ値に着目することで見えてくるような外れ値に着目した分析を詳細に行うこ可能性があることを示唆している｡この適性試とで,試験問題をさらによりよいものへと改善

験は,学部段階での専門分野の影響が生じないする方向性を与えてくれるものと考えられる。

ことを目標として作成されており,平均点の観表7学部類型別の総合得点の平均点（上段）

法学部と標準偏差（下段括弧内）◎◎ 、霧。◎･掴識『。

溌§p蝋輝…蝉瀞。

8O、

◎ず

“識 ：§

H15特例

蕊詮陽鎚醗坤
雷．。
”

H15本試

ロｇｏ

第２部得点

、一鵜

６，

澱一o8
q

9X" 蟇蕊瀧蠅

。。

。

H16本試

＄Coo

第1部得点

H17本試

法学部

文系学部

理系学部

64.02

60．76

64.09

（14.13）(14.10）(14.04）

60.77

57．96

61．77

（14.69）(14.54）(15.04）

53.76

50．31

53．24

（13.45）(13.14）(13.46）

57.27

54．21

56．48

（12.96）(12.62）(13.17）

文系学部○4.外れ値検出の基準に関する考察｡

前節ではHoaglm and Welsch(1978)の基準◎

◎

Oふ．

簔

刈匿電。

割以上が｢外れ値」というのはやや違和感がある。本研究と同様に，てこ比に基づいた外れ値の検出を行っている柳井・伊藤(2006)ではル≧l .5(pIN)を外れ値の基準としているが，このよ0．

を用いて外れ値の検出を行ったが，全体の1。

８織謬

第２部得点

８ｍも８§針廃９照・や。

§畠嬰『◎恥一ｆ噌鈩←侭恥

Q o O C

うにデータの性質に合わせて異なる基準を用第1部得点いることも考えられる。そこで,外れ値の基準として，てこ比の平均値い〃の3倍以上(ﾙ≧3(p"V))および5倍以上（〃≧5@う伽）としたと理系学部。

◎◎。

◎口ｏ翅側訣・砿手
扉四ｎ画。◎

一蒲函◎ｎＤやも。

聡地蝋璽圃熊韓詐◎口〕、ｏ、○Ｒ》。

◎ｏタβ℃◎屯○・週・戟

第２部得点。。。、玲庁。Ｒ〕◎

きの外れ値の割合および外れ値除外時の相関ロ◎係数について調べてみた結果が表8である。

表中の「基準」は，てこ比が〃≧α(pW)のデータを外れ値とする場合のαの値である。

表より，ル≧3(p伽を外れ値の基準とした場
合で4.0～4.6％，〃≧5(pW)の場合でも0.3~0.7％のデータが外れ値として検出され，基準◎をかなり厳しくしてもある程度のデータは外第1部得点

図2学部類型別の外れ値出現パターンれ値として検出されることがわかる。図3は図1のデータに「基準5」を適用した場合の外－195－

大学入試研究ジャーナル第17号

れ値の散布図であるが，「外れ値」としてより違和感の小さいものとなっているといえるであろう。また,Aのパターンの外れ値がほとんどなくなっていることがわかる｡外れ値除外時の相関係数については，平成16年度の「基準3」の場合のみ5％水準で有意な相関係数の変化が見られるが,その場合でも変化屋としては非常に小さく,本研究で用いたデータに関しては全体として｢外れ値｣を除外しても相関係数にはほとんど影響しないといえる。

表8外れ値検出の基準を変えた場合
基準332､598547．601

3850

４566０3823４572

して検出されたデータを機械的に除外しても相関係数にはほとんど影響を与えないことが示唆された。

外れ値として検出される受験者というのはある意味で特徴的な得点パターンをとっていて,それ自体が何らかの情報を持っていると考えることもできる｡このような受験者の属性等に着目することによって,平均点には表れない受験者集団の性質を把握できる可能性がある。
外れ値の出現パターンは受験者および試験問題の性質の相互作用によって生じるものと考文献

４０485６497

えることができるため,外れ値自体を積極的に分析していくことによって,試験問題を改善する方向性を示すことにも役立つ重要な情報を提供してくれることが期待される。

｜““

3ない場合には,てこ比の基準によって外れ値と３．547

０●0.7

また,受験者数が多い，あるいは相関係数に大きく影響するような極端な外れ値が存在し

０194７

H17本

1,156.551

０H16本

54.1

６H15特3

割合(%）相関係数

４H15本

外れ値数と考えられる。

meAmexm" SZa雄"な必", 32: 17･22.

伊藤圭,2006,「主成分分析による多変量外れ値の検出」 柳井晴夫・緒方裕光（編著）『SPSSによる統計データ解析』現代数学

Ｏ

電ｏ硯の蝉騨

Ｃｏｏ蕊

第２部得点

鐵○Ｏ

Hoaglin,R､R., and WelSh,R.E., 1978, "Thehat matrix in regression and ANOVA. ''社:191.199．

繁桝算男・柳井晴夫・森敏昭（編著），1999,
第1部得点『Q&Aで知る統計データ解析- DO'sand DON'恥一』サイエンス社．

図3厳しい基準を用いた場合の外れ値

司法制度改革審議会,2001,『司法制度改革審
議会意見書 －21世紀の日本を支える司5.まとめ

法制度一』‘

本研究で用いたデータに対して,てこ比を用いた従来提案されている基準によって外れ値の検出を行うと,散布図を目視した場合に比べ柳井晴夫・伊藤圭,2006,第12章「多変量外てより広範囲のデータが外れ値として検出された。したがって，大規模データの場合は外れ値の基準を厳しくする等の調整が必要である－196－

れ値の除去法とそのモニター試験データへの適用」大学入試センター研究開発部（編）『平成18年度大学入試センター試
験モニター調査研究報告』148.163.