リー群は多様体かつ群であり，その群演算が滑らかであるものである．R 上や C上の一般線形群や特殊線形群，また，直交群，ユニタリ群，シンプレクティック群といった古典群はすべてリー群である．
リー群の元 g による左移動は，リー群からそれ自身への微分同相写像で単位元をg へ写すものであり，この意味でリー群は等質空間である．したがって，局所的にはリー群はどの点の周りも同じように見えるので，リー群の局所的な構造を調べるためには単位元の周りを調べれば十分である．これゆえ，リー群の単位元における接空間が重要な役割を果たすべきであることは驚くに当たらない．
リー群 G の単位元における接空間は，それがリー代数になるような自然な括弧積[ , ] をもち，接空間 Te G にこの括弧積を与えたものは，リー群 G のリー代数と呼ばれる．リー群のリー代数は，リー群についての多くの情報を内包している．
ノルウェーの数学者ソフス・リー（Sophus Lie）は，1874 年から 1884 年までの 11 年間に発表した一連の論文において，リー群とリー代数の研究を始めた．そのときはノルウェー語で論文を書いたためか，彼の研究は当初ほとんど注目を引かなかった．1886 年，リーはドイツのライプツィヒ大学の教授になり，特に彼の助手フリードリヒ・エンゲル（Friedrich Engel）との共著で 3巻からなる著作 Theorie der Transformationsgruppen
Sophus Lie(1842–1899)を出版した後，彼の理論は注目を集め始めた．
リーの研究の元々の動機は，有限集合の置換群の連196

第4章

リー群とリー代数続的な類似物として，空間の変換群を調べることであった．実際，多様体 M の微分同相写像は M の点たちの置換と見なすことができる．リー群とリー代数の理論は，群論，位相，線形代数が相互に影響し合い，特に豊かで鮮やかな数学の一分野になっている．しかしながらこの章においては，この広大な創造物の表面をかすめることしかできない．本書においては，リー群は主に多様体の重要な一種を与え，リー代数は接空間の具体例を与えてくれるものである．

§ 15 リー群
まず，行列群，すなわち体上の一般線形群の部分群についてのいくつかの具体例から始める．その目的は，与えられた群がリー群であることを証明するための方法や，リー群の次元を計算するための方法を様々な形で提示することである．これらの例は，他の行列群を調べるときの雛型になる．また閉部分群定理は，証明せずに与えるが強力な道具である．この定理によれば，リー群の抽象的な部分群がそのリー群の閉集合ならば，それ自身リー群である．多くの場合，閉部分群定理は与えられた群がリー群であることを示すための最も簡単な方法である．
行列の指数関数は，与えられた速度ベクトルを始点でもつような曲線を行列群の上に与えてくれるもので，行列群における写像の微分を計算するときに便利である．
ここでは例として，R 上の一般線形群における行列式写像の微分を計算する．

15.1 リー群の例
リー群の定義は 6.5 節ですでに与えてあるが，ここで思い出しておく．

15.1 リー群とは，それ自身が群でもある C ∞ 級多様体 G で，乗法写像
μ : G × G → G,μ(a, b) = abと逆元をとる写像

ι : G → G,ι(a) = a−1という 2 つの群演算が C ∞ 級であるものをいう．

a ∈ G に対して，a による左乗法 a : G → G を a (x) = μ(a, x) = ax により定め，a による右乗法 ra : G → G を ra (x) = xa で定める．左乗法と右乗法をそれぞれ左移動，右移動ともいう．

§ 15

197

リー群

演習 15.2（左乗法） リー群 G の元 a に対して，左乗法 a : G → G が微分同相写像であることを証明せよ．

15.3 2 つのリー群 H と G の間の写像 F : H → G がリー群の準同型写像であるとは，それが C ∞ 級写像でありかつ群の準同型写像となることである．
群の準同型写像であるという条件は，h, x ∈ H に対してF (hx) = F (h)F (x)(15.1)が成り立つことである．写像の言葉を用いれば，これはF ◦ h = F (h) ◦ F(h ∈ H)

(15.2)と書ける．

eH と eG をそれぞれ H と G の単位元とする．(15.1) の h と x を単位元 eH とすることで，F (eH ) = eG が従う．よって，群の準同型写像は常に単位元を単位元へ写す．
行列を表すためにアルファベットの大文字を用いるが，一般にその成分を表すためにはアルファベットの小文字を用いる．したがって，行列 AB の (i, j) 成分

は (AB)ij = k aik bkj である．
例 15.4（一般線形群） 例 6.21 において，一般線形群

GL(n, R) = {A ∈ Rn×n | det A = 0}
がリー群であることを示した．
例 15.5（特殊線形群） 特殊線形群 SL(n, R) は，行列式が 1 の行列からなる GL(n, R)の部分群である．例 9.13 より，SL(n, R) は GL(n, R) の正則部分多様体で次元はn2 − 1 であり，例 11.16 より乗法写像μ̄ : SL(n, R) × SL(n, R) → SL(n, R)
は C ∞ 級である．
逆元をとる写像ῑ : SL(n, R) → SL(n, R)

198

第4章

リー群とリー代数が C ∞ 級であることを見るために，i : SL(n, R) → GL(n, R) を包含写像とし，GL(n, R) の逆元をとる写像を ι : GL(n, R) → GL(n, R) と書く．2 つの C ∞ 級写像の合成なので，iιι ◦ i : SL(n, R) −→ GL(n, R) −→ GL(n, R)
は C ∞ 級写像である．その像が正則部分多様体 SL(n, R) に含まれているので，誘導される写像 ῑ : SL(n, R) → SL(n, R) は，定理 11.15 より C ∞ 級である．したがって，SL(n, R) はリー群である．
全く同様の議論により，複素特殊線形群 SL(n, C) もまたリー群であることが証明できる．
例 15.6（直交群） 直交群 O(n) は AT A = I を満たす GL(n, R) の行列 A 全体からなる GL(n, R) の部分群であった．ゆえに，O(n) は写像 f (A) = AT A による Iの逆像である．
例 11.3 において f : GL(n, R) → GL(n, R) が一定の階数をもつことを示したので，階数一定レベル集合定理より，O(n) は GL(n, R) の正則部分多様体である．この方法の欠点は，f の階数については何も教えてくれず，それゆえに O(n) の次元が分からないままだということである．
以下，この例では O(n) が GL(n, R) の正則部分多様体であることを証明するた
めに，正則レベル集合定理を用いる．この方法を用いることで，同時に O(n) の次元を決定することができる．これを実行するためには，まず f の値域を再定義しなければならない．AT A は対称行列なので，f の像は n × n 実対称行列全体からなるベクトル空間 Sn に含まれる．n ≥ 2 でありさえすれば，Sn は Rn×n の真部分集合である．
演習 15.7（対称行列の空間）∗n × n 実対称行列全体からなるベクトル空間 Sn の次元が(n2 + n)/2 であることを示せ．

写像 f : GL(n, R) → Sn , f (A) = AT A を考える．値域である Sn はベクトル空間なので，Sn のどの点の接空間も標準的に Sn 自身と同型である．よって，微分f∗,A : TA (GL(n, R)) → Tf (A) (Sn )  Snの像は Sn に含まれる．f は GL(n, R) を GL(n, R) や Rn×n へも写しているが，もし f の値域として GL(n, R) や Rn×n をとったならば，n ≥ 2 のときはどのような

§ 15

199

リー群

A ∈ GL(n, R) に対しても微分 f∗,A は決して全射にはならないであろう．これは，
f∗,A が Rn×n の真部分集合である Sn を経由しているためである．このことは，次の一般的な原理を示している．すなわち，微分 f∗,A が全射であるためには，f の値域は可能な限り小さくとるべきである．
写像

f (A) = AT A

f : GL(n, R) → Sn ,の微分が全射であることを示すために，微分 f∗,A を具体的に計算する．GL(n, R)は Rn×n の開集合であるので，任意の A ∈ GL(n, R) における接空間はTA (GL(n, R)) = TA (Rn×n ) = Rn×n .
任意の X ∈ Rn×n に対して，GL(n, R) 上の曲線 c(t) で c(0) = A かつ c (0) = Xであるようなものが存在する（命題 8.16）．命題 8.18 より，
df∗,A (X) =f (c(t))
dtt=0

dT
=c(t) c(t)
dtt=0


T= (c (t) c(t) + c(t)T c (t))
（問題 15.2 より）
t=0= X T A + AT X.
すなわち，f∗,A の全射性は次の問題になる．A ∈ O(n) かつ B が Sn に含まれる任意の対称行列のとき，n × n 行列 X でX T A + AT X = Bを満たすものが存在するだろうか．ここで，(X T A)T = AT X なので，方程式

AT X =1B2(15.3)が解ければ十分であることに注意せよ．というのも，このときX T A + AT X =1 T
1
B + B=B22となるからである．

1 T −1(A ) B をもつ．よって，すべての A ∈ O(n)2に対して f∗,A : TA GL(n, R) → Sn は全射であり，O(n) は f の正則レベル集合
方程式 (15.3) は明らかに解 X =である．正則レベル集合定理より，O(n) は GL(n, R) の正則部分多様体であり，次元はdim O(n) = n2 − dim Sn = n2 −n2 + nn2 − n=.
22(15.4)