202■研究紹介

ビームビームリミットとクラブ空洞
KEK 加速器研究施設

大 見和 史ohmi@post.kek.jp
2005 年 12 月 1 日

1

はじめにレプロットという。図 1 に加速器内の運動が線形で表される場合の衝突点を断面にとったときの電子の周回ごとの位

KEKB ではルミノシティの大幅な向上を目指してクラブ相空間位置（ここでは角度と振幅である φ - y ）のプロット

空洞の設置が行われつつある。ここではクラブ空洞がどうを示す。ビーム内の各電子の振動の位相、振幅はまちまちしてルミノシティの向上に有効なのかを説明する。

だが、それぞれに周回ごと図のある振幅|y|の直線上のどこ

このことを説明するためにビームビーム限界という現象かを巡っている。電子の加速器一周あたりの振動位相（楕についてまず述べなければならない。現象的にはビーム内円上の角度位置）の進みをチューンと呼び、ある値に設定の（陽）電子を増やしても、ビームサイズが肥大してしまされている（一つのリングに入っているすべての電子で同い、ルミノシティが期待したように上がらないという状態

じ）。ちなみに KEKB は水平方向：(44.506 ∼ 44.512) × 2π 、である。この現象はビームサイズが何で決まるかという問

垂直方向： (43.535 ∼ 43.580) × 2π という値である。そのよ

題に帰着する。

うに運動している電子の平均振幅がビームサイズというわ

一般にはクラブ空洞は衝突時のビーム同士の幾何学的なけである。

重なりを増やすことでルミノシティが上がると考えられているが、ビームサイズがビームビーム限界に達するような場合は単純に幾何学的にルミノシティを論じることは無意味である。交差して衝突しているビームのサイズと、正面衝突のそれと同じとは限らないからである。交差角がビームビームの力学そしてビームビーム限界にどのように影響するかを理解して、はじめてルミノシティを論じることができる。

2

衝突がない場合のビーム粒子の平衡分布
ビーム内の電子、陽電子は加速器の中をある中心軌道の周りを振動しながら回っている。（以下電子と表現するが陽電子も含む。）この運動をベータトロン振動という。ビ図1

位相空間上の電子の運動を示すポアンカレプロット

加速器の世界では y -py 上で円（楕円）を描くことが多いが、ここでは位相角と振幅にとった。太線は電子の平衡分布で横軸が密度。図では 1mm-5mm の振幅の軌道が描かれている。

ームビームによるサイズ肥大は y（上下）方向によく見られる。これは y 方向のビームサイズが極端に小さいためで電子の振幅は全体的な放射光の放出によるエネルギー損ある。そこでまず y 方向だけの運動を考える。（運動は y失からくる減衰と、個々の光子によるランダムな励起とで方向だけの 1 自由度であるが、ビームビーム衝突はリング決まる。減衰時間は 4000 周であり、励起は一周あたりのある場所でしか起こらないので、力学の言葉で時間に依0.02 μm の 揺 ら ぎ を 持 つ 。 周 回 ご と に 拡 散 係 数存した 1 自由度の系という。以下明記しないがすべて時間< y 2 >1/ 2 = 0.02 μm の酔歩運動をしつつ、 δy = y / 4000 の依存である。） y -py 方向と進行方向（s）だけを見ると、電割合で減衰していく。図 1 にあるように電子が受ける力が子はトーラスの表面を巡るように運動している。そのトー線形であるならば、振幅（上下）方向に酔歩と減衰を繰りラスの（リング内のある場所での） y -py 断面図をポアンカ返し、最終的にビーム内電子の分布はガウス分布になり、

203
そ の サ イ ズ は 減 衰 と 励 起 の 平 衡 か ら 決 ま る < y2 >横切ることができる。その場合島構造の閉曲線に沿って等=< 2y δy > すなわち < y 2 >1/ 2 = 0.02 × (4000/2)1/2 = 1 μm

密度線が描かれる。島近傍がカオスで埋め尽くされれば一となる。

様な密度になるであろう。この場合の平衡分布を解析的に表すことは不可能であるため、酔歩運動と減衰を考慮し、3ビーム衝突を考慮した平衡分布多数の電子を追跡し平衡ビームサイズを計算機で求めることが行われる。たとえば、図 3 にあるようなある領域で共KEKB のような衝突型加速器では電子、陽電子ビームは鳴、カオスが強く、電子分布が一様に混ざり合ってしまう

衝突点で x -y 、特に y 方向に小さく絞られ衝突する。正反場合、分布はガウスから肩が張り出すような分布になるこ

対の電荷を持った粒子同士が衝突するので、おのおののビとは想像できる。

ーム内の粒子は収束力を受ける。この収束力により電子の振動の位相進みが速まる。また、このビームビーム力は大4きな振幅では弱まるので（非線形力）、電子の位相の進みに広がりができる。ビーム強度が大きくなると、中心付近3はビームビーム力の影響を受けないからである。一般的に非線形力学において、周回ごとの位相進みが整数比 m / n の|y| (um)の電子の位相進みが速くなり、中心から離れた電子の位相2近傍で共鳴状態になり、その近傍でカオス的状態になる。

1位相広がりが大きくなると、電子の位相空間でのカオス領域が広がってくる。その様子をみるために、片方のビームを衝突点に静的な電荷分布として置き、電子の運動を追跡

0-1する計算機シミュレーションが行われる。これによって、-0.5衝突がある場合の図 1 に相当する位相空間プロットが得ら

0φ/π0.5ρ1れる（図 2）。
図 31 ∼ 2 μm の領域がカオス状態のときの予想される電子の分布（太線）

1 自由度系でも島やカオス領域によるビームサイズ肥大は原理的に起こりうるが、実際のビームビーム衝突系はy -py の 1 自由度で見る限り、さほど強いカオス的性質を持っているわけではない。図 2 にあるように、共鳴による島構造は見られるが、カオス特有のランダムな領域ははっきりとは見えない。実際 x = 0 である電子の運動を追跡し、y方向のみの酔歩、減衰運動を考慮し y 方向のビームサイズを求めると、大きな肥大は見られない。図 4 に時間による
図2

ビームビーム力を考慮したときの x = 0 をもった電子ビームサイズ肥大が 2 自由度系との比較で描かれている。の y 位相空間上の運動より強い非線形を持った系（ビーム強度を数倍増やした 1共鳴による島構造が見られる。

自由度系）ではカオスによって埋め尽くされる。その場合

3.1y 方向 1 自由度の場合の平衡分布

上述の y 方向のみの運動を考慮した平衡分布を考えよう。

は 1 自由度系でもサイズ肥大がみられるが、現状の KEKB、SuperKEKB のパラメータでは多自由度による効果が支配的である。

図 1 はもちろんのこと図 2 でも、粒子の位相空間での運動は共鳴の島構造を除いては単に位相方向に運動するだけでy 方向には単調増加的な運動はしない。1 自由度の系は本質

3.2

x -y 方向 2 自由度の場合の平衡分布的にビームサイズ肥大を起こしにくいのである。島構造が実際のビームは x 方向の運動、分布と酔歩運動があるわあるためにその部分ではサイズの肥大はおこるが、時間がけで、次のステップとして 2 自由度の問題を考える。シミ

たつにつれて際限なく肥大するような現象は起こらないのュレーションでは x 方向の分布（それに対応する運動）だである。酔歩運動があってはじめて電子は位相空間の線をけを入れた場合と、酔歩、減衰運動まで入れた場合などを204うる。z 方向の振動は自由度中最大なので小さな結合でも大1きな効果になる可能性がある。この効果も計算機シミュレσy (um )0.8ーションで考慮できる。結果だけを記すと、正面衝突では進行方向の運動を考慮してもビーム肥大は変わらない。つ0.6

まり 3 自由度ではあるが、y 方向のビームサイズに関して 20.4自由度と同じ振る舞いをしている。おそらくこのパラメー
タ領域での正面衝突では実質的に 2 + 1 自由度に分離でき0.2ているということができる。 x -z 方向のサイズには変化が見えない。

002000

4000
6000
turn

8000

10000

44

交差角とクラブ衝突
さてそこで、次に交差角がある場合の衝突である。このσy (um )3場合は、 x -z の運動が線形成分から混じり合う。先の正面衝突は最低次が x 2z 2 、y 2z 2 、つまり 2 + 1 自由度から 3 自由2度へと増える可能性を示唆する。計算機シミュレーションによると（図 5）、この場合（有限交差角：3 自由度）では

1

酔歩運動がなくてもビームサイズが大きくなる 、図中< y 2 > が周回ごとに単調に増加、つまり拡散する。2 ある00

図42000

4000
6000
turn

8000

10000

周回ごとのビームサイズの変化

上図は低い方から x = 0 の運動、x 方向の運動はあるが x -y 両方向酔歩減衰をなくした場合、x 方向のみの酔歩減衰をなくした場合である。下図上は x -y 方向運動で酔歩減衰ありの場合、下は比較のための酔歩運動をなくした場合のプロットである。

いは 2 + 1 自由度の場合は外的な拡散である酔歩運動があってはじめてビームサイズ肥大が起こるのと対照的である。
このように自由度が増えるたびにビームサイズ肥大の可能性が高くなる、つまりビームビーム限界が低くなるということである。保存系において、近似的に保存量といえる、エミッタンス（サイズ）が拡散、肥大することはカオス理論の発達とともにアーノルドらによって指摘されてきた。
ビームビームの衝突系は保存系の拡散問題とクラブ空洞比べ、どこにビーム肥大の本質があるか調べることができによる、拡散の制御という点から非常に興味深い。

る。それぞれの場合を図 4 に示すように、何を考慮するかによりまったく違う結果が得られる。現実の世界は x, y と40をしているので、図 4 下のようになるはずである。このサイズ肥大が正面衝突でのビームビーム限界を与える。1 自由度の場合は肥大が小さいのは当然として、酔歩運動がなければ 2 自由度でもサイズ肥大は小さい。y 方向のサイズ<yy> (μm2)

もに設計上のサイズを持った分布があり、酔歩、減衰運動肥大には y 方向ではなく x 方向の酔歩運動が重要な役割を

11mrad30204mrad

101mrad果たしていることがわかる。水平 x 方向のサイズは 100 μmで拡散係数 < x 2 >1/ 2 = 2 μm であり、y 方向に比べかなり大0きいことが重要であると思われる。

3.3x -y -z 方向 3 自由度の場合の平衡分布

102030400mrad
350x10turn
図5

交差角の増加に対するビームサイズの肥大（拡散）電子は x -y 方向だけでなく、進行方向に相対的に運動している（z）。振幅はこれらの自由度の中でもっとも大きく7 mm 程度で、拡散係数も < z 2 >1/ 2 = 0.2 mm で圧倒的である。ビームビーム力は衝突点の近傍の数 mm で強さが大きく変わるので、z 方向の振動は x -y 方向の振動に影響を与えもう一つ KEKB の x 方向のチューンが 0.5 に非常に近いことにもふれておこう。チューンが 0.5 ということは衝突時の x 方向の位置が衝突ごとに位相が π 、すなわち反対側の位置で衝突することを意味する。ビームビーム力は

205
x → −x に対して対称的なので、y 方向の運動が常に同じ近づけ、極限的に 1 + 1 + 1 自由度に近づけることで、共鳴、x 面上で行われ、実質 1 自由度になる。すなわち x -y の 2カオスによるビームサイズ肥大を押さえ込み、ビームビー自由度が 1 + 1 自由度に分解されるのである。図 6 にチューム限界を高めるのである。最後に図 8 にクラブ衝突と交差

ン 0.5 のときの y 方向のビームサイズの振る舞いを示す。1角衝突のルミノシティを示す。

自由度の場合と同じく、ほとんどビームサイズが肥大していないのがわかる。実際の運転では諸々の事情（具体的には磁石の設定精度などのエラーに敏感になる）により 0.5にすることは不可能である。しかし KEKB にはエラーなどを減らし、限りなく 0.5 に近づけることでルミノシティを上げてきた歴史がある。
交差角衝突4

νx=0.508σy (um )32

クラブ衝突νx=0.500

1

図7

クラブ衝突の模式図

002000

4000
6000
turn

8000

10000

7-2 -1

νx=0.500

0.8

σy (um )L ( 10 35 cm s )10.6

1 degree of freedom
0.4
0.2

4
32
Crossing angle=30 mrad

002000

4000
6000
turn

8000

010000x 方向のチューンが 0.508 と 0.5 の場合の y 方向のビームサイズの振る舞い

下図ではチューン 0.5（上）と 1 自由度 x = 0 の場合（下）を比較している。

5510

図6

Crab crossing6

まとめ
ここまでの議論で、クラブ空洞はどんな働きをするか、クラブ衝突で（加速器−ビーム物理の観点から）何を目指しているかが分かっていただけたと思う。交差角衝突での3 自由度の系をクラブ空洞で正面衝突に変換し（図７）、
2 + 1 自由度にし、そしてさらに x 方向のチューンを 0.5 に

図824610NHER (10 )810クラブ衝突と交差角衝突のルミノシティ

Super KEKB のパラメータを使用。横軸は HER バンチ内の粒子数で設計値は 5.5 × 1010 。