Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres

J EAN -L OUIS N ICOLAS
Répartition des nombres largement composés
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 19, no 2 (1977-1978),exp. no 41, p. 1-10.
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Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU

41-01(Théorie des Nombres)

1977/78, n° 41, ~ p.

19e

22 mai 1978

RÉPARTITION DES NOMBRES LARGEMENT COMPOSÉS
par Jean-Louis NICOLAS

nis called largely composite if mn ~is the number of divisors of n . It is proved that theof largely composite numbers le ss than X, is, for X large, between
and exp( logabn.20~~.

Summary. - An integer

where d(n)quantityQl(X)exp(log X)a

X~ b ,

Désignons par d(n) le nombre de diviseurs dement composé u...’t1 entier n vérifiant

Nous dirons quenestd(m) d(n) ,appelé haute-an .

largement composé s’il vérifie

Désignons

le nombre de nombres hautement(respe large-ment) composés ~ . On sait qu’il existe (cf. [2] et ~7 ~;~ deux nombres réels
etc’eton

vérifiantconjecturec’

2 , ? 25 .,~ ctels que, pourassez

grand,

on

ait :

que

Nous allons démontrer que
~

Xc

est

beaucoup plus grand que

Q~(x) .

~

THEOREME. - Il existe deux nombres réels
tels que, pourOn peut

X

assez

grand,

oneta

vérifiantb0,2ab0,5

ait

conjecturer queloglog

La démonstration delog

Q(X) = 1 - log 30
X=Z log 16

9 3 7 .

théorème repose sur lespropriétés des nombres hautement
composés supérieurs que nous rappelons au § 1, sur un théorème de Selberg (concernant les nombrescepremiers dans l’intervalle

x,x +x ~ ~ que nous redémontrons au§ 2. La minoration
fait l’objet du § 3. La majoration deau § 4, utilise les méthodes de ladans [7].
majoration dede Qt(X)Q.(x) , donnée

1. Nombres hautement com osés supérieurs.
On dit queN

tout entier~~00FF9est hautementoncomposé supérieur,y s’il existe e > 0ait-. /..,r B~ ~__,

tel que, pour

Un t61 nombre est hautement

composé :Propriétés (cf. [9], § 32-34, [6], [7]): Etant donnés
1 , il existe un
nombre hautement composé supérieur associé à ~ dont ladécomposition en facteurs,premiersNEest donnée par=(En effet, pour maximiser le produit
facteurs).
On attache àN~((a l)/~ ~) ,+maximise chacun deson

les nombres

On a alors :1

Soit

lep~suivant
Nplus grand nombre premier divisantOnest inférieur

On aap~ ~ x ~ouégalàetN ~et le nombre hautementP

le nombre

premiercomposé supérieur suivant

NPl .

égalementIl est commode de posera

pour k ~ 1

On définit

Soitentier,9e >le0fixé, etbénéfice deilun£

M(bén M) par rapport à_Diaprés la définition
bén M0et,siM

On a, pour tout À

nombre maximisanti__~,,

On définitNet ~,

par.

des nombres hautement composés supérieurs,
03BB03BB ,premier,

Compte tenu de ce que, pouron

pour Mabén. 11 > ~ , d’après (i).
b. ~ a..

on atoujours

On a de même,9 poura~ ,fixé. Pour toutde mesure0(03BE1-~) , le nombre hautement composé supérieur N , associé(log 2/log x) , vérifie la relation, oûE =(~ , 2g) , excepté pour ~m ensemble

x E

désigne le nombre hautementn’sé suivantN y
Démonstration. - Ce lemme généralise le théorème 8 de [6]~ ~ x ~ 2~ , on ay(log 2/log ~~ >, ~ ~ (log 2/log 2~) . Considérons les élémentsFk , 03B1 (log 2/log 203BE) . On

ae2 ~~ ~~ ~( log 2)~ , il n’ypas. Posons

Autour de chacun deavec=est donc~" ** ’ . La

cesa Fmesureonauraunezone( ~ - ~ 9 Of + ,~ ~ ,interditeyy;

1/03B1par l’application 03B1 ~ 2Z . dans l ’ int ervalle (03BE , 203BE)
dehors de cette ima0(03BE1-2~ log 03BE) 0(03BE1-~) . Choisissons

aura une mesurege. Onmetde la réunion0(f ~) .

L’image dealors

par rapport àx==s=( log 2/log x) ~ Zn’ =Posons maintenantn’1a~2 ~ ~~ log( 1+l~k~~log2 , et,Il y en a au plusen a(p. 174). Pourlv(r/s)Navec,

implique, diaprés [5],ce( r , s) = 1 , et considérons le bénéfice deOn a l’ une des trois

1°r

a un

diviseur premier 03BB

2~

s

a un

diviseurenvérifiantpremier ~ vérifiantéventualités :a03BB 1 :1 on aura, diaprés [9Jat-~~2 :onaura,d’après

n’t

3~oùs’écrit~2 ’avec° ° ° ’~knel’exposant

1 . Cela donneiog# (k - à)=Dans les trois cas,Et, comme, par (4),on

Pl’ ~2 ’ ° ~j’ioe; ? i iog 2 , puisquelog N , cela achève la démonstration.

~3i, il existe deux constantes

Remarque. - En utilisaht le résultat decet~,On peutcertelles que l’on ait

remplacer dans (10)dans la définition detés de considérer
60
la valeurd(n ’ ) > .(N) .

(6) ,aura, parx ~~~ ’ etdivisent

2a,Ae+

par2) . Il suffit pour cela de rempla-et dans les deux premières éventualiA03BE , F2 par F3M. WALDSCHMIDT
m’a> 2 , puis

communiqué pour na > 3 .
W.

2. Un résultat de k. SELBERG.
LEMME 2(cf. [il]). - Soit 03C8(x) = 03A3m
et pour tout

Lorsque x ~ +T

la fonction de Tchebychev

log px5/6 e"’(avec 2/3à1 ), on a,.~ w~s-2I3 ~N(a, t)Démonstration. - Désignons parfonction Çdelemme 2 repose

Riemann, vérifiant
surles résultatsle nombre de zéros
1suivants, oùet~~6

p = p + iyde lat . La démonstration duvérifie 0 61y

et la formile

On at ~ x

explicite valable pouralors, pouryx

2xetT(cf. [8], p. 232)

1 ,2(|A|2log(1 + (1/T)) 1/T . Compte tenu de ce que lA +avecô =etévaluantj2x y~ y~+y-,enx

Comme la fonction

Del’ inégalitéOna(e~ d~alors, puisqueutilisanta+x~’~ ~ ~ ,on

0 ~ Re z ~ 1 on a
9déduitdonc, pour ~CommeTent ~ x ,intégrant par parties l’ intégrale de Sticltjès :~i4~9 (12) et (il), on obtient :On choisit alorsonposantest bornée pourx~~ t ~(x2~Evaluons maintenant,enenensuite , en utilisant (13),Il vient

etdy ,il vient,t=

x~ g-(~/2)(log x) ~ ~ cela donne:b - ~ 2~3~ ,x5/6 e-(logx)03B4 , cela entrainee-(logx)03B4 ,et l’onobtient,

tout ~, b .. 2~3 ,pourn(x) = Il. Soit

LEMME 3. - Posons

0fiant

1/3 . Pour tout

T03BE’] , avec §1x ~ [03BE ,1/6 T 1 , etvérifiant

excepté

03BE + 03BE/log 03BE ,=véri-pour ijn ensemble de mesure

Démonstration. - Siassezxx

nevérifie pas la relation ( ~ 6~,

on endéduit que, pourE

mesuregrand, on a

Diaprés le lemme 2 9 on a f en choisissant,qui entraine que la relation

ceest

vérifiée pour~t~ 9 excepté sur un ensembley Ede0 ~ ~ e ’° io~~~’ ~ , pour tout ~ 1/3 .Si y ~ E , on a, puisque,’~est une fonc-tion croissante,On aura de même,enchoisissant

excepté sur un ensemble E’Ce

T=03BE’(1-03C4) ,de mesure

e ~ log~ ~ ~ .

Si

y ~ E’ , on aqui montre que la relation (18) ne peut être vérifiée que sur l’ensemble

E u E’de mesure

Pour la relation
ensemble de mesure

Les relationsm.

=e’~- ) .

(l?)~ on démontre de même qu’elle est vérifiée, excepté sur unm~=0(~ e’ ~~ ) en majorant comme au lemme 2 l’intégrale(16) et (17) sont donc simultanément vérifiées sauf sur un ensemble

de mesure

plusaum~ + m2 ,Q (X) .

3. Minoration deSoit

1/6 T 1 et ~ > 0 , Entre ( 1/2) log X et (3/4) log X ,vérifiant (16) , (17) et (10) . Appe lons pk et Pk les nombres

vérifiantT

choisissons unx

premiers entourantxChoisissons K = [x03C4/Soit maintenantx + xTPk~(2log x)], de telle sorte que’etpk>r x -xT .

.; K , etmOn considèreoùcomposé supérieur’ associé à e = ( log 2/log x) .
...
p divisent N avec l’exposant 1 et P. ~est le nombre hautement~yD’ aprés (2) et (3 ~ ,P~ ~... ,pourxP~neassezp. ~ydivisent pas

grand. CommeN . On~alog N -~x ,doncd(n . ~ = d(N) , et.

n’ , si l’on a, d’après

on aura

(10~.

etT

cesnombres

1~.~serontlargemant composes. Il y en a2~~ - 1 . En choisissant= ~ ~ r e - 3’~~~2 , on obtient

pourXassez4.

grand et pour touta(1 - 8 ~ %2 ~ 0, 20752 .

âe4 . - Soit

NetN’

deux nombres hautement composéssupérieurs consécu-N ,y on pose x = 2~ ~ . Il existe y > 0
tout nombre largement composé n compris entre ~~; et N’ , on ait
D’ autre part, pour tout À premier, les valuations 03BB-adiques de ntifs. Si

fientEest associé à|v03BB(n) - v03BB(N)|(p. 123)

etMivéri.-1 .

La démonstration est la même que celle du théorème 1tion 3

tel ue,9 pourgla distinction entre(p. 120) et de la proposi-"largement" et "hautement" n’interve-nant pas ici.

Soit maintenant9(7) et (2),avec

les notations

du § 1,X

unnombrepremier . On a, d’après

Si X

et

diviseNavec

aÀ = k - 1 , etn

largement composé,

onl’exposantd’après le lemme 4, sinest

Si maintenant les nombres premiers
santSik - 1 , etn

est

n

ce

au

doit avoirJ~divisentN

avec

l’expo-on

etd’après (3) et ( 21 ) ,a,qui donne

Le nombre de choix

est donc...

l’exposant k, on al’exposant k, on aavec

largement composé,

bén n ~

À2~,~

avec

possibles pour un tel système de nombres~1 , ~2 ,... ,Àh

plus

tout ~ > 0 .On obtient la même majoration pour le nombre de choix possibles
pour un système de nombres premiers~~,2 , , .. ,y ~ divisant N avec l’exposant k et n avec l’exposant k - 1 .
pourOn définit ensuite

Le nombre deKparn’façon de choisirlargement composé entre

Netsera,d’après le lemme 4, majoré parpourtout ’~ > 0etN

assez

grand,utilisantenlog X))

Comme, ci ’ après RAMANUJAN, il y asés supérieurs
X , il existe doncb

1/2

nombresX

assez

largement composés § X ,pour(4).
nonbres hautement compo-tel qu’il y ait au plus

grand.

5. Conjecture.
deSous les deux hypothèses très fortes formulées à la fin de ~’1~, la conjecture
Cramer sur len-ième nombre premierpnetl1inégalité vérifiée, pour tout ~ > 0 ,onpeut choisir dans le lemme 4, pour tout ~ > 0 ,16)) + ~1, on peut, dans (lO), remplacer 9 par ((logA partir de ces valeurs, les mêmes calculs donnent la conjecture citée dans leet dans le lemmethéorème.

Q (x) permet de répondre à une question de P. ERDOS:
h(n) le plus petit entier tel que d(n + h(n)) > d(n) . Montrer que la quan(l/X) Z h(n) n’est pas bornée.

La méthode de minoration deSoittité

Dans la construction duen§ 3 , on a~ par (iO), (l9) et (20),choisissant toujours T ==(1 - 8 ~- 3~)/2 . Il vient ensuitequi n’est pas borné.

Enfin, on peut se demander si, entre deux nombres hautement composés consécutifs
assez grands il existe toujours un nombre largement composé.

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(Grund-[10] SELBERG (A.). - On the normal density of primes in small intervals and the difference between consecutive
fasc. 6, p. 87-105.

.

Jean-Louis NICOLAS

Département de Mathématiques
U. E. R, des Sciences

123 rue Albert Thomas
87060 LIMOGES CEDEX

primes, Arch. math. Naturvid.,t.

47, 1943,(Texte reçu le 5 juin 1978)