10

第2講

力

学

(2)

第

力

2

講

学 （2）

― 力と力の関係式 ―§2.1

場の力と接触力

我々が日常生活の中で用いる「力」という言葉は，さまざまな意味で使われており，明確な定義のもとで用いられているわけではない．しかし，物理学における力学を学ぶためには，「力」が何であるかをはっきりさせる必要がある．そこで，物体に力を与えたらどのような変化が起こるかを考えることで，「力とは何か？」の答えを見出すことを試みる 注 1 ．
注1

物体に力を与えても，物体の様子が変化しない場合は考えないとする．

まず最初に，粘土の塊に力を加えることを考える．例えば，粘土の塊

図 2.1 のように指で粘土を押すと，粘土には凹みができ変形することになる．このように考えると，
力とは物体そのものを変形させるもの

図 2.1 粘土にくぼみができる．

と捉えることができる．ゴムボールの変形や，ばねやゴムひもの伸び縮みもこれにあたり，力を加えることで，変形させることが初めて可能となる．力を加えない限り物体が変形しないことは明らかである．
次に，水平面上に物体が静止している状態を考える．図 2.2 のような，静止している物体を動かして別の場所に移動させるとき，物体に何らかの力を加える必要があることは容易にわかる．

図 2.2 物体が動き始める．

力を加えないで，物体が勝手に動き出すことは考えられないからである．また，動いている物体を減速させたり，加速させたりするときも当然力が必要になる．
このことから，力とは物体の運動を変化させるものとも考えることができる
注2

注2

．

実際に実験を行っていなくとも，粘土の変形や物体の運動の変化を頭の中でイメージすることを「思考実験」といい，物理学にとっては重要な方法論である．

次に，力の種類について例を挙げながら考える．真上に投げたボールは徐々に減速し，最高点に達した後，折り返して加速しながら落ちてくる．明らかに運動形態が変化しており，その原因はボールにはたらく重力であることがわかる．このような，いずれも物体と接触していな
くてもはたらく力のことを場の力とよぶ．場の力には，重力の他に電気力や磁気力がある 注 3 ．

§2.2

ばね

力のつり合い13

縮みが x とする

糸
張力
弾性力x

図 2.10 糸の張力（tension）は不定である．
ばねによる力は，フックの法則とよばれる．
この式は実験式であり，ばね定数  はばねの強さの度合いを示す．

重力

問 2.1

灰色の物体にはたらく力をベクトルで描け．

(1)固定された斜面上で静止している物体（図 2.11）．

(2)

滑らかな斜面上でばねにつながれて静止している物体（図 2.12）．

図 2.11

問 2.2(1)

図 2.12

次の問に答えよ．

粗い水平面上を物体が滑っている．この物体にはたらく垂直抗力が 2.0 [N]，動摩擦力が 1.0[N] のとき，この物体と水平面の間の動摩擦係数はいくらか．
(2)

自然長が 0.10 [m] のばねの一端を固定し，他端を 2.0 [N] で引っ張ったところ，ばねの長さは0.12 [m] となった．このばねのばね定数を求めよ．（自然長とは，ばねに何も力を加えていないときのばねの長さのことをいう．）§2.2

力のつり合い力とは，「物体の運動を変えるもの」ということを§2.1 で学んだ．このことから，物体に力がはたらかなければ，物体の運動が変わらないことは明らかである．しかし，1 つの物体に
2 つ以上の力がはたらいていたとしても，物体の運動が変わらない場合もある．このとき，「物体にはたらく力がつり合っている」といい，物体にはたらく合力（はたらいている力のベクトル和）が 0 であることを示している．
例えば図 2.13 に示すように，物体に対して，同一作用線上で互いF2F1に逆向き同じ大きさの力がはたらいているときは，物体は運動を変えない．このときの力の大きさを F1，F2 とすると，力のつり合い

図 2.13の式は，
F1 ＝ F2意味(2.4)

F1 と F2 は互いに逆向きで同じ大きさである．

または，以下のように書ける．
F1 − F2 ＝ 0
意味

(2.5)

右向きの力の合力が 0 である．


次に，図 2.14 のように 1 つの物体に 3 力 F1，F2，F3 がはたらいており，つり合って静止

14

第2講

力

学

(2)
y 軸方向
F1

F1y

F1x

x 軸方向

F2x

F3
F2y

図 2.14 （2.4），（2.5）をベクトル表記す
ると，F1 ＝ F2，F1 − F2 ＝ 0 と書ける．

F2

している場合を考える．1 つの力を基準にして，その力の作用線上と，それに垂直な方向に分けて考えると容易である．基準となる力を例えば F3 と考え（x 軸方向），その作用線上でのF1，F2 の力の成分を F1，F2 とする．また，それらに垂直な方向（y 軸方向）の成分を F1，F2 と決める．物体の運動が変化しないためには，x 軸方向，y 軸方向ともに力のつり合いが成立している必要がある．したがって，
x 軸方向：F3 ＝ F1 ＋ F2
意味

(2.6)

F1x，F2x と F3 は逆向きで，F1x と F2x の大きさの和は F3 の大きさに等しい．
y 軸方向：F1 ＝ F2

意味

(2.7)

F1y と F2y は互いに逆向きで同じ大きさである．

先ほどと同様に，この 2 式は，

意味

x 軸方向：F3 −（ F1 ＋ F2）＝ 0(2.8)

y 軸方向：F1 − F2 ＝ 0(2.9)

x 軸方向，y 軸方向の合力が 0 である．

と書くこともでできる．このように，1 つの力を 2 つの方向に分けることを力の分解といい，
逆に 2 つの力の和を取って 1 つの力にすることを力の合成という．分解や合成は，いずれの力もベクトルと考えると容易である．
物体にはたらくすべての力に対して力のつり合いが成立しているときは，物体にはたらいている力の合力が 0 であるから，物体は運動を変えない．もちろん，物体に対して力がはたらいていないときも同様である．運動を変えないということは，静止している物体は静止したままであり，運動している物体はそのままその運動を維持するということである．以上のことは慣性の法則とよばれ，まとめると次のようになる．
・慣性の法則
物体が何ら力を受けないとき，または受けていたとしてもその力がつり合っていて合力が 0 のとき，静止している物体は静止した状態を保ち，運動している物
体はそのまま等速直線運動を続ける．
慣性の法則は，ガリレオによって基礎が築かれ，デカルトによって完成されたとされる．慣性の法則が構築されるまでは，古代ギリシャ時代に活躍したアリストテレスの「運動している
物体に何もしなければ，この物体はやがて止まる」という考え方が信じられていた．確かに現実の世界では，摩擦力や空気の抵抗力のため，運動している物体はやがて止まる．しかし，当時は，物体に対して運動を妨げる力がはたらかない場合には止まることはない，ということに気がつかなかったのである．
ガリレオは，図 2.15 のような，相対する滑らかな斜面上で物体を滑らせることを考えた．

§2.2

力のつり合い15

同じ高さまで上がる振り子運動と同様に，A 点から静かに物体を滑らせると，相対する斜面上の同じ高さの B 点まで達するはずである．このとき，相対する斜面の傾斜角
θ を小さくし，やがて水平にすると，いつまでも滑り続けることになり「やがて止まる」ことはない，ということに

A

B

B

気づいたのである．要するに，上り坂という減速させるものがなくなれば，物体は減速することなく現状の運動を維持するはずであると考えたのである．

θ

図 2.15 慣性の法則の発想

このように考えると，慣性の法則は，物体に力がはたらかないときは，物体に加速度が生じないと解釈することもできる．加速度が生じなければ，静止しているものはそのまま静止し，動いているものはそのままの運動を維持することになる．

ちょっと一息ガリレオ・ガリレイは，イタリアの物理学者である．ピサの斜塔で有名なピサ大学の医学部の学生であったが，物理学に興味をもち，物理学，天文学を中心に研究した．思考実験の重要性を世に広めた人としても知られている．
ミサをあげているとき，教会の天井から吊り下げられているシャンデリアのゆれから，振り子の等
時性に気づいたといわれている．後に，このことから振り子時計が発明される．ガリレイは，振り子の周期を測定する際に，医学部生らしく自らの脈拍を利用した．

例題 2.2
粗い水平床面上に，質量 m の物体が静止している．この物体には質量の無視できる糸がつけられており，この糸を水平方向にm

F

引っ張る実験を行った（図 2.16）．物体と水平面との静止摩擦係数を μ，重力加速度の大きさを g として以下の問に答えよ．

図 2.16(1)

物体にはたらく垂直抗力の大きさ N を求めよ．

(2)

糸を力 F1 で水平に引っ張ったところ，物体は動かなかった．物体にはたらく摩擦力はいくらか．
(3)

糸をある力で水平に引っ張ったところ，物体がちょうど滑り始めた．このときの糸の張力を求

めよ．
(4)

物体が動き始めた後，糸の引く力を F2 としたところ，物体は等速直線運動をした．物体と水平面との間の動摩擦係数を求めよ．

解

(1)

(2)

求める摩擦力を f とすると，水平方向の力のつり合いより f ＝ F1（図 2.18）．

鉛直方向の力のつり合いより N ＝ mg（図 2.17）．

(3) 摩擦力が最大摩擦力となるときを考えて，F ＝ μN ＝ μ･mg．
(4) 等速直線運動したことにより，力のつり合いが成立している．
∴ F2 ＝ μ'N ＝ μ'･mg∴ μ' ＝ F2/mg

16

第2講

力

学

(2)
N
F1

f

図 2.17

図 2.18

◆

mg

問 2.3

水平な天井から糸を 2 本吊るして，図 2.19 のように質量 m のおもりをぶら下げた．このとき，糸と鉛直線とのなす角はいずれも 45°であった．左側の糸を糸 1，右45°側の糸を糸 2 とよぶこととする．重力加速度の大きさを g と

45°

糸1

糸2

して，以下の問に答えよ．
(1)

糸 1，糸 2 の張力を T1，T2 とするとき，T1 ＝ T2 とな

図 2.19ることを示せ．
(2)

糸の張力 T1 を m，g を用いて表せ．

§2.3

運動方程式

前に述べたように，慣性の法則が成立しているときは，物体に力がはたらいていないか合力が 0 であり，加速度が生じない．この研究を受けてニュートンは，物体に力がはたらいたとき，物体の運動がどのように変化するのか，すなわち，物体にどのような加速度が生じるのかに着目した．
議論を簡素化するために容易な思考実験を試みる．まず，ある質量の物体を滑らかな水平面上に置き，水平方向に力を加えて引maFっ張ることを考える（図 2.20）．このとき，力の大きさを大きくすれば，それに比例して物体に生じる加速度が大きくなると考えられる．一方，質量を大きくすれば，それに反比例して加速度の

図 2.20 質量 m の物体を力F で引っ張って，加速度 aを生じさせる．

大きさは小さくなると考えられる．
簡単にいえば，大きな力を加えられ

a

m

F

た物体は加速しやすく，大きな質量の物体は加速しにくいということである（図 2.21）．
物体に生じる加速度を a，物体の

a

m

F

図 2.21 （上）m はそのままで Fを大きくすると，a が大きくなる．（下）F はそのままで m
を大きくすると，a が小さくなる．（このことから m のことを慣性質量ともいう．）

質量を m，物体に加えた力を F と仮定する．この思考実験から，加速度 a は，力 F に比例し，質量 m に反比例すると考えられるので，比例定数を  として，以下のように表すことができる．
a ＝ ･

Fm(2.10)

さて，ここで比例定数  の決定をしなくてはならないが，ニュートンは  の値として， ＝1 と決め，そのとき力 F の単位を [N (ニュートン)] と決めた．もちろん，このとき a の単位
は [m/s2]，m の単位は [kg] である．以上より，(2.10)は，
a＝Fm(2.11)

§2.3

運動方程式

17

となる．a ＝ 1 [m/s2]，m ＝ 1 [kg] とすると，F ＝ 1 [N] となることから，[N] という単位は，
質量 1 [kg] の物体に加速度 1 [m/s2] を生じさせるような力の大きさを 1 [N]と決めたと解釈すればよいことがわかる 注 5 ．この解釈に従って，(2.11)を
ma ＝ F(2.12)のように書きかえる．
注5

力の単位としては，[kgw (キログラム重)] があるが，これは地球の中心が引っ張る力，すなわち地表
面上での重力を基準に定められた単位で「おもさ」という．これに対して [N] は，生じる加速度を基準にしているので，場所を選ばずに定義することができる．

(2.12)の意味として，前に倣って，
質量 m [kg] の物体に加速度 a [m/s2] を生じさせたのは，力 F [N] であるとなる．
なお，(2.12)のことを運動方程式とよび，この式は，物体にはたらく力と，その力によって運動する物体の運動形態との因果関係を表す重要な式である．最も簡単な例として，落下運動
に対する運動方程式を考える．空気による抵抗を無視しmて考えると，物体が落下しているとき，物体にはたらくしたがって，この物体の運動方程式は，

mgma ＝ mg意味

図 2.22 質量 m の物体が落下している場合a

力は重力 mg のみであり，その様子を図 2.22 に示した．
(2.13)

質量 m の物体に加速度 a を生じさせたのは，重力 mg である．

となり，(2.13)より，生じる加速度は a ＝ g であることがわかり，当然の結果が得られた．このように考えれば，複雑な力がはたらいている物体に対しても，因果関係に着目して運動方程式を立式すれば，物体の運動形態がどのように変化するかを突き止めることができるのである．
もう少し複雑な例として，粗い水平面上での物体の運動について考える．物体に対して水平方向に力 F を加え，動摩擦力に逆らって物体を右方向へ加速度 a で運動させる場合，物体にはたらく力を図示すると図 2.23 のようになる．ここで，垂直抗力を N ，動摩擦係数を μ' とした．
図より，力の関係式を立式する．

N
m

a
F

μ′N

mg
運動方向に
垂直な方向

運動方向

N
m
m

μ′N

a
F

図 2.23
mg

18

第2講

力

学

(2)

力のつり合い：N ＝ mg
意味

(2.14)

垂直抗力 N と重力 mg は，互いに逆向きで同じ大きさである．
運動方程式：ma ＝ F − μ'N

意味(2.15)

質量 m の物体に加速度 a を生じさせたのは，力 F であり，邪魔をしたのが動摩擦力 μ'N である．

2 式より，N を消去すると，運動方程式は，運動方程式：ma ＝ F − μ'mg

(2.16)となり，加速度 a は，
a＝

F
− μ'g
m

(2.17)と求めることができ，動摩擦力のため，生じる加速度の大きさが小さくなることが理解できる．
このように，運動方程式を立式するとき，因果関係に着目して意味を考えながら行うと，式の意味はもちろんのこと，現象も把握しやすくなるのである．

ちょっと一息アイザック・ニュートンはイギリスの物理学者である．偶然ではあるが，ガリレオ・ガリレイが亡くなった年のクリスマスに生まれている．物理学に対するさまざまな業績はもちろんであるが，彼は他にも多くのことを行っている．国会議員，造幣局長などにも就いており，造幣局長の際には，偽金作りの摘発に大きく貢献したようである．また，晩年には錬金術にのめり込み，遺髪には大量の水銀が含まれていたという記録がある．

例題 2.3質量 m の物体 A と質量 2m の物体 B が軽い糸でつなが
滑車

れ，質量の無視できる滑車にかけられている．このとき，物体 A は上昇し，物体 B は下降していった（図 2.24）．糸は伸び縮みしないものとし，重力加速度を g として以下の問に答えよ 注 6 ．
(1)

糸の張力を T，物体 A，B の加速度の大きさを a とすm

るとき，物体 A，B の運動方程式を書け．
(2)

加速度 a を求めよ．

(3)

糸の張力 T を求めよ．

解

(1)

2m

物体 A

物体 B

図 2.24

図 2.25 より，運動方程式は以下のようになる．
A：ma ＝ T − mg
B：2ma ＝ 2mg − T(2)(1)の 2 式の和を取ると，以下のようになる．
3ma ＝ 2mg − mg
∴ a ＝ (1/3)g [m/s2](3)

A の運動方程式より，以下のようになる．
T ＝ m(a ＋ g) ＝ (4/3)mg [N]

T

T

m
（A） a

2m
（B） a

図 2.25mg
2mg◆

総 合 問 題

19

注 6 「糸が伸び縮みしない」という条件は，｢物体 A，B の加速度を逆向きで同じ大きさと仮定してよい｣という意味を表す．

問 2.4

水平面上に，質量 M の板 A と質量 m の物体 B を，

図 2.26 のように重ねて置いた．ここで，板 A に糸を取りつけ，

m

物体 B
F

板A M

水平方向に力 F で引っ張ることを考える．簡単のため，すべての面間の摩擦力は無視できるものとする．
(1)

物体 B の加速度の大きさを求めよ．

(2)

板 A の加速度の大きさを求めよ．

図 2.26

総
[1]

合

問

題

xy 座標上で，x 軸とのなす角が 30°で，図F12.27 のように力 F がはたらいている．この力
F のx 軸方向成分とy 軸方向成分を求めよ．た

図 2.29は，図に示すように，2： 3 ：1 である．
[3]

y

F2

O

だし，頂角 30°の直角三角形の辺の長さの比

傾斜角 30°の粗い斜面上に質量 m の物体が静止している（図 2.30）．重力加速度の大きさを g として，以下の問に答えよ．
F

2
30°

30°

1

3

(1)

重力の斜面に垂直な成分と斜面に平行な成分を，それぞれ求めよ．

xm

図 2.27[2](1)

以下の問に答えよ．
力 F1 と力 F2 を合成したときの力 F を図30°

示せよ（図 2.28）．

図 2.30

①
F1

F2

(2)

物体にはたらく摩擦力の大きさを求めよ．

(3)

物体にはたらく垂直抗力を求めよ．

[4]②

傾斜角 θ の滑らかな斜面をもつ固定された三角台に，滑らかに回転する質量の無視できる

F1

滑車を取りつけ，この滑車を介して，質量 M
F2の物体 A と質量 m の物体 B を糸でつないで，
図 2.31 のように配置した．糸の質量は無視で

図 2.28

きるものとし，伸び縮みしないものとする．重力 F1 と力 F2 が，図 2.29 のように，なす力加速度の大きさを g とし，図の辺の比を利角 90°ではたらいている．図の O 点を作用点と用して，答えは sin θ，cos θ を含む式で表せ．

してある力 F を加えたところ，すべての力の(1)(3 力の) 合力が 0 となった．力 F を図示せよ．

ための条件を M，m，θ を用いて表せ．

(2)

図の状態で，物体 A，物体 B が静止する

20

第2講

力

学

(2)
a

物体 B
m

θ
M 物体 A

θ

m

θ

c

b
sin θ ＝accos θ ＝a

図 2.31(2)Fb

実際には，(1)の条件が満たされておら

図 2.32(1)

力 F の水平成分を求めよ．

(2)

物体にはたらく摩擦力 f はいくらか．

(3)

糸を引っ張る力を徐々に大きくしたとこず，物体 A は鉛直下向きに，物体 B は斜面上

ろ，力の大きさが αF (α > 1) となったときに，向きに運動をした．このときの 2 物体の加速度

物体は水平面に対して滑り始めた．物体と水平の大きさ a と糸の張力 T を求めよ．

面との間の静止摩擦係数を μ として，α を F，

[5]

粗い水平面上に質量 m の物体が置かれていμ，m，g，sin θ，cos θ を用いて求めよ．

る．この物体に糸をつけ，水平となす角 θ で(4)

図 2.32 のように力 F で引っ張った．このと物体は，右方向に等加速度運動をした．動摩擦

き，物体は静止したままであった．重力加速度

係数を μ' として，物体の水平方向の加速度 aの大きさを g とし，答えは sin θ，cos θ を含む

を求めよ．

式で表せ．

力 の 大 き さ を βF (β > α) と し た と き，

84

第9講

電 磁 気 学 (1)

第

9

講

電 磁 気 学（1）
― 電場と位置 ―

§9.1
(1)

静電気とクーロンの法則

物体の帯電と電気の正負

古代ギリシャ時代，琥珀を毛皮で擦ると，周りからほこりが吸い寄せられることは知られていた．これは，異なる 2 物体を擦り合わせることで，もともと電気的に中性であったものから，一方から他方へ電気が移動したために起こる 注 1 ．これにより，一方が正の，他方が負の電気を帯びることになる．このように，物体が電気を帯びることを帯電という．また，物体が帯電してその電気が移動しないとき，この電気のことを静電気という．物体が帯電した状態でもっている電気のことを電荷といい，その量を電気量という．一般に，電気量の単位は [C（クーロン）] を用いる 注 2 ．静電気間には力がはたらく．同種の電荷（正と正，負と負）間には斥力がはたらき，異種の電荷（正と負）間には引力がはたらく．これらの力のことを静電気力という（クーロン力という場合もある）．
注 1 「電気の移動」という表現を用いたが，実際には「負の電気をもつ電子の移動」が正しい．ただ，電子
注2の発見は 1895 年のことであり，正電荷が移動すると考えて議論を進めてもよい．
1 [C] は，導線に 1 [A] の電流が流れているとき，単位時間に流れる電気量で定義されている．

実際には，帯電は電子の移動で起こることがわかっている．電子は負の電荷をもち，その電気量は，−1.6 × 10−19 [C] であることが知られている．電子の電気量の大きさは電気素量とよばれ，記号 e で表し，
e ＝ 1.6 × 10−19 [C](9.1)と書ける．したがって，電子の電気量は，−e [C] となる．電子の不足した状態が正に帯電した状態であり，電子の過剰になった状態が負に帯電した状態である．
物質には，金属などのように電気をよく通すものと，紙や発泡スチロールのようにほとんど電気を通さないものがある．電気をよく通すものを導体，通さないものを絶縁体（不導体ともいう），その間のものを半導体とよぶ．

(2)

クーロンの法則

2 つの電荷が互いに及ぼし合う力について初めて定量的な実験式を導いたのは，フランスのばかり物理学者クーロンである．彼は，2 つの点電荷間にはたらく力を，ねじれ 秤 とよばれる装置を用いて以下の関係を見出した 注 3 ．

§9.1

静電気とクーロンの法則

85・クーロンの法則
2 つの点電荷間にはたらく静電気力の大きさ F [N] は，点電荷の電気量 Q[C]，q [C] の大きさに比例し，点電荷間の距離 r [m] の 2 乗に反比例する．
注3

点電荷とは，大きさ（体積）が無視できるほど小さな帯電体のことをいう．

この法則を式で表すと，比例定数を  とおいて，
F＝  Q ･ q 
r2

(9.2)

と書ける (図 9.1)．比例定数  は 2 つの点電荷間の物質によって異なる値を取るが，真空中では一般に 0 と表記し，およそ，
0 ＝ 9.0 × 109 [N･m2/C2] 注 4(9.3)

であることがわかっている．
Q
＋

q
＋

F

F

Q
−

q
−

F

F F

q
−

Q
−

F F

q
＋

引力

Q
＋

斥力

F

r
すべての力の大きさは F ＝ 

注4|Q||q|
となる．
r2

図 9.1

(9.2)より， を計算すると  ＝ F･r 2/ Q  q  となるので，(9.3)で表される単位となる．

例題 9.1
1.0 [C] の 2 つの点電荷が 1.0 [m] 離れて置かれている．このとき，2 つの点電荷間にはたらくクーロン力を求め，1.0 [kg] の物体にはたらく重力の何倍程度になるかを求めよ．ただし，クーロンの法則の比例定数 ，および重力加速度 g の大きさは，それぞれ
 ＝ 9.0 × 109 [N･m2/C2]，

g ＝ 10 [m/s2]

とする．

解

クーロン力は
Fc ＝ 

Qq
r2＝ 9.0 × 109･

(1.0)･(1.0)＝ 9.0 × 109 [N](1.0)2となる．一方，1.0 [kg]の物体にはたらく重力 Fg は，以下のようになる．
Fg ＝ mg ＝ 1.0･10 ＝ 1.0 × 10 [N]∴Fc＝ 9.0 × 108 倍
Fg

◆

86

第9講

問 9.1

電 磁 気 学 (1)絶縁体でできた軽い糸の先端に質量 m の点電荷を取りつけ，糸の他端を天井に固定した．この点電荷の電気量は Q (> 0) である．ここで，別の点電荷 (電気量 q > 0) を図 9.2 のように水平方向から近づけたところ，糸が鉛直線と角 θ となったところで静止した．

θ
l

q
＋

Q
＋

図 9.2

(1)

糸の張力を，m，g（重力加速度の大きさ），θ を用いて表せ．

(2)

2 つの点電荷間の距離を，Q，q，m，g，θ およびクーロンの法則の比例定数  を用いて表せ．

§9.2

電場とガウスの法則固定された電荷 Q (電気量 Q の電荷のことをいう) の近くに電荷 q を置くと，電荷 q は電荷
Q から静電気力を受ける．この事実を次のように捉える．すなわち，『電荷 Q が周囲の空間を変化させて，電荷 q はその変化した空間から力を受ける．電荷 Q によって電荷 q に静電気力を及ぼす空間のことを，電荷 Q が作る電場とよび，電荷 Q が静電気力を及ぼす空間には，電場が存在する』と考える．
そこで，点電荷に限らず一般的に，電場の向きや大きさを次のように定義する．
電場の中に，＋1 [C] の電荷を置いたとき，この電荷が電場から受ける静電気力の大きさを電場の強さと決め，その静電気力の向きをその位置における電場の向きとする．


一般に，電場は記号 E を用いて表す．電荷 q にはたらく静電気力を F とすると，上記の定
義より電場 E を単位電荷当りの力と考えて，

F

E＝
(9.4)
q

と書ける．E は大きさと向きをもつベクトル量であり，(9.4)より，単位は [N/C] であることがわかる (図 9.3)．
点電荷 Q が周囲に作る電場の強さは，静電気力 F が(9.2)で表されることから，

電場 E
＋1
＋

E

q
＋

（定義）
qE
F ＝ qE

q
−

Q
＋

r

|Q|
＋1 E ＝  2
r
＋

Q
−

r

＋1
＋
E＝

|q|E

図 9.3

図 9.4

|Q|
r2

§9.2

E＝
＝

電場とガウスの法則

87

F
q
 Q
r2

(9.5)

となることがわかる（図 9.4）．
空間の各点の電場を表すベクトルをつないで得られる曲線（あるいは直線）のことを，電気力線という．いいかえれば，電場の中に置かれた ＋1 [C] の電荷を，電場から受ける力に沿って少しずつ移動させたときの曲線と考えればよい．電気力線は，空間にできた電場の様子を視覚的に捉える上で有用なものである．簡単な例を図に表すと以下のようになる（図 9.5 〜 図
9.7）
．

＋

−
＋

図 9.5

図 9.6

−

図 9.7

これらの図のように，電気力線は，＋1 [C] の電荷を電場の向きにゆっくりと移動させたときの道筋（軌跡）と考えれば，容易に描くことができる．電気力線には，次のような性質があることもわかる．
・正電荷から出て負電荷に入る．
・正電荷のみの場合は，正電荷から出て無限遠に向かう．
・負電荷のみの場合は，無限遠から来て負電荷に入る．
・空間の途中で発生したり，消滅したりしない．
・交わることも，枝分かれすることもない．
この電気力線の考え方を用いると，点電荷に対して成立するクーロンの法則を，球面電荷や平面電荷の式に拡張することができる．まず最初に，電気力線を描く本数について以下のように決める．
空間に電場 E [N/C] があるとき，単位面積を垂直に貫く電気力線の本数を E[本] とする．
このように決めると，正の電気量 Q [C]の点電荷から出る総電気力線数 N が算出される．
点電荷からは，電気力線が図 9.8 のように放射状に広がり，半径 r の球面を貫くと考えれば，球の表面積が 4πr 2 であることより，
N＝

Q
× 4πr 2 ＝ 4πQ [本]
r2

(9.6)

となる．すなわち，
正の電気量 Q [C]の点電荷からは，4πQ [本] の電気力線が湧き出していることになる．このことをガウスの法則とよんでいる．(9.6)からもわかるように，電気力線の総

88

第9講

電 磁 気 学 (1)

1［m2］
＋Q
球面

E＝

|Q|
［本］
r2

図 9.8

本数 N は，形状に依存せず（r に依存せず），電気量にのみ依存（Q にのみ依存）することになる．
これを用いて，平面極板に均等に電荷が分布する場合の電場を求めてみる．この平板の周りに ＋1 [C] を置いて平面板から垂直に移動する道筋を考えれば，図 9.9 のような電気力線が得られる．＋Q [C] の電荷からは，全体として 4πQ [本] の電気力線が湧き出しているので，
左右に 2πQ [本]ずつ湧き出していることは明らかである．平板の面積を S [m2] とすると，極板の両側での電場 E は，単位面積当りの電気力線の本数を考えて
E＝

2πQ
S

(9.7)

と求めることができ，点電荷のクーロンの法則を拡張して，平面電荷による電場の大きさが求まったことになる．
＋Q［C］
2πQ［本］2πQ［本］図 9.9
面積 S の平板極板

例題 9.2
図 9.10 のように，xy 平面上の点 A (a，0) の位置

yに電気量 ＋Q (Q > 0) の電荷が固定されている．
(1)

原点 O(0，0) における電場の大きさと向きをB（0，a）

求めよ．
(2)

点 A の電荷に加えて，点 B (0，a) に電気量

−Q の電荷を固定した．原点 O(0，0) における電場

O

A（a，0）の大きさを求めよ．また，電場の向きを xy 平面座
図 9.10標上に図示せよ．

解(1)

原点 O(0，0)に ＋1 [C] の電荷を置いて，これが受ける力を考えればよい．

図 9.11 とクーロンの法則より，以下のように求まる．
E0A ＝ (2)

Q
a2

向きは x 軸負の向き．

(1)と同様に考えると，E0A ＝ E0B であるから，図 9.12 より以下のように求まる．

x