第I章

集合と写像
集合は，数学的な概念を記述する上での土台の役割を果たす．写像は，関数の概念の拡張である．本書では，他の多くの入門書と同様に，「集合」の定義を厳密に与えることはせず，自然数，整数，有理数，実数などの具体例を示すことで定義の代わりとし，集合と写像の基本事項
について説明する．

§1 集 合 と は§2 ド・モルガンの法則§3 写

像§4 集合演算と写像§5 2 つの集合の直積とその応用

2

§1

集合とは

集合論は，カントールによって創始された数学分野である．現代では，それをもとに「公理的集合論」が構築されているが，本書では「公理的集合論」を意識しつつ，創始者であるカントールの流儀にしたがって，集合 (set) について解説する．

集合の例 自然数 (natural number) が属する数の集合としては
N := {1, 2, 3, . . .}（自然数全体からなる集合）,

Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} （整数 (integer) 全体からなる集合）,
{
}
p
Q :=
; p, q は整数で q ̸= 0
（有理数全体からなる集合）qなどがある（記号「:=」は右辺により左辺を定義することを意味する）．さらに，有理数 (rational number) の集合 Q の拡張として実数 (real number) 全体からなる集合 R があり，その拡張として複素数 (complex number) 全体からなる集合 C がある．
ある集合 A に属する対象を元あるいは要素という．これはどちらも英語「element」の和訳である．本書では「元」の方を主に用いる．与えられた対
象 a が集合 A の元であることを，記号

a∈A

あるいは

A∋a

で表す．（英語では a belongs to A あるいは a is an element of A という．
）また，与えられた対象 b が集合 A に属さないときには

b∈
/A

あるいは

A ̸∋ bで表す．たとえば以下のことが成り立つ.

0∈/ N, −2 ∈ Z, −

√
2
∈ Q,
2∈
/ Q, π ∈ R.
3

注意 1.1 本書における集合について，あえて定義を与えるとすれば，「ある特定の性質を備えた対象の集まり」ということになる．我々は具体的なものしか扱わないので，このような定義でほぼ問題ないのであるが，時として，このような曖昧な扱いは，下記のような問題を起こ§1 集 合 と は3

すことがある．
通常，我々が考える集合 X は自身をその元にもたない，つまり X ∈/ X である．そのような集合を「普通の集合」と考え，それら全体からなる対象を普遍的 (universal) なものと考えて U と記す．いま，U が集合であると仮定する．すると，U ∈ U としてもU ∈/ U としても矛盾が生じる（ラッセルのパラドックス）．実際 U ∈ U ならば U
は自分自身を元にもつので U ∈/ U となり矛盾が生じる．一方，U ∈/ U ならば U は自分自身を元にもたないので U ∈ U となり，やはり矛盾が生じる．
このように，集合の対象をあまりに広くすると矛盾が生じる．これを回避するため，現代においては「公理的集合論」が構築されている ([9], [19])．本書では，上記のパラドックスをふまえた上で，「公理的集合論」の立場も加味しつつ，あくまでも直観に基づく形での集合論を展開する 1) ．

ここで，論理に関することを説明しておく．
「数学的に意味がはっきりしている文あるいは式」のなかで 2) ，真偽がはっきりしているものを命題 (proposition)という．一方，文あるいは式に変数が含まれ，それに値を代入することで真偽が定まるものを条件という．たとえば

p :=「6 は 2 で割り切れる」
は真な命題の例である．x を実数としたとき，

a(x) :=「x は有理数である」
は条件の例である．一般に，p(x) を集合 X の元 x ∈ X に関する条件とすると(1.1)

A := {x ∈ X ; p(x)}によって，X に含まれる集合 A が定まる．たとえば偶数の集合 E は

E := {x ∈ Z ; x は 2 で割り切れる}と書くことができ，その場合，(1.1) の p(x) はp(x) =「x は 2 で割り切れる」となる．
1)

この矛盾を避けるため，公理的集合論では，集合の全体といった大きな対象を「集合」とせず，もっと大きな対象である「類」として扱う．実際に，我々が扱いたい「対象」が集合であることを示すには，すでに集合であるとわかっているものと，その対象との間に 1 対 1 の対応を与えればよい．
2)
厳密には，「論理学における記号だけで表現できるもの」のみを対象としている．

第 II 章 集合の濃度

46は，Λ から集合 A への写像全体からなる集合 AΛ に一致し（定義 3.3），この記号自体を「A を Λ 回直積する」という意味に再解釈することができる．
例 7.5 各自然数 k に対し，R の開区間 Ik := (0, k) を考えて，集合の直積∏k∈N Ikを定める．このとき数列 {k/2}k∈N は，選択関数とみなせるので∏

f : N ∋ k 7→k∈ Ik (⊂ R)
2k∈N Ik の元になっている．

命題 7.6 X を集合とし，同じ集合 Λ で添え字づけられた X の 2 つの部分集
合の族 {Aλ }λ∈Λ と {Bλ }λ∈Λ について，次が成り立つ．

(

)

∏

Aλ

(

∩

λ∈Λ

∏

)

=

Bλ

∏

(Aλ ∩ Bλ ).

λ∈Λ

λ∈Λ

証明 以下の同値性から示される．

{xλ }λ∈Λ ∈「左辺」⇐⇒ {xλ }λ∈Λ ∈∏Aλ かつ {xλ }λ∈Λ ∈

λ∈Λ

∏

Bλ

λ∈Λ

⇐⇒ 各 λ ∈ Λ に対して，xλ ∈ Aλ かつ xλ ∈ Bλ⇐⇒ 各 λ ∈ Λ に対して，xλ ∈ Aλ ∩ Bλ⇐⇒ {xλ }λ∈Λ ∈「右辺」.
注意 7.7 命題 7.6 の仮定のもとで

(

∏
λ∈Λ

)

Aλ

∪

(

∏

)
Bλ

⊂

λ∈Λ

∏

□

(Aλ ∪ Bλ )λ∈Λは成り立つが，一般に等号にはならない（§5 の問題 2 (5) を参照）．

選択公理 数学において公理 (axiom) とは，証明抜きに真とみなす命題のことである．
我々は集合族の直積∏λ∈Λ Aλ を定義したわけだが，一般には，たとえ各 Aλが空集合でなかったとしても，これが空集合でない保証はない．以下の主張を選択公理 (axiom of choice) といい，本書では以後，これを真な命題とみなす．
（選択公理） 集合 Λ の各元 λ ∈ Λ に対して，各 Aλ が空集合でなければ，
集合∏

λ∈Λ Aλ は空でない．

（普遍集合 X における）集合族 {Aλ }λ∈Λ について，各 λ ∈ Λ を与えるごと§7 無限個の集合の直積と選択公理

47に，aλ ∈ Aλ となる元 aλ を取り出す選択関数 a : Λ ∋ λ 7→ aλ ∈ X が，少な
くとも 1 つ存在することを保証するのが「選択公理」である．これを認めると，各添え字 λ ∈ Λ に対して，一斉に，元 aλ ∈ Aλ を選び出すことができる．Λ
が有限集合のときには，選び出す操作は有限回ですむので，この公理は不要である．しかし，Λ が無限集合のとき，この主張（つまり選択公理）を示すには，その選出法を明確に指定しない限り不可能である．そこで，この理念上の操作を許すのが，上述の「選択公理」ということになる.
もう少し，かみ砕くと元を 1 つずつ取り出すことは「一斉かつ無作為に取り出す」という意味
で，取り出すたびに，「選択」する行為が伴う．普通に考えると，毎回選択する必要が生じ，いつまでも有限個の元しか取り出せないのだが，これを打破するため，数学上の操作として「無限個の（規則のない）選択が同時にできる」ことを保証するのが，選択公理である．
ツェルメロは，現代の公理的集合論の創始者の一人である．この選択公理はツェ
ルメロによって提唱され，当時，批判的な意見もあったが，現代数学において
は，論理上不可欠な「公理」として受け入れられている．
注意 7.8 選択公理を用いた定理の証明は選択規則が明示されないため，具体例の作成ある
いは，コンピュータ用のアルゴリズムを念頭におく場合には役に立たない可能性がある．し
たがって，選択公理は使わなくてすむのであれば，なるべく使わない方がよい．
「公理的集合論」には，全部で 8 個の公理があるが（[9] あるいは [19] 参照），「選択公理」は，それらとは独立であること（その主張と，その否定のどちらも公理として採用することができる）が証明されている．

例 7.1〜7.5 で与えた直積集合はすべて，選択公理なしに選択関数を構成でき
たが，さらに，このような例をいくつか紹介しよう．
例 7.9 各自然数 n に対して An := {m ∈ N ; m ≧ n} とすると {An }n∈N から Anに属する数の最小の元 n ∈ An (n ∈ N) が取り出せるが，これは選択公理を用いたのではなく，構成的な方法で選択関数を作ったことになる．
例 7.10 例 7.4 で写像の全体からなる集合 Y X を「Y を X 回直積したもの」とみなせることを述べたが，この集合が空でないことは，選択公理なしに示すことができる．たとえば，X のすべての元を Y の 1 つの元 y0 へ写す定値写像が具体例となる．
例 7.11 自然数の集合 N の空でない部分集合全体の直積集合∏

S∈2N \{∅} S が空で

第 III 章 ツォルンの補題とその応用

82と，「両者は等しい」あるいは「どちらか一方が他方の切片に一致する」こと，を示そう．実際，定理 11.12 により，x ∈ S と y ∈ T が存在して，

S∼
= T,

S∼
= Ty ,T ∼= Sxのどれか 1 つをみたす．但し S と T は空集合ではないので，x ∈ S \{x0 }, y ∈ T \{x0 }となる．すると補題 11.20 より，Sx と Ty は Λ0 に属するので，補題 11.19 により

S = T,

S = Ty ,T = Sx∪のどれかが成立する．以上により，W0 := S∈Λ0 S とおくと，命題 11.16 が適用できて，W0 は X の整列部分集合となる（各 S ∈ Λ0 の順序は X の順序を制限したものだから，命題 11.16 の条件をみたす W0 の整列順序は X の順序を制限したものに一致する）．さらに W0 自体が Λ0 に属すことを示そう．実際，x0 ∈ W0 は明らかである．いま x ∈ W0 \ {x0 } を任意に固定すると，x ∈ S なる S ∈ Λ0 が存在する．補
題 11.18 により S ′ ∈ Λ0 となり S ≠ W0 なので，命題 11.16 の後半の議論により，Sは W0 の切片なので Sx = (W0 )x となる．すると S ∈ Λ0 であるから
x = f (Sx ) = f ((W0 )x )が成り立つ．x の任意性と Λ0 の定義より，上の式は W0 ∈ Λ0 を意味する．すると補
題 11.18 から (W0 )′ ∈ Λ0 となり，W0 の定義から

W0 =

∪

S ⊃ (W0 )′S∈Λ0となるが，これは W0 ⫋ (W0 )′ に反する．

問

□

題

1 N2 := N × N の 2 元 (a, b), (c, d) に対して，(a, b) ⪯ (c, d) であることを，N の
自然な大小関係 ≦ を用いて

a < c または a = c かつ b ≦ dにより定義する（つまり ⪯ は辞書式順序となる）．このとき，(N2 , ⪯) は整列集合であることを示せ．
2 (N2 , ⪯) が整列集合であること（前問）を認めて，以下の問いに答えよ．
(1) (2, 1) の直後の元は何か．
(2) (2, 1) には直前の元がない理由を述べよ．
(3) N は (2, 1) の切片 (N2 )(2,1) に順序同型となることを示せ．

(4) 直前の元をもたない N2 の元をすべて求めよ．

83

§12

ツォルンの補題の応用，整列定理

本節では，前節で選択公理を用いて示したツォルンの補題のいくつかの言い換えと応用について解説した後，ツェルメロの整列定理（定理 10.21）を証明し，さらに，その整列定理から選択公理を導く．結果として，「選択公理」
，
「ツォル
ンの補題」
，
「整列定理」は，どの 2 つも同値となる．最後に発展的な話題としてツォルンの補題の「集合の濃度」への応用を与える．

ツォルンの補題のいくつかの言い換え
定義 12.1 巾集合 2X の部分集合 P が「X の部分集合に関する有限的な性質」
であるとは，X の部分集合 S が P に属することと，S の任意の有限部分集合
が P に属することが同値となるときをいう．
定理 12.2 以下の 2 つは，いずれもツォルンの補題（定理 11.1）に同値である．

(a) P を集合 X の部分集合に関する有限的な性質で，その性質をみたす（すなわち P に属する）X の部分集合が存在したとすると，P に属する Xの部分集合で，包含関係に関して極大な部分集合が存在する．

(b) 任意の順序集合 (X, ≦) は，包含関係において極大な全順序部分集合 Mを有する．つまり M ⫋ N となる（X の）全順序部分集合 N は存在しない．

(b) は（ハウスドルフの）極大原理とよばれる．
証明 (z) でツォルンの補題を表す．(z) から (a) を示す．Q を P の空でない部分集∪
合で，P の包含関係に関して全順序となるものとせよ．いま M := A∈Q A とおくと，M が P に属すことを示そう．実際，M の有限部分集合 {x1 , . . . , xn } を任意にとると，M の定義より，各 xi (i = 1, . . . , n) に対し Ai ∈ Q が存在し x ∈ Ai をみたす．Q は全順序部分集合なので，必要なら x1 , . . . , xn を並べ替えることにより，

A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An−1 ⊂ An
としてよく，その場合は {x1 , . . . , xn } ⊂ An となる．P は有限的な性質なので，{x1 , . . . , xn } ∈ P である．ここで {x1 , . . . , xn } は M の任意の有限部分集合であり，P は有限的な性質なので，M ∈ P となる．したがって M は P における Q の上界を

第 IV 章 ユークリッド空間から距離空間へ94

注意 13.1 c ∈ Rn を定ベクトルとすると，x, y ∈ Rn を c だけ平行移動したベクトルは，それぞれ x′ := x + c, y ′ := y + c と書けるが，(13.2) より d(x, y) = d(x′ , y ′ ) が成り立つ，つまり 2 点間の距離は平行移動で保たれる．n 次の実正方行列 P で，その転置が逆行列を与えるものを直交行列という．Rn の元を列ベクトルと思うと，内積について (P a) · (P b) = a · b(a, b ∈ Rn ) が成り立つので，(13.2) より d(P x, P y) = d(x, y) (x, y ∈ Rn ) が成り立つ．
平行移動と，直交行列による線形変換（例 3.6）との合成で表される写像を合同変換というが，以上の議論より，Rn の 2 点の距離は，合同変換で不変ということになる．幾何学の歴史的な教科書であるユークリッドの原論では，合同変換で不変な R2 あるいは R3 の図形の性質が扱われており，Rn をユークリッド空間とよぶのは，そのためである．

本節では，以下の Rn の距離に関する 3 つの性質に着目する．
定理 13.2 任意の点 x, y, z ∈ Rn に対して以下が成り立つ．

(1) d(x, y) ≧ 0 であり，d(x, y) = 0 であることと x = y が同値（正値性），(2) d(x, y) = d(y, x)（対称性），(3) d(x, y) ≦ d(x, z) + d(z, y) が成り立つ（三角不等式）．
証明 (1) と (2) は (13.2) からわかる．(3) は演習問題とする（節末の問題 2）． □注意 13.3

後の §15 で詳しく述べるが，集合 X 上に性質 (1), (2), (3) をもつ関数 d :X × X → R が存在するとき，d を X 上の「距離関数」といい，対 (X, d) を「距離空間」という．本節では Rn の部分集合の内部・外部・境界・閉包を定義するが，距離関数の 3 つの性質以外は用いないので，この節の議論は一般の距離空間に移植できる．

ユークリッド空間の部分集合の内部・外部・境界 x を Rn の 1 つの点，rを正の実数とするとき，

B(x, r) := {y ∈ Rn ; d(x, y) < r}を x を中心 (center)，r を半径 (radius) とする開球体 (open ball) という．定義から n = 1 のとき B(x, r) は開区間 (x − r, x + r)，n = 2 のときは「半径 rの円の内側」であり，n = 3 のときは文字通りの意味となる．
定義 13.4 S を Rn の部分集合とし，S c := Rn \ S をその補集合とする．
• x ∈ Rn が S の内点であるとは，ある正数 ε が存在して，B(x, ε) ⊂ S
をみたすときをいう．S の内点全体からなる集合を S の内部 (interior)（あるいは開核）といい，S ◦ と記す（明らかに S ◦ ⊂ S となる）．
• 補集合 S c の内点を S の外点という．外点全体からなる集合を S e で表§13 ユークリッド空間

95

し，S の外部 (exterior) という．つまり S e := (S c )◦ である．
• x ∈ Rn が，S の内点でも外点でもないとき，x を S の境界点という．Sの境界点全体からなる集合を S の境界 (boundary) といい，∂S で表す．
つまり ∂S := Rn \ (S ◦ ∪ S e ) である（図 13.1 参照）．特にRn = S ◦ ∪ S e ∪ ∂S

(13.3)

が成り立ち，Rn を互いに共通部分をもたない 3 つの集合の和集合として表すことができる．
命題 13.5 x ∈ Rn と r > 0 に対して B(x, r)◦ = B(x, r) が成り立つ．
証明 内部の定義から B(x, r)◦ ⊂ B(x, r) なので，逆向きの包含関係を示す．y ∈B(x, r) を任意に固定すると，各 z ∈ B(y, r − d(x, y)) について，三角不等式より(13.4)d(x, z) ≦ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + (r − d(x, y)) = rが成り立つので z ∈ B(x, r) となるが，z の任意性より B(y, r − d(x, y)) ⊂ B(x, r)が示される．特に y は B(x, r) の内点となり B(x, r) ⊂ B(x, r)◦ が示された．
□
外点
境界点
触点
内点
図 13.1

猫型図形の内点・外点・境界点・触点

命題 13.6 Rn の部分集合 S1 , S2 が S1 ⊂ S2 をみたせば S1◦ ⊂ S2◦ である．
証明 x を S1 の内点とすると，正数 ε が存在し B(x, ε) ⊂ S1 となる．すると S1 ⊂ S2
より，x は S2 の内点であることがわかる．x の任意性から S1◦ ⊂ S2◦ が示された． □系 13.7 S を Rn の部分集合とすると，(S ◦ )◦ = S ◦ ⊂ S が成り立つ．
証明 命題 13.6 を S ◦ ⊂ S に適用すると，(S ◦ )◦ ⊂ S ◦ が成り立つので，逆向きの包含関係を示せばよい．x ∈ S ◦ とすると，x は S の内点なので，ある正数 ε が存在し，B(x, ε) ⊂ S となるが，命題 13.5 と命題 13.6 より B(x, ε) = B(x, ε)◦ ⊂ S ◦ が成り立つので x ∈ (S ◦ )◦ となり，x の任意性から結論を得る．
□

114

§16

位相空間

距離空間の開集合のもつ性質を抽象化して「位相空間」を定義し，その基本性質を述べる．

位相空間の定義 X の部分集合全体からなる集合を 2X で表し，X の巾集合とよぶが，距離空間における開集合の性質（系 15.11）をもとに以下のように位相空間を定義する．
定義 16.1 集合 X (̸= ∅) の巾集合 2X の部分集合 O が，以下の 3 つの条件をみたすとき，O を，X の位相 (topology)，あるいは X の開集合系といい，O に属する X の部分集合を開集合あるいは開部分集合という．さらに，対 (X, O)
を位相空間 (topological space) という．

(1) ∅ と X は O に属す．
(2) O1 , O2 が O に属するならば O1 ∩ O2 も O に属す．よって有限個の開集合の共通部分は開集合となる．

(3) O に属する（Λ を添え字集合とする）集合の族 {Oλ }λ∈Λ を任意に与え∪ると，和集合 λ∈Λ Oλ も O に属す．つまり，任意個の開集合の和集合
は開集合となる．
距離空間のときと同様に X の元を点とよぶ．
注意 16.2

この定義では，空集合を位相空間から除外しているが，X が空集合のときにも，O := {∅} とおくことで，ただ 1 通りの方法で，それを位相空間とみなすことができる．そのときの位相空間としての性質については付録 M をみよ．余談だが，開集合の零個の和集合は ∅ であり，零個の共通部分は X とみなすことができるので（注意 6.9 あるいは付録 A の(A.1) 参照），(2) を「有限個の開集合の共通部分は開集合となる」に置き換えたものと (3) を位相の定義とすることで，(1) は位相の定義から取り除くことができる．ただし，これは書き方だけの問題で，O が位相であることを示すには ∅, X ∈ O をチェックしなければならない．
注意 16.3 抽象的な位相空間の定式化はフレシェに始まり（1906），ハウスドルフによる近傍系を用いた定式化（1914，注意 17.32 参照），クラトフスキーの閉包作用素による定式化（注意 17.16）などを経て，1940 年代前半には，本書で扱うような形に落ち着いた（[4] 参照）．

位相空間を表すとき，特に必要のない限り，記号の簡略化のため (X, O) と§16 位 相 空 間

115

書かずに，単に「位相空間 X 」と記す．このとき暗黙の了解事項として，X に「開集合」が定義されているものとする．位相空間の例を紹介しよう．
例 16.4 (X, d) を距離空間とすると，系 15.11 より，その開集合の全体からなる集
合 O は，定義 16.1 の 3 つの条件をみたす．この O を，距離空間 X の定める位相とよんだ．以後，特に断りがない限り，距離空間は，この位相により位相空間とみなす．
例 16.5 集合 X (̸= ∅) に対してO∗ := {∅, X}とおくと，(X, O∗ ) は位相空間となるが，この位相（開集合系）O∗ を密着位相 (trivial

topology) という．
例 16.6 集合 X (̸= ∅) の巾集合を 2X と記したが，O∗ := 2Xとおくと，(X, O ∗ ) は位相空間となる．この位相（開集合系）O ∗ を離散位相 (discrete
topology) という．また，このとき (X, O∗ ) を離散空間という．
例 16.7 集合 X が 1 つの元だけからなる集合のとき，X の位相は，ただ 1 つであり，それは密着位相であり，かつ離散位相でもある．
例 16.8 2 つの元からなる集合 X := {1, 2} の位相は，全部で 4 つ存在する．その中で密着位相でもなく離散位相でもないものは{∅, {1}, X},{∅, {2}, X}

である．X が 3 つの元からなるときには，位相の数は全部で 29 個である（節末の問題 1）．

距離空間の閉集合は，開集合の補集合である（系 15.10）という事実に基づ
き，以下の定義を与える．
定義 16.9 位相空間 (X, O) において，X の部分集合 A が閉集合あるいは閉部分集合であるとは，その補集合 Ac が開集合となるときをいう．位相空間 (X, O)の閉集合全体からなる集合 A を位相空間 X の閉集合系という．
特に X が距離空間ならば，この定義による閉集合の概念は，§15 で与えた距
離空間としての閉集合の概念に一致する（定義 15.8 と系 15.10 参照）．
定理 16.10 位相空間 (X, O) の閉集合系 A は以下の 3 つの条件をみたす．

(1) ∅ と X は A に属す．

付

224

定理 C.6

録

位相空間 X について，以下の 2 つの条件は同値である．

(1) X は局所連結である．
(2) （X の）空でない任意の開集合を，X の部分空間とみなすと，その連結
成分は X の開集合である．
証明 まず (1) を仮定し，O を空でない開集合とする．C を，部分空間 O の 1 つの連結成分とし，x ∈ C を固定すると，X の局所連結性により，x の連結な開近傍 Uが存在し U ⊂ O をみたす．連結成分の定義より，U ⊂ C となるので，x は C の内点であるが，x の任意性から C は X の開集合となり (2) が示された．逆に (2) から(1) を示す．x ∈ X を任意に固定し O をその開近傍とせよ．いま Cx を，X の部分
空間 O における x の連結成分とすると，(2) より，Cx は X の開集合なので X の局
所連結性が示された．
□

命題 C.3 と命題 C.4 より，Rn は局所連結なので以下が成り立つ．
系 C.7 Rn の空でない開集合の連結成分は開集合となる．
連結だが局所連結でない位相空間の例を挙げよう．
例 C.8 命題 21.36 の証明で与えたトポロジストの正弦曲線 X (⊂ R2 ) は，連結だが局所連結ではない．仮に局所連結であったとすると

A := X ∩ (R × I),()
11
I := − √ , √22の各連結成分は開集合である（定理 C.6）．いま，

ak :=

1
1
, bk :=
π/4 + kπ
−π/4 + kπ(k ∈ N)とおくと連続写像 f : (0, 1) ∋ t 7→ (t, sin(1/t)) ∈ R2 の性質により，

A=B∪

∪

f ((ak , bk )),

k∈N

B :=

}
{
1
(0, y) ∈ R2 ; |y| < √2と書ける．すると各 k ∈ N に対して()
f ((ak , bk )) = A ∩ f ([ak , bk ]) = A ∩ (ak , bk ) × Iが成り立つので，f ([ak , bk ]) が R2 の閉集合であることに注意すると，f ((ak , bk )) は
A の中で閉かつ開となる．すると，§21 の問題 4 により，f ((ak , bk )) は A の連結成分である．A \ B は，これらの和集合であるから，A の残りの連結成分は B の部分集合となり，B 自体が連結なので，B も A の連結成分である．すると，定理 C.6 により，B は A において開集合となるが，B の各点を中心とする R2 のいかなる開球体もA \ B と共通部分をもつため矛盾が生じ，X の局所連結が示された．同様に，§21 の問

付

録

225

1

0

1

−1
図 C.1

例 C.9 の部分集合 Y の図

題 6 で与えた R2 の部分空間 Z も，連結だが局所連結でない例を与える（この場合はA′ := Z ∩ (R × (1/4, 1/2)) とおくと，上と同様の議論により，B ′ := {0} × (1/4, 1/2)
が A′ の開集合でない連結成分となる）．

弧状連結だが，局所連結ではない例を紹介しよう．
例 C.9 例 C.8 でも扱ったトポロジストの正弦曲線 X において• (1, sin(1)) と (1, 1) を結ぶ（両端点を含む）線分 L と，
• 中心が (1/2, 1/2) で (1, 1) と (0, 1) を結ぶ円弧 Sとの和集合 Y := L ∪ S ∪ X を考える（図 C.1 参照）．この集合は，R2 の部分空間として弧状連結だが，例 C.8 と同じ理由で，局所連結でない．

次に弧状連結成分を定義する．
命題 C.10 位相空間 X 上の任意の 2 点 x, y ∈ X に対して，「x と y を結ぶ連続曲線が存在する」とき x ∼ y と記すと，∼ は X 上の同値関係である．
証明 まず例 21.30 により x ∼ x となる．一方 γ(t) (t ∈ [0, 1]) なる連続写像に対して，γ(1 − t) は始点と終点を反転させるので，同値関係 ∼ が対称律をみたすことも自明である．いま x, y, z ∈ X に対して x ∼ y かつ y ∼ z であったとすると，2 つの連続写像 γi : [0, 1] → X (i = 1, 2) が存在して

γ1 (0) = x, γ1 (1) = γ2 (0) = y, γ2 (1) = zと書ける．このとき

γ (2t)（t ∈ [0, 1/2] のとき）,
1γ(t) :=
γ2 (2t − 1) （t ∈ [1/2, 1] のとき）とおくと，§18 の問題 5 より連続写像となり，γ(0) = x と γ(1) = z をみたすのでx ∼ z となり推移律が確かめられた．
□

付

256

録

以下のように X が距離づけ可能な場合は，命題 I.2 の逆が成り立つ．
命題 I.3 距離づけ可能な位相空間に対し，リンデレーフ空間であることと第 2可算公理をみたすことは同値である．
証明 命題 I.2 と定理 19.21 により，与えられた位相空間 X がリンデレーフ空間ならば，可分（定義 19.16）であることを示せばよい．一般性を失うことなく X は距離空間であるとしてよく，B(x, r) で x ∈ X を中心とする半径 r の開球体を表す．n を自然数とすると Un := {B(x, 1/n)}x∈X は X の開被覆なので，高々可算な X の部分集合∪
Sn が存在して，Un := {B(x, 1/n)}x∈Sn は X の被覆となる．いま S := n∈N Snとおくと，S も高々可算な集合であり（定理 A.10），S = X である．仮にそうでなかったとすると，x0 ∈ X と正数 ε が存在して，B(x0 , ε) は S と共通部分をもたない．
ところが 1/n < ε のとき，Un が X の被覆であることにより x0 ∈ B(x, 1/n) となる
x ∈ Sn が存在するので x ∈ B(x0 , 1/n) ⊂ B(x0 , ε) となり，矛盾が生じる．
□
注意 I.4 リンデレーフ空間の部分空間と，リンデレーフ空間の直積は，リンデレーフ空間とは限らない（系 K.24 と系 L.26 参照）．また，第 2 可算公理をみたさないリンデレーフ空間が存在する（系 J.11）．

J

ゾルゲンフライ直線

さまざまな位相的性質をもつ具体例の構成に役立つ「ゾルゲンフライ直線」を紹介しよう．

R 上の右半開区間 [a, b) (a < b) の全体からなる集合を BL と記す．区間
I, J ∈ BL に対して，I ∩ J は空でなければ BL に属し，かつ R は右半開区∪間の和集合 k∈Z [k, k + 2) に一致するので，命題 16.24 により，BL を位相の基とする R の位相 OL （下限位相，the lower limit topology）をつくることができる 1) ．(R, OL ) をゾルゲンフライ直線とよび RL で表す．a < b のとき(a, b) =∪x∈(a,b) [x, b) と書けるので，R の通常の位相 OR は OL よりも弱い．

以下の補題を示す．
補題 J.1 x ∈ RL とし，O (∈ OL ) を x の開近傍とすると，ある実数 ux (> x)(a, b] の形の区間を考えることで，同様に「上限位相」が考えられるが，R の順序を反転させることで，下限位相と本質的に変わらないことがわかる．
1)

付

録

257

が存在し，[x, ux ) ⊂ O とできる．また {[x, x + y) ; y ∈ Q ∩ (0, ∞)} は x ∈ RLの基本近傍系となる．
BL は RL の位相の基なので，命題 16.22 により，x ∈ [a, b) ⊂ O となる数
a, b ∈ R (a < b) が存在する．x ∈ [x, b) ⊂ O であるから ux := b とすればよい．最後の主張は b ∈ Q としてよいことからの帰結である．
□
証明

補題 J.1 の後半の主張から，以下のことが従う．
系 J.2 RL は第 1 可算公理をみたす．
さらに次が成り立つ．
命題 J.3 RL は正規空間である．
証明 まず，RL の位相は，通常の R のものより強いので T1 空間となる．いま，A,
B を RL の閉部分集合で，互いに共通部分をもたなかったとせよ．a ∈ A を固定すると a ∈ RL \ B であるから，補題 J.1 より，Ia := [a, ua ) (a < ua ) の形の a の開近傍∪が存在し，Ia ⊂ RL \ B となる．そこで U := a∈A Ia とおく．同様に b ∈ B を固定するごとに b の開近傍 Jb := [b, ub ) (b < ub ) が存在し，Jb ⊂ RL \ A となる．そ∪こで V := b∈B Jb とおくと，U, V は RL の開集合である．仮に U ∩ V ̸= ∅ とすると，Ia ∩ Jb ̸= ∅ となる a ∈ A と b ∈ B が存在する．必要なら A と B を入れ替えることにより a < b としてよい．すると a < b < ua となるが，これは b ∈ Ia を意味
し，Ia が B と共通部分をもたないことに反する．
□

命題 J.4 有理数の集合 Q は，RL の稠密な部分集合である．特に RL は可分である．
証明 任意の x ∈ RL に対して，x ∈ [a, b) (a < b) となる [a, b) ∈ BL をとると，□[a, b) ∩ Q ≠ ∅ なので，Q は RL の中で稠密である．

可分な位相空間について，以下の補題を示す（これは §9 の問題 3 の一般化である）．
補題 J.5 X を連続の濃度をもつ可分な位相空間とすると，X 上の連続関数全体からなる集合 C(X) も連続の濃度をもつ．
証明 A を高々可算な集合で A = X とせよ．f ∈ C(X) の定義域を A に制限する写像 φ : C(X) ∋ f 7→ f |A ∈ C(A) は単射である．実際，g ∈ C(X) とし，g|A = f |A

付

280

M

録

距離空間と位相空間における空集合の扱い

この付録では，空集合が距離空間と位相空間の定義をみたすことを示し，その性質について解説する．但し，位相空間あるいは距離空間の仲間に空集合を入れるかどうかについては，それ自体，定義する我々に委ねられている部分もあるので，この付録は，あくまで，距離空間と位相空間に空集合を加えた場合に何が起こるのか，について記した覚え書き，と解釈してほしい．
具体的には，§15 以降の本書の節と付録 L までの定義・定理・命題・系および例（証明部分は除く）について，空集合を距離空間と位相空間の仲間に入れたとき支障が生じたり注意を要する箇所で，特に重要と思われるものに対して説明を記した．

距離空間と連続性（§15）
集合 X が空集合のとき，d : X × X → R なる関数は，空関数となる 1) ．これが，「距離空間」の 3 つの性質 (i), (ii) と (iii) をみたすことを示そう．空関数としての d は，直積集合 (X × X) × R の部分集合としての関数のグラフ Γ := ∅に対応する（§5 参照）．
さて X が空でない集合で，d が X 上の距離関数であった場合には

Γd :=

{(
)
}
(x, y), d(x, y) ∈ (X × X) × R ; x, y ∈ X

が，(X × X) × R の部分集合としての d のグラフである．この場合 d(x, y) ≧ 0
であることは，実数 r に対して

(M.1)((x, y), r) ∈ Γd =⇒ r ≧ 0が成り立つことと同値であり，また「d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y 」であることは(M.2)((x, y), 0) ∈ Γd ⇐⇒ x = yと同値である．距離関数の条件 (ii) は，実数 r, s に対して

(M.3)
1)

((x, y), r), ((y, x), s) ∈ Γd =⇒ r = s

終域が R となる空写像を空関数とよぶ（注意 5.8 参照）．