水工学論文集,第57巻,2013年2月

浅水流の仮定を用いない水深積分モデルによる種々な小規模河床形態の統一的解析法の構築
NUMERICAL SIMULATION ON SAND WAVES USING DEPTH INTEGRATEDMODEL WITHOUT THE SHALLOW WATER ASSUMPTION

内田龍彦1・福岡捷二2
Tatsuhiko UCHIDA and Shoji FUKUOKA
1正会員

博(工)

中央大学研究開発機構准教授（〒112-8551 東京都文京区春日1-13-27）
2フェロー 工博 Ph.D.研究開発機構教授 （同上）The objective of this study is to develop a numerical computation method based on depth integrated
model for sand waves varying with hydraulic conditions. To calculate depth scale flow structures withsand dunes, we developed the general bottom velocity computation method based on a depth integrated
model, in which bottom velocity and pressure acting on bed surface are calculated without taking theassumption of the shallow water flow, such as the hydrostatic pressure distribution. The flow separation
behind the dune crest, which has been found to play an important role of the dune formation, is evaluatedby the production terms of the depth integrated vorticity equations. Non-equilibrium sediment transport iscalculated by using momentum equation of the sediment motion with the relaxation length of the particle
movement. We applied the model to experimental results on sand dunes in a narrow channel anddiscussed the performance of the model.
Key Words : bed morphology, bottom velocity, separation, step length, sediment transport rate

うになってきた6),7)．類似の問題として，床止め下流の河床洗掘と跳水形態の相互作用に関する鉛直二次元解析法が提案され，実験室レベルでの説明が可能になってい河川における水理現象の解釈において河床の抵抗を正る8)．しかし，これらの鉛直二次元解析法を河道におけしく見積もることは重要である．河床の抵抗は，粒径スる三次元河床波の解析に適用することは，現在の計算機
ケールの凹凸による表面抵抗と河床波などの河床形状変能力をもってしても現実的ではない．
化による形状抵抗に分けられる．一般に，河床材料粒径
河床形態の分類や砂堆の形状がFr数，水深などによっは対象とする流れのスケールに比べて極めて小さいため， て概略的に表現できる1)~4)．このことは，微小な擾乱は粒子近傍の流れは壁法則としてモデル化される．しかし， 底面極近傍の三次元乱流運動が強く関係しているとしても，水深スケールまで発達する小規模河床波の構造は水河床の形状抵抗については対象とする流れスケールと同深スケールの流れによって決まっていると考えられる．
等で相互作用系にあるため，移動床流れは，河床形態，
また，砂堆は境界層スケールの渦が支配的な層流条件下
流砂量，抵抗則を一つの系として捉える必要があることでも発達することが知られている9)．洪水流解析においが古くから認識されている1)~4)．にもかかわらず，これまでの移動床解析では小規模河床波については単に底面ては，小規模河床波が流砂量や流れの抵抗等の平均流構の抵抗の変化として取り扱ってきた．これは平面二次元
造に与える影響を評価する重要性が高いため，水深より解析においては流速鉛直分布の変形や河床面に作用するも小さなスケールの運動を対象とする三次元乱流解析モ
圧力分布が考慮できないため，河床形態，流砂量，抵抗デルは必ずしも必要ないと考えられる．しかし，現在ま則の相互作用を力学的に考慮することができなかったたでにこのような視点で小規模河床波が平均流構造に与えめである．局所的な河床の擾乱は底面極近傍の乱流運動
る影響を積極的に評価しようとした試みはあまりない．
が強く関係するため，小規模河床波と渦構造が研究され
音田・細田10)は水深積分モデルを用いた小規模河床波の発生・発達過程の数値解析法を示し，水路勾配の変化にている5)．近年，砂堆による流れと乱れの鉛直構造を考慮できる鉛直二次元乱流解析法が提案され，狭い水路による河床形態の遷移過程と抵抗変化を説明している．しおける砂堆の形成過程が数値解析によって再現できるよかし，砂堆を特徴づける剥離や急勾配で発生する跳水を

１．序論

どのように評価するのかについて課題を残している．
内田・福岡11),12)は，広域の流れ場の解析に適用できる
水深積分モデルを用いて，非静水圧成分と鉛直方向流速の場所的変化を解析できる渦度方程式を用いた底面流速解析法を開発し，橋脚周辺の馬蹄形渦を伴う三次元的な流れ11)や構造物を越流する急変流場12)，および下流の跳水12)を解析できることを示してきた．本研究では，洪水時の河道における三次元河床形態を再現するための第一ステップとして，底面流速解析法を応用し，狭い水路における小規模河床波の解析法を開発することを目的としている．

２．解析方法U i h U iU j hz  gh s
t
x j
xi
hdp0 dpb zb  bi h ij




xi
 xi  x j(3)

kk 1   vh k   Pk   (4)
U j

t
x j h xi   k xi hDiji h ERi  P i 
t
x j

(5)

z
u si
u
 u sj si   g s  Psi
t
x j
xi

(6)

 
 
(Ct ) 2
 P   0
x j 
x j 

(7)

dp

z

hWU

j
b
(8)
  bj b (1) 一般底面流速解析法11),12)
x j
x j

小規模河床波を有する流れの解析では河床形状による流砂量の縦断分布を適切に評価することが重要である1)． ここに，i ,j：1,2であり，それぞれx,y方向(水平方向，
z：鉛直上向き)，dp0：水深平均圧力偏差，ij：水平応
流砂量を支配する底面流速は河床表面のせん断応力の影力テンソル，Pk：乱れエネルギーの生産項，：乱れエ
響と河床形状による圧力場の変化を受ける．前者は本解Ck，Ch=1.7)13)，ERi：渦
ネルギーの散逸率(
析では主として底面せん断応力による水深平均流速の減度の鉛直回転項，Pi：渦度生産項，Dij：移流，回転，速と底面からの渦度の供給による流速分布の変形で表さ
乱流拡散による渦度フラックス，P
si：水表面流速生産項
れている．一方，後者を評価するためには静水圧分布等（水面のごく薄い層の下面に作用するせん断応力），の浅い流れを仮定した場合に微小項11)となる，式(1)の鉛
=(Wh)n+1－(Wh)n，(Wh)n+1，(Wh)n：n+1，nステップにお直方向流速の場所的変化項や運動方程式(3)の非静水圧分
ける鉛直方向流速の水深積分値，P=(Wh)P －(Wh)n ，布項が重要となる．また，河床波の形状抵抗を評価する(Wh)P：鉛直方向流速の予測値，C2= k1(h/t)2，k1=1/20，
ためには底面圧力を解析する必要がある．本解析では，
t：計算時間間隔である．(Wh)Pは(Wh)nを用いて評価し河床波に作用する底面流速と底面圧力を適切かつ効率的
た流速鉛直分布から連続式より計算される．流体は非圧に評価するため，浅水流の仮定を用いることなく底面流縮であるため，圧力は無限大の速度で伝播する．式(1)よ速と底面圧力に関する方程式を直接解くことで，圧力やり鉛直方向流速の変化は水深に比例した距離を瞬時に伝流速鉛直分布を解かずに半直接的に求めることができる
わることが分かる．このため，非圧縮流体の解析と同様
11),12)を応用する．
一般底面流速解析法に，浅水流場の仮定を用いない解析においては，流速鉛
底面流速は渦度の定義式を水深積分することによって直分布もしくは圧力偏差を評価するために，原則，陰解式(1)で表される．
法が必要であると言える．式(7)，(8)の詳細および解析
z
Wh
z
 ws s  wb b (1)ubi  u si   ij 3 j h 
法は文献11),12)，式(2)～(6)については文献13)を参照された
xi
xi
xi
い．式(3)の移流項の解析法については保存型CIP法14)をここに，zs：水位，zb：河床高，ws，wb：水面，底面の用いているが，跳水を伴う激しい流れの河床変動を安定
鉛直方向流速である．式(1)を用いて底面流速を評価する的に解くために，水深についてはSMAC法を応用した陰ために，本解析法では通常の平面二次元解析法の未知量解法を採用した．即ち，=hn+1－hn，P=hP－hn，C2 =gh
である，h (水深，式(2))， Ui (水深平均流速，式(3))，kとして，式(7)を鉛直方向流速と同様に解いている．hPは(水深平均乱れエネルギー，式(4))に加え，i (水深平均式の圧力の静水圧成分の圧力項をhnで評価して計算さ渦度，式(5))，usi (水表面流速，式(6))，W(水深平均鉛直れた流速を用いて，式(2)より計算する．なお，本解析で方向流速，式(7))に関する方程式を解く．また，底面圧は水深よりも小さい計算格子を用いているため，水深計
力を評価するため，鉛直方向運動方程式を水深積分した算の場合と鉛直方向流速計算の場合のCを比較すれば分dpb(底面の圧力偏差，圧力偏差dpは等方応力の静水圧分かるように，水深の解析は鉛直方向流速の解析と比べて布からの偏差成分)の方程式(8)を解く．
計算負荷が小さく，水深を陰的に解いても全体の計算負h U j h
荷はほとんど増大しない．
(2)0
小規模河床波は砂堆背後の底面での剥離や，跳水先端
t
x j

z
水面高 zsu*  cbub ,

水表面流速
us

1
1  z  ak s  Ar  ln bcb
  ks(9)u*  zb  ak s  h lnh  zb  ak s 

(10)

be  2h

本研究では渦層厚は等流状態の二次曲線の流速分布と対数分布則が整合するようにzb=h/(e3 1)とした．なお，式
底面流速ub(9)，(10)はks/h<<1のとき，著者らのこれまでの定義12)と底面高 zb
zb
一致する．
粗度表面
河床波のきっかけとなる擾乱はバースティングなどの
aks
u
原点高
河床近傍の非定常三次元乱流運動が主要因であると考え砂粒子（粒径d）
られる．本解析法は水深積分モデルであるため，微小擾
図-1 底面流速解析法における粗度高と底面高の関係
乱を外的に与える必要がある．擾乱の与え方は様々考えられるが，洪水流解析への応用を考えると，なるべく簡における水面での剥離(砕波)によって特徴づけられてお易な方法が望ましい．本解析法では直接解析できない水り1),2),4)，これらの現象を適切に評価することが重要で深以下のスケールの擾乱Bを式(11)に示すように無次元ある． 本解析法では，勾配変化量の剥離限界を設定し，掃流力に与えることにする．
勾配変化量がこれを超える時に剥離が生じるとしている．
2u
この剥離限界角度の設定方法については検討する余地が *  1   B  *gd(11)
残されているが，本研究では試験的に既往研究で設定した値(tanc =1/5(水面)，1/10(底面)を用いることにした．
剥離点においても以下のように既往研究11),12)と同様に取り扱う．底面での剥離現象は剥離点からの渦度の供給を式(5)のPiに加えることで評価される13)．跳水先端における水面での剥離においては，渦度の供給に加え，水表
面流速は剥離点で不連続の条件を課している．即ち，剥離点下流の水表面流速の移流項の計算では，剥離点の流速をゼロとしている．また，大気圧下の波動現象では流体内部で負圧が生じないことから，剥離点直下では圧力を強制的にp >0としている．詳細は既往の文献(底面13)，
水面12))を参照されたい．
(2) 底面せん断応力と掃流力の評価方法
河床材料粒子に作用する流体力を適切に評価するためには，解析において定義された底面高と河床材料粒子高の関係を明確にする必要がある例えば，15)．本解析では，河
床材料粒子の表面を粗度表面とする．粗度表面高より低い位置では流れは粗度の形状抵抗を受けるため，流体のせん断応力と圧力勾配が釣り合わず，対数分布則導出の前提が成立しない．そこで本解析では，図-1に示すように河床高相当粗度ksを用いてaksと表し，それより僅かzb
上の高さを底面zbとし，底面zbと水面zsの間の流れを解く
ことを考える．対数則の原点位置は，平均河床高で与えられることもある15)が，原点位置と平均河床高の関係が粗度の配置などによって変化する例えば，16)ため，定かではない．ここでは簡単のため，a=1の一定値を与える．zb
は非常に薄い渦層であり，この渦層内で局所平衡を仮定
すれば，底面せん断応力と底面流速に対する平衡状態の渦度はそれぞれ式(9),(10)で表すことができる．

 x  y t 
 
T 
 L

 B  AB cos 2 

ここに，L，Tは擾乱の空間，時間スケールであり，本解析法では水深以下の三次元現象を直接解析できないことから，それぞれL=h，T=h/ubと与えた．擾乱の振幅はその場所の乱れ等の影響を受けると考えられるが，ここでは簡単にAB=1.0の一定値とした． なお，擾乱が直接河床形状に与える影響は非常に小さく，河床波の形状にほとんど影響を与えないことを確認している．
(3) 非平衡流砂量式13)小規模河床波の解析においては，河床波上の粒子の非平衡運動の評価方法が重要であることが指摘されている
6),7)．本研究では砂粒子の運動方程式に基づいた式(12)の非平衡流砂量式13)を用いる．

q Bi u Bj q Bi

t
x j

(12)

 Pu BPi  Du BDi   m* hB  ei   i 
ここに，qBi：i方向流砂量，P，D：単位面積単位時間辺りの砂の離脱量，堆積量，uBi：i方向流砂速度，uBPi：河床から離脱した砂粒子のi方向流速，uBDi：堆積する砂粒子が持っていたi方向流速，m*=ksgcossC ，C：付加質量係数，k：河床砂の動摩擦係数，s：砂の比重，：河床の最大斜面角度，hB：見かけの掃流層厚さ，hB= qB/uB，i：砂粒子の移動方向単位ベクトルのi方向成分，ei：平衡状態におけるiである．式(12)の右辺第一項と見かけの掃流層厚さは，既往研究3)を参考に流砂量を用いて簡易的に式(13),(14)で与える13)．
Pu BPi  Du BDi  q Be u Bei / Le  q B u Bi / L (13)sgd  3.3q Be* 

表-1 実験条件4)と河床形態※1

1/ 3

(14)

水路

Case

u B sgd  3.3qB* 1 / 3 , u BehB d  0.3q B* 2 / 3

勾配

単位幅流
2

量(m /s)

河床材料
粒径(m)

河床形態

Fr数
※2

実験

解析

ここに，L：砂粒子運動の緩和距離，Le：その場所の掃 1 1/178 41.8*10-3
砂堆
砂堆
0.76*10-30.66
流力に対応する平衡状態のL，qBe：平衡流砂量，uBei：平 2 1/147 43.0*10-3
砂堆
砂堆
0.76*10-30.65
衡状態の砂粒子のi方向移動速度，uBe2= uBei uBei ，qB*：無流下
長い波長
3 1/73.0
44.3*10-3
0.76*10-3
0.88
反砂堆
の砂堆
次元掃流砂量，qB*= qB /(sgd 3)0.5，qBe*：無次元平衡掃流砂
-3
-3
平坦河床
平坦河床
4
1/31.039.5*100.76*101.74
量であり，式(9)で計算される摩擦速度を用いて，芦遡上
遡上
田・道上式3)より求める．Lは流砂量と堆積量，離脱量 5 1/31.0 10.8*10-3
0.19*10-3
1.11
反砂堆
反砂堆
を関係づけ，非平衡流砂運動に関する重要な量である．
遡上
遡上-3
0.19*10-3
1.24
これまでに，Lに関する実験式はいくつか提案されてい 6 1/31.0 26.8*10
反砂堆
反砂堆
る17),18)が，小規模河床波解析への適用性は定かではな
遡上
遡上
7 1/20.0
13.3*10-3
0.19*10-3
0.65
19)
反砂堆
反砂堆
い．山口ら は砂粒子の平均移動距離が砂堆の数値解
4)
析結果に与える影響を調べている．しかし，掃流力が ※1 原著 では遡上反砂堆とChutes & Poolsが区分されていたが，両者の場所的に変化しない場合では式(13)のLは粒子の平均移 特徴は類似しているため，ここでは遡上反砂堆とした．
※2 Frは単位幅流量と実験3)の平均水深を用いて計算した値であるが，局動距離となるが，掃流力が空間的に変化する小規模河 所的には縦断方向に変化する．特に，Case5～7では後述するように常射流
床波上では砂粒子は流れの影響を受けて加速・減速す が混在し，跳水を含む流れとなる．
ることによってLは砂粒子の平均移動距離よりも小さく0.1なると考えられる．このように，砂粒子の非平衡流砂0運動を特徴づける緩和距離Lについては未解明の点が多く，その評価手法は確立されていない．このため，本0.1
初期研究では既往の実験式18)を使いやすいように変形した式(15)13)の関数形を用い，砂堆の発生する条件における
0
河床変動解析結果と実験結果を比較して，係数Lを修
0.1
10秒後正することとした．即ち，式(15)のLを大きくすると，砂堆の波長が大きくなるとともに波高が減衰し，遂に0
は平坦河床となる．そこで，砂粒子の平均移動距離よ0.1
30秒後
りもLが小さいと考えられることを踏まえながら，実験結果を再現できるようにL=7とした．
0

Le d   L qBe*  , L d   L maxqBe* , qB* 
2/3

2/3

(15)

河床高の時間変化は，見かけの掃流層厚さhBの時間変化は十分小さいとし，式(16)で計算する．

zq(1  B ) B  Bi  0
t
xi

(16)

0.1

1分後

0

2分後

0.1

0

３．小規模河床波の解析結果と考察

4分後

-0.1
2

3

4

5

図-2 砂堆の初期発達過程の解析結果（Case2，SI-unit）

6(1) 解析条件
解析対象は福岡ら4)の二次元河床波実験を対象とする．
した．計算の初期条件には平坦固定床で計算された流れ
実験には幅0.040m，長さ8.0mのアクリル製水路が用いら場と平坦河床を与えた．表-1に解析で発生した河床形態
れ，河床勾配，河床材料，単位幅流量を変化させ，様々の分類を示す．本解析では流下反砂堆は発生しなかったな河床形態の特徴について調べられている．ここでは，が，河床形態が砂堆から平坦河床を経て遡上反砂堆へとその中の一部である表-1に示す条件で解析を行った．解遷移することを説明できている．次にそれぞれの河床形
析では水路全域を対象とし，上流端に実験流量，下流端態の解析結果について説明する．
に段落ち条件を与え，河床変動解析では上流端と下流端の河床高を固定した．底面の相当粗度はks=dとし，側壁(2) 砂堆発生条件（Case 1,2）のせん断応力はマニングの粗度係数n=0.008より与えた．
図-2はCase2における砂堆形成初期の計算結果である．
計算格子は水深より小さくなるように，dx=dy=0.01mと計算初期はFr数が0.8を超える流れであり，擾乱の発達と

0.1

0.5

0.1

0

0

Case3

-0.1
2

-0.1

3

4

5

6

3

4

5

6

0

2.8

3

3.2

3.4

図-3 砂堆周辺の流速鉛直分布の解析結果（Case2，SI-unit）

-0.1

Case4

0.1

-0.2
2
0

Case1
-0.1

0.1

2

3

4

5

6

0

Case2
-0.1
2

3

4

5

6

平均水深

流砂量

波長

波速

Case

実験

0.074

1.8*10-5

0.17

5.7*10-3

1

解析

0.079

1.4*10-5

0.26

2.4*10-3

Case

実験

0.077

-5

2.0*100.25

7.8*10-3

2

解析

0.079

-5

0.30

3.0*10-3

1.8*10

図-4 砂堆発生条件における実験結果4)と解析結果の比較（Case1,2，SI-unit）

平均水深

流砂量

波長

波速

Case

実験

0.064

4.7*10-5

0.23

7.6*10-3

3

解析

0.063

8.9*10-5

0.48

1.7*10-2

Case

実験

0.037

-4

2.3*10

平坦

－

4

解析

0.037

4.9*10-4平坦－

図-5 流下反砂堆・平坦河床発生条件における実験結果4)と解析結果の比較（Case3,4，SI-unit）
い．このことから，本解析では砂堆が実験よりも発達したため，砂堆の抵抗を大きく，流砂量を小さく見積もったと考えられるが，その差は大きくなく，砂堆を有する
流れ場の定量的な特性についても概ね再現できていると言える．

(3) 流下反砂堆・平坦河床発生条件（Case 3,4）ともに水深が増加する．河床の擾乱はところどころで大図-5にCase3,4における解析結果と実験結果の比較をきくなる(30秒後)が，その後水路全体に短い波長の砂堆示す．Case3は実験では流下反砂堆が発生したが，解析が現れる(1分後)．この短い波長の砂堆は流下とともに合では砂堆と平坦河床の中間のような河床形状となった．
体・分裂を繰り返しながら時間とともに発達し，長い波
河床波の波長，波速ともに解析結果の方が実験結果より長の砂堆が形成される(2分後)．その後，砂堆の平均的なもかなり大きい．このような河床波の特性の違いに対し大きさはあまり変化しなくなり，平均水深もほぼ一定とて，水深と流砂量の実験と解析の差は大きくないようになる(2分後～4分後)が，本解析ではひとつひとつの砂堆
思える．これは流下反砂堆の抵抗が砂堆と比較して小さについては安定することはなく，流下とともに合体・分くなっているためと考えられる．これらの点については裂を繰り返すようである．以下，砂堆が十分発達した結今後検討する必要がある．Case4では実験も解析も平坦果について示す．図-3に発達した砂堆上の流速分布を示河床となり，両者の水深はほぼ一致した．また，流砂量
す．crest下流において半水深付近で大きな流速が発生しが他のCase1~3に比べ急増することを再現している．
ている．これは砂堆の形状効果であるが，既往の研究成果例えば, 6)と比較するとその影響がやや強いように思われ， (4) 遡上反砂堆発生条件（Case 5～7）
水面流速の妥当性の検証については，適切な水面の剥離
図-6にCase5～7における解析結果と実験結果の比較を条件の設定とともに課題である．しかし，河床に作用す示す．Case5～7の解析では実験と同様に遡上反砂堆が発る底面流速についてはcrest直下で剥離により急激に低下生した．全て跳水が生じる時間帯を示している．遡上反した後，下流方向に徐々に回復し，crest上で大きな流速
砂堆が発生する場合，跳水，砂堆の発生と消滅を繰り返が河床に作用する砂堆の流速分布の重要な特徴を説明ですため，水路内の平均的な水理量(ここでは3-6mの平均きている．また，発達した砂堆の形状は既往の実験結果値)が激しく時間変動する．特に流砂量の変動量は大きと同様にcrest上流部ではやや上に凸の緩い勾配の斜面がく，Case7においては時間平均値の70%近い変動が生じ形成され，crest直下に鋭い斜面が形成されている．図-4
た．これを加味しても解析水深は実験に比べると小さい．
にCase1,2における砂堆形状の解析結果と流砂量，波長， この理由の一つには，激しい土砂輸送を伴うCase5～7に波速，平均水深の実験結果と解析結果の比較を示す．解おいては，式(12)右辺第一項の砂粒子の運動による河床
析結果は実験結果に比べてやや水深，波長が大きく流砂との運動量交換が流れの解析において考慮されていない
量が少ない．また，波速は解析結果の方が小さいが，流ためと考えられる． しかし，解析流砂量は実験結果と砂量に対する波速は解析結果の方が実測結果よりも大き解析は概ね一致し，波長や波速についても解析値と実験

0

値の差は大きくなく，遡上反砂堆の特徴について再現できたと言える．

-0.1

Case5
-0.2
2

3

4

5

6

3

4

5

6

0

４．結論
本研究では水深積分モデルに基づく底面流速解析法を応用し，水理条件によって変化する小規模河床形態の解析法を構築した．本解析は水理条件の変化によって砂堆から平坦河床を経て遡上反砂堆へ河床形態が遷移すること再現し，流砂量が極端に大きくなる反砂堆の条件で水深の計算結果(抵抗評価)に課題がある以外では，実験の流砂量と水深(抵抗)を概ね再現することができた．本解析法では式(11)の擾乱と式(15)の流砂運動の緩和距離以外については，式形，係数などを変更することなく，標準的な値が用いられている．擾乱は砂堆に比べて十分小
さいことから，式(15)の係数を一定にして，様々な河床形態を統一的に説明できたことは意義が大きいと言える．
今後は本解析法を洪水流解析に応用し，これまで経験的に与えられてきた河床波の抵抗に解析法を適用し，実用性の高い解析法に高めていくつもりである．

-0.1

Case6

-0.2
2
-0.1

-0.2

Case7
-0.3
2

3

4
※1

参考文献

Case

1) Kennedy, J.F.: The mechanics of dunes and antidunes in erodiblebed channel, J. Fluid Mech., Vol.16, pp.521-544, 1963.
2) 水理委員会移動床流れの抵抗と河床形状研究小委員会：移動床流れにおける河床形態と粗度，土木学会論文報告集，第 210 号，pp.65-91，1973．
3) 芦田和男，道上正䂓：移動床流れの抵抗と掃流砂量に関する基礎的研究，土木学会論文報告集，第 206 号，pp.59-69，1972．
4) 福岡捷二，奥津一夫，山坂昌成：急勾配移動床流れにおける河床波の形状，伝播特性，土木学会論文報告集，第323 号，pp.77-89，1982．
5) Best, J.: The fluid dynamics of river dunes: A review and somefuture research directions, J. Geophys. Res., Vol.110, F04S02,
doi:10.1029/2004JF000218, 2005.
6) Giri, S., Shimizu, Y.: Numerical computation of sand dune
migration with free surface flow, Water Resources Researches,
Vol.42, W10422, doi:10.1029/2005WR004588, 2006.
7) Niemann, S.L., Fredsøe, J. and Jacobsen, N.G.: Sand dunes in
steady flow at low Froude numbers: dune height evaluation andflow resistance, J. Hydraul. Eng., Vol.137, No.1, pp.5-14,2011.
8) 内田龍彦，福岡捷二，渡邊明英：床止め工下流部の局所洗掘の数値解析モデルの開発，土木学会論文集，No.768/II-68，
pp.45-54，2004．
9) Ouriemi, M., Aussillous, P. and Guazzelli, É.: Sediment dynamics.
Part 2. Dune formation in pipe flow, J. Fluid Mech., Vol.636,
pp.321-336, 2009.
10)音田慎一郎，細田尚：水深積分モデルによる小規模河床波の発生・発達過程と流れの抵抗則の数値解析，水工学論文集，
第 48 巻，pp.973-978，2004．
11)内田龍彦，福岡捷二：浅水流の仮定を用いない水深積分モデ
ルによる底面流速の解析法，水工学論文集，第 56 巻，
I_1225-I_1230，2012.

7

6
※2

平均水深

流砂量

波長

波速

0.021

1.1*10-4

0.57－8.1*10-3

解析

0.016
±0.003(1.9±0.6)

1.2±0.1－1.3*10-2

実験

0.036

2.7*10-4

1.5－1.7*10-2

解析

0.030
±0.002(2.8±0.6)

1.5±0.2－1.6*10-2

実験

0.035

3.2*10-4

0.78－9.2*10-3

解析

0.016
±0.005(2.9±1.8)

1.2±0.4－2.0*10-2

Case
6

※1

実験
Case
5

5
※1

*10-4

*10-4

*10-4

※1遡上反砂堆が発生する条件では水路中央部(3-6m)における水理量の空間平均値が時間的に変化するため，解析値は平均値とそれからのずれの範囲を示している．※2解析の波速は同区間で2分間のうち，いくつかの追跡可能な波形を選び，平均したものを示している．

図-6 遡上反砂堆発生条件における実験結果4)と解析結果の比較（Case5～7，SI-unit）
12)内田龍彦，福岡捷二：構造物を越流する流れの解析法の開発，
河川技術論文集，第 18 巻，pp.351-356，2012．
13)内田龍彦, 福岡捷二：底面流速解法による連続する水没水制群を有する流れと河床変動の解析，土木学会論文集 B1 Vol.
67, No. 1，pp.16-29，2011．
14)Nakamura, T., Tanaka, R., Yabe, T. and Takizawa, K.:
Exactly Conservative Semi-Lagrangian Scheme for Multidimensional Hyperbolic Equations with Directional Splitting
Technique, J. Comput. Phys., Vol.174, pp.171-207, 2001.
15)Colombini, M.: Revisiting the linear theory of sand dune
formation, J. Fluid Mech., Vol.502, pp.1-16, 2004.
16)内田龍彦，福岡捷二，福島琢二，田中正敏：大型粗度
群上の浅い流れの平面二次元解析とその応用，土木学
会論文集，No.691/II-57，pp.93-103，2001．
17) 金舜範，福岡捷二，山坂昌成：流砂の非平衡性を規定するパラメータB の決定，第 38 回年次学術講演会公演概要集，pp.539-540，1983．
18) Phillips, B. C. and Sutherland, A. J.: Spatial lag effects in
bed load sediment transport, J. Hydraul. Res., Vol.27, No.1,
pp.115-133, 1989.
19)山口里美，清水康行，木村一郎：河床勾配の影響が考慮された平衡流砂量式による dune 河床の再現計算，水工学論文集，第 53 巻，pp.715-720，2009．
（2012.9.30受付）