特集／確率論的物理観

三角格子上の臨界パーコレーションの共形不変性
カーディーとスミルノフ

田崎晴明「三角格子の目にデタラメに白黒の碁石を並べABる」というゲームのような設定で、臨界点での連δ

結確率が共形不変性を示す — 2001 年にスミルノフが証明したこの驚くべき結果を、予備知識を仮定せず丁寧に解説する。数理物理学の近年の話題の一つだが、じっくり読めば初学者でも問題設定

CD

図 1 ひし形を格子間隔 δ の三角格子に分割した「盤」の上でパーコレーションを考える。

と主要結果は完全に理解できるはずだし、証明の概略も垣間見ることができるだろう。
ただし、これを読むには「正則関数」という概念を知っている必要がある。大学一年生や高校生には馴染みがないだろうから、必要最低限の定義を書いておこう∗1）。複素関数（複素数を別の複素数に写す関数）f (z) の微分を定義したい。|η| = 1 を満たす任意の複素数 η をとり、正の実数 ε を使って、

f (z + εη) − f (z)fη0 (z) = lim
²↓0
εη

(1)

1. ボードゲーム「ヘックス」とパーコレーション
一辺の長さが 1 のひし形 ABCD を、一辺がδ = 1/6 の正三角形で分割し、三角格子とみなす（図 1）。線が交わる点を格子点と呼ぶ。
ヘックスというゲームがある。1940 年代に、ニー
ルス・ボーア研究所にいた数学者ピート・ハインと、“A Beautiful Mind” のモデルとしても有名なジョン・ナッシュが独立に考案したボードゲーとすれば、z を η 方向にずらした際の微分になっムだ。二人のプレイヤーは、図 1 の「盤」の格子ている。一般には fη0 (z) は η に依存するが、特に点に、それぞれ●と○の碁石を交互に一つずつ置

f (z) の性質がよく、fη0 (z) が η によらないとき、いていく。ここで、●のプレイヤーは、●の碁石

f (z) は z で微分可能という。開集合 Ω ⊂ C の全によって辺 AB と辺 CD を結ぶ連結した道を作るての点で微分可能な関数 f (z) を、Ω 上の正則関ことを目指す∗2）。○のプレイヤーは、○の碁石で数（あるいは共形変換）と呼ぶ。正則関数は様々

辺 BC と DA を結ぶことを目指す。

な美しい性質をもっており、それを調べるのが複素関数論である。

図 2 は二人が全ての碁石を打ち終わって、●が勝った状況である。辺 AB と辺 CD の間には●の道が通じているが、辺 BC と DA の間の○の道はない。実は、このゲームには決して「引き分け」*1） 複素関数論をじっくりと学べば、ここで解説する結果の深さをさらに実感できるだろう。

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*2） 距離 δ だけ離れた格子点を連結しているとみなす。

1

反対に p が十分に 1 に近ければ、全て逆転し、●の「海」に、○が散らばっている。よほど運が悪くない限り AB と CD を結ぶ●の道が存在するはずだ。実際、p > 1/2 を満たす任意の p について、

δ ↓ 0 のとき fδ (p) ↑ 1 となることが証明されてい図 2 ヘックスの最終局面、あるいはパーコレー
ションのパターン。AB と CD を結ぶ●の道ができている。

る。格子点の数が増えれば、●は確実に「勝つ」。

p が 1/2 より大きいか小さいかで fδ (p) のふる
まいが劇的に変わるのは相転移現象の一例である。

がないことが、次の「ヘックスの基本定理∗3）」によって保証されている。
定理：盤の全ての格子点に（必ずしも個数の等しくない）●と○を任意に並べたパターンにおいて、「 AB と CD を結ぶ●の道がある」と「BC と DAを結ぶ○の道がある」の内の一方が必ず成立する。
ヘックスのボードを使って、確率論の問題を考えよう。プレイヤーが戦略的に碁石を置くかわり

そして、二つの「相」を隔てる臨界点の p = 1/2
は想像を絶する豊かな性質をもっているのだ。

p = 1/2 では δ によらず fδ (1/2) = 1/2 となる。
この事実は下で導く双対性の等式 fδ (p) + fδ (1 −p) = 1 で p = 1/2 とすれば直ちに示される。臨界点では勝ち負けの確率はちょうど五分五分なのだ。「格子間隔が変わって格子点の数が変化しても連結確率が変わらない」というスケール不変性が見られることに注目しよう。

に、サイコロを投げてデタラメに碁石を並べてい双対性はヘックスの基本定理の簡単な帰結だ。まくのだ。モデルの唯一のパラメターである p（たず、二つの事象が排他的に生じるから、[●が AB とだし 0 ≤ p ≤ 1）を選んだら、各々の格子点に、CD を結ぶ確率]+[○が BC と DA を結ぶ確率]=1

互いに独立に、確率 p で●を置き、確率 1 − p でが言える。左辺の一つ目の確率は fδ (p) だ。二つ○を置いていく。そうやって全ての格子点に碁石

目について考えよう。図 3 左に○が BC と DA をを置いたあとで「●が勝つ確率」つまり、「辺 AB結んだ局面を描いた。この図を右に 60 度回転し、（の少なくとも一点）と辺 CD（の少なくとも一点）

左右反転し、白と黒を反転したのが右図である。

を結ぶような●の連結した道が存在する確率」を先ほどの○の道は、AB と CD を結ぶ●の道に変fδ (p) と書く。三角格子の格子間隔 δ が小さくなる

換されている。ある格子点に●を置く確率は p、○とき（つまり、格子点の個数が多くなるとき）のを置く確率は 1 − p だった。よって、ここでの [○確率 fδ (p) のふるまいに関心がある。

が BC と DA を結ぶ確率] は、確率を 1 − p に変えもし p が十分に小さければ、ほとんどの格子点にたモデルでの [●が AB と CD を結ぶ確率]、つま○が置かれ、○の「海」の中に少しだけ●の「島」

り、fδ (1 − p) に等しいことになる。はじめの等式が散らばった状況になるだろう。そうなると、ABに戻せば、双対性の等式 fδ (p) + fδ (1 − p) = 1 がと CD を結ぶ●の道が存在するとは考えにくい。

得られる。双対性は、p が小さい領域と p が 1 に

特に、δ が小さくなっていけば、AB と CD を結ぶ近い領域を正確に対応づける興味深い関係である。

のにたくさんの碁石が必要になり、道を作るのはますます困難になっていくだろう。実際、p < 1/2
を満たす任意の p について、δ ↓ 0 のとき fδ (p) ↓ 0となることが証明されている。格子点の数が増え
れば、●は確実に「負ける」のだ。

2. 連結確率の共形不変性
臨界点 p = 1/2 での三角格子上のパーコレー
ションは、単なるスケール不変性を越えた、驚くべき不変性をもっている。以下、正確に述べよう。

*3） 証明も難しくない。絵を描いてみれば納得できるだろう。

2

話の舞台である 2 次元平面を複素平面 C としてで示した）。
ここでパーコレーションの問題を考える。臨界点に関心があるので、最初から p = 1/2 としよう。Ωδの各々の格子点に、独立に、確率 1/2 で●の碁石、
図 3 双対性の要の図。○が勝った局面（左）を回転、反転、左右反転すると、●が勝った
局面（右）になる。
A

B

_

_

に碁石を置いたとき、弧 AB と弧 CD を結ぶ（連結した）●の道が存在する確率を fδ (Ω; A, B, C, D)と書く。Ω をひし形に取り、A, B, C, D を頂点とA

B

確率 1/2 で○の碁石を置いていく。全ての格子点

すれば、これは上の fδ (1/2) そのものである。
連続極限における連結確率をf (Ω; A, B, C, D) := lim fδ (Ω; A, B, C, D)
δ↓0

C

C

D

(4)

D

図 4 2 次元の領域 Ω と境界上の四つの点（左）。
対応する三角格子 Ωδ （右）。

によって定義する（極限の存在は証明されている）。
図 4 左の図形はそのままにして、右図での格子の刻み δ をどんどん細かくしていこうというのだ。

表現する。δ を任意の正の実数とし、Λδ を格子間

以下の定理は連結確率 f (Ω; A, B, C, D) が驚く

隔が δ の無限に大きな三角格子（の格子点の集合）

べき不変性を持っていることを示す。

としよう。あえて式で書けば、

定理 1：集合 Ω とその境界上の点 A, B, C, D をΛδ := {jδ + kτ δ | j, k ∈ Z}

(2)である。ここで、√
h 2π i13τ := exp
i =− +i322

上述のようにとる。Ω0 ⊂ C を任意の有界で単連結な開集合、Φ : Ω → Ω0 を任意の一対一の正則関数とし、A0 = Φ(A), B0 = Φ(B), C0 = Φ(C),(3)という、実軸と 120 度の角をなす単位ベクトル（大きさ 1 の複素数）を定義しておく。面白いことに、

D0 = Φ(D) と書く。このとき
f (Ω; A, B, C, D) = f (Ω0 ; A0 , B0 , C0 , D0 ) (5)が成り立つ。

スミルノフの理論では、純虚数 i ではなく、この連結確率 f (Ω; A, B, C, D) は任意の正則関数（共τ が複素数を表現する「単位」の役割を果たす。

形変換）について不変なのである。2 次元のパーΩ ⊂ C を任意の有界で単連結な開集合とし、∂Ω

コレーションの臨界点の共形不変性は様々な形でをその境界とする。∂Ω 上に任意の四点 A, B, C,

予想されていたが、上の美しい定理を最初に証明

D を、左回りにこの順番に並ぶように、とる（図 4

したのはスミルノフ1) である。

左）。三角格子 Λδ から Ω の内側に入っている部

スミルノフの仕事も、広い意味では、SLE や共分を切り出したものを Ωδ とする。Ωδ の境界の格形場の理論の研究の近年の大きな流れの中にある子点で、A, B, C, D に最も近いものを（記号を流と考えるべきなのだろうが、彼の証明にはそういっ

用して）それぞれ A, B, C, D と呼ぶ（図 4 右）。

た「飛び道具」はいっさい登場しない。2 次元パーΩδ の境界に沿って A から B に向かって左回りにコレーションの臨界点についての前世代までの堅とった弧を AB と書く∗4）。同様に、CD を C と D

実な蓄積をフルに活用し、さらに、三角格子パーコ

を結ぶ弧とする（AB と CD を図 4 右で太い灰色

レーションの臨界点では後述する (11) という信じ

_

_

_

_

*4） 今後も、「弧」というときには、境界上の二点を、左回りに結ぶような境界の一部分を意味することにする。

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がたい対称性が成り立つことを絶妙な確率論的な議論で証明し、それが理論の共形不変性と本質的

3

B!

A

B

!

A

Φ

Ω
D

!
D

C!

C

_

_

図 5 連結確率の共形不変性。弧 AB と弧 CD が
_
0 0

!
Ω

h

Ω

D!
C

!
A

A

B

Ω!

_
0 0

結ばれる確率は、弧 A B と弧 C D が結ばれる確率と等しい。

に関わることを示したのである。「壮大な建築物」というタイプとは正反対の、鋭利な刃物で問題の

D

!
B

!
C

e に写せば
図 6 領域 Ω を一辺が 1 の正三角形 Ωee
連結確率は単に C と D の距離になる！

3. カーディーの表式
スミルノフ1) は、上の定理 1 よりも強力な以下

核心を一瞬にして貫くような美しく非凡な（そしの結果を示している。

て学んだ者の心に残る）業績である。

定理 2：定理 1 と同様に、集合 Ω とその境界上の共形不変性は自明とはほど遠い事を強調してお点 A, B, C, D をとる。一辺の長さが 1 の正三角形

こう。最も簡単な場合として、Ω = Ω0 が円盤状

e B,
e C
e とし、そを考え、その頂点を（左回りに）A,の領域で、Φ が単なる回転だとしよう。このとき

e とする。複素関数論の基本的なの内部の領域を Ω(5) は連結確率が回転不変であることを表していe h(B) = B,e h(C) = C
e
結果によれば、h(A) = A,る。もともとのパーコレーションは三角格子の上e が存在しを満たす一対一の正則関数 h : Ω → Ωに定義されていたのだから、δ が有限のときには、一意的である（図 6）。よって正三角形の辺上の点連結確率は三角格子特有の異方性を示す。ところ

e = h(D) が一意的に決まる。このとき、
Dが、連続極限ではそのような格子の方向が「見えなく」なって回転対称性が完全に回復するというのだ。これだけでも十分に非自明である。
だが、(5) は遙かにすさまじい内容を含んでいる

e とD
e の距離)f (Ω; A, B, C, D) = (C(6)

が成り立つ。

∂Ω 上の四点の内の三つをちょうど正三角形の（図 5）。Ω と Ω0 は有界で単連結な開集合なら何頂点に写してやれば、連結確率は単に二点間の距

でももかまわないし Φ も全く任意の正則関数だ。

離で表されるというのだ。何と簡明な！

好き勝手な正則関数で Ω を「ぐにょーっ」と曲げ

長方形での連結確率についてカーディーが共形場てしまっても、対応する弧をとれば、連結確率はの理論を使って導いた予想2) をカレルソンが書き全く変わらないというのだ∗5）。何らかの「直観」

で理解できるような話ではない！

(6) は直した表式である。上の h が具体的に計算できるような Ω と A, B, C, D については、連結確率

黒と白の碁石を半々にランダムに置いていくだf (Ω; A, B, C, D) が正確に計算できることになる。

けで、このような対称性をもった関数が定義され定理 2 が得られれば、定理 1 は簡単に示されてしまう。臨界現象はわれわれの想像を絶する非る。定理 1 の状況において h0 = h ◦ Φ−1 とす

自明な数理を生み出しうるのだ。

e に写す正則関数にれば、これは Ω0 を正三角形 Ωなっている。もちろん四つの点 A0 , B0 , C0 , D0 は

e B,
e C,
e D
e に写されるので、(6) により、連結確率
A,
0
0
e とD
e の距離に等しい。
f (Ω ; A , B0 , C0 , D0 ) は C*5） 言うまでもないが、三角格子まで「ぐにょーっ」と曲げる

わけではない（三角格子まで変換するなら不変性は自明）。
まっすぐな三角格子 (2) から Ω0 の内側に入る部分を切り出して、そこでパーコレーションの問題を考えるのだ。

4

よって (5) が成り立つ。

B

Ah(z) =zhA;B,C (z) + τ hB;C,A (z) + τ 2 hC;A,B (z)√3(7)s(z) = hA;B,C (z) + hB;C,A (z) + hC;A,B (z)(8)

C
図 7 事象 EA;B,C (z) が真になるようなパターン（肝心の●だけを描いた）。

により複素関数 h(z) と実関数 s(z) を定義する。
ここで τ は (3) で定義した「単位ベクトル」である。複素関数を定義するのに二つの実関数をf (x) + ig(x) のように足し合わせるのが普通だ

4. 写像 h の構成
スミルノフによる定理 2 の証明の基本的なアイ
ディアを見よう。核心となるのは Ω から正三角形

e への正則関数 h である。定理 2 で述べたように、Ω
正則関数 h の存在は複素関数論の一般論の帰結だが、それだけでは h の具体形も連結確率との関係も全く分からない。驚くべきことに、スミルノフ
は、絶妙な事象の確率を用いて h を具体的に構成が、ここでは三つの実関数と τ を使っている。これも理論の核心に関わる点である。
これらの関数についての次の事実が本質的である。証明のアイディアは次節で述べる。
補題 1：h(z) は Ω 上で正則である。s(z) は Ω 上
で一定値 1 をとる。
以上の結果を認めれば、半ば機械的な評価によって、定理 2 が得られる。

してしまうのだ。
定理 1 と同様の Ω をとり、境界 ∂Ω 上に左回り

上の (ii) より hB;C,A (A) = hC;A,B (A) = 0 だかに配置した三点 A, B, C を任意に選んで固定する。

ら、(i) とあわせて h(A) = 1/ 3 である。同様に

ここで四点目の D が登場しないのが極めて巧みなして、h(B) = τ / 3, h(C) = τ 2 / 3 もいえる。

ところだと後で分かる。再び三角格子 Ωδ をとり、これら三点 h(A), h(B), h(C) は一辺の長さが 1

いずれかの（一辺が δ の）三角形の中点 z についの正三角形の頂点をなしている。

て EA;B,C (z) を「●の道によって A, z と B, C が

√

√

√

_

さらに、z を弧 BC の上にとると (ii) より h(z) =分離される∗6）」という事象としよう（図 7）。事√{τ hB;C,A (z)+τ 2 hC;A,B (z)}/ 3 である。s(z) =象 EA;B,C (z) の確率を考え、δ ↓ 0 の極限をとっ1 と (ii) から hB;C,A (z) + hC;A,B (z) = 1 だから、たものを hA;B,C (z) とする。

上の h(z) は h(B) と h(C) を結ぶ線分上にあるこ

事象 EA;B,C (z) についての簡単な考察から、とが分かる。同じ考察は他の弧と線分についても(i) hA;B,C (A) = 1 であること、(ii) z が弧 BC成り立つ。結局、h(z) は領域 Ω を一辺が 1 の正の上にあるなら hA;B,C (z) = 0 であることが示さ三角形の内部に写す正則関数である。

_

れる（どちらも絵を描けば、大ざっぱな雰囲気は納得できると思う）。

A, B, C の 役 割 を 順 に 入 れ 替 え る こ と で 、
hB;C,A (z) と hC;A,B (z) を定義する。そして、連結確率については、事象 EA;B,C (z) の定義より

f (Ω; A, B, C, D) = hA;B,C (D)(9)_となっている。D は弧 CA 上にあるから、(ii)より hB;C,A (D) = 0 であり、s(z) = 1 から

hA;B,C (D) + hC;A,B (D) = 1 である。以上を全てあわせれば、√*6） より正確に言えば、「●の連結した道があり、それを取り除くと Ωδ は二つの部分に分かれ、その一方に A と z があり、他方に B と C がある」ということ。

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NO. 546, DECEMBER 2008f (Ω; A, B, C, D) =3 h(D) − τ 2
1 − τ2(10)となり、右辺は h(C) と h(D) の距離である。

5

A

B

1 節にも登場した「白黒反転」の技術を（より高級に）用いるだけである。

zz!

(11) のような対称性が存在するという事実だけでも驚きだが、もちろん、真に素晴らしいのはこC

図 8 事象 EA;B,C (z 0 ) が真、事象 EA;B,C (z) が偽になるパターン。

れが関数 h(z) の正則性と深く結びつくということだ。hA;B,C (z) が事象 EA;B,C (z) の確率だった
ので、(11) から、hA;B,C (z + η) − hA;B,C (z) 'hB;C,A (z + τ η) − hB;C,A (z) ' hC;A,B (z + τ 2 η) −5. スミルノフの 2π/3 対称性
スミルノフの理論の核心は h(z) の正則性についての補題 1 である。証明の中心になる確率論的ア
イディアを述べる余裕はないが、どういう方向で証明が進むのかを大ざっぱに見ておこう。
領域 Ω とそれを三角格子に分割した Ωδ を考える。z, z 0 をそれぞれ格子の中の三角形の中点とす

hC;A,B (z) という対称性が示される∗7）。これを、
h(z) の定義に代入すると、
1{h(z + η) − h(z)}η1' {h(z + τ η) − h(z)}τη1' 2 {h(z + τ 2 η) − h(z)}
τ η

(12)

る。PA;B,C (z, z 0 ) を、「事象 EA;B,C (z 0 ) が真で、という関係が得られる。(1) と比べると、これがかつ、事象 EA;B,C (z) が偽である」確率としよう。

「h(z) を η, τ η, τ 2 η の三つの方向で微分した結果

補題 2：z を三角格子 Ωδ の一つの三角形の中点とが等しい」ことを意味しているのが分かるだろう。

し、z + η, z + τ η, z + τ η がそれぞれ隣接する

通常のコーシー・リーマン関係式では実数方向と三角形の中点となるように η ∈ C をとる（よって虚数方向の二種類の微分を考えるが、ここでは複2√|η| = 1/ 3）。任意の δ > 0 と任意の A, B, C、

素平面内で互いに 120 度の角をなす三つの方向にそして上の条件を満たす任意の z と η について、ついての微分が等しいことをみている。(12) があ

PA;B,C (z, z + η) = PB;C,A (z, z + τ η)
= PC;A,B (z, z + τ 2 η) (11)が成り立つ。

z +η, z +τ η, z +τ 2 η は z の最隣接点で、z を中れば、補題 1 を示すのは技術的な問題である。
最後に証明の流れをざっと振り返っておこう。本来の問題設定では境界上に四点 A, B, C, D が与えられたが、スミルノフは敢えて A, B, C の三点を残し、残りの一点は領域内を自由に動く z で置き心に 120 度ずつ「回って」いる。それと連動して、換えた。これによって、「120 度回転対称性」(11)

三つの境界の点 A, B, C も順次入れ替わっている。

が明瞭になる。特に、120 度構造を直接反映した

こういう「回転」に対して確率 PA;B,C (z, z 0 ) は不「複素数単位」τ によって定義した複素関数 h(z)変だというのだ。私は初めてこの補題 2 をみたとは、「120 度コーシー・リーマン関係式」(12) を満きは「ただし領域が 120 度回転について不変で A,

たすのである。このような「120 度回転対称性」は

B, C も・・・」といった対称性の条件がどこかにつ単なる技術的なものではなく、2 次元パーコレー

いているのだろうと思った。しかし、おそるべきションの臨界点に固有の深い性質の反映ではない

ことに、実際には補題 2 は任意のいびつな形の領かとも推測されている。

域について成り立つのだ！ スミルノフによる補

スミルノフの仕事を契機に三角格子パーコレー

題 2 の証明はたったの 15 行。もちろん解読するには（図を描いて）時間をかける必要があるが、決して大仰な証明ではない。絶妙の場合分けをして、

6*7） この節では、やや不正確な記法になるが、hA;B,C (z), h(z)等は全て有限の δ についての関数とする。' は δ ↓ 0 で等式になる関係を示す。

ションの臨界点についての理解は一気に深まり、その後は SLE6 との関係をフルに利用した解析が進められている。そのような発展についてはより専門的な解説を待ちたい。
本稿に貴重なコメントをくださった香取眞理氏に感謝する。
参考文献
1) S. Smirnov, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.,
333, 239–244 (2001). ス ミ ル ノ フ の web page(http://www.math.kth.se/estas/) の Recent Papers から入手可能。なお、スミルノフの論文は簡潔で難解だが、彼の議論をより分かりやすく改良した
V. Beffara の講演録 Cardy’s formula on the triangular lattice, the easy way が著者の web page(http://www.umpa.ens-lyon.fr/evbeffara/index.php)
で公開されている。
2) J. Cardy, J. Phys. A 25, L201–L206 (1992)（たざき・はるあき，学習院大学理学部）

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