研究班番号【 88 】

cos nθの一般化
88班：毛利 秀志

Abstract
Show the “cos nθ” (n is natural number) with cosθ under order n in order of action.
Then see these coefficients as sequences, and generalize these sequences with n .
The k-th term is represented by “ (-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ n(n-k){n-(k+1)}{n-(k+2)}{n-(k+3)}... {n-(2k-4)}{n-(2k-3)}・2ⁿ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)! cosⁿ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ ”. However, n≧2(k-1) .

要約
cos nθ（nは自然数）をn次以下のcosθの式で降べきの順に表し、係数の値を数列とみなし、その数列をnを使い一般化したところ、第k項において、(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ n(n-k){n-(k+1)}{n-(k+2)}{n-(k+3)}...{n-(2k-4)}{n-(2k-3)}・2ⁿ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)! cosⁿ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ となった（ただし、n≧2(k-1)）。

１．はじめにコサインのn倍角の法則性について研究した。

２．研究手法cos1θをはじめとして、cos nθ（nは自然数）をn次以下のcosθの式で降べきの順に表し、係数の値を数列とみなし、その数列をnを使い一般化する。

３．結果①n=1のとき、 cos θ②n=2のとき、 2cos²θ-1③n=3のとき、 4cos³θ-3cosθ④n=4のとき、 8cos⁴θ-8cos²θ+1⑤n=5のとき、 16cos⁵θ-20cos³θ+5cosθ⑥n=6のとき、 32cos⁶θ-48cos⁴θ+18cos²θ-1⑦n=7のとき、 64cos⁷θ-112cos⁵θ+56cos³θ-7cosθ⑧n=8のとき、 128cos⁸θ-256cos⁶θ+160cos⁴θ-32cos²θ+1⑨n=9のとき、 256cos⁹θ-576cos⁷θ+432cos⁵θ-120cos³θ+9cosθ⑩n=10のとき、512cos¹⁰θ-1280cos⁸θ+1120cos⁶θ-400cos⁴θ+50cos²θ-1⑪n=11のとき、1024cos¹¹θ-2816cos⁹θ+2816cos⁷θ-1232cos⁵θ+220cos³θ-11cos⑫n=12のとき、2048cos¹²θ-6144cos¹⁰θ+6912cos⁸θ-3584cos⁶θ+840cos⁴θ-72cos²θ+1⑬n=13のとき、4096cos¹³θ-13312cos¹¹θ+16640cos⁹θ-9984cos⁷θ+2912cos⁵θ-364cos³θ
+13cosθ⑭n=14のとき、8192cos¹⁴θ-28672cos¹²θ+39424cos¹⁰θ-26880cos⁸θ+9408cos⁶θ-1568cos⁴θ
+98cos²θ-1⑮n=15のとき、16384cos¹⁵θ-61440cos¹³θ+92160cos¹¹θ-70400cos⁹θ+28800cos⁷θ
-6048cos⁵θ+560cos³θ-15cosθ
⑯n=16のとき、32768cos¹⁶θ-131072cos¹⁴θ+212992cos¹²θ-180224¹⁰cosθ+84480cos⁸θ
-21504cos⁶θ+2688cos⁴θ-128cos²θ+1⑰n=17のとき、65536cos¹⁷θ-278528cos¹⁵θ+487424cos¹³θ-452608cos¹¹θ+239360cos⁹θ
-71808cos⁷θ+11424cos⁵θ-816cos³θ+17cosθ

４．考察
降べきの順にして、高次のものから第１項（初項）、第２項、第３項...末項とする。
1. 初項は、 2ⁿ⁻¹ cosⁿθ
2. 第2項は、-n・2ⁿ⁻³ cosⁿ⁻²θ

3. 第3項は、+n(n-3)・2ⁿ⁻⁵・1/2 cosⁿ⁻⁴θ
4. 第4項は、-n(n-4)(n-5)・2ⁿ⁻⁷・1/6 cosⁿ⁻⁶θ
5. 第5項は、+n(n-5)(n-6)(n-7)・2ⁿ⁻⁹・1/24 cosⁿ⁻⁸θ
6. 第6項は、-n(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)・２ⁿ⁻¹¹・1/120 cosⁿ⁻¹⁰θ
7. 第7項は、+n(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)(n-11)・2ⁿ⁻¹³・1/720 cosⁿ⁻¹²θ
8. 第8項は、-n(n-8)(n-9)(n-10)(n-11)(n-12)(n-13)・2ⁿ⁻¹⁵・1/5040 cosⁿ⁻¹⁴θ
9. 第9項は、+n(n-9)(n-10)(n-11)(n-12)(n-13)(n-14)(n-15)・2ⁿ⁻¹⁷・1/40320 cosⁿ⁻¹⁶θ
10. 末項は、 自然数pを使い、n=4p-3のとき、+n cosθ
n=4p-2のとき、-1n=4p-1のとき、-n cosθn=4pのとき、 +1
11. 第k項は、(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ n(n-k){n-(k+1)}{n-(k+2)}{n-(k+3)}...{n-(2k-4)}{n-(2k-3)}・2ⁿ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)! cosⁿ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ と予想される。

５．証明
1. n=1,2,3,4,...17のとき、第k項は、(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ n(n-k){n-(k+1)}{n-(k+2)}{n-(k+3)} ...{n-(2k-4)}{n-(2k-3)}・2ⁿ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)! cosⁿ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ が成り立っている。ただし、n-2(k-1)≧0、n≧2(k-1)

2. n=mのとき、第k項で、(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ m(m-k){m-(k+1)}{m-(k+2)}{m-(k+3)} ...{m-(2k-4)}{m-(2k-3)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)! cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ が成り立つと仮定する。
同じく、第k-1項、第k+1項についても、上記の式にそれぞれk=k-1,k+1 を代入したものが成り立つと仮定される。
また、(cos mθ)’=-m sin mθ より、-sin mθ=1/m・(cos mθ)’ である。
n=m+1のとき、cos(m+1)θ=cos mθ・cosθ - sin mθ・sinθ=cos mθ・cosθ + 1/m・(cos mθ)’・sinθ
なお、(cos mθ)’の第k-2項は、-(-1)⁽ᵏ⁻³⁾ m{m-2(k-3)}{m-(k-2)}{m-(k-1)}(m-k)...{m-(2k-8)}{m-(2k-7)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁻⁵⁾・1/(k-3)! cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁻³⁾⁻¹θ sinθ
第k-1項は、-(-1)⁽ᵏ⁻²⁾ m{m-2(k-2)}{m-(k-1)}(m-k){m-(k+1)}...{m-(2k-6)}{m-(2k-5)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁻³⁾・1/(k-2)! cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁻²⁾⁻¹θ sinθ
第k項は、-(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ m{m-2(k-1)}(m-k){m-(k+1)}{m-(k+2)}...{m-(2k-4)}{m-(2k-3)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)! cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾⁻¹θ sinθ
第k+1項は、-(-1)ᵏ m(m-2k){m-(k+1)}{m-(k+2)}{m-(k+3)}...{m-(2k-2)}{m-(2k-1)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁺¹⁾・1/k! cosᵐ⁻²ᵏ⁻¹θ sinθ
第k+2項は、-(-1)⁽ᵏ⁺¹⁾ m{m-2(k+1)}{m-(k+2)}{m-(k+3)}{m-(k+4)}...(m-2k){m-(2k+1)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁺³⁾・1/(k+1)! cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁺¹⁾⁻¹θ sinθ
ここで、cos(m+1)θの第k-1項、第k項、第k+1項 に注目する。
第k-1項（すなわち、cosθの指数がm+1-2(k-2)となる項）は、(-1)⁽ᵏ⁻²⁾ m{m-(k-1)}(m-k){m-(k+1)}{m-(k+2)}...{m-(2k-6)}{m-(2k-5)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁻³⁾・1/(k-2)! cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁻²⁾θ
・cosθ+ 1/m・-(-1)⁽ᵏ⁻³⁾ m{m-2(k-3)}{m-(k-2)}{m-(k-1)}(m-k)...{m-(2k-8)}{m-(2k-7)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁻⁵⁾・1/(k-3)!
cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁻³⁾⁻¹θ ・1+ 1/m・-(-1)⁽ᵏ⁻²⁾ m{m-2(k-2)}{m-(k-1)}(m-k){m-(k+1)}...{m-(2k-6)}{m-(2k-5)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁻³⁾・1/(k-2)! cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁻²⁾⁻¹θ ・-cos²θ
m+1=A とおくと、=(-1)⁽ᵏ⁻²⁾ (A-1)(A-k){A-(k+1)}{A-(k+2)}{A-(k+3)}...{A-(2k-5)}{A-(2k-4)}・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁻²⁾・1/(k-2)!
cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻²⁾θ
+ (-1)⁽ᵏ⁻²⁾ {A-(2k-5)}{A-(k-1)}(A-k){A-(k+1)}...{A-(2k-7)}{A-(2k-6)}・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁻⁴⁾・(k-2)/(k-2)!
cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻²⁾θ

+ (-1)⁽ᵏ⁻²⁾ (A-2k+3)(A-k){A-(k+1)}{A-(k+2)}...{A-(2k-5)}{A-(2k-4)}・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁻²⁾・1/(k-2)!
cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻²⁾θ
=(-1)⁽ᵏ⁻²⁾ (A-k){A-(k+1)}{A-(k+2)}{A-(k+3)}...{A-(2k-6)}{A-(2k-5)}・2ᴬ⁻⁽²⁽ᵏ⁻¹⁾⁻¹⁾・1/(k-2)!
・[(A-1){A-(2k-4)}1/2 + {A-(k-1)}2(k-2) + (A-2k+3){A-(2k-4)}1/2] cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻²⁾θ
=(-1)⁽ᵏ⁻²⁾ (A-k){A-(k+1)}{A-(k+2)}{A-(k+3)}...{A-(2k-6)}{A-(2k-5)}・2ᴬ⁻⁽²⁽ᵏ⁻¹⁾⁻¹⁾・1/(k-2)!
・{(A²/2 -Ak +3A/2 +k-2)+(2Ak-4A-2k²+6k-4)+(A²/2 -2Ak +7A/2 +2k²-7k+6)} cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻²⁾θ
=(-1)⁽ᵏ⁻²⁾ (A-k){A-(k+1)}{A-(k+2)}{A-(k+3)}...{A-(2k-6)}{A-(2k-5)}・2ᴬ⁻⁽²⁽ᵏ⁻¹⁾⁻¹⁾・1/(k-2)!
・(A²-Ak+A) cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻²⁾θ
=(-1)⁽⁽ᵏ⁻¹⁾⁻¹⁾ A{A-(k-1)}[A-{(k-1)+1}][A-{(k-1)+2}][A-{(k-1)+3}]...[A-{2(k-1)-4}][A-{2(k-1)-3}]・2ᴬ⁻⁽²⁽ᵏ⁻¹⁾⁻¹⁾・1/{(k-1)-1}! cosᴬ⁻²⁽⁽ᵏ⁻¹⁾⁻¹⁾θ
第k項（すなわち、cosθの指数がm+1-2(k-1)となる項）は、(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ m(m-k){m-(k+1)}{m-(k+2)}{m-(k+3)}...{m-(2k-4)}{m-(2k-3)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)! cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ
・cosθ+ 1/m・-(-1)⁽ᵏ⁻²⁾ m{m-2(k-2)}{m-(k-1)}(m-k){m-(k+1)}...{m-(2k-6)}{m-(2k-5)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁻³⁾・1/(k-2)!
cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁻²⁾⁻¹θ ・1+ 1/m・-(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ m{m-2(k-1)}(m-k){m-(k+1)}{m-(k+2)}...{m-(2k-4)}{m-(2k-3)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・
1/(k-1)! cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾⁻¹θ ・-cos²θ
m+1=A とおくと、=(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾(A-1){A-(k+1)}{A-(k+2)}{A-(k+3)}{A-(k+4)}...{A-(2k-3)}{A-(2k-2)}・2ᴬ⁻²ᵏ・1/(k-1)!
cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ
+ (-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ {A-(2k-3)}(A-k){A-(k+1)}{A-(k+2)}...{A-(2k-5)}{A-(2k-4)}・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁻²⁾・(k-1)/(k-1)!
cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ
+ (-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ (A-2k+1){A-(k+1)}{A-(k+2)}{A-(k+3)}...{A-(2k-3)}{A-(2k-2)}・2ᴬ⁻²ᵏ・1/(k-1)!
cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ
=(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ {A-(k+1)}{A-(k+2)}{A-(k+3)}...{A-(2k-4)}{A-(2k-3)}・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)!
・[(A-1){A-(2k-2)}1/2 + (A-k)2(k-1) + (A-2k+1){A-(2k-2)}1/2] cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ
=(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ {A-(k+1)}{A-(k+2)}{A-(k+3)}...{A-(2k-4)}{A-(2k-3)}・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)!
・{(A²/2 -Ak +A/2 +k-1)+(2Ak-2A-2k²+2k)+(A²/2 -2Ak +3A/2 +2k²-3k+1)} cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ
=(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ {A-(k+1)}{A-(k+2)}{A-(k+3)}...{A-(2k-6)}{A-(2k-5)}・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)!
・(A²-Ak) cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ
=(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ A(A-k)}{A-(k+1)}][A-{(k+2)}{A-(k+3)}...{A-(2k-4)}{A-(2k-3)}
・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)! cosᴬ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ
第k+1項（すなわち、cosθの指数がm+1-2kとなる項）は、(-1)ᵏ m{m-(k+1)}{m-(k+2)}{m-(k+3)}{m-(k+4)}...{m-(2k-2)}{m-(2k-1)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁺¹⁾・1/k! cosᵐ⁻²ᵏθ ・cosθ+ 1/m・-(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ m{m-2(k-1)}(m-k){m-(k+1)}{m-(k+2)}...{m-(2k-4)}{m-(2k-3)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)!
cosᵐ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾⁻¹θ ・1+ 1/m・-(-1)ᵏ m(m-2k){m-(k+1)}{m-(k+2)}{m-(k+3)}...{m-(2k-2)}{m-(2k-1)}・2ᵐ⁻⁽²ᵏ⁺¹⁾・
1/k! cosᵐ⁻²ᵏ⁻¹θ ・-cos²θ
m+1=A とおくと、=(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾(A-1){A-(k+2)}{A-(k+3)}{A-(k+4)}...{A-(2k-1)}(A-2k)・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁺²⁾・1/k!
cosᴬ⁻²ᵏθ
+ (-1)ᵏ {A-(2k-1)}{A-(k+1)}{A-(k+2)}{A-(k+3)}...{A-(2k-3)}{A-(2k-2)}・2ᴬ⁻²ᵏ・k/k!
cosᴬ⁻²ᵏθ
+ (-1)ᵏ {A-(2k+1)}{A-(k+2)}{A-(k+3)}{A-(k+4)}...{A-(2k-1)}(A-2k)・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁺²⁾・1/k!
cosᴬ⁻²ᵏθ
=(-1)ᵏ {A-(k+2)}{A-(k+3)}{A-(k+4)}...{A-(2k-2)}{A-(2k-1)}・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁺¹⁾・1/k!
・[(A-1)(A-2k)1/2 + {A-(k+1)}2k + {A-(2k+1)}(A-2k)1/2] cosᴬ⁻²ᵏθ
=(-1)ᵏ {A-(k+2)}{A-(k+3)}{A-(k+4)}...{A-(2k-2)}{A-(2k-1)}・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁺¹⁾・1/k!

・{(A²/2 -Ak -A/2 +k)+(2Ak-2k²-2k)+(A²/2 -2Ak -A/2 +2k²+k)} cosᴬ⁻²ᵏθ
=(-1)ᵏ {A-(k+2)}{A-(k+3)}{A-(k+4)}...{A-(2k-2)}{A-(2k-1)}・2ᴬ⁻⁽²ᵏ⁺¹⁾・1/k!
・(A²-Ak-A) cosᴬ⁻²ᵏθ
=(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ A{A-(k+1)}][A-{(k+1)+1}][{A-(k+1)+2}]...[A-{2(k+1)-4}][{A-2(k+1)-3}]・2ᴬ⁻⁽²⁽ᵏ⁺¹⁾⁻¹⁾・1/{(k+1)-1}! cosᴬ⁻²ᵏθ

3. 1. 2. より、すべての自然数 n,k において、cos nθの第k項は、(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ n(n-k){n-(k+1)}{n-(k+2)}{n-(k+3)}...{n-(2k-4)}{n-(2k-3)}・2ⁿ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)! cosⁿ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ が成り立つ。ただし、n-2(k-1)≧0、n≧2(k-1)

６．結論
すべての自然数 n,k において、cos nθの第k項は、(-1)⁽ᵏ⁻¹⁾ n(n-k){n-(k+1)}{n-(k+2)}{n-(k+3)}...{n-(2k-4)}{n-(2k-3)}・2ⁿ⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾・1/(k-1)! cosⁿ⁻²⁽ᵏ⁻¹⁾θ である。ただし、n≧2(k-1)

７．参考文献ならびに参考Webページ
https://oeis.org/?language=japanese
https://ja.wolframalpha.com