河川技術論文集,第20巻,2014年6月

論文

ダム貯水池の洪水流入量・放流量ハイドログラ
フと洪水伝播機構に関する研究
INFLOW AND OUTFLOW DISCHARGE HYDROGRAPHS AND PROPAGATIONMECHANISM OF FLOOD FLOWS IN DAM RESERVOIRS

塚本洋祐1・由井修二2・福岡捷二3
Yosuke TSUKAMOTO, Shuji YUI and Shoji FUKUOKA
1正会員

中央大学大学院 理工学研究科 博士課程後期課程（〒112-8551 東京都文京区春日1-13-27）

2正会員

国土交通省関東地方整備局 渡良瀬川河川事務所(〒326-08220 栃木県足利市田中町661-3)
3フェロー Ph.D 工博 中央大学研究開発機構教授（〒112-8551 東京都文京区春日1-13-27）

Inflow and outflow discharges in dam reservoirs give basic informations to the management of dams
and downstream rivers. Inflow discharges to dam reservoirs have been evaluated from the H-V relationand the outflow discharge estimated by reservoir water elevations. These provide a simple estimation
method for the inflow discharge to the reservoir, but effects on flood water storages by flood propagations
in reservoirs, and inflows from tributaries and valleys have not been considered properly.
In this study, we installed many water gauges in the Kusaki dam and the Takatsudo dam areas, andobtained the water-level observation data in many points along the reservoirs and rivers. To evaluate
inflow and outflow discharge hydrographs based on the observation of temporal changes in water surface
profiles, unsteady two-dimensional analyses of floods were performed. We showed propagation
mechanisms of flood flow and flood water storage in reservoirs based on these observed data andanalyses and raised some issues for dam reservoir managements.
Key Words : inflow and outflow discharges, flood propagation, storage volume, dam reservoir,
flood flow analysis, water surface profiles

１． 序論

ダム貯水池の流入量・放流量は，流域における洪水流出予測の検証材料として用いられ，また，下流河川の河道管理を行う上での重要な情報を与える．
一般にダム流入量ハイドログラフは，ダム貯水池の下流端付近で観測された1地点の貯水位データを用い，これが水平に上昇するものとして，貯水池のH-V関係に基づく貯留量と，ダムからの放流量の差により算定されている．この手法により，ダム貯水池への流入量を簡易に推定することが可能であるが，貯水位の水平上昇を仮定していることから，貯水池内を流下する洪水波形の変形による縦断的な水位変化に伴う貯留や，渓流・支川等からの流入による影響が考慮されていない．このため，実際に洪水時にダム貯水池へ流入する流量と比較して，ダム流入量を過小に評価していることが懸念される．
一方，ダム放流量ハイドログラフは貯水位とゲート開度による算定式を用いている．しかし，貯水位は，ゲート操作，波浪，セイシュ等の影響により変化するため，これより算定される放流量について，実際の観測データに基づく検証が必要と考える．これらの検討は，下流河川の安全確保や，ダム貯水池の効率的運用のため，ダム貯水池を含む上流，下流河川における洪水流の一体的な把握を可能にし，ダムと河川の管理に有意な情報を提供すると考えられる．
ダム流入量，放流量の評価法には，石田1) ら，中村2)らにより，貯水位に含まれるセイシュ等の水位振動成分を除去し，平滑化水位を用いた高精度化手法が提案されている．これらの手法は，既存のダム流入量，放流量の算定法を基本とし，使用する貯水位の高精度化を目的としており，貯水池内の洪水流下について十分言及していない．また鈴木3) らは，平滑化水位により算定した放流量が，小規模貯水池では放流に伴う流速増で接近流速が大きくなり，全水頭で求める放流量が過小評価されることを指摘している．一方，貯水池内の洪水流下伝播特性

草木ダム平面図

水位計3‐7

水位計2‐2
水位計2‐3

草木ダム

ダム貯水位

片向

83.00

水位計3‐6全体図

貯砂ダム
水位計4‐2（欠測）
水位計4‐1
沢入橋 水位計4‐3
水位計3‐10黒坂石川

水位計3‐4：水位計設置箇所：ダム貯水位：電波流速計萬年橋
水位計3‐3（欠測）
水位計3‐1

黒坂石ダム

高津戸ダム平面図

草木ダム

84.00

水位計3‐8

水位計3‐283.50

水位計3‐5

水位計2‐1flow

水位計3‐9横川

相川橋：水位計設置箇所：水位・流量観測箇所
高津戸ダム

はねたき橋

10km

水位計1‐5

水位計1‐2
水位計1‐1
相川橋水位観測所

水位計1‐4（欠測）

高津戸水位流量観測所

高津戸橋

高津戸ダム

水位計1‐3

flow

55/0

flow

形式
集水面積(km2)
湛水面積(km2)
総貯水容量(m3)
有効貯水容量(m3)

表 ダム諸元
草木ダム
重力式コンクリート
254
1.7
60,500,000
50,500,000

高津戸ダム
重力式コンクリート
472
0.113
808,000
530,000

図-2 草木ダム，高津戸ダム平面図と洪水観測地点

Qin

ダム貯水位
水位観測位置

貯水池

下流河川dSdS’
上流河川

Qout

dS’：縦断的な水位変化に基づく貯留量
dS ：H-V関係に基づく貯留量

図-1 本研究で明らかにすべきことだけでなく，縦断的な水位変化に基づく貯留量dS’を評
価し，ダム流入量，放流量の評価を行う（図-1参照）．
このために，利根川水系渡良瀬川の草木ダム，高津戸ダムの貯水池および，それらのダムの上下流河川に水位計を多数設置した．平成25年9月洪水において水位観測等を実施し，これらの観測データを用いた洪水流解析から，ダム貯水池への流入量，放流量ハイドログラフを算定した．これらより，洪水の伝播，貯留量等を河川とダム貯水池について連続的，一体的に検討することを目的とす
る．

については，古くから水位，流量の伝播特性に関する研究が行われている例えば4), 5) ．しかし，これらの検討は，実験水路や数値解析を用いたものであり，実河川をベー
２．平成25年9月洪水の再現計算スとした検討は多くない．竹村6)らは小規模電力ダムが連続する実河川を対象に，実測データと一次元不定流解
析法により，ゲート操作の違いが河道貯留効果や洪水波(1) 平成25年9月の洪水観測形の伝播に及ぼす影響を定量的に評価している．しかし，
図-2に草木ダム，高津戸ダムの平面図と洪水観測地点対象とする貯水池規模が小さいため，貯水容量の大きいを示す．この区間では，平成25年9月に発生した台風18
貯水池を対象とした場合，貯水池内の洪水の流れ，波形号に伴う出水を対象に，洪水時の時空間的な水位変化をの伝播特性が異なるものと考えられる．
詳細に測定し，縦断的な水面形の時系列データを得た．
福岡らは，洪水時に観測された河川の水面形時系列水位計は，草木ダム貯水池内に10地点，上流河川に3地データを用いた非定常二次元洪水流解析を行い，多くの点，下流河川に3地点，高津戸ダム下流では5地点に設置
河川の洪水流の実態解明に有効性が確認されている7), 8)． した．なお，支川（横川，黒坂石川）流入箇所では，流川幅に匹敵する水深の大きい区間のダム貯水池では，洪入による影響を把握するため本川との合流点に水位計
水流の流下特性は河道と異なる．しかし，ダム貯水池に（3-3,3-10）を設置している．上流河川からの流入量のおいて観測された水面形の時系列データには洪水流の特把握を目的に，水深が浅くなるダム堤体から4.0km地点徴的な流動が現れていると考えられる．これら水面形のより上流区間で，約300m～500m間隔で水位計を設置し，時間変化を含む洪水時の変化特性を貯水池流動解析モデ
貯水池内では約500～1,000m間隔で水位観測を実施してルを用いて分析することにより，洪水流動の実態を明らいる．なお，水位観測は5分間隔の瞬間値データを記録かにすることが可能と考えている．
しているため，観測水位データに振動が見られる（図-8
本研究では，ダム貯水池を含む上下流河川で観測され参照）．
た水面形の時系列データ用い，上流河川のQin（ダムに流入する流量）と下流河川のQout（ダムから放流される(2) 解析方法流量）を算定し，貯水池のH-V関係から求まる貯留量dS
ダム上流河川，下流河川では，観測水面形時系列デー

342

465

2-3

9/16 9:00
9/16 13:00
9/16 17:00
9/16 21:00
9/16 11:00
9/16 15:00
9/16 19:00
最深河床高

460

337
水位（EL.m）

455

2-2
450

332

2-1

445

3-6

9/16 11:00
9/16 15:00
9/16 19:00
9/16 9:00
9/16 13:00
9/16 17:00
9/16 21:00
平均河床高

4-1
3-9

3-8

3-7

4-3

：計算水位 上昇期
：計算水位 下降期
：観測水位 上降期
：観測水位 下降期

327
440
435

322
0.0

0.5
縦断距離（km）

3.0

1.0

3.5

4.0

4.5
縦断距離（km）

5.0

5.5

6.0

図-3(a) 解析水位と観測水位の比較（左：草木ダム下流河川，右：草木ダム上流河川）
150

表-1 設定した粗度係数，樹木群透過係数

1-5
高津戸橋

145

区間

水位（EL.m）

草木ダム

上流河川
貯水池
下流河川
高津戸ダム 下流河川

1-3

140

1-2

9/16 9:00
9/16 13:00
9/16 17:00
9/16 21:00
9/16 11:00
9/16 15:00
9/16 19:00
最深河床高

相川橋

135

1-1
130

125
53.0

53.5

54.0

54.5
縦断距離（km）

55.0

9/16 11:00
9/16 15:00
9/16 19:00
9/16 9:00
9/16 13:00
9/16 17:00
9/16 21:00
平均河床高
55.5

56.0

図-3(b) 解析水位と観測水位の比較（高津戸ダム下流）タに基づく平面二次元洪水流解析を適用し，上・下流河川における洪水流量ハイドログラフを算出する．一方，草木ダム貯水池内では，水深が大きい（川幅：最大500m，水深：最大60m）ことから，鉛直方向の流動を考慮した解析の必要性が高いと考えられるが，本出水では貯水位の上昇・下降が概ね平らであったことから，観測水位の時間変化から貯水池貯留量の算定のみ行った．
(3) 検討条件
草木ダム上流河川では，上流端を水位計4-3地点，下流端を水位計3-6とし，解析水位と観測水位が一致するように境界条件を設定する．下流端を水位計3-6とした
理由は，この地点より下流では，最深部の水深が10mを超えるため平面二次元解析の適用性に問題があるためである．草木ダム下流河川では，上流端を水位計2-3，下流端を水位計2-1とし，高津戸ダム下流では，上流端を高津戸橋，下流端を水位計1-1とした．粗度係数，樹木群等価係数は，観測水面形の時系列を再現する表-1に示す値を設定した．当該区間では，一般に山地河道で用いられている粗度係数0.040 9)と比較して，全体的に大きな値となっている．これは，河床に存在する大粒径の河床材料が流れに及ぼす形状抵抗や，急勾配区間における3次元性の強い流れによる抵抗を粗度係数で表現している

粗度係数（m-1/3・s）
低水路
高水敷
0.063
0.025
0.064
0.048～0.060
0.065

樹木群等価係数（m/s）
40ためと考えられる．対象区間内には，主要な支川として黒坂石川（流域面積31.85km2 ），横川（流域面積6.77km2）が流入する．横川は，流域面積が小さく横川地点近傍の水位計3-4に支川流入の影響がみられなかったことから，考慮しないこととした．黒坂石川は，上流に位置する黒坂石ダムの放流量を用いた．解析対象期間は，9/16 6:00～9/17 0：00までの18時間とした．
(4) 計算結果
図-3に草木ダム上下流河川，高津戸ダム下流河川の水面形時間変化の観測値と解析値の比較を示す．草木ダム
上流河川では，水位計4-1地点において，解析水位が観測水位より若干低くなるものの，その他の区間では，解析値は観測値と概ね一致している．上流河川とダム貯水池の境界部（4.4km地点）では，解析水面形に顕著な水位変化が生じている．この区間は，水位波形が変形する遷移領域にあたり，水位上昇期は遷移区間が下流側に発生し，水位下降期は上流側に発生している．なお，この区間の水位波形の変化については，第4章で分析を行う．
草木ダム下流河川では，全川的に解析値は観測値と概ね一致している．
高津戸ダム下流では，水位計1-3地点で解析水位が観測水位より高くなる傾向にあるものの，その他の区間では，解析水位は観測水位を概ね表現している．
なお，解析より得られた流量ハイドログラフや貯水池の貯留効果については，第3章において詳細に分析を行う．

1200

800
600
400200800
600
4002009/16 12:00

9/16 18:00

9/17 0:00

図-4(a) 流量ハイドログラフの比較（草木ダム上流河川）
1200

解析流量（水面形）
ダム放流量（ゲートの式）
萬年橋（電波流速計）

1000

流量（m3/s）

流量（m3/s）

1000

09/16 6:00

1200

解析流量（水面形）
ダム流入量（H‐V関係）
沢入橋（電波流速計）

09/16 6:00

9/16 12:00

9/16 18:00

9/17 0:00

図-4(b) 流量ハイドログラフの比較（草木ダム下流河川）

流量（m3/s）

草木ダム下流河川（図-4(b)）では，解析流量ハイド
1000
ログラフは，萬年橋の電波流速計による流量とほぼ対応している．また，解析流量ハイドログラフとゲートの式
800に基づくダム放流量ハイドログラフは，概ね対応してい
600
る．以上より，平成25年9月洪水では，草木ダムのダム解析流量（水面形）
400
ダム放流量（ゲートの式）
流入量，放流量と本解析による解析流量は，ピーク流量，ダム放流量（接近流速を考慮）
200
高津戸（浮子観測）
流量波形ともにほぼ対応する値となることが分かる．
相川橋（浮子観測）0
一方，高津戸ダム下流（図-4(c)）では，解析流量ハ9/16 6:00
9/16 12:00
9/16 18:009/17 0:00
イドログラフは高津戸地点，相川橋地点の浮子観測流量
図-4(c) 流量ハイドログラフの比較（高津戸ダム下流）と概ね対応している．また，解析流量とゲートの式に基づく高津戸ダム放流量を比較すると本解析の方が３．ダム貯水池流入量，放流量と貯留率260m3/s程度大きい結果となる．この主要な原因として以下のことが考えられる．高津戸ダムは湛水面積が観測水面形から算出された解析流量ハイドログラフと， 0.113km2と小さく，洪水時はクレストゲートから洪水流従来から用いられている貯水池H-V関係に基づくダム流が放流されることから，接近流速の増大に伴い速度水頭入量，ゲートの式に基づくダム放流量の比較検討を行う． が増大し，ダム放流量を過小評価していると考えられる
3)
また，解析より得られる貯留率（Qin－Qout）とH-V関係，．図-4(c)に示す接近流速を考慮したダム放流量は，高ゲートの式から算定される貯留率を比較する．
津戸ダムの貯水位とゲート諸元から限界流速を推定し，速度水頭を考慮した比エネルギーを用いて推定した放流(1) 解析流量ハイドログラフから算定したダム流入量である．接近流速を考慮することにより，ゲートの式量・放流量と従来の算定法の比較に基づくダム放流量は，解析・観測流量ハイドログラフ
図-4に草木ダム上下流，高津戸ダム下流における観測に近づく傾向を示す．なお，この高津戸ダムの放流量に流量ハイドログラフと解析流量ハイドログラフの比較をついては，ダム貯水池内の水位縦断分布や接近流速の評示す．図中には，従来の貯水池のH-V関係とダム放流量
価方法，貯水池内の堆砂状況等を分析し，更なる検討がから求めたダム流入量と，ゲートの式に基づくダム放流必要である．
量も示している．図-4(a)，(b)に示す電波流速計推算流量は，草木ダム上流河川では沢入橋，草木ダム下流河川(2) 貯水池の貯留では萬年橋地点において，電波流速計による流速観測値
図-5に観測水面形の時系列データにより算定される単に，流量補正係数0.8510)を用いて推算した流量を示す．
位時間あたりの貯留量（上流河川のQinと下流河川のQout
草木ダム上流河川（図-4(a)）では，流量上昇期にお差分）と，H-V関係・貯水位より算出した単位時間あたいて，解析流量が沢入橋の電波流速計推算流量より若干りの貯留量の比較を示す．貯水池における貯留量Sは，小さい傾向にあるものの，沢入橋の観測流量ハイドログ
以下の式で表される7)．
ラフを概ね捉えている．流量上昇期に解析流量ハイドロ
dS / dt  Qin  Qout
(1)
グラフが沢入橋の観測流量より小さい理由としては，電波流速計の観測点と水位観測点が異なっていたことや，
ここに，S：貯留量，Qin：上流河川からの流入量，豪雨時の強風による電波流速計の観測精度が主要因と考Qout：下流河川への放流量を示す．両算定法による貯留
えられる10)．また，貯水池のH-V関係に基づくダム流入量を比較すると，洪水開始（9/16 6:00）から9/16 11:00ま量と観測水面形の時系列データに基づく解析流量ハイドでの流量規模が小さい時間帯では，H-V関係に基づく算ログラフを比較すると，解析流量のピーク発生時刻が約定法の方が貯留量が多く，それ以降では観測水面形の時30分早いものの，全体的な波形は対応している．
系列データより算定した貯留量の方が大きい．この差の単位時間あたりの貯留量（m3/s）

600
500
400

表-2 矢野らの検討との本検討条件の比較①ds/dt（H‐V関係）②ds/dt（Qin‐Qout 推定値）①－② 785,000m3

①の貯留量

300

項目
延長（m）
水路幅（m）
水路勾配
最大水深（m）
容量（m3）
ピーク流入量（m3/s）

4,404,000m3

200
100
0‐100
‐200

9/16 11:00～16:00‐300
9/16 6:00

9/16 12:00

9/16 18:00

①草木ダム
4,600
150～500
1/906039,399,600
1,002②矢野ら（run7）150
0.6
1/1500.225
100.030

9/17 0:00

図-5 単位時間あたりの貯留量の比較
450① 9/16 12:00③ 9/16 14:00⑤ 9/16 16:00

水位（m）

448
446

湛水領域

444

3‐7

② 9/16 13:00④ 9/16 15:00⑥ 9/16 17:00

遷移領域
上流領域

3‐93‐8図-7 矢野らの検討結果 水位～時間曲線（run7）4)

442
440
3.5

3.8

4.1

4.4

4.7

5.0

４．水位波形の変形（遷移領域）に関する考察

図-6 遷移領域における観測水面形の時間変化要因について以下のことが考えられる．観測水面形の時系列データを用いた平面二次元洪水流解析では，主に洪水ピーク付近の時間帯の観測水面形が再現されるように一定の粗度係数を設定している．このため，流量規模が小さく河道水位が低い時間帯（9/16 6:00～11:00）では，洪水流に及ぼす河床抵抗を過小評価され，河道域における流量算定精度が低く評価されている．このため，Qin－Qoutの値に誤差が入ったものと考えられる．
洪水ピーク付近（9/16 11:00～16:00）では，Qin－Qoutによる貯留量ピークとH-V関係に基づく貯留量のピークに差が生じており，これは図-4(a）に示す流量ハイドログ
ラフと同様の傾向を示す．また，Qin－Qoutの値の方がH-V関係に基づく貯留量より大きく算定されている．この差の主要因は，図-1に示す様に，H-V関係に基づく貯留量とQin－Qoutよる貯留量との差分として評価される縦断的な水位変化に基づく貯留量dS’に関係していると考えられる．H-V関係では，貯水池内の水位はほぼ水平とみなしているが，湛水領域の水位計3-1と3-6では最大で0.03mの水位差が生じている．なお，Qin－Qoutの算定値には，河川の観測水位に含まれる誤差や，遷移領域における水位波形の変形による影響も含まれており，河川の水位観測の精度向上，貯水池内の洪水流の流動を踏まえた洪水波形の変形機構を明らかにすることが課題として残されている．今後は，dS’の定量的な評価を行うため種々の洪水に対してデータの蓄積を行うと共に，貯水池内の流動とdS’の関係について検討を行う必要がある．

図-6は草木ダム貯水池における遷移領域の観測水面形の時間変化を示す．平成25年9月出水は，洪水規模が比較的小さかったことから，貯水池湛水域において縦断的な水位変化は小さく，ほとんど水平に近く水面が変化した．しかし，3-8，3-9地点（上流河川とダム貯水池の境界）では，貯水位がピークに達した後，上流河道とダム貯水池の境界部の水面形に逆勾配が生じている．この様な貯水池の水位波形の伝播特性を理解するため，観測データを用いて遷移領域の洪水波形について分析する．
矢野4) らは，一様勾配，一様幅の実験水路に刃型堰を設置した実験水路（表-2参照，比較的規模の小さい砂防堰，用水取入れ堰を想定）の，湛水領域に洪水流が流入した場合の洪水波形の変形を検討している．この検討では，ダム貯水池に流入する洪水流は，湛水領域，遷移領域，上流領域の3領域に分類され，湛水領域では水位波形はほとんど変化せず，遷移領域において水位波形が急変することが指摘されている．この現象は，図-7に示す
様に，上流から流入するNo.1～No.4の洪水波形がNo.5で大きく変化することで2つの水位ピークを有し，湛水域となるNo.7～No10では水位が水平になる．本検討で対象とする草木ダムは，貯水池容量，洪水規模が矢野らの検討に比して十分大きい．また，貯水池水位の観測データに明確に湛水領域，遷移領域が見られることから，矢野らの結果と比較検討する．
図-8に観測された各地点の水位上昇量ハイドログラフを示す．なお，水位上昇量ハイドログラフは，洪水初期である9/16 6:00の水位を基準とし，この基準水位からの上昇量を示したものである．また，上流河川の観測水位に顕著な振動が見られる．これは，5分間隔で観測水位をプロットしているためであり，今後はデータの取得間

カラー印刷希望

洪水初期からの水位上昇量（m）

5.0
3‐13‐73‐23‐83‐43‐93‐54‐1

3‐64‐3

約3時間

4.0

3‐93‐1～3‐73‐84‐13.0

4‐32.01.0①0.0
9/16 6:00②③9/16 12:00④⑤⑥9/16 18:00

9/17 0:00

図-8 洪水初期からの水位上昇量のハイドログラフ

隔を短くすることで，水位観測の精度の向上を図る必要がある．草木ダム貯水池では，水位計3-7より下流区間において水位波形がほとんど一致しており，水面がほぼ水平となる湛水領域を形成している．一方，水位計3-9より上流区間では，縦横断形状に違いにより多少の差はあるものの，同じ傾向の水位波形を有していることが分かる．ここでは，この2区間の境界に位置し，水位波形に特徴的な変形がみられる水位計3-8地点（図-8 橙線）に着目して考察を行う．上流領域における水位上昇期（図-8 ①～②）は，水位計3-8より上流側に位置する水位計3-9（図-8 青線），4-1（図-8 緑線）と同じ傾向の波形で水位が上昇している．この時，湛水領域では，上流領域の水位上昇と比較して，草木ダムの貯水容量が大きいことから水位上昇が遅く，上流域の水位波形と湛水域の水位波形に約3時間の差が生じている．その後，上流領域の水位が下降し，湛水領域の水位が上昇する（図-8 ③～⑥）ことで，水位計3-8の水位波形は湛水領域の背水の影響を受け，湛水領域の波形特性により水位波形が変形する．なお，この水位波形の変形は，図-7に示す
矢野らの実験のNo.5地点（遷移領域）における水位変化特性と同様である．実験水路と実河川とで貯水容量や縦断的な水深・川幅の変化に違いがあるものの，実河川においても実験水路と同様の現象が現れている．遷移領域における水位波形の変形は，潜り込み流の発生と，潜り込みに伴う貯水池内の流速変化と水位上昇変化が複雑に生じているものと考えられる．このため，貯水池内の洪水流の流動と遷移領域の形成機構について定量的に検討していく必要がある．

５．結論
本研究では，観測水面形の時系列データを用いた平面二次元洪水流解析から，ダム上下流河川における，流量ハイドログラフを算出し，貯水池における水位波形の変形や貯留について分析を行った．本出水は比較的小規模であったこともあり，貯水池内の縦断的な水位変化が小さく，概ね水平に上昇した．このことから，縦断的な水位変化による貯留量増加分は小さく，従来から用いられているH-V関係に基づく流入量，ゲートの式に基づく放流量の算定方法で説明できることが明らかとなった．
今後は，上流河川からの流入ハイドログラフと貯水池ハイドログラフの時間差の形成過程や，貯水池の洪水波形の形成・伝播と貯留率について貯水池内の流動解析を踏まえ明らかにしていくとともに，大きな洪水についても，本研究の結果が成立するか，高津戸ダムの様な小ダムの放流量評価の精度向上等を検討する予定である．
参考文献
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20058) 福岡捷二：河道設計のための基本は何か－水面形時系列観測値と洪水流－土砂流の解析を組み合わせた河道水理システムとその見える化，河川技術論文集，第17巻，pp83-88，2011．
9) 土木学会：水理公式集，平成11年度版，第2編河川編，pp.89.
10) 独立行政法人土木研究所 水害・リスクマネジメント国際センター：流量観測の高度化マニュアル（高水流量観測編）Ver1.0（2014.4.3受付）