まえがき

はじめに
本書は，数学基礎論に関する入門書と専門書の中間に位置する教科書ある
いは独習書である．想定している読者層は，微分積分における ε - δ 論法のような 1 階論理の推論や，群など代数系に対する公理論的なあつかいにすでに馴染みのある人たち，つまり数学や情報系の学部上級以上の人たちである．しかし，そのような数学の知識や経験を前提としているわけではなく，使用する数学概念はその都度厳密に定義してあるので，根気よく読み進めていただ
ければ，逆に現代数学の基本を身につけることもできると思う．
筆者は，東北大学で数学専攻の大学院生と数学科の 4 年生を対象にした数学基礎論の講義をほぼ毎年担当している．大学院生といってもこの分野の予備知識が全くない受講者もいるし，逆に学部生でもすでに私の著書を何冊もつわもの読みこなしている強者もいたりする．したがって，私の講義では入門から先端までさまざまなレベルの話題を取り入れるようにしており，週 1 回半年間の授業であつかえる話題の広さは自ずとかなり限られてくる．そこで，（複数年受講を想定して）毎年講義内容の大半を入れ替え，その年に時間を割けない重要トピックスについては以前の講義ノートなどを配るなどして補っている．
そのような講義ノートをまとめて誕生したのが，前作『数の体系と超準モデル』（文献 [12], 2002）であった．
おかげさまで，前作は好評を得てすぐに品切れとなり，重版の要望も少なく

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まえがきなかった．しかし，本文の最後に主張だけ書いておいた新しい定理（本書 8.4
節の STY 定理）などについてはぜひ増補したいと考えながら，いつの間にか年月が経ってしまった．少し弁解すると，増補の内容を講義やセミナーで話すうちに定理の証明が改良されたり，応用が広がったりしたことに加え，東日本大震災という大災害にも見舞われたのである．その後，改めて増補について考えてみると，加筆部分だけで約 100 ページは必要なので，単なる増補では 1 冊の本としての均整が崩れてしまうと思うようになった．といって，新しい部分だけで独立した本にするのは，それがあまりに多く前作の内容に依存しているため，やはり難しく思えた．
そんなとき，熱心な読者の 1 人として私の前に現れたのが（株）裳華房の若手編集者の久米大郎氏である．私のいろいろな講演会や講義にまで来られて，根気よく私に筆をとることを勧めてくれた．そして彼と何度も話をするうちに，前作の使えるコンテンツはそのまま使いながらも新しいコンセプトの本を作るという方針が見えてきた．その際，題名も「数学基礎論」を前面に出したものに改めることにした．

数学基礎論からロジックへ
数学基礎論とは何か．この分野における我が国初の教科書として知られる
黒田成勝 著『数学基礎論』（文献 [17], 1934）の前書きにはこう書かれている．
…数学基礎論とは…数学が如何なる構造を有し，如何なる原理に基づくかを公理論的に研究する理論という意味である．
この本は 150 ページほどの小冊ながら，驚くことに当時最新のゲーデルの第一不完全性定理（1931）の証明まで含んでいる．そして，巻末においては，近く出版予定のヒルベルト - ベルナイスの『数学基礎論』第 1 巻（文献 [21]）に触れて，基礎論の対象が自然数論から解析学に進展している様子を述べつつ，まえがきv

こう付け加えた．
「数学基礎論」は，「ホトトギス」は鳴きかけている．折角ここまで育ったものを「鳴かなければ殺してしまえ」は短気である．と云って，「ゲッチンゲンで鳴くのを待とう」は腑甲斐ない．「鳴かせて見しょう† 」と秀吉の勇を起される読者があれば筆者が本講を草した微意は酬いられるのである．
（† 原文は「見セウ」）（1934）に続いて，第 2 巻（1939）も出版したが，ゲッヒルベルトらは第 1 巻
チンゲンにおいても，解析学の基礎論はまだ入り口に留まっていた．ちなみに，今日（本書で）「2 階算術」とよばれる形式体系はこの第 2 巻を出所にしているが，私の学生の頃は「ヒルベルト算術」とか単に「解析」ともよばれていた．解析の基礎付けは悪循環の呪縛という原理的な難しさを抱えている（たとえば，実数の「上限（最小上界）」を定義する際には，その上限の近傍の点が上限とどのような関係にあるか知っておく必要があるので，上限の存在を主張しようとすると，すでにその存在が仮定されているという循環論法になる）．そのために，なかなかすんなりと道は切り拓かれなかった．
壁にぶつかった数学基礎論は，次第に数学の基礎への関心を薄め，集合論，モデル論，証明論，計算論などの技術論に変質していった．そして，それらを総称して「数理論理学」あるいは「ロジック」とよぶことが多くなる．その金字塔的な出版物が，千ページを超えるバーワイズ編集の『数理論理学ハンドブック』（文献 [14]）であった．これは一見ロジック技法のマニュアル本なのだ
が，巻末にどんでん返しがある．不完全性定理に新しい数学的意味を与えるパリス - ハーリントンの論文が収録されているのだ．彼らの結果の重要性を認識したバーワイズが自らタイプして収録したそうだ．ちなみに，私はこの論文との出会いをきっかけにカリフォルニア大学バークレー校に留学し，ハーリントン教授に師事した．

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まえがき

数学基礎論のルネサンス
20 世紀の終わりが見えてくると，技術を追求するだけのロジック研究に分野内外から批判の声が上がった．とくにアメリカ数学協会やアメリカ数学会の会長を歴任したマックレーン氏の随筆『数学の健康』（1983）に始まる一連の論争（拙編『数学の基礎をめぐる論争』（文献 [5]）に所収）に刺激されて，この分野の研究者たちは数学基礎論がどうあるべきか再考を迫られ，「ホトトギス」があちこちで鳴き出した．中でも一際目立つ鳴き声が，ハーリントンと同じく，MIT のサックス教授門下のフリードマンやシンプソンが掲げた「逆数学」プログラムである．この研究プログラムのバイブルとされるシンプソンの『2 階算術の部分体系』（文献 [66]）はヒルベルト - ベルナイスの本の続編を謳っており，基礎論復興の象徴となった．このような研究は，ロジックの技術的発展を否定するものではなく，むしろ発達した技術を駆使して，基礎論固有の問題に新しい角度からチャレンジしようというものである．
数学基礎論のルネサンスは他にもいろいろな事例があるが，たとえば集合論の場合には，連続体仮説 CH が通常の公理から証明も反証もできないというのがロジックの結論とすれば，CH の真偽を判定する新しい原理を見つけようとするのが新しい基礎論といえるかもしれない．また，数学自体の発展や人間の認知機能の変化も歴然としているから，基礎論の研究対象や方法論も 21世紀には無限に広がっているように思う．しかし，余白の問題よりは，現状の著者の能力の限界のために，それらについて語るのは他書に期待したい．

本書の構成
本書は，全体が 3 部で構成されている．第 1 部は数理論理学の基礎知識，第2 部はその知識の “数の体系” への応用である．ここまでの内容は，題材的に前作『数の体系と超準モデル』から受け継いだものが多いが，解説はいたる

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ところで改めている．前作との一番大きな違いは，計算に関連した話題を削減して，形式体系のあつかいを強化していることである．それは，端的に第4 章の第二不完全性定理の議論に現れる．第一不完全性定理であれば計算不可能性と結びつけるだけで導くことができるのだが，第二不完全性定理においては第一定理を証明するメタな立場を明確にする必要があるので，立場に依存するような計算可能性を論拠にしての議論は難しいのである（たとえば，ペアノ算術における計算可能関数と，ZF 集合論における計算可能関数は異なる）．数理論理学の基本を学ぶのが目的なら，第 1 部と第 2 部だけでも十分であろう．
第 3 部は 2 階算術に関する比較的新しい結果，とくに私自身が関わる研究を多くあつかっている．第 1 部と第 2 部の内容はおおよそ 1970 年頃までの結果で，私自身も学生時代に既成の知識として学んだものばかりだから，話題の選び方はそう特異なものにはなっていないと思う．しかし，第 3 部はロジックにおける重要な成果を集めてできているのではない．数学基礎論の新しいプログラム「逆数学」の周辺に焦点を当てて，数学の基礎に対するロジックのさまざまな分析法をみていく．
「逆数学」以外にも，構成的，計算可能的，圏論的，ゲーム論的，……等々の立場で語られる数学世界が知られているが，ヒルベルト時代の古典数学基礎論とも親和性が高く，幅広い数学を許容する「逆数学」は 21 世紀の数学基礎論への最適なアプローチであり，その入り口付近をご案内するのが『数学基礎論序説』第 3 部の役割である．
本書は，多くの方々の協力なしには完成できなかった．私が指導を受けた先生方や，逆に指導した学生たちから教わることも多かった．詳しい謝辞はあとがきに回させていただくが，ここでは筆者を長くそして温かく応援して下さった読者の皆さんにお礼をいわせていただきたい．本当にどうもありがとう．

2019 年 5 月
仙台にて 田中 一之