Kunnskapsgrunnlag for kvalitetskriterium for læremiddel i matematikk(Publisert: Juni, 2018)

INNHALD

Innleiing ................................................................................................................................................. 2
Utfordringar i matematikkfaget ......................................................................................................... 2
Oppdraget: Kvalitetskriterium for læremiddel i matematikk ............................................................. 3
Nettbasert rettleiar for kvalitet i læremiddel..................................................................................... 4
Definisjon av læremiddel og strukturen i kunnskapsgrunnlaget ........................................................ 4
DEL 1: Kva kjenneteiknar god matematikkundervisning? ...................................................................... 6
Matematisk kompetanse ................................................................................................................... 6
Vurdering og matematisk kompetanse.............................................................................................. 8
Praksisar som fremmar djupnelæring i matematikk .......................................................................... 9
Samanhengen mellom undervisningskvalitet og læringsutbytte ..................................................... 12
Kva kjenneteiknar arbeidsformer og læremiddel i matematikk? ..................................................... 14
DEL 2: Kva kjenneteiknar eit godt læremiddel i matematikk? ............................................................. 16
Framstilling av matematiske emne og innhald i læremiddel ........................................................... 17
Kognitive krav, pedagogikk og didaktiske val ................................................................................... 18
Digitale læremiddel og verktøy i matematikkundervisninga............................................................ 20
Oppsummering av del 1 og del 2 ..................................................................................................... 23
DEL 3: Kvalitetskriterium for læremiddel i matematikk – eit grunnlag for den digitale rettleiaren ..... 26
Kvalitetskriterium for læremiddel i matematikk .............................................................................. 29
Design .............................................................................................................................................. 30
Pedagogisk og didaktisk kvalitet ...................................................................................................... 31
Kopling til læreplanverket ................................................................................................................ 32
Vurdering av kvalitetskriterium – og overføring til andre fag .......................................................... 33
Referansar ....................................................................................................................................... 34

Kunnskapsgrunnlaget er forfattet av Olaug Svingen og Øystein Gilje (leder av arbeidsgruppa). Øvrige medlemmer av
arbeidsgruppa for å utarbeide kvalitetskriterier for læremidler i matematikk har bidratt med innspill og tekst (i alfabetisk
rekkefølge): Tor Espen Kristensen, Simen Spurkland, Ingunn Valbekmo og Hanne Brede Vig. Merethe Fagernæs har
representert Utdanningsdirektoratet. Arbeidsgruppa takker for innspill på tidligere versjon fra både medlemmer ireferansegruppa og utvalgte personer i Utdanningsdirektoratet.

1

INNLEIING
Opplæringa i Noreg bygger på læreplanverket. Læreplanane beskriv mellom anna formålet
med og hovudområde og grunnleggande ferdigheiter i dei enkelte faga. Den overordna deleni læreplanverket, om verdiar og prinsipp for grunnopplæringa, gir føringar for arbeidet med
faga og set fagkompetansen inn i ein større samanheng.
Kompetanseomgrepet er fornya i den overordna delen (2017) og trer i kraft med dei nyelæreplanane i 2020, men hovudprinsippa i Kunnskapsløftet (LK06) ligg fast. Læreplanane som
gjeld i dag, er vedtatt med heimel i opplæringslova og har status som forskrift. Den nyelæreplanen i matematikk, frå 2020, er dermed ein del av læreplanverket og har heimel som ein
del av forskrift til opplæringslova. Eitt av måla i fornyinga av Kunnskapsløftet er å styrke
djupnelæringa og forståinga i faga (Meld. St. 28 (2015–2016). Verdigrunnlaget skal løftast
fram i læreplanane, og dei tverrfaglege temaa demokrati og medborgarskap, berekraftig
utvikling og folkehelse og livsmeistring skal prioriterast.
I den første delen av fagfornyinga har 15 arbeidsgrupper jobba med å utvikle kjerneelement ifaga. I dette dokumentet er det referert til kjerneelementa i matematikk som blei vedtatt i juni
2018.
UTFORDRINGAR I MATEMATIKKFAGET
Matematikk er eit stort og viktig fag både i grunnskolen og i vidaregåande skole. 1 Berrenorskfaget har fleire timar i løpet av dei første elleve åra i grunnopplæringa.
Det blir satsa stort på å gi norske lærarar meir kompetanse, både gjennom vidareutdanning og
gjennom ei utvida lærarutdanning. 2 Årsaka er at det er innført minstekrav – medtilbakeverkande kraft – for å undervise i mange av faga i grunnopplæringa.3 Matematikk er
det faget i skolen der flest lærarar manglar studiepoenga som skal til for å oppfylle
kompetansekrava. 11 400 lærarar i matematikk, nesten kvar tredje lærar, har ikkje den
kompetansen dei skal ha for det trinnet dei underviser på, ifølge Utdanningsspeilet 2017 (Udir,

1

I læreplanen som gjeld for 2017/2018 har 1.–4. trinn 560 timar, 5.–7. trinn 328 timar og 8.–10. trinn
313 timar. På Vg1 studieførebuande er det 140 timar, mens det på Vg1 yrkesfag er 84 timar.
2Lærarløftet. https://www.regjeringen.no/globalassets/upload/kd/vedlegg/planer/kd_strategiskole_web.pdf
3Regjeringa krev at lærarar har relevant kompetanse i faga matematikk, engelsk, norsk, samisk og norsk
teiknspråk. (Lærarløftet s. 11)2

2017). På grunnskolenivå manglar éin av fem matematikklærarar fordjuping i faget. I
internasjonale samanlikningar har norske matematikklærarar låg fagleg kompetanse.4
At læremidla er viktige, både i undervisninga og for læringsutbyttet til elevane, er éin av
grunnane til at regjeringa vil sjå nærmare på kvalitetskriterium for læremiddel imatematikkfaget.
OPPDRAGET: KVALITETSKRITERIUM FOR LÆREMIDDEL I MATEMATIKK
Meld. St. 28 (2015–2016), om fagleg fornying i skolen, tar for seg læremiddel og varslar tiltak
som kan gjere skoleleiarar og lærarar meir bevisste når dei vurderer kvaliteten på læremidla.
Det er særleg viktig sidan både skoleleiarar og lærarar dei neste åra skal velje læremiddel isamband med fagfornyinga. Satsinga på kvalitet er også ein del av den nasjonale strategien for
realfag i barnehagen og i grunnopplæringa, Tett på realfag (2015–2019). I tillegg er arbeidet
relevant i relasjon til FYR-prosjektet (fellesfag, yrkesretting og relevans), som blei avslutta i
2016.
I Meld. St. 28 (2015–2016) ønsker departementet «å se på tiltak som kan gjøre skolene oglærerne mer bevisste på valg og bruk av læremidler. Økt bevisstgjøring skal styrke deres
vurderinger av læremidlenes kvalitet» (s. 76). Utdanningsdirektoratet har fått i oppdrag å
utvikle kvalitetskriterium for læremiddel i matematikk og formidle dei på ein formålstenlegmåte til ulike aktørar i grunnopplæringa. I oppdraget heiter det at kriteria samla skal gi eit«grunnlag for en helhetlig vurdering og omfatte ulike sider ved læremidler»:
Dette inkluderer for eksempel kriterier for koblingen til læreplanverket, faglighet, pedagogisk
kvalitet, brukervennlighet og universell utforming. Kriteriene må være relevante for bådepapirbaserte og digitale læremidler. Kriteriene må derfor ta hensyn til det som er felles og det
som er særegent ved disse to formene for læremidler.
Frå Kunnskapsdepartementets oppdragsbrev 21-16.

4

For å oppfylle kompetansekravet for undervisning, jf. opplæringslova § 10-2, skal lærarar som underviser imatematikk på barnetrinnet, ha 30 studiepoeng i matematikk. For ungdomstrinnet er det tilsvarande talet 60.
I GSI (Grunnskolens informasjonssystem) registrerer skolane dei lærarane som underviser i matematikk, etterstudiepoeng. Prosentdelen som ikkje oppfyller kravet i matematikk, er størst på ungdomsskolen.

3Som eit svar på oppdraget har vi laga ein digital rettleiar som er tilgjengeleg på nettsidene
våre. Kriteria som er foreslått i oppdraget, kan delast i to grupper.
Koplinga til læreplanverket, fagleg og pedagogisk kvalitet er relevant for både papirbaserte og
digitale læremiddel. At læremidla er brukarvennlege, og særleg at dei oppfyller krava om
universell utforming, er primært relevant for digitale læremiddel, men har også relevans fortrykte læremiddel.
NETTBASERT RETTLEIAR FOR KVALITET I LÆREMIDDELI Meld. St. 28 (2015–2016) er det lagt vekt på at ein nettbasert rettleiar kan brukast til å støtte
skoleeigarar og skoleleiarar i arbeidet med å vurdere og velje nye læremiddel i samband med
fagfornyinga. Den digitale rettleiaren er derfor naturleg å bruke i det lokale arbeidet med dei
nye læreplanane. Han skal også kunne brukast i lærarfellesskapen for å «øke bevisstheten om
vurdering og valg av læremidler i matematikkundervisningen» (Kunnskapsdepartementet,
2017, s. 77). I tillegg skal kvalitetskriteria i rettleiaren, som bygger på dettegrunnlagsdokumentet, «gi signaler til forlag og læremiddelforfattere om hva som kjennetegnerlæremidler med god kvalitet» (Kunnskapsdepartementet, 2017, s. 77).
Fram mot 2020 skal nærmare 400 skoleeigarar, over 3000 skoleleiarar og godt over 60 000lærarar ta stilling til nye læremiddel og digital teknologi til bruk i alle fag i grunnopplæringa.
Utdanningsdirektoratet har utvikla ein digital rettleiar som består av ei rekke påstandar somlærarar, enten kvar for seg eller fleire saman, kan bruke til å vurdere eitt eller fleire læremiddel.
Verktøyet dokumenterer vurderinga kvar enkelt lærar har gitt, og kan brukast til enten åsamanlikne læremiddel eller til å samanlikne vurderingane fleire lærarar har gjort av det samelæremiddelet. Slik ser ein for seg at rettleiaren kan bidra til refleksjon rundt kva som er god
kvalitet,

og

skape

eit

grunnlagforbevissteval

avlæremiddel

til

bruk

i

matematikkundervisninga. Dette dokumentet er kunnskapsgrunnlaget for rettleiaren som
Utdanningsdirektoratet publiserte på nettsidene sine i ein betaversjon i juni 2018.
DEFINISJON AV LÆREMIDDEL OG STRUKTUREN I KUNNSKAPSGRUNNLAGET
Dette kunnskapsgrunnlaget gir ein forskingsbasert bakgrunn for kvalitetskriterium forlæremiddel, og presenterer relevant forsking for oppdraget. Det er derfor viktig å presisere kva
definisjon av læremiddel vi legg til grunn, i denne innleiinga. Både den teknologiske
4utviklinga og utdanningspolitiske føringar gjer nemleg at definisjonar av læremiddel ikkje er
konsistente over tid (Gilje, 2017, s. 41).
Til grunn for arbeidet med den digitale rettleiaren ligg ein definisjon av læremiddel som
bygger på forskrift til opplæringslova. I paragraf 17.1 er læremiddel definert slik:

Med læremiddel meiner ein alle trykte, ikkje-trykte og digitale element som er utvikla
til bruk i opplæringa. Dei kan vere enkeltståande eller gå inn i ein heilskap, og dekkjer
aleine eller til saman kompetansemål i Læreplanverket for Kunnskapsløftet.

Med utgangspunkt i denne definisjonen og ein gjennomgang av relevant forsking gir dette
dokumentet eit grunnlag for meir bevisste val av læremiddel i matematikk. Vi gir først ei
oversikt over forskingsområde som kan vere relevante i arbeidet med å utvikle
kvalitetskriterium for læremiddel i matematikk, og viser deretter korleis desse
forskingsområda er relaterte til strukturen i den nettbaserte rettleiaren.
Presentasjonen av forskingsområda er delt i to.
Del 1 handlar om korleis matematisk kompetanse blir forstått i ulike internasjonale rammeverkog testar. I tillegg presenterer vi forsking som seier noko om samanhengen mellom
undervisning og læringsutbytte og kva for praksisar som fremmar djupnelæring i matematikk.
Del 2 belyser forsking som spesifikt analyserer læremiddel i matematikk, inkludert bruk av
digitale læremiddel og verktøy i matematikk.
Del 3 gir ei kort oversikt over tidlegare rammeverk for kvalitet i læremiddel og løftar deretter
fram tre kategoriar for kvalitetskriterium for læremiddel i matematikk:
1. design
2. pedagogisk og didaktisk kvalitet
3. kopling til læreplanverket

5DEL 1: KVA KJENNETEIKNAR GOD MATEMATIKKUNDERVISNING?
Del 1 gir ei oversikt over ulike sider ved matematikkfaget, kva som blir rekna som god
matematikkundervisning, og gode praksisar som fremmar djupnelæring. Som innleiing til
desse emna kan det vere nyttig å sjå nærmare på omgrepet «matematisk kompetanse», slik det
er definert i ulike teoretiske rammeverk og i nasjonale og internasjonale testar. Til slutt i del 1
gir vi ei oversikt over korleis forskinga beskriv arbeidsformer i faget, og kva forlæremiddelkultur som kjenneteiknar matematikkfaget.
MATEMATISK KOMPETANSE
Fleire forskarar har, på ulike måtar, tatt for seg matematisk kompetanse dei siste tiåra. I dette
avsnittet presenterer vi eit utval av desse bidraga.
Matematikkdidaktikar Julia Anghileri (2000) ved University of Cambridge i England beskriv
elevar med god talforståing som fleksible i arbeidet med taloppgåver. Slike elevar har evna tilå generalisere mønster og prosessar dei har lært, og knyte dette til ny kunnskap. Elevane serog forstår samanhengar mellom tal og bruker kjende kunnskapseiningar til å løyse ukjendetaloppgåver. Dei utnyttar for eksempel «tiarvenner», kjende svar frå multiplikasjonstabellenog liknande.
Dei australske forskarane McIntosh, Reys and Reys (1992) framhevar i tillegg eit emosjonelt
aspekt i sin definisjon av talforståing. Deira definisjon består av tre hovudelement:
1. generell forståing av tal og operasjonar
2. bruk av denne forståinga i matematisk resonnering og utvikling av formålstenlege

strategiar i arbeidet med tal og rekneoperasjonar
3. motivasjon til å gå inn i matematiske problemstillingar og bruke forståinga i arbeid

med talBåde Anghileri (2000) og McIntosh et al. (1992) beskriv kompetanse i arbeid med tal og
utvikling av talforståing. Matematikk er meir enn tal og talforståing. I seinare forsking hararbeid med tal blitt ein del av ei breiare forståing av matematisk kompetanse, der ein beskriv
matematisk kompetanse generelt, slik at det gjeld alle område innanfor matematikk.
Eitt av desse bidraga er ein amerikansk rapport frå starten av 2000-talet der forskarar gjekk
igjennom forsking knytt til matematikk frå barnehage til og med 8. klasse: Adding it Up:
6Helping Children Learn Mathematics (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001). Dei hadde
behov for å definere kva som kjenneteikna vellykka læring i matematikk. Tidlegare var
omgrep som for eksempel matematiske ferdigheiter og talforståing brukte. Desse omgrepa
dekte noko av det dei fann som kjenneteikna læring og matematikk. Dei innførte derfor
omgrepet «mathematical proficiency», som vi har omsett til «matematisk kompetanse».
Definisjonen av matematisk kompetanse i dette arbeidet består av fem komponentar: forståing,berekning, bruk, resonnering og engasjement.
I

DanmarkønskteUddannelsesstyrelsenisamarbeid

med

Naturvidenskabeligt

Uddannelsesråd å fornye matematikkundervisninga. Mogens Niss og kollegaene hans (2002)
beskreiv åtte kompetansar i matematikk i eit svar på dette oppdraget. Dei åtte kompetansane
var:tankegangskompetanse,

problembehandlingskompetanse,

resonnementskompetanse,

kommunikasjonskompetanse,modelleringskompetanse,

representasjonskompetanse,

symbol- og formalismekompetanse og hjelpemiddelkompetanse.
Felles for dei to sistnemnde forskingsbidraga er at dei tar mål av seg til å dekke alle sider ved
den matematiske kompetansen. Begge legg vekt på element som må ligge til grunn for atelevar skal utvikle matematisk kompetanse. Dei skil seg ikkje vesentleg frå kvarandre; det er
to

måtar

å

seie

det

representasjonskompetanse,
hjelpemiddelkompetanse,

same

på.

Forståing

berekningstrategisk

erbeskrivesomtankegangs-

og

som

symbol-,formalisme-ogkompetansesomproblemløysings-

ogmodelleringskompetanse og resonnering som resonnements- og kommunikasjonskompetanse.
Kilpatrick og kollegaer (2001) definerer engasjement som den femte komponenten. Denne
komponenten, som er knytt til motivasjon og engasjement hos eleven, finn vi ikkje irammeverket hos Niss og kollegaene hans (2002).
LK06 bygger på arbeidet til Niss and Jensen (2002) og vi finn her dei åtte kompetansane iformålet for faget matematikk. Alle åtte er ikkje direkte refererte, men omgrep som
problemløysing, modellering, resonnering, kommunikasjon og hjelpemiddel er brukte for å
beskrive matematisk kompetanse i formålet med faget. Symbol- og formalismekompetanse og
tankegangs- og representasjonskompetanse blir forklarte som det å analysere og omforme eit
problem til matematisk form, løyse det og vurdere om løysinga er gyldig. LK06 poengterer itillegg at elevane skal få erfaringar som skaper positive haldningar til faget. Å utvikle
matematisk kompetanse som individet og samfunnet treng, inneber å arbeide med allekomponentane/kompetansane i faget. Det er derfor viktig at læremidla legg til rette for å
7arbeide med alle dei seks kjerneelementa som ligg til grunn for dei nye læreplanane imatematikk. Dei seks kjerneelementa er:•

utforsking og problemløysing•

modellering og bruk•resonnering og argumentasjon•

representasjon og kommunikasjon•

abstraksjon og generalisering•

matematiske kunnskapsområde

Vi vender tilbake til dei seks kjerneelementa i del 3.
VURDERING OG MATEMATISK KOMPETANSE
Utover denne innleiande beskrivinga av matematisk kompetanse er det interessant å sjå på
korleis matematisk kompetanse blir målt i internasjonale undersøkingar, og korleis rekningsom grunnleggande ferdigheit blir målt i nasjonale prøver.
PISA-undersøkinga måler den matematiske kompetansen til elevane forstått som «individets
evne til å formulere, bruke og vurdere matematikk i mange ulike sammenhenger og gjenkjennehvilken rolle matematikk spiller i samfunnet» (Kjærnsli & Jensen, 2016, s. 13). Definisjonen
av matematisk kompetanse som blir brukt i PISA, ofte referert til som mathematical literacy,
har eit breiare spekter av kunnskapar og ferdigheiter enn det ein tradisjonelt tenker på isamband med matematikk i norsk skole (Olsen & Kjærnsli, 2013, s. 15; sjå også Organisation
for Economic Cooperation & Development, 2013).
I PISA-undersøkinga ønsker ein med andre ord å få innsikt i korleis skolen førebur elevane påå bruke den matematiske kompetansen vidare i livet (Kjærnsli & Jensen, 2016; Olsen & Kjærnsli,2013). Det blir lagt vekt på at elevane er problemløysarar, og oppgåvene tar derfor

utgangspunkt i reelle og konkrete situasjonar frå ulike kontekstar. Elevane må ta i bruk heileeller delar av problemløysingsprosessen når dei skal løyse oppgåvene. PISA vurderer med
andre ord korleis elevane evnar å løyse matematiske problem som tar utgangpunkt i konkreteog reelle situasjonar. Til saman er kompetansen til eleven delt inn i seks ulike nivå.

8Også i TIMSS-undersøkinga blir evna til å bruke kunnskapar og ferdigheiter i ulike situasjonarmålt (Bergem, Kaarstein & Nilsen, 2016; Mullis & Martin, 2014). Denne internasjonale
undersøkinga måler evna til å resonnere, argumentere, sjå samanhengar, trekke slutningar og
samanfatte. Det er utarbeidd ei beskriving av kompetansen hos elevane på fire nivå innanfor
emneområda tal, geometri og statistikk på 4. trinn, og tal, geometri, statistikk og algebra på 8.
trinn. Både PISA og TIMSS undersøker motivasjon og sjølvtillit i faget, men på litt ulikemåtar. Der TIMSS måler i kor stor grad eleven har oppnådd måla i læreplanen, måler PISA
evna til å bruke matematikk i praktiske situasjonar (Bergem, 2016).
Nasjonale prøver i rekning måler i kor stor grad ferdigheitene til elevane er i samsvar med
beskrivinga av rekning som grunnleggande ferdigheit i læreplanen til kvart fag. 5
Grunnleggande ferdigheiter i rekning inneber å kunne resonnere og bruke omgrep,
framgangsmåtar, fakta og verktøy for å løyse problem og for å beskrive, forklare og kunne sjåfor seg kva som skjer. Problemstillingane i oppgåvene på dei nasjonale prøvene er situasjonarsom elevane kan kjenne seg igjen i. Sentralt i den grunnleggande ferdigheita rekning er den
totale problemløysingsprosessen, som består av dei fire ferdigheitsområda gjenkjenne og
beskrive, bruke og bearbeide, reflektere og vurdere, og kommunisere (Utdanningsdirektoratet,2012). Prøvene er elektroniske og blir gjennomførte på 5., 8. og 9. trinn.6
Dei nasjonale prøvene og dei internasjonale undersøkingane måler berre delar av den totale
kompetansen som den nasjonale læreplanen i matematikk i Noreg uttrykker. Samtidig er det
viktig å merke seg korleis både nasjonale prøver som måler den grunnleggande ferdigheita i
rekning, PISA og TIMSS legg vekt på problemløysing. Oppgåver i problemløysing er viktige
for å utvikle ein heilskapleg matematisk kompetanse som gjer elevane gode til å resonnere,argumentere, sjå samanhengar, trekke slutningar og samanfatte. I del 3 kjem vi tilbake tilkorleis kvalitetskriterium i tilknyting til læreplanen må legge til rette for å utvikle ein slik
kompetanse.
PRAKSISAR SOM FREMMAR DJUPNELÆRING I MATEMATIKK

5Formålet med nasjonale prøver er å gi skolen kunnskap om kva ferdigheiter elevane har i lesing, rekning og engelsk.
Informasjonen frå prøvene skal danne grunnlag for undervegsvurdering og kvalitetsutvikling på alle nivå i skolesystemet.
Prøva for 9. trinn er den same som for 8. trinn. Prøva for 5. trinn tar utgangspunkt i kompetansemål etter 4. trinn, og prøva
for 8. og 9. trinn tar utgangspunkt i kompetansemål etter 7. trinn.
6 Sidan prøvene er elektroniske, måler dei i hovudsak dei tre ferdigheitsområda gjenkjenne og beskrive, bruke og bearbeide
og reflektere og vurdere, og i liten grad kommunisere, sidan høvet til å kommunisere er avgrensa.

9

I den nye overordna delen av læreplanen, Verdier og prinsipper for grunnopplæringen(Kunnskapsdepartementet, 2017), blir det lagt vekt på at skolen skal «gi rom for dybdelæring
slik at eleven utvikler forståelse av sentrale elementer og sammenhenger innenfor et fag, og
slik at de lærer å bruke faglige kunnskaper og ferdigheter i kjente og ukjente sammenhenger»(s. 11). «Dybdelæring innebærer også at elevene bruker sin evne til å analysere, løse problemer
og reflektere over egen læring til å konstruere helhetlig og varig forståelse» (Ludvigsen, 2014).
Dette gjeld i alle fag, inkludert matematikk.
Motsatsen til djupnelæring blir ofte vist til som overflatelæring. Ifølge Sawyer (2014) kan
kjenneteikn på djupnelæring og overflatelæring beskrivast slik:

Tabell 1: (NOU, 2014)

Rutinebaserte oppgåver og det å memorere algoritmiske prosedyrar som læraren har forklart,
dominerer mykje av matematikkundervisninga. I forskinga blir det peikt på atskolematematikken i for stor grad fører til overflatelæring hos elevane (Lithner, 2008). Ein
konsekvens av det er at elevane ikkje får utvikla evna til kreativ resonnering, som er
kjenneteikna ved at elevane finn løysingar på problem utan at framgangsmåten er kjend (Gilje
et al., 2016; Johansson, 2017; Skaalvik, Danielsen & Skaar, 2007). Ifølge Lithner (2008) måkjennskap til ulike framgangsmåtar vere forankra i å forstå matematiske konsept for at elevaneskal utvikle noko meir enn ei instrumentell forståing for faget.
Instrumentell forståing inneber at ein lærer eit sett med reglar og formlar som er til hjelp når
ein skal løyse ei oppgåve. Eleven veit korleis han eller ho skal løyse oppgåva. Relasjonell
forståing inneber at eleven bygger omgrepsmessige strukturar og ser samanhengar mellom

10omgrep. Eleven veit både korleis oppgåva skal løysast, og kvifor det må gjerast slik.
Beskrivinga av instrumentell og relasjonell forståing er nært knytt til det Hiebert (2013) kallarprosedyrekunnskap og omgrepsmessig kunnskap (sjå også Sfard, 1991). Prosedyrekunnskap
er forklart som kunnskap om reglar og prosedyrar for å løyse problem. Omgrepsmessig
kunnskap blir forklart som kunnskap som er rik på relasjonar, der relasjonar gjennomsyrar
individuelle bitar av fakta og informasjon og skaper eit samanhengande nett av kunnskap. Ålegge til rette for djupnelæring er nødvendig for å fremme ein heilskapleg kompetanse slik han
er beskriven i den overordna delen av læreplanen, men også nødvendig for å utvikle
kompetansen, slik vi har skrive i innleiinga til denne delen. Å fremme djupnelæring imatematikk bygger på ein lang tradisjon i faget der forholdet mellom instrumentell og
relasjonell forståing står sentralt (Skemp, 1976)
I ein diskusjon om kvalitet på læremiddel er det naturleg også å sjå på studiar som viser kva
slags læringsmiljø som gir høve til djupnelæring. The National Council of Teachers ofMathematics (NCTM) har, på grunnlag av tidlegare forsking, beskrive åtte praksisar som
støttar djupnelæring i matematikk (NCTM, 2014).
•

Leie undervisninga fram mot læringsmålet
Å formulere klare og eksplisitte læringsmål legg ramma for kva som skal skje i
klasserommet (Hiebert, Morris, Berk & Jansen, 2007). Eit mål skal beskrive kva formatematiske omgrep, idear eller metodar elevane skal forstå betre etter å ha fåttundervisning.

•

Velje oppgåver som fremmar resonnering og problemløysingLæring skjer mest effektivt i klasserom der elevane blir utfordra til å løyse oppgåver som
krev tenking og resonnering på høgt nivå (Boaler & Staples, 2008). Ei undersøking fråUmeå (Jonsson, Norqvist, Liljekvist & Lithner, 2014) viser at undervisning der elevaneskaper sin eigen kunnskap basert på kreativ matematisk resonnering, gir betre læring enn
undervisning basert på innlæring av algoritmar, såkalla algoritmisk resonnering.

•

Bruke og knyte saman matematiske representasjonarNår elevar lærer å representere og sjå samanhengar mellom matematiske idear på ulikemåtar, viser dei djupare matematisk forståing og større evne til problemløysing (Fuson,
Kalchman & Bransford, 2005).

•

Fremme meiningsfull matematisk diskusjon

11Eit klima i klasserommet som lar elevane dele idear, oppklare misforståingar, argumentereog utvikle eit matematisk språk, bidrar til djupare forståing og er kritisk for framtidig
suksess i matematikk (Carpenter, Franke & Levi, 2003).
•

Stille gode spørsmål
I eit klasserom blir det stilt mange spørsmål – alt frå gjenkalling av fakta til spørsmål dereleven skal grunngi og forklare (Chapin & O’Connor, 2007). Alle typar spørsmål er
nødvendige i eit klasserom, kvart til sitt bruk, men det er nødvendig å vere bevisst på kva
for spørsmål ein skal stille, og når.

•Utvikle fleksible strategiar
Å utvikle fleksible strategiar handlar om meir enn å memorere fakta og ein serie steg i ein
prosedyre (Baroody, 2006), og inneber at eleven er i stand til å velje mellom ulike metodarog strategiar, til å forstå og kunne forklare tilnærminga si og til å finne nøyaktige svar.

•

Støtte elevane i å anstrenge seg for å løyse matematiske problem
Å støtte elevane når dei anstrenger seg, er viktig for læringa. Ofte overtar læraren tenkinganår elevane står fast (Reinhart, 2000). Læraren må planlegge undervisninga med tanke påkvar eleven kan få problem, og kva slags hjelp som vil vere produktiv for læringa.

•

Bygge på tenkinga til elevenDet er viktig å legge til rette for å avdekke resonnementet til eleven og bygge på det. Det
handlar om å legge til rette for at eleven skal vise korleis ho eller han tenker, tolke tenkinga
til eleven og komme denne tenkinga i møte på ein konstruktiv måte (Jacobs, Lamb &Philipp, 2010).

Ei undervisning som bygger på desse prinsippa, gjer elevane i stand til å bruke denmatematiske kompetansen sin i nye situasjonar og samanhengar utanfor skolen. Dette er eitsærleg kjenneteikn ved djupnelæring, slik vi beskreiv det i innleiinga til dette avsnittet. I del 3
beskriv vi kvalitetskriterium i matematikk med særleg tanke på at læremiddel skal bygge opp
under praksisar som fremmar djupnelæring.
SAMANHENGEN MELLOM UNDERVISNINGSKVALITET OG LÆRINGSUTBYTTE
Sjølv om gode læremiddel kan bidra til å skape god undervisning, viser internasjonal forskingat læraren er særleg viktig: «Den viktigste enkeltfaktoren for elevers læringsutbytte er
kvaliteten på lærerens undervisning» (Bergem, Kaarstein, & Nilsen, 2016; Hattie, 2009;
Nilsen & Gustafsson, 2016; Nordenbo, 2008). Undervisninga er altså den viktigaste
enkeltfaktoren for læring. Forskinga viser at god undervisning er heilt avgjerande for eit godt

12læringsutbytte for eleven. Utfordringa er å identifisere dei faktorane ved undervisninga som
gir høg kvalitet. På dette området har det vore fleire inndelingar. Éi tilnærming delerundervisningskvalitet inn i fire dimensjonar, nemleg god klasseromsleiing, støttande lærar,tydelige intensjonar og faglege/kognitive utfordringar (Baumert et al., 2010; Bergem et al.,2016; Klette, 2013). I TIMSS blir denne tilnærminga brukt for å analysere samanhengen
mellom undervisningskvalitet og læringsutbytte.7
På bakgrunn av forskingsdesignen i TIMSS 2015 er det mogleg å sjå på relasjonen mellom
matematikkundervisning og læringsutbytte på klassenivå. Elevprestasjonane i TIMSSundersøkinga blir forstått som fagleg læringsutbytte, og undervisningskvaliteten blir rapportert
av elevane i spørjeskjemaet som følger med undersøkinga. På den måten kan ein berekne«sammenhengen mellom lærerens undervisningskvalitet og elevenes læringsutbytte» (Bergem
et al., 2016, s.123). Analysane viser at elevar som gjer det godt på prøva, rapporterer om betre
undervisningskvalitet både på 5. trinn og til dels på 9. trinn, samanlikna med elevar som ikkje
gjer det så godt (Bergem et al., 2016, s. 130). Sjølv om TIMSS viser ein samanheng mellom
det som blir beskrive som god matematikkundervisning, og læringsutbytte på klassenivå, seier
undersøkingane mindre om kva rolle læremiddel speler i undervisninga.
I tidlegare TIMSS-undersøkingar var det lagt inn enkelte spørsmål om bruken av lærebøker iundervisninga. I 2003 svarte 87 prosent av elevane på 4. trinn og 92 prosent av elevane på
8. trinn at den papirbaserte læreboka var hovudgrunnlaget for undervisninga. I 2007 svarte
88 prosent av lærarane på 4. trinn at læreboka var hovudgrunnlaget for undervisninga. Seinare
blei matematikklærarar spurde i prosjektet ARK&APP om kva slags læremiddel dei brukte iundervisninga. Her svarte 85 prosent av lærarane på 5.–7. trinn og i ungdomsskolen at dei
hovudsakleg brukte papirbaserte læremiddel. Det tilsvarande talet for matematikklærarar ividaregåande skole var 74 prosent (Gilje et al., 2016).
Analysane i TIMSS kan derfor primært seie noko om læringsutbytte relatert til korleis elevane
oppfattar undervisninga totalt. Samtidig viser ulike undersøkingar dei siste 15 åra at det berre
er papirbaserte lærebøker som er brukte i denne undervisninga. Men svara her kan ikkje

7 Læringsutbyttet blir målt ved hjelp av ein fagleg test, og spørsmål om undervisningskvaliteten er inkludert i eit

spørjeskjema til elevane.

13

koplast direkte til kor stort læringsutbytte elevane har av undervisninga, og kva funksjonlæremidla har i undervisninga.
KVA KJENNETEIKNAR ARBEIDSFORMER OG LÆREMIDDEL I MATEMATIKK?
Både variasjonen i arbeidsformer og bruken av læremiddel i matematikk skil seg noko frå
tilsvarande i andre fag. Det viser både nasjonale forskingsprosjekt (Gilje et al., 2016; Hodgson,
Rønning & Tomlinson, 2012; Klette, 2003) og internasjonale studiar (Andrews, 2001; Pepin& Haggarty, 2011). I hovudsak er det større grad av individuelt arbeid i matematikk enn i
andre fag, og læraren bruker meir tid på såkalla monologisk klasseromsundervisning, som kan
innebere at læraren modellerer framgangsmåtar på (interaktiv) tavle eller gjer utrekningar
framfor elevane.
Trass i at elevane bruker fleire digitale læremiddel og verktøy i matematikk, kan det sjå ut som
om arbeidsformene ikkje har endra seg i særleg grad (Gilje, 2017, s. 82–85). Datamateriale frå
før Kunnskapsløftet, frå prosjektet PISA+ (med datainnsamling i 2004/2005), viser atmatematikkundervisninga er kjenneteikna av eit relativt einsidig repertoar – enten
heilklasseundervisning og gjennomgang på tavla eller arbeid med matematikkoppgåver
individuelt (Klette et al., 2008). Eit forskingsprosjekt som blei gjennomført ti år etter (2013–2016) viser at matematikkfaget i dei fleste klasserom i hovudsak er prega av to arbeidsformer:
heilklasseundervisning og individuelt arbeid (eventuelt med læringspartnar) (Gilje et al., 2016,s. 69).8Både internasjonale og nasjonale studiar viser at lærebøker i matematikk har vore den mest
sentrale koplinga mellom pedagogiske praksisar (arbeidsformer) og læreplanverket (Pepin,
Gueudet & Trouche, 2013; Pepin & Haggarty, 2001)9. Ein norsk detaljert studie av læreboka
i bruk fann at ho i hovudsak blei brukt til å løyse oppgåver (Karlsen & Maagerø, 2010).108

Når ein samanliknar grunnskole og vidaregåande skole, er det faget matematikk som viser dei minste forskjellane i bruken
av læremiddel. Sjølv om lærarane seier at dei bruker digitale læremiddel, framstår matematikk som eit papirbasertlæremiddelfag med mindre innslag av digitale læremiddel og ressursar for læring enn dei andre faga. Matematikkfaget skil
seg altså noko ut fordi bruken av heilklasseundervisning utan dialog og individuelt arbeid med oppgåver er meir utbreidd
enn i andre fag.
9
I denne forskinga skil ein ofte mellom seks ulike tilnærmingar: 1) om det er brukt lærebøker eller ikkje for undervisning oglæring, 2) autoriteten til læreboka, 3) kven som bruker læreboka (elev/lærar), og kven som tar avgjerda om kven som skal
bruke henne, 4) korleis læreboka blir brukt, kven som bestemmer korleis ho skal brukast, og kva læraren synest er verdifullt
med læreboka, 5) læraren som mediator av teksten og 6) korleis den nasjonale tradisjonen påverkar kva som skjer iklasserommet.
10 Dei konkluderer med at læreboka består av mange modalitetar: tal, matematiske symbol, bokstavar, verbalspråk,matematiske figurar, fotografi og illustrasjonar. Merksemda må rettast mot detaljar i teksten, både på mikronivå og på

14

Nyare studiar viser at lærebøker på papir har ein stor plass, sjølv om bruken av digitalelæremiddel aukar (Gilje et al., 2016; Hatlevik, Egeberg, Guðmundsdóttir, Loftsgarden & Loi,
2013). Vi vender tilbake til digitale læremiddel og verktøy i slutten av del 2 i dette dokumentet.

teksten totalt, som er makronivået. Tal, matematiske symbol, bokstavar som nemningar og verbalspråk krev merksemd på
mikronivå, mens dei ulike modalitetane på makronivå skal bindast saman til ein heilskap.

15

DEL 2: KVA KJENNETEIKNAR EIT GODT LÆREMIDDEL I MATEMATIKK?
Læremiddelforskarar i Norden har inntil ganske nyleg vore svært lite opptatt av lærebøker (ogandre læremiddel) i matematikk (Grevholm, 2017). I denne gjennomgangen må vi derfor sjåpå internasjonale studiar og supplere med dei få studiane som er gjorde i Noreg og Norden.
Innanfor den internasjonale forskinga skil Fan, Zhu & Miao, 2013 mellom fem perspektiv pålæremiddel:
1. matematisk innhald og matematiske emne
2. kognitive krav og pedagogikk
3. kjønn, etnisitet, økonomi, kultur og verdiar
4. internasjonale samanlikningar av lærebøker
5. konseptualisering og metodiske forhold
Forsking på tema og didaktiske val i sjølve læremiddelet har fått større merksemd
internasjonalt dei siste tre tiåra, og det finst ei rekke ulike perspektiv i studiar av lærebøkene
som er i bruk i skolen. Pepin and Haggarty (2001) presenterer ei oversikt over korleislærebøker er analyserte relatert til innhald og struktur, basert på ein gjennomgang av relevant
litteratur. Dei klassifiserer analysar av lærebøker i fire hovudområde: matematisk hensikt,
pedagogisk hensikt, sosial kontekst og kulturell tradisjon.
Forsking på det matematiske og pedagogiske formålet med læremiddel analyserer kva syn påmatematikk læremiddelet formidlar, og korleis ein best legg til rette for læring. Analyse av
den sosiale konteksten gir innblikk i undervisningstradisjonar, stereotypiar og forventningar,
og analysar av kulturelle tradisjonar får fram nasjonale verdiar og viser at forskjellar mellomlæremiddel i matematikk har rot i kulturelle tradisjonar (Mellin-Olsen, 1987).
Dei ulike inndelingane i læremiddelforskinga viser at «linsa» forskarane ser gjennom, har
betydning for korleis dei forstår læremiddelet. Læremiddel i matematikk skil seg frå andrelæremiddel ved at dei har mindre tekst; dei fleste har primært oppgåver som elevane skalarbeide med. Samtidig har dei felles med læremiddel i andre fag at dei blir sett på somvesentlege når det gjeld å gjere om kompetansemåla i læreplanen til praksis i undervisninga.
Dei er med andre ord bindeleddet mellom læreplan og praksis. I forskinga blir læremiddel pådette området forstått som ein «mediator» mellom den nasjonale læreplanen og det som skjer
i klasserommet (Pepin & Haggarty, 2001). Vi kjem tilbake til det i del 3 og gjennomgangen av

16

koplinga til læreplanverket. I denne delen skal vi særleg sjå på forsking på matematiske emneog innhald, i tillegg til pedagogiske og didaktiske val.
FRAMSTILLING AV MATEMATISKE EMNE OG INNHALD I LÆREMIDDEL
Korleis formidlar læremidla sentrale matematiske tema? Det er hovudproblemstilliga i ei
rekke internasjonale studiar av lærebøker som ser på korleis spesifikke matematiske emne erbehandla i lærebøkene (Fan et al., 2013). Fleire av desse studiane viser at det er nyttig først åfå ei oversikt over korleis matematiske tema er strukturerte, og deretter analysere enkelte temameir detaljert. I studiane er det brukt ulike teoretiske rammeverk for å belyse tilnærminga til
emna. Under viser vi dette med tre ulike tilnærmingar.
Først presenterer vi ein studie frå Australia som utvikla kriterium for å analysere lærebøker
innan forholdsrekning og proporsjonal tenking, eit emne som oftast blir oppfatta som
vanskeleg for elevane (Dole & Shield, 2008). Forskarane utarbeidde kriterium på bakgrunn av
litteratur om det matematiske emnet og prinsipp for undervisning. Fire mål for at innhaldet ilærebøkene skulle gi forventa læringsutbytte, danna utgangspunktet for analysen av det
matematiske emnet slik det blei presentert i læremidla. Dei fire måla var:
1.
2.
3.
4.

Fagstoffet er kontekstualisert.
Felles multiplikative strukturar og proporsjonal tenking er framheva.
Det er variasjon i representasjonar.
Relaterte omgrep og idear er eksplisitt sette i samanheng.

I det første nivået av analysen laga dei eit samandrag av omfanget, rekkefølga og
presentasjonen av innhaldet i lærebøkene. Deretter rangerte dei innhaldet som enten sterkt,
middels eller svakt knytt til dei fire måla. Dette er eit eksempel på korleis ein gjennom ein
todelt analyse kan utvikle vurderingskriterium innanfor eit bestemt matematisk emne gjennomnivådelte rangeringar.
Eksempel nummer to er ein studie der forskarane samanlikna lærebøker frå Kina, Japan og
USA (Li, Chen & An, 2009). Dei undersøkte korleis dei utvalde lærebøkene la til rette forundervisning og læring av divisjon med brøk. Dei beskriv analyse av lærebøker på to nivå –makro- og mikronivå. På makronivå dannar ein seg eit oversiktsbilde av korleis innhaldet er
strukturert. Analyse på mikronivå gjer det mogleg å undersøke den matematiske tilnærminga.
Forskarane utvikla eit teoretisk rammeverk for analyse der dei på makronivå undersøkte på17

kva klassetrinn lærebøker (frå same utgivar) inneheldt divisjon med brøk, og i kor stor
utstrekning emnet blei behandla. Ein slik analyse viser kva tankar læremiddelforfattarane harom når det aktuelle matematiske emnet kan utviklast og styrkast. På mikronivå analyserte
forskarane korleis dei matematiske omgrepa blei presenterte, og korleis læreboka la til rette
for læring og undervisning i det matematiske innhaldet. Slike studiar berører med andre ord
spørsmål om progresjon og didaktisk tilnærming i spesifikke emne.
Den tredje studien er ein samanlikningsstudie av korleis addisjon og subtraksjon med brøkblei presentert i lærebøker frå Kypros, Irland og Taiwan (Charalambous, Delaney, Hsu &Mesa, 2010b). Med bakgrunn i ein litteraturgjennomgang av tidlegare samanlikningsstudiar
utvikla dei tre hovudtilnærmingar og kategoriserte dei som horisontal, vertikal og kontekstuell
analyse. I den horisontale analysen såg dei på læreboka som heilskap og fokuserte på generelle
karakteristikkar som talet på sider, layout, kva for matematiske emne som var representerte,og organiseringa av dei. Denne analytiske tilnærminga legg vekt på korleis fagstoffet er
organisert. Den vertikale analysen går i djupna på eit enkelt matematisk emne og legg vekt på
1. kommunikasjon med elevane – korleis læreboka formidlar matematikk
2. krav til elevane
3. samanhengar mellom ulike emne i læreboka, aktivitetar i klasserommet og livet utanfor
klasserommet
Sidan dei berre studerte lærebøkene, gjekk dei ikkje vidare i den kontekstuelle analysen, somdreier seg om korleis læreboka blir brukt av lærarar eller elevar.
Desse tre eksempla har det til felles at dei analyserer læreboka på to ulike nivå – først på eit
overordna nivå og deretter på eit meir detaljert nivå. Ved detaljerte analysar (vertikaletilnærmingar eller analysar på mikronivå) er det mogleg å seie noko om korleis læremiddelet
kan utvikle den matematiske kompetansen til eleven.
KOGNITIVE KRAV, PEDAGOGIKK OG DIDAKTISKE VAL
Problemløysingsoppgåver og problemløysing er det emnet som dei fleste av dei ikkjematematikkspesifikkelæremiddelstudiane

undersøker

(Fan

et

al.,

2013).

Ikkje-

matematikkspesifikke studiar ser på generelle prinsipp for undervisning og studerer ikkje
enkeltområde, slik som i studiane ovanfor.

18

Som vist i del 1 er problemløysing ein del av den matematiske kompetansen, og
problemløysing er knytt til heuristisk tenking (Schoenfeld, 1985), som legg opp til å tenke
matematisk og ikkje minst gi elevane hjelp i slik tenking. Ei slik heuristisk tilnærming er
avgjerande for å lykkast med å løyse eit problem og i matematisk problemløysing. I Singapore,for eksempel, har slik problemløysing vore implementert i læreplanen sidan 1990. Vidare veit
vi at landa som scorar godt i TIMMS, legg vekt på heuristikk og matematisk problemløysing(Fan & Zhu, 2007).
Ein norsk studie av Kongelf (2017b) ser nærmare på seks ulike lærebøker for 9. trinn med
tanke på korleis dei behandlar ei heuristisk tilnærming.11 Kongelf peiker på at LK06 ikkje
nemner heuristiske tilnærmingar eller problemløysingsstrategiar. Funn frå studien hans viser
at mange av eksempla er løyste ved hjelp av éi eller fleire heuristiske tilnærmingar utan attilnærminga i seg sjølv er omtalt i læremiddelet. Ifølge studien viser norske lærebøker i liten
grad korleis eller når dei ulike heuristiske tilnærmingane kan brukast. Dette gjer det
utfordrande for mange lærarar å undervise i problemløysing (Kongelf, 2017a, 2017b).
Å analysere lærebøker for å finne svar på korleis dei kan bidra til læring hos ulike grupper
elevar, er eit anna eksempel på eit ikkje-matematikkspesifikt perspektiv i forskinga pålæremiddel. Brändström (2005) ser i studien sin på korleis lærebøker og oppgåvene i dei legg
til rette for differensiering, med vekt på korleis oppgåvene passar til nivået eleven er på når
det gjeld kunnskap, forståing og ferdigheiter. I studien ser ho på korleis ei lærebok erorganisert med tanke på differensiering. Eit eksempel er at eit kapittel først har ein felles delfor alle elevane og deretter ei prøve som indikerer kva oppgåver dei skal arbeide med vidare.
Analysen av oppgåvene i læreboka viste at dei fleste oppgåvene differensierte ved hjelp av
fleire rekneoperasjoner heller enn fleire kognitive prosessar og høgare kognitive krav. Spesieltoppgåver med låg vanskegrad la opp til å hugse og memorere. Sjølv oppgåver med høg
vanskegrad la i liten grad til rette for å sjå samanhengar mellom ulike emne og resonnering.
Oppgåvene var ikkje tilpassa verken dei elevane som valde enkle oppgåver, eller dei som valde
vanskelegare oppgåver.
Denne tilnærminga til læremiddel er viktig for ikkje å fokusere einsidig på det matematiske
innhaldet, men også sjå på korleis fleire kognitive prosessar og høgare kognitive krav kan
11
I analysen ser Kongelf (2017) på alle eksempla i dei seks lærebøkene med tanke på ni heuristisketilnærmingar: 1) sjå etter mønster, 2) lage ein systematisk tabell, 3) visualisere, 4) gjett og sjekk, 5) løyse delar
av problemet, 6) jobbe baklengs, 7) tenke på liknande problem, 8) forenkle problemet og 9) skifte synsvinkel.

19påverke læringa hos ulike elevar. Ei slik tilnærming seier noko om at kvaliteten pålæremiddelet kan opplevast ulikt for ulike elevar.
Med læremiddel, særleg lærebøker som blir brukte over fleire år, følger det oftast eilærarrettleiing. Dei fleste lærarrettleiingar inneheld forslag og gir støtte til læraren iplanlegginga og gjennomføringa av undervisninga (Remillard, Harris & Agodini, 2014). Ein
del lærarrettleiingar gir i tillegg støtte i form av å formidle til læraren kva ein kanskje kan
forvente av tankar hos elevane. Dette inkluderer også eventuelle misoppfatningar, viktige
matematiske idear og i tillegg målet med designen (Ball & Cohen, 1996; Davis & Krajcik,
2005; Stein & Kim, 2009). Slike lærarrettleiingar har til hensikt å gi råd og tips til lærarar om
bruk av spesifikke læremiddel i undervisninga (Davis & Krajcik, 2005). I ein analyse av to
norske lærarrettleiingar fann Svingen (2014) at begge hadde forslag til kva læraren kunne
gjere, men i liten grad forklarte kvifor. Slike lærarrettleiingar inviterer ikkje lærarane inn i den
didaktiske tenkinga som ligg bak læremiddelet.
DIGITALE LÆREMIDDEL OG VERKTØY I MATEMATIKKUNDERVISNINGA
Digitaliseringa av læremiddel skaper nye moglegheiter for undervisninga. I andre fag, ogsærleg i vidaregåande skole, er digitale læremiddel i bruk i betydeleg større grad enn imatematikk. Likevel har digitale verktøy i matematikk ein naturleg plass både på
ungdomsskolen og i vidaregåande skole, ikkje minst fordi fleire kompetansemål eksplisitt legg
vekt på at elevane skal løyse oppgåver med digitale verktøy. Desse verktøya har òg vore
obligatoriske på eksamen sidan 2015. Ei nyare svensk oversikt over «digitale lärresurser» imatematikkundervisninga opererer med fem ulike kategoriar12 av slike ressursar i det som
svarer til norsk grunnopplæring:13
Uppgifter: lärresurser som levererar matematikuppgifter tillsammans med
vägledning eller individanpassning. Uppgifterna och vägledningen regleras i
12

I Drijvers’ historiske gjennomgang av digitale verktøy (2015), som inngår i forskingsgjennomgangen, er det
brukt tre kategoriar: For det første kan digitale verktøy utføre matematiske berekningar som også kan gjerast
for hand. I dette perspektivet blir det lagt vekt på at sjølve utrekninga kan gjerast raskare og med større tal. For
det andre gir digitale verktøy elevar høve til å øve opp ferdigheiter dersom læringsmiljøet er godt. For det
tredje viser enkelte studiar korleis elevar utviklar forståing av omgrep i læringsmiljø med digitale verktøy.
13
Forskingsgjennomgangen skulle gi svar på kva effekt undervisning med «digitala lärresurser» har på
kunnskapar i matematikk, og korleis ein slik eventuell effekt kan forklarast. Den overordna konklusjonen basert
på ein gjennomgang av 75 studiar viser at digitale læremiddel og verktøy er nyttige om dei blir brukte i «övrigt
rik undervisningsmiljö», men: «det går inte att dra slutsatsen att en lika effektiv undervisning inte skulle kunna
utformas på andra sätt, uten digitala lärresurser» (ref., s. XIII)

20många fall utifrån hur användaren presterar.

Objekt: lärresurser med vilka matematik och matematiska objekt, till exempel
geometriska former, kan representeras, genom att utnyttja det digitala mediet.

Spel: lärresurser som utnyttjar spelmekanismer för att förmedla ett ämnesinnehåll,såsom uppdrag, utmaningar, belöningar och tävlingsmoment. Spel karaktäriseras
ofta av lekfullt utforskande inom ramen för en berättelse.

Verktyg: lärresurser som har tagits fram i ett annat syfte än för att bedriva
undervisning, men som kan användas i matematikundervisningssammanhang,till exempel ett kalkyl- eller grafritande program.

Kurspaket: lärresurser av ett mer omfattande slag som kan innehålla flera
funktioner och beröra många matematikområden. Ofta är kurspaketen tänkta att
användas som ett komplement under en längre tid, till exempel under en helårskurs. I vissa fall handlar det om undervisningspaket som består av olika
kombinationer av digitala lärresurser och tryckt material samt lektionsupplägg,
lärarhandlingar och kompetensutveckling för lärarna.14

Basert på dei fem kategoriane som er identifiserte i den svenske studien, kan vi skilje mellom
digitale læremiddel og digitale verktøy. Læremiddel har oppgåver (uppgifter), og enkelte
gonger inkluderer dei ulike former for belønning (spel). Digitale verktøy gjer det mogleg å
representere, manipulere og gjere berekningar på matematiske objekt, som for eksempel Excelog GeoGebra. Dersom vi ser bort frå læreverket (kurspaket) under eitt, står vi igjen med totypar:
1. digitale læremiddel med oppgåver, ofte laga for å øve ferdigheiter

14
Digitale kurspakker er fullstendige læreverk der alle elementa er digitale. Dei har blitt studerte i relativt store
elevgrupper over f.eks. eit heilt år. Funna i desse studiane skil seg negativt ut, men forskarane peiker på at dei
ikkje veit i kva utstrekning dei digitale kurspakkene er blitt brukte på ein god måte og etter intensjonane.

21

2. digitale verktøy som kan brukast både til utrekningar og til å teikne og modellere objekt
Det er tre interessante funn i denne store gjennomgangen av internasjonal forsking. Berre to
studiar er frå Norden. For det første viser ei rekke studiar at effektane på kunnskapsutviklinga
er størst når elevane arbeider med eit heilt avgrensa tema eller innhald. Dei peiker på at
grunnen til at slike læremiddel skil seg positivt ut, er at dei kan vere lettare å konstruere og
enklare å ta i bruk for både lærarar og elevar. Særleg synest slike læremiddel å vere viktige iarbeidet med såkalla terskelomgrep, omgrep som elevane må forstå for å kunne utvikle seg
vidare innanfor eit område. For det andre viser studiane at når elevane arbeider med digitalelæremiddel, frigjer det tid for læraren, og dersom læremidla tilbyr individuell tilpassing,
adaptiv læring, kan det skape særleg gode føresetnader for kunnskapsutvikling (Skolverket,
2017, s. XIV). For det tredje viser studiane at individuelt tilpassa læremiddel er mest vanleg å
bruke fram til og med 5.–7. trinn. Deretter blir dei digitale læremidla meir komplekse og krev
at lærarane i større grad må få høve til å sette seg inn i korleis læremidla og verktøya bør
brukast. Studiar frå høgare trinn viser at det er avgjerande at læraren er bevisst på dette. I
tillegg er måten læraren arbeider saman med elevane på, avgjerande for læringsutbyttet.
I Noreg gjer digitaliseringa i matematikkfaget seg mest gjeldande gjennom auka bruk av
digitale læremiddel som tilhøyrer større læreverk i grunnskolen, eller digitale verktøy som
Excel og GeoGebra, som særleg blir brukte på dei øvste årstrinna. Dei digitale læremidla
inneheld oppgåver og har ofte ein design som speglar det læreverket dei er ein del av. Slikelæremiddel tilsvarer kategorien uppgifter i den svenske forskingsoversikta vi viste i innleiinga
til dette avsnittet.
Digitale verktøy viser til objekt og verktyg i den svenske oversikta. Eit program som foreksempel GeoGebra gjer det mogleg for elevar å forstå variablar og funksjonar, idet dei vekslar
mellom bruk av algebrafeltet, grafikkfeltet og CAS-feltet. 15 Samtidig blir dette digitale
verktøyet utvikla med stadig meir innhald, slik at det også får element av å vere eit digitaltlæremiddel. 16 Denne utviklinga viser at det kan vere problematisk å kategorisere digitale15

CAS står for Computer Algebra System. Bruk av CAS er obligatorisk til eksamen i matematikk T, R og S ividaregåande opplæring, og bruken skal dokumenterast med utskrift eller skjermdump. Kjelde:
http://www.matematikksenteret.no/content/4604/CAS og https://www.udir.no/eksamen-ogprover/eksamen/eksamensordning-skriftlig-eksamen-i-matematikk/
16
Her er eit eksempel på ei slik utvikling, der det blir gitt ei oppgåve inne i GeoGebra-programmet før elevenblir bedt om å skrive funksjonsuttrykket inn i sjølve verktøyet https://www.geogebra.org/m/D7ZRFh3x

22læremiddel og verktøy i matematikk på same måte som ein kan med analoge læremiddel og
verktøy i faget.
Forsking frå review-studiar som også er med i forskingsgjennomgangen ovanfor (Drijvers,
2015; Trouche & Drijvers, 2014), viser at læraren må ha god kjennskap til det digitale
verktøyet, og at organisering av undervisning med bruk av digitale læremiddel og digitale
verktøy må gjerast på ein måte som gir eit godt læringsutbytte. Det er altså krevjande å
gjennomføre slik undervisning, og lærarane må ha kompetanse i bruk av det digitale verktøyet.
Det er verdt å legge merke til at denne forskingsgjennomgangen viser at digitale verktøy oglæremiddel har størst effekt dersom dei blir brukte på avgrensa tema eller på tema som elevar
har problem med. I dei første åra på grunnskolen bruker elevane dei sjølvstendig og
individuelt, og ofte for å trene ferdigheiter. På dei øvre trinna er bruken av digitale verktøy
meir omfattande og ofte meir krevjande for både læraren og eleven. Studiane viser at det er
viktig at det digitale hjelpemiddelet er designa riktig, og at det må brukast på riktig måte.
Læraren må legge til rette undervisninga slik at dei ulike verktøya passar til dei oppgåvene
som blir gitt. Sjølv om det digitale verktøyet både er godt designa, tilrettelagt og tilpassaoppgåvene, viser forskinga at det ikkje bidrar til betre læring dersom læraren ikkje har ei
bevisst, grunnleggande forståing av dei læringsteoretiske perspektiva og didaktiske ideane baklæringsaktivitetane. Pedagogikk og didaktikk er med andre ord overordna både designen på
teknologien og moglegheitene det gir: «… the main guidelines should come from pedagogicaland didactical considerations rather than being guided by the technology’s limitations orproperties» (Drijvers, 2015, s. 147).
OPPSUMMERING AV DEL 1 OG DEL 2
Del 1 og del 2 i denne forskingsgjennomgangen skaper eit grunnlag for kvalitetskriterium forlæremiddel i matematikk. Del 1 la særleg vekt på rammeverk som belyste matematisk
kompetanse og samanhengen mellom undervisning, læremiddel og læringsutbytte. Del 2 lavekt på den forskinga som analyserer sjølve læremiddelet. I begge delane er det problematisert
korleis ein alltid må sjå læremiddel i relasjon til kontekst, kultur, lærar, elev og ikkje minst
kulturen til faget. Eit didaktisk tetraeder kan brukast til å visualisere desse relasjonane.
Rezat and Sträßer (2012) gjekk ut frå at matematikkundervisning inneber bruk av ulikelæremiddel eller læringsressursar. Dei såg derfor behovet for å utvide den didaktiske trekanten

23lærar–elev–matematikk til også å omfatte all bruk av læremiddel/læringsressursar (Figur y).
Dette har dei gjort ved å plassere læremiddelet på toppen av tetraederet ved å sjå på det som
ein artefakt. Visualiseringa synleggjer korleis læremiddelet alltid står i relasjon til læraren,eleven og faget sjølv.

Figur y: Det didaktiske tetraederet
Forståinga av kvalitetskriterium i læremiddel er også forankra i ein breiare sosial og kulturell
kontekst som har sine eigne sett av normer. Desse kontekstuelle forholda er visualiserte i ei
vidareutvikling av modellen (Rezat & Sträßer, 2017), som viser heile kompleksiteten i bruken
av læremiddel/læringsressursar.

Figur z1 Utvida didaktisk tetraeder
Det utvida didaktiske tetraederet belyser kompleksiteten i det å utvikle kvalitetskriterium forlæremiddel. Bruken av læremiddel må alltid sjåast i relasjon til både elevane, læraren og faget
sjølv. Å ha det som utgangspunkt er viktig når ein som lærar eller lærarkollegium skal vurderelæremiddel. I bruken av modellen har Rezat and Sträßer (2013) sett på nordiske studiar. Dei
finn at majoriteten ser på samanhengen mellom lærebok og matematikk og i mindre grad pårelasjonen mellom lærar og læremiddel eller mellom elev og læremiddel. (Bjarnadóttir, 2007;24

Bremler, 2003; Brändström, 2005; Jakobsson-Åhl, 2006; Keranto & Sarenius, 2009; Kongelf,2017b). Som vi peikte på i innleiinga, er den nyutvikla digitale rettleiaren skapt for å auke
bevisstheita om relasjonen mellom lærar og læremiddel. Rettleiaren er derfor ikkje laga for å
finne eit «fasitsvar» når det gjeld kvaliteten på eit læremiddel uavhengig av relasjonanelæremiddelet skal brukast i.

25

DEL 3: KVALITETSKRITERIUM FOR LÆREMIDDEL I MATEMATIKK – EIT
GRUNNLAG FOR DEN DIGITALE RETTLEIAREN

Dette arbeidet med å lage kvalitetskriterium for læremiddel er ikkje unikt i internasjonalsamanheng. Dei siste ti åra har det ved fleire anledningar vore gjennomført eit omfattandearbeid med å lage kvalitetskriterium for val av læremiddel. I USA blei det lansert ein rapport
som problematiserer studiar av papirbaserte læremiddel (textbooks). 17 I Hong Kong har
myndigheitene utvikla rettleiande prinsipp som læraren kan følge i valet av lærebøker.
Prinsippa er utvikla for både papirbaserte og digitale læremiddel og lærebøker. Basert på gitte
kriterium kan lærarar søke opp dei læremidla som er tilgjengelege i ulike fag. 18 I desse
oversiktene ligg det ei statleg vurdering, og tilnærminga skil seg frå den digitale rettleiaren
som er utvikla i dette oppdraget.

I England er det også utvikla rammeverk for kvalitetskriterium i læremiddel. Her er kriteria
sette inn i ein fagleg samanheng på ein måte som liknar det som er gjort for matematikkfaget
i dette grunnlagsdokumentet.19 Enkelte økonomiske rapportar legg vekt på korleis læremiddel,både trykte og digitale, bidrar til at lærarar kan spare tid og undervisninga betre kan tilpassast
den enkelte eleven.20 Vi avgrensar oss til å sjå nærmare på rammeverk for kvalitetskriterium i
Noreg, Sverige og Danmark. Danmark har hatt eit eige nasjonalt senter for læremiddelforsking
i ti år (2007–2017).

I Noreg har Senter for IKT i utdanninga laga rettleiaren Hensiktsmessig bruk av IKT i
klasserommet (2015). 21 Rettleiaren fokuserer ikkje på læremiddel generelt, men tar opp
problemstillingar knytte til klasseleiing og læringsmiljø i klasserom der kvar elev har sin eigen
skjerm. Der heiter det at «en ressurs kan ha god pedagogisk kvalitet i en sammenheng, men
ikke nødvendigvis i en annen», og det blir vist til dokumentet Kvalitetskriterier for digitale

17
18

19
20

https://standardswork.org/wp-content/uploads/2017/03/sw-curriculum-research-report-fnl.pdf
https://cd.edb.gov.hk/rtl/search.asp

http://www.cambridgeassessment.org.uk/images/cambridge-approach-to-textbooks.pdf

http://www.frontier-economics.com/documents/2018/03/publishing-contribution-school-education.pdf

21

Frå 1. januar 2018 er Senter for IKT i utdanninga slått saman med Utdanningsdirektoratet. Det nye namnet er
Direktoratet for barnehage, skole og IKT. Rettleiaren til det tidlegare IKT-senteret finn du her:
https://iktsenteret.no/sites/iktsenteret.no/files/attachments/veileder_hensiktsmessig_bruk_bm_lav.pdf

26læringsressurser (IKT-senteret, 2010). Dette dokumentet blei utvikla i 2009/2010, og er
orientert mot tekniske kriterium for utviklarar og innkjøparar, i tillegg til at det skal vere til
hjelp for lærarar når dei skal vurdere korleis ulike digitale læringsressursar eignar seg ipedagogiske samanhengar. Dei pedagogiske vurderingskriteria i rettleiaren til det tidlegare
IKT-senteret blei organisert i tre kategoriar:
1. brukarorientering
2. eigenarten ved den digitale ressursen
3. den faglege og pedagogiske orienteringa
Den faglege bakgrunnen for utarbeidinga av desse prinsippa fann IKT-senteret i BECTAs
dokument Quality principles for digital learning resources (2007).22
Kvar av dei tre nemnde kategoriane har eit sett med grunnleggande og utdjupande spørsmål.
Særleg med tanke på digitale læremiddel i matematikk vil mange av desse spørsmåla vere
gyldige, derfor bygger vi vidare på denne tilnærminga i utforminga av spørsmål til den digitale
rettleiaren som er presentert på nettsidene til Udir. Vi kjem tilbake til spørsmåla om
brukarvennlegheit og universell utforming i punkta under.
I Sverige har ei interesseforeining for utviklarar av læremiddel (Svenska Läromedel) våren
2018 utvikla og publisert Läromedelskollen. 23 Intensjonen er å auke bevisstheita om bådelæremidla og omgrepsbruken i diskusjonar om læremiddel. Arbeidet på skolane er tenkt å tautgangspunkt i sju spørsmål, som mellom anna belyser innhald, struktur, formgiving og
fleksibilitet. Enkelte av spørsmåla som er utvikla i Läromedelskollen, liknar på spørsmåla iden digitale rettleiaren, men strukturen er annleis, og dokumentet er statisk. Det er tenkt som
eit ark (PDF) til utskrift eller som ei nettside med spørsmål til lærarane. Målet med den svenske«rettleiaren» er omtrent det same som med den norske rettleiaren – at arbeidet med val avlæremiddel skal auke bevisstheita hos lærarane og bli ein del av det systematiske
kvalitetsarbeidet ved skolen.
I Danmark blei det i 2009 gjennomført ei undersøking, Digitale læringsressourcer ifolkeskolen og de gymnasiale ungdomsuddannelser (Drotner, Duus & Dahler, 2009). Denne
22

BECTA står for British Educatoinal Communications and Technology Agency i UK, og blei finansiert av
Department for Education (tilsvarande Utdanningsdirektoratet). Senteret blei etablert i 1998 og lagt ned i
2011, da det ikkje lenger fekk statleg finansiering. http://laeremiddel.dk/wpcontent/uploads/2012/07/Quality_principles.pdf (lese 22.03.2018)23
http://svenskalaromedel.se/fakta/laromedelskollen/27undersøkinga og andre rapportar la grunnlaget for fleire ulike publikasjonar som diskuterer
kvalitet i digitale læremiddel. Ei teoretisk tilnærming i dette arbeidet finn vi i dokumentet
Kvaliteter ved digitale læremidler og ved pædagogiske praksisser med digitale læremidler24.
Dokumentet er eit forskingsbasert bidrag der det blir utvikla åtte parametrar til bruk ved
evaluering av digitale didaktiske læremiddel (sjå figur 3.2).
Danskane legg særleg vekt på tre parametrar:
1. legitimitet
2. faglegheit og innhaldskvalitet
3. aktivitetar og rom
Det blir påpeikt at dersom læremiddelet ikkje kan vurderast positivt etter desse tre kriteria, er
det liten grunn til å arbeide vidare med det. Med andre ord er relasjonen til læreplanen(legitimitet), fagleg kvalitet og potensial for organisering kriterium som er overordna dei andre
i det danske rammeverket.

Figur 3.1 – Parametrar til evaluering av digitale, didaktiske læremiddel (Kilde: Læremiddel.dk)

Nokre år seinare utvikla Læremiddel.dk ein praktisk orientert guide for lærarar som ville
undersøke læremiddel og kvaliteten på dei. Dette verktøyet kan brukast på både analoge og
digitale læremiddel. Guiden inneheld ei sjekkliste med seks kriterium:24

http://laeremiddel.dk/forskningsrapport-om-digitale-laeremidler/ (lese: 4.10.2017)28

1. legitimitet
2. tilgjengelegheit
3. progresjon
4. differensiering
5. lærarstøtte
6. samanheng
Denne lista blir omtalt som ein «læremiddeltjek» og er illustrert som vist i figur 3.2. Vidare er
kvart av kriteria delt inn i kriterium for design (uttrykk), innhald og aktivitet. Senteret utvikla
i tillegg nokre eksempel og ei notatbok der lærarane sjølve kunne gå igjennom alle seks
kriteria.

Figur 3.2 – Læremiddeltjek. (Kilde: læremiddel.dk)

Den danske læremiddeltjek har trekk som liknar den norske digitale rettleiaren, men har ikkje
dei same funksjonalitetane i sjølve arbeidet. Inndelinga i seks delar er også meir omfattandeenn den norske delinga i tre overordna tema.
KVALITETSKRITERIUM FOR LÆREMIDDEL I MATEMATIKKI innleiinga til del 1 blei læremiddel definert, og det blei distansert frå ressursar for læring.
Læremiddel er laga med utgangspunkt i kompetansemåla. Følgeforskinga etter
Kunnskapsløftet har vist at mange skoleleiarar og lærarar i liten grad arbeider med å forstå

29

læreplanverket utover arbeidet med kompetansemåla.25 I arbeidet med fagfornyinga blir det
utarbeidd nye kompetansemål, som bygger på denne definisjonen:
Kompetanse er å kunne tilegne seg og anvende kunnskaper og ferdigheter til å mestre

utfordringerog løse oppgaver i kjente og ukjente sammenhenger og situasjoner. Kompetanse innebærer forståelse
og evne til refleksjon og kritisk tenkning.
KD, Overordna del, september 2017

Dei som utviklar læremiddel i matematikk og andre fag, må ta omsyn både til dette overordna
kompetanseomgrepet og til dei enkelte kompetansemåla i kvart fag slik dei er formulerte iarbeidet med dei nye læreplanane som skal tre i kraft hausten 2020.
DESIGNSom vist i gjennomgangen av forskinga i del 2 er det utvikla både horisontale, vertikale og
kontekstuelle perspektiv i komparative studiar av læremiddel (Charalambous et al., 2010b).
Slike studiar underbygger forståinga av design. Den horisontale analysen gir ei oversikt overlæremiddelet ved at det blir lagt vekt på kor mange sider det består av (også nettsider), layout
og korleis matematiske emne er organiserte og representerte. Ei slik tilnærming ligg nok tett
opp til det som har vore praksis for mange lærarar i vurderinga av læremiddel. Den vertikale
analysen er meir omfattande og belyser korleis læreboka formidlar matematikk, kva for krav
ho stiller til elevane, og ikkje minst samanhengar mellom emna i boka og aktivitetar i og
utanfor klasserommet. Det er særleg analysar på eit overordna nivå det blir lagt vekt på i første
del av rettleiaren.
I denne første delen er det også lagt inn påstandar om brukarvennlegheit og universell
utforming. I Noreg er dei lovpålagde krava i WCAG 2.0 (Web Content Accessibility
Guidelines) eit minimumskrav ved utvikling av nettsider. 26 I 2013 blei ei forskrift om

25

Undersøkinga Spørsmål til Skole-Norge (2014) viser at under halvparten av dei spurde skoleleiarane og eigarane svarte at generell del og prinsippa for opplæring inngår i lokale planar. Funna blir bekrefta i
Evalueringen av Kunnskapsløftet (2014), som viser at kompetansemål og vurdering inngår i lokalt arbeid medlæreplanar, men at læreplanverket totalt sett ikkje nødvendigvis blir følgt opp systematisk. Svar på tilsvarande
spørsmål i 2016 viser at det berre har vore små endringar når det gjeld å følge opp læreplanverket.
26
https://uu.difi.no/krav-og-regelverk/wcag-20-standarden/ikke-lovpalagte-krav. Denne standarden gjer atmenneske med nedsett funksjonsevne kan bruke og orientere seg i det digitale innhaldet. Tidlegare har digitalelæremiddel vore unntatt lovverket om universell utforming. Statped har spelt ei viktig rolle i å oppfylle § 5-9 iopplæringslova, som seier at staten har plikt til å skaffe læremiddel til alle elevar. Dette ansvaret er delegert til

30

universell utvikling av IKT-løysingar publisert, og frå januar 2018 gjeld ho også for digitalelæremiddel. I paragraf 3 d i forskrifta er digitale læremiddel definerte som «nettbaserte
redskaper som kan brukes i det pedagogiske arbeidet, og som er utviklet med hensikt å støttelæringsaktiviteter». Både verktøy og læremiddel kjem altså inn under lova.
Kvalitetskriteria for læremiddel i matematikk må ta omsyn til krava til universell utformingog inkludering samtidig som dei faglege og didaktiske elementa blir tatt vare på. Å vurdere
design knytt til det faglege og didaktiske, handlar i den første delen om brukarvennlegheit og
design og om å sjå på innhald, struktur og layout (Charalambous, Delaney, Hsu & Mesa,
2010a; Li et al., 2009). Det er viktig at læremidla har ein bevisst språkbruk, slik at både ord,uttrykk, bilde og figurar er enkle å forstå og gir meining i ein kontekst. Læremidla må visesamanhengar, slik at elevane får det overordna bildet, ikkje berre delar av det.
PEDAGOGISK OG DIDAKTISK KVALITETKvalitetskriterium som er knytte til fagleg, pedagogisk og didaktisk kvalitet, er omfattande.
Spørsmål om kvalitet på dette nivået er nært knytte til kva tilnærming læraren har tilmatematikk, slik det blei illustrert med tetraederet i slutten av del 2. Her blir det i større gradlagt vekt på ein vertikal analyse og ikkje ein overordna analyse av design, layout og totalitet.
Pedagogiske og didaktiske kvalitetskriterium ved læremiddel vil vere sensitive overfor den
praksisen kvar enkelt lærar har utvikla. Eit læremiddel med høg kvalitet vil ikkje nødvendigvis
vere kvalitativt bra for ein lærar som har lang erfaring med ei anna didaktisk tilnærming enn
det læremiddelet legg opp til. Dersom ein lærar har ei tilnærming som krev relativt lite av
elevane, vil det krevje både etterutdanning og refleksjon å implementere vanskelegareoppgåver og tilnærming i enkelte tema (Boston & Smith, 2011). Desse elementa må vegast
opp mot det faglege innhaldet i læremiddelet og måten læremiddelet er kopla til læreplanverket
på. Særleg i denne delen av rettleiaren vil lærarar truleg gi ulike vurderingar av det samelæremiddelet.

direktoratet. Statped skal ha eit spesielt ansvar for å utarbeide læremiddel for barn og elevar med synsvanskar
eller høyrselsvanskar og for elevar med behov for alternativ og supplerande kommunikasjon.
WCAG 2-0-AA-standard for tilgjengelegheit inneber mellom anna at læremidla skal vere•
mogleg å oppfatte for alle, f.eks. synshemma og høyrselshemma•
mogleg å betene for alle, også dei med funksjonsnedsetting•
leselege og forståelege – det gjeld både innhald og betening•
robuste og enkelt kunne takast i bruk31

Spørsmåla i denne delen legg særleg vekt på å vurdere korleis læremiddelet bidrar til å føre
eleven fram mot kompetanse i faget (Kilpatrick et al., 2001; Niss & Jensen, 2002). I det liggogså vurderingar av om læremiddelet bidrar til å fremme ein undervisningspraksis som gir
rom for djupnelæring (Ludvigsen, 2014; NCTM, 2014). Det inneber at læremiddelet legg til
rette for varierte arbeidsmåtar og har oppgåver og aktivitetar som gir rom for resonnering og
problemløysing og lar eleven utvikle fleksible strategiar og evne til å bruke og knyte saman
matematiske representasjonar.
KOPLING TIL LÆREPLANVERKET
Koplingar til læreplanverket kan komme til uttrykk på mange måtar. Ei overordna tilnærminger å vurdere i kva grad læremiddelet tar vare på verdiar og prinsipp som vitskapleg tenkemåte,skaparglede, engasjement og utforskartrong. I det ligg også ei vurdering av om læremiddeletbidrar til overordna verdiar og mål i læreplanverket.
I denne tredje delen av rettleiaren er det lagt særleg vekt på korleis læremiddelet kan brukast
til å støtte opp om læreplanverket totalt sett. Som det er peikt på i innleiinga til dettegrunnlagsdokumentet, legg den overordna delen føringar for arbeidet med faga. Ikkje minst
set verdiar og prinsipp for grunnopplæringa kompetansen inn i ein større samanheng.
Eitt av måla i fornyinga av Kunnskapsløftet er å styrke djupnelæring og forståing i faga (Meld.
St. (2015–2016). Påstandane i del 3 i grunnlagsdokumentet må sjåast i dette perspektivet,
derfor er spørsmåla i denne delen av den digitale rettleiaren knytte til dei seks kjerneelementa
i matematikk:•

utforsking og problemløysing•

modellering og bruk•resonnering og argumentasjon•

representasjon og kommunikasjon•

abstraksjon og generalisering•

matematiske kunnskapsområde

Til kvart av desse seks kjerneelementa i matematikk er det knytt påstandar. Ein kort
informasjonstekst introduserer kvart av dei nye kjerneelementa.

32

VURDERING AV KVALITETSKRITERIUM – OG OVERFØRING TIL ANDRE FAG
Gjennomgangen i del 1 og del 2 i dette dokumentet viser at forskinga som dannar grunnlag
for å utvikle kvalitetskriterium for læremiddel i matematikk, er nært relatert til studiar av
matematikkundervisning. Det igjen viser at det ved ei eventuell utvikling av kvalitetskriterium
for andre fag, som norsk og engelsk, vil vere behov for ein tilsvarande gjennomgang av fagleg
relevant forsking.
På den andre sida vil erfaringane med dette kunnskapsgrunnlaget, spørsmål knytte tillæreplanverket og ikkje minst strukturen som ligg i dette dokumentet, vere mogleg å overføre
til tilsvarande dokument for andre fag. Det gjeld særleg måten rettleiaren i matematikk er nærtknytt til kompetanse i faget på, og kjerneelementa som ligg til grunn for den læreplanen somlæremiddelet skal bidra til å realisere som ein del av ein større sosial og kulturell institusjonell
aktivitet – undervisninga gitt av læraren og læringa hos eleven.
I løpet av hausten 2018 vil direktoratet sette i verk tiltak for å implementere rettleiaren for
kvalitetskriterium i matematikk. Eitt av tiltaka vil vere pilotering av rettleiaren i nokre utvalde
realfagskommunar. Samtidig vil direktoratet vurdere om det er behov for å undersøke korleis
rettleiaren blir brukt, og om han blir opplevd som nyttig. Det kan også vere aktuelt å undersøke
kva for andre fag som har behov for kvalitetskriterium, og om det er behov forkompetanseheving hos lærarar, skoleleiarar eller skoleeigarar i val og bruk av læremiddel.

33

REFERANSAR

Andrews, P. (2001). 19 Comparing international practice in the teaching of mathematics. Issues inmathematics teaching, 294.
Anghileri, J. (2000). Teaching number sense. Londonn: Continuum.
Ball, D. L., & Cohen, D. K. (1996). Reform by the Book: What Is: Or Might Be: The Role of Curriculum
Materials in Teacher Learning and Instructional Reform? Educational Researcher, 25(9), 614. doi:10.2307/1177151
Baroody, A. J. (2006). Mastering the Basic Number Combinations. Teaching Children Mathematics,
23.
Baumert, J., Kunter, M., Blum, W., Brunner, M., Voss, T., Jordan, A., . . . Tsai, Y.-M. (2010). Teachers’
mathematical knowledge, cognitive activation in the classroom, and student progress.
American Educational Research Journal, 47(1), 133-180.
Bergem, O. K., Kaarstein, H., & Nilsen, T. (2016). Vi kan lykkes i realfag. Resultater og analyser fra
TIMMS 2015. Oslo: Universitetsforlaget.
Bjarnadóttir, K. (2007). The numbers one and zero in Northern European textbooks. International
Journal for the History of Mathematics Education, 2(2), 3-20.
Boaler, J., & Staples, M. (2008). Creating Mathematical Futures through an Equitable Teaching
Approach: The Case of Railside School. Teachers College Record, 110(3), n/a.
Boston, M. D., & Smith, M. S. (2011). A ‘task-centric approach’to professional development:enhancing and sustaining mathematics teachers’ ability to implement cognitively
challenging mathematical tasks. ZDM, 43(6-7), 965-977.
Bremler, N. (2003). Matteboken som redskap och aktör: en studie av hur derivata introduceras isvenska läroböcker 1967-2002: Institutionen för undervisningsprocesser, kommunikationoch lärande, Lärarhögskolan i Stockholm.
Brändström, A. (2005). Differentiated tasks in mathematics textbooks: An analysis of the levels ofdifficulty. Luleå tekniska universitet,
Carpenter, T. P., Franke, M. L., & Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating arithmetic
and algebra in elementary school: ERIC.
Chapin, S. H., & O’Connor, C. (2007). Academically productive talk: Supporting students’ learning inmathematics. The learning of mathematics, 113-128.
Charalambous, C. Y., Delaney, S., Hsu, H.-Y., & Mesa, V. (2010a). The addition and subtraction of
fractions in the textbooks of three countries: A comparative analysis. MathematicalThinking and Learning, 12(2), 117-151.
Charalambous, C. Y., Delaney, S., Hsu, H.-Y., & Mesa, V. (2010b). A comparative analysis of theaddition and subtraction of fractions in textbooks from three countries. MathematicalThinking and Learning, 12(2), 117-151.
Davis, E. A., & Krajcik, J. S. (2005). Designing educative curriculum materials to promote teacher
learning. Educational Researcher, 34(3), 3-14.
Dole, S., & Shield, M. (2008). The capacity of two Australian eighth-grade textbooks for promoting
proportional reasoning. Research in Mathematics Education, 10(1), 19-35.
Drijvers, P. (2015). Digital Technology in Mathematics Education: Why It Works (Or Doesn’t). In S. J.
Cho (Ed.), Selected Regular Lectures from the 12th International Congress on Mathematical
Education (pp. 135-151). Cham: Springer International Publishing.
Drotner, K., Duus, V., & Dahler, A. (2009). Digitale læringsressourcer i folkeskolen og i de gymnasiale
ungdomsuddannelser. Odense: DREAM: Danish Research Centre on Education andAdvanced Media Materials and Læremiddel. dk: Nationalt videncenter for læremidler.

34

Fan, L., & Zhu, Y. (2007). Representation of problem-solving procedures: A comparative look at
China, Singapore, and US mathematics textbooks. Educational Studies in Mathematics,
66(1), 61-75.
Fan, L., Zhu, Y., & Miao, Z. (2013). Textbook research in mathematics education: development
status and directions. ZDM, 45(5), 633-646. doi:10.1007/s11858-013-0539-x
Fuson, K. C., Kalchman, M., & Bransford, J. D. (2005). Mathematical understanding: An introduction.
How students learn: History, mathematics, and science in the classroom, 217-256.
Gilje, Ø. (2017) Læremidler og arbeidsformer i den digitale skolen. Bergen: Fagbokforlaget.
Gilje, Ø., Ingulfsen, L., Dolonen, J., Furberg, A., Rasmussen, I., Kluge, A., . . . Skarpaas, K. (2016). Med
ARK&APP. Bruk av læremidler og ressurser for læring på tvers av arbeidsformer.
Sluttrapport. Oslo. UiO.
Grevholm, B. (2017). Mathematics textbooks, their content, use and influences : research in Nordic
and Baltic countries. Oslo: Cappelen Damm akademisk.
Hatlevik, O. E., Egeberg, G., Guðmundsdóttir, G. B., Loftsgarden, M., & Loi, M. (2013). Monitor skole
2013. Om digital kompetanse og erfaringer med bruk av IKT i skolen. Rapport. Senter for IKT
i utdanningen.
Hattie, J. (2009). Visible learning: a synthesis of over 800 meta-analyses relating to achievement.
London: Routledge.
Hiebert, J. (2013). Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics: Routledge.
Hiebert, J., Morris, A. K., Berk, D., & Jansen, A. (2007). Preparing teachers to learn from teaching.
Journal of Teacher Education, 58(1), 47-61.
Hodgson, J., Rønning, W., & Tomlinson, P. (2012). Sammenhengen mellom undervisning og læring.
En studie av læreres praksis og deres tenkning under Kunnskapsløftet. Sluttrapport, 4.
Jacobs, V. R., Lamb, L. L., & Philipp, R. A. (2010). Professional noticing of children's mathematicalthinking. Journal for Research in Mathematics Education, 169-202.
Jakobsson-Åhl, T. (2006). Algebra in upper secondary mathematics: a study of a selection of
textbooks used in the years 1960-2000 in Sweden. Luleå tekniska universitet,
Johansson, M. (2017). Textbook as instrument: three teachers' way to organize their mathematics
lessons. In B. Grevholm (Ed.), Mathematics textbooks, their content, use and influence;
Research in Nordic ans Baltic countries (pp. 315-340). Oslo: Cappelen Damm Akademisk.
Jonsson, B., Norqvist, M., Liljekvist, Y., & Lithner, J. (2014). Learning mathematics throughalgorithmic and creative reasoning. Journal of Mathematical Behavior, 36, 20.
Karlsen, L., & Maagerø, E. (2010). Lesing av fagtekster i matematikk. In D. Skjelbred & B.
Aamotsbakken (Eds.), Lesing av fagtekster som grunnleggende ferdighet (pp. 217-270).
Oslo: Novus forlag.
Keranto, T., & Sarenius, V.-M. (2009). The number line as a teaching aid in the grades 1-2: Textbook
analysis and pupil interview. Teaching mathematics retrospective and perspectives, 206.
Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up. Mathematics Learning Study Committee,
Center for Education, Washington, DC: National Academy Press.
Kjærnsli, M., & Jensen, F. (2016). Stø kurs. Norske elevers kompetanse i naturfag, matematikk og
lesing i PISA 2015. Oslo: Universitetsforlaget.
Klette, K. (2003). Lærerens klasseromsarbeid; Interaksjons-og arbeidsformer i norske klasserom
etter Reform 97. The Teacher's Classroom Work.
Klette, K. (2013). Hva vet vi om god undervisning? Rapport fra klasseromsforskningen. In R. J.
Krumsvik & R. Säljö (Eds.), Praktisk-pedagogisk utdanning : en antologi (pp. 173-201).
Bergen: Fagbokforl.
Klette, K., Lie, S., Ødegaard, M., Anmarkrud, Ø., Arnesen, N., Bergem, O. K., & Roe, A. (2008).
Rapport om forskningsprosjektet PISA+. Oslo: Norges forskningsråd.
Kongelf, T. R. (2017a). Introduksjon av algebra i matematikkbøker for ungdomstrinnet i Norge. In B.
Grevholm (Ed.), Mathematics textbooks, their content, use and influence. Research in Nordic
and Baltic countries (pp. 195-222). Oslo: Cappelen Damm Akademisk.
35

Kongelf, T. R. (2017b). What characterises the heuristic approaches in mathematics textbooks usedin lower secondary schools in Norway. In B. Grevholm (Ed.), Mathematics textbooks, theircontent, use and influence. (pp. 155-194). Oslo: Cappelen Damm Akademisk.
Kunnskapsdepartementet. (2017). Overordnet del - verdier og prinsipper.
Li, Y., Chen, X., & An, S. (2009). Conceptualizing and organizing content for teaching and learning inselected Chinese, Japanese and US mathematics textbooks: The case of fraction division.
ZDM, 41(6), 809-826.
Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational Studies inMathematics, 67(3), 255-276.
Ludvigsen, S. (2014). Fremtidens skole: fornyelse av fag og kompetanser. Oslo: NOU.
McIntosh, A., Reys, B. J., & Reys, R. E. (1992). A proposed framework for examining basic number
sense. For the Learning of Mathematics, 12(3), 2-44.
Mellin-Olsen, S. (1987). The politics of mathematics education (Vol. 4): Springer Science & BusinessMedia.
Mullis, I. V., & Martin, M. O. (2014). TIMMS Advanced 2015 Assessment Frameworks: ERIC.
NCTM. (2014). Principles to actions: Ensuring mathematical success for all. In N. C. o. T. o.
Mathematics (Ed.): Author Reston, VA.
Nilsen, T., & Gustafsson, J.-E. (2016). Teacher Quality, Instructional Quality and Student Outcomes.
Cham: Springer Open.
Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring: Idéer og inspiration til udviklingaf matematikundervisning i Danmark (Vol. 18): Undervisningsministeriet.
Nordenbo, S. E. (2008). Lærerkompetanser og elevers læring i barnehage og skole: et systematisk
review utført for Kunnskapsdepartementet, Oslo. [København]: Danmarks Pædagogiske
Universitetsforlag og Dansk Clearinghouse for Uddannelsesforskning.
Olsen, R. V., & Kjærnsli, M. (2013). Fortsatt en vei å gå: norske elevers kompetanse i matematikk,
naturfag og lesing i PISA 2012. Oslo: Universitetsforlaget.
Organisation for Economic, C.-o., & Development. (2013). PISA PISA 2012 Assessment and Analytical
Framework: Mathematics, Reading, Science, Problem Solving and Financial Literacy: France:
OECD Publishing.
Pepin, B., Gueudet, G., & Trouche, L. (2013). Re-sourcing teachers’ work and interactions: acollective perspective on resources, their use and transformation. ZDM, 45(7), 929-943.
Pepin, B., & Haggarty, L. (2001). Mathematics textbooks and their use in English, French andGerman classrooms. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 33(5), 158-175.
doi:10.1007/bf02656616
Pepin, B., & Haggarty, L. (2011). Teachers' use of mathematics curriculum materials : differentiationin mathematics classrooms in England and Norway. In (pp. 393-404). Trondheim: Tapirakademisk forl., cop. 2011.
Reinhart, S. C. (2000). Never say anything a kid can say! Mathematics teaching in the middle school,
5(8), 478.
Remillard, J. T., Harris, B., & Agodini, R. (2014). The influence of curriculum material design onopportunities for student learning. ZDM, 46(5), 735-749. doi:10.1007/s11858-014-0585-z
Rezat, S., & Sträßer, R. (2012). From the didactical triangle to the socio-didactical tetrahedron:artifacts as fundamental constituents of the didactical situation. ZDM, 44(5), 641-651.
Rezat, S., & Sträßer, R. (2013). Methodologies in Nordic Research on Mathematics Textbooks. In B.
Grevholm, P. S. Hundeland, K. Juter, K. Kislenko, & P.-E. Persson (Eds.), Nordic Research in
Didactics of Mathematics: Past, Present and Future (pp. 469-482). Oslo: Cappelen Damm.
Rezat, S., & Sträßer, R. (2017). Methodological issues and challenges in research on mathematics
textbooks. In B. Grevholm (Ed.), Mathematics textbooks, their content, use and influence.
Research in Nordic and Baltic countries (pp. 495-514). Oslo: Cappelen Damm Akademisk.
Sawyer, R. K. (2014). Introduction. In R. K. Sawyer (Ed.), The Cambridge Handbook of the Learning
Sciences (2 ed., pp. 1-18). Cambridge: Cambridge University Press.
36

Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving: Elsevier.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes andobjects as different sides of the same coin. Educational Studies in mathematics, 22(1), 1-36.
Skaalvik, E., Danielsen, I., & Skaar, K. (2007). De viktige få. Analyse av Elevundersøkelsen 2007. In:
Kristiansand, Norway: Oxford Research.
Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics
teaching, 77(1), 20-26.
Stein, M. K., & Kim, G. (2009). The role of mathematics curriculum materials in large-scale urban
reform. Mathematics teachers at work: Connecting curriculum materials and classroom
instruction, 37-55.
Svingen, O. E. L. (2014). Analyse av to lærerveiledninger i matematikk-særtrekk og læreres bruk av
dem. (Master), Høgskolen i Sør-Trøndelag, Trondheim.
Trouche, L., & Drijvers, P. (2014). Webbing and orchestration. Two interrelated views on digital
tools in mathematics education. Teaching Mathematics and its Applications: An
International Journal of the IMA, 33(3), 193-209. doi:10.1093/teamat/hru014
Utdanningsdirektoratet. (2012). Rammeverk for grunnlegeende ferdigheter. Retrieved fromhttps://www.udir.no/Upload/larerplaner/lareplangrupper/RAMMEVERK_grf_2012.pdf?epslanguag
e=no.

37