土木学会論文集, Vol. 80, No. 16, 23-16078, 2024.

複雑な開水路粗面乱流場における流速・圧力分布
宅和
1 学生会員佑悟 1・福島

千乃 2・福岡捷二 3

中央大学大学院 理工学研究科（〒112-8551 東京都文京区春日 1-13-27）
E-mail: a19.ty6h@g.chuo-u.ac.jp(Corresponding Author)
2 学生会員3 フェロー

中央大学大学院 理工学研究科（同上）E-mail: a18.esbm@g.chuo-u.ac.jp

工博 Ph.D. 中央大学研究開発機構（同上）E-mail: sfuku@tamacc.chuo-u.ac.jp

山地河川は急流河道に巨岩・巨石等の激しい混合を伴う三次元的な流れ場である．逆流域を伴うこうした複雑な流れ場では非静水圧準三次元解析法（Q3D-FEBS）が用いられるが，流速・圧力分布の与え方に課題が残されていた．そこで，河床近傍の複雑な流れ場をより適切に説明するために粗度の影響の大きい下層とそれより上の層に分け，流速・圧力分布形の検討を行った．具体的に，2 層 4 次関数流速分布式と流れの境界条件の与え方を検討し，流速・圧力分布の提案を行う．粗度周りの三次元解析データより粗度の大きい流れの流速分布の変曲点がレイノルズ応力分布の極大位置と概ね一致することから，この位置を2 層の境界面と設定した．解析結果は逆流域や複雑な二次流場のある複雑な開水路粗面乱流場に対し適合性の高い分布形を与えることを示した．

Key Words: Q3D-FEBS, vertical velocity distribution, non-hydrostatic pressure,three-dimensionality offlow

1. 序論

明を行っている．また，解析により得られた流速・圧力分布等を用い個別要素法（DEM）により，洪水時の巨近年の豪雨災害の激甚化・頻発化を受け，山地から河石の初期移動の検討を行った．しかし，流れ場の解析精口まで一体的な洪水流・河床変動解析法を構築し，河川度が高くないため十分な説明はできなかった．このことから，複雑な巨岩・巨石周りの流れ場では Q3D-FEBS に計画へ適用する必要がある 1)．特に，巨岩・巨石等の多い山地部では流れの三次元性の強い流れ場となる．このため，山地河川の洪水流解析は複雑な自然現象の説明力おける流速・圧力分布の精度を高めた評価法の構築が求められている．以上のことから従来の 3 次関数式では流の高い非静水圧準三次元解析法（Q3D-FEBS）2)の適用が望ましい．Q3D-FEBS は，流速鉛直分布として 3 次関数

れの剥離が生じ，逆流が発生するような河床の凹凸の激しい流れ場への Q3D-FEBS の適用性に問題が残されてい式と平均流の運動方程式に加え，境界面（水面・底面）る．
宅和ら 6)は福島ら 7)によるアスペクト比の小さく側壁の運動方程式を用いて，平面二次元解析法の枠組みで，3 次元的な流速・圧力場を解くことのできる高精度な準や大きな粗度による二次流や逆流の影響の強い場での三三次元解析法である．これまでに Q3D-FEBS では，扇状次元数値実験データを用いて流速鉛直分布式についての

3)

地河川の侵食メカニズムの解明（竹村ら ），浮遊砂挙動の解明（長谷部ら 4)）等に活用され，特に 3 次元性の検討を行った．結果，8 次程度の次数が必要であることを示した．巨石等のある場では逆流域も含む流れを説明

強い洪水流と土砂移動の工学的検討に利用されている．

するために，特に河床近傍の流れ場の評価が重要である
こうした背景から大野ら 5)は，三次元的な洪水流・土ことから，河床近傍とそれより上の領域の 2 層に分け，砂移動現象を説明可能な Q3D-FEBS を山地河川に適用し， 上層，下層をそれぞれ 4 次関数近似し，これに対する境巨石等の存在による水面変動ならびに流速・圧力場の説界条件を適切に設定する必要がある．

1

土木学会論文集, Vol. 80, No. 16, 23-16078, 2024.

図-1 本研究のフローチャート
𝑢𝑖 (𝜂1 ) = 𝑈1𝑖 + Δ𝑢1𝑖 (12𝜂1 3 − 12𝜂1 2 + 1)
− δ𝑢1𝑖 (4𝜂1 3 − 3𝜂1 2 )

図-1 に研究のフローチャートを示す．本研究が対象とする Step1 では，従来の Q3D-FEBS で逆流等の発生す(1)る場に不適合であった 3 次関数式を 2 層の 4 次関数式に改めることを目的とする．このとき，複雑な三次元流れデータ 7),8)を用いて，2 層 4 次関数の流速分布，圧力分布𝑖 = 1,2(𝑥, 𝑦方向)，𝑈1𝑖 ：水深平均流速，Δ𝑢1𝑖 = 𝑢𝑠𝑖 −𝑈1𝑖 ，δ𝑢1𝑖 = 𝑢𝑠𝑖 − 𝑢𝑏𝑖 ，𝜂1 = (𝑧𝑠 − 𝑧)/ℎ とする．Q3DFEBS は河床面の形状を取り込むことができる特徴を有の概形を提案する．Step2 ではこの概形に対し，Q3DFEBS の水平・鉛直方向運動方程式を用いて，2 層 4 次関するが，底面位置（添え字：𝑏）は河床面から水面までの高さに応じて 3%分河床から離れた位置にとり，底面数形を決定し，種々の流れ場について適用可能な解析方法を提示する．

より下の流れ場は，解析の対象にしていない．
Q3D-FEBS は極端な河床凹凸のある流れを除く，三次

2.

元的な流れが主な研究対象であり，これについては良好

2 層 4 次関数モデル2)な結果を得ている 3),4)が，河床形状の複雑な巨岩・巨石竹村ら は，非静水圧準三次元解析法（Q3D-FEBS）のもと，流速鉛直分布を 3 次関数式(1)で表現（表-1：1～4を考慮）し，平均流の運動方程式に加えて，境界面（底周辺は剥離流れとなるため，河床近くの層を丁寧に解く必要がある．河床から水面まで一つとした従来の Q3D-面・水面）の運動方程式を解き，流速・圧力の三次元分FEBS ではなく河床近くの層と水面までの層の 2 層に分布を得ている．

割し，上層と下層の領域をそれぞれ 4 次関数の流速分布を与え，流れの評価を行う（上層：式(2)，下層：式(3)）．式(2),(3)においては𝑢𝑠𝑖 , 𝑢𝑏𝑖 , 𝑈1𝑖 , 𝑈2𝑖 が未知量である．
表-1 流速鉛直分布を決定するための条件について

図-2 2 層 4 次関数モデルの概念図2

土木学会論文集, Vol. 80, No. 16, 23-16078, 2024.

計算を行う（上層：式(8)，下層：式(9)）．式(8)の右辺最終項𝑤(𝜂2 =0) は，式(9)の𝜂2 = 0を代入することによっ

40 4 100 3
𝜂 +𝜂 − 20𝜂1 2 + 1)
3 1
3 1+ δ𝑢1𝑖 (5𝜂1 4 − 12𝜂1 3 + 6𝜂1 2 )(2)𝑢𝑖 (𝜂1 ) = 𝑈1𝑖 + Δ𝑢1𝑖 (−て求まる．

𝑖 = 1,2(𝑥, 𝑦方向)，𝑈1𝑖 ：上層高さ平均流速，Δ𝑢1𝑖 =𝑢𝑠𝑖 − 𝑈1𝑖 ，δ𝑢1𝑖 = 𝑢𝑠𝑖 − 𝑢𝑏𝑖 ，𝜂1 = (𝑧𝑠 − 𝑧)/ℎ′ とする．
𝑢𝑖 (𝜂2 ) = 𝑈2𝑖 + 𝑢𝑏𝑖 (−5𝜂2 4 + 4𝜂2 3 )+Δ𝑢2𝑖 (20𝜂2 4 − 20𝜂2 3 + 1)
+𝑤(𝜂1 ) =

𝜕 ′ℎ [(𝜂1 − 1)𝑈𝑖1
𝜕𝑥𝑖

(8)

825 4 20 3+ (− 𝜂1 5 +𝜂 −
𝜂 + 𝜂1 ) ∆𝑢𝑖1
33 1
3 1+(𝜂1 5 − 3𝜂1 4 + 2𝜂1 3 )𝛿𝑢𝑖1 ] + 𝑤(𝜂2=0)(3)

𝛿𝑧𝑏 20( Δ𝑢1𝑖 − 4𝛿𝑢1𝑖 ) (5𝜂2 4 − 6𝜂2 3 + 𝜂2 )ℎ′ 3𝑤(𝜂2 ) =𝜕𝛿𝑧 [(𝜂 − 1)𝑈𝑖2𝜕𝑥𝑖 𝑏 2(9)+(4𝜂2 5 − 5𝜂2 4 + 𝜂2 )∆𝑢𝑖2 + (−𝜂2 5 + 𝜂2 4 )𝑢𝑏𝑖𝑖 = 1,2(𝑥, 𝑦方向)，𝑈2𝑖 ：下層高さ平均流速，Δ𝑢2𝑖 =𝑢𝑏𝑖 − 𝑈2𝑖 ，𝜂2 = (𝑧𝑏 − 𝑧)/𝛿𝑧𝑏 とする．

+各層における流速鉛直分布式(2)，(3)については，表-1に示すように，それぞれ 5 つの境界条件を考慮し 2 層 4𝛿𝑧𝑏 20
31( ∆𝑢𝑖1 − 4δ𝑢1𝑖 ) (𝜂2 5 − 𝜂2 4 + 𝜂2 2 )]ℎ′ 322次関数形の概形を導いている．従来の 3 次関数形に対して，上層，下層それぞれ流速鉛直分布の 2 階偏導関数が圧力分布に関しては，Q3D-FEBS の流速分布(𝑢, 𝑣, 𝑤)をゼロとなる条件（条件 5，10）を追加したことと，流速の 1 階偏導関数の接続条件（条件 3）を下層の境界条件成分の評価を行う．Q3D-FEBS では，計算の安定化のたとしたことに本解析法の特色がある．また，Q3D-FEBS

流速に式(1)と連続条件を満たすように求めた水深平均は，河床面の形状を境界適合座標系として取り込むことができる（条件 7）．

鉛直方向流速𝑊（式(10)）を用いている．この考え方を2 層モデルの上層の評価式の考え方に適用する．このと2層4次関数モデルにおいては，2層の境界面位置は流き，上層の𝑊は式(3)を連続条件を満たすように求めた

速鉛直分布の変曲点位置に設定する．変曲点位置は，流速の 1 階偏導関数を微分したものがゼロとなる位置と対水深平均鉛直方向流速とする．一方で，下層は粗度要素応する（式(4)）．これより，渦度分布（式(5)）やレイく発生するために，上層で用いた線形近似が成立しないノルズ応力分布（式(6)）の極大位置と境界面位置が理と考えており，2 層モデルの鉛直方向流速分布式(9)を直論的には対応することになる．また，レイノルズ応力分接使用する．また，𝑢𝑖 に関しても，式(3)を用いることで，鉛直方向の運動方程式に代入することにより，非静水圧めに平均流の水平方向流速𝑈𝑖 と線形近似した鉛直方向を乗り越えるときに，特に河床近傍で鉛直方向流速が強布が境界面で極大値をとるためには以下の式を満足する． より厳密な評価を行う狙いがある．これにより上層，下すなわち境界面位置が流速分布の極大位置のみならず，層の非静水圧成分評価式をそれぞれ式(11)，式(12)と書け

𝜈𝑡 の極大位置とも対応している必要がある．下層厚さる．

𝛿𝑧𝑏 （式(7)）の設定に関しては，式(7)によりパラメータ
𝐶𝑍𝑏 のもと，水深比で設定を行う．

𝑤=𝑊+′𝜕 2 𝑢𝑖
𝜕𝑢|=( |) =0𝜕𝑧 2 𝑧=𝑧
𝜕𝑧 𝑧=𝑧𝑏𝜕𝑢 𝜕𝑤
𝜏𝑥𝑧 = 𝜌𝜈𝑡 ( +)𝜕𝑧 𝜕𝑥𝛿𝑧𝑏 = 𝐶𝑍𝑏 ℎ(10)𝑝′𝜕𝛿𝑤(𝜂 − 𝜂1 2 ))= ℎ′ 𝑈𝑖(𝑊𝜂1 +𝜌𝜕𝑥𝑖
2 1(4)𝑏𝜕𝑢 𝜕𝑤
𝜔𝑦 = ( −)𝜕𝑧 𝜕𝑥𝛿𝑤(1 − 2𝜂1 )
2(11)

′(5)

−(6)

𝜏𝑖𝑧 𝜕𝑧𝑠𝜕ℎ𝜏𝑧𝑧(− 𝜂1)+
𝜌 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝜌

𝜂2𝑝′
𝜕
= 𝛿𝑧𝑏
(∫ 𝑢𝑖 (𝜂2 )𝑤(𝜂2 )𝑑𝜂2 )𝜌𝜕𝑥𝑖 0(7)−𝜔𝑧 ：渦度の鉛直方向成分，𝜏𝑥𝑧 ：レイノルズ応力′ 𝑤 ′ ，𝜌：密度，𝜈 ：渦動粘性係数とする．
̅̅̅̅̅̅−𝑢𝑡
また，鉛直方向流速𝑤に関しては，水平方向流速式(2),(3)がそれぞれの連続条件を満たすように5次関数形で(12)𝜏𝑖𝑧 𝜕𝑧𝑏𝜕𝛿𝑧𝑏𝜏𝑧𝑧(− 𝜂2)+𝜌 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖𝜌

ここで，𝑖 = 1,2(𝑥, 𝑦方向)，𝛿𝑤 = 𝑤𝑠 − 𝑤𝑏 ，𝜏𝑧𝑧 ：レイノルズ応力とする．

3土木学会論文集, Vol. 80, No. 16, 23-16078, 2024.

図-3 三次元数値実験水路（福島ら 8)）（Case1）

図-4 三次元数値実験水路（福島ら 7)）（Case2）

3. 三次元数値解析データを用いた境界面位置の検討′𝑤 ′の̅̅̅̅̅̅布を示す．渦度分布ならびに，レイノルズ応力−𝑢極大位置は，おおむね水深の 20%程度の位置で生じている．なお，渦動粘性係数に関しては，三次元数値解析結(1) 検討対象の流れ場の設定

果から，エネルギー散逸率と乱れエネルギーから二方程検討対象とした流れは，幅の狭く，側壁抵抗の強い水式モデルを用いて分布を計算し，境界面位置と極大・極路に半円柱からなる粗度要素を等間隔にならべた開水路数値実験である（それぞれ Case18）（図-3），Case27)（図小位置が一致することを確認した．ただし，粗度頂部等′ 𝑤 ′ の極大位置は変曲点
̅̅̅̅̅̅の順流では，レイノルズ応力−𝑢-4）とする）．幅 0.02(m)，長さ 1.5(m)，勾配が 1/20，半径が 0.004(m)の半円柱粗度を Case1は 0.024(m)間隔，Case2位置と概ね一致するものの，渦度の極大位置は河床の極近傍にあり，変曲点位置と一致しないが，本検討では概′ 𝑤 ′ の極大位置を境界面̅̅̅̅̅̅形決定のためレイノルズ応力−𝑢は 0.0002(m) 間 隔 で 配 置 し た 開 水 路 に ， 一 定 流 量(0.171(l/s))を流し，LES を用いた三次元数値解析を行っている．図-5,6 に Case1 の粗度谷部における主流速，横の基準として設定する．

断方向流速，鉛直方向流速コンター図を示しているが，velocity-dip 現象や第二種二次流が顕著に発生しているこ(3) 境界面位置𝛿𝑧𝑏 の設定とがわかる．

なる多様な石礫が，複雑な河床を構成する．山地部では，(2) 各種水理量の鉛直分布

特に巨礫や巨石等の存在により流れ場は大きく変化する．
′ 𝑤 ′ の極大位置は河床の凹̅̅̅̅̅̅
そのため，レイノルズ応力−𝑢

実河川では，自然の営力により生み出された粒径の異まず，式(7)の下層厚さ𝛿𝑧𝑏 設定の根拠とする流速分布

凸に応じて，異なることから，式(7)の境界面位置𝛿𝑧𝑏 の設定の際に，粗度配置に応じた𝐶𝑍𝑏 を検討する必要があの変曲点位置と解析データから得られる渦度，レイノル′ 𝑤 ′ の鉛直分布の対応関係を確認する．図-7,8̅̅̅̅̅̅
ズ応力−𝑢る．Case1,2 の実験は二次元粗度の配置間隔が異なる流には Case1 の水路中央粗度谷部における各水理量鉛直分

図-5 主流速の縦断面コンター図（Case1：水路中央）

図-6 二次流速の横断面コンター図（Case1：粗度谷部）

4土木学会論文集, Vol. 80, No. 16, 23-16078, 2024.

図-7 主流速鉛直分布の変曲点（Case1：水路中央粗度谷部）

図-8 渦度，レイノルズ応力，渦動粘性係数分布（Case1：水路中央粗度谷部）れの三次元解析データが得られている．以下では特に粗2層4次関数モデルの適合性を福島ら 8)による開水路粗度要素間隔に応じたレイノルズ応力の極大位置の変化に着目して𝐶𝑍𝑏 の検討を行う．

面乱流場の三次元数値解析結果を用いて検討する．なお，
本検討では Case1 の水路中央断面と側壁近傍の逆流域の図-9 は，Case1,2 それぞれ縦断距離ごとにレイノルズ′ 𝑤 ′ の極大位置に対する水深の比でプロットした̅̅̅̅̅̅応力−𝑢発生する粗度谷部付近（半円柱粗度と平板の境界（後流側））における検討結果を示す．ここでは，2 層 4 次関ものである．縦軸に極大の発生位置，横軸に粗度谷部を数流速分布形を決定するための境界条件に関して，三次原点とする縦断距離（𝑥）を粗度要素間隔（𝐿）と半円元解析結果を直接与えている．実験が定常流で行われた柱粗度の直径（𝐷）の和𝐿 + 𝐷で無次元化し示した．グラフより，粗度要素の抵抗を強くうける Case1 で流れがことから，圧力分布の検討は，非定常項と水面の変動を粗度要素を乗り越えた後流域において，極大位置が高め考慮していない．境界面の位置に関しては前章の検討を参考に，パラメータ𝐶𝑍𝑏 = 0.2 と設定し，以下の検討をに出る傾向にある．また，レイノルズ応力分布の極大位行う．

置は流れが粗度にぶつかることにより，主流速の逆流や(1) 流速分布の適用結果
2 層 4 次関数モデルを適用した流速分布，圧力分布をことで，粗度谷部等で抵抗が大きく極大位置が高くなる．
Step1 では，2 層 4 次関数モデルの概形の評価であること
それぞれ図-10,11,12 に示す．主流速に関しては従来のQ3D-FEBS で用いられる 3 次関数近似式と比較して式から，当座は𝐶𝑍𝑏 = 0.2 と設定し，以下の検討を行う．
(2),(3)は逆流域の評価を可能としている．しかし，側壁
今後の Step2 では Q3D-FEBS を用い，実河川の洪水流解析を行い，𝐶𝑍𝑏 の値の検討を行うことになる．
近傍粗度谷部で 2 層モデルでは逆流が生じているが，実鉛直方向に強い上昇流が生じ，乱れの影響が強く表れる

際の流れは順流であった．この段階では，運動方程式を4. 複雑な開水路粗面乱流場における 2 層 4 次関数モデルの適用直接介しておらず，このため分布にはずれが見られる．
今後 Step2 で 2 層 4 次の関数形を用いて Q3D-FEBSを用いた解析を行うことによって，分布形のずれが補正されることになる．また，数値実験データから横断方向流速は，プラントルの第二種二次流を伴う分布形となっている．
本解析結果は従来の 3 次関数式と比較して，河床近傍の複雑な流速分布の評価精度が向上している．これら(𝑢, 𝑣)と連続条件を満たすように計算される鉛直方向流速𝑤は，粗度谷部（水路中央）の河床近傍の強い上昇成分ならびに粗度谷部（側壁近傍）の強い流速成分を評価できている．
(2) 圧力分布の適用結果
圧力分布に関しても，Q3D-FEBS で用いられている 1層モデルと本研究の 2 層モデルとの比較を行っている．
結果，両モデル式は，どちらも負の非静水圧分布の傾向

図-9 極大位置に関する検討結果（Case1,Case2）5土木学会論文集, Vol. 80, No. 16, 23-16078, 2024.

主流速横断方向流速図-10

鉛直方向流速Case1 水路中央粗度谷部における流速分布の検討結果

主流速

横断方向流速図-11鉛直方向流速

Case1 側壁近傍粗度谷部における流速分布の検討結果

図-12 圧力分布に関する検討結果（左；Case1 水路中央粗度谷部，右；Case1 側壁近傍粗度谷部）をとらえている．流速分布とともに 2 層モデルは，圧力な流況をとらえることを目的に 2 層 4 次関数モデルを提案した．新しいモデルは計算領域を 2 層に分割，境界を分布について評価精度が向上しているが，下層において不十分さが見られる．この問題を改善するためには，流速分布同様 Q3D-FEBS の枠組みにおいて式(11)，式(12)を流速鉛直分布の変曲点と設定し，この点がレイノルズ応準三次元運動方程式に導入し計算を行うことによって圧なデータに基づいた設定を行った．このモデルを複雑な力分布形が改善されることになる．

開水路粗面乱流場に適用したところ，逆流域や複雑な分力の極大位置と対応するとして，三次元解析による詳細布を評価可能であることを示した．

5. 結論と今後の課題
本研究は，非静水圧準三次元解析法（Q3D-FEBS）に

本論文では，詳細な三次元数値解析データを用い，2層 4 次関数モデルの概形と境界条件の提案を行った．今おける流速分布に着目し，巨石等のある河床近傍の複雑

後は，図-1 のフローチャートにおける Step2 に示すよう

6

土木学会論文集, Vol. 80, No. 16, 23-16078, 2024.に，本研究（Step1）で得られた 2 層 4 次関数分布式をQ3D-FEBS の運動方程式群に導入し，種々の流れに適し

5)た 2 層 4 次関数解析モデルの適合性を検討する．
REFERENCES
1)

2)

3)

4)

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6)

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8)

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川における洪水観測水面形と詳細地形測量結果に基づく非静水圧準三次元解析(Q3D-FEBS)を用いた巨石群の移動解析，土木学会論文集 B1(水工学)，77 巻，
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VERTICAL DISTRIBUTIONS OF VELOCITY AND NON-HYDROSTATIC PRESSURE IN THE THREE DIMENSIONAL OPEN-CHANNEL FLOW WITH ROUGH
BED
Yugo TAKUWA, Yukino FUKUSHIMA and Shoji FUKUOKA
In mountain rivers, we often see three-dimensional vortex motion caused by large rocks and boulders. To
solve these flow, a non-hydrostatic quasi-three dimensional model considering flow equations on boundary
surfaces is used. But, there are issues with analysis accuracy. So, we focused on its characteristic evaluation
method of vertical velocity distribution by cubic function, not considering boundary condition near the riverbed.
To improve this problem, we divided the computational area into two layers, and added the additional boundary
conditions. The purpose of this model improvement is to solve complex flow in the vicinity of the riverbed moreacuurately. At the same time, we noted the inflection point and set as the boundary surface corresponding to themaximum position of the Reynolds stress distribution. We determined the outline of this new model using thethree dimensional open-channel flow with rough bed. As a result, it was able to evaluate backwater regions andcomplex secondary flow.

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