特集／くりこみ群の地平

フラクタルにおける対称性の回復ß くりこみ群を想う ß

服 部

哲 弥
 の部分に重なることを示している．重ね方は  通りある． 
  は単位正方形の内部に複雑な構造を持つ図形である．図  は，  が，長さを  に縮小すると元の図形の  の部分に重なることを示す．
一般に縮小写像の組を与えると，それらによっ図

 （ 左 ）と 



て写された図形の和集合が元の図形に一致する，という条件から（空でない有界閉集合が一意的（右 ．

に定まるという意味で）フラクタル図形が定義できる  ．その意味で，図  と 図  はそれぞれ フラクタルとその対称性



フラクタルという言葉を聞いたことのある人は多いだろう ．多くの角度から基礎研究が行われ，

 と 

 の定義を説明している．



 は次のようにして作ることもまた，科学の種々の分野に応用研究が試みられている．ここでは，フラクタルの基礎研究の一つを，くりこみ群の思想との関連で紹介する  ．
広い意味での自己相似な図形を一般にフラクタ
ルと呼ぶ．ここでは話を簡単にするために狭い意
味の自己相似な図形を考える．自己相似性は，ある図形を縮小した図形をいくつか合わせて元の図形を再現できること，と理解できる．典型的な例
として，以下では 

図形と 

限る．図

 と呼ばれる図

 の自己相似性．

図

 の自己相似性．

 と呼ばれる図形に話をにこれらのフラクタルを示した．但し，図に描かれているのは「偽物」である．
「本物」のフラクタルは自己相似になるように無限に細かい構造を持っていなければならない．



 は単位三角形の内部に複雑な構造を持つ図形である．図  は， 
 が，長さを半分に縮小すると元の図形の数理科学  



F0

F1

F2

F0

F1

F2

できる．一辺の長さがの三角形（周と内部）をフラクタルというとまずは自己相似性に注目す とおく． から一辺

 の下向きの三角形のる．定義から考えて健全な態度である．しかし，個，図  のようにくり抜いてできる，一

ここでは，図形の自己相似性とは直接関係のない

内部を の上向きの三角形  つからなる図形を 
とおく． 同様に  から一辺  の下向きの三角形を  個くり抜いてできる図形を  とおく．
これを繰り返して，一般に，  から一辺 の下向きの三角形を   個くり抜いてできる図形を  とおく． は一辺  の上向きの三角形を  個つないでできる図形になるが，そのの極限として 
  を得る．
  の場合も同様である 図 ．
一辺 の正方形から      に対して順次
一辺  の正方形を   個ずつくり抜いていき，その 
の極限として 
 
を作れる．記号を節約して 
  の
この構成に対しても， 
  のときと
辺







同様に，最初の正方形を  とし，一般に第  段

対称性にも注目しよう．

     は図Æ 回転しても形の中心（ の重心）の回りに

変わらないという回転対称性を持つ．同様の意味
で， 
    はÆ 回転対称性を持つ．回転対称性という代わりに鏡映対称性と言っても良い．例えば， 
 は  軸と  軸の入れ替えを行う鏡映対称性
に関して不変な図形である．以下の話は回転対称性と思うか鏡映対称性と思うかによらないので，こだわらないことにする．
図形の対称性とフラクタルとしての自己相似性の関わりがこの記事のテーマである．

 プレ フラクタル型の非等方的な電気抵抗板

階の図形を  とおく．
（第 節は一般論，第 節は

人が現象を理解するときの心の動きの一つに，

  ，第 節以降は   についての記述，と分かれているので，同じ現象に対称性を見いだそうとする傾向がある．現 を用いても混乱はないと思う．
）フラクタルに対いう信仰は，仮説を提案するときの拠り所になりして，上のような  たちを，フラクタル前駆図形

やすい．一方で，パリティ非保存のように，基礎という気持ちで，プレフラクタル  


的な法則が時空の対称性を破るという発見もあっ     と呼ぶ．

象の基礎法則は美しい対称性を持つに違いないとた．現象の基礎法則が空間の持つ対称性を満たさないことがあるのだ．そこで，前節で導入したプレフラクタルについて，図形が持つ対称性を満たさない現象を図形上に定義し，対称性のゆくえを追うことにする．
具体的には，電気抵抗を考える．電気抵抗は   の概念を通して，種々の現象，例図  

えば，酔歩，拡散，自由場，などと数学的に密接な関連があり，以下の話はこれらの現象に対しても対応する結果が得られるが，この方向には深入りしない．
電気抵抗を持つ材質で作られたプレフラクタル  を考える．既に注意したように  は対称性を持っているが，材質の電気抵抗がその対称性を持っていない状況を考えよう．図  図  の横図  

方向を  軸方向，縦方向を  軸方向とし， 方向

r

1

r

1

r
1

A

r

O

r

B

O

Rxn(r)

B

y (r)
Rn

r

Ry
n (r)

A

の抵抗率が ， 方向の抵抗率が  であって，抵抗率テンソルの二つの主軸が座標軸に平行な一様
非等方な材質を考える．そして，  をこの材質によって作られた板であるとする．言い換えると，   を定数とし，電位分布が     のときに
 が発するジュール熱が  


















 

図

 

 

で与えられるとする．
（具体的な計算の際は，     

は座標変換



   の等価抵抗回路網．   で測定する限り，左右の図，および，図 の ¾ は区別できない．

抗値を示して区別できない，ということである  ．
図 ! の左側の図のように  軸方向に並んだ抵抗を大きさとし，それ以外の Æ方向に並んによって等方的な抵抗板に変換できることに注意

だ抵抗は大きさ  とする． は   の  の関数

する．即ち，実験的には等方的な材料を用いて長で，抵抗板と回路網が全体の定数倍を除いて等価

方形状に成形すればよく，理論的には長方形領域になる条件で決まるが，その関数形は結論には無における通常の調和関数の理論が使える．
）

 対称性の回復  






の場合


準備ができたので，まず  



関係なので，以下この節の終わりまで  を改めて  とおく．

対称性から， Æ 方向と Æ 方向は等しい．
（一般化して３方向とも異なる値にとっても最型の抵抗板の場合について電気抵抗を調べよう．

後の結論は変わらないことが分かっている．
）同第  段階の  


じ理由から，この抵抗回路網はさらに 図 ! の右  図  の３
頂点を左下，右下，上，それぞれ，     とし，    を端子として抵抗を測定する）．抵
抗は最小発熱の原理によってジュール熱   を用

側の図のように， に適当な抵抗を置いてつないだ回路網と等価になる．この等価回の抵抗値を  いて書けるが，この話は後に取っておくことにし と  の抵抗

値を   とする．この回路網の抵抗の非対称て，ここでは等価な抵抗素子回路網の問題に直し性（ 


てしまう．

抵抗値が満たさないこと）をはかる量として，比小さい三角形一つ一つは外側と  点だけで接しているので，抵抗板は各小三角形の各辺に適当な抵抗素子をおいた回路網と等価になる 図 !．
等価というのは，頂点  を端子として抵

抗を測る限り，抵抗板と抵抗素子回路網で同じ抵路の，   の持つ Æ 回転対称性を      

を導入する．定義から         なので     である．
電気回路の初等的な計算  によって，  に関する漸化式） ていねいに考えると，二つの板を一点でつないだ抵抗板
は抵抗が無限大になる．言い換えると，２次元領域における 方程式の境界値問題で，有限個の点に  境界条件，残りに  境界条件を置くと，一般には解がない．しかし，小さい三角形たちを変形して，三角形どう
しを，点ではなく，有限の幅で接着し，材質の抵抗率を調節しながら接着線幅と共にゼロに近づけた極限を考えること   型の抵抗板を正当化できる．こので     
点はこの記事の目的ではないので詳しい説明は省く．

数理科学            !
 !





が成り立つことが分かる．この漸化式を図示したのが 図 " である． 図の中で  は の   における唯一の固定点      である．図よ



y
y=x
y=g(x)10r

H1 H2H31x

り，    がどんな実数であろうと，   が 






となることが分かる．

に普遍的な現象なのかということである．そこで，
今度は  
 の場合 図  を調べよう．

非等方的な電気抵抗を持つ素材を用いても，十
分に大きな  

 に特有なのか，フラクタル

 の全体としての電気抵抗は等方的になることがわかった．言い換えると，電気抵抗が 
 の対称性を満たさないような材質を選んで   を作っても，細かい構造を入れていくと，対称性が回復する．この現象が，本記事の表題「フラクタルにおける対称性の回復」のもっとも簡単な例である．

 の 辺   と  の間に電圧をかけたときに観測される抵抗を   とする．最小発熱の原理によれば，      

!

となる．ここで右辺は，関数（電位分布）  を境界条件

              

このような対称性の回復現象は並進対称な図形，

を満たしながら変えるときのジュール熱   の最例えば規則格子型回路網ではおきない．そのため小値である．
（ は極小値の意味だが，この問題

か，これまで知られていなかったか，注目されてでは  が調和関数のときに最小値をとることがこなかったようだ．しかし，電気的な非等方性を分かる．また，関数  は，詳しく言うと，境界条持つ材質は特殊な物質ではないし，等方的な材質

件までこめて連続で，領域の内部で偏微分可能ででも  に従って一方向に長くした図形を考えれあって，  が有限になる関数の範囲で動かす．
）

ばやはり対称性を壊すことができて，対称性の回同様に    および  

復が観測される．

 対称性の回復  


の間に電圧をかけた

ときに観測される抵抗を   として，非対称   の場合# 

性を測る量として  の   を考える．特に，

    および     従って     では漸化式  を陽に求めることができたので，対称性の回復  を証である．

明できた．次の問題は，対称性の回復という現象

次の結果を得た．

 が大きいときの   の振る舞いについて定理 ある定数  がとれて，   が何であっても， が十分大きければ

      が成り立つ．
どれくらい大きな  で定理の不等式が成り立つかは  によって異なるが， は  によらない．
実際，   ! にとれることが証明できる．言い換えれば，材質の電気的非等方性がどんなに大きくても，（従って，正方形の板  の場合の大局的な電気抵抗の非対称性がどんなに大きくても），フラクタルの細かい構造を入れていけば，やがて電気抵抗の非対称性は

 と  の間の値になってしまう．その意味で  より弱いながら，対称図   における対称性の回復の証明．·½      

性の回復の傾向が言えたことになる．
電気抵抗と密接な関連のある  $ %  （酔

yy=9x/7y=x
y=g(x)

c

0

c

H3

r x

歩）に精通している諸氏を意識して，対称性の回復を  $ %  を用いて直感的に説明してみる．フラクタルは一様な空間に比べると障害物があるとみなせる．垂直方向に比べて水平方向に動きやすいような  $ %  をする粒子を考えよう．粒子はすばやく水平方向に動き回るが，フラクタル中にはたくさんの障害物があるので遠くまで達することはできない．粒子は，二つの障害物の間にとらわれて，水平方向にほぼ一次元的な $ %  をすることになる．とはいえ，垂直方向にもゆっくりではあるが  $ %  しているので，やがて障害物を迂回するだろう．その結果，水平方向にもより遠くまで達することが図 



向の証明． ·½

 における対称性の回復傾    できる．障害物は水平方向と垂直方向に同じ大きさであり，それが，その大きさと同じ程度の距離をおいて配置されているので，水平方向に見て遠れ換えたものから

くまで  $ %  が達する頃には同じ程度の  

距離垂直方向にも動いているはずである．即ち，を得る．これを 再帰不等式

を得る．ここでの証明は， 
 の持つ自己相似性を自然に反映した再帰不等式を求める
ことに帰着される．大雑把に言うと，非対称性が強い      とき     

" !   が成り立つ．従って，
"   のように減少するので，対称性と   の指数関数的回復傾向が分かる．具体的には次の再帰不等式が証明できる．
命題     かつ 

 に対して









         !         " 
ここで，              "．これらの式で  と  を入れ換えた式も成立する．但し，   のときは    ，   ，の意味とする．
命題  から 定理
う．命題  の数理科学が得られることを確認しよ

行目左側の不等式で  と  を入  

行目右側の不等式に代入すると

  

対称性の回復が起きる．

定理

 

            &  行目についても同様の処理をすると，!     
 
" 
ここで    ! " ．二つの不等式を辺々掛け合わせると，

       

"
 
 

  

 

"

が成り立つ．また，命題  の左側の不等式で  と を入れ換えたものを辺々掛け合わせると，  "も得る．" と  から  

 '  

を得る． は  の唯一の正の固定点     

．以上の様子を 図  に示す&  ! はすぐ分かるので，定理 の右側の不等式を得る． 軸と 軸の入れ替えを考えれば   が分かるので，定理

 



の左側の不等式も得る．

かくして，命題  から 定理が証明できることが分かった．問題は 命題  をどうやって思いつくかである．その着想を整理すると，くりこみ群の思想が見えてくる．

 距離空間のスケール変換  を反映している
こと．

 パラメータ空間の上の力学系としてのくりこ
み群の，固定点への収束または固定点近傍の線

 くりこみ群   スケール変換に対する系の応答型化によって解ける問題であること．

( もとの問題から決まる初期条件の集合に対応する力学系の軌道が，固定点への収束を除いて個々の具体例については，くりこみ群が何を計

大局的に正則なこと．）算できるかについて大きな見解の差はないかも知

以下では，対称性の回復という問題をくりこみれないが，位置づけや特徴づけといった思想的な群の立場から整理してみる．そのような試みが有部分は人によって大いに異なる．
（しかし，どう違効であると思うのは次の理由による． を増やすうのかと問われると説明は難しい．さらに，時間と  は複雑になるので ! の右辺の極小値を実とともに意見も変わる．
）筆者は  世紀の数学の現する関数  も複雑になる．そのような関数列を中の一つの大きな枠組みの可能性として，くりこ

逐次求めてその積分として抵抗を求め，その  依

み群に期待する．

存性を導くのはたいへんだろう．その代わりにス

くりこみ群は物理の指導原理や近似計算の手段

ケール変換に対する応答としての写像を求めて，として発達したが，数学的に厳密な議論にくりこみ群の思想を適用した例も，スピン系の統計力学の分野を中心に，少なからずある．
（本特集の原氏の記事を参照していただきたい．
）と驚異的な計算力で撃破する．これでよしとする立場もあろう．問題を解くことが重要であり，方法論は重視しないのが健全な態度である．しかし，
ここでは，くりこみ群という方法論に注目しよう．
思想や近似計算にとどまらず厳密に定義された数学として，また，個々の問題ではなく普遍的に有効な強力な解析手段として，のくりこみ群である．
微積分学という方法論が個々の問題を越えて数学の全分野に及ぶ巨大な一般論となったように．い
うまでもなく，この意味でのくりこみ群の数学はる単位円周上の関数として表現できる．この例では自明な汎関数を選んだとみなせる．筆者が考察対象を汎関数や測度としたのは，直接的な別解がない本格的問題において，くりこみ群が有効な解析手段となることを期待するという意味である．

 基礎法則の局所性と自然現象の大局性をつなぐのがスケール変換である．ここに無限自由度が現れる．この一点を数学の視点から説明した初等的な例として渡辺浩氏の別の特集の記事  の後半部を参照して頂きたい．
 くりこみ群が主に臨界現象と普遍性を解析するという主張．
普遍性については本特集の巻頭の示唆的な記事及び田崎氏のたいへん分かりやすい記事を参照して頂きたい．筆者は数学的解析手段としてのくりこみ群の可能性に関心があるので，普遍性という言葉を限定的に，数学的に証明できる範囲に限って用いたい．
「固定点への収束または固定点近傍の線型化」はその主旨を含む．数学的に厳密なくりこみ群に関しては本特集の原氏の記事も参照して頂きたい．
固定点だけではなく周期点等の安定多様体への収束，を考え

未解決である．
くりこみ群は無限自由度系を解析する一手段であって，スケール変換に対する系の応答をパラ
メータ空間上の力学系として表現する．くりこみ群を特徴づけるのは次の性質であろうと考える．

 くりこみ写像が距離空間上の関数空間（または距離空間に値を取る関数空間）の上の測の上で，解析的性質の良い写像  として定義されること．



念頭に置いている．

 例えば，本特集の田崎氏の記事では第３節の例において閉曲線の集合を考察するが，閉曲線は平面（距離空間）に値を取

これらの例は個々の難しい問題を非凡な洞察力

度または汎関数の集合

） 蛇足ながらここに提案した性質はそれぞれ以下の視点をる研究もある．筆者はパラメータ空間を取り替えて，例えば周期解が一つの固定点となるようにするべきであると考えるが，問題が与えられたときパラメータ空間をどう取るかは難しい．

 「初期条件の集合」はくりこみ群では     と呼ばれる．
「正則」とは，例えばカオスや    の不在，    に関する軌道の連続性などが念頭にある．
くりこみ群では     上でパラメータを動かしたとき軌道が相転移点を通ると特異点が発生する，という点に注目するが，逆に，相転移点を通らなければ正則であるという主張もないと，数学的主張としてはくりこみ群の価値はない．
しかも，カオスの例で知られるように正則性は自明ではない．

 の情報を得よう．

その性質を見ることで 

例えば，  で定義される漸化式から  を逐次求める代わりに， を 図 " のようにながめることによって， という結論を得るほうが見通しがよいかもしれないという考えである．実際，くりこみ群の描像によって 命題  の証明の特徴は
以下のように整理される．

 を，単位正方形 ) * の  辺のうちのいく
つかの辺（各辺毎に両端を除いて開区間とする）の和集合とするとき， で定義された実解析関数
の全体を



合を

とし， の選びかたに関する和集 とおく．領域    に対
してその境界を  と書くことにする．
くりこみ群はスケール変換に対する系（現象）の応答を見る．

とし，各      に対して，上のスケール                 変換（拡大）  を，図  を睨みながら，       

 





で定義する．
問題にしている抵抗という現象は上の汎関数である．  が単位正方形の  辺を含むような領   に対して汎関数  +
         

域



 を

 

で定義する．ここで，    は   で積分範囲を  としたもの，また， は関数  +  を  のとき，    を満たしながら動かすときの極小値である．
（正確に言うと， !
と同様に，  は  の閉包で連続な関数で，  で偏微分可能であって，  が有限になるものを考える．
）  で与えられる汎関数  の，の選
びかた全てにわたる集合をとおく．

こ の 問 題 に対 応 す る く り こ み 群 は ス ケ ー ル
変 換  に 対 す る 系

 +の応答を表す写像が定める力学系であって，次式で定義される．



と



に対して，

     Æ        

ここで，                                  
とおくとき， は  を定義域とする実解析関数の全体であり，   と    に対して，                    と書いた．   Æ  は  の  との合成
     

関数



  Æ         を表す．
定義から，次が成り立つことはすぐ分かる．
命題  に対して     ．



 の場合も全く同様にくりこみ群  を定義できるが， 
  の境界点は  点なので（等価回路の理論からわかるように），は  とみなせる．即ち， は実  変数関数である． を，  と上の写像としたのが  である．この意味で は厳密なくりこみ群の例になっている．写像 * で唯一の安定固定点   と不安定
固定点    を持ち， )  から出発した任意
は， )

のくりこみ群による軌道が安定固定点  

に収束する．これが，くりこみ群の言葉で説明した
ときの，  


 型抵抗板の対称性の回復現象である．

 くりこみ群   パラメータ空間と軌道の追跡

 は 図  の縮小写像で写した結果の図形と，残りの部分との境界が線分（の元空間になる．このことを  

 が対称な空間，

即ち  に制限し，さらに，比をとることで 和集合）であることを反映して， 
数理科学

 



が無限次

 は


, -  ,$  であるということがある． 
  のときはくりこみ群の解析は容易であったが，現在の技術では 
 のときのくりこみ群の完全な解析は難し

 と  を混ぜる技巧を用いると命題  の行目の右側の不等式を得る．残り二組の不等式を得るには今まで説明してきた !，即ち，電圧に関する最小発熱の原理，の代わりに電流に関い．そこで，考察対象の境界条件を有限個に制限する最小発熱の原理を考える．これは ! の 

して有限次元空間上の写像を得ることを目標とすを達成する関数が調和関数になることから，電流る．

   $  でも変分原理が書けることを用いる．

 の定義が  について極小値を求める形

 を制限すれば等式やで書かれているので，の代わりに不等式を得る．

研究としてはセールスポイントかも知れないが，最も簡単な制限の仕方は， や  が定義されている各辺毎に定数関数に限ることである．



これらの技巧が利用できることを発見したことが 上の関数            を                で定義すると，! の  は

くりこみ群の説明という観点からは調和関数特有の技巧なので，詳細は省略する ）．以上で 命題

 の証明をくりこみ群の言葉を用いて整理したことになる．

    
 

 

 では，等方性の回復が  という，強い意味で成り立つ．定理

は，この等方性の回復が弱い意味ながら 




と書く．さらに，   と   において  を線型でも成立する，ということであるが，定理の変換することにより，公式

 と表される．記号を見やすくするため            


 

を得る．




  と し て は ，定 数  ! が 存 在 し て       !            となるもののみを考える． の  ! は本質ではない．等方性の回復機構は

 の特殊性によるものではなく，普遍的な内容を持つことを 定理が示唆していると理解して， が  の場合も成り立つと予想する．第 !節最後に 
 の場合について言及したように，この予想はくりこみ群の軌道が固定点に収束するという主は 
 の場合に持つ上下および左右の対称性と，最小発熱の原理

張である．定理! の右辺の極小値が調和関数によって実現する
こと，を利用すると，  の右辺を上から評価することができる．順に，  命題    を上から評価したもの，  を用いると，も，予想される固定点を含むある有界領域に軌道







    
 

 

 





   



 !





   !

    と変形できる．最後の式を平方完成すれば

  

!

等式を得る．









 " !   "が任意の  ! に対して成り立つから，!     " に選べば，命題  の２行目の左側の不 

くりこみ群の立場から考えると， 




 の場合に  を得るためには，  の右辺の評価において，より多くの境界条件を参加させる    



が必ず落ち込むことを見届けたことを示す．



必要がある．

 の適切な完全系  を選び，一般化された有効抵抗    を考えて，それらの間の  についての  ' を考えることになる．これは， という汎関数を    という実数の無限個      の組，即ち無） 証明に関心のある方は原典  を参照していただきたい．
（遠い）将来，くりこみ群の研究が進んで  を直接扱うことができるようになった暁には，もっとすっきりした証明に置き換わることを期待したい．また，命題  の ½ ! ½ !
 の  も，現在の証明の¾ ! ¾ の値，および，添字
技術的制約によるもので，本質的な意味はない．

限次元パラメータ空間，で表現することを意味する．しかし，これは現在の筆者の想像力を越える．



 における対称性の回復という問題によって，自明でない解析が必要な問題におけるくりこみ群の迫力を示すことをめざした．本特集の田崎氏の記事が初等的な例題によってくりこみ群の本質を極めて明快に説明して，読みやす
い記事となっていることと相補的な関係になれば嬉しい．他方，この問題は，数学的厳密性を犠牲にせずにくりこみ群の定式化が可能で，本特集の範囲内でその証明を（少し無理をしながらも）与える程度には簡単な例である．この意味で本特集て次の文章を引用させて頂く  ．
私は，今の解析学および理論物理学は 
年を中心にした革命期の後の洗練期に入ったと思っています．次の革命期は今から  年
後，仮に  年としましょう，を中心にし 私の思う  年のた時期だと思います．

解析学および理論物理学の革命とは， 世紀の言葉で近似的に言えば無限自由度系の解析であり，さらに  世紀で言うくりこみ群の  世紀における姿が今の微積分学のような基礎技術になるということです．

の原氏の記事が取り上げたような難しい問題ともくりこみ群の枠組みが有益であることをいま示せ

相補的な役割を果たすことを期待する．

なくても悲観しない．

 くりこみ群    年# 

 上の電気抵抗の対称性の回復の証明をくりこみ群の言葉で説明した．しかし，試みに，第 !節以降の「くりこみ群」という単語を「 についての漸化式」という語句に置き換えて読み直して頂きたい．この置き換えで読みづらくなるのは，第 !節の前半と第 "節の後半だ
けであろう．
命題  の証明を思いつくためには，少なくとも暗黙のうちにくりこみ群の描像を必要とするが，まだ  年もある．
参考文献

 フラクタルを広めたマンデルブローの著作，
        
   ! "# は有名であろう．
#   $ % &   &  & '(       )*! ( + $ !  , - .#/.- 及 び ，  $ % &   &  & '(         
  01  ! )  )*! !  22
本記事の主要部分の内容は    $ ,3 (+! * 4   !) 01 ，服部久美子（信州大

証明を理解するだけならばくりこみ群を具体的に意識する必要はないし，くりこみ群の枠組みを書き下しても今のところ具体的な進歩はない（記事を書いているうちに 定理の  の値を原典より多少改善できることに気づいたが，本質的な進歩ではない）．
既に触れたように，これは本記事に限ったことではないと考える． 世紀現在，「くりこみ群」という単語は，数理科学または数学において，個々の問題を越えた普遍的に有効な一般論の形では厳密には定義されていない．数学的には「 についての漸化式」というだけでは尽くせない（予想や.学），渡辺浩（日本医科大学）との共同研究である．
第６節以降のくりこみ群による定式化の試みは渡辺氏との共同研究（未発表）を含む．氏に感謝する．また，田崎晴明氏（学習院大学）にはこの研究及び本記事の両方にわたって議論及び助言を頂いた．改めて感謝したい．なお，特に第８節において表現上の暴走がもしあれば，それは筆者一人の責任である．
フラクタルに関する数学の基礎教科書としては例えば，%      ' * 0) )!
 縮小写像の話は同書第 章．

 電気抵抗の計算は教科書を参照していただきたい．例
えば，高橋秀俊，「電磁気学」裳華房（物理学選書３）．

- 渡辺浩，「 と ½」数理科学  特集「 と ½」
, . -/ 
「２０４１年くりこみ群の研究」統計数理
 服部哲弥，.  . / 研究所リポート  ,（はっとり・てつや，立教大学理学部）

期待はあっても）成果を確立したとは言えない．
では，くりこみ群は数学の中で大きな枠組みとなることなく終わった描像だろうか．答えに代え数理科学      !"#$  