平等度の統計学と確率的順位付け
服部哲弥（慶應・経済）2012.08.10 集中講義「統計学」
北海道大学理学部数学科

START



０−１．背景−べき法則
注：前半は「統計学」講義の続き．後半が私の研究講義の例：公平な硬貨投げ 3 回中おもての枚数の分布 B(3, 0.5)
大きさ N = 8 のサンプルデータがこの分布どおり出現したとする
おもて 3 2 1 0
件数 1 3 3 1
見方をかえて，データ間のおもての枚数の異同に注目
データをおもて枚数の大きい順に並べて wi , i = 1, 2, . . . , N
w
3
2

1

1
0
1

枚数対順位


N

N i

ガウス分布の分布関数の逆関数
1()

指数法則
順序・順位：データや母分布を講義と異なる視点→おもしろい
・順位 i の値 wi, i = 1, 2, . . . , N （非増加列）
・社会的な分布（例：世帯所得）：正 wi > 0・簡単（密度と順位とも数式が簡単な分布は少ない）N
例． wi = c log , i = 1, 2, . . . , N , c > 0i
1 {i | w  x} =分布関数：P[ [x, ∞) ] = Ni
1 {i | i  N e−x/c } ∼ e−x/cN
指数分布（「幾何分布」）

1

N

格差の度合いをパラメータとしたい→講義になかった例を探す（注：後半で Xi を別の意味に使うので wi としています．x との混在すみません）



2()

べき法則
べき法則（一般化 Zipf の法則，一般化 Pareto 分布，対数線形分布，…）



1/b

N
, i = 1, 2, . . . , N , a, b > 0i a b1
P[ [x, ∞) ] = N {i | wi  x} = x

wi = a

1



N

3()

平等度のパラメータ


N
N 1/b
1
wi = a⇔ logwi = log + log aibiwa: 最低所得， b: 平等度 1 = N 1/b：b 大のとき平等
wN


b>1
b=1
b<1

1
1

b>1
b=1
b<1

N

N

log wi vs log iwi vs i
下位（ロングテール＝長い尾）が新しい研究対象なので，事実認識には左図が良い（両対数は指数を見極める上で有効）


4()

０−２．流行度の順位付け
べき分布の社会・経済現象への当てはめ
古典：所得格差 (Pareto)
大きな注目：大きな事故や損害が正規分布より頻繁（株価下落）「黒鳥」
現代から近未来の注目：ロングテールビジネスの可能性
・多様な商品や意見への購入者・支持者の分布＝流行度の分布
・ウェブ (2.0) 時代→カテゴリごとの選択肢の急増，コストの急減→現代から近未来に重要度が飛躍的に増加する可能性



5()

ウェブ時代の巨大な選択肢と流行度
・巨大掲示板群 2ch.net の特定の板のスレッド一覧（関心テーマ）
・ブログ集合体 ameblo のブログ人気ランキング（発信者＝αブロガ）
・動画投稿サイトニコニコ動画，You Tube の再生数（映像娯楽）
・ダウンロードサイト iTunes の DL 数（音楽娯楽）
・アイドル集合体 AKB48 の人気投票（アイドルの「消費」）
・オンライン書店 Amazon の書籍売上ランキング（知識／娯楽）・各種通販サイト楽天等の商品種別ごとの商品売上（商品）・論文リポジトリの DL 数，論文の引用数ランキング（研究成果）
インターネット時代に初めて可能になった項目の多さ
人気は集中し，目立たない多数の項目（しかし売上が正の「長い尾」）
参考：自然現象におけるべき分布の例に強度上の予震回数の分布



6()

ニコニコ動画困難：長い尾の実現した web 時代だが，下位の値 wi は殆ど公開されない
下位の順位詳細には興味は集まらない→コストに比べ宣伝効果がない
2011 年度慶應・経済 3 年山下紘史研究プロジェクト（ニコニコ動画，AKB48 選挙）

ニコニコ動画再生回数（総合，1 時間）
1000

0

1

100

1

5

30

100

b = 2.3 (i  29) b = 1.1 (29 < i  100)

指数分布よりはべき分布（特に「尾」の部分）


7()

ニコニコ動画（続き）
ニコニコ動画再生回数（総合，累積）
107

0

1

1209

1

30

1209

b = 2.8 (i  28) b = 2.2 (28 < i  1209)



8()

長い尾のデータの推定
中・下位の個別の動画再生数（ランキング）は非公表 → べき法則を仮定すれば，動画総再生数と動画総数から下位の分布も決まる

1

100

N = 7 × 106,b = 0.44N

4i wi = 4.8 × 10 ,(w1 = 3697, w100 = 147,





4
i>100 1.2×10 )

1

1209

N = 7 × 106,N

i wi = 2.8 × 10

10,

b = 1.375(w
 1 = 1 × 10 ,10 w1209 = 8 × 10 ,i>1209 2.8 × 10 )9()2011 年 AKB48 総選挙（人気投票）
N = 150, 総投票数 120 万，b = 1.7 (i  11),b = 0.59 (11 < i  40), b = 0.35 (40 < i  150)

105
1

0

1

11

40

N

40

ニコ動も AKB 選挙も，ヘッド（上位）と累積は b 大 (b > 1) だが，テール（長い尾）で短期（流行度）は b < 1
指数法則よりはべき法則だが，その中では（格差＝テールの打ち切り）



10()

ロングテールビジネス分析の難しさ
下位データは公開されないため，ロングテール部分のデータ入手は困難
正しい応用数学：現実における困難の所在が分かれば，そこに新しい数学を投入できる（べき法則の仮定下で，総数が分かれば下位も決まる）
商売（アマゾン書店）：売上は秘匿するのが普通→総数もわからない
ロングテール部分の推測方法？
★後述：ランキングから分布を逆算できる！
（確率順位付け模型）
以下，簡単のためべき法則を仮定して，その意味をまず確認する



11()

０−３．指数 b
多品目商品を扱う小売業．例：大型書店．商品 1 点⇔書籍 1 タイトル
一定期間の売上順に商品を並べて，i 番目の商品の売上を wi とおくwiwi

横軸 ⇔ i ⇔ 商品 1 点
8

縦軸 ⇔ wi ⇔ 商品 iの単位時間当売上
8ii

左図：b < 1 格差大 右図：b > 1 平等に近いb > 1 のとき，「尾」（非売れ筋）の売上合計が無視できない（ロングテールビジネスモデル成立の可能性）



12()

べき法則とロングテールビジネスi ⇔ 横軸 ⇔ 商品 1 点（本のタイトル），wi ⇔ 縦軸 ⇔ 商品 i の単位時間当売上

インターネットリテール：インターネットの日常化で現実的 (Web2.0)
商品「陳列」コスト激減（地代，盗難破損劣化，棚卸し）
ロングテールビジネスが初めて可能に → 成立・規模の分析の必要

c1

c1

c2

c2
n1 n2

n1

n2

b > 1（右図）のとき，低コスト (c2  c1 ) ならば，ロングテールビジネスモデル成立の可能性


13()

ロングテールビジネスの可能性の数理・ b < 1 → 商品点数が劇的に増えても，売上への貢献は微小・ b > 1 → 商品点数が劇的に増えれば，市場は拡大する期待○近未来（ネット小売り始まりの時代）→ b ∼ 1 ならば，b > 1 と同様，種々の対象を開拓する余地べき法則の仮定の補正：コスト，wi の (log i)2 の項の係数が負（予想）○中長期→ b ∼ 1 ならば，b < 1 と同様，飽和は早い
インターネットリテールの将来予測に役立つ
困難（再掲）：テールは関心が薄い → データが見あたらない商売（アマゾン書店）では特に，売上は秘匿するのが普通★ロングテール部分の推測方法？鍵：アマゾン書店はランキングを公開



14()

１ー１．先頭に跳ぶ規則
ここから研究の本題．ここまでの話を一度忘れて，数学的な模型（のちほど，一見無関係な０．と１．が結びつくことを言います）
N 自然数
N 個の粒子を一列に並べた系の並び方についてのランダムな時間発展
3

2

4

1

5

1

3

2

4

5

2

1

3

4

5

1

2

3

4

5

3

1

2

4

5



どれかの粒子がランダムに先頭に跳び，追い越された粒子は順位を 1 ずつ下げる
例：粒子 1, 2, 1, 3 の順に跳んだときの並び方の時間発展
先頭に跳ぶ規則 M.L.Tsetlin (1963)，
積ん読，超整理法，最後に跳んだ順，…

15()確率順位付け模型
個々の粒子の順位（ランキング）の時間発展（確率過程）に注目(N )ゼッケン番号 i の粒子の時刻 t での位置（ランキング）Xi (t)(N )t  0, i = 1, 2, . . . , N , Xi
(N )X (N ) = (X1(N )

初期値： Xi(N ), · · · , XN

(N )(0) = xi

: Ω × R+ → {1, 2, . . . , N }), i = 1, 2, · · · , N

時間発展：Poisson のランダムな測度に応じた時刻で X (N ) (t) は変化(N )(0) 先頭に跳ぶ規則：ある粒子が先頭 (Xi(N )(t) = 1) に跳び，追い越(N )された粒子は順位を 1 ずつ下げる (Xj (t) = Xj (t−) + 1)
→先頭に跳ぶランダムな時刻で決まる：できる限り簡単なものを選ぶ



16()

時間発展
(N )

(1) 粒子 i が時間 (s, t] の間に先頭に跳ぶ回数 νi((s, t]) は

λk
(N )
(N )
−λ
(t − s) のポワッソン分布 P[ νi ((s, t]) = k ] = e
平均 λ = wik!

(2) 下位の粒子が 1 位に跳ぶ毎に 1 ずつ順位が下がる(N )• Xi (t) ＝最後に跳んだ順に並べるときの位置（順位）(3) 先頭への跳びは粒子間で独立，異なる時間で独立
(N )

(N )

（ポワッソン過程．νi ((1, 2]) ⊥ νi ((3, 4])）• 確率 1 で同一時刻に先頭に跳ぶのは 1 個



17()

確率微分方程式（参考）N 固定．i = 1, 2, . . . , N(N )νi: (Ω, R+2) → Z+ は i について独立な，ds dξ を強度とする増分 1 のポワッソン過程
(N )
(N )
Xi (t) = xi

N 

+
1 (N )1(N )j=1 s∈(0,t] ξ∈R+Xi(s−)<Xj(s−)（↑下位の粒子の先頭へのジャンプに押される変化）


(N )
+
(1 − Xi (s−)) 1
(N )
(N )
s∈(0,t] ξ∈R+

ξwi

(N )

ν
(N )
(N )
ξwj (Xj (s−),s) j

(Xi

(N )

(s−),s)νi(dξds)(dξds)（↑先頭へのランダムなジャンプ）
1A は事象 A（または集合 A）の定義関数(N )• wi たちは，時刻依存性（昼夜差）を持つ場合 [針谷服部服部永幡
竹島小林]，位置依存性（先頭注目効果）を持つ場合 [服部楠岡]，に拡
張できる


18()

１−２． 大数の法則
(N )

Ji

(N )

(0, t) = {νi((0, t]) > 0}（粒子 i が時刻 t までに先頭に跳ぶ事象）

1 
(N )
YC (t) =1 (N )Ji (0,t)N
N

特性曲線（の，離散版）

i=1
(N )
先頭に跳ぶ以外で追越し無し→ YC はジャンプ済み粒子と未ジャンプ粒子の境界

1 
(N
)
命題．λ
=
δ (N ) → ∃λ (N → ∞) ならば，
wi
N
i=1

(N )
YC (t) → yC (t) = 1 −e−w tλ(dw) (N → ∞，概収束)
N

R+

(N )

3

(N )

証明： 独立確率変数の和の大数の強法則：YC (t) − E[ YC (t) ] → 0
(N )
(N )
＋ポワッソン分布：P[ Ji (0, t) ] = 1 − P[ νi ((0, t]) = 0 ] = 1 − e−w t 2



19()

位置ジャンプ率結合経験分布の収束(N )ジャンプ率 wi(N )と位置 Yi

=

1 
(N )
µt
=
δ (N ) (N )(wi ,Yi
(t))
N

1
(N )
(Xi
− 1) の結合経験分布：
N

N

i=1

(N )

(N )

定理．µ0 → ∃µ0 (N → ∞) ならば，各 t > 0 に対して µt→ µt(N → ∞，概収束）．
µt は（初期分布 µ0 を用いてあらわに書ける）非ランダムな分布． 3

skip



20()

証明の鍵

−

特性曲線 yC (y0, t0; t)

Γi = {(y, 0) ∈ [0, 1) × R+ | y  0}（初期点集合），
Γb = {(0, t) ∈ [0, 1) × R+ | t  0}（境界点集合），Γ = Γi ∪ Γb
(N )

(N )

(y0, t0) ∈ Γ に YC(t) = YC (y0, t0; t) と yC (t) = yC (y0, t0; t) を拡張
1(N )YC (y0, t0; t) := y0 +1 (N )y0
Ji (t0 ,t)
N
(N )
i; Yi
(t0 )y0
yC (y0, t0; t) := 1 −e−w (t−t0)µt0 (dw × [y0, 1))yR+

大数の法則（独立確率変数列）：(N )
YC (y0, t0; t) → yC (y0, t0; t)

t0

t


21()

証明の鍵

−

特性曲線に沿って分布を見る


1
(N )
(N
)
U
(dw, y, t) = µt (dw × [y, 1)) =

N

1
(N )
（再掲）YC (y0 , t0 ; t) = y0 +
N


(N )

i; Yi

(N )
i; Yi
(t)y

1 (N )(t0 )y0(N )補題．ϕ(N )(dw, γ, t) = U (N )(dw, yC
大数の法則によって N → ∞ で収束

Ji

(N )

yC

(t0 ,t),wi(y0, t0) = γ ∈ Γ(γ, t), t) は独立確率変数の3

証明： 先頭に跳ばない限り粒子間は追い越し無し →入り無し →

δ (N ) (dw)

(N )

yC

を通しての粒子の出より右の粒子が先頭に跳ぶ効果のみで時間発展

2y = yC (γ, t) = yC (y0, t0, t) の γ についての逆関数 γ̂ をとれば，U (dw, y, t) =U (dw, yC (γ̂(y, t), t) = ϕ(dw, γ̂(y, t), t) への収束を得て，定理の証明を終える 2



22()

µt
t > 0 ﬁxy = yC (γ, t), γ ∈ Γt = Γi ∪ {(0, t0) ∈ Γb | t0  t} の逆関数
γ̂(y, t) = (y0(y, t), t0(y, t)) = γµt(dw × [y, 1))= e−w (t−t0(y,t)) µ0(dw × [y0(y, t), 1))y > yC (γ, t)
e−w t µ0(dw × [y0, (y, t), 1))=e−w (t−t0(y,t)) µ0(dw × [0, 1)) y < yC (γ, t)(λ(dw) = µ0(dw × [0, 1)))



23()

極限を記述する偏微分方程式
ジャンプ率が有限種類：λ =βrβ δwβ ,rβ = 1, wβ , rβ > 0βuα = µ0({wα} × ·) : [0, 1) → R+: 非負滑らか狭義減少，のとき定理．Uα(y, t) = U ({wα }, y, t) は次の偏微分方程式系の初期値問題の時間大局的一意古典解：

∂ Uα
∂ Uα
(y, t) +(y, t) = −wαUα(y, t)wβ Uβ (y, t)∂t∂yβ

境界条件 Uα(0, t) = rα，初期値 Uα(·, 0) = uα(·),

3



24()

２−１．Amazon ランキングの謎
Amazon.co.jp

本のページ中程やや下Amazon.co.jp ランキング「Amazon の謎順位。」‘Internet retailers are
extremely hesitant about
releasing speciﬁc sales
data’

謎ならば答えを探そう



25()

ランキングの時間変化
・本を書くと，自分の本の順位が気になる．

・が，漫然と眺めても１時間に１度更新されることくらいしか分からない

・方針を逆転させ，先に簡単な数理モデルを立てて，データの特徴を捉えているか付き合わせる．
ランキング＝流行度を反映する順位→理想化：
売れた瞬間を１位にする先頭に跳ぶ規則（確率順位付け模型）



26()

アマゾン書店での順位の大きな跳び
200,000

1 回の更新での大きな順位改善の確認
22fri

Dec’0629fri

・先頭に跳ぶ規則は少なくとも定性的にアマゾン書店ランキングを説明あり得る疑問：・順位はもっと安定的（確定的）な数値であるべきだろう・アマゾン書店がそんな単純なアルゴリズムですますまい→定量的には到底役立たない？ ⇔ ★事実：合う（後述）
・順位が安定しているのはよく売れる一部の上位だけ．大多数の本は数ヶ月に１回以下しか売れない．それらの本の流行度の判断基準は直近の１回の購入しかない．
・アマゾン書店のアルゴリズムは，単純な先頭に跳ぶ規則でなく，少なくとも数時間前までの購入状況も反映．しかし，数ヶ月に１回以下しか売れない大多数の本にとっては関係ない．
27()大数の法則とサンプル
rankingranking

100

Jan’11

1,000

May’11

date

Jan’11

May’11daterankingranking

10,000100,000

Jan’11

May’11

date

Jan’11

May’11date

ビッグヒット vs. 普通の本（ロングテール側）
巨大な系の流行度の順位は，大多数にとって確率的（普遍性）


28()

２−２．大数の法則とランキング(N )前掲命題． xi
(N )

Xi

(N )

= Xi

(N )

(t) = XC(0) = 1 のとき，次に先頭に跳ぶまで(N )(t) + 1 ∼ N YC(t) ∼ N − N R e−wtλ(dw)+wi ⇔商品 i の平均注文頻度，λ ⇔注文頻度の分布
限られたデータによって，社会についての何を知るべきか？
λ が（一般化）Zipf の法則 (Pareto 分布) の場合
 1/bN(N )wi=a; a: 最低収入，b: 平等性の指数i
Xi (t) ∼ N − N b(at)bΓ(−b, at)); Γ(z, p) = p∞ e−xxz−1 dx
N, a, b を与えれば決まる（データを使って統計的当てはめ）
注．N は Amazon 公称ではなく実効値 (Pareto 分布に近い範囲)
(N )



29()

最小 2 乗法
データ：(t , x ),= 1, 2, . . . , nd

いいかどうかは別にして，理論とのずれは独立なポワッソンと仮定すると
nd
nd


E = E(N, a, b) =(x − N yC (t ))2/x ∼N [0, 1]2
=1
=1

◦ 注文のばらつきは大数の法則で処理済，入らない（アイテム数についての大数の法則）• ずれの中身は，徹底的に単純化した際に落とした社会的要因：アマゾンの恣意性（アルゴリズムの相違，事故・品切），絶版・新刊，大数の法則を越える大規模注文◦ 最小化する評価関数を最小２乗法に変えても b < 1



30()

Amazon.co.jp ランキング
ranking

500,000

Jun’07

Sep’07

Dec’07Mar’08date

上位への大きな跳び⇔アマゾン書店での注文（1 冊でも） →確率順位付け模型の結論を当てはめてみる
O(1 万) 位は 1 位とみなす近似で O(100 万) 位の現象を理解



31()

アマゾンはロングテールに非ず
ranking

500,000

Jun’07

Sep’07

Dec’07Mar’08date

3 パラメータで 98 点のデータを当てはめ(N ∗, a∗, b∗) = (8 × 105, 6 × 10−4, 0.81)
ロングテール型ではなく，ビッグヒット依存型のビジネスモデル• b < 1「不平等」上位 o(N ) 冊が売り上げの全てを占める• 公開情報だけで実証する数理的方法を与えた



32()

３．その他の話題
・ 強度が時刻依存性を持つ場合の応用：
2ch.net の書込などの昼夜差・ 主定理の応用：
ランキングによる打ち切り判断の合理性 (b < 1 の場合)
・ 点数の年次変化：
強度の時刻依存性によって原理的には可能
skip



33()

３−１．昼夜差
ジャンプ率に時刻依存性（例：昼夜差）がある場合
− tt w(s) ds(N )Xi (t) ∼ N − N
e 0
Λ(dw)
L1
loc (R+)(N )• 共通の時刻依存性の仮定：wi(N )(t) = wi(N )A(t), wi

0

社会活動の昼夜差 は粒子（順位の対象）に無関係と仮定（差は統計誤差と扱う単純化）



34()

日内変動に影響されないデータ採取計画法
時刻の関数 A(t) を決めるには大規模なデータが必要
ジャンプ率分布 λ を先に引き出したいとき
共通時刻依存性＋周期関数（昼夜差）の仮定→ A(t) = t+ 周期関数
(N )Xi (24n + t0) ∼ N − N
e−w n+a0 λ(dw))
R+• 毎日定時に得たデータのみ用る（逃したら諦める）場合は，日内変動が無い場合に一致



35()

Amazon.co.jp

社会活動の昼夜差

2500000

明らかな昼夜差（深夜から早朝まで全体の活動停滞）→強度の共通時刻依存性を適用→毎日定時のデータは一様な場合に帰着• 強度の時刻依存性（昼夜差）のデータからの定量は難しい
アマゾン書店は 1 時間に一度の更新，web1 ページに 1 点の本の情報


36()

2ch.net のスレッド一覧

２ちゃんねる：web 掲示板の巨大な集まり
スレッド（ページ）一覧：
書き込んだスレッドが 1 位
move-to-front 規則（注：sage 進行は除く）
N は 103 程度で小さい（ので，数％の揺らぎがある）が，先頭に跳ぶ規則が明らかなので，踏み込んだ検証が可能
スレッド一覧の 1 ページに全スレッドの順位情報→全数調査可能


37()

スレッド一覧の順位変化
強度の日変化の推定
400

12:00

400

18:00

00:00

06:00

12:00

0

6

12

18

24

左図は 24 個のスレッドの，最後に書き込まれて以降の順位変化
右図は最後に書き込まれた時刻を 0 に取り直して重ねた図
昼夜差のため，1 つの関数 yC (t) に重ならない
データ自動収集プログラム竹島佑介君 （2008 年度東北大 M2，現富国生命）
集計 小林孝長君（2009 年度東北大 M2 ，現仙台二高）



38()

共通の時刻依存性の検証と Pareto 指数の普遍性
（再掲）

(N )
Xi (t) ∼ N (1−

400

 ∞
0

e−wS

(N ) (t) a bλ(dw)); λ([w, ∞)) = w
,wa

400

1000

2000

3000

4000

1000

2000

3000

4000

• 共通の時刻依存性は実用的に良さそうである(N )
Xi (A−1(t))（A(t) ∼ S (N )(t)） → b = 0.872 < 1• Amazon.co.jp も 2ch.net も共通して b < 1
本の購入はベストセラーに，書き込みは人気スレッドに集中



39()

昼夜差

4000

12:00

18:00

00:00

06:00

12:00

12:00

18:00

00:00

06:00

12:00

• 20–01 時に書込活動活発，03–09 時に不活発（２ちゃんねる）（アマゾン書店と整合）



40()

３−２．主定理とランキングによる打ち切り
時間的に一様，かつ，定常 (t → ∞) な場合，主定理の極限結合分布は
 ∞µ∞(dw × [y, 1)) = e−wt0(y)λ(dw); 1 − y =e−wt0(y)λ(dw)0(**) 特に，t0(y) > 0, y > 0(cf. t0(0) = 0)

先頭に跳ぶ粒子のうち tail 側 [y, 1) にいたものの割合＝総売上への時
R+ w µ∞ (dw × [y, 1))
刻 t にランキング下位だった本からの寄与＝
R w λ(dw)+(**)→ 分子は有限 →λ の平均が有限⇔下位の売上は無視できないλ が平均を持たない⇔下位の売上は無視できる(b < 1)(b > 1)41()ロングテール(N )(N )wi の下位を切るのが正確だろうが，wi は測定可能量ではない
ある瞬間のランキングの下位を切るとき（機会）損失の見積もり
λ の平均が有限⇔ランキング下位の売上は無視できないλ が平均を持たない⇔下位の売上は無視できる(b < 1)(b > 1)（入学試験の原理）



42()

冊数の変化ranking

500,000

N = 80 万 (2007 年)
Jun’07

Sep’07

Dec’07Mar’08dateranking

500,000

N = 90 万 (2009 年)
Jan’09May’09Sep’09dateranking

500,000

N = 95 万 (2010 年)
Jan’10

May’10

Sep’10date

刊行前 w(t) = 0 とすればよい（昼夜差は時間変更）．ライフサイクルの検出


43()

＊． 普遍性とロングテール
アマゾン書店のアルゴリズムは確率順位付け模型か？（多分違う）
なぜ合うか？ 普遍性の仮説：
めったに売れない本の流行度は最後に売れた順しかない
ranking

500,000

Jan’10

May’10

Sep’10date

左半分（刊行間もなく）1 万位未満，右半分 7 万位未満
ロングテールで問題になる順位は，常識的に順位を考える領域を 1 位と同一視する縮尺（新しい現象）skip


44()

確率的な順位付け(N )下位の wiは測定可能量ではない．
(N )データから決めるには 1/wi

1 の時間を要する「五十歩百歩」．

順位付けは確率的な概念である．能力の正確な反映ではない．
ロングテールは順位付けが確率的であることが顕著な領域を扱う．
流体力学的極限という一つの帰結を得た．他に何があるか？



45()

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文献

服部哲弥，
「Amazon ランキングの謎を解く」，
化学同人，2011.5．

K. Hattori, T. Hattori, Stochastic Processes and their Applications
119 (2009) 966–979.
K. Hattori, T. Hattori, Funkcialaj Ekvacioj 52 (2009) 301–319.
K. Hattori, T. Hattori, RIMS Kokyuroku Bessatsu B21 (2010)
149–162.
Y. Hariya, K. Hattori, T. Hattori, Y. Nagahata, Y. Takeshima,
T. Kobayashi, Tohoku Mathematical Journal 63–1 (2011) 77–111.
山下紘史，2011 年度研究プロジェクト論文．

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Bye

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