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題目(和文)

変分原理の良設定性及び三位一体重力理論の自由度勘定に関する研究

Title(English)

On well-posed variational principle and degrees of freedom counting ofgeometrical trinity of gravity

著者(和文)

友成恭介

Author(English)

Kyosuke Tomonari

出典(和文)

学位:博士(理学),学位授与機関:東京工業大学,
報告番号:甲第12639号,授与年月日:2024年3月26日,
学位の種別:課程博士,
審査員:須山 輝明,伊藤 克司,今村 洋介,慈道 大介,関澤 一之,山口 昌英

Citation(English)

Degree:Doctor (Science),
Conferring organization: Tokyo Institute of Technology,
Report number:甲第12639号,
Conferred date:2024/3/26,
Degree Type:Course doctor,Examiner:,,,,,

学位種別(和文)

博士論文

Category(English)

Doctoral Thesis

種別(和文)

審査の要旨

Type(English)

Exam Summary

Powered by T2R2 (Tokyo Institute Research Repository)

（博士課程）論文審査の要旨及び審査員
報告番号甲第号
氏

主査名

学位申請者氏名
職

名

友成恭介
氏

名

職

名

須山輝明

教授

関澤一之

准教授

伊藤克司

教授

山口昌英

特定教授

今村洋介

准教授

慈道大介

教授

論文審査
審 査 員

審査員
審査員

論文審査の要旨（2000 字程度）

宇宙初期インフレーションの機構、現在の宇宙の加速膨張の起源、Hubble tension、σ8 問
題などの宇宙論における未解決問題が知られている。これら全ての物理現象は、空間の膨張や重力の強さに関連しているため、一般相対論が高エネルギースケールあるいは宇宙論的距離スケールで破綻していることを示唆しているのかもしれない。本論文は、上記の動機付けの下で、一般相対論を拡張した重力理論(拡張重力理論)に焦点を当て、拡張重力理論の定式化および一連のクラスの拡張重力理論における力学的自由度を明らかにすることを目的としている。重力を時空の幾何学と結び付ける一般相対論では、接続係数が計量だけから決まるという最も単純な幾何学が採用される一方、捩率や計量の共変微分が非自明となる非計量性を採用した幾何学も可能であり、曲率・捩率・非計量性の３つの要素からなる拡張重力理論は、metric-affinegravity とよばれ、そのうち曲率・捩率・非計量性のいずれか一つの幾何学量で重力を記述する理論は geometrical trinity of gravity として知られる。そのような拡張重力理論は、一般座標変換不変性等のゲージ自由度を有する拘束系であり、力学構造を明らかにするためには DiracBergmann 解析を行う必要がある。また、Dirac-Bergmann 解析を行う出発点である最小作用の原理は、一般の拘束系においては、変分原理における境界条件を拘束条件と無矛盾になるような整合性を持つ変分原理(=well-posed variational principle)に基づくべきである。本論文は、拘束系における変分原理の定式化という基礎の部分から、geometrical trinity of gravity の導入及びそれの Dirac-Bergmann 解析の実行と力学自由度の導出までを行ったものである。
本 論 文 は ”On well-posed variational principle and degrees of freedom counting ofgeometrical trinity of gravity”と題し、申請者の４本の論文に基づいている。本論文は８つの章からなる。第１章”Introduction”では、上記３つの宇宙論の未解決問題の簡潔なレビューがまとめられており、これによって拡張重力理論を導入するための正当性が与えられる。第２章”Analytical mechanics on degenerate point particle systems”では、拘束系におけるゲージ
自 由 度 の 取 り 扱 い や 力 学 的 自 由 度 の 求 め 方 を ま と め て い る 。 第 ３ 章 ”The well-posed
variational principle in degenerate point particle systems”では、拘束系において変分原理の境界条件の数と物理的な自由度が一致するという整合性を満たすために、ハミルトン形式の枠組みで拘束条件とそれとは独立な正準変数に分離することで、独立な境界条件を課すべき変数を見出すための定式化を与えている。これは申請者独自の成果である。第４章”General theoryof relativity”は、一般相対論の導入に続いて、前章で導入された方法に基づいて、一般相対論の Dirac-Bergmann 解析を行い、力学的自由度が２であるというこれまでに知られている結果を再現している。第５章”Gauge approach to gravity”では、重力を幾何学で記述するための数学的準備が与えられている。第６章”Metric-affine gauge theories of gravity”では、まず５章の内容に基づいて、曲率・捩率・非計量性などの幾何学量が導入されている。これまで構造方程式に基づいて曲率と捩率を導入できることは知られていたが、Metric-affine 群のメビウス表現を使うことで、非計量性も構造方程式で記述できることを示した点は新しい。geometricaltrinity of gravity においてスカラー曲率のみを含む理論、スカラー捩率のみを含む理論、スカラー非計量性のみを含む理論の三者は最もラグランジアンが簡単な場合にはすべて一般相対論と等価な理論となることが知られているが、それを再確認した後、それらの理論の非線形拡張
も 与 え て お り 、 こ れ は 次 の 章 に お け る Dirac-Bergmann 解 析 に 繋 が る 。 第 ７ 章 ”DiracBergmann analysis of geometrical trinity of gravity and its extension”では、非線形に拡張された、スカラー曲率のみを含む理論、スカラー捩率のみを含む理論、スカラー非計量性のみを含む理論の３つの場合においてそれぞれ Dirac-Bergmann 解析がなされている。そして、拘束条件のポアソン括弧に Dirac のデルタ関数の座標微分が現れうることを確認し、取り扱いが困難であるこの項の存在の有無によって力学的自由度の勘定が変わることを見出している。そのような項は曲率、捩率のみの理論では生じず力学的自由度はそれぞれ３と５であることを導いており、これはすでに知られている結果を再現する。そして、非計量性のみの理論では、上記の項が恒等的に消えるような運動では力学的自由度が６であり、消えない場合は７であることを導いている。これまで他の複数の研究グループがそれぞれ異なる力学的自由度を報告しているが、本論文ではそれらの違いがどこに起因するかを明確にしており、混沌とした状況を整理する有益な結果である。第８章”Conclusions”では、本論文のまとめと今後の展望について議論している。以上の各章で、３、６、７章が自身の論文の結果に基づいたオリジナルな結果を含んでいる。
本論文は、geometrical trinity of gravity とよばれる拡張重力理論の基本的な理論構造に新しい洞察をもたらすものである。よって本論文は、博士(理学)の学位論文として価値のあるものと判断した。
注意：「論文審査の要旨及び審査員」は、東工大リサーチリポジトリ（T2R2）にてインターネット公表されますので、公表可能な範囲の内容で作成してください。