ll……lt‖‖‖‖‖‖‖‖州tlllllll……………l………ll……………………l……l………………‖‖‖川l…ll……l………………‖‖‖……‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖………………l…ll…‖‖………ll…llt州…ll………………‖………ll

リアル・オプション
柔軟性評価への道
大槻聴幸，竹澤伸哉
l…ll…ll…………l…ll…………………………‖‖‖‖‖‖…………lll…………l……l…………t………ll……l‖‖‖州‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖削‖l…………l…l…‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖州t…ll…………………llt………ll……l霊…llt……州州とはあらゆるオプションのポートフォリオであると云1．はじめに●えなくもない。本稿ではCCAの基本的概念、リアル・企業財務や企業戦略に関する分野で、Value−based

オプションの種類、使用され得るオプション価格モデmanagement［2］というアプローチがある。企業の究極のル、リアル・オプション特有の問題などを文献紹介を

ゴールは株主が実現できる企業価値を最大化することかねて解説する。

であるが、その過程において、評価方法それ自体を意思決定のためのツールとしようという考え方である。
その場合に、企業を多くのプロジェクトのポートフォファイナンスの理論は確率微分方程式を使用してリオと考えて、それぞれのプロジェクトより発生する展開されるのが標準になっている【13】。問題の直観的キャッシュ・フローの現在価値（NPV）をベースに個々把握が容易であり、その展開から得られる偏微分方程の投資計画を策定したり、企業戦：略を決定したりする式は問題に応じた初期条件、境界条件が与えられれば、ことが考えられる。

差分法により代数的に解けるところが実務に役立てる

しかしながら、企業活動においては、いくつもの選上で魅力的である【23】。また必要に応じて、確率ダイ択肢があり、それぞれがオプション的性格を持っていナミック・プログラミング（SDP）の手法が利用できるる場合が多い。負債サイドでは発行された債券の中にことも利点である。

は、LYON［11］のように、債還権（cal1able，puttable）付●2． CCA典型的な「条件付請求権」、または「状態依存型請転換社債のようなものも存在する。同様に資産サイド求権」とでも訳されるべきcontingentclaim（CC）の価をみても、いろいろな「柔軟性」がみられる。例えば、

格決定式の求め方はおよそ以下の通りである。詳細にプロジェクトを延期する、拡大する、縮小する、廃止

ついては、Hull［5］Appendix12Bなどを参照されたい。

するなどのオプションは、それぞれ経済価値を有し、幾つかの仮定が必要となるが、その中でも重要な仮定企業価値に影響を与えるのみならず、そのオプションは、を定量的に評価することは、意思決定のツールとなり仮定1 市場に裁定機会は存在しない得る。このようなバランス・シートの両サイドに内在

仮定2 市場では少なくともCCを含む〃＋1の証するオプション価格の評価には、ファイナンス理論で券が取り 引 き され、その価格COntingentclaimsanalysis（CCA）と総称する手法が有効′ノ（1≦ノ≦〃＋1）は〃状態変数と時間Jにである。リアル・オプション（realoption）とは、、このような手法で評価される実物資産に対するオプションのことであり、ファイナンシャル・オプションの評価依存する

仮定3 状態変数β∫（1≦／≦〃）は拡散過程に従うものとする。即ち方法として定着している方法も、もちろん活用・される

dq＝椚．・色め＋∫∫q虎′．

が、リアル・オプション独自の問題点及び今後解決さZ∫をウィナー過程、パラメータ椚√と∫．はβ．のドリフれるべき問題点も多く存在する。

ト・レートとボラティリティである。

いずれにしても、CCAの立場から考えれば、企業
おおつき としゆき、たけざわのぶや
国際大学国際経営学研究科〒949−73 新潟県南魚沼郡大和町
1996年11月号（2−1）

伊藤の補題により、〝ノ＝〟ノ．／ノd′＋∑Jリ′ノdz，（2−2）

〟ノノ＝告・革m・β∫＋© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（27）629

きる。特にドリフト・レート叫・を直接推定する必′こ‥I叫

要はない。

③豊富な経掛こ裏付けられた偏微分方程式の数値計J・ノノ＝教主β

算の方法が利用できる。

仮定2、3により瞬間的には無リスクのポートフォ
リオn＝∑んノJ④評価式にはかなりの一般性があり、多様な分野の評価問題に応用できる。

ノ⑤他の方法論と比較して問題が少ない。特に割引率（2−5）∑鳥ノJリ′ノ＝0
ノを外生的に与える必要はない。
状態変数が多くの市場参加者（投資家）によって取を構築することができ、仮定1により、その収益率はり引きされており、且つ一時点において供給が限定さ無リスク・レートrに等しくなる。
（2−6）∑慮ノ〟J′J＝r∑たノノノ

以上の展開より次の2式が得られる。

∽∫−4∫′＝rとなる。状態変数が市場で直接取引きさ∑ス．Jリ〟ノーr＝れている株式、債権、国際商品である金、銀などの場合には、リスクの調整は比較的容易である。即ち

J

（2−7）

れていないものの価格を代表しているような場合には、市場の均衡の仮定が必要となる。具体的には（a）市場︶︵人肌β∑・÷ノ〔J

均衡モデルとして（2−7）式を利用するか、（b）
椚f−A∫∫i＝r−∂（∂はドリフトレートの均衡値か＋潮＝￠（2−8）

ただし、β．〟はdヱーとdzと（l≦り≦〃）の相関係数でらの禾離）とするかである【12】。この調整は簡単ではなく種々の代案を試みることと、感応度分析も必要とある。このようなポートフォリオは一般にいくらでもなってくる。（b）の方法は、状態変数が実物資産の価考え得る。この中から「つのポートフォリオを特定す値のように所有者にとって所有することから派生するるのが初期条件、境界条件である。しかるべきCCの「便利収益」などを有する場合が典型的な例となる。

特徴が初期条件、境界条件として設定されれば、そのリアル・オプションの原資産にはこのようなものが多価格は（2−8）式によって決定される。

く、新しい仮定を設けて評価する必要が生じてくる。

CCの価格、′ノが期間中満たすべき偏微分方程式

CCAの企業の資産、負債の評価への応用例は【13】を参（2−3）と、（2−8）を比較すると、（2−3）式における〟ノと椚．を照されたい。そこでも触れられているプロジェクトのそれぞれr，椚∫−小∫で置き換えたものが（2−8）式にほ

柔軟性 の評価がリアル・オプションの中心課題でかならない0状態変数β．（1≦f≦〝）と、時間Jのみにある。

依存するA．をその状態変数に関するリスクの市場価格と解釈すると、CCの価格はそれぞれの状態変数のド

3．個別のリアル・オプション

リフト・レートをリスクス∫∫．で調整後、「リスク中立CapitalBudgeting（CB）の分野で投資プロジェクトの採否判定基準としてNPVに基く基準が伝統的に使経済の仮定」の下で算出できることになる。この方法はrisk−neutralvaluationと称され、ファイナンスの分野では最も重要な手法の一つである【13，pp．334−347】。状態変数のボラティリティ圭、変数間の相関係数βりに関用されてきた。投資プロジェクトに関して資金の支出と、資金の回収の差を期間ごとに一定の割引率で割引いたものの和がゼロ以上のプロジェクトのみを採用すべきとするのが最も単純なNPV法である。この方法にしては調整の必要はない。

以上、エッセンスだけを述べてきたCCAの方法論

よって投資プロジェクトを評価するには、ある一定の時点でのみプロジェクトの実行が可能であり、採否決が、アカデミアの世界だけでなく実務家の方々にも使定に関して、採否を一定期間延長するといった余地は用されるようになった理由としては、少なくとも以下ないと仮定されている。もし採否決定の延長が選択肢の5点が挙げられる。

として可能であれば、その選択肢によって発生する経①上記仮定1〜3を含む諸仮定．

済価値も本来考慮されてしかるべきである。またプロ数はそれほど多くなく、直接計測できるか推定でジェクトの採用が決まったとしてもプロジェクトをと

オペレーションズ・リサーチ

630（28）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

●

りまく環境には将来に関して不確実性要因が多くあり、ケールと想定し、市場の情況が良くなった場合にはプ

将来のいずれかの時点でプロジェクトの拡大、縮小、ロジェクトを拡大するオプションがあれば開発者にと一時中止、廃止の選択肢もありうる。そのような場合って有利である。例えば、追加支出んでプロジェクトには、それらの選択肢およびコストも含めて検討する

がん％拡大できれば、この投資機会の満期日乃におけことが合理的であり、そうすることの経済価値も現時る価値は㌔十maX（‰。㌔−′1，0）となる0この場合点におけるプロジ王クトの評価基準に加算されるべきである。このような諸々の選択が可能であるならば、それらがもたらすプロジェクトの柔軟性の評価基準を整理し、その価値の定量的評価をする方法が必要となってくる。ここでCCAのアプローチの有効性がでてくる。CBの分野における上記のようなオプション（選択肢）はファイナンシャル・オプションと区別され、リこのプロジェクトは権利行使価格をJlとするアメリカン・コールオプション付のプロジェクトと規定できる。
（3）optiontoContract
反面市況が悪くなった場合オペレーションの規模をベース・スケールと比較してん％縮小し支出をJプだけ節約できるようなオプションがあれば、満期日におけるアル・オプションと称されている。投資プロジェクトオプションの価値はmax（′2一‰。㌔，0）となり、こも大きくなると時間的、空間的広がりを持つようになのプロジェクトは権利行使価格をJ2とするプットオプり、オプションの集合を評価する手法の開発が必要不ション付プロジェクトと規定できる。

可欠となってくる。

（4）optiontoAbandon

近年リアル・オプションの概念は、戦略的計画と管理の分野にも取り入れられるようになり、プロジェクトの集合を検討する際、プロジェクト間に存在する シ市況が悪くなった場合その他の理由でプロジェクトを廃止するオプションがあれば、その価値も含めてプロジェクトは評価できる。廃止した場合の残存価値を∫ナジー効果 、企業の成長への貢献などの定量的把握とすると、プロジェクトは権利行使価格∫のアメリカへの努力も進められている様子である【17】。さらに企ン・プットオプション付のものとなり、その満期日にお業の競争戦略の分野との関係では、リアル・オプショ

ける価値はfL＋maX（S−㌔，0）となりmax（fL，Sち）ンのアプローチとゲーム理論的アプローチの融合が試みられており【18】、新しい展開が期待される。以下では個別プロジェクトに内在する典型的なリアル・オプションを紹介しその評価方法について解説する。

（5）Time−tO−buildOption

る一時点ですべて支払われるのではなく、いくつかの天然資源開発のようなプロジェクトにおいては【14】【15】、そのプロジェクトの成否はその資源の市場価格に大きく依存する。資源の所有者との開発権に関するリース契約には通常開発を開始する時期に関して猶予事項が規定されている。の高いプロジェクトに顕著にみられる。

多くの投資プロジェクトにおける投資資金の支出はあ（1）optiontoDefirInvestment●とも表現できる。このようなオプションは資本装備率

リースの満期日をn、J時点におけるプロジェクトの価値をn、投資額をJとす

ると、r′ 時点における投資機会の価値はステージに分けて支払われる。したがっってプロジェ
クト実施の中途においてプロジェクトを放棄するオプションがあれば、そこにオプション価値が発生する。
インフラ整備のような初期段階のステージはその後実行されるステージの経済価値に依存し後者もオプションと考えられる場合には前者はコンパウンド・オプシ
ョン（原資産がオプションであるオプション）【1】と規max（り一旬となり、プロジェクトは、nを原資産定できる。製薬会社などにおけるR＆D、不確実性がの価値、Jを権利行使価格とするアメリカン・コールオ

高く、資本集約的な長期プロジェクト、大規模な建設プションと定義できる。現時点ですぐに開発を開始すプロジェクトなどによく見受けられるケースである。

ればこのオプション価値は失われてしまうのでプロジェクトの機会費用の一部となる。このようなオプションは天然資源の開発のみならず、不動産関連開発事業にもよくみられる【16】【22】。

製造業部門において製品需要、製品価格の変化に応じてアウトプット・ミックスを変更できる場合、または同一製品を異なったインプットより製造できる場合、（2）optiontoExpand

前者を製品の柔軟性、後者をプロセスの柔軟性と称し、上記（1）のケースでりをプロジェクトのベース・ス

1996年11月号（6）optiontoSwitch

これら柔軟性に関してオプション価値が発生する。

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（29）631F（q＝β鳥，射）

プロセスの柔軟性は単に生産技術の選択のみならず、下請け業者の選定、グローバルに展開した生産拠＝m㌍（【方（β鼻，ゼ，′）−㌦，g】＋酋【叩．。′，g）】）（4−1）

点間のスウィッチも考えられる。製品の柔軟性は製品

椚＝1，…，〟，た＝1，…，∫，J＝0，…，r−1．の差別化が顕著な自動車、電器、製薬などの分野に多く必要とされる。設備投資の額は高くても柔軟性を維（5）これらの方程式の数値計算を行い、持するオプションを所有するほうが有利である場合がF（q，椚，J）をすべての−，椚について求める。

多い。

上記の数値計算で重要なのは以下の3点である。

これらオプション（上記（1）〜（6））について、2節の一般式（2−8）がどのような形式（変数、時間、初期条件、境界条件など）になるかに関しては、参考文献①レートに変換する。

②（4−1）式の期待値現・】は、期間（トり）におけリストを含めTrigeorgis［18、pp．2−3、pp．203−226］を参るqからqへのリスク中立推移確率均で加重し照されたい。リアル・オプションはその性格からしてて求める。

③（4−1）式のβは無リスク割引レートを使用する。

アメリカン・オプションでありキャッシュ・フローを伴う場合も多く、陽に数式表現で表しうる解が求めら

この方法は一言で云えばリスク中立の経済世界を想定れることは希で、その価値は（2−g）の数値解析に依存すし、それぞれの選択肢と外的環境の確率的変化に応じる以外に方法はない。

たキャッシュ・フローの確実同値額を求め、それを無4．複数のリアル・オプションリスクレートで割り引いていることになる。この点が個々のリアル・オプションの価値を評価するには3．
で見た通りリスク・プレミアムについての修正は必要

割り引き率をリスク・プレミアムで調整する伝統的なDCFとも、Pを外生的に与えた場合のSDPの方法とも異なる。後者のアプローチとCCAとの比較は【3】，【6】であるが、フィナンシャル・オプションの評価モデルを参照されたい。

が使用できる。しかしながら一般的に典型的なプロジ

特定のオプションは、収益函数n椚≦口椚（q）、及ェクトには複数のオプションを内在しており、オプシびスウィッチング・コストc少（権利行使価格）などにョン間に依存関係が通常存在する。このような場合にプロジェクトの評価をする手法としてKulatilaka［9］はCCAを拡張してSDPの応用を提案している。以下そよって規定させる。

ここでの問題の設定の仕方ならびに数値計算を理解するための参考文献としては川、【10】が挙げられる。の要点を紹介してみよう。

Kulatilaka［8］はこの手法による数値計算例を次のよ（1）状態変数のモデルとしては（2−1）式を採用する。

うな想定の下で報告している。

（2）オペレーションのモードを定義する。モードと（1）mode l≦椚≦5は（i）段資を実行するか延期するか、（ii）燃料としてガl．waitingtoinvest

スを使用するか、石油を使用するか、（iii）操業を継続するか、中止するか、廃止するか、などの選択肢を表す。

2．production（initialscale）（3）モードの数を〟とし、それぞれに利益函数
口椚（1≦椚≦〟）を定義する。H椚はqに依存するので

口椚＝H桝（q）、またモードノからモードたに変わるコストをq・たで表す0但し、C椚＝0・3．shutdown（initialprqiect）

4．expandedscale
5．shutdown（expandedprdect）（2）状態変数はアウトプットの価格
dβ＝椚占肋＋∫肋 亀＝1．0（3）無リスクレートは5％、ボラティリティは30％、プロジェクトの寿命は10年（4）状態変数も時間Jも離散化すると、純利益の現在価値可q，椚ノ）は次の方程式で表される。

（4）時間と状態の離散化はT＝100，S＝100
幾つかの数値計算結果の中で、最も重要な点は以下の点である。モード2を基準として、（1）モード1，3，4のいずれか一つが選択できる。

（2）モード1，3，4の中いずれか二つが選択できる。

632（30）オペレーションズ・リサーチ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

●

（3）モード1，3，4のすべてが選択できる。

【8】と同様の数値計算事例は【20】にも報告されておの3通りの場合を想定してプロジェクト価値を計算す

り、非加法性についてもう少し詳細の検討が加えられると、表1に見られるごとく（1）の計算結果は単純ている。計算方法としては対数変換をベースにした格なNPVとは異なる。（2）の計算結果は（1）より得子モデルが使用されている【19】。

られた結果の和とはならない。（3）の計算結果は（1）

ここでの数値計算の結果をまとめると、非加法性はの和でもなく、また（1）と（2）の和でもない。即次の要素に依存する。

ちオプションの価値に加法性が成立しないことになる。

（1）時間軸上でそれぞれのオプションはどの順番で並んでいるか

また、この論文のタイトルにも示されているように、詳細に検討するとオプション間の相互依存関係に代替（2）同じタイプのオプションの集合か、異なったタ性（モード1と3、1と4）と補完性（モード3と4）

イプのオプションの集合か（3）それぞれのオプションの権利行使日はお互いが見られる。に接近しているか離れているかどうか（4）ヨーロピアン・オプションかアメリカン・オプ

表−1ションか●（5）オプションは現在 イン・ザ・マネー か アウト・オブ・ザ・マネー か

最後に集計量としてのオプション価値は状態変数のボラティリティに強く依存し、ボラティリティが高いほどオブシ去ン価値は大きくなる。経営戦略の指針

としては、不確実性の高い時代には柔軟性を高め、より創造的で能動的な経営が必要となるということになる。

5．おわりに出所）文献【8】128ページ

リアル・オプションはCBの分野で単純なNPVによるプロジェクト評価に見られる欠点を是正する試み

プロジェクトの経済性は原材料め価格、製品の価格などの変動に大きく依存する。このような場合には複数の価格を代表する状態変数及びその確率過程（2−1）
を定義する必要がある。CCAの枠組みを使用せず、プ●ロジェクトの価値最大化をSDPのみを使用して試みる
ためには、ドリフト・レートm．に関する知識と適当な割引率pを外生的に与えることが必要となる。他方、CCAの枠組を利用すれば、問題は椚戸r、β＝rと 単純化 できる。この二つのアプローチを比較するには、数値事例も付いているKamradandEmst［6］が参考になる。またFMS（nexiblemanufactuhngsystems）を中心に、同じ問題を検討したものにKulatilaka［7］がある。
複数のオプションが異時点間に存在すると、上記の計算例が示すごとく、一般的には加法性が成立しない。

から発展してきた。より積極的に見れば、定性的には理解されていた「柔軟性」の持つ経済価値を定量的に把握することにある。ファイナンシャル・オプション
もリアル・オプションもルーツはCCAに求めることができる。ただし異なった対応を必要とする点も幾つかある。
第一に、状態変数が充分「市場化」されていない財の価格であることもあり、無裁定機会の仮定だけではなく市場の均衡に関する仮定が必要となる。
第二に、単一のオプションでも何らかのキャッシュ・フローを伴うアメリカン・オプションであることが多く、数値計算により評価が必要となる。また応々にして状態変数は複数の場合が多い。
第三に、一つのプロジェクトにも複数のオプション

CCAとSDPを組み合せるアブロpチは定量的にこれが内在しており、オプションを含む逐次的決定問題のらのオプション価値を評価できるのでプロジェクト評

基本的性格として加法性が成立せず、数理計画法的ア価の分野では今後普及していくものと期待される。

プローチも必要となってくる。ここでORに関心ある方々の貢献が期待されている。

1996年11月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（31）633

【11］McConnell，）．）．and E・S・SchwartZ，1990・ LYON
Taming（pp．497−513）， T7ze肋ndbookqf−F7nancia／

応用分野としては、資源開発、製造業（FMSなど）、サービス産業（金融、不動産、リース事業など）、行g〃g血er加gご 肋≠ノ 爪〃α〃CiαJPro血cJ血〃0Vd血〃∫，AjPlications，andAnaレses，ed・Smith，Jr・W・andC・W・
Smithson，HarperBusiness

政による規制、補助金の評価などはとんど無限の可能性があろう。

【12］McDonald，R．andD．R．Siegel，

特に日本においても、ベンチャー・ビジネスの必要OptionPricingWhen

theUnderlyingAssetEamsaBelow−EquilibriumRate

性が認識されている今日、リアル・オプションに基づof Return：A Note（pp．26l−265）， T77eJourna［Q［く評価方式はビジネスの評価、またその経営戦略の有Fjnance，VOL．XXXIX，No．1，March1984

力なツールとなるであろう。一事業一企業のような形［13］MertonRobertC・，1993・Continu？uS−TimeFinance，

態の「プロジェクト・ファイナンス」においては、すPartIV：Contlngent−ClaimsAnalysISintheTheoryof
Corporate FinanCeand FinanCialIntermediation（pp・べての事業活動がリアル及びファイナンシャル・オプ

355−471） inBlackwellPublishers

ションの集合と云っても過言ではない。CCAはファイ【14］Morck，R．，E．Schwartz and D・Stangeland，The

Valuation of Forestry Resources under Stochastic

ナンシャル・サイドとリアル・サイドを統合する枠組

PricesandInventoriS（pp・473−487）， JournalQ［としても最も役に立つ考え方である。

苗〃α〃CfαJα〃d9〟α〃〃ぬJfve」〃αレ∫f∫，Vol．24，No．4，
December 1989

謝辞：原稿の整理、清打をして頂いた穴沢留美子さんに【15］Paddock，）．L．，D．R．SiegelandJ．L．Smith，Valuation of Claims on RealAssets：The Case of
Of駄horePetroleumLeases（Pp．479−508）， Quarter＆謝意を表します。

参考文献

JournalQrEconomics，August1988【1】 Ca汀，Peter， The Valuation ofSequentialExchange
Opportunities（pp．1235−1256）， Journalqf Flnance，Vol．43，No．5，December1988．

［16］Quigg，L．， EmpiricalTestingofRealOption−PricingModels（pp．62l−640）， TheJourna［QrF7nance，Vol．
XLVIII，No．2，June1993【2］ Copeland T．，T．Koller andJ・Murrin，1994・

VALUATIONMeasurmgandManaglngtheValueof【17］Trigeorgis，L．and Eero Kasanen，

AnIntegrated

Options−BasedStrategicPlannlngandControIModel

Companies（secondedition），JolmWiley＆Sons，Inc・（pp．16−28）， 」M加Ⅷger′α／釣〃d〃Ce，Volume17，【3］ Dixit，A．K．andR．S．Pindyck，1994．InvestmentUnder

Number2／31991，UnCoverUncertainty，PrincetonUniversityPress【18］Trigeorgis，L．，1996．RealOptions‥ Managerial【4］ Elliott，R．］．，L．AggounandJ．B．Moore，1995・Hidden Flexibilityand StrategyinResourceAllocation，The
Markov Models：Estimationand Control，Springer−

MIT PressVerlag［19］Trigeorgis，L・， A Log−TranSformed BinQmial【5］ HullJolmC．，1993．Options，Futures，and Other Numerical AnalysIS Method for Valulng Complex
Multi−OptionInvestments（pp．309−326），
Journalqr
Derivative Securities（second edition），Prentice−Hall苗〃α〃CiαJ加d9〟〟〃J血J血加ロケ∫f∫，Vol．26，No・3，

International

September1991．UniversityofWashington【6］ Kamrad，B．and R．ErnSt，1995．

Multiproduct
ManufacutirngWithStochasticInputPricesandOutput【20］Trigeorgis，L．， TheNatureofOptionInteractionsand
Yield Uncertalnty， Real（わtions in Cqpi（althe Valuation ofInvestments with Multiple Real
Jnvestmenl，ed．L．Trigeorgis．Praeger
Options（pp．l−20）， Journalqr F7nancja］And［7］ ◆Kulatilaka，N．， Valuing the Flexibility of Flexible
Manufacuturing Systems（pp．250−257），IEEE

7ナ〟〃∫αC血〃∫0〃伽g血erJ〃g九九〃dge椚eが，Vol．35，No．4，November1988

少馴血加増血叫血，Vol・28，No・1，March1993・

UniversityofWashington【21］Trigeorgis，L．（ed．），1995．RealOptionsin Capital
Investment：Models，StrategleS，and Applications，Praeger【8］ Kulatilaka，Nalin，1995． Operating Flexibilitiesin
Capltal Budgetlng： Substitutability and【22］Williams，］．T．， RealEstateDevelopmentasanOption
Complementarityin RealOptions， Real（妙ionsin（pp．191−208）， ノ0〟川αJ〆月紺／g∫タロJe爪〃d〃Ceα〃d
CqpitalInvestment，ed．L．Trigeorgis・Praeger

Economics，1991，KluwerAcademicPublishers【9］ Kulatilaka，Nalin，1995． TheValueofFlexibility：A 【23］WilmottP・，J・DewyeandS・Howison，1995・Option
GeneralModelof RealOptions， Real（わtionsin
Priclng：MathematlCalmodels and computation，C甲i（a11nvestment，ed・L・Trigeorgis・Praeger

OxfbrdFinanCialPress【10］Kuslmer，H．）．and P・G．Dupuis，1992・Numerical
Methods for Stochastic ControI Problems in
ContinuousTime，Springer−Verlag634（32）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

Option