日文 教授用資料

小学校算数・中学校数学「データの活用」
指導 の 初歩 の 初歩

本資料は , 一般社団法人教科書協会「教科書発行者行動規範」に則り ,配布を許可されているものです。

日文の実践事例、
教科情報
詳しくはWebへ！

日文検索◆はじめに平成 29 年 3 月に告示された新しい学習指導要領において，小学校算数と中学校数学では，統計教育を重視するという方針が打ち出されています。

試行によって得られる確率の必要性と意味
が２年から１年に移行しました。
新たに加えられた内容は，これまで各学校種において指導の実績がないものが含ま小学校では領域構成が再編され，統計の内容を扱う「データの活用」領域が新設されており，今後，教材研究を進めることが求められます。

れました。内容面では，複数系列のグラフ

本資料では，「データの活用」領域を指や組み合わせたグラフ（４年），複数の帯導するにあたって知っておきたい初歩的なグラフを比べること（５年），
ドットプロッ

内容を解説しています。

ト（６年），代表値の意味や求め方（６年）

先生方の教材研究の一助としていただけ
れば幸いです。

などを新たに扱うことになりました。
中学校では，従来の「資料の活用」領域
が「データの活用」領域に改称され，累積度数（１年），四分位範囲と箱ひげ図（２年）が加えられたほか，多数の観察や多数回のお断り

本資料に示す指導学年は，新しい学習指導要領に基づくものです。

◆もくじ
絵グラフ・簡単なグラフ【小１〜小２】

2

場合の数【小６，中２】

14

表【小３】


3

相対度数【中１】

16

２次元の表の作成【小３〜小４】

4

累積度数と累積相対度数【中１】

17

棒グラフ【小３】
5

ヒストグラム（柱状グラフ）【小６〜中１】 18

折れ線グラフ【小４】

6

範囲と四分位範囲【中１〜中２】

20

帯グラフ・円グラフ【小５】

7

箱ひげ図【中２】

22

測定値の平均【小５】

8

確率【中１〜中２】

24

ドットプロット【小６】

9

標本調査【中３】

26

代表値【小６〜中１】

10

無作為抽出と乱数【中３】

28

度数分布表【小６〜中１】

12

標本平均と母平均【中３】

30

1

小１〜小２

絵グラフ・簡単なグラフ

小１では動物の数や花の数など身近なものの量を，小２では誕生月別の人数や学校近くにあるお店の数などを分類整理し，それを簡単な表やグラフを用いて表すことを学習します。ここでいうグラフとは，次のような絵グラフや簡単なグラフを指しています。
たんじょう日しらべ

たんじょう日しらべ

点などをはっきりさせること。
・何を単位として数えるのか，１とするものをはっきりさせること。
・グラフの最小目盛りが２や５を表すことを理解する素地として，２ずつ，５ずつにまとめて能率的に数えること。
２．統計的な処理の素地に関して表やグラフについての知識・技能面の内

容は，主として小３以降に指導します。だからといって，絵グラフ・簡単なグラフに
４月 ５月 ６月

４月 ５月 ６月

̶ 絵グラフ ̶̶ 簡単なグラフ ̶絵グラフには，数量の大きさを示すのに具体的な絵を用います。簡単なグラフには，絵グラフで用いた具体的な絵のかわりに○などの抽象的な図を用います。このグラフが棒グラフに発展していきます。このような絵グラフ・簡単なグラフを指導する上でついては何もおさえなくてよいということ
ではありません。例えば，次のような内容
は，絵グラフ・簡単なグラフの形に整理していく過程で指導することが大切です。
・数量を調べるときに，落ちや重なりがな
いかを確かめる｡
・絵や図を等間隔に並べて，数量や数の関係が把握しやすいようにする。
たんじょう日しらべのポイントを次のように考えます。
１．数の理解を深めることに関して低学年では統計的な操作が数概念をはぐ

くみ，中学年では数概念を用いた統計的な操作をねらいます。したがって，低学年では絵グラフや簡単なグラフをかくことができるようになればよいのではなく，数え方や数の理解を深めることができるよう指導することが大切です。具体的には，次のよ
うな内容が考えられます。
・何を数えるのか，数えるものの範囲や観2４月 ５月 ６月 ７月 ８月 ９月 10 月11 月12 月

上記のような内容は，指導者が一方的に指導するのではなく，「まっすぐに並べると見やすくなるよ」「横にも線（目盛り）を入れたら，わかりやすいよ」といった子どもの発想をもとにしながら，より的確なグラフの形にしていくように指導します。
このことが，調べたことがらをわかりやす
く工夫し記録するという統計的な処理の見方や考え方をはぐくむことにつながります。

小１〜小２小３場合の数
表

１．取り扱うデータについて

主体的な学びを実現させるためには，子どもに目的意識を持たせることが大切です。
例えば，「３年１組では，どの動物が人気があるかな。」などと問いかけ，目的意
識を持たせます。その際，絵や具体物を使うと，表やグラフに結びつけやすくなりま

３年生の好きな動物調べ

動物

組

ぞう

ア

とら

ケ

その他

チ

きりん

オ

さる

ス

合計

ナ

１組
６

イ

５

コ

６

ツ

９

カ

８

セ

ニ

２組
７

ウ

６

サ

５

テ

８

キ

７

ソ

ヌ

３組
６

エ

８

シ

７

ト

７

ク

６

タ

（人）

合計

ネ

す。
自分たちが実際に集めたデータを使ってできた表を観察させ，「エの数は何を表学習を進めることも，目的意識を持たせるしていますか。
」「ネの数は何を表していま

上では有効です。ここでは複数回答を認めすか」という具合に授業を進めていきます。

ずに，最も好きな動物を 1 つだけ答えさせ

ここで，「（集計ミスで１人分の抜けがあり）

ます。

２組に『とら』が好きな人がもう１人いま集めたデータを整理したら，情報を読み取らせます。

した。表の中で数が変わるのはどこですか。
」と問いかけてみます。すると，２組①

一番多いのはどれかの「コ」の欄が変わることに伴い，ほかに②

一番少ないのはどれか「シ」「ニ」「ネ」の３カ所の数が変わります。

③

どんな順位になっているのか

自分たちの学級について読み取りができたら，他の学級についても同じように調べていきます。そうすると，まとめた表やグラフの特徴がはっきりわかります。
２．データの整理と表の読み取り

１組，２組，３組のデータを１つの表に３年生の好きな動物調べ

動物

組

ぞう

ア

とら

ケ

その他

チ

きりん

オ

さる

ス

合計

ナ

１組
６

イ

５

コ

６

ツ

９

カ

８

セ

34

ニ

２組
７

ウ

７

サ

５

テ

８

キ

７

ソ

34

ヌ

３組
６

エ

８

シ

７

ト

７

ク

６

タ

34

ネ

（人）

合計

19
24
20
21
18

102

整理して考察する学習では，表の枠組みをなぜ，その３カ所が変わるのか説明させ提示します。どの欄がどの数量を表していると学習が深まります。このように，できるかを子どもとの対話で考えていくのが一あがった表の各欄の意味を理解させるには，般的です。

値を変化させることが効果的です。

また，表の指導では，欄の全てに記号をつけておくと，考えたり表現したりするときに便利です。

3

２次元の表の作成

小３〜小４

表は，データを適切な項目ごとに配列・なグラフへのつくりかえが必要。
）

整理し，それらに該当する数量を対応させたものです。このような表を用いて，事象に存在する数量関係を考察します。

２．１次元の表から２次元の表へ

１次元の表のつくり方をいかして，２次算数で取り扱う表は統計表が中心です。
２次元の統計表は小学校中学年で学習しま
す。なお，統計表以外に日常よく使われる表としては，関数表や計算表があります。

元の表をかくことができるようにします。
けがの種類（３年）
けが
すりきず
切りきず
打ぼく
つき指
ねんざ

１．１次元の表と２次元の表の違い①の表は，「好きな動物の種類」という学年別の人数
学年

人数（人）

１年
２年
３年
４年
５年
６年
合計

1 つの観点だけで整理されています。このそのために，まず，上のような１次元のように，１つの観点だけで整理したものを

表を「どの学年で，どんなけがが多いか」

1 次元の表といいます。

という２つの観点から分類・整理する課題②の表は，「好きな動物の種類」と「属を設定します。ここで大事なことは，すぐしている組」という 2 つの観点で整理さに２次元の表を見せないことです。まず，れています。このように，2 つの観点で整

学年別にけがの種類ごとの人数を整理した

理したものを 2 次元の表といいます。

１次元の表をつくらせます。それらの１次① 好きな動物調べ（３年１組）

動物

人数（人）

ぞう

６

きりん

９

とら

５

さる

８

その他

６

合計

②

３年生の好きな動物調べ
組

１組

２組

３組

ぞう

６

７

６

きりん

９

８

７

とら

５

６

８

さる

８

７

６

その他

６

５

７

動物

（人）
合計

合計

このような表の長所は，以下のように考えられます。

元の表を項目をそろえてつなぐと，２つの観点が表の縦と横に並んですっきりすることに気づかせるのです。このことにより，
子どもは，「２つの観点から分類・整理する」
アイデアのよさを実感できます。
３．２次元の表づくりのポイント

この学習では，表をかく目的を明確にす

・記録や集計の処理が簡単にできる。

る，子どもが目的に応じて自らデータを収・グラフよりも，数量を正しく，しかも詳集する，落ちや重なりがないように「正」

しく表すことができる。
（グラフでは数の字をかいて整理したり，合計欄で総数を

値を概数でしか表せない。
）

確かめたりするといった基本的な内容をき・１つの表で多元的な見方が可能である。
（グラフは，それぞれの特徴を示すよう

4

合計

人数（人）

ちんと踏まえて指導することが大切です。

小３

棒グラフ

棒グラフは，数量の大小を棒の高さ（長最大値から，適切な１目盛りの大きささ）で表した統計グラフの一種です。統計を２や５などの数値に決める。

グラフの指導では，単なるグラフの読み方

この内容は，小１で扱う２とびや５とやかき方の技能に関する指導に終わらないびの数列の理解が素地になってくる。

ように，例えば，「何のために交通調べを２－ □－６－８－□□－ 10 － 15 －□－□

するのか」などの目的意識を持たせることが重要です。

棒グラフを読み取る視点は，各項目の数
値，
項目間の大小関係（差，倍）などですが，１．棒グラフの特徴

棒グラフと同じように数量の大小を表す

目的と照らして適切な視点で読み取ることが大切です。

絵グラフや簡単なグラフは，１つの絵や○が度数（個数）を表しているので，その数を数えることで数量の大きさをとらえるこ

３．棒グラフをかくときの留意点○横軸には項目を，縦軸には目盛りの大とができます。一方，棒グラフは，数量のきさを表す数値と単位をかく。

大きさをそれと比例する棒の高さという連○原則として度数の大きい順にかく。

続量で表しています。したがって，棒の高（ただし「その他」は最後に）さだけではその棒の度数がいくつなのかわ○表題をかく。

からないので，目盛りが必要となります。
棒グラフと形状が似ているヒストグラム（柱状グラフ）は量的データの分布の様子を表すためのもので，棒グラフと区別します。
２．棒グラフの読みかきの指導
ポイント①１目盛りが１のグラフで指導する。
・読み方…棒の最も高いところから左へ
水平にたどり目盛りを読む。
（必要に応じて定規などを使う）
・かき方…目盛りから右へ水平にたどり，印をつけ，棒を伸ばす。
②１目盛りの大きさを変える。
・グラフ用紙の縦の目盛りの数と度数の４．複数の棒グラフを組み合わせたグラフ
小３では，下の図のような，複数の棒グラフを組み合わせたグラフも取り上げることになります。
（人）
10

育てたいこん虫しらべ（３年１組，３年２組）
１組

２組

5

0

てんとう虫

モンシロチョウ

バッタ

トンボ

その他

5

折れ線グラフ小４

１．データの違いとグラフ

３．読み方の多様性

線グラフは，次のような目的に応じています。

合でデータの特徴をとらえます。折れ線グ・棒グラフ…数量の大小関係をとらえる

ラフは変化の傾向をとらえることが目的の・折れ線グラフ…変化の様子をとらえるため，棒グラフと比べて多様な読み方がで小学校中学年で学習する棒グラフと折れ棒グラフでは，大小比較を通して差や割

主に集団の属性を示すデータは，棒グラ

きます。
「部分読み」は，図２でいえば，時フを用いて表します。
（図１：好きな動物

刻間の変化の様子を読み取るものです。最は？という集団の特徴）

大値や最小値，傾きから傾向を読み取りま図1（人）

すきな動物調べ（3年1組）

10

す。
「全体読み」は，折れ線の形からデー

図2
（度）
35

プールの水の温度（7月10日調べ）

タ全体の変化の様子を読み取ります。右上
りや右下りの一直線型，山型や谷型，山や

30
5

25

谷の数などからデータの傾向をとらえます。

プールの水の温度

20
その他

ぞう

とら

きりん

ライオン

0

0

ポイント
9 10 11 12 1 2 3
（午前）
（午後）

4

5

6

7（時）

時間の経過に伴う数量を示すデータは，
折れ線グラフを用いて表します。
（図２：
時間の経過に伴う水温の変化の特徴）

多様な観点で読み取ることができるようにしたい。そのためには，読み方を用いる場面づくりが必要である。
例えば図２で，プールの水の温度は，夜にはどのように変化するか予想させる。山型か谷型か？何時頃が最小か？など，多様２．グラフから何を読み取るかな読み方の観点を用いて予想させる。

時間あたりの変化の度合い）を「傾き」で４．複数系列のグラフや組み合わせたグラフ

折れ線グラフからは，変化の割合（単位

読み取ります。そのため，棒グラフより読

図3
（度）
35

気温とプールの水の温度（7月10日調べ）

み取りが難しく，データの提示に工夫が必

気温と水温のグ要です。

ラフを１つのグポイント 「変化をみる」意味を十分とらえ

ラフ用紙に表し25

させたい。子どもの中には「変化」に着目たり，地図帳に20できない子どもがいる。大切なのは，関連のっている雨温するいくつかのデータを提示し，「変化」

図のように折れ線グラフと棒グラフを１つの様子と要因とのつながりに気づかせるこのグラフ用紙に表したりすることも取り扱とである。季節や場所などの条件の違いで，います。地図帳や図鑑などで，そのような「変化」の仕方が違うことから，「変化をみグラフをさがさせてみるのもよいでしょう。

る」意味に気づかせたい。

6

図３のように

気温300

プールの水の温度

9 10 11 12 1 2 3
（午前）
（午後）

4

5

6

7（時）

帯グラフ・円グラフ

小５帯グラフ，円グラフは，全体に対して各

油＋石炭」の値 70 から「石油」の値 45

項目が占める割合を面積比で表したもので，をひく方が早く正確に求めることができる。

各項目がどのくらいの割合にあたるかを視覚的にとらえることができます。

２．グラフをかく

帯グラフは長方形の長さによって，全体（1）グラフをかく前に，準備として，各項に対する各項目の割合を表したもので，時目の割合を求めておく必要があります。

間の経過に伴う変化の様子も比較できます。
日本のエネルギーの割合（2015 年）
石油
0

10

20

石炭
30

40

50

60

70

80

（2017 年刊

一方，円グラフはもので，各項目の大きさを比較しやすく，
他の教科の中でも多く使用されています。

90

100（％）

日本国勢図絵）日本のエネルギーの割合（2015 年）
水力

各項目の割合を中心
角の大きさで表した

るなら，処理の効率を考えて電卓を使わ

水 そ
の
力 他

天然ガス

100（％）
0

90

80

そ
の
他

70

石油
30

石炭
60
（2017 年刊

50

せる方がよい。各項目の割合を合計して100％にならない場合は，各項目の中で最も割合が大きいものか「その他」で調整し，100％となるようにする。

10

20

天然ガス

グラフをかくことが目的であ

ポイント

40

日本国勢図絵）（2）帯グラフは長方形の左端，円グラフ
は中心から上に半径をとって基線とします。一般に，大きいものから順に（円グ
ラフは右回りに）かいていき，「その他」
は最後にもってきます。
指導者はあらかじめ，目盛りのポイント

１．グラフを読むはいったグラフ用紙を準備しておくとよい。

（1）グラフの全体的な特徴を読み取らせます。全体に対して各項目が占める割合を，全体の面積に対する各項目の面積の大きさでとらえることができます。
ポイント「その他」の割合が最も大きいと，３．複数の帯グラフを比べること

小５では，下の図のような，複数の帯グラフを組み合わせたグラフも取り上げます。
２つのデータで，項目ごとに割合を比較

子どもの意識がそちらに向くことがある。

する際は便利です。しかし，割合が小さく「その他」は，いろいろなものを集めたもなっていても実際の数量は大きくなっていのであることをおさえておく。

る場合などがあるので，合計の値にも注意（2）項目と項目を比較し，データの細部を向けるように指導します。

を読み取らせます。その際，各項目の数
値の読み取りが必要になります。
ポイント上のグラフの「石炭」の数値を読み取る際は，目盛りを数えるより，「石

図書室で貸し出された本の冊数と種類別の割合
物語

歴史

科学

その他

先週

40％

25％

15％

20%

今週

35％

25％

25％

15%

（100 冊）（120 冊）

0

50

100
（％）

7

小５

測定値の平均平均が用いられる場面として，次の２つが考えられます。
①

２．測定値の平均

例えば，ある人物が自然に歩くときの歩幅を１歩ずつ測定すると，数 cm 程度のば測定には必ず誤差が伴う。そこで，同らつきが生じるはずです。この人の歩幅をじ測定を繰り返して得た複数の測定値を知りたいとき，１歩だけ歩いてその長さを平均することで，真の値に近い値を得よ

測ると，たまたま長めの値を得たり，短めうとする場面。

の値を得たりするかもしれません。そこで，②

測定値の平均代表値としての平均（平均値）

10 歩の長さを測定して，その平均を求め

データの分布の傾向をとらえるために，ることで，より妥当な歩幅を知ろうと考え

データを代表する値として用いる場面。

るわけです。

中１の内容であった代表値（平均値，中３．測定値の平均のよさ

央値，最頻値）は小６で指導することにな

前述の歩幅の話では，まず，「歩幅を使っりました。この「平均値」は従来から小６て，学校の運動場のはしからはしまでの長で指導していた内容であり，上記の②にあさを求めましょう。
」といった問題を提示たるものです。

し，問題解決のために平均を活用するといここでは，従来通り小５で扱う①について述べます。

う展開にするとよいでしょう。
このとき，同じ人物が 10 歩いて歩幅を測定する実験を何回か行い，測るたびに値

１．平均のイメージが変わってしまうことを経験させます。つ

平均の指導にあたっては，まず，子ども

まり，実験結果やその測定値には誤差が伴に「ならす」ということのイメージを持たうことを経験的に知らせるのです。その上せることが大切です。例えば，縦に積んだで，「10 歩の長さを測ってから，1 歩の長６個，５個，７個のブロックで，ブロックさの平均を求めればよい」「同じ実験を何を高い方から低い方へ移動させると高さが回かして，その結果の平均を求めればよい」

そろうという操作活動が考えられます。まということに気づかせるとよいでしょう。

た，容器に入ったジュースを均等に分ける

このような学習では，単に正しく計算がという活動もよいでしょう。
このとき，全てをたし合わせたのち等分するという方法を考えさせることで，平均を計算で求めるという学習につなげることができます。

8

できればよいということではなく，測定値の平均を求めることのよさを実感できるよ
うにすることが大切です。

ドットプロット

小６

次のような２つのグループの記録を比べ

次の図は，それぞれ，表１と表２をドッてみましょう。
表１

ロットです。

ソフトボール投げの記録 表２
６年１組女子

ソフトボール投げの記録
６年２組女子

トプロットに表したものです。

番号 記録（ｍ）番号 記録（ｍ） 番号 記録（ｍ）番号 記録（ｍ）
①

19

⑩

18

①

20

⑩

27

③

20

⑫

24

③

16

⑫

22

②
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨

14
15
22
10
16
17
16

⑪
⑬
⑭
⑮
⑯
⑰
⑱

18
18
19
14
17
11
18

②
④
⑤

12
11

6

⑥

20

⑧

15

⑦
⑨

15
17

⑪
⑬
⑭
⑮
⑯
⑰

23

６年１組
女子

5

10

15

20

25

30（ｍ）

5

10

15

20

25

30（ｍ）

21
21
25

６年２組
女子

10

8

２つの図を比べると，１組の記録は比較的狭い範囲に記録が集中しているのに対し

平均値は，どちらの組も 17 ｍで同じです。
しかし，１組で 20 ｍ以上を記録したのがて，２組の記録はあまり集中しているとこ
ろがなく散らばっていることがわかります。

3 人なのに対して，２組で 20 ｍ以上を記録したのは８人いるなど，分布の様子には違いが認められます。

２．小６でドットプロットを扱う意義

学習指導要領では，小６の〔用語・記

小６では，量的データの特徴や傾向をと号〕に「ドットプロット」が追加されましらえるには，平均値だけではなく，そのデーた。しかし，これまでも小６でヒストグラ

タの分布をみる必要があることを理解させム（柱状グラフ）を扱う過程では，ドットます。そこで，量的データの分布の様子をプロットも扱っていました。よって，その視覚的にとらえやすくするための方法とし点では従来と変更がないといえます。

て，ドットプロットを指導します。

むしろ，中央値と最頻値が中１から小６に移ったことで，ドットプロットの役割が１．分布の様子をとらえるグラフ

増えることに留意が必要です。表１をもと

表 1 の値を小さい順に，値がないところにしたドットプロットでは，18 ｍが最頻は空けて，同じ値があるところは積み上げ値を表していることが一目でわかりますし，るように並べると，次のようになります。

中央値も●の数を端から数えることで求め

18
18
14
16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

ることができるからです。

これを数直線に対応させ，値の代わりにドット（●）を配置したものが，ドットプ

最
中 頻
平 央 値
均 値
値
６年１組
女子

5

10

15

20

25

30（ｍ）

9

小６〜中１

代表値

量的データの分布の様子をとらえるには，度数分布表やヒストグラムが有用です。し

例１① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
0 1 3 4 6 8 8 8 9↑
中央値

かし，データの特徴を１つの値で代表させて，簡潔に表すことにもよさがあります。
このような値を代表値といいます。
小６では，代表値として平均値，中央値，次の 例２ では，全部で 10 個の値があり，真ん中に値がありません。このときの中央最頻値を指導します。これらは，「データ

値は，小さい方から数えて５番目と６番目の特徴を代表する値」を異なる観点からとにくる２数（６と８）の平均値７です。

らえたものです。

例２① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
0 1 3 4 6 8 8 8 9 13
(6+8)/2= 7
↑中央値

１．平均値

「平均値」は統計用語ですが，小５で指導する「平均」と求め方は同じで，データの個々の値を合計し，その個数でわった値で理解させることができます。

です。後述する最頻値とは異なり，データ

まず，外れ値の影響について考えてみの全ての値を使って算出します。反面，外ましょう。 例３ では，全部で 11 個の値がれ値（極端に大きな値や小さな値）の影響あります。小さい方から 10 番目までの値を受けやすいという特徴があり，データのは 例２ と同じで，外れ値 39 を付けたした分布の様子や代表値を使う目的によっては，データです。値の総数は奇数なので，中央代表値として適切であるとはいえない場合

値は真ん中の８です。

があります。

例３

２．中央値① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪
0 1 3 4 6 8 8 8 9 13 39↑
中央値

データの個々の値を小さい順に並べたと右の表は，それ

き，中央にくる値を中央値，またはメジア

ぞれの平均値と中ンといいます。中央値の求め方を，値の総央値です。外れ値

数（データの大きさ）が奇数の場合と偶数

39 の有無によって，２つのデータの平均値の場合に分けて説明します。

は３違ってきますが，中央値の違いは１だ

例２
例３

平均値
６
９

中央値
7
8

次の 例１ では，全部で９個の値がありけです。このように，中央値には，外れ値ます。このときの中央値は，小さい方からの影響を受けにくいという特徴があります。

数えても大きい方から数えても５番目にく

反面，中央値は真ん中だけを表している

る６です。

10

中央値の特徴は，平均値と比較すること

ので，データ全体の比較には向かない場合

があります。A，B の２人が受けた３回のし，度数が最大の階級の真ん中の値（階級小テストの結果が次の通りだったとします。

値）を最頻値として用います。このことは，

A
B

1 回目
７点
３点

２回目
７点
７点

３回目
10 点
８点

平均値
８点
６点

中央値
7点
７点

テストの結果がよかったのが A である
ことは明らかで，そのことが平均値には反映されますが，中央値には反映されません。

中１で指導する内容となります。本書では，P.13 で説明します。
４．代表値の指導上の注意点

代表値からは，分布の形や外れ値の有無などの情報は読み取れません。また，どの代表値を用いるのがふさわしいかは，文脈３．最頻値によって変わります。代表値を用いる際は，

またはモードといいます。 例１ ， 例２ ，

適切な代表値を選択したりできるように指例３ では，いずれも８が最多で３個あるの導することが大切です。また，ヒストグラ

で，最頻値は８です。
（実際には，これほムなどと併用したり複数の代表値を相補的どデータの値の個数が少ない場合は偶然のに扱ったりすることが求められます。

データの中で最も多く現れる値を最頻値，

影響が大きいため，最頻値を代表値として利用することはないでしょう。
）
例えば，ある学級で，1 か月に読んだ本の冊数を調査した結果が右の表のようになったとします。
この場合，平均値と中央値は２冊ですが，何冊読読んだ
度数
本の冊数 （人）
０
5
１
12
２
9
３
7
４
6
５
1
合計
40

データの分布を確認したり，文脈に応じて右の表は，ある会社の従 業 員 20 人 の 通 勤 時 間のデータで，平均値は 32分です。では，通勤時間が 30 分 の 従 業 員 は， この 20 人 の 中 で 通 勤 時 間が短い方といってよいで

通勤時間（分）
5
7
10
10
12
15
15
19
20
22

25
26
30
42
45
50
58
60
79
90

しょうか。

んだ人が多いのかを知りたければ，有効な

こ の 場 合，20 人 の 過 半 数 に あ た る 12

代表値は最頻値の１冊ということになりま

人の通勤時間が 30 分未満であることから，

す。反面，最頻値は，他の値を全て無視す

30 分という通勤時間は，平均値よりは短るという特徴にも気づかせたいところです。

いものの，全体の中では長い方といえます。

小６では，ドットプロットで最頻値を見このように，集団の中で，全体の真ん中つけるような指導をします。しかし，連続より大きい方に属するのか小さい方に属す的なデータを取り扱う場合，同じ値をとるるのかを知りたいときには，平均値より中測定値（観測値）はあまり見られないため，

央値の方がふさわしいといえます。

「データの中で最も多く現れる値」に代表

この例のように，データの分布が左右の値としての意味がない場合もあります。そどちらかに偏っている場合，平均値と中央の場合，度数分布表やヒストグラムに整理

値にずれが生じます。

11

度数分布表

小１〜小２
小６〜中１

P.9 に示したドットプロットでは，１目
盛りにドットが１，２個しかない箇所が多

２．度数分布表を読み取るポイント

ヒストグラムでは視覚的，直観的にデー

いため，データの分布の様子がとらえにく

タの分布の特徴をつかむことができますが，

いといえます。そこで，データの分布の様

度数分布表では数値で特徴をつかむことが子を度数分布表に整理して，その特徴をとできるというよさがあります。

らえることを指導します。この内容は，小度数分布表を読み取るポイントとして，

６と中１でスパイラルで指導することで段次の①，②があります。これらは，ヒスト階的に理解を深めさせます。

グラムと対応させながら指導します。

なお，「階級」の用語は，学習指導要領上，中１から小６に移行しています。

①

度数が最大になる階級はどこか②

平均値や中央値が含まれる階級はどこか

６年１組の表では 15 ～ 20 ｍの度数が１．度数分布表最大であることから，分布のピークがこの次の表は，P.9 の表１と表２をもとに作階級にあるととらえることができます。平

成した度数分布表です。中学校以降は表の均値と中央値も同じ階級に含まれること，「人数」の部分を「度数」とします。

前後の階級の度数が近い値であることから，

ソフトボール投げの記録（６年１組女子）
きょり（ｍ）

人数（人）5 〜 100

15 〜 20

11

25 〜 30

0以上

未満

10 〜 15

20 〜 25
合計

ソフトボール投げの記録（６年２組女子）
きょり（ｍ）

人数（人）5 〜 102

15 〜 20

4

以上

未満

4

10 〜 15

3

20 〜 2518

25 〜 30
合計

3
6
2

17

度数分布表に整理すると，データの分布の様子がとらえやすくなります。その一方，

単峰型で左右対称なヒストグラムになることが読み取れます。また，度数の半分以上がこの階級に集中していることも分布の特徴としてとらえることができます。
一方，６年２組の表では 20 ～ 25 ｍの階級の度数が最大です。平均値と中央値が含まれる階級は 15 ～ 20 ｍであることか
ら，分布のピークが右寄りに現れるヒスト
グラムになることが読み取れます。

６年１組で記録が 16 ｍだった児童が何人

このような表の見方は，最初から身についたのかといった情報は失われることにな

くものではありません。指導にあたっては，ります。

表とグラフを相互に関連づけて読み取らせ指導にあたっては，上の度数分布表でることが大切です。

「15 ｍの記録の人はどの階級に入るか」を問うなどして，度数分布表を正しく作成したり，読み取ったりできるようにすることが大切です。

12

３．階級と階級の幅

度数分布表を作成する際，まず，階級を設定する必要があります。

階級を設定するときに考慮するべき点がいくつかあります。
①

階級の幅を一定にすることふさわしくないということがあります。
次の図は，前ページの度数分布表の元データから作成したドットプロットです。

小学校算数・中学校数学で扱う度数分
布表では，通常，階級の幅を一定にします。
ただし，社会一般に使われている度数
分布表やヒストグラムでは，意図的に階級の幅を一定にしない場合もあります。
②

自然でわかりやすい区切りであること

６年１組
女子

６年２組
女子

5

10

15

20

25

30（ｍ）

5

10

15

20

25

30（ｍ）

６年１組の最頻値は 18 ｍですが，６年表で表すときは，階級の幅を 10 として，２組の最頻値はどうでしょうか。最も多く

0 点以上 10 点未満，…，90 点以上 100

現れる値はドットが２個ある 15 ｍ，20 ｍ，点未満として最後の階級を 100 点とす21 ｍですが，これらの値がデータを代表

るか，最後の階級だけ 90 点以上 100 点する値としてふさわしいといえるでしょう4

以下とするのが自然で，集計もしやすいか。このように，データの値に重複があまでしょう。

り見られないような場合や，ドットプロッ③

100 点満点のテストの結果を度数分布

4

データ全体の傾向が最もよく現れるよ
うにすることトで同じくらいの高さの山が複数あるような場合，「データの中で最も多く現れる値」

階級の幅を広く取りすぎたり，狭く取を代表値として扱うことはふさわしくあり

りすぎたりすると，分布の特徴が見えにません。その際には，度数分布表の度数がくくなります。このことは，P.19 で詳最大である階級の階級値を最頻値として用しく述べます。

います。階級値とは，階級の真ん中の値の小学校算数・中学校数学では，データの最大値と最小値の間を 5 ～ 10 個程度ことです。この方法で最頻値を求めると，次のようになります。

の階級に分けることが多いですが，この６年１組(15+20)/2=17.5（ｍ）

個数に明確なきまりがあるわけではなく，

６年２組(20+25)/2=22.5（ｍ）

データ全体の傾向が最もよく現れるよう

このような最頻値の求め方では，階級のにすることが大切となります。

幅の決め方によって異なる最頻値が求められるという点に注意が必要です。この内容

４．度数分布表から最頻値を求めることは，中１で学習することになります。

離散的なデータでは最も多く現れる値を最頻値としますが，連続的なデータでは同じ値が多く現れるということがあまりなく，あったとしてもデータを代表する値として

13

場合の数

小６，中２

小学校中学年では，２次元の表を学習しすることが有効です。

ます。小４における２次元の表の学習では，
データを２つの観点から分類整理して表を

1

2
3
4

2

1
3
4

3

1
2
4

4

1
2
3

用いて表すことができるようにします。そこでは，データを調べるときに，落ちや重なりがないようにすることを扱います。
右の表に整理しましょう。

動物の好ききらい調べ
犬
好き

学級の人数……………35 人
犬が好きな人…………25 人
ねこが好きな人………21 人
両方ともきらいな人… 3 人

きらい

1組

3組

2組

4組

（人）

1組 2組 3組 4組

合計

好
き

1組

1組

2組

ね
こ き
ら
い
合計

3組

4組

2組

○

○

○

○

○

3組

○

4組

これらの図や表にもとづき，条件を満た

１．起こり得る場合の数

す「場合の数」について，子どもたちなり

小６では，起こり得る場合を順序よく整に筋道立てて説明したり，表現したりする

理するための図や表などの用い方について活動を重視した授業を心がけたいところで学習します。

す。

分類整理して考える際，思いつくままに列挙していたのでは落ちや重なりが生じてしまいます。それらを防ぐためには，ある

中２では，場合の数にもとづいて得られ視点や規則にしたがって，順序よく並べたる確率（数学的確率）を学習します。そこ

り，整理したりすることが重要です。こうでは，起こり得る全ての場合が「同様に確した視座から，小６では「ならび方」（順列）

からしい」と考えられることが重要です。

や「組み合わせ方」（組合せ）などの事象

例えば，
みかん味（み）といちご味（い）について，落ちや重なりがないように，全のアメがそれぞれ２個ずつ，合わせて４個ての場合を列挙することを扱います。なお，あり，その中から２個を自由に選べるとし高等学校からは数学用語として「順列」「組ます。この場合，味の組み合わせ方は「み合せ」と表記・表現されますが，小・中学

－み」
「み－い」
「い－い」の３通りになり

校では「ならび方」「組み合わせ方」などます。

と表記・表現するのが一般的です。

14

２．数学的確率と起こり得る場合の数

しかし，この話が「その４個のアメを箱起こり得る場合を順序よく整理して数えの中に入れて，よく混ぜてから２個を取りるためには，次のような図や表などを活用出したとき，２個ともみかん味になる確率を求める」（※）という文脈で示され，数使ってもよい」という条件下で場合の数を学的確率を求めるために「起こり得る場合考えることがあります。このような順列・の数」を考えるのであれば，２個のみかん組合せを，それぞれ重複順列・重複組合せ

味のアメを「み１」「み２」，２個のいちごといいます。

味のアメを「い１」「い２」のように，そ（例）赤色，青色，黄色の玉が１個ずつはれぞれ区別して考える必要が生じます。
つまり，同じ場面設定で「起こり得る場
合の数」を求めるときでも，「同様に確かいっている袋の中から無作為に２個を取り出す。
①

１個目を袋に戻さずに２個目を取りらしい場合の数」を求める必要があるのか出すときの順列は，
「赤－青」
「赤－黄」

どうかで答えが変わってくることもあると

「青－赤」
「青－黄」
「黄－赤」
「黄－青」

いうことです。

の６通り。
【順列】

前述の（※）の文脈で，②

１個目を袋に戻してから２個目を取（1）箱の中からアメを２個取り出すとき，り出すときの順列は，①の６通りに「赤味の組み合せ方は全部で何通りか。

－赤」
「青－青」
「黄－黄」を加えた９（2）箱の中からアメを２個取り出すとき，通り。
【重複順列】

２個ともみかん味になる確率を求めよ。

①のような取り出し方を非復元抽出，②と小問に分けて出題したとき，出題者はのような取り出し方を復元抽出といいます。

（1）で「４通り」と答えさせることを想定

上では順列を例に説明しましたが，組合せしているのかもしれません。しかし，解釈を考えるときも同様です。

次第では「３通り」と答えてもおかしくは◆非復元抽出のイメージないことに留意しなければなりません。

取り出す（1回目） 取り出す
（2回目）

確率の指導にあたっては，数学的確率を求めるためには「同様に確からしい場合の数」を考える必要があることを強調することが大切です。そのために，同様に確からしくない例も取り上げて理解を深めるよう◆復元抽出のイメージ
取り出す
（1回目）

にするとよいでしょう。
問

取り出す
（2回目）
もどす
混ぜる

バスケットボールのフリースローは，成功する
場合と失敗する場合の２通りが考えられます。
成功する確率と失敗する確率は，それぞれ
1
ー ずつであるといえますか。理由とともに，
2
自分の考えを説明しましょう。

３．重複を許すか否か

順列・組合せともに，「同じものを何度指導にあたっては，順列と組合せ，重複を許す場合と許さない場合を意識して出題するとともに，子どもが文意をきちんと読み取ることができるように指導することが
大切です。

15

小１〜小２中１

相対度数

相対度数は，全体（度数の合計）に対する部分（各階級の度数）の割合を示す値です。１枚のコインを 10 回投げて４回表を向いたとき，
表を向いた相対度数は 0.4 です。
中１では，相対度数について，次の２つの内容を指導します。
①

相対度数を用いてデータの分布をとら

表1

階級 (m)
以上
9
12
15
18
21
24
27

相対度数を確率とみなすこと①は従来から中１で指導していた内容で，

〜
〜
〜
〜
〜
〜
〜
計

未満
12
15
18
21
24
27
30

度数 (人)
A
B
6
5
12
15
16
14
7
75

階級 (m)
以上
9
12
15
18
21
24
27

5
15
25
31
28
20
10
134

これに対して，②は，実際に起こった事

図 １ A中学校のハンドボール投げ
15
10

２から中１に移行してきた「多数の観察や5

ここでは①について述べ，②についてはP.24 ～ 25 で述べます。

0.08
0.07
0.16
0.20
0.21
0.19
0.09
1.00

0.04
0.11
0.19
0.23
0.21
0.15
0.07
1.00

図 ２ A中学校のハンドボール投げ
0.25

るというものであり，学習指導要領上，中験的確率）のもとになります。

未満
12
15
18
21
24
27
30

ずです。しかし，丸め誤差の分のずれは生じる場合があります。

多数回の試行によって得られる確率」
（経

〜
〜
〜
〜
〜
〜
〜
計

相対度数
A
B

とってもヒストグラムの形は同じになるは

実際に起こった事象に用いられるものです。
象から未来に起こる不確定な事象を予測す

ハンドボール投げ

本来，縦軸に度数と相対度数のどちらを

えること
②

表2

ハンドボール投げ

0.20
0. 15
0.10
0.05

0

9 12 15 18 21 24 27 30(m)0

9 12 15 18 21 24 27 30(m)２．相対度数の必要性

相対度数の指導では，その必要性を理解させることが大切です。
１．相対度数と丸め誤差16

相対度数の長所として，１つのデータの右上の表１は A 中学校と B 中学校の１

中で各階級に含まれる度数が割合として把年生男子のハンドボール投げの記録を整理握できることが挙げられます。例えば，Aした度数分布表，表２は表１の各階級の度中学校の 18 ｍ以上 27 ｍ未満の相対度数

数を度数の合計でわって求めた相対度数をの合計は 0.20+0.21+0.19=0.60 である表したものです。相対度数を求める過程でことから，６割の生徒がこの３つの階級に四捨五入をしているので，相対度数には丸あてはまるということができます。

め誤差が含まれています。そのため，度数２つ目の長所として，度数の合計が異なが２倍でも相対度数が２倍でない場合がある複数のデータの分布の様子を比較しやすります。同じ理由で，相対度数の合計が１いことがあります。21 ｍ以上を記録した生にならない場合もあります。このことにつ徒が多いのはどちらの中学校かを比べるにいては，次ページで述べます。

は度数より相対度数のほうが適切です。

小１〜小２
中１

累積度数と累積相対度数

学習指導要領で，中 1 の〔用語〕に累積度数が追加されました。ここでは，累積度
数と累積相対度数について述べます。

表２

0 〜

5

3

0.08

3

0.08

10 〜 15

7

0.18

13

0.33

0.25

35

5 〜 10

１．累積度数

累積度数は，度数分布表で，最小の階級

から各階級までの度数の総和です。
度数分布表では，
右の表１のように表します。最大の表１

度数 累積度数
時間（分）（人） （人）以上 〜 未満階級である 25 ～
30 の 累 積 度 数 は度数の合計と一致するはずなので，

0

5

3

3

10 〜 157

13

5 〜 103

25 〜 30

5

40

40

5

10
40

0.13

1.02

25
40

0.15
0.63
0.88
1.00

と，(累積度数)/(度数の合計) の商で求める方法とで値が変わってくる場合があることには注意が必要です。
はなく，後述する相対度数の合計と同じよ25

合計25 〜 30

20 〜 250.30

6

２つの方法のどちらが正しいということ

12
10

12

0.08

6

15 〜 20
20 〜 25

3

15 〜 20

合計

通学にかかる時間

通学にかかる時間

度数
累積度数 累積
時間（分）
相対度数
（人）
（人） 相対度数
以上未満

35

うにいくつかの対処方法があります。
なお，(累積度数)/(度数の合計) の商でこのような表を作求める方法で累積相対度数を求めていけば，成した際は，必ず確認させましょう。

最後の階級の累積相対度数は必ず1.00 となります。

２．累積相対度数

累積度数と同じように，各階級までの相対度数の総和を求めると累積相対度数が得

３．相対度数の合計が 1.00 にならない場合
表２では，相対度数の合計が 1.02 となっられ，ある階級以下の全体に対する割合をています。これは，四捨五入で生じた丸め知ることができます。

誤差によるもので，小５で割合を学習する

表２は，表１に相対度数と累積相対度数を付記したものです。

際にも問題になるところです。
（P.7 参照）
小学校では，子どもが帯グラフや円グラ

表２で，0 ～５の階級の相対度数と 5 ～フをかいたり読んだりする都合上，合計10 の階級の相対度数は，どちらも 0.08 とが 100％になるように調整することを指導なっています。この値は，3/40 の商 0.075

します。これにならって相対度数の合計をを四捨五入して求めた近似値です。

1.00 にしたい場合は，度数が最も大きい

0.08+0.08=0.16 となりますが，２つの階級の累積度数 6 を度数の合計 40 でわった商は 0.15 です。このように，四捨五入して算出した相対度数を累加計算する方法

階級の相対度数を操作すると，全体的な印象への影響が少なくて済みます。
このような調整をせずに，合計を 1.02のまま示す方法もあります。

17

小１〜小２
小６〜中１

ヒストグラム（柱状グラフ）

度数分布表に整理されたデータの特徴を・山すその幅が広いか，狭いか

視覚的にとらえやすくするために，階級の・山が最も高いのはどこか

幅を横，度数を高さとする長方形を，すき・山は高いか，低いか

間を空けずに階級の小さい方から順に並べ・左右対称か，左右非対称かたグラフをヒストグラムといいます。小６・外れ値，不連続な部分の有無で指導する柱状グラフと同じものです。

最も基本的なヒストグラムの形は，単峰型で左右対称なものです。これは，データ

１．棒グラフとヒストグラムの違い

ヒストグラムの形状は小３で学習する棒のもとになる集団が同質である場合に見られる形です。

グラフと似ていることから，子どもはこれ

山すその幅が広くて山が低ければ散らばらを混同しがちです。それぞれの違いにつりが大きいデータといえ，山すその幅が狭いておさえておきましょう。

くて山が高ければ散らばりが小さいデータ

例えば「好きな動物調べ」の結果を表すといえます。

棒グラフでは，横軸に「いぬ」や「ねこ」

多峰型になるデータは，男子と女子のよといった項目（分類や種類の違い）が表示

うに，異なる性質を持つ集団が混在していされます。一方，ヒストグラムの横軸にはる可能性が考えられます。

階級（数量）が表示されます。
また，棒グラフをかくときは原則として，長方形を長い順に並べ替えてかきます（「そ３．ヒストグラムと代表値完全に左右対称な分布の場合，平均値との他」は最後にかく）が，ヒストグラムで中央値は同じ値になります。単峰型で左右は階級の小さなものから示し，順番を変更

対称なものでは，最頻値もこれに一致しますることはできません。

す。
（以下の図はイメージ）

さらに，棒グラフをかくときのすき間は
単に見やすくするためのものですが，ヒストグラムでは原則として，すき間は空けません。長方形がないことは「該当する階級の度数は 0」という意味になります。

左右対称でも，右上のイメージ図のように，実際には値があまり存在しない値の付
近に平均値や中央値がくる場合もあります。

２．ヒストグラムの見方

ヒストグラムの見方として，次のような

18右のイメージ図のようなヒストグ

右にすそが長い

観点があげられます。

ラムは「右にすそ

・全体の形（単峰型，多峰型，L 字型など）が長い分布」といい，一般に最頻値 < 中

央値 < 平均値となります。逆に「左にすそが長い分布」であれば，一般に最頻値 >図 １ 2018年２月の最高気温(日)10

中央値 > 平均値となります。
４．ヒストグラムと階級の幅

5

階級の幅の設定を変えてヒストグラムを作り直すなどして分布を的確にとらえることは，従来通り，中１で扱います。
右の 4 つのヒストグラムは，同一のデー
タ（2018 年 2 月の福岡市の日最高気温，

0

1

3

5

7

9

11

13

15

17 (&)

図 ２ 2018年２月の最高気温(日)10気象庁ウェブサイトより）をもとに，階級の設定を変えてかいたものです。
図１と図２はともに階級の幅を 2℃とし5ていますが，最小の階級の始まりの値が異なります。図 1 では，分布のピークが 9℃
以上 11℃未満にあり，やや左にすそが長0い分布となっています。しかし，図 2 では，
分布のピークがはっきりしません。
図３は，階級の幅を５℃としています。
左右対称に近い単峰型ですが，図１や図２に比べるとデータの分布の特徴がつかみにくくなっています。
図４は，階級の幅を１℃としています。
４つの図の中で「8℃以上 9℃未満の日が２日あった」という情報を読み取ることができるのは図４だけであり，もとのデータの情報が最も残っているのが図４といえま

(日)
15

2

4

6

8

10

12

14

16

18 (&)

図 ３ 2018年２月の最高気温

10

5

0
(日)
10

0

5

10

15

20

(&)

図 ４ 2018年２月の最高気温す。しかし，でこぼこが多くあり，１つ１
つの峰に特別な意味が見いだせないので，
これも全体としては特徴がつかみにくいヒ

5

ストグラムといえます。
このような比較を通して，階級の設定を変えた複数のヒストグラムをつくり検討す0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (&)

ることの必要性を学べるようにしましょう。

19

範囲と四分位範囲

中１〜中２

四分位範囲と箱ひげ図が，高校数学Ⅰか

次の 例２ では，全部で９個の値があり

ら中２へ移行してきました。ここでは，中ます。中央値は 6 です。第１四分位数は，１で指導する範囲（レンジ）と，中２で指中央値の１つ前までの４個の値の中央値 3

導する四分位範囲について述べます。

（2 と 4 の平均），第３四分位数は，中央値の１つ後からの４個の値の中央値８（８と１．最小値，最大値と四分位数８の平均）となります。

範囲，四分位範囲を考える前に，用語の例２

まず，データの個々の値を小さい順に並べ替えて，小さい方から大きい方に順番をつけます。最も小さい値が最小値，最も大
きい値が最大値です。
次に，その順番について全体を４等分し次の 例３ では，全部で 10 個の値があります。小さい方から４分の１のところの値ます。中央値は７（６と８の平均）です。

が第１四分位数，４分の２（２分の１）の小さい方の半分（①～⑤）の値の中央値４

ところの値が中央値（第２四分位数），４

が第１四分位数，大きい方の半分（⑥～⑩）

分の３のところの値が第３四分位数です。

の値の中央値８が第３四分位数となります。

第１四分位数，中央値，第３四分位数のい例３ことで求めます。
具体例で説明します。
次の 例１ では，全部で 11 個の値があります。中央値は 8 です。第１四分位数は，中央値の１つ前までの５個の値の中央値４，① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
0 2 4 5 6 8 8 8 10 13
7
↑
↑
↑
↑
最
第
最
第
↑
小
１
３
大
中
値
四
四
値
央
分
分
値
位
位
数
数
︵第２四分位数︶

ずれも，値がない場合は両隣の平均をとる

データの最小値，第１四分位数，中央値，第３四分位数は，中央値の１つ後からの５第３四分位数，最大値で分布の特徴を表す

個のデータの中央値 10 となります。

ことを五数要約といいます。これを図に表例１したのが箱ひげ図です。
（P.22 ～ 23 参照）

↑
第
１
四
分
位
数

︵第２四分位数︶① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪
0 2 4 5 6 8 8 8 10 13 25
↑
最
小
値

20

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
0 2 4 5 6 8 8 8 10
3
8
↑
↑
↑
最 ↑
中
↑ 最
小 第
央
第 大
値
値
１
３ 値
四
四
分
分
位
位
数
数
︵第２四分位数︶

定義をします。

↑
中
央
値

↑
第
３
四
分
位
数

↑
最
大
値

２．範囲と四分位範囲

範囲（レンジ）とは最大値から最小値をひいた値，四分位範囲とは第 3 四分位数から第 1 四分位数をひいた値です。

中央値は７です。しかし，中央値付近の値(範囲)=(最大値)-(最小値)(四分位範囲)=(第３四分位数)-(第１四分位数)の分布は全然違います。

範囲は，データ全体の分布の広さを示し

それでも，範囲が同じで四分位範囲が違ます。それに対して四分位範囲は，中央値

うデータ同士を比較する際には，四分位範の前後の約 25％ずつ，合わせて約 50％の囲が威力を発揮します。

データが入る区間の広さを示し，データが中央値付近にどのくらい散らばっているかを表します。四分位範囲が「小さい」と３．範囲と四分位範囲の特徴

範囲は，データの全ての値のうちで，最は約 50％のデータが中央値付近に集まっ小値と最大値にあたる２つの値しか使いていることを指し，四分位範囲が「大きません。仮にデータの値が全部で 1000 個

い」とは約 50％のデータが中央値付近にあっても，残りの 998 個の値が持つ情報集まっていないことを指します。このようは無視されます。また，範囲には，外れ値に，四分位範囲は，データの散らばりの度の影響を受けやすいことが欠点として挙げ合いを表す指標の１つとして用いられます。

られます。

前ページの 例１ のデータの範囲と四分

その点，四分位範囲はどうでしょうか。

位範囲を求めると，次のようになります。

四分位範囲も，計算に使うのは第１四分位

例１

最小値 第１四分位数

↓
0

2

↓
4

5

中央値

6

↓
8

第３四分位数 最大値

8

8

↓
10

13

↓
25

四分位範囲
範囲

(範囲)=(最大値)-(最小値)数，第３四分位数にあたる２つの値だけです。しかし，この 2 つの値を求める際には，全ての値を順に並べるという作業をします。
このため，第１四分位数と第３四分位数には，中央値と同じように外れ値の影響を受けにくいという特徴があります。したがっ=25-0て，四分位範囲は，範囲ほどには外れ値の=25

影響を受けません。このことは，四分位範(四分位範囲)=(第３四分位数)-(第１四分位数)

囲の長所といえます。
前ページの 例１ と 例３ の違いは，デー=10-4

タに「25」が含まれているかいないかだ=6
ここで，注意が必要なのは，四分位範囲けです。

が同じだからといって，中央値付近の分布

例１ の範囲は 25，四分位範囲は 6が同じとは限らないということです。次の例３ の範囲は 13，四分位範囲は 42 つのデータを比べてみましょう。

四分位範囲も外れ値の影響を受けますが，

A
B

0
0

1
1

2
2

3
6

3 11 12 13 14 15
7 7 8 13 14 15

どちらも範囲は 15，四分位範囲は 11，範囲ほどではありません。一般に，データの値の総数が多ければ多いほど，外れ値が四分位範囲に与える影響力は小さくなります。

21

箱ひげ図

中２

１．箱ひげ図のかき方

15するためのグラフであり，最小値，第１四10箱ひげ図はデータの分布の様子を視覚化

分位数，中央値（第２四分位数），第３四
分位数，最大値を用いてかきます。
第１四分位数最小値

5

第３四分位数

中央値 平均値

最大値

0

四分位範囲
範囲

25

30

35

40

45

50

55

25

30

35

40

45

50

55

中央にデータが集まっている例

それぞれの値を示すところを縦線で表し，最小値と第１四分位数，第３四分位数と最ヒストグラムがなだらかな山型になる分

大値は横線で結びます。第１四分位数と第布のデータについて箱ひげ図をかくと，箱３四分位数は箱形（長方形）に結びます。

の長さが長くなります。箱の長さが長いと箱から出ている横線と最小値，最大値の縦いうことは四分位範囲が「大きい」という線でできている図形が「ひげ」に見えるかことであり，約 50％のデータが中央値付

ら「箱ひげ図」です。四分位範囲は，箱ひ近に集まっていないことを指します。

げ図の箱の長さに現れます。箱ひげ図は横15向きだけでなく，縦向きにかくこともあります。

10

必要があれば平均値を「+」でかき入れますが，この印は省略することもあります。

5

２．箱ひげ図の基本的な見方

0

25

30

35

40

45

50

55

ひげ図をかくと，箱の長さが短くなります。

25

30

35

40

45

50

55

箱の長さが短いということは四分位範囲が全体にデータが散らばっている例

ヒストグラムが中央付近をピークとする

急峻な山型になる分布のデータについて箱「小さい」ということであり，
約 50％のデー
タが中央値付近に集まっていることを指します。

22

また，左右のひげの長さに着目すれば，小さい方の約 25％のデータと大きい方の約 25％のデータの分布をおおまかにとら

反面，分布の形など，失われる情報もありえることができます。

ます。
下に示す箱ひげ図は，最小値が 25，第３．箱ひげ図の利点

１四分位数が 32，中央値が 41，第３四分

箱ひげ図は，異なる複数のデータを比較

位数が 47，最大値が 54 としてかかれています。次の２つのヒストグラムは形が異するときに有効です。
次の図は４つの観測地点における 2016
年７月１日から８月 31 日までの 62 日間の最高気温のデータを箱ひげ図に表したもの

なりますが，いずれも下の箱ひげ図と対応しうるものです。
15です。（データは気象庁ウェブサイトより）
10

東京
大阪

5

福岡
那覇

0
20

25

30

35

40（℃）

この図を見ると，他の３観測地点に比べ，那覇のデータの範囲と四分位範囲が小さい
ことが一目でわかります。また，大阪と福岡を比べると，範囲と中央値，第 3 四分
位数はほぼ同じですが，四分位範囲は福岡の方が大きいことなどがわかります。さら

25

30

35

40

45

50

55

25

30

35

40

45

50

55

25

30

35

40

45

50

55

15

10

5

0

に，中央値の位置が箱の中で右に寄っていることや，左右のひげの長さからも，読み取ることができる情報があります。
データの分布の様子はヒストグラムでもこの例からもわかるように，四分位範囲見ることができますが，ヒストグラムではや箱ひげ図から一意に分布が決まるという情報が多い分，かえってデータの特徴をとことはありません。そのため，四分位範囲らえにくい面があります。シンプルな箱ひや箱ひげ図を用いるときは，ヒストグラム

げ図だからこそ見えてくることがあります。

と併用したり，平均値や最頻値と相補的に用いたりすることで，データの分布をより

４．四分位範囲と箱ひげ図の注意点

簡潔さが箱ひげ図の長所といえますが，的確にとらえ，表現できるようにする指導が求められます。

23

中１〜中２

確率

これまで中２で指導していた確率の内容の一部が，中１へ移行しました。

次の図は，１個のペットボトルのキャッ
プを 1000 回投げるシミュレーションを３回行った結果です。

１．確率の意味

確率とは，あることがらの起こりやすさの程度を表す数のことです。確率が p であるというのは，同じ観察や試行を多数回繰り返したとき，そのことがらが起こる相対度数が p に近づくという意味です。決して起こらないことがらの確率は０，必ず起こ
上の図で，20 回投げた時点の表向きのることがらの確率は１で，０≤ p ≤１です。
1
また，「ことがら A が起こる確率が 」
2というのは，「ことがら A が，２回に１回

相対度数は 0.25，0.35，0.45 とばらついは起こることが期待できる」という意味でのばらつきが小さくなっていくのがわかりあり，「２回に１回は必ず起こる」というます。投げる回数をさらに増やしていくと，意味ではありません。このことは，簡単な表向きの相対度数は，ある特定の値に近づ実験を通して確認させるとよいでしょう。

いていきます。その値が，１個のペットボていますが，投げる回数が多くなると，そトルのキャップを１回投げたときに表が出
２．多数の観察や多数回の試行によって得る確率です。実験を続け，表が出る相対度

中１では，多数の観察や多数回の試行にば，その確率は 0.25 ということになります。

よって得られる確率を指導します。このよ

相対度数は試行によって得られた結果，られる確率

うな確率を，統計的確率といいます。

確定したことがらについて表された数であ

相対度数は，全体に対する部分の割合をるのに対して，確率は不確実なことがらの示す値です。多数の観察や多数回の試行に起こりやすさの程度を数で表したものです。

おいては，

つまり，相対度数と確率は同じものではあ（ことがら A が起こった回数）（全体の回数）が，ことがら A が起こった相対度数です。

24

数が 0.25 という値に近づいていったならりません。しかし，日常生活や社会において，相対度数を確率とみなして用いることがあります。

例えば，ペットボトルのキャップを 20

例 え ば， 野 球 の 試 合 に お い て，20 打

回投げたときに表向きになった回数が 4

数で 8 安打の結果を残している選手 X と，回なら，表向きの相対度数は 0.2 です。

30 打数で 9 安打の結果を残している選手

Y のどちらかを代打に選ぶとします。X

な樹形図をかく活動を通して，同様に確かの打率は 4 割，Y の打率は 3 割です。実らしいといえる場合の数は４通りであるこ

際には長打力など別の要素も考慮しますが，とを理解させます。

打率だけで考えるのであれば，打率が高い

な お， 本 来 は 区

X を選ぶのが妥当といえるでしょう。こ別できない２枚のこでいう打率は相対度数であり，確率であ硬 貨 を A，B と しるとはいえません。しかし，ヒットを期待

た り， 表 を ○， 裏できる程度が大きいのはどちらかを考えるを * として図を簡ときには，確率と同じように判断の材料と略化したりするこ

することがあります。

と も， 大 切 に し た

…表
A

…裏

B

このように，過去のデータから起こりやい数学的な見方・考え方です。最初は指導

すさの傾向を予測するために，相対度数を者が手本を示すとしても，最終的には，生確率とみなすことがあります。

徒が必要に応じて記号で表せるようにしたいものです。

３．場合の数をもとにして得られる確率

ところで，数学的確率を学習すると，確中２では，場合の数をもとにして得られ率の本来の意味を見失いがちです。そこで，る確率を指導します。このような確率を，P.15 で述べているように同様に確からし

数学的確率といいます。

いといえないことがらの確率を考えさせたある試行で，起こりうる場合が全部で n

り，「１枚の硬貨を 20 回投げたとき，必通りあって，そのどれが起こることも同様

ず表と裏が 10 回ずつ出るといえるか」とに確からしいとするとき，それぞれの場合
1の起こる確率は n であり，ことがら A が起こる場合が a 通りならば，1 回の試みでa
A の起こる確率は n です。これが，場合の数をもとにして得られる確率です。

問いかけたりして，確率の意味を確認する

ここで特に重要となるのが，「同様に確からしい」という概念です。
例えば，2 枚の硬貨を同時に投げたとき，場面を設けるとよいでしょう。
中２では，確率を求めるだけではなく，確率を用いて不確定な事象をとらえ考察し表現することも指導します。
例えば，くじ引きをするとき，引く順番によって有利・不利が生じるかを考えさせる課題を設けることが考えられます。この起こりうる場合は２枚とも表，１枚は表でとき，「…の確率を求めなさい。
」と問う

１枚は裏，２枚とも裏の３通りと考えるこのではなく，「先に引く人は有利か不利か，とができます。しかし，この３通りは，同あるいは先でもあとでも同じかを予想しよ様に確からしいとはいえません。このことう。
」「自分の予想が正しいか考え，判断し，を，実験を通して経験的に知らせたうえで，その根拠を樹形図や表を使って説明しよ

２枚の硬貨を A，B と区別し，次のようう。
」などと問うとよいでしょう。

25

中３

標本調査

中３では，中２までの学習を踏まえて標①としては，テレビの視聴率調査や新聞

本調査を指導します。標本の無作為抽出の社が行う世論調査が，よく取り上げられま

概念形成には，確率の意味理解が前提となす。文化庁の「国語に関する世論調査」やります。また，抽出した標本の整理や分析

文部科学省の「体力・スポーツに関する世の場面では，代表値，ヒストグラム，相対論調査」なども，興味付けの話題としてよ度数といった手法を使います。小・中学校

いでしょう。

を通して培ってきた「データの活用」領域②としては，電球や電池など，消耗品のの資質・能力を活用するという意味でも，寿命の検査があげられます。袋詰めの食品

標本調査は重要な内容といえます。

を開封して中身の品質をチェックする検査も②に含まれますが，単に「品質検査」と１．標本調査の必要性いうだけでは，必ずしも標本調査とはいえ中２までは基本的に，調査対象となる値ません。X 線検査機や金属検出機で異物全てがそろっていることを前提に，データ混入をチェックし，選別機と併用して自動の分布の傾向を読み取ることを指導します。

で不良商品を排除する検査は全数調査が可

しかし，日常生活や社会においては，様々能です。同じ商品について，複数の検査項

な理由から，調査対象となる値全てを収集目があり，検査の内容によっては全数調査

できない場合があります。具体的には，次を実施している場合もあるので，問題作成の①や②のような場合です。また，③や④の際は注意しましょう。

のような場合も，標本調査が有用です。
①

時間や費用が制限されていて，全数調査ができない場合（世論調査において時間が経過することで情報が陳腐化する場
合，費用対効果の問題など）②

全数調査が原理的に不可能な場合（破壊検査など）③

全数調査を実施した上で，調査の結果を早く知りたい場合（国勢調査の速報値）④

標本調査の必要性と意味の理解を深めるには，全数調査と比較することが有効です。
身近なところでは，健康診断や進路志望調査などが全数調査といえます。集団の傾向を知りたいのではなく，個々の実態を知りたいという目的があるのであれば，全数調査を実施するしかありません。

全数調査より実質的に高い精度が得ら

また，調査対象が小規模な場合や，全数れる場合（少数のすぐれた調査員でなけ調査を行うことに特別なリスクがない場合

れば正確な調査ができないような場合）

は，あえて標本調査をする必要がないので，

中３の教材としては，①と②を取り上げ全数調査をするという場合もあります。

れば十分でしょう。

26

２．全数調査との比較

全数調査と標本調査の長所と短所をまとめると，次のようになります。

程度が正しく伝わらないからです。

長所

短所

全数調査

調査結果の
信頼性が高い費用，時間，
労力がかかる

標本調査

費用，時間，
労力を抑えられる調査結果に誤差が見込まれる

ただし，前ページの④に示したように，（1）調査の目的（2）調査項目（3）調査の対象①

母集団②

標本，標本の大きさ③

標本抽出の方法（4）調査日（期間）

標本調査の方が適切な情報を得られる場合（5）調査方法もあります。また，標本調査も適切な方法（6）有効回収数（率）で行えば，目的に見合った十分に精度の高例えば，内閣支持率は短期間で変化する

い結果を得ることができます。指導にあことから，いつ調査したのかがわからなけ

たっては，具体的な事例について，全数調れば，その調査結果には実質的に価値がな

査と標本調査のどちらがふさわしいかを選

いと判断する場合があります。

ぶだけではなく，その理由も考えさせることが大切です。
問

テレビや雑誌，インターネットで紹介されているアンケート結果を見るときも，上次の調査は，全数調査と標本調査のどちらで記のような情報が掲載されているかどうか行われますか。

を確認することで，情報の信頼できる程度（1）中学校で行われる進路希望調査
理由と答え：生徒一人一人の希望を知りたい
ので，全数調査で行われる。
（2）乾電池の寿命の検査
理由と答え：検査に使った製品は商品として売れなくなるから，標本調査で行われる。

が変わってきます。
ただし，標本調査の条件を満たしていな
い調査が無意味かといえば，そうとはいえません。全数調査ほどではないにしろ，大規模な標本調査では，それなりに費用，時間，労力がかかります。より簡便な方法で

３．標本調査の方法や結果を批判的に考察行われたアンケートは，信頼できる程度で生徒自身が調査を行ってレポートを作成

迅速に結果が得られるというよさがありまし表現することする上でも，新聞やインターネットなどで劣る面はあるものの，少ない費用と労力です。

公表された実際の調査結果を読み取る上で大切なのは，自分が行った調査がどのよも，調査の方法や結果を多面的に吟味し，うな方法で行われたのかを正しく伝えたり，批判的に考察することが大切です。

提示された調査結果の背景をきちんと読み

ふつう，世論調査の結果を公開する際に取ったりしようとする態度を養い，標本調は，次のような情報も一緒に示します。結査の方法や結果を批判的に考察したり，表果だけでは，その調査の意味や信頼できる現したりできるようにすることです。

27

無作為抽出と乱数

小１〜小２
中３

１．無作為抽出ら，男女を半分ずつ，年齢も世代別に 10

図１に示すように，標本調査は，母集団人ずつというように均等に選んだとします。

から取り出した標本の性質を調べ，それをこの場合，一見すると標本に偏りはないよ

もとにして，母集団の性質を推定する調査

うに思えます。このような抽出方法で妥当方法です。

な調査結果が得られるでしょうか。
前述の「駅前で選ぶ」方法では，標本と

母集団
取り出す

標本

団のそれとが一致していなければ，論理的に必然性がない抽出といえるでしょう。ま

調査する

推定する

母集団の性質した人たちの性別・年齢などの比率と母集標本の性質

図１ 標本調査のイメージ

標本の抽出方法には，有意抽出と無作為抽出があります。

た，その比率を一致させたとしても，その日時にその場所にいない人を調査対象から除外していることになりますし，声をかけやすい人と声をかけにくい人を無意識のう
ちに選別している可能性もあります。
したがって，このような方法で抽出した標本から母集団の性質を推定すると，母集有意抽出は，母集団を代表すると考える団の本来の性質から離れた結果を得ること

調査対象を意図的に選び出す抽出方法ですになりかねません。そのため，無作為抽出が，この方法には抽出の妥当性を客観的にをすることが大切になります。

判断することが難しいという面があります。

高等学校以降の学習内容になりますが，無作為抽出は，調査対象を確率的に選び分布のモデルを用いて推測や検定を行う場

出す抽出方法です。ここでいう「無作為」

合は，前提として，標本の抽出方法は無作とは，「偏りがなく，恣 意 的でない」とい為抽出です。

しいうことです。「恣意的」は，「論理的に必然性がないさま，自分の好みやそのときの思
いつきで行動するさま」という意味です。

標本調査では，必ず母集団を定義します。

例えば，国民全体の意識調査をするとき

この母集団は，自分の調べたいこと，問題に「女性」や「若い人」を中心に標本を選と考えていること，いいたいことによってべば，母集団の構成と標本の構成が異なる

規定されます。

ので，標本の取り出し方に偏りがあるといえます。
それでは，駅前で通りがかった人の中か28

２．母集団の規定の大切さ

例えば，「中学生が好きなスポーツの傾向」を知りたいとします。そうすると，調査対象となる中学生が，どの範囲を示して

いるかが問題となります。
「ある中学校のてみます。この状態は，濃度がどの部分で生徒」なのか，「ある地域内の中学生」なも一様ですから，どこをとっても結果は同のか。さらに，「ある都道府県の…」，「全じであると考えることができます。すなわ

国の…」，「アジアの…」，「世界の…」といち，あることがらが起こる確率は，どこをうように，その対象を広げることはいくらとっても同じであるといえます。これを等でもできます。また，特定の学年だけなの確率であるといいます。要するに，標本のか，他学年も含めてなのかによっても母集抽出においても，等確率でとる状態を作る

団が変わります。

ことができればよいわけです。

まずは自分が何について知りたいのかを考えて，それに応じて適切な母集団を規定することが大切です。

ここで，等確率であるのはどのようなものかが問題になります。
一般的には，さいころや乱数さい，くじ引きなどが考えられています。

３．無作為抽出のイメージ

乱数は，０から９までの 10 個の数字を，よく例に出されるのが，カップに入ってまったく不規則に（それ以前の数から次のいるスープの濃度を知るというものです。
態を考えてください。その状態では，カッ数が予測不可能である），しかも，どの数1の確率で現れるように並べた
字も同じ
10
数列（乱数列）の各要素のことです。つまプの上と下で濃度が大きく違います。混ぜり，乱数は等確率で数字が現れるし，次のていない状態だと，どこでとるかによって数が予測できない（恣意的でない）ものな

濃淡が現れるのです。このようなことが，のです。そこで，乱数を用いて母集団から先ほどの偏った抽出になります。

母集団の部分集合である標本を抽出します。

固形のスープの素にお湯を注いだ直後の状

正しい濃度を知るためにはどうしたよい

その手順は，一般的には次の通りです。

でしょうか。そうです。かき混ぜればよい①

母集団の個々の対象に番号を振る。

のです。よくかき混ぜた状態からでは，ど②乱数列を示している乱数表を用いる。

の位置からとっても，一様の濃度を得るこ

パソコンで生成する疑似乱数を用いるとができます。これが，無作為抽出です。

ことが多い。
③

４．無作為抽出の方法

３で述べたカップの中のスープであれば，

よくかき混ぜればよいということはわかり

乱数表から得た乱数と同じ番号を①から抽出する。重複する数は省き，決めた個数の対象を抽出するまで続ける。
この過程が無作為抽出の手順です。また，やすいでしょう。それでは，かき混ぜるこ

この過程を経て得られた標本を単純無作為とができない母集団の場合はどのようにす

標本（シンプルランダムサンプル），またればよいのでしょうか。

は単に無作為標本（ランダムサンプル）とここで，かき混ぜた状態をもう一度考え

いいます。

29

標本平均と母平均

小１〜小２
中３

１．確率にもとづく無作為抽出の理論

母平均[20
母平均[10

無作為抽出した標本からどのような平均値（標本平均）が得られるかを，次の８個6の値からなる母集団で考えてみましょう。

4

表１

A

B

C

D

母集団と母平均

E

F

G

H

母平均45
↓

2

母平均

10 20 30 40 50 60 70 80

45

0

20 23.3 26.7 30 33.3 36.7 40 43.3 46.7 50 53.3 56.7 60 63.3 66.7 70

図１ 標本の大きさが３のときの標本平均の分布

標本が無作為抽出されたとすると，全て８個の値から３個選ぶ組み合わせの総数
は８Ｃ３=56 通りです。

がなく，同じ確率で現れると考えることが表２は，母集団から３個の標本を選んだできます。

ときの全ての組み合わせと，そのときの標標本平均が母平均 45[10 の範囲内にあ本平均を示しています。図１は，その標本平る個数は図１より 34 個で，1 回の標本抽均の分布を表したものです。

出の結果の標本平均が 45[10 に収まる確

表２

A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B

30

の組み合わせが抜き出される可能性には差

標本
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
D
D
D
D
E
E
E
F
F
G
C
C
C
C
C
D
D

標本の組み合わせと標本平均
C
D
E
F
G
H
D
E
F
G
H
E
F
G
H
F
G
H
G
H
H
D
E
F
G
H
E
F

標本平均
20.0
23.3
26.7
30.0
33.3
36.7
26.7
30.0
33.3
36.7
40.0
33.3
36.7
40.0
43.3
40.0
43.3
46.7
46.7
50.0
53.3
30.0
33.3
36.7
40.0
43.3
36.7
40.0

B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
E
E
E
F

標本
D
D
E
E
E
F
F
G
D
D
D
D
E
E
E
F
F
G
E
E
E
F
F
G
F
F
G
G

G
H
F
G
H
G
H
H
E
F
G
H
F
G
H
G
H
H
F
G
H
G
H
H
G
H
H
H

標本平均
43.3
46.7
43.3
46.7
50.0
50.0
53.3
56.7
40.0
43.3
46.7
50.0
46.7
50.0
53.3
53.3
56.7
60.0
50.0
53.3
56.7
56.7
60.0
63.3
60.0
63.3
66.7
70.0

率は 34/56 ≒ 0.61 となります。裏返せば，標本平均と母平均との誤差が [10 より大きくなる確率は（1-0.61=）0.39 です。
つまり，標本平均の結果の許容する誤差を[10 とすると，５回に２回程度は，許容する誤差の範囲から外れた標本平均を得る
ことになります。
ここで，許容する誤差を [20 まで広げると，その確率は 52/56 ≒ 0.93 となり，10 回に１回程度しか範囲外にならないことになります。
ここまでは，「母平均 [ 許容する誤差」の範囲に標本平均が収まる確率について考えました。今度は逆に，「標本平均 [ 許容する誤差」に母平均が収まる確率について考えてみます。
標本平均が 30 の場合，許容する誤差が[10 では母平均 45 が収まりません。しかし，許容する誤差が [20 なら母平均 45ます。
ここまでの話を中学生に理解させることは困難です。授業では経験的に理解させるが収まります。
このように考えていくと，標本平均 [10ようにします。

の範囲に母平均 45 がある確率は，34/56≒ 0.61 より 61％であるとわかります。また，許容する誤差の範囲を広げて [20 に３．標本抽出の回数と標本調査の精度

標本抽出を１回だけするよりも，複数回すると，52/56 ≒ 0.93 より，93％の確率行った結果を平均した方が精度があがるこ

で母平均が標本平均 [20 の範囲内にあるとが知られています。

と考えることができます。
すべ

実際の母平均を知る術がないとしても，

ここでは，中学生が実験によって経験的に理解することについて述べます。

以上のような確率の考えにもとづいて母平

例えば，10，20，30，…，80 と数がか均を推定することができます。ただし，許かれた８枚のカードを用意し，８枚から６容する誤差を小さくすれば，推定値が許容枚のカードを無作為抽出する実験をします。

範囲から外れる確率が高くなります。

（実質的には８枚から除外する２枚のカードを選ぶことと同じです。
）

２．標本の大きさと標本調査の精度

この実験を５回繰り返して求めた標本平

表１の８個の値から抽出する標本の大き

均の平均値と，10 回繰り返して求めた標さを大きくしてみるとどうなるでしょうか。

本平均の平均値とを比べてみるのです。高

標本の大きさを６個にしてみましょう。

い確率で，５回繰り返した場合より 10 回

８個の中から６個選ぶ組み合わせは 28 通繰り返した場合の方が，母平均に近い値がりです。その 28 通りのそれぞれの標本平得られます。ただし，偶然，逆の結果にな均を求めて，その分布を図２に示しました。

る場合もあるので，学級全体で結果を共有してみるとよいでしょう。

4

標本の大きさを変えながら上述したよう

2
035 36.7 38.3 40 41.7 43.3 45 46.7 48.3 50 51.7 53.3 55

な実験を行い，標本平均と母平均の関係に

図２ 標本の大きさが６のときの標本平均の分布ついて考察する授業では，標本調査の学習

この図から，母平均 [10 の範囲に全てと確率の学習との繋がりを実感することがの標本平均が収まり，母平均 [5 の範囲できます。また，標本調査における標本のには 20/28 ≒ 0.7 1 より 7 1％の標本平均

大きさの重要性についても自然と学ぶことが収まることがわかります。

ができるのではないかと考えます。ぜひ，

このことから，標本の大きさを大きくす

授業で実践して頂ければと思います。

れば，標本平均と母平均との差が縮まると参考文献：松井

期待できることをご理解いただけると思い入門』日本統計協会

博（2005）『標本調査法31

■小学校算数科，中学校数学科の内容の構成（D データの活用）
内容

１年 絵や図を用いた数量の表現
２年 簡単な表やグラフ
表と棒グラフ
３年

データの分類整理と表／棒グラフの特徴と用い方（内容の取扱いに「最小目盛りが２，５などの棒グラフや複数の棒グラフを組み合わせたグラフ」を追加）

データの分類整理
４年

二つの観点から分類する方法／折れ線グラフの特徴と用い方（内容の取扱いに「複数系列のグラフや組み合わせたグラフ」を追加）

小学校

円グラフや帯グラフ
円グラフや帯グラフの特徴と用い方／統計的な問題解決の方法

５年（内容の取扱いに「複数の帯グラフを比べること」を追加）

測定値の平均平均の意味

データの考察代表値の意味や求め方（←中１）／度数分布を表す表やグラフの特徴と用い方／目６年

的に応じた統計的な問題解決の方法（用語に「ドットプロット」「平均値」「中央値」「最頻値」「階級」を追加）（←中１）起こり得る場合
データの分布の傾向
ヒストグラムや相対度数の必要性と意味

１年

多数の観察や多数回の試行によって得られる確率
多数の観察や多数回の試行によって得られる確率の必要性と意味（←中２）（用語に「累積度数」を追加）（用語から「平均値」「中央値」「最頻値」「階級」を削除）（→小６）（内容の取扱いから「誤差」「近似値」「a*10 n の形の表現」を削除）（→中３）中学校

データの分布の比較
四分位範囲や箱ひげ図の必要性と意味（追加）／箱ひげ図で表すこと（追加）

２年 場合の数を基にして得られる確率
確率の必要性と意味／確率を求めること（「確率の必要性と意味」を一部移行）（→中１）

３年

標本調査
標本調査の必要性と意味／標本を取り出し整理すること（参考） 文部科学省『小学校学習指導要領（平成 29 年告示）解説
文部科学省『中学校学習指導要領（平成 29 年告示）解説

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算数編』日本文教出版
数学編』日本文教出版

小学校算数・中学校数学「データの活用」指導の初歩の初歩
日文

教授用資料

平成30年
（2018年）
5月21日発行

CD 33390