(目次(本書の使い方 ………………………………………………………………………………………………………………… 9
統計学を学ぶ心がけ／予備知識／本書の学び方／のんびり取り組む／本書の難所／練習問題を解く／
数学が得意なら／ご協力ください

序章

20

はじめに

１． 統計学の必要性…………………………………………………………………………………………………… 20
２． 散らばり（バラツキ）……………………………………………………………………………………………… 22
３． 基本的な用語と概念 …………………………………………………………………………………………… 23
観測値と標本

母集団

統計学の目的統計学の理論を支える土台

単純無作為標本４． 本書の２本柱 ……………………………………………………………………………………………………… 26
平均の比較

2 変数の関係

５． 検定統計量 ………………………………………………………………………………………………………… 28

第Ⅰ部

統計的仮説検定の論理30

1 章 検定の論理（二項検定を教材として）

１． 例題 1：B 薬は A 薬より有効か？ ………………………………………………………………………… 30
例題 1.1：18 人に効果がある場合

例題 1.2：14 人に効果がある場合

例題の解答

２． 二項分布 ……………………………………………………………………………………………………………… 32
二項係数

コブ斜面を降りる

ゴール 2 へ降りる確率

二項分布

二項分布の応用

３． 期待値 [ ] ………………………………………………………………………………………………………… 38４． 練習問題 A ………………………………………………………………………………………………………… 40
５． 二項検定 ……………………………………………………………………………………………………………… 40
STEP 1：帰無仮説
二項分布の特徴

0と対立仮説 A
STEP 2：検定統計量
STEP 3：帰無分布
STEP 4：棄却域と有意水準
STEP 5：有意差の有無の判断

６． 検定の論理（まとめ） …………………………………………………………………………………………… 46
７． 練習問題 B …………………………………………………………………………………………………………… 47

2 章 検定統計量（Wilcoxon‑Mann‑Whitney 検定を教材として）

49

１． 例題 2：肥料 Aと肥料 B の収量に差はあるか？ ………………………………………………… 49
栽培実験

基本的な用語と記号

２． WMW 検定の目的……………………………………………………………………………………………… 50
2 つの母集団

2 つの標本2 つの可能性

３． 検定統計量 ………………………………………………………………………………………………………… 51
４． WMW 検定の手順……………………………………………………………………………………………… 52
帰無仮説 0 と対立仮説 Aの定義
統計量 の計算

ノンパラメトリック統計
STEP 2： の臨界値 0.05

WMW 検定の手順
STEP 1：検定
STEP 3：有意差の有無の判断

５． 練習問題 C ………………………………………………………………………………………………………… 56
６． 数学者たちに感謝 ……………………………………………………………………………………………… 56

７． WMW 検定の定性的理解 ………………………………………………………………………………… 57
可能な結果の全て

検定統計量 の性質

帰無分布棄却域

８． WMW 検定の実践的な技術 ……………………………………………………………………………… 63
標本サイズ が大きい場合の1と2の計算タイ（等しい値）がある場合の の計算

９． WMW 検定を発明した自然科学者たち …………………………………………………………… 66
Frank Wilcoxon

Henry Berthold Mann と Donald Ransom Whitney

10．統計学を学ぶための心がけ ………………………………………………………………………………… 68
11．WMW 検定の手順（まとめ） ……………………………………………………………………………… 69
12．練習問題 D ………………………………………………………………………………………………………… 70

71

3 章 第１種の過誤と第２種の過誤

１． 検定の論理の復習 ……………………………………………………………………………………………… 71
二項検定の復習

説明のスタイル２． 4 つの可能性 ……………………………………………………………………………………………………… 73
３． 第 1 種の過誤 ……………………………………………………………………………………………………… 73
帰無仮説 0 が間違っているとき
帰無仮説 0 が正しいときの「有意差なし」が正しいときの「有意差あり ( <0.05)」「有意差あり ( <0.05)」の意味

帰無仮説

0４． 第 2 種の過誤 ……………………………………………………………………………………………………… 76
帰無仮説 0 が正しいとき
帰無仮説 0 が間違っているときの「有意差あり ( <0.05)」
帰無仮説 0 が間違っているときの「有意差なし」
第 1 種の過誤と第 2 種の過誤の性質の違い「有意差なし」は帰無仮説 0 の証明ではない

５． データの解釈と言葉遣いに、気をつける ………………………………………………………… 83「有意差あり ( <0.05)」のとき

第Ⅱ部「有意差なし」のとき

統計学の理論的基礎
86

4 章 平均・分散・標準偏差・自由度

１． 例題 4：3 つの観測値 ………………………………………………………………………………………… 86
２． 母集団と標本 ……………………………………………………………………………………………………… 87
３． 平均……………………………………………………………………………………………………………………… 87
母平均μ（算術平均）

母平均μ（期待値）

標本平均

不偏推定量

４． 分散と標準偏差の基礎 ……………………………………………………………………………………… 90μが既知だと仮定する
偏差分散（偏差を 2 乗で正にする）

平均偏差（偏差を絶対値で正にする）
標準偏差

５． 母分散σ2 と母標準偏差σ …………………………………………………………………………………… 92
母分散σ 2（算術平均）

偏差と偏差平方和

６． 標本分散2

母分散σ 2（期待値）

母標準偏差σと標本標準偏差 ……………………………………………………………………………… 94

偏差の起点に代役を使う

偏差平方和と自由度

７． 母数と統計量 ……………………………………………………………………………………………………… 96
母数

８． 自由度

統計量の概念を確立してきた自然科学者たち ……………………………………………… 98

Friedrich Bessel

９． 自由度Ronald Aylmer Fisher………………………………………………………………………………………………………… 100

制約条件と自由度

偏差に課された制約条件

統計学における自由度の意味

10．標本分散 2 の計算の手順（まとめ） ………………………………………………………………… 105
11．練習問題 E ……………………………………………………………………………………………………… 106

107

5 章 正規分布と統計理論の初歩

１． 正規分布 …………………………………………………………………………………………………………… 107
二項分布から正規分布へ

確率密度

母数（パラメータ）±σ・± 2 σ・± 3 σの範囲

２． 標準正規分布 …………………………………………………………………………………………………… 112
μ =0 でσ =1 の正規分布

標準正規分布表

臨界値 0.05

３． 練習問題 F ……………………………………………………………………………………………………… 113
４． 標準化 ……………………………………………………………………………………………………………… 114
標準化の簡単な例題

標準化の視覚的な理解標準化して得た z が従う確率分布

５． 練習問題 G ……………………………………………………………………………………………………… 117
６． 定理 1：標本平均が従う確率分布 …………………………………………………………………… 117
標本平均は散らばりが小さい
散らばりが小さくなる理由
大数の法則
標本分布と標準誤差

標本平均 が従う確率分布

７． 練習問題 H ……………………………………………………………………………………………………… 121
８． 定理 2：中心極限定理 ……………………………………………………………………………………… 122
９． 定理 3：正規分布の再生性 ……………………………………………………………………………… 125
10．練習問題 I ………………………………………………………………………………………………………… 126
11．定理 4：2 つの標本平均の差が従う確率分布 ………………………………………………… 126
12．練習問題 J ……………………………………………………………………………………………………… 128
13．定理（まとめ） …………………………………………………………………………………………………… 129

6章

130

分布と母平均μの 95% 信頼区間

１． 例題 6：7 つの観測値の背後にいる母平均μは？ …………………………………………… 130
２． 母標準偏差σが既知の場合の 95% 信頼区間 ………………………………………………… 131
前提条件
標本平均の確率分布
例題の解答（σが既知の場合）

標本平均の標準化

σが既知の 95% 信頼区間

３． 練習問題 K ……………………………………………………………………………………………………… 133
４． σを で代用してみる ……………………………………………………………………………………… 133
σは で代用するしかないがσを で代用した標準化

５． Gosset が発明した 分布 ………………………………………………………………………………… 136
Karl Pearson

William Sealy Gosset

６． 標準化とStudent 化（まとめ） ………………………………………………………………………… 138７．

分布の定性的理解 ………………………………………………………………………………………… 139
分布は背が低くて幅が広い
母数（パラメータ）は自由度

分布は標本サイズ によって形が少しずつ変化する
臨界値 0.05( )８． 母標準偏差σが未知の場合の 95% 信頼区間 ………………………………………………… 142
公式の導出

例題の解答（σが未知の場合）

９． 95% 信頼区間の「95%」の意味 …………………………………………………………………… 144
10．母平均μの 95% 信頼区間の手順（まとめ） ……………………………………………………… 146
11．練習問題 L………………………………………………………………………………………………………… 147

第Ⅲ部
7章

母平均μに対する統計解析
150

関連 2 群の 検定（対応のある 検定）

１． 関連 2 群（対応のあるデータ）の特徴 ………………………………………………………………… 150
例題 7.1：サプリメントの効果

２． 対応する 2 つの観測値の差観測値の差に注目

３． 帰無仮説

0…………………………………………………………………………… 152

2 つの可能性と対立仮説

前提条件例題 7.2：肥料の効果

帰無仮説

A ……………………………………………………………………………… 152

0 と対立仮説

A

４． σd が既知の場合 ……………………………………………………………………………………………… 154
検定統計量 と帰無分布

例題の解答（σ d が既知の場合）

５． 練習問題 M ……………………………………………………………………………………………………… 156
６． σd が未知の場合 ……………………………………………………………………………………………… 156
検定統計量 と帰無分布

関連 2 群の 検定の手順（まとめ）例題の解答（σ d が未知の場合）

７． 練習問題 N ……………………………………………………………………………………………………… 160
８． 検定統計量 の定性的理解（3 つの判断基準）…………………………………………………… 160
差 の標本平均の効果

差 の標本標準偏差の効果

標本サイズの効果

９． 検定統計量 の性質（まとめ）…………………………………………………………………………… 167

168

8 章 独立 2 群の 検定（対応のない 検定）

１． 独立 2 群（対応のないデータ）の特徴 ………………………………………………………………… 168
例題 8.1：サプリメントの効果

例題 8.2：精神障害

２． 標本平均の差 …………………………………………………………………………………………………… 170
2 つの可能性

３． 帰無仮説0

独立 2 群の 検定の前提条件と対立仮説

標本平均の差の確率分布

A ……………………………………………………………………………… 173

４． σが既知の場合 ………………………………………………………………………………………………… 173
検定統計量 と帰無分布

例題の解答（σが既知の場合）

５． 練習問題 O ……………………………………………………………………………………………………… 176
６． σが未知の場合 ………………………………………………………………………………………………… 176σの推定（その 1）：2 つの標本標準偏差σの推定（その 2）：合算標準偏差 p
検定統計量 と帰無分布
独立 2 群の 検定の手順（まとめ）例題の解答（σが未知の場合）

７． 練習問題 P ……………………………………………………………………………………………………… 186
８． 検定統計量 は煩雑 ………………………………………………………………………………………… 186
９． 練習問題 Q：Student の をシンプルにする ………………………………………………… 186
10．検定統計量 の定性的理解（3 つの判断基準）…………………………………………………… 187
標本平均の差

標本標準偏差

標本サイズ

11．検定統計量 の性質（まとめ）…………………………………………………………………………… 190

9章

191

値

１． 検定の枠組み …………………………………………………………………………………………………… 191
２． 2 択だけの判断は不十分 ………………………………………………………………………………… 192
有意差がない場合有意差がある場合

３．

値 …………………………………………………………………………………………………………………… 194
値の定義値を得たら、まず 0.05 と比較する
例題 8.1 の場合「有意差あり」の表記法「有意差なし」の表記法

10 章

197

一元配置分散分析

１． 一元配置分散分析のデータの特徴 ………………………………………………………………… 197
例題 10.1：サプリメントの効果

例題 10.2：ニジマスに与える餌２． 2 つの可能性 …………………………………………………………………………………………………… 199
３． 一元配置分散分析の前提条件 ………………………………………………………………………… 199
４． 帰無仮説

0と対立仮説５． 新しい記号： ,,＝A ……………………………………………………………………………… 200………………………………………………………………………………………… 201＝

標本の数（群）

観測値の総数 と総平均

６． 一元配置分散分析の大まかな流れ ………………………………………………………………… 203
誤差平均平方（群内分散） within
全平均平方 total
分散分析表

７． 誤差平均平方（群内分散）
偏差平方和

within

処理平均平方（群間分散）
検定統計量

betweenwithin …………………………………………………………………… 207

自由度

誤差平均平方（群内分散）

withinwithin８． 練習問題 R ……………………………………………………………………………………………………… 210
９． 処理平均平方（群間分散）

between ………………………………………………………………… 210

予備知識の復習
母分散σ 2 の推定
偏差平方和 between と自由度 between

処理平均平方（群間分散）

between

10．練習問題 S ……………………………………………………………………………………………………… 214
11．全平均平方

total …………………………………………………………………………………………… 216

12．練習問題 T ……………………………………………………………………………………………………… 218
13．分散分析表と検定統計量……………………………………………………………………………… 218

14．検定統計量 の定性的理解 ……………………………………………………………………………… 219
分母のwithinの役割

分子のbetweenの役割

例題 10.1 の場合

分布と臨界値 0.05

15．一元配置分散分析の手順（まとめ）…………………………………………………………………… 226
16．練習問題 U ……………………………………………………………………………………………………… 227
17．標本サイズが不揃いのときの計算 …………………………………………………………………… 228

11 章

多重比較（Bonferroni 補正と Tukey‑Kramer 法）229

１． 多重比較のデータの特徴 ………………………………………………………………………………… 229
例題 11.1：サプリメントの効果

例題：11.2. ニジマスに与える餌

２． アルファベットを使った結果の表示 ………………………………………………………………… 230
３． 多重比較の出発点 …………………………………………………………………………………………… 231
４． 多重性という課題……………………………………………………………………………………………… 232
帰無仮説 0 が正しいとき
第 1 種の過誤と有意水準α
ライフルで的を狙う
多重性（まとめ）

FWER（全体としての有意水準）

５． Bonferroni 補正 ……………………………………………………………………………………………… 235
Bonferroni 補正の方法

多重比較の欠点

６． Tukey‑Kramer 法 …………………………………………………………………………………………… 237
Tukey‑Kramer 法の前提条件

帰無仮説

0と対立仮説A

検定統計量

７． Tukey‒Kramer 法の計算 ……………………………………………………………………………… 241
対戦表
検定統計量 の分子
臨界値 0.05( , within)

検定統計量 の分母

検定統計量

８． Tukey‒Kramer 法の手順（まとめ） ………………………………………………………………… 243９． アルファベットの割り当て ………………………………………………………………………………… 244
割り当ての方法

アルファベットの役割（まとめ）10．練習問題 V ……………………………………………………………………………………………………… 248

第Ⅳ部

12 章

2 つの変数との間の関係
250

相関分析

１． 例題 12：2 つの変数の関係は？ ……………………………………………………………………… 250
例題 12.1：かき氷の売上と気温

２． 新しい記号：( ,例題 12.2：ホタルと農薬) ………………………………………………………………………………………… 251

３． 正の相関と負の相関 ………………………………………………………………………………………… 251
４． 強い相関と弱い相関 ………………………………………………………………………………………… 252
５． 相関係数 の性質……………………………………………………………………………………………… 253
６． 標本共分散………………………………………………………………………………………………… 255

偏差の積偏差の積の和自由度
共分散の性質（その 1）：無相関のとき共分散の性質（その 2）：正の相関があるとき共分散の性質（その 3）：負の相関があるとき

７． 相関係数共分散………………………………………………………………………………………………………… 263

は単位に依存するを標準偏差 と で割る理由

８． 相関係数 の計算……………………………………………………………………………………………… 267
９． 練習問題 W ……………………………………………………………………………………………………… 267
10．相関の検定 ……………………………………………………………………………………………………… 267
相関分析の前提条件
母相関係数ρ
帰無仮説
検定統計量 と帰無分布
例題 12.1 の解答

0と対立仮説

A

11．より簡便な検定方法 ………………………………………………………………………………………… 269
12．練習問題 X ……………………………………………………………………………………………………… 270
13．線形 vs. 非線形（相関係数 の苦手な状況）………………………………………………………… 271
14．対数変換 …………………………………………………………………………………………………………… 271実例（その 1）：北海道の湖沼

実例（その 2）
：ガラパゴス諸島

15．Spearman の順位相関係数 …………………………………………………………………………… 275
順位で散布図を描く

順位相関係数 の計算

16．相関は因果関係の証明にはならない ……………………………………………………………… 277

13 章279

単回帰分析

１． 例題 13：他の変数から予測できるか？ …………………………………………………………… 279
例題 13.1：かき氷の売上と気温

例題 13.2：定量実験における基本的な作業

２． 単回帰分析の前提条件 …………………………………………………………………………………… 281
３． 最小 2 乗法 ……………………………………………………………………………………………………… 283
４． 回帰直線の性質………………………………………………………………………………………………… 284
回帰直線が通る点

回帰直線の傾き５．と を逆にしない …………………………………………………………………………………………… 288

６．

‑ 切片 と傾き の計算 ………………………………………………………………………………… 289

７． 内挿と外挿 ……………………………………………………………………………………………………… 290
８． 決定係数2……………………………………………………………………………………………………… 291

全平方和 total
残差平方和 residual
回帰平方和 regression
回帰の恒等式
決定係数（その 1）：一般的な定義
決定係数（その 2）：もう 1 つの定義
決定係数（その 3）：実際の計算方法

９． 練習問題 Y ……………………………………………………………………………………………………… 299
10．単回帰分析における検定と推定 ……………………………………………………………………… 299
計算に必要な 2 つの統計量 と residual
傾き の必要性を確認する検定
母回帰係数βの 95% 信頼区間
条件付き期待値 [ | ] の 95% 信頼区間（信頼帯）
観測値 の 95% 予測区間（予測帯）

付録

305

解答と付表

解答 …………………………………………………………………………………………………………………………… 306
付表 1

Wilcoxon‑Mann‑Whitney 検定の検定統計量

付表 2

標準正規分布表（下側確率）付表 3

分布表 ( パーセント点 )………………………………………………………………………… 324

分布表 ( パーセント点 )………………………………………………………………………… 325

付表 4の臨界値

0.05…… 321…………………………………………………………………… 322

付表 5Student 化された範囲の分布の上側 5% 点

付表 6Pearson の積率相関係数 の有意水準 5%(α=0.05)と1％(α=0.01) の臨界値 0.05 と 0.01 ……………………………………………………………………………………… 327

付表 7

Spearman の順位相関係数 S の有意水準 5%(α=0.05)と1％(α=0.01) の臨界値 S 0.05 と S 0.01 ………………………………………………………………………………… 328

索………………………………………… 326

引 ………………………………………………………………………………………………………………………… 329● 片側検定は要注意！ ............................................................45● 別々の偏差平方和を計算する理由...........................181● レポートや学術論文、研究につなぐ.........................84● 合算標準偏差 p のもう１つの定義式......................182● 期待値を使った母平均 m をもう少し詳しく...........89●

within● 「不偏分散」という隠語 ..................................................97●

between● 離散型と連続型の母平均 m と母分数 s2 の定義..110

●

total

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