シミュレージョン技法からみたシステム・夕、イナミックス
椎塚久雄
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相違は，シミュレーションの時刻法にある.それらの顕はじめに著な特徴を比較して表 1 に示す.離散システムシミュレ

システム・ダイナミックスの基本概念は，多くの変数ーションでは，事象 (event) 発生の概念があり，これがあり，かっその変数間に遅れフィードパック (laggedが重要な役割を果たしている.この事象の発生時刻は必feed back) のあるシステムをストック (stock) とフローずしも等間隔ではなく，事象が発生する毎に時間が進行(flow) の観点から簡明にモデル化しようとする方法論

すると考えられる [2 J.

である.過渡的状態を含むこのようなシステムを数学的

これに対して，連続システムシミュレーションでは，に解くことは，実質上不可能であるから，普通はシミュある一定の微少時間増分で時間が進行しシミュレーショレーションによる方法が用いられている.このシミュレンが行なわれ，そこには事象の発生の概念はない.シスーション技法が，システム・ダイナミックスの特徴を浮

テム・ダイナミックス・シミュレーションはこの連続シき彫りにしていると言っても過言ではない.

ステムに属している.

システム・ダイナミックスは，本来コンピュータ言語

離散システムシミュレー ν ョン言語: 1960年代の初めを選ばない方法論であるが，最近ではパソコン機種の使頃から開発され，その後実用化が進んだ代表的なものといやすいソフトウェアが入手できるようになり，システして，GPSS , SIMSCRIPT , SIMULA などが知られム・ダイナミックス・モデルのシミュレーション・ツーている.最近では両系にもある程度適用される SLAMn

ルに関しては，かなり改良されてきていることも見逃せや SIMAN なども注目されている.

ない.

連続システムシミュレーション言語: 1955年 Selfrid­

ここでは，システム・ダイナミックスがふるまう姿をシミュレーション技法上の観点から眺めてみよう.

2.

CSMP , CDC やヨーロッパ系の CSSL が代表的言語とシミュレーション言語の特徴と宅デルの分類されている.連続システムシミュレーション言語では，対象となるシステムを普通は微分方程式で記述するが，システム・ダイナミックスで用いられている DYNAMO

シミュレーション言語は通常，離散システム

rete system)ge によって開発されたのが最初である.現在 IBM 系の(disc­

シミュレーション言語と連続システム

では，ある時期から次の時期までの変化の量に着目することから，対象システムを差分方程式で記述している.

シミュレーション・モデルの分類:一般的に，シミュ(continuous system) シミュレーション言語に大別される.連続一離散の両系を扱うシミュレーション言語もレーション・モデルは，かなり広い範囲をカパーしていあるが [3 J連続系，離散系の両システムは思想的にかなる.シミュレーション・モデルの関係を図式化したもの

り異なるモデルの構成概念にもとづいているのでシミュレーション言語もそれぞれ独立に発展して今日に至っている.

シミュレーションの時刻法:離散システムと連続システムの基本的な表 1

シミュレーションの時刻法の比較

連続型システム

離散型システム

事象(イベント)の生起は等間隔|事象の生起に関係なく微少等間隔ではなく，時間の増分をあらかじめ|で時聞が刻まれる.モデルの時間進規定しないで、モデルの構成要素の活|行は一定量で増加する時間のジャン動にもとづいて，各時間ステップご|プ列でそのつど段階的に時間が進む.
しいづかひさお

工学院大学電子工学科とに個々に決定され時間が刻まれる .1

たとえば，映画フィルムの動きは事象は活動を開始したり終了した 1 このような連続システムの典型的なりする要素の順に発生する例である.

千 160 新宿区西新宿 1-24-2582 (10)© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

しルモ物小わザザゆあるレベルに対するインプットフローを X 1 ，アウト刊

十 L

実績ア
「iわ理物V‑的モは，対象システムを差分方程式で記述している.

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プットフローを X2 とすると，

空豆 =lim 2':(t+L1t)‑Y(tL=Xl‑X2
dt 41‑+0L
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シミュレーション・モデル「連続型モデルlモ 'TJレ

数学的モテワレ寸となり Xl と X2 の差になる.上式より

Y(t+L1t)‑Y(t)=L1t(XI‑X2)ーディジタル・」
l」雄散型モデル」解析的モデル

図 1

レベル Y の変化率はが得られる.
DYNAMO では rdtJ を WTJ で表わし，さらに時間表示記号として J (lDT 前)， K( 現在の時間)，

モデルの分類(文献 [3 ]より) :システムダイナミックス・モデルは，ディジタノレ・モデルの連続型モデルに属している.

L(lDT 後)，そして JK(J 時点と K時点の間)， KL(K時点と L 時点の間)がある.上の方程式をこの記号を用いて表わすとを図 3 に示す [3 J.

システムダイナミ γ クス・モデルは

図 l のディジタル・モデルの中の連続型モデルに属し

Y.K=Y.J+DT*(X1.JK‑X2.JK)となり，これはレベル方程式と呼ばれている.

モデルを構成する方程式は，一定の順序にしたがってている.

3. 動的システムとシステム・ダイナミックス

DT 時間ごとに計算される.なかでも，基本となるレベ
ルとレートは次のように計算される.

まず与えられたレベル(レベルには初期値が必要)に動的システム (dynamic system) は 1 次の微分方程式

dLdtの集合一一 =f(L ， C, t) で記述することができる.
ただし ， L は状態変数ベクトル ，C はパラメータベクト

ルは時間変数をそれぞれ意味する.上式において，f が L ， C および t に関して弱連続性の条件を満たし，かっその解が C と t に関して連続であるならば，これらの方程式の解の存在と一意性は保証される.
システム・ダイナミックスも，上のような微分方程式の集合として表わすことができる.ただし，状態変数はレベル，環境パラメータはシステムの関係を記述するのに必要な遅延時間，テーブノL 関数などの定数である.
一般にレートベクトル f は C∞ークラス(滑らかな関数)に属していない. MAX 関数， MIN 関数，

SWITｭ

CH 関数，および C Ll P 関数を含んだモデルは C∞ーク

よってレートの初期状態を計算する.そしてそのレベルを使って K 時点のレベルを計算する.次にすでにわかっている JK期間のレートと，いま計算した K 時点のレベ

ルから次の KL 期間におけるレートの値を計算する.この後，時聞を DT だけ進める.すなわちいままでの K時
点を新しい J 時点、に ，L 時点を新しい K時点として同じステップを繰り返しシミュレーションを進めていく.
このように，システム・ダイナミックス・シミュレーションの基本的な手段は時間を伴った積分概念:
現在の量=その前の量+経過時間*変化率にもとづいているといえる.したがってシステムダイナミックスが他のシミュレーション技法と異なる最も特徴的な点を 1 つあげるとするならば「時閉空と史L主空三ステムのふるまいの研究 j であるということができる.

ラスではない. TABLE 関数あるいは TABHL 関数も，文献それらの微分が最初の点において不連続となるから，[1] RolfClark: “ System Dynamicsand Modelｭ

Coo ークラスからは除外される.結局，システムダイナミックス・モデルの構成要素はシステム状態の滑らかな関数である必要はなく，本質的に複雑なものであるということができる.

3.

レーションの特徴

1990 年 10 月号

Operations Research Societyof Ameｭrica , July 1988.
[2J 椎塚久雄:“ベトリネットのシミュレーションへの応用 [IJ ー離散事象システムとペトリネットーヘ

システム・ダイナミックス・シミュ

すでに述べたように，

ing ヘ

オベレーションズ・リ+ーチ，

pp.607-611 ,Vo 1. 34, No.11 ,1989年 11 月.

[3] 森戸晋・相沢りえ子:“ SLAMn によるシステム・システム・ダイナミックスでシミュレーション入門企画センター，昭和61 年.

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