生産計画のモデル
大山 達雄……………‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖………l‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖……lll‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖川Il………l…l川l…ll州l……仙‖…………ll…‖‖‖‖‖……………‖‖…………lt州‖‖川

工場等において機械を用いて何らかの製品を製の製品を単位量（たとえば1kg）だけ作るのに必造する場合の製造費用を数式を用いて表現してみ要な機械の運転費をみ（円／kg）とする。このときよう。さらにその製品に対する需要が与えられてこの製品を￡（kg）だけ作るのに必要な製造費用をいるとき、できるだけ製造費用が少なくなるようy（円）とすると、yは製品製造量ごを用いて次のに製造するにはどうすればよいかを考えてみよう。

ように表すことができる。

ここで製品に対する需要が確定している場合とそ

α＋h：ヱ＞0のときうでない（不確定）場合とに分けて、最も望ましい製品製造量を求める方法について考えてみよう。

（1）

y＝

エ＝0のとき●

したがってα＞0，ゐ＞0のとき、製品製造量〇確定需要の生産計画（kg）と製造費用y（円）との関係を表すグラフは図ある機械1台を用いてある製品を作る場合の製造費用を考えてみよう。ここで製造費用として1のようにy軸との切片α，勾配ぁの直線となる。

次に2種類の機械Ml，M2を用いてある製品を作る場合の製造費用について考えてみよう。機械

は、機械、設備、燃料等のセットアップなど機械を始動するのに必要な始動費用と原料費、燃料費、動力費等の機械を運転するのに必要な運転費用の2種類のみを考える。機械の始動費をα（円）、こMlの始動費、製品を単位量（たとえば1kg）だけ作るのに必要な運転費をそれぞれα1（円）、占1（円／kg）、機械M2の始動費、運転費をそれぞれα2（円）、あ2（円／kg）とする。さらにこれらの費用の間には、始動費に関しては機械Mlの方が機械M2より安く、また運転費に関しては機械M2の方が機械Mlより安い、すなわちα2＞α1＞0，わ1＞ら2＞0という関係が成立しているとする。いま製品をェ●

おおやま たっお
埼玉大学大学院政策科学研究科〒338浦和市下大久保255

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図2© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

（kg）作るのに機械Ml，M2のいずれかより製造費だけ発電する場合の発電費用は資本費と稼働費の用の安いものを用いるとすると、そのときの必要総和となる。Gl，G2，G3の3本の発電費用直線のな製造費用z（円）は機械Ml，M2の製造費用直線式をそれぞれy＝αi＋拍車＝1，2，3とする。このうち下にある部分のみに相当する図2の折線ののとき小型火力、大型火力、原子力の資本費に対太線部分のように表される。

してはそれぞれα1＜α2＜α3という大小関係があ

上述の関係から、機械MlとM2による製品のり、また稼働費に対してはそれぞれわ1＞む2＞わ3

製造費用が等しくなるのは、2つの製造費用直線という大小関係がある。すなわち小型火力、大型の交点として、製品の製造量が∬0＝賢茸のとき火力は原子力と比較して年当り資本費は安価であとなる。したがって製品の製造量が〇0より少ない

るが、単位発電電力量当り稼働費は高価であるとときは機械Mlを用いた方が安く、また製造量がいう状況を表している。ここで図3に示すように￡0より多いときは機械M2を用いた方が安いこと小型火力と大型火力の発電費用が等しくなる稼働がわかる。このように複数台ある機械を用いてあ（発電）時間をェ0、大型火力と原子力の発電費用が等しくなる稼働時間をェ1と表す。

る製品を製造する場合、それぞれの機械による製いま1年間（r＝365×24＝8760）の電力需要が造費用直線を用いて任意の製造量に対する製造費用の中で最小のものを選んで製造する方式は機械

図4のように与えられているとする。すなわち年が何台ある場合にも適用することができる。

間稼働時間tと電力需要dの関係が＜一〇

12t＜tlのとき

3tl≦t＜f2のとき

4（2）df2≦f＜t3のとき

Tα．αわ≦f≦rのとき−dのように与えられているとする。

●

さて図1に示した製造費用直線が電気事業における原子力、火力等の発電方式別の発電費用直線を表すとしよう。たと．えば図3に示すGl，G2，G3の3本の発電費用直線はそれぞれ小型火力、大型火力、原子力の発電に要する費用を表すとする。
すなわち横軸に各発電方式による稼働（発電）時間を表し、縦軸はそれだけの時間に対応する時間だ

図4

け発電する場合の発電費用を表すとする。したがって直線のy軸切片は発電時間が0の場合に対応し、このとき図4の領域gl，52，∫3に対応する電力各発電方式による資本費用（発電所建設費の1kW需要を最小発電費用でまかなうには、tl＜ご0＜

当り年当費用に相当）のみとなる。また直線の勾

t2＜t3＜∬1よりこれらの領域をそれぞれ小型火配は発電電力量1kWh当り稼働費用（燃料費、運力、大型火力、原子力によってまかなうのが最適転費に相当）を表す。このようにして任意の時間であることがわかる。すなわちこのことは原子力

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（31）16丁は1年間を通して深夜を含めて24時間常に運転（発電）するのが効率的であって、また小型火力は残り量に相当する損失が生じ、また製品に不足が電力需要のピーク時のみ運転するのがよく、そしなわなければならないので、不足量のた倍（た≧1）て大型火力は1年間を通して24時間常に発電すに相当する損失が生じると仮定しよう。この機械るわけではないものの、ピーク時よりはさらに長Mによって製品を￡（kg）だけ製造した場合、製品時間発電するという意味で、小型火力と原子力のの需要値がd（kg）と与えられたときの製品の売れ生じた場合には不足量を他の代替品によってまか中間的な運転方式を採用するのが費用最小となる

残りによる損失れと不足による損失坑はそれぞ最適な運転方式であることを意味している。

れ次のように書くことができる。

不確定需要の生産計画（3）れ＝￡−d ェ≧dのとき∬＜dのとき0（

機械Mの始動費がα＝0、そして運転費あが一定の場合を考えてみよう。この製品の需要は不（確定であって、ある異なる2つの値dl，d2の間の任意の値を同じ確率でとる、すなわち製品の需要値は2つの値dl，d2（0＜dl＜d2）の間に一様に分布しているとする。いま機械Mによる製品の製造量を￡（kg）、そして実際に生じる製品の需要をd（kg）とする。ここでdは0＜dl≦d≦d2を満たすとする。この製品の製造量と製品の需要値とが常に一致していれば、製品を製造しただけ売るとた（d−∬）ご≦dのとき（4）鴇＝

こr＞dのとき0

ここで機械Mを用いて製品をどれだけ作れば損失（の期待値）が最も小さくなるかを考えてみよう。上のれと鴇の表現（7），（8）をもとにする．と、●この製品を￡（kg）だけ製造した場合、売れ残りによる損失れの期待値且1と不足による損失鴇の期待値且2はそれぞれ図5の斜線部分の面積∫1，∫2となり、これらはそれぞれ次式のように与えられる。とができるため問題はないが、実際にはこの製品の需要は不確定なためにこれらは一致しない。す（5）∫1＝；∬2−dl∬＋誓（6）∫2＝喜エ2−晦＋讐

なわち製品の製造量が製品の需要値より大きい場
合には製品が売れ残るし、また逆に製品の需要値が製品の製造量より大きい場合には製品が不足してしまう。ここで製品が売れ残った場合には売れ需要の不確定性に伴って発生する損失れ＋％の期待値β1＋且2は図5の斜線部分の面積の和∫1＋52となるので、損失の期待値の相月1＋旦2を最小にするには、図5の2つの斜線部分の面積の和∫1＋∫2を最小にすればよい。したがって

dl＋たd2、2．た（dl−d2）251・∫2＝（ェーた＋1′ 2（た＋1）となるので、∫1＋∫2を最小にする製品の最適製造量∬＊は＊′【、（7）∬＝＊

た＋1のように与えられる。上の表現から￡＊は図5のd軸上の2つの点（dl，0）と（d2，0）を結ぶ線分をた：1に内分する点として得られることがわかる。
さらにこの最適製造量∬＊に対しては、〇＊に対応して得られる2つの斜線部分のそれぞれの面積51と∫2の間に告＝たの関係があることがわかる（なぜ図5168（32）か考えられたい）。

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オペレーションズ・リサーチ●

式（7）の表現の意味するところをいくつか考えてみよう。まずたが非常に大きいとき、すなわち製最大かっ最重要の目的であり、また課題である。
「計画のモデル」を実践する場合に理論的裏付品に不足が生じた場合の不足損失費用が売れ残っけを与えるのがオペレーションズ・リサーチであた場合の損失費用と比較して非常に大きい場合にるといえよう。オペレーションズ・リサーチが「計は最適製造量は∬＊＝d2となる。このことは最大画の科学」とも呼ばれるのはこの辺に由来する。

需要値を製造量とすることによって不足を避ける

本稿で取り上げた例は「計画のモデル」あるいはのが最適であることを意味する。一方、帰呵＼さい「計画の科学」のはんの一例にすぎないので、よりとき、たとえばた＝0すなわち製品が不足の場合詳細な理論を知りたい場合にはそれぞれの専門書にも損失費用が生じない場合には、最適製造量はを読んでいただきたい。本稿によっで，計画 を合∬＊＝dlとなる。このことは製品が余分になった理的に作成するという考え方をたとえわずかでも場合の損失費用を避けるのが最適となるため、最伝えられれば、著者として満足であるし、また本小需要値を製造量とするのが最適となることを意

稿の目的ははぼ達成されたといえる。今後とも多味する。またたとえばた＝1、すなわち製品に余● 量芸

くの若い人々が「計画の科学」に興味を持ち、オ分が生じた場合と不足が生じた場合のいずれの場ペレーションズ・リサーチの発展に寄与していただけることを期待したい。

わち最小需要値と最大需要値の中間値となる。また最小需要値と最大需要値が等しいdl＝d2の場
合はd＝dl＝d2なる確定需要の場合に相当するので、最適製造量はが＝dとなり、損失費用は0となる。

おわりに

本稿では「生産計画のモデル」として工場等における最適生産計画を求める問題を取り上げ、製品の需要量の扱い方に注目してそれらが確定的な場合と不確定な場合の2種類の問題に対する解法を紹介した。「生産計画のモデル」をより一般的に「計画のモデル」とすると、ここに取り上げた以外にも非常に数多くのものが考えら中る。たと●えば人、物資等の輸送計画、公的（警察、学校、消防署、郵便局など）あるいは私的（工場、店舗、倉庫、銀行など）な施設配置計画、あるいはエネル
ギー 、電力、天然資源、さらには人的資源等の資源配分計画、あるいは社会資本、公共投資、予算等の資金配分計画、あるいは企業、工場、組織等における在庫、業務、スケジュール等の管理計画など、われわれの周囲にはまさにあらゆるところに非常に多くの種類の 計画 がみられる。またわ
れわれは常に何らかの 計画 を作成する必要に迫られているといっても過言ではないであろう。このような 計画 をできるだけ合理的、科学的、効率的に作成しようというのが「計画のモデル」の1996年3 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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