≪＝到拓⊇
メモランダム

干支（えと）まんだら
牧野 都治の年に生まれている確率は1／10で，十二支の午の年
まえがきに生まれている確率は1／12なので，壬午の年に生まOR学会の活動の一環として「高校生のためのOR」

れた確率は（1／10）×（1／12）＝1／120．

研究部全があり，おもしろい活動をしておられたとう
かがっていたが，本誌の1997年12月号の特集記事なこれは明らかに誤りである．「どうしてなのかなあ

どを通して，なるほどと納得することができた．そこ…」と興味を持ってくれる生徒はいないだろうか．一で私も，高校生にわかるような，条件つき確率にまつそういう生徒がいたとして，そんな疑問に答えてみよ

わる2つの短いはなしを書いてみた．

う．初めに，十干の壬に着目したとすると，たとえば壬午の次に壬がくるのは，それから10年後で壬辰と1．干支あわせなり，それから10年後は壬寅となる．それでわかる

ミレニアム元年とさわがれた昨年は干支でいうと辛ように，壬と結びつく十二支は子爵辰午申戌だけであ巳（かのとみ）の年．巳年は金運がよいと期待している．よって，上の問題の正解は1／60ということになた向きも少なくなかったようであるが，結果はたいへるのであるが，これでは先程の「どうしてなのかなん不調に終わった．それでは，今年はというと，壬午あ」という問いかけに（みずのえうま）．希望をのせて一気に駈け上ってもらには，次のように答えるのがひとつの方法であろう．

いたいものである．ところでこの十干十二支．字をキ

いま，無作為に選んだ ある年ッチリ書けそうにないので，事典を開いてみると，るという事象をAl，乙であればA2，…，発であれば（木）（火）（土）（金）（水），十分には答えていない．それが十干の甲の年であAlOで表わすことにする．また，その年が十二支の子十干 ：甲乙 丙丁 戊己 庚辛 壬発であるという事象をB．，丑であればB2，…，亥であ十二支：子丑寅卯辰巳年末中西戌亥

ればB12で表わすことにする．このようなAI，Bjを用とある．十干の方は（甲乙），（丙丁），（戊己），…のいると，無作為に注目した ある年Mが壬午である確

ように，2つ1組にして木（き），火（ひ），土（つち），率は，P（A9nB7）によって表わされるので，求める答

金（かね），7k（みず）の順にならべ，各組の最初をえは兄（え），後を弟（と）とよんでいる．干支は，そこに，P（A，nB7）＝P（A9）・PA。（B7）

十二支を組み合わせるので，甲子はきのえね，その翌＝（1／10）×（1／6）＝1／60

年は乙丑（きのとうし）．さらにその翌年は丙寅（ひになる．ところで，この間題でいおうとしているのは，のえとら）となる．ちなみに，今年と同じ壬午は何年上式の条件つき確率PA。（B7）を，単にP（B7）としてはに1度めぐってくるかというと，むかしの小学生ならいけないという注意を喚起することにほかならない．

ば，10と12の最小公倍数を計算して，60年ごとにや

しかし，十干十二支は古いというのであれば，2種類ってくるということを知っていた．そこで，ひょいとのカードの組み合わせで，次のような問題にしてもよ思った．無作為（でたらめ）に取り出したある歴史上しヽの人物の生まれ年が壬午である確率はいくらかという問題である．もちろん解は1／60である．しかし，これを次のように考えたらどうか．その人物が十干の壬まきの とじ〒270−0021松戸市小金原4−35−15
2002年8月号［問題1］下図のように，A行．B行にいずれも同じ大きさのいくつもの粋があり，それぞれに1枚ずつカードが入っている．A行の枠には，左から順に© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（39）529

Al，A2，…，AlO合について考えてみる．この場合 ある年の一の酉と書いたカードが入っており，その後にまた，が11月1日であったとき，2日であったとき，…，5Al，A2，…の粋が続いている．

日，6日であったときに応じて，たとえば372日後に同様に，B行の枠には，左から順にあたる，翌年の11月8日，9日，…，12日，13日が酉の日になるが，この13日というのは二の酉であっ

Bl，B2…，B12，Bl，B2，・・・と書いたカードが入っている．A行とB行の左端て，その年の一の酉が11月1日になる．つまり，はそろっており，各行の枠は隣との間にすき間がる年ない．

であったときだけ，翌年も（一の酉が11月1日にな

A行

A】

A2A3Al。

AlA2A3A4

あの一の酉が11月1日−12日の中の11月6日り）三の酉がある．それで，翌年が平年の場合， ある年 とその翌年が2年続きで，三の酉をもつ確率は
B行 Bl B2 B3B10 Bll B12 Bl B21／12になる．それでは，翌年が閏年の場合はどうか

いま，（Al，B．）から始めて，A行から1個，B行と調べてみると，その年には三の酉はないことがわかから1個のカードを取り出し，単位時間に1組ずる．閏年は4年に1度まわってくる．したがって，無つ作為に取り出した ある年が三の酉まであり，翌年も三の酉がある確率は（Al，Bl），（A2，B2），…，（Al。，Bl。），（Al，Bll），（A2，（1／12）×（3／4）＋0×（1／4）＝1／16

B12），（A3，Bl），（A．，B2），・・・になる．それで，これはちょっと珍しいことといってのように，対を作っていく．
長い時間がたった後で，ストップをかけたとき，特定の対（A．，BJ）で終わる確率はいくらか．

このようにすると，こんどは大学入試（数学B）の易しいレベルの問題になる．この間題の解は前述の十干十二支の問題と同じであるが，i＋jが偶数のとき
1／60，奇数のときには0になると答えるべきであろう．

十二支は子年とか丑年というように，年だけについてではなく，子の月とか子の日，子の刻などにも用いられてきた．毎年11月になると， お酉（とり）さという行事が話題になる．11月の最初の酉の日を−の酉，その次を二の酉というが，もし11月中にその次の酉の日があれば，それを三の酉という．酉の日は12日ごとにまわってくるので，三の酉があるためには，11月1日から6日までの間に一の酉がこなくてはならない．したがって，無作為に取り出したある年あることが珍しいかどうかというのであれば， ある年とその前年が三の酉をもつ場合も考えるのが適当であろう．これを考慮すると，2年続きで三の酉がある確率を計算するのに次のようにしたらよい．まず，ある年に三の酉がある確率は1／2であるといってとその前年がいずれも三の酉をもつ事象をCで表わすことにすると，P（C）＝1／16．次に， ある年

2．三の酉

まよいかもしれない．ただし，単に2年続きで三の酉がとその翌年がいずれも三の酉をもつ事象をDで表わすことにすると，P（D）＝1／16．

ここで，事象Dは ある年の一の酉が11月6日である事象のことであり，事象Cは一の西が11月1日である事象のことであるから，CとDとはたがいに排反である．したがって，2年続きで三の酉のある確率はP（CUD）＝P（C）＋P（D）＝1／8．
この値からみると，2年続きで三の酉というのは，とりわけ珍しいことともいえない．それはそれとして，酉の日の問題ではピンとこないという生徒向けには，よい．ところが昨年（平成13年）は11月に三の酉が［問題2］無作為に取り出した ある年あったが，今年も三の酉がある．このように2年続いの前年または翌年と2年続きで，11月に第5金て三の酉があるというのは，珍しいことかもしれない．

曜日をもつ確率はいくらか．ただし，4年に1度そこで，「無作為に取り出した ある年閏年がまわってくることを考慮して計算せよ．

が三の酉まであり，その翌年も三の酉がある確率はいくらか」という問題を考えてみた．これを解くには次のようにしたらよい．まず， ある年

530（40）の翌年が平年であった場

が，そなどとしてみたらいかがであろうか．こういう形で扱うならば，これも高校数学Bの問題といってよいと思う．

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ