論物理探査

第 65 巻第  & 2 号 (202) 2-6 頁

説

BUTSURI-TANSA, Vol. 65, No.  & 2 (202) pp. 2-6減衰特性解明の超音波室内実験における散乱現象の影響について
松島	
  潤*

要

旨

減衰特性解明を目的とした超音波室内実験においては，測定媒体の内部構造を X 線 CT や核磁気共鳴画像技術を使用することによりミクロスケール不均質性を評価し，散乱減衰を適切に評価できる技術的素地が拓かれつつある。その一方で，地震波減衰解析のための減衰モデルや解析手法がその仮定とする前提を十分検証することなく適用される例が少なくない。本論説では，まず減衰解析
で一般的に用いられる，指数関数で表現される減衰モデルを詳述し，その仮定を明らかにする。さらに減衰を表現する Q 値（1 サイクルの波が有するエネルギーとその 1 サイクルの過程で失われるエネルギーとの比）は，現象論的な量であることを指摘する。次に，減衰解析手法で最も頻繁に適用される spectral ratio 法を例にして，手法が前提している要件について詳述する。また，減衰解析の際に必要な波形切り出しによる任意性の問題なども指摘する。最後に，減衰解析における散乱
減衰の影響について，いくつかの室内実験例を基に，散乱減衰の重要性とその扱い方の難しさについて指摘し，特に散乱効果が最も大きいミー散乱過程においては減衰解析の視点から散乱減衰の理論やモデルの再考の必要性があることを述べる。
キ ー ワ ー ド ： 減衰特性・超音波室内実験・ミクロスケール不均質性・散乱減衰

1.	
 序	
  論	
 

また速度解析技術も高度に確立しているため，既に様々な探査対象の実探鉱に有益な情報となっているのに対し	  地震波減衰は，地震波伝播に伴って生ずる波動と地球て，減衰メカニズムに関する研究は進展途上にあり，観を構成する物質の相互作用により，地震波の振幅低下と測・解析された地震波減衰のメカニズムについては不明

周波数構成の変化を伴う物理現象である。地震波減衰を瞭な場合や議論の余地がある場合が多い。地震波減衰は，解析対象とした研究は，火山分野（e.g., De Siena et al.,

一般的に内部減衰と散乱減衰に分けられる。内部減衰は，

2010; Hansen et al., 2006），石油・天然ガス分野（e.g.,

媒質内の波動伝播に伴う弾性エネルギーが媒質内部で熱

Mu and Cao, 2004; Ciz et al., 2009），二酸化炭素地中貯

エネルギーに変換することによる弾性エネルギーの減衰

留モニタリング（e.g., Carcione et al., 2006; Rubino etを表し，散乱減衰は，媒質の音響インピーダンスの不均

al., 2011），メタンハイドレート探査（e.g., Guerin and

質性によって波動場が散乱される（弾性エネルギーが空Goldberg, 2002; Matsushima, 2005; Matsushima,

間的に散逸しまう）ことにより，直達波の弾性エネルギ

2006），土木分野（e.g., 信岡ほか, 2011）など多様な分

ーが見掛け上減衰する場合を意味する。従って，媒質の野で適用されている。とりわけ，観測技術の進歩により，物性情報を特徴付けるためには内部減衰が重要であり通常の地震探査スケール（10 Hz~）から音波検層スケ（e.g., Matsushima et al., 2011），媒質の不均質性を評ール（~数 10 kHz）までの広帯域にわたって P 波なら価するためには散乱減衰が重要となる（e.g., Lacombe et

びに S 波の減衰特性が解析対象となりつつある。しかし

al., 2003）。

ながら，地震波速度については歴史的に見ても室内実験	  内 部 減 衰 の メ カ ニ ズ ム と し て は ， 粒 子 間 の 湿 性ならびに岩石物理学的検討が詳細に実施されてきており，（Johnston et al., 1979），粘性による剪断緩和（Walsh,2011 年 10 月 31 日原稿受付; 2011 年 12 月 19 日受理*東京大学大学院工学系研究科	
 〒113-8656 東京都文京区本郷 7-3-1© 2012 SEGJ

2

2

物理探査

第 65 巻第  & 2 号 (202)1969），粒子同士の摩擦（Walsh, 1966），孔隙弾性媒体

散乱減衰に限らず測定媒体の内部構造と測定波動記録とにおける固体と粘性流体と間での摩擦（Biot,1956）等，の関連性を追究する研究もいくつか存在する（Cadoret

様々な減衰原因が指摘されている。これらは，粘弾性学

et al., 1995; Cadoret et al., 1998; Monsen andに基づくものと孔隙弾性学に基づくものに概ね分けられJohnstad, 2005; Toms-Stewart et al., 2009）。このようる。粘弾性学に基づいて減衰を研究するアプローチはレに測定媒体の内部構造を X 線 CT や核磁気共鳴画像技術

オ ロ ジ ー モ デ ル を 用 い た 検 討 が 行 わ れ て い る （ e.g.,を使用することによりミクロスケール不均質性を評価し，O'Connell and Budiansky, 1978; Qaisar, 1989）。一方，散乱現象の効果を考慮する流れが萌芽しつつあり，この孔隙弾性学に基づいた研究においては，多くの研究者はような研究領域が進展していけば，散乱現象を考慮した

固体と流体との相互作用による減衰メカニズムに着目し実データの解析・解釈へ貢献できることが期待される。

ている（e.g., Spetzler and Anderson, 1968; Toksöz et	  本論説では，減衰特性解明を目的とした超音波室内実al., 1979; Gao et al., 1993; Assefa et al., 1999; Kumar

験において，散乱減衰を評価するための減衰モデルや減et al., 2003; Prasad and Dvorkin, 2004; Priest et al.,

衰解析手法の仮定を明確にした上で，散乱現象が減衰解

2006; Matsushima et al., 2008; Adam et al., 2009）。

析に及ぼす影響について考察し，それらを踏まえて今後

Batzle et al. (2005)は孔隙媒体での減衰メカニズムにおの展望について述べる。

いては，流体の挙動が最も重要であることを指摘してい2.	
 減衰モデル	 る。このように減衰特性と流体の挙動が関連性を持ち得るため，減衰特性から水理特性を導出できることが期待できる（e.g., Pride, 2005）。

	  地下を構成する媒体中を地震波が伝播する際に，低周	  一方，地震波の散乱現象については，不均質性媒体に波数成分に比べて高周波数成分がより減衰することによおける波動伝播の理解という観点から，理論的研究

り波形が間延びする現象（low-pass filter 効果）は，我々（Sato and Fehler, 1997; Müller and Shapiro, 2001;が経験する一般的な観測事実である（e.g., Ricker, 1953;

Müller et al., 2002），地質学的研究（Karson et al., 1984;

McDonal et al., 1958）。このような現象は，例えば以下

Holliger and Levander, 1992），観測データによる研究の(1)式のような 1 次元の質点・バネ系の振動における微（Shiomi et al., 1997），数値シミュレーション的研究

分方程式（x は変位，m は質量，k はバネ定数）では，（Frankel and Clayton, 1986; Hoshiba, 2000），室内実(2)式のような単振動の解となり表現できない。

験的研究（Nishizawa et al., 1997; Sivaji et al., 2001）など様々な研究がされている。散乱現象に関しては，主

m

d 2x
= −kx
dt 2

として自然地震学の分野で精力的に研究がなされ，散乱現象が地震探査に及ぼす影響について研究した例は必ず

x = A cos

しも多くない（Gibson and Levander, 1988; Gibson andLevander,1990;

LevanderandGibson,

	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
 

(1)

k
k
t + B sint （A, B は定数）
m
m

(2)

	
  	
  	
 

1991;

そこで，速度に比例して抵抗力の生ずる（すなわち高周

Emmerich et al., 1993; Sick et al., 2003; Matsushima

波数に対してより大きな抵抗力が生ずる）ダッシュポッ

and Nishizawa, 2010a; Matsushima and Nishizawa,ト（c を減衰係数）を考慮に入れた(3)式を考える。

2010b）。一方，地震波減衰測定を目的とした超音波室内

d 2x
dx
	
  	
  	
  	
  	
 
= −kx − cdt 2dt(3)式の解は ，以下になる。

実験においては，散乱現象を考慮した例はいくつか散見される程度である（Scales and van Wijk, 1999; Hackert
and Parra, 2003; van Wijk and Levshin, 2004;
Matsushima et al., 2011）。Hackert and Parra (2003)
は炭酸塩岩コア中に存在する空隙を 3 次元 X 線 CT によりイメージングすることにより，当該コアの 3 次元モデルを構築した。さらに，そのモデルに対して散乱理論や3 次元の弾性波伝播数値シミュレーションを実施することにより散乱減衰効果を評価した。Matsushima et al.
(2011)は，塩水の凍結過程により生ずる固液共存系に対

m

c
⎞
−
t ⎛
k
k
x = e 2 m ⎜ A cos
1 − h 2 t + B sin
1 − h 2 t ⎟
⎜
⎟
m
m
⎝
⎠

(

(4)式において h =をイメージングし，音響波動伝播数値シミュレーションを実施することにより散乱減衰効果を評価した。また，

)

c
2 mk

(

)

(3)

(4)

は減衰定数と呼ばれるもので，

h<1 の場合に減衰振動が生じる。
−

ct(4)式右辺の指数関数 e 2 m に支配される減衰振動となる。

して，核磁気共鳴画像法（MRI : Magnetic ResonanceImaging）を適用することにより，2 次元的な固液分布

	
  	
  	
  	
 

ここで，Q =

2πfmと定義する。なお周波数 f は
c

k
であ
m

2

松島：減衰特性解明の超音波室内実験における散乱現象の影響について

−

c

−

t

πf

t

る。以上より e 2 m = e Q と式変形できる。ここからは，
Aki and Richards (1980)の手法を参考にしつつ説明す

−

t=

n

⎛ x ⎞る。まず， exp( x) = lim⎜1 + ⎟ の関係式により，以下のn→∞⎝ n ⎠xにより時間と空間を接続することにより（x は距離，
v

−

πf

x

e Qv = e −αxπf(5)式において， t =

n

	
 

(11)

	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
 

(11)式は，空間的減衰を表現するものであり，減衰媒体

n

(5)

	
  	
  	
  	
  	
  	
 

中を伝播する波動は指数関数的に振幅が減少し，高周波数ほど減衰が大きいという low-pass filter 効果を表現す

nとおけば，以下の(6)式を得る。
f

πf

t

v は速度），以下を得る。

(5)式を得る。
− t
⎛
πf ⎞
t ⎟⎟
e Q = lim⎜⎜1 −
n →∞
nQ
⎠
⎝

πf

	
  (6)式の左辺の e Q は時間的減衰を表現しており，− t⎛ π ⎞⎛πf ⎞
t ⎟⎟ = lim⎜⎜1 − ⎟⎟e Q = lim⎜⎜1 −
n →∞
n →∞
nQ
⎝ Q ⎠⎠⎝る。
	  Q 値は本来周波数に依存する物理量であり，バネとダtf(6)式は，一連の時刻 t=1/f, 2/f, 3/f,・・・に対してることになる。ちなみに(11)式の α は減衰係数と呼ばれ(6)

ッシュポットから構成される様々なレオロジーモデルによ り 様 々 な Q 値 を 表 現 す る こ と が で き る （ e.g.,π
Q

ず

O'Connell and Budiansky, 1978; Qaisar, 1989）。その一方で，Q 値は周波数に依存しないという観測結果も存

つ振幅が減少することを意味する。従って，以下の関係

在する（e.g., McDonal et al., 1958）。Q 値が周波数依存式が導出できる。

しない物理的理由の一つとしては，粘性摩擦とクーロン

ΔA
=
Q
A

π

	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
 

(7)

摩擦の違いが考えられる（Born, 1941）。粘性摩擦は前述のダッシュポットのように速度に比例して抵抗力の生(7)式において，A は最大振幅，ΔA は失われる振幅であずる（すなわち高周波数に対してより大きな抵抗力が生る。(6)式は振幅の減少に関する記述であるので，エネルずる）性質のものであるが，固体同士間の摩擦であるク

ギーE の減少に関する記述にするためには，(6)式の左辺

ーロン摩擦は速度に依存しない（すなわち周波数に依存

を 2 乗することにより，以下の関係式を得る

しない）性質を持つ。

2

n
tf
2πf
⎛ − πf t ⎞−t⎛ 2πf ⎞⎛ 2π ⎞⎟⎟ (8)E ∝ ⎜ e Q ⎟ = e Q = lim⎜⎜1 −t ⎟⎟ = lim⎜⎜1 −
n→∞
⎜
⎟
nQ ⎠ n→∞⎝
Q ⎠
⎝
⎝
⎠

	
 

3.	
 超音波伝播実験データにおける減衰解析	
 (7)式を導いた方法と同様に以下の関係式を得ることが	
  室内実験の方法としては，超音波伝播法，共振法，動できる。

的応力-ひずみ法などがある。本稿では，最も一般的な超

2π ΔE
=
Q
E

	
  	
  	
 

	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
 

(9)

(9)式をさらに変形して，以下を得る。

1
ΔE
=
Q 2πE

	
  	
  	
  	
 

	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
 

音波伝播法を利用した減衰特性解析について述べる。圧電素子から励起された超音波が媒体内を伝播し同様の圧電素子で受振することが一般的な超音波伝播法の原理で(10)(10)式は，減衰の説明がされる際に必ず出てくる基本式
であり，右辺は 1 サイクルの波が有するエネルギーE と，ある。この場合に測定される記録（振幅スペクトル）

D(x, f ) は以下の(12)式で表現することができる（x は伝播距離，f は周波数をそれぞれ示す）。
−

πf

x

1 サイクルの過程で失われるエネルギーΔE の比を表現

D(x, f ) = S ( f ) ⋅ C S (x, f ) ⋅ R( f ) ⋅ C R (x, f ) ⋅ G(x, f ) ⋅ e Qv (12)し，左辺の変数 Q は上記で定義されたものであり，Q(12)式において， S ( f ) と R( f ) はそれぞれ発振器と受振(Quality factor)値と呼ばれ，減衰を表現する物理量とさ器の特性（厳密には圧電素子部分における振動源あるいれる。(10)式は多くの論文で利用される基本式であるが，は振動受振特性を指し，電気信号への変換あるいはそのその導出が示され，その意味が適切に述べられることは

逆 の 特 性 ， 電 気 信 号 伝 達 特 性 は 含 ま れ て い な い ），CS (x, f ) と C R (x, f ) はそれぞれ発振器，受振器と媒体との非常に少ない。まず，上記のように導出された Q 値については基本的には物理量として分類されるが，単位が無

−

πf

x

次元である現象論的な量であることが上記の展開によりカップリング特性， G (x, f ) は幾何学的発散， e Qv は減

理解することができる。また，Q 値自体の用語や概念も衰項である。

電 気 回 路 分 野 か ら の 流 用 で あ る （ O'Connell and	  既 存 の 減 衰 解 析 手 法 と し て は ，spectral ratio 法

Budiansky, 1978）。

（Gladwin and Stacey, 1974），amplitude-decay 法30

第 65 巻第  & 2 号 (202)

物理探査（Badri and Mooney, 1987），risetime 法（Gladwin andStacey, 1974），centroid frequency shift 法（Quan andHarris, 1997），wavelet modeling 法（Jannsen et al.,⎛ D(x2, f ) ⎞
πf⎟⎟ = − Δt + const.
log⎜⎜
(
)
1
,
D
x
f
Q
⎝
⎠

(17)

1985），inversion 法（Amundsen and Rune, 1994）な(17)式より，伝播距離が異なる 2 種類の記録の振幅スペ

ど多数存在する。この中で spectral ratio 法が広く適用

クトルの比の対数を縦軸にとり，周波数 f を横軸にとるされている方法であるので，この方法に基づいて説明すことによりプロットされる点列に対して直線近似した際る。

の直線の傾きから Q 値が求められる。Fig. 1 は超音波室	  いま，伝播方向が同一で伝播距離が異なる 2 種類（x1

内実験において得られた振幅スペクトル比のプロットの< x2）の記録があるとする。それぞれの伝播距離を(12)例を示す。当該超音波室内実験データは，Matsushima et

式に挿入すると以下の２つの式を得る。

al. (2008)によって取得されたデータであり，塩水の凍結−

πfD(x1, f ) = S ( f ) ⋅ C S (x1, f ) ⋅ R( f ) ⋅ C R (x1, f ) ⋅ G(x1, f ) ⋅ e Qvx1

過程で生成される固液共存系において 20℃から−15℃までの温度範囲で伝播特性が調べられた。伝播距離として(13)

は，2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm の 5 種類取得されておπfり，Fig. 1 では，これらの異なる伝播距離を用いて 6 種−D(x 2, f ) = S ( f ) ⋅ C S (x2, f ) ⋅ R( f ) ⋅ C R (x2, f ) ⋅ G(x2, f ) ⋅ e Qv

x2

(14)
(14)式を(13)式で除算して以下を得る。

類のペア（図中の番号 1 から 6 番）における振幅スペクトル比が示されている。なお，Fig. 1(a)から(c)はそれぞ
れ−5℃，−9℃，−15℃の場合の結果である。それぞれの

πf

D(x2, f ) C S (x 2, f ) ⋅ C R (x2, f ) ⋅ G(x2, f ) − Qv ( x 2− x1)
(15)
=
⋅e
D(x1, f ) C S (x1, f ) ⋅ C R (x1, f ) ⋅ G(x1, f )温度において，多少ばらつきが見られるものの，概ね等しい傾きを有していることがわかる（なお，温度低下に伴って固液共存系における固体成分が増えることにより

ここでは，発振ならびに受振で使用している圧電素子の減衰は低くなるため，温度低下に伴って傾きは緩やかに特性は一定であると仮定すると，互いに打ち消しあうこなる）。しかし，それぞれのプロット曲線同士の縦軸方向とができる。さらに(15)式の両辺の対数をとり，以下をの位置にばらつきが見られる。また，温度が低くなるに得る。

従って，そのばらつきが小さくなっており，さらに全体⎛ C (x2, f ) ⋅ CR (x2, f ) ⋅ G(x2, f ) ⎞ πf⎛ D(x2, f ) ⎞⎟⎟ −⎟⎟ = log⎜⎜ S
log⎜⎜( x2 − x1)
(
)
D
x
1
,
f
⎝
⎠
⎝ CS (x1, f ) ⋅ CR (x1, f ) ⋅ G(x1, f ) ⎠ Qvの値が上昇していることがわかる。縦軸方向における位(16)

下に伴って固液共存系における固体成分が増えるため，(16)式右辺の第 1 項が周波数に依存しない定数項である発振・受振器と固液共存系との間のカップリングが良好と仮定し，異なる伝播距離における走時差はになり，結果としてそれぞれの発振・受振器間でのカッΔt =( x2 − x1)であるので，(17)式を得る。
v

置は，(16)式右辺の第 1 項に関連する量である。温度低プリング効果が均一になると解釈することができる。

Fig. 1. Spectral amplitude ratios versus frequency as a function of two source-receiver separations at different temperatures
for extracted first-arrival waveforms: (a) –5 °C, (b) –9 °C, and (c) –15 °C.

3

松島：減衰特性解明の超音波室内実験における散乱現象の影響について

スウィープ波形をインパルス型（クラウダー波形）に変換し，その後はインパルス型波形として処理するものである。このような相関処理を施さず，スウィープ波形のまま利用して媒質速度の減衰特性を抽出する方法である。

4.	
 散乱現象の影響	
 
"1
と散乱
	
  前述した通り，地震波減衰は，内部減衰 QIntrinsic

減衰に便宜上区別されるが，実際の減衰測定においては，"1を測定していることになる。
両者の総和 QTotal

!

−1
−1
−1
QTotal= QIntrinsic+ QScattering(18)

	  !従って，内部減衰のみを抽出したい場合は，別途散乱減衰を見積り，差し引く必要がある。しかし，室内実験において，散乱減衰分の見積りを行っている例は極めてすくなく，Hackert and Parra (2003) や Matsushima etal. (2011)など数例である。
	  散乱現象は，波長と不均質性の大きさとの関係に依存する現象である。Wu and Aki (1988)は空間波数 k と不均質性の特徴的な大きさ a との積 ka により，散乱現象を以下の 4 つに分類した。
(1) ka < 0.01 のとき	  準均質媒体（quasi-homogeneous
regime）：
波長が不均質性のサイズに比べて十分大きい場合であり，不均質性が無視できるため，等価均質媒体とFig. 2. (a) Sinusoidal wave is extracted by two different
types of the Hanning windows. (b) The extracted
wave is transformed in to frequency domain by
Fourie transform. The resulting spectrum is notlike spike but distribution.

して扱える。
(2) 0.01< ka < 0.1 の と き 	  レ イ リ ー 散 乱 過 程（Rayleigh scattering regime）：
散乱効果がボルン近似（1 次散乱仮定）として扱えることができる。すなわち現象として弱散乱過程を仮定している。

	  なお，振幅スペクトルを求める際には，測定データか(3) 0.1< ka < 10 のとき	  ミー散乱過程（Mie scattering

ら波形の一部（初動波形部分）を切り出したものに対しregime）：てフーリエ変換を適用することが一般的である。しかし不均質性のサイズが波長と同程度な場合であり，散ながら，この場合，Fig. 2 に示すような spectral leakage
現象により，減衰解析結果が初動波形の切り出し方に依乱効果が最も重要になる。
(4) ka > 10 のとき	  前方散乱過程（forward scattering

存する。Fig. 2 において，単一周波数を有する正弦波を

regime）：

ハニング窓を使用して切り取り，フーリエ変換すると本波長が不均質性サイズに比べて十分小さい場合であ来の周波数以外の周波数が生じてしまっていることがわり，波線理論が適用可能になる。

かる。この周波数の出現が周波数情報を利用する解析に	  (18)式の成立を仮定すると，減衰項は以下の関係にな影響を及ぼす。また，窓関数の種類の他に窓関数の長さる。

も影響する。Matsushima et al. (2008)はこのような減衰解析結果の窓関数依存性を認識し，異なる波形の切り

e

−

πf
x
Qtotal v

=e

−

πf
x
( Qint rinsic +Qscattering ) v

=e

−

πf
x
Qint rinsicv

⋅e

−

πf
x
Qscattering v(19)

出し方を適用することにより減衰解析を行っている。一さらに(17)式は以下のようになる。

方，Matsushima et al. (2009)はスウィープ波形を用いることにより，このような波形切り出しによる任意性が⎛ D(x2, f ) ⎞
πfπf
πf⎟⎟ = −log⎜⎜Δt + const. = −Δt −Δt + const.
QtotalQintrinsic
Qscattering⎝ D(x1, f ) ⎠

無い手法を提案している。スウィープ型波形の一般的な(20)

処理方法は，観測波形において入力波形と相関処理させ，

32

Fig. 3.

物理探査

第 65 巻第  & 2 号 (202)(a) Two-dimensional MR images of the ice-brine coexisting system at –5 °C, (b) Positions of the source and receiverin the numerical simulation. Star indicates the source position at the center of the MR image, whereas the open
circle with a 14-mmradius denotes the location of 12 different receivers equally spaced on the circumference every
30°. The receiver line represents the 100 aligned receivers in the direction of 0°, (c) Attenuation estimates in afrequency range of 350-600 kHz (solid line) and 200-400 kHz (dotted line).

(19)式ならびに(20)式は，散乱減衰と内部減衰とを独立

依存性が確認できる。

して減衰解析を行えることを表している。ただし，ここ	  Fig. 3(b)において，「receiver line」と表示した部分は，で注意しなければいけないのは，散乱減衰過程が(11)式

発振点から 0 度方向に向かって 100 点の受振点を直線にで示した指数関数で表現されうるのかを評価する必要が配列する箇所を示す。Fig. 4 は，100 点の受振点で観測ある。

された数値記録のうち初動波形部分を切り出しフーリエ	  Matsushima et al. (2011) は ，Matsushima et al.

変換し，異なる 6 種類の周波数（180, 270, 360, 450, 540,

(2008)が行った固液共存系での減衰解析に含まれる散乱630 kHz）での幾何学的発散補正後（幾何学的発散は距減衰分を見積もるために MRI 測定を行うことにより，

離の 2 乗根の逆数で生じると仮定）の振幅スペクトル変固液共存系におけるミリスケールでの不均質性を解明し，動（図中の黒点）を示している。なお，2 次元音響波動

最終的に波動シミュレーションにより散乱減衰（P 波）

方程式の差分シミュレーションにおける各種計算パラメを求めた。MRI 測定例を Fig. 3(a)に示す。Fig. 3(a)におータや波形の切り出し方法などはすべて Matsushima

いて白色が液体部分（水），黒色が固体部分（氷），そのet al. (2011)と同様である。減衰解析を行う際には，Fig.

間は線形で補間した状態であると仮定している。

4 に示した振幅の変動が(11)式で示したように指数関数

Matsushima et al. (2011)は，まず不均質性の評価とし的に減少する必要がある。しかしながら，Fig. 4 の各図て，前述の ka を自己相関関数の形状により求めたとこの点線で示した曲線（黒点群を指数関数で近似した曲線）

ろ，上述のミー散乱過程に該当することを見出した。さは，低い相関係数（各図の回帰式表示欄の R）となってらに 2 次元音響波動方程式による差分シミュレーション

いる。Fig. 4 に示した振幅変動のばらつきの原因は，Fig.

を行い，散乱減衰を評価した。Fig. 3(b)は，差分シミュ

5 に示した散乱効果によるものであると考察できる。発レーションにおける発振と受振位置を示しており，発振振点から励起された波が伝播していき，いくつかの散乱点を中心とする 14 mm の円上に 30 度毎に 12 点の受振体を通過する際には，高周波数成分が散乱されることに点が配置されている。震源波形には，中心周波数 500 kHz

より，伝播距離に従って初動波形の周波数分布は低周波のリッカー波形を使用し媒体内で等方的に発振し，また数側に移動することになれば，(11)式に基づいた減衰現

２次元でのシミュレーションであるため点震源ではなく象になることが期待される。しかし，Fig. 5 に示すよう

線震源となっている。Matsushima et al. (2011)が周波に，散乱された波が初動波形に重畳し，結果として特定

数領域 350-600 kHz で行った減衰解析結果を Fig. 3(c)周波数の振幅を強調あるいは抑制することがあり得る。

の実線で示す（なお，負の減衰結果はゼロに置き換えら

このような現象は，負の減衰結果の原因にもなるし，Fig.

れている）。Fig. 3(c) の実線において，減衰結果の方向4 が示すように強い周波数依存性を有する原因にもなる。

松島：減衰特性解明の超音波室内実験における散乱現象の影響について

33

Fig. 4. Variations of normalized amplitude after geometrical correction with increasing wave propagation distance at
different frequencies: (a) 180 kHz, (b) 270 kHz, (c) 360 kHz, (d) 450 kHz, (e) 540 kHz, and (f) 630 kHz.

Fig. 3(c)の実線は，Matsushima et al. (2011)が周波数領
域 350-600 kHz で行った減衰解析結果を示しており，さらに周波数領域 200-400 kHz で行った減衰解析結果をFig. 3(c)の点線で示す。予想した通り，周波数領域の選定により減衰結果が大きく異なることがわかる。いずれにしても，ここで重要なことは，Matsushima et al.
(2011)が行った散乱減衰評価において，散乱減衰自体が指数関数で表現できておらず，仮定している減衰モデルと異なってしまっているため，適切な減衰評価になっていない可能性がある。Fig. 4 が示すように，今回のケースでは特に周波数が高い成分での重畳効果がより顕著であることがわかる。すなわち，(11)式を用いて散乱減衰評価を行う際には，不均質媒体における散乱現象過程が単純な low-pass filter 効果を呈する必要があり，これは上述の散乱過程の分類で言えば，ミー散乱過程以外であFig. 5. Illustration of the superposition of higher frequency
scattered waves on direct arrivals.

る必要がある。Hackert and Parra (2003)は，弱散乱過程を表現する Rytov-Bourret 近似（Müller and Shapiro,
2001; Müller et al., 2002）を使用して実験結果を解釈しているが，この仮定が正しいかの検証が必要であろう。
いずれにしても，ミー散乱の場合での散乱減衰評価については，減衰モデルの再考から行う必要がある。

34

物理探査

第 65 巻第  & 2 号 (202)

5.	
 結	
  論	
 
	
  本論説では，まず地震探査における減衰解析で一般的に用いられる，指数関数で表現される減衰モデルについて詳述した。解析を行う際において仮定しているモデルの背景を理解しておくことは必要であるが，機械的にモデルが適用される場合が少なくない。さらに減衰を表現
する Q 値について，現象論的な量であることを指摘した。
次に，減衰解析手法で最も頻繁に適用される spectral
ratio 法を例にして，手法が前提している背景について詳述した。また spectral leakage 現象に起因した波形切り出しによる減衰結果の任意性の問題なども指摘した。手法が仮定していることを十分理解しておく必要があるが，モデル適用の場合と同様で，機械的に手法が適用される場合が少なくない。最後に，減衰解析における散乱減衰の影響についていくつかの室内実験例を基に，散乱減衰の重要性とその扱い方の難しさについて指摘した。試験
媒体のミクロスケール不均質性を評価する手法は近年進展してきており，散乱減衰を適切に評価できる技術的素地が拓かれてきつつあるが，特に散乱過程がミー散乱の場合においては，減衰解析の視点から散乱減衰の理論やモデルについての再考は，今後の重要な研究テーマとな
る。

謝	
  辞
本研究の一部は，科学研究費若手 A（課題番号18686073 ） と 科 学 研 究 費 基 盤 研 究 B （ 課 題 番 号
21360445）ならびに石油天然ガス・金属鉱物資源機構東京大学共同研究「石油・天然ガス開発・探鉱のフロン
ティア分野における先導的研究」の補助を受けて実施されました。匿名の査読者には有益なご指摘，修正意見をいただき，本論説の改善に大いに役立ちました。ここに記して感謝の意を表します。

参	
 考	
 文	
 献	
 
	
 
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36

物理探査

第 65 巻第  & 2 号 (202)

Influence of scattering effect on laboratory ultrasonicattenuation measurements
Jun Matsushima
ABSTRACT
Recently, a few studies have considered the effect of scattering attenuation to isolate intrinsic
attenuation from total attenuation while estimating attenuation in the ultrasonic laboratory
measurements. Recent advances in non-destructive methods such as Magnetic ResonanceImaging (MRI) and X-ray computed-tomography (CT) allow heterogeneous microstructures of
specimens to be imaged, which enables us to adequately estimate scattering attenuation.
However, often, assumptions of attenuation models and methods of estimating attenuation are
not fully validated. This article describes the most commonly used attenuation model expressedas an exponential decay, which leads to clarifying the assumptions of the model. Furthermore, I
imply that quality factor (Q-value) which is defined as the ratio of the total energy in a system tothe energy lost per cycle is a phenomenological quantity. Then, I explain the basis of attenuation
estimation by giving an example of the spectral ratio method which is the most common method
based on spectral ratios, where data from two receiver distances across a medium of assumed
constant Q -value are selected. Dependency of attenuation results on extraction of the first arrival
waveform from the observed waveform is also indicated. Finally, I emphasis on the significant
influence of scattering effect on attenuation measurements and emphasizes the necessity ofrevisiting the theory and models of seismic scattering, especially for the case of Mie scattering
regime where strong scattering could occur and full waveform modeling is required.
K e y w o r d s : attenuation, ultrasonic laboratory measurement, heterogeneous microstructure,scattering attenuation

Manuscript received Octoberr 31,
31 2011; Accepted December 19,
2011.
* Graduate School of Engineering, The University ofTokyo
7-3-1 Hongo Bunkyo-ku Tokyo 113-8656© 2012 SEGJ