確率モデルとその応用‡Ⅴ尾崎 俊治……州……………………………………………………………l…l………………………………………………l…………………………………l…………………………………………………‖仙川…………………………ll…l…………………

4。信頼性モデルダ（托）（り＝ダ＊〆れ￣1）（り■

ニこ．さ：、 〆n￣1）（￡一諾）止F（㌶）（几＝1，2，…）4。且 再生過程

によって完義される．〆乃）（りは同一の分布坤）の几

前回のポアソン過程の項で述べたように再生過程

は到着時間間隔斉1，ズ2，…は独立で同一の一般分布にしたがう計数過程（Ⅳ（り，f≧0‡である．

重たたみこみとよばれる．
再生回数がちょうど几である確率は再生過程（Ⅳ（り，f≧0）において，各再生（あるいp‡Ⅳ（り＝乃）

は事象）の到着時間間隔芽んの分布はダ（り＝ア（ズゐ≦り（た＝1，2，…）＝ダ†Ⅳ（り≧れ）一夕‡Ⅳ（り≧几＋1）＝P（‰≦￡）−㌘‡ぶ叫1≦f）となる．さらに，几番目の再生が起こるまでの時間ぶmは＝〆陀）（￡卜〆叫1）（￡）（花＝0，1，2，3，・・・）となる．〆0）（り＝1（単位関数）に注意しよう．

5れ＝戊￣1＋芽2＋…＋見れ （几＝1，2，…）となる．特に，g。＝0と定義する．時刻fまでに再生の起こる回数Ⅳ（りはβれを用いて例4。1ダ（り＝1−e￣入老，すなわち，ポアソン過程であると仮完すれば，ま入（通）托￣1e￣入把ア（5乃≦f）

Ⅳ（り＝maX（几：β几≦￡）となることは明らかである．前回の図3．3で示したよ
うに2つの確率変数Ⅳ（りとβ几との関係はとなるから，Ⅳ（り≧れ⇔ βれ≦f叩（￡）＝れ）＝掌e一入電となる．したがって，となり，パラメータÅfのポアソン分布となる．
P（Ⅳ（￡）≧れ）＝P（‰≦り

さて，Ⅳ（りの平均ガ（￡）＝ガ脚（用は再生関数（re−となる．βれは独立で同一の分布ダ（f）にしたがう確率newalftlnCtion）とよばれる．平均の定義から変数の和であるから，g几の分布は（＞〇Il′人ヽP（β几≦り＝〆几）（￡）＝ダ＊ダ＊■‥＊叩）

叫f）＝∑祀（坤）＝几）
Il＝1（：く⊃となる．ここで〆れ）（りは〆0）（￡）＝1（単位関数），＝∑〆乃）（り†l＝1となる．したがって，乃＝1から無限大まで几重たた〆1）（り＝坤）

みこみの和をとればよい．

おさき しゅんじ 広島大学工学部

財（￡）は時刻亡までに起こる平均再生回数である．一〒739−8527東広島市境山1−4−1方，m（t）＝dM（t）／dtは再生密度（renewaldensity）と受理 97，11．21 再受理 97．＊．＊

よばれ，その時刻￡における再生の起こる割合を表す．

1998年2月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（39）用5例惑。慧 ダ（￡）＝且−e｝Ågとすれば，例4，且の事実を用例軋趨ダ（藍）を次数2のガンマ分布とすれば，叩）＝いて且Ⅶ砂（且＋叫e仙Å盟となり9 そのラプラス。スチルチェス′、こ・∴畔劇

変換はゃ厨＊（β）＝臣Å／（厨＋Å）］2となる。このとき9再生
e一戦ぬ＝加（犯Ⅶ且）誓関数財（藍）のラプラス∵スチルチェス変換は，となるひ もちろん，例4山且の結果から，Ⅳ（蕊）がパラメ2ータ加のポアソン分布にしたがうことから，直ちにそ財＊（β）ニ

ダ＊（β）

（嘉）

￣
軋仙 ダ＊（β）且…匝）2β（β＋2Å）
＝

一■■−￣

Å2の平均は財（志）＝腰臣Ⅳ（蔽）】＝加となる。
′＼ ‡ 2Å

再生関数甜（詰）は2β 4 β＋2入（X）となる小 したがって，その道ラプラス・スチルチェス叫詰）＝監ダ（殉）（藍）

変換は

71＝ヱ

叫￡）＝刷（且Ⅶe−3Å藍）ニ厨（監）＋厨＊となる。

＝ダ（蕊）＋厨＊財（志）叡慧：寿命時間分布と故障率となるっ 積分表示すれば
財（￡）＝厨（￡）＋、● ＿．・：・− − ノ：ドニ！】

信顆性をデルにおいて多くの場合，確率変数gはアイテム（部品，装置，システムなど）の故障が起こると書ける。この式は厨（芭）が与えられたときの未知関までの寿翻寺間（ユi翫ime）を表す。寿釧寺間の分軋す数甜（藍）に関する積分方程式であり，再生方程式（re−なわち，寿命分布をmewale耶a七iom）とよばれる8J・・ ●・●∴−．・；●：）

一般に厨（藍）のラプラス0スチルチェス変換をダ培（β）＝∞e湖としよう小 ダ（藍）は時刻￡までに故障する確率を表す。
確率変数厨の残存確率（詰）と表す。取重たたみこみのラプラス∵スチルチェス変屈（￡）ニ且皿厨（藍）＝ダ（∬＞詰）（藍≧0）

換は、・●・十∵：∴：、ミヾ‡、−

・・：い．・：二、丈となるから，叫若）のラプラスマスチルチェス変換は−・∴ ニ・．ミニ‥・−
ダ＊（β）

は信頼度あるいは信頼度関数とよばれる．もちろん，
屈（￡）は時刻監でアイテムが機能している確率を表す・
ここでは確率変数∬は特に断わらない限り連続形であると仮荒する小 確率変数∬の密度は存在し，

酔d竃霊￡）（￡≧0）で与えられる，故障率（臨主kほeでate）あるいはハザ岬ド・・ ∴‥ ・率（haza∬d訂乱紬）は腰（￡）＞0と仮定してとなる。

例4。詔厨（￡）＝且□e岬Å或とすれば，厨＊（ぎ）＝Å／（β＋Å）

瑚＝（￡≧0）となる。したがって9と完義される。γ（￡）d￡＝ダ‡￡＜∬≦￡＋呵∬＞￡）でÅ甜＊（β）＝

あることに注意すれば，γ（藍）ば￡はアイテムが時刻￡で市河入 且m m β間且m び

故障していないという条件の下で，時間区間（りヰ頻となるから，逆ラプラス。スチルチェス変換を伺いれで故障する条件刊−き確率を表す。したがって，γ（藍）はば，財（丑）＝加となり，ポアソン過程の再生関数が得

瞬間故障牽（豆mst乱m七aneoⅦS鮎血era七e）と呼ばれるこられる。ともある．

確田6（40）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーⅦションズ巧リサーチ

ダ（0）＝0（すなわちR（0）＝1）と仮定すると，

ばjt，保険，年金の保険料，掛金の算出根拠に用いられている．

−d属（り／df′・（ナl＝月（りとなるから，初期条件点（0）＝1の下でこの微分方程式を解いて

瑚＝eXpト上tγ可となる．この点（りを用いて，分布および密度はJ

叩＝トexp卜Jt恒）ゐ］

図4．1アイテムの故障率曲線（浴槽曲線）
信相性モデルで用いられている代表的な3つの分布

榊＝榊Ⅹp［イ申）ぬ］

について述べよう．と書くことができる．したがって，分布，密度および信頼度はいずれも故障率γ（りを用いて書き表すことができる．特に，．（−γ（諾）血は累積ハザード関数（cu−（i）指数分布（exponentiaJldistribution）
坤）＝1−e（f≧0，入＞0）￣入tmulativehazardfunction）とよばれる．
γ（t）＝r入

定義4・1故障率γ（りが非減少（増加あるいは一完）関数ならば，寿命時間分布は，IFR（Increasing Fai1−ure Rate）．一定関数ならば，CFR（Constant 払il−ureRate），非増加（減少あるいは一定）関数ならば，DFR（I）ecreasingFailureRate）と呼ばれる・
明らかに，γ（舌）＝入が一定ならば，叩）＝1−e￣人毛

故障率が−克となるのは指数分・布の場合のみである．
故障率が一定であることは故障しやすさが時間的に変化しないということであるから，無記憶性（2．4．1参照）と同じ意味である．当然，偶発故障であることと指数分布は同義である．

（ii）ガンマ分布（gammadistribution）（f≧0）

入（入り叩￣1e￣入電J（り＝（舌≧0，入＞0，几＞0）r（几）となり，寿命分布が指数分布のときのみCFRとなる．
一般にアイテムは時間とともに故障しやすくなると考えられる．これは寿命時間分布がIFRであることを意味する．一方，時間が経っても故障しやすさが変化しないアイテムがあれば，理想的なアイテムかもしれない．もっと理想的なアイテムは時間とともに故障しにくくなるものであり，寿命時間分布がDFRであることを意味する．

ただし，r（几）は次数几のガンマ関数である・特に，几が自然数（正整数）ならば，r（れ）＝（几−1）！となり，分布間数は

叩＝ト岩苧e一入電 盲＝0となる．もちろん，几＝1のときは指数分布である．
几≧1ならば，ガンマ分布はIFRとなり，0＜几≦1

一般に，ほとんどのアイテムはDFRの初期故障期（幼児期），CFRの偶発故障期（青壮年期）を経て，IFRの摩耗故障期（老人期）になる．人間の寿命につならばDFRとなる．
特に，ガンマ分布の特別な場合としてた−アーラン分布（k−Erlangdistribution）

いてもこのような変化をたどる．この故障率の変化のグラフを図4．1に示す．このグラフは洋式の浴槽に似ているので浴槽曲線（bathtubcurve）とよばれる・保損（ゐ入諾）た￣1e￣た入把拍）＝（た叫1）！

険数理においてはr（t）は死力（forceofmotality）とよ
1998年2月号（壬≧0，ス・＞0，ゐは自然数）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
（41）川丁が待ち行列理論などでよく用いられる。この場合，平エ＼下ではこれらの、ユニットの寿命時間．方は互いに挽

均乱打妻ニ・む／′′：㌔γ分散1も塩芝ぎ。光一ゴニ且〆 ゐス罰となる●、、、●●希ユニ匝≧町ス＞○）て1rむ＞J）」軒1（藍）ごこニニ・⊥‖折凍1」「＝＼は丑臣‡であるとし 一肌ユ・ニットを直列に動ノ†牛させ一ち いずれかのニLニットが故障すれば，シス、、 ク、ノ ニÅmぱW￣￣−

テムは附≡モきこなる＞射∴ニットの寿命時間を＿∬メ（壱ニ＝メ諾。L ラー軒」システイの寿命時間を・∬とすれば）シススLはノモ／庶パラメー・Ⅶサタ，寺／陀ほ形状パラメ・・タとよばれる

テム紆倍相法は

分布は膵瀾とな町 こノく？乱＜？笥≧1しならば〜 ワイプル

ユならば〕m貰云、鼠となる√′ 特に甘い・ニ乱のと㌢は指数分布
義子（￡トノ糾＝方＞￡‡

である、りイブル分布は寿爺時間分布としてよく川い
ち九るrそぶの理由ほパラメ、・¶タがかつありY いろいろ」粧＝浄血可斑ユーJ好27L｝兇￣jV）＞藍才

な故障デ−一夕に適合することである ▲一h万r〜ニユ〈】完諷＞ま〉厨‡∬2＞￡‡■∵鞘−ぶⅣ＞￡）＝′柁ユ（蜜）蘭2（￡ト・腰jW（￡）㈲og己嘉河ニⅣも」しog巴￡■十］LむgeÅとなるからり推車齢こ輌函紺／判明の間数巨盛で」弾（藍）どこなる。したがって システムの信栂度は各ユニットの鯉を才 媛軸には酎の閑散目盛で￡の値をとれば，￡の′甘粕度の待となるそしてブ システムの故障率はと習刃の牒牒庖直線で示される∴敗阻デ∨・・夕を関数 ＼〜′′ご

方眼紙にプt二りトLて回帰直線を引けばy パラメー

夕′〜上（亡卜二空空車の点推篇三，区間推定テ 信頼度など萎と求める∴とができ㌣廿日り引刃斗▼−を一㌢Ⅳ（君）−−●−となり各故障キの和となる￠ 直列システムはどれか

a」b蓋i掬p胤peコ【‡）とよばれ 市販されているひとつのユニ∴ソトが故障すれば，システム全体が敗障・・・・・・‥・・

至るとこしているのでノ般にアイテムの寿命時間をプ㌃とすれば∴寿命時間

信根性の観点から最も厳し1いシス、テ▲ムである

分濁▲綜∋（孟）にしたがって撒障する，いくつかのアイテムを並列あるいは直列に配置したシステムを考えン シス
テムの信締他について議論する∴ニこでは，保全を考
ギ萎しか／＼システム、いわゆる，非修理系システムよごつ．

いその信一嘩度などについて議論しよつ

最も締単なシステ∴ムは単、∴ユニットシステムであるJ一枚にアイテムとl．ノて議論したが この節ではアイテムの代わりにユニツ■旨、を用いる†あるニユニニットの寿和時間分布をダ匪とすれば，その信頼度は一発（老）ニ、−，ノ芦1；（￡）こなる特にシュニットの故障蕊即岬捌尋
問迅椚rfでぎ（meaノnも血ei二のfa鼠it汀e）は、、、

MT㌣こう1 ㌶甜り（芯トニ二■1

脱い描 蜃臓捕虜法匝血Ⅲ附か肝11撼）いくつか

牌故障率軌伽6時間）が与えられたときのシステムの故時率は各部歳の故障率の和で見積喀）る
ノ，ノ注が部品加凝法である．例えばヤ あるコンビューーー

粧泣十雄用品㍉ 掛軋 青摘掩が下の表のように与えjっれている邦品加算法によってボー軸ドの故障率を計算すれぼ．∃「5，624′／ほ6時間となる．
つ、．、二 ： 三ul；す；¶オぎ…貰一−■⊥′1・二璧空 l005
ゥ＿」00

2 Jのu∂の35，こうー‡・−⊥■」肌⊥禦．空禦

私．349の腰（諾）d諾
コ、によって計算される〉 F（￡卜＝7 ノ・クー よ志 すなわち7柑99555

3のレンス タ。㌢

総故障率

㌻j、

【 且5け624

芦 5（諸．、＿j＿＿∴∴∴∴∴＿▼、

数分布と牧許すれば、、∫r00

華美rrrrで甘、ニ。∴二 最は攣∴、となることは明らかである．
描ほ（42）㌻∞ ぬニ∵ダ ∈￣伽Å認jぬ＝。
∴二指摘＋ ノ柑1∴一ツト並酌シ鼠」詣八ム

各ユニットは紬キであると仮完し，Ⅳユニットを並列に鋤ノ作させるすべてのブもrユニットが故障すればシ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ、ションズいリサ、−−チ夕ステム故障になる。したがって，システムの寿命時間−一三￣㌻−∴

分布はとなる．したがって，1サイクルの期待費用は
ダ（f）＝P（斉≦りC（￡0）＝【clダ（￡0）＋c2首（￡。）】／＝P（max（gl，ズ2，・■・，ズⅣ）≦り＝ダ（芳1≦f，ズ2≦￡，…，∬Ⅳ≦りとなり，定常状態における単位時間当りの期待費用を表す．この期待費用を最小にする￡0，−を求めよう．寿命＝P（∬1≦りp（∬2≦軒・・P（方Ⅳ≦藍）

時間分布ダ（f）がその密度をもつと仮毒して，微分し＝坑（り為（り…ダⅣ（りて，0とおけばとなり，各ユニットの寿命時間分布の積となる。
（cl−C2）柚）慮￡0印坤

4．4 取替え問題−［clダ（亡。）＋c2京（￡）】頁（￡。）＝0

一般に取替え問題は再生過程を用いて表すことができる．その場合に，故障するまで使用して故障しとなる∴故障率γ（to）＝錘0）／否や0）を開いて書き直せ
ば，非線形方程式

たならば取り替える．しかし，一般に故障後の取替え（事後取替え）費用は故障前の取替え（事前取替え）費用よりも高い．そこで，より積極的に故障する前に取り替えた方がよいこともある．このような政策を予防γ（￡0）慮電0印…（￡0）＝訂㌔を得る．この式の左辺を曾（￡0）とおけば保全政策（preven七ivemaintenancepolicy）という．ここでは，取替え問題の中でもよく知られた年齢取替え問題（agereplacementproblem）とブロック取替え問題（blockreplacementproblem）について考える．

豊＝空評点電0和碑となり，γ（￡0）と曾（亡0）の単調性は一致する．ダ（りをIFRと仮完すれば，すなわちか（舌）／df＞0ならば，曾（∞）＝γ（∞）／入−1＞c2／（cl−C2），すなわちγ（∞）＞（豆）年齢取替え問題あるユニットを動作させて，一一定の年齢foまでに故障しなければ，事前取替えを行う．しかし，孟。以前に故障したならば，直ちに事後取替えを行う．事後取替

入cl／（cl−C2）ならば，押）＜エ＜曾（∞）

え，事前取替えの費用をそれぞれcl，C2としよう。Cユ＞となるから，】1二記の非線形方程式を満たす唯一で有限c2と仮完する．取替えの1サイクルは事前あるいは事な最適解￡。＊が存在する．その他の場合にはf。＊→∞

後取替えのどちらかが起こるまでとする．そして1サとなる。1リ、．とをまとめると次の定理を得る．

イクル終了後は再び同様なサイクルを繰り返し続ける・ユニットの寿銅寺間分布は一般分布ダ（f）にしたがい，その平均寿爺は1／入とする．各サイクルに同一定理4。1ダ（りは狭義IFR（γ（藍）は単調増加関数）と仮完し，Cl＞c2と仮定する．
（i）γ（∞）＞入cl／（cl−C2）ならばのユニットを飼いる．

1サイクルの期待費用はγ（舌0）慮電0勒…（￡0）＝謹言
cIP‡ズ≦ま0）＋c2jプ‡∬＞舌0）＝Clダ（fo）＋c2否（fo）となる・ただし，否（り＝1一坤）とする．一方，1を満たす唯一で有限な解f。＊が最適取替え年齢となる．
そのときサイクルの平均時間はどちらか早い方が起こるまで
C（亡0＊）＝（cl−C2）γ（￡0■）の時間であるから，となる．

慮fo叫申ど坤）（ii） γ（∞）≦スcl／（cl−C2）ならば，最適取替え年齢は孟。＊→∞となる．すなわち，事前取替えはしない＝−￡頁（矧。電0＋1998年2 月号

扉（りd鳶＋￡0扉（￡0）方がよい。このときC（∞）＝入clとなる．

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（43）瑠89例惑◎感 寿命時間分布を2−ア山ラン分布とし蕊う（祖霊例墟諸 例竣逓で示したように，厨（￡）を2−アーラン分のガンマ分布参照）」・すなわち，脛（蕊）＝ 頂．…（軋＋布とすれば♪ その再生関数は■．

・、・・・‥・・′・：二障率はァ（蕊）＝塩となり，γ（∞）＝2入となる汀もし，、、 ．ご 、・・、・ ・、・、

ヽ − 、− − rユを満たす唯一山の有限の￡蒜が存在し，嘲班恒・仙4Å威）となる（鮎叫−アh・ラン分布については4．2項）∴ただし，厨（ま）の刊射町机＝畔腔ある（厨【∬】＝乱／Åにするためにア㌧−Mラン分布を用いた）り再生密度はm（詰）＝、 ∴′・∴＝・・●∴‥．ト・．、・、・： ・・ 、・ −Cp

・・ ニ・となる小 そうでなければ，すなわち，C凰／2≦c2ならば，最適取替え年齢は喘＝∝となる（事後取替え）￠なる非線形力儲式を解けばよいb 上式の左辺はず∴→∞で鳳／4となるからサC2／c且≧孔／4ならば，訂＊→∞となる∴ル方，C2／c皿＜且／4ならば，上記の非線形方（且孟〉 ブmッタ取替え問題

年齢取替え問題はユニットの動作開始時を記録し，あらかじめ決めた￡。において予防保全政策として，ユニットを取り替えた。それに対して，ブロック取替

程式を満たす有限で唯一の解訂＊が存在し9 そのときの最′J、期待費周ほ腰（那車）ニCユ坤馴e伊4Å鮮尊）

えはユニツ訃、の使用年齢に関係なく，時刻ゐ訂（彪＝畑勘…うで必ず事前取替えを行う①例えば，年末に電となる。

球を取り替えるとすガて／ば，それは正にブロツタ取替え参考文献である。もちろん9 時間間取軌耶で故障したユニットは直ちに取り替えるとする。胤回の事後取替え費用をだ且9事前取替え費用をc2としようu当然，C鼠＞だ2と仮嘉するシ且サイクルを（ゐm且）鮮からゐ餅と考えればナ 且サイ

クル当りの期侍費鞘はの既における確率モデルを扱った本は数多く出版されている†隠oss〔叫の最初の本は既に古典になっているが中綿潔にまとめている。鼠ossの最近の本は数冊出版されていて9アメリカの大学のこの分野の代表的教科書になっている。待ち行列，在庫管理，信頼性理論などの確率モデルをまとめたハンドブック已鼠29噂はm′仰、だま甜（訂）＋c2・ ・ ／−、有用である。となる。これが∴定常状態における単位時間当りの期待費鞘である己 ただし，

㌻叫隠ossぅS・M∴

AppliedProbabilityMo鮎1switbのp七まmi鴛a七iomÅpp且ica七まons ，の0Ver PⅦb亘ications，∞

NewYo沌，且970。

●−、川．；、・‥− −・【且2j斑eym乱m，D。P。amdSobel，M。』。（Eds匂ぃ S七ochas−

J＝て＝￣二は再生関数であるもic Mode且s ヲHamdbooks五m O由eraもions鼠esea・r血鮮叩＝ヰ0とすれば，腰（鮮）1→∞となり9訂→∞とす
れば∴呵∞巨パ軌となる。ただし，且／Åは平均寿命時間を表す。じたがって，の＜r≦∞で腰（訂）を最小に

amdMamagemen七Sciemce，Ⅴの且・29Norもh瀾oilamd9Åms七e訂ぬmぅ且990（邦訳あ町！； ∴・、、・．・ ・・、．・．こミ∴、？・、、：．‥、 こl・．■ミ・二∴‥する少なくとも且つの『の値は存在する。腰（訂）の右腹imlタ炉。親中（既ds凸）： mOgisもicsofPro血c七ionand‡m町

辺を微分して，のとおいて9ve雨0訂y99，鮎mdbooksinOperaもions鼠esearchandManagememもSciemce9Vo且D4，Ⅳorも払瀾011and，Åm打
Sもe灯ぬm，且993。

m（叩・・欄（粁）ニとなるeここで，m（『）は再生密度を表す。この非線形方程式を解けぼ，腰（y）を最小にする最適取替え時刻
鮮＊は求められる。そして予眉（鮮＊）＝C且m（鮮＊）となる仝
侶欄（舶）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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