緒鶴行列研究の新』』海淵流（5）得ち暗闘僚禰の漸近由懲特性槻木直樹9 月、林和朝…………‖＝…………………………帖Il…………l…帖……llll……………………ll……‖…‖……l…‖‖‖‖‖‖‖‖‖州Il…………lll……………lll……l………………………………………………………l………ll…………l………………l、・。．−＼．∴・・

で与えられる3。したがって，系内数と待ち時間の裾

前回［咽では，通信システムの高度化。複雑化による入力過程モデルの多様化について解説があった。その流れは9 ポアソン過程からマルコフ型到着過程に至るマルコフ型の入力過程と，長期依存性を表現するための入力過程の2つに分類することができる。当然のことながら，このような入力過程モデルの多様化は，それを受け入れる待ち行列モデルの解析にも大きな影響を与える。前者については，［呵に解説されている行列解析法の拡張と精密化を促し，後者については大偏差理論のようにこれまで馴染みのなかった解析方法の導入をもたらした血

一方写通信システムの進歩は解析方法だけでなく性能評価尺度にも影響を及ぼしている。その1つが微小セル損失率の評価であろう。短く分割されたデータを高速回線で送信するシステムでは，サービスの種類に分布（あるレベルを超える確率）は幾何的あるいは指数的に減衰することがわかる。このような性質は，到着過程やサービス時間分布がより一般的な場合でも成立するだろうか。本節では，1節で述べた第1の流れに沿ってマルコフ型の待ち行列モデルに対してこの問題を考える。基本的なマルコフ型待ち行列には，モデル化を工夫することによってGI／M／1型かM／G／且型のマルコフ連鎖として表せるものが多いが，実はこれらの構造が漸近特性と密接な関わりを持っているb
そのため，以下では構造的マルコフ連鎖の漸近特性に対する一般論を中心に考えていくことにする．なおGI／M／1型やM仲／1型マルコフ連鎖については，この連載中の記事E呵や［叫を参照されたい■：． ■ ／j．ト主．‥∴∴：：−−こ連張∵3∴・・（1）

4ている。以下では，徐々に整いつつある微小確率評価

∴．∵

3

腰動勅裁⁝

り︼

腰

設計や評価からの要請を受けて幅広い研究がなされl⊥2

入ってからはATM（ÅsymchromoⅦS取ams臨rMo鮎）のハU

腰ニ

厨などの評価とは異なる方法が必要であり，90年代に

腰一遇．通．遡＋：1

腰する。このような微′j、確率の評価には，平均待ち時間の覚れ＝（且れフ‰）を推移確率行列応じて肛「9以下という微小なセル損失率を量質保証に支配される2次元のエルゴード的なGI／M／1型マぁための基本的な枠組みを紹介する。

ルコフ連鎖とする− このマルコフ連鎖の定常状態確・、 ‥ 一軒十て−ふこ十や∴・歯；そ・‥墨・ミーニ‥三．

率を訂（れ，ゐ），レベルmに対する確率ベクトルを訂m＝（汀（m，良））で表すと，公比行列腐が存在してよく知られているように，M／M／且待ち行列の系内

訝m＝符1戯れ−1，れ＝2，3，…

数Ⅳと待ち時間Ⅳの定常分布はそれぞれP（Ⅳ＝m）＝（且¶β）βm，れ＝0，且，・q−ヲとなる。非負行列魔の最大固有値を叩，叩に対応す
る左右の固有ベクトルをそれぞれ皮，γTとすると4，P（Ⅳ＞諾）＝ βe￣（〝￣Å）∬，∬＞0

Perron一恥obeniusの定理から
戯れ＝関れγT威＋0（叩れ），m→∞

まきもと なおき 筑波大学大学院経営政策科学研究科

3到着率Å，サービス率〝，トラヒック密度をp＝入ルとす〒112【0012文京区大塚3−29一皿

こばやし かずとも NEC C＆Cメディア研究所〒216−∂555川崎市宮前区宮崎4−1一風る。

4印度＝ゼ凰叩㍗T＝風即丁巨鯨T＝1とする・ただし即Tは即の転置を表す¶

3◎© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ。リサーチ

（2）

（3）

が，GI／PH／cというモデルの構造を利用することで，と展開できて，（2）と（3）より灯れ＝りm￣1（汀1γT）ゼ＋0（りり，れ→∞α（β）やβ（β）など待ち行列モデルのパラメータを使っ（4）てKや叩がより直接的に表されるという点である・なが得られる．

お，この結果はサービス時間分布がサーバによって異待ち行列モデルとの対応を考えると，レベルmは系なる場合へも拡張されているtl．1】・

内数がれ人の状態の集まりであるから□

2．2 M／G／1型マルコフ連鎖

P（Ⅳ＝れ）＝灯れ1T＝Cりれ＋0（りm），れ→∞（5）次に，推移確率行列
︹J

β A A

3（10）

2A
1⁝0⁝

めの有用な情報を与えてくれる．

A

大きなmに対する′卜さな確率P（Ⅳ＝托）を評価するた

10⁝

ち行列モデルのパラメータから同定できれば，（5）は2ることが示される．したがって，減衰率りと定数cが待2となり，系内数の裾分布は漸近的には幾何的に減衰す

β A A（6）軌AI A︒0⁝軌A︒0c＝り￣1（訂1γT）（ゼ1T）に支配されるエルゴード的なM／G／1型マルコフ連鎖

話をGI／M／1型マルコフ連鎖に戻すと，りとcのうを考える．2．1節と同様に，定常状態確率ベクトルをちりは一般に推移確率行列から明示的に決定されるこ灯れ＝（打（再））で表す・GI／M／1型では特別な条件が無とが知られている．行列（A五）の母関数行列

くても（4）のように汀mは幾何的に減衰するが，（10）C（：〉

A（z）＝∑ソAゎ 0≦z≦1の構造からM／G／1型では少なくともA￡やβ壱が幾何壱＝0的に減衰する必要がある・また，【15］に述べられていが存在するとして，A（z）の最大（Perron−Frobenius）

るように，GI／M／1型と異なりM／G／1型では（2）の行固有値をzの関数と考えてPダ（z）で表す・このとき，

列幾何形式解のような陽表現を持たないため，Tmのりは方程式漸近特性を調べるには別の方法が必要となる．
アの構造から，訂れが満たす平衡方程式は叩＝タグ（り），0＜り＜1（7）れ十1を満たす唯一の解として与えられる．これに対して，

訂m＝訂0βれ＋∑木A叫1−われ＝0，1，…

（6）からcを計算するにはれが必要となるが，れは五＝1

A壱だけでなくβ五にも依存しているため，特殊なモデで与えられる．両辺の母関数ベクトルをとって形式的ルを除いてはcを明示的に定めることは難しい．に整理すると

例 2・1 GI／PH／c待ち行列に対して到着直前の状

汀（z）＝汀0［zβ（z）−A（z）］［z∫−A（z）】￣1（11）態に着目してGI／M／1型マルコフ連鎖を構成し，上となる．ただし，の結果を適用する．到着間隔とサービス時間分布の∞Laplace−Stieltjes変換（LST）をそれぞれα（s），β（s）で

汀（z）＝∑才和

表し，K＞0を

宣＝00く）

00

A（z）＝∑z宣Aゎ β（z）＝∑ン玖

logα（K）＋logβ（−CJ℃）＝0，尺＞0

i＝0を満たす解5とすると，り＝α（K）として壱＝0とし，∫は単位行列を表す・2．1飾と同様に，タグ（z）をA（z）の最大固有値とし，P（Ⅳ＝れ）＝ Clりれ＋0（叩れ），m→∞，（8）P（Ⅳ＞∬）＝ C2e￣結託，芳→∞（9）

り￣1＝Pダ（り￣1），0く叩＜1が得られる・ここで重要なのは，一般のGI／M／1型を滴たす叩が存在するとしよう・（11），（12）より，Z†マルコフ連鎖ではPダ（z）の方程式（7）でりを定めた

り￣1のとき汀（z）†∞となるが，汀（z）の定義からこれは適当なべクトル伽に対して5到着間隔の裾分布が指数的に減衰すれば一般に存在して一意である．

1999年1月号

訂m＝Cりれ‰＋0（りれ），れ→∞© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（12）となることを意味する。以上はやや直観的な説明であという関係が成り立っ。以下では，‡見れ）は定常過程るが，基本的には（12）の解叩が求まり，さらに腰（叩）がであるとし，安定条件として〝＝E（∬れ）＜0を仮定存在すれば（且3）の幾何的な減衰が示される。猛りM／1

する。れ→∞としたときの定常状態における待ち時型と比較すると，（且）と（川）の間の双対的な関係が叩間閉′の裾分布はを決める方程式（7）と（12）に反映されていることがわ
かる伊なお，この議論の詳細は馳且kembergr5ヨを参照さ

叩＞∬）ニP（謬｛通れ｝＞∬）で与えられる．ここでれたい。

1

例2。慧 MÅP／G宜／且待ち行列の退去直後の時点に着ミ・、・′・−∴∴田して構成される隠れマルコフ連鎖はM／G／1型とな

号＝＝−7甘るむ MÅPに関して到着を伴う（伴わない）推移速度とする。

行列を戯（灯）で表し6，（β厨一灯）−1朋の最大固有値∬→∞のときのP（Ⅳ＞g）の挙動は，（方円）の相関をα（β），サービス時間分布の軋S甘をβ（β）とする0（且2）構造に強く依存するため，以下では2つのケースに分の解叩は，方程式けて考える。（∬m）の自己相関関数

旦ogα（㍍）＋且ogβ卜踪）＝0，踪＞のγ（た）ニE（（英ド牒）（∬克→〃）），たニ0，1，q・・

Ⅴ（Xo）の解柁を用いて叩＝α（佗）で与えられる巾このようにしがゐ→（カのとき指数的に減衰する，すなわち適当なて定まる叩と蹄に対して，系内数と待ち時間の裾分布7∈（0，且）に対してγ（た）＝0（7艇）を満たすとき‡∬几）はは（8）フ（9）の漸近的な性質を満たす。なおMAP／Gり1

短期依存性を持つといい，γ（ゐ）＝0（ゐ￣∂）（0＜∂＜1）

においては，サービス時間の裾分布が指数的に減衰しのようにべき関数的に減衰するならば長期依存性をてβ（β）が適当な領域で定義されていれば，必要な条持つという7．一般に，ON【0『『モデルやMAPなど件はばぼ満たされていると考えてよい。

ロのマルコフ型入力過程は短期依存性を持つのに対し，自己相似過程は長期依存性を持っ［叫。

これまでの議論から推察されるようにタ M／M／1の認可且 短期依存性と指数的減衰

ような単純なモデルでなくとも，（i）到着やサービス過程の㌦一方あるいは両方が有限次元のマルコフ過程

まず‡濫作）が短期依存性を持つ場合を考える−によってドライブされていて，（豆i）モデルに含まれる鵬般分布が指数的な減衰を示す，ような待ち行列モデ￠（β）＝浩三脚（eβA托）

ルにおいては待ち時間や系内数の裾分布は指数的なト一三ーがβのある領域ぶで定義されており，さらに減衰を示す。これは9 有限次元マルコフ過程によって￠（柁）＝0，柁＞0持ち込まれるモデルの複雑さ（相関構造）が本質的に短期依存性を持っためである．次節では，モデルの相なる柁がβの内点として存在することを仮定する．

関構造と裾分布の関係をもう少し詳しく見てみよう．

GlymnamdWhi七り7］は，これに加えてある緩やかな条件が成り立てば3。鬼瀬過程の相関構造と漸近特性

旦血且ogP（Ⅳ＞∬）＝一花且節で触れたように，入力過程モデルの多様化のも

諾→00ニr

う且つの流れは長期依存性を持つ入力過程の導入であ（16）となることを示した■（柑）は，諾→∞のときる。以下では離散時間で話を進めるが，連続時間モデ㌘（Ⅳ＞可穴 （∬）e￣花諾＋0（e￣パ ℃）ルに対しても同様な議論が成立する少と近似できることを意味する。C（∬）はe￣K諾に比べて時点mでの待ち時間を吼，時点mと開＋1の間に緩やかに変動する関数で，1im。→∞諾￣1logc（∬）＝0を持ち込まれるサいビス要求量からその間に処理可能満たす．この結果を例えば（9）と比較すると，C（∬）のなサービス量を引いたものをg陀とすると，挙動は明らかでないが，本質的にP（Ⅳ＞∬）は指数的
閑㌔＋1＝maX（閑㌔＋屠れ，り）（14）

7∑罠。㌻（た）の収束／発散によって短期／長期依存性を定義す

6小沢【咽の乱2節を参阻
3望る場合もある酢© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ←ションズ。リサーチ（17）

に減衰するという点では一致している．このように，とする．この場合はα（m）＝m，γ（m）＝れ2￣2月￣とおい

入力過程（あるいはサービス過程）がマルコフ的でなて上の結果を適用すると，くても，その相関構造が短期依存性を持つ場合には，
言

待ち時間の裾分布は指数的な減衰を示す．

log叩＞∬）＝一が得られる・したがって，（ズれ）が長期依存性を持つ

3．2 長期依存性を持つモデルの漸近特性

場合（0．5＜ガ＜1）は待ち時間の裾分布がワイプル型となり，短期依存性を持つ場合に比べて長い裾を持つ

小沢【14］の4節で述べられている自己相似的な入力ことがわかる．

過程も含めて，‡ズれ）が長期依存性を持つ場合はどうだろうか・この場合（15）の右辺は発散してしまうたロ

4．多重化における漸近特性

め，3．1節の結果をそのまま適用することはできない．

3節では￡を増加させたときの待ち時間分布の漸近

そこでDufReldandO，Connell［4］は大偏差理論を援特性について考えたが，本節では，入力の多重数ムを用することで，長時間依存性を持っ場合の分析を行っ増加させたときの待ち時間分布の漸近特性を議論すた．大偏差理論とその適用方法については，次節でよる．これは，多数の情報源から送られるデータを高速り一般的な枠組みの中で説明することにして，ここで回線で送信する統計多重されたシステムを想定したは結果を中心に見てみよう．

ものである．情報源から送られるデータ量は時間的に（15）の代わりに，m→∞のとき発散する増加数列変動するため，多重化によってそれらの増減が打ち消（α（m）），（γ（れ））に対してしあうことによる効率化が期待できるが，以下の議論
和）＝ユ藍（u（m））￣1logE（eβ叶勅／α（乃）はその効果を定量的に把握するための1つの方向性を）示している．

がある領域で存在すると仮定し，時点mとm＋1との間にエ本の入力によって持ち込
亭＊（封）＝Sup（βy一事ト））まれるサービス要求量からその間に処理可能なサービス量を引いたものをズ吾とすると，そのときの待ちと定める・また，適当な増加数列九（れ）に対して時間（l轄）の変化は
タ（封）＝1im（九（m））￣1可α￣1（れル）） Tl→00

杷ト1＝maX（町方＋ズ吾，0）が定義できるものとする（α￣1（z）＝Sup（れ：α（れ）≦で表される・これは（14）のズれをズ吾で置き換えたもz））・このとき，大偏差理論におけるGartner−Ellisののである・したがって，（ズ吾）を定常過程としA莞＝定理［131から，緩やかな条件の下で∑ヒ＿れズチとすると，定常状態における待ち時間Ⅳエ

忠logP（Ⅳ＞オンか（y酌）（18）が成立する．（18）から，十分大きな諾に対してははP（Ⅳエ＞∬）＝P（笥｛A￡｝＞∬）で与えられる．

P（Ⅳ＞￡）母e￣叫∬）（19）

ここで，次の仮定をおく．という漸近特性が得られる（K＝infy，。タ（封挿＊（封））．
（19）では，九（∬）やタ（y），石＊（y）などの関数とモデルとの関連が明示的でないため，以下では具体例を通し（Al）且（ズ吾）＜0かつ1imム→∞β（ズ吾）／エ＜0とする・（A2）れに関する増加関数α（れ），U（れ）が存在し，てモデルパラメータと漸近特性の関係を調べてみよう・なお，（ズm）が短時間依存性を持つ場合は，α（れ）＝u（m）＝れと定めることにより九（m）＝mとなり，（18）から指数的な減衰（16）が導かれる．

例3・1長期依存性を持つ代表的な例としてiAm）が加）＝（エ巾））￣1logE（eざA狛）′α（れ））としたとき，れ（β）＝1imム→∞￠吾（β），￠（β）＝
1imm→∞れ（β）が存在する・ただし土∞も許す．
（A3）ん（β）および￠（β）が有限の値をとるβの領域がそ（離散時間）h：aCtionalBrownianmotion（FBM）に従れぞれ存在し，領域の内部では微分可能で，かつう場合を考えよう・（Z∬（り）を［14】の4．2節で定義さ点βが領域の境界に近づくとき克（β），轟）の微れるFBMとし，Aれ＝Z∬（m）＋れ〝（〃＝E（ズれ）＜0）

分は発散する．

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33

以上の仮定の下で，Ⅲ厄抗eld［3】は，封＞0に対してとなる。ここで且を大きくすると，∑癖の項はcゐ（且）より先に0に近付くためcゐ（且）e￣坤芸（封）が残る。

ぶ藍且￣1logP（Ⅳ＞且野）＝一盈盟ゆニ（留）フ（叫また，（23）の右辺は且が大きいところでは明らかにc允（且）が丑鵬（封）となる￠以上により，（20）が得られる。

￠芸（封）＝ Sl且p（β即−れ（β）），

瞞＝州画甥であることを示した8く．ここで重要なのは，仮定の段階では長期依存過程を含めるために時間スケールをゆ芸（甜）が最小値をとるれが複数ある場合も上限，下限の指数部分は変わらず，（20）が成り立っ。
説明からわかるように9 且が大きいところでは，変換する増加関数α（れ），即（m）を必要としたのである

P（謂｛励＞坤浩瑚＞瑚

が，これらの関数が待ち時間分布の漸近的な振舞にはとなりヲこの性質が（20）を導くときの重要なポイント関係していないことである。となっている。これは大偏差理論における，稀な事象この結果がどのようにして導かれるかを簡単に説明する小（Å叫〜（Å3）の仮定の下では，大偏差原理（G鼠訂七mer掘11isの定理）からA￡に関しては最も可能性の高い起こり方でしか起きない，という性質に対応するものである。
ここで∴晦）＝鼠mぎm＞0鵬（封）について議論しておこう。簡単のために（∬方）が短期依存性を持っ場合を」惣風￣1且og叫莞＞且封）＝一即（m）￠ニ（野／α（開））（2且）￠芸（即）＝Sup‡β即−ゆm（β））

考えるロ このとき柁＝鮎勒→∞柏）／野が存在し，∂＝且むmm→∞ゆれ（柁）とおくと且圭my→∞（耳（即）叫蹄封）＝∂が成り立っt・したがって，十分大きな即に対して∫（野）恕
が成り立つ8（別）の右辺は9即（陀）β／α（れ）を盃とおくならば，

花封＋∂となる①（17）と比較するために，∬＝且討とおくと9待ち時間分布P（Ⅳ且＞∬）の指数関数の部分
即（閃）董ニ（野／α（￠））＝ 即（閃）sup（β野／α（開卜￠れ（β））

β＝ Sモp‡軸−￠乃（屋）‡＝￠芸（封）βは㌻几㌔「儲となり，且∂の分だけ更に値が抑えられる。

このことは，‡g￡）が長期依存性を持つ場合についても同様に成り立っ。したがって，例えば同じトラヒッとなりヲ α（閃）フ即（穐）には依存しない関数￠芸（野）とな

ク密度（負荷）であっても，統計多重されたシステム

る￠（飢）は9討を固定して考えるとP（通告＞風封）＝では（微小）呼損率がより小さくなることが期待され

c開（且）e￣且￠ニ（y），Cm（且）ニeO（且）と書くことができる。一る0 ただし，‡g君）がガウス過程の場合は，多重数且風P（sup陀≧。‡A莞）＞且封）はに依らず∂＝ゅである。
一方9野＝0のときの∬（野）は，甘（0）＝明（0）となご＼．ヽ

監P（A莞＞且野）（22）

梅津＞且野）≦

孤＝1

り，g（0）＝且血￡→∞且￣1logP（∬方＞0）となる凸 これ

は，待ちが発生する確率呵現＞0）の漸近特性であsⅦpP（A莞＞且封）（23）

晦押＞且財

れ＞0

り9 財＝0の近傍でもg（野）が有用な情報を持っているの不等式を満足する。いま，話を簡単にするために，ことを示している。

固定した野に対して鵬（野）が最小値をとるmが一個と例軋且」侮）の具体例として，（∬君）を平均且〃の定し，それをゐとする。そのとき（22）の左辺は9常ガウス過程の場合を考える・このとき‡A￡）は平均値関数が且四郎のガウス過程となる・ここで，』莞の分C幻芝野（A莞＞風野）

散を凪げまとするとれ（β）＝叩β＋α孟β2／2，￠ニ（野）＝J2：二と（汐¶柁〟）2／（2α孟）が得られる。したがって甘（封）は＝＝e−叫言（y）∑cm（且）√刃現（封）￣榊））
れ≠免摘）＝

8imfれ＞0瑳（野）が不連続であるようなyに対しては（20）の等式は成り 立たないため，厳密には以下の不等式一息m雷m，。ゆニ（即＋0）≦且血imf且→∞且￣1且ogP（Ⅳ＞且野）≦
温血sⅦpェ→∞且…1且ogP（Ⅳ＞且即）≦仙im㌦，0￠ニ（影）で表現される。

（封−W銅刃）2剥

ミ十．

（24）｝

で与えられる．
‡g方）が短期依存性を持つとき，1imm→00α孟／m＝α2であり9 このとき，且imy→∞甘（封）／y＝踪となる∴十試び緩）が長期依存性を持ち，1im托→∞槻／れ2ガ＝オペレーションズ。リサーチ慧奄© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

α2，

ガ∈（0．5，1）であるとき，1imy→∞拍）ル2▼2月■＝Kとなる．

ロ【2】Chang，C・−S・（1995） Sample pathlarge devia−

tionsandintreenetworks， Queuein9Systems，20，7−36．

例4．2 例4．1において，△αれ＝Jれ一打れ＿1として，【3］Du侃eld，N・G・（1997） Economies ofscale fbr
long−range dependent trafncin short buffbrs，

すべてのmに対して△Jm＞△J叫1が成り．立つと仮7七gecomm視れ豆cα知れ勒β￡emβ，7，267−280・

定する・ここで，￠（m）＝−〃（Jm／△Jm−れ）とおくと，［4］DufBeld，下・G・andO Connell，N・（1995） Large（24）は￠（m）＜y≦￠（m＋1）となるyに対して

deviations and overflow probabilities for the（封−mJJ）2∫（y）＝（25）

2J髭となる．これは，逆に（25）を成り立たせるyの範囲をy−（m−1）〃
αm−1

＜二竺些＜

【5］Falkenberg，E・（1994） Ontheasymptoticbehav−

iorofthestationarydistributionofMarkovchains

封−（m＋1）〃

OfM／G／1type，

Jm＋1

Jm

generalsingle−SerVer queue，With applications，〟α娩．Pmc．Cαmわ．Pゐ盲g．ぶのC．，118，363−374．

Stoch・Models，10，75−98・

げ若，J2，・■・，J￡の情報から決定できるということであ［6］Fttjimoto，K・，Takahashi，Y・and Makimoto，N・（1998） Asymptoticpropertiesofstationarydis−
tributionsin two−Stage tandem queuelng SyS−
tems， J．qper．月eβ．∫oc．ノムpαm，41，118−141．

る・ここで重要なのは，J若，J宣，…，J∑の情報からは，【7］Glynn，P・W・andWhitt，W・（1994）

から求めることにより導かれる・（25）が意味すること

は，0＜y≦￠（m＋1）の範囲のyに対して∫（訂）は〃とα2巨甜∈（0．5，1）となり長期依存性を持つのかが分か

156．

らないことである．このことは，逆に短期依存性か長［8］Kobayashi，K・and Takahashi，Y・（1998） TailPrObability of a Gaussian且uid queue underfi−
nite measurement ofinpu七processes， Perhr−

期依存性かがわからなくても有限のyに対してJ（y）を求めることができることを示している．この点に関しては，文献［8］に詳しく述べられている・
以上，（ズ吾）が定常過程の場合の多重化における待ち時間分布の漸近特性を議論した．ここでは紙面の関係で省略したが，文献［9］には非定常な場合でも同様な手法で議論できることが示されている．

Logarithmic

asymptoticsforsteadyMStatetailprobabilitiesin
asingle−SerVerqueue J．Appl．Prvb．，31A，131−

J孟／m→J2となり短期依存性を持つのか，J孟／れ2月■→□mαmCeαれd〟αれαタemeγlfげCo〝岬ge∬Comm肌豆cα−

tionNetworks，Hasegawa，Takagiand Takahashi（eds・），Chapman＆Hal1，43−58・［9】Kobayashi，K・andTakahashi，Y・（1998） 0ver−flowprobabilitybraslngle−SerVerqueueWithnon−
Stationary multiplexedinput， Proc．11thITC
鞄■eC豆αg由fβem虞犯αr，215−220．

5．おわりに［10］Neuts，M・F・（1995）

本稿では，情報通信システムにおける微′j＼呼損率評
価への応用を念頭において研究が進められている待thetheoryofqueues，

Matrix¶analyticmethodsin

Advancesin Queueing，J．

H．Dshalalow，Ed．，CRCPx・eSS，265−292．
［11］Neuts，M・F・andTakahashi，Y4（1981）

Asym−

ち時間分布の漸近特性に関して，基本的な結果を中心

totic behavior ofthe stationary distributionslnに説明を行ってきた．紙面の関係で省略したが，直列

theGI／PH／cqueuewithheterogeneousSerVerS，型待ち行列を中心とするネットワークモデルの漸近特性についてもこの数年の間にいろいろな問題が解明されつつある・例えばChang［2］，0，Connell［12］，Fu−
jimotoet・al［6］などを参照されたい・漸近解析によって得られる結果は微小確率評価のための有用な情報を提供してくれるが，それ自身が呼損率となるわけではないのでそのままで性能評価尺度として使うことはできない．理論的な枠組みの拡充と併せて，実システムへの適用に関する研究が今後重要になると思われる．

Z．肋ゐrβC′もe豆乃g豆cゐたeまね仇eor盲e即er肌Geわ戎e￡e，57，441−452．

［12］0 Connell，N．（1997） Largedeviationsfordepar−turesfrom ashared buffbr， J．Appl．Prvb．，34，753−766．

【13］Scwartz，A．andWeiss，A．（1995）LaryeDeviations
舟rPeゆmαれCeAγもαgyβ豆β，Chapman＆Hall．
［14いJ、沢（1998） いろいろな入力過程モデル， オペ
レーションズ・リサーチ，43（12）．
［15］高橋，牧本（1998） 相型分布と行列解析法， オペ
レーションズ・リサーチ，43（11），618−623．
［16］牧本（1998） 相関をもつランダムウオークの極限分布の漸近的性質と待ち行列モデルへの応用，

参考文献

応用数理，8，2−13．

【1］Beran，J．（1994）馳血而可扉血昭一〟emoryP和一

CeSSeS，Chapman＆Hall．
1999年1月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

35