ArroⅥrの一般可能性定理の証明の解説
桧井 知己
Ill…l……＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝＝＝‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖削‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖ml……lll……lll…ll

この表はどんな性質を満たしているべきだろう？例え

1．はじめにArrowの一般可能性定理は，2人以上で3つ以上の選択ば極端な場合として，全員が「諾よりもyが良い」と言っ肢を好ましい順に並べる合理的な決め方は，誰かが独裁者たら，結果として食堂yに行くのは，極めて自然と思われになるしかない，という定理である．

る．そこで，以下の性質を導入しよう．

定理の内容が上記のように暖昧に語られる場合が多い

性質12つの選択肢の好きな順について，全員の申告がが，実際の定理は，数学的な枠組みできちんと証明される一方より他方が良いという意見で一致している（誰も「同論理的な主張である．この定理の持つ衝撃を十分に味わうじくらい良い」と申し出ておらず，全員の申告が一致してには，定理の前提と主張を数学的な定義として把撞する必いる）ならば，結果も全員の申告に一致している．

要がある．そして定義に基づいて定理の証明を理解した後に，冒頭の表現に立ち戻るならば，合理性や独裁者といっ

例えば，A研究室が田村先生と松井君の2人だけならば，性質1を満たす表には以下のようなものがある．

た概念が数学的な定理に絡めとられているという，少し当田＼松 諾 y 巴惑する感覚を味わう事ができる．

こだ

本稿では，Arrowの一般可能性定理の証明の新たな記述を試みる．これを試みる理由は，多くの本では数式や記号が多くならない様に記述しているのに対し，もう少し数式や記号を入れてみようというものである．証明は，佐伯【4］をベースに，全体を3つの補遺に分けたので，話は田＼松 訂 y ＝ヒ ∬ ∬＊ ∬ ∬ y y y＊ y 〜 〜

1■ヽノ（ ノ∬＊ β ∬封諾 y＊ ∬〜￡影∬

上記の表で，ガは「食堂虻をyより好む」という申告を，yは「食堂yを∬より好む」という申告を，巴は「2つの食堂を同じくらい好む」という申告を表す記号である．上記

やや長い．証明は初等的なのだが，定理の主張が分かりの表で＊印のついている場所が，性質1で結果が定められにくいため，証明の直感的な理解を妨げる傾向があるようる場所である．例えば左の表は「いつでも田村先生の言だ．Arrowの一般可能性定理は重要であり，より広く知られるためには，証明の記述の様々な試みがあって良いと私は思っている．では，始めよう，う通り」，右は「食堂yに行くのは2人が同意したときに限り，それ以外は食堂ガヘ行く」という表である．

2人の場合は，「2人とも∬を申告する」「2人ともyを申告する」以外の32−2＝7通りの場合を何にするか

2．選択肢が2つの場合
以下ではまず，選択肢が2つの場合について議論しよで，37＝2187通りの表が存在する．研究室の人数が3人う．A研究室では，毎回のセミナーの後に昼食を全員で食なら，333−2通り，和人なら33れ−2通りの表が存在する．

べる．昼食の食堂は∬とyの2つしかなく，いつもどちら3．選択肢が3つの場合かに決定しなければならない．毎回の選択を簡単にするた食堂が訂，y，Zの3つになったら何が起こるだろう．以めに，「食堂の決め方」を固定してしまおうと，教授が言降では，A研究室の各メンバーをプレイヤーと呼ぶ．プい出した．各人が，今日は諾とyのどちらが良いか，ある

レイヤーは全部で†l人であり，1，2，‥．，押と番号付けされいはどちらも同じくらい良いという事を申告したら，そのているとする．本稿ではれ≧2と仮定する．食堂が3つに結果として∬とyのどちらかの食堂か，あるいはどちらもなった際は，次のように議論を進める．食堂よ！と封につい同じくらい良いという事が決まるような，一覧表を作ってて，前節のような表がある（研究室には†l人いる事に注意しまおうと言うのだ．1

せよ）．この衆は，食堂ヱが休みの日に使える．食堂虻が休

まついともみ東京大学大学院工学系研究科計数工学専攻〒113−8656東京都文京区本郷7−3−1
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E−mail：tOmOmi＠misoJlrO．t．u−tOkyo．ac．JP

みの日のために，食堂討とzについても前節のような未がある．さらに，食堂yが休みの日のために，食堂gと∬にこの疑問に答える必要は無い．何故ならば，一般可能性定理は，「同じくらい良い」という結果を許したとしても「合理的な決l決定の結果が「同じくらい良い」の場合，具体的にどうするの定方法が独裁者を導く」事を主張しているからである．「同じくらい良い」という結果を許さないのならば，「合理的な決定方法か？と言う疑問は当然存在するが，一般可能性定理の証明ではが独裁者を導く」という証明はより容易になる．

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（29）93

明が望ましいと考えられる・そこで，「すべてのプレイヤー

克之‥か訂ぷ→かyzとム∬：か≡ふ→か㍑を定義する・の申告が弱順序ならば，結果も弱順序である」という性質あるプレイヤーの申告が（￠功，伽トう，（わ句）という様にょぅ．正確には，以下のような関数である．

循環していると，そのプレイヤーは3つの選択肢を好きな順に並べられない事になる・また（￠ト功，bト勾，￠巴可）￣Il￣−ー
一＿いる略記法も併せて記しておく．下記13通りの3つ姐は弱順序と呼ばれる．弱順序になっている3つ租13通りの集合をかと書く，すなわち，以下のように定義される，

か＝‡㌘∈かこ。yXか封ZXか之訂l厨＝（α，み，C）は弱順序）．

上記の関数において，プレイヤー1が（影＞1リト2）という意見を申告し，他のプレイヤー全てが（zト￡トy）という意見を申告したとしよう．明らかに，どのプレイヤーの意見も弱順序となっている．この時の関数値の3つ組は2性質2ほ「無関係対象からの独立」と呼ばれる．それは，例えば（恒ヰ＝わオ（訟頑）であり，弱順序でない・■￣−、．∴、
して定義されるが，ここでは全て列挙した・
盟亀（30）

が以下の（Dl）〜（D6）全てを同時に満たす専を言う．
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オペレーションズ。リサーチ

（Dl）全ての（α1，…，αれ）∈か芸yにおいて，［αJ＝￠トゎならばムy（α1，…，αれ．）＝￠トめ】である．
（D2）全ての（α1，…，αれ）∈か芸yにおいて，［αJ＝師司ならばん（α1，…，α乃）＝炉瑚である・（D3）全ての（あ1，…，あれ）∈p訂zにおいて，【あブ＝厨司ならばんz（み1，…，あれ）＝bト勾】である．
（D4）全ての（ゐ1，…，あ乃）∈か訂ヱにおいて，［みj＝（gトめならばん（あ1，…，あ，l）＝（け潮である．

「bト頑一支持掟携として持つ」畢は，定義が異る．
関数の3つ組（ふ訂，んヱ，ム∬）とプレイヤーの部分集合
Ⅳ′が，（Wl）〜（W6）の内少なくとも1つを満たすと

き，佑y，ん之，ム∬）は〃′を弱支持提携として持つという・4独裁者の定義では「（Dl）〜（D6）全てが成り立つ」必要があったが，弱支持捷携の定義は「（Wl）〜（W6）の内，少なくとも1つが成り立つ」と弱い条件になっている事に注意されたい．
堕墜⊥関数んy，んぷ，ムガが性質1と性質3を満たすな（D5）全ての（cl，…うCn）∈か㌫において，［り＝￠ト頑ならばム∬（cl，…，Cれ）＝￠ト￡）】である．
（D6）全ての（cl，…，Cれ）∈か㌫において，らば，関数の3つ組（ん訂，晶わムガ）は（1），（2），…，iれ）のうちどれかを，弱支持捷携として持つ．

［り＝￠トカならば￡∬（el，…，Cれ）＝（わ瑚である．

垂盟 以下では，関数の3つ租（んy，んz，ム訂）が持つ最

上記の定義において， プレイヤーブの申告がも小さな（人数の少ない）弱支持提携は，1人からなる事を桓軸＝如司，（ご可の際は決定の結果はどうなっていても示す．プレイヤー全員の集合Ⅳは弱支持提携である事か良い事に注意されたい．

ら，最小の弱支持提携は必ず存在する．最小弱支持提携

Arrowの一般可能性定理ほ以下のものである．

は1つとは限らないが，その内の1つをⅣ′とする．も星型．3つの選択肢諾，y，Zとプレイヤー（1，2，‥．，れ）にちろんⅣ′⊆Ⅳであり，現時点ではⅣ′＝Ⅳの可能性ついて以下が成り立つ・3つの関・数ムy：か芸y→か∬y，もある．以下では，最小の弱支持提携Ⅳ′が2人以上のプんヱ：p訂z→pyヱ，ム∬‥p㌫→か㍑が性質1と性レイヤーを含むと仮定して矛盾を導こう．Ⅳ′中のプレイ質3を滴たすならば，関数の3つ姐（んy，ふヱ，ム∬）は，ヤーを1人選び，これをJと書く事にする．またⅣ′中のJ

プレイヤー1，2，‥．，托のうち誰かを独裁者として持つ．

以外のプレイヤーの集合を，Ⅳ′′とする，すなわち〃′′＝では証明を始めよう． 以下ではプレイヤーの集合を〃′−（刀≠￠である．

Ⅳ＝（1，2，…，れ・）と書き，プレイヤーの部分集合を墜準と呼ぶ．まず，独裁者より緩やかな概念を定義する．こ関数んyが〃′を恒湧一支持提携として持つ場合について議論しよう．（〃′が他の選択肢対について支持提携

れは，証明のために技術的に導入するものである．プレイである時も，以下と同様に証明される．）〃′に入っていな

ヤーの非空な掟携〃′≠￠について，Ⅳ′中の全員が恒旬

いプレイヤーが（存在するならば）（y〉†Z〉−諾）を申告し，を申告し，Ⅳ′に入っていないプレイヤー全員がbト可をプレイヤーブが（ヱ＞−∬〉−勤）を，Ⅳ′′中のプレイヤーは申告したとき，ムyの催が恒瑚となるならば，関数ムy（∬ト封トZ）を申告した場合について議論する．すなわちは捷携〃′を恒瑚一支持提携として持つと言う．正確に上記の申告を関数の3つ組（んy，んz，ム∬）に入力（代入）した場合に，3つの関数の値（決定の結果）がどうなるかには，関数ん討とⅣ′⊆Ⅳがついて議論する・5 以下ではんの値によって場合分けを恒湖（豆∈Ⅳ′），α虐＝（行なうが，んの値は，各プレイヤーの討とヱに関する申加増）（ブ∈Ⅳ−Ⅳ′），告のみに依存する単に注意されたい．

ならばムy（α1，…，αれ）＝￠トれ（1）んzの値が￠トめの場合・（わ戒を申告しているのはを満たすとき，ふyはⅣ′を恒瑚一支持提携として持つと言う．上記と同様に，次のような計6種類の支持提携を4佐伯【4】の定義を援用するならば，「片側特殊支持提携」という用語になるが，長いので「弱支持提携」とした．

定義することができる．

5証明のこの仮定について「プレイヤー通が他の申告をした場（Wl）んyはⅣ′を恒旬一支持捷携として持つ．
（W2）．‰は〃′を（yト均一支持提携として持つ．
（W3）んzは〃′をbトカー支持提携として持つ．

合は考慮しなくて良いのか？」という質問を度々受けるが，その必要は無い・まず最初に，関数の3つ組が与えられた（固定された）という前提で定理の主張がされていることに注目されたい（プレイヤーが関数を選ぶ訳ではない）・次に，（以下は証明完了後（W4）んはⅣ′を￠トめ一文持提携として持つ．に判明する事であるが）性質3の内「上記の特殊な弱順序の申告（W5）Jz∬は〃′を￠ト均一支持提携として持つ．

に対し，結果も弱順序である」という事からだけで，最小の弱支（W6）ムガほⅣ′を恒司一文持掟携として持つ．
関数んyがⅣ′を「（rトめ−支持提携として持つ」事と2001年2月号

持提携が1人からなる事が導かれる事に注意されたい．これは，性質3の「任意の弱順序の申告に対し，結果も弱順序である」という要求が，必要以上にきつい要求である事を示唆している．

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（31）95

ブだけであり，他のプレイヤーは全て炉司を申告していなる．恒瑚と厨司が得られた辛から，性質3より，ムガる・ん之の値が（zトゎなので，関数んはi刀を￠トめ−支の値は恒司となるが，￠ト⇒を申告しているのはブだけ持提携として持つ・すなわち関数の3つ組（んy，克之，ム∬）なので，先方は‡幻を恒司一支持提携として持つ．

は，†刀を1名からなる弱支持提携として持つ．これは，（2）（りが成り立つならば（c）が成り立つ事を示す．すなわ

最小の弱支持提携〃／が2名以上のプレイヤーを含んでい

ち，ムガが（カを恒司一支持提携として持つならば，見方ほることに矛盾．

（刀を（yト⇒一支持提携として持つ事を示す．プレイヤーJ（2）んの値がbト力または如頭の場合．￡とyについが（yト∬トZ）を申告し，ノ以外のプレイヤー全員が（zトては仁Ⅳ′中のプレイヤーが恒瑚を申告し，Ⅳ′に入ってy〉−諾）を申告したとしよう．ム訂は†刀を恒司一支持掟いないプレイヤーはb如）を申告している・関数んyが携として持つ事より，先方の値は恒司となる．性質1よⅣ′を（￡トか支持提携として持つ事から，ふyの値は恒湖

りム封の値はbト可となる・そして性質3より，ん之の値となる．仝貞の申告が弱順序である尊から，性質3よはbトカとなる・ゆえに，鬼zは臼）をbト⇒−支持提携とり，結果も弱順序であり，￠トめと「（封卜勾または（㌍司」して持つ．

よりム訂の値は恒司でなければならない．zと∬につい（3）「（c）ならば（l））」は，（1）と同様に示す事ができる．て恒司を申告しているのはⅣ′′だけであり，他のプレイ（4）「（l））ならば（e）」は，（2）と同様に示す事ができる．

ヤーは全て￠ト可を申告している．ゆえに関数ム∬はⅣ′′（5）「（e）ならば（d）」は，（1）と同様に示す事ができる．

を恒司一支持提携として持つことが導かれた．すなわち（6）「（d）ならば（a）」は，（2）と同様に示す事ができる・□関数の3つ組（ふy，鬼才，長方）は，Ⅳ′′を弱支持提携として持ち，これは〃′の最小性に矛盾する．

□補題2 関数ふy，んz，￡∬が性質1と性質3を満たすとする・関数の3つ組仏y，んz，ム∬）が，プレイヤーの部分集合臼）を弱支持提携として持つならば，以下全てが堕墜鼠 関数ふy，みz，長方 が性質1と性質 3を満たすとする・ 関数の3つ組 伍y，克之，ムガ）がプレイヤーの部分集合U）を弱支持提携として持つならば，（んy，んz，ム訂）はプレイヤーJを独裁者として持つ■
延望 まず，独裁者の定義中の条件（Dl）について議論成り立つ．

（a）、た。yは（刀を￠トか支持提携として持つ，（b）ふyは（ノ）を厨司一支持提携として持つ，（c）んzはi刀を師司一支持提携として持つ，（d）みzは（ブ）を（ヱトめ一支持提携として持つ，（e）差ガは（力を￠ト⇒一支持提携として持つ，（町‰は（刀を￠トオ・支持提携として持つ．
垂嬰 関数の3つ組（ふy，んz，ム∬）が，（刀を弱支持提携として持つならば，（Wl）〜（W6）の内どれかが成り立つ
事から，（a・）〜（f）の内少なくとも1つが成り立つ事が分
かる・以下の証明では，下図のように（1）〜（6）を示す事
により，（a）〜（f）の内どブtか1つが成り立てば，（at）〜（f）しよう．（け瑚を申告したプレイヤーの集合をⅣ1とし，bト⇒，（ご竺めを申告したプレイヤーの集合をそれぞれⅣ2，〃3とする．ここで，プレイヤーの集合ⅣはⅣ＝Ⅳ1∪〃2∪〃3を掃たしている・以下では，J∈Ⅳ1のとき鬼yの催が（∬トめとなる事を示そう．

補選2より，ム∬はi刃を恒司一支持提携として持つ．
Ⅳ1−（ブ）中のプレイヤーが（存在するならば）（z〉 諾，ゝy）を申告し，ブが（是トヱトy）を申告，Ⅳ2申のプレイヤーが（z＞−y〉一度）を申告，∧ち中のプレイヤーが（zト野望ガ）を申告したとする．この申告は，上記のⅣ1，Ⅳ2，栴の定義を満たしている事に注意されたい．補題2より，ムガはi刀を恒司一文持提携として持っており，Jだけが全てが成り立つ事を示す．

（a）彗（堪（。将（l））彗（e）彗（d）彗（a）￠トZ）を申告し，残りは（ヱト可を申告しているので，長∬の値は（∬トうとなる．全貞￠トめを申告していることから，（り（a）が成り立つならば（f）が成り立つ事を示す．すな性質1よりんzの値は（之卜如となる・ゆえに性質3より

わち，．‰が（刀を￠トか支持提携として持っていた場合

んyの値は恒瑚となる・に，ム∬が（刀を（わ司一支持提携として持つ事を示す．プ（D2）〜（D6）についても同様に証明できる。

レイヤーJが（二￡ト yト Z）を申告し，ブ以外のプレイ最後に，一般可能性定理の証明をまとめよう．補題1よヤー全員が（封〉一之〉−㌶）を申告したとしよう．㌶と封にり，関数の3つ姐伍y，克之，ム訂）は1名からなる弱支持提ついては，ふyが（刀を￠トか支持提携として持つ事より，携必ず持ち，補選3より（ん封，克之，ム∬）はその弱支持提携

ふyの値は恒瑚となる㌧‰については，仝プレイヤーを作っているプレイヤーを独裁者として持つ事が示されがbトカを申告しており，性質1よりんの値は厨司とる．以上で定理の証明は終了した．

96（32）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ。リサーチ□う出てこない．また本稿のような分野の最近の話題に触れ

4．おわりに本稿で証明した主張は，現在一般に広まっている形の定理だが，Arrowの本の第2版川の第8単には改訂版としたい方には，公共選択あるいは社会選択といったタイトルの書物を見ていただきたい．て書かれているものであり，Arrowによって最初に示さ本稿の定理の記述が，他の本と異なる最大の点は，性れた定理ほ少し異なっている・詳鱒は【1，3］を参照された質2（無関係対象からの独立）から話を始めた事である．こい．川では選択肢の数が一般の時を証明しているが，それれにより，無関係対象からの独立性を分かり易く記述すは選択肢が3個の場合に簡単に帰着できるので，本稿ではることができたと思う．しかしながら，そのために，社会3偶の場合のみ記述した・佐伯〔4】と今野［8ユの定理は，パ選択関数の定義や個人溝好の無制約性といった性質の定レート最適性と独裁者の定義が【1】と微妙に異る・

義が錐かしくなり，本稿ではこれらを省いてしまった．社

Arrowの定理は，合理的かつ民主的な決め方の存在が不可能である，といったような主張をしている事から，その否定的な側面を強調するため，不可能性定理と呼ばれる会選択論または公共選択論の議論をする際は，本稿のように話を始めるのは，以降の展開を難しくするだろう．

本稿の初稿に対して，脚注5の質問を何人かの方から頂ことも非常た多い．ちなみにArrowの本［1］では 酢n−いた．そこで本稿では，「プレイヤー」を主語とする文

eralpossibilitytheorem と書かれており，その番羽訳【3］章を避け，「関数（の3つ組）」を主語とする文章を積極的では「一般可能性定理」と訳されている．に用いた（例えば第2節と第3節の性質1の記述の遠い

この定理は非常に衝撃的な内容なのだが，その割には知に注目されたい）・脚注5のような疑問は，「プレイヤー名度が低いというのが私の印象である．その原因の1つとが決め方（関数）を作る」というイメージから来るもので，して，定理の内容が本稿冒頭のように曖昧に語られる（場それを払拭するのが良いと考えたからである．この定理合が多い）事があると，私は思う．さらに，曖昧な表現を援は，「初めに決め方（関数）ありき」で主張が展開される用して「民主主義は合理的ではありえない」といった主のだ・特に，「独裁者が決め方（関数）を作る」のでは無張が安易にされることがあるが，これには注意を要する．

い事を強調するため，「プレイヤーブは独裁者である」と

ArroⅥ7の定理における合理性や独裁者は，数学的に定義いう表現を排除し，「関数の3つ組がノを独裁者として持される概念であり，歴史上に実在する合理主義や独裁者とつ」という記述に統一した．

は区別しなければならない．また定理の主張は，「誰かが個人的な感想だが，独裁者というネーミングが，この定独裁者になれる」のでほ無く「誰かが独裁者の役を押し理の魅力を倍増させているのだと思う．別に独裁者と名付付けられる」という方が正しい夢にも注意されたい，ける必然性は無かったのだ．例えば独裁者ではなく王様とArrowの一般可能性定理の証明について，日本語で読めるものは少ない．以下は個人的な感想である．Arrow

したら，この定理の印象はずいぶん変わりそうだ．もちろん女王様でも構わない．の本の第2版川の証明は，翻訳［3〕でも読む事ができる

参考文献

が，言葉による説明が非常に多い．翻訳【3】は，訳者（長名）の注が充実している・稲田【2】の証明はArrowと同じだが，丁寧に書かれている．佐伯囲は，A汀OWの証明自体を分かり易く改訂しているが，用語の定義が非常に多い．6
今野［8】は，佐伯【4】の証明を簡潔にまとめ直しているが，説明が非常に短く，行間を読み取る必要がある．奥野，鈴柑［6】には，定理をプレイヤーが2人のケースに帰着させ［1］K・J．Arrow：

ues，SocialChoiceandIndividualVal−2nded．，JolmWileyandSons，i963．

【2】稲田献血：「新しい経済学」，日本経済新聞社，1965．
【3】ケネスJ、アロー：「社会的選択と個人的評価」，長名寛明訳，日本経済新聞社，1977．

るという別証明が書かれている．フェルドマンr5jと武隈［4j佐伯辟：「きめ方の理論」，東京大学出版会，1980．

［71には，プレイヤー数を2人に限定した場合の証明があ【5】A．M，フェルドマン‥「厚生経済学と社会選択論」，

る．本稿を読んで興味を感じられた方には，名著として名高い佐伯【4〕を入門審として強くお勧めする・ちなみに［41には，Arrowの定理の証明より難しい定理の証明は，もマグロウヒルブック株式会社，1984．
同奥野正風鈴村興太郎：「ミクロ経済学‡り，岩波書風1988．
［7ユ武隈慎一：「ミクロ経済学増補版」，新世社，1989．

6佐伯【4】の証明には，「高校生でも分かる」とあるため言い出しにくいのだが，「私には分からなかった」という事を勇気を出して告白しておく．

2001年2月号

弼今野浩：「数理決定法入門」，朝倉書店，ユ992．

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