劣竜汐盈蓼関数戯灘偲働組億健蘭儀虜項盛時問・、、−、−・∴、−、：、十∴ニミ‡・ラ＿；‥丁￣・・・ニキミ∴
藤垂 悟
州＝1…………‖1…脚‖llllL…………l………………tlll………l州州l州州l州川州…川＝州州＝LL…………L………＝LL1………Ll…………l……………lllLl…………………＝l……l…………………t…………ll州

空でない有限集合Vの各部分集合に対して実数値かを判定する問題（マトロイトメンバシップ問題）にを与える集合関数∫：2V→脱がつぎの不等式を満対する強多項式時間アルゴリズムが与えられた．これたすとき，このヂを劣モジュラ関数と呼ぶ（文献［3］，は，マトロイド階数関数にモジュラ関数を加えた形の軋け1］などを参照されたい）。

劣モジュラ関数最小化問題に関係している。一般の劣㌔（∬）＋才（y）≧封才Uy）＋′（∬ny）（耳y⊆V）
劣モジ ュラ関数は，典型的にはグラフ￠ネットワークに関係する多くの組合せ最適化問題に現れ，他にシャノン情報理論，凸ゲーム，経済モデル等にも現れる。
効率よく解かれる組合せ最適化問題は必ず劣モジわれるほどに，劣モジュラ性は組合せ最適化問題を取り扱う際に極めて基本的である。そして，劣モジュラ関数最小化問題はそのような組合せ最適化問題の部分問題としてしばしば顔を出し，これまで通常，効率よく劣モジュラ関数最小化ができることを前提とえられた。また，GrゐtscheトmovAsz−Sch痛verによって，1988年の彼らの本国の中で強多項式時間アルゴリズムが示された1卜 しかし，これも再び楕円体法に基づく時間アルゴリズムの存在を示す以上の意味を持たなかった。さらにその後も，いくつかの関連する研究があるが，大きな進展はみられなかった。
−一方，況dmomds−Gilesによって提示され，多くの効率よく解かれる組合せ最適化問題を包含するモデルである劣モジして関係するアルゴリズムが構成されている。また，
阻．乱0V丘szによる集合関数のいわゆる mov孟sz拡張，

A．恥ankの離散分離定理，筆者の『emcbel型最大最小定理などによって劣モジュラ関数の有する凸性が認識され，劣モジュラ関数最小化問題ほ，通常の凸関数最小化問題においてそうであるのと同様に，（組合せ）最適化の基本問題である。この認識のもとに，最近
Muro叫12】は離散凸解析の理論を展開している・

劣モジュラ関数最小化の最初の多項式時間アルゴリ
ズムは，1981年にG∬るもschel−阻0V瓦sz−Schrか／erによる記念碑的論文閏において示された・・しかしながら，
彼らのアルゴリズムは馳a飽iyamの楕円体法に基づく弱多項式時間アルゴリズムで，実用的な意味での効率の悪さと共に，組合せ的でないということにより，満足できるものではなかった。そのために，その後，組合せ的方法で劣モジュラ関数を最小化するいくつかの試みがなされたむ まず，Cum貰1igha叫1］によって，与えられたベクトルがマトロイド多面体に属するか否ふじしげ さとる 大阪大学大学院基礎工学研究科

雛済（38）

多項式時間アルゴリズムがCⅥnnimgbam聞によって与効率の悪い非組合せ的アルゴリズムであり，強多項式ュラ関数（あるいはマトロイド）が関係していると言〒560−8531豊中市待兼山町1肘3

モジュラ関数最小化に対しては，最初の組合せ的な擬ュラフロー問題に対する解法の研究が展開されてきている（サーベイ論文［6］を参照）。この中でブ1997年のIwa叫9］のスケーリング法は，劣モジュラ関数最小化への道を閃くものであった。このスケーリング法を基本的枠組みとして，ごく最近のFleischeTq亙wataMMcCormickによる高速化［4］のアイデアにヒントを得て，CMmnimgham［廿［2］のアプローチを基に，耳wata曲別eischeト恥jis弘幸ge［10］は劣モジュラ関数最小化の組合せ的強多項式時間アルゴリズムを得ることに成功した。1981年以来，組合せ的多項式時間アルゴリズムの開発が大きな未解決問題として残されてきたが，16年後の解決となった申 Edmondsの詣では，論文［3］をまとめた頃に劣モジュラ関数最小化問題を認識していたというからタ それから30年後の解決ということになる。
ところで，全くの偶然であるが，独立にほぼ同時にSchr主jve申3］も，同じCurll血gham軋［2］の枠組みによって，しかしながら全く違う形で，強多項式時間アルゴリズムを得ることに成功している．解決の期が熟したかのように長年の未解決問題が同時に解決されたのは驚きである。

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オペレーションズBリサーチ

我々のアルゴリズム［10］では，与えられた劣モジ［6］S．FttiishigeandS・Iwata＝Algorithmsfbrsubmo（1N

ュラ関数′‥ 2V→Rが整数値関数である場合にular且ows，J應汀C属 升α犯β．J乃ルrmα≠盲0花α花d鞄5−

Iwata［9］のスケーリング法に基づいて0（乃5logれ〟）iems（toappear）・時間の弱多項式時間アルゴリズムを導き（れ＝lV】，［7］M・Gr6tschel，L・Lovまsz，andA・Schriiver＝The〃＝maX†げ（ズ）llズ⊆V）），これをサブルーテ

ellipsoidmethodanditsconsequencesincombinar−ィンとして0（れ2）回用いて一般の劣モジュラ関数のtorialoptimization，Combinaiorical（1981）169−0（乃7logれ）時間の強多項式時間アルゴリズムを得て197．

いる．実用上は，0（れ5logれ〟）時間の弱多項式時間［8］M・Gr6tschel，L・Lovまsz，andA・Schriiver＝ Ge−

アルゴリズムが効率よいものとして使えそうに思わ

Omeまr盲cAJダOr哀班m∂α乃dComみ哀花αか〃−最0画血流−

れる．

ま血，（Springer，1988）・

今後に残された課題としては，（1）計算の高速化，（2）Rから乗除を排除した順序加群としての演算だけを許した多項式時間アルゴリズムの開発，などが残されている．個人的には，この後者の課題をなんとかして解決したいと思っている．

［9］S・Iwata：Acapacityscalingalgorithmfbrconvexcost submodular月ows，MaihemaiicalProgram一血両76（1997）299−308・［10］S・Iwata，L・Fleischer，and S．Fujishige‥ A
StrOngly polynomiaトtime algorithm fbr minimiz−・

今回の未解決問題の解決にあたって岩田さんの貢献が極めて大きい．約20年間の課題を解決に導いてくれた岩田さんとLisaFleischerに感謝する次第である．
ところで，D．R．Fulkersonは長年，パーフェクトグ
ラフ予想に挑戦し，それを否定的に証明しようとして証明に失敗し，LovAszが肯定的に証明したことを知らされるや否や自らもその証明が出来たと伝えられる．失意のうちにこの世を去ったFulkersonの最後の年齢と同じ歳になって解決できたのは何かの因縁ではないかと思っている．

1ngSubmodularfunctions．Discrete Mathematics
andSystemsScience ResearchReport No．99−07，
OsakaUniversity，July1999（revisedversion，ibid・No．99−13，October1999）；also，情報処理学会「アルゴリズム研究会」，アルゴリズム70−2，1）1〕．9−−16（1999年11月8日）．
［11］L Lovasz：Submodularfunctions andconvexity，
l一−り／ん川川／′‥′／／一什ご／川JJ川＝〃J／ 川・＼一山／・・イ〃＝、

Ari（A・Bachem，M・Gr6tschel）andB・Korte，eds・，
Springer−Verlag，1983），Pp・235−257・

参考文献［12］K．Murota：Discreteconvexanalysis，Malhemaii−［1］W・H．Cunningham：Testingmembershipinma−

troidpolyhedra，JournalofCombinaiorialTheory

CαJPr叩rαm7乃壱花g83（1998）313−371・［13］A．Schr再ver：Acombinatorialalgorithmminimiz−

1ngSubmodularfunctionsinstronglypolynomial

B36（1984）161−188・［2］W．H．Cunningham：On submodularfunction
minimization，Combinalorica5（1985）185m192．

time，PrePrlnt1999．
メモ：弱多項式時間アルゴリズムとは，いわゆる多項［3］J・Edmonds：Submodular functions，matrOids， 式時間アルゴリズムを意味する．これは，つぎに述べ

and certain polyhedra，CombinaiorialSiruciures

る強多項式時間アルゴリズムと対比させるために使and T％eir Applicaiions，（R・Guy，H．Hanani， われる．強多項式時間アルゴリズムとは，問題を記述

N・Sauer，andJ．Sch6nheim，eds．，Gordon andする際に現れる数値データのビット数には依存しない

で，現れる数値の個数や問題の構造を決める数（たとBreach，1970），pP・69−87．

［4］L．Fleischer，S．Iwata，and S．T．McCormick：Aえば，グラフの点や枝の数）などの多項式で押さえら
faster capacity scalingalgorithm壬br submodu−

れる時間で問題を解くアルゴリズムのことである．ま1ar丑ow・Discrete Mathematics and Systems Sci−

た，擬多項式時間アルゴリズムとは，数値データのビ

enceResearchReportNo，99−08，OsakaUniversity

ット数ではなく，数値そのものの値も含んでよい多項（August1999）・

式で押さえられる時間で解くアルゴリズムのことで

トい・t一両日・i具・‥・→−〟／り〃り・／′′／り′・／−′仙／′岬‥＝＝／りJ′／トm窟zα如乃（North−Holland，1991）．

2000年3月号

ある．なお，本文では，′の各関数値を一定時間で得られると仮定している．

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