刑‖……lill…………………lllll…‖＝‖……………lill…………l……………llll……………………‖‖‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖＝…ll…ll………‖＝‖＝‖‖‖州l…l……州‖‖‖‖＝＝‖…l………………‖‖‖‖＝州川……………………‖州…………li・・1−‥∴ヾ・l・＿十谷

十・∴二・−

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た要望に応えるため，1日あたりの段取り替え回数を、 ・・．．‥ご．．・、

人定回数以Fにする，あるいは月間の段取り替え回数

当社のような素材メーカにとって，スケジュふ−リンを最小にするといった配慮が必要である。さらに，24グ問題（配台計画 productiom sche血iimg）や板取

時間連続運転されているコニ程では，段取り替えが日勤り問題（スリット計画 cu抽mg stock problem）と時間りりこできる計画を要、求される場ノ含もあるB

いった生産の計画立案に関わるテーマは極めて重要であるm この分野ではこれまでも多くの研究成果が報告

2。2 設備制約の複雑さされている。しかしウ ニれらの解法は9 現在までのとどのような生産計画問題でも，設備の生産能力やユニころ現場での作業性の重要さ。設備制約の複奈鮭さむ需程間の物量バランス0時間の前後関係など基本的な制要の不確定といった素材メーカが直面する現実的課題約条件を持っている。しかし，これ以外にいくつものを必ずしも十分考慮できていない噌 本報告ではこれら現実的な制約条件がある。連続プロセスに特徴的な制の観点を考慮したスケジューリング問題と板取り問題

約としてソ たとえば以下の4つがあげられるの解法の例をそれぞれ1つ紹介する凸 これらの例をも（i）工程聞の同期

ちいて9 現状どこまで解決できているかを明らかにす

中間在庫の保有可能壷に上限がある場合，各製品についてヲ 且二流」冊宣∴下流二且二程の時間当りの生産量につる￠2。生産計画閣題への取払』組み
盤産計画問題とは与えられたオーダ（品種9 盤慶安いて制約が生じる。たとえば，上流工程でのある品種が軒流」二程での複数品種の生産に使われる場合，下流
j二程でのこれらの品種の時間当り生産量を上流工程で求量9 納期）を満足し，できるだけ効率的に設備を稼の品種の時間当り生産巌の和に〉什一致させなければなら働させるよう工場設備や原料（中間製品）の利用方法

ない．7 さらに，『相恩二程でのこれらの品種の生産開始終を決定することであるひ 特に9 スケジューーリング問題

了は同期しなければならない拾 どちらかの二工程での段では，二監場設備の汁程計画に重点が置かれるり 板取問

取り回数が多くなると，両工程問の能力バランスがく

題では板状の中間製品から決まった形状の最終製品をずれ，中間在庫に過不足を生じることもあり得る。

切り出すため製品の並べ方に重点が置かれる。素材メ（2）設備間の影響

ーカでの生産計画問題の多くは以下のような特徴を持複数の生産設備が駆動系や原料供給配管を共有している場合9 ある設備である品種を生産することが，他っている，の設備で生産できる品種と生産期間を制約する￠2。旦 ■作業性の重要爵（3）設備以外の資源に関する制約

段取り番え（生産設備での品種の変更）は9 −一一A般的

利用■吋能な副原料の供給装置や治具の数に上限があに原料と時間のロスを生む。しかし，これらのロスよる場合ワ 設備が利用可能でも実際は生産できないこと

りむしろ段取り替え時のオペレータの作業負担が問題がある視されている。労働時間短縮や作業環境の改善といっ（4）牡産順序に関する制約

段取り番えの容易さや品質確保の点から9 同一設備
たに しげる 束レ株式会社

上での品種の生産順序が制約されることがある。

〒2′79S555 浦安市美浜18・Ⅷ
盟9＄（10）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ、一Ⅷションズロ】jサーチ

2．3 需要の不確定さこれによって，順序づけは与えられたひとつの資源配素材の多くは，生産時に顧客との契約が確定してい分の結果に拘束されない．

ない，いわゆる見込み生産体制をとっている．そのた（2）順序づけに人間（ベテランのスケジューラ）のノウハウを活用できる．

め，生産品種と生産量は需要予測と製品在庫をもとに決定される．需要予測をできるだけ的確にやらなけれベテランのスケジューラのノウハウを組み込みやすばならないという問題はあるが，生産計画にとってはい構造を提供することにより，ベテランのスケジューこの点は自由度の増加につながっている．すなわち，ラが持つ生産工程固有のノウハウを実現することがで製品在庫が適正な範囲にある限り，生産量と生産時期きる．

は自由に決めてよい。要するに，この自由度を最大限に生かすことにより，複雑な制約を満足し作業性を最

3．4 新規アルゴリズムの概要

大限改善した生産計画を作成することが課題である．

以下の記号を定義する．

3．スケジュ鵬リング問題の脚例（1）既知数

Ⅳ 品種数3。1スケジュ叩リング問題の従来解法〟 設備数

現実の大規模な問題に関して，これまでに紹介したdォ 品種才の生産要求量すべての課題を解決するような解法は，今のところ知わ 設備ノの稼働可能時間られていない．そこで，まず線形計画法などを用いてαり 品種才を設備ノで生産する場合の単位時間当り各設備で各生産品種の生産量を決め（第1段階：資源配分），次に各設備の中での各品種の生産順序を決めの生産量（2）未知数る（第2段階：順序づけ）簡便なやり方でスケジュー

J∠J品種Zの設備ノでの生産時間リングを行っていることが多い．

βォ 品種オの残り生産要求量℃ 設備ノの残り稼働可能時間
3．2 これまでのアルゴリズムの問題点

アルゴリズム：（1）第1段階の解は本来複数ある可能性がある．

Sl〈初期処理〉

第1段階の解を求める方法として線形計画法の一般変数を初期化する的な解法（単体法，内点法など）が用いられる．この解法では解がひとつだけ求まる．実際には解が複数あっても，これらを系統的に列挙し第2段階を実行した

βォ＝df Z＝1，2，…，A「
右＝め ノ＝1，2，…，〟
S2〈継続判定〉

後の結果を評価することによって最適の解を選択する（あるオについてβf＞0）かつことは容易でない．

（あるノについて℃＞0）である限り（2）順序づけの確立したアルゴリズムがない．

S2．1〜S2．3の処理を繰り返す．

第2段階では各設備上での品種生産順序を決定する

S2．1〈資源配分計算〉必要がある．可能な順序の数は膨大とな㌢），すべてのすべてのオとノについて資源配分Aォノ，βりを実行

順序づけの中から制約条件を充足する順序づけを見つ［資源配分Aり］けることは極めて困難である。ここに，人間（ベテラ目的関数：ンのスケジューラ）のノウハウを利用する試みもある．
しかし，彼らが解を探す場合，このような2段階の方法を用いておらず，ノウハウの利用には限界がある。

X㌍Ⅹ＝maX（芳ノ）

・卜

制約条件：
（生産要求量充足）．1J∑αf爪先m≧β才

（2）

朋＝1

3．3 新規アルゴリズムの特徴（設備稼働時間）

このアルゴリズムの特徴は次の2つである．

．＼■∑羞ノ≦℃（3）

乃＝1（1）資源配分と順序づけが融合されている．

このアルゴリズムは資源配分と順序づけの2段階ではなく，順序づけを行いながら資源配分を実行する．
1998年11月号［資源配分βむ］

目的関数：
芳書n＝min（＆ノ）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（4）（11）599

だけでなくスケジューリング問題としての側面がある。

制約条件：（1）板取り問題の結果が②の工程の生産能力を大き（資源配分』とおなじ）S2。2 く候補選定〉

く左右し，これとバランスをとるべき（∋の工程の変数澱ノの取り得る範囲は次式で与えられる。
∬賀n≦澱J≦∬㌍X

スケジューリングに影響を与える咽（5）

生産工程の現実的な制約条件を考慮し，あるZ，ノを（2）作業性（段取り替えのしやすさ）を考慮し製品を切り出す順序を壊適化する必要がある。

選び9 ∬ぴの値と生産開始時刻。生産終了時刻を決定する巾 選択した才，プの値をg，㌔，為′の値をプ銘とするむ

本報告では（卦の二王程をスリット工程，この1次元板取り問題をス旨トソト計画と呼ぶ

S2m3〈更新〉

変数の値を更新する。
、スリット計画は以下の要素から構成されている由

弟＝弟川端

（6）

（ユ）セット：幅の合計が原皮の幅に近くなるような製品の組み合せ

S2。1では単体法など線形計画法の既存解法が通用できる。S2。2は人間が行っている方法と同じである。
ここにベテランスケジューラのノウハウが適月∃できる。

たとえばヲ 資源タイトな品種（治具保有数が少ない）（2）スリット組み合せ：製品が要求された本数だけ切り出せるようなセットの組み合せ（3）スリッ＝順序：スリット組み合せの各セットを切り出す順序を先に計画する9 日ごとの段取り替え回数を平準化す
る，段取り替えのできない日（休日など）を避けて段スリット計画を作成するねらいは以下の2つである。

取り替えする，といったことが可能になる。

（1）原反のロスを少なくする（収率の向上）。

製品の幅をうまく組み合せ，原反の幅に近くするこ3。5 評価結果とによりラ スリット工程で出る原反のロス（切れ端）

このアルゴリスムを現実の工程．（1段階工程，設備をできるだけ少なくする。ロスが多くなるとスリット数50，品種数100）に適用した。ベテランのスケジュ

ニ仁程の生産能力が下がり，上流工程との生産能力のバーラの協力を得て評価した結果，以下の結論を得た。

ランスが崩れる。特に，スリット工程でのロスが再利（1）単一工程であれば，現実的な制約条件をすべて考慮した計画が立案できる。

用できず原皮の単佃iが高い場合，ロスを少なくすことは重要となる。

（2）段取り替え回数はベテランのスケジューラに比べ平均5％多い（2）段取り替えを少なくする。

ひとつのセットから他のセットに変更するとき，原（3）各品種の生産量はベテランのスケジューラに比べ平均3％少ない

反をカットするための刃の位置を移動する必要がある。
この作業（セット替え）を減らすことは現場の作業性

ベテランのスケジューラに比べるとやや劣るものの，を向上させる℡ また，セット替えは時間を要するため，セット替えが増えるとスリット工程の生産能力が低下十分実用になるとの評価であった。

する。上流コニ程の生産能力とスリット工程の生産能力
穏ゆ 板取＆』閤題の脚例がほぼ等しい場合，スリット工程のセット替えによる

フイルム9 布，鉄板，紙など製品の製造工程は以下の2つの工程から構成されている。

庫が多くなりぎて上流工程での生産を停止させなけれ①設備で決まるある幅のシート状の中間製品（原ばならないことがある。連続プロセスではこれは致命的な収率低下となる。

皮）を製造する。

②指定された幅の製品を要求された数だけ原反から切り出す。ただし製品の長さはすべて同一一とする。
一般的には②の工程だけを独立して扱い，原反から製品を切り出す方法を決定する問題を1次元板取り問題と称している。現実には下記の理由から板取り問題
68◎（12）生産能力の低下が問題となる。場合によっては原反在

これまでのスリット計画問題の解法は上記（1）に重きを置いてきた。しかし，生産工程が以下の特徴を持つ場合，むしろ（2）の方が重要である。

0スリット工程でのロス（切れ端）は一定幅以上あれば副生産物として製品になることがある。仮に© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ巾リサーチ

を作成する．これによって作成に要する時間が短製品にならない場合，原料に再生できる．

・スリット工程でひとつの製品をスリットする時間くなる．

（3）スリット計画作成の流れ（戦略）を人間が作成に比べてセット替えノをする時間が長い．

する場合に近くする．このため，結果を人間が修4．1従来の方法とその問題点正しやすい計画となる．

スリット計画の解法として，これまでいくつかの方4．3 新規アルゴリズムの概要

法が提案されている．これらは次の2つに分類される．

以下の記号を定義する（1）線形計画法を用いる方法［1］各製品を要求された本数以上切り出す制約のもとで，（1）既知数収率を最大にするような最適化問題として定式化する．

Ⅳ 製品幅の種類

一般的には混合整数計画問題として定式化される．従Ⅳ 原反幅

来はこれを線形計画問題に緩和（近似）して解を求め

工 許容ロス幅ていた（Gilmore−Gomoryの解法）．近年，制約論理〟 目標幅 りγ一上≦〝≦Ⅳ）を用いると混合整数計画問題のままでも現実的な時間

勅 製品幅で解が求まることが報告されている．制約論理は基本

乃f 製品要求本数的に分枝限定法と制約伝搬による解の探索であり，大アルゴリズム：規模な問題に対しては時間がかかることは事実である．

Slく取り本数予測〉

これらの解法はもっばら収率を最大にすることに重点

実際にスリット計画を作成する前に，オーダに関すをおいている．セットの種類の数など段取り替えを最る情報（製品幅，要求本数）から，解の特性を予測す小化するという点では十分ではない．

ることができる．新規解法はこの予測に基づいて，決定的な手順でスリット計画を作成する。

（2）経験則を用いる方法

全製品の平均幅抑は次の式で与えられる．

以下の2つの手順を繰り返すことによってスリット．＼r計画を作成する．

．＼■

紗＝（∑抑制）／（∑勒）

ZZ これから，取り本数の平均値∫は次の式で与えられ・経験則を用いて有望と思われるセットを幾つか作成し優先度をつける．

（7）

る．

・優先度の最も高いセットをj采用する．

5＝〟／ぴ

この方法は試行錯誤を含まない決定的手順によってたとえばsの値が5．6となった場合，スリット計画は（8）スリット計画を作成する．したがって極めて短い時間

5本取りのセットと6本取りのセットから構成できるでスリット計画を作成することができる．しかし，経ことが予測できる．すなわち，可能な取り本数を次の験則や優先度の付け方は対象とする工程に固有である．

2つに限定できる．

したがってある工程での経験則が他の工程に適用でき

sl＝［ざ］（小数部切捨）るとは限らず，汎用性に問題がある．

52＝Sl＋1

ある解法で作成したスリット計画が生産上の現実的な制約条件のために実行できないときは，人間がこれセットの使用数合計（複数回繰り返すセットはその数だけ数える）斤は次の式で与えられる．
JVを修正する必要がある．上記2つの方法は人間がスリ肯＝（∑批）／ざット計画を作成する手順と大きく異なっており，結果S2〈セット使用回数予測〉を修正することが困難である．

（9）

（10）

各取り本数で使用する原反の量（面積）を予測することにより，スリット計画作成時にいつ取り本数を変

4．2 新規アルゴリズムの特徴

更すれば良いかが明確になる．たとえば取り本数平均

このアルゴリズムの特徴は次の3つである．

∫の値が5．6となった場合，すべてのセットのうち60％（1）段取り替えの最小化に重点を置く．特にセットが6本取りで40％が5本取りであると予測できる．すを構成する製品の数（取り本数）の種類を最小化

sl本取りセット使用回数＝∬（52−S）

する．

（2）試行錯誤を含まない決定的手順でスリット計画
1998年11月号

なわち

52本取りセット使用回数＝茸（5−−51）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（11）（13）601

S3くオーダ類別〉

S4．2〈単独取りグループセット作成〉

指定された2種類（sl，S2）の取り本数でセットを作

BとDの製品を以下の手順で組み合せ，セットを成するために，オーダを以下の5つのブル、−プに類別作成する。）迅とDのすべてのオーダについて，要求する咄

本数を満足するまで繰り返す小（1）取り本数予測で得た2種類の取り本数のいずれ［単独取りグループ］かになるようにする。

迅∴単独でs2本のセットが組めるオーダ鮮
血∴単独でぶ1本のセットが組めるオーーダ群（2）すでに作成したセットが原反使用量予測で得た各取り本数での原反使用量をすでにこえている場［非単独取りグループ］

A：農のオーダより幅が短いオーダ群

合は9 この取り本数は採用しない坤

C：迅のオーダより幅が長くかつDのオー・ダより（3）作成したセットの繰り返し回数を，このセットに含まれるオーダの少なくともひとつが要求本数幅が短いオーダ群
E：Dのオーダより幅が長いオーダ群を満腹する最小の数に設定するね各グループの製品幅に以下の関係が成立する凸Aの製品幅＜Bの製品幅くCの製品幅抱。4 評価結果

このアルゴリズムを現実のスリット計画問題（製品＜Ⅲ＝乃製品幅＜Eの製品幅S4〈セット作成〉順の榛類5へ／120）に適用した。このアルゴリズムに実際にセットを作成する時は9 たとえば以下の手順よって得られた解の6￠％はそのまま実行されている。
残り40％はヮ ベテランのスケジューラが見いだしたよに従うnS4。1く非単独取りグループセット作成〉り良い解が実行されている。

AとCとEの製品を以下の手順で組み合せヲ セッ：・ −よ〜

トを作成する。AとCとEのすべてのオーダについ本報告で紹介した例は，当社において試みた生産計て9 要▼求本数を満足するまで繰り返すゎ
（1）取り本数予測で得た2種類の取り本数のいずれ画問題のなかで数少ない幸運な成功例である。スケジューーーラのノウハウのうち，初歩的な数理計画で定式化かになるようにする。

（2）すでに作成したセットが原反使用量予測で得た各取り本数での原皮使用量をすでにこえている場できる部分はこれを適用し9 そうでない部分は経験的な解法を取り入れたことが成功の要因と考えている。

合はヮ この取り本数は採用しない

残された課題は多いり 特に技術進歩により変化する（3）AとCとEのオーダの幅を組み合せて肝⊥虻
以上肝以下の幅にならないときは，碍もしくはこに程に対応し，アルゴリズムをいかに機敏に改良していけるかが実用化の鍵である′♪

Dの製品と入れ替えて，この幅の範囲になるよう参考文献にする。

（4）作成したセットの繰り返し回数を，このセットに含まれるオーダの少なくともひとつが要求本数を満足する最小の数に設定する包［1］RoberもW，銅aessieT， A Note onComputationai
Modif主cations to the GilmoreMGomoTy Cutting Stock

Algorithm，OperatiomsResearch，VoIu28No。4，1001

1005（ユ980）

機関誌（オペ睦血シ調ン諾◎旨』常闇汀出現チ）9 論文誌（』⑳RS』）の非会員臆対する投稿料の廃止藍掲載料豹変贋碇誓願礪のR学会では，非会員が機関誌，論文誌に論文を投稿するときに徴収していた投稿料6，000円を廃止し，非会員の論文が採択された場合の掲載料を，定額6，00岬ヨフロラス（会員間様の）論■文の刷り上がりページ数に依存する掲載料（機関誌か論文誌かによって異なりますので9 詳細は事務局にお問い合わせください）とさせていただきます。実施は，平成10年9月25［ヨからとします．。

．

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なおヲ この変更はヲ ORSJ会員にはなんら影響は及ぼしません．． ＿ ．． ．！

オペレhションズの tjサーチ

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