…州……l川‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖川＝‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖‖＝＝‖＝‖‖‖＝川‖‖‖＝‖‖＝＝‖‖＝＝‖‖川＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖州……川州l−、、−・十三・、 …∵∴、・了．＋・■ ・・− 、■・ −・・二今泉淳9 山越康裕9 村上元一9 森戸晋
l……川…川l帖‖‖川…lil………l…仙川‖‖‖‖‖‖州‖川‖‖州‖lltll州仙川＝l…州il…州州‖‖‖＝＝＝州‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖州……l…州＝………l州川川It…………川州川− −− 、、 一∴．・．；・ ・・・

組合せ最適化として扱われるフローショップスケジ、‥．・一す三幸

ュ山リング問題やジョブショップスケジューリング問題
は、ジョブ群の技術的加工順序や加工時間が与えられa）慧丑程並列機械ブ田皿かヨッブ 第且工程には能たときに、各機械上での作業の順序づけを行う単一の力の異なる機械が、第2工程には能力の等しい機評価尺度の問題である。しかしながら、現実のショッ械が、それぞれ並列に存在する。

プがこれら理論モデルのような、単純かつ理想的な条鮎）ジョブの特徴 全ジョブは第且工程で加工を受け、一部ジョブは第1工程のみで加工が終了する件を満たすことは稀である。

（図且）。
本稿で扱う装置産業の生産システムも基本的にはc）ジョブの分岐 第2工程に進むジョブは、一般にフロ山ショップであるが、工程間の重複生産が許され、複数のジョブに分岐し、分岐前の第1工程のジョジョブが下流工程で興るジョブに分岐するという特徴

ブを第且五穫びヨブ、分岐彼の第2工程のジョブを有する上に、各工程が並列な代替機械からなるためを第慧正確ジョブと呼ぶ。一つの第1工程ジョブに各機械での各ジョブの加工量を決定した上で順序づに対応して第2工程ジョブ群が一意に定まり、異けを行う必要がある、複数の評価尺度を有する問題でなる第且工程ジョブを共有する第2工程ジョブはある。また、問題の規模（変数や制約式の数）から考え存在し／ない（図2）。ても、直接的に解くことは難しい。

頗）生産費求畳 計画期間（通常1カ月＝3且日間）に対

本研究では、装置産業の具体的事例を念頭に置いする第2工程ジョブ、および第1工程で加工を終て、ジョブが分岐する2工程並列機械フローショップの了するジョブに対する要求量が与えられる。これ複数尺度を持つスケジュ山リング問題を取り止げ、問らから第且工程ジョブの要求量が定まる。

題を複数の部分問題夢二分割』で解≪ヂプ悶m予を検e）ジョブの行啓先候補機械 第1工程ジョブ、第2討する。具体的には、問題を階層的に分割し、既存の工程ジョブとも、加工を受けられる候補機械が定技法や知見を利用できるような部分問題に帰着させ、められている。そのうちのどの機械でどれだけの数理計画による機械割り当てを行った後、反復的草順

畳を加工するかは、自由に決められる。加工を複によって順序づけを行なう方法を示し、実験的に評価数台の機械に振り分けたり、ある機械上での加工サる。

を途中で中断することも許される。
厨）中間在庫 第且工程と第2工程の間には第且工程

いまいずみ じゆん 東洋大学

ジョブ毎に専用の中間在庫置場があり、一定量以〒35且−85且0埼玉県朝霞市岡2−11一且0上の在庫の保有は望ましくない（図3）。

やまこし やすひろ N甘甘g）蕊滞這程の重複生産 第且工程の加工と第2工〒100−001且 東京都千代田区内幸町且ml−6

むらかみ もとかず 東邦ガス情報システム（株）〒舶6−85且乱 愛知県名古屋市熱田区桜田町19廿18

もりと すすむ 早稲田大学〒且69−0の72 東京都新宿区大久保3コ4】且

程の加工は重複してよい。すなわち、第且工程ジ
ョブの加工が完全に終っていなくても、終了した「部分」があれば、第2工程ジョブの加工を開始できる（図封。
臨）段取り 第且工程では第1工程ジョブ毎に、第2受付96．12．26 採択98鴫7血26望僅（36）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ①リサーチ

第1エ程

第2工程

図1システムの概要
それぞれのジョブが別個に候補♯械を有する

E＝］ジョブal
ジョブa2
ジョブa3

図3中間在庫と重複生産
第1工程

第2エ程

園2ジョブの分岐量が小さいことが望ましい。
工程では第2工程ジョブ毎に工具を必要とし、相前後するジョブの間で使用する工具が異なる場合

2．3 過去の研究と本研究の特徴
本研究が扱う問題の特徴に関して、既存のモデルとの関連を説明する。には段取りを必要とする。

a）と関連して、第1工程の機械はそれぞれ同一種並列機械フローショップー般にハイブリッドフロー類の複数の「装置」から構成され、第1工程にはこのショップ［1】と呼ばれ、様々なモデルがある。

装置の装着台数が異る機械が存在する。特定の台数が段取り ジョブの順序依存の段取り時間を伴うものが装着された機械（標準機械）を基準にすると、各機械の典型例で、1機械総所要時間最小化の場合は巡回セ能力は装置の装着台数に比例して定まる。

ールスマン問題に帰着し、これ以外にもモデルは多数ある。

2．2 評価尺度

複数の評価尺度1機械問題に集中し、フローショップ所与の生産要求に対する計画期間内の日単位の計画の立案を行い、以下の点から評価をする。
i）需要の満足度 各ジョブの要求量に対する計画期の研究は少ない。さらに、在庫量や段取り回数を評価尺度に含む研究は無い。
重複生産 ロットを更に′J、さく分割し、工程間の重複間内（図3）における実際の生産量の割合（％）の生産を許すことによって終了時刻関連尺度の改善をジョブに関する平均。100％に近いことが望まし企図するlot streaming【4］と関連するが、扱いがい。なお、上位の生産計画から与えられる要求量異る。

は、計画期間内の生産能力に対して厳しく与えらジョブの分岐第1工程のジョブの完了を待って第2工れるので、要求を100％満足するのは一般には困程が開始されるのであればジョブが分岐しても問題難である。

を生じないが、重複生産が許されたときに第2工程ii）段取り回数 第1、第2両工程で行なった段取りジョブ同士の競合は問題を生じる。このような状況を扱った研究は存在しない。

回数。小さいことが望ましい。
iii）中間在庫量 所与の上限（第1工程の各ジョブの本研究は、上記5つの特徴を含む実在のシステムを標準機械における生産量3日分）を超えた在庫量モデル化した問題を扱う。なお、これらすべての要因（以下超過在庫量）。各ジョブ毎の毎日の超過在庫を同時に取り込んだ実際問題のモデルは筆者の知る

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（37）625

程エ2鮪

確
工瑠
第限り存在しない。−一方、本間題の規模は、問題全体を一つの問題に定式化して解くには大きすぎる。そこでどの城緯で、どれだけの最「問題の分割」を考える。

どういう順序では）穿＝、簡2エ種での分割を全ての変数に関して行なう、

ご・ト∫・ご．ご、・−−−か・・、．・、ト ー ー、‥ ∴・・∴・∴−第1エ櫨 簡2エ程どの機械で、どれだけの恩凱温 分割の親戚

腰ト・射い乳順序牒

問題の分割では、分割された各問題（部分問題）のくゎ；J どの機械で、どれだけj と「どういう順序で」で分割し、寮1、第2エ程での分割をコ−どの機械で、どれだけ」に関して行なう決定項目と評価尺度の組み合わせ方が大きなポイン

トとなる。
本間題の決定項田は、せ箪1エ程 轟2エ程どの機械で、どれだけの盈⑳ どの機械でどれだけの畳を加工するかどういう順序で⑬ どういう順序で加工するか（Cさ「どの機械で、どれだけ」と「どういう順序で」に関しての分割と、第1エ擢と第2エ程の分割を行なう⑳第鼠工程一第2工程のどちらに関してかに大別できる。第乱工程から第2工程にものが流れる

園4問題の分割に関する代替案

ため、決定項目間に依存関係があると見るのが自然とはいえ、独立と見なす考え方もあり得る。
一方、「解法の都合」と「評価尺度の精度に対する要請」は必ずしも現数しないので、そのバランスを考慮することも重要である。
以止の視点を踏まえた止で、評価尺度の精度の劣化が少ない分割や決定項順の固定方法、部分問題間の情（鮎）『どの磯城で、ぼれだ柑の畳』と ㌃どう』も引頓
・「．・−− ∴∴÷・− ∴′．−ご簿：．・：盲・−：−￣ ．こ・守㌦・・●−・−・三、〔．・二関してさらに第旦工程と第2エ程を分割する
第且工程と第望工程で独立に「どの機械で、どれだけの畳」を決定する。順序づけは、ものが第且工程か報の授受を考える。

ら第2工程に流れることに注意しながら、第且工程と、： 二こ∴：羊三∴−㌧・等−・・− −…・・− ：・ノ∴こ二・ごミ・・・こ．．・∴一三：−−：≒．−：・

第2工程を同時に扱う（囲毯（臨））。

緒傲 各ジョブの候補機械での加工量が決れば、順「どの機械で、どれだけの畳」という決定と順序づ序づけ問題とみなせる。しかし、依然として多目的けを同時に、ただし各工程ごとに行なう。在庫切れと問題であり、列挙法や近傍探索法の適用に工夫を要す

過剰在庫への対処は、まず第且工程の問題を解きそのる。

情報をもとに第2工程を解く、あるいは交互反復的に各工程の問題を解く、などが考えられる（園趨（a））。

、・、、∴∴・㌧宣・．こ・・・∴‥て∴ミ∴、：〜：・一三∴∴・：−・∴こ ∴こ．≡≠ニ丁で」の分割を第1、第2エ程で施し、さらに第温、第こ諾工程の変数の分割を施す
特徴 各工程の問題は、段取りを減らすスケジューリング問題（例えば、迅訂uVO且damdEvans［2】のような整数計画問題）となるが、依然として規模が大きい1。

第且工程と第望：仁程でそれぞれ独立に「どの機械で、どれだけの量」を決定し、その結果を用いて第且工程で順序づけを行ない、引続き第2工程で順序づけを行なう。これを反復しても良い（圃4（c））。

鼠翫ⅦVO且damdEvams［2〕の定式化の場合、少なくとも31日×∑i（ジョブ宜を加工可能な機械候補台数）個の0一皿変数が必要で、段取りなどの条件を考えると更に変数が増え、本問題のジョブ数を考えると、解くのは極めて困難である。
6望6（38）

特徴 問題を細分化するため、それぞれの問題の規模は縮小するが、分割の度合が高いことから、各問題© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ。Ijサー、チ人 不足量のペナルティの重み〟 ある大きな数
集合 好 機械mで工具たを使うジョブの集合
変数 ∬im 機械mでの各ジョブ豆の仮の加工量
J壷 ジョブ宜の不足量

y㌃ 工具たを使うジョブ盲∈タ㌃が割り当てられているとき且、さもなくばO

zm 機械mの段取り回数

図5本研究が採るアプローチ∑zm＋入∑Jim間での適切な情報の授受が必要となる。

（1）

亀∑α壱m￡ m＋gi＝βゎ∀盲3．3 本研究が採用したアプローチ（2）m

Cm∑α壱m∬im≦r，∀m

本研究では、前節のアプローチの中の（c）を採用す（3）l

叫ば≧∑∬れ∀m，たる。具体的には

（4）

i∈β㌃

●第1工程と第2工程が独立であるとの仮定の下で、㍍≧∑滞−1，∀m

各ジョブの各候補機械における仮の加工量を決定す∬im≧0，Zm≧0沃≧0，y㌘∈（0，1）

る機械割り当て・′くッチサイズ決定問題（以下、原則としてバッチサイズ決定問題と略記）（5）

た（2）式は各ジョブの要求量が加工量と不足量の和で●仮の加工量に基づき、第1工程に対する手順と第2あることを表し、（3）式は各機械の加工量の総和が計工程に対する手順を反復する順序づけ問題

画期間に収まらなければならないことを表す。（4）式
はある機械で特定の工具が割り当てられている場合に分解し階層化する（図5）。
問題の分割に伴い、各評価尺度をどの部分問題で扱に、その工具を使うジョブ群の加工が許されることをうかを定める必要がある。以下では、基本的に段取り表し、（5）式は段取り回数が「工具の使用本数−1」と回数をバッチサイズ決定問題で、在庫量を順序づけ問等しいことを表す。

題で扱い、需要の満足度はバッチサイズ決定問題と順序づけ問題の両方において取り扱う。

5．順序づけ問題
バッチサイズ決定問題で決定した各ジョブの仮の加4．機械割り当て・バッチサイズ決定問題
需要の満足度と段取り回数が評価尺度とするが、問題を扱いやすくするために、不足量と段取り回数の重みつき線形和を最小化する混合0−1計画問題として定式化する。なお、第1工程も第2工程も、基本的に同一の定式化で表現できる。ただし、ここで得られる加工量は「最大どれだけのジョブを詰め込めるか」を示し、順序づけ次第で計画期間内の加工量が減ったり段取り回数が増加することがあり得る。

工量をもとに、順序づけ問題は需要の満足度を高くしつつ在庫上限をなるべく上回らないスケジュールの作成を目指す。ここでは、同一の中間在庫から加工される第2工程ジョブの競合、すなわち在庫の奪い合いの解決が焦点となる。
その際、1．両工程とも機械上でのジョブの分割は考慮しない
2・同一の工具を使用するジョブはまとめて処理する（第1工程のみ）2という前提を置き、バッチサイズ決定問題で得た段取定数 α￡m 機械mでジョブ宜を加工可能ならば1、さもなくば0り回数の値を維持すると共に、対象となるスケジュールを限定する。上記の仮定は、あるジョブは同一機械

β五 ジョブ五の生産要求量
r 計画期間（日）Cm 機械mの能力の係数
1998年11月号

2第2工程は、実際のデータを用いてバッチサイズ決定問題を解いた結果、各機械の段取り回数が多くの場合0ないしは1程度に抑えられるので、2．のような前提は置かない。
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（39）627

目付き総所要日数最′卜化の且磯城問題を解く。得られる総所要日数のもっとも大きい機械をボトルネック機械とみなし、ボトルネックの機械の総所要日数の悪化を防ぐために、その機械のスケジュールを固定する。

そして、スケジュ山ルが固定された機械上の第2工
程ジョブの払い出し畳に基づき、残り在庫量推移を修瑚・串間瀧田

正する。これをもとに、スケジュールが未確定な機械
園岱瀞拳闘鶴田の算出で処理されるジョブの着手可能日を求め直した止で且機械問題を解きなおし、順次第2工程のスケジュール上でさらに分割されることを本来許す慧巾温節のe）項を固定する。
ここに述べた手続きを、以下の手順にまとめる。に制限を加えている。
5。温 順序づ相聞飽に対する草順

手順且：残り在庫量に番田した且磯城問題の繰

手順の骨子は、以下の二つの手順（5。慧の草願且と臥遇の辛願慧）を鹿復し、両工程間を媒介する在庫をなるべく少なく抑えっつ、在庫の情報を橋渡しに両工程の順序づけを行なう点にある（以下、寮順風と草願望り返し手順
sもep温第且工程のスケジュールによる累積生産量の時間的推移をもとに、各第2工程ジョブの着手可能日を算出する。全機械のスケジュールがを併せて鹿後納亭臓と呼ぶ）。

確定するまで、S亀ep2から魂を繰り返す。

順序づ柑の反復約手順

s色e野望スケジュールが未確定の全機械に関して着sもe野且適当な方法で生成した第且工程のスケジュールをもとに、離e炉凱β忠ep認を終了基準が満たされるまで反復する。

手可能目つき且機械問題を解く

s也e即急総所要田数の最も大きい機械のスケジュールを確定させる。

＄もep望第且工程のスケジュールに基づき、手順且に従って、第2工程の順序づけを行う。
sもep急事願2に従って、第且工程の順序づけを行う。

sもep魂s色ep認で固定されたスケジコしh鵬ルを反映させるために、残り在庫量推移と着手可能田を再計算し、＄也ep詔に戻る。

5。題 常温孟確の順序づ柑：困礫追跡法に基づ≪−、−−− 一5。慧 第慧這程の順序づけ：薗辛圃龍田柑蓉且機
械問題⑳繰瀾遊心

第2工程のスケジュールが定まると需要の満足度が第且工粗の全ジョブの加工開始日が与えられると、決まる。需要の満足度を改善するには、各機械の遊休各第且工程ジョブの累積生産量の時間的推移が確定すを0に近づければ良い。遊休を0にするためには、第る。これらをもとに、第2工程の各機械のスケジュー2工程の加工に伴う在庫の「消費」に合わせて、第1工ルを順次固定する。この過程でスケジュ山ルが固定さ程からの在庫への「供給」が必要となる。ただし、第れた機械上のジョブにより払い出された量を差し引い且工程からの在庫への供給が達すぎても超過在庫量がた中間在庫の残り畳の時系列的推移を、残り在庫量推大きくなる。

移と呼ぶ（固定された機械が且台も無い場合は、累積これを実現する第且工程のスケジュールを生成するために、まず第2工程の各機械のジョブの順序を保っ生産量の推移を残り在庫量推移とする）。
機械上でのジョブの分割は許さないという前提を置いたので、第2工程の各ジョブの加工開始日以降の在たまま、遊休をつくらないようにジョブを左詰めしたスケジュール（噂想見ケ彰皿血路と呼ぶ）を考える。

庫の払い出し畳の推移は一意に決る。よって、この推理想スケジュールを実現する第1工程からの在庫の移と残り在庫量推移から、第2工程ジョブの着手可能供給の時間的推移を計算し、これを理想累積生産量と日が得られる（図卵。

呼ぶ。そこで、因礎追跡法 同を応用し、第且工程のそこで、スケジュールが未確定の機械毎に着手可能

6芝畠（40）生産量の推移が理想累積生産量になるべく近くなる© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ。リサーチ

第1エ程のスケジュールによる 理想属積生産i6。数値実験
6．1 問題の規模対象とする現場にあわせ、第1工程24機械、第2工程29機械、第1工程のジョブ61品種（約半分が第2工程に進む）、第2工程のジョブ75品種での結果を示す。
園7累積生産量と理想累積生産量

なおバッチサイズ決定問題は、第1工程が0−1変数約200個、連続変数約800個、制約式が約400本で、ように、すなわち、各第1工程ジョブに関する図7の斜線部の面積の総和を最小化するように第1工程を順序づける。ただし、この順序づけは第1工程の各機械で段取り回数を変えない範囲で行う（5節冒頭の順序

計算にはSPARCstation20（50MHz）を使用し、分枝限定法で約30分程度で計算を打ち切った暫定解を用いた。第2工程は、0−1変数50個、連続変数が700個、制約式が約400本で、数分で最適解が得られる。
評価尺度の超過在庫量は、第1工程ジョブ毎の在庫づけ問題の前提の第2項）。
本来、第1工程で考えられるすべてのスケジュールを対象に、上記の面積の総和が最小になるような各機械の順序づけを考えるべきであるが、組合せ数が膨大となるため、以下のような簡便な方法を用いる。
ジョブ数（第1工程のバッチサイズ決定問題で得ら量が上限値（標準機械における3日分の生産量）を超えた量（その加工に要する日数で換算する）を各日について計算し、それらの計画期間内全てのジョブに関する総和の超過在庫日数で評価する。
6。2 実験結果

れた解におけるジョブの種類の和）が少ない機械ほど、加工量の大きいジョブが存在する可能性が高い。累積

6．2．1 反復的手順の挙動生産量を理想累積生産量に近付けるためには、ジョブ順序づけ問題に対する反復的手順の挙動を観察すの順序づけの自由度の少ない機械の順序を優先的にるために、バッチサイズ決定問題の結果が、第1工程固定し、自由度の大きい機械で累積生産量の微調整をの需要の満足度99．5％、段取り回数21、第2工程の需図るのが得策と考えられる。このような考え方に基づ要の満足度89．9％、段取り回数4の場合の例を示す。

き、割り当てられたジョブ数の少ない機械から順次ス初期解として第1工程のジョブの順序をランダムにケジュールを固定する。

10個与え、反復回数10回を終了基準とした場合の様

ここに述べた手続きを、以下の手順にまとめる。

手順2：理想累積生産量実現のための目標追跡

子を図引こ示す。各プロットは、第1工程のある初期解に対して、反復的手順によって超過在庫日数が改善されていく様子を示している。なお、終了基準の10回

法手順の反復に要する、計算時間は1分程度に過ぎない。

stepl第2工程の理想スケジュールに基づき、第1工程の理想累積生産量を計算する
step2ジョブの順序の再決定がされていない機械に対して、割り付けジョブ数の少ない機械順に、step3と4を繰り返す

そこでは、・超過在庫日数は、i）初期解の平均137．5に対して、最終的な解の平均が101で、平均で約25％以上改善する、ii）初期解の違いによる最終的な超過在庫日数のばらつきは大きい、iii）反復とともに単調に減

step3理想累積生産量とのずれが最小となる順
序を定める

少するとは限らないが、多くの場合、初期解に依存したある一定のスケジュールに収束する

step4step3で決定したスケジュールにしたがって、理想累積生産量を更新する●需要の満足度は、初期解の平均が78．1％、反復終了後の平均77．9％で概ね横ばいである

順序づけ問題では、手順1と手順2を反復的に繰り●段取り回数は、第1工程が21回のまま、第2工程返して評価尺度の改善を図る。反復の終了基準は、所はスケジュールにもよるが、バッチサイズ決定問題

与の反復回数とする。に比べて段取りが高々1〜3回増えるに過ぎない

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（41）629

劇氾俊樹剰磯

74

5

展観回蝕

76

7880

礪箪の満足度（％）

固6反復と超過在庫日数の変化

囲9需要の満足度と超過在庫日数の分布

表i：貰ニエ程のバッチサイズ決定問題の解と順序づサイズ決定問題の解を変えた結果を表2に示す。それ

け問題の結果ぞれは初期解且0個に対する平均である。これらから、◎バッチサイズ決定問題では、第1工程、第2工程とバッチサイズ決定問題
第1玉寝

衝2正視

革質の組過

満足庭

在度目数

もに満足度と段取り回数の間には自然なトレードオフ関係がある

97．3％ 乱墟 S凱9％ 1 4 79．7％ 131◆T 5′〜79臥3％

且6 ＄9。9％

99．5％

2且

489．9％

77．6％
412￠．977．9％

5〜7

10且．0

5八ノ7

⑳表且では、第且Ⅱ程のバッチサイズ決定問題の満足度の増加傾向が順序づけの満足度に現れているとは必ずしも言えないが、表2では第2工程のバッチサイズ決定問題の満足度の増加傾向がそのまま順

表2：貰2エ程のパッチサイズ決定問題の解と順序づ序づけの満足度に現れている

け問題の結果⑳在庫日数にも増加あるいは減少傾向があるとみな

パッチサイズ決定問題
第2工程
第1丑寝
99．5％フ与89．9％

4

せるが、満足度の変動係数に比べて在庫日数の変動
備翌落の超過満足度

在踵日数77。9％1ぐ）l．0

係数が【山桁以上大きくぼらつきが大きい5′〉7などの結果を得た。

99．5％ 2且 9臥5％ 6 79．2％ 且且0．5 8へノ且2
99．5％

2且

9＆6％

782．7％

125．59′）軋2

臥慧。3 反簡約手順の繰り返しによる鼠ケジュ仙ル
鮭威などの結果を得た。

現場での段取り回数の許容値は、第且工程が30回、第2工程が5、6回程度である。

反復的手順により得られる超過在庫量が初期解に依存し、一定のスケジュ山ルに短時間で収束することを考慮すると、初期解を変えて反復的手順を繰り返し軋2。慧 パッチサイズ決定問題の解の組合せと順序づけ問題の結果実行し、その中から最良のスケジュールを選択する方法が考えられる。

バッチサイズ決定問題は重みづけパラメいタの変更＄。2。且節で用いたバッチサイズ決定問題の結果に対で様々な解が得られ、また第1工程、第2工程のバッして、初期解100個を与えた場合の需要の満足度と超チサイズ決定問題の解の組合せによって、順序づけ問過在庫日数の分布を示したのが、図 9である。反復題の結果は異る。そこで、第且工程のバッチサイズ決

約手順によって得た非劣解集合を実線で結んで示して定問題の解を変えた結果を表且に、第2工程のバッチいる。

63㊥（42）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズロリサーチ

も、ジョブの中断・分割を禁止し、第1工程では同一表3問題の要因と部分問題における変数と評価尺度工具を使用するジョブを一括して加工し、段取り回数をバッチサイズ決定問題で得た値に保っている。

バッチサイズ決定問題
軍1エ程 第2エ穫 第1工程

加工量 ▲販序づけ問題第2エ程←◆◆

←◆
△
△
満足度 ▲
○○×○×
尺度○在】車量×△
段取り △△
数分
反復一回で10秒以下
約30分
計算時間†
混合0−1 混合0＿1
目標
1機械問題
方法／解法の骨子
計画問題 計画問題 追跡法への分解

変数▲順序 〉〈＊と＊半は、各工程〉〈▲のバッチサイズ決定問題の精巣にしたがう

これらは、解法の構築を容易にするが、一方で対象のスケジュールを限定する。

分割された問題間の情報の授受：順序づけ問題では工程間の情報の授受があるが、順序づけ問題からバッチサイズ決定問題への情報の還元はない。本アプ
ローチにおいては、還元された情報に基づきバッチサイズ決定問題を解き直すことが考えられるが、そことを意味する†SPARCstation20（50MHz）での時間のためには、i）バッチサイズ決定問題の解と順序づけ問題の結果の関係、ii）順序づけ問題の結果の何7．結言：提案アプローチの利点と課題をよりどころにバッチサイズ決定問題の解を変更すれば良いか、の2点を明らかにする必要がある。

7．1 本アプローチの利点
参考文献

2節で説明した問題と，4節と5節のモデル（部分問題）および解法の対応関係を表3に整理する。表中、各問題において、○は考慮対象、△は元の問題の条件より厳しくする形で考慮、▲は元の問題の条件を緩めた形で考慮、×は考慮していないことを意味する。総

［1】S・A・BrahandJ・L・Hunsucker・Branchandboundalgorithmbrtheflowshop with multipleproces−
SOrS．β祝r．J．qp乃J．月eβ．，Ⅵ）1．51，pp．88−99，1991．
［2］N・T・Bruvold andJ・R・Evans・FlexiblemiⅩed−

括して、本アプローチは、

integer programmingformulationsfor prodlユCtion○各部分問題は実用的な時間内で解ける規模になった

SCheduling problems．JEE椚ⅦnSaCtions，Vol．17，

・元の問題に比べて、各部分問題では目標（目的関数）

No．1，pp．2−7，1985．

や決定項目を限定しているので、既存の解法の利用が容易になっている［3］J・Carlier・Theone−maChinesequencingproblem・
厨肌Jq叩g・月eβ・，Vol．11，pp．42−47，1982．

●バッチサイズ決定問題から得られる不足量や段取り回数を基準に、順序づけ問題の結果を評価できるなどの利点がある。

［4］S・Dauzらre−P6rらsandJ・B・Lasserre・Lotstreaming

injobvshopscheduling．Opn乱Res．，Vol．45，No．4，
pp．584−595，1997．

7．2 本アブロ岬チの未解決な点と課題［5］T・Monden・nyOtaPrvductionSyste肌Institute

本アプローチの未解決な部分を整理する。

OfIndustrialEngineering，1983・（邦訳）トヨタシス

順序づけ問題における制限：第1工程、第2工程とテム，講談社，1985．

学会事務局年末年始休業のお知らせ

平成10年12月28日（月）〜平成11年1月5日（火）1998年11月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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