（ 5 ー戸）

数
5学

戸̶

注1

問題は意

1 から 4 までで，7 ページにわたって印刷してあります。

また，解答用紙は両面に印刷してあります。

数2

検査時間は 50 分で，終わりは午前 11 時 10 分です。

3

声を出して読んではいけません。

4

解答は全て解答用紙にＨＢ又はＢの鉛筆（シャープペンシルも可）を使って明確に記入し，解答用紙だけを提出しなさい。

5

答えに根号が含まれるときは，根号を付けたまま，分母に根号を含ま学ない形で表しなさい。また，根号の中は最も小さい自然数にしなさい。
6

答えは，解答用紙の決められた欄からはみ出さないように書きなさい。

7

解答を直すときは，きれいに消してから，消しくずを残さないようにして，新しい答えを書きなさい。
受検番号を解答用紙の表面と裏面の決められた欄に書き，表面につい8ては，その数字の92022110328-久我山-戸山商事-問題-数学-表紙.indd

1-2の中を正確に塗りつぶしなさい。

解答用紙は，汚したり，折り曲げたりしてはいけません。

2023/01/19

14:57:49

1次の各問に答えよ。

〔問 1 〕

1√1 8 － √32－（√18 － √3 ） ×√27を計算せよ。

2〔問 2 〕 2 次方程式 （ x ＋ 1 ） ＋ 3（ x ＋ 1 ）－ 4 ＝ 0x3

〔問 3 〕 連立方程式

x5＋＋y2y3＝＝を解け。

161を解け。

5〔問 4 〕 1 から 6 までの目が出る大小 1 つずつのさいころを同時に投げる。
大きいさいころの出た目の数を a，小さいさいころの出た目の数を b とするとき，1＜ba＜73となる確率を求めよ。

ただし，大小 2 つのさいころはともに，1 から 6 までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

〔問 5 〕 右の図のように，点 O を中心とする円があり，円周上に点 P がある。
解答欄に示した図をもとにして，点 P を中心とし，面積がO

円 O の面積の 3 倍であるような円 P を，定規とコンパスを用いて作図せよ。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

P― 1 ―

2022110328-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

12023/01/23

15:52:06

2

右の図 1 で，点 O は原点，点 A の座標は（2，0），

図1
図1ym

点 B の座標は（0，2）であり，直線ℓは 2 点 A，B を2a ＞ 0 ）の通 る 直 線 ， 曲 線 m は 関 数 y ＝ ax（Q

図1グラフを表している。
線分 AB と曲線 m との交点を P，曲線 m 上にあり，x 座標が 2 である点を Q とする。

B次の各問に答えよ。

23xABO〔問 1 〕 点 P の x 座標がQPℓPのとき，a の値を求めよ。

図2〔問 2 〕 右の図 2 は，図 1 において，点 A と点 Q，AO

図2
図2Qmy

点 P と点 Q をそれぞれ結んだ場合を表している。
原点から点（1，0）までの距離，およびBQP

原点から点（0，1）までの距離をそれぞれ1 cm として，次の ⑴，⑵ に答えよ。

ABOPOAxℓ⑴△AQP の面積が 18 cm2 のとき，a の値を求めよ。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

― 2 ―2022110328-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

22023/01/23

15:52:06

図3
図3右の図 3 は，図 2 において，⑵ya ＝ 1 のとき，直線 y＝bx（0 ＜ b ＜ 1）をm引いた場合を表している。
直線 y＝bx と線分 AP との交点を R，Q

直線 y＝bx と線分 AQ との交点を S とした場合を考える。

△ASR の面積が △AQP の面積の14倍BPになるとき，b の値を求めよ。
OAxℓ― 3 ―2022110328-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

32023/01/23

15:52:06

3

右の図 1 で，四角形 ABCD は平行四辺形であり，

図図11円 O は辺 AB 上にある点 P，辺 BC 上にある点 Q，P

辺 CD 上にある点 R，辺 DA 上にある点 S で

ASDO

四角形 ABCD と接している。
次の各問に答えよ。
BQ C

図1ARSP〔問 1 〕 図 1 において，∠ABC ＝ 60°，AB ＝ 4 cm のとき，点 P を含まない QR の長さは何 cm か。
ただし，円周率はπとする。

O

図2B

S

APO

DQ C

T
B

〔問 2 〕 右の図 2 は，図 1 において，頂点 B と頂点 D，の場合を表している。
∠ABC ＝ 60°
円 O の半径が 2 cm のとき，△OPT の面積は何 cm か。
2

図3
B

C

S

A
P

線 分 CP と 対 角 線 BD と の 交 点 を T と し，

R

R
Q

図図22

頂点 C と点 P，点 O と点 P をそれぞれ結び，

DO
T A
PQB

SRPA

DCU

O

Q C

図3RS

DU

O― 4 ―2022110328-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

4BDQ C

R2023/01/23

15:52:06

〔問 3 〕 右の図 3 は，図 1 において，頂点 B と

図図33

頂点 D を結び，対角線 BD と円 O とのP交点のうち，頂点 D に近い点を U とし，

AS

DUO

点 Q と点 U，点 S と点 U をそれぞれ結んだ場合を表している。

△UDS ∽△QBU であることを証明せよ。

B

Q C

R― 5 ―

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52023/01/23

15:52:06

4D

右の図に示した立体 ABCD － EFGH は，AB ＝ 2 cm，BC ＝ 4 cm，AE ＝ 8 cm の直方体である。

A

点 P は，頂点 A を出発し，毎秒 1 cm の速さでCP

長方形 ABCD の辺上を，BA→B→C→D→A→B→C→D→ …の順に移動し続ける。
点 Q は，点 P が頂点 A を出発するのと同時に頂点 E を出発し，毎秒 2 cm の速さで長方形 EFGH の辺上を，E→F→G→H→E→F→G→H→ …の順に移動し続ける。

H

点 P が頂点 A を出発してからの時間を t 秒とするとき，E次の各問に答えよ。

GF

Q

〔問 1〕

t ＝ 4 のとき，点 P と点 Q を結んでできる線分 PQ の長さは何 cm か。

〔問 2〕

t ＝ 8 のとき，3 点 P，Q，E を通る平面が，辺 CG と交わる点を R とした場合を考える。
四角形 PEQR の面積は何 cm2 か。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

― 6 ―2022110328-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd62023/01/23

15:52:06

〔 問 3〕 t ＝ 10 の と き， 立 体 ABCD － EFGH を 3 点 P，Q，F を 通 る 平 面 で 2 つ の 立体に分けた場合を考える。
頂点 C を含む立体の体積は何 cm3 か。

― 7 ―2022110328-久我山-戸山商事-問題-数学-本文.indd

72023/01/23

15:52:06

（5－戸）

12〔問 1 〕〔問 1 〕〔問 2 〕〔問 2 〕 ⑴〔問 3 〕x=【 途中の式や計算など 】， y=〔問 4 〕〔問 5 〕

OP（答え）〔問 2 〕 ⑵2022110331-久我山-戸山商事-解答-数学.indd

12023/01/19

14:56:28

34〔問 1 〕

cm

〔問 1 〕〔問 2 〕cm2〔問 2 〕〔問 3 〕【証明〔問 3 〕

2

【 途中の式や計算など 】】（答え） 

2022110331-久我山-戸山商事-解答-数学.indd

cm

cm2cm32023/01/19

14:56:28

数

正 答 表

学

12〔問 1〕 


5〔問 1〕〔問 2〕

5〔問 2〕 (1) 【〔問 3〕，

5〔問 4〕

5

△より，
△         ……①


5

点は上の点より，

〔問 5〕

5


途中の式や計算など】

12

，， とする。とする。
         …………………………②
①，②より，
              ， から， より，
   …………………③
②，③より，     
③より，   

（答え）〔問 2〕 (2)   
8

(5-戸)
3

4〔問 1〕 



5〔問 1〕

〔問 2〕

 



8〔問 2〕

 
【5】

12

途中の式や計算など

のとき，点の中点にある。のとき，点は頂点，点は辺の中点にある。

〔問 3〕

【証明】

12 四角形と四角形は平行な面であり，四角形と四角形は平行な面であり，四角形と交わってできるつの交線は平行だから，四角形と交わってできるつの交線は平行だから，△と△において，より，平行線の錯角が等しいから，………①
と，とをそれぞれ結ぶ。
，，より，

四角形を含む平面と直線との交点をとする。
四角形を含む平面と直線との交点をとする。

より，
より，
よって，，
よって，，
，より，
，より，


点は一直線上にある。

よって，，
よって，，
次に，△の各辺の長さを求めると，
次に，△の各辺の長さを求めると，において，は円の直径だから，△において，△において，
よって，………②
は接点だから，
よって，………③より，………④
よって，②，③，④より，
すなわち，………⑤
したがって，①，⑤より，組の角がそれぞれ等しいから，          よって，よって，  △において，△において，          よって，
  よって，    
                △において，△において，             よって，よって，                    したがって，△は，の二等辺三角形である。
したがって，△は，の二等辺三角形である。
とを結ぶと，であるから，△において，とを結ぶと，であるから，        より，    △において，       より，     よって，        よって，     台形の面積をとすると，四角形の面積をとすると，
△△△△                                    （）（ ）（答え）



〔問 3〕



8