高校入試（過去 10 年分）

大問５

学校名（（）年（）組（ ）番 氏名（））

目

次

鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査問題※５

平成 31 年度

・・・・・１

平成 30 年度

・・・・・４

平成 29 年度

・・・・・６

平成 28 年度

・・・・・８平成 27 年度

・・・・・10

平成 26 年度

・・・・・12平成 25 年度

・・・・・14平成 24 年度

・・・・・16

平成 23 年度

・・・・・18

平成 22 年度

・・・・・20

各年度の問題の右のページ（計算過程用紙）に考え方や計算過程などを書いてみましょう。考え方（思考過程）を書いてみることは，思考力，判断力，表現力を高めるためにはとても重要なことです。粘り強く取り組みましょう。

数学〈－①〉

図形問題年組番 氏名

平成 年度 鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査から

５

次の１，２の問いに答えなさい。

１ 次のアオ～に適当な数または番号を入れ，会話文を完成させよ。

先生：図１は，正八面体の見取図と展開図です。正八面体とは，どのような立体でしたか。
図１

生徒： 個の合同な正三角形で囲まれた立体で，頂点が個，辺がア本あります。

先生：そうですね。では，正八面体の体積を立方体を使って求めてみましょう。図２のように，立方体のそれぞれの面の対角線の交点をとするとき，このを頂点とする正八面体ができます。このとき，四角形正方形です。立方体を正方形方形のとして正八面体

図２

生徒：正方形の面積はは合同なを含む平面で切った切り口は図３のようになり，正の対角線の長さは，立方体の辺の長さを個の点辺の長さと等しいことが分かります。立方体の体積を求めてみましょう。
図３

イです。この正四角すいの体積のだから，正四角すいの体積はウ倍が正八面体の体積となります。

先生：立方体を使うと，体積が求めやすくなります。正八面体の特徴にもよく気がつきました。
では，次の問題はどうでしょうか。

1数学〈－②〉

図形問題

年組番 氏名平成 年度 鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査から

先生：図４の辺の長さがの正八面体において，点から辺，，を通って点まで， 本の糸をかけます。糸の長さが最も短くなるようにかけたときの，糸の長さは何か，図５の展開図を使って求めてみましょう。
図４

図５⑤②

④③
①

生徒：図５の ① ～ ⑤ の中で，点にあたる番号は， エです。かけた糸のようすを図５にオかき入れて考えてみると，最も短くなるときの糸の長さは，となりました。

先生：そうですね。展開図にかき入れると，かけた糸のようすが分かりやすくなります。
最後は，正八面体の中に作られた立体の体積の変化の問題です。図６の 辺の長さがの正八面体の辺上を，毎秒点上を点は点の速さでを同時に出発し，点は辺に向かって動きます。三角すいとなるのは， 点が点秒間だけ動く上を点点があります。に向かって，点の体積が正八面体は辺の体積のを出発してから何秒後のことか，考えてみましょう。

図６

２ １の会話文中の下線部について，何秒後か求めよ。ただし， 点ら 秒後のこととして， についての方程式と計算過程も書くこと。

2が点を出発してか計算過程用紙※ 考え方や計算過程を書いてみよう。

3

数学〈〉 図形問題

年組番 氏名平成 年度 鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査から

５

平面上に円がある。円の周上に点があり，弦に関して円を折り返した。

次の１，２の問いに答えなさい。
１ 右の図のように，折り返した円周の一部とする円ただし，円上に点をとる。

をを，定規とコンパスを用いて作図せよ。の中心を示す点と文字も書き入れ，作図に用いた線も残しておくこと。

２ 右の図のように，円交点を次のの直径と，折り返したとする。
～とのであるとき，の問いに答えよ。ただし，円周率はとする。の大きさは何度か。の長さは何か。

「△の面積は何

ア

エ～か」の問いに対する解答を，を適当にうめ，解答を完成させよ。ただし， エ求める計算過程の続きを書くこと。

右の図のように，円を折り返す前の点点をとし，線分と線分とに関して対称だから，点が円よって，は線分の位置にあるの交点をとする。の直径より
ア…①より円周角が等しいからこれより，さらに，となるからだから， イ

また， イにおいて，よって，は線分① より，の中に途中まで示してある。

は正三角形 …②の垂直二等分線 …③の面積はウの面積と等しいからエ
答

4には △の面積を計算過程用紙※ 考え方や計算過程を書いてみよう。

5

数学〈〉 図形問題年組番 氏名

平成 年度 鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査から５右の図のように，円から円にの外部に点がある。点本の接線をひき，接点をとする。

次の１，２の問いに答えなさい。
１ 点から円にひいた本の接線を，定規とコンパスを使って作図せよ。ただし， 点置を示す文字の位も書き入れ，作図に用いた線は残しておくこと。

２ 円の半径をとする。このとき，次の線分の長さは何か。

△の面積は何か。

点と円を通り線分に平行な直線をとの交点のうち，点る。線分，転させてできる立体とする。直線に近い方の点をおよび点の体積は何を含む～の問いに答えよ。と接線とし，線分との交点をと円で囲まれた部分を，直線か。ただし，はじめに立体利用する立体の名称をすべて書け。なお，円周率は6，直線との交点をを軸としてとす
回の体積を求める過程で，とし，求め方や計算過程も書くこと。計算過程用紙※ 考え方や計算過程を書いてみよう。

7数学〈〉 図形問題

年組番 氏名平成 年度 鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査から

５

右の図１は，平行四辺形通る円である。辺と円線分との交点をとする。と， つの頂点をとの交点をと対角線

図１であるとき，次の１～３の問いに答えなさい。
１の大きさは何度か。

２が直角二等辺三角形であることを証明せよ。

３とする。次の円の半径は何の問いに答えよ。

か。

右の図２は，図１において点を通る円をかいたものである。 つの円が重なった部分の面積は何か。ただし，円周率はとし，求め方や計算過程も書くこと。

8

図２

計算過程用紙※ 考え方や計算過程を書いてみよう。

9数学〈〉 図形問題

年組番 氏名平成 年度 鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査から

５

右の図は，四角形の円と， つの頂点である。点を通る円を通る半径の接線をとする。次の１ ２の問いに答えなさい。
１ 接線を定規とコンパスを使って作図せよ。ただし，作図に用いた線は残しておくこと。

２ 接線上に，点より右側に点をとる。のとき，次の～の問いに答えよ。の大きさは何度か。

辺四角形の長さは何か。の面積は何か。ただし，求め方や計算過程も書くこと。

10

計算過程用紙※ 考え方や計算過程を書いてみよう。

11

数学〈〉 図形問題

 年 組 番 氏名平成年度 鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査から

５



右の図は，平行四辺形 で， 

 である。の二等分線と辺をの方へ
 延長した直線との交点を とする。このとき，次の１～３の問いに答えなさい。

 １ 点 を定規とコンパスを使って作図せよ。ただし，作図に用いた線は残しておくこと。

２ はどんな三角形か。最も適当なものを下のア～エからつ選び，記号で答えよ。また，

そのように考えた理由を下の語群から語以上用いて説明せよ。

ア 直角三角形
語群

平行線

イ 正三角形
二等分線

ウ 二等辺三角形

エ 直角二等辺三角形

平行四辺形

３ 辺 と線分の交点をとするとき，次の，の問いに答えよ。
の面積を求めよ。



線分を折り目として平行四辺形 を折り返し，頂点 が移った点をそれぞれとする。このとき，四角形の面積は，の面積の何倍か。

12

計算過程用紙※ 考え方や計算過程を書いてみよう。

13

数学〈〉 図形問題

年組番 氏名平成 年度 鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査から

５

右の図は，円と交わる上に点の周上の点点をとし，円をとり，四角形を中心とする円の点が円を含まないをつくったものである。

このとき，次の１～３の問いに答えなさい。
１ 四角形の対角線となるとき，２ 円が円
円

点をひいての大きさは何度か。の中心の中心を通るとき，次のと交点の半径が四角形

３をとり，線分の面積が最大になるような位置に点をとるとき，か。のとき，点と線分と交も書き入れ，作図に用いた線も残しておくこと。

で，四角形の面積は何の問いに答えよ。

を，定規とコンパスを使って作図せよ。ただし，中心の位置を示す文字

円，の交点をを含まないとする。このとき，で表せ。

14上にとなる点を最も簡単な整数の比計算過程用紙※ 考え方や計算過程を書いてみよう。

15

数学〈〉 図形問題

年組番 氏名平成 年度 鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査から

５

右の図は，線分の上に， 点とり，点である。点点を直径とし，点を中心とする半円と異なり，互いに一致しないに近い方から順に点と点点点を点点としたもの

点と点点と点をそれぞれ結び， 直線の交点をととする。

このとき，次の１，２の問いに答えなさい。
１となるようにる。このとき，次の半円の中心を示す文字，と点点をとの問いに答えよ。
を定規とコンパスを使って作図せよ。ただし，中心と点の位置も書き入れ，作図に用いた線も残しておくこと。の大きさは何度か。

２のとき，次の線分の長さは何つの線分，の問いに答えよ。

か。ととで囲まれた部分の面積は何する。

16か。ただし，円周率はと計算過程用紙※ 考え方や計算過程を書いてみよう。

17数学〈〉 図形問題

年組番 氏名平成 年度 鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査から５下の図は，とつの頂点となるように点し，点と点点と点を通る円において，点をとったものである。また，線分をふくまないと線分の交点を２のとき，の大きさは何度か。のとき，面積がつねに等しくなる三角形の組がいくつかある。そのうちの３ △４△とをそれぞれ結んだものである。このとき，次の１～４の問いに答えなさい。
１上につの組をあげよ。

であることを証明せよ。のとき，線分18の長さは何か。

計算過程用紙※ 考え方や計算過程を書いてみよう。

19

数学〈〉 図形問題

年組番 氏名平成 年度 鹿児島県公立高等学校入学者選抜学力検査から５下の図は， 辺の長さがる点をとり，線分また，点の正方形において，辺を折り目として折り返し，頂点を通り辺と平行な直線と線分辺上にが移った点をつの頂点と異なとしたものである。との交点をそれぞれとしたものである。このとき，次の１～３の問いに答えなさい。
１のとき，の大きさは何度か。

２△△３であることを証明せよ。のとき，次の線分

点の長さは何から辺の問いに答えよ。
か。にひいた垂線と辺積を等分する直線と線分何か。との交点をとする。点との交点をそれぞれ20を通り四角形とするとき，の面の面積は

計算過程用紙※ 考え方や計算過程を書いてみよう。

21