ファイナンスの数理田畑吉雄111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111UIIIII

1.

らの割合で投資することにすれば，その結果得られる総はじめに収益Wはポ}トプオリオ理論は，資本市場(企業が必要とする長期資金を調達したり，供給したりするための金融市場)"
W=pjRj=z'Rで取引きされる各種の証券に合理的な投資家が L 、かに投なる確率変数で与えられる.第 h 番目の証券への投資比資し，その結果，各種証券の均衡価格がどのように形成率を Xk (kされるかを解明するのが目的である.その一部をなすポX2 ， … ， Xπ) をポートフォリオと呼ぶ .

ートフォリオ工学は，ポートフォリオを管理するのに必者の収益 r に対する効用関数(非減少，凹)とすれば，要な税金，取引費用なと.の種々のコストを考慮した上で，ポートフォリオ Z に対する総収益 W の期待効用 Eu

リスクの回避と最適な投資戦略の導出，資金の効率的運(:r:' R) は

現代ポートフォリオ理論の中心課題の 1 つである先物やオプションなどの条件付き請求権に眼を向け，それらの評価式が満たすべき偏微分方程式の解の誘導について議論する.ここで得られる偏徴分方程式の解の導出は，応用数学としての手法のみではかなり困難であるが，ファイナンスの裁定理論の助けを借りれば効率よく明示的に導出できることを示す.

証券の将来価格は確実に予測できるもの(銀行預金や割引債などで安全証券という)と，確実には予測できない(株式などで危険証券という)ものとに大別できる.
危険証券の価格は確実に予測できないと L 、う意味で確率変数であり，それらへの投資は L 、わば不確実性のもとでの意思決定である.

n 種の証券を投資対象としている合理的な投資家がし、るとし，各証券からの収益が Rb

R 2 , ...， Rη なる確率変数で表わされ，その同時分布をF(rb….r ,,) = P(R ~ rz， … ， Rn~五 r" )1としよう.手持ち資産をこれら n 種の証券に Xh X2_ ,…,たばたよしお大阪大学経済学部
干 560 豊中市待兼山町 1 ー 1sで与えられる.この期待効用を2Z121

j=1のもとで最大にするようなベクトル :r:=( X t. X2 ,"', X ,,)を求める問題は一種の確率計画問題であるが，その問題をポートフォリオ選択問題と呼ぶ.
効用関数 u (r) が収益 r に関する 2 次関数の場合か，または，分布 F が多変量正規分布(収益間の分散共分散行列j を V とする)で効用関数が凹なら，総収益W の平均

2. ポートフォリオの選択毛デルいま)な側面に的を絞り，いくつかの間題点を指摘する.次に，にu( ピ r) dF (rr.....r,,)(

本稿では，まず古典的なポートフォリオ理論の数理的u(r) を意思決定‑用などを探究する QR 的手法の 1 つである.

=1 ， 2 ，… ， n) とするとき，ベクトル :r: =(X"値E {:r:'R}= μ を最大にし，かつ，分散 Var {:r:'R}=:r: 'V :r: = σ2 を最小にするという多目的計画問題を解けば，上式の期待効用が最大になることが知られている.
この多目的問題の取扱いとして種々の方法が考えられるが，通常は平均値 μ を一定にしておいて，分散 σZ の方を最小にする 2 次計画問題

min{:
r:
'V:
r:}
s.t.

r':
r:= μ ， 1':
r:= 1(2)が(マルコピッツ流の)ポートフォリオ問題の標準形となっている.ただし， r は E {Rj} を成分とする n 次元ベクトルで、ある.この 2 次計画問題 (2) はラグランジュ乗数を導入することによって最適解を求めることができ，その結果を (σ， μ) 平面に図示すれば，図 1 のような双曲線の片割れが得られることはよく知られている.
n 個の危険証券に加えて，さらに，安全証券(確定収© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

l'

衡価格の導出という点でファイナンス理論の専門家との札際を生むようである.したがって，その難問をいかに克服するか，または，それを回避して彼らを説得するかが OR -lTイドのポートフォリオ工学では重要な課題であろう.
ρ3. 指数先物と数理計画。

わが国で初めての株価指数先物(現時点で約定した価σ

図 1格で，将来の定められた期日(満期日)に取引を約束す最適ポートフォリオる取引形態)である株先 50が 1987年から大阪証券取引所

益を p とする)が 1 つ存在する場合には，図の μ 軸上の点 (0， p) から双曲線への接線が最適ポートフォリオとなる [2J. 接点M を市場ポートフォリオと呼び，危険証券h の構成比率引が(第 h 企業の時価総額)/(市場全体の時価総額)で与えられるポートフォリオである.

2 次計画問題からの結果が教えることは，すべての投資家にとって最適な投資方法は接線 pM上およびその延長上の点で示され，安全証券 p と市場ポートフォリオ Mとを合わせ持つことである.そして

p と M の比率は各で取引されているが，その作成にさいして OR の考え方が関与したので，そのあらましを述べておこう.

株先 50 は大証一部に上場されているし 000 余りの銘柄から，わが国の代表的な株価平均である日経 225 の変動に類似するように選ばれた 50銘柄の単純平均株価を指数(パッケージ)とした先物である.パッケージにどの 50銘

柄を含めるべきかとし、う選択問題に対して種々の方法が試みられたが，最も威力を発揮したのは次のような 01 変数の 2 次計画法であった.

min{L;W (t)(N(t)‑Y(t))
2}

投資家のリスクとリターンに関する態度で定まるというわけである.さらに，すべての合理的な投資家が最適なベクトル Z の比率で投資したとすれば，各証券の価格がどのように均衡するかも明らかにされており，資本資産評価モデル(CAPM)が誘導される.ただし ，

ただし ，P"(t) を時点 t (t=1, 2,…, s;s としては過去 5 年分の月次データ)における銘柄 k( k=1 , …, m)と呼ばれる均衡式

E { RJ
l=(I‑ﾟjM)p+ﾟJME{RM}

s.t.2zk=50， zk(ZK ー 1) =0"=1(3)

RM は市場ポートフォリオの収の株価とするとき，m= 大証一部上場の銘柄数(=約 1 ， 000 )N(t)= 時点 t における日経平均値益であり ， ßJM は

ﾟJM=Cov(RJ> RM)/Var(RM)

明抱

Y(t)=L; x"P ,,( t)/50k=lで定義され，市場全体の変動が株式 j の変動に与える影響を表わす量で，ベータ値と呼ばれている.
以上が古典的なポートフォリオ理論の概略であるが，

x"(0 (銘柄 h がパッケージに含まれないとき)( 1 (銘柄 h がパッケージに含まれるとき)

現実の投資の局面では，さまざまな制約が伴う.たとえW( t)= 時点 t に対するウエイト(過去のどの期間ば，売買量は整数値であるとか，特定の株式への投資比をどの程度重視するかのウエイト)率に上限があると言ったものである.このような制約のもとでの最適投資比率を求める問題はポートフォリオ工である.

前節で述べた CAPMや実証研究の結果では，罫線屋

学の対象の 1 つであり，数理計画法がその独壇場となるのエキスパートが個別銘柄を少々うまく運用しでも，であろう .OR 研究者はしばしば期待効用最大化を無視

OPIX や日経平均値のような市場ポートフォリオのパし，局所的な現実問題をうまく記述するような目的関数フォーマンスを上回ることが簡単にはできないことが認を導入し，その解法を提案することが多い.その場合，められている.したがって市場ポートフォリオ M を保有均衡価格まで求まればよいが，通常はそこまでし、かないすることが最適なポートフォリオを保有することである

ことが多く，さらに，不確実性のもとでの意思決定問題が，現実には取引費用，投資資金などの制約から市場ポの黄金ルールである期待効用理論との整合性，および均ートフォリオを保有することは困難である.その対抗策

1991 年 1 月号

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Tgとして，数少ない銘柄で市場ポートフォリオにできるだのように表現され，け近いインデックス・ファンドを作るか，大量の資金を別できる.

さらに ，Wk の形から次の 2 つに大(1) 時価総額加重平均 (TOP 1X がその例)

零細な投資家から集めて投資信託いューチャル・ファンド)を作ることが機関投資家の常識となっている.株

時刻 t における各企業の発行株式数を日 (t) ， U2 (t) , …,先 50 のパッケージ作成に用いた 0-1 変数の 2 次計画法

UN (t) とするとき，=Uk(t)/ 基準時価総額は，少ない銘柄( 100 程度)で市場全体の動きと類似すWk(t)るようなインデックス・ファンドを設計するのに応用でで与えられる指数である.たとえば， TOP 1X では 1968

き，投資信託の分野で注目されている.

年 1 月 4 日の時価総額を基準値として，発行株式数の増減により分母が逐次修E される.伊藤のレンマと基準時

4. 株価指数の数理

価総額の変動が微小なことを利用すれば，時価総額加重株価指数とは S & P500 とか東証株価指数 (TOP 1平均の株価指数の変動はX) ，日経平均などに代表されるように，複数の株価にな

dI=2 却k(t}dPk(t}"=1

んらかの平均操作を施して得られる単一の数値であり，その数値が株式市場全体の動向を表現できるように種々のように各株式の価格変動の加重平均になることがわかの工夫がなされている.

る.

N種の株式が取引されている株式市場を想定し，時刻t における各株価を P 1 (t) ,(2) 均等加重平均(たとえば日経225}

P2(t), …, P N (t) で表わす.各株価{ Pdt}
;k= 1, 2 ，… ， n} の変動は確率微分n(;孟 N) 個の株価の単純平均で与えられる指数であり方程式

叩dt) = 1/n (k= 1,dPk(t}= μ k P ,, (t} dt+ σ kP ，， (t}dZ ，， (t}で表現されるものと仮定する.ただし，(4)なる一定の加重を用いるものである.明らかにf.l"と σk はそれ

ぞれ株式 h の収益の瞬時的な平均と標準偏差を表わし，dw"(t)= 0であるから，その変動は

Z" は標準ウイナ一過程とする.すなわち，dI={(2pkμk }dt+tf:P" kZ")}/ n=1, 2,… , N)dZ"(t)‑N (0 , dt)(k"=1である.このとき，時刻 t における株価指数 1 (t) とは，用いてのように表わされる数値である.ただし ， n~三 N である.
この株価指数 1 (t)の変動は，その形がどのようなものであろうと，伊藤のレンマより+(1/2)L:L:( 2I/ wi wj)PiP j συ }dtn+去 (òI/òPdPk σkdZk+ L: ( I/ ﾒWk)
k=1+L:L:(ò I/δ PiòPj)dP i dWji j2+( 21/ òWi Ò 叩 j )dwidWj}(5)のように表現される [9J.

PIX の変動の違いなども定量的に比較できることにな

3. 株価指数に対する条件付き請求権と偏微分方程式=1, 2, ..., n} の価格変動が前

個別株式{ P"(t);k節のような簡単な確率徴分方程式(幾何ブラウン運動)
dPk(t)= μ "P ，，(t }dt+ σ "P ，， (t}dZk(t}で表現されるとき，これら n 個の株式から構成される株価指数 1 {Pdt} ,現実に最も広〈用いられている株価指数は加重平均株価指数であり，10

これらの結果を利用すれば，各指数の確率過程としての性質を議論することができ，たとえば，日経 225 と TOる.

d1(t)= U::(ﾒ1/ ﾒ Pk)P" μk1(t)= 芝卸，， (t)P，， (t)"=1(Jのように個別銘柄の価格変動の算術平均になっている.

1(t)= 1{P1(t) , P2(t) ， … ， Pπ (t) }

d 叩k"
=1=
ﾌ:
.dPk/nN個すべての株価，またはその一部である n 個の株価をk=12,… , n)P2(t) ， … ， P川 t) }に対する条件付き請求権(特に，先物とオプション)の評価式を考える.
摩擦のない連続的取引市場で，一定の市場利子率 p が既(n 孟 N)知であると仮定すれば，裁定理論を用いることにより，株価指数に対する満期日が T の条件付き請求権の時刻 t© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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=F (T , P (T) ) P (T)

収益(10)と書ける.ここで，変換[2(P‑ q 2 /2)

F (t , P)= ep(t‑TJ/σ2 {logP (t) ー ( p 一〆 /2)(t‑ T)} ,‑ 2(P‑ q 2 /2)2(t‑ T )/ q2]= ep(t‑TJ [u , s]をほどこせば，E。

図 2I{T)(先物とコール・オプション/s)= (2/u(11)2)なる熱伝導方程式が得られる.このとき，境界条件( 5)は変換によりにおける均衡価格 F (t , P1(t) ， … ， P，， (t);T) はすべて偏微分方程式で与えられる.ただし，
A= σ2/ (2p 一 σ2 )(BF/Bt)=pF‑PEPK(BF/BPK)
k=lである.微分方程式の標準的な解法を適用すれば，この一( 1/2) 子手(♂ F/òPtòPj)PtPj σij (6)を満足しなければならないことが知られている臼，月.

条件付き請求権は，先物やオプションのようにさまざまな種類があるが，それらの違いは図 2 が示すように満期

日 T における境界条件だけの違いである.以下では例として，株価指数先物とヨーロッパ型コール・オプションについて考える.
(1)

Au (一∞ <u く∞)
ゆ (u， 0)= e

境界値問題の解は=exp(A u+A2

ゆ (u， s)S)となり，変換前の形にもどせばF (t , P (T) )= P (t)e‑p(t‑TJで与えられ，これは n=1 に対する境界値問題の解である [8 ， 9].

以上の結果は株価指数に含まれる任意の個別株式 ( k=1 , 2 ，… ， n) すべてに対して成立するから ， n コの株価

株価指数先物

先物では満期日 T において現物価格と先物価格が等しで作成されている株価指数先物に対しでもその指数の形で成立していなければならない(もし成立していなけれくなることであり，境界条件が=F (T , P (T)) (7)1{P1 (T) ， … ， P潟 (T) }ば，裁定が行なわれる).したがって，株価指数先物に対する評価式はと表わされる.

F (t , 1(t);T)= 1(t)e‑p(t‑TJ(2) ヨーロッパ型指数オプション
ヨーロッパ型指数オプションとは，現物の株価指数を満期日 T において行使価格と呼ばれる価格 E で購入する

以上の結果は裁定を用いたパリティ表の考え方を利用すればもっと簡単に誘導できる [6 ，7].

権利である.この場合の境界条件はF (T , P (T))= max(0 , 1 {P(T)}‑ E) (8)(12)で与えられなければならない.

まず，時刻 tにおいて先物 1 単位を購入したとき，満期日 T での価値a(T) はのように表現できる.

これらの境界条件(7)または (8 )を満たし，上の偏微分方程式( 6)を満足する解 F (t , P; T) を求める境界a(T)=F(T , I ) - F ( t , 1)である.利子率 p で e-p(T- t> F (t ,1) を借入れ，同時値問題の解決には，数学的にきわめて困難な手続きをふに指数の現物を 1 単位購入して T まで保有するとまなければならないであろう.ところが，ファイナンスの価値 b(T) はの裁定理論を利用すれば，以下のようにその解を簡単に

n= 1 に対する偏( F/ t)=pF‑pP( F/ P)一( 1/2)σ2 P
2(ﾒ2F / ﾒP2)

1991 年 1 月号

F (T , 1)= 1(T)が成り立っから，微分方程式はで，境界条件はb(T)= 1(T)‑ F (t , 1)である.満期日 T においては求めることができる.
まず(7)の先物について考えよう .

Tでa(T)=b(T)(9)となる.したがって，先物の現在価値 a (t)と b(T) の現在価値は等しくなり© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

11

b(t)=I(t)-e-p<T- t> F(t , I)

理的側面に視点をあて，いくつかの間題点を指摘した.

である.先物取引では取引日 0 においては現金の動きが伝統的ポートフォリオおよびファイナンス理論では，期なにも生じず，契約のみが行なわれる点に特徴がある.

待効用理論と均衡価格の形成という 2 つの厚い壁に取りキャッシュ・フローは満期日(または手じまいをした場固まれて身動きのできない状態になっている.ところが，合にはその日)においてのみ発生する.したがって，先現実の投資の局面を OR 的センスで考察しようとするポ物を購入した場合の現在価値 a (t) は O であるから，ートフォリオ工学では，はるかに自由な扱いと豊かな成b(t)=0果が期待できる.この分野に少し触れただけでも，ここで示したような興味深い問題が存在することがわかるとなり，結局

F (t , 1)=e‑p<t‑T)1(t)が，本稿が今後の理論の発展に寄与できれば幸いである.と書き表わすことができ，前述の結果と一致している.

参芳文献したがって，これが境界条件(7)のもとでの偏微分方程[1J F. Black and M. Scholes; “ The Pricing

式 (6 )の解である.
次に，コール・オプションに対する境界値問題 (8 )の解を噂出してみよう

n=l ， すなわち，個別銘柄に対するヨーロッパ型オプションの評価式はプラックとショールズ (Black and Scholes) の公式としてよく知られているように [IJ ，N(d 一 σ 、l-:r)(13)(ただし ， N( ・)は標準正規分布の分布関数，

d = {log(P / E)+(p+ 〆/2)'!'/σ -v'-:r} )であった.したがって，株価指数を原証券とするコール・オプションの評価式(境界条件 (8 )のもとでの儒微分(13) 式の P の代わりに指数 I を代入したものになっている.すなわち，“ The Relations between Forward P
rices andFuturesP
rices.
"Journal of Financial Econoｭ
1981).
mics 9([4J 大和証券経済研究所編 γ‘株価指数先物の考え方と実際東洋経済新報社，(1988).

[5J T. H. EytanandG. Harpaz; “ The P
ricingofFuturesandOptionsContractsontheValueLineIndex."TheJournalofFinance , Vol.xli ,F ('!)=1N (d')‑ exp(‑ p τ )E

No. 4, (1986).
(14)で与えられる.ただし，[6J 久保田敬一;“オプションと先物"東洋経済新報社，

d'= {log(1/E )+ (μ+ 〆 /2)'!'/σ 、l-:r}(1988).

) [7] 倉津資成;“株価指数先物取引について"，ファイであり， μ と σ はそれぞれ株価指数 I( t)の変動の平均と標準偏差を表わす.

ナンス研究

8, 1-26, (1988).

[8J 田畑吉雄;“株先 50 とその評価について"ファイ
ナンス研究

6. おわりに9, 45-51 , (1988).

[9J 田畑吉雄;“株価指数とその先物の株価形成 f 大

本稿ではポートフリオォと条件付き請求権に関する数

12“ Fundations forFinancial Economics ," Northｭ

[3J J.C. Cox , J.Ingersoll , andS. A. Ross;

F ('!)= PN (d)‑ exp(‑ p'!
')EN(d' 一 σ 、l-:r)

PoliticalEconomy81(1973).
[2J Chi‑fuHuangand R. H. Litzenberger;

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'!= T ‑ t として方程式( 6)の解)は，OptionsandCorporateL
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オベレーションズ・リサーチ