乗数形式諏既Åモデブ膨藍盤産関数
生田目 崇…llll＝‖＝‖‖＝‖＝‖＝‖＝‖‖‖‖＝‖‖＝‖＝＝＝‖‖‖＝‖＝‖‖‖＝‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖＝‖‖＝‖＝‖‖＝‖＝＝＝‖＝＝＝‖‖州＝‖＝＝＝＝＝＝＝‖＝‖＝＝＝‖＝‖‖＝‖＝‖＝＝＝‖＝＝＝‖＝＝‖＝＝州＝ll……l＝‖‖‖‖＝＝‖‖‖＝＝‖‖＝＝‖‖＝＝‖＝‖＝‖＝‖＝‖＝＝m＝l

取り上げる。この／h童関数を，− ・；−、∴1−・．

〝＝／（．rl，エ2）

DEA（data emvelopment analysis）は，観測されり）とすると，′＞0という定数に対して′（はl，お2）た評価対象の活軌から9 活軌の相対的な効率粧を．秤価オ♪／（∬1，．工・2）という関係が成り立つとする。このとき，するためのノンパラメトリックな手法である。DEA

カ＝1ならば規模の収稚Ⅳ一定な／一三確聞放であり，0＜♪によ牛得られる効率的フロンティアは，効射l甘な活軌

く1および1＜カのときそれぞれ規模の収椎が逓減ぶにより支持されるファセットの集合として求められる

よび逓増な／い掛関数を表す￠

が，効率的な活動同士の問については（軋酎こ）注意

このように2種顆の人力から1つの．■h力を得る清軌を払っていない。一ブイで経済学ではDEAの効＊的フを表す′い掛関数の1つにCobbDouglas／i：座間数がロンティアに細部する無産関数に関して−古くから膿んある。CobbDouglas牛産関数は次の式で表される。に研究されてきた。本稿では，経済！、アニの∠相室関数と関〝＝Aポ最（2）係の深い乗数形式DEAモデル（DEA multiplicative』は直の定数であり，αは0＜α＜1の定数である1。

model）について概説する咽 乗数形式ⅢEAはその名

Cobb¶Douglas′f三成関数は，CES（constant elastic−のとおり，従来の線形DEAモデルのように人力およity of substitution）関数として知られている2つのび出力の終項劃とウェイトの積利を瓜こ効率性を、剛断

人力聞の代矯の弾力什を−J定とした牛虎関数において，するのではなく，各項ぎ＝こ対して乗数としてウェイト代矯の弾力性を1とした場合の関数である2付けし，その積を総合された人力および＝力として効CES関数は一次同次な関数であり，これは規模の収率性を判定しようとするモデルである。

椎が一定であることを仮定した関数である。よって，。また，Cobb〉一り（）uglas畑産関数もA次Ii盲j次な関数である。た2。生産関数

だし9 こn，ヱ2の指数の和が仁木浦げ）ときは規模の収稚

企業活動は，資本や設備，労働などの経営資源（入力）を投入し，財などの便益（出力）を産附しているは逓減となり，1を超えれば規模の収穫は逓増となる
ように一般化することができる。と考えられる。投入された人力から出力を産山するプ

さて，尖際に観測される活軌を考えると，観測の際ロセスの効率性を考えたとき，その拉人品からなるべに誤差を合むと考えられる。そこで，観測された清動く多くの出力を得ようとするであろう。こういった関をもとに，統計的丁はを川いた／1三産関数の推定がおこ係は一般に無産関数（production function）としてなわれてきた。しかし9 里庄関数は定糞にあるように表現される。

人力と州力の最大量の技術的関係をi…己述するものであ

月三産関数とは，企業が生産のために投入する資本やり，糸錯キトの失敗などによる技術的な非効率性を排除設備。機械，労働などの人力と隼産可能な出ソ」の「・最した上で隼産関数を求める必要があろう。そのために，大量」との技術的関係を表したものである［8］。隼産

たとえばAigner，Knox，Love11andSchmidt［1］は，関数の形状を考えるために9 今2つの拉人（人力；一次同次の畑産関数について，式のような誤差項g∬1，ズ2）から1つの財（出力；封）を得るような関数をなまため たかし
東京理科人！、芦 仁、告鵠経営巨萬科〒1628601東京都新宿区神楽坂13
冨田望（30）

1Cobbr）ouglas′＝村関数を一般化した／li）；封対数にtrans−1（）g′巨勅封数がある。
2〟β二』（仏灯β十（1−一α）．r2β）であり，代棒の弾力件は1／（1＋β）となる。Cobbr）ouglas′巨確聞敗はβ→0とした極限としてり・えられるi8】。
© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ由リサ山チ〃γ。：岨力γに対するウェイトを考慮した確率的生産フロンティアを提案している．
〝＝ズβ＋e対数変換を表す（￡＝logJ）（3）

ただし，〝は拍力に関する観測ベクトル，ズは人力

乗数形式DEAモデルは1982年のCharnes，Coo−に関する観測行列でありβは行列ズの各項に対するper，Seifordand Stutzの論文にはじまる［3，4］．彼パラメータである．ここで彼らは，誤差項ベクトルe

らの掟案したモデルは以下の通りである．

は測定誤差rと技術的非効率性αで構成され，e＝r一αと分解することで，技術的非効率性を分離してい［pl］（α＝1，2，…，犯）

オ＝1る．このとき測定誤差「はズβで表される生産関数に対して両側分布となるように，また技術的非効率性／J／・J

max ∑宮詣＋∑g完S．t．

刀．へ ∑ん。芽ゴノ＋g孟＝方オ。， ノ＝1

αは片側分布となるように分布形に仮定をおいて，統オ＝1，2，…，研計的方法を用いて生産関数を算出している．しかし，∑ん。yリー官長＝Kα，γ＝1，2，・‥，々 J＝1∑ん。＝1 、／・一1複数の出力項目を同時に扱うことはできない．

3．乗数形式DEAモデル

making unit）から得られる活動領域（生産nr能集合）をもとに効率性を評価し，非効率的な活動を排除することができる．DEAではこのように技術的非効率な活動をしているDMUを排除することができる
ため，DEAによって定められる効率的フロンティアは複数の出力を考慮した上での，生産関数から得られる生産曲面に相当すると考えることができる．ただし，従来の線形のDEAモデルは観測された活動以外の部（6）〃ため，妥当な仮定を置くことは容易ではない．さらに違い，DEAは観測された活動（DMU；decision

（5）

〃＿、

求められる生産関数は誤差項の分布の形状に依存する統計的な方法で技術的非効率性を排除する方法とは（4）γ■＝1（7）ん。≧0，ノ＝1，2，・・・，邦（8）

吉孟≧0，Z＝1，2，…，明（9）言完≧0，γ＝1，2，＝・，々冊

特筆すべきは，このモデルが発表された1982年にはまだBCCモデルは発表されていないにも関わらず，このモデルは規模の収稽可変のBCCモデルの／日掛−∫能集合のもとで，活動から効率的フロンティアまでの1次辟離の利の最大化を【l指した加法モデルと同様の定式化がなされていることである．

さて，［pl］の双対1‡H題を考えると次のようになる．
［p2］（α＝1，2，…，卯）／J、．リノ、 州：l、 ご．り ト ∑・．＼ r＝1 ゴ＝1（11）

た｛．m分はパラメトリックに補完しようとしないノンパラメ〈 s．t． ∑〃γ。yり¶∑レオ。脆≦0，ノ＝1，2，…，乃 r＝1オ＝1（12）トリックな手法である

それに対し，乗数形式DEAモデルではその効率性の評価式が上記のCobbLDouglas生産関数を拡張した形で与えられる．よって，乗数型DEAモデルによって効率的と判志されたDMUはCobb−Douglas生〃r。≧1，γ＝1，2，…，々（14）［p3］（α＝1，2，…，乃）烏口i／詔￣α

乗数形式DEAモデルを示す前に記号を定義する．
ノ：DMUを表す添字（ノ＝1，2，…

maX

ゐ口y㌍
S．t．

γ：出力項目を表す添字（γ＝1，2，‥・，々）

方び：DMUJの入力gの値（15）∴1，抑）才：入力項臼を表す添字（オ＝1，2，・・■，∽）

γ＝1t卜＼・．

α：分析対象のDMUを表す添字

r＝1l ．＼ トl≦1，ノ＝1，2，…，死レfα≧1，才＝1，2，・tt，∽〃rα≧1，γ＝1，2，…，々‡㌔：DMUJの出力γの値

このように［p3］は，才旨数部分のウェイトによる人山ん。：DMUJに対する非負結合係数〟r。：拍力γに対するウェイト

3引或

さらにこの問題を才旨数変摸すると以下のようになる．

産関数と比較をおこないやすい．

レ拍：人力才に対するウェイト

レォ。≧1，才＝1，2，…，研力それぞれの積を統合された入出力として，効率性を評価する式となる．

Charnes，Cooper，Seiford and Stutzの乗数形式

5：スラック変数
2001年6H号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（31）303

モデルでは，いわゆる加法モデルのように人力。＝力を無次元化する役割をもつ．［Ⅰ）3］はそういった役割指向のモデルではなかったが，1986鮮にBa11ker andを果たす変数がないため，＝的関数伯は単作に対してMaimdiratta［2］は，BCCモデルを元にした乗数形式

不変あるが，ウェイトレz・。，／Jrαは単作の影響をうけモデルを提案している3。

る。それに対して［p6］の場合はウェイトレ加 〃r。の
仙も甲什に対してイ（変であり，本水の寮二要度としての［p4］（α＝1，2，…，犯）
maX

γαS．t。

＝廿

意味をもった価となる。
［互）3］または［p6］において最適E川勺関数伯が〃 ′ 1．・・、＼、 ＼・、
ノ＝1

1（i二王）1］，［鼠）2］，［‡）4］，［p5］の最適【i的関数伯は

才＝1，2フ…，椚

こ二111

乃 買ん拍㌔≧y叫γ＝1，2，…，々 、／＝1

Jごいぃ）ならば効率「l甘な清軌であり，そうでなければ非効射l勺な清軌と判定される。［pl］から［p6］の生慮吋能生合は，以骨明菜什を満たす入出力の組（∬，邸）とな・l∑ん。＝1 J＝1

l、ごごIん。≧0，ノ＝1，2，…，視tご二ミ、、る。

∴．∴、tl／ヱー・ 、、 ・・ ・ ‥・

（24）
ノ7

［p2］は人力指向のモデルであるが，‖力指向のモ狛【≦印㌣う・′〝，7′＝1，2，…，々 ▲ノニ1

デルも考えることができる。Charnesらのモデルの域ノ＝1を得る。

んα≧（），ノ＝1，2，…，犯S，ttこミゞl

BCCモデルと巨ij様の隼産吋能領域を仮定するため，
（25）

z＝1

フロンティアは対数座標甘二でiズ分線形な有l肛個のファf、・，∴■ ∑〃γ。竹ノー∑レォ。芽わ十行α≦0， r＝1 z■＝1
ノ＝1，2，…

抑

このようにこれらのモテリレはすべて，対数軸上で［p5］（α＝1，2，…，裾）■●J・■ニ i竜、‥・、．．‥＼． 二∴一二 ＼ ．

セットとして求められる。よって，規模の収穫が吋変（26） なフロンティアが得られ，それぞれのファセットでは，裾最適ウェイトは異なる。

了∑レオα≧1 ．・；（27）4。効率的フロンティアと生産関数の関係

レォ。≧0，才＝1，2，…，∽（28）〃γ。≧0，7′＝1，2，…，点（29）

隼庫要素鳥よび′巨産物の水準を変えられるような長さらに［P5］を才指数変換すると次の問題が子ニミ圭られる。

別の期問を考えない場介，一般には規模の収穫が逓減［p6］（α＝1，2，…，裾）の／巨産関数をもつといわれている。しかし，投入量が′■J少ない場合は逆に規模の収穫は逓増であるということ

Jノご11l■J∴
r＝1maX

ミ：神‥■L盲王．＼■∴ノl・■々るといわれている［8］。つまり，人力の投入量が増加／．ミ
γ＝1屯碗がある。こういったことを加味して，短期の牡産関数としてはS字型の牡産関数を考えるのが一般的であ．l

さ．l．．

≦1，ノ＝1，2，＝■，現亘邑＼＼ 予・ 三し二111するにあたり，規模の収穫が逓増から−r一定さらに逓減へと変わる4。

い■■

従来の線形のBCCモデルでは，規模の収穫を可変三J・ z＝＝1レz。≧0，才＝1，2，…，椚としこういったS：ナニ雪空の勺ミ産関数をある程度表すよ〃γ。≧0，γ＝1，2，…，点うに，効率的フロンティアが張られる。しかし，区分［p6］は［丑）3］のモデルと異なり，各DMUの効率性線形なフロンティアであるため，規模の収穫は逓増お尺度に変数り。があるが，この変数は人目力値の単位よび逓減の部分ではS耳型から外れたフロンティア

3本稿では，乗数形式DEAモデルと隼産関数の関係に焦用刹許芋の増門苦では，S半里年産関数では，人力の拉人点を三11てるため，厳密な効率性の判定のためのスラック変晶がさらに咽えるとこりこいに邪魔しあって出力量が減るよう数は扱わない。詳しくは参考文献をご覧いただきたい．に紬リJされている。

詔⑬砲（32）

（姻l■

∑ん。＝i

介と㌻盲斎J様の手順で9［p4］の双対問題を考えると［1）5］r＝1

しこミュ1，ノ＝1© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ0リサーチ

率的とならない一点Bが乗数形式モデルでは効率的とを張る．

なり，点Dはその道となる．よってS乍型の隼産関

以卜に，1人力1JlりJの場合を例に，線形のBCCモデルと乗数形式モデルによるフロンティアを比較す

数を考える場介は点BやDのような点は過小もしくる．一・．1こ（A，C，Eの人Jlりノはそれぞれ，（2，1），（3，5），は過大評価となってしまう．乗数形式DEAモデルに（7，7）である．∴l．（Dは線形座標卜で一・∴（Cと点Eの小おける効率的フロンティアは，線形座標卜ではlズ11の点（5，6）であり，点Bは対数座標卜で，点Aと点C細線で示すようにAC聞は原点より一rlくA，B，Cを順にの1い∴l．（（10〈（1／2）×（】閥2＝（）g二川，10〈（り2）×（t（）g川（）g5）りである．

過るようなII目線から得られ，CE聞は原点から点Cをlヌ11に線形のBCCモデルと乗数形式モデルの効率的通り一・∴くDの卜側を通り一r∴（Eに向かう肋線から得られフロンティアを比較する．また，医12は両対数帥、ド面る．よって，規模の収穫が逓増の場介（AC聞）は、卜における効率的フロンティアである．にハ，規模の収穫が逓減の場合は上にハの隼産関数が点A，C，Eは線形モデル，乗数形式モデルどちらの得られる5．

場介も効率的となる．lツ11の通り，線形モデルでは効また，［p6］において効率的と評価されたDMUについてはその最適‖的関数が1であるので伽）式の関係が成り立つ．

⊥rα ノ1zα

ゐ n1

り1・＼リリノ

ただし，レ急，〃完，ポは［p6］により求まる最適解である．
（凋式は，（2）式の出力項［j（左辺の〝）を櫓数にし，人力同様指数のウェイト付けをした場介を表しており，いわば多人）］多田カシステムのCobbmDouglas生産関数に相当するものとなる．規模の収穫については，（39）式がCobb−Douglas牢屋関数を拡張したものであることを考えても分かるように，∑掌1レ毘≧（＞）1かつ∑空＝1／∠完＝1ならば（強意に）規模の収穫逓増であり，∑掌吊透＝1かつ∑タ＝1／ノ荒≧（＞）1の場合は（強意に）入力
246規模の収稽逓減である．また，∑畏1レ為＝1かつ∑タ＝18〃完＝1の場合，規模の収穫は一定となる．逆にこれ

図1実数座標上の効率的フロンティアらを制約条件に加えることにより，さまざまな規模の収稽を仮定した乗数形式モデルによる評価を行うことができる6．

5．乗数形式DEAモデルの周辺の話題
前章までで，乗数形式DEAモデルと生産関数の関係について述べた．本章では，乗数形式DEAにまつわる話題について公刊されている論文を中心に触れる．
そして，最後に将来の研究課題について述べる．

Charnes，GallegosandLi［5］は多入）］1出力システ
ムを対象とした生産関数において，乗数形式モデルに5点Cにおいて年産関数は連続ではあるが滑らかではないことに注意していただきたい．
10

1

図2 両対数座標上の効率的フロンティア
2001年6月号

入力

6一般にDEAで効率的と判断されるDMUに対するウェイトは一意に定まらない．本モデルの場合も同様であり，ウェイトの取り得る範囲について注意が必要である．

© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（33）305より効率的と判定されたDMUに対して，参照集合

デルを＝いた力｛が，より妥、王1な−附曲をおこなうことがとなる回数を頑健性の指標として挙げ，‖標計画法をできると考えられる。さらに，線形のⅢEAモデルで用いて生産関数の推定をおこなっている。さらにこの提案されているさまざまな手法（ウェイトの制限やl．−it

モデルを南米の航空会社各社の経営効率分析に川いて定項l曹の拭いなど）を乗数形式りEAモデルにどのよいる。さらに彼らは人プJ項臣：iを変化させたときの州力うに二瓶り入れるかについてはまだまだ検討されるべきへの影響を求めている鴫 しかし，㈹力項1＝Iは1つに限課題といえよう。

定された■芳法であり，DEAの特徴をいかしきれては参考文献いない。
ヤ瀬，

合札 山r1，福川［6］は，乗数形式モデルにおいても観測される靴底可能額域内でしか定義されない効率的フロンティアをCFA（constraiiつed facetanalysis）の概念を捌いて，生産活動領域の外側に対する効率的フロンティアの導佃をおこなっている．彼
らの方法では従来の線形モデルにおいてCFAを川いた場合におこる，射影される効率的フロンティアー甘1のノE．量こくがない場合があるという問題を解決するのに有効の手段であると述べている。

［1］Aig11er，D．J，，C．A．Knox Lovelland P．Schmidt：
F（）r・mulation alld EstimatiollOf Stochastic FrontierPr（）ductioll FtlllCti（川 M（）dels， ．／り7すプ′仇吊（イg〔t〔ノブてり卯7ピ／γ才〔・J，Vol．6，pP．2卜37（1977）．

r2］f3anker，Iそ．i）．andA．Maindiratta： 王）iecewiseL（甘iinear Estimating■of E踊cie】lt Production Surfaces，〟〝タZαgピ刀7ピブ乍／5r才ピグ宜Cビ，Vol∴う2，No．1，pp．126135（1986）、［3］charnes，A．，W．W，Cooper，Ⅰ，，SeifordandJ．Stu
IllVariant MuitipIicative Ef石ciency and Piecewise

また9 著者らは多人力多Ⅲカシステムに対し，乗数形式のEAモテリレにより効率性を判定し，効率的と、判定されたゎMUを用いて，DMU群の複数の人力と出力の関係を求めている［7］。その際，伽）式を対数変換
すると虹準相関分析の枠組みで扱えることに前l！し，
D風甘U群全体に対するCobb−Do噸1as型隼産関数に相当する生産朝面を求めている。さらに二共分散構造分析を用いて，各用力琴州に対する人力項トjの影響につい

CobbL）ouglas EllVelopments， （牙附加i（）nS Resea7，（：hん〟ねm，Vol．2，N（）∴う，pP．10ト103（1983）．

「41charnes，A．，W．W．Co（）per，Ⅰ，．SeifordandJ，StutzニA Multiplicative Modelfor E侍ciency Analysis，5りCオ（仁だぐ（ノ〃仰7？オ〔・創開扉曙5諭肌闇 Voi．16，N（）．5，pp．
223224（1982）．

［5］Charnes，A．，Gallegos，A．and H．Li：

Robustly

E稿cientParametricFrontiersviaMuitiplicativeI〕EA
f（）ri）（）meStic alldInternatiollalOperati（）nS Of theて考察している。

Latin American AirlineIndustry，

このように，乗数形式DEAモデルにおいてはいくつかの研究が行われているが，線形モデルと比較してEu71d）ean jburnal〆（わピ7′〝／わ卵〝／肋∫ど〝7でカ，VoI．88，PP．525536（1996）．
［6］、lろ柵i啓木川Il允利，山＝俊札福川忠畔上 CFAを川その数は非常に少ない。DEAの1つの特長としてはいた対数形OEAモデル， オペレーションズ￠リサーチ，ノンパラメトリックな評価〟法であるということが挙Ⅴ（）1．39，No．11pp．613−618（1994）．

げられる。しかし，このように従来の隼産関数との比

L7］Namatame，T．，S．Sato and T．Yamaguchi：

較をおこなおうとする試みは，ある意味でそういったEstimat盲（）110f Production Functions for Multiple

特長を拾ててしまっていることになる。パラメトリッ

Inputs and Outputs System via DEA Concept， Oral

クな手法が持っている，得られたパラメータの検定やPresentationin INFORMS 2（）00 Autumn，San区間推定などができるという特長を積種的に収り入れていくことでこういった批判を拭い去ることができるものと考えられる。また，たとえば規模の収穫に関し

Antollio，USA（2000）．
［二8］仲村利帥ニ「ミクロ経済」、r人門節Z版」，寺■＝皮二狛．〜r（1982）∪て妥当と思われる仮定が存在する場合は，乗数形式モ

詔⑳6（34）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ←ションズ。リサーチAn