大規模多目的ファジィ計画法
坂和 正敏，加藤 浩介………l…l川…………l……………………llll………………l…………州州……州＝川…l……ll川川川………ll川Il……………l…………………………………………ll……………………l………l川…l………………l……川minimize c13＝Cl131＋…＋clf，3p

1． はじめに
環境管理計画問題，水資源計画問題，土地開発計画問題，生産管理計画問題などの現実の多数の変数と制

minimize c烏3＝C鳥1∬1＋…＋cAPXL｝
subjectto Ax＝AIXl＋…＋Apxp≦bo（1）約を含む大規模な最適化問題を数理計画問題としてモβげl≦む1デル化すれば，しばしば，角型構造とよばれる特殊構造を有する数理計画問題として定式化される．
ところで，このような特殊構造をもつ数理計画問題
は，なんらかの工夫により，いくつかの小規模な問題

ここで，亡び，才＝1，…，々，ノ＝1，…，♪は刀ノ次元係数行ベに分割して解くことができれば，計算に必要な時間おクトル，み，ノ＝1，…，♪は乃ノ次元列ベクトルの決定変よび記憶容量の削減が期待できる．このような観点か数である．制約式AJ＝AIJl＋‥・＋A♪∬♪≦む0は研0

ら，1960年代のはじめにG．B．DantzigとP．Wolfe

次元ベクトルからなる結合制約で，AJは椚0×乃ノの［2］は角型構造の線形計画問題に対する分解原理を提係数行列である．さらに，βJみ≦れ，ノ＝1，…，♪はれ案している．また，角型構造の非線形計画問題に対しては，L．S．Lasdon［11］による双対分解手法やA．M．
Geoffrion［3〜5］による主分解手法が提案されている．
その後，これを契機として，一目的のみならず多目的をも考慮した，角型構造の大規模数理計画問題に対すに対する椚ノ次元ベクトルからなる制約式で，βJは制約領域をズと書き表すことにする．

る数多くの研究が活発に行われるようになってきていにしばしば現れる．例えば，いくつかの事業部をもつる［14，19］．

製造全社の利潤のみならず環境汚染などをも考慮した

β♪∬♪≦ふ♪

み≧0，ノ＝1，…，♪

椚ノ×乃ノの係数行列である．簡略化のため，問題（1）のこのような構造の問題はブロック角型構造をもつといわれ，現実の大規模な多変数の多目的線形計画問題

本稿では，このような大規模計画問題においてよく生産計画の問題を多目的線形計画問題として定式化す知られた特殊構造の一つである角型構造に注目し，フれば，このような構造になるであろう．というのは，

ァジィ目標を考慮した角型構造の多目的線形計画問題

製造会社の各事業部ごとに，それぞれ独自な利用可能および多目的0−1計画問題について考察する．

な資源の最大量が与えられており，これらの各事業部

2．大規模多目的ファジィ線形計画法

は，さらに，全社全体としての利用可能な最大最に制

本稿では，次のような角型特殊構造の多目的線形計

限のある共通の資源をわけあって利用しなければならないという制約によって結ばれ，これらの制約のもと画（block angular multiobjectivelinear program一 で全体の利益を最大にし，汚染物の排出量を最小にす

ming：BAMOLP）問題を考える．

るなどの複数の目的が存在しているような状況が，多目的線形計画問題としての定式化に反映されるからである．

このような多目的計画問題の目的関数はベクトル値になり，通常のスカラー値の目的関数をもつ単一目的
さかわ まさとし，かとう こうすけ
広島大学大学院工学研究科の場合の最適解と同様に議論することはできないので，ある目的関数の値を改善するためには少なくとも他の〒739−8527東広島市銀山ト4−1

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（17）295

一つの目的関数の値を改悪せぎるを得ないような解のある値以上にしたい」，fuzzy equalcEXは「ctxをだ概念が，経済学者Paretoによって初めて定義され，いたいある値ぐらいにしたい」というファジィ目標をパレー

ト最通解（Pareto optimalsolution）［12，13］とよばれている．

表し，それぞれ図1のようなメンバシップ関数により規定される．

意思決定者のファジィ目標としてfuzzy equalcLX

定義1（パレート最適解）が含まれる場合には，Cf∬の大小関係に基づいて定義∬＊∈ズに対してcf∬≦cf∬＊，才＝1，…，々，で，しかもされているパレート最適解の概念をそのまま適用する

あるノについてcJ∬＜cJ∬＊となるような∬∈ズが存●在しないとき，∬＊をパレート最通解という．
定義からも明らかなように，パレート・最適解は一般ことはできない．そこで，目的関数の代わりにメンバシップ関数の大小関係に基づいて定義されるパレーには唯一には定まらず，ある集合となることに注意し最適解の概念が導入され，特にM−パレート最適解

よう．パレー（M−Paretooptimalsolution）とよばれている［13］．

ト最適解は，他より劣っていない解という意味で，非劣解（noninferior solution）ともよば

ト定義2（M−パレート最適解）れている．パレート最適解は，通常，多目的線形計画∬＊∈ズに対して〃f（c ∬）≧〃 （cf∬＊），オ＝1，‥・，々で，問題を何らかの工夫により単一目的の最適化問題に変しかも，あるノについて仙（eJ∬）＞拘（eJ」r＊）となるよ

換して，その最適解をパレート最適解に対応づけるとうな∬∈．方が存在しないとき，∬＊をM−パレート最いうスカラー化手法（scalarization method），例え適解であるという．

■

ば，（1）重み係数法，（2）制約法，（3）重みづけミニマック

意思決定者が一般化された角型構造の多目的線形計

ス法などにより求められるが，詳細は文献［12，13］な画問題（2）の各目的関数ef∬に対して，各目的関数のどを参照していただければ幸いである．

個別の最小値と最大値の範囲内で，自己の満足度を考慮して，主観的にメンバシップ関数〃 （cf∬）を決定すベクトル最小化問題として定式化される角型構造の多目的線形計画問題（1）に対して，意思決定者（deci−れば，一般化された角型構造の多目的線形計画問題（2）sionmaker：DM）の人間としての判断のあいまい性

は々個のメンバシップ関数の多目的最適化問題としを考慮するために，各日的関数に対するファジィ目標て，次のように表される．

を導入すれば，一般化された角型構造の多目的線形計

maximize（FLl（cl．Z：），画（generalizedblockangularmultiobjectivelinear

Subjectto x∈Xprogramming：GBAMOLP）問題は次のように表さ〃2（c2か●，〟血）））（3）

この間題（3）において，R．E．BellmanとL．A．

れる．

Zadeh［1］のファジィ決定における最大化決定に従え

fuzzymin cEX i∈Il

ぱ，解くべき問題は次のように表される．

fuzzymax cLX i∈1；
fuzzyequalcLX i∈1；

（2）

（4）

ma誉＃izet聖PhFLi（ct3）

この間題は等価的に次のように変換される．

Subjectto x∈Xmaximize v

ただし，ム∪ム∪ム＝（1，2，…，現，ム∩ム＝β，ブ，ノ＝1，2，subjectto FLL（cL3）≧v，i＝1，…，3，古寺ノである．

∬∈一方

ここで，fuzzy minctxは「c（∬をだいたいある値以下にしたい」，fuzzy maxcEXは「cEXをだいたい

ここで，fuzzy minとfuzzy equalの右側の強意単調減少のメンバシップ関数をdf斤（cf∬），才∈ム∪ん

図1ファジィ目標を規定するメンバシップ関数
296（18）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

側と左側に分けて表現すれば，問題（5）は次の間題（6）とているので，Dantzig−Wolfeの分解原理［2］が適用可能であることに注意しよう．
ここで，問題（6）の最適解，すなわち，問題（9）の最適解J＊が一意的であれば，∬＊が一般化された角型構等価になる．

造の多目的線形計画問題（2）のM−パレート最適解であfuzzymaxとfuzzyequalの左側の強意単調増加のメンバシップ関数をd上（ef∬），ゴ∈ム∪ムと表して，fuzzyequalに関する制約式をメンバシップ関数の右ることは背理法により容易に示される［13］．しかし，問題（9）の最適解J＊が一意的でなければ，∬＊が一maxlmlZe V
subjectto cEX＝Ci131＋・・・＋cLL＞XJ・化された角型構造の多目的線形計画問題（2）のM−パレ≦d品l（〝），才∈ム∪ム

ート最適解であるとは限らないので，次の問題を解く
ことにより，J＊のM−パレート最適性のテストを行e ∬＝CflJl＋…＋cゆ∬♪

≧d正l（〃），ゴ∈ム∪ム

AJ＝AIJl＋…＋A♪J♪≦む0
β1れ般（6）

う．
鳥maximize ∑EL

≦あ1

J＝1

subjectto cLJ＋EL＝CLX＊，i∈LUl；Rβ♪∬♪≦ゐ♪

c∫J−どf＝CJ∬＊，ブ∈ム∪ん∬ノ≧0，ノ＝1，…，少日‖双A∬≦わ0

ここで，d品1（・）とd正1（・）は次のように定義される擬

βメ∬≦むJ，ノ＝1，…，♪

逆関数である．

どf≧0，ブ＝1，…，々d品l（ゐ）＝Sup（yldfβ（y）≧ゐ）（7）

d正1（ゐ）＝inf（y極斤（y）≧ゐ）（8）

み≧0，ノ＝1，…，♪

この間題（6）のcr∬に関する制約式の右辺は，一般に非線形となるが，〃が固定されれば線形となる．さ
らに，問題（6）の最大のむを求めることは，制約領域

ここで，ん＝（わ∈ん〟f（cf∬り＝ん（cfJり）およぴん＝（わ∈ん甚（c ∬り＝ん（c ∬り）である．
この間題（10）の最適解烹，どに対して，次の定理が成り立つ．

が存在する最大の〃を求めることと等価である．し

定理1（M−パレート最適性のテスト）

たがって，2分法（bisection method）と線形計画法の第1段（phaseone）に基づくアルゴ．）ズム［12，13］

M−パレート最適性のテスト問題（10）の最適解斎，百に対してにより解くことができる．ここで，固定された〃に（1）百＝0であれば，J＊は一般化された角型構造の多目的線形計画問題（2）のM−パレート最適解である．
（2）百≒0のときは，J＊は一般化された角型構造の多目的線形計画問題のM−パレート最適解ではない．
このとき，屠がマックスミン問題（4）に対応したM−対して問題（6）は角型構造の線形制約式となるので，2分法とDantzig−Wolfeの分解原理［2］に基づく線形計画法の第一段により最大の〃を求めることができる．
このようにして得られた問題（6）の最大値む＊に対して，対応する問題（6）の最適解∬＊を求めるために，便パレート最適解となる．

宜上，最も重要と考えられる目的関数（ここではeげ■この間題（l鋸こ関しても，線形性と角型構造が保持されているので，Dantzig−Wolfeの分解原理［2］の適用により容易に最適解が求められることに注意しよう．とする）を用いて，次の線形計画問題を解く．
rn1nlmlZe C13
Subjectto ci3＝CE131＋…＋ctL｝3p

ここまでに述べてきた角型構造の多目的線形計画問≦♂品1（〃り，f∈ム∪ム，古寺1

題に対するファジィ計画法のアルゴリズムをまとめる

ei∬＝Cil∬l＋‥・＋cf♪J♪と次のようになる．

≧d正1（〃り，才∈ム∪んfキ1（9）A∬＝AIJl＋…＋A♪∬♪≦む0

ファジィ大規模多目的線形計画法のアルゴリズム
手順1問題（1）の与えられた制約領域における各目的

β1れ

≦ゐl

関数の個別の最小値zTIInと最大値zT8XをDantzig−β♪∬♪≦b♪

JJ≧0，ノ＝1，…，♪
この間題（6）においても線形性と角型構造が保持され2002年5月号

Wolfeの分解原理の適用により求める．
手順2 意思決定者は，これらの値を考慮して，各目的関数に対する意思決定者のファジィ目標を表すメ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（19）29丁ンバシップ関数を決定する．の問題に特に焦点をあてるため，Aノ，払およぴぁノの手順3 問題（6）を2分法と線形計画法の第1段を用い各要素はすペて非負であると仮定する．また，簡略化て，実行可能解が存在する・最大の〃＝〃＊を求める．のため，問題（11）の制約領域を一方と書き表すことにす

この際，固定された〃に対して問題（6）は角型構造る．の線形制約式となるので，V＊は2分法とDantzig−

この問題（11）において，意思決定者の判断のあいまいWolfeの分解原理に基づく線形計画法の第一段を性を考慮すれば，意思決定者は問題（11）の各目的関数に用いたアルゴリズムにより求めることができる．そ対してあいまいな目標をもっていると考える方が自然の後，問題（9）を解いて，この〃＊に対応する∬＊をであると思われる．そこで，ファジィ目標を導入すれ一意的に定める．ここで，問題（9）も角型構造の線形ば，一般化された角型構造の多目的0−1計画（gener・計画問題となるのでDantzig−Wolfeの分解原理のalized block angular multiobjective zero−One prO−適用が可能である．

gramming：GBAMOZP）問題は次のように表され

手順4 得られた最適解∬＊に対するM−パレート最る．

適性のテスト問題（10をDantzig−Wolfeの分解原理

fuzzymin zt（x）i∈11を用いて解き，M−パレート最適解を求める．このfuzzymax zL（x）i∈1；

解がファジィ目標を考慮した角型構造の多目的線形

fuzzyequalzt（∬）i∈1；

計画問題に対する意思決定者の満足解となる．

Subjectto x∈X

本節では，大規模線形計画問題に対するファジィ計

ここでム∪ノら∪ム＝（1，2，…，現，ム∩ム＝仇才，ノ＝1，2，3，画法について概説してきたが，詳細や具体的な数値例
および対話型意思決定やファジィパラメ

才キノである．

ータを含む場意思決定者が一般化された多目的0−1計画問題（l功の合への拡張に関しては坂和らの一連の論文［16〜18，各目的関数ef∬に対して，各目的関数の個別の最小21］を参照していただければ辛いである．

値と最大値の範囲内で，自己の満足度を考慮して，主観的にファジィ目標を規定するメンバシップ関数

3．大規模多目的ファジィ0−1計画法

FLt（ctx）を決定した後，R．E．BellmanとL．A．Zadeh

本節では，角型構造の多目的0−1計画（block angu−［1］のファジィ決定における最大化決定に従えば，解1ar multiobjective zero−One prOgramming：BAM・OZP）問題に対して，分解手続きを含む遺伝的アルくべき問題は次のように表される．
maximize．

ゴリズムを用いたファジィ計画法について述べる．

subjectto A3＝AIXl＋‥・十Af）Xp≦bo

次のような角型構造の多目的0−1計画問題を考えよ≦blβ1∬1う．

（1却

minimize cIX＝CllXl＋・・・＋cIPXL，β♪∬♪≦ゐ♪

み∈（0，1）乃ノ，ノ＝1，…，♪
minimize chX＝C烏1Xl＋・・・＋ckt，Xp

ところで，問題（13）は0−1計画問題であるので，問題

Subjectto Ax＝AIXl＋・・・＋Apxp≦bo（11）≦あ1β1∬1の規模が大きくなるにつれて，厳密な最適解を求めることは一般に困難となる．
近年，さまぎまな種類の組合せ最適化問題に対する

β♪J♪≦わ♪

み∈（0，1）乃り＝1，…，少
ここで，C坊才＝1，・‥，々，ノ＝1，…，♪は乃ノ次元費用係数

行ベクトル，み，ノ＝1，…，かは0−1決定変数の乃ノ次元列ベクトル，A∬＝Alれ＋…＋A♪J♪≦む。は刑。次元
結合制約，Aムノ＝1，・‥，♪は椚0×乃ノ係数行列，凰萌
≦わ，ノ＝1，…，かはみに関する桝ノ次元のブロック制

約，βj，ノ＝1，…，♪は〝わ×乃J係数行列である．ここでは，0−1計画問題の中でも代表的なナップサック型
298（20）

有力な近似解法として，）．H．Holland［7］により提案された自然の進化過程を模倣したモデルである遺伝的アルゴリズムが注目されてきている［6，15，20］．
遺伝的アルゴリズムを最適化問題に適用する際には，

図2のように，問題の決定変数ベクトル∬と対応づけられた文字列Sを個体と考え，この個体の集合である個体群を進化させていくことにより最終的に近似最適解を得る．個体中の文字むはノ番目の遺伝子で© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

ある．遺伝子自体は数字や文字を表し，そのとりうるる．そうでなければ，手順3に進む．

値を対立遺伝子という．また，一般に，個体Sは遺手順3 再生の操作を行う．

伝子型，対応するJは表現型とよばれ，この遺伝子手順4 交叉の操作を行う．

型Sと表現型∬の対応づけ（コーディングとデコー

手順5 突然変異の操作を行った後，手順1へ戻る．

ディング）が迫伝的アルゴリズムの探索能力に大きな最適化問題への遺伝的アルゴリズムの適用においては，その対象とする問題によって，さまざまなコード影響を与えることに注意しなければならない．
自然界では，増殖・淘汰と染色体の変形を通して生化およぴデコード化，再生，交叉，突然変異の方法が物種は進化していくが，遺伝的アルゴリズムにおいて提案されているが，紙数の都合上，詳細は参考書［20］も，図3に示されるような遺伝的操作とよばれる個体を参照いただければ幸いである．

に対する操作が用いられ，これらを繰り返し適用する

いま，問題（用カす角型構造を保持していることを考慮ことにより個体群を進化させる．

すれば，図4のように，個体Sを各ブロック制約

再生 個体群中の各個体の数を，その道合皮と呼ばれβメみ≦むノに対応する部分個体sJ，ノ＝1，…，♪の集まりとして捉えるのが自然のように思われる．

る評価値に応じて，増減させる．

このような観点から，加藤ら［8］は，部分個体を図

交叉 個体群中から二つの個体を無作為に抽出し，交叉率と呼ばれる確率♪。で，各個体の一部を他5のような3重構造文字列により表現し，それに対応方の一部と交換する．

したデコード化アルゴリズムを用いた遺伝的アルゴリズムによる解法を提案してきている．この手法におい突然変異 突然変異率と呼ばれる確率如で，遺伝子ては，個体Sの集合である個体群を部分個体sJ，ノ＝1，を対立遺伝子に置き換える．
迫伝的アルゴリズムの一般的な手順をまとめると次…，♪の集合である部分個体群に分解し，図6に示さのようになる．

れるように，これら♪個の部分個体群ごとに再生，手順0 あらかじめ定められた個数の個体をランダム交叉および突然変異を行うことにより，効率的な解の導出が可能となる．に発生させ，初期個体群とする．

以下に，3重構造文字列表現を用いた分解手続きを

手順1個体群の中の各個体の適合度を計算する．
手順2 終了条件が満たされていれば，手順を終了し，現時点までの最良の個体の表現型を近似最適解とす

含む遺伝的アルゴリズムの手順を示す．

手順1初期個体群として，あらかじめ設定されている個数の3重構造文字列型の部分個体をもつ個体を決定変数ベクトルズ ‥・（ズ1，J2，・・・，ズい‥・，∫乃）

コード化l†

デコード化

乱数により発生させる．

手順2 各個体（部分個体）の適合度を遺伝子型からデコードされた表現型に基づいて計算し，終了条件

個体S ‥・
第1ブロック第2ブロック

図2 決定変数ベクトルと個体の関係／

再生□□ ロ管淘汰＞＝

第タブロツタ

＼

■ ＝

部分個体

部分個体

部分個体

sI

s2

SJJ

図4 個体表現

交叉 ＝＝＝→＝■■ltl；l‡暮■ ● ● ＝＝＝コ ● ●■ ∵…ブロックの優先順位‥・変数の添字

突然変異l■l■＝l 一−−う←・■＝□□□□□□「＝

図3 遺伝的操作
2002年5月号

・‥変数の値ll

図5 3重構造文字列© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（21）299

画法のアルゴリズムをまとめると次のようになる．
遺伝的アルゴリズムを用いたファジィ大規模多目的0−1計画法のアルゴリズム
手順1問題（11）の与えられた制約領域における各目的関数の個別の最小値ガhと最大値z㌢aXを3重構造文字列表現を用いた分解手続きを含む迫伝的アルゴリズムの適用により求める．

手順2 意思決定者は，これらの値を考慮して，各目的関数に対する意思決定者のファジィ目標を表すメンバシップ関数を決定する．
手順3 問題（用を解く．この際，問題（用が角型構造の0−1計画問題であるので，3重構造文字列表現を用いた分解手続きを含む遺伝的アルゴリズムの適用が可能となる．そして，得られた解がファジィ目標を考慮した角型構造の多目的0−1計画問題に対する意思決定者の満足解となる．
本節では，大規模0−1計画問題に対する遺伝的アルゴリズムを用いたファジィ計画法について述べてきたが，詳細や具体的な数値例および対話型意思決定やファジィパラメータを含む場合への拡張に関しては，加藤らの論文［8−10］を参照していただければ幸いである．
図6 個体群の分解

4．おわりにが満たされていれば，終了（このとき，最大適合度

本稿では，大規模多目的ファジィ計画法として，大をもつ個体が最適個体とみなされる）．そうでなけ

規模計画においてしばしば見受けられる角型特殊構造

れば，手順3に進む．

を有する多目的線形計画問題と多目的0−1計画問題に

手順3†部分個体単位で再生を行う．

焦点をあて，各目的関数に対する意思決定者の人間と

手順4†交叉率カ。にしたがって，部分個体単位で交しての判断のあいまい性を考慮するためのファジィ目叉を行う．

標を導入し，BellmanとZadehのファジィ決定にお手順5†突然変異率♪mにしたがって，部分個体単位で突然変異を行う．

ける最大化決定に基づく解を求めるための問題を定式化したのち，この間題が角型構造を保持していること

手順6 交叉率♪。にしたがって，個体単位で交叉を行う．に注目して，特殊構造を利用したDantzig−Wolfeの分解手法に基づく解法と分解手続きを含む遺伝的アル手順7 突然変異率♪mにしたがって，個体単位で突ゴリズムによる解法について解説した．

然変異を行う．その後，手順2に戻る．
参考文献

上記のアルゴリズムにおいて，†のついた手順は，部分個体単位で独立に実行することができ，効率的な計算が可能となる．ここでは，この3垂構造文字列表［1］R．E．BellmanandL．A．Zadeh：Decisionmakingin
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現を用いた分解手続きを含む遺伝的アルゴリズムの詳細については述べないが，興味のある読者は加藤らの論文［8］を参照いただければ幸いである．
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