土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.

波状跳水・完全跳水及びその減勢区間における境界面（水面・底面）上の流れの方程式を用いた非静水圧準三次元解析（Q3D-FEBS）
竹村
1 正会員

吉晴 1・福岡

捷二 2

中央大学研究開発機構准教授（〒112-8551 東京都文京区春日 1-13-27）
E-mail: takemura@tamacc.chuo-u.ac.jp
2 フェロー

中央大学研究開発機構教授（同上）E-mail: sfuku@tamacc.chuo-u.ac.jp

本論文は，大規模越流構造物周辺の跳水及びその減勢区間の三次元流れを効率的に検討するための解析法を構築し，その適用性を実験から確認することを目的とする．跳水形態の遷移，減勢工背後の逆流域形
成は境界面（水面・底面）での逆流（剥離）をきっかけとする．これを水深積分モデルの枠組みで解析するために，境界面上の流れの方程式を用いた非静水圧準三次元解析法（Q3D-FEBS）を開発した．Q3DFEBS を様々な条件の実験に適用し，波状跳水，完全跳水，波状跳水から完全跳水への遷移過程を解析できること，アスペクト比の小さい流れの波状跳水に対する衝撃波の発生について課題が残されていることを示した．さらに，大河津新第二床固の大型水理模型実験（1/30 縮尺）を対象とし，跳水及びその減勢区間の流れに対する Q3D-FEBS の有効性を示した．

Key Words : hydraulic jump, undular jump, quasi-3D model, stiling basins, baffle blocks

1. 序論

験を中心に検討されてきたが，計算技術と計算機性能の向上によって，水理模型実験に加え実スケールの数値解
析を活用することで，大規模越流構造物の設計をより高精度かつ効率的に行えるようになって来ている 3),4),5),6)．
近年では，VOF（Volume of Fluid）法 7)等の界面捕獲法
を用いた各種乱流モデルや粒子法により，跳水を伴う流れの三次元解析が行われるようになっている 8),9),10),11)．跳
水内部の詳細な乱れ構造や気泡混入特性の検討には，
LESや DES等の高度な乱流モデルが用いられることもあ(1) 本研究の背景と目的
我が国の河川には，古い時代に造られた堰や床固等が多くあり，老朽化や流下能力の不足等が問題になっている．河床低下の進行した河川では，河川横断構造物上下流での水位差の増大，減勢機能劣化により，水叩き・護床工の変状や局所洗掘が進行している場合が多く見られる．水面下では構造物下部地盤の空洞化も懸念される．
これらは，洪水流による河川横断構造物の破壊危険性を高め，また，構造物下流の河道で澪筋の固定化・深掘れの要因にもなっている 1)．このような河川横断構造物の破壊危険性の評価，修繕・改修方法等の検討は喫緊の課題となっている．さらに，下流河道の流量低減に大きな効果を持つ遊水地群が，他の治水施設とともに最大限に効果を発現するための遊水地や越流堤の諸元，越流水の減勢方法等，技術的に検討するべきことは多い．近年の豪雨の頻発による流量増に対し，これら既存の治水施設を十分に活用し，河川の治水安全度を向上させることは重要な課題である 2)．
従来，河川の大規模越流構造物の設計は，水理模型実るが，跳水の平均的な水面形状や流速分布の検討には，
レイノルズ平均モデル（RANS）を用いるのが一般的である．特に，VOF法を用いた三次元 RANSは，優れた商用ソフトやオープンソースの開発・普及が進んだこともあり，構造物の設計等に広く利用され始めている．例
えば Valero et al.12)は，三次元 RANS による数値シミュレーションから，バッフルピア，シュートブロック等の減
勢池内の付属構造物の減勢効果を分析している．一方で，跳水及びその減勢区間の流れに対する三次元 RANS の適用性について詳細な実験から検証した研究は少なく，
RANS ではバッフルピア背後の水面形等を十分に再現できない例も報告されている 13)．特に河道の洪水流のよう61土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.
逆流による流速鉛直分布の変形の効果

水面での逆流とローラー渦の形成（跳水形態の遷移過程）

水面曲率に起因する非静水圧による波状の水面の形成

水面流速
zs:水面

水面流速

zs:水面

zb:底面

底面流速

zb:底面

（運動量輸送量や圧力分布の変化，乱れエネルギーの生成等）

底面での逆流（剥離）と逆流域の形成過程

底面流速z0:河床面z0:河床面(a) 波状跳水(b) 完全跳水（強制跳水）
図-1 Q3D-FEBSで解析可能な水理現象に横断構造物の存在が広い範囲の流れに影響する場合は， & Khalifa25)は，壁面噴流の理論から跳水内部の流速鉛直
上下流河道の流況・河床変動等，様々な要素が跳水及び分布を仮定することで，椿 26)，Madsen & Svendsen27)は，その減勢区間の流れに影響するため，実現象を三次元解
ローラー渦を含む上層の流速分布を三次関数，下層の析を用いて精度良く説明できるとは限らない．比較的計
流速分布を一様と仮定することで，流速鉛直分布の特性
算負荷の小さい RANSでも，数百 mの幅を持つ大規模越量（水深，最大流速等）に関する連立方程式を誘導し，流構造物周辺の三次元解析には膨大な計算量が必要なこ
完全跳水の水面形と流速鉛直分布を調べている．また，
Khan & Stet1ler28)，細田・Langhi29)は，跳水内部での流速とから，跳水及びその減勢区間の流れを含む，大規模越流構造物周辺の一連の三次元流れを効率的に検討する解
鉛直分布の変形に伴う運動量輸送や乱流混合の効果を平析法が求められている．
均流速勾配，水面勾配を用いて表現し一次元解析法に組河川の洪水流・河床変動解析では，平面二次元解析にみ込むことで，完全跳水の水面形の解析法を検討してい代表される水深積分モデルを用いることが多く，実務でる．
も広く利用されている．水深積分モデルは，鉛直方向の一方，上述した研究のうち，跳水形態の遷移を考慮し格子分割が不要であり，また，多くの場合，圧力に関すたものは細田・多田 20)のみである．細田・多田 20)は，
Boussinesq 型方程式の非静水圧項の大きさをフルード数
る収束計算を必要としないため，三次元解析に比べて計算量を著しく節約できる．本論文では，跳水及びその減の増大とともに減少させることで，跳水形態の遷移の表
勢区間における一連の急変・漸変流に対する水深積分モ現を試みている．しかし，跳水形態の遷移をフルード数
デルの開発を目的としている．以下では，既往研究ののみの要因にしている等，課題は多い．
課題と本研究の特徴について述べる．
ここまで見てきたように，波状跳水の解析では，非静水圧分布の評価が重要となるのに対し，完全跳水(2) 既往研究の課題と本研究の特徴の解析では，跳水内部での流速鉛直分布の変形によ
跳水の形態は，波状の水面を伴う波状跳水（図る運動量輸送や乱流混合の評価が重要となる．これ
1(a)）と水面付近で逆流域（ローラー渦）を伴う完らの現象を水深積分モデルの枠組みで統一的に解析す
14)
全跳水（図-1(b)）に大別できる ．これまで，波状るためには，流速や圧力の鉛直分布をできる限り一般性の高い方法でモデル化する必要がある．これには，準三跳水及び完全跳水の水深積分モデルについて，一次元
15)
水平床流れを対象に多くの研究が行われている．Serre ， 次元解析法の考え方が有効である．準三次元解析法は，
Iwasa16)は，流速鉛直分布を一様と仮定することで，三次元の流れの基礎方程式系を直接解析する代わりに，
17)
Boussinesq 型方程式 として知られる水面曲率による非水深積分して得られた流速鉛直分布に関する方程式系を解くことで，浅水流場の三次元流速分布を効率的に求め静水圧を考慮した水深積分運動方程式を導出している．
る方法である．近年では，非静水圧を考慮した準三次元
その後，Boussinesq 型方程式に基づいて，波状跳水の水16), 18), 19)
解析法 30), 31), 32)も提案されてきており，解析法の適用範囲
面形に関する理論的研究，数値解析法に関する研究 20), 21)が行われた．また，流速鉛直分布を考慮した波が拡大してきている．
内田・福岡により開発された GBVC法 32)は，水深積分状跳水の水深積分モデルには，Montes22)や Castro-Orgaz
et al.23)の研究がある．近年，Castro-Orgaz et al.23)によりの連続式と運動方程式に加え，水深積分渦度方程式，水面上の運動方程式，底面圧力の方程式等を解くことで，提案されたモデルは非静水圧の水深積分レイノルズ方程
非静水圧を考慮した三次元流速場を解析する点に特徴が式に𝑘-𝜀モデルを導入した高度なもので，実験水路での波状跳水の水面形と流速鉛直分布を良く説明している． ある．GBVC 法は，構造物を越流する急変流やその下流で生じる跳水を含め 33)，河川の多くの問題に適用され，完全跳水に関しては，Narayanan24) ，McCorquodale62土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.

し，底面からの剥離渦を供給する．解析においてこのような剥離モデルの導入が必要な理由は明らかでないが，水面や底面形状の変化が大きい区間では，
水深積分渦度方程式の物理性や解析精度に課題があ𝜂 0るものと考えている．
跳水形態の遷移，減勢工背後での逆流域形成は，いずれも水面・底面での逆流(剥離)がきっかけになると考えられる．このため，跳水及びその減勢区間の流れのよう𝜂 1に，水面・底面形状の変化が大きい場合には，水深
積分渦度方程式を用いるよりも，複雑な境界面(水面・底面)上の流れの方程式を用いて，逆流の発生とこれに伴う流速鉛直分布の変形を解析し，三次元的な運動
図-2 水平方向流速と乱れエネルギーの鉛直分布
量輸送や圧力分布の変化，乱れエネルギーの生成等を考慮した解析の方が良い．これにより，跳水形態の遷移過解析法の有効性が示されている．
程及び減勢工背後での逆流域形成過程の解析が可能にな
著者らは，信濃川大河津分水路に建設予定の新第二床り，跳水及びその減勢区間における汎用性の高い準三次固の大型水理模型実験を対象として，GBVC 法を拡張し， 元解析法が構築できることになる．
跳水及びその減勢区間における非静水圧準三次元解析法
このような考えから，本論文では，境界面上の流れの(GBVC-FSV法)について検討してきた 5),6)．通常の水深積
方程式を用いた新しい非静水圧準三次元解析法（Q3D分モデルでは，減勢工を包括するように計算格子を設定
FEBS: Quasi-3D model considering Flow Equations on Boundary
し，減勢工の体積割合を考慮するとともに，運動方程式
Surfaces）を構築する．次章では，Q3D-FEBS の解析法のに抗力項を加えることで減勢工の存在や流体力が考慮さ具体的な定式化を行い，3 章では，Q3D-FEBS を様々なれることが多い．しかし，抗力係数の大きさは粗度の配条件で行われた跳水の実験結果に適用し，波状跳水，完置等により変化することが知られており 34)，様々な条件
全跳水，さらに波状跳水から完全跳水への遷移過程の解に対応するのは難しい．著者らは，非静水圧を含む底面析を行う．4 章では，大河津新第二床固の大型水理模型
圧力が計算できるGBVC法に着目し，減勢工の形状を地実験を対象に，跳水及びその減勢区間における一連の盤高として解析に取り込み，減勢工周辺の三次元流れを
流れへの Q3D-FEBS の適用性，有効性を検討する．
解くことで任意の形状や配置を有する減勢工の流体力を評価してきた 5), 6)．また，内田 35)は，GBVC 法に非平衡粗面抵抗則を導入した GBVC4-DWL 法 36)を段落ち
2. 境界面（水面・底面）上の流れの方程式を用
下流粗面上の跳水を伴う流れに適用し，下流水深にいた非静水圧準三次元解析法（Q3D-FEBS）
よる波状跳水から完全跳水への遷移の解析を試みている．このように，GBVC 法系統の解析法を用いるこ(1) Q3D-FEBS の基礎方程式系の導出とで，跳水形態の遷移や減勢工の効果を考慮した解析が本研究では，複雑な水面・底面形状を流れの解析に適可能になりつつある．
切に取り込むため，以下に示す座標系を用いて基礎方程
一方で，基本的な跳水現象（水平床上の完全跳水式を記述する．
等）に対する解析法の適用性は十分に検討されてい𝑧𝑧(1)𝑡 ∗ 𝑡，𝑥 ∗ 𝑥 ，𝜂ない．これに加え，GBVC 法系統の解析法では，跳ℎ
水形態の遷移や減勢工背後の逆流域を解析するため
ここで，𝑖, 𝑗 = 1, 2 (𝑥 = 𝑥, 𝑥 = 𝑦)，水面𝑧=𝑧 ，ℎ：水深に，剥離モデルの導入が必要であり 5), 6), 33), 35)，解析𝑧 ）であり，𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧はデカルト座標系の独立（=𝑧法の汎用性には課題が残されている．具体的に，変数である．図-2 に示す河床面𝑧 より僅かに上の面をGBVC 法系統の解析法では，水面勾配及び河床勾配が底面𝑧 と定義しており，𝜂は水面𝑧=𝑧 で 0，底面𝑧=𝑧 で 1
砕波（剥離）限界角度を超えた場合に，その下流計算点となる関数である．任意の変数𝜙の偏微分は，チェーンにおいて次のことを考慮している．1)水面上の運動方程
ルールを用いて以下のように変換される．
式の移流項の計算では，上流からの移流がないものとす𝜕𝜙 𝜕𝜙𝜕𝑧𝜕ℎ 1 𝜕𝜙𝜂 ∗(2a)る．2)水深積分渦度の計算では，乱流拡散による渦度供
𝜕𝑡 𝜕𝑡 ∗
𝜕𝑡 ∗𝜕𝑡 ℎ 𝜕𝜂
給に加え，水面からの剥離渦を供給する．3)減勢工等
𝜕𝜙
𝜕𝜙
𝜕𝑧𝜕ℎ 1 𝜕𝜙
𝜂 ∗
(2b)
∗
∗
の段落ち背後の計算点では，仮想的に河床面を設定
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥 ℎ 𝜕𝜂

63

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.

𝜕𝜙
𝜕𝑧

1 𝜕𝜙
ℎ 𝜕𝜂

式(10)では座標変換に伴う高次項を省略している．
a) 水平方向流速と乱れエネルギーの鉛直分布
跳水内部の流速鉛直分布は三次多項式で概ね近似できることから 26), 27)，本研究では，GBVC 法 32)と同様に水平方向流速の鉛直分布を式(12)で近似する．

(2c)式(2)を用いて，デカルト座標系のレイノルズ平均の連続式と運動方程式を(𝑡 ∗ , 𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝜂)座標系に書き直すと次
式となる．
𝜕𝑤
𝜕𝑢 ℎ
𝜕ℎ
(3)
ℎ
0
𝜕𝑥 ∗
𝜕𝜂
𝜕𝑡 ∗
𝜕𝑢
𝜕𝑡 ∗

𝜕𝑢
𝜕𝑥 ∗

𝑢

1 𝜕𝜏
𝜌 𝜕𝑥 ∗
𝜕𝑤
𝜕𝑡 ∗

𝑢

1
ℎ

𝑤

𝜕𝑢
𝜕𝜂

𝑤

1 𝜕𝑝
𝜌 𝜕𝑥 ∗

𝜂𝜕ℎ 1 𝜕𝜏𝜕𝑥 ∗ 𝜌ℎ 𝜕𝜂

𝜕𝑧
𝜕𝑥 ∗

𝜂

𝜕𝑤
𝜕𝑥 ∗

𝑤

𝜕𝑤
𝜕𝜂

𝜕𝑧
𝜕𝑥 ∗

𝜕ℎ 1 𝜕𝜏𝜂 ∗𝜕𝑥 𝜌ℎ 𝜕𝜂

𝜕𝑧
𝜕𝑡 ∗

𝜕𝑧
𝜕𝑥 ∗

𝜕ℎ
𝜂 ∗
𝜕𝑡

𝑔

𝜕𝑧
𝜕𝑥 ∗

𝑢

𝜕ℎ 1 𝜕𝑝𝜕𝑥 ∗ ℎ 𝜕𝜂

1 𝜕𝜏
𝜌ℎ 𝜕𝜂

1 𝜕𝑝
𝜌ℎ 𝜕𝜂

𝑢

𝜕ℎ
𝜂 ∗
𝜕𝑥

(4)

𝑢

(5)
𝑤

𝜌𝜈

𝜏
𝜏

2𝜌𝜈

2
𝜌𝑘𝛿
3

(7a)

1 𝜕𝑢
ℎ 𝜕𝜂

𝜕𝑤
𝜕𝑥 ∗

(7b)

1 𝜕𝑤
ℎ 𝜕𝜂

2
𝜌𝑘
3

(7c)

𝑝

𝜕𝑘
𝜕𝑥 ∗

𝜏
𝐹

𝑤

𝜕𝑘
𝜕𝜂

𝜕𝐹
𝜕𝑥 ∗

1 𝜕𝐹
ℎ 𝜕𝜂

𝑝

𝜕𝑢
𝜕𝑥 ∗

𝜕𝑤
𝜕𝑥 ∗

𝜏

𝜕𝑧
𝜕𝑥 ∗
𝑘 ⁄
𝑙
1 𝜕𝑢
ℎ 𝜕𝜂

𝑙 √𝑘

𝑘

(8)
𝜏 𝜕𝑤
ℎ 𝜕𝜂

𝜈 1 𝜕𝑘𝜎 ℎ 𝜕𝜂

0

(13a)
(13b)
(13c)

𝑈

∆𝑘 12𝜂
12𝜂
𝛿𝑘 4𝜂
3𝜂

1
(14)

𝐾

𝐾，𝛿𝑘=𝑘𝑘 ，𝐾：水深平均の乱れ
ここに，∆𝑘=𝑘エネルギー，𝑘 ：水面の乱れエネルギー，𝑘 ：底面の乱れエネルギーである．式(14)は以下の条件を満たす．

𝜕ℎ 1 𝜕𝐹𝜕𝑥 ∗ ℎ 𝜕𝜂

𝑐

𝜈 𝜕𝑘
，𝐹
𝜎 𝜕𝑥 ∗𝜈𝜂

𝜕𝑢
0 at 𝜂𝜕𝜂𝑢at 𝜂 1河川や沿岸域等の浅水乱流場の平面二次元解析や準三次元解析では，乱れエネルギーの鉛直分布を無視することが多い 38), 39)．しかし，完全跳水のような極めて乱れ構造の複雑な現象に対しては，乱れエネルギーの鉛直分布を無視できないものと考えられる．完全跳水の乱れエネ
ルギーは，ローラー渦による逆流域と主流部の境界付近
で最大となり，水面と底面に向かい減少する特徴を持つことから，この特徴を表せる単純な関数として，水平方
向流速と同様に三次多項式で乱れエネルギーの鉛直分布を近似する．
𝑘

は解析法の簡潔さを優先し，乱れエネルギの輸送方程式を用いた一方程式モデルを採用する．
𝑢

(12)

𝑈

𝑢 ，

𝑢 𝑑𝜂

ここに，𝜈 ：渦動粘性係数，𝑘 ：乱れエネルギー，𝛿 ={1 (𝑖 = 𝑗), 0 (𝑖 ≠ 𝑗)}である．跳水現象の解析では乱流モ
デルに𝑘 - 𝜀モデルを用いることが多い．しかし，ここで

𝜕𝑘
𝜕𝑡 ∗

4𝜂

(6)

𝜕𝑢
𝜕𝑥 ∗

𝜕𝑢
𝜕𝑥 ∗

3𝜂

𝑢

る．レイノルズ応力はブシネスク近似を用いて次のように表される．
𝜌𝜈𝛿𝑢1

件を満たす．

ここに，𝑢 ：𝑥 方向の流速，𝑤：𝑧方向の流速，𝑝：圧力，
𝜌：水の密度，𝑔：重力加速度，𝜏：レイノルズ応力であ𝜏12𝜂

𝑈 ，𝛿𝑢 =𝑢𝑢 ，𝑈 ：𝑥 方向の水
ここに，∆𝑢 =𝑢
深平均流速，𝑢 ：𝑥 方向の水面流速，𝑢 ：𝑥 方向の底面流速である．添え字の”𝑠”と”𝑏”は，水面𝑧=𝑧 (𝜂=0)と底面𝑧=𝑧 (𝜂=1)での値をそれぞれ表し，式(12)は以下の条

1 𝜕𝜏𝜌 𝜕𝑥 ∗1 𝜕𝜏𝜌ℎ 𝜕𝜂

∆𝑢 12𝜂𝑘，𝜕𝑘𝜕𝜂

0 at 𝜂

𝑘

𝑘

at 𝜂
𝑘𝑑𝜂

(9)

𝐾

1

0

(15a)
(15b)
(15c)

次に，式(12)，式(14)の未知量である水深平均流（ℎ, 𝑈 ,𝐾）及び境界面（水面・底面）上の流れ（𝑢 , 𝑢 , 𝑘 , 𝑘 ）(10)の方程式系を導出する．
b) 水深平均流の方程式系
水平方向流速と非静水圧の鉛直分布を考慮するために，
水平方向流速を水深平均値と水深平均値からの偏差成分
𝑢 の和（𝑢 =𝑈 +𝑢 ），圧力を静水圧と非静水圧𝑝 の和（𝑝=𝜌𝑔ℎ𝜂+ 𝑝 ）でそれぞれ表し，式(3)，式(4)に示した(11)

ここに，𝐹 ，𝐹 ：乱流による乱れエネルギーの𝑥 方向
及び𝑧方向フラックス，𝑝 ：乱れエネルギーの生産率でる．式(8)のモデル定数は Deigaard et al.37)を参考に𝜎 =1.0，
𝑐 =0.08，𝑙 =𝑐 ℎ，𝑐 =0.07 とした．なお，式(7)，式(9)，64土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.

連続式と水平方向の運動方程式を水面・底面の運動学的
境界条件
𝜕𝑧
𝑢
, 𝑤
𝜕𝑥 ∗

𝜕𝑧
𝜕𝑡 ∗

𝑤

𝑤

𝜕𝑧
𝑢
𝜕𝑥 ∗

𝜕𝑧
𝜕𝑡 ∗

分することで，鉛直方向流速を次のように表せる．

(16)

𝜕𝑧
𝜏 | , 𝑆𝜏̂
𝜕𝑥 ∗

𝜏 |

𝑆

𝜕𝑧 ⁄𝜕𝑥 ∗ , 𝑆

1

𝜕𝑧
𝜏 |
𝜕𝑥 ∗

𝜏 |

𝑝
𝜌

のように表せば，以下に示す水深積分の連続式と運動方
程式を得る．
𝜕ℎ
𝜕𝑡 ∗
𝜕𝑈 ℎ
𝜕𝑡 ∗

𝜕𝑈 𝑈 ℎ
𝜕𝑥 ∗

𝜕𝑧
𝑔ℎ ∗
𝜕𝑥

𝑝 𝜕𝑧
𝜌 𝜕𝑥 ∗

𝜕ℎ𝑢 𝑢

𝜕𝑈
𝜕𝑥 ∗

𝜕𝑈
𝜕𝑥 ∗

𝜌𝜈

𝜏

𝜕𝑈 ℎ
𝜕𝑥 ∗

𝜕𝑥

∗

(19)

0

2
𝜌𝛿 𝐾,
3

𝑆

𝜏̂
𝜌

(20)

𝑙 √𝐾

(21)

𝜈

ここに，𝑢 ：𝑥 方向流速の水深平均値からの偏差成分，
𝑝 ：圧力の非静水圧成分，𝜏̃ ：𝑥 方向の水面せん断応力，𝜏̂ ：𝑥 方向の底面せん断応力であり，” ” は水深平均値を表す．なお，𝜏̃ はゼロとしている．式(20)の水深
積分の運動方程式は，右辺第二項，第三項で非静水圧，
右辺第四項で流速鉛直分布による運動量輸送が考慮される点が通常の平面二次元解析法と異なる．流速鉛直分布による運動量輸送量の水深平均値は，式(12)から式(22)のように求められる．
𝑢𝑢

13
∆𝑢 ∆𝑢
35

2
∆𝑢 𝛿𝑢
35

𝑊

𝑤𝑑𝜂

𝜕
ℎ
𝜕𝑥 ∗

𝑢 𝑤𝑑𝜂

1 𝜕
ℎ
𝜌 𝜕𝑥 ∗

𝜏 𝑑𝜂

𝜏
𝜌

𝜂

𝜕𝑧
𝜕𝑥 ∗

𝜕ℎ
𝜕𝑥 ∗

𝜕ℎ
𝜕𝑥 ∗

𝜕
𝜕𝑥 ∗

𝑢 𝑑𝜂

(24)

1 𝜕
ℎ
𝜌 𝜕𝑥 ∗

𝜏
𝜌

𝜕𝑧
𝜕𝑥 ∗

𝜂

𝜕ℎ
𝜕𝑥 ∗

𝑤

𝑈

𝜕𝑧
𝜕𝑥 ∗

𝜂

𝜏
𝜌
𝜕ℎ
𝜕𝑥 ∗

𝜏 𝑑𝜂
(25)
(26)

𝛿𝑤
1 2𝜂
2
𝑧
𝑧
1𝜕 𝑧
1 𝜕 𝑧
𝑈
∗
∗
𝜕𝑡
𝜕𝑥
2
2
𝑊

𝛿𝑢
20

∆𝑢
10

(27)

(28)

𝑤 で
ここで，𝑊：水深平均の鉛直方向流速，𝛿𝑤=𝑤
ある．水面・底面での鉛直方向流速𝑤 ，𝑤 は，式(16)の運動学的境界条件から与える．式(28)の水深平均の鉛直
方向流速𝑊は，式(24)に式(12)を代入し水深積分することで得られる．式(27)は鉛直方向流速を直線分布と置いたものであるが，式中に表れる𝑊及び𝛿𝑤には，水平方
向流速の鉛直分布や水面流速，底面流速が考慮されている．これにより，流速鉛直分布の変形に伴う圧力分布の変化を考慮することができる．
式(25)に式(27)を代入し，右辺第二項の水平方向のレイ
ノルズ応力項を無視し，右辺第三項以下のレイノルズ応
力項を底面せん断応力を用いて

ℎ𝑤𝑤
𝜏
𝜌

𝜕
ℎ
𝜕𝑥 ∗

𝑤𝑑𝜂

1 𝜕
ℎ
ℎ 𝜕𝑥 ∗

𝛿𝑢 ∆𝑢

𝜕
ℎ
𝜕𝑡 ∗

ℎ𝑈

𝑤

3
(22)
𝛿𝑢 𝛿𝑢
35
次に，圧力の鉛直分布について考える．式(5)の鉛直方向の運動方程式を水面𝜂=0 から任意の高さ𝜂まで積分する．その後，式(16)の水面の運動学的境界条件，水面で圧力とせん断力ゼロの条件を課せば非静水圧の鉛直分
布を次のように表せる．
𝑝𝜌𝜂

この場合，式(26)に示す鉛直方向流速は直線分布になる．
これを式(25)に代入し，レイノルズ応力項を無視すればBoussinesq 型方程式の圧力分布（放物線分布）が得られる 17)．このような仮定は，波状跳水の解析に有効なことが示されている 20), 21)．一方，式(26)では，鉛直方向流速の計算に水平方向流速の鉛直分布が考慮されない．このため，フルード数の増大によって水面で逆流（剥離）が生じ，流速鉛直分布が大きく変形することで，圧力分布が変化する機構を考慮できず，砕波に伴う波状跳水から完全跳水への遷移を説明できない．本研究では，式(26)の代わりに，式(27)で鉛直方向流速の直線分布を表現することで，式(25)の非静水圧分布に水平方向流速の鉛直分布を考慮することにした．

1 𝜕ℎ𝑝
𝜌 𝜕𝑥 ∗1 𝜕ℎ𝜏𝜌 𝜕𝑥 ∗

𝜕𝑧
𝜕𝑥 ∗式(23)，式(24)は式(25)，式(26)のようになる．
(17)
(18)

𝜕𝑧 ⁄𝜕𝑥 ∗1

𝑢

式(23)に式(12)，式(24)を代入すれば，非静水圧の鉛直分布が求められるが，計算の安定性を考え，非静水圧については主要な部分のみを考慮し以下のように表す．
水平方向流速を一様(𝑢 =𝑈 )かつ定常流を仮定すればのもと水深積分する．ここで，𝑤 ：𝑧方向の水面流速，
𝑤 ：𝑧方向の底面流速である．単位水平面積当たりに水面及び底面に作用する𝑥 方向のせん断力を
𝑆𝜏̃

𝜕𝑧
𝜕𝑡 ∗

(23)

同様に式(3)の連続式を水面𝜂=0 から任意の高さ𝜂まで積65土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.

𝜏
𝜌

𝜕𝑧
𝜕𝑥 ∗

𝜂

𝜕ℎ
𝜕𝑥 ∗

𝜏
𝜌

𝜂𝑆

𝜏̂
𝜌

し，本研究では式(20)の運動方程式との整合をとり，水深平均のレイノルズ応力による乱れエネルギーの生産のみを考慮する．式(9)の右辺第二項，第三項の鉛直方向
流速を無視し，渦動粘性係数を鉛直方向に一定と仮定し，レイノルズ応力の等方成分が乱れエネルギーの生産に影響しないことを考慮すれば，水深平均の乱れエネルギーの生産率は次式のようになる．

(29)のように表すことにより，式(30)に示す非静水圧の鉛直分布式が得られる．ここで，𝜏̂ ：𝑧方向の底面せん断応
力である．
𝑝
𝜌

𝜂ℎ𝑈

𝜕𝑊
𝜕𝑥 ∗

𝜂

𝜂

𝑈 ℎ 𝜕𝛿𝑤
2 𝜕𝑥 ∗

𝜂𝑆

𝜏̂
𝜌

(30)

𝑃

式(30)から，底面での非静水圧，水深平均の非静水圧がそれぞれ式(31)，式(32)のように得られる．
𝑝
𝜌

𝑈ℎ

𝑝
𝜌

1𝑝
2𝜌

𝜏̂
𝜌

(31)

𝑈 ℎ 𝜕𝛿𝑤
12 𝜕𝑥 ∗

(32)

𝜕𝑊
𝜕𝑥 ∗

𝑆

𝜈

1 𝜕𝑈
2 𝜕𝑥 ∗

𝜕𝑈
𝜕𝑥 ∗

1
ℎ

𝜕𝑢
𝜕𝜂

𝑑𝜂

(36)

完全跳水で形成されるローラー渦や減勢工背後の逆流域での乱れエネルギーの生産は，流速鉛直分布の影響を表す式(36)の右辺第二項で考慮される．本研究では，式(36)の𝜕𝑢 /𝜕𝜂を式(12)から与え，水深平均の乱れエネルギーの生産率を次式で評価する．

式(31)には底面せん断力が含まれており，等流状態に𝑝はゼロとならない．これは，付録 1 に示すように，本研
1 𝜕𝑈 𝜕𝑈
究では鉛直方向に静水圧を仮定するため，斜面上の静水𝑃𝑐 𝜈
2 𝜕𝑥 ∗ 𝜕𝑥 ∗圧𝜌𝑔ℎ cos 𝜃との差分が𝑝 として表現されるためである．
水深平均の乱れエネルギーは，水平方向流速及び乱れ
127𝛿𝑢 ∆𝑢 8𝛿𝑢
2∆𝑢
(37)
5ℎ
エネルギーを水深平均値と水深平均値からの偏差成分𝑢 ，𝑘 の和（𝑢 =𝑈 +𝑢 , 𝑘=𝐾+𝑘 ）でそれぞれ表し，式(8)を水
ここで，𝑐 は乱れエネルギーの生産率と逸散率のバラン深積分した次式より求める．
スを調節するために導入した定数であり，3 章の既往実験の再現計算等から𝑐=0.5 と定めた．
𝜕𝐾
𝜕𝐾
1 𝜕ℎ𝑢 𝑘1 𝜕 ℎ𝜈 𝜕𝐾𝑈∗∗∗∗
なお，式(16)の底面の運動学的境界条件は，底面を横
𝜕𝑥
𝜕𝑡 ∗
ℎ 𝜕𝑥
ℎ 𝜕𝑥 𝜎 𝜕𝑥⁄0とならない．
切るフラックスがある場合，𝜂 = 1 で𝑤
𝐾
𝜈 𝜕𝑘
(33)
𝑃
𝑐
𝜎 ℎ 𝜕𝜂
𝑙
これを求めるには底面𝑧 より下層の流れを解く必要が36)ある．固定床ではこの影響は小さいと考え，本論文でここに，𝑘 ：乱れエネルギーの水深平均値からの偏差成
は底面を横切るフラックスはないものとしている．
分，𝑃 ：水深平均の乱れエネルギーの生産率である．
c) 境界面（水面・底面）上の流れの方程式系
式(8)の水深積分においては，水面からの乱れエネルギ
境界面（水面・底面）上の水平方向の運動方程式は，
ーのフラックスをゼロ，底面からの乱れエネルギーのフ= 0, 𝜂 = 1 をそれぞれ代入すれば導くことができ
式(4)に𝜂
ラックスを次のように与えている．
る．圧力を静水圧と非静水圧の和 𝑝= 𝜌𝑔𝜂+𝑝 で表し，式𝜕𝑧𝜈 𝜕𝑘(16)の運動学的境界条件，水面で圧力とレイノルズ応力
(34)
𝐹 | ≅
𝐹 |
𝜕𝑥 ∗
𝜎 ℎ 𝜕𝜂
をゼロとすれば次式となる．
式(14)より𝜕𝑘⁄𝜕𝜂 | = 12∆𝑘 6𝛿𝑘である．
𝜕𝑢𝜕𝑢𝜕𝑧
1 𝜕𝑝 𝜕𝑧
𝑆 𝜕𝜏̃
(38)
𝑢
𝑔 ∗
式(33)の右辺第一項は，流速鉛直分布による乱れエネ
𝜕𝑡 ∗
𝜕𝑥 ∗
𝜕𝑥
𝜌ℎ 𝜕𝜂 𝜕𝑥 ∗ 𝜌ℎ 𝜕𝜂
ルギーの輸送項であり式(12)，式(14)から
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑧
1 𝜕𝑝
𝑢
𝑔 ∗
∗
∗
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜌 𝜕𝑥 ∗
13
2
𝑢𝑘
∆𝑢 ∆𝑘
∆𝑢 𝛿𝑘 ∆𝑘𝛿𝑢
35
35
1 𝜕𝑝 𝜕𝑧
1 𝜕𝜏
𝑆 𝜕𝜏̂
(39)
3
∗
∗
(35)
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜂
𝜌ℎ
𝜌
𝜌ℎ
𝛿𝑢 𝛿𝑘
35
𝜕𝑢
𝜕𝑢
2
のようになる．式(33)の右辺第二項の水平方向の乱流拡
(40)
𝜏 │
𝜌𝜈
𝛿 𝑘
𝜕𝑥 ∗
𝜕𝑥 ∗
3
散，第五項の逸散率は水深平均の乱れエネルギーを用いて評価する．水深平均の乱れエネルギーの生産率は，式𝜏̃ (= (𝜏 𝜏 ∂𝑧 / ∂𝑥 ∗ ) /𝑆 )：水面に平行な面に作用する𝜏 ∂𝑧 / ∂𝑥 ∗ ) /𝑆)：
(9)を水深積分することで定式化できる．式(9)の右辺第𝑥 方向のレイノルズ応力，𝜏̂ (= (𝜏一項は水平方向のレイノルズ応力による乱れの生産を表
底面に平行な面に作用する𝑥 方向のレイノルズ応力，で66

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.

ある．式(39)に示した底面上の運動方程式は，底面での非静水圧とレイノルズ応力はゼロでないため，式(38)に示した水面上の運動方程式に比べ項が多くなっている．
式(40)では，渦動粘性係数に水深平均値を用いる．これは，後述する底面での渦動粘性係数を用いた場合，底面流速の水平混合が小さく計算される傾向にあったためである．式(38)，式(39)の水面と底面上の運動方程式に含まれる𝜕𝑝 ⁄𝜕𝜂 | ，𝜕𝑝 ⁄𝜕𝜂 | は，式に𝜂 = 0, 𝜂 = 1 をそれぞれ代入し，非定常項とレイノルズ応力項を無視した次式で評価する．
1 𝜕𝑝
𝜌ℎ 𝜕𝜂

𝜕𝑤
𝑢
,
𝜕𝑥 ∗

1 𝜕𝑝
𝜌ℎ 𝜕𝜂

𝜕𝑤
𝑢
𝜕𝑥 ∗

𝜏̂

渦動粘性係数を𝛼 𝜏̂ /𝜌ℎ(𝛼=𝜅⁄6, 𝜅=0.41)で鉛直方向に一様とし，等流状態の流速鉛直分布を導けば次式のようになる 39),42)．
𝑢

𝜈 𝜕 𝑢
ℎ 𝜕𝜂

,

𝜈

𝑘

𝑙

(41)


𝑢

𝜕𝑘
𝜕𝑥 ∗
𝑆

𝑐

𝑐

𝑘
𝑙

𝐶
1
2𝐶 ⁄𝜅

1

𝑘

⁄

(43)

𝜏̂
𝑆 𝜏̂
𝜌 𝛿𝑧

(44)

せん断応力は次式で評価する．
𝜈 𝜕𝑢
ℎ 𝜕𝜂

,

𝜈

𝑙

𝑘

𝑐

(47)

𝑐 ,

𝑔𝑛
ℎ ⁄

𝐶

(48)

𝛼
𝑐

1

𝑢∗
𝑐

(49)

𝜌𝑐 𝑤 |𝒖𝒃 |⁄ 1

𝑐

(50)

式(47)の流速分布は渦動粘性係数を一様と仮定することで導かれている．Q3D-FEBS では，乱れスケール𝑙 を鉛直方向に一定としているため，等流状態に式(12)が式(47)の流速鉛直分布と一致するには乱れエネルギーが一様分布になる必要がある．式(43)に示す水面上の乱れエネル
ギーの輸送方程式には，乱れの生産項が含まれないため，
Q3D-FEBS の乱れエネルギーは，等流状態に一様分布か
ら若干外れることになるが，数値実験から式(12)は式(47)の流速鉛直分布とほぼ一致し，マニング則の等流水深を説明できることを確認している．
底面と河床面の距離𝛿𝑧 (=𝑐 ℎ)を定めるパラメータ𝑐 は，式(39)の底面上の運動方程式の抵抗項の大きさに直接関係するため，各項とのバランスを見ながら定める必要がある．現在のところ，水深よりも大きな計算格子を用いる場合は𝑐 =0.03 程度，水深よりも十分小さな計
算格子を用いる場合は，𝛿𝑧 が計算格子幅の 1/10 程度になるように𝑐 を定めるのがよいと考えている．なお，3章，4 章の計算には𝑐 を 0.03～0.01 の範囲で与えている．
𝑐 の大きさは，底面を横切るフラックスの大きさとともに今後の検討課題である．

ここで，𝜏̂ ：𝑥 方向の河床面のせん断応力であり，
𝛿𝑧 (=𝑐 ℎ)は底面と河床面の距離である．𝑥 方向の底面
𝜏̂
≅
𝜌

1

式(48)，式(49)が常に成り立つものとし，底面の乱れエネ
ルギー及び河床面のせん断応力を評価する．式(31)に含まれる𝑧方向の底面せん断応力は，等流状態における底面と河床面のせん断応力の関係から次式で与える．

ここで，式(14)より𝜕 𝑘⁄𝜕𝜂 | = 24∆𝑘 6𝛿𝑘である．水面では応力ゼロを仮定するため，乱れエネルギーの生産はなく，左辺第二項の乱流拡散によって内部の流れから水面に乱れエネルギーが供給される．
式39の抵抗項は，図-2 に示した底面𝑧 と河床面𝑧 のせん断応力の差をとり次のように近似する．
≅

𝜏̂

𝜏̂

度𝑢∗ (= 𝜏̂ /𝜌)を関係づけると式(49)になる．

𝜏̂

𝑆 𝜕𝜏̂
𝜌ℎ 𝜕𝜂

3𝜂 ,

のようになる．また，式(45)に示した𝜈 = 𝑙 𝑘 の関係
から，等流状態における底面の乱れエネルギーと摩擦速(42)𝜕 𝜈 𝜕𝑘𝜕𝑥 ∗ 𝜎 𝜕𝑥 ∗𝜈 𝜕 𝑘
𝜎 ℎ 𝜕𝜂

11
𝜅

式(46)から𝑐 とマニングの粗度係数𝑛の関係を導くと，

ここで，式(12)より𝜕 𝑢 ⁄𝜕𝜂 | = 24∆𝑢 6𝛿𝑢 である．
水面上の乱れエネルギーの輸送方程式は，式(8)に𝜂=0を代入することで，式(43)のように得られる．
𝜕𝑘
𝜕𝑡 ∗

𝑈
𝜏̂ ⁄𝜌

式(38)の抵抗項（最終項）は，以下のように近似する．
≅𝑆

(46)

ここで，𝒖𝒃 = (𝑢 , 𝑣 , 𝑤 )：底面に沿う流速ベクトル，𝑢 ,𝑣 , 𝑤 ：𝑥, 𝑦, 𝑧方向の底面流速である．本研究では，等流状態の流速鉛直分布を仮定することで式(46)の𝑐 及び底面の乱れエネルギー𝑘 を以下のように与える．

ここで，水面下で大気圧以下の圧力は生じないものと考え 40)， 𝜕𝑝 ⁄𝜌ℎ𝜕𝜂| 𝜕𝑝 ⁄𝜌𝜕𝑧| は𝑔を上限値とする．
𝑆 𝜕𝜏̃
𝜌ℎ 𝜕𝜂

𝜌𝑐 𝑢 |𝒖𝒃 |(45)

ここで，式(12)より𝜕𝑢 ⁄𝜕𝜂 | = 12∆𝑢 6𝛿𝑢 である．
d) 底面の境界条件
上述した Q3D-FEBS の方程式系を閉じるには，底面で境界条件を与える必要がある．𝑥 方向の河床面のせん断
応力は，立山ら 41)を参考に底面に沿う流速を考慮した次式で与える．

67

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.
平均流の方程式系

𝑘 の輸送

水面上のTKEの輸送
方程式：式(43)𝜈

Kの三次元輸送・生産
水深平均TKEの輸送
方程式：式(33)

水深積分運動方程式・連続式：式(19),(20)𝜈𝜈

河床面のせん断応力（平衡状態） ：式(46)14𝑈ℎ, 𝑉ℎ(𝑖, 𝑗 +1)
(𝑖, 𝑗)(𝑖, 𝑗 -1)

(𝑖 -1, 𝑗)ℎ, 𝑈ℎ, 𝑉ℎ, 𝑊, 𝑝 , 𝑝 , 𝐾,𝑢 , 𝑣 , 𝑤 , 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ,𝑘)

底面のTKE(平衡状態)：式(49)の鉛直分布：式(TKE

12

底面上の運動方程式：式(39))

流速鉛直分布：式(

水面上の運動方程式：式(38)(𝑖+1, 𝑗)

乱れの方程式系ℎ :水深，𝑈,𝑉, 𝑊: 𝑥,𝑦,𝑧方向の水深平均流速，𝑝 ：底面の非静水圧，𝑝 ：水深平均の非静水圧，𝐾 :水深平均乱れエネルギー， 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ：𝑥,𝑦,𝑧方向の水面流速，𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ： 𝑥,𝑦,𝑧方向の底面流速，𝑘 :水面の乱れエネルギー

TKE：乱れエネルギー：境界条件

図-4 計算格子における主要な変数の配置

図-3 時間発展型の方程式群の相互関係
表-1 対象とした実験条件
Gotoh et al.

44)

45)

Chanson

Chachereau

跳水の形態

波状跳水

波状跳水

完全跳水

水路長 (m)

*

20

3.2

15

水路幅 (m)

*

0.86

0.25

0.5

水路勾配

1/282

1/225

水平床

*

4.96

44.6

-3

3

流量 (10 m /s)

87.5に一次精度の風上差分を用いる．Q3D-FEBS は，非静水圧を考慮した流れの計算を行うが全ての未知量を陽的に解析するため，解析法が明解かつ計算負荷が小さいメリットがある．
Q3D-FEBS の解析では，上下流端の境界条件として水深平均流速，水深に加え，水表面流速，底面流速，水深平均の非静水圧，底面の非静水圧の値が必要となる．本
研究では，上流端では流下方向流速を一様分布，下流端
では一つ上流の計算点における流下方向流速の鉛直分布を与え，上下流端ともに横断方向流速をゼロとしている．
また，上下流端では圧力分布を静水圧と仮定し，水深平均の非静水圧，底面の非静水圧をゼロとする．また，側壁では，水深積分運動法方程式，水面・底面上の運動方
程式ともにスリップ条件を用いる．これはアスペクト比の大きい流れを対象とすることを前提としており，側壁近傍の複雑な流れが影響するアスペクト比の小さい流れの構造を十分に考慮できなくなるが，この点については今後の検討課題とする．

46)& Chanson

流入射流の条件
1.11

フルード数

1.27
5*

3.1
4

4

レイノルズ数

1.0×102.1×108.9×10

※

9.0

8.7

11.0

完全

完全

不完全

アスペクト比乱流境界層の発達状況※ アスペクト比 = (水路幅) / (跳水開始地点の射流水深)(2) Q3D-FEBS の数値解析法と上下流端・側壁の境界条件
図-3 に Q3D-FEBS で解かれる時間発展型の方程式群の相互関係を示す．時間発展型の方程式は，式(19)の水深
積分連続式，式(20)の水深積分運動方程式，式(33)の水深
3. 波状跳水と完全跳水の既往実験への Q3D積分乱れエネルギーの輸送方程式，式(38)の水面上の運
FEBS の適用性
動方程式，式(39)の底面上の運動方程式，式(43)の水面上の乱れエネルギーの輸送方程式である．全て時間前進の(1) 波状跳水と完全跳水の解析
陽解法で計算する．図-4 に計算格子における主要な変数対象とした実験条件を表-1 に示す．実験では，跳水開の配置を示す．本研究では，水深積分運動方程式の移流43)始地点より上流で流速鉛直分布が計測され，乱流境界層項の計算に CIP-CSL 法を応用する ．このため，式(20)の発達状況が表-1 のように調べられている．波状跳水をを計算格子で面積分，計算格子の境界で線積分すること
44)
45)で離散化し，𝑈ℎ，𝑉ℎの面平均値と線平均値を計算する． 対象とした Gotoh et al. ，Chanson の実験は乱流境界層
その他の主要変数は，計算格子の面平均値のみ計算する． が完全に発達した状態で跳水が生じており，完全跳水を対象とした Chachereau & Chanson46)の実験は，乱流境界層
また，式(31)の底面の非静水圧の方程式，式(32)の水深の発達途中で跳水が生じる条件で行われた．
平均の非静水圧の方程式，式(41)の水面・底面での非静Castro-Orgaz et al.23)は，彼らの提案した水深積分モ
水圧の鉛直勾配の方程式は，𝑧方向の運動方程式から導デルを Gotoh et al.44) の波状跳水の実験に適用し，かれるため，移流項の計算が必要となる．本研究では，
Boussinesq 型方程式，鉛直二次元モデル（2DRANS）
水深積分運動方程式を除く全ての方程式の移流項の計算

68

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.

(a) Δx = 0.01m
図-5 Gotoh et al.44)の波状跳水実験と Q3D-FEBS，既
往の解析モデルによる水面形の比較

図-6 Chanson45)の波状跳水実験と Q3D-FEBS による水面形の比較(b) Δx = 0.004mの解析結果と比較している．図-5 は，Castro-Orgaz etal.23)の図に Q3D-FEBS の解析結果を重ね示したものである．縦断距離と水深は限界水深でそれぞれ無次元化し，跳水開始地点を原点としている．解析条件は，表-1 のとおりである．Gotoh et al.44)の論文には，詳細な水理条件の記載がなく，表-1 の流量や水路幅等の“*”が付いた
値は論文に記載された情報からの推定値である．
Castro-Orgaz et al.23) と同様に跳水開始地点より上流の水深が 0.0953 m，フルード数が 1.11 となるように粗度係数 0.011 m-1/3/s 及び流量を与え，流速分布が十分発達した水路上流端から 11.3 m の位置で跳水が生じる
ように水路下流端水位を調整し解析を行った．計算格子
幅∆𝑥は∆𝑥=0.01 m（∆𝑥/ℎ ≒0.1，ℎ ：共役水深）とし，計算刻み時間は 1/104 秒とした．図-5 に示すように，薄い黒の実線で示す Boussinesq 型方程式は，波状跳水の水面形が最もシャープで波長が短い．黒の実線で示す
Castro-Orgaz et al.23)の水深積分モデルと黒の点線で示
す 2DRANS は，波高に若干の違いが見られるものの，実験の波状跳水の波長や振幅を比較的良く説明できている．赤の実線で示す著者らの Q3D-FEBS は，実験に比べ三波目の頂部位置がやや上流側に生じているが，こ

図-7Chanson45)の波状跳水実験と Q3D-FEBS による圧力分布の比較

れらの解析モデルと同程度の再現性を持つことが分かる．
Chanson45)の波状跳水の実験は，水路床，側壁がガラス製の水路を用い，水路上流端から 9.5 m～15 m の位置で跳水が生じるように水路下流端の水位が調節されている．
解析は実験と同じ条件で行い，粗度係数は跳水開始地点
より上流地点の水深が実験と一致するように 0.0092 m-1/3/sとした．また，計算格子幅∆𝑥 の影響を調べるため，∆𝑥=0.01 m（∆𝑥/ℎ ≒0.25），∆𝑥=0.004 m（∆𝑥/ℎ ≒0.1）の2 ケースで解析した．計算刻み時間はそれぞれ 1/104 秒，
1/105 秒である．
図-6 は，水路中央部における実験と解析の無次元水深の縦断分布の比較を示す．実験の無次元水深はポイント
ゲージによる計測値（平均時間は不明）であり，解析の無次元水深は 10 秒間の平均値である．図-6 の黒の実線で示す∆𝑥=0.01 m とした場合，解析は波状跳水の一波目の波高を説明するものの，一波目の谷部以降の水面形を再現できていない．赤の実線で示す∆𝑥=0.004 mとした場

69

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.

逆流 順流
逆流 順流

(a) 跳水開始地点の上流断面(水路上流端から 10.99m)(a) 𝑥/ℎ =0.43(b) 一波目頂部断面

逆流 順流

図-8 Chanson45)の波状跳水実験と Q3D-FEBS による
流速鉛直分布の比較

図-9(b) 𝑥/ℎ =0.80

逆流 順流

Chachereau & Chanson46)の完全跳水実験とQ3D-FEBSによる水面形の比較(c) 𝑥/ℎ =1.61
図-10(d) 𝑥/ℎ =3.21

Chachereau & Chanson46)の完全跳水実験とQ3D-FEBSによる流速鉛直分布の比較

合，解析は波状跳水の二波目の頂部まで再現できている．
一方で，解析は実験に比べ波状跳水の波長が短く，波高
図-8 は，跳水開始地点の上流断面(水路上流端からの減衰が早く計算される傾向にあり，三波目以降は実験
10.99 m)と波状跳水の一波目頂部断面における実験ととの差が顕著になる．図-7 は，波状跳水の一波目及び二∆𝑥=0.004 mとした場合の解析の流速鉛直分布の比較であ波目の頂部断面と谷部断面における実験と Q3D-FEBS のる．流速はピトー管により計測され（平均時間は不明），
圧力分布の比較である．圧力は底面の静水圧𝜌𝑔ℎで無次解析の流速は 10 秒間の平均値である．図-8(b)のプロッ
元化し，図中の黒の実線は静水圧分布を比較のため示す． トで示すように，フルード数 1.27では波状跳水一波目の〇×の実験結果が示すように，非静水圧の効果により圧頂部断面で逆流は生じず，流速は水面付近の方が大きい．
力分布は，波状跳水の頂部断面では静水圧よりも小さく， 図-8(b)の実線で示す解析はこの傾向を説明できている．
谷部断面では静水圧よりも大きくなる．実線と点線で示
上述したように，Q3D-FEBS は，水深の 10 分の 1 程度
す Q3D-FEBS の解析圧力分布はこの変化の傾向を説明しの∆𝑥を用いることで波状跳水の水面形等を二波目までている．図-7(a)の∆𝑥= 0.01m とした場合は，二波目の谷説明できた．波状跳水の実験では，フルード数が 1.2 を部にくるとほとんど非静水圧成分がないのに対し，図超えると跳水開始地点の側壁で衝撃波が形成され，アス7(b)の∆𝑥= 0.004m とした場合は，二波目においても非静ペクト比の小さい場合は，流れの構造が三次元的になる
水圧成分が大きいままであり，特に谷部断面の圧力分布
ことが知られている 47), 48), 49)．Gotoh et al.44)の実験は衝撃
は計測値とほぼ一致する．このように，波状跳水は，水波の影響を受けないが，Chanson45)の実験は衝撃波の影響
面曲率に起因する非静水圧が重要な現象であるため，を受けることが確認されている．しかし，解析では衝撃∆𝑥の大きさが解析結果に与える影響は大きい．∆𝑥をさ
波の発生は認められず，横断面内で水位差のほとんど生
らに小さくすれば，図-6 の三波目以降の水面形を再現できる可能性があり，高次の離散化手法の導入とともに今後の検討課題である．

じない計算結果となった．アスペクト比の小さい跳水に対する Q3D-FEBS の適用性については，さらなる検討が必要である．

70

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𝐿
ℎ

12

160 tanh

𝐹
20

(51)

ここで，𝐹 ：跳水開始地点の上流断面のフルード数，
𝐿 ：ローラー渦の長さである．実験データのばらつきを考えれば，十分な再現性を持つものと考えられるが，異なるフルード数での解析を行い実験値との比較検討が必要である．
図-11では，乱流モデルの適合性の検証を目的に，Liuetal.53)の実験と水路中央部の乱れエネルギー𝐾 の縦断
図-11 Liu et al.53)の完全跳水実験と Q3D-FEBS
分布を比較した．実験の𝐾 は，ドップラー流速計を用による乱れエネルギー縦断分布の比較
い各地点で計測された乱れエネルギーの最大値であり，流入射流の流速𝑈 で無次元化されている．解析では，
表-1 の Chachereau & Chanson46)の完全跳水の実験は，側壁がガラス製，水路床がポリ塩化ビニル製の水路を用い， 式(14)から求められる各地点の乱れエネルギーの最大値
を Liu らと同様に無次元化し，図-11 の赤の実線で示し
水路上流端から約 1.5 m の位置で跳水が生じるように水ている．縦断距離は，跳水開始地点を原点にとり，水路
路下流端の水位が調節されている．実験では，スルース
下流端の水深𝑦 で無次元化している．解析は，実験のゲートにより水路上流端の流れがコントロールされてい乱れエネルギーの大きさをほぼ説明出来ている．Liu らる．解析では，既往研究 50)を参考に粗度係数 0.009 m-1/3/s
は，図-11 の黒の実線で示すように，𝐾 . /𝑈 が𝑥/𝑦 にを与え，跳水開始地点より上流地点の水深が実験と一致
対し直線的に減衰することを定式化している．解析するように，水路上流端で水深 0.04 mを与えた．その他
は，黒の実線に比べやや減衰速度が速いものの，この条件は実験と同じである．計算格子幅は∆𝑥 =0.02mの傾向を説明できている．
（∆𝑥/ℎ ≒0.12）とし，計算刻み時間は 1/104 秒とした．
以上の検討から，Q3D-FEBS は波状跳水と完全跳水を
図-9 は，水路中央部における実験と解析の水深縦断分
統一的に説明できる解析モデルであることが分かった
布の比較である．縦断距離と水深は限界水深でそれぞれ無次元化し，跳水開始地点を原点としている．実験の無(2) 跳水形態の遷移過程の解析
次元水深は，ドップラー変位計による 10 秒間の平均値
上述した Chachereau & Chanson46)の実験条件を用いて，と平均値±標準偏差の値である．解析の無次元水深は，
Q3D-FEBS により波状跳水から完全跳水への遷移過程を
水位変動がほぼ見られないため，10 秒間の平均値のみ検討する．最初に，上流端で流量 0.02 m3/s，水深 0.04 m，で示した．Q3D-FEBS は完全跳水の水面形を良く説明で下流端で水深 0.054 m を与え，波状跳水を起こす．そのきている．図-10 は，水路中央部における実験と解析の後，流れが落ち着いた状態を計算開始時間（0 秒）とし，流速鉛直分布の比較である．実験の流速は，二点電極型
上流端の水深を 0.04 mに保ったまま，60秒かけて流量をのボイド率計で計測した 45 秒間の平均値であり，解析0.0446 m3/s，55 秒かけて下流端の水深を 0.172 mまで上昇の流速は 45 秒間の平均値である．一般に，ボイド率（気液混合体に占める空気の割合）が 0.9 以上の領域は， させる．その後は，上流端の流量，下流端の水深を一定に保ち流れが落ち着くまで計算する．なお，上流端の水
飛散する水滴等から構成される 51)ため，ボイド率が 0.9
深は計算開始時間から変化させず 0.04 m を与える．また，以上の計測点は除外している．ボイド率計は，気液界面
下流端の水深および水位上昇速度は，跳水開始位置がの流速を計測するため，気泡の到達しない底面付近の流𝑥=1 m～2 mの間にくるように設定した．
速は検討できないが，解析は完全跳水の主流部の流速を
図-12 は，上記条件の下で行った Q3D-FEBS による波良く説明できている．また，解析は，完全跳水の特徴で状跳水から完全跳水への跳水形態の遷移過程の解析結果を示す．図-12(a)，(b)，(c)に示すように，流量の上昇に伴いフルード数が増大することで，跳水開始位置が下流に移動し，波状跳水の一波目頂部で水面流速が減速し始めている．その後，図-12(d)，(e)に示すように，フルー
ド数が 2.1 まで上昇すると波高の減衰が明白に見られるようになり，水面付近の逆流域の拡大とともに跳水の開始位置が上流側に移動する．上流端の流量を 0.0446 m3/s，
下流端の水深を 0.172 m まで上昇させた後，10 秒程度通ある水面付近での逆流を説明できている．水面流速の大きさには，実験と解析で差が見られる．この理由は明白ではないが，Q3D-FEBS は空気混入を考慮していないた
め，空気混入率の高い水面付近では，ボイド率計による気液界面の流速とは異なる可能性がある．解析のローラ
ー渦の長さ（跳水開始地点から水面流速が順流に戻るまでの長さ）は約 0.44 mであり，式(51)に示す Hagerの実験
式 52)による約 0.56 mに比べ若干短い．

71

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.

高さ(m)
フルード数：1.47 (0.8m地点)

水平方向流速(m/s)

上流端流量：0.02 m3/s，下流端水深：0.054 m(a)

0秒後の解析結果

高さ(m)

フルード数：1.85 (0.8m地点)

水平方向流速(m/s)

上流端流量：0.0253 m3/s，下流端水深：0.082 m(b) 13 秒後の解析結果
高さ(m)

上流端流量：0.0274 m3/s，下流端水深：0.093 m(c) 18 秒後の解析結果
上流端流量：0.0278 m3/s，下流端水深：0.095 m(d) 19 秒後の解析結果

縦断距離(m)

フルード数：2.63 (0.8m地点)

水平方向流速(m/s)

上流端流量：0.0352 m3/s，下流端水深：0.130 m(e) 37 秒後の解析結果

高さ(m)

縦断距離(m)

フルード数：2.10 (0.8m地点)

水平方向流速(m/s)

高さ(m)縦断距離(m)

フルード数：2.00 (0.8m地点)

水平方向流速(m/s)

高さ(m)縦断距離(m)

縦断距離(m)

フルード数：3.14 ( 0.8m地点)

水平方向流速(m/s)

上流端流量：0.0446 m3/s，下流端水深：0.172 m(f) 70 秒後の解析結果

縦断距離(m)

図-12 Q3D-FEBS による波状跳水から完全跳水への遷移過程の解析結果

水を続けると，最終的に図-12(f)に示すような完全跳水の状態で流れが安定する（フルード数 3.14）．
このような非定常性の高い現象に対する Q3D-FEBS のるが，少なくとも水面上の逆流とこれに伴う流速鉛直分
布，圧力分布の変形等を解析することで，水深積分モデ
ルの枠組みで，波状跳水から完全跳水への遷移過程が解析可能であることが分かった．

再現性については，今後，実験等から確かめる必要があ72

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.
流れ方向

新第二床固
バッフルピア𝑧(m)(a) 平面図
流れ方向

水叩き区間
流れ方向

𝑥(m)

𝑦(m)

図-14 床固・水叩き区間の解析地形(b) 縦断図b) 解析条件
模型設置区間を対象とし，上流端で流量 0.239 m3/s，下流端で水深 23.87 10-2 m を与えた．粗度係数は 0.012 m-1/3/s

図-13 床固・水叩き区間の平面図と縦断図
表-2 大河津新第二床固の大型水理模型実験の条件

跳水の形態

強制跳水

模型設置区間(m)

10.25

3

流量 (m /s)とした．図-14 に解析に用いた床固・水叩き区間の地形を示す．平面二次元解析等の通常の水深積分モデルでは，
バッフルピア等の大型粗度周辺の流れを適切に計算できないため，運動方程式に流体力項を付加することで大型粗度の抵抗が考慮される．これに対し，Q3D-FEBS では，
図-14 に示す大型粗度の形状を解析に取り込み流体力を直接計算する．大型粗度から受ける非静水圧分布による抵抗は，式(20)右辺第三項で評価される．なお，水深積分モデルでは，基本的に垂直壁を扱えないため，垂直壁
付近では計算格子を密に配置し急勾配斜面として扱う．
計算格子は幅0.035 m～0.01 m (∆𝑥/ℎ = 0.15～0.04)の範囲で作成した．計算刻み時間は 1/104 秒である．また，バッ

0.239
-2

下流端水深 (10 m)

23.87

4. 越流構造物下流の跳水及びその減勢区間における一連の流れに対する Q3D-FEBS の適用性
(1) 跳水及びその減勢区間における一連の流れの解析
a) 大河津新第二床固の大型水理模型実験の概要
大河津新第二床固の縮尺 1/30の大型水理模型実験が，フルピアによる強制跳水の解析を安定に行うため，底面の非静水圧𝑝 ，水深平均の非静水圧𝑝 を周囲 9 つの計算格子で平均化して評価している．平均化方法の詳細は巻
末付録 2 に示す．
c) 解析結果と考察
写真-1 は，実験の床固・水叩き区間の流況を側方から撮影した写真である．図-15，図-16 は，図-13(a)の測線 1，
測線 2 上の実験と解析の水位縦断分布と流速鉛直分布の比較である．図-15(b)，図-16(b)に示すように，解析水位は，𝑥=2.4 m 付近で観測水位に比べて若干低くなるものの，その他の地点ではプロットで示す実験水位の平均値と最大値の間にあり，実験結果を良く説明している．また，写真-1 から，実験では一列目のバッフルピア上流で強制跳水が生じている．図-15(b)，図-16(b)に示す解析は，
写真-1 から確認できる跳水の開始位置や形状を再現しており，実験の𝑥=0.4m 付近における水面流速の逆流と大きな底面流速の発生を説明できている．
図-15(a)，図-16(a)に示すように，実験ではバッフルピ
ア背後で逆流域が形成され，一列目のバッフルピアより下流では最大流速発生位置が底面付近から水面付近に移動している．図-15(b)，図-16(b)に示す解析では，一列目

国土交通省信濃川河川事務所により行われた．模型設置
区間は 10.25 m（床固法尻を原点𝑥=0 とし，𝑥= - 4.25 m～6m の区間）である．図-13 に床固・水叩き区間の平面図と縦断図を示す．新第二床固は9 m（模型値：0.30 m）もの落差を持ち，超過洪水を含む種々の流量条件に対し，
水叩き下流の水位が目標水位を満足するように，図-13に示す三列のバッフルピアの配置が実験と数値解析から試行錯誤的に決められた．表-2 に，対象とした計画流量
11,000 m3/s を想定した実験条件を示す．バッフルピアを取り除いた状態で越流部下流の水平床区間において，自然跳水開始地点より上流の射流部で計測したフルード数
及びレイノルズ数の値はそれぞれ2.4と2.3×105である．
実験では，図-13の赤の点線で示す測線 1，測線 2上で水位と流速鉛直分布が計測されている．実験条件は変動の大きい流れであったため，水位はポイントゲージの先端が水中にある時間と離れている時間が同程度になる高さ
を平均水位として計測するとともに，5 回程度の周期的な水面変動の中で最も高い水位を最大水位として計測している．流速は電磁流速計により，10 秒間の平均流速が計測された．

73

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.

写真-1 計画流量 11,000m3/sを想定した新第二床固大型水理模型実験の流況
高さ(m)：実験の平均水位：実験の最大水位
1m/s

一列目のバッフルピア

二列目のバッフルピア

三列目のバッフルピア

水叩き区間

縦断距離(m)(a) 模型実験
高さ(m)：実験の平均水位：実験の最大水位

水平方向流速(m/s)
1m/s

一列目のバッフルピア

二列目のバッフルピア

三列目のバッフルピア

水叩き区間

縦断距離(m)(b) Q3D-FEBS
図-15 測線 1 上の実験と Q3D-FEBSの水位縦断分布と流速鉛直分布の比較
高さ(m)：実験の平均水位：実験の最大水位
1m/s

一列目のバッフルピア

二列目のバッフルピア

三列目のバッフルピア

水叩き区間(a) 模型実験

縦断距離(m)高さ(m)水平方向流速(m/s)：実験の平均水位：実験の最大水位
1m/s

一列目のバッフルピア

二列目のバッフルピア

三列目のバッフルピア

水叩き区間

縦断距離(m)(b) Q3D-FEBS
図-16 測線 2 上の実験と Q3D-FEBSの水位縦断分布と流速鉛直分布の比較と二列目のバッフルピアの間の最大流速発生位置が実験の間の最大流速発生位置を十分に説明できない主な理由に比べ低い位置に生じている．Q3D-FEBS では，水平方である．
向流速の鉛直分布を式(12)の三次関数で仮定しているが，上述の課題はあるものの，解析は最大流速発生位置が底面での流速勾配が境界条件として考慮されないため，
二列目のバッフルピアから下流で次第に水面付近に移動
最大流速発生位置が水面付近よりやや下方に生じ易くなする実験の流れの特徴を良く説明できている．
っている．このことが，一列目と二列目のバッフルピア
以上のように，Q3D-FEBS は大きな落差（実スケール

74

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.
0.6

床固頂部

555555555555
𝑧

越流部

0.5

ピエゾ水頭(m)

非静水圧の水頭換算値(m)

床固法尻

1m/s

𝑧
𝑝 /𝜌𝑔
zs+p'
𝑧
𝑝 /2𝜌𝑔
系列3

0.4
0.3
0.2

一列目の
バッフルピア0.1
0-0.6 -0.4 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

測線 2

測線 1

測線 1

2.2

横断距離(m)

縦断距離(m)(a) 水深平均のピエゾ水頭の縦断分布（測線 1）

横断距離(m)

測線 2

三列目のバッフルピア

測線2
測線1
図-18の範囲

縦断距離(m)
非静水圧の水頭換算値(m)縦断距離(m)

図-18 一列目のバッフルピア周辺での底面における非静水圧の平面分布と底面流速の重ね図

バッフルピアの境界線

流入射流の慣性力で無次元化したx*方向の底面上の運動方程式の各項の大きさ(b) 底面の非静水圧の平面分布
図-17 水深平均のピエゾ水頭の縦断分布と底面の非静水圧の平面分布

で 9 m）を持つ構造物を越流する流れとバッフルピアによる強制跳水，バッフルピア背後での逆流域の形成や最大流速発生位置の水面付近への移動を水深積分モデルの枠組みで解析できており，大規模越流構造物下流の跳水及びその減勢区間における流れの解析に有効であることが分かった．以下では，Q3D-FEBS で導入された非静水圧分布の方程式，底面上の運動方程式が解析結果に果た
す役割について考察する．
図-17(a)，(b)は，Q3D-FEBS の解析結果から作成した
𝑝 /𝜌𝑔）の縦
測線 1 上の水深平均のピエゾ水頭（=𝑧断分布と底面圧力の非静水圧成分（=𝑝 /𝜌𝑔）の平面分
布である．図-17(a)の赤の実線は Q3D-FEBS による水深平均のピエゾ水頭である．Q3D-FEBS の水深平均のピエ
ゾ水頭は，青の実線で示す水位に比べ，非静水圧の効果により床固越流部やバッフルピア背後で低下し，床固法
尻やバッフルピア前面で上昇する．Q3D-FEBS は，このような越流流れやバッフルピア周辺の非静水圧分布を適切に解析できることから，図-15(b)，図-16(b)に示したよ
うに実験の水面形を説明できている．
Q3D-FEBS では，鉛直方向流速を直線分布と仮定する
ことで（式(27)），式(30)に示したように非静水圧分布は放物線分布となる．これに対し，鉛直方向流速を一様分布と仮定して，式(30)の右辺第二項をゼロとすれば，非静水圧分布は直線分布(𝑝 =𝜂𝑝 )となる．すなわち，鉛直方向流速の大きさが鉛直方向に変化する場合は，非静水圧分布は直線分布から外れることになる．図-17(a)の赤の点線は，比較のため非静水圧分布を直線分布とした場
合の水深平均のピエゾ水頭を示したものである．赤の実(-𝜌𝑔𝜕𝑧 /𝜕𝑥 ∗ )/(𝜌𝑈1 /ℎ1 )(- 𝜕𝑝′ ℎ𝜕𝜂 𝜕𝑧𝑏 /𝜕𝑥 ∗ )/(𝜌𝑈12 /ℎ1 )(- 𝑆𝜕𝜏̂ 𝑥 /ℎ𝜕𝜂 )/(𝜌𝑈12 /ℎ1 )(‐ 𝜕𝑝𝑏′ /𝜕𝑥 ∗ )/(𝜌𝑈12 /ℎ1 )𝑏𝑏(- 𝜕𝜏𝑖𝑥 |𝑏 /𝜕𝑥𝑖∗ )/(𝜌𝑈12 /ℎ1 )
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
0.55

一列目のバッフルピア設置区間

天端部
0.6

0.65

0.7

背面斜面部
0.75

0.8

0.85

縦断距離(m)

図-19 一列目のバッフルピア周辺での𝑥 ∗ 方向の底面流速の運動方程式の各項のオーダー比較（測線 1）線で示す Q3D-FEBS の水深平均のピエゾ水頭は，赤の点線に比べ縦断変化が滑らかである．特にバッフルピア周辺において，その差が顕著である．この理由を以下で述
べる．
図-18 は，図-17(b)の黒枠の範囲を拡大し，底面流速を重ね示したものである．図-18 に示すように，Q3D-FEBS
では，バッフルピア前面やバッフルピア背後で底面流速の逆流が計算されている．バッフルピア周辺では，底面付近で大きな下降流や上昇流が生じるため，鉛直方向流
速が鉛直方向に大きく変化し，図-17(a)の赤の実線と点線に違いが生じている．このような流れ場では，非静水圧分布を直線分布と仮定することは適切ではなく，式(27)の鉛直方向流速分布を用いて導かれた式(30)で非静水圧分布を与えることにより，実験のバッフルピア周辺の水面形を適切に説明できることが分かった．
次に，バッフルピア周辺の底面流速に対する式(39)に示した底面上の運動方程式の各項の役割について検討する．図-19 は，𝑥 ∗ 方向の底面上の運動方程式に着目し，右辺の各項を慣性力の代表値𝜌𝑈 /ℎ （𝑈 , ℎ ：床固法尻(𝑥=0)における流入射流の水深平均流速と水深）で無次元化し，測線 1 上の縦断分布を示したものである．値が75

土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.

正の項は底面流速を加速する方向に，値が負の項は底面流速を減速する方向に働くことを意味する．バッフルピ
アの前面では，( 𝑆𝜕𝜏̂ ⁄ℎ𝜕𝜂 | ) / (𝜌𝑈 /ℎ )の抵抗項とともに( 𝜕𝑝 ⁄𝜕𝑥 ∗ ) / (𝜌𝑈 /ℎ )が他の項に比べ大きく，その法と言える．また，Q3D-FEBS は，境界面上の流れと水
深平均の流れのみを解析するため，三次元解析に比べて計算負荷を著しく節約できる．同様の計算条件であれ
ば，平面二次元解析の 2～3 倍程度の時間で非静水圧を含めた三次元流れを計算可能である．さらに，水面や底面形状の影響が方程式系の中で分かり易く表現されており，解析結果を力学的に解釈し，物理現象の本質的な理解を得るのに適している．
一方，波状跳水の開始地点付近の両側壁で形成される
衝撃波については，Q3D-FEBS では再現出来なかった．
アスペクト比の小さい跳水の流れ構造や跳水形態の遷移過程を解析するためには，側壁近傍の流れ構造を適切に考慮し，衝撃波の形成とそれに伴う流れ場の変化を正しく求める必要があり，今後の検討課題である．

値は縦断的に負である．したがって，図-18 に示したバッフルピア前面での底面流速の逆流には，式(39)の右辺第二項が重要なことが分かる．一方，底面形状の変化が大きいバッフルピアの天端部付近では，( 𝜕𝑝 ⁄ℎ𝜕𝜂|𝜕𝑧 /𝜕𝑥 ∗ ) / (𝜌𝑈 /ℎ )が( 𝜕𝑝 ⁄𝜕𝑥 ∗ ) / (𝜌𝑈 /ℎ )とほぼ同じオーダーで働くようになる．これらの項に比べ他の項は小さい．図-18 から，非静水圧成分はバッフルピア前面
で上昇し，バッフルピア背後で低下するため，( 𝜕𝑝 ⁄𝜕𝑥 ∗ ) / (𝜌𝑈 /ℎ )の値は天端部で正となり底面流速を加速する方向に働く．これに対し，( 𝜕𝑝 ⁄ℎ𝜕𝜂|𝜕𝑧 /𝜕𝑥 ∗ ) / (𝜌𝑈 /ℎ )の値は，天端部で負となり底面流速を減速する方向に働く．このことから，図-18 に示した
バッフルピア背後の逆流域形成には，式(39)の右辺第三項が重要なことが分かる．
水面流速について同様の検討を行うには，砕波の瞬間を捉える必要があり難しいが，水面流速の逆流の計算には，式(39)の右辺第三項に対応する式(38)の右辺第二項が重要になるものと考察される．

5. 結論

本論文では，跳水及びその減勢区間における非静水圧
準三次元解析法（Q3D-FEBS）について検討した．以下に，主な結論を示す．
1) 境界面（水面・底面）での逆流を解析するために，境界面上の流れの方程式を導出した．さらに，鉛(2) 得られた成果の特色，今後の展望と課題
直方向流速の鉛直分布を考慮した非静水圧分布の本研究の先行研究として，内田・福岡により開発され方程式，乱れエネルギーの鉛直分布を考慮した乱32)5), 6)
35)
たGBVC法 に基づく著者ら ，内田 の研究がある．
流モデルを導出し，これらを水深積分の連続式及び運動方程式と連立して解析する非静水圧準三次1 章で述べたように，水深積分渦度方程式を用いる
元解析法（Q3D-FEBS）を構築した．
GBVC 法系統の解析法では，砕波（剥離）条件を設定し，
2) Q3D-FEBS を波状跳水と完全跳水の既往実験に適用
跳水形態の遷移や減勢工背後の逆流域形成をモデル化す
し次のことを明らかにした．
る必要があり，課題となっていた．また，非静水圧分布
を直線分布で与えており，前節で考察したように，底面
波状跳水は水面曲率に起因した非静水圧が重要付近で大きな下降流・上昇流の生じるバッフルピア周辺な現象であり，計算格子幅の影響を大きく受ける．
Q3D-FEBS は，水深の 1/10 程度の計算格子を用いるの解析に課題があるものと考えられる．
本論文では，水面・底面形状の急激な変化に伴う逆流（剥離）を直接解析するために，境界面（水面・底面）
上の流れの方程式を導入した．さらに，鉛直方向流速の鉛直分布を考慮した圧力分布の方程式，乱れエネルギーの鉛直分布を考慮した乱流モデルを定式化し，これらを水深積分した連続式，運動方程式とともに解析する非静水圧準三次元解析法（Q3D-FEBS）を提案した．
3 章で示したように，Q3D-FEBS は，砕波（剥離）条件を用いることなく，実験の波状跳水，完全跳水，波状跳水から完全跳水への遷移過程を解析可能である．また，4 章では，床固を越流する流れ，バッフルピアによる強制跳水，バッフルピア背後での逆流域の形成や最大流速発生位置の水面付近への移動を解析できることを明らかにした．これらの結果から，Q3D-FEBS は，跳水及
びその減勢区間における流れに対する汎用性の高い解析ことで，実験の波状跳水の水面形を二波目まで説明できる．また，Q3D-FEBS は，既往の波状跳水の水深積分モデル 23)，鉛直二次元モデルと同程度に波状跳水の水面形，圧力分布を再現できることを示した．但し，Chanson45)の実験には，衝撃波の影
響が含まれるため，この点についてはさらなる検討が必要である．
Q3D-FEBS は，完全跳水の水面形や流速鉛直分布を説明できることを示した．また，実験のローラ
ー渦の長さ，跳水開始地点から下流での乱れエネ
ルギーの大きさや減衰速度をほぼ説明できた．
上記の検討結果に加え，Q3D-FEBS を用いた波状跳水から完全跳水への遷移過程の解析を行い，
Q3D-FEBS により，波状跳水，完全跳水，波状跳水から完全跳水へと跳水形態が遷移する一連の流れ

76土木学会論文集B1（水工学）, Vol. 75, No. 1, 61-80, 2019.
ℎ/ℎ
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7

ℎ

𝑝
𝜏̂

𝜌𝑔ℎ𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝜏̂

𝜃

0

5

10

15

20

25

30

𝑥/ℎ

図-A2 圧力の平均化が Q3D-FEBS による波状跳水（Chanson45)）の水面形解析に与える影響

図-A1 水深の定義と斜面上の等流の静水圧分布

3)実験
Q3D-FEBS(平均化なし)
Q3D-FEBS(平均化1回)
Q3D-FEBS(平均化2回)
Q3D-FEBS(平均化3回)

𝜌𝑔ℎ sin 𝜃)と打ち消し合うことで斜面上の静水圧が表を解析できることを明らかにした．
現されることになる．
大河津分水路新第二床固の大型水理模型実験に
Q3D-FEBS を適用し，実験に比べてバッフルピア背後の逆流域が小さく計算される傾向にあるものの，
付録 2 Q3D-FEBS の圧力の平均化方法
床固を越流する流れ，バッフルピアによる強制跳
水，バッフルピア背面での逆流域の形成や最大流
Q3D-FEBS は，非静水圧を陽的に計算するため，平面速発生位置の底面付近から水面付近への移動を水深積分モデルの枠組みで説明できることを示した． 二次元流れに拡張した場合に計算が不安定になり易い．
これを防ぐために，式(31)，式(32)を用いて全ての計算格
このことから，Q3D-FEBS は大規模越流構造物下流
子で底面の非静水圧，水深平均の非静水圧を求めた後，の跳水及びその減勢区間における流れの解析に有これらを予測値𝑝 ，𝑝 として，各計算格子の底面の非静水圧𝑝 ，水深平均の非静水圧𝑝 を周囲 9 つの計算格効であることを示した．

子の𝑝 ，𝑝 の重み付き平均

謝辞：国土交通省信濃川河川事務所からは，大河津新第二床固の大型水理模型実験に関する計測データを提供頂いた．(株)建設技術研究所水理センター伊藤幸義氏からは，同実験に関し貴重なご意見を頂いた．本研究の一部
は，科学研究費補助金若手研究（課題番号：18K13839，
代表：竹村吉晴）の助成を受けた．ここに記して謝意を表する．

𝑝 𝑖, 𝑗
4𝑝 𝑖, 𝑗
2𝑝 𝑖 1, 𝑗
𝑖, 𝑗 12𝑝 𝑖 1, 𝑗
2𝑝 𝑖, 𝑗𝑝 𝑖 1, 𝑗 1
𝑝 𝑖 1, 𝑗 1
𝑝 𝑖 1, 𝑗 1
𝑝 𝑖 1, 𝑗 1 /16

2𝑝

𝑝 𝑖, 𝑗2𝑝
𝑝

付録 1 等流状態における底面の非静水圧

4𝑝

𝑖, 𝑗

2𝑝

𝑖

1
(A1)

1, 𝑗

𝑖, 𝑗 12𝑝 𝑖 1, 𝑗
2𝑝 𝑖, 𝑗𝑝 𝑖 1, 𝑗 1
𝑝 𝑖 1, 𝑗 1
𝑖 1, 𝑗 1
𝑝 𝑖 1, 𝑗 1 /16

1(A2)

で評価することにした．ここで，𝑖, 𝑗：計算格子の縦断
方向と横断方向の番号である．式(A1)，式(A2)は，画像の平均化等によく使用されるガウシアンフィルタであり，平均化前の空間分布情報の特徴を維持し易い性質がある．
図-A2 は，図-6 に示した Q3D-FEBS による Chanson45)の波
状跳水の水面形解析を例として，上述した圧力の平均化が解析結果に与える影響を検討したものである．平均化
回数は，各計算ステップの間に上述の平均化操作を繰り返した回数を表す．平均化回数が増えるほど波状跳水の波長が短く，波高の減衰が大きくなる傾向が見られるが，図-6 に示した計算格子幅∆𝑥の違いに比べて影響は小さいようである．また，本研究では 4 章のみ圧力の平均化を行い，平均化回数は 1 回で安定に計算することが出来た．

等流状態において，式(20)の運動方程式は 0 = ( 𝜌𝑔ℎ +𝑝 ) 𝜕𝑧 ⁄𝜕𝑥 ∗ 𝑆𝜏̂ となる．この時，式(31)から𝑝 =𝑆𝜏̂ でありゼロとはならない．この理由は以下に示す通りである．等流状態における底面せん断応力𝜏̂ は，
𝜌𝑔ℎ cos 𝜃 sin 𝜃 であるので，𝜏̂ = sin 𝜃 𝜏̂ ，𝑆 = 1/
cos 𝜃を考慮すれば，底面の非静水圧𝑝 は 𝜌𝑔ℎ sin 𝜃となる．等流状態では，底面に垂直方向に静水圧分布となるため，図-A1 に示すように，斜面勾配を持つ場合，底面の静水圧は𝜌𝑔ℎ cos 𝜃 となる．これに対し，Q3DFEBS は静水圧を鉛直方向に定義するため，底面の静水
圧は𝜌𝑔ℎとなり，斜面勾配を持つ場合は実際の静水圧に比べて底面の静水圧が𝜌𝑔ℎ sin 𝜃だけ大きくなる．この静 水 圧 の 増 分 が 上 述 し た 底 面 の 非 静 水 圧 𝑝 (=77

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𝜎 ,𝑐 ,𝑐 ,𝑐 :付録 3 本論文で使用した記号の一覧
𝜌:
𝑔:
𝑧:
𝑧 :
𝑧 :
ℎ:
𝑢:
𝑢 :
𝑢 :
𝑈:
𝑢:
𝛿𝑢 :
∆𝑢 :
𝑤:
𝑤:
𝑤 :
𝑊:
𝛿𝑤:
𝑤 :
𝑝:
𝑝:
𝑝:
𝑝 :
𝑝:
𝑝 :
𝑝 :
𝑘:
𝑘:
𝑘 :
𝐾:
𝑘:
𝛿𝑘:
∆𝑘:
𝜏 :
𝜏̅ :
𝜏̃ :
𝜏̂ :
𝜏̂ :
𝜏̂ :
𝑆:
𝑆:
𝜈:
𝜈 :
𝜈 :
𝜈̅ :
𝐹 ,𝐹 :
𝑡 ∗:
𝑥 ∗:
𝜂:
𝑙 :

𝑃:
𝛿 :
𝜙:
𝛿𝑧 :
𝑐 :
𝑛:
𝑢∗ :
𝜅:
𝛼:
𝐶 ,𝑐 :
∆𝑥:
ℎ :
ℎ :
ℎ :
𝑈:
𝐹:
𝐿 :
𝐾 :
𝑦 :

水の密度
重力加速度
水面（水位）
底面
河床面
水深
𝑥 方向の流速 (𝑢, 𝑣)
𝑥 方向の水面流速 (𝑢 ,𝑣 )𝑥 方向の底面流速 (𝑢 ,𝑣 )𝑥 方向の水深平均流速 (𝑈, 𝑉)
=𝑢 𝑈
=𝑢 𝑢
=𝑢 𝑈
𝑧方向の流速𝑧方向の水面流速𝑧方向の底面流速𝑧方向の水深平均流速=𝑤 𝑤
𝜂方向の流速圧力
水面の圧力
非静水圧成分
底面の非静水圧成分
水深平均の非静水圧成分
底面の非静水圧成分の予測値
水深平均の非静水圧成分の予測値
乱れエネルギー
水面の乱れエネルギー
底面の乱れエネルギー
水深平均の乱れエネルギー
=𝑘 𝐾
=𝑘
𝑘
=𝑘
𝐾
レイノルズ応力
水深平均のレイノルズ応力
水面に平行な面に作用するレイノルズ
応力
底面に平行な面に作用するレイノルズ応力
底面せん断応力河床面のせん断応力
単位水平面積当たりの水面の面積
単位水平面積当たりの底面の面積
渦動粘性係数
水面の渦動粘性係数
底面の渦動粘性係数
水深平均の渦動粘性係数
乱流による水平方向及び𝑧方向の乱れエ
ネルギーのフラックス(𝑡 ∗ , 𝑥 ∗ , 𝜂) 座標系の時間 (= 𝑡)(𝑡 ∗ , 𝑥 ∗ , 𝜂) 座標系の水平座標 (= 𝑥 )(𝑡 ∗ , 𝑥 ∗ , 𝜂) 座標系の鉛直座標 (= (𝑧𝑧) /ℎ)
乱れの長さスケール(=𝑐 ℎ)

乱流モデルのパラメーター（=1.0, 0.08,
0.07, 0.5）
水深平均の乱れエネルギー生産率
デルタ関数（={1 (𝑖 = 𝑗), 0 (𝑖 ≠ 𝑗)}）
任意の変数
底面と河床面の距離(=𝑐 ℎ)
𝛿𝑧 に関するパラメーター
マニングの粗度係数
摩擦速度（= 𝜏̂ /𝜌）
カルマン定数（= 0.41）
= 𝜅/6
摩擦係数
計算格子幅
限界水深
流入射流の水深
共役水深
流入射流の水深平均流速
流入射流のフルード数
ローラー渦の長さ
各地点の乱れエネルギーの最大値
水路下流端の水深

参考文献
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ANALYSIS OF THE FLOW IN UNDULAR AND HYDRAULIC JUMP STILLING
BASINS USING NON-HYDROSTATIC QUASI-THREE DIMENSIONAL MODELCONSIDERING FLOW EQUATIONS ON BOUNDARY SURFACES
Yoshiharu TAKEMURA and Shoji FUKUOKA
This paper aims at development of a non-hydrostatic quasi-three dimensional model for the flow inundular and hydraulic stilling basins. It is challenging for the depth-integrated model to calculate the flow
separation at boundary surfaces (water surface and bed surface). To solve this problem, a non-hydrostatic
quasi-three dimensional model considering flow equations on boundary surfaces (Q3D-FEBS) was derived.
Q3D-FEBS was applied to the undular and hydraulic jump experiments. The calculation results are in good
agreement with the observation data such as water surface profiles and velocity distributions of the undular
and hydraulic jump. Moreover, it was showed that Q3D-FEBS can calculate the breaking process of theundular jump and formation of the surface roller. Finally, the applicability of Q3D-FEBS for the flow inhydraulic jump stilling basins was discussed against observation data of a large scale hydraulic modelexperiment.

80