U字生産ラインの性能評価
申出 康一
l………t‖‖‖‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖‖＝‖＝‖＝‖‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖＝‖＝＝‖‖＝＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖‖‖………‖‖‖‖‖‖‖‖＝＝＝‖‖‖…………lIll…l………l………l……＝‖‖‖‖州Il……l…l…州Illlllll川l………＝‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖州‖Illl…

ら［3］，Bischak［1］，Zavadlev［13］が複数の多能エを

1．はじめに●持つ問題を扱っているが，数理的に厳密な解を求めて生産システムを設計，運用する際，仕掛品数，在席いない．多能工の配置として，複数の作業者が独立し量を低減しながら，生産リードタイム，すなわち，生て作業を行う場合（分割型），ならびに複数の作業者

産指示から完成品の配送までに必要な時間を短縮してが同じルートをたどる場合（巡回型，兎追い）の各々いくことが重要である．このためには，一個流しを実について考察する．

現することが望ましい．一個流し生産では，各サイク
ル時間ごとに一つの製品が完成し，仕掛品は各々次の工程に進むため，各機械には原則として一つの仕掛品●

2．多能工が一人の場合
図1で与えられる生産ラインを考える．機械1の前のみとどまっており，仕掛品の総数を最小限に抑えるには加工前の部品が十分存在すると仮定する．各製品ことができる［4］．

は，機械1，2，…，∬の順に加工される．斤＝（1，2，一個流し生産を実現するためには，多能エ，すなわ…，〟）と定義する．多能工は，ある機械に到着したち複数の機械の異なる作業を受け持つことのできる作

とき，一つ前のサイクルに始めた加工が終了するのを業者が必要となる．多能工は，サイクル時間ごとに担待つ．その後，多能工は次の手順で作業を行う．加エ当する各機械の作業を一度ずつ処理する．また，一個を終えた仕掛品を次の機械に送り，前の機械からすで流し生産では，U字型の機械レイアウトが多く用いに送られてきている仕掛品をとりつける．次に，そのられる．このレイアウトのもとでは，同一作業者が自機柁の加工を開始させると同時に，多能工は次の機械分の担当する機械への仕掛品の受け入れおよび完成品に歩きはじめる．これらの作業を機械1から行い，機の送出を行うことで，システム内の仕掛品数を一定に械斤の作業を終了したとき，機械1に戻り作業を繰保つことができ，また多能エの数を増減することで，り返す．

需要の変動に容易に対応することができる．さらに歩次の記号を用いる．

行時間も短縮することになる．特に一人でラインを形

C（乃）：第乃サイクルのサイクル時間，成するときは一人生産方式と呼ばれている［10〜12］．

ん（乃）：第乃サイクルにおける機械々の加工時間，本稿では，一人の多能エからなるU字ラインにお5月（乃）：第乃サイクルにおける多能工の機械力でけるサイクル時間や作業者の待ち時間を評佃する．作の作業時間，業，加工，歩行時間に関する漸化式を示し，これらの時間が定数の場合について，サイクル時間，待ち時間たノ＿1＋1を理論的に求める．これらの時間が一般的な確率分布に従う場合には，理論的に求めることは困難であるので，各機械における多能エの加工待ち時間の過程の漸讐甲せギ■鞄

化式をもとに，平均サイクル時間の上下限を求める方

woI・keI・S法を議論する．次に，複数の多能工を持つU字ライ

1ンにおける，サイクル時間の評価を行う．Miltenburg
いなかで こういち
名古屋工業大学生産システム工学科〒466−8555名古屋市昭和区御器所町

2002年4月号

占ニセ→

matel・ialmachines

→

十 占ヲ
た1＋1

図1多能工をもつU字ライン© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（27）23lとする．さらに

月々（乃）：第乃サイクルにおける機械々から々＋1（々＝〟のときは機械∬から1）への歩行時間，y爪（烏）＝maXめ，y扉0）＝0，l鶴（乃）：第乃サイクルにおける多能工の機械烏でノ≦々烏 A烏（n）＝∑昭（n），fork∈kandn∈Z． j＝1の待ち時間，
坑（乃）＝ム（刀仁一1ト月々（乃−1ト展（ふ（邦−1）とおく．如・≦0ならば，式（1）よりすべての々∈〝，乃一凡（光一1））−∑（ふ（乃）＋凡（乃）），∈Zについてl鶴（乃）＝0となる．

ノ＜員如．＞0とすると，乃≧2，々∈斤に対し式（3）より次のZ＝（1，2，…），［α】＋＝maX（α，0）．

式が成り立つことが示される：

時刻0において，各機械には一個ずつ処理を終えた仕掛品が存在すると仮定する．さらに，伍（乃）；乃∈A烏（乃）＝［（乃−1）y椚（烏）−（乃−2）狛．］＋．

Z），（S々（乃）；乃∈Z），（β々（乃）；乃∈Z）（々∈斤）は，各々特に研（々）＝烏＊for々≧々＊となり，乃≧2に対してA烏・（弗）＝A㍍十．（乃）＝‥・＝A〝（乃）＝［〝々．］＋

互いに独立で有限の平均f々，5々，γ烏を持つ同一分布に（4）（5）であり，さらに従う確率変数列で，異なる列同士も互いに独立であると仮定する．

C（乃）＝【如．］十＋∑（∫烏＋γ烏）for乃≧2

2．1漸化式々∈斤が成り立つ．式（5）より初期条件から，第1サイクルではすべて加工ずみの●l鶴（n）＝Oforallk＞k＊andn≧2

仕掛品について作業をするのでであり，式（4）より乃≧2，々≦々＊とすると

l鶴（1）＝Oforゑ∈g，（乃−1）（裾（烏）−ym（ト1））C（1）＝∑＿if机榊）＞芸抽が成り立つ．

（死−1）yれ（々）−（乃−2）如．

乃≧2のとき，機械々からの（邦−1）番目の多能工のl鶴（乃）＝退去から乃番目の到着までの時間はifym（々，＞霊凡（乃−1）＋∑（砺（乃−1）＋5J（乃−1）＋凡（乃−1）） ノ＞烏

y々・≧抽−1，，

Oif

十∑（I竹（乃）＋ふ（乃）＋凡（乃）） Jく烏となるので，機械々での乃番目の到着時における待抽≧ym（泉，を得る．よって々＜々＊について，ち時間およびサイクル時間は航（乃）＝Oif乃≧2担〆一処些吐少々■￣y∽（烏）航（乃）＝［㍍（乃）一見砺（乃→上長砺（叶（1）Or y椚（烏）＝ym（良一1）．

C（乃）＝∑（2）＿以上より，〟々．＞0ならばI陥■（乃）＝狛．，l穐（乃）＝Ofor々≠々＊，となる．さらに式（1）より

for allプ7≧
た ∑町（乃）＝豊J＝1㌔2呈／ゐ・−ym（烏■＿1）
y烏・￣〝m（烏・一l）（3）を得る．すなわち，抽＞0ならば，何周かしたのちを得る．

多能工は機械々＊のみで加エを待つことになる．

2．2 定数の場合
この節では加工，作業，歩行の各時間は定数とする［9］．すなわちん（花）＝オ烏，S烏（乃）＝ざ々，月々（刀）＝γ烏であ2．3 確率的な場合

2．3．1加工時間がアーラン分布の場合 加工時間がアーラン分布，作業時間ならびに歩行時間が一般のる．さらに分布であるとする．このとき各機械において作業終了
y烏＝オ烏＋5貞一∑み−∑れ

時の全工程の加工時間の残りフェーズ数を状態にとるノ∈斤 ノ∈斤とおき，y烏（々∈斤）が最大となる々のうち値の最小のことにより，隠れマルコフ連鎖を形成することができものを々＊とする．すなわちる．これより，定常確率を求め，さらに各工程への到着時におけるその工程の残りフェーズ数の分布を求め々＊＝min（々；狛＝誓yJ
232（28））

ることにより，各工程における多能工の加工待ち時間© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ●

分布，ならびに平均サイクル時間を求めることができ

棚鳥（ェ々）＝E［仇（乃）］＝E［［仇（乃卜∬々］＋】とする．この式は∬々が与えられたとき，刀に依存しる［7］．
2．3．2 一般の場合 加工時間が一般の分布であるとする．この場合，厳密な平均サイクル時間を求めることは困難である．このため，その上下限を求めるこない．この操作により，各点∈点について次の式を得る：∬ん＋れ卜l＋s鳥＋5トl＋相良（∬々）＝ヱト1＋γト1＋動卜1＋5ト2＋抑トl（ヱト1）．とが有効である．

（9）

ただし，杓＝γ〝，γ＿1＝γ〟＿．などとする．

上限値

一方，ム（乃一1）＋1ん（乃）＋S々（乃）は，機械々におけE【C（乃）】＝∑（s烏＋γ々＋E［l鶴（乃）】）鳥∈斤る（乃一1）回目と乃回目の加工開始時刻の時間間隔でであるが，漸化式と確率変数の組に関する性質を用いある．すなわち，機械々における第乃期のサイクルて次式を示すことができる［5］：時間とみることができる．すべての々についてこの期待値の和をとり，機械数〝で割った式が，乃→∞●ゑE【仇（継E［慧［別）］・］≦E［慧［叫のとき式（2）の期待値になると考えられる．このことをここで，島（々∈斤）は各々㍍（2）と同じ確率分布にしたがい，y，…，】んは互いに独立であるとする．

用いて，先ほどと同様に晶（乃）をJ々に置き換える操の値を数値計算することは一般に
且［慧［㍍（2）】・］

困難であり，その上限値である作を行い，整理すると
古（∬烏十5々）＝∑（ざ烏＋γ烏＋紺血））斤∈斤を得る．この式と式（9）の連立非線形方程式の解をE ［慧［叫の方が（れか≡斤）とする．このとき計算は容易である．
C⊥＝古（ま鳥十∫烏）

下限値

申出ら［5］で，下限値を求める方法が示されている．
この論文の結果では加工時間が定数の場合には有効な結果が得られない．ここでは，加工時間が定数の場合にも良い下限値を与える方法を示す．

3．複数の多能エ：分割型
この節では，複数の多能工が各々異なる機械群を担佑（乃）を，機械々において（乃−1）回目の加工が終了してから，多能エが乃回目の作業のために機械々●は平均サイクル時間の極限値の下限値を与える．

当し，作業を行う場合を考える．に到着するまでの時間とする．このとき，眺（乃），図2のように，多能工ノ（ノ∈f＝（1，2，…，J））は集合
名＝（も＿1＋1，…，ん，あ＋1＋1，・‥，扇に属する機械を受佑（乃）について次の関係式を得る

け持つものとする．はじめ機械ん＿．＋1から作業を開l鶴（乃）＝［仇（乃）一端（乃）］＋，始し，ん＿．＋2，ん＿l＋3，…の順に作業を行うものとす

佑（乃）＝［晶（乃）一仇（乃）］＋．

る．さらに初期において，各機械には仕掛品が1つず

ここでつあり，異なる多能工が受け持つ機械間には1つの仕晶（乃）＝ん＿1（雅一1）＋佑＿1（乃）一尺々−1（乃−1）−1鶴（刀−1）−5々（乃−1），掛品があるものと仮定する．

機械ん＿．＋1（あるいはあ＋．＋1）において，前工程

仇（乃）＝ム（乃−1）−∫トl（乃）一尺ト．（乃）である．〃員（乃）と方々（乃）は互いに独立であり，仇（乃）の分布は与えられていることに注意する．

から受け取る仕掛品が存在しないときには，多能ユノ
はその仕掛品が前工程から到着するのを待つ．
今，各多能工ノの第乃サイクルを機械ん一1＋1からさらに，式（6），（7）より仇（乃）一佑（乃）＝〃烏（乃）一丸（乃）←匝←亡トーとなるので，次の関係式を得る．
ズ烏（乃）＋航（雅一1）＋尺ト．（乃−1）＋S烏（乃−1）＝晶＿1（乃）＋l鶴＿1（乃）十∫ト2（乃）十斤々−2（乃）（8）

巨ー三Lworkey／WOrkeZ］

ニ＝晶（乃）を変数∬鳥と置き換え式（8）について期待値をとる．ただし，2002年4月号

図2 複数の多能工からなるU字ライン（分割型）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（29）233

機械あまでの作業を終了し，再び機械々ト1＋1に到る）．

着するまでとする．第乃サイクルでの機械々での待C￡，〝＝E［誓盈（S湖十斤々（乃））］ち時間を航（乃），第弟サイクルにおける作業時間を5月（乃），その作業終了後の機械々の加工時間をん（乃），十E［誓誓［叫機械々から次の機械への歩行時間を月々（乃）とする．と置くとき，3．1定数の場合

C㌢肌用≦C㌢≦CS々（乃）＝5月，凡（乃）＝γ烏，ん（乃）＝ブ烏とする．このとき，（々毘（翫＋れ），多能工ノー人のサイクル時間はmax

下限値

機械々ト1＋1，‥ノ，ん，あ＋l＋1，…，あ上で一人で作業を行い，他の多能エの機械の仕掛品のため待つ時間は考誓（才々＋∫烏））

時間はこれらの最大値となる．

が成り立つ．

同じシステムにおいて，多能工ノが自分の担当するとなる．したがって，全体のサイクルmax（禁忌（s烏十γ烏），慧（オ烏＋5々））

ぶ，〃慮しないという仮定のもとで，多能ユノのサイクル時（10）間を考える．この場合，節2．3．2と同様のシステムと考えてよい．このときの平均サイクル時間ならびにそ3．2 最適化の下限値をCさ，Cま，エとする．これらは全体の複数の定数時間であるという仮定の下で，複数の多能工を多能工からなるシステムの平均サイクル時間C㌘仰蛸

いくつかの機才戒に振り分ける問題を考える．多能工はの下限値を与える．すなわち次の不等式を得る：●

同等の能力をもち，多能工の歩行ルートは交差しない
CgOVeraLl≧ma羊C3≧ma芥C去，L・という前提で，与えられたサイクル時間（タクトタイム）のもとで多能工の人数を最小化し，かつその人数

ノ∈Jノ∈／

4．複数の多能エ：巡回型（兎追い）で最小のサイクル時間となるように振り分ける最適化

問題を動的計画法により求めることができる［6］．
3．3 確率的な場合

多能工が複数存在する場合，先のように隠れMar−

この節では，複数の多能工が同じ歩行ルートをたどりながら作業を行う場合を考える．
図3のように，同一の機械グループ斤＝（1，…，斤）

kov連鎖を用いて理論的に厳密な平均サイクル時間

上をJ人の多能工が順に処理するものとする．多能Cg据rαJJを求めることはできない．このため，平均サ工ノ（ノ＝1，2，…，′）は機械ん−1＋1（血＝0）から作業をイクル時間の上下限値を求める．

開始し，ん＿1＋2，ん一1十3，…の順に作業を行うものとする．

上限値

今，各多能工ノの第1サイクルを，機械ら＿1＋1かすべての多能工が作業を終了して初期の位置に戻ってきたとき，1つのサイクルが終わり，その後次のサら機械斤までの作業を終了し，機械1に到着するまイクルが始まる同期型システムを考え，その平均サイでとし，第乃サイクル（乃≧2）を機械1への乃−1回クル時間をC㌢とする．さらにその同期型システム

目と乃回目の到着間隔とする．このとき，各機械々において，各多能工について一人のシステムと考え，からサイクルを見ると，多能エJが到着する時点にそのサイクル時間の上限値を求める．
雛恋愛瑠乃）＝以乃−1ト（尺烏（乃−1）〟−1○→−←［コ←□＋ ∑（S爪（刀−1）＋尺爪（光一1））

1 1→l￣一「椚∈凡，椚＞々worker・用∈￡＜々（S沼（小抽）））とおき，島をy㌣（乃）と同一の分布に従い，かつ島（々∈斤）は互いに独立であるとする（各乃について，（y㌢（乃）；々∈度）は互いに独立ではないことに注意すF○−−−−＞

ニロ→巨ト⊂コ→□

materialmachines

図3 複数の多能工をもつU字ライン（巡回型）
234（30）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ●

おいて，それ以降の多能エに関するサイクル番号が15．2 確率的な場合つ増加することになる．多能工ノの第乃サイクルで現時点では，この2つの割り当ての理論的な比較はの機械点での待ち時間をI轄（乃）とする．多能ユノのまだできていない．ただし，多くの場合以下のことが第乃サイクルにおける作業時間をS去（乃），その作業終成り立つことが予想される．
1．分割によりうまく負荷分散できない，すなわち了後の機械々の加工時間を亮（乃），機械ゑから々＋1

多能工ごとで独立したシステムを考えたとき定数時間への歩行時間を斤羞（乃）とする．
4．1定数の場合（平均値をとる）の仮定のもとで求められるサイクル

多能エは同等の能力をもち，すべての時間は定数，時間の差Cgむerd ′−すなわち亮（乃）＝吏員，S羞（乃）＝5た，斤羞（乃）＝γ烏とする．さる場合定数の時に示したように，巡回型の方が基本的にはらに0（斤）＝（（1，2），（2，3），…，（∬一1，〝），（〝，1））とお負荷分散が進むため，良い傾向にある．

く．このとき，サイクル時間は作業時間と加工時問の和の最大値と，各多能工が待ちなしで一周するときの2．分割により多能工間の負荷分散ができた場合

作業時間と歩行時間の和を多能エの人数ノで割ったa）分割型で多能工の異なる機械間に仕掛品をすべ値の大きい方の値となることが示される［8］．サイクて設けた場合● ル時間をC㌢併蛸とするとき，
CgOVeraLL＝maX

この場合，多能工間での待ちは生じにくくなる．負荷分散がうまくいけば，巡回型と比べて良い傾向にあma羊（5々＋オ々）， 鳥∈〝る．これは，分割型におけるライン内全体での給仕掛∑

乳監ざ鳥＋品数が巡回型と比べて多くなることが理由としてあげ
γ烏・鳥・））（11）

られる．したがって，仕掛品からみた生産リードタイ（鳥．々り∈0（斤）となる．

ム（投入されてから完成品としてラインから出るまで4．2 確率的な場合の時間）は分割型の方が長くなる．

b）分割型で多能工の開始位置のみに1つ仕掛品が上限値

多能エノがん＿1十1，…，んと通った後，再度ん＿1にある場合戻り，かつ節3．3同様同期化するシステムを考える．

この場合，ライン全体での給仕掛品数は巡回型と基

ただし，んからも＿．＋1に戻る歩行時間はんからん

本的に同じである．分割型では多能工間での待ちが発＋1への歩行時間と同一分布であるとする．このとき，生しやすく（相手からの製品到着待ちが起きやすく），各多能エが一人生産ラインを形成し，前と同様に上限

巡回型と比べて分割型は処理能力が落ちる傾向にある値を与えることがわかる［8］．

（Zavadlevら［13］，Miltenburg［2］は，この仮定の下で巡回型の優位性をシミュレーションを用いて示して下限値〟（乃），S真（乃），斤羞（乃）は各々ノに依存しない同一の確●C。○ぴe和〃がある程度大きな値をといる）．

率分布に従うものとする．「人の多能ユの場合と同様

ただし，以上の考察は，巡回型において多能工の能に，I棺（乃）に関する漸化式を立て，連立方程式を導力が等しい場合である．能力に差がある複数の多能工

き，その解を用いることにより平均サイクル時間を，同じ歩行ルートで巡回させると当然待ちが生じる．

C㌢即紬の下限値を求めることができる［8］．

この場合や，分割型でも負荷分散がうまくいかない場
合は，遅れの大きい筒所に多能エを追加したり，多能5．分割型と巡回型の比較

エが別の多能工を手伝うことが必要になる．しかし，5．1定数の場合このようなシステムの：哩論的解析は非常に困難になる．

機械点の加工時間，作業時間をそれぞれ才烏，ぶ々とし，参考文献

機械々と々′の歩行時間をγ烏，象・（々，々′∈斤）とする．
すべての歩行，作業，加工時間が定数であるとする．

［1］Bischak，D．P．，

Performance of a Manufacturing

すべての組（烏，の∈0（斤）についてγ鳥，鳥・≦γ‥・・（々′′≠ModelwithMovingWorkersカ，々′），かつすべての多能工が少なくとも2つの機械

28，pp．723−733，1996．

を担当するならば，式（10），（11）よりCgひg化〃≧C㌢即州成り立つことが示される［8］．
2002年4月号

が［2］Miltenburg，）．，，11E77tlnSaClions，VOl．

One−piece月ow manufacturing on

U−Shaped Production Lines：a Tutorial© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

，1m Tねns−（31）235

TypeAllocationsofWorkersin a U−Shaped Produc−

αCJわ乃5，VOl．33，pp．303−321，2001．

［3］Miltenburg，G．）．and Wijngaard，）．， The U−1ineLine Balancing Problem，Man昭ement Science，VOl．

tion Line ，tO apPearin EurppeanJoumal〆（砂e7tl−
Jわ邦α7月おgαⅣカ，2002．

［9］Ohno，K．andNakade，K．，

40，Pp．1378−1388，1994．

［4］Monden，Y．，7bohlPnduction System：AnInte−tionofa U−Shaped ProductionLine

AnalysisandOptimiza−，］？umalq／thegyated A♪t＞rOaCh to just−1n−77me，3rd Edition，Engi−（砂e和′ゐ乃5月鮎孤灯ゐ50Cfg妙〆ノ（砂α乃，VOl．40，pp．90−

neering＆ManagementPress，Georgia，1997．

104，1997．

［10］トヨタ生産方式を考える全編，トヨタ生産方式を理解［5］Nakade，K．，Ohno，K．and Shanthikumar，］．G．，
Bounds and Approximations for Cycle Times of aU−Shaped Production Line，Werations

刊号．

［11］特集：一人生産方式はなぜ儲かるのか，工場管理，上e独得，VOl．21，pp．19ト200，1997［6］Nakade，K．and Ohno，K．，

するためのキーワード集，エ場管理，2001年4月臨時増An OptimalWorker VOl．43No．4，1997．

AllocationProblemforaU−ShapedProductionLine
J乃ねγ乃αJわ刀αJノ0〟γ乃αJ〆伽血cJわ乃Eco乃0研gび，VOl．

，［12］山田日登志，トヨタ生産方式をトコトン理解する事典，日刊工業新聞社，1988．

［13］zavadlev，E．，McClain，）．0．and Thornas，L．）．，

60−61，Pp．353−358，1999．

Self−buffering，Self−balancingandSelf一月ushingPro−［7］申出康一，平尾周平，大野勝久，「U字型生産ラインの性能評価」，日本経営工学会諾，VOl．51，No．3，pp．263−270，

ductionLines

2000．

1164，1996．

［8］Nakade，K．andOhno，K．，，ManqgementScience，VOl．42，pp．115ト

Separateand Carousel●236（32）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ