膿学生論文寛受賞論文

要約馳・・・・∴∴・− ‥、−・．・Jゝこ−−・−・．∴′ ∴｝：ニ‥、・−・∴−・−・∴、ニ ー・−ト；∴−．∴−∴−ir・ヨ・・・∴b、、■、、・：・、∴・ミ・・・・・二＝二 ・・・∴モ・・野磯部 梵屑（京都大学大学院工学研究科修士課程数理．二］二学専攻
指導教官

温む 監蕊醒め亀≡。

現所属：同大学院二王学研究科博士後期課程数理工学専攻）
茨木 俊秀教授

変数茸托その値j（∈血豆）の組それぞれに対して，値現実社会には解決すべき様々な問題があり，その中に・、ごこ

折1ヲ 変数∬iが値Jをとる，は配置問題や割当て問題，スケジューリング問題など，組∬宣ノニニも のヲ その他合せ問題として定式化できる問題が少なくないレ しかし，これらの多くはNP困難であり，特に大規模な問題を厳と定義し，割当て墾芸㍍瑚次元の0−1ベクトル諾＝密に解くことは実用上不可能であると考えられる．本研（諾意ゴ石崖＝1，29…，穐，ゴ∈ガ五）で表す。このとき，全ての究では，幅広い組合せ問題に対して，良質の近似解を実変数∬iに対してそれぞれ値を噸1つ割当てるというこ用的な時間で求めることのできる 汎用近似アルゴリズとから〉
・′・′

ニ、

ム の開発を掛指す そのためにっまず高い靂式化能力を持つ制約充足問題（Comsもどaim七Saも温s釘昆C七ion㌘訂Ob鼠em，瞑押甘利に番田しっ解くべき問題を岬一旦CS㌘に定式化

j∈皿．

が成立しなくてはならか′、．

した乳CSPのアルゴ里ズムを適用するという■方針をとるウ ニこで，このCSIPアルゴーjズムの枠組みとしてほ，・ −−、＿・∴−‥ヰゞ吾J…jくせ子や∴：・個々の問題に対する深い数学的知識をあまり必要としない1メタ観略が適していると考えられる∴本研究でほ，そ本研究ではっCS㌘アルゴリズムの基本的枠組みとしの中でも特にタブ十取落闘をとりあげ，CSpに対するてタブ←探索を用いる．タブー探索は局所探索法を基本

タブー一株寮の通関を行ったとしたメタ戦略の川再つであり，多くの組合せ問題に対し開発にあたっては㌢幾つかの工夫を加えることによってその有効性が示されている。ここでは，タブー探索乳て，適用範閣の拡太を図ると共に，アルゴリズムの有効式（1）を満たす割当てから成る探索空間∬を考える小ま性を高めるよう試みた．，また，得られたアルゴリズムをたぅ諾∈∬の近傍Ⅳ（諾）を，ある1つの変数先の値jを伺いて，グラフの彩色問題等のベンチマーク問題，及び他の値才に変えることによってできる割当ての全てとす時間割問題等の現実問題に対する計算実験を行い，そのる。ここで，各制約C′に対して，それが満たされるなら有用性を確かめた。

ば吼滴配されないならば正の値をとるようなペナルティ関数抑（芯）を適当に定義し，全体としてのペナルティ関数p（諾）＝∑二gpg（詔）を考えることで，CSPを最小化問題●㌻一十−￣・・ご∴−1∴∴：キ・：・ニニ、ニー・CS㌘は）それぞれ有限離散領域か宜を持つ陀偶の変数茸壱（嘉＝ 乱，29…dヲ犯）と，m偶の制約q木箱1う∬〜。，。∋∬g子g）（g＝且，2，匂OD，m）で定義され，全ての制約を満たすようにヲ各変数茸壱に且つの値ゴ∈朋iを割当てる問題

である、全ての制約を満たすような値の割当てを実行可‥−・・ 、（2）抽癖融眈）訟∈動として扱う．すなわち，ペナルティ関数値が0であるような解諾∈∬が存在することと，CSPが実行可能解を持つことは同値である。
タブー探索では，局所探索において改悪解への移動を能解と呼ぶ・ここで9各制約抗は変数動け勘汗冊ノ軋許しているので，解のサイクリングを防ぐため，通常解に対する粒牒㈲約であるが，その表現方法は一意ではなの移動のある嵐性をタブーリストと呼ばれるリストに記

く9不等式や論理式，あるいは値の槻の集合といった様々憶しておき，−一定期間（もabⅧもemⅧreと呼ばれる）その道な方法を問題に応じて適当に用いることができる．

向きの移動を禁止するという方法がとられる。ここでは

き…．二i© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ。リサーチ

表1‥高等学校の時間割問題に対する計算結果（m＝793，lβl＝34，最適値＝1）．

f＝30

自動調節

最適解の数 19／30 25／30 24／30 10／30

26／30

f＝5
平均暫定値

f＝103．2

最悪暫定値 20

f＝20

2．1

1．3

2．0

1．3

25

344

タブーリストに保持する属性として，値が0から1に変tenureの自動調節機能の効果を示す結果の一例を示す．

わった値変数∬ijと値が割当て直された変数ズiの2つのこれは高等学校の時間割問題（26962値変数，12747線

場合について考えた．一般に，小規模な問題例に対して形不等式制約）に対する計算結果であり，最適値は1では前者が，大規模な問題例に対しては後者が適しているある．tabutenuretを5，10，20，30に固定した場合と，ことが計算実験により示された．

探索中，自動詞節した場合それぞれに対して，初期解をこの他，過剰な禁止を防ぐ為のaspirationcriteriaの導入，長期メモリによる多様化，計算時間削減のための近傍の削札欲張り法による初期解の生成を加えている．

変えて30回探索を行った．1回の抹素はワークステーションSunUltra2の300秒と決めた．表1には，30回申最適解が求まった回数，平均暫定値，及び最悪暫定値が記されている．fを自動詞節した場合，優れた結果を4．アルゴリズムの改良示していることが分かる．また，他の近似解法との比較のため，グラフの彩色問題，集合カバー問題，一般化割当汎用アルゴリズムとしての性能向上のため，前節で述て問題に対して計算実験を行った．その結果，多少計算べた基本的なタブー探索に加え，以下の工夫を行った．

時間がかかるものの，多くの問題例に対して，同程度以上の解を得ることができた．さら・に，上述の時間割問題，（i）Tabutenureの自動調節．プログラムパラメータ

看護婦スケジューリング問題（3750億変数，9731線形

tabu tenureは探索に多大な影響を及ぼすもので不等式制約）といった現実の大規模問題例に対しても実あり，慎重にその値を決定しなくてはならな†、・汎用的な解を得ることができた．

用アルゴリズムを目指す上で，このパラメータ調節手間の軽減は重要な課題である．そこで本研究では，探索中，探索状況に応じてtabutenureを自動詞節する方法を提案し，大きな効果をあげた．
（ii）目的関数の組み込み．現実の応用では，与えられた制約の下に，ある目的関数J（諾）を最小化するといった組合せ最適化問題がよく現れる．本研究では，この種の問題を扱うことができるように目的関数J（諾）6． まとめ本研究では，組合せ問題に対する汎用近似アルゴリズムを目指して，CSPに対するタブー探索の適用を行った．
その際に，プログラムパラメータの自動調節等を行い，アルゴリズムの改善を図ると共に，計算実験によりその有用性を示した．今後の課題としては，数理計画法等，他の手法の利用，絶対制約及び考慮制約の取り扱い，ユーの導入を行った．

ザ・インターフェースの構築などが挙げられる．

（iii）近傍の拡張・ある2つの変数ズi，ズjの値を交換するという操作（swap操作）に基づいて近傍の拡張

参考文献を行い，探索能力の向上を図った．
【1】Glover，F・，f

Tabusearch−PartI，ORSAJournal

OmComp㍊如タ1（1989）190−206．

5。計算実験

r2】Tsang，E・，凡肌血如耶扉coれβ地雨βα亡盲ゆc如m，

前節で述べた3つの手法それぞれについて，計算実

AcademicPress，London，19−93．

験によりその有用性を確かめた．ここでは表1にtabu
1998年1月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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