算数・数学のおすすめラインナップ
算数・数学のお役立ち情報を掲載しています。

算数のABC
算数の基本的な学習内容や指導法について分
かりやすくていねいに解説しています。
校内研修や初任者研修で活用していただけます。

『算数のＡＢＣ』
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/abc-series/abc-series017/
https://www.nichibun-g.co.jp/data/
education/abc-series/abc-series017/『算数のＡＢＣ』
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/abc-series/abc-series017/『「データの活用」指導の初歩の初歩』

データの活用「データの活用」領域について，基本的な学習内
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/e-other/e-other021/
容や指導上の留意点をていねいに解説しています。
『「データの活用」指導の初歩の初歩』『算数のＡＢＣ』

中学校数学
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/e-other/e-other021/
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/abc-series/abc-series017/●「データの活用」●「データの活用」『「データの活用」新教材の指導の手引き』
日文 教授用資料

日文 教授用資料

小学校算数・中学校数学「データの活用」
指導 の 初歩 の 初歩

データの
活用

指導の初歩の初歩

新教材の
指導の
手引き

新教材の指導の手引き
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/e-other/e-other036/『「データの活用」新教材の指導の手引き』
四分『算数のＡＢＣ』
位
度
箱ひ 範囲
累積
げ図
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/e-other/e-other036/
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/e-other/e-other021/
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/abc-series/abc-series017/『ＲＯＯＴ』『「データの活用」指導の初歩の初歩』
数中学校数学「データの活用」新教材の指導の手引き
日文

教授用資料

令和元年（2019 年）11 月 29 日発行

日文の実践事例、
教科情報
詳しくはWebへ！

日文https://www.nichibun-g.co.jp/

https://www.nichibun-g.co.jp/data/
education/e-other/e-other021/

本資料は，「教科書発行者行動規範」に則り，配布を許可されているものです。

本資料は, 一般社団法人教科書協会「教科書発行者行動規範」に則り,配布を許可されているものです。

https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/root/
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education/e-other/e-other036/

CD 33488

検索『ＲＯＯＴ』『「データの活用」指導の初歩の初歩』
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/root/
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/e-other/e-other036/
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/e-other/e-other021/『「データの活用」新教材の指導の手引き』
2019_中学校数学科_データの活用.indd 1-2

2019/11/11 15:09

機関紙『R OOT 』

算数・数学にゆかりのある方々へインタビュー『「データの活用」新教材の指導の手引き』
している「HelloMathematics！」や連載企画「授https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/root/
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/e-other/e-other036/
業改善のヒント」，「数学偉人伝」などを掲載しています。

『ＲＯＯＴ』『ＲＯＯＴ』
https://www.nichibun-g.co.jp/data/education/root/
https://www.nichibun-g.co.jp/data/
education/root/

ROOT No.28
日文教育資料［算数・中学校数学］
令和3年（2021年）10月29日発行

本資料は令和 3 年（2021年）度版中学校数学科内容解説資料として扱われます。

CD33573

ROOT

2021

No.28

CONTENTS
2

Hello, Mathematics!

クイズで「楽しさ」を伝え学びの世界を切り拓く
QuizKnock CEO 伊沢 拓司

授業改善のヒント

6

小学校編

統合的な見方の育成を指導目標に据えた「単位量あたりの大きさ」の指導
愛知教育大学教授 山田 篤史

8

私たちの周りは数字にあふれています。
その中の４桁の自然数に着目してみてください。
その数の各位の数を並べ替えてできる一番大きな数から生徒が数学を用いて問題解決する方法を必要とする問題
岡山大学助教 石橋 一昴

一番小さな数を引いてみてください。
例：19239321
ー 1239中学校編

10

一番大きい数一番小さい数

いまこそ！ おうちゲーム

8082
読み解く数学偉人伝

12 ナイチンゲール

これを繰り返していくと…

8820
ー 288

8532
ー 23587641
ー 1467

8532

6174

6174

帝塚山大学教授 城田 直彦

どのような4桁の数でも最後は0または6174になります。
6174は，一番大きな数から一番小さな数を引いても6174になります。このように各位を並べ替えてできる

取材協力

一番大きな数から一番小さな数を引いたとき，元の数と同じになる数をカプレカー数といいます。
6174は，4桁では唯一のカプレカー数です。
※カプレカー数にはいくつかの定義があります。

QuizKnock（P.2 ～ 5）
株式会社コトノネ生活（P.2～5）
株式会社タンクフル（P.2 ～5）
有限会社中村編集デスク（P.10 ～11）

撮

   影

イラスト

河野

豊（P.2 ～ 5）studio  potato  福嶋  敏信（P.10）
藤井  美智子（P.12 〜13）

デザイン

株式会社京田クリエーション

算数・数学情報誌 ROOT No.28       

1「楽しさ」を伝え

H e l l o，

クイズで

ひ ら

学びの世界を切り拓く

Mathematics!

入ることはできない。存在を知らないものの楽しさは，

ば僕たちがクイズを楽しんでいる様子を見せて，楽し

当然わからないですからね。

く見ているだけなのに動画に出てきた知識が身に付一方で「知る」というのは面倒くさいことですよね。

いているという「知る」と「楽しい」が一気に来るよ

テレビを見ていてたまたま知るとか，友達からすすめ

うな体験を提供することです。われわれの記事や動られて知る以外で，自分からわざわざアイドル情報誌

画，ゲームを通してそういう体験を習慣化すれば，知を読みにいこうとしなければそういう情報は手に入らるための一歩目も踏み出しやすくなります。最初の
「知

おっくう

ないので。知るための第一歩は億劫なものです。
となると，「知る」と「楽しい」のループに入るというのは，なかなかハードルが高いことになります。

る」をすごく軽いものにして，「知る」から「楽しい」まで一気に行ってしまえるものを提供することを目指したのが QuizKnock です。

そういうなかで，QuizKnock ができるのは，例えQuizKnock CEO

伊沢 拓司（いざわ たくし）ろが，活性化を図って始めた YouTube が軌道に乗ってくると，能動による習慣化だけがコンセプトじゃな
記事や YouTube，謎解きイベントなど，どんどん活動が多角化していくなかで，われわれは何がベースになっているのだろうか，何を軸に据えればいいんだろうか，と考えたときに出てきたコンセプトが，今掲げている「楽しいから始まる学び」でした。

東大卒クイズ王として，テレビや YouTube でご活
躍中の，株式会社 QuizKnock CEO の伊沢拓司

知らないのにわかる。
これは，クイズと数学の似ているところです。

いな， と思いはじめました。QuizKnock が，Web「知る」と「楽しく」なるから「もっと知りたくなる」。このループに入っていくことです。

―― クイズから学ぶことなどはありましたか。
僕は何かに役立てようと思ってクイズをしていたわ
けじゃなく，単純に楽しいからやっていました。でも，単純に楽しいと思ってやっていたからこそ，いろいろ気付けたことがありました。知っていることと，わか――「楽しいから始まる学び」とはることと，正解すること，というのは全部違うものだ

どのようなことでしょうか。

ということです。知らなくても正解できるし，知っていらない問題だけどわかっているわけです。そういう点「楽しいから始まる学び」を説明するときに，いつても正解できないことがある。わかったなと思うけどは，数学とクイズの似ているところですね。

もアイドルグループを初めて見たときの話をするんで正解じゃないこともあるし，知っているのにわからなクイズとキュレーションメディアを掛け合わせた新しいメディアをつくりました。

すけど，テレビでアイドルを目撃したり，学校で友達

いこともある。

から「このアイドル，好きなんだよね」と教えてもらっ

例えば，僕は企業ロケに行くと，その企業にまつ――QuizKnock の立ち上げの経緯について聞かせたりすると，それが一歩目の「知る」になります。知っわるクイズを出題されるのですが，スタッフが綿密に――学校生活を振り返って，学ぶことが楽しいとてから「なんかいいじゃん」と楽しくなると，曲を聴調べた問題ですから，まあ答えを知らないわけです。

いうような感覚，経験はありましたか。

2016 年の話になりますが，夏ごろに QuizKnock

いたり，テレビでも見たりするようになって，もうちょっ

でも，周りの状況を分析したり，出題者はこういうこ振り返ってみると，知りたくてたまらないという経をつくろうと思いました。当時，大学 4 年生でした。

と調べようと思うわけですよね。
「ほかの曲，何かあとを考えるだろうなと推測したりして，知らないんだけ験が人より多いとは思えないです。でも，勉強が嫌い

クイズとキュレーションメディアを掛け合わせると新るかな」とか「どんなメディアに出ているんだろう」「誰

れど，わかったという瞬間がきます。もちろん，わかっだったわけではなくて，小学校高学年くらいになってしい地位を生めるのではないか，しかも，そういうがいるんだろう」と。そうやって知っていくと，よりたと思うけれど答えは外れてしまったということもありから好きになりました。学んだ知識自体が楽しいといことをやっているメディアはまだ少ないよねということその魅力に気が付いて「この曲も，あの曲もいいじゃます。知る，わかる，正解するというのは全然別のもうよりは，知識を得ればライバルに点取りゲームで勝で，クイズを使うことに特化した QuizKnock というん」「あのメンバーが気になるな」と深みにハマってのなんですね。

てるというところに楽しさを見出していました。勝ってメディアを立ち上げました。

いく。楽しいからもっと知りたくなり，知るからもっそれは数学とも似ているのかなと思います。初めて最初の 1 年ぐらいは，ユーザーが情報を能動的にと楽しくなるというループがまわっていって，能動的見る問題に出会ったときに，もちろん知らない問題な収集して，それが習慣となり，自分でその能動性をに知識を深められるんです。でも，このループには，んだけれど，それでちょっと手を動かしてみて「あ，勉強には，単純に学ぶこと自体が楽しいか，学びつくれるようになることをゴールにしていました。とこ必ず「知る」からしか入れないんです。
「楽しい」から

これはこうやって解けるかも」って気付く。まさに知を通して成長を感じることが楽しいかの 2 つの楽しさ

さんに，クイズやご自身の算数・数学の体験についてお話を伺ってきました。

てください。

2      算数・数学情報誌 ROOT No.28

知識を得てライバルに勝つ楽しさがありました。

いる自分が楽しいのであって，勉強自体は楽しくないという状況でしたね。

算数・数学情報誌 ROOT No.28       

3があって，どっちの楽しさも正しいと思います。当時わからずに習得した行列の計算をようやく使うこください。（苦手だけど，嫌いだけど）「できる自分」の僕は，順位が上がっていくことが楽しかったので，とになって，役に立つかなんて使ってみないとわを好きになれば，きっともっといろんなことがで解きやすい科目，特に国語，社会，続いて理科が好からないなと反省しました。統計の論文に慣れてきるようになると思います。

きでしたね。算数が一番嫌いでした（笑）
。

きたら，ニュースの見方も変わってきたりして，
例えば，「ニュースでは因果関係があるように伝え丁寧に積み重ねをすると「知らない」を「わかる」に持っていけることがわかって，算数が楽しくなりました。

情報をデータで捉えられるようになったわけです。

――算数は嫌いだったとのことですが，正解する

統計の勉強の何が楽しいのかと思っていたころ

QuizKnockから算数・数学クイズを出題してから 2 ～ 3 年たって初めて「あぁ，楽しいな」といただきました。ぜひ挑戦してみてください！

いないまま，紙に式とか計算を書き散らして解いたり思えました。算数・数学と向きあって，できるよ

算数は，小 6 までずっと苦手にしていたし，大学受していました。苦手だから速く解かなければいけない，

うになってから，その楽しさに気付くまでの時差

験でも数学が一番大変だったんですけど，それは僕式を丁寧に書いている時間があったら，とにかく考え

はすごくありましたね。「いつか楽しくなるよ」との中で，すぐに得られる喜びがなかったのが一番大きをかき出して頭の中で答えまでの流れをつくっちゃおいう感覚は大切で，クイズでも同じです。

な理由でした。算数・数学は，ひとつの問題を解くた

う，と。それが解けない原因だったので，先生からある知識を得たそのときには，そこからどんなめに覚えなきゃいけないことが多いし，問題を解くプ式や過程を丁寧に書くプロセスを半ば強制されたこと

世界が広がるのかという展開は予想していないの

ロセスの中で少しでもミスをしたら全然答えが出ない

で，正解はできないにしても問題を解くための構造へですが，結果的に深みに入っていけるようになる

しで，これは苦手だというふうになって，「楽しい」のの理解とかは進んで，次第に解けるようになっていきこともあります。知識を得てから楽しくなるまで

ループから外れてしまいました。これが，自分が算数・ました。こうやって積み重ねていくことで解けるようにに時差があることをわかって，もっとスローに学数学を嫌いになるポイントでした。

なるんだな，と。丁寧にゆっくり進んだほうがうまくんでいくような感覚は必要なのかなと思います。

楽しさを感じることはありましたか。

どうやってプロセスを積み重ねていけばいいのかが
そもそも習得されていないから，頭の中で整理できて× Mathematicsているけど，単なる相関関係にすぎない」など，

いく，
急がば回れだぞということを教えてもらってから，
ある程度楽しくなりました。
それまでは，数学はひらめきでパッと解くものだと「できる自分」を好きになって，勉強することを少しでも楽しく感じてほしいです。

思っていたので，積み重ねを軽視していたし，算数・――最後に今，勉強が苦手，嫌いという子どもた

数学ができる人は頭がよく見えていたから，そういうちに，ご自身の学校生活を振り返ってのアド

人たちはひらめいて解いているんだろうなと思っていバイスをお願いします。

たんですよね。でも，そういう人たちの積み重ねなど全然嫌いでもいいと思います。嫌いなものを好を知ったことによって，こうやって地道にやれば「知きになるのはとても難しいので。でも，嫌いだけらない」を「わかる」に持っていけるんだと思いました。

ど得意になることはできます。僕もそういうタイ問題❶ 9 でわると5 余り，11 でわると 7 余り，
17でわると13 余る自然数のうち，一番小さいものは？
❷下の図形の青い部分の面積はいくつ？

6 cm

8 cm
10 cm

解答
解答と解説や他の問題を弊社Web
サイトにて公開しています。
https://www.nichibun-g.co.jp/library/root/root̲28̲qr/index.html

プでした。得意になれば，少なくとも点数を取ることが楽しくなるかもしれません。
子どもたちが悩んでいるのは，「好きにならなく学んだことが役に立ち，楽しくなるまでには「時差」があります。

てはいけない」と思い込んでしまうからではないでしょうか。無理に好きになろうとしなくてもいいのです。その代わり，ちょっとずつできることを探して，自分をいっぱい褒めながら勉強を続けていくと得意になると思います。苦手な科目もそ――算数や数学の学習に楽しく取り組めるように出身者が経済学では強いと思いました。僕がいたなるには，どうしたらいいと思いますか。

計量経済学のゼミでは，理系出身者は計算能力や僕は数学が苦手だったのに，大学では経済学部に進みました。経済学部に入って，やっぱり理系

4      算数・数学情報誌 ROOT No.28

前提知識が違っていたので。
ただ，そこで学ぶうちに，何がおもしろいのかうすることで「嫌いだけど得意」になるでしょう。
ちょっとでもできる自分を褒めて，さらに，自分

伊沢 拓司（いざわ たくし）1994 年生まれ，クイズプレイヤー，株式会社 QuizKnockCEO。東京大学経済学部卒業。開成高校時代に全国高等学校クイズ選手権で史上初の個人 2 連覇を達成。東大在学中に「楽しいから始まる
学び」をコンセプトに，クイズを使って情報を発信する Web メディアのことを好きになるといいですね。勉強を好きに「QuizKnock」を立ち上げ， 編集長を務める。 登録者数 170万人なるのではなくて，「自分のことを好き」になっての企画・出演も手がけるほか，テレビ番組への出演も多数。

以上（2021 年 10 月現在）を誇る YouTube チャンネル「QuizKnock」

算数・数学情報誌 ROOT No.28       

5統合的な見方の育成を指導目標に据えた「単位量あたりの大きさ」の指導場合の比べ方を考えよう。

2●愛知教育大学教授

山田 篤史

2ⒶとⒷのこみぐあいの比べ方について，
これを具体的な操作として確かめる活動は大切に
考えよう
自分の考えをかきましょう。
なるでしょう。

速さや混み具合を統合的に見る

図１と図２の問題（速さと混み具合）が比較さ

16ペ
同じ

子どもの人数がばらばらのれることに違和感を持つ方がおられるかもしれま

せん。しかし，これらはいずれも「単位量あたり比べできときは，ならして考えればいいんだよ。

の大きさ（異種の二つの量の割合として捉えられ

1

比べ
考え

子どもの人数もシ ートの数もちがう

めあて

自分
こと

２つの速さを求めるための情報は表の形で整理さる数量）」の一種と見ることができます。袋入りのれている徒歩の速さ（㋐）と，たけるさんたちの徒りの人口（人口密度）も，プリンタの１分あたり

６年生の指導内容であった「速さ」が５年生に下されています。そして，問いも，それらの式の答る量が比例関係にあることを前提にして）一方のので，１あたりにならす操作は，その「過程」を

全国学力・学習状況調査の算数1に，この「速さ」のどちらが速いのか」という２項目が分かっていいか」を考えており，「速さ」「混み具合」「単価」「人れます。例えば，「走った時間が同じなら，進む道

この問題の正答率は 56.0% です。これは『令和まり，「単位量あたりの大きさ」という見方の下でように「走った道のりを１分あたりにならす」仕（p.30）で引用されている平成 25 年度算数Ａ4の正おそらく，児童の学びや指導を考える上で重要でしょう。そうした活動の中で，「ならせばよいのなりませんでした。結果は重く受けとめつつも，『報て同じ考え方で作られている（そのように統合的やきを拾うことができるかもしれません。また，「な重要ですので，指導改善を考える前に，次にはそ至らしめるかでしょう。逆に，そうした理解が得られる」のような，演算に結び付けた考えが出て場する場面でも，その見方・考え方を利用できる

統合的な見方の育成を指導で心掛けることは，指速さや混み具合の理解に関する児童の実態

令和２年度に新小学校学習指導要領が全面実施となり，教科書も新しくなりました。算数では，
りてきて注目を浴びています。そして，本年度のの問題が出されました（図１）。

次の表は，インターネットで調べた道のりと時間と，たけるさんたちが歩いた道のりと時間を表しています。
道のりと時間道のり（m）

時間（分）㋐インターネット

1600

20

㋑

たけるさんたち500

7どちらのほうが速いかを調べるために，下の計算をしました。

㋐

インターネット㋑

たけるさんたち

1600 ÷ 20 ＝ 80

れていますし，インターネット上の地図で想定さ歩の速さ（㋑）の２つを求める式と答えも明らかに量の１単位分に対応するもう一方の量はどれくら図などで表しながら示してやる必要があると思わるかを４択で問うシンプルなものでした。

口密度」等々は，そうした考えの下で作られた（つのりが長いほうが速い」という考え方を，図４の３年度全国学力・学習状況調査報告書：小学校算数』

は）同じ種類の量と考えられるのです。

方として図示しながら振り返ってみることは大切

答率 50.2%（図２）と似た結果で，大きな改善とはなポイントは，上記のような様々な新しい量が全か」「平均や混み具合と同じだ」といった類のつぶ告書』でこれら２問が比較されている点は非常にに見ることができる）という理解に，どのようにらすのも１あたりを求めるのも同じ割り算で考えの点について議論してみます。

られれば，他の様々な単位量あたりの大きさが登くるかもしれません。いずれにしても，こうした可能性が高まるわけです。

導改善の第一歩だと思われるのです。

えである「80 と 71.4…の数値の意味」と「㋐と㋑500 ÷ 7 ＝ 71 . 4 …

ＡとＢの 2 つのシートがあります。

下の １ から ４ までの中から 1 つ選んで，その番号を書きましょう。

1 分間あたりに進む道のりは 80 m と約 71 m なので，㋐ のほうが

Ａ

Ｂ

6 m2

5 m2

1 分間あたりに進む道のりは 80 m と約 71 m なので，㋑ のほうが下の表は，シートの上にすわっている人数とシートの面積を表しています。

速い。

すわっている人数とシートの面積

1 m あたりにかかる時間は 80 分と約 71 分なので，㋐ のほうが人数(人) 面積(m)

速い。
４

12

Ａ

1 m あたりにかかる時間は 80 分と約 71 分なので，㋑ のほうが

6

8

Ｂ

速い。

5

Ａ
Ｂ

12 ÷ 6 ＝ 2
8 ÷ 5 ＝ 1.6

上の計算からどのようなことがわかりますか。次の 1 から 4 までの中から 1 つ選んで，その番号を書きましょう。

りと時間の情報から「地図内で想定されている徒歩の速さ」を求め，それを，実際の「たけるさん

1

1 m あたりの人数は 2 人 と 1.6 人 なので，Ａのほうがこんでいる。

2

1 m あたりの人数は 2 人 と 1.6 人 なので，Ｂのほうがこんでいる。

3

1 人 あたりの面積は 2 m と 1.6 m なので，Ａのほうがこんでいる。

4

1 人 あたりの面積は 2 m と 1.6 m なので，Ｂのほうがこんでいる。







算数・数学情報誌 ROOT No.28

48

48m

を導くには，それらが皆（差とは異なる）同じ比

ななみさん
えいたさん
ひろとさん

48

2

60

3

48

道のり
（m） 時間（分）

走った道のりが同じなら，走った時間が同じなら，かかった時間が短いほうが進む道のりが長いほうが

速いね。

速いね。

る方法は多様で難しいのですが，その手始めとし 上の表を見て，3 人のソー ラ ー カ ー の速さを道のり（m） 時間（分）て「（特定の比較の文脈では）操作や図や計算の仕

ひろとさん

48

2

60

3

48

走った時間が同じなら，かかった時間が短いほうが進む道のりが長いほうが

速いね。

速いね。

48m

1

くら

ゆうまさん

上の表を見て，3 人のソー ラ ー カ ー の速さを

比 べましょう。

48 ÷ 3 ＝ 1648m

ななみさんとひろとさんのななみさんとひろとさんの
めあて
考えよう。

60

ななみさんとひろとさんの

ソー ラ ー カ ー は，道のりも時間もちがうな。

60 ÷ 3 ＝ 2060m
1 ɹͳͳΈ͞ΜͱͻΖͱ͞ΜͷιʔϥʔΧʔͷ଎͞ͷൺ΂ํʹ͍ͭͯɼࣗ෼ͷߟ͑Λ͔͖·͠ΐ͏ɻ
走った道のりが同じなら，48 ÷ 2 ＝ 24

ソー ラ ー カ ー は，道のりも時間もちがうな。 ソー ラ ー カ ー の速さの比べ方を

1 ɹͳͳΈ͞ΜͱͻΖͱ͞ΜͷιʔϥʔΧʔͷ

例えば，「平均：ならした大きさで考えよう」の48m

走った道のりが同じなら，

48

ソー ラ ー カ ー の速さの比べ方を導を工夫してみることは重要でしょう。

48

3

ななみさんとひろとさんの方が同じだという気づき」を得ることを目標に指考えよう。

3

60m

ゆうまさん
あやのさん

走 った道のりと時間

えいたさん

2
3

48

60m

ラ ー カ ー の走っただと思われます。確かに，その気づきに至らしめつくったソー
道のりと時間を表したものです。

ななみさん

48
60

60

下の表は，ななみさんたちが

1

ななみさん

ひろとさん
48m

えいたさん
48

3

較の方法から生まれていることへの気づきが大切 速さ

あやのさん

48m

走 った道のりと時間

道のり（m） 時間（分）

走った時間が同じなら，かかった時間が短いほうが進む道のりが長いほうが
速いね。
速いね。
こみぐあいなどを比べたときの考え方を思い出そう。
あやのさん଎͞ͷൺ΂ํʹ͍ͭͯɼࣗ෼ͷߟ͑Λ͔͖·͠ΐ͏ɻ

みおさん

みおさん

こみぐあいなどを比べたときの考え方を思い出そう。
ゆうまさん▲ 図 4 「 速さ」の比 較における「 道のりを１分あたりにならす操 作」を1
次に「単位量あたりの大きさ：こみぐあいなどの上の表を見て，3 人のソー表す図の例
ラ ー カ ー の速さを
（小学算数５年下 , p.23 の改編）

比べ方を考えよう」の単元が来るのですが，ここ

比 べましょう。

ななみさんとひろとさんの

ラ ー カ ー の速さの比べ方をでも，「ならして考える」という考え方は使われまソー
考えよう。
めあて

す。教科書には，そうした「（シート１枚あたりへɹͳͳΈ͞ΜͱͻΖͱ͞ΜͷιʔϥʔΧʔͷ
1

ななみさんとひろとさんの
ソー ラ ー カ ー は，道のりも時間もちがうな。

●参考・引用文献
文部科学省・国立教育政策研究所（2021）『令和３年度全国
23
学力・学習状況調査報告書：小学校算数』

଎͞ͷൺ΂ํʹ͍ͭͯɼࣗ෼ͷߟ͑Λ͔͖·͠ΐ͏ɻ▲図 2小算Ａ− 4

平成 25 年度全国学力・学習状況調査 算数 A 4

23くらの）ならし方」を示した図も掲載されていますが（図たちの徒歩の速さ」と比べてみようという問題が6

道のりと時間を表したものです。

走 った道のりと時間

23の地図に表示されている博物館から城までの道の出されます。ただし，図１の問いに至る部分では，つくったソー ラ ー カ ー の走った

道のりと時間を表したものです。

めあて

この問題には，登場人物たち（たけるさんたち）

場面設定があります。そして，インターネット上

つくったソー ラ ー カ ー の走った

単位量あたりの大きさの指導改善に向けてくら令和３年度全国学力・学習状況調査 算数 1（3）（抜粋）

が地域の調査で博物館・城・図書館を巡るという
小算− 4

速さ
下の表は，ななみさんたちが比 べましょう。

どちらのシートのほうがこんでいるかを調べるために，下の計算をしました。

▲図 1

3

速さ
下の表は，ななみさんたちが「速さも混み具合も単価もみな同じ」という理解

速い。

３

ところが，
「速さ」に関わる「時間」は，混み具

合の人数やシートの枚数のように目に見えません

上の計算からどのようなことがわかりますか。

２

アメの１個あたりの値段（単価）も，１km2 あた

ならし方の操作を表す図（小学算数５年下 , p.17）の印刷枚数（印刷速度）も，全て「（２つの対応す

4

１

ノート

▲図 3

みおさん

こみぐあいなどを比べたときの考え方を思い出そう。

３）「操作の類似性」への気づきを大事にするなら，，算数・数学情報誌 ROOT No.28

7

生徒が数学を用いて問題解決する方法を必要とする問題1

生徒が数学を用いて問題解決する方法
を選択しない要因

令和 3 年度の全国学力・学習状況調査 数学では，事象を数学的に解釈し，問題解決の方法を数学的に説明することができるかどうかをみることを趣（2）の問題（図 1）が出題されました。
旨とした 7

図 1 の問題について，本稿では『令和 3 年度全７

学級委員の健斗さんは， ２分間スピーチの時間

入れ， 砂を通すための穴をあけた厚紙をペットボ
健斗さんは， ペットボトルに入れる砂の重さを

国学力・学習状況調査報告書：中学校数学』で「上記以外の解答」とされた割合とその具体例に注目してみます。報告書では解答類型が細かく分類されており，不十分な記述も含め，数学を用いることについて記述している解答は全て，「上記以外の解答」以外のいずれかに分類されたと考えられます。そのため，「上記以外の解答」に分類された解
答は，数学を用いることについて記述していない解答であると考えられます。この，数学を用いる

では，それぞれ 5.1%と 7.8% で
況調査 数学 B 3（2）決めると， 砂が落ちきるまでの時間が決まると考えました。 そこで， 砂の重さ が x g のときに， 砂した。それに対して図 1 の問題では，19.5%でした。

が落ち始めてから落ちきるまでの時間を y 秒とし

図 1 の問題の報告書では，「上記以外の解答」の具て調べ， その結果を， 次のように表にまとめ， 下のグラフに表しました。

体例（図 2）が示されており，「このように記述した

調べた結果

生徒は，実測を基に問題を解決する方法の見通し

砂の重さと砂が落ちきるまでの時間
０

２５

５０

７５

１００

０

１１.９

２４.２

３６.０

４８.３

を表現しているが，与えられた表やグラフを基に，数学を用いて問題を解決する方法の説明にまでは至らなかったと考えられる。
」と分析されています。
・実験して 2 分になったときを調べればよい。

（秒）y・多めに入れて 120 秒後に落ちた砂の重さを

１４０
１２０

６０
（１） 調べた結果のグラフにおいて，砂の重さが７５g のときに， 砂がＤ
Ｃ ６.０秒であったことを表す点はどれですか。
落ちきるまでの時間が３
４０
Ｂ
点Ａから点Ｄまでの中から記号を１つ書きなさい。
Ａ
２０
５０

１００

１５０

２００

２５０

x
３００ （ g ）

中数−11

べます。
そこで， 調べた結果のグラフにおいて， 原 点 Ｏ か ら 点 Ｄ ま で の点が一直線上にあるとし， 砂の重さが増 え て も す べ て の 点 が 同 じ
直線上にあると考えることにしました。
このとき， ２分をはかるために必要な砂の重さを求める方法を説
明しなさい。 ただし， 実際に必要な砂の重さを求める必要はありま
せん。

▲図 1

8

令和 3 年度全国学力・学習状況調査 数学 7（2）（抜粋）

算数・数学情報誌 ROOT No.28

ことが予想されます。そのため生徒は，より誤差必要とする問題の条件

それでは，生徒が数学を用いて問題解決する方

際，平成 25 年度数学 B 3（2）の「太一さんは，水を基に問題解決する方法よりも，数学を用いて問決する方法を選択したと考えることができます。実温が 80℃になるまでにかかる時間を求めるために，…（以後省略）」という問題の報告書では，実測を基に問題解決した解答には注目されていません。この問題では，水温が 80℃になるまでにかかる時間

を，誤差を極力小さくして求める必要がなかったことから，生徒は実測を基に問題解決する方法を選択ばよいのでしょうか？関数の利用において，実測題解決する方法を必要とすることに限定すれば，先ほどの考察から次の 2 点が示唆されます。
① 生徒が多少の誤差を許容できる問題② 生徒が実測を基に問題解決する方法を適当な方法ではないと判断する問題との比較から示①は，平成 25 年度数学 B 3（2）

しなかったと考えることができます。

唆されます。関数とみなす際には，理想化や単純2 分をはかるための砂時計を作るという状況です。

ます。図 1 の問題のように，生徒が誤差を許容でまた 図 1 の問題は，2 分間スピーチ本番の前に，その上で，2 分をはかるために必要な量の砂は既に手元にあると考えることができます。つまり，本番までに時間があり，生徒自らが実測を基に砂時計を作成することが可能な状況です。そのため生徒は，実測を基に問題解決する方法を選択したと考えることができます。実際，平成 29 年度数学 B 3（2）の「康平さんは，このダムの貯水量が 1500 万 m よ3

り少なくなると水不足への対策がとられることを知り，それがいつになるのかを予測することにしま化が必要となるため，得られる値には誤差が生じきないと判断する可能性のある問題の場合，生徒は，誤差が生じる数学を用いて問題解決する方法
よりも，より誤差が少ない実測を基に問題解決する方法を必要とするかもしれません。そして，この仮説の裏を返すと，生徒が多少の誤差を許容できる問題であれば，生徒は，手間のかかる実測を基に問題解決する方法よりも，数学を用いて問題解決する方法を必要とすることが期待されます。

②は，平成 29 年度数学 B 3（2）との比較から示した。」という問題の報告書では，実測を基に問題唆されます。生徒が実測を適当な方法ではないと判

量が 1500 万 m より少なくなることを実測するこ解決する方法を必要とすることが期待されます。

解決した解答には注目されていません。ダムの貯水3実測を基に問題解決する方法を選択しなかったと

図 2 のような実測を基に問題解決する方法は，生徒が数学を用いて問題解決する方法を法を必要とするためには，どのような問題にすれはかる。

▲図 2 「上記以外の解答」の具体的な例

2が少ない砂時計を作るために，実測を基に問題解とは，水不足への対策という問題の状況と矛盾しており，かつ生徒自身では実測できないため，生徒は考えることができます。

断すれば，実測しようとはせず，数学を用いて問題3

問題分析の視点

図 2 のように解答した生徒に直接インタビュー

以上より，[1] 2 分間スピーチの時間をはかるたをしたわけではないため，私の推測に過ぎません

力小さくしたいと考え，[ 2 ] 生徒が実測を基に問題学を用いて問題解決する方法を必要だと思わな

どちらも選択することができたことから，生徒はましてもぜひ一度，「この問題は，生徒が数学を用も，より誤差が少ない実測を基に問題解決する方という視点で問題を分析してみてください。

「上記以外の解答」に分類された解答の割合が，類●参考・引用文献
文部科学省・国立教育政策研究所（2013, 2017, 2021）『全国学力・学習状況調査報告書：中学校数学』

類題が出題された平成 25 年度と平成 29 年度の報告

めの砂時計を作るという目的から，生徒は誤差を極が，私は図 2 のように解答した生徒の中には，数報告書で注目される程に多くの生徒が実測を基に解決する方法も，数学を用いて問題解決する方法もかった生徒がいたと考えました。先生方におかれ

図 1 の問題で数学を用いて問題解決する方法よりいて解決する方法を必要とする問題だろうか？」書では注目されていませんでした。ではなぜ今回，（２） 健斗さんは， ２分をはかるために， 砂時計に必要な砂の重さを調

直線上にはないため，数学を用いると誤差が生じるはかる。

・少しずつ砂の重さを増やしていき，2 分まで

１００
次の（１），（２）の各問いに答えなさい。
８０

Ｏ

石橋 一昴

と平成 29 年度の全国学力・学習状
査 数学 B 3（2）トルの間にはさんで作ります。

の時間 y（秒）●岡山大学 助教が出題された平成 25 年度の全国学力・学習状況調にしました。 その砂時計は， ペットボトルに砂を砂が落ちきるまでのグラフにおいて，原点 O から点 D までの点は一ことについて記述していない解答の割合は，類題

をはかるための砂時計をペットボトルで作ること

砂の重さ x（ g ）らないといけない」と考えたかもしれません。図 1

問題解決する方法を選択したのでしょうか？

その要因の一つとして，生徒が数学を用いて問題解決する方法を必要だと思わなかったことが考えられます。図 1 の問題で作成する砂時計は 2 分

間スピーチの時間をはかるための砂時計ですので，
図 2 のように解答した生徒は「2 分ぴったりはか

法を選択したと考えることができます。その結果，
題よりも大きかったと考えることができます。

算数・数学情報誌 ROOT No.28

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ごいた

いま，屋内レジャーとして，ボードゲームやカードゲームが注目されています。
そこで，楽しみながら算数・数学の力も育成できるゲームをご紹介します。

うアルゴ ベーシック

つ《遊び方》
二人対二人の四人制。各自に 8 枚ずつ配られた持ち駒を場に打ち合い，自分か味方のどちらかの持ち駒が，敵チームより先になくなれば上がり。上がった駒の種類で付与ポイン
トが変わります。先に合計 150 点に達したチームが勝利です。

「アルゴ ベーシック」はシンプルで奥の深いカードゲームです。
《遊び方》
使用するのは，0 ～ 11 までの数字が書かれた白と黒のカード計24 枚。二人制の場合，４枚ずつ配られた数字カードを伏せた状態
でルール通りに並べてスタート。少しずつ明かされてくるカードの数字を手掛かりに，交代で相手のカードを推測しあいます。先に相手のカードの数字をすべて当てた方が勝ちとなります。

競技中の会話は原則禁止。自分の持ち駒や場の駒をヒントに敵チームと味方の意図を論理的に推測し，確率を頼りに次の一手を打つ必要があります。
場合によっては，味方の上がりを援護するために，駒を出せる状況でもあえてパスをするなど，高度な駆け引きも必要。無言で打つ駒に込めたメッセージが味方に伝わったときの嬉しさが「ごいた」の魅力で，別名「思いやりのゲーム」と呼ばれる由縁です。

カードの並べ方ルールと場に見えている情報から隠れたカードの候補を絞り込む，相手のカード情報を集めると同時に自分のカード情報は明かさないよう注意する，前に試した数字を覚えておく等，論理的思考
力・集中力・記憶力が必要です。

し「ごいた」は石川県能登半島の漁師町，宇出津の伝承遊戯です。
地元では将棋に似た竹製の駒で遊びますが，現在は入手しやすいカード版もあります。

商品名：アルゴ ベーシック
発行元：学研プラス
商品概要：https://hon.gakken.jp/book/1575064700

写真のカード版ごいた販売元：テンデイズゲームズ
協力：能登ごいた保存会，
ボードゲームカフェ＆ショップ デザート＊スプーン

ウボンゴ「ウボンゴ」とはスワヒリ語で頭脳という意味。
教材に導入している海外の小中学校もあります。
《遊び方》

カタン

プレイヤーは各自，形の異なる 8 種のピースタイルを持っています。次にめいめい課題図形が与えられるので，それと同じものを 3～４種のピースタイルの組合せで作りあげます。
制限時間内に図形を完成させた人は「ウボンゴ！」と宣言し，ポイント（宝石）をもらいます。ゲーム終了後，合計ポイントが最も高い人が勝者です。

「カタン」は，無人島を開拓していく陣取りゲーム。
はじめは難しそうですが，小学生でも遊べます。
世界で 3,000 万個以上売れている大人気ゲームです。
《遊び方》
プレイヤーは各自，島の空き地に拠点となる開拓地 ( 家 ) を建て，街道を伸ばしながらポイント
10 点を稼ぎます。開拓には数種の資源が必要で，サイコロの出目や対戦相手との交渉で入手します。盗賊が現れて邪魔をする事もあり注意。ときに戦略的な理由で，敵であるはずの他プレイヤーと協力したり交渉したりするところに妙味があります。

特殊なサイコロ，カラフルな宝石やボード，砂時計などデザインも秀逸。
課題図形の凹凸にうまくはまるよう，ピースタイルをくるくる回したり（図形の 90°，180°回転移動），裏返したり（図形の対称移動）するうちに，図形を見る目が鍛えられます。

サイコロを使うので運により勝敗が左右される事もありますが，交渉を成功させるための論理的思考力や，「2 個のサイコロの和で出やすい数は何か」などの確率を考える力がカギを握ります。

販売元：株式会社ジーピー(C)2018 GP Inc. JAPAN. All Rights reserved.

ご紹介したゲームの中には，通常版のほかネット対戦アプリゲーム版や点字対応
販売元：株式会社ジーピー(C)2015 GP Inc. JAPAN. All Rights reserved.

版があるもの，多言語のバージョンで世界各地で遊ばれているものがあります。
国内ではゲームをサークル活動や採用試験に取り入れる団体もあり，ゲームの世界は広がっています。

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算数・数学情報誌 ROOT No.28

算数・数学情報誌 ROOT No.28

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読 み 解 く

数学偉人伝！

ナイチンゲール「クリミアの天使」は，グラフの黎明期にバラの花を咲かせた●帝塚山大学教授

城田 直彦

女が熱中したのが数学でした。華やかな社交の場「箱 ひげ図」が登場！

よりも数学に打ち込む姿を見て，母は「勉強しなし ぶん

2021年度から中学 2 年の数学の内容に，「四 分
い すう

位数」や「箱ひげ図」が登場しています。

いでほしい」と願うほどでした。
ナイチンゲールが看護師として働きたいと言いデータの値を小さい順に並べ，値の個数が等し出すと，家族は猛反対。「働く」ということ，しかくなるように 4 つに分けたときの，3 つの区切り

も，「女性が働く」ということについて，全く賛成の位置の値を「四分位数」といい，それらを「箱」が得られなかったのです。また，当時は，「看護師」と「ひげ」を使って示した図が「箱ひげ図」です。

という職業にも偏見が持たれていました。

第１四分位数
最小値

それでも，31 歳のナイチンゲールはドイツで看第３四分位数

中央値 平均値

最大値

護師としての研修を受けます。その後，パリで病院の組織や経営の研究を始め，33 歳のときにロンドンにある経営難の病院を立て直してほしいとい

分布の様子を知るという点では，箱ひげ図よりも小学 6 年で学習する柱状グラフ（ヒストグラム）のほう

う依頼が届きます。こうして，ようやく，ナイチ
ンゲールは病院の仕事に就いたのです。

が優れています。しかし，箱ひげ図を使えば，中央値

ナースコール，ナースステーション，各階に湯などの指標がよくわかります。また，箱ひげ図は並べ第１四分位数
第３四分位数を通すパイプ，食事を運ぶためのリフトなど，現中央値 平均値てかけるので，複数のデータを視覚的に比べやすく
最小値
最大値 と

在の病棟でも使われているこのようなシステムは，ても便利です。

彼女の考案によるものです。

間のことだと思います。しかし，彼女の活躍が「本月の死亡率を表しています。死因の違いで，青（感当にすごい」のは，むしろここからです。

染症），赤（負傷），黒（その他）のように「色分け」

箱ひげ図は，比較的新しい統計表現です。1977 年

1853 年，ペリーが浦賀にやって来た年に，トル

四分位範囲にアメリカの数学者
・統計学者ジョン・テューキー（1915

コ，イギリス，フランスとロシアの間にクリミア

イギリス兵は，けがや病気よりも感染症で亡く

範囲～ 2000）が彼の著書の中で使ったのが最初で，誕生戦争が勃発します。翌年，ナイチンゲールは 38 人

なるほうが圧倒的に多い――ナイチンゲールは看してまだ 50年も経っていません。

の看護団を結成し，トルコのスクタリにある陸軍

護体制や衛生状態の改善を政府に訴えるために，野戦病院に向かいます。

1000 ページにも及ぶ報告書をまとめます。そこでに訴えるプレゼンテーションです。今でこそ，グ使われたのが，「数学（統計学）」です。彼女は，最ラフはパソコンを使って簡単に作成できますが，先端の統計の勉強もしていたのです。

当時はどれほど驚かれたことでしょう。

今回は，グラフをうまく利用し，病院の改革を行った女性を紹介しましょう。

ナイチンゲールたちの献身的な介護と病院内の衛生環境の改善の結果，病院での死亡率は劇的に

女 性よ，
自立しなさい。自分の足で立ちなさい。 減少しました。夜回りが日課となっていた彼女は，を行い，それぞれの死亡率が一目でわかるように工夫をしました。
円形のグラフ，しかもカラー！

まさに，視覚

当時は，まだ，棒グラフや折れ線グラフですらトルコから帰ったナイチンゲールは体調を崩し，いつしか「ランプの淑女」や「クリミアの天使」

珍しかった時代。そんな中でナイチンゲールは，

亡くなるまでベッドの上での生活を余儀なくされとても裕福な家庭で育ちました。ナイチンゲールと呼ばれるようになりました。

いくつものグラフを考案します。その一つが，「ローます。それでも，39歳のときに『看護覚え書』を家はイギリスに広い土地を持つ領主で，両親は働

ズ・ダイアグラム」（上の図解）です。

出版，40 歳で世界で初めての看護学校を開校。た

く必要がなく，夏と冬で住む屋敷を変えるような天 使とは，苦悩する者のために戦う者

生活を送っていました。

「クリミアの天使」が看護師として働いたのは，

東方駐留英国陸軍の各月の死亡率を示しています。

なかでも「統計学」であったと思うのです。

ナイチンゲールは，聡明な父や家庭教師から教わずか 2 年くらいだけのこと。多くの人がナイチ

大小 12 個の扇形が，1 年の各月を表すというアイ「クリミアの天使」は，「統計学の母」とも呼ばれ育を受け，幅広い教養を身につけます。特に，彼ンゲールについて持っているイメージは，この期デアです。また，中心からの扇形の面積が，そのています。

フローレンス・ナイチンゲール（1820 ～1910）は，このグラフは，1854 年 4 月から翌年 3月までのおぼがきだ，私は，彼女の活動を支えていたのが「数学」，

参考文献 『統計学者としてのナイチンゲール』多尾清子（医学書院，1991）ほか

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