第６回統計教育シンポジウム「仮説検定の考え方」のロジック〜 仮説検定の本当の考え方とは〜の授業実践を振り返って

お茶の水女子大学附属高等学校

数学科
三橋一行

「仮説検定の考え方」
学習指導要領解説では・・・・・（４）データの分析
ア(ウ）具体的な事象において，仮説検定の考え方を理解する。
イ(ウ) 不確実な事象の起こりやすさに着目し，主張の妥当性に着目し，主張の妥当性について実験などを通して判断したり，批判的に考察できたりすること。
➡

仮説検定の本質的考え方を教えるものと期待実際の教科書を見てみると‥‥仮説検定を習って(教えて）いないのに考え方を教える。
→仮説検定の考え方というより仮説検定の仕方を説明→未習事項のカバーのため

検定のためのデータ収集のほかに別の実験をプラスして，実験（標本調査）を実験で保証するという「仮説検定もどき」のやり方・・・・

高校1年生にとって，仮説検定（フィッシャー；ネイマン・ピアソン流）を教えるにあたって難所と思われる内容①母集団と標本の関係（母集団分布，標本分布）の問題②確率変数，確率分布，確率を求める（∑，積分の）問題
これらをカバーするために → シミュレーションやPCの使用の問題，高１では，二項分布さえ知らない状態。
③統計量の問題，正規化，確率変数から統計量の導出④帰無仮説，対立仮説 の問題（設定法，意味，分布の属性）⑤有意水準（危険率）問題（意味や過誤の問題）⑥仮説の棄却に関する問題（H0が棄却ならH1は採択？） など・・・

統計学の本の最後の方にある「仮説検定」を最初に持ってくるなんて・・という状況ではあるのですが・・・①

単純化して，仮説検定の本質的な考え方を指導できないか②

仮説検定の危険性や発展的な方法も扱えないか3. 指導法の提案＜問題＞「A,B二つの壺がある。
Aの壺には，白玉9個，黒玉1個，Bの壺には，白玉2個，黒玉8個が入っている。今，目の前にどちらか1つの壺が置いてある。そこから，無作為に1つの玉を取り出したら，黒玉であった。Aの壺か，Bの壺か判断せよ。」

[考え方α]確率的に考えてみると

判断をしてみる！
黒玉がでたので，左図の色の塗ってある部分だ
けを考えればよい。

（黒玉がAの壺から出ている確率）：（黒玉がBの壺から出ている確率）＝0.05 ：0.4 ＝１：８
黒玉がBの壺から出てきた確率は，Aの壺ら出てきた確率よりも８倍も高い。
⇒よって，Bの壺である可能性が高い。
Aの壺から出る確率は0.05/（0.05+0.4）＝1/9
Bの壺から出る確率は0.4/（0.05+0.4）＝8/9→

したがって，Bの壺であると考えられる。

この方法にどこか，不自然なところはないか…
最初の設定で，「Aの壺かBの壺であるかが，確率0.5（1/2）ずつ」としてよいのだろうか・・・・・

別の方法を考えよう！！

［考え方β］
背理法的に考えてみると・・・・

「困った時の背理法！？」壺Aがすべて白玉，壺Bがすべて黒玉とすると・・はっきり言いきれるが，壺Aが白玉9個，黒玉1個，壺Bが白玉２個，黒玉8個とすると・・
1. 壺Aだと仮定する。（壺Bであることを否定する）
2. 壺Aならば，ほぼ白玉が出る。
3. 無作為に壺から１つ取り出したら黒玉であった。
4. 壺Aでないとは言い切れないが，可能性が低いので壺Bだろう。
何か弱い・・・・

そこで，確率１/10以下で起こることは，起こりにくい事なので「起こらない」としてしまおう。
壺Aが白玉9個，黒玉1個，壺Bが白玉２個，黒玉8個
1. 壺Aだと仮定する。（壺Bであることを否定する）
2. 壺Aならば，白玉が出る。←確率1/10で起こる黒玉は出ないと考えた。
3. 無作為に壺から１つ取り出したら黒玉であった。
4. 壺Aであることに矛盾する。よって壺Bである。
判断はできたが，壺Aから確率1/10で黒が出ている可能性を無視したので，この判断は1/10の確率で間違っている危険性をもっている。
めったに起こらないことなので目をつぶったこの確率を有意水準（危険率）という。

壺Aである

確率1/10以下の事象は起こらないと考えると壺Aから黒玉が出るとは考えられない。
（正しくは考えにくい）
→

壺Bである

白玉が出る
確率 0.9黒玉が出る 確率0.1

有意水準（危険率）とは？
「考え方β」で，判断はできたが，壺Aから確率1/10で黒が出ている可能性を無視したので，この判断は1/10の確率で間違っている危険性をもっている。

めったに起こらないことなので目をつぶったこの確率を有意水準（危険率）という。

有意水準（危険率）は0.05を使うことが多い。
１００回に５回起こる，すなわち２０回に１回程度しか起こらない事象は「起こらない」ものと判断するということ。

諸説あるが，数学的，科学的根拠はない。
フィッシャーの「毎年推定している場合，２０年に１度のミスは許される」との発言によるものではないかとされている。
大きくすれば，判断はつき易いが，間違った判断も多くなる。
小さくすれば，間違った判断は減るが，判断が付きにくくなる。

問１．
［考え方α］と［考え方β］を聞いて，以下の問いに答えなさい。
① どっちらの考え方が，良いと思いますか？
理由も書きましょう。

②

それぞれの考え方に問題点があるとすれば，それはどこだと思いますか？ 理由も書きましょう。

「仮説検定の考え方」（教科書P.203）※ 主張 → 仮説と置き換える。
教科書の内容を補足して下のようにしました。
仮説［１］が正しいと判断できるか。
① 仮説［２］（仮説［1］と反する仮説（仮定））を立てる。
② 有意水準＜危険率＞（これ以下の確率は起こらないと考える）を決める。
③ 仮説［２］のもどで，実際に起こった出来事が起こる確率を調べる。
④ ②と③で求めた確率を比べる。→ 小さかった。
＜大きかったら，仮説［2］を棄却できない＞⑤ そもそも，仮説［2］（の仮定）が正しくなかった。
⑥ 仮説［1］は正しいと判断しても良いと考えられる。
教科書の内容を補足して上のようにしました。

問２.
［考え方B］と比べて，上の①～⑥の表現でふさわしくないと思われる表現を用いているのは，どれですか？ 理由とともに答えなさい。

問３.
有意水準（危険率）を決めるのは，➂より前に決めておくことがよいとされています。その理由を考えてみましょう。
プリントの問題を解いてみよう！

授業を終えて• 仮説検定の考え方として，ベイズの方が，NP仮説検定よりもしっくりくるようだ。しかし，説明の長短，有意水準を「無視する確率」といっているなどの影響があると思われる。数学らしいので自然に受け取れるようである。）• 仮説検定（夏休みの宿題でやり方だけは学習していた）ので，どんなことをしているのかのイメージがつかめたという生徒が多かった。
• 危険性を孕んでいる判断であることが分かった。
• グループ活動で意見交換が活発に行われた。
• 代表生徒の発表内容が充実したものであった。（予想外）

＜再掲＞
高校1年生にとって，仮説検定（フィッシャー；ネイマン・ピアソン流）を教えるにあたって難所と思われる内容①母集団と標本の関係（母集団分布，標本分布）の問題②確率変数，確率分布，確率を求める（∑，積分の）問題
これらをカバーするために → シミュレーションやPCの使用の問題，高１では，二項分布さえ知らない状態。
③統計量の問題，正規化，確率変数から統計量の導出④帰無仮説，対立仮説 の問題（設定法，意味，分布の属性）⑤有意水準（危険率）問題（意味や過誤の問題）⑥仮説の棄却に関する問題（H0が棄却ならH1は採択？） など・・・

授業を終えて②＜協議会での話題から＞● 別実験を行う ➡ 理論値で評価したい。➡ 無理せず，数Bまで待つ「考え方」を簡単な例で説明することに重点● 2つの仮説が論理的に排反でないことがある➡ 数理統計学上は補集合の関係（排反），実際は不可能。
μA＝μB 1点での（単純）仮説と μA ≠ μB その他の（複合）仮説とで考える。実は，帰無仮説μA＝μB と対立仮説μA＜μBの設定は不自然。
μA＞μBの可能性が除かれている。仮説が立てられるのは，パラメータ（母数）のみについてのみ 競争に勝つ主張をすべき（現実的考えかた）
or ベイズ統計● 問題となる確率のみでなく，なぜそれ以上の確率をもとめるのか➡ 分布の形状とのそれらのズレ，ヒストグラム作成 数Bまで待つ● 有意水準の設定について（棄却域の生成こそが要）➡「見ないことにする確率」(今回） 帰無仮説の分布前提（モデル）からの矛盾● データサイエンス，統計学の結果の信頼性は？（条件，リスクを背負った判断）＜参考文献＞• 「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」
• 「データ分析に必須の知識・考え方 統計学入門」阿部真人 著• 「完全独習ベイズ統計学入門」

小島 宏之著

文部科学省
ソシム

ダイヤモンド社• 「統計学を哲学する」 大塚 淳 著 名古屋大学出版会