目次iii

目次まえがき ........................................................................................................................... i
本書の構成 ...................................................................................................................... ii
第1部

統計学の基礎と検定の考え方 ................................................................11章

t 検定 （数式なし） ................................................................................21－1

期待値（平均値） ...............................................................................21－2

分散 .......................................................................................................3

1－3

有意差 ...................................................................................................41－4

サンプルサイズ ...................................................................................61－5

t 値 .........................................................................................................71－6t 検定 .....................................................................................................81－7

p 値 ........................................................................................................91－8p 値と検定 .......................................................................................... 101－9

検定は偉いのか？ ............................................................................. 112章

t 検定（数式あり） ................................................................................ 132－1

期待値と平均値 ................................................................................. 132－2

分散の数式 ......................................................................................... 162－3

不偏分散 ............................................................................................. 182－4

標準偏差 ............................................................................................. 212－5

標準誤差 ............................................................................................. 212－6

t 値の計算例 ....................................................................................... 223章

R の簡単な使い方 .................................................................................. 243－1

R とは.................................................................................................. 243－2

R のインストール .............................................................................. 243－3

計算の実行方法と F5 ボタン ........................................................... 253－4

R による簡単な計算 .......................................................................... 26

iv

目次3－5

「変数に格納する」という言葉の意味と使い時 ..........................283－6

コメントの使い方..............................................................................30

3－7

R による t 検定 ...................................................................................30

3－8t 検定を一瞬で行う方法....................................................................34

第2部

統計モデル基礎：正規線形モデル.....................................................36

1章

分散分析(ANOVA) ......................................................................................37

1－1

分散分析の使い時..............................................................................37

1－2

分散分析によるデータのモデル化 ..................................................37

1－3

分散分析による検定 1：誤差と効果の比をとる ...........................38

1－4

分散分析による検定 2：誤差と効果の大きさを測る ...................40

1－5

計算例 1：データ...............................................................................411－6

計算例 2：「効果の分散の大きさ」を計算する .............................43

1－7

計算例 3：「誤差の分散の大きさ」を計算する .............................441－8

用語：自由度、偏差平方和、残差平方和、平均平方 ..................45

1－9

計算例 4：p 値の意味........................................................................46

1－10計算例 5：「R」を用いて p 値を求める ..........................................47

1－11

R による分散分析 1：データの準備 ...............................................48

1－12

R による分散分析 2：データフレームの使い方............................49

1－13

R による分散分析 3：モデルの作成と検定 ...................................502章

統計モデルから見た分散分析 ...................................................................532－1

統計モデルの意味とその必要性 ......................................................532－2

統計モデルと誤差..............................................................................542－3

分散分析とモデル選択 ......................................................................552－4

数値例 .................................................................................................572－5

単純なモデル・複雑なモデル ..........................................................602－6

用語 1：帰無仮説・対立仮説 ...........................................................61

目次v

2－7

補足：検定の非対称性...................................................................... 622－8

用語 2：応答変数・説明変数 ........................................................... 63

2－9

数式でみる分散分析モデル .............................................................. 64

2－10

R でみる分散分析モデル .................................................................. 65

3章

回帰分析 ...................................................................................................... 68

3－1

回帰分析とは ..................................................................................... 683－2

回帰モデルの考え方.......................................................................... 683－3

線形回帰モデルの仮定...................................................................... 693－4パラメタの推定方法―最小二乗法 .................................................. 713－5

R による最小二乗法 1：解析の流れ ............................................... 73

3－6

R による最小二乗法 2：データの準備とプロット........................ 73

3－7

R による最小二乗法 3：予測関数の作成 ....................................... 74

3－8

R による最小二乗法 4：残差平方和の計算 ...................................76

3－9

R による最小二乗法 5：残差平方和計算関数の作成.................... 783－10

R による最小二乗法 6：最適化関数 optim ..................................... 79

3－11

R の lm 関数による回帰分析 ............................................................ 80

3－12回帰分析の検定 1：検定の流れ ....................................................... 82

3－13

回帰分析の検定 2：誤差と効果に分ける方法 ............................... 82

3－14

回帰分析の検定 3：モデル選択による方法 ...................................84

3－15

回帰分析の検定 4：R で実行 ........................................................... 86

3－16

用語：R2（決定係数）...................................................................... 87

3－17summary 関数 ..................................................................................... 884章

正規線形モデル........................................................................................... 914－1

カテゴリ変数と連続変数.................................................................. 91

4－2

R による解析 1：解析の流れ ........................................................... 92

4－3

R による解析 2：データの読み込み ............................................... 92

vi

目次
4－4

R による解析 3：データの図示と pairs 関数 ..................................94

4－5

R による解析 4：lm 関数によるモデリング ..................................95

4－6

R による解析 5：検定 .......................................................................96

4－7

R による解析 6：summary 関数によるモデルの要約 ....................97

4－8

R による解析 7：係数の抽出 ...........................................................99

4－9

R による解析 8：モデルの係数を用いた予測..............................100

4－10

R による解析 9：predict 関数による予測 .....................................101

4－11

R による解析 10：予測用データセットの作成............................1024－12

R による解析 11：モデルの図示 ...................................................103

第3部

正規線形モデルによるデータ解析.....................................................107

1章

Type II ANOVA とモデル選択 .............................................................108

1－1

解析の準備 .......................................................................................108

1－2

モデル選択と「フツーの」分散分析の違い ................................109

1－3「フツーの」分散分析の仕組み .................................................... 111

1－4

Type II ANOVA ................................................................................. 113

1－5

Type II ANOVA のメリット ............................................................ 114

1－6

R による解析 1：パッケージのダウンロード.............................. 114

1－7

R による解析 2：ライブラリの読み込み ..................................... 116

1－8

R による解析 3：Anova 関数の実行.............................................. 116

2章

Type II ANOVA の応用 ......................................................................... 118

2－1

売り上げに効いている説明変数はどれ？ .................................... 118

2－2

解析の順序 ....................................................................................... 119

2－3

解析手順 1：目的の設定 ................................................................. 119

2－4

解析手順 2：データの読み込みと図示 .........................................120

2－5

よくない解析の例............................................................................123

2－6

変数を一つずつ検定すべきでない理由 ........................................126

目次vii

2－7

解析手順 3：統計モデルの作成 ..................................................... 128

2－8

解析手順 4：検定（Type II ANOVA） ........................................... 129

2－9

解析手順 5：モデル選択.................................................................129

2－10

解析手順 6：モデルの解釈 ............................................................. 131

2－11

解析手順 7：意思決定..................................................................... 132

2－12

補足：モデルに入らなかった変数について ................................ 133

2－13

補足：モデル選択の前と後の比較 ................................................ 134

2－14

統計モデルを知ることの意味 ........................................................ 135

第4部

確率と統計データ ................................................................................ 137

1章

確率変数 .................................................................................................... 138

1－1

手に入れたデータ・手に入れていないデータ ............................ 138

1－2

手に入れていないデータを扱う意義 ............................................ 138

1－3

データを扱う学問になぜ「確率」が必要か ................................ 140

1－4

データと確率変数 ........................................................................... 140

1－5確率変数と確率分布........................................................................ 141

2章

データが得られるプロセス ..................................................................... 144

2－1

母集団と標本とサンプリングの関係 ............................................ 144

2－2

母集団からのサンプリングがイメージしにくい例 .................... 144

2－3

無限母集団と確率分布と確率変数の関係 .................................... 145

2－4

時系列データとデータ生成過程（DGP） .................................... 146

2－5

データが得られるプロセス ............................................................ 148

2－6

補足：サンプリングと偏り ............................................................ 148

3章

データを解析するプロセス ..................................................................... 150

3－1

手に入れていないデータを扱う方法 ............................................ 150

3－2

データから母集団分布を推定する方法 ........................................ 150

3－3データを比較する方法.................................................................... 151

viii

目次
3－4

確率分布の比較と検定 ....................................................................151

3－5確率分布の使い分け........................................................................152

第5部

確率分布と統計モデル ........................................................................154

1章

確率密度関数 .............................................................................................155

1－1確率分布 ...........................................................................................155

1－2

パラメトリックとノンパラメトリック ........................................156

1－3

確率密度関数から確率分布を求める ............................................157

1－4

確率密度関数とパラメトリック法 ................................................158

1－5

仮定を置くということの意味 ........................................................158

1－6

どのような確率密度関数を使うべきか ........................................159

2章正規分布.....................................................................................................1602－1

誤差理論の基礎 1：誤差とは何か .................................................160

2－2

誤差理論の基礎 2：誤差のでき方 .................................................161

2－3

誤差理論の基礎 3：誤差の特徴 .....................................................1612－4

正規分布の使い時............................................................................1622－5

正規分布の確率密度関数 ................................................................163

2－6連続変数と正規分布........................................................................163

2－7

確率密度関数から確率を求める方法 ............................................1642－8

面積と積分と確率の関係 ................................................................1642－9正規分布の確率密度関数：常に 0 以上 ........................................165

2－10

期待値と分散と正規分布の関係 ....................................................1672－11正規分布の確率密度関数：面積 1 .................................................1672－12正規分布を推定する........................................................................1682－13

正規分布の記法................................................................................169

2－14R による正規分布 1：確率密度の計算 dnorm ..............................169

2－15

R による正規分布 2：ある値以下になる確率 pnorm ..................173

目次ix

2－16

R による正規分布 3：ある確率になる基準値 qnorm .................. 175

2－17

R による正規分布 4：乱数の発生 rnorm....................................... 176

2－18

補足：正規分布の推定と局外パラメタ ........................................ 179

3章

統計モデルと確率分布 ............................................................................. 180

3－1

統計モデルの定義 ........................................................................... 180

3－2

統計モデルと誤差 ........................................................................... 181

3－3

統計モデルと母集団分布とデータの比較の関係 ........................ 182

3－4

統計モデルによる予測.................................................................... 182

3－5

最小二乗法による期待値の推定 .................................................... 183

3－6

正規線形モデルの定義.................................................................... 185

4章

パラメトリックブートストラップ検定 ................................................. 186

4－1

復習：検定と p 値 ........................................................................... 186

4－2

パラメトリックブートストラップ検定 ........................................ 187

4－3

復習：帰無仮説と対立仮説 ............................................................ 187

4－4

R による計算の流れ ........................................................................ 188

4－5

R の文法：for ループ（繰り返し処理） ....................................... 189

4－6

R の文法：for ループによる計算結果の格納処理 ....................... 190

4－7R の文法：条件を満たす値の数え方 ............................................ 192

4－8

R による PB 検定 1：統計モデルの作成 ...................................... 194

4－9

R による PB 検定 2：標本から F 比を計算 .................................. 195

4－10

R による PB 検定 3：シミュレーションデータ作成 ................... 197

4－11

R による PB 検定 4：F 比を多数計算する ................................... 198

4－12R による PB 検定 5：p 値の算出 ................................................... 201

4－13

補足：独立で同一の確率分布（i.i.d） .......................................... 202

5章
5－1

正規分布から派生した確率分布 ............................................................. 204
中心極限定理 ................................................................................... 204

x

目次
5－2

中心極限定理の応用........................................................................2065－3

標本分布 ...........................................................................................207

5－4

期待値の標準偏差としての標準誤差 ............................................208

5－5t 分布 .................................................................................................2095－6t 分布と信頼区間 ............................................................................. 211

5－7

χ2 分布................................................................................................213

5－8F 分布 ................................................................................................214

第6部

一般化線形モデル ................................................................................216

1章

一般化線形モデルの長所 .........................................................................217

1－1

一般化線形モデルとは ....................................................................217

1－2

一般化線形モデルの使い時 ............................................................217

2章

尤度と最尤法 .............................................................................................218

2－1

モデルとパラメタ............................................................................218

2－2

補足：同時確率................................................................................219

2－3

尤度 ...................................................................................................2192－4

対数尤度 ...........................................................................................2202－5

最尤法 ...............................................................................................222

2－6

R による最尤法 ................................................................................223

2－7

補足：最小二乗法と最尤法 ............................................................224

3章

一般化線形モデルの推定 .........................................................................227

3－1

ポアソン分布 ...................................................................................2273－2

線形予測子 .......................................................................................228

3－3

リンク関数 .......................................................................................229

3－4

リンク関数とモデルの解釈 ............................................................230

3－5

補足：一般化線形モデルから見た正規線形モデル ....................231

3－6

R でみるポアソン分布 ....................................................................231

目次xi

3－7

R によるポアソン回帰 1：計算の流れ ......................................... 233

3－8

R によるポアソン回帰 2：データの準備 ..................................... 234

3－9

R によるポアソン回帰 3：対数尤度の計算 .................................234

3－10

R によるポアソン回帰 4：関数の作成 ......................................... 236

3－11

R によるポアソン回帰 5：パラメタ推定 ..................................... 236

3－12

R の glm 関数によるポアソン回帰 ................................................ 237

3－13

線形予測子から直接求められた予測結果 .................................... 238

3－14

応答変数の予測値 ........................................................................... 239

3－15

線形予測子の係数の解釈................................................................ 239

3－16

GLM によりグラフにひかれた線の意味 ...................................... 240

4章

Deviance と尤度比検定 ........................................................................ 243

4－1

正規線形モデルの検定方法の復習 ................................................ 243

4－2

誤差の計算：正規分布を仮定できるとき .................................... 244

4－3

誤差の計算：正規分布を仮定できない時 .................................... 244

4－4

一般化された残差平方和としての Deviance ................................ 245

4－5

R による Deviance 1：データの準備 ............................................. 246

4－6

R による Deviance 2：カンペキ対数尤度の計算 ......................... 247

4－7

R による Deviance 3：GLM の対数尤度の計算 ........................... 247

4－8

R による Deviance 4：Deviance の計算 ......................................... 248

4－9

Deviance 残差 ................................................................................... 249

4－10

Deviance の差の検定 ....................................................................... 249

4－11

Deviance の差の検定における Type II ANOVA ............................. 251

4－12尤度比と Deviance の関係............................................................... 252

4－13

最小二乗法と最尤法の関係 ............................................................ 253

4－14

補足：summary 関数........................................................................ 254

4－15

補足：一般化線形モデルによる解析の手順 ................................ 257

xii

目次

第7部

一般化線形モデルによるデータ解析.................................................258

1章

ロジスティック回帰 .................................................................................259

1－1

ロジスティック回帰........................................................................259

1－2

二項分布 ...........................................................................................259

1－3

R でみる二項分布 ............................................................................260

1－4

ロジスティック関数とロジット関数 ............................................262

1－5

オッズと対数オッズ........................................................................263

1－6

R によるロジスティック回帰 1：データの図示..........................264

1－7

R によるロジスティック回帰 2：推定と検定 .............................268

1－8

成功確率の予測値............................................................................269

1－9

オッズと係数の関係........................................................................271

1－10

ロジスティック回帰の図示 ............................................................272

1－11

補足：モデルの予測結果を意思決定に使用する ........................274

2章

交互作用.....................................................................................................2772－1

交互作用とは何か............................................................................277

2－2

データの例 .......................................................................................277

2－3交互作用を R で表す .......................................................................279

2－4

交互作用を入れたモデルの係数 ....................................................280

2－5

用語：交互作用と主効果 ................................................................281

2－6Type III ANOVA による検定 ...........................................................281

2－7

交互作用を入れたモデルの図示 ....................................................283

3章

分割表に対する GLM（対数線形モデル） ...........................................285

3－1

分割表の検定 ...................................................................................285

3－2数値例：ナマズと地震の関係について ........................................2853－3

χ2 検定の考え方 1： 期待度数を求める .......................................2873－4

χ2 検定の考え方 2： 統計量を求める ...........................................288

目次xiii

3－5

χ2 検定：R による計算 .................................................................... 289

3－6

対数線形モデル：考え方................................................................ 290

3－7

R による対数線形モデル 1：データの読み込み ......................... 291

3－8

R による対数線形モデル 2：モデルの推定 .................................292

3－9

R による対数線形モデル 3：検定 ................................................. 2933－10

複雑な分割表への対数線形モデルの適用 .................................... 293

4章

ゼロ切断モデル......................................................................................... 297

4－1

ゼロ切断モデルとは........................................................................ 2974－2

条件付き確率分布 ........................................................................... 297

4－3

ゼロ切断分布 ................................................................................... 298

4－4

R によるゼロ切断モデル 1：データの作成 .................................299

4－5

R によるゼロ切断モデル 2：モデルの推定 .................................301

4－6

R によるゼロ切断モデル 3：検定 ................................................. 303

4－7

R によるゼロ切断モデル 4：図示 ................................................. 303

4－8一般化線形モデルの発展系 ............................................................ 305

第8部

情報理論と統計学 ................................................................................ 307

1章

AIC の考え方 ........................................................................................ 308

1－1モデル選択と AIC............................................................................ 308

1－2

予測のずれと確率分布.................................................................... 308

1－3

検定と AIC ....................................................................................... 309

2章

AIC を用いたデータ解析 .................................................................... 310

2－1

R による AIC 1：AIC の計算 ......................................................... 310

2－2

R による AIC 2：step 関数による自動モデル選択 ...................... 311

2－3

R による AIC 3：MuMIn による総当たり法の実行 .................... 316

2－4「ぜひ入れたい変数」があるときの変数選択の仕方 ................ 319

3章

AIC と相対エントロピー .................................................................... 320

xiv

目次
3－1

確率と対数と情報量........................................................................320

3－2

コイン投げの例................................................................................321

3－3

確率分布の違いと情報量 ................................................................322

3－4

相対エントロピーと分布間擬距離 ................................................323

3－5

相対エントロピーの最小化 ............................................................323

3－6

数式の解釈 .......................................................................................324

3－7

対数尤度のバイアスと AIC ............................................................326

3－8

予測と情報量 ...................................................................................327

逆引き R 関数 ..............................................................................................................331
索引 ...............................................................................................................................333