京都大学 集中講義 (量子多体系入門)

レポート (2016/10/5 出題)

以下の大問 1〜6 から 3 題を選択して解答せよ。文献等を参照した場合は、そのことを明記せよ。

1. グラフと行列位数 p のグラフ G のラプラシアンを L とする。

(a) L は、適当な行列 Q を用いて、L = QQT と書けることを示せ。
(b) L の固有値 λ は不等式、0 ≤ λ ≤ p を満たすことを証明せよ。(ヒント：完全グラフのラプラシアンの性質をうまく利用する。)

n 個の頂点からなる D 型ディンキン図形の隣接行列を A とする。（頂点のラベル付けは、下図を参照せよ。）A の固有値・固有ベクトルを以下の手順にしたがって求めよ。

(c) 次のベクトルが、A の 0 固有値に対応する固有ベクトルであることを確認せよ。
1vn = √ (0, ..., 0, 1, −1)T2(1)(d) vn と直交する、以下の n − 1 個のベクトルを考える。
v1 = (1, 0, 0, ..., 0, 0, 0)T
v2 = (0, 1, 0, ..., 0, 0, 0)T..
.

(2)

vn−2 = (0, 0, 0, ..., 1, 0, 0)T1
vn−1 = √ (0, 0, 0, ..., 0, 1, 1)T2
これらを用いて、行列 T = (ti,j ), ti,j = ⟨vi , Avj ⟩ (1 ≤ i, j ≤ n − 1) を定義する。T の固有値・固有ベクトルを求めよ。(ヒント：固有ベクトルとして、u = (uj ), uj = Aeipj + Be−ipj の形を仮定して、境界条件から波数 p を求める。)

2. 自由ボゾン系と二次形式ペアリング項を含む、ボゾン系の二次形式のハミルトニアンの具体例を作成し、固有エネルギー・固有状態を全て求めよ。自分で作成することが難しい場合は、論文などに載っている例を具体的な計算も含めて紹介せよ。（またその場合は、必ず参照した文献を明記すること。）

1

3. 量子 Ising 模型と Majorana フェルミオン
講義で扱った Kitaev chain(周期的境界条件を課した場合) について、以下の問いに答えよ。

(a) ハミルトニアンを、H=∑k∈K()
1ϵ(k) d†k dk −2(3)†の形に書き直せ。ただし、K は許される波数の集合、dk は ψk , ψ−k の線形結合で表される。

(b) |µ| と |2w| の大小関係に注意して、基底状態のフェルミオン数のパリティ(−1)F を答えよ。
１次元量子 Ising 模型 (開放境界条件) のハミルトニアンは、以下で与えられる。

H = −JN−1∑zσjz σj+1−Γ

j=1N∑σjx .

(4)j=1

このハミルトニアンは、Majorana フェルミオンの演算子を用いると、

H = −iΓN∑

γ2j−1 γ2j − iJj=1N−1∑γ2j γ2j+1(5)j=1と書き換えられる。以下では、H が gapless となる Γ = J の場合について調べる。

(c) H は、通常のフェルミオン演算子 dk , d†k を用いて、
H=N∑
k=1()1†ϵk dk dk −2(6)の形に書くことができる。ϵk > 0 (k = 1, 2, ..., N ) を求めよ。

(d) H の基底状態エネルギー E0 を求めよ。
(e) 基底状態におけるエネルギー密度は、N が十分大きい場合、()E0e1e2= e0 ++ 2 + O N −3NNN(7)と書ける。定数 e0 , e1 , e2 を求めよ。(興味のある人は、この結果と共形場理論や有限サイズ・スケーリングとの関係を調べ議論せよ。)

4. フラストレーション・フリー系
講義で扱った例以外の、フラストレーション・フリー系のハミルトニアンの具体例を作成し、その基底状態について議論せよ。自分で作成することが難しい場合は、論文などに載っている例を具体的な計算も含めて紹介せよ。（またその場合は、必ず参照した文献を明記すること。）

2

5. Hubbard 模型
２サイトの Hubbard 模型のハミルトニアンは、以下で与えられる。

H2 = −t∑(c†1,σ c2,σ + c†2,σ c1,σ ) + U2
∑ni,↑ ni,↓ .

(8)

i=1σ=↑,↓

ただし、t > 0, U > 0 とする。次の基底|n1,↑ , n1,↓ , n2,↑ , n2,↓ ⟩ := (c†1,↑ )n1,↑ (c†1,↓ )n1,↓ (c†2,↑ )n2,↑ (c†2,↓ )n2,↓ |vac⟩,ni,σ = ↑ or ↓(9)

で、H2 を行列として表すと 16 × 16 行列となる。これを直接対角化するのは難しいので、次のよう
yx , S , S z ) は、H と交に部分空間ごとに分けて考える。以下の全電子数 Ne と全スピン Stot = (Stot2tottot換する保存量である。

Ne =2 ∑
∑ni,σ ,αStot=

i=1 σ=↑,↓2∑∑i=1 µ,ν=↑,↓c†i,µασµ,νci,ν2(α = x, y, z)(10)z , (S )2 の固有値で指定される部分空間ごとに H を対角化すればよい。
したがって、Ne , Stottot2(a) Stot が、H2 と交換することを示せ。
(b) Ne = 2 である独立な状態は、全部で何個あるか？また、このうちさらに (Stot )2 = 0 (singlet)の部分空間における基底状態のエネルギー、(Stot )2 = 2 (triplet) の部分空間における基底状態のエネルギーを求めよ。

(c) (b) で求めた singlet と triplet の基底状態エネルギーの差が t ≪ U のとき、どのように振る舞うか議論せよ。また、２サイトの Heisenberg 模型との関係も議論せよ。
次に４サイトの Hubbard 模型を考えよう。ハミルトニアンは以下で与えられる。
4 ∑
∑

4∑
†
†
(ci,σ ci+1,σ + ci+1,σ ci,σ ) + U
H4 = −tni,↑ ni,↓ .
i=1 σ=↑,↓i=1(11)

ただし、t > 0, U > 0 とし、周期的境界条件 (c5,σ = c1,σ ) を課す。H4 を行列として表すと、256 次元となる。以下では、強相関極限を考え、U → ∞ とする。この極限では、有限のエネルギーの (二重占有のない) 状態の空間の中だけで、H4 を対角化してやればよい。

(d) 全電子数が 3 の部分空間における基底状態のエネルギーを求めよ。また、その状態の全スピンの大きさを決定せよ。[数式処理ソフトなどを適宜用いても構わない。](e) 上の結果と長岡強磁性との関係を議論せよ。

36. Heisenberg 模型
S = 1/2 Heisenberg スピン鎖のハミルトニアンは、以下で与えられる。
H=JL∑

Sj · Sj+1 .

(12)

j=1y

ここで、Sj = (Sjx , Sj , Sjz ) は、サイト j のスピン演算子で、Sjα = σjα /2 (α = x, y, z) で定義される。
∑
また、周期的境界条件 SL+1 = S1 が課されている。全スピン演算子 Stot := N
j=1 Sj は、ハミルトニアン H と交換する保存量である。以下では、L = 6 の場合について具体的に調べる。

(a) J < 0 の場合を考える。このとき H の基底状態および第一励起状態の固有エネルギーの表式をz , (S )2 の値を答えよ。
求めよ。また、それらの状態における Stottot(b) J > 0 の場合を考える。このとき H の基底状態および第一励起状態の固有エネルギーの表式をz , (S )2 の値を答えよ。
求めよ。また、それらの状態における Stottot

[対称性をうまく利用するとよい。また、数式処理ソフトなどを適宜用いても構わない。]

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