2017/7/24

Mathtodon

⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
mathtod.online/@genkuroki/4300…

3 時間前#calculus #numericalanalysus #eulermaclaurin #taylor
Bernoulli多項式とEuler-Maclaurinの公式の話
2009年の論⽂
scholar.google.co.jp/scholar?c…によれば、Bernoulli多項式達は R 上の確率分布に対応するある種の多項式達 Pn (x) に⼀般化可能。
原点に台を持つデルタ分布にnP n (x) = x の⾃明な場合が対応しており、区間 (0, 1) に台を持つ⼀様分布にBernoulli多項式 Pn (x) = Bn (x) が対応している。
そして、xn のケースではTaylor展開が得られ、Bernoulli多項式のケースにはEulerMaclaurin展開が得られる。
しかし、それらの展開の任意の確率分布の場合への⼀般化についてはわからないと書いてある︕続く続く⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki#eulermaclaurin

2 時間前

基本アイデアは単純。
p(x)は R 上の確率分布(確率密度函数)とする。そのモーメント⺟函数 M (z) はM (z) = ∫exz

p(x) dxRと定義される。n 次多項式 Pn (x) を
e∞xz

M (z)

z= ∑ P n (x)n=0nn!と定義すると, Pn (x) 達はBernoulli多項式の⼀般化になっている。
これだけです。
例︓ p(x) = δ(x) (原点に台を持つデルタ分布)のとき
M (z) = ∫δ(x)exz

dx = 1Rだから、https://mathtod.online/@genkuroki/435261

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Mathtodonnexz

nn= ∑xn!

n=0なので Pn (x) = xn .

x

これは⾃明な場合です。

続く⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki#eulermaclaurin

2 時間前

例︓ p(x) = pdf(Unif orm(0, 1), x) (⼀様分布)のとき
1

M (z) = ∫eexzz− 1dx =z0であり、
exz

ze
=

M (z)ezxz− 1なので、 Pn (x) はBernoulli多項式 Bn (x) になります。
は物理的にはカノニカル分布としてよく出て来る形の式になっています。
−βxz = −β とおき、 M (z) を Z (β) と書けば、 e/Z (β) と⾒慣れた形になります。これの β = 0 を中⼼とする展開なので、 Pn (x) は⾼温展開の係数になっています。このようにして得られるものが良い多項式⼀族になっているらしい。
exz/M (z)

続く
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2 時間前

e∞xz

M (z)

z= ∑ P n (x)n=0nn!の両辺を x で偏微分することによって′P n (x) = nP n−1 (x)となることがわかる。
件の論⽂のように
S f (x) = ∫f (x + y)p(y) dyRと定義すると、S は多項式函数の空間の⾃⼰線形同型を与える。そして
exz

M (z)
S(x) =

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nexz+yz] = ∫S [Rdy = exz

M (z)
(x)

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Mathtodon

なので S Pn (x) = xn となり、その条件で多項式 Pn (x) は⼀意に特徴付けられます。特に∫P n (x)p(x) dx = S P n (0) = δn0 .

R

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2 時間前多項式の空間の線形⾃⼰同型 S による多項式 Pn (x) の S Pn (x) = xn という特徴付けはBernoulli多項式 Bn (x) に関する様々な公式が B の多項式中の Bn を Bn (x) で置き換える操作で得られるという事実をよく説明しています。そのような公式達の背景には R 上の確率分布による線形⾃⼰同型 S が隠れていたわけです。
この話を知って、Bernoulli多項式がかなり⾝近になった気分になりました。ずっと前からの知り合いなのですが、正直、⾝近に感じたことは無かった。
Bernoulli多項式達の仲間達の中に xn 達が⾃明な場合として含まれており、R 上の確率分
布ごとにBernoulli多項式の仲間がどんどん出て来る。仲間がたくさんいる数学的対象の⽅がずっと理解し易い。たくさんいるお仲間さん達と実験的な計算でたくさん遊べるようになってうれしい。
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2 時間前

次にEuler-Maclaurin展開の話をします。件の論⽂には⼀般の場合についてはわからないと書いてあるので、以下の話は新しい話になっている可能性があります。
Taylor展開は f (x + h) を f (n) (x) と h n で表す公式です。
Euler-Maclaurin展開は f (x + h) を S f (n) (x) と Pn (x) で表す公式の⼀種とみなせます。
私が繰り返しすすめて来たTaylor展開の導出の仕⽅を復習しましょう。出発点は
hf (x + h) = f (x) + ∫′f (x + t 1 ) dt 1 .

0

この公式の f , h を f ′ , t1 で置き換えた結果を右辺の積分の中に代⼊するというような操作を次々に繰り返すと、Taylor展開′h2f (x + h) = f (x) + hf (x) +f′′(x) + ⋯2が得られる。⾼校レベル︕
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2 時間前

これと同様のことを⼀般の場合にやるには

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2017/7/24

Mathtodon′f (x + h) = S f (x) + ∫K (h, t)f (x + t) dt

Rの形の公式があればよい。このような公式は次のようにして得られる。
f (x + h) − S f (x)= f (x + h) − ∫f (x + t)p(t) dt

R= −∫(p(t) − δ(t − h))f (x + t) dt

R′= ∫(F (t) − H (t − h))f (x + t) dt.

R

ここでtF (t) = ∫p(u) du,−∞H (t − h) = {1(t > h)0(h > t).

すなわち
K (h, t) = F (t) − H (t − h).

F (t)続くは累積分布函数、H (t) はヘビサイド函数です。

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1 時間前

すなわちKg(h) = ∫K (h, t)g(t) dt

Rと定めると′f (x + h) = S f (x) + Kf (x + h).

Taylor展開の導出と同様に、これを f ′ , f ′′ , … に適⽤した結果を次々に代⼊すると′2f (x + h) = S f (x) + (K1)(h)S f (x) + (K 1)(h)S f+ (Kn−11)(h)S f(n−1)n(x) + K f(n)′′(x) + ⋯(x + h).

すなわちn−1kf (x + h) = ∑(K 1)(h)S f(k)(x) + Rn ,k=0n

Rn = K f

https://mathtod.online/@genkuroki/435261(n)(x + h).

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2017/7/24

Mathtodon

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1 時間前

そして (K 1)(h) を計算すると
nn(K 1)(h) =P n (h)n!となることもわかります。以上をまとめると
n−1f (x + h) = ∑P k (h)(k)k!

k=0S g(x) = ∫Sf(x) + Rn ,g(x + t)p(t) dt.

R

これが⼀般化されたEuler-Maclaurin-Taylor展開です。
例︓p(t) = δ(t) のとき S g(x) = g(x), Pk (h) = h k なので上の公式はTaylor展開そのもの。
続く⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki#eulermaclaurin

1 時間前

例︓p(t) = χ[0,1] (t) (0, 1 区間の⼀様分布)のとき
x+1S g(x) = ∫g(y) dyxでかつ Pk (h) = Bk (h) (Bernoulli多項式)なので、上の公式は次のように書き直される︓
x+1f (x + h) = ∫f (y) dyxn−1+ ∑k=1

Bk (h)(f(k−1)(x + 1) − f(k−1)

(x))

k!

+ Rn .

これの h = 0 の場合がよく⾒る形でのEuler-Maclaurin展開を与えます。
巷でよく⾒るEuler-Maclaurinの公式の導出よりも圧倒的に意味が分かり易くなっていると思います。Taylor展開の⼀般化︕︕︕
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki#eulermaclaurin

1 時間前

まとめ︓すべての⾼次モーメントが絶対収束しているような R 上の任意の確率分布に対して、多項式達 Pn (x) が「カノニカル分布の⾼温展開」で構成され、それらを⽤いると積分
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2017/7/24

Mathtodonn剰余項付きのTaylorの定理の平易な証明とまったく同様にしてTaylorの定理の⼀般化が⽰される。そのように⽰したTaylorの定理の⼀般化は Euler-Maclaurin の定理を含んでいる。
引⽤した論⽂のRemark 4で "At present, we do not know how to extend this idea to ageneral Strodt polynomial." となっている部分はこれで解決していると思います。
たぶん、著者たちは「部分積分」という発想にこだわったせいで、簡単なことが⾒えなくなっていたのだと思います。
P.S. 私はそそっかしいので、結構⼤きな間違いが残っていると思いますが(⾃信がある)、本質的には正しい議論をしていると思います。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki#eulermaclaurin

1 分前

あほな誤植の訂正
nexz

nnx= ∑xn!

n=0は⾃明な誤植。正しくは∞

exz

nzn= ∑xn=0n!

です。
多項式 Pn (x) の定義は
e∞xz

M (z)

= ∑ P n (x)n=0znn!としたのですが、exz

M (z)

∞

= ∑ pn (x)znn=0で多項式 pn (x) を定義して使った⽅が書く記号の量が少し減るかも。この記号のもとでpn (x) は′pn (x) = pn−1 (x),∫pn (x)p(x) dx = δn0という条件で特徴付けられ、この特徴付けを使うとn(K 1)(h) = pn (h)を⽰せます。p(x) はρ(x)と書いた⽅が混乱が少ないかも。

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2017/7/24

Mathtodon

⿊⽊⽞ Gen Kuroki@genkuroki#eulermaclaurin
以上で述べた話は、確率論や統計⼒学なんかではすでに知られているんじゃないかという疑いも持っています。
登場⼈物があまりにもメジャー過ぎ。カノニカル分布の⾼温展開。
2017年7⽉24⽇ 3:14 · Web ·  0 ·  0 · Webで開く

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