2017/6/11

Mathtodon

⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
max-plus代数の楽しみR ⊔ {−∞}

Thursday at 11:10pmに⼊るmax-plus代数の演算は
a ⊕ b = max{a, b},a ⊗ b = a + b.の単位元(零元)は −∞ で、⊗ の単位元は 0 です。この演算をすべて exp して、R≧0 に同型な構造⊕

A ⊕ B = max{A, B},
A ⊗ B = AB.

を考えた⽅がわかりやすいと感じる⼈もいるかも。ここで A = e a, B = e b です。この表⽰で max-plus 代数は普通の環構造の⾜し算を max に置き換えたものに過ぎません。
これの何が⾯⽩いのか。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
続きThursday at 11:21pm

max-plus 代数の構造に似た構造は1変数多項式の次数に⾒られます。多項式 f の次数をdeg f と書くと、係数がすべて⾮負の多項式 f , g について、deg(f + g) = max{deg f , deg g},deg(f g) = deg f + deg g.

前者の等式は係数が⾮負という仮定を外すと < となることがあります。例えば
22(x + 1) + (−x + x) = x + 1 で左辺の括弧の中の多項式の次数は2なのに、⾜すと最⾼次の項が消えて1次になる。係数が0以上ならこのようなことは起こりません。
Thursday at 11:38pm
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
max-plus代数の構造は「⾮負のものしか扱わない」という話と関係があります。

負の数をなぜか頑なに扱おうとしない⼩学校の学習指導要領の世界に戻るような話になります。
⾮負のものしか扱わないことにすると環構造における引き算が⾃由にできなくなります。
⼀般に半環(semiring)は、引き算だけは⾃由にできなくてもよい様に環の公理を弱めることによって定義されます。半体(semiﬁeld)についても同様です。
例えば Z≧0 は通常の和と積についてsemiringになり、R≧0 は通常の積と和についてsemiﬁeldになります。
そして R ⊔ {−∞} はmax-plus演算についてsemiﬁeldになります。Z≧0 ⊔ {−∞} はmaxplus 演算でsemiringになる。:
Thursday at 11:45pm
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
引き算は⾃由にできなくてよいとするだけで、⾒慣れない例が急激に増えます。その⾒慣れない例の典型例が max-plus 代数です。

数学的にはpositivityがあるか否かは重要な問題になることが多く、そういう場合を扱うときには環を半環に⼀般化する⽅が⾃然です。
こういう⾒⽅は相当に広い数学に適⽤できる普遍的なものの⾒⽅として意味がある。。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
max-plus演算はある種の極限の形で⾃然に現れます。
https://mathtod.online/@genkuroki/252656

Friday at 12:02am

1/72017/6/11Mathtodon

漸近挙動を解析するための基本的な道具にラプラスの⽅法があります。
∫∞−∞enf (x)g(x) dx型の積分に n → ∞ での挙動は f (x) が最⼤になる点の近くの様⼦で決まるというのがラプラスの⽅法の基本アイデアです。
積分を和に置き換えるとmax-plus演算が極限として得られます。n → ∞で、1log(ena+ enb) → max{a, b},n1log(enaenb) = a + b.

n

より⼀般に
1rlog ∑ ennai→ max{a 1 , … , a r }.

i=1

これはラプラスの⽅法の特別な場合とみなせます。
Friday at 12:13am
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
⽂字 x の⾮負係数の多項式の次数を考えるとmax-plus演算が⾃然に現れたのも、x → ∞での多項式函数の漸近挙動を⾒ているとみなせます。

以上の話をまとめると、ありがちな漸近挙動の分析で max-plus 代数が⾃然に出て来てしまうことがわかります。
⾃然に出て来るものから逃げ切ることはできないので、max-plus代数から逃げ切ることはできません。
こういう事情になっているので、max-plus代数は数学のあちこちで役に⽴つことになる。
だから、max-plus代数への興味の持ち⽅は各数学者ぎとに違っていてよいわけです。
⾯⽩い話が⾊々あります。
トロピカル幾何と量⼦展開環のクリスタル基底の話は⾯⽩い話の典型例です。:
Friday at 12:21am
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
引き算を⾃由にできない環もどき(半環)であっても⾮常に役に⽴つという事実は、通常の環の世界に⼼がトラップされて抜け出せなくなってしまった⼈には良い薬だと思います。

極限をとって得られる「max-plus代数的世界」の様⼦は極限を取る前の「通常の世界」の様⼦を反映しており、その結果、「通常の世界」を扱うために「max-plus代数的世界」の研究が役に⽴つことになり、逆も⾔えます。
Friday at 7:08am
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
所謂「トロピカル数学」とは、⼤雑把に⾔って、「極限」を取って得られる「max-plus代数的世界」と極限を取る前の「通常の世界」のあいだを⾏ったり来たりする数学の話です。

よくあるパターンでは、「max-plus代数的世界」は組み合わせ論的な数学の話になっており、「通常の世界」は連続的な数学の世界になっています。それらが⾮⾃明に結び付くところが⾯⽩いわけです。
ちょっと⾯⽩いことに、どちらの世界を熱帯(トロピカル)とみなすかについて2つの流儀があります。
私⾃⾝は、通常の連続的な世界は温度が⾼い世界で、温度を下げる極限ですべてが凍り付いて組み合わせ論的世界が現われると思いたいので、通常の連続的な世界の⽅が熱帯で、
max-plus代数的世界は凍り付いた世界とします。
しかし、私の側とは逆にmax-plus代数的世界を熱帯だとする流儀の⽅が優勢。

https://mathtod.online/@genkuroki/252656

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2017/6/11

Mathtodon

Friday at 7:21am
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
⽂献紹介。私がやっていることにもろに関係がある話は以下のリンク先にあるような数学です。

野海正俊
トロピカルRSK対応と離散⼾⽥⽅程式
2003-02
repository.kulib.kyoto-u.ac.jp…
Noumi-Yamada 2002
arxiv.org/abs/math-ph/0203030
これらを読めば、極限を取った先のmax-plus代数的世界が組み合わせ論的に記述される世界になっており、極限を取る前の通常の世界は連続的な数学の世界になっている話の具体的例が得られます。
⾏列の計算をできれば読めると思います。
max-plus代数への極限は超離散極限と呼ばれることがあります。
解析学的には漸近挙動を調べるときの常套⼿段のラプラスの⽅法の特別な場合です。
a ⊕ a = aたりする。

が成⽴するタイプの半環の世界に⾏って戻って来ない話とは違う。⾏ったり来私のイメージでは温度を絶対零度にしたり、温度を上げて解かしたりする。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
統計⼒学で絶対温度 T は

Friday at 7:36am

Z = ∑e−E i /Tiの形で登場します。そして⾃由エネルギー F は
F = −T log Zです。ラプラスの⽅法の特殊な場合(もしくは直接的な議論)によって、T → +0 の極限でF → − max{−E i } = min{E i }.となります。絶対零度では基底状態に凍り付く。
符号の関係で極限が max-plus ではなく、min-plus になりますが、本質的には同じことです。
統計⼒学も含めて⾊々数学を知っていれば max-plus もしくは min-plus 代数への極限を取ることと、極限を取る前の通常の状況を考えることは、数学的によくあるパターンの１つであることがわかり、精神的抵抗は無くなります。
Friday at 7:56am
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
通常の環や体の世界をsemiringやsemiﬁeldの世界に広げると、⽐較できる数学の世界が⼤幅に広がる。

つまらない⼀般論として広がるのではなく、強烈に具体的な数学的対象を⽐較できるようになる。
⼤体において、数学における抽象化や⼀般化はそういうことをする洗練された⼿段だと思っておくと、⾊々楽しいです。
max-plus 代数は a ⊕ a = a を満たしています。
⼤雑把には、a ⊕ a = a を満たす半環にノイマン級数ahttps://mathtod.online/@genkuroki/252656(∗)∗= 1 ⊕ a ⊕ a⊗2

⊕ ⋯

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2017/6/11

Mathtodonのような単項演算 ( ) (Kleene star)を付け加えたものがKleene代数です。ノイマン級数は数学の世界に普遍的に現れます。
∗正規表現における「a とb どちらかに⼀致」を a ⊕ b とし、「a とbの並び」を a ⊗ b とし、「a の繰り返し」をa∗ とすればKleene代数の例が得られます。
Kleene starも含めたトロピカル数学はあるんですかね?
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
量⼦展開環(量⼦群)の話との関係

Friday at 11:38am

実は q 類似におけるパラメーター q は q = e −1/T のようなものだとみなせます。だから、絶対零度 T → +0 と q = 0 が対応しているとみなせます。
絶対温度無限⼤ T → +∞ が q → 1 に対応しており、q → 1 は q 類似からもとのスタイルに戻ることを意味しています。
絶対温度 Tq

T → +∞

q = 1 の通常の場合 U (g)0 < T < +∞T → +0類似量子展開環 Uq (g)q = 0での結晶基底

量⼦展開環の余積の定義を上⼿に設定すれば、量⼦展開環の表現論で q → 0 の「極限」を取れるようにできます。
そのようにして現わる数学が柏原正樹さんの結晶基底です。
Friday at 11:48am
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
量⼦展開環(量⼦群)において絶対零度 q → 0 を考えることと、トロピカル数学でmax-plus代数が出て来る極限を考えることは異なります。

しかし、表現論的にはそれらは似た話に⾒える。
実際、柏原さんの結晶基底の理論のトロピカル的類似にBerenstein-Kazhdanの幾何結晶の理論があります。
arxiv.org/abs/math/0610567
絶対零度ではすべてが凍り付いて組み合わせ論的な⾔葉ですべてを語ることができます。
量⼦展開環のケースでは結晶基底が現われる。
幾何結晶はそれをトロピカル的に解かして得られる連続的な数学的対象です。
講演で話しただけなのですが、私が開発した⽅法を使うと、幾何結晶の「正準」量⼦化を考えることができます。
パラメーター q で記述される⾮可換性を⼊れても⾊々うまく⾏く。
math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTe…
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
半環の話に戻る

Friday at 12:10pm

max-plus代数のようなものも扱いたいので引き算が⾃由にできなくてもよい環(半環)を考えます。
max-plus代数ではa ⊕ b = max{a, b}なのでa ⊕ a = a

https://mathtod.online/@genkuroki/252656

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2017/6/11

Mathtodonです。だから ⊕ の逆演算としての引き算をできるように拡張できたとすると、両辺から aを引いてa = −∞となってしまいます(max-plus代数での零元は −∞ )。すべてが −∞ に潰れてしまう。
こういう事情があるので、引き算を⾃由にできるように半環を拡張することは⼀般にはできません。
そして、引き算を⾃由にできないmax-plus代数のようなケースが様々な分野の数学と関係しているわけです。
「引き算がないと困るという思い込み」から離脱することが⼤事。安易に可換環でやっていたことを半環でやる必要はない。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
sciencedirect.com/science/arti…に⽬を通しました！(読んではいない)

Friday at 12:35pm

max-plus代数での「線形代数」の話。
max-plus代数において⾏列式の役⽬を果たすのはパーマネントだと書いてありました。だから、引き算はいらないという仕組みのようです。
あとドミナントというのを新たに定義することが⼤事だと書いてあるように⾒えました。
後でまた眺めてみるかも。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
結局、全⾴に⽬を通してしまった。(読んではいない。)

Friday at 12:55pm

詳細はテクニカルに⾯倒なのですが、⽅針は単純で、max-plus代数の要素を成分に持つ⾏
列 A = [aij ] 達を直接扱うのではなく、それに対応する z の函数を成分に持つ⾏列を考え、z A 達に対して普通の線形代数の操作を施して、その z → ∞ での漸近挙動を調べて、max-plus代数の世界に戻って来るという議論になっています。
zA= [zaij]

そういう筋道はmax-plus代数を扱うときにはやはり基本的なのだと思いました。
max-plus代数の世界に⾏って戻って来ないのではなく、⼀度普通の世界に戻って来て、漸近挙動を調べること経由でmax-plus代数の世界に再度訪れる。
max-plus代数の世界は組み合わせ論っぽい話になるのですが、それを⼀度連続的な数学の世界に戻して解析する。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkurokiℓ = (l1 , … , lr ) に対する log sum exp ℓ は

13 hours agorlog sum exp ℓ = log ∑ exp lii=1と定義されます。この函数は数値計算的に意味を持ちます。
例えば、⼤偏差原理によって確率関係の数値には指数函数的違いが出ることが多いです。
巨⼤な数と微⼩な数が x = (x1 , … , xr ) の中に同居することがある。そのような場合には対数をとった ℓ = (log x1 , … , log xr )の⽅を数値的に扱う⽅が合理的です。対数を取る前の和を対数を取った後の量で表す函数が log sum exp です。
max-plus代数の話と次の関係がある: n → ∞ で1log sum exp(nℓ) → max(ℓ).
nlog sum exp

https://mathtod.online/@genkuroki/252656

は max の仲間です。
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2017/6/11

Mathtodon

⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
閉区間 [a, b] 上の正値連続函数 g を固定します。

12 hours ago

閉区間 [a, b] 上の実数値連続函数 f に対する log int exp f を
blog int exp f = log ∫exp(f (x))g(x) dxaと定義しましょう。このとき、n → ∞ で1log int exp(nf ) → max(f ) = max f (x).
nx∈[a,b]すなわちb∫exp(nf (x))g(x) dx = exp(n max(f ) + o(n)).

a

これは「ラプラスの⽅法の弱いバージョン」です。
11 hours ago
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
⼤雑把に⾔えば、確率論において⼤偏差原理が成⽴するとは、確率 P ( ) について
1nlog P (Un ∈ [a, b]) →sup S (u)u∈[a,b]

すなわちP (Un ∈ [a, b]) = exp(n sup S (u) + o(n))
in[a,b]のようなことが成⽴することです。すなわち確率の漸近挙動の評価にラプラスの⽅法(の弱いバージョン)が使えることです。(S (u) が(相対)エントロピー。Sanovの定理で S (u) はKullback-Leibler情報量の −1 倍)
こういう経路で、max-plus代数の話を確率論における⼤偏差原理に繋げることができます。
数学は全部繋がっている。

⿊⽊⽞ Gen Kuroki@genkuroki

数学は違うことを同じ視点から眺める技術でもあるので、社会的に異なる分野だとみなされている数学も数学内では様々な視点から全部繋がっているとみなす。
数学的にではなく、社会的に、数学を解析・代数・幾何に分類したりするが、数学内部にどっぷりはまった⼈から⾒れば単なるフィクション。そんな分類はどうでもよい。数学的にはその⼿の分類は完全に無視しまくるのが正しいと思う。
註：社会的な分類は多くの場合「予算の都合」(社会的に投⼊するリソースの調整の都合)で導⼊される。そのような都合で導⼊されている分野の分類を受け⼊れないためには強い精神が必要。
2017年06⽉11⽇ 09:08 · Web ·  0 ·  3 · Webで開く

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