卒業論文要約【鳥取大学数学教育研究、第 6 号、2004】

テクノロジーを活用した数学教育に関する研究

園田光世

指導教官：溝口達也

Ⅰ．研究の研究の目的・目的・方法
本研究の目的は、従来の学年ごとの教科書

Ⅱ．論文の論文の構成
第１章

研究の目的と方法の学習内容に合わせてコンピュータを活用

１− １

研究の目的

するのではなく、コンピュータを活用した時

１－２

研究の目的と方法にどのような学習内容が考えられるのかを示すことによって、コンピュータの利用が前提としてあるような数学教育を提案するこ

第２章

テクノロジーの環境

学校現場におけるテクノロジーの環境
第３章

コンピュータの活用と課題とである。そこで次のような課題を設定する。

３－１

先行研究の考察・ 従来コンピュータ利用を利用した研究

３－２

Principles and Standards for Schoolがどのように行われてきたか。
・ コンピュータを利用する上で、どのよMathematics に基づく視点
第４章

動 的 幾 何 ソ フ ト ･ Geometric

うな環境がよいのか。
・ 動的幾何ソフト（以下 DGS）にはどのConstructor
４－１ような機能や有用性があるのか。
・ DGS の利用が前提としてあるような教材の開発。

Geometric

Constructor の開発経緯
４－２
第５章

Geometric

Constructor の機能

動的幾何ソフトを前提とした教材

上に設定した課題の解決のために、テクノの開発

ロジーと教材開発の論文（藤井、2001）など

５－１

平面図形に関する指導内容による先行研究の考察から、従来のコンピュ

５－２

九点円の定理を用いた教材開発

ータの利用に関する背景や問題点を吟味し、第６章

研究のまとめと課題

続いて、Principles and Standards for School６－１

研究のまとめMathematics（ＮＣＴＭ、2000）などから、コ

６－２

今後の課題

ンピュータを扱う上での機能・有用性を数学引用・参考文献

教育の立場から捉え、DGS を利用する上で必要な視点を見出す。見出した視点をもとに、コンピュータを使った事例を考察し、教材を開発する。

（1 ページ 35 字×30 行、31 ページ）

Ⅲ．研究の研究の概要（１） Principles and Standards for School
Mathematics に基づく視点①

計画を考える。
＜単元の指導計画＞
平面図形（全１８時間）

どのような単元
どのような単元の単元の指導計画
指導計画にするか・ 三角形と比・・・・・・４時間テクノロジーが前提としてある事を考え

・ 三角形の五心・・・・・５時間

れば、教科書ではそれぞれ別々の関係として・ 三角形の比の定理・・・４時間

ある内容でも、関連性があることを発見でき・ 円に関する定理・・・・２時間る。それにより、従来の教科書にそった学習・ 方べきの定理・・・・・１時間内容による指導計画とは、異なってくる。

・ ２つの円・・・・・・・１時間②

・ 九点円の定理・・・・・１時間

生徒にどのように生徒にどのように操作にどのように操作させるか操作させるかコンピュータのソフト一つとっても多くの機能が備わっている。しかし、実際授業で従来の指導計画とは異なり、傍心・垂心、九点円の定理を加えた。

利用した時には、すべての機能を利用するわけではない。生徒の問題解決によって、必要（３）九点円の定理を用いた教材開発な操作は異なる。

「九点円の定理」③の発問の仕方によって、生徒がどう操作する

問：三角形ＡＢＣの各頂点、三角形ＡＢＣの各辺の中点、各頂点から下ろした垂線の足、垂心、各頂点と垂心と間の中点、といった１３の点がある。これらの点を使ってできる図形にどのようなものがあるか。また、なぜその図形ができる理由を考えよ。のかわからない、あるいはコンピュータを使

このとき生徒は、以上のように述べた作図をどのような発問
どのような発問をするか発問をするか

生徒はコンピュータを使い、一人で探求を行うため、教師が意図していない方向へ生徒が行ってしまうことが考えられる。問題場面う必要がない事になってしまう。

行う作業から取り掛かるのではなく、問題用の④

図は教師があらかじめ用意しておき、ファイルどのように評価どのように評価するのか評価するのか
生徒がソフトの操作を行う過程を見るこの読み込みだけにする。とにより、問題解決や思考の過程を見ることができる。それによって、従来見えにくかった生徒の活動や考え方が見えやすくなり、見えにくかった点の評価を可能にする。

（２） 指導計画について
学習指導要領の改訂によって、数学Ａには、三角形の重心や円の性質の一部（二つの円、外生徒が行う操作としては、測定機能では長さ接円、内接円、接弦定理の性質など）といったや角度、四角形や円を作図する作図機能、そし中学校で扱われていた内容が移行されている。て、頂点などを動かしたりする変形機能のみをしかし、学習指導要領や教科書は、コンピュ使う。しかし、作図の点においては、「作図」ータの利用は考えられていない。本研究では、の中の「円」の中に「内接円」、「九点円」、コンピュータの利用を前提としているため、従などといったものがあるが、これらの機能は、来の学習指導とは異なる DGS を利用した指導使わないように留意する必要がある。
また、軌跡の機能や測定の数式は使わない。

この中で生徒は、以下のような関係を発見することが考えられる。
○ 四角形ＥＤＬＭ（図１－１），ＥＫＬＦ（図１－２），ＫＤＦＭ（図１－３）は長方形である。
○ 線分ＬＥ、ＤＭ、ＫＦを直径とする円（九（図３－１）点円）ができる。（図２－１）○ 正三角形のとき、九点円は内接する。
（図３－１）○ 二等辺三角形のとき、九点円は１辺と接する。（図４－１）○ 直角三角形のとき、直角である頂点を通る。
（図５－１）（図４－１）（図１－１）（図５－１）
この教材では、発見した事象を根拠として、証明の見通しが立てることができる。例えば、（図１－２）

九点円は以下のように長方形などの発見した事象で証明ができる。
長方形ＥＤＬＭから、ＥＬを直径とした同一円周上に点Ｅ，Ｄ,Ｌ,Ｍが存在していて、ＥＫＬＦ,ＫＤＦＭも同様にいえるので、点Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｋ,Ｌ,Ｍは同一円周上にあることがいえる。

（図１－３）

次に、点Ｇ,Ｈ,Ｉは垂線の足だから、∠ＦＨＫ,∠ＤＩＭ∠,ＥＧＬはいずれも直角なので、点Ｇ,Ｈ,Ｉもこの円周上にある。
従って点Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｈ,Ｉ,Ｋ,ＬＭの九つの点は同一円周上にある。

（３） 研究の結果（図２－１）

本研究では、「コンピュータ利用を前提とする数学教育とは」ということから、コンピュータ利用が前提である環境を想定し、その中で、第三章において、コンピュータ利用を前提と生徒がコンピュータを自分の手足のように様した上での教材開発の四つの視点を見出したに使いこなし、コンピュータを使える環境のこが、その中でも評価についての視点が課題としとを考えた。そして先行研究の考察より、コンて残った。第三章で述べたように、コンピューピュータを利用する上で、タを利用しているからこそ、見えてくる活動と・ 教科書のようにあらかじめ数値が決まっいうものがあり、ＧＣの機能においても「作図たものではなく、生のデータを利用できる。
・ 普遍なものが顕在化され、さまざまな命題を発見できる。などといった有用性があり、・ 生徒に発見した事象に対する根拠を考えさせる活動手続きのデータ」
・「作図データの再生」というのがあり、その機能によって、生徒の活動を見ることができ、評価することができるのだが、今後の課題とする。
また、本研究では、一つの単元の指導計画を考えたが、本研究の立場で実践していこうとす・ テクノロジーを導入することによって、教るならば、今の学習指導のカリキュラムはコン材そのものの変化、コンピュータの導入にピュータ利用を考えていないので、カリキュラよる教材の系列や配当学年の変化、教科書ム自体から考えていかねばならない。の変容が起こる可能性がある。という課題を見出した。

ＧＣの教材開発の中でも、座標平面上での複素数への利用などさまざまな利用方法が残っそして、その考察と「Principles and Standardsている。それらの機能を利用して、数学Ａの内for School Mathematics」を基にして教材開発の容に止まらず、コンピュータにしかできない新上で 4 つの視点を見出した。

しい教材の開発を行いたい。

教材を開発する上で、ソフトがほぼ無料で手に入れることができ、ソフトを各パソコンにインストールしなくも、オンライン上で利用でき

主要引用・参考文献
・「ＧＣを活用した図形の指導」飯島康之著
明治図書るという利点から、ＤＧＳをＧＣにした。学校現場で教材に全く費用がかからないのはかなり大きい。そこでＧＣを実際に自分で操作しながら、ソフトの機能を調べた。
また、教材開発では、数学Ａの平面幾何の内容を参考にして、コンピュータ利用を前提とした授業の指導計画を作成した。それにより従来の学習指導の内容以外にも触れる事ができた。

（１９９７）

・「Principles and Standards for School
Mathematics」

ＮＣＴＭ（２０００）

・「テクノロジーと教材開発 （１）小学校・中学校」

東京学芸大学論文発表会
藤井斉亮（２００１）