令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻解 答 例名

機械科学専攻（一般選抜）

試験科目名

専門科目

①材料力学－ⅠⅠ
問1

問2

𝜎𝜎 AB =

𝑃𝑃2√2𝐴𝐴

問3|𝜆𝜆AB | =問4

𝑃𝑃𝑃𝑃
4𝐴𝐴𝐴𝐴

問5

3𝑃𝑃𝑃𝑃
4𝐴𝐴𝐴𝐴

問6

𝑃𝑃𝑃𝑃
7𝐴𝐴𝐴𝐴
5𝑃𝑃𝑃𝑃
7𝐴𝐴𝐴𝐴

金沢大学大学院自然科学研究科,

𝜎𝜎 BC = −𝑃𝑃√2𝐴𝐴√2𝑃𝑃𝑃𝑃√2𝑃𝑃𝑃𝑃, |𝜆𝜆BC | =
4𝐴𝐴𝐴𝐴
2𝐴𝐴𝐴𝐴

（上向き）

（右向き）

（上向き）

（右向き）

博士前期課程入学試験

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科

解 答 例

フロンティア工学専攻（一般選抜）
専門科目(a)機械工学系

Ⅱ【１】

b1h1312【２】

b1h126【３】b(h − h1)h【４】2h3

【５】

b3

【６】

2 2bh
81

【７】

q0l
6

【８】

q0l3

【９】

l3

【１０】

3 2q0l27【１１】

3 3 q0l 2
2 bh 2【１２】

q0(3x 5 − 10l 2 x 3 + 7l 4 x)
360EI zl

【１３】

3 q0l 4270 EI z①材料力学（２／２４）

博士前期課程入学試験

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科

解 答 例

博士前期課程入学試験

機械科学専攻（一般選抜）
専門科目②振動工学－ⅠⅠ
問1

バネの自然長からの伸びを𝑦𝑦0 とすると，𝑚𝑚𝑚𝑚𝑟𝑟1 − 𝑘𝑘𝑦𝑦0 𝑟𝑟2 = 0
𝑦𝑦0 =と求められる．
問2

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑟𝑟1
𝑘𝑘𝑟𝑟2

𝑦𝑦0 からのバネの変位を𝑦𝑦1 とすると， = 1の関係からバネの伸びは下記のように求められる
𝑥𝑥

𝑦𝑦𝑟𝑟2𝑟𝑟1

𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 + 𝑦𝑦1 =問3問4というつり合い式から慣性モーメントを𝐼𝐼とおくと， 𝐼𝐼 =𝑀𝑀1 𝑟𝑟12 +𝑀𝑀2 𝑟𝑟222𝑚𝑚𝑚𝑚𝑟𝑟1 𝑟𝑟2+ 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑟𝑟2𝑟𝑟1となる．

右図のように，質量𝑚𝑚につながれたひもの張力を𝑇𝑇1 ，バネにつながれたひもの張力を𝑇𝑇2 ，滑車の回転角度を𝜃𝜃，とすると質量𝑚𝑚の運動方程式 ：𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑇𝑇1

滑車の運動方程式：𝐼𝐼𝜃𝜃̈ = 𝑟𝑟1 𝑇𝑇1 − 𝑟𝑟2 𝑇𝑇2 + 𝐴𝐴 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔
バネのつり合い方程式：𝑇𝑇2 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 =𝑥𝑥と𝜃𝜃の関係：𝑥𝑥 = 𝑟𝑟1 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑟𝑟1𝑟𝑟2+𝑘𝑘𝑟𝑟2𝑟𝑟1𝑥𝑥が得られる．以上より，系の運動方程式は下記のように求められる．

問5

�𝑀𝑀1 𝑟𝑟12 + 𝑀𝑀2 𝑟𝑟22+ 𝑚𝑚𝑟𝑟12 � 𝑥𝑥̈ + 𝑘𝑘𝑟𝑟22 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝑟𝑟1 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔
2𝑀𝑀 𝑟𝑟 2 +𝑀𝑀2 𝑟𝑟22

運動方程式は� 112+ 𝑚𝑚𝑟𝑟12 � 𝑥𝑥̈ + 𝑘𝑘𝑟𝑟22 𝑥𝑥 = 0と 表 さ れ る た め ， 固 有 角 振 動 数 は 𝜔𝜔𝑛𝑛 =問6

�

2𝑘𝑘𝑟𝑟22

𝑀𝑀1 𝑟𝑟12 +𝑀𝑀2 𝑟𝑟22 +2𝑚𝑚𝑟𝑟12となる．

問４で得られた運動方程式から，定常振動解は下記のように求められる．
𝐴𝐴𝑟𝑟12𝐴𝐴𝑟𝑟1
𝑘𝑘𝑟𝑟22𝑥𝑥 =sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 =sin 𝜔𝜔𝜔𝜔22𝜔𝜔 2
2𝑘𝑘𝑟𝑟2 − (𝑀𝑀1 𝑟𝑟1 + 𝑀𝑀2 𝑟𝑟22 + 2𝑚𝑚𝑟𝑟12 )𝜔𝜔 21−� �𝜔𝜔𝑛𝑛

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻

金沢大学大学院自然科学研究科

博士前期課程入学試験

解 答 例名機械科学専攻（一般選抜）

試験科目名

専門科目

②振動工学－ⅡⅡ
問1問2問3問4

左の重りのつり合い状態からの変位を 𝑥𝑥 とすると，運動方程式は 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = − 𝑥𝑥 となる．よって，固有𝑘𝑘

振動数は 𝜔𝜔𝑛𝑛 = �𝑘𝑘

2𝑚𝑚2と求められる．

つり合い状態からの，左の重りの下向きの変位を 𝑥𝑥2 とし，右の重りの上向きの変位を 𝑥𝑥1 とする．運𝑚𝑚𝑥𝑥 ̈ = −𝑘𝑘(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )2𝑘𝑘
動方程式は � 2と表せる．これを解いて，固有振動数は 𝜔𝜔𝑛𝑛 = � と求められる．
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥1̈ = −𝑘𝑘(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 )𝑚𝑚𝑥𝑥2̈ = −𝑘𝑘(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )
上問と同様に変位を表すと，運動方程式は �となる．これを解いて，固有振𝑚𝑚𝑥𝑥1̈ = −𝑘𝑘𝑥𝑥1 − 𝑘𝑘(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 )動数は �3±√5 𝑘𝑘
2𝑚𝑚と求められる．

𝑚𝑚𝑥𝑥2̈ = −𝑘𝑘(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )
上問と同様に変位を表すと，運動方程式は �となる．これを解𝑚𝑚𝑥𝑥1̈ = −𝑘𝑘(𝑥𝑥1 − 𝑎𝑎 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔) − 𝑘𝑘(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 )いて，棒が水平のまま動かない（反共振が生じる）角振動数 𝜔𝜔 = �𝑘𝑘𝑚𝑚が求まる．

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科

解 答 例

博士前期課程入学試験

機械科学専攻（一般選抜）
専門科目③流れ学－Ⅰ

問１ 水の密度 ρ, 重力加速度 g なので，圧力 p(z)は𝑝𝑝(𝑧𝑧) = 𝜌𝜌g𝑧𝑧

答え

問２ 深さ z における微小面積 dA = W dz にはたらく全圧力 dF は 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌g𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝜌𝜌g𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧

答え問３ 水門にはたらく全圧力 F は dF を 0 から H まで積分することで得られるので，𝑝𝑝(𝑧𝑧) = 𝜌𝜌g𝑧𝑧

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌g𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧

𝐻𝐻
1𝐹𝐹 = � 𝜌𝜌g𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝜌𝜌g𝐻𝐻2 𝑊𝑊
20

あるいは，全圧力は「図心における静水圧と面積の積」なので
𝐹𝐹 = 𝜌𝜌g

問４𝐻𝐻
1
𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝜌𝜌g𝐻𝐻2 𝑊𝑊
221
答え 𝐹𝐹 = 𝜌𝜌g𝐻𝐻2 𝑊𝑊2ξ軸回りのモーメントを考えると𝐻𝐻
1𝐹𝐹𝑧𝑧CP = � 𝜌𝜌g𝑧𝑧 2 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 = 𝜌𝜌g𝐻𝐻3 𝑊𝑊
30112∴ 𝑧𝑧CP = 𝜌𝜌g𝐻𝐻3 𝑊𝑊/ 𝜌𝜌g𝐻𝐻2 𝑊𝑊 = 𝐻𝐻323あるいは，圧力中心 zCP と図心 zg の距離は重心まわりの断面二次モーメント IξG=WH3/12 を用いて，次式で与えられるので，∴ 𝑧𝑧CP =𝑧𝑧CP − 𝑧𝑧g =𝐼𝐼ξG𝑧𝑧g 𝐴𝐴

𝑊𝑊𝐻𝐻3𝐻𝐻2+ � � = 𝐻𝐻
𝐻𝐻2312 � � 𝑊𝑊𝑊𝑊
2

問５ 水深 z=ηsinθ なので，圧力 p(η)は𝑝𝑝(𝜂𝜂) = 𝜌𝜌g𝜂𝜂 sin 𝜃𝜃

答え 𝑧𝑧CP =2𝐻𝐻
3

答え 𝑝𝑝(𝜂𝜂) = 𝜌𝜌g𝜂𝜂 sin 𝜃𝜃

問６ η における微小面積 dA'=Wdη にはたらく全圧力 dF'は𝑑𝑑𝐹𝐹 ′ = 𝜌𝜌g𝜂𝜂 sin 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑′ = 𝜌𝜌g𝜂𝜂 sin 𝜃𝜃 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊

答え 𝑑𝑑𝐹𝐹 ′ = 𝜌𝜌g𝜂𝜂 sin 𝜃𝜃 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻

金沢大学大学院自然科学研究科

解 答 例

名

博士前期課程入学試験

機械科学専攻（一般選抜）

試験科目名

専門科目

③流れ学－Ⅰ問７ 水門にはたらく全圧力 F'はη軸に沿って dF’を c から c+H まで積分することで得られるので，
𝐹𝐹 ′ = �𝑐𝑐

𝑐𝑐+𝐻𝐻𝜌𝜌g𝜂𝜂 sin 𝜃𝜃 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 =1𝜌𝜌g sin 𝜃𝜃 (𝐻𝐻2 + 2𝐻𝐻𝐻𝐻)𝑊𝑊2

あるいは，全圧力は「図心における静水圧と面積の積」なので
𝐻𝐻
1𝐹𝐹′ = 𝜌𝜌g � + 𝑐𝑐� sin 𝜃𝜃 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝜌𝜌g sin 𝜃𝜃 (𝐻𝐻2 + 2𝐻𝐻𝐻𝐻)𝑊𝑊
22答え1𝜌𝜌g sin 𝜃𝜃 (𝐻𝐻 2 + 2𝐻𝐻𝐻𝐻)𝑊𝑊2

問８ 水面を通る ξ 軸まわりのモーメントを考え，圧力中心の η 座標を ηCP とすると
𝐹𝐹 ′ 𝜂𝜂CP = �𝑐𝑐∴ 𝜂𝜂CP =𝑐𝑐+𝐻𝐻

𝜂𝜂 ∙ 𝜌𝜌g𝜂𝜂 sin 𝜃𝜃 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 =1
𝜌𝜌g𝑊𝑊 sin 𝜃𝜃 {(𝐻𝐻 + 𝑐𝑐)3 − 𝑐𝑐 3 }3112(𝐻𝐻2 + 3𝐻𝐻𝐻𝐻 + 3𝑐𝑐 2 )𝜌𝜌g𝑊𝑊 sin 𝜃𝜃 {(𝐻𝐻 + 𝑐𝑐)3 − 𝑐𝑐 3 }/ 𝜌𝜌g sin 𝜃𝜃 (𝐻𝐻2 + 2𝐻𝐻𝐻𝐻)𝑊𝑊 =23(𝐻𝐻 + 2𝑐𝑐)
3あるいは，圧力中心 ηCP と図心ηg の距離は次式で与えられるので、
𝐼𝐼ξG
𝑊𝑊𝐻𝐻3=
𝜂𝜂𝑔𝑔 𝐴𝐴 12 �𝑐𝑐 + 𝐻𝐻 � 𝑊𝑊𝑊𝑊2
𝑊𝑊𝐻𝐻3
𝐻𝐻2(𝐻𝐻2 + 3𝐻𝐻𝐻𝐻 + 3𝑐𝑐 2 )∴ 𝜂𝜂CP =+ �𝑐𝑐 + � =𝐻𝐻
3(𝐻𝐻 + 2𝑐𝑐)
212 �𝑐𝑐 + � 𝑊𝑊𝑊𝑊
2
水面からの深さに換算すると
𝜂𝜂CP − 𝜂𝜂g =𝑧𝑧′CP = 𝜂𝜂CP sin 𝜃𝜃 =2(𝐻𝐻2 + 3𝐻𝐻𝐻𝐻 + 3𝑐𝑐 2 )sin 𝜃𝜃
3(𝐻𝐻 + 2𝑐𝑐)

答え

ア = 𝐻𝐻, イ = 𝐻𝐻𝐻𝐻, ウ = 𝑐𝑐, エ = sin 𝜃𝜃令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科

博士前期課程入学試験

解 答 例

機械科学専攻（一般選抜）
専門科目③流れ学－Ⅱ問１ 円管の断面積は S，断面①の流れの平均速さは V1 なので，体積流量を Q とすると Q＝SV1
答え SV1問２ 流体の密度は ρ，断面①の体積流量は Q＝SV1，断面①の平均速さは V1 なので，断面①に流入する流体の単位時間当たりの運動量の大きさは，ρQV1＝ρSV12
答え

ρSV12

問３ 円管の断面積は S=一定である。また，非圧縮性の定常流れなので，体積流量は断面①と断面②で同∴V2＝V1じである。したがって，断面②の平均速さを V2 とすると，連続の式から，Q＝SV1＝SV2

答え

V1

問４ ゲージ圧を絶対圧に変換しておく（ゲージ圧のままで計算しても最終解答は同じ）。損失ヘッドを hとすると，損失ヘッドを考慮した「エネルギー保存則へ拡張したベルヌーイの式」は次式で与えられる。
𝑉𝑉1 22g+

𝑝𝑝1 +大気圧𝜌𝜌g

𝑉𝑉 2= 2 +2g

𝑝𝑝2 +大気圧𝜌𝜌g+ ℎ ここで，V2＝V1 なので，ℎ =p1＞p2 なので，損失ヘッドの大きさも同式で与えられる。

問５

𝑝𝑝1 －𝑝𝑝2
𝜌𝜌g

答えとなる。
𝑝𝑝1 －𝑝𝑝2

𝜌𝜌g
流れ方向を正とする。検査面入口・出口の単位時間当たりの運動量は，断面①・断面②のものと，それぞれ同じである。検査面入口は，問２から，ρQV1＝ρSV12 である。また，検査面出口は，断面②について考えればよい。S=一定でかつ V2＝V1 なので，ρQV2＝ρSV12 である。したがって，検査面入口と出口の単位時間当たりの運動量の差をΔ運動量とすると，Δ運動量＝ρQV1－ρQV2＝ρSV12－ρSV12＝0
答え

0

問６ p1 と p2 はゲージ圧なので，断面①と断面②にはたらく圧力による力のみを考えればよい。流れ方向を正として，検査面境界にはたらく圧力による力の合力 F 圧力を求めると
F 圧力＝p1S－p2S＝(p1－p2)Sとなる。p1＞p2 なので，「検査面境界にはたらく圧力による力の合力」の大きさも(p1－p2)S となる。
答え

(p1－p2)S

問７ 流れ方向を正として，運動量の法則を用いて，円管にはたらく流体力 F 流体力を求めると
F 流体力＝Δ運動量＋F 圧力＝0＋(p1－p2)S＝(p1－p2)Sである。p1＞p2 なので，「円管にはたらく流体力」の大きさも同式で与えられる。
答え(p1－p2)S

問８ 円管壁面の面積は 2πRL なので，「円管にはたらく壁面せん断応力による力」の大きさは 2πRLτw となる。
答え

2πRLτw

問９ 問７と S=πR2 から，(p1－p2)S=(p1－p2)πR2。これが問 8 と等しいとおくと，2πRLτw ＝ (p1－p2)πR2 である。

∴τw ＝ (p1－p2)R / (2L)答えτw = (p1－p2)R / (2L)

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

金沢大学大学院自然科学研究科

解 答 例

専 攻 名

機械科学専攻（一般選抜）

試験科目名

専門科目

博士前期課程入学試験④熱力学－ⅠI
問１
1 : b，2 : c，3 : a
問２
1→2 の可逆断熱過程では p1-κTκ = 一定であるため，
p11-κT1κ = (5p1) 1-κ T2κ

→T2 = 5 (κ-1)/κ T1 = 5 1/3 T1

3→1 は等容過程であるため，p1 / T1 = p3 / T3 = 5p1 / T3 → T3 = 5 T1
∴状態 2

1.71 倍 状態 3

5.00 倍問３
加熱量 QH = Q2→3 = m cp (T3-T2) = κ/ (1-κ) ･ m R (5 - 51/3) T1 = 3 (5 - 51/3) p1 V1=3 (5 – 1.71) p1 V1 = 9.87 p1 V1
冷却熱量 QL = -Q3→1 = m cv (T3-T1) = 1 / (1-κ) ･ m R (5 - 1) T1 = 8 p1 V1
正味仕事 L = QH - QL = 1.87 p1 V1
問４
η= L / QH = 1.87/9.87 = 0.189

∴ 19%

問５
不可逆過程における理想気体のエントロピーの微小変化は以下の式となる．
dS = δQ / T = (dU + p dV) / T = m cv dT/T + m R / V ･ dV
これを両辺積分し，状態 A (TA, VA)から状態 B (TB, VB)に変化する場合で以下の式が得られる．
ΔSA→B = m cv ln (TB/TA) + m R ln (VB/VA)
この式を用いて，図中のエントロピー変化量を求める．
ΔS = - ΔS 3→1 = - m cv ln (T1/T3) = m R / (κ-1) ln 5 = 2 ln 5 ･ p1 V1/ T1 = 3.22 p1 V1/ T1∴ 2 ln 5 ･ p1 V1/ T1 または

3.22 p1 V1/ T1

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻

金沢大学大学院自然科学研究科

解 答 例

名

博士前期課程入学試験

機械科学専攻（一般選抜）

試験科目名

専門科目

④熱力学－ⅡⅡ
問１

354T
1,24p

16飽和液線32

乾き飽和蒸気線

6乾き飽和蒸気線

飽和液線

s5v

問２
過程 4 ⇒ 5 は定圧変化であるから，p5 =p4 =0.8 MPa

状態 5 は，温度 500 ℃，圧力 p5 = 0.8 MPa の過熱水蒸気であるため，h5，s5 は表 1 過熱水蒸気表より，
h5 = 3481.17 kJ/kg,
s5 =7.8690 kJ/(kg・K)
ここで，過程 5 ⇒ 6 は断熱膨張なので，s6 = s5 = 7.8690 kJ/(kg・K)
乾き度 x はx=s6 -s'6s"6 -s'6=

s6 =(1-x)∙s'6 +x∙s"6と表せるため，表 3 水の飽和表（温度基準）より，7.8690-0.3673= 0.9160
8.5568-0.3673

問３𝑥𝑥 = 9.16 × 10−1
低圧タービンから得られる水 1kg あたりの仕事 l56 は，l56 = h5 - h6 で表される。
h6 =(1-x) ∙ h'6 +x∙ h"6ならびに，表 3 水の飽和表（温度基準）より，

h6 =(1-0.9160)∙104.84+0.9160∙2546.54=2341.44 kJ/kg
よって

l56 = h5 - h6 = 3481.17 - 2341.44 = 1139.73 kJ/kg= 1140 kJ/kg = 1.14 MJ/kg

令和 4 年度（１０月期入学）及び令和 5 年度

専

攻名

試験科目名

金沢大学大学院自然科学研究科

解 答 例

博士前期課程入学試験

機械科学専攻（一般選抜）
専門科目④熱力学－Ⅱ問４
η=(h3 -h4 ) + (h5 -h6 )(h3 -h2 )+(h5 -h4 )もしくは，η =(h3 -h4 ) + (h5 -h6 )(h3 -h1 )+(h5 -h4 )問５
状態 4 において乾き飽和蒸気になる圧力が，p4 の下限圧力となる。過程 3 ⇒ 4 は断熱膨張なので，表 1
過熱水蒸気表より，s3 = s4 = 6.9045 kJ/(kg·K)
状態 4 は，飽和蒸気とすると，表 2 水の飽和表（圧力基準）より，状態 4 の圧力 p4 は，0.3 MPa～0.4 MPaの範囲にある。線形近似して圧力を導出する。
p4 - 0.3=

0.4 - 0.3∙(6.9045-6.9916)
6.8954-6.9916

MPap4 = 0.391 MPa
よって，求める p4 の条件は，p4 >3.91×10−1 MPa