（ 6 ｰｰ青）

数
6学青̶

注意

問題は 1 から 4 までで， 7 ページにわたって印刷してあります。

1

また，解答用紙は両面に印刷してあります。

数2

検査時間は 50 分で，終わりは午前 11 時 00 分です。

3

声を出して読んではいけません。

4

答えは全て解答用紙にＨＢ又は B の鉛筆（シャープペンシルも可）を使って明確に記入し，解答用紙だけを提出しなさい。

5

答えに根号が含まれるときは，根号を付けたまま，分母に根号を含まない学形で表しなさい。また，根号の中を最も小さい自然数にしなさい。
6

答えに分数が含まれるときは，それ以上約分できない形で表しなさい。

7

答えは，解答用紙の決められた欄からはみ出さないように書きなさい。

8 答えを直すときは，きれいに消してから，消しくずを残さないようにして，新しい答えを書きなさい。
受検番号を解答用紙の表面と裏面の決められた欄に書き，表面については，9

その数字の1023110116-青山商事-模試2024-数学_問題用紙-表紙01.indd

1-2の中を正確に塗りつぶしなさい。

解答用紙は，汚したり，折り曲げたりしてはいけません。

2023/11/21

18:30:21

1次の各問に答えよ。
〔問 1 〕 11 2 － 33 2 － 44 2 ＋ 55 2 を計算せよ。

〔問 2 〕 x についての方程式 4 x ＋x－a
＝ a － 1 の解が －1 であるとき，a の値を求めよ。
3〔問 3 〕 1 から 6 までの目が出る 1 つのさいころを 2 回投げて，１回目に出た目の数を a，2 回目に出た目の数を b とするとき，a ＋ 2b が偶数となる確率を求めよ。
ただし，1 から 6 までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

〔問 4 〕 次の表は，20 人の生徒に 5 点満点のテストを行ったとき，3 点を基準にして，得点から基準を引いた値ごとの人数をまとめたものである。
このテストの平均点が 3.4 点のとき，表中の m の値を求めよ。
得点から基準を引いた値（点）－3－2－10

12

人数（人）

01m5n

4〔問 5 〕 図のように，4 点 A，B，C，D は，1 つの円周上にあり，A，C，D，B の順に並んでいる。点 A と点 B，点 C と点 D をそれぞれ結ぶ。
線分 AB と線分 CD が平行でないとき，線分 AB の中点で線分 AB と接し，線分 CD にも接する円を，定規とコンパスを用いて作図せよ。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

ABDC

123110116-青山商事-模試2024-数学_問題用紙-本文01.indd

12024/01/30

14:41:1621
右の図で，点 O は原点，曲線 f は関数 y ＝ 2 x2 のyfグラフを表している。

点 A，点 B は，ともに曲線 f 上にあり，y 座標は等しく，互いに一致しない。

B

点 A の x 座標を a（ a > 0 ）とする。

A

点 O と点 A，点 O と点 B，点 A と点 B をそれぞれ結ぶ。
点 O から点（1，0）までの距離，および点 O から点（0，1）までの距離をそれぞれ 1 cm として，次の各問にOx答えよ。

〔問 1 〕 a ＝ 3 のとき，△OAB の面積は何 cm2 か。

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14:41:16

〔問 2 〕 『∠AOB ＝ 90°の場合を考える。  点 A を通り△OAB の面積を 2 等分する直線と，曲線 f との交点のうち，  点 A と異なる点を C とする。点 C の座標を求めよ。』という問題を，下の①～また，④⑥の中のように解いた。に当てはまる数，⑤に直線の式を書け。には答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算などを書き，解答を完成させよ。
【解答】 点 A は曲線 f 上の点である。
また，△OAB で∠AOB ＝ 90°のとき，
点 A を通り x 軸に垂直な直線を引き，x 軸との交点を H とすると，△AOH は，∠AOH ＝ 45°，∠OAH ＝ 45°，∠AHO ＝ 90°の直角三角形であることから，点 A の座標は（①，②）であることが分かる。

次に，点 A を通り△OAB の面積を 2 等分する直線を考えると，
この直線は，線分 OB の中点を通る。
線分 OB の中点を D とすると，その座標は（2 点 A，D を通る直線の式は，③，④）だから，⑤したがって，点 C の x 座標を t とすると，⑥〔問 3 〕 △OAB が正三角形のとき，曲線 f 上にあり x 座標が－2 である点を E とし，点 O と点 E，点 A と点 E をそれぞれ結んだ場合を考える。

△OAE の面積は何 cm2 か。

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14:41:173右の図 1 で，△ABC は鋭角三角形である。
辺 AB の中点を D とし，頂点 C と点 D を結ぶ。

図1C

図1
図1

CE

点 E は，線分 CD 上にある点で，頂点 C と点 D のEいずれにも一致しない。
頂点 A と点 E を結ぶ。

AD

BA

D

B

次の各問に答えよ。

〔問 1 〕 右の図 2 は，図 1 において，頂点 B と点 E を結び，AD ＝ DE の場合を表している。
∠AEB の大きさは何度か。

図2図2C

図2CEE

A〔問 2 〕 右の図 3 のおうぎ形 BAC は，図 1 において，△ABC が正三角形のとき，辺 AB を，頂点 B を

図3
図 3A

D

BDCB中心として，時計回りに 60°回転移動させてできたおうぎ形である。

EAB ＝ 4 cm，点 E が辺 CD の中点のとき，で示された図形の面積は何 cm2 か。
ただし，円周率はπとする。

ADB

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14:41:17

図4〔問 3 〕 右の図 4 は，図 1 において，AC ＞ BC，AE ＝ BC の場合を表している。

図4
図4C∠BCD と等しい角を次の ① ，②，③ のうちから１つ選び，E解答欄に〇を付け，選んだ角が∠BCD と等しいことを証明せよ。
①∠ACE②③∠AED∠CBDADB

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14:41:17図14

右の図 1 に示した立体 ABCD - EFGH は，1 辺の図１B

長さが 6 cm の立方体である。
辺 AB，辺 AD の中点をそれぞれ P，Q とする。

C

次の各問に答えよ。

PA

D

Q

F
〔問 1 〕 辺 FG の中点を R とし，点 P と点 R を結んだG場合を考える。

E

H

線分 PR の長さは何 cm か。

〔問 2 〕『この立方体を 3 点 F，P，Q を通る平面で分けたとき，頂点 E から3 点 F，P，Q を通る平面に垂直な直線を引き，3 点 F，P，Q を通る平面との交点を I とする。線分 EI の長さは何 cm か。』という問題について，アオさんとヤマさんが次のような会話をしている。
会話文を読んで，あとの（1），（2）に答えよ。
アオさん：直接，線分 EI の長さを求めるのは難しそうだね。
ただ，3 点 F，P，Q を通る平面上に点 H もあるよね。
ヤマさん：線分 FP，線分 HQ，線分 EA をそれぞれ延長すると 1 点で交わるから，この交点を J として，三角すい J - FHE で考えると良さそうだね。
アオさん：長さが分からない線分があるけれど，△JAQ と△HDQ の合同から求めることができそうだね。
ヤマさん：証明を書いてみたよ。
【ヤマさんが書いた証明】△JAQ と△HDQ において，アは等しいから，∠JQA ＝イ…①

∠JAQ ＝∠HDQ ＝ 90°…②
点 Q は辺 AD のウであるから，AQ ＝①，②，③より，オから，エ…③△JAQ ≡ △HDQ
アオさん：この証明の結果を利用すれば，線分 EI の長さを求める方法はいろいろ考えられるよね。
ヤマさん：三角すいの体積に注目すると，線分 EI の長さを求めることができそうだよ。
アオさん：三角形の面積や三角形の相似に注目しても求めることができそうだね。

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14:41:17

（1） 【ヤマさんが書いた証明】の中にあるア～オに当てはまる最も適切なものを次の語群の中の a ～ n の中からそれぞれ１つずつ選び，記号で答えよ。
語群
a

対頂角

b

同位角c

錯角

f∠JEHg∠JHEh∠HDQl

3 組の辺がそれぞれ等しい

d

中点ie

交点

∠HQD

jAPk

DQm 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
n1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい（2） 会話文でアオさんとヤマさんは，問題を解く方法として，
X：三角すいの体積，Y：三角形の面積，Z：三角形の相似のいずれかに注目すると，線分 EI の長さを求めることができそうだと話している。
あなたなら，X，Y，Z のどれに注目をして問題を解くか。
X，Y，Z のうちから１つ選び，解答欄に〇を付け，線分 EI の長さは何 cm か求めよ。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。
また，合同な図形や相似な図形の性質を用いる場合は証明せずに用いてもよい。

図2〔問 3 〕 右の図 2 は，図 1 において，3 点 G，P，Q を

図2

通る平面と，辺 DH との交点を S，辺 BF とのB

交点を T とし，頂点 G と点 S，頂点 G と点 T，

T

点 P と点 Q，点 P と点 T，点 Q と点 S をCそれぞれ結んだ場合を表している。

F

五角形 GSQPT の面積は何 cm2 か。

GPA
QDSEH723110116-青山商事-模試2024-数学_問題用紙-本文01.indd

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（6-青）

正答表
1〔問 1〕

2点

1215




〔問 1〕

3点

  

7

〔問 1〕

90

〔問 2〕




5

①2②2

2〔問 2〕

   


〔問 3〕




5③－1

④

1

2〔問 3〕【 選んだ記号 】

4〔問 4〕

〔問 5〕

②

①

〔問 2〕

5⑤5⑥



  


【2途中の式や計算など4】【証明4点度7  

8

③

aイi

1ウdエk1

オn1【 選んだ記号 】

7〔問 2〕】(2)

点を通り線分に平行な直線を引き，交点をとする。
△と△において，仮定より，


また，点は直線上の点でもあるから，    

対頂角は等しいから，



よって，

       から，    

解の公式より，  

＝①＝②より，平行線の錯角は等しいから，
＝③                

１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，

△△
よって，＝であり，点は点と異なる点だから， ではない。

仮定より，＝であるから，


よって，  

＝となり，△は二等辺三角形となる。
したがって，＝④ 
したがって，点の座標は    また，△△であるから，
＝⑤④，⑤より， ＝

【 途中の式や計算など 】

線分と線分の交点をとする。
△△より，＝＝，＝よって，立体の体積は，
①，②，③より，      


7ア

(1)

線分を延長し，

点は曲線 上の点だから，    とおける。
 〔問 1〕10点      
また，，   
三平方の定理より，
＝          
よって，△の面積は，
       

立体の体積は，△を底面とすると，が高さであるから，   から，

＝

（答え）

〔問 3〕

          （答え）  

8〔問 3〕    ※ ２〔問 2〕①，②ともに「正答」で，点を与える。

※ ４〔問 2〕(1)ア，イともに「正答」で，点を与える。

※ ２〔問 2〕③，④ともに「正答」で，点を与える。

※ ４〔問 2〕(1)ウ，エともに「正答」で，点を与える。

8