2019/7/2

A03 Borwein integral

Borwein積分
黒木玄2019-06-13
Copyright 2019 Gen Kuroki
License: MIT https://opensource.org/licenses/MIT (https://opensource.org/licenses/MIT)
Repository: https://github.com/genkuroki/Calculus (https://github.com/genkuroki/Calculus)
このファイルは次の場所できれいに閲覧できる:
http://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/Calculus/blob/master/A03%20Borwein%20integral.ipynb(http://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/Calculus/blob/master/A03%20Borwein%20integral.ipynb)
https://genkuroki.github.io/documents/Calculus/A03%20Borwein%20integral.pdf(https://genkuroki.github.io/documents/Calculus/A03%20Borwein%20integral.pdf)
このファイルは Free Wolfram Engine (https://www.wolfram.com/engine/) を Jupyter (https://jupyter.org/) で使えるようにする(https://github.com/WolframResearch/WolframLanguageForJupyter)と利用できる. 詳しくは次の解説を参照せよ.
Free Wolfram EngineをJupyterで使う方法(https://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/msfd28/blob/master/Free%20Wolfram%20Engine.ipynb)

目次
1 Borwein積分の紹介
2 Borwein積分の公式
2.1 Borwein積分の公式の証明
2.2 公式( )の証明
2.3 sinの積をsinまたはcosの和で表す公式の証明
3 Borwein積分とFourier変換の関係
3.1 Fourier解析からの準備
3.2 Borwein積分のたたみ込み積表示とその応用∗∗

In [1]:

1
2
3
4 ▾
5 ▾
6 ▾
7
8 ▾
9 ▾
10
11 ▾
12 ▾
13 ▾
14 ▾

JupyterImageResolution = 84;
JupyterOutTextForm = "TeX";
TeX[x_] := ToString[TeXForm[x]]TeX[x_, y__] := StringJoin[TeX[x], TeX[y]]TeXRaw[x__, y_] := StringJoin[x, TeX[y]]MappedBy[x_] := x
MappedBy[x_, F___, G_] := MappedBy[x, F] // G
SetAttributes[TeXEq, HoldFirst]
TeXEq[x_] := TeX[HoldForm[x] == MappedBy[x, ReleaseHold, FullSimplify]]
TeXEq[x_, F__] := TeX[HoldForm[x] == MappedBy[x, ReleaseHold, F]]
TeXEqRaw[x_] := TeX[HoldForm[x] == MappedBy[x, ReleaseHold]]

1 Borwein積分の紹介
以下では

a0 , a1 ,…, ar は正の実数であるとし, sinc 函数を

sinx
sincx = { x (x ≠ 0)
1 (x = 0)と定めて利用する.
次の形の積分をBorwein積分 (https://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral)と呼ぶ:

∞ r
∞
sinc(
x)dx
=
a
k
∫−∞ ∏
∫−∞ sinc(a0 x)sinc(a1 x)⋯sinc(ar x)dx
k=0
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
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必要ならば条件収束する広義積分でこれを定義しておく. 例えば,
 In [15]:Out[15]:1 ▾ Integrate[Sinc[x], {x,-Infinity,Infinity}] // TeXEq∞∫−∞ sinc(x)dx = π
上の結果はDirichlet積分の公式∞ sin(ax)∫−∞ x dx = π sign(a)の特別な場合として有名である.
 In [16]:Out[16]:

 In [17]:Out[17]:

 In [18]:Out[18]: In [19]:Out[19]: In [20]:Out[20]: In [21]:Out[21]:

1 ▾ Integrate[Sinc[x]Sinc[x/3], {x,-Infinity,Infinity}] // TeXEq∞
x∫−∞ sinc(x)sinc ( 3 ) dx = π
1 ▾ Integrate[Sinc[x]Sinc[x/3]Sinc[x/5], {x,-Infinity,Infinity}] // TeXEq∞xx∫−∞ sinc(x)sinc ( 3 ) sinc ( 5 ) dx = π
1 ▾ Integrate[Sinc[x]Sinc[x/3]Sinc[x/5]Sinc[x/7], {x,-Infinity,Infinity}] // TeXEq∞
x sinc x sinc x dx = πsinc(x)sinc(∫−∞3) (5) (7)1 ▾ Integrate[Sinc[x]Sinc[x/3]Sinc[x/5]Sinc[x/7]Sinc[x/9], {x,-Infinity,Infinity}] // TeXEq∞
x sinc x sinc x sinc x dx = πsinc(x)sinc(∫−∞3) (5) (7) (9)1 ▾ Integrate[Sinc[x]Sinc[x/3]Sinc[x/5]Sinc[x/7]Sinc[x/9]Sinc[x/11], {x,-Infinity,Infinity}] // TeXEq

∞
x
x
x
x
x
∫−∞ sinc(x)sinc ( 3 ) sinc ( 5 ) sinc ( 7 ) sinc ( 9 ) sinc ( 11 ) dx = π
1 ▾ Integrate[Sinc[x]Sinc[x/3]Sinc[x/5]Sinc[x/7]Sinc[x/9]Sinc[x/11]Sinc[x/13], {x,-Infinity,Infinity}] // TeXEq

∞
x
x
x
x
x
x
∫−∞ sinc(x)sinc ( 3 ) sinc ( 5 ) sinc ( 7 ) sinc ( 9 ) sinc ( 11 ) sinc ( 13 ) dx = π
以上のBorwien積分の値はすべて

 In [22]:Out[22]:π になった. しかし, これの次の積分は以下のように π とは異なる π に非常に近い値になる!

1 ▾ Integrate[Sinc[x]Sinc[x/3]Sinc[x/5]Sinc[x/7]Sinc[x/9]Sinc[x/11]Sinc[x/13]Sinc[x/15], {x,-Infinity,Infinity}]// TeXEq∞
x sinc x sinc x sinc x sinc x sinc x sinc x dx
sinc(x)sinc(∫−∞3 ) ( 5 ) ( 7 ) ( 9 ) ( 11 ) ( 13 ) ( 15 )= 467807924713440738696537864469π
467807924720320453655260875000

 In [23]:Out[23]:

1 ▾ 467807924713440738696537864469/467807924720320453655260875000 // TeXEq[#, N[#, 20]&]&467807924713440738696537864469 = 0.9999999999852937186
467807924720320453655260875000

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このようにの値は非常にある.

467807924713440738696537864469 π
467807924720320453655260875000

π に近い. 「これは使用しているWolfram言語のバグなのではないだろうか?」と疑う人がいても不思議ではない結果で

2 Borwein積分の公式
以下で紹介する結果についてはDavid Borwein and Jonathan M. Borwein. Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals. The Ramanujan Journal,
March 2001, Volume 5, Issue 1, pp 73–89. PDF (http://www.thebigquestions.com/borweinintegrals.pdf)
を参照した.

a0 , a1 ,…, ar > 0 と仮定する. この節では次の公式を示そう:∞ rπ∫−∞ ∏ sinc(ak x)dx = r!2r a0 a1 ⋯ ar
k=0

r

r

r

× ∑ ε1 ⋯ εr (a0 + ∑ εk ak ) sign(a0 + ∑ εk ak ).
ε1,…,εr =±1

k=1

(∗)

k=1

さらに次の公式も示す:

 0 r(k = 0,1,…,r − 1)

ε
⋯
ε
+
=
a
ε
a
r!
2
a
⋯
a
(k
= r)
1
r
0
k
k
1
r
( ∑
ε1,…,∑
εr =±1k=1 )  (r + 1)!2r a0 a1 ⋯ ar (k = r + 1).
特に a0 > a1 + ⋯ + ar ならば(∗ )の sign の因子がすべて 1 になり, (∗∗ )の k = r の場合を使うと,∞ rπ∫−∞ ∏ sinc(ak x)dx = a0 (a0 > a1 + ⋯ + ar )
r

k

(∗∗)

k=0

a0 = 1 の場合になっている.
r
さらに, a0 < a1 + ⋯ + ar でかつ ε1 = ⋯ = εr = −1 以外のとき a0 + ∑k=1 εk ak > 0 となるならば,∞ r
π 1 − (a1 + ⋯ + ar − a0 )r
sinc(
a
x)dx
=
k
∫−∞ ∏
a0 (
r!2r−1 a ⋯ a )が得られる. 前節の計算例の最後以外はこの公式のk=0が得られる. 前節の計算例の最後はこの公式の
 In [24]:Out[24]:

 In [25]:Out[25]:

 In [26]:Out[26]:1

a0 = 1 の場合になっている.

1r

1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13 // TeXEq

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 43024
3 5 7 9 11 13 45045
1

1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15 // TeXEq

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 46027
3 5 7 9 11 13 15 45045
1 ▾ Integrate[Sinc[x]Sinc[x/3]Sinc[x/5]Sinc[x/7]Sinc[x/9]Sinc[x/11]Sinc[x/13]Sinc[x/15], {x,-Infinity,Infinity}]// TeXEq

∞
x
x
x
x
x
x
x
∫−∞ sinc(x)sinc ( 3 ) sinc ( 5 ) sinc ( 7 ) sinc ( 9 ) sinc ( 11 ) sinc ( 13 ) sinc ( 15 ) dx

= 467807924713440738696537864469π
467807924720320453655260875000

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 In [27]:Out[27]:

A03 Borwein integral

1

Pi(1 - (1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15-1)^7/(7! 2^6 (1/3)(1/5)(1/7)(1/9)(1/11)(1/13)(1/15))) // TeXEq

 ( 13 + 15 + 17 + 19 + 111 + 131 + 151 − 1)7  467807924713440738696537864469ππ 1 −
 = 467807924720320453655260875000
7!26
3 5 7 9 11 13 15
2.1 Borwein積分の公式の証明
三角函数に関する簡単な計算によって以下が成立していることを示せる.

r が偶数のとき,(−1)∏ sin(ak x) = 2rr

k=0r が奇数のとき,(−1)∏ sin(ak x) = 2r
r

r

r/2

∑ ε1 ⋯ εr sin((a0 + ∑ εk ak ) x).

ε1,…,εr =±1

r(r+1)/2

k=0

k=1∑ ε1 ⋯ εr cos((a0 + ∑ εk ak ) x).

ε1,…,εr =±1

k=1

r 回 x で微分すると, r の偶奇によらず, 結果は次のようになることがすぐにわかる:rrr∂ r r sin(ak x) = 1r
ε
⋯
ε
a
+
ε
a
sin
a
+
εk ak x .
1
r
0
k
k
0
( ∂x ) ∏2 ε1,…,∑εr =±1( ∑k=0
k=1 ) (( ∑k=1 ) )
この公式を使うと, Borwein積分の公式(∗ )は部分積分によって容易に証明される.
1 − ∂ r1 = 1
r! ( ∂x ) x xr+1を使って, 部分積分を r 回繰り返すと,
∞ r
∞ 1 r
1
sinc(
a
x)dx
=
sin(ak x)dxk∫−∞ ∏a0 a1 ⋯ ar ∫−∞ xr+1 ∏
k=0
k=0
r r
∞
= r!a0 a11 ⋯ ar ∫−∞ 1x ( ∂x∂ ) ∏ sin(ak x)dx
k=0
1
= r!2r a0 a1 ⋯ arr ∞rr
× ∑ ε1 ⋯ εr (a0 + ∑ εk ak ) ∫−∞ 1x sin((a0 + ∑ εk ak ) x) dx
ε1,…,εr =±1
k=1
k=1
1
= r!2r a0 a1 ⋯ ar
これらの公式の両辺を

r

r

r

× ∑ ε1 ⋯ εr (a0 + ∑ εk ak ) sign(a0 + ∑ εk ak ).
ε1,…,εr =±1∗∞ rπ∫−∞ ∏ sinc(ak x)dx = r!2r a0 a1 ⋯ ar

k=1

k=1

これが示したかったBorwein積分の公式( )である:

k=0

r

r

r

× ∑ ε1 ⋯ εr (a0 + ∑ εk ak ) sign(a0 + ∑ εk ak ).
ε1,…,εr =±1

k=1

(∗)

k=1

∗∗)の証明2.2 公式(

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r

r

k=1

k=1 εk=±1

ea0t ∏(eakt − e−akt ) = ea0t ∏ ∑ εk eεkakttr= ∑ ε1 ⋯ εr exp((a0 + ∑ εk ak ) t).
ε1,…,εr =±1
k=1

左辺の に関するべき級数の展開は(1 + a0 t + O(t 2 ))(2r a1 ⋯ ar t r + O(t r+2 )) = 2r a1 ⋯ ar t r + 2r a0 a1 ⋯ ar t r+1 + O(t r+2 )となり, 右辺は

∞ tk

r

k

ε1 ⋯ εr (a0 + ∑ εk ak )∑k=0 k! ε1,…,∑εr =±1k=1となる. k = 0,1,…,r,r − 1 に関する t k の係数を比較すると公式 (∗∗ ) が得られる:k 0r(k = 0,1,…,r − 1) r!2r a1 ⋯ ar
ε
⋯
ε
a
+
ε
a
=
(k
= r)
1
r
0
k
k
( ∑
ε1,…,∑
εr =±1k=1 )  (r + 1)!2r a0 a1 ⋯ ar (k = r + 1).

(∗∗)

2.3 sinの積をsinまたはcosの和で表す公式の証明
sinの積に関する公式も証明しておこう.

sinz = eiz −2ie−iz = 2i1 ∑ εeiεz
ε=±1

を使うと,

1 (eia0x − e−ia0x )i(∑rk=1 εkak)x
sin(
a
x)
=
ε
⋯
ε
e
k
1
r
∏
(2i)r+1
k=0
ε1,…,∑
εr =±1= (2i)1r+1 ( ∑ ε1 ⋯ εr ei(a0+∑rk=1 εkak)x − ∑ ε1 ⋯ εr ei(−a0+∑rk=1 εkak)x)
ε1,…,εr =±1
ε1,…,εr =±1= (2i)1r+1 ( ∑ ε1 ⋯ εr ei(a0+∑rk=1 εkak)x − (−1)r ∑ ε1 ⋯ εr e−i(a0+∑rk=1 εkak)x)
ε1,…,εr =±1
ε1,…,εr =±1
r
1
i
a
+
∑
ε
a
x
r
= (2i)r+1 ∑ ε1 ⋯ εr (e ( 0 k=1 k k) − (−1) e−i(a0+∑rk=1 εkak)x) .
ε1,…,εr =±1
3番目の等号で括弧の中の2つ目の和の εk 達をすべて −1 倍にした. この結果は, r が偶数のとき,rr(−1)r r/2
sin(
a
x)
=
ε
⋯
ε
sin
a
+
εk ak xk1r
0∏
2 ε1,…,∑εr =±1(( ∑k=0
k=1 ) )になり, r が奇数のとき,rr(r+1)/2
(−1)
sin(
a
x)
=
ε
⋯
ε
cos
a
+
∏ k
∑ 1 r (( 0 ∑ εk ak ) x)
2r
r

k=0

ε1,…,εr =±1

k=1になる. これが示したい公式であった.
このように奇数個のsin の積は sin の和に展開され, 偶数個の sin の積は cos の和に展開される.

3 Borwein積分とFourier変換の関係
3.1 Fourier解析からの準備
Fourier変換

f(x) ↦ ℱ[f(x)](p) とその逆変換 ϕ(p) ↦ ℱ−1 [ϕ(p)](x) が次のように定義される:∞∞ℱ[f(x)](p) = ∫−∞ e−ipx f(x)dx, ℱ−1 [ϕ(p)](x) = ∫−∞ eipx ϕ(p) dp
2π .

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さらに, 函数

ϕ(p),ψ(p) のたたみ込み積がと定義される. このとき,

A03 Borwein integral∞ϕ ∗ ψ(p) = ∫−∞ ϕ(q)ψ(p − q) dq
2π∞∞dp = ∞ ϕ(p) dp
dp .
ϕ
∗
ψ(p)
ψ(p)
∫−∞
2π (∫−∞ 2π )(∫−∞ 2π )f(x),g(x) に関する適切な仮定のもとで次が成立することを示せる:ℱ[f(x)g(x)] = ℱ[f(x)] ∗ ℱ[g(x)].
例: a > 0 に対して, χa (p) を 1 (−a < p < a)
χa (p) =  1/2 (p = ±a) 0 (otherwise).
さらに, 函数と定める. このとき,

aeiax − e−iax = sin(ax) = a sinc(ax).
ℱ−1 [χa (p)](x) = ∫−a eipx dp=
2π 2πix
πx π

ゆえにℱ[sinc(ax)](p) = πa χa (p).

さらにが成立していることにも注意せよ.

□∞πdp = a π dp = 1(p)χa∫−∞ a 2π ∫−a a 2π

3.2 Borwein積分のたたみ込み積表示とその応用
Borwein積分は次のFourier変換のp = 0 での値に等しい:rr∞
I(p) = ℱ[∏ sinc(ak x)](p) = ∫−∞ e−ipx ∏ sinc(ak x)dx.
k=0

k=0

積のFourier変換はFourier変換のたたみ込み積に等しいので,I(p) = g0 ∗ g1 ∗ ⋯ ∗ gr (p).

ここで,

特に

p = 0 のとき,

gk (p) = ℱ[sinc(ak x)](p) = πa χa (p)a0
I(0) = aπ0 ∫−a g1 ∗ ⋯ ∗ gr (p) dp
2π .
0

∞
一方, ∫−∞ gk (p)dp/(2π) = 1 とたたみ込み積の一般的な性質より,∞
dp∫−∞ g1 ∗ ⋯ ∗ gr (p) 2π = 1.
したがって, もしも g1 ∗ ⋯ ∗ gr (p) の台が区間 [−a0 , a0 ] に含まれているならば,I(0) = aπ0となり, 非負値函数になる g1 ∗ ⋯ ∗ gr (p) の台が区間 [−a0 , a0 ] より真に広ければ,I(0) < aπ0localhost:8888/notebooks/Calculus/A03 Borwein integral.ipynb

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gk (p)

A03 Borwein integral[−ak , ak ] なので, g1 ∗ ⋯ ∗ gr (p) の台は [−(a1 + ⋯ + ar ), a1 + ⋯ + ar ] に等しい. 以上をまとめることによππ
定理: a0 ≧ a1 + ⋯ + ar のとき I(0) =a0 となり, a0 < a1 + ⋯ + ar のとき I(0) < a0 となる. □例: a0 = 1 < a1 = 1/2, a2 = 1/3, a4 = 1/4 の場合の G1 (p) = g1 (p) , G2 (p) = g1 ∗ g2 (p) , G3 (p) = g1 ∗ g2 ∗ g3 (p) を計算し,Gk (p)/(2π) をプロットし, 積分してみよう.
となる.
の台はって次を得る.

 In [28]:Out[28]: In [29]:Out[29]: In [30]:Out[30]: In [31]:Out[31]:

 In [32]:Out[33]:

 In [34]:Out[34]:

 In [35]:Out[36]:1

1/2+1/3 > 1 // TeXEq

1 1( 2 + 3 > 1) = False
1 ▾ Integrate[Sinc[x]Sinc[x/2]Sinc[x/3], {x,-Infinity,Infinity}] // TeXEq∞xx∫−∞ sinc(x)sinc ( 2 ) sinc ( 3 ) dx = π1

1/2+1/3+1/4 > 1 // TeXEq

1 1 1( 2 + 3 + 4 > 1) = True
1 ▾ Integrate[Sinc[x]Sinc[x/2]Sinc[x/3]Sinc[x/4], {x,-Infinity,Infinity}] // TeXEq

∞
x
x
x
1727π
∫−∞ sinc(x)sinc ( 2 ) sinc ( 3 ) sinc ( 4 ) dx = 1728
1 ▾ g[a_, p_] := Pi/a If[-a <= p <= a, 1, 0]
2 ▾ g[a,p] // TeXEqg(a,p) = πIf[−a ≤ ap ≤ a,1,0]
1 ▾ Assuming[a > 0, Integrate[g[a,p]/(2Pi), {p,-Infinity,Infinity}] // TeXEq]∞ g(a,p)∫−∞ 2π dp = 1
1 ▾ G1[p_] = g[1/2, p];
2 ▾ G1[p] // TeX[HoldForm[G1[p]], "=", #]&G1(p) = 2πIf [− 12 ≤ p ≤ 12 ,1,0]

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 In [37]:A03 Borwein integral

1 ▾ Plot[G1[p]/(2Pi), {p,-1.5,1.5}]

Out[37]:

 In [38]:Out[38]: In [39]:Out[40]:1 ▾ Integrate[G1[p]/(2Pi), {p,-Infinity,Infinity}] // TeXEq∞ G1(p)∫−∞ 2π dp = 1
1 ▾ G2[p_] = Integrate[g[1/2,q]g[1/3,p-q]/(2Pi), {q,-Infinity,Infinity}];2 ▾ G2[p] // TeX[HoldForm[G2[p]], "=", #]& 2π− 16 < p ≤ 16
G2(p) =  − 12 π(6p − 5) 16 < p < 56
 1 π(6p + 5) − 5 < p ≤ − 1
2

 In [41]:661 ▾ Plot[G2[p]/(2Pi), {p,-1.5,1.5}]

Out[41]:

 In [42]:Out[42]:

1 ▾ Integrate[G2[p]/(2Pi), {p,-Infinity,Infinity}] // TeXEq∞ G2(p)∫−∞ 2π dp = 1

localhost:8888/notebooks/Calculus/A03 Borwein integral.ipynb

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 In [43]:Out[44]:

 In [45]:A03 Borwein integral

1 ▾ G3[p_] = Integrate[G2[q]g[1/4,p-q]/(2Pi), {q,-Infinity,Infinity}];2 ▾ G3[p] // TeX[HoldForm[G3[p]], "=", #]&57
 12 (5π − 6πp)12 < p < 12
− 127 < p ≤ − 125 12 (6πp + 5π)
p2 )− 121 < p < 121 2411 (47π − 144π15248 (−144π p − 24πp + 95π ) 12 < p < 12
G3(p) =  481 (−144π p2 + 24πp + 95π ) − 125 < p ≤ − 121
 4811 (−144π2p2 + 168πp + 79π ) p = 1215
 161 (−48π p2 + 56πp + 5π ) p7 = 12 13
p − 312πp + 169π ) 12 ≤ p < 12 481 (144π137248 (144π p + 312πp + 169π ) − 12 < p ≤ − 12
1 ▾ Plot[G3[p]/(2Pi), {p,-1.5,1.5}]

Out[45]:

 In [46]:Out[46]:

 In [47]:Out[47]:1 ▾ Integrate[G3[p]/(2Pi), {p,-Infinity,Infinity}] // TeXEq∞ G3(p)∫−∞ 2π dp = 1
1 ▾ Pi Integrate[G3[p]/(2Pi), {p,-1,1}] // TeXEq

1
1727π
π ∫−1 G3(p)2π dp = 1728
次に

 In [48]:Out[49]: In [50]:Out[50]:Ik(p) = g0 ∗ g1 ∗ ⋯ ∗ gk (p) を計算して, Ik(0) を計算し, Ik(p)/π プロットしてみよう.

1 ▾ I0[p_] = g[1,p];
2 ▾ I0[p] // TeX[HoldForm[I0[p]], "=", #]&I0(p) = πIf[−1 ≤ p ≤ 1,1,0]
1 ▾ I0[0] // TeXEq

I0(0) = πlocalhost:8888/notebooks/Calculus/A03 Borwein integral.ipynb

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2019/7/2

 In [51]:A03 Borwein integral

1 ▾ Plot[I0[p]/Pi, {p,-2,2}]

Out[51]:

 In [52]:Out[53]:1 ▾ I1[p_] = Integrate[I0[q]g[1/2,p-q]/(2Pi), {q,-Infinity,Infinity}];2 ▾ I1[p] // TeX[HoldForm[I1[p]], "=", #]& π− 12 < p ≤ 12
I1(p) =  − 12 π(2p − 3) 12 < p < 32
 1 π(2p + 3) − 3 < p ≤ − 1
2

 In [54]:Out[54]:
 In [55]:22

1 ▾ I1[0] // TeXEq

I1(0) = π
1 ▾ Plot[I1[p]/Pi, {p,-2,2}]

Out[55]:

 In [56]:Out[57]:1 ▾ I2[p_] = Integrate[I1[q]g[1/3,p-q]/(2Pi), {q,-Infinity,Infinity}];2 ▾ I2[p] // TeX[HoldForm[I2[p]], "=", #]& π− 16 < p ≤ 161
p = − 16
 4 π(6p + 5)
5 <p< 7
 121 (3π − 2πp)667 < p ≤ −5
(2πp
+
3π)
−
2
6
6
I2(p) =  481 (−36π p2 − 12πp + 47π ) − 56 < p < − 16 4811 (−36π p22 + 12πp + 47π ) 16 < 5p < 56
 481 (−36π2p + 84πp − 13π ) p7 = 6 11
p − 132πp + 121π ) 6 ≤ p < 6 481 ((36π1172
48 36π p + 132πp + 121π ) − 6 < p ≤ − 6

localhost:8888/notebooks/Calculus/A03 Borwein integral.ipynb

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2019/7/2

 In [58]:Out[58]: In [59]:A03 Borwein integral

1 ▾ I2[0] // TeXEq

I2(0) = π
1 ▾ Plot[I2[p]/Pi, {p,-2,2}]

Out[59]: In [60]:Out[61]:

1 ▾ I3[p_] = Integrate[I2[q]g[1/4,p-q]/(2Pi), {q,-Infinity,Infinity}];2 ▾ I3[p] // TeX[HoldForm[I3[p]], "=", #]&2
 1727π−432πp− 121 < p < 121
1728
1
 192 (−144π p2 − 48πp + 185π )− 127 < p < − 12557 1921 (−144π p2 + 48πp + 185π )12 < p < 12
17 < p < 19 19211 (144π p22 − 528πp + 487π )
12
12
19
17
144π
p
+
528πp
+
487π
−
<
p
≤
−
)
192 ( 31212
 −1728π
p −5616πp2−2628πp+2987π
11− 12 < p < − 127 −1728πp3−4752π3456p2−900πp+3853π− 1712 < p ≤ − 1312
 −1728πp3−2160π3456p2+6012πp+6851πp = − 127 −1728πp3−2160π3456p2+6012πp+8003π
11
p
=
−
3456
12
 −1728πp3−432πp2−36πp+3455π
1 <p< 51212
 −1728πp3−432π3456p2+6876πp+575π
5p = 12
 −1728πp3−432π3456p2+6876πp+2879π
1
p
=
3456
12
I3(p) =  −1728πp3+10800πp2−22500πp+15625π
19 ≤ p < 25 481 (−48π p3 −3456144π p2 − 97πp + 23π ) −121312 < p <12− 1112
 481 (48π p3 − 144π p2 + 97πp + 23π ) 1112 < p < 1312
p2+12996πp−6347π
 1728πp3−8208π3456
p = 1712
p2+12996πp−5195π
 1728πp3−8208π3456
p = 1312
3
2
p +2628πp+2987π
7 < p < 11 1728πp −5616π3456
1212p2+900πp+3853π
13 < p < 17 1728πp3−4752π3456
1212p2−6012πp+6851π
7
 1728πp3−2160π3456p=123−2160πp2−6012πp+8003π1728πp
 3 3456
p = 11122
p −6876πp+575π
p = − 125
 1728πp3−432π3456
p2+36πp+3455π− 125 < p ≤ − 121
 1728πp 3−432π34562
p +22500πp+15625π− 2512 < p ≤ − 1912
 1728πp +10800π3456

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2019/7/2

 In [62]:Out[62]: In [63]:A03 Borwein integral

1 ▾ I3[0] // TeXEq

I3(0) = 1727π
1728
1 ▾ Plot[I3[p]/Pi, {p,-2,2}]

Out[63]:

localhost:8888/notebooks/Calculus/A03 Borwein integral.ipynb

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