08 函数の凸性と不等式への応用
黒木玄2018-06-11～2019-04-03, 2023-06-22
Copyright 2018,2023 Gen Kuroki
License: MIT https://opensource.org/licenses/MIT (https://opensource.org/licenses/MIT)
Repository: https://github.com/genkuroki/Calculus (https://github.com/genkuroki/Calculus)
このファイルは次の場所できれいに閲覧できる:
http://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/Calculus/blob/master/08%20convexity.ipynb(http://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/Calculus/blob/master/08%20convexity.ipynb)
https://genkuroki.github.io/documents/Calculus/08%20convexity.pdf(https://genkuroki.github.io/documents/Calculus/08%20convexity.pdf)
このファイルは Julia Box (https://juliabox.com) で利用できる.
自分のパソコンにJulia言語 (https://julialang.org/)をインストールしたい場合にはWindowsへのJulia言語のインストール (http://nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki/81de23edcae631a995e19a2ecf946a4f)
Julia v1.1.0 の Windows 8.1 へのインストール(https://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/msfd28/blob/master/install.ipynb)
を参照せよ. 前者は古く, 後者の方が新しい.
論理的に完璧な説明をするつもりはない. 細部のいい加減な部分は自分で訂正・修正せよ.

目次
1 凸函数の定義
 2 2階の導函数の符号と函数の凸性
2.1 2階の導函数の符号と接線の関係
2.2 2階の導函数の符号と函数の凸性の関係
 2.3 指数・対数函数への応用
2.3.1 指数函数の上からと下からの評価
2.3.2 対数函数の上からと下からの評価
2.3.3 対数函数の上からと下からの評価のプロット
2.3.4 log(1+x) の -1/2 ≦ x ≦ 0 における下からの評価
2.3.5 指数函数の上からと下からの評価による指数函数の挟み撃ち
 3 Jensenの不等式
 3.1 期待値汎函数
3.1.1 例: 有限和で書ける加重平均
3.1.2 例: 区間上の一様分布による平均
3.1.3 例: 確率密度函数による平均
 3.2 Jensenの不等式とその証明
3.2.1 期待値汎函数に関する一般的なJensenの不等式の証明
3.2.2 有限和で書ける荷重平均に関するJensenの不等式の帰納法による証明
3.3 相加相乗平均の不等式
3.4 Youngの不等式
 3.5 Hölderの不等式
3.5.1
ノルム
3.5.2 一般化されたHölderの不等式
3.5.3 一般化されていないHölderの不等式
3.5.4 Cauchy-Schwarzの不等式
3.5.5 分配函数の対数凸性のHölderの不等式を用いた証明
3.5.6 ガンマ函数の対数凸性
3.5.7 分配函数の対数凸性の微分を用いた証明法
3.6 Minkowskiの不等式

𝐿𝑝In [1]:



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using Base.MathConstants
using Base64
using Printf
using Statistics
const e = ℯ
endof(a) = lastindex(a)linspace(start, stop, length) = range(start, stop, length=length)​
using Plots#gr(); ENV["PLOTS_TEST"] = "true"#clibrary(:colorcet)#clibrary(:misc)
default(fmt=:png)​function pngplot(P...; kwargs...)sleep(0.1)
pngfile = tempname() * ".png"
savefig(plot(P...; kwargs...), pngfile)showimg("image/png", pngfile)end
pngplot(; kwargs...) = pngplot(plot!(; kwargs...))​
showimg(mime, fn) = open(fn) do fbase64 = base64encode(f)display("text/html", """<img src="data:$mime;base64,$base64">""")
end​
using SymPy#sympy.init_printing(order="lex") # default#sympy.init_printing(order="rev-lex")​
using SpecialFunctions
using QuadGKIn [2]:



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# Override the Base.show definition of SymPy.jl:# https://github.com/JuliaPy/SymPy.jl/blob/29c5bfd1d10ac53014fa7fef468bc8deccadc2fc/src/​@eval SymPy function Base.show(io::IO, ::MIME"text/latex", x::SymbolicObject)
print(io, as_markdown("\\displaystyle " * sympy.latex(x, mode="plain", fold_short_fra
end@eval SymPy function Base.show(io::IO, ::MIME"text/latex", x::AbstractArray{Sym})
function toeqnarray(x::Vector{Sym})a = join(["\\displaystyle " * sympy.latex(x[i]) for i in 1:length(x)], "\\\\")"""\\left[ \\begin{array}{r}$a\\end{array} \\right]"""end
function toeqnarray(x::AbstractArray{Sym,2})sz = size(x)a = join([join("\\displaystyle " .* map(sympy.latex, x[i,:]), "&") for i in 1:sz"\\left[ \\begin{array}{" * repeat("r",sz[2]) * "}" * a * "\\end{array}\\right]"
end
print(io, as_markdown(toeqnarray(x)))
end

1 凸函数の定義

𝐼 上の実数値函数 𝑓 が下に凸な函数であるとは, 任意の 𝑎,𝑏 ∈ 𝐼 と実数 𝑡 について,0 ≦ 𝑡 ≦ 1 ⟹ 𝑓((1 − 𝑡)𝑎 + 𝑡𝑏) ≦ (1 − 𝑡)𝑓(𝑎) + 𝑡𝑓(𝑏)を満たしていることである. 逆向きの不等式で上に凸な函数を定義する. すなわち, 区間 𝐼 上の実数値函数 𝑓 が上に凸な函数であるとは, 任意の 𝑎,𝑏 ∈ 𝐼 と実数 𝑡 について,0 ≦ 𝑡 ≦ 1 ⟹ 𝑓((1 − 𝑡)𝑎 + 𝑡𝑏) ≧ (1 − 𝑡)𝑓(𝑎) + 𝑡𝑓(𝑏)定義: 区間を満たしていることである.

In [3]:



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# log x は上に凸な函数​
x = 0:0.01:2.0
a, b = 0.3, 1.5
f(x) = log(x)t = 0:0.01:1.0
g(a,b,t) = (1-t)*f(a) + t*f(b)X(a,b,t) = (1-t)*a + t*b
plot(size=(400,250), legend=:topleft, xlims=(0,2.0), ylims=(-2.0, 0.8))
plot!(x, f.(x), label="y = log x")
plot!(X.(a,b,t), g.(a,b,t), label="")plot!([a,a], [-10.0, f(a)], label="x = a", ls=:dash)plot!([b,b], [-10.0, f(b)], label="x = b", ls=:dash)

1
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10
11
12
13

# e^x は下に凸な函数​
x = -1:0.01:2
a, b = -0.3, 1.5
f(x) = e^xt = 0:0.01:1.0
g(a,b,t) = (1-t)*f(a) + t*f(b)X(a,b,t) = (1-t)*a + t*b
plot(size=(400,250), legend=:topleft, xlims=(-1,2), ylims=(0,8))
plot!(x, f.(x), label="y = e^x")
plot!(X.(a,b,t), g.(a,b,t), label="")plot!([a,a], [-0.0, f(a)], label="x = a", ls=:dash)plot!([b,b], [-0.0, f(b)], label="x = b", ls=:dash)Out[3]:

In [4]:

Out[4]:

2 2階の導函数の符号と函数の凸性
2.1 2階の導函数の符号と接線の関係

𝐼 上の実数値函数 𝑓 が 𝐶 2 級でかつ 𝐼 上で 𝑓 ″ ≧ 0 ならば, 𝑎 ∈ 𝐼 における
𝑦 = 𝑓(𝑥) のグラフは接線′
𝑦 = 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) の上側にある.
同様に区間 𝐼 上の実数値函数 𝑓 が 𝐶 2 級でかつ 𝐼 上で 𝑓 ″ ≦ 0 ならば 𝑎 ∈ 𝐼 における 𝑦 = 𝑓(𝑥) のグラフは接線 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) の下側にある.
証明: 前半のみを証明する. 区間 𝐼 上の実数値函数 𝑓 が 𝐶 2 級でかつ 𝐼 上で 𝑓 ″ ≧ 0 であると仮定し, 𝑎 ∈ 𝐼 とする. 𝑓 は 𝐶 2
定理: 区間級なのでTaylorの公式より,

𝑥 ∈ 𝐼 について,
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑅,

𝑅 = 𝑓 ″ (𝜉) (𝑥 −2 𝑎) .
2𝜉 は 𝑎 と 𝑥 のあいだのある実数である.
𝑓 ″ ≧ 0 より, 𝑅 ≧ 0 となる. ゆえに, 𝑓(𝑥) ≧ 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) となる. こ′
𝑦 = 𝑓(𝑥) のグラフは接線 𝑦 = 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) の上側にあることがわかった. □注意: 上の定理の 𝐶 2 級の仮定は2回微分可能性の仮定に弱めることができる. □ここでれで,

注意: 上の定理の証明中の剰余項は

𝑥𝑥1

𝑅 = ∫𝑎 𝑑𝑥1 ∫𝑎 𝑑𝑥2 𝑓 ″ (𝑥2 )とも書ける. 𝑓 ″ ≧ 0 のとき, 𝑥 > 𝑎 ならば 𝑥1 , 𝑥2 は 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥 の範囲を動くので積分の結果は 0 以上になり, 𝑥 < 𝑎ならば 𝑥1 , 𝑥2 は 𝑥 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑎 の範囲を動き, 𝑥2 のみに関する積分の結果は 0 以下になり, さらに 𝑥1 についても積分する
𝑎𝑏∫∫2.2 2階の導函数の符号と函数の凸性の関係

𝐼

2 級でかつ 𝐼 上で 𝑓 ″ ≧ 0 ならば 𝑓 は下に凸である. 同様に区間 𝐼 上の実数値函数 𝑓 が𝑓𝐶
𝐼 𝑓 ″ ≦ 0 𝑓 は上に凸である.
𝐶2
証明: 前半のみを証明する. 区間 𝐼 上の実数値函数 𝑓 が 𝐶 2 級でかつ 𝐼 上で 𝑓 ″ ≧ 0 であると仮定する. 𝑎,𝑏 ∈ 𝐼 と仮定し,
𝑐 = (1 − 𝑡)𝑎 + 𝑡𝑏 とおく. 0 ≦ 𝑡 ≦ 1 であると仮定する. (1 − 𝑡)𝑓(𝑎) + 𝑡𝑓(𝑏) ≧ 𝑓(𝑐) を示せばよい. 𝑓 は 𝐶 2 級なので Taylor
定理: 区間 上の実数値函数 が級でかつ 上でならばの公式より,

𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑐) + 𝑓 ′′ (𝑐)(𝑎 − 𝑐) + 𝑅(𝑎),𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑐) + 𝑓 (𝑐)(𝑏 − 𝑐) + 𝑅(𝑏),2
𝑅(𝑥) = 𝑓 ″ (𝜉𝑥 ) (𝑥 −2 𝑐) .
ここで, 𝜉𝑥 は 𝑐 と 𝑥 のあいだのある実数である. 𝑓 ″ ≧ 0 という仮定より, 𝑅(𝑥) ≧ 0 となることがわかる. ゆえに𝑓(𝑎) ≧ 𝑓(𝑐) + 𝑓 ′′ (𝑐)(𝑎 − 𝑐),𝑓(𝑏) ≧ 𝑓(𝑐) + 𝑓 (𝑐)(𝑏 − 𝑐).
1つ目の不等式の両辺に (1 − 𝑡) をかけ, 2つめの不等式の両辺に 𝑡 をかけると(1 − 𝑡)𝑓(𝑎) ≧ (1 − 𝑡)𝑓(𝑐)′ + 𝑓 ′ (𝑐)((1 − 𝑡)𝑎 − (1 − 𝑡)𝑐),𝑡 𝑓(𝑏) ≧ 𝑡𝑓(𝑐) + 𝑓 (𝑐)(𝑡𝑏 − 𝑡𝑐).
これらをたすと, 𝑐 = (1 − 𝑡)𝑎 + 𝑡𝑏 とおいたことより,(1 − 𝑡)𝑓(𝑎) + 𝑡𝑓(𝑏) ≧ 𝑓(𝑐) + 𝑓 ′ (𝑐)((1 − 𝑡)𝑎 + 𝑡𝑏 − 𝑐) = 𝑓(𝑐).
これで 𝑓 が下に凸であることが示された. □注意: 上の証明の本質はTaylorの公式の剰余項が0以上になることである. 𝑓 が 𝐶 2 級であるという仮定を2回微分可能性の仮定に弱めても, 𝑐 と 𝑥 のあいだのある実数 𝜉𝑥 が存在して,𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) + 𝑓 ′ (𝑐)(𝑥 − 𝑐) + 𝑅, 𝑅 = 12 𝑓 ″ (𝜉𝑥 )(𝑥 − 𝑐)となるという形でTaylorの定理が成立している. このことを使えば上の定理における 𝐶 2 級の仮定を2回微分可能性の仮定に弱めることができる. □問題: 上と同様にして 𝑓 ″ ≦ 0 ならば 𝑓 が上に凸であることの証明を書き下せ. □例: 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 とおくと 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎𝑒𝑎𝑥 , 𝑓 ″ (𝑥) = 𝑎2 𝑒𝑎𝑥 ≧ 0 を満たしているので, 𝑓 は下に凸な函数である. □例: 𝑥 > 0 に対して 𝑓(𝑥) = log𝑥 とおくと 𝑓 ′ (𝑥) = 1/𝑥, 𝑓 ″ (𝑥) = −1/𝑥2 < 0 なので, 𝑓 は上に凸な函数である. □例題: 𝑎 は実数であるとし, 𝑥 > 0 に対して 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎 とおく. 𝑓(𝑥) は凸性について調べよ.
解答例: 𝑥 > 0 であるとする. 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎𝑥𝑎−1 , 𝑓 ″ (𝑥) = 𝑎(𝑎 − 1)𝑥𝑎−2 であり, 𝑥𝑎−2 > 0 である. ゆえに, 𝑎(𝑎 − 1) ≧ 0 のとき,
すなわち 𝑎 ≦ 0 または 1 ≦ 𝑎 のとき, 𝑓 は下に凸になり, 𝑎(𝑎 − 1) ≦ 0 のとき, すなわち 0 ≦ 𝑎 ≦ 1 のとき, 𝑓 は上に凸になる. □2.3 指数・対数函数への応用
2.3.1 指数函数の上からと下からの評価

𝑥 ∈ ℝ について 1 + 𝑥 ≦ 𝑒𝑥 となることを示せ.
解答例: 𝑦 = 𝑒𝑥 の 𝑥 = 0 での接線は 𝑦 = 1 + 𝑥 であり, 𝑓 ″ (𝑥) = 𝑒𝑥 ≧ 0 であるから, 上の定理より, 1 + 𝑥 ≦ 𝑒𝑥 . □問題: すべての1 − 𝑥 ≦ 𝑒−𝑥 なので, 𝑥 < 1 のとき 𝑒𝑥 ≦ (1 − 𝑥)−1 となる. これで
1 + 𝑥 ≦ 𝑒𝑥 ≦ (1 − 𝑥)−1 (𝑥 < 1)𝑡となることがわかった. 𝑎 > 0, −𝑎 ≦ 𝑡 < 𝑎 のとき, この不等式の 𝑥 =𝑎 を代入して全体を 𝑎 乗すると次が得られる:
𝑡 𝑎
𝑡 −𝑎 (−𝑎 ≦ 𝑡 < 𝑎). □(1 + ) ≦ 𝑒𝑡 ≦ (1 − )注意: この問題の結果より,

2.3.2 対数函数の上からと下からの評価

𝑥 > −1 のとき, log(1 + 𝑥) ≦ 𝑥 となることもわかる. □𝑥
問題: 𝑥 > −1 のとき
1 + 𝑥 ≦ log(1 + 𝑥) となることを示せ.
𝑥 とおく. 𝑓(0) = 0 である. 𝑥 = 1 − 1 と使って, 𝑓 を微分すると,
解答例: 𝑓(𝑥) = log(1 + 𝑥) −
1+𝑥
1+𝑥
1+𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 1 +1 𝑥 − (1 +1 𝑥)2 = (1 +𝑥 𝑥)2なので, 𝑥 < 0 において 𝑓 ′ < 0 で 𝑓 は単調減少し, 𝑥 > 0 において 𝑓 ′ > 0 で 𝑓 は単調増加する. さらに 𝑓(0) = 0 なので,𝑓(𝑥) ≧ 0 すなわち, 1 +𝑥 𝑥 ≦ log(1 + 𝑥) である. □
1−𝑥
″
″
″
注意: 𝑓 (𝑥) =(𝑥 + 1)3 なので, −1 < 𝑥 ≦ 1 で 𝑓 (𝑥) ≧ 0 となるが, 𝑥 > 1 で 𝑓 (𝑥) < 0 となってしまうので, 上の問題と同様の方法でこの問題を解くことはできない. □以上のまとめ: 𝑥 > −1 のとき𝑥
1 + 𝑥 ≦ log(1 + 𝑥) ≦ 𝑥. □注意: 上の問題の結果より,

2.3.3 対数函数の上からと下からの評価のプロット
In [5]:



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f(x) = x/(1+x)g(x) = log(1+x)h(x) = xx = -0.99:0.01:3
plot(size=(400, 250), legend=:bottomright, xlim=(-1,3), ylims=(-6,2))
plot!(x, h.(x), label="x", ls=:dash)plot!(x, g.(x), label="log(1+x)")
plot!(x, f.(x), label="x/(1+x)", ls=:dash)Out[5]:

2.3.4 log(1+x) の -1/2 ≦ x ≦ 0 における下からの評価− 12 ≦ 𝑥 ≦ 0 ならば log(1 + 𝑥) ≧ 2𝑥 となることを示せ.
1
1
解答例: 𝑓(𝑥) = log(1 + 𝑥) − 2𝑥 とおく. 𝑓(0) = 0 である. ゆえに − ≦ 𝑥 ≦ 0 で単調減少するならば, − ≦ 𝑥 ≦ 0 で
2
2
𝑓(𝑥) ≦ 0 となり, 示したいことが示される. そのことを確認するために 𝑓(𝑥) を微分すると,+ 1)
𝑓 ′ (𝑥) = 1 +1 𝑥 − 2 = −(2𝑥1+𝑥問題:

𝑥 ≧ − 12 ならば 𝑓 ′ (𝑥) ≦ 0 となるので, そこで 𝑓(𝑥) は単調減少する. □注意: 𝑓(𝑥) = log(1 + 𝑥) − 2𝑥 は上に凸な函数なので, 𝑓(𝑎) = 0 となる 𝑎 < 0 を取れば 𝑓(𝑥) ≧ 0 と 𝑎 ≦ 𝑥 ≦ 0 は同値にななので

In [6]:

1
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

f(x) = log(1+x) - 2x
@show f(-0.79681213)@show f(-0.79681214)​
a = -0.79681213
x = -0.999:0.001:0.1
plot(size=(400,250), legend=:bottomright, ylims=(-1,0.5))
plot!(x, f.(x), label="log(1+x) - 2x")
plot!(x, zero(x), label="", color="black", ls=:dot)
plot!([a,a], [-1,0], label="x=$a", color=:red, ls=:dash)f(-0.79681213) = 5.848987960632712e-11
f(-0.79681214) = -2.9157047887196086e-8
Out[6]:

2.3.5 指数函数の上からと下からの評価による指数函数の挟み撃ち
問題:

𝑎 > 0 であるとし, −𝑎 < 𝑡 < 𝑎 であるとする. (1 + 𝑎𝑡 )𝑎 は 𝑎 について単調増加し, (1 − 𝑎𝑡 )−𝑎 は 𝑎 について単調減少することを示せ.

解答例: それぞれの対数を取ってから

𝑎 で微分する, 上の方の問題で示した log(1 + 𝑥) に関する不等式
𝑥 ≦ log(1 + 𝑥) (𝑥 > −1)
1+𝑥

より,

∂ log 1 + 𝑡 𝑎 = log 1 + 𝑡 − 𝑡/𝑎 ≧ 0,∂𝑎∂ ( 𝑎 )−𝑎 ( 𝑎 ) 𝑡 1 + 𝑡/𝑎−𝑡/𝑎𝑡∂𝑎 log (1 − 𝑎 ) = −log(1 − 𝑎 ) + 1 − 𝑡/𝑎 ≦ 0.
𝑡 𝑎𝑡 −𝑎
ゆえに, (1 + ) は 𝑎 について単調増加し, (1 − ) は 𝑎 について単調減少する. □𝑎𝑎
問題: 以上の結果をまとめて用いて,

𝑡 𝑎 = lim 1 − 𝑡 −𝑎 = 𝑒𝑡1+lim𝑎→∞ ( 𝑎 ) 𝑎→∞ ( 𝑎 )を証明せよ.
解答例: 上の方の注意では

𝑡 𝑎 ≦ 𝑒𝑡 ≦ 1 − 𝑡 −𝑎
1
+
( 𝑎)
( 𝑎)

(∗)
(−𝑎 < 𝑡 < 𝑎)𝑡 𝑎𝑡 −𝑎という不等式が成立していることを指摘している. さらにすぐ上の問題によって, (1 + ) , (1 − ) はそれぞれ 𝑎 につい𝑎2𝑎 1𝑡て単調増加, 単調減少するので, どちらも 𝑎 → ∞ で収束する. 𝑎 を十分に大きくして
𝑎2 ≦ 2 となるようにすると, 上の方の問題で示した不等式

log(1 + 𝑥) ≧ 2𝑥

1(− 2 ≦ 𝑥 ≦ 0 )を使うことができて,𝑡/𝑎)𝑎 = 𝑎log 1 − 𝑡2 ≧ 𝑎 ⋅ 2 − 𝑡2 = − 2𝑡2 → 0 (𝑞 → ∞).
0 ≧ log (1(1−+𝑡/𝑎)−𝑎( 𝑎2 )( 𝑎2 ) 𝑎(1 + 𝑡/𝑎)𝑎 → 0 すなわち (1 + 𝑡/𝑎)𝑎 → 1 となる. これで 1 + 𝑡 𝑎 , 1 − 𝑡 −𝑎 が同じとなるので, 𝑎 → ∞ のとき log( 𝑎) ( 𝑎)(1 − 𝑡/𝑎)−𝑎(1 − 𝑡/𝑎)−𝑎値に収束することがわかった. したがって不等式(∗ )より, 欲しい結果が得られる. □注意: 不等式(∗ )は極限で指数函数が現われる結果の極限操作を初等的に実行したいときに便利な不等式である. □In [7]:



1
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f(t) = e^tg(a,t) = (1+t/a)^ah(a,t) = (1-t/a)^(-a)
t = -3:0.01:3​
PP = []
for a in [5, 10, 20, 40]
P = plot(title="a=$a", titlefontsize=10, legendfontsize=7)
plot!(legend=:topleft, yscale=:log, ylims=(10^(-1.3), 10^1.3))
plot!(t, f.(t), label="e^t")plot!(t, h.(a,t), label="(1-t/a)^(-a)", ls=:dash)plot!(t, g.(a,t), label="(1+t/a)^a", ls=:dash)push!(PP, P)
endplot(PP[1:2]..., size=(750,250), layout=@layout([a b]))Out[7]:

In [8]:



1 plot(PP[3:4]..., size=(750,250), layout=@layout([a b]))Out[8]:

3 Jensenの不等式
3.1 期待値汎函数
函数を数に対応させる函数を汎函数 (functional)と呼ぶことがある.

𝑥 を 𝑥 に対応させる函数を 𝑥 と書く.
すべての 𝑥 を一定の値 𝛼 に対応させる函数も同じ記号の 𝛼 で書き, 定数函数と呼ぶ. 𝑓(𝑥) = 𝛼 とおいて記号 𝑓 を利用すると煩雑になるので, 単に 𝛼 と書いて代用するということである. 数としての 𝛼 と定数函数としての 𝛼 を同じ記号で書くので混乱しな函数の例:

いように注意して欲しい.
例えば, すべての𝑥 を 1 に対応させる函数も単に 1 と書く. □

𝑓

𝐸[𝑓]

定義: 函数 を数に対応させる函数
functional)であると言うことにする:

𝐸[ ] (汎函数)が以下の条件を満たしているとき, 𝐸[ ] は期待値汎函数 (expextation

𝑓,𝑔 と数 𝛼,𝛽 に対して, 𝐸[𝛼𝑓 + 𝛽𝑔] = 𝛼𝐸[𝑓] + 𝛽𝐸[𝑔].
(2) 単調性: 函数 𝑓,𝑔 のあいだで常に 𝑓 ≦ 𝑔 が成立しているならば 𝐸[𝑓] ≦ 𝐸[𝑔] .
(1) 線形性: 函数

3.1.1 例: 有限和で書ける加重平均

𝐼 上の函数を数 𝐸[𝑓] に対応させる函数 𝐸[ ] を以下のように定めると, 𝐸[ ] は期待値汎函数になる. まず
𝑎1 ,…, 𝑎𝑛 ∈ 𝐼 を任意に取る. 𝑤1 ,…, 𝑤𝑛 は0以上の実数でかつ 𝑤1 + ⋯ + 𝑤𝑛 = 1 を満たしていると仮定する. そして区間 𝐼上の函数 𝑓 に対して
𝑛𝐸[𝑓] = ∑ 𝑤𝑖 𝑓(𝑎𝑖 ) = 𝑤1 𝑓(𝑎1 ) + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑓(𝑎𝑛 )
例: 区間

𝑖=1

と定める. このようにして定められた(1) 区間𝐸[ ] が実際に期待値汎函数の性質を満たしていることは以下のようにして確認できる.

𝐼 上の函数 𝑓,𝑔 と数 𝛼,𝛽 について𝑛𝑛𝐸[𝛼𝑓 + 𝛽𝑔] = ∑ 𝑤𝑖 (𝛼𝑓(𝑎𝑖 ) + 𝛽𝑔(𝑎𝑖 )) = ∑(𝛼𝑤𝑖 𝑓(𝑎𝑖 ) + 𝛽𝑤𝑖 𝑔(𝑎𝑖 ))
𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑖=1

= 𝛼 ∑ 𝑤𝑖 𝑓(𝑎𝑖 ) + 𝛽 ∑ 𝑤𝑖 𝑔(𝑎𝑖 ) = 𝛼𝐸[𝑓] + 𝛽𝐸[𝑔].
𝑖=1𝑖=1(2) 区間 𝐼 上で 𝑓 ≦ 𝑔 が成立していると仮定すると, 𝑤𝑖 ≧ 0 より 𝑤𝑖 𝑓(𝑎𝑖 ) ≦ 𝑤𝑖 𝑔(𝑎𝑖 ) も成立するので
𝑛𝑛𝐸[𝑓] = ∑ 𝑤𝑖 𝑓(𝑎𝑖 ) ≦ ∑ 𝑤𝑖 𝑔(𝑎𝑖 ) = 𝐸[𝑔].
𝑖=1𝑖=1(3) 定数函数 𝑓(𝑥) = 𝛼 について 𝑓(𝑎𝑖 ) = 𝛼 が成立しているので, 𝑤1 + ⋯ + 𝑤𝑛 = 1 という仮定より,𝑛𝑛𝐸[𝛼] = 𝐸[𝑓] = ∑ 𝑤𝑖 𝑓(𝑎𝑖 ) = ∑ 𝑤𝑖 𝛼 = 𝛼.
𝑖=1𝑖=1
これで示すべきことがすべて示された.
特にと𝑤𝑖 = 1/𝑛 であるとき, 𝐸[𝑓] は𝑓(𝑎𝑖 ) たちの加法平均になる. □𝐸[𝑓] = 𝑓(𝑎1 ) + ⋯𝑛 + 𝑓(𝑎𝑛 )抽象的な期待値汎函数の概念が難しいと感じる人は, 一般的な期待値汎函数の定義を忘れてこの例の別な場合である加法平均の場合のみを考えれば十分である.

𝐸[𝑓] またはさらにその特3.1.2 例: 区間上の一様分布による平均

𝑎 < 𝑏 であるとする. 閉区間 𝐼 = [𝑎,𝑏] 上の連続函数 𝑓 を𝑏
𝐸[𝑓] = 𝑏 −1 𝑎 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥に対応させる函数 𝐸[ ] は期待値汎函数であることを示せ. □問題:

3.1.3 例: 確率密度函数による平均ℝ 上の函数 𝑝(𝑥) は 𝑝(𝑥) ≧ 0 (𝑥 ∈ ℝ) と ∫−∞∞ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 1 を満たしていると仮定する. (このような 𝑝(𝑥) は確率密度函数と呼ばれる.) このとき, ℝ 上の(適当によい条件を仮定した)函数 𝑓 を∞
𝐸[𝑓] = ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑝(𝑥)𝑑𝑥に対応させる函数 𝐸[ ] が期待値汎函数であることを示せ. (𝐸[𝑓] は確率密度函数 𝑝(𝑥) が定める確率分布に関する確率変数 𝑓
問題:の期待値と呼ばれる.)

注意: 上の問題はこの問題で

1𝑝(𝑥) = { 𝑏 − 𝑎 (𝑎 ≦ 𝑥 ≦ 𝑏)0
(それ以外)□∞
解答例: 以下では ∫−∞ を ∫ と略記する.
(1) 数 𝛼, 𝛽 と函数 𝑓 , 𝑔 について𝐸[𝛼𝑓 + 𝛽𝑔] = ∫ (𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥))𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥)𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑔(𝑥)𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼𝐸[𝑓] + 𝛽𝐸[𝑔].
(2) ℝ 上で 𝑓 ≦ 𝑔 が成立していると仮定すると, 𝑝(𝑥) ≧ 0 より 𝑓(𝑥)𝑝(𝑥) ≦ 𝑔(𝑥)𝑝(𝑥) も成立するので𝐸[𝑓] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ≦ ∫ 𝑔(𝑥)𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸[𝑔].
(3) 定数函数 𝑓(𝑥) = 𝛼 について, ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 1 という仮定より,
𝐸[𝛼] = ∫ 𝛼𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼.
これで示すべきことがすべて示された. □とした場合になっている.

3.2 Jensenの不等式とその証明
Jensenの不等式:
する. このとき

𝐸[ ] は区間 𝐼 上の函数の期待値汎函数であるとし, 𝑓 は区間 𝐼 上の上に凸(もしくは下に凸)な函数であると𝐸[𝑓(𝑥)] ≦ 𝑓(𝐸[𝑥])例えば(もしくは 𝐸[𝑓(𝑥)] ≧ 𝑓(𝐸[𝑥])).

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝐸[𝑓(𝑥)] = ∑ 𝑤𝑖 𝑓(𝑎𝑖 ), 𝑤𝑖 ≧ 0, ∑ 𝑤𝑖 = 1
のとき,

𝑛=2

𝑓

𝑤1 𝑓(𝑎1 ) + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑓(𝑎𝑛 ) ≦ 𝑓(𝑤1 𝑎1 + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑎𝑛 )(もしくは 𝑤1 𝑓(𝑎1 ) + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑓(𝑎𝑛 ) ≧ 𝑓(𝑤1 𝑎1 + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑎𝑛 )).

特にこれのの場合には が上に凸(もしくは下に凸)であることの定義とこれらは同値であることに注意せよ. すなわち,
函数 がJensenの不等式を満たすことと上(もしくは下)に凸なことは同値になる. この意味でJensenの不等式は函数の凸性を言い換えた結果になっている.

𝑓

3.2.1 期待値汎函数に関する一般的なJensenの不等式の証明

𝑓 𝐶 1 級であると仮定する. (𝐶 1 級でない場合にも同様の方法で証明できるが, 「接線」

Jensenの不等式の証明: 簡単のため はの存在を別に証明する必要が生じる.)

𝑓 は上に凸であると仮定する.
𝜇 = 𝐸[𝑥] とおく. 𝐸[𝑓(𝑥)] ≦ 𝑓(𝜇) を示せばよい. 𝑥 = 𝜇 における 𝑦 = 𝑓(𝑥) の接線を 𝑦 = 𝛼(𝑥 − 𝜇) + 𝑓(𝜇) と書く. 𝑓 は上に凸であると仮定したので

𝑓(𝑥) ≦ 𝛼(𝑥 − 𝜇) + 𝑓(𝜇)𝐸[ ] の性質より
𝐸[𝑓(𝑥)] ≦ 𝐸[𝛼(𝑥 − 𝜇) + 𝑓(𝜇)] = 𝛼(𝐸[𝑥] − 𝐸[𝜇]) + 𝐸[𝑓(𝜇)] = 𝑓(𝜇).

が成立している(図を描いてみよ). ゆえに最初の不等号は期待値汎函数の単調性より, 1つ目の等号は線形性より, 2つ目の等号は規格化条件より. これで示すべきことがすべて示された.

□In [9]:



1
2
3
4
5
6
7
8

x = 0:0.01:2.0
μ = 0.7
f(x) = log(x)g(μ,x) = (1/μ)*(x-μ) + f(μ)
plot(size=(500,350), legend=:topleft, xlims=(0,1.7), ylims=(-2.2, 0.8))
plot!(x, f.(x), label="y = log x")
plot!(x, g.(μ,x), label="y = a(x-mu)+f(mu)")plot!([μ, μ], [-3.0, f(μ)], label="x=mu", ls=:dash)Out[9]:

3.2.2 有限和で書ける荷重平均に関するJensenの不等式の帰納法による証明
問題: 上に凸な函数

𝑓(𝑥) と𝐸[𝑔(𝑥)] = 𝑤1 𝑔(𝑎1 ) + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑔(𝑎𝑛 ), 𝑤𝑖 ≧ 0, 𝑤1 + ⋯ + 𝑤𝑛 = 1

に関するJensenの不等式

𝑤1 𝑓(𝑎1 ) + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑓(𝑎𝑛 ) ≦ 𝑓(𝑤1 𝑎1 + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑎𝑛 )𝑛 に関する数学的帰納法を用いて直接証明せよ.
解答例: 𝑛 = 1 のとき, (∗ ) は 𝑓(𝑎1 ) ≦ 𝑓(𝑎1 ) を意味するので, 自明に正しい.
𝑛 = 𝑁 ≧ 1 に関する (∗) が常に成立していると仮定し(帰納法の仮定),
𝑤𝑖 ≧ 0, 𝑤1 + ⋯ + 𝑤𝑁 + 𝑤𝑁+1 = 1と仮定する. もしも 𝑤𝑁+1 = 1 ならば 𝑛 = 𝑁 + 1 の場合の (∗ ) は自明に成立している. 以下では 𝑤𝑁+1 < 1 と仮定し,𝑡𝑖 = 1 − 𝑤𝑤𝑖𝑁+1
とおく. このとき, 𝑤𝑖 ≧ 0, 𝑤1 + ⋯ + 𝑤𝑁 = 1 − 𝑤𝑁+1 より,+ 𝑤𝑁 = 1.
𝑡𝑖 ≧ 0, 𝑡1 + ⋯ + 𝑡𝑁 = 𝑤11+−⋯𝑤𝑁+1
したがって, 𝑛 = 𝑁 の場合の(∗ )より,
𝑡1 𝑓(𝑎1 ) + ⋯ + 𝑡𝑁 𝑓(𝑎𝑁 ) ≦ 𝑓(𝑡1 𝑎1 + ⋯ + 𝑡𝑁 𝑎𝑁 ).
𝑓 は上に凸と仮定してあったので, 𝑤𝑖 = (1 − 𝑤𝑁+1 )𝑡𝑖 を使うと,
𝑤1 𝑓(𝑎1 ) + ⋯ + 𝑤𝑁 𝑓(𝑎𝑁 ) + 𝑤𝑁+1 𝑓(𝑎𝑁+1 ) = (1 − 𝑤𝑁+1 )(𝑡1 𝑓(𝑎1 ) + ⋯ + 𝑡𝑁 𝑓(𝑎𝑁 )) + 𝑤𝑁+1 𝑓(𝑎𝑁+1 )≦ (1 − 𝑤𝑁+1 )𝑓(𝑡1 𝑎1 + ⋯ + 𝑡𝑁 𝑎𝑁 ) + 𝑤𝑁+1 𝑓(𝑎𝑁+1 )≦ 𝑓((1 − 𝑤𝑁+1 )(𝑡1 𝑎1 + ⋯ + 𝑡𝑁 𝑎𝑁 ) + 𝑤𝑁+1 𝑎𝑁+1 )= 𝑓(𝑤1 𝑎1 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝑎𝑁 + 𝑤𝑁+1 𝑎𝑁+1 ).
ここで, 2行目で 𝑛 = 𝑁 の場合の(∗ )を使い, 3行目で 𝑓 が上に凸であることを使った.
ゆえに数学的帰納法によってすべての 𝑛 について (∗ ) が成立する. □を(∗)

3.3 相加相乗平均の不等式
例:𝑎𝑖 > 0 であるとし,

𝐸[𝑓(𝑥)] = 𝑓(𝑎1 ) + ⋯𝑛 + 𝑓(𝑎𝑛 )とおく. 𝑥 > 0 に対して 𝑓(𝑥) = log𝑥 とおく. このとき, 𝑓(𝑥) = log𝑥 は下に凸なので, Jensenの不等式より
𝐸[𝑓(𝑥)] ≦ 𝑓(𝐸[𝑥]). そして,𝐸[𝑓(𝑥)] = log 𝑎1 + ⋯𝑛 + log 𝑎𝑛 = log(𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 )1/𝑛, 𝑓(𝐸[𝑥]) = log 𝑎1 + ⋯𝑛 + 𝑎𝑛
なので, log の単調増加性より,(𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 )1/𝑛 ≦ 𝑎1 + ⋯𝑛 + 𝑎𝑛 .
これでJensenの不等式が相加相乗平均の不等式を含んでいることがわかった. □例題: 下に凸な函数 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 に関するJensenの不等式を用いて相加相乗平均の不等式を証明し直せ.
𝑓(𝐴1 ) + ⋯ + 𝑓(𝐴𝑛 ) とおくと, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 のとき
解答例: 𝑎𝑖 > 0 であるとし, 𝐴𝑖 = log 𝑎𝑖 , 𝐸[𝑓(𝑥)] =𝑛𝐴𝐴𝐸[𝑓(𝑥)] = 𝐸[𝑒𝑥 ] = 𝑒 1 + ⋯𝑛 + 𝑒 𝑛 = 𝑎1 + ⋯𝑛 + 𝑎𝑛 ,𝑓(𝐸[𝑥]) = 𝑒(𝐴1+⋯+𝐴𝑛)/𝑛 = (𝑒𝐴1 ⋯ 𝑒𝐴𝑛)1/𝑛 = (𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 )1/𝑛.
下に凸な函数 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 に関するJensenの不等式 𝐸[𝑓(𝑥)] ≧ 𝑓(𝐸[𝑥]) より,
𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ≧ (𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 )1/𝑛.
𝑛
これで示すべきことが示された. □3.4 Youngの不等式

𝑝𝑖 > 0, 𝑝11 + ⋯ + 𝑝1𝑛 = 1, 𝑎𝑖 > 0 のとき
𝑝1
𝑝
𝑎
⋯
≦
𝑎1 𝑎𝑛 𝑝11 + ⋯ + 𝑎𝑝𝑛𝑛𝑛
𝑛 = 2 の場合をYoungの不等式と呼ぶ. すなわち 𝑝 > 0, 𝑞 > 0, 1𝑝 + 1𝑞 = 1, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 のときの𝑞𝑝𝑎𝑏 ≦ 𝑎𝑝 + 𝑏𝑞
Youngの不等式の一般化:という不等式をYoungの不等式と呼ぶ.
証明: 上に凸な函数

ゆえに

問題:

𝑓(𝑥) = log𝑥 に関するJensenの不等式より
𝑝1𝑝𝑝1 + ⋯ + log𝑎𝑛𝑛 ≦ log 𝑎11 + ⋯ + 𝑎𝑝𝑛𝑛
log(𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ) = log𝑎
( 𝑝1
𝑝1
𝑝𝑛
𝑝𝑛 )
𝑝1
𝑝
𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ≦ 𝑎𝑝11 + ⋯ + 𝑎𝑝𝑛𝑛𝑛

𝑎,𝑏 > 0, 𝑝,𝑞 > 0, 1𝑝 + 1𝑞 = 1 のとき

𝑝𝑝
𝑎𝑏 ≦ 𝑎𝑝 + 𝑏𝑞となること(つまりYoungの不等式)を直接的に証明してみよ.

□𝑓(𝑥) = log𝑥 が上に凸であることより, 𝐴,𝐵 > 0 について
1 log𝐴 + 1 log𝐵 ≦ log 𝐴 + 𝐵 .
(𝑝 𝑞)
𝑞
𝑝
ゆえに 𝐴 = 𝑎𝑝 , 𝐵 = 𝑏𝑞 とおくと,
𝑞𝑝log(𝑎𝑏) = 1𝑝 log 𝑎𝑝 + 1𝑞 log 𝑏𝑞 ≦ log( 𝑎𝑝 + 𝑏𝑞 ).
解答例1:

したがって,𝑝𝑝
𝑎𝑏 ≦ 𝑎𝑝 + 𝑏𝑞 .

□𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 が下に凸であることより, 実数 𝐴,𝐵 について
1 𝑒𝐴 + 1 𝑒𝐵 ≧ 𝑒𝐴/𝑝+𝐵/𝑞 = 𝑒𝐴/𝑝 𝑒𝐵/𝑞 .
𝑝 𝑞
ゆえに 𝐴 = log𝑎𝑝 , 𝐵 = log𝑏𝑞 とおくと,
𝑎𝑝 + 𝑏𝑞 ≧ 𝑎𝑏. □
𝑝 𝑞
解答例2:

𝑓(𝑥) は 𝑥 ≧ 0 の狭義単調増加連続函数で 𝑓(0) = 0 を満たすものであるとし,
𝑋 = {(𝑥,𝑦) ∣ 0 ≦ 𝑥 ≦ 𝑎, 0 ≦ 𝑦 ≦ 𝑓(𝑥)}, 𝑌 = {(𝑥,𝑦) ∣ 0 ≦ 𝑥 ≦ 𝑓 −1 (𝑦), 0 ≦ 𝑦 ≦ 𝑏}
とおくと, [0,𝑎] × [0,𝑏] ⊂ 𝑋 ∪ 𝑌 となるので(図を描いてみよ), 面積を比較することによって
𝑎𝑏𝑎𝑏 ≦ ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫0 𝑓 −1 (𝑦)𝑑𝑦.
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑝−1 とおくと,
1 + 1 = 1 ⟺ (𝑝 − 1)(𝑞 − 1) = 1
𝑝 𝑞
より, 𝑓 −1 (𝑦) = 𝑦1/(𝑝−1) = 𝑦𝑞−1 となることがわかる. これに上の不等式を適用すると
𝑝𝑝
𝑎𝑏 ≦ 𝑎𝑝 + 𝑏𝑞が得られる. □注意: 𝑎𝑝−1 = 𝑏 ならば (⋆ ) で等号が成立する.
1 + 1 = 1 ⟺ (𝑝 − 1)(𝑞 − 1) = 1 ⟺ (𝑝 − 1)𝑞 = 𝑝𝑝 𝑞なので 𝑎𝑝−1 = 𝑏 と 𝑎𝑝 = 𝑏𝑞 は同値である(前者の両辺を 𝑞 乗すると後者になる). □
解答例3:

(⋆)

In [10]:



1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

function plot_Young(a, b; p=2.5, kwarg...)q = p/(p-1)f(x) = x^(p-1)g(y) = y^(q-1)
A = max(a, g(b))
x = 0:a/200:ay = 0:b/200:bx1 = 0:A/200:A
P = plot(legend=false; kwarg...)plot!([a,a], [0,b], color=:black)plot!([0,a], [b,b], color=:black)plot!(x, f.(x), color=:red, fill=(0, 0.4, :pink))
plot!(x1, f.(x1), color=:red, fill=(b, 0.4, :pink))
if A > ax2 = a:(A-a)/200:A
plot!(x2, f.(x2), color=:red, fill=(b, 0.4, :pink))
end
P
end
​
P1 = plot_Young(3,2)
P2 = plot_Young(2,5)
plot(P1, P2, size=(600, 300))

Out[10]:3.5 Hölderの不等式

𝐿𝑝 ノルム区間 [𝑎,𝑏] 乗の連続函数 𝑓 に対して ‖𝑓 ‖𝑝 を
3.5.1

‖𝑓 ‖𝑝 = (∫𝑎𝑏|𝑓(𝑥)|𝑝 𝑑𝑥

𝑓 の 𝐿𝑝 ノルムと呼ぶ.
問題: 定数 𝛼 について ‖𝛼𝑓‖𝑝 = |𝛼|‖𝑓‖𝑝 が成立していることを示せ.

)1/𝑝と定める. これを函数

解答例:‖𝛼𝑓 ‖𝑝 = (∫𝑎

𝑏

1/𝑝

𝑏

1/𝑝

𝑏

) = ( ∫𝑎) = |𝛼| (∫𝑎𝑓 とおくと ‖𝑔‖𝑝 = 1 となることがわかる. □注意: 上の問題の結果より, 特に 𝑔 =‖𝑓‖𝑝|𝛼𝑓(𝑥)|𝑝 𝑑𝑥|𝛼|𝑝|𝑓(𝑥)|𝑝 𝑑𝑥|𝑓(𝑥)|𝑝 𝑑𝑥

1/𝑝) = |𝛼|‖𝑓 ‖𝑝 .

□3.5.2 一般化されたHölderの不等式

𝑝 > 0, 𝑝𝑖 > 0 であるとし,と仮定する. このとき, 区間

1
1 1
𝑝1 + ⋯ + 𝑝𝑛 = 𝑝[𝑎,𝑏] 上の連続函数 𝑓𝑖 達について‖𝑓1 ⋯ 𝑓𝑛 ‖𝑝 ≦ ‖𝑓1 ‖𝑝1 ⋯‖𝑓𝑛 ‖𝑝𝑛(∗)

が成立する. これを一般化されたHölderの不等式と呼ぶことにする.
ち,,かつ

𝑝>0 𝑞>0𝑛 = 2, 𝑝 = 1 の場合はHölderの不等式と呼ばれる. すなわ

1 + 1 =1
𝑝 𝑞のときの‖𝑓𝑔‖1 ≦ ‖𝑓 ‖𝑝 ‖𝑔‖𝑞という不等式はHölderの不等式と呼ばれる. さらにこれの 𝑝 = 𝑞 = 2 の場合はCauchy-Schwarzの不等式の特別な場合である.
𝑓𝑖 (𝑥)
一般化されたHölderの不等式の証明の概略: 𝑔𝑖 (𝑥) =‖𝑓𝑖 ‖𝑝𝑖 とおく. そのとき ‖𝑔𝑖 ‖𝑝𝑖 = 1 となる.
1
1 1 𝑝
𝑝
𝑝1 + ⋯ + 𝑝𝑛 = 𝑝 は 𝑝1 + ⋯ + 𝑝𝑛 = 1 と同値なので, 𝑞𝑖 = 𝑝𝑖 /𝑝 とおくと,𝑞𝑖 > 0, 𝑝𝑞𝑖 = 𝑝𝑖 , 𝑞11 + ⋯ + 𝑞1𝑛 = 1.
ゆえに 𝑎𝑖 = |𝑔𝑖 (𝑥)|𝑝 にYoungの不等式の一般化を適用することによって,𝑝𝑞
𝑝𝑞|𝑝1 + ⋯ + |𝑔𝑛 (𝑥)|𝑝𝑛 .
|𝑔1 (𝑥)⋯ 𝑔𝑛 (𝑥)|𝑝 = |𝑔1 (𝑥)|𝑝 ⋯|𝑔𝑛 (𝑥)|𝑝 ≦ |𝑔1 (𝑥)𝑞1 | 1 + ⋯ + |𝑔𝑛 (𝑥)𝑞𝑛 | 𝑛 = |𝑔1 (𝑥)𝑞1𝑞𝑛
これを 𝑥 で積分すると,
𝑝𝑝(‖𝑔1 ⋯ 𝑔𝑛 ‖𝑝 )𝑝 ≦ (‖𝑔1 (𝑥)𝑞1‖𝑝1) 1 + ⋯ + (‖𝑔𝑛 (𝑥)𝑞𝑛‖𝑝𝑛) 𝑛 = 𝑞11 + ⋯ + 𝑞1𝑛 = 1.
ゆえに,

‖𝑓1 ⋯ 𝑓𝑛 ‖𝑝 = ‖𝑔1 ⋯ 𝑔𝑛 ‖𝑝 ≦ 1.
‖𝑓1 ‖𝑝1 ⋯‖𝑓𝑛 ‖𝑝𝑛.
したがって,‖𝑓1 ⋯ 𝑓𝑛 ‖𝑝 ≦ ‖𝑓1 ‖𝑝1 ⋯‖𝑓𝑛 ‖𝑝𝑛.

□

3.5.3 一般化されていないHölderの不等式
問題: (一般化されていない)Youngの不等式から(一般化されていない)Hölderの不等式を導け.
解答例の概略:𝑝,𝑞 > 0, 1𝑝 + 1𝑞 = 1 と仮定する.

‖𝑓𝑔‖1 ≦ ‖𝑓 ‖𝑝 ‖𝑔‖𝑞

1 以下になることを示せばよい.
|𝑔(𝑥)|
𝑎(𝑥) = |𝑓(𝑥)|
,
𝑏(𝑥)
=
‖𝑓‖𝑝
‖𝑔‖𝑞
とおくと, ‖𝑎‖𝑝 = ‖𝑏‖𝑞 = 1 となる. 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥) にYoungの不等式を適用すると,
𝑞𝑝𝑎(𝑥)𝑏(𝑥) ≦ 𝑎(𝑥)𝑝 + 𝑏(𝑥)𝑞 .
両辺を 𝑥 について積分すると,𝑏‖𝑓𝑔‖1∫𝑎 𝑎(𝑥)𝑏(𝑥)𝑑𝑥 = ‖𝑎𝑏‖1 = ‖𝑓 ‖𝑝 ‖𝑔‖𝑞 ,𝑏 𝑎(𝑥)𝑝 𝑏(𝑥)𝑞(‖𝑎‖𝑝 )𝑝 + (‖𝑏‖𝑞 )𝑞 = 1 + 1 = 1.
+𝑑𝑥=∫𝑎 ( 𝑝𝑞 )𝑞 𝑝 𝑞𝑝を証明したい. 左辺を右辺で割ったものがゆえに

これより, Hölderの不等式が成立することがわかる.

□‖𝑓𝑔‖1 ≦ 1.
‖𝑓 ‖𝑝 ‖𝑔‖𝑞

3.5.4 Cauchy-Schwarzの不等式

𝑝,𝑞 > 0, 1𝑝 + 1𝑞 = 1 と仮定する. このとき, ‖𝑓 ‖𝑝 < ∞, ‖𝑔‖𝑞 < ∞ を満たす函数 𝑓,𝑔 の内積を𝑏⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⟨𝑓,𝑔⟩ = ∫𝑎 ⎯𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯と定義できる. ここで 𝑓(𝑥) は 𝑓(𝑥) の複素共役を意味している. 𝑓(𝑥) が実数ならば 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) である. このとき, Hölderの不
等式より,

𝑏
𝑏
|⟨𝑓,𝑔⟩| ≦ ∫𝑎 |||⎯𝑓⎯⎯⎯⎯⎯(𝑥)⎯⎯⎯⎯⎯||| |𝑔(𝑥)| 𝑑𝑥 = ∫𝑎 |𝑓(𝑥)||𝑔(𝑥)| 𝑑𝑥 = ‖𝑓𝑔‖1 ≦ ‖𝑓 ‖𝑝 ‖𝑔‖𝑞 .

すなわち,この不等式の|⟨𝑓,𝑔⟩| ≦ ‖𝑓𝑔‖1 ≦ ‖𝑓 ‖𝑝 ‖𝑔‖𝑞 .

𝑝 = 𝑞 = 1/2 の場合はCauchy-Schwarzの不等式と呼ばれている.

3.5.5 分配函数の対数凸性のHölderの不等式を用いた証明
問題:𝑎 < 𝑏 と仮定する. 𝑍(𝛽) = ∫𝑎𝑏 𝑒−𝛽𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 の形の函数 𝑍(𝛽) について, log𝑍(𝛽) が 𝛽 の下に凸な函数になることを

Hölderの不等式を使って示せ.

0 < 𝑡 < 1 であるとし, 𝑝 = 1/(1 − 𝑡), 𝑞 = 1/𝑡 とおく. そのとき 1𝑝 + 1𝑞 = 1 となる. ゆえにHölderの不等式より,𝑏𝑏𝑍((1 − 𝑡)𝛼 + 𝑡𝛽) = 𝑍 ( 𝛼𝑝 + 𝛽𝑞 ) = ∫𝑎 𝑒−(𝛼/𝑝+𝛽/𝑞)𝑓(𝑥)+(1/𝑝+1/𝑞)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑎 (𝑒−𝛼𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) )1/𝑝(𝑒−𝛽𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) )1/𝑞 𝑑𝑥
1/𝑝 𝑏
1/𝑞
𝑏
≦ (∫𝑎 𝑒−𝛼𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) 𝑑𝑥) (∫𝑎 𝑒−𝛽𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) 𝑑𝑥)= 𝑍(𝛼)1/𝑝 𝑍(𝛽)1/𝑞 = 𝑍(𝛼)1−𝑡 𝑍(𝛽)𝑡 .

解答例:

ゆえに

log𝑍((1 − 𝑡)𝛼 + 𝑡𝛽) ≦ (1 − 𝑡)log𝑍(𝛼) + 𝑡log𝑍(𝛽).
これは log𝑍(𝛽) が 𝛽 に関する下に凸な函数であることを意味している. □注意: 上の問題の 𝑍(𝛽) の形の函数を分配函数と呼ぶことがある(統計力学). 上の問題より, Hölderの不等式は分配函数の対数が下に凸な函数になることを意味していることがわかる. □3.5.6 ガンマ函数の対数凸性

𝑠 > 0 に対して Γ(𝑠) = ∫0∞ 𝑒−𝑥 𝑥𝑠−1 𝑑𝑥 = ∫0∞ 𝑒(𝑠−1) log 𝑥−𝑥 𝑑𝑥 とおくと, その対数 logΓ(𝑠) は
𝑠 > 0 の下に凸な函数になる. □例(ガンマ函数の対数凸性):

3.5.7 分配函数の対数凸性の微分を用いた証明法ℎ(𝑥) に対する ⟨ℎ(𝑥)⟩ = ⟨ℎ(𝑦)⟩ を次のように定める:
1 𝑏 ℎ(𝑥)𝑒−𝛽𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) 𝑑𝑥, ⟨ℎ(𝑦)⟩ = 1 𝑏 ℎ(𝑦)𝑒−𝛽𝑓(𝑦)+𝑔(𝑦) 𝑑𝑦.
⟨ℎ(𝑥)⟩ = 𝑍(𝛽)∫𝑎
𝑍(𝛽) ∫𝑎
さらに函数 ℎ(𝑥,𝑦) に対する ⟨ℎ(𝑥,𝑦)⟩ を次のように定める:
1 𝑏 𝑏 ℎ(𝑥,𝑦)𝑒−𝛽𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) 𝑒−𝛽𝑓(𝑦)+𝑔(𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦.
⟨ℎ(𝑥,𝑦)⟩ = 𝑍(𝛽)2 ∫𝑎 ∫𝑎このとき ⟨𝑓(𝑥)⟩2 = ⟨𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)⟩ などが成立している.
もしも上の問題の 𝑍(𝛽) について 𝛽 に関する微分と積分の順序交換を自由にできるならば
注意: 上の問題の記号のもとで, 函数

𝑏 −𝛽𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)− 𝑑𝛽𝑑 log𝑍(𝛽) = ∫𝑎 𝑒 𝑍(𝛽) 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ⟨𝑓(𝑥)⟩,𝑑2 log𝑍(𝛽) = ⟨𝑓(𝑥)2 ⟩ − ⟨𝑓(𝑥)⟩2 = ⟨𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)⟩ − ⟨𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)⟩3.6 Minkowskiの不等式

𝐿1 ノルムについては, 三角不等式 |𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)| ≦ |𝑓(𝑥)| + |𝑔(𝑥)| より,𝑏𝑏‖𝑓 + 𝑔‖1 = ∫𝑎 |𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 ≦ ∫𝑎 (|𝑓(𝑥)| + |𝑔(𝑥)|)𝑑𝑥 = ‖𝑓 ‖1 + ‖𝑔‖1が成立している. この 𝐿1 ノルムに関する三角不等式はそのまま 𝐿𝑝 ノルム (𝑝 > 1) に一般化される.
𝑝 > 1 であると仮定する. 𝑞 = 𝑝 −𝑝 1 とおくと, 1𝑝 + 1𝑞 = 1. このとき,(𝑝−1)/𝑝𝑏‖ |𝜑|𝑝−1 ‖𝑞 = ‖ |𝜑|𝑝−1 ‖𝑝/(𝑝−1) = (∫𝑎 |𝜑(𝑥)|𝑝 𝑑𝑥) = (‖𝜑‖𝑝 )𝑝−1 .
これを 𝜑 = 𝑓 + 𝑔 に適用することによって,𝑏𝑏(‖𝑓 + 𝑔‖𝑝 )𝑝 = ∫𝑎 |𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑝 𝑑𝑥 = ∫𝑎 |𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)| |𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑝−1 𝑑𝑥𝑏𝑏≦ ∫𝑎 |𝑓(𝑥)| |𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑝−1 𝑑𝑥 + ∫𝑎 |𝑔(𝑥)| |𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑝−1 𝑑𝑥≦ ‖𝑓 ‖𝑝 ‖|𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑝−1 ‖𝑞 + ‖𝑔‖𝑝 ‖|𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑝−1 ‖𝑞= ‖𝑓 ‖𝑝 (‖𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)‖𝑝 )𝑝−1 + ‖𝑔‖𝑝 (‖𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)‖𝑝 )𝑝−1
= (‖𝑓 ‖𝑝 + ‖𝑔‖𝑝 )(‖𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)‖𝑝 )𝑝−1
ここで, 2行目の不等号で三角不等式 |𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)| ≦ |𝑓(𝑥)| + |𝑔(𝑥)| を使い, 3行目の不等号でHölderの不等式を使った. したがって,‖𝑓 + 𝑔‖𝑝 ≦ ‖𝑓 ‖𝑝 + ‖𝑔‖𝑝 .

これをMinkowskiの不等式と呼ぶ.

𝑏‖𝑓 ‖𝑝 < ∞ すなわち ∫𝑎 |𝑓(𝑥)|𝑝 𝑑𝑥 < ∞ を満たす函数を 𝐿𝑝 函数 もしくは 𝑝 乗可積分函数 と呼ぶ. 特に 𝐿1 函数を単に可積分函数と呼ぶ. □Minkowskiの不等式より, 𝐿𝑝 函数の和も 𝐿𝑝 函数になる.
定義: