超流動体と超伝導体における巨視的量子コヒーレンスと素励起の理論的研究
Theoretical Study of Quantum Coherence and Elementary Excitations in Superfluids
and Superconductors（日本物理学会推薦）

代表研究者

北海道大学

北孝文

Hokkaido UniversityTakafumi KITA

We have derived exact renormalization-group equations for the n-point vertices (n=0,1,2,⋯) of interacting
single-component Bose-Einstein condensates so as to satisfy Goldstone's theorem I, which yields the Hugenholtz-Pines
relation Σ(0)-µ=Δ(0) as the lowest-order identity. Using it, it has been found that the anomalous self-energy Δ(0)vanishes below dc=4 (dc=3) dimensions at finite temperatures (zero temperature), contrary to the Bogoliubov theory
predicting a finite ``sound-wave'' velocity vs ∝ [Δ(0)]1/2 > 0. It has also been shown that the one-particle density matrixr(1)(r) for d<dc dimensions approaches the off-diagonal-long-range-order value N0/V asymptotically as 1/r d-2+η with an
extra exponent η. Thus, the interacting Bose-Einstein condensates are subject to long-range fluctuations similar to thoseat the second-order transition point. The anomalous exponent η at finite temperatures has been predicted to behave for
d=4-ε dimensions (0<ε≪1) as η=0.181ε2. The change of the prefactor 0.181 from the value 0.02 at the transition pointof the O(2) symmetric ϕ4 model has been attributed to the emergence of three-point vertices and the anomalous Green'sfunction when N0 acquires a finite value.

ボ ー ズ ・ ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮 （ Bose-Einstein

研究目的
自発的対称性の破れに関するゴールドストーンの定理

1,2)condensation，略して BEC）相は，同種ボーズ粒子系によると，ボーズ・アインシュタイン凝縮相の低温で実現する相で，1925 年にアインシュタインには，励起エネルギーがゼロから連続的に立ち上がにより理論的に予言された．その顕著な特徴の一つる励起モードが存在するはずである．このモードは，は，純粋な量子効果により，相互作用がなくても転広く一般に，長波長で音波の分散関係を持つボゴリ移が起こりうる点にある．1995 年に理想ボーズ気体ューボフ・モード3)であると考えられてきた

4-8)．しに近い系が原子気体で実現され，その後，実験・理かし，弱結合理論であるボゴリューボフ理論を出発論両面における BEC 研究の奔流が生じた．その中で，点として相互作用に関する摂動展開を行うと，赤外特に，相互作用がある系での BEC が，巨視的コヒー発散のため計算が破綻し，意味のある結果が得られレンスと超流動性の発現をもたらすことも明瞭にな．そのため，ボーズ・アインシュタイン凝縮った． BEC は，その他にも，液体 4He の極低温で相の相関効果に関しては，微視的計算・理解ができの超流動性やレーザー発振とも関連があることが知ない状況が 70 年以上にわたって続いてきた．

られている．この相互作用する BEC 相，特に一様ない9,10)

ある時，ふと，「この赤外発散は，二次相転移におBEC 相の理論的記述が本研究の目的である．

ける平均場近似からの摂動展開に現れる赤外発散と相互作用のない「理想ボーズ気体」の熱力学的性同様に，物理的に本質的な意味・帰結を持つのでは質は，理論的によく理解されている．具体的に，dないか？」と思い至った．そして，この着想に基づ

次元一様理想ボーズ気体(d ≥ 2)を考えると，ある転き，BEC 相の励起スペクトルを微視的に解明するこ移温度 T0 で，系の化学ポテンシャル µ が最低一粒子とを目指した．

状態（k= 0； k は波数ベクトル）のエネルギーεk= 0

に下から到達し，その状態に巨視的な数の粒子が落要であり，摂動論的アプローチは不適切ではないか」

ち込みはじめる．これが BEC 転移である．T0 以下でとの問題意識である．

は µ=0 が成立して化学ポテンシャルは変化せず，絶ボゴリューボフ理論からの摂動展開に現れる赤外対零度ではすべての粒子が k= 0 状態を占有する．凝発散は，対応するグリーン関数にその起源がある．

縮状態のグリーン関数 G0(k,iwn)は，松原周波数がゼ具体的に，その正常成分 GB(k,iwn)および異常成分-2ロ(wn=0)の分枝で，G0(k,0) ∝ k のように波数の逆二FB(k,iwn)ともに，wn=0 の分枝において，波数の逆二乗に比例して発散する．これは，相対論的場の量子乗 k -2 に比例して発散することを確認できる．つま論で言うところの「マスレス(massless)」の振る舞い

り，理想ボーズ気体のグリーン関数 G0(k,0)と，長波で，µ=0 に由来する．

長での振る舞いが同じなのである．

ここに斥力相互作用が加わるとどうなるか．場のこの k -2 の振る舞いは，また，二次相転移点直下量子論的手法を用いて，この問題を最初に微視的ににおける揺らぎについての平均場グリーン関数の振考察したのがボゴリューボフ(1947 年)である

3)．具る舞いと同じである．そこでは，平均場理論からの体的に，質量が m，スピンの大きさが 0 で，接触型摂動展開は，赤外発散により同様に破綻する．摂動

ポテンシャル g0 d(r1-r2)により弱く斥力相互作用す的手法が無力なのである．実際，この赤外発散は，る一様ボーズ粒子系を考える(0<g0≪1)．ボゴリュー非物理的であり，「相互作用定数を励起端でゼロにすボフ理論によると，励起エネルギーは，相互作用のる」という非摂動効果により，最終的に取り除かれ2ない場合の自由粒子型 εk ∝ k から，ボゴリューボフる．それとともに，kÆ0 におけるグリーン関数の振へと変化し，長波長で音波のる舞いが，k -2+η のように，異常次元 η > 0 を伴った形

分散関係 Ek ∝ k を持つようになる．その音速 vs は，へと変化することが知られている．そして，その過相互作用定数 g0 の平方根に比例すると予言される．

程を理論的に記述する非摂動的枠組みとして，繰り励起 Ek=[εk(εk+2g0n0)]1/24

この音波型分散関係は，ランダウの超流動 He に関込み群の手法が発展してきた 17-20)．以上の思考の連するフォノン気体の現象論 11)，および，中性子非弾鎖から，冒頭の着想に至り，BEC 相の低エネルギー性散乱で観測されたフォノン-ロトン分散12)のフォ励起を繰り込み群で調べる研究に着手した．

ノン部分を微視的に基礎づけたものとして，広く受け入れられてきた．
ボゴリューボフ理論

研究経過
3)

は，相互作用を摂動的に取研究の初期には，繰り込み群に関する教科書を読り込むアプローチにおける最低次の近似である．しみ返して復習することにかなりの時間を費やした．

かし，このボゴリューボフ理論を改良しようとする

しかし，それら教科書の大部分は，二次相転移点近と，たちまち困難に遭遇する．まず，ボゴリューボ傍のみを記述するように定式化されているので，フ理論から出発して，グリーン関数を用いて相関効

BEC 相には適用できないように思われた．その後，果を摂動論的に取り込もうとすると，赤外発散が現いろいろ探すうちに，Kopietz らによる汎関数繰り込れて，意味のある結果が得られない．また，ボゴリ

み 群 の 教 科 書 「 Introduction to the Functional

ューボフ理論の熱力学的期待値に関して自己無撞着Renormalization Group」21,22)に行き当たった．この教にすると，励起に非物理的なエネルギーギャップが科書も，応用例の大部分は相転移点近傍の振る舞い現れる

9,10)．すなわち，超伝導状態などのフェルミ粒に限定されている．しかし，その定式化は，相転移子系に適用されて大成功を収めた場の量子論的手法点から離れた熱平衡状態にも有効であると思われた．

4)が，凝縮ボーズ粒子系における相関効果の定量的実際，この本の最後の数章は，フェルミ粒子系への記述に関しては無力なのである．私自身も，自己無適用に割かれている．定式化の部分を読み進むうち

13-15)に，BEC 相にも使えそうだとの感触を得て，この手撞着な摂動展開の構築や変分的手法16)によるアプローチなどにより，この系の相関効果を含む微法の体得に取り組んだ．

視的記述に長年取り組んできた．しかし，上記の困汎関数繰り込み群では，まず，微視的なハミルト難を根本的に解決することはできなかった．そのよ

ニアン（あるいはユークリッド作用）の運動量部分

うな中で，近年，冒頭の着想を得た．言い換えると，に赤外カットオフLを導入する．そして，Lを dLだ「相互作用する BEC 相では，多体相関が本質的に重け減少させ，熱力学関数G(0)と n 点バーテックスG(n)が従う微分方程式（＝繰り込み群の方程式）を導く．

つことを示した 23)．この点が今回の定式化におけるそれらの微分方程式をL=0 まで解くことで，厳密な大きな進歩であると考えている．実際，Kopietz らの(0)(n)

熱力学関数G と n 点バーテックスG が得られる．

導出した方程式 21,22) は，BEC 相に適用されることはその利点は，微視的なハミルトニアンに基づいて，なかった．その理由は，BEC 転移により 3 点バーテ相転移点だけでなく秩序相も熱力学的性質まで含めックスや異常 2 点バーテックス等が新たに出現するて扱える点にあり，さらに，「スケール変換」，「繰り中で，どのように繰り込み変数を選択するかの指針込み変換」，「半群」等の概念の導入も不要である．

がなかったからであると思われる．一方，今回の導実際，繰り込み変換は，汎関数繰り込み群の視点か出では，明確に BEC 相を対象にして方程式を導出し，らは，バーテックスに関する繰り込み群方程式を解バーテックス間に成立する関係式を満たす必要性をくための近似法の一つとして位置づけられる．

明示した．このことにより，変数の数が劇的に減少

この汎関数繰り込み群の手法を用いて，BEC 相での n 点バーテックスG(n)(n=0,1,2,⋯)に対する繰り込み群の方程式の導出を試みた

23-25)．まず，基本量でし，BEC 相での繰り込みを，現実的かつ「ゴールドストーンの定理」を満たすように行える状況になった．

ある「バーテックス」を，大分配関数のルジャンド

次に，導出した繰り込み群の方程式に基づいて，ル変換と外場に対するテイラー展開により，曖昧さ相互作用定数 gLの赤外カットオフ波数L依存性を調なく厳密に定義することに成功した．かなり悩んだべた 23)．その結果，gLが，4 次元以下（有限温度）のは，場の演算子yそのものの期待値Y∫<y>が有限もしくは 3 次元以下（絶対零度）において，LÆ0 でとなる BEC 相で，この手続きをどのように行うかでゼロに近づくことを示した．これは，ボゴリューボ

21,22)

では，大分配関数 ZG のフ理論の予言 3)である「一粒子励起は長波長で音波

対数 lnZG から運動量部分を差し引いた後，ルジャンの分散関係を持ち，その音速は（裸の）相互作用定ドル変換を行なって有効作用が定義されている．し数 g0 の平方根に比例する」を覆す結果である．相互かし，そこから得られる繰り込み群の方程式では，作用が励起端でゼロになるのであるから，ボゴリュある．Kopietz らの扱い

(1)

熱平衡条件G =0 を必ずしも満たさないという難点

ーボフ励起は厳密な意味では存在しない．この結論があった．今回の導出では，lnZG 自体にルジャンド

は，「BEC 相の素励起」に対する一般の理解を覆す(1)

ル変換を施すことで，熱平衡条件G =0 を満足する方程式を得た

23)．

結果で，受け入れ難く思われるかもしれない．しかし，絶対零度での結果は「ネポムニャシー恒等式」

第二の要点は，繰り込み群の方程式がゴールドスとも呼ばれ，すでに 1975 年に得られていた 27)．そトーンの定理を自動的に満たすための条件を明快にして，後年の複数の研究 28-31) でもその結果が再現さ示したことである 23)．「ゴールドストーンの定理」

れている．

は，連続対称性が自発的に破れた系の励起に関する第三に，有限温度における一粒子密度行列r(1)(r)基本定理である．その証明には二つの異なるものがの長距離 rÆ•での振る舞いが，臨界次元 dc=4 以下．第一の証明は，有効作用Gが期待値Yの無において，r(1)(r) Æ N0/V +C/r d-2+η のようになること，限小変換に際して不変であることを用いる．一方，

すなわち，異常次元 η>0 を伴って，非対角長距離秩

より良く知られた第二の証明では，場と``電荷''との序 32,33) の値である凝縮粒子密度 N0/V に近づくと予交換子の期待値を利用する．第一の証明を応用し，想した．ここで C は定数である．実際，二次相転移大域的位相変換に際しての有効作用GL の不変性か点直上でも，相互作用定数は励起端でゼロになる．

ある

1,2)

(n)

ら，隣接するG とG(n+1)との間に恒等式が成立するこ

それとともに，kÆ0 における揺らぎのグリーン関数とを示すことができた．その最低次は，「BEC 相のの振る舞いが，k -2+η のように，異常次元 η>0 を伴っ一粒子励起はエネルギーゼロから連続的に立ち上がたより弱い発散へと変化する 17-21)．従って，相互作る（＝マスレスである）」と主張する「ヒューゲンホ用定数が励起端で同じくゼロになった BEC 相にお26)に他ならない．そして，上いても，グリーン関数の kÆ0 での振る舞いに，異常記の関係式を満たすようにパラメーター化した相互次元の出現を予想するのは自然である．もし出現す作用定数を用いることで，繰り込み群の方程式が，れば，そのフーリエ変換である一粒子密度行列は，ゴールドストーンの定理を自動的に満足する解を持非対角長距離秩序を伴った上述の漸近的振る舞いをルツ-パインズの定理」することになる．この予想を確かめるために，臨界る熱力学的性質を精密に測定することで，検証が可次元 dc=4 直下において η の値を評価することに取り能なのである．その正しさが確立されれば，BEC 相組んだ23,25)．その計算は，非常に長く煩わしいものの素励起に関して，革新がもたらされるであろう．

2超流動 4He の極低温における熱力学的性質の精密と表せることを示した 25)．これは，ウィルソンとフ測定は，絶対値が小さくなるので非常な困難が予想であったが，最終的に，e∫4-d を用いて，ηª0.181e34)ィッシャーが 1972 年に切り開いた「e展開」 の BECされる．しかし，上述のように顕著な非解析性を示相への拡張と見なせる．しかし，ウィルソンとフィす可能性があり，非常に挑戦的なテーマであること

2ッシャーによる相転移点の表式 η=0.02e から変化しを強調しておく．ている．その理由は，BEC 相において，3 点バーテ(3)以上の研究結果は，BEC 相の一粒子励起（個別励ックスG と異常グリーン関数が有限になることに起）に関する結果である．今後の理論的課題の一つ帰することができる．有限の η は，BEC 相の極低温は，一粒子励起と二粒子励起（集団励起）の関係をにおける熱力学的性質に，種々の非解析性をもたら明らかにすることであると考えている．Gavoret とすことも予言できる

24)

Nozières は，絶対零度における一粒子グリーン関数．と二粒子グリーン関数の構造に関する解析を行い，考察「一粒子励起と二粒子励起の極は一致する」，及び，BEC 相に対する厳密な繰り込み群の方程式を導い「一粒子励起は音波の分散関係を持ち，その音速は23)．この方程式は，ゴールドストーンの定理を自巨視的な音速に等しい」ことを主張した 9)．しかし，動的に満足するという大きな利点がある．この方程彼らの議論は，「一粒子励起スペクトルは k= 0 で解式を用いて相互作用定数 gLのL（赤外カットオフ）析的である」および「摂動論の赤外発散は非物理的依存性を調べ，gLが，4 次元以下（有限温度）もしである」という二つの仮定に基づいている．今回のくは 3 次元以下（絶対零度）において，LÆ0 でゼロ結果は，これらの仮定を否定するものであり，二つたに近づくことを示した

23)．それらの次元以下では，の励起の関係を再度調べる必要があると考えている．

長波長極限における励起モードの分散関係が非解析的になる．そして，有限温度における一粒子密度行(1)列の長距離相関に，r (r) Æ N0/V +C/rd-2+ηで表され

参考文献
1.

る異常次元 η が現れる．臨界次元直下の η は2ηª0.181e のように振る舞う

25)

127, 965 (1962).
2.

．

BEC 相に関しても，繰り込み群を用いた先行研究は存在した

J. Goldstone, A. Salam, and S. Weinberg, Phys. Rev.
S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields II(Cambridge University Press, Cambridge, U.K.,

29-31)

1996). 19.2 節参照．しかし，それらの研究の主な関心は，「絶対零度においてネポムニャシー恒等式と音波

3.

N. N. Bogoliubov, J. Phys. (USSR) 11, 23 (1947).の存在は両立するか？」に向けられた．従って，有4.

A. A. Abrikosov, L. P. Gor'kov, and I. M.

限温度における gLのLÆ0 での振る舞いや異常次元

Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory inの出現の可能性は，これまで全く考察されてこなか

Statistical Physics (Dover, New York, 1975).

った．新たに導出した繰り込み群の方程式を解いて

5.

C.

J.

PethickandSmith,Bose-Einstein

DiluteGases(Cambridge

得られた上記の内容は，BEC 相における素励起の研Condensation

究に，新局面を切り開く結果であると考えている．

University Press, Cambridge, 2002).

有限の η は，BEC 相の極低温における熱力学的性

6.

4．実際，Greywall が 1978 年に測定した超流動 He
3の比熱には，200mK 以下の温度において，T 則からの下方向への逸脱が観測されている

J. O. Andersen, Rev. Mod. Phys. 76 599, (2004).

8.

H. Watanabe and H. Murayama, Phys. Rev. Lett.
110, 181601 (2013).

．しかし，当逸脱も，理論的に説明出来ると考えている．すなわ
47.

35)

時は原因不明として片付けられた．この下方向へのち，今回の理論結果は，超流動 He の極低温におけ

A. Griffin, Excitations in a Bose-Condensed Liquid(Cambridge University Press, Cambridge, 1993).

質に，種々の非解析性をもたらすことを予言できる
24)

in

H.

9.

J. Gavoret and P. Nozières, Ann. Phys. 28, 349(1964).

10. P. C. Hohenberg and P. C. Martin, Ann. Phys. 34,

291 (1965).

34. K. G. Wilson and M. E. Fisher, Phys. Rev. Lett. 28,

11. L. D. Landau, J. Phys. USSR 5, 71 (1941);

11, 91(1947).

240 (1972).
35. D. S. Greywall, Phys. Rev. B 18, 2127 (1978); 21,

12. R. A. Cowley and A. D. B. Woods, Can. J. Phys. 49,1329 (1979).

177 (1971).
13. T. Kita, Phys. Rev. B 80, 214502 (2009).

研究の発表

14. T. Kita, Phys. Rev. B 81, 214513 (2010).

口頭発表

15. T. Kita, J. Phys. Soc. Jpn. 83, 064005 (2014).

1. 北孝文：「繰り込み群による BEC 相の低エネルギ

16. T. Kita, J. Phys. Soc. Jpn. 86, 044003 (2017).

ー励起の解析」，日本物理学会第 74 回年次大会

17. K. G. Wilson and J. Kogut, Phys. Rep. 12, 75(九州大学，2019 年 3 月 14 日〜17 日)．

(1974).

2.

18. S. -K. Ma, Modern Theory of Critical Phenomenainteracting Bose-Einstein condensates: Absence of(Reading, Mass., 1976).

the Bogoliubov mode below dc=4 (T>0) and dc=3

19. D. J. Amit, Field Theory, Renormalization Group,andCriticalPhenomena

T. Kita: 「 A renormalization-group study of(World(T=0) dimensions 」 , Frontiers of Quantum andScientific,MesoscopicSingapore, 1984).

Thermodynamics(Praque,Czech

Republic, 14-20 July 2019).

20. Z. Justin, Quantum Field Theory and Critical

3. 桐越研光，北孝文：「汎関数繰り込み群による BEC

Phenomena (Oxford University Press, Oxford,相の比熱計算」，日本物理学会 2019 秋季大会 (岐1996).

阜大学，2019 年 9 月 10 日〜13 日)．

21. P. Kopietz, L. Bartosch, and F. Schütz, Introduction
to the Functional Renormalization Group (Berlin,ポスター発表

Springer, 2010).

1.

22. F. Schütz and P. Kopietz, J. Phys. A {¥bf 39}, 8205

T. Kita: 「 A renormalization-group study ofinteracting Bose-Einstein condensates: Absence of(2006).

the Bogoliubov mode below four (T>0) and three

23. T. Kita, J. Phys. Soc. Jpn. 88, 054003 (2019).

(T=0) dimensions」, International Conference on

24. T. Kita, J. Phys. Soc. Jpn. 88, 085002 (2019).

Quantum Fluids and Solids (Edmonton, Alberta,

25. T. Kita, J. Phys. Soc. Jpn. 88, 104003 (2019).

Canada, 7-13 August 2019).

26. N. M. Hugenholtz and D. Pines, Phys. Rev. 116, 489(1959).

誌上発表

27. A. A. Nepomnyashchii and Yu. A. Nepomnyashchii,

1.

JETP Lett. 21, 1 (1975).

``A Renormalization-Group Study of Interacting

28. V. N. Popov and A. V. Seredniakov, Zh. Eksp. Teor.
Fiz. 77, 377

Bose-Einstein(1979) [Sov. Phys. JETP 50, 193

Absenceof2.

T. Kita, J. Phys. Soc. Jpn. 88, 085002 (2019).
``Specific Heat of Superfluid 4He: Why Does It
Deviate from the T 3 Law at Low Temperatures?’’

30. N. Dupuis and K. Sengupta, Europhys. Lett. 80,
3.

31. A. Sinner, N. Hasselmann, and P. Kopietz, Phys.

T. Kita, J. Phys. Soc. Jpn. 88, 104003 (2019).
``A Renormalization-Group Study of Interacting

Rev. Lett. 102, 120601 (2009); Phys. Rev. A 82,Bose-Einstein

063632 (2010).

Dimension η for d ≲ 4 at Finite Temperatures.’’

32. O. Penrose and L. Onsager, Phys. Rev. 104, 576(1956).
33. C. N. Yang, Rev. Mod. Phys. 34, 694 (1962).

the(T=0) Dimensions.’’

Strinati, Phys. Rev. Lett. 78, 1612 (1997).
50007 (2007).

Condensates:

Bogoliubov Mode below Four (T>0) and Three(1979)].
29. C. Castellani, C. D. Castro, F. Pistolesi, and G. C.

T. Kita, J. Phys. Soc. Jpn. 88, 054003 (2019).

4.

北孝文：

Condensates:

II

Anomalous

固体物理 55, 103 (2020).

「ボーズ-アインシュタイン凝縮相の繰り込み理論」