数学（全問

必Ⅰ答）

第１問 （配点 ２５）〔!〕 次の等式  と  を同時に満たす実数 x，y について考える。

２５０（ x２ ＋ y２）＝（ x ＋$y ）………………………… −#!" x ＋ y ＝!

…………………………  の左辺から右辺を引くと

２ %５０（ x２ ＋ y２）−（ x ＋$y ）＝&ア２x − y'(となる。よって， よりy＝アxである。したがって

x＝イ＋ウ!"となり，y ＝ア%&イ＋ウ'!"(となる。
（数学Ⅰ第１問は次ページに続く。）― ４ ―（２２０４―４）

数学Ⅰ
また"x２ ＋ y２ −５０＝４００#エオ＋となる。

カ$!!%（数学Ⅰ第１問は次ページに続く。）― ５ ―（２２０４―５）

数学Ⅰ〔$〕 地点 A と地点 B が一般道路 !（以下，道路 !）と高速道路 "（以下，道路 "）で つ な が っ て い る。車 の 制 限 速 度 は，道 路 ! が 時 速３０km で，道 路 " が時 速８０km で あ る。道 路 ! に お け る A か ら B ま で の 道 の り は７５km で あり，道路 " における A から B までの道のりは４８km である。
道 路 ! 上 に 地 点 P が あ り，道 路 ! に お け る P か ら A ま で の 道 の り は１０km である。また，地点 Q は道路 ! において P と B の間にある。ただし，Q は，P，B のいずれとも異なる地点である。
太郎さんは，P から Q に車で行くことになった。P から Q に行くには，P から道路 ! だけを通って Q に行く経路#と，P から道路 ! を通って A に行き，A から道路 " を通って B に行き，B から道路 ! を通って Q に行く経路$がある。

経路１
経路２
道路道路QPBA

参考図

道路 ! における P から Q までの道のりがどれくらいであれば，経路$を選ぶ方が経路#を選ぶより短い時間で Q に到着できるかを考えたい。ただし，車はつねに制限速度で走るものとする。

― ６ ―（数学Ⅰ第１問は次ページに続く。）（２２０４―６）

数学Ⅰ
道路 # において，P から Q までの道のりを x km とすると，P から A までの道のりが１０km であり，P と B の間に Q があることから x ＜６５である。
経 路%を 選 ぶ と き，道 路 # を 通 っ て い る 時 間 は

キク−x

時間

ケコと な る の で，経 路% を 選 ん だ 場 合 の P か ら Q ま で の 所 要 時 間 は& キク − x ＋' ケコ

サシ(時間となる。よって，経路%を選ぶ方が経路$を)選ぶより短い時間で Q に到着できることを表す不等式は

キク−x

サ＋x

ス

ケコ

シセソとなる。これを解くとx ＞ タチ．

ツと な る。し た が っ て，道 路 # に お け る P か ら Q ま で の 道 の り がタチ．

ツkm より長ければ，経路%を選ぶ方が経路$を選ぶより短い時間で Q に到着することができる。

ス!の解答群"＜＞（数学Ⅰ第１問は次ページに続く。）― ７ ―（２２０４―７）

数学Ⅰ〔%〕

U を全体集合とし，A，B，C を U の部分集合とする。U，A，B，C の関

係を図#のように表すと，例えば，A ∩（ B ∪ C ）は A と B ∪ C の共通部分
で，B ∪ C は図$の斜線部分なので，A ∩（ B ∪ C ）は図%の斜線部分となる。

UUA

BBC

図図テA

BC

1

このとき，A ∩（ B ∩ C ）はトU

AC2

図3の斜線部分，A ∩（ B ∩ C ）はの斜線部分である。

テ，トについては，最も適当なものを，次の!〜"のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

ǎǏ
UUA

B

ǐ

B

C

Ǒ

UA

U
B

CCǓUA

BCǒ

A

B

UACB

AC

（数学Ⅰ第１問は次ページに続く。）― ８ ―（２２０４―８）

数学Ⅰ
全体集合 U を，−&以上&以下の整数全体の集合とする。また，a，b を整数として，次の A，B，C が U の部分集合になっているとする。

A ＝｛!，a −$，a ＋$｝，'

B ＝｛ b −#，b ＋$｝，

C ＝｛"，#，$，%｝

a，b がとり得る値について考える。A ⊂ U であることから，a がとり得る値はナニ以上ヌことから，b がとり得る値は(以下の整数である。また，B ⊂ U である
ネノ

以上ハ以下の整数である。

A，B，C が次の条件を満たすとする。

条件
A ∩（ B ∩ C ）＝｛−&，−%，−$，−#｝である。

このとき A ∪（ B ∪ C ）の要素を具体的に考え，A の要素と比較するとa＝ヒがわかる。このことより，さらに B の要素とも比較すると，b のとり得る値は#通りであることがわかる。

)

A，B，C が ( の条件を満たすとする。このときA ∩（ B ∩ C ）の要素の個数が"個であるとすると，b ＝フであり
A ∩（ B ∩ C ）の要素の個数が#個であるとすると，b ＝ヘである。

― ９ ―（２２０４―９）

数学Ⅰ

第２問 （配点 ２５）〔$〕 負の定数 k に対して

sin θ cos θ ＝ k………………………… を満たす θ について考えよう。ただし，０°＜ θ ＜１８０°とする。

 を満たす θ が存在するとする。このとき，θ はsin θ!の解答群鋭角イ!

であるから，cos θ が成り立つ。

イア

ア

"

直"

＝

角#

鈍#＞

角の解答群
＜（数学Ⅰ第２問は次ページに続く。）― １０ ―（２２０４―１０）

数学Ⅰ

k ＝−+２のとき，（sin θ − cos θ ）＝１８cos θ ＝

カキ±ウエである。よってオ! クケが得られる。このことから，k ＝−+のとき， を満たす θ は二つ存在す１８ることがわかる。これら二つの θ のうち，小さい方の大きさは

コ

であ４１…，!* ＝１．
７３… である。
る。なお，!) ＝１．

コの解答群! ０°より大きく３０°未満" ３０°以上４５°未満# ４５°以上６０°未満$ ６０°以上９０°未満% ９０°以上１２０°未満& １２０°以上１３５°未満' １３５°以上１５０°未満( １５０°以上１８０°未満（数学Ⅰ第２問は次ページに続く。）― １１ ―（２２０４―１１）

数学Ⅰ〔(〕 三角形に関連する量と三角形の合同条件について考察する。

,ABC において，BC ＝*であり，,ABC の外接円の半径は４ !)であ)るとする。このとき，∠BAC の大きさについて二つの場合を考えることが で き，そ の う ち の 小 さ い 方 はサ

で あ り，大 き い 方 はで あ る。さ ら に，,ABC の 面 積 は３ !)で あ る と す る。こ の と き，*AB・AC ＝スである。

∠BAC ＝

サの と き，余 弦 定 理 よ り AB２ ＋ AC２ ＝２（AB ＋ AC）
＝

AB ＝

タチ

テである。よって，AC ＝±ツセソ

シなので− AB より! トナ(である。
また，∠BAC ＝シのとき，同様に考えると AB ＝

１９± !+!
であ(ることがわかる。

サ，!

３０°

% １２０°

シの解答群"４５°& １３５°#６０°

$ ９０°' １５０°
（数学Ⅰ第２問は次ページに続く。）― １２ ―（２２０４―１２）

数学Ⅰ




次の命題 ， の真偽の組合せとして正しいものはニである。

二つの三角形において，一組の辺，面積，外接円の半径がそれぞれ等しいならば，その二つの三角形は合同である。



二つの三角形において，一組の角，面積，外接円の半径がそれぞれ等しいならば，その二つの三角形は合同である。

ニの解答群!

"#$



真真偽

偽



真偽真偽

― １３ ―（２２０４―１３）

数学Ⅰ

第３問 （配点 ３０）〔!〕 c を定数とする。"次関数y＝! ２x ＋!
#の グ ラ フ を G と す る。ま た，G を x 軸 方 向 に#c，y 軸 方 向 に c２ −%c ＋$だけ平行移動した放物線を H とする。

c ＝−!とする。このとき H をグラフにもつ"次関数は

y＝! ２x ＋#x＋アイウである。

H と x 軸との共有点の個数が"個となるような c の値の範囲はエ＜c＜オである。

（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １４ ―（２２０４―１４）

数学Ⅰ

c ＝"とする。このとき H の頂点を P とし，H と x 軸との共有点を A，Bとすると# カキ
P$，%，&クケである。ただし， コサ

＜#A
$

シス

コサ，!%&，

B#$シス，!%&とする。

また，次の条件を満たす長方形 S を考える。

条件●

線分 AB 上に S の辺の一つがある。

●

線分 PA，PB 上に S の頂点が一つずつある。

条件を満たすような S の面積の最大値は セソAである。

BxP参考図― １５ ―（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）（２２０４―１５）

数学Ⅰ〔#〕 花子さんと太郎さんは，絶対値を含む関数のグラフを考えている。
関数

y＝

" ２"
!＋ （ x２ −%x ） ………………………… "x ＋#x −８&&のグラフを考える。
'#次不等式 x２ ＋#x −&＜!の解は

タチ

＜x＜ツ

タチ

＜x＜

y ＝−

" ２"
（ x ＋#x −&）＋ （ x２ −%x ）＝− x ＋"&&である。のとき，x２ ＋#x −&の値は負となるので，ツはと変形できる。
x≦

タチ

y＝，

≦ x のとき， はツ

" ２"
" ２"
（ x ＋#x −&）＋ （ x２ −%x ）＝
x −x −"&&$#と変形できる。
(#次関数y＝" ２"x −x −"$#*+のグラフの頂点の座標は)

 のグラフはヌ

トナ
テ，ニ,である。
-である。
（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １６ ―（２２０４―１６）

数学Ⅰ
ヌについては，最も適当なものを，次の!〜"のうちから一つ選べ。

なお，x 軸と y 軸は省略しているが，x 軸は右方向，y 軸は上方向がそれぞれ正の方向である。

ǎǏ

ǐ

Ǒ

ǒ

Ǔ

ǔ

Ǖ

ǖ

Ǘ

（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １７ ―（２２０４―１７）

数学Ⅰ


花子さんと太郎さんは， を振り返って，グラフのおおよその形をより簡単に知る手順を，関数" ２" ２"x −９x ＋x!−%%y ＝−………………………… を例にして考えている。

花子： の関数のグラフを考えるのは大変だったね。おおよその形でよいから，あまり計算せずに簡単に知ることはできないかな。
太郎： の関数も  の関数と同じように x２ の項が消えて"次関数となるような x の値の範囲があるね。具体的には，x２ −&＜!となる x の値の範囲で x の係数が正の"次関数になっているよ。
花子：逆に x２ −&＞!となる x の値の範囲では，x２ の係数が負の#次関数になっているよ。
太郎：それらを合わせると， の関数のグラフは，真ん中が右上がりの直線の一部，両側が上に凸の放物線の一部になっているよ。
花子：このように考えていけば，あまり計算をしなくても，おおよその形は簡単にわかるね。

関数 y ＝−" ２" ２"x −９!−x ＋ x のグラフは%%ネである。

次の関数のグラフについても考えてみよう。
●

関数 y ＝" ２" ２"x −９!−x ＋ x のグラフは%%●関数 y ＝" ２""x ＋#!$ x −４!＋ （ x２ ＋#!$ x ）のグラフは%%ハノである。

である。
（数学Ⅰ第３問は次ページに続く。）― １８ ―（２２０４―１８）

数学Ⅰ
ネ〜ハについては，最も適当なものを，次の!〜"のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。なお，x 軸とy 軸は省略しているが，x 軸は右方向，y 軸は上方向がそれぞれ正の方向である。

ǎǏ

ǐ

Ǒ

ǒ

Ǔ

ǔ

Ǖ

ǖ

Ǘ

― １９ ―（２２０４―１９）

数学Ⅰ

第４問 （配点 ２０）〔!〕 演技などの採点において，複数の審査員による採点結果の評点のうち，最小値と最大値をそれぞれ!個ずつ除外した評点によって評価が行われることがある。
以下では，審査員がそれぞれ１，２，３，４，５のいずれかの評点をつけるものとする。
n は#以上の自然数とする。n 人の審査員による採点結果の評点を小さい方から順に並べたものを

x１，x２，……，x nと表し，これを「元の評点」と呼ぶこととし，「元の評点」の平均値を x，分散をs２ で表す。また，「元の評点」
から最小値 x１ と最大値 x n を除外した評点を並べたもの

x２，x３，……，x n −１

を「調整後の評点」と呼ぶこととし，「調整後の評点」の平均値を y，分散を t２ で表す。さらに，除外した"個の評点 x１，x n の平均値を z で表す。
５，３，３，２であったとする。
例えば，$人の審査員による採点結果の評点が２，このとき「元の評点」は２，２，３，３，５となり，「調整後の評点」は２，３，３となる。

n ＝１０とする。「元の評点」が１，２，２，３，３，３，３，４，４，５であったとする。このとき
x ＝#，y ＝ア，s２ ＝１．
２，t２ ＝

イ．

ウである。

（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２０ ―（２２０４―２０）数学Ⅰn ≧,とする。

-

A ＝ x１ ＋ x n ，B ＝ x２ ＋ x３ ＋……＋ x n −１ とおくと，x ＝A＋Bとなり，nA
Bとy＝を用いると*
n −２z＝x＝z＋エyオと表すことができる。x ≦ y が成り立つための必要十分条件として，後の!〜&のうち，正しいものはエオである。の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

!

)
*")
n −２#

*$ （ n −*）%)
n&*n'n −２n(カ.

，カn −１nの解答群
n −２y*!

z≦#z≦y%z≦n −２yn −１n −２y*"z≧$z≧y&z≧n −２yn −１

n ＝,の と き，「元 の 評 点」
は x１，x２，x３，x４，x５ で あ る。x２ ＝ x３ ＝ x４ ＝+
で あ っ た と き，x ≦ y と な る よ う な（ x１，x５）の 組 は 全 部 でる。

キ個あ（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２１ ―（２２０４―２１）

数学Ⅰ〔"〕 変量 x，y の値の組のデータ（ x１，y１），（ x２，y２），（ x３，y３）をデータ Z と呼ぶことにする。
x と y の共分散を s xy で表す。ただし，共分散とは x の偏差と y の偏差との積の平均値である。したがって，データ Z の x，y の平均値をそれぞれ x，y とすると，s xy は
（ x１ − x ）（ y１ − y ）＋（ x２ − x ）（ y２ − y ）＋（ x３ − x ）（ y３ − y ）#s xy ＝と表せる。
また，a を!でない実数とし，データ Z の変量 y の値のそれぞれに a を加えて得られるデータ（ x１，y１ ＋ a ），（ x２，y２ ＋ a ），（ x３，y３ ＋ a ）とデータ Z を合わせたデータ（ x１，y１），（ x２，y２），（ x３，y３），（ x１，y１ ＋ a ），（ x２，y２ ＋ a ），（ x３，y３ ＋ a ）をそれぞれ，変量 u，v の値の組のデータ（ u１，v１），（ u２，v２），（ u３，v３），（ u４，v４），（ u５，v５），（ u６，v６）とおく。これをデータ Z′と呼ぶことにする。


データ Z′の共分散を s uv と表す。s uv と s xy の関係について考えよう。
まず，データ Z′の u，v の平均値をそれぞれ u，v とすると
u ＝ x，v ＝ y ＋クが成り立つ。

（数学Ⅰ第４問は次ページに続く。）― ２２ ―（２２０４―２２）

数学Ⅰ
次に，s uv を求めるために（ u４ − u ）（ v４ − v ）＋（ u５ − u ）（ v５ − v ）＋（ u６ − u ）（ v６ − v ）（ y１ − y ）＋（ x２ − x ）（ y２ − y ）＋（ x３ − x ）（ y３ − y ）＝（ x１ − x ）/＋. a − ク｛0（ x１ − x ）＋（ x２ − x ）＋（ x３ − x ）｝とできることに着目すると
s uv ＝

ケとなることがわかる。
クの解答群

!

a,

"a+

#

a*%

*a&+a',aケ$

as xy ＋+a
*の解答群

!

s xy%

s xy −+a*"s xy ＋ a#s xy − a&*s xy')
s xy
*

$

データ Z の x と y の相関係数を r，データ Z′の u と v の相関係数を r′とする。r と r′の関係として，次の!〜&のうち，正しいものはサである。ただし，r と r′は計算できるものとする。

コ，

サコとの解答群（解答の順序は問わない。）!

r ＞(ならば r′＞("r ＞(ならば r′＝(#r ＞(ならば r′＜($r ＝(ならば r′＞(%r ＝(ならば r′＝(&r ＝(ならば r′＜(― ２３ ―（２２０４―２３）