tmt’s math page1◆ 0 の 0 乗にひそむ約束ごと◆
00 の答はいくつになるのでしょう。
そもそも ab という書き方は、同じ数を何回も掛け算する場合の表記方法です。つまり約束ごとです。25 と書けば 5 個の 2 を掛けあわせることです。つまり、25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32と計算します。では 00 と書けば、0 個の 0 を掛け合わせることになりますね。あれ？

0 個の 0 を掛けるってどういうことなんでしょう。0 個掛けるって何も掛けないことだろうから、答はきっと 0 になるんじゃないでしょうか。いえいえ、0 乗というのは計算して答をだすのではなく、どんな数でも 0 乗したら 1 になるという約束があるのだから、00 は 1 です。
さて、困りました。どちらの言い分が正しいのでしょうか。それとも 00 には答があるのでしょうか。
こういうときは原点に戻って考えるのが一番でしょう。一体どうして 0 乗などという表現がでてきたのでしょうか。さっきも書きましたが 25 の答は 32 です。同様の計算で 23 の答は 8 になります。もしここで25 ÷ 23 の計算をするならば、指数の意味を考えて25 ÷ 23 =2×2×2×2×2= 2 × 2 (= 4)2×2×2とするでしょう。ここで最後に 2 × 2、すなわち 22 が残りますが、これはあたかも 25 ÷ 23 = 25−3 であるように計算できることを意味します。このことを利用すれば 212 ÷ 27 の計算も、わざわざ分子・分母に 2 をたくさん書かなくても計算できることになります。すなわち

212 ÷ 27 = 212−7 = 25 = 32でよいわけです。
もしこのルールがどんなときでも使えるとなれば、23 ÷ 25 の計算も23 ÷ 25 = 23−5 = 2−2になるはずです。でも −2 乗ってどういうことでしょうか。本来 23 ÷ 25 の計算は23 ÷ 25 =ですから、正しい答は2×2×21=2×2×2×2×22×21です。ということは42−2 =122()
1=4

tmt’s math page2でなければなりません。このことから「指数に負の数を使う」ことは、「指数に正の数を使って逆数に変える」ことと同じです。そこで指数に負の数を使ったときは、「逆数で表す」と約束しておくのがよさそうです。
では、25 ÷ 25 はどうなるでしょう。これまでのルールを適用すると25 ÷ 25 = 25−5 = 20です。25 ÷ 25 は明らかに 1 となります。それなら 0 乗の計算結果は 1 と決めるのがよいでしょう。と、ここまでが 0 乗すると 1 になることの説明です。
だったらこの約束通り 00 = 1 じゃないんですか、と考えるのは早計です。25 ÷ 25 は正しくは25 ÷ 25 =32=132と計算できます。それがさっきのルールで 25 ÷ 25 = 25−5 = 20 とやったから 20 = 1 と決められたのです。
でも 00 は、仮に 05 ÷ 05 の計算だとしたら、正しくは05 ÷ 05 =050=500の計算をすることになるので、答はいくつでもよいことになってしまいます（「0 で割ることは罪深い」参照）。
ですから、00 の計算は「禁止」するのがもっとも妥当なのでしょう。
しかし、それではすっきりしないので、00 についてもう少し考えてみることにします。

0 は 0 × 1, 0 × 2, 0 × 3, . . . とみることができます。すなわち 0 = 0 × 1 = 0 × 2 = 0 × 3 = . . . です。このことから 00 の右肩の 0 を 0×1 , 0×2 , 0×3 , ... に変えてもかまわないでしょう。つまり

00 = 00×1 = 00×2 = 00×3 = . . .
です。指数法則をおおらかに用いて

00 = (00 )1 = (00 )2 = (00 )3 = . . .
が成り立ちます。もし 00 に何らかの答があって、その値が a であるならa = a1 = a2 = a3 = . . .ということになるでしょう。a は何乗しても等しいのです。こんな芸当のできる数 a は 0 か 1 しかありえません。となれば、00 の答がいくつでもよいといっても、0 か 1 と考えるのが自然でしょう。
ためしに xx というものを考えてみます。x の値を 2 ぐらいから始めて、2, 1, 0.9, 0.8, . . . , 0.1, . . . , 0.01, . . . , (0)と徐々に 0 に近づけていきましょう。xx の値はどう変化するでしょうか。表は x の値を徐々に 0 に近づけていったときの xx の値をコンピュータによって計算させてみたものです。

tmt’s math page3xxx2

4.000000000000—

11.000000000000

−3.00

0.9

0.909532576083

−0.90

0.8

0.836511642073

−0.73

0.7

0.7790559126704

−0.57

0.6

0.7360219228178

−0.43

0.5

0.7071067811865

−0.29

0.4

0.6931448431551−0.14(0.3679 . . .)(0.6922 . . .)0.3

0.6968453019359

+0.04

0.2

0.7247796636777

+0.28

0.1

0.7943282347243

+0.70

0.01

0.9549925860214

+1.79

0.001

0.9931160484209+4.24

0.00001

0.9998848773725+6.84

0.000000001

0.9999999792767

+11.5

変化の割合

(正負の境目)

この表はちょっと不思議な結果を示しています。というのは、x の値が 2 よりもっと大きいところでは xxの値はとてつもなく大きな値になると想像されます。しかし、x の値を 0 に近づけるほど xx の値が 0 に近づくわけではないようです。x = 0.36 あたりを底に増加に転じます。これをみると x がごく 0 に近いときは、xx は 1 に近づくようです。それなら 00 は 1 とするのがよいようです。
もっと詳しく xx の変化を追ってみましょう。

y = xx
とおいて両辺の自然対数をとり、この両辺を x で微分します。

log y = log xx = x log x11 dy= log x + xy dxxy = xx を代入して、
1 dy
1= log x + xxx dxxよりdy= (log x + 1)xx .
dx
これより x > 0 における増減表（+∞ → 0）を作ってみましょう。

tmt’s math page4y76543x0...

1e...

dydx

\−0+y00↖

( 1e ) e

1211( 1e ) e↙
O1ex123

増減表とグラフから x → 0 + 0 のとき xx の値は 00 に近づいていきますが*1 、さっきの表の結果からこの値は 1 とするのがよいでしょう。もっともこれは、00 を xx (x → 0) の関数として見た場合の話ですから、すべての 00 が 1 に等しいとするものではありません*2 。00 はやはり不定値です。

*1 増減表は本来、左から右へ見て ↘, ↗ の矢印を記入しますが、x → 0 + 0 の極限を調べているので、あえて表を右から左へ見て、↖, ↙ の矢印にしています。
*2 00 に近づく関数は、xy (x → 0, y → 0) などいくらでも考えられます。