2017/6/14

Mathtodon

⿊⽊⽞ Gen Kuroki@genkuroki

mathtod.online/@iwaokimura/257…
Sato-Tate 予想の例のグラフ。
2y = sin x のグラフと重ねてみた。 mathtod.online/media/fraB04cae…

2017年06⽉12⽇ 15:42 · Web ·  2 ·  4 · Webで開く
Monday at 4:01pm
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
2sin 分布は3次元球⾯(表⾯が3次元)上の⼀様分布を1次元の軸に射影したものに⼀致する。

その射影は A ∈ S U (2) ≅ S 3 をそのトレース trace A に移す写像と同⼀視でき、さらにこの写像は A ∈ S U (2) をその特性多項式 det(xE − A) に移す写像とも同⼀視でき、さらにさらにこれは A ∈ S U (2) をそれを含む共役類に移す写像とも同⼀視できる。
Sato-Tate予想は正標数の素体上での楕円曲線の有理点の個数がまるで S U (2) ≅ S 2 上の⼀様分布から来ているように⾒えるという予想。
佐藤幹夫さんがどのようにして sin2 予想を発⾒したかについては次のリンク先が詳しくかつ⾯⽩い。
www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/mat…
難波完爾さんが書いたものは⾯⽩いです。数学の世界が各分野ごとに狭く閉じていない雰囲気をいつも出してくれる。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
より正確に⾔えば sin2 分布の確率密度函数は
22sin

θ,

Monday at 4:21pm

0 ≦ θ ≦ ππであり、これを x = cos θ と変数変換して得られる確率密度函数
2−−−−−2√1 − x ,−1 ≦ x ≦ 1πを持つ確率分布が3次元単位球⾯x2 + y 2 + z 2 + w2 = 1 上の⼀様分布を x 軸に射影したものになっている。
⼀般に m 次元単位球⾯上の⼀様分布の1次元への射影の確率密度函数はhttps://mathtod.online/@genkuroki/257626

1/92017/6/14

Mathtodon
2−1(m−2)/2Zm (1 − x )の形になる。ここで
m−1

Zm = B(1/2, m/2) = 2

B(m/2, m/2).

この公式は確率の総和が1になるという要請を2通りに計算すれば得られる。等号の2つ⽬のベータ函数の等式はLegendreのduplication formulaと同値。
Monday at 4:41pm
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkurokin − 1 次元単位球⾯上の⼀様分布を1次元に射影して得られる分布の密度函数は2n/2−3/2(1 − x ),−1 ≦ x ≦ 1に⽐例する(定数倍を除いて⼀致)。ゆえに半径の⼆乗が n の球⾯上の⼀様分布を1次元に射影して得られる分布の密度函数はn/2−3.22

1x(1 −)n/22に⽐例する。これの n → ∞ での極限は2e−x /2である。標準正規分布の確率密度函数はこれに⽐例する。
半径の⼆乗が n の n − 1 次元球⾯上の⼀様分布を1次元に射影して得られる分布のn → ∞ での極限は標準正規分布になる。
統計⼒学の教科書にあるMaxwell-Boltzmann分布の話は本質的に以上のような話である。
genkuroki.github.io/documents/…の第9.8節を⾒よ。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
各⾃由度ごとの運動エネルギーがMonday at 5:14pm

1v
22iと書けていて、⾃由度は n で運動エネルギーの総和は n/2 であるとする。
n∑v2i= n.

i=1

これは半径の⼆乗が n の n − 1 次元球⾯の定義式に⼀致。
達はこの球⾯上で⼀様分布していると仮定する(等確率の原理とエネルギー保存則を仮定)。n が⼤きなとき、任意に選んだ vi たちのうちの１つは標準正規分布に従うことを上で⽰した。まさにMaxwell-Boltzmann分布の話。
vi

このタイプの正規分布の出現の仕⽅は中⼼極限定理とは異なる。この点を誤解してはいけない。
統計学を⽀える確率論における3つの基本定理は、⼤数の法則と中⼼極限定理とそしてSanovの定理である。Maxwell-Boltzmann則は中⼼極限定理ではなく、Sanovの定理から従う。
genkuroki.github.io/documents/…
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
訂正：

Monday at 5:47pm

xn/22

(1 −

https://mathtod.online/@genkuroki/257626

n/2−3.221)

2/9

2017/6/14

Mathtodonは正しくはもちろん
n/2−3/221x(1 −)n/22です。こう書き直す前の式は(n−3)/22x(1 −).

n⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
⾃由度→無限⼤の極限は「熱⼒学的極限」と呼ばれているようです。

Monday at 5:54pm

何らかの⾃由度(次元)が極めて⼤きな熱浴があって、そこに注⽬したい系がどっぷりつかっているとき、注⽬したい系だけに実際に注⽬するとシンプルな良い性質が現れるというのは数学における⼀つの重要なパターンであるように思えます。
「熱浴」の概念を⼀般化するための中途半端な考察をツイッターに書いたことがありました。
genkuroki.github.io/documents/…
genkuroki.github.io/documents/…
genkuroki.github.io/documents/…
Monday at 6:09pm
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
話題をがんがん脱線させまくっていますが、「熱浴」っぽく⾒える数学的テクニックに「テンソルべきトリック」(tensor power trick)というのがあります。
tricki.org/article/The_tensor_…
terrytao.wordpress.com/2007/09…

数学⽤語で「トリック」と⾔えばだましのトリックという意味ではないです。
テンソルべきトリックとはα ≦ βを⽰すために任意の k について
αk≦ Mβkを⽰す⽅法のことです。両辺の k 乗根を取って k → ∞ とすると、M 1/k → 1 よりα ≦ β が得られる。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
テンソルべきトリックはWeil予想の証明でも使われています。

Monday at 7:04pm

任意の d 次元の X に関する|α| ≦ qd/2を証明するために、任意の d 次元の X に関して証明できる弱い条件|α| ≤ q(d+1)/2から、nd 次元の X n に関する
|αn| ≦ q(nd+1)/2を出して、|α| ≦ q(d+1/n)/2の n → ∞ での極限でhttps://mathtod.online/@genkuroki/257626

3/92017/6/14

Mathtodon|α| ≦ qd/2⽰す⽅針。そして、Poincare双対性より、逆向きの不等式も得られて|α| = qd/2が得られる。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
テンソルべきトリックは以下のようにも使われる。

Monday at 7:25pm

Mcmillanの不等式: r 種類の⽂字 s 1 , … , s r の b 種類の⽂字による可逆な符号化で s i の符号化(b 種類の⽂字の⽂字列になる)の⻑さが li のとき
ra := ∑ b−li

≦ 1.

i=1

証明: 正の整数 n に対して、li + … + li
書くと、符号化が可逆なこと(単射性)より1を満たす s i ⋯ s i 全体の個数を Nk と= kn1nkNk ≦ b .
l = max{l1 , … , lr }とおくとnlan= ∑ Nk b−kk=0nlk≦ ∑b b−k= nl.

k=0an≦ nlの両辺の n 乗根を取って n → ∞ とすると a ≦ 1 が得られる. q.e.d.

Monday at 7:53pm
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
このMcmillanの不等式から、Shannon情報量が可逆な符号化の平均符号⻑の下界になっていることが出ます。ファイルの中に⽂字 s i が確率 pi で現われるとすると、そのファイルのShannon情報量(Shannonエントロピーと⾔うことも多い)はr∑ pi (− logb pi )i=1と定義されます。⼀般に ai ≧ 0, ∑i=1 ai ≦ 1 のとき、Gibbsの情報不等式より、
rrr∑ pi (− log a i ) ≧ ∑ pi (− log pi ).
i=1i=1

Mcmillanの不等式より、ai = b−l に関してこの不等式が使えるので、平均符号⻑について、irr∑ pi li = ∑ pi (− logb a i )i=1i=1r≧ ∑ pi (− log pi ).
i=1

Monday at 8:17pm
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
専⾨外過ぎるせいで、正直まだよくわかっていないことは、Sanovの定理と平均符号⻑に関する話の関係。

Sanovの定理はもろに「熱浴」の数学そのものだし、平均符号⻑の不等式を証明するときに使ったMcmillanの不等式の証明には「熱浴」っぽいテンソルべきトリックを使っているので、その辺の関係をうまく⾔えたらいいのだが。

https://mathtod.online/@genkuroki/257626

4/9

2017/6/14Mathtodon

Monday at 9:07pm
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
あと「熱浴」ネタで⾯⽩そうなのでもっと理解したいのがPoincare予想のPerelmanさんによる証明における熱浴の利⽤。

terrytao.wordpress.com/2008/04…にあるTaoさんによる解説ではPerelmanさんが使ったケースの類似として「Laplace⽅程式＋熱浴」から「熱⽅程式」を出す話を扱っています。
その話はMaxwell-Boltzmann則の話の拡張になっています。正規分布の確率密度函数は分散を時間変数とする熱⽅程式の基本解になっています。
その意味での時間変数はMaxwell-Boltzmann則では温度に対応しています。
しかし、Laplace⽅程式との関係は統計⼒学の教科書でも⾒たことがありません。
⾃由度→無限⼤でのLaplace⽅程式と⾃由度有限での熱⽅程式の関係について書かれている統計⼒学の⽂献があれば教えて欲しいです。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki「熱欲」話の続き

yesterday at 9:44am

物理的には熱欲はでかければ何でも良いと思うのですが、そういう完全なる⼀般論を考えるのではなく、以上で挙げた例に共通の条件(雰囲気)について考えてみる。
(1) Weil予想では有限体上の多様体 X (注⽬する系)をその n 個の直積 X n (熱欲)に対⾓的に埋め込み、n を⼤きくする。熱欲に埋め込むメリットは、素数定理に対応する荒い不等式から、Riemann予想に対応する精密な不等式を出せること。
Weil予想は⾊々難しいのでもっと易しい例を考える。続く
yesterday at 9:59am
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki(2) 確率変数 X (注⽬する系)を独⽴同分布確率変数列 X1 , X2 , … , Xn (熱欲)の中の任意の１つとして埋め込むことは統計学における最も基本的な設定です。

物理における熱欲にずばり対応するのは X1 , X2 , … , Xn について
1nn≦∑ h(Xi )i=1c≧の型の制限のもとでの条件付き確率分布を考えることです。
物理ではエネルギー保存則があるので、状態 x のエネルギーを h(x) としてエネルギーの総和が「⼀定」という条件を課しますが、不等式に条件を緩めた⽅が数学的には扱い易いです。
⽥崎晴明さんの統計⼒学の教科書でも不等式で制限をかけて議論をクリアにしています。
yesterday at 10:11am
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
独⽴同分布確率変数列の１つとして元の確率変数(注⽬する系)を埋め込んで、独⽴同分布確率変数列の⽅で1nn≦∑ h(Xi )i=1c≧の型の制限による条件付き確率分布を考えて、n を⼤きくして、さらに注⽬する系だけに注⽬するようにすると、いわゆるカノニカル分布が得られます。
注⽬する系 X の元々の確率密度函数が φ(x) ならば条件付き確率分布から得られる確率分布の確率密度函数はhttps://mathtod.online/@genkuroki/257626−1−βh(x)5/92017/6/14Mathtodon−1−βh(x)Z (β)

e

Z (β) = ∫eφ(x),−βh(x)φ(x) dxになることを⽰せます。逆温度 β は c から決まります。(Sanovの定理またはCramerの定理の帰結)
yesterday at 10:27am
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki(3) さらに易しい例。(2)の例の特別な場合。Maxwell-Boltzmann則。統計⼒学の教科書に本質的に載っている。
−−−−における原点を中⼼とする半径 √nt の球⾯ √nt S n−1 を考え、その上の⼀様分布の x1 軸への射影を考えましょう。それの計算はせいぜい⼤学2年⽣レベル。
nR= {(x1 , … , xn )}実際に計算すると、x1 軸上の分布の密度函数はn/2−3/22x(1 −)ntの定数倍になることがわかります。これは n が⼤きいとき
2e−x /(2t)で近似されるので、n → ∞ での極限で x1 軸上の確率分布の密度函数は12−−−√2πte−x /(2t)になります。平均0、分散 t の正規分布。この密度函数は熱⽅程式
1ut =2uxxを満たし、t → +0 でデルタ函数に収束する。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki(4) さらにさらに易しい例。Mcmillanの不等式。

yesterday at 11:00am

種類の⽂字 s 1 , … , s r の各々に b 種類の⽂字 t1 , … , tb を並べた⽂字列 w1 , … , wr を対応させることを符号化と呼びます。以下、wi の⽂字列としての⻑さを li と書きます。
r⻑さ n の⽂字列 s i ⋯ s i は⻑さ k = liると考えます。
1n1+ ⋯ + linの⽂字列 wi ⋯ wi に符号化され1n符号化が可逆であるとは s i ⋯ s i を wi ⋯ wi に移す写像が単射になることだと定義します。
1n

1n

続く
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
Mcmillanの不等式: 可逆な符号化について

yesterday at 11:03am

ra := ∑ b−li

≦ 1.

i=1

証明：li の最⼤値を l と書くと、⻑さ n の⽂字列 s i ⋯ s i の全体は b 種類の⽂字を並べた⻑さ nl 以下の⽂字列全体の中に単射で符号化される。
1nゆえに、⻑さ k の⽂字列に符号化される s i ⋯ s i 全体の個数 Nk は b 種類の⽂字を並べ1n

た⻑さ k の⽂字列全体の個数 bk 以下になる。
したがって
https://mathtod.online/@genkuroki/257626

6/92017/6/14

Mathtodonnlan= ∑ Nk b−ki=nnlk≦ ∑b b−k= nl.

i=1

これより n → ∞ で
1/na ≦ (nl)= e(1/n) log(nl)→ 1.

これで a ≦ 1 が⽰された。q.e.d.
yesterday at 11:13am
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
証明のポイントは1⽂字の符号化の⻑さ li に関するMcmillanの不等式について直接考えるのではなく、⻑さ n の⽂字列 s i ⋯ s i の符号化に関する可逆性(単射性)から得られる⾃明な不等式を考えることです。
1n

各⽂字 s i 達(注⽬する系)の符号化は⻑さ n の⽂字列全体(熱欲)の符号化の中に埋め込まれており、⻑さ n の⽂字列の符号化の単射性による制限は各⽂字の符号化の制限(Mcmillanの不等式)を導くわけです。
Mcmillanの不等式の証明は、「注⽬する系」を「熱欲」に埋め込んで考えることととテンソルべきトリックの関係の最もわかり易い例になっていると思います。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
n−la の計算は以下の通り、a = ∑ bより
iyesterday at 11:20am

ian=∑b−(l1+⋯+ln)

i1 ,…,in

⎛

⎞

= ∑k∑
⎝li +⋯+lin =k1b−k⎠

1= ∑ Nk b−k.

k

この⼿の計算はよくします。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
⼀般にyesterday at 12:36pm

rpi ≧ 0,∑ pi = 1,i=1ra i ≧ 0,

∑ ai ≦ 1i=1のとき
rr∑ pi (− log a i ) ≧ ∑ pi (− log pi ).
i=1i=1

これはGibbsの情報不等式と呼ばれています。
Gibbsの情報不等式については、証明できなくても r = 2 の場合に固定された p1 , p2 について a1 , a2 の函数としてのグラフをコンピューターで描いて納得するのでも良いと思います。証明できる⼈もグラフは⾒た⽅が良いです。
ai = b−liに関するMcmillanの不等式とGibbsの情報不等式より、
rr∑ pi li ≧ ∑ pi (− logb pi ).
i=1

https://mathtod.online/@genkuroki/257626

i=17/92017/6/14

Mathtodon

左辺は⽂字 s i が現われる確率が pi のときの1⽂字あたりの平均符号⻑であり、右辺はShannon情報量です。これはファイルの可逆圧縮の限界を⽰す不等式。
yesterday at 3:02pm
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
訂正：ずーっと上の⽅で S U (2) ≅ S 2 と書いた部分があるが、もちろん正しくは
3S U (2) ≅ S .

具体的にはz−w̄

w

z̄[] ∈ S U (2)と3(a, b, c, d) ∈ Sがz = a + ib,

w = c + idによって⼀対⼀に対応している。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
誤植訂正版
an

yesterday at 3:04pmの計算は以下の通り、a = ∑i b−l より
ian=∑b−(li +⋯+lin )1i1 ,…,in⎛

⎞

= ∑∑⎝

k1b−k⎠li +⋯+lin =k1= ∑ Nk b−k.

k

この⼿の計算はよくします。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
例えば、以下 p は素数を動くことにすると、yesterday at 3:20pm∞

1−k ps= ∑ p−s1 − p

k p=0について1∏p−s1 − p−s=kp∑(∏ pk 2,k 3,…

p∞⎛)⎞= ∑⎜∑

n=1 ⎝∏pp

kp=n1⎟ n−s⎠∞= ∑n−s.

n=1最後の等号で素因数分解の⼀意存在を使った。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
他の例: n の分割数を p(n) と書く。例えば

https://mathtod.online/@genkuroki/257626

yesterday at 3:31pm

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Mathtodon
4 = 1 + 1 + 1 + 1= 1 + 1 + 2= 2 + 2
= 1 + 3= 4の5通りなので、p(4) = 5 です。n の分割は n = k 1 + 2k 2 + 3k 3 + ⋯ (有限和)となる
⾮負の整数達 k i で決まります。ゆえに∞

11 − q= ∑qiik ik i =0について
∞

1

∏i=1

=1 − qi∑q

k 1+2k 2+3k 3+⋯

k 1,k 2,…≧0∞

= ∑(∑

n=0

k 1+2k 2+3k 3+⋯=n1) qn∞= ∑ p(n)qn.

n=0mathtod.online powered by Mastodon

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