文字の使用の水準と論証過程の関連性
磯谷祐介

指導教員：溝口達也

1. 研 究 の 目 的
現行の論証指導の問題点や証明の困難性について様々な指摘がなされている。 例えば， 小関(2001) は，証明が構成できない，証明の意義が理解できない，仮定に適する図がかけない，等の指摘がなされる中で，特に文字式の証明と密接に関連する問題として「子どもが文字を適切に使えない」ということを指摘している。
本研究では文字式の論証に限定し，上に述べた証明の問題点である「子どもが文字を適切に使えない」に焦点を当てる。文字式の証明ができない子どもに対して，文字を用いる水準と論証過程の関連性に着目し，文字の使用の水準を引き上げることを契機として証明の水準をも引き上げることが出来る可能性があることを主張する。
2. 研 究 の 方 法
本研究では以下の研究課題を設定し，その解決を試みる。
研究課題 1：証明の水準とはどのようなものか
研究課題 2：文字の使用の水準とはどのようなものか
研究課題 3：文字の使用の水準と論証過程の水準の関連性はどのようなものか
研究課題 4：文字の使用の水準と論証過程の水準の関連性にはどのような価値があると言えるのか
研究課題 1 については宮崎 (1995) で述べられている説明の水準をもとにどのような順に説明がより高次なものに変化して行くのかを特定し，その考察を行う。
研究課題 2 については Kuchemann(1981)，杜 (1991) の調査結果からどのような文字の読み取り方が存在するのかについて知る。それをもとに文字の用い方の検討をするとともにどれがより高次なものになるのかを特定する。
研究課題 3 について研究課題 1,2 で得られた知見をもとに文字の使用の水準と証明の水準についてどのような関連性があるのかを考察する。
また ， 研究課題 4 につ い て は ポ ア ン カ レ(1938) の思想を取り入れ，研究課題 3 で導いた文字の使用の水準と証明の水準の関連性を捉え直すことで，どのような価値があると言えるのかを特定する。
3. 研 究 の 概 要( 1 ) 証明の水準
宮崎 (1995) は証明に至る段階として学校数学における説明に水準が存在する事を指摘している。
学校数学における証明は学校数学における説明の最も上位に位置付くものであり，その違いを証明の構成要素，その中でも特に説明の内容と表現に着目し学校数学における説明を区別している。
宮崎の説明の水準に依拠すれば，本研究で取り上げるべきである証明の水準は以下の様に定めることができる。
説明の表現

説明 C

説明の内容

数や図形に関する命題 子 どもにとって 普遍妥 当の連鎖を表すための言 な 前提 から 当該命題まで
語以外の言語の 論理的 だが 演繹的でない推論

説明 D

説明 A

数や図形に関する命題
子 どもにとって 普遍妥 当の連鎖を表すための言な 前提 から 当該命題まで
語の演繹的な推論

すなわち，説明の表現が数や図形に関する命題の連鎖を表すための言語以外の言語であり，説明の内容が子どもにとって普遍妥当な前提から当該命題まで論理的だが演繹的でない推論のであるものが説明 C，そこから説明の表現が数や図形に関する命題の連鎖を表すための言語に高まったものが説明 D，そしてそこから説明の内容が子どもにとって普遍妥当な前提から当該命題までの演繹的な推論に高まったものが説明 A であると言える。
( 2 ) 文字の使用の水準「表す」は事象から記号の方向で向かうことで一般化，抽象化の過程であるといえる。「読む」
は逆に，記号から事象の方向へ向かうことで特殊化，具体化の過程であるといえる (三輪，1996)。
つまり，文字を用いて「表す」ことは一般的に考えることであり，文字を「読む」ことは具体的に考えることに相当する。
一方で，文字式を扱う中学校段階では子どもたちの認知発達は具体的操作期から形式的操作期の移行期間といえる。中学生でも全ての子どもが論理的・抽象的な思考や，記号的・形式的な操作が完全にできるようになる訳ではない。
故に，具体的操作から一般的な操作，文字を「読む」ことから文字を用いて「表す」という順に考えることが妥当であると言える。
杜 (1991) は我が国の子どもを対象にし，子どもの文字の読み取り方について調査を行った。この結果より子どもの文字の読み取り方として以下の 5 つがあげられる。
・プレースホルダーとして使われる文字・物としての文字・定数としての文字・未知数としての文字・変数としての文字
先に述べた，文字を「読む」ことと文字を用いて「表す」ことの関係性より，文字の読み取り方と同様に考えることで，我が国における文字の用い方には 5 つが存在すると予想される。
考察を進めていくと，先に挙げた 5 つの文字の用い方というのは，文字を使っているかどうか，表すものの関係性に着目した文字の用い方がされているかどうかで分けることが出来る。
また，文字を定数・未知数・変数として読み取る方がレベルが高い，と Kuchemann(1981) や杜 (1991) が述べることからも，文字を定数・未知数・変数として用いる方が，すなわち文字の関係性に着目し用いる方がレベルが高いことは明らかである。
つまり，これまでの議論をまとめると，以下のように 3 種類に分類することができる。
・文字を用いない・文字の表すものの関係性に着目していない用い方・文字の表すものの関係性に着目した用い方( 3 ) 文字の使用の水準と証明の水準の関連性
証明の水準である，説明 C，説明 D，説明 Aをそれぞれ P1，P2，P3，文字の使用の水準である，文字を用いないもの，文字の関係性に着目していないもの，文字の関係性に着目しているものをそれぞれ S1，S2，S3 と略記する。
文字の使用の仕方と証明の水準の関連性を考える上で，文字の水準が上がることで証明の水準も引き上げることができるという立場に立てば，このレベルの証明ができるためには，このような文字の用い方がされることが前提となる，といえる。
つまり，以下のようにそれぞれの文字の用い方の水準に対して証明の水準が存在する，と考える事ができる。

S1

S2

S3

P1P2P3

S1 の段階では証明としては P1 のものしかできないが，文字の水準が S2 や S3 と上がっていく事によって，証明の水準も P1 から P2 へ，そして P3 へと高める事ができるこの可能性を示している。つまり，文字の水準を高めることが証明の水準を高めることの必要条件になると言えるのである。
これより，文字の使用の水準を高める事によって証明の水準をも高める事ができるという可能性，すなわち文字の水準を高めることが証明の水準を高めることの必要条件になると言えるのである。
( 4 ) 理論的検証
ポアンカレ(1938) の述べる「検証」と「証明」いう言葉を用いれば，P1 と P2 の水準にあたる
証明は「証明」ではなく「検証」であり，一方で，P3 の水準は「証明」であると捉えられる。
「検証」すること自体に意味がない訳ではない。
しかし，文字式の論証においてなされるべきなのは「証明」なので，「検証」ではなく「証明」がなされるように文字を用いるべきなのである。
つまり，「検証」から「証明」に向かわせることが必要ということが示された。これが，文字の使用の水準と証明の水準の関連性の持つ価値であると考えられる。
4. 論 文 の 構 成
第 1 章 はじめに
第 2 章 証明の水準
第 3 章 文字の使用の水準
第 4 章 文字の使用の水準と論証過程の関連性
第 5 章 理論的検証
第 6 章 おわりに引用・参考文献
5. 主 要 引 用 ・ 参 考 文 献
小関熙純 (2001). 『「論証」の理解に関する研究』，第 34
回数学教育論文発表会課題別分科会発表集録 pp21-26
Kuchemann, D. (1981). "Algebra", Katheleen M.
Hart(Eds.)', Children's Understanding ofMathematics:11-16 (pp102-119)
三輪辰郎 (1996). 文字式 の指導序説； 筑波大学数学教育研究
第 15 号 pp1-14
宮崎樹夫 (1995). 学校数学 における 証明に関する研究ー証明に 至 る 段階に説明の水準を設定することを通してー； 筑波大学大学院博士論文
ポアンカレ，河野伊三郎訳 (1938). 科学と仮説，岩波書店
杜威 (1991). 学校数学 における 文字式の学習に関する研究ー
数の世界から文字の世界へー：東洋館出版社