２００３年日本数学会特別講演アブストラクト

反応拡散系の爆発問題— 拡散誘導爆発とその周辺 —二宮 広和 （ 龍谷大学・理工学部）

1.

はじめに

反応拡散系とは，化学反応や生物モデルにおいて登場する方程式で，反応項と拡散項からなる．具体的には，化学物質の濃度や生物種の分布密度を uj (x, t) (1 ≤ j ≤ M) とすると，M 成分の方程式系

uj,t = dj uj + fj (u1 , · · · , uM ) (1 ≤ j ≤ M, x ∈ Ω, t > 0)(1.1)となる．ここで，uj,t は，∂uj /∂t を表している．簡単のため，u = t (u1 , · · · , uM ) と表示する．非線形項

f (u) = t (f1 (u), · · · , fM (u))
は RM から RM への滑らかな関数で，拡散係数 dj は正とする．境界条件∂uj= 0 (1 ≤ j ≤ M, x ∈ ∂Ω, t > 0)∂n(1.2)uj (x, 0) = u0j (x) (1 ≤ j ≤ M, x ∈ Ω)

(1.3)

および初期条件を課す．ここで n は，∂Ω の外向き法線ベクトルである．特に特に断らない限り，Ω は，RN の有界集合で，∂Ω は滑らかとする．
化学反応において攪拌していたり，反応速度が速い場合などは，化学物質の濃度は，時間だけに依存すると考えられ，Uj,t = fj (U1 , · · · , UM ) (1 ≤ j ≤ M)

(1.4)という常微分方程式系を満たす．境界条件 (1.2) より Uj (t) は，(1.1)-(1.3) の空間一様な解と見なすことができるので，(1.1)-(1.3) の解集合は，(1.4) の解集合を含んでいる．

熱方程式においては拡散は，空間一様化に働くため，拡散項は，空間非一様化より一様化に働くと思いがちである．実際，拡散係数が十分大きい場合，反応拡散系 (1.1)–(1.2)の有界な解は，次第に空間一様化して，対応する常微分方程式系 (1.4) によって解の挙動が支配されることが Conway-Hoﬀ-Smoller [3] によって報告されている．しかし，一般には，必ずしもそうではない．Rashevsky や Turing によって発見された拡散不安定性の理論 [15, 18] は，拡散によって空間周期的なパターン形成を促進する効果として作用している．
通常，こうした不安定化の効果は，ある程度大きくなると，非線形性の効果が大きくなり，有界な解になる．拡散による空間非一様化の効果が，非線形項に負けずにずっと続き，解が有界でないような系あるいは爆発するような系はないのだろうかという疑問が生じる．本講演では，このような系をどのようにして構築するかについて述べる予定である．
こうした系の構築に，M = 2 で十分なことが多いため，主に次のような２成分系
ut = d1 u + f (u, v)
vt = d2 v + g(u, v)
および境界条件・初期条件∂v∂u== 0 (x ∈ ∂Ω, t > 0),∂n∂nu(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v 0 (x) (x ∈ Ω)

(1.5)

を考える．

2.

時間大域的存在と爆発問題

まず，単独の微分方程式

Ut = f (U)を考える．十分大きな U に対して f (U) > 0 ならば，U(t) は単調に増加し，
 ∞
dU
<∞
f (U)
によって，爆発の有無が判定できる．これは，Osgood の条件と呼ばれている．この条
件は，線形方程式ではみたされず，非線形性が爆発に大きく関与していることを意味している．典型例としては，

Ut = U p(2.1)

がよく用いられる．この方程式の解は，
1/(p−1)
1
U(t) =(T − t)−1/(p−1)
p−1となる．
常微分方程式系 (1.4) は，解の挙動により，次のように分類できる．
大域存在系 ：すべての解が時間大域的に存在する系．
有界系 ：すべての解が，有界に留まる．
増大系 ：大域存在系の中で，ある解が存在して，limtn →∞ |u(tn )| = ∞ を満たす．
爆発系 ：有限時刻で爆発するような解を含んでいる系．
次に，反応拡散系 (1.1)–(1.3) の初期値問題を考えよう．反応拡散系の解の局所的な存
在および一意性は，適当な関数空間をとることにより，半群の理論から保障されている．
時間大域的な存在に関しては，• リャプノフ関数を用いる方法• 最大値の原理を用いる方法• 積分評価を用いる方法など ，非線形性の特殊性をうまく用いた証明にたよることになる．ここでは，後の説明の都合により不変領域の性質をうまく用いた定理のみ紹介する．
定理 2.1 (Chueh-Conley-Smoller [1, 17]). 直方体 Σ := [a1 , b1 ] × · · · × [aM , bM ]が，(1.4) で正不変ならば，(1.1)–(1.2) に対しても正不変である．つまり，

aj ≤ u0j (x) ≤ bj

(1 ≤ j ≤ M, x ∈ Ω)

aj ≤ uj (x, t) ≤ bj

(1 ≤ j ≤ M, x ∈ Ω)

ならば，t > 0 に対しが成り立つ．
拡散係数 dj が，一般のときは，Σ が直方体である必要があったが，拡散係数が等しい場合は，以下のように条件を緩めることができる．
定理 2.2 (Weinberger [20]).

d1 = d2 = · · · = dM > 0と仮定する．凸集合 Σ が，(1.4) で正不変ならば，(1.1)–(1.2) に対しても正不変である．

これらの定理は，常微分方程式系による正不変性は，ある条件下で反応拡散系の正不変性に遺伝することを意味している．しかし，遺伝しない性質もある．安定性がその一例である．(1.4) の漸近安定な平衡解は，(1.1)–(1.2) の定数定常解となっているが，不安定となるような場合があることが，Rashevsky や Turing によって発見された ([15, 18] 参照)．例えば，
Ut = U − V
Vt = 3U − 2Vは，(0, 0) を漸近安定な定常解となっているが，Ω = [0, 1], d = 17/360 とすると
ut = duxx + u − v
vt = vxx + 3u − 2v
および境界条件 (1.5) の定数定常解 (0, 0) は不安定であることがわかる．この現象は，拡散不安定性と呼ばれ，拡散が空間周期的なパターン形成を促進する効果として作用している．
次に反応拡散系の爆発問題を考えよう．j, T および点列 xn ∈ Ω, tn → T が存在して，n → ∞ のとき，|uj (xn , tn )| → ∞となるとき，爆発するという．
単独 (M = 1) の反応拡散系については，多くの研究者によって研究されており，[4, 5,7, 9] などが挙げられる．
常微分方程式系では，単に非線形項 f が爆発，非爆発を決定するが，反応拡散系では，さまざ まな要素が加わってくる．例えば，• 非線形項• 領域• 境界条件• 初期値• 拡散項

などの要因が考えられる．こうした中で，できる限り非線形性と拡散の効果だけに注目したいので，領域が有界，初期値も有界，境界条件はノイマン境界条件という状況を考えるのが妥当と思われる．この場合，最大値の原理より，単独反応拡散系の解の爆発の有無は，常微分方程式系の爆発の有無と同値であることがわかる．しかし，単独でない場合 (M ≥ 2) には，この類推は成り立たない．これが，次節で述べる拡散誘導爆発である．

3.

拡散誘導爆発前節で述べた拡散不安定性は，局所的な効果であり，線形方程式においても見られる．
つまり，非線形性は本質的に関与していない．それでは，「常微分方程式系の解の大域的存在性が，反応拡散系に遺伝しないのであろうか？」という疑問が生じ る．もし ，これが正しければ ，反応拡散系の解の時間大域的存在は，常微分方程式系の挙動を調べることによってわかることになり，大変便利である．しかし，これは成り立たない．つまり，拡散がない常微分方程式系の解は，すべて時間大域的に存在するが，拡散をつけると有限時刻で爆発するような解が存在するという条件を満たす非線形項 f が存在する．このような例を拡散誘導爆発とよぶことにする．
具体的には，以下のような結果が知られている．

(i) Churbanov (1990) [2](ii) Morgan (1990) [11](iii) Wang-Zhang (1996) [19](iv) Guedda-Kirane (1998) [7](v) Pierre-Schmitt (1997,2000) [13, 14](vi) Mizoguchi-N.-Yanagida (1998) [10](vii) Weinberger (1999) [21]前節で述べた観点から，これらの結果を簡単に説明しよう．(i) では抽象的に扱っており，常微分方程式系 (1.4) の挙動はよくわからない．(iv) において，(i) の具体例を与えているが，領域・初期値ともに非有界であるだけでなく，(1.4) は増大系になっている．
(ii) では，領域・初期値は有界であるが，(1.4) は増大系となっている．(ii) では d1 = 0を仮定する必要があったが，(iii) では，この条件をはずしている．(v) では，領域・初期値ともに有界な状況を考えているが，境界条件がディリクレ境界条件で，有界な値が与えられている．そこで，(vi),(vii) の結果を紹介する．

V10
7.55
2.5
10 7.5 5 2.5
2.5

2.55

7.5 10U57.510

図 3.1: 常微分方程式系 (3.1) の解軌道の様子 (p = 3)
定理 3.1 (Mizoguchi-N.-Yanagida [10]). p > 1 を仮定する．常微分方程式系

Ut = |U − V |p−1 (U − V ) − U,
(3.1)
Vt = |U − V |p−1 (U − V ) − V,のすべての解は，t → ∞ のとき (0, 0) に収束する．一方，0 < d1 < d2 のとき，反応拡散系
ut = d1 u + |u − v|p−1 (u − v) − u,
(3.2)
vt = d2 v + |u − v|p−1 (u − v) − v,および境界条件 (1.5) の解で，有限時刻で爆発するものが存在する．
常微分方程式系 (3.1) の解は，

|U0 − V0 |p−1 (U0 − V0 ) −t(e − e−pt ) + U0 e−t −→ 0
p−1|U0 − V0 |p−1 (U0 − V0 ) −tV (t) =(e − e−pt ) + V0 e−t −→ 0
p−1
U(t) =と具体的に計算できるので，すべての解が原点に収束することがわかる．原点が大域的安定な定常解となっているが，解の挙動は単純ではなく，図 3.1 のようになっている．

u, v
400200x200400

図 3.2: 反応拡散系 (3.2) の解の爆発時刻近くの様子 (p = 3, N = 1)．黒色線は u(x, t) を，灰色線は v(x, t) を表す．
次に (3.2) の解が爆発することを簡単に説明しよう．簡単のため，初期値 (u0 (x), v 0 (x))
が，
0u (x)dx =v 0 (x)dxΩΩを満たすと仮定する．w(x, t) := u(x, t) − v(x, t) とおくと，
w(x, t)dx = 0Ω

を満たす．方程式系 (3.2) より，w は，

wtt − (d1 + d2 )wt + 2wt = −d1 d2 2 w + (d1 + d2 )w − w − (d1 + d2 )(|w|p−1w)を満たす．この方程式の解 w が爆発することを示すことにより，(3.2) の爆発が示される．爆発する解の典型的な形状は，図 3.2 のような形である．
拡散係数が等しいとき，この例では，解は爆発しない．実際，いくらでも大きな凸集合で (3.1) に関して正不変なものが存在するので，定理 2.2 を用いると，(3.2) のすべての解が有界に留まることが従う．
そこで，Weinberger は拡散係数が等しい場合の例を構成した．
定理 3.2 (Weinberger [21]). 常微分方程式系

Ut = U|V | (|U | − |V |)(|U | + 1) − U,
Vt = V |U | (|V | − |U |)(|V | + 1) − V,

(3.3)

V
108642246810U

図 3.3: 常微分方程式系 (3.3) の解軌道の様子のすべての解は，t → ∞ のとき (0, 0) に収束する．一方，d > 0 のとき，１次元区間Ω = [−1, 1] 上の反応拡散系
ut = duxx + u|v| (|u| − |v|)(|u| + 1) − u,(3.4)
vt = dvxx + v|u| (|v| − |u|)(|v| + 1) − v,
および境界条件 (1.5) の解で，有限時刻で爆発するものが存在する．
常微分方程式系 (3.3) の解の挙動は，図 3.3 のようになっている．反応拡散系 (3.4) の初期値をu0 (x) = v 0 (−x) = c2 + sinπx2として c を十分大きくとると，爆発時刻近くの解の様子は，数値計算により図 3.4 のようになっていることがわかる．

4.

線形誘導爆発拡散誘導爆発の起きる例を解析すると，常微分方程式系に適当な線形項を加えることによって爆発することが，例 (ii,iii,iv,vi,vii) で確認されている．そこで，ど のような方程式系が，線形項を加えることによって爆発が生じるのか調べていく必要が生じる．
非線形項 f が p 次斉次式の場合を考えよう．この場合，単独方程式 (2.1) の場合と同様に (T − t)−1/(p−1) で爆発することが自然に期待されるが，必ずしもそうではない．錐u, v
1750
15001250
1000750500250x
図 3.4: 反応拡散系 (3.4) の解軌道の爆発時刻近くの様子．黒色線は u(x, t) を，灰色線はv(x, t) を表す．
領域で異なる爆発率で爆発するような方程式系も容易に構成できることに注意しておく．
講演では，p 次斉次式の場合の爆発問題の分類や線形誘導爆発と増大系の関係についてもふれる予定である．
通常，原点に向かってくるような線形ベクトル場 (−u, −v) を摂動として加えると，原点が安定になると考えがちである．しかし，以下のような例を構成することもできる ([12]参照)．
定理 4.1 (N.-Weinberger [12]). 常微分方程式系

Ut = U[−1 + V (Ue−V − 1)] − aU
Vt = V (Ue−V − 1) − aV

(4.1)のすべての解は，a = 0 のとき，t → ∞ のとき (0, 0) に収束するが，a > 0 のときには，有限時刻で爆発するような解が存在する．
この例は，[12] の例をもとに a = 0 の場合，原点が大域的漸近安定となるように方程式系を変形にしたものである．
実際，a = 0 の場合の (4.1) の解の挙動は，図 4.1 のように廻りくねりながら，(0, 0) に収束している．しかし，原点向きのベクトル場を加えることによって，原点が不安定になるという皮肉な結果になっている．これは，Lotka-Volterra の理論の拡張と考えることができる．彼らは，第１次世界大戦における漁業活動の減少が，食用魚の割合の減少を招いたことをモデル方程式を用いて説明した ([8] 参照)．逆に，害虫駆除を行うと却って害虫が増えることがあるということもできる．Lotka-Volterra 型方程式では，害虫がVU

図 4.1: 常微分方程式系 (4.1) の解軌道の様子 (a = 0)増えても有界な値であるが，上の定理は，さらにどんどん増えていって爆発する系もあることを示している．

5.

終わりに線形誘導爆発と増大系は深く関与していることが，p 次斉次式の場合にわかる．しかし，線形誘導爆発，増大系，拡散誘導爆発の関係は，現在のところ定かではない．
以上述べてきた反応拡散系の爆発現象は，爆発問題にのみ関わるわけではなく，パターン形成にも大きく関係している．例えば，定理 3.2 の反応拡散系 (3.4) にさらに高次（例えば５次）の小さな摂動を加えると，解は爆発せず，図 3.4 のような形状の解が定常解として数値計算により観察される．この場合，(0, 0) は漸近安定であり，拡散不安定性とは違うメカニズムでパターンが形成されている．拡散不安定性理論や特異摂動法では，拡散の小さい物質がパターンを形成し，拡散の大きい物質がパターンを支配するように考えられているが，上述のメカニズムからは，拡散が等しい場合でもパターンが形成される新しいメカニズムを与えることが期待される．

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