2017/6/17

Mathtodon

⿊⽊⽞ Gen Kuroki@genkuroki

mathtod.online/@satie/263761
リンク先と同じことを
Python SymPy
ではなく、Julia SymPy in Jupyter Notebookでやってみた。
nbviewer.jupyter.org/urls/genk…
ipynbファイル(ノートブックのソース)はgenkuroki.github.io/documents/…
からダウンロードできます。
2017年06⽉16⽇ 21:56 · Web ·  0 ·  1 · Webで開く
20 hours ago
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
Julia 経由で SymPy 使うメリットはほとんどないが、JuliaBoxにアップロードすれば iPad経由でも遊べるという利点はある。

JuliaBox は何のセッティングもせずにブラウザだけで Julia を使えるサービス。結構使っている。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
Julia のチートシート
github.com/QuantEcon/QuantEcon…

13 hours ago

Pythonチートシート
github.com/QuantEcon/QuantEcon…
github.com/QuantEcon/QuantEcon…
より
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
しまった！次のリンク先の返答先は誤り。

5 hours ago

mathtod.online/@genkuroki/2815…

https://mathtod.online/@genkuroki/279252

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2017/6/17

Mathtodon

次のリンク先の情報はとてもありがたかったです。さんきゅ！
mathtod.online/@antimon2/28194…
昔、オープン⼾⽥格⼦の解とその離散化の解が離散時間でぴったり⼀致することをOctave
で数値計算して確認したときのメールを発掘できたので、次のリンク先で公開しておきました。すでに証明されているwidely knowな数学的結果であっても数値的に確認するのは楽しいです。
genkuroki.github.io/documents/…
オープン⼾⽥格⼦は所謂(古典)可積分系の典型例で、Lax形式で微分⽅程式を書けます。その解の整数時間への制限はコレスキー分解の順序をひっくり返してかける操作で定義される離散時間発展にぴったり⼀致します。
専⾨家にはよく広く知られているこの事実を数値的に確認した。
5 hours ago
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
⼤雑把に説明すると、オープン⼾⽥格⼦は1次元空間に並んでいる質点達が指数函数的な反発⼒で遠ざかって⾏く様⼦を記述しています。

時刻→∞で、質点達はどんどん離れ、各質点の運動量は⼀定に近付きます。
こういうことは物理的に直観的に明らかな話。
オープン⼾⽥格⼦が独特なのは、その運動⽅程式が、3重対⾓⾏列 L に関する
dL= [M (L), L]
dt型の微分⽅程式で表⽰できることです(Lax表⽰)。の対⾓成分は質点達の運動量が並び、質点の位置が離れると⾮対⾓成分は0に近付くようになっています。
L上の微分⽅程式で L の固有値は保存され、時間が進むと質点達の位置は離れるので、L は対⾓⾏列に近付きます。すなわち、L が微分⽅程式のフローで対⾓化される。
微分⽅程式の解の整数時間による時間発展は X = e L のコレスキー分解の積の順序をひっくり返す操作で実現できます。
コレスキー分解の繰り返しで固有値を求める⽅法はオープン⼾⽥格⼦の離散化になっていたわけです。
5 hours ago
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
⾃分に課した演習問題の⼀つが同じことをJuliaBox上で実⾏すること。のんびりやって⾏きます。

誰か偉い⼈が答えを教えてくれるのでもいいです(笑)。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
https://mathtod.online/@genkuroki/279252

5 hours ago
2/7

2017/6/17

Mathtodon

2つ⽬の演習問題も可積分系と関係があります。ただし無限次元になりますが。
学⽣時代にKdVなどのソリトン⽅程式の数値計算の話を聞いて、これは⼤変⾯⽩そうな遊びだと思ったのですが、昔は今と違って気軽に数値計算の環境を⼿に⼊れられなかった。
KdV⽅程式については、数年前に⾼速フーリエ変換を使った⼗数⾏のコードで数値計算を実⾏できることを知ったので、scilabでそれを実⾏したときのコードが次のリンク先で公開されています。計算結果が添付画像。
twitlonger.com/show/n_1s0rtqt
これもJuliaBox上で実現したい。(他⼈にデモるときに⾃分のパソコンを持ち運ぶ必要がない⽅がありがたい。)
mathtod.online/media/iRftDEvfn…

⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
3つ⽬の演習問題も広い意味での可積分系に関係があります。

5 hours ago

それは完全WKBの話。
完全WKBでは1次元シュレーディンガー⽅程式を複素領域で考えて、ポテンシャル Q(z)の平⽅根の不定積分の虚部が0になるという条件でStokes曲線を定義します。z は複素数でStokes曲線は複素平⾯上の曲線になります。
−−−−

実際には √Q(z) (のブランチの⼀つ)に対応するベクトル場を描ければ⼗分です。
⼀般に正則函数 f (z) = u(z) + iv(z) に対応するベクトル場は(x, y) ↦ (u(x + iy), −v(x + iy))で定義されます。虚部の成分をマイナス1倍することが⼤事なポイントです。
このようにベクトル場(流れ)を定義しておくと、正則函数が満たすコーシー・リーマンの⽅程式はベクトル場が完全流体(湧き出し無し、渦無し)の流れであることと同値になります。というわけで、ベクトル場をJukiaBox上でプロットしたい。
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
https://mathtod.online/@genkuroki/279252

5 hours ago
3/7

2017/6/17

Mathtodon

scilabで複素平⾯上にベクトル場を描いて遊んでいた様⼦は
togetter.com/li/636897にまとめられています。添付画像はそのうちの画像の⼀つ。
添付画像はtwitter.com/genkuroki/status/4…
より−−−−(Airy⽅程式のケース)に対する √Q(z) のベクトル場とその不定積分の虚部の等⾼線を重ねたもの。⾼さ0の等⾼線がStokes曲線です。
Q(z) = zmathtod.online/media/fNcMR_3mT…

⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
twitter.com/genkuroki/status/4…
より

4 hours ago

⾯⽩いのはポテンシャル Q(z) が⼆位の極(シュレーディンガー⽅程式の確定特異点になる)を持つケースです。
−−−−

添付画像は √Q(z) = (−1 + i)/z の場合のベクトル場とその不定積分の虚部の等⾼線を重ねた図。
Stokes曲線は渦巻きになります。こうなるケースが無限席が登場する「壁越え公式」と関係あるらしい。集中講義で岩⽊さんに教えてもらいました。
Stokes曲線の定義を含む完全WKB解析については、私がとった岩⽊耕平さんの集中講義のノートを⾒て下さい。次のリンク先で公開してあります。
genkuroki.github.io/documents/…
mathtod.online/media/nVFi---lM…

https://mathtod.online/@genkuroki/279252

4/72017/6/17

Mathtodon

4 hours ago⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
WKB近似は、プランク定数 ℏ で解を形式的に展開して、最初の⽅の項だけで真の解を近似する⽅法です。

完全WKB解析では、まず、ℏ に関する級数展開のすべての項を考えて、ℏ のLaurent級数の形で表⽰された形式開を作ります。
ところが、その形式解の ℏ にはどのような 0 ない数を代⼊しても発散する。
形式解は発散級数になってしまいますが、Borel総和法のテクニックで真の解を作ることができます。
こういう話なので、完全WKB解析に関しては将来的には学部⽣向けの教科書に載せてもいいくらい、基本的な解析の話だと私は思います。
岩⽊耕平さんの集中講義は⾮常に聴き易くてよかったです。説明が⾮常にうまい。しかも、どのような質問にも適切な回答が返って来る。
genkuroki.github.io/documents/…
4 hours ago⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
⽇本語の⼊⼒が雑でしたね。いつものことなので、みんな気にしなくなっているような気もしますが、⼀応訂正。

「形式開」→「形式解」「無限席」→「無限積」
私は数年前から有限的な壁越え公式ではなく、無限積が出て来る壁越え公式に少し興味を持っていて、完全WKB解析の話もその辺の話ともろに関係している。
Q(z) = zのような変わり点をうまく使うとペンタゴン恒等式のタイプの壁越え公式が得(1)

られ、Q(z) = a/z 2 のような確定特異点をうまく使うと A1
え公式も出て来るのだそうです。

型の無限積が出て来る壁越

肝腎の imaginary roots の部分もきちんと処理できていました。
real rootsに対応する無限積はパラメーターをちょっと変えるだけで無限に渦巻きが⽣じることから出て来る。
例えば原点の周囲を周期的に回転している流れに本の少しだけ原点での吸い込みの項を挿⼊すると、その項が⼩さければ⼩さいほどたくさん巻き付くタイプの渦ができます。吸い込みが弱いと原点に近付くために余計に周回しなければいけなくなる。
以上は最先端の数学研究の話。

https://mathtod.online/@genkuroki/279252

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2017/6/17

Mathtodon

⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
ついさっき気付いたのですが、

an hour ago

cocalc.com/
でもJuliaを使えますね。
CoCalcはSageMathCloudで、数式処理ソフトのSageを誰でも使えるサイトなのですが、ipynbにも対応していて、PythonやJuliaも使えますね。
Juliaのバージョンは0.5.0でした。
Pythonも使える点が結構ありがたいかも。
さらにLaTeXも使えるようです。
⾊々使えます。こういうことに気付いたのはついさっきなので、詳しいことはまだよくわかりません。
みんなで使ってみて情報を交換するといいかも。
42 minutes ago
⿊⽊⽞ Gen Kuroki @genkuroki
cocalc.com/
では「無料で使うと制限がきついから有料版も使ってね」のようなメッセージが出るのですが、SageMath、Python、Juliaなどを試しに初めて使ってみるにはとても良いサイトかもしれません。

添付画像に SymPy を Julia で使った例を貼りつけておきます。
添付画像のようなことを、⼿元のパソコンに何もインストールしなくても、ブラウザ経由でできるということです。
これいいよなあ。「⾃分が⼦供のときからこういうのがあったなら！」と思います。
mathtod.online/media/zD8Lﬂ8kt…

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https://mathtod.online/@genkuroki/279252

6/72017/6/17

https://mathtod.online/@genkuroki/279252

Mathtodon

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