バングラデッシュの洪水に関する微分方程式モデル
山重裕之，柳井浩……………………lll州州＝lll……l…l川‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖川＝lI…………ll…‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖川l…l‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖＝＝‖………l……l州l…l川……川州川けるダム建設の計画がある．しかし，このような多国0．はじめに籍河川の開発には，関係各国への影響を十分検討する

インド亜大陸の東端に位置するバングラデッシュの必要がある．そのため，このダム建設による，バング

国土の大部分は，ガンジス川，プラハマプトラ川，メラデッシュの水理現象への影響が問題となってくる．

グナ川等の大河川が形成する肥沃なデルタ地帯である．

しかしながら，このデルタ地帯には，複雑な水系がこのデルタ地帯は，バングラデッシュに豊かな農作物はりめぐらされ，その水理も単純ではない．これを忠をもたらしている．反面，標高30m以下の低平地には，実にモデル化する試みも，必要になってはこようが，雨期に慢性的な洪水が起こる．特に高潮を伴うサイクその時問と労力は多大なものとなろう．それゆえ，一ロン上陸の際には国土が壊滅的打撃を被る．1988年に方において，この国の全土を覆う水系全体を大局的に上陸したサイクロンの被害は史上最悪といわれ，国土とらえる努力も必要となってくる．もし，この複雑なの6〜7割が水没した．しかし世界の最貧国の一つに水系を一？の単純化されたシステムとして捉え，それ数えられる経済状態のバングラデッシュだけでは，こに相当するモデルを作ることができれば，この国の水れに対して手の打ちようが無いというのが現状である．

理の概略を把握し，予測や計画の際に役立つ知見が得

一方，隣国のインドではダムが建設され，すでに取水が行われており，ネパールではガンジス川支流におられるだろう．

本研究は，このような見地より，バングラデッシュ国
土全体の水理に関する簡単な微分方程式モデルを提起●−●■−、＿▲・t＿

し，これに基づいて2〜3の考察を試みるものである．

1．酒杯型遊水池モデル
まず，バングラデッシュの地形は，東から東北にかけての狭い地域および北部のごく一部に標高が高い部分が見られる他は，平らな低地が広がっている．西ではガンジス＝ライマンガル川がインドとの国境をなし，南にはベンガル湾を望む，四角いまとまった形の国土である．パブナ付近を中心にガンジス川の，モへンド
ラガンジ付近を中心にブラマプトラ川・メグナ川のデルタ地帯が広がり，込み入った河川網を構成している．
しかも，その流れは洪水の都度，つまり毎年，流路を変える．さる湿原となっている．この沿岸部から400kmの内陸部で
図1 バングラデッシュの地図

やましげ ひろゆき 長銀システム開発㈱も海抜はわずか30mにすぎない．東京一岐阜間が約400kmであることを思えば，このデルタ地帯がいかに平坦やない ひろし 慶応義塾大学理工学部であるかが想像できよう．このような地形の国土に，〒223横浜市港北区日吉3−14−1

世界でも有数の三大河川が流入するのであるから，パ222（22）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

p（t）：流入量

図3 水位と面積の関係
図2 酒杯型遊水池モデル

ングラデッシュは，古来その遊水池としての役割を果たしてきたといえる．すなわち，雨期には洪水が，乾●期には渇水が起こるのも当然といえる土地柄なのであの水位の関数で表されると考えられる．これを／（∬，〝）：単位時間あたりの流出量と記し，流出関数と呼ぶ．

実際，バングラデッシュという遊水池から水が失わる．

さて，このようなバングラデッシュの国土全体を一れる要因には，海への流出以外にも蒸発や浸透が考えつの容器とみて，その水収支を考えてみることにしよられるが，このモデルでは，これらの要因はとりあえう．第一に問題にすべきは，国土の形状のモデル化でず無視するものとしよう．その根拠は，本研究の本旨ある．いま，海水中に立てられた，ある高さの円筒がが雨期における水理の問題であり，雨期においては，あり，その上に中華鍋がおかれた形を想像して欲しい．

第一に，高湿度のため蒸発は大きな影響を与えない，

この円筒の側面および中華鍋の底には，十分大きな穴

第二に，バングラデッシュの泥土層は，水を十分含みが開いており，ここから水が自由に出入りするものと飽和状態になっていると考えられるからである．

しよう．そして，バングラデッシュの国土が，このような形であるとモデル化してみる．また，円筒の上に

このような前提のもとでは，水位（∬）の変化について，次のような微分方程式をたてることができる＊）．

中華鍋をのせたこの形全体は，酒杯のようにも見える．

血♪（J）−／（J，〟）

そこでこれを酒杯型遊水池モデルと呼ぶことにしよう．

粛

この酒杯において，円筒部分はほとんど一年中冠水している河川や湖沼に対応し，中華鍋の部分は，普段は陸地だが，洪水時には冠水する場所に対応している．

●

いえば，酒杯内部から外部へ向かっての流量は，両者このモデルにおいて，酒杯内部の水位は，冠水している地域の海抜に対応している．これをJと記す．

（1）

5（J）

2．微分方程式を構成する諸要素の推定
本節では，（1）式の微分方程式を構成する諸要素を，バングラデッシュに即して推定して行くことにしよう．
2．1形状関数（5（エ））第一に，形状関数を推定する．形状関数（S（J））の値

J：水位とは，すなわち基準からの標高∬以下にある国土の面この時の水面の面積を積である．上述の酒杯型遊水池モデルは，形状関数5（∬）：水面の面積と記し，これを形状関数と呼ぶ．

（5（J））をまた，この酒杯への単位時間あたりの流入量が♪（f）：単位時間あたりの流入量5（∬）＝

であるものとする．この♪（′）を流入関数と呼ぶ．

一方において，海面もまた上下する．日々の潮汐もさることながら，サイクロンの際の低気圧は海面を大‡（）（2）とするものである．ここに，S。およびJ。は定数で，￠（J）はごの滑らかな単調増加関数である．形状関数

幅に上昇させるという．これを考慮に入れるために，海面の高さもまた変数として扱い，これを〝と記す．
y：海面の高さ

本的なものであり，他にも湖沼の水位変化を記述するもの

ところで，河川から海に向かっての流量，モデルで1996年4 月号＊）このような微分方程式は，容器における水収支を示す基として用いられた例がある［1］© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（23）223

5．605×1010（m8／月）（乾期）（S（∬））の特定には，これらの定数5。，∬0および関数￠（エ）の推定が必要である．

♪1（′）＝12．330×1010（m8／月）（小雨期）（8）30．600×1010（m8／月）（雨期）

まず，関数￠（J），すなわち中華鍋の部分から考えて行こう．そのため，地図［2］より各等高線に囲まれて0．301×1010（ma／月）（乾期）いる地域の面積を測定し，その結果を，面積（5）をヨコ
あ（′）＝

軸に，水位（∬）をタテ軸として打点してみた（図3）．

2．618×1010（mき／月）（小雨期）（9）6．743×1010（m8／月）（雨期）

これより，関数￠（∬）が次のような平方根関数（図3の実線）で，十分近似されることが分かる．

以後，これら♪1（J）およびあ（f）をそれぞれ単位時間￠（J）＝2．172×1010×、庁（m2）（3）

あたりの標準河川流量，および榛準降水量と呼ぶこと次に円筒部分について考えよう．バングラデッシュにする．一方，サイ■タロン上陸時には，河川流量，降の全国土の約15％は常に冠水している［3］から，その水量ともに標準量より大幅に増加するといわれる．こ断面積（ふ）を次のように定めた．のときには，流入量を標準流入量とは別に設定せねば

島＝2．172×1010（m2）（4）

さて，酒杯型遊水池モデルにおいて∬＝範という高ならない．これについても，気象記録［2］［5］からそれぞれ

それゆえ，∬＝範の時，中華鍋部分の断面積（5（範））〆2（J）＝14．490×1010（m3）とした．それゆえこの時の流入量は次のように書ける．と円筒部分の断面積（ふ）とが等しくなるように
み＝1（m）〆（〜）＝64J879×1010（m8）（5）（l功．このような設定値の推定過程を述べておこう．第一という値を用いることにした．

以上より，バングラデッシュを対象とした遊水池モに，単位時間あたりの標準河川流量仏（J））についてデルにおける形状関数（S（∬））を，次のように推定し考える．前述のように，バングラデッシュの国土の約た．

8割は，三大河川を中心とする複雑な水系に覆われたデルタ地帯である．このことから，これら三つの河川

5（J）＝（6）（（mの流量の和をもって，河川流量としても差し支えないだろう．

2．2 流入関数（♪（J））
次に流入量について考える．流入量には，河川によっ

そこで，これらの河川の流量を調べ（表1），乾期・て周辺国から運び込まれる水量と，国土内部への降水小雨期・雨期それぞれの期毎に，月平均流量を求めた．

量とがある．前者は，河川の上流域でのダム建設など

ただし，小雨期に関しては，年間平均流量を用いた．

人為的な流量操作が可能であるが，後者は，人為的に月平均河川流量は如何ともしがたい．そこで，流入量を制御可能な流5．618×1010（m3／月）（乾期）

入量（♪1（′））と制御不可能な流入量（♪2（′））とに分け

13．740×1010（m8／月）（小雨期）‡ 34．000×1010（ma／月）（雨期）て考える．すなわち流入関数（♪（′））は，次式のようにさて，この河川流量のデータは，バングラデッシュ

書ける．
♪（′）＝カ1（J）＋♪2（オ）（7）の中心部で測定されたもので，そのすべてが国外から

また，この国の気候は各月の降水量から，乾期の流入量ではない．一方，バングラデッシュの河川流（11〜3月），小雨期（4〜5月），雨期（6〜10月）

量の9割近くが，インド等周辺国から流入しているこの3つの期に分けられる．無論，各月毎に河川流量お＿とが文献［3］に見えたので，（l劉式の各期の値に0．9をよび降水量は変化するが，大局的見地より，この3期乗じたものを，単位時間あたりの標準河川流量仏（J））

をそれぞれまとめて考える．さらに，河川流量およびと考え，（8）式を得た．

降水量には年次による変化もあるが，ここでは，平均第二に，単位時間あたりの標準降水量について考え的な量を基本に据えて考えることにした．推定の過程

る．バングラデッシュの月別平年降水量は，表2の通は後述するが，気象記録［2］［4］に基づいて，制御可りである．この値に国土面積（143，998kぜ）を乗じた結能な流入量（♪1（才）），制御不可能な流入量（あ（f））を果，乾期・小雨期・雨期各々の月平均降水量は，次のそれぞれ，次のように想定した．

ように求められた．

224（24）l〆1（′）＝50．389×1010（m8）l

さは，円筒部分と中華鍋部分との接合部に相当する．

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オペレーションズ・リサーチ（13）

表1三大河川の流量［2］（単位：m8／5）

表2 バングラデッシュの月別平年降水量［4］（1961〜1981年平均，単位：mm）

ガンジス川 プラハマプトラ川 メグナ川

790乾期平均流量

雨期平均流量 51，625

19，577

1，328

65，491

14，047

年間平均流量8，544

37，5506，748

史上最大流量76，00098，60019，800の速さは，抵抗を無視すれば，両水面の高さの差の平方根に比例する．すなわち，断面積（5）が一定である

月平均降水量0．301×1010（m3／月）（乾期）
2．618×1010（mソ／月）（小雨期）時，U字管を通る流量（／）は次のように書ける．
3‖監‡ 6．743×1010（m3／月）（雨期）

また，酒杯型遊水池モデルにおいて，U字管の断面（勿（′））とみなすことによって（9）式を得た．

積は，酒杯内部の水と外部の水とが出入りする穴の断第三に，サイクロン上陸時の河川流量について考え面積に対応する．（用式において，パラメター〟はこの大る．そのため，バングラデッシュを流れる三大河川のの断面積と抵抗に対応している．河口の形を考えるな

史上最大流量（表1）を合計して，サイクロン上陸時

らば，水位の上下によっで穴 の断面積に変化があるの河川流量（〆1（J））を，次式のように推定した．とするのが自然ではあるが，一方において，水量が増〆1（′）＝50．389×1010（m3）（15）

し，水位が上昇すれば抵抗も高まる．後にも述べるよ

第四に，サイクロン上陸時には，その影響による降うに，〟の値を適当に選べば，〟をほぼ一定と考えても水量だけで8月の平均月間降水量の1．8倍にも達した全体として妥当な流出量を構成することができる．との気象記録［5］に基づき，サイクロン上陸時の降水2．4．2 パラメターの推定量（〆2（′））を，次式のように推定した．

（イ）〃の一次近似〆2（′）＝14．．490×1010（m3）（l句

先に述べたように，トリチェッリの定理を参照すれ

2．3 海面の高さ（y）ば，パラメター〃は1／2或いはそれに近い値と推定で海面の高さ（〝）は，波浪や潮汐を考えれば，時々刻々きる．それゆえパラメター〃を変化するものであるが，本研究では，水理の概略に主0＜〃＜1眼を置いているので，サイクロン上陸時以外はy＝0（m）●伽）

それゆえ，〃は1／2或いはその近くの値と推定される．

この月平均降水量を，単位時間あたりの標準降水量●′＝5ノl㌃一打倒）の範囲で考えることにした．
（17）（口）〟の一次近似

パラメター〟の一次近似として，そのオーダーを推という一定値をとるものとした．また，サイクロン上陸時については，1988年に潮位が7m前後上昇したと定しよう．いま，バングラデッシュの水位（エ）が安定しいう事実に鑑み，次のような値を用いた．ている時期があるとすれば，そのときには〟＝7（m）（18）

ゐ ♪（〜）−′（J，y）

dJ

2．4 流出関数（／（∬，〟））
2．4．1関数形の推定鋤S（J）

が成り立っている．すなわち，このとき，第1節で述べたように，流出量は酒杯内の水位（エ）♪（J）−／（ェ，〟）＝0佃と海面の高さ（y）の関数として与えられるものとした．

が満たされている．このことは，流出関数／（J，〝）と流実際問題として，この関数の推定は極めて困難である．

入関数（♪（′））とが同じオーダーの値を持つことを示しそこで，トリチェッリの定理を参照した上で，我々はている．第2．2節で述べた通り，流入関数（♪（り）はおよ

ごく粗い近似として，次のような関数を考えた．

そ1010−1011の値である．また，パラメター〃を1／2を中′（エ，y）＝〟lJ−〟1む3‖乱

ここに，〟および〃はパラメターである．

トリチェッリの定理によれば，水面の高さの異なる二つの水槽をU字管でつないだとき，U字管を通る水1996年4 月号

心に考えるのであれば，（エ一〟）ぴについては，0＜（J−〝）〃＜10￠4）として良いだろう．これらのことを考えて，パラメター〟の範囲を次のように定めた．

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（25）225

冠水率（％）

不自然な（u，V）

妥当な（u，V）

llll

l

0 5 10 15 20 25 30u（×1010）

図4 妥当な（〟，ぴ）の範囲

図5 微分方程式の数値解1010≦．〟＜1012㈲（ハ）シミュレーションによるパラメターの区間縮小

冠水率（％）
1．6

以上に述べてきたような諸元の推定に基づいて，微1．4

分方程式（（1）式）の数値解を求めることができる．ただ●1．2

し，流出関数を特定するパラメター〟および〃につい1．0ては，その区間しか推定されていないから，その中で0．8特定の値を選択する他はない．しかし，選択されたパ0．6

ラメター〟および〃を用いての数値解は，実際の現象0．40．2に照らして不自然であってはならない．このようにし0て，パラメターんおよび〃の妥当な値の範囲をさらに3年目縮小できる．

期間4年目

図6 サイクロンの影響

ここで，対比に用いた実際の現象とは，（∋全国土の約15％が一年中冠水している．

めてから3年目および4年目の結果であり，初期値の②雨期における冠水率が全国土の35％を下回らない．

影響は除かれている．また，この数値解では，雨期後③サイクロン上陸時には全国土の約60％が冠水する．

半には国土の半分が冠水するほど水位が上昇するが，④乾期には洪水が起こらない時期がある．

洪水の影響が翌年にまではおよんでいない．これらは，という客観的事実であるが，これによって絞られた〝

実際，平年の現象とほぼ一致している．

および〃の範囲は大略図4に示す通りである．この図

次に，サイクロンの場合を考えよう．3年目の雨期より，パラメター〟および〃の妥当な値は，ごく狭いの後半に，サイクロンが上陸したという設定のもとで範囲に限られることが分かる．また，この範囲の〟お得られた数値解を図6に示す．これは，サイクロン上よび〃の値を用いて微分方程式（（1）式）の数値解を求

陸時には国土の約6割が水没するという気象記録とも

めてみると，さほど大きな差はない．それゆえ，以後合致している．

〟＝12．5×1010伽）

以上は，この微分方程式の妥当性を示しており，限〃＝0．3

即定された範囲とはいえ，バングラデッシュの治水問題という値を，パラメター㍑および〃の代表値とする．の議論にこのモデルを用いることができる．

すなわち，流出関数（／（∬，ダ））を3．2 数値実験／（J，y）＝12．5×1010×（∬−y）0・3
として，議論を進めてゆくことにする．

㈱

上記のようにモデルの妥当性をとりあえず認めたところで，数値実験を試み，遊水池や凌藻による洪水回避の可能性を検討してみよう．

3．シミュレーション

まず，上流に巨大な遊水池を作って流量を減らすこ

3・Iモデルの妥当性とを考える．いま，バングラデッシュの雨期における前節までの議論で，モデルとパラメターをとりあえ一か月分の流量の貯水が可能な遊水池を作り，その水このような設定に基づ〈微分方程式（（1）

を乾期に一様に放水するものとして微分方程式の数値式）・の数値解を図5に示す．この数値解は，計算を始解を求めた結果を図7に示す．この遊水池の規模はロず設定した．

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冠水率（％）

冠水率（％）

1．6
1．4
1．2
1．0
0．8
0．6
0．4
0．2
0

3年目

4年目

図8 凌藻の効果

図7 遊水池の効果●

期間

シア西部に位置するオネガ湖と同等であり，これは琵を前提としたものでなくてはなるまい．本研究の結果

琶湖11個分に相当する．これだけの遊水池をしても，は，洪水そのものを防ぐことから，発想を転換して，洪水はピーク時にこそ多少緩和されるものの，期間は洪水との共有を前提として，全体を高床形式にした都長引き，サイクロンの影響が乾期にも残ってしまう．

市の開発等の考慮の必要性を示唆している．

次に，下流域において竣藻を施し，河道面積を大き

参考文献

くして洪水時の水はけをよくすることを考える．河道面積の増大は，このモデルにおいて流出関数（／（J，y））のパラメター〟の値の増大に対応する．いま，河道面積が従来の1．2倍になるような波漠を実施したと仮定して，微分方程式の数値解を求めた結果を図8に示す．
この図からも分かるように，これだけを漢藻を施したにしても，雨期には国土の約45％が冠水し，サイクロン上陸時には冠水する地域が国土の50％以上になってしまい，洪水の回避は不可能である．

察−」，オペレーションズ・リサーチ，Vol．38，No・
9，p．22−27，1993，日本OR学会．

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［3］Q．K．Ahmad，N．Ahmad，K．B．Sajjadur

最後に，上流には巨大な遊水池を作り，下流では大規模な凌藻を実施した場合でも，数値実験の結果，サイクロン上陸時には，やはり国土の半分が水没してし

sheed著：RESOURCES，ENVIRONMENT AND

DEVELOPMENTIN BANGLADESH．

，1994，

AcademlCpublishers［4］国立天文台編：「理科年表平成6年（机上版）」，まうことが分かった．

●［1］柳井浩：「アラル海の水位一微分方程式による考1993，丸善．

4．おわりに［5］日本気象協会編：「1989年版気象年鑑」，1989，大現在，洪水回避の策として，ダムおよび堤防の建設

蔵省印刷局．

が計画されている．しかし，このような方法では，たとえ莫大な時間と経費を費やしても，バングラデッ
シュの洪水の防止や緩和が，局地的目的以外は，困難であることを，本研究結果は明らかにしている．
この深刻な洪水は，バングラデッシュを流れる河川の流量の膨大さと，国土の平坦さに起因することは，以上に見たとおりである．しかし，河川の流量を大幅に減らすことも，国土の形状を変えることも，事実上極めて困難である．

それにもかかわらず，この国の発展のためには，洪水への対策が不可欠である．しかし，洪水が防ぎきることのできない自然現象であるならば，打開策はこれ
1996年4 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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