生徒の数学的信念に着目した関数指導の在り方についての研究沢田慶子

指導教官：矢部敏昭・溝口達也

1. 研究の目的
国立教育政策研究所（以下，国研）による調査報告書(2003) において，「通過率」1) が全体の半数を下回るだけではなく「設定通過率」2) との差が10%を超えるものがしばしば観察される。
「数量関係」領域においては，同一概念を別の表現形式に表すことについての問題がそれである。
一方で，Schoenfeld(1985) らによって生徒の信念が数学的問題解決に関わってくることが指摘されている。本研究では，生徒の行為に反映される数学的信念を視座とし，同一概念を別の表現形式に表すことに困難を示す生徒に対していかなる関数指導が求められるべきかについて示すことを意図して，次の研究課題の解決を目的とする。
研究課題：生徒の数学的信念を関係的に捉えることによって，関数指導に対するどのような新しい示唆が得られるか。
2. 研究の方法
生徒が困難を示す表現形式の移行についての教育的な価値を整理するにあたり，小倉金之助の言明を準拠する。またSchoenfeld の理論的枠組みに基づいて数学的信念を視座とし，生徒の数学的信念を実体的なものとしてではなく関係的なものとして捉えることについての示唆を得る。上記の事柄を受けて，表現形式の移行について育成すべき数学的信念を設定し，それに基づく学習指導の提案を行う。
3. 研究の結論(1) 関数における中学生の実態
国研による調査報告書に基づき，「数量関係」領域において生徒が困難を示す点を明らかにすることを試みた。調査問題に対し以下の2点；1)「通過率」が全体の半数を下回るもの；2)「通過率」と「設定通過率」の差が10%を超えるもの，を考察の対象としたところ，第1学年で学習する「比例」においては，グラフから直線の式を求めたり，選んだりする問題が挙げられる。第2学年で学習する「一次関数」においては，式からグラフを想定する問題が挙げられる。ところが「直線上の点の座標を求める」等の問題は8割近くが正答している。つまり，単一の表現形式に関わる問題であれば解決に困難をきたさないが，表現形式の移行が要請される問題には困難をきたすことが分析により明示化された。これは単独の学年のみに観察される行為ではない。
(2) 表現形式の移行に関する教育的価値
表現形式の移行が要請される問題に対して困難をきたすことが示されたことを受け，表現形式の移行が有する教育的価値を明らかにする。そのためにまず，数表，グラフ，式についての表現形式の違いにおける特徴を明らかにした。そして個々の特徴を考慮し，表現形式の移行が有する意味を分析した。関数教育にはともなって変わる数量の変化や対応の見方を獲得し，獲得した変化や対応の見方で所与の現象を捉えていくことが要請される。表から式への表現形式の移行を一例とすると，小学校では2量の変化に焦点をおかれがちであった関数の見方を集合間の一意対応へと拡張することができる。表現形式の移行によって，変化と対応両者の見方を所与の表現形式に与え，多角的に関数の関係を捉えることにつながると考えられる。
(3) 理論的枠組み
生徒が数学的問題解決において誤りやつまずきを表出したとき，教師は生徒の顕在的なものから潜在的な行為を判断し，その潜在的な行為に対して修正を加えなければ，生徒の誤りに対して何の解決にもならない。本研究では先行研究における言明に基づき，潜在的な行為を信念に依拠する。
ところで，教育的に要請されることは，生徒の活動分析に基づく新たな信念の同定ではない。個々
人の経験から産出された信念は個々人によって異なるものであり，観察者（授業においては教師）の視点からすれば被観察者（生徒）が表出する行
為として被観察者が有しているであろう何らかの信念の存在を想定することは可能であっても，それが言語化されない限り，実体として確認する術を持たない。実体として捉えられない場合が時として存在するのであれば，観察者から見て取れる

1)

諸問題に対して生徒が示した正答の割合

2)

調査結果が明らかになる以前に国研が確定した，生徒が示すであろう正答の割合

被観察者の行為に対し，関係的に信念を用意することが可能性として示唆される。
この議論の方向性のもと，Schoenfeld が言明する Mathematical Belief の理論的枠組みは以下のように整理された。人は経験的な規則正しさからなる抽象概念をもって問題解決に取り組み，そこから独自の規則性を妨害する場面に対して規則性そのものを再構築しようとするが，再構築できないならば経験的な規則正しさにより固執し，独自の世界観を強めることになる。独自の規則性が定例化，一般化されるにつれ，他の説明領域に対して排他的になる。このような人の態度は数学の本性についての信念によって形成され，その信念とは人の数学的世界観であり，人が数学や数学の課題にアプローチするパースペクティブである。
本研究では，信念は態度として表出する以前の「行為への構え」であり，観察可能な行為から信念を捉えることができると解釈した。この議論は
図1のように示される。
行為場面1

場面2
反映
信念

図1

信念モデル

(4) 事例的考察
理論的枠組みに基づいて，関数の学習において形成されるべき数学的信念の設定をを試みた。それが「同一概念間には何通りかの表現形式があり，それらは個々に関連し合うものである」という信念である。そして当該数学的信念を生徒に獲得させるために，表現形式の移行の中でもとりわけ生徒が苦手とする式化（グラフからの式化）が柔軟に促されるための指導への示唆を行った。
学習指導の改善点として，第1学年の比例の学習の際，グラフの中に変化と対応の見方を同時に存在させるべきである。つまりxが増加したときのy の増加量を（y の増加量／x の増加量）の関係とみなし，グラフの中に変化と対応の見方を同時に存在させ得るならば，グラフの傾きが式の比例定数を指すことがおのずとみえてくる。生徒らは既にa=y/x であることを学習している。式に対するこの見方は（y の増加量／x の増加量）を意味している。グラフから，x が 1 増加したときのy の増加量を読み取るという生徒の活動を，単に「読む」行為に終わらせず，式で表すところのy/x として捉えるために，式化を意識してグラフに変化と対応の見方を介在させる必要がある。グラフと式とをつなぐこの関係が生徒に獲得されるならば，2 つの表現形式の間に互換性が生じるのである。
設定した信念が生徒に獲得されたかを判断する行為については言及できていないが，生徒がこれまで困難を示していた学習内容に対して，関係性としての信念の想定により，それを生徒に獲得させるための学習指導の改善が図られた。
4. 論文の構成 （項は省略）
第1章 研究の目的と方法
1.1 研究の背景と目的
1.2 研究の方法
第2章 関数における中学生の実態
2.1 関数における中学生の実態
2.2 持続的に観察される生徒の行為
第3章 表現形式の移行に関する教育的価値
3.1 表現形式の意味
3.2 表現形式の移行の意味
第4章 理論的枠組み
4.1 議論の方向性
4.2 先行研究にみる数学的信念
4.3 数学的信念の構え
第5章 事例的考察
5.1 関数の学習に要請される信念
5.2 望ましい学習指導の例証
第6章 本研究の結論と今後の課題
6.1 本研究から得られた結論
6.2 今後に残された課題
5. 主要参考文献
A H. Schoenfeld. (1985). Mathematical ProblemSolving.
Carol M. Lerch(2004). Control decisions and personalbeliefs: theireffect onsolvingmathematicalproblems. Journal of Mathematical Behavior 23.
p21-36.
E. Diaz-Obando et al.(2003). The impact of beliefs instudentﾕs Learning: an investigation with studentsof two different contexts. International Journal of
MathematicalEducationinScienceandTechnology Vol. 34. no.2.
国立教育政策研究所教育課程研究センター(2003). 平成
13年度小中学校教育課程実施状況調査報告書−中学校数学−. ぎょうせい.
小倉金之助(1924).数学教育の根本問題.イデア書院.
中島健三(1981).算数・数学教育と数学的な考え方.金子書房.