卒業論文要約【ଧ取大学数学教育研究，第 5 号，2003】

概念イメージ，概念定義を通してみる生徒の理ӂ~一次関数を事例として~

前田

ຕ子

指導教官：溝口達也
Ⅰ．研究の目的と方法「理ӂしている」とはどのような状態をいうのだろうか。テストなどで問題がӂけると理ӂしていると捉えられがちであるが，問題をӂくことができたならその生徒は理ӂしている，問題をӂくことができなかったなら，理ӂしていないという二分法でよいのかという疑問から「理ӂ」を考えるに至った。
本研究では，望ましい理ӂの状態へと変容させるための指導への示唆を目的とする。そのために次のような方法をとる。まず，従来行われてきた理ӂに関する研究を吟味することにより，成果および問題点を整理する。そして，明らかになった問題点をӂ決するために，Vinner の提案している概念イメージ，概念定義を導入する。Vinnerらの研究に基づき本研究における概念定義，概念イメージを定義する。導入した概念定義，概念イメージにより理ӂを捉える枠組みを構築する。そして，構築した枠組みを用いて事例を考察する。
事例を考察する際，生徒のイメージ，定義を把握するために࠽問紙調査を行う。調査の結果より，生徒の理ӂを捉え，望ましい理ӂの状態とはどのようなものかを明示する。そして，それを受けて指導への示唆を得る。
Ⅱ．本研究の構成
第1章 研究の目的と方法
1.1 問題意࠭・動機
1.2 研究の目的と方法
1.3 研究の意義
第 2 章 理ӂに関する先行研究の成果とҭ題   2.1 従来の理ӂモデルの概観     2.2 知࠭間の関係     2.3 コンパートメンタリゼイションの先行研究     2.4 不整合の具体的事例
第 3 章 概念イメージ，概念定義による理ӂの特徴づけ     3.1 概念イメージ，概念定義
3.2 概念イメージ，概念定義の関係
3.3 概念イメージ，概念定義による理ӂを捉える枠組み
第4章 事例的考察
  4.1 一次関数における理ӂの状態を捉える
枠組み
4.2 ࠽問紙調査
4.2.1 調査の目的と調査問題
4.2.2 調査対象と調査方法
4.2.3 調査結果の考察
4.3 指導・支援
第 5 章 研究の結論と今後のҭ題  5.1 研究の結論   5.2 今後のҭ題引用・参考文献
資料：調査問題における子どもの回答（1 ページ 35 字 30 行，55 ページ）

Ⅲ．研究の概要
研究の目的を達成するために，次のような研究
ҭ題を৓定した。
〇研究ҭ題 1；理ӂに関する先行研究を吟味する〇研究ҭ題 2；概念イメージ，概念定義により理ӂを特徴付ける〇研究ҭ題 3；望ましい理ӂとはどのようなものなのか

まず研究ҭ題 1 に対して，従来行われてきた理ӂ研究を吟味し，問題を整理した。そこで挙げられた問題点は，子どもたちの理ӂの様相（理ӂの状態），理ӂの過程（理ӂしつつある過程）の両方を十分に記述することができなかったことである。また，藤井斉亮氏の研究より，知࠭間の関係は整合的な関係と೗整合的な関係などに分けることができた。それをもとに，事例を取り上げたとき，整合・不整合が理ӂを考える上で一つの観点になり得た。そこで，整合・不整合を観点として理ӂを捉えることにした。
（以上 第 2 章）
理ӂとは，個人的で内面的なものなので，直接捉えることは難しい。そこで研究ҭ題 2 に答えるために，先行研究であげられた問題点をӂ決できるであろう理ӂを特徴付ける枠組みを構築する。
人がある概念に対して内に秘めているものを‫ۄ‬۰とイメージという二つの側面から見ることによって，学習過程で֙こる現象を分析しようとする
Vinner らの研究がある。この研究に基づき，子どもの内面にあるものをイメージと定義という 2つの側面から見ることによって，理ӂの状態を明らかにすることができると考えた。そこで，理ӂを捉えるために概念イメージ，概念定義を導入した。ここでは，Vinner らの研究に基づいて，概念イメージを人が心の中である概念に対して持つイメージとし，図や映像などの狭義で扱う。また，概念定義を概念を特定するために使われた‫ۄ‬۰形式とし，曖昧な記述は含めないとする。そして，イメージと定義の整合・不整合を理ӂの状態を捉える観点の一つとした。
理ӂを捉える上で，概念イメージと概念定義の関係を Vinner の述べる望ましい問題ӂ決，ҭ題実行の過程を基に吟味した。Vinner は，望ましい問題ӂ決，ҭ題実行の過程として 3 つの関係をあげている。そこで，理ӂを捉える際にはどのような関係が望ましいのかを考えるために，３つの概念定義，概念イメージの関係の図に具体的な問題を当てはめることを通して考察を行った。また，
Vinner は望ましい概念形成の状態は概念イメージと概念定義が相互に関係する状態であると述べている。以上のことから，定義とイメージの相互的な関係を見ることによって，理ӂの状態を見ることができると考えた。しかし，Vinner の図示では理ӂしつつある過程を記述することができない。そこで，本研究においては概念イメージ，概念定義の相互的な関係に着目し，相互作用を詳細に表すことで，理ӂしつつある過程をも示すことができると考えた。次の図は，概念イメージと概念定義の関係を図示したものである。

Output

概念定義

概念イメージ

Input
これらをもとに，概念イメージ，概念定義による理ӂを捉える枠組みを構築した。以上は，研究ҭ題 2 に答えるために行った。
（以上 第 3 章）
そして研究ҭ題 3 に答えるために，構築した枠組みを用いて一次関数についての事例的考察を行った。ここで一次関数を扱ったのは，Vinner らの研究において関数を扱った事例が多かったため，本研究においても関数を取り上げることにしたからである。考察を行う前に，子どもの実態を把握するため，中学校第 2 学年を対象に，࠽問紙調査を実施した。調査の実施により，個々人が秘めているイメージ，定義を明らかにすることができた。
調査の結果から機械的に分໸し，望ましい状態を位置づけ，段階付けを行った。その際，イメージにレベルを৓定した。これをもとに，望ましい状
態と比べどのイメージが欠如しているのかを明示することが可能になった。欠如しているイメージを観点として，段階付けを行い下図のピラミッド型に図示することができた。この図示から，望ましい状態とのかけ離れ方を見ることができる。
（Fという分໸は，イメージが欠如しているのではな
く，行き過ぎたイメージがあるためピラミッド型の枠外に位置づける。また，C13 については子どもの問題の読み間違いという可能性があるため，取り扱わないとする。
）

望ましい状態｛①②④⑤⑥｝E4｛①②④⑤｝

F｛①②③④⑤⑥｝

D415｛①②③④⑤｝⑥の欠如

E11413｛①②⑤｝｛①②⑤⑥｝｛①②③⑤｝｛①②③⑤⑥｝D6

E3C3D213121211｛①⑤｝｛①⑤⑥｝｛①③④⑤⑥｝｛①④⑤⑥｝｛①③⑤⑥｝｛①④⑤｝

D10E5C8C10 D9B41311111099｛①②③⑥｝

｛①④｝

｛②｝

D3B3A2873②の欠如

①⑤の欠如

C13

また，各段階について概念定義と概念イメージ，数学的な定義（本研究においては，社会的に共有される定義）と概念定義の整合・不整合を見ることにより，望ましい状態とはどのような状態であるかを明らかにし得た。
以上のようにҭ題をӂ決したことで，次のように指導・支援を行うことができると考える。子どもの理ӂを概念イメージ，概念定義で表すことによって，理ӂの状態を記述することができる。そして，数学的な定義と整合している定義，イメージを望ましい状態として位置づけ，比べることによって子どもの理ӂの状態において欠如しているイメージ，定義を特定することができる。つまり，子どもの理ӂの状態を把握することができるといえる。また，概念定義と概念イメージの相互関係を詳細に表すことによって，理ӂしつつある過程も記述することができた。そして，理ӂの状態及び理ӂの過程を把握したことにより，望ましい状態へと変容させる指導・支援に生かすことができ

④の欠如

｛②③⑥｝

ると考える。そこで，ピラミッド型の各段階の概念イメージ，概念定義を望ましい状態へと変容させるための指導・支援を提案する。Vinner は論文（1991）で次のように述べている。
「生徒をより݄い知的な段階へ݄めるためには，認࠭矛盾を֙こすことが必要である。
」この記述に基づき，本研究において，不整合が֙きていることを認࠭させることが，より望ましい状態へ݄めることにつながると考える。たとえば，不整合を認࠭することによって，定義を見直すことになり数学的な定義に整合するように݄められたとする。そして，定義が݄められることによって，相互的な作用によりイメージも݄められると考えられ，望ましい状態に‫ة‬づいていくといえる。したがって本研究では，子どもに不整合を認࠭させることによって，数学的な定義と概念定義，概念定義と概念イメージが整合するように指導・支援することが望ましいと考える。
（以上 第 4 章）

Ⅳ．研究の結果
理ӂに関する先行研究を吟味した結果あげられた問題点は，子どもたちの理ӂの様相（理ӂの状態），理ӂの過程（理ӂしつつある過程）の両方を十分に記述することができなかったことである。
そこで概念イメージ，概念定義を導入し表すことによって，理ӂの様相を記述することが出来る。
そして，概念イメージ，概念定義の相互関係を詳細に表すことによって理ӂの過程をもあらわすことができる。
また，概念イメージにレベルを৓定することによって，望ましい理ӂとの離れ方を明らかにすることができると考える。離れ方が明らかになることによって，どんなイメージが欠如しているのかを把握することができる。
そして，一次関数の事例から望ましい理ӂの状
態とは概念イメージと概念定義，かつ，概念定義と数学的な定義が整合である状態ということができるのではないだろうか。
本研究においては指導・支援に関して，子どもに不整合を認࠭させることによって，数学的な定義と概念定義，概念定義と概念イメージが整合するように定義，イメージの見直しにつながるのではないかと考える。
本研究では，一次関数を事例として生徒の理ӂを捉えることをࠌみた。しかし，概念イメージ，概念定義は個々人によって異なるため，理ӂの状態，理ӂの過程をすべて表すことはできなかった。
また，概念イメージと概念定義は単元によって異なるため，一般的な理ӂの状態，理ӂの過程を‫ۄ‬
明することはできない。今後，概念イメージ，概念定義の枠組みを用いて他の事例についても考えていくことがҭ題といえる。
主要引用・参考文献
・Vinner, S. (1991). The role of definitions inteaching and learning of mathematics. In D, Tall(Ed.), Advanced mathematical thinking. pp.65−
81. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
・Tall, D. &Vinner, S. (1981). Concept image andconcept definition in mathematics withparticular reference to limits and continuity.
Educational Studies in Mathematics, 12(2), 151−169.
・Tall, D. (1988). Concept image and concept
definition,
url:http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pd
fs/dot1988eÂconceptÂimageÂicme.pdf.
・松尾七重. (2000). 図形指導の改善. 東洋է
出版社.pp.102−145（資料）࠽問紙調査࠽問１    一次関数はどんなものですか。
࠽問２   次のグラフは 一次関数といえますか。
           ②           y        ①     ③
④⑤x0⑥!"#$%&'()*+,-.'/
0123+4&.567&8