可能性計画法：最適性問題を中心として
乾口 雅弘
州l…‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖州州…川＝＝‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖州‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖川

イ集合rで与えられているものとする．取りうる範1． はじめに囲丁をもつ不明確な係数ベクトルγは，rに制限された可能性変数ベクトルと呼ばれる．簡便のため，問計画問題における不明確な係数をファジィ集合により取り扱う可能性計画問題に対して，種々のアプロー

題（1）の実行可能解集合をズと記す．また，rのメンチが提案されている［1］．確率計画問題が，問題の取バシップ関数〃rは上半連続であると仮定する．ファり扱いにより，機会制約条件計画問題，リコース問題

ジィ集合rが有界であるとは，任意のど＞0に対して，（2段間題），分布問題と分類できるように，可能性計（c∈R乃l神（c）≧∈）⊂β（γ）なる半径γ∈Rの超球β（γ）

画問題も，それぞれ対応して，様相制約条件計画問題，が存在することを意味する．

リコース問題，最適性問題に分類できる．可能性計画

解∬≠0が与えられたとき，この間題の目的関数値問題では，現在までのところ，様相制約条件計画問題

は，次のメンバシップ関数〃r（J）をもつファジィ集合に関する研究が圧倒的に多く，最通性問題はある程度，y（∬）となる．

リコース問題に至ってはほんの少ししか研究されていFLY（3）（y）＝Sup（FLr（c）rcT3＝y）

ない．可能性計画法の解説［1，2］も，他に比べて容易C（2）

解∬＝0に対しては，y（0）＝（0）となる．

な様相制約条件計画問題を中心としたものが多い．

実数空間の二つのファジィ集合Zlと易を比較する

本稿では，ある程度研究が進んでいる最適性問題に種々の方法が提案されている．たとえば，可能性理論ついて，著者の研究を中心に述べたいと思う．最適性に基づくと，次の二つの比較指標が得られる．

問題は，基本的には，不明確な係数が取りうる範囲

POS（ろ≧る）（ファジィ集合）に応じた最適解の存在範囲（ファジ＝Sup（min（pzl（rl），FLz2（拍））Irl≧Tb）（3）

rl，r2ィ集合）を考察するものである．ここでは，目的関数NES（a≧品）の係数が不明確な線形計画問題を二取り上げる．まず，＝1−Sup（min（FLzl（rl），FLz2（乃））lrl＜乃）最適解を定義する上で誤解されがちな目的関数値間の（4）rl，r2比較について述べる．次に，可能的最適解と必然的最ただし，〃zl，〟z之はZ．，品のメンバシップ関数である．

適解が定義され，可能的・最適性テスト，必然的最適性POS（Zl≧品）は，るが品以上となる可能性の度合いテストが紹介される．最後に，必然的最適解を緩和しを示し，NES（Zl≧品）はZ．が品以上となる必然性た必然的ファジィ最適解が議論される．の度合いを示すように定められている．
そこで，問題（1）の二つの実行可能解∬1，∬2の目的2．ファジィ目的関数の比較

関数値の比較指標として，POS（y（∬1）≧y（∬2）），
NES（y（∬1）≧y（∬2））を用いることが考えられるが，目的関数の係数が不明確な線形計画問題，

maximizeγTx，SubjecttoAx≦b（1）

これは必ずしも正しくない［3］．例の前に，ファジィを考える．A＝（恥）は研×乃行列で，む＝（れ∂2，…，集合乙，品が閉区間【慮，Z軋［オ，感］に退化するとき，∂m）Tであり，∬＝（れ，∬2，‥・，∬乃）Tは決定変数ベクトル次式が成立することを述べておく．

である．また，γ＝（γ1，乃，…，γ〃）Tは不明確な係数ベPOS（Zl≧易）＝1⇔zF≧虚（5）クトルで，その取りうる範囲は有界な乃次元ファジNES（Zl≧乙）＝0⇔zと＜感（6）例1．乃＝2とし，r＝［1，2］×［−2，一1］とする．すいぬいぐち まさひろ

大阪大学大学院工学研究科

なわち，rが閉区間の直積として与えられる場合を考〒565−0871吹田市山田丘2−1

える．実行可能解∬1＝（2，1）T，∬2＝（3，1）Tを考える．

288（10）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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y（∬1）＝【0，3］，y（J2）＝［1，5］となる．式（5）より，NES（γT31≧γT32）＝1−Sup（FLr（c）1cT31＜cTx2） C

POS（y（Jl）≧y（J2））＝1となり，∬1の日南関数の値（9）が∬2のそれ以上になる可能性があることを示す．とこのような目的関数値間に存在する相互関係は，可能性線形計画問題に限らず，ファジィ係数を含む種々ころが，cTJl＝2cl＋c2＜3cl＋c2＝CT∬2，の最適化問題を扱った論文の多くで無視されてきた．

∀cl∈【1，2］，∀c2∈卜2，−1】（7）が成立し，実際には，Jlの目的関数値cTJlがJ2のもちろん，ファジィ係数の解釈によるが，実現値が唯一で不明確な変数の取りうる範囲をファジィ係数が表

目的関数値cT∬2以上となることはありえないことがすという解釈においては，相互関係を無視した取り扱わかる．このように，指標POS（y（∬1）≧y（J2））は，いは妥当とはいえない．

正しい意味を表していない．

3．可能的最適解と必然的最適解

同様に，NES（y（∬2）≧y（∬1））を考えれば，式（6）より，NES（y（J2）≧y（∬l））＝0となり，∬2の目的関数γ＝eのときの問題（1）の最適解集合を5（c）とする．

値が∬1のそれ以上とならない（cl，C2）T∈rがあるこ

すなわち，とを示している．ところが，実際には，式（7）のように，

S（c）＝（x∈XIcTx＝maXCTy）（l巾〝∈〟

すべての（cl，C2）T∈rに対して，∬2の目的関数値がを考える．S（c）を用いると，問題（1）のγの取りうる∬1のそれ以上となっている．

範囲rが通常の集合である場合には，次の二つの最例1のような不都合が生じた原因を考察しよう．取通解集合口S，〃Sが定義できる［4］．

りうる範囲がZlと与えられる可能性変数を㌫，取りⅢ5I＝∪5■（c），〃S＝∩5（c）うる範囲がぁと与えられる可能性変数をらとする．

亡∈r（11）e∈r

式（3），（4）の指標では，㌫がZl内でいかなる値を取ろJ∈ⅢSであるとき，∬は少なくとも一つのc∈r対うとも，らの取りうる範囲は変わらず品であるとい

して最適となる解であり，γの実現値によっては最適った可能性変数間に相互関係がないこと（独立性）がとなりうるので，可能的最適解と呼ばれる．一方，∬暗黙に仮定されている．

∈〃Sであるとき，∬はすペてのc∈rに対して最適となる解であり，γがr内でどのような値を取ろう

一方，例1の場合には，Zl＝y（∬l）と品＝y（∬2）
は，それぞれ，ら＝γTJl，缶＝γT∬2の取りうる範囲をとも必ず最適となるので，必然的最適解と呼ばれる．

示しており，共通のr＝［1，2］×ト2，−1】に制限され明らかに，〃S⊆n5となる．
例2．A，ゎが次式で定められる問題（1）を考える．

る可能性変数ベクトルγを含んだ関数値である．そ4γTJl＝0のとき，γ∈rであるので，γ＝（1，−2）Tと特3定され，藁＝γT∬1＝1と蓑の取りうる値は唯一になる．

0131のため，独立性の仮定が成立しない．たとえば，㌫＝01

ト＝「讐1（l劫−1

一般に，ど．＝仔のときには，らの取りうる範囲は，「（3cl＋c2l2cl＋c2＝￠，1≦cl≦2，−2≦c2≦−1）0

また，次式で定められるrを考える．となり，仔の値に応じて変化することがわかる．このr＝（（cl，C2）Tl3．5≦2cl＋c2≦5．5，

ように，可能性変数らの取りうる範囲が他の可能性変数らの取る値に依存するとき，らと㌫に相互関係

3．4≦cl＋2c2≦6，−1≦cl−C2≦1．3，があるという．

1≦cl≦2，0．8≦Q≦2．2）（l鋤

このとき，図1に示すように，3c2＜4c．なる（cl，C2）T暗黙の仮定である独立性が成立しないため，問題（1）の目的関数値の比較に式（3），（4）をそのまま適用するこ∈rに対しては，（れ，J2）T＝（6，6）Tが最適となり，3c2とは妥当ではない．共通な可能性変数ベクトルγの＞4clなる（cl，C2）T∈rに対しては，（動，J2）T＝（2，9）T存在を考慮して走去した次の指標を使用する必要があが最適となる．また，3c2＝4c．なる（c．，C2）T∈rに対る［3］．

しては，（xl，X2）T＝（6，6）Tと（xL，X2）T＝（2，9）Tを結ぶ線

POS（γT31≧γTx2）＝Sup（FLr（c）lcTxl≧cT∬2）（8）C分が最適となる．したがって，（動，為）T＝（6，6）Tと（れ，∬2）T＝（2，9）Tを結ぶ線分上の任意の点は可能的最適解となる．この場合，C∈rに依存して最適解が異2002年5月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（11）289

なるので，必然的最適解は存在しない．

解の目的関数値の取りうる範囲を考察し，その下限値一方，次式で定義されるrを考える．

や上限値，中心値，幅の最適化を行っていた．特に，

r＝（（cl，C2）TIcl＋c2≧3，Cl≧c2，次の上下限値を同時に最適化する2日的計画問題の完Cl≦2c2，Cl≦2．5，C2≦2）
この場合，図2に示すように，すべてのc∈rに対して・（礼∬2）T＝（6，6）Tが最適解となる．すなわち，（礼∬2）T＝（6，6）Tは必然的最通解である．〟S⊆ⅡSより，（礼∬2）T＝（6，6）Tは可能的最適解でもある．

（l㊥全最適解が存在すれば，最も妥当な解と考えられてきた．

ma碧pize（悪CTx，讐CT∬）（19次の例は，問題（用の完全最適解が必ずしも理想的な解であるとは限らないことを表している．

例2に示すように，可能的最適解は無数に存在する

例3・次のA，ゐをもつ問題（1）を考えよう．
13

的最適性や必然的最通性の概念がなぜ必要かを議論し

A0よう・様相制約条件計画法［1，2］では，種々の目的関

1 0 1

引き続き，rが通常の集合の場合を取り上げ，可能l lことが多く，必然的最適解は存在するとは限らない．

ト＝「苧1（摘−1数の取り扱い方が提案されているが，それらは一つの＝ 「0rは次式で定められるものとする．

r＝（（cl，C2）Tl7cl−5c2≦4，C2≦2，−3cl＋5c2≧2，Cl≧1）（叩

この問題で，（1，1）T，（3，3）T∈rを考えると，任意のc∈rについて，（1，1）T≦c≦（3，3）Tが成立する．したがって，問題（均は，ma誉藷ize（xl＋x2・3xl十3x2）（10となる．図3に示すように，この場合，問題（1鋸こ完全最適解∬0＝（6，6）Tが存在する．ところが，∬0を最適にするrの領域は図3の影の部分で，rの残りの部分に比べて小さい．また，この間題の可能的最適解集
合は，点（6，6）Tと点（3，9）Tとを結ぶ線分となること
から，∬0は可能的最適解集合の極端な点であること
図1可能的最適解の例もわかる．このような観点から，∬0が必ずしも最も理想的な解とは言い切れない．

●
ち8．

95

33・5 6 8 ズ1
図2 必然的最適解の例
290（12）

図3 例3の問題での解（6，6）T© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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の度合抑旧（∬）を知ることは，∬の選択の妥当性を考例3のように，問題（15）の解は必ずしも理想的な解とは言い切れない．例3の問題には存在しないが，必然える上で有用となりうる．

的最通解が存在する問題においては，取りうる任意のAJ．を行列Aのノ行とすると，線形計画問題の最c∈rに対して最適となるので，必然的最適解は最も適性条件を用いれば，J∈ズが∬∈S（c）となるため理想的な解といえる．一方，可能的最適解は，少なくの必要十分条件は，とも一つのc∈rに対して最適となる解で，最低限の（a）Aノ．∬−∂J＝0となるノ∈（1，2，…，椚）が存在する．

合理性を満たす解といえる．このように，可能的最通（b）AJu＝Cを満たすp≧0が存在する．ただし，Ao性は解選択の最低限の規範を与え，必然的最適性は最はAJ．J−む＝0なるすべての行AJ．から構成され大限の規範を与えている．

るAの小行列である．
なる2条件が成立することである［4］．

さて，rがファジィ集合の場合にも，可能的最通解，以下では，上の条件（a）を満足する∬∈一方を考える．

必然的最適解の概念を導入しよう．この場合，可能的最適解集合n5，必然的最適解集合〟Sはファジィ集条件（b）より，次式が成立する．

合となり，それぞれ，可能性：哩論に基づき次のメンバ

抑5（∬）＝〃「（AJu）

伽〝〃5（J）＝inf（1一世（c）t∀p≧0；AJp≠e）

鍋

シップ関数で定義される［4］．
Sせp（神（c）l∬∈5（c））；∬∈ズのとき
仙∫（∬）＝（Ⅰ餌0；

J≠ズのときるためには，式糾から，計画問題，inf（1一世（c）l∬卓5（c））；

J∈ズのとき〝〃S（∬）＝0；

maximize h，Subjectto AJv∈【Il］h，t）≧0伽）J￠ズのとき㈱の最適値を求めればよいことになる．特に，明らかに，〟購（∬）≦抑ぶ（J），すなわち，几S⊆n5〟「（c）＝ min 甲（dgc）

即鳥＝1．2，・・・，♪

は成立するが，より強く次式が成立する．
〃購（J）＞0⇒拘5（J）＝1rの有界性と仰の上半連続性より，抑5（∬）を求めと定められる場合を考える．ただし，♪＞乃とし，甲：倒）

R→［0，1］は上半連続で非増加な関数で，1imr＿…甲（γ）

これは，少しでも必然であるものは完全に可能である＝0となる．甲の擬逆関数〆：［0，1卜R〃∪（＋∞）をという必然性測度と可能性測度の性質に対応する．

㈹〆（ゐ）＝Sup（γl甲（γ）≧ゐ）

目的関数cTJをもつ線形計画問題の最適解∬は，と定めると，次式が成立する．

すべての〝∈ズについて，CT∬≧cT〝なる実行可能解，あるいは，CT〃＞cT∬なる〝∈ズが存在しない実行可e∈【r】九⇔dJe≦〆（ゐ），々＝1，2，‥・，♪

能解であるといえる．これらに対応して，式（8），（9）をしたがって，この場合，次の線形計画問題の最適値g用いると，∬∈一方とするとき，問題（1）の可能的最適解を求めれば，問題㈹の最適値は甲（g）と得られる．

￠功mlnlmlZeSと必然的最適解について次式が成立する．

OO

subjectto dIAすu≦s，k＝1，2，…，PFLns（x）＝infPOS（γTx≧γTy）〟∈．r＝1−SupNES（γTy＞γTx）
〝∈ズ

U≧0㈹
一方，式鍋より，FLNS（3）＝infNES（γTx≧γTy）〃購（∬）≧ゐ〝∈．方＝1−SuPPOS（γTy＞γTx）㈹⇔（抑（c）＞1一ゐ⇒∃ひ≧0；AJ〝＝e）

削〟∈．方

ただし，POS（γT．z？1＞γT」r2）とNES（γT31＞γT32）は，それぞれ，式（8），（9）で ≧ を ＞ ， ＜ を ≦ に置き換えたもので定められる指標である．

4．可能的最適性と必然的最適性の判定が成立する．（r）…＝（ct神（c）＞1−ゐ）とすると，式糾より，次式が得られる．

伽（∬）＝Sup（カl。乳皇財…l≦0＝maX（カl 。∧）

胸−Cl≦0㈲）上述したように，必然的最適性，可能的最適性は，ただし，Cl（r）ト＿∧は（r）1＿hの閉包である．（r）ト＿ムの有解選択の規範を与えているので，∬∈ガを選択したと界性，関数IAJu−Clの連続性により，（r）l＿∧をき，必然的最適性の度合〃〃ぶ（∬）および可能的最適性

Cl（「）l−hに，Sup，infをmax，minに置き換えてい2002年5月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（13）291このように，〟購（∬）は複数の線形計画問題を解くる．

式糾のメンバシップ関数で定められるrを考える．

ことにより求められるが，上の方法では，♪C〃回も解く必要があり，必ずしも効率的とはいえない．大域的〆：［0，1トR乃∪（＋∞）を最適化手法などによる効率的な計算方法の確立が期待㈹＝￠劫（Sワp｛てカ｝…≡：≡……

される．
可能的最適性，必然的最適性の度合の計算方法を述と定義すると，次式が成立する．

べたが，すべての可能的最適解，必然的最適解を求めe∈cl（r）ト＿九⇔dJe≦申＊（1−ゐ），点＝1，2，・‥，♪

ることも考えられる．可能的最適基底解の列挙につい伽）ては，文献［5］で提案されている．これらの方法では，rの有界性より，Cl（r）1●力は凸多面体になる．

基底解を列挙する度に可能的最適性をテストするのでcl（r）トムの項点集合をⅤ（cl（r）1＿力）と記すと，Cl（r）…

はなく，隣接する基底解の可能的最適性を現在の基底内の任意の点はⅤ（cl（r）．●∧）の要素の凸結合で表され解の情報を用いて判定するなど，計算効率性を上げるる．したがって，Ⅴ（cl（r）1＿九）⊆￠（ゐ）⊆cl（r）ト＿力なるためのエ夫がなされている．必然的最適基底解の列挙￠（ゐ）に対して，次式の成立が容易に示せる．

については，未だ提案されていないが，かなりの計算

max minlAJu−Cl≦Oe∈cI（「）1＿∧ U≧0量が予想される．

⇔maxminrAJv−Cr≦Oe∈Q（Jl）u≧○㈲

5．必然的ファジィ最適解

任意のゐ∈（0，1】について，Ⅴ（cl（r）吊）⊆￠（カ）⊆
Cl（r）＝なるゐに関する集合値写像￠（ゐ）＝（〆（ゐ），ノ

先に述べたように，甚帽（∬）＞0なる必然的最適解は＝1，2，…，㍑）が存在すれば，〆（ゐ），ノ＝1，2，‥・，㍑に対理想的な解である反面，必ず存在するとは限らない．

して，計画問題存在しても，〟購（∬）の値が極めて小さいことが多い．

maximize h，Subjectto A5v＝Cj（h），V≧0 06）の最適値ゐノを計算することにより，〟〃5（∬）＝

これは，係数が変動しても厳密な意味で最適解になるという強い条件を課しているためである．

minj＝l，2ハUゐノと求められる．

現実問題では，完全な最適解でなくともそれに近い上述のような￠（ゐ）を構成する〆（カ）に（1，2，…，♪）

準最適解であれば十分であることも少なくない．このから乃個の要素を選んだ集合ろを対応させ，ろに応考え方に基づき，最適性を緩和したソフトな最適解とじて決まる次の線形計画問題の最適解におけるcのして，ファジィ最適解が考えられる［6］．目的関数の値を〆（ゐ）とすることが考えられる．

係数ベクトルをcとする線形計画問題に対するファminimize見Sh

ジィ最適解集合言（c）は，メンバシップ関数，

Subjectto dlc＋sh＝申＊（1−h），
即々＝1，2，…，♪

〃言（。）（∬）＝∫烏≧0，々＝1，2，…，♪

伽（讐eT〝イ∬），∬∈Xのとき0， その他

汽は♪C〃個存在するので，任意のゐ∈（0，1］に対して，により定められる．ただし，仰げ：R→［0，1］は半連￠（ゐ）はたかだか♪C刀個の要素をもつ有限集合となる．

続な非増加関数である．式㈹では，目的関数値の最適ゐを最大化することと，申＊（1一ゐ）を最大化するこ値からの差（リグレット）に基づいているが，最適値とが等価であることに注意して，問題抑を代入すると，との比に着日すれば，∀c∈Il；maX，∈XCTx＞0の場問題（姻は次の2段階線形計画問題になる．

合には，

maximize￣易S鳥＋EScT∬

Subjectto AJu＝C（細dgc＋ぶ烏＝5，々＝1，2，…，♪
U≧0，ざ烏≧0，烏＝1，2，‥・，♪
ただし，亡は十分小さい（非アルキメデス的な）正数である．問題㈹の最適解におけるぶの値を∫（ろ）とすると，伽（∬）＝．min（1−甲（ぶ（巧）））となる．
J＝1，2，…，pCJ1292（14）㈹）〃轟）（∬）＝J∈ズのとき0， その他と定めることもできる．ただし，〟血加：（−∞，1］→［0，1］は上半連続な非減少関数である．
厳密な最適性の代わりに上で定義されるファジィ最© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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適性を用いると，必然的ファジィ最適解集合j面が，最小解，最悪達成率最適解の計算方法を考えよう．紙

次のメンバシップ関数で定義される［6］．

面の都合上，rを通常の集合として，最大リグレット

FL応（3）＝infmax（1−fLr（c），FLi（c）（x））

阜1）最小解の計算方法を簡単に紹介しよう．
最大リグレット最小化問題㈹は，制約式分離型の

ただし，式㈹で∫（e）が定められる場合には，神（c）

min−maX問題であるので，緩和法を適用すると，次＞0なるcに対してmaxcTy＞0が成立すると仮定さ〟∈．rのアルゴリズムで解けることになる．ただし，∈＞0れる．言（c）が式㈹で定義される場合，次式が成立すは許容誤差を表している．

る．

アルゴリズム〃応（∬）≧ゐ

手順1．cl∈rを選び，maXimizecITyを解き，最〝∈ズ⇔maxcTy−CT∬≦FLBぴ（h），∀c∈（r）1＿＾ 極2）〟∈．方通解をがとする．

ただし，〃古び（ゐ）＝Sup（γl〟ゎび（γ）≧ゐ）である．式㈹は，手順2．∬0＝〝1，γ0＝∞，鳥＝2と設定する．

〃応（J）≧ゐであれば，神（c）＞1−ゐなる任意のCに対手順3．次の計画問題を解き，最適解くc鳥，〝りと最して，最適値からの差が〟芸び（ゐ）以下となることを表

適値γ鳥を求める．

している．ゐが高ければ高いほど，eの広い範囲の変maximizecTy−CT30㈹e∈r．〟∈ズ

動が捕らえられ，また，最適値からの差〃芸げ（ゐ）も小手順3．γ鳥≦rO十どならば，終了する．このとき，さくなることがわかる．式㈹で定義される場合も同様

最適解は∬0で，最適値はγ0となる．

なことがいえる．

手順4．JOとγ0を，次の線形計画問題の最適解で以上より，必然的ファジィ最適性に基づけば，最も更新した後，々＝ゑ＋1として，手順3へ戻る．

合理的な解は次のように定義できる．

maize〟応（3）㈹

mlnlmlZer
subjectto ciyj−Cjx≦r，この解は最良必然的ファジィ最適解と呼ばれる．

ここで，rが通常の集合である場合を考察しよう．
式（姻およぴ㈹の場合に，問題㈹を考えると，〃βぴ，仰。の具体的な設定に依存せず，それぞれ，次の間題の最通解が最長必然的ファジィ最適解になる．

miizeR（x）＝maX CTy￣CTx
亡∈r，〟∈∬∬∈一方

手順1，4の問題は線形計画問題であるので，手順3の計画問題の解法がこのアルゴリズムの効率性を決める．この計画問題は凸最大化問題であるので，外部近似法や切除平面法などの大域的最適化手法を適用する必要がある．各反復でこの問題が解かれるが，制約cT∬
入111▲▲∠■⊂；1 ＼■レノ￣1▲1111．r∈X㈹ノ＝1，2，…，々c∈r maXCTy〟∈ズ問題射）は最大リグレット最小化問題と呼ばれ，その最条件は変化しない．したがって，同じ制約条件をもつ問題を繰り返し解くのに通した解法が有効である．

適解は最大リグレット最小解と呼ばれる．一方，問題最悪達成率最適解も同様な方法で解くことができる㈹の解は最悪達成率最適化問題と呼ばれ，その最適解が，多少，問題に対する仮定が必要になる．一方，rは最悪達成率最適解と呼ばれる．

がファジィ集合の場合は，上の緩和法と二分法を併用

これらの解は次の望ましい性質をもつ．
（a）斤（J）＝0，F（J）＝1のとき，かつそのときに限り，Jは必然的最通解である．
（b）斤（∬）≧0，∀∬∈ズとおよぴダ（∬）≦1，∀J∈ズがする必要がある．緩和法と二分法を同時に収束させるアルゴリズムが提案されている［6］．

6．おわりに本稿では，可能性計画法における最適性問題につい成立する．

（C）最大リグレット最小解および最悪達成率最適解は，可能的最適解である．て述べさせて項いた．特に必然的最適解や必然的ファジィ最適解に関する問題は非凸計画問題となることがこれらの性質より，最大リグレット最小解および最悪多い．より高速な解法や，合理性を多少損なっても計達成率最適解は，必然的最適性からの轟離が最小とな算面で優れた近似アプローチなどが期待される．本稿

る可能的最適解であるといえる．

で述べたアプローチは多目的計画問題へも適用されてファジィ必然的最適解，あるいは，最大リグレット
2002年5月号

いる［1］．

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（15）293最後に，可能性計画法の他のアプローチの現状を述（2000）．

べよう．様相制約条件計画法は，帰着問題が確率計画［3］乾ロ，久米： 可能性分布間の相互関係を考慮したファ法の場合より簡単になるので，種々の応用が期待されジィ関係の拡張とファジィ線形計画問題への応用 ，シスる．しかし，不明確なパラメータ間の従属性があまり

テム制御情報学合論文誌，Vol．3，No．4，93−102（1990）．

考慮されていなかった．最近では，帰着問題の容易さを損なわない範囲で，パラメータ間の従属性が考慮できるモデルが提案されている［7］．一方，リコース計画法は，・最近ようやく研究され始めるようになった．
可能性計画法はかなり発展していながらも，未開発［4］Inuiguchi，M．andSakawa，M．： Possibleandneces−
Sary Optimality testsin possibilisticlinear program一
mingproblems，FuzzySetsandSystems，Vol．67，29−

46（1994）．

［5］Inuiguchi，M．andTanino，T．： Enumerationofall
possibly optimalvertices with possible optimalityの部分も多いので，応用面と理論面の両方での今後のdegreesinpossibilisticlinearprogrammlngprOblems展開が期待される．

伽c．〆4JゐA閤，Vol．1，386−391（2000）．
［6］乾ロ，坂和： ファジィ線形計画問題におけるロバスト

参考文献

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