2017/6/7Mathtodon

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki∂ = d/dx とおく。完全WKB解析では
ℏ2

∂2= ℏ

10 hours ago− Q(x)

2(∂ + P (x, ℏ))(∂ − P (x, ℏ)),∞

P (x, ℏ) = ∑ ℏn−1P n (x)n=0で形式級数 P (x, ℏ) を定義することから出発する。微分作用素の因数分解は次のRiccati方程式と同値:
Q(x) = ℏ22(P (x, ℏ)+ ∂ P (x, ℏ)).

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
Q(x), P (x, ℏ) の x = z(x) に関する座標変換性は
Q̃(z) dz

2

10 hours agoℏ2= Q(x) dx22−{x; z} dz ,2′′′x{x; z} =′3−x2′′x(2′) ,x

˜(x, ℏ) dz = P (x, ℏ)dx −P

1[x; z] dz,2′′x[x, z] =′.

x

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
一方、共形場理論理論では

10 hours ago

˜(z) dz 2 = T (x) dx2 +Tc2{x; z} dz .
12であり、
2a(x)a(y) ∼2(x − y)のときℏ2∂2− T (x)= :(ℏ∂ + a(x)/2)(ℏ∂ − a(x)/2):

すなわち2T (x) = :(a(x)/2) : + ℏ∂ (a(x)/2)

とおくとhttps://mathtod.online/@genkuroki/232443

1/52017/6/7Mathtodonc = 1 − 6ℏ2すなわちc1ℏ=122−.

122

9 hours ago
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
以上を比較すると、完全WKBと共形場理論のあいだには次のような明瞭な対応があることがわかる:

完全WKB

共形場理論

Q(x)

T (x)
1P (x, ℏ)

a(x)
2ℏ

ℏ

2

c1−
2

1/12

ℏ

=122−122の項は量子化によって生じる anomaly だとみなせる。

要するに共形場理論におけるVirasoro代数のボソン化は完全WKBの量子化をやっているとみなせる。
twitter.com/genkuroki/status/4…
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
完全WKBでは

9 hours agox′ψ(x) = exp(∫′

P (x , ℏ) dx )x0にBorel総和法を適用して、(ℏ2∂2− Q(x))ψ(x) = 0の解を構成する。
これの共形場理論での対応物はボソン場の頂点作用素
Ψ(x) = : exp(φ(x)/(2ℏ)):

である。ここで φ(x) は φ′ (x) = a(x),φ(x)φ(y) ∼ 2 log(x − y)を満たす自由スカラーボソン場。
Ψ(x)の共形次元は
1
Δ =4ℏ

https://mathtod.online/@genkuroki/232443
( )
−1/2

1/(4122−.
2)

2/5

2017/6/7

Mathtodon
ψ(x)的。

は −1/2 形式とみなされるので、1/(4ℏ 2 ) の項をアノマリーとみなせるなら、整合

8 hours ago
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
しかし、正しい共形場理論での ψ(x) の対応物は違う。正しい対応物は (1, 2) 退化場
Φ1,2 (x) もしくは (2, 1) 退化場 Φ2,1 (x) である。それらを記述するためにはℏ = b − b−1とおく。このとき
b − b−1± (2b − bλ± =−1)

23b − 2b−1=b,−22とおくと
Φ± (x) = : exp(λ ± φ(x)):

が欲しい型の退化場になっている。これの共形次元は3b2Δ =1−4Φ(x) = Φ± (x).
2のどちらかは:(b−2∂2− T (x))Φ(x): = 0を満たしている。
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
twitter.com/genkuroki/status/4…に基いて退化場の記号の設定し直し。
ℏ = b − ban hour ago−1c = 1 − 6ℏ,2= 1 − 6(b − b−12)(1,2)型退化場 Φ1,2 と(2,1)型退化場 Φ2,1 :22(L−2 − b L−1))Φ1,2 = 0,L0 Φ1,2 = ((3/4)b(L−2 − b−22L−1L0 Ψ = ((3/4)b−2− 1/2)Φ2,1 ,)Φ2,1 = 0,2− 1/2)Ψ

これらを総称してレベル2の退化場という。
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki
また色々わからなくなった。

an hour ago

解 ψ(x) の対応物はレベル2の退化場でいいのだろうか？
https://mathtod.online/@genkuroki/232443

3/5

2017/6/7

Mathtodon

昔のツイッターでの自分の発言を見たら、レベル2の退化場は方程式(ℏ2∂2− Q(x))ψ = 0の見かけの特異点の対応物であり、退化場から得られる共形ブロックが満たす線形微分方
程式はモノドロミー保存変形の量子化のシュレーディンガー方程式になっている。その自分の発言が「正しい」。
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki(1,2)退化場と T (z) の作用素積展開:

12 minutes ago

2b T (z)Φ1,2 (x)22= [b L0+2(z − x)b L−1z − x2

3/4 − b /2
= [2(z − x)2(d/dz)− q(z)

22+ (b L−1 )12+2+ ⋯] Φ1,2 (x)2b ∂ + (b ∂ )z − x+ ⋯] Φ1,2 (x)の見かけの特異点 z = x での q(z) の展開は3/4q(z) =q−1+2(z − x)z − x

2+ (q−1 )+ ⋯の形になる(この条件を見かけの特異点の定義だと思ってよい).
以上の2つは極めて似ているので、これらが対応していると考えてよいだろう。
5 minutes ago
黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki2
一般にprimary ﬁled Φ(x) は (d/dz) − q(z) の確定特異点 z = x の量子化である。

確定特異点で q(z) は2位の極を持つ。
primary ﬁeld と T (z) の作用素積展開は
22b Δb T (z)Φ(x) = [12(z − x)+2b ∂ + regular] Φ(x)z − xの形になり、z = x に2位の極を持つ。

黒木玄 Gen Kuroki@genkuroki

モノドロミー保存変形(を記述する基本的な概念、確定特異点、見かけの特異点、Hamiltonian など)と共形場理論(における基本的な概念、primary ﬁled、退化場、L− 1 など)の対応はものすごくわかりやすい。
おそらく「任意の」共形場理論は「何らかの拡張された意味での」モノドロミー保存変形の量子化になっているのだろう。
一方、完全WKBと共形場理論の対応は(まだ)よくわからない点が残っている。
https://mathtod.online/@genkuroki/232443

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2017/6/7

Mathtodon

完全WKBでは解を構成するという精密なことをやっているので難しいのだろう。
2017年06月07日 08:39 · Web ·  0 ·  1 · Webで開く

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