2020年度 入学試験問題

数 学（ 6 0 分）〔注 意〕① 問題は １ ～ ４ まであります。
② 解 答用紙はこの問題冊子の間にはさんであります。
③ 解答用紙には受験番号と氏名を必ず記入のこと。
④ 各問題とも解答は解答用紙の所定のところへ記入のこと。
西大和学園高等学校

1 次の各問いに答えよ。
3 のとき，a2－10a＋25 の値を求めよ。

⑴

a＝ 5－2⑵

x，y を整数とし，x＞y をみたすものとする。x2＝25＋y2 を満たす整数の組（x，y）をすべて求めよ。

⑶

2 次方程式 3x2－ax－b＝0 が 1 と－2 を解にもつとき，定数 a，b の値を求めよ。

⑷

ある試験に受験者の 25 ％が合格した。合格者の平均点は，合格基準点より 4 点高く，不合格者の平均点は合格基準点より 8 点低かった。全受験者の平均点が 60 点のとき，この試験の合格基準点は何点かを求めよ。

⑸

下の図のように，番号 1 ～ 6 をつけた 6 つの白玉と 2 つの黒玉を線分で結んだ立方体がある。
ⅰア～

ウにあてはまる数を求めよ。

1 つのさいころを振り，出た目の番号と同じ番号の白玉を黒く塗る。このとき，3 つの黒玉を線分で結んでできる三角形が正三角形となる確率は

ⅱ

アである。

同時に 2 つのさいころを振り，出た目の番号と同じ番号の白玉をそれぞれ黒く塗る。
ただし，同じ目が出たときは，出た目の番号と同じ番号の白玉を 1 つ塗る。
このとき，すべての黒玉を線分で結んで図形 T を作る。例えば， 2 つのさいころの出た目が同じであったとき，図形 T は三角形となる。図形 T が正四面体となる確率は図形 T が正三角形の面を少なくとも 1 つ含む四面体となる確率は

●
①●
④●
②●
⑤●
③●●●
⑥―1―ウイである。

，

2 次の各問いに答えよ。
⑴

下の図のように，線分 AF を直径とする半円上に 4 点 B，C，D，E を
AB ＝ BC ＝ CD ＝ DE ＝ EF を満たすようにとる。∠ x の大きさを求めよ。

CDBExF⑵

AO

下の図のように，一辺の長さが 2 である立方体 ABCD － EFGH がある。辺 BC の中点を M，辺 CD の中点を N とする。

（ア）立体 MCN － FGH の体積を求めよ。
（イ）G から面 MNHF に下ろした垂線の長さを求めよ。
DNC2BAM

22HGEF―3―⑶下の図のように，線分 AB を直径とする半円をかき，線分 AB 上に AP：PB ＝ 4 ： 9 となるような点 P をとる。また，P を通り線分 AB に垂直な直線を引き，半円との交点をC とする。いま，P を中心とし，半径 PA の円をかき線分 PC との交点を Q とするとき，
CQ：QP を求めよ。

CQA

⑷

P

B

下の図のように，正方形 ABCD の紙を，EF を折り目として頂点 A が辺 DC 上にくるように折る。線分 AB と線分 CF との交点を G とするとき，△ FBG ∽△ EDA となることを証明せよ。

ED

AF

G
B―5―C

3 下の図のように，y 軸上に点 A（0，2）をとり，放物線 y＝3x 上に x 座標が － 33 であ2る点 B をとる。2 点 A，B を通る直線 l と放物線 y＝3x2 の交点のうち，点 B でない方を点 C とするとき，次の各問いに答えよ。
⑴

直線 l の式を求めよ。

⑵

放物線上に点 P をとったとき，PA＝PB となった。点 P の座標を求めよ。ただし，点 P の x 座標は正とする。

⑶

半直線 AC 上に点 D ，放物線上に点 Q をとったとき，△ABP ∽ △DAQ となった。
（ア）点 D の座標を求めよ。
（イ）△ABP と △DAQ の面積比を求めよ。

⑷

四角形 BPQD の面積を求めよ。

y ＝ 3x2ylCA（0，2）

B－

33O―7―x4 下の図において，立体 ABC－DEF は三角柱である。△ABC は AB＝AC，BC＝6，∠BAC＝120°の二等辺三角形で △DEF と合同である。また，四角形ABED，四角形ACFD は長方形で，BE＝2 6 である。さらに，辺 AD 上に∠ERF＝90°となるように点 R をとり，線分 ER と線分 BD の交点を P，線分 FR と線分 CD の交点を Q とする。
このとき，次の各問いに答えよ。
⑴

立体 ABC－DEF の体積を求めよ｡⑵△PBE と △PDR の面積比を求めよ。

⑶

線分 PF の長さを求めよ。

⑷

立体 BCFEPQ の体積を求めよ。

6C
B120°
A
R

2 6Q

P

FE
D―9―数学大問三(3)の問題文において、以下の波線部分が抜けておりました。
「半直線 AC 上に点 C と異なる点 D」
したがって、(3)を単独でみると、2 通りの解答があり、どちらかを答えれば正答としています。
(4)は、(3)の解答のうち、１つのパターンで四角形 BPQD を作ることができるため、正答は1 通りであるが、(3)の(ア)の解答欄が１つしかなく、受験生に誤解を招いたため、(4)を不問とし、受験生一律に得点を与えています。

2020年度 入学試験問題（仙台・東京・東海・高松会場）

数 学（ 6 0 分）〔注 意〕① 問題は １ ～ ４ まであります。
② 解 答用紙はこの問題冊子の間にはさんであります。
③ 解答用紙には受験番号と氏名を必ず記入のこと。
④ 各問題とも解答は解答用紙の所定のところへ記入のこと。
西大和学園高等学校

1 次の各問いに答えよ。
(1)

x ＝ 3 ＋ 2 ，y ＝ 3 － 2 のとき，x2 ＋ y2 の値を求めよ。

(2)

大小 2 つのさいころを同時に投げ，出た目をそれぞれ a，b とする。
18 が整数となる確率を求めよ。
ab(3)

放物線 y＝x2 と傾きが 1 の直線が 2 点 A，B でyB交わっている。AB＝2 2 であるとき，点 A，点 Bの x 座標をそれぞれ求めよ。ただし，点 A の x 座
標は点 B の x 座標より小さいものとする。

AO(4)n を自然数とする。

x

20n が自然数となるとき， 20n ≦ 2020 を満たす n の個数を求めよ。

(5) 印刷速度が異なる 2 台の印刷機 A，B がある。いま，印刷機 A を使って 700 枚，印刷機 B を使って 700 枚の印刷物を作る。印刷機 A と印刷機 B が同時に印刷を始めてから t 分たったとき，印刷機 A が印刷した枚数と印刷機 B が印刷する残りの枚数が一致した。このあと印刷機 B は 3 分で印刷を終了し，また印刷機 A が 700 枚印刷するのに要した時間は全部で 9 分 20 秒であった。t の値を求めよ。

―1―

2 次の各問いに答えよ。
(1)

下の図のように，4 点 A，B，C，D は円周上にあり，直線 AB と直線 DC の交点をE，直線 AD と 直線 BC の交点を F とする。∠EAF の大きさを求めよ。
F31°
DCA(2)B61°

E

下の図において，3 点 A，B，D は一直線上にあり，△ABC と △BDE はそれぞれAB＝ 8 ，BD＝ 6 の正三角形である。また，CF＝ 3 となるように点 F を線分 AC 上にとり，点 F と点 D を結ぶ。線分 FD と線分 CB の交点を点 G とするとき，線分 BGの長さを求めよ。
C
3EFGA

B

8―3―D
6(3)

下の図のように，円 O の周上に，3 点 A，B，C がある。∠BAC の二等分線を引き，線分 BC との交点を D，円 O との交点を E としたとき，AB＝ 5 ，AC＝ 3，AB＝AE となった。線分 CE の長さを求めよ。
Ａ

3C5O

DEＢ

(4)

下の図のように，一辺の長さが 1 の立方体 ABCD－EFGH の内部に半径の比が1：2 となる 2 つの球があり，2 つの球は外接している。また，半径が小さい方の球は，3 つの面 AEFB，AEHD，EFGH に接し，半径が大きい方の球は，3 つの面ABCD，BFGC，DHGC に接している。半径が小さい方の球の半径を求めよ。
DCA

BGHE

F―5―32 つの関数
y＝－x＋2 …… ①

y＝mx2 …… ②がある。①と②のグラフの交点のうち，x 座標が小さい方の点を A，x 座標が大きい方の点を B とする。点 A の x 座標は －2 である。また，点 O を原点とし，半直線 OB 上に点 P を ∠OAB＝∠PAB となるようにとる。ただし，点 P は点 O と異なるものとする。
このとき，次の各問いに答えよ。
(1)m の値を求めよ。

(2)

点 P の座標を求めよ。

(3)

直線 AP と②の交点を Q とするとき，△OQA の面積を求めよ。ただし，点 Q は点 A と異なるものとする。
(4) 点 O を通る直線 ℓ が，四角形 OBQA の面積を 2 等分するという。このとき，この直線ℓの式を求めよ。

①②yAQPB－2O―7―x4

下の図のように，点 O を中心とする半径 1 の円に点 B から接線を引き，接点を A ，P とする。また，OA，AB を辺とする長方形 OABC をつくり，線分 BP と線分 OC の交点を Q とする。このとき，次の各問いに答えよ。
(1)△OPQ≡△BCQ を証明せよ。

以下，AB＝22 とする。

(2)

線分 PQ の長さを求めよ。

(3)

線分 PA と線分 OB の交点を M，線分 OB の中点を N とする。線分 MN の長さを求めよ。
(4)

線分 PN と線分 OQ の交点を R とするとき，線分 PR の長さを求めよ。

P

Q

O

A

C

B

―9―