05 微分可能函数
黒木玄
2018-04-20～2018-04-03, 2023-06-22
Copyright 2018,2023 Gen Kuroki
License: MIT https://opensource.org/licenses/MIT (https://opensource.org/licenses/MIT)
Repository: https://github.com/genkuroki/Calculus (https://github.com/genkuroki/Calculus)
このファイルは次の場所できれいに閲覧できる:
http://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/Calculus/blob/master/05%20differentiable%20functions.ipynb(http://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/Calculus/blob/master/05%20differentiable%20functions.ipynb)
https://genkuroki.github.io/documents/Calculus/05%20differentiable%20functions.pdf(https://genkuroki.github.io/documents/Calculus/05%20differentiable%20functions.pdf)
このファイルは Julia Box (https://juliabox.com) で利用できる.
自分のパソコンにJulia言語 (https://julialang.org/)をインストールしたい場合にはWindowsへのJulia言語のインストール (http://nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki/81de23edcae631a995e19a2ecf946a4f)
Julia v1.1.0 の Windows 8.1 へのインストール(https://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/msfd28/blob/master/install.ipynb)
を参照せよ. 前者は古く, 後者の方が新しい.
論理的に完璧な説明をするつもりはない. 細部のいい加減な部分は自分で訂正・修正せよ.

目次
 1 Landau記号
1.1 数列版
1.2 連続版
 2 Laudau記号を使った微分可能性の定義
2.1 連続函数
2.2 微分可能函数
2.3級函数
 3 微分商の記号法について
3.1 微分商は真の分数商ではないという誤解について
3.2 微分商の正当化
 4 微分の基本性質
4.1 Leibnitz則
4.2 合成函数の微分則 5 平均値の定理
5.1 Rolleの定理
5.2 微分可能函数の平均値の定理
5.3級函数の積分版平均値の定理
5.4 Cauchyの平均値の定理
 6 極限の微分・積分の順序交換
6.1 極限と積分の順序交換
6.2 極限と微分の順序交換

𝐶𝑛𝐶1

In [1]:



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using Base.MathConstants
using Base64
using Printf
using Statistics
const e = ℯ
endof(a) = lastindex(a)linspace(start, stop, length) = range(start, stop, length=length)​
using Plots#gr(); ENV["PLOTS_TEST"] = "true"#clibrary(:colorcet)#clibrary(:misc)
default(fmt=:png)​function pngplot(P...; kwargs...)sleep(0.1)
pngfile = tempname() * ".png"
savefig(plot(P...; kwargs...), pngfile)showimg("image/png", pngfile)end
pngplot(; kwargs...) = pngplot(plot!(; kwargs...))​
showimg(mime, fn) = open(fn) do fbase64 = base64encode(f)display("text/html", """<img src="data:$mime;base64,$base64">""")
end​
using SymPy#sympy.init_printing(order="lex") # default#sympy.init_printing(order="rev-lex")​
using SpecialFunctions
using QuadGK
using PyPlot: PyPlot, plt

In [2]:



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# Override the Base.show definition of SymPy.jl:# https://github.com/JuliaPy/SymPy.jl/blob/29c5bfd1d10ac53014fa7fef468bc8deccadc2fc/src/​@eval SymPy function Base.show(io::IO, ::MIME"text/latex", x::SymbolicObject)
print(io, as_markdown("\\displaystyle " * sympy.latex(x, mode="plain", fold_short_fra
end@eval SymPy function Base.show(io::IO, ::MIME"text/latex", x::AbstractArray{Sym})
function toeqnarray(x::Vector{Sym})a = join(["\\displaystyle " * sympy.latex(x[i]) for i in 1:length(x)], "\\\\")"""\\left[ \\begin{array}{r}$a\\end{array} \\right]"""end
function toeqnarray(x::AbstractArray{Sym,2})sz = size(x)a = join([join("\\displaystyle " .* map(sympy.latex, x[i,:]), "&") for i in 1:sz"\\left[ \\begin{array}{" * repeat("r",sz[2]) * "}" * a * "\\end{array}\\right]"
end
print(io, as_markdown(toeqnarray(x)))
end

1 Landau記号
1.1 数列版
数列

𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 についてが成立するとき, 量

例えば

𝑎𝑛 を 𝑜(𝑏𝑛 ) と書くことがある:

𝑎𝑛 → 0 (𝑛 → ∞)𝑏𝑛

𝑛100= 𝑜(𝑛2 ).𝑛𝑛 = 𝑜(𝑒 ).
log𝑛 = 𝑜(𝑛).
ある非負の定数 𝑀 が存在して, 十分大きな 𝑛 について

𝑎𝑛 = 𝑜(𝑏𝑛 ).

が成立するとき, 量𝑎𝑛 を 𝑂(𝑏𝑛 ) と書くことがある:|𝑎𝑛 | ≦ 𝑀|𝑏𝑛 |𝑎𝑛 = 𝑂(𝑏𝑛 ).

例えば

3𝑛2 + 100𝑛 + 26 = 𝑂(𝑛2 ).
𝑛log𝑛 − 𝑛 + 12 log(2𝜋𝑛) = 𝑂(𝑛log𝑛).
以上で定義した 𝑜(𝑏𝑛 ) と 𝑂(𝑏𝑛 ) をLandau記号と呼ぶ.
違うものを同じLandau記号の 𝑜(𝑏𝑛 ) や 𝑂(𝑏𝑛 ) で表すことのがあるので注意しなければいけない. 例えば 𝑂(𝑛) − 𝑂(𝑛) = 0 とはならず, 𝑂(𝑛) − 𝑂(𝑛) = 𝑂(𝑛) となる.
𝑜(𝑏𝑛 ) の量は 𝑂(𝑏𝑛 ) の量にもなる.
問題: 𝑛 → ∞ のとき 𝑎𝑛 /𝑏𝑛 が収束するならば 𝑎𝑛 = 𝑂(𝑏𝑛 ) であることを示せ.
解答例: 𝑎𝑛 /𝑏𝑛 が 𝐶 に収束しているなら, |𝑎𝑛 /𝑏𝑛 | は |𝐶| に収束するので, 𝑀 = |𝐶| + 1 とおくと, 十分大きな 𝑛 について
|𝑎𝑛 /𝑏𝑛 | ≦ |𝐶| + 1 = 𝑀 すなわち |𝑎𝑛 | ≦ 𝑀|𝑏𝑛 | が成立する. □1.2 連続版

𝑥 → ∞ におけるLandau記号 𝑜(𝑔(𝑥)), 𝑂(𝑔(𝑥)) は上の数列の場合と同様に定義される.
有限の 𝑎 に関する 𝑥 → 𝑎 におけるLandau記号 𝑜(𝑔(𝑥)) , 𝑂(𝑔(𝑥)) も同様に定義される.
𝑓(𝑥) → 0 (𝑥 → 𝑎)𝑔(𝑥)が成立するとき, 𝑓(𝑥) = 𝑜(𝑔(𝑥)) と書き, ある非負の定数 𝑀 とある 𝛿 > 0 が存在して|𝑓(𝑥)| ≦ 𝑀|𝑔(𝑥)| (|𝑥 − 𝑎| ≦ 𝛿)が成立するとき, 𝑓(𝑥) = 𝑂(𝑔(𝑥)) と書く.
例えば,𝑥 → 0 において 𝑥log𝑥 → 0 なので
𝑥 = 𝑜(1/log𝑥), log𝑥 = 𝑜(1/𝑥) (𝑥 → 0).
𝑥 → 𝑎 において,(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑥 − 𝑎)3 + (𝑥 − 𝑎)4 + ⋯ = 𝑂 ((𝑥 − 𝑎)2 ) = 𝑜(𝑥 − 𝑎) (𝑥 → 𝑎).
どんなに大きな 𝑛 についても, 𝑥 ↘ 0 において 𝑒−1/𝑥 /𝑥𝑛 → 0 なのでexp(− 𝑥1 ) = 𝑜(𝑥𝑛 ) (𝑥 ↘ 0).

問題: 以上に出て来た例を確認(証明)せよ. さらに以上に出て来ていない例で面白そうなものを自分で作れ.

□

2 Laudau記号を使った微分可能性の定義
2.1 連続函数

𝑓(𝑥) が 𝑥 において連続であることの定義は, Landau記号を使うと𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝑜(1) (ℎ → 0)と書ける. 𝑜(1) は ℎ → 0 で 0 に収束する項を意味する. 定義域に含まれるすべての 𝑥 において函数 𝑓(𝑥) が連続であるとき, 函数 𝑓(𝑥) は連続函数であるという.
函数

2.2 微分可能函数函数

𝑓(𝑥) が 𝑥 において微分可能であることの定義は, ある数 𝑓 ′ (𝑥) が存在して,𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) (ℎ → 0)ℎが成立することである. この条件はLandau記号を使うと,

𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥)ℎ + 𝑜(ℎ)
と書き直される. ここで 𝑜(ℎ) は ℎ → 0 のとき 𝑜(ℎ)/ℎ → 0 となるような量を意味する. 𝑜(ℎ) を ℎ より高次の微小量と呼ぶことがある.

定義域に含まれるすべてのに対応させる函数を

𝑓 ′ (𝑥)𝑥 において函数 𝑓(𝑥) が微分可能であるとき, 函数 𝑓(𝑥) は微分可能函数であるという. 𝑥 を微係数
𝑓(𝑥) の導函数(derivative)と呼ぶ.

以上をまとめると,𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝑜(1) (ℎ → 0).
微分可能性:
𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥)ℎ + 𝑜(ℎ) (ℎ → 0).
連続性:

このように書けばこれらは

𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑎0 + 𝑎1 ℎ + 𝑎2 ℎ + ⋯ + 𝑎𝑘 ℎ𝑘 + 𝑜(ℎ𝑘)の形に一般化可能であることが明瞭になる. 後で実際にこの一般化を実行する(Taylorの定理).
注意: 解析学では知りたい量 = 相対的によくわかる量 + 誤差というような理解の仕方が重要になる場合が多い. 函数の連続性の定義の

𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝑜(1) (ℎ → 0)𝑓(𝑥 + ℎ), 𝑓(𝑥), 𝑜(1) のそれぞれ「知りたい量」「想定的によくわかる量」「誤差」とも解釈できる. 函数の微分においては,
可能性の定義𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥)ℎ + 𝑜(ℎ) (ℎ → 0)
においては, 𝑓(𝑥 + ℎ), 𝑓(𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥)ℎ , 𝑜(ℎ) のそれぞれ「知りたい量」「想定的によくわかる量」「誤差」とも解釈できる.
𝑓(𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥)ℎ の中には ℎ と同オーダーの微小量 𝑓 ′ (𝑥)ℎ を含んでいるので, 誤差の部分は ℎ より微小なオーダーになっていなければいけない. 実際, 微分可能性の定義において, 誤差の部分は 𝑜(ℎ) のオーダーになっていなければいけないとしている.
𝑜(ℎ) は ℎ で割って, ℎ → 0 としたときに 0 に収束する量なので, ℎ よりも微小なオーダーになっていると思える. □2.3

𝐶 𝑛 級函数

連続函数を

𝐶 0 級函数と呼ぶ.

𝑓 が微分可能でかつ導函数が連続なとき 𝑓 は 𝐶 1 級であるという. そのとき 𝑓 は連続微分可能であると言うこともある.
より一般に, 𝑓 が 𝑛 回微分可能でかつその 𝑛 階の導函数 𝑓 (𝑛) が連続なとき, 𝑓 は 𝐶 𝑛 級であるという.
任意有限回微分可能な函数を 𝐶 ∞ 級函数と呼ぶ.
𝐶 𝑛 級函数(class-𝐶 𝑛 function)を 𝐶 𝑛 函数 (𝐶 𝑛 -function) と呼ぶことも多い.
問題: 微分可能だが 𝐶 1 級でない函数の例を挙げよ.
解答例: 函数 𝑓 を
𝑓(𝑥) = { 𝑥02 sin(1/𝑥) (𝑥(𝑥 ≠= 0)0)と定める. このとき, 𝑥 ≠ 0 ならば 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥sin(1/𝑥) − cos(1/𝑥) である. そして, 𝑥 → 0 のとき
𝑓(𝑥) − 𝑓(0) = 𝑥2 sin(1/𝑥) = 𝑥sin(1/𝑥) → 0𝑥−0𝑥′なので, 𝑓 は 𝑥 = 0 でも微分可能であり, 𝑓 (0) = 0 である. これで 𝑓 が微分可能であることがわかった. しかし, 𝑥 → 0 で
𝑓 ′ (𝑥) の中の cos(1/𝑥) が無限に振動して収束しないので, 𝑓 ′ は 𝑥 = 0 で不連続である. これで 𝑓 は 𝐶 1 級ではないことがわか
った. □
函数

𝑥2 sin(1/𝑥)𝑛𝑥𝑛 sin(1/𝑥)

問題: 上の問題のを非負の整数 に対するで置き換えた場合について考えてみよ. その場合に得らえる函数は何回微分可能であるか? 最大回数の微分の結果得られる導函数は連続であるか? まず,の場合について考えてみよ.

□

𝑛 = 0,1,3,4

解答例略.
In [3]:



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f(x) = x == 0 ? 0 : x^2*sin(1/x)g(x) = x == 0 ? 0 : 2x*sin(1/x) - cos(1/x)​
p1 = plot(size=(400, 250), xlabel="x", ylabel="y", legend=:topleft)
plot!(f, -0.2, 0.2, ylims=(-0.05, 0.05), label="y = x^2 sin(1/x)")​p2 = plot(size=(400, 250), xlabel="x", ylabel="y", legend=:topleft)
plot!(g, -0.2, 0.2, ylims=(-1.1, 2.0), label="y = 2x sin(1/x) - cos(1/x)")​plot(p1, p2, size=(700, 250))

Out[3]:

3 微分商の記号法について
3.1 微分商は真の分数商ではないという誤解について微分可能函数𝑦 = 𝑓(𝑥) の導函数を𝑑𝑦 = 𝑑𝑓(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥など色々な記号で書くことがある. そのときに,

𝑑𝑦 は分数ではない.
𝑑𝑥
𝑑𝑦 は正確には 𝑑𝑦 ÷ 𝑑𝑥 を意味しない.
𝑑𝑥などと困ったことをいう人達が存在する.
実際には適切に𝑑𝑓(𝑥) を一切の誤差がない正確な分数を意味する
𝑑𝑦, 𝑑𝑓(𝑥), 𝑑𝑥 などの記号を定義することによって, 𝑑𝑦=
𝑑𝑥 𝑑𝑥とみなすこともできる. そのスタイルは現代的な微分形式の定義にも繋がる話でもあるので, 「分数ではない」などと誤解したままにしておくことはもったいないことである.
例えば, 高木貞治著『解析概論』の第13節の最後(p.37)には次のように書いてある:

𝑑𝑦 において 𝑑𝑥 および 𝑑𝑦 が各々独立の意味を有するから, 𝑑𝑦 は商としての意味を有する. すなわ𝑑𝑥𝑑𝑥
ち‘微分商’というものである.
～, 記号

このように, 現代的の精密論法によって, Leibnizの漠然たる‘微分商’が合理化される. ～もちろん, 高木貞治が正しい.

3.2 微分商の正当化

𝑦 = 𝑓(𝑥) は微分可能であるとし, 𝑥 を任意に固定しておく.
𝑦 = 𝑓(𝑥) は 𝑥 で微分可能なので, ある数 𝑓 ′ (𝑥) が存在して,𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥)ℎ + 𝑜(ℎ)
が成立している. ℎ をℎ = 𝑑𝑥 = 𝛥𝑥と書くことにし,𝛥𝑦 = 𝛥𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥), 𝑑𝑦 = 𝑑𝑓(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥

とおく. このとき,

𝛥𝑦 = 𝑑𝑦 + 𝑜(𝛥𝑥), 𝛥𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑑𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑓(𝑥) + 𝑜(𝑑𝑥).
𝛥𝑦 = 𝛥𝑓(𝑥) と 𝑑𝑦 = 𝑑𝑓(𝑥) の定義の違いに注意せよ. それらは 𝛥𝑥 = 𝑑𝑥 よりも高次の微小量 𝑜(𝛥) = 𝑜(𝑑𝑥) の分だけ違う.
このように定義しておけば, 自明に真の分数商として,

𝑑𝑦 = 𝑑𝑓(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥が成立している. このような「みもふたもない方法」によって 𝑑𝑦 や 𝑑𝑓(𝑥) のような量を定義することは現代数学の特徴の一つでもある. 𝑑𝑥 や 𝑑𝑦 = 𝑑𝑓(𝑥) は「微小」である必要はまったくない. 例えば 𝑑𝑥 = 100 であっても構わない.

In [4]:



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f(x) = x^2
df(x,dx) = 2x*dx
g(x,ξ) = f(x) + df(x, ξ-x)x = 3
dx = 2
ξ = 2:0.01:6.5​
P = plt.figure(figsize=(6.4,6))
plt.ylim(minimum(g.(x, ξ)), 40)
plt.xlabel("ξ")
plt.ylabel("y")
plt.plot(ξ, f.(ξ), label="y = f(ξ)", color="black")
plt.plot(ξ, g.(x, ξ), label="y = f(x) + f'(x)(ξ-x)", color="blue")plt.plot([x, x], [minimum(g.(x, ξ)), f(x)], label="ξ = x", color="gray", ls="dashed")
plt.plot([x+dx, x+dx], [minimum(g.(x, ξ)), f(x+dx)], color="lightgrey", ls="dotted")
plt.plot([x+dx, x+dx], [f(x), g(x,x+dx)], label="ξ = x + dx", color="orange", ls="dotted
plt.plot([minimum(ξ), maximum(ξ)], [f(x), f(x)], color="gray", ls="dotted")
plt.plot([x, x+dx], [f(x), f(x)], label="y = f(x)", color="red", ls="dotted")
plt.plot([minimum(ξ), maximum(ξ)], [f(x+dx), f(x+dx)], label="y = f(x+dx)", color="black
plt.plot([minimum(ξ), maximum(ξ)], [g(x,x+dx), g(x,x+dx)], label="y = f(x) + df(x)dx", c
plt.text(2.8, 5, "x")plt.text(5.1, 5, "x + dx")
plt.text(2.5, 10, "y")plt.text(3.8, 22, "y + dy", color="blue")
plt.text(3.8, 26, "y + Δy", color="black")
plt.text(5, 33, "y = f(ξ)", color="black")
plt.text(5.8, 30.5, "tangent line", color="blue")plt.annotate("dx", xy=(3.01, 8), xytext=(3.9, 7.5), arrowprops=Dict("arrowstyle" => "->"
plt.annotate("", xy=(4.99, 8), xytext=(4.1, 8), arrowprops=Dict("arrowstyle" => "->"))
plt.annotate("dy", xy=(5.1, 9.01), xytext=(5.01, 15), arrowprops=Dict("arrowstyle" => "->plt.annotate("", xy=(5.1, 21), xytext=(5.1, 16), arrowprops=Dict("arrowstyle" => "->"))
plt.annotate("Δy", xy=(5.4, 9.01), xytext=(5.31, 15), arrowprops=Dict("arrowstyle" => "->plt.annotate("", xy=(5.4, 25), xytext=(5.4, 16), arrowprops=Dict("arrowstyle" => "->"))
plt.text(2, 38, "Δy = f(x+Δx) - f(x), Δx = dx")
plt.text(2, 34, "tangent line: y = f(x) + f'(x)(ξ - x)", color="blue")
plt.text(2, 32, "dy = f'(x)dx,
dy/dx = f'(x)", color="blue")#plt.legend()#display(P);4 微分の基本性質
4.1 Leibnitz則
微分可能な函数

証明:

𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) の積 ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) も微分可能であり,ℎ′(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥).

𝑓,𝑔 は微分可能なので,

𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) + 𝑓′ ′ (𝑥)ℎ + 𝜀(ℎ)ℎ, 𝜀(ℎ) → 0 (ℎ → 0),𝑔(𝑥 + ℎ) = 𝑔(𝑥) + 𝑔 (𝑥)ℎ + 𝛿(ℎ)ℎ, 𝛿(ℎ) → 0 (ℎ → 0)と書ける. ゆえにℎ(𝑥 + ℎ) ′= 𝑓(𝑥′ + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) = ′𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + (𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥)′ + 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥))ℎ + 𝜂(ℎ)ℎ,
𝜂(ℎ) = 𝑓 (𝑥)𝑔 (𝑥)ℎ + (𝑓(𝑥) + 𝑓 (𝑥)ℎ)𝛿(ℎ) + (𝑔(𝑥) + 𝑔 (𝑥)ℎ)𝜀(ℎ) + 𝜀(ℎ)𝛿(ℎ)ℎとなることを確認できる. そして, ℎ → 0 のとき 𝜂(ℎ) → 0 なので, ℎ も微分可能で ℎ ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥) となることがわかる. □問題: 部分可能な函数 𝑓,𝑔 について
𝑑 𝑛 (𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) = 𝑛 𝑛 𝑓 (𝑛−𝑘) (𝑥)𝑔(𝑘) (𝑥)∑ (𝑘)( 𝑑𝑥 )
𝑘=0となることを示せ.
解法1:𝑛 に関する帰納法. 𝑛 = 0 のとき

𝑛 = 1 のとき
𝑛 = 2 のとき

𝑛 = 3 のとき

𝑛 = 4 のとき

0(𝑓𝑔)(0) = 𝑓𝑔 = ∑ (𝑘0)𝑓 (0−𝑘) 𝑔(𝑘) .
𝑘=0

1(𝑓𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓 𝑔′ = ∑ (𝑘1)𝑓 (1−𝑘) 𝑔(𝑘) .
𝑘=0(𝑓𝑔)″ = (𝑓″′ 𝑔 + 𝑓′𝑔′′)′ ′ ′ ″= 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑔 + 𝑓𝑔
2
= 𝑓 ″ 𝑔 + 2𝑓 ′ 𝑔′ + 𝑓 𝑔″ = ∑ (𝑘2)𝑓 (2−𝑘) 𝑔(𝑘) .
𝑘=0(𝑓𝑔)‴ = (𝑓‴″ 𝑔 + 2𝑓″ ′ 𝑔′ ′ + 𝑓 𝑔″″ )′′ ′ ″ ′ ″ ‴= 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑔 + 2𝑓 𝑔 + 2𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑔
3= 𝑓 ‴ 𝑔 + 3𝑓 ″ 𝑔′ + 3𝑓 ′ 𝑔″ + 𝑓 𝑔‴ = ∑ (𝑘3)𝑓 (3−𝑘) 𝑔(𝑘) .
𝑘=0(𝑓𝑔)‴ = (𝑓⁗‴ 𝑔 + 3𝑓‴″ 𝑔′ ′ + 3𝑓‴′ 𝑔′″ + 𝑓 𝑔″‴ )″′ ″ ″ ′ ‴ ′ ‴ ⁗= 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑔 + 3𝑓 𝑔 + 3𝑓 𝑔 + 3𝑓 𝑔 + 3𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑔
4= 𝑓 ⁗ 𝑔 + 4𝑓 ‴ 𝑔′ + 6𝑓 ″ 𝑔″ + 4𝑓 ′ 𝑔‴ + 𝑓 𝑔⁗ = ∑ (𝑘4)𝑓 (4−𝑘) 𝑔(𝑘) .
𝑘=0𝑛 の場合に成立しているならば, (𝑘 −𝑛 1) + (𝑘𝑛) = (𝑛 +𝑘 1) より,

𝑛 𝑓 (𝑛−𝑘) 𝑔(𝑘) ′(∑)
𝑘=0 (𝑘)𝑛 𝑛𝑛= ∑ (𝑘)𝑓 (𝑛−𝑘+1) 𝑔(𝑘) + ∑ (𝑘𝑛)𝑓 (𝑛−𝑘) 𝑔(𝑘+1)
𝑘=0
𝑘=0
𝑛 𝑛
𝑛+1
= ∑ (𝑘)𝑓 (𝑛−𝑘+1) 𝑔(𝑘) + ∑ (𝑘 −𝑛 1)𝑓 (𝑛+1−𝑘) 𝑔(𝑘)𝑘=0
𝑘=1
𝑛+1 𝑛 + 1
= ∑ ( 𝑘 )𝑓 (𝑛+1−𝑘) 𝑔(𝑘) .
𝑛(𝑓𝑔)(𝑛+1) =と𝑛 + 1 の場合も成立している. □解法2: 二項定理より,なので, これを

𝑘=0∂ + ∂ 𝑛 = 𝑛 𝑛 ∂ 𝑛−𝑘 ∂ 𝑘( ∂𝑥 ∂𝑦 ) ∑𝑘=0 (𝑘)( ∂𝑥 ) ( ∂𝑦 )𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) に作用させると,4.2 合成函数の微分則微分可能な函数

証明:

𝑓(𝑦), 𝑔(𝑥) の合成 ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) も微分可能であり,ℎ′(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥).

𝑓,𝑔 は微分可能なので,

𝑓(𝑦 + 𝑘) = 𝑓(𝑦) + 𝑓′ ′ (𝑦)𝑘 + 𝜀(𝑘)𝑘, 𝜀(𝑘) → 0 (𝑘 → 0),𝑔(𝑥 + ℎ) = 𝑔(𝑥) + 𝑔 (𝑥)ℎ + 𝛿(ℎ)ℎ, 𝛿(ℎ) → 0 (ℎ → 0)と書ける. ゆえに 𝑦 = 𝑔(𝑥) , 𝑘 = 𝑔′ (𝑥)ℎ + 𝛿(ℎ)ℎ とおくと, ℎ → 0 のとき 𝑘 → 0 であり,ℎ(𝑥 + ℎ) ′= 𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) = 𝑓(𝑦′ + 𝑘) = 𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝑓 ′ (𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥)ℎ + 𝜂(ℎ)ℎ,
𝜂(ℎ) = 𝑓 (𝑔(𝑥))𝛿(ℎ) + 𝜀(𝑘)(𝑔 (𝑥) + 𝛿(ℎ))
であり, ℎ → 0 のとき 𝜂(ℎ) → 0 となるので, ℎ も微分可能でかつ ℎ ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥) となることがわかる. □5 平均値の定理
5.1 Rolleの定理

𝑎 < 𝑏 であるとし, 𝑓 は閉区間 [𝑎,𝑏] 上の実数値連続函数であり, 開区間 (𝑎,𝑏) 上で微分可能であると仮定する. も𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ならばある 𝜉 ∈ (𝑎,𝑏) で 𝑓 ′ (𝜉) = 0 を満たすものが存在する.
証明: 閉区間 [𝑎,𝑏] 上の実数値連続函数 𝑓 は最大値 𝑓(𝜉), 𝜉 ∈ [𝑎,𝑏] と最小値 𝑓(𝜂), 𝜂 ∈ [𝑎,𝑏] を持つ. もしも 𝑓 が [𝑎,𝑏] 上の定数函数ならば任意の 𝑥 ∈ (𝑎,𝑏) で 𝑓 ′ (𝑥) = 0 となる. 𝑓 は [𝑎,𝑏] 上の定数函数ではないと仮定する. そのとき, 𝑓 の最大値
𝑓(𝜉) または最小値 𝑓(𝜂) は 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) と一致しない. 最大値 𝑓(𝜉) が 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) と一致しないと仮定しよう. (最小値の側が一致しない場合も以下の議論は同様である. もしくは 𝑓 の代わりに −𝑓 を考えればよい.) そのとき 𝜉 ≠ 𝑎,𝑏 となるので
𝜉 ∈ (𝑎,𝑏) である. 𝑓(𝜉) は 𝑓 の 𝐼 上での最大値なので, 0 < ℎ < min{𝜉 − 𝑎,𝑏 − 𝜉} のとき, 𝑓(𝜉 − ℎ)−ℎ− 𝑓(𝜉) ≧ 0 なのでℎ ↘ 0 として 𝑓 ′ (𝜉) ≧ 0 となり, 𝑓(𝜉 + ℎ)ℎ − 𝑓(𝜉) ≦ 0 なので ℎ ↘ 0 として 𝑓 ′ (𝜉) ≦ 0 となることがわかる. ゆえに
𝑓 ′ (𝜉) = 0 . □注意: Rolleの定理の証明は 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) のとき, 𝑎 と 𝑏 のあいだで 𝑓(𝑥) が極値を取り, そこで微係数が 0 になることを意味している. グラフを描いてみれば当然成立して欲しい結果であることがわかる. □Rolleの定理:
しも5.2 微分可能函数の平均値の定理
平均値の定理:𝑎 < 𝑏 であるとし, 𝑓 が閉区間 [𝑎,𝑏] 上の連続函数であり, 開区間 (𝑎,𝑏) 上で微分可能函数ならば, ある実数 𝜉 で𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓 ′ (𝜉), 𝑎 < 𝜉 < 𝑏𝑏−𝑎を満たすものが存在する.

𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑏)𝑏 −− 𝑎𝑓(𝑎) 𝑥 とおくと, 𝑔(𝑎) = 𝑔(𝑏) = 𝑏𝑓(𝑎)𝑏 −− 𝑎𝑓(𝑏)なので, Rolleの定理より, ある 𝜉 ∈ (𝑎,𝑏) で𝑎𝑔′ (𝜉) = 0 を満たすものが存在する. 0 = 𝑔′ (𝜉) = 𝑓 ′ (𝜉) − 𝑓(𝑏)𝑏 −− 𝑎𝑓(𝑎) なので欲しい結果が得られた. □𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) (𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) を平行移動して 𝑦 = 𝑓(𝑥) のグラフ
注意: 平均値の定理は (𝑎,𝑓(𝑎)) と (𝑏,𝑓(𝑏)) を通る直線 𝑦 =𝑏−𝑎に接するようにできるという意味を持っている. 次のセルの図も見よ. □証明:

In [5]:



1
2
3
4
5
6
7
8
9

f(x) = 2 - 3x + x^2g(x) = x - 2
x = 0.9:0.05:3.1
plot(size=(500,350))
plot!(legend=:topleft)
plot!(x, f.(x), label="y = f(x)")
plot!([1,3], [f(1), f(3)], label="straight line from (a,f(a)) to (b,f(b))")plot!([1,3], [g(1), g(3)], ls=:dash, label="parallel tangent line")plot!([2,2], [-1,0], ls=:dash, label="x = xi")

Out[5]:

𝑓 は微分可能函数であるとし, 𝑎 < 𝑏 であるとする. 𝑎 < 𝑡 < 𝑏 で |𝑓 ′ (𝑡)| ≦ 𝑀 となっているならば|𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)| ≦ 𝑀|𝑏 − 𝑎| となる.
証明: 平均値の定理より, ある実数 𝑐 で 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓 ′ (𝑐)(𝑏 − 𝑎), 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 を満たすものが存在する. そのとき
|𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)| = |𝑓 ′ (𝑐)||𝑏 − 𝑎| ≦ 𝑀|𝑏 − 𝑎|. □平均値の定理の不等式版:

平均値の定理はこの不等式版の形式で使われることが多い.

𝑓 は微分可能函数であるとし, 𝑎 < 𝑏 であるとする. 𝑎 < 𝑡 < 𝑏 で 𝑓 ′ (𝑡) = 0 ならば 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) でなることを示せ.
解答例1: 平均値の定理より, ある実数 𝑐 で 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 , 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) ≦ 𝑓 ′ (𝑐)(𝑏 − 𝑎) を満たすものが存在する. 𝑎 < 𝑡 < 𝑏 で
𝑓 ′ (𝑡) = 0 なので 𝑓 ′ (𝑐) = 0 となるので, 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑏) = 𝑓 ′ (𝑐)(𝑏 − 𝑎) = 0 である. ゆえに 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) となる. □解答例2: 𝑎 < 𝑡 < 𝑏 で |𝑓 ′ (𝑡)| = 0 なので, 平均値の定理(の不等式版)より, |𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)| ≦ 0|𝑏 − 𝑎| = 0 . ゆえに𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) となる. □上の問題の結果は, 導函数が恒等的に 0 になる微分可能函数は定数函数になることを意味している.
問題: 𝑓 , 𝑔 は区間 𝐼 上の微分可能函数であるとする. 区間 𝐼 上で恒等的に 𝑓 ′ = 𝑔′ ならば 𝑓 − 𝑔 は区間 𝐼 上の定数函数になる.
解答例: ℎ = 𝑓 − 𝑔 とおくと, 区間 𝐼 上で恒等的に 𝑓 ′ = 𝑔′ ならば区間 𝐼 上で恒等的に ℎ ′ = 0 となるので, 上の問題の結果より, ℎ は区間 𝐼 上の定数函数になる. □
問題:

5.3

𝐶 1 級函数の積分版平均値の定理

平均値の定理の積分版:

𝑎 < 𝑏 であるとする. 閉区間 [𝑎,𝑏] 上の 𝐶 1 級函数 𝑓 について𝑏𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = ∫𝑎 𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡. □証明についてはノート「積分 (http://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/Calculus/blob/master/09%20integration.ipynb)」の対応する節 (http://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/Calculus/blob/master/09%20integration.ipynb#性質(G)-微分積分学の基本
定理2)を参照せよ.

𝐶1

注意: 解析学ユーザー的には級まで条件を強めても困ることはない. 多くの議論を微分可能性の仮定だけで実行可能なのだが, 導函数が連続函数になるとは限らないので, 議論が技巧的になってしまう傾向がある. そうなることを避けたければ級まで仮定を強めた方がよい その場合に利用できる平均値の定理の積分版の式は積分について知っている人ならばみんな知ってい𝐶1

𝑓 は 𝐶 1 級函数であるとし, 𝑎 < 𝑏 であるとする. 𝑎 < 𝑡 < 𝑏 で |𝑓 ′ (𝑡)| ≦ 𝑀 となっているならば|𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)| ≦ 𝑀|𝑏 − 𝑎| となる.
平均値の定理の不等式版:𝑏𝑏𝑏|𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)| = ||||∫𝑎 𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡|||| ≦ ∫𝑎 |𝑓 ′ (𝑡)|𝑑𝑡 ≦ ∫𝑎 𝑀 𝑑𝑡 = 𝑀|𝑏 − 𝑎|. □||中間値の定理から導かれる補題: 𝑎 < 𝑏 であるとする. 閉区間 [𝑎,𝑏] 上の実数値連続函数 𝑔(𝑡) に対して, ある実数 𝑐 ∈ [𝑎,𝑏] で𝑏∫𝑎 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑔(𝑐)(𝑏 − 𝑎)証明:

を満たすものが存在する. (数値例が下の方で計算されている.)
証明:[𝑎,𝑏] 上での 𝑔(𝑡) の最小値と最大値をそれぞれ 𝑔(𝛼), 𝑔(𝛽) (𝛼,𝛽 ∈ [𝑎,𝑏]) と書くと,
𝑏𝑏𝑏𝑏𝑔(𝑡)𝑑𝑡≧𝑔(𝛼)𝑑𝑡=𝑔(𝛼)(𝑏−𝑎),𝑔(𝑡)𝑑𝑡≦∫𝑎∫𝑎∫𝑎∫𝑎 𝑔(𝛽)𝑑𝑡 = 𝑔(𝛽)(𝑏 − 𝑎)より

𝑏𝑔(𝛼) ≦ 𝑏 −1 𝑎 ∫𝑎 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 ≦ 𝑔(𝛽).
ゆえに, 中間値の定理より, ある実数 𝑐 ∈ [𝑎,𝑏] で𝑏𝑏𝑔(𝑐) = 𝑏 −1 𝑎 ∫𝑎 𝑔(𝑡)𝑑𝑡, すなわち ∫𝑎 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑔(𝑐)(𝑏 − 𝑎)を満たすものが存在する. □上の中間値の定理から導かれる補題を平均値の定理の積分版に適用すると次が得られる.
平均値の定理の積分版2:

𝑎 < 𝑏 であるとする. 𝑓 が [𝑎,𝑏] 上の実数値 𝐶 1 級函数ならば, ある実数 𝑐 ∈ [𝑎,𝑏] が存在して,𝑏𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = ∫𝑎 𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎). □In [6]:



1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
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29
30
31
32
33
34
35
36
37

# 中間値の定理の証明に使われる二分法の函数としての実装
function bisection(f, a, b; atol=eps(), maxiter=10^3)
f(a)*f(b) > 0 && return NaN
aₙ, bₙ = a, b
k = 0
while abs(aₙ - bₙ) > atolk > maxiter && return NaN
c = (aₙ+bₙ)/2
if f(bₙ)*f(c) ≥ 0
aₙ, bₙ = aₙ, c
else
aₙ, bₙ = c, bₙend
k += 1end
return (aₙ+bₙ)/2
end​# 中間値の定理から導かれる補題を次の g(x) と a,b に適用してみる.
g(x) = 5 + x + 2sin(x)a, b = -3, 5
x = a:0.05:b​
t = symbols("t", real=true)@show g(t)@show S = integrate(g(t), (t,a,b))@show S = N(S)​h(x) = g(x) - S/(b-a)@show h(t)@show c = bisection(h, a, b)​
plot(size=(400,250), legend=:topleft)
plot!(xlims=(a-0.5, b+0.5), lims=(0,9))
plot!(x, g.(x), label="int_a^b g(t) dt", fill=(0, 0.2))
plot!([c,c], [0,g(c)], ls=:dash, label="x = c")plot!(x, fill(g(c), length(x)), fill=(g, 0.5), color=:pink, label="")g(t) = t + 2*sin(t) + 5
S = integrate(g(t), (t, a, b)) = 2*cos(3) - 2*cos(5) + 48
S = N(S) = 45.45269063587265655652357606751036277854379662226439145251111000097103869143915
h(t) = t + 2*sin(t) - 0.6815863294840820695654470084387953473179745777830489315638887501213
798364299
c = bisection(h, a, b) = 0.2285179081631924
Out[6]:

5.4 Cauchyの平均値の定理
Cauchyの平均値の定理:
ある実数 で𝑐𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡) は微分可能函数であるとし, 𝑎 < 𝑏 であるとし, 𝑓(𝑏) ≠ 𝑓(𝑎) であると仮定する. このとき,を満たすものが存在する.

□

𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) = 𝑔′ (𝑐) , 𝑎 < 𝑐 < 𝑏𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑓 ′ (𝑐)(∗)

この定理はこのノート群では使用しない. Cauchyの平均値の定理については高木貞治『解析概論』の第18節の定理21とその証明を参照せよ.

(𝑓(𝑡),𝑔(𝑡)) の描く軌跡は平面上の曲線になる. (∗) の最初の式の左辺は, 曲線上の点 (𝑓(𝑎),𝑔(𝑎)), (𝑓(𝑏),𝑔(𝑏))を通る直線の傾きになる. その直線を平行移動して曲線に接するようにできる. 接点 (𝑓(𝑐),𝑔(𝑐)) における測度ベクトル (𝑓 ′ (𝑐), 𝑔′ (𝑐)) の傾きが(∗ ) の最初の式の右辺になる.

問題: 図を描いてみよ.
In [7]:



1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

□

f(t) = t/2
g(t) = 2 - 3t/2 + t^2/4h(x) = x - 2
t = 1.8:0.05:6.2
plot(size=(500,350))
plot!(legend=:topleft)
scatter!([f(2)], [g(2)], markersize=3, label="(f(a),g(a))")scatter!([f(6)], [g(6)], markersize=3, label="(f(b),g(b))")plot!(f.(t), g.(t), label="(f(t),g(t))")plot!([f(2),f(6)], [g(2), g(6)], label="")plot!([1,3], [h(1), h(3)], ls=:dash, label="")scatter!([f(4)], [g(4)], markersize=3, label="(f(c),g(c))")plot!([2,2.5], [h(2), h(2.5)], line=:arrow, lw=2, label="velocity vector (f'(c),g'(c))")Out[7]:

6 極限の微分・積分の順序交換
一様収束極限と積分の順序交換が可能であることの証明は易しい. その易しい積分の場合の結果を使って, ある適切な条件を満たす極限と微分の交換可能性を証明しよう.
注意: 計算するときに極限の交換の条件を気にし過ぎて, 必要な計算をできなくなったりしないように注意して欲しい. 極限の順序交換の議論に慣れてくれば, ノータイムで極限の順序交換を論理的に正当化できる場合が増える. そういうやり方に慣れていない段階で「極限の順序交換をしてよいのかどうか気になって計算を先に進められない」ということになるのは非常にまずい.
極限の順序交換を気にせずに, 非常に複雑な微積分の計算をスムーズに行う能力も重要である. 複雑な計算を最後までやり遂げて, 論理的に厳密な正当化を行う価値があることが判明してから, 極限の順序交換に関する細かい議論を行っても遅くない.

□

余談: 筆者は学生時代に複数の解析学が専門の数学者達から「計算するときには極限の順序交換の正当化については気にするべきではない」と教わった.

□

6.1 極限と積分の順序交換

𝑎<𝑏

定理:
であるとし,
も連続函数になり,

𝑓𝑛 は閉区間 𝐼 = [𝑎,𝑏] 上の連続函数の列であり, 𝐼 上で一様収束しているならば, その収束先の函数𝑏𝑏lim ∫𝑎 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑛→∞
lim 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥𝑛→∞が成立している.

𝑓𝑛

𝑓

証明:
の収束先の函数を と書く. ノート「連続函数(http://nbviewer.jupyter.org/github/genkuroki/Calculus/blob/master/04%20continous%20functions.ipynb)」でことはすでに示してある. そして, 閉区間
上のsupノルム
について

[𝑎,𝑏]
‖𝑔‖∞ = 𝑥∈[𝑎,𝑏]sup |𝑔(𝑥)|‖𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)‖∞ ≦ ‖𝑓𝑛 − 𝑓 ‖∞ (𝑥 ∈ [𝑎,𝑏])であり, 𝑓𝑛 が 𝑓 に一様収束することと ‖𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)‖∞ → 0 は同値なので,
|

| |

|

𝑓 も連続函数になる

|| 𝑏 (𝑥)𝑑𝑥 − 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥|| = || 𝑏 ( (𝑥) − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥|| ≦ 𝑏 | (𝑥) − 𝑓(𝑥)|𝑑𝑥||∫𝑎 𝑓𝑛|| ||∫𝑎 𝑓𝑛|| ∫𝑎 𝑓𝑛∫𝑎|| ||≦ (𝑏 − 𝑎)‖𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)‖∞ → 0 (𝑛 → ∞).
6.2 極限と微分の順序交換

𝑎<𝑏

𝑓𝑛

(𝑎,𝑏)

𝐶′ 1
𝑓𝑛 𝑓𝑛

(𝑎,𝑏)

定理(極限と微分の順序交換):
であるし,
は開区間
上の
級函数の列であり, 開区間に含まれる任意の閉区間 上でとは一様収束していると仮定する(このとき ,は局所一様収束しているという). このとき,は開区間全体で各点収束しており, その収束先の函数も級になり, 任意の
において,

𝐼
(𝑎,𝑏)

𝑓𝑛 𝑓𝑛′

𝐶1𝑥 ∈ (𝑎,𝑏)
lim 𝑑𝑥𝑑 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑑𝑥𝑑 𝑛→∞
lim 𝑓𝑛 (𝑥)𝑛→∞𝑓𝑛が成立している.

𝑥 ∈ (𝑎,𝑏) を任意に取り, 𝑎 < 𝑎′ < 𝑥 < 𝑏′ < 𝑏 を満たす 𝑎′ , 𝑏′ を任意に選んで, 𝐼 = [𝑎′ , 𝑏′] とおく.
𝑓𝑛 , 𝑓𝑛′ は 𝐼 上で一様収束しているので,特に数列 𝑓𝑛 (𝑥), 𝑓𝑛′ (𝑥) も収束している. これで 𝑓𝑛 , 𝑓𝑛′ が開区間 (𝑎,𝑏) 全体で各点収束していることがわかった. 𝑓𝑛 , 𝑓𝑛′ それぞれの各点収束先の函数を 𝑓 , 𝑔 と書くことにする.
𝑓𝑛 , 𝑓𝑛′ は閉区間 𝐼 上でそれぞれ 𝑓, 𝑔 に一様収束するので, 𝑓, 𝑔 も閉区間 𝐼 上の連続函数になる. 閉区間 𝐼 の両端は 𝑎,𝑏 に幾らでも近付けることができるので, 𝑓 , 𝑔 は開区間 (𝑎,𝑏) 全体で連続函数になる.
𝑥0 ,𝑥 ∈ (𝑎,𝑏) であるとし, 𝑥0 ,𝑥 ∈ (𝑎′ , 𝑏′), 𝑎 < 𝑎′ < 𝑏′ < 𝑎 を満たす 𝑎′ , 𝑏′ を任意に選んで, 𝐼 = [𝑎′ , 𝑏′] とおく. 𝑓𝑛 は 𝐶 1
証明:

級なので,

𝑥

𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑓𝑛 (𝑥0 ) + ∫𝑥 𝑓𝑛′ (𝜉)𝑑𝜉.
0
𝐼 上で 𝑓𝑛 は 𝑓 に各点収束し, 𝑓𝑛′ は 𝑔 に一様収束するので, 𝑛 → ∞ のとき, 極限と積分を交換できて,
𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + ∫𝑥 𝑔(𝜉)𝑑𝜉.
0′を得る. これより, 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥) となることがわかる. □別証明: 𝑓𝑛 , 𝑓𝑛′ の収束先の函数をそれぞれ 𝑓,𝑔 と書いて, 𝑓,𝑔 が連続函数であることを示すところまでは同様.
𝑥 ∈ (𝑎,𝑏) であるとし, 𝑎 < 𝑎′ < 𝑥 < 𝑏′ < 𝑎 を満たす 𝑎′ , 𝑏′ を任意に選んで, 𝐼 = [𝑎′ , 𝑏′] とおく. 以下, 実数 ℎ は 𝑥 + ℎ ∈ 𝐼
を満たしていると仮定する. 𝜀 > 0 を任意に取る.
𝑓𝑛′ は 𝐼 上で 𝑔 に一様収束するので, ある番号 𝑁 が存在して, 𝑚,𝑛 ≧ 𝑁 ならば任意の 𝜉 ∈ 𝐼 について
|𝑓𝑛′ (𝜉) − 𝑔(𝜉)| < 𝜀4 , |𝑓𝑚′ (𝜉) − 𝑓𝑛′ (𝜉)| ≦ |𝑓𝑚′ (𝜉) − 𝑔(𝜉)| + |𝑔(𝜉) − 𝑓𝑛′ (𝜉)| < 𝜀2 .
𝑓𝑛 は 𝐶 1 級なので
𝑥+ℎ1
𝑓𝑛 (𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑛 (𝑥) = ∫𝑥 𝑓𝑛′ (𝜉)𝜉 = ∫0 𝑓𝑛′ (𝑥 + ℎ𝑡)𝑑𝑡となるので, 𝑚,𝑛 ≧ 𝑁 のとき,
1
|𝑓𝑚 (𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑚 (𝑥) − (𝑓𝑛 (𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑛 (𝑥))| = ||||∫0 (𝑓𝑚′ (𝑥 + ℎ𝑡) − 𝑓𝑛′ (𝑥 + ℎ𝑡))𝑑𝑡||||
|
| 𝜀
′
′
≦ |ℎ| 0≦𝑡≦1
sup |𝑓𝑚 (𝑥 + ℎ𝑡) − 𝑓𝑛 (𝑥 + ℎ𝑡)| ≦ |ℎ| 2 .
𝑚 → ∞ とすると, 𝑛 ≧ 𝑁 のとき,
|𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − (𝑓𝑛 (𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑛 (𝑥))| ≦ |ℎ| 𝜀2 .
以下, 𝑛 ≧ 𝑁 と仮定する. 𝑓𝑛 は 𝐶 1 級函数なので, ある 𝛿 > 0 が存在して, |ℎ| < 𝛿 ならば|𝑓𝑛′ (𝑥 + ℎ𝑡) − 𝑓𝑛′ (𝑥)| < 𝜀4 (0 ≦ 𝑡 ≦ 1)となり,

1
|𝑓𝑛 (𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑛′ (𝑥)ℎ| = ||||ℎ ∫0 (𝑓𝑛′ (𝑥 + ℎ𝑡) − 𝑓𝑛′ (𝑥))𝑑𝑡||||
|
| 𝜀
′
′
≦ |ℎ| 0≦𝑡≦1
sup |𝑓𝑛 (𝑥 + ℎ𝑡) − 𝑓𝑛 (𝑥)| ≦ |ℎ| 4 .

したがって,|ℎ| < 𝛿 のとき,
|𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)ℎ|≦ |𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − (𝑓𝑛 (𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑛 (𝑥))| + |𝑓𝑛 (𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑛′ (𝑥)ℎ| + |𝑓𝑛′ (𝑥) − 𝑔(𝑥)||ℎ|≦ |ℎ| 𝜀2 + |ℎ| 𝜀4 + |ℎ| 𝜀4 = |ℎ|𝜀.