ＶＡとリスク尺度
ＶＡの規制やリスク管理実務においては、様々なリスク尺度が入り混じる錯綜した状況があり、それが実務の混乱の一因ともなっている
このため、リスク尺度に関する基礎的議論を整理しておく必要がある
実務で使われるリスク尺度の理論的基礎は結構

脆弱であることに注意する!

変額年金の規制とリスク管理２಻
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2010.7.01 生命保険概論１
OLIS・プルデンシャル・ジブラルタ生命保険基礎講座

明治大学 松山直樹

2

経済価値とリスク尺度
経済価値評価ではＣＦ特性により手法を使い分け!

i.

ヘッジ可能なら市場価格
ii. ヘッジ不能ならＢＥ（最良推定）＋ＲＭ（リスクマージン）

RMの有力候補は資本コスト法と分位点法!

i.

欧州（ＳＳＴ，ＳｏｌｖｅｎｃｙⅡ)では資本コスト法を採用：
RM=資本コスト・∑必要資本ｔ・ＤＦｔ
ii. 北米ではクオンタイル（分位点）法を指向：
RM=必要資本分布の分位点(VaR,CTE)

リスク尺度の基礎

3

資本コスト法の論点
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4クオンタイル（分位点）法の論点
VaRは最もポピュラーだが凸性がないのが弱点
ＶａＲ（!）＝ｉｎｆ｛ｘ∈Ｒ：Ｆ（ｘ）≧!｝
凸性："（#X＋（１‐#）Y）≦#"（X)＋（１‐#）"（Y）、０≦#≦１（例）デフォルト（破たん）確率が独立で共に０．３％の２銘柄の債券Ａ・Ｂについて、ＶａＲ（99.5%）でリスク評価するとき（金利変動と利息収入は無視）

ソルベンシーⅡでは、「資本コスト率６％」と「保有負債の必要資本量（SCR）のランオフまでの現在価値」の積でRMを算出：RM＝６％・∑SCRｔ・DFｔ
資本コスト率の水準が論点
また、RM式中のSCRに含まれる解約リスクは、「経済価値（BE＋RM）と約定の解約返戻金の差額が顕在化するリスク」であるため「循環参照」が発生（ソルベンシーⅡでは解約ＳＣＲ評価用の経済価値はＢＥで代用）
SCRの計算においては分位点法と論点を共有

!

i.

単一銘柄に１０億円投資⇒VaR （99.5%） =0

ii. 二銘柄に５億円づつ投資⇒VaR （99.5%） =５億円（∵

Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）‐Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝０．５１％）56

リスク尺度の公理的アプローチ

（注）保険料計算の公理との違い

リスク尺度；有界な確率変数Ｘ（損失を表す）に実数"（Ｘ）を対応させる汎関数で、"（０）＝０、単調増大性と定数不変性をもつ
i.
単調性：Ｘ，Ｙが確率１でＸ≦Ｙなら "（Ｘ）≦"（Ｙ）
ii. 定数不変性：任意の実数ｃに対し "（Ｘ＋ｃ）＝"（Ｘ）＋ｃ!
さらに凸性と正同時性をもつときCoherentというi. 凸性：Ｘ，Ｙと任意の実数#（0≦#≦１）に対して、"（#Ｘ＋（１‐#）Ｙ）≦#"（Ｘ）＋（１‐#）"（Ｙ）
ii. 正同時性：Ｘと任意の実数#＞０に対して"（#Ｘ）＝#"（Ｘ）
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保険料計算原理についても公理的アプローチが存在する
両者の典型的相違点：保険料公理の加法性とリスク尺度の凸性（劣加法性）
保険料の加法性：Ｐ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｐ（Ｘ）＋Ｐ（Ｙ）
これは、リスク尺度と保険料の使われ方の違いに起因するもの（何故か？）

8

クオンタイル（分位点）法の論点（２）
!

ヘッジ効果とリスク尺度の論点
!

ＶａＲにかわってコヒーレントなリスク尺度、CTE／ｔ
VaR／CVaRが推奨（⇒北米のＶＡ規制で採用）!

ＣＴＥ（!）＝Ｅ［Ｘ｜ＶａＲ（!）≦Ｘ］!
!

信頼区間!は目標格付けのデフォルト確率等の意味付けがなされるが、市場整合的設定が難点
異なる測度の混用となるため、ヘッジ効果のリス
ク尺度への反映に注意が必要（後述）!
!

一般に、測度不一致により、「リスク尺度に対するヘッジ効果」と「ヘッジコスト」の不一致が発生
負債が経済価値評価されていれば、ヘッジを時価評価すれば、負債評価へのヘッジ効果の反映は原則的に不要負債評価にヘッジを反映させると、「ヘッジ効果＞ヘッジコスト」では、ヘッジしただけで利益が発生
特に、分位リスク尺度を用いる場合は、信頼水準（０＜!
＜１）を高くとるほど、ディープ・アウトのオプションによる小さなヘッジコストで大きなヘッジ効果が発生

9多期間リスク尺度の論点
!

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10

＜CTE95％の例（Pu=94%,Pd=6%）＞

VaRやCTEは本来的に一期間のリスク尺度であり、これを責任準備金のような多期間のリスク計測に適用することは想定されていない
ちなみに、簡単な２項モデル（Pu=0.94,Pd=0.06）
で時点２のみキャッシュフロー（保険給付）のある保険商品のリスクを、時点０においてCTE９５％で評価することを考えてみると・・・・!②（ｕ'ｕ）%
!①（ｕ）!%
!②（ｕ'ｄ）!%
!!"#$

!②（ｄ'ｕ）%
!①（ｄ）&%%
!②（ｄ'ｄ）&%%

11

多期間リスク尺度の望ましい性質

CTEの多期間適用の問題点
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時点０において、信頼区間９５％でＣＴＥ評価した
責任準備金（５３．６）では、時点１において、６％の確率で▲４６．４の積立不足が発生（⇒デフォルト）
つまり、時点１でのデフォルト率は６％であり、信頼区間設定時の想定デフォルト率５％以下（∵CTE９５％＞VaR９５％）が達成されていない！
上記の問題点を回避できる、Time Consistency（通時一貫性）を持つ多期間リスク尺度は、ある種の再帰的構造をもつことが知られている“Time Consistency” 通時一貫性!

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i.
ii.
iii.

14

“Time Consistency” 通時一貫性 （つづき）



さらにDynamic risk measure("ｔ) が以下の性質を持つとき、Time Consistent（通時一貫的） と呼ぶ；
for all X,Y∈L∞ and T ≧ t ≧0
"t+1(X)≦"t+1(Y) ⇒ "t(X)≦"t(Y) ＊上記の条件は、以下の再帰性/ Dynamic ProgrammingPrinciple と同等;
"t(X)="t("t+1(X)) ★

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15

CTEの改良;ICTE (H&W[2004])

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Normalization: " t(0)=0
Monotonicity: X≦Y ならば "t(X)≦"t(Y)Transition Equivalence: "(X+c)="(X)+c for ∀X ∈ L∞(䊋T), ∀c∈
L∞(䊋t)

13!

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T∈N, t ∈{0,,,T}, （!,䊋,P）,｛䊋ｔ｝ｔ=oＴ , 䊋0={䌙, !}写像" t:L∞(䊋T)→L∞(䊋ｔ) が以下の３つの性質を満たすとき、Dynamic risk measure と呼ぶ (Chelidito & Kupper[2006])!

通時一貫性の二つの表現の一致（＊⇔★）は以下のように簡単に示せるが、具体的リスク尺度の構成には再帰的表現★のほうが示唆
的＊⇒★
性質Ｎと性質ＴＥより"t+1("t+1(X)) ="t+1(0+"t+1(X))="t+1(0)+"t+1(X)="t+1(X)"t+1("t+1(X))="t+1(X)と ＊より"t(X)="t("t+1(X))★⇒＊"t+1(X)≦"t+1(Y) ならば、性質Ｍにより"t("t+1(X))≦"t("t+1(Y))★により、"t(X)≦"t(Y)＜ICTE95％の例＞ 

アクチュアリーの分野では、Hardy&Wirchが、CTEの多期間への自然な拡張としてICTE（Iterated CTE）を提案（$,䊋,P）,｛䊋k｝k=on,䊋0={!,$}, Jn ；䊋n-可測
損失分布を表すJn からJn-t=ＣＴＥ [Jn-t+1| 䊋n-t] （１≦ｔ≦ｎ）
をバックワードに順次計算していくとJ0がIＣＴＥ
これは、公理的な多期間リスク尺度の研究結果とも整合的な考え方!②（ｕ'ｕ）%
!①（ｕ）!%
!②（ｕ'ｄ）!%
!&%%!②（ｄ'ｕ）%
!①（ｄ）&%%
!②（ｄ'ｄ）&%%

1716

ICTEからRAEへＩＣＴＥの問題点
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バックワードの計算が必要なIＣＴＥは一般的なモンテカルロ法では扱えず、計算負荷が大きいため実装上の困難は極めて大きい（実用例は？）
また、観測期間内のタイムステップ数に依存してＩ
ＣＴＥは増加する性質をもつ（⇒モニタリング頻度を上げるとリスクは増加するということ）

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対数正規過程ではICTEは解析的に表現可能（以下は１年後のＣＦをタイムステップＮで評価する場合）
ICTE(N,#) ＝ exp{µ+$2/2}((1- %(%-1 (#)-$/√N))/(1- #))N
ICTE(N,#)は、タイムステップ数Ｎに応じて増加する性質を持ちＮ→∞で発散
発散回避策１：確率過程の性質に合わせてタイムステップのスケーリングを調整（多期間リスク尺度といえるか？モデルに依存しすぎ？）発散回避策２：信頼水準!(N)を適切なスピードで０に収束させる⇒
ICTEはＲＡＥ（リスク調整期待値）に収斂
exp{- z #(N)2/2}$/(%(-z #(N))√(2&))〜1/√N
where #(N) = %(z #(N))

19

20

リスク尺度の限界をふまえて
ＲＡＥ法はリスク中立以外のリスク調整の意味づけが難し
いが、市場整合的なリスク中立との比較可能性がポイント!
資本コスト法／クオンタイル法は、信頼水準による意味づけが明瞭だが、①信頼水準と市場整合性の結び付けの難しさ、②特に保険で重要となる多期間適用時の通時一貫性の破れに懸念がある⇒リスク尺度の不完全性を認識して、限界を認識したうえでリスク管理を行っていくことが必要（特に最適化はモデルリスクが濃縮されるので要注意）⇒たとえば異なるタイプのリスク尺度を複眼的に併用することも一つの方法
!

ＶＡのリスク管理

21

ＶＡのリスク管理を議論するにあたって
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22

ＶＡのプライシング（１）

事前のリスク管理：保守的プライシングと商品設計
事後のリスク管理：自己資本の手当て、再保険やデリバティブによるリスクヘッジ（ＡＬＭ）両者は独立に議論してよいか？

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23

標準責任準備金の法定基礎率と保険料（ＭＧＯコスト）計
算の真の基礎率は必ずしも一致しない
伝統的な収支相等の原則の適用は、完全に市場整合的な基礎率を用いたとしても、完全にリスクヘッジされた場
合のみ合理的
完全なリスクヘッジが不可能な現実を踏まえれば、伝統的な収支相等の原則よりも保守的なプライシング（収入期待現価＞給付期待現価）も必要
リスクの切り分け（①資本で吸収するリスク、②プライシングで吸収するリスク、③ヘッジするリスク）の切り分けが重要
24

ＶＡのプライシング（２）

ＶＡのプライシング（３）

保険関係費用（ＭＧＯコスト＋事業費コスト）と運用関係費用（特別勘定資産の信託報酬等）を合算した総費用が原資産から一定率で日々控除される構造であるためＭＧＯコスト決定にあたっても循環参照が発生
ただし、収支相等にこだわらなければプライシング上の大きな障害にはならない

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原資産価格変動（デルタリスク）のヘッジを前提に、プライシングにおける基礎率の保守性は、特に金利変動（ロー）やボラティリティー変動（ベガ）のリスクの吸収に有効と考えられてきた金融危機を受けたインプライド・ボラティリティーの高騰と（金融緩和による）金利低下により、プライシングによるリスク吸収は限界⇒商品性の合理化が必要

25

ＶＡの商品性の合理化（１）

26

ＶＡの商品性の合理化（２）

! 販売側との摩擦が比較的少なかった合理化! 特別勘定資産（投信）へのＰＩ機能組み込み

i. 資産配分変更権の廃止

i. ノックアウト条項の付与：特別勘定残高が一定水準を下ii. 特別勘定でのインデックス・ファンドの採用⇒ヘッジにおけ回った段階で一般勘定移行（給付確定）るトラッキングエラーリスクの低減

ii. 特別勘定でのＣＰＰI運用（ＧＭＡＢの代替）! 販売側との摩擦が比較的大きかった合理化

・危険資産投資割合＝定数%クッション（：Wt-Ke-r（T-t））
・クッションが０になった段階で一般勘定移行（給付確定）

i. 特別勘定での年金支払い⇒オプション期間の長期化
ii. 特別勘定資産の株式・外貨建て占率の引き下げ⇒ボラティ

リティー抑制iii. 販売手数料相当分の特別勘定投入額の初期控除⇒事業費回収リスクの低減

iii. 金融危機における市場の混乱局面で大量のノックアウト（給付確定）が発生。保険関係（最低保証料、事業費）収入の減少のリスクが顕在化
27

ＶＡの商品性の合理化（３）

（参考）バリアンス・スワップの例
FP+VP・min[(&２rv-&２tv)/(&２mv-&２tv),1]p.a.
where
FP:a fixed minimum premium
VP: the maximum variable premium payable&２rv :realized variance&２mv:maximum variance&２tv:target variance

特別勘定の実績（Realized）ボラティリティーを一定に制御するファンドの設定

!

28i.

ベガリスクヘッジには、RealizedとImpliedのボラティリティー（バリアンス）スワップが必要
ii. ロングメモリーのため、ＩＶ水準は高止まりが続いておりベガリスクヘッジは割高な状況29

VAとヘッジVAの最低保証リスクの構造的特徴（復習）
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Positive Feedback（弱り目に祟り目）構造; 実質的保険料である保険関係費用（Ｍ＆Ｅ）が原資産残高比例日割り徴収であるため、MGOのin-the-moneynessが高まるほどＭ＆Ｅ（含む最低保証オプション料）は減少
金融市場リスクが主たるリスク・ドライバーであるため、保有契約全体の損益の方向性が揃いやすく、会社の財務状況悪化局面にリスクが顕在化しやすい
利益の内部留保により、リスクバッファーを形成してリスクを吸収する伝統的な保険ビジネスモデルは機能しにくい構造
で何らかのリスク移転が必要! 北米でのＶＡＧＭＢの発達を支えたのは伝統的な再保険
! ＩＴバブル崩壊で２００２年にＣＩＧＮＡがＧＭＤＢの受再で７．２億ドルの損失計上して以来、伝統的再保険市場はほぼ消滅
i. 最近になって一部の再保険会社が金融市場でのヘッジを背景に受再を再開する動きもあったが、金融危機によるヘッジコスト高騰により沈滞傾向
! 保険会社自身が、ＭＧＯリスクを市場でヘッジする必要性が高まったが・・・・商品特性上の困難が存在
i. 超長期で解約率・死亡率等の非金融リスクが介在
ii. 特別勘定にはヘッジ困難な投信も含まれる
iii. 契約者判断で資産配分スイッチング可能な場合も（ヘッジ対象が確定しない）

32

ヘッジと会計!
!
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ヘッジの基本スタイル

デリバティブの時価変動は直接Ｐ／Ｌにヒット
保険関係費用収入と責任準備金増減とデリバティブ
時価変動のネットがＰ／Ｌに反映
会計とのミスマッチリスクは内部留保で吸収する必要があるが、経常利益におけるリスクバッファーは危険準備金のみ

動態ヘッジ

!

i.
ii.
!

流動性の高い先物、短期のインデックスオプションによるＧｒｅｅｋｓの複製
先物や短期オプションのロールのリスク、ボラティリティーや金利の変動リスクを内包

静態ヘッジ
i.
ii.

長期のオプション、金利スワップの買い持ちによる負債の複製
基本的にオーダーメードになるためコストが高く、モデルリスクも大きいiii. 保険関係費用収入とオプション料の支出のミスマッチ

ＶＡのヘッジ戦略

戦略①：負債経済価値の変動のヘッジ

! ヘッジ目的は以下のようなものが考えられる! もっとも標準的で伝統的なALMと整合的な考え方
! 負債の経済価値：ヘッジ手段と平仄のとれた負債評価（Q測①負債経済価値の変動のヘッジ
②テイルリスクのヘッジ③会計（責任準備金の変動）のヘッジ④比例的ヘッジ（再保険）

度評価、リスク中立期待値）
! ヘッジツールによる負債複製（市場へのリスク移転）を意図⇒

Ｇｒｅｅｋｓ! 会計とのミスマッチは覚悟（ヘッジは時価評価で、通常は責任準備金評価と不一致。ただし、米国ではFAS１３３によりGMSBやGMABは会計とミスマッチなくヘッジが可能）! 死亡・解約等の保険モデルリスクに対しては無力。保険モデ
ルの信頼性に自信がない場合には、高次Greeksのリスクヘッジをあきらめてデルタヘッジのみに限定することも
35

36Greeks（European/non div.）

ＶＡのGreeks 計算の留意点
!

・原資産価格変化に対するＭＧＯ価値変化率⇒先物でヘッジ
Delta ＝ N(d1)‐１, where d1=(ln(S0/X)+&2/2)T)/ &√T・原資産価格変化に対するＤｅｌｔａ変化率⇒オプションでヘッジ
Gamma = N′(d1)/S0&√T・金利変化に対するＭＧＯ価値変化率⇒金利スワップでヘッジ
Rho = ‐XTexp(-rT)N′(d2), where d2 = d1‐&√T・ボラティリティー変化に対するＭＧＯの価値変化率⇒オプションでヘッジ
Vega = S0&√T N′(d1)
・時間経過に対するＭＧＯ価値変化率⇒オプションでヘッジ
Theta =‐S0N′(d1)&/2√T + rXexp(-rT)N(-d2)⇒ 特にデルタ・ロー・ベガのヘッジが重要

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現実のＶＡ商品では解析的にGreeksが求められることは稀で、個別契約単位のモンテカルロ法の計算速度がボトルネック
漸近展開法等による解析的近似の活用も考えられる（実用例は？）
モンテカルロ法では、保有契約件数の増大に伴う計算負荷回避のため、モデルポイント法の見直しの動きも（Ｍｉｌｌｉｍａｎのクラスター法はＶＡでのsolutionを意図したもの）

経済価値ヘッジと保険モデルリスク

戦略②：テイル・リスクのヘッジ

ＶＡの保険モデルのうち特に解約は統計的基礎が脆弱でモデルリスクが大きい
デルタヘッジは、短期の先物のロールであり、保険モデルリスクの影響をうけにくいが、経済価値はヘッジできない
ベガとローのヘッジは、経済価値のヘッジには不可欠だが、保険モデルリスクの影響を受けやすい保険モデルに自信が持てないときは、修正が容易なデルタヘッジに留めるという選択肢もありうる! 所定のストレスシナリオに耐えることを目的化したヘッジ（ＡＴＭ近辺のリスクを吸収できるバッファーの確保が前提）
! 比較的廉価なOTMプットによる静態的ヘッジ! 保険モデルリスクには比較的寛容な対応が可能
! ヘッジコスト（Q測度）とリスク資本に対するヘッジ効果（P測度）の測度のミスマッチに注意が必要! 会計とのミスマッチ（ヘッジのみ時価評価）はあるが、ＯＴＭのためヘッジ部分のデルタは比較的小さく、会計との親和性が比較的高い40

戦略③：責任準備金の変動のヘッジ

Jumpへの対応

! 会計リスクのヘッジを意図（⇒うまくいけば会計とのミ!

スマッチはない）
! 責準はデルタ／ガンマしか反映しないので原則的に先物でヘッジ（⇒ガンマヘッジには、オプションが必要
だがベガとローが邪魔になる）! 将来の保証料収入を反映すると負債の経済価値は正〜負の値をとりうるが、責任準備金は概念的に負値をとらないため、Jumpが発生しヘッジは困難（⇒ヘッジ
損益と責任準備金変化のミスマッチは覚悟）
41!

「将来給付ー将来収入」の経済価値は正〜負の値をとりうるが、責任準備金は制度的に負値をとらないため、Jumpが発生しヘッジは技術的に難しい
Ｊｕｍｐの問題を回避するために、責任準備金計算基礎による将来給付現価（＞０）のみをヘッジする考え方もある（会計的にはミスマッチが発生）

④再保険による比例的ヘッジ
（修正共同保険式）再保険による場合、事業費関係を除く全リスク（経済価値＆会計）の比例的ヘッジが可能
ただし再保険会社の与信リスクが発生（再保険ではコラテラル慣行は一般的でない）
また、保険関係費用は認可申請対象のため硬直的だが、再保険料はＭＴＭのため逆ざやが発生する可能性

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!
!

ヘッジ効果の測定について（１）
!

ＭＧＯの経済価値＝ ヘッジ可能なリスクの市場整合的価値
＋ヘッジ不可能なリスクのマージン 
ヘッジにより、リスク資本は縮小しうるが、経済価値は変化しないことに注意

!

再保険との逆ざやへの対応
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販売時点と出再時点のタイムラグのカバー（デルタは必須。できればローも）出再を前提としたＭＴＭより保守的な保険関係費用
プライシング（特にローとベガ）
かつてはベガリスクはプライシングで吸収できたが金融危機の影響で現在は困難（⇒ボラティリティーのロングメモリー）

ヘッジ効果の測定について（２）
! ＭＧＯでは、責任準備金への確率論的アプローチ導入で、価値とリスク資本の境目が曖昧になりがち! リスク資本評価（P測度）にヘッジ効果を織り込む場合に、ヘッジの価値との乖離がおこり、測度の混用等によるミスリーディ
ング懸念があることに注意
! 実用的に問題を回避するためには、Q測度によるリスク管理の併用が考えられる

46

CTEにおけるヘッジ効果の歪み（例）
i.

ＭＧＯのヘッジのために0．5単位Putを買ったAと、Aに加えてヘッジコスト軽減のため0．5単位Callを売った（リスクテイクした）Bを比較する
ii. CTE（７５）で評価した場合、BのCall売りのリスクは考慮されず、Bの方がCallプレミアム分リスクが小さいと判断されることになる
iii. CTE（!）は、VaR（!）より左側の計測範囲外のリスクに無関心

CTEにおけるヘッジ効果の歪み（例）

ＶＡリスク管理のチェックポイント（１）

ＶＡリスク管理のチェックポイント（２）

ヘッジしない（できない）場合、リスク許容範囲を合理的に定めているか、リスク許容範囲に販売をとどめることが可能か？
! ヘッジの目的が明確化されているか？
! ヘッジした場合の責任準備金との会計的不整合が許容可能か？
i. 責任準備金は負の値を取らない
ii. 責任準備金基礎率と市場の構造的不整合（金利期間構造やボラティリティー曲面を持たない）
iii. 責任準備金基礎率と市場の水準的不整合（基礎率が販売時の標準基礎率にロックイン）
!

!

49

今後の展望
!

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!

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ＶＡのリスク管理／ヘッジにおいては、①経済価値と会計の不整合、②モデルリスク（特に解約）の大きさ、③長期のヘッジ手段供給の不安定性、等が課題
いずれも、一般勘定における経済価値ベースのリスク管理に通ずる課題との認識であり戦略的視点で取り組むべきリスク計測の不完全性をふまえた、①経営／リスク管理における複眼的視点、②資本への依存を軽減するリスクコントロールを視野に入れた商品設計、がポイント
特にＶＡでは特別勘定におけるリスクコントロール（ＰＩ、ボラ制御）を含む運用とヘッジを一体化させた商品開発が続くものと考えられる51

市場整合的な（修正）共同再保険でのヘッジが可能な商品構造となっているか（共同再保険なら会計的不整合は回避可能）？
i. ＭＴＭな再保険料（再保険会社側でのヘッジを前提）を、認可制で価格硬直的な保険のプライシングでカバーできるか（再保険料との逆ザヤ回避のため）
ii. 現下の金融環境でのヘッジコストの高騰を商品構造で吸収できるか
iii. 再保険会社の信用リスクを考慮しているか50