Keeler Chapter 5
optional sectionの解説
1st edition 2020.8.11
last update 2020.9.15
H. Kumeta

Chaptor 5 optional sections
5.4 Manipulating the FID and the spectrum
FIDを操作して綺麗なスペクトルを得るテクニック（weighting function = window function）（重み関数、ウインドウ関数）
5.5 Zero filling
FIDの後ろにZEROを追加し、スペクトルの⾒た⽬を改善
5.6 Truncation
減衰が途中で途切れてしまったFIDからのスペクトル5.4.1 FIDに乗るノイズ
Fig 5.12 ノイズの例。０を中⼼とした正規分布になる。ス
パイクノイズも乗っている（やや左寄りの正の部分）が、確率的には低い。

ノイズの主な原因：レシーバーコイル由来の電気的なもの
ノイズの特徴：データポイント０を平均値にもつ（というか、ノイズ平均値が０付近になるようにベースラインを求める）
データ点は、０を中⼼とした正規分布（ガウス分布＝右図）
時間に依存しない。
p.90下の⽅にある式：ノイズが正規分布（ガウス分布）に載るため、ガウス関数で表記できる。時間（t）が式に⼊ってこないことも重要。
（FIDの関数には時間が⼊っている）

5.4.2 測定時間とFIDおよびノイズの関係

Fig 5.13 ノイズが乗っているFIDと測定時間の相関図、およびそれぞれをFTしたときのスペクトル。
a-cは、すべて同じシグナルをもつFIDで測定時間だけ変えている。ノイズは測定ごとにランダムに発⽣するため、ノイズの形状はa-cのFID間でも異なっている。CはFIDが減衰しきった部分でFID取得を⽌めている。b, aになるに従い、測定時間を伸ばしている。
aのFIDの後半部分は完全にノイズに埋れている状態になる。これを、そのまま（weightingfunctionをかけないで）フーリエ変換すると、SN⽐（SNR）の悪いスペクトル（aの下にあるスペクトル）となる。

5.4.3 感度重視のウインドウ関数
FIDに対して時間依存的な有効係数（重み関数＝weighting function, window function、ウインドウ関数ともいう）をかけることで、スペクトルの質（SN⽐や線幅）を向上させることができる。
ノイズの乗ったFIDは前半にmore importantな情報（ノイズよりもはるかに⾼い強度のFID情報）があり、後半にless importantな情報（ノイズに埋もれがちな情報）がある。さらにFIDはexp(-Rt)で表現できることからもわかるように時間依存的に減衰することから、
式. (5.10), p.92の真ん中くらいにある, イメージは図5.14という、減衰する指数関数によるウインドウ関数をかけてみる。
FIDも時間に依存して減衰させることになるため、Fig. 5.3やFig. 5.4にあるように線幅は広くなる。LBはLine Broadeningを意味する

Fig. 5.14減衰する指数関数によるウインドウ関数イメージ

Fig. 5.3 (p.78)

Fig. 5.4 (p.79)

5.4.3 感度重視のウインドウ関数
Fig. 5.15 減衰する指数関数によるウインドウ関数をかけたときのFIDとスペクトル(a)は、ウインドウ関数なしのFIDデータであり、これをFTすると(f)のスペクトルになる。
(b)や(c)は異なる傾きをもった指数関数によるウインドウ関数であり、(a)のFIDは、(d)や(e)のFIDにそれぞれ変換される。これらをFTするとgやhのスペクトルになる。
SN⽐をわかりやすくするために、ピークトップが同じ⾼さになるように縮尺を変更したものが、それぞれ(i),(j),(k)のスペクトルであり、SNが改善されていることがわかる。
また、(g)や(h)（および(j)や(k)）では、少しわかりづらいかもしれないが、シグナルの線幅が拡がっている。

5.4.3+ TopSpin上でも⽇常的に使っている

efpコマンドは、減衰する指数関数のウインドウ関数を使⽤してのFTしている
PROCPARS-> WindowにあるLBの値にて広がる線幅（Hz）を指定している。

5.4.4 SN⽐が最適になるウインドウ関数
SN⽐が最適になるウインドウ関数のことをMatched filterという。
FIDは以下の関数でしめすことができることは、すでに述べている。
p.94の上側の式＝p.83の式.5.4と同じもの
これに先程の指数関数のウインドウ関数をかける。
p.94の⼆つ⽬の式
この式の下側が⽰す通り、decay constantがRからR+RLBになっただけである。
得られるスペクトルの線幅も、R/πから（R+RLB）/πになる。
シグナルの積分値（＝⾯積）は⼀定であることから、線幅が拡がればシグナルの⾼さは下がる。⼀⽅でノイズは、時間によらず決まった強さであるため、強い傾きの関数をかけた分だけノイズは⼩さくなる。元々のピークの幅と同じ分だけ線幅が拡がるウインドウ関数としたとき、SN⽐は最適となるが、もし複数種類の線幅が混在しているスペクトルのときには、全てのシグナルのSN⽐を最適化することはできない。
重要なこととして、FIDの取得開始点から始まって、減衰していくようなウインドウ関数をかけてあげれば、スペクトルのSN⽐は改善される。

5.4.5 分解能重視のウインドウ関数
先の、SN⽐を向上させるウインドウ関数とは逆に、FIDの取得開始点から徐々に上昇するようにした指数関数（rising exponential）によるウインドウ関数の場合には、分解能が向上する。
p.95の最初の式, REはResolution Enhancement

Fig. 5.16 上昇する指数関数
による重み関数イメージ

Fig. 5.18 （の上部分のみ） 上昇する指数関数をウインドウ関数としたときのFIDおよびスペクトルの⽐較。
(a)に、(c)のウインドウ関数をかけると(d)になる。(a)と(d)をそれぞれFTすると(b)および(e)になる。シグナルの線幅は確かに細くなるが、SN⽐はあまりにも悪くなっている。

5.4.5 分解能重視のウインドウ関数
このままではあまりにもSN⽐が悪すぎる。そのため、もう少し⼯夫を加えた関数を使⽤する。
FIDの観測開始点から時間経過に伴い、上がって、その後減衰する関数を理想とする。
減衰部分には⼀般に以下のガウス関数を使⽤する。
p.95の⼆つ⽬の式

Fig. 5.16 減衰するガウス関数の⽐較
ここで使⽤するガウス関数は-αt2の指数関数であるために、関数の初期のころと終点のころに、それぞれスロープのある関数となる。

Fig. 5.18 （の下部分のみ） 上昇する指数関数と減衰するガウス関数をかけあわせたウインドウ関数と、そのときのFIDおよびスペクトル。SN⽐の悪化は抑えられ、シグナルはシャープになっている＝分解能は向上している。

5.4.6 感度と分解能のよりよい落とし所
式 5.11 (p.96)≒Fig. 5.19

式 5.11は前ページに出てきた複合したウインドウ関数である。これをFIDに乗算すると、p.96の⼀番下の式になる。これのガウス関数部分（-at2の⽅）を無視したとすると、線幅は(R-RRE)/πであり、RRE/πの分だけ線幅は細くなる。
線幅の変更幅をL（Hz）として式 5.11を書き換えると、Fig. 5.19 上昇する指数関数とガウス関数を乗算したウインドウ関数のイメージ

線幅を1Hz細くしたいときにはL=-1とする。ただし、ガウス関数部分による線幅の上昇分は含まれないため、実際には指定した値より太い。
Fig. 5.19にあるように、時間tmaxのときに最⼤値をとるウインドウ関数となる（ただし、Lは負の値とする）。

この関数のコントロール⽅法は、分光計（メーカー？世代？）によって異なり、左の式を変換した中央の式のα値や、tmaxをtacq（全測定時間）の分数値(f)として（tmax=f x tacq）α値をコントロールしたりする。

5.4.7 Lorentz-to-Gauss変換
上昇する指数関数とガウス関数の組み合わせによるウインドウ関数では、スペクトルの形状をLorentzianからGaussianへと変更することができる。
NMRスペクトルを解析する上で、LorentianよりGaussianになっていることの⽅が望ましい。
実際には、スペクトルの形状を⾒ながらRREを定義するためのL値、tmaxの位置について試⾏錯誤を繰り返して決定する。

Fig. 5.20 LorentianタイプとGaussianタイプのシグナル⽐較
線幅（半値幅）は同じだが、裾野の広がりがGaussianの⽅が細い
WLG(t)のLGはLorents-to-Gauss

コマンドefp
GBの欄は無視される

コマンドgfp
LBは線幅から決める。
GBは適宜計算後のスペクトルを⾒ながら5.4.8 sine bellウインドウ関数
広く利⽤されているその他のウインドウ関数としてsine bellウインドウ関数がある。
p.98の真ん中くらいの式
これは図 5.21の上段、⼀番左のイメージになる。これのtmaxを位相値φによってコントロールする（ここでの位相値＝phase とは5.3.2のphaseとは関係がない）

なだらかなガウス関数（WG(t)=exp(-at2)）と同じようにsin2を使⽤すれば、なだらかなsin bell関数となる（図 5.21下段）。

sine bell関数の良いところは、⼀つのパラメータ設定（φ値）だけでウインドウ関数をコントロールすることができ点にある。

Fig. 5.21 sine bellウインドウ関数
上段はsine、下段はsine2(squared)。左から位相値（φ）を0, π/8(22.5˚), π/4(45˚), π/2(90˚) としている。

5.5 Zero filling (ゼロフィル）
Fig. 5.22 ゼロフィルの効果。
左はゼロフィルなし、真ん中はtacpの同じ⻑さのゼロフィ
ル、右は３倍のゼロフィルを⾏い、全体として２倍および４倍のポイント数としている。それぞれをFTしたときのデータ点イメージをそれぞれ下段に記載している。
実際には連続した波形のデータであるFIDは、保存されるときには分離したデータポイントとして保存されている。これをFTするとFIDのデータポイントと同じ数だけのスペクトルデータポイントになる。
FIDが減衰しきっている部分に０となるデータポイントを追加し、２倍にすると、FTをしたときのスペクトルデータ点は２倍になる。
このゼロフィルはFIDを追加するものではないため、スペクトルの分解能には影響を与えない。ただ、⾒た⽬がなだらかになるだけである。

SIを８倍にした→5.6 減衰途中で途切れたFID

Fig. 5.23 減衰途中で途切れたFIDをFTした場合
左が本来あるべきFIDとFT後のスペクトル。
うしろ半分が途切れたFIDやうしろ３／４が途切れたFIDの場合が真ん中、および右。

２次元の間接観測軸側でよくみられる、測定時間の都合等により減衰途中で中断されてしまったFIDは、そのままFTするとスペクトル上にwiggleと呼ばれるtruncation artefactを⽣じる。
（もちろん減衰しきっていないFIDにゼロフィルをした場合にも⽣じる）
このwiggleは1/tacqの幅で⽣じる。
これを回避するためには、ウインドウ関数を調整し、FIDの最終点が０にする必要がある。ただし、これまで記載してきた通り、これはSN⽐の悪化、分解能の低下を引きおこす。
これに観測されたFIDの終点以降のFIDをコンピュータ上で予測し補完する⽅法もある。線形予測（Linear Prediction）と最⼤エントロピー法（Max Ent）である。どちらも癖があるので、運⽤にあたっては最新の注意が必要である。

5.6+ [1H-15N] HSQCの15N軸ポイント数
溶液タンパク質NMRでよく使⽤する[1H-15N] HSQCの15N軸は、もちろん間接観測軸である。
設定したポイント数に応じてFIDの観測できる⻑さが決まる。
TD=512の時点でFIDは取り切っているので、1024まで伸ばす必要はない（1024まで伸ばすとSN⽐の悪化に繋がる）。
逆にTD=256ではFIDは減衰途中で中断しているため分解能が下がる。

追加図 [1H-15N] HSQCの15N軸ポイント数とFID。Agilentの装置で測定したためポイント数がBruker(TopSpin)と異なるが、上からそれぞれTD=256, 512, 1024に相当する。1Hの軸（縦軸）のみFTし、15Nの軸（横軸）はFIDのままである。⾚と⽩が正、⻘と⽔⾊が負となる表記である（＝⾊の付いているところが、およそFID波形がある部分）。

Appendix for LP-1. 3次元の測定時間(d1+0.2) sec * ns * td(F1) * td(F2) =d1=1sec, ns=8, td(F1)=64, td(F2)=128のとき、22時間程度である。
（このポイント数が測定時間の都合によるHNCOの現実的な上限）（HNCOは、td（F2）が15Nの軸、td（F1）は13Cʼの軸）もし、td(F2)を256まで上げると、測定時間は４倍の88時間となる。
主鎖帰属等のとき、３次元を複数セットで測定するためこれは⾮現実的。

17

Appendix for LP-2. td(F1)=64のときの分解能td(F1)=64(Agilentのniだと32)で測定した[1H-15N] HSQC
td(F1)=512で測定した[1H-15N] HSQC
当たり前だが、分解能が悪い。シグナルが⼀部で分離できていない18

Appendix for LP-3. LP (linear prediction) を利⽤する

途中でtruncateしてしまったFID(15N軸)に対して、LP（linear prediction=線形予測）をFIDの後ろにかける。
FIDの波形が伸びて、デジタル分解能が上がる。

19

Appendix for LP-4. LP (linear prediction) 前後⽐較

LPにより予測した領域を含むFIDデータを使って、FTをする。
デジタル分解能が向上して、シグナルの分離が良くなっている。

20

Appendix for LP-5. LP vs 実測

実測データと遜⾊ない分解能！
LPで無限にFIDは増やせるんじゃ...！？
21

Appendix for LP-6. LP x LP vs actual

線形がおかしくなってきた。
⼀部では分解能の向上もできていない。

22

Appendix for LP-7. LPとdata height

LPをかけると、信号の多い部分に、実測値との信号強度差が⽣じる

23Appendix for LP-8. LPをかけるときの注意
⼀つの軸に基本１回。
複数の軸にかけるとき、他の軸はすべて周波数軸であること。
（時間軸＝FIDなままの軸があると、LPは正しく計算されない）
合計LP回数も少ない⽅が線形が綺麗。
（複数のピークが並ぶとLPは悪影響を及ぼしやすい）
信号強度が重要な測定にLPは禁忌（CS/TCS, dynamics, NOESYからの距離情報取得のときなど）

24