2015. 9.10
慶應義塾大学矢上キャンパス

不確かさのモデリング・シミュレーション法に関する研究会

FRPのモデリング・シミュレーション（1）ーFRPとその力学への導入および均質化法の適用事例ー

筑波大学 大学院
システム情報工学研究科
松田 哲也
豊村 仁，伊藤 祐，岩下 結城，久保 凱，佐藤 仁彦

本日の内容1. FRP（Fiber-reinforced plastics）について
・ 代表的なFRP・ FRPの構造的特徴

2. FRPの力学と解析手法
・ 複合則
・ Halpin-Tsai則・ シアラグモデル
・ 等価介在物法

3. 均質化法の適用事例
・ CFPR積層板
弾-粘塑性解析，クリープ解析，ミクロ層間応力解析
負のポアソン比，熱弾-粘塑性ツースケール解析
・ 平織積層板
損傷解析，弾-粘塑性トリプルスケール解析

代表的なFRP ～CFRP積層板～
CFRP積層板（Carbon Fiber-Reinforced Plastics Laminates）

炭素繊維をポリマーで固める

100μm

さらに積層する

CFRP積層板最も代表的な複合材料
高比強度，高比剛性，高耐食性

代表的なFRP ～CFRP積層板～比強度･･･単位重量あたりの強度比剛性･･･単位重量あたりの剛性
104 m

Al2 O3 /Al(whisker)

B4C (whisker) /Al

Boron/Resin

S-Glass/Resin

比強度

10Carbon/Resin
Al2 O3 /Ni(whisker)

54St, Ti

Boron/Al
出典：複合材料（機械システム入門シリーズ）
三木，元木，福田，北条，（1997）

Boron/Ni

3Al

23451020比剛性

軽くて強い！

30 40106 m

代表的なFRP ～CFRP積層板～
CFRP積層板（Carbon Fiber-Reinforced Plastics Laminates）

代表的なFRP ～織物積層板～
平織FRP積層板（Plain-Woven Fiber-Reinforced Plastics Laminates）
繊維束ポリマー高比強度，高比剛性，高耐食性，良成形性

代表的なFRP ～織物積層板～
平織FRP積層板（Plain-Woven Fiber-Reinforced Plastics Laminates）

平織GFRP積層板

平織CFRP積層板

代表的なFRP ～織物積層板～
平織FRP積層板（Plain-Woven Fiber-Reinforced Plastics Laminates）

LEXUS LFAFRPのマルチスケール構造
構造物レベルミクロレベル
ミクロ構造○繊維／母材○積層構造○織構造
繊維・母材の特性○繊維の力学挙動・弾性 ・損傷／破断・熱特性 …etc○母材の力学挙動・弾性 ・粘弾性 ・塑性・粘塑性 ・クリープ
・損傷 ・熱特性 …etc
繊維／母材界面ラミナ層間

フリーエッジ

材料特性レベル

CFRP積層板の全体挙動・弾性・塑性・クリープ・熱特性・粘弾性・粘塑性・損傷／破断…etc

本日の内容1. FRP（Fiber-reinforced plastics）について
・ 代表的なFRP・ FRPの構造的特徴

2. FRPの力学と解析手法
・ 複合則
・ Halpin-Tsai則・ シアラグモデル
・ 等価介在物法

3. 均質化法の適用事例
・ CFPR積層板
弾-粘塑性解析，クリープ解析，ミクロ層間応力解析
負のポアソン比，熱弾-粘塑性ツースケール解析
・ 平織積層板
損傷解析，弾-粘塑性トリプルスケール解析

FRP（複合材料）に対する解析手法
代表的なFRP（複合材料）に対する解析手法
・複合則
・Halpin-Tsai則・シアラグモデル・等価介在物法・セルフコンシステント法
・積層理論
・Aboudiのセル法
・有限要素法・均質化法

複合則（Voight近似）

複合材料（機械システム入門シリーズ），三木，元木，福田，北条複合則（Reuss近似）

複合材料（機械システム入門シリーズ），三木，元木，福田，北条複合則により計算されたヤング率

複合材料（機械システム入門シリーズ），三木，元木，福田，北条Halpin-Tsai則（経験的手法）それ以外⇒

複合材料（機械システム入門シリーズ），三木，元木，福田，北条シアラグモデル（短繊維の場合）

複合材料（機械システム入門シリーズ），三木，元木，福田，北条シアラグモデル（短繊維の場合）

1
2複合材料（機械システム入門シリーズ），三木，元木，福田，北条等価介在物法
Eshelbyの楕円体介在物（1957）
Muraらによる体系化
Mori-Tanakaの平均場理論（1973）

今日における「マイクロメカニクス」の基礎

S ：Eshelbyテンソル
複合材料の力学モデルと変形・損傷・破壊解析への応用，東郷敬一郎

数値解析手法の有用性
これまでの方法は，マクロ特性を求めるにあたっては有効であったが，ミクロ挙動を見ることには必ずしも適さなかった．
近年の計算機性能の向上．

数値解析的なアプローチの有用性
マルチスケール解析
数値的な均質化手法，有限要素法（FEM）

本日の内容1. FRP（Fiber-reinforced plastics）について
・ 代表的なFRP・ FRPの構造的特徴

2. FRPの力学と解析手法
・ 複合則
・ Halpin-Tsai則・ シアラグモデル
・ 等価介在物法

3. 均質化法の適用事例
・ CFPR積層板
弾-粘塑性解析，クリープ解析，ミクロ層間応力解析
負のポアソン比，熱弾-粘塑性ツースケール解析
・ 平織積層板
損傷解析，弾-粘塑性トリプルスケール解析

均質化法について
Microscopic

Macroscopic◆ユニットセル問題◆

 ikl , i ：特性関数◆巨視的関係式◆

 ij

cijpq ( pk  ql
cijkl (  kl

 pkl,q ) Ekl
k ,l )

〈 〉：体積平均◆微視的発展式◆

 ij

cijpq ( pk  ql
cijkl (  kl

 pkl,q ) Ekl
k ,l )

CFRP積層板

CFRP積層板のマルチスケールモデリング1x3( )  ( )Ny3( )( )2x (X2)2y2( )y1( )x1( )Y ( )f ( )
X3

X3
X2

X2

X1

X1(a) Laminate(b) Lamina

巨視的構成式
A E

積層構成（積層理論）(c) Unit Cell

特性関数
（均質化法）

 ikl ( ) , i( )R

ラミナの応力変化

微視的応力変化弾-粘塑性解析
ユニットセルモデル
Macroscopic stress 33 [MPa]

150

Yy2

100

45°
500y1Y

炭素繊維

 f 12
 f 31

3.5 10310 5mEm
エポキシ



p0g ( )pn141.8( )MPa（応力）, mm/mm（ひずみ）, s（時間）p 0.1650.490.28
0.35
35
100.02150

Macroscopic stress 33 [MPa]材料定数E f 1 1.55 104
E f 3 2.40 105
G f 31 2.47 104

0.01
Macroscopic strain E33

一方向CFRP積層板

繊維母材

Experimental.
-3 -1
E33 = 10 s
-5 -1
= 10 s-7 -1= 10 sSimulated

100

Experimental.
-3 -1
E33 = 10 s
-5 -1
= 10 s-7 -1= 10 sSimulated

45°
50

00.01
Macroscopic strain E33

クロスプライCFRP積層板

0.02

弾-粘塑性解析
解析結果
400500Predicted

一方向

Experimental
 = 0°1  = 45°
= 10°
= 60°
= 20°
= 90°
= 30°

300
200
10000.01
Macroscopic strain E330.02

Macroscopic stress 33 [MPa]Macroscopic stress 33 [MPa]500 = 0°

400

クロスプライ10°Predicted

300
200

Experimental
20°

10030°

045°

0.01
Macroscopic strain E33

Macroscopic stress 33 [MPa]

800

擬似等方

600

2000

実験結果を精度良く予測している

Predicted

400

Experimental
 = 0°
= 10°
= 20°
= 30°
fractured

0.01
Macroscopic strain E33

0.02

0.02

クリープ解析
解析条件
アングルプライ積層板
積層構成:
 30 ,  45 ,  60

クリープ応力:183, 77, 28 [MPa ]

0.01
1.0
50

02.0

[c30= 84] MPa 解析結果
= 63[45] MPa[60] MPa
= 44

1.0
1.0
1.0

2.0
2.0
3.0
3.00.01
Creep[h]Creeptime[h]Creeptimetime ttcc[h]

4.0
4.0

E f 1 1.55 104
E f 3 2.40 105
G f 31 2.47 104

 f 12
 f 310.49
0.28

3.5 10310 5

m0.3535p0g ( )pn141.8( )MPa（応力）, mm/mm（ひずみ）, s（時間）p 0.165

105.0
5.00.02

Macroscopic strain E45°
1.0

2.0

3.0

Creep time tc[h]

Em
エポキシ

実験結果

0

材料定数
炭素繊維

2.00.022.0
1000000

温度: 100 [C ]実験結果
-3 -1E45°= 10 s-5 -1
 c = =8410
MPas-7 -1==6310MPas= 44 MPa
解析結果

Macroscopic strain E33[%]

strainMacroscopic
Macroscopicstrain
Macroscopic
EEE3333
strainMacroscopic
E[%]
330°



150

実験結果を概ね良く予測している

4.0

5.0

負のポアソン比負のポアソン比
巨視的ポアソン比およびミクロ応力  T 分布+θ-θ

積層方向ポアソン比-ひずみ関係+θ -lamina
16 fibers−θ -lamina
16 fibers

y3. .
.. ..

. .
.. ..

y2. .
.. ..

. .
.. ..

Yy1

LL TTTy1L

y1

y1

[±30]

[±45]

T-154-90.2

-26.6

[±60]

37.1

繊維垂直方向応力分布

101 [MPa]ミクロ層間応力解析

ミクロ層間応力解析
解析モデルおよび層間せん断応力分布
繊維本数：16

繊維本数：16

E  0.5%

A8y3A2 A1

90°プライ

0°プライ

y2y1

0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00y3y20.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00

8.997E+00
8.097E+00
7.197E+00
6.298E+00
5.398E+00
4.498E+00
3.599E+00
2.699E+00
1.799E+00
8.997E-01
0.000E+00[MPa]熱弾-粘塑性ツースケール解析

熱弾-粘塑性ツースケール解析
マクロ応力の釣合式

  Uijp , xq

マクロ構成式0
 ij  cijkl
 Ekl  kl0  Tkl0 d     ij n jU i d    0
マクロスケール
x2

T

マクロ境界値問題
0cijpq
 U p , xq U i , x j d     ij n jU i d  



x1x300  cijkl
 kl0 U i , x j d   T  cijkl
 kl0  U i , x j d 0cijkl：均質化された弾性剛性テンソル0 kl ：均質化された粘塑性関数
 kl0 ：均質化された線膨張係数
T ：温度変化率

ミクロスケールy2y1y3

熱弾-粘塑性ツースケール解析
マクロモデル

温度履歴

モデル寸法

200300  30  2.0 単位： [mm]クロスプライ
非対称積層板

0 / 0 / 90 / 90

x3x2

Temperature

Case1

10050x1

ミクロモデル
材料定数
ヤング率 Em  MPa 
ポアソン比 mn
線膨張係数  m 106 K  硬化関数 g  p

Case2150

2000

4000
Time [s]6000

炭素繊維  HTA  の材料定数

エポキシ  RTM6  の材料定数
0.0179  T 2  6.4939  T  2344.5
0.38
0.1939  T  92.677
0.069  T  52.774

 0.3486  T  233.38  p 00.25

 0.0546  T  32.046

ヤング率 ELL  GPa 235
ヤング率 ETT  GPa 19.1
ポアソン比  LL
0.28
ポアソン比 TT0.33
せん断剛性率 GLT  GPa  7.2
線膨張率  LL 106 K 0.410
線膨張率  TT 106 K 8000

熱弾-粘塑性ツースケール解析
解析結果（熱応力・ひずみ分布）
Temperature200

ミクロ相当応力σeq分布
0 プライ

Case1
Case2150相当粘塑性ひずみ  p 分布1000 プライ

5002000

4000
Time [s]

6000

8000

y3y3y1000y1y20

 MPa 00y2[%]90 プライ

90 プライx3x1

y3y3x2y1y1y2y2

 MPa 000

 MPa 000000[%]

熱弾-粘塑性ツースケール解析
解析結果（熱応力・ひずみ分布）
Temperature200

ミクロ相当応力σeq分布
0 プライp Case1
Case2

150100相当粘塑性ひずみ  p 分布
0 プライ5002000

4000
Time [s]

6000

8000

y3y3y1y11.64

22.9

44.2 y02

 MPa 0.06 0.12y2[%]90 プライ

90 プライ

x3x1

y3

y3x2

y1y1y2y2

 MPa 1.91

23.7 45.5

013.8

 MPa 27.7

00.06 0.13[%]

平織積層板積層ずれを有する平織積層板の損傷解析
マクロ構成式

 ij  cijkl  pk ql   pkl,q  Ekl

微視的応力の発展式

 ij ( y, t )  cijkl  pk  ql   pkl,q  Ekl

Hoffman則F  C1  T   Z   C2  Z   L 
22 C3  L   T   C4 L  C5 T
2

基本セルA

 C6 Z  C7 TZ 2  C8 ZL 2  C9 LT 2

積層ずれを有する平織積層板の損傷解析

Macroscopic Stress 33[MPa]

巨視的負荷方向応力-ひずみ関係(0,0)(0,l/4)(0,l/2)(0.3l/4)(0,l)(l/4,0)(l/4,l/4)

200

100

y1y3y2000.01
Macroscopic Strain E33[-]

0.02(l/4,l/2)(l/4,3l/4)(l/2,0)(l/2,l/4)(l/2,l/2)(3l/4,0) 3l 
(3l/4,l/4)
 , 0
4

 0, 0 ■:損傷要素(モードL(L軸引張))■:損傷要素(モードT(T軸引張))■:損傷要素(モードLT(LTせん断)) ■:損傷要素(モードZ (Z軸引張))■:損傷要素(モードZL(ZLせん断)) ■:損傷要素(モードTZ(TZせん断))■:非損傷要素(l/2,3l/4)(l/2,3l/4)(3l/4,l/2)

弾-粘塑性トリプルスケール解析
局所化

局所化

ユニットセル

繊維束母材

繊維母材
半ユニットセル基本セル

マクロスケール

メゾスケール

均質化

ミクロスケール

均質化

弾-粘塑性トリプルスケール解析