高校ゼミ サポートselectⅡ

数学B

確認テスト
氏

得名点

1 等差数列100

1 次の等差数列の一般項 an と第10項を求めよ。
⑴

初項 4，公差 2⑵

第 3 項が12，第15項が -24（各10点×4）

2 3 つの数 6，a，18がある。次の条件を満たすような a の値を求めよ。
⑴

3 数がこの順に等差数列をなす⑵

3 数がこの順に調和数列をなす

3 次の等差数列の和を求めよ。
⑴

初項15，公差 -4，項数 n

4 次の問いに答えよ。
⑴（各10点×2）（各10点×2）⑵ 2，5，8，……，56（各10点×2）

初項から第 5 項までの和が75，第 6 項から第10項までの和が225である等差数列の一般項 an を求めよ。

⑵

第 5 項が34，第20項が-26の等差数列について，初項から第何項までの和が最大となるか。

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数学B

確認テスト
氏

得名点2 等比数列

100

1 次の等比数列の一般項 an と第 5 項を求めよ。
初項 4，公比 3⑴（各10点×4）⑵ 25，5，1，……

2 次の問いに答えよ。

（各10点×2）⑴

第 2 項が12，第 4 項が192である等比数列の初項 a と公比 r を求めよ。

⑵

x<y とする。 3 つの数 x，15，y はこの順に等比数列をなし， 3 数の和は49である。このとき，x，y の値を求めよ。

3 次の等比数列の，初項から( )内に示された項までの和を求めよ。
⑴

初項64，公比12(第 6 項)4 次の問いに答えよ。

⑵（各10点×2）

初項 3，公比-2 (第 n 項)

（各10点×2）⑴

初項 5，公比 2 の等比数列の初項から第 n 項までの和が1275であるとき，n の値を求めよ。

⑵

初項から第 3 項までの和が35，初項から第 6 項までの和が315である等比数列の初項から第 n項までの和 Sn を求めよ。

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数学B確認テスト氏

得名

点

3 いろいろな数列

100

1 次の和を求めよ。
⑴

n¸ (4k+3)

k=1（各12点×3）⑵n¸ 3k-1⑶

k=1n¸ (2k-1)2k=1

2 次の問いに答えよ。

（各13点×2）

11
1
1，，，，…… の初項から第 n 項までの和を求めよ。
2･5 5･8 8･11 11･14⑴数列⑵

和 S=2+3･22+5･23+7･24+……+(2n-1)･2n を求めよ。

3 次の数列の一般項 an を求めよ。
⑴

2，4，9，17，28，……

（各12点×2）⑵ 1，3，7，15，31，……

4 初項から第 n 項までの和 Sn が Sn=2n2-3n で与えられる数列{an}の一般項を求めよ。

（14点）

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数学B

確認テスト
氏

得名

点

4 漸化式，数学的帰納法

100

1 次のように定義される数列{an}の一般項を求めよ。

（各14点×4）⑴

a1=3，an+1=-2an⑵a1=1，an+1-an=2n+1⑶

4
a1= ，an+1=4an-1
3⑷

a1=2，an+1=2an +2n2 数列{an}の初項から第 n 項までの和を Sn とすると，Sn=2an-1 が成り立つ。このとき，数列{an }の一般項を求めよ。

（14点）

3 n が自然数のとき，次の等式が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ。
1+3+5+……+(2n-1)=n（15点）

2

4 n が自然数のとき，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ。

（15点）

3 >n(n+1)
n23

11

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数学B

確認テスト
氏

得名

点1 等差数列100

初項 a，公差 d，初項から第 n 項までの和 Sn とする。

1 次の等差数列の一般項 an と第10項を求めよ。

（各10点×4）

初項 4，公差 2⑴an=4+(n-1)･2=2n+2
a10=2･10+2=22
an=2n+222

an =-3n+21-9

第 3 項が12，第15項が -24⑵a+2d=12，a+14d=-24

これを解いて，a=18，d=-3

an=18+(n-1)･(-3)=-3n+21a10=-3･10+21=-92 3 つの数 6，a，18がある。次の条件を満たすような a の値を求めよ。
3 数がこの順に等差数列をなす⑴⑵

2a=6+18 より，2a=24

3 数がこの順に調和数列をなす
1112･ = +より，
a 6 18a=12a=122
2
=a 9

a=9

3 次の等差数列の和を求めよ。
⑵ 2，5，8，……，56n
Sn= {2･15+(n-1)･(-4)}
2=n(17-2n)an=2+(n-1)･3=3n-1
3n-1=56 より，n=19
S19=n(17-2n)19(2+56)=551
2

4 次の問いに答えよ。
⑴

a=9（各10点×2）

初項15，公差 -4，項数 n⑴（各10点×2）

551（各10点×2）

初項から第 5 項までの和が75，第 6 項から第10項までの和が225である等差数列の一般項 an を

5S5 = (2a+4d)=75 から，a+2d=15210S10 -S5= (2a+9d)-75=225 から，2a+9d=602
これを解いて，a=3，d=6 an =3+(n-1)･6=6n-3求めよ。

⑵

an =6n-3

第 5 項が34，第20項が-26の等差数列について，初項から第何項までの和が最大となるか。
a+4d=34，a+19d=-26 これを解いて，a=50，d=-4
an=50+(n-1)(-4)=-4n+54-4n+54≥0 とすると，n≤13.5 より，第13項までの和が最大となる。

第13項

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数学B

確認テスト
氏

得名点

2 等比数列100

初項 a，公比 r，初項から第 n 項までの和 Sn とする。

1 次の等比数列の一般項 an と第 5 項を求めよ。
初項 4，公比 3⑴an=4･3n-1（各10点×4）⑵ 25，5，1，……
4n-1n-32⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞ 1
a5=⎝ ⎠ =an=25･⎝ ⎠ =⎝ ⎠55525n-31⎛1⎞an=⎝ ⎠ (an=53-n)
525

a5=4･3 =324
an=4･3n-1

324

2 次の問いに答えよ。

（各10点×2）

第 2 項が12，第 4 項が192である等比数列の初項 a と公比 r を求めよ。

⑴

ar=12 ……①

ar 3=192 ……②②÷① より，r 2=16

r=±4

r=4 のとき，a=3，r=-4 のとき，a=-3⑵a=3，r=4
a=-3，r=-4x<y とする。 3 つの数 x，15，y はこの順に等比数列をなし， 3 数の和は49である。このとき，x，y の値を求めよ。
xy=152，x+15+y=49 より，x+y=34x，y は 2 次方程式 t2-34t+225=0 の 2 解である。
(t-9)(t-25)=0 より，t=9，25x<y より，x=9，y=25

x=9，y=25

3 次の等比数列の，初項から( )内に示された項までの和を求めよ。
⑴

初項64，公比12(第 6 項)初項 3，公比-2 (第 n 項)⑵

6⎛1⎞
64 1-⎝ ⎠2
S6 ==126112

Sn =3{1-(-2)n }=1-(-2)n1-(-2)

126

1-(-2)n4 次の問いに答えよ。
⑴（各10点×2）（各10点×2）

初項 5，公比 2 の等比数列の初項から第 n 項までの和が1275であるとき，n の値を求めよ。
5(2n-1)=1275 より，2n-1=255
2-1

2n=256=28

よって，n=8n=8⑵

初項から第 3 項までの和が35，初項から第 6 項までの和が315である等比数列の初項から第 n項までの和 Sn を求めよ。
a(r3-1)=35 ……①r-1
r=2，a=5a(r6 -1)=315 ……②r-1

よって，Sn=5(2n-1)=5(2n -1)
2-1

②÷① より，r3+1=9
Sn=5(2n-1)

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氏

得

名点

3 いろいろな数列

100

1 次の和を求めよ。

（各12点×3）n¸ (4k+3)⑴⑵

k=1nnk=1

k=1⑶

k=1

n

¸ (2k-1)2

k=1n

与式= ¸ (4k2 -4k+1)

1･(3 -1)与式=
3-1n

与式=4 ¸ k+ ¸ 3=4･n¸ 3k-1k=1

1= (3n-1)2n(n+1)+3n2=n(2n+5)

1 n(3 -1)
2n(2n+5)

1n(n+1)(2n+1)
6
1
n(n+1)+n-4･
2
1=n(2n+1)(2n-1)
3=4･1n(2n+1)(2n-1)
3

2 次の問いに答えよ。
⑴

数列（各13点×2）

11
1
1，，，，…… の初項から第 n 項までの和を求めよ。
2･5 5･8 8･11 11･14

一般項は an =1だから，(3n-1)(3n+2)

1
1 n1
1 ⎞ 1⎛ 11 ⎞n= ¸⎛==⎝⎠⎝⎠
2(3n+2)(3k-1)(3k+2)
33k-1
3k+2
32
3n+2
k=1
k=1n

¸

n2(3n+2)

和 S=2+3･22+5･23+7･24+……+(2n-1)･2n を求めよ。

⑵

2S=1･22+3･23+5･24+……+(2n-1)･2n+1
S-2S=2+2･22+2･23+2･24+……+2･2n-(2n-1)･2n+1-S=2+23(2n-1 -1)-(2n-1)･2n+1 より，S=6+(2n-3)･2n+12-1

S=6+(2n-3)･2n+1

3 次の数列の一般項 an を求めよ。階差数列を bn とする。
⑴

2，4，9，17，28，……

⑵（各12点×2）

1，3，7，15，31，……

bn =3n-1 より，n≥2 のとき，bn=2n より，n≥2 のとき，n-11
an=2+ ¸ (3k-1)= (3n2-5n+6)
2k=1

an=1+ ¸ 2k =1+

これは n=1 のときも成り立つ。

これは n=1 のときも成り立つ。

n-1
k=12(2n-1-1)
=2n-1
2-11
an= (3n2-5n+6)2

an=2n-1

4 初項から第 n 項までの和 Sn が Sn=2n2-3n で与えられる数列{an}の一般項を求めよ。
2（14点）

2n≥2 のとき，an =Sn-Sn-1=2n -3n-{2(n-1) -3(n-1)}=4n-5 ……①n=1 のとき，a1=S1=-1
よって，an=4n-5

これは①で n=1 としても成り立つ。
an =4n-5

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数学B

確認テスト
氏

得名点4 漸化式，数学的帰納法

100

1 次のように定義される数列{an}の一般項を求めよ。
⑴

a1=3，an+1=-2an⑵

初項 3，公比 -2 の等比数列だから，（各14点×4）

a1=1，an+1-an=2n+1n-1

an=1+ ¸ (2k+1)=n2
k=1

an=3･(-2)n-1

an =n2an=3･(-2)n-1
4⑶ a1= ，an+1=4an-1
3
an+1 -⑷11⎞⎛=4⎝ an - ⎠と変形できる。
33数列 an -13は初項

41- =1，33
1=1･4n-131
an=4n-1+3公比 4 の等比数列より，anan=4n-1 +13a1=2，an+1=2an +2n 両辺を 2n+1 でわると，
an+1 an 1= +2n+1 2n 2bn+1=bn+

an=bn とおくと，2n1211b1=1 より，bn =1+(n-1)･ = (n+1)
22
an=2n ･bn=2n-1 (n+1)

an=2n-1 (n+1)

2 数列{an}の初項から第 n 項までの和を Sn とすると，Sn=2an-1 が成り立つ。このとき，数列{an }の一般項を求めよ。

n=1 のとき，a1=S1=2a1-1 より，a1=1 ……①n≥2 のとき，an =Sn-Sn-1 より，an=2an-1-(2an-1 -1)（14点）

an=2an-1 ……②①，②より，数列{an}は初項 1，公比 2 の等比数列
よって，an=1･2n-1 =2n-1

an=2n-1

3 n が自然数のとき，次の等式が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ。
1+3+5+……+(2n-1)=n（15点）

2［証明］ ⅰ）n=1 のとき，左辺=1，右辺=1 で成り立つ。
ⅱ）n=k のとき，成り立つと仮定して，両辺に 2(k+1)-1=2k+1 を加えて，1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2
よって，n=k+1 のときも成り立つ。ⅰ），ⅱ）
より，すべての自然数について成り立つ。

4 n が自然数のとき，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ。

（15点）

3 >n(n+1)n［証明］ ⅰ）n=1 のとき，左辺=3，右辺=2 で成り立つ。
ⅱ）n=k のとき，成り立つと仮定して，両辺に 3 をかけて，3k+1>3k(k+1)
ここで，k≥1 より，3k(k+1)-(k+1)(k+2)=2(k2-1)≥0
よって，3k+1 >(k+1)(k+2) であり，n=k+1 のときも成り立つ。
ⅰ），ⅱ）
より，すべての自然数について成り立つ。
2311