2022年9月2日

OLIS-立命館大学保険フォーラム〈テーマ〉 保険・アクチュアリー・データサイエンスをつなぐ数学

一般数学史書では殆ど触れられていない興味深い話
鈴木真治

アクチュアリーの語源
エクイタブル・ソサエティの創業者の一人で著名な骨董家でもあったエドワード・ロウ・モーレスが個人的な懐古趣味から，帳簿や会計に関する記録を正しく保管することを職責とした担当者に，古代ローマ帝国時代の元老院の公式記録担当官を意味するActuarius （ラテン語）に由来したActuary （英語）という物珍しい肩書名を選んだことに依る。

エドワード・ロウ・モーレス(1731-1778)

ジェイムズ・ドドソンによる保険数理の一大発明─平準保険料
左図は，30歳の男性が20年満期の保険金１の定期保険に加入した場合について例示している．
ただし，保険料は年払で保険金は期末払であるとする．
また，横軸は年金現価で縦軸は現価率×自然保険料率を表し，定数表の値は予定利率として1％，予定死亡率として生保標
準表2018（死亡保険用）を使用している．そして，縦軸，横軸の側に付記された数値は，この定数表の値を使って算出されたものである．

現代アクチュアリーの父 ウィリアム・モーガン
最強の数理コンサルタント─リチャード・プライス
・逆確率原理の載った友人ベイズの遺稿を発表

・現代アクチュ
アリーの父

・United Nationsの命名者

叔父・エクイタブルの4代目アクチュ
アリー

甥

・保険数理の専門職の基礎を築く

・ノーザンプトン
生命表の作製（生命表作製プロセスの明確化）
・モーガンをエクイタブルに推薦・プライスの回想録を出版

リチャード・プライス(1723-1791)

ウィリアム・モーガン(1750-1833)

複利と死亡率を組み合わせた
真に保険数理的な計算を初めて行った人物
・オランダの宰相

1671年，生命年金の売り出しを提案するために，デ・ウィットが連邦議会に提出した報告書『償還年金と比較した生命年金の価格』は，アクチュアリー学誕生の書と言われている．この報告は年金計算が年齢別に行われた最も古い研究でもある．

・「2変数のすべての2次方程式は円錐曲線の標準形の一つに変換できる」1646年に証明・兄コルネリウスとともに群衆に惨殺される．

初めての正しい生命年金の定義式
𝝎−𝒙−𝟏

𝒅𝒙+𝒕
𝒂𝒙 = ෍ 𝒂𝒕‫∙ ۀ‬𝒍𝒙𝒕=𝟏（デ・ウィット：1671）

ヨハン・デ・ウィット(1625－1672)

初めての生命表（プレスラウ表）

エドモンド・ハレー(1656 - 1742)
上記の生存表の区切りの年齢が，7歳，14歳，21歳，…，84歳であることに注意せよ．ハレーが，何らかの厄年の存在を意識していた可能性を感じさせる．この当時，7に纏わる迷信は，他にもかなりあった．例えば，7年を超える金銭上の貸借は危険なものと信じられていた．なお，7の神秘性の歴史はかなり古い．

※ニュートンにプリンキッピアを書かせ、ハレー彗星の回帰時期を予測した人物として著名

オイラーの人口に対する研究
マルサスの『人口論』に影響「人口は幾何級数的に増加する」

ジュースミルヒの著書を経由レオンハルト・オイラー（1707 - 1783）

トマス・ロバート・マルサス（1766－1834）

アクチュアリーの純粋数学への貢献
・デンマーク出身

・イギリス出身・ハフニア生命・エクイティー＆ロー生命

・グラム・シュミットの直交化法

・慣性定理
・終結式

・デンマーク・アカデ
ミーからゴールド・メダルを受賞

・ケリーと共に線形代数の基礎を構築

ヨルゲン・グラム(1850-1916)

ジェームス・ジョセフ・シルベスター（1814 – 1897）

設問１
保険数学の最も基礎的な計算技術に複利計算がありますが，これはいつ頃から行われていたのでしょうか？
（コメント）意外に古くからありました．

回答１
紀元前2400年頃，古代バビロニアで記録されたエンメテナの回顧碑文のなかで，既に，複利計算が行われていたことが分かっています．
エンメテナの回顧碑文⇒ 《資料No1》参照

設問2
複利計算に基づく重要な概念として「現価」がありますが，これは誰が最初に導入したのでしょうか？
（コメント）古い本だと，小数を発明した人物として紹介されていたりします．
※終価と現価については《資料No3》続き 参照

回答2
ステヴィンは1585年に，初めて完全な利子表を含む著書『実用算術』 を出版．
初めて，現価表を計算.
⇒ 《資料No3》参照

単に，複利表ならジャン・トレンチャントの方が早い．
シモン・ステヴィン(1548 - 1620)⇒ 《資料No2》参照

設問3
保険数学の基本的計算原理である「収支相等の原則」を初めて有効に使用した人物は誰でしょうか？
（コメント）正確に言うと，生命関数抜きでの収支相等の原則です．

回答3
リチャード・ウィットは，『算術質疑』⇒ 《資料No4》参照
において，生命関数抜きではあるものの「収支相等の原則」 を初めて実態として明確に使用した.
ウィットが住んでいた（1613年）《資料No5》参照⇒ セント・メリー・ウー
ルチャーチ の教区

設問4
男性が女性よりも若干生まれ易いことを確率論によって初めて論証した人物は誰でしょうか？
（コメント）仮説検定の萌芽とも言えるかもしれません．

回答4
ラプラスは、1745年から1770年までの26年間に251,527人の男子と241,945人の女子がパリで生まれていたというデータから男子が生まれる確率が1/2以下である確率は，1.1521×10-42であることを示した．
⇒ 《資料No6》参照

これより「男子の生まれる確率は1/2よりも大きいことは蓋然的に確かである．」とのピエール・シモン・
結論が引き出された．
（余談）このような表記方法を指数表記と言う
エルンスト・エッセルバッハの発案（1862）

ド・ラプラス(1749-1827)⇒ 《資料No7》参照

設問5
終身保険の責任準備金が現在の・𝑡 V𝑥 = 𝐴𝑥+𝑡 − 𝑃𝑥 ∙ 𝑎ሷ 𝑥+𝑡と同値な定義は，いつ誰によって，どのような目的でなされたのでしょうか？
（コメント）意外かもしれませんが，歴史的には，将来の支払いのための積立金として計算されたものではありません.
※責任準備金については《資料No9》続き 参照

回答5
1810年に上梓された『生命年金および生命保険の原則』の（§430）において，フランシス・ベイリーは解約返戻金の評価額として保険料積立金の保険料差額公式と呼ばれるものを言葉で表現した．
.𝑡 V𝑥 = 𝑃𝑥+𝑡 − 𝑃𝑥 ∙ 𝑎ሷ 𝑥+𝑡（第2基本等式）
1813年の改訂版では現代の保険料積立金の定義.𝑡 V𝑥 = 𝐴𝑥+𝑡 − 𝑃𝑥 ∙ 𝑎ሷ 𝑥+𝑡（第1基本等式）
を同§430において与えている． ⇒ 《資料No9》参照
定説は少し異なる． ⇒ 《資料No8》参照

フランシス・ベイリー(1774-1844)

設問6
保険数学でお馴染みの暈記号 （HaloNotation）の暈部分（ ）は何に由来するのでしょうか？
（コメント）一般的には，デヴィッド・ジョーンズが1843年に出版した本がはじまりとされていますが，暈記号そのものはもっと前から別の用途でいろいろ使われていました.

回答6 暈記号の由来
・定説では，David N. Jones(1843)が初めて使用
・Benjamin Gompertzの補助係数(1820) ⇒Newtonの冪記号もあり・Joshua Milne(1815)に似た暈記号が既にあった ⇒ 《資料No１0》参照
・実は，Newtonの2項定理に使われた冪記号が起源と思われる.

⇒ 《資料No１１》参照

設問7
メーカム定数と言うとメーカムの法則
𝑙=𝑥𝑥 𝑐𝑥
𝑘𝑠 𝑔 に現れる定数𝑠,𝑔,𝑐を指しますが，この中のある定数に対しては，かなりの普遍性があることをメーカム自身が論じています．その定数とはどれのことでしょうか？

（コメント）log q = ·04 （この書き方はメーカム自身のもの）

回答7
こうして拡張されたゴンパーツの法則は，次のように述べられるかもしれない：各個人の生命力または回復力は、等しい時間に等しい割合で失われていく。そのようにして失われた生命力の割合は、ほぼ同じであり、概ねlog c =0.04であると表される。
『ゴンパーツの法則の更なる進展について(1890)』p.319⇒ 《資料No12》参照

設問8
ゴンパーツがユダヤ人であることが理由で、比較的有名になった後に、ある英国の生命保険会社のアクチュアリーのポストに応募したところ、落とされてしまいました。
このときゴンパーツを落としたのは何という会社で、その会社のアドバイザリー・アクチュアリーの職を得た人物は誰でしょうか？

（コメント）ライバルは現在の基数記号の産みの親です．

回答8
ゴンパーツとグリフィス・デイヴィスは，ガーディアン社のコンサルティング・アクチュアリーのポストを争いましたが、ガーディアン社の役員がユダヤ人であるゴンパーツを嫌ってデイヴィスを採用しました。
ゴンパーツはその役員に対しては、激しい憤りを覚えましたが、デイヴィスに対しては、その力量を正当に評価しました。デイ
ヴィスもゴンパーツのこのような紳士的な態度に大きな敬意を払いました。
⇒ 《資料No13》参照

設問9
瞬間利率を初めて定義したのは誰でしょうか？また，この定義を与える過程で非常に重要な数学上の発見がありました．それは何でしょうか？
（コメント） 𝑎𝑛 = 1 +n1n．

回答9
ヤーコブ・ベルヌーイの保険数学に直結する業績の一つとしては、『観察諸表からの終身年金価値計算の最簡便法(1690)』にある「瞬間利率」の考案が挙げられます。そして、その研究のなかで有名な数列
𝑎𝑛 =1 n1+nの𝑛 → ∞のときの収束性(1683,29歳に初めて証明)が見事に適用されました。
ただし、この極限値に記号eを与えたのはオイラーです。

⇒ 《資料No14》参照

設問10
レキシスの図示法は、アクチュアリーのみならず、人口学者にも必須の有力な理論的ツールです。しかし、実のところ、この図示法を最初に案出した人物はレキシスではありませんでした。では、誰が最初にこの図示法を考えたのでしょうか？

（コメント）いろいろな図示法があります。
※レキシスの図については《資料No15》続き 参照回答10[人口統計図示法の分類]
𝑥軸×y軸（×ｚ軸）

誕生の瞬間×年齢
平
面 時間×年齢
時間×誕生の瞬間型

初出

フェルヴァイレキシス型

1875
1875

ブラッシェ型

1870

ベッカー型1874

立 年齢×誕生の瞬間×生存人口 ツォイナー型 1869
体

⇒ 《資料No15》参照

グスタフ・ツォイナー(1828-1907)

設問11
連生保険の古典的な公式にウェアリングのアクチュアリー公式があります。この公式の発展形として、キングのｚ法(1902年)がありますが、1950年代に入って更なる発展形の公式が現れました。それはいかなる公式でしょうか？
（コメント）ウェアリングは有名なイギリスの数学者回答11（シュエット＝ネスビット の公式）
𝐵1 , 𝐵2 , ⋯ , 𝐵𝑚 を確率事象とし，このうち発生した事象の個数をNとする．Nは確率変数で，その値の範
囲 は {0,1, … ,m} で あ る ． こ の と き ， 任 意 の 係 数
𝑐1 , 𝑐2 , ⋯ , 𝑐𝑚 に対し次の等式が成り立つ．
𝑚𝑚

෍ 𝑐𝑛 ∙ Pr(𝑁 = 𝑛) = ෍ 𝑆𝑘 ∙ ∆𝑘 𝑐 0𝑛=0𝑘=0

ただし，𝑆𝑘 は対称和 𝑆𝑘 = σ Pr 𝐵𝑗1 ∩ 𝐵𝑗2 ∩ ⋯ ∩ 𝐵𝑗𝑘 セシル・ジェイムズ・によって定義され，𝑆0 = 1とする．𝑆𝑘 の𝛴は𝑚個中𝑘ネスビット個の事象を選び出す組合せ総数 m通りについて合(1912 – 2001)
𝑘計したものを表す．

⇒ 《資料No16》参照

設問12
数式で表現される死亡法則で、最初に現れた有名なものは
86−𝑥𝑙𝑥 = 𝑙0 ∙86（ド・モアヴル 1725年）

であると言われていますが、実は、この45年も前にほぼ同じ死亡法則が既に発表されていました。それは、誰によって発表されたのでしょうか？

（コメント）万能の天才の新たな業績

ド・モアヴル(1667- 1754)

回答12ライプニッツの死亡法則
81 − 𝑥𝑙𝑥 = 𝑙0 ∙81『人の寿命と人口に関する新推論（1680）』
ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ(1646 – 1716)

まとめ• 複利計算は４４00年前のシュメール人にまで遡る．
• 現価の概念はシモン・ステヴィンが既に有していた．
• 収支相等の原則はリチャード・ウィットに遡る.
• ラプラスは仮説検定を先取りして「男は女より生まれ易い」を論証した．
• 指数表記の創案者はエルンスト・エッセルバッハである．
• 古典的責任準備金の算式確定の歴史は一部修正する必要がある．
• 暈記号の 「」部分はNewtonの冪記号に遡る．
• メーカム定数cは、だいたいlog ｃ =0.04 であることをメーカムが指摘した。
• ゴンパーツの就職時のライバルはグリフィス・デイヴィスだったが、互いに尊敬し合っていた。
• 数式 𝒂𝒏 =𝟏 𝐧
𝟏 + 𝐧 の収束性は、複利計算での転化回数を極限にする問題に関連してヤーコブ・ベルヌーイが発見した。

• レキシスの図示法は、レクシスが発案したものではなく、6通りくらいの流儀がある。
• ウェアリングのアクチュアリー定理は、シュエット＝ネスビットの公式に拡張された。
• 等差数列的な死亡法則はド・モアヴルよりもライプニッツの方が45年早く発表している。

ご清聴有難うございました鈴木真治