286

日本惑星科学会誌 Vol. 27, No. 4, 2018「2017年度最優秀研究者賞受賞記念論文」

固体惑星物理学における諸問題

鎌田 俊一

1

2018年9月21日受領，査読を経て2018年10月24日受理．

（要旨）惑星探査データの解析により，固体惑星・衛星の内部構造とその進化に関する研究が進められている．
そこでは地球物理学の古典的な ｢ 問題 ｣ が重要な役割を果たしているが，地球研究の解法がそのまま使える
ことは少ない．全球的な海が厚い氷に覆われた氷衛星における潮汐，内部熱進化を無視できないほど長い時
間スケールで起こる月惑星地形の粘性緩和，時間とともに厚さの変わる対流性の氷地殻を持った氷天体の熱
進化．筆者はこれまでこれらの問題に対して定式化の段階まで遡って取り組み，様々な知見を得ることができた．しかし，どのアプローチにも課題は残されている上，ここで取り上げるのは地球物理学における諸問題のほんの一握りにすぎない．今後も古典的な地球物理学的問題は惑星科学における研究課題を提供し続けるであろう．

1. はじめにんどである．以下では，各問題をおさらいしつつ，その惑星科学における重要性，地球研究で用いられてき近年の惑星探査ミッションによって，太陽系の姿がた解法がそのまま適用できない理由と筆者の採った解

今まで以上にはっきりと見えてきた．固体表面を持つ

決法，そして得られた知見を述べる．そして，今後の天体に対しては，レーザー測距による地形計測や探査

固体惑星物理学の個人的展望を述べる．

機の軌道解析による重力場計測などが進み，それら測地学的観測データの地球物理学的な解釈により，太陽2. 潮 汐系固体天体の現在の内部構造とその進化過程に関する理解が深まってきている．よく ｢ 惑星科学は天文学と地球科学の中間 ｣ と言われるが，探査によって後者の2.1

現象のおさらいと重要性果たす役割が一層重要になってきているのだ．本論文

今回取り上げる 3 つの問題（現象）の中で最も身近なでは，筆者がこれまでに取り扱った研究トピックスを，のが潮汐であろう．潮汐は地球の海水面が約半日の周｢3 つの古典的な地球物理学的問題 ｣ という観点でまと期で上下する現象として一般によく知られており，そめて紹介する．3 つの問題とはすなわち，｢ 潮汐 ｣｢ 粘の原因は地球以外の天体（月や太陽など）の重力である性緩和 ｣｢ 熱進化 ｣ である．これらはいずれも極めて古[e.g., 1]．他天体の重力の影響を受けるのは液体だけで典的な問題であり，地球を対象に非常によく研究されはなく，固体もまたしかりである．この固体部分の変てきた．それにもかかわらず，天体パラメータ（半径形現象は ｢ 固体潮汐 ｣｢ 地球潮汐 ｣ などと呼ばれる場合

や表面温度など）をただ変えるだけでは，他天体の内もあるが [e.g., 2]，最近の惑星科学分野に限っていえば，部構造やその進化過程の理解に直結しない場合がほと｢ 潮汐変形 ｣ と呼ばれている．

1. 北海道大学 創成研究機構
kamata@sci.hokudai.ac.jp■2018遊星人Vol27-4.indd286

潮汐は衛星の探査において極めて重要である．潮汐変形の大きさは，惑星が衛星にもたらす起潮力（潮汐2018/12/07

17:43:47

固体惑星物理学における諸問題／鎌田

75

無視できず軌道共鳴の関係にあるといった複雑さなどから，氷衛星における潮汐には未知

76の部分が多く残されている．

77

固体と液体では力が加わったときの応答が大きく異なる．そのため潮汐変形の研究は，

78

主に固体部分の比較的小さく遅い運動に着目するものと，液体部分の比較的大きく速い運79

動に着目するものの 2 種類ある．前者では，外力に対する弾性球の運動方程式を解く方法
28780が一般的である．詳細は，故竹内均先生による｢地球科学における諸問題｣[2]を参考にされ81

たい．この種の研究では液体は剛性率 0 の極限として扱われ，そこでの運動はあまり考え力）と，衛星自体の変形しやすさで決まる．起潮力は式を解くことで液体部分の運動を解く方法が一般的で万有引力の法則から求めることができるので，潮汐変あり，海底より深部は剛体として取り扱われるのが通形の大きさを探査によって計測できれば，衛星の変形例であった [e.g., 4]．なぜ，直接観測できない内部海
82
ず，重力ポテンシャルの連続性だけが考慮される．他方，後者ではラプラスの潮汐方程式
しやすさを決められることになる．衛星の変形しやすの運動に着目するのであろうか．それは潮汐加熱がど

さは衛星の内部構造で決まるので，結局，潮汐変形をこでどれだけ起こるのかを知るためである．加熱され83を解くことで液体部分の運動を解く方法が一般的であり，海底より深部は剛体として取り84扱われるのが通例であった[e.g.,4]．なぜ，直接観測できない内部海の運動に着目するので計測することで現在の内部構造の推定が可能となるる場所が異なれば内部全体の熱史が異なるであろう．

[e.g., 3]．潮汐はまた，衛星の進化にも大きな影響を与地球においては潮汐エネルギーの散逸（つまり潮汐加
85
あろうか．それは潮汐加熱がどこでどれだけ起こるのかを知るためである．加熱される場
える．衛星が潮汐によって周期的に変形すると，衛星熱）はほぼ海洋中で起きている [e.g., 5]．氷衛星も同様

内部で摩擦熱が発生する．この ｢ 潮汐加熱 ｣ が衛星のに内部海で発熱が大きいのかもしれないが，海を覆い86

所が異なれば内部全体の熱史が異なるであろう．地球においては潮汐エネルギーの散逸(つ主要な加熱源となり，衛星の内部進化や地質活動を担尽くす氷地殻の存在がどう影響するかはよく分かって87
まり潮汐加熱)はほぼ海洋中で起きている[e.g.,5]．氷衛星も同様に内部海で発熱が大きいのう場合もある [1]．潮汐はまた衛星の軌道をも変え，いなかった．いずれにせよ，固体部分での潮汐加熱率

それによって加熱率もまた変わる [1]．したがって，を知るためには固体部分の運動を知る必要があるし，

88かもしれないが，海を覆い尽くす氷地殻の存在がどう影響するかはよく分かっていなかっ89
た．いずれにせよ，固体部分での潮汐加熱率を知るためには固体部分の運動を知る必要が衛星系の進化全体を考える上で最も重要な現象の一つ
液体部分について知りたければ液体部分の運動を知るが潮汐といえよう．

90

2.2

91

課題

必要がある．
あるし，液体部分について知りたければ液体部分の運動を知る必要がある．
固体液体どちらに着目するにせよ，運動方程式を解

固体液体どちらに着目するにせよ，運動方程式を解くことから始まる．少しだけ，具体くことから始まる．少しだけ，具体的に式を見てみよ

92
的に式を見てみよう．固体部分に着目するとき，以下のように表される運動方程式が用い潮汐は身近であり生活に直結する場合もあるゆえ，う．固体部分に着目するとき，以下のように表される

研究の歴史は長い．今日，気象庁が日本各地における93られる[2,6]：運動方程式が用いられる [2, 6]：

満潮・干潮の予測時刻を分単位で，予測潮位をセンチ𝜕𝜕𝜕𝜕 2 𝒖𝒖𝒖𝒖
1= 𝛁𝛁𝛁𝛁𝜙𝜙𝜙𝜙 + 𝛁𝛁𝛁𝛁 ∙ σ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑡𝑡𝑡𝑡 2
𝜌𝜌𝜌𝜌

94
単位で公開していることから分かるように，地球における潮汐は大変良く理解されており，潮汐は研究し尽
95

（1）

(1)

ここで，𝒖𝒖𝒖𝒖は変位ベクトル，𝑡𝑡𝑡𝑡は時間，𝛁𝛁𝛁𝛁は空間微分，𝜙𝜙𝜙𝜙は重力ポテンシャル，𝜌𝜌𝜌𝜌は密度，σはくされたようにも思われる．しかし，衛星系における

ここで，u は変位ベクトル，t は時間，∇は空間微分，

ϕ は重力ポテンシャル，ρ は密度，σは応力テンソル
96
応力テンソルである．他方，液体部分に着目するときは，以下のように表される運動方程潮汐は，今まさに研究が進行している段階である．地
球と衛星，特に氷衛星との大きな違いは，海が表面ではなく，氷地殻の下にあることである．それゆえ，た97

うに表される運動方程式が用いられる [7]：式が用いられる[7]：とえ同一の支配方程式であっても，境界条件が異なる
98
ため自力で解く必要さえ出てくる．また，地球－月系と違い，氷衛星に起潮力をもたらすのがガス惑星であ99である．他方，液体部分に着目するときは，以下のよ
4𝜕𝜕𝜕𝜕𝒗𝒗𝒗𝒗
1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝐷𝐷𝐷𝐷+ 2𝛀𝛀𝛀𝛀 × 𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝛁𝛁𝛁𝛁𝜙𝜙𝜙𝜙 − 𝛁𝛁𝛁𝛁𝑝𝑝𝑝𝑝 − 𝛼𝛼𝛼𝛼𝒗𝒗𝒗𝒗 − |𝒗𝒗𝒗𝒗|𝒗𝒗𝒗𝒗 − 𝜂𝜂𝜂𝜂𝛁𝛁𝛁𝛁 2 𝒗𝒗𝒗𝒗 （2）𝜕𝜕𝜕𝜕𝑡𝑡𝑡𝑡
ℎ
𝜌𝜌𝜌𝜌

(2)

ここで，𝒗𝒗𝒗𝒗 (= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝒖𝒖𝒖𝒖/𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡)は速度ベクトル，𝛀𝛀𝛀𝛀は回転ベクトル，𝑝𝑝𝑝𝑝は圧力，𝛼𝛼𝛼𝛼は線形抗力係数，𝑐𝑐𝑐𝑐𝐷𝐷𝐷𝐷 はり散逸メカニズムが異なることや，複数ある衛星間で

v =du/dt）
ここで，（は速度ベクトル，Ω は回転ベクトル，100
下部抗力係数，𝜂𝜂𝜂𝜂は粘性率，ℎは海の厚さである．式(1)と式(2)は一見まるで別物のように見
p は圧力，αは線形抗力係数，CD は下部抗力係数，ηの重力相互作用が無視できず軌道共鳴の関係にあるといった複雑さなどから，氷衛星における潮汐には未知

は粘性率，h は海の厚さである．式（1）と式（2）は一見の部分が多く残されている．

まるで別物のように見えるが，そうではない．式
（1）

101

えるが，そうではない．式(1)に無視されている移流項(式(2)の左辺第 2 項)を追加し，応力102テンソルの中身を具体的に仮定し展開すると式(2)の表記に至る．
に固体では無視できるほど小さな移流項
（式
（2）
の左辺
固体と液体では力が加わったときの応答が大きく異第 2 項）を追加し，応力テンソルの中身を具体的に仮なる．そのため潮汐変形の研究は，主に固体部分の比103
ここで注目したいのが，慣性項，つまり式(1)の左辺の項(式(2)の左辺第 1 項)である．今，較的小さく遅い運動に着目するものと，液体部分の比定し展開すると式（2）の表記に至る．ここで注目した

較的大きく速い運動に着目するものの 2 種類ある．前いのが，慣性項，つまり式（1）の左辺の項（式（2）の左

104

衛星の公転に伴う潮汐変形を考えるので，変位・応力・重力ポテンシャル(の擾乱)がいずれ

105
も公転角速度𝜔𝜔𝜔𝜔で周期的に変化すると仮定できる．そこで式(1)のフーリエ変換を考えると，
辺第 1 項）である．今，衛星の公転に伴う潮汐変形を者では，外力に対する弾性球の運動方程式を解く方法が一般的である．詳細は，故竹内均先生による ｢ 地球考えるので，変位・応力・重力ポテンシャル（の擾乱）

科学における諸問題 ｣[2] を参考にされたい．この種のがいずれも公転角速度 ω で周期的に変化すると仮定で研究では液体は剛性率 0 の極限として扱われ，そこできる．そこで式（1）のフーリエ変換を考えると，慣性

106

107

慣性項の時間 2 階微分は−𝜔𝜔𝜔𝜔2 で置き換えることが出来る．これは一般に小さな値であるため，従来研究では慣性項ははじめから 0 として取り扱われることが多かった．このような簡略
2

項の時間 2 階微分は− ω で置き換えることが出来る．
の運動はあまり考えず，重力ポテンシャルの連続性だ
108
化は液体の運動に着目した場合とは対照的である．後者では慣性項は無視せず，またそうけが考慮される．他方，後者ではラプラスの潮汐方程■2018遊星人Vol27-4.indd287

これは一般に小さな値であるため，従来研究では慣性

109

いったダイナミックな成分に由来する大きな潮汐加熱が近年報告されている[e.g., 4]．これ

110は，𝜔𝜔𝜔𝜔2 は小さいものの右辺の項もまた小さくなる場合があり，結果的に液体については慣

111

性項が無視できない場合があることを意味する．したがって，内部海を持つ氷衛星の潮汐

112

応答を固体に着目した定式化(式(1))で計算する際，(剛性率 0 の極限として扱われる)液体

113

層があるにも関わらず慣性項を無視すると，運動を正しく記述できず，潮汐加熱率の見積
2018/12/07

17:43:48

288

日本惑星科学会誌 Vol. 27, No. 4, 2018(a) 慣性項あり

3

Re(h2)

Re(h2)

氷の粘性率 (Pa s)

2

2

1

1016
1015

1

1014
1013

0

0

−1
10−3

(b) 慣性項なし

3

10−2

10−1

100

101

102

−1
10−3

内部海の厚さ (km)

1012
10−2

10−1

100

101

102

内部海の厚さ (km)

図1： 慣性項を（a）考慮した場合と（b）無視した場合における潮汐応答の大きさ．縦軸は球面調和次数2の潮汐変位ラブ数の実部，横軸は海の厚さである．海の厚さが10 kmより薄い場合，（a）と（b）の間に差が見られる．
（a）においては海の厚さが～ 80 m（鉛直破線）のとき共鳴が起きている．論文[6]のFigure 3と同じデータセットを利用した．

項ははじめから 0 として取り扱われることが多かった． るようになった．
このような簡略化は液体の運動に着目した場合とは対液体部分の運動に着目する研究も近年進められてい照的である．後者では慣性項は無視せず，またそういるが，従来研究では液体層上端は自由表面を仮定してったダイナミックな成分に由来する大きな潮汐加熱がいた．つまり，地球のように海が天体表面にあること

2

近年報告されている [e.g., 4]．これは，ω は小さいもを仮定していた．しかし，既に述べたように，氷衛星のの右辺の項もまた小さくなる場合があり，結果的にのもつ海の上には氷地殻がある．したがって，この効

液体については慣性項が無視できない場合があること

果を取り入れることが喫緊の課題であった．これにつを意味する．したがって，内部海を持つ氷衛星の潮汐

いては，論文 [6] の第 2 著者を筆頭にした研究で解決し応答を固体に着目した定式化（式（1））で計算する際，た [7]．アイデア自体は非常に簡単で，海上端に圧力（剛性率 0 の極限として扱われる）液体層があるにも関がかかった状態にして式（2）を解くのである．しかし，わらず慣性項を無視すると，運動を正しく記述できず，

移流項があるゆえに式変形は非常に煩雑である．これ

潮汐加熱率の見積もりに影響する可能性がある．

をなんとかして解析的に解くことで，内部海における2.3

解決策と得られた知見

そこで，式（1）の慣性項を残して式変形を進めていく．

発熱率が計算できるようになった．中でも興味深いのは，海での散逸に伴う潮汐変形の位相遅延であろう．
一般に潮汐変形の振幅は氷地殻の厚さに依存し，その図 1 は，慣性項を考慮した場合と無視した場合の潮汐下の海の厚さには（共鳴が起こる場合を除き）
あまり依

変形の大きさを比較している．ガニメデを想定し，先存しないと考えられてきたため，潮汐変形計測からは行研究 [8] で用いられたパラメータ設定で計算した．

海の厚さに関する情報はあまり得られないと思われて慣性項を考慮するとしないとで，潮汐変形の大きさがきた．しかし，海の厚さによっては潮汐変形の位相がずいぶんと違って計算されることが分かる．詳細は論大きくずれることが分かった [7]．精密な地形計測に

文 [6] に譲るが，薄い液体層の存在が鍵となって共鳴

よって潮汐変形の振幅と位相の両方が高精度で求まれが起きるが，それをきちんと捕らえられているかいな

ば，内部構造に強い制約を与えられるであろう．

いかの違いである．共鳴により大きく変形すると大きこれまでの研究で固体部分 [6] と液体部分 [7] の運動な加熱が予想される．そのため，この共鳴は衛星の進がそれぞれ定量化されたので，衛星内部の潮汐加熱率

化，特に内部海の固化を防ぐように寄与するだろう．

分布が正しく計算できるようになった．これらを用い

また，この研究によって，潮汐に対する氷地殻の影響

た衛星熱進化計算は今後の研究テーマである．

も定量化され，潮汐加熱率がより一層正確に計算でき■2018遊星人Vol27-4.indd288

2018/12/07

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固体惑星物理学における諸問題／鎌田

289ており，特にスカンジナビア半島の隆起は有名である．

3. 粘性緩和

これは，過去に巨大な氷床がスカンジナビア半島にあり，それが融けてなくなった今，アイソスタシーを回

3.1

現象のおさらいと重要性復するように隆起が続いているのだと考えられている．
そしてこの動きから地球深部の粘性率構造が推測され天体の固体部分の主要な構成物である岩石や氷（水ている [e.g., 13]．この方法をそのまま月惑星に流用すに限らず揮発性物質の固体も含めた，広義の意味でのれば，それらの内部の粘性率構造，そして温度構造が氷）は，地質学的時間スケールにおいて粘性流体とし制約できるように思われる．しかし，そうは簡単にいて振る舞う．そのため，大規模な地形は時間とともにかなかったのである．

徐々に滑らかになり，そして消え去っていく．この現何が問題なのであろうか．結論からいえば，考える

象が粘性緩和である [e.g., 9]．潮汐変形より遙かに長時間スケールが違いすぎるゆえに，仮定しなければい

い時間スケールにおける変形であるため，地形の粘性

けない条件が明らかに満たせないのである．先のスカ

緩和は日々の生活ではあまり実感できない現象である．

ンジナビア半島隆起の例でいえば，これは一万年程度

しかし，水飴をぐっと押して凹ませると，ゆっくりとである．他方，我々が考えているのは数十億年スケー

平らになっていくことは想像に難くない．それの時間ルの変形である．後者のような長い時間スケールを考

スケールも空間スケールも非常に大きなものだと考ええる場合，その間に天体の熱進化が進行してしまい，ていただきたい．

それによって内部の粘性率構造は大きく変化しうる．

粘性緩和は天体の熱史を探る上で重要な手掛かりとしかし，地球研究でよく使われてきた ｢ ノーマルモー

なる．粘性緩和の時間スケールは粘性率に依存し，そド法 ｣[13] と呼ばれる解析的な手法を用いる場合，粘して一般に岩石や氷の粘性率は温度に強く依存する性率は時間に依存しないと仮定する必要がある．その[e.g., 10,11]．高温ほど粘性率は低くなるので，地形のため，この手法は月惑星の地形緩和問題には適さない．

緩和は短時間で進行する．一方で，低温になると粘性

当然，数値的な手法を用いればこの問題は解決される率は急激に高くなるので，長い時間が経っても地形はが，なんでもかんでも計算機に任せるわけにもいかな

あまり緩和しない．先ほどの例でいえば，暖かい水飴

い．月惑星のデータは量・質ともに限られているので，に作った凹みはすぐ消えるが，冷たい水飴に作った凹

様々なパラメータに対する不確定性が大きく，またど

みはゆっくりとしか消えないのである．つまり，もしのパラメータに対して計算結果が大きく依存するかは

今でも起伏に富む地形が残っていれば，それは少なく計算してみないと分からないことも多い．そのため，ともその地形が出来た時から現在までその天体が冷たパラメータスタディをしなくてはいけないのが現状でかったことを意味する．逆に地形が緩和した痕跡が見ある．したがって，計算コストはできるだけ小さくなられた場合，その地形が出来てからある程度の間はそければならない．

の天体が熱かったことを意味する．そして，粘性緩和する ｢ 地形 ｣ というのは，表面地形だけに限らない．

3.3 解決策と得られた知見

地殻－マントル境界などの内部密度境界面に起伏があ

つまり，粘性率の時間発展を考慮でき，かつ計算コれば，それも時間とともに緩和する [e.g., 12]．重力場

ストが小さい数値計算手法が必要である．今，我々はなどを用いて現在の内部構造が推定できれば，過去の時間 1 次元 + 空間 3 次元の運動を計算しようとしてい天体内部の温度が推定できるのだ．

る．すべて数値的に解くと計算コストが大きすぎるの

3.2

課題

で，関数変換や関数展開といった解析的な処置を施し，必要な次数まで計算することで計算コストを抑えるこ

固体物質の持つ粘性により地形や重力場がゆっくりとを考える．先の ｢ ノーマルモード法 ｣[13] では，時間と変化する現象も，やはり地球を対象によく研究されに対してはラプラス変換，空間については球面調和展ている．今や GPS などを使って精密に地形を計測し開を用いており，ラプラス変換を用いるためには粘性続けることで，地球の変形はリアルタイムに観測され率を固定しなくてはいけない．そこで我々は，時間に■2018遊星人Vol27-4.indd289

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290

日本惑星科学会誌 Vol. 27, No. 4, 2018(a) 新手法

0.0(b) 旧手法 (Diff-IV)

0.0

−0.5

時間ステップ (yr)

−0.5

h' 2

h' 2

1000
−1.0

−1.5

−2.0

500

−1.0

100
10

−1.5

0

5

10

15

20

−2.0

1
0

5

時間 (kyr)

10

15

20

時間 (kyr)

図2： 表面地形の粘性緩和計算における精度と数値安定性の比較．縦軸は球面調和次数2の荷重変位ラブ数，横軸は時間である．
（a）の数値積分法を用いると，大きな時間ステップを採用しても高精度かつ安定に計算を進められる．計算条件は論文[14]を参照せよ．論文[14]のFigure 2と同じデータセットを利用した．

−45˚

0˚

45˚

90˚

135˚

表側

180˚

−135˚

−90˚

40

裏側

45˚

35

0˚

30

−45˚

25

−90˚

−45˚

0˚

45˚

90˚

135˚

180˚

−135˚

−90˚

表面温度勾配上限値 (K/km)

−90˚

20

図3： かぐや測地データと長期粘性緩和計算から求められた，各衝突盆地形成期における地温勾配の上限値．左側，右側がそれぞれ月の表側，裏側に対応する．表側のほうが裏側よりも大きな地温勾配上限値をもつ．論文[28]の図4を改変した．

対しては数値積分を行うが，空間については同様に球を制約した（図 3）[15]．月の表側と裏側とでこの値が面調和展開を用いることを考えた [14]．さらに，時間

大きく異なっていること，そして月地殻深部まで放射方向の数値積分にあたっては，大きな時間ステップを性元素濃度に大きな地域差がありそうだということが取ってもできるだけ高精度で数値不安定が起こりにく明らかとなった [15]．元素組成の不均質は月マグマオ

いような積分法を用いる．詳細は論文 [14] を参照されーシャンの固化過程を反映するため，月の熱進化はかたいが，図 2（a）の方法を使うとよいことが分かった．

なり早い段階から表裏で不均質であったことが推測さ

この計算手法を用いることで，様々なパラメータ条れる．一方で，粘性緩和が著しく進行した（｢ 崩れた ｣）件下での数十億年に渡る地形と重力場の変化を，現実

衝突盆地の解析からは，それらの形成期には地殻－マ的な時間のうちに計算することができるようになった．

ントル境界は非常に高温であったことが分かった [16]．

その結果と月周回衛星 ｢ かぐや ｣ などで得られた精密すなわち，崩れた衝突盆地の形成はマグマオーシャン

な月測地データを比較することで，粘性緩和していなの固化からごく短期間であることが示唆された．またい（｢ 新鮮な ｣）衝突盆地が形成した時期の月地温勾配

月面には新鮮な衝突盆地と崩れた衝突盆地の両方があ■2018遊星人Vol27-4.indd

290

2018/12/07

17:43:49

固体惑星物理学における諸問題／鎌田

291(a) 緩和度 = 44.3%

6(b) 緩和度 = 10.6%

3

断層パターン
放射状正断層
同心円状正断層

2

応力 (MPa)

応力 (MPa)

4

2

横ずれ断層
放射状逆断層

1

0

0

−2

−1

同心円状逆断層

応力方向
半径

0

300

600

900

1200

0

盆地中心からの距離 (km)

300

600

900

周

1200

盆地中心からの距離 (km)図4： 冥王星上の半径400 kmの盆地が粘性緩和した際に予想される断層パターン．鉛直実線は盆地の半径を示す．（a）粘性緩和が進行した場合，盆地の内部は同心円状の正断層が入る．
（b）粘性緩和が進行しない場合，盆地の内部は放射状の正断層が入る．
計算条件は論文[18]を参照せよ．論文[18]のFigure 5と同じデータセットを利用した．

ることから，内側太陽系における天体衝突史モデルの1017

うち，後期隕石重爆撃のピークがあるものの，比較的[16]．ちなみに，計算コストの小さな手法を用いたとはいえ，膨大な数の計算条件を短時間で網羅するため，
国立天文台水沢観測所やカリフォルニア大学サンタクルーズ校の計算機たちに活躍してもらった．
岩石に限らず氷もまた長い時間スケールでは粘性を示すため，粘性緩和は氷天体でも起こりうる．したがって，たとえば冥王星においても，月と同様に衝突盆地はそれができた時点での内部温度構造を反映して粘基準粘性率 (Pa s)

小さなピークモデルがもっともらしいことも分かった

109
108

1016

107
10

15

106

1014
1013
1012

0

10

性緩和が起きると考えられる．しかし冥王星では衝突速度が遅く衝突盆地の初期の地形推定が難しいため[e.g., 17]，地形データから粘性緩和の進行度（緩和度）を推定するのは困難に思われる．そこで筆者らは，画像から判断しやすい断層パターン（同心円状か放射状か）と緩和度の関係に着目した（図 4）[18]．粘性緩和に
よって地殻内の応力場が変化するため，断層の入り方

20

30

40

50

60

氷地殻の厚さ (km)図5： エンセラダスの氷地殻の粘性緩和時定数のパラメータ依存性．図中の数字は時定数で，単位は年．右下の濃い灰色の条件では温度構造の解がなく，また左右の陰の領域ではア
イソスタシーの補償が成り立たない．氷地殻が厚いほど，
基準粘性率（273 Kでの氷の粘性率）が低いほど粘性緩和の時定数が小さく，粘性緩和が早く進行することが分かる．
詳細な計算条件については論文[20]を参照せよ．論文[20]のFigure 4と同じデータセットを利用した．

は緩和度に依存するのである．この研究により，冥王星の内部熱進化を観測と結びつけることができるようとは，何らかのメカニズムによって地殻厚のばらつきになった．

が維持されていることを意味する．筆者らは，これがまた，土星の氷衛星エンセラダスについても，粘性

潮汐加熱による氷地殻の部分的な融解であると考え，緩和からその熱進化に関わる情報を得ることができた．

粘性緩和と融解の時間スケールの比較を行った（前者

粘性緩和によって氷地殻の厚さのばらつきは減少してを図 5 に示す）[20]．この研究により，エンセラダス内

いくと思われ，しかもその時間スケールは氷の粘性率部での潮汐加熱率を制約し，そこから惑星（ここではの低さゆえに短いと思われる．しかし，エンセラダス

土星）の中での潮汐散逸メカニズムに対する示唆を得の氷地殻は南半球で薄くなっており，とくに南極付近ることができた．

では厚さ数 km と見積もられている [e.g., 19]．このこ■2018遊星人Vol27-4.indd291

現在，同様の研究を様々な固体天体を対象に進める

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日本惑星科学会誌 Vol. 27, No. 4, 2018

傍ら，衛星の軌道進化に伴う（永年）潮汐バルジの粘性もし天体内の熱輸送が伝導だけであるなら，この 1 次緩和問題にも取り組んでいる．

元アプローチはうまくいく [2]．しかし，対流も起きる場合にはそう簡単ではない．対流によって物質が輸4. 熱進化

送されるときは循環が形成されるので，鉛直方向だけ
でなく水平方向にも物質と熱が移動する．したがって，

4.1

現象のおさらいと重要性

仮に鉛直 1 次元の温度構造が知りたくても，最低でも空間 2 次元，定量的に正確な結果を得たいのであれば天体の熱進化とは冷却（と発熱）過程のことであり，

空間 3 次元を数値的に解かなくてはいけないのである

惑星・衛星の内部進化において最も基本的な過程であ[22]．しかも残念（？）
なことに，｢ 計算の簡略化のため，る [e.g., 21]．｢ 冷えていく様 ｣ というと，なんだかとて対流は起こらないものとする ｣ と言えない場面が多々もつまらない現象のように聞こえるかもしれない．し出てくる．

かし，結局はこの過程によって，天体内部のダイナミ

惑星スケールの固相対流は，これもやはり地球を対クスであったり，表層での地質活動であったり，はた象に詳しく研究がなされており，中には一般に公開さ

また内部海や磁場の形成・維持であったり，あらゆるれている計算コードもある．しかし 3 次元計算ゆえの惑星 ｢ 活動 ｣ が左右される．したがって，熱史を知ら

計算コスト問題がある上，特に氷天体の長期進化に適ずしてその天体の歴史を紐解くことなど到底できない．

用する上で大きな問題があった．氷天体の進化におい天体の熱進化を知ることは，天体内部の熱がどのよて知りたいことの一つは，内部海の形成条件と存続時

うに表面へと輸送され，最終的に宇宙空間へと散逸し間であり，これはアストロバイオロジーにも直結するていくかを理解することである．固体部分の熱輸送は，

重要研究項目の一つである．一般に，氷天体の冷却に物質の移動を伴わない伝導と，物質の移動とともに熱伴って内部海は薄くなり，その上にある氷地殻が分厚も移動する対流（移流）が担っている [21]．3 節でも述くなっていくと考えられている．そして，その氷地殻

べたとおり，固体惑星を形作る岩石や氷の粘性率は温で固相対流が起きると考えられている．したがって，度に強く依存し，低温で高粘性率となる．このとき，

時々刻々と対流層の厚さを変化させた計算が必要とな物質の移動，つまり対流は起こりづらく，熱は伝導にるが，地球マントル用に開発された対流計算コードのよってのみ運ばれる．逆に高温で低粘性率の場合は固多くで対流層の厚さは固定されている．

体であっても対流が起き（固相対流と呼ばれる），対流

そこで，3 次元の数値対流計算を行うのではなく，が強くなればなるほど熱は効率的に輸送される．つまなんとかして 1 次元計算の枠組みの中で対流の効果をり，天体が形成して間もなく熱い時は熱は逃げやすく

取り入れることを検討してみる．1 次元計算であれば急速に冷えていくが，冷えてくるにつれて冷えにくく

計算コストは小さく，また層の厚さを変えるのも容易なっていくのである．

である．1 次元対流計算は実は数十年も前から行われ

4.2ており，初期地球 [e.g., 23] や火星 [24]，氷衛星 [25] な

課題

どへ応用されている．これらの研究では，恒星進化のさて，具体的に内部構造と初期温度構造を仮定し，研究で利用されてきた ｢ 混合距離理論 ｣ を固体天体に適切な境界条件の下で 45～46 億年間における熱進化も適用できるように発展させ，固相対流による熱輸送を計算することを考える．これまた前節の繰り返しに効率を見積もっている．しかし，実はこの方法，3 次

なってしまうが，多数のパラメータを幅広く振ってみ

元数値対流計算との比較による定量的な精度検証は行る必要があるので，計算コストは極力抑えなければな

われていなかった．その理由は，比較相手の 3 次元計

らない．もし計算を通して理解したいことが天体の全算も発展途上であったことが大きいと思われる．幸い，

球的な進化である場合には，天体の鉛直（動径）方向のパラメータを系統的に変えた 3 次元数値対流計算の結み 1 次元の温度構造に着目すれば事足りるときも多々果が近年報告されており [26]，精度検証が行える状況ある．そのような場合，空間 3 次元モデルを使わなくになっていた．

てよいため，計算コストを抑えられるように思われる．

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そこで，混合距離理論を用いた 1 次元数値対流計算

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固体惑星物理学における諸問題／鎌田

293

天体中心からの距離，（dT/dr）
s は断熱温度勾配である．
ここで注目したいのが，この理論の名前にもなってい0.0

る混合距離 l である．先行研究では，これを ｢ 近い方規格化した深さ

0.2
0.4
0.6
0.8

の境界までの距離 ｣ としていた [e.g., 23]．つまり，考える層の上端と下端では l = 0，層のちょうど中間で

新1次元法
旧1次元法
3次元法

は l は層厚の半分，そしてそれらの間で l は線形に変化するとされていた．したがって l は対流層の上側と下側で対称になっている．しかし，対流層の曲率や粘下半径/上半径 = 0.7
表面レイリー数 = 10

性率の温度依存性などを考慮に入れた場合，温度構造6

粘性率コントラスト = 10

1.0
0.0

0.2

は上下非対称であり（図 6 参照），したがって混合する

0.4

0.6

0.8

1.0

規格化した温度

距離は上下非対称になることが容易に想像される．し
たがって，先行研究における l の決め方はよろしくな

図6： 定常状態における温度構造の比較．旧1次元法と比較し，論文[27]の方法（新手法）は3次元計算の結果[26]をよく再現する．詳細な計算条件については論文[27]を参照せよ．論文[27]のFigure 7と同じデータセットを利用した．

いのでは，ということになる．別の言い方をすると，混合距離理論の採用をやめなくても，混合距離の決めた方を最適化してあげれば 1 次元法でも使い物になるだろうと予想できる．

コードを作成し，様々なパラメータ設定における温度

では，混合距離 l をどのように決めると 3 次元計算

構造を算出し，それを 3 次元計算の結果と比較したの結果を精度よく再現できるのであろうか．これは[27]．その一例を図 6 に示す．この計算条件において，様々な方法があり得るだろう．詳しくは論文 [27] に譲

3 次元計算では上部の熱境界層は厚く対流層の 3 割程るが，筆者は ｢ 膨大な数のパラメータスタディを行い，度，下部のそれは逆に薄く 1 割未満である．そして，

3 次元の結果をできるだけ再現するような l を経験的境界層の間はほぼ等温になっている．一方の 1 次元計に見つける ｣ という力業に出た．先ほどの図 6 に，こ算では，境界層は上下ともに層全体の 2 割程度であり，の改修法を用いた結果も合わせて示す．上下境界層の境界層間でも温度は有意に変化している．残念ながら，厚さや対流層の温度など，ほぼ 3 次元計算の結果を再少なくともこの計算条件においては，1 次元法による現することが分かる．これに対流層の厚さの変化など

対流の効果の見積もりは誤差が大きいことが分かる．

を組み込むことで，内部海を持つ氷天体の 1 次元熱進化計算コードが完成した．

4.3 解決策と得られた知見

このコードを用いて，土星系氷衛星エンセラダスと

1 次元法と 3 次元法との間での誤差が大きい場合がディオネの内部熱構造の制約を試みた [27]．潮汐加熱あることが判明したので，前者を改善することを考え

率，氷の粘性率，氷地殻や内部海に含まれるアンモニ

た．前者では対流による熱輸送がどのように表現されアの濃度，初期（45 億年前）の温度を振ったパラメー

るか，式を見てみよう．混合距離理論では，流体要素

タスタディを行った結果，エンセラダスの現在（最終にはたらく浮力と粘性抵抗（ストークス沈降）のバラン状態）の内部海厚さ（～40 km）を再現する潮汐加熱率

スで決まる速度でもって ｢ 混合距離 ｣ だけ対流するとは～30 GW であり，他のパラメータにほとんど依存

考える [e.g., 23]．このとき，上向きを正としたときのしないことが分かった（図 7（a））．この潮汐加熱率は対流による熱流量 Fconv は以下のように表される：

エンセラダス－ディオネ軌道共鳴系に対する平衡潮汐( ) )  （3）>( ) )

加熱率の大半であることから，ディオネに対する潮汐ここで，αv は熱膨張率，Cp は比熱，ρ は密度，g は重などが分かった（図 7（b））．現在，これらを満たすよ

力加速度，l は混合距離，η は粘性率，T は温度，r はうな土星系の起源と進化に関する研究を進めるととも

2

⎧ v
⎪ 18
conv =⎨⎪0⎩■2018遊星人Vol27-4.indd

293

4( −( ) ) ((2≤

加熱率はさほど大きくないこと（<10 GW），それゆえ(3)

ディオネが内部海を持つにはかなり極端な氷組成（アンモニアが豊富にあるなど）でなければならないこと

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日本惑星科学会誌 Vol. 27, No. 4, 2018(a) エンセラダス
基準粘性率 = 10 Pa s
初期温度 = 150 K

50
40
30
20
10
0

0

10

20

30

(b) ディオネ

120

14

現在の内部海の厚さ (km)現在の内部海の厚さ (km)6040

基準粘性率 = 1014 Pa s
初期温度 = 150 K

アンモニア濃度

15

90

(wt%)
15

10

60

10

5

5

30

50

0

0
0

0

潮汐加熱率 (GW)

10

20

30

40

50

潮汐加熱率 (GW)

図7： 潮汐加熱率と現在の内部海厚さの関係．（a）はエンセラダス，（b）はディオネの結果を示す．詳細な計算条件は論文[27]を参照せよ．論文[27]のFigure 9（b）とFigure 10（b）と同じデータセットを利用した．

に，他の内部海をもつ氷天体に本計算手法を適用した

大きく変化している場合もある．｢ 粘性緩和 ｣ では，研究を進めている．

球面調和展開を用いているがゆえの様々な制約がある．
｢ 熱進化 ｣ では，対流層内における発熱が大きい場合

5. まとめと今後の展望

における妥当性が不明であり，筆者の得た経験則は適用できない可能性が高い．こういった既に論文に明記

惑星探査による詳細な観測データが得られるにつれ，されている課題に限らず，今後も新たな課題が発見さ太陽系固体天体の物理学は天文学的側面よりも地球科

れていくであろう．そして，それに対する解決策を探学的側面が一層強くなってきている．地球物理学にお求していくこともまた，世界的に続いていくであろう．

ける古典的な問題の観点で探査データを見ることで，古典的な地球物理学的問題はこの 3 つに限らず数多その天体の現在の内部構造とその進化過程に対する理とあり，問題毎に得られる知見は異なるであろう．
「地解が，少しずつではあるが着実に進行している．筆者

球科学における諸問題 ｣[2] などの地球の教科書を眺めはこれまで，｢ 潮汐 ｣｢ 粘性緩和 ｣｢ 熱進化 ｣ という問題てみると，取り組むべき ｢ 問題 ｣ が一体どれなのか，に着目し，地球の月や冥王星，巨大惑星の氷衛星を対といった研究上のヒントが隠されているかもしれない．

象とした研究を行ってきた．いずれも古典的な問題ゆ地球物理学における古典的な問題は，今後も固体惑星

えに地球を対象とした研究の歴史は長いが，その過程物理学における最先端の研究課題を提供し続けてくれで培われた解法をそのまま適用できる場合は限られてるであろう．

いた．直面する課題に対して独自計算法の開発などの方法で切り込み，各天体の内部の物理学的理解を進め

謝 辞ることはもちろん，そこから化学的な制約や太陽系衝
突史に関する示唆なども得てきた．

本稿は日本惑星科学会 2017 年度最優秀研究者賞受筆者が取り上げた 3 つの現象はどれも普遍的なので， 賞記念論文として執筆させていただきました．推薦し程度の差はあれ，多くの固体惑星・衛星の内部構造とていただいた倉本圭教授と審査員の皆様に感謝いたし

その進化を探る鍵となるであろう．地球研究の解法がます．また，私の博士課程指導教員であった杉田精司

そのまま適用できない場合も多いだろうが，だからこ教授，副指導教員であった故阿部豊准教授，ポスドク

そ研究する価値があるといえる．筆者が提唱する解決

時代から今に至るまで共同研究をさせていただいてい策とて万能ではない．たとえば ｢ 潮汐 ｣ では，氷地殻

る Prof. Francis Nimmo，そして国内外の多数の共同の厚さがほぼ均一であることを仮定するが，実際には研究者の皆様に御礼申し上げます．木村淳助教による■2018遊星人Vol27-4.indd294

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固体惑星物理学における諸問題／鎌田

丁寧な査読に感謝いたします．本研究は JSPS 科研費

295

Press)

JP16K17787，JP17H06457 の助成を受けたものです．

[23] Abe, Y., 1995, in The Earth's Central Part: Its Structure

参考文献[24] Senshu, H. et al., 2002, J. Geophys. Res. Planets 107,

[1] Murray, C. D. and Dermott, S. F., 1999, Solar System[25] Kimura, J. et al., 2009, Icarus 202, 216.

and Dynamics, 215.
5118.
Dynamics (Cambridge: Cambridge Univ. Press)[2] 竹内均, 1977, 地球科学における諸問題 (東京: 裳華
房)[26] Yao, C. et al., 2014, J. Geophys. Res. Planets 119,
1895.
[27] Kamata, S., 2018, J. Geophys. Res. Planets 123, 93.

[3] Kamata, S. et al., 2016, J. Geophys. Res. Planets 121,[28] 鎌田俊一, 2013, 遊・星・人 22, 200.

1362.
[4] Tyler, R. H., 2008, Nature 456, 770.
[5] Munk, W. H. and MacDonald, G. J. F., 1960, The
Rotation of the Earth : A Geophysical Discussion(Cambridge: Cambridge Univ. Press)[6] Kamata, S. et al., 2015, J. Geophys. Res. Planets 120,
1528.
[7] Matsuyama, I. et al., 2018, Icarus 312, 208.
[8] Moore, W. B. and Schubert, G., 2003, Icarus 166, 223.
[9] Solomon, S. C. et al., 1982, J. Geophys. Res. Solid
Earth 87, 3975.
[10] Karato, S., 2007, Deformation of Earth Materials:
Introduction to the Rheology of the Solid Earth(Cambridge: Cambridge Univ. Press)[11] Durham,W. B. et al., 2010, Space Sci. Rev. 153, 273.
[12] McKenzie, D. et al., 2000, J. Geophys. Res. Solid
Earth 105, 11029.
[13] Peltier, W. R., 1974, Rev. Geophys. 12, 649.
[14] Kamata, S. et al., 2012, J. Geophys. Res. Planets 117,
E02004.
[15] Kamata, S. et al., 2013, J. Geophys. Res. Planets 118,398.
[16] Kamata, S. et al., 2015, Icarus 250, 492.
[17] Bray, V. and Schenk, P., 2015, Icarus 246, 156.
[18] Kamata, S. and Nimmo, F., 2014, J. Geophys. Res.
Planets 119, 2272.
[19] Thomas, P. et al., 2016, Icarus 264, 37.
[20] Kamata, S. and Nimmo, F., 2017, Icarus 284, 387.
[21] Turcotte, D. L. and Schubert, G., 2002, Geodynamics
2nd ed. (Cambridge: Cambridge Univ. Press)[22] Schubert, G. et al., 2001, Mantle Convection in the
Earth and Planets (Cambridge : Cambridge Univ.

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