算数の問題解決学習における支援に関する研究－支援の場と支援内容に焦点を当てた支援設計の枠組みの構築－
鳥取大学地域学部地域教育学科

山中法子

指導教員

溝口達也

本論文の章構成

1. 研究の目的と方法

1．研究の目的と方法

本研究の目的は，問題解決学習における支援の場と

1.1 研究の動機

支援内容に焦点を当てた支援設計の枠組みを構築す

1.2 研究の目的ることである．

1.3 研究の方法

問題解決学習における支援設計の枠組みは，事例「あ2．
「あまりのあるわり算」の導入の授業設計

まりのあるわり算」の導入を基に構築を図る．そのた

2.1「あまりのあるわり算」の導入の現状のよさとめ，まず，事例の授業設計を行う．次に，授業形式の課題モデル化を行い，それにより，事例における期待され2.2「あまりのあるわり算」の導入における要件る児童の算数的活動の高まり方の特徴を明らかにする．

2.3「あまりのあるわり算」の導入の問題開発

その特徴を基に，支援の場とその場における支援内容

3．
「あまりのあるわり算」の導入の分析を導出する．さらに，それらの決定の視点と妥当性に

3.1 授業形式のモデル化ついて明らかにすることで問題解決学習における支援3.2 授業形式のモデルの分析

設計の枠組みを構築する．その後,構築した支援設計の4．問題解決学習における支援設計の枠組みの構築

枠組みの他教材における適用事例について検討する．

4.1 支援設計の枠組みの検討 A

その検討を通して，いかに支援設計の枠組みが機能す

4.2 支援設計の枠組みの検討 B

るか，その有効性を示す．

4.3 支援設計の枠組みの検討 C

2.「あまりのあるわり算」の導入の授業設計

4.4 支援設計の枠組みのまとめ

5．問題解決学習における支援設計の枠組みの適用 2.1「あまりのあるわり算」の導入における要件事例「あまりのあるわり算」の導入の現状のよさと課題

5.1 支援設計の枠組みの適用事例検証の意義と方法

より，本事例の授業設計の際に大切にすべき要件 4

5.2 適用事例「方程式」の授業設計点が明らかになった．それが以下の 4 点である．

5.3 適用事例「方程式」の授業分析(アプリオリ分析) (a) 包含除での導入
5.4 適用事例「方程式」の支援設計(b) 「あまり」そのものが問題の解決につながるよう

5.5 適用事例から見る支援設計の枠組みの有効性と難点な問題の設定(c) 児童自らが新たな課題に直面し，問題解決を形式

6.研究の結論と今後の課題化するための過程が考えられるような問題及び問6.1 研究から得られた結論

題提示場面の設定

6.2 今後の課題引用・参考文献(d)「除法」で演算決定することによさがあるという要素を含んだ問題提示場面の設定－山中 1－

2.2「あまりのあるわり算」の導入の問題開発「思考」の保存であるため，教師の介入なしに行われ4 つの要件を踏まえて，「あまりのあるわり算」の導入（第 1 時）の問題を提案する．

得るものである．しかし，条件の変容や付加はいかにして行われるのか．児童が試行錯誤を行う中で，児童

第 1 時のねらいは，「わり切れないわり算もわり切

自らの力で条件の変容や付加を促し活動を変容させれるわり算と同様に乗法を用いて問題を解決しようることもあるだろう．一方で，児童自らの力だけではとする中で，あまりの処理の仕方や表現方法を考える． 条件の変容や付加を促すことができない可能性もあ
さらに，除法で演算決定することのよさを理解するこると考えられる．その際に，教師の支援が必要となるとができる．
」である．と考えられる．つまり，支援は条件の変容や付加を促す場に必要である．このことより，支援の場の決定の問題提示場面

視点は条件の変容や付加を促す場であると主張する

ホウセンカの種が 16 個あります．1 人に 3 個ことができる．

ずつ配ります．みんなに同じ数ずつ分けられ以上より，事例における支援の場は支援 1(条件γ→ますか．

条件γ′)，支援 2(条件δの付加)，支援 3(条件δ→条
児童：みんなに同じ数ずつ分けられない．

件δ′)，支援 4(条件δ′→条件δ″)の 4 ヶ所である

児童：5 人には分けられる．と主張できる．

16 個にあと何個加えれば，何人に同じ数ずつ

4.2 支援内容の決定の視点と妥当性分けられますか．

4.1 において事例における支援の場 4 ヶ所が明らか
教師：加える数の求め方をより分かりやすくになり，それぞれの場における支援内容を以下のよう式に表わしましょう．に設定した．
支援 1：数えるから計算へ本時の期待される児童の算数的活動は次ページの支援 2：‴支援 1 により条件δは付加されるため，授業形式のモデル(図 1)の横軸の通りである．

新たな支援は必要なし
支援 3：「あまり」をいかに式に表すことができるか

3.「あまりのあるわり算」の導入の分析

支援 4：δ′の逆演算である除法での演算決定へ

事例における支援の特徴を明らかにするため，授業以上で示した支援内容の決定の視点とその妥当性に形式のモデル化を図る．授業形式のモデル化とは，換ついて明らかにすることが支援設計の枠組み構築とな言すれば，本授業における期待される児童の算数的活る．支援の場は条件の変容や付加を促す場であること動の構造をモデル化することである．そのため，各活から，条件の変容を促す支援と条件の付加を促す支援

動の「児童の問題解決中の思考」に着目し，それを各それぞれの決定の視点とその妥当性を明らかにするこ

活動の「条件」として挙げる．授業形式のモデルは次とが必要となる．その際に，活動の「価値」に着目すページの図１の通りである．

ることが有効ではないかと検討を重ねるうちに分かっ

授業形式のモデルより，本事例は条件の保存，条件た．まず，活動の「価値」に着目して条件の変容や条の変容，条件の付加により各活動が構成されているこ

件の付加の相違を明らかにし，それを基に支援内容のとが明らかになった．

決定の視点や妥当性を見出すことが可能になるのではないかと考えた．そもそも，条件とは「児童の問題解

4. 問題解決学習における支援設計の枠組みの構築決中の思考」を抽出したものであり，活動の構成要素4.1 支援の場の決定の視点と妥当性である．このことから，活動の価値を明らかにするこ

条件の保存に関しては，児童がすでに獲得しているとは条件の価値について明らかにすることであると考－山中 2－

活動 A-1

活動 A-2

活動 B

活動 C

図や絵を用いて具体的に考えてい同数累減，乗法を用いて考え式に乗法と加法を用いてあまりを式に乗法と加法の形式から除法の形く。

表わし，除法で計算する。

表わす。

式で表しなおす。

○○○

○○○

○○○

○○○

○○○

○●●

3×□＝16 なし

16－15＝1

3×□＝15 あり

3－1＝2

3×□＝1516÷3＝515＋1＝3×□＋1

3－1＝2（□＝15÷3）

3×6＝18□＝5

18－16＝2

α：包含除で考える

αβ：残ったものにいくつ加えれβあまり 1ば 3 個になるか考える
γ：数を 1 つ 1 つ数え上げる

γ′：γの考えを式に表わし求（図や絵を用いて）γ′

める
δ：九九を用いて商のみを式に

δ′：加える数を分かりやすδ″：δ′の逆演算である除くするために，「商」だけ法で立式し，あまりをでなく「あまり」も 1 つ求める表すの式に表す

図1「あまりのあるわり算」の導入の授業形式のモデル化－山中 3－

えた．そのため，条件の価値を以下に明らかにし，支通りである．

援内容の決定の視点とその妥当性を検討した．

条件δの付加条件δの付加により，式の表し方が特定されるとい

4.2.1 条件の変容を促す支援内容の決定の視点と妥当性

う価値がある．つまり，条件δが付加される前の活動
では，問題場面をどのような式で表しても式で表され事例における条件の変容は，支援 1(条件γ→条件ていれさえすればよしとされていた．しかし，条件δγ′)，支援 3(条件δ→条件δ′)，支援 4(条件δ′の付加により，より問題場面に即した表し方が求めら→条件δ″)の 3 ヶ所である．以下に各条件の「価値」 れるようになる．このように，条件δの付加は今までを明らかにしていく．の条件には見られない，新たな観点の価値が付加されⅰ) 条件γ→条件γ′の変容ている．

条件γの価値は，「ホウセンカの種」というものの以上より，条件の付加は，前の条件の中に価値が内属性と結びつけて数を捉えていることである．条件

包されていないという特徴を挙げることができる．しγ′の価値は，「ホウセンカの種」というものの属性かし，条件の付加は，教材の本質を見抜き，それと比を捨象し数のみで捉えていることである．
このように較して欠けている価値を加えることで活動の高まりを属性を捨象して数を捉えるようになることに価値が促すことができると考えられる．そのため，条件の付あり，条件γにはない価値である．

加を促す支援内容の決定の視点は，教材の本質を見抜ⅱ) 条件δ→条件δ′→条件δ″の変容

き，それと比較して欠けている価値である．

条件δの価値は，児童がすでに学習した内容の中で最も適切な方法で表していることである．
条件δ′の価値は，両辺に同じ数を加えても相等関係は成立するという決まりを用い，「商」だけでなく「あまり」も5. 問題解決学習における支援設計の枠組みの適用事例
5.1 支援設計の枠組みの適用事例検証の意義と方1 つの式に表すことにより，問題場面通りに正しく式法に表すことができていることである．
条件δ″の価値構築した支援設計の枠組みがいかに機能するのか，は左辺の答えを右辺に表すことにより，問題場面を簡その有効性を示すためには，他単元における適用事例潔・明瞭・的確に表し，かつ計算を形式的に行う事がを検証することが必要である．そのため，適用事例とできることである．そのため，条件δ′の式の表し方して，中学校 1 年生の「方程式」を用いる．まず，「方「15+1=3×□+1」よりも，条件δ″の「16÷3=5…1」

程式」の授業設計，授業分析(アプリオリ分析)を行う．の方がより価値ある表現方法であると主張できる．

授業分析とは，授業形式のモデル化を行い，期待され以上より，条件の変容は変容後の条件の価値が変容る生徒の数学的活動の高まり方を特徴づけることを前の条件の価値に内包されているという特徴が明ら意味している．その後，構築した支援設計の枠組みをかになった．このことより，条件の変容を促す支援内用いて支援を設計する．

容の決定の視点は，変容前後の条件の価値に着目し，変容後にしか含まれていない価値であると主張できる．

5.2 適用事例「方程式」の授業設計
本時のねらいは「立式そのものよりも方程式や丌等式の解や式の意味に着目し，吟味することができる．

4.2.2 条件の付加を促す支援内容の決定の視点と妥当性

また，問題の全体的構造を捉えることができる．
」である．問題と問題提示場面は次の通りである．

事例における条件の付加は，支援 2（条件δの付加）の 1 ヶ所のみである．
条件δを付加する価値は以下の－山中 4－

問題提示場面

支援 3(条件β→条件β′)，支援 4(条件β′→条件問題β″)の 4 ヶ所である．

ある店で入会金 500 円を払って会員になると，5.4.2 支援内容の決定

商品を 7％引きで買える．この店で商品を何円

支援設計の枠組みより，条件の変容を促す支援内容

購入すると，会員になったほうが得か．
‴問題に取りかかることのできない生徒には，の決定の視点は変容前後の条件の価値に着目し，変容「1 つ 1000 円の品物を買ったらどうなるか」と後にしか含まれていない価値である．これをもとに，具体的な数字をあてはめながら考えるよう促す．

各支援の場における支援内容を検討する．
ⅰ）条件α→条件α′(支援 1)の支援内容期待される生徒の数学的活動は以下のように設定した．‴活動例は次ページの図 2 参照

条件αは，会員の支払金額を計算し，その計算結果と会員外の支払額の比較から規則性を導き出している．

活動 A-1：（1 つ 1000 円の商品を買うと仮定し，）表を用いて調べていく

一方，条件α′では，会員になった際の割引額に着目し，その割引額を比例関係という規則性を用いて計算

活動 A-2：（1 つ 1000 円の商品を買うと仮定し，）比例関係を用いて考えるしている．換言すれば，規則性を見出すのが条件αの価値であるのに対し，条件α′は規則性を用いて答え

活動 B：線分図をかき，それを基に方程式（丌等式）で立式し，方程式の解を求めるを求めることに価値があると主張できる．以上のことから，条件αから条件α′へと変容を促す支援内容は，活動 C：方程式で得られた解を吟味し，考察する「割引額に着目し，規則性を用いて求める」と設定した．

5.3 適用事例「方程式」の授業分析ⅱ）条件α′→条件α″(支援 2)の支援内容授業形式のモデル化(図 2 参照)を行った上で，各活条件α′には，既述したように会員の割引額に着目動の比較を行った．すると，活動 A-1 の条件αは活動し，比例関係という規則性を用いておおよその答えをA-2 では条件α′へと変容し，さらに活動 B では条件求めるという価値がある．一方，条件α″は，会員とα″へと変容していることが分かった．また，条件会員外の支払い方の関係を線分図に表すことによりα″は活動Bから活動Cにかけて保存されていること問題の全体的構造を捉える事ができ，規則性なしで答も明らかになった．条件βは活動 A-1 から活動 A-2えを求めることができるという価値がある．
以上のこにかけて保存されるものの，活動 B では条件β′へととより，条件α′から条件α″への変容を促す支援内変容する．
さらに活動 C では条件β″へと変容してい容は，「問題の全体的な関係を線分図に表す」と設定る．以上のことから，適用事例における各活動は条件できる．の保存，条件の変容により構成されていることが明らⅲ）条件β→条件β′(支援 3)の支援内容かになった．また，各活動の変容には条件の変容が作用している．

条件βは逐次近似の考え方をもとに徐々に答えの範囲を狭め，おおよその答えを求めることに価値がある．一方，条件β′は，条件α″をもとに方程式で立5.4 適用事例「方程式」の支援設計式することで，正確な解を求められることに価値があ5.4.1 支援の場の決定る．これより，条件βから条件β′へと変容を促す支

支援の場は条件の変容や付加を促す場である．
適用

援内容は「いかに正確な解を求めるか」であると主張

事例では，条件の付加は見られないため，支援の場はできる．

条件の変容を促す場のみとなる．その場とは，支援ⅳ）条件β′→条件β″(支援 4)の支援内容

1(条件α→条件α′)，支援 2(条件α′→条件α″)，条件β′は正確な解を求めるという価値がある．
一－山中 5－

活動 A-1

活動 A-2(1 つ 1000 円の商品を買うと仮定し)表を用いて調べていく

活動 B

活動 C

(1 つ 1000 円の商品を買うと仮線分図を書き、それを基に方程方程式で得られた解を吟味し、定し)比例関係を用いて考える式(丌等式)で立式し解を求める

考察する

x
個数

1…

7

8

1000 円の 7%は 1000×0.07＝70 より，会員に会員外

1000…

7000

8000

なって 1000 円のものを買うと会員にならな

会員

1430

…

7010

7940

会員と会員外では，商品を買う個数が 1
つ 増 え る と 70 円 ず つ 差 が な く な る ．

(70×7)

8000 円で 560 円(70×8)

0.93x

500

x＜0.93x＋500

500x＝7142.85

入会金は 500 円であるので，7000

うだ円～8000 円の間に答えがありそ

xⅲ)

うだ

500x＝7142.85
ⅲ ) x＞0.93x+500

0.07x＝500

7000 円～8000 円の間に答えがありそ

x＝0.93x＋500

0.07x＝500

0.93x

x＝0.93x＋500ⅰ ) x＜0.93x＋500ⅱ)

xⅱ)

い場合に比べて 70 円安くなる．

7000 円で 490 円ⅰ)

0.93x
x＞0.93x＋500x＞7142.85
7142.85 円以上購入した際に会員の方が得となる

7142.85 円購入した際に会員と会員外の支払金額は等しい

α′：会員になった際に割
α：会員と会員外の支払い
金 額 を 計 算 し ， 表 に ま と め ， 引になる額を比例関係を用いて求める
それらの規則性を見つける

α″：会員と会員外の支払い方の関係を線分図に表す

β： 具体的な購入金額をあてはめて考え，おおよそのβ′： 方程式で立式し，正確な解を求める

α″β″：方程式で得られた解を丌等式の考え方へと適用する

答えを求める
図2

適用事例「方程式」の授業形式のモデル－山中 6－

方，条件β″には，問題に即したより正確な解を求め6.2 今後の課題るという価値がある．
このことから条件β′から条件本研究で考察ができなかった課題は 3 点挙げられる．

β″へと変容を促す支援内容は「問題に即したより正1 点目は，条件の付加の支援内容決定にあたり，そ確な解を求める」である．

れがいかに機能するか適用事例で検証することができ以上のように，構築した支援設計の枠組みを用いて， なかった点である．これは，適用事例において条件の支援の場と支援内容を決定することができた．

付加が見られなかったため，検証が丌可能であったからである．

6. 研究の結論と今後の課題

2 点目は，用いている語の吟味がなされていないこ

6.1 研究から得られた結論とである．具体的には，授業形式のモデル化にあたり，事例を基に，支援の場と支援内容の決定の視点とそ条件の変容や条件の付加を特定するための着目すべきの妥当性を明らかにすることで支援設計の枠組みを視点が吟味されていないことである．そのため，教師構築した．
構築した枠組みを用いて支援設計したことによって条件の変容や条件の付加の特定の基準が異なにより，以下に挙げる枠組みの有効性，また用いる際るという問題点が挙げられる．授業形式のモデルを基の困難な点が明らかになった．に支援設計の枠組みを適用するため，モデル化を行う支援設計の枠組みを用いる有効性は 3 点ある．1 点

ための視点は統一する必要がある．また，理論的な根目は，支援の場と支援内容を決定する際に着目すべき拠に基づく支援設計の枠組みの構築がなされたと主張視点が焦点化されることである．2 点目は，着目すべしているが，どのようであれば理論的根拠に基づいてき視点が理論的根拠に基づいたものであるため，自ずいるといえるのか，その議論がなされていない．と理論的根拠に基づく支援設計が可能になることで3 点目は，構築した支援設計の枠組みを用いることある．3 点目は，支援内容を決定する際に，教師が設で単元を超えた一貫性のある支援が可能となるのか，定した活動の価値づけの吟味が必要となることから，また，それにより児童の問題解決能力にどのような影支援設計を行う過程において設定した活動の妥当性響を不えるのか検証できなかった点である．

について振り返り，必要であれば修正を加えることができることである．

引用・参考文献

一方，構築した支援設計の枠組みを用いる過程において困難な点も明らかになった．それは，授業形式のモデル化の際の条件の特定が困難であるということである．この理由の 1 つとして，条件の特定は教師の教材理解に強く依存するものであることが挙げられる．そのため，教材理解が浅い場合，活動の価値づけが困難であり，その結果条件の特定が困難になると考えられる．しかし，教師間の教材理解の差異は当たり

伊藤説朗(2008)．算数科の未来型学力＝思考力・表現力を育てる授業．明治図書岡本和夫 他 38 名(2009)．未来へひろがる数学 1．新興出版社啓林館
岡本和夫 他 4 名(2009)．未来へひろがる数学 1 平
成 21 年度用補助教材．新興出版社啓林館
溝口達也(2007)．算数・数学学習指導論．鳥取大学数学教育学研究室前のことであり，一概にそれが悪いとも主張できない． 文部科学省(2008)．小学校学習指導要領．東京書籍．
本研究の目指すところは，決して支援設計のマニュア

p．48

ルを作ることではない．
支援設計の枠組みを用いることにより，教師の教材解釈の差異に関わらず，活動の価値を吟味した支援設計が可能となることに枠組みを構築した意義があると考える．

－山中 7－