JSCES 不確かさのモデリング・シミュレーション法に関する研究会（第1回会合）

マルチスケールシミュレーションとは応力など物理量が観察可能な顕微鏡つき万能バーチャル試験機

マルチスケール法解説（１）2015年7月15日
慶應義塾大学 理工学部 機械工学科
高 野 直 樹naoki@mech.keio.ac.jp
高野ほか, 機論(1997)

マルチスケールシミュレーションとは均質化法によるシミュレーション手順

FRP

Unit cell modeling

均質化Characteristic
displacements

Microscopic analysis

Macrostructure modeling

均質化

マクロ

ミクロ
局所化

(Pa) (MPa)4.00×10840

Homogenizedproperties

35

局所化

Localization-4.00×108-40

Microscopic
stress10

多孔質セラミックス

MacroscopicstrainMacroscopic analysis

(MPa)
70

240N

均質化法の理論への導入

均質化法の理論への導入
Macroscale: xYy2

Microscale: yW
Unit cell

Scale ratio 
Heterogeneous media

y1x2
Periodic

Unit cellx1

Scale ratio 

Heterogeneous media

Replacement of the heterogeneous material by an“equivalent” homogeneous one. (I.Babuska, 1976)
The same “unit cell” exists everywhere in the equivalenthomogeneous model
Periodicity of unit cell

Periodic

Equivalent homogeneous media

yi xi is a very small positive number.
ex. 1 mm = (0.001 mm) / (0.001)

 1 
xi xi  yi1

均質化法の理論への導入

均質化法の理論への導入

Two-scale asymptotic expansion u  u  x   u  x, y 
01Unit cell

Homogenization withperiodicity condition＝

Scale-free problem＋smaller 1 x
lim  f  dW  f  y dY dWW Y Y
 0 W 

Averaging principle:

均質化法の理論への導入

均質化法の理論への導入

W E



ijkl



均質化法に基づく数理モデルで定義される物理量

uk uidW   ti ui dxl y j

 pkl ui

E

Microscopic equation:

ijpq

Y

yq y j

Homogenized elastic tensor:

YuidYy j

W Eu uidW   ti ui dxl x jHEijkl
 1 dYEijkl  Eijpq
Y Y 
yq 0kHijkl

Macroscopic equation:dY   Eijkl  uyq  xl0 pkl  uk01
H u k   Eijkl  Eijpq
dY  Eijkl
Y Y 
yq  xl
xl

Microscopic stress:

 ij   Eijkl  Eijpq

Macroscopic stress:

 ijH   ij

0k

マルチスケールシミュレーション法
均質化解析

MmicroDH

マクロ解析

MmacroQmacro

ミクロ解析

QmacroQmicroxu  u0  x   u1  x, y  

MmicroMmacro

ミクロ弾性係数： D

マクロスケールσ  Dε周期関数＋特性変位： χx  x1 , x2 , x3 

マクロ変位：u x 

マクロひずみ： E 

マクロ応力： Σ Hσマクロ構成方程式： σマクロ弾性係数： Dε DH εマクロスケールとミクロスケールの関係：

yx 

重合メッシュ法DH

マクロ－ミクロ連成解析

MmacroMmicroMmicroεミクロひずみ：

Deep-drawing
Process simulation

D H  D H  X , D

均質化法

 
σ

ミクロ応力：均質化法の事例：FRPのマルチスケール解析

DHX ： 幾何情報
D ： 素材の特性y   y1 , y2 , y3 

ミクロ変位： u y

ミクロ構成方程式：klp

 pkl : characteristic displacement
klp

ミクロスケール

 K
 GL T
KG

QmacroQmicro u  Fp     K L  uL   0 KGLGu  uG  uL

ミクロモデル

Qmicro 物理量（ミクロ）マクロモデル

Qmacro

物理量（マクロ）DH

等価なマクロ特性

After deep-drawing
N.Takano, et al., International Journal of Solids and Structures, 37 (2000).
N.Takano, et al., International Journal of Solids and Structures, 38 (2001).

2均質化法の事例：FRPのマルチスケール解析

均質化法の事例：多孔質アルミナ
針状気孔を有する多孔質アルミナのイメージベースモデリング
Porosity: 11.2%

Porosity: 28.9%yz

N.Takano, et al., International Journal of Solids and Structures, 38 (2001).

Young's Modulus
Ex Ey Ez
Compression
169
136
Experimental
171
Resonance
Homogenization
163 174 138

unit:GPa

unit:GPa

均質化法＋重合メッシュ法の事例：多孔質チタン

針状気孔を有する多孔質アルミナのイメージベースモデリング(Pa)

Young's Modulus
Ex Ey Ez
Compression
301
268
Experimental
302
Resonance
Homogenization
303 304 267
木村・高野ほか, 日セラ協 (2002)

均質化法の事例：多孔質アルミナ
Macroscopic analysisx

多孔質チタンの均質化解析と重合メッシュ法による初期破壊予測

IJSS (2003)

4.00×108
240N

Pore diameter 180μm
Porosity ratio 70%6050

x≧0.45GPax≧0.60GPa

荷重(N)

(P a)

70-4.00×108

4-point bending test7 .0 0 × 1 0 840

Pore diameter 90μm
Porosity ratio63%

30
203 .5 0 × 1 0 810001 .0 0 × 1 0 8

Microscopic analysis

High stress regionPore

均質化法＋重合メッシュ法の事例：多孔質チタン

V 200 MPa
 cV micro

体積頻度0.050.04

c=0.375

0.03

porous50micro 4030

particles

201000.02

00.01
00200
400
600
ミクロ相当応力 (MPa)800

2.5IJMS (2010)

気孔径180μ m荷重-変位曲線

60

荷重 (N)

0.06

2fibers0MPa

気孔径180μ mミクロ応力ヒストグラム

1.5変位(mm)D H  D H  X Vk , Ak , Dk IJMS (2010)
24.7MPa MSMSE(2006)

0MPa

1

不均質体のマルチスケールモデリング

多孔質チタンの均質化解析と重合メッシュ法による初期破壊予測
200MPa0.5

Voxel element size 7.2μm
RVE size 1512μm

0.5

11.52
変位 (mm)
実験データ
マクロ物性値を用いたFEAデータ
予想非線形挙動開始点

2.5

polycrystalliteXgeometrical information

Vk

volume fraction of phase kAkmorphology of phase k

Dk constitutive model ofphase k3

モルフォロジーのモデリングと均質化＝平均化均質化モデルによるアップスケーリング
1nm

US National Congress on Computational Mechanics(USNCCM2011), Minneapolis, MN, July 2011
Plenary Talk by Prof. J. T. Oden (The Univ. of Texas at Austin)

1mm1mmmCT

TEMT FIB-SEM

ﾅﾉ粒子分散ｺﾞﾑ ｼﾞﾙｺﾆｱ溶射被膜“Foundational Issues in Computational Mechanics:
Occam’s Razor, Predictive Modeling, Uncertainty
Quantification, and the Legacy of Thomas Bayes”

多孔質チタン

Figure by Prof.J.T.Oden
THE UNIVERSE
ofPHYSICALREALITIESVerification -> Validation ?
ASME V&V
・まずVerificationを行う。その後にValidationを行う。
・数理モデルの妥当性確認を行うには、シミュレーション結果と実験結果を比較するのだから、Verificaitonを先に行うのは当然？

DECISIONKNOWLEDGE

Observational
ErrorsModeling
ErrorsDiscretizationErrors

THEORY /MATHEMATICAL
MODELSOBSERVATIONSCOMPUTATIONALMODELS

Data ErrorsVALIDATION

J.T.Oden先生
・数理モデルが中心に位置する。
・Verificationは数理モデルとシミュレーション結果の比較。
・Validationは数理モデルと実験結果の比較。
・数理モデルが直接計測で確かめられるなら、VerificationとValidationの順序は主たる問題ではない？

VERIFICATION

均質化法に基づく数理モデルの妥当性確認
均質化法に基づく数理モデルで定義される物理量y   y1 , y2 , y3 
ミクロ変位： u y 
ミクロひずみ： ε

多孔平板の引張問題のValidation事例
Figure by Prof. J.T.Oden

ミクロスケール

ミクロ応力：σ

ミクロ構成方程式：
マクロスケール

ミクロ弾性係数： D

物理現象

周期関数

① ミクロひずみ、マクロひずみの周期性の仮定の妥当性
確認② 上記の数理モデルに基づくシミュレーション結果の検証

σ  Dε②x  x1 , x2 , x3 

計測誤差

マクロ変位：u x マクロひずみ： E 

マクロ応力： Σ Hσマクロ構成方程式： σマクロ弾性係数： D

DH

モデル化
誤差

ε
実験・計測

①離散化誤差
理論/
数学モデル

計算モデル

ε

マクロスケールとミクロスケールの関係：

yx 

validation

verification4多孔平板の引張問題のValidation事例

多孔平板の引張問題のValidation事例

ガスタービン発電システムに用いられる伝熱コア部

理論の妥当性を実験的に検証する。この際、ミクロな物理量とその平均として定義されるマクロな物理量の両者とも検証する。
38.4
4.8

1.0

45

積層方向に均一なずれを持つ構造⇒半周期構造を定義する

試験片

247.68
unit：mm

コンピュータCCDカメラ
引張試験機

45

材料:TSR-821
EPOXY
厚み：1mm
加工：光造形カメラ

ライト

完全な周期構造→ 均質化法によるマルチスケール解析

引張試験機
LITTLE SENSTER(東京試験機)三次元非接触変形計測システム
ARAMIS (GOM社)

多孔平板の引張問題のValidation事例

多孔平板の引張問題のValidation事例

ミクロひずみの周期性の仮定（数理モデル）の妥当性確認

ミクロひずみのシミュレーション結果の妥当性確認

0.15
0.1

0.20.05

ミーゼス相当ひずみ(％)

ミーゼス相当ひずみ(％)

0.2

001.536 3.072 4.608 6.144
局所座標系における位置(mm)7.68

ミーゼス相当ひずみ(％)

0.2
0.15

0.15
0.1

0.05
001.53601.536 3.072 4.608 6.144 7.68
局所座標系における位置(mm)数理モデルの意識づけの重要性
モデル化
解析種類
物理現象
形状モデル の仮定
現象の確認
境界条件
材料モデル
概念的モデル
数理モデル

物理モデル

数理モデルを直接計測で確かめるValidationはもっとも理にかなっている。

解析アルゴリズム

実験計画

 (1,2)
 0.117%

マクロミーゼスひずみ(%)

解析コード・プリポストプロセッサ 0.114%7.68

0

マクロひずみのシミュレーション結果の妥当性確認

 (1,3)

6.144

0.05

マクロひずみの周期性の仮定（数理モデル）の妥当性確認

 0.122%4.608

位置(mm)

多孔平板の引張問題のValidation事例

 (1,4)

3.072

0.1

1.2

離散化パラメータ

(1,4)
(1,3)
(1,2)
解析

10.8
0.6

物理パラメータ

キャリブレーション

実験

解析モデル
形状、荷重条件、 解析結果
物理パラメータ、…
モデル化の仮定 不確かさの検討

0.4

実験結果
不確かさの検討

ASME V&V100.2

THE UNIVERSE
ofPHYSICALREALITIESValidation

DECISIONKNOWLEDGE

Observational
ErrorsModeling
Errors000.0310.062
0.093
ストローク(mm)0.124

OBSERVATIONS

Prof.J.T.Oden

Discretization
Errors

THEORY /MATHEMATICAL
MODELSCOMPUTATIONALMODELSData Errors

VALIDATIONVERIFICATION

5

数理モデルの意識づけの重要性「何（数理モデル）をどうやって（離散化等）解くか」の中で数理モデルに対する意識づけが重要で、問題の本質の把握に直結する。
◆ JSCES S-HQC（右図）では数理モデルという言葉が表れていないが、不確かさは数理モデルにおいて定義すれば漏れがない。
 ij
x j

 bi  0 in W ij  Dijkl  kl
 ji n j  ti on t , ui  ui on u◆ 形状・寸法： PDEを解くべき領域 W
初期・境界条件（拘束、荷重） ti on W ui on u
材料モデルと物性値 Dijkl

6