成形限界応力曲面を用いた自動車用軟鋼板の穴広げ割れ予測手法の開発
東海国立大学機構岐阜大学 工学部機械工学科
助教 箱山 智之（2018 年度奨励研究助成（若手研究者）AF-2018041-C2）
キーワード：成形限界応力，穴広げ，軟鋼板

１．研究の目的と背景
自動車部品の加工コスト低減のためには，トライ・アン

２．成形限界応力曲面を用いた穴広げ割れ予測
2・1

材料モデリング

ド・エラーレス生産の実現が必須であり，それを可能とす

供試材は公称板厚 1.2 mm の冷延軟鋼板（SPCE 相当）るために成形不良予測に用いるプレス成形シミュレーシであり，機械的性質を表 1 に示す．以下，異方性の主軸とョンの高精度化が望まれる．プレス成形シミュレーション

して圧延方向を x 軸，圧延直角方向を y 軸，板厚方向を zにおける予測が難しい成形の一つに伸びフランジ成形中軸とする．の割れがあり，実験・計算の両面から多くの研究がなされ二軸応力を受ける供試材の加工硬化特性を定量的に評てきた 1)-8)．桑原ら 3)-6)は，冷延軟鋼板，アルミニウム合金価するために，十字形試験片を使用した二軸引張試験 14)，板，590MPa および 780MPa 級高張力鋼板を対象として，および円管試験片を使用した二軸バルジ試験 15)を行い，二軸引張特性を高精度に表現可能な材料モデルを構築し，等塑性仕事面 16),17)を測定した．まず圧延方向（RD）単軸穴広げ成形解析を行った．その結果，材料モデルが穴縁に引張試験において，基準となる対数塑性ひずみ𝜀0 に達した

おける塑性変形の予測精度に大きく影響することを明ら瞬間における真応力𝜎0 とそれまでになされた単位体積あかにした．

たりの塑性仕事𝑊0 を測定する．他の応力経路においては，

p

成形シミュレーションにおける材料の破断判定手法と𝑊0 と等量の塑性仕事が消費された時点の応力(𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 )を測して，成形限界線（FLC）が広く用いられている．成形限定し，主応力空間にプロットし，その集合をもって等塑性界線とは，局所くびれが生じた瞬間のひずみ成分をひずみ仕事面を決定した．等塑性仕事面を測定した応力比は空間上にプロットしたものであり，FLC にひずみが到達し𝜎𝑥 : 𝜎𝑦 = 100, 401, 201, 403, 101, 304, 102, 104, 001 である．

た瞬間に割れが生じると定義する．しかしながら，FLC は経路に依存し変化することが知られている．一方，成形限界に達したときの応力を応力空間にプロットした成形限表 1 供試材の機械的性質
Tensile𝜎0.2c*direction/°/MPa/MPa

Marciniak–Kuczyński
（M–K）成形限界解析 11)によって FLSC

0153622を決定し，それに穴広げ成形解析から得られた応力経路を45161621重ね合わせることにより，FLSC によって，穴広げ成形に90162634界応力線（FLSC）は材料が等方硬化を示す時，経路に依存
し な い こ と が 報 告 さ れ て い る 9),10) ． Panich ら 7) は ，n*

𝛼*

r**

0.326

0.011

1.850.327

0.013

1.930.346

0.016

2.82

おける破断が精度よく予測可能であることを明らかにし*Approximated using 𝜎 = 𝑐(𝛼 + 𝜀 p )𝑛 at 𝜀 p =0.002~0.094.

た．しかし，材料モデルは，単軸引張試験，液圧バルジ試**Measured at uniaxial nominal strain 𝜀N =0.1.

験および板厚方向圧縮試験結果に基づいて決定した

1.5

Yld20000-2d 降伏関数 12)であり，供試材の二軸変形特性の考慮は十分ではない．筆者ら 13)は M-K 解析の高精度化の不可欠であることを明らかにしている．
本研究では，FLSC に基づく破断予測のさらなる高度化を目的とし，二軸応力試験 14), 15)に基づく降伏関数によりsy / s 0

ためには，二軸引張試験結果に基づいた降伏関数の適用が1.00.5

e0p =0.24計算された FLSC を用いた穴広げ破断予測を行い，その精Experiment
Yld2000-2d度を検証する．さらに，FLSC を用いた破断予測のさらなる実用化のためには，有限要素解析ソフトウェアに FLSC00を組み込み，容易に破断判定をできる必要があることから，
FLSC の定式化方法を検討した．

0.5

1.0

1.5

sx / s 0

図 1 等塑性仕事面と Yld2000-2d 降伏曲面の比較．応力は相当応力𝜎0 で無次元化．

x2xˆ2 , y𝜎𝑥 : 𝜎𝑦 =100, 001 では JIS13B 単軸引張試験片を使用した．
p𝜀0 =0.24 における等塑性仕事面に対して，等方硬化を仮定

xˆ1 , xした Yld2000-2d 降伏関数 18)を同定した．等塑性仕事面のq測定結果と Yld2000-2d 降伏関数の比較を図 1 に示す．

x1

Yld2000-2d 降伏関数のパラメータ決定には，以下評価関数

Fixed reference axisを最小化するように定めた．
2′𝑁′𝐹(𝛼𝑖 , 𝑀) = ∑𝑁𝑗=1(𝑙𝑗 − 𝑙𝑗 ) + 0.2 ∑𝑗=1(𝛽𝑗 − 𝛽𝑗 )Band withreduced thickness
2(1)

図 2 MK 解析の概略図.

ここで N は実験点数である．𝑙𝑗′ および𝑙𝑗 はそれぞれ原点と無次元化等塑性仕事点および降伏曲面までの距離，𝛽𝑗′ および𝛽𝑗 はそれぞれ塑性ひずみ速度の方向の実験値および関連流れ則を仮定し降伏関数から求まる計算値である．
2・2

成形限界解析FLSC を算出するため，図 2 に示すような板厚初期不整を仮定した M-K 解析 11)を実施した．ひずみ速度感受性指数を 0.02 とする弾粘塑性モデルを適用した．その他の材料パラメータはヤング率 219GPa，ポアソン比 0.3，ひずみp0.28

硬化関数564(𝜀0 + 0.006)（MPa）とし，板厚初期不整
図 3 成形限界応力曲面概念図.

は 0.995 とした．
任意の応力状態に対応できるよう，図 3 に示すような応力空間上の成形限界応力曲面（FLSS）を決定するため，応力の主軸と初期異方性の主軸のなす角 θ を 0 ° ～90 °で変化させた．
2・3くびれ穴広げ成形試験と有限要素解析

ワイヤ放電加工機により，初期穴径 30 mm をもつ円板試験片を製作し，穴縁近傍の局所くびれが目視で確認可能であった 43±2 mm まで成形した．この時，穴縁の接線方RD向から約 52 ° の方向に多数の局所くびれが穴縁全周に現れ，特に 45 ° においてより明瞭に確認された（図 4）．

図 4 成形後の試験片

Yld2000-2d 降伏関数の等方硬化モデルを用いて，穴広げ成形の有限要素解析を行った．解析モデルは穴広げ試験と同形状の金型を解析的剛体で定義し，ボルト締付け力より計算された金型抑え力を加えた状態でパンチを上昇させた．ブランク－パンチ間には両面にワセリンを塗布したテ

q = 40

フロンシートをはさんだことから，摩擦係数はブランク－パンチ間：0.03，ブランク－上下ダイス間：0.2 とした．ブp

置からの材料流入を無しとした．加工硬化式は，564(𝜀0 +0.280.006)（MPa）とした．

図 5 は，成形高さ 38.5 mm における θ = 40 ° 方向の半径方向の最大主応力分布である．穴縁の応力は FLSC に到達しており，局所くびれの発生瞬間と予測され，実験結果と概ね一致した．本材料に対しては，二軸引張試験結果に基づく材料モデルを用いることで，穴広げ成形中のくびれを FLSS によって高精度に予測可能であった．

最小主応力 s2 /MPa

ランクは対称性を考慮して 1/4 モデルとし，ビード頂点位

300

q =40°FLSC (M-K)
FEA (u=38.5 mm)

250
200
150100500300 350 400 450 500 550 600

最大主応力 s1 /MPa
図 5 半径方向最大主応力分布と FLSC の比較

３．成形限界応力線の定式化の検討
3・1

スプライン関数𝑓𝑖 (𝜃)は次のように表せる．

定式方法

実験や成形限界解析で得られる FLSS は離散値であるか

𝑓𝑖 (𝜃) = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 (𝜃 − 𝜃𝑖 ) + 𝑐𝑖 (𝜃 − 𝜃𝑖 )2 + 𝑑𝑖 (𝜃 − 𝜃𝑖 )3(4)

ら有限要素解析ソフトウェアに直接導入するのは困難である．有限要素解析ソフトウェア上で割れを判定するためa，b，c，d は任意の係数である．には定式化が必要である．蔦森ら 19)の降伏関数のモデリ

t の定義方法に任意性がある．s = εp2 / εp1 と定義すると，ング手法を参考に，3 次ベジエ曲線と３次スプライン関数t は式(5)，(6)のように記述できる．εp1 ，εp2 はそれぞれ 1，を組み合わせ，FLSS の定式化を行った．

2 方向の塑性ひずみとする．本研究では，2 つの 3 次ベジ平面応力状態を仮定し，2 次元主応力空間における成形エ曲線を接続して FLSC を定義した．

限界応力線𝛴 = {𝜎1 , 𝜎2 }𝑇 の定式を考える．材料の面内異方

s < 0 のとき（単軸～平面ひずみ）性に基づく，FLSC の主軸方向依存性を表現するために，圧延方向からの角度 0≦ 𝜃 ≦ 𝜋/2を n 等分し，その方向をt=s+1(5)最大主応力とする n + 1 個の FLSC をベジェ曲線で定義する．そしてそれらをスプライン関数で内挿することで，s ≧ 0 のとき（平面ひずみ～等二軸）FLSS を表現する．
i 番目（i = 1, 2, … n+1）の規格化された成形限界応力線t=s(6)𝐹𝑖 (𝑡)の最大主応力𝜎1 の方向は材料の圧延方向に対して(𝑖/2𝑛)𝜋の角度をなしており，𝐹𝑖 (𝑡)は式(2)のように記述す

このとき，2 つの 3 次ベジエ曲線は式(7)，(8)のように記述る．

できる．
s < 0 のとき

𝐹𝑖 (𝑡) = (1 − 𝑡)3 𝐴𝑖 + 3(1 − 𝑡)2 𝑡𝐷𝑖 + 3(1 − 𝑡)𝑡 2 𝐸𝑖 + 𝑡 3 𝐶𝑖
(2)𝐹𝑎𝑖 (𝑡) = (1 − 𝑡)3 𝐴𝑎𝑖 + 3(1 − 𝑡)2 𝑡𝐷𝑎𝑖 + 3(1 −𝑡)𝑡 2 𝐸𝑎𝑖 + 𝑡 3 𝐶𝑎𝑖(7)

ここで，𝐴𝑖 ，𝐶𝑖 ，𝐷𝑖 ，𝐸𝑖 は図 6 に示す 3 次ベジェ曲線の制御点の位置ベクトルである．式には含まれないが，図 6 のs ≧ 0 のとき

𝐵𝑖 は 3 次ベジェ曲線の制御点を定めるための位置ベクトルであり，直線𝐴𝑖 𝐷𝑖 ，直線𝐶𝑖 𝐸𝑖 はそれぞれ点𝐴𝑖 ，𝐶𝑖 で曲線

𝐹𝑏𝑖 (𝑡) = (1 − 𝑡)3 𝐴𝑏𝑖 + 3(1 − 𝑡)2 𝑡𝐷𝑏𝑖 + 3(1 −に接している．t は0 ≦ 𝑡 ≦ 1の曲線制御パラメータである．

𝑡)𝑡 2 𝐸𝑏𝑖 + 𝑡 3 𝐶𝑏𝑖(8)

ベジェ曲線のパラメータの同定は各 θ で定義される
FLSC の 3 次ベジェ曲線の制御点 Ai，Ci，Di，Ei を定める
ことと同値である．Aai，Cbi は元のデータから直接求めることができる．Dai，Eai，Cai,Abi，Dbi，Ebi は Excel のソルバー機能を用いて，それぞれの t における主応力と計算値との差が最小になるよう決定した．ただし，平面ひずみにおいて同一の成形限界応力となる必要があることから
Cai = Abi とした．
図 6 3 次ベジェ曲線の概念図
3・2 定式結果
𝜃 = (𝑖/2𝑛)𝜋における FLSC は式(2)によって定義できる

FLSS の表現精度に及ぼす分割数の影響を明らかにするが，シミュレーションに導入するためには，𝜃についてもために，n = 8 と n = 2 のスプライン関数を求めた（図 7）．

連続量にする必要がある．任意の角度 θ の FLSC を表現す

図 8 に成形限界応力とベジェ曲線およびスプライン関数るために，定義した𝑛 + 1個の FLSC について，3 次スプラを用いた近似結果を示す．n = 8 と n = 2 の両条件にて入力イン関数𝑓𝑖 (𝜃)によって内挿補間すると，FLSC は式(3)のよパラメータである θ = 0, 45, 90 °は入力値を精度良く表現うになる．

した．θ = 22.5, 67.5 ° においては，n = 8 では入力パラメータである一方で，n = 2 は予測データである．すなわち，n32(1 − 𝑡) 𝐴𝑖 + 3(1 − 𝑡) 𝑡𝐷𝑖𝐹(𝜃, 𝑡) = ∑𝑛𝑖=0 𝑓𝑖 (𝜃) {} (3)+3(1 − 𝑡)𝑡 2 𝐸𝑖 + 𝑡 3 𝐶𝑖

= 2 を用いても，FLSS を精度よく表現可能であった．

800

1i=0
i=10.6i=20.4i=3i=40.2

i=50

i=6-0.20π/16

4π/16

8π/16

600

s67.5° /MPa

Scale value

0.8

400
22.5°
FLC
n=8
n=2200i=7i=8Angle from rolling direction / rad0(a) n = 80200

400

600

800

600

800

600

800

s22.5° /MPa1(b) θ = 22.5 °

800

0.60.4i=00.2i=40

i=8-0.20π/16
4π/16
8π/16Angle from rolling direction / rad600s45° /MPa

Scale value

0.840045°
FLC
n=8n=2200(b) n = 2
図 7 スプライン関数

00200

400s45° /MPa800(c) θ = 45 °

800
600

4000°
FLC
n=8n=22000s22.5° /MPas90° /MPa

600

0200

400

600

800

40067.5°FLC
n=8n=2200s0° /MPa0(a) θ = 0 °

0200

400

s67.5° /MPa(d) θ = 67.5 °参考文献8001) 薄鋼板成形技術研究会編：プレス成形難易ハンドブッ
クs0° /MPa6002) 飯塚・比良・吉武：塑性と加工，46-534 (2005), 625-629.
3) 桑原・橋本・飯塚・Yoon：塑性と加工, 50-585(2009), 925930.

4004) 橋本・桑原・飯塚・Yoon：鉄と鋼，96-9 (2010), 557-563.

90°05) Kuwabara, T. & Ichikawa, K0 Ro. J. Techn. Sci. Appl.

FLC
n=8n=2200

Mechanics, 60 (2015), 63-81.
6) Kuwabara, T., Mori, T., Asano, M., Hakoyama, T. & Barlat,F.0 Int. J. Plasticity, 93 (2017), 164-186.

0200

400600800

s90° /MPa(e) θ = 90 °図 8 成形限界応力と近似結果の比較

４．まとめ
(1)

M-K モデルを用いて成形限界解析および穴広げ成形解析を行った．その結果，本供試材においては，二軸引張試験結果に基づいて決定された材料モデルを用いることで，FLSS によって高精度な穴広げ破断予測(2)

第 3 版，（2007），118-119，日刊工業新聞社．

7) S. Panich, F. Barlat, V. Uthaisangsuk, S. Suranuntchai & S.
Jirathearanat, Mater. Des. 51, 756–766 (2013).
8) 蔦森・飯塚・天石・佐藤・荻原・宮本：塑性と加工, 57662 (2016), 245-251.
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10) K. Yoshida & N. Suzuki, Int. J. Plasticity 24, 118-139 (2008).
11) Z. Marciniak and K. Kuczynski0 Int. J. Mech. Sci., 9 (1967),609.
12) Barlat, F. & Kuwabara, T.0 塑性と加工, 57-662 (2016),
230-237.
13) Hakoyama, T. & Kuwabara, T.0 Effect of biaxial workが可能であった．

hardening modeling for sheet metals on the accuracy of

ベジェ曲線とスプライン関数の組み合わせによって，forming limit analyses using the Marciniak-Kuczynski

FLSS を精度よく近似可能であった．さらに，本供試

approach, In0 Altenbach, H., Matsuda, T. and Okumura, D.

材においては，分割数 n = 2 で十分な精度が得られ(Eds.), From Creep Damage Mechanics to Homogenization

た．

謝 辞
本研究の遂行に際し，2018 年度公益財団法人天田財団奨励研究助成（若手研究者）（AF-2018041-C2）の支援を受けた．ここに記し，謝意を表する．

Methods., Springer, (2015), pp. 67-95.
14) ISO 168420 2014 Metallic materials −Sheet and strip −Biaxial
tensile testing method using a cruciform test piece15) Kuwabara, T. and Sugawara, F.0 Int. J. Plasticity, 45 (2013),
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16) Hill, R. & Hutchinson, J.W.0 J. Appl. Mech., 59(1992), S1-S9.
17) Hill, R., et al.0 Int. J. Solids Struct., 31-21(1994), 2999-3021.
18) Barlat, F., et al.0 Int. J. Plasticity, 19(2003), 1297-1319.
19) 蔦森・飯塚・天石・佐藤・荻原・宮本：塑性と加工，57-662 (2016)，245-251．