日大歯学 , 95（1）, 29-35, 2021

原著トルクを付加した際の歯および歯根膜における応力分布の有限要素解析
小 作 一 仁1
一 色 祥 智3
田 中 栄 二6

中
中
本

嶋
村
吉

純
1

2

西
新 井

恭 一3
嘉 則 2,4

納 村
髙 橋

泰

弘 1,2
進5

日本大学歯学部歯科矯正学講座

日本大学歯学部総合歯学研究所臨床研究部門
3

日本大学生産工学部創生デザイン学科
4

日本大学歯学部歯科放射線学講座
5

6

昭 1,2
基1
満 1,2

日本大学生産工学部機械工学科

徳島大学大学院医歯薬学研究部口腔顎顔面矯正学分野

要旨：舌側に転位した側切歯を歯体移動させるには，歯冠を唇側に傾斜移動した後，舌側にある歯根を唇側移動させる必要がある。その際，歯根およびその周囲組織にはトルク力が生じており，このトルクコントロールを適切に行うことが歯科矯正臨床上きわめて重要である。本研究では，舌側転位した右側上顎側切歯の歯根を唇側移動す
る際に側切歯および両隣在歯に生じる応力について有限要素解析を行った。上顎右側中切歯から犬歯の歯列モデルは頭蓋骨モデル（ニッシン）の CT 画像を，0.018”×0.025”スロットブラケットおよび 0.018”×0.025”ステンレスス
チールワイヤーについては 3 次元 CAD データをもとに，3 次元有限要素モデルを構築した。荷重条件として，ワイヤーの側切歯部分に 6°のリンガルクラウントルクを負荷した。その結果，側切歯に生じる von Mises 相当応力の大きさは約 11.0×10−3 MPa であり，唇側歯頸部および根尖部に集中していた。一方，両隣在歯には，最大で約4.5×10−3 MPa の von Mises 相当応力が根尖部および舌側歯頸部に認められた。本研究結果より，舌側転位した上顎側切歯の歯根を唇側移動する際にはリンガルクラウントルク負荷によって当該歯ならびに隣在歯に生じる作用・反作用を考慮し，歯の移動を行う必要が示唆された。
キーワード：トルク，サードオーダーベンド，生体内応力，有限要素分析

Finite element analysis for the stress distribution in the root and periodontal
ligament during torque tooth movement
Kazuhito Kosaku1, Akira Nakajima1,2, Yasukazu Nishi3, Yasuhiro Namura1,2,
Yoshitomo Isshiki5, Yoshiki Nakamura1, Yoshinori Arai2,4, Susumu Takahashi5,
Eiji Tanaka6, Mitsuru Motoyoshi1,2Department of Orthodontics, Nihon University School of Dentistry1

Division of Clinical Research, Dental Research Center, Nihon University School of Dentistry2

Department of Conceptual Design, College of Industrial Technology, Nihon University

3

4
5

Department of Oral and Maxillofacial Radiology, Nihon University School of Dentistry

Department of Mechanical Engineering, College of Industrial Technology, Nihon University

Department of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics, Institute of Biomedical Sciences, Tokushima University Graduate School

6

Abstract: In case of lingual displacement of lateral incisor, we should apply labial root torque after labial
tipping movement of lateral incisor. The torque moment generated by third order bend is one of theimportant keys for orthodontic tooth movement. The objective of this study was to investigate the stress
distribution on root surface and in surround periodontal ligament (PDL) when labial root torque is applied to
lingually displaced lateral incisor by finite element (FE) analysis. The FE models of maxillary incisors andcanine were developed from three-dimensional (3 D) point data sets of CT-image. The models of 0.018” slot
sizes stainless steel brackets and 0.018 x 0.025-inch stainless steel (SS) wires were constructed based on 3 D（受付：令和 3 年 1 月 25 日）
責任著者連絡先：小作一仁
日本大学歯学部歯科矯正学講座〒 101-8310 東京都千代田区神田駿河台 1-8-13

TEL：03-3219-8105
FAX：03-3219-8310
E-mail：kazukosa1118@gmail.com

29

日大歯学

第 95 巻第 1 号

CAD data. As a loading condition, 6 degrees labial root torque moment was applied to the archwire atlateral incisor. The distribution of the von Mises equivalent stresses (equivalent stress) on the root surface
and in surrounding PDL of incisors and canine was evaluated using an FE analysis. When applying labialroot torque at lateral incisor, greater equivalent stress was observed at the labial cervical margin and root
apex. The values of equivalent stresses on the root surface of lateral incisor were less than 11.0 × 10-3 MPa,
while the maximum equivalent stress of the neighboring teeth (central incisor and canine) were 4.5 × 10 -3
observed at the lingual cervical margin and root apex. These results indicate the neighboring teeth areconsiderably affected as a reaction force when the torque moment is applied to the targeted tooth.
Keywords: torque，third order bend，stress distribution，finite element analysis

緒における応力解析であり，臨床上よく見られる上顎側切言

歯舌側転位症例において，側切歯にトルク調整を行った

歯科矯正臨床において頻繁に遭遇する舌側転位した側際の，側切歯および両隣在歯に生じる応力について解析

切歯を歯体移動する場合，側切歯の歯冠を唇側に傾斜移したものではない。そこで本研究では，舌側転位した上動した後，歯根を唇側に移動する必要がある。エッジワ

顎側切歯の歯根を唇側移動する際の，トルク力を負荷しイズ法においてはレクタンギュラーワイヤーにトルクをた当該歯（側切歯）および，その反作用が生じる両隣在歯付与することによって，歯根の唇側移動を行う 。このの歯根および歯根膜における応力を 3 次元 FEA にて明

移動において歯に生じる力学環境については，種々なるらかにすることを目的とした。

1）

材質のワイヤーからブラケットスロットに伝達される材料および方法

モーメント力を，トルクゲージを応用した実験系を用いて測定することにより検討されてきた 2,3）。Hirai ら 2）は，

1.

画像処理システムおよび FE モデル

トルクゲージを用いてブラケット－ワイヤー間に生じる

ヒト乾燥頭蓋骨（ニッシン，東京）を 3 D マルチイメー

トルク力を測定した結果，トルクは，ワイヤーサイズのジマイクロ CT（3 DX）を使用して撮影した。研究に使用増加とともに増大し，仮想至適トルク力は，0.018”スロッ

した corm beam CT の 3 次元投影データの画像再構成

トブラケットの場合，0.016”× 0.022”ステンレススチー

領 域 は，1 voxel， 一 辺 あ た り 0.125 mm の 画 素 が 直 径ル（SS）ワイヤーでは 12°，0.017” × 0.025”SS ワイヤーで300 画素（約 40 mm），高さ 240 画素（30 mm）で構成されは 7°，0.018”× 0.025”SS ワイヤーでは 6°のトルク負荷時ており，その 3 次元 DICOM データから，CAD/CAEに生じることを報告した。また，Kuroda ら は，同様

統合ソフトウェア SOLIDWORKS（Dassault Systems，にトルクゲージを用いた実験モデルにて材質の異なる

ソ リ ッ ド ワ ー ク ス ジ ャ パ ン， 東 京 ）を 使 用 し， 上 記

Ti-Nb 合金ワイヤー，Ti-Mo 合金ワイヤーおよび Ni-Ti

DICOM データを 3 次元表面データ（STL）に変換した後，合金ワイヤーによるトルク負荷時にブラケット－ワイ

FE モデルを構築した（図 1 A，B および C）。歯のモデル

ヤー間に生じるトルク力を測定した結果，ワイヤーの材は一辺あたり 0.2 mm の 3 D アイソパラメトリック要素

3）

質によって発生するトルクが大きく異なることを報告している。その他，種々なる実験装置により，ブラケット－
ワイヤー間に生じるトルクの相違を検討した研究 4-7）を認ABめるが，歯根膜および歯根表面に生じる生体内応力の評価を行った研究 8-11）はいまだ十分に行われていない。
有限要素法（FEM）によるトルクの解析実験としては，Dorow ら 12）が抜去されたヒト第一小臼歯の CT 画像から三次元有限要素（FE）モデルを作製し，0.3 Nmm の唇側では圧下方向，舌側では挺出方向の荷重を負荷することによって，リンガルルートトルクをかけた際の歯根表C面に生じる応力分布について検討している。Hemanth らは，上顎中切歯の FE モデルを構築し，ブラケット

13,14）

スロットに 0.88 N/mm および 1.00 N/mm のトルクモー
メントを負荷した際に歯根膜に生じる圧縮および引張応
力について明らかにしている。
しかし，上記の有限要素解析（FEA）は，モデルとなる

図1

1 歯にモーメント力を付与した際の，歯根および歯根膜30

上顎前歯部の有限要素モデル（A：唇側面観，B：舌側面観，C：根尖部観）

歯根をトルク移動する際に生じる応力

令和 3 年 6 月

により構成されており，従来の報告 15-17）に従って，歯根

リンガルクラウントルクが負荷されるような強制変位を

表面には平均 0.2 mm の厚さの歯根膜をシェル要素とし設定した。

て配列した（節点数：95,041，要素数：63,944）。なお，本3． 検討方法
トルク移動における，歯根表面および歯根膜外側の近研究に使用した PC は，OS Windows 10，64-bit，CPUIntel Corei7-6700 3.40 GHz，RAM 32 GB である。

遠心的に中央部の節点について，von Mises 相当応力（以2． 材料特性および境界条件

後，相当応力）を用いて応力分布を評価した（図 3）。相当

本研究において使用した，歯，歯根膜，ブラケットお応力値の評価として，移動方向を考慮し，歯根表面およよびアーチワイヤーの材料特性を表 1 に示す 18）。境界条

び歯根膜外側の唇側歯頸部節点を（a），唇側歯頸側 1/3

件として，図 2 に示したように，歯根膜要素の外表面をの節点を（b），唇側根尖側 1/3 の節点を（c），唇側根尖部

6 自由度拘束し，ブラケットスロット内面およびワイヤー

節点を（d），舌側根尖部節点を（e），舌側根尖側 1/3 の節部分の外表節点は，近遠心方向の摩擦を考慮したローラ /点を（f），舌側歯頸側 1/3 の節点を（g），舌側歯頸部節点

スライダー拘束を行った（図 2）。荷重条件として，Hirai

を（h）とした。さらに，中切歯を（1），側切歯を（2），犬ら 2）の至適トルクの結果を基に，側切歯に装着したブラ

歯（3）とすると，例えば中切歯の歯根表面および歯根膜

ケットに対して 0.018”× 0.025”SS ワイヤーを介して 6°の外側の唇側歯頸部節点は（1-a）と表記される。また，側切歯に生じた相当応力を 100% とした場合の中切歯および

表1犬歯に生じた応力の割合を算出し，側切歯に生じた応力

各構成成分の材料特性に対する反作用の大きさについても検討した。

図3
図2

拘束条件（A：唇側面観，B：舌側面観）

31

応力値について検討を行った節点（A：唇側面観， B：根尖部観，C：舌側面観）

日大歯学

結

第 95 巻第 1 号

2． 歯根表面と歯根膜外側に生じた相当応力の比較

果

歯根表面および歯根膜外側の節点に生じる相当応力値を図 5 および表 2 に示し，各部における結果を下記に述

1． 歯根膜の相当応力分布についてべる。

歯根膜の相当応力分布を図 4 に示す。トルク力を付与した側切歯では，唇側の歯頸部および根尖部，舌側の根

リンガルクラウントルクを負荷した側切歯の唇側歯頸部尖部および歯頸側 1/3 あたりに相当応力の集中を認め（2-a）の歯根表面と歯根膜外側に生じた相当応力はそれぞた。隣在歯である中切歯および犬歯においては，いずれれ，11.4×10－3 MPa，10.4×10－3 MPa で あ り， そ の 後，も根尖部および舌側歯頸部に応力の集中を認めた（図 4）。

図4

歯根膜における相当応力分布（A：唇側面観，B：舌側面観，C：根尖部観，D：咬合面観）

表2

図5

歯根膜中央部節点における相当応力分布（A：側切歯， B：中切歯，C：犬歯）

歯根表面および歯根膜外側の相当応力値

32

歯根をトルク移動する際に生じる応力

令和 3 年 6 月

唇側歯頸側 1/3（2-b）に至るまで減少し，唇側歯頸側 1/3部（3-d）では歯根表面で 5.40×10−3 MPa，歯根膜外側で（2-b）で は 歯 根 表 面 で 5.20×10

MPa， 歯 根 膜 外 側 で4.40×10−3 MPa の相当応力を認めた。舌側根尖部（3-e）

4.97×10−3 MPa であった。そして，唇側歯頸側 1/3（2-b）

における相当応力は唇側根尖部（3-d）と比較してやや大きから唇側根尖側 1/3（2-c）にかけて，わずかに増加し，唇く， 歯 根 表 面 で 5.50×10−3 MPa， 歯 根 膜 外 側 で側根尖側 1/3（2-c）では歯根表面で 5.57×10−3 MPa，歯根4.50×10−3 MPa であり，舌側歯頸部（3-h）において最大膜外側で 5.43×10の相当応力が生じた（歯根表面：5.70×10−3 MPa，歯根膜−3−3MPa であった。唇側根尖部
（2-d）
にお

いては、相当応力が増大し，歯根表面および歯根膜外側外側：4.70×10−3 MPa）。

の相当応力はそれぞれ 11.0×10

3． 側切歯に対するトルク負荷によって，中切歯および−3

MPa，10.0×10

−3

MPa

犬歯に生じた反作用についてであった。舌側歯根尖部（2-e）に生じた相当応力は，唇側側切歯に生じた相当応力をそれぞれ 100% とした場合のと比較しやや小さく，歯根表面で 10.4×10−3 MPa，歯根膜外側で 9.4×10−3

中切歯および犬歯に生じた相当応力の割合を表 3 に示す。

MPa であった。その後，
舌側根尖側 1/3

（2-f）に か け て 相 当 応 力 は 減 少 し， 歯 根 表 面 で

舌側歯頸部（h）において，中切歯の相当応力は，側切4.57×10−3 MPa，歯根膜外側で 4.40×10−3 MPa であった。

歯に対して歯根表面で 75.9%，歯根膜外側で 70.8% であっ舌側歯頸側 1/3（2-g）は舌側根尖側 1/3（2-f）認めた相当応

た。また，犬歯の相当応力は，側切歯に対して歯根表面力とほぼ同等な値を認め，歯根表面で 4.67×10−3 MPa，

で 98.3%，歯根膜外側で 97.9% であった。

MPa であった。舌側歯頸部（2-h）

唇側根尖部（d）において，中切歯の相当応力は，側切における相当応力は舌側歯頸側 1/3（2-g）から増加し，歯歯に対して歯根表面で 38.2%，歯根膜外側で 32.0% であっ

根表面で 5.80×10−3 MPa，歯根膜外側で 4.80×10−3 MPa

た。また，犬歯の相当応力は，側切歯に対して，歯根表であった。歯頸部に生じた相当応力は唇側で大きかった。

面で 49.1％，歯根膜外側で 44.0% であった。

歯根膜外側で 4.37×10−3歯根表面と歯根膜外側との比較では，歯根表面に生じる

舌側根尖部（e）において，中切歯の相当応力は，側切相当応力の方が，特に応力集中の認められる部位で大き歯に対して歯根表面で 41.4%，歯根膜外側で 35.1% であっくなる傾向を示した。

た。また，犬歯の相当応力は，側切歯に対して，歯根表面で 52.9％，歯根膜外側で 47.9% であった。

中切歯において，頬側歯頸部（1-a）に生じた相当応力は，歯根表面で 0.30×10−3 MPa，
歯根膜外側で 0.20×10−3 MPa

考であり，根尖部に向かい増加し，唇側根尖部（1-d）では歯察

根表面で 4.20×10−3 MPa，歯根膜外側で 3.20×10−3 MPa

アーチワイヤーにトルクを与え，歯を歯体移動させるの相当応力を認めた。舌側根尖部（1-e）における相当応力

際の力学的メカニズムを理解することは歯科矯正臨床上は唇側根尖部（1-d）と比較してやや大きく，歯根表面でできわめて重要である 1）。Hirai ら 2）および Kuroda ら 3）

4.30×10−3 MPa，歯根膜外側で 3.30×10−3 MPa であり，は，トルクゲージを応用した実験系により，舌側転位し

舌側歯頸部（1-h）において最大の相当応力が生じた（歯根た側切歯を想定し，側切歯に装着したブラケットにトル

表面：4.40×10MPa）。

クを与えた際のモーメント力を測定し，ブラケットス

犬 歯 で は， 唇 側 歯 頸 部（3-a）の 歯 根 表 面 に お い てロットに対するワイヤーのサイズ，結紮方法あるいはワ−3MPa，歯根膜外側：3.40×10

−3

MPa

イヤーの材質の相違により生じるモーメント力についての相当応力を認め，根尖部に向かい増加し，唇側歯根尖

明らかにした。しかし，トルクを負荷した場合，当該歯0.40×10−3MPa， 歯 根 膜 外 側 に お い て 0.30×10

表3−3側切歯の歯根表面および歯根膜外側の相当応力値に対する中切歯，犬歯の応力の割合

33

日大歯学

第 95 巻第 1 号の歯根および歯根膜における力学環境ばかりでなく，そ定し，0.018”×0.025”SS ワイヤーを装着した 3 次元有限の隣在歯に生じる反力についても考慮する必要がある。

要素モデルを構築し，ブラケット相当部に選択的にトル

そこで本研究では，歯科矯正臨床において頻繁に遭遇す

クを作用させた場合の応力解析を行った結果，トルクをる上顎側切歯の舌側転位に対し，側切歯のブラケットに作用させた歯に対して，隣在歯では反作用として逆方向ワイヤーを介してリンガルクラウントルクを負荷した際のモーメントが生じたと報告している。本研究においてに，側切歯ならびにその隣在歯の歯根および歯根膜に生も，側切歯にリンガルクラウントルクを負荷した場合，じる相当応力を詳細に解析することを目的とした。

側切歯の唇側歯頸部に相当応力の集中を認めたことに対して，中切歯および犬歯では逆方向の舌側歯頸部に相当

歯にトルクを負荷した場合の歯根表面および歯根膜には抜去さ

応力の集中が認められた。また，側切歯に認められた相れたヒト第一小臼歯の CT 画像から 3 次元 FE モデルを

当応力を 100% とした場合，両隣在歯の舌側歯頸部に認作製し，0.3 Nmm の唇側では圧下方向，舌側では挺出方

め ら れ た 反 作 用 は， 中 切 歯 で 約 71 ～ 76%， 犬 歯 で 約向の荷重を負荷し，リンガルルートトルクを負荷した場

98% の相当応力であり，根尖部に認められた反作用は，合の応力解析を行い，結果として，最大の引張応力は，中切歯で約 32 ～ 41%，犬歯で約 44 ～ 53% の相当応力で唇側の根尖部および舌側の歯頸部歯槽骨に認められ，最あることが明らかとなった。この両隣在歯の歯頸部およ大の圧縮応力は，舌側根尖部および唇側歯頸部歯槽骨に

び根尖部に生じる相当応力値は，側切歯に装着したブラ認められたと報告している。Hohmann らも，抜去さケットに 6°のリンガルクラウントルクを負荷した条件 2）

れたヒト第一小臼歯歯根の CT 画像から歯の 3 次元 FE

において，従来報告されている至適矯正力 12,21）の約半分モデルを構築するとともに，歯根周囲に厚さ 0.3 mm の以下の顕著に小さい値であったため，歯根吸収および歯

歯根膜要素を設定し，歯根膜の頬側歯頸部節点に挺出方

槽骨吸収のような為害作用が生じる可能性は低いと考え

向，舌側歯頸部節点に圧下方向の合力にして 6 Nmm のられた。

生じる応力に関する検討として，Dorow ら

12）

19）

リンガルクラウントルクを負荷した際に歯根および歯根Papageorgiou ら 23）は，上顎前歯に，CAD/CAM デー

膜に生じる応力を解析している。その結果，小臼歯根尖タを用いて構築した 0.018”スロットのチタン製ブラケッ

部および歯頸部に圧縮応力の集中を認めたとしている。

ト，SS ブラケット，およびセラミックブラケットを，コ

一方，Nakajima ら 20）は，抜去されたヒト犬歯の CT 画

ンポジットレジンあるいはグラスアイオノマーセメント

像から 3 次元 FE モデルを作製し，ブラケット相当部節の材料特性を有する接着剤要素を介して装着し，ベータ

点に 1 N の舌側方向への矯正力を負荷し，舌側傾斜移動

チ タ ン ワ イ ヤ ー あ る い は SS ワ イ ヤ ー モ デ ル を エ ラ ス

した際の相当応力分布について検討した結果，最大の相ティックモジュールあるいは SS リガチャーワイヤーに当応力が舌側歯頸部に認められ，続いて根尖部にも相当

よってブラケットに結紮した状態の 3 次元 FE モデルを

応力の集中が生じたことを報告している。

構築し，ラビアルクラウントルクを負荷した際の応力解

本研究結果として，側切歯に仮想至適トルクを負荷し析を実施した。その結果，歯の移動量は，ブラケットのた場合，側切歯の根尖部ばかりではなく唇側歯頸部に材質よりもワイヤーの材質に強く影響を受けることが示

10.4×10−3 ～ 11.4×10−3 MPa の相当応力が生じることがされた。また，歯根膜における応力に関しては，結紮方明らとなった。この歯頸部および根尖部に認めた相当応法よりも，ワイヤーの材質の違いが強く影響することも力 の 大 き さ に つ い て， 至 適 矯 正 力 か ら 考 察 を 行 う と，示唆している。将来的には，このようなブラケットの材

Dorow ら質，ワイヤーの材質，摩擦やさらに歯槽骨の性状の違いが報告している根尖部における至適歯根毛

12）

細血管圧（−12.8×10−3がトルクコントロールに及ぼす影響についても検討を加MPa）よりもわずかに小さい値でえる必要があると考えられる。

あった。また，Hemanth ら 13,14）は，上顎中切歯の 3 次元
FE モデルにて，ブラケット相当部に 0.88 N/mm および

結

15 N/mm のモーメントを負荷した場合，根尖部歯根膜

論に引張応力−14.4×10−3 MPa（N/mm2）および圧縮応力

本研究は，舌側転位した上顎側切歯の歯根の唇側移動

16.123×10−3 MPa（N/mm2）がそれぞれ認められたとしてを想定し，リンガルクラウントルクを側切歯のブラケッ

おり，それらの応力は Lee ら 21）の報告する，至適矯正力

トおよびワイヤー間に負荷した際に生じる，側切歯およより小さい値であったとしている。したがって，本研究

び両隣在歯の歯根および歯根膜に生じる応力について有結果の側切歯根尖部に認められた相当応力と比較を行う

限要素解析を行い，以下の結論を得た。

と，歯根膜による緩衝作用および両隣在歯への矯正力の1.

分散が生じ，従来の報告 12-14）より小さい傾向を認めたもであり，唇側歯頸部および根尖部に集中していた。
2.

のの，概ね近似した傾向であることが示唆された。
Jayade ら

側切歯に生じる相当応力の大きさは最大約 11.0×10−3 MPa
両隣在歯においては，最大で約 4.5×10−3 MPa の相
当応力が根尖部および舌側歯頸部に認められ，トルは，上顎 4 前歯にメタルブラケットを設

22）

34

歯根をトルク移動する際に生じる応力(2009) D e f o r m a t i o n a n a l y s i s o f t h e p e r i o d o n t i u mconsidering the viscoelasticity of the periodontal
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クを負荷した側切歯の近心側隣在歯である中切歯よりも，遠心側隣在歯である犬歯により大きい反力が生じやすいことが示唆された。
以上の結果より，舌側転位した上顎側切歯の歯根を唇側移動する際にはリンガルクラウントルク負荷によって当該歯ならびに隣在歯に生じる作用・反作用を考慮し，歯の移動を行う必要が示唆された。
稿を終えるにあたり，懇切なるご指導およびご校閲を賜りました日本大学歯学部歯科矯正学講座の皆様に深く感謝の意を表します。本研究は，日本大学歯学部佐藤奨学金，日本大学歯学部総合歯科学研究費（A），（B）にて行われた。なお，本研究の一部は第77 回日本矯正歯科学会学術大会において優秀発表賞を受賞した。
本研究に関して利益相反はありません。
文

令和 3 年 6 月

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