Technische Information

Genauigkeit von Vorschubachsen
Jahr für Jahr werden bei neuen Werkzeugmaschinen Effizienz- und Leistungssteigerungen nachgewiesen. Durch immer höhere Vorschubgeschwindigkeiten und Beschleunigungen werden Bearbeitungszeiten fortlaufend reduziert. Gleichzeitig ermöglichen ständig steigende Arbeitsgenauigkeiten immer engere Tolerierungen der Werkstücke. Dadurch lassen sich einerseits zunehmend kritische Teile fertigen, andererseits wird der Zusammenbau komplexer Baugruppen vereinfacht. Selektive Handmontagen und Nachbearbeitungsschritte
können oft entfallen. Eine höhere Genauigkeit der Teile hat zudem meist eine Erhöhung der Funktionsfähigkeit von Baugruppen zur Folge.
So steigt zum Beispiel die Lebenserwartung von Getrieben bei gleichzeitig geringerer Geräuschentwicklung.
Im Gesamtfehlerbudget einer Werkzeugmaschine spielen die Positionierfehler der Vorschubachsen eine entscheidende Rolle. Sie werden
im Folgenden näher betrachtet und anderen Fehlern gegenübergestellt. Dabei stellt sich die thermische Dehnung der Kugelgewindespindel als das Hauptproblem bei der Positionserfassung mit Spindel und Drehgeber heraus. Der dadurch verursachte Positionierfehler überwiegt oft die thermisch bedingten Strukturdeformationen und geometrischen Fehler von Bearbeitungszentren. In mehreren Versuchen
wird der Einfluss der Erwärmung des Kugelgewindetriebs – auch in Abhängigkeit von seiner Lagerung – auf das Bearbeitungsergebnis
dargestellt. Wird ein Längenmessgerät zur Positionserfassung verwendet, spielt jedoch die thermische Dehnung der Spindel keine Rolle– die Positionsdrift ist vernachlässigbar. Bei steigenden Anforderungen an Genauigkeit und Geschwindigkeit von Werkzeugmaschinen gewinnt deshalb die Positionserfassung mit einem Längenmessgerät zunehmend an Bedeutung.

Die Genauigkeit heutiger Werkzeugma­
schinen wird mit einer zunehmenden Zahl
neuer und überarbeiteter Prüf- und Abnahmetests ermittelt. Waren früher rein geometrische Abnahmetests an der Tagesordnung, so werden heutzutage verstärkt
dynamische Tests wie Kreis- und Freiformtests, thermische Untersuchungen z.B.
nach ISO/DIS 230-3 und – im Fall von Produktionsmaschinen – Fähigkeitsuntersuchungen bei der Abnahme bzw. routine­mäßigen Überprüfung eingesetzt. Die
unterschiedlichen Einflüsse des Schneidprozesses, der geometrischen und thermischen Genauigkeit, der statischen und
dynamischen Steifigkeit sowie des Positionierverhaltens der Vorschubachsen auf dieerzielbare Genauigkeit des Werkstücks lassen sich immer differenzierter analysieren.
Für den Anwender der Maschine werden
dadurch deren Fehler immer transparenter.

Das Reduzieren thermischer bzw. systematischer Fehler einer Werkzeugmaschine
durch langwieriges Optimieren einzelner
Fertigungsschritte ist bei ständig wechselnden Aufträgen und der damit verbundenen
sinkenden Größe der Fertigungslose kaum
noch möglich. Die ´Genauigkeit des ersten
Teils´ gewinnt immer größere Bedeutung.
Insbesondere die thermischen Fehler von
Werkzeugmaschinen finden dadurch zunehmend Beachtung.
Die folgende Betrachtung zeigt, dass thermische Fehler gerade bei den Vorschubachsen sehr ausgeprägt sein können. Im Gegensatz zu den Strukturdeformationen
können Fehler der Vorschubachsen durch
die Wahl einer geeigneten Messtechnik mit
einfachen Mitteln deutlich reduziert werden.

Vorschubeinrichtung eines Fräs-Bearbeitungszentrums

03/2006

Aufbau von Vorschubsystemen

Eine genauere Fehleranalyse der Positionserfassung über Vorschubspindel und Drehgeber beginnt mit der Betrachtung üblicher
Vorschubsysteme. Trotz der Vielzahl verschiedener Bauformen von Werkzeugmaschinen ist der Aufbau der Vorschubmechanik weitgehend standardisiert (Abbildung 1).
Zur Wandlung der Drehbewegung des Servomotors in die lineare Bewegung desSchlittens hat sich der Kugelgewindetrieb infast allen Fällen durchgesetzt. Seine Lagerung nimmt alle axialen Kräfte des Schlittens
auf. Zur Verbindung von Servomotor und Kugelgewindetrieb werden meist direkte Koppelungen eingesetzt. Wegen der kurzen
Bauform und der möglichen Drehzahlanpassung sind auch Zahnriemengetriebe weit
verbreitet.
Zur Positionserfassung an Vorschubachsen
von NC-Werkzeugmaschinen besteht grundsätzlich die Möglichkeit, Längenmessgeräteoder Kugelgewindespindeln in Verbindung
mit Drehgebern einzusetzen. Im Fall der Lageregelung über Vorschubspindel und Drehgeber umfasst die Regelschleife nur den
Servomotor (Abbildung 1 gestrichelte Linie).
D.h., eine Lageregelung des Schlittens imeigentlichen Sinn findet nicht statt, denn es
wird lediglich die Rotorlage des Servomo-xsoll

Lageregler

tors geregelt. Um dennoch Rückschlüsse
auf die Schlittenposition ziehen zu können,
muss die Vorschubmechanik zwischen Servomotor und Schlitten ein a priori bekanntes
und vor allem reproduzierbares Übertragungsverhalten haben. Bei der Lageregelung mit einem Längenmessgerät hingegenschließt der Regelkreis die gesamte Vorschubmechanik ein. Übertragungsfehler der
Mechanik werden vom Längenmessgerät
am Schlitten erkannt und von der Regel­elektronik ausgeregelt.
Unterschiedliche Lageregelungen
Die Bezeichnung dieser beiden Methoden
der Lageregelung ist unterschiedlich. Im
deutschen und teilweise im englischen
Sprachraum wird von der direkten bzw. indirekten Methode gesprochen. Diese Bezeichnungen sind wenig zutreffend, weil
strenggenommen beide Verfahren direktsind. Im einen Fall wird die Strichteilung auf
dem Maßstab, im anderen Fall die Steigung
der Kugelgewindespindel als Maßverkörperung genutzt. Der Drehgeber dient dabei­lediglich als Interpolationshilfe. Geeigneter
erscheinen die japanischen Bezeichnungen„Semi – Closed Loop“ und „Closed Loop“.
Sie treffen den eigentlichen Zusammenhang
besser.

Trend der Antriebstechnik in Richtung­digitaler Achse
Durch den Trend der Antriebstechnik in Richtung digitaler Achsen verfügt ein großer Teilder neuen Servomotoren über Antriebsdrehgeber, die zusammen mit der Vorschubspindel prinzipiell zur Lageregelung verwendet werden können. Mit einem solchen
Antrieb muss entschieden werden, ob ein
zusätzliches Längenmessgerät eingesetzt
wird, oder ob die Vorschubspindel zusammen mit dem ohnehin vorhandenen Antriebsdrehgeber ausreicht.
Die im Folgenden betrachteten Probleme
der Positionserfassung mit Spindel/Dreh­geber-Systemen sollten bei solchen Entscheidungen nicht aus den Augen verloren
werden. Sie können eine vermeintlich preiswerte Maschine teuer werden lassen, wenn
festgestellt wird, dass deren Genauigkeit
nicht ausreicht.

Geschwindigkeitsregler

xist

Abbildung 1: 	Typisches Vorschubsystem einer numerisch gesteuerten Werkzeugmaschine mit Längenmessgerät und Antriebsdrehgeber. Im Gegensatz zur Lageregelung mit Spindel/Drehgeber wird mit dem Längenmessgerät die Vorschubmechanik vom
Regelkreis eingeschlossen.

2Positionierfehler durch mechanische Einflüsse

Kinematische Fehler

Kinematische Fehler, die der Positionserfassung über Vorschubspindel und Drehgeber
direkt zugeordnet werden können, ent­stehen
durch Steigungsfehler der Kugelgewindespindel, durch Spiel in der Vorschubmechanik undden sogenannten Steigungsverlust. Steigungsfehler wirken sich direkt auf das
Messergebnis aus, weil die Gewindesteigung des Kugelgewindetriebs als Maßverkörperung für die Längenmessung genutzt
wird. Spiel in der Vorschubmechanik führt
zu Umkehrspannen. Steigungsverlust tritt
beim Anfahren von Kugelgewindetrieben mit
Zwei-Punkt-Vorspannung infolge einer Verlagerung der Kugeln auf und kann zu Umkehrfehlern in der Größenordnung von 1 µm
bis 10 µm führen (vgl. Schröder, Wilhelm:
Feinpositionierung mit Kugelgewindetrieben).
Fehlerkompensation
Die Kompensation von solchen Steigungsfehlern und Umkehrspannen ist mit den
meisten Steuerungen möglich. Zur Bestimmung der Kompensationswerte sind jedoch
aufwendige Messungen mit externen Messgeräten wie Interferometern und Kreuzgittermessgeräten nötig. Zudem sind die Umkehrspannen oft nicht über längere Zeiträume
stabil und müssen deshalb entsprechend
nachkalibriert werden (Abbildung 2).

5 µm/div

5 µm/divY

Y

HEIDENHAIN

HEIDENHAIN
X

X

ACCOM

ACCOM

Neu

1 Jahr alt

Abbildung 2: 	Kreisformtests eines Bearbeitungszentrums ohne Längenmessgeräte im
Neu­zustand und nach einem Jahr. Das Umkehrspiel hat in der X-Achse
deutlich ­zugenommen.

5 µm/divY

Y

HEIDENHAIN

HEIDENHAIN

Verformung der Vorschub­mechanik durch Kräfte

Kräfte, die zur Verformung der Vorschubmechanik führen, bewirken eine Verschiebung
der tatsächlichen Achsschlitten-Position gegenüber der mit Vorschubspindel und Drehgeber erfassten Position. Sie sind im Wesentlichen Massenkräfte beim Beschleunigen desSchlittens, Prozesskräfte der Zerspanung und
Reibungskräfte in den Führungen. Die mittlere axiale Steifigkeit einer Vorschubmechanik nach Abbildung 1 liegt im Bereich von
100 N/µm bis 200 N/µm (bei Abstand zwischen Kugelgewindemutter und Fest­lager
von 0,5 m und einem Durchmesser der Kugelgewindespindel von 40 mm).
Schnittkräfte
Die Schnittkräfte können zwar ohne weiteres im kN-Bereich liegen, wirken abernicht nur auf das Vorschubsystem, sondern
auf die gesamte Struktur der Maschine undsomit zwischen Werkstück und Werkzeug.
Die Verformung des Vorschubsystems hat
somit an der Gesamtverformung der Maschine in der Regel nur einen geringen Anteil. Mit einem Längenmessgerät kanndementsprechend maximal dieser geringe
Anteil erkannt und ausgeregelt werden.
Maßkritische Bauteile werden zudem
meist mit kleinen Vorschubkräften unddementsprechend geringen Verformungender Maschine geschlichtet.

5 µm/div

f = 2, 4, 6 m/min
R = 10 mm

X

X

ACCOM

Lageregelung mit Spindel/Drehgeber

ACCOM

Lageregelung mit Längenmessgerät

Abbildung 3: 	Kreisformtests eines mit Längenmessgeräten nachgerüsteten
Bearbeitungs­zentrums. Mit Lageregelung via Spindel/Drehgeber weichen
die Kreise bei h­ öheren Vorschubgeschwindigkeiten von der Idealform erheblich ab. Mit ­Längenmessgeräten ist die Konturtreue deutlich besser.

Beschleunigungskräfte
In Verbindung mit einer typischen Schlittenmasse von 500 kg und einer moderaten
Beschleunigung von 4 m/s2 ergeben sich
Verformungen von 10 µm bis 20 µm, dievom Spindel/Drehgeber-System nicht erkannt werden können. Da der allgemeine
Trend der möglichen Beschleunigungen in
deutlich höhere Bereiche geht, werden hierzunehmend große Verformungen auftreten.
Reibungskräfte
Die Reibungskräfte in den Führungen liegen je nach Art der Lagerung zwischen 1 %bis 2 % der Normalkraft für Rollenführungen und 3 % bis 12 % der Normalkraft
für Gleitführungen (vgl. VDW-Bericht 0153:
Untersuchung von Wälzführungen zur Ver-besserung des statischen und dynamischen Verhaltens von Werkzeugmaschinen). Mit einer Normalkraft von 5000 N
ergeben sich somit Verformungen der Vorschubmechanik von 0,25 µm bis 6 µm.
Kreisformtest zur Überprüfung vonWerkzeugmaschinen
Ein typisches Beispiel für beschleunigungsund geschwindigkeitsabhängige Fehlersind die an einem Vertikal-Bearbeitungszentrum aufgenommenen Kreisformtests (Abbildung 3). Im Fall der Lageregelung mit
Spindel und Drehgeber weichen die Kreise
bei höheren Bahngeschwindigkeiten erheblich von der Idealform ab. Mit Längenmessgeräten zeigt dasselbe Bearbeitungszentrum eine deutlich bessere Konturtreue.
3

Positionierfehler aufgrund der Erwärmung der Spindel

Positionierfehler aufgrund der Erwärmung
der Kugelgewindespindel stellen das größte Problem der Positionserfassung überSpindel und Drehgeber dar. Ihre Ursache
liegt in der Doppelfunktion des Kugelgewindetriebs, der einerseits die Drehbewegung des Servomotors möglichst steif ineine lineare Vorschubbewegung umsetzen
soll, andererseits aber auch als präzise
Maßverkörperung dienen muss. Diese
Doppelfunktion stellt einen problematischen Kompromiss dar, weil sowohl die
Steifigkeit als auch die Erwärmung von der
Vorspannung der Kugelgewindemutter und
der Festlager abhängen. In erster Näherung ist die axiale Steifigkeit der Kugelgewindemutter ebenso wie ihr Reibmoment
der Vorspannung proportional.
Reibung in der Spindelmutter
In der Kugelgewindemutter wird in der Regel der größte Teil der Reibung eines Vorschubsystems erzeugt. Die Ursache hierfürliegt in der komplexen Kinematik einer Kugelgewindemutter. Entgegen der auf den ersten Blick rollenden Bewegung der Kugeln
tritt in Kugelgewindetrieben ein erheblicher
Anteil an Gleitreibung auf. Neben dem Mikroschlupf infolge von Relativbewegungenin den eingedrückten Kontaktbereichen tritt
vor allem Makroschlupf infolge kinematischer Zwangsbedingungen auf. Die Kugeln

sind in den Gewindegängen nicht vollständig geführt und taumeln deshalb wie „Tennisbälle in der Regenrinne”. Ein ständiges
Drängeln und Schieben mit zeitweisem Rutschen der Kugeln ist die Folge. Die Reibung
zwischen den Kugeln ist durch die hohe Flächenpressung infolge des fehlenden Trennkäfigs beträchtlich. Wie in jedem Schrägkugellager tritt Bohrreibung wegen des nicht
orthogonal zur Drehachse der Kugeln stehenden Berührungsdurchmessers auf. JedeKugel dreht sich deshalb um den Berührungsdurchmesser. Untersuchungen haben
zudem gezeigt, dass die Bewegung der Kugeln im Gewinde nur durch einen von derGewindesteigung verursachten zusätzlichen
Gleitanteil möglich ist (vgl. Weule, Hartmut /Rosum, Jens: Optimization of the friction
behaviour of ball screw drives through WC/C
coated roller bodies).
Das Rückführsystem ist eine besondere
Problemzone von Kugelgewindetrieben. Bei
jedem Eintritt in das Rückführsystem wird
ebenso wie beim Austritt die Bewegung derKugel vollständig verändert. Unter anderem
muss die Rotationsenergie der Kugel, diesich im Eilgang mit typisch 8000 U/min
dreht, jeweils auf- und abgebaut werden. Im
Gegensatz zum vorgespannten Gewindebereich stehen die K­ ugeln in der Rückführung
nicht unter Vorspannung. Aus energetischen

Gründen ist das Rückführsystem deshalb
ein bevorzugter Aufenthaltsort für die Kugeln. Ohne trickreiche Maßnahmen zum
Wiedereinführen der Kugeln in das Gewinde am Ende des Rückführsystems entsteht
ein Stau im Rückführsystem, der zum bekannten Klemmen des Kugelgewindetriebs
führen kann.
Das Reibmoment eines geschliffenen Präzisionskugelgewindetriebs mit 40 mm Durchmesser und 10 mm Steigung wurde vonGolz (vgl. Golz, Hans Ulrich: Analyse, Modellbildung und Optimierung des Betriebsverhaltens von Kugelgewindetrieben) fürverschiedene Vorspannungen und Drehzahlen gemessen (Abbildung 4). Deutlich erkennbar ist die Stribeck-Charakteristik desReibmoments. Sie bestätigt den hohen Anteil an Festkörper- und Mischreibung in Kugelgewindetrieben bei niedrigen Drehzahlen. Bei hohen Drehzahlen dominiert die
viskose Reibung. Interessant ist, dass fürdiesen typischen Kugelgewindetrieb die normalen Bearbeitungsvorschübe weit unterhalb des Minimums im Reibmoment liegen.
Die Eilgangvorschübe liegen hingegen weit
oberhalb. Der optimale Wirkungsgrad dieses
Kugelgewindetriebs ist deshalb nicht nutzbar. Das Reibmoment ist nur schwach abhängig von der axialen Belastung der Kugelgewindemutter (vgl. ebd.).

t
af
kr
n
n
pa
rs
o
V

Reibmoment

Reibmoment 

Nenndurchmesser
40,00 mm
Steigung
10,00 mmAxialkraft
0,00 N
Kontaktwinkel
45,00 Grad
Kugeldurchmesser
6,35 mmInterne Kugelrückführung, kein Abstreifer

Misch­
Viskose Reibung
reibungU/min

Spindeldrehzahl Abbildung 4: 	Gemessenes Reibmoment eines 2-Punkt-vorgespannten Kugelgewindetriebs (vgl. ebd.).
Die Stribeck-Charakteristik ist deutlich zu e
­ rkennen.

4Drehzahl n

In der Spindelmutter erzeugte­Reibungswärme
Mit einer typischen Vorspannung von 3 kN
und unter Berücksichtigung des fehlenden
Abstreifers ergibt sich ein Leerlauf- oder
Reibmoment von 0,5 Nm bis 1 Nm. Das bedeutet, dass im Eilgang bei einer Drehzahl
der Kugelgewindespindel von 2000 U/min
ca. 100 W bis 200 W Reibungswärme inder Kugelgewindemutter erzeugt werden.
Zukünftig mehr Reibungswärme
Mit zunehmender Eilganggeschwindigkeit
muss entweder die Steigung oder die
Drehzahl der Kugelgewindespindel erhöht
werden. In den letzten 5 Jahren wurde die
maximal zulässige Drehzahl von Kugelgewindetrieben verdoppelt, die Vorspannung
und damit die Reibung der Mutter konnte
wegen der ständig steigenden Anforderung an das Beschleunigungsvermögen der
Kugelgewindetriebe nicht reduziert werden. Die Wärmeentwicklung in Kugelgewindetrieben hat deshalb deutlich zugenommen und wird auch in Zukunft weitersteigen.

Messung der Positioniergenauigkeit
nach ISO 230-3
Der Einfluss dieser Reibungswärme auf
das Positionierverhalten der Vorschubachse
wird deutlich, wenn Positioniertests nach
der internationalen Norm ISO/DIS 230-3
durchgeführt werden. Diese Norm beinhaltet Vorschläge, wie thermische Verlagerungen von Dreh- und Fräsmaschinen infolge von externen und internen
Wärmequellen einheitlich gemessen werden können (Abbildung 5).
Verformungen der Maschinenstruktur als
Folge von Veränderungen der Umgebungsbedingungen oder durch Wärmeentwicklung im Hauptspindelantrieb werden mit
Hilfe von 5 Tastern, die gegen einen in derWerkzeugaufnahme eingespannten Messzylinder messen, aufgenommen. Dadurch
ist die Bestimmung aller 5 relevanten Freiheitsgrade möglich. Zum Testen der Vorschubachsen wird vorgeschlagen, eine
wiederholte Positionierung auf zwei
Punkte, die möglichst nahe an den Enden

Gestelldeformation

Achsendrift– Umgebungseinfluss– Einfluss Hauptspindelwärme– Erwärmung Kugelgewindespindeldes Verfahrbereichs liegen, mit einem vorher vereinbarten Prozentsatz der Eilganggeschwindigkeit durchzuführen. Die Veränderung der Positionen gegenüber den
Ausgangswerten wird protokolliert. Der
Test ist bis zum sicheren Erkennen eines
Sättigungseffekts durchzuführen. Außer
dem Laserinterferometer können auch einfachere Testmittel wie z. B. Messuhren fürden Achsentest verwendet werden. Dadurch sind solche Untersuchungen in jeder
Werkstatt ohne großen Aufwand durchführbar.

Abbildung 5:	Messung der thermischen Verlagerungen eines Bearbeitungszentrums
nach ISO/DIS 230-3.

5Einfluss der Lagerung des Kugelgewindetriebs
auf die Positioniergenauigkeit
Je nachdem ob die Kugelgewindespindelsich frei ausdehnen kann oder nicht sindunterschiedliche Verhalten bei solchen Achsentests zu erwarten. Die verschiedenen
Arten der Lagerung von Kugelgewindespindeln sind in Abbildung 6 dargestellt.
Einseitig feste Lagerung
Im Fall der fest/lose Lagerung wird sich die
Kugelgewindespindel entsprechend ihres
Temperaturprofils ausgehend vom Festlager frei ausdehnen. Der thermische Nullpunkt einer solchen Vorschubachse liegt
am Ort des Festlagers. D. h., theoretischwürde nur dann keine thermische Verlagerung feststellbar sein, wenn die Kugelgewindemutter sich am Ort des Festlagers
befindet. Alle anderen Positionen sind vonder thermischen Dehnung der Kugelgewindespindel betroffen.

Einseitig feste Lagerung (fest/lose), siehe Abbildung 7

Beidseitig feste Lagerung (fest/fest), siehe Abbildung 10

Fest vorgespannte Lagerung (fest/vorgespannt), siehe Abbildung 11
50 µm/mBild 6: Unterschiedliche Arten der Lagerung von Kugelgewindespindeln in Vorschubachsen.

Trotz der moderaten Vorschubgeschwindigkeit von 10 m/min (Eilgang 24 m/min) verschiebt sich die weit vom Festlager der­Kugelgewindespindel entfernte Position­innerhalb von 40 min um mehr als 110 µm.
Interessant ist, dass die Drift sofort nachdem Einschalten sehr schnell ansteigt.
Jede Änderung der durchschnittlichen Vorschubgeschwindigkeit in einem Fertigungsprozess wirkt sich deshalb sofort auf die
Positioniergenauigkeit aus. Ähnliche Ergebnisse wurden auch von Schmitt veröffentlicht (vgl. Schmitt, Thomas: Modell der Wärmeübertragungsvorgänge in dermechanischen Struktur von CNC-gesteuerten Vorschubsystemen).

6

Drift der Position in µm 

40 minAbbildung 7 zeigt das Ergebnis eines Positionierversuchs nach ISO/DIS 230-3 aneinem mit Längenmessgeräten nachgerüsteten Vertikal-Bearbeitungszentrum (Baujahr 1998). Drei Positionen auf der X-Achse
wurden insgesamt 100-mal mit 10 m/min
angefahren. Unter Berücksichtigung derStillstandszeiten zur Messwerterfassung
betrug die mittlere Verfahrgeschwindigkeit
während des Tests ca. 4 m/min. Zusätzlich
zu den zwei in der Norm empfohlenen Positionen an den Endlagen wurde eine dritte
Position in der Mitte des Verfahrbereichs
mit aufgenommen. Abbildung 7 zeigt dieeinseitigen, auf ihren Anfangswert bezogenen Positionswerte. Die Lageregelung erfolgte zuerst über das Spindel/Drehgeber-System. In einem zweiten Versuch
wurden die Längenmessgeräte unter ansonsten gleichen Bedingungen verwendet.
Das Vergleichsmessgerät war ein VM 101
der Firma ­HEIDENHAIN.

20

Längenmessgerät

0
-20

0 mm

-40
-60
360 mmSpindel/Drehgeber

-80
-100
-120

720 mmZeit in min 

Abbildung 7: 	Drift dreier Positionen bei der Messung der Positioniergenauigkeit nach
ISO/DIS 230-3 an einem BAZ mit fest/lose gelagerten Kugelgewindespindeln. Bei der Positionserfassung mit Spindel und Drehgeber ist eine deutliche Drift der Positionen i­nfolge des thermischen Wachstums der Kugelgewindespindel zu erkennen.

Keine Drift der mit Längenmessgeräten
erfassten Position
Die gemessene Positioniergenauigkeit
hängt gerade im Fall weniger Wiederholungen direkt von der Anzahl der Wieder­
holungen ab. Die Messung mit den nachgerüsteten Längenmessgeräten zeigt
keine Drift.

Serienfertigung
Um die Übertragbarkeit dieses Versuchs auf
reale Produktionsbedingungen zu demonstrieren, wurde auf der gleichen Maschine
eine kleine Serie von Aluminiumwerkstücken gefertigt. Dazu wurden 8 Spannposi­tionen eingerichtet und Werkstücke von
70 mm x 70 mm Grundfläche nach dem
Einschalten bearbeitet. Mit insgesamt
4 Werkzeugen wurden 4 Taschen und 2 Radien mit einer Zustellung in Z von 1 mm gefräst (Abbildung 8).

Nach der 6minütigen Bearbeitung wurden
die 8 Teile nicht ausgetauscht, sondern lediglich die Zustellung in Z um 1 mm erhöht.
Infolge der Dehnung der Kugelgewindespindel zeigen alle Werkstücke auf derlinken Seite ein Treppenmuster. Besonders
deutlich ausgeprägt ist dieses Muster bei
dem am weitesten vom Festlager aufgespannten Werkstück. Die rechten Seiten
sind glatt, weil durch die Verschiebung derWerkstücke in positiver X-Richtung bei jeder neuen Bearbeitung auch die alten Stufen weggefräst wurden. In Y-Richtung ist
prinzipiell derselbe Effekt wie in der X-Achse zu beobachten. Wegen der geringen Bewegung der Y-Achse ist das Treppenmuster
jedoch deutlich schwächer. In X-Richtung
zeigt die Vermessung des Treppenmusters
eine Drift von ca. 90 µm mit einer Zeitkon­
stante der Erwärmung von einer knappen
Stunde (Abbildung 9).

Beidseitig feste Lagerung
Im Fall der fest/fest Lagerung sind die Zusammenhänge komplizierter. Mit ideal steifen Lagern würde die Dehnung der Kugelgewindespindel an ihren Endpunkten
verhindert. Die hierzu erforderlichen Kräfte
sind jedoch beträchtlich. Um die Dehnung
einer Kugelgewindespindel mit 40 mm
Durchmesser zu verhindern, sind pro Grad
Erwärmung 2,6 kN von den Lagern aufzubringen. Ein übliches Schrägkugellager wäre
bei größerer Erwärmung schnell überfordert. Unter realen Bedingungen liegt die
Steifigkeit der ´Festlager´ mit ihren Lagersitzen in der Größenordnung von 800 N/µm.
D.h., bei Erwärmung der Kugelgewinde­spindel werden sich die Lager deutlich verformen. Die Endpunkte der Kugelgewinde­spindel verbleiben nicht an ihrem ursprünglichen Ort. Der gleiche Versuch wie in Abbildung 7 wurde an einem Vertikal-BAZ (Baujahr 1998) mit beidseitig fest gelagerter Kugelgewindespindel durchgeführt. Der
mechanische Aufbau der untersuchten 1 m
langen Vorschubachse war sehr steif. Auf
beiden Seiten der Kugelgewindespindel
wurden gleiche Lager mit direkt im Gusseingearbeiteten Lagersitzen verwendet.

Werkzeug 2

Werkzeug 3

Werkzeug 4

Zeit / 8 Werkstücke = 6 min

Abbildung 8: 	Versuchsanordnung zur Serienfertigung mit Mehrfachaufspannung. Mit insgesamt 4 Werkzeugen wurden 4 Taschen und 2 Radien jeweils 1 mm tief
gefräst. Zum Nachweis der thermischen Drift infolge der Erwärmung derKugelgewindespindel wurden die Werkstücke nach der Bearbeitung nicht
ausgetauscht, sondern lediglich die Tiefenzustellung erhöht.

2hDrift des Maschinennullpunkts in µm 

Wenn vorbearbeitete Werkstücke mit kritischen Anschlussmaßen weiterbearbeitet
werden sollen, muss während dieser Stunde der Maschinennullpunkt ständig überprüft und korrigiert werden. Nach einer
Stunde ist die Maschine zwar im thermischen Gleichgewicht, driftet aber bei
einem Bearbeitungsstopp genauso in umgekehrter Richtung. Wenn das Bearbeitungsprogramm und damit die mittlere Vorschubgeschwindigkeit gewechselt wird,
dauert es ebenfalls wieder ca. 1 Stunde,bis die Kugelgewindespindel ihr thermisches Gleichgewicht erreicht hat.

8 Werkstücke

Werkzeug 1

Drift

100
80
60
40
Kugelgewindespindel/­Drehgeber

20
0

0

5

10

15

20

Längenmessgerät-20
Stufe bzw. Tiefenzustellung in mm 

Abbildung 9: 	Ergebnis des Versuchs zur Abbildung 8. Die linke Tasche der gefertigten
Werkstücke zeigt ein deutliches „Treppenmuster“ infolge der Erwärmung
der Kugelgewindemutter.

7

Fest vorgespannte Lagerung
Für Verfahrprogramme mit hohen Durchschnittsgeschwindigkeiten ist diese Art derLagerung problematisch, weil die Belastung
der Lager zu Lasten der Lebenserwartung
geht und die aufzunehmenden Kräfte zur
Verformung der Maschinenstruktur führen.
Deshalb wird oft im Sinne eines Überdruckventils die fest/vorgespannte Lagerung verwendet (Abbildung 6). Mit einer üblichen
Vorspannung von 50 µm/m würde man erwarten, dass sich eine solche Lageranordnung bis zu einer Erwärmung um ca. 5 K
wie eine fest/fest-Kombination verhält, darüber hinaus wie eine fest/lose-Kombination.
Abbildung 11 zeigt das Ergebnis eines entsprechend den vorab beschriebenen Versuchen durchgeführten Positioniertests aneinem Bearbeitungszentrum mit fest/vorgespannt gelagerten Kugelgewindespindeln. Erstaunlicherweise kann trotz fest/
vorgespannter Lagerung eine Positionsdrift
wie in Abbildung 7 beobachtet werden.
D.h., die Vorschubachse verhält sich in erster Näherung wie eine fest/lose-Anordnung. Der thermische Nullpunkt scheint inder Nähe des Festlagers zu liegen. Im Gegensatz zu den beiden vorangegangenen
Versuchen konnte diese Achse nicht um einen Meter sondern nur um 500 mm verfahren werden. Die Größenordnung derDrift ist deshalb nicht vergleichbar.
Dieser Versuch zeigt, dass das einfache
Modell der fest/vorgespannt gelagerten Kugelgewindespindel der Realität nicht standhält. In der Regel ist die Seite mit dem abhebbaren Lager deutlich weniger steif als
die Festlagerseite. Die Ursache hierfür liegt
in dem notwendigerweise unterschiedlichen Aufbau der beiden Lagerstellen.
Während die eine Seite als echtes Festlager mit in sich verspannten Lagern auchdann noch als Festlager fungieren muss,
wenn die zweite Seite abgehoben hat, verliert die zweite Seite mit zunehmender Erwärmung ihre Vorspannung und damit auchihre Steifigkeit.
8

Positionsdrift in µm

30
0 mm

20
10
0
0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

450 mm-10-20
900 mm-30-40

Zeit in min

Abbildung 10:	Drift dreier Positionen bei der Messung der Positioniergenauigkeit nach
ISO/DIS 230-3 an einer Vorschubachse mit beidseitig fest gelagerter Kugelgewindespindel. Infolge der Positionserfassung mit Spindel und Drehgeber
ist eine deutliche Drift der Positionen infolge des thermischen Wachstums
der Kugelgewindespindel zu erkennen.

Positionsdrift in µm 

Die Messergebnisse in Abbildung 10 zeigen den theoretisch erwarteten Verlauf.
Die Endpunkte der Kugelgewindespindelkönnen nicht an ihrem Ort gehalten werden und bewegen sich jeweils um 20 µm
bis 30 µm in Richtung der durch Erwärmung erzeugten Kraft. Im Vergleich zu Abbildung 7 ist die Gesamtdehnung der Kugelgewindespindel um ca. 50 % geringer.
D.h., die beidseitig feste Lagerung konnte
die Dehnung halbieren. Der thermische
Nullpunkt der Vorschubachse scheint in derMitte des Verfahrbereichs zu liegen. Das ist
auch zu erwarten, weil die Lager in guter
Näherung gleiche Steifigkeiten haben, unddie Kugelgewindespindel gleichmäßig überihre gesamte Länge erwärmt wurde.

50
40

500 mm

30
250 mm

20
10

0 mm
0
0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

-10
Zeit in min 

Abbildung 11:	Drift dreier Positionen bei der Messung der Positioniergenauigkeit nach
ISO/DIS 230-3 an einer Vorschubachse mit fest/vorgespannt gelagerter Kugelgewindespindel. Infolge der Positionserfassung mit Spindel und Drehgeber ist eine deutliche Drift der Positionen zu erkennen.

Einfluss der Temperaturverteilung entlang der Kugelgewindespindel

Neben dem Verhältnis der Lagersteifigkeiten hängt die Lage des thermischen
Nullpunkts insbesondere von der Temperaturverteilung entlang der Kugelgewinde­spindel ab. Abbildung 12 zeigt eine Thermographieaufnahme eines Kugelgewindetriebs
nach mehrstündigem Reversierbetrieb zwischen zwei 150 mm voneinander entfernten
Punkten. Wie deutlich zu erkennen ist, verbleibt die Erwärmung auch nach mehreren
Stunden fast ausschließlich in dem Bereich,den die Kugelgewindemutter beim Verfahren überdeckte. Die Erwärmung der Kugelgewindespindel und damit die thermische
Dehnung ist demnach sehr lokal begrenzt.

Ein einfaches Rechenbeipiel zeigt dies
deutlich (Abbildung 13). Eine lokale Erwärmung um 10 K entsprechend dem rot angedeuteten Temperaturverlauf würde bei
einer 1 m langen Kugelgewindespindel mit
einseitig fester Lagerung Positionierfehler
entsprechend der grünen Fehlerkurve erzeugen. Eine beidseitig feste Lagerung mit
700 N/µm Lagersteifigkeit würde eine Fehlerkurve entsprechend der blauen Kurve erzeugen. Infolge der von den Lagern ausgeübten Kräfte wird die Kugelgewindespindel
an den nicht erwärmten Enden gestaucht.
Der mittlere Teil der Kugelgewindespindel
dehnt sich infolge der Erwärmung mit nahezu der gleichen Steigung wie im fest/losegelagerten Fall.
Der maximale Positionsfehler im fest/fest
gelagerten Fall erreicht mit 22 µm etwa 2/3
des Fehlers, der im fest/lose gelagerten
Fall auftritt.

Abbildung 12:	Lokale Erwärmung einer Kugelgewindespindel im Verfahrbereich der Kugel­
gewindemutter nach 6-stündigem Reversierbetrieb mit 24 m/min zwischenzwei 150 mm voneinander entfernten Punkten (vgl. A. Frank / F. Ruech: Position measurement in CNC Machines). Für diese Thermografieaufnahme
wurde der Maschinentisch am Ende des Verfahrprogramms zur Seite gefahren. Zu erkennen ist der Riemenantrieb, das Festlager und die Kugelgewindespindel.

+10 K

 40 (35)mm
1m
700 N/µm

700 N/µm
0 N/µmPositionierfehler in µm

Da von den Lagern der Kugelgewindespindel bestenfalls eine gleichmäßige mechanische Spannung und damit eine konstante
Dehnung entlang der Kugelgewindespindel
erzeugt werden kann, ist die Kompensation
von thermischen Dehnungen infolge lokaler Erwärmung nicht möglich.

40

20

0
0.5

20

1

Position in m 

Abbildung 13:	Positionierfehler einer Semi-Closed-Loop Anordnung infolge lokaler­Erwärmung der Kugelgewinde­spindel.
9Gegenmaßnahmen

Die Versuchsergebnisse zeigen, dass die
Erwärmung der Kugelgewindespindel infolge der Reibung in den Lagern und vor
allem in der Kugelgewindemutter zu erheblichen Positionierfehlern führt, wenn die
Achse im Semi-Closed Loop betrieben
wird. Um diese Fehler zu vermeiden, werden neben der Verwendung von Längenmessgeräten auch der Einsatz von hohlgebohrten Kugelgewindespindeln, die mit
einem Kühlmedium durchströmt werdensowie rein softwaretechnische Kompensationen in der Steuerung diskutiert.

Positionsabweichung in µm 

Gekühlte Kugelgewindespindel
Der Kreislauf des Kühlmediums erfordert
eine Bohrung in der Kugelgewindespindel
und Drehdurchführungen in der Nähe derSpindellager. Abgesehen von den Dichtungsproblemen wird durch die Bohrungdie m­ echanische Steifigkeit der Kugelgewindespindel in der ohnehin schwachen
Zug/Druck-Richtung reduziert. Das größte
Problem stellt jedoch die Bereitstellungeines ausreichend genau temperierten
Kühlmediums dar. 1 °C Temperaturänderung ändert die Länge einer 1 m langen­Kugelgewindespindel um 11 µm. Vor dem
Hintergrund der beträchtlichen abzuführenden Wärmemengen ist die Einhaltung einer
Temperaturkonstanz von < 1 K nicht einfach. Dies gilt insbesondere, wenn die
Hauptspindel bzw. deren Lagerung mit
demselben System gekühlt wird. Die er­
forderlichen Kühlleistungen können dannleicht im kW-Bereich liegen. Die Temperaturkonstanz von vorhandenen Hauptspindelkühlungen ist meist deutlich schlechterals 1 K. Ihr Einsatz zur Temperierung derKugelgewindespindel ist deshalb oft nicht
möglich. Um Kosten zu sparen, werden inden Kühlsystemen gerne schaltende Regler eingesetzt. Da jeder Schaltvorgang voneiner Temperaturüberschreitung ausgelöst
wird, kann der einzelne Schaltvorgang auchals Längenänderung der gekühlten Kugelgewindespindel und damit als Positionierfehler der Achse beobachtet werden.
Abbildung 14 zeigt das Ergebnis eines Positionierversuchs an einem vertikalen BAZ
mit flüssigkeitsgekühlten, fest/lose gelagerten Kugelgewindespindeln. Während desVersuchs wurde die Achse mit 2,5 m/min
langsam zwischen zwei 500 mm voneinander entfernten Punkten bewegt. Der max.
Verfahrbereich betrug 800 mm. Die Positionsdrift der vom Festlager weiter entfernten
Position wurde beobachtet. Deutlich sichtbar ist das Schalten des Temperaturreglers.
Seine Hysterese betrug 1 K. Gegen­über der
ungekühlten Semi-Closed Loop ­Anordnung
wird die Positionsdrift deutlich reduziert.
Die Schaltvorgänge erzeugen jedoch relativ
schnelle P­ ositionsänderungen, die sich bei
der Bearbeitung von Werkstücken mit kurzer Bearbeitungszeit stärker auswirken als
die langsame Positionsdrift im Fall der ungekühlten Semi-Closed Loop Anordnung.
Software-Kompensation
Die Kompensation thermischer Verformungen mit Hilfe von analytischen Modellen, neuronalen Netzen und empirischen
Gleichungen wird vielfach untersucht. Das
Interesse gilt hierbei jedoch meist den
Verformungen der Werkzeugmaschinenstruktur infolge von internen und externen
Wärmequellen. Untersuchungen zur Kompensation der Achsendrift haben d­ agegeneinen geringen Stellenwert.
Insgesamt werden die Möglichkeiten solcher Softwarekompensationen im heutigen

10
Längenmessgerät

0
-10

0

10

20

30

40

gekühlte Spindel/Drehgeber

-20
-30
-40
-50

ungekühlte Spindel/Drehgeber

Zeit in min

Abbildung 14:	X-Achse eines Vertikal-BAZ mit flüssigkeitsgekühlter Kugelgewindespindel mit
fest/lose Lagerung. Drift der vom Festlager entfernten Endposition bei Reversierbetrieb über 500 mm (Verfahrbereich 800 mm) mit 2,5 m/min. Die Achse
war zu Testzwecken zusätzlich mit einem Längenmessgerät ausgerüstet.
10

EDV-Umfeld häufig überschätzt. Eine im
Labor einwandfrei arbeitende Kompensation ist in der Regel mit viel Aufwand an die
spezielle Testmaschine angepasst worden.
Die einfache Übertragung auf Maschinen
aus einer Serienproduktion ist ohne aufwendige, individuelle Anpassung in der Regel
nicht möglich. Am Beispiel der Vorschub­achse zeigt sich mit welchen Variationen
der Eingangsparameter zu rechnen ist.
Zur Kompensation der Dehnung der Kugelgewindespindeln muss deren Temperatur inAbhängigkeit von der Position bekannt sein,
weil je nach Verfahrprogramm lokale Erwärmungen auftreten. Die direkte Temperaturmessung der rotierenden Kugelgewinde­spindel ist jedoch sehr aufwendig. Deshalb
wird oft versucht, die Temperaturverteilung
zu berechnen. Dies ist analytisch möglich,wenn für einzelne Abschnitte der Kugelgewindespindel die Wärmebilanz aufgestellt
werden kann. Der Wärmeeintrag in einensolchen Abschnitt erfolgt durch Reibung inder Kugelgewindemutter, durch Wärmeleitung entlang der Kugelgewindespindel unddurch Wärmeaustausch mit der Umgebung.
Die Reibung der Kugelgewindemutter
hängt nahezu linear von der Vorspannung
der Mutter und in komplizierter Weise vonder Art, Menge und Temperatur desSchmiermittels ab. Die Vorspannung der
Mutter ändert sich üblicherweise um ±10%
bis ±20% in individuell von der Kugelgewindespindel abhängiger Weise über deren
Verfahrbereich. Im Laufe der ersten 6 Monate sind Abnahmen der durchschnittlichen
Vorspannung auf 50% des ursprünglichen
Wertes üblich. Aufgrund der statisch mehrfach überbestimmten Einbausituation der
Kugelgewindespindel sind Klemmeffekte
mit entsprechender Reibungszunahme
nicht zu vermeiden. Schon diese wenigen
Beispiele zeigen, dass die Berechnung dertatsächlichen Reibungswärme problematisch ist. Die Berechnung der Wärmeabgabe
gestaltet sich ähnlich schwierig, weil sie
stark von den meist unbekannten Umgebungsbedingungen abhängt. Schon die
Lufttemperatur in der Umgebung der Kugelgewindespindel ist in der Regel unbekannt,
spielt aber eine entscheidende Rolle bei der
Berechnung der Wärmeabgabe.
Insgesamt läßt sich sicherlich feststellen,
dass eine Softwarekompensation der Ausdehnung der Kugelgewindespindel ohne
zusätzliche Temperatursensorik schon im
einfachen Fall der fest/lose gelagerten Kugelgewindespindel wenig erfolgversprechend ist. Im Fall der fest/fest und fest/vorgespannten Lagerung müssen zusätzlich
die Lagersteifigkeiten und die vorspannungsabhängige Reibung in den Lagern
berücksichtigt werden. Die Kompensation
erschwert sich dadurch noch weiter.

Der Vergleich mit den üblichen geometrischen Fehlern führt auf ähnliche Ergebnisse. Betrachtet man die Nick-, Roll- undGierfehler von Vorschubachsen von 16 verschiedenen NC-Maschinen, so zeigt sich,dass diese Fehler üblicherweise in der Größenordnung von 10 µm/m bis 50 µm/m liegen (Abbildung 16). Multipliziert man dieseWerte mit dem jeweiligen Abbe-Abstand,so ergibt sich der Positionierfehler. Erst bei
mehr als 1 m werden Werte erreicht, dieden Fehlern der Vorschubachse entsprechen.

10

X

0
-10
-20
Y

-30

-50

Z

Spindel an

-60
-70

0

1

2

3

4

5

Spindel aus

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16
Zeit in h rotatorische Verformung in µm/m 

Die Verformungen des zweiten BAZ sind in
Abbildung 15 dargestellt. Es zeigte untergleichen Bedingungen bei ebenfalls
6000 U/min maximale lineare Verformungen von {X: 5 µm, Y: 45 µm, Z: 55 µm}.
Die rotatorischen Verformungen betrugen
maximal {A: 25 µm/m, B: 10 µm/m}. Das
Dritte war mit einer höher drehenden Spindel und einer Mantelkühlung ausgerüstet.
Es zeigte bei 12000 U/min lineare Verformungen von {X: 5 µm, Y: 5 µm, Z: 40 µm}
und rotatorische Verformungen von maximal {A: 20 µm/m, B: 30 µm/m}. Im Vergleich
zu den Strukturdeformationen erreichen die
gemessenen Achsendriften mindestens die
gleiche Größenordnung. Insbesondere bei
fest/lose gelagerten Kugelgewindespindelnoder Maschinen mit effektiver Kühlung derHauptspindel sind die Positionierfehler der
im Semi-Closed-Loop betriebenen Vorschubachsen deutlich größer als die gemessenen Strukturdeformationen.

20

-40

40
30
20

Rotation um X

10Rotation um Y

0
-10
-20
-30
Spindel an

-40
-50

0

1

2

3

4

5

Spindel aus

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16
Zeit in h Abbildung 15:	Gestelldeformation eines Vertikal-Bearbeitungszentrums infolge der im
Haupt­spindelantrieb bei 6000 U/min ohne Last erzeugten Wärme.

Abweichung in µm/m

Nach dieser Betrachtung der temperatur­
bedingten Positionierfehler von Vorschub­achsen bleibt noch die Einordnung dieser
Fehler in die anderen statischen und quasistatischen Fehler der untersuchten Bearbeitungszentren. Bei allen drei Maschinen
wurden entsprechend ISO/DIS 230-3 auchdie Gestelldeformationen infolge der im
Hauptspindelantrieb freigesetzten Wärme
untersucht. Das erste BAZ zeigte nachmehrstündigem Betrieb mit der maximalen
Spindeldrehzahl von 6 000 U/min maximale
lineare Verformungen von {X: 5 µm,
Y: 60 µm, Z: 15 µm}. Die rotatorischen Verformungen betrugen maximal {A: 40 µm/m,
B: 70 µm/m}.

lineare Verformung in µm Vergleich der Positionierfehler mit anderen Fehlern

160
140
120

 Rollwinkel
 Nickwinkel
 Gierwinkel

100
80
60
40
20
0

500 550 600 650 700 750 900 950 1000 1200 1900 2000 2600 3200

Länge der X-Achse in mm 

Abbildung 16:	Nick-, Roll- und Gierwinkel von Vorschubachsen von 16 verschiedenen
NC-Maschinen
11

Fazit

Die thermische Dehnung der Kugelgewindespindel ist das Hauptproblem der Positionserfassung mit Spindel und Drehgeber.
Mit typischen Zeitkonstanten von 1 bis
2 Stunden entstehen je nach Art des Bearbeitungsprogramms Fehler in der Größenordnung von 0,1 mm. Dadurch überwiegendiese Positionierfehler oft die thermisch bedingten Strukturdeformationen und geometrischen Fehler von Bearbeitungszentren.
Nach jedem Wechsel des Bearbeitungsprogramms benötigt die Kugelgewindespindel
ca. 1 Stunde, um einen thermisch stabilen
Zustand zu erreichen. Dies gilt entsprechend auch für die Pausen in der Bearbeitung. Als Daumenregel für die thermische
Dehnung einer 1 m langen, kalten, einseitig
fest gelagerten Kugelgewindespindel gilt,
dass sie nach jedem Doppelhub über die
gesamte Länge um ca. 0,5 µm bis 1 µm
wächst. Die Bewegungen summieren sichdabei innerhalb der Zeitkonstanten.
Wenn die Anforderungen an Werkzeugmaschinen bezüglich Genauigkeit und Geschwindigkeit steigen, gewinnt die Positionserfassung mit einem Längenmessgerät
deshalb zunehmend an Bedeutung. In der
Diskussion um das richtige Messkonzept
sollte dies beachtet werden.

Literatur
Schröder, Wilhelm: Feinpositionierung
mit Kugelgewindetrieben, Fortschritts­
bericht VDI Reihe 1 Nr. 277, Düsseldorf;
VDI Verlag 1997
VDW-Bericht 0153: „Untersuchung vonWälzführungen zur Verbesserung desstatischen und dynamischen Verhaltens
von Werkzeugmaschinen”
Weule, Hartmut / Rosum, Jens: Optimization of the friction behaviour of ballscrew drives through WC/C coated roller
bodies, Production Engineering
Vol. 1/1 (1993)
Golz, Hans Ulrich: Analyse, Modell­bildung und Optimierung des Betriebsverhaltens von Kugelgewindetrieben,
Dissertation Uni Karlsruhe, 1990
Schmitt, Thomas: Modell der Wärme­übertragungsvorgänge in der mechanischen Struktur von CNC-gesteuerten
Vorschubsystemen,
Verlag Shaker, 1996
A. Frank / F. Ruech: Position measurement in CNC Machines ...
Lamdamap conference, Newcastle 1999

Weitere Informationen:          
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394843 · 01 · A · 01 · 10/2018 · PDF• Prospekt Längenmessgeräte fürgesteuerte Werkzeugmaschinen• Prospekt Drehgeber• Prospekt Messgeräte für elektrische
Antriebe