修士論文要約【鳥取大学数学教育研究，第 5 号，2003】

児童の問題解決過程における図の役割に関する研究−小学校 3 年生に対する授業分析を通して−
松田 由香里指導教官：溝口達也，矢部敏昭

Ⅰ. 研究の目的と方法
問題解決活動において，図をかくことが有用であることは Polya(1957) をはじめとする多くの研究者によりいわれてきた。そして，図をかくという活動は，効果的な問題解決ストラテジー
として教授において取り入れられてきた。
しかし，実際に児童はこの図をかくという活動を有用であると感じているのだろうか，児童は図に対してどのような役割を見い出しているのだろうか，という疑問が生じた。
また，先行研究においては，児童によってかかれた図から何がいえるのか (布川,1993）， 児
童がかいた図の変化から何がいえるのか (花形 ,1990；廣井,2001)，児童に図をかかせることによって問題解決がどうなったのか(Moses,1982；
Lepoz-Real & Veloo,1993) といったように児童が何らかの図がかけるということが暗黙の前提とされているのである。
しかしながら，実際の状況において，すべての児童が問題解決の過程において図をかくということができるのだろうか。また，ある問題に対しては図をかくことができたとしても，直面する全ての問題において，いつでも図をかくことができるのだろうか。決してそうではないだ
ろう。我々が目を向けなければならないのは，図を全くかくことができない，そして，それによって問題解決が進まない児童なのではないだ
ろうか。
このような児童に焦点を当て，その児童に対しての指導の手立てを考えることにより，問題解決過程において問題を解決することができな
い児童を解決へと導くことができるのではないだろうか。しかし，図がかけない児童に焦点を当てた研究は少ないようである。
本研究では，児童は実際に問題解決の過程において，どのような図の役割を見い出しているのかを特定するとともに，図がかけない児童には，どのような特徴が見られるかを明らかにし，

これをもとに望ましい指導の手立てを開発することを目的とする。これらの目的を解決していくために，次のような研究課題が設定される。
まず研究を進めるにあたって，そもそも図にはどのような有用性や役割があるのかを先行研
究をもとに明らかにする必要がある。このことから，研究課題 1：図の有用性と役割とは何かが設定される。
次に，図をかくことは効果的なストラテジー
として教師によって教授に取り入れらているが，実際に児童が図の有用性及び役割を見い出しているのかという疑問点を明らかにするため，児童の実態を観察することによって，そこからどのような図の役割を見い出しているのかを特定する必要がある。よって，研究課題 2：児童の問題解決過程においてどのような図の役割が見い出されるのかが設定される。
そして，我々が目を向けるべき，問題に手が付かない，図がかけない児童に対して，その原因を探り，指導の手立てを開発するために，
研究課題 3：図がかけない児童について，なぜ図がかけないのか，その原因は何か
研究課題 4：図がかけない児童には，どのような指導の手立てが考えられるかが設定される。
これらの研究課題を解決することによって，算数教育における問題解決学習に有効な示唆を得ることが考えられ，ここに本研究の意義があるといえる。
そして，設定された研究課題を解決するために次のような方法で研究を進めていくことにする。
まず，研究課題 1 において，図の有用性と役割とは何かについて先行研究の議論を整理する。
またここで，本研究で特に焦点をあてるべき図がかけない児童とはどのような児童なのかということについても詳しく述べる。次に，児童の問題解決過程でどのような図の役割が見い出されるのかを解決するため，実際に小学校第 3 学
年の 1 学級にて長期にわたる参与観察を行い，質的に分析する。そのために，本研究で採る質的研究法とはどのような研究法であるのかを明らかにした上で，データの性格と収集法について詳しく述べる。
そして，実際の参与観察から得られたデータをもとに，児童が見い出した図の役割を具体的
事例をもとに考察していく。さらに，研究課題
3，4 を解決するために，図をかかなければ問題解決が困難な場面を授業場面で設定する。そこ
において，図がかけない児童の問題解決過程を詳しく分析し考察していくことで，図がかけな
い原因は何か，どのような指導の手立てが考えられるかを明らかにしていく。
Ⅱ. 論文の構成
1. 研究の目的と方法
1.1. 研究の動機
1.2. 研究の目的
1.3. 研究の方法
2. 問題解決における図の役割と児童の実態
2.1. 図の有用性と役割
2.2. 図がかけない児童
2.3. 本章のまとめ
3. 質的研究法
3.1. 質的研究法とは3.2. データの性格と収集の方法
3.2.1. データの性格
3.2.2. データの収集の手続き
3.2.3. データ化の方法
3.3. 本章のまとめ
4. 児童が見い出しうる図の役割
4.1. 「問題把握の役割」
4.1.1. 事例 1 問題把握図 1
4.1.2. 事例 2 問題把握図 2，3，4
4.2. 「説明の役割 ｣4.2.1. 事例 1 説明図 14.2.2. 事例２ 説明図 2，3，4
4.2.3. 事例 3 説明図 54.3. 「確かめの役割」
4.3.1. 事例 1 確かめ図 1
4.3.2. 事例 2 確かめ図 24.4. 「立式の役割」
4.4.1. 事例 1 立式図 1，2
4.4.2. 事例 2 立式図 3，4，5
4.5. 「問題解決の役割」

4.6. 本章のまとめ
5. ｢ はしごの問題 ｣ の授業
5.1. 「はしごの問題」について
5.1.1. ｢ はしごの問題 ｣ とは
5.1.2. ｢ はしごの問題 ｣ を取り上げた理由
5.2. 授業の展開について
5.3. 児童 M，児童 F の自力解決
5.3.1. 児童 M，児童 F について
5.3.2. 児童 M の自力解決の場面の分析
5.3.3. 児童 M の自力解決の場面の考察
5.3.4. 児童 F の自力解決の場面の分析
5.3.5. 児童 F の自力解決の場面の考察
5.4. 集団討議における児童 M，児童 F
5.4.1. 児童 M，児童 F が選んだ図
5.4.2. 集団討議の場面の考察
5.5. 授業全体を通しての考察
5.6. 本章のまとめ
6. 研究の結論
6.1. 研究から得られた結論
6.2. 教授学的示唆
6.3. 今後の課題
引用・参考文献
その他の参考資料
資料
資料 1 ワークシート
資料 2 ヒントシート
資料 3 感想用紙
資料 4 集団討議で取り上げられた図
資料 5 ｢ はしごの問題 ｣ の授業記録
謝辞(1 ページ 35 字×30 行，90 ページ)
Ⅲ. 研究の概要
まず，図の有用性と役割とは何かについて先行研究の議論を整理し，研究課題 1：図の有用性と役割とは何かに対して答えるとともに，本研究で特に焦点をあてるべき図がかけない児童とはどのような児童なのかということについても詳しく述べる。
研究課題 1 に対して，次のような点が明らかになった。図をかくことによって，問題の構造や状況を把握したり，新たな情報を得たり，総合したり，再編成したりすることができる。問題の細部を同時に見ることができ，情報をひとまとめにできるので，問題解決に必要とされる要素の検索や，作業記憶を容易にできる。
また，図がかけない児童とは，問題を解決する方法の 1 つとして図をかく方法があるということが思い付かないだけではなく，何から始めればよいのかさえ分からない児童である。また，解決する過程において，図をかけばよいのではないかと考え，図をかこうとはするのだが，いったいどんな図をかけばよいのか分からず手が止まっている児童も図がかけない児童である。
(以上，第 2 章)
次に，本研究で採る質的研究法とはどのような研究法であるのかを明らかにした上で，データの性格と収集法について詳しく述べる。
質的研究法とは，数字できれいに表現されるものではなく，「なぜ」あるいは「どのようにして」という「質」に関わる問いを重視し，量的研究がとらえるには無理があった「質」の部
分に焦点を当てた研究方法である。
また，研究の対象は，鳥取県内にある小学校の第 3 学年の 1 学級であり，児童数は 38 人
（男子 19 人，女子 19 人）であり，2002 年 4月 25 日〜2002 年 10 月 30 日にかけて算数の授業の観察を行った。データの収集は主に(1) 毎日の算数の授業の観察と VTR，メモによる記録(2) 児童のノートやプリント類の収集によって行われた。また，「はしごの問題」の授業は，2002 年 9 月 12 日に行われたものである。データの収集は(1) 授業全体及び授業中の抽出児童の行動のVTR，メモによる記録(2) 授業で使った児童のプリント及びヒント
シートの収集(3) 授業直後に児童が書いた感想用紙の収集によって行われた。
(以上，第 3 章)
そして，実際に小学校第 3 学年の 1 学級にて長期にわたる参与観察を行い，得られたデータ
から，児童が見い出した図の役割を具体的事例をもとに考察し，研究課題 2：児童の問題解決過程においてどのような図の役割が見い出されるのかに答えることを試みた。その結果，次のような 5 つの図の役割が特定された。
1 つ目は，図をどのような問題場面であるのかを把握するために使う場面である。このことから，児童は問題を把握するために図を使うことができると考えられる。本研究ではこの図の役割を ｢ 問題把握の役割 ｣ とし，｢ 問題把握の役割 ｣：図をどのような問題場面であるのかを把握するために使う役割とする。

児童が図を ｢ 問題把握の役割 ｣ として使っている具体的事例の一例は以下のようである。
次の問題場面において児童 G は次のような図をかいている。
(問題)
あさがおのたねを 21 つぶを，1 はちに3 つぶず
つまきました。
そのうち2 はちをとなりへあげました。
はちは，いくつのこっているのでしょう。

問題把握図
この問題において，この図は問題文中の要素をもとに，その問題場面を具体的に表しているといえる。あさがおの種を 1 はちに 3 つぶずつまき，そのうち 2 はちをとなりへあげた様子を示している。この図は直接立式につながるような作業を加えられているのではなく，問題場面の様子がよく分かるようかかれているのである。
よってこの図は ｢ 問題把握の役割 ｣ として，どのような問題場面であるのかを把握するために使われたと考えることができる。
2 つ目は，図をどのように問題解決を行ったのかを説明するために使う場面である。このことから，児童はどのように問題解決を行ったのかを相手に分かりやすく説明するために図を使うことができると考えられる。本研究では，この図の役割を ｢ 説明の役割 ｣ とし，｢説明の役割｣：図をどのように問題解決を行ったのかを説明するために使う役割とする。
児童が図を ｢ 説明の役割 ｣ として使っている
具体的事例の一例は以下のようである。
次の問題場面において児童 Y は次のような図をかいている。
(問題)
15 このクッキーを，3 人に同じ数ずつ分けます。
1 人分は何こになるでしょう。

児童は，アの問題の答えを 15÷ 3＝5 とし，その確かめを言葉と式でかこうとしているが，上手く表すことができなかった。そこで他の方法で確かめをしようとし，この図をかいている。
15 個のクッキーを実際に 3 個ずつ，5 人に分けてみることにより，求めた答えが正しいのかど
うか確かめているといえる。
よってこの図は ｢ 確かめの役割 ｣ として，導かれた式と答えが正しいかどうか確かめるために使われたと考えることができる。
説明図
この図は，問題をどうやって解いたのかを振り返るよう教師が指示したのを受け，立式し，答えを求めた後，どのように考えたのかが分かるようにかかれた図である。15 このクッキーを，3 人に同じ数ずつ分ける操作を具体的に示し，考え方を説明しているといえる。
よってこの図は ｢ 説明の役割 ｣ として，どのように問題解決を行ったのかが分かるように説明するために使われたと考えることができる。
3 つ目は，図を導き出された解答が正しいのかどうか確かめるために使う場面である。このことから児童は，確かめをする手段として図を使うことができると考えられる。本研究では，
この図の役割を ｢ 確かめの役割 ｣ とし，｢ 確かめの役割 ｣：図を導き出された解答が正しいのかどうか確かめるために使う役割とする。
児童が図を ｢ 確かめの役割 ｣ として使っている具体的事例の一例は以下のようである。
次の問題場面において児童 D は次のような図をかいている。
(問題)
15 のクッキーを，1 人に3 こずつ分けると，何人に分けられるでしょう。
ア わり算の式にかきましょう。
イ 3×人数が15 こと考えて，3×□＝15 の□にあてはまる数をみつけて，答えをもとめましょう。

確かめ図

4 つ目は，図を立式する際の手助けとして使う場面である。このことから，児童は，どのよ
うな式がよいのか考えたり，判断したり，立式する際の手助けとして図を使うことができると考えられる。本研究では，この図の役割を ｢ 立式の役割 ｣ とし，｢ 立式の役割 ｣：図を立式するための手助けとして使う役割とする。
児童が図を ｢ 立式の役割 ｣ として使っている
具体的事例の一例は以下のようである。
次の問題場面において児童 G は次のような図をかいている。
(問題)
シールを，ただしさんは 28 まい，おとうとは7
まいもっています。
ただしさんは，おとうとの何倍もっているのでしょう。

立式図
児童は，ただしさんと弟のシールの枚数の関係を数直線に表すことにより，弟のシールの枚数の□倍がただしさんのシールの枚数となるという関係をみつけ，7×□ ＝28 と立式し，そこから 28÷ 7＝□と 立式している。この数直線をかくことにより，28 ÷7＝ □という式を導いている。ここで数直線は，立式する手助けとして使われているといえる。
よってこの図は ｢ 立式の役割 ｣ として，どのような式がよいのか考えたり，判断したりする

ために使われたと考えることができる。

手立てが考えられるかに答えることを試みた。

5 つ目は，児童が見い出すことが可能な役割として，問題場面を図に示すことによって，その図にかかれた要素を数えることで答えを求めることができるような役割があると考えられる。
すなわち，問題を解決するためには図をかくことが必要となり，図をかくことそのものが問題解決となる役割である。このような図の役割を｢ 問題解決の役割 ｣ とし，｢ 問題解決の役割 ｣：図をかくことそのものが問題解決となる役割とする。
しかし，｢ 問題把握の役割 ｣，｢説明の役割 ｣，｢ 確かめの役割 ｣，｢ 立式の役割 ｣ は観察から具体的事例として見い出すことができたのに対し，｢ 問題解決の役割 ｣ は，児童が見い出すことが可能であるにも関わらず，問題を解決するためには図をかくことが必要となり，かかれた図そのものが解答となるような場面での図の使用はほとんど見られなかった。
なぜなら，第 3 学年の児童にとって，教科書や問題集で与えられる問題の多くは，問題解決をする際に特に図を用いなくとも立式をすることができたり，解答を導いたりすることができるものが多いからである。
そこで，図をかかなければ問題解決が困難な場面を授業場面で設定することによって，そのような場面を経験していない児童がどのような反応を示すのか質的に分析し，考察することにした。児童は図に ｢ 問題解決の役割 ｣ を見い出すことができるのだろうか。そして，問題を解決するためにはどうしても必要となってくる図をかくことができず，解決が止まっている児童に対し，図がかけない児童について，なぜ図がかけないのか，その原因は何か，また，図がかけない児童には，どのような指導の手立てが考えられるかに答えるために，特に図がかけない児童に焦点を当てて，詳しく考察を加えていくことにする。
(以上，第 4 章)

｢ はしごの問題 ｣ について
授業実験で取り上げる問題は，先行研究において，Moses(1982) が小学校第 5 学年の児童を対象に行った調査問題の中から引用したものである。この問題を小学校 3 年生の実態に合わせて，以下に示すよう表現を易しく変えた。

そして，図をかかなければ問題解決が困難な場面を授業場面 (｢ はしごの問題 ｣ の授業) で設定し，図がかけない児童 (児童 M ，児童 F) の問
題解決過程を詳しく分析し考察していくことで，研究課題 3：図がかけない児童について，なぜ図がかけないのか，その原因は何か，研究課題
4：図がかけない児童には，どのような指導の消防士 さんは ，はし ごのちょ うどま ん中の だ
んに立っ てもえ ている たてもの に水を かけて いました。 けむり が少な くなった ので， 消防士 さんは３だ んのぼ って仕 事をつづ けまし た。火 事はひどく なった ので， 消防士さ んは 5 だん下 りて仕事を しなけ ればな りません でした 。火が 消えたので ，消防 士さん ははしご を 6 だ んのぼ ると，１番 上のだ んにい ました。 はしご のだん 数
は全部で何だんでしょう？

なぜ ｢ はしごの問題 ｣ を取り上げたのかというと，この問題が児童にとって，およそ図をかかなければ問題解決が困難であると考えられるからである。｢ はしごの問題 ｣ は，まず，基準となる消防士のスタート地点が 0 ではなく，はしごの真ん中であるという所に困難さがある。
真ん中であるということは，真ん中よりも上と真ん中より下に同じ段数があり，はしごの段数
は全部で奇数段なければならない。問題を解決するには，この点に気付くことが重要となってくるが，第 3 学年の児童にとって図をかかずにこの点に気付くことは難しいと考えられる。
｢ はしごの問題 ｣ の授業展開
授業は ，問題提示→自力解決→集団討議という順で展開された。そして，担任には筆者の作成した指導案をもとに進めていってもらうようにあらかじめ打ち合わせした。
問題提示の場面では，黒板に ｢ はしごの問題｣が書かれた模造紙を貼り，児童は教師の後に続いて 1 文ずつ問題文を読み，その後児童に ｢ はしごの問題 ｣ が印刷されたワークシートを配布する。
自力解決の場面では，児童には自由に解決させた。この際，児童がどのように考えていったのかワークシートに残るように消しゴムは使わないように指示した。問題解決が進まない児童に対しては必要に応じて 3 種類のヒントシートが配布した。(ヒントシート 1 は問題の状況を示した図である。ヒントシート 2 は真ん中の段のみがかかれたはしごの図である。ヒントシート
3 は真ん中の段＋真ん中より上の 3 段の計 4 段の段がかかれたはしごの図である。)
集団討議の場面では，9 名の児童の自力解決の過程でかいた図を取り上げた。各々の図について，どのような手順で図をかいていったのかがよく分かるように説明するように指示した。
(9 名の児童には，あらかじめワークスペースで模造紙に自力解決で用いた図をそのままかいてもらった。)9 名に一通り説明してもらい，その後討議に入った。そして，授業の最後には感想用紙を配布し児童に記入してもらった。

M：（ワークシートに「はじめまん中に立っていて，そこから３だんのぼって，今度は５だんおりているから今までに８だん使っていて，そこから６だんのぼったら８だんの中から６だんのぼる」と考え方をかいている。）
M：（8-6=2という式を続きにかくが消して，「６だんのぼって一番上のだんまでいくはしごのだんは７だん
でちょうどになります」とかき直して続きをかいている。）
M：（考えた結果，自力解決終了間際に 7段という答えを導きだし，ワークシートに 7段のはしごをかき込む。）

児童 M，児童 F について
児童 M， 児童 F は自力解決の場面で問題に手が付かず，ワークシートが白紙のまま止まっていた児童である。｢ はしごの問題 ｣ の授業において，児童 M と児童 F は図がかけない児童として抽出され，分析の対象とされた。
児童 M と児童 F は自力解決の場面において座席が隣同士であったが，教師から，他の児童とは相談せず１人で解くように指示されたため，互いに相談して問題解決をすることはなかった。
児童 M の自力解決過程の場面の考察
児童M の自力解決の過程は以下のようである。
T：（ワークシートが配られる。）−5分後−
T：どんな様子かわかる？
M：（うなずく。）
T：絵でいうとこんな様子になるね。（ヒントシート 1を渡す。）
M：（ヒントシート 1 をもらい，考え方をかこうとするが手が止まっている。）−ヒントシート 1 を受け取ってから 4分後−
T：M さん，これから何か浮かびそうですか？
M：うーん，意味は分かったけど...
T：浮かびそうかな？
M：うーん...
T：じゃあね，考えたことを (ヒントシート 2 を渡す)，お話の順番をもう1 度よく見て，この紙にかいてみて。
M：（ヒントシート 2 にはしごの段数をかき込もうとする。真ん中より上に 3段かき込む。そして，3段の棒を黒くぬりつぶす。そして，下に 5段かき込み数を数える。）
M：（段をかき込んだはしごの図を使って，消防士さんが移動した段数を数えている。）
M：（真ん中より上に 1段かき込み，4段にしている。）−ヒントシート 2 を受け取ってから 4分後−
M：（ヒントシート 2 を机の右端に置き，ワークシートに言葉で説明をかこうとする。）

児童 M のヒントシート 2

児童 M のワークシート

自力解決の場面においては，児童 M はヒント
シート 2 を与えられたことにより，それがきっかけとなり問題解決が進んだといえる。始めはヒントシートに段数をかき込むが，ワークシー

トに考え方をかくときにヒントシート 2 は使おうとしなかった。そして立式をしたが，誤りであることに気付いた。そこで再び，ヒントシー
ト 2 の図を使うことによって消防士の移動した段数に注目することができたといえる。児童 M
は9 段という正答を導くことはできなかったが，ヒントシート 2 をもとに，消防士の移動した段数にそって図をかくことにより，正答へと至るような図をかくことができたといえる。
ヒントシートの効果は児童 M だけではなく，配布した多くの児童においても見られた。ヒントシートを渡した 11 名の児童の内，5 名 ( 児童
M を含む) の図が問題解決に至るような (実際 には正答に至らなかったが) 図へと変容していった。このことから，図をかこうとはするが問題解決に至るような図 1) をかくことができず，止まっている児童にもヒントシートは有効に働くということがいえる。また，5 名の児童がヒン
トシートを使うことにより解決に至っている。
これらの児童は，およそ問題解決に至るような図をかいていたが，9 段という正答を導くことができず，上手くいかないと感じ，試行錯誤していた児童である。ここでも，ヒントシートは図をかけずに手が止まっている児童だけでなく，図をかいているが途中で手が止まっている児童の問題解決にも有効に働いたといえる。

F：（ヒントシート 2 のはしごの縦の棒に定規を当て長さを測り，真ん中から等間隔に点を打っていく。定規には 5㍉四方の方眼があらかじめ印刷されていて，その方眼の目盛りの何個分あるかで長さを測っている。）−ヒントシート 2 を受け取ってから 4分後−
F：（ヒントシート 1 にかかれたはしごの図に定規を当て，段と段との間隔を測り，その幅と等間隔に点を取っていくが消してしまう。定規の方眼マスを使い，点を打つという同じ作業を繰り返す。今度はまたヒ
ントシート 2 を出し，はしごの縦の棒の長さが方眼マスのいくつ分かを定規を当て長さを測る。）−ヒントシート 2 を受け取ってから 9分後−F：（ヒントシート 1 を取り，定規を再び当て，はしごの段と段の間の幅を測る。）
F：（ヒントシート 2 のはしごの縦の棒の長さをもとに，
ヒントシート 1 の消防士の立っている位置を真ん中とし，同じ長さを測ろうとしている。）
F：（その後，手が止まってしまう。）−ヒントシート 2 を配ってから 14分後−
T：これを見て考えてみよう。
F：（ヒントシート 3 を受け取り，ヒントシート 3 にかかれた文字を読む。ここでも同じく，定規を使い段と段の間の幅を測り，真ん中より下に等間隔に点を打っていく。上方にも同じように点を打つ。そして，
ヒントシート 3 にあらかじめかかれている 3段より上に2 段，下に 7段，はしごの段をかく。）

児童 F の自力解決の場面の考察
児童 F の自力解決の過程は以下のようである。
T：（ワークシートが配られる。）−3分後−
F：（ワークシートを受け取り，問題に取り組もうとするが進まない。）
T：（ヒントシート 1 を渡して）この中から，（ワークシートを指しながら）ここにかいてみたらどうかな？
F：（ヒントシート 1 を見る。）
F：（ヒントシート 1 を見ているが問題解決は進まず，
ヒントシート 1 を見たり，ワークシートを見たりしている。）
F：（定規を取り出し，ワークシートのはしごの段と段の間の幅を測っている。）−ヒントシート 1 を受け取ってから５分後−
T：F さん，次からかけたかな？かけない？
F：（うなずく。）
T：じゃあ，とりあえずこっちを使って（ヒントシート 2を渡す）。はしごを使って考えてみたらどうかな？
これにかきたしたりして考えてごらん。
F：はい。
1)

児童 F のヒントシート 3

自力解決の場面において，児童 F はヒントシー
ト 1 を与えられたことにより，全く手が付かなかった状態から何らかの操作活動をしようとするきっかけを生み出した。しかしそれは，ヒン
トシート 1 にあらかじめかかれている図のはし本研究で，問題解決に至るような図とは，実際には正答に至っていなくとも，問題文中の消防士の移動の様子をかき込んで解決しようとした図のことである。

ごの段と段の幅にのみとらわれてしまい，自力解決の時間中，その幅を定規で測定し，ヒント
シート 2，3 のはしごの図を使い，その図に測定した長さと同じ間隔で点を取るといった作業を繰り返す結果となってしまった。
結局，児童 F はヒントシート 3 をもとに図(児童 F のヒントシート 3) のように段数をかき入れるが，それは消防士の移動の軌跡にそって段数をかき入れることとは無関係な作業であった。
もし，ヒントシート 1 にかかれていたはしごの段と段の幅がもっと大きかったとすれば，図(児童 F のヒントシート 3) のように真ん中より上にさらに 2 段，真ん中より下に 7 段の段をかき込むことはできなかっただろう。児童 F はヒ
ントシート 1 の幅をもとに同じ幅をヒントシー
ト 3 の図にとれるだけとり，段をかいているのである。その結果，児童 F にとって，ヒントシー
トが消防士の移動に合わせてはしごの段数をかき入れていくことに目を向けさせるのではなく，段と段の幅に目を向けさせてしまい，返って問
題解決の妨げになってしまったと考えられる。
児童 F は授業後にかいた感想用紙に ｢ ヒントシートを 3 まいもらったのに分かりませんでした。｣ と書いている。
集団討議における児童 M，児童 F(児童 M，児童 F が選んだ図)
児童 M， 児童 F は集団討議の間，積極的に発言をすることはなく，説明及び意見を聞いているだけであった。集団討議では，9 名の児童の自力解決過程でかいた図を取り上げたが，その中で児童 M，児 童 F は次に示す児童 A の問題解
決の方法が一番よいとしている。
児童 Aは図について次のように説明している。
A：僕はまず，真ん中からかいて (図の真ん中の段を指しながら)，まず 3段のぼってここで (実際に3 段のぼっている様子を図を指しながら示す)，5段下りてここ
で (5段下りている様子を図を指しながら示す)，6
段のぼって (1番上の段を指しながら)，だからこうかきました。
T：どこからかき始めたの？
A：ここから (真ん中の段を指して)。ここで，まず上の 4段を見て (真ん中より上の 4段を指しながら)，真ん
中なんだから 2倍して，4×2=8。始めはこれでいいと思ったんだけど，真ん中があるということは奇数だから，真ん中をたすのを忘れていたから，8+1=9。
T：8+1=9 。
A：4が 2個で8。

T：(模造紙に 4×2=8と式をかき込む)
A：まずここでみて (真ん中より上の 4段を指しながら)，真ん中がはずれているから，真ん中の 1。
T：(模造紙に 8+1=9と式をかき込む。)

児童 A の図

児童 A は，まず真ん中の段からかき始め，問
題の ｢3 段のぼって ｣，｢5 段下りて ｣，｢6 段のぼると ｣ という消防士の移動に合わせて段をかきたしていったようである。その結果，真ん中より上に 4 段あるということに気付き，真ん中ということは上にも下にも同じ段あるはずだということに気付いた。そして，4 段と 4 段を合わせて 8 段としていたが，真ん中があるということは，はしごは全部で奇数段あるということに気付き，たすのを忘れていた真ん中の 1 段を合わせて 9 段としている。
この図 (児童 A の図) は，真ん中がどこなのかがはっきっりとかかれている。次に消防士が 3段のぼるとどこの位置にいて，5 段下りるとどこの位置にいて，6 段のぼるとどこの位置にいるのかということがはっきりと記されている。
そして，問題を解決するポイントとなる，真ん
中より上にはしごの段数が 4 段あるということがわかりやすく示されているといえる。児童 M
にとって，真ん中の位置の明示，移動後の位置の明示，真ん中より上の段数の明示が図に示されていることがわかりやすいと思った理由ではないだろうかと考えられる。
集団討議の場面の考察
集団討議の場面においては，児童 M， 児童 F
は，児童A のかいた図が特によいと感じていた。
この図をよいとした児童は，児童 M，児童 F を含む 15 名であった。このことから，児童が分
かりやすいとしている図の条件として，真ん中

の位置の明示，移動の後位置の明示，真ん中より上の段数の明示があげられる。
しかし，同じ条件を満たしている図にも関わらず，答えが 8 段となっている図は 1 名もよい図として選ばなかった。これは児童がよいとする図の暗黙の前提として，正答に至っているということが考えられる。ここで，正答に至っていないからといって，有効な図ではないとするのではなく，その図のよい部分を取り上げて，正答に至るにはどのような点を改善すればよいのかを議論する必要があるといえる。
そして，集団討議を経て児童 M は図をかくことは問題を解くときにとても役に立つと感じている。このことは，始めは図を問題解決過程で上手く使うことができなかった児童が，集団討議で他の児童の説明を聞くことによって，図をかいていくことで問題が解決できることが分かり，図の有用性を感じたといえるのではないだ
ろうか。図がかけない児童にとって，図が問題解決に役に立つという経験をすることは，今後の問題解決過程における図の使用の仕方によい影響を与えることが予想できるのではないだろうか。
一方，児童 F は集団討議の場面で，他の児童の説明を聞き，｢ はしごの問題 ｣ はどのように解決していくとよいのかということは分かったとしているが，図をかくことが問題解決に役立
つとはあまり感じていない。児童 M と児童 F は同じ図をよいとし，集団討議を経て問題の解決の仕方がよく分かったとしているが，児童 M は図の有用性を感じているのに対し，児童 F はあ
まり感じていない。このことから，児童が図の有用性を感じるためには，自力解決の際に，図をかくことが問題解決となるのではないかということを経験することも重要であるということが考えられる。
授業全体を通しての考察｢ はしごの問題 ｣ の授業場面における児童の問題解決の分析の結果，以下のことが明らかになった。
問題解決過程において問題に手が付かない，
図をかくことができない児童にどのような指導をすればよいのかという点について (研 究課題4)，ヒン トシートのような児童に図をかこうとするきっかけを与えるものを必要に応じて提供
していくことが有効であるということが分かった。またヒントシートは図がかけない児童だけ
ではなく，図はかいているが問題解決に行詰まっている児童に対しても有効に働くということが明らかになった。しかし，どのようなヒントを与えるとよいのかということを十分に吟味し支援していかないと，児童にとってはそのヒントが返って障害になり，問題解決の妨げとなってしまう可能性がある。
また，児童がどのような図を分かりやすいと感じるのかという点について，考えた過程がはっきりと記されている図がよいということが分かった。しかし，児童がよいと感じる図の前提として正答を導いていなければならないという条件があるということが考えられる。この点に関して，答えが間違っている図は有効な図ではないと考えるのではなく，もっと図をかく過程に注目してよい部分は取り上げるようにするべきである。
そして，児童が図がかけない原因として ( 研
究課題 3)，図が 問題解決をする上で役に立つということを見い出していない，経験していないということが考えられる。よって，児童が問題解決過程で図を積極的に使おうとするようになるには，図の有用性を経験によって感じることが重要であるといえる。図を使って問題を解決することができたという経験をすることによって，問題解決が困難な場面に遭遇した時に，図を考えてみたら問題解決へとつながるのではな
いだろうかというアイデアが生まれてくるようになるといえる。児童の図の役割や有用性に対する認識が問題を解決していく上で重要になってくるのである。
(以上，第 5 章)
Ⅳ.研究の結果
本研究の目的は，児童は問題解決過程において，どのような図の役割を見い出しているのかを特定し，また，図がかけない児童には，どのような特徴が見られるかを明らかにし，これをもとに望ましい指導の手立てを開発することである。そのために研究課題が設定され，それに答えることを試みた。
研究課題 1 に対して，先行研究の議論をもとに次のことが明らかにされた。問題の構造や状況を把握したり，新たな情報を得たり，総合したり，再編成したりすることができる。問題の細部を同時に見ることができ，情報をひとまとめにできるので，問題解決に必要とされる要素の検索や，作業記憶を容易にできる。
研究課題 2 に対して，小学校第 3 学年において長期にわたる参与観察を行い，そこから得られたデータをもとに児童が見い出しうる 5 つの図の役割が明らかになった。
・｢ 問題把握の役割 ｣：図をどのような問題場面であるのかを把握するために使う役割
・｢ 説明の役割｣：図をどのように問題解決を行ったかを説明するために使う役割
・｢ 確かめの役割 ｣：図を導き出された解答が正しいのかどうかを確かめるために使う役割
・｢ 立式の役割 ｣：図を立式をするための手助けとして使う役割・｢ 問題解決の役割 ｣：図をかくことそのものが問題解決となる役割
しかし，これらの役割のうち，｢ 問題解決の役割 ｣ が実際の児童から見い出されていないということが明らかになった。そこで児童に図をかかなければ問題解決が困難な場面を授業場面で設定することにより，児童がどのような反応を示すのかを分析した。その結果，多くの児童が以前に ｢ 問題解決の役割 ｣ を見い出していな
かったにも関わらず，図を用いて問題を解決しようとし，図の有用性を感じていた。そして，その場面において，図がかけない児童 M， 児童
F に焦点を当て分析したところ，研究課題 3，4
対して次のことが明らかになった。
まず，研究課題 3 に対して，児童が図がかけない原因として，図が問題解決をする上で役に立つということを見い出していない，経験していないということが考えられる。よって，児童が問題解決過程で図を積極的に使おうとするよ
うになるには，図の有用性を経験によって感じることが重要であるといえる。
また，研究課題 4 に対して，問題解決の進度に応じて，ヒントシートのような図をかくきっかけを与えることが有効であるということが明らかになった。ヒントシートは図がかけない児童だけではなく，図はかいているが問題解決に行詰まっている児童に対しても有効に働くということが明らかになった。しかし，どのようなヒントを与えるとよいのかということを十分に吟味し支援していかないと，児童にとってはそのヒントが返って障害になり，問題解決の妨げとなってしまう可能性があるのである。
Ⅴ.教授学的示唆
本研究により，以下の教授学的示唆を得た。
・問題解決過程において，図をかくことができない児童にヒントシートのような児童に図をかこうとするきっかけを与えるものを必要に応じて提供していくことが有効である。

・ヒントシートは図はかいているが問題解決に行詰まってる児童に対しても有効に働く。
・どのようなヒントを与えるか十分に吟味する必要がある。
・児童が問題解決過程において図を積極的に使おうとするようになるには図の有用性を経験
によって感じることが重要である。
Ⅵ.今後の課題
今後の課題は以下の通りである。
・｢ はしごの問題 ｣ の授業において図がかけな
い児童 M， 児童 F にのみ焦点を当てて分析したため，その他の児童については分析の対象とされていない。
・ヒントシートが有効であることはいえたが，それらが必要とされる場面及び児童に対して，
どのような特徴を有するべきかについては議論されていない。
Ⅶ.主要引用・参考文献
・ Larkin, J. & Simon, H. (1987). Why a diagram is(sometimes) worth ten thousand words. Cognitive
Science, vol.11, pp.65-99.
・ Lopez-Real, F. & Veloo, P. K. (1993). Children's
useof diagrams as a problem-solving
strategy.Proceedings of the 17th International
Conference for the Psychology of Mathematics
Education vol.2, pp.169-176.
・ Moses,B.(1982). Visualization: A different approachtoproblemsolving.School
ScienceandMathematics, 82, pp.141-147.
・伊藤 (日野) 圭子. (1995). 数学教育における質的 研
究につい て：そ の前提と 方法. 日本数 学教育 学
会誌, 77(9), pp.142-152.
・土居下 晃宏, 志水廣, 植岡利 之, 一崎 満夫. (1986).
問題解決 におけ る方略 の指導− 絵や図 につい ての児童の実態調査と実践−. 日本数学教育学会誌,
68(4), pp.18-22.
・布川和 彦. (1993). 数学的 問題解決 におけ る図の 役
割と解決者による意味づけ. 美輪辰郎先生退官記
念論 文 集 編 集委 員 会 (編), 数 学 教 育学 の 進 歩 ,pp.303-320. 東洋館.
・花形恵 美子. (1990). 文章 題の解決 過程に おける 絵の役割. 日本数学教育学会誌, 72(12), pp.28-36.
・廣井弘 敏. (2001). 算数の 問題解決 におけ る図に よる問題把握子どもが図をかく過程への着目. 上越
教育研究, 16, pp.167-176.
・ポリア , G. (1954). いかに して問題 をとく か (柿 内賢信訳). 丸善.
・松田由 香里. (2002). 児童 の問題解 決課程 におけ る図の役割 に関す る研究 −小学校 3 年生 の授業 分
析を通して −. 第 35 回 数学教育論 文発表会論 文集, pp.151-156.