変額年金の規制とリスク管理

２０１３．１．１７	
明治大学 松山直樹 	

ＶＡの典型的リスク構造①（Positive Feedback）	
 実質的保険料（保険関係費用）は、特別勘定残高比例で一般勘定が日々徴収する金額不均等な継続払い構造
 保険関係費用のうちＭＧＯオプション料は、特別勘定の運用実績が悪化し、in-the-moneynessが高まるほどオプション料が減少するポジティブ・フィードバック（「弱り目に祟り目」）構造⇒利益の内部留保だけでリスクを吸収する保険の伝統的リス
クマネジメントは機能しにくい⇒リスクの移転（ヘッジ・再保険）が不可欠 	 保険関係費用のうち予定事業費部分は、平準払い保険と類似の、新契約時販売手数料支出との期間ミスマッチ発生⇒特別勘定の運用実績悪化は事業費リスクにも波及	
2

ＶＡの典型的リスク構造②（ヘッジ困難性）	
 ＭＧＯの原資産となる特別勘定資産は典型的には投信信託であり、以下のようなヘッジ困難性を容認
i. 旧商品では契約者が資産配分を自由にスイッチング可能なものも存在
ii. インデックス投信におけるトラッキングエラーの存在
iii. 市場でヘッジ不可能なアセットリスクの存在（例）：外国株式１０％、国内株式１５％、国内債券４０％、新興国株式５％、新興国債券５％、外国不動産投信５％、外国債券（ヘッジ無）１０％、外国債券（ヘッジ有）１０％
 ＭＧＯの長期性・複雑性と保険リスク（死亡・解約）の関与等
により金融市場における完全なヘッジは不可能	
3

ＶＡの典型的リスク構造③（一律料率）	
 最低保証料は、年齢・性別・保険期間によらず一律の簡易な料率構造、危険選択も職業告知のみで医的告知なし、が一般的	⇒伝統的商品とは異なる、死亡リスクに極めて寛容なスタンス（例えば60歳台と80歳台では死亡率に10倍近い開きもあるが・・）⇒契約者の年齢性別ポートフォリオが、保険関係費用算出時の想定値とかい離することも大きなリスクファクター⇒ただし、GMLBではこの問題は緩和される	

4

大数の法則とＶＡ（ＧＭＤＢ）のあるべき姿	
伝統的保険の死亡保障リスク（単位契約あたり）	
死亡リスクｒｖ : Xi (i=1…n): i.i.d.(X)・・・（死亡１、生存０）
E[ΣXi/n]=E[X], V[ΣXi/n]=V[X]/n→ ｎを大きくすると分散は０に収束（→大数の弱法則）
 変額年金の最低死亡保証（GMDB)のリスク （同上）	
死亡リスクｒｖ : Xi (i=1…n) 〜X （i.i.d.）
市場リスクｒｖ : Y（Ｘとは独立）・・・（ＧＭＤＢの本源価値）	
E[YΣXi/n]=E[X]E[Y],V[YΣXi/n]=E[Y2]V[X] /n + (E[X])2V[Y]→ ｎを大きくしても０に収束しない第二項が残るので・・・	1.
E[X]を小さく（→死亡リスクにより慎重であるべき）2.
Ｖ[Y]を小さく（→市場リスクを抑制／ヘッジすべき）	
5

ＶＡの商品構造が歪んだ背景	 投信との競合（⇒楽観的な金融市場環境のもとで投資信託の競合商品として登場し、当初は再保険会社が分散効果狙いで積極的に受再して市場を後押し）
 会計や規制の経済価値との不一致
 特に日本における、販売（銀行）と製造（生保）の分離と、販売側の顧客支配力の強さを背景とする歪んだ力関係
 銀行が高齢者への販売に力点を置いたため、顧客適合性の観点から元本保証が強く求められたこと
 格付けアナリストの楽観（⇒MoodysはＧＭＷＢ中心の米国よりも日本のVAの商品性はおとなしくリスクは小さいという見解を示したが、低金利下の元本保証は十分に挑戦的であったことが金融危機後に相次いだ日本での事業撤退で判明)

6

１．ＶＡの規制モデリング	

7

ＶＡの規制とモデリング	

VAの最低保証（ＭＧＯ）責任準備金規制のモデリ
ングの考え方は市場リスクを取り込む点で伝統的商品と大きく異なり、また国内外でも大きく異なる
日本では外資系生保中心にVA市場が形成され外資系は本国への出再を行うところが多かった
ため、彼らの商品設計・プライシングは実質的に母国の規制の枠組みの影響を強く受けた
結果的に、異なる規制の枠組みが日本のVA市場
では混在 	
8

VAのＭＧＯ評価の一般的枠組み	
 死亡率に係わる部分は伝統的な保険数理の決定論的モデルを踏襲（大数の法則が前提）	
 ＭＧＯは、死亡・生存により決定論的に定まる複数の行使日を持つプット・オプションの集合として評価
 ＭＧＯ・オプション評価のために原資産（特別勘定）価格変動に確率論的モデルを導入する必要があるが、超長期であるため株式等のＦａｔＴａｉｌの再現性が論点
 責任準備金規制主導でＭＧＯ評価のモデリングの議論が展開	

9

内外の規制における二つのアプローチ	 ＣＴＥ（Ｔａｉｌ-ＶａＲ）アプローチ（北米）	

i. ファット・ティル型モデルがベース（Ｐ測度）→カリブレーション基準	
ii. 価値（責任準備金）もリスク（要求資本）もＣＴＥで評価し信頼区間で使い分け（モデル・パラメータは固定。カナダ要求資本：CTE（９５）、カナダ責任準備金CTE（６０〜８０）、米国要求資本CTE（９０））	
iii. 価値（責任準備金）もリスク（要求資本）もヘッジによる減殺可	 リスク調整済み期待値（ＲＡＥ）アプローチ（日本）	i. ＢＳ型のモデルセットアップ（Ｑ測度的なもの）	
ii. 価値（責任準備金）はリスク中立的評価、リスク（要求資本）はモデ

ル・パラメータ変動による価値の変動で評価（規制上は固定値）	
iii. リスク（要求資本）のみヘッジによる減殺可	

10ＣＴＥアプローチ	 CTEは条件付きテイル期待値あるいはテイルＶａＲともよばれる（1期間の）分位リスク尺度で、通常はシミュレーション法によって計測される	
 CTEは、ＶａＲの潜在的弱点（分散効果の把握）を解消する代表的なコヒーレントリスク尺度のひとつ 	ＶａＲ（α）＝ｉｎｆ｛ｘ∈Ｒ：Ｆ（ｘ）≧α｝	
ＣＴＥ（α）＝Ｅ[Ｘ｜Ｘ≧ＶａＲ（α）]

11ＣＴＥの計算方式（カナダ型と米国型）	
 カナダ型;シナリオ(k)に対応する各年度(t)の税引き後損益S（ｋ，ｔ）の累計現在価値	 	 	 	 P(k) =Σ S（ｋ，ｔ）・ｅｘｐ｛‐ｒｔ｝の分布のCTE	 
 米国型；シナリオ(k)に対応する各年度(ｔ)の税引
き後法定サープラスS（ｋ，ｔ）の現在価値の最低値M（ｋ）=MIN｛ S（ｋ，ｔ）・ｅｘｐ｛‐ｒｔ｝｜ｔ＝１・・・ｎ｝の分布のCTE	

12ＣＴＥアプローチによるリスク測定の限界	
 CTEアプローチは、責任準備金評価から、責任準備金を上回る要求資本（ソルベンシーマージン）評価までを、同じモデルで信頼水準の使い分けによって計測
 この枠組みでは、デルタ・ガンマ（原資産価格変化リスク）は捕捉できるが、ベガ（ボラティリティー変化リスク）やロー（金利変化リスク）といったモデルパラメータリスクを捕捉する余地がない	13

北米規制のファット・ティル型モデル	
 カナダ；RSLN2（2局面転換対数正規）	

ｌｎ St/St-1 〜Ｎ（µ1, σ12） 	
ｐ1,2 ↓ ↑ｐ2,1Ｎ（µ2 , σ22）	
局面１または２にいる確率π1,π2は,π1＝ｐ2,1／（ｐ1,2 ＋ｐ2,1 ）, π2＝ｐ1,2／（ｐ1,2 ＋ｐ2,1 ）	
 米国；SLV（Stochastic Log Volatility ） 	
lｎ(St+1／St)＝（µ(t)／12）+(σ(t)／√12)×ｓZtµ(t)＝A＋B・σ(t)＋C・σ２(t)σ(t)＝exp[v(t)] 	
 上記のモデルに基づくカリブレーション基準を設定 		

14

株価収益率モデルのカリブレーション・ポイント（カナダ）／ＲＳＬＮ２	
累積期間	
1年	

2．5％ile
０．７６	

5％ile
０．８２	

10％ile
０．９０	

5年	

０．７５	

０．８５	

１．０５	

10年	

０．８５	

１．０５	

１．３５	

15

株価収益率モデルのカリブレーション・ポイント（米国ＲＢＣ）／ＳＶＬＮ（1955.12〜2003.１２）	
累積期間	 1年	
2.5%ile 0.78
5.0%ile 0.84
10.0%ile 0.90
90.0%ile 1.28
95.0%ile 1.35
97.5%ile 1.42

5年	
0.72
0.81
0.94
2.17
2.45
2.72

10年	
0.79
0.94
1.16
3.634.36
5.12

20年	‐	
1.51
2.10
9.02
11.7
‐	

16

リスク調整済み期待値アプローチ（ＲＡＥ）	
 RAEの特徴
i.
ii.

i.
ii.
iii.

「リスク調整」を施した期待値で評価全てのシナリオパスを用いる	
RAEの論点	
インプライド・ボラティリティー曲面等の必要な市場パラメータの入手が一般の保険会社にとっては困難	
非完備市場になるためリスク中立期待値であっても理論的には唯一には定まらない
リスク調整度合いのカリブレーションが困難（リスク中立より重い軽いぐらいは判定できるが）	
17

RAEにおけるリスク調整の例	

18

RAE（日本の標準的方式）の考え方	





責任準備金は「期待給付現価ー期待収入現価」
で算出
リスク調整は原資産期待収益率（µ）⇒（ｒ）標準利率（現行１．５％）
契約の残存は決定論的な保険数理モデルを利用
期待給付現価は総費用率（ε）相当の配当のある
株式オプションのｐｕｔと同様の構成
簡単のため解約率は想定しない（特に動的解約率を織り込む場合は解析式は得にくい）	
19

標準的方式（RAE）	
プレーンなＧＭＤＢ＋ＧＭＡＢの例	
 記号：最低保証額：Ｘ、総費用率：εのうちＭＧＯコスト部分：ε１	
 期待収入現価	

ただし、	

期待給付現価	
死亡保証満期保証	

ただし、	20

日本の責任準備金規制の負債評価	

ＲＡＥでは本来的に幅広いパラメータリスクの把握が可能だが、日本の責任準備金規制では基礎率を販売時点の標準基礎率にロックインするため、捕捉可能リスクは原資産価格変化（デルタ・ガンマ）のみ（⇒責任準備金は経済価値ではないことに注意）	
標準的方式	
i. リスク調整済み期待値アプローチ（µを標準利率（１．５％）に調整したもの。割引率も同じ）を採用	
ii. ボラティリティーは、株18.4％、円債3.5％、外株18.1％、外債12.1％	
iii. 解析解（もしくは近似式）で「給付現価‐収入現価」期待値を表現	
代替的方式	
i. リスク中立型のモンテカルロ法や北米型の手法も視野	
ii. 期待収益率・ボラティリティーを違えた場合は、標準的方式の値と上下１０％以上乖離しないこと
21

ＶＡの解約モデリング	

以下のような観測事実の反映が必要
ＶＡ販売チャネル（銀行）での適合性選別によりＶ
Ａ契約者の金融知識・経験は一般の保険よりも高い
ＭＧＯではオプション価値そのものの評価は困難
でも元本保証水準と特別勘定残高の比較によりＩ
ＴＭ／ＯＴＭ判定は契約者にも容易
新契約費回収のため契約後数年間の解約控除があるため、控除期間中の解約が抑制され、控除期間明けに解約率が増加する傾向	
22

ＶＡの解約モデルの基本的構造	
 ＶＡの解約モデルでは、①解約控除期間の反映、②生存保証型商品でのＩＴＭ／ＯＴＭの反映が必要（⇒動的解約モデル）
 契約者自身のＭＧＯ評価は困難であるため構造型モデルはほとんど使われず、誘導型モデルが中心
 実績データの不足により解約モデルの信頼性は低いためプライシングやリザービングに用いる場合にはリスク調整（保守性確保）が必要になる
 しかしながら、ヘッジを行う場合にはヘッジエラー回避のため保守性よりもリアリティーが求められ、プライシング用とは別のモデルが必要になることがある
23

ＶＡ解約率モデルの規制上の要件例	 （例１）日本の標準Ｖで解約率を用いる場合の規制上の要件

i. ＩＴＭ解約率＜ＯＴＭ解約率
ii. 解約控除期間内解約率＜解約控除期間後解約率
iii. ＩＴＭ解約率の保守性
iv. 実績との比較による検証	
 （例２）カナダＯＳＦＩのＭＣＣＳＲガイドライン（２００１．１２）	

i. 原則的に年８％（一律）	
ii. 米国ＧＭＤＢ型の商品は年１０％（一律）	
iii. ＧＭＳＢでは１５％以上インザマネーで解約率１００％	

24規制モデリングの限界	

北米型CTEアプローチは典型的なP測度手法で、オプションの市場価格あるいは市場整合的パラメータ（つまりヘッジコスト）とかい離した
日本型RAEアプローチ（標準的手法）は本来市場整合的手法ではあったが、標準責任準備金としてパラメータ（金利、ボラ）が単純化され固定されたため市場整合的なパラメータとはかい離したしばしば（確率論的な）責任準備金規制モデルと経済価値モデルの混同が問題を引き起こした
VAのモデリングに関する内外の議論の混乱はリスク尺度に関する基本的な認識の未熟さに起因
上記の理論的な整理を踏まえた上でプライシングやリスク管理に関する基本的な検討を行う必要	
25

２．リスク尺度の再検証	

26

経済価値とリスク尺度	
経済価値評価ではＣＦ特性により手法を使い分け

i.

ヘッジ可能なら市場価格
ii. ヘッジ不能ならＢＥ（最良推定）＋ＲＭ（リスクマージン）

RMの有力候補は資本コスト法と分位点法

i.

欧州（ＳＳＴ，ＳｏｌｖｅｎｃｙⅡ)では資本コスト法を採用：
RM=資本コスト・∑必要資本ｔ・ＤＦｔ
ii. 北米ではクオンタイル（分位点）法を指向：
RM=必要資本分布の分位点(VaR,CTE)

27

資本コスト法RM	

ソルベンシーⅡでは、「資本コスト率６％」と「保有負債の必要資本（SCR）のランオフまでの現在価値」の積でRMを算出：RM＝６％・∑SCRｔ・DFｔ （⇒必要資本の借り賃）
RMは必要資本SCRと資本コスト率の水準に大きく依存
また、RM式中のSCRに含まれる解約リスクは、「経済価値（BE＋RM）と約定の解約返戻金の差額が顕在化するリスク」であるため「循環参照」が発生（ソルベンシーⅡでは解約ＳＣＲ評価用の経済価値はＢＥで代用）
SCR（ソルベンシーⅡではCTE99%/VaR99.5%）の計算においては分位点法と論点を共有	
28

リスク尺度の公理的アプローチ	


リスク尺度に期待される性質（コヒーレントリスク尺度）（∀Ｘ，Ｙ∈Ｍ）
i. 平行移動（定数）不変性：ρ（Ｘ＋ｃ）＝ｃ＋ρ（Ｘ） （任意の実数ｃ）
ii. 正同次性：ρ（λＸ）＝λρ（Ｘ） （任意の正数λ）	
iii. 単調性：Ｘ≦Ｙ a.e.ならばρ（Ｘ）≦ρ（Ｙ）
iv. 劣加法性： ρ（Ｘ＋Ｙ）≦ρ（Ｘ）＋ρ（Ｙ）

29

VaRの限界	

VaRは最もポピュラーだがリスク分散効果の根拠となる劣加法性がないＶａＲ（α）＝ｉｎｆ｛ｘ∈Ｒ：Ｆ（ｘ）≧α｝
劣加法性：ρ（X＋Y）≦ρ（X)＋ρ（Y）（例）：デフォルト確率が独立で共に０．３％の２銘柄の債券があり、期間１年信頼区間９９．５％ＶａＲで信用リスク評
価
i. 単一銘柄に１０億円投資⇒０（デフォルト無）ii. 二銘柄に５億円づつ投資⇒▲５億円（確率０．５１％で一銘柄はデフォルト）30

CTEのコヒーレント性	
＜命題＞
x(a)=VaRa(X)とするとき、ＣＴＥa（X）＝E[Ｘ｜x(a)≦Ｘ]＝E[X1{x(a)≦X}]/(1-a)
は劣加法性を持つ

31

CTEのコヒーレント性（２）	
∵） Z=X+Yとすると(1-a)(CTEa(Z)-CTEa(X)-CTEa(Y))=E[Z・1{z(a)≦Z}-X・1{x(a)≦X}-Y・1{y(a)≦Y}]=E[X(1{z(a)≦Z}-1{x(a)≦X})+Y(1{z(a)≦Z}-1{y(a)≦Y})]≦x(a)E[1{z(a)≦Z}-1{x(a)≦X}]+y(a)E[1{z(a)≦Z}-1{y(a)≦Y}]=x(a)((1-a)-(1-a))+y(a)((1-a)-(1-a))=0
ここで1{z(a)≦Z}-1{x(a)≦X}≦０ if x(a)≦x1{z(a)≦Z}-1{x(a)≦X}≧０ if x(a)＞x に注意
32

多期間リスク尺度の必要性	

保険では、毎年の責任準備金の積み立て原資不足によって保険期間満了前（ＶＡではＧＭＡＢ行使期日前）にデフォルトする場合がある
このため責任準備金評価のリスク尺度は多期間でのリスク計測に馴染むものでなければならない
しかし、VaRやCTEは本来的に一期間のリスク尺度であり、これを責任準備金のような多期間のリスク計測に適用することは想定されていない
２期間の単純なモデルで考えてみると・・・
33

＜CTE95％の例（Pu=94%,Pd=6%）＞	
②（ｕ,ｕ）0	①（ｕ）50	②（ｕ,ｄ）50	

CTE(0.95)	  =53.6	

②（ｄ,ｕ）50	①（ｄ）100	②（ｄ,ｄ）100	

CTEの多期間適用の問題点	


時点０において、信頼区間９５％でＣＴＥ評価した
責任準備金（５３．６）では、時点１において、６％の確率で▲４６．４の積立不足が発生（⇒デフォルト）
つまり、時点１でのデフォルト率は６％であり、信頼区間設定時の想定デフォルト率５％以下（∵CTE９５％＞VaR９５％）が達成されていない！
上記の問題点を回避できる多期間リスク尺度はどのようなものか？
35

多期間リスク尺度の望ましい性質T∈N, t ∈{0,,,T}, （Ω,ℱ,P）,｛ℱｔ｝ｔ=oＴ , ℱ0={∅, Ω}写像ρ t:L∞(ℱT)→L∞(ℱｔ) が以下の３つの性質を満たすとき、Dynamic risk measure と呼ぶ (Chelidito & Kupper[2006])



i.
ii.
iii.

Normalization: ρ t(0)=0
Monotonicity: X≦Y ならば ρt(X)≦ρt(Y)Transition Equivalence: ρt (X+c)=ρt (X)+c for ∀X ∈ L∞(ℱT),∀c∈ L∞(ℱ )t36

“Time Consistency” 通時一貫性
	さらにDynamic risk measure(ρｔ) が以下の性質を持つとき、Time Consistent（通時一貫的） と呼ぶ；
for all X,Y∈L∞ and T ≧ t ≧0
ρt+1(X)≦ρt+1(Y) ⇒ ρt(X)≦ρt(Y) ＊37

“Dynamic Programming Principle”	

＜命題＞多期間リスク尺度の通時一貫性は、以下のDynamic Programming Principle（再帰性） と同等である
ρt(X)=ρt(ρt+1(X)) ★



このDynamic Programming Principle（再帰性）表現 は具体的な通時一貫的リスク尺度の構成に示唆的38

“Dynamic Programming Principle”（２）	
＜∵＞
通時一貫性（＊）⇒再帰性（★）
Transition Equivalenceよりρt+1(ρt+1(X)) =ρt+1(X)
上式と通時一貫性＊よりρt(ρt+1(X)) =ρt(X)再帰性★⇒通時一貫性＊ρt+1(X)≦ρt+1(Y) ならば、Monotonicityにより
ρt(ρt+1(X))≦ρt(ρt+1(Y))
再帰性★により、ρt(X)≦ρt(Y)39

CTEの改良;ICTE (H&W[2004])	
Hardy&Wirchが、CTEの多期間への自然な拡張としてICTE（Iterated CTE）を提案（Ω,ℱ,P）,｛ℱk｝k=on,ℱ0={Φ,Ω}, Jn ；ℱn-可測損失分布を表すJn からJn-t=ＣＴＥ [Jn-t+1| ℱn-t] （１≦ｔ≦ｎ）
をバックワードに順次計算していくとJ0がIＣＴＥ

40

＜ICTE95％の例＞ 	
②（ｕ,ｕ）0	①（ｕ）50	②（ｕ,ｄ）50	

ICTE(95%)=100	  ②（ｄ,ｕ）50	①（ｄ）100	②（ｄ,ｄ）100	ICTEの問題点	


バックワードの計算が必要なIＣＴＥは一般的なモンテカルロ法では扱えず、計算負荷が大きいため実装上の困難は極めて大きい（実装例は未報告）
また、観測期間内のタイムステップ数に依存してＩ
ＣＴＥは増加する性質をもつ（⇒モニタリング頻度を上げるとリスクは増加するということ？）	

42

ICTEからRAEへ	

対数正規過程ではICTEは解析的に表現可能（以下は１年後のＣＦをタイムステップＮで評価する場合）
ICTE(N,α) ＝ exp{µ+σ2/2}((1- Φ(Φ-1 (α)-σ/√N))/(1- α))NICTE(N,α)は、タイムステップ数Ｎに応じて増加する性質を持ちＮ→∞で発散
発散回避策１：確率過程の性質に合わせてタイムステップのスケーリングを調整（多期間リスク尺度といえるか？モデルに依存しすぎ？）発散回避策２：信頼水準α(N)を適切なスピードで０に収束させる⇒
ICTEはＲＡＥ（リスク調整期待値）に収斂
exp{- z α(N)2/2}σ/(Φ(-z α(N))√(2π))〜1/√N
where α(N) = Φ(z α(N))
43リスク尺度の現実をふまえて	
ＲＡＥ法はリスク中立以外のリスク調整の意味づけが難しいが、市場整合的なリスク中立との比較可能性がポイント

資本コスト法／クオンタイル法は、信頼水準による意味づけが明瞭だが、①信頼水準と市場整合性の結び付けの難しさ、②特に保険で重要となる多期間適用時の通時一貫性の破れに懸念がある⇒リスク尺度の不完全性を認識して、限界を認識したうえでリスク管理を行っていくことが必要（特に最適化はモデルリスクが濃縮されるので要注意）⇒たとえば異なるタイプのリスク尺度を複眼的に併用することも一つの方法	44

ＶＡ市場の変化	
リーマンショック前後で、ＶＡを提供する保険者の顔ぶれやリスク管理の考え方が変化し、ＶＡの商品構造も大きく変化
今日ではＭＧＯのリスク管理の困難さの緩和のた
めに、ＭＧＯの原資産となる投資信託自体に安全装置もたせたダイナミック運用が中心





i.

ポートフォリオ・インシュアランス型：フロアとの差額（クッション）に比例したリスク資産配分
ii. （実現）ボラティリティー・コントロール型：実現ボラティ
リティーが一定水準になるようリスク資産配分
45