物性物理におけるモンテカルロ法川島直輝（物性研）
物性若手夏の学校２００７
紀三井寺 ２００７年８月７－９日

いろいろな計算手法
第 原理計算第一原理計算モデル計算

厳密性，汎用性，有限系厳密解 多
多くの情報，小システム
情報，級数展開

厳密性
サイズ，限られた情報

密度行列繰り込み群法
高精度，大システム，多くの情報，特殊性

量子モンテカルロ法大システム，多くの情報，汎用性，統計誤差，緩和時間

量子モンテカルロ法の「守備範囲」
量子モンテカルロ法の特徴：
長所： 大システムの計算可能，多くの情報，汎用性
短所： 統計誤差，緩和時間
短所
臨界現象や相転移現象の研究に向いている
量子スピン系（さまざまな磁性体）の低温相，ボ ズ系の凝縮（超流動固体，極低温原子系，光格子），ボーズ系の凝縮（超流動固体，極低温原子系，光格子），強相関電子系（高温超伝導，ハバードモデルなど）
Lattice QCD,

単純なモンテカルロ法
Buffon の針

でたらめに落とした長さ１の針が間隔１で引かれた平行線のどちらかと交わる確率は２／π．
2 （針を落とした回数）×π=（針が線と交わった回数）

モンテカルロ法＝決定論的な問題を乱数を利用して解く方法（ ンテカル シミ レ ション」とはいえない）（「モンテカルロシミュレーション」とはいえない）
3408 回回の試行により試行
り π=3.1415929 ((Lazzerini 1901))

単純なモンテカルロ法（棄却法）

棄却法の限界

マルコフ過程を使った
モンテカルロ法

詳細つりあいエルゴード性イジングモデルのグモンテカルロシミュレーション

モンテカルロシミュレーションの収束

自由エネルギ は単調減少
自由エネルギーは単調減少

緩和時間

z≈2

Fortuin Kesteleyn の書き換え
Fortuin-Kesteleyn
Z ≡ ∑ W ( Σ ) = ∑∑ W ( Σ , Γ )ΣΣΓSwendsen Wang アルゴリズム
Swendsen-Wang

遷移行列
W (Σ , Γ )T1 ( Γ | Σ ) =W (Σ )W (Σ , Γ )T2 ( Σ | Γ ) =W (Γ )

２点相関関数

クラスタサイズと相関長がほぼ対応する．

クラスタアルゴリズムの収束

Swendsen-Wang アルゴリズムの場合の証明は自由エネルギーの単調性を使ってできる．
（一般に，全体としてエルゴード性があればＯＫ．）

Wolff アルゴリズム（１）離散的対称性を利用した連続スピンモデルの離散化

Wolff アルゴリズム（２）シングルクラスタによる更新

ランダムに選んだスピンからスタートしてSwendsen Wang のグラフ生成ルールを適用する．
Swendsen-Wangのグラフ生成ルールを適用する
最初に選んだスピンを含むクラスタ以外は手をつけない．

拡張アンサンブル法
もともとの重み W とは異なる重み W0 について詳細釣り合いを満たすモンテカルロシミュレーションからもともとの重みに関する平均量を求める方法．

Q =W
Q
W00W
W00

Q ... 任意の物理量
W ... 「正しい」重み
W0 ... モンテカルロシミュレ
モンテカルロシミュレーション
ション
で使う重み
< >0 ... モンテカルロシミュレーションで得られる平均値

再重み付け法W (Σ ) = e− βE ( Σ )W0 ( Σ ) = e− β0 E ( Σ )拡張モンテカルロ法といっても，やることは普通のモンテカルロシミュレーションとまったく同じシミュレションとまったく同じ．デ
データ処理の仕方だけが違う
タ処理の仕方だけが違う．
簡単で便利．

再重み付け法の問題点

βFβ (E ) = β 0 Fβ (E ) + (β − β 0 )E0マルチカノニカル法

1W0 (E ) =Ω( E )

マルチカノニカル法の問題点
なかなか分布の幅が広がらない．
なかなか分布の幅が広がらない

Wang Landau 法
Wang-Landau「強制的」にひろがらせる．

スイープごとに：フェ ズごとに：フェーズごとに：拡張アンサンブル法での期待値
ブブロードヒストグラム法，遷移行列モンテカルロ法，フラットヒストグラム法，etc
ドヒストグラム法，遷移行列モンテカル 法，フラットヒストグラム法，etc

シングルスピン更新のイジング デルの場合
シングルスピン更新のイジングモデルの場合：

レプリカ交換法⎛ e − βE ′e − β ′E ⎞( β ′− β )( E ′− E )⎜⎟Pswap = min⎜1, − βE − β ′E ′ ⎟ = min 1, e
⎝ e e
⎠()

経路積分に基づく量子モンテカルロ
SSuzukiki 1976dτ L (S , S& )∫0
Z = ∫ DS eβ−≈ ∫ DS e−β M

L (S k , S& k )∑Mk =1M≈ ∑∏ w(S k +1 , S k )Sk =1= ∑ W (S )S

S : 世界線のパターン

経路積分表示

具体的にどのような分割を考えているか
はあとでu ≡ ( k , b)

経路積分表示Z = ∑∏ wu ( Σ u )Σuwu ( Σ u ) = ψ b +1 (k ) (1 − Δτ H b ) ψ b (k )(u ≡ (k , b) )

Fortuin Kasteleyn 表現の一般化
Fortuin-Kasteleynwu ( Σ u ) = ψ u′ (1 − Δτ H u ) ψ u= ∑ ψ u′
Γ u = 0 ,1(− Δτ H u ) ψ u
Γu= ∑ wu ( Σ u , Γ u )Γ u = 0 ,1Z = ∑ W (Σ , Γ )Σ ,ΓW ( Σ , Γ ) ≡ ∏ wu ( Σ u , Γ u )u

Ｓ＝１／２ ＸＸＺモデル− H = −∑ H ij = ∑∑ aμ Δ̂ ij = ∑ ab Δ̂ bμ(ij )ijμハミルトニアンのグラフによる分割：b(b ≡ (ij, g ))

グラフの種類（Ｓ＝１／２（Ｓ １／２ ＸＸＺ モデル）

ループアルゴリズム− H ij = ∑ aμ Δ
Δ̂ ijμと分割される場合と分割される場合，μある「箱」にタイプある箱」にタイプ μ のグラフを置く確率は aμ ΔτΣΓΣ′連続時間極限lim 「区間幅 Δτ の『箱』にそれぞれ確率 Δτ×Ａ でグラフを置く」

Δτ →0＝ 「密度 Ａ で一様ランダムにグラフをおく」

級数展開から始める定式化

Z L = ∑∏ ψ u′ (− Δτ H ) ψ u
Γu

Σ ,Γu

結局，経路積分から始めたときと同じ式が導かれた

物理量の測定■ エネルギーネ ギ

H = E (S ) MCβ⎛E (S ) ≡ β ⎜ ∫ dτ ψ (τ ) H ψ (τ ) − N kink (S )⎞⎟⎝ 0⎠−1()■ 比熱

C = β 2 E (S )− E (S ) MC − T 2 N kink (S )■ 相関関数Γ ( X ′, X ) ≡ ℑ Sˆ jz (τ ′)Sˆiz (τ ) = S X ′ S X MC

22MCX ≡ (i,τ ), X ′ ≡ ( j ,τ ′), S X ≡ ψ i (τ )■ 帯磁率

χ=(M (S )N
β

M (S ) ≡− M (S ) MC
22MC

1dX S
∫βX)

非対角グリ ン関数
非対角グリーン関数
Brower, Chandrasekharan and Wiese 1998()

Tr e − βH Q′(τ )Q(0 )= ∑∑ V (G )Δ(S B , GB )Q′(S B , S A )Δ(S A , G A )Q(S A , S B )S

G= ∑ V (G )χ Q′Q (G )GQ′(τ )Q(0) = χ Q′Qg

グラフで定義される測定量■ エネルギーネ ギ

H = − β −1 N nt (G ) MC

N nt (G ) = (total number of non - tivial graphs )−1( N (G )− N nt (G ) MC − N nt (G ) MC
22

■ 比熱

C=N

■ 対角相関Γ zz ( X ′, X ) ≡ ℑ Sˆ jz (τ ′)Sˆiz (τ ) = γ X ′, X (G ) MCntMC)⎧ ± 1 4 ( X とX ′ が同じクラスタ上 )γ X ′, X (G ) = ⎨⎩ 0 (それ以外 )■ 非対角相関Γ xx ( X ′, X ) ≡ ℑ Sˆ jx (τ ′)Sˆix (τ ) = η X ′, X (G ) MC

⎧ 1 4 ( X とX ′ が同じクラスタ上 )η X ′, X (G ) = ⎨⎩ 0 (それ以外 )負符号問題
負符号のでる場合： （１） フェルミオン系， （２） フラストレーション

meron アルアルゴリズム
リズム
Chandrasekharan and Wiese 1999

Z = ∑ [sgn (S )× W (S )]S= ∑∑ [V (G )× sgn (S )Δ(S , G )]SmeronG⎡σl ⎤= ∑ V (G ) ⎢∑∏ ε l ⎥G⎣{σ l } l⎦= ∑ V (G ) 2 N c (G )G: meron -freeメロンを含まないグラフの空間に制限してサンプリングすればよい．

Meron アルゴリズムがうまくいく条件：
１）符号がループ符号 （εｌ ＝±１） の積に因子化できる．（０<U<2t ではダメ）
２）メロンの含まれたグラフは分配関数に寄与しない．（half-filling でないとダメ）
３）メロンを含まないグラフは分配関数に正の寄与をする
３）メロンを含まないグラフは分配関数に正の寄与をする．

スピンレスで（弱い）斥力相互作用をもつフェルミ粒子系はＯＫ

ル プアルゴリズムの問題点
ループアルゴリズムの問題点
ー 交換相互作用と競合する磁場 ー
状態空間内に「狭い道」ができてしまう

グラフをわりあてる
とき は磁場 効
ときには磁場の効果を考慮しないのが問題ワ ムアルゴリズムのあらまし
ワームアルゴリズムのあらまし
ワームアルゴリズムは世界線が２箇所で不連続になることを許すことによって状態空間を拡大し，不連続点の移動によって，拡大された状態空間内のマルコフ過程を構成する方法である．
ワームアルゴリズムはもとのハミルトニアンに適当なソース項を入れたものをハミルトニアンをし，ソース項について２次の項までに限定した空間での詳細釣り合い条件から導くことができる．

ワ ムアルゴリズムの基本手続き
ワームアルゴリズムの基本手続き

ワームの生成・消滅

ヘッドの垂直移動

ヘッドの水平移動

向きつきループアルゴリズム（ＤＬＡ）
ワームアルゴリズムとの共通点．．． 不連続点を２つ導入してヘッドの移動によって状態更新を行う
ループアルゴリズムとの共通点．．． グラフ要素（バーテックス）はヘッドの移動中は固定

ＤＬＡ
Syljuasen-Sandvik 2002

バーテックス密度：ρ lm = W (Σ )ワーム散乱確率：P (Σ ′ Σ )⎛ l′Σ = ⎜⎜ σ⎝lm′ ⎞⎟⎟ =m⎠ＤＬＡ

ＤＬＡ
Weight：g⎛ l′W ⎜⎜ ε⎝lm′ ⎞⎟⎟ ≡ l ′, m′ (const) − H l , mm⎠
ε = ± 1 , ± 2 , L = [the magnitude of spin change caused by the worm]()
Weight Equation : W ( Σ ) = ∑ W ( Σ ′, Σ )Extended Weight : W Σ ′, Σ(Σ′Detailed Balance : W Σ ′, ΣVertex Density

Σ ′ : the final state of scatteringΣ : inverse of Σ) = W (Σ , Σ ′) Σ ′ : inverse of Σ ′⎛l: ρ lm = W ⎜⎜⎝lm⎞⎟⎟m⎠

W (Σ, Σ ′)Scattering Prob. : P (Σ ′ Σ ) =W (Σ )Solution is not unique最後
最後に量子モンテカルロ法はどういうときに使うべきか？

未解決の問題
まだできていないこと：■ 結晶場異方性の存在する場合■ イジング的ＸＸＺモデルの場合もカバーする一般化■ 負符号問題の解決（そもそも一般解はあるのか？）