経済学部生のための数学補習講座

注意事項『経済学部生のための数学補習講座』は同志社大学経済学部に所属する学生のための「数学補習講座」を映像化したものです。
「数学補習講座」は、「初級ミクロ経済学」並びに「経済数学」を履修するための基礎知識・修練のための講座です。受講予定の方で高校数学に不安のある方は 、全編通してご視聴されることをお勧めします 。

※テキスト及び講義内容は、実際の講座と同じものになりますが、説明の仕方及び内容の進め方などは異なる場合があります。

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経済学部生のための数学補習講座
Ⅰ.

２次関数

Ⅰ. ２次関数

1．２次関数とグラフ【1】 関数とグラフ２次関数の一般形は
𝟐𝒚 =𝒂𝒙 +𝒃𝒙+𝒄 …①
ただし、𝒂 ≠ 𝟎で表される。
𝒙の変域を定義域、𝒚の変域を値域という。
𝒚が𝒙の関数であるとき、𝒚を表す𝒙の式を𝒇 𝒙 のように書くことがある。

グラフの形は𝒂だけで決まる。𝒃, 𝒄は頂点の位置を左右するだけで、グラフの形には影響しない。

【２】２次関数のグラフと平行移動
２次関数のグラフの平行移動について考える。
この一般形で表された２次関数上の点(𝒔, 𝒕)を、𝒙軸方向に𝒑,𝒚軸方向に𝒒だけ平行移動した点を(𝒙, 𝒚)とすると、
𝒙, 𝒚 = 𝒔 + 𝒑, 𝒕 + 𝒒 ↔
𝒔, 𝒕 = (𝒙 − 𝒑, 𝒚 − 𝒒)の関係が成り立つから①を平行移動したグラフは、
𝟐𝒚−𝒒=𝒂 𝒙−𝒑 ↔
𝟐𝒚=𝒂 𝒙−𝒑 +𝒒と表すことができる。

図は
𝟐𝒚= 𝒙−𝟏 −𝟑のグラフ

２．２次関数の値の変化
以下、𝒂 > 𝟎の場合について考える。
【３】２次関数の最大・最小
𝟐𝒚 = 𝒂 𝒙 − 𝒑 + 𝒒 は 、 頂 点 が 𝒑, 𝒒 で あ る か ら 、
𝒙 = 𝒑で最小値 𝒒をとる。
下に凸の２次関数では、定義域に制限がなければ最大値は存在しない。
定義域が制限されている場合は軸から最も遠い点で最大値をとる。

３．２次方程式と二次不等式【4】２次方程式
𝟐𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎…②の左辺は

𝒃𝟐𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂 𝒙 +𝟐𝒂と変形できるから②は𝒃𝒙+𝟐𝒂𝟐=

𝟐𝒃 − 𝟒𝒂𝒄𝟐𝟒𝒂と表すことができる

𝟐𝟐𝒃 − 𝟒𝒂𝒄−𝟒𝒂𝟐𝒃 − 𝟒𝒂𝒄 ≥ 𝟎 のとき、
𝒃𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄𝒙+=±𝟐𝒂𝟐𝒂従って、以下の解の公式が得られる。
𝒙=−𝒃 ±𝟐𝒃 − 𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂𝟐

なお、 𝒃 − 𝟒𝒂𝒄 の部分の値によって２次方程式の実数解の個数を判別できるため、𝟐𝑫 = 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 のことを判別式という。

演習問題

・・・ 2次関数 ・・・ ①

１．２次関数とグラフ
𝟐【１】関数 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎 (−𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓) の値域を求めよ。
𝟐【２】２次関数 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎 について、次の問いに答えよ。
（１）この放物線の頂点をAとするとき、Aの座標を求めよ。
（２）この放物線を、𝒙軸方向に+𝟑, 𝒚軸方向に−𝟐だけ平行移動したとき、移動後の放物線の方程式を求めよ。

演習問題

・・・ 2次関数 ・・・ ②２．２次関数の値の変化【３】次の関数の最大値、最小値を求めよ。
𝟐（１）𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎 (𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐)𝟐（２）𝒚 = −𝒙 − 𝟔𝒙 (−𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏)

𝟐【４】２次方程式 𝒙 − 𝒎𝒙 + 𝟏 = 𝟎 が重解を持つとき、定数𝒎の値を求めよ。また、その時の重解を求めよ。

演習問題

・・・ 2次関数 ・・・ ③【５】次の２次不等式を解け。
（ヒント：グラフを描くこと）
𝟐（１）𝒙 − 𝟔𝒙 < 𝟎𝟐（２）𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎 > 𝟎

演習問題

・・・ 2次関数 ・・・ ④３．２次関数総合【６】1個200円で売っている商品がある。200円で売ると1日500個売れるが、売価を1円値上げするごとに、売上個数は2個ずつ減るという。この商品の売価を𝒙円値上げした時の売上金額を𝒚円とする。
① 𝒚を𝒙の式で表しなさい。

② 1日の売上金額が最大になるのは、何円値上げした
時か求めなさい。

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Ⅱ. 数列

Ⅱ 数列
1．等差数列と等比数列【1】数列と一般項
𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, ⋯のように数を一列に並べたものを数列といい、数列における各数を項、𝒏番目の項を第𝒏項、特に第1項を初項、最後の項を末項という。
【２】等差数列
数列𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, ⋯では、ある項とその次の項では、常に一定の𝟐である。初項に一定の数𝒅を足していって得られる数列を等差数列といい、その一定の数𝒅を公差という。

【３】等差数列の一般項と和初項が𝒂𝟏 、公差が𝒅である等差数列 𝒂𝒏 の一般項は、
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅と表すことができる。
初項 𝒂𝟏 から第𝒏項 𝒂𝒏 までの和を 𝑺𝒏 とすると、
𝒂𝟏 + 𝒂𝒏𝟏𝑺𝒏 =∙ 𝒏 = ∙ 𝒂𝟏 + 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅 ∙ 𝒏𝟐𝟐𝟏= ∙ 𝟐𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅 ∙ 𝒏𝟐が成り立つ。

【４】等比数列

数列𝟐, 𝟒, 𝟖, 𝟏𝟔, ⋯では、ある項とその次の項との比が常に一定の𝟐である。初項に一定の数 𝒓を次々と掛けて得られる数列を等比数列といい、その一定の数 𝒓を公比という。

【５】等比数列の一般項と和初項が 𝒂𝟏 、公差が𝑟である等差数列 𝒂𝒏 の一般項は、𝒏−𝟏

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓と表すことができる。

初項𝒂𝟏 から第項𝒂𝒏 までの和を𝑺𝒏 とすると、
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 ∙𝑺𝒏 = 𝒏𝒂𝟏

𝒏𝟏−𝒓𝟏−𝒓𝒓=𝟏𝒓≠𝟏

２．いろいろな数列【６】和の記号 ∑𝒏෍𝒌 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯𝒏𝒌=𝟏𝒏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐෍𝒌 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯𝒏
𝒌=𝟏𝒏𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑෍𝒌 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯𝒏𝒌=𝟏

演習問題

・・・ 数列・・・ ①１．等差数列と等比数列【１】一般項が𝒂𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟏で表される数列 𝑎𝑛 について、次の問いに答えよ。
（１）𝒂𝒏 を𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅 の形に表すとき、𝒂, 𝒅の値を求めよ。

（２）𝟐𝟎𝟎はこの数列の項に含まれるか。

演習問題

・・・ 数列・・・ ②【２】初項が𝟏𝟓で、公差が−𝟐である等差数列 𝒂𝒏 がある。
第何項が初めて負の数になるか。

【３】上記【２】の等差数列について、初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

演習問題

・・・ 数列・・・ ③【４】第𝟐項が𝟑で、第𝟒項が𝟐𝟕である等比数列 𝒂𝒏 がある。一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

【５】上記【４】の等比数列について、初項から第𝟏𝟎項までの和 を求めよ。

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Ⅲ.

指数関数と対数関数

Ⅲ

指数関数と対数関数

１．指数関数【１】指数の拡張・累乗根
𝒂 > 𝟎 のとき
𝒏𝒂 > 𝟎,𝒏𝒂𝒏𝒏= 𝒂, 𝒂𝒏 = 𝒂・累乗根の性質
𝒂 > 𝟎, 𝒃 > 𝟎 で、𝒎, 𝒏 は正の整数
𝒏𝒏𝒏𝒂 𝒃=𝒏𝒂𝒃, 𝒏𝒂𝒃=𝒏𝒂 𝒏 𝒎 𝒏 𝒎 𝒎 𝒏𝒎𝒏, 𝒂 = 𝒂 ,𝒂=𝒂𝒃・指数法則（指数が有理数）
𝒂 > 𝟎, 𝒃 > 𝟎で、𝒓, 𝒔 は有理数
𝒓𝒔𝒂 ×𝒂 =𝒂𝒓
𝒂𝒔𝒂𝒓+𝒔𝒓−𝒔=𝒂𝒓𝒔𝒓𝒔𝒂=𝒂𝒓𝒓𝒓
𝒂𝒃 = 𝒂 𝒃

【２】指数関数
𝒙𝒚 = 𝒂 (𝒂 > 𝟏)のグラフ

𝒙𝒚 = 𝟐 のグラフ

2．対数関数【3】対数𝒙指数関数 𝒚 = 𝟑 について、𝒚 は増加関数であるから、𝒙 の一つの値に対して、𝒚 の値がただ一つ定まる。
𝒙𝒚 = 𝒂 ↔ 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒚 = 𝒙のようにあらわし、𝒂 を底（てい）、𝒚 を真数（しんすう）、𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒚 を対数とよぶ。
𝟎𝟏
𝟏 = 𝒂 , 𝒂 = 𝒂 ↔ 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝟏 = 𝟎, 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒂 = 𝟏

【４】対数の性質
𝑴 > 𝟎, 𝑵 > 𝟎, 𝒌 は実数とする。
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝑴𝑵 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝑴 + 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝑵
𝑴𝒍𝒐𝒈𝒂 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝑴 − 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝑵𝑵𝒌𝒍𝒐𝒈𝒂 𝑴 = 𝒌 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝑴

【５】対数関数
𝒚𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝒙は、𝒙 = 𝟑 と同じであるから、以下のようなグラフになる。

【６】常用対数
底を𝟏𝟎とする対数を常用対数という。
大きな数の桁数を考えるときに使われることが多い。

【７】自然対数（高校の数学Ⅱでは登場せず、数Ⅲで扱われている）
𝟏𝒆 = 𝒍𝒊𝒎 𝟏 + 𝒉 𝒉𝒉→𝟎と定義する。これを底とする対数を自然対数という。

演習問題 ・・・ 指数関数と対数関数
１．指数関数【１】次の式を計算せよ。
𝟑（１） 𝟐𝟕

𝟑

𝟑（２） 𝟐 𝟒【２】次の関数のグラフを描け。
𝒚=𝟏 𝒙𝟐・・・ ①

演習問題 ・・・ 指数関数と対数関数
２．対数関数【３】次の式の値を求めよ。
（１） 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟔𝟒

𝟏（２） 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟔𝟒𝟐・・・ ②

演習問題 ・・・ 指数関数と対数関数・・・ ③【４】次の式を計算せよ。また、方程式を解け。
（１）𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟗 + 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟐𝟕

𝟐（２）𝒍𝒐𝒈𝟑 (𝒙 + 𝟐) = 𝟐

演習問題 ・・・ 指数関数と対数関数・・・ ④【５】１年目の初めに新規に１００万円を預金し、２年目以降の毎年初めに12万円を預金する。ただし、毎年の終わりに、その時点での預金額の８％が利子として預金に加算される。自然数𝒏に対して、𝒏年目の終わりに利子が加算された後の預金額を𝑺𝒏 万円とする。
ただし、𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎 𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟎𝟏𝟎, 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎 𝟑 = 𝟎. 𝟒𝟕𝟕𝟏とする。

（１）𝑺𝟏 , 𝑺𝟐 をそれぞれ求めよ。
（２）𝑺𝒏+𝟏 を𝑺𝒏 を用いて表せ。
（３）𝑺𝒏 を𝒏を用いて表せ。
（４）𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎 𝟏. 𝟎𝟖を求めよ。
（５）𝑺𝒏 > 𝟓𝟏𝟑を満たす最小の自然数𝑛を求めよ。

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Ⅳ. 微分法Ⅳ 微分法
１．微分係数と導関数【１】平均変化率と微分係数、導関数
・平均変化率𝒚 = 𝒇 𝒙 において𝒙 の値が𝒂 から𝒃 まで変化するとき、𝒚の変化量

𝒇 𝒃 −𝒇(𝒂)平均変化率 ==𝒃−𝒂𝒙の変化量で、これは、𝑨 𝒂, 𝒇 𝒂 と𝑩 𝒃, 𝒇 𝒃の傾きを表している。

を通る直線 AB

・極限値

いま、𝒉 + 𝟑という式があるとする。 𝒉 が限りなく0に近づくとき、𝒉 + 𝟑 の極限値は3であるといい、記号𝒍𝒊𝒎 を用いて、
𝒍𝒊𝒎(𝒉 + 𝟑) = 𝟑𝒉→𝟎というふうに書く。

・微分係数関数 𝒇 𝒙 の、𝒙 = 𝒂 から 𝒙 = 𝒂 + 𝒉 までの変化率
𝒇 𝒂+𝒉 −𝒇 𝒂𝒉

において𝒉 が限りなく0に近づくとき、この平均変化率が一定の値に近づくなら、その極限値を、

関数 𝒇 𝒙′の 𝒙 = 𝒂 における微分係数といい、𝒇 𝒂で表す。
𝒇𝒂+𝒉−𝒇(𝒂)′𝒇 𝒂 = 𝒍𝒊𝒎𝒉→𝟎𝒉
なお、𝒇′(𝒂)は、点(𝒂, 𝒇(𝒂)) における接線の傾きを表している。

・導関数
関数 𝒇 𝒙 上の任意の点 𝒂, 𝒇 𝒂′において 𝒇 𝒂 を考えると、𝒙 の関数が得られる。この得られた関数
を𝒇 𝒙 の導関数といい、𝒇′(𝒙) で表す。

𝒇𝒙+𝒉−𝒇(𝒙)′𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎𝒉𝒅𝒚′・関数 𝒚 = 𝒇(𝒙) の 導関数を、 𝒇′(𝒙) や 𝒚 あるいは𝒅𝒙のように表す。
𝒏𝒏−𝟏(𝒙 )′ = 𝒏𝒙

演習問題

・・・

微分法

・・・

①１．微分係数と導関数【１】平均変化率と微分係数、導関数
 平均変化率
𝟐２次関数 𝒚 = 𝒙 の、𝒙 = 𝟑 から 𝒙 = 𝟑 + 𝒉 までの平均変化率を求めよ。

 極限値次の極限値を求めよ。
𝟐𝒍𝒊𝒎(𝟓 − 𝟐𝒉 + 𝒉 )
𝒉→𝟎

演習問題

・・・

微分法

・・・

②

 微分係数𝟐関数 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 の、𝒙 = 𝟑 における微分係数を求めよ。

 導関数
𝟐𝒚 = 𝟑𝒙 の導関数を求めよ。