動的幾何環境下における動的幾何環境下における証明における証明の証明の学習指導に学習指導に関する研究
する研究―生徒が推測を構成し，演繹的な推論の見通しを得るために教師は何をすべきか―
田中慎一 指導教官：
指導教官：溝口達也
１．研究の研究の目的
本研究は，生徒が演繹的な推論の必要性を感じていない，という図形の論証指導の問題点を解決することを目的としている．これについて，生徒が帰納的に推測を構成しやすくすることで演繹的な推論を行いやすくなるという前田(1979)からの示唆をもとに，帰納的に推測を構成しやすい環境である動的幾何環境を用意することで，演繹的な推論の必要性を生徒に感じ取らせることが可能になると考える．では，この示唆をもとにした学習指導とはどのようなものか．そこで，次の研究課題が設定される．
課題 A：帰納的に推測を構成しやすくし，演繹的な推論の必要性を得させる学習指導とはどうあるべきか
また，そのような学習指導において動的幾何環境はどのような役割を果たすのか，これを明確にする必要もある．よって次の研究課題を設定する．
課題 B：上述の学習指導における動的幾何環境の役割とは次に，明らかとなった動的幾何環境の効果を踏まえ，本研究で提案する学習指導を実現するために教師はどのような支援を行うべきか，さらに，学習指導が今までとは異なるアプローチを採るため，生徒の活動にも変化が生じると考えられるので，それを明らかにする必要もある．以上のことをまとめると，次のように課題が設定される．
課題 C：上述の学習指導を実現するために教師は何をすべきか
課題 D：上述の学習指導における生徒の活動とはどのようなものかこれらの研究課題を解決することで，本研究の主たる目的は達成できると考える．
２．研究の研究の方法
本研究は生徒が演繹的な推論の必要性を感じ取るために教師は何をすべきか，を明らかにすることが目的である．
この目的を達成するために，前田(1979)から生徒に帰納的な推論をより行わせやすくすることで，演繹的な推論を行いやすくなるのではないか，という示唆を得た．また，当時の学習環境はそれが行いにくかったことも記述されている．そこで，本研究では帰納的に推測を構成しやすい環境である動的幾何環境に注目し，学習指導を提案する．
課題 A を解決するために，第 2 章では先行研
究から，動的幾何環境下における図形の証明の学習指導に関して現在までにどのような課題が考えられ，どのような方法で解決がなされてきたのか，また，残された課題を明らかにする．そして，本研究が動的幾何環境下における図形の証明の学習指導に対してどのようなアプローチを採るかを明確にする．
次に，課題 B を解決するため，第 3 章では第 2章で明らかにした本研究の採るアプローチにもとづき，本研究の目指す学習指導を前田(1979)の示唆をもとに提案する．また，学習指導としての具体的な事例を挙げ，その中で動的幾何環境はどのような役割を果たすのかを明確にする．
課題 C,D の解決のために，第 4 章と第 5 章では上述した動的幾何環境の役割をもとに，被験者を生徒，実験者を教師に見立てた教授実験を行い，そのプロトコール分析を行うことで教師は何をすべきかを明らかにする．分析は，問題解決における生徒の活動に対して有効であったと考えられる支援を抽出する方法を採る．
第 5 章では第 4 章と違い，まず大学生を対象とした予備実験を行い，生徒の活動と教師の支援についての枠組みを構築した後に，中学生に対する教授実験を行う．これは，第 5 章で行う教授実
験は先行研究を基にして課題設定や支援のあり方を考察できないものであり，中学生に対して行う教授実験で扱う問題や支援を考えるための予備資料を用意する必要が生じたからである．
最後に，教授実験から明らかになった枠組みをLakatos(1980)の述べる数学的推論の本性に基づいて評価する．
３．論文の論文の構成
第1章 本研究の目的と方法
1.1. 本研究の目的
1.2. 本研究の方法
1.3. 本論文の構成
第2章 先行研究における図形の論証指導での動的幾何環境の扱い
2.1. 先行研究の概観
2.2. 先行研究から得られた課題
第3章 研究の対象とする図形の論証指導での動的幾何環境の扱い
3.1. 図形の証明指導に対する本研究のアプ
ローチ
3.2. 本研究のアプローチの具体例
第4章 帰納的に事実を集め，推測を構成しやすくする役割を学習指導に活かすために教師は何をすべきか
4.1. 動的幾何環境における教授実験教授実験計画
実験結果
実験結果の考察
推測が普遍妥当であることを示すための見通しを与える役割を学習指導に活かすために，教師は何をすべきか
5.1. 大学生に対する教授実験
5.2. 中学生に対する教授実験第6章 本研究の意図する学習指導を実現するための提言
6.1. ラカトシュの証明論駁法からの示唆
6.2. ラカトシュ論を用いた枠組みの再解釈
第7章 本研究の結論
7.1. 研究の結論
7.2. 今後の課題
引用・参考文献
資料
4.2.
4.3.
4.4.
第5章

４．課題 A に対する結論
する結論
先行研究を概観することで，次の分野の研究から示唆を得ることができた．まず，「動的幾何を用いた証明そのものに関する研究」から，動的幾何を用いることと証明を行うことが直接結びついていないという問題が指摘される(辻，2003)．
次に，「どのように証明の必要性を与えるかに関する研究」について清水・垣花らは中学校の図形の証明の学習指導では演繹的な証明ではなく動的幾何を用いた証明として，帰納的に確かめられたものを認めようということを結論として述べており(清水・垣花,1996)，上で述べた問題を解決する 1 つの方法を示している．しかし，本論
文では生徒にどのような証明を行わせたいのか，それに適する推論形式はどういったものなのか，という考察を経た上で新たな証明を認めるかどうかを判断する．そして，新たな証明観を作り上げるにしろ，従来どおりの証明を行うにしろ，その必要性をどのように導くのか，を検討する必要がある．次に，これらの課題について本研究はどのようなアプローチを採るかを明らかにする．

指導においては，新たな課題に対し推測が常に成り立つこと，既習の事実に帰着でき妥当であること，を示すためには演繹的な推論を用いざるを得ないと考えられるからである．では，この学習指導において教師は何をすべきなのか，を考えるにあたり，本研究で明らかにした以下の動的幾何環
境の役割 １)帰納的に事実を集め，推測を構成しやすくする役割 2)推測が普遍妥当であることを示すための見通しを与える役割，これらが期待できるならば，生徒はどのような活動を行うかが明らかにされなければならない．そこで，本研究では動的幾何環境における教授実験からこれを明らかにする．
６．課題 C，D に対する結論
する結論
上述した動的幾何環境の役割を学習指導に活かすための指針を明らかとするため，まず 1 つ目の役割に着目し，高校生を対象とした教授実験から，次の枠組みが明らかとなった．
動的幾何環境下における論証を目指した活動の相解決に直接的でない推測を構成している相支援：帰納的に推測を構成しやすい事象を提示する
目的を定めず推測を構成している相支援：構成した推測が何を意味するのかを考えさせる
帰納的に事実を集める方法を特定していない相

次に，動的幾何環境の 2 つ目の役割に着目した教授実験を，大学生に対する予備実験の後に中学生を対象として行った．その結果から，次の枠組みが明らかとなった．
動的幾何環境下における論証を目指した活動の相問題場面を作図する相支援：問題場面の持つ条件を考察させる．
問題場面の持つ条件を考察する相支援：課題を捉え直させる．
解決に決定的な条件を考察する相５．課題 B に対する結論
する結論
現在では動的幾何ソフトの使用により，従来よりも推測を帰納的に構成しやすい学習環境が構築可能であることが Laborde(2000)において明らかにされている．一方，辻(2003)は動的幾何を用いることと証明を行うことが直接結びついていないという問題があると指摘する．そこで，動的幾何環境下における学習指導は推測を帰納的に構成しやすいという利点を持ちながらも，演繹的な推論，つまり証明の必要性を生徒が感じないという問題を含んでいると言える．
そこで，本研究では動的幾何環境下における利点を踏まえ，「推測を演繹的な推論によって普遍に妥当であることを明らかにし，その結果未知の命題を真であるものとして受け入れることが可能となる学習指導」を提案する．このような学習支援：演繹的に説明することを促す．
捉え直した課題の解決を行う相そして，これら 2 つの枠組みを学習指導の中でどのように位置づけるかが課題として考えられた．これについては Lakatos(1980)の述べる数学的推論の本性に対する考えに基づいたとき，上記2 つの枠組みを相補的に用いることが本研究の目指す学習指導として有効であると考えられた．
引用・引用・参考文献
垣花京子＆清水克彦. (1995). 日本数学教育学会誌.
辻宏子. (2003). 第 36 回数学教育論文発表会論文集.
前田隆一. (1979). 算数教育論.
ラカトシュ, I. (1980). 数学的発見の論理.
Laborde,C.(2000).Educational Studies in Mathematics.