数学的問題解決における〈イメージ〉の機能に関する研究
A study on functions of <image> in mathematical problem solving.
地域学研究科地域教育専攻 田中光一

指導教員 溝口 達也

本論文の章構成

3.4

1．本研究の目的と方法

3.4.1

調査Ⅱの開発1.1 本研究の動機

3.4.2

調査Ⅱの実施1.2 本研究の目的

3.4.3

調査Ⅱの結果と考察

1.3 本研究の方法

3.5

調査Ⅱ

調査結果から読み取る〈イメージ〉の機能

2．
〈イメージ〉の仮説枠組みの設定
2.1

3.6

第 3 章の結論

本研究における〈イメージ〉と概念
4．
〈イメージ〉が持つ機能の定義
2.1.1 本研究における〈イメージ〉と図

4.1

調査の方法

2.1.2 本研究における概念

4.2

調査の結果

4.2.1

たけしの解決2.2 〈イメージ〉と概念

4.2.2

のりこの解決2.2.1 ビリヤード問題における解決例

4.2.3

なぜ 2 回転するのか

2.2.2 ビリヤード問題の分析

4.3

調査結果の考察2.3 仮説枠組みの設定と研究課題の抽出

4.4〈イメージ〉の機能―Concept，Conception―

4.4.1

問題把握の機能

3．
〈イメージ〉を同定する調査

4.4.2

思考を促す機能

3.1 調査の目的

4.4.3

コミュニケーションの機能

3.2 〈イメージ〉の同定手順

4.4.4

思考を評価する機能

3.3 調査Ⅰ

4.4.5

リスクを補う〈イメージ〉の機能

3.3.1 調査問題がそなえる条件

4.5

第 4 章の結論

3.3.2 問題の開発
3.3.3 調査Ⅰの実施
3.3.4 調査Ⅰの結果と考察

5．学習指導における〈イメージ〉のコミュニケーション

5.1

5.2

5.3

なぜコミュニケーションの機能に焦えるならば，学習者がよりよく数学を解決点を当てるのかできるようになるための一方策として，学コミュニケーションの機能をどのよ習者がイメージをよりよく使えるようになうに探究するべきかるような学習指導を授業者が行うというこ授業観察(エピソードⅠ)の記録及びとが考えられる。そのような学習指導はい考察かにして達成され得るか。また，そのため

5.3.1 エピソードⅠ-A の記録には授業者は何を了解していなければなら

5.3.2 エピソードⅠ-A の解釈及び考察ないかが問題となる。

5.3.3 エピソードⅠ-B の記録
5.3.4 エピソードⅠ-B の解釈及び考察
5.4

授業観察(エピソードⅡ)の記録及び考察

2．研究の目的と方法
本研究は，〈イメージ〉が学習者の問題解決にどう機能するのかを明らかにし，授業

5.4.1 エピソードⅡの記録

者が学習者および教材を，〈イメージ〉とい5.4.2 エピソードⅡの解釈及び考察う観点において解釈する上で有効な示唆を5.5 第 5 章の結論与えることを目的とする。
研究の方法としてまず，前述したように6．本研究の結論従来漠然と使用されているイメージを〈イ6.1 研究の結論メージ〉として再定義する。そして〈イメ6.1.1 研究課題 1 の結論ージ〉の仮説枠組みを〈イメージ〉の事例

6.1.2 研究課題 2 の結論分析を基に設定する。そこから抽出された，

6.1.3 研究課題 3 の結論

後述する 3 つの研究課題を達成することで6.2 学習指導に対する示唆目的の達成を図る。それぞれの課題に対す

6.3 残された課題

る方法は結論と併せて述べる。

1．研究の動機

3．本研究における〈イメージ〉と概念の定義

厳密性が求められる数学において，イメ

3.1

本研究における〈イメージ〉と図ージとは曖昧で，不確定なものというネガイメージとは通常，心象，心像と呼ばれティブな見方がされるおそれがある。しかるように像のことを指し，それは static なし，数学者が問題を解決するにあたってイ像を意味する。しかし，数学におけるイメメージが重要な役割を果たしているというージとはこのような static な像としての意主張もある。数学者を望ましい解決者と考味だけを指せばよいのだろうか。例えば以下のような場合を考える。
円が直線上をすべらず転がるとき，1 回

3.2本 研 究 に お け る 概 念 － Concept ，Conception－

転して進む距離は円周の長さに等しい。こ数学的概念とは，個人がそれでよしとす

れは，円周にそってちょうど 1 周分の長さるものではなく，社会的に共有されるものの“ひも”をかけ，円を転がしながらそのでなければならない。我々は，子どもが数“ひも”を直線に伸ばすと，直線上を円が学を社会的知識として学習することを期待

1 回転して進む距離と等しくなる，といっする(溝口, 1995)。それゆえ，算数・数学のたようなイメージとして考えられる。この授業において，学習者の数学的知識や概念イメージを表したものが図 1 である。図 1について社会的構成が意図して行われる

では static な様子が描かれているが，思考(友定，姫田，& 溝口，2006)。また Vinner.の中でのイメージは dynamic な回転移動を

S. & Tall. D. (1981) は数学的概念の形成しているだろう。

過程について，概念イメージと概念定義とこの例のように，思考の中でのイメージいう枠組みによって説明しており，「個人的は必ずしも static な像としての意味だけでな概念定義は公的な (formal) 概念定義となく，それを思考の中で操作する dynamic区別することができる」と述べている。こな操作としての意味も考えることができる。

れらの指摘からも，解決者が持つ個人的な本研究ではこのような static な像としての概念は，社会的に共有される概念，言い換意味だけでなく，思考の中における像のえれば他者が持つ概念とは必ずしも一致しdynamic な操作としての意味も包括して，ていないことが考えられる。したがって本〈イメージ〉と呼ぶこととする。
〈イメージ〉

研究では，概念を Concept と Conception

は「解決者の思考の中で形成された心的表とに分けて捉える。社会的に共有された，象，およびそれの操作」とする。このようすなわち理論的に構成された概念をに定義すると，先ほどの図 1 は〈イメージ〉

Concept とし，個人の中に構成された概念を基に視覚的に描写された像であり，思考を Conception とする。の中における心的表象ではない。したがって本研究における図はすべて，「〈イメージ〉の一部を顕在化した物理的対象」とする。

4．研究の結論
事例分析により以下のような〈イメージ〉の仮説枠組みを設定した。
図 2 より以下の研究課題が抽出された。

2πr
図 1 円が直線上を 1 回転する様子

研究課題 1「解決に困難が生じた時，〈イメージ〉を用いるのではないか。」

研究課題 2「〈イメージ〉は問題解決にどう者の〈イメージ〉を用いているかについて機能するのか。
〈イメージ〉を用の調査を実施し，実際の問題解決場面を分いることのよさとは何か。
」

析した。

研究課題 3「授業者は学習者の〈イメージ〉をどう扱うべきか。
」

この調査によって，学習者は問題を解決

以下はそれぞれ，研究課題と課題に対すする際，困難が生じたとき〈イメージ〉をる方法，及び結論である。

用いていることが明らかとなった。つまり，学習者が困難に立ち向かうとき，〈イメーCommunity
Concept
Concept A
Concept Bジ〉が問題解決に機能していると言える。

4.2

研究課題 2 の結論

研究課題 2「〈イメージ〉は問題解決にどう機能するのか。
〈イメージ〉を用いることのよさとは何か。
」

Solution N

方法：研究課題 1 の調査における〈イメージ〉の同定手順に基づいた，学習者の問題

Individual N
Conception〈Image〉

Conception A〈Image A〉

Conception B〈Image B〉

解決における〈イメージ〉の機能についての調査を通して検討した。

この調査分析により，〈イメージ〉には，・問題把握の機能・思考を促す機能

Problem
図 2 〈イメージ〉の仮説枠組み・コミュニケーションの機能・思考を評価する機能という 4 つの機能があることが明らかとな

4.1

研究課題 1 の結論った。日々の算数・数学の学習指導におい研究課題 1「解決に困難が生じた時，〈イメて授業者は，学習者が困難に自ら立ち向かージ〉を用いるのではないか。
」

い，解決していくことを期待する。学習者

方法：観察不可能な〈イメージ〉を観察可が困難な問題を解決するためには，このよ能とするためにまず，〈イメージ〉の同定手うな機能を持つ〈イメージ〉が必要不可欠順を考察した。その同定手順に従い，学習である。さらに，算数・数学の学習指導において授業者が〈イメージ〉について意識セージならば学習者の〈イメージ〉に自由あるいは理解していれば，解決の過程で学度を持たすことにもなるが，それが誤りの習者がどんな〈イメージ〉を用いているの原因となることもある。しかし，メッセーかを読み取り，その〈イメージ〉をどう修ジが〈イメージ〉を制限するということは，正すれば解決に至る成功的な〈イメージ〉

例えば授業者の〈イメージ〉が誤っていたへと成り得るかを考えられる。つまり，授場合，そのメッセージにより制限された学業者が〈イメージ〉を意識あるいは理解す習者の〈イメージ〉もまた誤った〈イメーることで，学習者(の特につまづき)に対するジ〉となり，果ては誤った Conception(個支援を理論的根拠の基に設定できることを人的な概念)が構成されてしまうだろう。つ意味する。

まり，授業者は自身が発するメッセージが学習者の〈イメージ〉を制限することを十4.3 研究課題 3 の結論分に了解した上で，メッセージを意図的に研究課題 3「授業者は学習者の〈イメージ〉選択することが必要である。

をどう扱うべきか。
」
方法：本研究で明らかとなった〈イメージ〉

5．学習指導に対する示唆の機能の中でも特に，コミュニケーション

本研究の結論から，以下のような示唆がの機能に焦点を当てて，授業観察・分析を得られた。まず，授業者は学習指導で扱う通して検討した。その結果，〈イメージ〉の教材について十分に吟味し，その時間に学コミュニケーションにおいて，習すべき数学的知識や概念とはどんな〈イ・〈イメージ〉の dynamic 性を伝達し，〈イメージ〉であるかを了解していなければなメージ〉を制限するためには，dynamicらない。そして，その〈イメージ〉を学習なメッセージが必要であること者に用いさせるためにはどのようなメッセ・〈イメージ〉の dynamic 性を伝達する際ージが妥当であるか，学習者が誤って用いに，授業者は dynamic なメッセージを意ている〈イメージ〉を修正するためにはど図的に選択する必要があることのようなメッセージが妥当であるかについの 2 点が明らかとなった。送り手のメッセて，事前に十分に吟味していなければならージが受け手の〈イメージ〉を制限していない。このように〈イメージ〉という観点るということから，〈イメージ〉の dynamicで学習者及び教材を解釈しようとすること性を伝達するためには，static なメッセーにより，日々の学習指導の改善を図ること

ジだけでなく，dynamic なメッセージも併が期待でき，その暁には学習者がよりよくせて用いなければならない。static なメッ問題を解決できるようになることも期待できるであろう。

引用・参考文献
Vinner. S. & Tall. D. (1981). Concept Image andConcept Definition in Mathematics with
Particular

ReferencetoLimitsandContinuity.ESM, 12(2), 151-169.
友定章子, 姫田恭江, & 溝口達也(2006). 「授業設計における一般化と拡張を志向した算数的活動の構成の様相」.

鳥取大学数学教育研究, 9(1),1-14.
溝口達也(1995). 「数学学習における認識論的障害の克服の意義－子どもの認識論的障害との関わり方に焦点を当てて－」. 筑波大学教育学系
論集, 20(1), 37-52.