授業予定（変更されたシラバス）①力の合成・分解の実験的理解②ベクトルの基礎事項と力③基本的な力：有効重力，バネの力，摩擦力 （小）④力の合成・分解，力のつり合い （小）⑤ベクトルと力の総合演習 （小）⑥微分の基礎事項と速度・加速度の定義⑦積分の基礎事項と位置･速度･加速度の関係 （小）⑧微分積分と位置･速度･加速度の総合演習 （＋確認試験１）⑨平面運動の位置･速度･加速度とベクトル・微分積分⑩力学の３つの基本法則１：導入 （小）⑪力学の３つの基本法則２：問題演習 （小）⑫放物運動１：運動方程式を解く （小）⑬放物運動２：問題演習１ （小）⑭（確認試験２＋）問題演習２
⑮まとめ
⑯期末試験

力学１≪学習到達目標≫
１）力の合成・分解をベクトルを使って説明できる。
２）基本的な力の法則（重力，ばねの力，摩擦力）の法則を説明できる。
３）速度，加速度の定義を説明できる。
４）力学の３つの基本法則を説明できる。
５）放物運動の運動方程式を解き，その運動を説明できる。

力学１ １２回目

第１２回目 放物運動1：運動方程式を解く
今日の授業の目的
前回までの授業で，ベクトルと微分積分に基づいて位置・速度・加速度・力を把握した上で，ニュートン力学の3つの基本法則を理解した。
これでニュートン力学の理論体系の基礎事項がようやくそろったことになる。そこで，今回の授業の目的は，ニュートン力学で実際の運動を理解する具体例として，地表付近での放物運動を理解することである。

（授業プリント p.1）
（１）状況設定：◍ 空気抵抗は無視でき，物体に働く力は重力だけ。
地表付近で重力だけが働くことで実現する運動 ⇒ 放物運動

◍ 物体の質量を［kg］，重力加速度の大きさを ［m/s2］（ も正の定数）◍ 軸を水平方向に， 軸を鉛直上向きに設定する。
物体は平面内を運動する。

◍ 初期条件： 時刻［s］で，［m/s］，ただし，，， ，注意1： テスト問題では，初期条件の定数めて出題する。

［m/s］，［kg］［m］ （12.1），は定数。
，， に具体的な値を決［m］

（授業プリント p.2）（２）力学の基本パターン（第6章p.25の手順）の実行
以下，作図や積分計算を実行しながら，解説していく。
物体に働く力⇒ 作図し，成分で表せ。

重力運動方程式を立てる⇒，，で表せ。と連立させると地面（地表）

（授業プリント p.2）（２）力学の基本パターンの実行
運動方程式
加速度を求める

重力

22

成分ごとに
22

注意1：

は「加速度ゼロの運動（等速度運動） 」，は「加速度が一定の運動（等加速度運動）」

（授業プリント p.2）（２）力学の基本パターンの実行
加速度成分ごとに22速度を求める

成分ごとに（12.2）

（授業プリント p.2）（２）力学の基本パターンの実行
速度成分ごとに0（12.2）
初期条件（12.1）から（12.1），を求める。

（12.2）で3 m/sとおく。

初期条件と比較して ⇒（12.1）（12.2）で3m/sとおく。

4 m/s
初期条件と比較して ⇒よって，[ m/s ]

，3，

9.8

4

[ m/s ]

4m/s

（12.3）（12.4）

（２）力学の基本パターンの実行
成分ごとに速度

再び位置，（授業プリント p.2）のまま進める。
を求める

成分ごとに（12.5）
積分定数を用いて表した解を，「一般解」という。運動方程式0,に従うすべての運動を表す。

（授業プリント p.3）

（２）力学の基本パターンの実行
成分ごとに位置0（12.5）初期条件（12.1）から（12.1），（12.5）でを求める。
0 とおく。

5m5m

初期条件と比較して ⇒（12.1）（12.5）で0 とおく。

12 m
よって，0012 m

初期条件と比較して ⇒[ m ] （12.7），，（12.6）[m]

（授業プリント p.3）

（２）力学の基本パターンの実行[ m ]（12.7），成分ごとに（12.7成分）初期条件に合うように積分定数を決定した解を，「特解」という。
00

◇ここまでの確認練習（授業プリント p.1～3）[kg] ）の放物運動を考える。水平方向に軸，鉛直上向きに 軸をとる。初期条件は，[m],[m/s] である。重力加速度の大きさ
9.8 [m/s2]

地表付近で，物体（とする。また，空気抵抗は無視できる。

(a) 0 [s] 以降の運動は，一旦上昇して下降するか，あるいは上昇せず下降し続けるか，理由を付けて答えよ。（ヒント：速度の初期条件）(b) 作用する重力を求めよ。
(c) 加速度を求めよ。（運動方程式を立ててから求める）(d) 速度を求めよ。
（はじめ積分定数を使って解を求め，後に初期条件を適用せよ）(e) 位置を求めよ。

（初期条件を適用した(d)の解からはじめて，積分定数を使って解を求め，初期条件を適用せよ）

１０
３分
２８７

（授業プリント p. 1～3）
◇ここまでの確認練習(a) 作図して状況を把握する
初速度の 成分が正（上向き） ⇒ 一旦上昇して下降する(b)物体に働く重力(c)運動方程式を立てる

0

重力地面（地表）

加速度を求める
2

成分ごとに

22

（授業プリント p. 1～3）

◇ここまでの確認練習(d)速度を求める
成分ごとに

（ア）

初期条件から，を求める。
（ア）より比較して ∴（ア）より比較して ∴，6.0 ，9.8

24.5

[ m/s ]

（授業プリント p. 1～3）

◇ここまでの確認練習(e)位置を求める
成分ごとに

（イ）

初期条件から，を求める。
（イ）より

比較して∴

（イ）より比較して∴，[]

（授業プリント p.3～4）（３）放物運動の特徴： 放物運動の特徴を理解していく。
軌道曲線（テキストp.33） ：とする。
準備演習1： 初期条件の速度で，このとき，次のそれぞれの場合で，物体が 面上に描く軌
道曲線の概形（大まかな形）の予想をノートに描け。
(a)の場合,の場合,(b)(a)(c)の場合
0(c)

(b)

（授業プリント p.3～4）

予想した軌道曲線を表す式を求めていく。

座標（位置ベクトルの成分） と の関係式が軌道曲線を表す方程式である。 を消去する。

を求めれば，それ・・・①・・・②①式から得られる を②式に代入して，2軌道を表す方程式2は，（の形で）2

軌道は，上に凸の2次曲線（2次の係数が負の2次関数のグラフ）

（授業プリント p.3～4）の場合の軌道の頂点を通過する時刻
軌道曲線：の頂点を考える。 軌道をイメージせよ。

上昇から下降に変化する瞬間が，その一瞬だけゼロ
速度0 ⇒で表される運動の0⇒

この時刻 （）を，位置（♡成分）の に代入すれば，頂点の位置座標も求まる。
頂点0上昇

下降

（授業プリント p.3～4）の場合に，（♡成分）のと同じ高さ に戻る時刻を使って，12⇒⇒2120)でない方の解が，求めたい
頂点0∴＝0，。

2：

第１２回授業 レポート課題（テキストにない問題である） (e)までは答えること。
問 地表付近で，物体（質量20 [kg] ）の放物運動を考える。水平方向に 軸，鉛直上向きに 軸をとる。初期条件は，時刻0 [s] で，位置021, 0 [m], 速度 07, 29.4 [m/s] である。重力加速度の大きさ9.8 [m/s2] とする。また，空気抵抗は無視できる。
(a) 0 [s] 以降の運動は，一旦上昇して下降するか，あるいは上昇せず下降し続けるか，理由を付けて答えよ。
を求めよ。
(b) 時刻 [s] で物体に作用する重力(c) 時刻 [s] での物体の加速度を求めよ。
(d) 時刻 [s] での物体の速度を求めよ。
(e) 時刻 [s]での物体の位置を求めよ。
(f) 物体が描く軌道は放物線であり，その頂点Pに来るときの時刻を とする。の値を答えよ。 f-2) を求めよ。
f-1) 時刻 での速度の 成分を求めよ。
f-3) 頂点P の位置第１２回授業 レポート課題(g) 物体が頂点P を過ぎて，0 [s]の位置（発射点）と同じ高さまで落ちてきたときの時刻を とする。
g-1) を求めよ。
g-2) 時刻 での物体の位置を求めよ。
(h) 物体の軌道の曲線を グラフに描け。ただし，グラフの特徴的な点（最低限0 ; ; [s] での位置）と，物体の運動の向きも分かるように記入せよ。
(i) 頂点Pで物体に作用する重力 ，頂点Pでの物体の速度 を表す矢印を問(h) の図に描き込め。ただし，どちらの矢印が重力あるいは速度なのか分かるように，記号 と も記入せよ。
注意：計算式だけでなく，説明文や適切な図を加えて，答案を作成することを心がけよ。答案作成力も見る。
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提出〆切：答案用紙を，次週の水曜日（１３：００）までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

・レポート解答用紙
・次回の授業プリント（これに今週のレポート課題も記してある。）

を必ず持って帰ること