目次《

いただきガロア理論の頂を踏む

◎

目次

7

》

掛け算だって群になる！･･････････････････････････････････････････････････････････････ 64▶既約剰余類群
定義 1.6

はじめに･ ････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 3

8]Z/pZg ) は直積で書けるか？･･･････････････････････････････････････････････････････ 68▶既約剰余類群の構造分析
定理 1.9
定義 1.7

第１章「整数」

1▶ユークリッドの互除法

定理 1.3定理 1.13

Fp 上での因数定理････････････････････････････････････78

１次不定方程式

定理 1.12･･･････････････････････････････････････････

余りの計算･ ･･･････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 33▶ 剰余類

定義 1.1

合同式･････････････････････････････････････････････････････････ 34

定理 1.4合同式の性質定理 1.14⓾

合同式･････････････････････････････････････････････････････････ 34･･････････････････････････････････････････････▶巡回群

群の定義･････････････････････････････････････････････････････ 41



群が同じということ･･････････････････････････････････････････････････････････････････････ 44群の同型･････････････････････････････････････････････････････ 45

一部の元でも群になる･･････････････････････････････････････････････････････････････････ 50▶部分群

巡回群の部分群･･･････････････････････････････････････････ 51

2 つの群から群を作る･････････････････････････････････････････････････････････････････････ 53▶群の直積定理 1.6定理 1.7定理 1.8群の直積･････････････････････････････････････････････････････ 54
中国剰余定理･･････････････････････････････････････････････ 58

中国剰余定理：３数････････････････････････････････････ 61

Fp 上の方程式の解の個数･･････････････････････････78▶原始根の存在証明
定理 1.15a が生成する巡回群･･････････････････････････････････ 80

定理 1.17]Z/pZg ) は巡回群･････････････････････････････････････ 85

原始根の存在･ ･･･････････････････････････････････････････ 81

既約剰余類群を解剖する･･････････････････････････････････････････････････････････････ 87▶(Z/pZ)* の構造定理 1.18(Z/2 n Z)* の構造･･･････････････････････････････････････ 88

定理 1.20

既約剰余類群の構造･････････････････････････････････ 96

定理 1.19▶群の同型

Fp 上での剰余の定理･ ･･･････････････････････････････78

素数 p の原始根は確かにある･･････････････････････････････････････････････････････ 80
定理 1.1635正六角形を回転させよう･･････････････････････････････････････････････････････････････ 38

定義 1.514▶原始根で生成30
１次不定方程式･･･････････････････････････････････････････ 31

定理 1.5

6]Z/pZg ) は，巡回群である･ ･･････････････････････････････････････････････････････････ 73
Fp 上の１次方程式･･･････････････････････････････････ 76

定義 1.45

既約剰余類の元の個数･･･････････････････････････････72

定理 1.11

定義 1.34

オイラー関数･ ･････････････････････････････････････････････ 71

互除法の原理･･････････････････････････････････････････････26

定義 1.239

既約剰余類の分解･ ･････････････････････････････････････ 70

定理 1.1定理 1.22

定理 1.10

最大公約数を求める･･････････････････････････････････････････････････････････････････････ 24

既約剰余類群･ ････････････････････････････････････････････ 66]Z/p n Zg* の構造･･･････････････････････････････････････92

第 2 章 「群」

1

正三角形の対称性を調べる･ ････････････････････････････････････････････････････････ 98▶二面体群

定理 2.1g による入れ替え････････････････････････････････････････101

定義 2.1二面体群･･･････････････････････････････････････････････････ 103

定理 2.2g が部分集合に作用･･･････････････････････････････････ 102

Z/nZ の分解･････････････････････････････････････････････62

15

目

次

2

部分群から剰余群を作る････････････････････････････････････････････････････････････ 104▶一般の剰余群
定理 2.3定理 2.4定理 2.5定理 2.6定理 2.7

3▶ S(P6 )定義 2.2群の準同型写像･･････････････････････････････････････････ 135

定理 2.12

Ker f は群･･･････････････････････････････････････････････ 139

Im f は群･･････････････････････････････････････････････････ 138

準同型定理･･････････････････････････････････････････････ 140

定理 2.14部分群であるための条件･･････････････････････････145

定理 2.16

第 2 同型定理･･･････････････････････････････････････････ 147

定理 2.30

部分群の演算･ ･････････････････････････････････････････ 146

第 3 同型定理･･･････････････････････････････････････････ 150▶対称群S n定理 2.18置換は互換の積･･･････････････････････････････････････ 164

定理 2.20

置換の奇偶性･ ･････････････････････････････････････････ 167

対称群の生成元･･･････････････････････････････････････ 166

巡回群の直積は可解群･････････････････････････････ 179
可解群の部分群も可解群･･････････････････････････ 181

対称群の非可解性･ ･･･････････････････････････････････ 183
準同型写像の像でも可解群･･･････････････････････ 183

剰余群も可解群･･･････････････････････････････････････ 184

第 3 章 「多項式」

1

基本対称式で表そう･････････････････････････････････････････････････････････････････････ 192▶対称式

定理 3.12対称式の基本定理･ ･････････････････････････････････････195

多項式における素数･････････････････････････････････････････････････････････････････････199▶既約多項式

定理 3.2

Fp 上の多項式は整域･ ･･･････････････････････････････ 201

定理 3.3有理数係数多項式の既約性，･･････････････････････ 202

定理 3.4Eisenstein の判定条件････････････････････････････････204　　　　　これの対偶･ ････････････････････････････････････････････････ 2023

整数と多項式のアナロジー･ ･･････････････････････････････････････････････････････ 207▶多項式の合同式
定理 3.5定理 3.6

あみだくじのなす群･････････････････････････････････････････････････････････････････････ 153

定理 2.24

交代群の非可解性･ ･･････････････････････････････････ 180

定理 2.29▶ 第 2 同型定理，第 3 同型定理

定理 2.23定理 2.26
定理 2.28

同型を作ろう･･････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････144

定理 2.2216

巡回群の剰余群は巡回群････････････････････････････132▶準同型写像定理 2.21

可解群･･･････････････････････････････････････････････････････ 178

定理 2.27

同型写像じゃなくたって･････････････････････････････････････････････････････････････ 135

定理 2.19

定義 2.3115
剰余類の単位元･･････････････････････････････････････････ 115

フェルマーの小定理，オイラーの定理････････

半分の部分群は正規部分群･･･････････････････････134

定理 2.17▶可解群

定理 2.25定理 2.10定理 2.15

巡回群の入れ子構造･････････････････････････････････････････････････････････････････････ 175

112

位数乗は単位元･･････････････････････････････････････････ 114

剰余群･･･････････････････････････････････････････････････････ 126

定理 2.13

6

ラグランジュの定理･･･････････････････････････････････

定理 2.8定理 2.115

剰余類････････････････････････････････････････････････････････110

立方体の対称性を調べよう･ ･･･････････････････････････････････････････････････････ 116
定理 2.9474多項式の 1 次不定方程式･････････････････････････････ 211

既約多項式の性質･ ･････････････････････････････････････213

既約多項式で割っても体･････････････････････････････････････････････････････････････ 216▶ Q 6x@ / ] f ]xgg
定理 3.7既約多項式による体･･････････････････････････････････ 221

交代群･･････････････････････････････････････････････････････ 171
交代群と対称群････････････････････････････････････････ 171
交代群は三換の積･ ･･････････････････････････････････ 172

交代群の生成元･･･････････････････････････････････････ 173

17

目

次

定理 4.18

第 4 章 「複素数」

1

▶複素数

理

共役複素数の計算法則･･･････････････････････････････ 228

定理 4.3共役複素数はまた解･･････････････････････････････････ 230

定理 4.4複素数の積における絶対値と偏角･ ････････････ 234

定理 4.6複素数の n 乗･････････････････････････････････････････････ 237

1 の n 乗根･････････････････････････････････････････････････ 239

複素数の n 乗根･ ････････････････････････････････････････ 241▶Q ] 3 gの対称性
定義 5.1体の定義･･･････････････････････････････････････････････････ 273

定理 5.1

有理数は同型写像で不変･･･････････････････････････ 282

3

1 の原始 n 乗根･ ･････････････････････････････････････････ 244▶Q 6x@ / ] f ]xgg , Q ]ag
定理 5.2最小多項式と既約多項式･･･････････････････････････ 287

定理 5.4多項式の剰余類群と単拡大体････････････････････ 291

同型は n 個･･･････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 292
同型写像と有理関数は順序交換可能･･････････296
同型写像は解の置換を引き起こす

定義 4.1円分多項式････････････････････････････････････････････････ 245

定理 5.8定理 4.11246
1 の n 乗根の和の公式･･････････････････････････････ 247

定理 5.9素数次の円分多項式

n 次方程式には必ず解がある･････････････････････････････････････････････････････ 252▶代数学の基本定理

定理 5.104f ]xgが引き起こす同型･･････････････････････････････ 292

定理 5.6定理 5.7････････････････････････････････

単拡大体Q (a)の元の表現の一意性･ ･･･････････ 288▶ Q ]a 1g , Q ]a 2g , g , Q ]a ng
定理 5.5▶円分多項式体の同型写像･ ･･･････････････････････････････････････････ 280

この計算どこかで見たぞ････････････････････････････････････････････････････････････ 284
定理 5.3

1 の原始 n 乗根を解に持つ方程式･･････････････････････････････････････････････245
定理 4.10同型写像は解を共役な解に移す･････････････････296：解のシャッフル･････････････････････････････････････ 297

Q ]a igの同型･･････････････････････････････････････････････ 299
Q ]agに作用する同型写像は n 個･ ･････････････ 301

体の次元を捉えよう･････････････････････････････････････････････････････････････････････ 305▶ 線形代数の補足

定理 4.12

代数学の基本定理･ ･･････････････････････････････････ 253

定理 4.14実数係数多項式の解の存在･･････････････････････ 254

定義 5.4

1 次独立・1 次従属の定義･･････････････････････････ 308

代数学の基本定理：因数分解バージョン･ ･･････ 259

定義 5.5基底の定義････････････････････････････････････････････････ 310

定理 5.13

基底の完全性･ ･･････････････････････････････････････････ 311

定理 4.13定理 4.15定理 4.16複素数係数 2 次方程式の解の存在････････････ 253
複素数係数方程式の解の存在･ ･････････････････ 257

n が合成数でも円分多項式は既約････････････････････････････････････････････ 266▶ U ]xgの既約性の証明
定理 4.1718

2▶1の n 乗根定理 4.96複素数の商における絶対値と偏角･ ････････････ 235

無理数の計算を簡単にしよう･･･････････････････････････････････････････････････ 272
定義 5.2円を n 等分する点･･････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 238
定理 4.8

5

1

▶複素平面

定理 4.74共役と組み合わせると実数････････････････････････ 228

円分多項式の既約性････････････････････････････････269

第 5 章 「体と自己同型写像」

複素数が活躍する舞台･････････････････････････････････････････････････････････････････ 231
定理 4.53

代数学の基本定理･ ････････････････････････････････････ 224

定理 4.1定理 4.22定理 4.192 次方程式から複素数が出てくる････････････････････････････････････････････ 224
定解から解を作る･･･････････････････････････････････････266

mod pでの p乗･････････････････････････････････････････266

定義 5.3定理 5.11定理 5.12定理 5.14定理 5.15線形空間･･･････････････････････････････････････････････････ 306
1 次独立・1 次従属･･････････････････････････････････ 309

表現の一意性･ ･･････････････････････････････････････････ 311

Q ]agの基底･･････････････････････････････････････････････ 313
線形空間の次元･･･････････････････････････････････････ 316

19

目

次

定義 5.6定理 5.165▶最小分解体Q ]a 1 , a 2 , g, a ng
定義 5.7

最小分解体････････････････････････････････････････････････ 320

定理 5.18

自己同型写像の積も自己同型写像･ ･･････････ 329

定理 5.197

2 段拡大････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 339▶中間体

定理 5.21定理 5.228⓾

固定群･････････････････････････････････････････････････････ 365

定理 5.25

原始元の存在･ ･････････････････････････････････････････ 374

定理 5.27

最小分解体は単体拡大･････････････････････････････ 376････････････････････････････････････････････････････････････････▶ガロア拡大体

定理 5.29377（最小分解体の次数）=（ガロア群の位数） 377････

ガロア拡大････････････････････････････････････････････････ 380

Q ]agがガロア拡大体になる条件･･･････････････ 381▶ガロア対応の証明
定理 5.31

最小分解体の正規性････････････････････････････････ 384
M のガロア群･･････････････････････････････････････････ 387

H から････････････････････････････････ 396▶中間体がガロア拡大体になる条件

v ] Mgと vHv -1 の対応･････････････････････････････ 405

中間体がガロア拡大体になる条件･ ･････････ 406

1 の n 乗根をベキ根で表す･･･････････････････････････････････････････････････････････ 412▶円分方程式の可解性

63 次方程式をベキ根で解く････････････････････････････････････････････････････････ 422

3 次方程式のガロア対応を調べよう････････････････････････････････････････ 427▶ベキ根拡大4 次方程式をベキ根で解こう･･･････････････････････････････････････････････････ 437▶4 次方程式の解の公式

4 次方程式のガロア対応を調べよう･ ･･････････････････････････････････････441▶累巡回拡大体▶円分体とガロア群

円分体のガロア群･ ････････････････････････････････････ 457

x n -a = 0 の作る拡大体････････････････････････････････････････････････････････････････ 463▶クンマー拡大定理 6.48可解群と累巡回拡大の対応････････････････････････447

1 のベキ根の作る体･･･････････････････････････････････････････････････････････････････････ 453
定理 6.37

1 の n 乗根のベキ根表現･････････････････････････････ 416▶3 次方程式の解の公式

定理 6.2

２段拡大理論で証明しよう･ ･･･････････････････････････････････････････････････････ 383
定理 5.305

代数的拡大体は単拡大体･････････････････････････ 375

同型写像ではみ出ない
定義 5.83
4▶Q ]a 1 , g, a ng = Q ]ig

定理 5.28

固定体･････････････････････････････････････････････････････ 364

拡大体はすべて単拡大体････････････････････････････････････････････････････････････ 366
定理 5.26

1
2▶ガロア対応定理 5.24

9355

Q ]a, bgに作用する同型写像････････････････････ 358

M から始めて･ ････････････････････ 394

M/Q はガロア拡大か？････････････････････････････････････････････････････････････････398

定理 6.1固定群と固定体が対応してる！･･･････････････････････････････････････････････ 360
定理 5.23

ガロア対応

ガロア対応

第 6 章 「根号で表す」

次元の積公式･ ･････････････････････････････････････････ 348
同型写像の延長定理 5.34

定理 5.36

自己同型群･･････････････････････････････････････････････ 330････････････････････････････････････････

次数公式･････････････････････････････････････････････････ 391

定理 5.35

4 次方程式の例･ ･･････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 333

定理 5.20

同型写像が自己同型写像になる条件････････ 326

6▶Q ]a, bg

定理 5.32

定理 5.33

線形空間の一致･･･････････････････････････････････････ 319

方程式の解を含む体････････････････････････････････････････････････････････････････････ 320
定理 5.1720

次元･･･････････････････････････････････････････････････････････ 318

ベキ根拡大から巡回拡大を作る････････････････ 467

巡回拡大は x n -a = 0 で作れる･ ･･････････････････････････････････････････････････ 472▶巡回拡大からベキ根拡大へ
定理 6.5定理 6.6

巡回拡大からベキ根拡大を作る･････････････････ 473
デデキントの補題･ ･･･････････････････････････････････ 476

21

目

次

定理 6.79ベキ根拡大を作るベキ根の存在･････････････････ 478

「整数」

第１章

ピークの定理に立とう！････････････････････････････････････････････････････････････ 480▶ベキ根で解ける方程式の条件

ピークの定理 ････････････････････････････････････････････････････････････480

定理 6.8可解群のとき解はベキ根で表される･･････････480

定理 6.10解がベキ根で表されるときは可解群････････ 486

定理 6.9⓾累ベキ根拡大体のガロア閉包････････････････････ 481

2 章へ

3 章，
5 章へ

5 次方程式の解の公式はない･････････････････････････････････････････････････････ 488

6 章へ

1.18, 1.19, 1.20
既約剰余類の構造▶ガロア群が可解群でない方程式
定理 6.11

位数 p の元の存在─コーシーの定理･････････ 488

1.9, 1.10
既約剰余類の分解

1.16, 1.17
原始根の存在1.6, 1.7, 1.8
中国剰余定理1.11〜15

おわりに･ ････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 496

索引･････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････････ 502

1.5
巡回群の
部分群

1.2, 1.3
1 次不定方程式

1.4
合同式

1.1
互除法

この章の目標は，既約剰余類の構造（定理 1.20）を理解することです。そこに至るまで，互除法，不定方程式，中国剰余定理などを積み上げていきます。定理 1.1から定理 1.20 に至るまでの道順を意識してください。定理 1.11から定理 1.15までは原始根の存在（定理 1.16）を示すために用意した定理です。

また，定理 1.18，定理 1.19 では，パラレルな議論が展開されます。初めは片方だ

けでも十分かもしれません。

互除法，不定方程式は，第 3 章，第 5 章でも当たり前のように使います。十分に理解しておきましょう。

この章では，すでに群の定義が出てきます。整数の剰余類を通して群に慣れてください。
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