数理解析研究所講究録
第 769 巻 1991 年 131-141

131

遷移における形の選択

和歌山大学・教育1.

水島二郎 (Jiro Mizushima)

はじめに

流れの線形安定性理論や弱非線形安定性理論によれば、 パラメータ (レイノルズ数.

レ

イリー数など) がある値を越えると 1 っまたは 2 っ以上のモード (ある波数を持っ波またはある空間形を持っ流体運動) が不安定となり、 さらにパラメータが大きくなると複数個または無限個のモードが不安定となる。

これまでの線形または弱非線形安定性理論では不安定となった複数個のモードのうちどのモードが実際に現れるのかを示すことは困難であった。.
実際に実験で現れるモードを理論的に特定しようとする試みは主に、 あるモードの平衡解に対する変調不安定性を調べる方法、 モード間の非線形相互作用、 平衡解に対する (3 次元)
微小撹乱による不安定性の 3 っの方法で行われている。
ランダウ方程式と
現在、 スチュワートソン・スチュアート方程式またはギンッブルグ

呼ばれている変調不安定性を記述する振幅方程式は Stewartson &Stuart (1971), Taniuti&
Washimi (1968), DiPrima, Echhaus&Segel (1971) によって導き出された。 この方程式によれば、 テイラー. クエッ ト流、 ベナール対流、鉛直流体層中の熱対流など定在波撹乱による不安定が起こる流れにおいて実際に現れるモードは臨界波数を中心として線形不安定 (波数) 領域の $1/\sqrt{3}$ に限定されることが, 示されている。

すなわち、 臨界波数を中心として線$1/\sqrt{3}$(波数)の外側たあるモードは変調不安定性によりその内側のモード
形不安定
領域の

さらに詳しい議論は最近 Proctor(1991) によっに移り変わってしまうと考えられている。
て行われた。 また、 T-S 波による不安定が起こる一般の流れにおいてはニューウェルの判定条件により安定となるモードだけが実際には現れる。
平板境界層や平面ポワズイユ流において見いだされたピーク. バレー構造 (Klebanoff,
Tidstrom &&Sargent, 1962 ) の形成される機構については Stuart (1962), Itoh (1980),
Herbert & Markovin (1980) らによって理論的に調べられた。 彼らはこの構造を 2 次元波と 3 次元波との相互作用で説明し、 2 次元波と 3 次元波の振幅に対する連立振幅方程式を導いた。
ノイズレベルが低いときに観測される互い違い構造 (Saric &Thomas, 1984) にっいては Craik (1971) によって 3 波の共鳴での説明が提案され、 3 つの波の振幅に対する連立方程式が導かれた。 これに対し、 Herbert (1984) は Craik の理論ではスパン方向の波長が実験と合わないとして T-S 波の 2 次不安定で説明されるべきであるとした。
テイラ $-\cdot p$ エ..J ト 流の弱非線形安定性は Davey $(1962)_{1}$ DiPrima & Eagles (1977),
Herbert (1981) によって調べられ、さらにその平衡解の変調不安定性は Kogelman&DiPrima(1970), Li (1986) により調べられた。 Meyer-Spache&Keller (1985), Li (1986) は軸対称な撹乱の平衡解を計算し、 不安定領域の中でも平衡解が存在しない領域があることを示し、さらにこの現象は高調波共鳴で説明できるとして、 基本波とその高調波の振幅に対する連立
これは、 Fujii, Mimura & Nishiura (1982) により生態系のパタ振幅方程式を導いた。
ン形成において導かれた式と同じであり、 Fujimura&Mizushima (1987) により鉛直流体層の熱対流において導かれた式とも同一の形である。 テイラー渦のヒステリシスについては
Benjamin $(1978a, b)$ や Benjamin &MuUin (1982), MuUin (1982) により実験的および理論的に調べられた。
Stuart &DiPrima (1978) はその理論的な説明を試み、 偶・奇両モードの振幅に対する連立方程式を導いた。1 この方程式は Mizushima&Gotoh (1979) が 次との共鳴で導いた振幅方程式と同じ形をしている。 カオスの発生と乱流への遷移について
ー

$0$

132

は実験的に Fenstermacher, Swinney &Gollub (1979) によって調べられ、 モデルを用いた
数値実験は Yahata (1981) により行われた。
鉛直流体層中の熱対流の平衡解は Nagata&Busse (1983), Mizushima&Saito (1987),
Mizushima (1990) によって調べられ、 テイラー. クエッ ト流と同様に線形不安定領域において平衡解が存在しない領域のあることが示された。 この現象は基本波と高調波の共鳴により説明できることが Fujimura &Mizushima (1987) によ っ て示され、 基本波と高調波に対する連立振幅方程式が導かれた。 また、 Fujimura &Mizushima (1991) は一対の T-S の非線形相互作用、 定在波と T-S 波の非線形相互作用を連立振幅方程式を用いて調べた。
ベナール対流における 2 次元ロール解の安定性は Schluter, Lortz&Busse (1965), Busse(1967), Clever&Busse (1974), Busse&Clever (1979)\iota \llcorner \tilde . よって調べられ、 ジグザグモード.
エックハウス・振動. ノット. スキュードバリコスなどの不安定性が存在することがわかった。 Mizushima&Fujimura (1991) は 2 次元ロール解の平衡振幅分布を詳しく調べることにより、 鉛直流体層中の熱対流と同様に線形不安定領域中で平衡振幅の存在しない領域があることを示した。 ただし、 この場合は鉛直流体層中の熱対流などと異なり、 基本波と第 2 高調波との非線形共鳴で説明できることが示された。 ベナール対流中に発生するカオスや乱流への遷移については Gollub &Benson (1980), Ahlers &Behringer(1978), Libchaber, Fauvre &Laroche (1983) などにより実験的に、 Curry (1978), Yahata(1983) により数値実験的に詳しく調べられた。
これまで述べてきたように、 流れの不安定性におけるモード間の非線形相互作用は振幅方程式を用いて調べられてきた。 特に、 安定性の交代 (Exchange of Stability) が成り立
つテイラー. クエッ ト流、 鉛直流体層中の熱対流、 ベナール対流においてはモー ド間の非線形共鳴が撹乱の発達に対して重要な役割を果たし、 その結果実際に実験で現れうるモードを限定することがわかった。 これらの流れについて導かれた非線形共鳴を表す振幅方程式は二っの定在波撹乱が同時に不安定になるときには $O(2)$ 対称性を仮定するだけで、 より一般的に導かれることが Dangelmayr (1986), Dangelmayr &Armbruster (1986) によって示さ
クロスロールモード.

れた。

ここでは連続的な波数を持っ無限個のモードの非線形相互作用のモデルとして有限個のモードの振幅に対するモデル方程式をっくり、 このモデル方程式を用いて層流の遷移について実験的に見いだされている事柄がどの程度説明できるかを調べることにする。 すなわ
ち、 (1) 複数のモードが線形不安定であるとき成長するモードの選択のメカニズムは何か ?
(2) パラメータ (レイノルズ数など) が変化すると成長するモードはどのように変化するか ?(3) 非線形共鳴により線形安定なモードの概念が変わること (4) 振幅のカオス的な振舞いと連続スペク トルの発生などを中心に調べる。 今回は取り扱わないが、 ヒステリシス現象の説明もこのモデルで説明できることが期待される。 取り扱う流れは平面ポァズイ
ユ流、 鉛直平板間の流体中に発生する熱対流、 ベナール対流、 テイラー. クエッ ト流などを念頭におくこととする。

2. モデル方程式
これから取り扱う流体系の線形安定性を図 1 で示す。 図 1 には各波数を持っモードの線形増幅率\alpha 儒がいくっかのレイノルズ数に対して描かれている。 臨界レイノルズ数
は 1 に、 臨界波数\alpha 。も 1 に規格化されている。 簡単のためにレイノルズ数が 1 よりも大$R\leq 10$ の範囲できくなっても最大増幅モードは常に $\alpha=1$ のモードであると仮定した。
は不安定なモードはの範囲に入っている。
無限に広がった系を考えるので波数は から無限に大きい値まで連続的にとることがで$R_{c}$$\alpha\leq 2$

$0$

133

きるが、 モデルとして有限の波数領域 $0\leq\alpha\leq\alpha_{\max}$ の範囲にあるモードだけを考え、 この

波数領域を $N$ 等分して波数 $\Delta\alpha\cross n(n=0,1,2, \ldots, N)$ を持っ $N+1$ 個のモードのみを取り扱うことにする。
ここで、 $\Delta\alpha=\alpha_{\max}/N$ である。 流体力学の基礎方程式から次の形の振幅方程式を振幅展開の方法により導くことができる。

$\frac{dA_{n}}{dt}=a_{n}A_{n}+\sum_{p}h_{P}A_{n-p}A_{p}+\sum_{p,q}g_{npq}A_{n-p-q}A_{p}A_{q}$, $n=0,1,2,$ , N.
$\ldots$(1)

中心多様体定理によれば、 系は不安定モードの振幅だけで記述でき、 安定モードの振幅は不安定モードの振幅と関数関係で結ばれている。
しかし、 ここでは特に安定モードの振幅も方程式 (1) で支配されているとしている。 このような取扱は乱流の数値シミュレーションではよく行われる方法であり、 特に問題はないものと思われる。 減衰モードの振幅の時間変化を (1) の形で表すときに問題となるのは波数$\alpha=0$ をもっモードとの共鳴の問題である。
ここではも独立な変数であるとすること
しかし、現実に流体方程式から方程式 (1) の係数 $f_{np},$によりこの困難を避けている。
を計算するときには、 $\alpha=0$ のモードは普通 $1/R$ の間隔で固有値が密集しているため数値計算においては困難があることが予想される。 ただし、 ベナール対流においては $\alpha=0$ のモードの固有値は君 (君 はプラントル数) の間隔で分布しているため特に小さい値の瓦を考えない限り大きな問題とはならない。 方程式 (1) ではすべてのモードが非線形共鳴を行っている。
このような共鳴はテイラークエッ ト流や鉛直平板間の熱対流では可能であるが、 ベナール対流では鉛直方向の対称性のため 1:3:5:7 の共鳴だけが可能である。
方程式 (1) の係数は定在波撹乱に対しては実数であり、 TS 波撹乱については複素数となるがここではすべて実数であるとする。 すなわち、 塩は複素振幅の絶対値であると思うことにする。
また、 TS 波撹乱については一般には非線形共鳴が起こらず、 $f_{np}\equiv 0$ であり、
$p+q\neq 0$ である p,q に対しては $g_{npq}\equiv 0$ である。
ここで、 いくっかの注意が必要である。

$A_{0}$$g_{\mathfrak{n}pq}$$\ldots$

図 1. 今回用いたモデル系の線形増幅率.

134

3. 非共鳴モデル$p+q\neq 0$ に対しては
この節では、 モデル方程式 (1) において係数 $h_{P}\equiv 0$の特別な場合について調べることにする。 前節で述べたようにこれは TS 波撹乱の複素振幅の絶対値に対する方程式に相当している。 このとき方程式 (1) は$g_{v\iota pq}\equiv 0$、$\frac{dA_{n}}{dt}=a_{n}A_{n}+\sum_{p}d_{\mathfrak{n}p}A_{p}^{2}A_{n},$は $A_{n},$ $n=1,2,$$n=1,2,$$N$$\ldots,$.

(2)の時間発展に影響しないものと仮定する。
方程式 (2) 式の定常解は単一モード解と混合モード解がある。 単一モード解は $A_{\pi eq}=$となる。

$\sqrt{-a_{n}/d_{nn}}$$q\neq n$ここで、$A_{0}$となる。

$\ldots,$$N$

この単一モード解は自分自身のゆらぎに対しては常に安定であるがであるモード $q$ のゆらぎに対しては $a_{q}<a_{\mathfrak{n}}\cross d_{qn}/d_{\pi n}$ のとき安定であり,$a_{q}>$

がに依存せずに一定であのとき不安定である。 このことから、 もしるならば線形増幅率が最大のモードだけが安定に残り、 それ以外のモードは不安定になり、がそのエネルギーは線形増幅率最大のモードに吸収されてしまうことが想像できる。
が 1 に近いときには線形増幅率最大のモードをに依存して変化するときでも比含んでその周りのモードが生き残り、 それ以外のモードは不安定なって、 減衰してしまう。
が $n$ とに依存しないで一定の時には存在しないが、 一定でないとき混合モード解はがつくる行列の行列式が正則であることであには存在する。 混合解が存在する条件はる。
混合モード解の安定条件は簡単に書き下すことができるが、 その物理的解釈は簡単ではないのでここでは議論を行わないことにする。

$a_{7\iota}\cross d_{qn}/d_{nn}$$d_{np}$$d_{np}$$d_{q\mathfrak{n}}/d_{n\mathfrak{n}}$$q$$d_{np}$$p$$d_{rnp}$(a)
1.0$\wedge(\alpha_{0.5})$

$0.0$

$0.0$

2.0

I.o
$\alpha$

図 2. 非線形共鳴がないときの振幅の時間発展.

$R=10,$ $d_{np}\equiv-1.0$.

の方程式 (2) を初期値問題として数値的に解く。 $\alpha_{maa}=2.0,$ $N=20$ とする。
きざみ
は 0.1 である。 線形増幅率は図 1 に示したものを用い、 ランダウ係数に相当する係数は最も簡単な場合として $d_{np}\equiv-1.0$ を用いることにする。 初期条件は$A_{n}=0.01(n=1,2, \ldots, N)$ とした。
$R=10$ の場合の結果を図 $2(a)$ に示す。
この図で$A(\alpha)=A_{n},$ $\alpha=n\cross 0.1$ である。
$(t\leq
5)$
図から分かるように初めは
各モードはそれぞれの持つ線形増幅率に従って増幅するが振幅が大きくなると非線形効果によって、 より増幅率の大きいモードによりその成長が抑えられ、 最大増幅率を持っモード以外は減衰させられ$\alpha$$\Delta\alpha$$a_{\mathfrak{n}}$$d_{\tau\iota p}$

135

その結果充分時間が経ったのちには最大増幅モードのみが生き残り他のモードは減衰してしまう。 この結果は線形安定性理論では複数個のモードが不安定であるが、 実
験ではある波数のモードが現れることが多い理由の説明になっている。 また、 この結果は上の単一モードの安定性から想像できる結果ともよく一致している。 同じ結果を横軸に時この図と図 $2(a)$ を見比べると、間をとって違う角度から書き直したのが図 $2(b)$ である。
最大増幅モードは時間と共に平衡振幅に近づいており、 それ以外のモードは減衰しているこてしまう。

とがわかる。
だけを $d_{nn}=-1.0,$ $d_{7b}p=-0.8(n\neq p)$ と変えて数値シミュレーショ
ランダウ係数ンを行った結果を図 $3(a)$ に示す。 このときにも初期は各モードの線形増幅率にしたがって$d_{np}$

成長しているが、 時間が経っと最大増幅モードを中心としてあるバンドの幅のなかに入ったたモードが成長しそれ以外のモードは減衰していくことがわかる。 横軸に時間をとった図
この図から生き残るモードは 5 つであることがわかる。
この場合にを図 $3(b)$ に示す。
はある 1 つの波数を持ったモードだけが生き残るのではないのである波数の波をキャリアとしてその波が変調した空間パターンが現れることを示している。

(b)

(a)
1.0
$A(a_{0.5})$

$0.0$

$0.0$

1.0

2.0
$\alpha$

図 3. 非線形共鳴がないときの振幅の時間発展.

$R=10,$ $d_{\mathfrak{n}n}=-1.0,$ $dnp=-0.8(n\neq p)$ .

136

4. 完全共鳴モデル
この節では全てのモードが共鳴をする場合を取り扱う。 ただし、 2 次の非線形相互作の形の項のみを取入れ、 それ用はすべて取り入れるが、 3 次の非線形項は前節と同様
以外の 3 次の非線形項は重要でないと仮定する。 このとき方程式 (1) は次のように書き換$A_{p}^{2}A_{n}$えることができる。

$\frac{dA_{n}}{dt}=a_{n}A_{n}+\sum_{p=1}^{N-n}b_{np}A_{p}A_{n+P}+\sum_{p=1}^{[n/2]}c_{np}A_{p}A_{n-p}+\sum_{p=1}^{N}d_{np}A_{p}^{2}A_{n}$, $n=1,2,$$\ldots$, N. (3)は他のモードの発展に影響を与えないものと仮定した。
このような方程式系で表される流体系では線形安定性という概念を少し変更する必要
図 4 にここで用いているモデルの中立安定曲があることを指摘しておこう $(Li, 1986)$線を示す。 普通の意味での中立曲線は一番右側の曲線だけである。
この図から臨界点がここでも、$A_{0}$。

$R$。

$=1.0,$$\alpha_{c}=1.0$

であることがわかる。

この曲線を 1/2, 1/3,$\ldots$, 1/100 に横方向に縮めてた曲線を重ね合わせて描いてある。 普通、 一番右側の曲線の内側にある点はすべて不安定なモードを表している。 ところが、 ここで扱っているようにすべてのモー ドが共鳴をしているときには、 もとの中立曲線を横に 1/2 に縮めた曲線の内側にあるときにはたとえその点が元の中立曲線の外側にあってもその点に対応するモードはどんなに振幅が小さくてもや
がて系を不安定にしてしまうのである。 なぜなら、 そのモードは直ちに 2 倍波数のモードを励起し、 その 2 倍波数のモードは通常の意味で線形不安定なので成長し、 元の流れから 2
次流れへと変えてしまうのである。 同様に、 元の中立曲線を 1/3, 1/4,した曲線の内側にある点に対応するモードもすべて線形不安定と呼ぶことができる。 すなわち、 これらの曲線の縫絡線の上方の点がすべて線形不安定であるといえる。 実験においては元の中立曲線の外側の点に相当するモードのノイズは入っていても構わないとされていたが非線形共鳴を行う系ではこのようなノイズも入ることが許されないのである。
$\ldots$$\alpha$

図 4. 2 次の共鳴があるときの非線形安定性の解釈.

斜線を引いた領域が線形不安定であると解釈できる.

137

次に、方程式 (3) を初期値問題として数値的に解く。 前節と同様に $\alpha_{\max}=2.0,$ $N=20$
また、 ランダウ係数に相当する係数は最も簡単な場合として $d_{np}\equiv-1.0$ を用いる。 共鳴項の係数を $b_{np}=-0.1,$ $c_{np}=0.1$ とし、初期条件を $A_{1}=0.01,$ $A_{\tau\iota}=0.0(n=$$N$ ) にとり、 $R=10$$2,3,$とした場合の結果を図 5 に示す。 この図から初めはから
他のモードにエネルギーが移り、 その後複雑な相互作用を行った後、 $\alpha=1.0$ のモードだけが生き残り、 他のモードは全て減衰していることがわかる。
とする。

$d_{np}$$A_{1}$$\ldots,$

0.0

1.0

2.0
$\alpha$

図 5. 非線形共鳴があるときの振幅の時間発展. $R=10,$ $bnp=-0.1,$ $cnp=0.1$ .

共鳴項の係数を $b_{np}=-0.3,$ $c_{\pi p}=0.3$ とし、 初期条件を $A_{n}=0.01(n=1,2,3, \ldots, N)$にとり、 $R=10$ とした場合には図 6 に示すようになる。
この場合には周期解に近づいているように見えるが、 まだ詳しい解析は行っていないので結論は言えない。

図 6. 非線形共鳴があるときの振幅の時間発展. $R=10,$ $bnp=-0.3,$ $cnp=0.3$ .

138

さらに共鳴項の係数を大きくし、 $b_{np}=-0.5,$ $c_{np}=0.5$ としたときの結果を図 7 に、 またこのときの撹乱のエネルギーの変化を図 8 に示す。 共鳴項の係数が大きくなると解はカ
オス的になっている。
この解が本当にカオス的であるのか、 カオスであるとすればその性
質はどのような性質であり、 そのストレンジァトラクターの次元は幾らであるかなど解析を行う必要があるが、 まだそれらの解析は行っていないので他の機会に述べることにする。

図 7. 非線形共鳴があるときの振幅の時間発展.
$R=10,$ $bnp=-0.5,$ $cnp=0.5$ .

5. まとめと問題点$l$

図 8. 非線形共鳴があるときの撹乱エネルギーの時間発展.
$R=10,$ $bnp=-0.3,$ $cnp=0.3$ .

ここでは、 2 っ以上のモードが同時に不安定となる場合にっいて振幅方程式のモデルをつくり、 そのモデルの性質を簡単に調べた。 その結果、 いくっかのモードが同時に線形不安定であるとき、 生き残るモードの選択のメカニズムが明らかになった。 しかし、 このモデルがモードの選択を調べるのに最も適しているかどうかまだ検討の余地がある。
さらに、今回はこのモデルの持つ性質についてまだ充分に調べ尽く してはいない。 特に、 解がカオ
ス的な性質を持っときの検討が不十分である。

139

ここで提案したモデルを改良してさらに多くの遷移の問題を調べることができると思われる。 たとえば、 ヒステリシス現象の説明、遷移におけるランダムネスの発生のメカニズ
トルの発生のメカニズムなどが考えられる。 また、 実験を行
うときの条件により出現する形が違うことがある。 Burkhalter &Koschmieder が行った
テイラークエッ ト流の実験結果を図 9 に示す。
ゆっくりと内側の円筒の回転数を高く して行くと臨界モード (波長 $\lambda=2.0$ ) が成長し、突然回転を始めると波長の小さいモードが成長する。 内側の円筒と外側の円筒の間に流体を少しずっ満たす場合には長い波長のモードが選ばれるという結果を得ている。
ム、 遷移における連続スペク

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