数理解析研究所講究録
第 1929 巻 2014 年 112-123

112

Visible actions on spherical nilpotent orbits

$*$

笹木集夢

東海大学・理学部数学科

Atsumu SASAKI
Department of Mathematics,
Tokai University$\dagger$導入1

リー群 $H$ が連結な複素多様体 $M$ に正則に作用しているとする．この作用が可視的であるとは 1,$M$ の実部分多様体と $M$ 上の反正則微分同相写像 で以下の条件を満たすときをいう :
$S$

$S$

$\sigma$の各点を通る H-軌道全体は $M$ に一致する，すなわち，$M=H\cdot S$ ,$\sigma$$\sigma$(V. 1)

は $S$ 上恒等的である，(S.1)

は各 $H$-軌道を保存する，すなわち，$\sigma(x)\in H\cdot x$$(\forall x\in M)$

.

(S.2)

可視的作用における $S$ をスライスとよぶ．スライス $S$ は全実部分多様体になる．つまり， $T_{x}S\cap$で成り立つ．ここで， $J$ は $M$ の複素構造を表す．
$J_{x}(T_{x}S)=\{0\}$ が任意の複素多様体における可視的作用の概念は，有限次元に限らない無限次元も含む表現に対して 「重$\tau_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\in S$

複のない」 という性質に統一的な説明を与える，という理論において本質的な役割を果たす．その際に，各軌道と交叉するスライスを求めることの重要性は，可視的作用の概念のみならず表現の既約分解に現れる最高ウェイトのなす集合との関係がいくつかの場合に明らかになってきている．ここで，重複のない表現とは，表現をそれ以上分解できない単位，いわゆる既約表現に分解したとき，各既約成分が高々1 個しか現れないときをいう．
例えば，簡約リー群のカルタン分解，あるいは簡約リー群の対称対に対するカルタン分解により対称空間に対する群作用による軌道分解を理解することができる．このことにより，エルミート対称空間や複素対称空間に対する可視的作用が示される ([8, 9] 参照). これらの空間上の正則関数全体のなす空間に自然に定義される表現は，「重複のない」 というよい性質を備えていることが知られている．

対称空間の枠組みから外れたとき，群作用による各軌道を把握することは容易ではない．一方
で，その上の関数空間に自然に定まる表現が 「重複のない」 という性質を備えているとき，可視的作用におけるスライスの視点により各軌道の様子が捉えられる可能性があるだけではなく，れにより対称空間を含む美しい分解定理が抽出できるものと期待される．
こ

京都大学数理解析研究所研究集会 「群作用と部分多様体論の展開」 (研究代表者 :酒井高司氏，京都大学数理解析研究所，2014 年 6 月 25 日-27 日) における講究録．
-mail: atsumuOtokai $-u$ . jp$*$$\dagger$$E\sim$1 この定義は，[8, Definition 3.3. 1] に従うと強可視的であるというが，本講究録では一貫して可視的であると呼ぶこ

ととする．

113
本講究録では，複素多様体として複素単純リー環の幕零軌道を扱い，可視的に作用するための必要十分条件を与える．さらに，可視的に作用するときに各軌道と交叉するスライスの構成法に焦点を絞って解説する．よって，本講究録では証明の詳細は割愛させていただく (論文 [17] を参照).
まず，本講究録を通して用いる設定を述べる． を有限次元複素単純リー環とし， $G$ を の随伴群とする．複素単純リー群 $G$ はリー環 に随伴表現 $Ad(g)X$ として作用するが，これを単に$\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$$g\cdot X$$\mathfrak{g}$と表すこととする $(g\in G, X\in \mathfrak{g})$ .

リー環の元$X\in \mathfrak{g}$を通る $G$ -軌道を $\mathcal{O}_{X}=G\cdot X$ で表す．

こは複素等質空間 $G/G_{X}$ と表され， $G$ から誘導される複素構造をもつ． $X$ が幕零元でを幕零軌道という．
あるとき (つまり， 上の線型変換 ad(X) が幕零変換であるとき)
$K$
$G$
への作用を
の幕零軌道
のコンパクト実型
以上の設定の下で，(極大コンパクト部分群)のとき，$\mathcal{O}_{X}$$\mathcal{O}_{X}$$\mathfrak{g}$$\mathcal{O}_{X}$考える．
定理 1.1. 幕零軌道$\mathcal{O}_{X}$における $K$ の作用が可視的であるための必要十分条件は，$\mathcal{O}_{X}$が sphericalであるときである．

が spherical であるとは， $G$ のボレル部分群 $B$ の作用による開軌道が存上の正則関数全体のなす空間は， $K$ の表現として重在することをいう．Vinberg [19] により，
ここで，幕零軌道$\mathcal{O}_{X}$$\mathcal{O}_{X}$

複のない表現であることが知られている 2.

準備

2

定理 1.1 を考察する際に，幕零軌道に関する一般論を用いると証明の見通しがよくなる．本章では，幕零軌道に関する一般を証明なしで概説する．

2.1

幕零軌道の高さ

でない罧零元 $X$ に対し，Jacobson-Morozov により-triple $\{H, X, Y\}$ を満たす元 $H,$
が
$\{H,
X,
Y\}$
を選ぶことができる．ここで，-triple であるとはリー環 の交換子 .] に関して
$0$

$Y\in \mathfrak{g}$$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2}$$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2}$$\mathfrak{g}$$[H, X]=2X, [H, Y]=-2Y, [X, Y]=H$を満たすことをいう．特に， $H$ は半単純元である (つまり， $ad(H)$ は対角化可能な 上の線型変換, 半単純元全体を $S$ とする．Kostant [11]である). 以下， でない の幕零元全体のなす錘をから 内の半単純軌道全体 $S/G$ へのと Mal’cev [13] により， 内の でない幕零軌道全体$\mathfrak{g}$$0$$\mathcal{N}$$\mathfrak{g}$$0$$\mathcal{N}/G$$\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$単射な写像が定義される :く$\iota$$\Phi$:$\mathcal{N}/G$

ち nち$arrow\sim${ 内の$\mathfrak{g}$$sl_{2}$(1)$\mathcal{O}_{X}$

なお，{ 内の$\mathfrak{g}$$(g\in G)$$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2}$-triples}/G$Ma1’ cevarrow$

(1)

$S/G$
$(v$

(2.1)

$\{H, X, Y\} \mapsto \mathcal{O}_{H}=G\cdot H$$\mapsto$-triples}/G は次の同値関係による商集合を表す $:\{H, X, Y\}\sim\{g\cdot H, 9X, 9Y\}$.

次に，半単純元$H\in\Phi(\mathcal{O}_{X})$に対して$\mathfrak{g}$上の線型変換 $ad(H)$ を考えよう．固有値 $m$ に対する$ad(H)$ -固有空間を$\mathfrak{g}(m):=\{Z\in \mathfrak{g}:ad(H)Z=mZ\}$

2 幕零軌道は等質空間として $G/G_{X}$ と表したとき，ではある). [18] も参照．

$G_{X}$

は簡約ではないためアフィン空間ではない (準アフイン空間

114の表現論から， $ad(H)$ の固有値はすべて整数である．また，定義より$g(m+n)$ を満たす．よって， $ad(H)$ による の固有空間分解と表す．

$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2}$$[\mathfrak{g}(m), \mathfrak{g}(n)]\subset$$\mathfrak{g}$(2.2)$\mathfrak{g}=\bigoplus_{m\in \mathbb{Z}}\mathfrak{g}(m)$による次数付けを与える．特に， は有限次元により，(2.2) は有限和である．この次数付け
によってのみ定まることが示される．よって，(2.1) により次は半単純元 $H$ の取り方によらずで決定される．
数付け (2.2) は罧零軌道
は$\mathbb{Z}$$\mathfrak{g}$$\mathcal{O}_{H}$$\mathcal{O}_{X}$

定義 2.1 ([14]). $ht(\mathcal{O}x):=\max\{m\in \mathbb{Z} : \mathfrak{g}(m)\neq\{O\}\}$ を幕零軌道
幕零元 $X$ が$\mathfrak{g}(2)$に含まれることから，高さは$ht(\mathcal{O}_{X})\geq 2$$\mathcal{O}x$の高さとよぶ．

である．ゆえに，ht はから$\mathcal{N}/G${2, 3, 4, . . }への関数である．
Panyushev は幕零軌道の高さを用いて幕零軌道が spherical であることを次のように特徴付けた．
事実 2.2 ([14, Theorem 3.1]). 幕零軌道$\mathcal{O}x$が spherical であるための必要十分条件は ht$(\mathcal{O}_{X})=2$

または 3 である．

2.2

モーメント写像による幕零軌道の実現

式 (2.2) で与えた次数付けによって，次で定める, 1 はリー環となる :$\mathfrak{p}$$\mathfrak{p}:=\bigoplus_{m\geq 0}\mathfrak{g}(m)$

,

(2.3)
(2.4)

$\mathfrak{l}:=\mathfrak{g}(0)=Z_{\mathfrak{g}}(H)$

このとき， は放物型部分環とよばれる．さらに， $u=\oplus_{m\geq 1}\mathfrak{g}(m)$ として $\mathfrak{p}=1+u$ と分解されるが，これを放物型部分環 のレビ分解とよび， は のレビ部分環と呼ばれる．なお，【は簡約$\mathfrak{p}$$\mathfrak{l}$$\mathfrak{p}$$\mathfrak{p}$リー環となる．

次の幕零部分環$\mathfrak{n}$は定理 1.1 の証明において重要な役割を果たす :$\mathfrak{n}:=\bigoplus_{m\geq 2}\mathfrak{g}(m)$次数付け (2.2) から補題 2.3.

$[\mathfrak{p}, \mathfrak{n}]\subset \mathfrak{n}$である．実は，再び$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2}$

(2.5)

.

の表現論を用いると$\mathfrak{n}$は次で表される :$\mathfrak{n}=[\mathfrak{p}, X].$

次に， $P$ を $G$ の連結な閉部分群でいう．定義より， $P$ は$\mathfrak{n}$$\mathfrak{p}$をリー環にもつものとする．この $P$ を $G$ の放物型部分群とに作用する．さらに，補題 2.3 より(2.6)$\mathfrak{n}^{o}:=P\cdot X$

はの開かつ稠密な部分集合である．特に，さて，旗多様体 $G/P$ 上の正則ベクトル束$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}^{o}$は幕零軌道$G\cross p\mathfrak{n}$に含まれる．
から複素リー環 への写像$\mathcal{O}_{X}$$\varphi:G\cross p\mathfrak{n}arrow \mathfrak{g}, (9, Z)\mapsto g\cdot Z$で定義する．このとき，$\mathfrak{g}$$\varphi$

を

(2.7)

115
補題 2.4.

Proof.
$L$$\varphi(Gx_{P}\mathfrak{n}^{o})=\mathcal{O}_{X}.$$\mathfrak{n}^{o}=P\cdot X$よ$\varphi(G\cross P\mathfrak{n}^{o})=\varphi(G\cross P(P\cdot X))=G\cdot X=\mathcal{O}x.$$\mathfrak{y},$$\square$を $P$ の連結な閉部分群で 1 をリー環にもつものとする．この $L$ を $P$ のレビ部分群という．こへの包含写像から誘導される旗多様体としての自然な同型$K/(L\cap K)\simeq G/P$ を得る．よって，正則ベクトル束としての $K$-同変な双正則同相のとき， $G$ のコンパクト実型 $K$ から$G$$K\cross L\cap K\mathfrak{n}\simeq G\cross P\mathfrak{n}$が得られた．以下，この 2 つを同一視する．このとき，幕零軌道
命題 2.5.

$\mathcal{O}_{X}$はさらに次の表示をもつ :$\mathcal{O}_{X}=K\cdot \mathfrak{n}^{o}.$Proof. 補題 2.4 より$\mathcal{O}x=\varphi(G\cross p\mathfrak{n}^{o})=\varphi(Kx_{L\cap K}\mathfrak{n}^{o})=K\cdot \mathfrak{n}^{o}$注意 2.6. 放物型部分環$\mathfrak{p}$のレビ分解の部分空間と見なしたとき，$\mathfrak{p}=\mathfrak{l}+u$$K\cross L\cap K\mathfrak{n}$はにおいて， を同一視
$u$$K\cross L\cap K(e/(\mathfrak{l}\cap 1))$

および

□

.
$\mathfrak{g}/\overline{\mathfrak{p}}\simeq P/([\cap e$) を通して $e/([\cap e$ )の部分ベクトル束である．ここで，の同一視により，:
は旗多様体 $K/(L\cap K)$ におけるハミルトン $K$ -作用のモーメント写像である．式 (2.7) で定めた

$K\cross L\cap K(t/(\mathfrak{l}\cap t))\simeq T^{*}(K/(L\cap K))$は$\psi$の部分束$K\cross L\cap K\mathfrak{n}$$\mathfrak{g}\simeq \mathfrak{g}*$$\psi$$K\cross L\cap K(e/(\mathfrak{l}\cap f))arrow \mathfrak{g}$$\phi$

への制限となっている．

例 2.1. $A$ 型の複素単純リー環 $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n, \mathbb{C})=\{X\in M(n, \mathbb{C}):TrX=0\}$ を例にとって，これまでの概念を見ていこう．
$E_{i,j}$

を $(i, j)$ 成分が 1 でそれ以外は$0$である行列単位とする． $1\leq p<7\iota/2$ に対して

$X=E_{1,n-p+1}+E_{2,n-p+2}+\cdots+E_{p,n}= (\llcorner I_{p})\in \mathfrak{g}$とする．このとき， $ad(X)^{2}=0$ を満たすので， $X$ は罧零元である．以下， $X$ を通る $G=SL(n, \mathbb{C})-$
軌道
について考察しよう．なお， $o_{(2^{p},1^{n-2p})}$ はジョルダン型が $(2^{p}, 1^{n-2p})$$\mathcal{O}_{(2p\}1^{n-2p})}\equiv \mathcal{O}_{X_{(2p_{1^{n-2p})}}}$,

次複素行列全体をなす．
まず， $H$ と $Y$ を次で定義する :型の$r\iota$$Y=E_{n-p+1,1}+E_{n-p+2,2}+\cdots+E_{n,p}=(_{司} )$このとき， $\{H, X, Y\}$ は$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2}$-triple をなす．リー環$\mathfrak{g}$を ad(H) による固有空間に分解したとき，$\mathfrak{g}(0)=\mathfrak{s}(\mathfrak{g}【(p, \mathbb{C})+\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n-2p, \mathbb{C})+\mathfrak{g}\mathfrak{l}(n, \mathbb{C}))$$\mathfrak{g}(1)=\{(\begin{array}{lll}O A_{1} OO O A_{2}O O O\end{array})$:$A_{1},$$tA_{2}\in M(p, n-2p:\mathbb{C})\}$$\mathfrak{g}(2)=\{(\begin{array}{lll}O O AO O OO O O\end{array}):A\in M(p, \mathbb{C})\}\simeq M(p, \mathbb{C})$116などとなり， $ht(\mathcal{O}_{(2^{p},1^{n-2p})})=2$ である．次の式は，佳の固有空間分解のイメージである．

$\mathfrak{g}=(\begin{array}{lll}\mathfrak{g}(0) \mathfrak{g}(1) \mathfrak{g}(2)\mathfrak{g}(-1) \mathfrak{g}(0) \mathfrak{g}(1)\mathfrak{g}(-2) \mathfrak{g}(-1) \mathfrak{g}(0)\end{array})$

高さが 2 より$\mathfrak{n}$は$\mathfrak{g}(2)$に一致する．また，放物型部分群 $P$ は以下のような形の群である :$P=\{ (g_{1}OO g_{2}O* g_{3}**)\in SL(n, \mathbb{C})\}$

この表示の下で， $P$ は$\mathfrak{n}$に次のように作用する :$(g_{1}OO q_{2}O* g_{3}**) (\begin{array}{lll}O O AO O OO O O\end{array})=(\begin{array}{lll}O O g_{1}Ag_{3}^{-l}O O OO O O\end{array})$.

ゆえに，レビ部分群 $L=S(GL(p, \mathbb{C})\cross GL(n-2p.\mathbb{C})\cross GL(p, \mathbb{C}))$ の への作用は$GL(p, \mathbb{C})$ のは4への作用と軌道同値である 3. 特に，$\mathfrak{n}$$GL(p, \mathbb{C})\cross$$\mathfrak{n}^{o}=P\cdot X$$M(p, \mathbb{C})$$\mathfrak{n}^{o}=\{(\begin{array}{lll}O O AO O OO O O\end{array}):A\in M(p, \mathbb{C})$以上より，と表される．

(2.8)$\mathcal{O}_{(2^{p},1^{n-2p})}$,ra 泳 $A=p\}.$は $G$ のコンパクト実型 $K=SU(n)$ の作用によって $\mathcal{O}_{(2p1^{n-2p})}=SU(n)\cdot \mathfrak{n}^{o}$

可視的作用の誘導定理3

この章では，定理 1.1 の証明に重要な役割を果たす可視的作用の誘導定理を解説する．以下，前章までの記号や設定を引き続き用いる．

3.1

可視的作用の誘導定理

まず，可視的作用の誘導定理を紹介する．
定理 3.1 (可視的作用の誘導定理). 幕零部分環

このとき，幕零軌道$\mathcal{O}_{X}$$\mathfrak{n}$における $L\cap K$ の作用が可視的であるとする．

における $K$ の作用は可視的である．

幕零軌道がモーメント写像によって実現されることを思い出そう (補題 2.4 参照). 可視的作用の誘導定理は，幕零軌道における作用の可視性が，モーメント写像を経由してベクトル束のファイバーにおける作用の可視性から誘導されることを主張している．さらに，次の点が可視的作用の誘導定理は標語的に次のことを主張している :32 つのリー群のベクトル空間への作用 $(G, V)$ , $(G’, V’)$ が軌道同値であるとは，線型同型$\varphi$: $Varrow V’$ で $\varphi(G\cdot v)=$が任意の $v\in V$ に対して成り立つことをいう．
4 幕零軌道の高さが 2 のとき，放物型部分群 $P$ の への作用はレビ部分群の作用と軌道同値である．実際に，放物に対して型部分環 はは自明に作用する．
であり，$G’\cdot\varphi(v)$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{p}$$\mathfrak{g}(0)+\mathfrak{g}(1)+\mathfrak{g}(2)$$\mathfrak{n}=\mathfrak{g}(2)$$\mathfrak{g}(1)+\mathfrak{g}(2)$117$L\cap K$ の$\mathfrak{n}$への作用

平坦な空間 (線型空間)

小さい空間$\Rightarrow$$\Rightarrow$$\Rightarrow$$K$の$\mathcal{O}_{X}$への作用

曲がった空間大きな空間

我々の対象は幕零軌道という 「曲がった」 空間である．その可視的作用が 「平坦な」 空間の可と視的作用によって統制されることは可視的作用の誘導定理の利点の 1 つである．また，いう関係から，「大きい」 空間の可視性が 「小さい」 空間で保証されるということも注目すべき点$\mathfrak{n}\subset \mathcal{O}_{X}$である．

この誘導定理は幕零軌道への可視的作用におけるスライスも幕零部分環へのそれから誘導される．本件についてはこの後の命題 3.4 で述べる．
以上より，我々の問題は可視的作用の誘導定理により $L\cap K$ の への作用の解析に帰着された．
$\mathfrak{n}$3.2

幕零部分環への線型作用

が spherical であるとき $L\cap K$ の
実際に，次を得る :幕零軌道$\mathcal{O}_{X}$定理 3.2. 幕零軌道

スライス So としてへの作用を研究することが本研究の核となる．

の高さが 3 以下ならば， における $L\cap K$ の作用は可視的である．特に，の部分空間を選ぶことができる 5.

$\mathcal{O}_{X}$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}$定理 3.2 の証明は，幕零軌道の分類から高さが 3 以下のものすべてに対して case-by-case で議論する．幕零軌道の分類は，Dynkin による-triples の分類 [5], および Kostant の理論を通して
重み付き Dynkin 図形から対応する幕零軌
重み付き Dynkin 図形により与えられる (cf. [1, 2, 4$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2}$

道の高さが計算できる．ゆえに，事実 2.2 より spherica1 な幕零軌道の分類が与えられる．
本講究録では，罧零軌道への可視的作用におけるスライスが幕零部分環への可視的作用におけるスライスから誘導される様子を考察する．一方，反正則微分同相の構成についてはここでは割
愛し [17, Section 3] を参照していただく．

3.3

スライスの誘導への $K$ の
本節では，幕零部分環 における $(L\cap K)$ の作用が可視的であるとき，幕零軌道作用におけるスライスを構成する方法を解説する．
はと表されるのであった (補題 2.4). そこで， の開集合
幕零軌道に作用する．
((2.6) 参照) を考察する． $L\cap K$ は $P$ の部分群より$L\capK$をにおけるの作用に対して (V. 1) を満たすものとする 6. そこで，
以下，実線型空間$\mathcal{O}_{X}$$\mathfrak{n}$$\mathcal{O}$$\mathcal{O}_{X}=\varphi(K\cross L\cap K\mathfrak{n}^{o})$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}^{o}=P\cdot X$$\mathfrak{n}^{o}$$S_{0}$$S$$\mathfrak{n}$を次で定める :(3.1)$S:=S_{0}\cap \mathfrak{n}^{o}$

このとき， $S$ は$\mathfrak{n}^{o}$の実部分多様体である．

5 複素線型空間 にエルミート内積を入れてコンパクト群 $L\cap K$ が にユニタリに作用する．定理 3.2 の設定において，この作用が既約ならば hyperpolar 作用であることも分かる．なお，一般にコンパクト群が複素線型空間にユニタリ変換として作用している設定の下で，polar 作用 (特に，hyperpolar 作用) ならば可視的作用であるが，(作用が既約であったとしても) 逆は成り立たない．例えば， $U(3)\cross Sp(n)$ の $M(2, 2n;\mathbb{C})$ への既約な作用は可視的であるが(hyper)polar ではない．以上は，論文 [15, Remark 2.2] を参照．
6 本節の議論は，(V. 1) を満たす の実部分空間の存在のみを必要としており，反正則微分同相写像 の存在は必要$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}$としていない．もちろん，可視的であることを示すためには両方が必要である．

$\sigma$

118
補題 3.3. $\mathfrak{n}^{O}=(L\cap K)\cdot S.$

Proof. 線型空間

$S$

は (V. 1) を満たすので，$\mathfrak{n}=(L\cap K)\cdot S_{0}$と表される．よって，$\mathfrak{n}^{o}\subset \mathfrak{n}$は $L\cap K$

で不変より$\mathfrak{n}^{o}=((L\cap K)\cdot S_{0})\cap \mathfrak{n}^{o}$$=((L\cap K)\cdot S_{0})\cap((L\cap K)\cdot \mathfrak{n}^{o})$$=(L\cap K)\cdot(S_{0}\cap \mathfrak{n}^{o})$$=(L\cap K)\cdot S.$

ゆえに，補題 3.3 は示された．口開かつ稠密なは$\mathcal{O}_{X}$$\mathfrak{n}$の部分多様体$\mathfrak{n}^{O}$は幕零軌道$\mathcal{O}_{X}$の部分多様体である．よって，(3.1) で定めた$S$の部分多様体である．

命題 3.4. $\mathcal{O}_{X}=K\cdot S.$

Proof. 命題 2.5 と補題 3.3 より，$\mathcal{O}_{X}=K\cdot \mathfrak{n}^{o}=K\cdot((L\cap K)\cdot S)=(K(L\cap K))\cdot S=K\cdot S.$

よって，命題 3.4 が示された．口例 3.5. 例 2.1 の設定の下で，$S_{0}$を求めよう．放物型部分群 $P$ のれ，レビ部分群 $L=S(GL(p, \mathbb{C})\cross GL(n-2p, \mathbb{C})\cross GL(p, \mathbb{C}))$ の$\mathfrak{n}=\mathfrak{g}$$\mathfrak{n}$(2) への作用は (2.8) で与えらへの作用は，$GL(p, \mathbb{C})\cross GL(p, \mathbb{C})$の $M(p, \mathbb{C})$ への作用と軌道同値であった．

レビ部分群

$L$

と $G$ のコンパクト実型 $K=SU(n)$ との共通部分は $S(U(p)\cross U(n-2p)\cross U(p))$

である．ここで，線型代数学における 「任意の複素行列はユニタリ行列によって対角化される」 という基本的な事実は，実線型空間$T_{0}=\{d=$ diag $(r_{1}, \ldots, r_{p})$ :$r_{1}$,...,$r_{p}\in \mathbb{R}\}$

が $M(p, \mathbb{C})$ 内の各 $(U(p)\cross U(p))$ -軌道と交叉することを示す．つまり，$M(p, \mathbb{C})=(U(p)\cross U(p))\cdot T_{0}$ゆえに，自然な線型同型$M(p, \mathbb{C})\simeq \mathfrak{n}$

.

(3.2)

を通して

匹
$S_{0}:=($$)$とおくと，(3.2) から $\mathfrak{n}=(L\cap K)$ . So を得る 7. したがって，$S=\{$ $(\ovalbox{\tt\small REJECT}):d\in T0$ ,なお，$\mathfrak{n}$$\mathfrak{n}$$\sigma$はrankd $=p\}.$として複素共役をとる写像，つまりにおける $L\cap K$ への作用は可視的である．

上の反正則微分同相写像

これにより，$S=\mathfrak{n}^{o}\cap S0$$\sigma(X)=\overline{X}$で定義する．

における $U(p)\cross U(p)$ の作用は，(エルミート) 対称空間 $U(p,p)/(U(p)\cross U(p))$ の -表現 (等7 線型空間は hyperpolar 作用の切断である．
方表現である．よって，この作用は hyperpolar 作用である．
$M(p, \mathbb{C})$$s$$S_{0}$

119
定理 3.2 の証明の概略

4

本章では，定理 3.2 の証明の一部を概説する．

定理 3.2 の証明において，次の研究結果を用いる :幕零軌道の分類理論と重み付き Dynkin 図形 (cf. [4, 5, 11, 13$\bullet$

線型空間における可視的作用の分類理論 [15, 16].

$\bullet$

本講究録では，幕零軌道の分類理論と重み付き Dynkin 図形について説明した後，具体例を通して証明の方針を説明することとする．
複素単純リー環 のカルタン部分環 {を 1 つ固定する．

を$\triangle\equiv\Delta(\mathfrak{g}, t)$$\mathfrak{g}$とし，$\mathfrak{g}\pi$$\mathfrak{g}_{\alpha}$を$\mathfrak{g}$

でルート

の実型で

$\alpha\in\triangle$$A$のボレル部分環$\mathfrak{g}$$t_{\mathbb{R}}$rankをを満たすものとする 8.

$\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}_{\mathbb{R}}$この$\mathfrak{g}_{\mathbb{R}}$のカルタン部分環とするとき，$\alpha(A)\in \mathbb{R}(\forall\alpha\in\triangle)$

$b$

に関する

$\mathfrak{g}$のルート系に対するルート空間を表す．

$rank_{\mathbb{R}}\mathfrak{g}_{\mathbb{R}}=$共役を除いて一意的である．
の任意の元 はた，
$t_{\mathbb{R}}$$t$は放物型部分環$\mathfrak{p}$は$\mathfrak{g}$の正規実型とよばれ，$t=t_{\mathbb{R}}+\sqrt{-1}t_{\mathbb{R}}$

となる．ま

を満たす．

((2.3) 参照) に含まれるとり，正のルート系$\Delta^{+}$

として:を満たすようなものを選び固定する．この正のルート系からを定める 9.
が対応する．こから写像 によって半単純軌道(2.1) で見たように，幕零軌道$G$である．特に，こで，2 つのカルタン部分環は随伴群 で共役であるため，$\overline{(t_{\mathbb{R}})}_{+}:=\{A\in t_{\mathbb{R}}$$b=t\oplus\oplus_{\alpha\in\triangle}+\mathfrak{g}_{\alpha}$$\alpha(A)\geq 0(\forall\alpha\in\triangle^{+})\}$$\mathcal{O}_{H}=\Phi(\mathcal{O}_{X})$$\Phi$$\mathcal{O}_{X}$$H_{0}\in \mathcal{O}_{H}$$\mathcal{O}_{H}\cap t\neq\emptyset$

でを満たすものがただ 1 つ存在する．つまり，次の単射な写像が得られた :$H_{0}\in\overline{(t_{\mathbb{R}})}_{+}$$\Psi:\mathcal{N}/G arrow S/G arrow \overline{(t_{\mathbb{R}})}_{+}$$(v |J)$
このを$\Psi(\mathcal{O}_{X})$$\mathcal{O}_{X}$俺$\mapsto \Phi(\mathcal{O}_{X}) \mapsto \Psi(\mathcal{O}_{X})$$\mathcal{O}_{X}$の特性元とよぶ．

を の単純ルー
幕零軌道の特性元を用いると，重み付き Dynkin 図形が得られる． , . . . ,の表現論からトとする $(r=$ rank
, 1, 2 である $(i=1,2, \ldots, r)$ .
.
よって，次の単射な写像が定義される :$\alpha_{r}$$\alpha_{1}$$\mathfrak{g}=\dim t)$$\alpha_{i}(\Psi(\mathcal{O}_{X}))\in\{0$$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2}$$\mathfrak{g}$$\}$$t1:\mathcal{N}/Garrow\{0, 1, 2\}^{r}, \mathcal{O}_{X}\mapsto\Omega(\mathcal{O}_{X})=(\alpha_{1}(\Psi(\mathcal{O}_{X})), \ldots, \alpha_{r}(\Psi(\mathcal{O}_{X})))$.

この写像により，複素単純リー環の幕零軌道は有限個であることが分かる．
$\mathfrak{g}$の Dynkin 図形において単純ルート

を幕零軌道$\mathcal{O}_{X}$$\alpha_{i}$に対応する頂点に非負整数$\alpha_{i}(\Psi(\mathcal{O}_{X}))$を付加したものに対する重み付き Dynkin 図形という．

例 4.1. 例 2.1 で考察した$\mathfrak{g}=$【$\mathfrak{s}$$(n, \mathbb{C})$の幕零元 $X$ に対して，幕零軌道$\mathcal{O}_{(2p1^{n-2p})}$の重み付き

Dynkin 図形を求めよう．
$\mathfrak{g}$のカルタン部分環 {として$\mathfrak{g}$内の対角行列全体とする．

$e_{i}\in t^{*}$

を $d=diag(t_{1}, \ldots, t_{n})\in t$ に対して $e_{i}(d)=t_{i}$ で定義する．このとき， $\Delta(\mathfrak{g}, t)=\{\pm(e_{i}-ej):1\leq i<j\leq n\}$ となる．ボレ) 部
j$\iota$

分環

$b$

として

$\mathfrak{g}$$1\leq i<i\leq n\}$の上三角行列全体の集合とする．このとき，正のルート系は:で与えられる．

8rankR は，リー環の実階数という．
$\mathfrak{g}_{R}$$\triangle^{+}(\mathfrak{g}, t)=\{e_{i}-ej$$\mathfrak{g}\pi=\ell_{R}+\mathfrak{s}_{R}$とカルタン分解したとき

9 $(t_{R})_{+}=\{A\in t_{R}:\alpha(A)>0(\forall\alpha\in\triangle^{+})\}$$\mathfrak{s}_{\mathbb{R}}$の極大可換部分空間の次元で定義する．これを，を Weyl の部屋という．

$\overline{(t_{\mathbb{R}})}_{+}$

は Weyl の部屋の閉包である．

$\mathfrak{g}_{\mathbb{R}}$120$\mathfrak{g}$の正規実型$\mathfrak{g}_{\mathbb{R}}$として$t:t_{1}\geq t_{2}\geq\cdots\geq t_{n}\}$$\mathcal{O}_{(2^{p},1^{n-2p})}$$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n,\mathbb{R})$を選び，$t_{\mathbb{R}}=t\cap \mathfrak{g}_{\mathbb{R}}$とする．このとき，$\overline{(t_{\mathbb{R}})}_{+}=\{diag(t_{1}, \ldots, t_{n})\in$

となる．

の特性元は

$H=diag(1, .., 1,0, \ldots, 0,-1, .., -1)\tilde{p}.\tilde{p}.\in\overline{(t_{R})}_{+}$

である．単純ノレート$\alpha_{1}$$\alpha_{p}(H)=\alpha_{n-p}(H)=1$,...,$\alpha_{n-1}$

は $\alpha_{i}=e_{i}-e_{i+1}(1\leq i\leq n-1)$ で与えられる．よって，

で $\alpha j(H)=0(j\neq p, n-p)$

付き Dynkin 図形はの重みとなる．ゆえに，幕零軌道となる (図 4.1 参照).
$\mathcal{O}_{(2p1^{n-2p})}$$\Omega(\mathcal{O}_{(2^{p},1^{n-2p})})=(0_{\tilde{p-1}},0,1,0, \ldots, 0,1,0_{\tilde{p-1}},0)$$0 1 1 0$$\circ-\cdots-\ovalbox{\tt\small REJECT}-\cdots-\ovalbox{\tt\small REJECT}-\cdot\cdot$$\alpha_{1} \alpha_{p} \alpha_{n-p} \alpha_{n-1}$

図 4.1:$\mathcal{O}_{(2^{p},1^{n-2p})}$の重み付き Dynkin 図形

複素単純リー環が $A$ 型の場合，spherical な幕零軌道はが知られている．以下，spherical ではない幕零軌道
例 4.2.
$(3, 1^{n-3})$$\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n, \mathbb{C})$$\mathcal{O}_{(2^{p},1^{n-2p})}(1\leq p\leq\lfloor n/2\rfloor)$$\mathcal{O}_{(3,1^{n-3})}$とし， $X=E_{1,2}+E_{2,3}$ とする．このとき，幕零軌道型の行列全体$\mathcal{O}_{(3,1^{n-3})}$に限ることを考察しよう．
$\mathcal{O}_{X}$はジョルダン型がに一致する．

$H’=2E_{1,1}-2E_{3,3}=diag(2,0, -2,0, \ldots, 0) , Y’=E_{2,1}+E_{3,2}$とおくと， $\{H_{\}}’X, Y’\}$ は$\mathfrak{s}\mathfrak{l}$2-triple をなす．正のルート系とする． $H’$ を通る半単純軌道$\mathcal{O}_{H’}$$\Delta^{+}$

および$\overline{(t_{\mathbb{R}})}_{+}$

を例 4.1 で定めたもの

は$H :=2E_{1,1}-2E_{n,n}=diag(2,0, \ldots, 0, -2)\in\overline{(t_{\mathbb{R}})}_{+}$

を含む．ゆえに， $H$ ははの特性元である．したがって，である (図 4.2 参照).

$\mathcal{O}_{(3,1^{\mathfrak{n}-3})}$$\Omega(\mathcal{O}_{X})=(2,0, \ldots, 0_{\backslash ,\prime}2)$$\mathcal{O}_{(3,1^{\mathfrak{n}-3})}$の重み付き Dynkin 図形

次に，特性元 $H$ から ad(H)-固有空間をルート空間の言葉で述べると，$\mathfrak{g}(0)=t\oplus\bigoplus_{2\leq i<j\leq n-1}\mathfrak{g}\pm(e_{i}-e_{j})\simeq \mathfrak{s}\mathfrak{l}(n-2, \mathbb{C})\oplus \mathbb{C}^{2},$$\mathfrak{g}(1)=\{0\}$$\mathfrak{g}(2)=\bigoplus_{2\leq j\leq n-1}\mathfrak{g}_{e_{1}-e_{j}}\oplus\bigoplus_{2\leq i\leq n-1}\mathfrak{g}_{e_{i}-e_{n}}\simeq \mathbb{C}^{n-2}\oplus \mathbb{C}^{n-2},$$\mathfrak{g}(3)=\{0\},$$\mathfrak{g}(4)=\mathfrak{g}_{e-e_{\mathfrak{n}}}1\simeq \mathbb{C}.$$\mathfrak{g}(m)=\{0\} (m\geq 5)$.

となり，よって幕零軌道の高さは 4 である．事実 2.2 により$\mathcal{O}_{(3,1^{\mathfrak{n}-3})}$は spherical ではない．

121
幕零部分環

$\mathfrak{n}=\mathfrak{g}(2)+\mathfrak{g}(4)$における $L\cap K$ の作用は次で定義される

る $SL(n-2, \mathbb{C})\cross(\mathbb{C}^{\cross})^{2}$ の作用と軌道同値である$\mathbb{C}^{n-2}\oplus \mathbb{C}^{n-2}\oplus \mathbb{C}$におけ:$(g, s, t)\cdot(v, w, z):=(s^{t}g^{-1}v, t^{-1}gw, st^{-1}z)$

このとき， $SU(n-2)\cross \mathbb{T}^{2}$ の作用は可視的ではないことが知られている 10.

$2 0 0 2$$\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{n-2} \alpha_{n-1}$

図 4.2:$\mathcal{O}_{(3,1^{n-3})}$の重み付き Dynkin 図形

最後に，例外型単純リー環における幕零軌道に対して可視的作用をもつ例を紹介して本講究録を終えることとする．
例 4.3. 複素単純リー環とする．正の) レート系$\mathfrak{g}$を$E_{8}$

型の例外型単純リー環とする．カルタン部分環 の基底を {$\mathfrak{t}$$\triangle^{+}(\mathfrak{g}, t)$$E_{1}$, . . . , Es}$= \{\pm e_{i}\pm ej:1\leq i<i\leq 8\}\sqcup\{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{8}(-1)^{n(i)}e_{i}:n(i)\in$

は $\alpha_{1}=\frac{1}{2}(es-e_{7}-e_{6}-$, 2, 4, 8 を固定する．また，単純) レート,...,$e_{5}-e_{4}-e_{3}-e_{2}+e_{1})$ , $\alpha_{2}=e_{2}+e_{1},$ $\alpha_{i}=e_{i-1}-e_{i-2}(i=3, . . . , 8)$ とする．
幕零軌道
をその重み付き Dynkin 図形が $\Omega(\mathcal{O}_{X})=(0,1,0,0,0,0,0,0)$ とする (図 4.3 参照).
$\{0$

,1

$\},$

$\sum_{i=1}^{8}n(i)=0$$\}$$\alpha s$$\alpha_{1}$$\mathcal{O}_{X}$

このとき，$\mathcal{O}_{X}$の特性元は$H= \frac{1}{2}(5E_{8}+E_{7}+E_{6}+\cdots+E_{1})$で与えられることが分かる．よって，$\mathfrak{g}(0)\simeq \mathfrak{s}\mathfrak{l}(8, \mathbb{C})\oplus \mathbb{C},$$\mathfrak{g}(2)\simeq Alt(8, \mathbb{C})$,$\mathfrak{g}(3)\simeq \mathbb{C}^{8},$$\mathfrak{g}(m)=\{0\} (m\geq 4)$となり，る$\mathcal{O}_{X}$の高さは 3 である．さらに，レビ部分群 $L$ ののへの作用と軌道同値である :$\mathfrak{n}=\mathfrak{g}(2)\oplus \mathfrak{g}(3)$$SL(8, \mathbb{C})\cross(\mathbb{C}^{\cross})$への作用は以下で定め$Alt(8, \mathbb{C})\oplus \mathbb{C}^{8}$$(g, s)\cdot(A, v)=(s^{2}gA^{t}g, s^{3}gv)$.

後者は [16, Section 3.2] より可視的作用である．特に，スライスものを選ぶことができる．よって，$\mathcal{O}_{X}$$S_{0}$

として$\mathbb{R}^{4}\oplus \mathbb{R}^{4}$と線型同型なにおける $K$ -作用のスライス $S$ は $\dim S=8$ を満たすものを選ぶことができる．

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$10_{\mathbb{C}^{n-2}}\oplus \mathbb{C}^{n-2}$における $SL(n-2, \mathbb{C})\cross(\mathbb{C}^{\cross})^{2}$ の作用は可視的である ([16, Section 3.1]).

122

$0
0 0 0 0 0 0$
$0-0-0-0-0-0-0$$\alpha_{1} \alpha_{3} |\alpha_{4} \alpha_{5} \alpha_{6} \alpha_{7} \alpha_{8}$$\circ 1$$\alpha_{2}$

図 4.3: Es 型の例外型単純リー環におけるある幕零軌道の重み付き Dynkin 図形[2] P. Bala, R. W. Carter, Classes of unipotent elements in simple algebraic groups. II. Math.
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