数理解析研究所講究録
第 1929 巻 2014 年 30-53

30Symmetric triads and their applications
対称三対とその応用
京都工芸繊維大学工芸科学研究科

井川治

重複度付き対称三対は重複度付き既約ルート系の拡張概念である．
の論文では重複度付き対称三対の定義と基本性質について述べ，ある条件を満たすコンパクト対称三対から重複度付き対称三対を構成する．さらに対称三対の二つの応用について紹介する．(1) 一つは Hermann 作用の軌道の研究であり，(2) もう一つはコンパクト型既約エルミート対称空間内の二つの実形の交叉の研究 (田中真紀子，田崎博之との共同研究) でこある．

(1) Hermann 作用はコンパクト対称空間へのイソトロピー群の作用の拡張であり，変分完備性や超極性と呼ばれる良い性質を引き継ぐ．重複度付き対称三対を用いて Hermann 作用の軌道全体のなす空間 (軌道空間)を記述する．また，正則，極小，austere, 全測地的軌道といった個々の軌道についても調べる．結果としてイソトロピー群の軌道との違いも明らかになる．

(2) コンパクト型既約エルミート対称空間内の実形の交叉について考察する．実形とは対合的反正則等長変換の不動点集合のことである．実形は連結な全測地的 Lagrange 部分多様体になる．村上信吾は各コンパクト型
既約エルミート対称空間には少なくとも一つの実形があることを示した．
田中- 田崎は実形が離散的に交わる場合には，交叉は対蹟集合になることを示した．我々は二つの実形が互いに合同な場合には交叉が離散的になるための必要十分条件を制限ルート系を用いて与える．この場合は交叉は実形の大対蹟集合になる．二つの実形が互いに合同でない場合には交叉が離散的になるための必要十分条件を対称三対を用いて与える．対蹟集合の概念は Chen-Nagano が導入した．
松木俊彦氏，田丸博士氏，間下克哉氏，馬場蔵人氏の有益な助言に感
謝する．

1

対称三対

この節では重複度付き対称三対の定義と基本性質について述べる．
ルート系の定義の復習から始める． を 上の有限次元線形空間で内積{, をもつものとする．
$\mathbb{R}$$\mathfrak{a}$$\rangle$

31
定義 1.1. 有限集合を満たす場合をいう．

$\Sigma\subset\alpha-\{0\}$

(1)
(2)

$\mathfrak{a}=$$\alpha,$がルート系であるとは，次の三つの条件

span ( ) .
$\Sigma$ならば$\beta\in\Sigma$$s_{\alpha}\beta\in\Sigma$.

ここで$s_{\alpha}$は次で定義される$\alpha$上の直交変換である．
$s_{\alpha} \beta=\beta-2\frac{\langle\alpha,\beta\rangle}{||\alpha||^{2}}\alpha.$(3)$\alpha,$$\beta\in\Sigma$

ならば，$\{s_{\alpha}|\alpha\in\Sigma\}$レ$W(\Sigma)$$\backslash ,$$2 \frac{\langle\alpha,\beta\rangle}{||\alpha||^{2}}\in \mathbb{Z}.$で生成される直交群$O(\alpha)$の部分群を$\Sigma$のワイル群といで表す．

が既約であるとは， が互いに直交する空でない二つの部分集合に分解できない場合をいう．
以上の準備の下に対称三対を定義しよう．
$\alpha$のルート系

定義 L2. 三組$\Sigma$$\Sigma$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$が$\alpha$の対称三対であるとは，次の条件を満たす場合をいう :

(1)
(2)$\tilde{\Sigma}$は$\alpha$の既約ルート系である．

$\Sigma(\subset\alpha)$

は span ( ) のノレート系である．
$\Sigma$(3) $W$ は $-1$ 倍で不変な(4)$\Sigma\cap W$$\alpha$の空でない部分集合であり，は空集合ではない． $l= \max\{\Vert\alpha\Vert|\alpha\in\Sigma\cap W\}$ とおくと，$\Sigma\cap W=\{\alpha\in\tilde{\Sigma}|\Vert\alpha\Vert\leq l\}.$(5) $\alpha\in W,$ $\lambda\in\Sigma-W$ に対して
$2 \frac{\langle\alpha,\lambda\rangle}{||\alpha||^{2}}$(6)$\tilde{\Sigma}=\Sigma\cup W.$$\alpha\in W,$ $\lambda\in W-\Sigma$が奇数$\Leftrightarrow s_{\alpha}\lambda\in W-\Sigma.$に対して$2 \frac{\langle\alpha,\lambda\rangle}{||\alpha||^{2}}$が奇数$\Leftrightarrow s_{\alpha}\lambda\in\Sigma-W.$32の対称三対ならば， は のルート系である，すなわち，を張る．実際，定義 1.2 の (4) を用いて$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$$\Sigma$は$\mathfrak{a}$が$\Sigma$$\mathfrak{a}$$\mathfrak{a}$$\mathfrak{a}\supset span(\Sigma)\supset span(\Sigma\cap W)\supset$

ゆえに span

定義 1.3.

$\in\tilde{\Sigma}$}$=\mathfrak{a}.$$(\Sigma)=\mathfrak{a}.$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$

span{the shortest rootsと,をそれぞれ , ’ の対称三対とする．
が同値であるとは等長線形同型写像 $f:\alphaarrow\alpha’$$(\tilde{\Sigma}’, \Sigma’, W’)$$(\tilde{\Sigma}’, \Sigma’, W’)$と $Y\in\Gamma$ が存在して$f(\tilde{\Sigma})=\tilde{\Sigma}’$$\alpha$$\alpha$かつ$\Sigma’-W’ = \{f(\alpha)|\alpha\in\Sigma-W, \langle\alpha, 2Y\rangle\in 2\pi \mathbb{Z}\}$$\cup\{f(\alpha)|\alpha\in W-\Sigma, \langle\alpha, 2Y\rangle\in\pi+2\pi \mathbb{Z}\},$$W’-\Sigma’ = \{f(\alpha)|\alpha\in W-\Sigma, \langle\alpha, 2Y\rangle\in 2\pi \mathbb{Z}\}$$\cup\{f(\alpha)|\alpha\in\Sigma-W, \langle\alpha, 2Y\rangle\in\pi+2\pi \mathbb{Z}\}$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$と$(\tilde{\Sigma}’, \Sigma’, W’)$が同値のとき，

このとき， $f(\Sigma\cap W)=\Sigma’\cap W’$ となる．

$\mathfrak{a}$の対称三対$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$と書く．
は同値関係になる．

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)\sim(\tilde{\Sigma}’, \Sigma’, W’)$$\sim$

に対して$\Gamma=\{X\in\alpha|\langle\lambda, X\rangle\in\frac{\pi}{2}\mathbb{Z} (\lambda\in\Sigma)\sim\}$

とおく．

$\Gamma$の元を全測地点という．

$\mathfrak{a}$の稠密な開集合$\alpha_{r}$を$\mathfrak{a}_{r}=\cap\{H\in\lambda\in\Sigma,\alpha\in W\alpha|\langle\lambda, H\rangle\not\in\pi \mathbb{Z}, \langle\alpha, H\rangle\not\in\frac{\pi}{2}+\pi \mathbb{Z}\}$と定める．

$\mathfrak{a}_{r}$の点を正則点，$\mathfrak{a}-\mathfrak{a}_{r}$の点を特異点という．

$\mathfrak{a}_{r}$の連結成分をセルという．

定義 1.4. 対称三対$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$のアフィン ワイル群$\tilde{W}(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$とは，$\{(s_{\lambda}, \frac{2n\pi}{||\lambda||^{2}}\lambda)|\lambda\in\Sigma, n\in \mathbb{Z}\}\cup\{(s_{\alpha}, \frac{(2n+1)\pi}{\Vert\alpha\Vert^{2}}\alpha)|\alpha\in W, n\in \mathbb{Z}\}$によって生成される運動群$(s_{\lambda}, \frac{2n\pi}{||\lambda||^{2}}\lambda)$$(s_{\alpha}, \frac{(2n+1)\pi}{\Vert\alpha\Vert^{2}}\alpha)$のの$\mathfrak{a}$$\alpha$$O(\mathfrak{a})\ltimes \mathfrak{a}$への作用は超平面への作用は超平面の部分群のことである．
$\langle\lambda,$$\langle\alpha,$$H\rangle=n\pi$

に関する鏡映であり，$H \rangle=\frac{2n+1}{2}\pi$に関する鏡映である．

33
命題 L5. アフィン ワイル群$\tilde{W}(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$する．瑞で一つのセルを表すとはセルの全体に推移的に作用$\alpha=$$\bigcup_{\sim,s\in\tilde{W}(\Sigma,\Sigma,W)}s\overline{P_{0}}.$$\alpha$の対称三対$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$に対して$\tilde{\Pi}$で$\tilde{\Sigma}$の基本系を表す．

$\tilde{\Sigma}$のる正のルートの全体を
と表し，
このとき，
, $W=W^{+}\cup(-W^{+})$ が成り立つ．
での単純ルートの全体を表す．
$\tilde{\Sigma}^{+}$$\Sigma^{+}=\Sigma\cap\tilde{\Sigma}^{+},$$\tilde{\Pi}$$W^{+}=W\cap\tilde{\Sigma}^{+}$$\Sigma=\Sigma^{+}\cup(-\Sigma^{+})$

に関す
とおく．

$\Pi(\subset\Sigma^{+})$$\Sigma$$P_{0}= \{H\in \mathfrak{a}|0<\langle\lambda,H\rangle-\frac{\pi}{2}<\langle\alpha,H\rangle\langle\lambda,H\rangle<\pi\langle\lambda,H\rangle<\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2} (\alpha\in W^{+_{-}}\Sigma^{+})(\lambda\in+W^{+})(\lambda\in\sum_{\Sigma}^{(\lambda}\bigcap_{-}W^{+})\in\Pi_{+}),,, \},$とおくと島はセルになる．
定理 1.6.

$\tilde{\alpha}\in W^{+}$

瑞が一意に定まり，$=\{H\in\alpha|\langle\tilde{\alpha},$ $H \rangle<\frac{\pi}{2},$ $0<\langle\lambda,$$(\lambda\in\Pi)\}$$H\rangle$

となる．

部分集合

$\triangle\subset\Pi\cup\{\tilde{\alpha}\}$に対して$P_{0}^{\triangle}=\{H\in\overline{P_{0}}|\langle\tilde{\alpha}\langle\lambda\langle\lambda,$$>0( \lambda\in\triangle \bigcap_{\in^{-},H\rangle\{\tilde{\alpha}}\Pi)H\rangle=0(\lambda\in\Pi^{H\rangle}\triangle)=\frac{}{2}(\tilde{\alpha}\not\in\triangle$のと$< \frac{\pi}{\pi 2}(\triangle$

のと

きき

$\}$

とおく．このとき，瑞の閉包瑞を次のように階層化することができる :瓦$= \bigcup_{\triangle\subset\Pi\cup\{\tilde{\alpha}\}}P_{0}^{\triangle}$(互いに素).

次の定理を述べるために既約ルート系の正ルートを次のように表す :$B_{r}^{+}=\{e_{i}, e_{i}\pm e_{j}\}, C_{r}^{+}=\{2e_{i}, e_{i}\pm e_{j}\},$$BC_{r}^{+}=\{e_{i}, 2e_{i}, e_{i}\pm e_{j}\}, D_{r}^{+}=\{e_{i}\pm e_{j}\},$

その他のルート系の記号は [2] に合わせる．

34
定理 1.7.

は次のの対称三対とする．このとき，いずれかの形になる．また，定理 1.6 中の も下の表に記述する．
(I) $\Sigma\supset W\Sigma\neq W$ の場合を$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$$\mathfrak{a}$$\tilde{\alpha}$(II)$\Sigma\subset W,$$\Sigma\neq W$の場合(I’) $\Sigma\neq W$ で (I),( ) 以外の場合$(I’-F_{4})$$\sum^{+}$$W^{+}$型

F4 の短いルート
F4 の短いルート
$+$

$=$

$\{$

$=$

$\{$

$\}\cup\{e_{1}\pm e_{2},$ $e_{3}\pm e_{4}\}\cong C_{4},$$+$$\}\cup\{e_{1}\pm e_{3},$ $e_{1}\pm e_{4},$ $e_{2}\pm e_{3},$ $e_{2}\pm e_{4}\},$$\tilde{\alpha} = e_{1}+e_{3}.$$(I’-B_{r})$型 $(r\geq 3)$$\Sigma^{+}=B_{S}^{+}\cup B_{r-s}^{+},$$(I’-BC_{r}-A_{1}^{r})$$\tilde{\alpha}=e_{1}+e_{s+1}.$型$\Sigma^{+}=BC_{s}^{+}\cup BC_{r-s}^{+},$(III)$W^{+}=(B_{r}^{+}-\Sigma)\cup\{e_{i}\},$$\tilde{\Sigma}=\Sigma=W$$W^{+}=(BC_{r}^{+}-\Sigma)\cup\{e_{i}\},$となる場合，$\tilde{\alpha}$は$\tilde{\Sigma}$$\tilde{\alpha}=e_{1}+e_{s+1}.$の最高ルート．

同値関係$(I-F_{4})\sim(I’-F_{4}) , (I-BC_{r}-A_{1}^{r})\sim(I’-BC_{r}-A_{1}^{r})$$(I-C_{r})\sim(I’-C_{r}) , (I-B_{r})\sim(I’-B_{r})$が成り立つ．

,

35
定義 1.8.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$を$\alpha$の対称三対とする． $\mathbb{R}_{\geq 0}=\{x\in \mathbb{R}|x\geq 0\}$ とおく．次の条件を満たす二つの写像 $m,$(1) $m(\lambda)=m(-\lambda)$ ,$n$$n(\alpha)=n(-\alpha)$:$\tilde{\Sigma}arrow \mathbb{R}_{\geq 0}$を考える :

かつ$m(\lambda)>0\Leftrightarrow\lambda\in\Sigma, n(\alpha)>0\Leftrightarrow\alpha\in W.$(2)$\lambda\in\Sigma,$(3)$W(\tilde{\Sigma})$$\alpha\in Ws\in W(\Sigma)$

で$\tilde{\Sigma}$

ならば $m(\lambda)=m(s\lambda)$ , $n(\alpha)=n(s\alpha)$ .

のワイル群を表すとき，$n(\lambda)+m(\lambda)=n(\sigma\lambda)+m(\sigma\lambda)$(4)$\lambda\in\Sigma\cap W,$ $\alpha\in W$$\frac{2\langle\alpha,\lambda\rangle}{||\alpha||^{2}}$$\frac{2\langle\alpha,\lambda\rangle}{||\alpha||^{2}}$$m(\lambda)$と称三対$\sigma\in W(\tilde{\Sigma})$が奇数ならば，$m(\lambda)=n(s_{\alpha}\lambda)$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$

ならば

とする．
$m(\lambda)=m(s_{\alpha}\lambda)$

をそれぞれ$\lambda\in\tilde{\Sigma}$.

が偶数ならば，$n(\alpha)$,$\lambda$と$\alpha$.

.

の重複度という．重複度が与えられた対を重複度付き対称三対という．

$H\in \mathfrak{a}$に対して$m_{H}=- \langle\lambda,H\rangle\not\in_{2}^{\pi}\mathbb{Z}\lambda\in\Sigma\sum_{+}m(\lambda)\cot(\langle\lambda, H\rangle)\lambda+\langle\alpha_{)}H\rangle\not\in-\Sigma^{\mathbb{Z}}\alpha\in W\sum_{\pi}.n(\alpha)\tan(\langle\alpha+, H\rangle)\alpha$とおき，$m_{H}$

を $H$ の平均曲率ベクトルという．
$H$$F(H)=- \langle\lambda,H\rangle\not\in_{2}^{\pi}\mathbb{Z}\lambda\in\Sigma\sum_{+}m(\lambda)\log|\sin(\langle\lambda, H -\langle\alpha,H\rangle\not\in\tau^{z}\alpha\in W+\sum_{\pi}n(\alpha)\log|\cos(\langle\alpha,$$Vol(H)=\exp(-F(H))(>0)$ とおき $Vol(H)$ を $H$ の体積という．
次の命題は体積と平均曲率ベクトルのアフィン変性を示している．
命題 1.9.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$$(s, X)\in\tilde{W}(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$の重複度付き対称三対とする． $H\in\alpha$ とに対してとおくと次が成り立つ．

を$\sigma=$$\alpha$$H’=\sigma H\in \mathfrak{a}$$Vol(H’)=Vol(H) , m_{H’}=sm_{H}.$

定義 1.10.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$を$\alpha$の重複度付き対称三対とする．このとき， $H\in\alpha$が極小点であるとは， $m_{H}=0$ となるときをいう．

36(1) 任意の命題 1.11.

$H\in P_{0}^{\Delta}$(2) $H\neq H_{1}$ を満たす任意の $H,$に対して， grad F $)(H)=m_{H}.$$($$H_{1}\in P_{0}^{\triangle}$に対して$\frac{d^{2}}{dt^{2}}F(H+t\vec{HH_{1}})_{|t=0}>0.$が存に対して，ただ一つ極小点在する．特にセルの頂点は極小点である． $H$ がセルの頂点ではない極小点ならば， $H$ は不安定である．
定理 1.12. 任意の$H\in P_{0}^{\triangle}$$\triangle\subset\Pi\cup\{\tilde{\alpha}\}$の重複度付き対称三対とする．このとき，が austere 点であるとは，次で定義される の重複度付きの有限部分集

定義 1.13.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$を$H\in \mathfrak{a}$$\mathfrak{a}$$\mathfrak{a}$合が重複度も含めて $-1$ 倍に関して不変になるときをいう :$\{-\lambda\cot(\langle\lambda, H\rangle) ($$\{\alpha\tan(\langle\alpha, H\rangle) ($

重複度

重複度

$=m( \lambda))|\lambda\in\Sigma^{+}, \langle\lambda, H\rangle\not\in\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}\}\cup$$=n( \alpha))|\alpha\in W^{+}, \langle\alpha, H\rangle\not\in\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}\}$(1.1)

定義から直ちに次が従う．
命題 1.14.

(1) 全測地点は任意に与えた重複度に関して austere 点である．

(2) austere 点は極小点である．
定理 1.15.

$H\in \mathfrak{a}$が austere 点になるための必要十分条件は次が成り立つことである．

(1) 任意の $\lambda\in(\Sigma-W)U(W-\Sigma)$ に対して$\langle\lambda,$$H \rangle\in\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}.$(2) $2H\in\Gamma.$(3)

2$\langle\lambda,$$H \rangle\in\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}$を満たす任意の$\lambda\in\Sigma\cap W$

に対して $m(\lambda)=n(\lambda)$ .

コンパクト対称三対
この節ではある条件を満たすコンパクト対称三対から重複度付き対称

三対を構成する．
$(G, F_{1}, F_{2})$ をコンパクト対称三対とする，すなわち， $(G, F_{1})$ と $(G, F_{2})$を二つのコンパクト対称対とする． $G$ 上の $Aut(G)$ -不変リーマン計量
$\{,$

$\}$

37
をとる．このとき，商多様体 $M_{i}=G/F_{i}$ は誘導される $G$-不変リーマンへの自然な等長作用計量に関してコンパクト対称空間になる．乃のを Hermann 作用という． $F_{1}=$ 乃のときは，Hermann 作用はイソトロ
ピー作用に他ならない．Hermann 作用は超極作用になることを大雑把に$M_{1}$

説明しよう．

ここで，一般のリーマン多様体へのリー群乃の等長作用が超極であるとは，の閉平坦全測地的部分多様体 が存在して，任意の乃-軌
道がと直交して交わる場合をいう．このとき， を切断という．
$M_{1}$$\hat{A}$$M_{1}$$\hat{A}$$\hat{A}$

Hermann 作用が超極であることを説明するためには，切断を構成すればよい．瓦を定める の対合を と表し， の誘導する の対合も表す．このとき， は次のように二通りに標準分解される :$G$$\theta_{i}$$\theta_{i}$$\mathfrak{g}$$\theta_{i}$と$\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}=\mathfrak{f}_{1}\oplus \mathfrak{p}_{1}=\mathfrak{f}_{2}\oplus \mathfrak{p}_{2}.$の極大可換部分空間 をとる． $G$ からの上への自然な射影をと表す．このとき， $A=\exp\alpha$ は $G$ のトーラスになり， $\hat{A}=\pi_{1}(A)$ がHermann 作用の切断を与える ([6]). 特に$\mathfrak{p}_{1}\cap \mathfrak{p}_{2}$$M_{1}$$\alpha$$\pi_{1}$$G=F_{2}AF_{1}$が成り立つ．1 両側剰余類 F2 G/乃は$\backslash$のとき，$F_{2}\backslash G/F_{1}$は$\mathfrak{a}$をある同値関係$M_{1}$〜

内の乃-軌道の全体を表す．こで割った集合$\alpha/\sim$

と同一視さ

れる:
$F_{2}\backslash G/F_{1}\cong\alpha/\sim$

ここで，$H_{1}\sim H_{2}\Leftrightarrow F_{2}\pi_{1}(\exp H_{1})=F_{2}\pi_{1}(\exp H_{2})$以後，$\theta_{1}\theta_{2}=\theta_{2}\theta_{1}$.

と仮定する．更に次の (A), (B) または (C) のいずれか一つを仮定する:

1 この結果の非コンパクト版といえるものが知られている [13, Theorem4.1].

$G$

を非コ

ト連結単純リー群で中心が有限となるものとする． のリー環を と表す． $G$ の任意の対合 に対して Cartan 対合 でとなるものが存在する [14, Theorem 6.16].
とをで次のように分解する :
ンパク

$G$

$\tau$$\mathfrak{g}$$\sigma$$\sigma$$\sigma\tau$$\mathfrak{g}$$=\tau\sigma$$\tau$$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\cap e+q\cap{\}+\mathfrak{h}\cap \mathfrak{p}+\mathfrak{p}\cap q.$の極大可換部分空間 をとる． $K$ と $H$ でそれぞれ部分群を表す． $A=\exp\alpha$ とおくと$\mathfrak{p}\cap q$$\alpha$$G=KAH.$$g$と$\mathfrak{h}$に対応する $G$ の解析的

38
(A)

$G$

は単純で，

(B) (小池 [15])$U$$\theta_{1}$と$\theta_{2}$は $G$ の内部自己同型写像で移り合わない．

はコンパクト連結単純リー群，$\sigma$は $U$ の対合であり，$G=U\cross U$ かつ$\theta_{1}(g, h)=(h, g) , \theta_{2}(g, h)=(\sigma(g), \sigma(h))$

(C)

$U$

.

はコンパクト連結単純リー群， は $U$ の外部型の対合であり， $G=$$\sigma$$U\cross U$

かつ$\theta_{1}(g, h)=(h, g) , \theta_{2}(g, h)=(\sigma^{-1}(h), \sigma(g))$(B) の場合， $F(\theta_{2}, G)=F(\sigma, U)\cross F(\sigma, U)$ .

$M_{1}$.

と $U$ を自然に同一視す

ると，$(a, b)\cdot x=axb^{-1} (x\in U, a, b\in F(\sigma, U$(C) の場合の Hermann 作用は -作用と呼ばれる．
$\sigma$$\theta_{2}$の $G$ 内での固定点と $U$ を自然に同一視する集合は $F(\theta_{2}, G)=\{(g, \sigma(g))|g\in U\}\cong U.$と， -作用は $U$ の $U$ -自身への次で定義される作用になる :$M_{1}$$\sigma$$g\cdot x=gx\sigma(x)^{-1}.$(A), (B) または (C) を満たすコンパクト対称三対 $(G, F_{1}, F_{2})$ から
複度付き対称三対$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$を構成しよう．

$\theta_{1}\theta_{2}=\theta_{2}\theta_{1}$に対して，$\mathfrak{g}^{\mathbb{C}}$の部分空間$\mathfrak{g}(\mathfrak{a}, \alpha)$

の重

だから，

$\mathfrak{g}=(\mathfrak{f}_{1}\cap \mathfrak{f}_{2})\oplus(\mathfrak{p}_{1}\cap\mathfrak{p}_{2})\oplus(\mathfrak{f}_{1}\cap \mathfrak{p}_{2})\oplus(f_{2}\cap \mathfrak{p}_{1})$$\alpha\in \mathfrak{a}$$\alpha$.

を$\mathfrak{g}(\alpha, \alpha)=\{X\in \mathfrak{g}^{\mathbb{C}}|[H, X]=\sqrt{-1}\langle\alpha, H\rangle X(H\in\alpha)\}$

と定め，
の部分空間

$\tilde{\Sigma}=\{\alpha\in\alpha-\{0\}|\mathfrak{g}(\alpha, \alpha)\neq\{0\}\}$$\mathfrak{g}(\alpha, \alpha)$$\mathfrak{g}(\mathfrak{a}, \alpha, \epsilon)$

とおく． $\epsilon=\pm 1$ に対して，を$\mathfrak{g}(\alpha, \alpha, \epsilon)=\{X\in \mathfrak{g}(\alpha, \alpha)|\theta_{1}\theta_{2}X=\epsilon X\}.$と定める．

$\mathfrak{g}(\alpha, \alpha)$は$\theta_{1}\theta_{2}$-不変だから，$\mathfrak{g}(\mathfrak{a}, \alpha)=\mathfrak{g}(\mathfrak{a}, \alpha, 1)\oplus \mathfrak{g}(\alpha, \alpha, -1)$39が成り立つ．
$\Sigma=\{\alpha\in\tilde{\Sigma}|\mathfrak{g}(\mathfrak{a}, \alpha, 1)\neq\{0\}\},$

とおく．

$\lambda\in\Sigma$$W=\{\alpha\in\tilde{\Sigma}|\mathfrak{g}(\mathfrak{a}, \alpha, -1)\neq\{0\}\}$と $\alpha\in W$ に対して

$m(\lambda)=\dim_{\mathbb{C}}\mathfrak{g}(\mathfrak{a}, \lambda, 1) , n(\alpha)=\dim_{\mathbb{C}}\mathfrak{g}(\mathfrak{a}, \alpha, -1)$

とおく．このとき，次の定理が得られる :定理 2.1.

の重複度付き対称三対である．2 逆に全ての対
称三対は (A) または (B) を満たすコンパクト対称三対から得られる．
$G$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$はの二つの閉部分群$\mathfrak{a}$$G_{12}$と$F_{12}$

を$G_{12}=F(\theta_{1}\theta_{2}, G) , F_{12}=\{g\in G_{12}|\theta_{1}(g)=g\}$と定める．

$G_{12}$と$F_{12}$のリー環は$\mathfrak{g}_{12}=(\mathfrak{f}_{1}\cap \mathfrak{f}_{2})\oplus(\mathfrak{p}_{1}n\mathfrak{p}_{2}) , \mathfrak{f}_{12}=\mathfrak{f}_{1}\cap \mathfrak{f}_{2}$で与えられる．コンパクト対称対 $(G_{12}, F_{12})$ のに一致する．

$\mathfrak{a}$に関する制限ルート系は$\Sigma$

条件 (A) を満たす $(G, F_{1}, F_{2})$ から構成される対称三対$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$

は次の表で与えられる $([10]^{3})$ .

2 具体的に与えたコンパク ト対称三対 $(G, F_{1} , F_{2})$ に対して，重複度付き対称三対の型も決定できている． $(G, F_{1}, F_{2})$ が条件 (C) を満たし， $G$ が例外型のとき，重複度付き対称三対を決定するために Vogan 図形を用いた (Vogan 図形の定義については [14] を参照).
3 文献 [10] では $(G, F_{1}, F_{2})=(SO(4r+2), S(O(2r+1)\cross O(2r+1)), U(2r+1))$ が$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$

抜けている．

40

上の表の ( $SO(4r+4),$ $U(2r+2),$ $U(2r+2$において，次の記号を用

41
いた．

$U(2r+2)=\{(\begin{array}{ll}x y-y x\end{array})\in SO(4r+4)\},$$U(2r+2)’=\{g\in SO(4r+4)|J_{2r}’gJ_{2r}^{\prime-1}=g\},$

ここで$J_{2r}’=(-E_{2r-1} 1 E_{2r-1} -1).$$U(2r+2)$ と U(2r $+$ 2)’ は $SO(4r+4)$ の内部自己同型写像で互いに移り合わないことに注意する ([9, Pro. 4.39]).
条件 (C) を満たす $(G, F_{1}, F_{2})$ から構成される対称三対表で与えられる．

3$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$

は次のHermann 作用を前節の条件 (A),(B) または (C) のどれか一つを満たすコン
で $(G, F_{1}, F_{2})$ から構成される の重複度
パクト対称三対とする．
付き対称三対を表す．軌道乃 1 $(a)$ を考察するためには $a=\exp H(H\in \mathfrak{a})$と仮定してよい． の二点がアフィンワイル群の元で移り合$(G, F_{1}, F_{2})$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$$\mathfrak{a}$$\pi$$\tilde{W}(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$$\alpha$

うときには，それらは同一の軌道を定める．よって，軌道空間乃 G/F1
はセル几の閉包と同一視される，すなわち，4$\backslash$$F_{2}\backslash G/F_{1}\cong\overline{P_{0}}.$が正則軌道，極小軌道，全測地的軌道になるための必要十分
条件は， $H$ がそれぞれ正則点，極小点，全測地点になることである．さ

$F_{2}\pi i(\exp H)$

らに次が成り立つ．
4 この結果は田崎により導入された多重ケーラー角度に関する結果の一般化である．

42
定理 3.1. 軌道乃 1 $(\exp H)$ が全測地的になるための必要十分条件は，それが鏡映部分多様体になることである．
$\pi$

をリーマン
鏡映部分多様体の概念は Leung[16] により導入された :多様体とする．
の対合的等長変換の固定点集合を鏡映部分多様体という．鏡映部分多様体は全測地的になる．
$\tilde{M}$$\tilde{M}$定理 3.2. 任意のが存在して$F_{2}\pi_{1}(\exp H)$ は $M_{1}=G/F_{1}$ の極小軌道になる． $H$ がセルの頂点でない極小点ならば， $F_{2}\pi_{1}(\exp H)$ は極小部分多様体として不安定である．
注意$\triangle\subset\Pi\cup\{\tilde{\alpha}\}$に対してただ一つ$H\in P_{0}^{\Delta}$

がセルの頂点のとき， $F_{2}\pi_{1}(\exp H)$ の極小部分多様体としての安定性は非自明である．
$H$

Harvey-Lawson[5] は austere 部分多様体の概念を導入した: をリーマン多様体 $M$ の部分多様体とする． で の形作用素を表す．このとき，が austere 部分多様体であるとは，各点 $x\in L$ の各法ベクトル
Tx L
に対して，
の固有値全体のなす集合が重複度も含めて $-1$ 倍に関して不変になるときをいう．明らかに austere 部分多様体は極小部分多様体である．Harvey-Lawson[5] は球面内のいくつかの austere 部分多様体を構成した．Bryant[3] は austere 代数という概念を用いてユークリッド空間内のいくつかの austere 部分多様体を構成した．以下の命題から Hermann
作用は多くの austere 軌道を持つことがわかる．一方，コンパクト対称空間へのイソトロピー群の作用については，austere 軌道は全測地的軌道に
$L$

$A$

$L$

$L$

$\perp$$\xi\in$$A_{\xi}$

限られる．

命題 3 3. 軌道乃 1 $(\exp H)$ が austere になるための必要十分条件は $H$ がaustere 点となることである．
$\pi$$\cdot$[11] において我々は弱鏡映部分多様体の概念を導入した．それは鏡映部
分多様体の概念の拡張である． $M$ をリーマン多様体虚の部分多様体とする．各点 $x\in M$ における各法ベクトル換$\sigma\xi$が存在してTx M に対して，$\perp$$\xi\in$$\tilde{M}$の等長変$\sigma_{\xi}(x)=x, (d\sigma_{\xi})_{x}\xi=-\xi, \sigma_{\xi}(M)=M,$を満たすとき， $M$ を$\tilde{M}$の弱鏡映部分多様体という．弱鏡映部分多様体の形作用素を $A$ で表すと$(d\sigma_{\xi})_{x}^{-1}A_{\xi}(d\sigma_{\xi})_{x}=-A_{\xi}$43が成り立つので，弱鏡映部分多様体は austere である．一般に，
鏡映$\Rightarrow$

弱鏡映$\Rightarrow$austere$\Rightarrow$

極小．

が成り立つ．[11] において我々はコンパクト対称の線形イソトロピー群の軌道を接空間内の超球面の部分多様体とみなしたとき，austere 軌道と弱鏡映軌道を分類した．Hermann 作用の軌道については austere 軌道が分類されているにもかかわらず，弱鏡映軌道は未だ分類されていない．

ルート系に付随する特性元

4

次の節で述べるようにコンパクト型 Hermite 対称空間の複素構造」は$J\rangle=0,$
任意のルート に対してを満たす．これを踏まえてルート
系に付随する特性元を以下のように定義する．この節の内容は次の節で$\lambda$$\pm 1$$\langle\lambda,$

使われる．

を内積

を持つ有限次元線形空間， $R$ を のルート系とする． $J\in$$\alpha-\{0\}$ が $R$ に付随する第一種の特性元または簡単に特性元であるとは，$J\rangle=0,$となるときをいう． が特性元ならに対して任意のば $-J$ も特性元である． $W(R)$ で $R$ のワイル群を表す． が特性元ならば，任意の $s\in W(R)$ に対して $sJ$ も特性元である．以下， $R$ を既約と仮定す
る．特性元」に対して $R$ の基本系
を任意の に対して$J\rangle=0$ , 1 を満たすように選べる． $R$ の最高ルートとを表示する． $R=E_{8},$ならば，ある に対して $m_{i}\geq 2$ となるので特性元は存在しない．
$\alpha$$\langle,$$\alpha$$\rangle$$\lambda\in R$$J$$\pm 1$$\langle\lambda,$$J$$\Pi=\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{r}\}$$i$$\delta$$\langle\alpha_{i},$$F_{4},$$\delta=\sum m_{i}\alpha_{i}$$i$$G_{2}$

命題 4.1. 既約ルート系 $R$ に付随する特性元$J$のワイル群 $W(R)$ による

軌道 $W(R)J$ は $W(R)$ の作用に関して二点等質空間になる．
ここで， $W(R)J$ が $W(R)$ の作用に関して二点等質であるとは， $\Vert x-y\Vert=$を満たす二つの組 $x,$ $y\in W(R)J$ と $x’,$ $y’\in W(R)J$ に対して，$\Vert x’-y$$\sigma\in W(R)$が存在して $\sigma x=x’$ と$\{d_{1}, .

, d_{t}\}(0<d_{1}<\cdots<d_{t})$.

.

$\{d_{1}, .

.

.

$\sigma y$$=$y’ が成り立つときをいう．集合を, d_{t}\}=\{\Vert sJ-J\Vert|s\in W(R)\}-\{0\}.$と定めると， $W(R)J$ が二点等質になるための必要十分条件はイソトロ
ヒ 一部分群 $\{s\in W(R)|sJ=J\}$ が各 $\{sJ|\Vert sJ-J\Vert=d_{i}, s\in W(R)\}$$\circ$44に推移的に働くことである． $Ch(R)$ で $R$ に随伴する特性元全部の集合を表す．後述の定理 5.1 と定理 5.2 によると $\#(W(R)J)$ の情報も有用なので，以下の例では各既約ルート系 $R$ に対して， $Ch(R)$ と $\#(W(R)J)$ を与えておく．正のルート全部を [2] と同じ記号で表す．
で r の標準正規直交基底を表す．
$\{e_{1}, .

.

.

, e_{r}\}$$\mathbb{R}$例 4.2. $R=B_{r}=\{\pm e_{i}\pm e_{j}, \pm e_{i}\}$ のとき， $J=e_{1}$ とおくと，$Ch(R)=W(R)J=\{\pm e_{1}, .

.

.

, \pm e_{r}\}.$

このとき， $\#(W(R)J)=2r,$ $t=2,$ $d_{1}=\sqrt{2},$ $d_{2}=2$ となる．
例 4.3. $R=C_{r}=\{\pm e_{i}\pm e_{j}, \pm 2e_{i}\}$ のとき，
$J= \frac{1}{2}(e_{1}+e_{2}+\cdots+e_{r})$とおくと，$Ch(R)=W(R)J= \{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{r}\epsilon_{i}e_{i} \epsilon_{i}=\pm 1\}.$

このとき， $\#(W(R)J)=2^{r},$ $t=r,$ $d_{i}=\sqrt{i}(1\leq i\leq r)$ となる．

例 4.4. $R=BC_{r}=\{\pm e_{i}\pm e_{j}, \pm e_{i}, \pm 2e_{i}\}$ のとき，例 4.2 と例 4.3 から特性元は存在しない．
例 4.5. $R=D_{r}=\{\pm e_{i}\pm e_{j}\}$ のとき，特性元$J_{1},$$J_{2},$$J_{3}$

を$J_{1}=e_{1}, J_{2}= \frac{1}{2}(\sum_{j=1}^{r-1}e_{j}-e_{r}) , J_{3}=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{r}e_{j}$と定めると，$W(R)J_{1}=\{\pm e_{1}, .

.

.

, \pm e_{r}\},$$W(R)J_{2}= \{\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{r}\epsilon_{j}e_{j} \epsilon_{j}=\pm 1, \epsilon_{1}\cdots\epsilon_{r}=-1\},$$W(R)J_{3}= \{\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{r}\epsilon_{j}e_{j} \epsilon_{j}=\pm 1, \epsilon_{1}\cdots\epsilon_{r}=1\}$であり， $Ch(R)=W(R)J_{1}\cup W(R)J_{2}\cup W(R)J_{3}$ . よって， $\#(W(R)J_{1})=$$2r,$$\#(W(R)J_{2})=\#(W(R)J_{3})=2^{r-1}.$

45
例 4.6. $R=A_{r}=\{\pm(e_{i}-e_{j})\}$ のとき，特性元$J_{1}$, . . . , みを

$J_{i}=(e_{1}+ \cdots+e_{i})-\frac{i}{r+1}\sum_{j=1}^{r+1}e_{j}$と定めると$W(R)J_{i}= \{\sum_{j\in A}e_{j}-\frac{i}{r+1}\sum_{j=1}^{r+1}e_{j} A\in P_{i}(r+1)\},$

ここで， $P_{i}(r+1)=\{A\subset\{1, 2, .

.

.

き， $Ch(R)=W(R)J_{1}\cup\cdots\cup W(R)J_{r}$ と

例 4.7. $R=E_{6}$ のとき，特性元」1,$J_{2}$, r+1\}|\# A=i\}$

とおいた．このと$\#(W(R)J_{i})=(\begin{array}{l}r+li\end{array})$が成り立つ．

を$J_{1}= \frac{2}{3}(e_{8}-e_{7}-e_{6})=\frac{1}{3}(4\alpha_{1}+3\alpha_{2}+5\alpha_{3}+6\alpha_{4}+4\alpha_{5}+2\alpha_{6})$,$J_{2}= \frac{1}{3}(e_{8}-e_{7}-e_{6})+e_{5}=\frac{1}{3}(2\alpha_{1}+3\alpha_{2}+4\alpha_{3}+6\alpha_{4}+5\alpha_{5}+4\alpha_{6})$と定めると，$Ch(R)=W(R)J_{1}\cup W(R)J_{2}, W(R)(-J_{2})=W(R)J_{1}.$このとき，$\#(W(R)J_{i})=\frac{\#(W(\mathfrak{e}_{6}))}{\#(W(\mathfrak{s}\mathfrak{o}(10)+\mathbb{R}))}=\frac{2^{7}\cdot 3^{4}\cdot 5}{2^{4}\cdot 5!}=3^{3}$と $t=2,$ $d_{1}=2,$ $d_{2}=4$ が成り立つ．

例 4.8. $R=E_{7}$ のとき，特性元 $J$ を$\langle\alpha_{7}, J\rangle=1, \langle\alpha_{i}, J\rangle=0(i\neq 7)$.

と定まると， $Ch(R)=W(R)J$ . このとき，$\#(W(R)J)=\frac{\#(W(\mathfrak{e}_{7}))}{\#(W(\mathfrak{e}_{6}+\mathbb{R}))}=\frac{2^{10}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7}{2^{7}\cdot 3^{4}\cdot 5}=2^{3}\cdot 7,$$t=3,$ $d_{1}=\sqrt{2},$ $d_{2}=2,$ $d_{3}=\sqrt{6}$ が成り立つ．

.

46

5

二つの実形の交叉

この節の内容は田中真紀子と田崎博之との共同研究である．この節ではコンパクト型既約 Hermite 対称空間内の二つの実形の交叉について考察する．
はじめにコンパクト型既約 Hermite 対称空間をあるユークリッド空間の部分多様体と自然に見る方法について説明しよう． $G$ をコンパクト連
結単純 Lie 群とし，そのリー環を と表す． 上の Ad(G)-不変内積をとる． $J\in \mathfrak{g}-\{O\}$ を $(adJ)^{3}=-adJ$ を満たすようにとる．随伴作用による の軌道 $M=Ad(G)J\subset \mathfrak{g}$ はから誘導される計量に関してコン
パクト型既約 Hermite 対称空間の構造を持つ． $G$ の閉部分群 $K$ を$\langle,$$\mathfrak{g}$$J$$\rangle$$\mathfrak{g}$$\langle,$$\rangle$$K=\{k\in G|Ad(k)J=J\}$と定める． $K$ のリー環$t$は$t=\{X\in \mathfrak{g}|[J, X]=0\}$

によって与えられる．部分空間$\mathfrak{m}=\{[J, X]|X\in \mathfrak{g}\}$はぞの直交補空間なので， の直交直和分解が得られる．内部の $(+1)$ -固有は対合的である． と自己同型写像はそれぞれ
空間と $(-1)$ -固有空間に一致する．作用素 $adJ$ e は 上の $Ad(K)$ -不変複素構造を定め， は $M$ の原点
こおける接空間と同一視されるので，adは $M$ 上の Ad(G)-不変複素構造を定める．逆に任意のコンパクト型既約
Hermite 対称空間はこのようにして得られることが知られている．
$M$ の対合的反正則等長変換の不動点集合を実形という．実形は連結な全測地的 Lagrange 部分多様体になる．Leung [17] と竹内 [19] はコンパクト
型既約 Hermite 対称空間の実形を分類した．この節では $M$ 内の二つの実形が離散的に交わるための必要十分条件を調べ，交叉が離散的な場合に，その交叉を記述する．任意の二つの実形は必ず交わる． $L_{1}=F(\tau_{1}, M)$ と$L_{2}=F(\tau_{2}, M)$ を $M$ 内の二つの実形とする．ここで，は鑑を定める
対合的反正則等長変換である． $G$ 上の対合 をと定める．
$\mathfrak{g}=t+\mathfrak{m}$$\mathfrak{g}$$e^{\pi adJ}$$e$$e^{\pi adJ}$$\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$

$J$

$J$

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\tau_{i}$$\theta_{i}$$F_{i}=F(\theta_{i}, G)$$\theta_{i}(g)=\tau_{i}g\tau_{i}^{-1}$とおくと， $(G, F_{1}, F_{2})$ はコンパクト対称三対になる．交叉$L_{1}\cap Ad(a)L_{2}(a\in G)$を調べるためには，$\tau_{1}\tau_{2}=\tau_{2}\tau_{1}$と仮定してよいことが，コンパクト型既約 Hermite 対称空間の分類からわかる．

$\mathfrak{p}_{1}\cap \mathfrak{p}_{2}$の47を含む極大可換部分空間
Theorem 4.3, $[23|$ よ$J$$\mathfrak{a}$をとる． $a\in G$ はの元と仮定してよい．

$eXp\mathfrak{a}$$V2$$L_{1}=Mn\mathfrak{p}_{1}, Ad(a)L_{2}=M\cap Ad(a)\mathfrak{p}_{2},$$L_{1}\cap Ad(a)L_{2}=M\cap(\mathfrak{p}_{1}\cap Ad(a)\mathfrak{p}_{2})$が成り立つ．
$Ad(g)L_{1}$$L_{1}$と$L_{2}$

が合同のとき，すなわち， $g\in G$ が存在して $L_{2}=$となるときには $L_{1}=L_{2}$ と仮定してよい．次の二通りに場合分けをする :(1) $L_{1}=L_{2}.$
(2)

5.1

$L_{1}$と$L_{2}$

は互いに合同でない．

合同な二つの実形の交叉 $(L_{1}=L_{2}$ の場合$)$$L=L_{1}=L_{2},$ $F=F_{1}=$ 乃などとおく．交叉 $L\cap aL(a\in G)$ について考察する． $a=\exp H(H\in \mathfrak{a})$ と仮定してよい． $R$ でコンパクト対称対$(G, F)$ のに関する制限ルート系を表す．
$\alpha$定理 5.1. [12] 交叉 $L\cap Ad(a)L$ が離散的になるための必要十分条件は任意の$\lambda\in R$に対して$\langle\lambda,$$H\rangle\not\in\pi \mathbb{Z}$となることである．このとき，$L\cap Ad(a)L=M\cap \mathfrak{a}=W(R)J$,(5.2)

ここで， $M\cap\alpha$ は $L$ の大対蹟集合である．集合 $W(R)J$ は $W(R)$ の作用に関して二点等質である．

対蹟集合や大対蹟集合の定義を説明するために， で $x\in L$ の点対称を表す．部分集合 $S\subset L$ が対踪集合であるとは，任意の $x,$ $y\in S$ に対して
$s_{x}(y)=y$ となるときをいう．
の 2-numberとは，最も元の個数の多い対蹟集合の元の個数である． の対蹟集合が大対踪集合であるとは，その元の個数がとなるときをいう．これらの概念は Chen-Nagano [4]により導入された．Bott([1]) により $M\cap\alpha=W(R)J$ となることが知られている．竹内は $W(R)$ が の大対蹟集合に推移的に働くことを示した．
$s_{x}$$L$$\#{}_{2} L$$L$$\#{}_{2} L$

$L$

48

合同でない二つの実形の交叉

5.2としてよい．
が合同でないと仮定する．
で $(G, F_{1} , F_{2})$ から構成されるの対称三対を表す．病の極大可換部分空を を含むようにとる． の極大性から
間となる．島で$L_{1}$と$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$$L_{2}$$\tau_{1}\tau_{2}=\tau_{2}\tau_{1}$$\alpha$$\alpha_{i}$$\alpha$$\mathfrak{a}$$\alpha=\mathfrak{a}_{1}\cap a_{2}$に関する制限ルート系を表す．交叉 $L_{1}\cap aL_{2}(a\in G)$ について考察する． $a=\exp H(H\in\alpha)$ と仮定してよい．
$(G, F_{i})$の$\alpha_{i}$定理 5.2. 交叉 $L_{1}\cap Ad(a)L_{2}(a=\exp H)$ が離散的になるための必要十分条件は $H$ が$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$の正則点になることである．このとき，$L_{1}\cap Ad(a)L_{2}=W(\tilde{\Sigma})J=W(R_{1})J\cap \mathfrak{a}=W(R_{2})J\cap \mathfrak{a}.$$L_{1}\cap Ad(a)L_{2}$は $L_{i}(i=1,2)$ の対蹟集合である．

例 5.3.
$(M, L_{1}, L_{2})=(G_{2m}(\mathbb{C}^{4m}), G_{m}(\mathbb{H}^{2m}), U(2m))$のとき，$\tilde{\Sigma}=C_{m},$$R_{1}=A_{2m-1},$ $R_{2}=C_{2m}$$\#(L_{1}\cap Ad(a)L_{2})=2^{m},$であり，$\#(W(R_{1})J)=(\begin{array}{l}2mm\end{array}),$定理 5.2 から直ちに次の系が従う．

,$\#(W(R_{2})J)=2^{2m}.$

49
系 5.4. 交叉 $L_{1}\cap Ad(a)L_{2}$ が離散的であると仮定する．もし，らば，$\tilde{\Sigma}=R_{1}$$\alpha=\mathfrak{a}_{1}$であり $L_{1}\cap Ad(a)L_{2}=W(R_{1})J$ が成り立つ．

以下の例は系 5.4 の仮定を満たす．
例 5.5.
$(M, L_{1}, L_{2})=(E_{6}/S^{1}\cdot Spin(10), F_{4}/Spin(9), G_{2}(\mathbb{H}^{4})/\mathbb{Z}_{2})$のとき，$\mathfrak{a}_{1}=\mathfrak{a}, \tilde{\Sigma}=R_{1}=A_{2}, R_{2}=E_{6}$であり，$W(\tilde{\Sigma})J=W(R_{1})J=W(R_{2})J\cap\alpha,$$\#(W(\tilde{\Sigma})J)=3, \#(W(R_{2})J)=3^{3}.$例 5.6.
$(M, L_{1}, L_{2})=(G_{2q}(\mathbb{C}^{2(m+q)}), G_{q}(\mathbb{H}^{m+q}), G_{2q}(\mathbb{R}^{2(m+q)}))$のとき，$\mathfrak{a}_{1}=\alpha, \tilde{\Sigma}=R_{1}=A_{m+q-1}, R_{2}=A_{2(m+q)-1}$

であり，$W(\tilde{\Sigma})J=W(R_{1})J=W(R_{2})J\cap\alpha,$$\#(W(\tilde{\Sigma})J)=(\begin{array}{l}m+qq\end{array}), \#(W(R_{2})J)=(\begin{array}{l}+2m2q2m\end{array}).$例 5.7.
$(M, L_{1}, L_{2})=(Sp(2m)/U(2m), Sp(m), U(2m)/O(2m))$のとき， $\tilde{\Sigma}=R_{1}=C_{m},$ $R_{2}=C_{2m}$ であり，
$L_{1}\cap Ad(a)L_{2}=W(R_{1})J=W(R_{2})J\cap\alpha,$$\#(L_{1}\cap Ad(a)L_{2})=2^{m}, \#(W(R_{2})J)=2^{2m}.$

な50
例 5.8.
$(M, L_{1}, L_{2})=(E_{7}/S^{1}\cdot E_{6}, S^{1}\cdot E_{6}/F_{4}, (SU(8)/Sp(4))/\mathbb{Z}_{2})$のとき， $\tilde{\Sigma}=R_{1}=C_{3},$ $R_{2}=E_{7}$ であり，
$L_{1}\cap Ad(a)L_{2}=W(R_{1})J=W(R_{2})J\cap\alpha,$$\#(L_{1}\cap Ad(a)L_{2})=2^{3}, \#(W(R_{2})J)=2^{3}\cdot 7.$

例 5.9.
$(M, L_{1}, L_{2})=(G_{n}(\mathbb{C}^{2n}), U(n), G_{n}(\mathbb{R}^{2n}))$,のとき， $\tilde{\Sigma}=R_{1}=C_{n},$ $R_{2}=A_{2n-1}$ であり，
$L_{1}\cap Ad(a)L_{2}=W(R_{1})J=W(R_{2})J\cap \mathfrak{a},$$\#(L_{1}\cap Ad(a)L_{2})=2^{n}, \#(W(R_{2})J)=(\begin{array}{l}2nn\end{array}).$例 5.10.
$(M, L_{1}, L_{2})=(Q_{r+s+t-2}(\mathbb{C}), S^{r-1,s+t-1}, S^{r+s-1,t-1})$$(s>0, r<t)$のとき，$\tilde{\Sigma}=R_{1}=B_{1},$$R_{2}=\{\begin{array}{ll}B_{\min\{r+s,t\}} (r+s\neq t)D_{t} (r+s=t)\end{array}$

であり，$L_{1}\cap Ad(a)L_{2}=W(R_{1})J=W(R_{2})J\cap\alpha,$$\#(L_{1}\cap Ad(a)L_{2})=2r, \#(W(R_{2})J)=2\min\{r+s, t\}.$例 5.11.
$(M, L_{1}, L_{2})=(SO(4m)/U(2m), U(2m)/Sp(m), SO(2m))$のとき， $\tilde{\Sigma}=R_{1}=C_{m},$ $R_{2}=D_{m}$ であり，
$L_{1}\cap Ad(a)L_{2}=W(R_{1})J=W(R_{2})J\cap\alpha,$$\#(L_{1}\cap Ad(a)L_{2})=2^{m}, \#(W(R_{2})J)=2^{2m+1}.$

例 5.3, 例 5.5 例 5.11 でコンパクト型既約エルミート対称空間 $M$ 内は尽くされる．
の合同でない二つの実形$\sim$$L_{1},$ $L_{2}$

51

参考文献
[1] R. Bott, The geometry and representation theory of compact Liegroups, Representation theory of Lie groups, (1970), 65-90, London
Math. Soc. Lecture Note Ser. 34.
[2] N. Bourbaki, Groupes et algebres de Lie, Hermann, Paris, 1975.
[3] R. L. Bryant, Some remarks on the geometry of austere manifolds,
Bol. Soc. Bras. Mat., 21 (2) (1991), 133-157.

[4] B.-Y.-Chen and T. Nagano, A Riemannian geometric invariant andits applications to Borel and Serre, Trans. Amer. iath. Soc. 308(1988), 273-297.
[5] R. Harvey and H. B. Lawson, Jr., Calibrated geometries, Acta Math.,
148 (1982), 47-157.
[6] E. Heintze, R. S. Palais, C. Therng and G. Thorbergsson, Hyperpolar
actions on symmetric spaces, Geometry, topology, & physics, Conf.
Proc. Lecture Notes Geom. Topology, IV, Int. Press, Cambridge,

MA, 1995, pp. 214-245.
[7] D.Hirohashi, O. Ikawa and H. Tasaki, Orbits of isotropy groups ofcompact symmetric spaces, Tokyo J. Math. 24 (2001) 407-428.
[8] D. Hirohashi, H. Tasaki, H. Song and R. Takagi, Minimal orbits of
the isotropy groups of symmetric spaces of compact type, Diﬀerential
geometry and its applications 13 (2000) 167-177.
[9] O. Ikawa, The geometry of symmetric triad and orbit spaces of Hermann actions J. Math. Soc. Japan 63 (2011), 79-136.

[10] O. Ikawa, A note on symmetric triad and Hermann action, Proceedings of the workshop on diﬀerential geometry and submanifolds andits related topics, Saga, August 4-6, 2012, 220-229.
[11] O. Ikawa, T. Sakai and H. Tasaki, Weakly reflective submanifolds andaustere submanifolds, J. Math. Soc. Japan 61 No. 2 (2009) pp. 437-

481.

52
[12] O. Ikawa, M. Tanaka and H. Tasaki, The fixed point set of a holomorphic isometry, the intersection of two real forms in a Hermitiansymmetric space of compact type and symmetric triads, in preparation.

[13] M. F.-Jensen, Spherical functions on a real semisimple Lie group,
Journal of functional analysis 30, 106-146 (1978).
[14] Anthony W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Birkh\"auser.
[15] N. Koike, Examples of certain kind of minimal orbits of Hermann
actions, Hokkaido Math. J. 43 (2014), 21-42.

[16] D. S. P. Leung, The reflection principle for minimal submanifoldsof Riemannian symmetric spaces, J. Diﬀerential Geometry, 8 (1973)
153-160.
[17] D. S. P. Leung, Reflective submanifolds. IV, Classification of real
forms of Hermitian symmetric spaces, J. Diﬀerential Geom., 14(1979), 179-185.

[18] T. Matsuki, Classification of two involutions on compact semisimple
Lie groups and root systems, , Lie Theory, 12 (2002), 41-68.
$J$[19] M. Takeuchi, Stability of certain minimal submanifolds of compact
symmetric spaces, Tohoku Math. Journ. 36 (1984), 293$Her\gamma r\iota itian$314.
[20] M. Takeuchi, Two-number of symmetric
115 (1989), 43-46.

$R$-spaces, Nagoya Math. J.

[21] H. Tamaru, The local orbit types of symmetric spaces under the actions of the isotropy subgroups, Diﬀerential Geom. Appl. 11 (1999),
no. 1, 29-38.

[22] M. S. Tanaka and H. Tasaki, The intersection of two real forms in
Hermitian symmetric spaces of compact type, J. Math. Soc. Japan
64 (2012), 1297-1332.
[23] M. S. Tanaka and H. Tasaki, Antipodal sets of symmetric $R$-spaces,
Osaka J. Math. 50 (2013), 161-169.

53[24] M. S. Tanaka and H. Tasaki, The intersection of two real forms
in Hermitian symmetric spaces of compact type II, to appear in J.
Math. Soc. Japan.

[25] M. S. Tanaka and H. Tasaki, Correction to: “The intersection of
two real forms in Hermitian symmetric spaces of compact type toappear in J. Math. Soc. Japan.