数理解析研究所講究録 1341 巻 2003 年 112-119

112

Radial limits of univalent functions

東京電機大工 鶴見和之 (Kazuyuki Tsurumi)

Faculty of Technology, Tokyo Denki University
日本大薬 関根 忠行 (Tadayuki Sekine)
College of Pharmacy, Nihon University

51 序論$\mathrm{U}:=\{z\in \mathbb{C}||z|<1\}$$H:\mathrm{U}$$S$,

で正則な函数の集合,: 単葉な函数 $f\in H$ で, $f(0)=0,$ $f’(0)=1$ となるものの全体とする. また,$f\in H$に対して$E_{\infty}(f):= \{e^{i\theta}|\lim_{tarrow 1-0}|f(r^{i\theta})|=\infty\}\subset\partial \mathrm{U}$とおく.

我々の興味は単葉函数 $f\in S$ の境界挙動である. 特に, $f\in S$ に対して, 次の様な問題が考えられる :の capacity1.
?
は円周上で nowhere dense であるか ?
2. 集合はどんな集合か ?
3. その他
4. 単位円周上の $f\in S$ の特異点の様子はどのようなものであるか ?
5. $f\in S$ の導関数 $f’$ についてどのようなことが言えるか ?
$E_{\infty}(f)$$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}_{\alpha}E_{\infty}(f)=0$$E_{\infty}(f)$$E_{\infty}(f)$$E_{\infty}(f’)$

本講では,これらのことに関して現在までに知られていることについて, まとめとし,報告いたします.

本講で使う基本定理は次の 3 定理である.
定理 A. (Growth Theorem, [4],$\mathrm{p}33$)

任意の $f\in S$ に対して, 次の式が成り立つ

113$(|z|=r<1)$ .

$\frac{r}{(1+r)^{2}}\leqq|f(z)|.\leqq\frac{r}{(1-r)^{2}}$定理 B. (Distortion Theorem, [4], p.32)

任意の $f\in S$ に対して, 次の式が成り立つ.
$(|z|=r<1)$ .

$\frac{1-r}{(1+r)^{3}}\leqq|f’(z)|\leqq\frac{1+r}{(1-r)^{3}}$定理 C. (Prawitz’sTheorem;[4], p.61, Th 222)
$f\in S$ とする. $p(0<p<\infty)$ に対して, 次の式が成り立つ.

$(0<r<1)$$M_{\mathrm{p}}^{p}(r, f) \leqq p\int_{0}^{r}\frac{1}{t}M_{\infty}^{p}(t, f)dt$

ここで, $f\in H$ (こ対して,$(0<p<\infty)$ ,$M_{p}(r, f):= \{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(re^{\dot{l}\theta})|^{p}d\theta\}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}$$M_{\infty}(r, f):= \max|f(z)||z|=r$.

\S 2 Radial limits of univalent functions
定理 1. (定理$\mathrm{C}$の系)$S\subset H^{p}(p<1/2)$(Hardy 空間).

この定理から,

従って,$E_{\infty}(f)$の測度は 0 である.

補題. ([4], p.157)$f\in S$ に対して,次の式が成り立つ.
$\lim_{rarrow 1-0}(1-r)^{2}M_{\infty}(r, f)=\alpha\leqq 1$(この$\alpha$

証明.

を $f$ の Hayman index という).
$f$のGrowth theorem によって, 次の式が得られる ([4], p.35).
$\frac{1-r}{1+r}\leqq|\frac{zf’(z)}{f(z)}|\leqq\frac{1+r}{1-r}$(等式は Koebe 関数の回転のときである).

$f$$(|z|=r<1)$ .

が Koebe 関数の回転でなければ,

114$\frac{\partial}{\partial r}\log|f(re^{i\theta})|\leqq|\frac{f’(re^{i\theta})}{f(re^{i\theta})}|\leqq\frac{1+r}{(1-r)r}$が成り立ち,$r_{1}$

から $r_{2}(0<r_{1}<r_{2}<1)$ まで積分すると,$\log|\frac{f(r_{2}e^{1\theta})}{f(r_{1}e^{i\theta})}.|\leqq.\int r_{1}\frac{1+r}{(1-r)r}dr=\log\frac{r_{2}(1-r_{1})}{r_{1}(1-r_{2})^{2}}r_{2}$言い換えると,$0<r_{1}<r_{2}<1$ に対して(2.1)$\theta$を,.

$\frac{(1-r_{2})^{2}}{r_{2}}|f(r_{2}e^{i\theta})|<\frac{(1-r_{1})^{2}}{r_{1}}|f(r_{1}e^{i\theta})|f\sigma r\forall\theta$$|f(r_{2}e^{i\theta})|=M_{\infty}(r_{2}, f)$.

なるように選ぶ. そうすると,.

$\frac{(1-r_{2})^{2}}{r_{2}}|M_{\infty}(r_{2}, f)|<\frac{(1-r_{1})^{2}}{r_{1}}|f(r_{1}e^{i\theta})|\leqq\frac{(1-r_{1})^{2}}{r_{1}}M_{\infty}(r_{1}, f)$

これは,$r^{-1}(1-r)^{2}M_{\infty}(r, f)$は$r$の減少関数であるから, 極限値$\alpha\geqq 0$を持つ. また,

Growth theorem !こよって,$\frac{(1-r_{1})^{2}}{r_{1}}M_{\infty}(r_{1}, f)\leqq 1$であるから,が導かれる. $f$ が Koebe 函数ならば, 任意の r}こ対して, 上の不等式において, 等号が成り立つ. 従って, $\alpha=1$ . $f$ が koebe 函数でなければ, 不等号 $(<)$ が成$\alpha\leqq 1$

り立つ.

よって, 補題が成り立っ.

定理 2. ([4], p.158, Th.5.4)$f\in S$ がHayman index $\alpha>0$ ならば, 次の様なただーっの方向(2.2)$\lim_{rarrow 1-0}(1-r)^{2}|f(re^{i\theta})|=\alpha$

証明. $r_{n}\uparrow 1(n=1,2, \cdots)$ とし,$e^{\dot{\mathrm{t}}\theta}$.

$\theta_{n}(0\leqq\theta_{n}<2\pi)$を$|f(r_{n}e^{\theta_{n}}\dot{.})|=M_{\infty}(r_{n}, f)$とする. そうすると, 補題の (2.1) によって,$\forall r<r_{n}$に対して$\alpha\leqq\frac{(1-r_{n})^{2}}{r_{n}}|f(r_{n}e^{\dot{l}\theta_{n}})|\leqq\frac{(1-r)^{2}}{r}|f(re^{\theta_{n}}.\cdot)|$$\{\theta_{n}\}$の集積点を$\theta_{0}$とすると.

がある, 即ち,

115 115$\alpha\leqq\frac{(1-r)^{2}}{r}|f(r_{n}e^{i\theta_{0}})|\leqq\frac{(1-r)^{2}}{r}M_{\infty}(r, f)$$rarrow 1$とすると,$((1-r)^{2}/r)M_{\infty}(r, f)arrow\alpha$ だから.

, (1) 式が導かれる.

$\theta_{0}$の一意性はLebedev の不等式 ([4], P. 125, Th. 43) から導かれる.
$\cdot$の一意性は成りの単位球の単葉星型写像に対しても成り立つが,立たない. また、 一般の単葉写像については, 定理 2 は成り立たない.
かどうかはわからない.
(2)[注] (1) 定理 2 は$\theta_{0}$$\mathbb{C}^{n}$$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}_{\alpha}E_{\infty}(f)=0(f\in S, \alpha=0,1)$\S 3 単葉関数 の導関数 の境界挙動
次の定理 3 の証明は $f’(z)$ が normal であるという事実による. 正則函数 $g(z)\in H$ がnormal であるとは$f’$$f$$\sup_{z\in \mathrm{U}}\frac{1-|z|^{2}|g’(z)|}{1+|g(z)|^{2}}<$。となるときである.

定理 3. ([6], p.116, Th.l)$f\in S$ とする. $f’(z)$ が証明. $f’(z)$ は$\mathrm{u}$analytic limits を持つ様な単位円周上の点の集合は非可算である.

上で, normal であるから,$\partial \mathrm{U}$

上の dense な集合上で radial limit を持つ.

上の測度 0 の densse な集合において rmlial limit をもつ場合に制限しない.
で $f’(z)\neq 0,$であるから任意の自然数 $n$ に対して開集合 $H_{n}:=\{z||f’(z)|<1/n\}$との共通部分 $M$ は空ではない. いま,とは単連結である. さらに,の全集合$M=M\text{。}\cup M_{i}$ とおく,
ここで M。は G、から accessible である様な $M$ の点全体とし,への等角写像をから accessible でない点の集合とする. $z=g(t)$ を $\{|t|<1\}$ からとすると, $g(t)$ の radial limit は $|t|=1$ 上ほとんど到るところ存在する. ゆえ{ニ, $|t|<1$の非の accessible な境界上に移される. 言い換えると,のほとんどすべての半径はさらに, $f’(z)$ が$\mathrm{u}$$\mathrm{u}$$\infty$$\partial G_{n}$$G_{n}$$\partial \mathrm{U}$$M\dot{.}$$G_{n}$$G_{n}$$G_{n}$$G_{n}$に関してはaccessible な境界点は $|t|=1$ 上の測度 0 の集合に対応するから, 集合に Fatou の定理 ([11], p.139) を適用して,調和測度 0 の集合である. ここで, 領域[こ関は(ま hnear measure 0 であることがわかる.
また, Carleman の原理{こより,して harmonic measure 0 の集合である. 故に, $M=M_{a}\cup M_{i}$ は harmonic measure 0 のの少なくとも一つの連結成分をふくむ. 従って, 与えられは集合である. また,$M_{i}$$G_{n}$$M_{a}$$G_{n}$$M_{a}$$G_{n}$$G_{n}$$H_{n+1}$

た連結成分から始まり、 連結成分列$G_{n}\subset G_{n+1}\subset\cdots$$=1$ 上にある折線 $L$ がとれ, 折線 $L$ に沿ってが得られる. そして, それらの終点がの任$f’(z)$ が 0 に収束するようにできる. そして, 路 $L$ の終点 $E$ は一点になる. 次に,$|z|$$G_{n}$

116と書き, $z=g(t)$ を $|t|<1$ から単連結領域への等角写像とを $|z|=1$ と G。との共通部分とすると, $M$ はする
に関して, halmonic measure0 の集合で, $|f’(z)|$ は, $|z|<1$ 内ののすべての点で, 絶対値 $1/n$ であるがら, 函数

意の連結成分を再び$G_{n}$$G_{n}$$.M$$G_{n}$$G_{n}$$F(t):=nf’(g(t))$ は $|t|<1$ で正則, 有界であり, $|F(t)|<1$ である. また, $|t|=1$ 上ほとんど到るところ絶対値 1 の radial limit を持っ. また, $|t|<1$ で $F(t)\neq 0$ だから, 次の表現を得る.

(3.1)$F(t)= \exp\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{i\xi}+t}{e^{i\xi}-t}d\mu(\xi)+i\alpha\}$ここで,は $\mu’(\xi)=0a.e$ である単調非増加函数で,.

は実定数である. このとき,の特異点の集合は完全集合である. なぜならば,の特異点の集合が完全でないとすると,は少なくともーっの孤立特異点を持っ. これを $\xi=0$ とする. いま, $|t|<1$の半径に沿って, 点 $t=1$ まで, を動かすと,$\mu(\xi)$$\mu(\xi)$$\alpha$$\mu(\xi)$$\mu(\xi)$$t$(3.2)$|F(t)|=O \{\exp(\frac{|t|+1}{|t|-1})\}$ .

$z=g(t)$ によって,この半径は $f’(z)$ が 0 に収束するものに沿った $|z|=1$ 上の点を終点とする内の路に onto に写される. そして, $f’(z)$ は normal であるがら,の Stalz 角領域において, $f’(z)$ は一様に 0 に収束する. いま, $F(t)=nf’(z)\phi(t)$ に Koebe の歪曲定理を適用して, (3.2) によって与えられた速さで $|f’(z)g’(t)|$ は 0 に収束しない. 故に,は孤立特異点を持たない. 「連続, 非定数, 特異函数 (singular function) は非可算集合上でとなる導関数を持っ」 (これは良く知られてぃるらしい ?). これより非可算集合 $A$$\mu’(\xi)=-\infty$上で. 半径 H こ沿って, この集合 $A$ の任意の点に結ぶと, $F(t)$ は 0 に近づ$<.z_{-}^{-}g(t)$ によるこれらの半径の像は, $f’(z)$ が0 に収束する路に沿って $|z|=1$ 上の点に終わる内の路である. 故に, $f’(z)$ の analytic limit として, 0 をとる. $|z|=1$ 上の点集合は非可算である. したがって, 定理が戒り立っ$G_{n}$$\mathrm{P}$$\mathrm{P}$$\mu(\xi)$$\infty$$G_{n}$

Q.E.D.
[注] $f\in H$ とする. $f$ が analytic limit

Stalz 角領域$\triangle$$a\in \mathbb{C}$at$\xi\in\partial \mathrm{U}$を持っとは,に対して$f(z)arrow a$となることである.
さらに, 次の定理が成り立っ :定理 4. ([6], p.118, Th.2)

as $zarrow\xi,$$z\in\triangle$$\xi$における任意の117$f\in S$上の測度 0 の集合上でのみ radial limit values を持つとする. そ上の点集合上の集積の任意の点は, $f’(z)$ が radial limit として 0 を持つとし,うすると,$f’(z)$ が$\mathrm{U}$$\mathrm{u}$$\partial \mathrm{U}$点である.

定義. 点列ときである.
-values の夕$\{z_{k}\}\subset \mathrm{U}$$\alpha$$1\mathrm{J}$$\{z_{k}\}$が函数 $g\in H$ の$\alpha$-values$(\alpha\in \mathbb{C})$であるとは,$g(z_{k}).=\alpha$となるが Blaschke 条件をみたすとは$\sum_{k=1}^{\infty}(1-|z_{k}|)<\infty$となるときである.

定理 5. ([6],, Th 3)
上の測度 0 の集合上でのみ radial limit valu6 を持つとする.
$f\in S$ とし, $f’(z)$ がが $f’(z)$ の -values で, Blaschke 条件をみたすとする. このとき,とし, 点夕 」
はの任意の弧上で $f’(z)$ の analytic limit values である.
$\mathrm{p}.119$$\mathrm{u}$$\alpha\in \mathbb{C}$$\alpha$$\mathrm{I}$$\{z_{k}\}$$\alpha$$\mathrm{u}$また, 問題 (5) に関連して,定理 6. ([3], p.592)
次の様な函数 $f(z)\in H$ と集合に対してcapacity を持ち,$E\subset\partial \mathrm{U}$が存在する. すなわち,$E$は正の logarithmic$e^{i\theta}\in E$

lin$(1-\mathrm{r})^{\frac{1}{2}}|f’(re^{i\theta})|=\infty$r\rightarrow 1-0

定理 7. ([3], p.364)
に対して, 次の様な $A_{\lambda}>0$ がとれる. すなわち,$\lambda>0$.

$f\in H$ ならば$\int_{0}^{2\pi}|\log|f’(re^{i\theta})||^{\lambda}d\theta\leqq A_{\lambda}(\log\frac{1}{1-r})^{\frac{\lambda}{2}}$.

定理 8. ([3], p.366)
次の条件 (1), (2) を満たす $f\in H$ が存在する. すなわち,

(3.1)

(3.2)

$\int_{0}^{2\pi}|^{l}\log^{+}|f’(re^{i\theta})||^{\lambda}d\theta\geqq B_{\lambda}(\log\frac{1}{1-r})^{\frac{\lambda}{2}}$,$\int_{0}^{2\pi}|\log^{-}|f’(re^{i\theta})||^{\lambda}d\theta\geqq B_{\lambda}(\log\frac{1}{1-r})^{\frac{\lambda}{2}}$.

ここで, $0\leqq r<1,$ $\lambda>0,$ $B_{\lambda}>0$ .

118

定理 9. $([3], \mathrm{p}368)$$farrow S,$ $\gamma>1/2$ ならば,ほとんどすべての$\theta$(こ対して$\lim_{rarrow 1-0}\frac{1\mathrm{o}\mathrm{g}|f’(re^{i\theta})|}{(1\mathrm{o}\mathrm{g}\frac{1}{1-r})^{\gamma}}=0$

定理 3\sim 9 が.の単位球の正則単葉写像に拡張できるかどうかはわからない. また, 特に星型写像にどうかもわからない.
単葉函数の境界挙動について, まとまった本としては Pommerenke[ll] であり, 種々の事実が述べられているが, まだまだ不明な点もある. また, 本講で述べなかった用語, 定義
こついては Pommerenke の本を参照していただきたと思 1 ます. また, capacity, linear
measure については Hayman[5] の本が有用である.
$\mathbb{C}^{n}$$4\backslash$$\}$

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