数理解析研究所講究録
第 749 巻 1991 年 1-14

1Comparison of Ratio Estimator, Least Squares Estimatorand Grouped Jackknife Estimator for Regression Model
防災科学技術研究所

河合 伸一 (Shinichi Kawai)

筑波大・数学系

赤平

昌文 (Masafumi Akahira)

1. はじめに線形モデル $Y=\alpha+\beta X+U$ のもとで, 比 $\rho=B(Y)/B(X)$ を推定する問題は, 多くの人々によって研究された. 特に, 標本をランダムにブロックに分けるという QuenouiUe(1956) のジャックナイフの方法を用いて問題が考えられ, 最適なブロックの数が調べられた.
また,Durbin (1959), Rao

ジャックナイフ推定量は, 比推定量とも比較された. (たとえば,(1965), Rao and Webster (1966), Gray and Schucany (1972), Rao (1988) を参照されたい.)
ここでは,

まず,

$\rho$の推定量として, 比推定量,

ジャックナイフ推定量,$\alpha,$$\beta$の最小 2乗推定量をもとにして作った推定量の 3 っを考え, 平均 2 乗誤差によって比較を行う. 次に,Akahira and Kawai (1990) に従って, ジャックナイフ推定量の最適性に関する結果ついて述べ,

そこで与えられた正規分布の例について上の 3 つの推定量の比較を考える. さらにその論文では取り扱わなかった逆ガウス分布の例について述べる.

2. 問題の設定$(X_{1}, Y_{1}),$$\ldots,$$(X_{n}, Y_{n})$

を大きさ

$n$

の無作為標本とし,$X_{i}$と巧の間に次の回帰式が成り立つと仮定する.

:$(i=1, \ldots, n)$$Y_{:}=\alpha+\beta X_{i}+U$$(i=1, \ldots,n)$$B(x_{:})=k_{0}\neq 0$$(i=1,\ldots,n)$ ,$B(U:|X:)=0$$B(\sigma_{:}^{2}|X;)=n\delta$$B(U:U_{j}|X:,X_{j})=0$
ここで,$O(n^{-1})$$B(\cdot|\cdot)$とする.

は条件付期待値を表し,$\delta$$(i=1, \ldots,n)$$(i\neq j;i,j=1, \ldots,n)$

は定数で,

.

$\delta=O(n^{-1})$

とし,

このとき

愛=

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$:$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y$-1-$\overline{U}=\frac{1}{n}\sum_{:=1}^{n}U_{i}$

さらに,

$h=$

2
とおいて
$\rho=\frac{B(\overline{Y})}{B(\overline{X})}=\beta+\frac{\alpha}{k_{0}}$を推定する問題を考える.

3. 推定量とその比較$\rho$の推定量として, 比推定量やジャックナイフ推定量が知られている. 比推定量は,$r= \frac{\overline{Y}}{\overline{X}}=\beta+\frac{\alpha+\overline{U}}{\overline{X}}$で与えられる.
一方, 大きさ
ある.

ここで,

$n$

の標本を, 大きさ

$g\geq 2$

$m$

の

$g$

個のグループに分ける.

とする. 各 $j=1,$ $\ldots,g$ について,$\overline{X}_{j)}’\overline{Y}_{j}’$

よって,

を,

$n=mg$ で番目のグループを$j$除いた, 残りのグループの標本平均とする.

$(j=1, \ldots,g)$$r_{\acute{i}}= \frac{\overline{Y}_{j}^{\ell}}{\overline{X}_{i}’}$とすると,ジャックナイフ推定量$r_{JK}$は,$r_{JK}=gr- \frac{g-1}{g}\sum_{j=1}^{g}r_{j’}$で与えられる.
また,$\rho$の推定量として,$\alpha,$$\beta$をそれぞれの最小 2 乗推定量$\hat{\alpha}_{bSB},\hat{\beta}_{\iota sn}$で推定したもの

すなわち,$\hat{\rho}=\hat{\beta}_{\iota sn}+\frac{\hat{\alpha}_{\iota sn}}{h_{0}}$

を考える.

ここで,

$\hat{\beta}_{nsr}=\frac{\sum_{:}^{n_{=1}}(x_{:}-\overline{X})(Y:-\overline{Y})}{\sum_{:}^{n_{=1}}(X_{i}-\overline{X})^{2}}$

である.
いま,

このとき,
$X_{1},$$\ldots,$$B(\hat{p})=\rho$$X_{n}$$\mu_{h}=B\{(X_{i}-1)^{h}\}$$\hat{p},$$r,$$r_{JX}$となるので,

が互いに独立に,( $i=1,$$\ldots,$$n$$\hat{\rho}$

は,$\rho$$\hat{\alpha}_{\iota sn}=\overline{Y}-\hat{\beta}_{Lsn}\overline{X}$の不偏推定量である.

いずれも平均 1, 分散$\sigma^{2}$,$k$

次のモーメント;k=$, 4, 5, 6) をもつ分布に従うと仮定する. このとき,の平均 2 乗誤差を $O(n^{-S})$ まで比較する.

$-2-$

3
まず\mbox{\boldmath $\rho$}^ の平均 2 乗誤差を求めるために, 次の補題 3. 1 を与える.
補題 3. 1.

$X_{1},$ $\ldots,X_{n}$を互いに独立に,いずれも平均 1, 分散$\sigma^{2}$

,

$k$

次のモーメ

ント $\mu_{h}=B\{(x_{:}-1)^{h}\}(i=1, \ldots, n;h=\,4,5,6)$ をもつ分布に従うと仮定する.

この

とき,
刃

が成り立つ.

ただし,証明の概略.

$\{\frac{\sum_{:}^{n_{=1}}(X_{i}-1)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{:}-\overline{X})^{2}}\}=1+\frac{1}{n}+O\cdot(\frac{1}{n^{2}})$$\overline{x}=\sum_{*=1}^{n}x_{:}/n$

まず,

である.
とおくと,

$W_{n}= \sum_{:}^{n_{=1}}(x_{:}-1)^{2}/\sum_{i=1}^{n}(X;-\overline{X})^{2}$$W_{n}=1+ \frac{n(\overline{X}-1)^{2}}{\sum_{:}^{n_{=1}}(X_{i}-\overline{X})^{2}}$となる. 次に,$Z=\sqrt{n}(\overline{X}-1),$$S^{2}= \sum_{:}^{n_{=1}}(X_{i}-\overline{X})^{2}/n$

とおくと,$W_{n}=1+ \frac{Z^{2}}{nS^{2}}=1+\frac{Z^{2}}{n\sigma^{2}\{1+_{\overline{\sigma}}2\nabla^{1}\dot{n}\sqrt{n}(S^{2}-\sigma^{2})\}}$となり,$U=\sqrt{n}(S^{2}-\sigma^{2})$とすれば,$W_{n}=1+ \frac{Z^{2}}{n\sigma^{2}(1+\frac{U}{\sigma^{2}\sqrt{n}})}$$=1+ \frac{1}{\sigma^{2}n}Z^{2}-\frac{1}{\sigma^{4}n\sqrt{n}}UZ^{2}+\frac{1}{\sigma^{6}n^{2}}U^{2}Z^{2}+o_{p}(\frac{1}{n^{2}})$になる.

$B(Z^{2})=\sigma^{2}$刃 (U2) $=O(1)$ であることを示す. まず,$Z^{2}$であることは明らかである.

さらに

刃 (U

$Z^{2}$) $=O(1/\sqrt{n})$ ,$B(UZ^{2})=n\sqrt{n}B\{(S^{2}-\sigma^{2})(\overline{X}-1)^{2}\}$$=n\sqrt{n}B\{S^{2}(\overline{X}-1)^{2}\}-\sigma^{2}n\sqrt{n}B\{(\overline{X}-1)^{2}\}$$=n\sqrt{n}B(\overline{X}^{2}S^{2})-2n\sqrt{n}B(\overline{X}S^{2})+n\sqrt{n}B(S^{2})-\sigma^{4}\sqrt{n}$

である.

このとき,
$B(S^{2})=(1- \frac{1}{n})\sigma^{2}$,$B( \overline{X}S^{2})=(1-\frac{1}{n})\sigma^{2}+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}})\mu_{S}$

-$-

,

($.1)

4
$B( \overline{X}^{2}S^{2})=(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{S}})\mu_{4}+(n-1)(\frac{1}{n^{2}}-\frac{\}{n^{\}})\sigma^{4}$$+2( \frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}})\mu s+(1-\frac{1}{n})\sigma^{2}$であるから,$B(UZ^{2})= \frac{1}{\sqrt{n}}(\mu_{4}-4\sigma^{4})-\frac{1}{n\sqrt{n}}(\mu_{4}$

となる.

–$

($.2)

$\sigma^{4})=O(\frac{1}{\sqrt{n}})$

また,$B(U^{2}Z^{2})=n^{2}B\{(S^{2}-\sigma^{2})^{2}(\overline{X}-1)^{2}\}$(33)$=n^{2}[B \{S^{4}(\overline{X}-1)^{2}\}-2\sigma^{2}B\{S^{2}(\overline{X}-1)^{2}\}+\frac{\sigma^{6}}{n}]$

である.

このとき,

$B \{S^{4}(\overline{X}-1)^{2}\}=\frac{1}{n^{4}}[B[\{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}\}^{2}\{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)\}^{2}]$$-2n^{\epsilon}B \{(A-1)^{4}\sum_{\dot{*}=1}^{n}(X_{1}-1)^{2}\}+n^{4}B\{(\overline{X}-1)^{6}\}]$となり,$B[ \{\sum_{:=1}^{n}(x_{:}-1)^{2}\}^{2}\{\sum_{i=1}^{n}(x_{:}-1)\}^{2}]=n\mu_{6}+ n(n-1)\sigma^{2}\mu_{4}$$+n(n-1)(n-2)\sigma^{6}+2n(n-1)\mu_{s^{2}}$.

$B \{(\overline{X}-1)^{4}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}\}=\frac{1}{n^{\}}\{\mu_{6}+7(n-1)\sigma^{2}\mu_{4}$$+2(n-1)(n-2)\sigma^{6}+4(n-1)\mu_{S^{2}}\}$.

$B \{(\overline{X}-1)_{\backslash }^{6}\}=\frac{1}{n^{5}}\{\mu_{6}+15(n-1)\sigma^{2}\mu_{4}+15(n-1)(n-2)\sigma^{6}+10(n-1)\mu_{S^{2}}\}$

であるから,

刃{S4 ($\overline{X}-1)^{z}$}$= \frac{1}{n^{4}}[(n-2+\frac{1}{n})\mu_{6}$$+ \{3n(n-1)-14(n-1)+\frac{15(n-1)}{n}\}\sigma^{2}\mu_{4}+\{n(n-1)(n-2)-4(n-1)(n-2)+\frac{15(n-1)(n-2)}{n}\}\sigma^{6}$$+ \{2n(n-1)-8(n-1)+\frac{10(n-1)}{n}\}\mu_{s^{2}}]$

$-4-$

($.4)

5
となる. 一方,刃{S2 (となるから,$\overline{X}-1)^{2}$}$=( \frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{s}})\mu_{4}+(n-1)(\frac{1}{n^{2}}-\frac{\}{n^{\}})\sigma^{4}$(33), (34) より,$B(U^{2}Z^{2})= \sigma^{2}\mu_{4}+\sigma^{6}+2\mu_{s}^{2}+O(\frac{1}{n})=O(1)$.

従って ($.1), ($.2), ($.5) から,$B(W_{n})=1+ \frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^{2}})$となる.

$\blacksquare$

補題 3. 1 を用いて,$\hat{\rho}$の平均 2 乗誤差は, 次のようになる.

$MS$ 刃 (\mbox{\boldmath $\rho$}^) $=V(\hat{\rho})$$=B\{V(\hat{\rho}|X_{1}, \ldots,X_{n})\}+V\{B(\hat{p}|X_{1}, \ldots,X_{n})\}$$=B\{V(\hat{p}|X_{1}, \ldots,X_{n})\}$$=B\{V(\hat{\beta}_{I\cdot SB}|X_{1}, \ldots,X_{n})+V(\hat{\alpha}_{LSB}|X_{1}, \ldots,X_{n})$$+Cov(\hat{\beta}_{I,Sp},\hat{\alpha}_{bSB}|X_{1}, \ldots,X_{n})\}$$.= \delta B\{\frac{\sum_{:}^{n_{--1}}X_{:}^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}+\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}+\frac{\sum_{:--1}^{n,}X_{i}}{\sum_{:}^{n_{=1}}(x_{:}-\overline{X})^{2}}\}$$= 5B\{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}}{\sum_{:}^{n_{=1}}(x_{:}-\overline{X})^{2}}\}$$= \delta+\frac{\delta}{n}+O(n^{-S})$

次に, 比推定量$r$.

の平均 2 乗誤差を求める.

$Z=\sqrt{n}(\overline{X}-1)$

とおくと,$B(r- \beta)=B(\frac{\alpha+\overline{U}}{\overline{X}})$$=\alpha$

刃$( \frac{1}{\overline{X}})$$= \alpha B(\frac{1}{1+TZ_{n}})$$= \alpha\{1-\frac{\text{刃}(Z)}{\sqrt{n}}+\frac{B(Z^{2})}{n}-\frac{B(Z^{s})}{n\sqrt{n}}+\frac{\text{刃}(Z^{4})}{n^{2}}\}$$+O( \frac{1}{n^{S}})$$= \alpha\{1+\frac{\sigma^{2}}{n}+\frac{1}{n^{2}}(-\mu_{S}+sigma^{4})\}+O(\frac{1}{n^{s}})$

-5-

($.5)

6
である.

また,

$B(r- \beta)^{2}=B(\frac{\alpha+\overline{U}}{\overline{X}})^{2}$$=( \alpha^{2}+\delta)B(\frac{1}{\overline{X}^{2}})$$=( \alpha^{2}+\delta)B(\frac{1}{1+\frac{Z}{\sqrt{n}}})^{2}$$=( \alpha^{2}+\delta)\{1-\frac{2B(Z)}{\sqrt{n}}+\frac{ B(Z^{2})}{n}-\frac{4B(Z^{s})}{n\sqrt{n}}+\frac{5B(Z^{4})}{n^{2}}\}$$+O( \frac{1}{n^{s}})$$=( \alpha^{2}+\delta)\{1+\frac{\}{n}\sigma^{2}+\frac{1}{n^{2}}(-4\mu_{\}+15\sigma^{4})\}+O(\frac{1}{n^{S}})$

である.

よって

の平均 2 乗誤差は,$r$$MSB(r)=B\{(r-\beta)-\alpha\}^{2}$$=B(r-\beta)^{2}-2\alpha B(r-\beta)+\alpha^{2}$$= \alpha^{2}\{\frac{\sigma^{2}}{n}+\frac{1}{n^{2}}(-2\mu s+9\sigma^{4})\}+\delta(1+\frac{\}{n}\sigma^{2})+O(\frac{1}{n^{S}})$

である.

最後に,

ジャックナイフ推定量$\sqrt{n-m}(\overline{X}_{j}^{l}-1)$$r_{JK}$の平均 2 乗誤差を求める.

$Z=\sqrt{n}(\overline{X}-1),$$Z_{j}^{l}=$とおくと,刃 $(\gamma JK^{-\beta})=\alpha\{g$ 刃$( \frac{1}{\overline{X}})-\frac{g-1}{g}\sum_{j=1}^{g}B(\frac{1}{\overline{X}_{j}’})\}$$= \alpha\{gB(\frac{1}{1+\ovalbox{\tt\small REJECT}_{n}z})-(g-1)B(\frac{1}{1+\frac{Z’}{\sqrt{\mathfrak{n}-m}}-})\}$$= \alpha[g\{1-\frac{B(Z)}{\sqrt{n}}+\frac{B(Z^{2})}{n}-\frac{B(Z^{S})}{n\sqrt{n}}+\frac{B(Z^{4})}{n^{2}}\}$$-(g-1) \{1-\frac{B(Z_{j}’)}{\sqrt{n-m}}+\frac{B(Z_{i}^{\iota 2})}{n-m}-\frac{B(Z_{j}^{l\})}{(n-m)^{S/2}}+\frac{B(Z_{j}^{\prime 4})}{(n-m)^{2}}\}]$$+O( \frac{1}{n\}I$

$-6-$

7
$= \alpha[g\{1+\frac{\sigma^{2}}{n}+\frac{1}{n^{2}}(-\mu s+sigma^{4})\}$$-(g-1) \{1+\frac{1}{n}\frac{g}{g-1}\sigma^{2}+\frac{1}{n^{2}}(\frac{g}{g-1})^{2}(-\mu_{S}+sigma^{4})\}]$$+O( \frac{1}{n^{S}})$$= \alpha\{1+\frac{1}{n^{2}}\frac{g}{g-1}(\mu_{S}$である.

–$\mbox{\boldmath $\sigma$}$) \}+O(\frac{1}{n^{s}})$また,$B(r_{JK}- \beta)^{2}=\alpha^{2}B(\frac{g}{\overline{X}}-\frac{g-1}{g}\sum_{j=1}^{g}\frac{1}{\overline{X}_{j}’})2+B(\frac{g\overline{U}}{\overline{X}}$一$\frac{g-1}{g}\sum_{j=1}^{g}\frac{\overline{U}_{j}’}{\overline{X}_{j}’})2$$= \alpha^{2}\{g^{2}B(\frac{1}{\overline{X}^{2}})-2g(g-1)B(\frac{1}{\overline{X}}\frac{1}{\overline{X}_{j}^{1}})$$$+ \frac{(g-1)^{2}}{g}B(\frac{1}{\overline{X}_{j}^{\prime 2}})+\frac{(g-1)}{g}$$B( \frac{1}{\overline{x}_{:’}}\frac{1}{\overline{X}_{j}^{l}})\}$$+ \delta\{g^{2}B(\frac{1}{\overline{X}^{2}}I-2g(g-1)B(\frac{1}{\overline{X}}\frac{1}{\overline{X}_{j}’})$$|$$+(g-1)B( \frac{1}{\overline{X}_{j}^{\prime 2}})+$( 一 1)$g$$(g-2)B( \frac{1}{\overline{x}_{:’}}\frac{1}{\overline{X}_{j}’})\}$$= \alpha\{1+\frac{\sigma^{2}}{n}+\frac{2}{n^{2}}\frac{g}{g-1}(\mu_{\}-2\sigma^{4})\}+\delta(1+\frac{1}{n}\frac{g}{g-1}\sigma^{2})+O(\frac{1}{n^{S}})$である.

よって $r_{JK}$ の平均 2 乗誤差は,$MS$ 刃 (r $JK$ ) $=B\{(r_{J\acute{K}}-\beta)-\alpha\}^{2}$$=$

刃 (\gamma $JK^{-\beta)^{2}-2\alpha B(r_{J\kappa}-\beta)+\alpha^{2}}$$= \alpha^{2}(\frac{\sigma^{2}}{n}+\frac{2}{n^{2}}\frac{g}{g-1}\sigma^{4})+\delta(1+\frac{1}{n}\frac{g}{g-1}\sigma^{2})+O(\frac{1}{n^{s}})$である.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$以上のことをまと めて, 次の定理 3. 1 を得る.

定理 3. 1.

$X_{1},$$\ldots,X_{n}$が互いに独立に,いずれも平均 1, 分散$\sigma^{2}$

,

$k$

次のモーメ

ント $\mu_{h}=B\{(X_{1}-1)^{h}\}$ ( $i=1,$ $\ldots,n$ ;h=$,4, 5, 6) をもつ分布に従うと仮定する.

-7-

この

8
とき,

$\hat{\rho},$の平均 2 乗誤差は,$r,$ $r_{JK}$$O(n^{-S})$

までそれぞれ次のようになる.

$MSB( \hat{\rho})=V(\hat{\rho})=\delta+\frac{S}{n}+O(n^{-\})$$MSB(r)=( \frac{\alpha^{2}\sigma^{2}}{n}+\delta)+\{\frac{\alpha^{2}}{n^{2}}(-2\mu\epsilon+9\sigma^{4})+\frac{delta}{n}\sigma^{2}\}+O(n^{-\})$$MSB(r_{JX})=( \frac{\alpha^{2}\sigma^{2}}{n}+\delta)+\{\frac{\alpha^{2}}{n^{2}}(\frac{2g}{g-1}\sigma^{4})+\frac{\delta}{n}\frac{g}{g-1}\sigma^{2}\}+O(n^{-S})$( $g=n$ のとき)$\geq(\frac{\alpha^{2}\sigma^{2}}{n}+\delta)+(\frac{2\alpha^{2}\sigma^{4}}{n^{2}}+\frac{S}{n}\sigma^{2})+O(n^{-S})$

従って,$\hat{\rho},$$r,$$r_{JK}$( $g=n$ のとき) の平均 2 乗誤差を $O(n^{-\})$ まで比較すると次のようになる.
$\alpha\neq 0,$$\muleq(7/2)\sigma^{4}+\delta n\sigma^{2}/\alpha^{2}$のとき,$MSB(\hat{\rho})\leq MSB(r_{JX})\leq MSB(r)$,$\alpha\neq 0,$$\mu s>(7/2)\sigma^{4}+\delta n\sigma^{2}/\alpha^{2}$のとき,$MSB(\hat{\rho})\leq MSB(\prime r)\leq MSB(r_{JX})$,$\alpha=0,0<\sigma^{2}\leq 1/$のとき,

1/$<\mbox{\boldmath $\sigma$}のとき,$\alpha=0,$$\leq 1$$\alpha=0,$ $\sigma^{2}>1$のとき,注意 3. 1.

定理 3. 1 から,

かつ $\sigma^{2}>1$ のときには,,$MSB(r_{JK})\leq MSB(\hat{\rho})\leq MSB(r)$ ,$MSB(r_{JK})\leq MSB(r)\leq MSB(\hat{p})$$MSB(\hat{\rho})\leq MSB(r_{JK})\leq MSB(r)$$\hat{\rho}$$\rho$の推定問題において,.

$\alpha\neq 0$のとき, あるいは $\alpha=0$が他の推定量より良いことが分かる. もちろんであるから一概には言えないかもしれないが, そのことを考慮しても簡便でもあり$\rho$$\hat{\rho}$$\sigma^{2}$$\alpha,$は未知

は $r_{JK}$ と比べてもの推定量として推奨されるであろう.

4. ジャックナイフ推定量の最適性
今, ジャックナイフ推定量$\prime r_{JK}$が,ある推定量のクラスの中で, 分散を最小にするという意味で, 最適な推定量であるごとを示す. なお, ここでは結果のみを示し, 詳しくは Akahira

and Kawai (1990) を参照されたい.
推定量のクラスとして,$r$と$r_{\acute{j}}(j=1, \ldots,g)$の一次結合$\mathcal{R}=\{\hat{r}=w_{0}r+\sum_{j=1}^{g}w_{j}r_{j’}|-\infty<w_{j}<\infty$

である.

-8-

$’\hat{r}$の集合$\mathcal{R}$を考える. つまり,$(j=0,1, \ldots,g)\}$

9
補題 4. 1

次の条件を仮定する.
$k_{0}B( \frac{1}{\overline{X}})-1=h+o(h)$$(j=1, \ldots,g)$$h_{0} \{B(\frac{1}{\overline{X}_{j}’})-B(\frac{1}{\overline{X}})\}=\frac{h}{g-1}+o(h)$このとき,$\mathcal{R}$に属する任意の推定量$\hat{r}=w_{0}r+\sum_{j}^{g_{=1}}w_{j}r_{\acute{j}}$$\sum_{j=0}^{g}w_{j}=1+o(h)$を満たすとき,いま,$\mathcal{R}$,は,$\sum_{j=1}^{g}w_{j}=-(g-1)+o(g)$$o(h)$ の偏り削減をもつ.

の部分クラス$\mathcal{R}_{1}$を次のように定義する.

$\mathcal{R}_{1}=\{\tilde{r}=gr+\sum_{j=1}^{g}w_{j}r_{j’}|\sum_{j=1}^{g}w_{j}=-(g-1)\}$

これは,$o(h)$ の偏り削減をもつ

補題 4. 1 より,は,$\mathcal{R}_{1}$$\mathcal{R}$に属する推定量の中で,.

もっとも簡単なものである.

に属する任意の推定量は $n^{-1}$ の偏り削減をもつ. 次の定理 4. 1 でに属する任意の推定量は $O(gh^{4})$ の次数まで偏りが一致することを示す.

$\mathcal{R}_{1}$定理 4. 1

次の条件を仮定する.
$k_{0}B( \frac{1}{\overline{X}})-1=h+c_{1}h^{2}+c_{2}h^{\}+O(h^{4})$$k_{0}\{$刃 $( \frac{1}{\overline{X}_{j}})-B(\frac{1}{\overline{X}})\}=\frac{h}{g-1}+csh^{2}+c_{4}h^{s}+O(h^{4})$ここで,$c_{1},$$c_{2}$

は定数,$c_{S},$$c_{4}$

は $g$ に依存する $O(1)$ の量とする.

$(j=1, \ldots,g)$

このとき任意のに対して,$B( \tilde{r})=p+\frac{\alpha}{h_{0}}[\{c_{1}-c_{\}(g-1)\}h^{2}+\{c_{2}-c_{4}(g-1)\}h^{S}]+O(gh^{4})$

である.

推定量

$\tilde{r}\in \mathcal{R}_{1}$の漸近分散を求めるために, 次の定理 4. 2 が必要となる.

-9-.

$\tilde{r}\in \mathcal{R}_{1}$10定理 4. 2.

次の期待値が $O(h^{4})$ まで漸近的に存在する, すなわち

刃 $( \frac{1}{\overline{X}^{2}})=k_{1}+O(h^{4})$ ,$B( \frac{1}{\overline{X}_{j}^{2}})=h_{2}+O(h^{4})$$(k_{2}>0;j=1, \ldots,g)$,

刃 $( \frac{1}{\overline{X}}\frac{1}{\overline{X}_{j}^{1}})=h_{S}+O(h^{4})(j=1, \ldots,g)$ ,刃であると仮定する.

$1_{\frac{1}{\overline{x}_{:}’}\frac{1}{\overline{X}_{j}}})=k_{4}+O(h^{4})$このとき, 任意の$\tilde{r}\in \mathcal{R}_{1}$$(i\neq j;i, j=1, \ldots, g)$

.

に対して,

$B \{(\tilde{r}-\beta)^{2}\}=(\sum_{j=1}^{g}w_{j^{2}})[\alpha^{2}(h_{2}-k_{4})+\delta\{\frac{h_{2}g}{g-1}-\frac{h_{4}g(g-2)}{(g-1)^{2}}\}]$(4.1)$+\alpha^{2}\{k_{1}g^{2}-2k_{\}g(g-1)+k_{4}(g-1)^{2}\}$$+\delta\{k_{1}g^{2}-2k_{\}g(g-1)+k_{4}g(g-2)\}$$+O(g^{2}h^{4})$である.

注意 4. 1.

Schwarz の不等式によって,$k_{2}-k_{4}\geq 0$であることがわかる.

さらに,$\frac{k_{2}g}{g-1}-\frac{k_{4}g(g-2)}{(g-1)^{2}}\geq\frac{gk_{2}}{(g-1)^{2}}>0$

である.

これは (4.1) の右辺における$\sum_{j}^{g_{=1}}w_{j^{2}}$の係数が正であることを意味する.

定理 4. 1 と定理 4. 2 より, 次の定理を得る.

定理 4. 3.

定理 4. 1, 定理 4. 2 の条件を仮定し,で存在するとする.

このとき, 推定量$\tilde{r}=gr-\frac{g-1}{g}\sum_{j=1}^{9}r_{j}’$はクラス$\mathcal{R}_{1}$の中で,$O(g^{2}h^{4})$まで最小漸近分散をもつ.

-10-

$h$

; $(i=1,2, \, 4)$ が $O(h^{4})$ ま11
定理 4. 1 と定理 4. 2 より,

証明の概略$\tilde{r}\in \mathcal{R}_{1}$の漸近分散は次のようになる.

$V(\tilde{r})=V(\tilde{r}-\beta)$$=B\{(\tilde{r}-\beta)^{2}\}-\{$ 刃 $(\tilde{r}-\beta)\}^{2}$$=( \sum_{j=1}^{g}w_{j^{2}})[\alpha^{2}(k_{1}-k_{4})\cdot+S\{\frac{k_{2}g}{g-1}-\frac{k_{4}g(g-2)}{(g-1)^{2}}\}]$$+\alpha^{2}[\{k_{1}g^{2}-2k_{S}g(g-1)+k_{4}(g-1)^{2}\}$$-\{1+(c_{1}-c_{S}.g-1))h^{2}+(c_{2}-c_{4}(g-1))h^{s}\}^{2}/k_{0}^{2}]$十$\delta${ $k_{1g^{2}}-2k_{ g}(g-1)$ 十 $k_{4g}(g-2)$ }$+O(g^{2}h^{4})$注意 4. 1 より, クラスを求めるには,$\mathcal{R}_{1}$

.

の中で,

$\sum_{j=1}^{ff}w_{j}=-(g-1)$

吻 $(j=1, \ldots,g)$ を求めれば良い.
$1,$ $\ldots,g$$O(g^{2}h^{4})$まで最小漸近分散をもつような推定量斜という条件のもとで$\sum_{j}^{g_{=1}}w_{j^{2}}$Lagrange の未定乗数法により,を最小にするような
このような $w_{j}(j=$) は,$(j=1, \ldots,g)$$w_{j}=- \frac{g-1}{g}$であることがわかる.

したがって, 推定量 $r_{JK}$ は,$O(g^{2}h^{4})$まで最小漸近分散をもつ.

$\blacksquare$

5. 例$Akah\dot{u}$a and Kawai (1990) において, 正規分布とガンマ分布の場合の例が与えられている

ここでは正規分布の場合を述べ,が,$\rho$の 3 つの推定量$\hat{\rho},$$r,$$r_{JX}$の平均 2 乗誤差による比較も行う. また新たに逆ガウス分布の場合にジャックナイフ推定量の最適性について述べる.
例 5. 1.
する.

ここで,$X_{1},$$h$$\ldots,X_{n}$

は定数で,

は独立に,

いずれも平均 1, 分散 $nh$ の正規分布にしたがうと$h=O(n^{-1})$とする.

$B( \frac{1}{\overline{X}})=1+h+ h^{2}+15h^{\}+O(h^{4})$このとき, 十分大き 2 $n$ に対して,,

刃 $( \frac{1}{\overline{X}_{j}’})=1+\frac{g}{g-1}h+frac{g^{2}}{(g-1)^{2}}h^{2}+15\frac{g^{\}}{(g-1)^{S}}h^{S}+O(h^{4})$$B 1\frac{1}{\overline{X}^{2}})=1+ h+15h^{2}+105h^{S}+O(h^{4})=k_{1}+O(h^{4})$

-11-

,

,

12
$B( \frac{1}{\overline{X}_{j^{2}}})=1+frac{g}{g-1}h+15\frac{g^{2}}{(g-1)^{2}}h^{2}+105\frac{g^{S}}{(g-1)^{S}}h^{\}+O(h^{4})=k_{2}+O(h^{4})$,$B( \frac{1}{\overline{X}}\frac{1}{\overline{X}_{j’}})=1+\frac{\theta g-2}{g-1}h+\frac{15g^{2}-20g+8}{(g-1)^{2}}h^{2}$,$+ \frac{ 5g^{s}-70g^{2}+56g-16)}{(g-1)^{S}}h^{\}+O(h^{4})=k_{S}+O(h^{4})$$B( \frac{1}{\overline{x}_{:}’}\frac{1}{\overline{X}_{j}^{1}})=1+\frac{g( g-4)}{(g-1)^{2}}h+\frac{g^{2}(15g^{2}-40g+27)}{(g-1)^{4}}h^{2}$$+ \frac{g^{\}(105g^{S}-420g^{2}+567g-258)}{(g-1)^{6}}h^{S}+O(h^{4})=k_{4}+O(h^{4})$このとき, 定理 4. 3 の条件が満たされるから,である.

ジャックナイフ推定量

デ $JK=gr-\frac{g-1}{g}\sum_{j=1}^{g}r_{j}^{l}$

は,

クラス

また,

$\hat{\rho}$$\mathcal{R}_{1}$の中で,$O(g^{2}h^{4})$の次数まで最小漸近分散をもつ.

の分散は次のようになる.
$V( \hat{\rho})=\delta B\{\frac{\sum_{:}^{n_{=1}}(x_{:}-1)^{2}}{\sum_{:}^{n_{=1}}(X_{i}-\overline{X})^{2}}\}$$= \delta B\{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{:}-\overline{X})^{2}+n(\overline{X}-1)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{:}-\overline{X})^{2}}\}$$= \delta[1+\frac{1}{n-1}B[\frac{\{(\overline{X}-1)/\sqrt{h}\}^{2}}{\sum_{i=1}^{n}\{(X_{i}-\overline{X})/\sqrt{nh}\}^{2}/(n-1)}]]$

であるが,$\{(\overline{X}-1)/\sqrt{h}\}^{2}/[\sum_{i=1}^{n}\{(x_{:}-\overline{x})/\sqrt{nh}\}^{2}/(n-1)]$の $F$ 分布に従うので,$\hat{\rho},$

お,

$r,$

$r_{JK}$” $r_{JK}$$\hat{p}$は,自由度 1, $n-1$の分散は $\delta\{1+1/(n-\}(n>3)$ となる.

の平均 2 乗誤差を $O(n^{-S})$ まで比較すると定理 3. 1 より次のようになる. なの平均 2 乗誤差の値は,Rao (1965) によるものと一致する.

$MSB( \hat{\rho})=5+\frac{\delta}{n}+O(n^{-\})$,$MSB(r)=( \frac{\alpha^{2}\sigma^{2}}{n}+\delta)+(\text{可^{}\sigma^{4}}+\frac{delta\sigma^{2}}{n})+O(n^{-S})$$MS$ 刃 (r $JK$ ) $=( \frac{\alpha^{2}\sigma^{2}}{n}+\delta)+(\frac{\alpha^{2}\sigma^{4}}{n^{2}}+\frac{2\delta\sigma^{2}}{n})+O(n^{-\})$

-12-

,

.

13
したがって, 次のことが,$\alpha\neq 0$, または,

までいえる.

$O(n^{-S})$のとき,$\alpha=0,$ $\sigma^{2}>1$$V(\hat{\rho})\leq V(r_{JK})\leq V(r)$$\alpha=0,0<\sigma^{2}\leq 1/3$のとき,$V(r_{JK})\leq V(r)\leq V(\hat{\rho})$.

$\alpha=0,1/3<\sigma^{2}\leq 1$のとき,$V(r_{JK})\leq V(\hat{\rho})\leq V(r)$.

例 5. 2.

がパラメータ$X$$(\mu, \lambda)(\mu>0, \lambda>0)$

この分布を $IG(\mu, \lambda)$ と書く. 密度関数は,$\mu)^{2}/(2\mu^{2} ae)\}$いま,.

をもつ逆ガウス分布に従うとき,$x>0$ のとき,である.

$X_{1},$ $\ldots,X_{n}$が独立に, いずれも $IG(\mu, \lambda)$ に従うとき,$\overline{X}$は $IG(\mu, n\lambda)$ に従う.

このとき,
$k_{0}=$

刃 $(\overline{X})=\mu$$B( \frac{1}{\overline{X}}I=\frac{1}{\mu}+\frac{1}{n\lambda}$$B( \frac{1}{\overline{X}_{j}’})=\frac{1}{\mu}+\frac{g}{n(g-1)\lambda}$$B( \frac{1}{\overline{X}^{2}})=\frac{1}{\mu^{2}}+\theta\frac{1}{\mu}\frac{1}{n\lambda}+frac{1}{n^{2}\lambda^{2}}$$B( \frac{1}{\overline{X}_{j^{2}}’})=\frac{1}{\mu^{2}}+frac{1}{\mu}\frac{g}{n(g-1)\lambda}+\theta\frac{g^{2}}{n^{2}(g-1)^{2}\lambda^{2}}$

である.

さらに,

Schwarz の不等式より,$B\{(1/\overline{X})(1/\overline{X}_{j’})\},$ $B\{(1/\overline{x}_{:}^{i})(1/\overline{X}_{j’})\}$が存在することがわかる. このとき,$k_{0}$

刃$( \frac{1}{\overline{X}})-1=\frac{\mu}{n\lambda}$,$h_{0} \{B(\frac{1}{\overline{X}_{j}’})-B(\frac{1}{\overline{X}})\}=\frac{\mu}{n\lambda}\frac{1}{g-1}$

である.

任意の

$\mu/(n\lambda)$$\tilde{r}\in \mathcal{R}_{1}$の偏り削減を考えると, 補題 4. 1 が成り立つ.

また, 定理 4. 1 より,に対して,$B( \tilde{r})=\beta+\frac{\alpha}{\mu}=\rho$となる. 従って, 任意の$\tilde{r}\in \mathcal{R}_{1}$は$p$の不偏推定量である. さらに, 定理 4.2 と定理 4. 3が厳密な期待値と分散で成り立つ. ゆえにジャックナイフ推定量
分散をもっ.

-13-$r_{JK}$は,クラス$\mathcal{R}_{1}$

で最小

14
参考文献

[1] Akahira, M. and S. Kawai (1990). The optimality of the grouped jackknife estimator of

ratio in some regression model. J. Japan Statist. Soc. 20149-157.
[2] Durbin, J. (1959). A note on the application of QuenouiUe’s method of bias reduction

to estimation of ratios. Biometrika 46477-480.
[3] Gray, H. L. and W. R. Schucany (1972). The Generalized Jackknife Statistic. New York:

Marcel Dekker.
[4] QuenouiUe, M. H. (1956). Notes on bias in estimation. Biometrika 43353-360.

[5] Rao, J. N. K. (1965). A note on esimation of ratios by Quenouille’s method. Biometrika

52647-649.
[6] Rao, J. N. K. and J. T. Webster (1966). On two methods of bias reduction in theestimation of ratios. Biometrika 53571-577.
[7] Rao, P. S. R. S. (1988). Ratio and regression estimators. In P. R. Krishnaiah and C. R.
Rao, Eds., Handbook of Statistics, Vol. 6. Amsterdam: North-Holland, 449-468.

-14-