数理解析研究所講究録
第 769 巻 1991 年 14-27

14プラズマのヴォルジャー平衡に関する数理的問題
吉田善章

東京大学工学部

1. はじめにプラズマ (磁気流体) の平衡とは, 圧力度)$\nabla p$と電磁力 $j\cross B(j$ : 電流密度,とが釣り合った状態を言う. 変位電流を無視して$j=\nabla\cross B/\mu_{0}$($[1_{0}$$B$; 磁束密: 真空透磁率) の関係を用いると,$(\nabla\cross B)\cross B=\}4^{\nabla p}$(1)が力の釣り合いを表す式である: 磁束密度は発散を持たないベクトル場であるので,$\nabla\cdot B=0$.

(2)ベクトルの公式を用いて (1) を変形すると$(B\cdot\nabla)B=-\nabla\Pi$,(1)

但し $-\Pi=\mu_{\eta}p+B^{2}$ . 従ってこの問題は非圧縮定常流のオイラー方程式とアナロジーを持つ. 方程式系 (1) $-(2)$ の特性方程式は$(B\cdot\nabla\varphi)^{2}(\nabla\varphi)^{2}=0$と計算されるから, これが双曲楕円型の非線形方程式系であることが分かる.

2 っの特性方向は, 従属変数 $B$ の方向に縮退している.
定常オイラー方程式の場合と同様に, プラズマ平衡の非線形問題の一般論は殆どと言って良いほど分かっていないが, 対称性を持つ場合については, 奇麗な理論がある. 対称性の仮定は大域的な磁気面 ( $p$ を接ベクトルとする曲面, 即ち磁力線が乗った曲面)

15の存在を保証する. 第 2 節では対称性を持つ平衡に関するグラッ ド. シャフラノブの理論 12) を紹介する.
対称性がない一般的の場合には, 磁力線は一つの曲面上に束縛されることなく, ある空間をエルゴディ ックに埋め尽くしていると考えられる (磁力線のカオス). 磁力線が丁度特性曲線であることを考えると, この様な状況下で双曲楕円型の一般論を構築することの難しさは容易に想像できよう.

しかし自然界に形成される構造というものは屡々感動的な単純さを持つものでる. 実際, あるクラスのプラズマ平衡は振れの作用素$\cross$に関する線形固有値問題に帰着する. この種の 「プラズマの固有状態」 は, 初め宇宙空間のプラズマに関連した概念として, チャンドラセカールやヴオルジャー達によって勢力的に研究され 3-6), \eta ォルジャー (Woltjer) 平衡と呼ばれる. 実験室のプラズマ(核融合研究) でも, 一定の条件下でヴォルジャー平衡が発現することが示され, 近年その形成のメカニズムが明らかになってきた 7).
ルジャー平衡は,$B$$\nabla\cross$を流速と思い直せばベルトラミ

では \Psi 才ルジャー平衡の概念を紹介すると共に,の固有関数として与えられる ヴ 才(Beltrami) 流に相当する. 第 3 節その数理的な要点について述べる.

2. 対称性を持つプラズマの平衡
2.1. 磁束関数と磁気面プラズマの平衡を考えるとき, 対称性の問題が一っの重要な論点となる. ここで対称とは,3 次元空間の中に, 少なくとも 1 っ無視できる座標があることを言う.

先ず $xy,$$z$

座標で$\text{ _{}z}=0$となる場合を考えよう. 以下これを称なベクトル場とする. $B$ の x-y 成分$u$ば, ボアンカレの定理が使える. 即ち$\nabla\cdot B=0$

従って$0$

次の微分形式 (スカラー関数)とができる.

これに$z$については,$\psi$,より$u$$z$

対称と呼ぶ.

$B$を$z$対

それを 2 次元のベクトル場と思えは 1 次の閉微分形式と同一視でき,の外微分によって $u=d\psi=\nabla\psi\cross\nabla z$ と表すこ

成分を付加して,$B=\nabla\psi\cross\nabla z+B_{z}\nabla z$(3)

16と書く 2)$\psi$

を磁束関数 (flux function) と呼ぶ.

$\psi$

は $B$ に沿って一定,

即ち(4)$B\cdot\nabla\psi=0$が成り立つ. つまり磁力線は $\psi=$ 一定の面 ( 方向に一様な筒状の面) に乗っている.
$z$

この様な面を磁気面と呼ぶ.
応用上最も重要なのは軸対称 ( 対称) の場合である. 即ち円筒座標$\Theta$となる場合を考える.

$\Theta$

対称なベクトル場$B$$r,$$\psi$

は (4) を満足し,で $\partial_{6}=0$は(5)$B=\nabla\psi\cross\nabla\Theta+B_{\Theta}r\nabla 6$と書くことができる.

$6,$ $z$

この場合の磁気面は 対称なトーラスとなる.
$\Theta$

ヘリカルな対称性を持つ磁場を表すには, ヘリカル磁束関数を用いる. 円筒座標で,z 方向の波数が k.

e 方向の周期が m のヘリカル対称性を持つ磁場は$B=\nabla_{W}\nabla z+B_{z}(km^{-1}r^{2}\nabla\Theta+\nabla z)$(6)と表すことができる. ヘリカル磁束関数が (4) を満たすことも容易に分かる. ヘリカル磁束関数の例は 3.2 項に示す.
以上の例の様に, 対称性を持つ磁場は磁気面を持っており, 磁力線をずっと辿って行っても, その磁力線が動ける範囲はある一つの面内に束縛されている. 従って, 磁場(一般に発散のないベクトル場) がカオスを生じるためには対称性が壊されねばならないことが分かる.

22. グラツドシヤフラノブの方程式
対称性を持つプラズマの平衡は, 磁束関数を用いると簡単に定式化することができる.

z 対称の場合について計算しよう. 表式 (3) を平衡の式 (1) に代入すると,$(\nabla\cross B)\cross B=(-\Delta\psi)\nabla\psi-B_{z}\nabla B_{z}+(\nabla B_{z}\cross\nabla\psi\cdot\nabla z)\nabla z=\mu_{0}\nabla p$(7)

17を得る.

z 対称性の仮定より$\cross\nabla\psi=0$, 即ちできる.

$\nabla B_{f}=B_{z}’\nabla\psi$$\nabla B_{z}$と$\nabla\psi$$\nabla\psi,$$\nabla B_{x}$は x-y 成分しか持たない. (7) の$z$成分から,が平行であることが分かる. 従って $B_{z}=B_{z}(\psi)$ と書くことがと置き, (7) を書き直すと,(8)$(-\Delta\psi)\nabla\psi-B_{z}B_{z}’\nabla\psi=\mu_{0}\nabla p$を得る. 従って$W\psi)=B_{z}(\psi fl/2$$\nabla p$$\nabla B_{f}$と$\nabla\psi$は平行であり,$p=p(\psi)$ と書くことができる.

,$\nabla p=p’\nabla\psi$と置き, (8) を書き直すと,$(-\Delta\psi)\nabla\psi=(W+\mu_{0}p’)\nabla\psi$

ほとんどいたるところ$\nabla\psi$

が $0$ でない平衡を考えるので,(9)$-\Delta\psi=W(\psi)+\mu_{0}p’(\psi)$

を得る 1).

この方程式をグラ ッ ドシ ャ フラノブ (Grad-Shafranov) の方程式と呼ぶ.

2 つの独立な関数 W(\mbox{\boldmath $\psi$}),p(\mbox{\boldmath $\psi$}) を与えると, (9) は (非線形) 楕円型偏微分方程式となる.
この境界値問題を解いてプラズマの平衡磁場が求められる.
平衡を特徴付ける 2 つの独立な関数 $W(\psi),$ $p’(\psi)$ は, 元の方程式系 (1) $-(2)$ の 2 つの双曲性に対応している. 対称性がある場合には, 特性曲線は $\psi=$ 一定の磁気面に乗っているので,$z=0$ で「コーシーのデータ $JW(\psi),$ $p’(\psi)$ を与えると$z$方向に容易に積分され, 双曲性が消去されて楕円型の境界値問題に帰着するのである.

3. ヴオルジヤー平衡
3.1. ヴオルジヤー平衡の物理的背景
前節では, 対称性を持っプラズマの平衡について述べた. 対称性がない場合には大域的な磁気面の存在が保証されないので一般論は非常に難しい. Vp=0 の極限, 即ち 「力を及ぼさない磁場」 の構造\sim 王っいてはある程度理論がある 7Y. 本節ではヴォルジャー平18衡と呼ばれるプラズマの固有状態について述べる.
平衡方程式 (1) において圧力$\nabla p$が $0$ とすると,$\nabla\cross B$と $B$ が平行でなくてはならないことが分かる. 即ち,$\nabla\cross B=\Lambda B$

(10)

,

A は任意のスカラー関数, 但し$\nabla\cdot B=0$でなくてはならないので,(11)$B\cdot\nabla\Lambda=0$を要する. 特に(定数) の場合, (11) は自明, (10) は$\Lambda=\lambda$$\nabla\cross$の固有値問題となる. 大雑把な言い方かも知れないが, 力学系の 「固有の状態」 と言うものは, 数学的にはある種の固有値問題によって記述されると考えることができよう. このシンプルな固有値問
題によって記述されるプラズマの固有状態をヴォルジャー状態と呼ぶ.

その物理的意味は次に述べる変分原理によって旨く表現される.
プラズマは 3 次元の領域$\Omega$内にあるとする.

件は簡単の為 $n\cdot B=0$ とする ($n$$\Omega$は有界, その境界は澱上の外法線ベク トル).

$\partial\Omega$

は滑か, 境界条ホッジ小平分解を用いると,(12)$B=\nabla\cross w+h$と表すことができる (3.3 項参照)

. 但し,

$v_{W}=0,$ $\nabla\cdot h=0,$ $\nabla\cross h=0$ となる様にする.

ポテンシャル $w$ と調和微分形式 んはそれぞれ境界条件$m\nu=0$ ,$n$を満たす様に取れる.
$\neq 0$(13)

ん $=0$$\Omega$が単連結の場合はん $=0$ となるが,多重連結の場合は一般にんである. その場合は, 磁束を条件として固定するとんは固定される.

さて磁気エネルギー

19$E=(B, B)/2\mu_{0}\equiv\int_{\Omega}B\cdot B^{*}$

を $B$ に対する汎関数として,方程式は,$\nabla\cross w$

ぬ /2 助その変分問題を考えよう.

$E$を極小にする問題のオイラーとんの直交性と境界条件 (13) に留意して計算すると,$\nabla\cross B=0$となり,$B=$

ぬが答であることが分かる. 即ちプラズマ中に電流がない真空磁場が最もエネルギーが小さい.
プラズマ中に電流が流れて振られた磁場では, 真空磁場よりも $E$ が大きくなる. 振れの総量を固定して,る.

$E$を極小にする磁場を探そう. 振れを表す概念にヘリシティーがあ

体積積分$K_{d}= \int_{\Omega}w$. B&を「ヘリシティ -」 ,その被積分関数をヘリシティー密度と呼ぶ.

小にする変分問題を考えよう.

$\lambda$$\mathfrak{X}$を束縛し,$E$を極をラグランジュ未定乗数とした汎関数 E-2& のオイ

ラー方程式はに$=\lambda B$,(10)即ち ヴ ォルジャー平衡の方程式を得る 6).

ヴ才ルジャー平衡の物理的な意味は次の様に説明できる. プラズマに電流を流すと言うことは, 換言すればプラズマ中の磁場を振る, 即ちヘリシティーを与えることである.

例えばトカマクでは,トランスの原理による誘漕や, 円偏波した電磁波 9) でヘリシティーを入射 10) することができる. 太陽コロナのループでは, 太陽表面のスポッ トの渦運動(コリオリの力による) がループ内の磁力線を振じってヘリシティーが与えられると考えられている 11).

総量としてプラズマに与えられたヘリシティーの密度はプラズマ中に20どの様に分布するであろうか ? プラズマは不安定性による揺らぎを通じて, エネルギー$E$が最も小さい状態を捜し当て, 自己安定化した構造を形成するであろう. ヴ ォルジャー平衡はこの様な極小エネルギー磁場であると解釈されている 12).

3.2. チヤンドラセカールケンドール関数
ヴォルジャー平衡方程式 (10) の具体的な解を観察することから始めよう.

円柱状領域に対する (10) の解はチャ ンドラセカールケンドール (Chandrasekhar-Kendall) 関数

で与えられる 4). 半径が$a$で長さ$L$毎に周期的な円柱を考えよう. 円筒座標で$u=\lambda\nabla\Phi\cross\nabla z+\nabla\cross(\nabla\Phi\cross\nabla z)$

(14)

,

$\Phi=J_{m}(\mu_{\dot{j}}r)\exp(im\Theta-ikz)$と置くと, $B=u$ はヴォルジャー平衡の式 (10) を満足する. 但し,

1, 2, .) のべッセル関数, 固有値は$\cdot$れる.

$\mu q=1,2,$$\cdots$) は,$\lambda=\pm(1\}^{2}+k^{2})^{y2},$$J_{m}$

は $m$ 次 $(m=0$,$k=\pm 2\pi nL(n=0,1,2, \cdot)$ で与えら

$r=a$ での境界条件 $n\cdot u=0$ より,(15)$\lambda mJ_{m}(\mu_{j}a)/a-\mu_{j}kJ_{m}’(\mu_{j}a)=0$の $j$ 番目の根として定められる.

は磁束$(=fl\alpha)$$m=k=0$ の場合は (15) は無意味になり,の条件で決定される.

$\nabla\cross$

代わりに陽の固有関数系を求めようとする場合には, 後で述べる様に $fl\iota a=0$ とすべきで,$ftux=2 \pi\int_{0^{a}}u$. Vz $rdr=2 \pi\int_{0^{a}}J_{0}(\mu_{j}r)rdr=2\pi a\mu_{j}^{-1}J_{1}(\mu_{j}a)=0$(16)によって跨が計算される. 関数 (14) をチャンドラセカールケンドール関数と呼ぶ.
チャンドラセカールケンドール関数はヘリカル対称性を持つので, 2.1 項で述べた様に磁気面を持つ. (14) を (6) の形に書き直すには,21$m=1$$m=2$

図 1: $j=1,$ $k=1,$ $m=1,2$ のチャンドラセカールケンドール関数に対するヘリカル磁束関数の等高線. 渦の場の固有関数の様子を示したものである.

$\psi=\lambda\Phi-km^{-1}r\partial_{r}\Phi,$$B_{z}=-(\Delta+k^{2})\Phi$と取ればよい. 図 1 に $j=1,$ $k=1,$ $m=1,2$ の ヴ 才ルジャー平衡に関するヘリカル磁束関数の,$z=0$ の断面における等高線を示す 13).

磁気面はこれらの等高線をそれぞれのピッチで引き伸ばしたヘリカルな曲面である.
$m=k=0$ のチャンドラセカールケンドール関数は,円筒座標で書くと,$u_{0}=c(\begin{array}{l}0\pm J_{l}(\mu r)J_{0}(\mu r)\end{array})$となる.

flux と$\lambda$$c$は定数, 固有値$\lambda=\pm\mu$の関係は$c=fha\cdot\lambda/2\pi aJ_{1}(\lambda a)$(符号は鞠の 6 成分の符号に同じ) である. 磁束$=$22$Ci=2,k=1,m=1$ )$CI=1,k=1,m=1)$

図 2:である.

$u_{0}$

磁束を固定しなければ,固定しないとき, 作用素となる.
$\lambda$にヘリカルな解が重なった ヴ 才ルジャー平衡$\nabla\cross$$\lambda=\pm\mu$は任意の複素数に取ってよい. つまり磁束をの固有値 (点スペクトル) は全複素平面に広がった連続体

次項の抽象論で述べる様に,これは任意の多重連結の領域について成り立っ.

が丁度 $m\neq 0$ あるいは $k\neq 0$ の固有値に一致したとき,鞠にヘリカルな解が重なった解が分岐する. その様な状態もヘリカル対称性を持つので, 磁気面がある. 図 2 に 2つの例を示す.
以上の様に円柱状の領域については, チャンドラセカール. ケンドール関数によって,$\nabla\cross$の固有関数の様子を具体的に知ることができた 13). $flux=0$ とすれば, 固有値は離散的な実数値を取り, それぞれの固有関数はヒルベルト空間$L^{2}(\Omega)$の内積に関して互いに直交する. それでは, この様な固有関数によって実際いかなる関数空間を張ることができるのであろうか ? 次項で述べる様に, 一般的に任意の有界領域に対して, 渦の場solenoidal vector field)きる.

を$\nabla\cross$$($の固有関数の和として完全に直交分解できることが証明でこの様な分解 (関数展開) はプラズマや流体のダイナミックスの数値シミュレーションでも有力な手段となる 1-

2333. 振れの作用素
振れの作用素$\nabla\cross$$\nabla\cross$のスペクトル分解のスペクトルに関する基礎的な定理を整理しよう.

界を持つ有界な 3 次元領域とする.

$\Omega$は滑らかな境2 乗可積分なベク トル場のルベーグ空間を$L^{2}(\Omega)$と書き, その部分空間を以下の様に定義する.

$L^{2_{\Sigma}}=\{u\in L^{2}(\Omega);\nabla\cdot u=0, n\cdot u=0,flux=0\}$$L^{2_{H}}=${ん$\in L^{2}(\Omega)$; . ん $=0$ ,\nabla ん $=0,$ . ん $=0$ },$\nabla$$n$$\cross$$L^{2_{G}}=\{\nu\in L^{2}(\Omega);\nu=\nabla\varphi, \nabla\cdot\nu=0\}$,$L^{2_{p=}}\{w\in L^{2}(\Omega) ; w=\nabla\varphi, n\cdot w=0\}$

但し flux は$\Omega$る;(16) 参照.
よって$L^{2}(\Omega)$が多重連結の場合に,$\Omega$,,$x$

その切断面を通過するフラックス として定義されが単連結の場合は $flux=0$ の条件は意味がない.

が直和分解されることが知られている峨 即ち,$L^{2}(\Omega)=L^{2_{\Sigma}}\oplus L^{2_{H}}\oplus L^{2_{G}}\oplus L^{2_{F}}$.

更に$Ker(curl)\equiv\{\nu\in L^{2}(\Omega);\nabla\cross\nu=0\}$と書くと,$L^{2}(\Omega)=L^{2_{\Sigma}}\oplus$

Ker(curl)なる関係がある. また, 発散のないベクトル場については$Ker(div)\equiv\{\nu\in L^{2}(\Omega);\nabla\cdot\nu=0\}=L^{2_{\Sigma}}\oplus L^{2_{H}}\oplus L^{2_{G}}$となる.

u\in Ker(div) 対し境界条件 nnu=0 を仮定するとこれらの部分空間に

24$u\in L^{2_{O}}\equiv L^{2_{\Sigma}}\oplus L^{2_{H}}$L2H は調和形式の空間であり, その次元は \partial \Omega の種数に等しい.となる.

外微分$\nabla\cross$について以下の定理がある 16). 先ず Ker(curl) の直交補空間$L_{Z}^{2}$

で Vx を考えよう. 次の様な作用素を定義する.

$Su=\nabla\cross u,$

但し,’D\S ) は作用素定理 1(自己共役な作用素

$S$

は空間

ルのみからなる.

$S$$\nabla\cross$$L_{z}^{2}$

$S$.

)

$=\{u\in L^{2_{\Sigma}};\nabla\cross u\in L^{2_{\Sigma}}\}$$\propto S$の定義域を意味する.

)

$16$)

内の自己共役作用素である.の固有関数は$L_{Z}^{2}$$S$のスペク トルは実数の点スペク トの直交完全基底を与える.

具体的に円柱状の領域については,

定理 1(チヤンドラセカール・ケンドール関数の完全性)

チャンドラセカールケンドール関数 ( $m=k=0$ のモードについては fiux $=0$ とする)
は, 作用素 $S$ の固有関数の全てを網羅し, 従って円柱状の領域に関するヒルベルト空間$L_{Z}^{2}$の直交完全基底となる.

次に, 一般の $u\in$ Ker(div) を考えよう.

も本質は変わらないので,$Tu=\nabla\cross u$$L_{\sigma}^{2}$

で$\nabla\cross$$n\cdot u$は固定する必要がある.

$n\cdot u=0$としてを考える.

, I)(7 殴 $=\{u\in L^{2_{\circ}};\nabla\cross u\in L^{2_{O}}\}$と定義すると,

定理 2($\nabla\cross$(1) 領域のスペクトルと$\Omega$$\Omega$のコホモロジーの関係)が単連結である場合,$L_{\sigma}^{2}=L_{Z}^{2}$$1Q$であるから,$T=S$. 従って丁のスペクトル25は実数の点スペクトルのみからなる.

(2) 領域$\Omega$が多重連結である場合.

$L_{\sigma}^{2}\supset L_{z}^{2}$であるから, 丁$\supset S$. 丁のスペクトルは点スペクトルのみからなり, それは全複素数 $C$ に等しい. つまり, 方程式

意の複素数$\lambda$$\nabla\cross u=\lambda u$は任について自明でない解を持つ.

定理 $2-(2)$ は 32 項で $flux\neq 0$ のチャンドラセカールケンドール関数について見たことの一般論である.

$S$のスペクトル以外の$\lambda$についても$\nabla\cross u=\lambda u$が自明でない解を持つことを言うには, 方程式\nabla \mbox{\boldmath $\nu$}-\mbox{\boldmath $\lambda$}\mbox{\boldmath $\nu$}=\mbox{\boldmath $\lambda$}ん$\cross$が$\nu$について解けることを示せばよい. 但し, コホモロジーぬ領域 \Omega が多重連結である必要がある.

$\in L_{H}^{2}$が存在するためにu=\mbox{\boldmath $\nu$}+ゐと置いて解を得る 10.

4. 終わりにプラズマの平衡に関する数理的問題として, 対称性と構造の関係, 領域の連結状態と解の存在条件の関係等について考察した. 特に作用素 V の固有関数として与えられる$\cross$

ヴォルジャー平衡について述べた. この問題は作用素る.

$\nabla\cross$のスペクトルの問題に帰着す

定理 2-(2) より, 全く対称性を持たない多重連結領域についても,\mbox{\boldmath $\the a$} ォルジャー平衡の方程式 (10’) は, 任意の \mbox{\boldmath$\lambd$} について解を持つことが示された. 対称性のないヴォルジャー平衡は磁気面を持つかどうか分からない.
力を及ぼさない磁場の対称性破壊とカオスの発現について考えてみよう. 仮に A が一定ではない (10) $-(11)$ の滑らかな解があったとしよう. するとその解は磁気面を持たねばならない.

なぜならば (11) より,Aは$B$に沿って一定でなくてはならない. もし磁気面がなくて磁力線がある体積を稠密に埋めるとすると, その領域において A が一定にならなくてはならないからである. 対称性がある場合については, 一定でない A に対しても解がある. それはグラッ ドシャフラノブの方程式を解いて求められる. 例えば z 対

26

称の場合,$p’(\psi)=0$(力を及ぼさない) ,$B_{l’}(\psi)=\Lambda(\psi)$として (9) を解くと A が一定でないヴォルジャー平衡が求められる. 2.1 項で注意した様に, 対称性と磁気面の存在は密接に関係しており, 磁力線の動く範囲をある磁気面上に束縛するためには, 対称性があることが一つの十分条件である. 逆にエルゴディックな磁場の下では, 平衡を特徴付ける関数 A は一定値に縮退してしまう. 対称性を持たず,(即ち磁気面を持つ)

3.3 項で述べたっている.

$\nabla\cross$

しかも一定でない A をもつ(10)-(11) の解が存在し得るのかどうかは未解決問題である.のスペクトルに関する事項は儀我美一. 氏 (北大) との共同研究によ22 項で述べたグラッ ドシャフラノフ理論の概説は H. $Grad$ 教授 (クーラン研究所) の講義によるところが大きい.

またヴォルジャー平衡の物理的背景については

W. Grossman 氏 (クーラン研究所) の講義が参考になった. 末筆ながら感謝の意を述べる次第である.

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