数理解析研究所講究録
第 1929 巻 2014 年 91-9991

ループ群の手法によるリー群へのアフィン調和写像の構成について
北海道大学理学研究院小林真平
Shimpei Kobayashi
Department of mathematics, Hokkaido University

序
本研究は，ミュンヘン工科大学のドルフマイスター氏と山形大学の井ノロ氏との共同研究に基づく．詳しくは参考文献 [9] を参照して頂きたい．
への調和写像を可積分系の手法を用
ウーレンベックがリーマン面からユニタリー群いて構成した事はよく知られている [24]. シーガルによってこの結果は拡張されて，すべてのコンパクトリー群に対しても同様の手法が成立する事が示された [22]. これらの構成$U_{n}$

で重要な事は，コンパクトリー群の両側不変計量を用いるということである (実は両側不変計量があれば，コンパクトであるという仮定は必要ない).

従って両側不変計量が存在しない場合，可積分系の手法が適用できるという期待はできない．実際 左不変計量しかもたないようなリー群 (例えば可解リー群など) に対して調和であるという条件を書き下してみれば，それは可積分系にはなっていないと考えられる(節 4 参照).

そこでリー群のアフィン接続に着目して，調和写像の方程式を考えて見る (アフイン調和写像と呼ぶ，節 1 参照). すると，ある種のアフィン調和写像は可積分系になっていることがわかる．両側不変計量が存在する場合は，アフィン調和写像は両側不変計量に関する調和写像になり，ウーレンベックシーガルの定式化と同じであるが，両側不変計量が存在しない場合は新しいものである．例として可解リー群のときにアフィン調和写像が定める偏微分方程式を見てみると，それは電磁気学における誘電体のガウスの法則を考えていることに他ならないことがわかる (節 4 参照). また，アフィン調和写像は確率論でも現れる概念である [2, 23].

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アフィン調和写像

1$(M,g)$ をリーマン多様体とし $(N, \nabla)$ をアフィン接続$(M,g)$ のレビチビタ接続，誘導される接続$\nabla^{\varphi}$$T$を$\nabla$を持つ多様体とする．の振率とする．このとき から引き戻し束$\nabla$$\nabla$を$\nabla^{M}$$\varphi^{*}TN$にを次で定義する :$\nabla_{X}^{\varphi}(Vo\varphi)=(\nabla_{d\varphi(X)}V)0\varphi.$

ここで $X,$ $Y\in\Gamma(TM)$ , $V\in\Gamma(TN)$ とした [12, P. 4].

$d\varphi$の共変外微分は次で与えられる :$d^{\nabla^{\varphi}}d\varphi(X, Y)=\varphi^{*}T(X, Y)$

したがって，る．

$\varphi$$d\varphi$

が$\varphi^{*}TN$の第二基本形式.

値閉 1 形式であるためには $\varphi^{*}T=0$ であることが必要十分であ$\nabla d\varphi$

はつぎのように定義される :(1)$\nabla d\varphi(Y;X):=(\nabla_{X}^{\varphi}d\varphi)Y=\nabla_{X}^{\varphi}d\varphi(Y)-d\varphi(\nabla_{X}^{M}Y) , X, Y\in\Gamma(TM)$$\varphi$のテンション場$\tau(\varphi, \nabla)$は次のように定義される．
$\tau(\varphi, \nabla):=tr_{9}(\nabla d\varphi)$.

定義 1. リーマン多様体 $(M,g)$ からアフィン多様体 $(N, \nabla)$ への滑らかな写像 : $(M,g)arrow$$(N, \nabla)$ がアフィン調和写像もしくは調和写像であるとは次の方程式を満たすことである :$\varphi$$\nabla$$\tau(\varphi, \nabla)=0.$リー群へのアフィン調和写像

2$G$

き$\mathfrak{g}$をリー群とし， をそのリー代数とする．双線形写像
値 1 形式に対して， 値 2 形式$\mathfrak{g}$$\alpha,$$\beta\in\Omega^{1}(M;\mathfrak{g})$

$\mu$

:

$\mathfrak{g}\cross \mathfrak{g}arrow \mathfrak{g}$$\mu(\alpha\wedge\beta)$$\mathfrak{g}$を考える．このとを$\mu(\alpha\wedge\beta)(X, Y):=\mu(\alpha(X), \beta(Y))-\mu(\alpha(Y), \beta(X))$

で定める．ここで $X,$ $Y\in\Gamma(TM)$ とした．さらに$\mu$の対称化 sym$\mu$と歪対称化 skew$\mu$を次のように定める :(sym ) $(X, Y)$ $:= \frac{1}{2}\mu(X, Y)+\frac{1}{2}\mu(Y, X)$ , (skew ) $(X, Y):= \frac{1}{2}\mu(X, Y)-\frac{1}{2}\mu(Y, X)$ .
$\mu$

$\mu$

簡単にわかるように$\alpha,$$\beta\in\Omega^{1}(M;\mathfrak{g})$に対して次が成立する:(sym ) $(\beta\wedge\alpha)=-(sym\mu)(\alpha\wedge\beta)$ , (skew )
$\mu$

$\mu$

$(\beta\wedge\alpha)=($skew$\mu)(\alpha\wedge\beta)$

.

(2)

93
注意 1.のとき$\theta$$\mathfrak{g}$を$|)$ー群 $G$ のモレーカルタン形式とする． は $G$ 上の$\theta$

値 2 形式$[\theta\wedge\theta]$$\mathfrak{g}$

値 1 形式である．こは次のように計算される :$[\theta\wedge\theta](X, Y)=2[\theta(X), \theta(Y)]=2(\theta\wedge\theta)(X, Y)$

よく知られているようにモレーカルタン形式$\theta$.

はモレーカルタンの方程式を満たす :$d \theta+\frac{1}{2}[\theta\wedge\theta]=d\theta+\theta\wedge\theta=0.$

次に $G$ 上の左不変アフィン接続を双線形写像$\mu$を用いて次のように与える :$\nabla_{X}^{\mu}Y=\mu(X, Y) , X, Y\in \mathfrak{g}.$注意 2. 野水 [20] によれば， $G$ 上のすべての左不変アフィン接続はこのようにして得られる事が知られている．

定義 2. 両側不変な接続$(t)\nabla:=\nabla^{\mu(t)},$$(\mu(t)=(t)_{\mu)}$の 1 径数族$\{^{(t)}\nabla|t\in \mathbb{R}$} を次のように定める :$(t) \mu(X, Y):=\frac{1}{2}(1+t)[X, Y], X, Y\in \mathfrak{g}$1 径数族$\{^{(t)}\nabla|t\in \mathbb{R}$.

(3)} の中の特別な 3 つの接続を定義する :1. $t=-1$ のとき，標準接続 (canonical connection): $(-1)\nabla,$

2. $t=1$ のとき，反標準接続 (anti-canonical connection): (1)3. $t=0$ のとき，中立接続 (neutml connection): (0)$\nabla,$$\nabla.$

注意 3. 標準接続と反標準接続は [17, 1, 16] で議論されている．[17] では接続 $(-1)\nabla$ , (1)と (o)はそれぞれ Cartan-Schouten’s
接続，$(+$ 接続，(0) 接続と呼ばれている．
$\nabla$$\nabla$$)$次の簡単かつ重要な補題をあげておく．
補題 1.

1. 両側不変接続$(t)\nabla$が挨率$0$であるのは中立接続 (0)$\nabla$のときのみである．

を $G$ 上の左不変接続で ををリー群とする．さらに調和であることと中立調和 (つまり歪対称とする．このとき写像 : $Marrow G$ が2. $M$ をリーマン面とし，$G$$\nabla^{\mu}$$\mu$$\nabla^{\mu}$$\varphi$(0)$\nabla$調和$)$であることは同値である．

さらに容認アフィン調和写像の定義と，容認アフィン調和写像が零曲率表現を持つこと(可積分系の定式化を持つこと) を見る．

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定義 3. リーマン面 $M$ からリー群 $G$ への$(\alpha’ は \alpha の (1, 0)$ 部分，$\alpha=\varphi^{*}\theta=\alpha’$ $+\alpha$’/

調和写像$\nabla^{\mu}$$\alpha"$は$\alpha$$\varphi$とそのモレーカルタン形式の $(0,1)$ 部分) で次の条件を満たすものを考える :(sym )$\mu$

このとき$\varphi$$(\alpha’\wedge\alpha$を容認アフィン調和写像または容認注意 4. もし双線形写像$\nabla^{\mu}$

$=0$

.

(4)

調和写像と呼ぶ．

が歪対称であれば，条件 (4) は自動的に満たされる．特に接続に対して，滑らかな写像 : $Marrow(G, (t)\nabla)$ が容認アフィン調和写像である
こととアフィン調和写像であるこは同値である．

$(t)\nabla,$$\mu$$(t\in \mathbb{R})$命題 1.

$\varphi$: $Marrow(G, \nabla^{\mu})$ をリーマン面 $M$ から左不変接続を持つリー群 $G$ への容認
を のモレーカルタン形式とする $(\alpha’ は \alpha の (1, 0)$調和写像としは の $(0,1)$ 部分 . このときモレーカルタン形式の部分，を次のように定-族義する :$\varphi$$\alpha=\varphi^{*}\theta=\alpha’+\alpha"$$\nabla^{\mu}$$\alpha"$$\nabla^{\mu}$$\varphi$$\mathbb{S}^{1}$$)$$\alpha$$\alpha_{\lambda,:x}$$\alpha_{\lambda}:=\frac{1}{2}(1-\lambda^{-1})\alpha’+\frac{1}{2}(1-\lambda)\alpha"$

.

(5)

は全ての
このとき接続の -族に対して平坦であることがわかる．
逆にを 値 1 形式のを単連結領域とし，で条件 (4) を満たすものとする．さらに零曲率条件$\lambda\in \mathbb{S}^{1}$$\mathbb{S}^{1}$$d+\alpha_{\lambda}$$\mathbb{D}\subset \mathbb{C}$$\alpha_{\lambda}=\frac{1}{2}(1-\lambda^{-1})\alpha’+\frac{1}{2}(1-\lambda)\alpha"$$\mathfrak{g}$$\mathbb{S}^{1}$-族$d \alpha_{\lambda}+\frac{1}{2}[\alpha_{\lambda}\wedge\alpha_{\lambda}]=0$がすべてのの$\mathbb{S}^{1}$に対して満たされているとする．このとき，滑らかな写像:-族が存在してが成立する．この写像鳳を拡張解と呼ぶ．この写像は$\lambda\in \mathbb{S}^{1}$$F_{\lambda}$$\mathbb{D}\cross \mathbb{S}^{1}arrow G$$F_{\lambda}^{*}\theta=\alpha_{\lambda}$に対して容認$\nabla^{\mu}$$\lambda=\pm 1$

調和写像である．

注意 5.

1. 簡単にわかるように，$\alpha_{\lambda=1}=0$

より写像

2. $F_{\lambda=1}=id$ を仮定すると，写像 $F$ は$\mathbb{D}$$F_{\lambda=1}$は定数写像である．

から基点付きループ群$\Omega G$への写像である :$\Omega G=\{\gamma:\mathbb{S}^{1}arrow G|\gamma(1)=id\}.$また，拡張解は$\Omega G$の自然な複素構造に関して正則曲線になっていることに注意する．

補題 1 と命題 1 の帰結として次の定理を得る．
定理 1. $M$ をリーマン面とし， $G$ を左不変接続を持つリー群とする．さらに は歪対称であるとし，(0) を定義 2 で与えられる両側不変接続とする．このとき，写像 $\varphi:Marrow G$
調和であることと，(0) 調和であることは同値である．さらにが$\nabla^{\mu}$$\mu$$\nabla$$\nabla^{\mu}$$\alpha=\varphi^{*}\theta=\alpha’+\alpha"$

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をはのモレーカルタン形式とする $(\alpha’ は \alpha の (1, 0)$ 部分，
とき次のように定義される接続の -族は平坦である :$\alpha"$$\varphi$$\alpha$の $(0,1)$ 部分). この$\mathbb{S}^{1}$$d+\alpha_{\lambda}$$\alpha_{\lambda}:=\frac{1}{2}(1-\lambda^{-1})\alpha’+\frac{1}{2}(1-\lambda)\alpha"$

を単連結領域とし零曲率条件をすべての逆に$\mathbb{D}$を$\alpha_{\lambda}=\frac{1}{2}(1-\lambda^{-1})\alpha’+\frac{1}{2}(1-\lambda)\alpha"$$\lambda\in \mathbb{S}^{1}$.

(6)
値 1 形式の$\mathfrak{g}$$\mathbb{S}^{1}$-族で，次のに対して満たすとする :$d \alpha_{\lambda}+\frac{1}{2}[\alpha_{\lambda}\wedge\alpha_{\lambda}]=0.$

このとき，写像解とよばれ，3$F_{\lambda}$:-族が存在してとすべての歪対称な に対して$\mathbb{D}\cross \mathbb{S}^{1}arrow G$$\lambda=\pm 1$の$F_{\lambda}^{*}\theta=\alpha_{\lambda}$$\nabla^{\mu}$$\mu$は拡張調和である．

を満たす．写像$\mathbb{S}^{1}$

調和，つまり (0)$\nabla$$F_{\lambda}$

ワイエルシュトラス型の表現公式との繋がり
リー群のアフィン調和写像は，正則関数の組から構成される．このような構成法はワイエルシュトラス型の表現公式と呼ばれ，ドルフマイスターペディットウーによって，はじめコンパクトリーマン対称空間への調和写像の場合に与えられ [11], その後さまざまに拡張された．特に [7] ではこの表現公式のリー群への調和写像の場合の定式化が簡潔に述べられている．ここでは，リー群へのアフィン調和写像がアフィン対称空間へのアフィン調和写像と対応付けられることを見る．
写像 :のモレーカルタン形式$\varphi$$\mathbb{D}arrow G$$\alpha$に対して$\mathbb{S}^{1}$-族$\alpha_{\lambda}$を次のように定義する :$\alpha=\varphi^{*}\theta=\alpha’+\alpha \alpha_{\lambda}=\frac{1}{2}(1-\lambda^{-1})\alpha’+\frac{1}{2}(1-\lambda)\alpha"$

一方，写像$\varphi$

はつぎのように枠$\mathcal{G}$.

(7)への持ち上げを持つ :$\mathcal{F}:\mathbb{D}arrow \mathcal{G}:=G\cross G, p\mapsto(id, \varphi(p))$.

ここで id を $G$ の単位元とした．結果として$\mathcal{A}=\mathcal{F}^{*}\theta_{\mathcal{G}}=(0, \varphi^{*}\theta)=(0, \alpha)$

ここで$\theta_{\mathcal{G}}$.

は $\mathcal{G}=G\cross G$ のモレーカルタン形式である．今 $G\cross G$ 上の対合(8)$\sigma$を$\sigma(a, b)=(b, a)$で定義する．次に を の微分に関して分解する．簡単にわかるようにに対応する固有空間 とが次のように求まる : $\mathcal{K}=\{(X, X)|X\in \mathfrak{g}\},$ $\mathcal{P}=\{(Y, -Y)|Y\in \mathfrak{g}\}.$
結果として$\mathcal{A}$$\sigma$$\mathcal{K}$$d\sigma$$\pm 1$$\mathcal{P}$$\mathcal{A}=\mathcal{A}_{\mathcal{K}}+\mathcal{A}_{\mathcal{P}}.$

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ここで

$\mathcal{A}\mathcal{K}$$= \frac{1}{2}(\alpha, \alpha)$と$\mathcal{A}_{\mathcal{P}}=\frac{1}{2}(-\alpha, \alpha)$である．さらに$\mathbb{D}$上の複素構造を用いて分解する :$\mathcal{A}_{\mathcal{P}}=\mathcal{A}_{\mathcal{P}}’+\mathcal{A}_{\mathcal{P}}".$

ここで’$\mathcal{A}\mathcal{P}$は $(1, 0)$ 形式で$\mathcal{A}_{\mathcal{P}}"$は $(0,1)$ 形式である．パラメータ$\mathcal{A}_{\lambda}=\lambda^{-1}\mathcal{A}_{\mathcal{P}}’+\mathcal{A}_{\mathcal{K}}+\lambda \mathcal{A}_{\mathcal{P}}", \lambda\in \mathbb{S}^{1}$$\lambda$を次のように導入する :.

(9)

このとき，簡単な計算によって次が示される．
$\mathcal{A}_{\lambda}=(\frac{1}{2}(1-\lambda^{-1})\alpha’+\frac{1}{2}(1-\lambda)\alpha",$ $\frac{1}{2}(1+\lambda^{-1})\alpha’+\frac{1}{2}(1+\lambda)\alpha")=(\alpha_{\lambda}, \alpha_{-\lambda})$明らかに，$\mathcal{A}_{\lambda}$が可積分であること，つまり$d \mathcal{A}_{\lambda}+\frac{1}{2}[\mathcal{A}_{\lambda}\wedge \mathcal{A}_{\lambda}]=0$であることは.
$\alpha_{\lambda}$(10)が可であることが必要十分である．したがって，積分であること，つまりはの拡張標構と呼を満たす．写像が存在して，写像:を用いて次のように表現される :は拡張解ばれる．拡張標構$d \alpha_{\lambda}+\frac{1}{2}[\alpha_{\lambda}\wedge\alpha_{\lambda}]=0$$\mathcal{F}_{\lambda}$$\mathbb{D}\cross \mathbb{S}^{1}arrow \mathcal{G}$$\mathcal{F}_{\lambda}$$\mathcal{F}_{\lambda}^{*}\theta_{\mathcal{G}}=\mathcal{A}_{\lambda}$$\varphi$$F_{\lambda}$$\mathcal{F}_{\lambda}$$\sqrt{}\lambda=(F_{\lambda}, F_{-\lambda})$.

次の定理は定理 1 の簡単な帰結である．
定理 2.

1.

$\varphi$

が (0)

2.

$d+\alpha_{\lambda}$8$d+\mathcal{A}_{\lambda}$$\nabla$

調和写像である．

はすべてのはすべての$\lambda\in \mathbb{S}^{1}$$\lambda\in \mathbb{S}^{1}$に対して平坦接続を定める．
に対して平坦接続を定める．

従って，リーマン面 $M$ からリー群 $(G, (0)\nabla)$ への (0) 調和写像 の問題は，アフイン対称空間 $G\cross G/$ diag への (0) 調和写像の問題と等価である事がわかる．アフイン対称空$\nabla$$\varphi$$\nabla$間への調和写像のワイエルシュトラス型の表現公式は，良く知られており，その詳細は省略する (例えば [3] 参照).

43 次元の可解リー群へのアフィン調和写像

ここでは，3 次元の可解リー群への (0) 調和写像を例に考えてみる．3 次元可解リー群
を次のように定める :の 2 径数族$\nabla$$G(\mu_{1}, \mu_{2})$$G(\mu_{1}, \mu_{2})=\{(x^{1}, x^{2}, x^{3})=(\begin{array}{lllll}e^{\mu_{1}} x^{3} 0 x^{1}0 e^{\mu_{2}} x^{3} x^{2}0 0 1\end{array})\}\subset GL_{3}\mathbb{R}$.

(11)

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ここで $\mu_{1}+\mu_{2}\neq 0$ であるとき $G(\mu_{1}, \mu_{2})$ はユニモジュラーでないことに注意する．また

簡単にわかるように $\mu_{1}=\mu_{2}=0$ のとき，写像の方程式は座標$\varphi=(\varphi^{1}, \varphi^{2}, \varphi^{3})$$G(\mu_{1}, \mu_{2})$はアーベル群$G(\mu_{1}, \mu_{2})$$\nabla$調和を用いると次のようにかける．

$\varphi_{z\overline{z}}^{k}-\frac{1}{2}\mu_{k}(\varphi_{z}^{k}\varphi\frac{3}{z}+\varphi\frac{k}{z}\varphi_{z}^{3})=0, (k=1,2) , \varphi_{z\overline{z}}^{3}=0$

次にである．(0)$\mathbb{R}^{3}$.

(12)に左不変計量を導入する :$ds^{2}=e^{-2\mu_{1}x^{3}}(dx^{1})^{2}+e^{-2\mu_{2}x^{3}}(dx^{2})^{2}+(dx^{3})^{2}.$この計量に関する調和写像の方程式を書いてみると次のようになる [13] :$\varphi_{z\overline{z}}^{k}-\mu_{k}(\varphi_{z}^{k}\varphi\frac{3}{z}+\varphi\frac{k}{z}\varphi_{z}^{3})=0,$$(k=1,2)$ ,$\varphi_{z\overline{z}}^{3}+\sum_{k=1}^{2}\mu_{k}e^{-2\mu_{k}\varphi^{3}}\varphi_{z}^{k}\varphi\frac{k}{z}=0$.

(13)注意 6. (0) 調和写像の方程式は線形のボアソン方程式である．特にこの方程式は，電磁気学における誘電体のガウスの法則と同じである．
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