Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 FRP009

SuperKEKB LER におけるインピーダンスモデリング
IMPEDANCE MODELING IN SuperKEKB LER
石橋 拓弥#, A), B), 周 徳民 A), B), ミリョラーティ マウロ C), 柴田 恭 A), B), 阿部 哲郎 A), B),
飛山 真理 A), B) , 照井 真司 A)#, A), B), Demin ZhouA), B), Mauro Migliorati C), Kyo Shibata A), B), Tetsuo Abe A), B),
Takuya Ishibashi
Makoto Tobiyama A), B) , Shinji Terui A)A)
KEK Accelerator LaboratoryB)
The Graduate University for Advanced StudiesC)
Sapienza University of Rome

Abstract

In the low energy ring (LER) for positrons in SuperKEKB, an unexpected vertical beam-size blow-ups have been
observed at approximately 1.0 mA/bunch even though with very small number of bunches, which is 31-bunch in the ring,for instance. This bunch current threshold depends on apertures of vertical collimators, thus this single bunch instability
can be caused by the impedance in the vertical direction. The threshold of this instability in the actual machine is smaller
than that of an ordinary transverse mode coupling instability (TMCI) obtained by calculations by approximately 30% ormore. Therefore, we have reconstructed the impedance model and simulated the single bunch dynamics with the wakepotential. This paper summarizes the updates of the impedance model and results of the beam dynamics simulations using
PyHEADTAIL.
このモデルにおける主な改良点は１）計算エラーの低減、２）これまでのモデルに入っていなかったイ
SuperKEKB LER（Low Energy Ring, ビームエネル ンピーダンス源の追加、である。これにより得られギー4 GeV の陽電子蓄積リング）の単独ビーム（非 たウェイクポテンシャルを使い、PyHEADTAIL [6]衝突）運転において、バンチ電流約 1.0 mA/bunch で によってチューンシフト、TMCI 閾値、バンチ長等垂直方向のビームサイズ増大が観測されている [1]。 のシミュレーションを行った。

1.

はじめにこのビームサイズ増大は、例えば蓄積バンチ数 31 の極少数バンチ運転でも観測されているため、何らかの単バンチ不安定性が起きていると考えられる。また、このバンチ電流閾値は設計値 1.44 mA/bunch（蓄積ビーム電流：3.6 A, バンチ数：2500）を下回っており、将来、大バンチ電流で衝突実験を行う際にはこの不安定性によるビームサイズ増大がルミノシティを劣化させてしまう可能性がある。
このバンチ電流閾値は垂直方向可動コリメータ[2]の口径に依存しており、これを開くと閾値が上昇することから、垂直方向のインピーダンスがこの不安定性に関与していることがわかっている[3]。
しかし、通常の物理ランで適用されているコリメータの口径に対し、垂直方向における標準的な横方 向 モ ー ド 結 合 不 安 定 性 (transverse mode couplinginstability, TMCI [4])を計算すると、その閾値は 1.5mA/bunch 以上と算出され [2]、観測されている垂直方向ビームサイズ増大の閾値はこれより 30%以上低い値である。
SuperKEKB メインリングのインピーダンスモデリ
ングと collective effect の評価は、建設期にすでに行
わ れ て い る が [5] 、 現 在 観 測 さ れ て い る 約 1.0mA/bunch で起きる垂直方向ビームサイズ増大は確認されていない。そこで LER におけるインピーダンスモデルを再構築し、collective effect を再評価した。
____________________________________________#

takuya.ishibashi@kek.jp

2.

インピーダンス評価

2.1 計算コード
Pseudo-Green wake function を取得するため、駆動ビームとして𝜎𝜎! =0.5 mm の Gaussian バンチを選択した。これは LER の設計バンチ長 6 mm の 1/12 である。
ビームパイプにおける抵抗壁インピーダンスは主に ImpedanceWake2D [7]または CST Studio Suite を使用して計算した。前者は多層のフラット、円、および楕円形状のビームパイプに対して抵抗壁インピーダンスを計算するコードのため、LER で標準的に使用しているアンテチェンバー付きビームパイプについては後者を用いて計算した。
幾 何 学 的 イ ン ピ ー ダ ン ス は 主 に GdfidL [8] とECHO3D [9]を用いて計算した。それぞれのコードを使い、バンチ長𝜎𝜎! =0.5 mm における垂直方向コリメータでのウェイクポテンシャルを計算、比較した結果を Fig. 1 に示す。GdfidL ではメッシュサイズをσ! ⁄20 = 25 µm まで細かくして漸く計算結果が収束するのに対し、ECHO3D ではσ! ⁄5 = 0.1 mm でも十分収束している。一方、ECHO3D では幾何学的および抵抗壁インピーダンスを同時に計算することが現時点の最新バージョンではできない。そこで、リングのコンポーネントの中でも特に幾何学的インピーダンスの寄与が大きく、計算エラーが発生しやすい- 916 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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コリメータには ECHO3D を、すでに計算モデルが構築されている、または抵抗壁インピーダンスの寄与が無視できないと思われる小口径のテーパー付きビームパイプ等のコンポーネントについては GdfidLをすることにした。

ときの QCSR における𝛽𝛽" の平均値は約 403 m である。
将来的に設計値の𝛽𝛽"∗ ＝0.27 mm まで絞り込むと、その平均値は 1600 m にもなる。

Figure 3: Half aperture of a QCS beam-pipe and verticalbeta-function with each vertical beta-function at theinteraction point as a function of the longitudinal location.
The positron beam travels from left to right in this plot
(horizontally reversed with respect to Fig. 2).
Figure 1: Vertical dipole wake potential in a verticalcollimator with a half aperture of 1 mm obtained by GdfidLor ECHO3D. The dx, dy, and dz refer to the mesh size inthe horizontal, vertical, and longitudinal direction,respectively. A window-wake scheme was adopted in thecalculations with GdfidL. The used versions are 210701 inGdfidL and 1.3.070620 in ECHO3D.
2.2

追加したインピーダンス源

ビームとインピーダンスとの相互作用による垂直方向のダイポールキックは次式で与えられる。
𝑞𝑞(1)
Δ𝑦𝑦 $ =
𝑘𝑘 𝑦𝑦
𝐸𝐸/𝑒𝑒 "
ここで𝑞𝑞：電荷量[C]、𝐸𝐸/𝑒𝑒：ビームエネルギー[V]、𝑘𝑘" ：垂直方向のキックファクター[V/C/m]、𝑦𝑦：垂直方向のビームオフセット[m]である。そのため、バンチ電流に対する垂直方向のコヒーレントチューン
シフトΔ𝜈𝜈" は次式で与えられる。
𝐼𝐼% 𝑇𝑇&(2)9 𝛽𝛽",( 𝑘𝑘",(Δ𝜈𝜈" =4(𝐸𝐸/𝑒𝑒)

ここでは新たに追加した代表的なインピーダンス(源について紹介する。
ここで𝐼𝐼) ：バンチ電流[A]、𝑇𝑇& ：ビームの周回時間[s]QCS ビームパイプである。なお、Σは垂直方向におけるリングの各イ超伝導最終集束電磁石群(QCS [10])のクライオス ンピーダンス源と、そこにおける𝛽𝛽関数を掛け、そタットの中には、テーパー付きビームパイプが収め れらをリング全周に渡って足し合わせることを意味られている（以下、QCS ビームパイプ）。例として している。したがって、シンクロトロンチューンをQCSR クライオスタットの断面を Fig. 2 に示す。こ 𝜈𝜈 とすると TMCI のバンチ電流閾値𝐼𝐼*%,+,-./, は、の中には衝突点に近い方からそれぞれ QC1、QC2 と4𝜋𝜋(𝐸𝐸/𝑒𝑒)𝜈𝜈*(3)𝐼𝐼%,+,-./, =名付けられた 2 台の四重極電磁石が収められている。
𝑇𝑇& ∑( 𝛽𝛽",( 𝑘𝑘",(QCS ビームパイプは全長約 2 m で、直径が 80 mm かで与えられる。
ら 20 mm まで衝突点に向かって段階的に口径が絞らそのため、コリメータに比べて QCS ビームパイプれていく構造を持っている。
自身が持つキックファクターは小さくとも、そこでの𝛽𝛽関数が大きいために、QCS ビームパイプにおけるインピーダンスは TMCI の閾値を下げることに大きく寄与する可能性がある。

溶接溝

Figure 2: Cross-sectional view of QCSR cryostat. QCSR
refers to a final focusing magnet system located upstream
from the interaction point for the positron beam.
Figure 3 には QCSR における QCS ビームパイプの半口径と、垂直方向𝛽𝛽関数(𝛽𝛽" )を衝突点における各垂直方向𝛽𝛽関数(𝛽𝛽"∗ )についてプロットしている。衝突点を挟んで QCSR と反対側にある QCSL も、衝突点に関してこれとほぼ対称の構造になっている。QCS における𝛽𝛽" は𝛽𝛽"∗ を絞り込むほど大きくなる。2022 年現
在は主に𝛽𝛽"∗ ＝1 mm で衝突実験をしているが、この各ビームパイプ等には外側溶接でフランジや BPMブロックが接合されており(Fig. 4)、これらのビームパイプの内側には小さなギャップ（溶接溝）がある。
ギャップ幅を𝑔𝑔とすると、このようなギャップは
𝜎𝜎1 > 𝑔𝑔で inductive、𝜎𝜎1 < 𝑔𝑔で resistive なインピーダンス源になる [11]。
このようなギャップ１つのインピーダンスは小さくとも、リングの中には膨大な数のギャップがある
ため、それらを加え合わせると inductive なインピーダンスがバンチ長の伸長に大きく寄与する可能性がある。
溶接溝はビームパイプの実機、数台について隙間ゲージを挿し入れて測定した。Cu 製ビームパイプと- 917 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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Cu 製および Al 合金製ベローズチェンバーは𝑔𝑔~0.06mm、ギャップの深さ𝑑𝑑~1.5 mm。Al 合金製ビームパ
イプは𝑔𝑔~0.15-0.20 mm、𝑑𝑑~2.5 mm であった。これらの値を用いて溶接溝をモデリングし、インピーダンスを計算した。

ターは負（ビームは加速される方向）であることから、テーパー管のロスファクターは多少相殺される。
なお、文献[5]でも報告されている通り、σ! =0.5 mm
では CSR と CWR の寄与が支配的であるが、長いバンチに対してはこれらの寄与は非常に小さい。

Figure 4: Welding part at a flange (left) and a BPM-block(right) in an aluminum alloy beam-pipe with antechambers.

3.

インピーダンスモデル
Figure 5: Longitudinal wake potential for main
LER に 設 置 さ れ て い る コ リ メ ー タ 、 加 速 空 洞 components contributing to the loss factor and the bunch(ARES 空洞 [12])、テーパー付きチェンバー、フラ distribution of σ! =6.0 mm.
ンジ、溶接溝、RF シールド、放射光マスク、排気Table 1 にはバンチ長 6 mm における縦方向の主要ポート、BPM、縦および横方向フィードバックキッ なインピーダンス源をまとめている。ここでは文献
カー [13]、入射キッカー部のチタンコーティングさ [5]と同様に、resistance (𝑅𝑅)と inductance (𝐿𝐿)は文献[17]れたセラミック製チェンバー、その他特殊ビームパ に倣ってウェイクポテンシャルを次式で回帰分析しイプ、resistive wall 等、全 55 種類のコンポーネント て粗く見積もった。ここで𝑐𝑐は光速度である。
についてインピーダンスを計算した。得られたウェ(5)𝑊𝑊! = −𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑠𝑠) − 𝐿𝐿𝑐𝑐 4 𝜆𝜆$ (𝑠𝑠)イクポテンシャルは各コンポーネントの数量
𝑠𝑠 41(6)exp O− 4 P𝜆𝜆(𝑠𝑠) =（resistive wall (RW)の場合はビームパイプの長さ）2𝜎𝜎1√2𝜋𝜋𝜎𝜎1で重み付けしている。コリメータの口径については、
LER で主要な inductive インピーダンス源は RW、コ
2021 秋期運転における物理ランでの値を参照した。
バンチ長 6 mm における進行方向のウェイクポテ リメータ、MO フランジ [18]、櫛歯型ベローズ、ンシャルを Fig. 5 に示す。ここではロスファクター テーパー付きビームパイプ（QCS ビームパイプ含）、の大きいコンポーネントについてピックアップして Table 1: Summary of Longitudinal Impedance in LER forいる。σ! =6 mm におけるウェイクポテンシャル σ! = 6.0 mm. 𝑘𝑘z , 𝑅𝑅 , and 𝐿𝐿 refer to the loss factor,𝑊𝑊(𝑠𝑠2 , σ! )は、σ!& =0.5 mm でのウェイクポテンシャ resistance, and inductance, respectively.
ル𝑊𝑊(𝑠𝑠, σ!& )を使って、次式の畳み込みによって計算した（実際には離散畳み込みで計算している）。こ Component
𝑘𝑘! [V/pC] 𝑅𝑅 [W] 𝐿𝐿 [nH]
こで𝑠𝑠はウェイク場を駆動する誘導ビームと試験粒
ARES cavities [12]9.5
671.9-8.4子の相対距離である。
𝑊𝑊(𝑠𝑠, σ! ) = E 𝑑𝑑𝑠𝑠 $ 𝑊𝑊(𝑠𝑠 − 𝑠𝑠 $ , σ!& )

𝑒𝑒

3* !"
45#"

(4)
√2𝜋𝜋𝜎𝜎1
Coherent synchrotron radiation (CSR) と coherent
wiggler radiation (CWR)については文献[5]と同じ、CSRZ [14]で計算したウェイクポテンシャルを使用している。
σ! =6 mm におけるロスファクターについては大きい方から、ARES 空洞、TiN コーティングした Al 合
金製アンテチェンバー付きビームパイプ[15]における RW、加速空洞が設置されている区間（RF 区間）
で使用している口径 94 mm から 150 mm のテーパー管、同じく RF 区間で使用している HELICOFLEX タイプのフランジ、SuperKEKB で新たに導入された櫛歯型 RF シールド付きベローズおよびゲートバルブ[16]、の順になっている。ただし、テーパー管についてはこれと対になって、口径が 150 mm から 94 mmに狭まるテーパー管もあり、ここでのロスファク

Resistive wall

3.0

212.4

21.6

Flanges (HELICOFLEX)

1.0

70.0

-0.7

MO-flanges [18]

0.02

1.4

5.2

Welding-gaps

0.0

0.26

1.4

Comb-type bellows [16]

0.9

66.3

5.3

Long. feedback kicker [13]

0.8

57.6

-0.8

Clearing electrodes [20]

0.02

1.7

2.4

Vertical collimators [2]

0.1

8.2

5.9

Horizontal collimators [2]

0.3

17.6

5.6Tapered beam-pipes

0.9

62.3

1.2

QCS beam-pipes [10]

0.07

5.1

0.6

Others

1.59

115.84

1.79

Total

18.2

1290.642.49- 918 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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溶接溝である。MO フランジについて、ガスケット部はビーム側へ 0.15 mm、全幅 1 mm の突起とし、またこの突起の上下流側それぞれに溶接溝をモデリングしている。

Figure 6: 𝛽𝛽" weighted vertical dipole wake potential for
main components contributing to the kick factor in 𝛽𝛽"∗ =1mm and the bunch distribution. In the legend, D06V1,D02V1, D06V2, and D03V1 are vertical movable
collimators. D02H3 is s horizontal movable collimator. drefers to a half-aperture of each collimator. IP chamber isa X-shaped beam pipe at the interaction point.ている。

Figure 7: Total 𝛽𝛽" weighted vertical kick factor for each𝛽𝛽"∗ with σ! =6 mm.

4.

PyHEADTAIL シミュレーション得られたバンチ長 0.5 mm におけるウェイク場（縦方向の monopole、横方向の dipole および quadrupolewake）を使い、PyHEADTAL により粒子追跡シミュレーションを行った。主なパラメータを Table 2 に列記している。ここではマクロ粒子数 106 について25000 ターンまで追跡した。

バンチ長 6 mm、𝛽𝛽"∗ =1 mm における、各コンポーネントでの𝛽𝛽" で重み付けした垂直方向ダイポール
Table 2: Main Machine Parameters for the Simulation
ウェイクポテンシャルを Fig. 6 に示す。ここではキックファクターが大きいコンポーネントをピック3016.3アップしている。最も寄与が大きいのは D06V1 と呼 Circumference [m]ばれる垂直方向コリメータで、これは LER の入射点 Beam energy [GeV]
4直後にある入射バックグラウンドを低減するために
RF voltage [MV]9.12使われているコリメータである。このコリメータは5120
半口径 2.8 mm で、ここでは𝛽𝛽" = 67.35 m で他のコリ Harmonic numberメータより大きい値になっている。次に寄与が大き Bunch length at 0 mA [mm]4.61
い D02V1 コリメータは衝突点に最も近いコリメータ
0.0233で、半口径 1.1 mm 程度で運用している。QCS ビー Synchrotron tune
ムパイプは縦方向に対して𝛽𝛽" が大きく変化すること Momentum compaction factor
2.98×10-4から、QC1 と QC2 に区切ってそれぞれに対してインEnergy spread
7.52×10-4
ピーダンスを計算し、また各区間における𝛽𝛽" の平均
1.5344
値 で そ れ ぞ れ 重 み 付 け し て い る 。 衝 突 点 領 域 Vertical chromaticity(interaction region, IR)にある機器（衝突点チェンバー Averaged 𝛽𝛽 in the ring
19.05"
[19]と QCS ビームパイプ）の寄与も大きいことがわ
Longitudinal damping time [ms]22.8
かる。
Figure 7 にはバンチ長 6 mm に対する各𝛽𝛽"∗ での Vertical damping time [ms]45.7∑( 𝛽𝛽",( 𝑘𝑘",( と(3)式を用いて計算した TMCI のバンチ電273.97
流 閾 値 を 示 し て い る 。 Belle II 検 出 器 に お け る Normalized vertical emittance [nm]∗background level がR𝛽𝛽" に逆比例することが予測されFigure 8 にはバンチ電流に対するバンチ長とエネるため、ここでは𝛽𝛽"∗ =1 mm でのコリメータの設定∗
ルギー幅を示す。CSRと CWR がバンチ長に及ぼす値を基準として口径をR𝛽𝛽" でスケールして閉めてい∗影響は小さいが、エネルギー幅に対する影響は大きる。また、𝛽𝛽" によってコリメータにおける𝛽𝛽" も変化することから、各コリメータにおけるR𝛽𝛽" でもその く、microwave instability (MWI [4])の閾値は約 1.3 mA口径をスケールしている。𝛽𝛽"∗ を絞り込むにつれて垂 となる。
次に垂直方向について、2021 秋期運転時に行った
直方向コリメータの∑( 𝛽𝛽",( 𝑘𝑘",( が大きくなるのは、そチューンシフト測定とシミュレーションの結果をれにつれて口径を閉めていることと、特に D02V1 コリメータにおける𝛽𝛽" が 11.89 m (𝛽𝛽"∗ =1 mm)から 57.7 Fig. 9 に示す。このインピーダンスモデルを使ってm (𝛽𝛽"∗ =0.27 mm)まで増加することが主な要因である。 計算したチューンシフトは、測定と非常によく合っ𝛽𝛽"∗ が小さくなるにつれて IR の寄与が大きくなるのは、 ていることがわかる。
前述の通りこの領域の𝛽𝛽" が大きくなることに起因し- 919 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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Figure 8: RMS bunch length (left) and energy spread(right) as a function of bunch current with or without CSR
and CWR.

再構築したインピーダンスモデルは、𝛽𝛽"∗ の絞り込みとともに IR におけるインピーダンスの寄与も大きくなることを示唆している。各𝛽𝛽"∗ においてインピーダンスを測定し、これを確認する予定である。
また、LER ではストリークカメラを使用したバンチ長測定も行われている[23]。測定されたバンチ電流に対するバンチ長の伸びは、シミュレーションで得られた値（Fig. 8 左図の線形フィットで得られた傾き）より 2 倍程度大きく、縦方向のインピーダンス源にはまだ抜けがある可能性があるため、今後はこれについても精査する予定である。

謝辞

ここでの研究は SuperKEKB International Task Force、TMCI sub-group のメンバーと議論を重ね、また助言を頂きながら進めてきました。メンバーの方々、特に 大 見 和 史 名 誉 教 授 、 Dr. Igor Zagorodnov 、 Dr.
Warner Bruns には多大なサポートをいただきました。
ここに心より感謝の意を表します。

参考文献

Figure 9: Comparison of vertical tune shift between
measurements and simulations.
バンチ電流に対する垂直方向における各モードのチューン（実部）を Fig. 10 に示す。0 モード(𝜈𝜈7 )と-1モード(𝜈𝜈7 − 𝜈𝜈/ )の結合が起きるのは約 1.75 mA で、(3)式から得られた値 2.41 mA より、(3)式の係数4𝜋𝜋を8 [21]にして得られる値 1.53 mA に近い。しかし、本シミュレーションでは実際の加速器で観測されている~1 mA/bunch で起きる垂直方向ビームサイズの増大を再現することができなかった。

Figure 10: Real part of normalized vertical modefrequency shift obtained by summing the first ten modes.

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5. まとめ372.
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レ ー シ ョ ン で 非 常 に よ く 合 っ て い る が 、 ~1.0
[22]
K. Ohmi et al., “Impedance and instability studies atmA/bunch で観測されている垂直方向ビームサイズ増SuperKEKB”, Proceedings of eeFACT2022, Frascati, Italy,
大は再現できなかった。なお、今回のシミュレー
Sep. 12-16, 2022, to be published.
ションではフィードバックを考慮していなかったが、 [23] H. Ikeda, T. Mitsuhashi, and G. Mitsuka, privatecommunication.
ハイゲイン・マルチタップのフィードバックを考慮

するとこの現象を再現できるという報告もある[22]。

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