Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 TUOB03

有限な厚みをもつ 2 次元抵抗性壁面インピーダンス–その数学的構造と物理的意味–
TWO-DIMENSIONAL RESISTIVE-WALL IMPEDANCE WITH FINITETHICKNESS: ITS MATHEMATICAL STRUCTURES AND THEIR PHYSICALMEANINGS菖蒲田義博
Yoshihiro Shobuda , J-PARC Center, JAEA&KEK, 2-4 Shirakata, Tokaimura, Nakagun, Ibaraki 319-1195, JAPAN∗

Abstract
Two-dimensional resistive-wall impedance of cylindrical chambers with a finite thickness decreases proportionally tothe frequency when the skin depth is greater than the chamber thickness. The phenomenon is typically interpreted that theelectro-magnetic fields leak out of the chamber over the frequency range. However, the relation among the resistive-wall
impedance, the space charge impedance, and the leakage fields from the chamber is not clear. This study provides a morecomprehensive picture of dealing with them simultaneously.

1.

はじめに

2.

従来の抵抗性インピーダンスの表式

内面を窒化チタンでコーティングしたセラミック
内半径 a、厚さ t、長さ L、電気伝導率 σ2c 、比誘ブレークのインピーダンスは、窒化チタンの抵抗項、 電率 0 、比透磁率 µ0 の 2 次元円筒形チャンバーのセラミックの変位電流項、セラミックブレークから 「従来の (0 = µ0 = 1) 抵抗性インピーダンスの表式(con)の放射項の並列回路で表現できる [1, 2]。そのため、 Zres
」は、「従来の相対論的空間電荷インピーダン(con)
このインピーダンスは、
スの表式 Zrel,sp 」
1. 窒化チタンの厚さがスキンデプスより大きい場
jωL
(con)
合、「抵抗性インピーダンス」[3]Zrel,sp = −gf ,(1)
4π0 c2 β 2 γ 2
2. スキンデプスが窒化チタンの厚さより大きい場
合、「直流抵抗」[4]3. 窒化チタンの厚さが極端に薄く (数 nm 程度) を除くと、なって初めて、「放射場インピーダンス」[5](1 + j)
(con)
Zres
= GL
,
(2)
になることが自然に理解できる。これは、セラミック
σ2c 2πaδブレークのインピーダンスが、ビームのエネルギー
損失を最小化するように決まるからである。
と記述される [7]。但し、c は光速、β, γ はローレ
同様に、文献 [6] には、「相対論的ビームに対する ンツ因子、ω は角周波数、j は虚数単位、0 は真空有限の厚みをもつ円筒型抵抗性チャンバーの低周波 の誘電率、µ0 は真空の透磁率、σ はビームの半径、p側での縦方向インピーダンスは、DC 抵抗とチャン δ = 2/µ0 µ0 σ2c ω 、
バー壁の外側を流れる変位電流によるインダクタン

スの並列回路で記述できる。」とある。
t
G
=
tanh
(1
+
j)
,
(3)
しかし、この式の適用条件はあまり明確ではない。
δ
なぜなら、このインピーダンスは、周波数原点に向かって単調にゼロに近づくが [7]、スキンデプスが は幾何学的因子で、チャンバーの厚み依存性 [3, 7] をチャンバー厚より大きい場合でも、DC 抵抗が主要な 記し、役割を果たす周波数領域が存在しないからである。
a
そこでこのレポートでは、抵抗性チャンバーの外
gf = 1 + 2 log[ ],(4)σ側に意図的に完全導体のチャンバーを導入することで、より適切な回路モデルを提示する。これによは空間電荷効果由来の g -因子である [7]。
り、「抵抗性チャンバーのビームのインピーダンス
(con)
(con)
ここで、全インピーダンス (Zrel,sp + Zres ) のチャ
は、壁電流が感じる抵抗性チャンバーのインピーダ
t 依存性をみる。抵抗性インピーダン
ンス、完全導体と抵抗性チャンバー間のインピーダ ンバーの厚み
(con)
ス
Z
は、スキンデプス
δ がチャンバーの厚み tres
ンス、ビームの空間電荷効果のインピーダンスの合に比べて小さい場合、幾何学的因子
G は 1 と近似で成抵抗」で記述されることが明示される。
きるので、最後に、文献 [6] の回路モデルの欠点を明示する。
(con)
Zres
=L

∗ yoshihiro.shobuda@j-parc.jp- 28 -(1 + j),σ2c 2πaδ(5)Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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ijβγν K (ν2 (a+t))K1 k̄(a+t)

K1 (ν2 (a + t)) − Z (σ2 0+jω0  )K02c00 k̄(a+t)i ,α(1) = hjβγν2 I0 (ν2 (a+t))K1 k̄(a+t)
I1 (ν2 (a + t)) + Z (σ +jω0  )K k̄(a+t)
0
2c
0
0
1
(con)
(12)
Zres
= jωµ0
Lt,
(6)

2πa
K1 (ν2 (a + t)) I0 k̄(a + t)α(2) =
で近似される。Equation (6) はビームに由来する磁束I1 (ν2 (a + t)) K0 k̄(a + t)hiが抵抗壁を貫通することで生ずるインダクタンスを
jβγν2 K0 (ν2 (a+t))I1 k̄(a+t)

1+
表している。このように抵抗性インピーダンスは無Z0 (σ2c +jω0 0 )K1 (ν2 (a+t))I0 k̄(a+t)

i,
×h
(13)
限小の t でゼロに近づく。
jβγν2 I0 (ν2 (a+t))K1 k̄(a+t)

1 + Z (σ +jω(con)
0  )I (ν (a+t))Kk̄(a+t)
0
2c
0 1
2
0
一方で、空間電荷のインピーダンス Zrel,sp は厚み
h jβγν2 I0 (ν2 (a+t))I1 k̄(a+t) i
t による変更を受けない。つまり、内径 a 依存性は残I0 k̄(a + t) − Z0 (σ2c +jω0 0 )I1 (ν2 (a+t))
ることになる。この結果は明らかに非物理的なので、 α(3) = h jβγν I (ν2 (a+t))K1 k̄(a+t) i ,K0 k̄(a + t) + Z0 (σ2 2c0+jω
従来の表式には適応限界があることが分かる。
0  )I (ν (a+t))
0 1
2
(14)
3 . 新しいモデルの厳密解と特徴
pν2 = k 2 (1 − β 2 0 µ0 ) + jkβµ0 Z0 σ2c 。
ここで、内径 a、厚み t の抵抗性チャンバーの外側
この式を出発点に、全縦方向インピーダンス Eq.
に真空層を介して意図的に内径 d(> a + t) の完全導(8)の性質を見てみる。まず、電気伝導率 σ2c を無限体のチャンバーを導入する。文献 [6] にならい、縦方
大にするとZRW,rig はゼロになるため、Eq. (8) は半
向インピーダンスをビーム電流で規格化したビームの断面上の縦方向電場の平均値で定義すると、非相 径 a の完全導体チャンバーが作る空間電荷インピー
対論的な場合も扱える一般的な空間電荷インピーダ ダンス Eq. (7) を再現する。さらに、a を無限大にした時、Eq. (7) の第 2 項はゼロになるため、Eq. (7) のンス Znon,sp (a) [5]:第 2 項は境界条件に由来する「間接的な空間電荷イ1
ンピーダンス」を示し、第 1 項はビーム自身に由来
j2Z0 2 − I1 (k̄σ)K1 (k̄σ)
Znon,sp (a)=−する「直接的な空間電荷インピーダンス」を示すこLk̄βγπσ 2とが分かる。また、チャンバーの厚みを t = 0 と置
j2Z0 K0 (k̄a)I12 (k̄σ)+,(7) くと、Eq. (8) はk̄βγπσ 2 I0 (k̄a)
ZLR
Znon,sp (d)=,(15)
を含む全縦方向インピーダンス ZLR の厳密解はLLhとなり、AC 抵抗の形になるのに対し、δ が t に比べて大きい場合、

ZLR
Znon,sp (a) ZRW,rig
=
+
,
L
L
L

(8)

となり、全インピーダンス ZLR は半径 d の完全導体
チャンバーが作る空間電荷効果インピーダンスを再現することが分かる。

で与えられる。但し、In (z), Kn (z) は変形ベッセル関数、Z0 は真空のインピーダンス、k = ω/cβ 、k̄ = k/γ 、 3.1 厚さ t 無限大のチャンバーの場合

次に、Eq. (9) でビーム半径を σ = 0 と置き、内径ZRW,rig
j2Z0 K0 (k̄a)I12 (k̄σ) 2I12 k̄σ jZ0 N
d と厚み t を無限大にすると、=−−,
Lk̄πβγσ 2 I0 (k̄a)
k̄σ 2 βπγD
ZRW,rig
Z0 ν2
(9)

,
=
L
2πaI0 (ak̄) σ2c Z0 I0 (k̄a) + jβγν2 I1 (k̄a)
N = Z0 (σ2c + jω0 0 )K0 (k̄a){α(1) I1 (ν2 a) − K1 (ν2 a)(16))

K0 k̄d [α(2) I1 (ν2 a) − α(3) K1 (ν2 a)]−と簡単化できる。Figure 1 に Eq. (16) で計算したイI0 k̄dンピーダンス ZRW,rig /L の全体像を示した。左図は+ jβγν2 K1 (k̄a){α(1) I0 (ν2 a) + K0 (ν2 a)
γ = 2 の場合、右図は γ = 10000 の場合の結果を示し)
 (2)ている。これから、ビームが相対論的である時、(3)
K0 k̄d [α I0 (ν2 a) + α K0 (ν2 a)]

−
,
(10)
c
I0 k̄dfR ',(17)µ0 a2 13π( Z0 σc )D = −Z0 (σ2c + jω0 0 )I0 k̄a {α(1) I1 (ν2 a) − K1 (ν2 a))
にインピーダンスの実部がピーク (Figure 1 の右図のK0 k̄d [α(2) I1 (ν2 a) − α(3) K1 (ν2 a)]−場合 fR ' 0.2 THz) をつくることが分かる。
I0 k̄d
これは、Eq. (16) が相対論的なビームに対して
 (1)+ jβγν2 I1 k̄a {α I0 (ν2 a) + K0 (ν2 a))1i,
ZRW ' h(18)
K0 k̄d [α(2) I0 (ν2 a) + α(3) K0 (ν2 a)]σ
2πa0 πa2

2c
−
,
(11)
√
+
jω
0
L
jωµ0 µ σ2c L
I0 k̄d- 29 -

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PASJ2022 TUOB03となる。但し、g -因子はgf [a] =1a+ 2 log[ ],
2
σ

(22)

で与えられる。Equation (4) と比較すると、定数項 の1 は 1/2 で置き換えられているが、それは、本稿では文献 [6] に従って、インピーダンスをビームの断面
上の縦方向電場の平均で定義しているためである。
Equation (21) の最終項は「半径 a のチャンバーに
Figure 1: Overall behavior of the longitudinal impedances 対する空間電荷インピーダンス」を表し、第 1 項はfor γ = 2 (left) and γ = 10000 (right), where a = 65 「有限の厚さ t のチャンバーが引き起こす抵抗性イmm, σ2c = 105 S/m, and 0 = µ0 = 1. The red solid ンピーダンス」を再現している。それ以外に「チャand blue dashed lines denote the real and imaginary parts ンバーの内壁と外壁の間の空間を満たす場の効果」
of impedances, respectively.
を表す第 2 項が自然に現れる。厚さ t が無限大になると第 2 項は消え、半径 a のチャンバーの抵抗性壁
インピーダンスと空間電荷インピーダンスだけが残る。また、厚さ t がゼロの場合、抵抗性インピーダンと近似できるためである [8]。第 1 項は抵抗性インスが消失し、第 2 項と第 3 項が組み合わさって、半ピーダンスのアドミタンスを表し、第 2 項はチャン
径 d のチャンバーに対する空間電荷インピーダンス
バーが実効静電容量をつくることを示している。
を再現する。
Figure 1 の左と右のパネルを比較すると、ビームが本レポートのモデルでも、チャンバーの厚み t を
非相対論的 (左図) になるにつれてピーク周波数が低 小さくすると、抵抗性インピーダンスの実部が直流くなる。これは、低速のビームは高周波のウェイク 抵抗を生じずに消失するが、合わせて壁電流が半径場を通過する際、相互作用が実質的に抑制されるた d のチャンバー壁を流れ始める。実際、Eq. (21) は
めである。

−1
ここで、低周波部分に着目して k̄a  1 とすると、
1
1
Eq. (16) は通常の電気伝導率 σ2c の大きい金属チャ
ZLR ' +(1+j)RjωRZ0d
RD
ンバーの場合、ビームが相対論的か非相対論的かに
t + cβ 2 γ 2 log[ a ]σ2c aδ tanh[(1+j) δ ]よらず、次のように近似される。
jωRZ0 1d−( + 2 log[ ]),(23)2cβ 2 γ 2 2
σZL,non,RW(1 + j)ω 2 µ0q'+ 2. (19)
L
4c πσ2cσ2c 2πa ωµ0 µ20 σ2cと並列回路的に書きかえられる。ここで、このように第 1 項は従来の抵抗性インピーダンスを再現する。但し、この式にローレンツ因子依存性は現れない。それは、ビームの縦方向のウェイクは余弦関数的に振る舞うため、低周波では時間に依らず
ほぼ一定にみえるためである [5, 7]。

RD =(1 + j)R sinh[2(1 + j) δt ],σ2c 2aδ(24)は「完全導体と抵抗性チャンバー間の空間のイン
ピーダンス」を示しており、チャンバーの厚み t が零になると零になり、無限大の厚みで発散する。
「抵
抗性インピーダンス」は Eq. (23) の第 1 項の分母に3.2 有限の厚みのチャンバーの場合現れ、「抵抗性の内壁と完全導体の外壁が作る間接的
3.2.1 相対論的ビームの場合の近似式
な空間電荷インピーダンスの差」が第 2 項に現れる。
ここで、ビームが相対論的な場合、厚みを持つチェ
最後の項は「半径 d のチャンバーとビームが作る空
ンバーの抵抗性インピーダンスが低周波側でどのよ
間電荷インピーダンス」である。
うに消失するか、また、空間電荷インピーダンスがこのように、Eq. (23) の第 1 項の分母は無限小の t
どのようにその影響を受けるか見てみる。そこで、相で直流抵抗を生ずるが、RD の効果で ZLR には、直流対論的ビームに対して、抵抗の効果は有意に効かない。このようにビームのω
インピーダンスは、系全体としては、ビームのエネルd  1,(20)
ギー損失を最小化するように決まることが分かる。
cβγ
ここで、従来の相対論的空間電荷インピーダンスを仮定し、L = 2πR と置くことで、Eq. (8) を近似す の表式に目を向けると別の問題が生じるようにみえる。この場合、低周波側で ZLR はる。それは、空間電荷インピーダンスが、dtjωRZ0 1
d
jωRZ
(a
+
t)
log[
]
R
0
(1
+
j)R
tanh[(1
+
j)
]
(a+t)
ZL = −+ 2 log[ ] ,
(25)
δ
ZLR =
−
2cβ 2 γ 2 2σ
σ2c aδ
cβ 2 γ 2 a cosh2 [(1 + j) δt ]jωRZ0で表されるとすると、半径 d を無限大にした時、空間−
gf [a],(21)
電荷インピーダンスも無限大になるからである。物
2cβ 2 γ 2

- 30 -

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理的には、この時の空間電荷インピーダンスはビー
ム由来の「直接的な空間電荷インピーダンス」のみになるはずである。しかし、この矛盾は厳密式 Eq. (8)から近似式 Eq. (21) を導く際、Eq. (20) を用いたということを認識することで解決する。つまり、無限大の d は、Eq. (20) の適応条件外になるからである。
3.2.2 非相対論的なビームに対する近似式
ここで、非相対論的なビームに対して同様の操作を行う。この場合、Eq. (20) の条件の元、Eq. (8) はjkZ0 ( 12 + 2 log[ σa ])ZLR'−
L
4πβγ 2d2
ν2 (jβγ ν2 tanh(ν2 t) + k(a + t)Z0 σ2c log[ (a+t)])+,
d2aπσ2c (jβγ 2 ν2 + k(a + t)Z0 σ2c log[ (a+t)] tanh(ν2 t))(26)と近似される。ここで、第 1 項は「半径 a のチャンバーの空間電荷インピーダンス」を示し、Eq. (26) でt を零におくと半径 d のチャンバーの空間電荷イン
ピーダンスが再現される。さらに、γ  1 の相対論的なビームでは、Eq. (26) は Eq. (21) を再現する。一方、非相対論的なビームの場合には、周波数領域がcβ 2 γ 2qdd(a+t)Z02 log[ (a+t)](−tβ 2 γ 2 µ0 +(a+t) log[ (a+t)])

2πtσ2c<<fc,
πt2 Z0 µ0 σ2c(27)の時に、Eq. (26) はjkZ0 ( 12 + 2 log[ σa ])
ZLR
ν2
'−
+
,
L
4πβγ 22aπσ2c tanh(ν2 t)(28)と近似でき、Eq. (28) の第 2 項を見ると t が小さい時
DC 抵抗が有意な働きをすることが分かる。
この特性を調べるために, Eq. (26) を並列回路モデ
ルで書き直す。t  a の場合、Eq. (26) は次のように近似される。

+[ 

jωZ0 ( 12 + 2 log[ σd ])ZLR'−
L
4πcβ 2 γ 2
1
1 −1
+
] .
d
jωZ0 log[ a
]
Z
2
t +

(1+j)
2πaσ2c δ tanh[(1+j) δ ]Figure 2: Longitudinal impedances for γ = 2 (upper) and
γ = 1000 (lower), including the space charge impedance,
where σ = 10 mm, σ2c = 105 S/m, a = 65 mm, d = 165mm, t = 1 mm, and 0 = µ0 = 1. The blue dashed andred solid lines (almost overlapped) denote the impedancesby Eq. (8), and (29), respectively. The black dashed lines
denote Eq. (5), for reference.

(29)に一般化される。Equation (30) の第 2 括弧の第 2 項をみると分かるように、非相対論的なビームの時、
Z2 は導電率 σ2c が高いため大きくなり、壁電流が半径 d の外壁を流れにくくなる。以上のようにして、非相対論的なビームの場合、DC 抵抗が縦方向イン
ピーダンスに有意な働きをすることがわかる。確認のため、Fig. 2 に相対論的な場合 (下図) と非相対論的的なビームの場合 (上図) のインピーダンスの実部(左図) と虚部 (右図) の具体例を示した。
3.3

従来の描像との関係

最後に、文献 [6] に記されている描像との比較を行う。文献 [6] では内径 d は無限大となっているので、Eq. (8) に d = ∞ を代入すると、相対論的なビームの場合で低周波側の ZLR は2πcβ 2 γ 2

ここで、Eq. (24) で RD と表されていた抵抗性内壁と完全導体の外壁の間の真空のインピーダンスは、
ローレンツ γ 依存性をもつ"#
djωZ0 tanh( (1+j)t)log[](1 + j)δaZ2 =+4πaσ2c δ4πcβ 2 γ 2"#djωa(a + t)Z0 σ2c log[ (a+t)] log[ ad ]× 1+
cβ 4 γ 4 µ02(1 + j)t× sinh[],δ(30)

ZLR = kRZ0
+jµ0 β jgf [a]
−
2βγ 2

t(1 +

(1+Γ+log[ ak2γ ]))µ0 β 2 γ 2+(Γ + log[ ka2γ ])µ0 β 2 γ 2
#
r
ka
0µ σ
Γ
+
log[
]
ωµ
0
2c
2γ
+2aβµ0 t(
)2 (
)2 ,
2
µ0 β 2 γ 2
a




(31)

と近似できる (この式は文献 [6] の Eq. (6.113) に対応
し、(6.113) の誤植は修正した。)。ここで、Γ は オイ
ラー定数である。

- 31 -

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文献 [6] の Eq. (6.114) を導出するには、
1

1 + Γ + log[ ak2γ ]µ0 β 2 γ 2

,

(32)

を仮定する必要がある。すると、Eq. (31) は
ZLR = −

jkRZ0 gf [a]
1
+ 1
1 ,
2βγ 2
+
Re
Ie

(33)

Figure 3: Longitudinal impedance calculated by Eq. (33)with Eqs. (38) and (39), where γ = 1000 σ = 10 mm,
σ2c = 105 S/m, a = 65 mm, t = 1 mm, and 0 = µ0 = 1.

と書き換えられる。但し、(Γ+log[ ka ])kRZ0 µ0 β( at + µ0 β 2 γ2γ2 )2qRe =Γ+log[ ka ]02at( ωµ µ20 σ2c )2 ( µ0 β 2 γ2γ2 )2qΓ+log[ ka ]0
4a2 t2 ( ωµ µ20 σ2c )4 ( µ0 β 2 γ2γ2 )4,× 1 +(Γ+log[ ka2γ ]) 2t
( a + µ0 β 2 γ 2 )Ie = jとなる。一方で、Eq. (36) を使うと Eq. (37) は(34)
σ2c atωµ0(Γ + log[ ka
2γ ])
β2γ2

 1,

(42)

と簡単化され、Eq. (41) と矛盾する。このようにして、並列回路で書き換えても DC 抵抗が有意になることはないことが確認できる。また、Fig. 3 のように
Eq. (33) の実部は負となり非物理的な結果を示す。

(Γ+log[ ka2γ ]) 2µ0 β 2 γ 2 )(Γ+log[ ka ])( at + µ0 β 2 γ2γ2 )kRZ0 µ0 β( at +qΓ+log[ ka ]0
4a2 t2 ( ωµ µ20 σ2c )4 ( µ0 β 2 γ2γ2 )4,× 1 +(Γ+log[ ka2γ ]) 2t
( a + µ0 β 2 γ 2 )(35)となる。そこで、さらに、ka(Γ + log[ 2γ ])
t

,
(36)
a
µ0 β 2 γ 2r(Γ+log[ ka ])ka( at + µ0 β 2 γ2γ2 )2
ωµ0 µ0 σ2c 4 Γ + log[ 2γ ] 4
(
) (
) 
,
2
µ0 β 2 γ 2
4a2 t2
(37)

#

R 1+2

t
Γ+log[ ka ]a( µ0 β 2 γ2γ
2 )

Re '

atσ2c

Ie ' jωRµ0(Γ + log[ ka
2γ ])
β2γ2

,

1 +

(38)

t
Γ+log[ ka ]a( µ0 β 2 γ2γ2 )

 , (39)と近似される。(但し、ここでも文献 [6] の Eq. (6.115)の誤植を修正した。) これを見ると分かるように、Reは DC 抵抗を示している。しかし、この並列回路でDC 抵抗が有意な働きをするためには、Re  Ie ,(40)である必要があり、それはka(Γ + log[ 2γ ])
1
 ωµ0
,
σ2c atβ2γ2

まとめ

抵抗性チャンバーの外側に真空層を介して意図的に完全導体のチャンバーを導入することで、抵抗性
縦方向インピーダンスの新しい物理描像を示した。
同様の議論は、横方向に関しても可能である [9]。

謝辞
本 研 究 は、 一 部 JSPS KAKENHI Grant No.
JP17K05124 の援助で行われました。

参考文献という条件が満足されると、Eq. (34) と (35) は、
"

4.

(41)

[1] Y. Shobuda, Y. H. Chin and K. Takata, Phys. Rev. ST Accel.
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PhysRevAccelBeams.23.092801[3] Y. Shobuda and K.Yokoya, Phys. Rev. E 66, 056501, 2002;
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