力学 2（工）（3 回目）
第 2 回授業 レポート課題
テキスト（p.57～58）の問題演習 12 から，問１：問題 12-2(1)（ただし問題文に「･･･物体に水平方向に5.0Nの一定の･･･」と追加修正する。
），問２：問題 12-5，問３：問題 12-6(1)(2)(3)，を解け。
（問２(1)(2) で求める仕事をそれぞれ， とする。問３(2)(3)で求める仕事をそれぞれ， とする。
）
問４：問題演習 23 の問題 23-6（p.94）について，各ベクトルの大きさ| |，と内積 ∙ を求めよ。
角度 を求める所までは要求しない。
注意：テキストの解答は略解であり，答案として必要な部分が省略されている場合がある。説明文や適切な図を加えて，答案を作成することを心がけよ。答案作成力も見る。
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提出〆切：答案用紙を，授業と同じ週の金曜日（１３：００）までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

第３回

運動エネルギー：テキスト第 12，20，23 章

1. 今回の授業の目的
力学 2 の前半の目的は，力学的エネルギーの理解である。その第一歩として前回は『仕事』の基礎事項を扱った。今回の授業の目的は，仕事をもう一段深く考えて，運動エネルギーを理解することである。次回は位置エネルギーを扱い，次々回に力学的エネルギーを扱う。
2. 授業の進行：テキストト第 12，20，23 章とこのプリントを合わせて理解を深める(1) 状況設定： 前回は力が一定ベクトルの場合の仕事を扱った。しかし今回は，力 が一定とは限らない（向きや大きさが変化する）とする。また，テキスト p.54 の図のように（前回と同様に）物体が 軸上を運動する場合を主に考えるが，曲線軌道を描く場合にも一般化する。
※積分を用いて一般的な説明を行う。積分を使って証明された公式を用いて（理解して）計算ができれば，力学２では合格レベルである。しかし，工学で必要となる積分の考え方，計算の仕方にも，徐々に親しんで慣れてほしい。

(2) 定積分（第 20 章 p.84～85）： 一定とは限らない力 が物体に与える仕事の計算には定積分が役に立つ。
不定積分の確認： 変数 の関数の不定積分は（積分して得られる関数をとして），d不定積分：⇔はdを満たす任意の関数

d15 4

力学 1 で扱ったように，この積分では積分定数が現れる。例えば，1544（3.1）

1の場合，（ は積分定数）

1 d（3.2）となる。このように値が定まらない（不定な）定数が現れるので『不定積分』である。なお，この の値は，初期条件のように積分計算とは別の（問題文から読み取ったりして得る）条件で決めるしかない。
定積分： 関数
同様に，の積分をする際に変数 の変動の仕方を指定する積分を定積分という。式（3.1）とdの不定積分をの定積分（の計算結果）とは，次のように定義される値である：

d定積分：

注意 1： 定積分（3.3）の記号
定積分の下端 と上端の→ と動かした場合の関数とすると，変数 をは変数が→ と変化する際の不定の変化量
積分を略した表示である。また，記号（3.3）

d は，が不定積分（3.1）であることを端的に表し，かつインテグラル

は変数 の動き『→ （下端の値から上端の値へ動く）』を端的に表して
3 回目-1

力学 2（工）（3 回目）いる。学生には，記号の意味を正しく把握し，記号の使い方を間違えずに適切な答案を書くことを要請する。
注意 2： 定積分（3.3）の計算結果は算結果は式（3.2）のように関数かという違いがあることに注意。という値（数値）である。一方，不定積分（3.1）の計である。不定積分と定積分では，計算結果が関数なのか値なの

15 4

注意 3： 定積分（3.3）には積分定数が現れないことが分かる。例えば，12の定積分を S とすると，式（3.2）より，1541 d2
C==41の範囲

1C （下線部の数値を計算せよ）－（下線部の数値を計算せよ）となる。最後の等号では，積分定数は引算で打ち消し合ってしまう。従って，定積分には積分定数が現れない。
（値が不定な積分定数が現れず， の値が定まるので『定積分』と言うのだろう。
）(3) 演習 1： テキストの問題演習 20 の問題 20-6（p.85）に取り組む。
(4) 物体に働く力 が（物体に）与える仕事の一般的な定義（第 12 章 p.54）： 前回，テキスト p.54.の図（下側）の状況設定で，物体に働く力 が一定ベクトルかつ物体は直線上を運動する場合の仕事を扱った。今回は，力 が一定ベクトルでない（向きも大きさも変化し得る）場合を扱う。そして，初めに物体が直線上を運動する場合，次に物体が曲線軌道を描く運動をする場合へと一般化する。
物体が直線上（ 軸上）を運動する場合（p.54 の図の設定）： 項目(1) で確認したように，力が一定でない場合の仕事は単純な掛算『力×距離』では計算できない。そこで，まず，力 が一定と見なせるほど微小な移動距離d の間に力 が物体に与える「微小な仕事d 」を考える。次に，微小仕事d を物体の移動距離あるいは移動時間の間で足し上げる（これは定積分の考え方と同じ！）。
まず微小仕事d は，微小距離 d だけ移動する間は力 が一定とみなせるので，前回プリント項目 2の(2)の式（2.1）が適用できる。
[微小距離 d の間の微小仕事]： dcosd [Ｊ]ただし，力 は物体の位置に応じて向きも大きさも変化し得るので，大きさの角も位置 の関数だと考えなければならない。そして，物体が→を，微小仕事を足しあげることで得る。
軸上の運動だが力 が変化する
場合の仕事dcos

ただし，cosdも， 軸との間と移動する間の仕事dＪ（3.4）

は，力 の x 成分である。

(5) 運動エネルギー（第 12 章 p.54～55）： 物体に力を加えると（運動方程式に従って）加速度が生じて速度が変化する。つまり，力が物体に与える仕事と物体の速度に関係があるはずである。その関係式を導こう。
物体が 軸上を運動する場合（p.54 の図の設定）： 運動方程式の 成分
定義（3.4）より，d⁄ 代入し，12定積分をただし，

11⁄よりとして積分の変数を x から t に変更

d

分母と分子の を約分して，微小量を からそれに伴い，積分の変数も から に変更。

d12と仕事の一般的な→
1

3 回目-221 ;の範囲で実行。
222に変更力学 2（工）（3 回目）, 0 なので物体が 軸上を運動するとき||212

仕事と運動エネルギー（3.6）の関係：

2 となるから，次の関係式を得る。

12［Ｊ］（3.5）※この は物体に働くすべて力がする仕事の和
ただし，||，||であり，右辺の各項の量を運動エネルギーという：運動エネルギー：

12［Ｊ］

0や運動エネルギーの意味： 関係式（3.5）でを端的に表す状況となる。

0： この場合

0 の場合を考えると，運動エネルギーの意味となる。これは，静止した物体（0）に力を加[m/s] まで加速する間に，力が物体に与えた仕事（エネルギー）が[J] で式（3.5）でえて速度2（3.6）

0 は物体が持つエネルギーが（力を受けて仕事を与えられあることを意味する。そして，たことで）増えたことを意味する。
式（3.5）で

0： この場合となる。これは，速度で運動する物体が，他の物体に（衝突などして）力を加えて仕事を与える場合，最大限（速度ゼロになるまでに）与えるこ

0 は物体が持つであることを意味する。そして，とができる仕事（エネルギー）がエネルギーが（他の物体に仕事をしたことによって）減少することを意味する。
(6) 演習 2： 例題 12.2（p.56）に取り組む。さらに問題演習 12 の問題 12-8（p.58）に取り組む。
（発展的内容）(2)’定積分（のつづき）
補足 1：変数 をと，→ のように（式（3.3）とは逆に）動かした場合の関数

積分の変数の動きを逆にするの定積分を ′とする

d（3.7）

このように，定積分（3.3）において，変数が動く向きを逆にすると定積分の計算結果の符号が逆になる。この性質（3.7）は，次回以降に位置エネルギーや力学的エネルギーを理解する上で必要になる。
補足 2： 定積分（3.3）の値 は，テキスト p.84 の図のように，関数と 軸で囲む面積に対応する。しかし，テキストの記述だけでは不十分なので，定積分とグラフの面積の関係を補足する：
力学 1（あるいは数学）で学んだように，不定積分（3.1）は『微小量d （変数 の微小な変化量d が掛算されているのでd も微小量）を足しあげる（インテグラルは英語の和 Sum の頭文字

S をモチーフにした「微小量を足しあげる」という意味の記号）』という意味である。同様に定積分（3.3）
d を，→ と動かしながら足しあげる』という意味である。この意味に従って，
は『微小量定積分（3.3）とグラフの面積の関係を理解しよう。
→: d0
定積分（3.3）での場合： この場合，変数→ と動くとき は増加するので，変化量 d0 である。したがって，次のことが分かる（右図を参照）。
◍0 ⇒d =『右図の長方形 A の面積』
◍0 ⇒d =『右図の長方形 B の面積』

dA:
3 回目-3d0

B:d0

力学 2（工）（3 回目）
これらの（幅が微小d で縦に細長い）長方形の面積（あるいはそのマイナス値）をからで足しあげるのが定積分（3.3）である。よって，定積分（3.3）の値 は，のグラフと 軸で囲む領域で，『 軸より上側の面積』 『 軸より下側の面積』となる（右図参照）。

－定積分（3.3）での場合： この場合，変数→ と動くとき は減少するので，変化量 d0である。よって，の場合と同様に考えて，『 軸より上側の面積』 『 軸より下側の面積』となる。
注意：テキスト p.84 の定積分とグラフの面積の説明は，であり，かつ0という場合を想定した文言になっている。

において常に(4)’ 仕事の一般的な定義（のつづき）
仕事 を仕事率の時間積分で表す, 0 ，物体の速度 は 方向（ 成分はゼロ）なので，位置）となる。また，物体が→）。このとき式（3.4）より，cos（とする（；⁄dcosよりを使って式変形。さらに微小量がd からd に変更されたことに伴い，積分変数を から に変更。

d

なお，前回プリント項目 2 の(6)の仕事率の式(2.2)より，力cos→と移動する際の時間変化をは時刻 での物体のが物体に与える仕事率は[Ｊ/s]である。したがって，今回の項目(4)の仕事の一般的な定義(3.4) は次の形でも表せる。

d[仕事の一般的な定義(3.4)の式変形]：

［Ｊ］

(3.8)

物体が曲線軌道を描く場合（状況設定の図を自分で描いてみよ）： 直線運動の場合の仕事の式(3.4) は，積分の変数が （物体の直線軌道に沿った座標）である。したがって，式(3.4) は物体が曲線軌道を描く（必ずしも 軸に沿うとは限らない）場合の仕事には適用できない。しかし，仕事を式(3.8) で表した場合，積分の変数が時刻 なので，式(3.8) は必ずしも直線軌道に限らず曲線軌道の場合にも適用できる。ただし，積分される仕事率の計算には注意が必要で，次のようになる。（

曲線軌道を描き力 が変化する場合の仕事ここで，仕事率いる。

d［J］との間の角をαcos α=∙とする。）（3.9）の 2 つ目の等号には，前回プリント項目 2 の(7) で扱ったベクトルの内積を使って(5)’ 運動エネルギー（のつづき）
物体が曲線軌道を描く場合（状況設定の図を自分で描いてみよ）： 仕事（3.9）に対して，関係式（3.5）
を導く計算と同様の計算を行えば，最終的に関係式（3.5）と運動エネルギー（3.6）を再び得る。関係式（3.5）と運動エネルギー（3.6）は，直線運動だけでなく曲線軌道を描く運動についても成立する。ただ| | というベクトルの大きさを考えることを忘れてはいけない。
し，3 回目-4