「画像の認識・理解シンポジウム（ＭＩＲＵ2006）」 2006年 7月

幾何学的整合性を用いたテクスチャのアライメント
椛島佑樹†

原健二††

亮†

倉爪岩下友美†長谷川 勉†† 九州大学大学院システム情報科学府 〒 812–8581 福岡県福岡市東区箱崎 6–10–1†† 九州大学大学院芸術工学研究院 〒 815–8540 福岡県福岡市南区塩原 4–9–1
E-mail: †{kabashima,kurazume,yumi,hasegawa}@irvs.is.kyushu-u.ac.jp, ††hara@design.kyushu-u.ac.jp
あらまし

レンジセンサ等により測定された実物体の 3 次元幾何モデルをより現実感高く表現するには，実物体表面のテクスチャをカラーセンサにより撮影し，3 次元幾何モデルに貼り付けて表示するテクスチャマッピングが有効である. しかし通常，テクスチャマッピングを実現するには，レンジ，カラーセンサ間の正確なキャリブレーションを必要とし，また，キャリブレーション後は両センサを常に固定しておく必要がある．これに対し，屋内環境やビルなど多数の平面から構築される環境においては，複数の平面が交差してできる直線的な幾何エッジを利用し，それとカラー画像上の濃淡エッジの位置を一致させることで，レンジデータとカラー画像から両センサの相対位置を推定する方法が考えられる．しかし，ノイズを多く含む実際のレンジデータから幾何エッジ，特に微分特徴量であるルーフエッジを安定に検出することは難しく厄介である．そこで本論文では，レンジデータから幾何エッジを直接的に抽出し利用するのではなく，カラー画像から抽出された直線エッジ群を 3 次元幾何モデルに投影し，その投影パッチ群に対して直線性，平行性，直交性などの幾何学的整合性を数値化し，それを最大化することで大まかな位置合わせを行う手法を提案する．また，屋内環境を模擬した計算機実験により，提案手法の有効性を確認すると同時に，提案手法により得られたセンサ間の相対位置関係を初期位置として幾何エッジを利用した位置合わせを行うことで，初期位置にロバストで正確なテクスチャマッピングが可能であることを示す．
キーワード

テクスチャマッピング，レンジデータ，カラー画像，幾何学的整合性，位置合わせMapping textures on 3D geometric model using geometrical constraints
Yuuki KABASHIMA† , Kenji HARA†† , Ryo KURADUME† , Yumi IWASHITA† , andTutomu HASEGAWA†† Faculty of Engineering, Kyushu University Hakozaki 6–10–1, Higashi-ku, Fukuoka-shi, 812–8581 Japan†† Faculty of Design, Kyushu University Shiobaru 4–9–1, Minami-ku, Fukuoka-shi, 815–8540 Japan
E-mail: †{kabashima,kurazume,yumi,hasegawa}@irvs.is.kyushu-u.ac.jp, ††hara@design.kyushu-u.ac.jp
Abstract Mapping a real image on a 3D geometric model is a popular technique for photometric modeling in
Virtual Reality. Generally, a texture image is taken by a color sensor and a range image is measured by a range
sensor, and these two images are not aligned in a same coordinate system. Thus, in order to map a color image on
a geometric model, it is indispensable to determine relative relations between these two viewpoints. In this paper,
we propose a new registration algorithm for an accurate texture mapping utilizing geometrical constraints, that is,linearity, parallelism, and perpendicularity.
Key words Texture mapping, Range data, Color image, Geometrical fearures, Alignment

1. は じ め にンサ等により測定された実物体の 3 次元幾何モデル上に，カラーセンサにより撮影された実物体表面のテクスチャ画像を貼

バーチャルリアリティ，シネマトグラフィーや都市計画のより付けて表示するテクスチャマッピングの手法があげられる．

うな現実感高いモデルを必要とするアプリケーションを効率よ

通常，正確なテクスチャマッピングを行うには，レンジセンく作成するために，種々のセンサを用いて実物体の幾何，光学サとカラーセンサの各視点間の相対的な位置関係を正確に求め特性を正確に測定，モデル化し，コンピュータ内で統合，再現る必要がある．これには，例えばキャリブレーションボード等する方法がある．この効率的作成法のひとつとして，レンジセを用いて両者の相対位置関係を精密にキャリブレーションする

806

手法が考えられる．しかし，この方法は位置関係が求まった後，レクタンス画像（反射強度画像）を用いる手法が提案されていレンジセンサとカラーセンサを同じ固定器具に常に固定する必る．Kurazume ら [6] は，リフレクタンス画像中のエッジ点と要があり，使いづらい．

カラー画像中のエッジ点間の誤差を，ロバスト M 推定法を用

これに対し，テクスチャマッピングの対象となるレンジデーいて最小化することにより位置合わせする手法を提案している．

タとカラー画像を用いてセンサ間の位置関係を推定する手法がElstrom ら [4] はリフレクタンス画像を用いたカラーセンサと提案されてきている [12], [17], [18]．一般に，このように異なるレンジセンサの相対位置の推定法を提案している. この手法で視点で取得されたデータ間の位置合わせは，大まかに位置合わは，まずリフレクタンス画像とカラー画像からそれぞれ特徴点せを行った後，そこで得られた推定値を初期値として精密に位を抽出し，類似度計算によりそれらの対応関係を決定する．次置合わせするという二段階に分けられる．にステレオ視の原理によりそれら対応点の奥行きを求め，それビルや屋内環境など多数の平面から構築される 3 次元物体と距離画像から得られる奥行きが一致するように両センサの相や環境においては，複数の平面が交差してできる直線的な幾何

対位置姿勢を推定する．さらに梅田ら [19] は，リフレクタンスエッジを利用し，これとカラー画像上の濃淡エッジの位置を一画像と 2 次元画像の勾配拘束を利用した，レンジセンサと画像致させることで，センサ間の位置関係を推定する方法が考えらセンサの相対位置の推定法を提案している．

れる [12]．このレンジデータからの幾何エッジ検出に関しては，一方，シルエット画像や輪郭線を用いた位置合わせ手法も提法線方向の不連続を検出したり各点の近傍で局所的に多項式を案されている．Lensch ら [8], [9], [10] が提案したシルエット画当てはめたりする手法が知られている [15], [20]．しかしながら，像を用いた位置合わせ手法では，まず 2 次元画像と 3 次元幾ノイズを多く含む実際のレンジデータから幾何エッジ，特に微何モデルのそれぞれのシルエット画像の排他的論理和をとるこ

分特徴量であるルーフエッジを安定に検出することは難しく厄とで類似度を評価する．次に Downhill Simplex 法を利用し，2介である．

次元画像と 3 次元幾何モデルの位置合わせ誤差を収束させてい本報告では，3 次元物体や環境における幾何学的整合性を利る．また，3 次元幾何モデルの 3 次元距離場を予め octree 形用することによりレンジデータとカラー画像を大まかに位置合式で構築し，2 次元画像のシルエット輪郭線の視線方向への延わせする手法を提案する．一般に，ビルや屋内環境などには，長線と 3 次元幾何モデル間の 3 次元距離を最小化する手法が平面や稜線に関する幾何学的な特性がいくつか存在する．本研

提案されている [1], [7]．Zuffi ら [21] は，人工関節の位置姿勢

究では，レンジデータとカラー画像を粗く位置合わせする問題を 1 枚の X 線画像から推定する問題に適用し，3 次元距離誤差を幾何学的整合性 [3], [11] のみに基づく最適化問題として定式を Levenberg-Marquardt 法により最小化する手法を提案した．

化し，これを解くことにより，レンジデータから幾何エッジを医療用画像における種々の位置合わせ手法については [13] に詳

陽に抽出することなく，センサ間の位置関係を推定する手法をしい．
一方，2 次元輪郭線を用いた位置合わせ手法では，2 次元画提案する．
従来の手法では，主に計算量の観点から，3 次元モデルの幾像内の輪郭線上の点と投影された 3 次元幾何モデルのシルエッ何エッジをカラー画像の撮像面に投影し，カラー画像の濃淡ト画像輪郭線の点との距離の和として位置合わせ誤差を求め，エッジとの間で計算を行うことが多かった．しかし，この場合，繰り返し計算により誤差を最小化する手法が一般に用いられ次元が縮退しているため，直線間の平行性や直交性といった 3

る [2], [14], [16]．岩下らは，Level Set Method を利用して高速次元シーンの幾何学的特性が失われる．そこで，本報告においに求められる 2 次元輪郭線の等距離場を利用し，位置合わせ誤て提案する手法では，通常とは逆に，2 次元画像の濃淡エッジ差を高速に計算する手法を提案している [5]．

を 3 次元幾何モデル上に投影するというアプローチをとる．本

また，建物などの人工構造物に対しては，レンジデータに平手法は，カラー画像から抽出された直線エッジ群を 3 次元幾何面をあてはめ，それらの交線エッジとカラー画像のエッジを比モデルに投影し，その投影パッチ群に対して直線性，平行性お較することによって位置合わせする手法が多く提案されていよび直交性などの幾何学的整合性を数値化し，それを最適化す

る [17], [18], [12]．[18] では，まずカラー画像上の消失点と焦点ることでセンサ間の大まかな位置関係を求める．

を結んだ線とそれに対応する３次元エッジが平行になるように

また，本報告では，提案手法により得られるセンサ間の相対姿勢を回転させ，おおまかな位置合わせを行う. 次に，3 次元位置関係を初期値として精密位置合わせを行うことにより，セエッジをカラー画像上に投影し，２次元エッジと比較し位置をンサの初期位置の誤差にロバストで正確なテクスチャマッピン決定している．

グが可能となることを示す．

3. 提 案 手 法

本報告の構成は以下のとおりである．まず，2 章では関連手法を述べる．次に，3 章で提案手法について説明し，4 章において実験結果を報告する. そして，最後に結論を述べる．

屋内環境や人工構造物は複数の平面で構成されていることが多く，その稜線の多くは平行関係または直交関係にある．そこ

2. 関 連 手 法で本章では，複数の稜線の平行性や稜線の直線性などの幾何学

距離画像とカラー画像の位置合わせ法として，多くのレンジ位置合わせを行う手法を提案する．

的整合性を利用して，3 次元幾何モデルと 2 次元カラー画像のセンサにおいて距離画像の付加的な情報として得られるリフ807

3. 1 手法の概略

2D edges

Projected 2D edges

提案する手法の概略を以下に示す．ただし，3 次元幾何モデ
ルと 2 次元カラー画像はそれぞれレーザスキャナとカラーセン
サによって別々の視点から得られているとし，また，3 次元幾View Point

何モデルは多数の微小な 3 角パッチで記述されているとする．
（ 1 ） 2 次元カラー画像から Canny オペレータ等によりエッColor image
Geometrical model

ジを抽出する．
（ 2 ） 1 組あるいは 2 組のエッジ群を取り出し，オペレータ

図 3 幾何学的整合度（直交度）がそれらに対して後述する幾何学的条件を定義する．
（ 3 ） 2 を十分多数のエッジ群に対して行う．

3. 2. 1 直 線 度（ 4 ） レーザスキャナとカラーセンサ間の相対位置姿勢に適

2 次元画像上からエッジを抽出し，そのなかで実世界におい当な初期位置を与え，2，3 で抽出された 2 次元画像のエッジ群て 1 つの直線と思われるエッジ群を Hough 変換あるいはオペを 3 次元幾何モデルに投影する．

レータからの指示により定義し，それを幾何モデルに投影する（ 5 ） 投影された 3 次元幾何モデルの三角パッチを抽出し，ことを考える．このとき，直線エッジの投影点が 3 次元幾何モ投影点の 3 次元座標を求める．

デルの平面上，あるいは 3 次元的なエッジ上にある場合，その（ 6 ） 投影点の 3 次元座標に対して，2，3 で定義した幾何学投影点も直線状になる．しかし，平面と平面にまたがって投影的条件の満足度（幾何学的整合度）を計算する．

された場合，投影した 2D エッジは折れ曲がった線分となり，こ（ 7 ） 4 ∼ 6 を繰り返し，幾何学的整合度を最大化する相対

れは実世界では直線であることと矛盾する．従って直線エッジ位置姿勢を共役勾配法または最急降下法により推定する．の投影点がどれくらい直線状に分布しているかを数値化するこ

以下それぞれの手順について詳細に示す．とによって，レンジセンサとカラーセンサの相対位置を推定す

3. 2 幾何学的整合度る際の１つの基準となる．これを本論文では直線度と定義する．

まずエッジに付与される幾何学的整合度について説明する．

3. 2. 2 平行度と直交度提案手法では，以下の 3 つの幾何学的条件を用い，レンジセンサとカラーセンサの相対位置関係を推定する．

屋内環境では，平面同士は平行または直交関係にあることが多く，2 次元画像から抽出した直線エッジ同士も平行または直•直線度（図 1）交関係になっていることが多い．そこで 2 次元画像上で平行ま•平行度（図 2）たは直交関係と思われる 2 本の 2 次元直線エッジを幾何モデル•直交度（図 3）に投影することを考える．

Projected 2D edge
2D edge

レンジセンサとカラーセンサの相対位置関係が正しく推定されている場合，2 本の 2 次元直線エッジの投影点は平行または直交関係にある．一方，レンジセンサとカラーセンサの相対位置関係が正しい位置から離れている場合，投影点の平行性，直View Point交性は満たされなくなる．したがって，直線度と同様に，どれくらい平行または直交関係であるかを数値化し，レンジセンサ

Color image
Geometrical model
図 1 幾何学的整合度（直線度）とカラーセンサの相対位置を推定する際の基準とする．本論文ではこれらを平行度，直交度と定義する．

3. 3 OpenGL を用いた 3 次元投影点の計算
上述した直線度，平行度，直交度を数値化するには，幾何モ

2D edges

Projected 2D edges

デルに投影した 2 次元エッジの 3 次元座標が必要となる．本手法では OpenGL の機能を用い，幾何モデルを構成する三角パッチの座標から投影点の 3 次元座標を決定する．
まず三角パッチそれぞれにあらかじめ番号付けを行う．このView Point

番号はある番号が呼ばれたときに，それに対応する三角形パッチが唯一決定されるように番号付けされていればよい．これにColor image
Geometrical model
図 2 幾何学的整合度（平行度）

より，2D エッジ投影点を含む三角形パッチを決定できれば，そのパッチの 3 点の座標から 2D エッジ投影点の座標を求めることができる．
実際の番号付けではまず，RGB の初期値をすべて 0 にしておく．ここで RGB の値をそれぞれ 8bits の (R,G,B) であらわすことにする．OpenGL では三角形パッチを表示する際，個別

808

に色を指定できるので，まず (0,0,0) として 1 番目のパッチを4. シミュレーション実験描画する．次に，R の値を 1 増やし (1,0,0) として 2 番目のパッチを表示する．R の値が 255 に達したら，R の値をいったん 0提案した手法を用いて，計算機シミュレーションを行った.にリセットし，G の値を 1 増やす．つまり (0,1,0) で 256 番目

幾何モデルは図 4 に示す仮想的に作成した高さ 5m，幅 10m ののパッチを描画する．このようにして幾何モデルを構成するす部屋の内部とし，２次元テクスチャ画像は，図 5 のように幾何べての三角形パッチに番号付けを行い，幾何モデルを描画する．

モデルに色をつけ照光処理を施したものをキャプチャして作成

次に 2 次元画像から抽出されたエッジを，描画された幾何モした．

デルに投影して表示し，OpenGL の機能を用いて重なった三角パッチの色を調べる．これにより対応する三角パッチが簡単に探索でき，その 3 次元位置から 2 次元エッジ投影点の 3 次元座標を求めることができる．

3. 4 幾何学的整合度の計算手法
上述した手法で求められた 2 次元エッジ投影点の 3 次元座標から，以下のようにして幾何学的整合性の計算を行う．

3. 4. 1 直 線 度
直線度の計算は以下のようにして行う．まず 2 次元画像から抽出された直線エッジ i を幾何モデルに投影した 3 次元点の共分散行列を求め，その共分散行列の固有値を求める．この固有値を (0 <= λ1 <= λ2 <= λ3 ) とおき，それぞれの固有ベクトルを

図 4 室内環境を模した幾何モデル

X1 , X2 , X3 とおく．X1 は分散が最大となる方向，X2 は分散が 2 番目に大きい方向，X3 は分散が最小となる方向を表す．
よって λ1 と λ2 が小さいほど，幾何モデルに投影した点群は直線に近づく．そこで，直線度をEi,straight = λ1 + λ2(1)によって評価する．このとき，その点群の方向は X3 となる．

3. 4. 2 平行度と直交度
まず平行または直交関係にある 2 本の 2 次元エッジの組 i を幾何モデルに投影した点群から，2 本の近似直線を求める．この近似直線の方向は直線度を評価する際に求めた X3 とする．
この 2 本の近似直線の方向ベクトルを X, X0 とおくと，平行図 5 作成した２次元テクスチャ画像の例

度，直交度をそれぞれEi,parallel =| X × X0 |(2)Ei,orthogonal = (X · X0 )(3)

4. 1 評価値の変化
まず初期位置を真値とし，図 4 に示す幾何モデル上のドア（左側）に垂直な軸周りに回転させたときの，直線度，平行度，直交度の評価値の変化を調べた．結果を図 6 に示す．ただし，によって評価する．

3. 5 相対位置姿勢の推定

横軸は真値からのずれ角度 (rad)，縦軸は評価値である．これ

相対位置姿勢の推定は，上で求めた直線度，平行度，直交度より，それぞれの指標で局所解は存在するものの，真値の場合の線形和を最小化することによって行う．位置合わせの評価値

のみ直線度，平行度，直交度のすべての評価値はほぼ 0 となる

E は以下の式で表される．

ことがわかった．

E(R, T) = αXEi,straight + βi+γX

X

4. 2 位置合わせ実験
Ej,parallel

初期位置を真値から適当な位置，姿勢だけ離して位置合わせ

jEk,orthogonal

実験を行った．図 7 に実験結果の一例を示す．ただしこの例で(4)kは，幾何モデルとテクスチャ画像の初期相対位置は，真値からx 軸周りに 9.0 度，y 軸周りに 10.0 度，z 軸周りに-1.5 度，x

ここで R は回転行列，T は平行移動行列，α, β, γ は適当な重軸方向に-0.8 ｍ，y 軸方向に-0.26 ｍ，z 軸方向に 0.11 ｍずらみ係数を表す．本論文では最急降下法，あるいは共役勾配法をしたものとし，また，評価値の重み係数は α = 20.0，β = 1.0，利用し，評価値 E を最小にする相対位置姿勢を推定する．

γ = 1.0 とした. また，図 8 に式 (4) で定義された評価値の変化を示す．ただし，横軸は繰り返し計算回数，縦軸は評価値 E で809

Evaluated Values

1.2Parallel

幾何エッジ

Orthogonal
Straight

0.60‑1.0‑2.01.002.0

Rotation angle [rad]濃淡エッジ

234567図 6 画面に平行な軸周りに回転させたときの直線度，平行度，直交度の変化ある．このように，評価値 E は繰り返し計算回数に対して単調に減少している．また同様に直線度，平行度，直交度の変化の様子を図 9 に示す. これより，直線度は収束初期の段階で，また平行度，直交度はある程度真値に近くなってから大きく減少することがわかる．

4. 3 位置合わせ性能の比較実験
提案手法（手法 1）と幾何エッジを抽出して濃淡エッジと一致させる手法（手法 2）との比較実験を行った．実験はそれぞれの手法に関して，初期位置を真値から最大各軸周りに最大 5度，各軸方向に最大 1m，ランダムに 100 回変更して位置合わせを行った．収束後の位置，姿勢残差に対する収束率の比較を
表 1 に示す．ただしここでの収束率とは，試行 100 回中でそれぞれの範囲に残差が収まった回数の比率を表し，例えば表 1 の
第 2 行は，収束後の姿勢の残差が± 2 度以内，位置の残差が±

図 7 提案手法による位置合わせ結果

Fwbmvbufe!Wbmvft

0.3 ｍ以内に収まった割合を示している．
真値からの残差 (ただし i = x, y, z) 手法 1 [%] 手法 2 [%]|θi | < 2.0 度, |ti | < 0.3m210|θi | < 4.0 度, |ti | < 0.6m2010|θi | < 5.0 度, |ti | < 1.0m7412

表 1 手法 1 と手法 2 の収束率の比較

3/6
3/1
2/6
2/1
1/6
1
1

Tusbjhiu,Qbsbmmfm,Psuiphpobm

62126
Jufsbujpo!\ujnft^

この実験から，手法 1（提案手法）は手法 2 に比べて真値近Fwbmvbufe!Wbmvft

かった．これは手法 2 は真値近傍に収束した場合には収束精度は高いものの，初期位置が真値から離れている場合には局所解に陥る可能性が高く，逆に手法 1 は局所解に陥る可能性は低い
ものの，真値近傍での評価値の勾配が緩やかで，真値への収束精度が低いことを示していると考えれる．
験36

図 8 評価値の変化

傍への収束率は高いものの，収束時の残差が大きいことがわ

4. 4 実314

実験 3 より，それぞれの手法の特徴として，手法 1 は収束性
能は初期位置にあまり依存しないが，最終的な収束精度が低く，2/1

Psuiphpobm

1/6Tusbjhiu
116Qbsbmmfm
2126
Jufsbujpo!\ujnft^3136

図 9 直線度，平行度，直交度の変化

逆に手法 2 は収束性能は初期位置に大きく依存するが，真値近傍での収束精度は高いことが明らかになった．そこで手法 1 と5. 終 わ り に

手法 2 を組み合わせた位置合わせ実験を行った．具体的には，
まず手法 1 でおおまかな位置合わせを行った後，次に手法 2 で正確な位置合わせを行った．位置合わせの様子を図 10 に，結果を表 2 に示す．実験の結果，収束率，収束精度ともに，それぞれの手法を独立に用いる場合に比べて改善されることが確認された．

本論文では，幾何学的整合性を用いたレンジセンサから得られた 3 次元幾何モデルとカラーセンサから得られた 2 次元カラー画像の位置合わせ手法を提案した．本手法は，まず，カラー画像から抽出された直線エッジ群を幾何モデルに投影し，810

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真値からの残差 (ただし i = x, y, z) 手法 1+手法 2 [%]|θi | < 2.0 度, |ti | < 0.3m58|θi | < 4.0 度, |ti | < 0.6m58|θi | < 5.0 度, |ti | < 1.0m62

表 2 手法 1，2 を組み合わせた場合の収束率

234567

図 10 手法 1（提案手法）+ 手法 2 による位置合わせ結果

その投影パッチ群に対して直線性，平行性，直交性などの幾何学的整合性を数値化する．次にそれを最大化するセンサ間の相対位置姿勢を探索，推定することで，大まかなテクスチャマッピングを行うものである．本手法を用いて屋内環境を模擬した計算機実験を行い，提案手法の有効性を確認した．また，濃淡エッジと幾何エッジを一致させることで位置合わせを行う手法と比較実験を行い，提案手法は収束時の誤差が大きいものの，真値近傍への収束率は高いことがわかった．更にこの２つの手法を組み合わせた場合の実験を行い，収束率，収束精度ともに向上することを確認した．今後は屋内実画像を用いた位置合わせ実験を行う予定である．
文

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