金属における電子比熱の近似計算
清水 共∗Approximate Calculation of the Electronic Specific Heat in the Metal
Tomo SHIMIZU∗

Abstract
The purpose of this study is to derive the approximate formula for the electronicspecific heat in the metal. Processes of the approximate calculation are introduced.
The calculation process is handled in detail by using graphs of the Fermi-Dirac distribution function and the derived function. An approach of this report assists thatstudents understand the calculation process.

Keywords: Sommerfeld expression, Fermi-Dirac distribution function, specific heat1

はじめにと書かれている 1) 。
黒沢氏にならって 1mol 当たりの電子比熱 C (T )黒沢氏による著書”物性論”において，金属の自由を計算すると，次式が導出されることになる。

電子論で電子比熱を解析するにあたり，Fermi 温度

TF ，絶対零度における Fermi エネルギー ε0F に対して，

C (T ) =Tπ2zR2TF(3)

ここで，z は原子価，R は気体定数であり，伝導電T ¿ TF なら変化は非常に小さく"µ ¶2 #π2 T0∼εF = εF 1 −12 TF

子の数 N = zNA ，NA は Avogadro 数である。
固体物理の講義において物質の性質を議論する上(1)で，比熱はとても重要なファクターであり様々な本で同様に取り上げられる物性値である。一方で，昨で与えられる。このとき電子系の全エネル

今の学生（特に高専生）を対象として考えれば，数ギーは，この εF を使って学的な基礎力の低下から各種計算式の導出を行う能Z ∞力に非常な危機感を覚える。上記の電子比熱式の導出を例とすれば，とても学生の独力のみで式 (3) のεf (ε) g (ε) dε0∼=3 0π2T2
N εF +N kb
54TF

導出が可能であるか不安であり，私が担当する固体(2)

物理の講義を例にとれば独力での解決は絶望的である。しかしながら，多くの学生は数学としての数式のようになる。これを T で微分すると電子の解析や近似計算の手法を十分理解している。即ち，比熱が出てくる。

応用問題への対応能力が不十分であると分析している。そこで，この電子比熱の計算を例に取り，数学∗ 香川高等専門学校詫間キャンパス 電子システム工学科

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独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 8(2017)energy ε - εF [eV]1-0.20.5-0.15-0.1-0.0500.050.1F(ε)

0-0.15-0.1-0.05

00.050.10.150.2-5-10temperature T [K]100200300600-15-20-0.20.150100200300600
0[arbitrary unit]

probability

temperature T [K]-250.2energy ε - εF [eV]-30

図 1: Fermi-Dirac 分布関数の温度依存性

図 2: Fermi-Dirac 分布関数の導関数で修得している解析手法がどのように役立つかを学便利な展開公式が次式に示す Sommerfeld 展開で生の目線で導出することを本報告書の目的の一つとある。
Z ∞する。

2

金属の伝導電子0金属の伝導電子を解析するに当たり，電子は理想Fermi 気体（自由電子気体）として扱われる。FermiDirac 分布関数を解析に用いることで，古典的自由粒子では考慮されなかった電子比熱を定量的により正確に計算することが可能となる。次式が，Fermi-り，f (ε) は式 (4) の Fermi-Dirac 分布関数である。
この Sommerfeld 展開が，電子比熱計算における近似計算の要になる。よって，まず上記した近似計算に留意して Sommerfeld 展開である式 (7) を証明する。

(4)

I=

ここで，kB は Boltzmann constant，T は絶対温度，εF は Fermi エネルギーである。図 1 は，上式 (4)に対して数値計算により温度依存性をグラフ化している。

Z ∞h (ε) f (ε) dε(8)0

ここで， dH(ε)= h (ε) であり，H (ε) は H (0) = 0dεを満たす任意関数とすると，I は部分積分により次式となる。

電子系の全エネルギー Et は，エネルギー状態密度関数である g (ε) を用いて次式で表される。
Z ∞Et =εf (ε) g (ε) dε(5)I = [H (ε) f (ε)]∞
0 −

Z ∞

H (ε)

0df (ε)dεdε(9)右辺第 1 項は，仮定した H (0) = 0 と Fermi-Dirac0

電子比熱 C (T ) は上式から次式により導出される。

∂Et
C (T ) =∂T(7)ここで，h (ε) はエネルギー ε に関する任意関数であDirac 分布関数である。
1´³f (ε) =F1 + exp ε−εkB T

h (ε) f (ε) dε
Z εFπ2∼(kB T )2 h0 (εF )h (ε) dε +=60

分布関数の性質として，図 1 にも描かれるように

f (∞) = 0，から零となる。よって，(6)I =−

ここで，式 (4),(5) から明らかなように，Et は超越

Z ∞
0

H (ε)

df (ε)dεdε(10)関数を含んだ定積分という複雑な計算となる。そことなる。ここで，注目すべき関数が Fermi-Dirac 分で，計算に導入されるのが常套手段の一つである近布関数の導関数 F (ε) =df (ε)
dε である。図 2 に，有限似計算である。ここでは，Taylor 展開を用いた 2 次温度として図 1 と同じ範囲で F (ε) を描画する。図

近似と，Fermi-Dirac 分布関数の関数の特異性を利から分かるように，常温 (T = 300[K]) 程度であれ用した近似計算を利用する。この近似計算により，ば ε = εF 近傍以外において導関数 F (ε) がほぼ零とFermi-Dirac 分布関数に従う系において，（T ¿ T Fにおける）強く縮退した Fermi 粒子を扱うときになり，低温になるほど ε = εF で鋭いピークを持つ関数となる。そこで，次式のように H (ε) も ε = εF128

清水共 : 金属における電子比熱の近似計算

F (ε) は微分計算や図 2 からも明らかなように xの周りで Taylor 展開 1 を用いて 2 次で近似する。

に関しての偶関数である。ここでは，次の近似

H (ε) ∼= H (εF ) + (ε − εF ) H 0 (εF )12+ (ε − εF ) H 00 (εF )2計算を導入する。F (ε) は図 2 から明らかなよ(11)うに ε = εF を中心にピーク値をもち急峻に変化する関数であるため，定積分の下限値 (−εF )式 (11) の近似式を式 (10) へ代入すると，
Z ∞hH (εF ) + (ε − εF ) H 0 (εF )I∼=−を −∞ に近似する。結果として，I2 は 積分区間が対称な奇関数の積分は零となる。

0i
12+ (ε − εF ) H 00 (εF ) F (ε) dε2となり，I(12)• 右辺第 3 項

Z ∞

I3

∼
F (ε) dε= −H (εF )0Z ∞(ε − εF ) F (ε) dε− H 0 (εF )0Z ∞1 00H (εF )(ε − εF )2 F (ε) dε−201= −H (εF ) I1 − H 0 (εF ) I2 − H 00 (εF ) I32(13)∞I1 = [f (ε)]0 = −1=− (kB T )=−−∞Z ∞2(ε − εF ) F (ε) dε2Z ∞x2 ex2 dxx−∞ (e + 1)

π2(kB T )23−∞ (e(14)図 1，2 から分かるように，I1 の値が算出され(16)x2 e xx + 1)

2 dx =π23(17)定積分 (I1 , I2 , I3 ) を式 (13) に代入して，h (ε) をる。

用いて表すと次式となり，式 (7) の Sommerfeld 展開が導出される。

• 右辺第 2 項Z ∞⎫0⎬

⎧
⎨

I1
´ dε³
⎩ 1 + exp ε−εF ⎭0kB T⎫0⎧
Z ∞ ⎨⎬1´ dx³x⎩ 1 + exp x ⎭−εF(ε − εF )Z ∞−εF 2 + exp∼=Z ∞=0−∞ 2 + exp³³−xkB T´xkB T+ exp−xkB TxkB T´+ exp³³−xkB T´ dx−xkB T´ dx

ここで，3 次元自由電子近似におけるエネルギー状態密度 g (ε) は次式で与えられる。

√32V m 2 √g (ε) =επ 2 h̄3(15)

n!

(19)

ここで，V は結晶の体積，m は電子の質量である。
計算を扱いやすくするために，次式に示す g ∗ (ε) と係数 A を導入する。

1 y(x) に関する x = a での Taylor 展開公式

n=0(18)

Sommerfeld 展開を利用する下準備ができたので，をする。Fermi-Dirac 分布関数の導関数である

y(x) =π22(kB T ) H 00 (εF )H (εF ) +6Z εFπ2(kB T )2 h0 (εF )h (ε) dε +60

式 (5) を利用した電子系の全エネルギー計算に移る。

まず，ε − εF = x を使用した x への変数変換∞
Xy (n) (a)∼==kB T=∼=Z0 ∞変換を用いて，次の積分公式を利用する。

• 右辺第 1 項=

2(ε − εF ) F (ε) dεFを近似する。 ε−εkB T = x を使用した x への変数てそれぞれ別途考える。

=Z ∞まず，第 2 項の I2 の計算と同様に積分下限値となる。次に，右辺各項の定積分 (I1 , I2 , I3 ) についI2=3g ∗ (ε) = εg (ε) = Aε 2(20)n(x − a)

上式を利用すれば，Et は Sommerfeld 展開を用い129

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 8(2017)て次式の様に展開できる。
Z ∞Et =εf (ε) g (ε) dε0
Z ∞f (ε) g ∗ (ε) dε=0Z εFπ2∼(kB T )2 g ∗0 (εF )g ∗ (ε) dε +=60Z εFεg (ε) dε=

また，kB TF = ε0F の関係から式 (26) を式 (25)に代入して次式を得る。

R1 =R2π22(kB T ) g (εF )41π22(kB T ) AεF24(µ ¶2 )
1π2π2 T
20 2(kB T ) AεF
1−424 TF(µ ¶2 )
3π 2π2 T2 N(kB T ) 0 1 −8εF24 TF(µ ¶2 )
3π 2π2 TT2N kB
1−8TF
24 TF

=π2+ (kB T )2 {g (εF ) + εF g 0 (εF )}Z ε6Fεg (ε) dε=∼=0+π22(kB T ) g (εF )4=(21)=

ここでは，次式の関係を用いている。

g 0 (ε) =1 −1Aε 22εF g 0 (εF ) =(22)

1 121Aε = g (εF )2 F2(28)(23)
上 式 で は ，第 1 項 の R1 の 計 算 と 同 様 に³ ´2π2T∼= 0 での Maclaurin 展開を用いた

次に，式 (21) の右辺各項をそれぞれ別々に計算

12==Z εF各項の計算結果 (R1 , R2 ) を式 (21) に代入すると，εg (ε) dε0∙¸ε2 5 FAε 2502 52
Aε5 F

式 (2) で示した電子系の全エネルギーが次式として導出される。

(24)

Et=
∼=

上式に，式 (1) の Fermi エネルギーを代入し³ ´22T∼て，T ¿ TF の関係から π= 0 での12TF=Maclaurin 展開2 を用いた 1 次近似の計算をする。

R1∼=∼=µ ¶2 ) 52π2 T
1−12 TF(µ ¶2 )
2 0 525π 2 T
Aε1−5 F
24 TF
2 0 52
Aε5 F

TF

1 次近似の計算をする。また，T ¿ TF より TTFの 2 次の項を近似して無視する。

• 右辺第 1 項 (R1 )=3π 2
T2N kB
8TF∼=する。

R1(27)• 右辺第 2 項 (R2 )

0=

3 0π2
T2N εF −N kB
58TF(R 1 + R2
3 0π2
3π 2
T2T2
N εF −
N kB
N kB+
58TF
8TF
223 0πT
Nε +
N kB
5 F
4TF
(29)

電子比熱 C (T ) は上式 (29) を式 (6) に代入することによって導出される。
¾½∂π2T23 0∼
Nε +N kB
C (T ) =∂T 5 F
4TF(25)=π2T
N kB2TF(30)

ここで，伝導電子数 N と状態密度の関係は次ここで，気体定数 R = NA kB と伝導電子数 N =式で与えられる。

zNA の関係から電子比熱は気体定数を用いて次式

3
¡ ¢ 2
¡ ¢ 2
N = G ε0F = ε0F g ε0F = Aε0F 2
332 x ∼ 0 での Maclaurin 展開による 1 次近似=(1 − x)n ∼= 1 − nx(26)130清水共 : 金属における電子比熱の近似計算で表すことも可能である。

C (T ) =3Tπ2zR2TF(31)

おわりに金属の伝導電子に起因する電子比熱を学生目線で導出した。特に，近似計算においては丁寧な記述が行われている。Fermi-Dirac 分布関数に関しては，その導関数を含めて数値計算によるグラフ化を行い計算過程の理解を深める一助としている。この分布関数のグラフ化は学生が計算式を導出する目的とは別途，半導体を学習するための演習課題として有用である。単に計算式を解析的に解くことに満足させず，問題を多面的にとらえる手法の一つとして視覚化という手段を与えている。この報告書が，一般論として工学を学ぶ高専生の一助となれば幸いである。

参考文献
1) 黒沢達美 著, ”基礎物理学選書 9. 物性論-固体を中心とした-(改訂版)”, 裳華房, pp.55-58, 2001

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