Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 TUP014

横方向傾斜磁場アンジュレータからの放射計算
CALCULATION OF RADIATION FROM TRANSVERSE GRADIENT UNDULATOR武藤 俊哉#A)，柏木 茂 A)，日出 富士雄 A)，南部 健一 A)，三浦 禎雄 A)，長澤 育郎 A)，髙橋 健 A)，鹿又 健 A)，
熊谷 航平 A)，柴田 晃太朗 A)，齊藤 寛俊 B)，山田 悠樹 A)，山田 志門 A)，濱 広幸 A)
T. Muto #A), S. Kashiwagi A), F. Hinode A), Kenichi Nanbu A), Sadao Miura A), Ikuro Nagasawa A),Ken Takahashi A), Ken Kanomata A), Kohei Kumagai A), Kotaro Shibata A),
Hirotoshi Saito B), Hiroki Yamada A), Shimon Yamada A) and Hiroyuki Hama A)
A)
Research Center for Electron Photon Science (ELPH), Tohoku UniversityB)
High Energy Accelerator Research Organization (KEK)

Abstract
The electron beam which is produced by Laser Wake-Field Acceleration (LWFA) has quite large energy spread. For
applications such as FEL, such energy spread will degrade the performance. Transverse gradient undulator (TGU) which
has transverse field variation is one of solutions to reduce the effects of such energy spread. The experimental study ofTGU have been prepared at test Accelerator as Coherent THz Source (t-ACTS), ELPH, Tohoku University. In this report,
we will demonstrate the validity of TGU by numerical calculation. By using the TGU with appropriate dispersion
correction in the TGU, the line width of radiation spectrum, which is generated by the beam with large energy spread,
will be reduced to same level on the case of no energy spread.

1.

はじめに𝐵 (𝑥, 𝑧) = 𝐵 (1 + 𝛼𝑥) cos 𝑘 𝑧

レーザー航跡場加速(Laser Wake-Field Acceleration:LWFA)[1]は、理論的にわずか 1 cm 程度の加速距離で１GeV 級の高エネルギー電子ビームの生成が可能とされ、現在使われている高周波(RF)加速器を凌駕する革新的な加速技術と期待されている。しかしながら現在のLWFA では X-FEL 等[2-4]が要求するような安定で高品質な電子ビームを生成することは難しい。その電子ビー
ムのエネルギー広がりは数%持ち、またショットごとに中心エネルギーが揺らいでおり、従来型の RF 加速器からのビームに未だ及ばないため、LWFA ビームのエネルギー広がりの影響を抑制する方法として横方向傾斜磁場アンジュレータ(Transverse Gradient Undulator：TGU)を用いた手法が提案されており[5]、我々のグループでは当センターの試験加速器 t-ACTS[6]で TGU の実証実験を計画しており、TGU の試験機の検討を行ってきた[7]。本報告では数値計算により TGU から期待されるアンジュレータ光を求めた。

2.

(2)と表すことが出来る。ここで𝐵 は x=0 における軸上の最大磁場、𝑘 = は波数、𝜆 はアンジュレータの周期長をそれぞれ表す。TGU は式(2)からもわかるように水平位置(x)で磁場に勾配があるためにアンジュレータにおける電子の蛇行運動に沿った磁場の一次積分が 0 にならないことが予想される。今、ビームがアンジュレータ 1 周期𝜆 を通過する時に x 方向に変位が大きくないと仮定して、その時の x 方向の振動はおおよそ通常のアンジュレータにおける振動と同じくx(𝑧) = −cos 𝑘 𝑧と書けるとすると式(2)の磁場分布は
𝐵 (𝑧) = 𝐵=𝑚 𝑐𝑘 𝐾𝑒−1−𝛼𝐾cos 𝑘 𝑧 cos 𝑘 𝑧𝑘 𝛾𝛼𝐾(1 + cos 2𝑘 𝑧) + cos 𝑘 𝑧2𝑘 𝛾(3)Transverse Gradient Undulator (TGU)TGU はアンジュレータの蛇行運動面である水平(x)方向に傾斜する磁場強度分布を持たせたアンジュレータのことで、∆𝐾= αx𝐾___________________________________________

は x=0 における K 値、𝛾はローレンツ因子、𝑚 は電子質量、𝑐は光速、𝑒は素電荷をそれぞれ表す。式(3)から 1 周期(𝜆 )における偏向角𝜃 は1𝜃の磁場強度分布を持つ。ここで α は磁場勾配の大きさを表す。したがってアンジュレータの垂直(y)方向の磁場分
布𝐵 (x, z)は# muto@lns.tohoku.ac.jpと記述できる。ここで𝐾 ==𝑒𝛼𝐾
𝐵 (𝑧) 𝑑𝑧 = −𝜆2𝛾𝑚 𝑐𝛾(4)となる。前回の報告[7]で求めた TGU の各パラメータをTable 1 に示す。
電子のエネルギーE = 22MeV(γ = 43)として𝜃
を- 316 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of JapanOctober 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 TUP014

求めると𝜃= −8 mradとなり無視できないほど大きな値になることが分かった。このため TGU の前後に補正用の偏向電磁石を配置する必要があると考える。
Table 1: TGU Parameters
Period length 𝜆Number of periods
Total length
Gap (@x=0)
Opening angle 2φ
K value (@x=0) 𝐾
Gradiant α

3.

80mm
7587mm33mm
40degree3.62-28.3

Table 2: Beam Parameter
Beam Energy
Normalized Emittance 𝜀
Bunch Length 𝜎

22 MeV5π mm ∙ mrad
100 fs

ビーム軌道を Fig. 2 に示す。Figure 2 赤実線に示すように補正磁石を用いない場合、TGU によってビームが大きく偏向しているのが分かる。一方、補正磁石を使うことでビーム偏向が補正できているのが分かる(青点線)。この時、𝐵 = −373Gであった。ただし、ここで入射ビームに TGU での発振波長が広がり角 2φ=0の通常アンジュレータの発振波長と合わせるために水平方向のオフセッ= 7.6 mmを付けている。
ト𝑥

数値計算による放射光の評価

TGU の性能評価のため自作のコードを用いてビームのトラッキングと放射光の計算を行った。時刻t、観測地
点𝑟⃑における運動する荷電粒子からの放射電場𝐸⃑ (𝑟⃑, 𝑡)は荷電粒子の位置ベクトルを𝑟⃑(𝑡)とすると⎡𝑛⃗ − 𝛽⃗𝑒 ⎢𝐸⃑ (𝑟⃑, 𝑡) = −⎢4𝜋𝜀 𝛾 𝑅 1 − 𝑛⃗ ∙ 𝛽⃗⎢⎣𝑛⃗+𝑑𝛽⃗ ⎤𝑑𝑡 ⎥⎥⃗𝑐𝑅 1 − 𝑛⃗ ∙ 𝛽⎥⎦𝑛⃗ − 𝛽⃗(5)と表せる[8]。ここで 𝜀 は真空の誘電室、 𝑅 = 𝑟⃑ − 𝑟𝑒⃑ は粒子と観測地点の距離、𝑛⃑ =への単位ベクトル、𝛽⃑ =⃑⃑⃑は粒子から観測地点は粒子の速度比、𝑡 = 𝑡 −( )は retarded time をそれぞれ表す。式(5)の括弧内の第 1 項は速度項、第 2 項は加速度項と呼ばれる。相対論的粒子(𝛾 ≫ 1)の場合、速度項は無視できるので数値計算では加速度項のみを考慮した。TGU の磁場分布
は磁場計算コード Radia[9]を用いて求めた磁場マップをコードに取り込んだ。
計算に用いたセットアップを Fig. 1 に示す。前節に示したように TGU の前後 400 mm に長さ 50 mm の偏向電磁石を配置した。この偏向電磁石の磁場はハードエッジモデルを用いた。

Figure 2: Beam orbit. Without steering (red), with steering( 𝐵 = −373G ) and initial horizontal offset = 7.6 mm(blue, dashed).
3.1.2 入射 Twiss パラメータの調整
次に入射 Twiss パラメータの調整を行った。調整後のTGU でのビームサイズの変化を Fig. 3 に示す。この時の=Twiss パ ラ メ ー タ は 𝛽 , 𝛽 , 𝛼 , 𝛼.
(0.81, 1.11, 0.92, 2.31)であった。Figure 3 から TGU 内で大きなビームサイズ変動はないことがわかる。

Figure 3: Beamsize in TGU, horizontal (red), vertical(blue, dashed).
3.1.3 Dispersion の調整

Figure 1: Calculation setup.
3.1

ビーム輸送の調整

TGU からの放射光を評価する前に電子ビームの輸送に関するパラメータ調整を行った。計算に用いた電子ビームのパラメータを Table 2 に示す。
3.1.1 ビーム軌道の補正
始めに補正電磁石の磁場強度𝐵 の調整を行った。

TGU によるエネルギー抑制効果を実現するためにはTGU 内での Dispersion のコントロールが重要である。そのために入射 Dispersion 関数(𝐷 , 𝐷 )をコントロールすることで異なるエネルギーでの発振波長を揃える。エネ
ルギーを変化させたときの軸上の観測点𝑟⃑ = (0,0,10.0)における基本波の発振波長の変化を Fig. 4 に示す
Figure 4 に示すように入射 Dispersion 関数(𝐷 , 𝐷 ) =(−0.034, −0.027)としたことで異なるエネルギーで発振波長を揃えることが出来ている。この時の TGU 内(0.35 m<s<0.35 m)での Dispersion 関数の平均値𝐷 を計算すると- 317 -

Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 TUP014

3.2

Figure 4: Energy dependence of fundamental frequency,(D0, D0’)=(-0.034, -0.027)(red), D0=0(blue, dashed).
𝐷 = −0.0413mと求まった。
理論[5]的には TGU 内の Dispersion η を
η＝2+𝐾𝛼𝐾TGU からの放射光

これまでの議論で調整した各パラメータを使って電子ビームのエネルギー広がりσ /pを変化させながら TGUからの放射光計算を行った。また比較のために TGU でDispersion のマッチングを行っていない場合と TGU と同じ磁石列を用いた通常のアンジュレータ(K 値 3.52)の場合の放射光の計算を行った。この時、粒子数 N=1000 個とした。放射電場の例を Fig. 5 に示す。
Figure 5 の(a), (b)の TGU からの放射場を比較した場
合、エネルギー広がりが違うビームからの放射であるが両者に大きな差は見えない。しかしながら通常のアンジュレータからの放射の場合、σ𝑝 ⁄𝑝 = 0%の時の放射場(c)に比べてσ𝑝 ⁄𝑝 = 6%の時の放射場(d)は全体に放射強度が下がっていて、劣化していることがわかる。Fig.
5 の計算結果をフーリエ変換してスペクトラムを求めたものを Fig. 6, 7 に示す。TGU の場合(Fig. 6)、エネルギー広がりσ𝑝 ⁄𝑝の増加で線幅 の増加は見られないが通常のアンジュレータの場合(Fig. 7)にはσ𝑝 ⁄𝑝の増加によって線幅 が増加していることがわかる。

(6)に合わせることで TGU はすべての電子のエネルギーにおいて同一波長で発振することが出来、計算に用いた
TGU のパラメータ(𝐾 = 3.62, 𝛼 = −28.3)を代入すると
η = −0.0407 mになり、数値計算から求めた値𝐷 にほぼ等しくなっていることが確認できた。

Figure 6: Radiation spectrum from TGU with 𝛔𝒑 ⁄𝒑 =𝟎%(red) and 𝛔𝒑 ⁄𝒑 = 𝟔%(blue, dashed).

Figure 7: Radiation spectrum from normal undulator with𝛔𝒑 ⁄𝒑 = 𝟎%(red) and 𝛔𝒑 ⁄𝒑 = 𝟔%(blue, dashed).
Figure 5: Calculated radiation field. (a) TGU with𝛔𝒑 ⁄𝒑 = 𝟎% . (b) TGU with 𝛔𝒑 ⁄𝒑 = 𝟔% . (c) Normalundulator with 𝛔𝒑 ⁄𝒑 = 𝟎%. (d) Normal undulator with𝛔𝒑 ⁄𝒑 = 𝟔%.

σ𝑝 ⁄𝑝 = 0~10% と 変 え た 時 の 放 射 の 強 度 と 線 幅 をFig. 8, 9 に そ れ ぞ れ ま と め る 。 Fig. 9 か ら 適 切 にDispersion 関数を調整した場合、TGU からの放射光は- 318 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 TUP014

通常のアンジュレータと比べてエネルギー広がりが大きく 謝辞
なってもスペクトルの線幅は増えないことがわかる。また、本研究は JSPS 科研費 基盤研究(C) 21K12533 の助
Fig. 8 からも通常のアンジュレータに比べてエネルギー成を受けたものです。
広がりによる強度の低下が抑えられることがわかり、TGUの有効性が確認できた。

参考文献

Figure 8: Energy spread dependence of intensity. Circle,red, line: TGU with matched dispersion. Square, green,dash-dot: Normal undulator. Triangle, blue, dashed: TGU
without dispersion.

[1] T. Tajima and J.M Dawson, Phys. Rev. Lett. 43 (1979) 267.
[2] Ackermann, W. et al., Operation of a free-electron laser fromthe extreme ultraviolet to the water window. Nat. Photon. 1,336–342 (2007).
[3] Emma, P. et al., First lasing and operation of an angstromwavelength free-electron laser. Nat. Photon. 4, 641–647(2010).
[4] Ishikawa, T. et al., A compact X-ray free-electron laser
emitting in the sub-angstrom region. Nat. Photon. 6, 540–544(2012).
[5] Z. Huang, Y. Ding and C. Schroeder, Phys. Rev. Lett. 109(2012) 204801.
[6] H. Hama et al., Demonstration of Coherent Radiation
Generation up to 3 THz from Femtosecond Electron Pulses,
Int J Opt Photon. Eng, 2 (2017), p. 004.
[7] T. Muto et al., Study of Transverse gradient undulator,
Proceeding of the 16th Annual Meeting of Particle
Accelerator Society of Japan 445-448 (2019).
[8] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics. Third Edition,
John Wiley & Sons, Inc. (1998).
[9] O. Chubar et al., A three-dimensional magnetostatics
computer code for insertion devices, J. Synchrotron Rad. 5,481-484 (1998).

Figure 9: Energy spread dependence of band width. Circle,red, line: TGU with matched dispersion. Square, green,dash-dot: Normal undulator. Triangle, blue, dashed: TGU
without dispersion.

4.

まとめと今後の課題

t-ACTS に お け る 横 方 向 傾 斜 磁 場 ア ン ジ ュ レ ー タ(TGU)の実証実験のために TGU からの放射光の計算を行った。TGU に共鳴条件を満たすような Dispersion を与えてやることによってエネルギー広がりの大きな電子ビームからの放射光の線幅を抑制できることを確認した。今回の計算では s 軸上の放射光についてのみの計算を行ったが今後、放射光の空間分布などの計算を進めていく。また TGU の実機の製作を行い、実証実験に向けた準備を進めていく。特に Dispersion の調整が十分に行えるようなビームラインの設計を進めていく。

- 319 -