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個別部品で組み立てて動作原理から設計法までを理解する
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PLL
PLL 周波数シンセサイザの設計法徹底解説
周波数シンセサイザの設計法徹底解説
第23第23 回
回 PLL
PLL 出力の位相雑音を最小にするために出力の位相雑音を最小にするために〜位相余裕とカットオフ周波数の最適化〜〜位相余裕とカットオフ周波数の最適化〜〜位相余裕とカットオフ周波数の最適化〜〜位相余裕とカットオフ周波数の最適化〜

小宮浩
小宮
小宮 浩
浩

HiroshiComiyaHiroshiComiyaHiroshi
HiroshiComiya
ComiyaHiroshi
HiroshiComiyaComiyaPLL の設計では，ループのカットオフ周波数 fCと位相余裕φC の決め方を誤ると，位相雑音特性などが悪化します．
今回は，計算で PLL 出力の位相雑音を予測する方法について解説します．表計算ソフトウェア
Excel の助けを借ります．
PLL で主に位相雑音の発生源となるのは基準信号源と VCO です．この二つから発生する SSB位相雑音を仮定すると，PLL 出力の SSB 位相雑音を予測できます．
位相余裕φC による位相雑音の変化と，カットオフ周波数 f C による位相雑音の変化，両方を確認してみます．次回，カットオフ周波数 f C の最適値を求める準備でもあります．
〈編集部〉

プ・モジュラス M の周波数特性に盛り上がりがあれば，位相雑音も盛り上がります．
Z閉ループ・モジュラス M の求め方
図 23 − 1 に PLL のブロック線図を示します．
閉ループ伝達関数 Pclose（s ）は前向きゲイン G（s ）と（s ）を使って，次式で表せまし開ループ伝達関数 Popen
た．
G（s ）Pclose（s ）＝…………………
（23 − 1）
1 ＋ Popen（s ）P open（ s ）は帰還回路の伝達関数 H（ s ）を使って次式のように表すこともできました．
Popen（s ）＝ G（s ）H（s ）………………………
（23 − 2）よって式（23 − 1）は次のようにも表現できます．
G（s ）Pclose（s ）＝………………（23 − 3）
1 ＋ G（s ）H（s ）PLL の位相余裕と位相雑音の関係
VCOの位相雑音

SφVCO
前向きゲイン

位相余裕φC によってカットオフ周波数 fC 近辺の位相雑音特性が変わります．位相余裕が小さいと位相雑音が盛り上がります．
位相余裕による盛り上がりの有無を予測して，実験で確かめてみましょう．

■ 閉ループ特性の解析に使う二つの値_ 基準信号源の位相雑音を増幅する周波数特性がわかる閉ループ・モジュラス M
カットオフ周波数 f C 近辺での雑音の盛り上がりを計算する方法を解説します．
PLL 回路を負帰還増幅回路のように見れば，PLLは基準信号源の位相雑音を閉ループ伝達関数のぶん増幅することが分かると思います．伝達関数にピークがあれば，位相雑音特性もピークを持ちます．
周波数特性カーブ（盛り上がりの有無）だけに注目できるよう，閉ループ伝達関数を分周数 N で正規化した値が閉ループ・モジュラス（closed loop modulus）と呼ばれる値で，通常 M を使って表します．閉ルー240

SφREF

G（s ）

Sφout

基準信号源の位相雑音

H（s ）

出力の位相雑音帰還回路1/N
閉ループ伝達関数 Pclose（s ）は，G（s ）Pclose（s ）＝1＋G（s ）H（s ）閉ループ・モジュラス M は，G（s ）H（s ）M＝1＋G（s ）H（s ）ノイズ・リダクションGNR は，
1
GNR ＝1＋G（s ）H（s ）図 23 − 1 位相雑音の周波数特性を考えるために PLL をブロック線図で表す
基準信号源からの位相雑音に対する周波数特性カーブを示す閉ループ・モジュラス M と，VCO の位相雑音に対する周波数特性カーブを示すノイズ・リダクション GNR の二つの値を導入する

2008 年 1 月号

式（23 − 3）を分周数 N で割った値が閉ループ・モジ
ュラス M です．PLL では H（s ）＝ 1/N であることから，G（s ）/NG（s ）H（s ）M＝＝…（23 − 4）
1＋G（s ）H（s ） 1 ＋ G（s ）H（s ）となります．式（23 − 4）を使えば，閉ループ伝達関数の周波数特性カーブを開ループ伝達関数だけで表現できます．
` PLL による VCO 位相雑音の抑圧量を示すノイズ・リダクション GNR
PLL は VCO から発生する位相雑音を減らす働きをも持ちます．どの程度のリダクション（抑圧量）を持つかを示す値が，ノイズ・リダクション GNR です．
VCO の位相雑音が出力されるまでの前向きゲインは，VCO のあとにゲインを持つ回路がないので 1 倍と考えることができます．よってノイズ・リダクション GNR は次式から算出できます．
11GNR ＝＝…
（23 − 5）
1 ＋ Popen（s ）1＋G（s ）H（s ）この値の周波数特性に盛り上がりがある場合も，位相雑音は盛り上がります．

ただし， F（ s ）：ループ・フィルタの伝達特性，
KV ： VCO の変換ゲイン［（rad/s）/V］，KP ：位相比較器のゲイン［V/rad］（s ）は，
ここで F
sT2 ＋ 1F（s ）＝……………………（23 − 7）sT（
1 sT3 ＋ 1）
ただし，T1，T2，T3 はループ・フィルタの時定数です．よって，開ループ伝達関数は次式となります．
KPKV
sT2 ＋ 1Popen（s ）＝………（23 − 8）2
NT1 s （sT3 ＋ 1）
前回（連載第 22 回，2007 年 12 月号）では，開ループ伝達関数の一例を Excel を用いて計算し，ボーデ線図として描かせました．同様に，閉ループ・モジュラス
M とノイズ・リダクション GNR を描かせてみます．

■ 盛り上がりの有無を予測● 位相余裕が十分ある（φC ≒ 60 °）場合の特性は良好
図 23 − 2 に示す仕様の PLL を考えます．アクティブ・フィルタには，前回紹介したアクティブ・フィル
タ I を用いています．
カットオフ周波数 fC ≒ 10 kHz，位相余裕φC ≒ 60 °

位相雑音の盛り上がりの有無を調べるため，式の PLL とするアクティブ・フィルタⅠの定数は R1 ＝（23 − 2）の閉ループ・モジュラス M と式（23 − 5）のノイズ・リダクション GNR の周波数特性を描きましょう．

1 kΩ，R2 ＝ 180 Ω，C1 ＝ 0.33 μF，C2 ＝ 0.027 μF と算出されました．

（s ）はどんな値だっところで，開ループ伝達関数 Popenたでしょうか．
● 3 次形 PLL での開ループ伝達関数を式で表すと…
3 次形 PLL の開ループ伝達関数 Popen（s ）は次式です．
KPKV F（s ）Popen（s ）＝…………………
（23 − 6）Ns

この場合の T1，T2，T3 は次式から求まります．
T1 ＝ C1R2 ≒ 3.3 × 10 − 4 …………………（23 − 9）

T2 ＝ R2（C1 ＋ C2）≒ 6.42 × 10 − 5 ……（23 − 10）
T3 ＝ C2R2 ≒ 4.86 × 10 − 6 ………………（23 − 11）
これらの値を式（23 − 8）に代入すれば，開ループ伝（s ）をボーデ線図に表せます．
達関数 PopenC2
C1

0.027μ0.33μ

KP ＝0.79V/radfR（1MHz）

φR2180Ω

KV ＝22×10−6×（rad/s）/V2π

ゲイン［dB］

40
アクティブ・フィルタⅠVCO−20（300MHz）

位相比較器

GNR
1k10k
100k
オフセット周波数［Hz］（a）閉ループ・モジュラスなど

1M

N ＝300分周器
フィルタの時定数は，
T 1 ＝C 1 R 1 ≒3.3×10−4T 2 ＝R（≒6.42×10−52 C 1＋C 2 ）T 3 ＝C 2 R 2 ≒4.86×10−6

位相［ °］

1/N

ノイズ・リダクション−40−60100fout

R 1 1k開ループ伝達関数
G（s ）
H（s ）
fc ≒10kHz

20 閉ループ・モジュラスM
080φc ≒60°

6040200100

1k

10k
100k
オフセット周波数［Hz］（b）位相余裕1M

図 23 − 2 位相余裕φC ＝ 60 °の PLL 回路の例

図 23 − 3 位相余裕φC ＝ 60 °の PLL の周波数特性

カットオフ周波数は前回同様とりあえず 10 kHz に決めている

閉ループ・モジュラス M，ノイズ・リダクション GNR ともにピークはない2008 年 1 月号

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