はじめに⃝ ピークを目指そう─ ─────────────
この本は，「一般の 5 次方程式が根号で解けないことのきちんとした証明をいちばんやさしい筋道で理解し感得する」ことを目指しています。
●ガロア理論の啓蒙書を読んだけれども，最後の方の 5 次方程式が根号で解けないところの説明・証明がクリアにはわからない。
●そこで，専門書を手に取ってみたが挫折した。
●でもやはり，5 次方程式が根号で解けないことの証明が気になるので読んでみたい。
このような読者の方のために，この本を書かせていただきました。
5 次方程式が根号で解けないことを示すには，次の定理を証明しなければなりません。
ピークの定理方程式 f ]xg = 0 の解が根号で表せる+

方程式 f ]xg = 0 のガロア群が可解群である

この定理が証明されれば，5 次方程式が根号で解けないことを示すことができるのです。ガロア群も可解群も説明していないのに，いきなり専門用語を出してしまって恐縮です。
3この本では，この定理を「ピークの定理」と称し，本全体を通して目標とする定理としています。
ここでいう「目標とする」という意味は，単に定理の内容を理解するだけに留まりません。定理を証明して感得するという意味です。

⃝ 本書の特徴─ ────────────────
１．証明がこの本に全部書いてある

啓蒙書の多くは，定理とその説明だけが書いてあり，証明は易しいものだけにつけてあります。

この本のすべての記述，定義・定理の積み重ねは，「ピークの定理」を専門書には，定理の事実だけでなく証明まで記述されているのが建前で証明するためにあるといっても過言ではありません。ですから，啓蒙書です。が，専門書であっても，そこに載っている定理のすべてに証明が付けよくあるようなガロアの人物・伝記については一言も触れられていません。

られているとは限りません。

この手の解説は他書にお任せいたします。

専門書に扱われている定理の中には，定理の紹介はあっても証明は他書「ピーク」とは山の頂の「ピーク」という意味で，この本だけの用語でに譲るとしているものも多いのが現状です。これは，ピークの定理を証明す。この本は，このピークの定理に登頂することを目指すアルピニストのするには広い範囲の分野における定理を積み重ねていかなくてはならないための本なのです。

からだと考えられます。例えば，線形代数の基本的事項を用いるものに関しては線形代数の本を見よ，という姿勢をとっている場合が多いです。本

ロープウェイで途中の山小屋まで行って，頂上を眺めながらコーヒーを飲むだけでもそれは素晴らしい登山体験ですが，本書では，そのはるか先に仰ぎ見える頂上まで，一歩一歩，自分の力で登っていきます。

書では，読者が線形代数の知識を知らないものとし，必要な線形代数の知識はその場で解説していきます。
また，専門書の中には，定理の証明を練習問題の形にして読者に委ねてとはいえ，ハーケンを一本一本岩崖に打ちつけながらの本格的な登山スいる箇所も多くあります。簡単な証明であれば読者が自力で証明を付けるタイルで登るのでは負担が大きすぎます。そのためには資金も時間も普段ことができるでしょうが，初学者には無理であると思われるような命題でからの専門的なトレーニングも必要になってきます。

も練習問題にしている場合が多々あります。専門書は数学科の学生を読者そこで本書は，ピークを踏むために，もっとも体に負担の少ないルートとして想定しているせいか，読者に要求するレベルが高すぎるわけです。

を選びました。本書がとるルートでは，登山道には木の階段が整備してあこの本でも「問」を掲げて説明を進めることがありますが，それは読者りますし，岩場には頑丈な鎖がつけてあります。必要とする装備も最小限に問題を解いてもらうことを想定して「問」を立てているのではありませに留めました。一歩一歩着実に登り続ければ，必ずやピークを踏み，ガロん。話を進めていく上で，テーマを明確に意識してもらうために「問」をア理論の全貌を眼下に見ることができるでしょう。

立てているだけのことです。いわばレトリックです。本書に掲げられていここで，本書の特徴について述べておきましょう。

る「問」は，すぐそのあとに解説が続きます。解かずにそのまま読み進めていってもらうことを前提にしています。
この本の特徴は，定理が出てきた場合必ずそれをこの本の中で証明していることです。証明を他の本に投げるようなことはしていません。執念深45くすべての定理に証明が付けてあります。
正確にいうと実例をあげることで証明の代わりにしている場合も多いのですが，それは一般的な記号で書くよりも実例をあげたほうが，証明の内容を手にとるように伝えることができると考えているからです。多くは実例での数値を文字で置き換えれば，そのまま証明になります。

４．高校数学を履修した人であれば読める

本書では，高校で履修した数学こそ前提の知識としますが，それ以外の項目は習っていないものとして解説を進めます。
複素数についても定義から始めて解説してあります。複素数は文部科学省のカリキュラム変更によって，履修項目に含まれたり外されたりを繰り返した単元で，読者の年代により複素数に対する理解度がまちまちである

２．初めから終わりまで同じ丁寧さと考えられるからです。

啓蒙書では 1 から 5 段階までを説明するとき，初めの 1，2 段階は丁寧に説明するものの，3 段階になると少し論理が飛びがちになり，4 段階にな５．一番易しいルートを選択ると言葉だけの説明になり，5 段階になると結論だけを語るということにこの本は，高校数学を履修した人に向けて，ガロア理論に手を触れてもなりがちです。啓蒙書を読んだ方で，後半の部分も同じ丁寧さで語ってくらい組み立ててもらうことで，5 次方程式が根号で解けない原理を理解しれたら理論全体がよく分かるのになあ，という感想を持った方も多くいらてもらう本です。やさしく読めますが本格派なのです。

っしゃると思います。

やさしく読めるための工夫の一つが，ルートの選択です。ピークの定理

この本では，初めのとっつきからピークの定理まで，同じ丁寧さで解説にたどり着くには，いくつかのルートがあります。この本では，これらのをすることを心がけました。特に，ガロア対応の証明や「ピークの定理」中からつねに一番やさしいと思われるルートを選びました。ピークの定理の証明は，他の啓蒙書にはない丁寧さになっていると思います。

を証明するのに必要な定理がある場合でも，それが抽象的過ぎたり，証明が煩雑になる場合は，あえて避けることにしました。他の定理を組み合わ３．例から説明しているせることで，これを代用しています。

多くの専門書では，定義・定理を述べてからその実例を示し理解を促し縦走して特定の峰を目指すとき，尾根道をルートにとるといくつも山をます。実例を示してあればいい方で，示されない場合も多々あります。数乗り越えアップダウンを繰り返さなければならないものですが，巻き道学の専門書は抽象的で読みづらいのです。

（頂上を迂回する道）をとることでゆるやかに目的のピークに達すること

本書では，まず例を示し，それから定義・定理を述べていく説明の順序をとっています。抽象的な専門書でつまづいた人でも，本書なら読み進めができます。この本では，読者の負担を減らすために巻き道をとっているところがいくつかあります。ていくことができるはずです。
次頁のイメージ図を眺めていただいてから，実際にどのようなルートをとってピークの定理まで到達するのか，ルートを解説しておきましょう。

67

ピークまでのル ート

6：「根号で表す」アルティン道

線形代数

ピークの定理5：「体と自己同型写像」

正規道

ガロア対応のお花畑

最小分解体道

4：
「複素数」
複素平面
自己同型群，固定群
拡大体，中間体

1 の n 乗根

非分離多項式
有限体のガロア理論

代数学の基本定理

2：
「群」

3：
「多項式」

正三角形の二面体群

対称式の性質Q ]x g / ] p ]x gg は体立方体の正多面体群
正規部分群，剰余群
可解群

1：
「整数」

有限群の構造定理

Z/pZ は体ユークリッドの互除法

スタート8]Z/nZ g) の構造定理

9⃝ ルートの説明─ ───────────────

表せる」という定理とその証明のあらすじを紹介します。方程式の係数は，登り口は，第 1 章「整数」です。ユークリッドの互除法，余りの計算か解の対称式になっていますから，この定理は方程式の理論を進めていく上ら始まります。ここで早くも群の定義を紹介します。第 2 章の群のところで重要な定理です。第 5 章では当たり前のようにこの定理を使っていきまで定義をしようかとも考えたのですが，整数というとりつきやすい題材をす。

通して群を実感してもらうのがよいだろうという判断から，ピークを目指

この章の後半は，整数における素数と多項式における既約多項式のアナすのに不可欠な「群」という装備を早めにお渡しすることにしました。

ロジーを推し進めて，整数で展開した理論を多項式にリフトアップしてい

整数の章の最終目標は，既約剰余類群の構造の解明です。これはピークきます。楽曲でいえば，整数で奏でられたメロディーが転調して多項式での定理の証明でも使われる事項で重要項目です。ピークの定理の証明のた出てくるような感じです。その展開の面白さににちょっとした感動を覚え

めには，有限生成アーベル群の基本定理を用意してもよいのですが，読みるところでしょう。結論として得られる「既約多項式による体」は，第 5やすく証明を語るには線形代数の定理を積み重ねなければならないので避章の基本的なフィールドとなります。

けました。巻き道をとったところです。

この第 3 章では，大きな選択をしました。それは方程式を考える多項式を有理数係数の多項式に限定したことです。専門書では，有理数係数の多次に，第 2 章「群」へと進みます。正三角形の二面体群，立方体の正多項式以外も考え，平行して話を進めていくので，説明も煩雑になり，ただ面体群という具体的な群の例を通して，群についての重要な概念である剰でさえ難しいガロア理論がより複雑になってしまうのです。専門書では，余群，正規部分群を解説していきます。本書の特色の一つは，数学の概念次頁の図の「非分離多項式」「有限体のガロア理論」という尾根を進むルを可視化していることですが，この章を読めば群を手にとるように実感すートをとるのが普通です。本書ではこの小峰を巻いていきます。

ることができるでしょう。しかも，この 2 つの例は 3 次方程式，4 次方程式が根号で解けることの証明の伏線になっているのです。

第 4 章は，「複素数」です。この本では，読者に複素数の知識を仮定し群の章の後半は，あみだくじの群を扱います。数式（群の演算）を示すませんから，複素数の定義から始めて解説していきます。この章の前半でときは，図版での説明も入れましたから，演算を図上で確かめることがでは，1 の n 乗根を三角関数を作って書き下し，xn-1 ＝ 0，xn-a ＝ 0 の解をき読みやすくなっています。後半の目標定理は，「5 本以上のあみだくじ複素平面上で実感してもらいます。この方程式の解が根号の意味するとこの群が可解群でない」という定理です。ここは，交換子群という概念を用ろですから，これが第 6 章で展開する理論の舞台となります。

意すると，数学的にはすっきりと証明することもできますが，なぜ 4 次以

この章の後半では，「すべての n 次代数方程式は複素数の中に解を持つ」

下と 5 次以上に決定的な違いがあるのかが，具体的に分かるようにあみだという「代数学の基本定理」を証明します。これは第 5 章で体の拡大を考くじを使って証明してみました。ここも巻き道をとったところです。

えるとき，そもそも方程式に解が存在するのかということを肯定的に解決してくれます。代数学の基本定理は，第 5 章の内容が空理空論に陥らない

第 3 章は，「多項式」です。この章の初めでは，「対称式が基本対称式で10ためにも重要な定理です。
11

第 5 章は，「体の拡大と自己同型群」がテーマです。拡大体の例をあげていく中で，自己同型群，ガロア拡大の概念を紹介していきます。
ここでは，方程式のガロア群の部分群と拡大体の中間体が 1 対 1 に対応するといういわゆる「ガロア対応」を説明します。
ここはガロア理論の華とでもいうべき箇所で，雲の上に一面のお花畑が広がっているような景色を見ることができます。啓蒙書のツアーでは，こ本書では，ガロア対応の実例を示した後で，ガロア対応の証明をします。
啓蒙書ではなかなかフォローできていないところです。
第 6 章「根号で表す」では，いよいよピークの定理の証明に挑みます。
章の冒頭では 1 の n 乗根が根号で表されることを具体的に計算で示します。
1 の n 乗根が根号で表されることは，ピークの定理から導かれる事実です
が，具体的な計算は他書ではなかなかお目にかかれないところです。

こを向かいの山の中腹の山小屋から遠望するだけですが，この本のツアー

次に，3 次方程式，4 次方程式の解の対称性について調べます。第 2 章での参加者には，このお花畑に実際に降り立ち高山植物の写真を撮ってもら手に入れた正三角形の二面体群，立方体の正多面体群という装備が大いにいます。

役立つところです。続いて，１の n 乗根が作る体， x n -a = 0 の解が作る

このガロア拡大体の概念を定義するには大きく分けて 3 つのルートがあります。
ガロア拡大体の定義（１） 方程式の最小分解体（２） 有限次正規拡大体（３） （ガロア群の位数）＝（拡大体の次数）体の構造を十分に調べます。根号で表される数とは，これらの方程式を繰り返し用いて得られる数のことだからです。
後半では，第 1 章の最後の定理，第 2 章の群の理論，第 5 章のガロア対応の合わせ技で，最後の岩場を登ります。この岩場を登り切ったところにピークの定理があります。これで初等ガロア理論を制覇したことになります。第 5 章のお花畑に立った時の感動とはまた異なった感慨を持つことでしょう。ピークの定理登頂の余韻を楽しんでもらったところで，根号で解けない 5 次方程式を紹介します。

この本がとったルートは，（１）（最小分解体道）です。方程式の問題を扱うのですから，それから離れてしまう定義ではガロア拡大体が実感でき以上が，この本でとったピークの定理までのルートです。

ないと思ったからです。ここも具体例で実感してもらう本書のコンセプト

さあ，準備はよろしいでしょうか。道のりは長いですが，ゆっくりでけにあったルート選択となっています。

っこうですので，一歩一歩，踏みしめながら，一緒に頂を目指しましょう。

（２）（正規道），（３）（アルティン道）は方程式から離れてガロア拡大体を定義しています。
（３）は，アルティン流といわれる数学的にはすっきりとしていて魅力的な定義です。等式ですから，あとあとの証明の記述がずいぶんとクリアになります。しかし，線形代数に慣れていないと扱えない上に自己同型群を抽象的なまま扱うのが難点です。
1213

第1章

♳整数

♳

最大公約数を求める==================================================================

ユークリッドの互除法

最大公約数を求めるとき，中学生までは 2 数を素因数分解して，共通な素因数を探すという手順を踏んでいたと思います。2 数の最大公約数を求めるには次のような方法もあります。

最大公約数を求める

正方形のタイルを用いて，たて 185，よこ 851 の長方形を作ります。正方形の大きさをなるべく大きくとったとき，正方形の 1 辺の長さはいくらですか。
正方形のタイルを並べて長方形を作るのですから，長方形のたての長さ，よこの長さは，正方形の 1 辺の長さの倍数になっています。
逆にいうと，正方形の 1 辺の長さは長方形のたて，よこの長さの約数に

問 1.1

851，185 の最大公約数を求めよ。

理由はあとで説明することにして，次のように割り算を繰り返すと最大なっています。このうち，一番大きいものをとろうというのですから，答えは 851 と 185 の最大公約数になります。
851 と 185 の最大公約数を g とし，1 辺が g の長さの正方形のタイル（単位正方形と呼びましょう）で，たて 185，よこ 851 の長方形を作ることが公約数が求まります。

851'185 = 4余り 111

185'111 = 1余り 74

111'74 = 1余り 37

74'37 = 2余り 0できたとします。

851'185 = 4111という割り算を，長方形に関する操作で表せば，次のようになります。

111851

これによって，最後の割り算で，割る数であった 37 が，851 と 185 の最大公約数となります。

余り185185

2 数の最大公約数は，上の計算のように 1 つ前の式の「割る数」を「余111り」で割る割り算を繰り返していくことで求めることができます。今まで
2 数を素因数分解し共通な素因数を探していた人からすれば，割り算を繰

割り算は，たて 185，よこ 851 の長方形から，1 辺が 185 の正方形をとれり返すだけで最大公約数が求められることは驚きではないでしょうか。

るだけとることに対応します。たて 185，よこ 851 の長方形も，1 辺が 185

このような計算法は，ユークリッドの互除法と呼ばれています。の正方形も，単位正方形でできていましたから，こういう操作ができるこ

なぜこのような計算で最大公約数が求まるかを，初めにイメージで説明とに注意しましょう。

してみましょう。
851 と 185 の最大公約数を求めることは，次のような問題を解くことと同じです。

このように長方形から，短い辺の長さを 1 辺とした正方形をとれるだけとっていく操作を繰り返すと，いつかは長方形の余りなくピッタリと正方形がとれるときがきます。このとき，最後にとる正方形は単位正方形になります。

2425

第1章

♳整数

数学の言葉でもしっかりと説明しておきましょう。
定理 1.1最大公約数を求めるとなり r も g を約数として持ちます。もともと b は g を約数として持ちます
か ら，g は b と r の 公 約 数 で す。 公 約 数 は 最 大 公 約 数 以 下 で す か ら，互除法の原理]x, ygで x と y の最大公約数を表すことにする。

a, b を自然数とする。a を b で割った余りが r のとき，次が成り立つ。

]a, bg = ]b, r gg E h です。
また，b，r は h の倍数なので，自然数 cl ， rl を用いて，b = clh ， r = rlhと書くことができます。②にこれを代入して，

a = qb+r = qclh+rlh = ]qcl+rlg ha と b の最大公約数と，a と b の割り算をしたときの割る数 b と余り r の最大公約数が等しくなるというのです。
この定理を上に示した具体的な計算に繰り返し用いると，]851, 185g = ]185, 111g = ]111, 74g = ]74, 37g

a は h を約数に持ちます。b はもともと h を約数に持ちますから，h は aと b の公約数です。公約数は最大公約数以下なので， g F h です。

g E h かつ g F h が示されたので，g=h です。

（証明終わり）となります。851 と 185 の最大公約数と 74 と 37 の最大公約数が等しくなるわけです。74 は 37 の倍数ですから，74 と 37 の最大公約数は，37 と求めることができます。
割り算を繰り返し，最後に割り切れたときの割る数が最大公約数になっているのです。
割り算では，余りの数は割る数よりも小さくなりますから，余りは順次小さくなります。うまく割り切れず，最後には１になってしまう場合も考えられます。こういうときは，初めの 2 つの数の最大公約数が 1 です。a

問 1.2

次のそれぞれの式を満たす整数 x, y を 1 組求めよ。

（１） 17x+5y=1（２） 15x+6y=9（３） 15x+6y=5
実際のところ，答えを見つけるだけなら x を１，2，3， g と順に代入しと b の最大公約数が 1 のとき，a と b は互いに素であるといいます。て，それに対する整数 y があるかを調べた方が早いのですが，先につなが証明る話がありますので，ここは互除法を用いて解いてみましょう。

しょう。

]a, bg = g ， ]b, r g = h とおいて，実は g = h であることを示しま

a，b は g の倍数なので，自然数 al ， bl を用いて，

a = alg ， b = blg

gg ①

a を b で割った商を q とします。余りが r ですから，

a = qb+rgg ②

ポイントは，互除法を用いて左辺の式を係数の小さい 1 次式に変形していくところです。このように ax+by = d の形をした式の整数解を求める問題を 1 次不定方程式といいます。
17 を 5 で割ると商が 3，余りが 2 なので， 17 = 5:3+2と書くことができます。
これより， r = a-qb

これに①を代入して， r = alg-qblg = ]al-qblg g26

互除法は，次のような方程式の整数解を求めるときにも応用されます。

17x+5y = (5:3+2) x+5y = 5 (3x+y)+2x = 5z+2x5で括るとz-とおく
ここで， z = 3x+y gg ①とおきました。
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