授業予定（変更されたシラバス）①力の合成・分解の実験的理解②ベクトルの基礎事項と力③基本的な力：有効重力，バネの力，摩擦力 （小）④力の合成・分解，力のつり合い （小）⑤ベクトルと力の総合演習 （小）⑥微分の基礎事項と速度・加速度の定義⑦積分の基礎事項と位置･速度･加速度の関係 （小）⑧微分積分と位置･速度･加速度の総合演習 （＋確認試験１）⑨平面運動の位置･速度･加速度とベクトル・微分積分⑩力学の３つの基本法則１：導入 （小）⑪力学の３つの基本法則２：問題演習 （小）⑫放物運動１：運動方程式を解く （小）⑬放物運動２：問題演習１ （小）⑭力学の3つの基本法則・放物運動の総合演習 （＋確認試験２）
⑮まとめ
⑯期末試験

力学１≪学習到達目標≫
１）力の合成・分解をベクトルを使って説明できる。
２）基本的な力の法則（重力，ばねの力，摩擦力）の法則を説明できる。
３）速度，加速度の定義を説明できる。
４）力学の３つの基本法則を説明できる。
５）放物運動の運動方程式を解き，その運動を説明できる。

力学１ ６回目

第6回目 微分の基礎事項と速度・加速度の定義
今日の授業の目的
ニュートンが17 世紀に確立した「力学」という理論体系の基礎を身に付けることを目指す。「力学」の目的は次のように言える。
「力学」の目的：物体がどんな条件でどんな運動をするか知ること
物体の運動を知る上で最も重要な知識（法則）は，第5，6 章で扱う運動方程式である。運動方程式には既に扱ってきた「力」と，今回扱う「加速度」が登場する。この加速度を正しく理解・計算するためには，数学の「微分積分」が必要である。そこで，今回の授業の目的は，①微分の基礎事項を身に付けること，②微分を使った速度・加速度の定義を身に付けることである。

（テキスト p.74，p.83）（１）関数 （テキスト第17，20章）

y

量と量の関係⇒ 関数
１次関数 直線のグラフ
変化率：
横軸の量が変化したときの，縦軸の量の変化の激しさ∆⇒ 傾き∆
一般の関数 曲線のグラフ∆
平均変化率：∆傾き切片∆∆O∆∆ ，∆ は2文字で1つの量xy∆

∆∆O

∆

x

（テキスト p.83）（２）微分係数 （テキスト第20章）
一般の関数 曲線のグラフ∆
平均変化率：∆y∆∆∆∆O
微分係数（変化率）：
曲線のグラフのの点での変化の激しさ⇒ 接線の傾きy∆∆∆∆∆∆∆ ∆x∆接線

Ox

（２）微分係数 （練習）y

破線の直線はでグラフに接している。

1xO，とである。の区間の平均変化率における微分係数を求めよ。

を求めよ。

y（２）微分係数 （練習），と化率である。の区間の平均変を求めよ。

1xO
破線の直線はでグラフに接している。

における微分係数接線の傾きを求めればよいを求めよ。
，，

（テキスト p.83）（３）導関数 （テキスト第20章）

y接線2関数のグラフの，接線の傾きは，グラフ上の点ごとに異なる。

接線1Oxのグラフ上の各点 に対して接線の傾きを対応させる関数

導関数：，，，導関数を求めること・・・微分する
注意：この授業でははやむを得ない場合以外使わない。

（テキスト p.83）（３）導関数 （テキスト第20章）の微分（導関数）の定義：∆（6.1）
∆関数

yy∆

∆

接線∆O

接線∆∆∆

∆

xOを小さくする（∆）

x（授業プリント p.2）

注意1（関数への代入）：
例えば注意2：のとき，「変数 のすごくすごく小さな変化量」，は２文字（以上）で１つの量を表す。

分離したり，を約分したりできない！

（テキスト p.83，授業プリント p.2 ）（５）べき関数◍，の微分（導関数） 定義に従って求めようの場合
lim∆ →0lim∆ →0lim∆ →0lim∆ →0∆∆
∙∆

lim
∆ →0∆
∙∆の微分（導関数）∆∆

横軸の値が のときの，lim∆ →0∆∆∆∆∙∆のグラフの接線の傾きは

（テキスト p.83，授業プリント p.2 ）

◍，の場合

lim
∆ →0lim∆ →0lim∆ →0∙∆の微分（導関数）

lim
∆ →0∆
∆

∙∆

∙ ∆∆

∙ ∆∆
∙∆∆
∆

lim
∆ →0∆
∆
∙∆

lim
∆ →0

横軸の値が のときの，のグラフの接線の傾きは∆

（テキスト p.83，授業プリント p.2 ）◍ ， の値が任意の定数の場合：の微分
べき関数

時間 を考えることが多い。変数を から に置き換えて，べき関数の変数 による微分：（6.2）◎，と書いたが，の書き方をマスター〇して使うこと 。 ◎ の書き方は正解としない。

（テキスト p.85）（６） 演習１ テキスト問題演習20の問題20-3を解答する。
は公式（＃）を使ってただし，導関数求めればよい。

における微分係数も求める。 ここでは
(1)

２分３の記法を使ってよい。
(2)

（テキスト p.85）（６） 演習１ テキスト問題演習20の問題20-3を解答する。
(1)

（テキスト p.85）（６） 演習１ テキスト問題演習20の問題20-3を解答する。
(2)

（テキスト p.16）（７）位置と変位（第4 章）

物体が 軸上で直線運動する場合を考える。
位置（座標） は時間 の関数で表わされる。
［m］
例えば，※ 記号を節約するために変位：からと書かない。の間の物体の位置の変化量

∆x∆

O
∆

（テキスト p.17）（８）平均速度と速度位置を表す関数をとすると，
∆
平均速度：
[m/s]
∆x∆

例題4.10.0 [m]，8.0 [m] まで O
初め2.0 [s]かけて移動。平均速度は？
∆=
∆.

.
.

4.0 [m/s]

- グラフ

x

傾きが平均速度 ̅∆t- グラフ

ある時刻の（瞬間の）速度は？
接線の傾き

物体の速度の定義：[m/s] （6.3）

Ot（テキスト p.18）（１０）平均加速度と加速度

- グラフ

速度の関数

が求まれば，∆
平均加速度：[m/s2]∆

例題4.2 初め静止していて， 3.0 [s]
6.0 [m/s] まで加速。
かけて平均加速度は？
∆=
∆.

.
.

/

傾きが平均加速度

∆∆t

O
- グラフ

2.0 [m/s2]

ある時刻の（瞬間の）加速度は？
接線の傾き

物体の加速度の定義：[m/s2] （6.4）

Ot（テキスト p.18）（１１） 演習２ テキスト例題4.3に取り組む。グラフも描く。
速度が[m/s]と表されている。
(1)[s]における物体の速度は？
[s]における物体の加速度は？
(2)

２分３

（テキスト p.18）（１１）演習２ テキスト例題4.3に取り組む。グラフも描く。
速度が[m/s](1)[s] の速度は？にを代入して，[m/s][m/s][s] の加速度は？
(2)
速度を微分して加速度を求める。
==[m/s2]にを代入して，[m/s] 2[m/s2]

[m/s]
94
1
3 2 1 O1 2 3t[s]（テキスト p.16）（１２）等速直線運動
物体が［m/s］の等速直線運動を行っている。
位置はどんな関数？ 速度の定義（6.3）から，は微分したら（定数関数）になるような関数
位置［m/s］⇔［m］を微分すると，なることを確かめよ。

3［m/s］にx切片

等速直線運動0傾き（１３）演習30［s］での位置 050［m］だとする。
この場合の定数 の値を求めよ。

033に0tO0 を代入する。
050［m］だから，50 ［m］

（テキスト p.85）（１４） 演習4 問題演習20 の問題20-1，20-5に取り組む。
[m]で与えられている。
問題20-1 位置が(1) べき関数の は？ (2)は？ (3)
は？
問題20-5 次のは？

(1)
(2)

２分
３は？

（テキスト p.85）（１４） 演習4
問題20-1 位置が(1) べき関数の は？
(2)は？

[m]で与えられている。

(3)

=は？

[m/s]

（１４） 演習4
(1)

(2)

問題20-5 次のは？

（テキスト p.85）

は？

第6回授業 レポート課題
テキスト第4 章の問題演習4 から，問題4-1［項目(7)(8)，例題4.1参照］，問題4-2［項目(10)，例題4.2参照］，問題4-7［項目(5)(10)，例題4.3参照］，問題4-9［項目(5)(10)参照］を解け。
注意：テキストの解答は略解であり，答案として必要な部分が省略されている場合がある。計算式だけでなく，説明文や適切な図を加えて，答案を作成することを心がけよ。答案作成力も見る。
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提出〆切：答案用紙を，次週の木曜日１３：００までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

・レポート解答用紙
・次回の授業プリント（これに今週のレポート課題も記してある。）

を必ず持って帰ること