平 成 31 年 度 A 日 程学 力 検 査 問 題

3数学

注意

１

開始の合図があるまで問題用紙を開いてはいけません。

２

解答用紙は問題用紙の中に挟んであります。

３ 問題用紙は表紙を除いて７ページで，問題は １ から ６ まであります。
４

開始の合図があったら，まず，問題用紙および解答用紙の所定の欄に受検番号を書きなさい。

５

答えはすべて解答用紙の指定された欄に，最も簡単な形で書きなさい。

受検番号

１ 次の（1）～（4）の計算をしなさい。
（1） 2 − 9 −（− 4）（2）

7x＋2＋x−33（3） 8 a ÷（− 4 a 2b）× ab2（4） 43÷

2 ＋ 54−1−

２ 次の（1）～（9）の問いに答えなさい。
（1） 面積が 15 cm2 の三角形の底辺の長さを a cm，高さを b cm とする。このとき，b を a の式で表せ。

（2） 2 次方程式 x 2−ax−12 ＝ 0 の解の 1 つが 2 のとき，a の値ともう 1 つの解を求めよ。ただし，答えを求める過程がわかるように，途中の式も書くこと。

（3）9＜2n ＜ 5 となるような自然数 n の個数を求めよ。

（4） y は x に反比例し，x＝−3 のとき y ＝ 8 である。x ＝ 6 のときの y の値を求めよ。

（5） 関数 y ＝ x 2 について，x の変域が a ≦ x ≦ 2 のとき，y の変域は 0 ≦ y ≦ 9 である。このときの a の値を求めよ。

（6） 103 2− 97 2 を計算すると，答えは 1200 となる。この式は，因数分解を利用することや文字でおきかえることによって，くふうして計算することができる。103 2− 97 2 を，くふうして計算せよ。ただし，答えを求める過程がわかるように，途中の式や計算なども書くこと。

−2−

（7） 右の図は，円柱の投影図である。この円柱の体積を求めよ。
ただし，円周率はπを用いること。

8 cm
6 cm

立面図

平面図

（8） ある中学校の 3 年生 70 人について，夏休みに読み終えた本の冊数を調べた。この 3 年生
70 人が読み終えた本の冊数の中央値を計算すると，6. 5 冊であった。
この結果から必ずいえることについて述べた文として正しいものを，次のア～エから 1 つ選び，その記号を書け。
ア

3 年生 70 人が読み終えた本の冊数の平均は，6. 5 冊である。

イ‌ 3 年生 70 人が読み終えた本の冊数を多い順に並べたとき，多いほうから数えて 35番目と 36 番目の冊数の平均は，6. 5 冊である。
ウ‌ 3 年生 70 人が読み終えた本の冊数のうち，最も多い冊数と最も少ない冊数の平均は，6. 5 冊である。
エ‌ 3 年生 70 人が読み終えた本の冊数を度数分布表に整理すると，6. 5 冊を含む階級の度数が最も多い。
（9） 下の図のような，三角形ＡＢＣがある。次の【条件】①，②を満たす点Ｐを，定規とコンパスを使い，作図によって求めよ。ただし，定規は直線をひくときに使い，長さを測ったり角度を利用したりしないこととする。なお，作図に使った線は消さずに残しておくこと。
【条件】①3 点Ｂ，Ｃ，Ｐを頂点とする三角形ＢＣＰは，ＢＰ＝ＣＰの二等辺三角形である。

②∠ＢＣＰ＝∠ＡＣＰである。

ＡB−3−C３下の図のように，ＡＢ＝ 6 cm，ＢＣ＝ 8 cm，ＣＡ＝ 3 cm，ＢＥ＝ 12 cm の三角柱ＡＢＣＤＥＦがある。点Ｐは，点Ｂを出発して辺ＢＥ上を毎秒 1 cm の速さで動き，点Ｅで停止する。
点Ｑは，点Ｃを出発して辺ＣＦ上を毎秒 2 cm の速さで動き，点Ｆで折り返して点Ｃに戻ったところで停止する。2 点Ｐ，Ｑが同時に出発し，出発してからの時間を x 秒（0 ≦ x ≦ 12）とする。
このことについて，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1） 0 ≦ x ≦ 6 のとき，四角形ＰＢＣＱの面積を，x を使って表せ。
（2） 線分ＰＱが長方形ＢＣＦＥの面積を 2 等分するときの x の値

DEFをすべて求めよ。
（3） 三角形ＤＰＱがＤＰ＝ＤＱの二等辺三角形となるとき，線分PＰＱの長さを求めよ。

B−4−A

QC

４

下の図のように，さいころの 1 から 6 までの目が 1 つずつ表示された 6 つの箱がある。それぞれの箱の中には，表示されたさいころの目と同じ数の玉が入っている。大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ，それぞれのさいころの出た目の数によって，箱の中の玉を移動させる。このとき，下の（1）・（2）の問いに答えなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

（1） 大きいさいころの出た目と同じ目が表示された箱から玉を 1 個だけ取り出す。その取り出した 1 個の玉を，小さいさいころの出た目と同じ目が表示された箱に入れる。このとき，次の①・②の問いに答えよ。
①

空の箱ができる確率を求めよ。

②

6 つの箱のうち，入っている玉の数が同じ箱が 3 つできる確率を求めよ。

（2） 大きいさいころの出た目と同じ目が表示された箱から玉をすべて取り出す。その取り出したすべての玉を，小さいさいころの出た目と同じ目が表示された箱に入れる。このとき，
6 つの箱のうち，入っている玉の数が同じ箱が 2 つできる確率を求めよ。

−5−

５

下の図において，①は関数 y ＝ x 2，②は関数 y ＝ ax 2 のグラフであり，a ＜ 0 である。点Ａ，Ｂは①のグラフ上にあり，点Ａの x 座標は 2 で，点Ａと点Ｂの y 座標は等しい。点Ｃを y 軸上にとり，点Ｏと点Ａ，点Ｏと点Ｂ，点Ａと点Ｃ，点Ｂと点Ｃをそれぞれ結んで，ひし形ＯＡＣＢをつくる。また，②のグラフ上に，点Ａと x 座標が等しい点Ｄをとる。このとき，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1） 点Ｃの座標を求めよ。

y①

C（2） x 軸上に点（3，0）をとる。点（3，0）を通り，ひし形
ＯＡＣＢの面積を 2 等分する直線の式を求めよ。

BA（3） 点Ｏと点Ｄを結んだ線分ＯＤを 1 辺とする正方形をつくる。
この正方形とひし形ＯＡＣＢの面積の比が 25：64 でOあるとき，a の値を求めよ。

②−6−2Dx６

下の図のように，線分ＡＢを直径とする円Ｏがある。円Ｏの周上に点Ｃをとり，ＢＣ＜ＡＣである三角形ＡＢＣをつくる。三角形ＡＣＤがＡＣ＝ＡＤの直角二等辺三角形となるような点Ｄをとり，辺ＣＤと直径ＡＢの交点をＥとする。また，点Ｄから直径ＡＢに垂線をひき，直径ＡＢとの交点をＦとする。このとき，次の（1）・（2）の問いに答えなさい。
（1）ＡＢＣ ∽D

ＤＡＦを証明せよ。

（2） ＡＢ＝ 10 cm，ＢＣ＝ 6 cm，ＣＡ＝ 8 cm とするとき，線分ＦＥの長さを求めよ。
AO E
F

B

C−7−

平 成 31 年 度 B 日 程学 力 検 査 問 題

2

数学

注意

１

開始の合図があるまで問題用紙を開いてはいけません。

２

解答用紙は問題用紙の中に挟んであります。

３ 問題用紙は表紙を除いて５ページで，問題は １ から ４ まであります。
４

開始の合図があったら，まず，問題用紙および解答用紙の所定の欄に受検番号を書きなさい。

５

答えはすべて解答用紙の指定された欄に，最も簡単な形で書きなさい。

受検番号

１ 次の（1）～（5）の計算をしなさい。
（1） − 2 −（− 7）＋ 3（2） − 4 2 ÷

（3）

85

5 x＋2 y3 x−y－36（4） 6 a 2 ÷ 3 b×（−a b 2）（5） 36÷

3 −8−1−

２ 次の（1）～（6）の問いに答えなさい。
（1） 4 人が 1 人 a 円ずつ出し合ったお金で，1 個 b 円の商品を 8 個買ったときの残金は 60 円であった。このとき，a を b の式で表せ。

（2） 2 つの数 x，y があり，x ＜ 0，y ＞ 0 である。このとき，x，y の四則計算について述べた文として正しいものを，次のア～エからすべて選び，その記号を書け。
アx ＋ y を計算すると，その答えは必ず正の数となる。

イx − y を計算すると，その答えは必ず負の数となる。

ウx y を計算すると，その答えは必ず正の数となる。
xを計算すると，その答えは必ず負の数となる。
yエ（3） 2 次方程式 x 2 − 7x ＝ 0 を解け。

（4） y は x の 2 乗に比例し，x ＝ 3 のとき y ＝−27 である。x ＝− 4 のときの y の値を求めよ。

−2−

（5） 右の図のように，点Ａ，Ｂ，Ｃは円Ｏの周上にあり，

Ｄ∠ＡＯＢ＝ 44°，ＡＯ ＢＣである。点Ｄを，点Ｂを含まない弧ＡＣ上にとるとき，∠ＡＤＣの大きさは何度か。

AOBC（6） 2 つのさいころＡ，Ｂを投げるとき，さいころＡの出た目の数を a，さいころＢの出た目の数を b とする。このとき，a ＋ b の値が 8 の約数となる確率を求めよ。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

−3−

３下の図は，関数 y ＝

1 2x のグラフで，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄはこのグラフ上にある。点Ａの x 座標
2は−4，点Ｃの x 座標は 2 であり，線分ＡＤと線分ＢＣはともに x 軸に平行である。このとき，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1） 点Ｄの座標を求めよ。

y（2） 2 点Ａ，Ｃを通る直線の式を求めよ。

AD（3） 点Ｂを通る直線をひき，線分ＡＣ，ＡＤと交わる点をそれぞれＥ，Ｆとする。三角形
ＥＢＣと三角形ＥＦＡの面積の比が 16：25であるとき，点Ｅの座標を求めよ。

B−4−4−CO2x４

ちはるさんは，数学の授業で出された，次の〔問題〕に取り組んだ。下の〔ちはるさんのノート〕

は，ちはるさんが文字式を使って正しく値を求めたノートの一部である。このとき，下の（1）～（3）の問いに答えなさい。
〔問題〕

次の式をくふうして計算せよ。
18×19＋19×20＋20×21＋21×22〔ちはるさんのノート〕【問題】
18 × 19 ＋ 19 × 20 ＋ 20 × 21 ＋ 21 × 22‥‥‥‥ ①【解答】①の 20 を a とすると，18 はア，19 はイ，21 はウ，22 はエと表される。
このとき，①を a を使って表すと，

オ

（1）

ア～

（2）

オには，解答の続きが入る。

エに当てはまる文字式を，それぞれ書け。
オを完成させよ。
（3） 38 × 39 ＋ 40 2 ＋ 41 × 42 を計算せよ。

−5−に入る内容を，言葉と式を使って書き，解答