D．C．optimizationinrobustcontroIsynthesis
H．D．Tuan，細江 繁幸，P．Apkarianlllllll‖‖‖‖削‖ll川Illlll…………‖‖‖‖‖‖川l……州……lllll‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖mlllll‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖州Il…lllll…llll…＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖洲‖1

2．非凸性ランクの低いd．c。最適化問題
2．且 非凸関数の凸集合上での最小化
1． はじめに

非凸性ランクの低い一般的なd．c．最適化問題は次のように与えられる：

ロバスト制御理論はここ10年間で著しく発展し、産業の多くの分野で応用されている。この制御の目標

は、測定誤差や外乱、あるいは制御系のモデリングの際に無視されたダイナミクスの影響など、さまざま不確かさのもとでも、制御系の安定性と制御性能を保持することである。

このためロバスト制御理論では、不確かさそのものをシステムモデルの一部として組み込み、制御系設計がなされる。この方法は色々あるが、たとえば図1に示した線形分数表現（LFT）システムがその一例である。図中の△で示された部分が不確かさを表す。
本解説では、ロバスト制御問題と非線型関数の大域的最小化問題との関連について述べ、代表的なロバス
ト制御問題がd．c．制約（凸関数の差で表される制約）の下での凸関数の大域的最小化問題、あるいは凸線形

行列不等式（LMI）制約の下での非凸関数の最小化問
題に帰着できることを示す。d．c．最適化問題は、最近、非凸大域的最適化問題として盛んに研究が進められ、有望視されている領域である。また、ロバスト制御問
題におけるd．c．最適化問題は、比較的少数の変数（複雑化変数）を固定すると凸問題になる特徴を持つ。すなわち、〔6，11］の用語に従えば問題の次元と比べ非凸度は低い。したがって、これらの特徴をうまく使うと、たとえば複雑化変数だけで分枝を行うような効率的な分枝限定法（BB）を導くことができる。

（P）

min（山（諾，訂）i（諾，y）∈ダ⊂月mx月m）

ただしダは凸集合、山（諾，y）は非凸関数で、諾を固定すると（封について）凸関数になる。すなわち、∬＝（￡1，…，￡m）′が複雑化変数である。（P）を解くためのBB法は以下の2つの基本操作からなる。：
1．分枝：複雑化変数∬＝（∬1，．．．，∬m）の空間を有限個の凸集合（たとえば多面体）に分割する。繰り返しの各段階で、設定された規則に従って分割集合のうちの1つ〟を選び、それをさらに分割する。

2．限定：分割集合の1つ凡才が与えられたとき、次式を満たす数β（〃）を求める。

β（〟）≦山（〃）‥＝inf（山（∬，封）】（諾，訂）∈鞄）， （1）
ここで砧＝（（∬，訂）∈ダー￡∈〟）．一般的な限定法は、〟上での山（∬，封）に対する凸な下界関数、すなわち￠〟（諾，訂）≦山（∬，y）∀y，∬∈几れ（2）を満たす凸関数￠〟（∬，封）を求めることである。これ
により、β（〃）は凸計画問題

min仲〟（諾，y）l（∬，訂）∈鞍）（3）を解いて直ちに求めることができる。

繰り返しの各段Kで可能解を求め、それらを含めてこれまでに求められた可能解の中で最小の山値を与える解を定める。これがK段目での最良解である。以下、LJの最小値をcbv（currentbestvalue）、解をcbs

H．D．nlan，ほそえ しげゆき名古屋大学工学部電子（currentbestsolution）と記す。このとき、もしもこの機械専攻 〒464−8603 名古屋市千種区不老町

Cbvよりもβ（〟）が大きいような分割集合〟があれ

P・Apkarian ONERA−CERT，2av，Edouard Belin，ば、それらの集合上の可能解の∪値はすべてcbvよ31055Tbulouse，Fhnce
1999年5月号

り大であるので、今後の探索からはその集合を取り除© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（25）247m

くことができる。一方、Cbvよりも小さなβ（財）をあ￠財（勘Ⅷ）＝ fl（封）＋∑［み（p豆）たえる分割ガに対しては、β（財）が最小である分

壱＝1

割財柁を次の探索領域として選ぶのがもっとも有望＋（7）

廃立（酌）∵み（p壱）‥′・∫・．りqf￣才）fである。したがってこれをさらに分割し分枝限定を進で与えられる。

める。このとき分枝限定は収束条件、踪→＋∞のとさて（諾（財），封（財））を（3）の最小解とする。もし、こき揖（jぼ柁）仙β（財柁）→0、を満たす必要がある。普通、

れの山値が前のcbvよりも小ならば山（∬（財），封（財））がE＞0が与えられたとき、この差がgより小となったら

新

BBアルゴリズムを止める。

し

いcbsに

な

る 。さ

ら

に

、￠財（￡（財）フ野（財））＝山（∬（財），封（財））であれば（たBBアルゴリズムの収束性はβ（財）の決め方によっとえば∬壱（財）∈‡裾軌）∀嘉となるとき）、β（財）は財て大きく影響される。もちろん、￠財（勘牒）が山（ち牒）

上での（㌘）の真の最小値であり、したがって繰り返しに対す−るより正確な近似であるほど、β（財K）がにおける朋￣の選び方から（㌘）の大域的な最小値とな

揖（財托）により近く、したがってど近似解を得るに必要る。よって、一般の（4）式の場合にはしト分割法［m］をな繰り返しの回数も少なくてすむ。

利用し、とくに晶（∬）が（6）式で与えられる場合には収束速度を決めるもう1つの重要な要素は集合の次の改良された方法を用いることができる。

分割方法である。多くの場合、繰り返しの過程で得らÅd耶）も鼠ves岨b適量Ⅴ畳s畳om訂Ⅷ且e。〟＝b，守］であるときれる情報をもとに適応的に分割を変える手法を適用すると、大きく収束を改善できることがある。

宜財∈argた．m

ロバスト制御問題では、関数u（勘牒）は次の形であとし、直線勘厄＝勘厄（財）によって財を2つの直方ることが多い。

体に分けよ。

山（諾，謝）＝為（封）＋プ2（∬）（4）

ただし、∫1は凸、ヂ2は凹関数を表す。このような場

乱望非曲集舎患の凸関数の最小化

合には、【6，叫で提案されている単体を用いたアルゴ
この節では前節とは対称的に、山（ち牒）は線形関数

リズムが適用できる。すなわち、凡才⊂屈mは単体とで、拘束条件（￡，封）∈ダが非線型である場合に、（P）し、その頂点が視1）視2，…フ視m＋1であるとすると、（2）の最小化問題を考える。
式を満たす関数￠財（笹牒）はここでも、（￡，汐）∈ダは∬を固定したとき封に関し
m＋1て凸、すなわち、変数諾＝（￡1∋…，諾m）′が複雑化変数毎（勘牒）＝摘）＋∑Å宜∫2（視壱）（5）とする。たとえば

壱＝1

ただし
m＋1

ダ＝げ∩β

7m＋1

諾∈財⇔￡＝藍Å壱視五っ聖人壱＝1，入i≧0，
壱＝1

（9）

で、CがmMIで記述される凸集合、βが次のような

壱＝1

m＋1

の非凸集合で与えられる場合である。

（勘Ⅷ）∈厨厄⇔（聖人壱㍊壱，封）∈ダ
宜＝1の＝‡（笹牒）＝せ呂（封）＋鳥（∬）≦0）（Ⅷ）

で与えられる。

ただしヂ1は凸関数、プ2は凹関数。

また、（4）式の関数廃（∬）が変数諾宣に関して分離可このような問題に対するBBアルゴリズムの展開には能で凹、すなわち、与えられた分割集合 財 に対して（1）式を満たすm

戯（諾）＝∑み（諾壱）（6）

β（財）を計算する必要がある。このための1つの一般

宜＝1となることがしばしばある。ただし、 みぃ 豆 ＝乱，…フmは凹関数である。この場合には、単体による分割アルゴリズムよりも直方体分割の方が有効である。すなわち、任意の直方体財＝b，智］⊂屈mに対して，（2）式を満たす凸下界関数は
盈鳳鼻（26）

的な方法は
ガ財つ鞠：二‡（ち牒）∈ダ1∬∈財）▲

を満たす凸集合ガ財、たとえば
ガ財：＝Cnconv（（勘Ⅷ）l（￡，封）∈玖諾∈財）（12）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ￠リサーチ（11）

を求め、次の凸問題の最適値β（〟）を計算する方法で馳pg・ざ几のうち、β（〟）＞u（∬K，封几）−eであるよある。

うな〟はすべて削除する。残った集合を花代とする。
もし花代＝￠であるなら、終了。（∬K，訂代）が最適解。

min（u（ご，訂）‡（ご，封）∈ガ〃）．

（13）∫毎夕．前述の分割法の1つをこのとき、β（〟）は山（￡，y）の鞍上の下限、すなわMK ∈ argmin（β（M）lM ∈ 7an）に適用しち、（1）式を満たす。

、多面体〃K，1，〟K，2，…・，〟代，ゼ に分割する。几㌔＋1＝（〟K，1，〟K，2，…・，〟K，ゼ）、β 1＝（花K＼吼）uJ焔＋1と拘束集合を近似凸集合で置き換えたことにより、最おく。

適解（ご（〟），y（〟））は必ずしも可能解とはならないことに注意する必要がある。可能解は次の最小化問題を

凡←毘＋1としてβ桓Jに戻る。

解いて得られる。

3．制御問題におけるd．c．構造と解法

min（〕（∬（〟），封）：（∬（〟），y）∈君M）．

（14）

これは、∬が一定値諾（〟）に固定されているので凸問

3．且 問題の定式化
図1のフィードバックシステムについて考える。図中、Gはノミナルプラント、△はその不確かさを表し題である。

前の節で述べた単体あるいは直方体分割はこの場△（り＝diag（∂1（りJ，・・・，∂豆（りJ，△1（り，…，△J（り）（16）合にも適用可能である。
集合ダが（9）−（10）式の形で与えられ、かつ、任意ので与えられる。この構造を以下では≡で表す。また、

直方体〟＝b，抑こ対してム（諾）が（6）式のように変祝は制御入力、ぴは外生信号、Zは被制御量、yは観数ごとに分離した凹関数であるなら、（11）式を満たす

測信号を表す。
ロバスト制御の基本問題はロバストパーフォマンス問

集合ガ〃は次のようにとることができる。

題（RPP）と呼ばれる［13】以下の条件を満足する制御
ガ〟＝Cn（（諾，y）：ゆ〃（諾，封）≦0，諾∈〃） （15）￠〃（諾，封）は（7）式でんムの替わりに見，長を用いて与器封＝∬（祝）を求めることである。

● 閉ループ系は次式を満たす任意の不確かさ△に対して安定。△（りr△（f）≦J， f≧0

えられる。

・7＞0が与えられたとき、Wからzへのエ2誘

2．3 一般的なBB計算法

導ノルムが7未満。すなわち事酬2＜711洲2．
さて、以上でd．c．最適化問題とそれに関連する分枝限定法についての一般的な概念の説明は終了した。

最適ロバストパーフォマンス問題（ORPP）はRPPがこれらを元にして、許容量亡（＞0）が与えられたとき、可解である最小の7＞0を求める問題をいう。また、（P）の大域的な最適解を求める次のBB計算法が得ら

誘導ノルムの条件は考えず、たんに不確かさ△（りの下れる。

での安定化を考える問題はロバスト安定化問題RSPと呼ばれている。

BB計算法（BBS）

初期化：複雑化変数∬の定義域を含んだ単体あるいは多面体（単体や直方体）の集まりノ情から開始する。
51＝爪，K＝1とおく。
励epJ・すべての〟∈凡に対して、「卯式または「J刃式の問題を解き、β（〟）と分割〟における最適解（ご（〟），y（〟））を求める。Cみβ（∬K，y尺）を次のように定義する。ダが凸であるときには、すべての可能解（∬（〟），y（〟）），〟∈J佑の中で最小の山値を与えるものを求め、これが前段のcわuより小なら、（諾K，yK）

図1thefeedbacksystemを更新する。ダが凸でない場合には、（∬尺，y掟）の最小化問題の解を用いて同じ事を行う。
1999年5月号

以下では、図1のシステムを次の状態方程式で表す。
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（27）249

且11（∬，ぶ，γ）＝＼・、●j二ゝ・‥い−J、・● ′∴・∬⁚

むいげ2 且）2△

腰1

∫ J け

二

ぴ1 朋1△哉‰鋸︒

・∫ ．／ヽ

げ△ ガ△△A 腰△且12（フβっ甘）＝△（￡）（，

g腰△1 一方

且22（動↑）＝

また、阻PPの解を導出するために、△の構造に応じ

0 −7∫

β11

て以下のスケーリング行列の集合を用意する。

O

軌1（祈∑，『）＝、・丁 ・・こ・・β≡＝diag［gl，…フぶ壱，β1厨，…，βjJ］，−

yC㌻ 眉△∑ 腰1￠12（祈∑，『）ニ

二陀＝diag［孤っ…，郡フ0フロD・。フ0］Ⅳ弘 一‰△∑＋＿β△1

ー7J ガ1△∑ β11・ご・∴さ 一二 ：、￠22（∑っ↑）＝

ここで ぶ壱 は正定行列であり、弟 は歪対称行列

：・・−

・Jl

（耶＝イげ）である。

凱2 叩般⑬≡の場合の軋c。構造以上の準備の下で、視∞ 制御の線形行列不等式

監M‡による解法回を適用し、さらに行列の計算を（飢）−（25）式の拘束条件付mMIは、次の補題を用い行うと次の結果を導くことができる［恥ると、プが（4）式の形である場合の問題（β）に変換される［2］。

T庖eore王n 且

鮎emma且「釘ノイβり式の拘束条件付且朗甘が可解でノ〉支およびノ航′をそれぞれ行列［C2，ガ2△，ガ21，0］おある必要十分条件は以下に述べる問題㌘Bが最小値

よび［β㌻，β芸2ヲβ毘ヲ叫の零空間の任意の基底とする。

t）を持つことである。

このとき、児βPが可解である必要十分条件は以下のP迅≡ m鼠m孟m畳ze取（Zl柵Z3Z㌻1宥）（26）

拘束条件を満たす対称行列の対（X，y）、（且∑）およ随mde野鼠M‡（21）−（24）amd．

（ZlフZ2フZ3）が（21）−（錮），（27）式に対する可能解且‖（斗牒昔）且12（∬，β，r）
鳩であるとき、Z2＞0であることに注意しよう。ま＜ 0（21）た、∬ ＝（Z2，Z3），封 ＝ Zl，プ1（封）＝rm（封），廃（諾）＝桟（旦牒げ） 且22（旦7）
＼一ノ

・＼

∫

﹁﹂

￠毘（祈∑，訂）￠22（∑，γ）

りム
ヽソ︼
︵
︵U

媚

＜

軌1（祈乳甘）Q12（y∑，訂）の形であり、拘束集合（21）−（24），（27）の上で∫1（封）
り−

︶
3

︵
O

＜

y

は凸、彪（諾）は凹関数になっていることを簡単に示すことができる。さらに、ダ ＝（（Zl，Z2，Z3）

︶
4
り﹂
′し
O

＜

﹈

︹∂ ︵U

O

ト

一［言

一散（Z3ZJl符）とおくと、目的関数（26）は（4）式∃（∬，y，β，∑，r，『）5．f．（2且）−（24），（27））は凸のmMI拘∑束である。したがって前節のBBSを用いてP恐を解くことができる。詳細は［2］を見られたい。

拘束条件

同様にしてORノPPも次のようなd．c．問題に帰着で（ぶ＋F）￣1＝（∑＋訂），

きる。
（25）

miml′：（21）−（24），（27）

ここで、各行列は以下で与えられる。
霊5窃（28）敬（Zl−Z3ZJIz㌻）≦0© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ￠リサーチ

（28）

（29）

l一

7
2
′し
0

（∑＋『）γ 0∫甘匝ノ次の拘束条件付且肌が可解。

∫

J

0

（ぶ＋γ）T

＜一

・′

＋

イご、

β＋ア
﹇l

（20）

Z3

∑

（嘉） ぶ，∑∈ぶ≡かつ訂，r∈二柁。

ZIg

び歪対称行列の対（町昔）が存在することである。

4．応用例

ただし、この場合非凸である変数（Z2，Z3）の次元が高いためBBSを直接適用することは多くの場合得策で

図2のアーム駆動型倒立振子（ADIP）のロバスト制はない。7。ptの探索は2分割法を用いたほうが実際御について考えよう。図に示されているように倒立振的である。

子は2つのリンクから構成されている。駆動源は第13．3 対角スケーリングの場合の分離構造

リンク（アーム）下部に取り付けられ、アームと第2リンク（倒立振子）の間に駆動源はない。制御の主目（16）式で盲＝0であるとき、すなわち、不確かさを的は、アームを任意に指定された角度だけ回転し、か表す部分行列がすべてフルブロックであるとき、（18）−つ、倒立振子を垂直に保つことである。実験装置の詳（19）式からわかるように歪対称行列の部分はなく細については文献［5］を参照していただきたい。
S＝diag［xII，・・・，∬jI］，∑＝diag［ylI，…，yjZ］となる。

このとき、（25），（24）式はそれぞれ

（30）

＜一

0

1一勘

・J∑揖

・J∑揖

−［：≡］≦0（31）と等価であることが示される［8］。（30）式は、さらにJJ山（∬，訂）：＝∑眺一云≧01（32）

図2 Theinvertedpendulum

壱＝1と書きかえられる。したがって、RPP（（21），（22），（23），（30），（31））は次の大域的最適化問題の最小値

ここで状態変数ベクトルを諾＝＝［z 乏 γ訂 恥］rとが0となることと等価である。

とる。ただし、γ。はアーム先端の水平位置（γyは高min（〕（諾，y）：（21），（22），（23），（30）・さ）、β1，∂2はそれぞれアームおよび振子が垂直軸と（33）なす角度、Zはz‥＝r訂＋喜g2Sinβ2で与えられる。こ明らかに（33）はu（∬，y）が（4），（6）式の形で、ム壱＝のとき、次式のようなADIPのLFT状態空間表現が−1／∬ゎj＝mとおいた場合に対応する。したがって、得られる［5］。

直方体分割を用い、下界凸関数として（7）式を用いた

よ ＝ A∬＋β△ぴ△＋β祝

BBSを適用することができる。

Z△ ＝ C△ご

一方、ORPPはこの場合は次の最適化問題になる。
min7：7＞0，（21），（22），（23），（30），（34）

山（￡，封）≦0・（35）

ぴ△ ＝ △z△，
ただし

γy O

これは、目的関数が山（∬，封）＝γなる線形関数で、ダが（9），（10）式の構造を持つ場合に対応する。普通、￡△：＝O sinβ2

O

0

（36）

0 0 sinβ2の次元はあまり大きくないので、2．2節で述べたBBS

また、アームの駆動範囲が指定されれば、パラメータを用いて効率的に解くことができる。

の大きさを基準化し△＝diag（∂1，∂2J2），l∂去l≦1，宜＝最適スケーリング問題に対するその他のd．c．最適化

1，2とできる。すなわち、△の構造は（16）式で豆＝アルゴリズムについては［7］を参照されたい。

j＝1とした場合である。したがって、本稿で解説しRemark．（34）式の最小化問題については［12］でcoveringmethodが提案されている。本稿で紹介した方法との比較については［10］を参照されたい。
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たロバスト制御系の設計法が適用できる。
次ページの表はアルゴリズムの性能を繰り返しの回数とcpu時間で示したものである。計算は CPU© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（29）251

非常に困難な制御問題の大域的最適解を求める問題

F恥

BBS

に対し、包括的な解決法を展開するための出発点としても有用である。

0．2

3

65．74sec．

け191ぐ）

且0148。03sec。

適用したが、いずれも結果は良好であり、非常に期待0。乱90510

且52。09sec

できるものであった。また、その際、良く知られてい0。且9042

56．08sec

る古典的な微分最適化法や組み合わせ非凸最適化の

筆者らはここで紹介した方法を数多くの数値例に0．19し）312．3sec．

0∩且8362

錮．80sec，ほ（imり 793．01secの。孔＄375

表鼠 f：thetestfails；imf：nO ZerO Optimalvalue（in−feas．）

最近の結果を同時に用いることが有効であった。

・∴、−・∴・−［1］P虫Apkarian，P．Gabinet，AConvexCha∬aCterizatiom
O厨Gaim−Sche血1ed梨∞COntrOllers，躇厨厨コサα柑β．A祝−
ねmα富壱c（ブom如g40（1995），853−864・Seealsopp．1681．

［21Pu Apkariam，H。Ⅲ・Tuan，Robl且S七COn七rolviaconcave
mimimiza七iom＝ 払caland globalalgorithms，PγOC．0∫
CβCブタ9β，alsotoappearinJ厨屈原二けα乃β．A祝舌omα古瓦c（T（川巨、吊PemtiⅦm瓦Ⅰ330MhzのPC上で行った。mMIに関係した計算はすべて且風甜Co犯如g鞄0伽∬［句を用いて行った。また、BBSを利用した計算は、始めにFrankと勒1fの局所最適化アルゴリズム 押阻）を用い、それが失敗した後で（ここでは7＝0・1903）で適用した。

記号7雷フは『ⅦAでは対応する7値が達成できなかったことを示す。いっぽう、記号フimfワは与えられた7に対しては可能解が存在しないことを示す。
他の応用例については［8］を参照されたい。

［3】P・Apkarian，H・D・馳an，Concave programmingim

COn七rol七heory，tOappearimJ．0∫Cgoむα〜0画m五zα如乃．

［句P．Ga血in叫A．Nemirovski，A．La11b，M．Chilali，且〟g
COれ宮γのgわ0伽∬フTbeMatb．WorksInc．，1994．
［5】H・Ⅸajiwara，P・Apkarian，P・Gah五ne七，Wide−ramgeSta−
bilizaもiomofan armpdriveninver七edpenduluml皿Slmg
limear parameter一Varylng七echmiques，in A〟lA仇宜d．フⅣα仇αmd Co柁まrog Coγげ，Bos七on，199臥［6］班・Konno，P・T・Thach，H．Tuy，Opf底m豆zα如moれ且0び
触れ克ⅣのれCOれVe∬ぶまγ祝Cf祝γeβ7KluwerAcademlC71997．

【7】H．D・Tuan，S．Hosoe，H。Tuy，D．C。Op七imiza七iomap檜
proac払もo robl凰S七con七roIs：tbeop七ima且scaling va且ue、− −−−− − − 、prのb≠eⅡ1，PγOCeed戻れgβOアブタ97ノ1meγ豆cαれCoれ如g Coれ一

本稿では、ロバスト制御理論におけるいくつかの興味深い問題が＆c。最適化問題のクラスに属することを述べた。すなわち、それらはmMIによって表され

掬re†もCeっ350−355．AIsoto appearinJガガガ升α乃β，A鮎−まomαま豆c（プ0れまγOg．

［8］H・m Tuan7 S・Hosoe，H・Tlユy，Globaloptimiza−tiom approacb to robⅦSt COmtrOIs：tbe rob11S七per払ご−る凸集合上での非凸関数の最小化、あるいは反対に、

mance probiem，Pγepγ哀れf9ββ考Dept．of Electronic−

非凸拘束集合上での線形汎関数の最小化として定式

MechamicalEng・，NagoyaてJniv．，199軋化される。また、本稿では紙数の都合で述べなかったが、他の多く問題に対して同様な定式化ができる聞。
たとえば［91H−D・Tuan，S・Hosoe，H・Tuy，Newglobalop七imiza七ion
algorit‡1mSfoγSOlvingtberot〉uStper払rmanceproblem
Ofrobus七controIs，PγOCeed哀れタβ0∫2一犯dAβ戎αれCoれfrog
仇可−ereγlCe7Vol−1フ350−353・⑳低次元コントローラあるいは次元の指定されたコントローラの設計【10］H−D・甘uam，Remarks on aglobalop七imiza七iom algo−ri地m for7∠∞COntrOl，To appearinJ茸β厨升αれβαC一拍川ト刷り」再…川汗（・（「（川圧証［11】H■「my，Coれγe∬αmαgy5豆β αれdタgOあαg叩f壱m豆zαf五om，⑳多目的ロバスト制御

Kll且We∬Academic P11blisher1998。

［12】Y・Yamada，S・Hara，Globalop七imiza七iom董brガ∞⑳高次システムの低次元近似

COn七roIwith constant diagonalscalimg，IEEE升ans・⑳入力に飽和拘束がある場合のロバスト制御

om加ゎmαま豆c（プ0れfrogβ43（1998），191−203・［13］KqZho叫』・Doyle，K・Glover，屈0わ㍊占まαれdop苦慮mαgCOm一などである。このことから、d．c．最適化法はロバス

如g，P㌻en七ice‡耳all，1996．

ト制御問題解法の広範な分野で重要な役割を果たすものと期待できる。また、d。C．最適化法は本質的に認5望（30）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ9リサーチ