‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝＝‖‖川‖‖‖＝‖‖‖‖＝‖＝‖‖＝‖＝‖川Ill…‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖＝‖＝‖＝‖＝＝＝＝州‖‖‖‖‖‖‖＝‖＝‖＝‖＝川川Ill‖＝‖＝＝‖‖‖‖‖＝＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖＝＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖＝＝‖‖‖＝＝‖＝州

ニー ・l、・、・■ ￣・・ l ■ −・∴・− −・．．、￣−、−‥＋ヰ輝サ∴−￣一
昔音召 君明……l……‖‖＝‖＝‖‖‖＝‖帖＝‖…L1＝＝‖‖＝‖＝＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖削‖l‖＝＝‖＝＝‖＝＝‖＝‖‖‖＝＝‖‖＝‖＝＝＝＝‖＝‖＝‖‖‖＝‖＝＝＝＝‖‖＝‖＝‖＝‖＝＝‖‖＝‖‖＝＝＝‖‖‖＝‖‖‖州l州州‖lll‖＝‖‖＝‖‖＝＝＝‖‖＝＝‖＝＝‖＝‖旧Il…‖‖＝‖＝‖‖＝仙＝企業が発行する債券や株式には，その企業が倒産した時には投資資金が回収できなくなるというデフォル

いが，これは将来のクーポンや元本が必ず回収できることを前提にしたものである。

ト8リスク（クレジット⑦リスク）が含まれている。

ここで，割引債と利付債について簡単に説明する。

本稿では9 まず社債に含まれるデフォルト￠リスクの割引債（ゼロクーポン債）とは，満期までの間にクー量を計測するモデルについて述べ，次にデフォルト率ポンの支払いが無い債券のことであり，スポット￠レをハザード￠プロセスで表すモデルについて検討する。

ートとはこの割引債の利回りを意味している。期間がそして，こうしたテフォルト￠リスクをヘッジするた

ア隼，元本が100の割引債があり，現在の市場価格めの商品である，クレジット◎デフォルト⑳スワップがZ（0，r）であるとすると9 半年複利で考えた場合の評価モテリレを示す。のこの割引債の利回り プ′は

■ ・・

BdPO

g（0，r）＝、・∴予

クレジット①リスクとは，保有債権の対象となる企業が倒産（デフォルト），もしくは倒産の可能性が増大することにより被る損失リスクのことである。企業が発行する債券は，このクレジット8リスクのために，国債よりも高い利回りとなるのが一般的である。

（1。1）を滴たす値として計算される。同様に，満期までの間に乃回のクーポンCど（グ＝1，2，・■■，紹）の支払いがあり，それは時点fォ（γ＝才乃）でなされるとした場合の利付債の利回り戸は，その現在の市場価格をg（0，γ）とす
ると金利の期間構造とは，現時点から将来の異なる期間100

Cよ害に適用される金利水準を表したものであり，その関係（1．2）（1＋÷）2わ（1＋÷）2≠乃を示したものがスポット ￠イールドカーブと呼ばれるものである。またイールド。スプレッドとは，一般には，倒産の可能性のある企業の発行する債券の利回りと，倒産の可能性が無いと考えられる国債の利回りので与えられる。

金利を説明するモテリレでは，数学的な表記のし易さから，金利を連続複利として取り扱うことが多い。す差のことである。そこには倒産した場合の損失リスク，なわち，現在の市場価格がぶ，運用期間がアである社債の方が国債と比較して市場で売買される量が少な資産に投資するとき，金利を半年複利γで運用したいことに起因する流垂加生リスクなどが含まれている￠

場合も，連続複利声で運用した場合も，将来の価値は同等であると考える8胤。乳 金利の期間構造

坤十許＝S。e行

金利は9 金融∞財政などの政策要因，経済状態などの外部要因環境9 資金需要などの内部要因などが複雑に絡み合って決定され，期間との間には何らかの関係がある。それを示したものが金利の期間構造である。

代表的な金利として国債の利回りがあり，これは現この連続複利で考えた場合には，（1．1）式の割引債の価格は

紬T）＝100×蕪′J佃］

時点で国債に投資した場合の期待収益率を示している。

で表される。なお，麿は現時点までの履歴が与えら

この国債の利回りを無リスク金利と定義することが多れたときのラリスク中立確率1に関する条件付き期待

あおぬま きみあき
東京三菱銀行商品開発部〒100−8388東京都千代田区丸の肉2−7−1

1（1，3）式で計算されるZ（0，T）の値が，割引債の市場価格に｛致するように計算される確率。
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盈盈感（20）オペレーションズ。リサーチ（1・3）

ここで，先の連続複利を用いてイールド・スプレッ値を表している．
1．2 クレジット・リスクとイールド・スプレッド

ドをより一般的な形で説明する．時点Jにおける，あ企業が債務を履行できなくなる状態に陥ることを倒る企業ノの発行する満期rの社債の市場価格をろ（f，産（デフォルト）と呼び，ある企業がデフォルトしたr）とする．この社債の利回り 羊（f，r）は，場ノ合に，その企業の債権を保有することにより損失を紬r）＝一去log如r）被る可能性をクレジット・リスクと呼んでいる．また，企業が実際にデフォルトする場合だけでなく，企業業績や資金繰りの悪化などによる信用力低下により，保有している債券価格の下落やi充動性の低下などによって損失を被る可能性もある．これが広義のクレジッ（1・5）で表される．この利回りは，クレジット・リスク以外にも流重か性リスクや資金需要の有無などによる上乗せ分などを反映していると考えられるが，ここではクレジット・リスクのみの影響を想定し，クレジット・リスクが大きい（信用力が低い）企業ほど，イールド・ト・リスクと呼ばれるものである．
クレジット・リスクは債務の返済能力に関連するリスクであり，個別企業が発行する社債の利回りが国債の利回りより高いのは，このクレジット・リスクや流動性リスクなどが組み合・わさって価格が形成されていスプレッドが高くなると想定する．

この社債の，デフォルトの可能性が無い（デフォルト・フリー）場合の価値をZ（f，r）とし，この利回りを坑（才，r）とすると，抑，r）＝一去logZ（らT）るためと考えることができる．
金融商品の価格は，概念的には現在および将来にわたってその資産がもたらす全てのペイオフ（キャッシュフロー）を，無リスクのスポット・レートによってとなる．イールド・スプレッド〟J（f，r）とは，クレジット・リスクのある社債の利回りとデフォルト・リスクの無い債券の利回り格差であるから，現在価値に割引いたものを合計し，リスク中立確率に仇（オ，r）＝㌍（f，r）一端（f，r）

関する条件付期待値を取ったものとして計算される．

1 −…昂（才，T）
log

ここで，割引債を発行している企業が，満期までの間にデフォルトした場合には∂（0≦∂≦1）を，デフォ

（1・6）

（1．7）

r一方⊥U呂z（オ，r）で計算される．

ルトしなかった場合には1を，それぞれ満期rで受1．3 金融商品の価格付けけ取れるリスクのある割引債について考える．デフォ

リスク中立確率におけるデフォルト・フリーのスポルトの時点を㌃とし，現時点での期待値を居で表し，ット・レートをγ（≠）とする．金融商品の価格は，現デフォルトの発生時点とスポット・レートの変垂加ま独在および将来にわたってその資産がもたらす全てのペ立であると仮定する．このとき，無リスクの割引債のイオフをスポット・レートによって現在価値に割引き，利回りをγとすると，現時点でのこのリスクのある

リスク中立確率に関する条件付き期待値として計算さ割引債の価格P（0，r）はれる．
ここで，満期rまでにデフォルトしなかった場合

P（0，r）＝且・1（r≦r）には満期時点で元本1を回収でき，現在時点から満期Tまでの間にデフォルトした場合には元本に回収率∂（丁）を掛け合わせたものがデフォルト時点㌃で回収できる割引債があるとする．満期rまでにデフォルトしているかどうかについては，＝Z（0，r）・且［∂・1（r≦T）十1（r，r）】＝Z（0，r）・［∂＋（1−∂）・戸（丁＞T）］（1．4）

1｛r≦r｝＝（1・8）‡で与えられる．なお，1（r≦T）は，㌃がrより短い，という定義関数を用いると，満期までにデフォルトしすなわち満期までの間にデフォルトした場／合に1の値たとき（r≦r）には1，デフォルトしなかったときを返し，そうでない場合に0を返す定義関数であり，（r＞r）には0という値が与えられる．この割引債のβ（㌻＞r）は満期Tでこの企業が存続しているリス

時点における価格P（≠，r）はク中立な確率を表している．

P（げ）＝島トー′ぎr（彗・∂（㌃）・1｛r≦T｝© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

2000年5月号（21）229

（1・9）

十打挿瑚当皿｛丁＞71｝lr≧才］〜窓枠≧張子∴・−で与えられる。ここで㌃はデフォルトの時点を表す（1．14）

ガ‡r≧J）

このモデルには，デフォルト確率を表すハザ叫ド。

確率変数であり，風は時点≠までの履歴が与えられたときのリスク中立確率に関する条件付き期待値を表

レートゐ（f）と，無リスク短期金利γ（f）に関する2つし，条件ir≧才）は時点才までにデフォルトが発生しのプロセスがある亜 ここで，ゐ（才）とγ（才）が独立，すていないことを意味している。

なわちデフォルト率の変化はイールド。カ洲ブの変化の影響を受けないと仮定し，（1。13）式に（1．1の式を代満期がγであるデフォルト。フリーな割引債の現人すると，在時点gでの価格Z（オ，r）をZ（才，㌻）＝頼胸）血ダ（げ）＝g（げ）ヰ一路1朝）dヰ

（1・10）」（1・15）］となる。このときイ叫ルド⑳スプレッドy（才，ア）はで表し，さらに9①リスク中立確率に関して，デフォルトの発集とスe刷（rり＝車用1朝当

ポットゆレート過程は独立であるむ村 （1■16）で計算される。

②回収率は，どの時点でデフォルトしても一定であこ・、‥こ 二 ∴：∴いiニモ・ ンる（∂（才）＝∂）。
③デフォルトした場合の回収額（＝1。∂）は9 デフォDu旅e alld Singユetonのモデルでは，イールド①ス

ルト時点㌻ではなく，滴期時点rで受け取るこプレッドが回収率∂とハザード。レートゐ（オ）の関数とができる。もしくは，その回収額（＝18∂）のデフォルト時点㌻における現在価値e川／㌻r（レ）血になっていた00 したがって，回収率∂を過去データから算出するなどの方法で決定すれば，イールド0ス1。∂（㌃）に相当する金額を，デフォルト時点㌻でプレッドの期間構造を説明するにはハザード0レート受け取れる。

ク）推定が残された課題となる。ハザードゆレートを説という3つの仮定を置くと，（1．9）式は明する方法の一つに確率微分方程式でハザード。プロβ（才，㌻）＝種−イ㌻佃

セスを記述する方法がある。ここでは9 Gaussianタ］

イプとVasicekタイプを用いた場合のイ◎麿舶￠1（r≦rけト1（㌻＞7、）jr≧≠］＝Z（オブ㌻）［∂＋（1【∂）風（丁＞㌻）］（1．11）となる。なお，廃そは時点fにおける条件付きリスクールド。ス

プレッドの式を示す。

2∴ G∂USS誉aFlタイプのハザード。プロセス
ハザード① レートが中立確率でありヲ（1。7）式に（1。11）式を当てはめると，（挽（g）＝〃（f）粛＋♂ゐf，ゐ（0）＝ゐ。

狛（才，ア）＝一束1咽は十（…）柚＞川（2．1）

に従うGaussianタイプのモデルを適用する。ただし，
祝ノ≠は標準ブラウン運動，〟（才）は時間変化するドリフであるので
e肌紬r）（r】り＝ ∂＋（1−∂）喬［ア＞ア］

トヲ ♂は標準偏差である。この場合の，時点オでの満釘Ⅷ再，r）（丁￣り一∂．・・・・l（1．12）

期アの債券のクレジット。スプレッド〝（≠，ア）は仁ーー（了e舶r）（トり＝eXp卜（ゐ（f）（r山が得られる。

㌃4 蛋乱脛e即凋S血威etonモデル

耳1r一価）虎）（…）Ⅲu撒eamdSing且eton［3］は，デフォルト￠リスクの＋・訴】∂）2即−げ）

ある割引債の価格㌘（オ，ア）を（1．13）式で表した。
（1・13）㌘（冊）＝磨［e胸）dヰf］

2．2 Vasicekタイプのハザードサブロセス

腰（ざ）＝γ（s）＋（1−∂）ゐ（ざ）ただし，γ（s）は無リスク金利，∂は回収率，ゐ（5）はハザ｝

ド0レートであり，時点fの直前まで存続していた企業が，時点才でデフォルトする確率を表したものである。

で与えられる（DavisandMarvoidis［2］）。
ここで，ハザード申レートに平均回帰性を持たせるために，Vasicekタイプのハザード。プロセスを適用する。
助（f）＝＝C（研ゐ（f））dJ＋♂d軌，ゐ（0）＝ゐ。（2。3）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
盈遜⑳（22）

オペレーションズ。リサーチ（2。2）

なお，Cは平均への回帰スピード，∽は平均的なハ固定クーホロンカ

固定プレミアムdザード・レートである．このプロセスを仮定した場合の時点fでの滴期Tの債券のクレジット・スプレッ
デフ抽卜時1−∂ド〝（f，r）は

図3．1クレジット・デフォルト・スワップ
e−㈲（トり＝eXp［‡（e−C（T一札1）

参照資産間の最初のデフォルト時間（負rst−defaultT（（1一∂）（ゐ（才）一班）time）が問題2となる．また，A社の立場に立てば，一 妥（1−∂）2（e−C（r−り−3））

B社が契約の満期以前にデフォルトした場合，クレジット・デフォルト・スワップの契約が清算されること−（r−≠）（（ト∂）∽一基（1−∂）2）］（2．4）

で与えられる（AonumaandNakagawa［1］）．

3．クレジット・デフォルト・スワップの評価から，デフォルトが起きたときの損失補償を受ける権利が失われることになる．それを補うためには，同様のクレジット・デフォルト・スワップを別な企業と再契約する必要があるが，この時点では以前の契約と同じような条件で契約できるかどうか分からず，再構築企業の発行する債券には，その企業が倒産するかもしれないリスクが含まれていた．そのリスクをヘッジするための商品がクレジット・デリバティブであり，ここではクレジット・デリバティブの基本である，クレジット・デフォルト・スワップを例に取り上げ，そのキャッシュフローを評価するためのモデルについて説明する（AonumaandNakagawa［1］）．
3．1クレジット・デフォルト・スワップの定義
クレジット・デフォルト・スワップのごく単純な例
としては，ある企業の債券を保有するA社が，その債券のデフォルト・リスクをヘッジしたいと考えたときに利用するスワップ契約があげられる．A社はB社に対し，デフォルトが発生するまで，もしくはスワップの契約期間が終了するまで，保険料に相当する固定のプレミアムc才を定期的に支払い，一方のB社は，デフォルトがスワップ期間終了前に生じた場合・には，参照資産となった債券の回収不能分（1−∂）に相当する額を，次のクーポン支払日時点でA企業に支払うという契約である．この取引のA社の立場をプロテクションの買手（Fixedサイド）と呼び，B社の立場をプロテクションの売手（Recoveryサイド）と呼ぶ．
3．2 クレジット・デフォルト・スワップのキャッシュフローの評価

クレジット・テフォルト・スワップの評価では，プロテクションの買手とプロテクションの売手の価値が均衡するプレミアムcどを計算することになる．図3．1に示したクレジット・デフォルト・スワップの例

コストが発生することになる．また，クレジット・デフォルト・スワップでは，参照資産がデフォルトした
場合のプロテクションの買手が受けられる保証は，それから3週間後というようにタイム・ラグが設定されているのが一般的である．したがって，このタイムラグの間に，保証をしてくれるはずのプロテクションの売手がデフォルトしてしまった場合，プロテクションの買手は保証されるべき金額の全てを失う可能性がある．A社から見たB凍土をカウンターパーティ（counter party）と呼ぶが，クレジット・デフォル
ト・スワップでは，こうした相手先がデフォルトするリスク（カウンターパーティ・リスク）を考慮する必要がある．ここでは，参照資産が1つであり，カウンターバーテイ・リスクがない場合のごく単純なクレジット。デフォルト・スワップの評価モデルについて検討する．
（1）プロテクションの買手サイド

フィルトレーション付きの確率空間を（n，F，（Ff） ≧0，P）で表す．満期がrであり，乃回の利払日子ォ（0＜オ1＜…＜才乃＜r）毎にデフォルトの保険料に相当する固定プレミアムcg（オ＝1，2，・＝，乃）が支払われるクレジット・デフォルト・スワップが契約されているとする．クレジット・デフォルト・スワップでは，デフォルトが発生した時点㌃で契約が終了するので，プロテクションの買手サイドのクレジット。テ∵7オル
ト・スワップの現在価値j㌔は，fど＜丁時点までのクは参照資産が1つの場合であるが，実際には参照資産が複数ある（バスケット）場合があり，このときには22番目のテ∵7オルトまでを対象とした，Second−defaultの商品もある．

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2000年5月号（23）231

ーボンczを割引いたものの合計になる。

＝grガト胸dざ 叫z（0誹才蕗＝g［雛exp仁正吉zγ（ソ）dレ）1佃］∂雛z（0，祝∠）慮r∧ ヰー′占榊

ここで，スポットレート。プロセスγ（f）とハザー

ゐ（f）

ヰ勝）…

ド。プロセスゐ（才）は独立であると仮定すると，」『瀞

77・．．●・、∴．∴J．iとなる（ア∧祝∠はmin（r，祝f）の意味である）◎ この∴1

式には，2つの期待値の計算が含まれているが，＝垂z（0，才z）cg厨［eJ締］（3．1）（2．2）式，（2。4）式で示したGaussianタイプやVasicekタイプのハザードゆプロセスを仮定することが得られる。
（2）プロテクションの売手サイドにより，Recoveryサイドのデフォルト0スワップのもし，債券発行企業がデフォルトした場合，B社は現在価値j㌔をクローズト⑳フォームで求めることがその債券の回収不能分だけA社に対して支払義務が生ずる。β（才）を9 このクレジット￠デフォルト8スできる（AonumaandNakagawa［1］）。
、イ：・ i：・−．：トー ミてニ、・

ワップの対象となった原債券の＝時点での価値であるとし，この債券の発行企業がデフォルトした場合には，本稿では，社債のイールド。スプレッドが，回収率デフォルトが起こる直前の債券価格彪（L）に，回収∂とハザードQレートゐ（f）で説明されることを述べ，率∂（0く∂≦1）を掛け合わせた∂β（L）がA社の回収ハザ叫卜㍉ レートの説明としてGaussianタイプと可能額であるとする。この債券のクーポン支払い日をVasicekタイプのハザード℡プロセスを用いた場合のzゎ（0＜甜1＜甜2＜…＜㌻）とし，ノ番目のクーポン支払いイールド⑳スプレッドの推定モデルを示した。また，

田勘ではゐノのクーポンが受け取れるとする。また，

クレジット ￠デフォルト。スワップのキャッシュフロデフォルトの発生が祝z1時点から狛時点の間に発生ーの評価方法について検討した。こうしたクレジッした場合には，B社はA社の回収不能分に相当する

ト①リスクを計量化する手法の開発は，金融機関にと1ぺ∂β（L）の保証を彿時点で行わなければならないっては非常に重要なテーマとなっており，今後，パラと仮定するめ ただし，モデルの簡易イヒのために，デフメータの推定方法と合わせて多くの研究がなされていォルト時点で確定した1一∂β（L）の保証に対し，デくと思われる血フォルト発生から甜2・時点までの金利部分が加算され参考文献た形で支払われるとする。

［1］Aonuma，K．，Nakagawa，H．，

この場合，クレジット。デフォルト⑳スワップの対DefaultSwapandParameterEstimationforVasicek，

象となった原債券の時点fでの価値月（f）は，各クーポン支払い田毎のキャッシュフローを評価すれば良い。
したがって，満期γ時点（＝祝乃）では，元本とクーポンが合わさったキャッシュフローがゐ乃として支払わ

type Hazard Rate Model

Exposure ofDefault Swaps

ValuationandPotential，7bchnicalNote，1997．

OfDefaultabie Bonds，肋7hngp（砂er，StanfordUni−VerSlty，1994．

錮＝g［眉fゐ∠eXp（イ Z（γs＋（…）ゐ（s））柵f］［4］Kusuoka，S A rema祓 on de7bult risk moで計算される。

Advancesin MathematicalEconomics，VOlumel，pp．

また，このプロテクションの売手サイドのクレジッ

69¶82Springer−Verlag，1999．

ト。デフォルト ⑬スワップの現在価値j㌔は］© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

翌3盈（24），開匂Ykingp卸er，1998．

［2］Davis，M．，Marvoidis，T．，［3］Dufne，D．，Singleton，K．， ModelingTermStructures

れるとすると，原債券の時点fでの価値β（f）は

盛＝ヰⅩp仁慮Tγ（ぶ）広）（1【麟L））1｛r≦r｝

Valuation of Credit

オペレーションズDリサーチ