むだぼなし 水とモデル
からくり堂隠居
Illl……………ll州Illlll…………lll州Il……………lll州州Illl州Il……ll川l川Illl州Il…………llll州l川l……………llll……ll州Il川l州l………ll州Il……l……………l川Il………………l……川…州…

この稿では，モデルが作られるそのちょっと前の段

し，ユーレカ！（見つけたぞ！）と叫びます．

階について考えてみたいと思います．モデル，特に数ユーレカ！ というのは素晴らしい言葉です．恐理モデル等は一挙に作られるわけではなく，さまぎまらく，人間にとって最高に幸せな瞬間を表現しているなものが頭の中を駆け巡って，その結果，運がよけれと思います．自分で ユーレカ！

ば，モデルという形に結実するのだと思います．

ればもちろん，そうでなくても，ヒューリスチクス

あれこれと思いを巡らすとき，我々は考える対象を卑近なものになぞらえます．その意味で万人共通なものの一つが 水 です．厳密にいえば， 少々の粘性のある非圧縮流体ということになりますが，イメーーを叫ぶことができ（発見的説明；ユーレカが語源）は，物事の今後の発展のためにぜひ必要なことです．
しかし，ここで発見のよすがとなったく水〉のことを忘れてはなりますまい．アルキメデスが梅子や滑車ジ作りのよすがにするだけですから，あまり厳密な必の原理に通じていたことはよく知られています．筆者

要はありません．の想像ですが，アルキメデスは，恐らく，体を水から古来，水については多くの研究がなされており，今出したり，沈めたりしてみたに違いありません．アル

日，我々の多くはこれらの研究の幾分かは知っていま

キメデスにとってこの場合の水は天秤の梓や反対側のすし，それ以前に日常の経験から，水の振る舞いにつ錘と同じ役割を果たすものと思えたはずです．天秤のいては多くのことを学んでいます： 水は方円の器に方がモデルになっていたともいえるでしょう．

随う ， 水の低きに就くが如し， 井戸の呼び7K …

ですから，我々が理解しよう，モデルを作ろうとして考えを巡らすとき， 水が頭に浮かぶのは少なくな水の実際的応用が，多くの場所で行われてし−たのは言うまでもありませんが，アルキメデスのような知的な目でこれを見つめることはルネッサンスの頃まで待いはずです．
そんな訳で，この稿では，イメージとしての水がモたなければなりませんでした．よく知られているようデル作りにどのように関わるのかをいくつかの例を通に，ガリレオは落下の法則を研究しました［2］．ガリじて見ていくことにします．いわば，モデル作りを巡

レオはまず，砲丸のような固いものの落下から考え始るとりとめもない隠居の無駄話として読んでいただけめたようです．しかし，物の落下というのはスピードれば幸いです．

が速い．アッという問の出来事です．これをしっかりと見つめて解析するには，今日ならば，スローモーシ＊

真偽の程はともかく，アルキメデス（前287頃〜212）の逸話は有名です［1］．シラクサの借主ヒェロン王は作られてきた黄金の冠に銀が混ぜられていない

ョン・カメラを使うところでしょうが，当時そんな耳勿はありません．ガリレオはいろいろと工夫します．
錘を紐で吊ってみます．−−一振子です．これも落下か心配になりました．そこで，アルキメデスにその検の一形態です．斜めに寝かせた溝の上で重い球を転が査を依頼します．ただし，〈非破壊検査〉です．アル

します．今日の言い方をすれば，重力加速度を一定のキメデスは考えあぐねたまま，風呂に入り，そこであ比率で減らす方法です．このような実証的実験に深いの有名な発見をするのです．つまり，水の中にものを思考実験を加えて，〈落下の法則〉，く放射体の運動〉，入れれば，くそれが押しのけた7kの重さだけ〉の浮力く振子の等時性〉，等を導いたのです．

がそのものに働くというアルキメデスの原理です．こしかし，今われわれが考えてみると，噴水の形こその発見に喜んだアルキメデスは裸のまま風呂を飛び出は放射体のスローモーション映像になっています．そやない ひろし
慶應義塾大学名誉教授
2005年8月号

れなのに，ガリレオの「新科学対話」には噴水の講は出ていないようです．噴水なら，イタリアにはいくら© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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でもあったはずです．しかし，ガリレオがアリストテレスの 重い物ほど速く落ちるという説を論破する

ためには，固いものから始めなければならなかったのでしょう．ガリレオは一つの物体を， 二つに割って紐でつないで落としたら，割らない場合とどのように違うだろうか？という例を用いてアリストテレスの学説に挑みます．そして〈落下の法則〉から幾何学的に〈放射体の運動〉が放物線を描くことを導きます．
しかし，噴水ならば水の一滴一滴が繋がってくいるような−いないような〉，とにかく続いて飛び出してくるわけです．ですから，恐らく，ガリレオは水条のなわち，水平面上で打ち出された物体は等速運動を続形が放物線であることに気づいていただろうと思いまけます．そこで，物体を支持する平面を取り除けば，す．しかし，晩年のガリレオは太陽の観測のためか，これが，落下距離が時間の2乗に比例する落体の運動失明してしまいます．そこで，弟子のトリチェッリにと合成されます．こうして放射体の軌道は放物線を描物理学上の多くの問題の研究を託します．そしてトリくのだというのがガリレオの主張です［4］．

チェッりが，水条の形が放物線であることを証明しま
静水では一定の速度で進むボートを，川に浮かべてす．1644年のことです［3］．

みましょう．紬先を真っ直ぐに彼岸に向けて進むとき，〈植木算〉 とか〈鶴亀算〉などと問題に津名をつけボートが描く航跡は，無論，川の流速分布という上下ることは，和算以来の素晴らしい伝統だと思います．

方向には圧倒的な力をもつ速度場に依存します．流速

その名を聞けば，問題の状況，要点，解法などが一度が一様なら，ボートは直線を描いて斜めに川を下りまに豆引こ浮かびます．今日ではこのような呼び名があます（図1）．次に，流速が此岸からの距離に比例するり行われなくなったようですが，これらが，モデル化場合を考えてみましょう．横断方向へはやはり等速でのカタログになっていたことを思えば，残念なことで進みます．下流方向に向かっては，川の流れが与える

す．

速度場によって次第に速くなります．時間一つま−）このように揮名のついた問題の一つにく流水算〉 と進んだ距離に比例する 下流方向への速度 を得ます．

いうのがあります．「船で川をくだるときは，毎時30

ボートは，ちょうど，水平に打ち出された放物体の場kmで，上るときは10kmである．川の流れの速さと，合と同様，放物線を描いて川を下って行きます（図静水での船の速さはいくらか？」というような問題で2）．

す．筆者はまだ若かった頃，下りエスカレータを逆に水条の形が放物線だと分かれば，いわゆるトリチェ駆け登ったことがありますが，その辛かったこと．ちッりの原理一つまり，桶の側面から噴出する水の速ょっとでも休めば下がってゆくのですから．流れを遡度が水頭の平方根に比例するという原理を実験結果かる船もそんなものでしょう．

ら導くのは容易なはずです．放物線上の水条の落下点

河を横切ろうとする船の様子も面白いものです．船と水頭の関係を調べればよいのですから．

体は，その航跡よりもずっと上流側を向いています．
つまり，その分だけ流されています．静水に船を浮か海岸の崖の上にある家の風呂の栓を抜いて排水しまべたときの速度ベクトルーこれが船体の向きです．

した．水は，キューッと音を立ててものすごい勢いでこれと河の流れが作る下流向きの速度ベクトルが合成流れてゆきました．排水管が，崖のずっと下の海の方されてものが，流れの中での船の速度ベクトルになるまでのびていたのです．トリチェッリの定理により，わけです．

管口における流速は落差の平方根に比例します．落差力の平行四辺形の法則はニュートンの「70リンピキはボン7Dに比すべき役割を果たしていたのです．もっア」（1687）において，初めて，明確な形で述べられとも，管が太すぎては，空気が入ってしまうのでこのました．しかし，それ以前にガリレオはこのことを知効果は期待できません．っており，ニュートンもそれを認めています［3］．す538（22）

そこで気がつきました．煙突は高いほどよろしい．
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〈浮力加速度〉 という係数を考えれば，トリチェッリイブ（これを流管といいます）があり，流体がそのの定理と似たような定理が導けるはずです．また，煙各々の中を分かれて流れているのと同じに考えてよい

突内の煙が密になるよう，分散しないで一本の煙突に場面を想定したのです．ベルヌーイはこの流管の一部煙を集める方がよいのです．工場の煙突は，事実そう分の流体に関して，位置，圧九 運動のエネルギーのなっています．そういえば，数年前，英国展で見たス関係を考え，チーヴンスンの機関車ロケット号の煙突は高いもので軒‡β〃2＋種油＝一定，した．そうでないと排煙が十分でなかったのでしょう．

♪：庄九 p：密度，g：重力加速度

その後，煙突内に蒸気を吹き込むことによって短くすというベルヌーイの定理を導いたのです．トリチェッることができるようになりました．

リの定理はベルヌーイの定理の特別な場合になります．

1665年頃からニュートンは微分法の研究を始めて今は昔，箱根小湧園で日科技連主催の数理計画シンいます．ニュートンが微分商の概念を表現するのに用ポジウムが行われました．その折，ある鉱山技師が坑いたのは仇1Ⅹion＝流率という語でした［1］（これは，道内の換気の問題をシミュレーションによって解析し流れるというラテン語の動名詞です）．このことからた事例を報告しました．こんな事例はまだ珍しかった

すれば，ニュートンは微分商を考えるとき，頭の中に，頃の話で，数式モデルそのものがピンときません．参水の流れというモデルを持っていたことになります．

加の聴衆が皆，釈然としない顔を見せたのでしょう．

溜まっている水の量は，はっきりと眼にも見え，量を測ることができます．しかし，その変化の割合度を測るということになると，当時の技術ではなかなか難しかったのです．ガリレオが苦労したのもこの点です．ところが，ニュートンの考えるところ，運動している物体の各瞬間の〈釣り合い〉 は，この微分商の，そのまた微分商の世界で成立しているのです．
湾岸戦争の頃，エクゾセというミサイルの飛ぶところがテレビに映りました．ミサイルはほぼ水平に飛んで行きます．噴出されて後に残る煙もほほ、水平なのですが，飛翔体自身はそれよりかなり頭を上げているのです．つまり，飛翔体と煙は くの字に折れ曲がっているように見えます．−飛翔体は重力の場で〈落下したい〉のです．それを，水平に飛ばすのには，噴射によってこれを支えなければならないのです．
いずれにせよ，こうして物理学では，微分方程式モ連

その技師は次のように説明しました． 坑道は網の目のようです．これを電子回路と考えて下さい．換気扇
は起電力，細く続く坑道は抵抗，大きな空洞はコンデンサーです．ここに空気という電流を流すのです…

ここで皆が納得したのです．数理計画シンポジウムの参加者なら，誰でもキルヒホフの方程式くらいはよく知ってし−たのです．

この報告の講評で，森H繁一先生はいつものようにニコニコとして，次のように言われました いま，電流という言葉が出たとたんに，皆さんは納得されたようです．しかし，もともと電流という概念は昔の人が電気に関する現象を理解しようと頭をひねっているう
ちに，水の流れに誓えたらどうかと思いついたものではありませんか？ しかし今，皆さんは空気の流れより電流の方がよくお分かりのようです．…

そうです．1750年，電気を流体になぞらえて，電デルが頻繁に使われるようになります．

一方，トリチェッリの定理は，ベルヌーイの定理という形に拡張されます．1743年のことです．ダニエ
ル・ベルヌーイは縮まない，いわゆる完全流体の定常流を考えます．つまり，流れのなかには無数の細いパ

気流体説を唱えたのは雷と凧で有名なフランクリンです［4］．その後1827年になるとオームは導線が電気流体を通すパイプで，分岐させない限りここから脇への電流の出入りはない．したがって，結合点では物質収支に相当する関係が成立することを述べました．そして，電流＝電圧／抵抗という有名なオームの法則を発表します．もっとも，オームは熱と電気のアナロジーによってこの法則を導いたということですが，その熱伝導の方程式にしても，熱が流体であるかのように扱
エクリセの飛翔図3

2005年8ケ］号って定式化されています．
さらに，1845〜1849年にはキルヒホフが電気回路© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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のキルヒホフの法則を導きます［4］．これはオームの機をコンピュータと呼ぶ，その名の由来だということ法則の一般化です．水と対比していえば，トリチェッです［5］．

リの法則がオームの法則に，ベルヌーイの法則がキルヒホフの法則に対応すると見ることができます．
さらにこれから，キルヒホフの方程式が導かれます．

＊

水とモデルをめぐる無駄話はいくらでも続きそうですが，そろそろ終わりにしましょう．

また，コイル（インダクタンス）やコンデンサ（キャ近代的な自然科学におけるモデル，特にコンピューパシタンス）を含む過渡現象の微分方程式や交流回路

タ時代における数理モデルの有用さは言うまでもありの方程式へと発展します．しかし，これらは基本的にません．数理モデルを用いたシミュレーションから，線形であったので，解法もさほどは困難ではありませいろいろな結果を導き，それをもとに現象を解釈するんでした．複素解析や線形代数，そして演算子法も発ヒントを得ることができます．モデルが妥当で，精緻達してきます．

な物ならば，予測もできます．最適条件を推定することもできます．しかし，これらは 良いモデルができこれに比べると，先輩格の水の方は不利でした．ベていれば の話です．モデルそのものを組み立てるこ

ルヌーイの定理と物質収支を組み合わせると，理論的とになると話が違います．とりとめのない 夢想 もには電気回路のキルヒホフの方程式に相当する方程式必要です．それがないと文化としての科学の内容は豊が作れますが，これは非線形です．それにパイプの抵かなものにならないでしょう．そして，その夢想もご抗やポンプ等という要素を加えれば話はもっと複雑にく身近なものに触発されるのではないでしょうか？

なります．
参考文献

それでも，都市には水道が必要です．溝の中を高い所から低い所へ水を流すだけの上水道でも，複雑な綱全体にわたって適切な傾斜を設定するのは，設計上も施工上も，かなり骨の折れる仕事ですが，これが，パイプの中を加圧した水を流すとなると大変です．方程式を立てても，キチンと解くことはできず，反復計算による近似計算が必要になります（上に述べた坑道の中の空気の流れなら，圧縮や膨張も考えなければならないので，もっと複雑です）．今日のような電子計算機が出現するまでは，チームを組んで各人が部分的計［1］ベル，ET．著，田中勇，銀林浩訳，「数学をつくった人々」，早川書房，2003．
［2］ガリレイ著，今野武雄，日田節次，「新科学対話」，岩波文庫，1953．
［3］ダンネマン，F．著，安田徳太郎訳，「大自然科学史」，三省堂，2002．

［4］伊東俊太郎，坂本賢三，山田慶児，村上陽一郎編，「科学史技術史事典」，弘文堂，1983．
［5］ペトロスキー，H．著，思兵美幸訳，「ゼムクリップから技術の世界が見える」，朝日新聞社，2003．

算を担当し，それをまとめて近似解を得ました．その各人がコンピュータと呼ばれたのが，今日，電子計算

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