オプション評価理論の年金価値評価への応用
矢野 学
企業年金制度では，万→企業が倒産した場合，受給者への給付が減額されてしまう可能一性がある．したがって，倒産による年金債務不履行の可能性は，企業が受給者に対してフット・オプションを保有しているものとしてモデル化することができる．一ん，現実には，受給権保護を【］的として，年令資産が年令債預を下［＝lる場合には，企業が追加掛食を拠出しなければならず，この一・∴1は逆に、基金が企業に対して積立に関するプット・オフションを保有しているともいえる．本稿では，年令のこうしたオプション的な性質を考慮した企業価値評価についての研究を紹介する．

キーワード：年金，プット・オプション，企業価値
Il…＝‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝州l川…l…＝‖‖‖‖‖‖‖州Il…‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖州…＝‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖＝‖＝＝‖‖＝‖‖‖‖‖削l

一方，年金資産や債務は時価で把握されるため，加1． はじめに入者の勤務年数が延びることによる債務の増加や，金人々の多くは，若い現役時代に役務を提供すること

利7k準の変化による債務の増減，年金資産の連関実績で所得を得る．そしてその一部を，役務が提供できなと想定利回りの差額などによって，年金資産や債務がくなる将来のために拠出し，退職後に拠出の見合いと変動することになるして給付を得ることになる．年金制度とはいわば，こ務に影響を与えるため，年金制度の運営は，企業経営うした生涯を通じた資金の受け取りを平準化する仕組上も極めて重要な財務政策の一つとなっている．本稿みといえる．

では，企業財務の観点から，年金資産配分などの年金年金制度の財政方式は一般に，現役世代に拠出した．こうした影響はすべて，企業財政策について考察する．

掛金を積み立てて，将来退職してから受け取る積立方

米L玉lでは，年金受給権の保護を主な目的として，従式と，現役世代が拠出した掛金を，その時点の受給者業員退職所得保障法（ERISA：Employee Retire−が一受け取る賦課方式に大別できる．わが国ではおおむ

mentIncomeSecurityAct）が1974年に制定された．

ね，公的年金は（修正）賦課方式，私的年金は積立方従来の確定給付型の年金制度では，年金受給者は確定式となっている．

した給付を受け取れる一方で，万一企業が倒産した場

本稿では，私的年金のうち，企業の被用者ための企合には給付が減額されてしまう可能性があった．その業年金を取り上げる．企業年金は，従業員の退職後のため，ERISA法導入前後の米国では，年金受給権の生活保障を目的として，ある要件のもとで，企業が独問題に関連して，企業財務の視点で年金政策について自に設けることができる．企業年金制度は，加入者に多くの研究がなされた．先行研究では，このような倒一定の将来給付を約束することになるので，企業にと産による年金債務不履行の可能性を，企業が受給者にって年金は債務となる．一方で，企業と加入者は，そ対してプット・オプションを保有しているものとしての将来給付に対する年金資産を確保するため，加入者モデル化している．しかし，現実には，従業員の受給の在職期間中に，ある一定の運用利回りを前提に算定権を保護することを目的として，母体企業の外部に年された掛金を積み立てることになる．

金基金を分離するとともに，年金資産が年金債務を下現在，こうした年金の資産や債務は，企業会計上で回った場合には企業が追加の掛金拠出をしなければなも認識することが求められており，将来給付の割引現らない一方で，年金資産に余剰ができた場合でもそれ在価値としての年金債帝のうちで，企業および加入者を企業側に取り崩すことが制限されている．この点は，らの掛金を積み立てた年金資産を超過した差額を，貸逆に，基金が企業に対して，フアンデイングに関する借対照表上で負債計上する必要がある．

プット・オプションを保有しているともいえる．さらに実際には，年金資産の配分など，年金基金に関するやの まなぶ
住友信託銀行年金研究センター

情報が必ずしも十分に公開されていないことなどによ〒107−8645港区北青山2−1ト3って，基金が企業とは不完全にしか統合していない．

2005年10月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（23）TOl本稿では，こうした現実性を取り入れた最近の研究についても紹介する．

る．

3．倒産がある場合の年金と企業価値

2．MM定理による年金と企業価値
ここでは議論を簡単にするため，まず税金と倒産がここでは，万が一企業が倒産した場合，企業は受給者に約束した年金給付を削減することができるものと存在しない完全な市場において，資本資産評価理論する．さらに，問題を簡単にするため，年金債務以外（CAPM：CapitalAssetPricingModel）が成立してに負債がない企業を想定する．

いることを前提に，年金資産の運用と企業評価の関係

いま，この企業が，一定期間後に清算されるとすれば，図2（a）のように，清算時点の総企業価値ウが，について考えてみる．
いま，ある企業が，図1（a）のように，年金資産を全額債券βで運用しているとしよう．この年金資産を図1（b）のように全額株式Sに置き換えたとしても，総企業収益年金資産の総額は不変（β＝5）である．ここで，株式で運用することで，年金資産の期待リターンは高まる
一方で，同時にリスクも高まる．そして，この追加的なリスク負担は，資本のリスクプレミアムに反映されることになる．つまり，期待リターンが高まる分だけ割引率も高まるため，結局，債券で運用していた年金資産を株式で運用しても，企業の資本価値には影響が総企業イ耐直（わ年金給付額（ゐ）（a）解散時点の年金給付額と資本価値及ばない，という結論が得られる．
こうした結論は「企業の価値は，資本構成には依存しない」とするMM（Modiglianiand Miller）の定理を援用することによって得られる．しかし，MM定理では倒産や税金の存在が仮定されておらず，これらを考慮する場合には，定理が成立しないことになる．
次節では，倒産の可能性がある場合について考えてみ（b）企業から見た年金支払額

負債∂
資産d
資本C

年金資産

年金債務債券βエ（a）債券で運用（C）本来の年金給付額

負債β資産d
資本C

年金資産

年金債務株式∫エ（d）受給者から見た年金給付削減額（b）株式で運用

図1倒産の可能性と税金がない場合
TO2（24）

図2 倒産の可能性がある場合
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年金給付額∂よりも大きければ，約束された年金はするために，米国ではERISA法によって，企業年金全額支払われ，その残余分が資本として株主に配分さの支払保証を行う年金給付保証公社（PBGC：Theれることになる．一方，総企業価値ウが年金給付額PensionBeneBtGuarantyCorporation）が創設され，∂を下回っていれば，年金支払額は減額されるので，積立水準が低いほど，その保険料が高くなるなどの措約束された年金給付額占を下回る金額しか支払われ置がとられている．そのため，現実にこのような政策ない．さらにこの場合には，残余財産もなくなり，株がとられることは，一定程度は抑制されているものと主への配分もされなくなる．したがって，企業から見解されている．

た年金支払額は図2（b）のようになる．企業が約束した一方，さらに税金の存在を考慮すると，これまでと年金給付額は，図2（C）のとおり確定した金額であるたは異なった結論が得られることになる．次節では，税め，受給者から見た年金給付削減額の関係を図示する

金の効果について考えてみる．と，図2（C）から図2（b）を差し引いた図2（d）のようにな4．税金がある場合の年金と企業価値る．このペイオフは，原資産を総企業価値ウ，行使価格を∂としたプット・オプションを，受給者が企税務上では，借入や社債などの負債にかかる支払利業に売っている（もしくは企業が受給者に対して保有息費用は，営業外管用として収益から控除できるのにしている）状態を表している．

対して，株式の配当は税引き後の純利益から支払われここで，無リスク資産利子率をγダ，期間をr，総るために，法人税が課税されている．企業の資本構成企業価値のボラティリティを♂vとすると，この場合に関連して見れば，こうした資金調達における課税のの資本価値Cは，総企業価値ウの現在価値から年金非対称性を利用し，株式による資金調達を借入（もし債務の現在価値占￣rFTを控除し，さらに上記のプッ

くは債券の発行）に切り替えることで，企業価値が高ト・オプションの価値を加えることによって，まる効果が得られることになる．この議論

C＝PVげト∂■γfr＋P［V，∂，♂y］（1）を年金に適用した場合，年金資産の配分にどのような結論が得らと表すことができる．ここで，P［Ⅴ，∂，れ］は，原資れるかについては，すでにBlack［1980］などで研究さ産をV，行使価格を占，原資産のボラティリティをれており，次のような Tax Arbitrage と呼ばれる♂Ⅴとしたプット・オプションの価値，PV［・］は現在効果のあることが知られている．

価値を表している．

いま，ある企業で，年金資産の全額を株式で運用しこうした倒産の可能性が存在する場合の年金価値にていたとする．この企業の税率が50％であるとする

ついては，Sharpe［1976］やTreynor［1977］らがモデと，株主は実質的に，株式投資による利益の50％しル化している．彼らは，このプット価値は原資産ボラか得られないと同時に，リスクについても50％しかティリティ，すなわちこの場合は総資産価値のリスク負担していないことになる．一方，同じ企業が，年金が大きいほど高くなり，資本価値も増大することにな

資産の全額を株式から債券に移し替えた場合，株主のることを指摘している．つまり，事業のリスクを一定りスタ負担を同水準に保とうとすれば，年令資産のとすれば，年金資産を株式などのボラティリティの大50％分を借入（もしくは社債の発行）によって調達し，きい資産で運用すれば，資本の価値も増大することをその調達した全額で株式を償却すればよい．この場合示している．そして，この効果はオプションのベガにには，既述のように，借入などの資金調達による支払相当するため，ニア・ザ・マネー，すなわち年金資産利息は企業収益から控除できるため，節税効果が得らの積立状況（フアンデイング）が悪い企業ほど，このれることになる．つまり，株主にとっては，リスク水効果が大きくなることになる．

準が変わらないままで，節税効果分だけ収益を増加さ

しかしながら，こうした結論が得られるのは，年金せることができるのである．そして，この効果は年金の積立水準を低くして，リスクの高い資産で運用する資産の割合が高いほど大きいため，年金資産の積立状ことで，仮に年金運用が成功すれば年金支払いの原資況（フアンデイング）が良い企業ほど，この効果が大を確保できるものの，万一運用が失敗すれば受給者のきくなることになる．

約束を反故にする，という加入者の犠牲を前提とした

一方，実際は，借入を多くして財務レバレッジが高政策をとることによって，資本価値を高めることがでまると，元利払いが滞る信用リスクも高まるため，借きることを意味している．企業のこうした行動を牽制入コストが上昇して，節税効果を相殺するようになっ2005年10月〜‡© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（25）ブロ3

てくる．現実には，こうした節税効果のメリットと借ば，プット・オプションとしての年金債務保証の価値入コスト上昇のデメリットをバランスする資本構成をCを′トさくするような年金資産配分を選択すればよ選択することになるが，この点については後でもう少いことになる．時間の経過に伴って，年金資産Jにし詳しく見ていくことにする．

加えて年金債務⊥も変化するため，このプットの価値Gは，Margrabe［1978］で提案されたオプションと5．基金がある場合の年金と企業価値して，次のように表すことができる．

これまでの議論をまとめると，倒産の可能性が高い

G＝−〟叫−dl］＋⊥Ⅳ［一成］

企業は，年金給付削減のプットの価値を高めるためにフアンデイングを低くして株式の配分比率を高めよう．了、−rとする一方，逆に倒産の可能性が低い企業は，節税効

あ＝広一♂√F

果を高めるためにフアンデイングを高くして債券の配♂2＝♂デー2の♂ェP′，エ＋ポ分比率を高めようとする，とし−う両極端な結論が得られることになる（Harrison and Sharpe［1983］）．ところが，こうした議論は企業と年金が完全に一体的にる．式（2）を最小にするためには，♂を最小にしなけれ体の企業価値に反映されることが前提となっている．

ばならない．それは，年金資産と年金債務が同じようしかしながら，現実には，従業員の受給権を保護するに変動する，すなわちp′，エ＝1の時である．年金債務ことを目的として，母体企業の外部に基金を分離してのリスクのほとんどは，金利変動による債務の増減で資産を積み立てることとして，年金資産が年金債務をある金利リスクに集約されるため，年金資産構成を年下回った場合には企業が追加の掛金拠出をしなければ金債務のデュレーションに一致させる，いわゆる債券ならない一方で，年金資産に余剰ができた場合でもそによるデュレーション・マッチング，またはイミュナれを企業側に取り崩すことが制限されている．

イズド運用を行えばよい，という結論が得られる．

こうした点は，基金が企業に対して，フアンデイン

さらに，原資産のボラティリティが変化することにグに関するプット・オプションを保有しているともいよるオプション価値の感応度，すなわちベガは，こえよう．Bodie［1990］では，約束された年金給付が確

ア・ザ・マネーで大きく，アウト・オブ・ザ・マネー

実に行われるために基金が裏付けとなる年金資産を常では小さくなる．したがって，年金債務に対して年金に年金債務以上に保有し，年金資産が年金債務を下回資産が十分に大きい場合には，年金資産で多少リスクる場合には差額を母体企業が拠出しなければならない，をとって♂が上昇一したとしても，プット・オプショという企業の保証をプット・オプションとみなして，ンの価値はたいして高まらない．一方，フアンデイン企業のバランスシートを図3のように表している．

グが十分でない場合には，プットの価値が高まり，企このとき，企業が資本の価値Cを高めようとすれ業佃値に影響を与えることになる．つまり，年金資産でのリスクテイクは，フアンデイングに左右されるこ企業のバランスシートとになるのである．

負債および資本d 借入

資産

年金資産Jのボラティリティ，免は年金債務エのボラティリティ，桝，⊥は年金資産と年金債務の相関であ運営されており，年金のリターンとリスクがすべて母

資産

ニこで，Ⅳ［・］は標準正規分布の累積密度関数，のはβ

6．企業と年金基金の不完全統合

企業の年金債務保証G
資本

しかしながら，現実の企業会計上では，年金資産のC構成割合など，年金資産のリスクテイクに関して，十分な情報が開示されていないという問題がある．浅野

年金のバランスシート
資産

J 年金債務

年金資産

企業［2002］では，こうした現実性も取り入れて，年金基金負債および資本が母体企業から半独立的に存在している状態を，不完エ

証 G

全統合モデルとして定式化している．
ここでは1期間モデルを想定し，ある企業の期初に出所：貼【19醐をもとに筆者が一部修正おけるバランスシートに関して，投資家は，事業用資図3 企業と年金基金のバランスシート
オペレーションズ・リサーチ

丁￠4（26）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（2）

産A，借入負債β，資本Cの情報を有しており，こ＝（1−㌃）（恒A−7′ββ−G）

れらは時価で適切に評価されているものとする．この＋（γFβ＋〃〟5−J′戸上）（3）とき，母体企業の事業用資産は，期待事業収益率甚4と表すことができる．CAPMが成立しており，事業＝E［戸。］で投資され，借入利子率はγβであるとする．

収益リスクが株式市場収益率に対するベータとして，一方，投資家は，年金基金の年金資産の時価合計額J

Cov［（1−−丁）戸。，戸〟］βA＝Var［戸〃］（ただし，J＝β（債券運用禎）＋S（株式運用額））
しか知り得ず，これはリスクフリーの割引率rFで評価された年金債務⊥と同額が積み立てられているものとする．年金資産における債券は，負債デュレーションに相当するリスクフリー利子率7′r，株式は期待市場収益率〃〃＝E［戸〃］で，それぞれ運用されるものとする．また，法人税率丁は収益額にかかわらず，で表されるとしよう．ここで，投資家はこの企業の年金資産構成を知ることはできないため，年金資産のりスクとして，実際の株式組み入れ比率にβ倍の評価を与えているものとする．すると，この企業の資本収益率のベータβcは，βc＝一定であるとする．

Var［戸〃］

・Cov［（1−r）（戸。A一γββ−G）

十（γFβ＋戸〃βS一作⊥），戸〟］

ここで，期中におけるこの企業の年金収支および母＝去（舶4−（卜丁）』c＋β5）

体企業での事業収支，さらにはそれらを統合した企業全体の収支について考える．まず，年金収支は，年金と表すことができる．ここで，』cはプットGのデル

資産運用収益から年金債務の金利雪用を控除して，タである．

（4）以上から，資本コストrcをCAPMにより算出でγFβ＋g［戸〃］5−γf⊥

きるものとすると，この企業の資本価値Cは，＝作β十〃〃S−γF⊥と表すことができる．次に，母体の企業の期待事業収c＝旦出γc

益は，J・′／．）（1−r）（恒A−7′ββ−G）十（γFβ＋〃〟S

E［戸。］A＝抑月rF十去（弧十βS一（1−丁）』c）（〃〃−γF）である．一方，積み立て不足発生時の追加掛金拠出は，原資産を（1十rF）β＋（1十〃〟）5，行使価格を（1＝［刺1−㌃）〃A一βA（〃〃−γF））＋γF）上として，企業が基金に対してプットを与えて−（1−㌃）（γ。β＋G−』c（〃〃−γF））いると捉えると，そのプットの価値Cは，十（1一β）5（〃〟−′′F）

G＝Max［（1＋7ノF）エー（1十γ∫）月−（1＋〃〟）5，0］＋β＋S−⊥］と表すことができる．これは，前節と同様に，年金資金でのりスクテイクが，プットを通じて母体企業の収益に影響を与えることを表している．さらに，企業の借入利子率は，企業の財務レバレッジJと事業収益のボラティリティ 誠に依存するため，リスクプレミアとなる・（5）

ここで，A（（1一丁）〃A−βA（伽−rF））は母体企業の事業による収益価値であるため，これをlんで表し，企業の資本価値Cを整理すると，
C＝』「∴D＋β＋5一⊥ム関数が∂（／，♂ま）で与えられるとすると，
γβ＝γF＋∂（／，崩）＋侶（丁−（ト㌻）笠）β＝γト十∂（等，♂ま）一（1−㌃）（G−』G（〃〃−γF））と表すことができる．したがって，企業の事業収支は，＋（トβ）S（〃〃−γF）（6）〃。A−γββ−Gと表すことができる．式（6）より，企業価値からは，年で表されることになる．

これらから，この企業の期待収益率g［戸］を計算すると，母体企業収益には法人税が課される一方，年金基金での運用には課税されないことに留意して，
E［戸］＝E［（1−㌃）（戸。．4−γ。β−C）
十（γFβ＋戸〃5−rf⊥）］

2005年10月号

金資産が年金債務を下回る場合に差額を母体企業が拠出しなければならない，というプット佃値が減じられ，さらに借入を増やすことによって節税効果は高まるメ

リットがあるものの，リスクプレミアムが上昇して借入コストが増加するデメリットがあることから，資本© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（27）TO5

InsuranceandTaxesinCorporatePensionStrategy，構成によって企業価値が左右されることがわかる．一方，年金資産のリスクテイクも企業価値に影響するが，

カブ〟γ犯αJ〆f7犯α〃Ce，Vol．40，No．3，1985．

年金資産構成は投資家からはわからないため，企業評［2］Black，F．： The Tax Consequences of LongrRun

価はこのリスクテイクに対する投資家の見方βに依Pension Policy， F7nancialAnab）StSJ9umal，July／
August，1980．

存している，ということがわかる．

［3］Bodie，Z．：

7．おわりにmentPolicy，TheABO，thePBOandPensionInvest−

FYnancialAna加ゎhurnal，September／October，1990．

本稿では，年金のオプション的な性質を考慮した企［4］Bulow，］．I，，and M．S．Scholes：

業価値の評価についてサーベイを行った．そこでは，

Who Owns theAssetsin a De負ned−Benefit Pension Plan？，

In Z．

仮に企業が破綻した場合に，年金債務の履行がどの程BodieandJ．Shoven（eds．），F7nancialA頭ects qf the

度厳密に行われるか，すなわち加入者の受給権がどのUnited States fセnsion伽tem，University ofChicago

程度保護されるかによって，企業価値を左右する年金Press，1983．

政策の選択肢が大きく異なってくることを示した．

［5］Harrison，）．H．andW．F．Sharpe：

OptimalFund−ing and Asset Allocation Rules for De丘ned−Benefit

翻って，わが国では，企業年金制度を巡って，2001

年10月には確定拠出年金が導入され，さらに2002年

Pension Plan，4月からは厚生年金基金の代行返上が可能になったこ

FわJ 仙、んJ／▲心♪（、（、ね（ゾ■／／れ、いJ砧、（J∫′（J／t、∫什JJ∫高JJ斗ゞ′川J、とに加えて，キャッシュバランス・プランと呼ばれる新たな制度が導入された．つまり，企業がとり得る年金制度の選択肢が大きく広がってきているのである．
一方，制度の変更に伴って，実質的な給付水準の引き下げを行う企業も多く，受給者による訴訟事件も後を絶たないのが現状である．

In Z．Bodie andJ．Shoven（eds．），

UniversityofChicago Press，1983．
［6］Margrabe，W．：

The Value of an Option toExchange One Asset for Another，

Journal〆

ダブ乃α乃Cg，Vol．33，No，1，1978．
［7］Sharpe，W．F．：
icy，

Corporate Pension Funding Pol−ノoumalqf Financial＆onomics，Vol．3，No．2，

1976．

昨今では，年金政策における意思決定の透明性確保を目的として，年金ガバナンスに関する議論がかまびすしい．今後は，そうした問題とも関連して，年金の受給権問題に関する法的な整備の進展が期待されている．そうなれば，わが国でも，本稿で紹介したような年金におけるオプション的な性質も認識・評価されて［8］Treynor，J．L∴ The PrinciplesofCorporate Pen−
SionFinance，Joumal〆Finance，Vol．32，No．2，1977．

［9］浅野幸弘：「年金債務と企業財務 企業財預からみた年金資産運用」，証券アナリストジャーナル，Vol．34，No．
12，1996．

［10］浅野幸弘：「年金運用と企業価値」，笹井均・浅野幸弘
編，「資産運用の最先端理論』，2002．

くるのではないだろうか．

［11］矢野学：「新年全会計基準の導入と企業評価」，経営財

務研究，Vol．22，No．1，2002．

参考文献［1］Bicksler，）．L．，andA．H．Chen：

TheIntegrationof

オペレーションズ・リサーチTO6（28）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.