オークションの人間行動学
ケン・スティグリッツ，川越敏司・小川一仁・佐々木俊一郎＝訳，
日経BP社，2008．

2009/07/15
博士課程
原 祐輔

本⽇の流れオークションとは何か︖
Vickrey (1961)
Riley and Samuelson (1981)
Myerson (1981) とMilgrom and Weber (1982)

オークションとは何か︖

イギリス式オークション

オランダ式オークション

Yahoo!オークション(2位価格オークション)イギリス式オークションとオランダ式オークション
売り手
商品●イギリス式オークションの場合

買い手１

買い手2

評価値：3000円

評価値：5000円●オランダ式オークションの場合10000円

3500円
7000円
3000円
2500円
2000円

5000円

はい，買います！

１位価格オークションと2位価格オークション
売り手
商品●１位価格（封印）オークションの場合
3000円

5000円

買い手2が5000円で落札

買い手１

買い手2

評価値：3000円

評価値：5000円●２位価格（封印）オークションの場合
3000円

5000円

買い手2が3000円で落札

なんでオークション︖
なんかおもしろそうだったから
ゲーム理論の応⽤分野としてホットな分野
都市的にどんな意味があるの︖
都市サービス・交通サービスにおける料⾦体系を構築する際に，利⽤者の選好を反映した動的な料⾦体系として捉えることが可能
理論的には社会的厚⽣を最⼤化できる︕
実際には⾏動経済学的な認知があるけど．．．
また，公平性の問題もある．期待値が等しいことは公平か否か．
こんな研究でやっていけるのでしょうか︖
一寸先は闇です…．

オークション理論の記念碑的論⽂である4本

Vickrey (1961)
Riley and Samuelson (1981)
Myerson (1981), Milgrom and Weber (1982)

VICKREY(1961)
重要な結果︓収⼊同値定理（ある仮定の下では）1位価格オークションと２位
価格オークションは売り手にとって全く等価な結果をもたらすこれから共通の仮定
買い手は２人でそれぞれの評価値は[0,1]に一様に分布しており，独⽴である
まず，1位価格オークションを考える
1位価格オークションでは買い手は正直に自分の評価値
では⼊札しない．なぜなら落札したときの余剰がゼロになるからそこで，正しい戦略はビッドシェイディングすること
どんだけビッドシェイディングして，売り手の期待収⼊
はどんだけになるのか︖が１つ目の問題

１位価格オークションの期待支払い額
評価値v1である買い手１は競争相手である評価値v2の買い手２が均衡戦略を⽤いて，v2/2を⼊札することを仮定する．
ここで，自身の⼊札額をbとするとき，自分が落札できるときの余剰の期待値を計算する．
この期待値は（評価値を一様分布と仮定しているので）評価値v2に関して，v2 ≦ 2bの範囲で，自身が得る余剰(v1 - b)に一様な重みをつけて積分すれば得られる．つまり，以下の式．

自身の期待余剰を最⼤化する⼊札額bを求めるためにはbで微分して0とすればよいので，

１位価格オークションの期待収⼊

よって買い手2の⼊札がv2/2のとき，買い手１の⼊札もv1/2となり，これはSBNEである．
SBNEとは「対称的なベイジアンナッシュ均衡」であり，「対称的」は「すべての買い手が同じ戦略を⽤いること」，「ベイジアン」は「期待値を⽤いること」を表している．
ここで，買い手1は自分が落札できるとき，すなわちv1 > v2のときには自分の⼊札額v1/2を支払う．
すなわち，買い手1の支払額はv1が与えられたもとでv1以下になるような範囲でv2について平均を取ったものになる．
つまり，となる．これをv1の全ての値について平均を取ると，買い手
1の期待支払額は売り手が受け取る期待収⼊はこれを2倍したものなので，1位価格オークションにおける売り手の期待収⼊は1/3となる．

計算のための数学的準備(1)
実際のオークションではほとんどいつも最も高い⼊札額を⽰した買い手が落札し，その支払額は最も高い額か⼆番目の額である．
それゆえ，こうした値をとる分布があらゆるオークション理論において決定的な役割を演じることになる
たとえば，pdfがf(x)という分布から独⽴で同一(iid)のn個の標本の中から最も高い値，および2番目に高い値を表す分布のpdfとcdfを求めたい．実際には任意のkに対してk番目に高い値を表す分布を導出した⽅が便利であるので，一般的にやる．
まず，xを固定した上で，分布から取られた値がxとx+dxとの間にある確率を考える．
これはf(x)dxであり，独⽴に取られた別の値がx以上である確率は(1-F(x))であり，x以下である確率はF(x)である．
したがって，ある値xがk番目に高い確率は，ある特定のk-1個の値がそれ以上である確率なので，である．

計算のための数学的準備(2)
ある特定のxの値がk番目に高い値となる別の多くの可能性を考慮すると，取り出されたn個の値のどれかがk番目に高い値となる可能性は全部でn通りあり，
残りのn-1個の値のうち，k-1個がx以上である可能性は通りである．
これらを合わせると，k番目に高い値がxとdxの間にある確率はよって，k番目に高い値のpdfをgk(x)として表すとと一般的に書ける︕

計算のための数学的準備(3)
よって，求めたいものは最高値のpdfと2位価格のpdfなので，k=1とすると，
k=2とするとこれらを積分すると，最高値のcdfは2位価格のcdfは

2位価格オークションの期待収⼊求めたいものに帰ってまいりました
2人，評価値は[0,1]の一様分布でiidなので，n=2,
f(x)=1, F(x)=xとできる．
このとき，先ほどの式に代⼊すると，2番目に高い
値のpdfはとなる．よって期待値はよって2位価格オークションにおける期待収⼊も1/3となり，1位価格オークションと2位価格オークションにおける売り手の期待収⼊は均衡において等しいことが明らかとなった︕

一般化した2位価格オークションの期待収⼊⼆人だからうまくいくんだろ︖と⾔いたい気持ちを抑えて，一般化を考える
今度は2位価格オークションの⽅が簡単なので，こっちを先にやる．
売り手の期待収⼊はiidな分布F(x)から取られたn個の評価額のうち，2番目に高いものの期待値となる．
これをRspとかくとこれを部分積分して変形するとよって評価値が一様分布に従うという特殊な場合，f(x)=1,
F(x)=xなので，と一般的に書ける．
これはVickrey (1961)の記念すべき結果の一つである．

一般化した1位価格オークションの期待収⼊(1)2位価格オークションは落札したときの支払い額が自分の⼊札額に依存していない．そのため，自身の評価額で⼊札するのが最適である．
一⽅で，1位価格オークションでは余剰を⼤きくするために，評価値よりもビッドシェイディングする必要がある．そのため，非常に戦略的状況であり，他の競争相手の意思決定により強く依存している．
以上より，1位価格オークションにおける⼊札額を決めることは2位価格オークションに比べて，はる
かに微妙な問題である

一般化した1位価格オークションの期待収⼊(2)
簡単に計算できる特殊な場合から始める．つまり，評価値はiidで区間[0,1]の一様分布．
n人の買い手全てが自分たちの評価値を知っており，
買い手1の評価値はv1とする．他の買い手の評価値
はそれぞれv2, ...., vnである．2人のみのケースの場合と同様，未知の⼊札額をbとして，他の買い手達
の⼊札額を
とする．
これは1位価格オークションなので，落札すればbを支払うことになり，評価値がv1であるなら，余剰はb-v1となる．
それゆえ，bを以下の式を最⼤にするように選ぶこととなる．

一般化した1位価格オークションの期待収⼊(3)こで，買い手1が落札する確率は自分自身の⼊札額に依存するだけでなく，他の競争相手が共通の⼊札関数を利⽤しており，それはという仮定にも依存していることを理解して計算する必要がある．具体的に⾔えば，買い手1が落札する確率は他のn-1人の競争相手の⼊札額がすべて買い手1の⼊札額b以下である確率であり，これは評価値がiidの一様分布に従う
場合，となる．よってこれをbについて最⼤にすればよいので，偏微分して0とするととなる．つまり，ビッドシェイディングする最適量は評価値の1/nであることがわかる．

一般化した1位価格オークションの期待収⼊(4)
買い手1の期待支払額は落札確率に⼊札額をかけたものである．
落札確率は他の全ての買い手達の評価値の中で買い手1が最も高い確率なのでである．
買い手1の⼊札額はなので，ここで，あらゆるv1の値に渡って平均を取る，つまりとなるので，
結局買い手1の期待支払額はとなる．よってn人すべての期待支払額，つまり売り手の期待収⼊はとなり，これは2位価格オークションにおける売り手の期待収⼊と同じである．
このように1位価格オークションと2位価格オークションとの間の収⼊同値性を確かめることができた︕

より一般化した1位価格オークション(1)n人で評価値が[0,1]でなく，より一般的な場合
買い手たちの評価値はiid
自身の⼊札関数をb(v1)，他の競争相手の⼊札関数をβ(v1)とする
買い手1の期待余剰は
買い手1が落札する確率を考える．買い手の評価値のcdfはF(v)で共通であり，という条件をF(v)を⽤いて次のように表したい．
そのためには追加的な仮定として，β(v)が逆関数をとれる必要があるので求めようとしている均衡⼊札関数は厳密な単調増加関数であると仮定する．

より一般化した1位価格オークション(2)すると，買い手1が落札する確率はn-1個の同一のcdfの積として書くことができて，次に期待余剰を最⼤化するように⼊札関数を選ぶので，をbに関して偏微分した導関数を0とおくと，最適であるための一般的な必要条件は=0が得られる，これを計算するためにはと均衡におけるβ(v)=b(v)を⽤いると，

より一般化した1位価格オークション(3)以下の常微分⽅程式が求まる
これは一回線形なので積分可能であり，という任意の微分⽅程式に対して，という積分因子をかけることでうまくいく，するととなり，一般解として

より一般化した1位価格オークション(4)ここで，当初の問題ではなので，積分因子はとなり，解はとなる．次に，オークションでは評価値が0の買い手は正の⼊札をすることはないから，b(0)=0であることは明らかである．よって0からvまで積分し，γ=0とするととなる．このとき，⼊札関数が単調増加関数であるという仮定を満たしているかどうかをチェックする必要がある．

より一般化した1位価格オークション(5)
このとき，均衡において買い手はちょうど正確にだけビッドシェイディングすれば良いことを⽰している．

より一般化した1位価格オークション(6)
このときの売り手の期待収⼊は，買い手1の期待支払い額をn倍したものなので，ここでb(v)の均衡⼊札関数を代⼊するととなる．ここで
出すと

を思い

実は
であったので，一致︕
これは理論経済学の最も重要な結果の1つである

収⼊同値定理のまとめ
結果１︓収⼊同値定理
買い手の私的評価額が独⽴かつ同一の分布とする．
このとき，均衡においては1位価格オークションおよび2位価格オークションにおける売り手の期待収
⼊は等しい
この結果は後ほど説明するように，もっと一般的なオークションにまで拡張可能である
しかし，この収⼊同値定理は現実には成り⽴たな
いことが多く，また理論においても多くの重要な状況下では成り⽴たないことに注意すべき︕
以降のほとんどオークション理論は収⼊同値定理
が，いつどのようなときに成り⽴たないかを調べるような研究が数多く⽣まれているここで，一山目を越えた感じ
これまでのオークションを整理すると，であり，前者は弱い同値性，後者は戦略的同値性を意味する．さらに，買い手の評価値がiidな分布であれば，均衡において売り手に同じ期待収⼊をもたらす
これがオークション理論の最初の⼟台となる成果であり，Vickrey (1961)のエッセンスである．
次への助走として，全員支払いオークションを考えてみる．

全員支払いオークション(1)
議席獲得を目指す候補者は選挙キャンペーンにどれくらい支出すべきかをオークションとして捉える販売されているものは議席であり，勝者は１人
参加者は選挙後，支出した費⽤の払い戻しを受けることができない．
つまり，勝っても負けてもお⾦は返ってこない．このようなオークションを考える．
全員支払いオークションの余剰はこれまでの1位価
格オークションのときと同様に書けるが，⼊札額は
これまでの期待支払い額のように落札する確率を掛けたりしない（常に取られるので…）すると，

全員支払いオークション(2)
これまで同様，余剰の期待値の導関数を0とおいて，
買い手2の競争相手の⼊札戦略βが均衡ではbと同じであるとすると，

これを積分することで，となる．積分定数は0とする．これは評価値0のとき，⼊札額が0だからである．

全員支払いオークション(3)
典型的な例として一様分布をとりあげると，
F(v)=vなので，n人で競争する際の全員支払い
オークションの均衡⼊札額は1位価格オークション
の場合の
と異なり，
となる．これは買い手が十分高い⼊札をするためには非常に高い評価値を持っている必要があるというものであり，たとえば20人で0〜100ドルの間での一様分布のとき，自身の評価値が90ドルであるとすると，均衡⼊札額は11.55ドルになる．
90ドルのように高くても，オークションで落札する確率は高くないので，落札に失敗したときのリスクを考えて，低めの額で⼊札するのである．

全員支払いオークション(4)このような変わったオークションでさえ，期待支払い額は1位価格オークションと正確に同じであり，よって売り手の期待収⼊も正確に同じである
従って，全員支払いオークションは標準的な4つのオークションと収⼊同値であり，収⼊同値性という性質はある性質をもった広いクラスに適⽤される一般的な現象であることが確認される．
ここからRiley and Samuelson (1981)へ繋がる．

RILEY AND SAMUELSON (1981)
売り手の収⼊を最⼤化するという観点で最適オーク
ションの設計を考える
ここでは最⼩受諾価格，つまり留保価格を設定する
ことを考え，これまで議論してきた4つの基本形と比べて，売り手の期待収⼊をより⼤きなものにする
選択肢があるかどうかの検討をはじめる
ここで，ライリーとサムエルソンのクラスという概念を考える．

ライリーとサムエルソンのクラス
オークションクラスArsは以下のように定義される
1. 売り手が一人で分割不可能な商品を１つ販売している
2. 売り手は受け⼊れ可能な最低⼊札額b0を公⽰する．
この価格を留保価格と呼ぶ
3. n人の⼊札者がおり，彼等の評価値をviで表す
4. これらの評価値はiidな分布に従う．この関数は厳密に増加関数で微分可能．範囲は[0,1]5. 厳密な増加関数である⼊札関数b(v)に応じてSBNEが存在する
6. 最も高い⼊札額を提⽰した買い手が商品を獲得する
7. 匿名性が保たれた支払いルール（全員に共通）である．

収⼊(1)
オークションArsの一般的な性質をみる．買い手の期待余剰をまず考える
⼊札関数をb(z)としたとき，買い手1の期待余剰は
ここで，買い手1の期待支払い額はP(z)である．⼊札関数がSBNEであるためには期待余剰がz=v1で最⼤になる必要がある．よって偏微分すると，
次に境界条件を求める．これは単純なように⾒えて，非常に重要．評価値v*が存在し，それを最低価値と呼ぶ．この値以下では⼊札しても利益が出ない値である．v*では期待余剰が厳密に0になり，これが望ましい境界条件である．

収⼊(2)
v*からv1の範囲で両辺を積分するとが得られる．これをさらに部分積分するととなる．境界条件の式を⽤いると，次の式が得られる．

この式は評価値v1を所与とし，最低価値v*としたときに，クラスArsに属する売り手の収⼊を最⼤化す
るオークションの期待支払い額について述べている．
しかも，この結果はオークション⽅式に依存していない︕

収⼊(3)
対称性により，すべての買い手の期待支払い額は等
しく，売り手の期待収⼊は買い手の期待支払い額をn倍したものなので，となる．この収⼊をRrsと呼ぶ．これを変形すると書き換えると，

このMRは限界収⼊と呼ばれたり，仮想評価値と呼ばれる．

収⼊(4)
結果２︓収⼊同値性その２ライリーとサムエルソンのクラスに属するいかな
るオークションにおいても，均衡における売り手の期待収⼊額は等しい．さらに様々なオークションが存在するにもかかわらず，この期待収⼊は最低価値v*だけの関数である．

最適留保価格(1)次に売り手がどのように最適な留保価格b0を決定するかを検討する
ライリーとサムエルソンのクラスArsに従うと，留保価格は売り手が持ついくつかの選択肢の１つ．
新しく変数を１つ導⼊する．それは売り手にとっての商品の評価値でありv0で表す．
売り手は期待総収⼊を最⼤化したい．留保価格b0がない場合は売り手は商品を保持したままである．このような事態が発⽣する確率はすべての⼊札額がv*
より⼩さいときの確率と同じである．
このケースの期待⾦額がで総期待収⼊はとなる．

最適留保価格(2)b0を調整することは最低価値v*に影響を与える．よってv0の代わりにv*を調整することを考える．上記の式をv*について微分したものを0とおくと，となる．これはまたはと等しい．
この式は分布Fと売り手の評価値v0が与えられるだけでv*が決まる条件
を与えている．v*が買い手の数にもオークション形式にも依存しないことは注目に値する．いったんv*が決まると，売り手はこの値の下で適切な留保価格b0を⾒つけなければならない．
１位価格オークション，２位価格オークションにおいて，最適留保価格
b0はv*と等しい．この証明にあたって，２位価格オークションの落札者はたとえ自分の⼊札額だけが最適留保価格より高かったとしても，最低限留保価格を支払わねばならないという事実を⽤いる．これは単純だが重要である．というのは，この設定が2位価格オークションにおいて留保価格を0より高くするインセンティブを与えるからである．
性質１︓1位価格オークションおよび2位価格オークションにおいて，最
低価値は最適留保価格に等しい．
すなわち，v* = b0である．

最適留保価格がある場合の1位価格オークション(1)
評価値が[0,1]の一様分布に従う1位価格オーク
ションを考える．簡単のためv0=0である
このとき，仮想評価値MRはとなり，v*=1/2となる．これは買い手の数とオークション形式から独⽴である．つまり，性質１から1位および2位価格オークションでは最適留保価格
b0=v*=1/2である
最適留保価格がある場合の1位価格オークションの均衡⼊札関数はどうなるか︖一般形を再掲すると

最適留保価格がある場合の1位価格オークション(2)
最低価値v*では期待余剰が0という条件を加えると，

例を簡単にするため，2人，b0=v*=1/2, F(v)=vのとき，上記の式はオークションの期待収⼊を計算する．
最適に選択された留保価格は売り手の利になることが予想される．
b0=1/2に対して収⼊5/12
b0=0に対して収⼊4/12であり売り手の期待収⼊は25％増加で著しい最適留保価格がある場合の2位価格オークション(3)2位価格オークションでは，真の評価値を正直に⼊札する戦略が弱支配戦略であり，自分の評価値v1
が最低価値v*を越える場合はいつでもv1を⼊札する．このときの買い手1の期待支払い額は売り手の期待収⼊は上を2倍して，v1≧v*となる評
価値で平均すると

この式をv*について微分すると最適なv*の値1/2が得られる．よって期待収⼊は5/12であり，1位価
格オークションと等しくなる．

サッド・ルーザー・オークション(1)2人の買い手，評価値[0,1]で一様分布，v0=0
落札者は何も支払わなくてよい．敗者は⼊札額を支払う．しかし，これもArsに属している．
買い手1の期待利潤は最低価値v*で⼊札するとき，期待余剰は0であり，
b(v*)=b0であるので，収⼊を最適化するとき，v*=1/2であることを使うとb0=1/2である．
期待支払い額とより，

サッド・ルーザー・オークション(2)サッドルーザーオークションの期待収⼊がクラス
Arsに属し，他の最適オークションと同額であることを確認するより，v*=1/2では5/24となる．よって期待収⼊はその2倍なので5/12である

RILEY AND SAMUELSON (1981)のまとめ
クラスArsに所属しているオークションは全て期待
収⼊や支配支払い額が厳密に等価である
これにより，標準的な４つのオークション形式からより広く抽象的なクラスの議論ができるようになった
売り手は最適留保価格を扱うことで，期待収⼊を増加させることができる．
その場合であっても，オークション形式は関係な
い．
もちろんVickrey (1961)と同様，現実がこの理論に適すると⾔いたいわけではない
以降の研究はこのクラスの制約から逃れることに⼤きな関心が払われてきた
２つめの山を越えた

MYERSON (1981) & MILGROM AND WEBER(1982)
これまでの理論は買い手たちの評価値は独⽴で同一の分布をもつ私的価値であるとされてきた．オークション形式は結果に影響を与えないと結論づけるが，現実をみたときに何かき
まりが悪い．
伝統的な⼤手オークションハウスでイギリスオークションが好まれてきたことやeBayの形式がネットワークションで好まれているという事実がある．
「同じ商品に対して買い手の評価値の分布がそれぞれ異なっている」「買い手はしばしば自分たちの評価値について不確実である」「評価値は互いに関連しており，買い手は競争相
手の⼊札額を観察することで有益な情報を引き出すことができるのか」「競り上げ競争の存在」等，オークション理論にはまだまだ反映すべき複雑性が存在する．
⼤ざっぱに⾔えば，これらは「相互依存的な評価値」を考慮する研究と「買い手間の非対称性」を考慮する研究に分けられる．
まず，相互依存的な評価値を考え，次に独⽴・私的価値における買い手間の非対称性を考慮した理論を考える．

相互依存的な評価値
買い手はいつも自分の評価値を確実には知らないという状況をモデル化する．
買い手たちが自分の評価値に関して，一般に確率変数であるシグナルsiという形である程度不確実な情報をもっていると仮定する．買い手の利得を決定す
る実際の評価値は次の関数となる．
独⽴価値モデル
共通価値モデル相互依存的な評価値
Milgrom and Weber (1982)によると，一般的な価値関連モデルでは，４つの標準的なオークション
形式は，期待収⼊が次のように異なる
イギリス＞2位価格＞1位価格＝オランダ式

非対称な買い手たち
Myerson (1981)は収⼊を最⼤化するという目標を追求しながら，販売メカニズムについて現代的な新しいアイデアを導⼊している．
特に，顕⽰原理は非対称な買い手たちに直面したときに収⼊を最⼤化するには通常とは違うオークショ
ン形式を採⽤し，通常は売り手には利⽤可能ではな
い買い手たちの情報が必要になると述べている．

効率性

定義︓緩やかな効率性︓販売メカニズムが効率的であるというのは，商品が販売されるときに最も高い評価を与えている買い手が必ずそれを購⼊するときである
ライリーとサムエルソンのクラスのオークションはすべて効率的である
非対称な買い手の下での1位価格オークションは状況が全く異なる．⼊札関数が互いに異なれば，評価額が⼤きくても⼊札額が⼩さくなることがありうる．
よって，非効率な状況が正の確率で⽣じる．

非対称的な買い手の場合のマイヤーソンの最適メカニズム(1)

これまでの評価値zに対する落札確率はダメ配分関数と呼ばれるＱによって落札者を指名同様に，販売時の支払い額を任意の関数Ｐで指定組(Q,P)を直接メカニズムと呼び，これによってオークションのルールが決定され，執⾏されるとする．
こうすることであらゆる交渉ルールに拡張可能
つまり，買い手たちは直接メカニズムに真の評価値を報告するだけで，自動的に決まる
では，買い手たちは嘘をつくインセンティブはないのか︖
もしあれば，均衡の定義より均衡⼊札額ではない．

非対称的な買い手の場合のマイヤーソンの最適メカニズム(2)定義︓どのようなメカニズムに参加している主体も嘘をつくインセンティブがないなら，このメカニズ
ムはインセンティブ両⽴的と呼ばれる
結果4（顕⽰原理）︓均衡⾏動を考える限り，あらゆる交渉はインセンティブ両⽴的な直接メカニズム
によって置き換え可能である
つまり，顕⽰原理のおかげで複雑な⼊札関数に対応した複雑なオークション形式に触れずに直接メカニズムだけに注意を集中することができる．必要なことはただ直接メカニズムを決定する組(Q,P)のみである非対称的な買い手の場合のマイヤーソンの最適メカニズム(3)非対称な買い手の場合，これまでの最も高い価値を持つ買い手が落札するという前提が成り⽴たない．
つまり，は利⽤できない
iが落札する確率をzのみの関数として表すと

iがzを⼊札したときの期待支払い額はこのように一般的に書き換えることで，期待余剰はとなり，もはや期待余剰の関数は買い手ごとに異なることを⽰している

非対称な買い手の収⼊同値定理

さきほどの期待余剰を真の評価値viで微分したとき，
z=viとおいたとき，viに関して全微分すると偏微分の式を全微分の式に代⼊するとこれを積分すると，期待余剰は評価値の関数となる

よって期待支払い額はであり，期待支払い額はただ配分関数に依存するのみ
で，同じ配分関数をもつあらゆる販売メカニズムは売り手に同じ収⼊をもたらす．これは一般的な設定の下での収⼊同値定理である．

（まとまってない）まとめ
Vickrey (1961)では1位価格と2位価格オークショ
ンの間の収⼊同値性を⽰した．
Riley and Samuelson (1981)では広いオークショ
ンクラスArsを定義し，その中に含まれているオー
クション形式はどんなものでも収⼊同値性が成り⽴つことを⽰した．
また，最適留保価格が売り手の収⼊を増加させることを⽰したMilgrom and Weber (1982)は相互依存的な価値のオークションの分析を，Myerson (1981)では非対称な売り手における，より一般的な収⼊同値性を⽰した．