交通行動の分析とモデリング（北村、森川他）
Chap.6-1, 6-4 (p.103~108, 122~132)
行動モデル編 #2
交通研究室 学部四年
日下部 達哉1

1. 経路選択モデル
2. 多項プロビット(MNP)モデル
3. 多項ロジット(MNL)モデル
4. ネスティッドロジット(NL)モデル
5. クロスネスティッドロジット(CNL)モデル
6. GEVモデル
7. Network-GEVモデル

2 選択肢は離散的→連続的な指標に落とし込む①選択肢の望ましさを表現する「効用」を導入②個人は、効用を最大化する選択肢を選択③効用は、測定可能な確定項と、測定不可能な誤差項に分けられる

𝑈𝑛 = 𝑉𝑛 + 𝜖𝑛𝑉𝑛 =選択肢nの効用

効用の確定項

効用の確定項

効用の誤差項(𝛽𝑘 ∗ 𝑥𝑛,𝑘 )𝑘

効用最大化理論
ランダム
効用仮説

k個の変数の線形結合（費用、時間、…）

3

④リンクを重複して使う経路が存在するため、誤差項に相関がある（経路選択モデルに特徴的）→相関にどう対処するかを考えて、モデルが発展
新幹線

１２２と３の誤差項には正の相関がある？

羽田飛行機

東京都心
３
京急

モノレール

伊丹

大阪都心
モノレール

4

 𝝐 = 𝜖1 , 𝜖2 , … , 𝜖𝑁 が多変量正規分布に従う（平均値 𝟎 、分散共分散行列 𝛀）○選択肢の間に相関がある場合、分散が違う場合でも、正しく推定できる×多重積分の計算が必要になる（計算機の性能的に難しかった時代もあったが、今は改善されてきている）
5 𝝐 = 𝜖1 , 𝜖2 , … , 𝜖𝑁 が独立で同一なガンベル分布に従う（ロケーションパラメータ（分布の位置） 𝜂𝑛 ）（スケールパラメータ（分布のばらつき） 𝜇）○積分の計算を避けられる
1① 𝜖𝑚𝑎𝑥 ~ 𝐼𝐼𝐷_𝐺𝑢𝑚𝑏𝑒𝑙 ∗ 𝑙𝑛 𝑁
𝑛=1 𝑒𝑥𝑝(𝜇𝜂𝑛 ) , 𝜇𝜇1② 𝐹 𝜖𝑛1 − 𝜖𝑛2 =1+𝑒𝑥𝑝 𝜇 𝜂𝑛2 −𝜂𝑛16 選択肢１を選ぶ確率を求める

𝑃1 = 𝑃𝑟[𝑉1 + 𝜖1 ≥ 𝑚𝑎𝑥 (𝑉𝑛 + 𝜖𝑛 )]𝑛≠1

𝑈 ∗ = 𝑉 ∗ + 𝜖 ∗ = 𝑚𝑎𝑥 (𝑉𝑛 + 𝜖𝑛 ) , 𝜖𝑛 ~ 𝐼𝐼𝐷_𝐺𝑢𝑚𝑏𝑒𝑙(0 , 𝜇)𝑛≠1

𝑈𝑛 ~ 𝐼𝐼𝐷_𝐺𝑢𝑚𝑏𝑒𝑙(𝑉𝑛 , 𝜇)1∗
𝑈 ~ 𝐼𝐼𝐷_𝐺𝑢𝑚𝑏𝑒𝑙 ∗ 𝑙𝑛 𝑁𝑒𝑥𝑝(𝜇𝑉𝑛 ) , 𝜇𝑛=2𝜇1∗∗ ~ 𝐼𝐼𝐷_𝐺𝑢𝑚𝑏𝑒𝑙(0 , 𝜇)𝑉 = ∗ 𝑙𝑛 𝑁𝑒𝑥𝑝(𝜇𝑉),𝜖𝑛𝑛=2𝜇7 選択肢１を選ぶ確率を求める

𝑃1 = 𝑃𝑟[𝜖 ∗ − 𝜖1 ≤ 𝑉1 − 𝑉 ∗ ]1=1+𝑒𝑥𝑝 𝜇 𝑉 ∗ −𝑉1𝑒𝑥𝑝 𝜇𝑉1=𝑒𝑥𝑝 𝜇𝑉1 +𝑒𝑥𝑝 𝑙𝑛 𝑁𝑛=2 𝑒𝑥𝑝 𝜇𝑉𝑛=𝑒𝑥𝑝 𝜇𝑉1
𝑁 𝑒𝑥𝑝 𝜇𝑉𝑛𝑛=1(積分を使わずに導出できた)8

𝑃𝑛2 𝑒𝑥𝑝 𝜇𝑉𝑛2== 𝑒𝑥𝑝(𝑉𝑛2 − 𝑉𝑛1 )𝑃𝑛1 𝑒𝑥𝑝 𝜇𝑉𝑛1
 IIA特性…選択確率の比は、その選択肢の効用の確定項のみで決まる○選択肢の集合を部分的にしか知らない場合でも、正しく推定できる×選択肢の間に相関がある場合、正しく推定できない
9赤バス – 青バス問題

効用の確定項が同じ「自動車」「赤バス」「青バス」がある。
𝑉車 = 𝑉赤𝑃車 = 𝑃赤
各々の選択確率：１／２10

𝑉車 = 𝑉赤 = 𝑉青𝑃車 = 𝑃赤 = 𝑃青各々の選択確率：１／３
車：１／２、赤：１／４、青：１／４
では？？
11

 多項ロジットに「ネスト（グループに近い概念）」を導入
 ある選択肢は、似た選択肢の集団である「ネストのどれか一つ」に属する
 「ネスト」内の選択肢がどれほど似ているか（どれほど相関しているか）を考慮する○IIA特性を緩和することができる
×ネストの定義が難しい
×一つのネストにしか所属できない12

 選択肢nを選ぶ確率を求める① ネストを定義 … (𝐶1 , … , 𝐶𝑀 )② ネスト内の相関度を定義 … (𝜆1 , … , 𝜆𝑀 )※ 0 ≤ 𝜆 ≤ 1 で、大きいほど相関が少ない③ 選択肢nがネストCに属する … 𝑃𝑛 = 𝑃𝐶 𝑃𝑛|𝐶

𝑃𝐶 =𝑉𝑛′𝑛′ ∈𝐶𝑚 𝑒𝑥𝑝 𝜆𝑚
𝑀𝑚′ =1

ネストCの選択確率

𝜆𝑚𝑉𝑛′𝑛′ ∈𝐶𝑚′ 𝑒𝑥𝑝 𝜆 ′𝑚𝜆𝑚 ′𝑃𝑛|𝐶 =ネストCにおける経路nの選択確率

𝑒𝑥𝑝

𝑉𝑛
𝜆𝑚𝑉𝑛′𝑛′ ∈𝐶𝑚 𝑒𝑥𝑝 𝜆𝑚
13

赤バス – 青バス問題

効用の確定項が同じ「自動車」「赤バス」「青バス」がある。ここで 𝐶1 ∋ 車 , 𝐶2 ∋ (赤, 青) とネストを定義

𝑃青 =𝑉青𝑉赤𝑉青𝑒𝑥𝑝∗ 𝑒𝑥𝑝+ 𝑒𝑥𝑝
𝜆2
𝜆2
𝜆2

𝜆2 −1

𝑉赤𝑉青𝑒𝑥𝑝 𝑉車 + 𝑒𝑥𝑝+ 𝑒𝑥𝑝
𝜆2
𝜆2

𝜆2

14

無相関度0 (赤バスも青バスも全く同じ)… 青バスの選択確率１／４
無相関度1 (赤バスと青バスは全く違う)… 青バスの選択確率１／３
15 ある選択肢は、似た選択肢の集団である「複数のネスト」に属する
 ネスト内の選択肢がどれほど似ているか（どれほど相関しているか）を考慮する
 ある選択肢がどれほどネストに帰属しているかを考慮する○IIA特性を緩和することができる○複数のネストに所属できる×グループの定義が難しい
16

 選択肢nを選ぶ確率を求める① ネストへの帰属度を定義 … 𝛼𝑚𝑛※ 選択肢nがネストmにどれだけ帰属しているか② 選択肢nが複数のネストに属する … 𝑃𝑛 = 𝑚 𝑃𝑚 𝑃𝑛|𝑚

ネストmにおける経路nの選択確率

ネストmの選択確率𝑛′ ∈𝐶𝑚 𝛼𝑚𝑛′ 𝑒𝑥𝑝 𝑉𝑛′

𝑃𝑚 =𝑀𝑚′ =11 𝜆𝑚𝜆𝑚1𝑛′ ∈𝐶𝑚𝛼𝑚′𝑛′ 𝑒𝑥𝑝 𝑉𝑛′′𝜆𝑚 ′𝜆𝑚′𝑃𝑛|𝑚 =𝛼𝑚𝑛 𝑒𝑥𝑝 𝑉𝑛

1𝜆𝑚𝑛′ ∈𝐶𝑚 𝛼𝑚𝑛 𝑒𝑥𝑝 𝑉𝑛′

1𝜆𝑚

17

 PCLモデル…選択肢ごとに相関を考慮できる
 C-logitモデル／PSLモデル…リンク共有の度合いを表現する修正項を導入する
 GNLモデル…PCLモデルとCNLモデルを組み合わせる GEVモデル…ランダム効用理論に基づくこれらのモデル（NML, NL, CNL を含む）を統合的に表す
 𝝐 = 𝜖1 , 𝜖2 , … , 𝜖𝑁 が一般化極値分布に従う

18 選択肢nを選ぶ確率を求める
ネストCにおける経路nの選択確率

𝜕𝐺𝑦𝑛 ∗(𝑦1 , … , 𝑦𝑁 )𝜕𝑦𝑛
𝑃𝑛|𝐶 =𝜇 ∗ 𝐺(𝑦1 , … , 𝑦𝑁 )

MNL

NL𝑁𝑀

𝜇𝐺 𝑦 =

𝑦𝑛𝑛=1

𝑁𝑚

𝐺 𝑦 =

𝜇𝑚=1𝑛=1

𝐺 … 𝜇_𝐺𝐸𝑉関数
CNL

𝜇𝜇𝑚

𝑦𝑛 𝑚

𝑦𝑛 = 𝑒𝑥𝑝(𝑉𝑛 )𝑀

𝑁𝑚

𝑚=1𝑛=1𝐺 𝑦 =𝜇𝑚
1𝜇𝛼𝑛𝑚 𝑦𝑛𝜇𝜇𝑚

19 GEVモデルでは「選択肢を決める段階」に着目
 Network-GEVでは「全ての段階」に着目…全ての段階に着目したら、ネスト構造そのものがネットワークのように見えてきた？

GEVN-GEV20

 上位ノードiを選んだとき、下位ノードjを選ぶ確率を求める

𝐺 𝑖 (𝑦) =上位ノードiにおける𝜇_𝐺𝐸𝑉関数

𝛼𝑗𝑖 𝐺 𝑗 𝑦𝑗∈𝑠𝑢𝑐𝑐 𝑖

𝑃𝑗|𝑖 =
上位ノードiにおける下位ノードjの選択確率

下位ノードjにおける𝜇_𝐺𝐸𝑉関数

𝛼𝑗𝑖

𝜕𝐺𝑦𝑛 ∗(𝑦 , … , 𝑦𝑁 )𝜕𝑦𝑛 1
𝑃𝑛|𝐶 =𝜇 ∗ 𝐺(𝑦1 , … , 𝑦𝑁 )𝜇𝑖𝜇𝑗

ネストCにおける経路nの選択確率

𝜇𝑖
𝐺 𝑗 𝜇𝑗𝑗∈𝑠𝑢𝑐𝑐 𝑖 𝛼𝑗𝑖 𝐺

𝜇𝑖𝑗 𝜇𝑗21