放射光1989 年 5 月

第 2 巻第 2 号

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l苧-竺
1
1

放射光 の性質宮原'恒笠高エオ、ノレギ一物理学研究所

前号では、放射光の性質を、その波動性を考慮しながら解説した。そこで明らかになったことを要約すると
a) 干渉性には、たて方向と横方向のものがあり、それら両方の干渉条件が満足されたときにのみ実際の干渉効果が現れること。また、それNi

ぞれの干渉性は光の観測の仕方にかかっていの JlLること o~//トノb) 光のエミッタンスには、回折限界からくる最小エミッタンスが存在すること。
図 1

さて今号では、上記の原理をふまえて、実際の放射光の性質を論じてみよう。

なドップラー効果により、観測者にとっては電子が、 T よりはるかに短い周期 τ で振動しているよ(1J 偏向電磁石からの放射うに見える。したがって、より短い部分を観測す(1) 短波長限界

ればするほど、またドップラー効果が大きければ偏向電磁石内の電子軌道は図 1 のように曲率半大きいほど、より短波長の光を観測することにな径を R とする円軌道である。周知のように、このるのである。

電子からの放射は連続スペクトルであるが、あるさて、 T と τ との聞にはどのような関係が成立

エネルギーより高いエネルギーの光強度は急に弱するだろうか。これを調べるには、古典的な「追くなる。言いかえれば、かなりシャープな短波長いかけ算」の例を考えればよい。すなわち、いま限界がある。そこで、以下に定性的ではあるが、考えている長さの先端部分から信号が発射された

この短波長限界が、どのように導びかれるかを示

とい電子がその後を光速に近い速度で追いかけしてみよう。ていき、思IJの地点で第二の信号を出したとしよう。

まず、図 1 の O 点で電子の運動を観測すると、電子の軌道は一般に曲線であるが、これを Z 軸に電子が水平面内で一回振動したように見えるであ射影した平均的な速度を u としよう。二つの信号ろう。この一自振動の周期を T とすると相対論的の間隔は追し、かけ算の原理により(C) 1989 The Japanese Society for Synchrotron Radiation Research

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また③式の関係は、アンジュレータ光の波長のc‑v )/c

τ ニ T(①公式などにしばしば形をかえて顔を出してくる重要な関係である。という関係で短くなることがわかる。すなわち観ここでもう一度、偏向電磁石の軌道が円軌道でv)/c というファクターであることを思いおこそう。そして円軌道に対して、測される波長も( c短縮されるのである。

平均速度 u がどうなるかを見積ってみよう。いまところで u は Z 軸に射影した平均速度であるか

園 1 において、角度が -8/2 から 8/2 までのふ電子の早さ u に対してわずかに小さな値と円弧の部分のみを観測するとしよう o 8 の大きさなっており、は今のところ未知数であるが、これは後で決まる量である。

v= (1-δ ) u②

θ=0 に対応した点の Z 軸の原点として z = 0 とする。

いま考えているのは θ の小さな領域であるから、とおくことができる。

δ は l に比べて、はるかに小さい量である。さて①式の中のファクターを②を考慮して変形する。このとき、

u、

Ze~三一て民'u が c とあ

θ2cose 主 1 -すまり違わないことに注意する。などと近似できる。また電子軌道を Z 軸に射影したときに遅くなるファクターは明らかに cos 8である。それ故、 cosθ を一 θ/2 から θ/2 まC 2‑ U 2=c(c+μ)

でにわたって平均する必要があるが、それは以下十月~のように計算される。

2c2‑u2一一一ナ十 δ2c2)cosθ の平均=く cos 8二 l 十 θ2)」 (1-f) 十 δ
乙C“=1=一一十♂

2γ2‑ごと。( 1 十 2 r 汚)
zr

ここで、

③“

γ は竃子エネルギーを静止エネルギーを単位として表したものでよってuz(1‑112)u24/一川Eで表される o古[日:;r は高エネルギーの物理現象の記述にしばしば現れる重要な量である。となる。すなわち②式の δ は

θ2δ ニ-24④

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4 9とかける。

次に、観測者は、円弧のどの部分を観測するのl[ • ^1θ2一一匹} "=一一2y24か、すなわち θ を求める方法を考えよう。それに

十一一四24は前号で述べた屈折限界(前号の⑥式)という考えを用いる。

が得られ、したがって

角度土 θ/2 の部分を観測するとすると、軌道2'③7̲821‑cos-=-)三 R ̲‑σ x =R(,-一ハワ

8~一一のまがりにより8なる関係が得られるのである。

以上のことから、われわれが観測できる弧の部という幅がついて見える。エミッタンスは、これ分を角度に換算すると約 1/γ の程度であることに σx/ ニ θ/2 をかけてがわかる。この値は、エミッタンスの回折限界を考慮して導びかれたものであるから、この角度よ

w=σxσx'=E63⑤16

り小さい弧の部分を観測することは、不確定性関係により不可能であることに注意していただきた
し、。となるが、これは回折限界え /(4π 〉より小さくならなし、からさて⑧を⑦式に代入すると、観測される短波長限界が得られる。すなわちR

一一 θ3 詮え/( 4l[)

⑥16R

え m t nnニ一一2 γ3⑨となる。一方、観測する波長は、単振動の 1 周期

実際、この値は、円軌道から放射される光の短分に相当すると仮定し、弧の長さが R8 であるこ波長限界に近い。これはそれぞれの電子蓄積リンと、さらに、③、④式に注意するとグについて、 R や 7 の鐘を⑨式に代入してみれば容易に確かめられる。

1θ2ﾀ~R8 (一十一)⑦2y2 24

ところで、以上の考察をもう少しふり返ってみることにしよう。われわれは、厳密に電磁場を計算して、フーリエ変換するなどという複雑な手続となる。⑥式で、等号の成立する場合について⑦をきをとらずに、定性的にえや θ を求めてきた。そ代入するとの際、以下の三つのことを前提にしてきた。それらは、①光速に近い運動に対する相対論的ドップ

R‑

16̲^

Fj"=

Rθ1θ2、

ラー効果により、観測される波長が著しく短くな22yること。②観測される光のエミッタンスの回折限

一一一4π{一一十、一一}

24ノ界が存在すること。③円軌道の一部を単振動の一これから回分とみなすこと、であった。そのうち①、②は本質的に重要な要請で、普遍的な物理の原理から50

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放射光第 2 巻第 2 号くるものである。しかし③には近似がはいってい反対の楕円偏光となっている。そしてこの楕円偏る。円軌道の一部は、アンジュレータの場合と異光は、軌道面と観測方向とのなす角が r -1 に比べり、厳密には単振動とは異っているかちである。

ではるかに大きいとき、完全な円偏光に近づいてこのような近似の故に、上の結果は定性的な結果いく。このとき、当然のことながら、強度は小さとなっているのである。実際には短波長限界よりくなる。以上のことは定性的には理解できるであ

長波長の光が連続的に含まれており、長波長になろう。

ると回折限界によるエミッタンスが大きくなるの

さて、このような偏向電磁石からの放射を、で、角度発散も γ-1 より大きくなる。この大きく

γ-1 より充分に大きい角度で、上下等しくとりこなり方は、⑥式によればえ 1/3 という依存性を示

み、これを何らかの光学素子によって収束させた

すはずであるが、水平方向の角度発散は測定が困とき、収束点での偏光状態はどうなっているだろ難なので実験値との比較はむずかしい。

うか。一見すると、等しい角度でとりこむのだか

一方、垂直方向の角度発散をゆとすると、上とら、上下の互いに逆回りの楕円偏光が打消し合っ

同様の考察によって、短波長限界近傍では、ゆもて、やっぱり水平方向の直線偏光になるのだといγi 程度であることがわかる。しかし、明らかにう考え方があるかも知れない。なるほど、偏向部

σy 白砂、 σy ノはゆという比例関係があり、両者のからの放射を上から見て右円偏光だとすると、下積が回折限界でえに比例することを考慮するとからは左円偏光に見える。したがって、両者を重ね合わせれば直線偏光になるという考え方である。

ゆ Cたえ O. 5⑬しかし、実は、このような考え方は完全に誤っている。前号で述べたように、これらの光の干渉性となることが、予想される。しかし厳密な計画結はどの程度のものであるかをチェックせねばなら果によれば長波長側でない。そもそも、偏向部からの放射が円偏光らし⑪ゆcx: )_O.425

く見えるためには、軌道面からかなりはずれた角度で観測せねばならず、その角度は r -1 より大きい。一方、屈折限界に対応したエミッタンスを考となる。この違いは⑬式では、長波長ではより長慮すると、

r -1 より大きく離れた部分は位棺空間

い弧を観測している効果を無視でいるためにおき上では X' 軸方向に離れており、横方向の干渉性ているのである。

が存在していない。さらに、光学素子を用いた収束系は、位相空間内の分布の形を変えるけれども、(2) 偏光性

その面積を変えたり、離れたものを重ねたりはし偏向部からの放射を、電子の軌道面内で観測すない 1) 。以上のようなわけで、実際に光を観測す

ると、電場ベクトルの向きは水平面内にあるから、ると、水平方向の誼線偏光成分の他に、右まわり完全な直線偏光となる。このことはよく知られてや左まわりの円偏光成分が非干渉的にまじってくいる。ところで、この放射光を軌道面より少し上るのである。この結果、この光は、水平偏光成分から見たり下から見たりすると、どのように見えと自然偏光成分の和のように見えるであろう。

るであろうか。電子の軌道は、楕円のように見えるから、一般には楕円偏光になることが予想され(2J アンジュレータからの放射るが、実際に観測して見ると、上から観測したと(1) 観測される波長

きと下から観測したときでは、互いに回転方向がアンジュレータの場合、基本となる電子の軌道

放射光第 2 巻第 2 号/一\1989 年 5 F.1ノぜ/』ヴδ=θ~/ 4 十 ß2/2

51⑬~ムとなることがわカ1 る。

図 2

ここで、がサイン関数的であるから、振動の一周期が何にθ 。を r -1 との比で表すことにして、この比を K とおくと対応するかと考えるときに、偏向電磁石のようなK=θo r

あいまいさがない。明らかに、アンジュレータ内⑬の電子の運動の一周期は磁場の一周期の長さに対応している。この周期長は通常センチメートルのとなり、結局十μμ一2ある。この見積りは以下のように行える。

一一円ハυ

次に必要なのは、②式における δ を見積ることでU一げオーダーであるが、これをえ u としよう。そこで、⑪アンジュレーター内の軌道として図 2 のようなサイン関数的なものを考える。この軌道の Z 軸にとなるわけである。上で用いたパラメタ K は通常、対する傾きを θ とすると、その最大値を0 。として、アンジュレータの K値と呼ばれ重要なパラメタである。
θ =eoCOS27[Zﾀu⑫と書ける。この時、射影された速度 u は u よりも③および⑪を参照すると、アンジュレータの波長はÂu

わずかに小さくなってーム守ー

u=cose~ u(1‑e2/2),K2ドプ。 (1+-~-+r2 β2 )⑬ームで与えられることがわかる。これは、アンジュレー
タの基本波を表す式であるが、実際には、アンジュとなるが、これを一周期にわたって平均化するとレータは基本波の他に高調波を発生することが知⑫式に注意し、られており、その次数を n として

u=u(l- く θ2)/2)=u(1 一例 /4)となる。さらに観測者が、ん⑬Z 軸に対してわずかに3 だけ傾いた角度で観測したとすると、さらにCOSß がかかることになり結局

K2

À=:-ム。( 1+-:-十戸 β2)⑬乙 nr “乙という表現が、アンジュレータの波長公式とよばれている。

アンジュレータの波長公式は、また、仮想的な回折格子を考えることによっても導出でき、特に
δ = u(1-θ 5/4-ß2/2)⑬

アンジュレータ光の波動光学的性質を論ずるには、そのほうが理解しやすい面もある。興味のある方となる。これと②式を見比べるとは、参考文献 2 を参照されたい。

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アンジュレータ放射の角度広がり

ジュレータ放射とで、同ーの波長えを問題にしてアンジュレータ放射の角度広がりは、偏向電磁いるとしよう。回折限界は波長によるから、等し石放射より小さいと言われている。定量的には、い波長で比較するとわかりやすい。そうすると、参考文献 2 のような方法で論ずることもできるが、偏向部放射の限界エミッタンスはここでは、定性的に物理的直観で考えてみる。もし、角度広がりが、偏向部からの放射のように、⑫Wb~R/γ3

回折限界の結果であるとすると、角度広がりが小さいことは空間的広がりが大きいことを意味する。

であり、これがアンジュレータ放射の限界エミッアンジュレータ放射は高輝度光源といわれている

タンスので、偏向部放射より空間的広がりが大きいというのは、一見奇妙な感じがするかもしれないが、Wu~ ゆ・ 2 Ns ゆ= 2RN ゆ 2/γ

実際にこれは正しい結論なのである。偏向部放射⑫の空間的広がりが見かけ上、大きくみえるのは後に等しくなければならない。したがって、⑫と⑫述するうよに、別の理由によっている。と等しいとおくといま、図 3 のごとく、半径 R の偏向部放射で観測できる部分の長さ s を R/r に等しいとしよう。

これは光の回折限界を問題にする限り妥当な仮定

がり r -1 と、空間広がり、⑧ゅ=-/2N rである。この光源は、大ざっぱに言えば、角度広sγ 一 I=R/γ2 を持っている。さて次に、この s の長さの 2 倍、すなわとなる。すなわち、アンジュレータ放射の角度広ち 2 s を周期長とし、 N ケの周期数を持つアンがりは、ジュレータを考えてみよう。このアンジュレータ

け少さくなっている。これに対応して、空間的広の全長を L とすれば明らかにがりは J玄百倍だけ大きくなっているはずである。

γ-1 に比べて 1 /-J2Nのファクターだ

これはは、⑫および⑫を用いてム x

L=2Ns(~L ゆ〉を計算してみれば容易に確かめられる。

⑫以上の結果は、一見、経験に反するように見えである。ここで角度広がりを未知数としてゆとおる。通常、偏向部放射は、水平方向には、かなりこう。そうすると空間的広がりは、ム x~2Ns広がって見えるからである。しかしこれは、偏向ゅのオーダーとなる。さらに、偏向部放射とアン部が通常、長い円弧であるために起きる現象で

s=R/r
~

十一ート一一一一一ー/と士〉て一一一一.......___.,.,~I.......___.,.,./"'"ヘ........._

L=2Ns
図 3.......___.,.,

や~jAX•. ̲ 7~ι1989 年 5 月

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53あって、 R/r よりも弧の長さがはるかに長い結果としておきているのである。この場合、それぞれの微小な弧 s "，-， R/γ からの放射を独立に(すなわち非干渉的な光として〉観測しているから大きく見えるのである。これに対し、アンジュレー

タ放射は長さ L の光源が全体として一つの干渉的中光源として動作することに特徴があるので、回折図4を問題にする限り、⑫の結果は正しいのである。
ところで、⑫式を見ると、アンジュレータ光の輝度がし 1 かにして大きくなるかわかる。すなわち、N ケの潤期によって放射角は、一次元的には 1/J玄育になるから立体角としては、1 /(2N) まで小さいところに光を押し込めたことになる。これは輝度でいえば、2N 倍になったことに相当する。さらに偏向部放射とくらべると、極数が 2N倍になっている。これらの効果をすべて考慮する

ノ Vと、 N ケの周期によって 4 N2 倍輝度あがるとい

VIVV'‑.

中図5うわけである。もちろん、以上の結果は電子ピームがよく収束されていて、かっ平行である(エミッある。この理由は読者の皆様に考えて頂きたい。

タンスが小さしリ場合の極限の話である。

ヒントとして、十分高い分光器で単色化すると、1 ケ 1ケの電子軌道にバラツキがあって、そのエミッタ波束の長さが長くなる、という点を指摘しておく。

ンスが、光の回折限界エミッタンスより大きい場合、輝度は低下してくることになる。高輝度を実際のリングで実現するには、ビームそのものも低エミッタンスでなければならないのである。

(3) ニつのアンジュレータについての思考実験
放射光の干渉性を考える例題として、二つの伺等なアンジュレータを、十分に離して、直列にならべた例を考えよう。一つのアンジュレータのみの時の角度分布が図 4 のようになっているとした

とき、二つ直子IJ にしたときはどのような角度分布になるだろうかというのが設問である。しかし、この答えは明らかに観測の仕方によっているので、条件として十分高い分解能の分光器で単色化して観測するということをつけ加えよう。
以上の例題にたいする答えは、図 5 のように、角度分布に微細な構造が加わるというのが正解で

参考文献
1)G.K.Green , BNLreport , BNL50522(l976)
2) T.Miyahara , Jpn.J.Appl. Phys. , Vo1. 25 ,No.
ll(1986)1672