2020 年度
数学

最初に、以下の注意事項をよく読んで下さい。
１．問題冊子は監督者の指示があるまでは開かないで下さい。
２．監督者の指示にしたがって、解答用紙に受験番号と氏名を記入してください。問題冊子は受験番号のみを記入して下さい。
３．試験問題の内容に関する質問には応じません。それ以外の用事があるときは、手をあげて下さい。
４．受験中気分が悪くなったときは、監督者に申し出て下さい。
５．問題冊子および解答用紙は持ち帰らないで下さい。
６．分度器、計算機は使用しないで下さい。ただし、定規は使用しても構いません。
７．とくに指示がない限り、円周率はπを用いて下さい。
受 験 番 号
HS 2月10日

１

次の問いに答えなさい。

񎝁񎝁񎝑񎝑 を計算しなさい。

񀀲񀀲񀀱񀀱񀀷񀀷񀀫񀀫񀃷񀃷 񀀲񀀲񂈒񂈒 񀃗񀃗 񎜀񎜀 񂈒񂈒񀀴񀀴 񎨲񎨲 񎜐񎜐񀀵񀀵񀀶񀀶񀀱񀀱񀀵񀀵񂈒񂈒񀀵񀀵񐁡񐁡 񂈒񂈒 񐁢񐁢 񂈒񂈒񀀲񀀲񐁡񐁡 񂈒񂈒񀀲񀀲񐁢񐁢 񂈒񂈒񀀱񀀱񂈒񂈒񀀳񀀳񀀶񀀶

を計算しなさい。

連立方程式

񎝃񎝃を解きなさい。

񀀲񀀲񎜀񎜀񐁸񐁸 񂈒񂈒񀀳񀀳񐁹񐁹񎜐񎜐񎜀񎜀񐁸񐁸 񀀫񀀫 񐁹񐁹񎜐񎜐 񂈒񂈒 񎜀񎜀񀀲񀀲񐁸񐁸 񂈒񂈒 񐁹񐁹񎜐񎜐

񀀴񀀴񐁸񐁸 񎨲񎨲 񂈒񂈒 񐁹񐁹 񎨲񎨲 񀀫񀀫񀀸񀀸񐁹񐁹 񂈒񂈒񀀱񀀱񀀶񀀶

񀀲񀀲񂈒񂈒 񎜀񎜀 񀀲񀀲𮛐𮛐 񀀶񀀶 񂈒񂈒 𮛐𮛐 񀀲񀀲 񎜐񎜐 񀃷񀃷 𮛐𮛐 񀀱񀀱񀀸񀀸𮛐𮛐 񀀳񀀳񀀲񀀲 次関数 񐁹񐁹 񀀽񀀽 񂈒񂈒񀀳񀀳񐁸񐁸 񎨲񎨲 において，񐁸񐁸 の値が t から t 񀀫񀀫񀀲񀀲 まで増加したときの変化の割合񎜁񎜁񎜑񎜑 񎜁񎜁񎜑񎜑񎨳񎨳񀀳񀀳 񎨲񎨲񀀱񀀱 񎨴񎨴񀀲񀀲を計算しなさい。
񐁸񐁸񐁹񐁹 񀃷񀃷 񂈒񂈒񐁸񐁸 񐁹񐁹 񀃗񀃗 񂈒񂈒 񐁸񐁸񐁹񐁹񀀴񀀴񀀱񀀱񀀸񀀸񀀳񀀳񀀲񀀲񐁸񐁸 񂈒񂈒񀀷񀀷񐁹񐁹 񀀽񀀽񀀲񀀲񀀴񀀴
񀀵񀀵񐁸񐁸 񀀫񀀫񀀳񀀳񐁹񐁹 񀀽񀀽񀀱񀀱񀀹񀀹

񎨲񎨲

を計算しなさい。

を因数分解しなさい。

を計算しなさい。

が 񀀱񀀱񀀸񀀸 である。このとき，t の値を求めなさい。

－1－
HS 2月10 日񀀲񀀲 つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和が 񀀱񀀱 けたの素数となる確率を求めなさい。

⇰∃ 下の図のように，񀀴񀀴 点 A，B，C，D は円 O の周上にあり，線分 AC は円 O の直径である。また，線分 BD は直径 AC と点 E で交わっている。AB 񀀽񀀽DB ，∠CED񀀽񀀽񀀱񀀱񀀲񀀲񀀹񀀹񀂰񀂰 のとき，∠񐁸񐁸 の大きさを求めなさい。

ĪĄćĕƣĤ⁥ŁĩĭħĄ m，n はともに正の整数で，m 񀀼񀀼 n とする。
⇰∃m 񀀫񀀫 n の値をすべて求めなさい。

－2－HS 2月10 日

񀀱񀀱񀀶񀀶が整数となるとき，考えられる
𮛑𮛑 mn

２

図のように，放物線 񐁹񐁹 񀀽񀀽 񐁡񐁡񐁸񐁸 񎨲񎨲 と直線 񒄓񒄓 񂁚񂁚 񐁹񐁹 񀀽񀀽 񂈒񂈒 񐁸񐁸 񀀫񀀫 񐁢񐁢 が 񀀲񀀲 点 A，B で交わっており，点 Aの 񐁸񐁸 座標は 񂈒񂈒񀀶񀀶 ，点 B の 񐁸񐁸 座標は 񀀴񀀴 である。񐁸񐁸 軸上にあり 񐁸񐁸 座標が 񂈒񂈒񀀶񀀶 である点を C，񐁹񐁹 軸上にあり 񐁹񐁹 座標が正である点を D とし，񀀲񀀲 点 C，D を通る直線を m とする。△OCDの 񀀳񀀳 つの辺すべてに接する円の中心を P とすると，点 P は放物線 񐁹񐁹 񀀽񀀽 񐁡񐁡񐁸񐁸 񎨲񎨲 上にある。
このとき，次の問いに答えなさい。

⁦☥a⁥ć m⁦ĤĪħ⁙łĩŁ񐁡񐁡，񐁢񐁢 の値を求めなさい。

円 P の半径を求めなさい。

直線 񒄓񒄓 と直線 m との交点の 񐁸񐁸 座標を求めなさい。

－4－
HS 2月10 日⁥３

図のように，AB 񀀽񀀽AD 񀀽񀀽񀀴񀀴 񀁣񀁣񀁭񀁭 ，AE񀀽񀀽񀀶񀀶 񀁣񀁣񀁭񀁭 の直方体 ABCD񂈒񂈒EFGH がある。辺 BF，CG 上に 񀀲񀀲 点 P，Q を EP񀀫񀀫PQ񀀫񀀫QD の値が最小になるようにとる。
このとき，次の問いに答えなさい。

Īĩ☲ń
ħ

ĳł

ı

ĭĮ


線分 EQ の長さを求めなさい。

△EPQ の面積を求めなさい。

񀀳񀀳 点 E，P，Q を通る平面と頂点 D との距離を求めなさい。

－6－
HS 2月10 日

４

鏡とレーザーポインターを使って，光が進む道筋について考えた。光の進み方には，次のような性質があることがわかっている。

レーザーポインターから出た光は直進し，

Სyx鏡に当たると，図１のように ∠񐁸񐁸 と ∠񐁹񐁹 が等しくなるように反射し，再び直進する。

࣍☃
図２のように，AB 񀀽񀀽񀀲񀀲񀀰񀀰 񀁣񀁣񀁭񀁭 ，BC 񀀽񀀽񀀳񀀳񀀰񀀰 񀁣񀁣񀁭񀁭 の長方形 ABCD がかかれた用紙を水平な台の上に置き，辺 AB，AD，CD に重なるように 񀀳񀀳 枚の鏡をそれぞれ用紙に垂直に立てた。
図３のように，長方形 ABCD の辺 BC 上に点 P をとり，点 P から辺 AB に向かってレーザーポインターで光を水平に当てる。
このとき，次の問いに答えなさい。

ĤĪ

Ĥ

ĩħĪ

ćĂâŨż
ĉĂâŨżħĩ

ł࣍☆

࣍☇

図４のように，BP񀀽񀀽񀀱񀀱񀀵񀀵 񀁣񀁣񀁭񀁭 として，辺 AB 上の AQ񀀽񀀽񀀸񀀸 񀁣񀁣񀁭񀁭 となる点 Q に向かって光を当てると，点 Q で反射した光は辺 AD 上の点 R で反射した。このとき，線分 AR の長さを求めなさい。

ĤĪ
ēâŨż

ņńĄčâŨż
ħł࣍☋－8－HS 2月10 日ĩ

図５のように，BP 񀀽񀀽񀀲񀀲񀀰񀀰 񀁣񀁣񀁭񀁭 として，辺 AB 上の点 S に向かって光を当てると，点 S で反射した光は辺 AD 上の点 T，辺 CD 上の点 U でそれぞれ反射し，再び点 Pに当たった。このとき，四角形 PSTU の面積を求めなさい。

ĤĪŊňōćĂâŨżħłĩ࣍☎

次に，図６のように，長方形 ABCD の内部に点 X をとり，点 X から辺 AB 上の点 Yに向かって光を当てると，点 Y で反射した光は辺 AD 上の点 Z，辺 CD 上の点 W でそれぞれ反射し，頂点 B に当たった。DW 񀀽񀀽񀀵񀀵 񀁣񀁣񀁭񀁭 で，点 X が直線 BW 上にあるとき，線分 BX の長さを求めなさい。

－9－
HS 2月10 日ᦒâᔋâጉâᖣ෢ ਘ数解答用紙学˽ᦒãᔋãဉ̀∄∅∆∇ ⁥= Ƕ Ƕ Ƕ Ƕ Ƕ ◴â⁦=∈∉∊∋ t=∌☃Ṏ⁥=

୉☆ ∄a= Ƕ Ƕ Ƕ Ƕ Ƕ ◴âb=☇ ∄ĭńâ=☋∅∄ Ĥņâ=Ũż ∅ ˆĭłńâ=Ũżć ∆ŨżŨż ∅Ũżć ∆ ħŒâ=Ũżி⤐ᇞ

点名ၠ⤐ߺ∆

得ӉԉѐҨ
フリガナ氏

受験番号ߘḶጬ߯ĄĄĳňâć຋ĄĂฒ

HS 2月10日

–

12522𝑥4

17102𝑥𝑦4 2𝑥
13365 , 10 , 17
124√3

127𝑦1
3

123𝑎4𝑦24√6800
31274√63

5√5𝑦4

2020 年度数学

最初に、以下の注意事項をよく読んで下さい。
１．問題冊子は監督者の指示があるまでは開かないで下さい。
２．監督者の指示にしたがって、解答用紙に受験番号と氏名を記入してください。問題冊子は受験番号のみを記入して下さい。
３．試験問題の内容に関する質問には応じません。それ以外の用事があるときは、手をあげて下さい。
４．受験中気分が悪くなったときは、監督者に申し出て下さい。
５．問題冊子および解答用紙は持ち帰らないで下さい。
６．分度器、計算機は使用しないで下さい。ただし、定規は使用しても構いません。
７．とくに指示がない限り、円周率はπを用いて下さい。
受 験 番 号
HS 2月16日

１

次の問いに答えなさい。

񎝁񎝁񎝑񎝑 を計算しなさい。

񀀲񀀲񀀶񀀶񀀱񀀱񀀰񀀰񎨲񎨲񂈒񂈒񀃗񀃗 񀀸񀀸񂈒񂈒 񎜀񎜀 񂈒񂈒񀀲񀀲񎜐񎜐 񀃷񀃷񀀳񀀳
񀀵񀀵񀀷񀀷

񎨲񎨲
񐁸񐁸 񎨴񎨴񐁹񐁹 񎨳񎨳񀀳񀀳񀀸񀀸񀃷񀃷 񂈒񂈒 񐁸񐁸񐁹񐁹 񀃷񀃷񐁸񐁸񐁹񐁹
񀀱񀀱񀀰񀀰񀀲񀀲
񀀱񀀱񀀵񀀵

を計算しなさい。

񀀲񀀲񐁡񐁡 񂈒񂈒񀀳񀀳񐁢񐁢 񂈒񂈒񀀱񀀱񐁡񐁡 񂈒񂈒񀀴񀀴񐁢񐁢 񂈒񂈒񀀵񀀵񂈒񂈒
񀀶񀀶񀀸񀀸

を計算しなさい。

連立方程式

񎝃񎝃を解きなさい。

񀀲񀀲񎜀񎜀񐁸񐁸 񂈒񂈒񀀸񀀸񐁹񐁹񎜐񎜐񎜀񎜀񐁸񐁸 񀀫񀀫񀀳񀀳񐁹񐁹񎜐񎜐 񂈒񂈒񀀳񀀳񎜀񎜀񐁸񐁸 񂈒񂈒񀀴񀀴񐁹񐁹񎜐񎜐񎜀񎜀񐁸񐁸 񀀫񀀫񀀴񀀴񐁹񐁹񎜐񎜐

񀀹񀀹񐁡񐁡񎨲񎨲 񂈒񂈒񀀶񀀶񐁡񐁡񐁢񐁢 񀀫񀀫 񐁢񐁢 񎨲񎨲 񂈒񂈒񀀶񀀶񐁡񐁡 񀀫񀀫񀀲񀀲񐁢񐁢񂈒񂈒 𮛐𮛐 񀀶񀀶 񂈒񂈒񀀲񀀲 次関数 񐁹񐁹 񀀽񀀽 񐁡񐁡񐁸񐁸 񎨲񎨲 において，񐁸񐁸 の値が 񀀲񀀲 から 񀀷񀀷 まで増加したときの 񐁹񐁹 の増加量が񎜁񎜁񎜑񎜑񀀷񀀷񐁸񐁸 񀀫񀀫񀀳񀀳񐁹񐁹 񀀽񀀽񀀹񀀹񀀳񀀳񐁸񐁸 񂈒񂈒񀀴񀀴񐁹񐁹 񀀽񀀽񀀲񀀲񀀵񀀵を計算しなさい。

を因数分解しなさい。

񀀳񀀳񎜀񎜀 𮛐𮛐 񀀱񀀱񀀲񀀲 񂈒񂈒 𮛐𮛐 񀀱񀀱񀀰񀀰 񎜐񎜐𮛐𮛐 񀀱񀀱񀀵񀀵を計算しなさい。

񂈒񂈒񀀳񀀳񀀰񀀰 である。このとき，񐁡񐁡 の値を求めなさい。

－1－HS 2月16 日

񀀰񀀰，񀀱񀀱，񀀲񀀲，񀀳񀀳，񀀴񀀴 の 񀀵񀀵 個の数字から異なる 񀀳񀀳 個の数字を選んで 񀀳񀀳 けたの整数をつくるとき，



偶数は何通りできるか求めなさい。

⇰∃下の図のように，∠B 񀀽񀀽񀀳񀀳񀀷񀀷񀂰񀂰 ，∠C񀀽񀀽񀀷񀀷񀀵񀀵񀂰񀂰 の △ABC があり，∠A の二等分線と辺 BCとの交点を D とする。また，辺 AB 上に点 E をとり，線分 AD と線分 CE との交点をF とする。∠AFE 񀀽񀀽񀀷񀀷񀀵񀀵񀂰񀂰 のとき，∠񐁸񐁸 の大きさを求めなさい。

ĤĭđčƣĮħ⁥đčƣĪĩĉđƣĄ 񐁸񐁸，񐁹񐁹 をともに正の整数とする。񐁸񐁸 と 񐁹񐁹 の最大公約数が 񀀱񀀱 で，񐁸񐁸 񎨲񎨲񐁹񐁹 񂈒񂈒񀀲񀀲񐁸񐁸񐁹񐁹 񀀽񀀽񀀷񀀷񀀲񀀲 を満たす⇰∃とき，񐁸񐁸，񐁹񐁹 の値を求めなさい。

－2－HS 2月16 日

２񀀱񀀱 񎨲񎨲
񐁸񐁸 上に 񀀲񀀲 点 A，B があり，点 A の 񐁸񐁸 座標は 񂈒񂈒񀀸񀀸 ，点 B の񀀲񀀲񀀱񀀱񐁸񐁸 座標は 񀀴񀀴 である。񐁸񐁸 軸上にあり 񐁸񐁸 座標が 񂈒񂈒񀀴񀀴 である点を C とし，放物線 񐁹񐁹 񀀽񀀽 񐁸񐁸 񎨲񎨲 上に񀀲񀀲
四角形 ACBD が AD񂫽񂫽CB の台形となるような点 D をとる。
図のように，放物線 񐁹񐁹 񀀽񀀽

このとき，次の問いに答えなさい。

Ą⁦☥ ć ⁥ć

⁦

Ī

Ĥ

ħ
Ł

ĩ

⁥



直線 AD の式を求めなさい。

辺 AD の中点の座標を求めなさい。

原点 O を通り台形 ACBD の面積を 񀀲񀀲 等分する直線の式を求めなさい。

－4－HS 2月16 日

３

図のように，長さ 񀀲񀀲 񎜀񎜀 񀀱񀀱񀀫񀀫 𮛐𮛐 񀀳񀀳 񎜐񎜐 񀁣񀁣񀁭񀁭 の線分 AB を直径とする円 O の周上に，点 C を񎘠񎘠񎘡񎘡 񀀽񀀽CB񎘡񎘡 上に，点 D を AD񎘡񎘡 񂁚񂁚DB񎘡񎘡 񀀽񀀽񀀲񀀲񂁚񂁚񀀱񀀱 とACとなるようにとる。また，点 C を含まない ABなるようにとる。線分 AB と線分 CD との交点を E とし，񀀳񀀳 点 B，D，E を通る円をつくる。
このとき，次の問いに答えなさい。

ĩ☲

ĭ

ħŁĪ


∠BED の大きさを求めなさい。



線分 BE の長さを求めなさい。

񀀳񀀳 点 B，D，E を通る円の面積を求めなさい。

－6－
HS 2月16 日

４

A さんと先生が，次のような会話をしている。

A さん：氷はなぜ水に浮くのですか。
先生：それは，物体の密度が関係しています。密度の求め方は知っていますか。

A さん：密度〔 񀁧񀁧 / 񀁣񀁣񀁭񀁭 񎨳񎨳 〕は，物体の質量〔 񀁧񀁧 〕を体積〔 񀁣񀁣񀁭񀁭 񎨳񎨳 〕で割って求めます。
先生：そうですね。密度が水より小さい物体は水に浮きます。

A さん：氷のほうが水より密度が小さいから，氷は水に浮くんですね。
では，どのくらいの部分が水面より上にあるのでしょうか。
先生：それも密度が関係しています。物体の体積に対する水中にある部分の体積の割合は，その物体の密度を水の密度で割った値と等しくなります。

񀀹񀀹A さん：密度が 񀀱񀀱񀀮񀀮񀀰񀀰 񀁧񀁧 / 񀁣񀁣񀁭񀁭 񎨳񎨳 の水の中に密度が 񀀰񀀰񀀮񀀮񀀹񀀹 񀁧񀁧/ 񀁣񀁣񀁭񀁭 񎨳񎨳 の氷を入れると，񀀰񀀰񀀮񀀮񀀹񀀹񀃷񀃷񀀱񀀱񀀽񀀽
񀀱񀀱񀀰񀀰
񀀹񀀹
񀀱񀀱
より，氷の体積のは水中に，は水面より上にあるということですね。
񀀱񀀱񀀰񀀰
񀀱񀀱񀀰񀀰
先 生：その通りです。

この会話文の内容をふまえて，次の問いに答えなさい。
ただし，物体を水中に浮かべる問題では，物体が浮くだけの十分な水の量があり，水が水そうからこぼれることはないものとする。また，水の密度は 񀀱񀀱񀀮񀀮񀀰񀀰 񀁧񀁧 / 񀁣񀁣񀁭񀁭 񎨳񎨳 とする。



図１の物体 X は，AB񀀽񀀽񀀸񀀸 񀁣񀁣񀁭񀁭 ，AD񀀽񀀽񀀵񀀵 񀁣񀁣񀁭񀁭 ，AE񀀽񀀽񀀴񀀴 񀁣񀁣񀁭񀁭 の直方体で，質量は 񀀱񀀱񀀰񀀰񀀰񀀰 񀁧񀁧 である。図２のように，物体 X を面 EFGH を下に向け水そうの中にゆっくりと入れていくと，面 EFGH が水面と平行な状態で水中に浮いた。このとき，頂点 B と水面との距離を求めなさい。

čâŨżቍ‫ ׵‬Œၨͼ̷ĪĩĤħħēâŨżĊâŨżıĭĳĮıĭĮၨ࣍☃˦ቍ‫ ׵‬Œ࣍☆

－8－HS 2月16 日

図３の物体 Y は，AB 񀀽񀀽񀀲񀀲񀀴񀀴 񀁣񀁣񀁭񀁭 ，BC񀀽񀀽񀀱񀀱񀀸񀀸 񀁣񀁣񀁭񀁭 の長方形を底面とし，OA񀀽񀀽OB 񀀽񀀽OC 񀀽񀀽OD 񀀽񀀽񀀱񀀱񀀷񀀷 񀁣񀁣񀁭񀁭 の四角すいで，質量は 񀀴񀀴񀀸񀀸񀀶񀀶 񀁧񀁧 である。図４のように，物体 Y を頂点 O を下に向け水そうの中にゆっくりと入れていくと，面 ABCD が水面と平行な状態で水中に浮いた。このとき，辺 OB と水面との交点を P とする。

Łቍ‫ ׵‬Ŕၨͼ̷ĄđâŨżħĪĩĤćĊâŨżħĄēâŨżłŁ࣍☇˦ቍ‫ ׵‬Ŕၨ࣍☋

物体 Y の体積を求めなさい。

線分 BP の長さを求めなさい。

－9－
HS 2月16 日

ᦒâᔋâጉâᖣ෢ ਘ数

解答用紙学˽ᦒãᔋãဉ̀∄∅∆∇ ⁥= Ƕ Ƕ Ƕ Ƕ Ƕ ◴â⁦=

∈∉∊

∋ ⁎=

∌☃

Ṏ⁥=☆ ∄⁦=☇ ∄ƇGMJ=☋ĄĄx= Ƕ Ƕ Ƕ Ƕ Ƕ ◴ây=â˦˦˦˦˦˦âââ◩ ∆ ⁦=∅ ◨âââ˦˦˦˦˦˦◴∄Ũż ∆ŨżćŨż ∅Ũżĉ ∆ Gc=

Ũżி
⤐
ᇞ

点名ၠ⤐
ߺ

୉ ∅ GM=得ӉԉѐҨ
フリガナ氏

受験番号ߘḶጬ߯୉᭭Єĳňâć຋Ąďฒ

HS 2月16日

–𝑥

65𝑎12

34𝑥

24

253𝑥

40
75

323𝑎10𝑥𝑦

6√541

11𝑏 3𝑎30

4914145𝑥22𝜋1152174𝑏2