c:乙のコラムは .OR にかかわる概念，知識(手法，原理λ それらの図解，よい教材や問題，実学OR の実施経験，そとから得られた知恵やアドパイス，失敗談と教訓.新しい視点，視座，フレー

ムワーク，未だ解けていない問題，面白い研究テー 7 などを，“新鮮に.しかも“コンパク ~IC"表現し，提示していただくものです.ユニークなアイディア，フレッシュな見方，発想，だれかとメモランダム

意見をたたかわせたい問題提起など，ふるってど投稿ください. (原稿は，刷り上がり，半ページから 3 ページ lζ納まるようにお書きください.簡潔 IC ノ

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確率モデノレによる釣銭の準備枚数の考察
高田克巳，山田茂，尾崎俊治

1. はじめに
平成元年 4 月より消費税制度が実施されており，商店などで買物をするさいに，代金の支払いに 1 円玉や 5 円玉を使う場合が非常に増えてきた.このことは，客が支払いに煩雑さを感じることもさることながら，当該商店にとっては釣銭として i 円玉や 5 円玉をどのくらい準備しておけばよし、かということが重要な問題となる.そこ
で，この問題について考えてみることにする.

1)

客数

この種の問題に関する研究としては，会員制の会合における釣銭の準備額を取り扱ったものがある(文献日 J).
そこでは，

図 1

釣銭の準備枚数の推移図

1) 支払い代金があらかじめ決められている，

2) 参加者はできるだけ釣銭がなくて済むように支払う，

1 台と仮定する.この推移状況における任意の時点で，とし、う仮定のもとで，マルコプ連鎖を用いて議論されてある確率の下で釣銭の準備枚数が吸収墜に到達しとなる.

いる.

本研究では，一般的な商店における買物を議論の対象として，支払い代金および客の支払い方法に不確実性をもたせることにする.

2.

o枚

この問題では，この準備枚数が O 枚となるのが所定の確率以下になるように，各客数に対する最初の釣銭の準備枚数を求めればよいことになる.

今，各客の買物終了後のレジにおける 1 円玉と 5 円玉の枚数の増減量をそれぞれ X および Y とする .X および毛デル化

Y はある確率をもって何通りかの値を取り得るから，離2.
1 ラ考え方散型確率変数となる.確率変数 X および nこ対して適当

上記の問題は，吸収壁が 1 つの 1 次元ランダムウオー

クとして取り扱うことができる(図 1 参照).

最初の時な確率関数を定め，それによって決まる平均値および分散をそれぞれ， μX， σx 2 および μy， σy2 とする .

n 人 (n=点，すなわちある商店における客数が 0 人のときの釣銭0 , 1, 2, ...)の客が買物をすることは， X および Y の母集団の準備枚数は，客数が増えるにつれて幾通りにも推移しからそれぞれ n 個の標本 (X" X2 , "', x n),ていく.ただし，本研究では釣銭として l 円玉と 5 円玉を抽出することに相当する.

を考え，商店におけるレジスター(以下レジと略す)を(YhY2 , …, Yn)

ところで，各客の買物においては，支払い代金および客の支払い方法(釣銭が必要であるか不必要か)は，他

たかたかっみ，ゃまだ

広島大学工学部

しげる，おさきしゅんじ

干 724 東広島市西条町大字下見

1991 年 5 月号の客とは独立である.したがって，各客の買物終了後における X および Y の値は過去の履歴に関係なく決まる.

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(35)241すなわち，標本値 (Xh X2 , "'，ら)に対応する確率変数u( 叶 10)|+PI(z+5)IYPJ(j)+a129PJ(J)(X h X 2 ，… ， X n ) は，独立で同ーの確率分布にしたがうものと考えることができる . (YhY2 ， ・・・ ， Yn) についても/=41(3)~(4)

P x (0)=p](0)+P](5) ー P x (5) ，終えた時点での 1 円玉および 5 円玉の枚数の総増減量の(e) y=1 のとき確率分布は ， n が十分大きければ，中心極限定理により近叫Yメ町(川1り)= 主P
t5 {伊町町P
I以山(N(nμy， 即日)となる.ここで，平均値 μ ，分散 σ2 をもっ正規分布を(5)(f) y= 一 1 のとき

N(p , 0 2 ) と表わす.
2.2}=O、(d) x=O のとき

X和 Ty =Y1 +Y2 + …+y.加すなわち n 人の客が買物を似的にそれぞれ正規分布 N(npx，x+9+lいl 一L: PJ
パ(jρ) 一 a L:PJ以(j)汁fu
叫(x+5列)川1 ，向様である.このとき，その標本和 TX =X 1 +X 2 + …+nσx2 ) ，j=

LJ=Ox+ ‘Py(- I)=釘PM)[XPJ(j)+a芝わ(j仮定

モデル化にあたり，以下のことを仮定する.

+{l-XPJ(j)-aZん(j) }U(i)]}(1) 各客の支払い代金の 1 円の位を i(O~i!三 9) とし，その確率関数を p] (i) とする.

(日)+p](5)1L:PJ(j)+L:PJ (j )u( 引 1.

客の所持金の 1 円の位を j (0~i~9) とし，その確率関数を PAi) とする.

(lli) 客の所持金の 1 円の位が 5 円以上の人のうち，Py (O)=I-Py (l) ー Py( ー1).

今(iv) 客が支払い代金の 1 円の位に対して，その値ちょ(7)n 人の客が買物をしたとき円玉および 5 円玉が不足する確率が 5%以下になるために必要な l 円玉おうどに支払うことができるにもかかわらず，それをしなよび 5 円玉の準備枚数を求めることにする.これらは，い確率を“ものぐさ率"と定義し u(i) で表わす.

X および Y の標本和の確率分布 N(nμx， nσx 2 ) ， N(nμy，(v) 客の支払い代金の 1 円の位に対して釣銭が必要なnay2) の下側 5%点で評価でき，必要な I 円玉の準備枚ように支払うとき，および支払い代金の 1 円の位が 0 の数 Zx およびラ円玉の準備枚数 Zy は，それぞれときは，支払いに 1 円玉および 5 門玉は使わない.

5 円玉を必ず含めることにする.

Zy=n μx- 1. 65 .;万σx.

(8)

Zy=n μy ー1. 65 、/瓦σy.

(9)となる.

2.
3 評価式
仮定 (v) と例)より X および Y の標本空間は，それぞれ{XI-4~X~9} および {YI ーし 0 ，けとなる.これらの仮定より，確率変数 X および Y に対する確率関数は以下のようになる.

3. 数値例3.
1 初期条件
数値計算にあたって，確率関数 P](i )， PJ (j) をP](i)=O.I , PJ(j)=O.1(a) 9;;':x~と 5 のとき唱且)(Px(x)=p](x}[(1-a) え PJ( j)] [1- U(x)] ,と定める.すなわち，支払い代金の l 円の位 ( i)，および客の所持金の 1 円の位( j) は，ともにその値が 0-9まですべて同じ確率をとり，片寄りがないことにする.

(b) 4;;':x 注 1 のとき

この条件は，実際にすべての場合に適合するわけではな

州市 P州 [1-ZPJ(J)-a芝 PJ( j)]いが，一般的であると考えてよい.また，客数は 1000人までを考えた.

[1-U(X)]+P山 +5)[aJ=~+tJ(j )J[1 ー仰+5)].

3.
2 計算結果(2)(c) 一!と￡注 -4 のとき

α をパラメータとしたときの l 円玉および 5 円玉の必要な準備枚数を図 2 および図 3 に示す.ここで，ものぐさ率を u(i)=0.5 としている.

Px(x)=P山+川支PJ( ペム PJ(j)242 (36)(6)~(g) 百 =0 のとき

ラ円玉を持っている人の割合を a とする.

(吋)客に対する釣銭が 5 円以上のときはj=5Lj=O

また ，u(i)をパラメータとしたときの 1 円玉および5 円玉の必要な準備枚数をそれぞれ図 4 および図 S に示

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オベレーションズ・リサーチ

1500.

1
1400.

(;)=0.5

釣銭

α=0.25α=0.5

ヰlOOO.I~

α=0.75備枚u(;)=0.5

α=0.25
α=0.5

釣勢制

a=0.75

準

要 200

数，，00数Zx

ZY100.

.
.
.
.

'."
,.
200.

400.

600.

800.

1000.

200.

400.

為'数 n (人)図 2600.

800.

客数 n に対して必要な 1 円玉の準備枚数

図 S

客数 n に対して必要な 5 円玉の準備枚数と a の関係と a の関係

400.

!1 ゑ200.

400.

jJ1二bOO.

3.3(1)=0.15(i)=O.5u(;)=0.25

HOO. 1000.

200.

400.

600.

800.

1000.

?平数 η (人)客数 n に対して必要な 1 円玉の準備枚数

図 Eと u(i) の関係

す.ここで ，l'11u(;)=0.1i

平年数 11 (人)図 41000.

客数 n ( 人)

客数 n に対して必要な 5 円玉の準備枚数と u(i) の関係

ようなマルコフ連鎖を用いたモデル化は，本研究で取りa=O.5 である.

上げた問題を確率過程により記述する場合には，より有芳察

まず円玉の必要な準備枚数を示した図 2 および図4 を比較すると，パラメータ u (i) の方が効であると考えられる.

a に比べて釣参考文献

銭の準備枚数に対する影響が大きいことがわかる.

そこで，何も知識がないものとして，仮に最も多く釣銭が必要な場合を考える.織率変数X の最小値は -4 であるから，[1] 小沢正典:“つり銭の準備額オベレーショ Y ズ・リサーチ， Vol.30 , No.12 , pp.779‑783(1985).

1000 人の客に対して l 円玉が初00 枚必要ということになる.一方，本研究の方法では，ものぐさ率u(i)=0.75 の場合でも，1000人の客に対しては 1 円玉が1500枚程度でよいことがわかる.つまり，釣銭は“意外に"少なくて済むことがわかる.

5 円玉の場合も 1 円玉と同様のことが言える.

訂正とお健ぴ前号に次のような校正ミスと欠議がありました.

訂正してお詫び申し上げます.

4. おわりに1.

191 頁(2.2) 式n(na1)lj 川ー→( na lJ )1 川n以上の議論は，釣銭を l 円玉および 5 円去に限って述
べたが，単位を置き換えれば，10 円玉や 100 円玉といった，高額な釣銭でも同様な議論ができる.また，特定の状況で支払い代金などの各パラメータがある程度確定するような場合には，その設定値を変えることにより，よj=1

2.

j=1

194 頁下 4 行(欠落，アンダーライン部分)の値の範囲外にあるものはコピーまが L 、でないと判定する.このテストにすべて残ったものを一応コピーまがし、の候補として…・.

り現実的な結果が得られる.なお，文献[ 1]にみられる1991 年 5 月号

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