研究ノート

会計情報に基づく現在価値関係
A Note on Accounting-Based Present-Value Relations

椎葉淳（大阪大学）

Atsushi Shiiba, Osaka University
論文要旨

本稿は、会計分野における現在価値関係に関する研究において基本となる現在価値恒等式について説明する。具体的には、Campbell–Shillerの現在価値恒等式とVuolteenahoの現在価値恒等式を示し、その導出方法を説明する。これらは、
期待リターンが変動する状況を前提にしていること、および実証分析をおこなうことを念頭に変数の定常性を考慮して対数変換した変数を用いるとともに線形近似した式になっている点に特徴がある。現在価値関係に関する会計研究は、
Vuolteenaho（2000, 2002）によって会計情報に基づく現在価値恒等式が示されるとともに実証分析がおこなわれたことを契機に、近年増加してきている。しかしながら、Vuolteenaho（2000, 2002）の論文は一見すると会計研究に対する含意が理解しづらいこともあり、日本においてはあまり普及していない。そこで本稿では、よく知られた企業価
値評価モデルと対比できるように書きかえた式を示し、導出方法についても詳しく説明する。このことによって、Vuolteenaho の現在価値恒等式が会計研究に対して持つ重要性を説明する。

SummaryThis research note explains the present-value identities behind the recent accounting research on present-value relations.
In particular, I explain the derivations of the Campbell–Shiller and Vuolteenaho present-value identities. These identities allow
for time-varying discount rates as opposed to the constant discount rates that are usually assumed in the so-calledvaluation models, including the discounted dividend model and residual income model. These identities also have empiricallytractable properties such as the stationarity of basic variables in identities by using linear approximations of log variables.
However, given the diﬃculty in understanding and interpreting the implications of these identities for accounting research,accounting studies on present-value relations are unpopular especially in Japan. I rewrite these identities to show theirrelationships with well-known valuation models, and I explain in detail how they can be derived. In doing so, I explain theimplications of these identities for accounting research. Finally, I discuss the relationships between research based onpresent-value identities and that based on the so-called valuation models.

Campbell–Shillerの現在価値恒等式とVuolteenaho

１．はじめにの現在価値恒等式を示し、その導出方法を説明す
本 稿 は、 会 計 分 野 に お け る 現 在 価 値 関 係る。特に、よく知られた企業価値評価モデルとの（present-value relations）に関する研究におい関係でいえば、Campbell–Shiller の現在価値恒て 基 本 と な る 現 在 価 値 恒 等 式（present-value

等式は割引配当モデルに対応し、Vuolteenaho のidentity）について説明する 。具体的には、

現在価値恒等式は残余利益モデルに対応するもの

１）

謝辞：本稿の内容を整理するにあたって、村宮克彦氏、小野慎一郎氏から貴重なコメントを頂いた。また、2016年２月13日に関西大学
において開催された PATW（PositiveAccountingTheoryWorkshop）および2016年２月20日に東京大学において開催された現代会計フォーラムの参加者から貴重なコメントを頂いた。ここに記して感謝の意を表したい。なお、本稿における誤りはすべて
筆者個人に帰するものである。本研究は、JSPS 科研費15K03769、および文部科学省私立大学戦略的研究基盤形成支援事業（平成26年度－平成30年度）の助成を受けている。
連絡先：椎葉 淳 〒560-0043 大阪府豊中市待兼山町1-7（大阪大学大学院経済学研究科）
TEL：06-6850-5227 FAX：06-6850-5227 E-mail：shiiba@econ.osaka-u.ac.jp– 133 –

年報 経営ディスクロージャー研究

2017年３月第16号と解釈できることを指摘する２）。これらの現在価

Shiller の現在価値恒等式を展開し、配当の代わ

値恒等式は、期待リターンが変動する状況を前提りにクリーン・サープラス関係を仮定した利益にしていること、および実証分析をおこなうこと（ROE）を用いてあらわしたものであり、企業価を念頭に変数の定常性を考慮して対数変換した変値評価モデルにおける割引配当モデルから残余利数を用いるとともに線形近似した式になっている

益モデルへの展開に対応している。第４節では追点に特徴がある。

加的な仮定のもとで、Vuolteenaho の現在価値恒

現在価値関係に関する会計研究は、Vuolteenaho

等式を展開した式を示す。これは残余利益の時系（2000, 2002）によって会計情報に基づく現在価列を仮定して、その時点で利用可能な変数のみで値恒等式が示されるとともに実証分析がおこなわあらわした Ohlson（1995）のモデルと対応するれたことを契機に、近年増加してきている。それものといえる。最後の第５節では本稿の内容を要らの研究としては、（a）分散分解によって会計情約するとともに、Campbell–Shiller の現在価値恒報の情報内容を検証する研究（Callen and Segal

等式や Vuolteenaho の現在価値恒等式に基づく一

2004, Callen et al. 2005）、（b）
資本コストに関す連の研究と、割引配当モデル、残余利益モデルおる研究（EastonandMonahan2005）
、
（c）
集計し

よび Ohlson（1995）のモデルに基づく一連の研た利益とリターンの関係についての研究（Sadka究との関係について簡潔に述べる。

2007）、（d）保守主義に関する研究（Callenetal.
2010,CallenandSegal2013）などを指摘するこ

２．Campbell–Shillerの現在価値恒等式とができる 。
３）

しかしながら、Vuolteenaho（2000, 2002）の

こ の 節 で は、Campbell and Shiller（1988a）

論文において基本となる簿価時価比率に関する式で示された Campbell–Shiller の現在価値恒等式、や期待外リターンに関する式

は、一見するとすなわち対数変換した変数に基づく現在価値関係

会計研究における意味が理解しづらいこともあについての恒等式について、その導出方法を示す。

り、特に日本においてはあまり普及していないよ

なお、
ここでの証明は、主としてCochrane（2011b）

うに思える 。そこで本稿では、よく知られた企を参考にしている。

４）

５）

業価値評価モデルと対比できるように書きかえた式を示し、導出方法についても詳しく説明する。

2.1．Campbell–Shiller の現在価値恒等式とはCampbell–Shiller の現在価値恒等式は次のようこのことによって、Vuolteenaho の現在価値恒等式が会計研究に対して持つ重要性を説明することにあらわすことができる。

が本稿の目的である。
以 下 で は ま ず、第 ２ 節 に お い て、Campbell（1）and Shiller（1988a） で 示 さ れ た Campbell–
Shiller の現在価値恒等式、すなわち対数変換しここで、各変数は次のように定義している７）。

た変数に基づく現在価値関係についての恒等式を

Pt： t 期における株価導出する 。続く第３節において、Vuolteenaho

pt ≡ ln（Pt）（2000, 2002）において示された Vuolteenaho の

Dt： t 期における配当

現在価値恒等式を導出する。これは Campbell–dt ≡ ln（Dt）

６）– 134 –

会計情報に基づく現在価値関係（椎葉）Pt + Dt － Pt－1
Rt ＝───────Pt－1

2.3．線形近似

rt ≡ ln（1+Rt）

るが、テイラー展開することで線形近似をおこな

ρ：１より小さい正の定数（以下で具体的に定う。なお、一次のテイラー展開は次のようである10）。

（4）式には非線形の項（ln（1+exp（dpt+1）
）
）があ

義する）

（x）
f を微分可能な関数とする。このとき、x のあk：定数（以下で具体的に定義する）

る x̄ の値（基準点と呼ぶ）において、f（x）を次のように近似することができる。

この式に基づき、Campbell（1991）は期待外
リターンを次のようにあらわしている。

ここで、ξは近似誤差をあらわす。この式にお
いて（x）
f =ln
（1+exp（x））とすれば、次の式が成り
立つ。



（2）
ここで∆Et は、同一の確率変数についてのt 期とt －1 期における期待値の差、つまりE（·）
－Et－1
（·）
t

したがって、（4）式の非線形の項は、x-=dp を基と定義する。また、他の変数についても ∆ は t 期準点とすると、次のように近似することができから t －1 期を引く記号として用いる。

る。ここで、dp は dpt+1の事前の期待値とする。

以下では、
（1）
式および
（2）
式を導出する。

あるいは、定常状態における値と解釈することもある11）。

2.2．対数株式リターン
まず、対数配当利回り dpt を次のように定義する。
（5）
次に、グロスの対数株式リターンを次のようにここでρ≡定義する 。
８）



（3）

1
（<1）と定義する。なお、
1+exp
（dp）

実証上は、ρの値として、１より小さい１に近い値、たとえば0.96などが用いられている。これ（3）式の株式リターンは次のように書きかえる

は、配当利回りの過去平均が、たとえばCampbell

ことができる 。

etal.（1996,Ch.7）では1926年から1994年までの

９）

アメリカのデータに基づき４％となっていることによる12）。このとき、配当利回りの過去平均をD/Pと

あらわせば、
ρ＝
（4）

1
1
1
=
=
≈0.96
1+exp
（dp） 1+D/P 1+0.04となる。D/P が４％とすると dp ≈ －3.219となる。
図 １ は y ＝ ln（1+exp（dpt+1））と、 こ の 式 を dp ≈– 135 –

年報 経営ディスクロージャー研究

2017年３月

第16号

図１：y ＝ ln（１＋ exp（dp t+1））とその近似式－3.219において線形近似した式を図示したものである。

この式は、対数株式リターンの定義式を線形化したものである。

次に、ρの定義から ln（1+exp
（dp）
）
=ln
（1/ρ）
=
－ lnρが成り立つので、（5）式は次のように書き

2.4．逐次代入

かえることができる。

（6）
式は次のように書きかえることができる。


また、ρの定義より、dp は次のようにあらわ
すことができる。

（7）

一期ずらした式を右辺の dpt+1に代入すると、次のようになる。

これを代入すると、（5）
式は次のようになる。

繰り返し代入していくと次式を得る。
ここで k≡－lnρ－（1－ρ）
ln（1/ρ－1）である。
よって、（4）式は次のようにあらわすことがで
きる。


（6）

N →∞とすると次式を得る。なお、N →∞のときρ Ndpt+N →０を仮定している13）。

– 136 –

会計情報に基づく現在価値関係（椎葉）当利回り dpt を左辺とした（10）式は、実証において重要な式となっており、よく用いられている。
その理由は、株価と配当は非定常となる可能性があるが、配当利回り dpt と変数（－ ∆dt+j + rt+j）は定常である可能性が高く、標準的な統計手法を適用（8）

できることにある。さらに、この式は将来の変数に対して線形であるので、配当利回りdpt を含めた

（8）式の対数配当利回りdptにdt－ptを代入して、ベクトル自己回帰（VectorAutoregressive;VAR）

左辺がptになるように整理すると、次のようになる。

モデルを用いて、将来の収益率と配当成長率を予測することが１つの方法として考えられる15）。
また（11）
式は、現在の株価が高くなるときは、


（9）
これは
（1）式の Campbell–Shiller の現在価値恒

将来の配当が高くなると予想されるときか、将来の株式リターンが低くなると予想されているときであることを意味している。
次に、（2）
式の期待外リターンを導出する。
まず、等式である。
なお、ρは線形近似をする際の基準点 dp に基づいて定義されたものであるが、上述のように１（8）式を１期ずらすと、dpt －1は次のようにあらわ
すことができる。

より小さい１に近い値であり、この（9）式に示されるように割引係数（discount coeﬃcient）と解

釈できる定数となっている（CampbellandShiller（12）

1988a, Vuolteenaho 2002, Campbell and
Vuolteenaho2004）。

（12）式の両辺を t 期と t －1期において期待値をとると、それぞれ次のようになる。

2.5．期待値をとる

（8）式および（9）式について t 期において期待値をとると、それぞれ次のようにあらわすことがで（13）
 （14）

きる14）。

（13）
式から
（14）
式を引くと次式を得る。
 （10）

 （11）（15）

この式は次のように書きかえることができる。

（10）式は配当利回り dpt が高くなるのは、将来の配当成長（∆dt+j）が小さくなると予想されると
きか、株式リターン（rt+j）が高くなると予想されるときであることを意味している。この対数配– 137 –

（16）

年報 経営ディスクロージャー研究

この式は（2）式に等しい。この（16）式は、期待2017年３月

第16号（Pt）
pt ≡ ln

外株式リターンが大きくなることは、将来の配当

Dt： t 期における配当成長の増加か将来の株式リターンの減少が予想さ

Pt + Dt － Pt －1
Rt ≡───────Pt －1

れていることを意味している。

rt ≡ ln（1+Rt）
Bt： t 期における株主資本簿価

３．Vuolteenaho の現在価値恒等式

bt ≡ ln（Bt）
Xt： t 期における利益

この節では、Vuolteenaho（2000, 2002）において示された Vuolteenaho の現在価値恒等式を導roet ≡ ln

出 す る。Vuolteenaho の 現 在 価 値 恒 等 式 は、

ρ：１より小さい正の定数（以下で具体的に定Campbell–Shiller の現在価値恒等式を展開し、配義する）

当の代わりにクリーン・サープラス関係を仮定した利益（ROE）を用いてあらわしたものである。

また、Vuolteenaho（2000, 2002）における期

Vuolteenaho の現在価値恒等式は、残余利益モ

待外リターンは次のようにあらわすことができ

デルと同様、配当に関する変数がなく、したがっる。

てモデル化することが困難な企業の配当政策について考慮する必要がない点に特徴がある（Vuolteenaho2002,p.234）。このことから、配当がゼロの可能性もある個別企業の株式リターンに



（18）

ついて考察する際には、実証上より望ましい現在

なお、第２節と同様に、∆Et は同一の確率変数

価値恒等式であると指摘されている（Cochraneについての t 期と t －1期における期待値の差、つ2011a,p.1101） 。

まり E（·）－Et －1（·）と定義する。
t16）

なお、ここでの導出は、Vuolteenaho（2000,
2002）および Cohen et al.（2003）にしたがって3.2．対数株式リターンと対数会計リターン

い る 。 ま た、 付 録 で は、Vuolteenaho（2000,

まず、前節で定義した対数配当利回り dpt ≡17）2002）の論文で示された式をそのまま示し、本文との整合性を確認している。

ln

Dt=dt － pt に加えて、対数株主資本配当率
Pt

dbt および対数簿価時価比率 bmt を次のように定
3.1．Vuolteenaho の現在価値恒等式とは義する。

Vuolteenaho の現在価値恒等式は次のようにあらわすことができる。
（17）
次に、前節と同様に、グロスの対数株式リター

ここで、各変数は次のように定義している。

ンを次式で定義する。

Pt： t 期における株価– 138 –

会計情報に基づく現在価値関係（椎葉）



（19）


（25）

また、グロスの対数会計リターン、すなわちグ
ここで、ρ≡

ロスの対数 ROE を次式で定義する。

（< １）と定義する19）。

3.4．配当に関する変数の消去
線形近似した２つの式から、次の関係を得る。

ここで、次のクリーン・サープラス関係を仮定

ただし、ξ t+1≡ξ2t+1－ξ1t+1としている。

する。


（20）

このとき、会計リターンは次のようになる。
（21）

2.2節と同様に、（19）式の株式リターンは次の最後の等号は bmt+1=dpt+1－ dbt+1より成立する。
なお、この式展開において、配当に関する変数を消去している。

ように書きかえることができる。


（22）

（23）
式から
（22）
式を引くと次のようになる。

同様に、
（21）
式の会計リターンは、株式リター
ンにおける P（Pを B（Bに置きかえたもの
t
t+1）
t
t+1）
であるから、
次のように書きかえることができる。


（26）

（23）

この
（26）
式は、対数株式リターンを線形化するとともに、同じく線形化した対数会計リターンを

3.3．線形近似

用いて、配当に関する変数を消去したものと解釈（22）式と（23）式には非線形の項があるが、テすることができる20）。つまり、
（23）
式に
（25）
式を

イラー展開することで線形近似をおこなう。具体

代入し対数会計リターンを線形化し、dbt+1に含ま的には、基準点 x̄ としては、dpt+1と dbt+1の事前のれる配当 dt+1について解き、これを同じく（22）式

期待値の加重平均、すなわち x̄ = wdp+
（1－w）
db

に
（24）式を代入し対数株式リターンを線形化しとする。ここで０ < w < １であり、dpとdbはそれた式の dpt+1に含まれる配当 dt+1に代入して、配当

ぞれ dpt+1と dbt+1の事前の期待値とする 。このとに関する変数を消去していることに等しい。このき、ln（1＋ exp（dpt+1））お よ び ln（1＋ exp（dbt+1））

ことはまた、割引配当モデルから残余利益モデル

は次のようにあらわすことができる。

を導出するときのように、クリーン・サープラス

18）

関係を用いて配当を直接に消去してはいないこと（24）を意味する21）。そうではなく、Vuolteenaho（2000,
2002）の上記の証明では、対数株式リターンと（ク
リーン・サープラス関係を用いて変形した）対数– 139 –

年報 経営ディスクロージャー研究

2017年３月

第16号

会計リターンを線形近似した後で配当に関する変3.6．期待値をとる数を消去できることを示している。

（30）
式および
（31）
式について t 期において期待値をとると、それぞれ次のようにあらわすことができる。

3.5．逐次代入（26）
式は次のように書きかえることができる。




（27）

（27）式の一期ずらした式を右辺の bmt+1に代入

（32）


（33）

すると、次のようになる。
（32）式は簿価時価比率 bmt が低くなる（PBR
が高くなる）のは、将来の利益（roet+j）が大きくなると予想されるときか、株式リターン（rt+j）が低くなると予想されるときであることを意味している。前節における対数配当利回り dpt を左辺とした（10）式の議論と同様に、簿価時価比率 bmt
繰り返し代入していくと次式を得る。

を左辺とした（32）
式は、実証において重要な式となっている。その理由は、簿価と時価は非定常となる可能性があるが、簿価時価比率bmtと変数
（rt+j



－ roet+j）は定常である可能性が高く、標準的な（28）

統計手法を適用できることにある23）。さらに、この式は将来の変数に対して線形であるので、簿価N →∞とすると次式を得る。なお、N →∞のとN

来の株式リターンと会計リターン（roet+j）を予きρ bmt+N →０と仮定している。
（29）



時価比率 bmt を含めた VAR モデルを用いて、将

（30）

（30）
式の対数簿価時価比率 bmt に bt － pt を代入

測することが１つの方法として考えられる。
また（33）
式は、現在の株価が高くなるときは、
将来の会計リターンが高くなると予想されるとき
か、将来の株式リターンが低くなると予想されているときであることを意味している。
ここで、rroet ≡ roet － rt と定義し、この rroet

して、左辺が pt になるように整理すると、次のようになる。

を対数変換した残余 ROE と呼ぶ24）。この残余
ROE を用いると（33）式は次のようにあらわすこ（31）とができる。

この（31）
式は Vuolteenaho の現在価値恒等式である（17）式に等しい22）。

– 140 –

（34）

会計情報に基づく現在価値関係（椎葉）

これは t 期における対数変換した株価 pt が、 t期における対数変換した簿価 bt と、ρを割引率

また、（39）式は次のようにあらわすことも多い。

と解釈したときに t + 1 期以降の対数変換した残



（40）

余 ROE の t 期時点における割引現在価値合計に1/ρを乗じた値との和に等しくなることを示して



（41）

おり、残余利益モデルと形式的に似ている式とい
える。



次に、
（18）
式の期待外リターンを導出する。ま

（42）

ず、
（31）
式を１期ずらすと pt －1について、次のよ
うにあらわすことができる。

ここで、Nroet を利益ニュース（earningsnews）、
Nrt を期待リターン・ニュース（expectedreturnnews）あるいは割引率ニュース（discount rate （35）news）と呼ぶ26）。この（40）式によれば、期待外
リターンは、利益ニュースと割引率ニュースのいずれかによって生じるといえる。この
（40）
式はま

（35）式の両辺を t 期と t － 1 期において期待値

た、次のようにあらわすことができる。

をとると、それぞれ次のようになる。




（36）

（43）

（43）
式は、実現リターンを、期待リターン、利益ニュース、および割引率ニュースの３つに分け （37）

ることができることを示しており、資本コストの研究などで用いられている27）。

（36）
式から
（37）
式を引くと次式を得る。
3.7．２つの現在価値恒等式を用いた導出

この節では、Vuolteenaho の現在価値恒等式を（38）

前節とは少し異なる方法によっても導出すること
この式は次のように書きかえることができる。

ができることを説明する28）。
まず、Campbell–Shiller の現在価値恒等式は次式であらわされた。
 （44）

（39）

ただし、
（1）
式と同じ内容だが、ρ,kに添え字p

（39）
式は、期
この式は
（18）
式に等しい25）。この
待外株式リターンが大きくなることは、将来の会を付けている。たとえば、ρp はρp ≡計リターンの増加か将来の株式リターンの減少がある。なお、dp は対数配当利回り dpt の事前の期予想されていることを意味している。

待値である。
– 141 –

で

年報 経営ディスクロージャー研究

2017年３月

第16号

Campbell–Shiller の現在価値恒等式は、株式リ

対数株式リターンと対数会計リターンを線形近似

ターンの定義を変形して導出しているため、全くした後で配当に関する変数を消去できることを利

同じ手続きによって、会計リターンの定義を変形用して証明している。これとは少し異なり、ここして株主資本簿価に関する現在価値恒等式を導出

で の 証 明 で は、 対 数 変 換 し た 株 価 に 関 す る

することができる。つまり、クリーン・サープラ

Campbell–Shiller の現在価値関係と対数変換した

ス関係を仮定すると、（19）式と（21）式を比較す

株主資本簿価に関する現在価値関係をそれぞれ導ると、会計リターンは株式リターンにおける株価

出した後から、配当に関する変数を消去し、同じP（Pを簿価 B（Bに置きかえたものである
t
t+1）
t
t+1）

式を導出している。

ことがわかる。したがって、Campbell–Shiller の
現在価値恒等式における pt を bt に、rt を roet にそ４．Vuolteenahoの現在価値恒等式の展開

れぞれ置きかえた次の式が成り立つ。なお、線形近似の際には、対数配当利回り dpt の事前の期待

現在価値恒等式を用いた研究は、期待リターン

値 dp ではなく、対数株主資本配当率 dbt の事前のが変動する状況を前提にしていること、および実期待値 dp を基準点とし、ρp , kp に対応する変数

証分析をおこなうことを念頭に変数の定常性を考をそれぞれρb ,kb とあらわす。

慮して対数変換した変数を用いるとともに線形近（45）似した式になっている点に特徴がある。特に、Vuolteenaho の現在価値恒等式は、クリーン・サ

（44）
式から
（45）
式を引いて、bt を右辺に移項すープラス関係を仮定し、会計情報を用いた現在価

ると次のようになる。

値恒等式となっている点で会計研究においてもより注目すべきものであると考えられる。
Vuolteenaho の現在価値恒等式を用いた研究で（46）は、 た と え ば Vuolteenaho（2002），Callen and
Segal（2004）および Callen et al.（2005）などの分散分解を用いて会計情報の情報内容を検証し対数株式リターンおよび対数会計リターンを線ている研究にみられるように、基礎となる変数の形近似する際に、同じ基準点において近似したと時系列として VAR モデルを仮定し、実証分析をすると、ρp＝ρb＝ρおよび kp＝kb＝k とおくことおこなうことも多い。しかし、そのような設定でができる。同じ基準点としては、dpt と dbt の事前は意味する内容が理解しづらいと考えられるたの期待値の加重平均、すなわちx¯＝wdp＋
（1－w）
dbと

め、ここでは Vuolteenaho の現在価値恒等式に、する。ここで０ < w < １であり、dp と db はそれ

いくつかの単純な仮定をおいたときに得られる式

ぞれ dpt と dbt の事前の期待値とする。このとき、を示し、Ohlson（1995）のモデルと対応する式

次のように Vuolteenaho の現在価値恒等式を導出を導出できることを示す。

することができる。
（47）

前節の Vuolteenaho（2000,2002）の証明では、

4.1．残余 ROE が AR（1）にしたがうケース
まず、Ohlson（1995）における残余利益の時系列の仮定を参考にして、対数変換した残余– 142 –

会計情報に基づく現在価値関係（椎葉）ROE が 次 の １ 次 の 自 己 回 帰（first-orderv
ここで、εrroe
t+1 およびεt+1 は、期待値がゼロ、分

autoregression; AR（1））にしたがうケースを考散は有限の定数であり、異時点間の共分散はゼロ

える 。ただし、ωは定数であり、０ < ω < １とと仮定する。また、εrroeとεvt との共分散も時点にtする30）。

かかわらずゼロと仮定する。このとき、Ohlson

29）



（48）

（1995）などと同様に展開すれば、j 期先の rroet+jの期待値は次のようにあらわすことができる。

ここで、ε は、期待値がゼロ、分散は有限の
rroe
t ＋1

定数であり、異時点間の共分散はゼロと仮定す
る31）。

このとき、
（33）
式の期待値をとったVuolteenaho（48）式を仮定すると、 j 期先の rroet+j の期待値の現在価値恒等式は、次のようになる。

jはE（rroet+j）＝ω rroet とあらわすことができる。

（52）

このとき、
（33）
式の期待値をとった Vuolteenahoの現在価値恒等式は、次のようになる。
（49）

4.3．会計リターンと株式リターンがそれぞれ AR（1）にしたがうケース

この（49）
式は、 t 期における対数変換した株価

残余 ROE である rroet に関する仮定を少し変更

pt が、 t 期における対数変換した簿価 bt と、 t 期

し、roet と rt は長期的には同一の値 µ に平均回帰における対数変換した残余 ROE である rroet につするケースを考える33）。φとκは定数であり、いての線形の式であらわされることを示してお０ < φ < １かつ０ < κ < １を満たすものとする。

り、残余利益の時系列を仮定してその時点で利用

なお、ここではその他の情報はないケースを考え可能な変数のみであらわした Ohlson（1995）のモる。

デルと対応するものといえる。



（53）



4.2．残余 ROE 以外のその他の情報が存在するケ
ース

（54）

r
ここで、εroe
t+1 およびεt+1 は期待値がゼロ、分散

次に、前節の設定に加えて、Ohlson（1995）

は有限の定数であり、異時点間の共分散はゼロとにおけるその他の情報（other information）もr仮定する。また、εroe
t とεt との共分散も時点にか存在するケースを考える。ここで、その他の情報

かわらずゼロと仮定する。このとき、 j 期先のとは、残余 ROE 以外の変数であり、以下では vt

roet+j と rt+j の期待値はそれぞれ、E（roet+j）＝µ＋とあらわす。具体的には、対数変換した残余

j
j
φ（roe
および E
（rt+j）＝ µ＋κ（rとあt － µ）
t － µ）ROE とその他の情報が次の時系列にしたがうケ

らわすことができる。

ースを考える 。ただし、ω ,γは定数であり、したがって、（53）式と（54）式の時系列を仮定32）したとき、期待値をとった Vuolteenaho の現在価

０ < ω < １，
０ <γ< １とする。



（50）

値恒等式は次のようになる34）。

（51）– 143 –

（55）

年報 経営ディスクロージャー研究

なお、この
（55）
式は、φ＝κ＝ωとしたとき、（49）
式に等しい。

2017年３月

第16号

ターンが変動するときには複雑になるとしている。しかし、これだけでは一概には優劣を決めることはできないと考えられる。たとえば、Lyleet al.
（2013）は、期待リターンが変動する状況に

５．おわりにOhlson（1995）のモデルを実証可能なかたちで拡
本稿では、Vuolteenaho の現在価値恒等式が会張し36）、実証分析をおこなっている。つまり、現計研究に対して持つ意味をより明確に示すことを時点で一方が他方よりもある側面で有用であると目的として、Campbell and Shiller（1988a）で考えられたとしても、今後の研究によってはその示された Campbell–Shiller の現在価値恒等式、お優劣が変わる可能性も残されている。また、ある

よび Vuolteenaho（2000, 2002）において示され目的には残余利益モデルがより有用であり、別のた Vuolteenaho の現在価値恒等式について、よく目的には Vuolteenaho の現在価値恒等式がより有知られた企業価値評価モデルと対比できるように用であるということになるかもしれない。
さらに、

書きかえた式を示し、その導出方法について詳し

Callen et al.
（2005）および Callen（2009）が指摘すく説明してきた。これらの現在価値恒等式は、期るように、価値関連性研究37） と Vuolteenaho の待リターンが変動する状況を前提にしているこ

現在価値恒等式を利用した分散分解に基づく利益と、および実証分析をおこなうことを念頭に変数の情報内容に関する研究は、補完的な研究と捉えの定常性を考慮して対数変換した変数を用いるとるべきかもしれない38）。このような両者の研究のともに線形近似した式になっている点に特徴があ

比較については、Lyle et al.
（2013,p.906）も指摘る。特に、Vuolteenaho の現在価値恒等式は、こしているように、
現時点では会計研究における（重

れらの望ましい特徴を有するとともに、会計情報

要な）未解決の問題といえるだろう。ただし、こに基づいた式であることから、今後ますます会計

ういった比較検討をする際にも、本稿の内容がそ研究において重要になってくると予想される。

の基礎となる知識を提供することを期待してい最後に、Campbell–Shiller の現在価値恒等式やる。たとえば、Penman and Yehuda（2015）
は対Vuolteenaho の現在価値恒等式に基づく一連の研数変換していないそのままの変数であらわされる

究と、割引配当モデル、残余利益モデルおよび

式に基づいて実証分析をおこなうとともに、

Ohlson（1995）のモデルに基づく一連の研究との“Vuolteenaho framework”との関係について議関係についてふれておく。前者と後者の最大の違論している39）。このとき、Penman and Yehuda

いは、基本となる式が、前者は配当やリターンを（2015）
における“Vuolteenahoframework”とは、対数変換した変数を用いてあらわされているのにVuolteenaho の現在価値恒等式ではなく、対数変対して、後者は対数変換せずにそのままの変数で換した会計リターン（roe）などの変数に関するあらわされていることである。Cochrane（2011b）

VAR モ デ ル を 意 味 し て い る40）。Penman andは Campbell–Shiller の現在価値恒等式が有用な理

Yehuda（2015）の指摘について検討することは本由として、期待リターンが変動するときにも線形

稿の範囲を超えているが、本稿におけるVuolteenahoであらわすことができ、線形の時系列モデルを利の現在価値恒等式についての説明は、こういった

用して実証分析をおこなうことができることを指議論を正確に理解するための前提となる知識を提摘している 。一方で、割引配当モデルは期待リ供することにもなると考える。

35）– 144 –

会計情報に基づく現在価値関係（椎葉）

付録

Rt ≡

－ Ft

rt ≡ log（1＋ Rt ＋ Ft）－ ft
Ａ．Vuolteenaho（2000, 2002）の恒等式

ρ：１より小さい正の定数

この付録では、参考のために、Vuolteenaho

kt －1：t －1期における近似誤差（2000, 2002）の論文で示された主要な式である

κt ≡－ ∆E（k
t
t －1）

（2）
式および
（3）
式を、Vuolteenaho（2000, 2002）

なお、∆Et は、同一の確率変数についての t 期との論文と同じ記号と定義を用いて示すとともに、t－1期における期待値の差、つまりE（·）－Et －1（·）
t

本文において示した式と本質的に同じであることであり本文と同じ定義である。

を示しておく。なお、この付録の一部の記号は本

まず、Vuolteenaho（2002）では rt を対数超過

文における定義と異なっていることには注意してリターンとしている。これを r volt とあらわすと、ほしい。

本文の rt との関係は、rt ＝ r volt ＋ ft である。また、

Vuolteenaho（2002, p.235） の（2）式 は t －1期

Vuolteenaho（2002）における et は本文におけるにおける対数変換した簿価時価比率（θt －1）に関すroet に等しく、これは記号が異なるのみである。

る恒等式であり、次のようである。また、この式

同様に、Vuolteenaho（2002）におけるθt －1は本は Vuolteenaho（2000, p.7）における（8）式に対文 に お け る bmt で あ る。 さ ら に、Vuolteenaho

応している。

（2002）における t －1期における近似誤差 kt －1は、
 （A.1）

ま た、Vuolteenaho（2002, p.236） の（3）式 はj
本文におけるξt を用いてΣ∞j=0ρξt+j とあらわすことができる。したがって、本文における記号に置
きかえると、（A.1）
式は次のようになる。

期待外リターンに関する恒等式であり、次のよう （A.3）である。

左辺を t 時点のbmt にすると、次のようになる。
（A.2）
ここで、各変数は次のように定義している。

（A.4）

Bt： t 期における株主資本簿価
bt ≡ log
（Bt）

この
（A.4）
式は、本文の（29）式に等しい。

Dt： t 期における配当

なお、（A.2）式の Vuolteenaho（2002）におけ

dt ≡ log（Dt）

る期待外リターンに関する恒等式も同じようにす

Xt： t 期における利益

れば、本文の（18）式に等しいことがわかる。

et ≡ log
Mt： t 期における株価
mt ≡ log（Mt）θt ≡ log《注》１）現 在価値恒等式（present-value identity）という表現はCampbell et al.（1996, Ch.7）、Cochrane（2005, Ch.20）、
Cochrane（2011a,b）などにしたがっている。以下で説明す

Ft： t 期における無リスク利子率

るように導出の過程で線形近似をおこなっているため、近ft ≡ log（1+Ft）– 145 –

年報 経営ディスクロージャー研究

似誤差を無視した場合には、近似的な現在価値恒等式

2017年３月

第16号

８）これは次式を満たすことから、連続複利の株式リターンで（approximate present-value identity）などと呼ぶべきもある。

のであるが（Cochrane2011a）、表現を簡潔にするために本文では「近似的な」という語は省略している。なお、ファイナンス分野における現在価値関係に関する研究のサーベイについては Campbell et al.（1996, Ch.7）、Cuthbertson９）Campbelletal.（1996）にしたがっている。なお、rt+1＝ln（1＋ exp（-dpt+1））＋ ∆dt+1＋ dpt とあらわしても、同様の展開をand Nitzsche（2004, Ch.7-9）および Cochrane（2005, Ch.20）などを参照してほしい。
２）Vuolteenaho の現在価値恒等式が残余利益モデルに対応すすることができる。
10）テイラー展開については、たとえば尾山・安田（2013,5.9節）
を参照。ただし、尾山・安田（2013, p.155）は、f
（x）
≈f
（x̄）

ることは、公表された Vuolteenaho（2002）には記述はな+f（x̄）′ （x － x̄）は微分の式であり、形式的には微分は１次のいが、Vuolteenaho（2000）においては示唆されている。まテイラー展開とみなすことができるとしつつも、微分の式

たCampbell（2000,p.1533）も同様の指摘をしている。

を１次のテイラー展開と呼ぶべきではないとしている。ま３）
（a）の内容を紹介・解説した論文として、Callen（2009）、
CallenandSegal（2010）、Callen（2015,2016）がある。本文で引用した研究以外には、Callenetal.（2006）、Clatworthya
etal.（2012）、Shanetal.（2014）、Callenetal.（2016）なた、対数線形近似については磯貝（2014）も参考になる。
11）磯貝（2014）および清水（2016）など参照。
12）
（x）
f を x¯ の値において線形近似するとき、近似誤差は x¯ に近いほど小さい。このことから、近似誤差を小さくするために、どがあり、日本企業のデータを用いた研究としては吉田

dp t+1の過去の平均値を基準点として近似することが考えら（2005）、Okuda and Shiiba（2010）がある。また、（b）のれる。なお、Cochrane（2005, 2011a）もρ＝0.96を用いて内容を紹介・解説した論文として、Callen（2015）、Eastonいる。Campbell（1991, p.178）では1927年から1988年のデand Monahan（2016）、小野（2014）がある。本文で引用

ータを用いているが、サンプル平均としてρ＝0.9962を用した研究以外には、Botosanetal.（2011）、Chattopadhyay

いている。また、青野（2008）は1970年から2005年までのet al.（2015）、Lyle and Wang（2015）などの関連する研日本企業のデータを用いているが、サンプル平均として ρ究があり、日本企業のデータを用いた研究として小野（2015）、小野・村宮（2016）がある。次に、（c）に関連した 内 容 を 紹 介・ 解 説 し た 論 文 と し て、Ball and Sadka（2015）、中野（2012）、中野・吉永（2017）、吉永（2017）がある。本文で引用した研究以外には、Balletal.（2009）、＝0.9863を用いるとしている（青野2008,p.30）。
13）この条件については Cochrane（2005, pp.401-404）において考察されている。
14）期待値をとるという操作は厳密には背後にモデルを想定する（ い く つ か の 仮 定 を す る ） こ と に な る。 こ の 点 はPatatoukas（2014）、Chue（2015）、Crawley（2015）など

CuthbertsonandNitzsche（2004,Ch.7）および福井（2008）の関連する研究があり、日本企業のデータを用いた関連する研究としては Yoshinaga（2016）がある。さらに、（d）の内容を紹介・解説した論文としては Callen and Segal（2013）がある。本文で引用した研究以外には García Laraetal.（2011）などがある。これらの（a）–（d）以外にも、
Goto et al.（2009）、Shan et al.（2013）なども、関連するの第３章第７節において説明がなされている。
15）こ の 点 の 説 明 は Cuthbertson and Nitzsche（2004, Ch.9）などにある。
16）Campbell（2000,p.1532）においても指摘されている。
17）Vuolteenaho の現在価値恒等式の導出は、福井（2008）によっても詳しく説明されている。以下では、脚注において、研究といえる。

福井（2008）において示されている式とも整合的であるこ

４）本稿の付録の（A.1）式や（A.2）式などである。

と を 確 認 し て い る。 ま た、Callen（2009） お よ び Callen５）例外として、福井（2008）において詳しく解説されている。

and Segal（2010）においても Vuolteenaho（2000）と同じ

また、会計研究において変動する割引率を考慮することの方法で証明が示されている。さらに、LyleandWang（2015）

重要性については、福井（2008）に加えて福井（2015）なも最初に簿価時価比率を示しそこから変形して同じ式を導ども参照のこと。なお、Campbell and Shiller（1988a）で示された Campbell–Shiller の現在価値恒等式に基づいたCampbell（1991）の分散分解を日本の株式市場において検出しているが、同一の方法である。
18）
（x）
f を x のある x̄ の値において線形近似するとき、近似誤差
は x ≈ x̄ であるとき小さい。このことから、近似誤差を小さ証した研究として青野（2008）がある。そこでは日本の株くするためには、株式リターンと会計リターンの式におけ

式市場においてCampbell（1991）の分散分解を用いた最初

る非線形の項においてこの x に対応する dpt+1と dbt+1についの論文であると指摘されており（青野 2008, p.24）、ファイて、それぞれ過去の平均値を基準点として近似することがナンス分野においても日本ではあまり研究がおこなわれて考えられる。さらに、同じ基準点において近似したいため、いないようである。

dpt+1と dbt+1の過去の平均値の加重平均を基準点として近似

６）密接に関連した論文として Campbell and Shiller（1988b）もある。
７）より正確には、Pt は t 期における株式時価総額である。本稿では表現を簡潔にするため株価としている。

している。
19）なお、前節とは基準点 x̄ の定義が異なるため、ρの定義も異なっている。
20）福 井（2008, p.80）はこれを「対数線形化された残余 ROE– 146 –

会計情報に基づく現在価値関係（椎葉）モデル」と呼んでいる。なお、福井（2008）は本稿における bmt 変数ではなく pbrt ≡ pt － bt=－
（bt － pt）=－bmt と定義にしている。
33）Lyle and Wang（2015）を参考にしている。ただし、Lyleand Wang（2015）は期待値をとった変数についての時系

される pbrt 変数を用いている。

列を仮定しているのに対して、ここでは例示のためにより

21）この点は Callenetal.（2005,p.386）の脚注16などにおいて単純な実現値についての時系列を仮定している。なお、実指摘されている。

現値についての時系列と期待値をとった変数についての時

22）EastonandMonahan（2005,p.533）では対数変換された簿価時価比率（本稿における bmt）を左辺とした同様の式が示系列との関係については、Cochrane（2008）において議論されており、福井（2008, p.82）では対数変換された時価簿されている。

価比率（pbrt ≡ pt － bt）を左辺とした同様の式が示されてい34）この（55）
式は、LyleandWang（2015）の（6）式に対応している。ただし、脚注33）で指摘したように Lyle and Wangる。

（2015）とは少し設定が異なっている。

23）この点は福井（2008, pp.80-81）にも分かりやすい説明があ35）Campbell（2000, pp.1530-1531）も同様の指摘をしている。

る。

また、福井（2008, pp.76-77）においても詳しく説明されて

24）ここでの rroet は、福井（2008,p.78）においても「連続複利いる。

ベースの残余 ROE」と呼ばれている。
25）福井（2008, p.87）との整合性を確認しておく。
（39）
式の右

36）より正確には FelthamandOhlson（1999）をベースにして

辺第１項の j ＝０について、次のようにあらわすことができいる。この Lyle et al.（2013）の研究は Callen（2016）おる。

よび小野（2014）において説明されている。
37）価値関連性研究における検証式は、しばしば Ohlson（1995）のモデルを理論的根拠としている。この点については、たとえば薄井（1999）、太田（2003）、大日方（2013）の第９章、および薄井（2015）の第６章などを参照のこと。

したがって、（39）
式は次のように書きかえることができる。

38）資本コストの研究においても、残余利益モデル等に基づいてインプライド資本コストを推定する一方で、複数の方法による推定値を比較・評価する際には、Vuolteenaho の現在価値恒等式の含意を考慮している研究もある（EastonandMonahan2005,Botosanetal.2011,Larocque2013）。
39）Penman（2016）および Lyle（2016）も参考のこと。
40）本稿の数式でいえば、（17）式の Vuolteenaho の現在価値恒等式や（18）式の期待外リターンに関する式ではなく、会計

こ れは１期ずらせば、具体的には t を t+1に置きかえれば、リターン（roet）の時系列をあらわした（53）
式を意味してい福井（2008,p.87）の表現に等しい。

る。なお、両者を区別せず理解することは、Ohlson（2001,

26）Vuolteenaho（2002）は、キャッシュ・フローの代理変数

p.114）の脚注２などで指摘されている、残余利益モデルととして会計利益を用いているとの立場から、ここでの利益

残余利益の時系列を仮定して導出した Ohlson（1995）のモ

ニ ュ ー ス を キ ャ ッ シ ュ・ フ ロ ー・ ニ ュ ー ス（cash-flow

デルとの混同と似ている。

news）と呼んでいる。
27）たとえば、EastonandMonahan（2005,p.504）の（1）式、Botosan et al.（2011, p.1087）の（1）式および（2）式、《参考文献》

Larocque（2013,p.151）の（11）式など参照。
28）この証明はMuramiyaandShiiba（2016）にしたがっている。

青野幸平，2008.「日本の株式市場の予測可能性」，『現代ファイナンス』，第24巻，
23–43．

29）ただし、対数変換した変数についての時系列を仮定した場
合 に は、Ohlson（1995） が 強 調 し て い る Miller and

Ball, R., Sadka, G., 2015. Aggregate earnings and why they
matter,JournalofAccountingLiterature34,39–57.

Modigliani（1961）などとの整合性を考慮する場合には問題になるかもしれない。この点は Lyle and Wang（2015,

Ball, R., Sadka, G., Sadka, R., 2009. Aggregate earnings and

p.508）、Penman and Yehuda（2015）、Penman（2016）、

asset prices, Journal of Accounting Research 47（5），および Lyle（2016）などでも議論されており、現時点では1097–1133.
Botosan, C. A., Plumlee, M. A., Wen, H., 2011. The relation

未解決の問題といえる。本稿の第５節も参照のこと。
30）このときこの時系列は定常（stationary）となる。

between expected returns, realized returns, and firm risk31）異時点間の共分散とはCov（εrroe,εrroe）s ＝ ···,－1,0,1,2,··tt-s （characteristics,ContemporaryAccountingResearch28（4），· ）のことであり、自己共分散とも呼ばれる。このとき自己

1085–1122.

相関もゼロとなり、系列相関のない確率過程となる。

Callen,J.L.,2009.Shockstoshocks:Atheoreticalfoundation32）ここでは Callen（2009）および Shan et al.（2014）を参考

for the information content of earnings, Contemporary– 147 –

年報 経営ディスクロージャー研究

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2017年３月

第16号

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