16 四角形(中2)まとめ1次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行四辺形の定義と定理★平行四辺形の定義…2 組の向かいあう辺がそれぞれ平行な四角形
四角形 ABCD で，AB∥DC，AD∥BC◎四辺形は，となりどうしの角をたすと 180°になる。
★平行四辺形の性質（定理）

1 平行四辺形の 2 組の2 平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。

AB＝DC，AD＝BC

3 平行四辺形の対角線は，向かいあう角は等しい。

∠A＝∠C，∠B＝∠Dそれぞれの中点で交わる。

OA＝OC，OB＝OD

次の平行四辺形で，x，y，z の値を求めなさい。

(1)

(2)

8cm

40cm

y110°

58cm

z7cm

32cm

x

[解き方] x＝8z＝58÷2＝29∠y＝180－110＝70°[答] x＝8 ㎝，∠y＝70°
2[答] z＝29 ㎝

次の①②の平行四辺形で，x の値を求めなさい。

ABCDE①A②DAD36°

xExB64°ECBC三角形の内角と外角の関係から∠CED＝(180－36)÷2＝72°∠x＝58＋64＝122°∠x＝180－72＝108°∠x＝122°∠x＝108°

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P2 【16 四角形(中2)まとめ】

3次の平行四辺形 ABCD で，AB//EF，AD//GH のとき，x，y の値をそれぞれ求めなさい。

BCDE

10cm
EA64°

Dx∠y＝180－64＝1168cm
GyB
44cm

FH
3cm

x＝5cm，y＝116°

C

次の平行四辺形で，x，y の値をそれぞれ求めなさい。

BCDEFxAyED7cm△ABE において平行線の錯角は等しいから∠AEB＝∠EBC，よって△ABE は，二等辺三角形

x＝7△DEF において，∠DEF＝∠AEB (対頂角)，

B

8cm

C

x＝7cm，y＝1cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【16 四角形(中2)まとめ】

5

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行四辺形になるための条件★平行四辺形になるための条件…四角形は，次のどれかが成り立てば平行四辺形である。
１ 2 組の向かい

２ 2 組の向かい

３ 2 組の向かい４ 対角線が，５ 1 組の向かいあう辺があう辺があう角がそれぞれのあう辺が，それぞれ平行それぞれそれぞれ中点で交わる。 等しくてである。

等しい。

等しい。

（定義）

（定理）

（定理）

（定理）

（定理）

AB∥DC

AB＝DC

∠A＝∠C

AO＝CO

AD＝BCAD∥BCAD＝BC

∠B＝∠D

BO＝DO

AD∥BC

平行である。

◎AB＝DC，AB∥DCでもよい。

下の図のように平行四辺形 ABCD の AD，BC 上に，それぞれ点 E，F を AE＝CF となるようにとるとき四角形 EBFD は平行四辺形になることを証明しなさい。
[証明]

平行四辺形は 2 組の向かいあう辺がA

E

Dそれぞれ等しいので，AD＝BC …①
仮定より，AE＝CF …②①②より，AD－AE＝BC－CF
よって，ED＝BF …③B

F

平行四辺形は 2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので，AD // BC
つまり，ED // BF …④③④より，1 組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので，四角形 EBFD は平行四辺形

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

CP4 【16 四角形(中2)まとめ】

6ABCDE

平行四辺形 ABCD の対角線 AC 上に AE＝CF となるように点 E，F をとると，四角形 EBFDは平行四辺形となることを証明しなさい。

A

DE△ABE と△CDF において，仮定より，AE＝CF…①AB∥DC の錯角は等しいから，FBC∠BAE＝∠DCF…②平行四辺形の向かいあう辺は等しいから，

AB＝CD…③①②③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△ABE≡△CDF
よって，EB＝FD…④7BCDE

右の図で，四角形 ABCD，BEFC がともに平行四辺形ならば，四角形 AEFD は平行四辺形でADあることを証明しなさい。
B

仮定より，AD∥BC…①C

BC∥EF…②①②より，AD∥EF…③E

平行四辺形の 2 組の向かいあう辺はそれぞれ等しいから

AD＝BC…④
BC＝EF…⑤④⑤より，AD＝EF…⑥Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

FP5 【16 四角形(中2)まとめ】

8BCDE

右の図で平行四辺形 ABCD の辺 CD の延長上に，CD＝DE となる点 E をとり，線分 BE と辺 AD との交点を F とする。このとき，AF＝DF であることを証明しなさい。
E△ABF と△DEF において，仮定より，CD＝DE …①A

平行四辺形 ABCD で，FD

2 組の向かいあう辺はそれぞれ等しいから，B

C

CD＝AB …②①②より，AB＝DE …③平行四辺形 ABCD で 2 組の向かいあう辺はそれぞれ平行であり，AB//CE の錯角は等しいから，∠ABF＝∠DEF …④9BCDE

右の図のように，□ABCD の辺 AB，BC，CD，DA 上に，AE＝BF＝CG＝DH となるような 4 点 E，F，G，H をとる。

AH

このとき，四角形 EFGH は平行四辺形になることをE証明しなさい。

G△AEH と△CGF において，仮定より，AE＝CG …①B

F

DH＝BF …②平行四辺形の 2 組の向かいあう辺はそれぞれ等しいから，

AD=BC …③②③より，AH＝CF …④平行四辺形の 2 組の向かいあう角はそれぞれ等しいから，

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

CDP6 【16 四角形(中2)まとめ】

10

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

いろいろな四角形
★長方形

★ひし形

★正方形

定義…4 つの角がすべて定義…4 つの辺がすべて定義…4 つの角がすべて等しく等しい四角形

等しい四角形

4 つの辺がすべて等しい
四角形

平行四辺形

⾧方形
★四角形の関係

正方形

A

ひし形
D長方形

∠A＝∠B＝90°

AC＝BD

AB＝BC
B

A

AC⊥BD

C

A

D

D

平行四辺形

正方形

B

CA

B

AB＝BCC∠A＝∠B＝90°
B

AC⊥BD

DC

※ 対角線の性質

AC＝BD

ひし形

長方形…長さが等しい。ひし形…垂直に交わる。正方形…長さは等しく，垂直に交わる。
11ABCDE

次の四角形について，それぞれもっている性質を㋐～㋒からすべて選び，記号で答えなさい。
㋐4 つの辺の長さが等しい㋑ 対角線の長さが等しい㋒ 対角線が垂直に交わる

①長方形

㋑②ひし形

㋐，㋒

③正方形

㋐，㋑，㋒

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P7 【16 四角形(中2)まとめ】

12平行四辺形 ABCD が次のような条件をもつとき，それぞれどのような四角形になりますか。

BCDE

その名前を書きなさい。ただし，O は対角線 AC と BD の交点です。
①BC＝CD② ∠A＝∠B

ひし形③長方形∠C＝90°，AB＝BC④ AC＝BD

AB＝BC よりひし形→正方形

正方形
⑤長方形

AC⊥BD

⑥ AO＝BO，AB＝BC
AB＝BC よりひし形→正方形

ひし形
13正方形

「対角線が垂直に交わる平行四辺形はひし形である」ことを，証明しなさい。
ABCDED平行四辺形 ABCD の対角線の交点をO とする

O△ABO と△CBO において，∠AOB＝∠COB＝90°…①B

CBO は共通だから，BO＝BO…②平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから，

AO＝CO…③①②③より 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ABO≡△CBO

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P8 【16 四角形(中2)まとめ】

14「対角線の長さの等しい平行四辺形は長方形である」ことを，証明しなさい。

BCDEA

D

B

C

平行四辺形 ABCD で，AC＝DB とする△ABC と△DCB において，

AC＝DB…①平行四辺形の向かいあう辺は等しいから，AB＝DC…②BC は共通だから，BC＝CB…③①②③より，3 組の辺がそれぞれ等しいから，△ABC≡△DCB
よって，∠ABC＝∠DCB…④
また平行四辺形の向かいあう角は等しいから，15次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行線と面積P★底辺が共通な三角形
ⅠQ

平行な 2 直線ℓ，mPQ∥AB ならば，△PAB＝△QAB は，間の距離は等しいℓ2 つの三角形の面積が等しいことを示す。
Ⅱ △PAB＝△QAB ならば，PQ∥ABmA

B

PQ∥AB ならば，△PAB＝△QAB となることを証明しなさい。
[証明] 平行な 2 直線間の距離は等しいから，

PQ

M

N B

PM＝QN…①
また，△PAB と△QAB の底辺 AB は共通だから，AB＝AB…②①②から，高さと底辺がそれぞれ等しいから，△PAB＝△QAB

A

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P9 【16 四角形(中2)まとめ】

16ABCDE

右の図でABCD の辺 AD，CD 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。このとき，図の中で△ACF とA

E

D

面積が等しい三角形をすべて答えなさい。
F

AB∥DC より △ACF＝ △BCF
AC∥EF より △ACF＝ △ACE△BCF△ACE△ABE
17BC

平行四辺形 ABCD の面積が 24cm2 とき，△BEC の面積を求めなさい。

ABCDEA

右の図のように，AB に平行にE

D直線 EF をひく△ABE≡△FEB…①△EFC≡△CDE…②212cm
B＝12C

18

つぎの図の△ABC で，辺 BC 上に，BP：PC＝2：3 となる点 P があるとき，△ABP とBCDE△APC の面積の比を求めなさい。

A

高さが同じなので，底辺の比がそのまま面積の比になる

2：3

B

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

PCP10 【16 四角形(中2)まとめ】

19

右の図は平行四辺形 ABCD で，点 E，点 F が辺 AB，BC のBCDE

中点で，線分 AF，CE の交点を G とする。線分 AC，DF の交点を H とする。このとき AC//EF となる。

AE

次の問いに答えなさい。

B

平行四辺形 ABCD×H

G① △AEC と平行四辺形 ABCD の面積の比を求めなさい。

DFC

1：4

1＝△AEC
4② △ABF と同じ面積の三角形をすべて答えなさい。

同じように，△ABF＝平行四辺形 ABCD×14

よって△ABF＝△AEC＝△BEC＝△AFC＝△DFC△AEC，△BEC，△AFC，△DFC
ABCD の辺 AB，BC 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。

20

右の図でBCDE

このとき，次の①，②にあてはまる三角形をすべて書きなさい。
①AD△ACF と面積が等しい三角形
EAB∥ DC より，△ACE＝△ADE
AD∥BC より，△ACF＝△CDF△ACE，△ADE，△CDF

BF② AE＝BE のとき，△BEF と面積が等しい三角形

AE＝BE より，△BEF＝△AEF
AC∥ EF より，△AEF＝△CEF△AEF，△CEF

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

CP11 【16 四角形(中2)まとめ】

ABCD の辺 AD，CD 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。

21

右の図で

BCDE

DF：FC＝3：2 のとき，△AFD はABCD の何倍か求めなさい。
A△AFD＝3 とすると，

ED△ACF＝2 となる。

３

よって△ACD＝5なのでABCD＝10 である。

よって，△AFD はABCD のF

3倍
10２B
22C

ABCD の面積の何倍であるか答えなさい。

図Ⅰ，図Ⅱに示す三角形，四角形の面積はBCDE （M，N はそれぞれ AD，BC の中点）

図ⅠAM

D① △ACM（図Ⅰ）
E

△ACM＝

1△ACD ，
2△ACM＝

1 1×2 2△ACD＝

12ABCDBNCABCD② 四角形 ABNE（図Ⅰ）①から，△AEM＝

11△ACM＝28ABCD
12ABCD

18ABCD＝M，N はそれぞれ AD，BC の中点だから、ABNM＝12ABCD－

四角形 ABNE＝ABNM－△AEM＝

38ABCD③ 四角形 AQRM（図Ⅱ）
図Ⅱ

A

M

線分 MN をひき，BD との交点を O とすると，△MOR＝△NOQ となる
よって四角形 AQRM＝△ANM

1△ANM＝△BAN なので， 倍4Q
B

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

ONDRC

P12 【16 四角形(中2)まとめ】

23BCDEA右の図のひし形 ABCD について∠x の値を求めなさい。

Dx

三角形 BCE において∠BCE＝x－36，△BCD は二等辺三角形だから∠CBE＝180－xx－24＝66－22110＋(x－36)＋(66－E24°x)＝1802110°36°

B24C

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

平行四辺形の応用
右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線の交点 O を通る直線が，AB，CD と交わる点をそれぞれ E，F とするとき，EO＝FO であることを証明しなさい。
A[証明]

D

△AEO と△CFO において

F

平行四辺形の，対角線はそれぞれの中点で交わるのでE
AO＝CO…①

AB // DC から，錯角は等しいので

O

BC∠EAO＝∠FCO…②対頂角は等しいので∠AOE＝∠COF…③①②③から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，△AEO≡△CFO
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので，EO＝FO
25

右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線の交点 O を通る直線が，AB，CD と交わる点をそれBCDE

ぞれ E，F とするとき，AE＝CF であることを証明しなさい。

ADF△AEO と△CFO において平行四辺形の，対角線はEそれぞれの中点で交わるから，

B

OC

AO＝CO…①
AB // DC より，錯角は等しいから，∠EAO＝∠FCO …②対頂角は等しいから，∠AOE＝∠COF…③①②③より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P13 【16 四角形(中2)まとめ】

26CDE

右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線 AC に頂点 B，D から垂線 BE，DF をひくとBE＝DF になることを証明しなさい。

ADF△ABE と△CDF においてE

仮定より，∠BEA＝∠DFC＝90°…①

B

平行四辺形の対辺はそれぞれ等しいから，AB＝CD…②C

AB // DC で，錯角は等しいから，∠BAE＝∠DCF…③①②③より，直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいから，
27

平行四辺形 ABCD の対角線の交点 O を通る直線に A，C からひいた垂線をそれぞれ AE，CFCDEとするとき，AE＝CF であることを証明しなさい。

A△AOE と△COF において，

DO

仮定から，∠AEO＝∠CFO＝90°…①平行四辺形の定理から，AO＝CO…②E

B

対頂角は等しいから，∠AOE＝∠COF…③①②③より，直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい
よって，△AOE≡△COF

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

FC