ORモデルと経済学モデル
今野 浩

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40年間のOR人生で，筆者が最も衝撃を受けた数問題，例えば乃≧1000の問題を解くことはできなか

理モデルはCAPM（capitalassetpricingmodel）でった（今なら乃が10万でも容易に解くことができある． 腰を抜かす ほど驚いたといってもあながちる）．答が求まらなければ，モデルは絵に描いた餅で誇張ではない．

ある．

これはマーコピッツの「平均・分散モデル」を下敷

60年代のORモデルの多くは，この意味では絵にきとした経済学モデルで，このモデルの登場によって，描いた壮大な餅だった．絵に描いたモチを食べるためファイナンス理論はOR（もしくは工学）としてではに，経済学者シャープは大胆な調理を施した（この工なく，経済学の一分野として発展することになった．

夫で，シャープはマーコピッツとともにノーベル経済ORの世界の住民であれば，10人中6人は平均・分学賞を受賞した）．

散モデルをご存知だろう．しかしCAPMを知ってい第1の工夫は，無リスク資産なる資産を導入するこる人は，たかだか1人か2人ではないだろうか．エンとである．これは収益率がつねに一定値杓をとる資

ジニアが生み出した実務モデルを，頭の良い経済学者産で，倒産の心配がない短期国債などがこれに当てはたちが換骨奪胎して作り上げ， 実務家を煙に巻いたまるとされている．

モデルである．ORモデルと経済モデルの違いをこれ

第2の工夫は，変数の非負条件を取り外して，すべほどよく表わしたものはない．ての資産を負の量だけ持つこと（空売り）を許したこ

マーコピッツの平均・分散モデルは，もともとはとである．こうすれば問題は著しく簡単になる．この各々の投資家にとって最も望ましい投資比率ベクトル

結果得られる結論が，次に示すCAPMの2大定理で（ポートフォリオ）を求めるための，実務モデルとしある．て考案された．
いま市場に犯種の資産5．，52，…，S乃があるものと定理1．平均・分散モデルにもとづいて投資決定し，それらの収益率を凡，斤2，‥．，β刀とする．各資産を行うすべての投資家は，市場平均ポートフォリオとへの投資比率ベクトルをJ＝（れ，J2，…，エ乃）とすると，無リスク資産のみに投資するのがベストである．

平均・分散モデルは定理2．各銘柄の期待収益率nと市場平均ポートフォリオの期待収益率γ〟との間には，最小化 V［斤（∬）］
条件 且［斤（ェ）］＝β（1）J∈X，n一杓＝βノ（侮一拍），ノ＝1，2，…，乃，という関係が成立する．ここで「ベーと定義することができる．g［β（カ］，r［β（∬）］は，（3）タ値」β7は＆＝COV（凡，β〃）／var［β〟］，それぞれポートフォリオJの収益率斤（エ）の期待値と（4）で定義される定数である．

分散，Pはある定数，そしてズは投資可能集合と呼ばれる集合である．最も基本的なケースはこれらの定理の証明は極めて簡単である．ラグランガ＝（∬＝（恥…，J乃）l∑み＝1，JJ≧0，ノ＝1，2，…，乃），ジュの未定乗数法と統計学の入口さえ知っていれば十（2）で与えられる場合である．

［1］などを参照していただきたい）．

ところがこのモデルが生まれた時代には，実用的なこんの ひろし中央大学理工学部〒112−8552文京区春日1−13−27
2005年8月号分である（詳しいことを知りたい読者は，例えば文献
定理1は，すべての投資家は，（平均・分散モデルのことは忘れて）市場平均ポートフォリオ（例えばTOPIX）と国債だけを買えばよい，ということを意味している．投資家ごとに違うのは，両者の保有比率© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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だけである．

ない．

また定理2の関係式を使うと，ポートフォリオ∬の収益率斤（J）の期待値γ（∬）＝∑りJノは，2．資産は無限に分割可能である．
3．投資家は資産価格に影響を及ぼすことはできな

γ（J）一杓＝（∑且動）（侮一杓），しヽをみたす．したがって∑＆Jノ＝1ならγ（J）＝侮にな

4．投資家は無制限に空売りを行うことができる．

る．つまり∑＆∬J＝1となるポートフォリオの期待収

5．投資家は無リスク資産の利子率杓で資金を無益率は，市場平均ポートフォリオと一致する．
したがって，この条件をみたすポートフォリオの中制限に貸し借りすることができる．
6．投資家はリスク回避的であって，ポートフォリで，市場平均からの帝離が小さいものを選んでくれば，オ収益率の期待値と分散のみを指標として意思それは将来も市場平均とほとんど同じ収益をもたらす決定を行う．

であろう．市場が上昇傾向にあるときは，これで十分7．すべての投資家は同一期間を対象として投資をな利益が得られるはずである．こうして，上昇傾向に行う．また各資産の収益率の収益率分布についあった市場では，資産運用はベータ値をもとに市場平て完全な情報を共有する．

均ポートフォリオを構築する， インデックス運用が主流となった．

美しい理論を導くためには，当然様々な仮定をおく必要がある．実際，CAPMは素晴らしい結果を導いではこのモテリレは，十分よく現実を表現しているのだろうか．何年にもわたって様々な統計学的検証が行たのだから，理論としては素晴らしいものといえるだろう．

われたが，容易に結論は出なかった．しかしそれにもしかしそれを実務に使うとなると請は別である．仮かかわらず，このモデルは世の中に浸透していった．

定1〜3はひとまずおくとして，問題は仮定4以下で巧妙なレトリックを用いて，この理論を実務家たちにある．実際の市場で，これらの仮定が成立つと想定す売りこむシャープというカリスマ経済学者がいたことるのはきわめて難しい．特に仮定の6と7はあまりにと，この結論が現場のファンド・マネージャにとっても厳しすぎる．したがって，当然のことながら定理1都合のいいものだったからである．と2の現場への適用に際して問題が起こる．

投資家は，市場平均を出し抜こうとして様々な戦略

まず第1は＆の安定性の問題である．過去のデーを組立てる．しかしそのような試みはなかなか成功しタをもとに，定義式（4）を使って計算してみると，時代なかった．良くて勝ったり負けたりで，コンスタント系列的にきわめて不安定な動きをする．コンスタントに勝ち続けるのは至難のわざである．そんなことに労であるべきベー

力を注入するより，インデックスに投資していればそ話はややこしい．

れでいいというのだから，こんな楽なことはない．

タ値がランダムに変動するとなると，次の間題は，無リスク資産の利率とは一体何かといこうして60年代半ば以降，CAPMが教えるインデう問題である．国債の利回りか，定期預金の利率か．

ックス運用が資産運用のパラダイムとなった．実際い実際には，無リスクだと思われるこの二つの金利にはまでも経済学者の多くは，インデックス運用が王道だ

差があるのが普通だが，経済理論上はこれは一意的にと考えている．

決まることになっている．なぜなら，二つの異なる利筆者がこの理論を詳しく勉強したのは，80年代半子率を持つ無リスク資産が存在すると，投資家は安いばのことである．もう40歳代後半に入っていたが，方の利子率で借りた金を高い方の利子率で預けること感動のあまり夜も眠れないくらいだった．なぜ平均・によって，無リスクで儲けることができる．しかしこ

分散モデルが実務に使われていないのかが，これでよれはファイナンス理論の大原則である「無裁定原理」

く分かった．に違反する−．これが取引コストや情報伝達スピー

もしここで感動したままだったら，私は経済学者の仲間入りさせてもらえかたもしれない．しかしこの理ドなどを無視して得られる経済理論の結論である．
CAPMの 実務的役割は，この理論が生まれて論を検証してみると，あまりにも問題が多すぎた．仮から12年経った77年にRolleが振り下した一撃，定がきつすぎるのだ．

「市場平均ポートフォリオを一意的に規定できない以CAPMの七つの仮定上，CAPM理論の正当性を統計的に証明することは1．資産の取引にはコスト（手数料など）はかから理論的に不可能である」で終わるのであるが，理論は530（14）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

まだ生き続けている．現場では否定されても，美しく一貫した理論であれば， 理論 としては十分にイ酎直る．
ORの研究者が先鞭をつけたモデルに経営学者が化粧直しを施し，いまOR研究者の間でも流行の兆しをがあるというわけである．

CAPMは，経済学者が生み出した壮大なフィクシ見せているモデルが，「リアル・オプション」である．

ョンである．しかし，この理論のように分かりやすい

これは60年代以来，OR研究者たちによって研究さモデルを作るのは容易でないこともまた確かである．

れてきた「決定分析（decision analysis）」に，ファそこで多くの研究者が，どこまで仮定を緩めることがイナンス理論の分野で発展した「オプション理論」をできるか検討を行った．筆者自身も，このモデルをよ組合わせて，不確定性の下での投資プロジェクトを評り現実に合うよう作り直すための研究を手がけ，それ佃するための方法である．

を実務に応用しようと工夫してみた．しかし，やれば無裁定原理や自由な参入・退場を前提とするオプシやるほど工学的にはダメなモデルであることが分かっ

ョン理論を，1回限りの個別プロジェクト評価に使うて，がっかりさせられたものである．

ことは妥当かという基本的疑問はある．しかし問題に筆者は80年代半ば以来，エンジニアとしてファイよっては，素晴らしい結果を導くことが知られている．

ナンスの世界に参入し，ファイナンスをエンジニアの決定分析は，60年代から70年代にかけてORの分サイドに引き寄せる努力をしてきた．ポートフォリオ

野で確立された手法であり，主として米国で現実問題理論に，数理計画法を本格的に導入することによって，に適用され成功を収めた．ここに70年代に登場したマーコピッツの当初の意図を実現しようという試みでオプション理論を組合せるのは，ごく自然な発想といある．

えるだろう．

巨大な平均・分散モデルの解法，平均・分散モデル

しかしこの当然の拡張に，リアル・オプションといにかわるより実用的なモデルの構築，大域的最適化やこわくてき う亀惑的名前をつけたのが，経営学者の賢いところで整数計画法を用いたそのモデルの解法，そしてその現ある．この結果，決定分析が流行しなかった日本でも，場への応用などである．しかし残念ながら，全体的にOR研究者の間でこのモデルが研究されるようになっ言えばこの種の試みはまだ道半ばである（その上もうた．ORで生まれた手法が一旦経営学者の手に濾り，時間がない！！）．

そしていまORの研究者が本格的にこの研究に乗り出経済学者たちから無視されるのは仕方がないとして，現場のエンジニアにもなかなか受入れてもらえないのしているというわけである．
ファイナンス理論がOR理論として誕生し（平均・である．エンジニアにとっても数理計画法はハードル

分散モデルは当初から現在にいたるまで経済学ではなが高く， 大体は分かった

いと批判されつづけている），長らく経済学者というという気分になれなし−た

里親の下で養育されたあと，いまエンジニアたちによめだという人もいる．
われわれがここ数年取組んできた問題の一つは，非凸型取引コストの下でのポートフォリオ構築である．って精力的に研究されているのと似た現象が，ここでも起こっているのである．

実務上はきわめて重要な問題であるが，経済学者にとモデルが流行するためには，多くの人にアピールすって，このような問題は考察の対象としては次元が低ること，そして 大体は分かりました という感覚をすぎるのだそうだ．実際取引コストなどをいうものが持ってもらうことが肝心である．この意味でいえば，存在すること自体おかしいのだ，という経済学者もい

線形計画法やAHPなどはまことに分かりやすいモデるくらいである．したがって経済学者が取扱う耳く引コルである．特に線形計画法は，汲めども尽きせぬ泉のストとは，たかだか線形コストまでである．

ように，多くの使い道がある．これほどの資産を持っORの研究者にとっては，より現実にフィットしたている学問分野はそう滅多にない．

非線形取引コストの扱いが最も面白い部分であるが，一方，その延長線1二にある非線形モデルは，線形モ

これまでは計算技術が十分でなかったため，経済学者デルに比べるとずっと分かりにく く解きにくい．したの怠慢を批判してあまり説得力がなかった．しかし時がってなかなか流行しなかったが，最近の計算技術の代は変わった．経済学者たちが展開した美しく単純な発展によって，状況は人きく変化している．

モデルを￣F敷きにして，エンジニアが納得できるモデ

またAHPは，理論的根拠についてやや不明な部分ル作りを行うことが可能な状況が生まれているのであがあるモデルである．しかし分かりやすく使いやすく，

2005年8日号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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使ってみると十分に納得できるモデルである．これとジニアの中から，もっと多くのサーティーやシャープ対置されるのが，多属性効用分析である．これは経済が出現し，ORの生み出した資産が，より広く利用さ学的裏づけのあるモデルだが，理論が難しいのと手間れるようになることを期待したいものである．ORをがかかるのが原因で，日本ではほとんど使われなかっ普及させるためには，「マーケテイングのOR」だけた．AHPが流行したのは，理論の分かりやすさと，でなく，「ORマーケテイング」の研究が求められるサーティーというカリスマをと−）まく強力なプロモーゆえんである．

世の中では，難しい問題群を解決するために，「文タたちがいたおかげであろう．

ORは「モデルの宝庫」を持っている．絵に描いた理融合」アプローチに対する期待が高まっている．し餅であれば，普及しなくてもそれは仕方ない．しかし，かし「文理融合」には，文系上位のイメージと中途半かつてそうであったこれらのモデルは，次々と本物の端なイメージが染みこんでいる．いま求められているモチに変身した．整数計画法，非線形計画法，動的計のは，このような 生ぬるい画法，確率計画法，様々な確率モデル，シミュレーシ系分野で開発された技術と，文系分野で生まれた理論

ョン技術エトセトラは，いまや完全に実用段階に入っを換骨奪脂した技術を総合して，現実の問題群を解決た．

する「理文総合」アプローチである．

アプローチでなく，理例えば整数計画法は，いまでは3，000変数くらいま計算技術の劇的進歩によって，「理文総合」を実現

での問題はパソコン上で普通に解けている．これによするための条件は整いつつある．そしてそのプロモーって，ポートフォリオ理論における様々な現実モデル

タとして最も期待されるのは，OR学会が擁する豊富や大型のスケジューリング問題，SCM問題なども手な人材群である．こう考えれば，われわれは未来に明軽に解けるようになった．10年前には考えられなかるい展望を持つことができるのではないだろうか．

ったことである．しかしこのような事実を知っている

参考文献

人は，ORの専門家の中でも少数派である．ここ数年の進歩があまりにも速いためかもしれない．
これらのモデルに少々のレトリックを加味してやれ［1］D．G．ルーエンバーガー：「金融工学入門」，日本経済新聞社，2002年．

ば，大化けするものがたくさんあるはずである．エン532（16）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ