無断再配布、転載禁止

2 章 システムの計画と評価

これからお金の話をします。
システムは経済（お金）的な評価が必要です。システムの経済性は目的や制約になります。

例：

製品のコストを出来るだけ低くしたい（経済性が目的）
出来るだけ品質の良い製品を１万円以内のコストで作りたい（経済性が制約）

1

作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

どちらかしかもらえないとしたら、どちらを選びますか？

A:

入学祝いの 10 万円、今すぐもらえる

B:

卒業祝いの 20 万円、４年後にもらえる2

作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

お金の時間的価値（Time value of money）
同じ金額なら、お金は早くもらいたい。
１．早く得られれば運用して増やせる（投資）２．リスクを避けられる（支払い先の倒産など）
３．インフレーション（同じ商品が同じ金額で未来に買えない）
例：アメリカでは１９９７年に１ドルで買えたものが、２０２０年には１．４６ドルになっている。

逆に、同じ金額なら支払は先に延ばしたい。
１．手元にあるお金を運用して、増やした後で支払える
２．支払う相手にリスクを負わせることが出来る（自分の会社が倒産してしまえば支払わなくて済む）
３．自分の収入額は将来に増えている可能性が高い（インフレーションなどの理由）3

作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

キャッシュフローの定義

正のキャッシュフロー

負のキャッシュフロー

4

作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

キャッシュフローを図示してみる

収入
収入

現在

0

1

3

2
学費

学費

学費*

生活費 生活費

生活費

生活費

学費

収入

(年後)

4

5

6

生活費

生活費

生活費

未来入学料（53 万円）* 名古屋大学の授業料：年間 535,800 円

5

作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

時間と共に増えるお金
例：１００万円にかかる利率を１０％とすると、
１年後：１００万円

×１．１ ＝１１０万円

２年後：１１０万円

×１．１ ＝１２１万円

３年後：１２１万円

×１．１ ＝１３３万円

6作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

複利の計算（教科書 2.2.1）
現在の資金を P（円）、年毎の利率（interest rate）を i とする。
１年後： P(1 + i)（円）

２年後：  P(1 + i )  (1 + i ) = P(1 + i ) 2（円）

３年後：  P(1 + i )  (1 + i ) = P(1 + i ) （円）23…
n 年後： P (1 + i ) （円）n

終価（Final worth）F（円）を定義する

F = P(1 + i)n （円）

ここで、(1+i)n を終価係数(final worth factor)と呼ぶ。
これに対し、 P （円）を現価（Present worth）と呼ぶ。

7作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

終価の計算例例）利率を 0.05(5%)と仮定し、１０万円の４年後の価値を計算してみる。

F = P(1 + i)n に代入すると、
F = 100,000 × (1+0.05)4 = 121,550(12.1 万円)

つまり、今１０万円を手にして利率５％で投資すれば、４年後には１２．１万円になる。

同じ計算を、利率 i=0.2(20%)と変更して計算してみると
F = 100000 × (1+0.2)4 = 207,360(20.7 万円)

利率の設定によって結果が大きく変わる。

8作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

終価から現価への変換
F = P(1 + i)n （円）
この式の両辺を(1+i)n で割るとP=F
(1 + i ) n

ここで、1/(1+i)n を現価係数(present worth factor)と呼ぶ。

9作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止終価から原価への計算例例）利率を 0.05(5%)と仮定し、２０万円が４年後にもらえるときの現価を計算してみる。

P=Fに代入すると、(1 + i ) n

F = 200,000 × (1+0.05)4 = 164,541(16.5 万円)

つまり、利率５％で投資して４年後に２０万円にするためには、今日 16.5 万円が必要である。

10作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

例題２．１
設備 A

設備 B

価格

２億円

１．３億円

耐用年数１６年８年

どちらが経済的か？ただし利率を１２％とする。

（解答）設備 A を導入した場合のキャッシュフローは

０ 1

23…

14 15 16 17時間（年）

２億円

２億円

すなわち、現在価値で計算すると、P=-2 億円

11

作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

設備 B を導入した場合のキャッシュフローは０ 123…7 8 9 …

15 16 17時間（年）1.3 億円

1.3 億円

1.3 億円１６年を基準として考える（８と６の最小公倍数）。現在価値で計算すると、
P = -1.3 – 1.3 / (1+0.12)8 = -1.825 億円

すなわち B の方が経済的である。
（解答終）

12

作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

年金（Annuity）

現在0￥A

￥A

￥A

123

￥A…

n-1

￥An (年後)毎年一定額がもらえる場合を年金(annuity)と呼ぶ。終価を計算すると

F = A(1 + i)n−1 + A(1 + i)n−2 + ... + A(1 + i) + A(A)

両辺に(1+i)をかけると(1 + i) F = A(1 + i)n + A(1 + i)n−1 + ... + A(1 + i)1 + A(1 + i)

(B)

ここで (B)-(A)を計算すると

iF = A(1 + i)n − A
整理すると (1 + i) n − 1
F = A
i
現価に変換すると、 P = (1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1
F
1=A=A

 i (1 + i )n (1 + i)n (1 + i)n i

13

未来

作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

作成：川尻喜章

例題２．２\1750 万６年目（今日から 5 年後）から１５年間に渡り、毎期末に１７５０万円が得られるとき、現在価値を計算せよ。ただし利率を１０％とする。

2０ 1

3… 5

6 ７… 19 20

時間（年）

15 年（解答）５年目における現在価値 P5 は (1 + i) n − 1  (1 + 0.1)15 − 1 =1750
 0.1(1 + 0.1)15  = 13310 万円
n 
 i(1 + i) 

P5 = A 

この５年目における現在価値を今日の現在価値に換算すると
P=P5
13310
== 8264 万円
5(1 + 0.1)
(1 + 0.1)5（解答終）14

無断再配布、転載禁止

作成：川尻喜章

システムの経済性評価（教科書 2.2.2）
例題２．３－２．４タンカーで石油を運ぶ事業に投資すべきでしょうか？

積載１トン当たり毎月 630 円の利用料を得られそう。

https://en.wikipedia.org/wiki/Oil_tanker
購入価格：84 億円
積載量：20 万トン
運用年数：20 年間
年間操業費用：4.2 億円
年当たりの稼働月数：11.5 か月（1 年間 12 カ月から、メンテナンスや休暇を差し引いた期間）。

15無断再配布、転載禁止

利益（収益 - 費用）

利益（収益 - 費用）

利益（収益 - 費用）

利益（収益 - 費用）

利益（収益 - 費用）

キャッシュフローの図示

1920…

０123

タンカー購入 \84 億

16時間（年）

作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

利益 = 収益 – 費用

収益はタンカー積載量 ×200,000（トン）

×

利用料

630×

利用月数

× 11.5(円/トン/月)（月/年）

4.2 億円/年

費用は従って、利益は14.49 – 4.2 = 10.29億円/年

17= 14.49 億円/年

作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

正味現価 （教科書 2.2.2）￥10.29 億￥10.29 億￥10.29 億￥10.29 億￥10.29 億全部のキャッシュフローを現価にして足したものを正味現価（Net present value (NPV), Net present worth (NPW)）と呼ぶ。

1920…

０123時間（年）\84 億
例：利率を 10％として計算してみる
毎年の利益を現価に換算するため、年金の公式を使う。A=10.29（億円）、i=0.1、n=20（年） (1 + i )n − 1 (1 + 0.1)20 − 1
P = A
=10.29= 10.29  8.51 = 87.6
n 20  i(1 + i)  0.1(1 + 0.1) （億円）

タンカー購入額と毎年の利益を現価に換算して足したものが、正味現価 NPW となる。
NPW = – 84 + 87.6 = 3.6 （億円）

18

作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

利率 i の設定
正味現価は以下の様に計算した。

 (1 + i)20 − 1 
NPW = −84 + 10.29 20 
 i (1 + i ) 

上の例では i=0.1 とした。これを、i を変えながら計算してみる。
i=0.1 のとき、NPW=3.6 （億円）
i=0.105 のとき、NPW=0.696（億円）
i=0.11 のとき、NPW=-2.5 （億円）

i を大きくすればするほど将来の収益にかかる割引率が厳しくなり、正味現価 NPW は小さくなる。

19作成：川尻喜章

無断再配布、転載禁止

作成：川尻喜章

投資利益率
10080

NPW （億円）

6040

投資利益率IRR 0.1062

20000.05

0.1

0.15

0.2-20-40

利率 i

この例題では、i=0.105 付近で正味現価 NPW は 0 に近い値になる。
（正確には i=0.1062）NPW が０になるときの利率 i を、投資利益率または内部収益率（Interest rate of return, または internal rate of return, IRR）と呼ぶ。
IRR が大きいほど、厳しい割引率でも利益を出す。すなわち、経済性が良い投資と言える。

20