受検番号 第 番■■■

令和3年度学力検査問題

数学

(10時
3浦洲
芦
25分）

〔学校選択問題〕

一己心

注l解答用紙について(1)解答用紙は1枚で．問題用紙にはさんであります。

（2）係の先生の指示に従って，所定の欄2か所に受検番号を書きなさい。
（3）答えはすべて解答用紙のきめられたところに，はっきりと書きなさい。
（4）解答用紙は切りはなしてはいけません。

（5）解答用紙の難印は集計のためのもので、解答には関係ありません。
2問題用紙について(1)表紙の所定の欄に受検番号を禅きなさい。
（2）問題は全部で5間あり，表紙を除いて6ページです。
3別紙について(1)別紙は1枚で．問題用紙にはさんであります。

（2）所定の欄に受検番号を書きなさい。
（3）この別紙は．計算したり，図をかいたりする場合に使ってかまいません。
4解答について答えに根号を含む場合は．根号をつけたままで答えなさい。

○印刷のはっきりしないところは，手をあげて係の先生に聞きなさい。

次の各間に答えなさい。（44点）(14躯一J2−（2韮−3〃）を計算しなさい。（4点）(2)〃＝3＋ す,〃＝3−妬のとき，工2−6工十〃'‑6*の値を求めなさい。(4点）(3)2次方程式(2a:+l)2‑7(2x+l)=0を解きなさい。(4点(4)m数〃=ax'‑について，露の変域が−2≦z≦3のとき，〃の変域は−36≦〃≦Oとなりました。このとき，αの値を求めなさい。（4点）(5)地球の直径は約12700kmです。有効数字が1,2,7であるとして，この距離を整数部分力けたの数と.10の何乗かの職の形で表すと次のようになります｡[ ﾗ司と「ﾌ7−]にあてはまる数を書きなさい。（4点）｢ﾗ司×10ロコkm(6)右の表は，あるクラスの生徒40人の休日の学習時間を学習時間(時間）２４６８０ １０２４６８

度数分布表に表したものです。このクラスの休日の学習度数(人）

時間の中央値(メジアン)が含まれる階級の相対度数を求めなさい。（4点）−一一一一

以 上 未 満合計

(7)右の図は立方体の展開図です。これを組み立てて立方体

A121441Iをつくったとき，辺ABとねじれの位置になる辺を，次のCアーエの中から1つ選び，その記号を書きなさい。（4点）
K

ア辺CGイ辺JMウ辺LM工辺KⅨ

GL M N−1−

(8)ある高校の昨年度の全校生徒数は500人でした。今年度は昨年度と比べて，市内在住の生徒数が20％減り，市外在住の生徒数が30％増えましたが，全校生徒数は昨年度と同じ人数でした。
今年度の市内在住の生徒数を求めなさい。（5点）(9)赤玉3個と白玉2個が入っている袋があります。この袋から玉を1個取り出して色を確認して，それを袋に戻してから，もう一度玉を1個取り出して色を確認します。このとき，2回とも同じ色の玉が出る確率を求めなさい。

ただし，袋の中は見えないものとし，どの玉が出ることも同様に確からしいものとします。
（5点）(io)Aさんは，同じ大きさの7本の筒を図lのように並べてひもで束ねようとしましたが．ひもの長さが足りませんでした。そこで，図2のように並べかえたところ，ひもで束ねることができました。必要なひもの長さの違いに興味をもったAさんは，筒を並べてその周りにひもを巻いたものを上からみた様子を．下のア。イのように模式的に表しました。

円の半径をﾉ‑cm,円周率を汀とするとき，アとイのひもの長さの差を，途中の説明も書いて求めなさい。その際，解答用紙の図を用いて説明してもよいものとします。
ただし，必要なひもの長さはl周だけ巻いたときの岐も短い長さとし．ひもの太さや結び目については考えないものとします。（6点）

図1

図2
一ーイア

ノーCIT'･cnl−2−匿へ

二次の各問に答えなさい。(11点）(1)下の図のように，直線′と直線〃上にない2点A,Bがあり，この2点を通る直線を〃Jとします。直線〃と直線"2からの距離が等しくなる点のうち，2点A,Bから等しい距離にある点をPとするとき，点Pをコンパスと定規を使って作図しなさい。

ただし，作図するためにかいた線は，消さないでおきなさい。（5点）〃〃1(21右の図でⅢ線は関数〃=号鍾,のグﾗﾌです。曲線上に工座標が−3．2である2点

A,Bをとり，この2点を通る直線をひきます。直線 とZililllとの交点をCとするとき，ｌ抑︑AAOCを勿軸を軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

ただし，円周率は冗とし，座標軸の単位の長さを1cmとします。(6点）
工−3−

︵一三一一︶次は.Aさんが授業｢fに発表している場面の一部です。これを読んで，下の各問に答えなさい。
(12点）

次の表は，式3x+5について,xにlから順に自然数を代入したときの3x+5の値を表したものです。

､Z23x+1

11d214 17 （79223 （29 321C1135 38

● ● ●

● ● ●

この表をみて私が気づいたことは，Xに1.5,9を代入したときの値が.4の倍数になっていることです。
lも5も9も，4で割るとl余る自然数であることから，3x+5の.rに．4で割るとl余る自然数を代入すると.3x+5の値は4の倍数になる。と予想しました。

(1)下線部の予想が正しいことを証明しなさい。その際，「〃を0以上の雛数とすると,」に続けて書きなさい。（6点）(2)この発表を聞いて.BさんとCさんはそれぞれ次のような予想をしました｡【Bさんの予想】，【Cさんの予想】の内容が正しいとき，正〜「弓司にあてはまる1けたの自然数をそれぞれ書きなさい。（6点）【Bさんの予想】3鍾十5の.rに.「ﾗ司で割ると ｢ﾌ了司余る自然数を代入すると．
3x+5の値は7の倍数になる。

【cさんの予想】
3x+5のXに自然数を代入したときの値を.3で割ると余りは2になり，（3廼十5)2の.rに自然数を代入したときの値を.3で割ると余りは[ 弓司になる。

−4−

4

右の図lのように,AABCの辺AB上に，

A一一一ZABC=ZACDとなる点Dをとります。

I4cmノ

また.ZBCDの二等分線と辺ABとの交点

ノ〃〃をEとします。AD=4cm・AC=6cmで〃，あるとき，次の各問に答えなさい。(16点）、E(1)線分BEの長さを求めなさい。(5点）〃〃

BC

図1(2)右の図2のように,ZBACの二等分線とA
１ １一一一１

辺BCとの交点をF,線分AFと線分EC.DC〆△■ひ９口︑︒■■・・■■ロー■一■■c、4cm
グとの交点をそれぞれG.Hとします。

ノ

このとき．△ADHと△ACFが相似で，あることを証明しなさい。（6点）

6cI、EノHノノノG

Ｆ図B

C一ｍ一夕毎﹈(3)図2において,AABCの面積が18cm*であるとき.AGFCの面職を求めなさい。(5点）−5−

5右の図のような,AB=BC=5cm.CD=2cm,，

C

DA=4cm.ZA=ZD=90°の台形ABCDがあります。

点Pは点Aを出発して，辺AB上を毎秒1cmの速さで動き，点Bに到着すると止まります。また，

Q

点Qは点Aを出発して，辺AD.DC.CB上を順に毎秒1cmの速さで動き，点Bに到着すると止まり

A ^ P

Bます。

2点P.Qが点Aを同時に出発してからX秒後のAAPQの面穣を〃cm*とするとき，次の各問に答えなさい。（17点）(1)点Qが点りに到着するまでの工と〃の関係を式で表しなさい。また，そのときのzの変域を求めなさい。（5点）(2)AAPQと△AQCの面穣比が3:1になるときのXの値をすべて求めなさい。(6点）(3)AAPQの而祇が台形ABCDの面秋の半分になるときのJrの値を，途中の説明も書いてすべて求めなさい。（6点）(以上で問題は終わりです｡）
−6−

︾争
零寺
●
●
◆
■
隼
１●−ゆ︾
●■ｅ●
■

数学〔学校選択問題〕

数学〔学校選択問題〕

解答用紙（1）
(3)

(2)
ロ(1)

解答．用紙（2）０ｇＧＧ０●●●●ＤＤＧ

3(1)*(証明）〃を0以上の整数とすると
垂＝(6),(5)画(4)馴アα弓イ(9)

(8)
画(7)
ヨ(2)
厩人アイウ

⑩画(脱明）

4ア(1)‑● ● ｡ ▲ 凸 一

BE＝c、(2)
編
(証明）

(3)
蜜
cm一答 え c 、

25(1)
蜜

(1)

i
…
…
…
…
.
.
：

:.．｡.●●◆｡｡。◆・・・・(2)(ェの変域I
工二＝

y＝.
…
…
…
.
.
…
！

(3)
轡(説明）

■ＦＦＦ●″□．．例

2の計2の計(2)
蕊
CIr

受検番号

第 制

得とβ66》

受検番号

第 荊

解答用紙

答え．z'二

令
問

和３年

題

度

採点の正手

引 （ 数答学 〔学校選択問題〕）
配(１ )

５y
２４(２ )－８４

１，３２４x ＝－

(３ )
(４ )
ア1.27採 点 上 の 注 意問３４a ＝－４(５ )点

イ４４(６ )

0.35４(７ )ウ４(８ )

240(９ )

1325

１４４（ア右の図で，曲線部分の長 さ の 和 は と も に ２ π r cmで等しいので，アとイのひもの長さの差は，直線部分の差になる。
したがって，その差は
２ r ×７－２ r ×６＝２ r（答え）

２r（cm）

図に示すことで，説明の一部を省略したものも，正答とする。
内容に応じて部分点を認める。

２r２r

イ６４(２ )

ア７(１ )（ＢＥ＝）

イ３

ウ３（１cm点

採 点 上 の 注 意
要点をおさえ，論理の筋道がとおっているもの
は，正答とする。
内容に応じて部分点を認める。

６１２６）５（ 証明 ）（ 例 ）△ＡＤＨと△ＡＣＦにおいて，仮 定 か ら ， ∠ Ｄ Ａ Ｈ ＝ ∠ Ｃ Ａ Ｆ ････････①△ＢＣＤにおいて，外角はそのとなりにない２つの内角の和に等しいので，∠ Ａ Ｄ Ｈ ＝ ∠ Ｄ Ｂ Ｃ ＋ ∠ Ｄ Ｃ Ｂ ･･････②
また，(２ )∠ Ａ Ｃ Ｆ ＝ ∠ Ａ Ｃ Ｄ ＋ ∠ Ｄ Ｃ Ｂ ･･････③
仮定から，∠ Ｄ Ｂ Ｃ ＝ ∠ Ａ Ｃ Ｄ ････････････････④②，③，④から，∠ Ａ Ｄ Ｈ ＝ ∠ Ａ Ｃ Ｆ ････････････････⑤

要点をおさえ，論理の筋道がとおっているもの
は，正答とする。
内容に応じて部分点を認める。

６１６△ＡＤＨ∽△ＡＣＦ
内容に応じて部分点を認める。

Ａ(１ )
５81π
２（cm３ ）

６５（５y＝１ ２x
２x＝(２ )

１１Ｐ６(３ )ℓm(２ )

配①，⑤から，２組の角がそれぞれ等しいの で ，Ｂ(１ )答（ 例）（ 証明 ）（n を０以上の整数とすると，）４で割ると１余る自然数は４ n ＋１となる。
これを３ x ＋５の x に代入すると，３ (４ n ＋ １ )＋ ５ ＝ 12n ＋ ８(１ )＝ ４ (３ n ＋ ２ )３ n ＋ ２ は 整 数 だ か ら ， ４ (３ n ＋ ２ )は４の倍数である。
し たが っ て ， ３ x ＋ ５ の x に ， ４ で 割 る と１余る自然数を代入すると，３ x ＋５の値は４の倍数になる。

）（例 ）２正５５（ 説明 ）（ 例 ）(10)

人題cm２ ）

（ x の変域）０≦ x ≦４５９29２， ４６（例）（ 説明 ）
台形ＡＢＣＤの面積の半分は７cm２
点Ｑが辺ＡＤ上にあるとき，０≦ x ≦４なので，
１ ２x ＝７ から， x ＝± 14２
問題にあっているのは x ＝ 14点Ｑが辺ＤＣ上にあるとき，y ＝７にはならない。
(３ )点Ｑが辺ＣＢ上にあるとき，６≦ x ≦11 であり，
点Ｑから辺ＡＢにひいた垂線の長さを h とすると，
１14２ × h ×５＝７ から h ＝ ５７
h：ＱＢ＝４：５ なので，ＱＢ＝ ２
よって，x ＝ＡＤ＋ＤＣ＋ＣＢ－ＱＢ＝ 15２
したがって， x ＝ 14 ，15 （ 答 え ） x ＝ 14 ，15点合｢０＜ x＜４｣なども 正答とする 。

内容に応じて部分点を認める。

１７
６

２

２

配５

計１００