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臣書評溺

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Kluwer Academic Pubiishers2000年498頁

ORの応用分野では，確率過程としてモデル化されして，維散事象システムの動作をモデル化するためにるシステムが多い。例えば，待ち行列，信頼性モデル，使われていたPetriネットに，状態推移に要する有限計算機や通信ネットワークのモデル等である。これら

時間と推移先の確率的選択の要素を加えて，確率的のシステムの性能を評価する方法にはり 大きく分けて，Petriネットが80年代初めに提案された勘 Petriネッ

解析的方法9 数値計算，モンテカルロシミュレーショ

トはlさ射こよる表示に過しているので，今では，確率的ンの3つがあり，それぞれ長所と短所がある。本書が‡）etriネットのモデルを，パソコンの画面上でアイコ対象とする数値計算法は，定式化は解析的方法と同様ン操作により作成できるツールがある。ユーザがこれに行うが，方程式を数式を用いて解くのではなく，数を周いてモデルを作ると，ソフトウェアがそれを値的に解く方法である。従って，数式では解が得られMarkov速報に変換し，状態推移確率を計算する。本ない場合でも数値解が得られ，また，計算時間はシミ

廣では，確率的Petriネットのツールに実装されていュレーションよりも少なくり 解は正確である。短所は，るアルゴリズムや計算の複雑性を減少させる方法等が定式化されたシステムの状態の数が大きくなると，盲汁説明されている。

算時間と記憶城量の制約から，使えなくなることであ3．Transient Solutions for Markov Chains（E。

る。このときは，シミュレーションに訴えるしかない。

deSouzaeSilvaandH．R。Gaii，37ページ）

本書は，応用確率論の分野において顕著な研究実績

この章では，Markov連鎖の時間に依存する解（非のあるよく知られた研究者が各章の執筆を担当し，全定常解）と，時間に依存する報酬。費用や利用可能体として，離散事象の確率過程の数値計算法に関する性め信根性の評価方法の理論が説明されている。数値

最前線の研究成果が概観できるように，編成されてい計算法や数値例は示されていない。

る8 以下では，各章の内容を簡単に紹介し，最後に私

4小 NumericalMethods for Computing Station−

ary Distributions of Finite Irreducible

見を述べる

MarkovChains（W．J，Stewart，31ページ）
1。ComputatiomalProbability：Challenges andL，imitations（W．K．Grassmann，9ページ）
この章では，本書の編者自身が，数式をほとんど使本章と次章は，有限個の状態をもつMarkov連鎖の定常解の数値計算法に関するものである。有限Markov連鎖の定常解は，状態の数と同数の線形連立わずに，上述のような計算確率論の概略と課題を述べ方程式の解として求められる♭ 従って，状態数が少なている。特に，並列に動作が起こるシステムのMar−

ければ，Gaussの掃き出し法等の直接法で簡単に解け

kovモデルにおいては9 状態の数が状態変数の数ととる。しかし，状態数が多くなると，反復法が速く解をもに指数関数的に増えるので（次元の呪い），状態間出す。本革では，直接法と反復法を，アルゴリズムをの推移確率の計算，それらの記憶，及び状態確率やシ示して，詳しく説明している。更に，大きな状態空間

ステムの性能の計算が困難になることを指摘している。

があまり相互作用のないいくつかの部分空間に分割で2。TooIs for Formulating Markov Models（G．とが多い）に適用できる分割法について述べている。

Ciardo9 31ページ）

Markov連鎖としてモデル化される離散事象システ
ムの数値解析のためには，状態間の推移確率が必要である。しかし，扱うシステムが少し複雑になると，推移確率を求めることが容易でなくなる。その解決策と函謬選（50）

きるとき（複合システムのモテリレでは，そのようなこ

5．Stochastic Automata Networks（B。PlateauandW．］u Stewart，39ページ）
並列システムや分散システムのMarkovモデルでは，推移確率行列は斑積の形をとることが多いので，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ8リサーチ

この性質を利用して，計算時問と記憶城量を減らすこModels（J．Abate，G．L．Choudhury，and Wとができる．本章では，これを，緩く結合した確率オ

Whitt，67ページ）

ートマトン綱として定式化し，それを解析するための従来の確率過程の解析では，離散的確率変数の分布テンソル代数が説明されている．簡単な応用例として，はz変換し，連続的確率変数の分布はLaplace変換

資源共有問題，ブロッキングと優先処理のある待ち行して，それらの変換量を求めることで，問題が解けた列が示されている．反復法により定常解を計算するととされた．しかし，変換量からは確率分布は分からなきの計算時間と記憶城量に対する考察が述べられていいので（Laplaceのカーテン），逆変換が必要である．

る．

数値計算による逆変換法を最近大きく発展させたのは，本章の著者のWhittと彼のグループである．本章で6．MatrixAnalyticMethods（W．K．GrassmannandD．AStanford，51ページ）

は，待ち行列の解析に現れる多くの実例とともに，Z

本章と次章は，無限個の状態をもつMarkov連鎖変換及びLaplace変換の逆変換法が説明されている．の定常解の数値計算法に関するものである．本章では，閉じた待ち行列綱の規格化定数を多次元z変換によGI／M／1型，M／G／1型，及びGI／G／1型の確率過程って求め，その道変換を行う方法は独創的である．の定常確率を，行列解析法により計算する方法を説明している．GI／M／1型の過程とは，GI／M／1待ち行列の隠れMarkov連鎖と同じ推移確率行列の構造（下9．OptimalControlofMarkovChains（S．Stidham，Jr．，39ページ）

本章は，Markov決定過程によるシステムの最適制方Hessenberg行列）をもち，その要素が行列で与え御の方法を述べている．標準的な理論と理論的応用が，られるものである．同様に，M／G／1型の過程とは推アルゴリズムとともに示されているが，数値例とか，移確率行列が上方Hessenberg行列の形で，その要素数値計算上の注意には言及がない．

が行列で与えられるものである．これらの過程の解析

10．On NumericalComputations of Some Dis−

方法には，行列解析法と固有値法の2つがある．行列

Crete−Time Queues（M．L．Chaudhry，44ペ

解析法は，Wallaceが提案し（1969），その後Neutsージ）と彼のグループが大きく発展させたものである．本章

本章は，離散時間待ち行列であるGeom／G／1とでは，GI／M／1型及びM／G／1型過程に対するNeuts

GI／G／1モデルについて，待ち行列の長さと待ち時間の理論を示した後，数値計算法を，アルゴリズムを示の分布を実際に計算している．これらの分布は，まずして，詳しく説明している．

解析的にz変換として得られ，数値的に求められる

7・Use of Characteristic Roots for Solving その分母の零点を用いた部分分数展開から，逆変換にInfiniteStateMarkovChains（H．R，Gail，S．
より得られる．複素平面上で，分母の零点の位置が図L．Hantler，andB．A．Taylor，51ページ）

本章は，GI／M／1型及びM／G／1型Markov過程を示されている．

11・The Product Form Toolfor Queueing Neト

解くためのもう1つの方法である固有値法を説明してworks（N．M．vanDijkandW．K．Grassmann，いる．これらの過程の定常確率に対する連立方程式を，35ページ）

確率母関数に変換して解くと，解が分数式となり，分

本章は，いわゆるJackson型の積形式解をもつ待子にいくつかの未定係数があり，分母が既知の関数のち行列綱への入門的記述である．待ち行列綱が横形式式になることが多い．このとき，複素平面上の単位円解をもつための条件が，局所平衡方程式により説明さの内部にある分母の零点から分子の係数を決定する．

れ，有限容量待ち行列綱ではこの条件が満たされない

分母の零点の数は，Rouch∈の定理等を適用して見つことが示される．積形式解が厳密には存在しない場合ける．本章では，このような手順の説明に続いて，零でも，近似や上界として使える例が挙げられている．

点が重複する場合の扱い方，対応する分子の係数に関閉じた待ち行列綱の数値計算に有効な平均値解析する連立方程式の線形独立性，零点とMarkov連鎖（meanvalueanalysis，MVA）等の数値計算アルゴリの再帰性との関連等が論じられる．但し，実際に分母ズムの説明はない．の零点を求める方法は示されていない．

12・TechniquesforSystemDependabilityEvalua−

8．AnIntroduction to NumericalTransform
Inversion and Its Application to Probability
2000年12月号

tion（J．K．Muppala，R．M，Fricks，andK．
Trivedi，35ページ）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（51）673

本章では，複数の構成要素から成るシステムの信頼待ち行列理論，数値計算法の一般的知識と，システム性と利用可能性に関する性能指標を評価するための理の性能解析の経験があれば，本書の内容と価値がよく論モデルが，信頼性理論とMarkov再生過程の理論理解できると思われる。

を基にして，構築されている。更に，それを相互接続

昨今は，システムの性能評価を安易にモンテカルロされたmAN 綱の信頼性評価へ応用した例が示されてシミェ．レ㌧−ションで行なった論文が多い。その理蘭は，

い左現実に近いシステムの動作は複雑でありタ 解析または数値計算は，その基になる定式化ができないか，でき

本書の各章は，まれに相互参照があるものの，ほぼるとしても多くの精密な考察を要するので，研究成果独立したサーーーヾイになっている。実際の数値計算に直をタイムリ偏に発表できないからである。一方，シミちに使えるアルゴリズムや参考になる実例を挙げていュレ叫ションは，グラフィックスを利用したモデル入る度合いはタ 著者の個性を反映して，各章で異なる．

力と結果の表示や，実行制御と統計処理の自動化を備

各章末には，豊富な参考文献が挙げられており，それえたソフトウェアバッケ…ジが多く開発されて，計算ぞれの方法を更に詳しく知りたい読者にとって，非常機能力の南北とともに，ますます使い易くなっている。に役立つ。

しかしながら，本書に示されたような堅実な方法論の本書は，応用確率論の分野，特に待ち行列理論や信頼性理論の研究者，及び少し進んだ大学院生の参考書研究の績み養ねが，科学技術を推進する基礎であることを銘記すべきである。

（筑波大学 高木英明）

として推薦できる印 予備知識として，Markov過程，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

6謬魔（52）

オペレーションズ。リサーチ