特 集

現 代 代 数 学 の 深 化 と 広 が り

楕円曲線のさまざまな側面
東京理科大学 創域理工学部 数理科学科 講師

代数学のうち代数幾何学は，代数的に定義される図形の性質を調べる分野ですが，代数学だけを使うわけ

まつもと

松本

ゆう や雄也

・1 つの成分からなり，y＞0 の部分は単調増加ではない．
（例【図 3】：y2=x3−2x+2）

ではなく，数学の様々な分野と交差・連携します．本

楕円曲線の著しい性質は「加法」が自然に定義され稿では代数幾何学の基本的かつ奥の深い対象である楕ることである．P1,P2∈E(R) に対し，その 2 点の和円曲線を軸に，いろいろな分野との関連を見ていこう

P1⊕P2 を以下のように定める．
・P1=(x1,y1),P2=(x2,y2) が 相 異 な る 点 で，2 点 をと思います．
なお，本特集の吉川氏の記事では楕円曲線の整数論通 る 直 線 L が y 軸 に 平 行 で な い 場 合：L の 方的側面が扱われますので，合わせてお読みいただけれ

程 式 を y=cx+d と 書 く と，連 立 方 程 式 y2=ば幸いです．

x3+ax+b，y=cx+d から y を消去して得られる 3 次方程式は重複度を込めて 3 つの実数解

1

R 上の楕円曲線

x=x1,x2,x3 を も つ（な お，x3 が x1 や x2 と 一 致する可能性もある）．y3=cx3+d とおくと (x3,y3)

R で実数全体の集合を表す．

∈E(R)∩L で あ る．こ れ を 用 い て P1⊕P2:=

a,b∈R に対し∆:=−4a −27b とおく．以下，a,b32は∆≠0 を満たすと仮定する．

(x3,−y3) とする（y3 にマイナスがついている点に注意）．

E(R):={(x,y)∈R |y =x +ax+b}∪{O} とおく．

・P1=P2=(x1,y1) か つ y1≠0 の 場 合：L と し て E

ただし O は「無限遠点」であり，R の点ではなく，の P1 における接線を考え（これは y 軸と平行にその外にあるものとする．このような図形を楕円曲線ならない），以下は前項と同様にする．

2232・P1 と P2 が相異なる点で，2 点を通る直線 L が y（elliptic curve）という．
この曲線（無限遠点以外の部分）は x 軸に関し線対称であり，概形は次のいずれかになる．の交点は無限遠点だと考える）．

・2 つ の 成 分 か ら な る．有 界 で な い 方 の 成 分 の・P1=P2=(x1,y1) か つ y1=0 の 場 合：L と し て E

y ＞0 の 部 分 は 単 調 増 加 で あ る．
（例【図 1】：の P1 における接線を考えると y 軸と平行になる

23y =x −x）
・1 つの成分からなり，y＞0 の部分は単調増加である．
（例【図 2】：y =x +x−2）
23【図 1】楕円曲線 y2=x3–x8軸 に 平 行 で あ る 場 合：P1⊕P2=O と す る（第 3特集

現代代数学の深化と広がり【図 2】楕円曲線 y2=x3+x–2ので，前項と同様に P1⊕P2=O とする．
・P1⊕O=P1，O⊕P2=P2，O⊕O=O とする．
こ の 加 法 は 様 々 な 性 質 を 満 た す．例 え ば，O は【図 3】楕円曲線 y2=x3–2x+2

「ゼ ロ」の 役 割 を 果 た し，ま た 各 元 の「マ イ ナ ス 1倍」が存在する（具体的には，P=(x,y) のマイナス 1 倍
は −P =( x , −y ) である ）．

結合法

則（(P⊕Q)⊕R=P⊕(Q⊕R) が成り立つということ）の証

明が実は難しいがここでは立ち入らない．E(R) はこの加法に関してアーベル群（abelian group）をなす．
ここまでの話は，方程式の係数 a,b や点の座標 x,yとして実数を考えてきたが，じつは実数でなくてもよい。より広く複素数で考えることもできるし，あるいは有理数の範囲に限定して考えることもできる．次節
以降では考える領域をいろいろ変えて楕円曲線の様々な側面を見ていく．

2Q 上の楕円曲線と有理点
Q で有理数全体の集合を表し，Z で整数全体の集合【図 4】楕円曲線 y2=x3−43x+166を表す．
a,b∈Q と し，前 節 と 同 様 に∆:=−4a3−27b2 と 定（ただし，証明はかなり難しい）．

める．∆≠0 が成り立つと仮定する．
E(Q):={(x,y)∈Q |y =x +ax+b}∪{O} とおく．
223

E(Q) の点を有理点（rational point）とよぶ．前節

以下では有限位数でない点も含めて考える．E(Q)は無限集合である場合もあるが，次の Mordell の定理が知られている．
定理．有限個の点 P1,...,Pn∈E(Q) が存在して次がと 同 じ よ う に E(Q) の 2 点 の 和 を 定 め る と，和 もE(Q) の元になる．このことから E(Q) もアーベル群成立する：任意の Q∈E(Q) は，P1,...,Pn から足し算になる．

（と引き算）を繰り返して作ることができる．

このことを，E(Q) は有限生成（finitely generat-

以下，m 個の P の和を mP と書くことにする．
例：y =x −43x+166 に お い て，P=(3,8) と お くed）なアーベル群である，という．n の値が E によと，2P=(−5,−16),3P=(11,−32),4P=(11,32),5P=らない定数で抑えられるか，それともいくらでも大き(−5,16),6P=(3,−8) となり，7P は O になる（【図 4】くなりうるのかは知られていない．いくらでも大きい

参照：P での接線が青い直線で，楕円曲線とのもう 1ものが存在すると予想されていると聞いたこともある

つの交点は −2P である，P と 2P を結ぶ直線が橙色

が，限界があることを示唆する議論もあると（比較的の直線であるなど）．

最近）聞いたことがある．現時点での記録としては，

23

あ る 正 整 数 m≥1 に 対 し て mP=O と な る 点 P∈E(Q) を有限位数（finite order）であるという（例n≥28 を必要とする例が Elkies により発見されている．

えば，直前の例での P は 7P=O を満たすので有限位数である）．そのような点について，Lutz-Nagell の定理が知られている：
定 理．a,b∈Z で，P=(x,y)∈E(Q) が 有 限 位 数 の

3

C 上の楕円曲線と楕円関数
sin : R→R は周期 2π をもち (sin(x+2π)=sin(x))，

点ならば，x,y∈Z であり，y は∆の約数または 0 でC （無限回微分可能）である．とくに連続であり，連ある．

続かつ周期的なので有界である．

2∞系として，E(Q) の有限位数の点は高々有限個であC で複素数全体の集合を表す．sin の複素関数版をることも分かる（なぜならば，∆の約数または 0 であるこ考える．実は，次を満たす関数 sin : C→C がただ一とから y 座標は有限通りに絞られ，y 座標を決めると x 座標つ存在することが知られている．

は有限通り（高々 3 通り）しかないので）．

より強い結果として，Mazur の定理によると有限位数の有理点は 16 個以下であることが知られている・定義域を R に制限すると（ご存じの）正弦関数
sin に一致する．
・各 z∈C に対して，h が複素数として 0 に近づく
理大科学フォーラム

2024（4）

9ときの極限 lim sin(z+h)−sin z が存在する．
h→0h
この（複素数の意味での）微分ができる関数を正則に送り，Λ の点は E(C) の無限遠点 O に送ることに関数（holomorphic function）という．

より定める．

写像 Φ : C→E(C) を，C＼Λ の点 z は（℘(z),℘' (z)）

この関数も周期 2π をもつ (sin(z+2π)=sin(z)) が，虚数方向の周期はない．また，有界ではない．
次のような二重周期関数（doubly periodic function）f : C→C は存在するか？という問題を考える．

ここで 0,1,τ,1+τ を頂点とする平行四辺形を考え，向かい合う辺同士を張り合わせることで C/Λ という複素トーラスを作る．（より数学者好みの言い方をすれば，差が Λ の元であるような C の 2 元は同一視するという同値

・f は正則である．

関係による商集合をとる．
）℘ 関数の周期性から，張り・f は 1 および虚数 τ を周期にもつ．

合わされる点は Φ で同じ点へ行くので，Φ は C/Λ か

そのような f は（連続かつ周期的なので）有界になるら E(C) への写像を定め，しかもこれは全単射（一対が，有界な正則関数は定数関数しか存在しないという一対応）になる．したがって，この写像を通して複素複素解析学の Liouville の定理から，そのような f はトーラスを C 上の楕円曲線と同一視することができ定数関数しか存在しないことが分かる．

る．

そこで，C 全体で定義された正則関数という条件

この同一視を通して，複素トーラスに関する複素幾を 少 し 緩 め る こ と に す る．τ を 虚 数 と し，Λ=何的・複素解析的な問題を楕円曲線の代数的な問題と{m+nτ|m,n∈Z} とおく（このような集合を格子（lat-捉え直して考えることも，その逆もできることになり，tice）とよぶ）．このとき，Λ の補集合 C ＼ Λ から C

考え方の幅が広がる．

への関数 ℘ で次を満たすものがただ一つ存在するこ

ちなみに，トポロジー的には C/Λ は 2 次元トーラとが知られている．これをワイエルシュトラスの ℘ス，あ る い は 種 数 1 の 閉 曲 面 と よ ば れ る 図 形 に な関数（Weierstrass℘-function）という（「ペー関数」

る：これはいわゆるドーナツ型であり，いわゆる 1と読む）．

人乗りの浮き輪の形でもある．

・℘ は（C ＼ Λ 上の）正則関数である．
・℘ は ℘(z)=℘(z+1)=℘(z+τ) を満たす．言い換 え る と，任 意 の ω∈Λ に 対 し て ℘(z)=4有限体上の楕円曲線℘(z+ω) を満たす．（このことを，℘ は Λ を周

まず「有限体」について述べる．p を素数とする．

期にもつという．）
1・℘(z)− 2 は z=0 の近傍上の正則関数である．
z
最 後 の 条 件 は，℘(z) が z=0 で 2 位 の 極（pole）

Fp:={0,1,...,p−1} と す る．Fp の 2 元 の 和 ・ 差 ・ 積
を，整数としての和・差・積を p で割った余りとして定める．すると 0 以外の元による割り算が（掛け算をもつことを意味する．このことと周期性から，Λの逆演算として）定義できる．このように四則演算がの各点でも同様に 2 位の極をもつ．

で き る 集 合 の こ と を 体（た い）（field）と い う．

℘ のように，極以外で正則な二重周期関数を楕円Q,R,C も体である．Fp は有限集合でもあるので有限関数（elliptic function）という．歴史的には，楕円体（finite field）という．（Fp についても，数学者好みの弧長を求める積分を楕円積分といい，その逆関数との定義は，{0,1,...,p−1} ではなく，Z の適切な同値関係にして楕円関数が導入された．（比較：円の弧長は逆三角よる商集合（剰余環）とするものである．
）

関数により求められ，その逆関数である三角関数は周期関数

Fp に お い て は 1+···+1=0（左 辺 は p 個 の 1 の 和）が成り立つ．このことを標数 p という，これに対しである．）

実は ℘ 関数と楕円曲線には密接な関係がある．詳て R や C などは標数 0 という．標数 p は一見怪しい

細は省略するが，ある（τ に依存して定まる）複素数

世界に見えるが，代数幾何学の多くの部分は標数 pg2,g3∈C に 対 し て ℘' (z) =4℘(z) −g2℘(z)−g3=0の場合でも標数 0 の場合と同様に展開できる．

23が成り立つことが知られている（℘' は℘ の微分）．

p を素数とする．都合により p≥3 と仮定しておく．

し た が っ て，y =4x −g2x−g3 で 定 ま る 楕 円 曲 線 を（本当は p=2 の場合も扱えるが，式が煩雑になるのを避けE(C) とおくと，（℘(z),℘' (z)）は E(C) の点になっる）a,b は整数で，∆が p で割れないものとする．

23ていることが分かる．（x の係数が 4 なので本稿で述べE(Fp):={(x,y)∈Fp2|−y2+x3+ax+b は p で 割 りた楕円曲線の定義とは厳密には異なるが，簡単な変数変換できれる }∪{O} とおく．このような Fp 上の楕円曲線この係数を消すことができるので気にしなくてよい．）にも 1 節と同様に加法を定義できる．この場合直線310特集

現代代数学の深化と広がり

とは，c,d,e∈Fp（c,d の少なくとも一方は 0 と異ないう関係が定義されるのだが，超特異楕円曲線の間のる）を 用 い て，L={(x,y)∈Fp |cx+dy+e は p で 割同種関係を用いた暗号プロトコルもある．

2

りきれる } と書ける集合である．

E(Fp) の点の和を計算する際には，「0＜n＜p を満標数 p の楕円曲線の中には，標数 0 の楕円曲線でたす整数 n に対し，mn が p で割って 1 余る整数 mは起こらない性質をもつものがある．それらを超特異をみつける」という操作を頻繁に行うことになる（m（supersingular）であるといい，そうでないものをが Fp に お け る「n 分 の 1」で あ る）．こ れ に は（p と n通常（ordinary）であるという．超特異の同値な定に対して）ユークリッドの互除法を使う．p が素数な義（特徴づけ）がいくつかある．比較的少ない前提知らば，p と n は互いに素でありそのような m は必ず識で説明できるものとして次がある．

存在する．もし p が素数でなく，p と n が互いに素・End(E) を，E か ら E へ の“正 則 な”写 像 で Oでないときは，ユークリッドの互除法により最大公約を O にうつすもの全体の集合とする．End(E)数（≠1）がみつかる．これを逆手にとって，素数での元は合成することができる．f,g∈End(E) でないことは分かっているが非自明な約数が知られていf◦g≠g◦f を 満 た す も の が 存 在 す る と き，ない整数 p に対して，“E(Fp) の点の和”をひたすらEnd(E) は 非 可 換（non-commutative）で あ る

計 算 す る こ と で 非 自 明 な 約 数 を み つ け る，と い うという．End(E) が非可換であるとき E を超特

Lenstra の素因数分解アルゴリズムが知られている．

異であるという．
・|E(Fp)|−1 が p で割りきれるとき，E を超特異であるという．
・E(Fp) は x,y 座標が Fp に属する点のみを考えてい る が，よ り 大 き い 領 域 ま で 広 げ て 考 え，pP=O を満たす点 P≠O が存在しないとき E を超特異であるという．
例を挙げる．y =x −x が定める楕円曲線 E は（∆=423参考文献

・Joseph H. Silverman and John T. Tate, Rational points on elliptic curves,2nd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, Cham, 2015.
足立恒雄，木田雅成，小松啓一，田谷久雄（訳），楕円曲線論
入門，丸善出版，2012．
・Joseph H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts inMathematics, vol. 106, Springer-Verlag, New York, 1986. 鈴 木 治 郎（訳），楕円曲線の数論，共立出版，2023．

なので）2 以外のすべての素数 p に対する Fp 上の楕円曲線と考えられる．p が 4 で割って 1 余る素数のときは通常であり，4 で割って 3 余る素数のときは超特異であることが知られている．ただし，通常と超特異をこのように簡単に判別できる楕円曲線はむしろ例外的である．
楕円曲線だけでなく，より高次元の（正標数の）代数多様体についても，「通常」や「超特異」などの概念が定義されることがある．私は主に正標数の超特異K3 曲面を研究しております．

5

有限体上の楕円曲線の応用
E(Fp) の点およびその加法は整数だけで表現できる

ので，コンピュータで実装でき，数々の応用がある．
E(Fp) の点 P と正整数 m に対して，mP(m 個の Pの和）を計算することは難しくない．一方で，2 点
P,Q が与えられたときに，Q=mP を満たす正整数 mを見つけることは難しい．（一般に，アーベル群に対するこのような問題を離散対数問題（discrete logarithm）という．）このことを利用した暗号プロトコルがある．

また，2 つの楕円曲線の間に同種（isogenous）と理大

科学フォーラム

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