（ 3 −戸）

数

3

学
注

1

問題は意

1 から 4 までで， 7 ページにわたって印刷してあります。

また，解答用紙は両面に印刷してあります。
2

検査時間は 50 分で，終わりは午前 11 時 10 分です。

3

声を出して読んではいけません。

4

解答は全て解答用紙にＨＢ又はＢの鉛筆（シャープペンシルも可）を使って明確に記入し，解答用紙だけを提出しなさい。

5

答えに根号が含まれるときは，根号を付けたまま，分母に根号を含まない形で表しなさい。また，根号の中を最も小さい自然数にしなさい。

6

答えは，解答用紙の決められた欄からはみ出さないように書きなさい。

7

解答を直すときは，きれいに消してから，消しくずを残さないようにして，新しい答えを書きなさい。

8

受検番号を解答用紙の表面と裏面の決められた欄に書き，表面については，その数字の9の中を正確に塗りつぶしなさい。

解答用紙は，汚したり，折り曲げたりしてはいけません。

1

次の各問に答えよ。
2〔問 1 〕 _ 3 + 1 i - 2 _ 3 + 1 i_ 2 + 1 i + _ 2 + 1 i2を計算せよ。

〔問 2 〕 2 次方程式 ] x - 1 g + ] x + 1 g] x - 1 g - ] 2 x + 1 g] 2 x - 3 g = 02〔問 3 〕 x，y についての連立方程式 *ax+4y=2bbx-ay=-7を解け。の解が x = - 1，y = 2 であるとき，定数 a，b の 値 を求めよ。

〔問 4 〕 右の図 1 のように，袋 A と袋 B がある。

図1
袋A

袋 A には 1，3，4，5，7，9 の数字が 1 つずつ書かれた袋Bカードが 1 枚ずつ合計 6 枚入っている。
袋 B には 1，2，4，5，6，8 の数字が 1 つずつ書かれたカードが 1 枚ずつ合計 6 枚入っている。
袋 A，袋 B から同時にそれぞれ 1 枚ずつカードを取り

134124579568出すとき，取り出した 2 枚のカードに書かれた数の和が偶数になる確率を求めよ。
ただし，袋 A，袋 B それぞれにおいて，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。

〔問 5 〕 右の図 2 で，直線 l，m，n は，円 O の 3 本の異なる

図2接線であり，点 A は，直線 l と円 O の接点である。
解答欄に示した図をもとにして，点 A を定規とコンパスを用いて作図によって求め，点 A の位置を示す
文字 A も書け。

nmO

ただし，作図に用いる線は決められた解答欄にかき，消さないでおくこと。

l1A2右の図 1 で，点 O は原点，曲線 f は y =1 2x のグラフを4

図1y表している。

f

3 点 A，B，C は全て曲線 f 上にあり，x 座標はそれぞれ- 6，- 1，2 である。
点 A と点 B，点 B と点 C，点 C と点 A をそれぞれ結ぶ。
A

次の各問に答えよ。

CBO〔問 1 〕 図 1 において，線分 BC 上にある点を D とし， 2 点 A，D を通る直線を g とする場合を考える。
次の ⑴，⑵ に答えよ。

⑴

直線 g の傾きを m とするとき，m のとる 値 の範囲を不等号を使って表せ。

⑵

iABC と iADC の面積の比が 6：1 になるとき，直線 g の式を求めよ。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

2x

〔問 2 〕 右の図 2 は，図 1 において，x 座標が点 A の x 座標

図2に等しく，y 座標が点 C の y 座標に等しい点を E とし，yfx 座標が点 C の x 座標に等しく，y 座標が点 C の y 座標より大きい点を F とし，点 A と点 E，点 E と点 B，点 A と点 F，点 F と点 C をそれぞれ結んだ場合を表しAている。
四角形 ABCF の面積が四角形 AEBC の面積に等しくなるとき，点 F の座標を求めよ。
また，曲線 f 上にあり，x 座標が点 C の x 座標より大きい点を P とし，点 A と点 P，点 C と点 P をそれぞれF結んだとき，四角形 ABCP の面積が四角形 AEBC の面積に等しくなる点 P の座標を求めよ。

ECBO3x3

右の図 1 で，iABC は AB 2 AC の三角形である。

図1+BAC の二等分線と辺 BC との交点を D とし，頂点 CAを通り線分 AD に垂直な直線と，線分 AD，辺 AB との交点をそれぞれ E，F とする。

F次の各問に答えよ。

EB〔問 1 〕 右の図 2 は，図 1 において，辺 BC の中点をC

D

図2AM とし，点 E と点 M を結んだ場合を表している。
次の ⑴，⑵ に答えよ。

⑴

F

EM ' AB であることを証明せよ。

E
B

M

D

⑵ AB = 7 cm，AC = 4 cm，BC = 9 cm であるとき，AE：ED を最も簡単な整数の比で表せ。

4C

〔問 2 〕 右の図 3 は，図 1 において，辺 BC 上の点 G

図3は，+BGF =+BAC となる点であり，点 F とA

点 G を結んだ場合を表している。
iBGF の面積を S cm 2，四角形 AFGD の面積

Fを T cm 2 とする。

E

AB = 7 cm，AC = 4 cm，BC = 9 cm である
とき，S：T を最も簡単な整数の比で表せ。

5BGDC

4

右の図に示した立体 ABCD ―EFGH は，AD = AE のD直方体である。
点 M は辺 AB の中点，点 N は辺 GH の中点であり，

CM

A

B

頂点 E と点 M，点 M と頂点 C，頂点 E と点 N，
点 N と頂点 C をそれぞれ結ぶ。
H

EM = MC = EN = NC = 5 cm である。
点 P，点 Q は，頂点 E を同時に出発する点とし，点 P は線分 EM と線分 MC 上を E → M → C の順に，

GNE

F

点 Q は線分 EN と線分 NC 上を E → N → C の順に，それぞれ一定の速度で移動し，点 P，点 Q の少なくとも一方が頂点 C に到達したとき，ともに移動を止める場合を考える。
出発して同じ時刻にある点 P と点 Q を結ぶとき，次の各問に答えよ。

〔問 1 〕 点 M と点 N を結び，MN=5 cm とし，点 P，点 Q がともに毎秒 1 cm で移動する場合を考える。
点 P，点 Q が頂点 E を出発してから t 秒後までに点 P が通過した部分と点 Q が通過した部分，および t 秒後の線分 PQ とで囲まれる図形の周の長さを L cm とする。
t = 3 のときの L の 値 を K とする。K の値を求めよ。
また，L が K の 2 倍になるときの t の値を求めよ。

6

〔問 2 〕 点 P，点 Q がともに毎秒 1 cm で移動する場合を考える。
a と b は異なる自然数で，点 P，点 Q は，頂点 E を出発してから a 秒後にそれぞれ線分 EM，線分 EN 上にあり，頂点 E を出発してから b 秒後にそれぞれ線分 MC，線分 NC 上にある。
a 秒後の点 P，点 Q をそれぞれ Pl，Ql とする。
b 秒後の点 P，点 Q をそれぞれ Pm，Qmとし，頂点 E と点 Pm，頂点 E と点 Qm をそれぞれ結ぶ。
i E PlQl の面積が i E PmQm の面積に等しくなるとき，異なる自然数 a，b の値の組を全て求め，（ a，b ）の形で表せ。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

〔問 3 〕 点 P が毎秒 2 cm，点 Q が毎秒 1 cm でそれぞれ移動する場合を考える。
4 点 P，E，F，Q をそれぞれ結んでできる立体 PEFQ の体積が，立体 ABCD―EFGH の体積の3倍になるのは，点 P，点 Q が頂点 E を出発してから何秒後か。
207

（ 3 －戸）
1
〔問 1〕

〔問 2〕

〔問 3〕

〔問 4〕

2     

(1)

5〔問 1〕

 ， 5



5〔問 5〕

5

【(2)

53

途中の式や計算など

512

＝ …①

軸上の点で，点，点，点とまた，共通な辺であるから，座標がそれぞれ等しい点を点，点，点④，⑤より，△において，  点，はそれぞれ辺，の中点であるから，
よって 点の座標は  すなわち 点の座標は       

 表から，          
〔問 1〕 (2)点のときの   を求める。

     よって    

したがって，直線の式は， 〔問 2〕  のときの  ，

ここで，とは異なる自然数であることから   と表すことができる。
       
……②
①，②より  



（答え）

 
倍と 倍である。よって
 

よって，
の増加量が  ，点を通るから 10
……①それぞれ＝ …⑤  であるから】△の底辺と高さは，△の底辺と高さの＝ …④＝  より

途中の式や計算など

   であり，四角形はひし形であるから，したがって，また，点は辺の中点であるから，直線の式は， 

8

秒後の△の面積を  とする。


の増加量が  であるから，【 △△座標がそれぞれ等しい点を点，点，点

直線の傾きは，〔問 2〕，△△より組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，

よって 点の座標は 





秒後の△の面積を とすると，   であり，①，②，③より，

  であるから

点の座標は 〔問 1〕△の面積をとする。

＝ …③とすると  である。

＝ より

10

＝＝ …②となる。

 】線分と線分は垂直であるから，

点の座標は 明△と△の面積比が：であるからとすると  である。

証

△と△について，仮定より，】

軸上の点で，点，点，点と【〔問 1〕 (1)4

点  ，   ， 

8
〔問 2〕

：＝：

7

：＝：

8（答え）

〔問 3〕

        秒後

7