平均値の意味と構造Ⅰ
柳井 浩…………l…l…l……‖＝‖‖‖‖‖‖＝‖州…………州l…………l＝………ll……l………………ll…l………l………l…l……………l…‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖州…………………l州…l……l…………＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖州l……lt……1………lt

定 理 ∬，封≧0おいて定義された連続微分可能な

前回は，われわれが日常普通に用いている 平均イぽというものの特性をふまえ，これを一般化した定義を関数考え，さらにその物理的な解釈を試みた．今回は，これにもとづいて，平均値を 設計 する，−−−／（ご，y）
すな

わち，自分の目的に適った平均値を構成する方法につが，下記の3つの条件a），b）（a，），b，））およびc）を満たす

とき，関数いて述べてみたい．

￠（ご，封）＝タ岬1（J（諾，封））（44）

は平均値関数である．ここに，g￣1は4 平均法の設計とその類別

g（む）＝J（叫祝）

前節の解釈に共通していることは，（一般には）相異なる値ごと封が定める物理量J（J，封）があって，これを，同じ値だけで実現する（43）（45）によって定義される関数g（祝）の逆関数である．

その値 z：α） gγαd／≧0（a ），gγαdJ≦0）

J（∬，y）＝J（z，Z）（39）

り成γJ＞0（b），血イ＜0）C） 関数／（ご，抑ま同次関数である：

を平均値としようということである．いいかえれば，物J（α訂，α封）＝αpJ（ご，y）p≠0

理量J（ェ，封）に関する，ごと封の相当量がzである．しか（48）し，次の例が示すように，任意に／（〇，封）を選んでも第証明略（【1】参照）□

2節の定義を満たす 平均値 が作れるわけではない．

この定理を用いて， ある平均値 を設計するには，そ例4．1 上記の物理量としての意図に従って条件a），b）およびc）を満たす関数／（ご，y）を設定すればよいことになる．そこでこのような関数

J（ご，y）＝e∬＋ey（40）J（∬，y）を生成関数とよび，そのいくつかのタイプに対を選んでも第2節の定義を満たす平均値 は作れなして便宜上の命名をして各種平均法の位置づけの便をい・（39）式に従って計ろう．
●対称型

eヱ＋eZ＝e∬＋∬ツすべての∬，封について（41）／（ご，封）＝J（封，∬）として，ヱに関して解きz＝ln（（49）が成立するとき，この生成関数を対潮；型ということに（42））しよう．ただちにわかるように，対称型の関数から生成された平均値の等平均値線は450線を軸として対称としても，右辺の関数が∬および封に関する一次の同次式にならないからである．

な曲線になる．
口

次の定理は，関数J（γ，y）が第2節の定義による平均

例4．2 最小値 引っ張りによる鎖の破断は，鎖を構成する輪のうちの一番弱いものの破断によって起こ値が得られるための十分条件を与えている．

る，したがって，破断加重がごおよびyの2つの輪をつやない ひろし 慶庵義塾大学理工学部管理工学科〒223横浜市港北区日吉3−14−1

ないで作られる鎖の破断加重はJ（∬，封）＝min（∬，封）
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オペレーションズ・リサーチ（50）となる．これを生成関数として

平均

破断加重zを構

均等な現金収入（均等流列）の現在価値に等しくなるものとする．このとき，値zは成すればZ＝min（∬，y）＋＝
汀汀＋（54）が得られる．という関係から計算されるが，これは現在価値を作る
本稿でこれまでに示した生成関数の例は，殆ど対称／（諾，封）＝た＋汀詣型であるが，次の例が示すように対称型でない生成関数から生成される平均法も存在する．という生成関数にもとづいて作られる

例4．3 重みづけ平均と考えることが出来る．

（55）

重みづけ平野，□J（ご，y）＝α∬＋的・α，わ＞0α≠わ （52）という関数は明らかに非対称であるが，定理の条件を●満たしているから，生成関数になりうる．また，これ生成関数／（ヱ，封）がごだけの関数と・分離型

yだけの関数の和の形，すなわち，から生成される平均法

J（ご，y）＝九（ご）＋た（少）α∬＋ね（56）という形に書けるとき，これを分離型と呼ぶ．

α＋わ通＋（1一入）y（入＝㌫）（53）●巾乗型

生成関数がJ（ェ，y）＝Jp＋封pはいわゆる重みづけ平均である．そしてこの生成関数（57）

が，αおよびぁという異なる重さの錘が支点から，それという形に書けるとき，これを巾乗型という．巾乗型

ぞれ諾およびyという鮭離にあるときの1次のモーメンの生成関数は，対称型であり分離型である．実際に用トという物理量に対応しているのは明らかであろう．まいられている平均法のいくつかがこのタイプの関数かた，等平均値線は読という勾配をもつ直線群になる・

ら生成される．中には，今後世間でも 平均値 とし（図3および12参照）て認められそうな候補もある．次の例にその2−3を示しておく．

例4．5巾乗型生成関数による平均
lO最小値b＝−∞）
Z＝min（ご，y）（58）

20引力平均（p＝−2）

2 1 1＝＋（59）頁頁辞

意味：引力の平均位置，交通量に関する引力モデルにもとづいて；人口が等しいの2都市までの，別のある都市からの距離が，ごおよび封であるとき，交通量という視点から見た平均距離．
30調和平均（p＝−1）

2 1 1

図12 重みづけ平均
例4．4 均等流列

−＝−＋−
ニ J 〟

意味：所要時間，速度の平均等次の期から，2期間にわたってそれぞれ∬およびy40平方根調和平均（p＝一書）という現金収入が得られるとき，これらを利子率豆で現在価値になおし，これが，2期間にわたるヱという1997年4月号

（60）

2

1 1

誘￣誘＋誘

（61）

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（47）223

意味：いま，半径が諾および甘の2つの大きなロー

意味：高さが，ごおよびyの2つの山が近くにあれ

ルを平面状の床の上に互いに接するように置く．そのば，航空機の最低飛行可能高度，つまり，航空機にとっ隙間を，そこにぴったりと収まるような小さなロールてのの半径rで測ることにすれば，高さは∬および封の最大値になる．田

図14には，これらの巾乗型生成関数に対応する等平
1 11平均誘￣市＋誘（62）

均値線を重ねて示しておいた．

である．そこで，1 1J恒）＝＋誘誘（63）

とおいて，2つの大きなロールの半径の平均値を 同じ大きさの隙間を作る半径の相等しい大きなロールの半径zと考えれば，この平均値は（61）式であたえられる．

図14 巾乗型生成関数に対応する等平均値線●非分離型

分離型でない生成関数から生成される平均法もある．

例4．6幾何平均 関数
図13 ロールの隙間
50平方根平均（p＝圭）

J（亭，封）＝訂y
21斤＝ヽ斤＋、席

（68）

（64）

は明らかに定理の条件を満たしており，意味：いくつかの小団体からなる連合体の議決を，各小団体の構成人数の平方根に比例する投票権にもとづいて行う方式；この場合の投票権から見た平均構成人

こ ヽ斤万数．【2】60算術平均（p＝1）（69）

すなわち，幾何平均を与える．
2z＝ご＋封（65）

例4．7 関数

意味：1次のモーメントの平均等
70遠心力平均（p＝2）／（ご，封）＝ご2y2z2＝ご2＋y2（70）（66）

意味：2次のモーメントの平均等も明らかに定理の条件を満たしている関数であり，80最大値（p＝∞）
z＝maX（諾，封）224（48）

（67）

ニー−一宿

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オペレーションズ・リサーチ（71）

で見たように，く解釈

解釈にかかわる．しかし，前述の如は一意的ではないのが普通である．それ故，異なる生成関数から同一の 平均法が得られることもある．
例4．8

J（ご，y）＝（〇＋封）2（72）という生成関数は非分離型であるが，g（z）＝J（z，Z）＝（2z）2（73）抽）＝（74）

したがって，（75）●すなわち，算術平均になるが，この関数が算術平均を国15 例4．6の等平均値線生成する唯一の生成関数ではないことは例4．5に見た通という平均値を与える．この生成関数は，一辺が〇のりである．

ロ

正方形を底面とする，高さ甘の直方体の体積に対応している．つまり，この5 目的別平均法リストの作成

平均値と体積の等しい立方体の一辺の長さという意味をもつ．

「 筍平均 というものは，．そもそも（図16参照）

神によっで定められているのである．ところが，我々が観測するデータは，その母平均が 小悪魔 共によってかき乱されたものである．その母平均を推定するのが平均と−÷＝÷いう方法である．だから，いろいろな 平均法
二のはこ

小悪魔共 との知恵比べなのだ．」というのが大方の統計学者の考え方のようである．
これに対して本稿では，これとは違った視点に立って，指標として一般化された意味での平均値の形式的

図16 等価な体積
この値はまた，図17のように，豚を潰して，表面積定義と，その物理的な意味との関連を考察してきた．これをまとめて大ざっばにいえば，「データの集合は，全体としてある1つの 効果 をが最小になるような円筒形（直径＝高さ）の缶詰にすもたらす筈である．同じ個数のデータで，これらがどる場合の大きさと考えてもよい．

れも等しい値であり，全体として同じ 効果らす相当量をもたで，尺度変換によって不変のものを平均値として定義することが出来る．平均値というものは，そのような特性を痔っ指標である．」ということになる．この効果 を表すのが生成関数になるわけだが，これは言い換えれば，我々が設定するモデルである．しかし，モデルの設定は，ある種の合γⅩ2y＝理性が要求されるとはいえ，基本的には設定者の 価値観
図17 豚の大きさの指標以上，本節では，生成関数の概念を導入し，これを類別して来た．しかし，生成関数というものは，第3節
1997年4 月号によるものである．

力学のような無機現象に関しては，この価値観が云々されることは非常に少ないが，人間や社会に関わる 有機現象の場合には，これが，．少なからぬ意© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（49）225

味をもつ筈である．意識されると意識されないのにかという一本の等平均値線の形だけで完全に定まってしかわらず，現代の我々の思考の基層にニュートン力学まう．そこで，湾曲のきついものはどのような場合に的世界観とでもよぶべきものが横たわっているとすれ適するか？緩いものはどうか？曲線の凹凸はどうか？両ば，もう一度その妥当性を問い直す必要もあろう．そ軸と交わるものはどうか？等々の議論が可能である．経して，問題によっては，用いる平均法の選択の妥当性

験的，感覚的，主観的かつ技巧的な議論になるが，複を明示することが求められよう．

数の人達の意見を総合して，多くの人々に受け入れられまた，実用的見地からすれば，平均法選定のマニュアル化，すなわち，平均法の標準的な使用目的別のリる 適切な，，平均法を選ぶという作業が必要になる．

しかしどのように努力しても，このようにして作成ストの作成が求められる．しかし，これには解釈の多されたリストに，限定された分野の目安 を超えた普様性や，社会通念も絡んで来るし，多くの人々の了解遍性と無矛盾性を追求するのは困難であろう．限定さと納得を要する．それゆえ，さしあたって本稿の任とれたものであっても，実際家にとっては有用であろう

することは出来ないが，イメージをはっきりとさせるから，それを覚悟でなら，リストの作成も意味のないために，そんなリストの一例を示しておこう．内容にことではなかろう．

ついての異論を承知の上での例示である．
例5．1「英語と国語」の試験の 平均点

参考文献a）米英人との仕事と，日本人との仕事が別々にあり，そ【1】柳井 浩「平均値の構造と設計」Tお励まcαg月epor±の量は半々である．そのような仕事に携わる人の採用〃b・タ∂βJ仇βep亡．イAdmれぉかⅦ亡盲0れ助タれeeわれタ，凡c−の判断材料には一一算術平均

む勒げぶc豆e†lCe肌d7祉加oJ叩飢∬do仇ね．，1995．

b）英語から日本語への翻訳の仕事への適否の判定には【2］柳井浩「平方根方式」−一幾何平均「オペレーションズ・リサーチ」1992年2月号，pp．104−（正答率が，英語と国語それぞれの正答率の積になる

105．というモデル）

C）日本人相手の仕事も，米英人相手の仕事にもポストがある．どちらでも良いから，力のある人を採用した
い場合の判定には−一最大値d）人前に出すので，とにかく無教養な人は困るというときの判定には一一最小値e）学習の進捗状況の判断−一調和平均（成績を物覚えの速度と考えるモデル）

多くの場面で役立つよう，このようなリストを多種用意するには，まず応用上の目的を整理分類することが必要になるが，これを網羅的に行うには多くの困難が予想される．現実は多岐にわたるからである．したがって，限定された分野から始めなければなるまい．
このようにして抽出された各々の使用目的に対する平均法の選択は，その適・不適によって行われるが，その一つのアプローチが前節の生成関数の意味づけであり，もう一つが等平均値線の形状によるものである．生成関数による原則的な意味づけだけでは及ばない実用上の微妙な要請を満たすために，等平均値線の形状を第2節によって修正することが必要になろう．
実際，第2節で述べたように，平均法は￠（∬，y）＝1
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