中学２年 数学

１章
○
ア.
イ.
ウ.
エ.
目標

式の計算 （１）式の計算，（２）文字式の利用
目

標

文字を用いた式を活用することのよさを実感し，それを用いて数量や数量の間の関係を的確に表現し，説明しようとする能力や態度を養う。また，いくつかの文字を含む四則計算ができるようにする。そのために，文字を用いた式に関するいろいろな用語の意味を理解し，それが正しく使えるようにする。
簡単な単項式，多項式での加法，減法，及び単項式どうしの乗法，除法の計算ができるようにする。
文字を用いた式で数量及び数量の関係をとらえ説明することを理解できるようにする。
目的に応じて簡単な等式を変形できるようにする。
分数を含む単項式の除法ができる。

予想されるつまずき●

最初の手立て子供の表れ〇●6𝑎𝑎𝑎𝑎 ÷ 𝑎𝑎について逆数を23用いて計算する際， 𝑎𝑎＝
2
3

2𝑎𝑎

→

3

3

2

3𝑎𝑎

せると違いが分かった。
●分数の約分誤りはあったが，練習問題を解く際に上記の様なのか， 𝑎𝑎＝ で混乱が生
2●見た目ではどちらが正しいか判断できなかったが，音読さな分数を含む単項式の逆数にする計算方法に誤りはな

じてうまく逆数を使ってかった。

乗法に直せないため，音声で違いに気づかせる。

子供の表れ×→目標●★

分数を含む多項式と数の乗法，除法を計算することができる。

予想されるつまずき●

原因と対応策最初の手立て●分数を含む式の計算では，
1 年生で学習した方程

子供の表れ〇→

式の『分母をはらう』間違った計算をする生徒が多く見られるため，あえて最初に誤答を示して生徒の気づきを促す。
●正答例と誤答例の記述を視覚的に比較させることで，『通分』と『分母をはらう』の意味の違いについて指導する。

→●授業の中での復習問題では，『分母をはらう』やり方で，誤答を記述する生徒はいなかった。
子供の表れ×

原因と対応策●そもそも分数の計算★正答のみを板書・ノート記述（主に通分）への理解させるのではなく，誤答を扱が不十分で，計算そのうことが理解度を高めるためものができていない生の有効な手立てとなる。

徒もいた。

★小学校算数での分数の計算で●定期テストで出題するの躓きが克服できていない生と，1 割程度の生徒が，徒にとっては，誤答と正答の分母をはらっており，計算方法の違いに気づいて計算のプロセスが理解

も，計算過程の正しい理解に不十分であることも分至れない。一斉授業での学びかった。

直しは困難なので個別指導が必要である。
★式の計算という単なる無機質な計算問題を解くのではなく，実生活に結び付けた文
章問題にして計算に取り組ませる方が，理解しやすい生徒もいる。

・センテンス型の式（＝のある式）と，フレーズ型（＝のない式）の計算の違いに着目させたい。

中学２年 数学

２章

（１）連立方程式，（２）連立方程式の利用
目

標

連立二元一次方程式について理解し，それを用いて考察することができるようにする。そのために，２つの文字を含む等式から文字の値が求められることを知る。
連立二元一次方程式の必要性と意味，及びその解の意味を理解する。
連立二元一次方程式の解法を理解し，その解法に習熟する。
問題解決の場面で，連立二元一次方程式を活用することができるようにする。

○
ア.
イ.
ウ.
エ.
目標

係数が整数でない連立方程式が解ける。

予想されるつまずき●

連立方程式

最初の手立て子供の表れ〇
𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = −15→●天秤図が無い状態（言語や式のみ）では，理解が難しい●�
を解く際に，下の式
0.4𝑥𝑥 + 0.6𝑦𝑦 = 1
様子が伺えたが，天秤図を示すことにより，生徒の思の係数を整数にするために 10 をか考がつながったと感じた。
けるが，小数の係数のある左辺のみ●係数を整数値にする際に，両辺を何倍かする作業に，10 倍してしまうことが予想された

間違いがなくなった。

ため，1 年時の学習（方程式・等式）で扱った，天秤の絵を示し，両辺を10 倍することに注目させる。

子供の表れ×→ ●原因と対応策★

・二元一次方程式は，代入法もしくは加減法で解くことが一般的である。方程式を解くことが苦手な子供には，自分でやりやすい方法を選択させて，その方法を使ってつねにシステマチックに解くように何度も練習させることが大切である。しかし重要なのは，なぜ代入法や加減法を用いるかという解き方を導く考え方である。それは変数を 1 つに減らすことができたら，一元一次方程式となり解くことができるからである。この考え方は，小学校算数からずっと使用している，分からない問題は分かる問題に変形するという既習に帰着させる考え方である。この考え方を理解しなければ，単なる手続きの暗記になってしまう。そうなるとその暗記が忘れ去られるのも早いであろう。手続きを成り立たせている方法にも目を向けたいものである。それが後々の定着につながるのである。

BOX 3-A：数学的表現体系（中原，1995）
話し言葉以外の数学的表現様式は次の 5 種類に分類できる。
E1：現実的表現…実世界の状況，実物，具体物などによる表現
E2：操作的表現…学習具などに動的操作を施すことによる表現
I ：図的表現…絵，図，グラフなどによる表現
S1：言語的表現…日本語，英語など日常言語を用いた表現
S2：記号的表現…数字，記号など数学的記号を用いた表現
右図の矢印は，各表現様式が他の表現様式に変換できることを意味している。また，上部へ行くほど，表現様式は抽象的になる。逆に下部へ行くほど，表現様式は具体的になる。
一般的に，よい授業には 5 つの表現様式がすべて表れてくると言われている。授業後の板書を見ると一目瞭然である。また，真に数学の内容を理解している子供は，どの表現様式を用いても，その数学の内容を説明できる。そのような理解している子供を増やすには，授業内において各表現様式を変換させることが重要である。図での表現を，操作で表現し直したり，式で表現し直したりする活動である。このような活動を実現するには，教師から子供への「思考の視点」の提示が重要である。例えば，「これらの考えの共通点はあるかな？」という思考の視点「共通点」は非常によく用いられる。

中学２年 数学目標

割合に関する具体的な事象について，連立方程式を使って問題を解決することができる。

予想されるつまずき

最初の手立て子供の表れ〇●１年生では，１次方程式【授業で扱った問題】（本欄下）●予習している数名の生徒は，最初から「昨年の生徒数」

を活用する文章問題に●前時までの授業で，｢方程式取り組んでいる。２つのを活用して解く手順｣や｢線文字を使うと，文字が１分図や表を使うことで，問題方程式をつくることが難しく，「もとにする量」を文字つの場合に比べて数量を整理する｣ことを学習してで表した方が方程式をつくりやすいことを実感でき関係がとらえやすくないる。本時の割合の問題におるが，それでも立式は難

いても，その手順に従って考しい。国語の読解力が必えるよう促す。

要となるところでもあ●｢今年の生徒数｣を文字で表り，何の数量について方す手立てとして，下の表のよ程式をつくればよいの

うに，表の中に｢変化した生かが分からない。また，徒数｣という項目をつくる。

求める数量以外を文字●求める数量は｢今年の人数｣

で表すと，連立方程式のであるが，直接求める数量を解を問題の答えと勘違

ｘ，ｙと表すと方程式をつくいする。

ることが難しくなる。｢もと●割合を使った表し方がにする量｣と｢比べる量｣それ難しい。小学５年生ではぞれを文字で表した場合に（比べる量）＝（もとについて考えることで，｢もとする量）×（割合）といにする量｣を文字で表した方

う式を学習している。文

が方程式をつくりやすいこ

字を使って表したり，もとを実感させる。

→

をｘとｙで表していたが，多くの生徒は，求める数量である「今年の生徒数」をｘとｙで表した。そのため，た。
●表をうめていくことで，方程式をうまくつくれていた。
また，「変化した生徒数」の部分を横に見ることで,
「

20

100

た。

𝑥𝑥－ 100 𝑦𝑦＝20」という方程式にも生徒が気づい10

子供の表れ×

原因と対応策

●「今年の生徒数（比べる★単に等式の変だけで量）」をｘとｙで表した場

は， が何を表してい→合の「昨年の生徒数（もとにする量）」について，ｘとｙを使って表すことが難
しかった。

100
120

るか分かりにくい。小学校で学習した，テー
プ図で説明する方法も考えられる。

ｘ=(昨年の生徒数)×だから(昨年の生徒数)=ｘ×とにする量を比べる量

120
100
100
120

で表したりすることを丁寧に指導する。

ある中学校の昨年の生徒数は 520 人でした。今年

男子

は，男子が 20％増え，女子が 10％減ったので，生昨年の生徒数

徒数は 540 人になりました。今年の男子と女子の生（人）

徒数をそれぞれ求めなさい。

変化した生徒数（人）
今年の生徒数
（人）

＋

20

100

女子

𝑥𝑥
𝑥𝑥

120
𝑥𝑥
100

合計

＋ 𝑦𝑦

－

10

100

𝑦𝑦

＋ 100 𝑦𝑦
90

＝ 520
20

＝540

この表に「＋」と「－」を書き入れる。

中学２年 数学

３章

一次関数 （１）一次関数とグラフ，（２）一次関数と方程式，（３）一次関数の利用
目

標

イ.
ウ.
エ.
オ.

変化や対応についての見方や考え方をいっそう深めるとともに，事象の中から一次関数を見いだし，それを用いることができるようにする。そのために，一次関数の意味を理解し，身のまわりの事象の中から，一次関数とみられるものを見つけることができるようにする。
一次関数の特徴を理解し，一次関数のグラフがかけるようにする。
直線が与えられているとき，その直線の式が求められるようにする。
一次関数のグラフと二元一次方程式のグラフとの関係や連立方程式の解とグラフとの関係を明らかにする。
具体的な事象を一次関数とみなし，それを問題解決に利用できるようにする。

目標

動点によって作られる図形の面積がどのように変化するかを考え，間と面積の関係を表や式，グラフに表す○
ア.

ことができる。
予想されるつまずき●命題の添え図が静止画のために，動点に最初の手立て【授業で扱った問題】＊教育出版「中学数学２」

子供の表れ〇→●点 P が動く様子と△APD の形が変化している様子が視覚的に捉えられ，イメージしやすくなったことから，

よって作られる図形

P.92 例題２（右欄下）

式化したり，〇秒後の面積を求められたり，□㎠の面が予想できない。その●動点 P によって作られる積の時の経過時間を求めることができたりする生徒がため，面積を求めるこ

線分 AP と PD を伸縮性とができない。

のあるゴム紐にし，板書●「動点問題が苦手だったのが，わかるようになってき●動点の位置によって，の長方形 ABCD の中で，た。
」といった生徒の記述が生徒の振り返りの記述から変化の仕方が変わる

点 P を動かし，動的な図見られた。

ために，現象の変化にを示してイメージしやす

気づかずに，１つの式

いようにした。

や 1 本の直線のグラフ●ｘの変域によって，３つにしてしまい，ｘの変の場合分け（①点 P が辺域とともに場合分け

AB 上を動くとき，②点 Pをすることができな

が辺 BC 上を動くとき，い。

③点 P が辺 CD 場を動くとき）を行うために，本教科書の指導書の付属
DVD-ROM を活用し，点P の動く様子と，△APDの面積の変化の様子に注目させることで，「点 P が動いた時に，変わるもの
は何ですか？」，「点 P が動いた時に，変わらない
ものは何ですか？」といった発問をもとに，△APD の面積の変化の仕方について理解しやす
いようにした。

多かった。

→

子供の表れ×

原因と対応策●△APD 変化の様子や，★関数領域と図形領域の内３つの場合分けについ容が混在する場面であるての理解はある程度でため，基礎知識としてのきているものの，三角形求積の公式についての復の面積の求め方が理解

習（確認）をしておく必要

できておらず，立式できがある。

ずに困っている生徒もいた。

下の図のような長方形 ABCD がある。点 P は A を出発
して，長方形の辺上を，B，C を通って D まで動く。点P が A からｘcm 動いたときの△APD の面積をｙcm3 として，△APD の面積の変化の様子を調べなさい。

中学２年 数学目標

1 次関数を活用して，具体的な事象を考察したり予測したりすることができる。
グラフから，移動した時間と道のりを読み取ることができる。

予想されるつまずき●原点を通る 1 本の直線

最初の手立て【授業で扱った問題】（比例）ならまだしも， ＊教育出版「中学数学２」
折れ曲がったり，水平に子供の表れ〇→

P.94 例題３（本欄下）
グラフを使って，実際にグされるような）複雑なグ

ラフどおりに，教室内（直ラフが表しているもの

線 5ｍ）を手拍子（1 拍：1の意味が理解できずに，

秒）しながら歩く体験型のグラフから，移動した時授業を行った。

間と道のりを読み取る ● A さん役と B さん役を決めことができない。

て，同時に動作を演じさせることで，グラフの交点のもつ意味を視覚的に理解できるようにした。
●実際に自分たちが，右下がりのグラフや x 軸と水平なグラフの通りに歩くこと
で，グラフから，移動した
時間と道のりの関係が理フの読み取りができる生徒が増えた。
●グラフの傾きを見ることで，行きと帰りの判別ができるなったりしている（電車 ●この例題を解く前に，右ののダイアグラムに代表●実際にグラフ通りに歩く活動を取り入れることで，グラようになり，例題を解く際にも，間違いが少なくなった。
●交点の示す意味の理解ができるようになった。

→

子供の表れ×

原因と対応策●グラフの示す意味や動き★1 次関数の利用や活用のについての理解はでき，問題を解決する際に，2元

例題や，上図の様に罫線

1 次方程式と 1 次関数のや枠線のある グラフ でつながりをおさえておく

は，交点の座標を求める

必要がある。また，連立方ことができるが，罫線の程式の解き方についても無い状態での交点の座標

代入法を中心に復習してを求めることに困難さをおくべきである。

感じている。
（連立方程式等を活用して，公演の座標を求めることができな
い。
）

解できるようにした。

駅から 3000m 離れた場所に美術館がある。けんたさん，駅を出発して美術館まで歩いて行った。
ゆかさんは，けんたさんが出発してしばらくした
後に，自転車に乗って，けんたさんと同じ道を通って美術館に行った。下の図（省略）は，けんたさんが駅を出発してからの時間をｘ分，駅からの道のりをｙｍとして，けんたさんとゆかさんの進んだ様子をグラフに表したものである。

・ダイアグラムは，上記の手立てのように実際に子供たちが動いて実測し，それをグラフ化することでダイアグラム上の交点や水平線，傾きの意味がより分かりやすくなる。同時に，測定地点を直線で結んでいるが，それは「移動している
ときは等しい速度だとすると」という仮定上での話だということも納得しやすくなる。実際の移動速度が等速でないことは実測時に観察できているからある。子供たちが現実の問題を数学化しているのである。

中学２年 数学

４章
○
ア.
イ.
ウ.
エ.
オ.
目標

目

標

図形の性質を調べる上で基礎となる見方・考え方や基本的性質を，観察や操作，実験などの活動を通して明らかにし，論証の意義と推論の進め方について理解する。そのために，対頂角の性質，平行線と角の関係について調べる。
三角形の内角の和について調べ，それをもとにして多角形の角について調べる。
合同な図形の性質，三角形の合同条件などを明らかにする。
「証明」することの意義としくみについて理解する。
平行線と角の関係や三角形の合同条件を根拠にした証明の進め方，図形の性質の調べ方について理解する。
対頂角は等しいことを証明することができる。

予想されるつまずき●

図形の調べ方 （１）平行と合同，（２）証明

最初の手立て子供の表れ〇●まず 1 本の直線を作図し●１本から考えることで，平角（一直線上の角）は 180°でて，気づきをまとめる。

→

あると認識することができた。

●次に，交わる 2 本の直線

●２本の直線によってできる角の大きさを，具体的にイメーをかき，向かい合う角にジすることと，平角を見つけることで対頂角が等しくなる

ついて気づいたことをまことが見つけることができた。

とめる活動を行う。
●具体的に角度を測り，等しいことに気づく。
●どんなときでも等しくなることを説明するにはどのようにすればいいかを自分で考える。
●その後，ペアやクラス全体で考えを交流する。

子供の表れ×→

原因と対応策●そもそも分数の計算（主に ★１本の直線からはじまり，通分）への理解が不十分で，２本の直線が交わる角が平計算そのものができていな角とともに見えることで，い生徒もいた。

対頂角が等しくなることの●文字を使って説明するとき理解が進んだ。

に，何を根拠にして，どの ★１本，２本と増やすことで，ような文字式で表すことが３本目が 1 点で交わる・・・

できるのかが困難であっと自分の頭の中で深めていた。

くことができた。

●説明を書くことへのハード ★どんなときも成り立つとき
ルが高かったので，ペアで，に，文字を使うことの有用

口で何度も説明して，相手性が不十分であった。文字に理解してもらえるかを手によって，考えられるすべ

がかりにして進めることがての場合が説明できるようできた。

になることの理解を深める
よう，１年生の復習をしていく。
★口頭で説明ができても，文字に表すと書くことができないので，穴埋めをつくり，証明を完成させることや，証明の構造を説明して，根拠と結果がつながるように証明をすることが，大切であることを理解させる。
★数学以外の自分にとり身近な事柄を，根拠と結果で説明する練習をする。

中学２年 数学目標

角の二等分線の作図が正しいことを証明することで，証明の必要性を理解できる。

予想されるつまずき

最初の手立て子供の表れ〇●「証明によって，命題が常 【授業で扱った問題】に成り立つことを明らか (右欄下)にできる」ことや「証明を ●角の二等分線の作図は１年するためにかかれている

図は，すべての代表として●書き終わった証明を読み直すことで，コンパスの幅（ＯＡや→生のときに学習しているため，線分ＸＯをかくところかかかれている」ことなど， ら生徒に自由に作図させた。
証明の意味や必要性が十 そうすることで，∠ＸＯＹが分に理解できない。

●証明の過程で，結論を使ってしまう。また，作図の方法が正しいことを証明す
るとき，作図から何が仮定であるか分からない。

どんな大きさであっても，作図の時のコンパスの幅がどＯＢ）がどんな幅でもよいこと，最初にかいた∠ＸＯＹがどんな大きさでも成り立つことを明らかにしたということを理解した。
●「実は合同な三角形をかいていたんだ」と，１年生で学習していた作図方法で，なぜ角の二等分線が作図できるのかを改めて理解できていた。
子供の表れ×●

原因と対応策★

んな幅であっても同じ作図 →方法で作図しているということが確認できると考えた。
また，その作図方法が常に成り立つことを証明する意味が理解できるように，「どうしてその方法で作図ができるのかな」や「どんな大きさ∠ＸＯＹの二等分線を作図しなさい。
また，その作図方法が正しいことを証明しなさい。

の角でも本当に作図できるのかな」と問いかける。
●図の中に等しい辺や角に印をつけて仮定と結論を確認するとき，何が仮定で何が結論なのかを生徒が明確にできるように，また，証明の過程で結論（右の図の∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰ）を使わないように仮定と結論にあたる印は，チョークの色を変えて示す。

・論証の学習においては，中学校 2 年の間のみできちんと証明がかけるようになるというよりも，中学校を卒業する時までに証明を論理的に記述できるようになるというおさえで指導することが大切である。子供たちにとって証明の記
述の作法は，外国語のように見えているといわれる。そのため記述を重視するというよりも，話し言葉での論理の動きを重視するようにしたい。演繹的な推論をフローチャートのような流れ図で板書し，その思考の流れを証明の作法にのっとって対板書することが大切である。このとき流れ図と証明は左右で対比できるようにしておくことが大切である。また色チョークも使って思考の流れと証明の文章表現を対応させていきたい。

中学２年 数学

５章

○
ア.
イ.
ウ.
エ.
目標

図形の性質と証明 （１）三角形，（２）四角形目
標
平行線についての性質や三角形の合同条件を根拠にして，三角形や平行四辺形の性質を調べ，それらを活用することができるようにする。また，これらを通して，図形の論証に対して興味・関心をもち，筋道を立てて考えようとする態度を身につける。そのために，三角形の合同条件を使って，二等辺三角形の性質を証明し，図形の性質の調べ方を理解する。
直角三角形の合同条件を導き，その使い方を理解する。
平行四辺形の性質や平行四辺形になる条件について理解する。
長方形，ひし形，正方形と平行四辺形の関係，平行線による等積変形などについて理解する。
「二等辺三角形の底角は等しい」という定理の逆を理解する。

予想されるつまずき

最初の手立て子供の表れ〇●逆という意味を，「仮定 ●正しい逆の文章を考えらと結論を入れかえたも●多くの生徒が二等辺三角形になると思い込んでいたが，数れるように，「底角が等し →人が右図のようにかき，三角形にならないことを主張しければ二等辺三角形であた。そのため，何が必要なのかを考え，「三角形」という言理解しているため，「二る」という間違った逆の葉は必要だということを理解できた。

等辺三角形の底角は等文章を取り上げ，本当にしい」という定理の逆二等辺三角形になるのを「底角が等しければか，実際に分度器を使い，二等辺三角形である」

図をかいて確かめる活動と書き，「底角」というを行う。

の」ということだけで言葉を使ってしまった ●証明の必要性を考えるた
り，「三角形」という言

めに，逆が常に正しいと葉が抜けたりしてしまは限らないことを確認う。また，逆にしても正し，それぞれの生徒がか

しい，２つの角が等しいた図が「本当に二等辺い三角形が二等辺三角

三角形と言えるのか」と形なのは，二等辺三角

問いかけ，考える時間を

形の２つの角が等しいとる。また，証明を板書からであり，証明するにかく際には，図の中に必要はないと思ってい等しい辺や角に印をつける。

て確認するが，「何が仮定
で何が結論なのか」を生徒が明確にできるよう，単元を通して，仮定と結論のチョークの色を統一してかくようにする。

●「『□□先生は男である』を逆にすると？」と質問すると，→すぐに逆が正しくないことを生徒は理解した。一般的に，等しい角が何度であっても二等辺三角形になることを示すために証明が必要であることも理解していた。
子供の表れ×

原因と対応策●校内のテストで同じ問題を ★「二等辺三角形」とくると，出題したが，「底角」という「等しい角は底角」という言葉を書いていた生徒が暗記的な理解が強い。「底14％いた。

角」の定義や文章中の仮定●「二等辺三角形の底角は等と結論をきちんと意識するしい」を証明した授業時のことを指導する必要があ

ノートと比べるとペンの色る。

が 反 対 に な っ て い る こ と ★教科書のように最初から図で，「まだ二等辺三角形かどがあると，その図からいえうか分からない」というこることが最初から分かってとが確認できたが，最初かいることと勘違いしてしまら板書した図が二等辺三角う。他の証明問題でも，最形になっていることから，初から図を与えるのではな「もう二等辺三角形になっく，文章に書かれている図ている」と言う生徒もいた。

をかくところから取り組むようにしたい。そうすることで，証明の意味を理解することにもつながる。

・子供たちの中には「なぜ小学校で学んだことをわざわざ難しく言い換えてもう一度学習するのか」と疑問を持っている子供も数多くいる。定義を基に演繹的に推論して図形の体系をつくっていることを，子供たちの実態に合わせて教師は積極的に説明していきたい。小学校算数と中学校数学の違いを知ることは，子供たちの今後の数学学習にとって非常に重要である。

中学２年 数学目標

特別な平行四辺形（ひし形，長方形，正方形）の定義と定理を理解する。

予想されるつまずき

最初の手立て子供の表れ〇● 生 徒 は 小 学 校 の 学 習 ●「どの四角形が平行四辺で，ひし形，長方形，正方形について，それぞ●表のように，「２組の対辺が平行」という平行四辺形の定義

形の定義を満たしている →のか」，「共通してもつ性である項目に○がついていることで「正方形，ひし形，長方形は，平行四辺形の仲間である」という表現をする生徒

れの性質を学習し知っ

質，またはお互いの性質ているが，改めて中学の違いは何であるか」と●平行四辺形は×なのに対して，ひし形は○になっている項が多くいた。

校で学習する際に，定いうことがよく分かるよ目「４つの辺が等しい」があり，そこが平行四辺形との違義と定理を混同してしうに，それぞれの図形のいであり，その違いがひし形の定義になっているという理まう。また，ひし形はひ性質を調べて表にまとめ解で，定義と定理をきちんと区別することができていた。

し形，平行四辺形は平るようにする（欄下の表

行四辺形というようは，平行四辺形とひし形に，ひし形，長方形，正の対比を示したものであ方形が平行四辺形の特る）。

子供の表れ×●教科書のようなベン図を考 ★必要条件や十分条件という→別な場合であるという原因と対応策

認識をしている生徒は少なく，各四角形の相互関係が十分に理解できるような授業の工夫

えたとき，多くの性質を用語は扱わないが，もってもっている正方形が外側にいる性質が多い（条件がきあると考える生徒がいた。

つい）方が，内側になるとまた，「平行四辺形は正方形

いうベン図の表し方についである」と，逆に表現するて具体例を挙げながら丁寧生徒もいた。

に指導する必要がある。

が必要である。

平行四辺形

正方形

ひし形

長方形

台形

２組の対辺が平行

○

○

○

○

×

４つの辺が等しい

×

○

○

×

×

４つの角が等しい

×

○

×

○

×

対角線が等しい

×

○

×

○

×

…
・四角形の包摂関係の学習には，困難を感じる子供たちが多い。「かつ」「または」「ならば」等の論理の概念がつかみにくいからである。これらの概念をつかむためには，上記のような表が有効である。しかしこのような票でも難しい場合には，表の 1 列目に書いている「2 組の大変が平行」「4 つの辺が等しい」等を短冊カードにして，ゲーム的な活動をすることもできる。まず図形のカードと図形の性質の短冊カード，そして図形の包摂関係を示すベン図を体育館等の広い場所につくる。例えば，ある子供がひし形のカードを引いたら，ひし形に合致する短冊カード 2 枚をすべて選択し，その 2 枚を持っている子供のみが入れる場所に行くようにする。ここでは 2 点が獲得できる。しかしその場所の内側には，正方形のカードを持った子供のみが入れる 4 点の場所がある，というようなゲーム的な活動である。体を動かして図形の包摂関係を体感するゲーム的な活動である。

中学２年 数学

6章
○
ア.
イ.

確率

（１）確率の意味，（２）場合の数と確率
目

標

不確定な事象についての観察や実験などの活動を通して，確率について理解し，それを用いて考察し表現することができようにする。そのために，確率の必要性と意味を理解し，簡単な場合について確率を求めることができるようにする。
確率を用いて不確定な事象をとらえ説明することができようにする。

目標

樹形図を使って起こりうるすべての場合を調べ，確率を求めることができる。

予想されるつまずき●ダランベールの誤りに最初の手立て【授業で扱った問題】もあるように，
「２枚の

（右欄下）

硬貨を投げたときの表●後に引くＢが当たる場合と裏の出方」や「５本のは，「Ａが当たりでＢも当た

うち，当たりが２本入っる場合」と「Ａがはずれてているくじで当たる確

Ｂが当たる場合」がある。

率」などを考えるとき，「どちらの場合が多いか２枚の硬貨や２本の当な」とか「２本の当たりくたりくじを区別しない

じのうち，どちらのくじでで考えてしまう。

当たった場合が多いかな」●効率よく樹形図がかけない。

子供の表れ〇●全体で起こりうる場合の数をもれなく数えることができ→た。
●番号をつけたり〇で囲んだりすることで，樹形図を効率よ
くかけることを実感した生徒の振り返りが多く見られた。
子供の表れ×

原因と対応策●教師が樹形図をすべて板★教師がかいた樹形図と同じ書するまで，待っている

ものをかかないといけない生徒がいた。

と考えている。樹形図は起→こりうるすべての場合の数をもれなく数えるためのもなどの声かけをすることのであり，生徒自身で工夫で，樹形図を使って考える

するよう声かけを行う。

よう促す。
●「５本のくじを区別すること」と「当たりとはずれのくじを区別すること」をどう表せばよいかを全体で考えた。当たりを「あ」，はず

５本うち，あたりが２本入っているくじがあります。これを「は」と書く，当たりのくじを，Ａ，Ｂの２人がこの順に１本ずつ引きます。

は①，②，はずれは１，２，引いたくじはもとに戻さないとき，ＡとＢは，どちらが３と書くなど，全体でいろ

当たりやすいだろうか。

いろな表し方を考えながら，より効率の良い表し方
として，当たりのくじは〇で囲み，５本くじを「①，②，３，４，５」と表すことになった。そのため，樹形図は右のようになった。

Ａ

①

Ｂ

②
３
４
５

Ａ

②

Ｂ

①
３
４
５

Ａ

３

Ｂ

①
②
４
５

Ａ

４

Ｂ

①
②
３
５

Ａ

５

Ｂ

①
②
３
４

・平成 29 年告示の指導要領では，中 1 が統計的確率，中 2 が数学的確率を扱うことになる。中 1 での実験を踏まえて，
中 2 では，起こりうる場合を計算で求める活動が主となる。しかし，計算で求めた結果が真にその事象の確立となるのか，つまり統計的確率が，計算で求めた数学的確率に近づいていく様子を中 2 でも一度は確認したい。例えば，電子黒板と表計算ソフトを使って，学級全体でコインの表裏や，サイコロの目等の簡単な事象を多数回試行し，その過程を 5
分ごとに表計算ソフトの表に入力し，グラフ表示させ，計算結果に近づいていく様子を観察する活動である。学級全員
で 20 分間もやれば，数千回の試行が可能であろう。

中学２年 数学

順番が関係ないことがらについて，樹形図を使って確率を求めることができる。

目標

予想されるつまずき

最初の手立て子供の表れ〇●起こりうるすべての場●順列と組み合わせの違●よく似た問題を扱うことで，問題のどの部分に注意しな合を調べるとき，順番いが分かるよう，よくが関係あることがら似たことがらで順番が（順列）と順番が関係関係ある場合と関係なないことがら（組み合い場合を考える問題をわせ）がある。順番が扱う。このとき，順番関係あることがらなのが関係ある場合から考か関係ないことがらなえる。

のかの判断を間違えてしまい，誤った樹形図をかいたり，誤って起こりうるすべての場合の数を求めたりしてしまう。
●「同時に」という言葉だけで，順番が関係な
いことがらの方だと判断してしまう。

【授業で扱った問題】→

ければならないのか，順番が関係あるときと関係ないときで何が違うのかを理解できているようであった。
●その後に扱った問題でも，樹形図をかくときに列の頭に項目を書く姿が見られた。

→

（欄下）

子供の表れ×

原因と対応策●「２個のさいころを投げ★問題文によって，「２個のるときの問題も，順番はさいころＡ，Ｂを～」と２関係ないのではないです

個を区別している場合とか」という質問があった。

そうでない場合がある。表
をかいて考えるときにも，●樹形図をかくときに，行と列の頭にＡとＢを書

列の頭に何についてのくなど２個のものを区別

場合分けなのかを示す

して表す。

ことで，
「Ａ－Ｂ」と「Ｂ－Ａ」が同じであることに気づかせる。また，
樹形図をかき同じ組み
合わせのものを消していくことで，起こりうる場合の数が半分になることを確認させる。

①Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人の中から，くじで班長と副班長を選ぶとき，Ａが選ばれる確率を求めよ。
②Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人の中から，くじで２人の掲示係を選ぶとき，Ａが選ばれる確率を求めよ。

①の樹形図
班長 副班長Ａ

Ｂ
Ｃ

班長 副班長Ｂ

Ｄ

Ａ
Ｃ

班長 副班長Ｃ

Ｄ

Ａ
Ｂ

班長 副班長

Ｄ

Ｄ

Ａ
Ｂ
Ｃ

②の樹形図
掲示係 掲示係Ａ

ＢＣ
Ｄ

掲示係 掲示係Ｂ

Ａ
Ｃ
Ｄ

掲示係 掲示係ＣＡ
ＢＤ

掲示係 掲示係ＤＡ
ＢＣ

掲示係 掲示係

Ａ

Ｂ
Ｃ
Ｄ

Ｂ

Ｃ
Ｄ

Ｃ

Ｄ