数

平成３１年度数

学(１０：４０～１１：３０)

注意

１ 検査開始のチャイムがなるまで開いてはいけません。
２ 問題用紙の１ページから12ページに，問題が １ から ６ まであります。
これとは別に解答用紙が１枚あります。
３ 問題用紙と解答用紙に受検番号を書きなさい。
４ 答えはすべて解答用紙に記入しなさい。

受検番号

第番

１

次の（）～（）に答えなさい。

（）（）

を計算しなさい。

（）

を計算しなさい。

（） 方程式

数－１を計算しなさい。

を解きなさい。

（（）

くんはバスケットボールの試合で点シュートと点シュートを合計本決め，全部で点をとりました。 点シュートと点シュートを，それぞれ何本決めたか求めなさい。

） 次の①～④の図形で線対称，点対称の両方の性質を持った図形はどれですか。
その番号を書きなさい。

①（おうぎ形②） 右の図の長方形を，直線平行四辺形を軸として③④ひし形回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率は（二等辺三角形とします。

） 下の図の直線の式を求めなさい。

数－２

２

次の（（）～（）に答えなさい。

） 優希さんと春奈さんと拓也さんのると，あと人で商店街にくじを引きに行きました。店員に話をす本のくじがあり， 本が当たりくじで残り 本がはずれくじということを教えてくれました。 人はくじを引く順番について話をしています。

優希さん「 本のうち当たりが本だから春奈さん「そうね，じゃんけんに勝って番に引いた方が当たりを引きやすそう。」
番にくじを引かないと。」

拓也さん「でも最初に引いた人がはずれを引いたら後の人の方が当たりを引きやすいんじゃないかな。」
優希さん「絶対最初にくじを引いた方がいいと思うよ。」
春奈さん「私もそう思う。」
拓也さん「そうかな。残りものには福があるというから 」

じゃんけんをした結果 ， 番目は春奈さん， 番目は優希さん， 番目は拓也さんになりました。くじを引けるのは人回です。引いたくじは元にもどさないものとします。

これについて，（ア）～（ウ）に答えなさい。
（ア）

人で回だけじゃんけんをしたとき， 人のグー，チョキ，パーの出し方は全部で何通りありますか。

（イ） 拓也さんが当たりくじを引く確率を求めなさい。

（ウ） 下の①～④の文の中で，当たりくじを引く確率について，もっとも適切な文はどれですか。その番号を書きなさい。
① 春奈さんがもっとも当たりくじを引く確率が大きい。
② 優希さんがもっとも当たりくじを引く確率が大きい。
③ 拓也さんがもっとも当たりくじを引く確率が大きい。
④
数－３人の当たりくじを引く確率は同じである。

（） 下の図のような，水そうがあります。
今，深さ，高さが底が階段状になっている直方体のとして，この水そうに一定の割合で水を入れていきます。

まで水が入っており，水を入れ始めてから分後までは分間に深さがずつ増加していきます。

これについて，（ア） （イ）に答えなさい。
（ア）

分後の水の高さをとするとき，においてをの式で表しなさい。

（イ） 下の①～④のグラフの中で，この水そうに水を入れた時間と底面から水面までの高さの関係を示したグラフはどれですか。その番号を書きなさい。
②①
高さ

高さ

時間

③時間

④
高さ

高さ

時間

時間

数－４

（） 下の表は，された同じ図形という計算規則によって作られた表です。その表にあるつの数を太線で示で囲みました。に入る数に入る数

これについて，（ア） （イ）に答えなさい。
（ア）太線で示された同じ図形で囲まれた部分の和はある整数の倍数になります。その整数を求めなさい。ただし，ある整数は（イ）表中のつの数を図形を証明しなさい。

数－５以上とします。

によって囲んだとき，どこで囲んでも（ア）の倍数になること

３

昭夫さんと由美さんは，同じ 中学校に通う中学校習しました。達也さんは， 中学校に通う中学校年生です。授業で黄金比と白銀比について学年生です。まだ授業で黄金比と白銀比について学習していません。 人は黄金比と白銀比について話をしています。

昭夫さん「この間，学校で黄金比と白銀比について学習したけど，いろんなところに，この比が使われているんだ。」
達也さん「黄金比と白銀比って一体何。僕の学校ではまだ習っていないよ。」
由美さん「黄金比はつの長さの比が調和のとれた比として知られているよ。」

達也さん「具体的にはどんなところに出てくるの。」
昭夫さん「例えばトランプの短い辺と長い辺の長さの比は黄金比のものが多いらしいよ。」
由美さん「白銀比は学校で使われている用紙の短い辺と長い辺の長さの比なんだって。」
昭夫さん「他にも法隆寺の金堂や五重の塔の建造にも白銀比が使われているよ。」
達也さん「ところで，黄金比や白銀比は具体的にどのように求めるの。」
昭夫さん「授業で習ったんだけど，忘れちゃったなあ。」
由美さん「私が求め方を覚えているから，達也さんと一緒にもう一度勉強するよ。」

昭夫さんと由美さんは白銀比について達也さんに理解してもらうため，学校で使われている用紙をもとに説明しています。

由美さん「サイズの紙を 枚用意して，次のように置くと紙はちょうどサイズの大きさになるよ。」
達也さん「これが，どうなるの。」
昭夫さん「そうそう，由美さん「，サイズの紙とサイズの紙は相似になるんだったよね。」

とおいて の値を求めるといいね。」

昭夫さん「そうだ。相似だから辺の比が等しいことを使うんだったね。」
達也さん「

ア

由美さん「そうよ。このうよ。」

数－７となったよ。」
サイズとサイズ用紙の短い辺と長い辺の長さの比を白銀比とい次に，由美さんが正五角形を例に挙げて，黄金比について説明しています。

由美さん「次は，正五角形を考えてみましょう。この正五角形に対角線を引くよ。」
達也さん「正五角形の中に星ができるんだね。ここにはどんな比があるのかな。」
昭夫さん「だんだん思い出してきたぞ。この中に相似な三角形があるよね。」
由美さん「その通りよ。

達也さん「△と△とに着目してごらん。」

は相似になるんだね。」

由美さん「そうね。正五角形の内角の大きさを求めると，相似であることが証明できるでしょう。」
昭夫さん「とおくととは を用いて表せるね。また，は相似だから辺の比が等しいことを利用して２次方程式をつくったらいいんだ。」
達也さん「 が辺の長さであることを考えて，この２次方程式を解くと，イになるね。」
由美さん「正解よ。この正五角形のこれについて，次の（ア）～（（）（） 波線部の，△（） 下線部の考え方をもとに，辺の長さと対角線の長さの比を黄金比というよ。」）に答えなさい。に入る値を求めなさい。

△であることを証明しなさい。

イに入る値を求めなさい。

数－８

４

久美さんと優希さんは，地震について教室で話をしています。

久美さん「最近，また日本で大きい地震が起きたね。」
優希さん「停電や地盤の液状化現象が起きて，本当に怖いね。」
久美さん「よく新聞で書かれている，南海トラフ地震のことも心配ね。」
優希さん「少し地震のことを学習してみようよ。」

人は中学校の理科で学習したことを確認しています。

地震が起こると速さが速い

波と速さが遅い

初期微動といい，後からくる波が発生する。はじめの波による大きな揺れを主要動という。

波による小さな揺れを波が到達してから波が到達するまでの時間を初期微動継続時間という。
揺れの大きさ

初期微動

主要動

波の到達

波の到達
時刻

人は，ある地域で起きた地震について調べました。次の表は地点 ～ の初期微動が始まった時刻，主要動が始まった時刻，震源からの距離を表しています。
地点

初期微動が始まった時刻

主要動が始まった時刻

時分秒

時分秒

時分

秒

時分秒

時分秒

時分秒

震源からの距離久美さん「この表から 波と 波の伝わる速さが分かるね。ちょっと計算してみよう。」
優希さん「計算したら 波は秒速アで， 波は秒速イるね。」
久美さん「地震の発生時刻もこの表から，求めることができるね。」
優希さん「地震発生時刻は数－９ウと推測できるよ。」

だと考えられ人は 波と 波について， 波波が届くまでの時間と震源からの距離の関係について簡単なグラフをかきました。
震源からの距離（ ）波波秒

波 波が届くまでの時間（秒）

久美さん「地点では優希さん「地点から震源までの距離ってどれくらいかな。」

久美さん「そうね，波を観測して地点での秒後に波を観測したみたいよ。」

波を観測した時間を として方程式をつくってみよう。」

優希さん「 の値がわかったら，震源の位置も分かるね。」

久美さん「 地点では震源から離れているんだって。」

優希さん「私たちが住んでいる福山市から兵庫県の神戸市の距離くらいありそうね。」
久美さん「そうなの。 地点で最初の揺れを感じたら，何秒後に大きな揺れを感じるのかな。」
優希さん「調べてみましょう。」

震源地

これについて，次の（ア）～（ウ）に答えなさい。

（）（） 下線部の考え方をもとに， の値を求めなさい。また（）～に当てはまるものをそれぞれ求めなさい。

地点から震源までの距離を求めなさい。

地点で大きな揺れを感じるのは最初の揺れを感じてから何秒後かを求めなさい。

数－５下の図のように，関数のグラフがあります。このグラフ上に， 点座標をとします。

，点 の 座標をこれについて，次の（（）（）数－点）（）に答えなさい。

を通る直線の式を求めなさい。の面積を求めなさい。

をとり，点の６

下の図のようなから線分辺の長さがに引いた垂線と線分に引いた垂線と線分との交点をこれについて，次の（（）△（）（） 四角形の正方形△）～（があります。辺との交点をそれぞれ上に点 をとり，頂点とします。また頂点から線分とします。

）に答えなさい。となることを証明しなさい。のとき，△の面積を求めなさい。の面積を求めなさい。

数－

受
検番号

第数

学番

解答用紙
得点

(1)

(1)

(2)

(3)

(4)

x(5)

3 点シュート３(2)１本

2 点シュート本(6)

cm3(7)

(3)

(8)
ア

イ

(1)
ウ(ア)

通り分t

km

(イ)
(3)

秒後(ウ)
(1)

(ア)

５(2)

(2)

(イ)

(ア)の倍数

２(1)

(3)

秒

４(2)

(1)

時

６(イ)

(2)

cm2(3)

cm2

受
検番号

第数

学番

解答用紙
得点

(1)

6(2)

8x  y6(3)0(1)△ACD と△DCP において∠EAD=∠EDA= 36３

= 108 － 36 － 36 = 363 点シュート

3本2 点シュート5本

かつ AE=DE より∠CBD=∠CDB= 36∠CAD=∠BAE－∠BAC－∠EAD

１(5)



同様にして∠BAC=∠BCA= 36(2)(共通)・・・①∠ACD=∠DCP

正五角形の内角の大きさは 108x  5,6(4)2∠CAD=∠CDP= 36 ・・・②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しいから(6)△ACD∽△DCP④1 52(3)

540

(7)

y(8)

cm3

ア2x23(ア)

27(イ)

12(ウ)

④(ア)

y  2x  2通り4時(イ)③(ア)5 の倍数(2)t  12(3)

32(1)

秒後

y20∠AFB=∠DGA= 90(m  1)  (m  3)  m  (m  1)  (m  3)

・・・②



∠BAF= 90 －∠GAD・・・③(1) 5mm は整数より 5m は 5 の倍数
(イ)

3x42

△ABF と△DAG において四角形 ABCD は正方形より
AB=DA・・・①
仮定よりm, m  1, m  1, m  3, m  3 とおける。

したがって，囲まれた部分の数の和は 5 の倍数である。

49 秒

84 km(2)真ん中の数を m とおくと囲まれた部分の数は

(3)

分45

４５(2)

２3(1)
ウ(1)

イ7

∠ADG= 90 －∠GAD・・・④③，④より∠BAF＝∠ADG・・・⑤①，②，⑤より直角三角形で斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいから△ABF≡△DAG

６(2)

(3)

2 1515cm292 1515cm264 