Ginzburg-Landau モデルによる強磁性薄膜上の磁区ドメインパターンの研究
磁場掃引時の磁区ドメインパターンのシミュレーション
背景と⽬的薄いフィルム状の強磁性体に対してスピンが全て揃うような強い磁場をかけ、その後磁場をゼロに掃引すると、右下図のようにその掃引速度に応じて島状、迷路状の特徴的なドメインパターンが現れる[1]。

中⻄ 亮* (東京⼤学⼤学院 総合⽂化研究科 広域科学専攻)
指導教員 福島 孝治 (東京⼤学⼤学院 総合⽂化研究科 広域科学専攻, 先進科学研究機構)

・エネルギー汎関数のモデル
今回の系ではエネルギーが4つのエネルギー項で構成されているとする。
が垂直磁気異⽅性

近距離でスピンが揃いやすい。

交換相互作⽤このような現象を再現するモデルのモデル
パラメータとパターンの関係をシミュレーションにより解析し、定量的な関係を得ることを⽬的とした。

モデルを取りやすい。

双極⼦相互作⽤⻑距離でスピンが反対を向きやすい。

外部磁場の効果
図は[1]から引⽤

・時間発展の⽅程式 (TDGL eq.)

• 時間依存のGinzburg-Landau⽅程式（TDGL eq.）系を粗視化して得られる場の変数(以降、を「スピン」と表記)

ドメイン⽣成の核として磁気異⽅性の⼤きさ 𝛼 にガウスノイズを乗ずる。

自由エネルギー汎関数

・シミュレーションの設定• 正方格子 (周期的境界条件)

自由エネルギー汎関数の時間発展• 初期条件 : 1 < φ(r) < 1.1の一様分布• h(t = 0) = 1.5• 磁場の掃引速度と磁気異方性のパラメーターを制御した。の時間発展 (TDGL eq.)

（Lは時間スケールを決める定数）

ハミルトニアンが時間を陽に含まないとき、TDGL eq.の下での自由エネルギーは単調に減少する。

磁場の掃引速度 𝑣 = 10"#, 5 × 10"#, 10"$ , 5×10"$, 10"%
磁気異方性の強さ 𝛼 = 1.0, 1.5, 2.0, 2.5• 交換相互作用 𝛽 = 2• 双極子相互作用 𝛾 =$&図. 磁場の時間発展• スピン数 ( = 格子点数) N = 128 128• 磁場がゼロになってからパターンが落ち着くまで磁場ゼロのまま時間発展させる。

[1] K. Kudo, M. Mino, and K. Nakamura, J. Phys. Soc. Jpn. 76, 013002 (2007)

TDGL eq. の数値解法

磁区ドメイン数の時間発展

TDGL eq. をフーリエ変換して得られるフーリエ成分についての⾮線形な微分⽅程式を数値積分した。

: 波数のフーリエ成分⾮線形項に由来するエイリアシング誤差を避けるため、⾼周波数成分を除去した。
エイリアシング誤差は分点の数が有限であるために⾼周波数成分の評価の際に数値計算上発⽣する誤差である。

: ⼀辺の⻑さ: ⼀辺の格⼦点数: 波数 のフーリエ成分
数値解法として
1. Runge - Ku1a法を⽤いた解法
2. 半陰的解法の2つの解法を実装し、2つの解法で同じパターン、エネルギーに収束することを確かめた。
そして、数値精度と計算量について検討を⾏った結果、以降のシミュレーションではRunge - Ku*a法を⽤いた解法を採⽤した。

エネルギーのパラメータ依存性

最終時刻のドメインパターン
磁気異方性

右図のような特徴的なドメインパターンが得られた。
このパターンをより定量的に捉えるために、磁区ドメインのパターン数とエネルギーに 磁場ついて解析を行った。の掃引速度

平衡状態の磁区ドメインパターンのシミュレーション

結果• パターンの温度依存性

α = 1.0, 2.5 どちらの系においても下記のような振る舞いが確認された。

低温：2方向の斜めのストライプが等確率で現れる。
波数空間上では制限された波数領域の端にピークが現れる。
高温：無秩序なパターンが現れる。

背景と⽬的
磁場掃引時に現れるパターンと平衡状態との関係を明らかにしたい。
⾮平衡• 秩序変数の定義 低温のパターンが波数空間でピークを持つことを反映した秩序変数𝑂p を下記のように定義した。

ただし、は波数 のフーリエ成分。
は低温での2方向のストライプに対応して波数空間でピークが現れる2つの波数ベクトル。
は一辺あたりの格子点数。

平衡

磁場掃引時のパターン

平衡状態のパターンは不明

統計力学的に温度 𝑻 の平衡状態では状態 𝑋 の出現確率は右のボルツマン分布に従うことが分かっている。
••

これまで、双極子相互作用のある2次元系での平衡状態についての詳細な研究はスピン変数 𝜙が±1をとるモデルであるイジングモデルに留まっていた。スピン変数 𝜙 が連続的な値を取るモデルであるGinzburgLandau(GL)モデルの平衡状態は詳細には明らかになっていなかった。
本研究では、マルコフ連鎖モンテカルロ法を用いてボルツマン分布からの状態のサンプリングを行うことでGLモデルの平衡状態の性質を調べた。

シミュレーション⼿法
磁場掃引時のシミュレーションと同じエネルギー汎関数を⽤いる。

α = 2.5, スピン数 16 × 16, T = 80 の系でのパターンとそのフーリエ成分の絶対値の分布. (a) はこの温度で 典型的に現れる実空間のドメインパターンのスナップショット. (b) は (a) のパターンのフーリエ成分の絶対値の分布である.

• 秩序変数と感受率の温度依存性
秩序変数𝑂p に対応した感受率𝜒を定義し、それらの温度依存性をみた。
秩序変数

α = 2.5, スピン数 16 × 16, T = 1 の系でのパターンとそのフーリエ成分の絶対値の分布. (a), (c) はこの温度で典型的に現れる実空間のドメインパターンのスナップショット. (b),(d) はそれぞれ (a),(c) のパ
ターンのフーリエ成分の絶対値の分布である.
感受率: ボルツマン分布での期待値[2] K. Hukushima and K. Nemoto. J. Phys. Soc. Japan Vol. 65, No. 6, pp. 1604–1608, Dec 1996.

エネルギーと⽐熱の温度依存性

まとめ

比熱の温度依存性

前半まとめ•

磁場掃引時の磁区ドメインパターンのシミュレーション

磁場掃引時の磁性体薄膜に現れる磁区ドメインパターンについて、時間依存のGL方程式を用いてシミュレーションを行った。

•

異方性の強さαが大きな系では、十分時間が経った後の系のエネルギーや磁区ドメインの数について掃引速度に関して非単調な振る舞いが見ら

α = 1.0れた。

α = 2.5•

異方性の強さαが大きい系について、掃引速度が速い場合は、磁区ドメインが磁場が0になった後に多数のドメインが現れてそれらが結合するという経過を辿り、掃引速度が遅い場合での磁場掃引中にドメインが形成されてそれらは結合しないという経過とは差があることを明らかにした。

後半まとめ系のエネルギーの温度依存性

種類別のエネルギーの温度依存性

⽐熱と感受率のピーク温度のサイズ依存性••

𝛼 = 1.0, 2.5 どちらの系においても、比熱と感受率のピーク温度はサイズを大きくするに従って近づくことが確認された。
このピーク温度近傍での無秩序相と斜めのストライプの磁区パターンの相の間の相転移の存在が示唆される。
α = 2.5
α = 1.0•

平衡状態の磁区ドメインパターンのシミュレーション

レプリカ交換モンテカルロ法を用いてボルツマン分布からのサンプリングを行い、GLモデルの平衡状態の性質について調べた。
•

低温で斜めのストライプ のパターンが現れることが確認された。

•

低温のパターンをフーリエ変換すると波数空間でピークが現れることを反映した秩序変数とその感受率を定義し、その温度依存性を調べた。結果、感受率の温度依存性には相転移を示唆するピークが現れた。

•

エネルギーと比熱についても温度依存性を調べた。その結果、比熱の温度依存性にも相転移を示唆するピークが、感受率のピーク温度に近い温度で現れた。
•

上記の振る舞いは異方性の強さ𝛼 = 1.0, 2.5 のどちらの系にも共通しており、 𝛼 の大きさによって振る舞いが変わった磁場掃引時のシミュレーションとは対照的な結果となった。このことから、磁場掃引時の磁区ドメインパターンの性質の平衡状態の性質による説明は難しく、系の動的な性質を反映したものであると考えられる。