観測数および銘柄数に依存したVaRの推定誤差に関する実証分析佐々木 豊史，宮崎 浩一，野村 哲史
tl…仙Illl……lll…l……lll……llll………‖ll……lllll‖＝‖‖＝＝＝‖＝‖‖＝＝‖‖＝＝‖‖＝‖＝＝＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝＝‖‖＝＝＝‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖‖＝‖‖‖＝＝‖＝‖‖‖＝‖＝＝‖‖‖Wll…………l刷Ill…………lll…ll……l……ll‖＝‖‖‖‖＝冊VaRの測定は，多くの金融機関において日常行われ

1．はじめにているが，VaR自体の値への関心と比較すると，多くの金融機関は，市場リスク管理をバリュー・ア

VaRの推定誤差に関する意識は相対的に低し−．つまット・l）スク（VaR）に基づいて行っている．VaR

り，本日のVaRは185億円といったように，VaRがとは「所与の信頼水準（分位点）と期間において，過あたかも一つの値であるかのように取り扱われている．

去の市場リターンから想定される損失を測定する」も

しかし実際は過去の市場リターンに基づいてVaRをのである．VaRの測定に関しては，主に，（1）過去の推定するのであるからVaR自体にも信頼水準が生じ

市場リターンに基づく経験分布から分位点を求める方

るため，上記の例でいえば，正しくはVaRを170億法，（2）正規分布のようなパラメトリック分布を仮定し円から200億円などと把握すべきである．このようなて，そのパラメータを過去の市場リターンから推定し

VaRの推定誤差に関する研究は驚くほど少ない．こたうえで分位点を求める方法，の2通りがある．（1）ののような指摘は，我々の調べた範囲では，文献［4，5，

方法では，ポートフォリオのウエートや中身が変わる

11］で理論的にされているに留まっており，実際の市ごとにVaRの測定を行う必要があり実務上現実的な場リターンを用いた実証分析は見当たらない．

アプローチではない．（2）に関してはどのようなパラメ

そこで本研究では，VaRの推定誤差に関して，主トリック分布を採用するかが重要となる．この点に関に次の2点を明らかにするための実証分析を行う．第するパイオニア的な実証研究は，文献［8，10］に遡り，1点は，パラメトリック分布として正規分布を採用し市場リターンは正規分布と比較して，ファットテイル，

た場合でもVaRの推定誤差を考慮するならば，どの高い尖度，等が確認されている．また，近年文献［2，程度経験分布に基づくVaRを把握することができる

6，L7］では，一般化放物型分布族，特にNIG（Nor−のか？ それは，市場リターンの分位点の水準や観測

malInverseGaussian）分布を市場1）スタ管理に利用

データ数にどの程度依存するのか？ である．第2点することが提案されており，文献［1］では，日本株式は，ポートフォリオの市場リスク管理を行う場合，も市場において正規分布とNIG分布のどちらに基づく

しポートフォリオの銘柄数が多くなれば，パラメトリ

VaRが，より経験分布に基づくVaRに近いかに関すック分布として正規分布を才采用した場合でも経験分布

る実証分析を行いNIG分布の正確性を指摘している．

に基づく VaRを正確に把捉できるのではないか？

しかしながら，一般化放物型分布族は多変量分布になである．第2点の背景には，個別銘柄のリターン分布

った場合にそのパラメータ推定が計算負荷量の点から

は文献［8，10］が指摘するように極めて厚いテイルや容易ではないため，現状では，VaR測定のためのパ尖度が確認されるが，銘柄数が増加するに従い中心極

ラメトリック分布として実務上採用されていない．

限定理が働いて，ポートフォリオのリターンは正規分

本研究では実務上幅広く採用されている正規分布を所与の経験分布として採用する．正規分布を採用したある．

本論文の構成は，次の通りである．節2では，ささき とよふみ，のむら さとし
電気通信大学電気通信学研究科〒182−0021束京都調布市調布ヶ丘1−5−1
みやざき こういち
電気通信大学電気通信学部〒182−0021東京都調布市調布ヶ丘1−5−1
受付04．9．16 採択05．1．20
2005年4J】号

布に比較的近くなることが直感的に予想されることがVaRの推定誤差に関する理論誤差を示し，本研究で利用する実測誤差を定義する．節3では，上記第1点を明らかにするために，VaRの推定誤差に関する実証分析手法を提案したうえで分析結果の検討を行う．
節4では，第2点を考察するため，ポートフォリオの© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（59）2TT銘柄数の増加に伴い，中心極限定理的な作用が働くか

データセットノの各リターンデータを小さい順に並べを検証する手法を提案したうえで分析結果を紹介する．

たものをRJ＝（β丘），…，βん），斤お．1），…，βん）），♪＝

節5では，まとめと結語を付す．

Ⅳ・（100−C）／100とし，VaR乞〃が斤み）とβお十1）の間に入らない相対頻度をVaR去，〃の推定誤差と捉える．

2．VaRの推定言呉差について

VaR去，〃自体の分布は正規分布であると仮定している

リターン分布に正規分布を仮定しVaRを測定する

ため，VaR皇，〃の理論誤差は式（3）に示した通りであり，
VaR皇，〃の信頼区間は際，リターン分布の標準偏差を標本推定によって与えるので，VaRがある一定の幅を持つものと考える．

VaR去，N±se（VaRさ，N）

そして，パラメトリック分布として正規分布を採用しとなる．各リターンデータセットが真に正規分布に従た場合でもVaRの推定誤差（標本数に依存する）をうなら，VaR去，〃の信頼区間の内点のいずれかが，考慮するならば，どの程度経験分布に基づくVaRをβみ）と斤み＋1）の間に入る相対頻度が約68％（1標準

把握することができるのか？ について検証する．次偏差分）となる．ところが，実際の個別銘柄のリターで詳しく述べるが，リターンデータセットから推定さ

ンRJは正規分布に従わないことが多く，標本数によれる標準偏差の標準偏差に基づくVaRの推定誤差をる誤差に加えて，分布形による誤差も考えられる．そ理論誤差（式（3））と定義する．VaRの実測誤差は，のため，VaR去，〃の実測誤差は式（3）で与えられるもの

著者等が定義するものであり，リターンデータセットとは異なり，通常，式（3）より大きくなる．そこで，乃のセットを用いたうえで，VaRの理論誤差の定数倍

組のデータセットのなかで，VaRと〃がβお）とβみ＋．）（式（5），（6）における＆，〃（1），脆，〃（2））として与えられの間に入る相対頻度が約68％となるためには，実測る．

誤差としてざe（VaR去，〃）の何倍を見込めばよいか検証
2．1VaRぎ，〃の理論誤差についてする．この倍数を乗数ファクター＆，〃（1）と表す．同観測数がⅣであるリターンデータセットノの分布

様に相対頻度が約95％（2標準偏差分）となるためのを正規分布と仮定したVaR去，〃はリターンデー

タ晶の期待値と信頼水準c％に応じた定数批と，リター

乗数を脆，〃（2）とする．リターンデー

タセットノに関する実測誤差をそれぞれ，式（5），（6）で定義する．

ンデータ動から推定された標本標準偏差粛との積の差で表す．vaRの計算方法はいくつかあるが，本脆，〃（1）・5e（VaR去，〃）（5）

脆，〃（2）・∫e（VaR乞〃）（6）

研究では経験分布とパラメトリック分布との対比を行

また，データセットノに関する理論誤差と実測誤差をうため，式（1）の計算手法を用いている．

比較するための指標を式（7），（8）とする．

」Ⅴ

VaR享，〃＝∑凡／Ⅳ−α。叙粛＝匿ふ（1）−1卜ざe（VaR享，〃）（7）

感＝l＆，〟（2）−2卜ざe（VaR乞〃）

は）

（1）

VaR去，〃の標本数に依存した推定誤差はぁの推定誤差

粛，虜の大きさを指標とすることで，現実のリター
5e（菰）＝♂信（2）

ン分布のテイル部分（信頼水準c％が90％から99％に基づいて得られる．ここで，♂はリターン分布の母まで1％刻み）が，推定誤差も加味したうえで正規分

標準偏差である．式（2）による標本標準偏差の標準偏差

布からどの程度禿離しているかを把揺することができに関する詳細な議論は文献［9］を参照のこと．式（2）をる．
図1には，VaRの理論誤差と実測誤差との関係を用いて，VaRの理論誤差を次で与える．

把握するために単純な例を示した．図を見やすくする∫e（VaRc，〃）＝肘♂信（3）

ために，VaRき，〃の信頼区間の片側だけを示している．

2．2 VaRご，〃の実測誤差について

図1にはデータセットとして，1から6まであり，デVaR去，〃の実測誤差を定義するに際しては，観測数

ータセット数乃が6に当たる．節1において示したがⅣであるリターンデータセットノのみならず，観測数Ⅳのリターンデー

タセットを乃セット考える．

各データセットノ，（ノ＝1，…，〝）に対して，VaR去，〃を求める．VaRき，Ⅳは，データセットノに正規分布を仮定した場合の下側（100−C）％の値を示す．これより，27tI（60）

ように通常VaRをあたかも一つの値として捉えているため，各データセットのVaRは，式（1）で与えられることになる．これは，図1の実線（VaR）で示されている．データセット1，2についてはVaR去，〃（ノ＝1，2）がβみ）とβお＋1）の間に入るので，この二つのデー
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300営業日とし，信頼水準c％を90％〜99％の1％刻リターンみとする．VaR去，〃の測定対象となる銘柄，ポートフォリオおよび指標は，東証一部に属する1，339の個別銘柄，業種ごとに構成される33種のポートフォリオ
およびTOPIXである．データ期間は1998年1月6日から2002年12月31日までの日々の株価の終値を利用している．よって，観測数100，200営業日のデータセットに関して，データセット数乃は1，000で
1

2

3

4

5

6

データセットノ

あり，観測数300営業日ではデータセット数〃は900となる．

図1理論誤差と実測誤差とその禾離（dl）
分析手順

Stepl節3，1に示したすべての株価データからt7

タセットに関しては，通常のVaRでもリスクを適切

次リターンデータを算出する．

に把握しているが，残りの四つのデータセットに関し

凡＝（書一戸ト1）／P仁．

（9）てはりスクを適切に把握することができず，33％（6

ここでβ亡，賞はそれぞれ時点′におけるf：】次リター

分の2）しかりスタを適切に評価していない．次に，ンと株価である．リターンデー

通常のVaRに理論誤差を加味して，式（4）でVaRを

数〃を100，200，300営業日としたものをタ7セット

認識する場合を考える．この場合，データセット3に構成する．データ期間の制約から各データセットはオ

関しては，式（4）の内点のいずれかが，属島）とβみ十1）ーバラップすることになるの間に入るため，データセット1，2に加えて，デーータセットに関してみると，時一真／岬Ⅳ＋1から時一戸、（

タセット3もリスクを適切に把握している．

しかし，

データセット4，5，6については，式（4）でVaRを認

タセットとしては，観測1．′番目（1≦′≦牒）のデ′までのリターンとなる凡から孔〃＋1までを小さい順に並び替えたものが一つのデータセットRととなる．

識してもリスクを適切に把握できず，50％（6分の3）

Step2 各データセットRjに基づき，式（1），（3）かしかリスクを適切に評価してし、ない．最後に，実測誤らそれぞれ，観測数と信頼水準に応じたVaRそ，〃およ

差について考える．先に定義したように，実測誤差はびVaR享，∧rの理論誤差を求める．また，節2．2で示し理論誤差の乗数倍（＆，〃（1）倍）で表す．束数ファクた手法に基づいて実測誤差を計測する．

ター＆，〃（1）を大きくすることで，VaRがリスクをStep3 各デpタセットRjに関して，式（5），（6）で適切に把握する相対頻度が増加する．図1では，与えられる実測誤差を求める．これらの実測誤差やVaRき，N−K。，N（1）・Se（VaR享，N）によって実測誤差が表

Step2で求めたVaRき，NおよびVaR享，Nの理論誤差は，されている．このときデータセット5，6を除くデー

いずれも信頼水準c％毎に〃個得られる．これら〃

タセット1，2，3，4でVaR享，N±Kc，N（1）・Se（VaR享，N）

個の値に関する大きさを把握しやすいように〃個のの内点が斤ん）と斤お＋1）の間に入っているため，約期待値を取ったうえで図示した．つまり，阿2から区167％（6分の4）程度，リスクを適切に評価している

14においてことになる．勿論，実証分析においては，数値探索に基づいて乗数ファクター脆，〃（1）を求めることになる．

⊥

Ⅴ。R＝Ⅴ鵡，〟77J＝1

データセットノに関する実測誤差は式（5）で与えられる
が，ノ＝1の場合を図1に矢印で指した．

3．VaRの推定誤差に関する実証分析
ここではVaRの推定誤差に関する実証分析手法と利用するデータをホしたうえで，分析結果と考察を与える．

動こは，オーバラップしたデータセットを利関する場合．
漸近的な理論推定誤差も相関のある標本の標准偏差に対する誤差で考えるべきではあるが，本研究では，実証分析を簡便に行うたれ データがオーバラップする影響が比較的

3．1データと分析手法′トさいと想定される範囲として，観測数300常業Flを卜限

まず，推定するVaR享，〃は，観測数Ⅳを100，200，
2005年4‖号

1オーバラップしたデータセットを用いるため，データセット間で相関が生じる．式（2）で示している標本標準誤斉の漸近的な理論推定誤差は，母分布から独立に取り出した標本の標準偏差に対する理論推定誤差である．このため，厳として実証分析を行う．

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（61）2丁9

リターン

リターン
−0．12

−0．1￠

−0．14

−0．1

−0．12
−0．08

−0．1
−0．06

−0．08

−004

−0．08

99ヽ 98ヽ 9丁ヽ g8ヽ 95ヽ 9●ヽ 93ヽ 92ヽ glヽ 肌

90ヽ 98ヽ 9丁ヽ 98ヽ 95ヽ 91ヽ 93ヽ 02ヽ 91ヽ 抑信頼水準

図2 VaR。，．。。の推定誤差：パスコ

信頼水準

図6 VaR。，1。。の推定誤差：アラビア石油

リターン

リターン
ー0．08

−0．05

−0．04

−0．03

glヽ 9飢 9丁ヽ 981 95ヽ 01ヽ 93ヽ 921 911 901−0．02

991 98ヽ 9T1 98＼ 951 911 93ヽ 92ヽ 911 g仇

信頼水準

図3 VaR。，100の推定誤差：コスモ石油

信頼水準

図7 VaR。．1。。の推定誤差：損保ジャパン

リターン

リターン
ー0．1

−0．08

」）．0￠

一0．0ヰ

ー0．02

0

99ヽ 98ヽ 97ヽ 98ヽ 95＼ ○■ヽ 93ヽ 92ヽ 9tヽ 9仇99ヽ 98ヽ 9丁＼ 98＼ 951 9■＼ 93ヽ 921 911 納

信頼水準

信頼水準

図8 VaRり。。の推定誤差：空運業

図4 VaR。，1。。の推定誤差：ニチロ
リターン

リターン

ー0．12

−0．1

−0．08

−0．00

−0．04

99ヽ 98ヽ 9丁ヽ 9￠1 95ヽ 91ヽ 93ヽ 92ヽ 引l 肌

99ヽ 98ヽ 9丁＼ 96ヽ 95ヽ 9■ヽ 93ヽ 92ヽ 91ヽ 9仇

信頼水準

信頼水準

図5 VaR。，1。。の推定誤差：日本テレコム

VaR±se＝Ⅴ鵡，〃±5e（Ⅴ鵡，〃）

図9 VaR。，．。。の推定誤差：石油石炭
・5e（VaR乞〃）をプロットした．
VaR±K（1）se＝vaRi・N・Kc・N（1）3．2 分析結果と考察

分析の目的は，「パラメトリック分布として正規分2tIO（62）

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布を採用した場合でもVaRの推定誤差を考慮するな

把握していると判断できる．

らば，どの程度経験分布に基づくVaRを把握するこ

紙面の都合上，数多く行った実証分析結果のほんのとができるのか？ さらに，市場リターンの分位点の一例を紹介する．ここでは，観測数100営業日の水準や観測データ数にどの程度依存するのか？」を検

VaRき，．。。の理論誤差と実測誤差（1標準偏差の大き証することであった．そこで，これを評価するために，

さ）について，個別銘柄ではパスコ（空運業），円本

図2から図14においてVaR±seとVaR±K（1）seをテレコム（通信業），コスモ石油（石油石炭製品），ア

比較する．両者が近ければ近い程，パラメトリック分

ラビア石油（鉱業），ニチロ（水産農林業），損保ジャ布に基づくVaRが経験分布に基づくVaRを適切にパン（保険業）を，ポートフォリオとしてこれら個別企業が属する業種のポートフォリオを，指標としてリターン

TOPIXを採り上げ，それぞれ，図2から図14に示した．ここで採t）上げた業種は，その業種に属する銘
柄数が少ない順に6業種である（表1参照）．このような業種を選択した理由は，TOPIXとの構成銘柄数の相違を明確にするためである．
個別銘柄に関するVaR。，100の推定誤差は図2から
図7によると，どの信頼水準c％においても理論誤差99ヽ 98ヽ 9丁ヽ 9もヽ 95ヽ 91＼ 93ヽ 92ヽ 91ヽ 軌と実測誤差の帝離が大きい企業が多く，どの信頼水準

信頼水準

においても個別銘柄の実測誤差は理論誤差の1．5倍か

図10 VaR。．1。。の推定誤差：水産農林業
リターン

リターン

一0．08

ー0．05

−0．06

−0．04

−0．04

−0．03

−0．02

−0，02

0

−nnl

991 98＼ 9丁ヽ 961 95＼ 91ヽ 93ヽ 92ヽ 91ヽ 9（入g9＼ 98ヽ 9丁＼ 98ヽ 95＼ 91ヽ 93＼ 92＼ 91ヽ 90ヽ

借総水準

信頼水準

図13 VaR。，1。0の推定誤差：保険業

図11VaR。，100の推定誤差：通信業

リターン

リターン

991 98ヽ 9丁＼ 96＼ 95＼ 91＼ 93ヽ 92＼ 91＼ 90ヽ

99＼ 98ヽ 9丁＼ 96ヽ 95ヽ 9●＼ 93ヽ 92ヽ 91ヽ 90ヽ

信頼水準

信頼水準

図14 VaRc，l。。の推定誤差：TOPIX

図12 VaR。．1。。の推定誤差：鉱業

表1対象とした各業種に所属する企業数
晶 パル
3

4

6

7

7

7

17

20

20

22

金融業 ガラス土石
26
25

43

50

60

73

74

属 不動

2005年4月号

92

11

15

34

40

110

140

晶 金属
31

33

94

105

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106（63）281

ら2倍程度となっている．偶然の結果ではあるが，実表2 3種のリターンとそれぞれの観測数によるdl

測誤差と理論誤差との轟離が最も小さくなる信頼水準
が，理論誤差が最大になるはずの99％点となるよう

27．98

乙45 18月7 21．40 22．17 27．50 25．17 23．40 2243 2t80

灯・綱川・81偶・711抑31丁・随101■101陀・舶■H鳳刀1軋乃

な個別銘柄がいくつか見られた．観測数を100営業日とした場合には，他の個別銘柄に関しても大半は，どの信頼水準c％においても理論誤差と実測誤差の禿離は大きかった．図8から図13には，業種ポートフォ

嘲数200 9．85 1883 13．65 1003 10．3114．67 12．刀 12．28 11．83 11，≦柏！禦㍍…刷吼−5側・131過遥10…糾・5＝・78弧侵
個数20010月5 8．揖リオに関するVaR。，10。の推定誤差を示した．多くの場合において，実測誤差の理論誤差からの帝離幅は個

観測数200 16朋 6．49

3．釘

8．17 11鯛12．45 什9413ヱ614j2 16，∽

3之一2 −＝ ○ユー ヱ＝｛孤1021・価糾jO毘▲00

別銘柄のケースより小さく，図14に示すTOPIXのケースよりも大きいことが確認できる．33業種の推

8．肪 13朋 ほ1911．70 gβ8 10朋 9．18 8朋

訟001…18且2 冊7111131ほ揖一日▲10▲72

観測数200 11．10 12．05

9．39

21・13 −…1−01‖朋1

733

637

6．38

4月1 4．86 4．12

390

定誤差の禿離幅を検証したところ，概して信頼水準
C％が90％に近いところで，実測誤差が理論誤差に近棚数200 α31 1．48 0．85 0．謂 0朋 0．53 0．21 0．67 0．58 0．聞
葡慮は拍∝ 1．44 1．38 0．89 0朋 281 1．TO IJ柑 乙98 324 2月0

いことが確認できた．また，その帝離幅は，個別銘柄の帝離幅とTOPIXの帝離幅との中間に位置するもの。。之852．。1
6．92 3．72 11．1310．購10月1 8月0 7．15 7．77 丁．72 7．∞

椒蜘

丁＝…甘72…朋…犯公噌朋■丁一抄であった．またTOPIXに関するVaR。，1。0の推定誤差をみると（図14参照），信頼水準c％が高いところ

、−0

．
．9
8
。2
，「。
加数200 2，47 022 1」2 1．24 280 226 1．貼 226 1．把 2．祁

0劇 Oj9 び丁 ●jT ・12 0・00 丁朋 7■1T T・却

では，実測誤差と理論誤差に範離が見られるが，信頼水準96％以下では理論誤差と実測誤差はおおむね一

9

冊数200

7
。75．
5，∬ 6月3 5．41 4朋 3．叫 330 1朋 之14 1．73 1．祁

御伽00

0．丁3 1．63

個数200

。，。2
2．50 0．89 1j4 2．02 3．11 3．70 2．61 2．43 1．85

■ ＝ …18・7018劇1■1913・嶋12劇1川11■光

致していることが分かる．

ウ

先に述べたように，理論誤差は信頼水準c％が低下すると式（3）から明らかに小さくなるのであるが，個別銘柄に関する実測誤差では（図2から図7参月別，こフォリオに関してある程度みられ，TOPIXに関して

0月 川 3・佗 8瓜 ・∽ 3・訂 3■側 3・12 3ヱ1○のような信頼水準c％とVaR。，100の推定誤差との関係は確認できなかった．このような関係は，業種ポート7。。。T
293 4．16 3．42 2．88 2．30 2．011．88 1．槌

5・丁2 2朋 乙07 2・丁7 朋 ■劇 一・72 川 −¶

2．伽

9
7

働l蛇00
働数300

3朋
5朋

．，2．。

2．42 1．48 128 2．糾 2．90 2．∽ 乙粥 2．嶋 2．お2．13 1月8 3朋 4．58 5，19 ヰ，70 ヰ，18 3，73

3，08

TOPIX

は明確に確認された．
次に，パラメトリック分布として正規分布を採用し1，。。7
観漸鮎胱 1．7ヰ 1．92 1．07 0．87 0．47 0．47 0．09 0．10 0．18 0．08
個数300 乙12 0月2 01旭 0．05 0ヱ4 0．15 0．11 0．14 0．08 0．叫

た場合にVaRの推定誤差が，観測データ数にどの程度依存するのか？ に関して検討する．表2は個別銘

柄，業種，TOPIXについての観測数100，200，300
営業日に関して，式（7）のdブに関する平均を取った払＝粛を示している・表2からTOPIXに関して，

4．ポートフォリオの銘柄数と中心極限定
理

TOPIXに関するVaRの実測誤差は，業種別のVaRの実測誤差よりも小さく，さらに，業種別の観測数が増加するに従い，多くの信頼水準においてdlが減少することが確認できる．式（3）より観測数の増加によって理論誤差が減少することは自明であるので，轟離幅dlが減少すること，もしくは変化しない
ことは実測誤差も小さくなっていることを示している．
また，ここでは紙面の都合上掲載できないが，1，339

個の個別銘柄に関するdは，大半がTOPIXに関する結果と比べ非常に大きいことが実証された．

VaRの実測誤差は個別銘柄のVaRの実測誤差よりも小さかったという節3の結果を踏まえると，VaRの実測誤差と理論誤差との希離幅粛（式（7）から導出）

はポートフォリオの銘柄数の増加に伴い減少することが考えられる．つまり，個別銘柄のVaRに関しては，
パラメトリック分布として正規分布を採用することに問題があったとしても（文献［8，10］），銘柄数が増加する場合には，実務上それほど大きな問題とならない
ことが考えられる．このことは，理論的に，大枠において中心極限定理的なものが働いているものと予想さ282（64）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

0．025

れる．本節では，（1）実データに基づいて，大枠においdlて中心極限定理的なものが働いているといえるか？

O．02（2）ポートフォリオの銘柄数と中心極限定理的なものの0．015

作悶との関係，の2点に焦一点を当てて実証分析を行う．
4．1中心極限定理について

0．01

中心極限定理芳，義，…は，分布F．，昂，…を持つ互いに独立な1

0．005

l

次元確率変数であるとする．

l

書 ●

0

0．5

0

E（羞）＝0，VaR（＆）＝♂孟

1．5

1

2．5

2

（10）

3 3．5

銘柄数の対数値

図15 銘柄数と♂による回帰分析結果と仮定し∫孟＝♂2＋…＋♂羞（ll）と置く．適切な仮定の￣Fで，規準化された和β
一0，006

方1＋…＋ズ云
5乃＝

（12）

J〃

−0．005の分布は標準正規分布Ⅳ（0，1）に近づく．（詳しくは−0．004

文献［12］参照のこと）．本研究では，中心極限定理における確率変数S〃は止規化した各ポートフォリオの−0＿003

りターンであり，先（ノ＝1，…，77）は，各銘柄の日次−0．002

リターンを表している．
−0．001

4．2 データと分析手法
分析の目的が個別銘柄のりターンとしては正規分布

099％98†i 97％

96％

95％

94％

93％

92，も

91％

規分布に近づくかを検証することであるから，個別銘

図16 それぞれの観測数と信頼水i裾二よるl叫1I‡係数（1）柄のプールとして，リターンが正規分布から大きく禾の結果から銘柄数が少なければ，理論誤差と実測誤差離したものを150銘柄抽出しておく．この150銘柄は，の禿離を表す♂は大きく，銘柄数の増加によってd／観測数300営業日での信頼水準99％における藍，〃（1）が小さくなることが確認できる．図15に関して回帰が6以上グ）ものである．

係数の′値は【134．5であり，その値は−0．00202と分析手順

負の値を取ることから，VaRに関してポートフォリ

Stepl150銘柄の中からランダムに銘柄を選び出オの銘柄数による中心極限定理的な作用の存在を確認す．このときの銘柄数は1銘柄，2銘柄と5銘柄以上できるとともに，銘柄数の増加によって推定誤差の轟は125銘柄まで5の倍数の銘柄を採糊し，計27種類

離レJ、さくなることが確認できる．今セ1の実証では，1銘のポートフォリオを作成する．

柄の場合，推定誤差の禿離の最大と最′トの差は0．017

Step2 27種類のポートフォリオについて節3．1

であるが，125銘柄では0．0028となり銘柄数の増加にホした手順によって㌦，粛を求める．

による影響が推定誤差の帝離にもあることが分かる．

Step3 説明変数を銘柄数の対数値とし，非説明変

図16は30通り（観測数3通り，信栢水準10通り）

数を㌦もしくは粛として回帰分析を行う．回帰式はのVaR享，∧rから算出される粛と観測数について，図次のとおりである．

17は蛮と観測数についての回帰係数をプロットした〝＝α＋βr＋ど（13）

ここで〝は㌦もしくは粛を表し，Jはそれぞれのポートフォリオによる銘柄数の対数他を表す．
4．3 分析結果と考察ものである．図16によると，30通りすべての
VaR享，〃に関して，回帰係数βは負である．100営業
日では回帰係数βは全体的に緩やかであり，観測数の増加に伴い，一口I帰係数βは大きくなることが確認

図15は観測数100営業H，信頼水準96％点による
VaR畠6，1。。から算出された粛と，ポートフォリオの銘
柄数の対数値における回帰分析結果を示している．こ
2005年4‖り

90％

信頼水準

から大きく禿離していても，銘柄数を増加させると正できる．また，信頼水準が99％の場合にはLロI哺係数βはその他の信頼水準よリレJ、さい傾向がある．信頼水準99％点に関しては凶14で確認したように，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（65）283大きな信頼水準でVaRを計測することが必要不可欠

β
一0．008であり，パラメトリック分布として正規分布を採用す
ると，推定誤差を考慮しても不十分な場合があるため，−0．006

注意が必要である．
−0．004

謝辞 初稿における不十分な分析内容や表現を指摘し−0．002

た上で，改善の方向性をご教示くださった二人の匿名の査読者には，この場をかりて心から感謝いたします．

0

0．002

参考文献

991 981 97＼ 961 951 911 931 921 引1 901

信頼水準

図17 それぞれの観測数と信頼水準による回帰係数（2）TOPIXのリターン分布であってもパラメトリック分
布として正規分布を利用することに問題点があるため，
このような結果が得られたと考えられる．図17から，100営業日に関しては，信頼水準90，91，92％において回帰係数βが正の値をとる結果となり，VaR去，〟の［1］宮崎浩一，中尾司：「 正規分布とNIG分布 ， ・日次と過次 日本株式市場におけるリスク管理とオプション評

価」高橋一，池田昌之編『ジャフイー・ジャーナル
2003：金融工学と資本市場の計量分析』，149−183，2003．

［2］Barndorff−Nielsen，0．E．： Processes of Normal
InverseGaussianType，

F7nance＆Stochastics，2，pp．

41−68，1995．

［3］BaselCommitteeon BankingSupervision：

2標準偏差点においては中心極限定理な作用を確認す

view of the Amendment to the Capital Accord to

ることはできなかった．しかし，残りの27通りの分

Incorporate Market Risks，

析結果においては，回帰係数βがすべて負の値とな

Settlements，January1996．

っているため，中心極限定理的な作用を確認することができる．また，2標準偏差点においては，観測数
200，300営業日に関する回帰係数βに差はなく，中0ver−Bank forInternational［4］Dowd，K．： AssessingVaRAccuracy， Deriuatiues
Ouarter＆，March，pp．61−63，2000a．

［5］Dowd，K．： EstimatingValueat Risk：A Subjec−

心極限定理的な作用の強さが同程度であるという結果

tiveApproach，となった．

43−46，2000b．

JournalqfRiskE7nance，Summer，pp．

［6］Eberlein，E．and U，Keller： Hyperbolic Distribu−
5．まとめ

tionsinFinance，

本研究では，リターン分布での標準偏差の推定誤差に着目し，この推定誤差を考慮したVaRの利用を提案した．本研究の第1の視点において，ポートフォリ
オの銘柄数を増加させることや観測数の増加によって理論誤差と実測誤差との帝離が小さくなることが確認でき，利用する信頼水準c％が95％以下であればVaRに幅を持たせることで，リターン分布に正規分布を仮定しても概ね問題ないことが分かった．

第2の視点であるポートフォリオの銘柄数とVaRの推定誤差の関係について回帰分析を利用して検証したところ，銘柄数の増加による中心極限定理的な作用が確認できた．よって，VaRの推定誤差はポートフ
ォリオの銘柄数に大きく依存するという第1の視点を支持する結果となった．

Bernoulli，pp．281−299，1995．

［7］Eberlein，EリU，Keller and K，Prause：

Hyperbolic Model，Joumal〆Business，71，pp．371−

405，1998．

［8］Fama，E．F．： MandelbrotandtheStableParetian
Hypothesis，Journal〆Business，36，pp．420−429，1963．

［9］Kendall，M．：
Statistics，Kendall，s Advanced Theory of

HalstedPress，NewYork，1994．

［10］Mandelbrot，B．：
tiveprices，Thevariationofcertainspecula−

JoumalqfBusiness，36，pp．394−419，1963．

［11］Philippe，J∴ValueatRisk，2nded．，McGraw−Hill（杉本正隆訳： 新版 バリューアットリスクのすべて ，シグマベイスキャピタル，2003）．

［12］William，F．：AnIntroductiontoProbabilityThe−

OryandItsApplications，1sted．，JohnWiley＆Sons，
IncリNewYork（回沢清典監訳：

しかし，実務における市場リスク管理の観点からは，確率論とその応用II

上 ，紀伊国屋書店，1969）．

1996年1月にバーゼル銀行監督委員会から公表された文献［3］で提示されている水準である99％といった284（66）NewIn−

SightsintoSmile，MisprlClngandValueatRisk：The© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ