1次の各問に答えよ。
〔問 1〕

25（√5 + √2 ）（√15 － √6 ） （√3 ＋√7 ）＋を計算せよ。
√327〔問 2〕 連立方程式x ＋ 1. 5 y ＝ 182x－5y3を解け。  
＝ 12〔問 3〕 x についての 2 次方程式 x2 ＋ 24 x ＋ p ＝ 0 を解くと，1 つの解はもう 1 つの解の 3 倍となった。
p の値を求めよ。

〔問 4〕 1 から 6 までの目が出るさいころを A と B の 2 人が同時に投げて，それぞれの出た目の数を得点とし，10 回の合計点が大きい方を勝者とするゲームがある。
ただし， 2 人が同じ目を出した場合は，それまでの合計点が 2 人とも 0 点になるとする。下の表は A と B の 2 人がさいころを 9 回ずつ投げた結果である。

AB1回152回
353回
234回
435回
546回
667回
328回
549回
2310 回A と B の 2 人がそれぞれ 10 回目にさいころを投げたとき，A が勝者となる確率を求めよ。
ただし，さいころは，1 から 6 までのどの目が出ることも同様に確からしいとする。

〔問 5〕 右の図のように，線分 AB を直径とする半円がある。
かいとうらん

解答欄に示した図をもとにして，AB 上にAC：CB ＝ 5：1 となる点 C を，定規とコンパスを用いて作図によって求め，点 C の位置を示す
文字 C も書け。

AB

ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

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12021/01/19

11:05:102右の図 1 で，点 O は原点，曲線ℓは y ＝ a x2（a ＜ 0），
曲線 m は y ＝

図1y36（x ＜ 0）のグラフを表している。
x曲線ℓと曲線 m との交点を A とする。

Ｏxm次の各問に答えよ。

A〔問 1〕 点 A の x 座標が － 3 のとき，a の値を求めよ。

ℓ〔問 2〕 右の図 2 は，図 1 において，点 A の x 座標をたいしょう

図2

y－ 4，y 軸を対 称 の軸として点 A と線対称な点をB，y 軸上にある点を C とし，点 O と点 A，点 O と点 B，点 A と点 C，点 B と点 C をそれぞれ結んだ四角形 OACB がひし形となる場合を表している。
2 点 B，C を通る直線と曲線ℓとの交点のうち，点 B と異なる点を D とした場合を考える。

ＯxmA

B

点 D の座標を求めよ。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

Cℓ− 2 −

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11:05:10

〔問 3〕 右の図 3 は，図 1 において点 A の x 座標と図3yy 座標が等しいとき，曲線 m 上にあり，x 座標が－ 12 である点を E，曲線ℓ上にあり，2 点 A，E をＯ

いっ ち通る直線 AE 上にはなく，点 O にも一致しない点をP とし，点 O と点 A，点 O と点 E，点 A と点 E，
点 A と点 P，点 E と点 P をそれぞれ結んだ場合を表している。

mEAxP△ OAE の面積と△ AEP の面積が等しくなる
ときの点 P の x 座標を全て求めよ。

ℓ− 3 −

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32021/01/1911:05:10

3右の図 1 で，△ ABC は AB ＝ 2 cm で，3 つの頂点が全て同じ図1円周上にある正三角形である。

A次の各問に答えよ。

CB〔問 1〕 右の図 2 は，図 1 において，頂点 A から辺 BC に引いた

図2A

垂線と辺 BC との交点を D とし，頂点 B，頂点 C からそれぞれ線分 AD に平行に引いた直線と円との交点のうち，頂点 B，頂点 C と異なる点をそれぞれ E，F とし，点 E と点 F を結んだ線分 EF と線分 AD との交点を G とした場合

EGFを表している。
AD ＝√3 cm のとき，線分 AG の長さは何 cm か。

BD

C− 4 −

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42021/01/1911:05:10

〔問 2〕 右の図 3 は，図 1 において，頂点 B をふく

図3A含まない AC 上にあり，頂点 A，頂点 C
いっ ちのいずれにも一致しない点を H とし，K

頂点 C と点 H を結んだ線分 CH を H のI
H方向に延ばした直線上にある点を I とし，J円の外部にあり，CI ＝ CJ ＝ IJ となるような点を J とし，頂点 A と点 J を結んだ線分 AJ と，頂点 B と点 I を結んだ

B

C

線分 BI との交点を K とし，頂点 B と点 H，頂点 C と点 J，点 I と点 J をそれぞれ結んだ場合を表している。
ただし，線分 CI の長さは辺 CA の長さより短いものとする。次の⑴，⑵に答えよ。

⑴△ ACJ ≡△ BCI であることを示し，4 点 A，B，C，K は 1 つの円周上にあることを証明せよ。

⑵∠ABK ＝ 18°，∠HBC ＝ 28°であるとき，∠AJI の大きさは何度か。

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11:05:10

4右の図 1 で，四角形 ABCD は AB ＝ 104 cm，AD ＝ 156 cm の長方形である。

図1DCA

B

四角形 ABCD の内部に，辺 AD に平行で辺 AD と長さが等しい線分を，となり合う辺と線分，となり合う線分と線分かんかくのそれぞれの間隔が 8 cm になるように 12 本引き，辺 AB に平行で辺 AB と長さが等しい線分を，となり合う辺と線分，となり合う線分と線分のそれぞれの間隔が 6 cm になるように 25 本引く。次の各問に答えよ。  

〔問 1〕 図 1 において，頂点 A と頂点 C を結んだ場合を考える。
線分 AC が，辺 AD に平行な線分または辺 AB に平行な線分と交わるときにできる交点は何個あるか。
ただし，辺 AD に平行な線分と辺 AB に平行な線分の交点および頂点 A，頂点 C は除くものとする。

〔問 2〕 右の図 2 は，図 1 において，辺 AD に平行な線分と辺 AB に平行な線分との交点のうちの 1 つを P とし，

図2

D

C

点 P を通り辺 AD に平行に引いた線分と辺 AB との交点を Q，点 P を通り辺 AB に平行に引いた線分と辺 AD との交点を R とした場合を表している。
ただし，点 P は辺 AB 上にも辺 AD 上にもないものとする。
四角形 AQPR において，PR ＝ 2 PQ となるもののうち，面積が最大になる場合の面積は何 cm2 か。  

RPA

QB− 6 −

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〔問 3〕 底面が縦 6 cm，横 8 cm の長方形で，高さが 9 cm の直方体のブロックを十分な数だけ用意し，⑴，⑵の手順に従って直方体 S，直方体 T を作る場合を考える。
⑴ ブロックの底面を図 1 の直線でできたマスに合わせて置き，ブロック同士の側面がすき まぴったり重なるように隙間なく並べて，底面が四角形 ABCD の内部に収まるような高さが9 cm の直方体 S を作る。
⑵ ⑴で作った直方体 S を何個も作り，直方体 S の高さを変えずに隙間なく 2 段，3 段，4 段，……と何段か縦に積み上げて直方体 T を作る。
この直方体 T が立方体になるとき，使われるブロックは全部で何個か。
ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

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