確率的計画法による生産出荷計画の支援
南石晃明
1111811""111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

め，宮崎県農業試験場と行なった共同研究の一部であはじめにる.

わが国における線形計画法 LP の農業への応用は，1954年にさかのぼることができる[ 1].その後は， L P

2 次計画法 QP ，確率的計画法 S P (農業はもちろん

2. 市場需要関数を導入した計画毛デル
宮崎県産の冬春ピーマン(全国シェア 50%) のように分野ではリスク・プログラミングと呼ぶことが多 L 、)，

市場シェアの高い農産物では，出荷量の増減が市場価格目標計画法 GP ，整数計画法 1 P などが，家畜の飼料設に大きい影響をおよぼすことになる.このため，出荷量計，農家の営農計画，そして全国レベルの農産物需給と市場価格の関係を統計的に推定し，計画モデルに導入

きわめて幅広い問題領域に適用されているすることが必要で、ある.具体的には，生産地域の直面す計画まで，[2] , [3].
本稿では，このうち農業分野における独自の発展もみられる確率的計画法について述べる.確率的計画法(あるいは数理計画法全般)の利用目的は，①国などによる政策効果の事前・事後評価(実在分析)，②県の農業改良普及所などによる営農指導(規範分析)，③農協ある

p=c‑dx+sとすると，生産地域の手取り単位収益川土

r=p‑e

ρ: 当該生産地の生産物の価格x: 出荷量分析)に大別できる.

s:確率誤差

たとえば最近，筆者が行なった適用例として，①では析がある.また，②では関東都市近郊野菜作農家のパイ(2)となる.ここに，

いは地方自治体などの戦略立案や基本計画の策定(規範

開発途上国畑作地帯における新技術普及の制約要因の分)‑(る特定の市場における需要関数をe: 輸送費および包装資料費などしたがって，総収益はπ =rx=(c-e+ ε )x-dx 2(3)プハウスの適正規模の分析や雇用導入効果の分析があとなる7rは z の 2 次関数となるが次の項には確率る.③では冬春ピーマンの全国シェア 5 割を生産する宮変数 e が入っている.

崎県の月別市場プロック別の適正出荷量の推定などがあ化する J ことはできず，不確実性下の最適化基準(たとる(詳細はそれぞれ [2 ]の第 5 章から第 7 章参照).

えば，期待効用最大化とか確率最大化など)を導入する

いずれの適用例でも，収量や価格の予測誤差の不確実なことが必要となる.

動き，そして，これと関連して経済主体のリスク選好の水準が最適解に影響している.

このため

r 7rを z に対して最大

実際には，他産地の出荷量など多様な要因が市場価格に影響するため，需要関数にこれらの外生変数を追加し以下では，市場シェアの大きい生産地域が直面する生なければならない.さらに，一般にはこれらの変数の値

産出荷計画問題に対する確率的計画法の適用例(上記を正確に予測できないため，その予測誤差も推定して収③)の概略を説明する.ここで用いているそデルは，統益関数に導入する必要がある.また，市場手数料も考慮計モデルと計画モデノレを組み合せて利用している点にそしなければ，現実的な収益関数とはならない.さらに，デリング上のポイントがある.なお，この研究は，市場当然、のこととして，出荷先は複数となる.しかし，これ動向に対応した合理的な生産出荷体制j の確立に資するたらの点をすべて考慮したとしても，収益関数は基本的には(3)式と同じである.

なんせき計画部

てるあき

農林水産省農業研究センター農業

干 305 つくば市観音台 3 ー l ー 1

1991 年 10 月号

ここで，確率最大化基準にもとづいて計画モデルを定式化すると，問題 1 のようになる.ただし，他の最適化© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(23)501基準による定式化およびそれらの聞の同値性について

統計~ (1 984-1988年)の市場別月別の年次データを用は [2J 参照.なお，問題 1 では出荷先は n 市場とすいる.対象市場(プロック)は，北海道，東北，関東，る.

北陸，東海，近畿，中国，四国，九州の 9 地域である.

〔問題1]

計測対象月は 10 月 -6 月(翌年)とし，この期聞を I 期最大化

Prod[π 注目(10-12月)，

制約

11 期 (1 -3 月)，m期 (4 -6 月)に区

Ax==b ， x~O分する.月別の計測では安定した結果が得られないた

ただし， π = c'x ーがlYx+ω'x

め，需要関数の傾きは各期内には変化しないものと仮定

π: 総収益推定する.サンプル数は 15= 5 カ年 x3 カ月であり，関1:収益満足水準

数型は (4 )式に示すとおりである.

し，需要関数のパラメータを最小 2 乗法 (OLS) によりprod[・] :[・]が成立する確率

Pij=aij+
hij
qij+
Cij
Sij+
dijdetj
dj2+ i1+(i==1, …, 3. j=I , …, 9)

c: 収益関数の定数項ベクトル (nx 1)(4)

D: 収益関数の係数行列 (nxn)ω: 収益関数の誤差ベクトル (nx 1)Pij:

期 j 市場の宮崎県産卸売価格(円 Ikg)

x: 計画変数(市場別月別出荷量)ベクトル (nxl)qij:

期 j 市場の宮崎県産卸売数量( t)

A: 出荷量の下限および上限制約行列 (mxn)Si
j:期 j 市場の宮崎県産以外の卸売数量( t)b: 出荷量の下限量および上限量ベクトル (mxl)

d1 :各期の第 2 番目の月 (11 月， 2 月， 5 月，に 1 ，問題 1 は，誤差項 O)'x に正規性を仮定することで次の確実性等価問題と同値であることが証明できる [2 ].

その他の月で O をとる月ダミー
dz : 各期の最後の月

なお，最小 2 乗法で推定した需要関数の誤差項には正規(12 月3 月性が仮定されているので，この場合には，誤差項曲'x のaij‑eij:計測すべきパラメータ正規性も満たされる.

ﾔij:期 j 市場の誤差項[問題 2 J最大化
制約

h==6 月)に 1 ，その他の月に O をとる月ダミー

計測結果によると，需要関数の説明力は，市場・月にFz 一 x'IYx
酔一 1

よってかなりの違いがみられる.決定係数が 0.9 以上のAx==b ， x~孟主 0

ここ』こ，V: 収益関数の誤差項 ω の分散共分散行列問題 2 から明らかなように，本稿のモデルでは，収益需要関数は 2 本，0.8-0.9 が 12本，0.7-0.8 が 3 本，0.6-0.7 が 5 本，0.6 未満が 3 本となっている.

これは，需要関数による価格予測誤差の大小からみた不確実性が，市場および期間によって相当異なることを意味し関数の誤差項 ω の分散共分散行列が市場不確実性の構造ている.なお，他産地卸売数量の将来における正確な予を表わしており，モテルに直接組み込まれる.したがっ測は閤難であるため，実際の不確実性は，需要関数によて，収益関数の誤差項 ω の大きさは最適解に影響をおよる不確実性よりもさらに大きくなる.なお，一部の月・ぼす重要な要素の 1 つとなる.

市場では出荷実績が乏しいため計測を行なっていない.

問題 2 の最適解は2 次計画法とセカント法を組み合3.
2 宮崎県産ピーマンの収益関数せた方法などで求めることができる [2 ]. なお，後に収益関数は，需要関数の計測パラメータ，輸送費，他示すように，本稿のモデルは78本の収益関数と 46本の出産地卸売数量予測値，市場手数料 (8.5%) などから算荷制約をもっ確率的 2 次計画モデルとなり，パソコン用出する.たとえば，ソフト需要関数から次のようにして導くことができる.

micro-NAPS で，最適解を得ることができる[2J. ただし，問題 1 ， 2 では，簡単化のために等式の==[0.915(aj+dj)+CjS勺 -tjJ+0.915hjqj+O.9
15(j+cjllj)

3. 確率的計画毛デルの概要(j =I ,…, 9)(5)::.~~，こ，需要関数の推定には，農林水産省『青果物産地 BIJ 卸売

502 (24)

1 期の

η==( 1‑0.085)Pj‑tj

みを示しているが，実際には不等号が含まれる.

3.1 宮崎県産ピーマンの冊要関数

11 月の各市場の収益関数はりj 市場の単位収益(千円 I t)

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オベレーショ γ ズ・リサーチ

出荷プロセス
制約名 U

制約量(t)

不等号

1 11 月北海道下限
1614432 11 月東海下限
8503 11 月近畿下限
4 11 月中国下限
1945 11 月九州下限7476 11 月東北上限
237 12 月北海道下限
2838 12 月関東下限
2 , 133

1・・・

i 北10海月道

910 1
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
76
7 68 6
9 70785月

6fl

11 月

北海道東北関東北極東海近畿中国四国九州…近畿中国四国九州…九州

1三三l=五1

芸五l

三玉

1重五;
;:;

1

三二三五(省略)

42 5 月東海下限
43 5 月近畿下限
44 5 月中国下限
45 5 月九州下限
46 6 月九州下限註.)7161 , 440
3661 , 117
813三五1三五1

主五1三五lさ二重点市場における市場シェア(出荷量)維持制約は，下限として表わす.

出荷実績の乏しい市場における出荷量上限制約は，上限として表わす.

図 1s勺

り

制約条件の概要([ 2]より)

j 市場の他産地卸売数量の計画期間における値し，出荷可能量制約は設定していない.つまり，月期j の(t).本稿では，過去 5 年間の平均卸売数量と最適出荷量(最適生産量ともいえる)も解として求めてする.

いる.

j 市場における他産地卸売数量の予測誤差.木

重点市場における市場シェア(出荷量)維持制約は，稿では，過去 5 年間の平均卸売数量からの毎年宮崎県産シェアの高い重点市場で銘柄品としての高値形の卸売数量の講離幅(偏差)として求める.

成を行なうために，一定の出荷量を長期的に確保する制t
j: J 市場への輸送費(千円/ t)

約である.本稿では，過去 5 年間の市場シェアの平均がCj: j 市場における需要関数の他産地卸売数量の係数40% 以上の市場を重点市場としている.これらの重点市場では，少なくとも過去 5 カ年の宮崎県産卸売数量の最低値は，計画期間においても出荷するものとする.

ただし，その他の記号は (4 )式と閉じ
第3

出荷実績に乏しい I 期および E 期の東北市場に対して項は単位収益の予lJIU 誤差項である.誤差項に他産地予測は，急激な出荷量の増加を防ぐため，計画期間内におけ誤差項仰が入っているのは，正確な予測が困難な他産る出荷量上限制約を設ける.具体的には，過去 5 年間の地卸売数量が宮崎県産ピーマンの価格に影響をおよぼす東北の各月の宮崎県産卸売数量の最大値をもって，計画ためである.

期間における出荷量上限とする.

(5)式において，第 1 項は収益関数の定数項，収益関数の誤差の大小は，市場別月別の価格形成における不確実性の大小を表わしている.月・市場で誤差の3.4 収益安定化と収益追求
計画主体の目標は，上述の制約のもとで，市場分荷に間に負の相関がある場合には，これらの市場への出荷をよって得られる総収益を，可能な限り安定的に向上させ組み合せることで，収益変動(市場不確実性)を低下さることにある.しかし，計画期間に市場で実現される価せることも可能となる.

格は，他産地の出荷量の動向や気象要因など事前に正確3.3に予測できない要因の影響をうけて不規則に変動する.

制約条件

本稿のモデルでは，①重点市場における市場シェア

このため，各市場への出荷量を決定しても，その計画か(出荷量)維持制約および②出荷実績の乏しい市場におら得られる総収益を事前に正確に知ることはできない.

ける出荷量上限制約の制約を設定してる(図 1 ). ただ1991 年 10 月号

このような状況では，計厨主体の収益変動に対する戦© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

(25)503略(リスク選好)に応じて，収益安定化を追求

120r一する計画や収益期待値の向上を追求する計画な

一一一一一

100

ど，種々の最適計画が存在する.具体的には，

収益安定化計画では，過去 5 年間における収益度 80実績値の最低値(1 986年の 123.8 億円)を収益0数 6満足水準(問題 1 のリスク選好パラメータ l )40とする.また収益追求計画では，満足水準を可能な限り高くする.これは期待収益の最大化と同値である [2 ].

2.
53.
5 モデルの現実妥当性
図 2

計測した収益関数に宮崎県産卸売数量の実績値を代入して求めた宮崎県産の月別収益は，収表 1

収益安定化計画解と期待収益最大化計画解の比較([2]

益実績値と誤差の範囲内でよく一致している.

収益関数の誤差の度数分布([ 2]より)より)また，収益関数の誤差項(規準化済み)は，ほ満足水準

ぽ正規分布にしたがっている(図 2 )
. 正規分

収益安定化
計画
123.8億円

f

布との f 適合度検定(級数 11 ， ;(.値 6.89) な

どでも正規分布と有意差はない.したがって，モデルの前提は満たされており，モデルの現実妥当性が高いといえる.

4. 最適生産出荷量と販売計画
本節で 1 1.，モデルから算出される最適生産出

期待収益
最大化計画

(152.4億円)

年間総出荷量(最適解)

4
2
.
9
10t

46 , 830 t(実績の， 880t に対する増減)(2.2%減)(6.7%増)

年間期待収益148.3億円

152.4億円(実績 142.7億円に対する増減)(3.9%増)(6.8%増)変動幅(確率90%)134.8-16 1. 8億円 [133.5-171.2億円

123.8億円を下回る確率

1%

2.3%

計画の特徴

荷量を，宮崎県産出荷実績，宮崎県経済連(県レベルの農協組織)の出荷実績および 1995年販

期待収益低い

高い

変動

小さ

大きい

売計画と比較し，今後の生産計画および販売計画のあり益で 6.8% 増加する.

方に検討を加える.

は 133.5-171.2 億円となる.

また，

L、収益の確率 90% の変動幅

一方，収益安定化をi重視する場合の最適出荷量は

4.
1 宮崎県産全体の最適総生産出荷量
宮崎県産促成ピーマン(1 0- 6 月)の 1987-88年の平均出荷量は，市場全体で 43 ， 880 t であり，収益は 142.742 , 910 t ，期待収益は 148.3 億円となる.

この計画では実績に比較し，出荷量では 2.2% 減少するものの，収益これに対し，収益追求を行なう場合の最では 3.9% 増となっている.出荷量減にもかかわらず収適出荷量は 46 ， 830 t ，期待収益は 152.4 億円となる(表益が減少しないのは，モデルでは月別市場別の最適な分

1). この計画では，荷が行なわれていることと，出荷過剰基調の強い市場お億円である.

実績に比較し出荷量で 6.7% ，収よび月における出荷量の減少による市場価格の~ 1987-88年実績平均~収益安定化計画

E二コ収益追求計画

l/j1
荷上昇を仮定しているためである.また，この場合の収益の変動幅は 134.8-16 1. 8 億円である.
なお，収益安定計画の満足水準 123.8 億円を収

12:
'
1:1

益が下回る確率は，収益安定計画では 1% ，千

収益追求計画では 2.3% となる.
4.2

宮崎県産全体の出荷実績と最適解の比較北陸東海

図 3it:Í

図 3 は，最近 2 カ年 (1987-88年平均)の宮市場

崎県産市場別出荷量と，モデルの市場別最適出

宮崎県産出荷実績と最適解ー市場別比較ー([ 2]より)荷量を比較したものである.東海，中国では，

504 (26)© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オベレーションズ・リサーチ

出荷実績が収益追求計画と収益安定化計画の簡に概ね位置しており，適正出荷量となってい~ 1987-89年実績平均~1995年販売計画

る.これに対し，関東および北海道では，実績留まっていることなどから .10% 以上の出荷増が可能と思われる.また，四国，北陸，東北で出荷量(下 t)が慎重な計画を下回っていることや，また，強気の計画量に対する突績の比率が 87%. 81% に

密室週収益安定化計画

Eコ収益追求計画

は，慎重な計画量をそれぞれ 49%. 43%. 20%下回っており，大鍋な出荷増の余地があること大阪を示している.一方，近畿および九州では，そ営業所

れぞれ実績が強気の計画量を 11%および 6%上回っており，出荷過剰基調となっていることを

図 4示唆している.

経済連出荷実績，販売計画と最適解ー営業所比較ー([2]より)4.
3 宮崎県経済連の販売計画と最適解の比較
ここて、は，

なお，以上と問機に最適解と実績値および販売計画の宮崎県産ピーマンの約 80% を販売する宮比較を月別に行なうことも可能である.月別の分析結果

崎県経済連の販売計厨と宮崎県産全体の最適解を比較すによればる.図 4 は，経済連の営業所別の 1987-89年の平均販売

11 月は逆に出荷量増加が有利となっている.ただし，詳実績.

しい分析結果は紙幅の制約のため省略する.

1995年の販売計画(目標}，モデルの最適解を示している.販売計画は，各営業所が個別l の市場調査を実

5 月

5. む

施しこれを積み上げて作成したものである.

6 月は過剰基調であり，一方，

す

10 月，

び

販売実績と計画を比較すると，大阪営業所では販売計

本稿では，市場シェアの大きい生産者が直面する生産闘が実績を下回っている.また，実績は強気の計画量を出荷計顧問題を確率的計画モテツL として定式化し，宮崎上回っており，経済連出荷に限ってみても，出荷過剰基県産ピーマンの生産出荷計踊への適用例を示した.本稿

調であることを示している.

一方，北海道，九州，東

では，おもに生産者の収益の安定的向上に焦点をあてた

京，名古屋，広島の営業所では，それぞれ実績の 74%.

が，同様のモデルによって，消費者の利益も明示的に考45%. 24%. 15% の販売増を計画している.ここで，宮慮した社会的経済余剰の安定的向上をめざす最適解を求

崎県産全体の最適出荷量(慎重な計画)に対する販売実めることも可能である [2 ].

績は，それぞれ 27%. 50%, 74% , 75% となっており，

参

宮崎県産の最適出荷量に対して経済連販売実績が少ない営業所ほど，大きな販売増を計画していることがわか

ラ巷

文

献

[1J 武藤和夫ほか (1977) :農業経営診断・設計およる.以上の結果から，営業所，'ðIJ の販売計画は，基本的にび計量的経営研究の展開.

はそデル分析の結果からみても妥当なものである.ただ第49号.11，

w農業技術研究所報告 H

pp.35‑93.

し，北海道および九州では，販売計画はモデルの最適出[2J 南石晃明(1 991) :W不確実性と地域農業計画一確

荷量のそれぞれ 48% ， 73% にとどまっている.したがっ率的計画法の理論，方法および応用.11.大明堂.て，これらの営業所では，現在の販売計画以上に販売増[3J 農業経営定量分析研究会〔編) (1985):W農業生産の計爵モデル.11.農林統計協会.の可能性があることを示唆している.

ﾗ1991 年 10 月号

ﾗﾗﾗ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

ﾗ(27)505