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鳥居 秀行
川＝ll…l…l仙川Ill‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖㈱‖ll…＝‖‖‖‖＝＝＝‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖＝‖＝‖＝＝‖＝‖＝＝‖‖＝＝‖‖‖＝＝＝＝‖＝＝＝＝＝＝‖‖洲＝…ll…l…＝‖‖＝‖＝‖‖‖＝＝‖‖＝‖‖＝‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖＝＝‖＝‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝帖では規制強化にむしろ先行する形で精力的に研究に取−・ ・・・い・、・・J

り組んでおり，今日では国際的な金融機関の多くが数

近年9 内外の先進的な金融機関において，社会科学

値シミュレーションを利用した確率論的リスク管理的事象を数万から数十万次元規模のモンテカルロシミ（VaR：ValueatRisk）を日常的に行っている。

ュレーションにより模倣し，リスク管理や経営リソ…

3。非線形⑳超高次元の壁スの配分に役立てる手法が普及しつつある。この種のテクノロジーは経済学的見地から解説されるのが通例より容易な問題である市場リスクのみの計量化ならであるが9 非線形∵多変量の確率論的事象モデル化のばともかく，近年盛んな信用リスクまで含めたリスク実際例として，その工学的側面も十分に興味深い。も計量化の実現には，経済学的諸問題および不可知論的ちろん，臓烈な競争下にある産業研究の常として，詳難題を別にしても以下のような工学的障害がある。

細が公表されることは稀である。そこで本稿では，上。リスク量は非線形特性を持つ確率論的事象。大数位金融機関をユーザ山とし9リスク管理シミュレーシの法則や多変畳正規分布を用いる簡易な統計処理ョンシステムの開発者である弊社の経験をもとに，こでは記述に限界がある。の方面の技術的発展について紹介したい。

①確率変数が非常に多い。大手金融機関を例にとれば9 二竜三要貸出先だけで数万社の企業を個別の確率2。重要性噌ずヨ』スタ計量化技術変数として扱う必要がある。

経済の中核をなす金融機関が破綻すれば，資金決済㊧個別の取引件別に見れば数千万個から数百万個のを通じて影響は連鎖的に拡大する。国際的な金融機関キャッシュフローに分解される￠ 大規模なデータの破綻となれば9 一国経済ばかりか国際金融システム処理が不可欠である。の危機にまで発展しかねない。これが金融専門家の言

ここで9「リスク量の非線形性」とは，市場変動にうシステミックtブスク（有名な銀行破綻の事例から名内在するカオス的挙動，あるいは金融商品のオプショをとりヘルシュタットリスクとも呼称される）である。

ン性のみを指すのではなく，顧客あるいは金融機関自システミックリスクの発生を防止するためには，経営身が金融取引を継続するか背かの選択可能性，外的要内容が悪化した金融機関を金融仲介市場から排除し，凶，法務的なりスクまでをも含めた広範囲の影響の結信用連鎖を断ち切らねばならない。また個々の金融機果を指す。十分に精緻なモデル化を行った場／合，典型

関においては，巨∃已の経営体力に照らしてリスク過大的には次の確率密度分布関数（3期間の累積VaRをになっていないか常に点検する必要があるひ示したもの）のような非線形特性を観察できる（図この困的のため9 各国の金融監督規制は段階的に強i）l．

イヒされてきた。その代表例が且980年代末からGlO各この間題に対して真正面から取り組んだ場合の困難掬において実施されたBIS（国際決済銀行）自己資本さ，特に計算量の膨大さは容易に想像できよう。そこ

比率規制である。1990年代も，中南米危機，北欧通で，現在のように計算コストが低下する以前は，簡易貨危機，ERM破綻，アジア危機9 ロシア危機，米ヘな解析式を組み立ててリスク量を求める以外に計算手ッジファンドの破綻など9 金融危機が相次いだ。民間段がなかった。これは，保険数学（アクチュアリー）の分野であり，契約者の死亡と企業の倒産を同一視しとりい ひでゆき
ニューメリカルテクノロジーズ㈱〒113【0033文京区本郷3【42−5
劉帽（8）てモデル化する。残念ながらこのような簡易手法では，現実に直面する次のような問題を解決できず，結果的© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ8リサーチ

表1金融モデルの登場年代と次元数
変動要素数

利用目的
単変量オプションモデル

1

多変量オプションモデル

2〜3

イールドカーブモデル

3

登場年代

主な解法
解析式またはツリー（二分木）〜1980

1980年代ツリーまたはモンテカルロ

1980年代未 主成分分析＋解析式
1980年代後半 準モンテカルロなど

MBS，MBSデリバティブ
為替、金利VaR

300〜700

1994〜

擬似乱数モンテカルロ

株式VaR

3，000〜

1997〜

擬似乱数モンテカルロ

信用Ⅴ畠R

10，000〜

1997′〜

擬似乱数モンテカルロ〜300月R︶
︻カム﹁
8ハ∠

︵芸︶悼砥仰†小＼面nぺ﹁−昧彗7⁚ ︵り10−1i〕0．0むロ∩▼

ー150′000ー50．0〔J【：】00現在価値評価書貢の変化幅（百万円）︵UO

図1信用リスク量の確率密度関数

0

1′∝0

乙∝D3−0コ〕

4β∝〉5β∝）O

与信残高（百万円）

O
Oにリスク量を過小評価することが今日では判明してい図2 典型的な商業銀行ポートフォリオの姿る．

・個々の統計サンプルに極端な大小がある．大きな与信量を持つ特定サンプルが全体に大きな影響力多い．
以上が今日，リスク管理分野においてシミュレーシ
ョン手法が多用される理由となっている．

を及ぼすケースがある．

・個々の確率変数は単純な相関関係で記述できない．
企業は個別の業績変動以外にも，倒産連鎖の形で他企業から影響を被りうる．産業構造や資本支配のモデル化が必要．

4．計算量の克服
金融においては，多変量の確率変数を扱うニーズは多い（表1）．「先端金融商品」として新しく紹介され・時系列変化を伴う経路依存型モデル特有の困難さ．

るアイデアにしても，大半は1970年代あるいは1980

対象は変化する法制度や会計制度，あるいは経済年代遅くまでに幾多の実務家の手により開発し尽くさ状況に支配されており，適切なバイアス入力も時れた結果であり，利が絡むゆえに一般にはもちろん，に必要となる．

学界にさえ手法が公開されなかっただけのことである．

不均等分布をイメージしやすくするために，現実のそれでもなお，費用対効果を重視する実社会のこと，銀行を模倣した仮想ポートフォリオ（貸出先総数ナンバークランチングな手法採用に至るには，工学お50，000社）を入力とする，信用VaRシステムからのよび数学の成果を待たねばならなかった．数百次元超計算出力を次に示す（図2）．

クラスの数値シミュレーションが一

図2では，Ⅹ軸が各統計サンプルの大きさ（与信額），Y軸が当該サンプルのポートフォリオ全体への般化したのは，はるかに時代を下り1990年代に入ってからである．

今や，弊社製品のCreditBrowserを例にすれば，限界リスク寄与度（与信分散効果），各ドットが一つ邦銀大手行の主要法人貸出先数に相当する取引件別数の与信先企業を示している．仮に図の各サンプルが同150，000，債務者数（≒次元数）50，000，10，000回のじ大きさ，すなわちⅩ軸方向に固まって分布してい信用リスクシミュレーションを約2時間で計算するれば保険数学的手法を援用できる可能性がある．しか（4CPUのCompaq AlphaServer 4100止での計測

し現実には，特定の貸出先に大幅な与信集中があり，値）．小規模金融機関が対象ならば24時間以内に10しかもそれが当該金融機関の行く末に関わるケースが万回級の多期間シミュレーションを十分遂行しうる．

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（9）217

を用意すれば，日本の全法ハイエンドの計算サーバーのが，モデルに要求される次元数増大とともに乱数周

人企業を入力してシミュレーションすることも技術的期を使い果たす危険である。モンテカルロシミュレーに不可能ではない。

ションは乱数を大量に消費する。典型的信用リスクモ

デルでは1企業に1個の乱数を割り当てる単純なモデ

凱＋擬似乱数技術ルであっても10，000回，50，000社のシミュレーショ

数学からは9 高次元シミュレーションに必要な高次ンを行えば5×ユ08個の乱数が必要となる。これはC元均等分布。超長周期乱数が手に入ったことが大きく言語標準のramd関数（線形合同法）の乱数周期に匹寄与している鳳敵する山モンテカルロシミュレーションを安全に行う

モンテカルロシミュレーションの利用者にとって悩には必要な乱数個数の3釆以上の乱数周期が必要とのみは計算量とシミュレーション誤差である。原始的な経験則に従うならば，大半の乱数生成法は不合格となモンテカルロ法（Crude Monte Carlo）の理論性能ってしまう鵬 加えて，限界リスク畳のように条件付き（＝計算誤差）は，シミュレーション回数を期とする確率分布の計算も必要であり，高次元における均等分次式に支配されており9 回数を増やしても容易に精度布性能が重要となってくる。

そこで，特殊なハードウェアに頼り，再現性のあるは向上しない。

シミュレーションが出来ないという大きな欠点（リス0（嵩）ク管理モデルを設計する上では外部監査基準のクリア

1980年代末9 まだ計算機の速度が遅かった時代には超一様乱数列（Low−DiscrepamcySequence：以降，LのS）を使った準モンテカルロが金融界ではよく用いられた￠ 規則性を持った数値列＝mⅢSを使った準モンテカルロを用いれば，シミュレ…ション回数を犯，次元数を♂として，理論性能はが難しく致命的）のある物理乱数を別にすれば，より良い擬似乱数を探さなければならない。これを解決した事例が，慶應義塾大学理工学部（現在，九州大学）の松本助教授㊥西村拓士による擬似乱数MersemneTwisterである。

Mersenne′rwisterは乱数周期219937−1という超長（log乃）d周期，高次元均等分布性を持ちながら非常に高速なア柁となり，単変畳または低次元における，特に期待値や分散を求める用途において大きな効果を発揮する中 例
えば単変量のオプションプライシングには少ない繰りルゴリズムであり，金融リスクシミュレーションにも少なからぬ寄与をしている。

l−．

‥ ・‥・−・−ご ∴二… ∴ミ、、

返し計算で絶大な精度向上の効果があり，1980年代後半の低速なコンピュータでも十分に実用に供したのである。このため，MBS／A眉Sブームに乗って主要金融プレーヤーの間で流行した（大半は『aure列あるいはSobol列の改変版）。現在も実質的に効く次元数（あるいは主成分数）が比較的少ないと推測される
市場VaRの分野で準乱数の利用事例が多数ある。
ところが9 mのSを使用する限り高次元下においては次元数♂が効き，著しく精度が劣化する。また，
VaR計算では分布の其朋寺値近傍ではなく分布のテールが重要であるのに対して，テールにおけるLDSの挙動はよく解明されておらず扱いづらい。モテリレにより確率変数間の記述においてmDS間の系列相関が障害となり，結果が意味をなさなくなる。そこで1990
年代の金融界では擬似乱数（pseudoてandom）が見直された。
ここで擬似乱数のリバイバルとともに問題になった

高次元シミュレーションのもう一つの鍵は，モンテカルロ法の発生誤差を小さくし，少ない試行回数でも収束性を改善する技術である印

擬似乱数をそのまま用いるCrude Monte Carloの収束性能は良くない。しかし，数学D統計学に詳しい者ばかりではない金融実務の世界では，ごく最近まであたり前のようにCrude Monte Carloが使われてきた。特に初期のVaRモデルの中には著名米銀の販売製品の中にすら，「良い乱数がとれるまでひたすら試行を繰り返す」という気の長い方法を採用したものさ
えあった申 これでは高次元シミュレーションなど望むべくもない、〕哩解が進むにつれて必然的に，生成する擬似乱数を操作し，より望ましい確率分布に近づけようとする一連のモーメントマッチング手法が金融界でも普及した。特に，対称変量法と2次サンプリング法（quadraticresampling）は広く用いられている。
この種の操作を行えばシミュレーション回数の多寡

表層酪（10）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ0リサーチ

やuま宣告か p d イ鑓10 ∝lろふ −■一Mean，・…Std∈IⅥ−・か一引堰WneSー・く−Kurtosb lq．八雪∫ ′■十責苦・・・《rt−・10lJ

山 Ⅳ

シミュレーション回数

図3 原始的モンテカルロ法の収束状況

1．6

1．0

セ0．5y ナム図5 リスクリターンの3軸分析＝l諜0・0．？

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布や二重指数分布族に合・わせるなど，数々の応用事例−0．5＿＿＿−．．＿Mean・‥トー
Stdev二−1．0がある．

−・金一Sk白WneSS＿．

Ku111〕S岳−．

なお，弊社ではMersenneTwisterによる多変量乱l−1．5

シミュレーション回数

図4 モーメントマッチング使用による改善効果

数，対称変量法，2次サンプリング手法などをExcelから使用できるアドインソフトウェアNtRandを無償提供している．ここにあげたサンプルもNtRandに関係なく，平均（1次モーメント），標準偏差（2次モーメント），歪度（skewness，3次モーメント），を使用して作成した．
詳しくはおよびより高次の奇数モーメントを，入力データと完

http：／／www．numtech．co．jp／documents／19981222／を全に一致させることができる．次の図はシミュレーシ

ご参照頂きたい．

ョン回数を10回から1，000，000回まで変化させた時の1次から4次までの各モーメントの変化を，原始的なモンテカルロ法（図3）と，対象変量法と2次サン7．金融モデルの新展開
さて，乱数技術に纏わる数学的複雑さ，工学的にはプリング法併用によるモーメントマッチングの結果計算量さえ克服してしまえば，シミュレーション技術（図4）の両方について示したものである．一見しての特性として後の応用は比較的容易である．金融界でわかる通りその効果は劇的である．

もこれは例外ではなく，多彩な成果が花開きつつある

もちろん，急速な収束性改善が見られたからといっ（図5）．て，其の解に必ず漸近することとはもちろん別問題で金融モデルはますます多くの事象を取り込み，連続あり，ある程度の計算試行は必要である．時々，「わ的な市場変垂加ゴかりでなく，様々なイベント事象を織ずか100回のモンテカルロシミュレーションで完壁なり込んだ長期保有シミュレーションまで可能となって答えが出た」といった誤った報告を今でも見かけるこいる．比較的枯れた分野とみなされがちのオプションとがあるが，これは典型的TypeIErrorである．

プライシングでさえその例には洩れない．とはいえ，こうしてようやく金融分野におけるモン

例えば，初歩的なオプションモデルや市場VaRモテカルロシミュレーションも実用城に達した．もちろデルが仮定する資産価値変動の確率密度分布は次の図ん，第一線の金融機関が使用する技術水準のモーメンのような対数正規型である（図6）．

トマッチングでは，多変量シミュレーションで相関係

しかし，経験豊富なマーケットディーラーであれば，数あるいは共分散も合致させたり，別の帰納的手法とこの種の金融モテリレが「平常時の市場」でしか機能せ組み合わせて各種の確率密度関数，例えば対数正規分ず，しばしば起こる「市場急変」にはまるで当てはま

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（11）219

ワーウlへ釘一風 ：wO−ht2（l卿〉
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刀図沌 一般的な市場VaRモデル（7，000資産の株式）

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図8 株式ポートフォリオとリスク分散効果る。

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図7 イベント事象を組み込んだ市場VaRモデル

従来は不可能と思われた規模の計算が可能となった
とき，研究のブレークスルーが起こることは珍しくならないことを知っている。現実のマーケットが仮定しい。天体運動シミュレーションなど，コンピュータをているのは株式であれば次のような確率密度分布であ利用した数値実験が近年盛んであるが，高度な並列処る（図7）。

理実現，数値計算プログラミング技術，ハードウェア

この例は，現実世界の数値モデル化に至る道の険しさを示す事例であり，学者の理論は実用に耐えないと進歩のおかげで，社会科学である金融の分野もまた同様に発展しつつあるのである。

厳しく批判される好例であるが，現実的側面から眺め参考文献て欲しい。マーケットディーラーや金融機関は一見完全市場と思える状況下で多くの収益機会を（そしてリriskstructureofinterestrates，スクも）見出している。

現実に近いリスク0リターンを，コンピュータを使ってシミュレーションできるという事実は，ポートフォリオ最適化理論にも新たな見地を提供しうる（図8）。ポートフォリオDインシュアランスが失敗に帰したことで一度は死んだとみなされたこの分野であるが，新しいテクニックを使っての多くの研究が待たれてい盈盈⑬（12）［1］Mertom，R．： Onthepricingofcorporatedebt：TheJ．ofFinance，29，449−470，1974．

［2］J．P．MorganandCo∴ CreditMetricsTM−TechnicaldocumenL The benchmark for understanding creditrisk， 1997

［3］Matsumoto，M．and Kurita，Y∴generatorsII，Twisted GFSR

ACM Trans，On Modeling and Com−

Puter Simulation，4，254M266，1994．

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