確率モデルとその応用Ⅰ
尾崎 佐治…………ll州l………………………………………………‖‖‖＝‖‖‖…………ll………………ll川＝‖‖‖‖‖‖川…‖＝‖‖州‖………lll…………ll…l………l……………………………l…‖‖‖…………ltl‖‖‖………lll……州…………ll

1．ORと確率ものであり，いわゆる決定論的モデル（deterministicmodel）である（た．だし，確率を考慮した確率的計画

1．1 0Rと確率もある）．一方，応用確率モデルはいわゆる確率論的オペレーションズ・リサーチ（OR）は人間の意志決モデル（probabilisticmodel）であり，その基礎となる定によって影響されるシステムの挙動を解析し，予測考え方は不確実性（uncertainty）が存在することであする定量的モデルを構築して，それを活用する学問でる．例えば，M／M・型待ち行列モデルは客の到着はポある．しかし，現実のORのイメージはそこで使われアソン過程に従い，サービス時間は指数分布に従う待る手法のみが知られている．ORの手法はあくまで手ち行列モデルであり，客の到着もサービス時間もラン段であって，ORは広義のシステムを定量的に解析し，ダムである．在庫モデルは決定論的モデルも確率論モ予測することによってできるだけ効率的な意志決定をデルもある．確率論的在庫モデルにおいては品物の需下すことに意義がある．

要数が確率的であるようなモデルである．信頼性モデ

定量的に解析し，予測するためには既によく知られルはその多くが確率論的モデルであり，アイテムの信たORの手法は当然知るべきである．ORの各手法を頼度が確率そのものであるとしたモデルと，アイテム大別すれば，の寿命時間が確率分布としたモデルがある（信頼性モ
デルにおいて構造のみに着目した決定論的モデルも・最適化ある）．
線形計画

本稿ではORのための確率モデルについて易しく解説する

非線形計画．今回と次回は主に確率論の入門とポアソン過程，再生過程および出生死滅過程について簡単にまと整数計画

める．そして，次々回はORの手法としてよく知られダイナミック・プログラミング

た在庫モデル，信頼性モデルそして待ち行列理論について解説する．

●

・応用確率モデル

1．2 事象と確率
待ち行列理論毎日の生活で天気予報の降雨確率はわれわれにとっ在庫モデルて重要な情報である．コイン投げ，サイコロ投げはもちろんのこと外国為替の交換レート，株価変動などの信頼性モデル

結果をあらかじめ知ることはできない．しかし，いずシミュレーション

れはその結果を知ることができる．このようにあらかとなる．もちろん，上記に述べた以外にもいろいろじめ結果はわからないが，結果を数量的に予測するこな手法がある．上記で述べた手法のうち最適化は主とは可能である．偶然の現象を数学として体系化したに数理計画（mathematicalprogramming）とよばれるのが確率論（theoryofprobability）である．実験や観測を行うことを試行（trial）といい，その起こりうる結

おさき しゅんじ 広島大学工学部

果を標本点（samplepoint）という．あらゆる可能な標〒739−8527東広島市鏡山1−4−1

本点の集合を標本空間（samplespace）という．通常，標本点を叫 標本空間をnで表し，Uが集合nに属724（30）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

例1．4 偏りのないサイコロ投げにおいてはすることを山∈nと表す．

例1．1コインを1個投げれば，表（head）か裏（tail）

P（□）＝吉（i＝1，2，…ナ6）・のどちらかであるから，n＝（∬，r）となる．（〕＝ガA⊂βはAの標本点は必ずβに属することを表す．

はコインが表である標本点を表す．

さらに，A＼β＝AnβCはAに属するが，βには属さ

例1．2 サイコロを1個投げる試行を考えれば，標本ない標本点の集合を表し，差集合（di鮎renceset）とよ

空間はn＝〈ロ，回，回，巨‖司，且）となる・

ばれる．

ここで，□（吏＝1，2，…，6）はサイコロの目がiで定理1．1任意の事象A，βに対しあることを表す．

標本空間の任意の部分集合は事象（event）と呼ばれる．事象の間の演算はよく知られた集合の演算と同様である．ここで，標本空間n，空集合￠も事象である．
任意の事象A，βについて次の定義を与える．

（i）P（AC）＝1−P（A），特にP（￠）＝0（ii）A⊂βならば，P（A）≦P（β）（iii）P（A＼β）＝P（A）一P（Anβ）（iv）P（Auβ）＝P（A）＋P（β）−P（Anβ），

定義1．1事象A，βについて（i）和事象Auβ＝（山：山∈A or LJ∈β）

1．3 条件付き確率ある事象βが与えられたときの事象Aの条件付き（ii）積事象AnB＝（LJ‥LJ∈AandLJ∈B）

確率P（Alβ）は次のように定義される．

（iii）余事象AC＝（山：山￠A）（事象Aに属さない標定義1．3 任意の事象A，βに対して，P（β）＞0なら本点の集合）

ば，事象βが与えられたときの事象Aの条件付き確（iv）排反事象Anβ＝￠率（conditionalprobability）はと定義する．特に，Anβ＝￠のとき，事象A，βは互いに排反であるという．さらに，nは全事象（totalevent）とよばれる．

P（Alβ）＝P（Anβ）
P（β）

によって定義される．

定義1．2 標本空間nの上の任意の事象Aに村し実数

上式は値関数P（A）が定義され，P（Anβ）＝P（A】β）P（β）（i）0≦P（A）≦1と書くこともできる．

（ii）P（n）＝1（iii）互いに排反な事象Al，A2，・‥に対し，任意の事象A，βに対し，β∪βC＝nであるから，次の定理を得る．

p（An）

定理1．2 任意の事象A，βに対し，P（β）＞ 0，・・〉＝享 ＝∑を満たすならば，P（A）は事象Aの確率とよばれる．
確率は上記の（i卜（iii）を満たすよう与えられたもP（βC）＞0ならば，P（A）＝P（Anβ）＋P（AnβC）のであるので確率の公理と考えてもよい．
例1．3 コイン投げにおいては，コインに偏りがなけ＝P（Alβ）P（β）＋P（Alβ亡）P（βC）となる．

ればこの定理を拡張すれば，次のよ．く知られた全確率の叩）＝叩）＝公式（1awoftotalprobability）を得る．
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1997年11月号（31）丁25

定理1．3 A，β1，β2， ，βm は事象とし，ならば，Al，A2，‥・，Aれは独立であると定義する．こβ1，β2，‥・，βnは互いに排反であるとする．すなの事象は独立試行あるいは繰り返し試行とよばれる．

わち，βin句＝￠（壷≠j）とする．さらに，

例1．5 例1．1の公平なコインをm回投げる試行は独A⊂（β1∪β2∪…∪βれ）

立試行であり，m回表の出る確率はnならば，′ ▲ 、P什打方…鞘＝去n

P（A）＝∑p（AlβりP笹‡で与えられる．

i＝1となる．ただし，P（夙）＞0（盲＝1，2，‥・，れ）とする．

定理1．3の仝確率の公式を用いれば，次の有益なべ
イズの定理（Bayes th

1．4 組合せと確率標本空間nの標本点が有限ならば，その数をInlで表す．そのとき，事象Aに含まれる標本点の数をIAlで表せば，事象Aの確率は定理1．4 A，β1，β2， ，βn は事象とし，Pりi＝βl，β2，・‥，βnは互いに排反であるとする．すなわ
ち，βinβj＝￠（五≠J）とする．さらに，によって計算できる．

A⊂（β1∩β2∩…∩βn）

m，たを自然数としてれ≧たとする．れ人の中からた人を並べる並べ方は順列（permutation）とよばれ，ならば，P（βilA）＝

れ鳥＝（m）た＝m（和一1）…（れ−た＋1）

P（A凪）P（βi）∑完1f，（A凧）P（句）となる．例えば，野球チームの打順は9人のバッター

ここで，P（β1），P（β2），・‥，P（乱）はあらかじめ与の並べ方であるからえられるもので事前確率（prior probability）とよばれる．それに対してP（BirA）は事後確率（posterior

9fも＝（9）9＝9・8・7・6・5・4・3・2・1＝9！

probability）とよばれる．事後確率には結果Aが含ま＝3628800

れているから，Aをデータと解釈すれば，ベイズの定理を基礎にしたベイズ統計学（Bayesianstatistics）がとなり，非常に多くの並べ方が存在する．ここで9！は展開できる．

9の階乗 と読む．

れ，たを自然数として，（m）たを定義したが，αを実数，事象の独立性は次のように定義できる．

たを自然数として定義1．4任意の事象A，βに対し，

鳥（α）た＝α（α−1）…（α−た＋1）

P（Anβ）＝P（A）P（β）

あるいはP（β）＞0のとき条件付き確率を用いて，と定義しよう．
例1．6P（叫β）＝P（A）

ならば，事象A，βは独立であると定義する．

（芸）2＝（喜）（ト）＝−…，定轟1．5（独立事象の確率）Al，A2，・‥，Aれは標本空間nの上の事象とする．Al，A2，…，AれがあらゆるAi∈n（i＝1，2，…，れ）に対して（−1）た＝（−1）ト2）…（−1−た＋1）

P（AlnA2∩…nAれ）＝P（Al）P（A2）‥・P（An）

丁26（32）（−1）3＝（−1）（−2）（−3）＝−6，＝た・（た−1）（た−2）・‥2・1・（Tl）た© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ●と定義する．さらに，たが負のときは＝（−1）た軋

一般に，正整数たに対して（；）＝0と約束する．

（た）た＝た（た−1）（た−2）…2・1＝た！と定義したが，た＝0に対しては当たり玉とはずれ玉の入った壷から目隠しをして玉を取り出す試行を考えよう．玉を1つずつ取り出して，（0）0＝0！＝1元に戻さなければ，非復元抽出（samplingwithoutre−placement）とよばれる．一方，1つずつ取り出して元と約束する．階乗の記号を用いれば，（れ）た＝れ（和一1）・‥（れ−た＋1）＝Tl！
（m−た）！と書くことができる．に戻せば，復元抽出（samplingwithreplacement）とよばれる．

例1．8 赤玉がれ1個，黒玉が（m一呵）個人った壷をれ人からた人を選ぶ選び方は円からたの組合せ（com−考える．復元抽出によってr個の玉を取り出すとすれば，そのr個のうちた個が赤玉（当然（r−た）個は黒bination）とよばれ玉）の出る事象Aの確率を求めよう．1回で赤玉の出＝nCた＝（：）（托）たる確率はp＝れ1／mであり，黒の出る確率は1−p＝

乃！

た！ 封（几一坤1一犯1／れである．r個のうちた個赤玉の出る確率は復元抽出であるから，m個の中からr個取り出す組合せとなる．

はれ・m‥・几＝がである−．すなわち，lnl＝れr．一方，
例1．73人をα，わ，Cとすれば，3人から2人を並べる順列は（3）2＝6通りでγ個取り出すとき，そのうちた個が赤玉で，（r−た）個が黒玉である標本点の数は（αり，（αC），（bα），（わc），（cα），（cあ）

刷＝（：）和一几1）r−んとなる．ところが，組合せの場合は順番は無視するかとなるから，ら，（αゐ）＝（むα），（むc）＝（c♭），（αC）＝（cα）

Pりi＝

となり
れf（m一花1）「￣た● （…）＝3q＝㌶＝3通り

れr（三．ラの〆（1−p）r￣鳥となる．この分布は二項分布（binomialdistribution）（αむ），（むc），（cα）とよばれる．となる．

例1．9 例1．8と同様な問題の設定であるが，非復一般に，二項係数（binomialcoe爪cient）は次のように定義される．

元抽出としよう．れ個の玉から r個の玉を取り出すから−n−＝（：）となる・一方・摘の赤玉から■た

定義1．6 αを実数，たを非負の整数とすれば，二項個の赤玉を取り出す組合せは係数であり，（和一ml）
く∫ご）個の黒玉から（r−た）個の黒玉を取り出す組合せは＝αCた＝

1997年11月号（α）鳥＝α（α−1）‥（α−た＋1）なる．これらの事象は独立であるから，© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（33）丁2丁となる．したがって−A−＝（：）（てこて）（i）れ個の中からた個を取り出す復元抽出の数は㌦となる．
（ii）氾個の中からた個を順に並べる順列は（れ）たとな（て）（てこご）叫｝＝る．

（iii）乃個の中からた個を取り出す組合せはとなる・．この分布は超幾何分布（hypergeometricdis−る．

tribution）とよばれる．
（iv）m個の中から同じものを何度でも使ってよいとし

さて，（1＋J）nの展開を考えよう．てた個を取り出す組合せは

叫￣1n（1＋∬）n＝（1＋ヱ）（1＋わ・‥（1＋∬）（mニ竺；1）＝（‡）となるから，この右辺の㌔（た＝0，1，2，‥．m）の係数はとなる．

ちょうど化からたを取り出す組合せになるので（1＋エ）n＝（れは自然数）となる．この展開は二項展開とよばれ，二項係数によ例1．11γl＝た＝3とすれば，（i）33＝27通りって書き表せる．

（ii）3・2・1＝3！＝6通り

例1．10偏りのないコインを投げて，表が出たら1単（iii）（；）＝1通り

位，裏が出たら−1単位ずつ数直線を動くゲームを考Aの確率を求めよう．lnl＝22nであり，2れ回以後に（iv）（3；三：1）＝（；）＝㌶＝10通．り

元の位置にいるためには左右にそれぞれれ回動くととなる．α，む，Cを3個のものとすれば，える．2乃回（偶数回）でちょうど元の位置にいる事象

きであるから，（ααα），（bむわ），（ccc），（ααむ），（α＝），
一A−＝（：）（ゎぁc），（むcc），（ααC），（αCC），（αむc）となる．事象Aの確率はの計10通りとなる．

辺叫｝＝溝＝（：）（妄）2れ例1．12（誕生日問題）クラスにた人の学生がいる．各22−1

学生の誕生日は同等に確か（すなわち，1／365の確率となる．もちろん，例1．8の二項分布から右あるいはで一様分布）で，うるう年は無視する．すべてのクラ左へ行く確率はそれぞれ1／2であるから，スの学生の誕生日の異なる事象の確率を求めよう．明らかに，365通りあるから，lnl＝365たとなる．一方，叩｝＝（：）（去）れ（…）n＝（慧）げとして計算してもよい．これはランダム・ウオーク（randomwalk）として確率論でよく知られたモデ）L／である．

た人がすべて異なる順列は，lAl＝（365）たとなるから，叩｝＝㌃砺

（365）た＝（1一志）（ト孟）…（1一憲）

組合せを計算するための基本定理を以下にまとめ（た＝1，2，…，365）

る．となる．例えば，た＝20とすれば0．5886，た＝30と定理1．5陀，たは非負の整数で，れ≧た≧0とする．
丁28（34）すれば0．2937，た＝40とすれば，0．1204となり，この© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ●

確率は以外に小さい．30〜40人のクラスで，同じ誕生日の学生がいても決して偶然ではない．

さて，定理1．5で与えた結果を次の記号を導入して書き直すこともできる．
＜m＞た＝m

さて，定昇1．6において二項係数はαを実数，たを非負の整数と・して定義した．そこで，几を自然数とした〈：〉＝（…‡￣1）＝（ご）てα＝−れとすれば，二項係数は（てi，）＝（−m）（一犯−1）（一犯−2）…（一犯−た＋1）

この記号を用いて定理1．5を書き直せば次の表のようになる．

た！

（m＋た一1）（れ＋た−2）…（れ＋1）れ＝（−1）た表1．1復元抽出と非復元抽出の順列と組合せ…￣1

復元抽出 非復元抽出＝（−1）た（）順列 ＜几＞た＝れん
組合せ●

陶＝（−1）た（れ二三：1）となる．こは負の二項係数（negative bino−（m）た圃の（7）mialcoe侃cient）とよばれる．負の二項係数を用いれ

例1．14（誕生日問題）例1．12の誕生日問題は表1．1をば，より一般の二項展開復元抽出と復元抽出との比になる．そこで，一般化された誕生日問題は00（1＋エ）￣m＝∑
た＝0

参照すれば，すべてのた人の誕生日が異なる確率は非に亘（…‡−1ト）た＝（m）たふ（れ，た）＝＜れ＞た＝（1一三）（ト孟）・‥（1−誓）た＝0が得られる．ここで，和が有限でなく，無限になることなり，明らかに1imm→∞ん（m，た）＝1となる．従っとに注意．て，mが十分大きければ，た人の順列がすべて異なる確率は1に近づく．しかし，例1．12で示したとおり

例1・13rl＝1，2とすれば，lェl＜1として（1＋J）￣1＝1−ご＋ご2−∬3＋…，●

柁＝365は十分に大きな数でないことを意味する．
例1．15表1．1を参照すれば，次の関数（1叶2＝差（たニ1）（−ご）た00＝∑（た＋1）（−∬）た巨む＝⊥＿こん＝0（：）

はm種類の異なるボールを復元抽出と非復元抽出で＝1−2J＋3ユ：2−4∬3＋…

ランダムにた個選んだときの組合せの比を表わす．この場合となる．

一般に，定義1・6の二項係数を用いて，1￡l＜1と仙た）＝（1＋よ）（1＋㌫）して00（1＋げ＝∑となり，任意の固定した机こ対して，1imれ→∞ム（m，た）＝た＝01となることは明らかである．と二項展開できる．右辺は一般に無限和となる．この公式はニュートンの二項公式とよばれる．

紙面の都合で，参考文献を次回に回す．

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1997年11月号（35）729