極値問題（2）

無限次元なんて恐くない

川崎 英文………………llll…………………l……ll……l………………l…………lll…lll川l……………ll…‖‖‖‖‖＝‖‖＝………ll川…l……lll…l……………ll……………ll川…llll…………ll…lll…ll………………l川m服‖】………l……l……

Bernoulli、Newton、del，Hospitalらによって、最速降1．もぐら超特急

下曲線はサイクロイドであることが解明されました。
極値問題と聞くと、皆さんはどの様な問題を思い浮かべるでしょうか？本稿の読者であれば、直ちに線形計画問題や非線形計画問題を連想することと思いま
すこ ところが私の同僚である数学者でしたら、変分問
題を思い浮かべる人が多いようです。この変分問題と図1は何でしょう？一松信先生の著書l6】の中に、「もぐら超特急」という変分間題の面白い例が紹介されていま

サイクロイドというのは、円盤を転がしたときに円

す；もぐら超特急というのは、地下に振られたトンネ

周上の1点が描く曲線のことです（図1）。もぐら超特ルの中を重力を利用して走る超特急列車のことです。

急の場合、博多・横浜間の所要時間は志ジェットコー

スターを思い浮かべれば分かるように、
0．422

摩擦や空気抵抗が無ければ、原理的には重力のみを推

2¶・ム

10009

丁姦分＝12・4分で丸また、円盤の半径は

ム 筋＝137たmですから、トンネルの最深部の深さは力として2つの都市をもぐら超特急で移動すること

皇＝274たmになります。始発・終点においてサイク 7rができます。そこで、最も速く移動するにはどのようロイドの接線の傾きは無限大になりますので、乗客はなトンネルを掘ればよいかというのが解きたい問題

文字通り奈落の底に落ちてゆく感覚を味わうことにです。

なるでしょう。

2つの都市を博多と横浜として、この最適化問題をモデル化してみます。博多・横浜間の直線距離ムは

2．等周問題約860×1000mですが、この程度の距離ならば地球の丸みを無視しても構わないでしょう。始発博多をA＝

もぐら超特急問題に現れた制約は∬（0）＝∬（エ）＝（0，0）、終点横浜をβ＝（エ，0）、トンネルの形を関数0という扱いやすい条件でした。この種の制約条件は∬（壬），t∈IO，エト重力定数をg＝9．8で表すと、移動端点条件（境界条件）と呼ばれます。これとは異なるタに要する時間（分）はイプの制約条件を持つ変分間題として、等周問題がよく知られています。もともと等周問題とは、与えられ（1）た長さ〜の紐で囲まれる図形の面積を最大化する問で与えられますこただし、坤）は坤）の導関数を表し

題を指します。簡単のために、この間題を少し変形します。従って、もぐら超特急問題は∬（0）＝諾（上）＝0をた次の変分問題を考える事にします。「平面上の2点満たす曲線のうちで、積分（1）・を最小にするものを見（0，0），（1，0）を通り、g＞1の長さを持ち、線分【0，1】とつける問題になります。この様に、未知数がベクトル共に最大面積を囲む上半平面内の曲線ユ車），f∈［0，11ご∈月乃ではなく関数坤）である最適化問題を変分問を求めよ。」曲線の長さも囲まれる面積も積分で表さ

題と呼びます。もぐら超特急問題の原形は1696年にれますから、等周問題は端点条件ご（0）＝エ（1）＝0

J．Bernouliにより提唱された最速降下問題であり、J．

に加えてぷ仰坪dt＝トを満たす曲線のうちで、

かわさき ひでふみ 九州大学大学院数理学研究科〒812福岡市東区箱崎6−1仇1

積分ぶ坤）劇を最小化する問題になりま丸最適解
は2点（0，0），（1，0）を通る円弧になる事が知られていますム

92（36）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ●3．測地線

榊珊瑚一助珊，珊）＝0（6）

別のタイプの制約条件を持っ変分間題として、測地を解くことにより得られますムここで、ム は関数線の問題があります。測地線とは曲面上の2点を結ぶJ（ち∬，よ）の第3変数士に関する偏微分を表しますム次

最短経路のことですム例えば、半径1の球面上の測地に、等周問題（4）の最適解は、適当な定数入を選び、線の問題は次のように定式化されますム3次元空間内

La即弧ge関数をエ拝，ご，盆）：＝J（土，ご，盆）＋入坤，ご，盆）との曲線は、運動する点の軌跡と解釈出来ますム蝿が一

定義するとき、EulerLLagrange方程式と呼ばれる2匹ぶんぶんと飛びまわれば、ひとつの曲線ができるわ

階微分方程式

けですムつまり、ご1一座標、∬2一座標、∬3一座標が時刻

瑚，坤），珊−エ由（t），珊＝0（7）土と共に変化すると考えればよいのです；そこで、各座標をご1（f），ご2（り〇3（りと書くと、曲線が球面上たを解くことにより求まりますゝ さらに、測地線問題あるという制約条件は（5）の最適解は、fに依存する適当な定数入（りを選び、

Lagrange関数をL（t，X，盆）：＝f（t，X，盆）＋入（t）h（t，X）と∬1（り2＋ご2（り2＋∬3（り2−1＝0∀f（2）と表現されます。結局、この間題は端点条件

定義するとき、Euler−Lagrange方程式と呼ばれる2階
微分方程式（∬1（0），∬2（0），〇3（0））＝α，（ヱ1（1），∬2（1），ご3（1））＝ムに瑚，勅坤）トム胸（t），坤））＝0（8）加えて相制約（状態制約）と呼ばれる制約条件（2）の下で、積分ぷれ（り2＋盆2（t）2＋あ（f）2dfを最小化する問題になります。直感的にも明らかな様に、2点を通を解くことにより求まります。

ここまで書けば、非線形計画問題

る大円が測地線ですム

Minimize J（T）
（9）

Subjectto hi（x）＝Oi＝1，‥．，m4・Euler−Lagrange方程式

に対するLagrange乗数法との共通点に気付いたことと思いますムLagrange乗数法によれば、Xが非線形計

以上、変分間題の例を3つ挙げましたが、これらは画問題（9）の極′J、解ならば、適当な定数入1，‥．，入mをそれぞれ次の形にまとめる事が出来ますム先ず、もぐ選び、Lagramge関数をL（x）：＝f（x）＋入1hl（37）＋…＋ら超特急問題は

入m九m（諾）と定義するとき、箸＝＝＝1，…，れがMinimize Hf（t，37（t），i（t））dt
Subjectto x（0）＝a，X（T）＝b

成立しますこ（3）

方程式と微分方程式の違いはありますが、目的関数の形をしていますム問題（3）は変分法の基本問題と呼と制約関数をLagrange乗数入，入（l），入iを用いて組ばれてみ合わせL喝range関数を構成する手順は同じです。

●

一見すると、等周問題の積分で表される制約条件は（f，榊

subjectto Hh（t，X（t），孟（t）df＝0（4）のLa訂弧ge乗数入で事足りま・九それに比べて、簡∬（0）＝α，∬（r）＝わ

単そうに見える測地線問題の相制約は、f毎に条件がと表されます云広い意味では、この形をした変分間設定された無限個の等式制約ですので、無限個のLar

題を等周問題と呼びますム さらに測地線の問題は、

grange乗数入（t）が必要になりますム（ェ1（f），〇2（f），ご3（f））をベクトル記号を用いて項）と書

ここまで考察が進めば、これらの問題を統一的にくと、次の様に表現されます云取り扱えるのではないかと考えるのは自然なことでMinimize H／（t，X（t），i（t））dt
Subjectto h（t，X（t））＝0∀t
ご（0）＝α，∬（r）＝わ

難しそうですが、所詮は1個の等式制約ですから1個

丸GirsanOVI5J，Iofrb，Tihomirov［9I，Luenberger［14】，（5）Neustadt【15］をはじめとする多くの研究者の努力により変分問題はおろか更に広いクラスの問題である最

それでは、変分問題を実際に解くにはどうしたらよい

適制御問題も統一的に取り扱う事が可能になりましでしょうか？基本問題の最適解はE山er方程式と呼ばた。非線形計画問題において未知数はn次元Euclid

れる2階微分方程式

空間の点ご＝（Jl，…，諾m）ですが、変分問題では未知© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

1997年2 月号（37）93

かと思いますが、関数空間では関数坤）もひとつの一般に最適性条件というのは、Lagrange乗数法やKuhn−Tucker条件の様に、最適解が満たすべき（最適性必要条件）、あるいは最適解であることを保証する
条件（最適性十分条）を指しますム特に、1階微分の点と見なします。月3の点を3個の成分を持った点とみを用いて表現された最適性条件を1次の最適性条考えるのと同様に、関数を無限個の成分を持った点と件、1階微分と2階微分を用いて表わされた最適性条考えるのです。このアイディアに基づき、関数坤）に件を2次の最適性条件と呼びますムここで1階微分と対して2階微分の違いは、作図における定規とコンパスの違数は関数坤）なのです；関数の集まりは関数空間と呼ばれ、一般に無限次元空間になります。関数コ申）というと、そのグラフである曲線を思い浮かべる人が多い

いだと思えばよいでしょう。定規で描くことが出来る

J（ち〇（f），盆（り）戯F（ェ）：＝（10）

りに曲線も描くことが出来ます。
ところで高校の頃、1変数関数J（〇）の極値を求め∬（0）−αガ（諾）：＝のは直線だけですが、定規とコンパスを使えばそれな

ご（1）一わ（11）ふ佃坤），坤））dt

るにはJ′（∬）＝0を解けばよいと習いましたが、この条件は1次の最適性（必要）条件ですもさらに、大学とおけば、等周問題（4）は次のようなスッキリした形

1年の時Tもylor展開の応用として次のことを学びまに書き直されます。

した。「極小解においてJ′′（∬）≧0が成立し、逆にハ諾）＝0とJ′′（∬）＞0が成立すれば∬は極小解にMinimize F（x）
（12）

Subjectto H（x）＝0・なる。」前者が2次の最適性必要条件、後者が2次の最適性十分条件です。見た目は全然違いますが、実は同様に、不等式制約を持つ極値問題は次のように抽象

Euler方程式も1次の最適性必要条件ですム

化されますムこのように、大学1年生の教科書にも載っている基

Minimize F（x）

本的な概念である2次の最適性条件（特に、十分条

Subjectto G（x）∈K，H（x）＝0

件）を、問題（P）に対して統一的な形で構成する事
ここで∬はノルム空間の内部が空でない閉凸錐です。

が我々の分野の大きな目標のひとつですム

例えば、時刻t毎に最低限の達成目標J（りを設定した
そして、合成関数、epi−導関数、包絡線項等の研究がエ（り≧J（t）∀f（13）

ここ10年程の間に進展した結果、霧が晴れてようやという片側相制約は、凸錐∬：＝（関数〇；〇（t）≧

く頂上付近が見えてきたと言った状況なのですム な0∀t）を用いて、エーg∈∬と表すことが出来ますもお、ここに挙げた見慣れない概念は本節の後半で説明

現在、研究の対象となっているゐは、この抽象化されしますム

た不等式制約C（ご）∈∬を持つ最適化問題に対する2、

ところで、これらの1次の最適性条件を導く基本的なアイディアは意外と単純ですム

次の最適性条件ですム

今、見たこともない果物が目の前にあると想像して5．1次と2次の最適性条件
人間ドックに入ると、胃の透視や腹部超音波検診等下さい。中に空洞が空いているかもしれませんし、種が沢山はいっているかもしれません。この果物の中身を知るにはどうしたらよいでしょうか？

さまざまな検査を受けますム検査の結果が全て白なら答えは簡単です。ナイフで切って見れば分かりま

万々歳ですが、疑わしい検査結果が出た場合は精密検すム勿論切り口をひとつ見ただけでは不十分ですか

査をうけることになりま弟例えば、胃のレントゲン

ら、何度もナイフを入れる必要があります；かと言っ写真に不審な陰が見つかれば、胃カメラによる詳しいてやみくもにナイフを入れたのでは、バラバラになっ検査を受けます。最適性条件も同様に、最適解を見つた果物の残骸が残り彼の処理に困りますから、整然とけるための検査だと思えばよいのです。胃の透視が1

ナイフを入れなければなりません。これらの要求を満次の最適性条件に、胃カメラが2次の最適性条件に対たす最も単純で自然なナイフの入れ方は、メロンを切応します。

るように、調べたい箇所を通る直線に沿っ七放射状に94（38）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

切ることです。このアイディアを極値問題（P）に当て

非線形計画問題（NLP）の場合、Ⅳ＝ガ、その共役

はめると、方向封を変えながら解の候補豆を通る直空間は兄上、極錐∬○は非負象限埠、＜γ■，G（〇）＞

線豆＋勒（♂＞0）上でダ（∬），C（∬），ガ（ェ）のグラフ

は内積∑畏1即豆Ci（ご）になりますので、エ（訂）は通常のを切り、その切り口を観察することになりますこ この

Lagrange関数F（x）＋∑芸1ViGi（x）＋∑；＝1WjHj（x）

際、関数が豆で増大するか、減少するかさえ調べればに一致しますム従って（15）はKarush−Kuhn−れICker条

十分です。この単純なアイディアが、変分法や最適制

件に他なりません。また変分問題に適用すると、Eu−

御問題のような複雑な問題を解く時も、そっくりその

1er方程式を始めとする上述の最適性条件が全て導かまま使えるのです。その結果、適当な正則性の仮定のれますム

下で、問題（P）の極小解において

ところが残念な事に、（15）の解が極小解になるとは限りません。極大解や鞍点でも（15）を満たすことがあ（14）

坤●。（拙鞠＝。．

〈●

ります。これは1階微分という「定規」を用いることによる限界です1つまり切り口を調べる際に、定規でを満たす方向y∈ズは存在しない事が導かれますム

は切り口の曲線の傾きしか分からないのです。曲線のここで、ダ′等はRむhet微分、Cgのme（∬−C（豆））は曲り具合を読み取るには、「コンパス」に対応する2∬−C（豆）を含む最小の閉錐を表します。fY＆het微分

階微分を利用しますム この事により、より精密な検査に馴染みの無い方は、通常の微分と思っても、本稿をが可能になります。

読むのには差し支えありません。例えば、有限次元空

先程1次の最適性条件を導く際、我々は真っ直ぐナ間における非線形計画問題

イフを入れました。2次の最適性条件の先駆者であるFiacco，McCormicl3】はこの手法を押し進めて2次

Minimize F（x）

（NLP） subjectto Gl（x）≦0，‥．，G，n（x）≦0の最適性条件を導きましたが、Ben−T叫Zowe【1】らは別の手法を提案しました。彼らはカープを描きながらガ1（茸）＝0，…，職（∬）＝0

ナイフを入れて、切り口を観察したのですこ正確にはの場合、R鹿het微分ダ′（ェ）は勾配ベクトル∇ダ（ェ）に

curvedvariationと呼ばれる曲線x＋Oy＋02z上で関なりますム また、〝としては月mの非正象限月竺を数F（∬），C（∬）巨打匝）の増減を2階微分まで如、て調とります。この時（14）はべました。ただ、全てのcurvedvariationを調べる必要はありません。既に1次検査で自と判定された方向∇F（豆）y＜0，∇ガ1（豆）y＝0，…，∇ガ1（豆）封＝0，

封はパスして構いません。精密検査が必要なのは臨界∇Cj（豆）y≦Oir q（豆）＝0方向と呼ばれる次の条件を満たすyですムとなります。つまり、（14）は、点豆からその方向に少●し移動しても（1階微分を用いて判定する限りにおい（16）脚。（…（胴′（佃〈ては）制約条件を満たし、目的関数ダの値が確実に
例えば、非線形計画問題でダ（ご1，∬2）＝（Jl−1）2＋減少する方向を表します。条件（14）は1次の最適性必芳…，C（∬1，ご2）＝〇1−戎≦0，豆＝（喜，去）の場合、図要条件の主形式と呼ばれますムこの主形式を分離定理の接線方向が臨界方向になりますムを用いて別表現したものが次の定理1で、双対形式と呼ばれます云XZ

定理1適当な正則性の仮定の下で、豆が極小解ならば、適当な㌦∈〝○とび＋∈Ⅳ■を選び、血タmnタe関数をエ（ェ）＝F（ェ）＋＜即＊，G（ご）＞＋＜ひ■，ガ（ご）＞と定義する時
エ′（豆）＝0，＜㌦，G（豆）＞＝0（15）が成立する。ただし、Ⅳ＊ は共役空間、●∬0 は極錐（γ■∈V★；＜γ■，γ＞≦0∀u∈〝）を表す。

1997年2 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

図2（39）95実際にはBen−Trhlらは全ての臨界方向ではなく定理3と従来の結果の違いは付加項∂＊（㌦匿（封））ですゝ 定理3を導いた時点ではダ′（豆）封＝0，〈G′（豆）訂∈00乃e（〝−G（豆）），ガ′（豆）y＝0．

（17）、この項が何を意味するのかよく分かりませんでしたが、その後の研究【11】【12】により、付加項が不等式制約から生成されるを満たす臨界方向に対して精密な条件を与えました。

包絡線の2階微分と密接に関係する事が明らかにな

定理2【1】豆をげノの極小解とすると、適当な正則性りましキ。突然、包絡線と言ってもピンと来ないと思いますので、包絡線の簡単な例を挙げておきますムの仮定の下で、条件「Jりを満たす各臨界方向封に対して、ある㌦∈∬0，Ⅷ＊∈Ⅳ＊が存在して次式を満たすゝ

エ′（盃）＝0，エ′′（豆）（y，封）≧0，＜u＊，C（豆）＞＝0，＜u＊，C′（豆）封＞＝0．

●

（20）

非線形計画問題の場合、エ′′（〇）はL喝range関数の

図3

H崩張e行列（∂2ェ／∂緑桓）に、エ′′（∬）（封，封）はツアェ′′（ユ加になります。

パラメー

タt∈ト1，1】を持つ直線族C（〇，f）＝2f∬−t2のmax一型関数j （T）：＝maXtG（x，t）を考えると、包一見すると、臨界方向に関する2つの条件（16）と絡線J（ご）＝∬2，（l〇l≦1）が生成されます（図3）。こ（17）の違いはほんの僅かに思えます云しかしこの僅かこで重要なことは、各直線の芳に関する2階微分は0な違いに大変面白い現象が潜んでいることが80年代であるにも拘わらず、包絡線の2階微分は正になると後半に分かりました。この違いを説明する為に、5節いう事です。前節の終わりに片側相制約∬（f）≧申）∀tを振り返って見ましょう。すると、1次にせよ2次にを挙げて説明したように、一般不等式制約G（〇）∈∬せよこれまで述べた最適性条件は全てLagrange関は有限個あるいは無限個の不等式制約を抽象化した数を用いて記述されていた事に気がつきますムところものです云また、不等式制約というのは、「なた」を使が、Ben−判らが検査し残した臨界方向を調べるためった一刀彫りの様に、エー空間を削り取って許容領域をにはLagrange関数だけでは不足なのですム馴染みは形造るもゐです云有限個の不等式制約では有限回しか無いかもしれませんが、次の集合を導入することによなたを入れませんから、ゴツゴツとした許容領域が形り、それらの臨界方向にメスを入れることが可能にな造られるだけですが、無限個の不等式制約の場合は、りました。

なたの入れ方によっては滑らかな許容領域が出来上が定義1【101ノルム空間Vの任意の要素祝，Uに対し

りますムつまり包絡線（包絡面）が形成されることがあて、Vの部分集合（ひ∈V；］0（1）β．f．β2祝＋蝕＋ひ＋り、その結果上述の2階微分のギャップが生じますム実

0（1）∈∬∀β＞0）を宵（叫ル）と書く。ただし、0（1）はは、このギャップを埋めるのが付加項∂＊（㌦l∬（y））な

β→＋0のとき0に収束するVの要素とする。また、のです。この事実により、この項は包絡線項と呼ばれ耳（C（可，G′（豆）y）を∬（封）と書く。

ます。詳しい説明は［10】rll】【12】を参照して下さい。
包路線項に関連した文献は、集合制約を持つ場合へ定理3llO】豆を問題「りの正則な極小解とする。この定理3の拡張がCominetti（2】，2次の最適性十分条のとき∬（y）が空でない各臨界方向yに対し、ある

件はIofkl7］，Penotl16），下半2次方向微分については㌦∈∬0，ぴ＊∈Ⅳ＊が存在して、rJ動作研こ加えて

Iof艶l8】があります。特に、2次の十分条件を研究していく上で、Rocka鈷11arl17】とIof艶l71は重要です云Rock−上′′（豆）（仇封）一2∂ヰ（㌦l∬（y））≧0，（21）

ah11arは合成関数の形をした目的関数の最小化問題

が成立する。ただし∂＊（㌦匿（封））は支持関数β叩（＜に対して、epi一導関数を導入して2次の最適性条件をが，U＞；U∈打（y））を表す。

論じました。また、IoffbはRocka砧1larの結果と包絡96（40）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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線項を融合させました。ここで言う合成関数とは、例有界であるから、適当な部分列を選ぶことにより、そえば有限個の関数のmax−型関数J（可：＝m嘩1ム（〇）の極限は条件…を満たす。」は使えません。有界点列をダ（∬）：＝（ム（ご），…，ん（ご））とg（机，…，凱m）‥＝だからと言って、収束する部分列を選べるとは限らな

max畏1肌を用いてJ（∬）＝β（ダ（∬））と表したものをいからです云指しますム各ム（諾）が滑らかならば、ダ（∬）も滑らか（B）無限次元空間でも月¶でも様々な距離を考えるこですし、g（封）は区分的に線形になっています。このよとが出来ますが、月れの距離は本質的には皆同じです。

うに、問題の難しさを2つに分解して取り扱おうといしかし、無限次元の場合には本質的に異なる距離が何うのが、RockafdlarO）基本的な姿勢ですムまた、epi一種叛か存在します。次の2つの関数の距離は近いでし

導関数はepi一収束の概念を用いて定義された微分でょうか、それとも遠いでしょうか？

すこ大雑把に言えば、通常の微分の定義式に表れる極限をepi一収束という極限で置き換えた物がepi一導関数です。パラメーX 占 yタtをもつ下半連続な関数族ムが下半連続関数Jにepi−収束するとは、ムのエピグラフ●

epiJ亡：＝（（ェ，r）；ム（茸）≦r）がJのエピグラフに

1imd（epiんE）＝d（epif，∈）∀E tの意味で収束することを指しますムただしd（epiJ，∈）は集合epiJと点∈の距離を表します。例えば、パラ

図4

メータt∈月をもつ関数族
ifご＝f，
Ⅷヨ姐E・一員貞 ifご≠f．

「どちらとも考えられる。」と言うのが正解です。距離d（∬，封）：＝maX再（り−封（川で測ると近く、距離dl（T，y）：＝maXtlx（l）−y（t）l＋maxtLi（t）−b（t）・で測について、f→＋0のときムはふにepi−収束しまると遠くなります。それ故、極小解（その点の近くで丸 しかし、各点収束の意味ではJ（∬）≡1に収束しは最小解）を議論する際はどちらの距離で考えているます。この例が端的に示すように、epi−収束は、各点のかを明確にしなければなりません。変分法では、距収束が取りこぼしていた値（この例では、各関数の最離dに関する極小解を強極値（C一極値）、距離dlに関小点0）を拾い上げる事が出来ます。epi一収束についてする極小解を弱極値（D一極値）と呼びます云後者は関数はRockafbllar，Wets【18】を参考にするとよいでしょう。

の値だけでなく導関数の値まで近いとき初めて2つの関数は近いと考えますから、近い関数が少ないこと

6．無限次元空間の心得になります。そこで一番良いと言っても説得力に欠けるので、弱極値と呼ばれるわけです；
極値問題を（P）の形に抽象化することの利点のひと（C）ほとんどの関数空間では角度を考える事が出来

つはn次元Euclid空間Rn との共通点が明確になません。角度を考えることの出来るノルム空間を内る事です。しかし何もかも月mと同じと言うわけには

積空間、完備な内積空間をHilbert空間と呼びます。

行きません。本節では、特に注意すべき事項をピック

Hilbert空間は関数空間の中では最も良い性質を持つ

アップしておきます。詳しくは、関数解析の入門書や空間ですか［鞘9日3］【14】［15】［19】を参照して下さい。

良い事が多いのですが、残念な事に次の2つの理由に（A）月nでは閉球（ご；llごIl≦γ）はコンパクトですより不等式制約には向いていません。Hilbert空間のが、無限次元ノルム空間の閉球はコンパクトにはなり

代表例であるエ2：＝（∬；Jご（f）2df＜∞）の閉凸錐

ません。その結果、連続関数が閉球上で最大値、最小（ご∈エ2；諾（り≧0∀f（正確にはa．e．t））は内点を持ち値を持たないことがあります。また、閉凸集合Cとません。また、片側相制約を持つ変分問題はLagrange

点α≠Cに対して、αに最も近いCの点が存在しな乗数が特異性を持つため、本質的にHilbert空間ではいことがありますム さらに、アルゴリズムの収束性を議論が無理です。さらに（B）で挙げた2つの距離を入証明する際よく利用する論法「生成された点列ごたはれた連続関数、連続微分可能関数の空間はどちらも内1997年2 月号

ら、そこで議論できれば一般には都合の© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（41）9丁積空間にはなりません。これらの事実は、数理計画法【51Ⅰ・Ⅴ．Girsanov，エα血汀eβ0怜〃α仇emα如α￡乃e−が不等式制約を主な研究対象としていることを考え

Ory qf助trtmumProblems，Springer，NewYbrk

ると、重く受け止めなければなりません。しかし多く（1972）・の論文において空間の設定が軽視されているのが現［6］一松信，偏微分と極値問題，現代数学社（1971）・状です。また、ノルム空間より広い空間で極値問題を［7】A・Io鮎，On some recent developmentsin the

議論している論文も沢山ありますム最も一般的な設定

theoryofsecondorderoptimalityconditions‖，1nは位相線型空間です；しかしその場合でも内容はノル

S．Dolezki（ed・）Optimization，LectureNotesin

ム空間の場合と全く同じで、どちらの空間で記述する

Math．1405，Springer，NewYbrk（1989）55−68■

かは著者の趣味の問題であることが多いようですム位【8］A．Iof艶，V甜iationalanalysisofacompositefunc−

相線型空間を持ち出す必然性は、例えば弱位相や＊−

tion：Aformulafor thelower second order epi−

弱位相を考える時に生じますが、それらの位相の特性

derivativeを利用した議論はあまりなされていないようです。

【9］A．Io鮎andV・Tihomirov，当たり前の事ですが、抽象的な問題を一般的に議論するという事は広範な問題をいっきに処理してしまう，JMA160（1991）379．405・Problems

T71eOlyqf助tremal，North−Holland，Amsterdam（1979）・【10］H．Kawasaki， Anenvelope−1ikee鮎ctofinfinitely

事を意味しますも一般的な設定が思わぬ難問を含んで

manylnequalityconstraintsonsecond−Ordernec−

しまっているかもしれません。通り一遍の議論で難問

essa∫y COnditions for minimization problemsH†がスラスラと解ければ苦労はしません。従って一般論〃α軋P†叩γαm．41（1988）73−96・を展開する時は、無意味な事をやっていないかを多く【11］H．Kawasaki，の例でチェックしながら注意深く研究を進めなければorderdirectionalderivatives ofasup−typefunc−

なりません。某大学（九州大学ではありません）の大学
院入試の面接で、コンパクト多様体の研究を希望する
学生に「コンパクト多様体の例をあげなさい。」と質

tion， 〟α仇Pmタmm・41（1988）327−339・【12］H・Kawasaki，

そうです。
最後になりましたが、本稿を執筆する機会を与えて下さり、さらに原稿に目を通してコメントを下さいま

Secondordernecessaryoptimality

conditionsfor minimlZlng a Sup−tyPefunction

問したところ、その学生は答えられず「もっと本質的な質問をして下さい。」と捨て台詞を吐いて退席した，

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した編集委員の方々、とりわけ水野真治先生に厚くお【15］LW．Neustadt，

礼申し上げますム

The upperandlower second−

Ageneraltheoryofextremals，J．（九mputeTand旦ystemSciences，3（1969）5ト92・

参考文献【16］J・P．Penot，

Optimalityconditionsinmathemat−

icalprogrammlngand composite optimizationM，【1］A．Ben−TdandJ．Zowe，

Aunifiedtheoryoffirst

andsecond・Orderconditionsbr extremumprob−
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di鮎rentiabilityinnonlinearprogrammlng

タ和m．ぶ￡ひdy19（1982）39−76、［2】RCominetti，

7ねれβ．Ameγ．〟α軋釦c．307（1988）75−108・Metricregularity，tangentSetS，and

SeCOnd−Orderoptimalityconditions［18】R・T・Rockafe11arandR・J・−B・Wets， Variational，Appl・Math・

systems，anintroductionMIinMultifunctionsand

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タmmmれダニβ印加e†1皮αg【加comβたm如d〃加古m戌zα−tion7bchniques，JohnWileyandSons（1968）・

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98（42），© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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