複雑系による経済モデル分析

第2回 遺伝的アルゴリズムによる最適化と経済への応用
峠永 祥三
州l………L＝＝………l州Il……………l………………………………州I＝‖…………＝………llL………………………llll……………r＝＝川IllL……………l…＝＝州Illl………l州＝州l…………‖＝州‖州L＝＝仙帖

通常， 2進数（ビット）として長現される．例えは

1．はじめに

抑佃の変数右・により．甘述される関数／（∬），J＝（．rl，．r2，

今【11Iの解説では，遺伝rlくノアルゴリ ズム（GA：…，J・〝）を最人化するl甘趣を考えると，それぞれの変Genetic Algorithm，以卜▲ではGAとよぶ）による経数ふ・は．rいr2，…，．工，〜の順に並べられる．これを個体

済モデル分析に関して述べていくLl］．GAは単純なとよぶ．1つの佃休は，1つの解を一払昧する．

要素の集合を川いて複雑な機能を′夫現するノバよであり，．ェ・∠は複数個のビットにより衣現されるが，10進化

餞雑系の理論の小でも最も過川‖川巨件が■高いとされてした数がェ〜・となるとそえてもよいし，例えば3ビッいる［4］．

トで（）〜7の8仙の数を表現し，このそれぞれに，あ

これまで，GAに関しては秘めて多数の研究がありらかじめ．設定した数佃を対応させることもできる．仰これらを令て網羅することはできないので，以卜では，

休により表現された解を採川した場合に，関数仙次のような分野に限定して謡を進める．

／（ェ）が得られる．／（．ヱうが人きな個体ほど，より最適（1）GAによる計l抑制題の艶伯解はな付則こ近いと判断することができる．これを適合度と（2）GAによる釧．介せIlり越の解はよぶ．

（3）タラシフアイヤによるルール介成（；Aのもとでは最初の個体は札故により発／トされた（4）遺伝的プログラミングの基礎と応川

数仙を配列したものでよく，解としては山好なものである必安はない．個体を複数個／巨成しておく．この解

2．遺伝的アルゴリズムの原理

を机眉こ融合することにより解を改首していく．

追伝的アルゴリズム（GA）は隼物の退転√・に作川

こののち，次の3つの拙作，すなわち，（1）選択する首種の遺伝千操作を模擬して，このノバよを数理的（selecti（）n），（2）交叉（crossover），（3）突然づと異に定式化されたl甘趨を解く了一法として応川するもので（mutation）を 片行する．最初の「選択」は個体の適あり，現≠でも，さまざまな分野で，また種々の問題

合度に応じて交叉処理を行う佃休を選ぶノバよであり，解決に過JIほれている［1〜4，9］．GAの原叩を簡単

通常，適合度に応じた確率で個体を選択する．

に述べれば，ノブ・えられた問題の解を退転J′・（あるいは次の「交叉」処理は，図1に′丘すように2つの個体個体ともよばれる）として複数個準備しておいて，こをランダムな付帯で切断し，それぞれのl軒ドと後、ドをれらの追伝J′−がリ・えるl岬弘解決への貢献度（例えば最畑力：に人れ根えて新しい佃休を／巨収することを意味す

人化l亘り題であれば関数怖が人きなもの）を．汁算し，これらの小で貢献度の■㍍いものどうしを取り目し，その交叉の場所

ペアに対して遺伝十棟作を寺J・い，次のtlりしにおける榊体として残していく．京献度の．高し一個体に対して追行

イ・操作をすることにより，より良好な解をり・えるといった方針のもとで／ト戌操作が 美行される．

GAでは最適化するべき変数佃やパラメータ仙は，
ときなが しょうぞう
九州人て‥人一、祁完経済・、打研究院経済仁、昌仙−リ

図1交叉処理の概念〒8128581福岡市来区箱崎6−19Ⅶ1
20（）1年12JJり・© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（31）TO3

る．これ；）新しく′巨収された仙佃ioffspringとよばずしも多く／仁尾すれば最適解となるものではなし、．まれる．佃休の総数を−一⊥に維持するため，佃体のプー

た，資金が不足する場合には情人を行い，余剰が生じルにある適合度の小さい佃休を，これらの0鮎pri帽

た場合には返済することとするが，負情比率が一一定のにより吊き根える．

数仙より人きくならないなどの条件を加えておく．
財務言＝Il巧の記述は等式表現として暮；己述できる．以卜次ク）「突然変異」は，佃体の交叉処理だけではIiりじ
ような仙休だけになり改吾が起こらない状態（数情最に簡iii−な例をホす．

適化における1（）Cal111illilllしInlに川、11）に陥るため，

ノこい■7i＝5（）（）十5×投資令髄

これを回避するためのノバムであり，ランダムに選んだノこ卜■ル杵益ヰ＝25／（l＋8exp（一2り），

偶作のランダムな位苫を，ランダムな数仙で吊き根え／は隼度で／＝1，2，…，6
利㍍＝左上．‡■Jixノノじ仁．1■紳J益＊／10（）

る．
なお，これらの選択，交叉，突然変異にはさまざま

亮十原仙＝ノこぃ■Jj利益

む拡張が行われ，‖仙に応じて他用されている（詳細流動資産＝前隼度流動資産，次年度の計算ではl裾申恕流動賛成＋流動資産増加は¶略する）．

川定賛確＝li川二度川定資産＋投資金徹

3．財務計画問題への応用

流動則l−f＝前隼度流動負債，次年度の計算では

次に，GAを川いて介業経常分野における財稚．汁Ilt巧I再隼度流動玖情＋流軌兵倍増加

問題を解くノバ去についてホしていく．財務．汁11耶り題とな才㍉ これらの式では，中年度の業績を表す利益のいってもi徒然としているが，ここでは介業が／卜J；；′三船人ほかに，次牛度以降の負債比率，川定比＊などの指標などの‖rlくノで賛令題目や．胤鯨投資を美施する場合に，を計算するための式を合んでいる．

あJ〕かじめいくつかの言＝叫を検．汁して，その■いでム左も6（）で，資令の情人と返済（金融）の部分は省略して望ましいものを揉川することを指している．このよういる．

仝休の式の数は約な関越を解く場合に，一般的そ制約付きの井線形最適

でJ（表現では，／トJ勘こよって隼じる利益や原価，あ化l！り題であることに加えて，次のような綿′抑二回イfのるいはこれらから得られる貸借対照表の項【Iの計算を問題をそ慮する必安がある．

モデルとして．；己述している．この表現では、㌔該の期間（1）スプレッドシートによる多肘‖吊モデル．甘述のほかに，前期として．ミ已述している量は，現在の1つ

介業のlけ務計河は，設備投資なせが現夫に放ヵメ一やl）iiの別における仙である．ここに′片すように，l裾．．−∫の

数力隼など複数の糾問（多則いJ）にわたって尖行され製造，販亮は餞数の期問にわたって影響するので，たと仮定して，シミュレーションなどにより検．汁され

Excelのセル表現が他利である．

る．．汁州に合まれるパラメータをGAにより最適化

l又12にはこの財務計l叫における投資金蘭の最適化による利益の改音状況をホしている．

する．
（2）各種の指標の比較分析設備㍑資などを考えた場合，投入する資令に対するす辻資i汁州の有効件をはかるノく度としては，利益の最人化などのほかに，財務指標への制約条什（例えば総資

利益額
720

715

本川転ヰ与り．7以卜5．り1、1卜，総資本利益ヰ（）．（）9日卜710

1，り以卜など）を加えて，証仙l対数を作成する．
ここでは，問題をやや簡単化し，l糾‖−，の／巨産を6牛問にわたり美行して，Hiり約条件を満足する範IJ仁一で、そ

705

700

れぞれの牛度に投資すべき余御を求めるl‡り題をそえる．
695

したが一）て，GAにおける佃休は次のようになる．
1牛‖投資令触，2隼Il投資令客軋 …，6隼11投資

690

令袖

685
（）

5

10

これJJの変数には＝根が⊥められていると同時に，Jl
ちフニの制約，ノ＝・巨コストなどがり一えられているとし，必704（32）

15

20

25

30

GAの世代数
図2 す是資令禰の最適化による利益の変化© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

35

40

3．1製鉄所における充当問題

予備スラブ割り当て問題

GAは放仙i】麦過化や非線服最適化関越を解くf・はと予備スラブ⊂二］［二ニコl 」

して低利であるほかに，組合せ関越を解くノバ去としても応川されている．例えば，複数の黎封■川−．を加l卜する域

注文［□ロロロロロロ

付こ，その順けを入れ扱えることにより，総コストを例題

減らす問題に過川したり，向．−‖−−の配送ルートが複数佃

スラブ3あり，途中でこれらのルートを交／J二に人れ扱えた新し十 ▼＼匡空］匡空コ［＝コいルートを求め，こズLが従来のルートより効ヰ耶」であるかどうかを、ドIj断する．このルートの交叉をGAであると考えるノバよである．
ORの基礎的な関越としてナップザック問題があり，スラブ部分 注文部分

これは有限のナップザックに荷物を．i．tiめるl王り題で，仙格などがJふt Jjとなるようにするノバよである．この拡張

図3 r⊥仰スラブによるけ板充、11として，文献［12］に紺介されている製針圧巾こおける鋼枇からの舶．一，．！lの最適切断の■打倒をとりあげる．
製鉄所では，スラブ（鉄の塊）をJIミ妊して延べ枇をの遺伝十の位苫の仙がすでに「供1の前半に含まれている場合には，これ以外の伯を親Bから選択する．

作i），これをさト文の人きさに切断して多柿類の厚板を例えば，／・伏1は前、ドを親Aから継承し，後、「の第作成する．厚枇はその性質（鋼柿とよばれる）に応じ

1番‖の数伯aを親Bからもらう．しかし，筏、卜第2て分類されているので，ii二丈の多いけ板は人部分のス

番Ilの数伯bがすでに／川ミしている場合は，親Bにラブを＝いて／ト産されるが，スラブは−一定の‡li二としておいてaグ）liiiにあるcをもらう．lli】様の操作を繰り／仁尾されるので，r・備のスラブ（余ったスラブ）が発返し，1■りじ数値を継ノ良しない卜大を行う．

／巨する．これを川いて少モーをこの注文のJナ板は「備のスラGAにおける個体は，スラブ番1；・部分とii二丈順番部

ブを川いてノ巨産している（厚板充、11とよばれる）．け分との2つからなり，1（）進数をコードとしてそのま

板充当の作業では，スラブと注文との組合せ，延べ板

ま川いている．図3は，い】時にこの例をホしており，での製．−，．】，の配箭を決める必変がある．

スラブの選択聴けはスラブ2，スラブ3，‥・であり，

この場合∴軋■，．−−の納期をできるだげ、1二ることや，延注文の′別）1川再二は，注文1，注文2，・‥の順序である．

べ板を切った域りが少なくなることが最適化の‖的と途中でスラブが允）11できなくなったら，次のスラブをなる．また，鋼種ごとのグループ化，延べ枇の寸法

拉人する．これにより最も触駄の小さな計画（個体）（けさ，帖，長さ）での設備制l眼などのj叶東条什が〟が才采川される．

．iili価関数は注文の納期への満足度と，切断する場合

れする．
いまスラブへのii二丈苦り、Ilを単純化した例を【ツⅠ3にホの歩留りで行い，次のように定義される．

す．この例では，スラブ2を延べ枇として使fl＝ノたと

r＝勘∑1／7も十乙イノ2（〟／ろ）（1）

き，注文1を処理する．もし，充、1いけ能であれば，ス

7もは現小二のI＝」・から納期の追っている充当された注

ラブ1にItiび次のiト文2が追加1允、11‖川巨であるかを調

文の納期までのIl数，〟，わはそれぞれ，充当された注

べ，順次このような計算を練り返す．

文の総重量，允）11に使川したスラブの総量撞である．

1廿題をGAにより解くために，スラブの川有グ）番

以卜では，1甘越を簡iiりとして，スラブは長さだけがり−と，注又の川有の番㌧J・を1つの胴体によ現し，これ特徴量であり，製．1㌔．ごとに，厚さや幅を考慮しないとを部分一致交差処理：PMX（PartlyMatchedCross−

仮定する．ただし，個々のスラブは異なる長さを持っ（）Ver）により最適化していくf・順を川いる．これは，ているとする．聾封1．−，も，トij様に，長さと納期だけが規

交射こより発坐するイく都合な部分を修復して美行可能

定されていると仮定する．

仰体の構成は，最初の部分にはスラブ順番部分があな個体とする〟法である．

親A，Bから仁供1，2を／行成する例を考える．f・り，その後半に製品の注文順番部分がある．図4には

伏1は親Aより交叉の軒樟l；分をそのまま引き継ぎ，

評価関数rが焚化していく様r一をホす．これより分後、ドについて親Bから遺伝十を継承とした場合，そかるように，ほぼ，120世代で適切な解のレベルに到2（）m隼12‖1一© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（33）TO5

る．

適合度
1g75

（3）メッセージに過合するLHSを持つクラシフア
イヤが桧山される．これをi・育件化されたクラシフアイ

197

ヤとよんでおく．

1965（4）清性化されたクラシフアイヤは，次の段椚で賭
1．96

け金を払ってメッセージをJ11す権利を得る賭けをする．

賭けで競合する朴f一がいる場合には，強度の人きなク

1955

ラシフアイヤがこの権利を獲得する．

195（5）このようにして競争に勝ったクラシフアイヤの1945

メッセージにより，以l】；iのメッセージリストの内容をすべて入れ換える．

194
20

0

40

t50

80

100

120

140

GAの世代数
図4．い州1伸打数の改苦状況（6）溝≠化されたクラシフアイヤの小で，強度が最人となるクラシフアイヤの出したメッセージの小に合まれる情紬を川いてシステムへの軌作がなされる（RIISに＝il：二かれている具体的旦操作を夫子り．

達するとこ；える．

（7）卜の（2）〜（6）に小された動作を−一定のl‖ほk繰り返

4．LCSによるルールの生成したのちに，佃休にGAを適川して，次の世代を／ト

GAにおける遺伝イ（佃体）にif−thenルール（プ成する．

ロダクションルールとよばれる）を坤め込んで川いる

以卜て、は問題を簡単にし，メッセージは外部からの方法も提案されている．その代表的なシステム構成がみ供給され，クラシフアイヤのRHSにはil一！二接的に外LCS（LearningClassifierSystem）である［1，10］．

部に操作する量カ㌦己述されている場合を考察する［1軋

LCSにおいては，1つの崩過な個体を求めることが1Lり

そのため，競創別系の解ii■iは1rL11で終J′し，クラシフ

過とされるのではなく，櫓数の個体のグループが存在

アイヤはメッセージをリストに格納しないと仮定する．

し，それぞれは外部の条件（環境）に依存して11左通なしたがって，LHSは環境からのメッセージとの−・致解をJブーえるように構成されている．したがって，l咋問

度をはかるだけのものとする．ここでは，株式の1机lr畑こ変化する環境に応じて加えるべき操作が焚化する

ルールを作成するl肛越を考察してみる．

場合などの最適化聞達引こ応川される．

まず，一、習引こ川いるデータとしては，次のようなも

プロダクションルールには，条件部（LHS：Lightのが観測されていると仮定する．すなわち，（1）株仰のHandSide）と′美行部（RHS：RightHandSide）が

ト汁卜降のデータ，（2）トレンドの形状，（3）過渡的な変あり，現在の環境にルールのLHSが【1一致した場合に，化，（4）収引数一量，（5）令利別Irりである．

対応するRHSに．iじ述された手続き（プログラムなど）が軌作する規則の集合としてiミ己述される．

LCSのデータの構成は次のようになる．ビット付
帯1〜10は第1〜5番‖の情事Iiに刈▲するLIiSを2ビット単作で表現（4段椚），ビット位箭11〜13は

if LHS then RHS
LCSの動作憤理は，単純なGAに比べて，やや綬経である．この動作をアルゴリズムとして苦くと，次LHSが満足される場合の株価Jl測を3ビット単位で表現（8段階）する．
データをLCSに繰り返しり一えることによりく、f‥習をのようになる．

（1）初期設定として最初に乱数を発隼して，初期の行う．なお，乍習の結果を検証するには別のデータがタラシフアイヤの集合（プール）を構成する．クラシ

必安であるが，ここでは話を簡単にするために同じデフアイヤの適合度などをi汁測する手段として強度ータを川いて検証している．

（strength）という接が定義され，最初の段階で同じ強度をすべてのクラシフアイヤにノブ一えておく．

（2）環境の現状をコード化して，メッセージとして構成してメッセージリストに加える．このメッセージ
は次のステップでタラシフアイヤのLHSと照介されフロ6（34）

また，LCSのシステムに含まれるパラメータは次のように設定しておく．クラシフアイヤ数は50，GAの過川間隔は川，′、㌣習ステップ数は50（），突然変異確率は（）．1である．

LCSを迫川した結果として得られる利益触を縦軸© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

定数）が2佃連続している場合に限り，その演算を美利益額6施する．結果は1つの被i㌫算イ・になる．この操作を，

58

対象がなくなるまで繰り返す．この操作を′夫行するに

56
54

はスタックを川いると低利である．スタックとは，十52

か左順にものを来せていって，適、11なときに，その来せたものを収り目す什糾．みである．

54−8

佃体の過応度の定義として，ん程式によるrillり仙と4．6

観測仙との2来．洪差の逆数を川いる．佃休の交叉処札

44

突然変期こ関しては，ややiL意が必安である．GAの42

場合には，個体の構造は基本「畑こ同じであるので，乱

4

38
0

10

5

15

20

25

30

35

GAの世代数

数を発／巨させておいて，2つの仰〃本を交叉する位iF；として川いればよかった．これに対して，（；Ⅰ）では，一

図5 LCSによる株式取り引きのルール′、r‥習

般に個体の長さが異なるので，GAのような丁・法は旭川できない．また，木構造を過1な位苗で切断して，に，ステップ数を横軸にとった場介の図5をホしてい相互に結合することになるが，り」断することにより意る．図5より分かるように，LCSでの′、ト習には最低

味をなさなくなるケースも発／卜するので，任意の付帯

3（）卜∫1の繰り返し計算が必賓であり，GAによる数情で切断することはできない．1■昭射こ，突然変異も任意最適化にくらべて長い時間が必安であることがわかる．

の場所で任意の形式で′夫施することはできない．
交叉処．叩をオ盾なく進めるため，5′〟ぐんCり〜 邦Jとい5．遺伝的プログラミングによる方程式系

う変数を中人する［8］．5／αぐんCり〜J邦／は，スタックの小の近似に〟在する演算√・の放から，演算．妃号の数を引いた数仙である．したがって，前苦衷現において，その途中

遺伝的プログラミング（GP：Genatic Pr（）gram−ming）は，ノバ呈式などの形を木構造により表現してまで，このSね（滋C〃‡′乃′をかぞえて，その数伯が1■i＝ニ

おいて，演算．；己号や対象とする変数を変更しながら，

であれば，この付帯で2つの個体を切断し交叉処．哩を望ましい形に近似するIlり題に過川吋能である［5，6］．

しても，意味のあるノバ呈凡表現をJj一えていることにな

GPはGAの1つの拡張形であると∴え，GI）ではる． lツ】6に例をホす．

以上のような準備のもので，GPを適用するアルゴ

1つのコンピュータプログラムである．！と体r一肌こは，リズムを整理すると以卜のようになる．

．汁貸する演算記り・，数一骨関数，およびこれらの対象となる変数を含んだ本構造で衣現されている．以卜では，観測された時系列デー（ステップ1）佃†本の初期伯／巨成

最初の佃休の集合（プール）を乱数をもとにして発タJ（りをもとに，この観測データェい）を隼成しているシステム（ノバ呈式の体系）／1：させる．この場合，すでに述べた5肋dG刑拙を川を推定する問題を中心に考えてし、く．

いて，システム．甘述のル程式として意味をなすものが得イ〕れるまで繰り返す．

個体に対応する木構造は，前置表現（pre頁x repre−
sentation）とよばれるもので表現される［7，8］．こ（ステップ2）佃休の過応度の計算

れは，演算丁・と被潰算r一を適切な聴再二に−一列にならべ

すでに述べた関数近似におけるn榔伯と観測値とのる表現である．例を次にホす．いまシステムのノノ杵式

2乗誤差の逆数を，佃体／の適合度5zとして定義すをる．
（ステップ3）交叉処理

J（り＝（6．43×J（仁1）¶J（卜2））
×（．r（仁一3）−3．54）（2）

し，交叉処理を実施する．個体の長さは一雄射こ異なるとする．これを変検した式は次のようになる．
×−×6．43∬（仁1）∬（仁2）¶㍉ヱ（卜3）3，54

適応度の人きさに応じた確率で2つの個体を収り＝（3）ので，乱数を1偶発／巨させておいて，−一ノノの個体の切この前置衣現を解釈するには次のようにする．まず変断個所とし，ここまでのSJαぐんC〃乙′邦′（図6では演算

数J（卜1），．r（卜2），．r（仁3）に仙を代人する．この式

イ・数3一枚i甘算√一数1＝2）を計算する．こののち，もをんかJ）見ていき，演算十の後ろに披演凝二／・（変数かう−一ノノの倒体の5gαCゐC（ノ〃タ‡J（1ヌⅠ6では演算／・欺

2001年12‖り一© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（35）TO7

は′丁7裾（7＝（）．（）（）（）（）（）2である．近似されたノノ杵式系により発／Iミされる帖系列（‖剛直 は，もとのロジスティ
ックY像により／巨成された観illl川手系列の仙と触めて近gono帽tingo什spnngs

し1＋ ＊ a ＊ w x ＋ y z

ここまでの．撮論では，カオス帖系列を／巨成するノノ村

人系は1次ノ亡であると仮定してきた．しかし，カオス＊ ＋ s t ＊ u 十 ＊ 十 b c d ＋ e f

ル、ト系では，油乱 3次ノ山1卜でカオスとなることが

図6（；Ⅰ）における交叉処理の例

知られているため，観iElりされた時系列を3次ノ亡のノバー†を5∴彼潰算／・数3＝2）を．汁算しながノ），l■りじS／〝（−カー

式系で推⊥することが望ましい．多次ノ亡カオスに刈−すC〃〜川／の仙となる場所を検目しこれらかト任意に1

るGI）過川ん法とその応川は，この解説の最後の回で仙を選択する．このように，それぞれの佃休のりJl析付ホす．

吊を決める．
参考文献（ステップ4）突然変異（iI）における突然変異として

LllIJ．Ⅰ3．Ⅰう「（）（）ker，Ⅰ）．E．（；oldberg andJ．H．Holland：，次の2つのものを川Classifier system and gelletic algorithm

いることとし，一定の確ヰで旭川する．

，Artificial

lntelligence，4（），1）P．235¶282（1989）．

グローバル突然変異i2］Ⅰ）．E．（i（）1dberg：（ノ（ノブ守ど／J〔J月由り7イ／／摘7J卵 S（ノ〟γ（、ん，ある佃休（木構造）んを／I三成しておいて，l川くノと（小／わブノ〜た〔／／／りタ7 〟プ7（／〟〟（・／〜わ〜〔）⊥ぐ〟7′扉嘲，IJ（）S Alt（）S，する木構造の葉の部分を，この人により苫き授える

Calif（）rlli；l，M（）rgaIlIくこ1tlfllla1111（19日9）．

ノバよである．もとの木構造は，やや禎祢なものへと変［ニう］Ⅰ）．E．（；（）ldberg：

化する．

C（）mPuteraided pipeline（）Pera−ti（）11uSillggeneticalg（）rithmandrulelear111ng．PartI：

ローカル突然変異（；enetic alg（）rithllliIll）ipelille（）ptimizati（）n，Ⅰ）artII：

木構造の葉の部分を，別の変数に置き換える操作で

Rtlleleralling controlof a pipelineunderIl（）rmalandある．あるいは，木構造における枇の部分に柑、11する

abll（）rmこ11collditioIIS ，lミIlgineeringwithC（）mPLlterS，3，

偵始関数を，別のものに置き扱える操作であることもt）p∴拍」弼（1987）．
r4】J．ⅠⅠ．1Ⅰ（）11aTld：A（巾鍾り習／〃∧b／〜′′和才〟捏〟朗々姑〝／ある．GAにおけるり所探索（localsearch）に州、Jl

勤血！mS，Univ．（）f MichigallPress（1975），MIT Press

している．

（19f）2）．

応用として，カオス帖系列を発／巨させるノバ甘式を抑〔二5］Y．Ikeda and S．Tokinaga： Approximation of

定するl廿題を考える．カオス時系列とは，−一兄イ（規則Chaotic r）ynamics by usillg Smallerllumber of dataに変則する畔系列でありながら，その発／巨メカニズム

basedup（）11the（；eneticl）r（）gramminganditsApplica−

が1つのノノ杵J〔で．止述できるものを指しており，特に，

ti（）nS ，TrallS．1EICt工，V（）1．EボニトA．no．H，Pp．159916（）7

このノノ杵式の小には，確率過程のようなイく碓リミな要素（20川り．

を合んでいない．このようなノバ甘式を，特に決定．釦lくJ

16］Y．1kedaandS．T（）killaga： C（）ntr（）11ingthecha（）tic

なノj程J℃（deterministicequations）とよんでいる．

dyllamics by uslng aPPr（）Ximated system equati（）nS

以卜では，l！り題を簡盲ii一にするために，すでにノノ杵J（（）btaiIledbythe（ieneticf）r（）gramming ，Trans．1EICE，系が既知である次のケースを考察する［5］．ここでは，vol．E84A．n（）．9，PP．2118−2127（2（）（）1）．

次の式によりり・えられるロジスティック′ナ像（l（）gis−［7】J．R．Koza二（；（）n〟／i（・Pr（）gmmmi71g M「r t）ress

ticllュaP）により／卜成された時系列を川いる．
．工・（り＝3．87．r（「1）［1▼，r（上川シミュレーションでは，次のような条件設定を行う．

佃休プールのサイズ＝50（），配列の最人仙＝20，GP
最人過川卜り数＝5（）（），データサンプル数＝2（）．
卜分な（iPの練り返し回数の後に，J〔（4）のノブ柑式とま一）たくl■りじJ〔を得る．このときの，観測伯と㌣測仙（1992）．
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