データのばらつきと統計的取り扱い
広島⼤学 AI・データイノベーション教育研究センター
稲垣知宏

⽬標
データにはばらつきがあることを理解し、ばらつきのあるデータを統計的に扱えるようになる
この授業で紹介すること• ばらつきのあるデータを代表する値• データのばらつきの評価
キーワード
中央値、最頻値、平均値、確率分布、ヒストグラム

2こんなことはありませんか？
以下は、Aさん、Bさん、Cさんが、的の中央に向かってボールを10回投げた結果です。⼀番上⼿なのは誰だと思いますか？

Aさんの結果Bさんの結果Cさんの結果3

ビー⽟を転がす
ばらつきのあるデータ例として、★印に向けてビー⽟をゆっくり転がしてもらい、ビー⽟が転がってきたビンの数字を記録します。

10 9 …

… -10

10 9 …

… -104

ビー⽟を転がす
AさんとBさんに転がしてもらった結果です。これを分析します。
Aさんの結果試⾏回

12345678

910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20ビンの値-1-32-5-1

1-2-420415-1-4-1

0-241

Bさんの結果試⾏回

12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20ビンの値

2-5-1

45

1-4

2-3-1-50

4

1-3-3-1

13-1

5

結果の分析それぞれのビンに⼊った回数を数えます。
Aさんの結果試⾏回

12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ビンの値

-1-3

2-5-1

1-2-4

20

4

15-1-4-10-2

4

1

回数
ビンの値

-6-5-4-3-2-1

0123456回数01212423202106結果の分析
ビンの値-6-5-4-3-2-10123456

回数

0121242320210

1. ビンの値の順にデータを並べたとき、真ん中に来るデータのビンの値を中央値（メディアン）と呼びます。20個のデータがある場合、下から10番⽬の値-1と11番⽬の値0の間になりますから、-0.5が中央値です。
2. 回数が最も多いビンの値が最頻値（モード）と呼ばれます。
上の例では、回数が最も多いビンは-1で、これが最頻値です。
7

結果の分析
3. 次に、各ビンに⼊った回数をビー⽟を転がした回数の20で割って、確率を計算します。
ビンの値-6-5-4-3-2-1012345

6

回数0121242320210

確率01/20 1/10 1/20 1/10 1/5

1/10 3/20 1/10 0

1/10 1/20 0

ビンの値に確率をかけて⾜しあげると、平均値が求まります。
<latexit sha1_base64="5BS3CCCHVjOYyIVVmEOH+8lGWYA=">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</latexit>

1200.2

5⇥=4⇥

1103⇥

1202⇥

1101⇥131
11+1⇥+2⇥+4⇥+5⇥
520
1010208

例題
Bさんの結果について中央値、最頻値、平均値を求めなさい。
Bさんの結果
試⾏回

12

34

56789

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20ビンの値

2-5-1

45

1-42-3-1-50

4

1-3-3-1

13-1

9

解説
試⾏回

1234

56789

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20ビンの値

2-5-1

451-42-3-1-5041-3-3-1

13-1

まず、それぞれのビンに⼊った回数を数えます。
ビンの値-6-5-4-3-2-10123456

回数021304132121010

解説
ビンの値

-6-5-4-3-2-10

123456

回数

02

1

304

1

321210

中央値：下から10番⽬の値-1と11番⽬の値0の間の-0.5です。
最頻値：回数が最も多い-1です。
ビンの値-6-5-4-3-2-10

12

345

6

回数

02

1304

1

32

1210

確率01/10 1/20 3/20 0

1/51/20 3/20 1/10 1/20 1/10 1/20 0

平均値：ビンの値に確率をかけて⾜しあげると、-0.2になります。
11

解説
ビンの値

-6-5-4-3-2-10123456回数

0213041321210

中央値：下から10番⽬の値-1と11番⽬の値0の間の-0.5です。
最頻値：回数が最も多い-1です。
ビンの値-6-5-4-3-2-101234

5

6

回数

02130

41

321210確率

01/10 1/20 3/20 0

1/5

1/20 3/20 1/10 1/20 1/10 1/20 0

平均値：ビンの値に確率をかけて⾜しあげると、-0.2になります。
12

解説
ビンの値

-6-5-4-3-2-1012

345

6

回数

0213041321210

中央値：下から10番⽬の値-1と11番⽬の値0の間の-0.5です。
最頻値：回数が最も多い-1です。
ビンの値-6-5-4-3-2-10123456

回数0213041321210

確率01/10 1/20 3/20 0

1/5

1/20 3/20 1/10 1/20 1/10 1/20 0

平均値：ビンの値に確率をかけて⾜しあげると、-0.2になります。
13

解説
ビンの値

-6-5-4-3-2-10

123456

回数021304

132

1210

中央値：下から10番⽬の値-1と11番⽬の値0の間の-0.5です。
最頻値：回数が最も多い-1です。
ビンの値-6-5-4-3-2-10123456

回数0213041321210

確率01/10 1/20 3/20 0

1/5

1/20 3/20 1/10 1/20 1/10 1/20 0

平均値：ビンの値に確率をかけて⾜しあげると、-0.2になります。
14上⼿だったのは？
AさんとBさんの結果は、データを代表する値として、中央値、最頻値、平均値で⾒ると、差がありませんでした。
AさんとBさんの結果のばらつきはどうなっているでしょうか？
Aさんの結果ビンの値 -6-5-4-3-2-1

0123456

回数

0121242320210

確率01/20 1/10 1/20 1/10 1/5

1/10 3/20 1/10 0

1/10 1/20 0Bさんの結果
ビンの値 -6-5-4-3-2-10123456

回数0213041321210

確率01/10 1/20 3/20 0

1/51/20 3/20 1/10 1/20 1/10 1/20 015データのばらつき
ビンに⼊った回数の分布（度数分布）をヒストグラムで表すと、AさんとBさんで結果のばらつきに違いがありそうです。
Aさんの結果の分布50-5-4-3-2-1012345

Bさんの結果の分布50-5-4-3-2-10

1234

AさんとBさんの結果について、それぞれのビンに⼊った回数の分布のヒストグラム

516ばらつきを評価する
ばらつきを評価するために、結果が中央にある0のビンからどれだけ離れていたか、ビンの値を２乗して考えます。
Aさんの結果の分布50-5-4-3-2-101234525

1694101491625

ビンの値の２乗に確率を掛けて⾜しあげます。
17ばらつきの評価（１）ビンの値の２乗に確率を掛けて⾜しあげると、Aさんの場合、
値の２乗

3625

1694

10

149162536

ビンの値-6-5-4-3-2-10123456

回数

012

1242

3202

10

確率

0

1/20 1/10 1/20 1/10 1/5<latexit sha1_base64="gdivYSpO6WoT8QqQMEjWz9lWd30=">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</latexit>

1/10 3/20 1/10 0

1/10 1/20 01111131
1
1+ 16 ⇥+9⇥+4⇥+1⇥ +1⇥+4⇥+ 16 ⇥+ 25 ⇥20102010520101020= 7.325 ⇥18

ばらつきの評価（２）0のビンからではなくて、平均値の-0.2からどれだけ離れているかの２乗で考えます。表から同様に計算すると7.26になります。
値の２乗

33.64

23.04

14.44

7.84

3.24

0.64

0.04

1.44

4.84

10.24

17.64

27.04

38.44

平均値との差-5.8-4.8-3.8-2.8-1.8

-0.8

0.2

1.2

2.2

3.2

4.2

5.2

6.2

ビンの値

-6-5-4-3-2

-1

0

12

345

6

回数

012

12

42

3

202

10

確率

0

1/20 1/10 1/20 1/10 1/5

1/10 3/20 1/10 0

1/10 1/20 0

任意の位置からどれだけ離れているかでばらつきを評価できます。
このばらつきが最も⼩さくなるのは、平均値です。
19問題
1. Bさんの結果のばらつきを評価して、AさんとBさんのどちらが上⼿くビー⽟を転がしたのか議論しなさい。
2. 平均値(-0.2)からどれだけ離れているかの2乗でばらつきを評価すると、0のビンからどれだけ離れているかの2乗で評価したばらつきの値より⼩さくなることを確認しなさい。
Bさんの結果ビンの値 -6-5-4-3-2-10

123456

回数0213041321210

確率01/10 1/20 3/20 01/5

1/20 3/20 1/10 1/20 1/10 1/20 020