Lokale Systeme in der Geometrie und derArithmetik
Hélène Esnault

Greifswald, Felix-Hausdorff-Vorlesung, 07.01.2021

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Évariste Galois 1811-1832
Artikel über Gleichungsauflösung bei der Akademie abgelehnt; 2mal abgelehnt bei der École Polytechnique;
Republikaner, 2mal inhaftiert; im Duell ?wg. Stéphanie-Félicie Poterin du Motel? gestorben

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Évariste Galois 1811-1832
Artikel über Gleichungsauflösung bei der Akademie abgelehnt; 2mal abgelehnt bei der École Polytechnique;
Republikaner, 2mal inhaftiert; im Duell ?wg. Stéphanie-Félicie Poterin du Motel? gestorben

entwarf vor seinem dramatischen Tod im Duell die Theorie derendlichen Körper und deren Erweiterungen:Hélène Esnault

Lokale Systeme

Galois’ tiefer Ansatz
kompakt ausgedrückt:

Galois Gruppe F =Permutationen aller Nullstellen polynomialer
Gleichungen mit Koeffizienten in F
proendliche Gruppe;
F ,→ F 0 ⊂ F̄ (separabler Abschluß) ! (abgeschlossene)
Unterguppe H ⊂ Gal(F̄ /F ) der (proendichen) Galois Gruppe
Gal(F̄ /F ) = Aut(F̄ /F ).

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Bernhard Riemann 1826-1866
hätte Theologe werden sollen, hat Latein, Griechisch, Hebräisch studiert, erst dann MathematikHélène Esnault

Lokale Systeme

Bernhard Riemann 1826-1866
hätte Theologe werden sollen, hat Latein, Griechisch, Hebräisch studiert, erst dann Mathematik

entwickelte den Begriff der riemannschen Flächen (RF), der Moduli
der RF, der mehrdeutigen Funktionen (z.B. der Logarithmus)

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Riemann: zwei tiefe Sätze
Riemannscher Abbildungssatz + Uniformisierungstheorem:
einfach zusammenhängende RF sind: die riemannsche SphereP1 , C oder die Kreisscheibe ∆ = {z ∈ C, |z| < 1}
spätere
Klassifikation für kompakte RF in Geschlecht 0, 1, ≥ 2.

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Riemann: zwei tiefe Sätze
Riemannscher Abbildungssatz + Uniformisierungstheorem:
einfach zusammenhängende RF sind: die riemannsche SphereP1 , C oder die Kreisscheibe ∆ = {z ∈ C, |z| < 1}
spätere
Klassifikation für kompakte RF in Geschlecht 0, 1, ≥ 2.
Riemannscher Existenztheorem (RET):
X 0 → X Überlagerung einer RF X trägt eine eindeutige Struktur
als RFGrothendiecks Theorie (siehe unten)

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Henri Poincaré 1854-1912
Grosse Familie von Wissenschaftlern und Politikern; selbst hat eine 0 (disqualfiizierend) beim Abitur in derMathematik erhalten (zu spät angekommen...und Thema falsch verstanden..)Hélène Esnault

Lokale Systeme

Henri Poincaré 1854-1912
Grosse Familie von Wissenschaftlern und Politikern; selbst hat eine 0 (disqualfiizierend) beim Abitur in derMathematik erhalten (zu spät angekommen...und Thema falsch verstanden..)Begründer der algebraischen Topologie: Begriff derMannigfaltigkeiten X , der Fundamentalgruppe π1 (X , x) eingeführt:

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Lokale Systeme

Poincaré Fundamentalgruppe
kompakt ausgedrückt:x ∈ X , π1 (X , x) = {Homotopieklassen stetiger Schleifen, basiert inx}; Multip. durch Zusammensetzung; abstrakte Gruppe.

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Poincaré Fundamentalgruppe
kompakt ausgedrückt:x ∈ X , π1 (X , x) = {Homotopieklassen stetiger Schleifen, basiert inx}; Multip. durch Zusammensetzung; abstrakte Gruppe.
X̄ → X 0 → X universelle Überlagerung basiert in x undZwischenüberlagerung ! Untergrupe
H ⊂ π1 (X , x) = Aut(X̄ /X ).

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Lokale Systeme

Poincaré Fundamentalgruppe
kompakt ausgedrückt:x ∈ X , π1 (X , x) = {Homotopieklassen stetiger Schleifen, basiert inx}; Multip. durch Zusammensetzung; abstrakte Gruppe.
X̄ → X 0 → X universelle Überlagerung basiert in x undZwischenüberlagerung ! Untergrupe
H ⊂ π1 (X , x) = Aut(X̄ /X ).
Riemanns Beispiele:=→ X = P1
X̄ = P1 −X̄ = C → X = torus
X̄ = ∆ → X Kurve des Geschlechts ≥ 2Hélène Esnault

Lokale Systeme

Alexander Grothendieck 1928-2014
Mutter Hamburger protestantische Bourgeoisie, Vater jüdischer ukrainischer Anarchist; Zuflucht Berlin, dannFrankreich;im KZ von der fr. Vichy Regierunginterniert; Zuflucht Le Chambon-sur-Lignon

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Alexander Grothendieck 1928-2014
Mutter Hamburger protestantische Bourgeoisie, Vater jüdischer ukrainischer Anarchist; Zuflucht Berlin, dannFrankreich;im KZ von der fr. Vichy Regierunginterniert; Zuflucht Le Chambon-sur-Lignon!!Galois /Arithmetik == Riemann-Poincaré /Geometrie!!

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Lokale Systeme

Alexander Grothendieck 1928-2014
Mutter Hamburger protestantische Bourgeoisie, Vater jüdischer ukrainischer Anarchist; Zuflucht Berlin, dannFrankreich;im KZ von der fr. Vichy Regierunginterniert; Zuflucht Le Chambon-sur-Lignon!!Galois /Arithmetik == Riemann-Poincaré /Geometrie!!
kompakt ausgedrückt:F ! X ; F 0 ! X 0 ; F̄ ! X̄F ⊂ F 0 ⊂ F̄ ! X̄ → X 0 → X
F ⊂ F̄ ! x ∈ X
Hélène Esnault

Lokale Systeme

Grothendieck’s étale fundamental group
X zsh. Sch., x ∈ X geom. Punkt, definiere étale endl Überl.
(Y , y ) → (X , x); Limit (X̄ , x̄) → (X , x): étale universelle Überl;
π1ét (X , x) = Aut(X̄ /X ) proendlich;
Bsp: X = Spec(F ), x = Spec(F̄ ), dann π1ét (X , x) = Gal(F̄ /F );Hélène Esnault

Lokale Systeme

Grothendieck’s étale fundamental group
X zsh. Sch., x ∈ X geom. Punkt, definiere étale endl Überl.
(Y , y ) → (X , x); Limit (X̄ , x̄) → (X , x): étale universelle Überl;
π1ét (X , x) = Aut(X̄ /X ) proendlich;
Bsp: X = Spec(F ), x = Spec(F̄ ), dann π1ét (X , x) = Gal(F̄ /F );RET ⇒X /C Riemannsche Fläche oder allgemeiner komplexe
Mannigfaltigkeit ⇒ π1ét (X , x) = proendliche Komplettierung vonπ1 (X , x).

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Grothendieck’s étale fundamental group
X zsh. Sch., x ∈ X geom. Punkt, definiere étale endl Überl.
(Y , y ) → (X , x); Limit (X̄ , x̄) → (X , x): étale universelle Überl;
π1ét (X , x) = Aut(X̄ /X ) proendlich;
Bsp: X = Spec(F ), x = Spec(F̄ ), dann π1ét (X , x) = Gal(F̄ /F );RET ⇒X /C Riemannsche Fläche oder allgemeiner komplexe
Mannigfaltigkeit ⇒ π1ét (X , x) = proendliche Komplettierung vonπ1 (X , x).
Homotopie (topologische) exakte Sequenz für X /F , ’60
1 → π1ét (XF̄ , x) → π1ét (X , x) → Gal(F̄ /F ) → 1Gal(F̄ /F ) auf π1ét (XF̄ , x).

Hélène Esnault

Lokale SystemeAktion

Lokale Systeme
Definition
topologisch: Darstellung ρ : π1 (X , x) → GLr (C) modulo
Konjugation;étale: stetige Darstellung ρét : π1ét (X , x) → GL(Q̄` ) modulo
Konjugation, Q̄` algebraischer Abschluß des Körpers der `-adischenZahlen, ` 6= char. F .

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Lokale Systeme
Definition
topologisch: Darstellung ρ : π1 (X , x) → GLr (C) modulo
Konjugation;étale: stetige Darstellung ρét : π1ét (X , x) → GL(Q̄` ) modulo
Konjugation, Q̄` algebraischer Abschluß des Körpers der `-adischen
Zahlen, ` 6= char. F .
Wo findet man sie?
Geometrische: Y → X Morphismus/C: ρ : π1 (X , x) → GL(H i (Yx , Z));/F : ρét : π1ét (XF̄ , x) → GL(H i (Yx , Z` )), invariant durch Gal(F̄ /F )(man sagt arithmetisch).

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Lokale Systeme
Definition
topologisch: Darstellung ρ : π1 (X , x) → GLr (C) modulo
Konjugation;étale: stetige Darstellung ρét : π1ét (X , x) → GL(Q̄` ) modulo
Konjugation, Q̄` algebraischer Abschluß des Körpers der `-adischen
Zahlen, ` 6= char. F .
Wo findet man sie?
Geometrische: Y → X Morphismus/C: ρ : π1 (X , x) → GL(H i (Yx , Z));/F : ρét : π1ét (XF̄ , x) → GL(H i (Yx , Z` )), invariant durch Gal(F̄ /F )(man sagt arithmetisch).
Verträglichkeit (Grothendiecks Schule)F ⊂ C: H i (Yx , Z) ⊗Z Z` = H i (Yx , Z` ), π1ét (XC , x) = π1ét (XF̄ , x),ρét , ρ verträglich.
Hélène Esnault

Lokale Systeme

Andere?
Moduli∃ Parameterraum (Moduli) Hom(π1 (X , x), GLr (C)).
Affine algebraische Varietät
Zariski Topologie (schwächer als
Hausdorff Topologie!).

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Andere?
Moduli∃ Parameterraum (Moduli) Hom(π1 (X , x), GLr (C)).
Affine algebraische Varietät
Zariski Topologie (schwächer als
Hausdorff Topologie!).
Vermutung (E-Kerz ’19)
Arithmetische Darstellungen sind Zariski dicht.

Hélène Esnault

Lokale SystemeAndere?
Moduli∃ Parameterraum (Moduli) Hom(π1 (X , x), GLr (C)).
Affine algebraische Varietät
Zariski Topologie (schwächer als
Hausdorff Topologie!).
Vermutung (E-Kerz ’19)
Arithmetische Darstellungen sind Zariski dicht.

Moritz Kerz: 2te Hälfte des Fotos der Ankündigung des Vortrags!
Hélène Esnault

Lokale SystemeHoffnung
Alexandr Petrov ’20
fantastisches Ergebnis: Fontaine-Mazur Vermutung ⇒[arithmetisch ⇒ Unterquotient von geometrisch].

Hélène Esnault

Lokale Systeme

HoffnungAlexandr Petrov ’20
fantastisches Ergebnis: Fontaine-Mazur Vermutung ⇒[arithmetisch ⇒ Unterquotient von geometrisch].

Alexandr Petrov: Doktorand, Harvard

Hélène Esnault

Lokale Systeme

HoffnungAlexandr Petrov ’20
fantastisches Ergebnis: Fontaine-Mazur Vermutung ⇒[arithmetisch ⇒ Unterquotient von geometrisch].

Alexandr Petrov: Doktorand, Harvard:ZusammengefasstDichtheit der arithmetischen Darstellungen (Fontaine-Mazur Vermutung + Petrov’s theorem) = Dichtheit dergeometrischen Darstellungen.

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Jean-Marc Fontaine 1944-2919

Barry Mazur 1937–Hélène Esnault

Lokale Systeme

Simpsonrigid: GLr -Bahn isoliert; so Vermutung ⇒ [rigid ⇒ geometrisch](was Simpson bereits ’90 vermutet hat)
Theorem (Simpson ’92): rigid ⇒ arithmetisch.
Aber hat: geometrisch ⇒ integral i.e. ρ : π1 (X , x) → GLr (Z̄) ⇒Vermutung (Simpson ’90): rigid ⇒ integral.

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Simpsonrigid: GLr -Bahn isoliert; so Vermutung ⇒ [rigid ⇒ geometrisch](was Simpson bereits ’90 vermutet hat)
Theorem (Simpson ’92): rigid ⇒ arithmetisch.
Aber hat: geometrisch ⇒ integral i.e. ρ : π1 (X , x) → GLr (Z̄) ⇒Vermutung (Simpson ’90): rigid ⇒ integral.

Carlos Simpson

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Integralität: 1te kleine Evidenz für die Vermutung
Theorem (E-Groechenig) ’18
rigid + GLr Bahn im glatten Locus von Hom(π1 (X , x), GLr (C)) ⇒integral.

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Integralität: 1te kleine Evidenz für die Vermutung
Theorem (E-Groechenig) ’18
rigid + GLr Bahn im glatten Locus von Hom(π1 (X , x), GLr (C)) ⇒integral.

Michael GroechenigHélène Esnault

Lokale Systeme

Rang 1: 2te kleine Evidenz für die Vermutung
Theorem (E-Kerz) ’19
Dichtheit richtig für r = 1.

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Quasi-Unipotenz: 3te kleine Evidenz für die Vermutung
Theorem (Grothendieck ’70 + Clemens ..Brieskorn): geometrischelokale Systeme sind quasi-unipotent im unendlichen.

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Quasi-Unipotenz: 3te kleine Evidenz für die Vermutung
Theorem (Grothendieck ’70 + Clemens ..Brieskorn): geometrische
lokale Systeme sind quasi-unipotent im unendlichen.
Theorem (E-Kerz ’20)
Quasi-unipotente lokale Systeme sind Zariski dicht.

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Quasi-Unipotenz: 3te kleine Evidenz für die Vermutung
Theorem (Grothendieck ’70 + Clemens ..Brieskorn): geometrische
lokale Systeme sind quasi-unipotent im unendlichen.
Theorem (E-Kerz ’20)
Quasi-unipotente lokale Systeme sind Zariski dicht.
Alle Aussagen sind in der komplexen Geometrie. Alle Beweise sindarithmetisch und benutzen stark die Aktion von Gal(F̄ /F ).

Hélène Esnault

Lokale Systeme

Quasi-Unipotenz: 3te kleine Evidenz für die Vermutung
Theorem (Grothendieck ’70 + Clemens ..Brieskorn): geometrische
lokale Systeme sind quasi-unipotent im unendlichen.
Theorem (E-Kerz ’20)
Quasi-unipotente lokale Systeme sind Zariski dicht.
Alle Aussagen sind in der komplexen Geometrie. Alle Beweise sindarithmetisch und benutzen stark die Aktion von Gal(F̄ /F ).

Hélène Esnault

Lokale Systeme