Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

EndeÜber die Berechnung der Klassenpolynome
mittels Thetanullwerten undEinheiteneigenschaften der
Klasseninvarianten
Osmanbey Uzunkol
Fakultät für Mathematik
Technische Universität Berlin
Computeralgebra-Tagung Kassel

14.05.2009logo

Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Outline1

Problem
Ein Polynom

2

Klassenpolynome
Komplexe Multiplikation
Klasseninvariante

3

Thetanullwerte
Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen
Klasseninvarianten als Quotienten der Thetanullwerten

4

Klasseneinheiten
Motivation
Einheiteneigenschaften

5

Einheitengruppe
Idee

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

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Ein Polynom

2

Klassenpolynome
Komplexe Multiplikation
Klasseninvariante

3

Thetanullwerte
Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen
Klasseninvarianten als Quotienten der Thetanullwerten

4

Klasseneinheiten
Motivation
Einheiteneigenschaften

5

Einheitengruppe
Idee

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Ein Polynom

Klassenpolynom

Ein Klassenpolynom (Minimalpolynom von j) :H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
Problem: Kann man alternative Polynome mit wesentlichkleineren Koeffizienten als Klassenpolynome konstruieren?

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Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Ein Polynom

Klassenpolynom

Ein Klassenpolynom (Minimalpolynom von j) :H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
Problem: Kann man alternative Polynome mit wesentlichkleineren Koeffizienten als Klassenpolynome konstruieren?

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Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Outline1

Problem
Ein Polynom

2

Klassenpolynome
Komplexe Multiplikation
Klasseninvariante

3

Thetanullwerte
Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen
Klasseninvarianten als Quotienten der Thetanullwerten

4

Klasseneinheiten
Motivation
Einheiteneigenschaften

5

Einheitengruppe
Idee

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Komplexe Multiplikation

Ringklassenkörper

Theorie1

K imaginär quadratischer Zahlkörper der Diskriminannte d,
Ot die Ordnung mit dem Führer t,
Clt die Idealklassengruppe mit ht = |Clt |.

2Ωt = K (j(τ )), τ ∈ H der Ringklassenkörper (mod t),
Klassenkörpertheorie: Clt und Gal(Ωt /K ) sind isomorph.

3j(τi ), 1 ≤ i ≤ ht bilden ein komplettes System der
konjugierten Zahlen über K .

4⇒zB. Lang: Wegen Q(j(τ )) = R ∩ Ωt auch über Q.

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Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Komplexe Multiplikation

Ringklassenkörper

Theorie1

K imaginär quadratischer Zahlkörper der Diskriminannte d,
Ot die Ordnung mit dem Führer t,
Clt die Idealklassengruppe mit ht = |Clt |.

2Ωt = K (j(τ )), τ ∈ H der Ringklassenkörper (mod t),
Klassenkörpertheorie: Clt und Gal(Ωt /K ) sind isomorph.

3j(τi ), 1 ≤ i ≤ ht bilden ein komplettes System der
konjugierten Zahlen über K .

4⇒zB. Lang: Wegen Q(j(τ )) = R ∩ Ωt auch über Q.

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Ende

Komplexe Multiplikation

Ringklassenkörper

Theorie1

K imaginär quadratischer Zahlkörper der Diskriminannte d,
Ot die Ordnung mit dem Führer t,
Clt die Idealklassengruppe mit ht = |Clt |.

2Ωt = K (j(τ )), τ ∈ H der Ringklassenkörper (mod t),
Klassenkörpertheorie: Clt und Gal(Ωt /K ) sind isomorph.

3j(τi ), 1 ≤ i ≤ ht bilden ein komplettes System der
konjugierten Zahlen über K .

4⇒zB. Lang: Wegen Q(j(τ )) = R ∩ Ωt auch über Q.

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Komplexe Multiplikation

Ringklassenkörper

Theorie1

K imaginär quadratischer Zahlkörper der Diskriminannte d,
Ot die Ordnung mit dem Führer t,
Clt die Idealklassengruppe mit ht = |Clt |.

2Ωt = K (j(τ )), τ ∈ H der Ringklassenkörper (mod t),
Klassenkörpertheorie: Clt und Gal(Ωt /K ) sind isomorph.

3j(τi ), 1 ≤ i ≤ ht bilden ein komplettes System der
konjugierten Zahlen über K .

4⇒zB. Lang: Wegen Q(j(τ )) = R ∩ Ωt auch über Q.

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Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Komplexe Multiplikation

Klassenpolynom τi ∈ Ot ∩ H mit D = t 2 dYHD (x) =(X − j(τi )) ∈ Z[X ].
1≤i≤ht⇒ numerische Berechnung.
Atkin-Morain:³´ √ PDie Präzision, die wir benötigen, isthπ D1(a,b,c)∈H(−D) a + 10.
bh/2c log 10
Brauer-Siegel: die Klassenzahl wächst |Clt | = h(−D) wie
D 1/2+o(1) . √⇒ Ungefähr D Koeffizienten müssen berechnet werden .

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Einheitengruppe

Ende

Komplexe Multiplikation

Klassenpolynom τi ∈ Ot ∩ H mit D = t 2 dYHD (x) =(X − j(τi )) ∈ Z[X ].
1≤i≤ht⇒ numerische Berechnung.
Atkin-Morain:³´ √ PDie Präzision, die wir benötigen, isthπ D1(a,b,c)∈H(−D) a + 10.
bh/2c log 10
Brauer-Siegel: die Klassenzahl wächst |Clt | = h(−D) wie
D 1/2+o(1) . √⇒ Ungefähr D Koeffizienten müssen berechnet werden .

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Ende

Komplexe Multiplikation

Klassenpolynom τi ∈ Ot ∩ H mit D = t 2 dYHD (x) =(X − j(τi )) ∈ Z[X ].
1≤i≤ht⇒ numerische Berechnung.
Atkin-Morain:³´ √ PDie Präzision, die wir benötigen, isthπ D1(a,b,c)∈H(−D) a + 10.
bh/2c log 10
Brauer-Siegel: die Klassenzahl wächst |Clt | = h(−D) wie
D 1/2+o(1) . √⇒ Ungefähr D Koeffizienten müssen berechnet werden .

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Einheitengruppe

Ende

Komplexe Multiplikation

Koeffizienten

H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
Koeffizienten sind sehr ’groß’ !
Die wachsen sogar exponentiell in der Länge |D| → ∞.

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Einheitengruppe

Ende

Komplexe Multiplikation

Koeffizienten

H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
Koeffizienten sind sehr ’groß’ !
Die wachsen sogar exponentiell in der Länge |D| → ∞.

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Einheitengruppe

Ende

Komplexe Multiplikation

Koeffizienten

H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
Koeffizienten sind sehr ’groß’ !
Die wachsen sogar exponentiell in der Länge |D| → ∞.

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Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Klasseninvariante

Webersche Klasseninvarianten

Dedekindsche η−Quotienten
Schläfli-Funktionen√−πi η ( τ +1 )η( τ ))f(τ ) = e 24 η(τ2 ) , f1 (τ ) = η(τ2 ) , f2 (τ ) = 2 η(2τ
η(τ )
1 Q
n
2πiτ .
mit η(τ ) = q 24 ∞n=1 (1 − q ), q = e√
Weber: f(τ )f1 (τ )f2 (τ ) = 2.
pp
γ2 (τ ) = 3 j(τ ) und γ3 (τ ) = j(τ ) − 123 .
24

f24 +16

Es gilt: γ2 = f f−16
= 1 f881

f24 +16= 2 f8 .
2

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Ende

Klasseninvariante

Webersche Klasseninvarianten

Dedekindsche η−Quotienten
Schläfli-Funktionen√−πi η ( τ +1 )η( τ ))f(τ ) = e 24 η(τ2 ) , f1 (τ ) = η(τ2 ) , f2 (τ ) = 2 η(2τ
η(τ )
1 Q
n
2πiτ .
mit η(τ ) = q 24 ∞n=1 (1 − q ), q = e√
Weber: f(τ )f1 (τ )f2 (τ ) = 2.
pp
γ2 (τ ) = 3 j(τ ) und γ3 (τ ) = j(τ ) − 123 .
24

f24 +16

Es gilt: γ2 = f f−16
= 1 f881

f24 +16= 2 f8 .
2

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Einheitengruppe

Ende

Klasseninvariante

Webersche Klasseninvarianten

Dedekindsche η−Quotienten
Schläfli-Funktionen√−πi η ( τ +1 )η( τ ))f(τ ) = e 24 η(τ2 ) , f1 (τ ) = η(τ2 ) , f2 (τ ) = 2 η(2τ
η(τ )
1 Q
n
2πiτ .
mit η(τ ) = q 24 ∞n=1 (1 − q ), q = e√
Weber: f(τ )f1 (τ )f2 (τ ) = 2.
pp
γ2 (τ ) = 3 j(τ ) und γ3 (τ ) = j(τ ) − 123 .
24

f24 +16

Es gilt: γ2 = f f−16
= 1 f881

f24 +16= 2 f8 .
2

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Ende

Klasseninvariante

Webersche Klasseninvarianten

Dedekindsche η−Quotienten
Schläfli-Funktionen√−πi η ( τ +1 )η( τ ))f(τ ) = e 24 η(τ2 ) , f1 (τ ) = η(τ2 ) , f2 (τ ) = 2 η(2τ
η(τ )
1 Q
n
2πiτ .
mit η(τ ) = q 24 ∞n=1 (1 − q ), q = e√
Weber: f(τ )f1 (τ )f2 (τ ) = 2.
pp
γ2 (τ ) = 3 j(τ ) und γ3 (τ ) = j(τ ) − 123 .
24

f24 +16

Es gilt: γ2 = f f−16
= 1 f881

f24 +16= 2 f8 .
2

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Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

KlasseninvarianteSatz von Schertz

Es gilt Q(j(τ )) ⊆ Q(g (τ )).
g (τ )ist eine Klasseninvariante, falls Q(j(τ )) = Q(g (τ )) gilt.
Schertz: τ ∈ H ∩ K genüge Ax 2 + Bx + C = 0 mit
gcd(A, B, C ) = 1, A > 0, gcd(A, 2) = 1, B ≡ 0 mod 32 undD(τ ) = B 2 − 4AC = −4m = t 2 d. Dann sind12

g (τ ) = f(τ )3 , falls m ≡ 3 mod 8,¡¢3g (τ ) = 21 f(τ )4 ), falls m ≡ 5 mod 8,

ganz algebraische Klasseninvarianten.

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KlasseninvarianteSatz von Schertz

Es gilt Q(j(τ )) ⊆ Q(g (τ )).
g (τ )ist eine Klasseninvariante, falls Q(j(τ )) = Q(g (τ )) gilt.
Schertz: τ ∈ H ∩ K genüge Ax 2 + Bx + C = 0 mit
gcd(A, B, C ) = 1, A > 0, gcd(A, 2) = 1, B ≡ 0 mod 32 undD(τ ) = B 2 − 4AC = −4m = t 2 d. Dann sind12

g (τ ) = f(τ )3 , falls m ≡ 3 mod 8,¡¢3g (τ ) = 21 f(τ )4 ), falls m ≡ 5 mod 8,

ganz algebraische Klasseninvarianten.

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Ende

KlasseninvarianteSatz von Schertz

Es gilt Q(j(τ )) ⊆ Q(g (τ )).
g (τ )ist eine Klasseninvariante, falls Q(j(τ )) = Q(g (τ )) gilt.
Schertz: τ ∈ H ∩ K genüge Ax 2 + Bx + C = 0 mit
gcd(A, B, C ) = 1, A > 0, gcd(A, 2) = 1, B ≡ 0 mod 32 undD(τ ) = B 2 − 4AC = −4m = t 2 d. Dann sind12

g (τ ) = f(τ )3 , falls m ≡ 3 mod 8,¡¢3g (τ ) = 21 f(τ )4 ), falls m ≡ 5 mod 8,

ganz algebraische Klasseninvarianten.

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Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

KlasseninvarianteAnalog gibt es Klasseninvariante für m ≡ 1, 2, 4, 6, 7 mod 8.
Altes Polynom,
H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
−204 = −4 · 51 ⇒ 51 ≡ 3 mod 8 ⇒ g (τ ) = f(τ )3 ist
Klasseninvariante.
neues Klassenpolynom:
W−204 (x) = x 6 − 16 · x 5 − 12 · x 4 + 48 · x 3 + 144 · x 2 + 64 · x + 64.
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Thetanullwerte

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Ende

KlasseninvarianteAnalog gibt es Klasseninvariante für m ≡ 1, 2, 4, 6, 7 mod 8.
Altes Polynom,
H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
−204 = −4 · 51 ⇒ 51 ≡ 3 mod 8 ⇒ g (τ ) = f(τ )3 ist
Klasseninvariante.
neues Klassenpolynom:
W−204 (x) = x 6 − 16 · x 5 − 12 · x 4 + 48 · x 3 + 144 · x 2 + 64 · x + 64.
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Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

KlasseninvarianteAnalog gibt es Klasseninvariante für m ≡ 1, 2, 4, 6, 7 mod 8.
Altes Polynom,
H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
−204 = −4 · 51 ⇒ 51 ≡ 3 mod 8 ⇒ g (τ ) = f(τ )3 ist
Klasseninvariante.
neues Klassenpolynom:
W−204 (x) = x 6 − 16 · x 5 − 12 · x 4 + 48 · x 3 + 144 · x 2 + 64 · x + 64.
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Ende

KlasseninvarianteAnalog gibt es Klasseninvariante für m ≡ 1, 2, 4, 6, 7 mod 8.
Altes Polynom,
H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
−204 = −4 · 51 ⇒ 51 ≡ 3 mod 8 ⇒ g (τ ) = f(τ )3 ist
Klasseninvariante.
neues Klassenpolynom:
W−204 (x) = x 6 − 16 · x 5 − 12 · x 4 + 48 · x 3 + 144 · x 2 + 64 · x + 64.
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Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Outline1

Problem
Ein Polynom

2

Klassenpolynome
Komplexe Multiplikation
Klasseninvariante

3

Thetanullwerte
Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen
Klasseninvarianten als Quotienten der Thetanullwerten

4

Klasseneinheiten
Motivation
Einheiteneigenschaften

5

Einheitengruppe
Idee

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen

Thetafunktionen

Die sogenannten Jacobischen Thetafunktionenθ00 (τ ), θ10 (τ ), θ01 (τ ), θ11 (τ ) sind die Thetanullwerte für
g = 1.
Weber:
0 (τ ) = 2πη(τ )3 , θ (τ ) = η(τ )f(τ )2 ,
θ1100
θ01 (τ ) = η(τ )f1 (τ )2 , θ10 (τ ) = η(τ )f2 (τ )2 .
Modifizierte Schläfli-Funktionen:222
F(τ ) := θ012θ(τ00)θ(τ10)(τ ) , F1 (τ ) := θ002θ(τ01)θ(τ10)(τ ) , F2 (τ ) := θ002θ(τ10)θ(τ01)(τ ) .
Damit werden die Klasseninvariante nach folgendem Satz
konstruiert.
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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen

Thetafunktionen

Die sogenannten Jacobischen Thetafunktionenθ00 (τ ), θ10 (τ ), θ01 (τ ), θ11 (τ ) sind die Thetanullwerte für
g = 1.
Weber:
0 (τ ) = 2πη(τ )3 , θ (τ ) = η(τ )f(τ )2 ,
θ1100
θ01 (τ ) = η(τ )f1 (τ )2 , θ10 (τ ) = η(τ )f2 (τ )2 .
Modifizierte Schläfli-Funktionen:222
F(τ ) := θ012θ(τ00)θ(τ10)(τ ) , F1 (τ ) := θ002θ(τ01)θ(τ10)(τ ) , F2 (τ ) := θ002θ(τ10)θ(τ01)(τ ) .
Damit werden die Klasseninvariante nach folgendem Satz
konstruiert.
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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen

Thetafunktionen

Die sogenannten Jacobischen Thetafunktionenθ00 (τ ), θ10 (τ ), θ01 (τ ), θ11 (τ ) sind die Thetanullwerte für
g = 1.
Weber:
0 (τ ) = 2πη(τ )3 , θ (τ ) = η(τ )f(τ )2 ,
θ1100
θ01 (τ ) = η(τ )f1 (τ )2 , θ10 (τ ) = η(τ )f2 (τ )2 .
Modifizierte Schläfli-Funktionen:222
F(τ ) := θ012θ(τ00)θ(τ10)(τ ) , F1 (τ ) := θ002θ(τ01)θ(τ10)(τ ) , F2 (τ ) := θ002θ(τ10)θ(τ01)(τ ) .
Damit werden die Klasseninvariante nach folgendem Satz
konstruiert.
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Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen

Thetafunktionen

Die sogenannten Jacobischen Thetafunktionenθ00 (τ ), θ10 (τ ), θ01 (τ ), θ11 (τ ) sind die Thetanullwerte für
g = 1.
Weber:
0 (τ ) = 2πη(τ )3 , θ (τ ) = η(τ )f(τ )2 ,
θ1100
θ01 (τ ) = η(τ )f1 (τ )2 , θ10 (τ ) = η(τ )f2 (τ )2 .
Modifizierte Schläfli-Funktionen:222
F(τ ) := θ012θ(τ00)θ(τ10)(τ ) , F1 (τ ) := θ002θ(τ01)θ(τ10)(τ ) , F2 (τ ) := θ002θ(τ10)θ(τ01)(τ ) .
Damit werden die Klasseninvariante nach folgendem Satz
konstruiert.
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Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen

Konstruktion durch Thetanullwerte
Satz 1: Wir haben folgende Gleichungen für τ ∈ H ∩ K :F(τ ) = f(τ )6 ,F1 (τ ) = f1 (τ )6 ,F2 (τ ) = f2 (τ )6 ,η(τ )3 = θ00 (τ )θ012(τ )θ10 (τ ) .
Beweis: θ00 · θ01 · θ10 = η 3 · (f · f1 · f2 )2 = 2η 3
⇒ η(τ )3 =

θ00 (τ )θ01 (τ )θ10 (τ ).
2

3 = η 3 f6 ; das heißt
Andererseits ist θ00

f6 =

3
3
2
θ00
2θ00
2θ00
=
=
.
η3
θ00 θ01 θ10
θ01 θ10

Analog erhalten wir die oberen Gleichungen für f1 und f2 .¤logo

Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen

Konstruktion durch Thetanullwerte
Satz 1: Wir haben folgende Gleichungen für τ ∈ H ∩ K :F(τ ) = f(τ )6 ,F1 (τ ) = f1 (τ )6 ,F2 (τ ) = f2 (τ )6 ,η(τ )3 = θ00 (τ )θ012(τ )θ10 (τ ) .
Beweis: θ00 · θ01 · θ10 = η 3 · (f · f1 · f2 )2 = 2η 3
⇒ η(τ )3 =

θ00 (τ )θ01 (τ )θ10 (τ ).
2

3 = η 3 f6 ; das heißt
Andererseits ist θ00

f6 =

3
3
2
θ00
2θ00
2θ00
=
=
.
η3
θ00 θ01 θ10
θ01 θ10

Analog erhalten wir die oberen Gleichungen für f1 und f2 .¤logo

Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Klasseninvarianten als Quotienten der Thetanullwerten

Komplexität

Korrolar 2: g (τ ) = 18 F2 eine ganz algebraische
Klasseninvariante, falls m ≡ 5 mod 8 ist.
Beweis: Nach dem obigen Satz mit dem Satz von Schertz.
Dupont (2007): Zeitkomplexität O(M(N) log N).
Dupont (2007): η 12 hat auch O(M(N) log N)
Wurzel ziehen, etwa mittels Newtonscher Iteration.

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Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Klasseninvarianten als Quotienten der Thetanullwerten

Komplexität

Korrolar 2: g (τ ) = 18 F2 eine ganz algebraische
Klasseninvariante, falls m ≡ 5 mod 8 ist.
Beweis: Nach dem obigen Satz mit dem Satz von Schertz.
Dupont (2007): Zeitkomplexität O(M(N) log N).
Dupont (2007): η 12 hat auch O(M(N) log N)
Wurzel ziehen, etwa mittels Newtonscher Iteration.

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Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Klasseninvarianten als Quotienten der Thetanullwerten

Komplexität

Korrolar 2: g (τ ) = 18 F2 eine ganz algebraische
Klasseninvariante, falls m ≡ 5 mod 8 ist.
Beweis: Nach dem obigen Satz mit dem Satz von Schertz.
Dupont (2007): Zeitkomplexität O(M(N) log N).
Dupont (2007): η 12 hat auch O(M(N) log N)
Wurzel ziehen, etwa mittels Newtonscher Iteration.

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Klasseninvarianten als Quotienten der Thetanullwerten

Komplexität

Korrolar 2: g (τ ) = 18 F2 eine ganz algebraische
Klasseninvariante, falls m ≡ 5 mod 8 ist.
Beweis: Nach dem obigen Satz mit dem Satz von Schertz.
Dupont (2007): Zeitkomplexität O(M(N) log N).
Dupont (2007): η 12 hat auch O(M(N) log N)
Wurzel ziehen, etwa mittels Newtonscher Iteration.

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Outline1

Problem
Ein Polynom

2

Klassenpolynome
Komplexe Multiplikation
Klasseninvariante

3

Thetanullwerte
Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen
Klasseninvarianten als Quotienten der Thetanullwerten

4

Klasseneinheiten
Motivation
Einheiteneigenschaften

5

Einheitengruppe
Idee

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Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Motivation

Motivation

H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
W−204 (x) = x 6 − 16 · x 5 − 12 · x 4 + 48 · x 3 + 144 · x 2 + 64 · x + 64.

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Motivation

Motivation

H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
W−204 (x) = x 6 − 16 · x 5 − 12 · x 4 + 48 · x 3 + 144 · x 2 + 64 · x + 64.

logoProblem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Einheiteneigenschaften

Klasseneinheiten

Satz 3: g (τ ) sei eine der Klasseninvarianten nach Weber.
Dann ist g (τ ) eine Einheit, falls m ≡ 1, 5, 7 mod 8 undm ≡ 2 mod 4 sind. Außerdem, ist g (τ )/2 eine Einheit, damit
eine Klasseninvariante, falls m ≡ 3 mod 24 ist.
Satz 4: Entweder g (τ ) oder g (τ )/2 haben die Norm 2l mit l
Teiler der Klassenzahl ht mit hlt ∈ {0, 2, 3, 6}.
Korollar 5: Falls g (τ )/2 die Norm in {2, 3, 6} hat, haben wir
neue Klasseninvariante.

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Einheiteneigenschaften

Klasseneinheiten

Satz 3: g (τ ) sei eine der Klasseninvarianten nach Weber.
Dann ist g (τ ) eine Einheit, falls m ≡ 1, 5, 7 mod 8 undm ≡ 2 mod 4 sind. Außerdem, ist g (τ )/2 eine Einheit, damit
eine Klasseninvariante, falls m ≡ 3 mod 24 ist.
Satz 4: Entweder g (τ ) oder g (τ )/2 haben die Norm 2l mit l
Teiler der Klassenzahl ht mit hlt ∈ {0, 2, 3, 6}.
Korollar 5: Falls g (τ )/2 die Norm in {2, 3, 6} hat, haben wir
neue Klasseninvariante.

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Einheiteneigenschaften

Klasseneinheiten

Satz 3: g (τ ) sei eine der Klasseninvarianten nach Weber.
Dann ist g (τ ) eine Einheit, falls m ≡ 1, 5, 7 mod 8 undm ≡ 2 mod 4 sind. Außerdem, ist g (τ )/2 eine Einheit, damit
eine Klasseninvariante, falls m ≡ 3 mod 24 ist.
Satz 4: Entweder g (τ ) oder g (τ )/2 haben die Norm 2l mit l
Teiler der Klassenzahl ht mit hlt ∈ {0, 2, 3, 6}.
Korollar 5: Falls g (τ )/2 die Norm in {2, 3, 6} hat, haben wir
neue Klasseninvariante.

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Einheiteneigenschaften

Zurück zum Beispiel

uraltes Polynom
H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432,
Klassenpolynom von Weber
W−204 (x) = x 6 − 16 · x 5 − 12 · x 4 + 48 · x 3 + 144 · x 2 + 64 · x + 64,
neues Polynom0(x) = x 6 − 8 · x 5 − 3 · x 4 + 6 · x 3 + 9 · x 2 + 2 · x + 1.
W−204
logo

Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Einheiteneigenschaften

Zurück zum Beispiel

uraltes Polynom
H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432,
Klassenpolynom von Weber
W−204 (x) = x 6 − 16 · x 5 − 12 · x 4 + 48 · x 3 + 144 · x 2 + 64 · x + 64,
neues Polynom0(x) = x 6 − 8 · x 5 − 3 · x 4 + 6 · x 3 + 9 · x 2 + 2 · x + 1.
W−204
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Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Einheiteneigenschaften

Zurück zum Beispiel

uraltes Polynom
H−204 (x) = x 6 − 30703802307926880672 · x 5 +95864841637996112067555072 · x 4 +775121756231241041610849730560 · x 3 +534484930703209896960446929872814080 · x 2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432,
Klassenpolynom von Weber
W−204 (x) = x 6 − 16 · x 5 − 12 · x 4 + 48 · x 3 + 144 · x 2 + 64 · x + 64,
neues Polynom0(x) = x 6 − 8 · x 5 − 3 · x 4 + 6 · x 3 + 9 · x 2 + 2 · x + 1.
W−204
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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Outline1

Problem
Ein Polynom

2

Klassenpolynome
Komplexe Multiplikation
Klasseninvariante

3

Thetanullwerte
Beziehung zu klassischen Schläfli-Funktionen
Klasseninvarianten als Quotienten der Thetanullwerten

4

Klasseneinheiten
Motivation
Einheiteneigenschaften

5

Einheitengruppe
Idee

logo

Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Idee

Idee
Der Körper Q(j) = R ∩ K (j) hat den Einheitenrank ht − 1.
E Einheitengruppe von OQ(j) .
ht − 1 Klasseneinheiten als Wurzeln desselben
Klassenpolynoms (mit Einheitenwurzeln) bilden eine
Untergruppe H.
[E : H] = det(R)/R
1
2

R Regulatormatrix mit ij−tem Eintrag log |gi (τ )(j) |2 ,R der Regulator von Q(j).

untere Regulatorabschätzung (Pohst, et al)⇒ obere Schranke B für [E : H].
Hajir: Für pi ≤ B maximale Potenzen ei von pi zusammen
mit neuer Einheitengruppe U mit dem Index [E : H]/piei
bestimmen. −→ Schrittweise konstruieren wir unsere
Einheitengruppe mit expliziten Fundamentaleinheiten.

logoProblem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Idee

Idee
Der Körper Q(j) = R ∩ K (j) hat den Einheitenrank ht − 1.
E Einheitengruppe von OQ(j) .
ht − 1 Klasseneinheiten als Wurzeln desselben
Klassenpolynoms (mit Einheitenwurzeln) bilden eine
Untergruppe H.
[E : H] = det(R)/R
1
2

R Regulatormatrix mit ij−tem Eintrag log |gi (τ )(j) |2 ,R der Regulator von Q(j).

untere Regulatorabschätzung (Pohst, et al)⇒ obere Schranke B für [E : H].
Hajir: Für pi ≤ B maximale Potenzen ei von pi zusammen
mit neuer Einheitengruppe U mit dem Index [E : H]/piei
bestimmen. −→ Schrittweise konstruieren wir unsere
Einheitengruppe mit expliziten Fundamentaleinheiten.

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Idee

Idee
Der Körper Q(j) = R ∩ K (j) hat den Einheitenrank ht − 1.
E Einheitengruppe von OQ(j) .
ht − 1 Klasseneinheiten als Wurzeln desselben
Klassenpolynoms (mit Einheitenwurzeln) bilden eine
Untergruppe H.
[E : H] = det(R)/R
1
2

R Regulatormatrix mit ij−tem Eintrag log |gi (τ )(j) |2 ,R der Regulator von Q(j).

untere Regulatorabschätzung (Pohst, et al)⇒ obere Schranke B für [E : H].
Hajir: Für pi ≤ B maximale Potenzen ei von pi zusammen
mit neuer Einheitengruppe U mit dem Index [E : H]/piei
bestimmen. −→ Schrittweise konstruieren wir unsere
Einheitengruppe mit expliziten Fundamentaleinheiten.

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Idee

Idee
Der Körper Q(j) = R ∩ K (j) hat den Einheitenrank ht − 1.
E Einheitengruppe von OQ(j) .
ht − 1 Klasseneinheiten als Wurzeln desselben
Klassenpolynoms (mit Einheitenwurzeln) bilden eine
Untergruppe H.
[E : H] = det(R)/R
1
2

R Regulatormatrix mit ij−tem Eintrag log |gi (τ )(j) |2 ,R der Regulator von Q(j).

untere Regulatorabschätzung (Pohst, et al)⇒ obere Schranke B für [E : H].
Hajir: Für pi ≤ B maximale Potenzen ei von pi zusammen
mit neuer Einheitengruppe U mit dem Index [E : H]/piei
bestimmen. −→ Schrittweise konstruieren wir unsere
Einheitengruppe mit expliziten Fundamentaleinheiten.

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Idee

Idee
Der Körper Q(j) = R ∩ K (j) hat den Einheitenrank ht − 1.
E Einheitengruppe von OQ(j) .
ht − 1 Klasseneinheiten als Wurzeln desselben
Klassenpolynoms (mit Einheitenwurzeln) bilden eine
Untergruppe H.
[E : H] = det(R)/R
1
2

R Regulatormatrix mit ij−tem Eintrag log |gi (τ )(j) |2 ,R der Regulator von Q(j).

untere Regulatorabschätzung (Pohst, et al)⇒ obere Schranke B für [E : H].
Hajir: Für pi ≤ B maximale Potenzen ei von pi zusammen
mit neuer Einheitengruppe U mit dem Index [E : H]/piei
bestimmen. −→ Schrittweise konstruieren wir unsere
Einheitengruppe mit expliziten Fundamentaleinheiten.

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Idee

Idee
Der Körper Q(j) = R ∩ K (j) hat den Einheitenrank ht − 1.
E Einheitengruppe von OQ(j) .
ht − 1 Klasseneinheiten als Wurzeln desselben
Klassenpolynoms (mit Einheitenwurzeln) bilden eine
Untergruppe H.
[E : H] = det(R)/R
1
2

R Regulatormatrix mit ij−tem Eintrag log |gi (τ )(j) |2 ,R der Regulator von Q(j).

untere Regulatorabschätzung (Pohst, et al)⇒ obere Schranke B für [E : H].
Hajir: Für pi ≤ B maximale Potenzen ei von pi zusammen
mit neuer Einheitengruppe U mit dem Index [E : H]/piei
bestimmen. −→ Schrittweise konstruieren wir unsere
Einheitengruppe mit expliziten Fundamentaleinheiten.

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Idee

Beispiel0W−204(x) = x 6 − 8x 5 − 3x 4 + 6x 3 + 9x 2 + 2x + 1.

Die untere Regulatorabschätzung mit KANT/KASH ist
7, 3432.
11, 2487 der numerische Wert der |R|.
B = 1.5318 ⇒ Klasseneinheiten zusammen mit
Einheitenwurzeln bilden die Einheitengruppe von OQ(j) .

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Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Idee

Beispiel0W−204(x) = x 6 − 8x 5 − 3x 4 + 6x 3 + 9x 2 + 2x + 1.

Die untere Regulatorabschätzung mit KANT/KASH ist
7, 3432.
11, 2487 der numerische Wert der |R|.
B = 1.5318 ⇒ Klasseneinheiten zusammen mit
Einheitenwurzeln bilden die Einheitengruppe von OQ(j) .

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Idee

Beispiel0W−204(x) = x 6 − 8x 5 − 3x 4 + 6x 3 + 9x 2 + 2x + 1.

Die untere Regulatorabschätzung mit KANT/KASH ist
7, 3432.
11, 2487 der numerische Wert der |R|.
B = 1.5318 ⇒ Klasseneinheiten zusammen mit
Einheitenwurzeln bilden die Einheitengruppe von OQ(j) .

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Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

Ende

Idee

Beispiel0W−204(x) = x 6 − 8x 5 − 3x 4 + 6x 3 + 9x 2 + 2x + 1.

Die untere Regulatorabschätzung mit KANT/KASH ist
7, 3432.
11, 2487 der numerische Wert der |R|.
B = 1.5318 ⇒ Klasseneinheiten zusammen mit
Einheitenwurzeln bilden die Einheitengruppe von OQ(j) .

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Problem

Klassenpolynome

Thetanullwerte

Klasseneinheiten

Einheitengruppe

EndeÜber die Berechnung der Klassenpolynome
mittels Thetanullwerten undEinheiteneigenschaften der
Klasseninvarianten

Vielen Dankuzunkol@math.tu-berlin.delogo