Leopoldina -Jahresversammlung 28.-29. September 2023
“Gesetz(e): Regeln der Wirklichkeit – Regeln für die Wirklichkeit”
1. Titel des Vortrags/Title of the Talk
“Richtig ”oder “Falsch”: dies sind die Alternativen in derMathematik“Correct” or “wrong”, this is the alternative in mathematics
Hélène Esnault, FU Berlin, em.; associate Faculty Harvard,part-time Prof. Copenhagen.
2. Abstrakt/Abstract
Abstrakt: Der Titel der Jahresversammlung “Regeln der Wirklichkeit, Regeln für die Wirklichkeit” enthält zwei Begriffe: Regeln undWirklichkeit, und zwei Varianten, wie man sie verbinden kann. Mankönnte scherzhaft fortfahren: Wirklichkeit der Regeln, Wirklichkeit für
die Regeln. . . Ich beschränke mich auf die Begriffe.
“Wirklichkeit” ist ein unscharf definierter Begriff. Die Mathematik
hingegen setzt eindeutige Definitionen voraus. Sie arbeitet mit denBegriffen richtig und falsch.
Wenn es in der Mathematik so etwas wie eine Wirklichkeit gibt, danndie Wirklichkeit ihrer Regeln. Diese sind in Axiomen und Theoremenausgedrückt, gegen die man nicht argumentieren kann, und nach denen wir vorgehen. Die Regeln beruhen auf den Kenntnissen, die wir
im Laufe der Geschichte der Mathematik angesammelt haben. Somit
sind die Regeln selbst historisch geprägt: Die Mathematik bringt uns,
wenn man so will, durch die Hintertüre zurück in die Wirklichkeit derGeschichte.
Abstract: The title of the meeting “Rules of reality, rules for reality” contains two concepts: rules and reality, and two variants: how wecan combine them. We could continue the combining as a joke: realityof the rules, reality for the rules. . . In what follows we focus on theconcepts themselves.
The concept “reality” isn’t sharply defined. Mathematics, in contrast, poses unambiguous definitions and works with the concepts ‘’correct” or ‘’wrong”.
If ever there is something like reality in mathematics, then it is thereality of its rules. These are expressed in axioms and theorems. We
can not argue with them, we proceed following them. The rules arebased on the knowledge we have accumulated throughout the history12of mathematics. So those rules are shaped by History. By this indirectroute mathematics brings us back to the reality of History.

3. Kleine Entschuldigung
Wie im Abstrakt angedeutet, tun sich Mathematiker mit dem Begriff
Wirklichkeit/ Realität schwer. Gängiger ist der Begriff in der Philosophie der Mathematik: hat unsere Tätigkeit eine Existenz ausserhalb vonuns Mathematikern, es wäre der mathematische Platonismus. Dieser
argumentiert:-wenn es uns nicht gäbe, gäbe es immer noch mathematische Objekte-. Die Gegenposition behauptet: mathematische Objektesind rein geistige Produkte:- wenn es uns nicht gäbe, gäbe es auch keine
Mathematik-.
Diese beiden Pole der Gedanken sind so alt wahrscheinlich wie die
Mathematik selbst. Nun bin ich keine Philosophin in dem Sinne. Ichkönnte flapsig sagen, wenn es uns nicht gäbe, würden wir uns auchkeine Gedanken zum Thema machen...Statt dessen, möchte ich michin diesem kurzen Vortrag darauf konzentrieren, warum wir Mathematik
treiben. Dabei spielt der zweite Begriff des Titels der Veranstaltung
eine Rolle, die Regeln.

4. Warum machen wir Mathematik?
Vielleicht gibt es soviele Wege, die zur Mathematik führen, wie Menschen, die sie betreiben. Aber eine Konstante gibt es: die Mathematik
ist unsere Freiheit.
Einige kommen zur Mathematik über die Physik, einige über dieInformatik, einige über die Ingenieurwissenschaften, einige über dieBiologie. Es kommt ein Zeitpunkt im intellektuellen Leben, wo man
unsere Gedanken strukturieren möchte, bevor man sie anwendet, woman die Grundlage verstehe will. Es ist der Reiz der Abstraktion, diedann meistens weg von der “Realität” der Aussenwelt lebt.
Andere noch kommen zur Mathematik über die Kunst, die Poesie,
die Philosophie. Es kommt ein Zeitpunkt, wo man versucht, den Subjektivismus zu überwinden, der die Ästhetik begleitet. Es ist das Kriterium “richtig” oder “falsch” vom Titel des Vortrags.
Wir haben zwei Beweggründe ausgezeichnet: die Abstraktion unddas “richtig” oder “falsch”.

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5. Was machen wir?
In der Regel fangen wir jung an. Was mich angeht, wurde ich
früh in meiner Jugend von der Abstraktion gelockt, auch von diesem“richtig” oder “falsch”. Mathematik zwingt einen, mit eindeutig ausformulierten Argumenten zu denken. Es ist ein Schutz vor dem Dogmatismus. Mathematik kann uns vor sozialer Verwahrlosung bewahren,
uns die Zukunftsangst nehmen, uns vor der Erwartung befreien, inder Gesellschaft nützlich zu sein. Natürlich ist Mathematik in derGesellschaft willkommen, da sie Anwendungen hat, siehe zum Beispiel
ChatGPT. Viele unter uns streben auch danach, dass Ihre Arbeit in derGesellschaft Anwendungen findet. Aber andere, zu denen ich gehöre,nicht. Ich bin unter dem Eindruck von Hiroshima gross geworden,
und wollte niemals in meinem Leben an irgendwas arbeiten, was verheerende Folgen haben könnte. Deswegen entschied ich mich, an etwas
zu arbeiten, das gar keine Folgen hat: in dem “abstraktesten Gebiet”
der Mathematik arbeiten.
Da berühren wir den Titel der Veranstaltung: Wenn ich über Mathematik nachdenke, ist die Wirklichkeit der Aussenwelt weg. Die Mathematik arbeitet mit Begriffen, die in sich selbst geschlossen sind. Einemathematische Theorie beruht auf Gedanken, die verträglich sein müssen,
mit tausenden von Gedanken, die vorher zum Gebäude der Mathematik
hinzugefügt wurden. Eine Theorie wird dokumentiert in einer besonderen Sprache, die sich durch Sätze, Propositionen, Lemmata äussert,
all die gehören dann zu den allgemeinen Regeln der Mathematik (sieheTitel der Veranstaltung), und die Theorie wird durch Beweise belegt.
Der Beleg geht mit “richtig” oder “falsch”. Falsch kann ein logischer Fehlschluss sein, kann sich auch durch eine Unverträglichkeit mit
einer vorherigen Theorie herausstellen. Im letzteren Fall, kann es auchpassieren, dass der Fehler in der vorherigen Theorie liegt. Manchmal
findet man Fehler in Artikeln, die über 100 Jahre alt sind. Meistens,
wenn der Fehler so spät entdeckt wird, liegt es daran, dass die ältere
Theorie von minderer Bedeutung für die Weiterentwicklung war.
Wir arbeiten an Problemen. In dieser Abstraktion kommen die Probleme selbst aus abstrakten Gedanken. Jeder Schritt des Verständnissesbringt neue Probleme mit sich selbst. Es geht immer so weiter. Die
Probleme in anwendungsorientierteren Zweigen der Mathematik können
von ausserhalb der Mathematik kommen. Aus der “Wirklichkeit” also...
6. Warum werden wir davon nicht müde?
fragte mich kürzlich ein Freund. Dazu habe ich zwei Punkte als Antwort.4Zum einen, wenn es uns gelingt, etwas zu verstehen, selbst wenn
das sehr klein ist, ist die Freude immens gross, sie ist mit nichts zu
vergleichen. Niemand kann einem das wegnehmen.
Zum anderen, wollen wir wissen. Wir wollen wirklich wissen.
Ich habe gesagt, dass ich mich als Mathematikerin schwer tue mit
einem abstrakten Begriff der Wirklichkeit. Aber wenn Sie mich fragen,was für mich und für viele von uns subjektiv Wirklichkeit ist, dannwürde ich antworten: Dieser unbedingte Wunsch zu wissen.
7. Eine kleine Auswahl von Zitaten
Wolfgang Goethe: Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: redet
man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es
alsobald ganz etwas anders.
Er mochte wirklich die Franzosen=den Mathematikern (!) nicht, denner schrieb dazu:
Die jenige Kultur, welche die Mathematik dem Geiste gibt, ist äusserst
einseitig und beschränkt.
Leonardo da Vinci: Wer die erhabene Weisheit der Mathematik
tadelt, nährt sich von Verwirrung.
Cess Noteboom: Durch mein Fach bin ich an bestimmte Arten derVollkommenheit gewöhnt. Eine davon ist die Mathematik, die, wenn
man tiefer in sie eindringt, das Sphärische hoher Poesie aufweist, ohne
das Unvorhersehbare und, wenn wir ehrlich sind, das sumpfig Menschliche.
Albert Einstein: Die reine Mathematik ist auf ihre Art die Poesie
logischer Gedanken.
Karl Weierstraß: Es ist wahr, ein Mathematiker, der nicht etwas
Poet ist, wird nimmer ein vollkommener Mathematiker sein.