土木工学者としてのミランコビッチの業績に関する調査研究細田尚1・岸田潔2・西藤潤3・白井秀和4

1フェロー会員

工博 京都大学大学院教授 工学研究科都市社会工学専攻（〒615-8540 京都市西京区京都大学桂C1-3-265）E-mail:hosoda.takashi.4w@kyoto-u.ac.jp
2正会員 博士（工学）京都大学大学院准教授 工学研究科都市社会工学専攻（〒615-8540 京都市西京区京都大学桂C1-3-266）E-mail: kishida.kiyoshi.3r@kyoto-u.ac.jp
3正会員 博士（工学）京都大学大学院准教授 工学研究科社会基盤工学専攻（〒615-8540 京都市西京区京都大学桂C1-4-586）E-mail: saito.jun.3n@kyoto-u.ac.jp
4正会員 博士（工学）日本学術振興会特別研究員（河川流域ﾏﾈｼﾞﾒﾝﾄ工学講座内）（〒615-8540 京都市西京区京都大学桂C1-3-268）E-mail: shirai.hidekazu.28w@st.kyoto-u.ac.jp

ミルティン・ミランコビッチ（Milutin Milankovitch (1879-1958), セルビア人）は，ベオグラード大学応用数学科の教授時代に天体力学の研究を行った研究者としてよく知られている．氷河期の氷期と間氷期の交代が地球の公転・自転運動の周期的変動により生じることを理論的に解明した業績が特に有名であり，彼が理論計算により導いた気候変動周期は”ミランコビッチ・サイクル”と呼ばれている．一方，ウィー
ン工科大学在学時には土木工学を専攻していて，石積みアーチ構造物の安定性に関する理論的研究により博士の学位を取得している．その後，ウィーンのコンクリート構造設計会社に就職し，土木技術者として水路橋，アーチ橋，下水道システム等多数の構造物の設計・施工業務に従事するとともにコンクリート構造物設計に関する多数の特許も取得している．
本稿は，セルビア国ベオグラードにあるミランコビッチ協会で入手した資料，ミランコビッチの博士論文（ドイツ語）を英語で解説したFoceの論文，その他の石積みアーチに関する最近の論文を下にして，土木工学者・技術者時代のミランコビッチの業績について調査した結果をとりまとめたものである．

Key Words : Milutin Milankovitch, Belgrade University, mansory arch, stone skelton, limit analysis

1. はじめに木・建築構造物の設計施工会社であるAdolf Baron PittelBetonbau-Unternehmungに就職し，ダム，橋梁，石積みア

ミルティン・ミランコビッチ（Milutin Milankovitch,1879-1958, セルビア人 ）は，ベオグラード大学応用数学

ーチ橋，水路橋，鉄筋コンクリート構造物等の設計・施科の教授時代に天体力学の研究を行った研究者としてよ著者の一人である細田が2010年6月にベオグラード大く知られている．氷河期の氷期と間氷期の交代が地球の学を訪問した時，ミランコビッチの土木工学者・技術者工業務に携わるとともに，数多くの特許も取得している．

公転・自転運動の周期的変動により生じることを理論的時代の業績に関する展示会が偶然開催されており，見学に解明した業績が特に有名であり，彼が理論計算によりする機会があった．ミランコビッチ・サイクルについて導いた気候変動周期は”ミランコビッチ・サイクル”と呼知識を持っていたものの，ミランコビッチと土木工学の1)

ばれている ．彼の天体力学に関する膨大な研究成果
は”Kanon der Erdbestrahlung und seine Anwendung auf das Eiszei-

関連については全く認識しておらず，展示されていたパtenproblem”と題する著作にまとめられ，その和訳も出版

オグラードを再訪した際，ミランコビッチ協会ベオグラード（Association “Milutin Milankovitch”, Belgrade）を訪問しネルはいずれも興味深い内容であった．2012年9月にベ2, 3)

されている ．には土木工学を専攻し，力の作用線理論に基づいた石積会長のSlavko Maksimovic氏に面会した．（Slavko Maksimovic氏は都市雨水マネジメント研究で著名なCedo Mak-

み構造物の安定性解析に関する研究を行い，1904年博士

simovic教授（Imperial College of Science, Technology and Medi-

一方，ミランコビッチはウィーン工科大学の学生時代

4)cine）の実弟）面会時にMaksimovic氏から協会がミランの学位を取得している ．その後，ウィーンにある土1

コビッチの経歴と業績をまとめた冊子”Milutin Milankovitch, A Traveler through Distant Worlds and Times” 5)および展示会パネルを含む多数の資料提供を受けることができた．
帰国後，展示パネルの内容を検討したところ，土木工学者・技術者時代のミランコビッチの主要な業績として石積み構造物の理論解析があることが分かった．石積みアーチ構造物を中心に文献調査を開始したところ，建築構造の歴史研究家のFoceによるミランコビッチの博士学位論文"Beitrag zur Theorie der Druck-kurven" を解説し評価した論文6)を発見し，土木工学者としてもミランコビッチが優れた業績を残していることを知った．

図-1 ミランコビッチ協会ベオグラード会長
Slavko Maksimovic 氏（右）とともに（2012 年 9月協会内で撮影）

土木工学者・技術者時代のミランコビッチの業績について，残念ながら我が国ではほとんど知られていない．
そこで，Foceの論文を発見した後，京都大学工学研究科に所属する土木工学関連の研究者数名が協力して，入手した資料や関連論文をもとにミランコビッチの経歴と学問業績について取りまとめ，我が国の土木工学の研究者・技術者に広く紹介するための活動を開始した．

2.

ミランコビッチの経歴の概要
ここでは，まずミランコビッチの生誕からベオグラード大学応用数学科教授に就任するまでの経歴について簡単に記述する．ミランコビッチの祖先はコソボ地区出身

図-2 肖像写真と博士論文学位記（ミランコビッチ協会提供）と言われているが，自身は1879年にDaljという当時オーストリア－ハンガリー帝国領内にあったスラボニア地区の中心Osijek近くのドナウ川河畔の小さな村で生まれた．
稀有な数学的才能を持っていたこともあって，彼は17歳で初等教育を終えた後，オーストリアの首都ウィーンにあるウィーン工科大学に入学し土木工学を専攻した．
1902年に最優秀の成績で卒業し，1904年に"Beitrag zurTheorie der Druck-kurven"と題する石積みアーチ構造物の理論解析に関する博士論文を完成させ，若干25歳で博士の学位を取得した．図-2に肖像写真と博士論文学位記を示す．
その後，彼は土木工学分野の大きな会社で働くことを決意し，1905年にウィーンにあるBaron Pittelというコンクリート構造設計施工会社に就職した．Baron Pittelでの5年の間に，水路橋，アーチ橋，ベオグラードの下水道システム等の建設事業に携わり顕著な業績を残すとともに，鉄筋コンクリート構造設計に関する5つの特許を取得し

図-3 バルカン横断鉄道の鉄筋コンクリ－トアーチ橋（ミランコビッチ協会提供）た．図-3はミランコビッチが関わったバルカン横断鉄道“I was thinking what to do without consulting anyone else. May-の鉄筋コンクリ－トアーチ橋の建設当時の写真である．

be I would painfully feel the immense difference between great

また，図-4は1910年に取得した鉄筋コンクリート構造にVienna and small Belgrade. Is my duty to live, work and die among

関する特許の証明書である．

my native people who offer me what they can? The Applied Mathematics Chair is my great desire. There I could find all the conditions to

ミランコビッチは1909年に祖国のベオグラード大学から応用数学科の教授に就任するようにとの要請を受けた． develop my abilities and repay my people. That would combine those
three branches of exact science which I had studied the most and,
その時の心の内を彼は後年次のように述べている5)．
2

taken together, they would offer me wide possibilities for such scientific work that I wanted and there I thought I could create great works.
I was enchanted with the very title of the Chair for Applied Mathematics. I always appreciated mathematics as a wonderful tool forsolving the problems we face when studing nature and space, theextraordinary nature of which is best reflected in Celestial Machanics
and Theoretical Physics. And these two sciences were integral partsof my Chair.”
ベオグラード大学に移ってからのミランコビッチの業
績については多くの文献があるが，本稿の目的と直接関連しないので省略する．

3.

博士論文の概要
図-4 1910 年に取得した鉄筋コンクリート構造に関する特許証明書（ミランコビッチ協会提供）

石積み構造物の安定性に関するミランコビッチの博士
論文はドイツ語で記述されていることや後年の天体力学

N'分野とは内容が大きく異なるため長らく知られていなかGN1'ったようである．そのため，この分野で先駆的な役割を果たしてきたCambridge大学のHeymanの多くの著作7)中にNSNn’も引用されていない．前述したように，イタリアの建築

N1

構造史家であるFoceによる博士論文の解説と評価が2007
年にNexus Network Journalに掲載されたため6)，関連分野Nnの研究者は博士論文の詳細な内容を知ることができるようになった．これにより，最近になって円形アーチの安定性に関してHeyman7)やCocchetti, Colasante & Rizzi8) (以後，Ω
図-5 アーチ断面の中点と微小要素の重心位置の関係

著者らが用いている略称CCRとして記述する.) の研究とミランコビッチの理論を比較した論文が出てくるようになってきたと考えられる．

x+X

ここでは，まず任意の外力条件下にある一般形状の石p積み構造物を対象にミランコビッチが導いた力の作用線

N'者が取り扱ってきた円形アーチの力の作用線について記N1'

述する．ミランコビッチの力の作用線理論は，本質的にϕ−εCると考えられ，後年の天体力学分野での偉大な業績を予G

E1dG

感させる内容を包含している．

V Rdx

N1y0QE0AMEOP KBSM1

重要な数学的厳密性を重視する彼の特質をよく表していx0εp+dp

方程式について概説し，その適用例として数多くの研究

yHdyFNη

qq+dqD

まず，ミランコビッチが導出した石積みアーチ構造物の作用線に関する一般方程式について概説する．図-5を参照して，アーチの微小要素NN’N1N’1のN1N’1をNN’に近dϕΩ

いた．
δ212 ρ

ϕ+Yづけたときの重心位置Gと中点Mの距離を表す式(1)を導ΩG = ρ +M

図-6 ミランコビッチが作用線理論の導出に用いた概念図

(1)

 δ2
Vdx − Hdy − gβδ + ξ  sin ϕρdϕ(2) 12 ρδδ− p + ξ  sin (ϕ − ε )de − q − ξ  sin (ϕ − η )di = 022

ここに， ρ は Ω と M の距離， δ はNN’の距離を表す．
つぎに，作用線の方程式を導くために図-6 を参照して，微小要素NN’N1N’1のΕ1 回りのモーメントの釣合式(2)を導いた．
3

x

ここに， ξ は合力 R の作用位置ΕとΜの距離を表す．そx1

B+XOの他の記号は図-6 を参照されたい．
鉛直，水平方向の力の釣り合い式(3), (4)と式(2)の極限

Sをとった式(5)を連立して任意の外力が作用しているアN’ーチ内の力の作用線を計算することができる．
xV = P + gβ ∫ δρ dϕxxx0x0a/2+ ∫ p cos ε de − ∫ q cosη dixxx0x0

H = Q − ∫ p sin ε de + ∫ q sinη di δ2
V dy 1 dϕ−=  gβδρ + ξ  sin ϕH dx H dx
12ρdeδ+ p + ξ  sin (ϕ − ε )dx
2

EC(3)x0

V
Ma/2(4)QA

V
H=QNρ0Dρr

ϕ/2ϕΩ(5)+Y

図-7 厚さが一定の円形アーチ内の力の作用線

di δ+ q − ξ  sin (ϕ − η ) dx 2

図-7 に示した厚さが一定の円形アーチに対してミランコビッチは作用線の式(6)を導いている．
ρ=16ρ0Q + a (a 2 + 12r 2 )sin 2
arϕ sin ϕ + Q cos ϕϕ2(6)石積みアーチが安定であるためには，力の作用線がアーチ内に存在していることが必要であり，安定なアーチの最小厚さは作用線が図-8 の状態になっている場合で

図-8 安定な最小厚さを有する円形アーチとその中の力の作用線の関係(Foce の論文の Fig.7)ある．ミランコビッチは式(6)を用いてこの状態の崩壊角と最小厚さを ∠AΩK = 54°29' ， a = 0.1075r と計算している．

4. 円形石積みアーチの安定性に関する従来の研究との関連
CCRは，石積み構造物の研究をリードしてきたCambridge大学のHeymanが提案したモデル，それを改良
図-9 石積み円形アーチの破壊モード （CCR の論
文の Fig.2)

したCCRのモデルとミランコビッチ理論を比較検討して8)

いる ．Heymanは図-9に対応した破壊モードとして図-9のような極限状態を考え，力の釣合式，A点とB点回りのモーメントの釣合式，図-10に示すB点での力が内側境界線に接するという条件式(Heyman’s tangency condition)を連立してB点の位置と最小厚さを計算する理論式を導いた．
一方，CCRは図-11上に示した状態を考えて力とモーメントの釣合を連立し，作用線位置を決める関係式を導いた．作用線が図-11下の状態になる場合が最小厚さを有する円形アーチとなる．ただし，円形アーチの微小要素の重心位置はHeymanと同様にアーチの中心線上にあると仮定しており，ミランコビッチ理論の式(1)に対応する効果は考慮していない．
CCRは図-12に示したように，三者の理論を用いた計

図-10 B点における力の接線条件 （CCRの論文のFig.4)
4

算結果を比較するとともに，別途行ったDDA解析結果と理論解析結果も比較している9)．図-12をみると，CCRとミランコビッチ理論は互いによく一致し，DDA解析結果とも適合している．Heymanの理論はアーチの角度が大きくなるとともに他の結果との差が大きくなる．円形アーチに限れば，CCRの理論は微小要素の重心位置の仮定以外はミランコビッチの理論と同等であるため，両者の結果が一致するのは当然と考えられる．CCRが指摘しているように，Heymanの理論の場合，B点での接線条件のみを考慮しているが，その他の理論では接線条件以外にアーチの内側境界と接する作用線の曲率も考慮しており，このことが接点での曲率が大きくなるとHeymanの理論の適合性が悪くなる理由と考えられる．
ミランコビッチの研究はHeymanやCCRより50年～100年以上前に行われただけでなく，任意の外力作用の下での一般形状を有するアーチの作用線方程式を導いていることに留意する必要があろう．
CCRの論文の参考文献には多次元弾塑性解析やDEM・DDA等の離散要素解析等の文献も含まれており，現在の石積みアーチ構造研究の状況を知ることができる．
ミランコビッチ等の力の作用線を用いた解析法は極限解析に分類されるが，その延長線上にあるのが，石積みアーチを引っ張りに対してほとんど抵抗しない物質から成る弾塑性曲り梁としての取り扱いと考えられる．今後，ミランコビッチ等の作用線理論と弾塑性曲り梁理論10),11)との関連についてさらに調査を行いたい．

図-11 CCR の解析の概念図（CCR の論文の Fig.9,10）

5. おわりに
本稿はミランコビッチが土木工学者・技術者時代に行った石積み構造物に関する研究業績について，最近の論文や資料をもとに調査・検討した結果を要約したものである．本質的に重要な効果は複雑であっても厳密に取り扱おうとするミランコビッチの研究姿勢はすばらしく，後年の天体力学と気候変動研究分野での偉大な研究成果は，ミランコビッチの研究に対する真摯で厳正な態度があってこそ成し遂げることができたと考えられる．
今後，本研究で取り扱った円形アーチ以外，例えば尖塔アーチ形状におけるミランコビッチ理論の優越性や弾塑性曲り梁理論との比較検討等を継続して行いたい．
謝辞：本研究を行うにあたり，ミランコビッチに関する資料の提供やセルビア語の翻訳等で多大な協力をいただ
いたミランコビッチ協会ベオグラード会長 Slavko Mak-

図-12 Heyman, CCR，ミランコビッチ理論及びDDA解析結果の比較 9)(上:破壊角,下:無次元厚さ）

simovic氏，ベオグラード大学 Marko Ivetic氏，Nenad Jacimovic氏に深く感謝する．

2)

参考文献
1)

竹内

3)

均：知と感銘の世界，ひらめきと執念で拓い5た地球の科学，ニュートンプレス，2002.
Milutin Milankovitch : Kanon der Erdbestrahlung undseine Anwendung auf das Eiszeitenproblem, Belgrade,
Royal Serbian Academy Special Publication, 1941.
ミルティン・ミランコビッチ（和訳：柏谷健二他 4名）：気候変動の天文学理論と氷河時代，古今書院，1992．

4)

5)

6)

7)
8)

Milutin Milankovitch : Beitrag zur Theorie der Druckkurven, Dissertation zur Erlangung der Doktorwürde, K.K.
technische Hochschule, Vienna, 1904.
Association “Milutin Milankovitch” Belgrade : Milutin
Milankovitch, A Traveler through Distant Worlds andTimes, 2008.
Foce, F. : Milankovitch's Theorie der Druckkurvrn: Goodmechanics for masonry architecture, Nexus Network Journal , Vol.9(2), 185-210, 2007.
Heyman, J.: The Stone Skelton - Structural Engineering ofMasonry Archtecture -, Cambridge University Press, 1995.
Cocchetti, G., Colasante, G. and Rizzi, E.: On the analysisof minimum thickness in circular masonry arches, Applied
Mechanics Reviews, ASME, Vol.64, 050802.1-26, 2011.

9)

Rizzi, E., Cocchetti, G., Colasante, G. and Rusconi, F.:
Analytical and numerical analysis on the collapse mode ofcircular masonry arches, Advanced Materials Research,
Vol.133-134, 467-472, 2010.
10) Aita, D., Barsotti, R. and Bennati, S.: Equilibrium ofpointed, circular and elliptical masonry arches bearing vertical walls, Journal of Structural Engineering, Vol.138, No.
7, 880-888, 2012.
11) Audenaert, A., Reniers, G., Dullaert, W. and Peremans, H.:
Evaluation of the limit load capacity of masonry archbridges, WSEAS Transactions on Applied and Theoretical
Mechanics, Issue 4, Volume 4, 137-146, Oct. 2009.
(2014. 4. 7 受付)

SOME CONSIDERATIONS ON THE ACHIVEMENTS OF MILANKOVITCH ASA CIVIL ENGINEERING RESEARCHER
Takashi HOSODA, Kiyoshi KISHIDA, Jun SAITO and Hidekazu SHIRAI
Milutin Milankovitch (1879-1958) is well known as a celestial mechanician and a geophysical scientistof Serbia. One of his distinguished achievements is known as "Milankovitch cycle", which indicates thelong term climate variability caused by the eccentricity of the Earth's orbit, its axis of rotation and precession of the axis. These academic achievements were compiled into a book titled " Kanon der Erdbestrahlung und seine Anwendung auf das Eiszeitenproblem " published in 1941. These great achievements inthe field of Astronomy were done when he worked for Unversity of Belgrade as a Professor of the Department of Applied Mathematics.
On the other hand, he majored in Civil Engineering when he was a student of Vienna University ofTechnology (Technische Universität Wien). He submitted a thesis on the subject of the theoretical analysis of stone arch structure, " Beitrag zur Theorie der Druckkurven" and obtained Ph.D. in 1904. After graduating the university, he worked for a design and construction company, Baron Pittel in Vienna. During
his carrier in Baron Pittel, he was involved in the design and construction of many bridges and civil engineering structures.
In order to make clear the meaning of Milankovitch’s achievements in the context of the History ofCivil Engineering, his academic achievements as a civil engineering researcher are reviewed and reexamined in this study, reffering to the materials provided by the Milankovitch Association, Belgrade andthe papers related to the contents of his PhD thesis.

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