今回出題した問題は【2001名古屋市大医学部】 が成り立つような，1 をみたす p,q,r を考える．の入試で出題された問題ですが，ほぼ同じ問題が （解答後半に続く）【1992

東京大学理科】で出題されていますので，東大の過去問に詳しい方は，一瞬で見抜けたことと ［考察］思います．

さて，ここで「任意の～に対して不等式が成り立つような」

それでは，問題を確認し，解答に移りましょう．ときたので，『絶対不等式としてとらえる』

問題
じゃんけんをして勝者が手の出し方によって定まった『（恒等式っぽくとらえて）数値代入法』

歩数だけ進む遊びがある．の２つの道筋が思い浮かぶと思います．以下は，そグーで勝ったときに 3 歩，チョキで勝ったときに 6 歩，れぞれの解答の特徴を見てみましょう．

パーで勝ったときに 5 歩進むとし，負けた場合もしくはあいこの場合には動かないものとする．
いま，A,B 二人があらかじめ決められた確率にしたがってグー，チョキ，パーを出すものとする．
B がどのような確率にしたがってグー，チョキ，パー（解答後半）（解法１）『絶対不等式としてとらえる場合』
2 よりを出しても，1 回のじゃんけんで A の歩数の期待値が Br¢= 1 - p¢- q¢ B4の歩数の期待値よりも小さくならないようにしたい．A

かつがグー，チョキ，パーを出す確率をどのように決めればÏ p¢ ≥ 0ÔÔÌq¢ ≥ 0
B5Ô
ÔÔ p¢ + q ¢ £ 1
Óよいか．ただし，求める手順をわかりやすく説明すること．

（解答）である．また，1 よりグー，チョキ，パーを出す確率をそれぞれr = 1 - p - q B6

A は p,q,rであるから，4，6 を 3 に代入して整理すると

B は p¢,q¢,r¢(5 - 14q)p¢+ (-6 + 14p)q¢ + 6q - 5p ≥ 0 B3¢とおくととなる．（※）

p ≥ 0,q ≥ 0,r ≥ 0,p + q + r = 1 B1p¢ ≥ 0,q¢ ≥ 0,r¢ ≥ 0,p¢ + q¢ + r¢ = 1 B2である．このとき［考察］
3¢ の左辺は，変数の条件 5 が図示できる 2 変数

グーで勝つ確率は，A が pq¢,B が p¢q関数とみることができるので，線形計画法で最小値チョキで勝つ確率は，A が qr¢,B が q¢rを考えることができます．ただし，(3¢ の左辺 ) = k

パーで勝つ確率は，A が rp¢,B が r¢pとおいたときに，直線にならなかったり，q¢ 軸平行であるから，それぞれの歩数の期待値はの直線になるときがあるので，場合分けを行います．

A：3pq¢+ 6qr¢+ 5rp¢
B：3p¢q + 6q¢r + 5r¢pとなる．

（（※）の続き）

よって，2 をみたす任意の p¢,q¢,r¢ に対して不等式
3pq¢+ 6qr¢+ 5rp¢ ≥ 3p¢q + 6q¢r + 5r¢p B3i)p=35かつ q =714のとき（つまり，(3¢ の左辺 ) = k が直線にならないとき）

1

6 より r =［参考］ 直線の傾きや，k の係数の正負などで，い3であり，このとき14ろいろなパターンがありますが，3 カ所のうち，い(3¢ の左辺 ) = 0ずれかの場所で，k は最小となります（この文書のとなるので 3¢ は成立し，1 もみたす．

一番最後に，場合分けを掲載していますので，必要に応じて参照してください）．

35p = かつ q =714ii)

ではないときijk = (3¢ の左辺 ) = f(p¢,q¢) B7

とおき，5 をみたす p¢,q¢ に対し，k の最小値を考える．5 をみたす p¢,q¢ を平面に図示すると次図の色付き部分（境界を含む）．

hj

ij2


（（※※）の続き）

hj2A)
7p=



35かつ q π
714-以上，A),B) より，求める条件はmin{ f(0 ,0),f(1 ,0),f(0 ,1)} ≥ 0
Ï f(0 ,0) ≥ 0
Ï6 q - 5 p ≥ 0ÔÔÔÔÔ- Ì f(1 ,0) ≥ 0 - Ì5 - 8q - 5 p ≥ 0ÔÔÔÔ -6 + 6 q + 9 p ≥ 0
Ô f(0 ,1) ≥ 0ÔÓÓÏÔq ≥ 5 p
Ô
6
Ô
Ô
55
Ô
- Ìq £ - p +B8
Ô88ÔÔÔq ≥ - 3 p + 1Ô2
Óのとき

k = (5 - 14q)p¢ + 6q - 5pとなる．（これは q¢ 軸平行な直線で，線形計画法が使えないので，p¢ の 1 次関数と考えて）上の領域より 0 ≤ p¢ ≤ 1 ゆえ5 -14q > 0のとき

p¢ = 05 -14q < 0のとき

p¢ = 1となるが，これをみたすものはで k は最小値をとる．また，それぞれの最小値は
f(0,0)

またはª3f(1,0)ipπ37ºの 1 点のみ（下図参照）であり，不適．と同じ値となる（q¢ の値によらない）．

B)

5( p ,q) = 7 ,14f(0,1)

h

iのとき

i

7 は p¢q¢ 平面上で，q¢ 軸に平行でない直線を表iすので（q¢ 切片が最大，または，最小になるときに注目して） k の最小値はhh2min{f(0,0),f(1,0),f(0,1)}(3 つの値のうち，最も小さいもの ) となる．
（※※）

2h

点を代入することになるので気づきやすいのですが以上より，求める値はp=……何か他に理由はないのでしょうか？

353,q =,r =71414

ここで，ちょっとだけ，ずるく考えて「期待値で相手に負けないような（コメント）
型通りに解くと，こちらの解法になると思います．

最善の確率（p,q,r）が存在する」

最小値をとる場所を 3 カ所まで絞りこむことができて，かつ，１カ所に確定する必要がないことに気づけば，解くことができると思います．しかし，最小と仮定しましょう．そうすると，今考えているのは「B の手の出し方がどれだけうまくても，A のほうが歩数の期待値が小さくならない条件」なので，「B値をとる場所を確定しようとすると，直線を表す 7が最善の確率で手を出したときに，A のほうが歩数の傾きや，k の係数の正負による場合分けが煩雑にの期待値が小さくならない条件」さえ考えれば十分なってしまうので，注意が必要です．

です．
ところが，A,B の二人には，勝ったときに進め（解法２）『数値代入法』を用いる場合る歩数には差がない，つまり歩数に関する条件に対《（※）までは（解法１）と同様》

称性があるため，「B が最善の確率で手を出すなら，ここで，5 をみたす任意の p¢,q¢ に対し，3¢ がA も最善の手を出すしか，歩数の期待値で負けない成り立つ条件を考えるので，まず 3¢ に方法はない」ということになります．このとき，二(p¢,q¢) = (0,0),(1,0),(0,1)

人の歩数の期待値の差は０になりますからを代入すると（解法１）の 8 が得られる．これを「3¢ の不等式の『等号が成立する』とき」

みたすものは，（解法１）の最後の図より( p ,q) =ª3 5,7 14ºがあやしいな，と気づけるわけです．等号成立のとき，3¢ は(5 - 14q)p¢+ (-6 + 14p)q¢ + 6q - 5p = 0のときのみであり，逆にこのときとなり，これが p¢,q¢ についての恒等式となるため(3¢ の左辺 ) = 0の条件を考えたいのでとなり，3¢ は成り立つ．以上と 6 よりp=

B96q - 5p = 0,5 - 14q = 0,-6 + 14p = 0353,q =,r =71414を（もともとは不等式で係数比較法が使えないので，数値代入法で）導きたいです．そのためにまず 9であり，これは 1 をみたすので，求める値である．に（コメント）(p¢,q¢) = (0,0)
を代入し，6q - 5p = 0 を導き，この条件のもとで『数値代入法』を使うと，最後に逆のチェックは必要ですが，場合分けをしなくてもよくなるので，(p¢,q¢) = (1,0),(0,1)
を代入すれば残りの 2 式が得られるから，3¢ にも（解法１）よりも答案がスッキリします．

同じものを代入してみたらどうだろう……と考えるなので，個人的には（解法２）のほうが好みなのわけなのです．

ですが，『数値代入法』を使う場合「(p¢,q¢) にどの値を代入するか？」（ちなみに，不等式ではなく「恒等式になるための条件」を考える問題が【2002を選ぶ際の理由が気になるところです．（解法１）ています）の場合は，線形計画法を用いたときに領域の端の3信州大】で出題され最終的な結果を見て2)「確実に有利な手の出し方はなく14q - 5£0
14 p - 6五分五分が精一杯」のときijということに興味を覚えるのも，もちろん良いことなのですが，強者の皆さんであれば

「二人の条件は同じやねんから，確実に有利になるような手の出し方は，ないんちゃうん？」と事前に勘づいて，最初からスッキリした答案を作hj

成する，という段階を目指してみるのも，楽しいか

2もしれませんね．
（数学科中西）(0,0) を通るとき最小 .

［補足］（解法１）の ii) の B) において，最小値をとる場

イ） 14p - 6 < 0 のとき所を確定するときは，以下の場合分けを行います．

q¢ 切片が最大のとき，k は最小となる .

必要に応じて，参照してください．

7 - q¢ =1)

14q - 5≥ -1
14 p - 614q - 515 p - 6q
p¢ +k+14 p - 614 p - 614 p - 6のとき

ij

まず，k の係数（の分母）の正負で場合分けし，さ

らに直線の傾きで場合分けを行う .
ア） 14p - 6 > 0 のとき

hjq¢ 切片が最小のとき，k も最小となる .
1)

14q - 5≥0
14 p - 62のとき

(0,1) を通るときに最小 .

ij2)



14q - 5£-1
14 p - 6のとき

ij


hj
2


hj

（1,0）を通るとき最小 .

2(1,0) を通るときに最小 .

4以上よりf(0,0),f(1,0),f(0,1)のいずれかが最小値となる .

5