エミッタンス測定

本テキストでは、これらの横方向エミッタンスの測定について説明するが、その前に、エミッタ

1. 序説

ンス測定の説明で出てくるビームパラメータや

1.1. はじめに説明する。これらについての詳細な説明は過去のエミッタンス(Emittance)は加速器の性能を表す重要なパラメータの一つである。ビームサイズ
はエミッタンスの平方根に比例するため、エミッ
タンスが悪いとビームサイズが大きくなり、ビー
ムパイプなどにあたりビームロスを引き起こす。
また、エミッタンスはビームを衝突させて物理実験を行うコライダーのルミノシティーや放射光の輝度などにとっても重要なパラメータとなる。
ビームは、たくさんの粒子がまとまってある方向に進んでいくもので、各粒子の位置、方向にはばらつきがある。エミッタンスの良い(小さい)ビームとは、それらの位置の広がりが小さく、進む
方向が揃っているビームである(図 1 上)。逆にエミッタンスの悪い(大きい)ビームは、位置広がり
や方向のばらつきが大きくなっている(図 1 下)。

図 1：エミッタンスが良いビーム(上)とエミッ
タンスが悪いビーム(下)用語、およびビームサイズモニタについて概略を
OHO にあるので、それを参照されたい。また、今回のテキストを執筆するにあたり OHO などの参考文献[1-14, 18,19]を参考にさせて頂いた。
1.2. エミッタンス
ビーム内の粒子は各々の位置や進む角度にばらつきを持っており、これらを含むビームの性質
は、位相空間(Phase space)内の粒子の分布によって表される。例えば図 2 はビーム進行方向に対して垂直な面(Transverse 方向)のうち、水平方向である x 方向についてビームの粒子の位相空間分布を表したもので、横軸に粒子の位置𝑥𝑥、縦軸に粒子の進む角度𝑥𝑥 ′ = 𝑝𝑝𝑥𝑥 /𝑝𝑝𝑠𝑠 を取り、ビーム内の各粒子の𝑥𝑥, 𝑥𝑥′の分布を示したものである。鉛直方向である𝑦𝑦方向についても同様の分布が描ける。

図 2：位相空間分布

エミッタンス測定の方法として、Q スキャン(Qscan)法、位相プロット(Phase plot)法など測定しエミッタンス𝜀𝜀は、ビームの粒子が、この位相空たビームサイズとビーム光学系から計算する方間(Phase space)を占める面積を𝜋𝜋で割ったものと法や、スリットスキャン(Slit scan)法、ペッパー
ポット(Pepper-pot)法など、位置𝑥𝑥で切り出したビームをある距離進ませることで、その位置分布を
発散角𝑥𝑥′の分布に置き換え、その𝑥𝑥, 𝑥𝑥′の情報からエミッタンスを算出する方法などがある。

して定義される。
1(1.1)
� � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 ′𝜋𝜋
このようにビーム内の粒子が楕円に分布して𝜀𝜀 =いるとすると、ビームの性質はσ-Matrix と呼ばれる Beam matrix で表される。X 方向の場合、

𝜎𝜎11
Σ𝑥𝑥 = �𝜎𝜎

𝜎𝜎12
�
𝜎𝜎
21
22
⟨𝑥𝑥𝑥𝑥 ′ ⟩ − ⟨𝑥𝑥⟩⟨𝑥𝑥 ′ ⟩⟨𝑥𝑥 2 ⟩ − ⟨𝑥𝑥⟩2= ��
⟨𝑥𝑥𝑥𝑥 ′ ⟩ − ⟨𝑥𝑥⟩⟨𝑥𝑥 ′ ⟩ �𝑥𝑥 ′ 2� − ⟨𝑥𝑥 ′ ⟩2

(1.2)

であり、ここで、𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 〈(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 〈𝑥𝑥𝑖𝑖 〉)�𝑥𝑥𝑗𝑗 − 〈𝑥𝑥𝑗𝑗 〉�〉で、𝑥𝑥𝑖𝑖 = {𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ′ }である。〈 〉は平均を表す。

𝜎𝜎𝑥𝑥 = �⟨𝑥𝑥 2 ⟩ = �𝛽𝛽𝑥𝑥 𝜀𝜀(1.9)と Twiss パラメータ𝛽𝛽とエミッタンス𝜀𝜀の積の平方根となる。ここまで𝑥𝑥方向について説明してきたが、𝑦𝑦方向も同様である。
位相空間内の楕円と Twiss パラメータの関係を
図 3 に示す。Twiss パラメータの𝛽𝛽はビームサイ
ズ、𝛾𝛾は発散角に関係した量になっている。また、
Twiss パラメータの𝛼𝛼は、ビームは収束していく
ときに𝛼𝛼 > 0、逆に発散していくときは𝛼𝛼 < 0になる。また、焦点では𝛼𝛼 = 0となる。

ビームが位相空間を占める面積といった場合に、ビームの分布の 90%が占める面積や1𝜎𝜎が占める面積など、いくつか定義があるので注意が必要である。1𝜎𝜎のビームが占める面積でエミッタンスを出す場合には、これを rms エミッタンスと呼ぶ。
図 3：位相空間のおける楕円と Twiss パラメー
タの関係
また、もう一つビームの状態を表すパラメータとして Twiss パラメータと呼ばれる𝛽𝛽、𝛼𝛼、𝛾𝛾があり、これらの間には、

1 ′
𝛽𝛽
2
1 + 𝛼𝛼 2𝛾𝛾 =𝛽𝛽という関係がある。Beam matrix とは、
𝛽𝛽−𝛼𝛼𝑥𝑥
Σ𝑥𝑥 = 𝜀𝜀𝑥𝑥 � 𝑥𝑥
�−𝛼𝛼𝑥𝑥 𝛾𝛾𝑥𝑥
⟨𝑥𝑥𝑥𝑥 ′ ⟩ − ⟨𝑥𝑥⟩⟨𝑥𝑥 ′ ⟩⟨𝑥𝑥 2 ⟩ − ⟨𝑥𝑥⟩2�= �⟨𝑥𝑥𝑥𝑥 ′ ⟩ − ⟨𝑥𝑥⟩⟨𝑥𝑥 ′ ⟩ �𝑥𝑥 ′ 2� − ⟨𝑥𝑥 ′ ⟩2𝛼𝛼 = −

(1.3)
(1.4)

(1.5)

という関係になっている。ここで、⟨𝑥𝑥⟩と⟨𝑥𝑥′⟩を原点に取る、つまり楕円の中心を原点に取ると、少し簡単に書けて、⟨𝑥𝑥 2 ⟩ ⟨𝑥𝑥𝑥𝑥 ′ ⟩
𝛽𝛽
−𝛼𝛼𝑥𝑥
�
𝛴𝛴𝑥𝑥 = 𝜀𝜀𝑥𝑥 � 𝑥𝑥
�= �−𝛼𝛼𝑥𝑥 𝛾𝛾𝑥𝑥
⟨𝑥𝑥𝑥𝑥 ′ ⟩ �𝑥𝑥 ′ 2 �(1.6)となる。この𝛴𝛴𝑥𝑥 の行列式の平方根は、式(1.6)より、(1.7)
�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑Σ𝑥𝑥 = �𝜀𝜀𝑥𝑥2 (𝛽𝛽𝑥𝑥 𝛾𝛾𝑥𝑥 − 𝛼𝛼𝑥𝑥2 ) = 𝜀𝜀𝑥𝑥とエミッタンスになる。ここで式(1.4)を使った。
よって、式(1.6)の後半を使えば、エミッタンスは(1.8)
𝜀𝜀𝑥𝑥 = �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑Σ𝑥𝑥 = �⟨𝑥𝑥 2 ⟩⟨𝑥𝑥′2 ⟩ − ⟨𝑥𝑥𝑥𝑥′⟩2と表せる。

また、ビームサイズを𝜎𝜎𝑥𝑥 とすると、

1.3. 転送行列
ある地点𝑠𝑠1 から𝑠𝑠2 にビームが進む場合、𝑠𝑠1 での位置𝑥𝑥1 と発散角𝑥𝑥′1と、s2 での位置𝑥𝑥2 と発散角𝑥𝑥′2の関係は、その間の光学要素の作用を表した行列𝑀𝑀を使って以下のように書ける。
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑚𝑚11 𝑚𝑚12 𝑥𝑥1(1.10)
� �𝑥𝑥 ′ ��𝑥𝑥 ′ � = 𝑀𝑀 �𝑥𝑥 ′ � = �𝑚𝑚
21 𝑚𝑚222
1
1
この行列𝑀𝑀が転送行列(Transfer matrix)である。
𝑦𝑦方向についても同様である。

例えば、自由空間(Drift space)をビームが距離

𝐿𝐿だけ進んだ時の転送行列は
1 𝐿𝐿(1.11)𝑀𝑀𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = ��0 1と書ける。また、ビームを収束するために使用する四極電磁石(Quadrupole magnet)の転送行列
は、収束(Focus)の場合、
𝑀𝑀𝑄𝑄𝑄𝑄 = �

cos�√𝑘𝑘𝑙𝑙�

1

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�√𝑘𝑘𝑙𝑙�
�√𝑘𝑘cos�√𝑘𝑘𝑙𝑙�
−√𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�√𝑘𝑘𝑙𝑙�

(1.12)となる。ここで𝑘𝑘 = (𝐵𝐵0⁄𝑎𝑎)/𝐵𝐵𝐵𝐵であり、𝑎𝑎はボア径、

𝐵𝐵0はポール上での(半径 a での)磁束密度、𝐵𝐵は磁束密度、𝜌𝜌は磁場中を荷電粒子が進む場合の曲率

半径、𝑙𝑙は四極電磁石の磁極の長さである。また、発散(Defocus)の場合の転送行列は、

cos ℎ�√𝑘𝑘𝑙𝑙�

1

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ�√𝑘𝑘𝑙𝑙�
𝑀𝑀𝑄𝑄𝑄𝑄 = �� (1.13)√𝑘𝑘√𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ℎ�√𝑘𝑘𝑙𝑙�
cosh�√𝑘𝑘𝑙𝑙�

となる。

焦点距離より四極電磁石の厚みが十分小さいとみなせる薄レンズ(Thin lens)近似では、この転送行列は、
1
𝑀𝑀𝑄𝑄𝑄𝑄 = �
−𝐾𝐾

0
�
1

(1.14)と書ける。ここで、𝐾𝐾 = 𝑘𝑘𝑘𝑘とおいた。この𝐾𝐾は光学
レンズの焦点距離𝑓𝑓の逆数に相当するものである。Defocus の場合は K の符号が逆になる。

例えば、図 4 のように𝑠𝑠1から𝑠𝑠2へと進む間に距

離𝐿𝐿1の自由空間、四極電磁石の、距離𝐿𝐿2の自由空間があるとき、2 点間の転送行列 M は、それぞれの転送行列を順番に掛けていけばよく、
1sin�√𝑘𝑘𝑙𝑙� 1 𝐿𝐿1cos�√𝑘𝑘𝑙𝑙�
1 𝐿𝐿2
𝑀𝑀 = �
��
�
��
√𝑘𝑘
0 1
0 1
cos�√𝑘𝑘𝑙𝑙�
−√𝑘𝑘 sin�√𝑘𝑘𝑙𝑙�
(1.15)と表せる。四極電磁石を薄レンズ近似とするな

図 5：位相区間での分布の変化
よって、図 5 のように左から収束(𝛼𝛼 > 0)、焦点(𝛼𝛼 = 0)、発散(𝛼𝛼 < 0)と進むにしたがって、楕円は時計回りに回転するように変化していく。四極電磁石があると、式(1.10)と式(1.14)から、その前後
で𝑥𝑥, 𝑥𝑥′はそれぞれ𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 、𝑥𝑥′2 = −𝐾𝐾𝑥𝑥′1と変化する

ので、位相空間上の楕円の分布は、四極電磁石の前後で、縦軸が K 倍になって上下が反転する形になる。このようにビームライン上を進んでいくと位相空間分布が変化していく。ビームエネルギーが一定の場合には、この間、楕円の面積は一定、つまりエミッタンスは一定となっている。

ら、

1 𝐿𝐿2
1
𝑀𝑀 = �
��
0 1 −𝐾𝐾となる。

0 1 𝐿𝐿1���
1 0 1(1.16)

図 6：加速前後で Pz のみ増加するので、𝒙𝒙′ =𝒑𝒑𝒙𝒙 ⁄𝒑𝒑𝒛𝒛が減少する。楕円は上下方向に縮み面積が減少するので、エミッタンスも減少する。

図 4：自由空間と四極電磁石の配置

1.5. 規格化エミッタンス

1.4. 位相空間内での粒子分布
自由空間を進み、ある位置𝑠𝑠1 から𝑠𝑠2 移動する場

合、式(1.10)に式(1.11)を代入すると、𝑠𝑠2での位置

線形加速器など加速空洞でビームが加速された場合には、エミッタンスは変化する。加速され𝑥𝑥2 と発散角𝑥𝑥′2は、それぞれ𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 + 𝐿𝐿𝐿𝐿′、𝑥𝑥′2 = 𝑥𝑥′1てビームエネルギーが増加するとエミッタンス

は𝑥𝑥 < 0の側である左へ動く。

方向の運動量𝑝𝑝𝑧𝑧 は増加するが、ビーム進行方向に垂直な x, y 方向の運動量𝑝𝑝𝑥𝑥 , 𝑝𝑝𝑦𝑦 は変化しない。粒′となる。よって位相空間上で粒子は、𝑥𝑥 > 0にい′るものは𝑥𝑥 > 0の側である右へ、𝑥𝑥 < 0にいるもの

は小さくなる。
粒子が z 方向に加速される場合、この粒子の z

子の発散角は、𝑥𝑥 ′ = 𝑝𝑝𝑥𝑥 ⁄𝑝𝑝𝑧𝑧 , 𝑦𝑦 ′ = 𝑝𝑝𝑦𝑦 ⁄𝑝𝑝𝑧𝑧 なので、𝑝𝑝𝑧𝑧

光 域 の 遷 移 放 射 (Optical transition radiation:

そうすると図 6 右にあるように位相空間上の楕

考文献[4, 12]の OHO テキストに詳しい説明が載

円の縦方向が縮み、楕円の面積も減少するため、っているので、より詳細を知りたい場合はそちら

エミッタンスは減少する。加速前後の運動量およを参照して頂きたい。ここでは各スクリーンの特びエミッタンスをそれぞれ𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 および𝜀𝜀1 , 𝜀𝜀2 とす
ると、𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀1 𝑝𝑝1 ⁄𝑝𝑝2 となる。また、加速しなかった徴を簡単に説明する。

が増加すると図 6 のように発散角は減少する。

OTR)を利用する。これらのモニタについては、参場合と比べてビームサイズも小さくなる。これは断熱減衰(Adiabatic damping)と呼ばれる。

一 方 で 規 格 化 エ ミ ッ タ ン ス (Normalized
emittance)は、ビームエネルギーに依らず一定となる。規格化エミッタンス𝜀𝜀𝑛𝑛 は、エミッタンスを𝜀𝜀とすると、(1.17)
𝜀𝜀𝑛𝑛 = 𝛽𝛽𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛾𝛾𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝜀𝜀と表される。ここでの𝛽𝛽𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 、𝛾𝛾𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 は、それぞれ光速

𝑐𝑐と速度𝑣𝑣の比、およびローレンツ因子で、𝛽𝛽 =𝑣𝑣⁄𝑐𝑐 , 𝛾𝛾 = 1/�1 − 𝛽𝛽2 である。

図 7：スクリーンモニタ。蛍光板や金属箔な
どのスクリーンにビームを照射し、その発光をカメラで捉え、ビームの像を得る。

この規格化エミッタンスとエミッタンスを区

Al2O3 の板で薄いピンク色をしている。デマルケ

別する場合には、エミッタンスのことを幾何学的
エミッタンス(Geometric emittance)と呼ぶ。

スト社製のため、デマルケストと呼ばれることもある。ビームが当たると赤く光る(中心波長は2. ビームサイズモニタ
この節では、ビームサイズモニタについて説明

ア ル ミ ナ 蛍 光 板 [15] は Cr2O3 を ド ー プ し た

693mm)。発光時間が長いので、シャッタースピ
ードを遅くすればビームカレントが低くてもビームプロファイルを見ることができる。

する。Q スキャンに限らず、エミッタンスを測定

発光時間が長く、セラミックなので内部で光のする際には、ビームサイズを測定することにな

散乱が起こり、ビームプロファイルが滲んで見る。サイズモニタとしてよく使われるスクリーン

え、実際のビームサイズより大きく測定されるこ

モニタやワイヤースキャナーについて簡単に説とに注意が必要である。

明する。
2.1. スクリーンモニタ

この影響を抑制するために、100µm 厚まで薄くして使用する。それでもビームサイズは大きめに出るため、ビームを小さく絞って測定する Q スキスクリーンモニタ(Screen monitor)は、ビーム

ャン法などのエミッタンス測定では、後述するが衝突すると発光するスクリーンをビームライ

Ce:YAG や OTR モニタを使用したほうが良いとンに挿入し、そのスクリーン上に焦点を合わせた思われる。

カメラを使って、ビーム進行方向に垂直な横方向

図 8 は、KEK 小型電子加速器(LUCX)におい(Transverse 方向)のビームの像を撮影するモニタて、100µm 厚のアルミナ蛍光板および鏡面加工しで、その場所でのビーム位置やサイズなどの測定た金属板(OTR スクリーン)の 2 種類のスクリーンに使用される(図 7)。

について、ビームサイズを測定し比較した結果でスクリーンとしては、Cr をドープしたアルミナある。2 つのスクリーンはビームラインの同じ位蛍光板や Ce:YAG などのシンチレーターの板、薄置に挿入できるようになっており、2 つを切り替い金属板や金属箔などが使用される。金属箔を使えながら、同じ条件のビームのサイズを測定し用する場合は、ビームを当てた時に出てくる可視た。横軸は OTR スクリーンで測定したビームサイズで、縦軸はアルミナ蛍光板で測定したもので

OTR モニタでは、鏡面加工した薄い金属板や金ある。ビームプロファイルは滲みの影響がない属箔などにビームを照射し、その光を蛍光板の時

OTR スクリーンでは、50µm まで測定できていると同じように、スクリーン表面に焦点を合わせたが、その時にアルミナ蛍光板の方では、110µm く

レンズ付きのカメラで捉える。金属箔だと保持がらいになっており、ビームサイズが実際より大き難しいので、例えばシリコンの板にアルミ蒸着しく測定されているのが分かる。

たものを使用するなどする[12]。
この方法では、散乱による滲みはないので、小さなビームサイズを測定することが可能である。
KEK の ATF では、エミッタンス測定用の OTR
スクリーンモニタで、10µm くらいのビームサイ
ズを測定できている[16]。
2.2. ワイヤースキャナー
ワイヤースキャナーは、図 9 のようにビームラ
インにワイヤーを挿入し、この位置をスキャンし

図 8：KEK 小型電子加速器(LUCX)において、OTR スクリーンモニタとアルミナ蛍光板スク
リーンモニタで測定したビームサイズの比較。横軸が OTR モニタで測定したサイズ、縦軸がアルミナ蛍光板で測定したサイズ。

ながら、ビームがワイヤーに衝突した際に制動放射により発生するガンマ線の信号強度の変化を測定し、ビームサイズを得る方法である。

Ce:YAG は YAG(Yttrium Aluminum Garnet,
Y3Al5O12)結晶に Ce をドープしたシンチレーター
で 、黄 色の透 明な セラミ ック である 。こ れも100µm 厚など薄い板にして使用する。ビームが照射されると可視光域の蛍光が出る。最大発光波長は 525nm で、発光の減衰時間は 70ns とアルミナ
蛍光板よりずっと短い。アルミナ蛍光板と比較し

図 9：ワイヤースキャナーの概念図。

て内部での散乱は少なく滲みは小さい。また、特にエネルギーが低い場合に OTR 光より Ce:YAG

ワイヤー位置を動かしていくと、段々ビームにの方が光量は多い。エネルギーが低い場合にビー当たるようになり、ガンマ線信号が増えていく。

ムサイズの測定を目的とするなら、こちらを使用

ワイヤーの中心にビームが当たるときに信号強するほうがよいと思われる。

度が一番高く、さらに位置を動かしていくとガンOTR スクリーンモニタは、荷電粒子が異なる誘マ線強度は減少していく。この信号強度の変化か電率の物質間の境界を通るときに、その境界面で

らビームプロファイルが分かるので、このデータ発生する可視光域の遷移放射(OTR)の光を利用すをガウシアンでフィットしてビームサイズを算るモニタである。この光はコーン状に発生し、出する。

1/𝛾𝛾(ここでの𝛾𝛾はローレンツ因子)の角度をもって放射される。ビームのエネルギーが低いと角度広ングステンワイヤーや 7µm のカーボンワイヤー

がりが大きくなるので、スクリーンからカメラになどが用いられる。どのワイヤーの太さを使用す

入る光量が少なくなり、像が暗くなる。低エネル

るかは、測定したいビームサイズに依る。直径𝑑𝑑のワイヤーの rms は𝑑𝑑⁄4になるので、これより測定

ギーのビームで利用する際には、この辺りを考慮して使用する。

ワイヤーには断面の直径が 50µm や 10µm のタ

したいビームサイズが小さいようなら、もっと細いワイヤーを使う必要がある。また、ワイヤーでトで得られたサイズ𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 は、ワイヤーの太さの分のビームロスはわずかなので、下流のビームへのも含まれているので、それを差し引く必要があ

影響は比較的少ない。

る。よってビームサイズ𝜎𝜎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 は、

ワイヤーから出たガンマ線は、下流の検出器で捉える。KEK の ATF では、低エネルギーのノイズ信号を避けるため、空気チェレンコフカウンターを使用している。ガンマ線はチェレンコフ光を

𝑑𝑑 2

2
2
2
𝜎𝜎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = �𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝜎𝜎𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤= �𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
−� �
4

(2.2)

となる。ここで𝜎𝜎𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 はワイヤーの太さの rms である。

出さないため、入口に鉛の板などをつけて、ガンマ線を電子、陽電子に変換して測定する。空気の場 合、 チェレ ンコ フ光の エネ ルギー 閾値 は、
22MeV 程度である。

図 11：KEK-ATF に導入されているワイヤー
スキャナーの写真[17]図 10：KEK-ATF に導入されいてるワイヤー
スキャナーのワイヤーマウント[17]ワイヤーマウントは、図 10 のようにビーム進
行方向に垂直な面に斜め 45 度傾いた状態で取り付け、その方向にムーバーで動くようになっている。中央はビームが抜けるように溝があり、ワイヤーを図 10 のように 90 度向きが違うように、その溝の間に 2 本張れば、45 度にスキャンすることで、垂直方向と水平方向の両方にワイヤーをスキャンすることができる。
スキャンして得られたワイヤー位置と強度のデータをガウシアンでフィットしてサイズ𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

を得る。

𝐼𝐼 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 �−

2(𝑥𝑥 − 𝑏𝑏)
�22𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(2.1)

ただし、ワイヤーマウントを 45 度に動かすので、ムーバーの動く量に対してワイヤーの移動量は1⁄√2になるので注意が必要である。また、フィッ

図 12：KEK-ATF に導入されているワイヤー
スキャナーで y 方向のビームサイズを測定した結果 [17]。
図 11 は KEK の ATF に導入されているワイヤースキャナー[17]の写真である。この中に図 10 のようなワイヤーマウントがあり、直径 50µm と10µm のタングステンワイヤーが装備されている。一本のワイヤーを一筆書きのように通し、垂直、水平、45 度のワイヤーを張れるようになっている。斜めのワイヤーは xy のカップリングを測定するためのものである。図 12 が測定例で、1.3GeV の電子ビームのサイズを測定したときのもので、測定されたビームサイズは 8.8±0.3µmである。

3. エミッタンス測定
3.1. Q スキャン(Q-scan)
Q スキャン法は、エミッタンス測定の方法としてよく使用される。ウェイストスキャン(Waist
scan)と呼ばれることもある。
この方法では、四極電磁石の磁場強度を変えながら、その下流のビームサイズを測定し、その応答からエミッタンスを算出する。
図 13 のように厚さ𝑙𝑙の四極電磁石から距離𝐿𝐿だ
け離れた場所にビームサイズモニタがある場合を考える。四極電磁石の位置を𝑠𝑠1、ビームモニタの位置を𝑠𝑠2とすると、その 2 点での𝑥𝑥, 𝑥𝑥′の関係は、

式(1.10)、式(1.11)、式(1.14)を使って、
𝑥𝑥2
1 𝐿𝐿
1 0 𝑥𝑥1
�𝑥𝑥 ′ � = ����� ′ �
0 1 −𝐾𝐾 1 𝑥𝑥 1
2
と書ける。

(3.1)

1 −2𝐿𝐿
�0
1
0
0

𝐿𝐿2
−𝐿𝐿�
1

となり、四極電磁石のほうは、
1
0 0
� 𝐾𝐾
1 0�
𝐾𝐾 2 2𝐾𝐾 1

(3.3)
(3.4)

となる。よって、四極電磁石の位置𝑠𝑠1からビーム
モニタ𝑠𝑠2 まで進むと、この 2 点間での Twiss

parameter の関係は、
𝛽𝛽2
10 0 𝛽𝛽1
1 −2𝐿𝐿 𝐿𝐿2���𝛼𝛼2 � = �0
𝐾𝐾
1 0� �𝛼𝛼1 � (3.5)
1
−𝐿𝐿
2
𝛾𝛾2
𝐾𝐾
2𝐾𝐾
1 𝛾𝛾1
0
0
1
と書ける。ここから𝛽𝛽2 を計算すると、
𝛽𝛽2 = (1 − 2𝐾𝐾𝐾𝐾 + 𝐾𝐾 2 𝐿𝐿2 )𝛽𝛽1 + (−2𝐿𝐿 + 2𝐾𝐾𝐿𝐿2 )𝛼𝛼1

+ 𝐿𝐿2 𝛾𝛾1
1 𝛼𝛼1 2 𝐿𝐿2
2= 𝐿𝐿 𝛽𝛽1 �𝐾𝐾 − � − �� +𝛽𝛽1
𝐿𝐿 𝛽𝛽1となる。ここで、式(1.4)を用いた。

(3.6)

ビームサイズ𝜎𝜎とエミッタンス𝜀𝜀との関係は𝜎𝜎 =�𝛽𝛽𝛽𝛽なので、𝑠𝑠2のビームサイズ𝜎𝜎2 を計算すると、
1 𝛼𝛼1 2 𝐿𝐿2 𝜀𝜀22𝜎𝜎2 = 𝛽𝛽2 𝜀𝜀 = 𝐿𝐿 𝛽𝛽1 𝜀𝜀 �𝐾𝐾 − � − �� +𝛽𝛽1
𝐿𝐿 𝛽𝛽1
2
2 2
𝐿𝐿 𝜀𝜀
1 𝛼𝛼1
(3.7)
= 𝐿𝐿2 𝜎𝜎12 �𝐾𝐾 − � − �� + 2
𝐿𝐿 𝛽𝛽1𝜎𝜎1となるので、平方根をとって、
1 𝛼𝛼1 2 𝐿𝐿2 𝜀𝜀 222�
𝜎𝜎2 = 𝐿𝐿 𝜎𝜎1 �𝐾𝐾 − � − �� + 2
𝐿𝐿 𝛽𝛽1𝜎𝜎1(3.8)となる。これで測定するビームサイズと四極電磁石の𝐾𝐾値との関係が求まった。

実際の Q スキャンによるエミッタンス測定では、四極電磁石の磁場を変えながら、それぞれの
図 13：Q スキャンのときの四極電磁石とビー
ムサイズモニタの配置。
一方、Twiss パラメータの変化も、転送行列の成分を使って以下のように書ける。
2
𝑚𝑚11
𝛽𝛽2
�𝛼𝛼2 � = �−𝑚𝑚11 𝑚𝑚21
2
𝛾𝛾2
𝑚𝑚21

−2𝑚𝑚11 𝑚𝑚12𝑚𝑚11 𝑚𝑚22 + 𝑚𝑚12 𝑚𝑚21−2𝑚𝑚21 𝑚𝑚22

2
𝑚𝑚12
𝛽𝛽1
−𝑚𝑚12 𝑚𝑚22 � �𝛼𝛼1 �
2
𝛾𝛾1
𝑚𝑚22
(3.2)

自由空間の転送行列の式(1.11)と四極電磁石の転送行列の式(1.14)を、この Twiss パラメータの転送行列として書いてみると、自由空間の場合には、磁場強度でのビームサイズを取得する。縦軸をビームサイズ、横軸を四極電磁石の𝐾𝐾値にして、取得したデータをプロットし、以下の式でフィットすることで、フィッティングパラメータ𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐からエミッタンスが算出できる。

𝜎𝜎 = �𝑎𝑎(𝐾𝐾 − 𝑏𝑏)2 + 𝑐𝑐
この式と式(3.8)を比較すると、
𝑎𝑎 = 𝐿𝐿2 𝜎𝜎121 𝛼𝛼1𝑏𝑏 = −
𝐿𝐿 𝛽𝛽1𝐿𝐿2 𝜀𝜀 2
𝑐𝑐 = 2𝜎𝜎1(3.9)(3.10)(3.11)(3.12)

となっているので、エミッタンスや Twiss パラメ
ータは、𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐を使って、√𝑎𝑎𝑎𝑎(3.13)𝜀𝜀 = 2𝐿𝐿
𝑎𝑎(3.14)
𝛽𝛽1 = �𝑐𝑐
𝑎𝑎 1
(3.15)
𝛼𝛼1 = � � − 𝑏𝑏�
𝑐𝑐 𝐿𝐿と書ける。また、規格化エミッタンスは、√𝑎𝑎𝑎𝑎(3.16)
𝜀𝜀𝑛𝑛 = 𝛽𝛽𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛾𝛾𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 2
𝐿𝐿2となる。ここで、𝛽𝛽𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑣𝑣⁄𝑐𝑐 , 𝛾𝛾𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 1/�1 − 𝛽𝛽𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟)である。

フィッティングした際に、各フィッティングパ

ラメータの誤差が出るので、あとは誤差伝搬で求めたエミッタンスや Twiss パラメータの誤差が計算できる。例えば規格化エミッタンスならΔ𝜀𝜀𝑛𝑛𝛾𝛾
1 Δ𝑎𝑎 1 Δ𝑐𝑐
Δ𝐿𝐿(3.17)
= 2
Δ𝛾𝛾 +
+
+2
𝜀𝜀𝑛𝑛
𝛾𝛾 − 1
2 𝑎𝑎 2 𝑐𝑐
𝐿𝐿となる。

ただし、プロットに使用した K 値やビームサイ

ズの誤差を適切なものを入れる必要がある。ビーとなる。四極電磁石の位置𝑠𝑠1 からモニタの位置𝑠𝑠2までの転送行列𝑀𝑀は、𝑙𝑙� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�√𝐾𝐾𝐾𝐾�⎞
𝐾𝐾⎟ (3.19)⎟
𝐾𝐾
cos�√𝐾𝐾𝐾𝐾�−� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�√𝐾𝐾𝐾𝐾�
𝑙𝑙
⎝
⎠

⎛
1 𝐿𝐿 ⎜
𝑀𝑀 = �
�
0 1 ⎜cos�√𝐾𝐾𝐾𝐾�

となる。エミッタンスの計算に使用する行列の成分𝑚𝑚11 , 𝑚𝑚12 を書き出すと、

𝐾𝐾
𝑚𝑚11 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐�√𝐾𝐾𝐾𝐾� − 𝐿𝐿� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�√𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑚𝑚12 = � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�√𝐾𝐾𝐾𝐾� + 𝐿𝐿 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐�√𝐾𝐾𝐾𝐾�
𝐾𝐾(3.20)(3.21)となるので、あとは先ほどと同じように計算するとビームサイズ𝜎𝜎2 は、
𝜎𝜎2 = �𝜎𝜎12 �𝑚𝑚11 −2𝛼𝛼1
𝜀𝜀 2 2𝑚𝑚12 � + 2 𝑚𝑚12
𝛽𝛽1
𝜎𝜎1

2
= �𝑎𝑎(𝑚𝑚11 + 𝑏𝑏𝑚𝑚12 )2 + 𝑐𝑐𝑚𝑚12(3.22)

ムサイズの誤差は、例えばビームプロファイルのとなる。ここで、

データからガウシアンでフィットしてビームサ(3.23)
𝑎𝑎 = 𝜎𝜎12𝛼𝛼1(3.24)
𝑏𝑏 = −
𝛽𝛽1
𝜀𝜀 2(3.25)
𝑐𝑐 = 2𝜎𝜎1
とおいたので、エミッタンスおよび Twiss パラメ

イズ𝜎𝜎を求めるとして、𝜒𝜒 2 = 1となるようにプロ

ファイルデータの誤差を調整するという方法がある。一旦フィットし、𝜒𝜒 2を出し、データ点の誤差に�𝜒𝜒 2 /𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛を掛け、この誤差を使ってもう一度
フ ィ ッ ト す る と 𝜒𝜒 2 = 1 と な る ndf は 自 由 度(Number Degree Freedom)である。

これまで見てきた計算は、薄レンズ近似が成り

ータは、𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐を使って、𝜀𝜀 = √𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝛽𝛽1 = �𝑐𝑐

立つ、つまり四極電磁石の厚さ𝑙𝑙に対して、下流のビームモニタまでの距離𝐿𝐿が十分大きい場合について計算してきた。
薄レンズ近似を使わない四極電磁石の転送行
列(1.12)を使って同様に計算すれば、四極電磁石とビームモニタの位置が近い場合も計算できる。
式(1.12)で、𝐾𝐾 = 𝑘𝑘𝑘𝑘と置いて書き直すと、𝑙𝑙� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�√𝐾𝐾𝐾𝐾�⎞⎛ cos�√𝐾𝐾𝐾𝐾�
𝐾𝐾⎟ (3.18)
𝑀𝑀𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 = ⎜⎜⎟𝐾𝐾cos�√𝐾𝐾𝐾𝐾�−� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�√𝐾𝐾𝐾𝐾�
𝑙𝑙
⎝
⎠

と書ける。

(3.26)𝑎𝑎𝑐𝑐

𝛼𝛼1 = −𝑏𝑏�

(3.27)(3.28)

ここまで x 方向(水平方向)について計算してきたが、四極電磁石では x 方向が収束の場合、y 方向(鉛直方向)は発散になる。同じ四極電磁石で y方向を測定する場合、薄レンズ近似では、K の符号が変わるだけなので、式(3.8)をそのまま使用できる。ただし、式(3.15)の𝛼𝛼1はの𝑏𝑏符号によって変わる。近似をしない場合も、式(3.22)を使えばよいが、𝑚𝑚11、𝑚𝑚12が変わる。式(1.13)の転送行列を使って式(3.18)からの計算を同様に行えば式(3.20)、

くクーロン力による反発により、収束した際にビ(3.21)に対応する式が以下のように得られる。

ームサイズが膨らんでしまう。つまりビームを収𝐾𝐾𝑚𝑚11 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ℎ�√𝐾𝐾𝐾𝐾� + 𝐿𝐿� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ�√𝐾𝐾𝐾𝐾�𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑚𝑚12 = � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ�√𝐾𝐾𝐾𝐾� + 𝐿𝐿 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ�√𝐾𝐾𝐾𝐾�
𝐾𝐾(3.29)(3.30)

Q スキャンによるエミッタンス測定を行う際に気を付けておくことがいくつかある。

まず、この方法では四極電磁石の磁場の強さを変更するため、下流のビーム光学系が変化し、ビームロスを引き起こす可能性がある。ビーム電流やビームエネルギーが高い場合には注意が必要

束した後ではサイズが大きめに出る。この空間電荷効果の影響については、エンベロープ方程式[8]を使って評価できる。
2𝐼𝐼
𝜀𝜀𝑛𝑛,𝑥𝑥(3.34)
𝜎𝜎 ′′ 𝑥𝑥 =+𝐼𝐼0 𝛾𝛾 3 �𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 � 𝛾𝛾 2 𝜎𝜎𝑥𝑥32𝜀𝜀𝑛𝑛,𝑦𝑦𝐼𝐼(3.35)
𝜎𝜎 ′′ 𝑦𝑦 =+𝐼𝐼0 𝛾𝛾 3 �𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 � 𝛾𝛾 2 𝜎𝜎𝑦𝑦34𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑚𝑚𝑐𝑐 2(3.36)
𝐼𝐼0 =𝑒𝑒
影響が大きいようなら、3.3 節で説明するスリッ
トスキャン法を使うなどしたほうが良い。

である。場合によって、測定時はビームのマクロパルスの幅を縮めたり、ビーム繰り返しを落としたりしてビーム電流を減らすことや、あるいは、
この次の 3.2 節で述べる位相プロットによる方法
を使うなど、何らかの対処が必要となる。
また、ビームサイズ測定点での分散関数(Dispersion function)も測定前に一度確認したほうが良い。分散関数は、運動量のずれに対して位置がどのくらい変化するかを表したもので、分散関数を𝜂𝜂、運動量およびそのずれをそれぞれ𝑝𝑝, Δ𝑝𝑝とすると運動量広がりはΔ𝑝𝑝/𝑝𝑝となり、位置のずれ
Δ𝑥𝑥は、

𝛥𝛥𝑃𝑃
(3.31)
𝑃𝑃と表される。そして、分散関数を考慮したビーム
Δ𝑥𝑥 = 𝜂𝜂

サイズ𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 は、

𝛥𝛥𝑃𝑃 22
�
𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝛽𝛽𝛽𝛽 + 𝜂𝜂 � �𝑃𝑃

図 14：KEK 小型電子加速器(LUCX)でエミッタンス測定したときの結果。左がビームサイ
ズ測定時のビームプロファイル。右が Q スキ
ャンの測定データをプロットした結果。
図 14 は、KEK 小型電子加速器(LUCX)でのエ
ミッタンス測定の例である。このときは 22MeV、
0.5nC/bunch のビームのエミッタンスを測定しており、四極電磁石の磁場を変えながら、OTR モ(3.32)

ニタでビームサイズを測定している。その時のビ分散関数の寄与が無視できない場合に、エミッス測定の結果が図 14 右となる。この時、規格化と表される。

ームプロファイルが図 14 左であり、エミッタン

タンスを計算する際には、測定されたビームサイ

エミッタンスは 4.3µm と測定された。

ズ𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 から測定された分散関数による影響を差

3.2. 位相プロット(Phase plot)

し引いたビームサイズを用いる必要がある。
2− 𝜂𝜂 2 �𝜎𝜎 = �𝛽𝛽𝛽𝛽 = �𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

𝛥𝛥𝑃𝑃 2
�𝑃𝑃(3.33)

この位相プロットの方法は、異なる 3 か所以上で測定されたビームサイズと、エミッタンスを知である。Q スキャンの方法では、ビームを小さくりたい地点𝑠𝑠0から各測定点までの転送行列を利用絞るため、ビームのバンチ電荷密度が高い場合には、Q スキャンのように四極電磁石の磁場を変えビームエネルギーが低い場合にも注意が必要

は、空間電荷効果による影響を受け、粒子間に働してエミッタンスを求める方法である。この方法

ることはないので、下流のビーム光学系は変わら
ず、ビームロスは起きにくい。

となる。それぞれの行列を左から、𝜮𝜮𝒙𝒙 、𝑩𝑩、𝒐𝒐と置
くと、

図 15 のように、ある場所𝑠𝑠0でのエミッタンスを求めるために、その下流の n か所でビームサイとなる。

ズを測定する場合を考える。図 15 ではずっと自由空間を進むように描いてあるが、𝑠𝑠0から各測定(3.39)

𝜮𝜮𝒙𝒙 = 𝑩𝑩 ∙ 𝒐𝒐

この𝒐𝒐を、最小二乗法によって求める。𝜒𝜒 2は、以下のようになる。

23(𝑙𝑙)𝜒𝜒 2 = � 2 �𝛴𝛴𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖 �𝜎𝜎 (𝑙𝑙)𝑙𝑙=1 𝛴𝛴𝑥𝑥
𝑖𝑖=1(𝑙𝑙) 2(𝑙𝑙)
𝑛𝑛点までの転送行列が分かればよいので、間に四極電磁石などがあっても構わない。

1(3.40)

ここで、𝜎𝜎𝛴𝛴 (𝑙𝑙) は、𝛴𝛴𝑥𝑥 = �𝜎𝜎𝑥𝑥 � の誤差である。これを図 15：位相プロット(Phase plot)の方法で測定する場合のモニタの位置𝒔𝒔𝒊𝒊 と転送行列𝑹𝑹(𝒊𝒊) 。

以下に、測定したビームサイズからエミッタン

𝑥𝑥

(𝑙𝑙)

𝛴𝛴𝑥𝑥
𝜎𝜎𝛴𝛴 (𝑙𝑙)𝑥𝑥
𝐵𝐵𝑙𝑙𝑙𝑙�𝐵𝐵𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝜎𝜎𝛴𝛴 (𝑙𝑙)(𝑙𝑙)𝛴𝛴�𝑥𝑥 =

(3.41)(3.42)𝑥𝑥のようにして規格化すると、

2
3
(𝑙𝑙)
𝜒𝜒 2 = � �𝛴𝛴�𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵�𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖 �
𝑙𝑙=1
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛

スを計算する方法を示す。これは参考文献[18]を参考にしており、詳細はここを参照されたい。以(3.43)

降は、ここに載っているやり方に沿って説明してと書き直せる。これを最小にするパラメータを求いく。

めるために、極値条件を計算する。

スとの関係が𝜎𝜎 2 = 𝛽𝛽𝛽𝛽なので、各測定点𝑠𝑠1 , 𝑠𝑠2 , … , 𝑠𝑠𝑛𝑛
(1)

(2)

(𝑛𝑛)

でのビームサイズ𝜎𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝜎𝑥𝑥 , … , 𝜎𝜎𝑥𝑥 と、𝑠𝑠0でのエミ関係は、Q スキャンのときと同じように式(3.2)を使用して

�𝜎𝜎𝑥𝑥 � = �𝑅𝑅11 � 𝛽𝛽0 𝜀𝜀 − 2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12 𝛼𝛼0 𝜖𝜖 + �𝑅𝑅12 � 𝛾𝛾0 𝜀𝜀…

(𝑛𝑛) 2(𝑛𝑛) (𝑛𝑛)(𝑛𝑛) 2(𝑛𝑛) 2
�𝜎𝜎𝑥𝑥 � = �𝑅𝑅11 � 𝛽𝛽0 𝜀𝜀 − 2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12 𝛼𝛼0 + �𝑅𝑅12 � 𝛾𝛾0 𝜀𝜀(3.37)(𝑖𝑖)(𝑖𝑖)と書ける。ここで、𝑅𝑅11 , 𝑅𝑅12 は、𝑠𝑠0から 𝑠𝑠𝑖𝑖 までの転(𝑖𝑖)

送行列𝑅𝑅 の行列成分である。これを行列にまと
めて書くと

(1) 2
(1) 2
�𝜎𝜎𝑥𝑥 ��𝑅𝑅11 �⎛ (2) 2 ⎞ ⎛ (2) 2
�𝜎𝜎 �
�𝑅𝑅 �
⎜ 𝑥𝑥
⎟ = ⎜ 11⎜…

⎟(𝑛𝑛) 2⎝�𝜎𝜎𝑥𝑥 � ⎠⎜…

(𝑛𝑛) 2⎝�𝑅𝑅11 �

(1) (1)
2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12
(2)

(2)

(𝑛𝑛)

(𝑛𝑛)

2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12…

2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12

(1) 2
�𝑅𝑅12 �(2) 2 ⎞

𝛽𝛽0 𝜀𝜀�𝑅𝑅12 � �−𝛼𝛼0 𝜀𝜀 �⎟…
𝛾𝛾0 𝜀𝜀2(𝑛𝑛)�𝑅𝑅12 � ⎠(3.38)

3

2

𝑙𝑙=1
𝑛𝑛

𝑖𝑖=1
3

2

𝑙𝑙=1
𝑛𝑛

𝑖𝑖=1
3

2

𝑙𝑙=1

𝑖𝑖=1

𝜕𝜕
(𝑙𝑙)
� �𝛴𝛴�𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵�𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖 � = 0
𝜕𝜕𝑜𝑜2

ッタンス𝜀𝜀および Twiss パラメータ𝛽𝛽0 , 𝛼𝛼0 , 𝛾𝛾0 との(1) 2(1) (1)(1) 2(1) 2
�𝜎𝜎𝑥𝑥 � = �𝑅𝑅11 � 𝛽𝛽0 𝜀𝜀 − 2𝑅𝑅11 𝑅𝑅12 𝛼𝛼0 𝜀𝜀 + �𝑅𝑅12 � 𝛾𝛾0 𝜀𝜀
(2) 2
(2) 2
(2) (2)
(2) 2

𝑛𝑛

𝜕𝜕
(𝑙𝑙)
� �𝛴𝛴�𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵�𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖 � = 0
𝜕𝜕𝑜𝑜1

ビームサイズとベータ関数およびエミッタン

から、

𝜕𝜕
(𝑙𝑙)
� �𝛴𝛴�𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵�𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖 � = 0
𝜕𝜕𝑜𝑜3
𝑛𝑛

3

(𝑙𝑙)
� 𝐵𝐵�𝑙𝑙1 �𝛴𝛴�𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵�𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖 � = 0
𝑙𝑙=1
𝑛𝑛

𝑖𝑖=1
3

(𝑙𝑙)
� 𝐵𝐵�𝑙𝑙2 �𝛴𝛴�𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵�𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖 � = 0
𝑙𝑙=1
𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

3
(𝑙𝑙)
� 𝐵𝐵�𝑙𝑙3 �𝛴𝛴�𝑥𝑥 − � 𝐵𝐵�𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑜𝑜𝑖𝑖 � = 0
𝑙𝑙=1
𝑖𝑖=1

(3.44)(3.45)(3.46)(3.47)(3.48)(3.49)となる。これらを行列にまとめて書きなおすと、
� 𝑡𝑡 �𝛴𝛴�𝑥𝑥 − 𝐁𝐁� ∙ 𝐨𝐨� = 0(3.50)
𝐁𝐁となる。よって、𝒐𝒐は、
� 𝐭𝐭 𝐁𝐁� �−𝟏𝟏 𝐁𝐁� 𝐭𝐭 𝛴𝛴�𝑥𝑥 = 𝐓𝐓 ∙ 𝐁𝐁
� 𝑡𝑡 ∙ 𝛴𝛴�𝑥𝑥
𝐨𝐨 = �𝐁𝐁

(3.51)

−1

� 𝑡𝑡 ∙ 𝑩𝑩� � と置いた。
と求められる。ここで、𝐓𝐓 = �𝐁𝐁
これは共分散行列となっている。また、o の各成分の誤差𝜎𝜎𝑜𝑜𝑖𝑖 は、(3.52)
𝜎𝜎𝑜𝑜𝑖𝑖 = �𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖となる。これは、あるスカラー関数𝑓𝑓(𝒐𝒐)の誤差

𝑋𝑋 =

と置くと、

𝑥𝑥

�𝛽𝛽

𝑃𝑃 = �𝛽𝛽𝑥𝑥 ′ +

𝛼𝛼𝛼𝛼

�𝛽𝛽

(3.58)(3.59)𝜎𝜎(𝑓𝑓)は、共分散行列𝑻𝑻を用いて(3.60)𝑋𝑋 2 + 𝑃𝑃2 = 𝐴𝐴2と書ける。ある測定点でビームサイズ𝜎𝜎𝑥𝑥 が測定さ伝搬の式と、係数を比較すると得られる。

ラインを転送行列を使って、エミッタンスを知り(3.53)𝜎𝜎(𝑓𝑓)2 = (∇𝑜𝑜 𝑓𝑓)𝑡𝑡 ∙ 𝑇𝑇 ∙ (∇𝑜𝑜 𝑓𝑓)と表すことができるので、これを展開し、誤差の以上から、エミッタンス𝜀𝜀や Twiss パラメータ𝛽𝛽、𝛼𝛼は、

図 17 の上側のように位相空間上に引ける。このたい位置𝑠𝑠0まで戻すと、図 17 の左下のように斜めのラインになる。3 点以上測定すれば、その線

𝜀𝜀 = �𝑜𝑜1 𝑜𝑜3 − 𝑜𝑜22
𝑜𝑜1
𝜀𝜀
𝑜𝑜2
𝛼𝛼 = −𝜀𝜀
𝛽𝛽 =と計算できる。

れたとすると、それに対応する𝑥𝑥 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 のラインが(3.54)(3.55)(3.56)に接するような楕円が決まるので、その楕円からエミッタンスが分かる。実際に測定したビームサ
イズからそれを表したのが図 16 の左下になる。

図 16 は、KEK-ATF で Phase plot の方法でエミッタンスを測定したときの結果である。ビーム
ラインの 4 か所に設置してある OTR スクリーン
モニタでビームサイズを測定し、エミッタンスを測定している。

図 17：位相空間での測定データのプロットの
概念図
また、測定点間の Phase advance が近いと、この斜めのラインが図 17 の右下のように、ほぼ同じ位置に来る。そうすると、楕円の決定がサイズ測定の誤差に敏感になるので、エミッタンス測定
図 16：KEK-ATF での Phase plot によるエミッタンス測定の例[21]。

の誤差が大きくなる。測定点数が𝑁𝑁𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 の場合、測定点間の Phase advance𝛥𝛥𝜇𝜇が、𝛥𝛥𝜇𝜇 = 90∘ /𝑁𝑁𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚の位置に検出器を設置するとよい。

ある測定点での位相空間上での粒子の分布を表した楕円は、Twiss パラメータを使って
1 2
𝛼𝛼 2(3.57)
𝑥𝑥 + 𝛽𝛽 �𝑥𝑥 ′ + 𝑥𝑥� = 𝐴𝐴2𝛽𝛽𝛽𝛽と表せる。ここで、

3.3. スリットスキャン(Slit scan)
スリットスキャン法では、図 18 のように、スリットである点でのビームを切り出して、その後ある距離だけ自由空間を進ませ、角度広がり(Divergence)によって広がったところでスクリー
ンモニタなどビームプロファイルを測定する。

ここで、b はオフセット、𝜎𝜎はスクリーン上でのサイズ、𝜎𝜎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 はスリットの幅の rms になる。これで、各点𝑥𝑥𝑖𝑖 に対する𝑥𝑥′の分布が得られ、図 20 のようにデータを並べていくと位相空間上での分布が得られる。

図 18：スリットスキャンの概念図
そのとき位相空間内のビーム分布の変化は図
19 のようになり、測定された位置分布が、スリッ
トで切り出した部分の角度分布に対応するようになる。つまりスリットで切り出した位置𝑥𝑥でのビームの𝑥𝑥′分布が得られる。よって、スリットをスキャンしていくと、それぞれの位置での角度分布が得られ、そのデータから位相空間上でのビームの分布が構成できる(図 20)。その得られた楕円の面積からエミッタンスが求まる。

𝑥𝑥方向についてエミッタンスを測定する場合を考える(𝑦𝑦方向も同様)。図 18 のようにスリットをビームラインに挿入し、あるステップでスリットを動かしながら、スリットから距離𝐿𝐿だけ離れたところにあるモニタで、それぞれのスリット位置
𝑥𝑥𝑖𝑖 での位置分布を測定する。この分布は、(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 )(3.61)𝑥𝑥 ′ =
𝐿𝐿
として、角度分布に置き換えられる。よって、測定で得られた位置の強度分布を以下のガウシア

ンでフィットすると、その位置𝑥𝑥𝑖𝑖 における𝑥𝑥′に関する強度分布が得られる。
𝐼𝐼(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 ′ ) = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 �−

エミッタンスは、式(1.8)で計算されるので、この式の各項の値を以下のように計算すれば、エミ

図 19：スリットスキャンで切り出したビームの位相空間での変化。切り出したビームが自由空間を進むと回転するため、回転後の位置
分布は、切り出した時の角度分布を反映したものになる。

′

図 20：スリットで切り出したビームの角度データを位相空間上に構成。

2

�𝐿𝐿𝑥𝑥 − (𝑏𝑏 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 )�
2 ) �2(𝜎𝜎 2 − 𝜎𝜎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3.62)

ッタンスが得られる。
∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝐼𝐼�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 �⟨𝑥𝑥⟩ =∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝐼𝐼�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 �∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑥𝑥 ′ 𝑖𝑖 𝐼𝐼�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 �⟨𝑥𝑥 ′ ⟩ =∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝐼𝐼�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 �∑𝑖𝑖,𝑗𝑗(𝑥𝑥𝑖𝑖 − ⟨𝑥𝑥⟩)2 𝐼𝐼�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 �⟨𝑥𝑥 2 ⟩ =∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝐼𝐼�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 �′2�𝑥𝑥 � =

⟨𝑥𝑥𝑥𝑥 ′ ⟩ =2∑𝑖𝑖,𝑗𝑗�𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 − ⟨𝑥𝑥 ′ ⟩� 𝐼𝐼�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 �∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝐼𝐼�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 �∑𝑖𝑖,𝑗𝑗(𝑥𝑥𝑖𝑖 − ⟨𝑥𝑥⟩)�𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 − ⟨𝑥𝑥 ′ ⟩�𝐼𝐼�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 �∑𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝐼𝐼�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 ′𝑗𝑗 �(3.63)(3.64)(3.65)(3.66)(3.67)

𝑥𝑥 ′の強度分布をガウシアンでフィットして出したが、上記の式の値が計算できれば良いので、測定されたビームプロファイルのデータから直接計算してもエミッタンスは計算できる。
このスリットスキャン法は、低エネルギーのビームにおいて使われる。ビームをスリットにより切り出す必要があるので、スリット以外の部分のビームは通り抜けないよう止める必要があるためである。
また、低エネルギーのビームでは、空間電荷効
果の影響を受けやすいが、この方法ではビームの一部を切り出すので電荷量が減り、この影響を受けずにエミッタンス測定ができる。つまり、そこまで電荷量が下がるようにスリット幅を選ぶ必要がある。切り出したビームの空間電荷効果の影
響については、式(3.34-36)のエンベロープ方程式
で評価できる。
モニタ上での位置分布を式(3.61)で角度分布に置き換えるためには、モニタ上でのビームサイズ
がスリット幅に比べて十分大きい必要がある。例
えばスリット幅が 100µm なら、この rms は、
100⁄√12 ≅ 30で約 30 µm になる。モニタ上のビームサイズは、これより十分大きい必要がある

位置分解能はスリット幅に依存し、また角度分解能はモニタの分解能とスリットとモニタの距離に依存する。エミッタンスが良いとビームは広がりにくいため、スリットとモニタとの距離𝐿𝐿はより長くとる必要が出てくる。
スリット幅を狭くして、ステップ幅を細かくとれば位置分解能は上がるが、測定に時間がかかる。ショット毎のビーム安定性が良くない場合には、測定されるエミッタンスの誤差が増える。
図 21 は、KEK の cERL に設置されているスリットスキャンの装置の写真である。右は、スリッ
ト部の写真で、タングステン 1mm 厚のタングス
テン板に 100µm、200µm、400µm のスリットが設けられている。また、その下に未使用時にビームを通すための穴が空けてある。スリットの下流

図 22：KEK の cERL で行われたスリットスキ
ャンでのエミッタンス測定の例 [22]。上はス
キャン時のプロファイル、下が測定したデータから構成した位相空間分布。
分布となっている。このときに測定されたエミッタンスは 0.210±0.004µm となっている。
3.4. ペッパーポット(Pepper-pot)

3.8m のところにスクリーンモニタがあり、そのペッパーポット法は、スリットスキャン法と測間の四極電磁石は、エミッタンス測定時には OFF

定原理は同じだが、ビームの切り出し方が違う。

になっている。

こちらは、スリットでビームを切り出すのではな

図 22 に測定例を載せる。図 22 の上がスリット

く、X,Y 平面上に穴の開いた板にビームを当てて、で切り出したのビームプロファイルで、図 22 のビームを切り出す。図 23 のように、各々の穴を下が各点での測定データから、構成した位相空間

通り抜けたビームは、スリットスキャンと同じよ
うに下流にあるモニタで測定される。各々のビー
ムプロファイルから、その各々の穴の点(x,y)での(x’,y’)が求まるので、スリットスキャンと同じようにエミッタンスを測定できる。

図 21：KEK の cERL でのスリットスキャンの装置の写真 [22]。左がスリットの写真で、右が全体図の写真。

図 23：ペッパーポットによる測定の概念図。

この方法のメリットは、スリットスキャンと違い、X,Y の両方のエミッタンスを 1 ショットで測ので、この分布の面積からエミッタンスを算出することができる。

定できることである。ただし、全ての穴からのビビームを切り出して測定するので、電荷量が下ーム片のプロファイルを同時に測定するため、モがり、空間電荷効果の影響を受けずに測定するこニタ上での各々のビームのプロファイルが重なとが可能である。ただ、スリットで抜けてくるもらないように穴の間隔を調整しないようにしなの以外をきちんと止める必要があるので、低エネければならない。

ルギービームでのみ使用される。

この方法を使用して、1µm 以下のエミッタンスが測定できることが報告されている[20]。

4. まとめ
今回は、よく利用されると思われる 4 つのエミッタンス測定方法について説明した。

ペッパーポット法は、スリットスキャン法と同じ原理だが、スリットではなく穴を空けた板でビームを切り出す。こうすることで、X,Y の両方向のエミッタンスを 1 ショットで同時に測定できる
メリットがある。
以上のように、それぞれの方法によって特徴がQ スキャン法は、四極電磁石の磁場強度をスキあるので、測定したいビームの特性、ビームライ

ャンしたときの下流でのビームサイズの変化かンの事情などによって、どの方法が最適かを考慮

らエミッタンスを計算する。

し選択するとよい。

ただし、四極電磁石の磁場を変更するため、下流でビームロスが起きやすい。高エネルギーや高参 考 文 献で制限がかかるかもしれない。その場合には、四[1] 榎本収志, 「3 .電子リニアックのビーム・モニタ」, OHO86

極電磁石の磁場を変更しないで済む位相プロッ[2] 小林仁, 「4. 電子線形加速器」, OHO88

ト法を使い、ビームサイズはワイヤースキャナー[3] 森義治, 「1 .イオン源 」, OHO89で測定すれば、ビームロスを低減できると思われ[4] 阪井寛志, 「8 .ビーム計測」, OHO02

る。

[5] 佐 藤 康 太 郎 ,OHO07

カレントのビームでは、ロスによる放射線の問題

また、低エネルギービームで電荷密度が高いビ「1．ビーム輸送の物理」,

ームだと空間電荷効果の影響を受けてしまう。こ[6] 西森信行, 「6．ERL 電子銃」, OHO08の影響による誤差が無視できないようなら、この[7] 佐藤健一郎, 「6．ビームモニター 2 : ビー
ムプロファイルモニタ」, OHO10

影響を受けにくい、スリットスキャン法で測定したほうがよい。
位相プロットの方法は、Q スキャンと同じような原理だが、四極電磁石の磁場を変える代わりに、ビームサイズを測定する場所を変える。異なる 3 点以上の場所で(誤差を求めるなら 4 点以上で)、ビームサイズを測定すればエミッタンスを計算できる。この方法では、下流のビーム光学系に影響を及ぼさずエミッタンス測定ができる。
スリットスキャン法では、スリットによりビームの一部を切り出し、その後、自由空間を飛ばす
ことにより発散角𝑥𝑥′を位置𝑥𝑥に置き換える。この位置分布から各位置𝑥𝑥での𝑥𝑥′分布が得られる。これらから位相空間上でのビームの分布を構成できる[8] 池上雅紀, 「12 ライナックと RFQ の物理 1 :ライナックのビーム物理」, OHO10[9] 渡川和晃, 「5．低エミッタンス熱電子銃」,
OHO13[10] 前坂 比呂和, 「10．高精度ビーム診断」,
OHO13[11] 宮島 司, 「4. ERL のビーム力学」, OHO15[12] 高井 良太, 「9. ERL を支えるビームモニタ
ー 」, OHO15[13] 久 保 木 浩 功 , 「 7. 陽 子 ビ ー ム モ ニ タ 」 ,OHO18[14] 夏 井 拓 也 , 「 3. 入 射 器 の 概 略 ・ 全 体(１)(２) 」, OHO19

[15] 細野米市, et.al., 「アルミナ蛍光板の発光特性」、第 27 回 リニアック技術研究会, 8P-26[16] J.Alabau-Gonzalvo, et al., “The ATF2 Multi-OTR
System: Studies and Design Improvements”, Procof IBIC2020, TUPB70.
[17] H. Hayano, “Wire scanners for Small EmittanceBeam Measurement In ATF”, Proc of 20th
International Linac Conference, MOC01.
[18] Michiko G. Minty, Frank Zimmermann,“Measurement and Control of Charged Particle
Beams,” Springer, Chapter 4.1 Beam Emittance
Measurements, (2003)[19] Uli Raich, “Emittance measurements”, U.S.
Particle
Accelerator
School(https://uspas.fnal.gov/), Accelerator and Beam
Diagnostics (2009)[20] Y. Yamazaki, et al., “High precision pepper-pot
technique for a low-emittance electron beam”,
Nucl. Instr. Method A322(1992) 139-145.
[21] ATF group より提供頂いた[22] 本田洋介氏より提供頂いた