それでは，前回の解答です．

∫n+111である．よって，1,2 より

n1S k ≤ log n + 1log( n + 1) ≤k= 1n1S k ≤ log n + 1

k= 1が成り立つことを示せ．

が成り立つ．

自然数 n に対し，n の正の約数の個数を an(2)とする．

(2)
n1

lim n log n S aknÆ•

自然数 n に対して，n の正の約数の個数はk= 1る．よって，n 以下の自然数の正の約数の個数の総和＜解答＞
k を自然数とする．区間 k ≤ x ≤ k + 1 において， y =1は単調に減少するのでx!n$# & （個）"# k &%

k+1 1
k+1 11dx ≤dx ≤dx
kkk+1xkk+1 111≤dx ≤ºº 1
kk+1xk∫∫である ( 実数 x に対して，[x] は x 以下の最大の整数を表す．)∫よってとなる．n ≥ 2 のとき，1 の左側の不等式を

n1

k =1

ここで，k = 1,2,ºº,n に対してn! n$ nn&≤
-1< ##" k &% kk= log nn-1! n$が成り立つ．

1= [ log x ]1\kk =1

S k + 1 ≤ ! x dx

k =1

n

S a = S ##" k &&%k = 1,2,ºº,n - 1 で加えるとnnxの個数はk+11k

この領域の x = k (k = 1,2,ºº,n) 上の格子点

kn-1

k= 1が表す領域内にある格子点の個数に一致する．

が成り立つ．この各辺を積分して-nS a は，不等式
x ≥ 1,y ≥ 1,y ≤11 1≤ ≤k+1 x k∫n(x > 0) 上の格子点の個数に一致す
xy
曲線=を求めよ．

(1)

nS k ºº 3

k= 1

自然数 n に対してlog( n + 1) ≤S- log( n + 1) ≤第１問（IIIC）(1)

n11dx ≤xk= 1 kであるから，足し合わせて1S k + 1 + 1 ≤ log n + 1Sªk= 1nn

1≤ log n + 1 ºº 2
k= 1 kSk =1であり，この不等式は n = 1 でも成立する．また，
1 の右側の不等式を k = 1,2,ºº,n で加える

-nº Sn !
nnn$n#&≤-1 <kk = 1 #" k &%k =1 knSnnn

S k -n< Sa ≤ S kk =1k =1kk =1となる．n が十分大のとき，各辺を nlogn で割ってと

1nn
1
111<aklog n k = 1 k log n n log n k = 1SS≤が )，長方形の面積の和と見なして，曲線 y =を使って上下それぞれ評価します．幅 1 の長方形

n11ºº (*)
log n k = 1 kSを考え，足してください．

である．

(2) 「約数の個数の和」という，あまり見かけない(1) の不等式より，n が十分大のときテーマの問題です．自然数 n がpaqbrc º (p,q,r,ºº は相異なる素数 )log( n + 1)
111≤≤1+log nlog n k = 1 klog nnSでありlim log(n + 1) = limnÆ•nÆ•log nと素因数分解されるとき，n の正の約数の個数はªlog n + log 1 +log n

ª#!#
1##
log 1 +#"
n= lim #1 +n Æ •#log n###$º1n(a + 1)(b + 1)(c + 1) ºººとなります．ここから考えた人も多かったと思いま
すが，一般に自然数を素因数分解するのは n が大きくなると難しく，an を n の式で表すのは至難の業で#%####&#####'

す．
そこで，発想を変えてみましょう．鍵になるのは，自然数 n に対して，その正の約数 a をとったとき，=1ªnも n の正の約数になるという当たり前の事実でaº1ª ºlim 1 + log n = 1nÆ•1xであるから，はさみうちの原理より
1n1lim log n S k = 1nÆ•nす．これから， a,aと 2 つの約数をペアを考えると，これは曲線 y =n(x > 0) 上にある格子点にxk= 11 対 1 に対応することが分かります．すなわち，nである．すると，(*) において，左辺と右辺は，n Æ• のときともに 1 に収束するので，再びはさの正の約数の個数と，曲線 y =みうちの原理よりn上の x > 0 の部分xの格子点の個数は一致するのです．例えば，n = 6n1ak = 1lim n log nnÆ•k= 1Sとすれば，下図のようになります．

である．

qqp


< コメント >

数学科の川㟢です．今回は数Ⅲの積分・極限に，整数を絡めて出題してみました．「約数の個数」をどう扱うかが難しかったと思います．うまく数えることができましたか？

6 の正の約数 4 個が格子点の x 座標に対応してい以下設問ごとに補足です．
(1)

p2るのが見てとれますね．

基本問題です．強者を目指す皆さんなら類題のn - 1 の約数は曲線 y =n1
経験はありますね．
を計算するのは厳しい
k= 1 kSn - 2 の約数は曲線 y =ので ( そもそも計算せよという問題ではないです

2n-1上の格子点に，xn-2上の格子点に，ººxと対応していきます．k = 1,2,ºº,n に対して，
曲線 y =nk(x ≥ 1,y ≥ 1) はこの領域に含まれるの
xk =1となります．これは，1 から n までの各自然数の約で，結局約数の個数の和はx ≥ 1,y ≥ 1,y ≤! n$

S ##" k &&%数を個別に求めるのではなく，約数を 1 つ決めて，その数を約数にもつような自然数がいくつあるかをnx数える方法です．私はこの問題を最初に解いたとき，が表す下図の領域内の格子点の個数と一致することこの方法に気づいておらず，「n の約数を視覚化しよになります．

う」と考えて上記のように解答したのですが，主役qfpqを約数の方にすると，すっきり数えられますね．場
合の数の問題などでよく見られますが，「視点を変fえる」とすっきり解ける問題になっています．
最後におまけです．(1) の級数については，この数f

学のページの第 21 回に ( 手書きですが ) 関連事項をp書いているので参考にしてください．(2) の格子点を2数える問題について，少し変則的なものを出しておここからは，格子点の個数を数える問題です．

きますね．

x = k もしくは y = k で切り (k は自然数 )，その直線上の格子点を数えます．端点が整数値になる場合

問を考慮して，ガウス記号 ( [ ] ) を用いていますが，xy 平面において，連立不等式これも定石です．一般に，実数 x に対して

1x ≤ y ≤ 2 x,0 ≤ x + y ≤ k2x - 1< [x] ≤ xが成立するので，この不等式からはさみうちの原理に持ちこめば，極限を求めることができます．ここで表される領域を D とおく．ただし，k は 1 以上までくれば (1) がこの極限を計算するためのヒントの整数とする．x 座標，y 座標がともに整数でだと理解できると思います．

ある点を格子点という．領域 D に属する格子点のnS

k =1

ak =個数を ak とするとき，次の問いに答えよ．

! n$#&k = 1 "# k &%nS

(1)

1x ≤ y ≤ 2 x,x + y = 3 m + 12が成り立つことに関しては以下のような説明をすることもできます．1 から n までの自然数のうちª! n$&
1 を約数にもつものは n = #"# 1 &%ºm を 1 以上の整数とする．

を満たす格子点 (x,y) の個数を m を用いて表せ．

個，! n$& 個，2 を約数にもつものは ##" 2 &%(2)

n が 1 以上の整数のとき，a3n を求めよ．

(3)

領域 D の面積を Sk とし，k = 3n のときを考える．

! n$& 個，3 を約数にもつものは ##" 3 &%a3 n
a3 nおよび limを求めよ．
n Æ• SS3 n3n< 解答 >! n$& 個，……
4 を約数にもつものは ##" 4 &%(1)となるので，約数の個数の総和は

3

直線 x + y = 3m + 1 と直線 y = 2x, y =1x2

の交点の座標はそれぞれª m + 13 ,2m + 23 º ,ª2m + 32 ,m + 13 º

a3 n
= lim
limn Æ• Sn Æ•
3n3+32+n n2 = 13である．

である．直線 x + y = 3m + 1 上の点は x 座標が整数のとき y 座標も整数になることに注意すると，

＜解答終＞

12
≤ x ≤ 2 m + を満
33x = k や y = k でなく斜めに切るとどうなるかとたす整数 x の個数に等しい．よって，求める格子いう問題でした．落ち着いて誘導に乗れば難しくな点の個数はいですね．

求める格子点の個数は m +それでは今回はここまでにしたいと思います．こ2m - m = m ( 個 )の原稿が今年度最後になります．受験生の皆さんは，である．

本番まであとわずか．体調管理に注意して，最後の(2)追い込みを頑張ってください．皆さんの朗報を期待

1x ≤ y ≤ 2 x かつ x + y = k を満たす格子点の2しています．

個数を bk とおく．(1) から m を 1 以上の整数とす（数学科るときb3m+1 = mであり，同様にするとb3m = m + 1,b3m+2 = m + 1となる．これらは，m = 0 でも成立する．
これらを足し上げて
a3 n ==n-1

S(b + bk= 03k

3 k+ 1+ b3 k+ 2 ) + b3 nn-1

S(k + 1 + k + k + 1) + (n + 1)
k= 03
∑ n( n - 1) + 2 n + ( n + 1)
21= (3 n 2 + 3 n + 2)2=である．
(3)

k = 3n のときª

S 3 n = (2 n) 2 - n 2 + n 2 +º

1 2
3n = n222であるので
1(3 n 2 + 3 n + 2)
a3 n
3n2 + 3n + 2
2
==
3 2
S3 n
3n2n24川㟢）