今回の問題は (1) が【1999大阪大理系】の入A が 2 つのグループのマス目から 1 個ずつ塗りi)

試で出題された問題で，(2) はそれを一般化した問題

つぶすときになっています .

B が残りの 2 グループ，つまり 16 - (4 × 2) = 8個のマス目から 2 つを塗りつぶせば，重ならないのそれでは，まず問題を確認しましょう．

で問題

C2 ∑ ( 4 C1 )14C
¥ 8 2 =75
CC
16 2
16 224n を 3 以上の自然数とする．
一辺の長さが n の正方形の紙の表（おもて）を，一A が 1 つのグループのマス目から 2 個塗りつぶii)

辺の長さが 1 のマス目 n2 個に区切る．このとき，区切すときるための線分は元々の正方形の辺に平行にひくものとす

B が残りの 3 グループ，つまり 16 - (4 × 1) = 12る．この紙を 2 枚用意し，A と B の 2 人に渡す．A とB はそれぞれ渡された紙の 2 個のマス目を無作為に選ん個のマス目から 2 つを塗りつぶせば，重ならないので塗りつぶす．塗りつぶしたあと，両方の紙を表を上にでしてどのように重ね合わせても，塗りつぶされたマス目4がどれも重ならない確率を P(n) とするとき，次の問い

C1∑4 C2 12 C211¥=100
16 C216 C2に答えよ．ただし，2 枚の紙を重ね合わせるときには，それぞれの紙を回転させてもよいが， 紙の四隅は合わi),ii) は互いに排反なので，求める確率はせることにする．
(1)

P(4) を求めよ．

(2)

P(n) を求めよ．

続いて，解答に移ります．
（解答）
(1)

P( 4) =14
1189+=75 100 300

（解答終）
［考察］
夏期講習で扱った問題とは少し異なりますが，正方形の紙は 90°回転するごとに，四隅を合わ「回転したときに重なるものが，せて重ねることができるので，n = 4 のとき，ある 1つのマス目は 360°回転するまでに，自身も含めて 4自身も含めて何個あるかに注目する」

個のマス目と重なる .という点が，夏期講習で学んだことと共通していて，活用できるポイントになっています（講習の内容では，元々の図形が正三角形だったり，円順列だった△ ＊ ○ △りしたと思います）．この問題では，二人の塗った○ × × ＊マス目が一致しなければよいので，回転したときに＊ × × ○重なるものの自身も含めた個数（重複度合い）で割っ△ ○ ＊ △たりする必要はありませんが，回転したときに重な（上図の同じ印がある 4 個のマス目は，紙を回転するものを１つのグループとして考える，という点は，ると，互いに重ねることができる）

円順列と考え方が似ています．
16 個のマス目を 4 つのグループに分けることがでそこで，回転させたときに重なる 4 個のマス目をきれば，後は A が塗ってしまうグループ数で場合分

1 つのグループとして考えると，16 個のマス目は 4けするだけなので，A が塗りつぶす 2 マスの選び方つのグループに分けられる . 以下，A が塗りつぶすを丁寧に調べていけば，気づけると思います．

2 マスの選び方によって場合分けする .

1

さて，実際の入試問題では，ここまで書ければ満＊点だったのですが，ここで気になるのが＊「n の値を変えたら，どうなるんだろう？」ということです．
たしかに一般化すると，高校範囲を超えてしまう問題もありますが，n = 5 とかにするぐらいなら，……回転の中心にある 1 個のマス目（○印のマス目）なんとかなりそうですし，可能ならば n のままで確は，回転しても他のマス目とは重ならないので，重率を求めてみたいところです．

複度合いが 1 回になっていることがわかりました．

それに「4 という数字に何か意味があるのか？」という点も，なんかこう，気になってきますよね .
そこでまず，n = 5 に増やしたら，どんなことが起きるんだろう？

△△○△△
＊
＊

［考察続き］
次に，回転の中心にマス目があるのはどういうとと実験してみます .

きか，逆に言うと，回転の中心にマス目がないのはどういうときか，を考えてみると［実験］

n が奇数のとき，中心にマス目がありn = 5 のときマス目の数は 25 個なので，回転したn が偶数のとき，中心にマス目がないときに重なる 4 個のマス目を 1 つのグループにしてとなります．

いくと，1 個余る……？

実験してみることで，n が奇数なのか偶数なのかマス目の数が 4 の倍数ではないので，回転したとによって重複度合いが変わってくることがわかりまきの重複度合いが 4 回ではないマス目が存在しそうした．この点で「野口さんの第 78,79 回の問題＆です．ここで思い出して欲しいのが，夏期講習でも解答から学んだこと」を活かすことができたでしょお伝えしたうか？

「重複度合いは，最大の重複度合いのあの問題でも，実験をすることで「奇数だからこそうまくいく」ということを感じ取ることが（正の）約数しかあり得ない」できましたよね．という知識です．今回は，90 °ずつ回転していった(2) のような問題では，文字定数を利用して一般的

とき，4 回目に重なるものは必ず自身になる（360°に解答を書かないと正解にはなりませんが，解法の回転したときだから）ので，他の重複度合いとして糸口をつかむために，「実験してみる」という発想は，2 回か 1 回しかあり得ません．もし初めて自身は重要です．と重なるのが 3 回目であるようなマス目が存在した
ら，次に自身と重なるのは 6 回目のときなので，4さて，元の話に戻って，n が奇数のとき，中心の回目のときに自身と重ならなくなってしまうからでマス目以外に特別なマス目があるのかないのか，をす．

考えましょう．

なので，25 個のマス目の中に，重複度合いが 2 回

ここで，少し話を一般化して，n = 2k - 1 (k =か 1 回のものがないかな，と考えながら，n = 4 の2,3,……) のときを考えてみると，マス目の個数ときと同じように，回転したときに重なるマス目には同じマークを入れてみると……

(2k - 1)2 = 4k2 - 4k + 1 = 4k(k - 1) + 1（個）あるので，中心以外に特別なマス目がなければ，(1)のときと同じ，4 個ずつまとめたグループが k(k - 1)

2個できるはずです．このことを踏まえて考えると，i),ii) は互いに排反なので，求める確率は

下図のような破線の長方形を 4 つ考えれば，(1) のと( n2 - 4)( n2 - 8)( n2 - 9)2n2( n2 - 1)
3( n2 - 4)( n2 - 5)+2n2( n2 - 1)
( n - 2)( n + 2)( n 4 - 12 n2 + 57)=P( n) =きと同じように，90°回転するごとに別の長方形と重なることに気づきやすくなるでしょう．

＊n2( n - 1) ( n + 1)
2

△△○△△
＊
＊＊2イ） n = 2k -1 のとき
4k2 - 4k + 1 個のマス目のうち，中心の 1 個だけは，90°回転しても他のマス目とは重ならない．
他の 4k2 - 4k 個のマス目は次図のような k 個× (k以上を確認した上で，(2) の解答を作成してみます． - 1) 個の長方形に注目して考えると，1 カ所だけ，不十分なところが残っているので，注c%)! 個意しながら読み進めてみて下さい．
c個［解答］(2)k を 2 以上の自然数とする．

ア） n = 2k のとき(1) と同様に，回転させたときに重なるものを 1 つア）と同様に 4 個ずつ，(k2 - k)のグループとして考えると，4k 個のマス目が 4 個ずつ，k2i)ª=2ºn2個のグループに分けられる．
4i)

C2

∑

n2ないので
1C2==∑

C2n2n ( n - 1)
2n 4( n2 - 1)

n2 -1
4

C2

C2 ∑ ( 4 C1 )2n2

C23( n2 - 4)( n2 - 5)22( n - 5)( n - 6)

ら 2 個塗るとき（※），重ならないので

ら 2 個塗るとき，重ならないので

n2n2

B がその 2 グループ以外の (n2 - 8) 個のマス目かB がその１グループ以外の (n - 4) 個のマス目か

n2 - 4

C22 C2∑ n -52 C2ii) A が中心以外の 2 グループから 1 個ずつ塗るとき

2C1∑4 C2n -12A が 1 グループから 2 マス塗るとき

n24

C1∑ 2 C1
n2C2

( n2 - 4)( n2 - 8)( n2 - 9)=2n2( n2 - 1)ii)個のグA が中心と他の 1 個のマス目を塗るとき

2n2º

外の (n2 - 5) 個のマス目から 2 個塗るとき，重ならら 2 個塗るとき，重ならないので

n2 - 8n2 - 1
4B が，中心と A が塗ったマス目と同じグループ以B がその 2 グループ以外の (n2 - 8) 個のマス目かC2 ∑ ( 4 C1 )=ループに分けられる．

A が 2 グループから 1 マスずつ塗るとき

n24ª=2（※※）

3C22 C2∑ n -8
2 C2n( n2 - 5)( n2 - 8)( n2 - 9)
n 4( n2 - 1)

iii)［（※）に挿入］A が中心以外の 1 グループから 2 個塗るとき（ただし，n が 5 以上の奇数のとき）

B がその１グループ以外の (n - 4) 個のマス目か2［（※※）に挿入］

ら 2 個塗るとき，重ならないので
n2 -14

C1∑4 C2n2=C2∑

n2 - 4n2n = 3 のとき，A が塗った場所と重ならないよう

C2に B が塗ることのできるマス目は，中心のマス目 1C2個だけなので，重ならない確率は 0 であるが，これ3( n2 - 4)( n2 - 5)は先に求めた式に n = 3 を代入した結果と一致する．

n 4( n2 - 1)i),ii)，iii) は互いに排反なので，求める確率はP( n) =ようやく，完璧な解答に仕上げることができまし2( n2 - 5)( n2 - 6)

た！

n 4( n2 - 1)

起こりうるすべての事象をイメージすることのでき( n - 5)( n - 8)( n - 9) + 3( n - 4)( n - 5)
n 4( n2 - 1)
n 4( n2 - 1)
( n2 - 5)( n 4 - 12 n2 + 48)=22222る力」つまり，未来のことがらを思い描いた後，細+部まで分析する力が必要になります．最初の偶奇分
けはもちろんのことですが，n = 3 のときの例外も

n 4( n - 1)( n + 1)

見抜けるぐらいに，少しずつ分析力を高めていきま（解答終）しょう．必ず，入試本番では強い武器になってくれるはずです．

さて，以上でほぼ完答なのですが，最後に詰めが（数学科甘いところをなくしておきましょう．
さきほどは，実験として n = 5 としてみましたが，逆に n を小さくして n = 3 とすると，何が起きるでしょうか？

場合の数・確率の単元では「ある試行に対し，もちろん n が奇数のときなので，A が中心を塗るか塗らないかで場合分けをするのですが……A が中心を塗らず，かつ，他の 2 グループから1 個ずつ塗るとき（解答のイ）の ii) のとき），B が塗ることのできる場所が中心だけ，になってしまい
2 マス塗ることができません．
このことは解答の（※）直前の「(n2 - 8) 個のマス目から 2 個塗るとき」という文章に n = 3 を代入するとおかしいことからも気づけるでしょう．
以上のことより，n = 3 のときのみ，さらなる場合分けをしないといけないので，解答の（※）と（※※）に次の文章を挿入することで，完答となります．

4中西）