Séminaire BOURBAKI
69ème année, 2016-2017, no 1127

Janvier 2017

INÉGALITÉS ISOPÉRIMÉTRIQUESDANS LES ESPACES MÉTRIQUES MESURÉS[d’après F. Cavalletti & A. Mondino]
par Cédric VILLANI

Hélas, on ne sait jamais quel problème est joli et quel problème est laid,tant qu’on ne les a pas résolus.
M. Gromov, Sign and meaning of curvature

INTRODUCTION
Vers l’an 2000, le développement rapide de la théorie du transport optimal menait à ladécouverte de liens étroits entre courbure de Ricci, entropie de Boltzmann et transportde Monge–Kantorovich [CEMS, OV]. À partir de cette observation, une théorie synthétique de la courbure de Ricci, basée sur les notions d’entropie et de transport optimal,
entamait sa gestation dès 2004 [LV, St]. Les motivations étaient multiples : étendre à uncadre non lisse la théorie de la courbure de Ricci ; développer de nouvelles heuristiques
et interprétations adaptées à certains problèmes d’analyse géométrique ou d’équations
aux dérivées partielles ; en déduire de nouveaux théorèmes de géométrie riemannienne ;enfin, dégager des pistes pour des généralisations de la notion de courbure.
En 2008, le programme était suffisamment avancé pour faire l’objet d’un Séminaire
Bourbaki rédigé par Michel Ledoux [Le], et d’une partie importante de ma monographie[Vi1]. La stabilité par topologie de Gromov–Hausdorff et l’adaptation de bon nombred’inégalités géométriques classiques constituaient deux atouts de la nouvelle théorie.
En revanche, comme le remarquait Ledoux, d’importantes interrogations subsistaient :parmi les problèmes ouverts recensés à l’époque, citons la compatibilité avec la théorie
bien établie des espaces CAT (Cartan–Alexandrov–Toponogov) ou avec la théorie classique de l’analyse dans les espaces métriques, l’existence d’un semigroupe de la chaleur
en courbure minorée, la localisation de la nouvelle notion de courbure, l’établissementd’inégalités géométriques optimales en dimension finie, ou encore des énoncés de rigidité.
Tous ces problèmes ont été résolus de façon satisfaisante entre 2010 et 2015 parune série de contributions marquantes [AGS2, AGS3, AGS4, CaMo1, EKS, G2, Pe,
Ra1]. Parmi ces avancées majeures, la plus récente, due à Cavalletti & Mondino [C2,
CaMo1] revêt une importance particulière, car elle permet d’intégrer dans la théorie desinégalités emblématiques qui étaient jusque là restées hors de portée. Elle repose surune magnifique idée de Klartag [Kl] qui établit un pont inattendu entre les méthodesde la géométrie des convexes et celles du transport optimal.

1127–02

Grâce à ces travaux, on peut pour la première fois proposer une démonstration synthétique, « raisonnable », de la célèbre inégalité isopérimétrique de Lévy–Gromov. Les
preuves connues auparavant utilisaient des résultats fins d’analyse, très gourmands en
hypothèses de régularité et obtenus par une orgie technique ; par contraste, la nouvelledémonstration ne demandera aucune régularité au-delà du non-branchement des géodésiques. La mise au point d’une preuve aussi générale était en fait une motivation forte
du programme de la courbure de Ricci dans les espaces non lisses.
Par construction, l’inégalité de Lévy–Gromov implique des constantes optimales enfonction de la dimension ; parvenir à une telle optimalité est parfois un but en soi,
parfois plutôt un test pour la puissance des méthodes. De fait, les mêmes techniques
ont permis à Cavalletti & Mondino de traiter un grand nombre d’inégalités à constantes
optimales, résolvant cinq ou six problèmes ouverts de [Vi1] et amenant la théorie dansun état de maturité qui semblait inaccessible encore récemment.
Dans cet exposé, je commencerai par énoncer l’inégalité de Lévy–Gromov et rappeler sa démonstration classique dans les variétés riemanniennes (Section 1). Puis jeprésenterai l’état de l’art concernant les bornes de courbure de Ricci dans les espaces
métriques mesurés, et en particulier le cadre des « espaces CD∗ (K, N ) essentiellement
non branchants » qui est celui où se place naturellement la nouvelle démonstration de
Cavalletti–Mondino (Section 2). La Section 3 sera consacrée à une difficulté majeuredans l’obtention d’inégalités optimales ; ce sont les résultats des Sections 4 et 5 quipermettront d’y répondre, à travers une étude qualitative fine du transport optimal. La
section 6 démontrera le résultat principal, l’inégalité de Lévy–Gromov dans des espaces
métriques mesurés (Théorème 6.1) ; la Section 7 sera consacrée aux cas d’optimalité etla Section 8 à d’autres applications de la méthode. Enfin on passera en revue quelquesconclusions et perspectives de recherche dans la Section 9.
Je remercie chaleureusement Fabio Cavalletti, Nicola Gigli, Michel Ledoux, John
Lott, Emanuel Milman et Andrea Mondino pour leur relecture de cet exposé et leursprécieux conseils. Le texte a été revu et corrigé à l’occasion d’un cours organisé àl’Institut Camille Jordan (Université de Lyon Claude Bernard) par Ivan Gentil.
NOTATION : J’utiliserai la convention N = {1, 2, . . .}. Dans tout cet exposé, dès
qu’une métrique riemannienne sera définie ou sous-jacente, je noterai sans plus de précisions d pour la distance géodésique associée, vol pour le volume riemannien, Ric pourla courbure de Ricci (qui est une forme quadratique définie sur le fibré tangent), ∇pour l’opérateur gradient, ∆ pour l’opérateur laplacien (divergence du gradient), ∇2
pour l’opérateur hessien. Un ensemble A étant donné, je noterai Aε = {x; d(x, A) ≤ ε}l’élargissement de A par une distance ε ≥ 0 ; et Br (x) sera la boule ouverte de centre x
et de rayon r. Je noterai aussi En l’espace euclidien de dimension n, et Sn (R) ⊂ En+1 lasphère standard à n dimensions de rayon R. Enfin, les variétés seront toujours supposées
connexes et complètes, et les géodésiques seront supposées minimisantes et de vitesse
constante (parfois unitaires, c’est-à-dire de vitesse normalisée à 1 ; et parfois pas).

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1. COMPARAISON ISOPÉRIMÉTRIQUE DE LÉVY–GROMOV
C’est une estimation de Lévy [Lev, Partie 3, Chapitre 4] qui fonda tout à la fois
l’isopérimétrie non euclidienne et la théorie de la concentration de la mesure en grande
dimension. Lévy considérait des hypersurfaces plongées de courbures sectionnelles uniformément positives ; autrement dit, des bords d’ouverts lisses uniformément convexes.
Il montrait que dans une telle hypersurface, les inégalités isopérimétriques sont « au
moins aussi fortes » que dans une sphère.
La date de la découverte de Lévy est incertaine (quelque part entre l’édition de 1919
et celle de 1951 de son ouvrage d’analyse fonctionnelle) ; c’est V. Milman qui en fit une
promotion vigoureuse dans les années 1970. Gromov [Gr1] apporta trois contributions
majeures au sujet : il montra par diverses applications la puissance de l’inégalité deLévy ; il répara la preuve originale, qui achoppait sur des problèmes considérables derégularité ; enfin il généralisa l’estimation à toute variété riemannienne de courbure de
Ricci uniformément positive.
Cette dernière évolution était en ligne avec deux principes généraux : d’une part, la
courbure de Ricci est la courbure naturelle dans les questions qui font intervenir à la fois
mesures et distances ; d’autre part, dans de nombreux énoncés, les bornes inférieures
sur la courbure sectionnelle peuvent être remplacées par des bornes inférieures surla courbure de Ricci (penser aux théorèmes de Bonnet–Myers, Lichnérowicz, Bishop–
Gromov, Li–Yau, etc.). On rappelle que la courbure de Ricci au point x ∈ M , dans une
direction tangente unitaire e, coïncide avec la somme des courbures sectionnelles dansles n − 1 plans engendrés par les paires (e, ei ), si (e, e2 , . . . , en ) est une base orthonorméede l’espace tangent Tx M ; de sorte que la minoration de la courbure de Ricci est une
hypothèse plus faible que la minoration des courbures sectionnelles.
Théorème 1.1 (inégalité isopérimétrique de Lévy–Gromov, [Gr1])
Soit (M, g) une variété riemannienne lisse de dimension n > 1, de courbure de Ricci
uniformément positive : Ric ≥ K g, où K > 0 est une constante ; on rappelle qu’alors
M est forcément compacte. Soit A une partie mesurable de M ; on note ν[A] son volume
riemannien normalisé, et ν + [∂A] sa mesure de surface au sens de Minkowski, également
normalisée :vol [A]
ν[Aε \ A]ν[A] =,
ν + [∂A] = lim inf.
ε↓0
vol [M ]
ε
p
K,n
n
Soit
par
ailleurs
S
=
S
=
S
(
(n − 1)/K) la sphère de dimension n et de rayonp(n − 1)/K, équipée de son volume normalisé σ. Soit enfin B une boule dans S, c’està-dire une calotte sphérique. Alors(1)ν[A] = σ[B]=⇒

ν + [∂A] ≥ σ + [∂B].

En d’autres termes, si l’on définit sur [0, 1] le profil isopérimétrique normalisé(2)IM (α) = inf ν + [∂A]; ν[A] = α ,1127–04

alors IM ≥ IS . De façon équivalente, si l’on pose, sur [0, 1] × R+ ,(3)
ΦM (α; ε) = inf ν[Aε ]; ν[A] = α ,alors ΦM ≥ ΦS .
Remarque 1.2. — J’emploie la notation ν + [∂A] car la définition induit effectivement
une notion de “mesure de bord” ν + sur ∂A ; mais c’est un abus de notation. En effet, si
A est trop irrégulier, ν + peut ne pas dépendre uniquement de ∂A, mais aussi de tout
l’ensemble A. (Penser au cas où A est dénombrable dense dans M : alors ν + [∂A] = ∞et ν + [∂(M \ A)] = 0, bien que ∂A = ∂(M \ A) = M .)Remarque 1.3. — Le Théorème 1.1 s’inscrit dans la riche tradition des énoncés parcomparaison, où l’espace est comparé à une géométrie de référence, en l’occurrence
une sphère. La plupart de ces résultats reposent in fine sur la comparaison de solutionsd’équations différentielles d’ordre 2, et l’inégalité de Lévy–Gromov ne déroge pas à cettehabitude.
Remarque 1.4. — Pour combiner, comme le fait le Théorème 1.1, une hypothèse decourbure et une hypothèse de dimension, on peut utiliser la condition de courburedimension, qui s’est imposée en théorie de la courbure de Ricci, au carrefour entre
analyse, probabilité et géométrie. Moralement, elle exprime à la fois la minoration dela courbure et la majoration de la dimension. Dans la suite, j’utiliserai pour cettecondition la notation classique CD(K, N ), où K ∈ R et N ∈ [1, ∞] (pas forcément
entier). On dit qu’une variété riemannienne (M n , g), munie d’une mesure de référence
lisse ν(dx) = e−V (x) vol (dx), vérifie la condition de courbure-dimension CD(K, N ) si
(4)n ≤ N,

Ric + ∇2 V −∇V ⊗ ∇V≥ Kg.
N −n(Implicitement n < N si ∇V 6= 0.) Quand ν est la mesure de volume normalisé, laseconde inégalité se réduit à Ric ≥ Kg ; mais on est souvent amené à considérer d’autres
mesures. L’inégalité (4) peut se ré-exprimer par de nombreuses conditions équivalentes[Vi1, Chapitre 14], dont les deux plus populaires sont(a) l’inégalité de Bochner : pour toute fonction f lisse sur M , |∇f |2 (Lf )2(5)L− ∇f · ∇Lf ≥ K|∇f |2 +,Lf = ∆f − ∇V · ∇f ;2N(b) l’inégalité de déterminant jacobien de l’exponentielle : soient ψ une fonction lisse
sur M , et γ(x, t) = expx (t∇ψ(x)) le flot de géodésiques déterminé par le champ devitesses ∇ψ ; soit J (x, t) = e−V (γ(x,t))+V (x) det(dx γ(x, t)) la distortion infinitésimale dela mesure associée à x 7−→ γ(x, t) ; alors `(x, t) := − log J (x, t) vérifie, tant que t > 0
reste assez petit pour que `(x, t) soit bien défini,
(6)

˙2
(`)
`¨ ≥ K|γ̇|2 +.
N

1127–05

Si N = ∞, cette inégalité différentielle est linéaire ; si N < ∞ elle peut se réécrire sousune forme linéaire, modulo un changement de fonction :
1K|γ̇|2(7)
D := J N =⇒D̈ +D ≤ 0.
N
L’équivalence entre (5) et (6) est une manifestation de la dualité entre points de vue
eulérien et lagrangien ; l’une ou l’autre de ces inégalités peut se prouver avec le formalisme des champs de Jacobi [Vi1, Chapitre 14]. Les conditions CD(K, N ) fournissent
un cadre naturel à toutes sortes d’inégalités fonctionnelles et géométriques, comme on
le voit par exemple dans l’ouvrage de synthèse de Bakry, Gentil et Ledoux [BGL].
Remarque 1.5. — Le Théorème 1.1 fait usage de la sphère comme espace de référence
en courbure strictement positive ; d’autres géométries de référence classiques sont, bien
entendu, l’espace euclidien (courbure nulle) et l’espace hyperbolique (courbure strictement négative). Chacun de ces espaces correspond à une valeur N ∈ N, et est équipéde sa mesure volume. Il existe une autre famille d’espaces de référence qui ont un sens
pour toute valeur de N ∈ [1, ∞] (sauf N = 1 et K 6= 0) ; ces espaces X K,N sont obtenus
en considérant la droite réelle, munie de sa structure euclidienne habituelle, et d’une
mesure qui n’est pas forcément
celle de Lebesgue : X K,N = (E1 , v(x) dx), où v(x) =
p
−1
cosNp
(λx) 1|x|<π/(2λ) , λ = K/(N − 1), quand K/(N − 1) > 0 ; v(x) = coshN −1 (λx)λ = |K|/(N − 1), quand K/(N − 1) < 0 ; v(x) = xN −1 1x>0 quand K = 0 et N < ∞ ;2v(x) = e−Kx /2 quand N = ∞. (Quand N ∈ N, on peut voir X K,N comme la projectiond’une sphère sur l’un de ses axes ; en particulier, le profil isopérimétrique de X K,N est
le même que celui de S K,N .) Milman [Mi] effectue une discussion plus détaillée incluant
non seulement l’inégalité de courbure-dimension, mais aussi une borne sur le diamètre.
Remarque 1.6. — Dans le droit fil des remarques 1.4 et 1.5, l’inégalité de Lévy–
Gromov peut se généraliser à toute variété riemannienne vérifiant le critère decourbure-dimension CD(K, N ) avec K > 0, y compris pour N = ∞ [BL, Mi] ; et l’onpeut aussi traiter K ≤ 0 si l’on impose une borne sur le diamètre [BeBG, Mi].
Remarque 1.7. — On peut mettre en regard le principe de comparaison de Lévy–
Gromov (en courbure minorée) avec la conjecture de Cartan–Hadamard (en courbure
majorée). Cette dernière postule que le profil isopérimétrique non normalisé des variétés simplement connexes de dimension n et de courbures sectionnelles négatives(resp. ≤ κ < 0) est minoré par celui de l’espace euclidien En (resp. de l’espace hyperbolique de dimension n et courbure κ). Je ne dirai rien de plus sur cette conjecture,si ce n’est qu’une étude récente l’aborde par le transport optimal [KK].
Preuve du Théorème 1.1 — Soit A un sous-ensemble mesurable de M , et soit
α = ν[A]. Si α ∈ {0, 1} on a σ + [B] = 0, et la conclusion est évidente ; on supposera donc
0 < α < 1. La théorie géométrique de la mesure assure que, parmi tous les ensembles
mesurables A0 tels que ν[A0 ] = α, il en existe au moins un, disons A0 , qui minimise1127–06

ν + [∂A] ; de plus les théorèmes de régularité d’Almgren [A] assurent que A0 est lisse en
dehors d’un ensemble singulier (∂A0 )s ⊂ ∂A0 , négligeable (vide si n ≤ 7, de dimension
au plus n − 8 si n ≥ 8). En outre,(a) la courbure moyenne de A0 , mesurée le long de la partie régulière de ∂A0 , est
constante ;(b) l’ensemble singulier (∂A0 )s peut être caractérisé comme l’ensemble des points de∂A0 en lesquels le cône (positif) tangent à A0 n’est pas inclus dans un demi-espace ;(c) ν + [∂A0 ] = ν + [∂(M \ A0 )], et la mesure ν + induite sur ∂A0 par A0 ou par M \ A0
est la même ;(d) ν + [(∂A0 )s ] = 0.
Avant de commenter ces propriétés, notons w la fonction normale intérieure à A0 :elle est définie globalement sur ∂A0 en dehors de l’ensemble singulier (∂A0 )s .
On rappelle que la courbure moyenne η quantifie la variation de la surface vis-à-vis depetites déformations. Plus précisément, soit A un sous-ensemble mesurable d’une variété
M de dimension n ; comme la notion est locale, on supposera même que M = En . Soit
x0 un point régulier de ∂A, O un voisinage de x où ∂A s’écrit comme un graphe, f une
fonction lisse définie sur ∂A, alors dans O on pourra écrire, pour ε > 0 assez petit,
Z


+
+
f (x) η(x) ν + (dx) + o(ε).
vol ∂(A + εf w) = vol [∂A] − (n − 1) ε∂A

On généralise ainsi la notion de courbure extrinsèque introduite par S. Germain pourune surface plongée dans E3 , à savoir la moyenne des deux courbures principales.
On rappelle également la notion de cône tangent ; là aussi, on se contente de ladéfinir pour un sous-ensemble de l’espace euclidien. Soient donc A ⊂ En , x ∈ ∂A ; onappelle direction tangente à A, issue de x, un vecteur unitaire v qui est limite d’une
suite (yk − x)/|yk − x| avec yk ∈ A, yk 6= x, yk → x. Le cône tangent à A en x
est alors l’ensemble des demi-droites issues de x et dirigées par une de ces directions
tangentes. En un point régulier, le cône tangent est un demi-espace ; pour une singularité“sortante”, il pourra être strictement inclus dans un demi-espace (penser au coin d’uncube). En revanche, un cône à deux nappes n’est inclus dans aucun demi-espace, eton peut dire qu’il est “de part et d’autre de la singularité”. Le résultat d’Almgren dit
qu’un ensemble minimisant est situé de part et d’autre de n’importe lequel de ses points
singuliers ; cela nous rappelle que l’archétype d’une telle singularité est le cône minimal
x21 + . . . + x24 = x25 + . . . + x28 (équation de ∂A0 ) en dimension 8.
On reprend maintenant le fil de la preuve. L’idée est de définir une fibration de A0
par des géodésiques issues de points réguliers de ∂A0 : à chaque x ∈ A0 on ferait correspondre sa projection sur ∂A0 . Cependant il pourrait se faire, a priori, que l’ensemble
singulier de ∂A0 corresponde à un ensemble de mesure positive dans A0 ... Le lemmesuivant, basé sur la caractérisation (b) ci-dessus, écarte cette possibilité.

1127–07

Lemme 1.8. — Pour presque tout x ∈ M , la distance entre x et ∂A0 est atteinte en ununique point régulier y ∈ ∂A0 , que l’on appellera projection géodésique de x sur ∂A0 .
La géodésique joignant y à x est orthogonale à ∂A0 .
Donc, pour presque tout x ∈ M on trouve une unique projection géodésique y sur∂A0 , et c’est un point régulier. Si x ∈ A0 on a x = expy (Lw(y)), si x ∈ M \ A0 on ax = expy (−Lw(y)), avec dans les deux cas L = d(x, y).
Pour tout y point régulier de ∂A0 , définissons maintenant les temps de coupure t±
C (y)comme ceux où la géodésique issue de y avec vitesse ±w(y) cesse d’être minimisante :
n
t±
(y)
=
sup
T > 0; pour tout t ∈ [0, T [,Coexpy (±tw(y)) admet y pour projection géodésique .
+L’application F : (t, z) 7−→ expz (tw(z)) est bien définie et lisse dans {]t−
C (z), tC (z)[, z}pour z ∈ ∂A0 au voisinage de chaque point régulier y ; on l’appellera application exponentielle issue orthonormalement de ∂A0 . Elle atteint tout A0 et tout M \ A0 à unensemble négligeable près. D’où les formules
Z Z t+C (y)(8)
J (y, t) dt ν + (dy),ν[A0 ] =∂A0

Z

0

Z t−C (y)ν[M \ A0 ] =∂A0J (y, −t) dt ν + (dy),0où les intégrales sur ∂A0 sont restreintes aux points réguliers, et J (y, t) est le déterminant jacobien de l’application F (t, ·) en y. (C’est un résultat classique que J (y, t) reste+
strictement positif pour t ∈] − t−
C (y), tC (y)[.)Pour estimer le déterminant jacobien, on peut appliquer le principe de comparaison
de Heintze–Karcher [HK], qui en fait était déjà connu de Lévy dans ce cas particulier :Lemme 1.9. — Dans une variété M de dimension n, vérifiant Ric ≥ Kg, K > 0,soit H une hypersurface orientée de courbure moyenne constante égale à η. Alors, pourt ≥ 0, le déterminant jacobien de l’application exponentielle issue orthonormalement deH vérifie
J (x, t) ≤ Jη (t),où Jη (t) est le déterminant jacobien de l’application exponentielle sur la sphère S K,n ,issue orthonormalement de ∂Bη , et Bη est la boule de courbure moyenne η dans lasphère de référence S K,n . Cette inégalité a lieu pour tout t inférieur ou égal au rayonde Bη .
Définissons maintenant
R(A0 ) = sup d(x, ∂A0 ) = sup t+
C (y);x∈A0y∈∂A01127–08−
on a une formule similaire pour R(M \ A0 ) en changeant simplement t+
C en tC . Par
ailleurs, R(Bη ) coïncide avec le rayon de Bη au sens usuel, et S \ Bη n’est autre que
B−η . Tout pris en compte,

R(A0 ) ≤ R(Bη ),R(M \ A0 ) ≤ R(B−η ).

Combinant cela avec le Lemme 1.9, on conclut que
Z R(Bη )σ[Bη ]++Jη (t) dt = ν [∂A0 ]ν[A0 ] ≤ ν [∂A0 ],
σ + [∂Bη ]0Z R(B−η )σ[B−η ]++
J−η (t) dt = ν [∂A0 ]ν[M \ A0 ] ≤ ν [∂A0 ].
σ + [∂B−η ]0(On a utilisé ν + [∂(M \ A0 )] = ν + [∂A0 ].) Donc
σ + [∂B−η ]σ + [∂Bη ]+, ν[M \ A0 ]
ν [∂A0 ] ≥ max ν[A0 ]σ[Bη ]
σ[B−η ]IS (v)IS (1 − v)
= max α, (1 − α),v
1−v
où v = σ[Bη ] et IS est la fonction σ[Bη ] 7−→ σ + [∂Bη ]. (Il résultera de la preuve que IS
est bien le profil isopérimétrique de S.)
Lemme 1.10. — Si S = S K,N est la sphère de référence de paramètres K et N , alorsla fonction IS vérifie l’inégalité différentielle(9)IS00 IS +(IS0 )2+ K = 0.
N −1

En particulier, IS est concave. (C’est un cas très particulier d’un théorème bienplus délicat, selon lequel le profil isopérimétrique normalisé d’une variété compacte decourbure positive est concave.) Comme par ailleurs IS (0) = IS (1) = 0, et I(1 − v) =I(v), on conclut que pour tout v ∈ [0, 1],
IS (v)IS (1 − v)
, (1 − α)≥ IS (α).
max α
v
1−v
(Écrire v comme combinaison convexe, soit de 0 et α si v < α, soit de α et 1 si v > α.)
Enfin on achève la preuve du Théorème 1.1 en se rappelant que, par construction,
ν + [∂A] ≥ ν + [∂A0 ].
Remarque 1.11. — Comme on l’a vu, la preuve repose de façon importante sur lesrésultats de régularité subtils dus à Almgren. En fait, Lévy considérait le problème
variationnel inf{ν[Aε ]; ν[A] = α} ; mais l’existence d’un ensemble minimisant suffisamment régulier n’est alors pas garantie, alors que pour la minimisation de la surface on
a accès à de bons théorèmes de régularité. (Gromov crédite Allard pour avoir fourni
les références pertinentes dans ce domaine.) Cependant, le profil isopérimétrique est
une notion qui ne demande pas ou presque pas de régularité [HLMM], et qui est même1127–09

Bη
−w
w
A0

Figure 1. Principe de la preuve de Lévy–Gromov : A0 est un minimiseur pourl’isopérimétrie dans M ; w est la normale le long de ∂A0 ; on recouvre M pardes courbes issues du bord de A0 avec vitesse ±w. Dans la sphère de référence,Bη est une boule de même courbure moyenne que A0 ; et l’on recouvre la sphère
par des courbes issues de ∂Bη .

stable pour des topologies n’exigeant aucune régularité, comme la topologie de Gromov–
Hausdorff mesurée. (Plus précisément [G7], si Mk → M dans cette topologie, et quepour tout k on a IMk ≥ f , où f est une fonction croissante continue sur [0, 1/2], alors
IM ≥ f .) On est donc en droit de souhaiter une preuve qui s’applique dans un cadre
bien plus général. Un autre point saillant de la preuve est que l’on ne travaille pas directement sur l’ensemble A, mais sur un ensemble extrémal A0 ; même si cela est bien sûr
légitime, il serait intéressant, par exemple pour mieux comprendre les termes d’erreur,de pouvoir manipuler A directement. Dans la suite de l’exposé nous verrons comment
remplir ces deux objectifs.
Pour finir, on présente brièvement les preuves des lemmes auxiliaires utilisés dans ladémonstration du Théorème 1.1. Le premier relève de l’analyse non lisse, le second dela géométrie riemannienne, et le dernier d’un calcul « explicite » dans l’espace modèle.
Preuve du Lemme 1.8 — Le début du raisonnement est classique. Soit x ∈ M , soity ∈ ∂A0 tel que d(x, ∂A0 ) = d(x, y), et soit γ une géodésique de vitesse constanteunitaire, de longueur L = d(x, y), joignant y = γ(0) à x = γ(L). La définition de ladistance à ∂A0 et la classique formule de variation des distances montrent que pourx0 ' x,d(x0 , ∂A0 ) ≤ d(x0 , y) ≤ d(x, y) + γ̇(L), x0 − x + o(d(x, x0 )),où le produit scalaire est fourni par gx , et j’ai noté abusivement x0 − x le vecteur z
de norme minimale tel que expx z = x0 (dans une carte, z est bien égal à x0 − x, àdes corrections d’ordre supérieur près). Le vecteur γ̇(L) est donc un sur-gradient de lafonction f : x 7−→ d(x, ∂A0 ).
Cependant, f est lipschitzienne (et même semi-concave), donc différentiable en dehorsd’un ensemble négligeable N . Pour tout x ∈ M \ N , la fonction f admet un uniquesur-gradient en x (c’est le gradient) ; cela détermine uniquement γ̇(L) et donc γ.
La sphère géodésique S centrée en γ(L/2), de rayon L/2, intersecte donc ∂A0 seulement en y ; il s’ensuit que le cône tangent à A0 en y est inclus dans le demi-espace

1127–10

tangent extérieurement à S. (Noter que y n’est pas situé dans le lieu de coupure deγ(L/2), car sinon γ(L/2) serait situé dans le lieu de coupure de y.) Comme A0 est un
ensemble minimisant, on conclut de la propriété (b) que y est un point régulier.
∂A0

y

γ

x
γ̇(L)

Figure 2. Preuve de ce que presque toute projection y sur ∂A0 est un point
régulier : la sphère géodésique de diamètre γ([0, L]) est tangente à ∂A0 .

Preuve du Lemme 1.9 (esquisse) — Soit γ(t, x) l’application géodésique orthonormale issue de H. On peut écrire γ(t, x) = expx (−t∇x d(x, ∂H)), où d est la distancesignée à H (bien définie par l’orientation). La différentielle de γ(t, x) dans la variable
x s’identifie à une matrice (n − 1) × (n − 1) de champs de Jacobi (ou variations degéodésiques), notée J(t) et vérifiant l’équation différentielle de Jacobi ; c’est le mêmecalcul que pour le déterminant jacobien d’une application de la forme expx (t∇ψ(x)),
sauf que l’on ne considère que des variations tangentes à H, donc orthogonales à ladirection du mouvement géodésique. Le déterminant de J(t), que je noterai J ⊥ (c’est
le J⊥ de [Vi1, Chapitre 14]), n’est autre que le déterminant jacobien de l’application
exponentielle issue orthonormalement de H, et mesure la distortion « transversale aumouvement ». On prouve, au moyen de l’équation de Jacobi,
 1
 1
K
d2
⊥ n−1
⊥ n−1
J
J
+
≤ 0,
(10)
dt2
n−1
avec égalité pour la sphère S K,n . Par ailleurs, la courbure moyenne s’exprime (à unfacteur de normalisation près) comme la dérivée initiale de ce déterminant jacobien :(11)J ⊥ (x, 0) = 1;

η=−

d
1
J ⊥ (x, t).
n − 1 dt t=0

Pour conclure, il suffit de noter que l’inégalité différentielle f¨ + Λf ≤ 0 vérifie unprincipe de comparaison :f¨ + Λf ≤ g̈ + Λg, f (0) = g(0), f˙(0) = ġ(0)=⇒ f (t) ≤ g(t)1tant que g(t) reste positif. On peut donc comparer les quantités (J ⊥ ) n−1 sur H et sur∂Bη , jusqu’à l’annulation de Jη . Sur ∂Bη , le temps de coupure coïncide avec le premier
temps où le déterminant jacobien s’annule, et c’est aussi le rayon de Bη . Ceci achève la
preuve.
p
Preuve du Lemme 1.10 — On note I = IS . Soient R = (π/2) (N − 1)/K etpRRf (x) = cosN −1 ( K/(N − 1) x)/Z, où Z = Z(K, N ) est choisi de sorte que −R f = 1.

1127–11Rx
On pose F (x) = −R f (s) ds : c’est le volume normalisé d’une calotte sphérique de rayonx + R dans S K,N , et la définition
p de I impliquep I(F (x)) = f (x). En dérivant on obtient00I (F (x)) = f (x)/f (x) = − K(Nà nouveau,p − 1) tan( K/(N − 1) x), 0et en dérivant
00
2
2
I (F (x))f (x) = −K[1 + tan ( K/(N − 1) x)] = −K[1 + I (F (x)) /(K(N − 1))], cequi établit l’équation souhaitée. On note que la même inégalité différentielle est vérifiéedans l’espace modèle X K,N de la Remarque 1.5.

2. THÉORIE SYNTHÉTIQUE DE LA COURBURE DE RICCIÀ partir du milieu des années 2000, plusieurs théories se sont développées pour capturer les propriétés fondamentales de la courbure de Ricci dans un cadre non lisse. Au
lieu d’utiliser des exponentielles riemanniennes de champs de vecteurs, ces méthodes
reposaient sur le transport optimal entre mesures : une méthode « non lisse » pourengendrer des familles de géodésiques. On peut distinguer deux approches principales,étroitement liées :(a) l’étude de l’évolution de la concentration le long du transport optimal, prenant
la distance et le volume comme éléments de base ;(b) l’étude du taux de contraction du flot de la chaleur en distance de transport
optimal, prenant la distance et l’équation de diffusion comme éléments de base.
Dans un cadre lisse, l’article de Sturm et Von Renesse [SvR] présentait de nombreux critères relevant des catégories (a) ou (b). Par la suite c’est l’approche (a) quia été la plus étudiée et je m’y limiterai ici ; je noterai seulement que pour les espaces
métriques « riemanniens » l’équivalence entre les deux approches a été soigneusementétablie [BGGK].
Dans cette section, je vais résumer à grands traits une décennie de recherche en lamatière, renvoyant à l’article de synthèse [Vi2] pour un survol historique un peu plus
large. Par simplicité, et parce que ce cadre suffira pour l’inégalité de Lévy–Gromov,
je me limiterai, sauf mention expresse, à des espaces métriques compacts ; cependant
la théorie peut se développer dans les espaces métriques localement compacts et σcompacts [AGMR, LV, Vi1].
2.1. Principe et heuristiqueCommençons par quelques définitions. Un espace géodésique (X , d) est un espace
métrique dans lequel deux points quelconques sont reliés par au moins une géodésique,c’est-à-dire une courbe lipschitzienne γ : [0, 1] → (X , d) dont la longueur L(γ) coïncideavec la distance d(γ(0), γ(1)). On rappelle queZ 1d γ(t), γ(t + ε)
L(γ) =|γ̇(t)| dt,|γ̇(t)| := lim sup
.
ε
ε↓0
0
On parle d’espace géodésique mesuré quand on adjoint à un espace géodésique(X , d) une mesure de Borel finie sur les compacts. Un cas particulier est celui d’une1127–12

variété riemannienne complète que l’on munit de sa distance géodésique et de son volume
riemannien.
Soit (X , d, ν) un espace géodésique mesuré ; on note P (X ) l’espace des mesures deprobabilité boréliennes sur (X , d), et P ac (X ) le sous-espace fait des mesures absolument
continues par rapport à ν. On introduit alors sur P (X ) :- une notion de concentration relative à ν : l’information de Boltzmann–Shannon,ZdµHν (µ) = ρ log ρ dν,ρ=dν(on posera Hν (µ) = +∞ si µ n’est pas absolument continue) ;- une notion de distance entre mesures :

1/p
ZZ
p
(12)
Wp (µ0 , µ1 ) =inf
d(x0 , x1 ) π(dx0 dx1 ),π∈Π(µ0 ,µ1 )où Π(µ0 , µ1 ) est l’espace des π ∈ P (X × X ) dont les marginales (projections) sont µ0 etµ1 , et p ∈ [1, ∞[ est un paramètre. Aussi bien pour la théorie que pour les applications,ce sont les cas p = 1 et p = 2 qui ont, de très loin, retenu le plus d’attention. On notera
Pp (X ) = (P (X ), Wp ) ; si (X , d) est un espace géodésique il en va de même de Pp (X )[Vi1, Chapitre 7].
Le problème de minimisation qui apparaît dans (12) est appelé problème deMonge–Kantorovich, ou problème de transport optimal ; on le notera (MKp ). Pourle cas p = 1 il remonte à Monge [Mo]. Dans l’interprétation habituelle, il s’agit detransporter une distribution de masse µ0 pour la faire coïncider avec une distribution
prescrite µ1 , et d’effectuer ce réarrangement au moindre coût total, sachant que letransport d’une unité de masse de x0 vers x1 coûte d(x0 , x1 )p .
C’est à partir d’une note de Brenier [Br] que le transport optimal s’est développé
spectaculairement en un sujet particulièrement multiforme de l’analyse, en lien avec
le calcul des variations, la géométrie, les probabilités, les systèmes dynamiques, et leséquations aux dérivées partielles [Sa, Vi1].
On peut voir le transport optimal sous l’angle de l’appariement (trouver π, la distribution jointe des couples (x0 , x1 )), ou sous l’angle de l’interpolation (trouver le chemin(µt )0≤t≤1 dans P (X ) qui permettra à la mesure µ0 de se réarranger progressivement,
sous l’action du transport optimal, en la mesure µ1 ). Ce sont deux faces du mêmeproblème [Vi1, Chapitre 7] : pour passer de (µt ) à π, ou vice-versa, on cherche untransport dynamique, c’est-à-dire une mesure Π ∈ P (C([0, 1], X )), concentrée sur descourbes géodésiques, telle que (et )# Π = µt , (e0 , e1 )# Π = π ; ici et est la fonction évaluation au temps t, et (γ) = γ(t). Si π est optimal au sens de (12) et que Π est porté
par des courbes géodésiques, on parlera de transport optimal dynamique au sens
(MKp ). L’interpolation (µt )0≤t≤1 est alors une géodésique dans Pp (X ).
Nous pouvons maintenant introduire la notion de « courbure positive » dans les espaces métriques mesurés. La définition suivante est un cas particulier archétypal desnotions plus générales à venir :1127–13

Définition 2.1 (critère CD(0, ∞) métrique-mesuré). — On dit qu’un espace géodésique mesuré (X , d, ν) vérifie CD(0, ∞) si pour tous µ0 , µ1 ∈ P (X ) il existe une géodésique (µt )0≤t≤1 dans P2 (X ) telle que∀t ∈ [0, 1](13)Hν (µt ) ≤ (1 − t)Hν (µ0 ) + tHν (µ1 ).

• Si cette inégalité a lieu pour toute géodésique (µt )0≤t≤1 , on dit que (X , d, ν) est
fortement CD(0, ∞) ; Hν (µt ) est alors une fonction convexe de t.
• Si pour tout x∗ cette inégalité a lieu dès que µ0 , µ1 ont leur support dans un voisinage
de x∗ assez petit, alors on dit que (X , d, ν) est localement CD(0, ∞), ce que l’on note
CDloc (0, ∞).
µt
µ0

µ1

Figure 3. Transport (MK2 ) en courbure positive : la mesure µt , qui interpole
entre µ0 et µ1 , est plus « étalée » au sens de l’information de Boltzmann.

Remarque 2.2. — Le choix p = 2 ci-dessus (dans la définition de Pp ) est réminiscent dela nature quadratique de la géométrie riemannienne.
Remarque 2.3. — Cette définition utilise l’information de Boltzmann pour mesurer ladispersion de la masse : si les géodésiques se rapprochent, la concentration augmenteet Hν aussi. En courbure positive, les géodésiques ont tendance à diverger avant dereconverger, ce que capture la définition au travers de l’inégalité de convexité pour Hν .
Remarque 2.4. — Si (X , d, ν) est une variété riemannienne munie de sa distance géodésique et d’une mesure ν(dx) = e−V (x) vol (dx), alors la Définition 2.1 est équivalente
au critère classique Ric + ∇2 V ≥ 0 [Vi1, Chapitre 17].
Remarque 2.5. — La Définition 2.1 est « synthétique » en ce qu’elle ne nécessite pasle calcul de la courbure, ne demande pas de régularité, et n’utilise aucune structure
au-delà de celles de distance géodésique et de mesure. Elle est stable par convergencede Gromov–Hausdorff mesurée [Vi1, Chapitre 29], une topologie très flexible sur lesespaces métriques mesurés qui prend seulement en compte la convergence des distances

1127–14

et des mesures [Gr2, Chapitre 3 21 ] [Vi1, Chapitre 27]. En fait, la Définition 2.1 est
essentiellement la seule approche « intrinsèque » connue pour rendre compatibles lacourbure de Ricci et la topologie de Gromov–Hausdorff mesurée.
2.2. Définitions générales
Pour généraliser la Définition 2.1, deux possibilités majeures se sont dégagées :(a) conserver la fonction H et modifier l’inégalité de convexité [EKS] ; pour cela, on
remplace l’interpolation linéaire Ψt (h0 , h1 ) = (1 − t)h0 + th1 par l’interpolation non
linéaireḣ2= Kσ,h(0) = h0 , h(1) = h1 .
N
(Le paramètre σ sera égal au carré de la vitesse de la géodésique dans P2 , c’est-à-direau carré de la distance W2 entre µ0 et µ1 .)
(14)

ΨK,N
(h0 , h1 , σ) = h(t),tḧ −(b) conserver l’inégalité de convexité et changer la fonction H [St] ; pour cela on inclura dans la fonctionnelle une notion de dimension, à travers le choix de la non-linéarité,et une notion de courbure, par l’usage de « coefficients de distortion » βt (x, y) ≥ 0 qui
comparent l’évolution du volume infinitésimal, au cours du trajet de x à y, à cellequi a lieu dans l’espace euclidien. Si U est une fonction convexe vérifiant U (0) = 0,
π ∈ P (X × X ) et µ ∈ P (X ), on définit donc


Z
ρ(x)
β
(15) Uπ,ν (µ) = U
β(x, y) π(dy|x) ν(dx)+ U 0 (∞) µs [X ],µ = ρ ν +µs ,β(x, y)où µs est la partie singulière de µ par rapport à ν. Pour U , le choix qui s’impose, en
fonction de la dimension N , est UN (r) = N r(1 − r−1/N ) (noter que UN (r) → r log rquand N → ∞). Le rôle particulier des fonctions UN remonte à la thèse de McCann[McC1] : il y était démontré qu’elles correspondent à la non-linéarité limite compatible
avec une évolution convexe le long du transport optimal dans EN . Pour ce qui est descoefficients β, on a deux choix naturels :- soit les coefficients de distortion de l’espace de référence : par exemple, pour K > 0
et N < ∞, ce sera
r

N −1
sin(tα)KK,N(16)
βt (x, y) =,α=d(x, y);t sin αN −1
- soit les coefficients de distortion estimés à partir de l’inégalité (6) :
r

N
∗ K,N
sin(tα)K,
α=d(x, y).
(17)β t (x, y) =t sin αN∗

Les coefficients β sont sous-optimaux, mais ont le bon goût d’être associés à l’équation
différentielle linéaire (7). Plus précisément, dire que (7) est vérifié le long d’une géodésique γ de vitesse constante est équivalent à dire que pour toute sous-géodésique γe (c’està-dire la reparamétrisation par [0, 1] de la restriction de γ à un intervalle [t0 , t1 ] ⊂ [0, 1]),

1127–15

quitte à reparamétrer également J |[t0 ,t1 ] par [0, 1] on a∀t ∈ [0, 1],

J (t)

1
N

 K,N
 N1
 K,N
 N1
∗
∗
≥ (1 − t) β 1−t (eγ0 , γe1 ) J (0)+ t β t (eγ0 , γe1 ) J (1) .

(Voir [Vi1, Théorème 14.28] pour une preuve dans un contexte lisse ; le cas généralpeut se traiter par régularisation.) Dans la définition suivante on notera π̌ = S# π, avec
S(x, y) = (y, x) (échange des variables) ; et on se limitera au cas délicat N < ∞.
Définition 2.6. — Soient N ∈ [1, ∞[ et K ∈ R. On dit qu’un espace géodésiquemesuré compact (X , d, ν) vérifie la propriété CD(K, N ) (resp. CD∗ (K, N ), CDe (K, N ))si pour tous µ0 , µ1 ∈ P (X ) il existe une géodésique (µt )0≤t≤1 dans P2 (X ), et un transport
optimal π associé, tels que pour tout t ∈ [0, 1],
β K,N

β K,N

1−t
t
(µ0 ) + t UN,π,ν(µ1 );• pour CD(K, N ) : UN (µt ) ≤ (1 − t) UN,π̌,ν
∗ K,N

β

∗ K,N

β

1−t
t
• pour CD∗ (K, N ) : UN (µt ) ≤ (1 − t) UN,π̌,ν
(µ0 ) + t UN,π,ν(µ1 );

• pour CDe (K, N ) : Hν (µt ) ≤ ΨK,NHν (µ0 ), Hν (µ1 ); W2 (µ0 , µ1 )2 .
t
Si l’inégalité a lieu pour toute géodésique (µt ), on dit que l’espace vérifie la propriétéCD(K, N ) (resp. CD∗ (K, N ), CDe (K, N )) forte. En particulier, la propriété CDe (K, N )forte implique que h(t) := Hν (µt ) vérifie l’inégalité différentielle(ḣ)2ḧ(t) −
≥ K|µ̇t |2 = K W2 (µ0 , µ1 )2 .
N
On introduit les versions locales CDloc de ces inégalités comme dans la Définition 2.1.
Proposition 2.7 (Compatibilité avec le cadre lisse, [BS, DS, EKS, LV, St, Vi1])
Les trois notions CD(K, N ), CD∗ (K, N ) et CDe (K, N ) coïncident avec la propriété
classique CD(K, N ) si (X , d, ν) est une variété riemannienne compacte munie d’une
mesure de référence lisse. En outre, elles sont toutes trois stables par convergence deGromov–Hausdorff mesurée.
Remarque 2.8. — On voit bien sur la formulation CDe (K, N ) que le transport optimal
fournit un moyen d’écrire, en termes métriques et sous une forme intégrée, l’inégalité
fondamentale (6) qui sous-tend, implicitement ou explicitement, toute la théorie de la
courbure de Ricci.
Remarque 2.9. — À ce niveau de généralité les trois définitions sont acceptables, et ont
leurs avantages et leurs inconvénients. La propriété CD(K, N ) implique CD∗ (K, N ) ;∗ K,Nmais l’usage des coefficients sous-optimaux β
reste légitime, comme le prouve laProposition 2.7. En fait, il y a pour les variétés riemanniennes une frappante propriétéd’auto-amélioration des coefficients de distortion : en dimension N , si les coefficients de∗ K,Ndistortion sont minorés par β, alors ils sont automatiquement minorés par β K,N .

1127–16

Remarque 2.10. — On peut espérer que les trois propriétés sont équivalentes sous deshypothèses minimales de régularité, telles que le non-branchement des géodésiques ; desrésultats partiels en la matière ont déjà été obtenus [DS, EKS] et le résultat complet
vient tout juste d’être annoncé par Cavalletti & Milman [CaMi], sans toutefois que la
preuve ait pu encore être validée.
Pour conclure cette section, notons que nombre de propriétés découlant classiquement
des bornes de courbure-dimension s’adaptent au cadre de la Définition 2.6 : inégalitésde Bishop–Gromov, Brunn–Minkowski, Sobolev, Sobolev logarithmique, Poincaré L2 ,Talagrand, etc. [LV, St, Vi1]. Cela tient à ce que toutes ces propriétés peuvent sereformuler, directement ou indirectement, en termes de transport optimal.
2.3. Compatibilité avec la théorie de Cartan–Alexandrov–Toponogov
La théorie de Cartan–Alexandrov–Toponogov (CAT) est utilisée au moins depuis lesannées 80 pour encoder des bornes sectionnelles supérieures ou inférieures, à partir derelations géométriques faisant intervenir des distances ou des angles. Par exemple, ondira qu’un espace est de courbure positive au sens CAT si, étant donné un triangle
géodésique ABC, la longueur de la médiane issue de A est au moins égale à la longueurde la médiane issue de A0 dans un triangle isométrique A0 B0 C0 tracé dans le plan. Un
critère équivalent consiste à imposer que la somme des angles d’un triangle géodésique
soit toujours supérieure ou égale à π. Par comparaison avec des sphères ou des espaces
hyperboliques, on peut définir des notions de courbure minorée par κ ou majorée parκ, pour tout κ ∈ R ; il existe une vaste littérature sur ce sujet qui est très bien présentépar Burago, Burago & Ivanov [BBI]. On note que les propriétés des espaces à courbureminorée (souvent appelés espaces d’Alexandrov) sont très différentes des propriétés desespaces à courbure majorée.
Dans un cadre lisse, la notion de courbure minorée au sens CAT est identique à cellede courbure sectionnelle minorée ; et comme la courbure de Ricci est une somme de courbures sectionnelles, les espaces d’Alexandrov de dimension finie vérifient automatiquement, quand ils sont lisses, des critères de courbure-dimension. Il était donc souhaitable
que la théorie synthétique de la courbure-dimension inclue les espaces d’Alexandrov.
C’est ce qu’a démontré Petrunin :Théorème 2.11 ([Pe]). — Si (X , d) est un espace d’Alexandrov compact à courbureminorée par κ ∈ R et à dimension de Hausdorff égale à n, alors (X , d, Hn ) est un espace
fortement CDe ((n − 1)κ, n), où Hn est la mesure de Hausdorff.
En fait l’énoncé ci-dessus est démontré dans [Pe] seulement dans le cas où κ = 0,mais la preuve s’adapte aux autres situations ; en outre Zhang–Zhu [ZZ, Appendice A]
proposent une démonstration complète d’un énoncé plus précis.

1127–17

2.4. Compatibilité avec l’analyse des espaces métriques
Une autre tradition d’analyse non lisse a été développée dans le cadre des espaces
métriques mesurés, en particulier par les écoles nordique et italienne [AT]. Elle utilise
deux inégalités fondamentales :• l’inégalité de doublement de la mesure : il existe C > 0 tel que pour tout x ∈ X etpour tout r > 0,
ν[B2r (x)] ≤ C ν[Br (x)];• l’inégalité de Poincaré L1 locale : il existe C > 0 tel que pour tout x > 0 et toutr > 0, pour toute fonction f ∈ L1 (X , d, ν),
Z
Z
C
(18)
− |f − hf ix,r | dν ≤− |∇f | dν.
r
Br (x)

B2r (x)RR
Ici huix,r = −Br (x) u = ν[Br (x)]−1 Br (x) u dν et |∇f | = lim supy→x |f (y) − f (x)|/d(x, y).
(Dans le jargon du domaine, l’inégalité (18) est l’inégalité de Poincaré (1,1) faible.)
Ici encore, la compatibilité est garantie :Théorème 2.12. — Soit (X , d, ν) un espace géodésique mesuré compact vérifiant lapropriété CD(K, N ) (ou CD∗ (K, N ), ou CDe (K, N )) avec K ∈ R et N < ∞ ; alors ilvérifie aussi les inégalités de doublement et de Poincaré L1 locale.
La partie délicate dans cette preuve est l’inégalité de Poincaré, due à Rajala [Ra1].
2.5. Semigroupe de la chaleur
La courbure de Ricci est fondamentalement associée aux équations de diffusion ; parexemple, ce sont les bornes de type CD(K, N ) qui permettent des estimations ponctuelles du noyau de la chaleur sur une variété riemannienne (inégalités de Li–Yau) ou
garantissent l’existence d’un semigroupe conservatif de la chaleur dans une variété non
bornée. Cette propriété reste vraie dans les espaces métriques :Théorème 2.13 (diffusion dans les espaces métriques, [AGS2, G2, GMS])
Soit (X , d, ν) un espace géodésique mesuré compact vérifiant CD(K, N ) avec K ∈ R
et N ∈ [1, ∞]. Alors il existe un unique semigroupe de la chaleur sur P (X ), défini defaçon équivalente- en termes de mesures, comme flot gradient en métrique W2 de l’information Hν ;- ou en termes de densités,R comme flot gradient dans la norme L2 (ν) de la fonctionnelle de Cheeger Ch∗ (f ) = 21 |∇f |2 dν.
En outre, ce semigroupe est stable par convergence de Gromov–Hausdorff mesurée.
Remarque 2.14. — Dans l’énoncé ci-dessus, la fonctionnelle de Cheeger doit être définie
avec de grandes précautions, selon la construction mise au point par Cheeger [Ch] etShanmugalingam [Sh]. On renvoie à [AGS2] pour la mise en œuvre dans ce contexte.

1127–18

Remarque 2.15. — L’idée originale du Théorème 2.13 remonte à l’article de Jordan–
Kinderlehrer–Otto [JKO] qui a eu une influence considérable [Vi1, Vi2]. La premièreétude systématique de la construction des flots gradients abstraits dans l’espace desmesures remonte à Ambrosio–Gigli–Savaré [AGS1], tandis que la première adaptationde cette théorie au contexte des espaces métriques est due à Gigli–Kuwada–Ohta [GKO].
Remarque 2.16. — À ce niveau de généralité, et même si X est une variété lisse (nonriemannienne), le semigroupe de la chaleur peut être non linéaire.
2.6. Non-branchement et localité
Le succès de la propriété de courbure de Ricci minorée tient en partie à la possibilitéde passer d’inégalités locales à des inégalités globales. (Il en va de même pour les
minorations ou majorations des courbures sectionnelles, mais pas pour les majorations
de la courbure de Ricci.) Dans un cadre métrique, ce passage du local au global neva pas de soi sans hypothèses supplémentaires. Les hypothèses de non-branchement
sont les plus économiques que l’on ait trouvé : en interdisant les bifurcations, elles
permettent de mettre en correspondance les points intermédiaires avec les géodésiques
qui les atteignent.
Définition 2.17 (non-branchement). — Soit (X , d) un espace géodésique.
• Soit Γ une famille de géodésiques [0, 1] → X ; on dit que Γ est non branchant s’il
vérifie la propriété suivante : pour tous γ, γe dans Γ, si γ et γe coïncident sur un intervalle
non trivial [s0 , s1 ], alors γ
e = γ.
• On dit que (X , d) est non branchant si l’ensemble Γ(X ) de toutes les géodésiques[0, 1] → X est non branchant.
• On dit que (X , d) est essentiellement non branchant si pour toutes mesures µ0 , µ1 ∈ac
P (X , ν), tout Π ∈ P (Γ(X )), transport optimal dynamique au sens (MK2 ) joignant µ0
et µ1 , est concentré sur un ensemble non branchant de géodésiques.
Il résulte des travaux de divers auteurs [EKS, Ra1, RS, St, Vi1] :Théorème 2.18. — (i) Un espace géodésique mesuré compact (X , d, ν) vérifie lapropriété CD(K, N ) forte si et seulement si il est essentiellement non branchant etCD(K, N ) (de même avec les propriétés CD∗ (K, N ) et CDe (K, N )) ;(ii) Pour un espace essentiellement non branchant, les trois propriétés suivantes sontéquivalentes : CDe (K, N ), CD∗ (K, N ), et CDloc (K, N ) ; en outre, ces propriétés sontéquivalentes à l’une quelconque des inégalités différentielles suivantes sur la densitéd’une interpolation géodésique absolument continue dans P2 (X ) : avec la notation ρt =dµt /dν, µt = (et )# Π, pour Π-presque tout γ,




d2
1
K |γ̇t |2
1
(19)
+
≤ 0,
dt2 ρt (γt )1/N
Nρt (γt )1/N
(20)

¨ ≥
`(t) = log ρt (γt ) =⇒ `(t)`˙2 (t)+ K |γ̇t |2 .
N

1127–19(iii) Dans un espace CD∗ (K, N ) essentiellement non branchant, pour ν ⊗ ν-presquetoute paire (x, y), il existe une unique géodésique joignant x à y.
Remarque 2.19. — La propriété (ii) montre que les propriétés CD∗ et CDe se globalisentsous une hypothèse de non-branchement essentiel : il est équivalent de les imposer
localement ou globalement. En revanche, sans hypothèse de non-branchement, cettepropriété de globalisation peut être en défaut [Ra2].
Remarque 2.20. — Les inégalités (19) et (20) peuvent être comprises au sens des distributions (les dérivées d’ordre 1 sont continues), ou bien exprimées par comparaison
avec des solutions explicites (Cf. [Vi1, Théorème 14.11]).
Remarque 2.21. — Cette propriété entraîne deux questions naturelles : (a) la version locale CDloc (K, N ) de CD(K, N ) se globalise-t-elle sous une hypothèse denon-branchement ? (b) peut-on trouver des critères stables par topologie de Gromov–
Hausdorff qui garantissent la propriété de non-branchement essentielle (dont on sait
qu’elle n’est pas stable) ? Pour le (a), une réponse positive vient d’être annoncée par
Cavalletti–Milman, dans un mémoire long et dense [CaMi] ; pour le (b), le principal
critère est celui que l’on verra maintenant.
2.7. Propriété riemannienne
La théorie de la courbure-dimension dans les espaces géodésiques mesurés est suffisamment large pour englober trois grandes catégories de géométries non euclidiennes
non lisses : les espaces d’Alexandrov [BBI, BGP], les limites de variétés riemanniennes[ChCo2] et les espaces de Finsler [Oh1, Oh3]. Elle couvre aussi de nombreux exemples
construits par produit tordu [K1]. Cette généralité peut être vue comme un avantage,
car elle propose une unification d’estimations variées, ou comme un inconvénient, carelle rend plus difficiles les théorèmes de rigidité ou de structure.
À cet égard, l’observation suivante apparaissait à la fois simple et dérangeante [Vi1,Conclusion] : tout espace normé (RN , k · k), muni de la mesure de Lebesgue λN , est
CD(0, N ). En corollaire, on n’a pas en général de théorème de décomposition en courbure positive (splitting theorem) : ce théorème, d’usage crucial dans la constructiond’espaces tangents en géométrie non lisse, énonce qu’un espace X vérifiant CD(0, N )et contenant une ligne géodésique infinie (minimisante pour tous temps) se factorise en
un produit riemannien R × X 0 , avec X 0 vérifiant CD(0, N − 1).
Les travaux de Gigli [G2], adaptant en dimension finie les notions introduites par
Ambrosio–Gigli–Savaré [AGS3], ont permis de répondre à cette question : ils ont identifié, au sein des espaces métriques CD(K, N ), une sous-classe qui (a) vérifie le théorèmede décomposition, (b) vérifie aussi la propriété de non-branchement essentiel, (c) est
toujours stable par topologie de Gromov–Hausdorff. Faut-il se placer ou pas dans cettesous-classe, cela dépend du problème considéré.

1127–20

Définition 2.22 (Propriété CD(K, N ) riemannienne, [AGS3, G2])
Un espace géodésique mesuré (X , d, ν) de classe CD(K, N ) (resp. CD∗ (K, N ),CDe (K, N )) est dit RCD(K, N ) (resp. RCD∗ (K, N ), RCDe (K, N )) si la fonctionnelle
de Cheeger dans X est quadratique, ou de façon équivalente si le semigroupe de lachaleur est linéaire.
Remarque 2.23. — Une formulation équivalente consiste à dire que l’espace de Sobolev
W 1,2 (X , d, ν) (fonctions dans L2 (ν) de « gradient » dans L2 (ν)) est un espace de Hilbert.
R
Remarque 2.24. — La nature quadratique de la fonctionnelle Ch∗ (f ) = (1/2) |∇f |2 dν
est bien sûr une formulation faible, intégrée, de la propriété riemannienne selon laquellela métrique définit une forme quadratique sur les champs de vecteurs tangents. Cette
définition peut donc sembler très naturelle, mais il ne faut pas s’y méprendre : seule,elle serait de peu d’intérêt car elle est instable pour la topologie de Gromov–Hausdorff.
C’est seulement combinée au critère CD(K, N ) qu’elle devient stable. Voici une analogie commode : la convergence ponctuelle des fonctions continues n’implique pas laconvergence des gradients, sauf si l’on se restreint par exemple à la classe des fonctions
convexes.
En combinant la Définition 2.22, le Théorème 2.13, les résultats de non-branchement
essentiel de [RS], et l’étude de l’inégalité de Bochner non lisse [AGS3, AGS4, AMS1,
AMS2, EKS, GKO], on obtient leThéorème 2.25 ([AGS3, G5, LV, RS, St]). — (i) Les propriétés RCD(K, N ),RCD∗ (K, N ) et RCDe (K, N ) sont stables par convergence de Gromov–Hausdorff
mesurée ;(ii) La propriété RCD∗ (K, N ) est équivalente à une inégalité de Bochner ; si elle est
vraie localement, elle reste vraie globalement ;(iii) Ces propriétés impliquent la propriété de non-branchement essentiel ;(iv) Les conditions RCD∗ (K, N ), RCDe (K, N ) et RCDloc (K, N ) sont équivalentes.
Si les résultats de [CaMi] sont confirmés, les trois conditions RCD∗ , RCDe et RCD
sont finalement équivalentes. Quoi qu’il en soit, je parlerai dans la suite de la classe
RCD∗ (K, N ) ; comme on l’a déjà dit, elle contient toutes les limites de suites de variétésriemanniennes vérifiant une condition de courbure-dimension uniforme.
Les espaces RCD∗ (K, N ) vérifient nombre de propriétés. Tout d’abord, on peut démontrer dans ce contexte trois grands théorèmes de rigidité en courbure positive :• théorème de décomposition [G2, G4] : en présence d’une géodésique infinie, un
espace de courbure positive s’écrit comme le produit métrique de R par un autre espace ;• théorème de diamètre maximal [K2] : en courbure strictement positive, si le diamètrede l’espace est égal au diamètre maximal autorisé par Bonnet–Myers, alors l’espace est
une suspension sphérique ;1127–21• théorème du cône volumique [DPG] : si autour d’un point donné le volume desboules augmente aussi vite que ce qui est autorisé par le théorème de Bishop–Gromov,
alors l’espace est un cône métrique.
Tous ces théorèmes avaient d’abord été établis par Cheeger–Colding [ChCo1] dansle cadre a priori plus restreint des limites de variétés riemanniennes. Les espaces
RCD∗ (K, N ) vérifient en outre :• la propriété de cône [K2] : X est RCD∗ (N −1, N ) si et seulement si le cône métrique
sur X est RCD∗ (0, N + 1) (penser à la sphère SN dont le cône est l’espace euclidien
EN +1 ) ;• la possibilité de définir un opérateur laplacien et un calcul différentiel d’ordre 2[G6], de manipuler l’inégalité de Bochner [EKS] et de mettre en œuvre un calcul de
Bakry–Émery [AMS1, Sav] ;• l’existence d’une notion d’exponentielle [GRS] ;• des estimations ponctuelles du semi-groupe de la chaleur, à la Li–Yau [GaMo] ;• des théorèmes de rectifiabilité, incluant l’existence de cartes où la mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue [KM, MN, GP] ;• des théorèmes topologiques concernant la structure du revêtement universel et dugroupe fondamental [MW].

3. LE DILEMME DE LA DIMENSION EN TROP
Une difficulté imprègne la théorie de la courbure-dimension en dimension N < ∞ : lacourbure ne se ressent que dans les directions transversales au déplacement géodésique,soit N − 1 directions au lieu de N ; mais cela est invisible sur les inégalités jacobiennes
naturelles comme (6) ou de façon équivalente sur la formule de Bochner (5). Pour établir
des résultats optimaux, il faut trouver un moyen de « retrancher » cette dimension entrop, ce qui requiert une gymnastique bien connue des experts.
À titre d’exemple, considérons l’estimation de diamètre en courbure positive : si
K > 0,
pl’inégalité (6), appliquée à une géodésique unitaire (|γ̇| = 1), permet de majorer
par π N/K la longueur de l’intervalle d’existence de ` : on en déduitrN
diam(X ) ≤ π.
KMais la borne optimale (théorème de Bonnet–Myers) est en faitr
N −1
diam(X ) ≤ π...!
KPour l’obtenir, on peut évaluer la contribution « transversale » du déterminant jacobien,
en extrayant la sous-matrice jacobienne (N − 1) × (N − 1) qui correspond aux directions
orthogonales à la vitesse (calcul bien connu rappelé dans [Vi1, Chapitre 14]) : en notant

1127–22

J ⊥ le déterminant de cette sous-matrice, et `⊥ = − log J ⊥ , on trouve (toujours pourune géodésique unitaire)(`˙⊥ )2
(21)
`¨⊥ ≥
+ K,
N −1
et la borne optimale s’ensuit.
Dans la preuve de la Section 1, ce passage aux constantes optimales s’est fait à
travers la preuve du Lemme 1.9 : si l’on a pu obtenir l’inégalité (10), avec le paramètren − 1 plutôt que n, c’est parce que l’on s’est intéressé au déterminant jacobien d’uneapplication définie sur une hypersurface (minimale) transverse au déplacement.
Ce besoin de regagner la direction du déplacement se retrouve dans tous les problèmesde constantes optimales en dimension finie. En particulier, les constantes optimales
demandent le gain d’un facteur (N − 1)/N dans des inégalités fonctionnelles telles
que Poincaré L2 , Sobolev L2 , Sobolev logarithmique, Talagrand, etc. Pour l’inégalité
Poincaré L2 optimale (théorème de Lichnérowicz), ce gain était mené à bien dans un
cadre non lisse par [LV2], mais les autres inégalités restaient inaccessibles.
Pour contourner ce problème, on pourrait être tenté d’exploiter au maximum la définition CD(K, N ) basée sur les coefficients optimaux βtK,N ; par exemple, cette définition
implique facilement la borne optimale de Bonnet–Myers. Mais les difficultés sont majeures, car la propriété CD(K, N ) se prête très mal aux raisonnements locaux, et dès
que l’on passe à la version différentielle des inégalités portant sur l’interpolation (MK2 ),on se heurte au même problème qu’auparavant.
La solution de ce dilemme fera intervenir la structure géométrique du transport optimal ; la prochaine section y sera consacrée.

4. GÉOMÉTRIE DU TRANSPORT OPTIMAL
4.1. Généralités
Soit (X , d) un espace métrique compact. Pour p ∈ [1, ∞[ on considère le problème
variationnel de Monge–Kantorovich
Z(22)(MKp )
infd(x0 , x1 )p π(dx0 dx1 ) =: Cp (µ0 , µ1 ).
π∈Π(µ0 ,µ1 )p

On note c = d le coût de transport. L’objet de cette section est la structure des minimiseurs, en particulier pour p = 1 et p = 2. Les trois notions essentielles sont la dualité deKantorovich, les fonctions c-convexes et les ensembles c-cycliquement monotones [Vi1,Chapitre 5].

1127–23

Théorème 4.1 (dualité de Kantorovich). — Avec les notations précédentes,(i) Le problème de minimisation de Monge–Kantorovich équivaut à un problème dual
de maximisation :ZZcCp (µ0 , µ1 ) = supψ dµ1 − ψ dµ0 ; ψ c-convexe ,où la paire (ψ, ψ c ) de fonctions X → R dans le membre de droite vérifieih∀y ∈ X ,ψ c (y) = inf ψ(x) + d(x, y)p ;x∈X∀x ∈ X ,hiψ(x) = sup ψ c (y) − d(x, y)py∈X(la première condition est la définition de la c-transformée, la seconde est la propriété
caractérisant les fonctions c-convexes). Pour le problème original comme pour son dual,
l’optimum est atteint.
(ii) Si ψ est optimal dans le problème dual de maximisation, alors π est optimal dansle problème de minimisation si et seulement si il est supporté par le c-sous-différentiel∂c ψ de ψ,∂c ψ = (x, y) ∈ X × X ; ψ c (y) − ψ(x) = d(x, y)p .

(iii) π est optimal dans le problème de minimisation si et seulement si son support
S est c-cycliquement monotone :X
X∀N ∈ N,∀(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xN , yN ) ∈ S,d(xi , yi )p ≤d(xi , yi+1 )p ,iiavec la convention yN +1 = y1 .
Remarque 4.2. — Le lien entre les propriétés (ii) et (iii) se fait par le théorème deRockafellar–Rüschendorf : un ensemble est c-cycliquement monotone si et seulement si
il est inclus dans le c-sous-différentiel d’une fonction c-convexe.
Pour les preuves, on pourra se reporter à [Vi1, Chapitre 5]. Jusqu’ici, aucune hypothèse géométrique n’est nécessaire ; mais des conditions de courbure et de nonbranchement permettront d’en dire plus sur la structure du transport. On note qu’il n’ya pas de cercle vicieux : pour développer la théorie de la courbure-dimension il suffit
d’avoir des informations générales sur le transport optimal, et ce n’est qu’ensuite quel’on déduit de la courbure-dimension des informations plus précises sur le transport.

1127–24

4.2. Le cas p = 2
La structure du transport optimal avec coût quadratique a été explorée dans lesannées 80 par Brenier, Rachev, Rüschendorf dans En , avant d’être adaptée au cadreriemannien par McCann [McC1]. Le résultat principal énonce que si µ0 est absolument
continue (ou plus généralement ne charge pas les ensembles de dimension n − 1) alors
le transport optimal est concentré sur le graphe d’une application de transport T (desorte que T# µ0 = µ1 ), caractérisée par l’identité T = exp(∇ψ), où ψ est c-convexe. Cethéorème et ses variantes sont discutés dans [Vi1, Chapitres 9-10].
Il est apparu bien plus récemment que ces résultats peuvent largement se généraliser
dans les espaces CD∗ (K, N ) essentiellement non branchants [G3, GRS, RS].
Théorème 4.3 (Gigli, Rajala, Sturm). — Soit (X , d, ν) un espace CD∗ (K, N ) compact
essentiellement non branchant ; soient µ0 ∈ P ac (X ) et µ1 ∈ P (X ). Soit en outre ψ une
application optimale dans le problème dual de maximisation. Alors il existe un uniquetransport optimal au sens de (MK2 ) ; il est concentré sur le graphe d’une application T ,caractérisée par la condition
T (x) ∈ ∂c ψ(x),pour µ0 -presque tout x ∈ X .

Remarque 4.4. — Même si l’hypothèse de non-branchement essentiel concerne des mesures µ0 et µ1 qui sont toutes deux absolument continues, le Théorème 4.3 nécessite
seulement l’absolue continuité de µ0 .
Preuve du théorème 4.3 (esquisse grossière) — Pour prouver l’unicité, il suffitde démontrer que π est concentrée sur un graphe ; en effet, cela acquis, si l’on a deux
minimiseurs π1 et π2 , l’un concentré sur le graphe de T1 et l’autre sur le graphe deT2 , on pourra construire un autre minimiseur, π = (π1 + π2 )/2, qui ne sera pas porté
par un graphe mais par une application multivaluée. La question cruciale est donc deprouver que presque tout point x0 est transporté vers un unique point x1 = T (x0 ) ; parle Théorème 4.1 cette image est nécessairement dans ∂c ψ(x0 ).
clé est la suivante : si ρ est une densité de probabilité, alors
RL’estimation
1−1/N
− ρ
dν ≥ −ν[{ρ > 0}]1/N (appliquer l’inégalité de Jensen à la mesure deprobabilité ν restreinte à S = {ρ > 0}, à la fonction intégrable ρ et à la fonction
convexe −r1−1/N ). En combinant cela à la Définition 2.6, on montre que le long d’uneinterpolation (ρt ν) dans P2 (X ), si ρ0 est proportionnelle à une fonction indicatrice,
alors




ν {ρ0 > 0} ≤ lim inf ν {ρt > 0} .
t↓0Dans une situation typique de transport π multivalué, on trouvera un ensemble B
de mesure strictement positive tel que pour chaque x ∈ B, il existera y 1 et y 2 distincts
tels que (x, y 1 ) et (x, y 2 ) appartiennent au support de π. On peut ainsi définir dessous-transports, disons π 1 et π 2 , étrangers au sens de la théorie de la mesure, tels que(π 1 + π 2 )/2 ≤ π, et tous deux ont pour première marginale la restriction de ν à B.
Les interpolations correspondantes sont deux chemins (ρ1t ν)0≤t≤1 et (ρ2t ν)0≤t≤1 tels que1127–25

ρ10 = ρ20 est la fonction indicatrice de B. Pour t > 0 petit, les ensembles {ρ1t > 0} et{ρ2t > 0} sont proches de B, et leur mesure n’est pas moindre, ou à peine ; il s’ensuit
que ces deux ensembles s’intersectent sur une partie de mesure positive.
On construit alors un nouveau plan de transport en échangeant les géodésiques de π 1
et celles de π 2 en un temps t où elles se rencontrent. On vérifie que le nouveau transport
est toujours optimal, ce qui impose qu’il est porté par des géodésiques ; autrement dit,si l’on suit une géodésique du premier plan de transport, jusqu’au temps t, et que l’onbifurque ensuite en suivant une géodésique du second plan de transport, on a toujours
une géodésique... On en déduit finalement que (π 1 + π 2 )/2, et donc π, est porté demanière significative par des géodésiques branchantes, ce qui contredit l’hypothèse denon-branchement essentiel.
La mise au point de cette preuve heuristique s’avère élémentaire mais fastidieuse, utilisant tous les outils de la théorie de la mesure abstraite (régularité, sélection mesurable,
désintégration de la mesure...).
4.3. Le cas p = 1
Le cas p = 1 revêt une structure particulière, qui se manifeste déjà dans la caractérisation simple de la c-convexité quand c(x, y) = d(x, y) :Proposition 4.5. — Si (X , d) est un espace métrique, alors les fonctions d-convexessont les fonctions 1-lipschitziennes, et elles vérifient ϕd = ϕ.
La géométrie du transport optimal est également très spéciale pour p = 1. Mongelui-même, travaillant dans l’espace euclidien, avait noté une propriété fondamentale
associée à ce coût de transport [Mo] : les lignes de transport ne peuvent se croiser en leurintérieur. En effet, si π est un optimum dans (MK1 ), et (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) appartiennent
au support de π, alors |x1 − y1 | + |x2 − y2 | ≤ |x1 − y2 | + |x2 − y1 | ; mais supposant queles segments [x1 , y1 ] et [x2 , y2 ] se croisent en un point intérieur X, on aurait |x1 − y2 | +|x2 − y1 | ≤ |x1 − X| + |X − y2 | + |x2 − X| + |X − y1 | = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | ; cela imposeégalité dans toutes les inégalités, et il s’ensuit facilement que x1 , x2 , y1 , y2 sont alignés.
x1
y2
X
x2
y1

Figure 4. Comme l’a noté Monge, les rayons de transport (MK1 ) dans l’espace euclidien ne peuvent se croiser — sinon on trouverait un transport plus
efficace.

La description des minimiseurs de (MK1 ) dans Rn a fait l’objet de nombreux travaux à
partir de la fin des années 90 ; on trouvera un survol, ainsi que des résultats s’appliquant1127–26

à toute norme de Rn , dans [ChDP]. À partir des années 2000, des résultats de structureétaient obtenus sur des variétés riemanniennes [FMcC], puis sur des espaces géodésiques[BC] ; enfin Cavalletti [C1] obtenait récemment des résultats précis pour des espaces
satisfaisant des conditions de courbure-dimension et de non-branchement. Avant de lesénoncer, je vais en expliquer informellement les éléments principaux.
On commence par résoudre le problème dual, ce qui fournit une fonction optimale ϕ ;par le Théorème 4.1 ses variations contraignent la géométrie d’un transport optimal.
On définit ensuite R comme l’ensemble de toutes les paires de points que les valeursde ϕ autorisent à être mis en relation par transport optimal. C’est un ensemble assez
grand, qui contient en particulier la diagonale {(x, x)} (correspondant à l’option de nepas bouger de la position x). Puis on introduit TE , l’ensemble de tous les points x qui
apparaissent dans R en association avec au moins un y 6= x ; c’est-à-dire ceux qui ont lapossibilité d’effectuer un déplacement strict. Sur TE , la relation R, bien que symétrique,n’est pas une relation d’équivalence : chaque fois que l’on a (x, y) ∈ R et (x, z) ∈ R, avec(y, z) ∈/ R, cela correspond à l’existence d’un branchement au sein de TE , c’est-à-dire au
croisement de deux géodésiques (soit en un point extrémal, soit en un point intérieur).
On peut cependant éliminer tous ces branchements en retirant de TE un ensemble demesure nulle bien choisi ; l’ensemble T ainsi obtenu est partitionné par des courbes
géodésiques, et les rayons de transport qui passent par T ne peuvent se rencontrer
qu’en leurs extrémités. Le théorème qui suit formalise tout cela rigoureusement.
Théorème 4.6 (Cavalletti). — Soit (X , d, ν) un espace géodésique compact mesuré,
vérifiant CD∗ (K, N ), N < ∞, essentiellement non branchant. Soient µ0 ∈ P ac (X ) etµ1 ∈ P (X ). Soit en outre ϕ solution du problème de maximisation duale de Kantorovich(MK1 ). Alors(i) ϕ est 1-lipschitzien, et tout transport optimal est concentré sur l’ensemble dconvexe
Γ := (x, y) ∈ X × X ; ϕ(y) − ϕ(x) = d(x, y) .
(ii) À partir de Γ, on définit :• R, l’ensemble des rayons de transport, comme l’ensemble de tous les couples de laforme (x, y) ou (y, x), pour (x, y) ∈ Γ ;• TE , l’ensemble de transport avec extrémités, comme l’ensemble de tous les x ∈ Xtels que (x, y) ∈ R pour un y 6= x ; TE est une union d’images de géodésiques ;• E, l’ensemble des extrémités, comme l’ensemble de tous les x ∈ TE tels que ∀y 6= x,(y, x) ∈/ Γ (extrémités initiales) ou ∀y 6= x, (x, y) ∈/ Γ (extrémités finales) ;On peut alors définir un ensemble mesurable T ⊂ TE , dit ensemble de transport sansbranchement, tel que ν[TE \ T ] = 0, avec la propriété suivante : pour tout x ∈ T ,soit l’ensemble R(x) ⊂ X des y tels que (x, y) ∈ R ; c’est une géodésique, dite ligne detransport passant par x ; et pour tous x, y, on a soit R(x) = R(y), soit R(x)∩R(y) ⊂ E.
(iii) Il existe un transport optimal porté par le graphe d’une application mesurable
T , et tel que T (x) ∈ R(x) pour µ0 -presque tout x ∈ X ; en outre ϕ est une application
linéairement croissante le long de la géodésique R(x).

1127–27

T
µ1

µ0

R(x)

R(x0 )

EA− ∩ E

E
A+
Figure 5. Transport (MK1 ) : Quitte à éliminer des ensembles négligeables, lesrayons R partitionnent l’ensemble de transport T . On a représenté ici quelques
exemples de rayons R(x), de points extrémaux (E) et de points de branchement(A+ branchement vers le futur, A− vers le passé).

Remarque 4.7. — Le point (ii) est en fait un résultat général sur la structure des ensembles d-cycliquement monotones dans (X , d, ν). Ce point, comme l’ensemble du théorème, est démontré dans [C1], à un détail près : l’ensemble T qui y est construit autorise
R(x) ∩ R(y) à comprendre des points de branchement intérieurs. La construction plus
précise de [CaMi] écarte cette dernière possibilité.
Remarque 4.8. — Il y a, en fonction de l’exposant p, une différence considérable dansla géométrie des ensembles c-convexes : un ensemble d2 -convexe est plus ou moins ungraphe, tandis qu’un ensemble d-convexe se présente plutôt comme une fibration. En
conséquence, une différence majeure entre le cas p = 2 et le cas p = 1 est que dans cedernier, la solution ϕ du problème dual ne détermine pas le transport optimal, mais
seulement sa direction (en d’autres termes, les rayons). Une même fonction optimale
ϕ peut donc être associée à différents plans de transport, selon les choix de µ0 et µ1 .
Cette « dégénérescence » est une difficulté pour la théorie ; d’un autre côté, elle est
exploitée adroitement dans [C1, CaMo1] par la construction de « mesures auxiliaires »pour lesquelles le transport optimal reste associé à ϕ.
Pour exploiter les hypothèses du Théorème 4.6, on se heurte tout de suite à une
difficulté : la propriété de courbure-dimension et celle de non-branchement essentiel

1127–28

font référence au transport (MK2 ), donc aux ensembles d2 -cycliquement monotones,
alors que l’ensemble Γ est d-cycliquement monotone. Le passage d’une notion à l’autre
se fait à l’aide du lemme suivant, aussi simple que crucial :Lemme 4.9. — Si Γ est inclus dans le d-sous-différentiel d’une fonction 1-lipschitzienne
ϕ et tel que(23)∀(x, y), (x0 , y 0 ) ∈ Γ,ϕ(y) − ϕ(y 0 ) ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ 0,
alors Γ est d2 -cycliquement monotone.
Ce lemme permettra en diverses occasions d’identifier, dans un transport optimalpour (MK1 ), un sous-transport optimal pour (MK2 ).
Preuve — L’hypothèse (23) exprime la d2 -monotonie cyclique de l’ensemble{(ϕ(x), ϕ(y)), (x, y) ∈ Γ} ⊂ R2 : en effet, pour tout N ∈ N et tous (x1 , y1 ), . . . , (xN , yN )dans Γ,
X
X
2 X
2

ϕ(yi+1 ) − ϕ(xi ) −ϕ(yi ) − ϕ(xi ) = 2
ϕ(xi ) ϕ(yi ) − ϕ(yi+1 )
i

i

i

=

X



ϕ(xi ) − ϕ(xi+1 ) ϕ(yi ) − ϕ(yi+1 ) ≥ 0.

i

En conséquence, avec les mêmes notations, et en utilisant la propriété de d-sousdifférentiel,
X
X
2 X
2 X
d(xi , yi )2 =ϕ(yi ) − ϕ(xi ) ≤ϕ(yi+1 ) − ϕ(xi ) ≤d(xi , yi+1 )2 ,
i

i

i

i

2

ce qui est la propriété de d -monotonie cyclique.
Le Théorème 4.6 repose encore sur tout l’arsenal de la théorie de la mesure. La stratégie globale est de décomposer le transport selon des rayons essentiellement disjoints,
se ramenant ainsi à un problème en dimension 1 le long de chacun de ces rayons. En
effet, la solution du transport optimal en dimension 1 est bien connue :Lemme 4.10. — Soient µ0 et µ1 deux mesures de probabilité sur R ; on suppose que µ0
n’a pas d’atome. Alors l’application croissante T : R → R définie parno
T (x) = inf z; µ0 [{t ≤ x}] < µ1 [{s ≤ z}]
réaliseR un transport optimal de µ0 vers µ1 , au sens de Monge, c’est-à-dire que T# µ0 = µ1
et d(x, T (x)) µ0 (dx) = C1 (µ0 , µ1 ).
Cette approche par décomposition avait été initiée par Sudakov [Su], qui n’avait
cependant pas pu mener le raisonnement à bien du fait de la subtilité de l’opération dedésintégration.
Preuve du Théorème 4.6 (esquisse grossière) — Le point (i) est obtenu simplement en combinant le Théorème 4.1 et la Proposition 4.5. La clé est maintenantl’étude de l’ensemble Γ. Dans cette esquisse on raisonne informellement, étant entendu

1127–29

qu’une démonstration rigoureuse demande du soin dans le maniement de la sélection
mesurable et de la désintégration.
Soit (x, y) ∈ Γ, et γ : [t0 , t1 ] → X une géodésique joignant x à y, alors pour toutt ∈ [t0 , t1 ] on a (x, γ(t)), (γ(t), y) ∈ Γ ; en effetd(x, y) = ϕ(y) − ϕ(x) ≤ |ϕ(y) − ϕ(γ(t))| + |ϕ(γ(t)) − ϕ(x)|≤ d(γ(t), y) + d(x, γ(t)) = d(x, y),ce qui impose l’égalité partout, et donc, par exemple, ϕ(γ(t)) − ϕ(x) = d(x, γ(t)).
Donc R est fait d’une union de géodésiques ; en retirant la diagonale, on élimine lesgéodésiques de longueur nulle, et TE est ainsi une union de géodésiques de longueur nonnulle. On vérifie par ailleurs la mesurabilité de R, TE et E.
Soit maintenant A+ l’ensemble des points de TE qui mènent à un branchement vers
le futur (les x tels que (x, z) ∈ Γ et (x, w) ∈ Γ avec z, x, w distincts) ; et similairement
A− l’ensemble de ceux qui mènent à un branchement vers le passé. Le problème est demontrer que ν[A± ] = 0.
Raisonnons par l’absurde : si ν[A+ ] > 0, on peut sélectionner un sous-ensemble
B de A+ de mesure positive, tel que de chaque x ∈ B sont issues deux géodésiques
distinctes, disons γ 1,x et γ 2,x , qui interviennent dans TE . Quitte à restreindre encore,et à interrompre ces géodésiques à un instant adéquat (après branchement), on peut
supposer que leurs points extrémaux, disons θ1 (x) et θ2 (x), sont situés dans une ligne deniveau commune de ϕ. Notons C 1 = θ1 (B), C 2 = θ2 (B) : on a donc par construction untransport branché issu de B et aboutissant en C 1 ∪ C 2 . Soient alors µ00 = νB la mesure
2 0
1 0
µ0 ).
µ0 + θ#de probabilité portée par B, de densité uniforme 1/ν[B] ; et µ01 = (1/2)(θ#0
On a ainsi construit un transport branché de la mesure absolument continue µ0 vers lamesure (peut-être singulière) µ01 ; et toujours par construction, ce transport est associéà un ensemble d-monotone Γ0 ⊂ Γ, inclus dans le sous-différentiel de ϕ. Or ϕ est
constante sur le support de µ01 , le critère du Lemme 4.9 est donc évidemment satisfait(ϕ(y 0 ) − ϕ(y) = 0 dans l’énoncé) ; il s’ensuit que le transport est optimal au sens (MK2 ).
Mais cela vient contredire le Théorème 4.3.
On en déduit que ν[A+ ] = 0, et de même ν[A− ] = 0 ; on définit alors T en retirant A±
de TE . Une fois éliminés les points de branchement, on montre facilement (en utilisantencore une fois T ⊂ ∂d ϕ) que R définit une relation d’équivalence sur T , et que chaqueclasse d’équivalence [x] constitue l’image d’une géodésique, éventuellement définie sur
un intervalle ouvert ou semi-ouvert. Quitte à ajouter un ou deux points extrémaux, on
obtient ainsi le rayon R(x) ; cela achève la preuve de (ii).
On choisit ensuite une section mesurable S de la relation d’équivalence R sur T ,de sorte que T est l’union des [x], x ∈ S ; on paramètre la géodésique R(x) de façon
unitaire, dans le sens croissant de ϕ, en choisissant x comme origine : ainsi elle est
définie sur un intervalle [a(x), b(x)] contenant 0. Soit g(x, t) l’application ainsi définie :à x ∈ S et t ∈ [a(x), b(x)] elle associe le point de R(x) dont la distance signée parrapport à x est égale à t.

1127–30

Puis on désintègre ν, restreinte à T , par rapport à la relation d’équivalence R, en
identifiant à S l’espace quotient :Zνx q(dx),
νbT =S

où q est la mesure (PS )# ν sur S (avec PS l’application de « projection » qui à y associela première composante de g −1 (y)) et νx la mesure conditionnelle, concentrée sur lerayon R(x).
L’étape clé maintenant consiste à prouver que (pour presque tout x) νx est absolument
continue par rapport à g(x, ·)# L1 , la mesure 1-dimensionnelle portée par R(x). Cette
estimation traduit l’idée que la famille des rayons ne varie pas de façon trop « sauvage »,et n’a rien d’une formalité : on sait en effet construire « à la Besicovitch » une famille desegments disjoints dans R3 pour lesquels les milieux forment un ensemble M de mesure
strictement positive ; dans ce cas, si ν est la mesure de Lebesgue portée par M , ses
mesures conditionnelles par rapport à la famille de segments sont toutes singulières.
Pour prouver l’absolue continuité, on raisonne encore par l’absurde : si elle était endéfaut, on trouverait un compact C ⊂ T tel que(24)(q ⊗ L1 )(g −1 (C)) = 0.

ν[C] > 0,(Dans l’exemple précédent, C pourrait être l’ensemble des milieux.) Quitte à restreindre,
on peut aussi imposer que chaque rayon issu de C traverse une certaine courbe de niveau{ϕ = δ} dans le sens des temps croissants, et que ϕ < δ 0 < δ sur C.
Soit y ∈ C : on lui associe une interpolation ξt (y) qui progresse à vitesse constante lelong de R(y), telle que ξ0 (y) = y et ξ1 (y) ∈ {ϕ = δ} : en d’autres termes, ϕ(ξt (y)) est
une interpolation linéaire entre ϕ(y) et δ. La fonction ξt définit ainsi une interpolation
entre l’ensemble C et un sous-ensemble de {ϕ = δ}, portée par un ensemble de rayons.
Comme ce transport aboutit dans {ϕ = δ}, le Lemme 4.9 s’applique à nouveau
pour fournir un transport optimal (MK2 ), et l’on peut utiliser la condition CD(K, N ),R 1−1/Nencore une fois via ρtdν ≥ ν[ρt > 0]1/N , pour obtenir une borne inférieure surν[Ct ], faisant intervenir K et N , de la forme
ν[Ct ] ≥ c(K, N, r) (1 − t)N ν[C].
Ici r > 0 est une borne sur les distances en jeu, qui sont supposées suffisamment petites,
quitte à localiser, et c(K, N, r) > 0 ; ainsi
Z 1/2
(25)
ν[Ct ] dt > 0.
0Mais cela est aussi, par réécriture et Fubini,hi−1(26) ((g#ν) ⊗ L1 ) (x, τ, t) ∈ S × R × [0, 1/2]; (x, τ ) ∈ g −1 (Ct )
Z
h
i
−1
1
−1
=
L t ∈ [0, 1/2]; (x, τ ) ∈ g (Ct ) (g#ν)(dx dτ ).
S×R

1127–31

Si (x, τ ) ∈ g −1 (Ct ), cela veut dire que g(x, τ ) ∈ Ct , et par la construction de Ct on aϕ(g(x, τ )) = (1 − t)ϕ(g(x, τ 0 )) + tδ, où g(x, τ 0 ) ∈ C. En revenant aux définitions de g
et de l’interpolation θt , et en se souvenant que ϕ(g(y, t)) varie comme t, on trouveϕ(x) + τ = (1 − t) ϕ(y) + τ 0 + t ϕ(y) + (δ − ϕ(y)) ,où g(x, τ 0 ) ∈ C. De l’équation précédente on tire τ 0 en fonction de τ, t, δ et y, et on
obtient finalementτ − t(δ − ϕ(y))
g(x, τ ) ∈ Ct ⇐⇒ g x,
∈ C.
1−t
Pour chaque (x, τ ) dans g −1 (Ct ), on a ϕ(x) + τ < δ 0 < δ, et donc la fonction t 7−→ s =(τ − t(δ − ϕ(y)))/(1 − t) est uniformément bilipschitzienne pour t ∈ [0, 1/2], de sorteque dt/ds est uniformément majoré par J > 0. Ainsi
h
i
h
i
1
−1
1
−1
L t ∈ [0, 1/2]; (x, τ ) ∈ g (Ct ) ≤ J L s ∈ R; (x, s) ∈ g (C)et l’intégrale de (26) est majorée par
Z
h
i
−1
L1 s ∈ R; (x, s) ∈ g −1 (C) (g#Jν)(dy dτ ).
S×R−1L’intégrande maintenant ne dépend plus de τ ; mais la première marginale de g#ν est−1(P1 ◦ g )# ν, où P1 est la première projection ; c’est-à-dire (PS )#ν = q. Finalementl’intégrale est majorée parZhi
L1 s ∈ R; (x, s) ∈ g −1 (C) q(dx) = J (q ⊗ L1 )(g −1 (C)) = 0
JS

par (24). Ceci contredit l’inégalité (25), et achève la preuve de la continuité de ladésintégration.
Passons enfin à la construction du transport optimal. L’idée est de tout désintégrer
selon les lignes du transport ; mais comme µ1 est peut-être singulière, nous allons devoir
emprunter un bref détour.
Soit π un transport optimal quelconque ; on sait que le support de π est inclus dans Γ.
On partitionne (T × X) ∩ Γ selon la classe de la première composante : cela revient àécrire cet ensemble comme union disjointe des [R(x) ∩ T × X] ∩ Γ. On désintègre alors πparR rapport à cette relation d’équivalence : cela revient à écrire π comme une intégrale
π Q(dy), où chaque πy ∈ P (R(y) × R(y)). On note µ0,y et µ1,y les marginales de πy :S yce sont des mesures sur R(y), et µ0,y est absolument continue par rapport à g(y, ·)# L1 .
Maintenant, pour chaque y, on construit aisément par application du Lemme 4.10
un transport optimal Ty , croissant le long de R(y), tel queR (Ty )# µ0,y = µ1,y . Biensûr,πy est optimal aussi (par d-monotonie cyclique), donc d(x0 , x1 ) πy (dx0 dx1 ) =R
R d(x, Ty (x)) µ0,y (dx) ; enR intégrant les deux membres par rapport à Q on obtientd(x0 , x1 ) π(dx0 dx1 ) = d(x, T (x)) µ0 (dx), où T (x) = Ty (x) si x ∈ R(y). On conclut
que T est une application de transport optimal.

1127–32

5. LOCALISATION EN AIGUILLES
En géométrie des convexes, la technique de localisation a été mise au point par
Kannan, Lovász et Simonovits [KLS]. Elle est basée sur la décomposition de la mesure
le long de segments disjoints, ou « aiguilles » ; on peut faire remonter l’idée à Payne–
Weinberger [PW] et Gromov–Milman [GM]. Par exemple, la motivation de Payne–
Weinberger était d’obtenir des inégalités de Poincaré optimales pour des fonctions demoyenne nulle dans un ouvert Ω convexe de En : en découpant de façon répétée Ωselon des hyperplans, tout en préservant la condition de moyenne nulle dans chaquesous-domaine, on se ramène à prouver l’inégalité souhaitée sur des domaines de plus enplus petits, et finalement (à la limite) sur des droites.
Dans un travail récent, Klartag [Kl] montrait comment construire une telle décomposition en aiguilles dans un contexte riemannien, au moyen du problème de Monge–
Kantorovich (MK1 ), les aiguilles étant alors les rayons de transport optimal ; il en déduisait une nouvelle preuve de l’inégalité classique de Lévy–Gromov. Cavalletti–Mondino[CaMo1] adaptaient ensuite l’idée de Klartag à des espaces métriques, se débarrassantde toute hypothèse de régularité. Par la même occasion, ils obtenaient l’amélioration
des inégalités de courbure-dimension le long des aiguilles. Ces contributions sont rassemblées dans le résultat suivant :Théorème 5.1 (Décomposition en aiguilles sous hypothèse de courbure-dimension,[CaMo1])
Soit (X , d, ν) un espace géodésique mesuré compact, essentiellement non branchant,
vérifiantla condition CD∗ (K, N ) pour K ∈ R et 1 < N < ∞. Soit f ∈ L1 (X ) tel
R
que X f dν = 0. Alors on peut décomposer X en deux ensembles disjoints T et Z, eton peut décomposer T en une partition (Xγ )γ∈Q , où chaque Xγ est la trajectoire d’une
géodésique unitaire γ définie sur un intervalle Iγ de R, et les γ sont indexés par un
espace polonais Q. En outre on peut définir une mesure q sur Q, et une famille demesures (νγ )γ∈Q sur X , de sorte que(i) Pour tout ensemble mesurable B ⊂ T , on aZ
ν[B] =
νγ [B] q(dγ)
Qet chaque νγ (mesure conditionnelle à γ) est portée par Xγ ;(ii) Soit uγ la densité de νγ par rapport à γ# L1 , la mesure 1-dimensionnelle portée parXγ : alors hγ = uγ ◦ γ vérifie, au sens des distributions sur Iγ , l’inégalité différentiellede courbure-dimension
(27)

1 
d2 N1−1 
K
N −1
h
+
h
≤ 0;
γ
γ
dt2
N −1

1127–33(iii) Enfin,Zq(dγ)-presque sûrement,f dνγ = 0ν(dz)-presque partout, z ∈ Z =⇒ f (z) = 0.
Remarque 5.2. — On pourra retenir la décomposition de la mesure sous la formeZνbT = (hγ ◦ γ −1 ) H1 bXγ q(dγ),
Q1où H est la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle.
Remarque 5.3. — On peut inclure le cas N = 1 dans le Théorème 5.1 en imposant que
hγ reste constant le long de γ.
Remarque 5.4. — En pratique, f dans le Théorème 5.1 dépend de la propriété géométrique que l’on souhaite établir ; l’énoncé (iii) permet de ramener l’étude globale (dans(X , d, ν)) à l’étude « locale » sur un espace 1-dimensionnel (Xγ , d, νγ ) (ou de façon équivalente sur l’intervalle mesuré (Iγ , | · |, hγ L1 )) ; l’énoncé (ii) assure que cet espace vérifie
l’inégalité (optimale) de courbure-dimension CD∗ (K, N ).
R
R
PreuveduThéorème
5.1(esquisse)—Par
hypothèse
f
dν
=
0,
soit
f+ dν =
Rf− dν, où f± sont les parties positive et négative de f . Si cette masse commune m est
nulle, il n’y a rien à prouver. Si m > 0, on pose µ0 = m−1 f− ν, µ1 = m−1 f+ ν, et on
peut considérer le problème de transport (MK1 ) entre µ0 et µ1 dans (X , d, ν).
Le Théorème 4.6 fournit un transport optimal π, une fonction
1-lipschitzienne ϕ,R
optimale dans le problème dual (qui ici est simplement max{ ϕ f dν; kϕkLip ≤ 1}) ; etπ est supporté dans le d-sous-différentiel de ϕ. Ce théorème fournit aussi un ensemblede transport T , partitionné par les rayons R(x) (T ∩ R(x) est une trajectoire géodésique éventuellement privée d’une ou de ses deux extrémités). En outre µ0 et µ1 sontétrangères, donc concentrées sur T (aucune masse ne peut « rester en place » durant letransport) ; il s’ensuit que f± valent 0, presque partout sur Z = X \ T .
Comme dans la preuve du Théorème 4.6, on désintègre ensuite la mesure ν par
rapport à la relation d’équivalence R ; cela engendre une mesure quotient notée q, etdes mesures conditionnelles νγ . Il sera commode d’introduire une section S de cetterelation d’équivalence R, contenant un élément de chaque Xγ , choisi mesurablement ;on pourra ainsi, selon les cas, considérer l’espace quotient Q comme l’ensemble desgéodésiques γ associées aux Xγ , ou comme l’ensemble S.
En désintégrant un transport optimal dynamique Π par rapport à (Xγ )# q, on obtient,pour q(dγ)-presque tout γ, un transport entre deux mesures µ0,γR et µ1,γ , portées
par
R
−1
−1
Xγ , qui ne sont autres que m f− νγ et m f+ νγ . En particulier, f− dνγ = f+ dνγ .
À ce stade, tout est démontré, sauf la partie (ii), un énoncé qu’il faut établir pourpresque toute géodésique γ ∈ Q, ou de façon équivalente pour presque tout x ∈ S. Sans
perte de généralité, on peut supposer que S est inclus dans une famille dénombrable
d’ensembles de niveau de ϕ ; on peut alors recouvrir T , identifié à un sous-ensemble de1127–34

e =c
S × R, par une famille dénombrable d’ensembles de la forme Se × [a, b], où ϕ(S)et a < c < b. On va travailler sur l’un de ces ensembles fixés, et démontrer l’inégalité
e donc par hypothèsesouhaitée sur ]a, b[. On note g(y, τ ) = γ(s + τ ), où γ(s) = y ∈ S,
ϕ(γ(s)) = c, et ϕ(g(y, τ )) = ϕ(γ(s)) + τ = c + τ .
Soient A0 , A1 , L0 , L1 > 0 tels que a < A0 < A0 + L0 < c < A1 < A1 + L1 < b. (Onse réserve bien sûr le droit d’imposer des conditions supplémentaires par la suite.) On
définit deux nouvelles mesures de probabilité µe0 , µe1 par
µ
ei =


1[Ai ,Ai +Li ] (τ )1Se(y) L1 ⊗ q (dτ dy).
Li

En d’autres termes, sur chaque rayon, µei est la mesure uniforme U[Ai , Ai + Li ] portéepar le segment [Ai , Ai + Li ].
Le transport optimal croissant entre U[A0 , A0 + L0 ] et U[A1 , A1 + L1 ] est l’application
affine croissante qui envoie [A0 , A0 + L0 ] sur [A1 , A1 + L1 ], autrement dit
 


L1
L1
θ : τ 7−→
τ + A1 −A0 .
L0
L0e on définit un
En introduisant ce transport sur chaque géodésique γ passant par S,
transport Te entre µ
e0 et µe1 , qui dans les variables (y, τ ) se lit simplement τ 7−→ θ(τ ).
En particulier (en notant ϕ(y, τ ) = ϕ(g(y, τ ))),



L
L
1
1
ϕ(y, τ ) − c + A1 − A0
ϕ(Te(y, τ )) = c +L0
L0
est une fonction affine croissante de ϕ(y, τ ), dont les paramètres sont déterminés uniquement par c, A0 , A1 , L0 , L1 . On en déduit que {(x, Te(x))}, sous-ensemble de Γ, vérifie
les conditions du Lemme 4.9 et que c’est donc le transport optimal pour (MK2 ). L’interpolation au sens W2 entre µ
e0 et µe1 consiste simplement à interpoler linéairement leparamètre τ sur chaque γ, soitµet =1[At ,At +Lt ] (τ )1Se(y) (q ⊗ L1 )(dy dτ ),Ltoù At = (1 − t) A0 + t A1 , Lt = (1 − t) L0 + t L1 . On peut donc appliquer à ρet = deµt /dν
l’inégalité (19) ou (20) pour 0 ≤ t ≤ 1.
Le transport optimal est concentré sur des géodésiques γ
et de la forme (y, (1−t)τ0 +tτ1 ),·où τ1 = θ(τ0 ), de sorte que |(eγt ) | = τ1 − τ0 . Par construction et par définition de ladensité hγ ,1[At ,At +Lt ] (τ )ρet (y, τ ) =.
Lt hγ (τ )L’inégalité (20) s’écrit donc ici (en évaluant en τ (t) = (1 − t)τ0 + tτ1 )"#1[At ,At +Lt ] (1 − t)τ0 + tτ1(ẇ(t))22(28) ẅ(t) −≥ K (τ1 − τ0 ) ,w(t) = log.
N
Lt hγ (1 − t)τ0 + tτ1

1127–35

Dans (28) on a le choix des paramètres τi , Ai , Li . On choisit τi = Ai , et on fait tendre
les Li vers 0 de sorte que (L1 − L0 )/L0 −→ α > 0 (α fixé, arbitraire). En notant`γ (t) = − log hγ ((1 − t)A0 + tA1 ), on trouve
w = `γ − log Lt ,ẇ = `˙γ −L1 − L0,
Ltẅ = `¨γ +(L1 − L0 )2,L2t

où toutes ces experessions sont évaluées en (1 − t)A0 + tA1 . En reportant dans (28) eten évaluant en τ0 = A0 , on trouve(`˙γ − α)2≥ K.
NIl reste à optimiser par rapport à α : on trouve que le meilleur choix est obtenu pourα = `˙γ /(N − 1), et transforme (29) en(`¨γ + α2 ) −(29)(`˙γ )2
`¨γ −
≥K
N −1

(30)

...ce qui est exactement le but recherché (ii) ! Ici on a établi l’inégalité au point A0 ,mais on ferait de même pour l’obtenir en A1 , et finalement en n’importe quel point
de l’intervalle ]a, b[. On constate en particulier que c’est la liberté de choisir le rapport
entre L0 et L1 qui a permis de gagner une dimension.
Pour conclure, on note que même si la fonction `γ , évaluée le long de la géodésique,n’est pas deux fois différentiable, elle est semi-convexe, ce qui permet de justifier lecalcul.
Remarque 5.5. — Au lieu de raisonner sur l’inégalité différentielle comme ci-dessus,
on peut, à l’instar de [CaMo1], utiliser les formulations intégrales de CD(K, N ) etCD∗ (K, N ). Il est commode alors de passer par la formulation CDloc (K, N ), et le gaind’une dimension se ramène à l’identité
#)
"
(
 N1

 N1
1
1
1
2L
2L0
1 K,N
1
β
(γ0 , γ1 ) N
h0N +
h1N
max
L0 ,L12 1/2
L0 + L1
L0 + L1 NN−11 
 N1−1
1 ∗ K,N −1=β(γ0 , γ1 ) h0 + h1N −1.
2 1/2
Ayant appliqué cela aux hi = 1/ρ(ti ), on peut utiliser la propriété de localisation associée∗

aux coefficients β pour globaliser cette inégalité.

6. PREUVE SYNTHÉTIQUE DE L’INÉGALITÉ DE LÉVY–GROMOV
Après les préparatifs des sections précédentes, nous n’aurons aucune difficulté à démontrer le résultat principal de cet exposé. On rappelle que IX est le profil isopérimétrique normalisé associé à l’espace X (muni d’une métrique et d’une mesure de1127–36

référence), comme dans (2). On notera IK,N le profil isopérimétriquep de référence, défini comme la fonction isopérimétrique normalisée de S K,N = SN ( (N − 1)/K) si N
est entier, ou plus généralement, pour toutes valeurs de N > 1, comme la fonction
isopérimétrique de l’espace X K,N défini dans la Remarque 1.5.
Théorème 6.1 (principe de comparaison de Lévy–Gromov dans les espaces métriquesmesurés, [CaMo1])
Soit (X , d, ν) un espace géodésique mesuré compact, essentiellement non branchant,
vérifiant CD∗ (K, N ) pour K > 0 et 1 < N < ∞. Alors IX ≥ IK,N .
Corollaire 6.2. — L’inégalité isopérimétrique de Lévy–Gromov de dimension N etconstante K est vérifiée par les trois classes d’espaces suivantes :• les limites de Gromov–Hausdorff mesurées de variétés riemanniennes de dimension
au plus N et courbure de Ricci minorée par K ;• les espaces d’Alexandrov de courbures minorées par K/(N − 1) et de dimension au
plus N ;• les espaces finslériens vérifiant CD∗ (K, N ) au sens de [Oh1].
Remarque 6.3. — C’est par cohérence avec le reste de l’exposé que l’on impose lacompacité dans le Théorème 6.1 ; en fait elle découle automatiquement de CD∗ (K, N ),comme dans [LV].
Remarque 6.4. — Dans un espace de Finsler lisse de dimension n, equipé de normes
k · kx , la condition CD∗ (K, N ) signifie essentiellement que n ≤ N et Ric g ≥ K g, oùla métrique g est définie par gx (v) = (1/2)d2v kvk2x . Une partie importante de la théorie
classique de la courbure-dimension peut s’adapter aux espaces finslériens [Oh3]. Pourla décomposition en aiguilles dans ce cadre, et les inégalités isopérimétriques optimales,on pourra consulter [Oh2].
Preuve du Théorème 6.1 — On souhaite établir l’inégalité IX (α) ≥ IK,N (α) pour
tout α ∈ [0, 1] ; il suffit de le faire pour 0 < α < 1. Sans perte de généralité, on peut
supposer que ν[X ] = 1.
Soit donc α fixé dans ]0, 1[, et soit A uneR partie mesurable de X telle que ν[A] = α.
On pose f (x) = 1A (x) − α, de sorte que f dν = 0, et f ne s’annule jamais. Par leThéorème 5.1, on peut décomposer X en une union disjointe, et ν en une famille demesures conditionnelles :
Z
[

X =
Xγ ∪ Z,ν=νγ q(dγ),
γ∈Q

Q

∗
de
R sorte que (a) ν[Z] = 0 ; (b) chaque espace (Xγ , d, νγ ) vérifie CD (K, N ) ; et (c)f dνγ = 0 pour (presque) tout γ. Sachant que νγ est concentrée sur Xγ , cette dernière
propriété s’écrit
νγ [A ∩ Xγ ] = α.

1127–37

On va ainsi se ramener à un problème isopérimétrique, avec le même volume α, surchaque aiguille géodésique (Xγ , d, νγ ) : cela fonctionnera grâce à la remarque évidenteAε ∩ Xγ = x ∈ Xγ ; ∃y ∈ A; d(x, y) ≤ ε⊃ x ∈ Xγ ; ∃y ∈ A ∩ Xγ ; d(x, y) ≤ ε = (A ∩ Xγ )ε ,où, dans la dernière expression, l’élargissement est pris dans l’aiguille (Xγ , d).
Supposons un instant le théorème démontré dans chaque (Xγ , d, νγ ) : alors, avec lanotation (3) (dans l’espace de référence X K,N ),νγ [(A ∩ Xγ )ε ] ≥ ΦK,N (α; ε).
D’où
Z

ε

νγ [Aε ∩ Xγ ] q(dγ)ν[A ] =QZ≥

νγ [(A ∩ Xγ )ε ] q(dγ)

Q

Z≥

ΦK,N (α; ε) q(dγ) = ΦK,N (α; ε).
Q

Il ne reste donc qu’à démontrer le théorème pour chaque espace monodimensionnel(Xγ , d, νγ ) ; pour cela il suffit de le faire pour un sous-espace mesuré de R de la forme(I, | · |, h) : un intervalle I = [a, b] de R, muni de la distance canonique, et d’une densitéh (pour la mesure de Lebesgue) telle que1
d2 N1−1K(31)h+h N −1 ≤ 0.
2
dt
N −1
Si h est lisse, la preuve du théorème dans ce cadre se fait par des arguments classiques[Mi, Théorème 1.2, Corollaire 3.2]. Sinon, on peut régulariser h par convolution, tout enpréservant l’inégalité (31) : pour cela on introduira une approximation (φδ ) de l’identité
au sens de la convolution, c’est-à-dire φδ (x) = δ −1 φ(x/δ), où φ : R → R est lisse,à support dans [−1, 1], strictement positive dans ] − 1, 1[, et d’intégrale 1 ; on posera
1alors hδ = (h N −1 ∗ φδ )N −1 . La densité hδ est lisse, et par les propriétés habituelles de laconvolution, elle vérifie (31) dans l’intervalle Iδ =]a+δ, b−δ[. On a donc le résultat dans(Iδ , hδ ), et la conclusion pour (I, h) s’ensuit par passage à la limite selon un schémaclassique [Mi, Théorème 6].
Remarque 6.5. — La preuve s’adapte sans la moindre difficulté pour tenir compte dela contrainte de diamètre : si dans l’énoncé on sait en outre que diam(X ) ≤ D, alorson prouve que IX ≥ IK,N,D , la fonction isopérimétrique de la famille d’espaces modèles
définie par Milman [Mi] sous contraintes de courbure-dimension et de diamètre. Pour
incorporer cette extension il suffit de remarquer que diam(Xγ ) ≤ diam(X ).

1127–38

Aε

Xγ
A
Xγ 0

Figure 6. Réduction par les aiguilles Xγ à des problèmes isopérimétriquesmonodimensionnels ; sur chaque aiguille, l’élargissement de A reste contenu
dans Aε .

Remarque 6.6. — La décomposition en aiguilles est ici basée sur un transport optimal
entre la mesure uniforme portée par A, et celle qui est portée par X \ A. En cela ladémonstration s’inscrit dans la lignée de deux arguments « bien connus » :- la méthode de Marton [Ma, OV] pour établir des inégalités de concentration, basée
sur le transport optimal entre les mesures uniformes portées par A et X \ Aε ;- la méthode de Rajala [Ra1] pour établir des inégalités de Poincaré locales, basée
sur un transport optimal entre {u < M } et {u > M }, où M est une médiane de u (ensupposant ici {u = M } pour simplifier l’écriture).
Une surprise de taille, cependant, est la constatation que le transport en jeu est untransport (MK1 ), alors que dans presque toutes les études précédentes de la courburedimension, c’était le transport (MK2 ) qui était à l’honneur. Cela a amené Cavalletti& Milman [CaMi] à suggérer une nouvelle notion de courbure-dimension basée sur letransport (MK1 ).

7. CAS D’OPTIMALITÉ
Les techniques de transport optimal, plutôt constructives, se prêtent si bien à l’étude
de la rigidité des inégalités isopérimétriques, que c’est avec elles qu’ont été obtenus
les résultats les plus fins pour la rigidité de l’inégalité isopérimétrique dans Rn (nonnécessairement euclidien), voir [FMP].
Pour discuter des cas d’optimalité associés au Théorème 6.1, on considérera l’hypothèse plus forte de condition de courbure-dimension « riemannienne » c’est-à-dire
RCD∗ (K, N ) ; on rappelle que cela implique automatiquement la propriété de nonbranchement essentiel. Pour éviter des situations dégénérées, on supposera N ≥ 2 ; etquitte à modifier la distance par un facteur constant, on supposera K = N − 1.

1127–39

On rappelle quelques notions de géométrie métrique. Soient (S, dS , νS ) et (F, dF , νF )deux espaces métriques mesurés : on pense à S (le « support ») comme à la base d’une
fibration dont les fibres sont des répliques homothétiques de F . On travaillera sur leproduit S × F , et on se donnera une fonction f : S → R+ . Sur les chemins γ : [0, 1] →S × F on définit la fonctionnelle de longueur
Z 1
1/2
|α̇|2 (t) + (f ◦ α)2 |β̇|2 (t)dtLf (γ) =0(|α̇| est le déplacement dans S, |β̇| le déplacement dans la fibre, dont le poids est modulé
en fonction de la valeur dans S). De Lf on tire une distance df par la formule habituelledf ((p, x), (q, y)) = inf Lf (γ); γ(0) = (p, x), γ(1) = (q, y) .
Enfin on définit le produit tordu (warped product) de S par F , avec torsion f et exposant N , par


N
S ×N
f F = S × F/df , df , f νS ⊗ νF .

Les exemples les plus célèbres sont• le cône Cone(F ) construit sur un espace F , défini seulement quand diam(F ) ≤ π ;c’est le produit tordu obtenu en choisissant S = R+ et f (t) = t. Dans ce cas on peut
explicitement calculer la distance :pd((s, x), (t, y)) = s2 + t2 − 2 s t cos(d(x, y))(bien noter que la distance restreinte à S est la distance usuelle sur R+ , mais la distance
restreinte à une fibre n’est pas la distance intrinsèque de la fibre, car cette dernière n’est
pas géodésique dans le cône).
• la suspension sphérique construite sur F , obtenue par S = [0, π] et f (t) = sin t.
Ces espaces sont connus pour intervenir dans les cas d’optimalité du théorème de Lévy–
Gromov classique.
L’étude d’optimalité dans le Théorème 6.1 se fait sans douleur grâce à la nature assez
constructive de la démonstration, et à l’aide de deux résultats auxiliaires :• la monotonie stricte du profil isopérimétrique par rapport au diamètre : si, commedans la Remarque 6.5, on note IN −1,N,D la fonction isopérimétrique sous contrainte
de diamètre au plus égal à D, alors pour tout α ∈]0, 1[, IN −1,N,D est une fonction
strictement décroissante de D ∈]0, π[ (ajouter des contraintes augmente strictementl’infimum isopérimétrique) [CaMo1, Lemme 6.5].
• le théorème de diamètre maximal, démontré dans ce cadre par Ketterer [K2] : si
(X , d, ν) vérifie RCD∗ (N − 1, N ) et diam(X ) = π, alors il existe un espace géodésique∗−1 00mesuré (X 0 , d0 , ν 0 ) tel que (X , d, ν) ' [0, π]×N
sin X , et X vérifie RCD (N −2, N −1). Ce
théorème est à son tour obtenu en combinant la propriété de courbure-dimension du côneet le théorème de décomposition en courbure positive (dû à Gigli [G2] dans ce contexte) :en effet, la propriété de diamètre maximal implique que C = Cone(X ) contient une
droite infinie, et par propriété de courbure-dimension il vérifie RCD∗ (0, N + 1) ; on peut

1127–40

donc le décomposer selon cette droite, et cela permet de décomposer X à son tour en
un produit tordu.
Après ces préliminaires, voici les deux théorèmes de rigidité démontrés par Cavalletti–
Mondino [CaMo1]. Le premier montre que si le profil isopérimétrique de X coïncideavec le profil de référence, ne serait-ce qu’en une seule valeur, alors l’espace est une
suspension sphérique.
Théorème 7.1. — Soit (X , d, ν) un espace géodésique mesuré compact vérifiant
RCD∗ (N − 1, N ), 2 ≤ N < ∞. S’il existe α ∈]0, 1[ tel que IX (α) = IK,N (α), alors−1
X ' [0, π] ×N
sin Y,où Y est un espace géodésique mesuré vérifiant RCD∗ (N −2, N −1). En outre IX = IK,N ,−1
et toute solution A du problème isopérimétrique dans X vérifie A = [a, b] ×N
sin Y, avec
a = 0 ou b = π.
Le second théorème est un résultat de stabilité en topologie de Gromov–Hausdorff
mesurée ; en un sens c’est une généralisation qualitative des estimations quantitatives
obtenues par Bérard, Besson et Gallot [BeBG]. On notera dmGH l’une quelconque desdistances métrisant la topologie de Gromov–Hausdorff mesurée [St] [Vi1, Chapitre 27].
Théorème 7.2. — Pour tous N > 1, α ∈]0, 1[, ε > 0 il existe η = η(N, α, ε) tel quesi (X , d, ν) est RCD∗ (N − 1 − δ, N + δ) et
IX (α) ≤ IN −1,N (α) + δ,alors si δ ≤ η il existe Y un espace RCD∗ (N − 2, N − 1) tel que−1dmGH X , [0, π] ×N
sin Y ≤ ε.
Preuve du Théorème 7.1 (ébauche) — Si diam(X ) ≤ π − ε0 < π, alors en
combinant la Remarque 6.5 avec la propriété de monotonie du profil isopérimétrique,on aIN −1,N (α) = IX (α) ≥ IN −1,N,π−ε0 (α) > IN −1,N (α),
ce qui est impossible. On en déduit que le diamètre de X est égal à π, et le théorème dediamètre maximal permet d’écrire X comme une suspension sphérique sur un espace
Y, l’espace [0, π] s’identifiant à l’image d’une géodésique de longueur π. En utilisant lafonction ϕ, on identifie Y à l’espace quotient Q, les rayons Xγ étant tous isométriquesà [0, π].
Ensuite, en considérant des minimiseurs de la forme [a, b]×Y, on prouve que IX (α) =IK,N (α) pour tout α ∈ [0, 1]. Reste à montrer que toute solution compacte A du problème isopérimétrique est de la forme [a, b] × Y. Pour cela on retourne à la preuve duThéorème 6.1 : l’optimalité n’est possible que si A ∩ Xγ est optimal dans Xγ , soit,
modulo identification, dans le segment [0, π] ; on prouve alors que A ∩ Xγ est forcément
de la forme [a, b], où a = 0 ou b = π, cela pour presque tout γ ∈ Q. On montre enfin
que l’optimalité de A implique un choix : soit a = 0 pour presque tout γ ; soit b = πpour presque tout γ. On renvoie à [CaMo1] pour les détails.

1127–41

Preuve du Théorème 7.2 (ébauche) — Ce résultat découle facilement du Théorème 7.1, de la propriété de diamètre maximal, de la continuité et de la monotonie
de IK,N,D , et de la continuité de tous les objets considérés par rapport à la topologie de Gromov–Hausdorff mesurée (par exemple l’ensemble de tous les Y qui vérifient−1
RCD∗ (N − 2, N − 1) est compact, et par suite l’ensemble de tous les [0, π] ×N
sin Y estégalement compact). On renvoie encore à [CaMo1] pour les détails.

8. DÉVELOPPEMENTS
C’est une question naturelle de se demander si la preuve du Théorème 6.1 s’adapte
au cas où N = ∞, traité pour des varitétés riemanniennes par Bakry–Ledoux [BL].
Cela ne va pas de soi, car le Théorème 4.6 sur la structure du transport optimal (MK1 )n’a pas de raison de s’appliquer quand N = ∞. Pour démontrer une comparaison
isopérimétrique dans des espaces métriques de classe CD(K, ∞), on se retrouve alors
avec deux stratégies, dont chacune généralise le Théorème de Bakry–Ledoux dans une
direction différente :• Sur un espace vérifiant localement une inégalité de courbure-dimension, on peut
reproduire l’argument de [CaMo1] dans de grandes boules, et passer à la limite pourobtenir l’inégalité souhaitée. Cette approche couvrira des espaces CD∗ (K, ∞) essentiellement non branchants qui sont « localement de dimension finie au sens de la courburedimension », c’est-à-dire dans lesquels chaque x est centre d’une boule où le critère decourbure CD(K 0 , N 0 ) sera vérifié pour des paramètres K 0 , N 0 éventuellement dépendantde x ;• Sur un espace RCD(K, ∞), on peut adapter l’argument de Bakry–Ledoux, sur labase du calcul Γ2 non lisse de Savaré [Sav] ; cette approche, menée à bien dans [AM], nes’applique qu’aux espaces RCD, et pas aux espaces CD∗ non branchants. Ce programmepeut aussi être mené à bien dans les espaces finslériens CD(K, N ) [Oh4].
Une autre question naturelle consiste à identifier d’autres problèmes que les idées deKlartag, Cavalletti et Mondino peuvent traiter. Comme le montraient Kannan, Lovász
et Simonovits [KLS], la méthode deR localisationen aiguilles
R
R
Rpeut en principe s’appliquerà toutes les inégalités de la forme ( g1 )α ( g2 )β ≤ ( g3 )α ( g4 )β , pourvu que l’on sache
construire des décompositions adaptées. L’apport principal de Klartag dans les géométries lisses, et de Cavalletti–Mondino dans les géométries non lisses, est de démontrer
que le transport optimal (MK1 ) fournit une telle décomposition, souple et générale. Pourla mettre en œuvre sur un problème donné, il convient donc d’introduire une fonction
f adéquate, de moyenne nulle ; d’en déduire par le Théorème 5.1 une décomposition en
aiguilles géodésiques ; de montrer que l’inégalité se localise sur ces aiguilles, et ainsi dese ramener à la dimension 1.
Armés de ce point de vue efficace, Cavalletti et Mondino [CaMo2] n’ont eu aucune difficulté à établir un certain nombre d’inégalités géométriques optimales dans les espaces

1127–42

CD∗ (K, N ) essentiellement non branchants, ainsi que les cas d’égalité correspondants
dans les espaces RCD∗ (K, N ) :• Pour l’inégalité optimale de Brunn–Minkowski entre deux ensembles compacts A0
et A1 , on choisit f = 1A0 /ν[A0 ] − 1A1 /ν[A1 ] ; la localisation est possible parce quel’interpolation géodésique [A0 , A1 ]t n’est pas moins grande que celle qui est effectuéeselon la décomposition particulière induite par f .
• Pour l’inégalité de trou spectral L2 , appliquée à une fonction u de moyenne nulle, onpose simplement f = u ; la localisation est possible parce que |u̇| ≤ |∇u|, où |u̇| désignela variation de u le long d’une géodésique. L’étude de l’optimalité permet de prouver
une version non lisse du théorème de rigidité d’Obata ; et cette approche fonctionne
aussi pour l’inégalité de p-trou spectral, avec f = u|u|p−2 .
• Dans le cas où ν est une mesure de probabilité, pour l’inégalité de Sobolev logarithmique, appliquée à une densité de probabilité h, on pose simplement f = h − 1 ;encore une fois, c’est l’inégalité |ḣ| ≤ |∇h| qui permet de localiser.
• Pour l’inégalité de Sobolev (p, q), appliquée à une fonction u, on pose f = 1 −|u|p /kukpLp (ν) ; et à nouveau on utilise |u̇| ≤ |∇u|.
Dans ce dernier cas, on obtient ainsi l’inégalité optimale mentionnée par Ledoux [Le,formule (16)] comme un problème ouvert ; plus généralement, presque tous les problèmesde constantes optimales dimensionnelles recensés dans [Vi1] se retrouvent résolus.

9. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
Au cours des dix dernières années, la théorie de la courbure-dimension dans les espaces
géodésiques mesurés s’est approprié de plus en plus de sujets, fournissant un cadre
naturel même au niveau de la formulation des énoncés : par exemple, la propriété
du cône s’y exprime naturellement (le cône n’est pas, sauf cas particulier, une variété
riemannienne, mais c’est un espace RCD), et le théorème de précompacité de Gromov(sous contraintes de courbure-dimension et de diamètre) y devient un théorème decompacité.
Cavalletti–Mondino démontrent que cette théorie peut également couvrir des inégalités optimales en dimension finie, sans rien laisser à désirer par rapport au cadre lisse.
Ils montrent en outre que cela peut se faire à partir de la condition en apparence
sous-optimale CD∗ . En fait, si les résultats annoncés dans [CaMi] sont confirmés, lesconditions CD et CD∗ sont en fait équivalentes, au moins sous une hypothèse de nonbranchement ; ce qui signifierait que le choix entre CD et CD∗ (ou CDe ) est plus ou
moins une question de goût. Mais comme CD∗ a l’avantage d’être « naturellement »globalisable, on peut argumenter que CD∗ émerge comme la condition naturelle decourbure-dimension quand N/K < ∞.
En fin de compte, on peut maintenant distinguer trois déclinaisons de la théorie, en
fonction de la régularité considérée.

1127–43

Le cadre le plus abouti est celui des espaces RCD∗ (K, N ) : il contient les limites
de variétés riemanniennes et les espaces d’Alexandrov ; on y trouve maintenant desrésultats très précis, et à peu près toute la théorie classique a pu y être adaptée. On
peut définir un opérateur laplacien et faire le pont avec la théorie de Bakry–Émery[AGS4, EKS]. On a maintenant des inégalités optimales fines, avec rigidité [CaMo1,
CaMo2] ; tout au plus les résultats de rectifiabilité [KM, GP, MN] laissent-ils peut-être
de la place à amélioration. Se pose également la question de savoir si l’on trouve danscette classe des espaces qui ne sont pas des limites de variétés riemanniennes. Enfin, on
note que des résultats topologiques ont été récemment démontrés [MW], et que d’autres
suivront probablement.
À un niveau plus général, viennent ensuite les espaces CD∗ essentiellement non branchants. Ce cadre autorise les espaces finslériens, et l’on peut espérer qu’il permette,autant que possible, un traitement unifié des inégalités riemanniennes et finslériennes(à l’instar des inégalités optimales de Sobolev de [CNV, MaVi], qui sont indépendantes
de la norme). Le travail de Cavalletti–Mondino plaide pour faire de cette catégoried’espaces un cadre naturel ; cependant, plusieurs problèmes restent posés :• enrichir la liste d’exemples : par exemple, a-t-on des conditions simples sur lesbornes de courbure-dimension dans la sphère unité d’un espace normé uniformément
convexe ? À partir de cette question, on peut espérer incorporer dans la théorie lesestimations de concentration de [Al, GM] (en dimension finie ou infinie).
• trouver des sous-classes (autres que RCD∗ ) stables par topologie de Gromov–
Hausdorff mesurée, car la classe de tous les espaces CD∗ (K, N ) essentiellement non
branchants ne l’est pas. On pourrait imaginer, par exemple, des classes définies parle degré d’uniforme convexité de l’espace W 1,2 (X ) ? À ce sujet on peut noter que la
preuve de la propriété de non-branchement essentiel dans la classe RCD∗ est délicate
et surprenamment indirecte.
• incorporer les géométries sous-riemanniennes, du style de l’espace de Heisenberg. Si
Baudoin–Bonnefont-Garofalo [BBG] ont proposé de gérer ces espaces par des familles
d’inégalités fonctionnelles à la Bakry–Émery, en revanche Balogh–Krystály–Sipos [BKS]
ont montré tout récemment que l’on pouvait les traiter par transport, de façon similaire
aux espaces CD et CD∗ , grâce à l’emploi de coefficients de distortion bien choisis, qui ne∗ K,Nse comparent pas aux coefficients β K,N ou β , et permettent d’obtenir des inégalités
isopérimétriques optimales.
Un travail important de clarification reste à mener, mais on peut espérer ainsi une« grande unification » synthétique des bornes de courbure-dimension dans trois larges
classes de géométries : riemanniennes, finslériennes, sous-riemanniennes.
Enfin reste le cas des espaces métriques branchants, pour lequel nous avons le choix
entre les différentes notions présentées dans la Définition 2.6. Ici une question prioritaireconsiste à trouver de nouveaux exemples d’intérêt, sachant que le branchement est
souvent associé à la courbure négative : a-t-on aussi des exemples pertinents d’espaces
métriques mesurés branchants en courbure positive ?

1127–44

Pour conclure, on rappelle que les notions non lisses se prêtent par nature à des généralisations dans des contextes encore plus singuliers, en dehors des espaces géodésiques,
et que l’on peut aussi attendre de nouveaux travaux dans ces directions.

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Cédric VILLANI
Institut Henri Poincaré (CNRS/UPMC)& Université Claude Bernard Lyon 1
Université de Lyon
Institut Camille Jordan
UMR CNRS 5208
43, boulevard du 11 novembre 1918
F-69622 Villeurbanne cedex
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