単粒子ビーム力学

なくても良いが、普通は設計上の軌道を基準軌道とする。又、ここでは基準軌道が平面内にあると仮定する。すなわち、ビームの軌道は常にある平1. はじめに面の近くにあるとする（以下では、この面を水平面とする）。

円形加速器の単粒子の運動について述べる。実際

運動を記述する独立変数として、基準軌道上のの加速器では多数の粒子がビームを構成してい行程 s を取る。 s の原点は任意に取れる。また、

るが、「単粒子力学」とは粒子の間の相互作用をビームが周回する度に、 s は基準軌道の周長分だ

考えないという意味である。従って、空間電荷効

け加算されていく（周長を L とするとき、物理的果、ビーム内粒子同士の散乱、ウェーク場に同じ点が周回のたびに s 、s + L 、s + 2 L となっ(wakefield)などは扱わない。
ビーム力学については、これまでの OHO シリていく）。(Fig. 1)ーズに数多くの講義があり、また多くの教科書も出版されている。そこに、筆者のようなものがこのテキストを付け加えることにどれほどの意味があるのか疑問ではあるが、自分なりに理解しているところをまとめてわかりやすく記述することを目指した。
テキストの構成は、まず加速器での座標系のとり方、加速器の基本的な磁場中の荷電粒子の運動

Fig. 1 基準軌道上の「行程」 sについて簡単に述べる。そのあと、線形近似に基づく横方向の運動を運動方程式から出発して論基準軌道の近くのある点（P）の s を以下のよじる（ベータ関数、チューン、エミッタンスなど

うに定義する（Fig. 2 参照）：P と、行程が s であといった加速器で頻繁に使われるパラメータをる基準軌道上の点（Q）を結んだ直線が、基準軌導入する）。次に縦方向（ビーム進行方向）の運道とその点で局所的に垂直であるとき、点 P の行動について簡単に触れた後、電子（陽電子）ビー

程を s と定義する。図の点 P2 のように、基準軌

ムの場合に重要となるシンクロトロン放射とそ

道から遠く離れた点の s は一意的に決めることがの効果（放射減衰、放射励起など）を論じる。

できない。このような考察から、基準軌道はどの

最後に、ハミルトニアンを用いた運動の取り扱い

ようにとっても良いわけではなく、ビーム内の粒を紹介する。

子が常に基準軌道の近くを通るように決める必

ところで、今回の OHO のテーマは「医療用加要があること、又、軌道の曲率半径がゼロになる

速器」となっている。申し訳ないことに、この講ような点（キンク）があってはいけないことがわ

義ではこのテーマのことは全く考慮していない

かる。（ここの議論は数学的に厳密とは言えない（どちらかというと素粒子物理学の実験のためのが、実際上問題となることはないと思う。）

非常にエネルギーの高い加速器を想定している

次に、基準軌道上の各点に於いて局所直交座標

ところがあるかもしれない）。一般的な加速器のの各軸の向きを定義する(Fig. 3)。基準軌道上の各基礎であると理解していただければと思う。

点（ s ）で基準軌道の向きを z (s ) とする（以下、2. 座標系「直交曲線座標系」が広く使われている。
まず基準となる閉じた軌道（基準軌道）を決める。
実際の粒子が通りうる軌道と完全に一致していx(s ) 、 y (s ) 、 z (s ) は単位ベクトルとする）。基準
軌道が含まれる平面上で⎛dz ⎞⎜ ⎟ ⊥ x(s )⎜ ds ⎟⎝ ⎠s(2-1)となるように方向 x(s ) を定義する。

次に、運動を表す位置変数を考える。 x(s ) 、 y 方
向のずれを x(s ) 、y (s ) とする。独立変数として s を選んだために z (s ) 方向の位置のずれは常にゼロであり、運動を表す変数にならない。そこで、粒子が s を通過する時刻の基準からのずれ（ t (s ) ）を採用する。粒子が s を通過する時刻を T (s ) 、基準 と な る 時 刻 を T0 ( s ) と す る と き 、t ( s ) ≡ T ( s ) − T0 ( s ) である。

3. 電磁場中のビーム（荷電）粒子の運動3.1. 基礎
電荷 e 、速度 v を持つ粒子が電場 E 、磁場 B のな
かで受ける力は、

F = e E + ev × B

Fig. 2、「行程」 s の定義。基準座標の近くの点(3-1)（P1）では対応する基準軌道上の点 Q1 が一意的である。

に決まり s を定義できるが、遠い点の s は定義でまた、このテキストは「単粒子」力学なので、ビきない。

ーム自身が作る電磁場は考えない。従って、ビームの感じる電磁場は真空中のマックスウェル方

y は s に依らず、基準軌道が含まれる平面に垂直

程式

な方向に取る（ x(s ) と z (s ) に垂直）。

rot E −

∂B
=0
∂t

∂E
rot B +
=0∂t
div E = 0
div B = 0

(3-2)

(3-2)

を満たす。
3.2. 横方向の磁場とビーム運動の展開「ビーム」とは位置と方向のよく揃った粒子の集Fig. 3 曲線直交座標団のことである。方向がよく揃っていることか

基準軌道が一つの平面からずれる場合には座標

方向、ビーム軸方向あるいは縦方向などと言う。

系の定義について考え直す必要があるが、本質的これに垂直な方向を「横方向」と言う。）。従って、な問題ではないと思うのでこの講義では省略す

粒子の運動に影響を与えるのは横方向の磁場である。また、位置が揃っていることから、 x(s ) 、る。

ら、粒子の速度はほぼ z 方向を向いている（進行y (s) （横方向の位置）は小さいので、磁場を多重粒子の速度はほぼ z 方向なので、水平方向の磁場

極展開するのが便利である。

は粒子を垂直方向に曲げ、垂直方向の磁場は粒子を水平方向に曲げる。

3.2.1. 磁場の多重極展開

加速器を構成する磁石のほとんどは、１個の多重

横方向の磁場は、一般に以下のように展開できる。極座標 (r ,θ ) を使い、

(3-3)

n

{

}

+ yr n −1 cos[(n − 1)θ ]{function bending magnet」、「combined bend」などと呼ばれる。

B a, n = an xr n −1 sin[(n − 1)θ ]B b, n = bn xr

磁場成分を持つ偏向磁石があり、normal の n=1と n=2 の ２ 個 の 成 分 を 持 ち 、「 combined

B = ∑ B a , n + ∑ B b, nn極成分を持つように設計される。例外として四極

n>2 の skew 成分を持つ磁石は、誤差の影響を補(3-4)

正する目的以外にはほとんど使われない（設計上は強さがゼロ）。又、n>3 の磁石が使われることもほとんどないので、以下では、normal n=1, 2, 3

n −1cos[(n − 1)θ ]}− yr n −1 sin[(n − 1)θ ](x = r cosθ ,(3-5)の磁石と skew n=2 の磁石での運動を具体的に考察する。
3.2.2. ビーム運動の線形近似と輸送行列

y = r sin θ )各項で表される磁場を磁石で作る場合の磁極のビーム粒子が横方向に受ける力は一般にその位置 ( x, y ) に依存するが、ビーム粒子は基準軌道の数は 2n であり、 a の付く項は normal multi-pole

近くを通ることから、これを展開して、 x 、 y の

field、 b の付く項は skew multi-pole field などと１次まで取って考察することがが便利なことが呼ばれる。

多い（線形近似）。

B a,1 は y に平行であり、水平方向にビームを曲げ粒子の運動は、るための二極磁場（bending field）である。さらに、B b,1 は垂直方向ビーム曲げるための二極磁場、B a,2 は四極磁場、B b, 2 は skew 四極磁場、B a,3 は六極磁場、等々である。各々、

x' ≡

dx
,
ds

y' ≡

dy
ds

(3-12)

として、 ( x, x' , y, y ' ) を s の関数として記述することで表せるが、線形近似の場合、任意の場所 s1 かB a ,1 = a1 y

(3-7)

ら s2 への輸送行列（transfermatrix）を用いるのが便利である。すなわち、

B b,1 = b1 x

(3-8)

B a , 2 = a2 ( x y + y x )(3-9)

B b,2 = b2 ( x x − y y )(3-10)(

B a,3 = a3 2 xy x + ( x − y ) y等々と書ける。

22)⎛ x ( s2 ) ⎞⎛ x( s1 ) ⎞⎜⎟⎜⎟⎜ x' ( s2 ) ⎟⎜ x' ( s1 ) ⎟⎜ y ( s ) ⎟ = M ( s2 , s1 )⎜ y ( s ) ⎟
2 ⎟
1 ⎟
⎜
⎜
⎜ y' (s ) ⎟⎜ y' (s ) ⎟
2 ⎠
1 ⎠
⎝
⎝

(3-13)

で、 M ( s2 , s1 ) が輸送行列で、4x4 行列である。
水平方向の運動と垂直方向の運動とが独立の（カ(3-11)ップリングがない）場合には、x と y を分離して2x2 の輸送行列を扱うことができる。
輸送行列が便利であるのは、加速器の各構成要素毎に（あるいはさらに細かく）ビームラインを分割して、各要素の輸送行列がわかれば、全体の輸θ は設計上の軌道の曲げ角である。

送行列はそれを掛け合わせることで求められる

垂直方向には力が働かないので、からである。すなわち、一般に以下が成り立つ。

M ( sn , s1 ) =M ( sn , sn −1 ) M ( sn −1 , sn − 2 ) L M ( s2 , s1 )(3-19)⎛ 1 ρ 0θ ⎞⎛ y ⎞⎛ y⎞⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎝ y ' ⎠ext ⎝ 0 1 ⎠⎝ y ' ⎠ent

(3-20)(3-14)であり、又、リング１周の輸送行列 M ( L + s1 , s1 )（ L は周長）なども考えられ、リング N 周の輸送行列はこれのN 乗、M ( NL + s1 , s1 ) = M N ( L + s1 , s1 )

dy '
=0
ds

と書ける。

(3-15)

なお、ここでは、磁石の端面が設計軌道に垂直であると仮定し、端部での磁場の変化の効果を考えなどとなる。

なかった。磁石の端面が傾いていると、端部で水3.2.3. ２極磁石（bending magnet）

平垂直方向に収束または発散を引き起こす効果

normal n=1 の磁場中で粒子は水平方向に曲げらが生ずるが、ここでは詳しいことは省略する。
又、上の式では x, x' , y, y ' の２次以上の項は無視れる。
無限小角度を持つ扇型の磁石（曲率半径 ρ0 、角度している。

ds / ρ 0 とする）で、基準軌道（設計軌道）からの位置と角度のずれ ( x, x' ) の変化を考える。 図のように、基準軌道上で s が ds 進む間に粒子は磁場中を長さ ds ( ρ 0 + x) / ρ 0 だけ移動する(Fig. 4)。ここでは粒子のエネルギーのずれはないものとする
ので、角度の変化は磁場中を移動した距離に比例する。従って、その間の角度の変化は設計軌道の角度変化 −ds / ρ 0 の ( ρ 0 + x) / ρ 0 倍になるはず
で、角度の設計（基準）軌道からのずれの変化は、
これと −ds / ρ 0 との差になる。故に、 x' の変化はdx' d 2 xx
= 2 =− 2ds ds
ρ0(3-16)

Fig. 4 微小角度の扇型２極磁場内の運動となり、1 / ρ 02 に比例する収束力を持つことがわか

3.2.4. ４極磁石（quadrupole magnet）

る。一般解は４極磁石内の運動を考える。式(3-1)、(3-9)から

x( s ) = A cos(s / ρ 0 ) + B sin( s / ρ 0 )(3-17)

dp x= −ea2 x
ds(3-21)となり、これから、有限の設計角度変化を持つ扇型 の ２ 極 磁 石 の 入 口 の ( x, x' )ent と 出 口 のであり、ビームの設計運動量を p0 とすると、( x, x' )ext は以下のように書けることがわかる。

x ' = p x / p z ≈ p x / p0

⎛ cosθ
⎛ x⎞⎜⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ − 1⎝ x' ⎠ ext ⎜ ρ sin θ⎝ 0

ρ 0 sin θ ⎞⎟⎛ x ⎞⎜ ⎟(3-18)cosθ ⎟⎟⎜⎝ x' ⎟
⎠ ent
⎠

なので、

dx'
ea
=− 2 xds
p0(3-22)

となり、垂直方向も同様に、

dy ' ea2y=dsp0であり、長さ l の磁石では、K =(3-23)
ea2 / p0 l として、

ea2 / p0 ≥ 0 の場合、水平方向に収束で、

eadx'= − 3 (x2 − y 2 )dsp0(3-31)

dy ' 2ea3
xy
=
ds
p0

(3-32)

である。６極磁場は非線形運動を引き起こすので、入口から出口への変化を輸送行列で書くこと⎛ cos K⎛ x⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ − 1K⎝ x' ⎠ext ⎜⎝ l sin

l sin K ⎞⎛ x ⎞⎟⎜ ⎟cos K ⎟⎜ x' ⎟⎠⎝ ⎠ent⎛ cosh K⎛ y⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ 1
K⎝ y ' ⎠ext ⎜⎝ l sinh

l sinh K ⎞⎛ y ⎞⎟⎜ ⎟cosh K ⎟⎜ y ' ⎟⎠⎝ ⎠ent(3-24)

はできない。
3.2.6. skew 4 極磁石
skew n=2 の磁場中では、式(3-1)、(3-10)から、(3-25)

ea2 / p0 ≤ 0 の場合、垂直方向に収束で、⎛ cosh K⎛x⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ 1
K⎝ x' ⎠ext ⎜⎝ l sinh

l sinh K ⎞⎛ x ⎞⎟⎜ ⎟cosh K ⎟⎜ x' ⎟⎠⎝ ⎠ent⎛ cos K⎛ y⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ − 1
sin K⎝ y ' ⎠ ext ⎜⎝ ll sin K ⎞⎛ y ⎞⎟⎜ ⎟cos K ⎟⎜ y ' ⎟⎠⎝ ⎠ ent(3-26)

dy ' eb2x=dsp0(3-34)るのでここでは省力し、長さが非常に短い場合の(3-27)

近似（thin lens）での輸送行列のみ書いておく。

⎛1
⎛ x⎞
⎜
⎜ ⎟
⎜0
⎜ x' ⎟⎜ y⎟ =⎜ 0
⎜
⎜ ⎟
⎜ y'⎟
⎜
⎝ ⎠ ext ⎝ k s

又、磁石の長さが短い場合の近似（thin lens 近似）
として、(3-28)

0 ⎞⎛ x ⎞⎟⎜ ⎟1 ⎟⎠⎜⎝ x' ⎟⎠ ent(3-29)⎛ y⎞⎛ 1 0 ⎞⎛ y ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎝ y ' ⎠ ext ⎝ ± k 1 ⎠⎝ y ' ⎠ ent(3-30)⎛ 1⎛ x⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎝ x' ⎠ ext ⎝ m k(3-33)となる。これを解くのは難しくはないが面倒になと書ける。

k = (ea2 / p0 )ldx' eb2
y
=
ds
p0

0

0

1 ks
0 1
0

0

0 ⎞⎛ x ⎞⎟⎜ ⎟0 ⎟⎜ x' ⎟(35)
0 ⎟⎜ y ⎟⎟⎜ ⎟1 ⎟⎠⎜⎝ y ' ⎟⎠ ent

ここで、

ks ≡

2b2
l
p0

(36)

である。

が使われることもある。
3.2.5. sextupole magnet

4. 横方向の運動
粒子のエネルギー（ビーム進行方向の運動量）は変化しないものとして、ビームの進行方向に垂直な方向（ x 方向、y 方向）の運動を考える。
厳密には、エネルギーが一定であることと進行方６極磁石について考える。６極磁石は色収差（粒向の運動量が一定であることは異なるが、「ビー子のエネルギーの違いによって生じる収束の違ム」とは位置と運動方向が（ある程度）揃った粒

いによる振動の位相のずれ）を補正するために広子の集団であり、各粒子の横方向の運動量は進行く使われている（後の節を参照）。

方向の運動量に比べて小さいと考えてよい。従っ式(3-11) から

て、

E' ≡

p z2 + mc 2

(4-1)

る収束（又は発散）を表す項であり、周上の同じと書くと、粒子のエネルギーはE=

p z2 + p x2 + p 2y + mc 2(

) (= E '+O p x2 E '2 + O p 2y E '2と書ける。ここで、 K ( s ) が磁場の４極成分によ点では同じはずなので、)K ( s + L) = K ( s )

(4-2)

(4-4)

という周期条件が成り立つ（ L はリング周長）。

となって、近似的に進行方向の運動量のみで決まる。

この形の方程式は「Hill の方程式」と呼ばれ、解が、x( s ) = a β ( s ) cos(φ ( s ) + φ0 )4.1. 閉軌道ある場所 s で ( x0 , x0 ' , y0 , y0 ' ) であった粒子が、１周したあとの同じ場所 s＋L で ( x1, x1 ' , y1, y1 ' )になるとする。 ( x0 , x0 ' , y0 , y0 ' ) = ( x1, x1 ' , y1, y1 ' )となるような粒子の軌道を「閉軌道」と呼ぶ。こと、振動の形に書けることが分かっている（そのような数学の定理がある）。ここで、 a と φ0 は初期条件から決まる定数（ s に依らない）で、 φ ( s )と β ( s ) には

こではエネルギーの変化や量子論的効果を考えないことにすると、ある時点で ( x, x' , y, y ' ) が与えられれば、その粒子のすべての運動が一意的に

(4-5)

1
dφ ( s )
=
β (s)
ds

(4-6)

決まるはずである。又、閉軌道にある粒子は閉軌の関係がある。さらに、 β (s ) は「ベータ関数」と道を永久に回り続ける。

呼ばれる非常に有名なパラメーターであり、周期

一般には閉軌道が存在しないこともあると思わ関数で、れるが、そのような場合はビームが安定に回らな

β ( s + L) = β ( s )いであろう。また、閉軌道が複数存在するかもし(4-7)

れないが、そのうちの１つを選ぶことに本質的なが成り立つ。β (s) が一定ではないのでこの運動は問題はない。従って以下では閉軌道が１つあると調和振動ではないが、振幅が変化する振動と見る

して話を進める。
s での閉軌道を ( xC ( s), xC ' ( s), yC ( s), yC ' ( s)) と書くことができる。この運動を「ベタートロン振動」

ことにする。そして、以下では、横方向の運動をと呼ぶ。
x(s ) を s で微分して、表す変数として、閉軌道からのずれを考える（ x → x − xC などとする）。

x' ( s ) = −a[sin(φ (s) + φ0 )β (s)+ α cos(φ ( s ) + φ0 )]4.2. ベータトロン振動(4-8)

が得られる。ただし、 α (s ) は
4.2.1. 線形運動の解
ここではとりあえず、 x 方向の運動と y 方向の運動に相互作用（カップリング）がないとして、x 方向の運動のみ考える（ x を y と書き換えれば全く

α ( s) ≡ −1 dβ ( s)
2 ds

(4-9)

同じように y 方向の運動を記述できる）。

と定義される周期関数である。
φ ( s ) は ベ ー タ ト ロ ン 位 相 の 進 み （ phase

運動方程式が線形であるとする（ x が微小で高次advance）と呼ばれ、一周した時の変化は、の項が無視できることを仮定）。すなわち、

x' '+ K ( s ) x = 0

(4-3)

s +L

φ ( s1 + L) − φ ( s1 ) = ∫ 1
s1

ds
β (s)

s1 ds
s1 + L dsds=∫−+
0 β ( s ) ∫0 β ( s ) ∫L
β (s)L

M ( L + s1 , s1 )(4-10)

であり、 β ( s ) が周期関数であることから、
s1 + L∫L

s1 + Ls1 ds '
ds
ds=∫=∫
(4-11)
L0β (s)β ( s − L)
β (s' )となり、

φ ( s1 + L) − φ ( s1 ) = φ ( L) − φ (0) = ϕ = 2πν (4-12)と書ける。すなわち、一周当たりの位相の進み ϕ は出発点に依らずに一定である。これを 2π で割っ⎛ cos ϕ + α1 sin ϕ⎜= ⎜ 1 + α12⎜ − β sin ϕ1⎝β1 sin ϕ⎞⎟
cos ϕ − α1 sin ϕ ⎟⎟⎠(4-14)となり、さらに n 周回った場合の輸送行列
M (nL + s1 , s1 ) は

M (nL + s1, s1 ) = M n ( L + s1, s1 )⎛ cos nϕ + α1 sin nϕ⎜= ⎜ 1 + α12⎜ − β sin nϕ1⎝β1 sin nϕ⎞⎟
cos nϕ − α1 sin nϕ ⎟⎟⎠(4-15)

たν は「チューン」と呼ばれる、これも有名（且であり、 M ( L + s1, s1 ) の位相の進みを n 倍すればつ重要な）パラメータである。

良いことがわかる。

4.2.2. 輸送行列

4.2.3. 運動の安定性式(4-5)と(4-8)から、任意の２点（ s1 、 s2 ）間の式(4-5)から、振動の振幅はリングを何回周回して輸送行列 M ( s2 , s1 ) は、も元の場所に戻れば同じであり、運動は安定であるように見える。しかし、必ずそうであるとは限M ( s2 , s1 ) =らない。式(4-3)の形の方程式の解は数学の定理に⎛
β2⎜(cosψ + α1 sinψ )⎜β1⎜⎜⎜ (1 + α 2α1 )sinψ + (α 2 − α1 )cosψ
⎜−β 2 β1⎝より必ず式(4-5)のように書けるが、ここで出てくるパラメータが実数である保証はない。実際、K (s) によっては、φ 、 β 、α が純虚数となることがある。この場合、実数パラメータ(4-13)

β = iβα = iα⎞⎟⎟⎟β1(cosψ − α 2 sinψ )⎟⎟β2⎠β 2 β1 sinψと 書 け る こ と が わ か る 。（ こ こ で 、ψ ≡ φ ( s2 ) − φ ( s1 ) と定義し、 β ( s1 ) を β1 、 α ( s2 ) を

α 2 などと書いた。）

a=

ϕ = 2πν とすると、

1− i
a
2

を導入すると、解は、x( s ) = a β ( s ) cosh(φ ( s ) + φ 0 )又、任意の２点間の輸送行列の行列式が１である
ことも確かめられる。
特に、1 周回った場合の輸送行列 M ( L + s1 , s1 ) は、

(4-16)

φ = −iφx' ( s ) = −

a

β (s)

[− sinh(φ (s) + φ 0 )+ α cosh(φ ( s ) + φ 0 )](4-17)(4-18)

のようになり、φ (s ) が大きくなると指数関数的にて得られる楕円の上にあるはずで、Fig. 5 のよう増大し、発散してしまう。このような場合には粒になる。さらに、何回も周回するときのここでの子を安定に周回させることができない。

x 2 、 xx' 、 x'2 の平均は、運動が安定であるかどうかを 1 周の輸送行列から

x2 = β a2 / 2

判断することもできる。式(4-14)から、輸送行列の対角和が、

Tr [M ( L + s, s )] = 2 cos ϕ

xx' = −α / a 2 2(4-19)

であり、 s に依らないことがわかり、運動が安定（ ϕ が実数）となる条件として、

Tr[ M ] ≤ 2(4-20)

x'2 =

1+α 2

β

(4-26)

a2 / 2であることも簡単に確かめられる。

が得られる。
（ ϕ が純虚数の場合、ϕ = −iϕ として、

cos ϕ = cosh ϕ > 1 である。）
4.2.4. Courant-Snyder 不変量
式(4-5)、(4-8)から、⎛ α ⎞x + β ⎜⎜ x'+ x ⎟⎟
β
β ⎠
⎝
1

=

2

2

1+α 2

β

(4-21)

x 2 + 2αxx'+ βx'2 = a 2となり、これは s に依らないことがわかる。これを、Courant-Snyder 不変量と呼ぶ。
又、
X≡

x

β

dX
α
X& ≡
= β x'+xdφβFig. 5 ある粒子の位置と角度は、何回周回しても(4-22)(4-23)

x-x’ 面上の一定の楕円の上にある。

4.2.5. エミッタンス
ビーム内の多数の粒子の分布を考える。ビームの位置と角度分布の広がりを表す量として、エミッという規格化座標を定義すると、タンスがある。定義は、

X = a cos(φ + φ0 )(4-24)εx ≡X& = − a sin(φ + φ0 )x 2 x'2 − xx'2(4-25)となり、調和振動の形になる。
一つの粒子が何回も周回するときのある場所での ( x, x' ) を考えると、式(4-5),(4-8)で φ を変化させである。

は全粒子の平均を表す。

エミッタンスは線形の運動、すなわち(4-27)

d 2 x( s )+ K ( s ) x( s) = 0
ds 2(4-28)と書ける場合保存する。それは、エミッタンスの
２乗、 x

2

2

x'2 − xx' 、を s で微分したものがゼロになることで確かめられる。又、同じことだとなる。ただし、ビームの中心の位置はゼロとする（ x = 0 ）。ここで、 a 2 cos 2 (φ ( s ) + φ0 ) は一般には不変でない（ φ ( s ) に依存する）ことに注意が必要である。従って、同じ場所（同じ β ）でビー
ムの大きさを見ても、周回する度にビームの大きが、輸送行列の行列式が１であることからもエミさが変化する。
特別な場合として、 φ0 が 0 から 2πまで一様に分ッタンスが保存することが導かれる。

布している（従って、 a と φ0 の間に相関関係がな

各粒子の運動は式(4-5),(4-8)で表されるが、全粒い）とすると、平均を取ることで、子の平均を取るには、初期状態で決まる振動の振幅( a )と位相( φ0 )についての平均を取ればよく、− a sin φ0 cos φ0

sin 2 → 1 / 2(4-32)

cos sin → 0

ε 2 = a 2 sin 2 φ0 a 2 cos 2 φ02

cos 2 → 1 / 2,とできるので、式(4-31)、(4-29)から

2

2
1
= a2
4
2⎞
2
1⎛
− ⎜ a 2 sin(2φ0 ) + a 2 cos(2φ0 ) ⎟4⎝⎠(4-29)ε=となる。この式で、φ0 に全粒子に対して共通の位

相 φ を加えてもこの量が不変であること、

a22(4-33)(4-34)であることがわかる。これから、σ x ( s ) = εβ ( s )a 2 sin 2 (φ + φ0 ) a 2 cos 2 (φ + φ0 )− a 2 sin(φ + φ0 ) cos(φ + φ0 )σ x ( s) = a β ( s) / 2(4-35)と書ける。このような場合には、ある場所での粒子の x-x’面上での分布は Fig.5 のような楕円状に

2(4-30)

なっており、どの周回でも分布は変わらない。ビ= a 2 sin 2 (φ0 ) a 2 cos 2 (φ0 )ーム粒子の分布の形が、ビームラインのパラメータである β 、α によって決まる形に合っているわ

2けである。このような状態を「マッチング」が取− a 2 sin(φ0 ) cos(φ0 )れているなどと言う。

すなわち、エミッタンスが不変量であることは簡単に確かめられる。（ a と φ0 は粒子毎に異なる量

ところで通常、粒子がビームパイプにあたって失である。）（特にアパーチャーの小さい場所で）何回も周回

われてしまうことをできるだけ避けるために、した時の最大のビームの大きさが小さいことが4.2.6. マッチング

求められる。マッチングが取れているビームは、ある場所でのビームの大きさとして、全粒子の位一定のエミッタンスを仮定した場合、最も小さい

置の標準偏差を取ると、最大のビームの大きさを与える分布でもある。
陽子などの加速器では粒子の分布は入射時にほσ x (s) ≡

2

x (s)

= β ( s ) a 2 cos 2 (φ ( s ) + φ0 )(4-31)

とんど決まってしまう。一方、電子、陽電子のリング加速器の場合は、後に述べるようにシンクロ
トロン放射の影響によって、時間とともに自然にほぼマッチングが取れた状態になっていくが、入が得られる。又、これと式(4-13)から任意の s で射直後のビーム損失を避けるためにはやはり入の Δx 、 Δx' も計算できる。
ϕ が 2π の整数倍の場合、すなわち、チューンが射時のマッチングは重要である。

整数のとき、式(4-38)の分母はゼロとなり、閉軌

4.3. 余分な磁場の影響

道のずれは発散する。チューンが整数であれば、

ここで、周上のある任意の短い場所（ s0 ～ s0 + ds ）周回のたびに毎回同じ位相で余分の角度変化をで余分な磁場があり、粒子に余分な力が加わった

被るので、振動の振幅がどんどん大きくなってい場合の効果を考え、簡単な共鳴（resonance）現

くのは当然である。これは、最も単純な共鳴現象

象についても述べる。

と考えることができる。

4.3.1. ２極成分の磁場

4.3.2. 4 極成分の磁場

まず、余分が２極成分の磁場である場合を考える。この時、粒子はこの場所を通るたびに一定の次に、余分の磁場が４極成分の場合を考える。
s0 で 余 分 の ４ 極 磁 場 K が あ る と す る と 、

角度変化を受けるはずであり、この角度を θ とす

s0 → s0 + ds の輸送行列は、る。
s0 で ( x0 , x0 ' ) で あ っ た 粒 子 が １ 周 し た 後 の⎛1
M ( s0 + ds, s0 ) = ⎜⎜⎝K

( x1 , x1 ' ) を考えると、 s0 → s0 + ds では、
x0 → x0
x0 ' → x0 '+θ

(4-36)は周長）元の１周の輸送行列を掛け、

β sin ϕ(4-37)⎞⎟⎛ x0 ⎞⎟⎟⎜
cosϕ − α sin ϕ ⎟⎜⎝ x0 '+θ ⎟⎠⎠となる。
（ β ( s0 ) 、α ( s0 ) を単に β 、α と書いた。）( x0 , x0 ' ) = (0,0)のとき ( x0 , x0 ' ) と ( x1 , x1 ' ) は等し

くならないので、(0,0) は閉軌道でなくなる。すな
わち、余分な２極成分の磁場は閉軌道を変化させる。
( x0 , x0 ' ) = ( x1 , x1 ' ) と式(4-37)から、閉軌道のずれ
として、

β ( s0 ) sin ϕθ2(1 − cos ϕ )− 1 + cos ϕ − α ( s0 ) sin ϕθΔx' ( s0 ) =2(1 − cos ϕ )(4-39)である。従ってリング１周の輸送行列は、M ( s 0 + L, s 0 ) =ds は微小であるとして、 s0 + ds → L + s0 では（ L⎛ x1 ⎞⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ x1 ' ⎠⎛ cosϕ + α sin ϕ
⎜
2
⎜ 1+α
−
sin ϕ
⎜
β
⎝

0⎞
⎟
1 ⎟⎠

β sin ϕ⎛ cos ϕ + α sin ϕ⎞⎜⎟⎛ 1 0 ⎞
2
⎜
⎟=
+
1
α
⎜−
sin ϕ cos ϕ − α sin ϕ ⎟⎟⎜⎝ K 1 ⎟⎠⎜β⎝⎠cosϕ + α sin ϕ + Kβ sin ϕβ sin ϕ
⎛
⎞
⎜
⎟
2
1
α
+
⎜−
⎟
sin
ϕ
K
(cos
ϕ
α
sin
ϕ
)
cos
ϕ
α
sin
ϕ
+
−
−
⎜
⎟
β
⎝
⎠

(4-40)
これはリング１周の輸送行列だから、修正された~~~パラメータ ϕ 、 α 、 β を使って

M ( s 0 + L, s 0 ) =~ ~~⎛⎜ cos ϕ + α sin ϕ⎜~2~⎜ 1+ α⎜ − ~ sin ϕ
⎜
β
⎝

⎞
⎟
⎟
~ ~
~⎟
cos ϕ − α sin ϕ ⎟
⎟
⎠
~

~

β sin ϕ(4-41)という形にかけるはずである。

Δx( s0 ) =式(4-40)と(4-41)の対角和を比べることにより、(4-38)~
1
1
Tr[ M ] = cos ϕ + Kβ sin ϕ = cos ϕ22(4-42)

とのように１周当たりの位相の進みが変化する
ことがわかる。 ΔKβ が小さいときは、４極磁場によって垂直方向の振動がどのように励起されるかを見る。
とりあえず、水平方向の振動は変化しないものと~1
ϕ − ϕ ≈ Kβ
2(4-43)

し、まず、skew４極磁場のある場所での x 方向の位置を周回回数 n の関数として、

で、チューンの変化で書くと、
1
Δν ≈
Kβ
4π

xn = A cos(2πν x n)
(4-44)(4-48)と書く。周回 n の瞬間に skew４極磁場によって垂直方向に受ける角度変化は、となる。
ここで、振動が安定となる条件は、式(4-20)から、~

2 cos ϕ = 2 cos ϕ + Kβ sin ϕ ≤ 2 (4-45)であるが、負でないパラメータ Δ⎛ Kβ ⎞Δ ≡ arctan⎜⎟⎝ 2 ⎠であり、これによって引き起こされる振動によるその後の周回での垂直方向の位置変化は、(4-50)Δy N = Δy 'n sin(2πν y ( N − n))(4-46)= Ak s cos(2πν x n) sin(2πν y ( N − n))のように書けるであろう。実際の振動は、以前の全ての周回で受けた角度変化の影響を足し合わを定義すると、この条件は、

cos(2πν − Δ) < cos Δ(4-49)

Δy 'n = k s xn

せたものであるから、(4-47)
N −1となり、ν が整数または半整数に近い場合には絶対値の小さな Kβ でも不安定になる可能性がある。

y N = k s ∑ xn sin(2πν y ( N − n))
n=0
N −1

= Ak s ∑ cos(2πν x n) sin(2πν y ( N − n))n =0

初めにわずかでも振動があれば、チューンが整数の場合、周回のたびに毎回同じ位相で同じ方向に角度変化を被るので、振動の振幅がどんどん大き(4-51)となる。ここで、

くなっていく。又、チューンが半整数であれば、

cos(2πν x n) sin(2πν y ( N − n))

周回毎に反対の位相で反対方向に角度変化を被=り、結果として毎回振動の振幅が大きくなっていく。これが、半整数チューンの場合の共鳴である。
4.3.3. skew ４極磁場
リングの一箇所に skew４極磁場がある場合の共

{ [

]

1
sin 2π (ν y N + (ν x −ν y )n)2+ sin 2π (ν y N − (ν x + ν y )n)[(4-52)]}

であるから、n について多数の和を取ったときにこれが大きくなるのは、(ν x + ν y ) 又は、 (ν x −ν y ) が整数に近い場合

鳴現象について定性的に考察してみる。skew４極
磁場は水平方向(x)と垂直方向(y)の運動のカップ
リングを生むので、両方向の運動を考える必要がある。
まず、初めに水平方向の大きな振動があるが垂直方向には振動がないとし、短い（thin lens）skew(ν x ± ν y ) ≈ integer(4-53)

のみであり、その時、

yN ≈Ak s Nsin(2πν y N )2と書けることがわかる。

(4-54)

(ν x + ν y ) が 整 数 に 近 い 場 合 を sum resonance,とがわかる。一方、difference resonance の場合(ν x −ν y ) が 整 数 に 近 い 場 合 を differenceには y 方向の振幅が大きくなるに従って x 方向の

resonance と呼ぶ。

振幅は小さくなっていく。より詳しい議論は省略

ここまで x 方向の振動は一定としてきたが、実際するが、この場合には振幅が x 方向と y 方向の間には y 方向の振動は x 方向の振動に影響を及ぼ

で交互に大きくなったり小さくなったりするよす。resonance の条件の場合にどうなるかを見る。

うな運動となり、発散することはない。

周回 n の時点で skew４極磁場によって水平方向に受ける角度変化は、

4.4. 弱収束と強収束
ここでは、円形加速器の２種類のビーム光学の例

Aks n
Δx'n = k s yn ≈ k ssin(2πν y n)
2(4-56)であり、それによって引き起こされる振動によ4.4.1. 弱収束
まず、全周に渡って磁場が一様の場合を考えよ

り、その後の周回での位置の変化は、う。全ての s で磁場が垂直方向のみで一定、すな
わち、 Bx = 0 、 B y = constant であるとすると、こΔxn + m = Δx'n sin(2πν x m)
=

を述べる。

Ak s2 nsin(2πν y n) sin(2πν x m)
2

(4-57)

れは偏向角度 360 度の２極磁石であり、3.2.3 節の議論から、角度 θ 分の水平方向の輸送行列はと書ける。これを以前のすべての周回について足⎛ cosθ
⎜M x,θ = ⎜ − 1⎜ ρ sin θ⎝ 0

し合わせ、元々の振動（式(4-48)）を加えると、

x N ≈ A cos(2πν x N )+Ak s2 N −1
∑ n sin(2πν y n) sin(2πν x ( N − n))
2 n =0= A cos(2πν x N )+[− cos 2πν x N + 2π (ν x − ν y )n(4-58)

ことにより、場所によらず

β x = ρ0αx = 0]}となる。これは、(ν x + ν y ) が整数（sum resonance）

ψ x =θ

(4-63)

ν x =1(4-64)であり、チューンは(4-59)(ν x − ν y ) が整数（difference resonance）の場合、⎡ k 2 N ( N − 1) ⎤x N ≈ A cos(2πν x N ) ⎢1 − s
⎥
4
2
⎢⎣
⎥⎦

(4-62)であることがわかる。また、位相の進みはの場合、⎡ k 2 N ( N − 1) ⎤x N ≈ A cos(2πν x N ) ⎢1 + s
⎥
4
2
⎣⎢
⎦⎥

(4-61)

ファ関数、位相の進みで表した式(4-13) と比べる

∑ n{cos[2πν x N − 2πn(ν x + ν y )n]n =0⎟cosθ ⎟⎟⎠と書けるが、これと輸送行列をベータ関数、アルAk s2 N −14

ρ 0 sin θ ⎞となる。
上の例の場合、垂直方向には収束力がないので安(4-60)となる。
以上のことから、sum resonance の場合には y 方向の振幅が大きくなるに従って x 方向の振幅もさらに大きくなっていき、運動が発散してしまうこ

定ではない。そこで、一様な垂直方向の収束力を加えることを考える。２極磁場だけでなく４極磁場の成分を付け加えれば良いが、垂直方向の収束力のためには同じ強さの水平方向の発散力が発生する（3.2.4 節参照）。従って、２極磁場による収束力を超えないような水平方向の発散力までは許され、同じ強さの垂直方向の収束力を得ることなることがわかる。

とができる。すなわち、あらゆる場所で一様な４

このように、全周に渡って水平垂直両方向に（ほ極磁場による発散（収束）ぼ）一様な弱い収束力を持たせるようなビーム光

a

K=

ρ 02

学設計を「弱収束 (weak focusing)」と呼ぶ。

, ( 0 < a <1)(4-65)

弱収束の場合、ベータ関数がリングの半径より必ず大きいので、加速器が大きくなるとベータ関数が大きくなり、従って横方向のビームの大きさもを導入することにより、運動方程式は（同じエミッタンスに対して）大きくなる。する
2

d x
ds

2

=−

x

ρ 02

+ Kx = −(1 − a ) x(4-66)

ρ 02と、磁石の磁極の間を大きくしなければならず、
巨大な磁石（電磁石の場合は巨大な電源も）が必要になる。このため、高エネルギーの加速器では

d2y

ay

ds

ρ 02

= − Ky = −2

弱収束は使われず、次に述べる「強収束 (strong(4-67)

focusing)」が使われる。

となり、両方向で収束とできる。

4.4.2. 強収束の例

この場合、角度 θ 分の水平方向の輸送行列は

強収束のアイデアを簡単に言えば、「収束と発散()⎛
cos 1 − aθ⎜⎜
M x,θ = ⎜− 1− asin 1 − aθ
⎜
⎝ ρ0

(

(

ρ0

)

)

⎞
sin 1 − aθ ⎟1− a⎟⎟cos 1 − aθ
⎟
⎠

(

)

(4-68)
垂直方向の輸送行列は( ) ρa sin ( aθ )⎞⎟⎟⎟ (4-69)( ) cos( aθ ) ⎟⎛⎜ cos aθM y ,θ = ⎜⎜a
sin aθ
⎜−⎝ ρ0とを組み合わせることにより全体としてビーム安定にできる」ということであろう。
ここでは、強収束の簡単な例として thin lens 近似で FODO の繰り返しの場合を見てみる。F は
focus、D は defocus を表し、O は何もない空間(drift space) を表す。Fig. 6 のような配置である。
ここで k1, 2 は４極磁場による収束（発散）の強さ、
d1, 2 は磁石間の空間の長さである。

0⎠となるので、

ρ0

βx =

1− a

(4-70)

ν x = 1− a(4-71)

Fig. 6 Thin lens FODO

αx = 0βy =による収束発散に比べて十分小さいとして無視する。
強さ k1 の４極磁石の中心（長さの半分）から次の

ρ0a以下、２極磁場による曲率からの収束は４極磁場(4-72)

αy = 0

強さ k1 の４極磁石の中心までの輸送行列は、水平、垂直方向各々について、thin lens 近似により

ν y = aθ(4-73)

⎛1
M x,1 = ⎜ k1⎜
⎝2
⎛ 1
M y ,1 = ⎜ k1⎜−
⎝ 2

0 ⎞⎛ 1 d ⎞⎛ 1
2⎟⎜⎟⎜
1 ⎟⎜⎝ 0 1 ⎟⎠⎜⎝ k 2⎠

0 ⎞⎛ 1 d1 ⎞⎛⎜ 1⎟⎜⎟ k1
1 ⎟⎠⎜⎝ 0 1 ⎟⎠⎜
⎝2

0⎞
⎟
1⎟
⎠

0 ⎞⎛ 1 d ⎞⎛ 1
2⎟⎜⎟⎜
1 ⎟⎜⎝ 0 1 ⎟⎠⎜⎝ − k 2⎠0 ⎞⎛ 1 d1 ⎞⎛⎜ 1⎟⎜⎟ k1
1 ⎟⎠⎜⎝ 0 1 ⎟⎠⎜ −
⎝ 2

0⎞
⎟
1⎟
⎠

⎛ cos μ + α1 sin μ⎜
M 1 = ⎜ 1 + α12⎜ − β sin μ1⎝β1 sin μ⎞⎟(4-78)
cos μ − α1 sin μ ⎟⎟⎠と書けるはずで（x, y の添字は省略）、これから、
ベータ、アルファ関数を計算することができる。
ここで、 μ はセル当たりの位相の進みである。

(4-74)となる。
リング全周がこの同じ要素の繰り返しで出来ているとしよう。このような繰り返しの単位をセル(cell) と呼んでいる。
リング全周の輸送行列は M x ( y ),1 をセルの数だけ掛けたものであるから、安定条件としてTr ( M ) ≤ 2 が得られる（4.2.3 節を参照）。具体的に書くと2 + (k1 + k 2 )(d1 + d 2 ) + k1k 2 d1d 2 ≤ 2
2 − (k1 + k 2 )(d1 + d 2 ) + k1k 2 d1d 2 ≤ 2(4-75)である。
特に、磁石間の距離が全て等しい（ d1 = d 2 = d ）場合の安定条件を考えてみよう。まず、k1k 2 ≤ 0 で

Fig. 7 「ネクタイ」形状の安定領域

なければ２つの不等式を同時に満たせないのは明らかであり、k1 ≥ 0 、k 2 ≤ 0 の場合だけ考えても

d1 = d 2 = d 、 k1 = −k 2 = k > 0 の特別な場合には、一般性は失われない。さらに２式を変形して、簡単に計算できて、

0 ≤ −(k1d / 2 + 1)(−k 2 d / 2 − 1) ≤ 1
0 ≤ −(k1d / 2 − 1)(−k 2 d / 2 + 1) ≤ 1(4-76)β1 =

2 (1 − kd / 2)
k (1 + kd / 2)

(4-79)β2 =

2 (1 + kd / 2)
k (1 − kd / 2)

(4-80)が得られ、これから

k1d / 2 < 1− k2d / 2 < 1( k1d / 2 − 1)(−k 2 d / 2 + 1) ≤ 1(4-77)(k1d / 2 + 1)(−k 2 d / 2 − 1) ≤ 1となる。これらの境界線を (k1d / 2, − k 2 d / 2) でプロットしたのが Fig. 7 である。安定な領域の形は「ネクタイ」と呼ばれている。
次に、ベータ、アルファ関数を考える。対称な場
所のベータ、アルファ関数は同じはずであり、これらは、式(4-13)から、である。
このとき、安定条件は、 kd / 2 < 1 であるから、大雑把には、ベータ関数は磁石間の距離（ d ）程度になることがわかる。加速器全体の長さが長くなっても、磁石間の距離は短く出来るので、周長が長い場合には弱収束の場合（ベータ関数はリングの半径より大）と比べて強収束の方がはるかにベータ関数を小さくでき、従ってビームの大きさも小さくできることがわかる。

η c = α c − γ −2

5. 縦方向の運動(5-7)

前節では粒子の進行方向の運動量は不変である

であることがわかる。ここで、γ ≡ E / mc 2 （ m はとしたが、ここでは運動量（エネルギー）の変化

粒子の質量）。

を考える。横方向の振動はないとする。

高エネルギーの電子加速器では、 γ −2 が非常に小5.1. momentum compaction

さいので、無視することができる。しかし、エネ

先に述べたように、閉軌道は粒子の運動量（エネルギー）に依存するので運動量の異なる粒子は異なる軌道を通る。そのため、リングを１周するのに要する時間も運動量に依存する。この時間（ T ）が運動量のずれによって変化する割合、

ηc =1 ⎛ dT ⎞⎜⎟T0 ⎝ dδ ⎠δ = 0

ルギーのあまり高くない陽子（またはより重い粒子の）加速器の場合には無視できない。
運動量のより高い粒子は一定磁場での曲率半径がより大きいので、閉軌道はリングの外側に膨れていく傾向がある。従って、非常に特殊な場合を除いて α c は正であり、高エネルギーのリング加速器では、 η c も正である。

(5-1)

ここでは詳しく述べないが、陽子（またはより重を「momentum compaction factor」と呼ぶ（ない粒子の）を円形加速器で加速していく場合、エネルギーの低いときは η c が負であるが、エネルギ

ぜこのように呼ばれるのかはよくわからない）。

ーが高くなると η c が正に変わる。その過程で、ち

ここで、運動量の相対的なずれをょうど η c = 0 のところ（transition）では不安定なδ ≡ ( p − p 0 ) / p0

(5-2)

運動が起きやすくなるため、特別な配慮が必要にとした（ p が粒子の運動量、p0 は設計運動量）。T0なる。
以下では、簡単のため、γ が非常に大きく、また、は δ = 0 での１周の時間 T である。

ηc = α c > 0

設計値からの運動量のずれが小さい場合、でも話の筋道は本質的には変わらない。

T − T0≈ η cδ
T0(5-3)

として話を進める。そうでない場合

5.2. 高周波による加速
ほとんどの高エネルギーの加速器は、高周波加速である。

空洞によって粒子を加速している。エネルギーがT の変化には、軌道の長さの変化の効果と、粒子一定であっても、電子の場合はシンクロトロン放の速さの変化の効果の両方が寄与する。
δ に対する周長を C (δ ) と書いたとき、射によって失われるエネルギーの分を補わなけ

1 ⎛ dC ⎞αc =⎜⎟C (0) ⎝ dδ ⎠δ = 0

ればならない。陽子の場合も、エネルギーや進行方向の分布をコントロールするために高周波加(5-4)

粒子は加速空洞を通過する度にエネルギー（ E ）というパラメータを導入すると、粒子の速さはv=

速空洞が使われる。
に変化を受ける。n 周目では、E → E + eV sin(ω (nT0 + t ) + ψ 0 )pc
p +m c
2

2 2

(5-5)

(5-8)

となり、 V は加速電圧のピーク値、 ω は周波数。
ψ 0 は基準となる位相である。 (t , E ) を粒子の運動で、さらに、を表すパラメータと考えることができる。簡単のT = C /v
なので、これらから、(5-6)

ため、加速空洞はリングに１箇所しかないとする。

ここで、何回周回してきても常に同じ (t , E ) となるような粒子を考える。（横方向の運動で、閉軌道を考えたことに対応する。）このような粒子を基準として採用すべきであるから、 (t = 0, E = E0 ) ととなる。ここで、 t が微小であるという仮定を使った（ ω t << 1 ）。又、ここでは U 0 は一定であるとした（この仮定は後の節では修正される）。
一方、式(5-3) から、する（ E0 は基準エネルギーを表す）。

dt≈ T0η cδdn

エネルギーが全ての周回で同じであるためには、シンクロトロン放射による１周当たりのエネル
ギー損失を U 0 として、 eV sin(ω nT0 + ψ 0 ) = U 0 が(5-12)

全ての n について成り立つ必要がある。故に、h をである。
これら２つの式は、eVωηc cosψ 0 < 0 の場合、調和整数として、振動の形を与えることがすぐにわかる。すなわω T0 = 2π heV sinψ 0 = U 0

ち、

(5-9)

Ω2 = −(5-10)という条件が得られる。
第１式は、基準粒子がリングを１周する時間が加速空洞の高周波の周期の整数倍になっていな
ければならないことを意味する。この整数 h を「harmonic number」と言う。
第２式は、基準となる時刻に通過する粒子は加速空洞から毎回放射によるエネルギー損失と同eVT0ωη c cosψ 0
E0(5-13)

として、
d 2t

d 2δ

dn

dn 2

= −Ω 2 t ,2= −Ω 2δ

(5-14)である。
一方、eVωηc cosψ 0 > 0 の場合には、指数関数的に発散する解を持ち、運動は不安定となる。

じエネルギーを得ることを意味する。（シンクロ
トロン放射によるエネルギー損失がない場合には、 U 0 = 0 ）5.3. シンクロトロン振動
運動を t （粒子が遅れる方向を正の向きとする）と 、（ γ が 非 常 に 大 き い と し て ）δ = ( p − p0 ) / p0 = ( E − E0 ) / E0 で記述することにする。これらは微小であると仮定して、１次の項の
みとり、また、リング１周では大きく変化しないとする。周回数を n とすると、式(5-8)、(5-10) から、

Fig. 8 高周波による加速の t 依存の様子
式 (5-10)を満たす位相には、異なる傾きを与えるUdδ eVsin(ω t + ψ 0 ) − 0
=
dn E0
E0

２つの解があるが、そのうちの１つは安定、もう１つは不安定な運動に対応するわけである。（先=eV[sin(ω t ) cosψ 0 + cos(ω t ) sinψ 0 ] − U 0 (5-11)E0
E0に述べた「transition」の瞬間には、安定な位相≈eVω cosψ 0
t
E0

う。）
当然、 eVωηc cosψ 0 < 0 として安定になるようにだったものが突然不安定な位相になってしましなければならない。この時、粒子の運動は周波数 Ω / 2π での調和振動になる。このような振動を「シンクロトロン振動」と言う。ただし、 Ω は周ていないと、エネルギーの広がりと（バンチ構造

回数に対して定義されている、「リング１周の間がある場合）バンチの長さが振動する。

の振動の位相の進み」であり、無次元の量である。

進行方向のエミッタンスを、

これを時間当りの周波数に直すには、１周の時
間、 T0 で割ればよい。

εz ≡

δ の振幅（ Aδ と書く）と t の振幅（ At と書く）に(ct ) 2 δ 2 − ctδ2(5-22)と定義すると、マッチングがとれているいないに

は、式(5-12)から、かかわらず振動の位相に依存せず、これは（各粒ΩAt = T0η c Aδ

(5-15)

子の振幅が変化しなければ）保存する。
特に、マッチングがとれていれば、

式(5-11)から、

ΩAδ =eVω cosψ 0
AtE0− T0η c E0
Aδ2
eVω cosψ 0

2(5-23)である。

の関係があり、結局、− T0η c E0Aδ
eVT0ω cosψ 0At =εz = c(5-16)(5-17)

6. dispersion と chromaticityという関係があることがわかる。また、s での δ と

前節ではシンクロトロン振動という粒子のエネ
ルギーの変化につい調べたが、普通は ΩT0 << 1

t は、 Φ を初期状態で決まる定数として、であり、粒子が何周かする間のシンクロトロン振動によるエネルギー変化は無視することができδ = Aδ cos(Ωs / cT0 + Φ )T0η ct = AδΩる。ここでは、エネルギー設計値からがずれていsin (Ωs / cT0 + Φ )(5-18)

る粒子の運動について重要なパラメータを紹介する。

と表すことができ、

6.1. dispersion2⎛ Ω ⎞ 2⎟⎟ t
Aδ2 = δ 2 + ⎜⎜⎝ T0η c ⎠(5-19)

先に閉軌道というものを考えたが、これはビーム
粒子のエネルギーに依存する。例えば、普通の加速器では、エネルギーが設計値よりも高い粒子はである。
横方向の場合と同様に、ビーム内の多数の粒子を考えるとき、振幅と位相に相関関係がない状態を「マッチング」がとれていると言う。この状態では、

設計軌道よりも外側を通るような閉軌道を持つ。
エ ネ ル ギ ー の ず れ を δ = ( E − E0 ) / E0 と し 、

xC (δ , s) 、 yC (δ , s) をエネルギーのずれ δ を持つビームの閉軌道として、各場所 s での「ディスパー
ジョン (dispersion)」を、以下のように定義する。

δ 2 = Aδ2

t2 =2

−T0η c E0
Aδ2
eVω cosψ 0(5-20)

2(5-21)

が成り立つが、マッチングが取れていない状態では、 δ 2 と t 2 の大きさが交互に大きくなったり
小さくなったりする。つまり、マッチングが取れη x (s) ≡dxC (δ , s )
dδ

(6-1)

η y (s) ≡dyC (δ , s )
dδ

(6-2)

又、角度ディスパージョン(angular dispersion)も同様に、

η ' x (s) ≡dx'C (δ , s )
dδ

(6-3)

η ' y (s) ≡dy 'C (δ , s )
dδ

(6-4)

ジョンのある場所に６極磁石が置かれる。式(3-31)(6-6) より、 xβ と y の１次までとって、とする。
軌道が完全に水平面内にあれば、 η y 、 η ' y は何処でもゼロである。逆に、水平面内で軌道が曲がっていれば、η x 、η ' x がゼロでない場所が必ずある。
また、 δ が小さい場合、

xC (δ , s) ≈ xC (0, s) + η x ( s )δ(dx' ea3=(η xδ + xβ ) 2 − y 2
ds
p0
≈

ea3
(η xδ )2 + 2 ea3 η xδ xβ
p0
p0

(6-5)

ずれを x とするとき、 x をエネルギーのずれによる部分とベータトロン振動の部分( xβ (s) )に分け
て、

(6-6)

)
(6-8)

となるが、ベータトロン振動のみに注目すると、
dx' βで、さらに、xC (0, s) を基準軌道としてこれからのx( s ) = η x ( s)δ + xβ ( s)クロマティシティを制御するためにディスパー

ds

=−

2ea3
η xδ x βp0(6-9)となり、エネルギーのずれに比例した線形の収束力が得られる。 y 方向についても、

dy ' 2ea3=
η xδ yds
p0(6-10)となり、 x 方向と比べて収束の絶対値は同じだが符号が逆である。

のように書くことができる。

６極磁石がない場合クロマティシティは負なの

6.2. chromaticity

で、これを補正するためには、エネルギーが高い

クロマティシティ(chromaticity)とは、チューン

ほど６極磁石での収束を強くしたい。つまり、
ea3η x が x 方向については正、y 方向については負のエネルギーのずれに対する依存性のことであり、

ξ x, y ≡dν x, y (δ )
dδ

(6-7)

と定義する。ν x, y (δ ) はエネルギーが δ ずれた粒子のチューンである。
もしも磁場が２極成分と４極成分だけだとすると、エネルギーが δ ずれた粒子に対してすべての収束力が (1 + δ ) −1 だけ弱くなることになり、チューンは小さくなる。従ってこの場合、クロマテ

でなければならないので、１個の６極磁石では両方は補正できない。
多くの場合、６極磁石を ea3 > 0 と ea3 < 0 の２種類用意し、両者とも η x > 0 の場所に置くが、 ea3 > 0のものは β x が大きく β y が小さい場所に置く。

ea3 < 0 のものは β x が小さく β y が大きい場所に置く。式(4-44)から、余分の収束力、発散力のチ
ューンへの寄与はその場所での β に比例するので、 x 方向、 y 方向共にクロマティシティを正の方向に補正できることがわかる。

ィシティは負になり、絶対値は大きく、ほぼチューンと同じになるであろう（ ξ x, y ~ −ν x, y ）。

7. シンクロトロン放射の影響

クロマティシティがあまり大きいと、ビーム内の7.1. シンクロトロン放射の性質

粒子のエネルギーの広がりによって、チューンに大きな幅ができる。結果として、共鳴を引き起こしたり、マッチングを取ることが困難になったりして、ビームが失われることもある。

荷電粒子が加速度運動をすると電磁波が放出される。特に、磁場によってビームが曲げられるときに出る電磁波をシンクロトロン放射と言う。シンクロトロン放射は、高エネルギーの電子（陽電子）加速器の場合に重要な現象であるので、以下を使って、では超相対論的な電子ビームを仮定して話を進をまとめておく。式の導出など、詳しいことは適

8 re mc − 2 uc ⎛ u ⎞S⎜ ⎟γ
27 h 2u ⎜⎝ uc ⎟⎠当な教科書を読んでもらうことにして、結果のみと書ける。ただし、 re は電子古典半径、 K 5 / 3 は変を書く。

形ベッセル関数（modified Bessel function）であ荷電粒子がその進行方向と垂直な磁場の中を進る。

める。ここでは以下で使用するための重要な性質

n(u )du =(7-7)

むと、進行方向に電磁波を放射し、エネルギーを∞∫0 S (x )dx = 1失う。１粒子が単位時間当たりに放出する、エネ
ルギーが u と u + du の間にある光子の個数の期待値を n(u )du と書こう。単位時間当たりに放出するであることから、全光子数の期待値は、∞

N = ∫ n(u )du
0

(7-8)

∞

∞

0

0

Pγ = ∫ un(u )du = uc2 ∫ xn(uc x)dx

(7-1)

= uc2

単位時間当たりに放出する全光子のエネルギーの期待値は8 re mc − 2 2re mc 3 γ 4γ =27 h 23ρ2(7-9)となることがわかる。これは、磁場の強さを B と∞Pγ = ∫ un(u )du
0

して、

(7-2)
Pγ =

１光子のエネルギーの平均は∞∫ un(u)du = Pγ
u = 0∞∫0 n(u)du N

2re e 2 c 3
3(mc 2 ) 3

E 2B2(7-10)とも書ける。

(7-3)

１光子のエネルギーの２乗の平均は

さらに、
N=

15 3 Pγ
8 uc

u=

8

(7-11)∞ 2∫ u n(u)duu = 0∞∫0 n(u)du2(7-4)などと書ける。この節では、光子についての平均を上バー（ ）で表す。
以下、結果のみ書く。粒子のエネルギーを E（ γ = E / mc 2 ）、磁場中での軌道の曲率半径を ρ をとして、まず、「critical energy」と呼ばれる

3 hcγ 3
uc =
2 ρ

uc

(7-12)

11 2
uc
27(7-13)15 3

u2 =などとなる。
uc がゼロでなく有限であり、N が無限大にならな
いのは量子力学的な効果（ h がゼロでないことの効果）である。このため後で見るように、粒子の(7-5)

エネルギーのばらつきが引き起こされる。
上ではエネルギーの変化のみ考え、粒子の方向のを定義すると、無次元の関数、変化は考えなかった。古典力学に従えば放射は進
行方向に対して対称に出る、すなわち粒子は放射

9 3 ∞
S (x ) =x K 5 / 3 ( y )dy
8π ∫x

(7-6)

によって方向が全く変わらないが、実際には量子

論的効果により放射される光子は 1 / γ ラジアン程τz ≈度の角度の広がりを持ち、その結果粒子の方向が

E0T0
U0

(7-18)

デタラメに変わる。ただし、この角度の広がりのとなる。

効果はほとんどの場合に無視できるため、以下で次に、横方向の振動の減衰であるが、ここでははこの効果を定量的に取り扱うことはしない。

Courant -Snyder 不変量の変化を考える。

7.2. 放射減衰

放射は進行方向に出るので、粒子の角度は変わらない。従って、放射の前後で x' 、 y ' は変わらない。
当 然 、 位 置 x 、 y も 変 わ ら な い の で Courant

7.2.1. 大雑把な話-Snyder 不変量は変わらない（あくまでも大雑把シンクロトロン放射によって、ベータトロン振な話である）。

動、シンクロトロン振動が減衰する。ここでは、

一方、加速空洞のところで、粒子は放射で失った

大雑把な話から、なぜ放射によって振動の減衰が分のエネルギーをビーム軸方向（全ての粒子につ起こるかを説明する。

いて、全ての周回について同じ）に補充される。

シンクロトロン振動の説明のところでは、１周当たりの放射によるエネルギーが定数 U 0 であると

つまり、横方向の運動量は変わらないが、ビーム仮定した。しかし、実際にはそうではない。単位

軸方向の運動量のみが補充される。補充されるエネルギーはほぼ U 0 、ビームのエネルギーは E0 で時間に放射によって失うエネルギー（放射のパワあるから、横方向の角度は、 E0 /( E0 + U 0 ) 倍になー） Pγ は、 E 2 B 2 に比例するから、１周当たりのる（小さくなる。Fig. 9 を参照）。U 0 / E0 << 1 としエネルギー損失は大雑把に E 2 に比例する。従って、x' → x'−(U 0 / E0 ) x'て、

従って、Courant-Snyder 不変量の変化は、

U = U 0 ( E / E0 ) 2 = U 0 (1 + δ ) 2 ≈ U 0 + 2U 0δ

(7-14)

Δa 2 = −2であり、式(5-11)、(5-14)は、と書ける（y 方向も同じ）。

(

U0αxx'+ βx'2E0)(7-19)

となる。
dδ eV
U
=
sin(ω t + ψ 0 ) −dn E0
E0eVT0ω cosψ 0
U≈
t−2 0δ
E0
E0

d 2δ
dn

2

= −Ω 2δ − 2

U 0 dδ
E0 dn(7-15)(7-16)
Fig. 9 横方向の運動の放射減衰の原理の説明。放のように修正される。U 0 / E0 << Ω の場合、c1 、c2

射によって運動量が AÆB、加速によって BÆCを定数として、一般解はと変化し、結果として横方向の運動量が減少す(δ = c1eiΩn+ c2 e−iΩn)e− (U 0 / E 0 )nる。

(7-17)となり、新たに加わった項が振動の減衰をもたらすことがわかる。減衰時間（damping time）は振幅が 1 / e になる時間と定義され、シンクロトロン
振動の減衰時間は、多数の周回についての平均をとると、式(4-26)により、

Δa 2 = −

U0 2
a
E0

(7-20)

であることがわかり、

a 2 ~ e −(U 0 / E 0 ) n⎛
1 dB ⎞
Pγ ≈ Pγ 0 (1 + δ ) 2 ⎜⎜1 +x ⎟⎟B
0 dx ⎠⎝≈ Pγ 0 (1 + 2δ + 2 ρ 0 Kx )(7-21)

2(7-24)のように減衰する。
Courant-Snyder 不変量の平方根が振動の振幅であるから、横方向の振動の振幅が 1 / e になる時間（damping time）は、

τ x ≈τ x ≈ 2となる。 K は磁場の変化率で、この項は複合型偏向磁石（combined function bending magnet）のように、偏向磁場と収束磁場が同じ場所にある場
合に重要になる。

E0T0≈ 2τ zU0(7-22)

次に、粒子が Δs 進むのにかかる時間は

ΔT =

となる。
大雑把な見積では、横方向の振動の減衰時間は、

x ⎞
Δs ⎛
⎟
⎜⎜1 +
ρ 0 ⎟⎠
c ⎝(7-24)

縦方向の振動の減衰時間の２倍であることが分なので、（ここでも１次までとった） Δs 進む間のかった。

エネルギー損失は、

7.2.2. 少し細かい話⎛
x ⎞ Δs⎟
ΔE = Pγ 0 ⎜⎜1 + 2δ + 2 ρ 0 Kx +
ρ 0 ⎟⎠ c⎝

ここで、時間当りの（超相対論的ビームを仮定するので粒子の軌道長当りと言っても同じ）エネル
2

2

ギー損失が、 E B に比例することを使ってもう(7-25)となる。

少し詳しく話を進める。ただし、量子論的効果はここで、各方向の振動の放射による変化を考える
ため、 x を、式(6-6)の様に、 x = ηδ + xβ と分解す

考えず、又、設計上の偏向磁場がない場所での Bると、は小さいので、そのような場所での放射の効果は無視する。又、設計軌道は水平面内にあるとして、
垂直方向の B だけ考え、また、 B は垂直方向の位置によらないとする。
ある場所 s での１粒子の状態を、 ( x, x' , y, y' , t , δ ) と表し、 s から s + Δs の微小な区間での放射を考える。このとき、設計軌道（基準軌道）( x, x' , y, y ' , t , δ ) = (0,0,0,0,0,0) にある粒子の放射によ−ΔE= Pγ 0
=

1 ⎞ ⎤
η ⎞ ⎛
Δs ⎡ ⎛⎟x ⎥⎟⎟δ + ⎜⎜ 2 ρ 0 K +⎢1 + ⎜⎜ 2 + 2 ρ 0 Kη +c ⎣⎢ ⎝
ρ0 ⎠ ⎝
ρ 0 ⎟⎠ β ⎦⎥⎤2r mc 3γ 04 ⎛⎜ K
1 ⎞
Δs ⎡
2
+ 3 ⎟ ηδ + xβ ⎥⎢ Pγ 0 (1 + 2δ ) + e⎜ ρ0 ρ ⎟
3
c ⎢
⎥⎦
0 ⎠
⎝
⎣

(

)

(7-26)るエネルギー損失を、 Pγ 0 Δs / c と書こう。 Pγ 0 はとなる。

基準となる粒子の時間あたりのエネルギー損失

まず、エネルギーのずれの変化を見る。リング１

で、周当たりのエネルギー損失を計算するには、上の式を全周に渡って積分すればよい。xβ は振動する
Pγ 0 =

2re mc3 γ 04
3 ρ 02(7-23)

ので、これを含む項は積分するとゼロになり、U 0 = ∫ Pγ 0である。ここで、ρ 0 は基準軌道の曲率半径、γ 0 は
設計エネルギーのエネルギーファクターである。
時間あたりのエネルギー損失は E 2 B 2 に比例する
ので、

Pγ = Pγ 0 (1 + δ )2 (B( x) B( x = 0) )2となるが、 δ と x は小さいとして１次までとり、

なので、

ds
c

(7-27)

⎡⎤
2r mc 2γ 04 ⎛⎜ K
1 ⎞+ 3 ⎟η ds ⎥δ2
U = U 0 + ⎢2U 0 + e∫⎜ ρ0 ρ ⎟
3
⎢⎣
⎥⎦
0 ⎠
⎝

となる。従って、Courant –Snyder 不変量の変化
は、 Δδ の１次の項のみとると、(7-28)⎛1+ α 2⎞
Δa 2 = −2Δδ ⎜xβη + α xβ η '+α x' β η + β x' β η ' ⎟
⎜ β
⎟
⎝
⎠

が得られる。
第２項がシンクロトロン振動の減衰を与える。
「大雑把な話」で出てきたのは、括弧内の第１項だけである。減衰を与えるこの項は、

2re mc 2γ 04 ⎛⎜ 1
Kη η ⎞⎟+ds δ
2 2 +2∫⎜ ρ
ρ 0 ρ 03 ⎟⎠3⎝ 0(7-37)となる。Δδ = ΔE / E0 だから、これと式(7-26)より、

Δa 2(7-29)とも書ける。
減衰時間の逆数を「（時間当りの）減衰率」と定義すると、減衰率は、「大雑把な話」での議論を=2

Pγ 0 Δs ⎡ ⎛
η ⎞ ⎛
1 ⎞ ⎤
⎟⎟δ + ⎜⎜ 2 ρ 0 K +⎟x ⎥⎢1 + ⎜⎜ 2 + 2 ρ 0 Kη +E0 c ⎣⎢ ⎝ρ0 ⎠ ⎝
ρ 0 ⎟⎠ β ⎦⎥⎛1 + α 2⎞xβη + α xβη '+α x' β η + β x' β η ' ⎟
×⎜
⎜ β
⎟
⎝
⎠
(7-38)

参考に、

2r mc 2γ 04 ⎛⎜ Kη
1 ⎡η ⎞⎟ ⎤=+
ds ⎥⎢U 0 + e∫⎜ ρ0 2ρ 3 ⎟ ⎥3
τ z E0T0 ⎢⎣
0 ⎠ ⎦
⎝
1

=

1 2re mc 2γ 04 ⎛⎜ 1
Kη
η ⎞⎟
+
+
∫ ⎜ ρ 2 ρ 0 2ρ 3 ⎟ds
3
E0T0
0 ⎠
⎝ 0

ここで、これの平均を取る。多数の周回にわたる平均と考えても、多数の粒子の平均と考えても良く、ベータートロン振動の式(4-5)、 (4-8)で φ ま
たは φ0 についての平均を取ることで得られる。すると、 xβ 、 x' β の１次の項は消え、(7-30)
Δa 2 = 2となることがわかる。
次に、x 方向のベータトロン振動の変化を見る。

x = ηδ + xβ

(7-31)

Pγ 0 Δs ⎛1 ⎞⎜⎜ 2 ρ 0 K +⎟E0 c ⎝
ρ 0 ⎟⎠⎡⎛ 1 + α 2
⎤
⎞
η
× ⎢⎜
+ α η ' ⎟ xβ2 + (α η + βη ') xβ x' β ⎥⎟⎢⎣⎜⎝ β⎥⎦⎠(7-39)

x ' = η 'δ + x ' β(7-32)と分解する。放射によって、 x 、 x' は変化しない
ので、放射による δ 、 xβ 、 x' β の変化を各々 Δδ 、

Δxβ 、 Δx' β とすると、
0 = η Δδ + Δxβ(7-33)

0 = η ' Δδ + Δx' β(7-34)と な る が さ ら に 、(xβ2 = β a 2 / 2 、)

xβ x' β = −α a 2 / 2 、 x'2β = 1 + α 2 / β a 2 / 2 である
ことから、

Δa 2 =

Pγ 0 Δs ⎛1 ⎞ 2⎜⎜ 2 ρ 0 K +⎟η aρ 0 ⎟⎠
E0 c ⎝(7-40)となる。リング１周での放射による変化はこれを全周で積分すれば良い。
一方加速空洞では、１次近似で、

であり、

Δxβ = −η Δδ

(7-35)

Δx' β = −η ' Δδ

(7-36)

Δxβ = 0(7-41)

Δx' β = −

U0
x' β
E0

(7-42)

ところで、一般に（垂直方向の軌道変化がある場
合でも）

だから、

1

Δa

2

(

U
= − 0 2 α xβ x' β + β x'2β
E0)

U
= − 0 a2E0
(7-43)

となる。

τx

Δa

⎛U
Pγ 0 ds ⎛1 ⎞ ⎞⎟ 2⎜⎜ 2 ρ 0 K +⎟η a (7-44)= −⎜ 0 −∫⎜Eρ 0 ⎟⎠ ⎟⎠⎝ 0 E0 c ⎝であり、a 2 の平方根がベータトロン振動の振幅を与えるので、減衰率は1
1 ⎡U 0 2re mc 2γ 04 ⎛⎜ Kηη ⎞⎟ ⎤=−+⎢∫ ⎜ ρ 0 2ρ 3 ⎟ds⎥⎥
τ x E0T0 ⎢⎣ 2
3
0 ⎠ ⎦
⎝
=

η ⎞⎟
1 2re mc 2γ 04 ⎛⎜ 1
Kη
−
−
ds
∫
2
⎜ 2ρ
3
ρ 0 2 ρ 03 ⎟⎠E0T0⎝ 0(7-45)となる。これと、 1 / τ z の結果と比べると、

3U 0
+
=
τ x τ z 2 E0T0
1

1

1

τy

+

1

τz

=

2U 0
E0T0

(7-49)という関係が成り立つ。
なお、各々の方向について、「damping partition
number」 J x, y , z を、

以上から、リング１周当りの a 2 の変化は、
2

+

U0
1
J x, y , z =2 E0T0τ x, y , z(7-50)のように定義すると、Jx + Jy + Jz = 4(7-51)

が成り立つ。
7.3. 放射励起
シンクロトロン放射によるエネルギー損失と、加速電圧によるその補填によって粒子の振動は減衰する。しかし一方では、（前節では考えに入れなかった）シンクロトロン放射の量子論的効果に
より粒子のエネルギーにでたらめな変化が生じるため、粒子の振動を励起する作用もある。これ(7-46)

を「放射励起」と呼ぶ。ここでは、放射による時間当たりの粒子のエネルギーの損失を、量子効果という関係があることがわかる。

も含めて考える。

最後に、y 方向のベータトロン振動の変化を見る。
設計軌道が水平面内にあると仮定しているので、
η y 、 η ' y はゼロとしてよく、放射による y 方向の

7.3.1. 基準エネルギーの再定義

ベータトロン振動の振幅の変化は無視できる。従って、加速空洞での振幅の変化のみ考えればよについて少し考え直す。
これまでは、E0 を基準となるエネルギー、E を粒く、x 方向の場合と同じで、Courant –Snyder 不子のエネルギーとして、 δ = ( E − E0 ) / E0 としてき変量の変化は、１周当り

たが、シンクロトロン放射のためにビームの平均U
Δa = − 0 a 2
E02

えねるぎーは一定でなく、加速空洞の後で高く、(7-47)となる。従って、減衰率は、
1

τy
である。

=

U0
2 E0T0

ここで下準備として、エネルギーのずれ δ の定義(7-48)

その後に小さくなっていく（Fig. 10 参照）。

次に Δ E 2 であるが、 Δ E ほどは簡単に計算できない。時間 Δt の間に多数の光子が放出される可能性を考慮していくと簡単な式が導けない。そこ
で、放出光子の個数がほとんどゼロになるように
時間 Δt を微小にとる（ NΔt << 1 ）。そうすれば、∞Fig. 10, 基準エネルギーの再定義

Δ E 2 ≈ ∫ u 2 n(u )duΔt
0(7-55)

以下では、図のように放射による損失を考慮して、場所に依存した平均エネルギーを E0 、場所にとなることはすぐにわかる。（光子が m 個出る確依存しない共通の基準となるエネルギーを E00 とは光子１個の場合のみ考慮すればよい。）

し、エネルギーのずれを

ここで、放射による、エネルギーの基準値からのずれ、δ = ( E − E0 ) / E00 の時間 Δt の間の変化 Δδ をδ≡

( E − E0 )E00

(7-52)

率は、 Δt m に比例するので、 Δt が十分小さい場合考える。まず、基準となるエネルギー（多数の粒子の平均エネルギーと考えることもできる）E0 は一定でなく Δt の間に Δ E だけ減少することに注と定義する。

意する。

7.3.2. 放射によるエネルギーのずれの変化
時間 Δt の間に放射によって失うエネルギーを Δ Eと書くことにする。
先（6.1 節）に述べた単位時間当りに放出するエネルギーが u と u + du の間にある光子の個数の期待値 n(u )du を使って、 Δ E の期待値 Δ E と、 Δ E 2

δ の変化の平均はゼロ、すなわち、

E00

ついての平均と考えてもよい）。
なお、放射エネルギーの、粒子のエネルギーのず=れや位置への依存性については、放射減衰のとこu ~ u + du の間の光子の個数の期待値は n(u )duΔtであるから、u ~ u + du の間の光子放出によるエネ
ルギー損失の期待値は、 un(u )duΔt で、∞

Δ E = ∫ un(u )duΔt
0

と書ける。

ΔE2 − ΔE

2

2

2
E00

(7-57)となる。
時間当たりの δ 2 の変化は、

Δδ 2
Δt

(7-53)=

ΔE2 − ΔE
2
E00
Δt

2

(7-58)

であるが、 Δ E ∝ Δt 、 Δ E 2 ∝ Δt であるから、となることは明らかであろう。これは、
Δ E = N uΔt = Pγ Δt

E − E0= 0 (7-56)
E00⎛ E − Δ E − (E0 − Δ E ) E − E0 ⎞⎟Δδ 2 = ⎜⎜−E00
E00 ⎟⎠⎝で表す。これを多数の粒子にろで考慮に入れているので、ここでは無視する。
ま ず 、 ΔE で あ る が 、 微 小 な エ ネ ル ギ ー 幅−

であるが、２乗平均、 Δδ 2 は、の期待値 Δ E 2 を計算してみる（各ビーム粒子に対する期待値をE − Δ E − (E0 − Δ E )Δδ =Δt → 0 とすることにより分子の第２項は無視で(7-54)

きて、

Δδ 2
Δt

∞ 2

∫ u n(u)du = N u 2
= 0
2
E00

2
E00

であることから、(7-59)⎛1+ α 2 2⎞
Δa 2 = ⎜η+ 2α ηη + β η '2 ⎟ Δδ 2
⎜ β
⎟
⎝
⎠

となる。

(7-66)

7.3.3. シンクロトロン振動の放射励起であることがわかる（先に述べたように、放射の、

やっと準備ができたので、まずシンクロトロン振x 、 δ への依存性は放射減衰に効くが、既に考慮

動の振幅の２乗しているので、ここでは無視している）。ここで、eVω cosψ 0 2tAδ2 = δ 2 +− T0η c E0

curly-H と呼ばれる関数(7-60)[ ≡1+α2が放射でどう変わるかを見る。第２項は放射で変化しないので、 Aδ2 の変化は δ 2 の変化に等しく、

Δt

u2

55

E00

24 3 E00

Δt =2

Δa 2 = [ Δδ 2
(7-61)

Pu
2 γ c

dn

=

55
24

T0
2
3 E00

周当たりの変化は、(7-62)

hr mc cγ 07 cT0 1= e∫0 ρ 3 ds
T0
0

d a2
55 T0
[ Pγ uc=2dn
24 3 E00(7-69)と書けることがわかる。ここで、となる（n は周回数）。さらに⎛ 1 ⎞Pγ uc = hre mc3γ 07 ⎜ 3 ⎟
⎜ρ ⎟
⎝ 0⎠

(7-68)

と書く。

( )

Pγ uc

(7-67)Δδ 2 について、前と同様の式の変形により、１

従って、1 周あたりの Aδ2 の変化は、

d Aδ2

η 2 + 2α ηη + β η '2を定義して、短く、ΔAδ2 = (δ + Δδ )2 − δ 2 = Δδ 2
=Nβ

[ Pγ uc =(7-63)

hre mc 2γ 7 cT0 [∫0 ρ 3 ds
T0(7-70)である。
ここでは、あえて、添字 x、y を付けなかった。
それは、x でも y でも全く同じ形に書けるからでである（ここでの上バーはリング全周での平均）。

ある。しかし設計軌道が水平面内にある場合、x方向の curly-H の設計値は有限であるのに対し、

7.3.4. ベータトロン振動の放射励起

y 方向の curly-H の設計値はゼロである。従って、

ここでは、ベータトロン振動の Courant –Snyder

x 方向の放射励起は y 方向に比べて大きい。ただ、

不変量 a の変化を見る。
x = ηδ + xβ 、 x' = η 'δ + x' β 、と分解して考え、前y 方向の励起がゼロになるわけではない。実際のと同じように放射による変化は、あるので、y 方向の curly-H も完全にゼロになる

2

加速器には、必ず磁石の設置誤差や磁場の誤差がことはない。また、6.1 節の最後に触れたように、

Δxβ = −η Δδ

(7-64)

厳密には放射によって角度のばらつきも生じる
ので、誤差のない完全な加速器であっても放射にΔx' β = −η ' Δδ

(7-65)

よる励起をゼロにすることはできない。実在する加速器では角度のばらつきによる励起は、誤差によって生じる curly-H による励起に比べて非常に従って、長時間経過後の xβ の確率分布は正規分布小さいと言われている。

に従う。ビーム内の多数の粒子を考えれば、xβ の7.4. 平衡エミッタンス

分布は正規分布になる。
x' β 、 y β 、 y ' β 、 t 、δ についても全く同じ議論に

7.4.1. 粒子が正規分布に従うこと

よって、正規分布になることが言える。

数学の「中心極限定理」によれば、同一の確率分布を持つ独立な確率変数の多数の和（あるいは平均）の分布は正規分布に近づく（個数を無限にした極限で正規分布になる）。でたらめなものをた
くさん足し合わせると正規分布になるのである。
入射後減衰時間に比べて長時間経過した後の xβは、正規分布になることを説明する。それまでの

又、放射励起は振動の位相に関係なく起きる（でたらめな位相で起きる）ので、結果として振幅と位相の間には相関がないはずである。従って横方向の粒子の分布は 4.2.6 節で述べたような、縦方向の粒子の分布は 5.3 節で述べたような、マッチ
ングのとれた状態になる。従って、各方向のエミッタンスは、振幅の２乗平均に比例した量になる。

放射励起による変化からの減衰振動の結果の和
7.4.2. 平衡状態となる。大雑把に、⎛ ( s − si ) ⎞⎟xβ ( s ) ~ ∑ Δ xβ sin(φ ( s ) − φ ( si )) exp⎜⎜ −cτ x ⎟⎠⎝
i(7-71)のように書ける（あくまで大雑把な式である）。
Δ xβ はある確率分布を持つ励起を表す（励起後の減衰振動は確率過程ではない）。ここで、減衰時間に比べて長い過去の励起の効果は減衰によっ

エミッタンスが変化しない平衡状態は、放射励起と放射減衰の釣り合った状態として、⎛ dε x, y , z ⎞⎛ dε x , y , z ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
+ ⎜⎜
=0
⎝ dn ⎠excite ⎝ dn ⎠damp(7-74)（excite は放射励起 damp は放射減衰の寄与を表す）と表される。
いくつかのリング１周分の積分をて消えてしまうので、「同一の確率分布を持つ」「多数の和」という条件を満たすには、放射励起

cT0 dsI3 ≡ ∫

cT0 ds0が減衰時間程度の間に非常に多くの回数起きることが必要である。この条件は、 Nτ >> 1

I2 ≡ ∫

0

E0
15 3 Pλ
、τ ≈
Pλ
8 uc

ρ03

(7-76)(7-72)
I4 ≡ ∫

であるから、

cT0 ⎛ 2 K

0

E0
>> 1
uc

(7-75)

と書

けるが、

N=

ρ02

(7-73)

であればよい。uc は１個の光子の持つ平均的なエネルギーである。１個の光子放出で粒子のエネル

1 ⎞⎜+ 3 ⎟η x ds
⎜ ρ0 ρ ⎟0 ⎠⎝I 5, x ( y ) ≡ ∫cT0 [ x(y)

0

ρ 03

ds

(7-77)(7-78)と書き（ ρ 0は正 ）、これまでの結果をまとめると、ギーの大きな部分が失われてしまうようなリング加速器のビームが安定であるとは考えられな
いので、この条件は実際上常に成り立つと考えてよい。

2T
2r γ 3⎛ dε x ⎞= − 0 ε x = − e 0 (I 2 − I 4 )ε x (7-79)⎜⎟
τx
3⎝ dn ⎠ damp⎛ dε y ⎞2T02reγ 03⎜⎟ε
I2 ε y=−=−y⎜ dn ⎟
τy3⎝⎠ damp7.5. 電子と陽子の放射の効果の比較(7-80)

シンクロトロン放射は電子加速器では重要だが、陽子や他の原子核の加速器ではほとんど考える

2T
2r γ 3⎛ dε z ⎞= − 0 ε z = − e 0 (2 I 2 + I 4 )ε z (7-81)⎜⎟
τz3⎝ dn ⎠ damp

55 T0
⎛ dε x ⎞[ x Pγ u c=⎜⎟
2⎝ dn ⎠ excite 48 3 E00=

55 hreγ 05
48 3 mc 2=

55 hreγ 05
48 3 mc2

計算で確かめてみたい。
電子加速器の例として、エネルギー8GeV、半径500m の完全に円形なリング（実際の加速器には偏向磁場のない直線部があるのだが、ここでは無(7-82)視する）を考える。これは KEKB のパラメータに近い（同じではない）。

I 5, x⎛ dε y ⎞
55 T0
⎜
⎟
=
[ y Pγ u c⎜ dn ⎟
2⎝⎠ excite 48 3 E00

必要がないと言われる。ここではそれを大雑把な

陽子加速器の例として、エネルギー 7TeV、半径4500m の完全に円形なリングを考える。これはLHC のパラメータに近い（同じではない）。とこ(7-83)ろで、 Pγ ∝ E 2 B 2 であることを考えると、磁場の強さが同じであれば、エネルギーが高く曲率半径I 5, yが大きい方が放射のパワーは大きくなる。従って、現在（2012 年）LHC 以上にシンクロトロン

55 T0η c T0
⎛ dε z ⎞
c
Pu
=
⎜
⎟
2 γ c
⎝ dn ⎠ excite 48 3 Ω E00=

55 T0η c hreγ 05
I3
48 3 Ω mc

放射のパワーが大きい陽子加速器はない。
(7-84)となる。これらから、平衡エミッタンスが以下のように得られる。

(7-85)

55 3 hγ 02 I 5, y
96 mc 2 I 2(7-86)55
εz =96

3 hγ 02 T0η c
mc

I3
Ω 2I 2 + I 4

ワーの比は
4

⎛γ ⎞ ⎛ ρ ⎞=⎜ e ⎟ ⎜ e ⎟Pγ , p ⎜⎝ γ p ⎟⎠ ⎜⎝ ρ p ⎟⎠Pγ , e−2⎛1⎞≈ 24 × ⎜ ⎟⎝9⎠−2≈ 1300 (7-88)である。ここで、電子と陽子のパラメータに各々

55 3 hγ 02 I 5, x
εx =96 mc 2 I 2 − I 4

εy =式(7-23)から、電子の場合と陽子の場合の放射パ

添字 e と p を付けた。電子の放射パワーは陽子に比べ 1300 倍大きい。
さらに、放射による減衰時間は、τ ~ E0 / Pγ であるから、

τ p ⎛ E0, e ⎞⎟~⎜τ e ⎜⎝ E0, p ⎟⎠(7-87)

平衡エミッタンスを小さくしたり、減衰時間を短−1

Pγ , ePγ , p≈ 1.1 × 106(7-89)となり、陽子ビームの減衰時間が百万倍長いことがわかる。計算してみると、くするために、しばしばウィグラーが使われる。
軌道をリングに沿って曲げるための偏向磁石では水平方向のディスパージョンが大きくなり、I 2τ e ≈ 0.1 秒(7-90)

だけでなく I 3 、 I 5, x への寄与も生じる。直線部分

τ p ≈ 40 時間(7-91)にピッチの短いウィグラーを置く（向きが反対の偏向磁石を交互に置く）ことにより、 I 3 、 I 5, x をあまり変えずに、 I 2 を大きくできるからである。

である。

∂G1
∂x
∂G
p1 = − 1∂x1

8. Hamiltonian による扱いの例

p=

ビーム力学と言うと Hamiltonian 形式での記述がよく出てくる。Hamiltonian を使うと議論が抽象的になり実際の物理現象との対応が希薄になる気がすることもあるが、扱う問題によっては見

このとき新たな Hamiltonian は通しがよくなり、非常に便利である。粒子間の相H1 = H +互作用がなければ、各粒子の運動は Hamiltonian
で記述できるであろう。ここでは、１自由度の運動について Hamiltonian を使った簡単な例を説
明する。

(8-5)

∂G1
∂t

(8-6)

になる。
また、別の型の generating function G2 ( x, p1 ; t ) による ( x, p ) から ( x1 , p1 ) へ変数変換（正準変換）もHamiltonian とは何か、電磁場中の荷電粒子の運動を Hamiltonian を使って記述する方法など、詳しいことは述べない。
8.1. 準備

ここでは、Hamiltonian による１自由度の力学について以下で使用するための最低限のことを述べておく。詳しいいことは解析力学の教科書などを参照していただきたい。
１自由度の運動を記述する Hamiltonian は、一般化座標( x )、一般化運動量( p )と独立変数( t )の関数である。
H = H ( x, p ; t )(8-1)

このテキストでは、括弧内の独立変数の前にセミコロンを付けることにする。
Hamiltonian から、運動方程式
dx ∂H
=
dt ∂p

(8-2)

dp
∂H
=−
dt
∂x

(8-3)

可能である。
x1 =

H1 = H +

∂G2
∂t

(8-8)

変換後も運動方程式
dx1 ∂H1=dt∂p1(8-9a)

dp1
∂H
=− 1
dt
∂x1

(8-9b)

が成り立つことは上の関係式から直接確かめる
こともできる。
8.2. 横方向の運動の例

ベータトロン振動の規格化座標
X≡

(8-4)

であるので、Hamiltonian は独立変数を顕に含まないならば不変量である。
「generation function」 G1 ( x, x1 ; t ) により以下のような関係式を用いて ( x, p ) から ( x1 , p1 ) へ変数変換（正準変換）を行うことができる。

(8-7)

∂G2
p=
∂x

が得られる。また、これから、dH dx ∂H dp ∂H ∂H ∂H
=
+
+
=
dt
dt ∂x dt ∂p
∂t
∂t

∂G2
∂p1

P≡

x

β

α
dX
= β x'+xdφβ(8-10)(8-11)

が、線形近似で調和振動することから出発する。
（ X& のかわりに P と書いた。）

ここで、独立変数を ϕ ≡ φ /ν とする。ν はチューン、∂H
J& = −
=0
∂φ
∂H
φ& =
=ν
∂J

であり、 φ は振動の位相だから、 ϕ はリング１周
すると 2π 増える量である。Hamiltonian を⎞
1 ⎛ P2+ νX 2 ⎟H ( X , P; ϕ ) = ⎜
⎜
⎟
2⎝ ν
⎠

(8-12)

が得られる。ここで、文字の上の点は独立変数 ϕ でのを表す。第２式は ϕ = φ /ν からほぼ自明である。
また、少し計算してみればわかるように、実はとすれば、運動方程式
dX ∂H== P /ν
dϕ ∂X
dP
∂H
=−
− νX
dϕ
∂P

(8-19)J /ν は Courant –Snyder 不変量なので、第１式もすでに知っていることであり、ここまでの話は(8-13)

全く面白くない。
ここで、リングの中に余分な磁場があるとすると、変数の組を ( X , P) に戻して、が導かれることがわかる。（ ϕ の前のセミコロン⎞
1 ⎛ P2H ( X , P;ϕ ) = ⎜+ νX 2 ⎟ + ∑ an (ϕ )ν n / 2 X n
⎜
⎟
2⎝ ν
⎠ n

は ϕ が独立変数であることを示す。）
generating function(8-20)
1
G1 ( X ,φ ) = − νX 2 tan φ
2(8-14)のようにかけるであろう。 an (ϕ ) が n-極成分の余を使って運動を表す変数 ( X , P) を (φ , J ) に変え

分な磁場の強さのリングに沿っての分布を表し、ϕ の定義から周期 2π の周期関数でなければならる。すなわち、ない（ an (2π + ϕ ) = an (ϕ ) ）。
運動を表す変数 ( X , P) を (φ , J ) に変えると、

∂G
=P
∂X
∂G
= −J
∂φ

(8-15)H ( X , P;ϕ ) = νJ + ∑ an (ϕ )(2 J ) n / 2 cos n φn(8-21)an (ϕ ) は周期関数なので以下のように展開できより、る。
tan φ =J=−P
νX

1 ⎛⎜ 2 P 2 ⎞⎟
=
νX +
ν ⎟⎠
2 cos 2 φ 2 ⎜⎝νX 2an (ϕ ) =(8-16)∑

bnm exp(ikϕ )k = integer(8-22)

又、n

cos n φ = ∑ cnm cos(mφ )あるいは、逆に、(8-23)

m=0

X=

2J

ν

cosφ

(8-17)

P = − 2 Jν sin φ

H ( X , P;ϕ ) =νJ + ∑ (2 J ) n / 2 ∑∑ d nkm cos(kϕ − mφ ) (8-24)である。Hamiltonian は、

H = νJとなり、これから運動方程式、と展開しできるので、結局、

n(8-18)kmのように書けるであろう。
ここで共鳴について考えてみる。先にチューンが整数、半整数の場合の共鳴を見たが、その考えを

進めれば、小さな余分の磁場（磁場の誤差）が重要になるのは、チューンが整数プラス簡単な分数になっているか、またはそれに非常に近い場合であることが予測できるであろう。そのことは、上の式で、(kϕ − mφ ) = (k − mν )ϕ ≈ integer × ϕ

Hamiltonian から運動方程式∂H
J&1 = − 1 = Amr J1n / 2 sin( mrφ1 )∂φ1∂H
φ&1 = 1 = Δν + A(n / 2) J1n / 2 −1 cos(mrφ1 )∂J1(8-33)(8-25)

が得られるが、これを直接解いて運動がどうなっであることに対応している。実際、Hamilton 方ているかを調べるのは困難であろう。しかし、この Hamiltonian は独立変数 ϕ を顕に含まないの

程式から、

で運動の定数である。従って、運動方程式を解か
∂J ∂H
=
∂ϕ ∂φ

なくても任意の粒子の運動の軌跡が= ∑ (2 J ) n / 2 ∑∑ md nkm sin(kϕ − mφ )nk(8-26)

ΔνJ1 + AJ1n / 2 cos(mrφ1 ) = constant(8-34)mであるから、 sin(kϕ − mφ ) が短い周期で振動する
ようであれば、 J がどんどん大きくなって発散してしまうようなことはなさそうである。
以下、共鳴が起こるような場合のみ考える。すな
わち、と い う 線 上 に あ る こ と が わ か る 。（ こ れ は
Hamiltonian を使うことのよく知られた効用のひとつである。）
ここで、 n = mr = 3 の場合を具体的に見てみよう。
これは、6 極磁場成分によって、チューンが整数の 1/3 である場合の共鳴（third order resonance）(8-27)の話としてよく出てくる。（ビーム粒子をゆっくの場合を考え、 k = k r 、 m = mr の項のみを残す。

の状態を意図的に作り出すことが利用されるよν ≈ k r / mr = ν r

H ( X , P;ϕ ) = νJ + AJ n / 2 cos(k rϕ − mrφ ) (8-28)

りと取り出すためにこの third order resonanceうである。振動の振幅の大きくなった粒子のみを取り出すようにすることで少しずつビームを取ここで、 A は定数。そして、(φ , J ) から、(φ1 , J1 ) へり出す。）の変数変換を generating function

運動の軌跡は、G2 (φ , J1;ϕ ) = J1 (φ − ν rϕ )(8-29)

によって行うと、

φ1 =
J=

∂G
= φ − ν rϕ
∂J1
∂G
= J1
∂φ

ΔνJ1 + AJ13 / 2 cos(3φ1 ) = C = constant(8-35)

であるが、これは、

J1 +(8-30)

A 3/ 2
1
J1 cos(3φ1 ) =C = constantΔνΔν

(8-36)と書き直せるので、本質的なパラメータは A / Δν
１個だけである。さらに、 J1 に定数を掛けて、となり、対応する Hamiltonian は
2

H1 ( X , P;ϕ ) = ΔνJ1 + AJ1n / 2 cos(mrφ1 )(8-31)

で、チューンの共鳴からのずれを表した。

(8-37)と置けば（ J1 ≥ 0 に注意、また、 R は Δν と同じ符となる。ただし、Δν ≡ (ν − ν r )⎛ A ⎞R2 ≡ ⎜⎟ J1⎝ Δν ⎠(8-32)

号に取ることにする）、

R 2 + R 3 cos(3φ1 ) =2

1 ⎛ A ⎞⎜
⎟ C = constant (8-38)
Δν ⎝ Δν ⎠となる。これは、u = R cosφ1 、v = R sin φ1 とすると、

8.3. シンクロトロン振動

次に、縦方向の運動についても Hamiltonian を使った例を紹介する。
5.3 節の最初の式

1 ⎞⎛
2
2
⎛
⎞⎛
⎞
⎜ u − ⎟⎜ u + − 3 y ⎟⎜ u + + 3 y ⎟ = C0 (8-39)
3
3
3
⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠
と書ける。 C0 は定数。

U
dδ eV
=
sin(ω t + ψ 0 ) − 0
dn E0
E0

(8-40)

dt= T0η cδdn

(8-41)

Fig. 11 に、いくつかの C0 について u − v 面上での軌跡を描いてみた。式（8-38）から、この図が 2π / 3
回転対称になることは明らかであろう。 C0 = 0 となる３本の直線で囲まれた３角形の内部が R のから出発し、ω t << 1 という近似を使わないことに有限な安定な運動を表す。その外側の軌跡は、３する。

本の直線に近づきながら R が発散してしまうよ

簡単のため、運動を表す変数を、うな曲線となり、不安定な運動を表す。このような境界を与える線を「separatrix」と呼ぶ。
安 定 な 領 域 で の R の 最 大 値 は 、 (u , v) が 、()± 1 / 3,1 / 3 、 (−2 / 3,0) の場合で、 Rmax = 4 / 9 であることは簡単に確かめられる。 J1 = R 2 (Δν / A) 2 で

x = −ω t − ψ 0 + π(8-42)

p = −ωηcT0δ

(8-43)とすると、運動方程式はあるから、チューンが共鳴に近く（ Δν が小）、6
極磁場成分が大きい（ A が大）場合には J1 が小さ

dx
=p
dn

(8-44)

くなければ（従って、ベータトロン振動の振幅が小さくなければ）運動が安定にならないことがわ
かる。

⎡ eV
U ⎤
dp
= −ωη cT0 ⎢ sin(ω t + ψ 0 ) − 0 ⎥
dn
E0 ⎦
⎣ E0

(

= −Ω 02 sin x − 1/ b

(8-45))となる。ただし、Ω 0 ≡ ωηcT0eVE0b ≡ eV /U 0

(8-46)(8-47)とした。 b は「overhead voltage」と呼ばれ、加速エネルギーのピーク値と１周当たりのエネル
ギー損失の比である。
この運動方程式を直接解くのは難しいが、
Hamiltonian は簡単に
Fig. 11, Third order resonance 付近での運動の軌跡。

H ( x, p; n) =

1 ⎞
1 2
⎛
p − Ω 02 ⎜ cos x + x ⎟2
b ⎠⎝(8-48)

であることがわかる。（独立変数として、周回数 nの定義の仕方を考慮すると、これはタイミングがを選んだ。）早くなりエネルギーが小さくなっていく方向で

まず、Hamiltonian が独立変数を顕に含まないのあることがわかる。

で、運動の定数であり、

1 2
1 ⎞
⎛
p − Ω 02 ⎜ cos x + x ⎟ = constant2b⎝⎠(8-49)であることがわかる。
このような線を描いてみた例を Fig. 12 に示す。
真ん中の楕円様の図形の内部が安定な領域であり、これと不安定な領域を分ける separatrix が∝ のような形になっていることがわかる。又、不()

動点 x = sin −1 (1 / b), p = 0 には２種類あり、それぞれ、楕円様図形の中心（安定）と、separatrix の交点（不安定）である。
dx / dn = p であるから、粒子はこの図の線上を右回りに辿る（ p < 0 では左、 p > 0 では右向きに移動
す る ）。 従 っ て 、 不 安 定 な 粒 子 は 最 終 的 に は
x → +∞ 、 p → +∞ の方向に発散していく。 x と p

参 考 文 献[1] 小磯晴代、加速器セミナーOHO’91 テキスト
[2] 鎌田進、加速器セミナーOHO’2000 テキスト
[3] 大西幸喜、加速器セミナーOHO’2000 テキス
ト[4] Mathew Sands, “The Physics of Electron Storage
Rings an Introduction“, SLAC-121, UC28 (1970)[5] Helmut Wiedemann, “Particle
Physics”, Springer-Verlag

Accelerator[6] Helmut Wiedemann,
Physics (II)”, Springer

Accelerator“Particle[7] David C. Carey, “The Optics of Charged Particle
Beams”, Harwood Academic Publishers[8] ゴールドシュタイン、「古典力学」、吉岡書店

Fig. 12 縦方向の運動の軌跡