温暖化問題、討論のすすめ

エンジニアから見た
熱流体力学の数値シミュレーション
吉田英生
熱をともなう流体数値シミュレーションの意外な限界

パリティ 2011 年 5 月号のフォーラム

when I die and go to heaven there are two

でもご紹介したように，筆者は，エネ

matters on which I hope for enlightenment.

ルギー・資源学会が隔月発行する「エOne is quantum electrodynamics, and the

機械工学における数値シミュレーシ

ネルギー・資源」誌の 2009 年 1 月号とother is the turbulent motion of fluids. And

ョンの代表例は，加熱炉における燃焼

3 月号において，e-mail 討論「地球温暖about the former I am rather optimistic.”とやエンジンのピストン内における燃焼化：その科学的真実を問う」をコーデ語ったことは，ご存じの方も多いであなどである。両者ともに，実際は乱流ィネートした。登壇者は次の 5 名の方々3)

ろう 。

燃焼であることが多く，後者はさらにである（敬称略，五十音順，所属・役

ラムが楽観できなかった後者の乱流

非定常性も加わる。これらの現象は数

職は当時のもの）。赤祖父俊一（米国ア（turbulent flow）について，現在，完全値シミュレーションでどの程度正確にラスカ大学名誉教授），伊藤公紀（横浜に解明されたとはもちろん言えないが，予測できるだろうか？

国立大学工学研究院教授），江守正多

少なくともある種の乱流現象は人間が実は，これらの複雑な現象を例に挙（国立環境研究所地球環境研究センタ

数値シミュレーションで完全に再現でげるまでもなく，例えばブンゼンバーー温暖化リスク評価研究室長），草野完きるようになり，「数値風洞」という言ナーでメタンガスを層流（laminar flow）

也（海洋研究開発機構地球シミュレー

葉まで生まれた。1987 年，NASA（アで定常で燃焼させる場合でさえ，正確タセンタープログラムディレクター），メリカ航空宇宙局）のジョン・キム（Johnな予測は困難である。こういうと驚く

丸山茂徳（東京工業大学理工学研究科Kim）らが，壁乱流の直接数値シミュレ

読者も少なくないだろう。

教授）。メール討論の全文は，各論者のーション（direct numerical simulation，4)

メタンガスと空気（酸素）との反応論拠となるデータとともに，エネルギDNS）に成功したからだ 。すなわち，ー ・ 資 源 学 会 の ホ ー ム ペ ー ジ http:当時としては圧倒的な計算パワーを誇

CH 4  2O 2  CO 2  2H 2 O//www.jser.gr.jp/から自由アクセスしてる NASA のスーパーコンピューターをと理解する人が多いと思うが，この式ダウンロード可能である。インターネ用いて，乱流中の小さな渦に対してもはいわゆる総括反応，要するに結果的ットで公開したことにより，本 e-mail

十分な分解能で，流体に対する基礎方にはこの反応で代表されるだけで，現討論は，国内外の多数のサイトに引用

程式であるナヴィエ・ストークス方程実には中間生成物や活性種とよばれるされた 1)。なかでも，大学受験生用の小式（Navier-Stokes equation，以下 N-S 方物質が生成・消滅する多数の反応式か程式）を解き，信頼できる実験データら構成されている。燃焼に対してはいとのほぼ完全な一致を示した。それだ

ろんなモデルが提案され，それらは何論文問題の題材

2)としても用いられたのは，まさに望外の喜びであった。

は

この e-mail 討論の中で，筆者はあくけでなく，今でも測定困難な圧力変動十，何百という素反応の組み合わせにまでもコーディネーターとして中立なと速度変動の相関などを初めて定量的基づいているもの，もしくは寄与の小立場を貫いたつもりであるが，個人的に示した。

さい素反応を間引くなどしていくぶんには人為起源の温暖化説に疑問を感じ

計算負荷の点から実際に計算可能な式の本数を減らしたものがほとんどでている。筆者は気象学が専門ではない

レイノルズ数（Reynolds number）が低あるが，いずれの場合も所詮はモデルが，エンジニア─機械工学における熱い範囲にとどまるという欠点はあるもであって，そこそこの精度で予測でき流体工学を専門とする立場から，とりのの，単相（single phase）の乱流の基る場合もあるが，そうでない場合も少わけ数値シミュレーションにおけるモ

礎的解明は，これ以降，実験ではなくなくない 5)。

デル化の視点から考えてみたい。

DNS が主流になった。キムらの論文は，化学種が形を変える反応ではなく，乱流を厳密に再現できる直接
数値シミュレーションの威力

厳密な N-S 方程式を，厳密な境界条件

単に相が変化する場合，たとえば，水のもとで解けば，壁乱流においても実が沸騰して水蒸気になる現象や，逆に流体力学に大きな足跡を残したサ

現象を厳密に再現できるということを

空気中の水蒸気が窓ガラスに水滴となー・ホーレス・ラム（Sir Horace Lamb，実証した数値流体力学研究史上の金字って凝縮する現象など，不均質な現象1849-1934）が“I am an old man now, and塔の一つといえよう。

は，やはり正確な予測が難しい。確率<図１> 数値予報モデルにおける格子点<図２> 地球大気・海洋・陸地での諸現象過程を考慮した経験則を取り込んでも塩分 S の拡散方程式自ずと限界がある。

気候モデル：まず海洋の運動をシミュレーションするには次に，地球温暖化に関する議論で最重要柱である数値シミュレーションによる気候予測，いわゆる気候モデル（climate model）あるいは大気大循環モデル（general circulation model，GCM）について考えてみよう。日常の天気予
報も地球温暖化に関わる長期の気候予想も原理的には同じことで，<図 1>のような地球全体（全球）に対して<図 2>6)のような諸現象を考える 。
まず海洋の数値シミュレーションを考えてみよう。この場合の基礎方程式は以下のように表すことができる 7) 。
（必ずしも専門家とは限らない一般読者も対象としている本誌では式を用いるのは適切でない面もあるかもしれないが，数値シミュレーションの実際を理解する上では有用であると思うので，お許し願いたい。）
海水密度の状態方程式

  F T , S , P 

連続（質量保存）の式u v w
0x y z
運動方程式

1 P
Du
 fv   拡散項 xDt1 PDv
 拡散項
 fu   yDt01 Pg z

温度 T のエネルギー方程式

DT 拡散項Dt

そこで，雲の数値シミュレーションDS 拡散項Dtはどのようなモデルに基づいているの

ここで，海水の密度をとし，時間を t

成・消滅の素過程はミクロな現象であとする。また，局所的に直交する（東西，南北，鉛直）方向に対して，座標をそれぞれ（x，y，z），海水の速度成分をそれぞれ（u，v，w）とする。重力加速度 g，圧力 P，温度 T，塩分を S とする。f はコリオリパラメーターである。
専門外の方には見慣れない D の微分記号は，流体力学特有のものであるが通常の微分記号 d の仲間と考えてよい。
また，右辺にある拡散項というのは，左辺の D 微分の中に入った変数の 2 階微分に比例するものと考えてよい。
要するに，熱塩循環を考えるためには海水の密度を温度と塩分との関数とすればよく，連続の式，運動方程式，温度に対するエネルギー方程式，塩分か一例を挙げて紹介しよう。雲の生るが，空間をメートルあるいはキロメートル単位の計算格子で分割して行う
大気の計算には，そのような素過程を考慮するのは不可能に近いと言ってよ
く，ためにパラメタリゼーション（parameterization）という手法が用いられる。その具体例として，いささか古いがわかりやすさという点からスーザイ・スング（S.-T. Soong）・小倉義光のモデル 9)を以下に示す。
温位（断熱変化を考慮した温度）の式

DL  dQvs
 E r   拡散項
Dt c p  dt

水蒸気の存在割合 Qv の式

DQv dQvs
 Er  拡散項Dtdt

に対する拡散方程式を連立させる。乱流拡散をさほど無理のない経験則にしたがって評価し，実際の複雑な海中の地形を考慮し，さらに大気との界面における境界条件で風成循環を考慮すれば，数値シミュレーションはまずまずの精度でできるであろう。

雲粒の存在割合 Qc の式

DQcdQ  vs  Ar  C r  拡散項Dtdt
雨粒の存在割合 Qr の式

DQr 1 
Vr Qr  Ar  C r  E rDt
 z

気候モデル：つぎに大気─「雲をつかむ」のはやはり難しい

ここで，Qv，Qc，Qr の式の右辺に現れ地球表面の平衡温度を，入射エネル

る Ar，Cr，Er などは辺々加えると消えギーと放射エネルギーのバランスからてしまうので，水の諸形態の間の移行

簡単な仮定をして求めると-18℃程度になるが，実際には主に水蒸気による温室効果により 30℃以上も高くなる 8)。
もちろん二酸化炭素などのいわゆる温室効果ガス（greenhouse gas, GHG）の寄与もあるが，まずは水蒸気，そしてその密な集合体としての雲の挙動が重要である。

を表すことは直感的に理解できる。これらの項のパラメタリゼーションとして以下のようなモデルが導入される。

k1 Qc  a : Qc  a Ar  : Qc  a 0C r  k 2 Qc Qr0.875

<図３> 乱流の数値シミュレーション 1 1  Qv Qvs C Qr
Er 57
 5.4  10  0.41 10 es 0.525

 Vr  3634 Qr

0.1364（正しくは，モデル中の係数は関係物と，まず大規模渦シミュレーション

む必用のある気候モデルは，相対的に（large eddy simulation, LES）の時代とはまだまだ未熟であることも間違いななり，LES には高名な気象学者ヨーゼい（関係者のご努力とこれまでの進展

フ ・ ス マ ゴ リ ン ス キ ー （ Josephには心からの敬意を表するが）。しかも，Smagorinsky）の名を冠したモデルなど問題にしている温度変化も地球全体でが登場する。

1℃という，われわれの頭部と足下の間理量の次元を規定しないと意味をなさ

LES よりさらに遡ると，通称「乱流ないがここでは省略する。）係数の中にモデル」とも呼ばれることの多いレイ

結論として，現行の気候モデルに関は，物理的根拠をもつものもあるが単ノルズ平均数値シミュレーションして，くれぐれも謙虚さを忘れないこなる経験値であるものもある。もちろ（Reynolds averaged numerical simulation，とは重要である。そして，本稿を最後ん，このようなパラメタリゼーションRANS）となる。コンピューターが普及まで書き終えて振り返ってみると，廣は日進月歩で，予測値と観測値との比し始めた 1970 年代に精力的に研究が展

田勇「地球温暖化を見つめ直す」11)に書較などからチューニングが進んでいる

開された当時，方程式の数に基づいて，かれていることのごく一部を具体的にだろうが，それでも普遍性に欠ける場

k- 2 方程式モデル，レイノルズ応力 3表現したにすぎないことに気付いた。

合は少なくないだろう。

方程式モデルなどと呼ばれた（k とは，加えて重要なことは，そのような現それぞれ乱流エネルギーと乱流散逸）。

状での不確かさがたとえ払拭できたと

RANS は，瞬間ではなく（準定常的な）したにせよ，廣田勇 10)が強調するよう時間平均挙動を解析するもので，とりに「予測の議論でさらに難しいのは，わけ機械工学では，時間平均の抵抗係その当否を確認できない領域（時間・数や混合度合いが重要であることから，空間・状況）に踏み込もうとするときこの分野の研究は機械工学の独壇場とである。」 換言すれば，未確認の領域いっても過言ではない。そして，このに（希望的観測で）外挿的に用いられような歴史的にはいちばん古い RANSることに対する警鐘である。の最近の展開を後押ししているのが，再び乱流のシミュレーションにもどって最新の DNS から得られた知見である（<ここで冒頭に述べた乱流のシミュレ

図 3>）。

ーションに話を戻そう。乱流のシミュ

乱流モデルと気候モデルの歴
史的アナロジー

レーションは，何もモデル化せずに基おそらく現行の気候モデルも将来的礎方程式を直接解くのが原理的にはいには乱流モデルと似通った経緯，歴史

ちばん簡単であるが計算負荷がいちば的アナロジーを示すに違いないと筆者

ん重く，モデル化を進めるにつれ考えは考える。ただし，気候モデルの方は方は込み入っていくが計算負荷が軽く乱流モデルに比べて桁違いに多い因子なる（計算負荷を軽くするためにモデに支配される。因子の数は何桁違うのル化の知恵を巡らせるというのが正確）

か筆者には想像もつかない。乱流モデという特徴がある。つまり，大雑把にルにおける高次の因子（たとえば圧力表現すると，計算機の発達とともに，勾配，流線曲率，回転場，圧縮性の影

モデルはその衣を少しずつ脱ぎ捨て裸響など）への修正だけでもなかなか進に近くなってきたといえる。

まないことを考えると，宇宙からの影具体的に，DNS から時代を逆行するでも存在する微小な量である。

響も含めた地球上の森羅万象を取り込

参考文献
1) H. Yoshida: Proc. of Int. Conf. on Power
Eng.-09 (ICOPE-09), 2-317 (2009).
2) よみうり入試必勝講座: よみトク小論
文 講 座 2009 年 4 月(2009).
http://www.yomiuri.co.jp/education/kouza/
kokugo/0904/k0904_1.htm
3) た と え ば Center For Turbulence
Research: http://www.stanford.edu/group/ctr/articles/tackle.html
4) J. Kim, P. Moin and R. Moser: J. Fluid
Mech., 177, 133 (1987)
5) 三好明: 日本燃焼学会誌, 50, 154, 325(2008).
6) 気 象 庁 の ホ ー ム ペ ー ジ : http://www.
jma.go.jp/jma/kishou/know/whitep/1-3-1.html
7) 遠藤昌宏: 海洋大循環のシミュレーシ
ョン, 岩波講座 地球惑星科学 7 巻, 数値地球科学 (1997), p.127.
8) 小倉義光: 一般気象学 [第 2 版], 東京大学出版会 (1999), p.114.
9) S.-T. Soong and Y. Ogura: J. Atmos. Sci.
30, 879 (1973).
10) 廣田勇: グローバル気象学, 140, 東京大学出版会 (1992).
11) 廣田勇: 地球温暖化を見つめ直す,
環境新聞 2008 年 4 月 23 日と 30 日,「エネルギー・資源」誌でのメール討論におけるデータとして以下の URL からダウ ン ロ ー ド 可 能 ， http://www.jser.gr.jp/activity/e-mail/2009.3/3gw5-11.pdf