Hélène Esnault
Freie Universität Berlin(associée à Harvard U. et U. Copenhagen)Titre: Pourquoi faisons-nous des mathématiques?
Résumé:Quelques éléments sur les raisons pour lesquelles nous
faisons des mathématiques, et la liberté qu’elles nous offrent.
ENS, 3 avril 2023
Un ami berlinois m’a envoyé il y a quelques jours le lien d’une interview de Daniel Cohn-Bendit au TAZ, le journal de la gauche allemande,alternative et verte. Comment comprend-il l’ ébullition en France, notamment la forte participation des jeunes au mouvement, alors que autemps de sa gloire, la jeunesse ne pensait pas à la vieillesse? Sa réponse
m’a frappée. Les Français disait-il ne croient plus en rien, hormis laliberté après la retraite. Pour préserver cette liberté, ils sont prêts à sebattre.
Pourquoi faisons-nous des mathématiques? Les réponses sont sûrement
aussi diverses que nous-mêmes. Il y a cependant une constante: lesmathématiques sont notre liberté.
Nous venons aux mathématiques par des chemins divers. Certains
par la physique, ou par l’informatique, ou par les sciences d’ingénierie,ou par la biologie. À un certain moment on veut structurer note activitétournée vers les applications, en comprendre les fondements, qui eux,
ne sont plus ancrés dans la vie, dans la société. C’est l’attrait de l’abstraction. D’autres encore par l’art, la poésie, la philosophie. Àun certain moment, on essaie de surmonter le subjectivisme lié à laperception de l’esthétique. C’est le critère du vrai-faux.
Parmi les moteurs des mathématiques on compte donc l’abstraction
et le critère du vrai-faux.
Nous qui pratiquons les mathématiques, et les développons, commençons en règle jeunes. Pour ce qui me concerne, l’abstraction et levrai-faux ont éclairé mon adolescence. Penser en termes d’arguments,
loin de la misère sociale et de l’incertitude du lendemain, loin des applications possibles ou pas (Hiroshima a sûrement contribué à éloigner
plus d’un des applications), décortiquer les différentes étapes de causalité,chuter si on a fait une erreur, tomber pile-poil sur l’assertion que l’onveut démontrer si l’argument est correct, m’a fait tomber amoureusedes mathématiques.
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Plus tard, quand les mathématiques elles-mêmes sont devenues lecentre de ma vie, l’abstraction et le vrai-faux sont alors devenus uneévidence. La tension permanente pour essayer de comprendre, la détressequand finalement un argument est faux, la joie indescriptible quandon sent monter un argument qui finalement va donner une solution,
le bonheur de pouvoir partager une idée avec quelqu’un d’autre, decomprendre celle de l’autre, de boxer avec pour essayer de sortir vainqueur, sont les éléments qui deviennent l’ossature de la pratique desmathématiques. Cette pratique comprend les rêves mathématiques,aussi l’aspiration de certains à la perfection, et mon propre refus decette notion.
Les rêves mathématiques se développent sur la base de ce que l’on
comprend, de ce que l’on ne comprend pas, et de comment on voudrait
que les choses soient pour qu’on puisse les comprendre. Le termed’usage est conjecture. Souvent, quand nous en formulons une, nous
ne faisons que rêver à voix haute: ce serait si bien si les choses étaientainsi. Il est rare que nous argumentions quand nous formulons une
conjecture. Au mieux, nous nous appuyons sur un morceau de théoriedéjà compris, sans que la théorie soit vraiment générale, et nous postulons que ce morceau contient déjà des règles générales. On pourrait
dire, pour faire bref, que on ne sait plus avancer, mais que aussi on nepeut plus reculer pour faire un détour, donc on postule que on peut
continuer comme on a commencé. Bien sûr l’image est chargée . . . etinspirée de Tucholsky.
Il est intéresssant de constater que les mathématiciens les plus éminents
utilisent de façon différenciée la notion de conjecture. Par exemple
Grothendieck n’avait peur de rien, il ignorait le vertige. Comme les
Encyclopédistes avant lui, dans un autre domaine, il se passait del’ Histoire, pensait partir de zéro. Ses conjectures standard visaientà donner une explication à la partie mystérieuse de la conjecture deWeil. À ce jour, nous ne savons pratiquement rien sur elles. Deligne
est ancré dans l’Histoire. Cela l’a aidé à prouver les conjectures deWeil, en contournant les conjectures standard. Parcimonieux, il veut
voir des évidences avant de formuler des généralités. Tout son corps
semble souffrir quand quelqu’un, dans le feu de la jeunesse, évoque ensa présence des conjectures de grande porté. Peter Scholze a formulé
une conjecture de grande généralité (ICM 2018, Conjecture 9.5) surl’existence d’une cohomologie sur les varitétés définies sur F̄p , à valeurdans ce qu’il appelle la catégorie de Kottwitz, qui a des points communs avec les espaces vectoriels sur Q. Nous sommes 70 ans plus tard,
le style est sûrement différent, mais je trouve un certain lien avec les3conjectures de Weil. De fait, la conjecture relierait, si elle pouvait être
comprise, la cohomologie ℓ-adique et la cohomologie crystalline.
La perfection est une aspiration de beaucoup de mathématiciens.
Une partie de cette aspiration provient de ce sentiment esthétiquequi nous remplit quand un argument voit le jour. C’est comme si
une nouvelle couleur naissait, ou une combination de couleurs qui
nous entourent. La lumière que cette couleur dispense nous éblouit,et nous remplit de joie. Dans l’euphorie, nous aspirons à la rendre
plus vive encore, à la consigner pour toujours, à la rendre éternelle.
Pourtant ce faisant, on oublie l’Histoire. Tous nos arguments sont inscrits dans l’Histoire. Et tous, je crois sans exception, deviendrons àterme une pièce d’un ensemble plus complet. En ce sens ils se trivialiseront. Ils garderont leur vérité au sens vrai-faux, mais perdrons de leuracuité. Ils seront généralisés, remplacés par des arguments plus incisifs
et plus économes pour notre cerveau. Ceci m’amène à combattre lediscours sur la perfection. Celle-ci est présente car nous sommes desêtres humains avec idéologie et croyances. Elle n’existe pas dans lesmathématiques.
Ce qui nous pousse plus loin en mathématiques est notre envie desavoir. Nous voulons savoir. Un peu comme quand on lit un polar bien
ficelé. On veut savoir. Au contraire du polar, nous avons au fond denous-mêmes la certitude qu’ il n’y a jamais de réponse à tout. Chaqueréponse individuelle ou en bloc porte le germe de nouvelles questions,de nouveaux problèmes. En ce sens, personne ne peut nous dérobernos mathématiques, et la liberté toujours renouvelée qu’elle nous offre.