それでは，前回の解答です．

x(0) º 1 º- 0 +f ¢¢¢(x)

第１問（Ⅲ C）となる．よって，f"(x) ≥ 0 であるから，f'(x) は

x > 0 において関数 f(x) を単調増加である．

x2 + 1x2 + 1 1
f( x) =log+ (x - 1)2 - x 2 log x222(2)で定める．
(1)

導関数 f'(x) が単調増加であることを示せ．

(2)f(x) ≥ 0 を示せ．

(3)正の実数 p,q について，不等式

Q 0 W

f ≤ (x)f'(1) = 0 であるから，(1) より，f(x) の増減表はx(0) º 1 ºf ¢(x)
- 0 +Q 0 Wf(x)となる．よって，f(x) ≥ 0 である．

p2 + q 2p2 + q 2log
22
1p2 log p2 + q 2 log q 2≥ - ( p - q)2 +22(3)(2) より正の実数 p,q に対してfが成立することを示せ．

ª qp º = 12 #!#"##$ª qp º + 1#%#&##'log 12 #!#"##$ª qp º + 1#%#&##'
1 ppp+ ª - 1 º - ª º log ≥ 02 qqq
222< 解答 >(1)

が成立する．q2 倍して整理すると

x2 + 1 x2 + 1x+∑ 2
22x +12+ ( x - 1) - 2 x log x - xf ¢(x)= x log= x logªºp2 + q 2p2 + q 22log- log q2221p2+ ( p - q) (log p2 - log q 2 ) ≥ 022p2 + q 2p2 + q 2log
2221p2 log p2 + q 2 log q 2≥ - ( p - q) +22x2 + 1- 2 x log x + x - 12x2 + 1x+ x∑ 2+12x +12- 2 log x - 2f ≤ (x) = logである．

x2 + 12x 2= log+ 2- 2 log x - 1
2x +1= log

2□x2 + 12- 2- 2 log x + 12x +1x
24x- +x 2 + 1 x (x 2 + 1)222(x 2 - 1)=x( x 2 + 1)2

f ¢¢¢(x) =である．よって，f"(x) の増減表は1

＜コメント＞
数学科の川崎です．今回の問題はいかがだったでしょうか？易しいと感じた人は微分がしっかり固1

常に f'(x) ≥ 0②

常に f'(x) ≤ 0

3ある a ( > 0) があってまっている人ですね．(1) で詰まったという人は，ま0 < x < a のときf'(x) < 0だ微分の練習不足です．多くの問題で使う考え方な

x = a のときf'(x) = 0ので，しっかりマスターしてください．

x > a のとき

f'(x) > 0のいずれかになります ( 単調増加というだけで 3

以下，設問ごとの補足です．
(1)f'(x) が単調増加を示すには，f"(x) ≥ 0 を示せだと決めつける人がいますが，それは間違いでば OK です．f"(x) を計算するところまでは皆です ) ．本問ではきるでしょう ( 計算ミスしないように！ )．ところが，ここで困ります．f"(x) の符号は自明ではなく，すぐに 0 以上だとは言えません．こんなときにx Æ•

より，3 だと分かります．すると，x = a のときf(x) は最小になり，示すことは f(a) ≥ 0 になり覚えておいてほしいのがます．

「困ったらもう一度微分する」

ここで，正体の分からない f(a) が正であるこということです．微分することで，増減表・グラとをどう示すか．f(a) が良い形であれば，相加相フが考えられ，関数の符号が分かることが多々あ乗平均の関係など有名不等式を使って示せるかもります．本問では f"(x) の符号が知りたいのですしれません．しかし，本問では f(a) はそのようが，y = f"(x) のグラフさえ描ければ x 軸との上な形ではありません．さてどうしたものかとなる下関係で f"(x) の符号は分かります．方程式・不わけですが，素朴な考えがこの困難を解決してく等式をグラフを描いて考えるのはよくある手段れます．それはですね．微分して符号が分からないからそこであ「a を見つける」

きらめるというのは一番やってはいけないことでというなんとも初歩的な考えです．実は方程式す．粘ってください．

f'(x) = 0 は解けるのです．(1) があるので，実数もう一歩話を進めておくと，f'(x) の符号を調解の個数は高々 1 個です．したがって，解を見つべるとき，符号が決まっている部分を除いて考えけてしまえば解けたことになります．f'(x) の式て構いません．例えば
f ' (x) =lim f ¢(x) = - 1, lim f ¢(x) = •xÆ+ 0をよーく眺めてみましょう．何を代入したら 0 にg(x)x2

なりますか？ log が消えないといけないですね．のような形であれば，分母 x は符号が正と確定

x = 1 が見えますか？見えたら勝ちです．

しているので，g(x) の符号を調べれば十分です．

このように，方程式の解き方として2g(x) を抜き出して微分すれば，計算量を減らすこ

1

グラフを用いて実数解の個数を把握とができます．

2

1 の個数だけ，実数解を見つける

解答はさらっと書いていますが，ここが本問のというものがあります．頭では分かっている単純最も難しいところです．f(x) の増減を知るためになことでも，いざやれと言われると意外とできな

f'(x) の符号が知りたいのですが，簡単には分かいと思います．頭の片隅に留めておいてください．

(2)りません．そこで，(1) を使います．

(3)(2) の利用がテーマです．x に何を代入したら良いかを考えましょう．示す式が p,q の同次式

f'(x) が単調増加であることから，f'(x) の符号としては2なので x =qpや x = として考えてほしいところ
pq

今回はここまでにしたいと思います．いよいよ夏がやってきます．受験生にとっては，受験の天王山です．

です．もっとも勉強時間のとれるときですので，悔いを残さぬようやりきって，秋に成長した自分と出最後に，f'(x) の零点を自力で発見する必要の会えるようにしてください．

ある類題を出しておきます．ぜひ自分のものにして（数学科ください．

類題a を実数とする．関数f(x) = x log

x
1- x+ (1 - x) log- 2 x 2 + 4 ax
a1- a

(0 < x < 1)の最小値を求めよ．

< 解答 >
真数条件より 0 < a < 1 である．
0 < x < 1 においてx1+ x∑
ax-11- x- log+ (1 - x) ∑- 4 x + 4a
1- a
1- x
= log x - log (1 - x)

f ¢(x) = log- (log a - log (1 - a)) - 4(x - a)1
1+-4x 1- x
(2 x - 1)2≥0=x(1 - x)

f ≤ (x) =であるので，f'(x) は単調増加で，f'(a) = 0 である
ことに注意すると
0 < x < a で f'(x) < 0 より f(x) は単調減少
a < x < 1 で f'(x) > 0 より f(x) は単調増加となり，最小値はf(a) = 2a2である．
＜解答終＞

3川崎）