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数理解析研究所講究録
第2044巻 2017年 61-68

日本参議院の非対称パワー指数による分析
武藤央 *1 穴太克則 *2
,

*1

:

芝浦工業大学大学院理工学研究科システム理工学専攻数理科学部門*2:芝浦工業大学システム理工学部数理科学科
Muto Hisashi

*1

:

*

1, Katsunori Ano*2

Graduate School of Engineering and Science, Shibaura Institute of Technology*2:

Department of Mathematical Sciences, Shibaura Institute of Technology
概要

多くの投票力指数 (パワー指数)の研究では,(1) 過半数で議案が通る,(2) 提携が生じる確率(対称と称す) であることを前提にしている場合が多い.(2) の条件を持つ投票力指数はシャプレイ
シュービック指数,バンザフ指数などがある.本研究では,(1) 2/3の賛成で議案が通るとき,および,(2) 各政党間の提携確率が非対称であるときに,各政党の影 力はどのように変化するのか,を日本参議院の議決データを基に分析する.
が同じ



1

はじめに
投票力指数の分析は過半数で議案が通る前提がほとんどである.日本では最近,憲法改正について話題になっている.日本において憲法改正には参議院,衆議院の両議院で2/3の賛成が必要である.
第190回国会において参議院の議席数は全体で242議席であり,憲法改正には163の賛成が必要である.また自民党の議席数は116, 民進党は64であるため両政党とも他の政党次第になってくる.しかし自民党のほうが議席数が多いため直観的には自民党のほうが憲法改正に有利な立場にいることは容易にわかる.しかし,投票力指数から見ても本当にそうであるかどうか,を検証してみたい.本研究では各政党が憲法改正においてどのく らいの影力を持っているのかを非対称パヮー指数を用いて考察する.2/3の賛成が必要な場合,民進党の影 力が大幅に増加することが判明する.尚,言うまでもな
いが本研究は特定の政党の立場を支持するものではない.

2対称なパワー指数
簡潔にシャプレイ
シャプレイ

シュービック指数とバンザフ指数を述べる.

シュービック指数は,協カゲームの解であるシャプレイ値をシャプレイとシュービッ

クが投票者の影力の評価に適用したものである.シャプレイ

シュービック指数ではある議案に対し,それに賛成するグループを作っていく ときに,ある投票者が賛成するグループに加わることによりそれまで勝てなかった提携が勝てるようになったとき,その投票者は影 力をもつと考える指数である.またその投票者をピヴォットと呼ぶ.ある投票者 i のシャプレイ与えられる.

$\varphi$_{i}=\displaystyle\frac{1}{n!}\sum_{s_{-\{i\} inL}^{S\inW} (s-1)!\times(n-s)!

シュービック指数は以下で

62

ここで, n は投票者の数, S は,ある投票者 i を含む勝利提携のうち, i が抜けると敗北提携になる提携, s は S に属する投票者の数, W は勝利提携, L は敗北提携.

バンザフ指数はある議案に対し,ある投票者が自らの態度を賛成から反対ないし反対から賛成に変えることにより,結果を可決から否決ないし否決から可決に変えられるとき,その投票者は影 力をもつと考える.またその投票者をスウィングと呼ぶ.ある投票者 i のバンザフ指数は以下で与えられる.

$\beta$_{i}=\displaystyle \frac{2\times|\{S\subseteq N:S\in W,S-\{i\}\in L\}|}{2^{n} =\frac{|\{S\subseteq N:S\in W,S-\{i\}\in L\}|}{2^{n-1}ここで, n は投票者の数 S はある投票者 i を含む勝利提携のうち, i が抜けると敗北提携になる提携, W は勝利提携, L は敗北提携.

日本参議院における対称パワー指数3

第190回国会が,本研究中では最も直近で利用できる投票行動データを持っていたが,その会期中に民主党と日本維新の会が合併し民進党となった.それゆえに,会期中に政党の解散や結成がなかった第189回国会 (平成27年1月26日 ~平成27年9月27日) の議案に対する各政党の投票行動

データを用いた.表1が第189回国会における主要6政党の議席数である.尚,議席数の多い6党のみを取り上げ,残りの政党は省いて考えている.
表1

政党の議席数

過半数で可決される議案を通すのに必要な票数は122票,憲法改正に必要な票数は162票である.
ここでは以下のように各政党を略語で表記する.
自民 : 自由民主党,民主 : 民主党新緑風会,公明 :公明党,
維新 :維新の党,共産 : 日本共産党,元気 : 日本を元気にする会

3.1

日本参議院におけるシャプレイ

第189回国会の議席数をもとにシャプレイ
表2

シュービック指数
シュービック指数を計算すると以下のようになる.

シャプレイ

シュービック指数

63

議案の可決に1/2が必要な場合は,自民が0.8と大きな影 力を持ち,民主,公明,維新,共産が力 元気に関しては影 力が 0 である.対して,議案の可決に2/3が必要な場合には,0.05と同じ影,自民の影 力が弱まり,民主の影 力が強くなる.

日本参議院におけるバンザフ指数

3.2

同様にバンザフ指数を計算すると以下のようになる.
表3

バンザフ指数

議案の可決に1/2が必要な場合は,自民が0.94と大きな影 力を持ち,民主,公明,維新,共産が0.06と同じ影 力,元気に関しては影 力が 0 である.対して,議案の可決に2/3が必要な場合には,自民の影力が弱まり,民主の影力が強くなる.シャプレイ

シュービック指数とほとんど同じ傾向だということが分かる.

対称なパワー指数の問題点

3.3

これまで計算してきたシャプレイ

シュービック指数とバンザフ指数は対称なパワー指数である\text{が_{\rangle} これらは各政党のどのような提携も同じ確率で形成されることを前提としている.

しかし現実にはそういうことはなく,例えば\bullet自民と公明が連立しているために,ある議案に対する賛成反対の投票行動が同じになりやすい,すなわち,同じ提携になりやすい.

.

自民と共産は違う提携になりやすい.ということがあるため) どのような提携も同じ確率で形成されるということは現実的ではない.
そこで各政党の関係や考え方の違いを考慮した非対称性を導入することによって,よ り現実的な指数を計算していく.各政党間の提携する確率をどのように計算するかがポイントとなる.

非対称なパワー指数

44.1

シャプレイオーウェン指数

シャプレイ

シュービック指数に非対称性を導入したものがシャプレイオーウェン指数である.

ここでは数量化 \mathrm{m} 類を用いて,提携が起こる確率を議案のデータから計算するための空間 (選好空間と呼ぶ) を構成し,その確率を求める.紙面の都合上,提携が生じる確率の計算方法は割愛します ([3]を参照).

64

4.2

非対称バンザフ指数

バンザフ指数に非対称性を導入したものが非対称バンザフ指数である.各政党が賛成に投票する確率を計算するために因子分析を用いて選好空間を構成した.
m次元立方体 [ −1, 1 ]^{m} を考える. m 次元の各軸は,各因子に対応し,ここでは数値の取りうる範囲が-1 から1の問に限る.さらに確率を計算するために,この選好空間を半径1/2の m 次元の球B_{1/2}^{m}に写して考える.選好空間 [ −1, 1 ]^{m} 上の点 z= (z_{1}, \cdots , z_{m})\neq(0, \cdots , 0) に対し,実数値を対応させる関数 d(z) を

j=1,\displaystyle \cdots,m\frac{y|z_{j}| {\sqrt{z_{1}^{2}+ z_{m}^{2} \leq 1\}d(z)=\displaystyle \sup\{y>0| \maxによって定義する.この d(\mathrm{z}) を用いて,B_{1/2}^{m} 内部の点 f(z) をf(z)=\left\{ begin{ar y}{l \frac{z}2d(z)}\ 0 \end{ar y}\right.

之\neq(0, \cdots 0)z=(0, \cdots 0)

によって定義する.

\vdash 1,1]^{\mathrm{m}図1m=2 の場合の f による写像の例

f は,原点からの方向を変えずに,またベクトルについてはその大きさを維持しながら, [ −1, 1 ]^{m} の境界面をB_{1/2}^{m} の球面に, [ −1, 1 ]^{m} の内部を B_{1/2}^{rn} に写す写像である.

65=1

図2

議案 $\xi$ に対する投票者 i が賛成する確率

議案は方向性をもったベクトル $\xi$= ($\xi$_{1}, $\xi$_{2}, \cdot , $\xi$_{m}) で表される.ここではベクトルの大きさを1,すなわち \sqrt{$\xi$_{1}^{2}++$\xi$_{m}^{2}}=1 と基準化する.議案 $\xi$ に対し,点 x^{i}=る投票者 i が賛成に投票する確率 p_{ $\xi$}^{i} を(x_{1}^{\dot{l} , \cdots , x_{m}^{i})\in B_{1/2}^{m} に位置す

p_{ $\xi$}^{i}=$\xi$_{1}x_{1}^{i}+\cdots+$\xi$_{m}x_{7}^{i_{r $\iota$}}+1/2によって定義する.議案 $\xi$ が与えられたときに,投票者の全体の組み合わせ N のうち勝利提携 S に属する投票者が賛成し,他の投票者が反対する組み合わせが起こる確率は\displayst le\prod_{\dot{$\iota$}\inS}p_{$\xi$}^{l}\prod_{i\nN-S}(1-p_{$\xi$}^{\ovalbox{\t smal REJ CT})で与えられ,この組み合わせに対してスウィングになる投票者を求めることができる.これをもとに1人の投票者をとったときに,この議案のもとで彼がスウィングになるような賛成,反対の組が起こる確率を計算することができ,彼がスウィングになる確率を計算することができる.
5日本参議院における非対称パワー指数
以下の第189回国会の議案の投票行動データを使用した. \mathrm{Y} は賛成, \mathrm{N} は反対を表している.

66

表4

議案に対する投票行動データ

データを見ると自民と公明の投票行動が酷似していることが分かる. \mathrm{K} の議案の1回のみ違う投票行動をとっている.また,自民と共産を比べてみると \mathrm{H} の2回のみしか同じ投票行動をしていないという ことがわかる.

5.1

日本参議院におけるシャプレイ

議案のデータをもとにシャプレイ
表55.2

オーウエン指数

オーウェン指数を計算した結果以下のようになった.

日本参議院におけるシャプレイ

オーウェン指数日本参議院における非対称バンザフ指数

議案のデータをもとに各政党がそれぞれの議案に賛成する確率を計算すると以下のようになった.

67

表6

各政党の賛成確率スウィングになる計算方法について自民を例にとって述べる.自民党がスウィングになる組み合わせは\bullet

自民 + 民主 + その他の政党 0\sim 4 つ\bullet

自民 + 民主以外の政党すべてである.自民から元気までをそれぞれ a, b,\cdots,f としそれぞれが賛成する確率を P_{a}, P_{b},\cdots,P_{f} とする.自民 + 民主が賛成でその他が反対になり,自民がスウィングになる確率はP_{b}(1-P_{c})(1-P_{d})(1-P_{e})(1-P_{f})となる.その他についても同様に求め,その合計が自民の非対称バンザフ指数になる.すべての非対称バンザフ指数を求めると以下のようになった.
表7

民主党の影 力は,シャプレイ.

非対称バンザフ指数

オーエン指数では0.01, 非対称バンザフ指数では0.77と大きく異なる結果が出た.指数の違いによるこの差の大きさと,シャプレイである.検討課題としたい.

6

まとめ今回の分析で判明した事実を簡潔にまとめておく.

オーエン指数での0.01は不思議68\bulletシャプレイ

オーエン指数以外の指数では,可決数を1/2から2/3にした際に民主の影 が強くなっていた.

理由としては,民主がピヴォッ ト,スウィングになる組み合わせが増えたことがいえる.可決数1/2のときの組み合わせが‐一自民 + 民主
自民 + 元気 + 民主

であるのに対し,可決数2/3のときの組み合わせが
‐

‐‐

‐

‐

自民 + 民主

自民 + 民主 + その他1党
自民 + 民主 + その他2党
自民 + 民主 + その他3党すべての政党となっているため,可決数2/3において民主の影 力が強くなっている.
\bulletシャプレイ

オーウェン指数を除いてその他のすべての指数において元気は可決数/2のときには 0 だったが可決数2/3にしたときに影力を持っていた.
元気は可決数1/2のときにはピヴォッ ト,スウイングになる組み合わせは存在しなかったが可決数2/3のときには‐

自民 + 公明 + 維新 + 共産 + 元気の組み合わせのときにピヴォッ ト,スウィングになっていたため,可決数1/2のときには 0だった影 7]が可決数2/3にしたときには小さい値ではあるものの影 力を持っていたと考えられる.
\bullet非対称バンザフ指数において可決数1/2から可決数2/3にしたときに民主の影 力が自民を上回った.

これについては大きな理由がわからなかった.ピヴォッ ト,スウィングになる組み合わせの数も1パターン自民のほうが多い.これについては今後研究をしていく上での課題とする.

参考文献[1] 穴太克則遠藤理世鈴木貴,非対称Banzhaf指数,Generalized Deegan‐Packel 指数による

1998年参議院選挙後における政党の影 力分析,(2000), 南山経営研究.
[2] 穴太克則遠藤理世鈴木貴,選考空間を構成せずに議案行動より直接計算する非対称Banzhaf
指数の一考察 (不確実なモデルによる動的計画理論の課題とその展望),(2001), 数理解析研究所

講究録,No.1207, p.127‐135.
[3] 参議院本会議投票結果,http: / \mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}.sangiin.go.jp/japanese/touhyoulist/touhyoulist html.