情報処理学会論文誌

Vol.56 No.5 1329–1338 (May 2015)

デザインの原理を用いた自由形状のイラスト美化手法
森本 有紀1,a)

高橋 時市郎1,2,b)

受付日 2014年8月1日, 採録日 2015年1月7日

概要：本稿では，自由形状のイラストをデザインの原理に基づき美化する手法を提案する．直線や楕円による単純な描画を美化制約に基づき美化する手法はこれまでにさかんに研究されてきた．しかし，それらの美化制約の自由形状への適応は挑戦的な課題である．本手法では，制約付きドロネー三角形分割を用いて，自由形状における局所的に関連の強い部分を効率的に探索する．また，本手法では，平行・滑らかさ・
形状類似性・共曲線性，のデザインの原理を美化制約として用い，自由形状を評価する．本手法は，形状評価，特徴保存平滑化，形状あてはめの 3 つのステップによって成り立つ．まず制約付きドロネー分割を行った入力に対して，デザインの原理に基づき形状を評価する．次に，形状評価値に，特徴保存の平滑化処理を行う．最後に，形状あてはめでは，複数の異なるデザインの原理に対して形状エネルギーを最小化し，最適な形状を生成する．既存手法との比較アンケートからは，本手法はより適切な美化ができることが分かった．
キーワード：非写実的表現，美化，曲線，自由形状

Freeform Illustration Beautification Using Design Principles
Yuki Morimoto1,a)Tokiichiro Takahashi1,2,b)Received: August 1, 2014, Accepted: January 7, 2015

Abstract: We present a method based on the design principles for beautifying freeform illustrations. Experiments showed that input illustrations are improved by our method. Although computational models that
apply beautiﬁcation rules to simple primitives have been extensively studied, deﬁning models that apply
these rules to freeform shapes remains a challenge. In this study, we use constrained Delaunay triangulation
to detect spatially and geometrically related local parts. Then, we combine a novel set of design principles
of organic geometries —parallelism, smoothness, shape similarity, and co-circularity—as beautiﬁcation ruleswith feature-preserving smoothing, which were independently applied in previous studies. Our method involves three steps: geometry evaluation, diﬀusion ﬁltering, and ﬁtting. The ﬁrst step involves the evaluationof geometric properties based on the design principles for constrained Delaunay edges. The evaluation results
are then smoothed while preserving their features. Finally, the ﬁtting step ﬁnalizes those shapes that are
best balanced by minimizing geometric energies among the diﬀerent design principles. Results from viewer
surveys indicate that our method beautiﬁes images adequately compared to the previous method.
Keywords: stylized rendering, beautiﬁcation, curve, freeform shape

1. はじめに
シンプルなイラストは医療や生物，教育など，様々な分野でよく使われている．たとえば患者は外科的な施術について，簡略化した図によって簡単に理解することができる．しかしながら，質の良い図を描画することは，簡単で
はない．

1
2
a)
b)

東京電機大学Tokyo Denki University, Adachi, Tokyo 120–8551, Japan
UEI リサーチ
UEI Research, Bunkyo, Tokyo 113–0034, Japanyuki@vcl.jp
toki@vcl.jp

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近年，PC ではマウス，携帯電話や小型 PC ではタブレッ
ト型のデバイスがよく使われているが，これらによって思いどおりに描画を行うのは難しい．これまでに CG や CHIの分野で描画された内容を整形する，または美化するたく

1329

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さんの研究が行われている [1], [2]．これらの研究は主に 2種類に分けられる．1 つは主に 1D の平滑化処理による方法，もう 1 つは 2D での線の関係に対して美化制約を適用する方法である．ここで，1D 平滑化処理による美化手法
は，入力内容をできるだけ損なわないことを 1 つの基準としているが，それでは入力内容の信頼性が低い，ノイズがある場合などの美化が難しい．一方，2D の美化制約を考慮した既存の美化研究は，直線や楕円でできたシンプルな図を対話的なスケッチシステムの中で美化するにとどまっている [3], [4], [5]．そこで本研究では，より積極的な美化を目指し，平滑化処理と美化制約の両方を考慮した，自由形状の線画を美化する手法を提案する．美化の対象は，マウスやペンタブレットによって入力された連続した線分で表されるポリラインである．また，写真から抽出した同じ

図 1形式で表される輪郭線も対象とする．
多くのイラストを観察すると，簡略化され，誇張されていることが分かる．イラストの美化での課題として，入力入力したポリライン（左上），本手法によって美化されたポリライン（右上），考慮するデザインの原理（下）．図は別々に美化を行った 3 つの結果を集めたものである

Fig. 1 Original polylines (top-left), the polylines beautiﬁedusing our framework (top-right), and design principles

したベクター画像の中で，強調すべき特徴を探すことがあ(bottom).

げられる．そこで本研究では，デザインの原理に基づき，
入力画像の特徴を定義する．デザインの原理（デザイン原表 1理）とは，デザインを行ううえでの法則，ガイドライン，

Table 1 Comparison of the target and basic algorithms for
proposed and previous methods.

人間の志向，および一般的なデザイン論からなる概念である [6]．特に本手法では，以下のようなデザインの原理を考

美化の対象および基本アルゴリズムの先行研究との比較

アルゴリズムと対象 既存の 2D 美化手法1 既存の平滑化手法 本手法[2], [4], [5], [9]2

慮する．(a) より簡略化された画像は理解しやすい，(b) 平
行や形状の類似などの画像内の規則性は見る人に心地良さを与える，(c) 連結していないが 1 つの曲線として認知できる線はデザインの複雑さを軽減する．(c) の 1 つの曲線

2D 美化制約の適用 

/



/





自由形状の扱い1として認知できる非連結の曲線を，共線に対し，共曲線と呼ぶ．これらの原理に従い，本手法では描画線の形状の特徴を強調しながら，簡略化する．図 1 にデザインの原理の[1], [2], [10], [11]

1D 特徴保存平滑化 /文字を美化する場合もあり，文字はプリミティブではないが，あらかじめ用意した形状を用いている．

2

例外として，文献 [9] では自由形状の連結の制約を扱う．

要素を強調する本美化手法の結果を示す．いくつかのデザ

る細長い領域で両側の頂点がドロネー辺によって連結されインの原理はゲシュタルトの法則としても知られている．

ているのが分かる．手描きのイラストや写真は多くの類似

これは部分的な形状情報から人間がそれらの全体の形や模した特徴を持つ線分によって成り立ち，全探索による特徴

様，意味を認知する際の心理的ルールをまとめたものであ

検出では，エラーが発生しやすい．そこで CDT による連る [7]．

結情報をデザインの原理に基づく形状の特徴を評価するた本手法では 2 次元制約付きドロネー三角形分割（以下，CDT：constrained Delaunay triangulation）を入力画像に対して行い，その 2D 空間での連結関係を，形状の評価および平滑化のために使用する．2 次元ドロネー三角形分割めに採用する．
本研究の主な新規性を以下にあげる．

( 1 ) 2D の美化制約と 1D の特徴保存平滑化手法を組み合わせたアルゴリズム

は，平面に点群が与えられたとき，最も近い頂点間で領域( 2 ) 形状評価のための CDT による効率的な探索方法

を分割してできるボロノイ領域に対し，隣接するボロノイ( 3 ) 事前計算やデータベースなどが不要

領域の頂点どうしを連結して得られる [8]．CDT は，さら表 1 は本研究の新規性に関連して，先行研究との比較をに頂点どうしの連結を部分的に行わない制約を付加するも示すものである．また，先行研究はスケッチを用いた対話のである．CDT は連結された 3 点の外接円が他の点を包的システムが多いが，本研究ではできあがった静止画に対含しないという性質上，共曲線性や平行性のある頂点を連する自動的な美化を目的とする．

結しやすい．このことは実際に線画に対して，ドロネー三2. 関連研究

角形分割が行われた図などを見ると分かりやすい．例として，図 2 の左端のニューロンの図では，ほぼ平行と見なせ

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Scientiﬁc Visualization は多くの研究分野で重要である．

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これまでに NPR 分野では，医療や産業のために 3D 情報をる現象である．Williams らは線の存在する確率場として

分かりやすくイラスト風に可視化するレンダリング方法が主観的輪郭線を表現したが，ぼんやりとしたものであっ提案されている [12]．画像処理分野では，画像認識の改善

た [17]．曲線性は平行性や近接性などとともにラスター画のためにコントラストを上げる手法が提案されている [13]．

像をベクトル化するために使われる特徴である [18]．Nan

いくつかの対話的な描画整形手法ではクロソイド曲線に

らは形状類似性，近接性，規則性，連続性，閉鎖性，など

よるあてはめが行われている [10], [11], [14]．クロソイドのゲシュタルトの法則を考慮した，建築物の描画を抽象化

曲線（またはオイラー曲線）は美的曲線として知られる，を行った [19]．連続性と閉鎖性は共線性に含まれる．提案

曲率が線の長さに対して線形に変化する曲線である．これ

手法のコンセプトは本手法と似ているが，建築物の抽象化らの研究では，手描きの描画線を部分的なクロソイド曲線に着目している部分が異なる．Fu らは線画の静止画からと弧，直線の 3 つで近似する．弧と直線の曲率は一定，まその適切な描画順を自動で生成する手法を示した [20]．本

たは 0 である．また，Thiel らは Elasticurves という描画手法では，認知的に連結している線を見つけるために，Fu

速度によって描画線の平滑化の度合いを決める手法 [1] をらの連結スコアの計算をベースとしている．

提案した．これらの手法では，ポリラインの 1D 上の連結

美化に関する興味深い研究として，Leyvand らが提案しでの鋭角などの特徴を保持した，線の平滑化が基本となった人間の顔写真をより魅力的に変形するものがある [21]．

ている．他に，Zitnick は 2013 年に自由形状の美化に関す

顔の形状データと主観評価によってその美しさを評価したる手法を提案した [2]．この手法では，類似の手描きの形状値に基づいた最適化手法により，画像変形を行った．このは平均することによってより良い形状になると仮定しておように美化手法にはデータベースとその学習に基づくもり，広義では特徴保存平滑化を基礎とした手法に分類できのもあり，効果的であるが，対象が絞られるなどの課題がる．しかし，この手法では，曲線近似ではなく，手描き形ある．

状どうしの平均化を行っているため，円のような完璧な形

3. 自由形状のイラスト美化手法

状は生成されにくい．
本手法もクロソイドによる先行研究と似たコンセプトに美化の処理は以下の流れで行う．

基づいているといえる．本手法では，魅力的なイラストは( 1 ) 入力 — 本手法では，ユーザのマウスによる描画，ま

曲率だけでなく，複数の滑らかな形状評価値の変化を持つ

たは，画像からの輪郭線抽出によって得られる 2D の線によって構成されているという仮定に基づいている．複

連続した点（ポリラインとする）を入力とする．ここ数の形状評価値を考慮することにより，平滑化の際の効果

での入力は，線分の集まりで自由形状を表すものであ的な特徴保存を実現する．

り，閉じたもの/開いたもの，交差，複数のポリライ

2D の美化手法はスケッチインタフェースとともに研究さンの集合，を含む．写真から輪郭線を抽出する場合，れてきた [3], [4], [9], [15]．Igarashi らの対話的美化手法 [5]OpenCV の cv::ﬁndContours により，写真から輪郭線

では，描画の過程で，すでに描画した線と新しく描画するを抽出する．この際，輪郭近似のアルゴリズムは文線を比較することで，対称・平行・端点の接続などの幾何学

献 [22] を採用した．

的制約を考慮した再配置の手法を提案した．また，文献 [9]( 2 ) 再サンプリング — 入力したポリラインは鋭角な特徴の美化手法では共線性を考慮した．しかしながら，これら点間で等間隔になるように再サンプリングを行う．鋭の研究は直線や楕円の組合せなどのとてもシンプルな図形

角な点は閾値を下回る角度を持つ点とする．

のみを扱っている．

( 3 ) CDT — ポリラインの頂点を入力として，CDT を行

Eigensatz らは 3D 形状を，曲率の操作によって直接編う．このとき，入力線の外側も処理の領域に含めるか集できる方法を提案した．彼らのアルゴリズムは曲面の主どうか，ユーザが選択することで CDT の制約を付加

曲率を評価することで曲率領域へ曲面をマップし，フィルする．

タリング処理や編集を行い，最適化を行うことで曲面の再構成を行った．部分的な近似 [10], [11], [14] による手法とは違い，本手法では Eigensatz らの曲率領域での処理とOhtake らの手法を組み合わせる．Ohtake らの手法は非線形の拡散で [16]，形状の値を強調し，分割する．線の分割
は 1 つのタスクであるが [15]，本手法では，弧・直線・鋭角・滑らかな線，を特別な分割処理を用いずに生成する．
さらに，本手法では曲率以外の形状値も直接処理する．
共曲線性は錯視として知られる主観的輪郭線に似ている．これは独立した線や輪郭線が連結しているように見え

c 2015 Information Processing Society of Japan( 4 ) 形状評価 — すでに述べた複数のデザインの原理によって，各頂点で形状値を評価する．

( 5 ) 特徴保存平滑化 — 評価された形状評価値に重み付き平滑化を行う．

( 6 ) 形状あてはめの最適化 — 入力形状を拡散した形状値にあてはまるように最適化する．

( 2 )〜( 6 ) はユーザが満足するまで繰り返す．このとき，鋭角の抽出は再サンプリングのためだけに行われ，拡散や最適化の処理には必要ない．
本研究では，良いイラストには，以下のような特徴を持つ

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図 2 CDT を用いた形状特徴の評価と平滑化のための頂点 vi におけるパス．括弧内は対応するデザインの原理を示す．赤い点線は同じ共曲線部分の残りの頂点を示す

Fig. 2 Examples of paths for evaluating and ﬁltering geometric properties on vertex
vi . The parentheses indicate the corresponding design principles, and the reddashed line denotes another vertex on the indicated co-circular part.

線が局所的によく見られると想定する．また，それらの評価の値と平滑化の近傍の定義を以下のように行う（図 2）．

• 滑らかさ（鋭さ）：曲率として計算され，入力線上で評価および平滑化を行う．

• 形状の類似性：曲率の絶対値として計算され，入力線上で評価し，入力線と CDT 上で平滑化を行う．

• 共曲線性：曲率として計算され，CDT 上で評価され，• 平行性：距離として計算され，CDT 上で評価され，入力線上で平滑化を行う．
形状の評価は，入力線の各頂点ごとに行う．入力頂点の集合 V = {vi : i = 1, . . . , m}．このとき頂点は vi ∈ IR2 ，m は頂点の総数である．Nall (i)，Nin (i)，NCDT (i) は viに連結する頂点の集合であり，それぞれ，連結するすべての頂点，入力線で連結するすべての頂点，CDT で連結する
すべての頂点とする．N E x と N S x はそれぞれ各デザイン
要素を評価および平滑化するための vi に連結する頂点の集合である．ここで x ∈ {κ, κu , co, d} であり，κ，κu ，co，d は曲率，曲率の絶対値，共曲線性，距離を示す．
本手法では，各美化制約に基づく形状の評価計算や平滑化処理において，隣接点を用いる．しかし端点など，連結頂点の集合に評価のための隣接点が存在しない場合は，評価の計算は行うことができない．このとき，平滑化の処理
ではノイマン境界条件に従うように，端点の値は入力線上で隣接する頂点の平滑した値を同じとする．また，最適化
計算では評価値が必要であるため，平滑化処理と同様に，端点では隣接点と同じ評価値とする．

sets of co-circular vertices c(k, l). Here the index of cocircular region r is 2.

とする．形状の見かけは頂点の順番（昇順/降順）によらず，曲率の大きさによるので，曲率の絶対値は形状の類似性を計算に用いる．向きの異なる形状でも曲率の大きさによって類似形状と判断することができる．このように，曲率評価の連結頂点の集合 N E κ は vi−1 ，vi+1 であり，曲率の絶対値の評価の連結頂点の集合 N E κu と一致する．
この曲率の求め方は，曲率の定義（曲率半径の逆数）に従ったものであるが，離散系においてはスケールに対して不変ではない．しかしサンプリング間隔の違いを考慮することができる．サンプリング間隔のわずかなばらつきによって，曲率は大きく変わる．スケール不変な方法としては，CSS（Curvature Scale Space）[23] と呼ばれる曲率の多重解像度解析を用いた方法が代表としてあげられるが，本手法では計算負荷の軽減のため，このような計算方法を用いる．他に，角度の差分から曲率を求める方法によっても，リング間隔のばらつきなどを考慮することができない [24]．

各頂点の曲率は入力線上で連続する 3 頂点

vi−1 ，vi ，vi+1 から計算される．正弦定理より，離散曲率Pκ (i) は以下のようにスカラー値として計算する．

離散共曲線性

共曲線の連結頂点の集合 N E co をまず連結スコアによって NCDT から見つけ，次にその共曲線性の値を求める．連結スコアは，Fu ら [20] の手法と同様に，(1)

ここで × は外積を表す．曲率の絶対値は Pκu (i) = |Pκ (i)|c 2015 Information Processing Society of Japan

connect(i, j) is evaluated. Other parts illustrate index

計算負荷も軽く比較的正確な曲率が求められるが，サンプ

3.1 形状の評価方法→ −−−→
2|−vi−v−
i+1 × vi vi−1 |Pκ (i) = −−−→ −−−→ −−−−−→|vi vi+1 ||vi vi−1 ||vi+1 vi−1 |の頂点番号の集合 c(k, l) を示す．ここでは r = 2 である

Fig. 3 Gray panel shows how the score of connectivity

さらに抽出された共線部分で平滑化を行う．

離散曲率

図 3 左の灰色の図は連結スコアの計算を示す．右図は共曲線部分

connect(i, j) = (θi + θj )2 |/|vi − vj |，j ∈ NCDT (i) で計算される．θi と θj は vi と vj の線と，それらと連結する線との角度を表す（図 3）．このとき，以下に該当する頂点 vi

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は共曲線から除外する．

( 1 ) |vi − vj | > thrclose( 2 )  vi > thrsharp( 3 ) connect(i, j) > thrdetect( 4 ) vi に複数の共曲線がある場合，連結スコアが最小でな
いもの


図 4

vi は 入 力 線 上 で 連 続 す る vi−1 ，vi ，vi+1 の 角 度 で あ

平行な頂点の抽出

Fig. 4 An illustration for detecting parallel vertices.

る．また，他の入力した線の間の CDT エッジをここでの計算対象にするかどうかをユーザが選ぶ．残った共曲線部分は処理に必要な近傍を含めた頂点番号の集合

c(k, l) ∈ k = 1, 2, . . . , r，このとき l = 1, 2, . . . , 4 として格納する．1 つの集合は平滑化のため 2 点の曲率が必要なため，4 点が必要である．r は抽出する共曲線の数である（図 3）．N E co (i) は c(k, l) から i の両隣を抽出したものである．本稿に示す結果の生成では，thrclose = 10（pixel），

thrsharp = 0.8π （radian），thrdetect = 35 としている．
共曲線性 Pco (i) は曲率として計算する．曲率の式 (1) と同様に次式で計算する．

図 5 特徴保存平滑化と最適化によって強調される形状値の例．黒線は入力線とそれに一致する曲率を示す．青線は特徴保存平滑化された曲率，ピンクの線は平滑化された値に最適化した形状とその曲率である．例では，入力時の最大曲率が最適化後に強調されている

Fig. 5 Enhanced geometry value by repetition of the ﬁltering

−−−→
2|−
vi−v→
ip × vi vim |Pco (i) = −−→ −−−→ −−−−→ .
|vi vip ||vi vim ||vip vim |(2)and optimization processes. The black lines show an
input and its corresponding curvature. The blue and

こ の と き ，im，i，ip は c 上 で 連 結 す る 頂 点 番 号 で ，pink lines denote the diﬀused input and the ﬁtted (op-im = c(k, l − 1)，i = c(k, l)，ip = c(k, l + 1)，である

timized) output, respectively. Notice that the maximal（図 3 右）．

value is enhanced at the output.

離散距離

距離は平行性を高めるために評価する．まず，NCDT (i) から，以下の条件を満たす平行な近傍頂点の集合 N E d (i) を抜き出す．
 −−→−−→|  vi oi vi vj |
 I =
→−−→
π − | −v−
i oi vi vj | −−→−−→|  vj oj vi vj |
 J =
→−−→
π − | −v−
j oj vi vj | −−→−−→| oi vi oj vj |
 O =
→−−→
π − | o−−
i vi oj vj |I < thrdist ,

ここでは，評価された各形状評価値を重み付き平滑化することによって，最適化の際の目指す値を生成する．本ス
テップは Ohtake らの手法 [16] と似ているが，3D メッシュ

−
→−−→
v−
i oi vi vj | < π/2),(|

でなく 2D を対象としている点と，その評価が法線ではな(otherwise)

くデザインの原理に基づいた形状評価値である点で異な→−−→(| v−−
j oj vi vj | < π/2),る．よって，形状評価値が近い場合はこの処理によって平(otherwise)
→−−→
(| −
o−
i vi oj vj | < π/2),

ずそのまま残される．つまり自然と形状を分割して処理す(otherwise).

理と合わせると強調されて，元より鋭角になる傾向にあるのとき


3.2 特徴保存平滑化

J < thrdist ,O < thrdist .

ここで，oi は vi−1 ，vi ，vi+1 の外接円の中心である（図 4）．
本稿で示す結果生成では，thrdist = π/3(radian) とした．
距離 Pd (i) は頂点 vi と N E d (i) に含まれる頂点 vj のユー

滑化され，逆に形状評価値に差がある場合は，平滑化される操作になっている．また，値が鋭角な頂点は最適化の処（図 5）．処理は以下の式に従って行われる．

1
Px (i) = 
ω(i, j)Px (j),
ω(i, j)j∈Nx (i)ω(i, j) = exp(−αK 2 ),|Px (i) − Px (j)|K=.
|vi − vj |クリッド距離の平均である．|N E d (i)| は近傍頂点の数であ

このとき x ∈ {κ, co, d, κu }，Px (j)，Px (j)，α は平滑化さり，距離 Pd (i) は次式で評価される．

れた値，形状値，任意の正の定数である．α は平滑化の度

Pd (i) =j∈N E d (i)|vi − vj |.
|N E d (i)|合いの調整パラメータである．
このとき，曲率平滑化の連結頂点の集合 N S κ は Nin と，曲率の絶対値の平滑化の連結頂点の集合 N S κu は Nall と，共線性の平滑化の連結頂点の集合 N S co は N E co と，平行性の平滑化の連結頂点の集合 N S d は Nin それぞれ一致する．

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3.3 形状あてはめのための最適化処理

表 2

最適化処理では，曲率エネルギー Eκ ，距離エネルギー

Table 2 Experimental conﬁgurations and computational time.
(/) denotes zero entries.

Ed ，共曲線エネルギー Eco ，類似エネルギー Eκu は以下のkd

図ように定義される．
Eκ =(Pκ (i) − Pκ (i))2 ,実験に用いた設定．(/) は 0 を表す

kκ

kco kκu kp kin 総頂点数 | 平均

1 ステップ

頂点間距離 | 重

あたりの時

み α

間 | 総ス

vi ∈V



Ed =

テップ数

(Pd (i) − Pd (i))2 ,

A /




(Pco (i) − Pco(i))2 ,

vi ∈Vco

Eκu =



/

/

/

/

/

/

/

C 10−3 103 /

/

/

/

108 /

/

/

/

/

.01 /

/

/

6 B 1010 /

vi ∈V

Eco =

103 /

7

(Pκu (i) − Pκ u (i))2 .

D /E 1010 /
F

vi ∈V

/

ルギーを変形前と変形後の差分の自乗として定義する（Ep ，Ein ）．ここで V = {vi } は頂点の集合，Vco = {vc(i,j) } は各

9

108 /

900

0.06sec |50.18sec |14900

0.2 sec |5

10 /

/

H /

108 1010 //

500 の場合 ∗10I

設定 D と同じ

J

/

/

/

10

/

1010 //

0.09sec |1
0.04sec |5

57 | 24.93 |500 60 | 23.5 |500 104 (共曲線性

8 G /また，入力したポリラインの頂点位置と頂点間隔のエネ/

24 | 20.13 |−4)

0.16sec |40
0.19sec |4
0.19sec |8

39 | 19.52 |0.08sec |8

9000

0.08sec |27

共曲線部分である．最適化するエネルギーは以下のように各エネルギーの総和として定義される．

E = [kκ kd kco kκu kp kin ][Eκ Ed Eco Eκu Ep Ein ]T .

(3)

このとき，最適化の係数 kκ ，kd ，kco ，kκu ，kp ，kin はユー
ザによる任意の値であり，各美化制約に重み付けができる．
美化後の頂点集合 V  = {vi : i = 1, . . . , m} は式 (3) で定義されたエネルギーを最小化することによって求める：V  = argmin E.
V(4)

この最適化計算は，各形状評価値からなる目的関数が非線形なので，非線形最小自乗問題となる．ここでは Levenberg-

Marquardt 法 [25] によって，最小化問題を解く．繰返し計
算によって逐次更新される頂点位置を用い形状評価値 Pxも更新される．エネルギー関数 E の更新の差分が十分小さくなったとき，解が収束する．

4. 結果
提案アルゴリズムは Windows Vista デスクトップ PC，Intel Core i7 3.2 GHz processor，3.0 GB メモリで実装され

図6

平行性美化の実験結果と比較．黒線は入力線，中と右の列のグている．表 2 に実験に用いた設定および計算時間を示す．

ラフはそれぞれ頂点の順（描画順）の曲率と距離を示す

実験での 1 回の美化処理は 0.2 秒以内であった．計算時間

Fig. 6 Example of parallel optimization. Black lines indicate

は入力頂点数以外に，適用する美化制約の数に依存するこ

inputs. The central and right graphs show curvatureとが観察された．

and distance, respectively, along the sequential vertex
indices. The bottom row shows examples of conf C during a course of optimization steps.

開曲線の平行性（設定 A，B，C） ほとんど平行な 2 本の曲線に対して表 2 の設定 A，B，C を用いて美化を行い，比た．図 6 下段は設定 C による実験の経過を示す．

較を行った（図 6）．曲率の最適化を行う設定 A では，入力線が十分滑らかであることから，ほとんど変形しなかっ

閉曲線の平行性（設定 D，E） 表 2 の曲率の最適化と距離た．距離の最適化を行う設定 B では，美化後の距離がほぼの最適化の設定 D と E を交互に用いた実験を行った．実験等しくなったが，滑らかでないため，見かけの平行性は改はほぼ平行な 2 本の閉曲線に対して行った（図 7）．この結善されていない．曲率と距離の最適化を行う設定 C では，果，両方を美化し，平行な見かけとなった．また，複数の最距離と曲率の両方が滑らかになり，平行な見かけが得られ適化を一度に適用するより，このように単一の最適化を交

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図 7

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平行な閉曲線の実験の経過．設定 D と E を交互に適用した

Fig. 7 Experimental results of parallel closed curves. The conf
D and E processes are applied in alternate iterations.

図 9

類似性美化の実験結果と比較．緑の線は CDT エッジを示す

Fig. 9 Experimental results of two diﬀerent similarity optimization algorithms.

Green lines indicate Delaunayedges.

図 8

共曲線性美化の実験結果と比較．設定 F，G，H を用い，滑ら
かさ，共曲線性，滑らかさと共曲線性の両方，を最適化した結果の比較である．黒い実線は CDT のエッジ，緑の線は共曲線として抽出された部分である

Fig. 8 Experimental results of co-circularity, obtained by three

図 10 入力画像と本手法による美化結果の一部を拡大して比較した
もの．一番左の画像の赤の点線は共曲線として抽出された部

conﬁgurations. The black lines are the inputs, gray lines

分を表す．左の 2 つは共曲線性と滑らかさ，鋭さ，右の 2 つ

are Delaunay edges, and the green lines are detected co-は平行性の比較である

Fig. 10 Enlarged original polylines and the results of our image

circular parts.

enhancement. The red dashed lines in the left-most

互に用いる方が，設定が容易であるという知見が得られた．

panel indicates a detected co-circular part. The left
pair compares co-circularity, roundness, and sharpness

共曲線性（設定 F，G，H） うさぎの顔のシルエットのよ

between the original and resulting images, while theright compares parallelism.

うな入力線に対し，表 2 の設定 F，G，H を用いて，共曲線性を美化する実験を行った（図 8）．曲率の最適化を行う設の平行性の実験と同様に，表 2 に示された複数の係数の定 F では，曲率が滑らかになり，角が鋭角になっているが，設定を，ユーザが適宜選択して適用した．図 1，図 10 の耳の根本部分の共曲線の滑らかさは失われた．共曲線性のニューロンはその例である．結果画像はデザインの原理に最適化を行う設定 G では共曲線部分のみが滑らかになった

基づき美化されていることが分かる．

が，共曲線性と曲率の両方の美化を行う設定 H では，共曲

ユーザにより逐次パラメータ調整を行う方法は，一括し線部分とその他の部分が滑らかに連結された結果となった．

た事前のパラメータ調整と置き換えることも可能である．
ただし，対話性を除外した処理の場合，適したパラメータ

形状類似性（設定 I，J） 半径の異なる手描きの 2 つの丸を得るための試行回数は増えると考えられる．

を入力線として実験を行った（図 9）．曲率の最適化を行う
設定 I は単に滑らかな結果を生成するのに対し，曲率の絶先行研究との比較 クロソイド曲線によるフィッティング

対値の最適化を行う設定 J では，滑らかになると同時に，を用いた先行手法 [10] と本研究による結果を比較したも2 つの丸がほぼ同じサイズとなった．曲率の絶対値の最適のを図 11 に示す．本手法が形状の平滑化と強調を適切に化は離れた領域の形状の類似性を高めることが分かった．

行っていることを確かめるため，先行研究による結果を 2 種

この処理では数値的には円の半径を揃えるものであるが，類用意した．1 つはより平滑化されたもの，1 つはより詳細

図 12 上段に示すような，角の角度や，楕円形の両側の形を残したものである．図 11 の Baran らによる結果では曲状を揃える効果がある．

線補間によって解像度が変化しているが，本手法では元の解像度を保ったため，Baran らの結果は本手法の 3 倍以上

ベクター画像への応用

本手法を写真に応用した．閉曲線

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の解像度である．しかしながら結果からは，本アルゴリズ

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図 11 先行研究との結果の比較．入力画像（灰色），Baran らの手法による詳細を残した結果（青色上段），同滑らかな結果（青色下段），本手法による結果（黒色）Fig. 11 Original image (gray line), the result obtained from the method of Baran et al.
(blue line), and result of the proposed method (black line). The lengths between vertices in our image are three times those in the blue image. Regardlessof number of vertices, the parallelism, co-circularity, and shape similarity areenhanced in our results.

ムはイラストの美化において有効であることが分かる．そ行った．質問は (1) きれい・美しい，(2) 単純になっていのほかに，手描きスケッチを美化した結果を図 12 に示す．

る，(3) 図として整っている，(4) 構造が分かりやすい，(5)

先行研究との比較にあたり，表 1 に示したように，自由

個人的に好み，の項目に対し，よりあてはまる方を選ぶも形状を対象とした美化制約を課す既存研究は存在しないたのであった．また，図 11 と同様に，比較対象がより平滑

め，入力の条件を揃えるために，美化制約は扱わないが自由化されたものと，より詳細が残ったものの 2 種類を用意

形状を対象としている Baran らの手法との比較を行った．

し，それらを用いた 2 種類の比較対象の異なるアンケート

美化制約を行っている分，本手法の結果が良いのは明白で調査を実施した．前者は 35 名，後者は 43 名の回答を得らあるが，比較によってより効果を明確にすることができる．

れた．回答者の年齢は 19〜43 歳，11%が女性であった．

比較のための結果生成に使用した本手法の処理の順番と，比較結果に対し主観評価アンケートを行った結果では，その際の最適化の係数の組合せのいくつかの例を，表 2 の「きれい・美しい」や「個人的に好み」などのほか，特に記号を用いて，以下に示す．図 11 一番右の動物の顔のイ「図として整っている」や「構成が分かりやすい」という

ラスト：HFJF，同図真ん中の地図のイラスト：HFBFBF，

イラストとして重要な項目において，本手法は良い評価を

図 12 の上段右上および右下：AAAJJJ．

得た．

アンケート評価 5 種類の入力画像に対し，本手法およびBaran らの手法で美化した画像をそれぞれ用意し，質問を

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5. 考察と今後の課題
本研究の実験を通して，CDT は効果的な共曲線部分の検1336

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図 13 本研究の課題．期待していない共曲線部分の抽出（上段）とCDT エッジが連結されない場合（下段）．灰色の領域が各入力線を示す

Fig. 13 Limitation. Unexpected co-circular lines.
図 12 マウスで描画した線とその美化結果．上段は曲率と曲率の絶対値を用いた処理によるもの．下段は曲率と共曲線性を用いるなども課題である．曲線を近似できる最低限の解像度でた処理によるもの

近似を行い，また，最終的には曲線補間をすることでよりFig. 12 Experimental results of two diﬀerent similarity optimization algorithms. Green lines indicate Delaunayedges.

良い結果を得ることができるだろう．
その他の課題として，共曲線や平行の抽出の精度を上げることと，最適化の要素どうしの衝突を回避するアルゴリ

出に役立つことが分かった．また，平行線においても，他

ズムの開発があげられる．曲率の計算方法についてもさら点を含まない外接円上の 3 点を連結する性質上，平行線をに精度の良い方法を検討したい．また，最適化のパラメー

連結する場合をよく観察できた．本研究の実験において，

タの無次元化，部分的に異なるパラメータを設定する，な線の振動が非常に大きいなど以外では，あまり問題は観察

どもパラメータ調整を行いやすくするうえでの課題である．

されなかった．

本手法では，形状類似性を判断するために曲率の絶対値

しかしながら，特徴抽出の計算がノイズのせいでうまくを用いた．しかしながら，ノイズの多い線に対して曲率のいかずに，期待していない共曲線が抽出されたり，CDT の絶対値で平滑化を行うと，曲率の総和が元より大きくな

潜在的な問題として，期待している連結がされなかったりり，より湾曲した結果になる場合がある．形状類似性の判するなどの問題がある（図 13）．図 13 左上の例では，赤断には曲率に −1 を乗算した値を用いる方法などを今後検い破線の部分が自動的に共曲線として抽出される．ユーザ

討する．

が青い破線の部分を共曲線として指定した場合，ユーザの特徴保存平滑化に基づく関連研究の基準の 1 つとして，期待する美化の結果が得られる．上段右から 2 番目の例は処理結果が入力頂点から離れすぎないことを 1 つの重要な

自動的な共曲線の抽出がうまくいかなかった場合を示す．

制約としている．本手法でも，パラメータでそのような制

上段一番右の例は，形状類似性による美化が失敗し，類似約を課することができる．しかし，大きな変形を許さない

していない箇所を類似させる結果となってしまったもので実験では，美化の度合いが制限され大幅な美化を行うことある．このような失敗は，類似しているかどうかを判断すができない．今後の研究で，美化の度合いと処理の制限のる特徴保存平滑化の係数の調整不足によるものと考えら

調和を実現したい．

れる．同様のことが他の美化制約でも起こりうる．下段で

6. まとめは，緑線が期待する共曲線だが，実際には，赤い破線で示される入力線や他のドロネー辺の連結により，期待する共本稿では，自由形状のイラストを美化する手法を提案し曲線が得られない場合を示す．今後，このような問題にもた．また，美化に必要な形状特徴の抽出に，CDT を用い対応したい．

た効果的な方法を提案した．今後，さらに複雑なイラスト

サンプリング間隔に関しては，大きくしすぎると形状の特徴をとらえることができないが，小さすぎると平滑化のを美化する手法へ発展したい．
謝辞

本研究の初期段階において有効な助言をくださっ影響範囲が小さくなり変形が小さくなる．サンプリング間た大竹豊准教授，森口昌樹助教，また，研究のまとめの段隔により平滑化の影響範囲を変更するなどの対処が考えら階でご助力いただいた安東遼一博士，杉田純一助教に感謝れる．他に微妙な間隔の違いが変形の結果に大きく影響すする．本研究の一部は東京電機大学総合研究所から支援

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Vol.56 No.5 1329–1338 (May 2015)（Q13J-03）を受けて行われた．
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森本 有紀 （正会員）
2008 年九州大学芸術工学府修了，同年東京大学にて日本学術振興会特別研究員，2009 年独立行政法人理化学研究所にて研究員，2011 年財団法人
九州先端科学技術研究所にて研究員，2012 年東京電機大学未来科学科講師．
コンピュータグラフィクスに関する研究に従事．ACM

SIGGRAPH 会員．

高橋 時市郎 （正会員）
1977 年新潟大学工学部卒業．同年電電公社入社．NTT 基礎研究所，ヒューマ
ンインタフェース研究所，サイバーソ
リューション研究所において，パター
ン認識，コンピュータグラフィック
ス，学習科学の研究開発に従事．2003
年より東京電機大学工学部教授．2007 年同大学未来科学部
教授．ビジュアルコンピューティングの研究に従事，現在に至る．2010 年より同大学産官学交流センター長．2013
年より UEI リサーチ客員研究員．博士（工学）．

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