それでは，前回の解答です．

g(v) =!az + cw $&&= ###"bz + dw &&%第１問（Ⅲ C）
行列 A =ª ac db º で表される 1 次変換を f,B=ª ab dc º で表される 1 次変換を g とする．

(1)

どんなベクトル u,v に対しても，内積のより! x$ !az + cw $&&u ∑ g(v) = ## &&& ∑ ###"y &% #"bz + dw &&%= x(az + cw) + y(bz + dw)= axz + byz + cxw + dyw ºº 2である．以上 1,2 より間にf( u ) ∑ v = u ∑ g( v )f( u ) ∑ v = u ∑ g( v )が成り立つ．の関係が成り立つことを示せ．
(2)ª ab dc º!###"zw$&&&&%

Lf が原点 O を通る直線 l をそれ自身にうつす(2)とする．l 上に O と異なる点 P をとり，P の f(1) の u,v を OP とすると

ª º
Lによる像を Q,g による像を R とする．このとL

Lª º
Lf OP ∑ OP = OP ∑ g OP

き，次の ( イ )( ロ ) のいずれかが成り立つこと

LLLLLªLºL

Lを示せ．

-OQ ∑ OP = OP ∑ OR ºº 1(イ)

Q=R(ロ)

3 点 Q,R,O は直角三角形の頂点と-OP ∑ OQ - OR = 0-OP ∑ QR = 0なる．

LL

< 解答 >(1)

Lが成り立つ．よって， OP ≠ 0 に注意するとL!z $! x$
v = ## &&&u = ## &&& ,#" w &%#"y &%

とおく．
f(u) =QR =(ii)

QR ≠ 0 かつ OP ⊥ QR

Lª ac db º !###"yx$&&&&%

L(i)0LLLのいずれかが成り立つ．
(i) のとき，Q と R は一致するので，( イ ) が成!ax + by$&&= ###"cx + dy &&%り立つ．
(ii) のとき

よりª º= 0LL

OQ = f OP!ax + by$& ! z $&&∑# &f(u)∑v = ###"cx + dy &&% ##" w &&%Lとすると，任意の実数 k に対して= (ax + by)z + (cx + dy)wª= axz + byz + cxw + dyw ºº 1

Lf k OPである．またº = kf ª OP º = 0LLとなるので l 上の任意の点の f による像が O となり，直線 l の像が l 自身であることに反する．よって，Q は l 上，すなわち直線 OP 上の点であり，

1

さらに O と異なる．すると，1 の左辺は 0 ではで「Q,R,O は直角三角形の頂点になる」と言っないので，右辺も 0 ではなく，これから R も Oているので，これら 3 点が異なることを示さなくとは異なる点である．よって，3 点 O,Q,R はてはいけないという点です．これを気にせずに内相異なり積が 0 だけから結論を示したつもりになっている

LLLと大減点されるので気をつけてください．解答でLOP ⊥ QR - OQ ⊥ QR

は背理法を用いて，O と Q が一致してしまうと，であるから ( ロ ) が成り立つ．

l の像が 1 点につぶれてしまうことから矛盾を導□きました．「固有値」を使って説明すれば，l のL像が l 自身というのは， OP が行列 A の 0 ではな＜コメント＞
数学科の川崎です．今回は数 C の行列・1 次変換

い固有値の固有ベクトルになっているということの問題を出してみました ( 京都大学の過去問です )．

で，この「0 ではない」の部分が本質的に効いてこれまでに，このコーナーで扱っていなかったですきます．

が，近年出題は増えています．課程の変わり目で，＜おまけ＞あと 2 年間は狙い目になる可能性がありますので対行列 A に対して，A の行と列を入れかえてできる策は十分に行ってください．

行列を A の転置行列といい，tA で表します．

以下設問ごとの補足です．
(1)

(例)

u,v の成分を文字でおいて，丁寧に計算しましょう．文字がたくさん出てきますが，文字が多A=くても計算・処理しきる力は強者を目指す皆さんには絶対必要です．

A=

なお，行列 A,B はある関係をもっています．
それにまつわる話は後の＜おまけ＞のところに書(1) をどう使うかが問題です．条件からª ºLLª ºLtº fit! 1 4 $&##&A = ## 2 5 &&&##&#" 3 6 &&%A = (1 2)

転置行列の計算には，次の式が成り立ちます（行列に慣れていない人は証明を読み飛ばしても構いませなので
u= v= OP

ª

1 2 3
4 5 6

本問では，tA = B となっていますね．実はこのL

f OP = OQ ,g OP = ORLt!1 $A = ## &&& fi#"2&%

いておきます．
(2)ª 13 42 º fi A = ª 12 43 º

ん．2 × 2 行列で実際に計算してみてもいいでしょう）．

ºº(*)とすることに気づきたいところです．見た瞬間こ＜公式＞

れでうまくいくと分かる人は稀かもしれません．

(AB) = tB tAt

いつも言っていることですが，「とりあえずやってみる」の姿勢が大事です．さらに「ダメならあ＜証明＞きらめず他に何かできないか考える」という姿勢

行列 A の (i,j) 成分を Aij などと書く．一般にまで身に付くと数学の力は伸びてきます．(*) にt

Aij = Aji

気づけばほぼゴールは見えたようなものですが，が成り立つ．

1 つだけ注意することがあります．それは条件 ( ロ )2( AB )ij =SA B
ikkとなって，(1) が示せます．(**) の部分で先ほどのkj

公式を使いました．
転置行列のこの性質を使う問題をもう 1 問やってであるから
t( AB )ij =SA B
jkk

みましょう．
ki

問である．
また2 次の正方行列 A とその転置行列 tA が( t B tA)ij ==SB AtkStik

AA = E ( 単位行列 )tkjを満たすとする．このとき，以下の設問に答えよ．

A jk Bkik(1)

任意のベクトル u に対してである．よって，各成分が一致するので
tt

Au = ut(AB) = B Aが成り立つことを示せ．

が成り立つ．

(2)□※

Skは任意のベクトル u,v に対してAu ∑ Av = u ∑ vn

S を略記したものです．k の範囲を明記が成り立つことを示せ．

k= 1

しなくても分かる場合にこのように書くことがあ
＜解答＞

ります．

(1)

さらに，2 つのベクトルAu2= Au ∑ Au

ª º= t Au Au!z $! x$u = ## &&&,v = ## &&&#" w &%#"y &%= t u t AAu= t uuに対して，内積は= u∑uu ∑v= xz + yw= u

ですが，これはであるから!z $(x y)## &&& = xz + yw#" w &%

Au = uという 1 ¥ 2 行列と 2 ¥ 1 行列の積と同一視することである．

ができます．すなわちu ∑ v = t uv

2です ( 右辺は行列の積 )．内積をこのように見るとf( u ) ∑ v =t( Au)v

=tu t Av ºº (**)

2(2)

=u+v
- u ∑v =であるから= u ∑ t Av
= u ∑ g(v)312ªu2+ vu+v

22+ 2u ∑ v- u2- v2ºAu ∑ Av =12=12ª ªº-AuA u+vªu+v

222-- uAv
22º- vº2= u ∑vが成り立つ．
□AA = E を満たす行列を直交行列と言います．少tし頑張って計算すると，実数を成分とする直交行列はªcos q - sin q
sin q

cos qºまたはªcos q
sin q
sin q - cos qºの形になることが示せます．左は原点を中心とする角 q の回転を表す行列で，右は原点を通る直線に対する対称変換を表す行列です．
どちらも，原点を始点とするベクトルの長さやなす角を保つ変換になっています．それを行列 A の正体を明かさずに計算で示したのが今の問になります．
まだまだ奥深い事実が行列には潜んでいます．興
味がある人は大学に入ってから ( もしくは入る前でも構いませんが )「線形代数」をしっかり勉強してください．
それでは，今回はここまでにしたいと思います．
また次回．
( 数学科川崎 )4