円形加速器の概要と単粒子力学の基礎
放射光全く初めてという人の為に！

２コマ構成１コマ目：

放射光、放射光源蓄積リングの概要

・加速器のパラメータと光源からの光について（何故 ERL か？）・光源加速器の歴史
２コマ目：

ビーム力学の概要

・集束力、ビームを数学的に記述する
・ 横方向、ベータトロン振動・ 縦方向、シンクロトロン振動・エミッタンス加速器の目的？
衝突実験用
・高ルミノシティ(Luminosity frontier)
目標とする粒子のエネルギーにあわせたエネルギー
できるだけ衝突量（ルミノシティ）を増やす
素粒子物理（レプトンのフレーバーについて）実験用
・高エネルギー(Energy frontier)
目標とする粒子は現在の加速器よりも遙かに高いエネルギー
もちろんルミノシティも大切
新粒子（ヒッグス）探しが目的
放射光実験用・必要なエネルギーの光が出る・光の量が多い（光束、光束密度が大きい）
・光が集中している（高輝度）
・光がコヒーレント

衝突型加速器
・素粒子実験用の場合、作れる粒子のエネルギーは衝突の重心エネルギーで決まる。
加速器のエネルギーが粒子のエネルギーを決める。
・作れる粒子の量はルミノシティで決まる。ルミノシティは、基本的に衝突ビーム
サイズの逆数で決まる。
放射光・光のエネルギーは、電子ビームのエネルギーと磁場、（挿入光源の）周期で決まる。
・光の全量（全光束）は電子ビームサイズに依らない。（周回の放射ロスはビーム
サイズに依らない。）
・「使える光」は試料に届く光であり、光軸上の光の量、光子の密度が重要。
・光軸上の光束密度（光子の個数）は電子ビームの発散角に反比例。
・輝度（光軸上の光子の位相空間密度）は電子ビームの発散角とサイズに反比例。
→

使いたい波長で、光束密度や輝度の高い光を出す！

放射光加速器の目標

高いエネルギーのＸ線（10keV～）をできる限り高輝度で発生させる。

・放射光実験例・10keV の光を作るには？（放射光の特徴と各種光源装置）
・現在の放射光源のビームサイズと光の関係

放射光で何ができるか？

時間分解ＸＡＦＳ ： 触媒反応を時間を追って調べる
車の排気ガス浄化

Ｘ線イメージング：冠動脈撮影
医学・診療

燃料電池の為の触媒の研究

タンパク質結晶構造解析
病気の解明・薬の開発

PF WEB より

Ｘ線構造解析 : 巨大磁気抵抗の起源
ハードディスクの小型化

http://pfwww.kek.jp/

その他にも……
・ 院内感染で問題の多剤耐性緑膿菌にどうして抗生物質が効かないか？ （薬剤排出タンパク質の研究）
・ 免疫による抗ウィルス機構の解明。 （インターフェロンの 2-5A 反応の解明）
・ 乳ガン早期診断を目指す （Ｘ線暗視野撮影法）
・ 半導体素子の小型化の研究 （ゲートトランジスタ(MOSFET)の光電子分光）
・ 植物による土壌浄化 （砒素を蓄積する植物内の砒素分布の研究）
・ アルツハイマー病の研究 （マウスのアルツハイマー脳のＸ線ＣＴ）
・ 彗星のかけらを調べる （小さなスポットサイズのビームで元素分析）
放射光の特徴・・・・・

放射光源からは、真空紫外線、軟Ｘ線、硬Ｘ線までの領域の光が発生する。
実験室では作れない波長の光が作れる。また、光の強度が桁違いに大きい。
光は安定。位置、強度が極めて安定。
高輝度の為、スポットサイズの小さな光が得られる。
短パルスである為、フラッシュのように一瞬光って消えるような光も使える。（PF で短パルス用の運転モード、または常にそのモードで運転する PF-AR。）
・ 偏光が自由に操れる。

放射光源 ： トンネルの中に、金属のダクトがあって、その中を電子が回っているシンクロトロン放射光の特徴
・指向性の高い、強い光・偏向磁石の場合、電子ビームのローレンツ因子をガンマとすると、電子ビーム進行方向の、 1 γ で決まる発散角度内にほぼ全てのエネルギーが集中する。アンジュレータからの光の場合はさらに狭く、

1 1+ K 2 2γnN になる。
・

偏光
・

・

パルス光
・

・

偏向磁石、挿入光源とも、電子の運動面と偏向面が一致する。水平に曲げれば水平偏光、垂直に曲げば垂直偏向、螺旋運動させれば円偏光となる。
加速器の中の電子は RF 位相安定性に基づき、いくつかの塊（バンチ）となって周回している。放射光は連続光ではなく、連続するフラッシュのような光である。単バンチ運転（電子の塊を１つだけ使った運転）やユーザー側で光の取捨選択（チョッピング）を行えば、Ｘ線のフラッシュ撮影が可能。

波長可変・偏向磁石の場合はもともと遠赤外から硬Ｘ線にかかる連続スペクトル、挿入光源の場合はギャップを変えて光のエネルギーを（ある範囲で）自由に選ぶことができる。現時点で放射光加速器以外では極めて弱い光しか発生させることができない波長域が存在する。放射光加速器からの光の強度は、実験室における小型の光源の５～６桁以上強いものである。

光の波長と名前（だいたい）
エネルギー（波長）0.1meV
1meV
10meV
0.1eV
1eV
10eV
100eV
1keV
10keV
100keV

名称

λ
λ
~
~ε
4π 10

（1.2mm） THz（テラヘルツギャップといい、この領域は現状では放射光源のみが強力な光源。）（120μm）（12μm）（1.2μm） 可視光（赤(1.5eV)～青（3eV））～紫外光（120nm） 真空紫外光（VUV）（12nm） VUV～SX （この領域以上は放射光源のみが強力な光源。）（1.2nm） 軟Ｘ線(SX)（120pm） Ｘ線(X、HX)
硬Ｘ線

放射光利用される主な波長域は、テラヘルツ、VUV、Soft X、Hard X である。

放射光源から光を取り出す
偏向電磁石(Bending magnet)

挿入光源(Insertion device)

常伝導(Normal conducting)

ウィグラー(Wiggler)

水平 （偏光）(Horizontally polarizing)

超伝導(Super conducting)

多極ウィグラー(Multipole wiggler)

垂直 （偏光）(Vertically polarizing)

アンジュレータ(Undulator)

楕円 （偏光）(Elliptically polarizing)

短周期アンジュレータ(Short period (gap))

円 （偏光）(Circularly polarizing)アンジュレータ

短周期アンジュレータ

19

10

PF
E=2.5GeV, I=450mA
ε =36nmrad, 1% caupling

Brilliance (photons/sec/mm2/mrad2/0.1%b.w.)

18

MPW
#16-U

U#02

PF-AR
E=6.5GeV, I=50mA
ε =290nmrad, 1% caupling

SGU#17

10

1st

3rd

Revolver
#19

EMPW
#28-U

5th

17

MPW
#05-W

10

A

多極ウィグラー
MPW
#13-U

16

10

MPW
#16-W

D

C

B

AR-EMPW#NE01-W

AR-NE#03,NW#02,#12
15

10

偏向電磁石

MPW
#13-W
AR-NW#14-36

14

10

PF-Bend

ウィグラー

13

10

AR-Bend
VW#14
12

10

1

10

102

VUV・SX

103
Photon Energy (eV)410Hard X ray105

偏向電磁石超伝導ウィグラー

磁場 4.8T、磁極３極で垂直に曲げて光を出す。
このウィグラーのため、ＰＦでは垂直方向に水平の１％程度の自然エミッタンスがある。また、リング
水平方向のアパーチャがここで決まる。

発生する光のエネルギー・

偏向電磁石 ： 電子ビームのエネルギーと曲率半径 ρ = L θ で決まる。
→

γ=
PF の場合、E
2.5[GeV ]
1
=
≈
4900
= 0.2mrad
2、
0.511[ MeV ]
γ
m0 c

3γ 3c
hω c = h= 4keV→ 偏向電磁石からの放射光の臨界エネルギー2ρ→

偏向電磁石のスペクトルは、このエネルギー以下、ずっと低エネルギー側に裾を引く連続スペクトル。

・ウィグラー→ 低エネルギーのリングで硬Ｘ線を発生させるには、曲率半径の小さな、強い磁場の偏向電磁石を使えばいい。PF の超伝導ウィグラー(4.8T)の臨界エネルギーは約 20keV。

・

低エネルギーリング（1GeV や 2GeV）で強い硬Ｘ線を作るためには、超伝導ウィグラーではなく、リングの偏向電磁石を超伝導にするという方法もある。アメリカ ALS では 36 台の偏向電磁石の内、３台が超伝導であり、名古屋大学の放射光計画では、もっと多くのＢが超伝導となる。

挿入光源
図: K.Wille Introduction to insertion devices (CERN Acc. School 1998)

周期長

Gap

代表的な水平偏光アンジュレータの磁石列４個で１周期、ほぼ正弦磁場になる。
・

電子ビームを蛇行させて放射光を干渉させる。光は偏向電磁石よりもより強く、指向性も高くなる。永久磁石を並べて作るのが一般的。

eB0λu= 93.4 B0 [T ]λu [m] で表される。 K ≈ 1 以下の時、発生す
2πm0c
る光のスペクトルは線スペクトルとなり、アンジュレータと呼ぶ。
（ K ≈ 10 ではほぼ連続

K=・ スペクトルの特徴はスペクトルであり、その様な挿入光源は多極ウィグラーと呼ぶ。
）

挿入光源の磁場と周期長（Ｋ値）→

スペクトルは１次光の他、３次光、５次光……という奇数次に強い高調波を持つ線
スペクトルである。一般に、偏向電磁石の光よりも、５～６桁以上強い光となる。
→ 挿入光源のＫ値を使うと、例えば PF のアンジュレータ U02 では、0.4[T]、周期長がλu ⎛ K 2 ⎞
6cm であり、 K = 2.2 となる。１次光の波長は λ1 = 2γ 2 ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ であり、U02 では⎝⎠
hω1 = 282eV となる。また、３次光は hω3 = 846eV となる。
→ アンジュレータの場合、（周期長一定で）磁場を弱くすると光のエネルギーは高くなる。当然ながら光子の数は減る。同じ磁場強さ（光を弱めずに）でエネルギーの高い光を発生させるには、電子ビームのエネルギーを高くするか、周期長を短くすればよい。
→ 光の強さは Flux（光束）で表される。それを光源の角度広がりで割った量をBrightness という。それをさらに光源のサイズで割った量を Brilliance（輝度）という。

スペクトルの線幅・干渉効果を利用しているので、スペクトル線は⎛ ⎛Δω ⎞ ⎞⎜ sin ⎜ πN⎟⎟
ω ⎠⎟I (Δω ) ∝ ⎜ ⎝
⎜
Δω ⎟
⎜ πN
⎟
ω
⎝
⎠

2

となる。ただし、観測されるスペクトルは高調波が重なり、また、ドップラー効果で低エネルギー側に裾を引いている。

Δω
・バンド幅は、 ω≈1N となる。

U02 の光束と輝度 （高輝度化前、エミッタンス 125nmrad の時の計算）
１次
・

Gap 閉

３次

５次

Gap 開
４次
２次

連続スペクトル

周期長 6cm
最小ギャップ 28mm
最大磁場 0.41T（K=2.3）
周期数 120
図：挿入光源ハンドブック 1990

多極ウィグラー、アンジュレータ

MPW 16

Revolver 19

U02

MPW 05

低エネルギー光源でアンジュレータから硬Ｘ線を発生させるには？
： 短周期真空封止アンジュレータの登場
SLS、SOLEIL、DIAMOND、ALBA など、「新第３世代光源」と呼ばれる放射光源では、リングのエネルギーは 2GeV～3GeV と低いエネルギーであるものの、挿入光源からの高輝度な硬Ｘ線を利用することができる。
・ 低エネルギーリングのアンジュレータで強い硬Ｘ線を発生させるためには、磁場は強いままで、周期長を短くすることが必要。ただし、小さな（厚さの薄い）永久磁石を並べて強い磁場を出す為には、ギャップをできる限り閉めることが必要。その為、磁極列は真空チ
ェンバーの中に設置され、最小ギャップは数 mm である。その様な挿入光源を「短周期・真空封止型」と呼ぶ。
（PF の最新の挿入光源、U03 と U17 がそれにあたる。）
・ 高次光ではあるが、低エネルギーのリングからアンジュレータからの高輝度硬Ｘ線が出せるようになった。それを利用して、「新第３世代光源」が各地に建設されている。（SLS、SOLEIL、DIAMOND など。
）
・真空封止短周期アンジュレータ(U03、U17、(U01))

挿入光源からの光の強さ
ビームラインに届く光の強さ（光子の数）は、「光束」で表される。
・ 挿入光源の性質を示す指標として、「光束」と「輝度」が使われる。
・ （非常に簡単に言えば、）「光束密度」は単位立体角、0.1%バンド幅でビームラインに実際に届く毎秒の光子数、「輝度」は位相空間での光子密度で、光学系を通した時に光がどれだけ残るかを示している。
・ 「光子の数」も重要だが、「光子がどれだけ密集しているか」も同じくらい重要であり、挿入光源の一番の特徴は、密集された光子が発生できることにある。
・

これらよく使われる指標の意味について考えてみる。
・ 計算の詳細は追わず、それぞれの量の間の関係と意味を示すにとどめる。詳細な計算は色々な文献に載ってます！
・光束・光束密度と輝度（電子ビーム広がりの影響）
・

電子ビームはエネルギーが完全に揃っていて、広がり（エミッタンス）もゼロとする。リ
エナール・ヴィーヘルトポテンシャルから始めて計算を進めると、ある方向への、ある波
長、あるバンド幅（例えば 0.1%）に対する単位立体角、毎秒あたりの光束が得られる。

d 2 Pk[ photons / s / mrad 2 / 0.1%b.w.]dωdΩ
・ そこから、「軸上の k 次光」に対する、単位立体角、0.1%バンド幅、毎秒あたりの光子数が計算される。
（軸上の k 次光に対する光束スペクトルのピーク値。
）
d 2 Pk[ photons / s / mrad 2 / 0.1%b.w.]
d ωd Ω θ = 0・

光束を立体角で積分すれば、k 次光に対する全光束が計算できる。

dPk[ photons / s / 0.1%b.w.]dω
・ 全光束と軸上のピーク光束の比は、単粒子放射の角度分布をガウス分布と近似（正しくない！）
すると、光子の固有エミッタンスから決まる角度広がりで書ける。
dPk
λ
2
dω
λ
=
π
=
2
πσ
′
p
2
σ
=
L
、ただし p′d PkLdωdΩ θ = 0
F =・

そこで、光子の角度広がりを、電子ビームの角度広がりと光子の角度広がりの両方を考えた角度広がりに置き換え、全光束から軸上の実効的な光束密度を計算し直してみる。（本当は電子分布に対してきちんと畳込積分を計算する必要がある。
）

d 2 PkFD =[ photons / s / mrad 2 / 0.1%b.w]=
dωdΩ θ =0,effective 2πΣ x′ Σ y′
ただし、 Σ x′ = σ x′ + σ p′ 、 Σ y′ = σ y′ + σ p′
・ それをさらに光源のサイズで割った量を輝度という。
2

B =

2

2

2

D
B
[ photons / s / mm 2 / mrad 2 / 0.1%b.w]=
22πΣ x Σ y (2π ) Σ x Σ y Σ x′ Σ y ′ただし、 Σ x = σ x + σ p 、 Σ y = σ y + σ p 、 σ p =
2

2

2

2

λL
4π

これは光の位相空間における光子密度を表している。
（電子ビームのエミッタンスと同じ、位相空間の分布の特徴を示す量。） あくまで近似であるが、近似でない計算は非常に複雑であり、ある意味、他にやりようがない為、輝度は光源の特徴を表す量として広く使われている。
・ 注意：輝度においてもなお、電子のエネルギー広がりの影響は考慮されていない。
・

回折限界
・ 光の固有エミッタンスは ε p = σ pσ p′ =λ4π で与えられる。（原理的に光をこれよりも小さく絞ることはできない。
）
・ 電子ビームのエミッタンスが光のエミッタンスと同程度になる場合を、「回折限界」という。（輝度が光の固有エミッタンスで決まり、電子ビームのエミッタンスを下げてもほとんど向上が見られなくなる限界。
）
・ PF の場合の 36nmrad では、λp=450nm=2.7eV となる。また、SPring8 のエミッタンス 3nmrad
では、光の波長λp=38nm=33eV が回折限界である。
・

VUV/SV 領域ではほぼ回折限界に近いビームも得られているが、Ｘ線領域では全く回折限界に達していない。

1・ 電子ビームのエミッタンス 10nm ⋅ rad の時、1keV の光の輝度は100 、10keV の光の輝度は
11000 になる。光軸上の光の密度が小さくなる。

パワー密度スペクトルに見るビームサイズ・エネルギー広がりの影響

回折限界

実際

50 周期、K=1.5、ESRF の 6GeV ビーム

参考 ： BL 取り込みアパーチャの影響

図: P.Elleaume, “Lecture on insertion device”(CERN Acc. School 2003)

電子ビームのエミッタンスが小さい（高輝度）意味
光子の位相空間の密度が大きい → 位置と発散角が揃っている。
・ 実際にビームラインに届く光子の数が多い。分光したりスリットでアパーチャを切っても光があまり減らない。
・ 光源のエミッタンスが大きいと、光を小さく絞ることができない。試料に当たる光のスポットサイズを小さくするためには、回折限界ビームが必要。光の中で「コヒーレント」な部分のみが、小さく絞ることができる部分である。アンジュレータ放射の中でコヒーレン
・

2

⎛λ⎞
(
)
=
2
=
F
B
πσ
σ
⎜ ⎟ B と書ける。SPring8 でもＸ線（例えば 8keV）
′
coh
p
p
トな光束は、⎝2⎠2（すなわち、光の固有エミッタ
では coherent fraction（ F coh F total ）は約 0.1%である。
ンスで決まる限界まで光を絞ると、全光束の 1/1000 しか残らない。ちなみに FEL ではこの値は 100%である。）→ コヒーレンスを利用する実験には高輝度が必須。
→ スポットサイズの小さな光や平行度がとてもよい光の為にも、高輝度が必要。

「コヒーレンス」

2d cosθ = mλ・ 試料上のある小さな領域内では光はコヒーレントである。なので、干渉実験や位相コントラスト像が取れる。全てが完全にインコヒー
レントならば、何も使えない！
・ 輝度が上がると、コヒーレントな領域が広くなる。（スポットサイズ
が元々小さく、それを広げないと、同じ領域まで光が当たらない、とも言える。）
・ 輝度が高くないと、スポットサイ
ズは小さくできない。サイズだけ小さくしても、発散角は増大し、コヒーレントでない光が集まっただけということになる。干渉縞や位相コントラストの役には立たない。

必要なのは高輝度Ｘ線
VUV/SX 領域では、現状で十分にコヒーレンスを生かした実験が行える。（平行ビーム、マイクロビーム、位相を使った実験など、やろうと思えば大いにできる。） アパーチャの広いビームラインでは、高輝度になる利点はほとんどない。
・ Ｘ線（1keV、10keV～）で高輝度な光が求められている。
・

簡単に言えば……
・ 例えば、構造生物（タンパク質構造解析）では、使う元素によって 7keV、12keV などの波長が使われるが、結晶が小さい場合、そのサイズまで集光する必要があるが、現状では極端に小さな結晶は調べられない。（だし、実験室系とは桁違いではある。） 大きくて複雑なものほど結晶にならないが面白いとすれば、宝の山が、そこにある。
・ 位相コントラストなどを使う場合、現状では、試料全体に対する光がコヒーレントでなくとも、試料上で位相差が生じる程度の範囲の光にコヒーレントな光束があれば、位相差による濃淡が見え、像が撮れる。が、コヒーレントな部分が増えれば増えるほど、きれいな像が撮れるし、今まで見えなかったものが見えるようになる。また、広い領域での位相差を使えるようになる。
現状で回折実験が可能なのは、コヒーレントな光束がある範囲にいくつも周期構造があるからだが、コヒーレントな範囲が広がれば、周期構造がなくても、回折像が撮れる！

高いエネルギーのＸ線（10keV～）で、できる限り高輝度な光が求められている！

偏光（円偏光、楕円偏光の為の挿入光源）
電子を水平面に蛇行させると水平偏光、垂直方向に蛇行させると垂直偏光、螺旋運動させると楕円、円偏光になる。
・ 水平偏光には垂直磁場、垂直偏光や楕円偏光には水平磁場が必要である。
・ 水平方向には入射ビームの為のアパーチャが必要なので、10cm 程度以下のギャップは困難。
（入射の度にギャップを広げればよいが、その場合、top-up 運転は不可能。）
・ 上下の磁極列で、如何にうまく水平磁場を作り出すかが、楕円偏光アンジュレータの設計！
・ 必然的に非線形性磁場など、ビームに与える影響が大きいのが課題。
・小貫型
左右方向の磁極は入射のため狭められない。
強い磁場は難しいが低エネルギーリングでは大丈夫。

佐々木型 (APPLEII)
上下磁極のみ。非線形磁場が強いが、各所で採用。
PF でも 16 番に導入された。

・８の字(SPring8)

電磁石併用高速切り替え (ESRF)

ヘリカル(SPring8)

電磁石ヘリカル (ELETTRA)

パルス幅とパルス間隔
時間分解実験のためにはパルス幅とパルス間隔が非常に重要。
・ 電子は集団（バンチという）で加速器中を周回している。
・ パルス幅は電子ビームのパルス幅（バンチ長）で決まる。
・ バンチ長は KEK の LINAC では 10ps、PF リングでは 30ps。
・ パルス間隔はバンチの配置によるが、リングで蓄積可能なバンチの最大個数（ハーモニック数）は周長と RF 周波数で決まる。リングの RF 周波数は約 500MHz であることが多い。ＰＦでは320 個、AR では 640 個のバンチが蓄積可能。
・ パルス間隔の最短は、全バンチ蓄積した時で、RF 周波数と同じ約 500MHz。
・ パルス間隔を長くしたい場合は、バンチを１つだけ蓄積すればよく、パルス間隔はビームの周回周期となる。PF で 1.6MHz、AR で 0.8MHz。
・・

単バンチ運転では、バンチ内の電荷の量が多バンチ運転に比べて１桁～２桁増える。１つのバン
チに多くの電荷を蓄積することは不安定性の励起やダクトの発熱の問題などから困難であり、
単バンチ運転時の平均蓄積電流は最大で数十 mA（PF は 70mA、AR は 60mA）となる。

・

ユーザーの側で高速シャッターを使ってチョッピング（光の切り出し）を行うこともある。

・

高輝度同様、短パルスも蓄積リングでは限界がある。だが、エミッタンスと異なり、短パルスは蓄積リングでも方法がいくつか開発されている。

現状でパルス幅の短いＸ線を出すには……
・リングのバンチ長である数十 ps より短いパルス幅の光が欲しい場合はどうするか？

リングのパラメータを調整し、バンチ長を短くする。（低αオプティクス）→ isochronous にする。New SUBARU、BESSY などで実施。
・ クラブ空洞でバンチを傾ける。（RF orbit deflection）
・ レーザーとの相互作用。
→ レーザーを電子ビームに当てて、局所的にエネルギーを変える。(Laser slicing)→ （放射光ではないが……）コンプトン散乱を使う。
衝突確率は小さいため、光の強度は圧倒的に弱い。
・

現在進行中の抜本的解決策！
次世代放射光源である SASE-FEL を使う。
・ ヨーロッパ : FLASH (ドイツ DESY、稼働中)
・ 日本 ： SCSS、XFEL（SPring8、SCSS 稼働中、XFEL 建設中）
・ アメリカ： LCLS (SLAC、もうすぐ稼働)・

ＥＲＬを使う！

短バンチその１ 低αオプティクス
モーメンタムコンパクションαを小さくし、リングのバンチ長を短くする。そもそもそういう電子ビームのパラメータ（オプティクスや運転モード）が可能なように加速器を設計しておく必要がある。

New SUBARU
α 1<10-5 、α 3 と偏向磁場の揺らぎの効果で到達 2psec。
（庄司、EPAC2004）
BESSYII
3.5ps（25μA）、7.5ps (250μA)(Feikes、EPAC2004)

短バンチその２ RF Orbit Deflection
加藤政博: Jpn. J. Appl. Phys. 38 (1999) L547

光を捨てない。パルス幅は垂直エミッ
タンスに依存。計算では数 psec からサブピ
コまでできそう。クラブ空洞は今年 KEKBで実用化。SPring8 でも検討されている。

短バンチその3 Laser Slicing
A. Zholents et al., Proc. PAC1999, p. 2370
・

Wiggler
Laser

Bend

Mirrorfs

Wiggler“ darke-beam”fs

e-beamfs laser

X-raysradiation

短パルスレーザーにより、バンチ内の一部の粒子だけエネルギーを変える。偏向電磁石の、エネルギーの違う粒子に対する曲げ角の違いを利用してその部分だけ分離し、光を発生させる。
ALS（アメリカ）などで稼働中。

バンチ長とコヒーレンス
バンチ長が光の波長と同程度になると、放射光は「コヒーレント」になる。ただし、PF の場合、この波長域は真空ダクトによって遮蔽されてそもそも発生しない。
PFのCSRの強さ 450mA,280bunch,r=8.6m,F70mm

Photon Flux
[photons/sec/mrad2/0.1%b.w.]

1.E+25
1.E+23

Finc
FtotalCutoff Freq

1.E+21
1.E+191.E+17
1.E+15
1.E+13
1.E+11
1.E+09
1.E+07
1.E+05
1.E+03
1.E-09

1.E-06
1.E+00
Photon1.E-03
Energy [eV]

1.E+03

1.E+06

低エネルギーのリングなどで発生するコヒーレントな放射光は遠赤外領域であり、テラヘルツ放射と呼ばれる。バンチ全体で N2 の効果。
・ なお、FEL でコヒーレンスを作り出すのもビーム進行方向の分布で、光の波長と同じ程度の「濃淡」がコヒーレントな放射光のもととなる。（自分で濃淡ができて N2 の効果が生じるのがSASE。）
・

Flux の計算（挿入光源や放射光入門というと、大抵この表式や導出は書いてある。意味については近似ということもあり、かなり曖昧であり、断定的に解説することはあまり適切でないが、ぼかして逃げても意味ないと思うので……）
2⎛ ⎛ Nπω ⎞ ⎞⎜ sin ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜
2
2 2 2
2
d Pk
e γ ξ ⎜ ⎝ ω0 ⎠ ⎟
2
(
)
(
)
=
S
K
S
S
S
K
S
S
2
γθ
cos
φ
−
+
+
2
γθ
sin
φ
−
−
y
−
x
−
0
1
1
0
1
1
⎜
⎟
dωdΩ
cπ 2 ⎜ ω − k ⎟
⎜ ω1
⎟
⎝
⎠

(

)

ただし、
−1

−1

2
2
2
2
⎛
⎛
Kx + Ky ⎞Kx + Ky ⎞222⎟ ω = 2γ ω ⎜1 + (γθ ) +⎟ξ = k ⎜1 + (γθ ) +
1
0
、
⎜
⎟
⎜
⎟ 、
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
∞
K
S q = ∑ (exp(i (k + 2 p + q )δ )J k + 2 p + q ( X )J p (Y ))、 tan δ = x tan φ 、Ky
p = −∞

2

X = 2ξγθ K y cos 2 φ + K x sin 2 φ 、 Y = ξ
2

挿入光源の周期を λu として、 ω 0 =ームの進行方向のなす角度。

2π

λu 、

2

Ky − Kx

2

4

K x と K y は挿入光源の水平・垂直磁場のＫ値、 θ と φ は光と電子ビ

軸上の光束密度⎛ ⎛ Nπω ⎞ ⎞⎜ sin ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜
2
2 2 2
⎜ ⎝ ω0 ⎠ ⎟
d Pk
eγ ξ
(
)
G
K
K
,
=
k
x
y ⎜
⎟
ω
d ω dΩ θ = 0
cπ 2
⎜
−k ⎟
⎟
⎜ ω1
⎠
⎝

2

ただし、
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
2
2⎜
2
Gk (K x , K y ) = ξ 0 K y ⎜⎜ J k −1 (Y0 ) − J k +1 (Y0 )⎟⎟ + K x ⎜⎜ J k −1 (Y0 ) + J k +1 (Y0 )⎟⎟ ⎟ 、
⎜
2
2
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠ ⎟⎠
⎝
−1

2
2
⎛ Kx2 + K y2 ⎞
K
−
K
y
x
⎟ Y =ξ
ξ 0 = k ⎜1 +
⎟ 、 0
⎜
2
4
⎠
⎝

Ｘ線

→

10keV～波長 120pm～エミッタンス約 10pmrad
高輝度Ｘ線
短パルスＸ線
コヒーレントＸ線

バンチ長 <1ps
必ずしも高輝度でなくてもよいが、Flux が欲しい！
↓
ERL が必要！

後半 ： 単粒子力学の基礎

・ テキストでは加速器のイメージをつかむため、ここに「放射光源の概略」を入れたが、ほとんど雑談なのでこの場では特に述べない。
・ ここからは単粒子力学の基礎について話す、やはり、数式を真面目に追うには、せめて板書を写してみるとか、後でゆっくり考えてみるとかすることが必要で、ＯＨＰ
でさらさらやってもきっと追えまい！……と思うので、軽く浅く話を進める。

単粒子力学の基礎・加速器を支える２つの安定性→ 「強集束」と「位相安定性」、ベータトロン振動とシンクロトロン振動
・光の性質を決めるパラメータ→ 放射励起、放射減衰とエミッタンス、バンチ長

集束力、中心軌道とその周りの振動
集束力→

安定点（ポテンシャルの底）＋その周りの小振動
上下方向 ： 「横方向、垂直」 y（transverse, vertical）

ビーム進行方向(longitudinal)：「縦」 s、z、t

トンネル内外方向 ： 「横方向、水平」 x(transverse, horizontal)

・ 加速器の中でビームを安定にまわす（失うことなく周回させる）為には、ずれたものを引き戻す力（復元力、集束力）が必要。集束力があると、（振幅やエネルギーの）ずれた粒子は、中心軌道（安定点）の周りを振動しながら失われることなく安定に周回し続ける。磁石などの誤差、エネルギーのズレなどがあっても、ある程度までな
らば粒子は安定に周回し続けることができる様になる。
・ 水平垂直方向の安定性は４極電磁石によって作られる。強集束という。
・ 縦方向の集束力は RF が与えてくれる。位相安定性という。

横方向の集束力 ： ４極電磁石
・
・

・
・
・
・
・

Ṹ

Ṹ

ṽ

磁極が４個あるので、４極という。
バネと同じで復元力である。中心からの距離に応じて、中心向きの力が働く。

x ′′ = −kx

・ṽ

散っていこうとする電子を、中心に集める働きをする。
ただし、磁場であるので、水平垂直の両方とも集束にはできない。
右の図の場合、電子は手前から奥へと進む。
水平（左右）方向は集束、垂直（上下）方向は発散となる。
中央にダクトを置き、その中を電子が走る。
水平集束（右図）の場合を QF、水平発散、垂直集束の場合（右図で NS が逆）を QD と呼ぶ。

横方向に集束しながらビームを運ぶṒẋṓ ๣ब௻‫׹‬・ 線形復元力のみ使う場合、集団としての電子ビームは幾何光学と同じように扱うことができる。
・ 凸レンズと凹レンズを並べることで、ビームを細く絞ったまま運んでゆける → 強集束の原理
・ 右のラティス（磁石配列）では、QF と QD が交互に並んでいるので、FODO セルという。
・ 幾何光学で光束にあたるのはビーム、その包絡線をベータトロン
関数（β関数、数学のβ関数ではない）という。

ṒẌṓ ۳ᆷ௻‫׹‬

ṻṰ

ṻṮ

ṻṰ

ṻṮ

Ṓẋṓ ᬹರՆἿὨᾥ̵ὼ

ᾔᾑἼὙ὜ুҥՆṒẌṓ ៗࣽἻἨṒẍṓ ᬹರՆἼៗࣽἝἓ὜‫װܣ‬ᾡᾊᾷύᾧᾯἼὙ὜ឞᥐ

ᦀՠἿͳোẩࠡࠪ࿙ͳো᣺ᦇ὏ὠὛἼ
ଭՠἪ὜፦ࠄᦈ
ͳো᣺ᦇͳো᣺ᦇ

「中心軌道周りの小さな振動」のみを扱う、粒子の運動方程式
2
⎧d
mv z
− evz B y⎪⎪ p x =dtr⎨⎪ d p = ev B
z x⎪⎩ dt yから、線形の要素、線形の項のみ考える。磁場の展開から分かるが、線形の要素は・・・

何もない空間（ドリフトスペース）
偏向電磁石（Ｂ）
４極電磁石（Ｑ）の３種類だけ。線形の単粒子力学というと、この３種類の要素だけしか考えない。Twiss
パラメータや解析的な COD など、全てこの３種類しか考えられていない。

方程式はそれぞれ……
何もない空間⎧ x ′′ = 0⎨⎩ y ′′ = 0
偏向電磁石

x
1 ΔP
⎧
′
′
⎪x = − 2 +ρ Pρ
⎨⎪ y ′′ = 0⎩
４極電磁石⎧ x′′ = − Kx⎨
⎩ y′′ = Kyとなる。

解くのは難しいか？
何もない空間⎛ x ⎞ ⎛ 1 s ⎞⎛ x0 ⎞⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎝ x′ ⎠ ⎝ 0 1 ⎠⎝ x0′ ⎠
偏向電磁石

s
⎛
cos
⎜
⎛x⎞ ⎜
ρ
⎜⎜ ⎟⎟ =⎝ x′ ⎠ ⎜ − 1 sin s
⎜ ρ
ρ
⎝

s⎞
⎟
ρ ⎟⎛⎜ x0 ⎞⎟s ⎟⎜⎝ x0′ ⎟⎠
cos ⎟
ρ ⎠

ρ sin

４極電磁石

⎛
⎛ x ⎞ ⎜ cos K s⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎝ x′ ⎠ ⎜ − K sin K s⎝

1⎞
sin K s ⎟⎛ x0 ⎞K⎟⎜⎜ x′ ⎟⎟cos K s ⎟⎠⎝ 0 ⎠そんなことはない。（これらを転送行列という。）

何が難しいか？
・・

個々の要素ではなく、加速器１周を全体として解こうとすると、数学的に複雑になる。
蓄積リングでは安定な周期解、ビーム輸送路ではビームサイズがダクト内に収まるような安定な解を探すことが難しい。

・・

バネについた重りのように、集束力が常に一定の場合は運動は発散しない。
加速器のように、集束力が場所によって違い、集束力がない部分も存在するような場合、共鳴現象によって運動が不安定になり得る。

・
・

安定不安定はともかく、数学的にどのように粒子を記述するのがよいか？
どうすれば解けるのか？ （最低一回は真剣に悩んでみよう！）

・

解として、バネの振動を変形したような解が存在することが示せる。

ヒルの方程式とフロケーの定理
運動方程式は、

x′′ = K (s )x 、 K (s + C ) = K (s )と書ける。周期的な係数を持つ、２階の線形方程式を、周期境界条件のもとで解くと、

x = A β (s ) cos(ϕ (s ) + δ ) 、 ϕ = ∫0と書ける。すなわち「包絡線包絡線の方程式は、″

β +K β −

1

β

3

ｘ

ds

β

変調された調和振動」という形に必ず書ける。また、=0となることが数学的に示される。
解いたわけではなくて、解がこのように書けることを示したのみ。方程式はより複雑になっているではないか？？

方程式の解・・振動が安定かどうかは別の問題であり、 ϕ ∈ C （振動数が複素数）で、振幅がどんどん増大していくこともある。
このやり方だけで方程式の解を求めようとすると、包絡線の方程式を解く必要があるが、ぱっと見ただけでいかにも解けなさそうそうな方程式……

どうやって解を求めるか？
・

個々の要素（ドリフト、Ｂ、Ｑ……）の解と、数学的な形式とを見比べる！

周回の転送行列・・

個々の要素の解（転送行列）を全部掛け合わせると、周回の転送行列が求まる。
（先程の形式論から）数学的に、周回の転送行列は⎛ cosν + α sin ν
M = ⎜⎜⎝ − γ sin νβ sin ν⎞⎟⎟cosν − α sin ν ⎠となることが示される。（何周しても β などは変化せず、位相が増えていくのみ。
振動が安定であるためには、振動数は実数でなければならない。cos が cosh になると周回毎に振幅が増大してゆく。）
・ 個々の要素の転送行列を全部掛け合わせて作った転送行列と、この行列を比べると、ある点における β の値などが分かる。
・・

ある点で β などの値が分かれば、それを「転送」することで、別の点での β が分かる。周回の行列である点での値を求め、それを転送することで、厳密解を求めることができる。
とはいえ、手計算ではほぼ不可能。

ここで、

・

β ′ = −2α 、

・

ν =∫

1+α 2

β

≡ γ であり、これらをトゥイスパラメータという。

ds

β をベータトロンチューンという。（周回の転送行列のみからは、 ± 2nπの不定性が残る。）
また、・ 振動が安定であるためには、n 周回の転送行列Mnを計算すると、「ベータトロンチューンが実数であることが必要」、ということが分かる。
・

解を、どうして α 、 β 、 γ 、 μ で書くか、直感的かつ必然的に示すことはなかなか難しい！ （だいたい天下りになってしまう……）ここまでで、解は

x = A β (s ) cos(ϕ (s ) + δ ) 、 ϕ = ∫
0

ds

β

1
− α (s )cos(ϕ (s ) + δ 0 ) + A
sin (ϕ (s ) + δ 0 )x′ = Aβ (s )β (s )= − A γ sin (ϕ (s ) + δ 0′ )と書けることを述べた。
1 粒子の運動を書いたこの解から、ビーム全体の振る舞いが分かる。

クーラン・シュナイダー不変量
解を書き換え、

cos(ϕ + δ ) =

x
A β

β⎛
α ⎞
′
(
)
sin ϕ + δ = −⎜⎜ x + x ⎟⎟
β ⎠

A ⎝

と、 cos θ + sin θ = 1 より、振動の大きさを表す量
2

2

ε=

(
x + (β x ′ + α x ) )
β
1

2

2

= γx 2 + 2αxx ′ + βx ′ 2 = const.
は、加速器中の位置、振動回数に依らずに一定の値となる。これをクーラン・シュナイ
ダー不変量という。加速器中のある場所で、周回毎に粒子の位置をプロットすると、その軌跡は楕円となる。（振動数が中途半端な値の場合。）

ポアンカレプロット

ᆃ௚ញ

ᆃ௚ញ

εγ

ؔ‫ۂ‬঵

θ
ϫᑔ

εβ

ϫᑔ

ᆃ௚ញ
፦ࠄ௝
Ảṑ

エミッタンス・・・粒子の分布を考えると、各々の粒子の振動の大きさは保存する。
周回しても、統計としての分布は変わらない。
位置と発散角のば
らつきの rms を考え、その位相空間の面積（クーラン
シュナイダー不変量）を、エミッタン
スという。

ϫᆸክ᫐ἼἛἢ὜
፦ࠄἿԋई

Ṝı
Ả

፦ࠄ௝
Ṝı

ϫᑔ

エミッタンスとトゥイスパラメータ・・

蓄積リングの場合、エミッタンスは放射減衰と放射励起の平衡状態で決まる。
ビームの初期状態がどうであれ、ビームがなくならずに蓄積リングを安定に周回できるなら、ビームはやがて中心軌道上（COD）を周回するようになり、ビーム
サイズは平衡状態のエミッタンスで決まる値になる。

・

平衡状態のエミッタンスを小さくするためには、放射励起の効果を抑制する必要があり、それは偏向電磁石内の分散関数を小さくすることである。
蓄積リングで到達可能な最小エミッタンスは、偏向電磁石の数で決まる。（各々の偏向電磁石間に４極を設置し、分散関数を小さくすることを含む。）
単粒子力学での計算上において、10keV の光を挿入光源で出す蓄積リング（～
5GeV 以上）でエミッタンス 10pmrad を実現する為には、周長 1km ではほぼ不可能。
KEKB くらい巨大なリングであれば、計算上は可能と思われるが、粒子同士の相互作用の効果があるため、実際にそのエミッタンスが達成できるかどうかは未知数。また、極低エミッタンスにはなっても、バンチ長を短くすることはできない。
従って、ERL が必要になる。

・・・

エネルギーのずれた粒子の、軌道のずれと集束力のずれ
・・・

電子は光速。エネルギーのずれは、重さの違い。
重いと曲げられにくい、軽いと曲げられ過ぎる。
Ｂでは軌道の歪みが、Ｑでは集束力の差（光学レンズ同様、収差という）が生じる。
エネルギー高め = 重い
= 曲げられない

軽いと焦点距離が短い
重いと焦点距離が長い

水平方向に位置のずれが生じるエネルギー低め = 軽い
= 曲げられ過ぎるエネルギーによる軌道のずれ= 分散関数エネルギーによる集束力のずれ= 色収差 = β関数の歪み= ベータトロン振動数の変化

分散関数と COD
・

偏向電磁石の１次のエネルギー偏差に対する特別解を、分散関数という。

η ′′

ΔP
η ΔP 1 ΔP
η
1
=− 2
+
↔ η ′′ = − 2 +ρρPρ P ρ P・ 偏向電磁石以外では、方程式はベータトロン関数と同じ。偏向電磁石のみ、転送行列が違う。分散関数も、ベータトロン関数同様、転送行列を使って求めることができる。
・ 通常、エネルギーの高い粒子は外側を周り、エネルギーの低い粒子は内側を回る。
従って、エネルギーによって周長が変化し、それをモーメンタムコンパクションと
いう。

ΔC
Δp
=α
,
C
p0

1 η
α = ∫ ds ⋅ δC Bρ

N 極電磁石と軌道のオフセット
・・粒子の軌道が n 極電磁石の中心から外れた軌道を通ると、軌道のずれに比例した n-1 極成分が生じる。
例えば、４極はビームが中心を通った場合、ビーム全体をぎゅっと絞るが、ビームが中心を通らない場合、ぎゅっと絞る他に、ビーム全体を中心方向に曲げる、偏向電磁石の作用を持つ。

・

６極電磁石を使うと、軌道のずれに比例した集束力を作ることができる。

色収差の補正６極電磁石の方程式は、(

x′′ = −λ x 2 − y 2y′′ = 2λxy)であるが、軌道オフセット（ここでは分散関数を想定して ηδ ）がある場合、(

x′β′ = −λ (xβ + ηδ ) − y β
2y ′β′ = 2λ (xβ + ηδ )y β2)x′β′ = −2ληδxβ→y ′β′ = 2ληδy βというオフセットに比例した集束力となる。エネルギーのずれに比例して分散関数という軌道のずれが生じ、６極電磁石でその軌道のずれに比例した集束力を与えること
で、エネルギーのずれによる集束力のずれを補正できる。

６極電磁石の効果
・

・
・
・

・

詳しく述べないが、粒子の運動の安定性は「振動数」で決まる。色収差を補正しないと、エネルギーのずれに対する振動数の変化量は極めて大きく、エネルギーが少しずれただけでも粒子の運動は不安定になってしまう。
色収差補正は必須！
低エミッタンスほど４極が強いため、色収差も大きく、６極も強くなる。
軌道のずれに比例した集束力を与えるが、軌道のずれは必ずしも分散関数に限らない。その場合、「振幅依存チューンシフト」という。振幅が増えると、６極で集束力が生じ、振動数が変化する効果である。
色収差補正のための６極が、大振幅の粒子の振動数を変化させ、振動を不安定にすることがある。その場合、分散関数がない場所に６極電磁石を設置し、振幅に応じた振動数のずれを抑制することで、振幅に対する安定性を回復することが
できる。

COD
・

磁場誤差に対する特別解を、COD という。

・・ある場所に「蹴り」がある場合の COD は解析的に求めることができる。
「蹴り」が複数ある場合、それぞれから発生する COD がそれほど大きくない場合
は、全体の COD はそれぞれからの COD の和となる。（数学的には、それぞれの定数項に対する特別解を足しあわせることに相当する。）

・

実際のリングでは、４極電磁石の中の COD は、４極電磁石に偏向電磁石成分を生じさせ、それが「蹴り」となって（数学的に高次の成分ではあるが）COD が生じる。
また、COD が大きい場合、COD の２乗に比例した６極の「蹴り」も無視できない場合がある。

・

数値計算では、４極の蹴り、６極の蹴りなど、全てを含んで閉じる軌道を求めることになる。

xCOD = − K (s )xCOD + ΔB (s )

（まとめ）強集束の原理
・（強い）集束４極電磁石と（強い）発散４極電磁石を交互に並べると、ビームを小さく集束でき、安定性が確保される。
・ 例えば、電磁石に誤差があっても、おる程度までであればダクトの中のどこかに閉じた安定軌道ができる。その安定軌道の設計軌道からのズレを、閉軌道のズレ(Closed Orbit Distortion)という。個々の粒子は、COD で決まる歪んだ安定軌道の周りを振動することになる。その振動をベータトロン振動という。
・ ベータトロン振動しながら COD 軌道の周りを周回する、集団としての電子ビー
ムの包絡線をベータトロン関数という。ビームサイズはベータトロン関数で決まる。
・

ビームにエネルギー偏差があっても、安定に周回できる。エネルギーの違うビームの設計軌道からのズレを、分散関数という。粒子の速さは光速であり、エネルギーの違いは重さの違いである。重い粒子（高エネルギーの粒子）はより外側の軌道を回り、軽い粒子（低エネルギー）はより内側をまわる。重い粒子が１周する時間は設計粒子より長くなり、軽い粒子は短くなる。

（まとめ）横方向の粒子の運動
・

横方向の粒子の運動は、次の式で表される。

x = xβ + ηΔpΔp+ xCOD = εβ (s ) cos(φ (s )) + η+ xCODp0
p0・

ビームサイズは以下のようになる。

・σ x = εβ + (η σ E E )2
ここで、ε は水平エミッタンス、 σ E E はエネルギー広がりである。エミッタンスやエネルギ
ー広がりは放射減衰と放射励起の平衡状態で決まる量。

・

例えば……

ε = 1nm ⋅ rad 、 β = 10m ならば、ビームサイズへの寄与は σ x = 100μm−3
さらに η = 10cm 、 σ E E = 1× 10 があるとエミッタンスと同じ 100μm の寄与が加わり、ビームサイズは両方を合わせて σ x = 141μm になる。
・ビームサイズを小さくする（=光の強さを強くする）為には分散関数を消すことが効果的である。

βx = 5mβy = 0.4m
短直線部

ＰＦリング半周のラティスとオプティクス

B
QA

1.5m
5.7m

Q
QF DB
B
QD
QF

色消し
直線部

Q1
Q2

B
Q8 9B
Q

B
Q7

dispersion suppressor
直線部

Q3
Q4
Q4
Q3
B
Q5 B
Q6

βx = 10m
βy = 5m
色消し
直線部

5.1m

ここで分散関数ゼロ

QD
QF
QD
QF

弧部 : normal cells

QD
QF

QDF
Q

Q
Q56A
A
Q3
Q4
Q4
Q3
Q2
Q1

Q7
A

Q
Q8 9A
A

Q
QADA
A

QDFA
Q

9.0m
βx = 12m
βy = 5m

DBA と TBA ラティス
直線部のビームサイズを小さくするため、分散関数を消したラティスを色消し(achromat)という。代表的な色消しラティスでよく使われるのはチャスマングリーン型で、DBA と TBA がある。

縦方向の安定性：

位相安定性

分散関数により、エネルギーがずれると軌道が変わり、周長が変わる。従って、エネル
ギーに応じた周回の時間差ができる。その時間差と RF 加速電圧の勾配がうまく組み合わさり、エネルギーに対する復元力となる。それを位相安定性という。
・ すなわち、エネルギー低めの粒子は多く加速され、エネルギー高めの粒子は少なく加速される。
エネルギー低め（多く加速）
設計値（損失分ぴったり）
エネルギー高め（少なく加速）

V

t

放射で減ったエネルギー

PF の場合、RF の最大電圧は 1.7MV、1 周の放射損失は 0.4MeV。
エネルギーのずれ約１％まで安定になる。光子の臨界エネルギー
で割ると約 100 なので、1 周で 100 個の光子を出す。1 台の B あた
り 3～４個。

エネルギーと位相の安定領域
・
・

・
・

・

RF の力は線形ではない。
エネルギー変化と軌道長（到達時間）変化の式、加速電圧の時間変化の連立方程式を解く。
解析的に解けて、解は右のような図（セパラトリクス）で表される。
エネルギーの振動をシンクロトロン振動という。
横方向の運動の場合、６極や８極がある場
合も同じようにしてセパラトリクスを考えて解くこともできる。

φ =0
φ0
π − φ0Φ′ = 0Φ = Φ max

セパラトリクス

安定領域

Φ=0線形化した場合
・シンクロトロン振動の振幅が小さい場合、調和振動子として線形部分だけ扱うと、周波数はαhω0 2 (eV cos φ0 )Ωs =2πEとなる。ここで、 α は momentum compaction、 h は harmonic number、 ω0 は粒子の周回周波数、 V は RF 最大電圧、 φ0 は RF の位相（周回のエネルギーロスは U 0 = eV sin φ0 と書ける）、E はビームエネルギーである。
・「リング１周で何回振動するか」に直した振動数をシンクロトロン振動数という。

υs =
・
・

Ωs

ω0

=

αh(eV cos φ0 )2πE

PF の場合、 α = 6.56 × 10 −3 、 h = 320 、 eV = 1.7 MeV 、 φ = 13.6° で υ s = 0.015 である。
バンチ長は以下のようになる。（この値が光のパルス幅を決める。）

σl =

cα
σE E
Ωs

（繰り返しまとめ）蓄積リングにおける粒子の安定性
・集束力があると、誤差やズレがあってもどこかに安定点ができ、粒子はその安定点の周りで（微小）振動をし、失われることなく周回する。

・

横方向（水平垂直）→ ４極電磁石が復元力を与える。
→ 集束・発散の２種類の（強い）電磁石を交互に並べると、ビームサイズを小さく抑える
ことができる。それを強集束の原理という。

・縦方向（ビーム進行方向、エネルギー方向）→ エネルギーの違いによる軌道の違いが周長の差となり、RF 到達時間を変える。
→ エネルギーによる時間差（RF の位相差）と加速勾配がエネルギー方向の安定性をもたらす。位相安定性という。

ビームサイズとバンチ長を決めるパラメータ
放射減衰と放射励起の平衡
エミッタンスとエネルギー広がり

放射減衰 （エネルギー、水平垂直）・・粒子の振動の振幅は放射減衰により減衰する。横方向、縦方向ともに放射減衰が存在する。
放射光はビームの進行方向に出る。放射光を出すことで失ったエネルギーを RF 空洞で加速して補うが、加速の方向は常に設計軌道に平行な向きである。従って、設計軌道から外れる方向への運動量は「放射光放出→加速」の繰り返しでどん Ảொࡤҫ
どん減っていく。
エネルギーのズレに対しても同様で、エネルギー高めの粒子は Ảẓエネルギーが高めの放射光をொࡤҫἼὙ὜༓࡯
出し、低めは低めを出す。RF 空
洞で足されるエネルギーは常 ẢẐԕಓщに一定なので、エネルギーのズṼṰἼὙ὜Չᥫ
レも小さくなっていく。
横方向の減衰時間は PF の場合、
Չᥫ঵
およそ 25000 周。

ẚ

・

ẚ
ẚ

・

Δẚ

ẚ

ẚ

Δẚ

ẚẝ

放射励起 （エネルギーと水平方向）
・
・
・
・

・

一方で、放射光の放出はビームの乱雑さを増やす要素でもある。
エネルギーのずれた粒子は、（重さが変わる為、分散関数の影響で）偏向電磁石での曲げられ方が変わり、軌道がずれる。
放射光は量子力学的な確率過程で放出される。従って、ビーム内の個々の電子で光の出し方は揃っていない。いつ出すかも決まっていないし、光のエネルギーにも幅がある。
偏向電磁石で個々の粒子が光を出すことにより、ビーム内の粒子のエネルギーがバラバラになり、また、そのエネルギーごとに分散関数で決まる軌道を中心にベータトロン振動を始める。
放射光を出すことで分散関数によりベータトロン振動が励起され、エミッタンスが増大する。
これを放射励起という。

᡼኿శశߩࠛࡀ࡞ࠡ࡯ue⸳⸘゠㆏ࠛࡀ࡞ࠡ࡯߇ߕࠇߚ
☸ሶߦኻߔࠆਛᔃ゠㆏

ΔE = 0

曲げられなければ励起しない→垂直方向は減衰だけ

ΔE = -u㧔ࠛࡀ࡞ࠡ࡯៊ᄬ㧕エミッタンス、エネルギー広がり
・
・
・

・
・
・

ビームは常に放射光を出すことに伴う「振動の励起」効果と「振動の減衰」効果を同時に受けながら加速器の中を周回している。
放射励起と放射減衰が釣り合って、平衡状態となる。
（入射ビームやキッカーによって振動を励起された粒子が）減衰の効果で平衡状態に落ち着くまでの時間を、放射減衰時間という。
（PF の場合、7.8ms） 電子・陽電子ビームの場合、ビームの初期分布（振幅、エネルギーのズレ）がどんな状態でも、集束力のおかげで安定に周回できる領域に入っていれさえすれば、減衰時間を経た後は平衡状態で決まる分布に落ち着く。
平衡状態のエネルギーの分布の標準偏差をエネルギー広がり、水平方向の位相空間の面積をエミッタンスという。
垂直方向は放射励起がないので、理想的にはエミッタンスはゼロ。実際は垂直偏光の挿入光源や磁場誤差などで小さなエミッタンスが生じる。
バンチ長は、エネルギー広がりとＲＦのパラメータで決まる。

Synchrotron radiation integrals（エミッタンス、バンチ長などの計算）（ ρ は偏向電磁石の曲率半径、η は分散関数）

放射光に関する積分ηds
Bend内 ρI1 = ∫

I2 = ∫

Bend内

1

ρ

ds

2

1

I3 = ∫

ρ

I4 = ∫(1 − 2n )η ds

Bend内

Bend内

I5 = ∫

Bend内

ds

3

ρ3

H

ρ

3

ここで、 H =ds(η + (αη + βη ′) )
β
1

2

2

ただし、 α 、 β は Twiss パラメータ。

各種パラメータ
momentum compaction （エネルギーのズレに伴う周長のズレが ΔC = α c C ΔP P ）α c = I1 C

C は周長energy loss per turn （１周の放射光によるエネルギー損失）

U0 =2re E 4(

3 m0 c)2 3

I2

re ： 電子古典半径、 E ： ビームエネルギー、 m0 ： 電子静止質量
energy spread, emittance2

σ E2 =

2

I5
I3
55 h ⎛ E ⎞55 h ⎛ E ⎞
⎜
⎟
⎜⎜
⎟
ε
=
2
2
32 3 m0 c ⎜⎝ m0 c ⎟⎠ I 2 − I 4
32 3 m0 c ⎝ m0 c ⎟⎠ 2 I 2 + I 4 、

damping timeτ x , E [ms] =C[ m ] ρ [ m ]
I4
I4
J
=
1
−
J
=
2
+
x
E
13.2 J x , E E 3 [GeV ] 、ただし
I2 、
I2

エミッタンスを小さくする為に……
・

偏向電磁石中の分散関数の最適化。
（偏向電磁石の数による理論最小値が存在。）

1 Cqγ ⎛ 2π ⎞
ε=
⎜
⎟
J
N
12 15 x ⎝
⎠
2

・

3

色消しオプティクス（DBA）の場合はその３倍が理論最小。

1 Cqγ ⎛ 2π ⎞ε=⎜⎟
4 15 J x ⎝ N ⎠2

3・

ただし、安定に運転するために、その最小値の２～３倍のオプティクスになることが多い。

・リングでエミッタンスを下げるには、周長の大きなリングを作る以外にない。

5GeV に対する理論最小エミッタンスと偏向電磁石の数
DBA
n
12.0
15.0
16.0
18.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
120.0
140.0
160.0
180.0
200.0

TBA

QBA

5-BA

6-BA

7-BA

8-BA

9-BA

2.000
3.000
4.000
5.000
6.000 7.000 8.000 9.000
339.931 264.391 226.621
188.851135.368
104.427
143.40995.60671.704100.720 78.338
55.95648.49573.42548.950 44.055
9.178
6.119
5.507
4.589
2.719
2.115
1.813
1.632
1.511
1.147
0.765
0.688
0.574
0.587
0.392
0.352
0.340
0.264
0.227
0.204
0.189
0.170
0.214
0.143
0.128
0.112
0.143
0.096
0.086
0.072
0.101
0.078
0.067
0.060
0.056
0.048
0.073
0.049
0.044
0.037

Minimum
Emittance
113.31058.01547.80333.57324.475
3.059
0.906
0.382
0.196
0.113
0.071
0.048
0.034
0.024

解決法！
・ ERL : 線形加速器では電子銃の性能でエミッタンスが決まるため、リングよりも小さな
エミッタンスが実現できれば、そのビームを使い捨てにすればよい。

放射光源の歴史と進化

放射光源の歴史
1944 年、放射光のエネルギー、スペクトルの計算。
1948 年、最初の放射光観測。アメリカ GE 社 70MeV シンクロトロン。
1963 年、最初の放射光利用実験。アメリカ規格標準局 180MeV シンクロトロン。
1970 年代 ： 第１世代 ： 素粒子実験用のリングで合間を縫って実験。
1975 年、最初の放射光専用リング。旧田無市、旧東大核研の SOR-RING。
1980 年代 ： 第２世代 ： 放射光専用リング建設。挿入光源開発。
1983 年、ＰＦリング運転開始。
1993 年、最初の第３世代放射光源運転開始。アメリカ ALS。
1990 年代 ： 第３世代 ： 挿入光源の利用の本格化
2001 年、最初の「新」第３世代放射光源運転開始。スイス SLS。
2000 年代 ： 新第３世代 ： 低エネルギーリング（～3GeV）でアンジュレータから硬Ｘ線
2000 年代 ： 第４世代 ： 放射光の短パルス化、コヒーレンス化
これから、SASE-FEL、ERL など
さて一体どうなる……

SOR-Ring 世界初の放射光専用リング

GE 社 世界初の放射光の観測（LBL、Wikipedia の WEB より。）

APS

・

ALS

SLS

例 ： 第１世代

PF-AR
6.5GeV、377m、e- & e+
・ 300nmrad、シングルバンチ 60mA で運転。
・ トリスタン入射用。2.5GeV から 8GeV まで加速し、入射できれば性能は満たされる。
・ FODO セル + Missing Bend + 衝突点。
・ 現状 ： RF 全面更新（？）が必要
入射〃
真空 2002 年に部分的に更新
診断系〃
・ 不安定性が非常に顕著。大電流の蓄積、長時間の安定運転は非常に困難。

第１世代放射光源の特徴
・ 試行錯誤で加速器自体を研究対象としていた時代。長時間、大電流の安定運転は技術的に無理。ビームを蓄積、加速して、衝突させるまで（数秒～数分？）の運転がやっとであった。
・ ラティスは FODO セル。衝突点、入射、RF の為に直線部、隙間が必要。Missing Bend（Ｂを抜いて直線部とする）が一般的。

例 : 第２世代

PF Ring
2.5GeV、187m、e・ 37nmrad、450mA で運転
・ FODO セル + Missing Bend + DBA
・ 長時間大電流の安定運転を前提に建設。第２世代と第３世代との橋渡し的なラティス構造。
挿入光源の数は同規模の第３世代より多い。
・ 建物の構造と地盤が弱い。

第２世代放射光源（実は数はそれほど多くない！）の特徴

・ FODO セル。DBA や TBA である場合もある。
・ 大電流、長時間安定性に気をつけて作ってある。（→真空系や診断系、インフラなど、一見すると本質的でないと思われがちな要素にちゃんとお金をかけている。）
・ 直線部、隙間に挿入光源を入れてある。ただし、必ずしも挿入光源が主体ではなかった。
・ エミッタンスがそれほど小さくない。

PF リングのパラメータの変遷
建設当初
エネルギー
周長
エミッタンスエネルギー広がり
Momentum Compaction
ベータトロンチューン
水平方向
垂直方向
色収差
水平方向
垂直方向
１周のエネルギー損失
放射減衰時間
水平方向
垂直方向
縦方向
周回周波数
RF周波数
Harmonic Number
RF電圧
Synchrotron Tune
バンチ長
RF Bucket Height

低emittance化
後

高輝度化後

直線部増強後2.5 (3.0)
187.074

E [GeV]C [m]ε o [nm×rad]
σE/E
α

459.8
7.29E-04
3.98E-02

128.2
7.29E-04
1.56E-02

35.6
7.28E-04
6.71E-03

35.4
7.29E-04
6.56E-03

νx
νy

5.3
4.2

8.5
3.3

9.6
4.3

9.6
5.3

ξx
ξy
U0 [keV/rev.]

-6.6
-4.7
398.9

-14.6
-7.7
398.9

-12.6
-11.3
398.9

-13.4
-15.8
399.1

τx [msec]
τy [msec]τz [msec]
frev [MHz]fRF [MHz]h
VRF [MV]νsσz [mm](ΔE/E)RF[%]

7.8
7.8
3.9

7.8
7.8
3.9

7.8
7.8
3.9

7.8
7.8
3.9

1.6
500.1
312.0
1.7 (3GeVは2MV）-0.03623.9
0.479-0.02315.0
0.765-0.0159.8
1.167-0.0159.7
1.180

例 : 第３世代

ALS
1.5GeV、197m、e・ TBA セル、12 回対称・ 挿入光源主体。
・ 3.4nmrad、低エミッタンス。
・ （現在は 1.9GeV、400mA 運転）
・ 硬Ｘ線を出すために、超伝導Ｂを３台導入。
・ エネルギーが低すぎて、現状では何をどうやってもアンジュレータからの X 線は利用できない。

第３世代放射光源の特徴（この時代に最も多くの放射光源が作られた。ある意味、完成型？）
・ DBA、TBA（チャスマングリーン）のセル構造。
・ 低エミッタンス。ちょっとの誤差が大きな影響力を持つので、全ての要素がきちんと作られていることが必要。
・ 挿入光源が一般的かつ主体。
新第３世代光源
・・

真空系やビーム診断系など、目に見えにくい要素が大きく進歩しており、精度など全てが設計通り完璧に近く（……言い過ぎか？）作られている。
真空封止短周期アンジュレータにより、高輝度な硬Ｘ線が利用可能。ギャップは数 mm まで閉じられる。不安定性の抑制や、軌道安定性などが非常によく保たれている。

過去と現代で、特に改善された技術（PF-AR と PF の違い……？）・ RF が劇的に改善。高次モード減衰型の採用で、不安定性が抑えられる。
・ 不安定性抑制に伴い、入射も劇的に改善。セプタムやキッカーの製造技術も向上。ちゃんと安定な（毎回再現する）バンプが作れるようになる。（不安定性でビームがでかくならないので、）中心軌道をセプタムに近づけられる。入射効率が上がり、大電流の蓄積が可能になる。
・ ダクト製造、排気などの真空技術の向上。良い真空度で運転ができる様になり、真空悪いことによる（原因不明な？）不安定性が駆逐された。ダクト凹凸による不安定性、発熱、ビーム品質の悪化の抑制。
・ ビーム診断系の向上。そもそも「何が起きているか」分かるようになったことが進歩に大きく貢献している。
非常に大事。最初の頃はモニタがなくて、COD すら測れなかった。最近では、既存の放射光源では測れない
ものはないというくらい色々測れる。
・ そもそも最初はなかった挿入光源の発展。磁石配列がちゃんと作れるようになり、安定性を損ねなくなった。
ビームが安定かつサイズも小さくなることで、ギャップ（ビームが通る隙間）を狭めることができた。超伝導
アンジュレータ（連続スペクトル）を使わずに、低エネルギーの加速器で高エネルギーのアンジュレータ光（線スペクトルの強い光）が出せるようになった。
・ 建物や水配管などインフラ技術。建物がしっかり作っていないと加速器全体が振動したり歪んだりする。（PFの唯一の弱点か。）
・

電磁石は発展しないのか！？

第４世代放射光源
・ ERL (energy recovery linac)、SASE-FEL (self-amplified spontaneous emission freeelectron laser)。
・ 両者とも、LINAC ベースの放射光源であり、電子ビームのパラメータは放射励起と放射減衰の「平衡状態」で決まらない。現在は電子銃と LINAC で、既存の蓄積リングの到達性能よりも良い品質のビームを作れる様になった（一部開発中）為、可能となった。
・ 単粒子力学ではなく、粒子間の相互作用が本質的。従来の蓄積リングでは、粒子間の相互作用は、不安定性と寿命くらいしか効かなかった。ERL や FEL では、空間電荷
効果、CSR の効果など、粒子間相互作用が本質的にビーム品質を決める。
・ また、解析的な単粒子力学は、基本的に、水平、垂直、縦方向を分離して扱う。混ぜると数学的に複雑かつ手に終えなくなる。数値計算では非線形を含めて６次元で計算を行うが、水平垂直結合の効果（垂直エミッタンス増大）や振動の安定性を調べるのが計算の目的。
・ ERL や FEL では、６次元の運動が本質的に効く。蓄積リング向け単粒子力学は、基本ではあるがそれだけでは完結しない、時代遅れになりつつある！

FEL（図はひどい概念図です）

実証器で 100m くらい、実機は数 km～10km くらい

初段加速
電子銃
シケイン
ソレノイド
バンチャー

主加速管

長尺アンジュレータ
FEL 発振、コヒーレント光発生

電子と光を分離・ アンジュレータ上流では適当な分布だったバンチが、アンジュレータ内で光を出し、その光と相互作用することで、徐々に光にあわせた濃淡がついてきて、その結果、光ももっと強くなって、を繰り返し（レーザー発振）、結局、普通の放射光の何桁も強い 100%コヒーレントな光が出せる。
（通常の放射光も BG として出るが、無視できる。） 誘導放射ではない。N2 の効果をどこまで生かせるかということ。
・ 電荷密度を非常に大きくする必要がある。電子銃で大電荷、低エミッタンスのバンチを作り、さらにその長さを圧縮し、必要な密度を得る。
・ 通常の蓄積リング、LINAC のバンチ長は 10ps かそれ以上だが、FEL ではだいたい 100fs くらいにする。（1～2 桁短い！）
・ エミッタンスも小さい必要がある。リングの（規格化）エミッタンスは普通、50mmmrad くらい（2.5GeV で 10nmrad の時）。FEL では 1mmmrad とか。（1～２桁小さい！）

ERL（図はひどい概念図です）

周回部

多数の挿入光源
回折限界光（部分
コヒーレント光）発生

加速、エネルギー付与
減速、エネルギー回収
低エミッタンスビーム
合流部
電子銃

入射部加速

主加速管
ビームダンプ100mA、1GeV のビームを使い捨てで作るには、100MW の電力が必要。（現在、PF 全体で 3MW、LINAC も3MW。

・ エネルギー回収しない限り、やってられない。
・ 1 回まわして捨てないと、放射励起でビームが膨らむ（エミッタンス、エネルギー広がりの増大）。
・ 電子銃で現在の蓄積リング、LINAC よりずっと良いビームを作る。丸ビームで、エミッタンス
0.1mmmrad（5GeV で 10pmrad）を目指す。10keV で回折限界を目指す。
・ 短パルスビームによる実験も可能。
FEL と ERL の違い
・・・・

単発の光としては、FEL の方が遙かに強力。
FEL の繰り返しは 10Hz～1kHz 程度。ERL は 1.3GHz の RF に乗った連続ビーム。
FEL の電流値は 1nC、1kHz で 1μA。ERL は 77pC、1.3GHz で 100mA。
FEL は「充電して光る」を繰り返すカメラのフラッシュ、ERL は高輝度なハロゲンランプみたいなもの。
・ FEL は完全コヒーレント光。光った瞬間の輝度は、ERL に比べて 3 桁以上高い。ERL は連続の光で、既存の放射光源に比べて 2～3 桁高い輝度。
・ FEL は 1 ユーザーしか使えない。ERL は同時に 20～30 ユーザーが利用。

コンパクト ERL（KEK-JAEA テスト ERL）

旧 PS 東カウンターホールに建設される。

加速器科学を勉強するために・ これからは線形加速器の時代……かも知れない！
・ 加速器、電子銃（低エネルギービーム）、レーザー（とビームの相互作用、プラズマなど）と、今までほぼ別々の分野、別々の述語で生きてきたものが、融合している。
・ どれかの分野を勉強すれば、その分野の言葉でビームを記述できるようになるが、それだけでは完結しない時代になりつつある。「加速器の言葉」だけでは終わらな
いが、少なくともどれかの言葉を知らないと、何も始まらない！
・ 例えば、google で検索してみると、よいテキストが色々無料で手に入る。（出版するには特殊すぎるので、日本語ではなかなか出版されない……。） OHO もそうだが、
姫工大（現、兵庫県立大）や SPring8 でも、講習会や入門講義が行われていて、日本
語でそれほど長くない、よいテキストがダウンロードできる。 ”CERN accelerator
school”は英語だが、初歩からかなり高度な内容まで、きちんと書かれている。（驚くほど！ しかも、大量！ 無料！）
・ 自分で数式を追ってみる以外に勉強する方法はない！
な数学的には必ずしもよくない……（申し訳ないです））
・ 皆さんがんばってください！

（僕のテキストは真面目