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本質から理解する数学的手法− 補足説明 −東京理科大学

理学部応用物理学科

荒木修 ＋ 齋藤智彦

2021 年 1 月 8 日
この文書は，「本質から理解する数学的手法」の本文に対する補足や，やや難度が高いと判断して書かなかった事柄等を説明するためのものです．後で気付いたことは，順次書き足していきたいと考えています．

1 基本の「き」
未補充

2 テイラー展開
未補充

3 多変数・ベクトル関数の微分
3.1 勾配と多変数関数のテイラー展開との関係（3.3.2 節）
本文の (3.11) 式の直前の式

f (x+∆x, y+∆y)≃ f (x, y) + ∂y f (x, y)∆y + ∂x {(f (x, y) + ∂y f (x, y)∆y}∆x= f (x, y) + ∂x f (x, y)∆x + ∂y f (x, y)∆y + ∂y ∂x f (x, y)∆y∆x(1)には，同じ 2 次の微小量である (∆x)2 と (∆y)2 の項が含まれていないので，実は 2 次までの展開として正し
くありません．これらの項を含めるには (1) 式でf (x+∆x, y+∆y)1≃ f (x, y+∆y) + ∂x f (x, y+∆y)∆x + ∂x2 f (x, y+∆y)(∆x)2
2
1 2≃ f (x, y) + ∂y f (x, y)∆y + ∂y f (x, y)(∆y)22
1 2+ ∂x f (x, y+∆y)∆x + ∂x f (x, y+∆y)(∆x)22

3 多変数・ベクトル関数の微分2のように，最初に ｘ について 2 次までテイラー展開して，残った ∆x と ∆y について 1 次まで展開します．
すると（結構大変ですが）f (x+∆x, y+∆y)1≃ f (x, y) + ∂y f (x, y)∆y + ∂y2 f (x, y)(∆y)22+ (∂x f (x, y) + ∂y ∂x f (x, y)∆y) ∆x)1( 2+∂x f (x, y) + ∂y ∂x2 f (x, y)∆y (∆x)2
2= f (x, y) + ∂x f (x, y)∆x + ∂y f (x, y)∆y1
1
+ ∂x2 f (x, y)(∆x)2 + ∂y2 f (x, y)(∆y)222+ ∂x ∂y f (x, y)∆x∆y + (∆x, ∆y の 3 次) × f の 3 回偏微分となります．この式について ∆x, ∆y の 3 次の項を無視し，さらに r を用いて書き直すと

f (r+∆r) ≃ f (r) + ∆r · ∇f (r)}1{ 2∂x f (r)(∆x)2 + 2∂x ∂y f (r)∆x∆y + ∂y2 f (r)(∆y)2+
2となります．ここで ∇f (r) · ∆r ではなく，∆r · ∇f (r) と書き直したところがちょっとしたミソです．こうすると，一見まとまらないように見える 2 次の項を，以下の演算子の計算(∆r · ∇)2 = (∆x∂x + ∆y∂y )2 = (∆x∂x + ∆y∂y )(∆x∂x + ∆y∂y )= ∆x∂x (∆x∂x ) + ∆x∂x (∆y∂y ) + ∆y∂y (∆x∂x ) + ∆y∂y (∆y∂y )= (∆x)2 ∂x2 + ∆x∆y∂x ∂y + ∆y∆x∂y ∂x + (∆y)2 ∂y2= (∆x)2 ∂x2 + 2∆x∆y∂x ∂y + (∆y)2 ∂y2を用いて 12 (∆r · ∇)2 f (r) のようにまとめることができるのです．そうすると 2 次までの式全体は

1
f (r+∆r) ≃ f (r) + (∆r · ∇)f (r) + (∆r · ∇)2 f (r)2となります．∇ が微分であることを考えると，実はこれは r の周りで多変数関数 f (r) のテイラー展開を計算していたのだ，ということがわかります．
一般に，無限次まで展開できるならば

f (r) =

∞
∑
1

n!
n=0

((r − a) · ∇)n ) f (a)となることが知られています．

3.2 3 変数関数の等位面の接平面の法線ベクトルが ∇f (r) であることの詳細（3.3.3 節）
まず，空間内の曲面 f (r) = C にある点 r0 における接平面とは，点 r0 における（全ての）接ベクトルを含む平面です．従って，接ベクトルは接平面の法線ベクトルに直交しています．
次に，点 r0 がある平面上にあるとします．このとき，この平面上の一般の点を r とすれば，r − r0 はこの平面内にあって，平面に平行なベクトルとなるので，平面の法線ベクトル n と必ず直交し，n · (r − r0 ) = 0(2)が成立します．つまりこれが，この平面の方程式です．もし r − r0 が曲面 f (r) = C の接ベクトルならば，(2) 式はその接平面の方程式です．

4 線積分・面積分・体積積分

3

そこで，r0 と r が 3 変数関数 w = f (r) = f (x, y, z) の等位面 f (r) = C (= 一定) 上の点であるとします．
ただし，r は r0 のごく近傍にあるとして r = r0 + ∆r とおきます．すると ∆r → 0 の極限で ∆r は r0 における f 等位面に平行になるので，∆r は（→ 0 の極限で）r0 における f の等位面の接ベクトルとなっています．
一方

C = f (r) = f (r0 + ∆r) ∼= f (r0 ) + ∇f · ∆r = C + ∇f · ∆rが成立するので，∇f · ∆r = ∇f · (r − r0 ) ∼= 0 （∆r → 0 の極限で等号成立）が得られます．上記の議論から，この式は r0 における f の等位面の接平面の方程式です．従って，(2) 式と比べると，∇f が，この接平面の法線ベクトルになっていることが分かります．

4 線積分・面積分・体積積分
4.1 積分に向きがあることについての補足（4.2 節）
本文 4.2 節の脚注で，「積分を向きも含めて定義することで，不定積分と微分が互いに逆演算の関係になる」と述べました．この事情を簡単に説明しましょう．
まず，「ずるい説明」から．

∫ b
f (x) dx = F (b) − F (a) が成立する

f (x) が F (x) の導関数であるとすると(3)aということから出発します．ここで積分区間をひっくり返してみると

∫ a

∫ b
f (x) dx = F (a) − F (b) = − {F (b) − F (a)} = −bf (x) dx(4)aとなり，同じ積分を求めるためには，積分区間を逆にしたら負号をつけなくてはいけないことが分かります．
しかしこれでは「計算したらそうなるでしょ？」という感じで，分かったような分からないようなモヤモヤが残ります．しかも (3) 式が成り立っているなら当たり前の計算であって，それなら「何故 (3) が成り立つのか」*1 を説明しなくてはなりません．しかしこれをキチンと説明すると少し長くなってしまいます．そこで，

f (x) が F (x) の微分であるということは知っているとして，「もし負号が付かないとどうなるか」を，積分の定義式∫ bf (x) dx = lim
a

n→∞

n
∑

f (xi )∆x

(5)

i=1

から考察してみましょう．刻み幅は簡単のため ∆x に統一します．
まず a から b に向かって積分する場合，(5) 式の右辺（の極限をとる前の式）は
n∑F ′ (xi )∆x = F ′ (a)∆x + F ′ (a + ∆x)∆x + · · · + F ′ (a + (n − 1)∆x)∆x

i=1となります．

*1

これを保証するのが，微積分学の基本定理です．

(6)

4 線積分・面積分・体積積分

4

この式の意味ですが，右辺最初の項は「x = a での F (x) の傾き ×∆x」であり，これは「x = a で ∆x 進んだときの F (x) の増分 」ですから，全体として
n∑F ′ (xi )∆x = (a での増分) + (a + ∆x での増分) + · · ·i=1= a から b までの F (x) の増分∼= F (b) − F (a)(7)

です．これを図にしたのが，本文の図 4.1(a) でした．
もしこれを b から a に向かって積分するならば，n∑F ′ (xi )∆x = F ′ (b)∆x + F ′ (b + ∆x)∆x + · · · + F ′ (b + (n − 1)∆x)∆x

(8)

i=1

となりますが，各項の F ′ (x) は (6) と同じである一方，∆x < 0 のはずなので，この式の意味は
n∑F ′ (xi )∆x = (b での減少分) + (b + ∆x での減少分) + · · ·i=1= b から a までの F (x) の減少分∼
= F (a) − F (b) = − {F (b) − F (a)}(9)

となるはずです．これは，本文の図 4.1(a) を逆向きにたどったものになります．
このように，負号が付くことが自然に示されますが，もしここで負号が付かないとすると，それを埋め合わせるために (9) 式中の F ′ (x) は (6) 式中の F ′ (x) に負号を付けたものにしなくてはなりません．つまり，「f (x) (= F ′ (x)) は F (x) の微分である」ということが成立しなくなってしまうわけです．これが，「向きも含めて定義しないと互いに逆演算の関係にならない」という意味です．

4.2 面積分の ∆Sk （dS ）が正であることについての補足（4.3 節）
線積分では逆向きに積分すると負号が付くのに，面積分では「dS は正になるように！」というのは，面積分が線積分の一般化であることから考えると「おかしいのでは？」と感じるかも知れません．実は，線積分で dℓの向きを考えることは，面積分で dS （面素片ベクトル）の向きが 2 通りあることに対応します．そして「dSの向き」と 2 つのパラメーターで曲面を表すこととは，密接に関係しています．そこで，曲面上の面積分についてここでもう少し詳しく考えましょう．
今，3 次元空間内の曲面 S が，2 つのパラメーター s, t で表せるとしましょう．これは曲線 C のときのパラメーター t が，C に沿って x 座標を設定したようなものである，ということと全く同様で，曲がった曲面 S 上に xy 座標を設定するようなものです．そうすると S 上の点 r は s, t の関数 r(s, t) となります*2 ．但し，s, tを微小変化させたときに r が同じ向きに微小変化してしまうと曲面を表せないので，違う向きに変化するように設定します．これは s と t を別々に微小変化させたときの r の微小変化をそれぞれ ∆rs , ∆rt と書くとき，

∆rt
∂r
∂r
∆rs
/\/
, ∆s, ∆t → 0 の極限で
/\/
∆s
∆t
∂s
∂t

(10)

と設定することを意味します*3 ．
*2

これを成分で表すと (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) ですが，独立な変数は x, y, z ではなく s, t の 2 つなので，3 つの変数 x, y, z は互
いに独立ではなく，間に関係式が 1 つ存在することになります．それが曲面 S を表す式です．
*3 有限の大きさだけ変化させたときに，たまたまこれらが一致したとしてもそれは問題ありません．例えば，地球の表面が球面だとして，北極点で地表に沿って直交する 2 ベクトル∂r ∂r,を設定します．ここで南極まで変化するベクトルを s と t を変数とし∂s ∂tて 2 通り考えると，微小変化の向きは場所場所でそれぞれ異なっているにもかかわらず，全体の変化分は同じになります．

4 線積分・面積分・体積積分5

このとき，∆rs と ∆rt は微小平行四辺形をつくりますが，この微小平行四辺形は ，r における曲面 S の接平面となっています．そしてその面積 ∆S(s, t) は∆S(s, t) = |∆rs × ∆rt |(11)と表すことができて，しかも ∆rs × ∆rt は微小平行四辺形の法線方向，つまり r における曲面 S の接平面の法線方向を向いています．
そこで，曲面 S における，r(s, t) における面素片ベクトルを∆S(s, t) ≡ ∆rs × ∆rt(12)と定義します．このとき，∆S(s, t) の向きは，(12) 式の通り s, t の順で定義するか，それとも逆に t, s の順で定義するかによって，面の「表と裏」の 2 通り考えられる，ということに注意しましょう．（このことは本文

p.176-177 でも扱っています．）
さて，

∆rs =

∂r
∂r
∆s, ∆rt =
∆t
∂s
∂t

(13)

なので

∆S(s, t) =

∂r
∂r
∂r ∂r
∆s ×
∆t =
×
∆s∆t
∂s
∂t
∂s
∂t

(14)

∂r ∂r
×
dsdt
∂s
∂t

(15)

すなわち，∆s, ∆t → 0 の極限でdS(s, t) =と表せます．パラメーターの範囲が s1 ≤ s ≤ s2 , t1 ≤ t ≤ t2 であるとして，(15) 式を面積分の定義式に代入す
ると，パラメーター s, t で積分する式が得られます．
スカラー場 f (r) の面積分の場合はdS(s, t) = |dS(s, t)| =

∂r ∂r
∂r ∂r
×
dsdt =
×|ds||dt|
∂s
∂t
∂s
∂t

(16)

なので，そのまま代入すれば，∫∫ s∫2 t2∂r ∂rf (r) dS =f (r(s, t))×|ds||dt|
∂s
∂t
S
s1 t1

(17)

となるはずです．しかし，不定積分が微分の逆演算となることを保証するために積分に向きを含めて定義してあるため，|ds|, |dt| のような表記はされず，∫
f (r) dS =S

∫ s∫2 t2∂r ∂rdsdt
f (r(s, t))
×
∂s
∂t
s1 t1

(18)

と書いています．この違いは積分の向きを逆にするときに影響してきますので，その時に議論しましょう．
ベクトル場 A(r) の面積分の場合は，そのまま代入して∫A(r) · dS =S

∫ s∫2 t2∂r ∂r
A(r(s, t)) ·
×
dsdt
∂s
∂t
s 1 t1となります．
さて，(18)，(19) 式において，パラメーター s についての積分を逆向きにしてみましょう．

(19)

4 線積分・面積分・体積積分6

まず (18) 式の f (r) の場合ですが，通常の x 軸上の積分の場合と同様に考えると負号が付くので，∫ s∫1 t2∫∂r ∂r×f (r(s, t))
dsdt = − f (r) dS
∂s
∂t
s2 t1
S

(20)

となります．しかしこれでは，例えば f (r(s, t)) = 1 として領域 S の面積を求めるとき，マイナスになってしまいます．原因は読者もお分かりの通り，(17) 式と (18) 式の違いです．もともとは正の量として (16) 式のように書くところですが，ds, dt の絶対値記号を外して表記しているため，通常の向きのついた積分と区別が付かなくなってしまい，|ds| > 0 となっていなければならないのに ds < 0 となってしまったことが原因です．
そのため，本文 p.74 で「面積が負にならないように計算すること！」と注意したわけです．
では今度は (19) 式の A(r) の場合を考えてみましょう．ds < 0 なので，

∂r
∂r
∂r
ds と
×
dsdt は，それ∂s∂s∂tまでとは逆向きになります．従って dS(s, t) も逆向きになって，(19) 式には負号が付き，通常の積分（あるいは線積分）の場合と同様「逆向きに積分する場合は負号をつけると元の積分に等しい」という，向きのついた積分のルールが成り立ちます．すなわち，向きのついた（線）積分の自然な一般化は，ベクトル関数の面積分だったわけです．
具体例を見てみましょう．原点に中心を持つ半径 a の球面上の面積分を求めてみます．3 次元極座標を用いると，球面上の点 r はa sin θ cos φr =  a sin θ sin φ 
a cos θ
(21)と書けるので，s, t として θ (0 ≤ θ ≤ π), φ (0 ≤ φ ≤ 2π) をとります．すると
a cos θ cos φ−a sin θ sin φ∂r∂r = a cos θ sin φ  ,=  a sin θ cos φ ∂θ∂φ−a sin θ
0

(22)

となるので


 2 2
a sin θ cos φ∂r ∂r  2 2
×= a sin θ sin φ  = a sin θ r = a2 sin θ er∂s∂t
a2 sin θ cos θ(23)が得られます．ここで er は r 方向の単位ベクトルです．従って面素片ベクトルはdS(θ, φ) = a2 sin θ dθ dφ er(24)となります．従って，求める面積分 I は∫A(r) · dS =I=∫ π∫ 2πA(r(θ, φ)) · a2 sin θ dθ dφ er

S

(25)

0 0

となります．簡単のため，A(r) = Rer であるとすると

∫ π
∫ 2π
∫ π
∫ 2π
∫ π
2
2
I = a R dθ sin θ dφer · er = a R dθ sin θ dφ = 2πa R dθ sin θ = 4πa2 R
2

0

0

0

0

(26)

0

と計算できます．ここで θ の積分を逆向きにすると，確かにI− = a2 R

∫ 0
∫ 2π
∫ 0
∫ 2π
∫ 0
dθ sin θ dφer · er = a2 R dθ sin θ dφ = 2πa2 R dθ sin θ = −4πa2 R = −I
π

0

π

0

(27)

π

となって，負号が付くことが分かります．
一方，s, t として φ, θ の順番にとると，dS の向きは逆向きの −a2 sin θ er となるので，積分の向きを元に戻して計算した計算結果は，(27) 式と同じになります．つまり，「ベクトル関数の面積分で，1 つのパラメー
ターだけ積分の向きを逆にすることは，法線（=面の向き）を逆向きにすること」なのです．

5 ベクトル場の発散と回転

7

4.3 体積積分の例（4.5 節）ある物体 V の密度が ρ(r) であるとき，その質量 M と重心の座標 rG は∫∫V ρ(r)x dVM=
ρ(r) dV および rG =ρ(r)r dV =  ∫V ρ(r)y dV VV
ρ(r)z dV
V
∫

∫

です．

5 ベクトル場の発散と回転
5.1 「伸びていない」のに divA ̸= 0 となる A についてr2
は，divA(r) =となって 0 ではありません．本文では，その説明を 2 次元rrについて直感的に説明しましたが，ここでは 3 次元の直方体について，実際に計算してみましょう．

本文例題 5.2 の A(r) =図 1 のような，点 P(x, 0, 0) = (r, 0, 0) を中心とする微小体積 ∆V = ∆x∆y∆z の直方体を考えます．計算を簡単にするために，直方体はちょうど x 軸上におきます．図 1 は z 軸の正の向きから見ているので，奥行きのない長方形となっていることに注意しましょう．

A(r) は原点から放射状に広がるベクトル場ですが，直方体は十分小さいので，図のように，A(r) の向きは，直方体の O に向いた面とその裏の面（＝ yz 平面に平行な面）にほとんど垂直になっており，これに垂直な zx∆y平面に平行な 2 面に対しては，わずかな角度をなしています．そこで，A(r) がこの 2 面上の点 (r, ±, 0)2の位置において ∆θ の角度をなすとして，この直方体から湧き出す A(r) の総量を計算してみましょう．divを導入したときと同様に，A(r) を単位面積を通過する流量とみなして計算します．
なお，図 1 では原点 O から十分離れている図となっていますが，直方体は十分小さい（＝幾らでも小さな直方体を考えられる）ので，実際には，P として幾らでも O に近い点を考えることができます．

y

∆θ
∆y

z
O

図1

さて，図 1 より y =A(r) =

P

x

∆x
( x
r

,

y z )
,
が微小な直方体を通過する様子．
rr∆yの位置の zx 平面に平行な面に対して，x = r の位置で2tan ∆θ =

∆y/2
∆y
=
r
2r

が成立します．よって 1 次近似で

tan ∆θ ∼= ∆θ
と近似できます．

∴ ∆θ ∼=∆y2r

5 ベクトル場の発散と回転
一方，面の両端の x = r ±

8
∆x
の位置でも
2

∆y/2
∆y
tan ∆θ ==r ± ∆x/2
2

(

∆x
1∓
2

)

∆y
∼
=
2r

なので，やはり 1 次近似で

∆θ ∼
=

∆y
2r

(28)

となり，この面全体で (28) 式が成り立ちます．直方体が y 軸方向に対称に置いてあるので，y = −

∆y
の zx
2

平面も全く同様ですから，2 つの zx 平面全体で (28) 式が成立します．
全く同様に，2 つの xy 平面全体で

∆θ ∼
=

∆z
2r

となります．これで，A(r) がわずかな角度をなす 4 面について，その角度 ∆θ を表すことができました．
∆x
次に，yz 平面に平行な x = r ±の 2 面については，A(r) と面（の法線ベクトル）とのなす角が最も大2∆y
きいのは y = ±の位置であり，(28) 式から，この位置で面と A のなす角は 1 次近似で ∆θ です．もちろ
2ん面の中心（y = z = 0）では A((r)) と面が直交するので，なす角は面の場所に依り，0 から ∆θ となります．
次に，各面での湧き出し量を計算しましょう．各面の面素片ベクトルを ∆S とおくと，（微小体積と微小面を考えているので）これは A · ∆S で近似できます．
∆yまず，y = r −の位置の zx 平面に平行な平面からの湧き出し量は，A と ∆S とのなす角が，図 1 よ2πり−∆θ と分かるので
2

A · ∆S = |A|∆S cos

( π
2

)
−∆θ = |A|∆z∆x sin ∆θ

|A|∆V
∆y
∼
=
= |A|∆z∆x sin ∆θ ∼
= |A|∆z∆x
2r
2r

(29)

∆y
の位置の zx 平面からの湧き出し量も全く同様です．
2∆z
全く同様に考えて，z = r ±の位置の xy 平面からの湧き出し量は2となります．y = r +A · ∆S = |A|∆S cos

( π
2

)
−∆θ = |A|∆x∆y sin ∆θ

∆z
|A|∆V
∼
=
= |A|∆x∆y sin ∆θ ∼
= |A|∆x∆y
2r
2r

(30)

となります．
∆xの位置の yz 平面と平行な面の面素片ベクトルと A とのなす角は，（∆S の向きがほとん
2
ど A(r) と逆向きであることを思い出すと）π − ∆θ から π ですが，1 次近似で cos ∆θ ∼= 1 であることを用い

一方，x = r −ると ∆θ の違いは無視して良く，この面からの湧き出し量はA · ∆S = |A|∆S cos(π − ∆θ) = −|A|∆y∆z cos ∆θ ∼= −|A|∆y∆z(31)となります．（ここで加法定理 cos (π − ∆θ) = cos π cos ∆θ + sin π sin ∆θ を使いました．）∆xの位置の yz 平面に平行な面の面素片ベクトルと A とのなす角は ∆θ なので，この面最後に，x = r +2
からの湧き出し量は，やはり 1 次近似で cos ∆θ ∼= 1 であることを用いるとA · ∆S = |A|∆S cos ∆θ = |A|∆y∆z cos ∆θ ∼
= |A|∆y∆z(32)

5 ベクトル場の発散と回転

9となり，ちょうど (31) 式と打ち消しあいます．これはすなわち，O から見た「おもて面」と「うら面」はちょうど（P からの）湧き出し量が同じであり，この 2 面からの寄与は合わせて 0 となる，ということを意味しています．
こうして，6 面全部を足し合わせると (29) 式 ×2 + (30) 式 ×2 + (31) 式 + (32) 式となり，∆V からの全湧き出し量，即ち divA(r)∆V はdivA(r)∆V ∼=|A(r)|∆V2
× 4 = |A(r)| ∆V
2rrとなります．ここで |A| = 1 ですから，∆V → 0 の極限ではdivA(r) =2rとなり，確かに本文例題 5.2 の結果と一致することがわかります．

5.2 ∇×∇ϕ(r) = 0 について（5.4 節）
任意のスカラー場 ϕ(r) について，∇×∇ϕ(r) = 0 であるという恒等式は，ベクトル解析を勉強すると必ず勉強するもので，これを証明しなさいという問題は，定番の練習問題です（Web 教材「練習問題」参照）．丁寧に計算すれば難しいところは何もなくて，例えば x 成分について計算すると，(∇×∇ϕ(r))x =∂(∇ϕ(r))z∂(∇ϕ(r))y∂ 2 ϕ(r) ∂ 2 ϕ(r)
−
=
−
=0
∂y
∂z
∂y∂z
∂z∂y

となります．y, z 成分も同様です．しかし，この計算はデカルト座標系でしかできません．そこで成分を用いないベクトル表記で，この恒等式を証明してみましょう．そのために，∇×A は rotA，∇ϕ(r) は grad ϕ(r)と書くこととします．従って，∇×∇ϕ(r) は rot grad ϕ(r) と表します．
まず，本文の (4.8) 式から，任意の ϕ(r) について

∫ rQ
grad ϕ(r) · dr = ϕ(rQ ) − ϕ(rP )rPです．従って，1 周積分では rP = rQ となり，∫
grad ϕ(r) · dr = ϕ(rP ) − ϕ(rP ) = 0
Cとなります．C は 1 周の線積分の経路で，どのような経路でも構いません．
ここで，C を縁とする任意の面 S を考えて，ストークスの定理をベクトル grad ϕ(r) に適用すると，∫∫
rot grad ϕ(r) · dS =S

grad ϕ(r) · dr = 0
Cが成立します．従って，任意の ϕ(r) について rot grad ϕ(r) = 0 が成立するわけです．

6 フーリエ級数・変換とラプラス変換

10

6 フーリエ級数・変換とラプラス変換
6.1

表 6.1（6.7 節）への注釈
1
1+ sgn(t) と分解します．ただし関数 sgn(t) は次式のように t が正のと
2
2
き 1 を取り，負のとき-1 の関数であるとします．

(注 1) ステップ関数 u(t) を u(t) ={sgn(t) =
∫ ∞
u(t)e

−iωt

−∞

1
if t > 0−1 if t < 01
dt = πδ(ω) −
2

∫ 0
e

−iωt

−∞

(33)

1
dt +
2

∫ ∞

e−iωt dt(34)0(34) 式右辺の第 2，3 項で積分される関数 exp(−iwt) は，t の値が −∞〜0 又は 0〜∞ の間を変化していくと複素平面上で円軌道を回り続けることになるので，この式のままでは積分値を計算できません．
そこで，この関数に exp(−rt) をかけて円を時間とともに点に収束させて値を求め，その値の r → 0 の極限を取る技巧が使われます．
まず、第 3 項を求めます．

∫ ∞e−iωt dt = lim

∫ ∞

r→0

0

1

e−rt e−iωt dt = lim

r→0 r + iω

0

=

1
iω

(35)

次に，第 2 項において x = −t と変数変換し，exp(−rx) をかけて同様の計算を行うと

∫ 0
e
−∞

−iωt

∫ 0
dt = −eiωx∫ ∞dx = limr→0∞e−rx eiωx dx

0

(36)

1
1
=−
r→0 r − iω
iω

= lim

となります．(35) 式と (36) 式を (34) 式に代入すると，∫ ∞u(t)e−iωt dt = πδ(ω) +

−∞

1
iω

が得られます．

(注 2) sin(ω0 t) =eiω0 t − e−iω0 tより，sin(ω0 t) のフーリエ変換は
2i
∫ ∞
∫
∫
1 ∞ −i(ω−ω0 )t
1 ∞ −i(ω+ω0 )t−iωtsin(ω0 t)e
dt =
e
dt −
e
dt
2i −∞
2i −∞
−∞

です．ここで∫ ∞e−iωt dt = 2πδ(ω)

−∞

を使って

∫ ∞
−∞

sin(ω0 t)e−iωt dt = iπ(δ(ω + ω0 ) − δ(ω − ω0 ))と計算できます．cos(ω0 t) のフーリエ変換も同様に計算できます．

(注 3)
1
f (t) =2π

∫ ∞−∞F (ω)eiωt dω

7 微分方程式

11

より，

(
)
∫ ∞
df (t)d1iωt=
F (ω)e dωdt
dt 2π −∞
∫ ∞
)
d (
1
=
F (ω)eiωt dω
2π −∞ dt
∫ ∞1=iωF (ω)eiωt dω
2π −∞となります．これは iωF (ω) の逆フーリエ変換がdf (t)
df (t)
dt となることを意味するので， dt ⇔ iωF (ω) が示されたことになります．

7 微分方程式
未補充

8 行列と線形代数
8.1 対角化の意味（8.4.3 節）
本文では，「行列 A を対角化する」とは，行列 A をその固有ベクトルの基底で成分表示することであるということを理解するために，かなり長々と計算をしました．しかし，( )基底 {p1 , p2 } における，ベクトル {p1 , p2 } の成分表示は

1
0

( )
と

0
1

である

ということに納得すれば，「対角化とは固有ベクトル基底での成分表示である」ということを理解するのに基( )( )底変換の計算は不要です．つまり，この基底で行列を成分表示で表すと，Ap1 = λ1 p1 とは A

( )，Ap2 = λ1 p2 とは A

0
1

( )

= λ2

0
1

(
1
A
0

1
0

= λ1

1
0

を意味するので，2 つをまとめると

0
1

)

(
λ1
=
0

0
λ2

)

(
∴A=

λ1
0

0
λ2

)

となるからです．

( しかし繰り返しになりますが，これは固有ベクトル基底による成分表示なので，自然基底の成分表示である)a bと関係づけるためには P が必要になります．
cd

9 群論の初歩
未補充