高周波電力制御の設計

松本利広
１．はじめに
２．線形加速器でのフィードバック制御
フィードバック制御
３．低電力高周波（Low-level RF）系
４．他の加速器でのフィードバック制御の例
５．連続系の制御理論
RF系のシミュレーション
６．空洞シミュレーター
離散系の状態方程式
７．まとめ

はじめに
•

ILC (International Linear Collider)計画：超伝導空洞を用いた線形加速器
超伝導空洞内での加速電場の安定性
場所に依存するが、厳しい場所では±0.5％、±0.05度の安定性を要求•

空洞内での振幅・位相の安定性を乱す原因
クライストロンの印加電圧の変動
気温・水温の変化
さらに超伝導空洞の場合に特有の変動原因としてLorentz force detuning、Microphonics•

フィードバック制御の必要性
フィードバック制御とは？
外乱があるときに制御対象（加速空洞での電場）の出力値を設定値と比較、その差を用いて出力値を設定値に近づける操作線形加速器でのフィードバック制御•高周波のパルス幅がマイクロ秒（KEKBリニアック：4μ秒）程度の場合パルス内でマイクロ波に対するフィードバックはほとんど無い。
主に、パルス間で振幅・位相を一定にするための制御を行う。

•

高周波のパルス幅がミリ秒程度
パルス間、パルス内で振幅・位相を安定化させるためにフィードバックを行うことが可能（デジタル機器の進展）
超伝導空洞の場合、その特性上長パルス運転になる。

Lorentz force detuning•

超伝導空洞では冷却効率を高めるた
めに、空洞の壁は数mmの厚さ→ RFが空洞に投入時、空洞壁に作用す
るMaxwell応力により空洞の形を変形、結果として空洞の共振周波数が変わる現象が起きる。
（Lorentz force detuning）•detuning量は、空洞内の加速電場の二乗に比例し、空洞内電界が高くなると、その効果が飛躍的に大きくなる。

•対策：
空洞へのRF入力パワーが無尽蔵ならフィードバック制御のみで対応可
実際には、Pre-detuningやアクティブなチューナー（Piezo tuner）が必要

TTFでの超伝導空洞

Lorentz force detuningの効果

Microphonics•空洞の周りの環境からの振動が空洞に伝わることにより、空洞の共振周波数に変調を与える現象のこと。
真空ポンプ
地面の振動
交通
機械振動

ビーム
チューブ
支持台
ヘリウムライン空洞

TTFでのクライオモジュール

コンプレッサー••

超伝導空洞の場合では、バンド幅が狭いために加速電場に大きく影響を及ぼすこととなる。
このMicrophonicsは、施設ごとに変わる。TTFでの測定例では、Microphonicsによる空洞の共振周波数の変化は大体10Hz(rms)程度である。
連続運転を行うERLの場合、主な変動要因となる。

クライオモジュールの断面図

フィードバック制御
••

•

(a)
(a)システム
その出力が入力に影響を与えないもの
入 力信号 U(s)開ループ制御(フィードフォワード制御)という。

(b)システムシステムの出力が入力側へ戻され、システムの入力へ影響を与える
これを閉ループ制御、またはフィードバック制御という。
フィードバック制御
出力値を測定し、設定値と比較・操作後に制御対象への制御信号へ→一連の過程で遅延が生じる

出力信 号 Y(s)システム
G(s)

(b)
入力信 号 U(s)+-システム
G(s)

シ ステム
H(s)

出力信号 Y(s)フィードバック制御•

デジタルフィードバック

デジタ ル制御系
設定値
ADC

制御対象の出力値をA-D変換器（ADC）でデジタル値に変換、コンピューターで信号処理
D-A変換器（DAC）でアナログ値（制御信号）へ

デジ タル制御

利点：信号処理での融通性
アナロ グ信号
欠点：高価
一連の過程での遅延時間が大きくなる
•DAC

RF空洞

RF変調/増幅

ア ナログ信 号

制 御対象

アナログフィードバック

ADC

利点：遅延時間を短くできる、廉価
欠点：非融通性

信号処理部（FPGA)DAC

STFでのデジタルRFコントローラー

PID制御•PID制御は、よく使われているフィードバック制御の方式
Pは比例(Proportional)、Iは積分(Integral)、Dは微分(Derivative)の頭文字
C(s)
k I/s

偏差
設定値e(s)

r(s)
+

制御対象
kP+U(s)G(s)

Y(s)

kDs

コントローラー

•

このPID制御においては、入力信号とシステムの出力信号の差である偏差に対して、P-制御：偏差を操作信号U(s)に返す。
I-制御：偏差の積分値をU(s)に返す。
D-制御：偏差の変化量をU(s)に返す。
といった操作を行う。このため、P制御には偏差の現在の情報が反映される。
I制御、D制御では、それぞれに偏差の過去、未来の情報が反映する。

低電力高周波（LLRF）系
1300MHzTim ing
Mod uleMast er
Osci llator

AD C/DAC/ FPGA C lock

130 0MHzLo cal
Os cillat or(13 00+IF) MHzLO

Samp ling
Cloc k

D AC

IF MH zAD C

Pul seMod .

DSP/F PGA
D AC

Down
RF
Conve rtor

Kl ystron
Ca vity

低電力高周波（Low-level RF; LLRF）系• マスターオシレーター(MO)、ローカルオシレーター(LO) 、タイミング関連• ダウンコンバーター• デジタルRFコントローラー• パルス変調器や増幅器(kW 以下) あたりを扱う。
その他には、機器保護システムもLLRFの担当になっている。

デジタルRFコントローラー•

ADC、DAC、DSP/FPGAで構成•

DSP (Digital Signal Processor)：
内部での演算処理能力は強力
ADC/DAC-DSP間にバッファが必要(ADCやDACのサンプリング信号とは非同期)→数μs程度の遅延時間が発生•

FPGA (Field Programmable Gate Array)：
信号処理のアルゴリズムをハードウェア記述言語により四則演算から作る
ADC/DACとFPGAの動作クロックを同期させて動作→信号処理全体で遅延時間の短縮が可能

Tim ing
M od u le
A D C/DA C /F PG A C lo ck S a m p lin g
C lock
D AC

IF M H z
AD C

F PG ADA CA D C/DA C C lo ck

S a m plin g
C lo ck
D AC

IF M H z
AD CDSP
D AC

今では、FPGAが採用されることが多い
B u ffe r 回路

発振器、タイミング関連•••

マスターオシレーター(MO)：運転周波数（ILC計画では1300MHｚ）のRFを発振
ローカルオシレーター(LO)：運転周波数（1300MHz）＋’IF’ HzのRFを発振
タイミング関連：FPGA、ADC、DACの動作信号を発生(最大で100MHｚ程度)

実際の信号発振器の出力には、ジッターもしくは位相ノイズが存在する。

ω offset= 2π(f 0+f of fset）

ω 0 = 2πf 0•位相ノイズの測定例(STF,1300MHz)
横軸:オフセット周波数(Hz)縦軸:位相ノイズ(dBc/Hz)

なぜIF変換が必要か•

RF

ADCへの入力信号の周波数が上がるとサンプリングクロック信号のジッターの影響が大きくなる。

IFLO 1AD CC lockt

運転周波数のRF信号をそのまま測定するのは、現実的ではない。
•

RF信号(1300 MHz)を振幅・位相の情報を保持するように、周波数変換を行う

横軸：ADCへの高周波入力の周波数
縦軸：SN比周波数変換（ダウンコンバート）••

周波数変換にはRFミキサーを用いる。

R F sig na l

LO sig na l

V R F (t)= V R F sin(ωR F t+ φR F ）V L O (t)= V LO sin(ωL O t+ φLO ）２つの周波数の異なるRF信号を入力すると、IF側に周波数の和と差のRFが出力する（理想的には）。
1
V IF (t ) = VˆRF VˆLO (cos((ω LO − ω RF )t + (ϕ RF − ϕ LO ))2− cos((ω LO + ω RF )t + (ϕ RF + ϕ LO )•Low P a ss Filter

ローパスフィルターで周波数の高い側を取り除いてV IF (t ) ≈ V (t ) = Vˆ cos(ω IF t + ∆ϕ )IF sig na l
V IF (t)=V IF sin(ωIF t+ φIF ）ここでLO側の振幅・位相が一定であるならば→RF側の振幅・位相情報が保持される

1
Vˆ = VˆRFVˆLO2
ω IF = (ω LO − ω RF )（注意：発振器の位相ノイズは要求される精度以下に抑えること）∆ϕ = (ϕ LO − ϕ RF )IF周波数：空洞のバンド幅(超伝導空洞で数百Hz程度)に比べて十分に大きければ良い。

振幅・位相(I/Q)測定•

振幅RFIF

空洞からの信号の測定というのは、信号の振幅・位相
I-成分、Q-成分

位相
LO 1

LO 2

振幅・位相測定を測定すること。
RFIIFQ
LO 1
0°

90°

LO 2I/Q測定•

振幅・位相とI成分、Q成分との関係
極座標（振幅・位相）とデカルト座標(I/Q)の関係

RFIF

LO 1

AD C

C lockDirect I/Q測定

Direct I/Q 測定
tRFIF

AD C

Q
LO 1

C lock

Q

QII

IIt

－I－I•

－Q

IF周波数とADCのクロック周波数の関係
IF周波数×４＝クロック周波数（オーバーサンプリング）の場合
サンプリング信号を順番にI、Q、－I、－Qと割り振ることが可能

－I
－Q

－Q

その他のIF周波数とクロック周波数でも、I/Q成分への再構成の方法はある。
ADCのクロック周波数＝FPGAのクロック周波数になっているため、サンプリング周波数を上げたほうが、信号処理に必要な時間を短くすることが可能(但し、信号処理のプログラムの大きさ、複雑さで上限値は決まってくる。100MHzが上限？)

ベクターサム•１高周波源-1空洞よりも1高周波源-多空洞の方がコストが下がる。

Beam

1台の高周波源で励振される各空洞のI/Q(振幅･位相)のベクトル和（ベクターサム）を計算し、全体でI/Q（振幅･位相）が安定になるようにフィードバックを行う。
但し、各空洞の校正係数の誤差や信号間のクロストークの問題が出てくる。
陽子やエネルギーの低い時の電子では、空洞の個数を少なくする。
（速度が変わるため）

BeamTTF（TESLA Test Facility@DESY）

••

超伝導空洞
運転周波数：1300MHz
LO：1300MHz+250kHz
サンプリング周波数：1MHz
DSP（内部クロック40MHz）•信号処理
フィードバック（P制御）＋フィードフォワード制御
遅延時間：4.2μs
振幅：0.1%以下、位相：0.05度以下

空洞からの信号の受け口

ダウンコンバーター

DACボードDSPボード

DACボードXFEL用に開発中のFPGAボード
ADC:10ch, DAC:4ch
Gigalinkでボード間通信可能

ADCボードDSPボードSNS（Spallation Neutron Source@USA）

•
•
•
••

超伝導/常伝導空洞
運転周波数：402.5MHz805MHz
IF：50MHzサンプリング周波数：
ADC:40MHz
DAC:80MHz
FPGA(40MHz)

信号処理
フィードバック（P-I 制御）＋フィードフォワード制御
遅延時間：1～2μs
振幅：0.3%以下
位相：0.3度以下RFコントローラー（ダウンコンバーターも装備）

J-PARC••

常伝導空洞
運転周波数：312MHz
LO：324MHz（IF：12MHz）
サンプリング周波数：48MHzFPGA（内部クロック48MHz）•

信号処理
フィードバック（PI制御）＋フィードフォワード制御
遅延時間：0.5μs
振幅：±0.15%以下
位相：±0.15度以下•

DSPボードとFPGAボード•

RF&CLK
Mixer&I/Q
DSP/FPGACPU
I/O
DigitalAnalog

デジタルLLRF系

J-PARCのLLRF系

連続信号系の制御理論
入力信 号 u(t)

1.
2.
3.

システム
（ 伝達要素 ）G

出 力信号 y(t)線形性:入力信号u1(t)、u2(t)に対して、出力信号がy1(t)、y2(t)の時、入力信号u1(t)+u2(t)に対して、出力信号はy1(t)+y2(t)となる。また、入力信号αu(t)に対する出力信号はαy(t)となる。
時不変性:入力信号u(t)の時間シフトが、そのまま出力信号y(t)の時間シフトになる。つまり、入力信号u(t+T)の出力信号はy(t+T)となる。
因果性:出力信号は、入力信号の過去と現在の値のみに依存する。

これらの性質を持つシステムをLTI(linear time invariant)システムという。
多くの自然界のシステムの場合、入出力間の関係は、微分方程式で表すことができ、
⎛ dn⎞
⎛ dm
⎞
d n−1dd m−1d⎜⎜ n + an−1 n−1 +L+ a1 + a0 ⎟⎟ y(t ) = ⎜⎜ bm m + bm−1 m−1 +L+ b1 + b0 ⎟⎟ u(t)dtdtdtdt⎝ dt⎠⎝ dt⎠となる。但し、多くの場合でn ≥ m が成り立つ。

伝達関数
••

微分方程式で伝達要素を表した場合には、伝達要素数が増えてゆくとともに計算が煩雑になる。
システムの解析には、ラプラス変換をもとにした伝達関数で行われる。

⎛ dm
⎞
⎛ dn
⎞
dd m −1dd n −1⎜⎜ n + an −1 n −1 + L + a1 + a0 ⎟⎟ y (t ) = ⎜⎜ bm m + bm −1 m −1 + L + b1 + b0 ⎟⎟ u (t )
dtdt
dtdt
⎝ dt
⎠
⎝ dt
⎠
この両辺について、初期条件はすべて0としてラプラス変換すると、(s + a snn −1n −1)()+ L + a 1 s + a 0 Y ( s ) = b m s m + b m −1 s m −1 + L + b1 s + b 0 U ( s )出力信号のラプラス変換Y(s)、入力信号のラプラス変換U(s)、これらの比をG(s)とするとY ( s ) bm s m + bm −1 s m −1 + L + b1 s + b0
G (s) ==U (s)s n + a n −1 s n −1 + L + a1 s + a 0
このG(s)を伝達関数と呼ぶ。

ラプラス変換
ラプラス変換∞

逆ラプラス変換F ( s ) = L[ f (t )] := ∫ f (τ )e dτ− st0

f (t ) = L−1

σ + i∞[F ( s ) ] := ∫ F ( s )e st ds
σ − i∞

ラプラス変換例

f (t )F (s )

δ(t)1u(t) ステップ関数

1/se − atcos( ω t )sin( ω t )1/(s+a)s/(s2+ω2)
ω/(s2+ω2)
等、教科書を参照

インパルス応答（入力がδ関数）の場合

Y (s) = G (s)つまり、インパルス応答が分かれば、システムの伝達関数が分かる。

状態方程式•

伝達関数は、システムの入出力関数に注目するもの
システム内部は、ブラックボックスのまま初期値は0となっているので、システム内部の信号の振る舞いを考慮できない。
→超伝導空洞のように、空洞内の電場によって空洞の共振周波数が刻々と変化してゆくような場合(Lorentz force detuning)には対応できない。

•

システムの内部状態も考慮した状態空間表現がある。
状態空間では、状態ベクトルと呼ばれるx(t)を用いて、1階の微分方程式である状態方程式 と代数方程式である出力方程式でシステムを記述する。

x& ( t ) = A ⋅ x ( t ) + B ⋅ u ( t )y (t ) = C ⋅ x (t ) + D ⋅ u (t )状態関数と伝達関数との間の関係は、状態関数にラプラス変換を行い、{G ( s ) = Y ( s ) / U ( s ) = C ( sI − A ) −1 BU ( s ) + D}と求まる。

RF空洞のモデル化

ce ll1•ce ll2

ce ll8ce ll9

実際の空洞は９セル、πモードを持つ構造ではあるが、モデル化の際には最も単純なモデルである、シングルセル、ピルボックス構造の空洞とおく。

LR C

RF系のモデル化
この等価回路モデルでは、空洞を1つのピルボックス空洞と簡単化
空洞はL、C、Rの並列回路
空洞を励振させるクライストロンやビームは電流源
伝送線路と空洞間のカプラーを巻き数nの理想変圧器

Transmission
line
CavityBeamL
Klystron

Coupler
1:N

RC•

空洞側から見た場合、伝送路とクライストロン電流源の変換を行う。

IgIb

Z ex t = N 2 ⋅ Z 0Zext

L

外部負荷Zextは空洞の抵抗Rと並列に配置されるため、合成抵抗RL
は 1
11RL=R+IC + IR + IL = I g + Ib = I
I& C = C V&&
IR =V
RL

V
I& L =L

Klystron

Beam

Z ex tKirchhoffの法則により各々でR CつまりωωR
2
V&&(t ) + 0 V& (t ) + ω 0 V (t ) = 0 L I&(t )QL
QL
ここで 1 LC = ω02

LCR回路の共振周波数

1 R L C = ω 0 QL
より1 &1
1V&&(t ) +V (t ) +V (t ) = I& (t )RLC
LCC

Loaded QωωR2V&&(t ) + 0 V& (t ) + ω 0 V (t ) = 0 L I&(t )QLQLにV I VQ

は、電場のI/Q成分をあらわす。
ビームを－I 成分の向きに置いている。

rV ( t ) = (V I ( t ) + iV Q ( t )) ⋅ e i ω tr
I ( t ) = ( I I ( t ) + iI Q ( t )) ⋅ e i ω t

ω1 / 2 =空洞のバンド幅2QL∆ω = ω 0 − ω 空洞の共振周波数とを代入すると運転周波数のズレ⎡II ⎤d ⎡VI ⎤ ⎡− ω1 / 2 − ∆ω ⎤ ⎡VI ⎤⎢V ⎥ + RLω1 / 2 ⎢I ⎥⎢V ⎥ = ⎢⎥dt ⎣ Q ⎦ ⎣ ∆ω − ω1 / 2 ⎦ ⎣ Q ⎦⎣ Q⎦

x& (t ) = A ⋅ x(t ) + B ⋅ u (t )と状態方程式の形で書くことができる。一般解はtx(t ) = e A⋅t ⋅ x(0) + ∫ e A⋅(t −t′) ⋅B ⋅ u(t ′) dt ′で与えられる。A⋅tの場合

eA⋅t=ee−ω 1 2 t0を状態遷移行列という。今回⎛ cos( ∆ ω t )⎜⎜⎝ sin( ∆ ω t )− sin( ∆ ω t ) ⎞⎟⎟cos( ∆ ω t ) ⎠ω0となる。

•

例として、I-成分で一定の入力が空洞に与えられた場合、一般解は⎛ VI ⎞ RL ⋅ I ⋅ ω1 2 ⎛ −ω1 2t ⎛ − ω1 2 cos(∆ωt ) + ∆ω sin(∆ωt ) ⎞ ⎛ω1 2 ⎞ ⎞⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟=⎜V ⎟ ω 2 + ∆ω 2 ⋅ ⎜ e⎜ − ω sin(∆ωt ) + ∆ω cos(∆ωt ) ⎟ + ⎜⎜ ∆ω ⎟⎟ ⎟⎠⎠⎝ Q⎠⎝ 12⎠ ⎝12⎝となる。時間が十分に経過した場合では、⎛ VI ⎞ R L ⋅ I ⋅ ω1 2 ⎛ ω1 2 ⎞⎜ ⎟=⎜V ⎟ ω 2 + ∆ω 2 ⋅ ⎜⎜ ∆ω ⎟⎟⎝⎠⎝ Q⎠
12となって、一定値をとる。
⊿f =0 Hz±100 Hz±200 Hz±400 Hz±600 Hz
離調時のVI、VQのふるまい
但し、空洞のパラメーターはTTFで用いられているものを用いた。

空洞の伝達関数•

空洞の伝達関数はG ( s ) = Y ( s ) / U ( s ) = {C ( sI − A) −1 BU ( s ) + D}を計算することにより
ω1 2⎛ s + ω1 2⎜
G ( s) =22 ⎜∆ω + ( s + ω1 2 ) ⎝ ∆ω− ∆ω ⎞⎟s + ω1 2 ⎟⎠となる。Δω=0の場合には、
ω1 2G (s) =s + ω1 2
（I-Q成分間の混じりあいが無くなるため）
右図は上が超伝導空洞のBode図、下が常伝導空洞のBode図
常伝導空洞の帯域が超伝導空洞と比較して10倍以上広いことが分かる。

Lorentz force detuningの状態方程式•

Lorentz force detuningによる共振周波数変化の状態方程式を用いたモデル化
Maxwell応力によって空洞内の体積変化が一次式に変化すると仮定すると、定常状態でのdetuning量は空洞内の電場の2乗に比例する。

∆f 0 = ( f 0 )2 − ( f 0 )1 = − K m ⋅ Eacc
K m ： ローレンツ応力定数( f 0 )1： 加速電場=0での共振周波数2( f 0 )2： 定常状態になった電場での共振周波数

Q•ローレンツ応力による空洞の共振周波数の変化を記述する式としては、
md2
ωm d2 Q22∆ω+∆ω+ωm ∆ω = −2π ⋅ Kmωm Eacc
dt2
Qm dt
これを状態方程式であらわすと

1 ⎤⎡∆ω⎤d ⎡∆ω⎤ ⎡ 02⎡ 0 ⎤=K2π
ω−⋅22⎥m m ⎢Edt ⎢⎣∆ω&⎥⎦ ⎢⎣−ωm −1 τm⎥⎦⎢⎣∆ω&⎥⎦⎣ acc ⎦ωm は空洞の機械的な共振周波数、 Qm はそのQ値、またτ m = 2Qm ωm （空洞の機械的時定数 ）空洞の剛性やサポート機構に依存するため、最終的には測定データで求める

RF空洞のシミュレーション••

空洞内の電場の状態方程式とLorentzforce detuningの状態方程式が得られた
ので、Lorentz force detuningの効果を含んだ空洞内電場をシミュレーションにより求めることができる。
シミュレーションには、
MATLAB/Simulink を用いた。

パラメーター

35MV/m45MV/m

1016

1144

QL

2.20×106

2.60×106

バンド幅 f 1 2 [Hz]

295

250

35

4510.83mA

10.83mA(r Q[Ω])

Eacc

ビーム電流 [mA]

STFで計画中の空洞パラメータ

Lorentz force
detuningの効果は入れていない

35MV/m空洞
上：空洞出力横：RF入力[MV/m]

45MV/m空洞
上：空洞出力横：RF入力Lorentz force detuning を含んだシミュレーション（TTF空洞）
Lorentz force
detuningの効果を入れた場合
空洞出力

空洞入力
Lorentz force detuning＋
Pre-detuning +400Hz•Lorentz force
detuningの効果を入れていない空洞への入力可能な電力（クライストロンの最大出力）の制限があるため、実際の運転では、Predetuningやアクティブチューナーが必要となる。

空洞シミュレーター
•LLRF系の総合試験
実際の空洞で加速試験を行う前にフィードバック制御の評価を行う

通常は模擬空洞を用いる•

超伝導空洞の模擬空洞とは？

Nallatech – XtremeDSP Development Kit-Ⅳ
FPGA(Xilinx Virtex-Ⅳ)
14bit ADC(AD6645):2ch
14bit DAC(AD9772A):2ch
Cavity Simulator(Xilinx Xtreme DSP KitⅡ)

空洞内の電場や離調の（連続系の）状態方程式は分かっている

FPGA(Virtex-Ⅱ)

Beam
Table

IDAC

Q

離散系の状態方程式が分かれば、FPGAボードを用いて、模擬空洞とすることができる。

vv

Δw

Δw = C*w+D*vv

IF（10MHz)FF TableFB Gain
Table

Q-Set Point
Table

DAC＋×+-DAC＋×+FF TableFB Gain
Table

QADC

I

I-Set Point
Table

FPGA(VirtexⅡpro30)
Digital Feedback System - Controller

状態方程式の離散化
状態方程式の状態ベクトルの一般解はtx(t ) = e A⋅t ⋅ x(0) + ∫ e A⋅(t −t ′) ⋅B ⋅ u (t ′) dt ′0

ここでt=nTからt=(n+1)Tへの状態の遷移を考えるとTx((n +1)T) = eA⋅T ⋅ x(nT) + ∫ eA⋅(T −t′) ⋅B⋅ u(t′) dt′
0

ゼロ次ホールドにより

u ( t ) = u ( nT ); nT ≤ t < ( n + 1)Tとサンプリング時間Tの間で出力は一定。よって時間を離散化した場合の状態方程式はTx((n + 1)T ) = e A⋅t ⋅ x(nT ) + ∫ e A⋅(T −t ′) B dt ′ ⋅ u (nT )0x((n + 1)T ) = Ad ⋅ x(nT ) + Bd ⋅ u(nT )Ad = e A⋅tT∞nAT
Bd = ∫ e A⋅(T −t′) B dt ′ = T ∑Bn =1 (n + 1)!
0RF空洞の状態方程式の離散化
空洞内電場の状態方程式の離散化を行うと−ω t ⎛ cos(∆ωT ) − sin(∆ωT ) ⎞⎜⎜⎟⎟
Ad = e A⋅T = e∆∆sin(ω)
cos(ω)
TT⎝⎠
12

⎡R ω
Bd = T ⎢ L 1 / 2⎣ 0⎤
RLω1 / 2 ⎥⎦0となる。ここでサンプリング時間Tを0.025μs(40MHz)とすると、ω1/ 2、∆ω は数百Hz程度のため− T∆ω ⎞⎛1 − Tω1 / 2⎟⎟Ad ≈ ⎜⎜1 − Tω1 / 2 ⎠⎝ T∆ωと近似できる。Lorentz force detuningについては、数値計算を行い、離散化の状態方程式の要素を求める。
（A、B内の要素は定数のため、問題ない）
右図は電場の状態方程式の連続系と離散系の比較
離散系の場合は40MHz毎に階段状で変化するが、連続系の結果と良い一致を示している。

拡大すると

空洞シミュレーターとMATLABシミュレーションの比較

3550IF周波数（10MHz）での空洞出力波形

40303020vavity voltage / MVvavity voltage / MV

2520151010•

0-10-20-30

5-40000.001

0.002

0.0030.004

0.0050.006time / s

0.007

空洞のステップ応答
400HzのPre-detuning

0.008

0.009

0.01

-50

00.001

0.002

0.003

0.004

0.005 0.006
time / s

0.007

0.008

0.009

空洞のステップ応答
Lorentz force detuningを含む

0.01

•

空洞シミュレーター（離散系）とMATLABによるシミュレーション（連続系）は良い一致を示す。
デジタルLLRF系の試験に用いることが可能まとめ••••

超伝導空洞やパルス幅の長い常伝導空洞の線形加速器の運転において、パルス内の振幅・位相の安定度の実現のために、デジタルフィードバックを用いたLLRF系が要求され、様々な加速器で開発、実現されつつある。
デジタルLLRF系のハードウェア構成については、いくつか自由度があるものの、大まかに言って一致を見ている。
デジタルLLRF系のハードウェア要素については、ADC、DAC、FPGA等の進展によるところが大きく、今もこの進展は続いている。
シミュレーション用ソフトウェアが整備されつつあり、デジタルLLRF系の開発に対して非常に強力な道具になりつつある。

抜けている部分・ 制御理論の部分（フィードバックの安定性、遅延時間、etc.）
・ フィードバック用ソフトウェア（Adaptive Feedforward、カルマンフィルター、etc.）
・ その他いろいろ