今回の問題は，1998 年度に山梨医科大学（現在の山梨大学医学部）で出題された問題からの抜粋です．

まず，(2) までの解答を確認しましょう．

新課程においては，数学 A の場合の数・確率の単元からは期待値が外されましたので，今回の問題のよ［解答］

うに，期待値ではなく確率がなるべく大きくなるよ(1)

うに振る舞うための条件を考える問題が復活するかもしれないと思い，取り上げさせていただきました．
それではまず，問題の確認から．

出場する順番の 1 番から 5 番に，T,T,V,W,W を対応させると考えて，求めるオーダーの数は5C1 ∑ 4 C2 = 5 ∑ 6 = 30 （通り）である．
問題
研伸館の数学の講師で構成された M チームと，研伸(2) （1 番 2 番），（3 番 4 番），5 番の 3 つのグループに，館でテニスが大好きな講師が率いる F チームが，テニT,T,V,W,W を分けることを考える．誰を 5スの試合で対戦することになった．F チームは強力な番に分けるかで場合分けをすると，残りの 4 人かA,B 両選手を擁しているが，M チームは比較的 5 人の力がそろっていて，M チームの T,U,V,W,X のら（1 番 2 番）に分ける 2 人を決めれば，（3 番 4 番）各選手が F チームの A,B,C,D,E の各選手とシンに分ける 2 人は 1 通りに決まることに注意してグルスで対戦して勝つ確率はそれぞれ次の表の通りで(i)あるとする．

（1 番 2 番）は TV,TW,VW,WW の 4 通り

選手

相手

5 番が T のとき(ii)

A B C D E

5 番が V のとき（1 番 2 番）は TT,TW,WW の 3 通り

T0pqq

1

U0pqq

1

(iii)

V00rr1（1 番 2 番）は TT,TV,TW,VW の 4 通り

W00ssqある．以上より，求めるオーダーの数は

X00ssq（ただし， p =5 番が W のとき

4 + 3 + 4 = 11（通り）である．

13
21, q = , r = , s = とする．）
44
32［解答ここまで］両チームのそれぞれ 5 人の選手がシングルスに 1 度ずつ出場して対戦し，先に 3 人が勝った方のチームを勝(1)，(2) までは悩むことなく解けたと思いますが，ちとする団体戦が行われるものとし，F チームのオーダーについて「A は 1 番または 2 番に，B は 3 番また(3) において確率を考えるべきオーダーは，本質的は 4 番に，E は 5 番に出る」という確かな情報があるに (2) で考えた 11 パターンだけでよい，という誘導とする．このとき，次の各問いに答えよ．になっていることに気づくことが重要です．

(1)

T と U および W と X を区別しない（T および続いて，(3) の解答に移りましょう．

W が 2 回ずつ，V が 1 回出ると考えてもよい）とき，M チームのオーダーは何通りあるか．
(2)［解答続き］

T と U，W と X，1 番と 2 番および 3 番と 4 番(3)を区別しないとき，M チームのオーダーは何通り

M チームの任意のオーダーは，団体戦に勝つ確率を考えるとき，(2) で考えた 11 通りのオーダーあるか．
M チームがどのようなオーダーにするとき，勝のいずれかと対応する．よって以下，(2) の 11 通つ確率が最大となるか，その理由も述べよ．また，りのオーダーのときの団体戦に勝つ確率を考え(3)

その確率はいくらか．

る．

1まず，F チームの E と対戦する，つまり，5 番目に出場する人について考えると，E に勝つ確率

名前 （1 番 2 番 ／ 3 番 4 番／ 5 番）

は T も V もともに 1 であり等しいが，B,C,D①（TT／WW／V）に勝つ確率は T のほうが V よりも大きいので，T②（TW／TW／V）と E が対戦するとき，つまり，T が 5 番目に出場③（WW／TT／V）

するときに M チームの勝つ確率が最大になること④（TT／VW／W）はない．よって，5 番目に出場する選手は V か W⑤（TV／TW／W）であることが必要である．

⑥（TW／TV／W）⑦（VW／TT／W）［解答ここまで］
まず，場合の数・確率は以下，それぞれのオーダーについて，M チーム

条件のきつい，極端なところから考えるが F チームに 3 勝以上できるような確率を考えようにすると，問題の条件に合う状況を絞り込むこる．（1 番 2 番）のうち A と対戦する者は勝てないので，この 2 戦で得られる勝ち数は 1 または 0とができ，場合分けを少なくすることができます．

である．よって，ここで得られる勝ち数とそれぞ今回の場合は，勝つ確率がまとめられた表の中にれの確率は以下のようになる（具体的な計算は，「１」と「０」があるので，ここに注目しましょう

最後にある (*) の部分を参照のこと）．

（実際の試合では，絶対に勝つ，ということは一応あり得ないわけで，この確率はかなり極端なもののハズ）．さらに，今回は 3 勝以上するときの確率を考えたいので，勝利数が多くなるような「１」の確

勝ち数
選手率に注目します．
ただ，この問題の普通と違って難しいところは，TT勝つ確率が極端な E との対戦だけではなく，確率がWWq と r で差がついている C または D との対戦の確率まで考えてようやく，求めるオーダーに合わないもTVのを除外できるところでしょう．
加えて，W が E と対戦する場合は，E に勝つ確TW率は「１」よりも小さい q となりますが，他の 4 人VWとの対戦オーダーを上手に調整することで確率を大103412172458712141272438512

きくすることができるかもしれませんから，ここだけでは W が E と対戦する場合を除外できないこと
次に，（3 番 4 番）において得られる勝ち数は 2，1，にも注意して下さい．

0 のいずれかであるから，勝ち数とそれぞれの確では，解答の続きを見てみましょう．

率は以下のようになる（具体的な計算は，最後にある (**) の部分を参照のこと）．

［解答続き］
このとき (2) より，考えるべきオーダーは 7 通りであり，それぞれに以下のように①～⑦で名前をつける．

2

勝ち数

210TT316WW0581223587123161214516512選手112116TVTWVW01 5
1 3
1 31∑ ∑1 + ∑ ∑1 + ∑ ∑1 =2 82 162 162である．
④のとき，①と同様に考えて確率は
3 7 3 21∑ ∑ =4 12 4 64である．
⑤のとき，（3 番 4 番）で 2 勝できる可能性があり，かつ，（1 番 2 番）と 5 番では，それぞれ 0 勝か 1勝のいずれかなので，（1 番 2 番），（3 番 4 番），5番における (TV，TW，W) の勝ち数がさらに，5 番においては，V のときは必ず 1 勝し，W のときは1 勝の確率：

340 勝の確率：

14(1,1,1)，(0,2,1)，(1,2,1)，(1,2,0)のいずれかのときである．よって，その確率は
17 5 37 1 3∑ ∑ + ∑ ∑24 8 4 24 16 4599
17 1 3 17 1 1+ ∑ ∑ + ∑ ∑ =24 16 4 24 16 4 1536

である．となる .

⑥，⑦のとき，⑤と同様に考えて，それぞれの確率は以上の確率を元にして，①～⑦の各オーダーの5 2 3 3 1 3∑ ∑ + ∑ ∑8 3 4 8 12 4
5 1 3 5 1 1 149+ ∑ ∑ + ∑ ∑ =8 12 4 8 12 4 384
7 5 3 5 3 3∑ ∑ + ∑ ∑12 8 4 12 16 4
7 3 3 7 3 1 113+ ∑ ∑ + ∑ ∑ =12 16 4 12 16 4 256

場合に M チームが 3 勝以上する確率を考える．
①のときは，（3 番 4 番）で 2 勝できないので，（1 番 2 番），（3 番 4 番），5 番で (TT，WW，V) がそれぞれ 1 勝ずつするときのみであり，その確率は3 13∑ ∑1 =4 28である．

である．

以上より，M チームが勝つ確率を最大とする②のときは，（3 番 4 番）で 2 勝できる可能性があり，かつ，5 番で必ず 1 勝するので，（1 番 2 番），オーダーは③である．よって，求めるオーダーは（3 番 4 番），5 番で (TW，TW，V) の勝ち数がWXTUV(1,1,1)，(0,2,1)，(1,2,1) のいずれかとなWXUTVるときである．よって，その確率は

XWTUV
XWUTV

5 53 1
5 129∑ ∑1 + ∑ ∑1 + ∑ ∑1 =8 88 168 1664であり，このときの M チームが勝つ確率はである．

ある．

③のとき，②と同様に考えて確率は31で2［解答の補足］

TV のときと同様に考えると，それぞれの確(*)（1 番 2 番）での，勝ち数に対する確率の計算

率は・TT のとき
1 勝となるのは A と戦わない者が勝つとき
0 勝となるのは 1 勝とならないとき

0 勝： 1 -であるから，確率はそれぞれº75=12 12となる．

343 1
1- =
4 41∑ q =(**)（3 番 4 番）での，勝ち数に対する確率の計算
・TT のとき
B と戦う者と C または D と戦う者を分けてとなる．

考えると，確率は・WW のときTT のときと同様に考えて，確率はそれぞれ
1 勝： 1 ∑ s =0 勝： 1 -ª1
1
1 1 27+=
1 勝： ∑ 1 ∑ s + ∑ r ∑ 1 =222 2 3122 勝： pq =12

1 33∑ =
4 4 16

1 勝： p(1 - q) + (1 - p)q =1 1=
2 20 勝： 1 -となる．

3 53- =
16 8 16となる．

・TV のとき・WW のとき「T が A と戦い，V が C または D と戦う」

B には勝てないので 2 勝の確率は 0 である．

「T が C または D と戦い，V が A と戦う」

またの 2 つの場合は同様に確からしいので，それぞ

1 勝となるのは B と戦わない者が勝つとき

1れの確率で起こる．この 2 つの場合に分け
20 勝となるのは 2 勝，1 勝とならないときであるから，確率はそれぞれて考えると，1 勝，0 勝の確率はそれぞれªº

11
1 2 317+=
1 勝： ∑ 1 ∑ r + ∑ q ∑ 1 =222 3 4241 勝： 1 ∑ s =12177=0 勝： 1 24 24

0 勝： 1 - 0 -1 1=2 2となる．となる．

・TV のとき・TW のときV は B に勝てないので，2 勝となるのは T がTV のときと同様に考えると，それぞれの確率は

1 1 3 3 5
∑ + ∑ =
4 4 4 4 8ª

B と戦って勝ち，V が C または D と戦って勝つときである．またº1
1
1 1 35+=
1 勝： ∑ 1 ∑ s + ∑ q ∑ 1 =222 2 48

「T が B と戦い，V が C または D と戦う」
「T が C または D と戦い，V が B と戦う」

5 30 勝： 1 - =8 8の 2 つの場合は同様に確からしいので，それぞとなる．

れ・VW のとき41の確率で起こる．よって 2 勝の確率は2である． 1 勝となるときは上の 2 つの余事象ゆ

11 1 2
1pr = ∑ ∑ =22 4 3 12

え，その確率はである．0 勝となるときも，先に挙げた 2 つの1-0-場合に分けて考えると，その確率はである．

11∑ (1 - p) ∑ (1 - r) + ∑ (1 - q) ∑ 122
1 3 1 1∑ + ∑1=2 4 3 4
1=4ª［解答の補足ここまで］º［解答ここまで］（補足説明）

である．1 勝となるときは上の 2 つの余事象ゆえ，オーダーを 7 パターンに絞り込んだ後は，丁寧に確率を計算していくことになります．今回は，「強その確率は1-57=12 12者の皆さんであれば必要な部分のみ，選んで読むこ1 1 2- =12 4 3とができるだろう」と考えて，すべての計算を掲載していますが，大学入試の答案を書く際には，少しとなる．

迷ってしまうかもしれませんので，以下に１つの目安を示します．

・TW のとき実際の大学入試の答案では，まず，（解答の補足）W が B に勝てないので，TV のときと同様に以外の部分を優先して書くとよいでしょう．この問考えると，それぞれの確率は
2 勝：

題で注目すべきは「３勝以上するときの確率」なの

11 1 1
1
ps = ∑ ∑ =22 4 2 16

で，最後の①から⑦の確率を求める部分については，メインテーマということで，省略せずに書くのがよ110 勝： (1 - p)(1 - s) + (1 -q) ∑ 122

いと思います．そして，見直し後，時間に余裕があるのであれば，（解答の補足）の部分を補っていく

1 3 1 1 1∑ ∑ + ∑ ∑12 4 2 2 45=16=のがよいでしょう．特に（3 番 4 番）のところの勝
ち数に対する確率においては，意外と「同様に考えると」では片付かない部分があるので，書くと決め155=
1 勝： 1 16 16 8たのであれば，端折らずに丁寧に書きましょう．となる．

さて，この問題によって，強力な選手を擁してい・VW のときないチームであっても，事前にしっかりと作戦を練B には勝てないので 2 勝の確率は 0 である．

れば，十分に勝利を狙える戦いができることがわかまた，りました．ただ，今回のように確率を高めることが「V が B と戦い，W が C または D と戦う」

できたのは，「相手チームの A,B,E の出場オー「V が C または D と戦い，W が B と戦う」

ダーが，ある程度ハッキリわかっている」からに他の 2 つの場合は同様に確からしいので，それぞなりません．勝てない相手になるべく弱いこちらの1れの確率で起こる．よって，0 勝の確率は2選手を当てたり，弱い相手にはなるべくこちらも弱

11
1 1 15∑ 1 ∑ (1 - s) + (1 - r) ∑ 1 =+=
2 2 3
12
2
2にいくときに，T で勝ちにいくよりも V で勝ちにいª

い選手で勝ち数を取りにいく（E から勝ち数を取りº5

くほうが全体で見たときに有利になる），などの作戦を取ることができたからこその，五分の勝率と言えるでしょう．
これと同じことが人生における他の勝負どころ，もっと限定すれば大学入試においても言えると思うのです．事前に過去問を研究したり，オープンキャンパスに行ってモチベーションを高めたり，大学のアドミッションポリシーを正しく把握して推薦入試の面接に活かしたり……事前の準備が万端な人ほど有利になることは明らかです．
以前の問題では，勝負は先手必勝，と学びました．
今回は，勝負は事前のデータ収集が大事，ということが分かりました．データの収集にも，もちろん時間がかかりますから，早めに動き出すことが大切です．
今現在，やるかやらないかで迷っていることがあるならば，まず動いてみてはどうでしょうか．
（数学科中西）6