1 + 1 = 0: Monsieur Weil, est-ce bien rationnel?
Hélène Esnault

Freie Universität Berlin
Allemagne

Paris, BnF, 15 janvier 2014

Hélène Esnault[1cm]L’hypothèse (1859) de Riemann (1826-1886)
I Bernhard Riemann, fils d’un pasteur luthérien, à l’origine

destiné à la théologie luthérienne, vient juste, à 33 ans, d’être
nommé professeur à Göttingen et de rentrer à l’ Académie desSciences de Berlin.

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

L’hypothèse (1859) de Riemann (1826-1886)
I Bernhard Riemann, fils d’un pasteur luthérien, à l’origine

destiné à la théologie luthérienne, vient juste, à 33 ans, d’être
nommé professeur à Göttingen et de rentrer à l’ Académie desSciences de Berlin.

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

L’hypothèse (1859) de Riemann (1826-1886)

I Il a fondé, dans sa thèse dirigée par Carl Friedrich Gauß- un

des plus grands arithméticiens- les bases de la géométrie
riemannienne.

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

L’hypothèse (1859) de Riemann (1826-1886)

I Il a fondé, dans sa thèse dirigée par Carl Friedrich Gauß- un

des plus grands arithméticiens- les bases de la géométrie
riemannienne.
I Il s’intéresse à l’arithmétique: il définit la fonction zêta

ζ(s) = 1 +

1
1
1
1
1
1
+ s + s +... = 1+ s + s +
+...
s
2
3
4
2
3
(2 · 2)spour s un nombre complexe de partie réelle Re(s) > 1: cettecondition assure que la série converge et que vue commefonction de s, c’est une bonne fonction (analytique).

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

L’hypothèse (1859) de Riemann (1826-1886)

I Il en montre certaines propriétés essentielles, notamment quela fonction est prolongeable pour un nombre complexe s
quelconque, que elle vérifie une équation fonctionnelle, d’où iltire que les entiers −2, −4, −6, . . . sont tous des zéros. On lesappelle les zéros triviaux.

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

L’hypothèse (1859) de Riemann (1826-1886)

I Il en montre certaines propriétés essentielles, notamment quela fonction est prolongeable pour un nombre complexe s
quelconque, que elle vérifie une équation fonctionnelle, d’où iltire que les entiers −2, −4, −6, . . . sont tous des zéros. On lesappelle les zéros triviaux.
I Il formule l’hypothèse: hormis les zéros triviaux, ζ ne s’annuleque sur la droite Re(s) = 21 .

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

L’hypothèse (1859) de Riemann (1826-1886)
I L’importance de cette hypothèse est multiple. Par exemple, laformule d’Euler (1707-1783) ditYζ(s) =p premier

1
1 − p −spour Re(s) > 1. (Bien-sûr, Euler prédate Riemann, mais ilavait déjà pu calculer la valeur de ζ en 2, 4, 6, . . ..)Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

L’hypothèse (1859) de Riemann (1826-1886)
I L’importance de cette hypothèse est multiple. Par exemple, laformule d’Euler (1707-1783) ditYζ(s) =p premier

1
1 − p −spour Re(s) > 1. (Bien-sûr, Euler prédate Riemann, mais ilavait déjà pu calculer la valeur de ζ en 2, 4, 6, . . ..)I On voit que la fonction ζ décrit la répartition des premiers

inférieurs à une borne donnée, et leur croissance quand cetteborne tend vers l’infini.

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

L’hypothèse (1859) de Riemann (1826-1886)
I L’importance de cette hypothèse est multiple. Par exemple, laformule d’Euler (1707-1783) ditYζ(s) =p premier

1
1 − p −spour Re(s) > 1. (Bien-sûr, Euler prédate Riemann, mais ilavait déjà pu calculer la valeur de ζ en 2, 4, 6, . . ..)I On voit que la fonction ζ décrit la répartition des premiers

inférieurs à une borne donnée, et leur croissance quand cetteborne tend vers l’infini.
I La localisation des zéros de ζ a donc des conséquences sur larépartition des premiers.

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

L’hypothèse (1859) de Riemann (1826-1886)

I À ce jour non démontrée, elle est considérée comme un desproblèmes fondamentaux non résolus: un des 23 problèmes
fondamentaux programmatiques énoncés par Hilbert en 1900,
un des 7 du millénaire par le Clay Institute en 2000, qui, en
institut américain, la “met à prix”: dollars contre
preuve...mathématique.
I L’aventure extraordinaire que nous allons relater, à travers

Weil et ses conjectures, commence là: avec ce mystère, ettout particulièrement avec ce nombre 12 .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant la formulation des conjectures deWeil
I Emil Artin (1898-1962), fils d’une cantatrice à Vienne,

formule en 1923, dans son Habilitation à l’université deHamburg, un analogue de l’hypothèse de Riemann dans lequelle 12 est le fil directeur:Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant la formulation des conjectures deWeil
I Emil Artin (1898-1962), fils d’une cantatrice à Vienne,

formule en 1923, dans son Habilitation à l’université deHamburg, un analogue de l’hypothèse de Riemann dans lequelle 12 est le fil directeur:Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant la formulation des conjectures deWeil

I La constatation de base est que il y a une grande analogie

entre le corps des rationnels Q et le corps Fp (t) des fonctions
rationnelles en une variable sur le corps fini Fp .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant la formulation des conjectures deWeil

I La constatation de base est que il y a une grande analogie

entre le corps des rationnels Q et le corps Fp (t) des fonctions
rationnelles en une variable sur le corps fini Fp .
I Au delà, il y a une grande analogie entre les corps qui sont desextensions finies de Q, appelés corps de nombres, et ceux qui
sont des extensions finies de Fp (t), appelés corps de fonctions.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant la formulation des conjectures deWeil

I La constatation de base est que il y a une grande analogie

entre le corps des rationnels Q et le corps Fp (t) des fonctions
rationnelles en une variable sur le corps fini Fp .
I Au delà, il y a une grande analogie entre les corps qui sont desextensions finies de Q, appelés corps de nombres, et ceux qui
sont des extensions finies de Fp (t), appelés corps de fonctions.
I Un corps fini est simplement la formalisation mathématiqued’une congruence: le tour du cadran de notre montre compte
60 mns. Nous lisons: 55 mns +10 mns = 5 mns. Nous
calculons dans notre tête modulo 60.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant la formulation des conjectures de
Weil

I Modulo 2, c’est le 1 + 1 = 0 de notre titre: tous les nombres

pairs modulo 2 sont identifiés à 0, tous les impairs à 1.
L’addition est simple: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, et lamultiplication aussi: 0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0. L’ensemble {0, 1},
muni de ces deux lois, forme un corps, que l’on dénote par F2 :le seul élément qui n’est pas 0 est inversible: 1 · 1 = 1.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant la formulation des conjectures de
Weil

I Modulo 2, c’est le 1 + 1 = 0 de notre titre: tous les nombres

pairs modulo 2 sont identifiés à 0, tous les impairs à 1.
L’addition est simple: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, et lamultiplication aussi: 0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0. L’ensemble {0, 1},
muni de ces deux lois, forme un corps, que l’on dénote par F2 :le seul élément qui n’est pas 0 est inversible: 1 · 1 = 1.
I En général, on fait de même modulo p, p premier:{0, 1, 2, . . . , (p − 1)} avec les deux lois dérivées de celles desentiers en calculant modulo p, définit un corps, dénoté Fp , etappelé corps de congruence.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil
I Évariste Galois (1811-1832) généralise, en un temps

remarquablement bref avant sa mort tragique et prématuréeen duel, les corps de congruences en la théorie des corps finis.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil
I Évariste Galois (1811-1832) généralise, en un temps

remarquablement bref avant sa mort tragique et prématuréeen duel, les corps de congruences en la théorie des corps finis.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I Voici un exemple simple de corps fini qui n’est pas un corps decongruence: F9 , corps à 9 éléments: c’est l’ensemble deséléments x + iy , avec x, y ∈ F3 , et i “imaginaire de Galois”
satisfaisant i 2 = −1, c’est-à-dire = 2.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I Voici un exemple simple de corps fini qui n’est pas un corps decongruence: F9 , corps à 9 éléments: c’est l’ensemble deséléments x + iy , avec x, y ∈ F3 , et i “imaginaire de Galois”
satisfaisant i 2 = −1, c’est-à-dire = 2.
I Galois démontre entre autres que pour n’importe quel nombre
de la forme q = p n où p est un premier et n un nombre

naturel, il existe un corps Fq , unique (à isomorphisme près);

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I Voici un exemple simple de corps fini qui n’est pas un corps decongruence: F9 , corps à 9 éléments: c’est l’ensemble deséléments x + iy , avec x, y ∈ F3 , et i “imaginaire de Galois”
satisfaisant i 2 = −1, c’est-à-dire = 2.
I Galois démontre entre autres que pour n’importe quel nombre
de la forme q = p n où p est un premier et n un nombre

naturel, il existe un corps Fq , unique (à isomorphisme près);
I que ces corps sont emboı̂tés les uns dans les autres

Fq ⊂ Fqn ⊂ Fqnm . . .;Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I Voici un exemple simple de corps fini qui n’est pas un corps decongruence: F9 , corps à 9 éléments: c’est l’ensemble deséléments x + iy , avec x, y ∈ F3 , et i “imaginaire de Galois”
satisfaisant i 2 = −1, c’est-à-dire = 2.
I Galois démontre entre autres que pour n’importe quel nombre
de la forme q = p n où p est un premier et n un nombre

naturel, il existe un corps Fq , unique (à isomorphisme près);
I que ces corps sont emboı̂tés les uns dans les autres

Fq ⊂ Fqn ⊂ Fqnm . . .;I qu’ils sont tous quotients de l’anneau des polynômes Fp [t] enune variable sur Fp : Fp [t] → Fq .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I On transpose la formule d’Euler à l’aide d’une analogie que

j’essaie maintenant de suggérer.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I On transpose la formule d’Euler à l’aide d’une analogie que

j’essaie maintenant de suggérer.
I On remplace Z par l’anneau Fp [t] des polynômes en une

variable sur Fp .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I On transpose la formule d’Euler à l’aide d’une analogie que

j’essaie maintenant de suggérer.
I On remplace Z par l’anneau Fp [t] des polynômes en une

variable sur Fp .
I Les corps de congruence Fp sont tous des quotients de

Z : Z → Fp

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I On transpose la formule d’Euler à l’aide d’une analogie que

j’essaie maintenant de suggérer.
I On remplace Z par l’anneau Fp [t] des polynômes en une

variable sur Fp .
I Les corps de congruence Fp sont tous des quotients de

Z : Z → Fp
I

On remplace les corps de congruence par les corps Fq :nous avons vu que Galois les définit par une applicationx
quotient Fp [t] −→ Fq . Ce q est associé à x, on écrit q(x).

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I On remplace alors ζ de Riemann parYtous les x

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin(1).
1 − q(x)−sUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I On remplace alors ζ de Riemann parYtous les x(

1).
1 − q(x)−sI On vient de définir la fonction zêta de la droite affine sur lecorps Fp . (Les {x} sont appelés les points fermés de la droite
affine.)Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de WeilI De façon générale, on définit une “courbe” X sur un corps finiFq .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de WeilI De façon générale, on définit une “courbe” X sur un corps finiFq .
I On peut y penser comme système fini d’équationsP
polynomiales X :ai0 i1 ....in x0i0 x1i1 · · · xdid , où les coefficients
ai0 i1 ...id sont dans le corps fini Fq .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de WeilI De façon générale, on définit une “courbe” X sur un corps finiFq .
I On peut y penser comme système fini d’équationsP
polynomiales X :ai0 i1 ....in x0i0 x1i1 · · · xdid , où les coefficients
ai0 i1 ...id sont dans le corps fini Fq .
I Dans ce langage, les points {x} à valeur dans Fq m sont lessolutions (x0 , x1 , . . . , xd ) avec xi ∈ Fqm , m ≥ 1.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de WeilI De façon générale, on définit une “courbe” X sur un corps finiFq .
I On peut y penser comme système fini d’équationsP
polynomiales X :ai0 i1 ....in x0i0 x1i1 · · · xdid , où les coefficients
ai0 i1 ...id sont dans le corps fini Fq .
I Dans ce langage, les points {x} à valeur dans Fq m sont lessolutions (x0 , x1 , . . . , xd ) avec xi ∈ Fqm , m ≥ 1.
I Il n’y en n’a qu’un nombre fini car Fq m est fini. La cardinalité

de cet ensemble est donc un invariant intéressant.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de WeilI De façon générale, on définit une “courbe” X sur un corps finiFq .
I On peut y penser comme système fini d’équationsP
polynomiales X :ai0 i1 ....in x0i0 x1i1 · · · xdid , où les coefficients
ai0 i1 ...id sont dans le corps fini Fq .
I Dans ce langage, les points {x} à valeur dans Fq m sont lessolutions (x0 , x1 , . . . , xd ) avec xi ∈ Fqm , m ≥ 1.
I Il n’y en n’a qu’un nombre fini car Fq m est fini. La cardinalité

de cet ensemble est donc un invariant intéressant.
I Comme on a vu que les corps finis sont emboı̂tés, Fq m ⊃ Fq a
si a divise m, il y a un q m minimal associé à x, que l’on dénote

par q(x). Fixer q(x) évite les redondances dans le comptage.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I Il y a une condition supplémentaire qui justifie la notation de“courbe”: en gros, le nombre de variables excède de un lenombre d’équations.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I On définit la fonction zêta ζ(X , s) de la même façon:Ytous les x

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin(1).
1 − q(x)−sUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I On définit la fonction zêta ζ(X , s) de la même façon:Ytous les x(

1).
1 − q(x)−sI Maintenant, cette fonction ζ permet de calculer le nombre depoints pour lesquels q(x) est inférieur à une borne donnée, etleur croissance quand cette borne tend vers l’infini.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I L’analogie du 1 maintenant est (Artin): un zéro de ζ(X , s)2

devrait avoir la propriété (conjecturale) que sa partie réelle est
1
2.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I L’analogie du 1 maintenant est (Artin): un zéro de ζ(X , s)2

devrait avoir la propriété (conjecturale) que sa partie réelle est
1
2.
I Entorse historique: Artin parle de corps de fonctions et non decourbes, de valuations et non de points. C’est la même chose,le langage géométrique nous ramène à Riemann, une belle
raison de l’utiliser.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I L’analogie du 1 maintenant est (Artin): un zéro de ζ(X , s)2

devrait avoir la propriété (conjecturale) que sa partie réelle est
1
2.
I Entorse historique: Artin parle de corps de fonctions et non decourbes, de valuations et non de points. C’est la même chose,le langage géométrique nous ramène à Riemann, une belle
raison de l’utiliser.
I Artin pose cette conjecture dans sa thèse (1921), la démontre(1929) pour courbes d’équation y 2 = f (x) (on dit”hyperelliptique” de nos jours), dans certains cas, en utilisantce qu’on appelle une loi de réciprocité.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I F.K. Schmidt (1931) montre pour toutes les courbes et tous

les corps finis que la fonction zêta n’est pas ”sauvage”, elle
est rationnelle en la variable U = q −s , c’est-à-dire le quotientde deux polynômes en U. C’est la rationalité de notre titre.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I F.K. Schmidt (1931) montre pour toutes les courbes et tous

les corps finis que la fonction zêta n’est pas ”sauvage”, elle
est rationnelle en la variable U = q −s , c’est-à-dire le quotientde deux polynômes en U. C’est la rationalité de notre titre.
I Ceci diffère fortement de la fonction zêta de Riemann, qui elle

est plus compliquée qu’une fonction rationnelle.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I F.K. Schmidt (1931) montre pour toutes les courbes et tous

les corps finis que la fonction zêta n’est pas ”sauvage”, elle
est rationnelle en la variable U = q −s , c’est-à-dire le quotientde deux polynômes en U. C’est la rationalité de notre titre.
I Ceci diffère fortement de la fonction zêta de Riemann, qui elle

est plus compliquée qu’une fonction rationnelle.
I De plus, il montre qu’une certaine symétrie de cette fonction

existe, appelée équation fonctionnelle, qui elle est analogue àcelle vérifiée par la fonction zêta de Riemann. Elle relie ζ(s)et ζ(1 − s). Il utilise pour ce le théorème de Riemann-Roch.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I Helmut Hasse (1934) la démontre pour les courbes d’équation
x12 = f (x0 ), où f est un polynôme de degré 3, à coefficientsdans Fq . On les appelle les courbes de genre 1.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinUn peu d’histoire avant les conjectures de Weil

I Helmut Hasse (1934) la démontre pour les courbes d’équation
x12 = f (x0 ), où f est un polynôme de degré 3, à coefficientsdans Fq . On les appelle les courbes de genre 1.
I Si on remplace Fq par le corps C des complexes, et qu’on ledessine (on a donc 4 dimensions réelles....) on obtient unebouée, c’est-à-dire un tore.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil (Paris 1906-Princeton 1998)

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil (Paris 1906-Princeton 1998)

I Issu d’une famille juive alsacienne assimilée, de grande

ouverture intellectuelle, venue à Paris pour fuirl’Alsace-Lorraine allemande, André Weil, qui, dit-on, à la fin
de sa vie parlait une douzaine de langues vivantes, le grec, lelatin et le sanskrit, arrive aux mathématiques très jeune (il est
entré à l’Ecole Normale Supérieure à 16 ans).
Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: les années de formation
I En arithmétique et algèbre, l’école allemande, notammentGöttingen, était le centre indiscuté.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: les années de formation
I En arithmétique et algèbre, l’école allemande, notammentGöttingen, était le centre indiscuté.
I Avec une bourse Rockefeller, il va sillonner l’Allemagne,

contacter (énoncés en vrac) Courant, Siegel, Hilbert, van derWaerden, Grell, Dehn, Ostrowksi, Emmy Noether (“mèrepoule protectrice”...), Alexandrov, Hellinger, Epstein, Szasz,
Toeplitz, Hartogs, Hopf. L’auditeur mathématicien ne peutque rêver de tous ces noms plus prestigieux les uns que lesautres discutant avec un jeune homme d’une vingtained’années.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: les années de formation
I En arithmétique et algèbre, l’école allemande, notammentGöttingen, était le centre indiscuté.
I Avec une bourse Rockefeller, il va sillonner l’Allemagne,

contacter (énoncés en vrac) Courant, Siegel, Hilbert, van derWaerden, Grell, Dehn, Ostrowksi, Emmy Noether (“mèrepoule protectrice”...), Alexandrov, Hellinger, Epstein, Szasz,
Toeplitz, Hartogs, Hopf. L’auditeur mathématicien ne peutque rêver de tous ces noms plus prestigieux les uns que lesautres discutant avec un jeune homme d’une vingtained’années.
I Sauf erreur de ma part, ses mémoires ne relatent ni une

rencontre avec Emil Artin, ni une avec Helmut Hasse (voirplus haut leur rôle dans la genèse du problème).

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: les années de formation
I En arithmétique et algèbre, l’école allemande, notammentGöttingen, était le centre indiscuté.
I Avec une bourse Rockefeller, il va sillonner l’Allemagne,

contacter (énoncés en vrac) Courant, Siegel, Hilbert, van derWaerden, Grell, Dehn, Ostrowksi, Emmy Noether (“mèrepoule protectrice”...), Alexandrov, Hellinger, Epstein, Szasz,
Toeplitz, Hartogs, Hopf. L’auditeur mathématicien ne peutque rêver de tous ces noms plus prestigieux les uns que lesautres discutant avec un jeune homme d’une vingtained’années.
I Sauf erreur de ma part, ses mémoires ne relatent ni une

rencontre avec Emil Artin, ni une avec Helmut Hasse (voirplus haut leur rôle dans la genèse du problème).
I Il va aussi étudier la géométrie algébrique “italienne” auprèsde leurs fondateurs, Severi, Enriques.
Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: les années de formation
I À Paris, Émile Picard, à l’époque l’un des analystes les plus

importants en France, refuse d’être le rapporteur de sa thèse“L’arithmétique sur les courbes algébriques”,

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: les années de formation
I À Paris, Émile Picard, à l’époque l’un des analystes les plus

importants en France, refuse d’être le rapporteur de sa thèse“L’arithmétique sur les courbes algébriques”,
I mais le recommande à René Garnier. “J’eu donc un

rapporteur, consciencieux autant que bienveillant; il neremarqua pas quelques lacunes dans les démonstrations mais
me donna d’utiles conseils sur les virgules...”Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: les années de formation
I À Paris, Émile Picard, à l’époque l’un des analystes les plus

importants en France, refuse d’être le rapporteur de sa thèse“L’arithmétique sur les courbes algébriques”,
I mais le recommande à René Garnier. “J’eu donc un

rapporteur, consciencieux autant que bienveillant; il neremarqua pas quelques lacunes dans les démonstrations mais
me donna d’utiles conseils sur les virgules...”I Il aura le titre en 1928. Sa thèse généralise le théorème deMordell (1922) (appelé de nos jours le théorème deMordell-Weil) au cas des courbes de genre > 1. Elle traı̂te,sur un corps de nombres, non vraiment de points fermés, maisde ce qu’on appelle le groupe des diviseurs de degré 0 (que jen’explique pas) sur ces courbes. Il reprend à la fin de sa thèsela conjecture énoncée par Mordell.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: les années de formation
I À Paris, Émile Picard, à l’époque l’un des analystes les plus

importants en France, refuse d’être le rapporteur de sa thèse“L’arithmétique sur les courbes algébriques”,
I mais le recommande à René Garnier. “J’eu donc un

rapporteur, consciencieux autant que bienveillant; il neremarqua pas quelques lacunes dans les démonstrations mais
me donna d’utiles conseils sur les virgules...”I Il aura le titre en 1928. Sa thèse généralise le théorème deMordell (1922) (appelé de nos jours le théorème deMordell-Weil) au cas des courbes de genre > 1. Elle traı̂te,sur un corps de nombres, non vraiment de points fermés, maisde ce qu’on appelle le groupe des diviseurs de degré 0 (que jen’explique pas) sur ces courbes. Il reprend à la fin de sa thèsela conjecture énoncée par Mordell.
I Celle-ci ne sera démontrée qu’en 1983 par Gerd Faltings.
Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

Gerd Faltings (Gelsenkirchen 1954-); médaille Fields 1986

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: les années de formation

I Son immense culture, sa curiosité intellectuelle vont de pairavec la joie du voyage. Il se retrouve à 24 ans à construire ledépartement de mathématiques de l’université musulmaned’Aligarh. Il y parfait entre autres son sanskrit.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: 1940
I En janvier 1940, il est arrêté. Il a fui la guerre contrel’Allemagne nazie, a été rattrapé au terme d’un périple que je
ne relate pas, il est déserteur. “Le Dharma de Gauguin a étéla peinture. Le mien, tel que je le voyais en 1938, me semblait
manifeste: c’était de faire des mathématiques tant que je m’ensentais capable. Le péché eût été de m’en laisser détourner.”Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: 1940
I En janvier 1940, il est arrêté. Il a fui la guerre contrel’Allemagne nazie, a été rattrapé au terme d’un périple que je
ne relate pas, il est déserteur. “Le Dharma de Gauguin a étéla peinture. Le mien, tel que je le voyais en 1938, me semblait
manifeste: c’était de faire des mathématiques tant que je m’ensentais capable. Le péché eût été de m’en laisser détourner.”
I Il est condamné en mai à 5 ans de prison pour insoumission,peine immédiatement suspendue pour l’incorporation dans unrégiment en Normandie, qui se termine à la démobilisation en
un passage en Angleterre.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: 1940
I En janvier 1940, il est arrêté. Il a fui la guerre contrel’Allemagne nazie, a été rattrapé au terme d’un périple que je
ne relate pas, il est déserteur. “Le Dharma de Gauguin a étéla peinture. Le mien, tel que je le voyais en 1938, me semblait
manifeste: c’était de faire des mathématiques tant que je m’ensentais capable. Le péché eût été de m’en laisser détourner.”
I Il est condamné en mai à 5 ans de prison pour insoumission,peine immédiatement suspendue pour l’incorporation dans unrégiment en Normandie, qui se termine à la démobilisation en
un passage en Angleterre.
I Après la capitulation française, il rentre chercher sa femme,épousée 3 ans (1937) avant après le divorce de celle-ci d’unautre membre fondateur (1934) de Bourbaki.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: 1940

I Ils embarquent pour les USA en janvier 1941. Son malheur aduré un an. Il ne reviendra plus jamais s’établir en France.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAndré Weil: 1940

I Ils embarquent pour les USA en janvier 1941. Son malheur aduré un an. Il ne reviendra plus jamais s’établir en France.
I À la prison militaire Bonne Nouvelle à Rouen, il a une cellule

seul et a le droit de se faire parvenir les livres qu’il souhaite,délivrés par sa femme et sa famille.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLe premier texte sur les courbes: 1940
I Il entame la rédaction de son premier texte sur les courbes:“Sur les fonctions algébriques à corps de constantes fini”.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLe premier texte sur les courbes: 1940
I Il entame la rédaction de son premier texte sur les courbes:“Sur les fonctions algébriques à corps de constantes fini”.
I Il pense démontrer la conjecture d’Artin pour toutes les
courbes et tous les corps finis, a besoin pour cela d’un“lemme
fondamental”.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLe premier texte sur les courbes: 1940
I Il entame la rédaction de son premier texte sur les courbes:“Sur les fonctions algébriques à corps de constantes fini”.
I Il pense démontrer la conjecture d’Artin pour toutes les
courbes et tous les corps finis, a besoin pour cela d’un“lemme
fondamental”.
I Il presse Henri Cartan de rechercher en bibliothèque ce que
Hasse a écrit sur ce lemme fondamental en genre 1 “je crois
toucher à des résultats très importants sur la fonction ζ....”Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLe premier texte sur les courbes: 1940
I Il entame la rédaction de son premier texte sur les courbes:“Sur les fonctions algébriques à corps de constantes fini”.
I Il pense démontrer la conjecture d’Artin pour toutes les
courbes et tous les corps finis, a besoin pour cela d’un“lemme
fondamental”.
I Il presse Henri Cartan de rechercher en bibliothèque ce que
Hasse a écrit sur ce lemme fondamental en genre 1 “je crois
toucher à des résultats très importants sur la fonction ζ....”I écrit le 8 avril 1940 à Cartan: “j’ai expédié la note -NdR: aux
Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris-sans
attendre d’avoir démontré le lemme fondamental...Hasse n’aplus qu’à se pendre car j’y résouds, (sous réserve de monlemme), TOUS les principaux problèmes de la théorie” .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLe premier texte sur les courbes: 1940
I Il entame la rédaction de son premier texte sur les courbes:“Sur les fonctions algébriques à corps de constantes fini”.
I Il pense démontrer la conjecture d’Artin pour toutes les
courbes et tous les corps finis, a besoin pour cela d’un“lemme
fondamental”.
I Il presse Henri Cartan de rechercher en bibliothèque ce que
Hasse a écrit sur ce lemme fondamental en genre 1 “je crois
toucher à des résultats très importants sur la fonction ζ....”I écrit le 8 avril 1940 à Cartan: “j’ai expédié la note -NdR: aux
Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris-sans
attendre d’avoir démontré le lemme fondamental...Hasse n’aplus qu’à se pendre car j’y résouds, (sous réserve de monlemme), TOUS les principaux problèmes de la théorie” .
I Hasse, nationaliste allemand, a vu son adhésion au parti nazi
refusée au motif d’origines juives....
Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLe premier texte sur les courbes: 1940
I et écrit une réponse à Gaston Julia (éditeur), en français:“Avez-vous l’idée d’un ”profiteur de guerre spirituel”? Il me
semble que notre “ami” André Weil soit un tel. ....Pendantque toutes les forces spirituelles de l’Europe étaient stérilisées
par la guerre, Weil semble avoir conçu l’idée d’unedémonstration de cette hypothèse-là. Sa première publicationlà-dessus, la note que vous m’avez procurée, contient
toutefois un lemme sans démonstration...”Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLe premier texte sur les courbes: 1940
I et écrit une réponse à Gaston Julia (éditeur), en français:“Avez-vous l’idée d’un ”profiteur de guerre spirituel”? Il me
semble que notre “ami” André Weil soit un tel. ....Pendantque toutes les forces spirituelles de l’Europe étaient stérilisées
par la guerre, Weil semble avoir conçu l’idée d’unedémonstration de cette hypothèse-là. Sa première publicationlà-dessus, la note que vous m’avez procurée, contient
toutefois un lemme sans démonstration...”I qui le restera: Weil l’année suivante change sa démonstration.

Elle ne sera entièrement rédigée et publiée chez Hermann queen 1948.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLe premier texte sur les courbes: 1940
I et écrit une réponse à Gaston Julia (éditeur), en français:“Avez-vous l’idée d’un ”profiteur de guerre spirituel”? Il me
semble que notre “ami” André Weil soit un tel. ....Pendantque toutes les forces spirituelles de l’Europe étaient stérilisées
par la guerre, Weil semble avoir conçu l’idée d’unedémonstration de cette hypothèse-là. Sa première publicationlà-dessus, la note que vous m’avez procurée, contient
toutefois un lemme sans démonstration...”I qui le restera: Weil l’année suivante change sa démonstration.

Elle ne sera entièrement rédigée et publiée chez Hermann queen 1948.
I Il y étudie l’anneau des correspondances sur les courbes: une

idée centrale, qui par exemple jouera un rôle essentiel dans lesconjectures motiviques (Bloch-Beilinson) dans les années 80.
Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

NUMBERS OF SOLUTIONS OF EQUATIONSIN FINITE FIELDSANDRE WEIL

The equations to be considered here are those of the type(1)

a0Xo + aiXi + • • • + (ir%r = v.

Such equations have an interesting history. In art. 358 of the Disquisitiones [l a ] , 1 Gauss determines the Gaussian sums (the so-called
cyclotomic "periods") of order 3, for a prime of the form p=*3n + l,
and at the same time obtains the numbers of solutions for all congruences axz — &y = l(mod p). He draws attention himself to the elegance of his method, as well as to its wide scope; it is only muchlater, however, viz. in his first memoir on biquadratic residues [lb],t h a t he gave in print another application of the same method ; there
he treats the next higher case, finds the number of solutions of any
congruence axA — by4^l (mod p), for a prime of the form p=4n + l,
and derives from this the biquadratic character of 2 mod p, this being
the ostensible purpose of the whole highly ingenious and intricate investigation. As an incidental consequence ("coronidis loco" p. 89),he also gives in substance the number of solutions of any congruencey2~axA — b (mod p) ; this result includes as a special case the theorem
stated as a conjecture ("observatio per inductionemfacta
gravissinia")
in the last entry of his Tagebuch [lc]; 2 and it implies the truth ofwhat has lately become known as the Riemann hypothesis, for thefunction-field defined by that equation over the prime field of p elements.
Gauss' procedure is wholly elementary, and makes no use of theGaussian sums, since it is rather his purpose to apply it to the determination of such sums. If one tries to apply it to more general cases,
however, calculations soon become unwieldy, and one realizes thenecessity of inverting it by taking Gaussian sums as a starting point.
The means for doing so were supplied, as early as 1827, by Jacobi, ina letter to Gauss [2a] (cf. [2b]). But Lebesgue, who in 1837 devoted
two papers [3a, b ] to the case no= • • • =nr of equation (1), did not
Received by the editors October 2, 1948; published with the invited addresses forreasons of space and editorial convenience.
1
Numbers in brackets refer to the bibliography at the end of the paper.
2
It is surprising that this should have been overlooked by Dedekind and otherauthors who have discussed that conjecture (cf. M. Deuring, Abh. Math. Sem.
Hamburgischen Univ. vol. 14 (1941) pp. 197-198).

497

LE texte: 1948, publié 1949

I écrit à Chicago, publié au Bull. Am. Math. Soc.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: 1948, publié 1949

I écrit à Chicago, publié au Bull. Am. Math. Soc.
I pour la première fois, Weil va au-delà des courbes: au-delàsignifie que la dimension est plus grande que 1: le nombre devariables définissant les équations considérées est grandcomparé au nombre d’équations, ici une seule.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: 1948, publié 1949

I écrit à Chicago, publié au Bull. Am. Math. Soc.
I pour la première fois, Weil va au-delà des courbes: au-delàsignifie que la dimension est plus grande que 1: le nombre devariables définissant les équations considérées est grandcomparé au nombre d’équations, ici une seule.
P
I Il considère des exemples classiques
ai xini = b, ai , b ∈ Z,
dont il dit qu’elles furent essentiellement traı̂tées par d’autres,
que une des méthodes centrales remonte à Gauß.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: 1948, publié 1949

I écrit à Chicago, publié au Bull. Am. Math. Soc.
I pour la première fois, Weil va au-delà des courbes: au-delàsignifie que la dimension est plus grande que 1: le nombre devariables définissant les équations considérées est grandcomparé au nombre d’équations, ici une seule.
P
I Il considère des exemples classiques
ai xini = b, ai , b ∈ Z,
dont il dit qu’elles furent essentiellement traı̂tées par d’autres,
que une des méthodes centrales remonte à Gauß.
I Il fait des calculs difficiles pour établir sur ces exemples lenombre de solutions dans Fq .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation

I Fort de l’évidence numérique acquise par ces résultats, ilformule les conjectures suivantes, de nos jours appeléesconjectures de Weil:

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

i 9 49l

SOLUTIONS OF EQUATIONS IN FINITE FIELDS
r-l

J^Xn

507

+ A-X*- .

This, and other examples which we cannot discuss here, seem tolend some support to the following conjectural statements, which
are known to be true for curves, but which I have not so far beenable to prove for varieties of higher dimension.
Let F be a variety without singular points, of dimension n, defined over a finite field k with q elements. Let Nv be the number ofrational points on V over the extension kv of k of degree v. Then we
have£tf,ff'-i = -£-logZ(£0,iauwhere Z(U) is a rational function in U, satisfying a functional equation
Z\—-)

= ±

qnx,2U*Z(U),with % equal to the Euler-Poincaré characteristic of V (intersectionnumber of the diagonal with itself on the product
VXV).
Furthermore, we have:=*iMp*(ü)

P2n(U) = l-qnU,

and, forANDRÉ WEIL

(X™*1 - l)(Xm+1 - X) • • • (Xw+X -Xr)•(Xr+1 - 1 ) ( I ^ - X) • • • ( X ^ 1 - X')
Then, if the above conjectures are true, the Poincaré polynomial of
the Grassmann variety Gm,r over complex numbers must be F(X2).
This is indeed so, as can easily be verified from the well-known resultsof Ehresmann [8]. 5
F(X) =

BIBLIOGRAPHY

1. C. F. Gauss, Werke: (a) vol. I, pp. 445-449; (b) vol. II, pp. 67-92; (c) vol.
Xi, p. 571.
2. C. G. Jacobi, Gesammelte Werke: (a) vol. VII, pp. 393-400; (b) vol. VI, pp.
254-274.
3. V. A. Lebesgue: (a) J. Math. Pures Appl. vol. 2 (1837) pp. 253-292; (b) J.
Math. Pures Appl. vol. 3 (1838) pp. 113-144.
4. G. H. Hardy and J. E. Littlewood, Math. Zeit. vol. 12 (1922) pp. 161-188.
5. H. Davenport and H. Hasse, J. Reine Angew. Math. vol. 172 (1935) pp. 151182.
6. L. K. Hua and H. S. Vandiver, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. vol. 34 (1948) pp.
258-263.
7. L. Stickelberger, Math. Ann. vol. 37 (1890) pp. 321-367.
8. Ch. Ehresmann, Ann. of Math. vol. 35 (1934) pp. 396-443.
T H E UNIVERSITY OF CHICAGO••• JWEQ

Po(U)P2(U) • • . P2n(U)with P0(U) = 1-U,

508

a field with q elements. The number of rational points on the variety
is easily seen to be F(q), where F is the polynomial defined by1lgh£2n-l:Pn{U) = f t (1 — OMU)
where the au are algebraic integers of absolute value qh,2>Finally, let us call the degrees Bn of the polynomials Pn{U) the
Betti numbers of the variety V; the Euler-Poincaré characteristic % isthen expressed by the usual formula x = ]C* (~l) fc -B*. The evidence
at hand seems to suggest that, if V is a variety without singularpoints, defined over a field K of algebraic numbers, the Betti numbersof the varieties V$, derived from V by reduction modulo a prime ideal
p in K> are equal to the Betti numbers of V (considered as a variety
over complex numbers) in the sense of combinatorial topology, forall except at most a finite number of prime ideals p. For instance,
consider theGrassmann variety Gm,r, the points of which are the ^-dimensional linear varieties in a projective w-dimensional space, over5
Added in proof. Results, substantially identical to our formula (3), have justbeen published by L. K. Hua and H. S. Vandiver, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. vol.
35 (1949) pp. 94-99.

LE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation

I Les objets considérés sont des variétés, c’est-à-dire dessystèmes
polynomiales
P finis d’équationsX :ai0 i1 ....in x0i0 x1i1 · · · xdid , où les coefficients ai0 i1 ...id sontdans le corps fini Fq .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation

I Les objets considérés sont des variétés, c’est-à-dire dessystèmes
polynomiales
P finis d’équationsX :ai0 i1 ....in x0i0 x1i1 · · · xdid , où les coefficients ai0 i1 ...id sontdans le corps fini Fq .
I Je passe sous silence les notions de lissité et de projectivité.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation

I Les objets considérés sont des variétés, c’est-à-dire dessystèmes
polynomiales
P finis d’équationsX :ai0 i1 ....in x0i0 x1i1 · · · xdid , où les coefficients ai0 i1 ...id sontdans le corps fini Fq .
I Je passe sous silence les notions de lissité et de projectivité.
I Comme nous l’avons déjà vu pour les courbes, les points àvaleur dans Fqm sont simplement les solutions (x0 , x1 , . . . , xd )avec xi ∈ Fqm ,Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation

I Les objets considérés sont des variétés, c’est-à-dire dessystèmes
polynomiales
P finis d’équationsX :ai0 i1 ....in x0i0 x1i1 · · · xdid , où les coefficients ai0 i1 ...id sontdans le corps fini Fq .
I Je passe sous silence les notions de lissité et de projectivité.
I Comme nous l’avons déjà vu pour les courbes, les points àvaleur dans Fqm sont simplement les solutions (x0 , x1 , . . . , xd )avec xi ∈ Fqm ,I et pour un tel point, on associe le q(x) minimal tel que x soit

un point à valuer dans Fq(x) .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation

I Weil définit la fonction zêta par la formule que nous avons

donnée dans le cas des courbes,Y

ζ(X , s) =tous les x

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin1−s
1 − q(x)LE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation

I Weil définit la fonction zêta par la formule que nous avons

donnée dans le cas des courbes,Y

ζ(X , s) =tous les x1−s
1 − q(x)I Sur la copie de la page 11 de son article, vous voyez que ladéfinition semble différer de celle-ci; il s’agit en fait juste duchangement de variable U = q −s .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation
I Weil prédit que ζ(X , s) est une fonction rationnelle en
U = q −s , i.e. quotient de deux polynômesζ(X , s) = Z (X , U) =P1 (U)·P3 (U)···P2h−1 (U)P0 (U)·P2 (U)···P2h (U) .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation
I Weil prédit que ζ(X , s) est une fonction rationnelle en
U = q −s , i.e. quotient de deux polynômesζ(X , s) = Z (X , U) =P1 (U)·P3 (U)···P2h−1 (U)P0 (U)·P2 (U)···P2h (U) .

I Si les coefficients ai i ...iproviennent par congruence de Z, àl’instar des exemples traı̂tés dans l’article, il prédit que lesfacteurs de ces polynômes s’interprètent en termes purement
topologiques, d’où la théorie des nombres a disparu.
0 1

dHélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation
I Weil prédit que ζ(X , s) est une fonction rationnelle en
U = q −s , i.e. quotient de deux polynômesζ(X , s) = Z (X , U) =P1 (U)·P3 (U)···P2h−1 (U)P0 (U)·P2 (U)···P2h (U) .

I Si les coefficients ai i ...iproviennent par congruence de Z, àl’instar des exemples traı̂tés dans l’article, il prédit que lesfacteurs de ces polynômes s’interprètent en termes purement
topologiques, d’où la théorie des nombres a disparu.
0 1

d

I Il prédit que ζ satisfait une équation fonctionnelleχ1
Z ( h(X ) ) = ±q h(X )· 2 · U χ · Z (U)qUoù il définit χ, de nouveau un invariant topologique, et où ladimension h(X ) est (très approximativement) le nombre devariables moins le nombre d’équations.
Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation

I Il prédit que les polynômes Bω (U), ω = 0, 1, . . . , 2h(X ), sontQde la forme Bω (U) = i (1 − αωi U) où les αωj sont dans unωcorps de nombres et où leur valeur absolue est q 2 , i.e. ils sontω
tous sur le cercle centré en 0 de rayon q 2 (donc en s:
Re(s) = ω2 ).

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLE texte: à la recherche du 12 perdu et de sa généralisation

I Il prédit que les polynômes Bω (U), ω = 0, 1, . . . , 2h(X ), sontQde la forme Bω (U) = i (1 − αωi U) où les αωj sont dans unωcorps de nombres et où leur valeur absolue est q 2 , i.e. ils sontω
tous sur le cercle centré en 0 de rayon q 2 (donc en s:
Re(s) = ω2 ).
I Donc 12ω
2 , soit 1ω où ω est entre 0 et deux fois ladimension h(X )!

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLe lecteur est saisi

I Ce texte de conjectures est d’une sobriété frappante: il vient

après ces quelques calculs numériques, sans transition.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLe lecteur est saisi

I Ce texte de conjectures est d’une sobriété frappante: il vient

après ces quelques calculs numériques, sans transition.
I Il est programmatique: Weil suggère que une des clefs serade trouver un invariant topologique d’un type nouveau sur detelles variétés définies sur Fq , sans supposer que au départ, onpart d’équations à coefficients entiers.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLe lecteur est saisi

I Ce texte de conjectures est d’une sobriété frappante: il vient

après ces quelques calculs numériques, sans transition.
I Il est programmatique: Weil suggère que une des clefs serade trouver un invariant topologique d’un type nouveau sur detelles variétés définies sur Fq , sans supposer que au départ, onpart d’équations à coefficients entiers.
I Il ne donne aucune indication de comment on pourrait

arriver à une telle théorie: on a l’impression que Weil rêve à
voix haute.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinJean-Pierre Serre (Bages 1926-); médaille Fields 1954, prix
Abel 2003

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinJean-Pierre Serre (Bages 1926-); médaille Fields 1954, prix
Abel 2003

I Né dans une famille protestante, de parents pharmaciens, un

des plus grands mathématiciens des 20/21ième siècles.
Hélène Esnault, Freie Universität BerlinJean-Pierre Serre (Bages 1926-); médaille Fields 1954

I Donne une première définition possible de cet invariant

topologique au milieu des années 50, appelée cohomologie desvecteurs de Witt et étudie le premier des propriétésd’invariance topologique de variétés par certaines opérations,notamment par revêtements étales.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinJean-Pierre Serre (Bages 1926-); médaille Fields 1954

I Donne une première définition possible de cet invariant

topologique au milieu des années 50, appelée cohomologie desvecteurs de Witt et étudie le premier des propriétésd’invariance topologique de variétés par certaines opérations,notamment par revêtements étales.
I Énonce en 1960 ce que nous appelons un analogue desconjectures de Weil dans un cadre complexe (donc si on veut
en supposant résolu le problème de l’existence de cet invariant
topologique) et le démontre.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAlexander Grothendieck (Berlin 1928-); médaille Fields
1966

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAlexander Grothendieck (Berlin 1928-); médaille Fields
1966

I Né à Berlin d’un père juif russe, d’une mère protestante deHamburg, tous les deux anarchistes.
Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAlexander Grothendieck (Berlin 1928-); médaille Fields
1966

I Famille internée en camp par le gouvernement de Vichy, pèrelivré aux Nazis par le gouvernement de Vichy, déporté et mort
au camp de concentration d’Auschwitz.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAlexander Grothendieck (Berlin 1928-); médaille Fields
1966

I Famille internée en camp par le gouvernement de Vichy, pèrelivré aux Nazis par le gouvernement de Vichy, déporté et mort
au camp de concentration d’Auschwitz.
I Alexander hébergé à Le Chambon-sur-Lignon, village

protestant des Cévennes, jusqu’ à la fin de la guerre.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinAlexander Grothendieck (Berlin 1928-); médaille Fields
1966

I Famille internée en camp par le gouvernement de Vichy, pèrelivré aux Nazis par le gouvernement de Vichy, déporté et mort
au camp de concentration d’Auschwitz.
I Alexander hébergé à Le Chambon-sur-Lignon, village

protestant des Cévennes, jusqu’ à la fin de la guerre.
I Après plusieurs étapes géographiques et mathématiques, ilentreprend de refondre la géométrie algébrique: une œuvre
absolument colossale.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLa cohomologie étale
I Et construit, influencé par les idées de Serre, en partie encollaboration avec Michael Artin (Hamburg, 1934-)), le filsd’Emil Artin, la cohomologie étale, cet invariant topologiquedont l’existence avait été rêvée par Weil.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLa cohomologie étale
I Et construit, influencé par les idées de Serre, en partie encollaboration avec Michael Artin (Hamburg, 1934-)), le filsd’Emil Artin, la cohomologie étale, cet invariant topologiquedont l’existence avait été rêvée par Weil.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLa rationalité: clin d’œil de l’histoire
I Elle fut démontrée en 1960 par Bernard Dwork (Bronx

1923-New Brunswick 1998).

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLa rationalité: clin d’œil de l’histoire
I Elle fut démontrée en 1960 par Bernard Dwork (Bronx

1923-New Brunswick 1998).
I Alors que à Paris, toute l’école de Grothendieck travaillait àson programme, Dwork, qui fut tout d’abord ingénieurélectricien, et finit par aller à Columbia à New York, où ...Emil
Artin enseignait l’algèbre, “entre dans le sujet”.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLa rationalité: clin d’œil de l’histoire
I Elle fut démontrée en 1960 par Bernard Dwork (Bronx

1923-New Brunswick 1998).
I Alors que à Paris, toute l’école de Grothendieck travaillait àson programme, Dwork, qui fut tout d’abord ingénieurélectricien, et finit par aller à Columbia à New York, où ...Emil
Artin enseignait l’algèbre, “entre dans le sujet”.
I Il n’utilise pas la cohomologie étale, mais une autre
cohomologie, appelée p-adique, qu’il contribue à construire,
dont les prémisses consistent en la cohomologie des vecteursde Witt de Serre.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLa rationalité: clin d’œil de l’histoire
I Elle fut démontrée en 1960 par Bernard Dwork (Bronx

1923-New Brunswick 1998).
I Alors que à Paris, toute l’école de Grothendieck travaillait àson programme, Dwork, qui fut tout d’abord ingénieurélectricien, et finit par aller à Columbia à New York, où ...Emil
Artin enseignait l’algèbre, “entre dans le sujet”.
I Il n’utilise pas la cohomologie étale, mais une autre
cohomologie, appelée p-adique, qu’il contribue à construire,
dont les prémisses consistent en la cohomologie des vecteursde Witt de Serre.
I Il y ajoute des idées nouvelles, analytiques, de natureradicalement différentes de celles cherchées par l’école“française”.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLa rationalité: clin d’œil de l’histoire
I Elle fut démontrée en 1960 par Bernard Dwork (Bronx

1923-New Brunswick 1998).
I Alors que à Paris, toute l’école de Grothendieck travaillait àson programme, Dwork, qui fut tout d’abord ingénieurélectricien, et finit par aller à Columbia à New York, où ...Emil
Artin enseignait l’algèbre, “entre dans le sujet”.
I Il n’utilise pas la cohomologie étale, mais une autre
cohomologie, appelée p-adique, qu’il contribue à construire,
dont les prémisses consistent en la cohomologie des vecteursde Witt de Serre.
I Il y ajoute des idées nouvelles, analytiques, de natureradicalement différentes de celles cherchées par l’école“française”.
I Grothendieck en 1965 redonne une autre démonstration de larationalité dans le cadre de sa théorie de la cohomologie étale,
et montre aussi l’équation fonctionnelle.
Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

Grothendieck: les conjectures standard

I En 1969, Grothendieck inclut les conjectures de Weil dans unédifice encore plus profond: ce sont les conjectures standard.
De leur compréhension devaient résulter, non seulement une
solution à la partie la plus difficile des conjectures de Weil, leω
2 , dont l’origine est comme on l’a vu la conjecture deRiemann, mais aussi nombre de conjectures et points de vue
nouveaux en géométrie algébrique.

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

Grothendieck: les conjectures standard

I En 1969, Grothendieck inclut les conjectures de Weil dans unédifice encore plus profond: ce sont les conjectures standard.
De leur compréhension devaient résulter, non seulement une
solution à la partie la plus difficile des conjectures de Weil, leω
2 , dont l’origine est comme on l’a vu la conjecture deRiemann, mais aussi nombre de conjectures et points de vue
nouveaux en géométrie algébrique.
I Il est difficile de trouver une métaphore pour qualifierl’ampleur de ces conjectures standard. Elles (me) donnent levertige.

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

Grothendieck: les conjectures standard

I En 1969, Grothendieck inclut les conjectures de Weil dans unédifice encore plus profond: ce sont les conjectures standard.
De leur compréhension devaient résulter, non seulement une
solution à la partie la plus difficile des conjectures de Weil, leω
2 , dont l’origine est comme on l’a vu la conjecture deRiemann, mais aussi nombre de conjectures et points de vue
nouveaux en géométrie algébrique.
I Il est difficile de trouver une métaphore pour qualifierl’ampleur de ces conjectures standard. Elles (me) donnent levertige.
I Elles sont, à ce jour, inaccessibles, et restent indémontrées.

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

Pierre Deligne: Etterbeek 1944-; médaille Fields 1978, prix
Abel 2013

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

Serre sur Deligne

I Extrait d’une interview de Serre de la fondation Simons: Forme he is maybe the best mathematician living at the moment.
One could give other names, but then I would say: Well after
all I prefer Deligne. And I’ m certainly not the only one tothink that.

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin

Serre sur Deligne

I Extrait d’une interview de Serre de la fondation Simons: Forme he is maybe the best mathematician living at the moment.
One could give other names, but then I would say: Well after
all I prefer Deligne. And I’ m certainly not the only one tothink that.
I Pour moi il est peut-être le meilleur mathématicien vivant àl’heure actuelle. On pourrait citer d’autres noms, mais alors je
dirais: bon finalement, je préfère Deligne. Et je ne suis
sûrement pas le seul.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLes conjecture de Weil par Deligne

I Deligne donc prouve les conjectures de Weil en 1974. Il est lejeune disciple de Grothendieck. Il développe avec lui toutes les
propriétés de la cohomologie étale. Mais il ne suit pas leprogramme de Grothendieck aux fins de démontrer le ω2 .

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLes conjecture de Weil par Deligne

I Deligne donc prouve les conjectures de Weil en 1974. Il est lejeune disciple de Grothendieck. Il développe avec lui toutes les
propriétés de la cohomologie étale. Mais il ne suit pas leprogramme de Grothendieck aux fins de démontrer le ω2 .
I Écoutons-le dans l’interview de la fondation Simons. (Jetraduis en français).

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLes conjecture de Weil par Deligne

I Deligne donc prouve les conjectures de Weil en 1974. Il est lejeune disciple de Grothendieck. Il développe avec lui toutes les
propriétés de la cohomologie étale. Mais il ne suit pas leprogramme de Grothendieck aux fins de démontrer le ω2 .
I Écoutons-le dans l’interview de la fondation Simons. (Jetraduis en français).
I “ Grothendieck était fixé sur les conjectures standard....Quandon lui a rapporté que je les avais démontrées, il a demandé sij’avais démontré les conjectures standard. Non.” Delignerésume alors la pensée de Grothendieck: “Alors c’est une
mauvaise démonstration...”Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLes conjecture de Weil par Deligne

I Il explique, outre le rôle capital joué par le développement dela cohomologie étale, l’influence de Serre dans soncheminement d’idées, l’analogue complexe de Serre évoqué
plus haut, le conseil de Serre de regarder les formes
modulaires, un sujet qui ne rentrait pas dans le programme de
Grothendieck.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLes conjecture de Weil par Deligne

I Il explique, outre le rôle capital joué par le développement dela cohomologie étale, l’influence de Serre dans soncheminement d’idées, l’analogue complexe de Serre évoqué
plus haut, le conseil de Serre de regarder les formes
modulaires, un sujet qui ne rentrait pas dans le programme de
Grothendieck.
I Il explique comment il a regardé en premier le cas d’une seuleéquation, comment la preuve, qui n’atteint pas encore, et deloin, le degré de complexité de la preuve générale, a convaincu
Serre que la solution n’était peut-être plus très loin.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinLes conjecture de Weil par Deligne

I Il explique, outre le rôle capital joué par le développement dela cohomologie étale, l’influence de Serre dans soncheminement d’idées, l’analogue complexe de Serre évoqué
plus haut, le conseil de Serre de regarder les formes
modulaires, un sujet qui ne rentrait pas dans le programme de
Grothendieck.
I Il explique comment il a regardé en premier le cas d’une seuleéquation, comment la preuve, qui n’atteint pas encore, et deloin, le degré de complexité de la preuve générale, a convaincu
Serre que la solution n’était peut-être plus très loin.
I Il explique l’influence d’autres travaux liés directement à laconjecture de Riemann.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinConclusion
I Les conjectures de Weil ont été au centre de tous les travauxde géométrie algébrique-arithmétique, de leur formulation, àleur solution, soit 25 ans, et au-delà, jusqu’à maintenant.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinConclusion
I Les conjectures de Weil ont été au centre de tous les travauxde géométrie algébrique-arithmétique, de leur formulation, àleur solution, soit 25 ans, et au-delà, jusqu’à maintenant.
I Weil a eu le bonheur de les voir démontrées. Je n’ai trouvénulle part écrit sa réaction.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinConclusion
I Les conjectures de Weil ont été au centre de tous les travauxde géométrie algébrique-arithmétique, de leur formulation, àleur solution, soit 25 ans, et au-delà, jusqu’à maintenant.
I Weil a eu le bonheur de les voir démontrées. Je n’ai trouvénulle part écrit sa réaction.
I Grothendieck, en visonnaire et bâtisseur, a construit un édifice

immense dont elles auraient dû être une des conséquences
multiples.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinConclusion
I Les conjectures de Weil ont été au centre de tous les travauxde géométrie algébrique-arithmétique, de leur formulation, àleur solution, soit 25 ans, et au-delà, jusqu’à maintenant.
I Weil a eu le bonheur de les voir démontrées. Je n’ai trouvénulle part écrit sa réaction.
I Grothendieck, en visonnaire et bâtisseur, a construit un édifice

immense dont elles auraient dû être une des conséquences
multiples.
I L’histoire en a décidé autrement. Tout en incorporantcertaines de ses idées, elle a pris un chemin plus sinueux, plusétroit, plus loin des autoroutes à 6 voies.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinConclusion
I Les conjectures de Weil ont été au centre de tous les travauxde géométrie algébrique-arithmétique, de leur formulation, àleur solution, soit 25 ans, et au-delà, jusqu’à maintenant.
I Weil a eu le bonheur de les voir démontrées. Je n’ai trouvénulle part écrit sa réaction.
I Grothendieck, en visonnaire et bâtisseur, a construit un édifice

immense dont elles auraient dû être une des conséquences
multiples.
I L’histoire en a décidé autrement. Tout en incorporantcertaines de ses idées, elle a pris un chemin plus sinueux, plusétroit, plus loin des autoroutes à 6 voies.
I La démonstration de Deligne, alors comme maintenant, nouséblouit par son ingéniosité et sa profondeur.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinConclusion

I Aux tout jeunes ici présents: les mathématiques, cet art del’abstraction, ont le pouvoir de nous fasciner, de nous procurer
une joie et une émotion immenses à la découverte d’une idéenouvelle.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinConclusion

I Aux tout jeunes ici présents: les mathématiques, cet art del’abstraction, ont le pouvoir de nous fasciner, de nous procurer
une joie et une émotion immenses à la découverte d’une idéenouvelle.
I Nous tous, mathématiciens, vous invitons à ne pas vousdécourager de l’aridité de certains moments de leurapprentissage, et à vous laisser guider par votre inclination.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinConclusion

I Aux tout jeunes ici présents: les mathématiques, cet art del’abstraction, ont le pouvoir de nous fasciner, de nous procurer
une joie et une émotion immenses à la découverte d’une idéenouvelle.
I Nous tous, mathématiciens, vous invitons à ne pas vousdécourager de l’aridité de certains moments de leurapprentissage, et à vous laisser guider par votre inclination.
I Merci de votre attention.

Hélène Esnault, Freie Universität BerlinConclusion

I Aux tout jeunes ici présents: les mathématiques, cet art del’abstraction, ont le pouvoir de nous fasciner, de nous procurer
une joie et une émotion immenses à la découverte d’une idéenouvelle.
I Nous tous, mathématiciens, vous invitons à ne pas vousdécourager de l’aridité de certains moments de leurapprentissage, et à vous laisser guider par votre inclination.
I Merci de votre attention.
I Je remercie Pierre Deligne de ses commentaires et critiquesbienveillantes sur une version préliminaire de ce texte, qui ont
contribué à l’améliorer.

Hélène Esnault, Freie Universität Berlin