続いて，解答です．

今回の問題は【2014 広島大学 理学部（後期）】の入試問題を少し改題して出題しました．同じ年度では【2014 大阪医科大学】でも，今回出題したような ［解答］通常ルールで A 君 1 人が勝つのは，他の 3 人が普段見慣れない設定に対して正しく考察できるかを(1)問う問題が出題されています．

パーを出すときゆえ，その確率はそれでは，まず問題の確認です．

1
1=3327問題である．

多人数でじゃんけんをすると通常のじゃんけんの新ルールで A 君 1 人が勝つときを考える．まず，ルールの下ではあいこになることが多いので，次のよルール (i) で勝つ場合は (1) よりうな新ルールを考える．

1 通り

グー，チョキ，パーのうち 1 種類または 2 種類の(i)である．次に，ルール (ii) で勝つためには，3 種類手が出たときは，通常のじゃんけんのルールに従う．の手が出ることが必要である．今，4 人で行ってい(ii) グー，チョキ，パーすべての手が出たときは，出るので，ルール (ii)-(a) で勝つ場合は，グーとパーした手によってグループに分け，次のように決める．
(a)

最も人数の少ないグループが 1 組の場合には，を出す人が A 君以外にそれぞれ 2 人以上，合わせてそのグループを勝者とする．
(b)

4 人以上いるときゆえ，起こりえない．よって 0 通り．

最も人数の少ないグループが 2 組できた場合にルール (ii)-(b) で勝つ場合は，残り 3 人がパー．グー，は，じゃんけんで勝つほうの手を出したグループ

グーを出すときゆえ，誰がパーを出すかを選んでを勝者とする．
(c)

C1 = 3

3 グループとも同じ人数の場合には，あいこと3である．以上より，求める確率はする．

1+0+3
4=3327

このとき，次の問いに答えよ．
(1)

A 君を含む 4 人で 1 回のじゃんけんをする．A 君である．

はチョキを出し，残り 3 人の各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ1の確率で出すものとする．A 君 1 人だけ3勝つ確率を，通常のじゃんけんのルールを適用した場（補足 1）(1) では A 君はチョキを出すと決まっているので，合と新ルールを適用した場合のそれぞれについて求め確率の分母は残り 3 人の手の出し方を考えて 33 = 27

よ．
(2)

通りになります．もし 34 = 81 通りで考えないと気n ≥ 2 とする．新ルールの下で n 人が 1 回のじゃ持ち悪いと感じるならば，例えば (1) の前半部分にんけんをするとき，あいこになる確率を n を用いて表せ．ただし，各人はグー，チョキ，パーをそれぞれおいては事象 A，B を1
3

A：A 君がチョキを出すの確率で出すものとする．
(3)

通り

B：A 君 1 人だけが勝つn ≥ 4 とする．新ルールの下で n 人が 1 回のじゃとおき，事象 A が起きたという条件の下で事象 Bんけんをするとき，1 人だけが勝つ確率を n を用いてが起こる条件付き確率を考えると表せ．ただし，各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ1P ( A « B) 34
1PA ( B ) ===1
P ( A)
2731の確率で出すものとする．
3となり，正しい答えと一致します．

1

通常ルールでは，多人数でのあいこを考えるとき［解答続き］

はパターンが多岐にわたるため（2） ルール (ii)-(c) によるあいこは，n が 3 の倍数のときにしか起こらないことに注意する．

（通常ルールで）あいこは余事象の利用（ア）n = 3m - 1，3m + 1（m は自然数）のときが基本ですが，新ルールではあいこになるパターン

あいことなるのは，全員が同じ手を出した場合が少ないので，余事象を利用せず直接考えるほうがのみなので，その確率は簡単に求めることができます．「あいこは余事象で」C11= n- 1
3n3と覚えるよりも3

直接，確率を求めるのが面倒である．

→余事象の利用（イ）n = 3m（m は自然数）のとき
ルール (i) であいこになる場合は，（ア）よりC1 = 33と理解しておきましょう．

通り

また，（イ）においてルール (ii)-(c) であいこになある．次にルール (ii)-(c) であいこになる場合はる場合を考える際，3m 人をグー，チョキ，パーが m 人ずつのときゆえ
3m「グーを出す m 人」
「チョキを出す m 人」

(3 m)!
通り(m !)3Cm ∑ 2 m Cm =「パーを出す m 人」

ある．これらは互いに排反なので，その確率はの 3 グループに分けます．人数は同じですが，どの手を出すかで各グループには区別がつくため(3 m)!
3(m !)3 + (3 m)!
(m !)3=3m
333 m (m !)33+ª n3 º !} + n !
{nª# m= º=3n3 { ª º !}3

同人数でも区別がつけば（3! で）割らない

33

ことに注意しておきましょう．

3nである．

［解答続き］(3)

勝つ人の選び方

以上より，求める確率は，m を自然数として

n = 3m のとき

C1 = n通り

C1 = 33通りである．この 2 つを選んだときの残りの人の手の出

3 n- 1し方を考える．

{ª n3 º !} + n !
n
3 { ª º !}333n

勝つ人の手の出し方

1n = 3m - 1，3m + 1 のとき

1 人だけが勝つ場合の数について

まず，ルール (i) で勝つときは，残りの人が全員，勝つ人に負ける手を出す場合ゆえ

3n

1 通り

である．

である．
次に，ルール (ii)-(a) で勝つときは，n = 4 のとき（補足 2）

は (1) より 0 通り．n ≥ 5 のときは，例えば勝つ人の元々の入試問題には (2) の問題がなく「あいこの手をチョキとすると，グーもパーも 2 人以上が出し確率を減らしたのに，なんであいこの確率を問わへた場合ゆえ，残りの (n - 1) 人からグーを出す人のんねん！」と思い追加させていただきました．

選び方を考える．パーを出す人が少なくとも 2 人い2ることから，グーを出す人数は2,3,4,B,(n - 3)(1) でルール (ii)-(a) で勝つときを正しく考察でき人ていれば，後はそれを n 人に対して行えるかどうかの場合があるのでn- 1が勝負になります．勝つ人の出す手以外の 2 種類の手のうち，いずれか一方を出す人の人数を決めれば，

C2 + n- 1 C3 +ºº + n- 1 C n- 3

残りの人の出す手は 1 通りに決まります．n が絡む

n- 3=

S

k=2

n- 1

Ckn- 1

C k - ( n- 1 C0 + n- 1 C1 + n- 1 C n- 2 + n- 1 C n- 1 )n- 1

Ck ∑ 1k ∑ 1( n- 1)- k - 2{1 + ( n - 1)}

ために，直接数えるとΣが登場しますがコンビネーションのΣは二項定理

n- 1=

S

k=0
n- 1=

S

k=0に従って，k の範囲を調整しましょう．ちなみに「直接求めるのが面倒 → 余事象の利用」に従って考え= (1 + 1) n- 1 - 2 n=2

n- 1

ると- 2n(n - 1) 人がグーまたはパーを出す通りとなる．これは n = 4 のときも24-1ときの場合の数から全員がグー，または，全員がパー- 2・4 = 0となり成立する．

1 人だけがグー，または，1 人だけがパー最後に，ルール (ii)-(b) で勝つときは，勝つ人のとなるときの場合の数を引いて手をチョキとすると，1 人がパーで残りの (n - 2) 人

2n - 1 - (2 + n - 1C1・2)

がグーを出す場合ゆえ，パーを出す人の選び方を考= 2n - 1 - {2 + 2(n - 1)}

えて= 2n - 1 - 2n
C1 = n - 1

n-1

通りとなり，二項定理を使わずに求めることもできます．

である．

また，今回は (1) があるため気づきやすいのです以上 3 つのパターンは互いに排反なので，求めるが，n = 4 のときは (ii)-(a) で勝つ場合が起こり得ま

確率はせん．確率 0 の場合が混ざると，分母に 0 が来てしまったりして答案に綻びができることがあるのでn ∑ 3 ∑ {1 + (2 n- 1 - 2 n) + ( n - 1)}
3nn(2 n- 1 - n)=
3 n- 1

起こりえない場合は，真っ先に片付けるようにするのがオススメです．

である．

（最後に）
以前，とある大学の教授が「IAIIB の範囲で，高（補足 3）校生の考える力を見られるのは，場合の数・確率と通常ルールの場合は，勝つ人の手の出し方が決ま空間図形ぐらいですね」と言ったそうです．どちらると負ける人の手の出し方は 1 通りに決まるため，の単元も，今回の問題のように「パターンにあては何人かが勝つ確率を求めるときの分子はめて解けるわけではないけれど，自分の知っている「（勝つ人の選び方）×（勝つ人の手の出し方）」のみで求まるのですが，今回の新ルールにおいては，特にルール (ii) で勝つ際に負ける人の手の出し方に公式・解法を正しく組み合わせれば，答えに辿り着ける」問題を作りやすいからだと思います．
今後も，皆さんが興味を持てそうな設定の問題が様々なバリエーションがあるためあれば取り上げていきますので，是非，初めて見る「負ける人の手の出し方」

設定の問題でも果敢に取り組む勇気を身につけても考えて，かけ算しなければなりません．

3

いって下さい．
（数学科中西）4