Über die Konstruktion
algebraischer Kurven mittels
komplexer Multiplikation

vorgelegt von
M. Sc. Mathematiker
Osmanbey Uzunkol
aus Kayseri

Von der Fakultät II-Mathematik und Naturwissenschaften
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften–Dr. rer. nat.–genehmigte Dissertation

Promotionsauschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. Stefan Felsner, Technische Universität Berlin
Berichter: Prof. Dr. Dr. h. c. Michael E. Pohst, Technische Universität Berlin
Berichter: Prof. Dr. Franck Leprévost, Université du Luxembourg

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 29.06.2010

Berlin 2010
D 83

Inhaltsverzeichnis
Einleitung

1

1 Grundlagen

7

1.1

Abelsche Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Hauptpolarisierte abelsche Varietäten . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Komplexe Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Endomorphismenringe über endlichen Körpern . . . . . . . .

13

1.5

Modulkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6

Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2 Hauptsätze der komplexen Multiplikation

21

2.1

Idealtheoretische Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Ideltheoretische Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3

Hauptsätze für Geschlecht eins . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3 Die CM-Methoden

35

3.1

Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2

Konstruktion elliptischer Kurven . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2.1

Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2.2

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Konstruktion hyperelliptischer Kurven . . . . . . . . . . . . .

47

3.3.1

Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3.2

Einschränkungen und Probleme . . . . . . . . . . . . .

54

3.3

4 Klassenpolynome vom Geschlecht eins
4.1

Shimurasches Reziprozitätsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

57
59

iv

INHALTSVERZEICHNIS
4.2

Klassenivarianten mittels der Thetanullwerte . . . . . . . . .

67

4.2.1

Laufzeitaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Einheiteneigenschaft der Klasseninvarianten . . . . . . . . . .

72

4.3.1

Neue Klasseneinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

4.4

Berechnung der Einheitengruppe . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.5

Verallgemeinerte Klasseninvarianten mittels Thetanullwerte .

85

4.5.1

Klasseneinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Optimale Klasseninvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

4.3

4.6

5 Klasseninvarianten im Geschlecht zwei

97

5.1

Steinitzklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

Die Arithmetik der Siegelschen Modulfunktionen . . . . . . . 101

5.3

Konstruierbare Klassenkörper mit CM . . . . . . . . . . . . . 105

5.4

Zweidimensionales Reziprozitätsgesetz . . . . . . . . . . . . . 109

5.5

Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.6

Praktische Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6 Beispiele

98

119

6.1

Klasseninvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2

Neue Klasseneinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.3

Einheitengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Literaturverzeichnis

139

Einleitung
Im Jahre 1896 bewies Hilbert ([Hil1896]) einen Satz, welcher später wegen
der Vorarbeiten von Kronecker im Jahre 18531 und Weber im Jahre 1886([Wb1886]) als der Satz von Kronecker-Weber bekannt wurde. Dieser Satzbesagt, dass jede abelsche Erweiterung von Q in einem Kreisteilungskörper
enthalten ist. Dieser Kreisteilungskörper wird durch einen speziellen Wert
der Funktion
z 7→ e2πiz
erzeugt. Dieser spezielle Wert, auch bekannt als der singuläre Wert, entspricht genau einem Punkt der endlichen Ordnung im Kreis R/Z.
Dieser Satz veranlasste Kronecker zu seinem liebsten Jugendtraum derErzeugung aller abelschen Erweiterungen imaginär quadratischer Zahlkörper
durch die singulären Werte bestimmter elliptischer Modulfunktionen. Seitdem zehren die Zahlentheoretiker von der Idee, alle abelschen Erweiterungeneines vorgegebenen Zahlkörpers K durch spezielle Werte geeigneter analytischer Funktionen zu erzeugen. Dieses als das 12. Problem von Hilbert2 bekannte Programm erfuhr seine Bestätigung im Falle imaginär quadratischer
Zahlkörper mit Hilfe der klassischen Theorie der komplexen Multiplikation(CM-Theorie). Die Theorie der komplexen Multiplikation bringt mittels
der Wechselwirkung der Arithmetik des Körpers und der Geometrie der zugehörigen elliptischen Kurve verschiedene Aspekte der drei großen Gausschen
A, Arithmetik, Algebra und Analysis, in eleganter Weise zusammen3 . Die
CM-Theorie verwirklicht damit den Jugendtraum von Kronecker. Das 12.
Problem von Hilbert bleibt jedoch infolge des Fehlens der funktionentheoretischen Hilfsmittel ein offenes Problem für alle anderen Zahlkörper.
1
in [Kr1853], Seite 10, schrieb Kronecker: ... ergiebt nämlich das bemerkenswerthe ...
Resultat: daß die Wurzel jeder Abelschen Gleichung mit ganzzahligen Coëffizienten als
rationale Function von Wurzeln der Einheit dargestellt werden
2
D. Hilbert, Mathematische Probleme Nachrichten der Königlichen Gesellschaft
der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, VandenhoeckRuprecht, 1900, 3, 253-297
3Hilbert: ’The theory of complex multiplication of elliptic modular forms, which brings
together number theory and analysis, was not only the most beautiful part of Mathematics
but of all science’, International Congress of Mathematicians at Zürich, 1932, siehe HilbertCourant, Constance Reid, Springer Verlag, 1986.

1

Es ist zu bemerken, dass die eigentliche Vermutung von Hilbert für imaginär quadratische Zahlkörper wegen der Behauptung falsch war, dass jedeabelsche Erweiterung eines imaginär quadratischen Zahlkörpers K der Diskriminante D durch die singulären Werte der j−Invariante erzeugt werden
könne1 . Nach der Theorie der komplexen Multiplikation elliptischer Modulfunktionen erzeugt der Wert j(τ ) der j-Invariante mit τ ∈ OK zunächst, imGegensatz zur Vermutung von Hilbert, die maximale abelsche unverzweigte
Erweiterung HK von K, den sogenannten Hilbertklassenkörper, dessen
Galoisgruppe über K nach der Klassenkörpertheorie eine zur Klassengruppe
von K isomorphe Gruppe ist. Der Grad von HK über K ist daher genau die
Klassenzahl hK von K. Mittels dieser Isomorphie und der Eigenschaft, dassdie singulären Werte der j−Invariante ganze algebraische Zahlen sind, kann
der Körper HK durch das Hilbertklassenpolynom HD (x) ∈ Z[x], das Minimalpolynom von j(τ ) über K, erzeugt werden. Durch die Adjunktion der
geeigneten Werte der Weberschen Funktionen an den Hilbertklassenkörper
HK werden dann alle abelschen Erweiterungen von K erzeugt, siehe z. B.
[Sil94].
Shimura und Taniyama ([Sh61]) verallgemeinerten die Theorie der komplexen Multiplikation auf die abelschen Varietäten. Sie ermöglicht es, gewisse
abelsche Erweiterungen eines CM-Körpers K (eine total imaginäre
quadratische Erweiterung eines total reellen Zahlkörpers K0 ) zu erzeugen.
Aber im Allgemeinen können nicht alle abelschen Erweiterungen mittels der
CM-Theorie erzeugt werden.
Im Falle, dass der Grad des CM-Körpers K über Q vier ist, gibt es allerdings
die von Igusa eingeführten absoluten Invarianten j1 , j2 und j3 einer hyperelliptischen Kurve C vom Geschlecht zwei, welche die Rolle der j−Invariante
spielen und deren singuläre Werte eine unverzweigte Körpererweiterung erzeugen. Daher ist es möglich, explizite Polynome zu konstruieren, die dieseErweiterung erzeugen. Die Koeffizienten dieser Polynome sind rationale Zahlen.
Ursprünglich widmete man sich der Theorie der algebraischen Kurven undauch der Theorie der komplexen Multiplikation aus rein theoretischem Interesse, welches sich im Laufe der letzten 25 Jahren grundlegend änderte,
so dass heutzutage die elliptischen Kurven und die hyperelliptischen Kurven
vom Geschlecht zwei verschiedene Anwendungen vor allem in der Kryptographie, Codierungstheorie und der algorithmischen Zahlentheorie haben. Die
Theorie der komplexen Multiplikation ermöglicht zum Beispiel die Konstruktion elliptischer Kurven und hyperelliptischer Kurven mit komplexer Multiplikation über endlichen Körpern, deren Jacobische vorgegebene Ordnung
1siehe auch, N. Schappacher, On the history of Hilbert’s twelfth problem: a comedyof errors, Matériaux pour l’histoire des mathématiques au XXéme siécle (Nice, 1996),
243-273, Sémin. Congr., 3, Soc. Math. France, Paris.

besitzen. Diese Konstruktion spielt heutzutage sowohl in der Kryptographie,etwa bei der Realisierung gruppen- oder paarungsbasierter Kryptosysteme,siehe [BSS99], [BSS05] und [FST06], als auch bei Primzahlnachweisen, siehe[AtMr93], eine besonders wichtige Rolle. Der aufwendigste Teil dieser Konstruktionen ist die Berechnung der Klassenpolynome, deren Nullstellen nachder Reduktion modulo einer Primzahlpotenz q die Invarianten der reduzierten elliptischen und hyperelliptischen Kurven über Fq liefern, aus denen die
entsprechenden Kurvengleichungen hergeleitet werden können.
Im Falle der elliptischen Kurven wachsen die Koeffizienten des Hilbertklassenpolynoms exponentiell mit dem Betrag der Diskriminante, und sind sogar für kleine Diskriminanten sehr groß. Zum Beispiel für die Diskriminante√
D = −260 haben wir das Hilbertklassenpolynom über K = Q( D)
H−260 (x) = x8 − 9997874035270492198400 · x7 −999896161895842101863690217472000 · x6 −
21507054600723946274941348498171494400000 · x5 +463238908732347767153420578775505775886336000000 · x4 +
14865557804649865113150034077076664167379763200000000 · x3 +85980083235988029405783249092189509918128078848000000000 · x2 +305486088367929951707960768526477860306636557516800000000000 · x+
3302947505675715028946774256661472679426359558144000000000000.
Eine Klasseninvariante ist ein singulärer Wert einer Modulfunktion g derStufe N mit der Eigenschaft, dass K(j(τ )) = K(g(τ )) gilt. Die analytische
Konstruktion elliptischer Kurven wird in der Praxis mittels singulärer Werte der sogenannten Klasseninvarianten von Weber oder deren Verallgemeinerungen ermöglicht. Der Vorteil dieser singulärer Werte ist also, dass dieerzeugenden Klassenpolynome für diese Werte wesentlich ’kleinere’ Koeffizienten als die Koeffizienten der Hilbertklassenpolynome besitzen. Für die
obige Diskriminante D = −260 bekommen wir mit geeigneter Klasseninvariante das folgende Weberklassenpolynom, welches über K den gleichen
Körper wie H−260 (x) erzeugt:
W−260 (x) = x8 − 8 · x7 + 12 · x6 + 8 · x5 − 27 · x4 + 8 · x3 + 12 · x2 − 8 · x + 1.
Bei der Konstruktion hyperelliptischer Kurven gab es (im Gegensatz zu den
elliptischen Kurven) bisher keine alternativen Invarianten, die Klassenpolynome mit kleineren Koeffizienten liefern, obgleich die Koeffizienten der Igusaklassenpolynome stärker als die Koeffizienten der Hilbertklassenpolynome
mit dem Betrag der Diskriminante wachsen.
Die in dieser Arbeit entwickelten Algorithmen ermöglichen eine schnellere analytische Konstruktion der Klassenpolynome und damit eine schnellere
Konstruktion algebraischer Kurven mit komplexer Multiplikation vom Geschlecht eins und zwei. Die Ergebnissen teilen sich grob in fünf Bereiche ein.
• Wir entwickeln eine Darstellung der Klasseninvariante mittels der The-tanullwerte, deren singuläre Werte schneller zu berechnen sind als die
singulären Werte der Klasseninvariante, die mittels der Quotienten der
Dedekindschen η−Funktion dargestellt werden.
• Wir beweisen die Eigenschaft, dass fast alle Klasseninvarianten im Geschlecht eins Einheiten in den entsprechenden Ringklassenkörpern sind.
Wir können somit in einigen Fällen bessere Invarianten erhalten. Mit
Hilfe dessen führen wir außerdem einen Algorithmus ein, der die Einheitengruppen dieser Ringklassenkörper berechnet.
• Wir stellen auch die verallgemeinerten Klasseninvarianten mittels derQuotienten der Thetanullwerte dar und zeigen die Eigenschaft, dass dieverallgemeinerten Klasseninvarianten Einheiten in den entsprechenden
Ringklassenkörpern sind.
• Wir verallgemeinern das Verfahren der Bestimmung der Klasseninvarianten mittels des zweidimensionalen Shimuraschen Reziprozitätsgesetzes auf Geschlecht zwei. Das ermöglicht zum ersten Mal ein konstruktives Verfahren, welches überprüft, ob die singulären Werte bestimmter
Siegelscher Modulfunktionen ein Klasseninvariantensystem der einfachen hauptpolarisierten abelschen Varietäten liefern.
• Wir erweitern die CM-Methode im Geschlecht zwei auf alle primitiven
CM-Körper.
Zunächst werden im Kapitel 1 die grundlegenden Definitionen und Sätze
aus der Theorie der hauptpolarisierten einfachen abelschen Varietäten und
der Thetafunktionen bereitgestellt, die wir im Laufe der Arbeit benötigen
werden.
Wir werden im zweiten Kapitel den Hauptsatz der CM-Theorie in der idealund ideltheoretischen Sprache beschreiben.
Im Kapitel 3 werden wir die Grundidee der CM-Methode der Konstruktion
elliptischer und hyperelliptischer Kurven vom Geschlecht zwei einführen. Des
Weiteren werden wir die in der Literatur eingeführten Algorithmen zusammenfassen. Ferner werden die Probleme, die bei diesen Konstruktionsmethoden vorkommen, erläutert.
Im Kapitel 4 werden die Verfahren von Schertz und Gee erklärt, die mittels des Shimuraschen Reziprozitätsgesetzes effizient testen, ob der singuläre
Wert g(τ ) einer Modulfunktion g der Stufe N an τ ∈ H eine Klasseninvariante ist. Diese Methoden werden wir für beliebige Ordnungen imaginär quadratischer Zahlkörper formulieren. Dabei wird die Reziprozitätsabbildung
auf eine Abbildung endlicher Gruppen (OK /N OK )∗ in GL(2, Z/N Z) reduziert. Ferner ermöglicht das Shimurasche Reziprozitätsgesetz, die entsprechenden Konjugierten dieser Invarianten zu bestimmen. Als nächstes wirddie Darstellung der Klasseninvarianten mittels der Thetanullwerte gewährleistet, welche mittels der AGM-Methode (eng.: arithmetic-geometric mean)eine schnellere Berechnung der Klassenpolynome liefert. Ausserdem wird bewiesen, dass viele dieser Invarianten bereits Einheiten in den entsprechenden
Ringklassenkörpern sind. Zusätzlich werden wir zeigen, dass wir in einigen
Fällen sogar bessere Klasseninvarianten finden können. Im Falle, dass die
Klasseninvarianten Einheiten sind, werden wir des Weiteren die Nullstellen
eines Klassenpolynoms betrachten, die zusammen mit den Einheitswurzeln
eine Untergruppe der Einheitengruppe des entsprechenden Ringklassenkörpers von endlichem Index bilden. Mittels der unteren Regulatorabschätzung
und einer Methode der Vergrößerung dieser Gruppe, wird ein Algorithmus
entwickelt, der die vollen Einheitengruppen solcher Körper berechnet. Ferner werden wir die Verallgemeinerungen der Klasseninvariante mittels derThetanullwerte darstellen und zeigen, dass sie, wie im klassischen Fall, Einheiten sind. Abschließend werden wir auf die Frage der Optimalität dieser
Invarianten eingehen.
Im Kapitel 5 werden wir das Verfahren von Gee ([GeSt98]) mit Hilfe desmehrdimensionalen Shimuraschen Reziprozitätzgesetzes auf hauptpolarisierte einfache abelsche Flächen verallgemeinern. Eine entsprechende galoistheoretische Interpretation des Körpers der arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen der Stufe (2, 4) von Sasaki wird dabei benutzt, um die konkrete
Reziprozitätsabbildung von (OK /N OK )∗ in eine passende Untergruppe vonGL(4, Z/N Z) zu formulieren. Somit erhalten wir unsere reduzierte Abbildung und einen Algorithmus, der mit Hilfe der Operation der Matrizen vonGL(4, Z/N Z) auf die arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen testet, ob
ein System der Modulfunktionen (g1 , g2 , g3 ) an dem CM-Punkt τ ∈ H2 ein
Klasseninvariantensystem liefert.
Abschließend werden wir im Kapitel 6 die Beispiele der Klassenpolynome
angeben.

Ich möchte mich an dieser Stelle bei Herrn Prof. Dr. Dr. h. c. Michael E.
Pohst ganz herzlich für seine wertvolle Hinweise, Unterstützung, Zusammenarbeit und für die Möglichkeit zu jeder Zeit mit Fragen zu ihm zu kommen,und die Erfahrungen, die ich durch ihn und KANT-Gruppe machen durfte
bedanken.
Ferner danke ich Herrn Prof. Dr. Franck Leprévost für die Übernahme derBegutachtung dieser Arbeit und die mathematische Diskussionen, die wir
während seiner Berlin Besuche durchgeführt haben. Mein besonderer Dank
gebührt Herrn Prof. Dr. Florian Heß. Seine Unterstützung und sein Rat waren für mich sehr wichtig. Ferner danke ich besonders Jens Bauch, Juliane
Krämer, Gerriet Möhlmann, Dr. Florin Nicolae und Dr. Marcus Wagner fürdie Hinweise bei der Erstellung dieser Arbeit.
Bu tez canım eşim Şermin’e ve birtanem küçük kızım Elif ’ime ithaf edilmiştir.
(Mein besonderer Dank gilt jedoch meiner Frau Şermin und meiner kleinen
Tochter Elif. Ihnen ist diese Arbeit gewidmet.)

Kapitel 1

Grundlagen
In diesem Kapitel werden die in dieser Arbeit grundlegenden Definitionen
und Aussagen aus der Theorie der hauptpolarisierten abelschen Varietäten
mit komplexer Multiplikation und der Thetafunktionen bereitgestellt. Ferner werden wir die Aussagen über Endomorphismenringe dieser abelschen
Varietäten zusammenstellen. Sämtliche Aussagen, falls sie nicht bewiesen
oder explizit zitiert werden, sind aus [Mum70], [Sh97], [Lang73], [Lang83]
und [Mil2] entnommen und werden zweckmäßig so dargelegt, wie wir sie im
Laufe der Arbeit benötigen werden.

1.1

Abelsche Varietäten

Eine Gruppen-Varietät A über einem Körper k ist eine Varietät mit dem(abelschen) Gruppengesetz + : A × A → A, so dass + und ihre Inverse− : A → A stets k−Morphismen der Varietäten sind. Eine abelsche Varietät A über k ist eine projektive Gruppen-Varietät. Wir sagen, dass eineabelsche Varietät A über einem Teilkörper k 0 von k definiert ist, falls A als
Gruppen-Varietät bereits über k 0 definiert ist. Der Körper k 0 heißt in diesem
Fall ein Definitionskörper von A. Die Dimension einer abelschen Varietät
A ist definiert als die Dimension von A als eine projektive Varietät.
Wir werden in dieser Arbeit insbesondere die abelschen Varietäten der Dimension eins und zwei über einem Körper k betrachten.
Es seien A und B zwei abelsche Varietäten über einem Körper k. Ein Homomorphismus λ zwischen A und B (ein Endomorphismus im Falle
A = B) ist ein Morphismus von Varietäten λ : A → B, für den stets
λ(x + y) = λ(x) + λ(y) für alle x, y ∈ A gilt. Falls λ birational ist, heißt
λ ein Isomorphismus zwischen A und B (und Automorphismus im Falle
A = B).
7

8

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

Wir bezeichnen mit Hom(A, B) die Menge aller Homomorphismen von A
nach B (und End(A) = Hom(A, A)). Die Menge der Homomorphismen
Hom(A, B) ist ein freier Z−Modul von endlichem Rang r, welcher durchr ≤ 4 dim(A)dim(B)(1.1)

nach oben beschränkt ist, siehe [Mum70], S. 178, corollary 1.
End(A)Q := End(A) ⊗ Q hat die Struktur als Q−Algebra, wobei End(A)als eine Ordnung in dieser Algebra betrachtet werden kann, siehe [Sh97],
S. 4. Nun seien A und B zwei abelsche Varietäten der Dimension g. Ein
Homomorphismus λ von A in B heißt eine Isogenie, falls λ einen endlichen
Kern besitzt und surjektiv ist. Gegeben sei eine Isogenie λ ∈ Hom(A, B). Es
sei k ein Definitionskörper für A und B, und x ∈ A ein generischer Punkt
im Sinne von [Weil46]. Dann heißen die Gradev(λ) = [k(x) : k(λx)], vs (λ) = [k(x) : k(λx)]s , vi (λ) = [k(x) : k(λx)]i (1.2)
Grad, separabler Grad bzw. inseparabler Grad der Isogenie λ. Diese hängen
nicht von der Wahl von k und x ab. Ferner gilt |Kern(λ)| = vs , siehe [Sh97],
S. 4.
Der Kern ist nach dem Hauptsatz der endlichen abelschen Gruppen isomorphzu einer Gruppe
Z/n1 Z × · · · × Z/nr Z mit ni+1 |ni , 1 ≤ i ≤ r − 1.

(1.3)

Ist λ eine separable Isogenie, so nennen wir sie eine (n1 , · · · , nr )−Isogenie,
wobei ni , 1 ≤ i ≤ r, wie in 1.3 sind.
Falls eine Untervarietät B einer abelschen Varietät A eine Untergruppe vonA ist, heißt B eine abelsche Untervarietät von A. Eine abelsche Varität
A der Dimension g heißt (absolut) einfach, falls sie über k̄ nur die abelschen Untervarietäten {0} und A hat. Jenes ist, wegen des vollständigen
Irreduzibilitätssatzes von Poincaré ([Mum70], S. 173) gleichbedeutend damit, dass End(A) nullteilerfrei ist, und somit End(A)Q := End(A) ⊗ Q eine
Divisionsalgebra ist. Das Zentrum dieser Algebra ist entweder ein total reeller Zahlkörper vom Grad g (über Q) oder eine total imaginäre quadratische
Erweiterung K eines total reellen Körpers K0 mit [K0 : Q] = g, die wir
CM-Körper nennen. Wir haben bei dieser Arbeit stets die Annahme, dassEnd(A)Q := End(A) ⊗ Q ein CM-Körper ist. Wir merken an, dass diese Einschränkung wegen [Lang83], S. 11, theorem 3.3, äquivalent dazu ist, dass A
eine einfache abelsche Varietät ist.
Es sei A(C) eine abelsche Varietät der Dimension g über C. Dann ist A(C)eine komplexe Lie-Gruppe und somit isomorph zu einem komplexen Torus

1.1. ABELSCHE VARIETÄTEN

9

V /Λ, das heißt V ist ein C−Vektorraum der Dimension g, und Λ ist ein Gitter
vom Rang 2g (über R) in V ∼= Cg mit dem analytischen Isomorphismus
β : V /Λ → A(C).

(1.4)

Komplex-analytische Homomorphismen abelscher Varietäten sind im folgenden Sinne algebraisch:
Es seien β 0 : V 0 /Λ0 → A0 (C) ein analytischer Isomorphismus der Varietät
A0 und λ : A → A0 ein algebraischer Homomorphismus. Dann existiert ein
analytischer Homomorphismus λ0 mit folgendem kommutativen Diagramm
V /Λ
λ0

β



V 0 /Λ0/ A(C) .


β0

(1.5)

λ

/ A0 (C)

Ferner liefert die Abbildung λ 7→ λ0 einen Isomorphismus zwischen Hom(A, A0 )und Hom(V /Λ, V 0 /Λ0 ). Der Homomorphismus λ kann somit durch eine C−lineare
Abbildung
λ0 : V → V 0(1.6)

dargestellt werden, welche das Gitter Λ auf Λ0 mit λ0 Λ ⊆ Λ0 abbildet.
Es sei β : V /Λ → A(C) ein komplex-analytischer Isomorphismus wie oben.
Wir identifizieren V mit Cg . Auf dem komplexen Torus Cg /Λ existiert einereellwertige nicht-ausgeartete Bilinearform E(x, y) mit folgenden Eigenschaften:
1. E(ix, y) ist eine positiv definite symmetrische Form und E(x, y) ∈ Z
für (x, y) ∈ Λ × Λ sowie
2. E(x, y) = −E(y, x).
Diese Form heißt Riemannform auf Λ. Jede über C definierte abelsche
Varietät ist somit isomorph zu einem komplexen Torus. Umgekehrt ist jeder komplexe Torus, auf dem eine Riemannform existiert, isomorph zu einer
abelschen Varietät. Wir identifizieren jede abelsche Varietät A mit dem Paar
(Cg /Λ, E) und schreiben (A, E) = (Cg /Λ, E). Dieses Paar heißt polarisierte abelsche Varietät mit der Polarisierung E. Wir merken an, dass die
polarisierte abelsche Varietät (A, E) über k ⊂ C definiert ist, falls die abelsche Varietät A über k definiert ist, siehe [Sh97], S. 26.

10

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

Die abelschen Varietäten der Dimension eins sind die elliptischen Kurven.
Alle eindimensionalen komplexen Tori C/Λ mit Λ = Zω1 + Zω2 sind elliptische Kurven und jede elliptische Kurve über C ist polarisierbar mit dereindeutigen Polarisierung =(H), wobei H durchµH(z, ω) =z w̄
=(ω1 ω¯2 )

¶
(1.7)

definiert ist, welches man leicht nachweisen kann.
Die Eigenschaft, dass jeder komplexe Torus zu einer elliptischen Kurve isomorph ist, gilt nicht mehr für die komplexen Tori Cg /Λ, falls g ≥ 2 ist.
Beispiel 1.1. Die folgenden vier Vektoren sind über R linear unabhängig
ω1 = (1, 0), ω2 = (i, 0), ω3 = (0, 1), ω4 = (α, β),(1.8)

falls =(β) 6= 0 ist.
Es sei C2 /Λ der komplexe Torus, wobei das 4−dimensionale Gitter Λ durch
die vier Vektoren 1.8 erzeugt wird. Dann existiert auf dem Torus C2 /Λ keine
Riemannform, daher gibt es keine abelsche Varietät, die zu C2 /Λ analytischisomorph ist, siehe [Shaf97], S. 163 und 164.

1.2

Hauptpolarisierte abelsche Varietäten

Bezeichne E nun eine Riemannform auf dem Gitter Λ. Nach [Lang82], Kapitel VI, Teil 3, lemma 1, existiert eine sogenannte Frobeniusbasis {λ1 , · · · , λ2g }von Λ, für die¶µ
0D(E(λi , λj ))1≤i,j≤2g =
(1.9)
-D 0
mit der Diagonalmatrix D = diag(d1 , · · · , dg ), di ∈ N und di |di+1 , gilt.
Die Pfaffsche einer Riemannform E ist die Determinante der Matrix D. Wir
definieren den Grad der Polarisierung von Cg als die Pfaffsche von E. Im
Falle, dass der Grad von E eins ist, heißt die abelsche Varietät hauptpolarisiert. Wir merken an, dass alle elliptischen Kurven mit 1.7 hauptpolarisiert
sind.
Das Gitter mit der Frobeniusbasis {λ1 , · · · , λ2g } kann in der Form
ω1 Zg + ω2 Zg mit
ωi = (λ1+(i−1)g , · · · , λg+(i−1)g )(1.10)

angegeben werden. Die Matrix τ = ω1 ω2−1 ist ein Element der g−dimensionalen
Siegelschen oberen Halbebene Hg , die aus den Matrizen der Form
Ω = Ω1 + iΩ2

1.3. KOMPLEXE MULTIPLIKATION

11

mit reellen g × g−Matrizen Ω1 , Ω2 besteht, wobei Ω2 eine positiv definite
Matrix ist. Deshalb ist dieses Gitter äquivalent zu ∆ = Zg + τ Zg . Die Matrix
τ heißt eine Periodenmatrix der hauptpolariserten abelschen Varietät.
Für eine glatte projektive algebraische Kurve C ist das Geschlecht g vonC die Dimension des Vektorraums der holomorphen 1−Formen H 0 (ωC ) mit
der Basis {ω1 , · · · , ωg }.
Die Jacobi-Varietät von C ist dann definiert durch
J(C) = H 0 (ωC )∗ /Per(ω1 , · · · , ωn ),(1.11)

wobei H 0 (ωC )∗ der duale Vektorraum von H 0 (ωC ) ist, und Per(ω1 , · · · , ωn )das Periodengitter von C ist.
Allgemein sind die Jacobi-Varietäten der algebraischen Kurven die hauptpolarisierten abelschen Varietäten. Ferner sind zwei algebraische Kurven C1
und C2 über einem algebraisch algeschlossenen Körper k nach dem Torellischen Satz ([Weil57]) genau dann isomorph, wenn die Jacobischen dieser
Kurven als hauptpolarisierte abelsche Varietäten isomorph sind. Die einfachen Jacobischen Varietäten der hyperelliptischen Kurven vom Geschlecht
zwei sind genau die hauptpolarisierten abelschen Varietäten der Dimension
zwei. Es gibt allerdings für beliebiges Geschlecht g > 2 abelsche Varietäten,die nicht Jacobische einer hyperelliptischen Kurve sind, oder für g > 3 gar
nicht Jacobische einer algebraischen Kurve sind.

1.3

Komplexe Multiplikation

Wir fixieren nun eine Einbettung Qal ,→ C.
Unter einem CM-Typ (K, Φ) verstehen wir einen CM-Körper K, [K : Q] =2g, mit der Menge Φ = {ϕ1 , · · · , ϕg } der Einbettungen K ,→ Qal , für die
Hom(K, Qal ) = Φ ∪ Φ̄

(1.12)

gilt, wobei Φ̄ = {ϕ¯1 , · · · , ϕ¯g } und ϕ̄i die komplex Konjugierte von Φ bzw. ϕibezeichnen.
Es bezeichne nun L die galoissche Hülle von K mit G = Gal(L/Q),
H = Gal(L/K) und H0 = Gal(L/K0 ). Wir betrachten nun die Mengen
S := {σ ∈ G : σ|K = ϕi , ϕi ∈ Φ} undS r := {σ −1 : σ ∈ S}.
Der CM-Typ (K, Φ) heißt primitiv, falls
H = {σ ∈ G : σS = S} =: H 0

12

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

gilt, welches nach der Galoistheorie im Falle der Dimension eins und zwei
der Aussage entspricht, dass K keine CM-Teilkörper enthält. Der Fixkörper
K r zu H r := {σ ∈ G : σS r = S r } heißt der Reflexivkörper von K.
Für den Reflexivkörper gilt
K r = Q({gX

ϕi (ξ) : ϕi ∈ Φ, ξ ∈ K}).

i=1

Der Reflexivkörper K r ist auch ein CM-Körper. Der CM-Typ (K r , Ψ) mit
Hom(K r , Qal ) = Ψ ∪ Ψ̄ heißt der Reflexivtyp von (K, Φ). Die Typ-Norm
Abbildung NΨ für ein Element x ∈ K r ist wie folgt definiert:NΨ (x) =Yψ(x).

(1.13)

ψ∈Ψ

Dann gelten y = NΨ (x) ∈ K und y ȳ = NK r /Q (x), siehe [Sh97], S. 63,
proposition 29. Ferner bildet NΨ (x) die Ideale (Idealklassen) von K r auf die
Ideale (bzw. die Idealklassen) von K im folgenden Sinne ab:Q
Es sei a ein Ideal in K r . Dann ist bOL = ψ∈Ψ aψ OL =: NΨ (a) ein Ideal
in K, und gilt bb̄ = NK r /Q (a)OK , wobei OL die Maximalordnung von L
bezeichnet, siehe [Sh97], S. 63.
Wir sagen, dass eine abelsche Varietät A komplexe Multiplikation hat, falls
K ∼= End(A)Q gilt, d. h. es existiert eine Einbettung O ,→ End(A), wenn
O eine Ordnung in K (vom Grad 2g) und A eine abelsche Varietät derDimension g ist. Eine abelsche Varietät vom Typ (K, Φ) ist genau danneine einfache abelsche Varietät, falls der CM-Typ (K, Φ) primitiv ist. Fürdie CM-Körper K vom Grad 4 entspricht dies genau den zyklischen undnicht-galoisschen Körpern mit Gal(L/Q) ∼= D4 ([Weng01], S. 22).
a sei ein Z−Untermodul eines CM-Körpers K und
Φ(a) = {Φ(α) = (ϕ1 (α), · · · , ϕg (α))tr ∈ Cg : α ∈ a}.

(1.14)

Wir setzen nunSΦ (α) = S(α) = ϕ1 (α)..

.

.

(1.15)ϕg (α)
Dann beschreibt Cg /Φ(a) eine abelsche Varietät vom CM-Typ (K, Φ). Umgekehrt kann man jede abelsche Varietät vom CM-Typ (K, Φ) auf diese Art
und Weise beschreiben, siehe dazu [Lang83], S. 15.
Wir betrachten nun den Fall End(A) = OK . Es seien a ein Ideal in OK
und A(a) = Cg /Φ(a) die wie oben definierte abelsche Varietät vom CM-Typ1.4. ENDOMORPHISMENRINGE ÜBER ENDLICHEN KÖRPERN

13(K, Φ). Dann gibt es ein Element ξ ∈ K mit K = K0 (ξ), ξ total imaginär
und −ξ 2 total positiv in K0 mit =(ϕi (ξ)) > 0 für ϕi ∈ Φ. Für dieses Element
können wir die Riemannform Eξ für ein geeignetes r ∈ Z wie folgt angeben:
Eξ (x, y) = r ·gXϕi (ξ)(x̄i yi − xi y¯i ).

(1.16)

i=1

Umgekeht kann jede Riemannform, die der BedingungE(x, SΦ (α)y) = E(SΦ (ᾱ)x, y)(1.17)

genügt, durch ein geeignetes solches ξ ∈ K angegeben werden. Im Allgemeinen definiert ein solches ξ nicht eine hauptpolarisierte abelsche Varietät.
Der folgende Satz charakterisiert, unter welcher Bedingung solche Elemente die hauptpolarisierten abelschen Varietäten im Falle der Dimension zwei
definieren, siehe [Sh61], II.6.2, theorem 4:Satz 1.2. Es sei (K, Φ) ein CM-Typ, wobei K eine total imaginäre quadratische Körpererweitetung eines reell quadratischen Zahlkörpers K0 ist. Es sei
a ein gebrochenes Ideal mit dem Gitter, welches von Φ(a) ∈ C2 erzeugt wird.
Dann operiert OK auf Φ(a) durch aΦ(u) = Φ(au).
Ferner ist die durch ein Element ξ ∈ K induzierte Polarisierung genau danneine Hauptpolarisierung, falls DK aā = (ξ) gilt, wobei DK die absolute Differente von K bezeichnet.
Wir haben daher die folgende notwendige und hinreichende Bedingung, dassEξ eine Hauptpolarisierung auf C2 /Φ(a) induziert:∃ ξ ∈ K mit DK aā = (ξ), ξ¯ = −ξ und =(φ(ξ)) > 0 für φ ∈ Φ.

1.4

(1.18)

Endomorphismenringe über endlichen Körpern

Der Tate-Modul Tp (A) einer abelschen Varietät A ist der Zp −Modul, derdurch den projektiven Limes
Tp (A) = lim A[pn ]←−definiert ist, wobei p eine Primzahl ist, A[pn ] die pn −Torsionspunkte vonA bezeichnet, und der projektive Limes über allen positiven ganzen Zahlen
N ∈ N mit dem Transitionsmorphismus, gegeben durch die Multiplikationmit−p Abbildung A[pn+1 ] → A[pn ] gebildet wird, siehe [Tate66].

14

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

Es sei C eine hyperelliptische Kurve über einem endlichen Körper Fq derCharakteristik p. Die Frobeniusabbildung(x, y) → (xq , y q )auf der Kurve C induziert einen Endomorphismus π auf der Jacobischen JC .
Nun bezeichne Tl (JC ) den Tate-Modul von JC bezüglich l 6= p. Dann induziert der Frobenius-Endomorphismus π eine Abbildung auf den Vektorraum
Vl (JC ) = Ql ⊗ Tl (JC ). Das charakteristische Polynom
2g
Y
P (X) =(X − πi )i=1dieser Darstellung besitzt ganzzahlige Koeffizienten, siehe [Sh97], S. 4. Die
Gruppenordnung von JC ist durch P (1) gegeben. Jede abelsche Varietät A
ist isogen zu dem Produkt
r
Y
i
Am
i ,
i=1

wobei Ai einfache abelsche Varietäten der Dimension gi sind. Nun gilt nach
[Tate66], S. 139, theorem 1,

PA (X) =rY

PAi (X)mi ,i=1

wobei PA und PAi , 1 ≤ i ≤ t, die charakteristischen Polynome der jeweiligen
Frobenius-Endomorphismen bezeichnen. Insbesondere gilt:
A und B sind genau dann isogen, falls PA = PB ist.
Falls die Jacobische JC nicht einfach ist, folgt daraus, dass das charakteristische Polynom PA nicht irreduzibel ist, und die Faktoren von PA genau
zu den einzelnen abelschen Untervarietäten gehören. Die Gruppenordnung
P (1) ist in diesem Fall keine Primzahl und kann im Allgemeinen auch nicht
annähernd prim sein, was in den vielen Anwendungen eine Voraussetzung
ist, siehe Kapitel 3.
Aufgrund unserer Vorüberlegungen setzen wir nun voraus, dass das charakteristische Polynom PA irreduzibel ist, so dass wir für die Gruppenordnung
P (1) eine Primzahl erhalten können. Wir schliessen damit auch den Fall aus,
dass das Polynom PA eine Primpotenz eines einzigen Polynoms ist, welches
für den Fall des nicht kommutativen Endomorphismenringes von A vorkommen kann. Daher betrachten wir die einfachen abelschen Varietäten.
Wir setzen End(A)Q := EndFq (A)⊗Q. Jeder Endomorphismus von A ist eine
Isogenie, da A einfach ist. Der Frobenius-Endomorphismus π kommutiert
mit jedem Endomorphismus von A. Es gilt ferner, dass Q(π) das gesamte

1.5. MODULKÖRPER

15

Zentrum von End(A)Q ist, siehe [Tate66], S. 140. Da PA irreduzibel ist, gilt
daher, dass End(A)Q = Q(π) ist. Der Satz von Weil besagt, dass für alle√
Einbettungen von Q(π) stets |π| = q gilt, siehe [Sh97], S. 7.
Eine q−Weil-Zahl ω ist eine ganzalgebraische Zahl, so dass für alle Ein√√
bettungen ψ : Q(ω) ,→ C stets |ψ(ω)| = q gilt. Der Fall π = ± q tritt
nur im Falle der supersingulären elliptischen Kurven auf. Daher muss π inallen Einbettungen echt komplex sein, da P (X) irreduzibel ist. Die Zahlen
q = ππ̄ und t = π + π̄ sind offensichtlich total reelle Zahlen. Wir haben damit
insgesamt die Eigenschaft, dass Q(π) eine total imaginäre Erweiterung destotal reellen Körpers Q(t) ist, welche durch das Polynom
X 2 − tX + qüber Q(t) erzeugt ist. Somit ist Q(π) ein CM-Körper.
Für die anwendungsrelevanten hyperelliptischen Kurven über endlichen Körpern haben wir daher die Eigenschaft, dass die Jacobischen dieser Kurven
komplexe Multiplikation mit einer Ordnung in einem CM-Körper besitzen.

1.5

Modulkörper

Es seien (A, E) eine polarisierte abelsche Varietät vom CM-Typ (K, Φ) und(K r , Ψ) der Reflexivtyp von K. Dann existiert ein von (A, E) eindeutig bestimmter Zahlkörper k0 mit der folgenden Eigenschaft:k sei der Definitionskörper von (A, E), der den Körper k0 enthält, und σ ein
Isomorphismus von k nach einem anderen Zahlkörper. (A, E) ist isomorph zu(Aσ , E σ ) genau dann, falls σ auf k0 die Identitätsabbildung ist, siehe [Sh97],
S. 27.
Dieser Körper k0 heißt der Modulkörper der polarisierten abelschen Varietät (A, E). Der Modulkörper k0 ist in jedem Definitionskörper vom (A, E)
enthalten, siehe [Sh97], S. 27, proposition 14.
Der Hauptsatz der komplexen Multiplikation beschreibt die Körpererweiterung k0r = K r k0 über K r klassenkörpertheoretisch, worauf wir im nächsten
Kapitel, insbesondere für die polarisierten abelschen Varietäten der Dimension eins und zwei, näher eingehen werden.
Modulkörper elliptischer Kurven
Es seien E eine elliptische Kurve über C und Λ = ω1 Z + ω2 Z ein zweidimensionales Gitter über R. Dann ist sie analytisch isomorph zu einem
komplexen Torus C/Λ, und wegen 1.7 existiert eine Riemannform auf jedem
komplexen Torus C/Λ, daher ist jeder komplexe Torus isomorph zu einer

16

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

elliptischen Kurve über C. Die j−Invariante der elliptischen Kurve E entspricht damit der j−Invariante vom zu E isomorphen komplexen Torus C/Λ,die wir mittels der Eisensteinschen Reihen

g2 (τ ) = 60Xω∈Λτ ,ω6=0

1, g3 (τ ) = 140
ω4

durch
j(τ ) = 1728

Xω∈Λτ ,ω6=0

1
für Λτ = τ Z + Z, (1.19)
ω6

g2 (τ )3g2 (τ )3 − 27g32(1.20)

definieren, wobei τ = ωω12 ein Element der oberen Halbene H ist. Wir merken an, dass die Gitter Λ und Λτ homothetisch sind, und daher die gleichej−Invariante besitzen.
Satz 1.3. Im Falle der Dimension eins ist Q(j) der Modulkörper der elliptischen Kurve E über C, wobei j die j−Invariante der Kurve E bezeichnet.
Beweis: Da jede elliptische Kurve eine eindeutige Polarisierung 1.7 besitzt,
folgt aus jeder Isomorphie zwischen E und E σ als polarisierte abelsche Varietäten auch eine Isomorphie zwischen den Kurven E und E σ über dem Definitionskörper k von E und E σ . (Wir merken an, dass k genau der Definitionskörper von E ist, falls k der Definitionskörper von E als polarisierte abelsche
Varietät ist.) Nun gilt E ∼= E σ genau dann, wenn j(E) = j(E σ ) = σ(j(E))
ist. Dies bedeutet, dass j von σ fixiert wird, somit auch der Körper Q(j). ¤Ferner existiert zu jeder elliptischen Kurve E über C eine über Q(j) definierte
elliptische Kurve E 0 , siehe [Sil94], S. 50, proposition 1.4. Daher stimmender Modulkörper und der Definitionskörper der elliptischen Kurven bis auf
Isomorphie überein. Im Allgemeinen stimmen diese beiden Körper sogar im
Falle, dass die Charakteristik des Körpers 6= 2, 3 ist, überein ([Sil94], S. 50).
Allerdings ist der Modulkörper einer abelschen Varietät A im Allgemeinen
nur ein Teilkörper des Definitionskörpers von A, siehe [DeEm99], S. 42.
Um den Modulkörper über Q der hauptpolarisierten abelschen Varietäten
der Dimension zwei, die hauptpolarisierten abelschen Flächen, vom CMTyp (K, Φ) zu bestimmen, welcher durch die Auswertung bestimmter Modulfunktionen bestimmt wird, brauchen wir einige Aussagen aus der Theorie
der Thetafunktionen, die wir im nächsten Abschnitt näher erläutern werden.

1.6

Thetafunktionen

Es bezeichne Hg die Siegelsche obere Halbebene der Dimension g mit Ω ∈ Hg ,das heißt die Menge Hg aus allen g×g symmetrischen Matrizen besteht, deren1.6. THETAFUNKTIONEN

17

Imaginärteil positiv definit sind. Die Riemann-Thetafunktion ist definiertdurch
θ(z, Ω) =X

exp(πi(nt Ωn + 2nt z))(1.21)n∈Zg

für einen Spaltenvektor z ∈ Cg . Die Thetacharakteristiken fürδ, ² ∈ (Z/2Z)g sind durch die folgende Gleichung gegeben, siehe [Weng01],
S. 11:

θ [δ, ²] (z, Ω) =

µ ·
¸¶
1 t
1
1 t
1
exp πi (n + δ) Ω(n + δ) + 2(n + δ) (z + ²) .
2
2
2
2
g

X
n∈Z

(1.22)
Aus der Gleichung 1.22 folgt stets die folgende Gleichung:tθ [δ, ²] (−z, Ω) = (−1)δ ² θ [δ, ²] (z, Ω).

(1.23)

Wir setzen nun z = 0, dann erhalten wir die Thetanullwerte, siehe [Weng01],
S. 11:
Bemerkung 1.4.
1. Die Thetanullwerte für δ t ² ≡ 1 mod 2 verschwinden identisch. Dies kann man leicht aus der Definition 1.22 verifizieren. Diese Werte heißen die ungeraden Thetanullwerte. Falls wir im
Gegensatz δ t ² ≡ 0 mod 2 haben, dann nennen wir sie die geraden
Thetanullwerte.
2. Daher haben wir für ein gegebenes g stets 2g−1 (2g + 1) gerade und
2g−1 (2g − 1) ungerade Thetanullwerte in Hg .
Mittels der geeigneten Quotienten der geraden Thetanullwerte kann man die
Invarianten der elliptischen Kurven und der hyperelliptischen Kurven vom
Geschlecht zwei erhalten.
Elliptische Kurven
Nun betrachten wir die Thetanullwerte für g = 1. Es gelten die folgenden
Gleichungen für τ ∈ H:
1. θ00 (τ ) := θ[0, 0](0, τ ) =P

n2 /2 ,

2. θ10 (τ ) := θ[1, 0](0, τ ) =P(n+ 21 )2 /2

3. θ01 (τ ) := θ[0, 1](0, τ ) =P

4. θ11 (τ ) := θ[1, 1](0, τ ) =

P

n∈Z q
n∈Z q

,

n n2 /2 ,n∈Z (−1) qn (n+ 12 )2 /2 .
n∈Z (−1) q

18

KAPITEL 1. GRUNDLAGENDie ∆−Funktion ist definiert als der Nenner der Gleichung 1.20, d. h. es gilt∆(τ ) = g2 (τ )3 − 27g3 (τ )2 . Die geraden Thetanullwerte und die ∆−Funktion
erfüllen die folgende Identität, siehe [ShGo97], S. 777:∆(τ ) = 16π 12 θ00 (τ )8 θ01 (τ )8 θ10 (τ )8 .

(1.24)

Die absolute Invariante j einer elliptischen Kurve über C erfüllt die folgende
Gleichung für jedes τ ∈ H, siehe [Gua04], S. 254:
j(τ ) = 32

θ00 (τ )8 + θ01 (τ )8 + θ10 (τ )8.
θ00 (τ )8 θ01 (τ )8 θ10 (τ )8(1.25)

Hyperelliptische Kurven
Wir erhalten die folgenden Vektoren, die die geraden Thetanullwerte derDimension g = 2 liefern:










0
0
0
1
0








 0 
 , a2 :=  0  , a3 :=  0  , a4 :=  0  , a5 :=  0  ,a1 := 
 1 
 0 
 1 
 0 
 0 
0
1
1
0
0













1
0
0
1
1
 0 








 , a7 :=  1  , a8 :=  1  , a9 :=  1  , a10 :=  1 
a6 := 
 0 
 0 
 1 
 0 
 1 
1
0
0
0
1
Dann sind die geraden Thetanullwerte
θi := θ[ai ], 1 ≤ i ≤ 10.

(1.26)

Es sei T die Menge aller geraden Thetanullwerte der Dimension 2. Dannbesteht die Menge
S = {C ⊂ T : |C| = 4,Xc ∈ Z4 }(1.27)c∈C

aus 15 Untermengen von T . Jede solche Untermenge besteht aus 4 geraden
Thetanullwerten, siehe [Str10], S. 30. Eine Menge {b, c, d} ⊂ T heißt Syzygie, falls sie eine Untermenge von einem Element der Menge S ist. Insgesamt
haben wir daher 60 Syzygie-Untermengen von T . Wir definieren nun

1.6. THETAFUNKTIONEN

198c∈T θ[c] ,1. h4 :=

P

2. h6 :=

P

4b,c,d∈T,{b,c,d} Syzygie ±(θ[b]θ[c]θ[d]) ,2c∈T θ[c] ,3. h10 :=Q

4. h12 :=

P

C∈S

Q

4
c∈T −C θ[c] .

Es sei Ω ∈ H2 . Im Falle, dass h10 (Ω) 6= 0 ist, welches genau der einfachen
polarisierten abelschen Varietät entspricht ([ShGo97], S. 777) definieren die
folgenden Funktionen die Invarianten einer hyperelliptischen Kurve C überC vom Geschlecht zwei, siehe [Igu60-I], S. 848, und auch [Bol1887]:
1. I2 (C) := h12 (Ω)/h10 (Ω),
2. I4 (C) := h4 (Ω),
3. I60 (C) := h6 (Ω),
4. I10 (C) := h10 (Ω),
Aus diesen Invarianten erhält man die absoluten Igusa-Invarianten durch
j1 =I2
I 3 I4I25, j2 = 2 , j3 = 2 .
I10
I10
I10

(1.28)Man definiert in der Literatur auch andere Klasseninvarianten, die in der−1
Q−Algebra der homogenen Elemente vom Grad 0 von Q[I2 , I4 , I60 , I10] liegen. Ein alternatives Invariantensystem ist durch
i1 :=28 I4 I60
25 I2 I42
214 I 5, i2 :=, i3 := 2 4 .
I10
I10
I10

(1.29)

gegeben, siehe [Str10].
Es sei nun (A, E) eine hauptpolarisierte abelsche Varietät vom CM-Typ(K, Φ) der Dimension zwei. Dann existiert eine Periodenmatrix Ω ∈ H2 ,die von OK , der Polarisierung, und dem Typ Φ abhängig ist, und für die(A, E) ∼= C2 /ΩZ2 + Z2
gilt. Der Modulkörper vom A ist in diesem Fall von den absoluten Igusa
Invarianten erzeugt, siehe [Spa94], S. 75, 76, und [Igu60-II], S. 641. Wir
werden daher im nächstem Kapitel die Erweiterung
K r (j1 (Ω), j2 (Ω), j3 (Ω)) = K r (i1 (Ω), i2 (Ω), i3 (Ω))über dem Reflexivkörper K r von K klassenkörpertheoretisch mit Hilfe desHauptsatzes der komplexen Multiplikation beschreiben.

20

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

Kapitel 2

Hauptsätze der komplexen
Multiplikation
In diesem Kapitel werden wir den Hauptsatz der komplexen Multiplikation
erklären. Dieser beschäftigt sich mit der Primidealzerlegung eines Endomorphismus π einer hauptpolarisierten abelschen Varietät (A, E) mit komplexer Multiplikation, welcher modulo p Frobenius-Endomorphismus wird.
Der Hauptsatz ermöglicht die klassenkörpertheoretische Beschreibung der
Galoisgruppe vom Kompositum k0r = k0 K r über K r , wobei k0 der Modulkörper von (A, E), und K r der Reflexivkörper von K ist. Ferner beschreibtder Hauptsatz die Galoisgruppe des Körpers k0r (F (Ator )) über k0r , wobei
F (Ator ) das Bild der Menge der Torsionspunkte von A unter einer geeigneten Funktion F bezeichnet. Sämtliche Aussagen, die nicht bewiesen oder
explizit zitiert werden, sind aus [Sh97], [Sh71], [Lang83] und [Mil1] entnommen. Die Aussagen aus der Klassenkörpertheorie sind in [CaFr67], [Neu92]
und [Jan73] zu finden.

2.1

Idealtheoretische Fassung

Es seien k ⊂ C ein algebraischer Zahlkörper und m ein ganzes Ideal in k.
Für ein Element α ∈ k schreiben wir α ≡ 1 mod × m, falls ganze zu mteilerfremden Ideale r und n mit (α − 1)r = mn existieren. Ferner bezeichne
Ik (m) die Gruppe aller zu m teilerfremden Ideale, Pk (m) die Untergruppe
aller Hauptideale (α) mit α ∈ k, α ≡ 1 mod × m von Ik (m). Die Faktorgruppe
Clk (m) = Ik (m)/Pk (m) heißt die Gruppe der Idealklassen modulo m. Mit
hm bezeichnen wir die Ordnung von Clk (m), welche wir die Klassenzahl
von k modulo m nennen. Eine Untergruppe CM (m) von Ik (m) heißt eine
Kongruenzuntergruppe, falls Pk (m) ⊆ CM (m) ist.
Es sei (A, E) eine hauptpolarisierte abelsche Varietät vom primitiven
21

22KAPITEL 2. HAUPTSÄTZE DER KOMPLEXEN MULTIPLIKATION
CM-Typ (K, Φ), [K : Q] = 2g, mit dem Reflexivtyp (K r , Ψ). Ferner sei K0
der total reelle Teilkörper von K mit [K0 : Q] = g und OK die Maximalordnung von K. Dann existiert ein algebraischer Zahlkörper k mit folgenden
Eigenschaften:
1. k ist normal über K r ,2. A ist definiert über k,
3. Zu jedem σ ∈ Gal(k/K r ), sind alle Elemente von Hom(A, Aσ ) definiertüber k.
Es sei nun k0 der Modulkörper von (A, E) und k0r = k0 K r . Dann gilt
K r ⊆ k0r ⊆ k, siehe [Sh97], S. 65 und 110.
Satz 2.1. Die Menge

C(K) = {(a, α)|a ist gebrochenes OK −Ideal mit aā = (α) und α ∈ K0 ist total positiv}/ ∼bildet eine Gruppe mit dem Einselement (OK , 1), wobei ∼(a, α) ∼ (b, β) :⇔ ∃µ ∈ K mit µb = a und α = βµµ̄
eine Äquivalenzrelation ist. Die Multiplikation in der Gruppe C(K) ist durch
komponentweise Multiplikation erklärt.
∗ )+ die vonFerner seien Cl0 (OK0 ) die enge Klassengruppe von K0 und (OK0den positiven Einheiten von OK0 erzeugte Gruppe. Dann ist die folgende
Sequenz exakt:

1/ (O ∗ )+ /NK/K (O ∗ )K0
K0/ C(K)/ Cl(OK )/ Cl0 (O

K0 )

/ 1,

(2.1)
wobei die Abildungen
∗ +
∗
(OK
) /NK/K0 (OK) → C(K), u 7→ (OK , u),0undC(K) → Cl(OK ), (a, α) 7→ agegeben sind.
Beweis: Die Eigenschaft, dass C(K) eine Gruppe ist, und die Exaktheit an∗ )+ /N∗(OK
K/K0 (OK ) folgen aus [Sh97], S. 106 und 107. Die Exaktheit an0
den anderen Gruppen folgt aus [ShGo97], S. 784. ¤2.1. IDEALTHEORETISCHE FASSUNG

23

Die Gruppe C(K) operiert auf die Menge K(K, Φ) aller Isomorphieklassen
der hauptpolarisierten abelschen Varietäten, welche für den Typ Φ komplexe
Multiplikation mit der Maximalordnung OK besitzen. Es gilt nach [Sh97], S.
107, section 14.6:|C(K)| = |K(K, Φ)|.
(2.2)
Es seien (A, E) und (A0 , E 0 ) zwei abelsche Varietäten vom primitiven CMTyp (K, Φ). Ferner sei λ ∈ Hom(A, B). Dann existiert zu λ ein Ideal a von
OK , so dass es einen Definitionskörper k von A und A0 gibt, für den folgende
Eigenschaft gilt (siehe [Sh97], S. 47):k(λx) ist das Kompositum aller Körper k(αx), α ∈ a für jeden generischen
Punkt x ∈ A.
Ein solcher Homomorphismus λ heißt eine a−Multiplikation von A in A0 .
Ferner heißt A0 eine a−Transformation von A, falls es eine a−Multiplikation
λ von A nach A0 gibt.
Zu jeder a−Multiplikation λ existiert ein von λ abhängiges total positives
Element α mit aā = (α), somit ein Element (a, α) ∈ C(K), siehe [Sh97],
S.106, proposition 7. Es seien P = (A, E), P2 = (A2 , E2 ) und P3 = (A3 , E3 )hauptpolarisierte abelsche Varietäten vom primitiven CM-Typ (K, Φ). Mit{P1 : P} = (a, α) ∈ C(K)bezeichnen wir die Klasse, die nicht von der Wahl von λ abhängt, siehe[Sh97], S. 107.
Wir haben nun den folgenden Satz ([Sh97], S. 107 bis 109):
Satz 2.2. Es gelten die folgenden Eigenschaften:
1. {P2 : P1 }{P1 : P} = {P2 : P},
2. P ∼= P1 genau dann, wenn {P1 : P} = (OK , 1) ist,
3. P1 ∼= P2 genau dann, wenn {P1 : P} = {P2 : P} ist,
4. P, P1 seien über k definiert, und τ ein K r −Isomorphismus von k nacheinem Körper k 0 , dann sind P τ , P1τ vom Typ (K, Φ). Es gilt ferner{P1τ : P τ } = {P1 : P}.
Wir wollen nun die Erweiterung k0r über K r beschreiben. Nach 2.2, 4, sindP σ und P vom primitiven CM-Typ (K, Φ), wobei σ ∈ Gal(k/K r ) ist. Wirsetzen[σ] = {Pσ : P}.
Nach 2.2 gilt für σ, τ ∈ Gal(k/K r )24KAPITEL 2. HAUPTSÄTZE DER KOMPLEXEN MULTIPLIKATION[σ][τ ] = [στ ].
Deshalb haben wir einen Homomorphismus von Gal(k/K r ) nach C(K), derdurch σ 7→ [σ] gegeben ist. Ein Element σ ist genau dann im Kern H dieses
Homomorpshimus, wenn P ∼= P σ gilt. Nach dem ersten Kapitel ist H bereits
die Gruppe der Elemente von Gal(k/K r ), die die Elemente von k0r invariant
lassen. Dazu ist gleichbedeutend, dass die Abbildung σ 7→ [σ] ein injektiver
Homomorphismus von Gal(k0r /K r ) in C(K) ist. Die Erweiterung k0r /K r ist
daher abelsch. Die Gruppen C(K) und Gal(k0r /K r ) sind sogar nach [Sh97],
S. 111, isomorph.
Wir betrachten nun die Reduktion von A modulo Primidealen von k. Nach
[Sh97], S. 95, proposition 25, hat A gute Reduktion für fast alle Primideale
von k. Es sei m das Produkt der Primideale p von K r , die eine der folgenden
Eigenschaften haben:
1. Es existiert ein Primideal P von k über p, für das A schlechte Reduktion hat,
2. p ist in k0r verzweigt.
Nun sei p ein Ideal in K r , welches m nicht teilt, und P ein Ideal in k über p.
Aufgrund unserer Definition hat dann Aσ für jedes Element σ ∈ Gal(k/K r )gute Reduktion modulo P. Mit Ã bezeichnen wir die Reduktion von A modulo P. Mit σ bezeichnen wir den Frobenius-Automorphismus σ von k für P/p.
Wir identifizieren Ãq mit der Reduktion von Aσ modulo P, wobei N (p) = q
ist. Wir setzen
q = g(p),(2.3)
mit OL g(p) = NΨ (p), wobei NΨ die in 1.13 definierte Typ-Norm Abbildung,
und L die galoische Hülle von K ist. Dann ist der q−Frobenius Homomorphismus π von Ã nach Ãq die Reduktion modulo P einer q−Multiplikation
λ von A in Aσ . Es gilt ferner, siehe [Sh97], S. 111:[σ] = (g(p), N (p)).

(2.4)

Dies bedeutet, dass wir für jedes Ideal a ∈ IK r (m) wegen 2.3 und der Eigenschaften von NΨ nach dem ersten Kapitel stets[σ(a)] = (g(a), N (a))
rhaben,
Q falls wir für jedes Ideal a ∈ IK (m) mit der Idealfaktorisierunga = pe(p) stetsYσ(α) =
σ(p)e(p)p(2.5)

2.1. IDEALTHEORETISCHE FASSUNG

25

setzen. H1 bezeichne den Kern des Homomorphismus a 7→ σ(a) von IK r (m)nach Gal(k0r )/K r . Dann ist H1 die Menge aller Ideale a von IK r (m), für die(g(a), N (a)) = (OK , 1)
gilt, siehe [Sh97], S. 111. Es sei H0 die Untergruppe von IK r ((1)), die aus
den Idealen a besteht, für die es ein µ ∈ K mit g(a) = µ und N (a) = µµ̄
existiert. Dann gilt H0 ∩ IK r (m) = H1 . Außerdem liegen alle Elemente vonPK r ((1)) bereits in H0 . Deswegen ist k0r eine unverzweigte Erweiterung überK r nach der Klassenkörpertheorie. Damit haben wir den ersten Hauptsatz
der komplexen Multiplikation in idealtheoretischer Fassung bewiesen:Satz 2.3. Erster Hauptsatz (idealtheoretisch)
Es sei (K, Φ) ein primitiver CM-Typ, (K r , Ψ) der Reflexivtyp, (A, E) eine
hauptpolarisierte abelsche Varietät definiert über k mit K r ⊆ k, die die komplexe Multiplikation mit OK besitzt. Ferner sei k0 der Modulkörper von A.
Dann ist k0r = k0 K r eine unverzweigte Erweiterung von K r , die nach der
Klassenkörpertheorie zu der Gruppe IK r /H0 korrespondiert, wobei für H0∃µ ∈ K ∗ mit 
H0 = a ∈ I(K r ) : NΨ (a) = µOKµµ̄ = N (a)gilt.
Torsionspunkte
G := Aut((A, E)) bezeichne die Menge aller Automorphismen der polarisierten abelschen Varietät (A, E). Dann ist Aut((A, E)) nach [Sh97], S. 32,
proposition 17, endlich.
Bemerkung 2.4. Es gilt G ∼= Tor(K), falls (K, Φ) primitiver CM-Typ ist
und Tor(K) die Gruppe der Torsionseinheiten bezeichnet. Allgemeiner ist
die Automorphismengruppe G := Aut((A, E)) genau die Gruppe der Torsionseinheiten der Ordnung O mit End(A) ∼= O von K, falls (K, Φ) primitiver∼
CM-Typ ist, und O = End(A) gilt, siehe [Sh97], S. 103, und vergleiche fürden Fall der elliptischen Kurven mit [Sil86], S. 103, theorem 10.1.
Eine Kummer Varietät von (A, E) ist der Quotient von A durch die Gruppe G. Wir haben nun den folgenden Satz für die Existenz einer normalisierten Kummer Varietät von A.
Satz 2.5. Es sei (A, E) eine polarisierte abelsche Varietät mit dem Modulkörper k0 . Dann existiert eine bis auf Isomorphie eindeutige Kummer Varietät (W, F ) von (A, E), die wir die normalisierte Kummer Varietät nennen,
mit folgenden Eigenschaften:

26KAPITEL 2. HAUPTSÄTZE DER KOMPLEXEN MULTIPLIKATION
1. W ist über k0 definiert,
2. F ist definiert über jedem Definitionskörper k von (A, E), der nachKapitel 1 den Modulkörper k0 enthält,
3. Gegeben sei ein Definitionskörper k (k0 ⊆ k). Falls σ ein Isomorphismus von k in einen anderen Körper ist und η ein Isomorphismus von(A, E) in (Aσ , E σ ), dann gilt
F = F σ ◦ η.
Es sei b ein ganzes Ideal in OK . Ferner sei g(b, A) die Menge aller Punktet von A, für die αt = 0 für jedes Element α ∈ b gilt. Falls t ∈ g(b, A) gilt,
heißt das Ideal b das Annulatorideal von t. Ein Punkt t ∈ g(b, A) heißt ein
Torsionspunkt auf A, falls aus αt = 0 stets α ∈ b folgt. Wir bezeichnen
mit Ator die Menge aller solchen Punkte von A.
Der Satz 2.3 wurde für die Körper, die durch die Adjunktion der Bilder
gewisser Torsionspunkten von A unter F an den Körper k0r entstehen wie
folgt verallgemeinert, siehe [Sh97], S. 118:
Satz 2.6. Zweiter Hauptsatz (idealtheoretisch)
Es sei (K, Φ) ein primitiver CM-Typ, (K r , Ψ) der Reflexivtyp und (A, E)
eine hauptpolarisierte abelsche Varietät definiert über k mit K r ⊆ k, die die
komplexe Multiplikation mit OK besitzt. Ferner seien k0 der Modulkörper
von A, b ∈ OK ein Ideal mit b = b ∩ Z, t ∈ A(k̄) ein Punkt mit dem Annulatorideal b, und (W, F ) die normalisierte Kummer Varietät von (A, E).
Dann ist k0r (F (t)) eine abelsche Erweiterung von K r , die nach der Klassenkörpertheorie zu der Gruppe IK r ((b))/Hb mit


∗ mit
∃µ
∈
K






N
(a)
=
µO
Ψ
K
r
Hb = a ∈ I(K )((b)) :µµ̄ = N (a)





µ ≡ 1 mod × (b)korrespondiert.
Der Hauptsatz für beliebige Ordnungen O von K, die als Endomorphismenringe hauptpolarisierter abelscher Varietäten vorkommen, findet sich in[Sh61], S. 136 bis 142, section 17.

2.2

Ideltheoretische Fassung

Gegeben sei ein algebraischer Zahlkörper M ⊂ C vom Grad g mit der maximal abelschen Erweiterung M ab . Wir bezeichnen mit MA den Ring der2.2. IDELTHEORETISCHE FASSUNG

27

Adele und mit MA∗ die Idelgruppe von M . Ferner bezeichne Ma∗ den archi∗ den nicht archimedischen Teil von M ∗ . Wir betrachten
medisschen und M∞
A∗
M und die Lokalisierung Mp∗ als Untergruppen von MA∗ , wobei p Primstelle(endlich oder unendlich) von M ist. Für ein Element x ∈ MA∗ bezeichnen wir∗ , bzw. M ∗ . Nach dem
mit xa , x∞ und xp die Komponenten von Ma∗ , M∞p
Hauptsatz der Klassenkörpertheorie haben wir die exakte Sequenz1/ M ∗M ∗∞+/ M ∗ Ar / Gal(M ab /M )
A

/ 1,

(2.6)

∗
∗ ,
wobei M∞+die zusammenhängende Komponente des Einselements von M∞∗
A den topologischen Abschluss einer Untergruppe von A ⊂ MA , und Ar die
Artinsche Abbildung bezeichnen.

Das Bild eines Elements x ∈ MA∗ in Gal(M ab /M ) unter der Artinabbildung
Ar bezeichnen wir mit [x, M ]. Für jedes Element t ∈ MA∗ , und jede Primzahl
p bezeichnen wir mit tp die p−te Komponente von t, welche ein Element
von Mp = M ⊗Q Qp ist. Ferner setzen wir für ein Z−Gitter a in M diep−te Komponente ap = a ⊗Z Zp . Dann ist auch ta ein Z−Gitter mit (ta)p =tp ap , welches impliziert, dass ta ein gebrochenes Ideal von M ist, falls a ein
gebrochenes Ideal von M ist. Weil Q/Z kanonisch isomorph zu der direkten
Summe Qp /Zp , und daher M/a isomorph zu Qg /Zg ist, ist M/a isomorph zu
der direkten Summe Mp /ap über alle p. Daher sind M/a und M/ta isomorph,denn die Multiplikation mit tp liefert eine Isomorphie zwischen Mp /ap und
Mp /tp ap .
Das Bild eines Elements ω ∈ M/a in M/ta bezeichnen wir mit tω. Falls nun
ω = u(mod a) ist, dann gilt tω = v(mod ta) mit einem Element v ∈ M , sodass v ∼= tp u(mod tp ap ) für alle p ist. Daher schreiben wirt · (u(mod a)) = tu(mod ta).

(2.7)

Bemerkung 2.7. Wir merken an, obschon das Element tu ein Element von
MA ist, können wir uns tu(mod ta) in der rechten Seite von 2.7 als{tp u(mod tp ap )}p ∈ M/a für jede p−Komponente vorstellen damit die
Schreibweise in 2.7 Sinn macht, siehe auch [Sh71], S. 117.
Es sei nun (A, E) eine hauptpolarisierte abelsche Varietät, (K, Φ) der CMTyp, wobei 2g der Grad von K über Q ist. Ferner sei ξ die Abbildung Cg →A, deren Kern wir mit q(a) bezeichnen. Dann ist q(a) = (aφ1 , · · · , aφg ) für
jedes Element a ∈ K, vergleiche mit der Definition 1.14. Es gilt für die
Riemannform E stetsE(q(x), q(y)) = TrK/Q (ζxȳ),
wobei für das Element ζ ∈ K wegen 1.16 ζ̄ = −ζ und =(ζ φi ) > 0, 1 ≤ i ≤ g,

28KAPITEL 2. HAUPTSÄTZE DER KOMPLEXEN MULTIPLIKATION
gilt. In diesem Fall sagen wir, dass (A, E) vom Typ Ω = {K, Φ, a, ζ} ist.
Dann haben wir die folgende exakte Sequenz, siehe [Sh97], S. 123:
0

/a

/ KR





/ KR /a

/1


/A

/1

(2.8)

q

1

/ q(a)

ξ/ Cg

wobei KR = K ⊗Q R ist. Nun sei (K r , Ψ) der Reflexivtyp von (K, Φ) undNΨ : (K r )∗ → K ∗ die Typ-Norm Abbildung wie in 1.13. Dann können wirNΨ (a) = det SΨ (a) schreiben, wobei SΨ (a) die in 1.15 definierte diagonale
Matrix ist. Nun sei L die galoische Hülle von K mit G = Gal(L/Q),
H = Gal(L/K) und H r = Gal(L/K r ). Dann existieren Elemente τj ∈ G,
1 ≤ j ≤ m := [K r : Q]/2 mitmr∪gi=1 φ−1i H = ∪j=1 H τj .

Ferner liefert die Menge der Elemente von τj genau den CM-Typ Ψ zu K r ,siehe [Sh97], S. 124.
Es sei nun b ∈ K r Q
ein Element mit K r = Q(b). Da die Koeffizienten desτjPolynoms P (x) = m
j=1 (X − b ) in K liegen, existiert ein Element T ∈K m×m , dessen charakteristische Polynom P ist. Mittels
X

ck bk 7→kX

ck T k(2.9)

khaben wir einen injektiven Ringhomorphismus Φ0 : K r → K m×m mitNΨ (a) = det(Φ0 (a)). Wir können daher die Abbildung Φ0 als eine Qp −lineare,und daher eine QA −lineare Abbildung fortsetzen. Insgesamt erhalten wir∗ , den wir auch mit Neinen stetigen Homomorphismus von (K r )∗A nach KAΨbezeichnen.
Wir können nun den Hauptsatz der komplexen Multiplikation formulieren.
Für den Beweis verweisen wir auf [Sh97], S. 125.
Satz 2.8. Hauptsatz (ideltheoretisch)
Es sei P = (A, E) eine hauptpolarisierte abelsche Varietät vom Typ Ω ={K, Φ, a, ζ} und Reflexivtyp (K r , Ψ). Ferner seien σ ∈ Aut(C/K r ) und s ∈(K r )∗A , so dass σ = [s, K r ] in (K r )ab ist. Dann ist die folgende Sequenz
exakt:0/ q(NΨ (s)−1 a)

mit folgenden Eigenschaften:

/ Cg

ξ0

/ Aσ

/ 0,

2.3. HAUPTSÄTZE FÜR GESCHLECHT EINS

29

1. P σ ist vom Typ {K, Φ, NΨ (s)−1 a, ζ 0 }, wobei ζ 0 = N (sOK r )ζ ist,
2. Es gilt ξ(q(ω))σ = ξ 0 (q(NΨ (s)−1 ω)) für jedes Element ω ∈ K/a, das
heißt das folgende Diagram ist kommutativ:
K/aNΨ (s)−1



ξ◦q

/A

(2.10)σξ 0 ◦qK/NΨ (s)−1 a



/ Aσ

Ferner ist die Abbildung ξ 0 für fest gewählte ξ eindeutig.
Bemerkung 2.9. Wie weisen darauf hin, dass der Satz 2.8 für alle Automorphismen von C, nicht notwendig diejenigen, die K r fixieren, verallgemeinert wurde, siehe [Mil1]. Dies ist der Hauptsatz der komplexen Multiplikationüber Q.

2.3

Hauptsätze für Geschlecht einsEs sei k ein imaginär quadratischer Zahlkörper mit der Maximalordnung Ok
und τ ∈ Ok ∩ H. Wie wir im Kapitel 1 gesehen haben, ist der Körper Q(j(τ ))der Modulkörper einer elliptischen Kurve E über C mit der j−Invariantej(τ ), wobei C/(τ Z + Z) ein bis auf Homothetie zu E isomorpher komplexer Torus ist. Nach dem ersten Hauptsatz der komplexen Multiplikation 2.3
können wir nun die Erweiterung k(j(τ )) über k klassenkörpertheoretisch beschreiben, falls die elliptische Kurve komplexe Multiplikation mit Ok besitzt,
da in diesem Fall für den Reflexivkörper k r = k gilt, und jede elliptische Kurve durch die eindeutige Polarisierung 1.7 hauptpolarisiert ist. In diesem Fall
ist die Typ-Norm Abbildung die Identitätsabbildung in k. Dann gilt für die
Menge H0 stets∃µ ∈ K ∗ mit 
H0 = a ∈ I(K r ) : NΨ (a) = µOK = Ik ((1)),
µµ̄ = N (a)weil K r = K = k ist, und die Bedingungen für jedes Ideal in Ik ((1)) erfüllt sind. Somit haben wir nach der Klassenkörpertheorie, 2.3 und 2.8 den
folgenden Satz (vergleiche mit [Sh71], S. 123):
Satz 2.10. Es sei k ein imaginär quadratischer Zahlkörper mit der Maximalordnung Ok und τ ∈ Ok ∩H. Dann ist Hk = k(j(τ )) der Hilbertklassenkörper,das heißt Hk ist die maximale total unverzweigte abelsche Erweiterung vonk. Die Isomorphie Gal(Hk /k) ∼= Cl(k) ist mit σ 7→ b durchj(a)σ = j(b−1 a)30KAPITEL 2. HAUPTSÄTZE DER KOMPLEXEN MULTIPLIKATION
gegeben. Ferner gilt
1. [k(j(τ )) : k] = [Q(j(τ )) : Q],
2. Falls [τ1 , 1], · · · , [τh , 1] ein Repräsentantensystem der Klassen in Cl(k)sind, dann bilden j(τ1 ), · · · , j(τh ) ein komplettes System der konjugierten Zahlen über Q, und über k.
Hauptsätze für beliebige Ordnungen
Wir betrachten nun den Fall, dass eine elliptische Kurve E über C die komplexe Multiplikation mit einer beliebigen Ordnung Ot hat, wobei Ot die eindeutige Ordnung mit dem Führer t eines imaginär quadratischen Zahlkörpers
k bezeichnet. Wir haben daher k ∼= End(E) ⊗ Q. Es existiert eine kanonische Wahl λ aus zwei Isomorphismen von k nach End(E) ⊗ Q, die durch die
folgende Bedingung charakterisiert ist:ω ◦ λ(µ) = µω, µ ∈ K, λ(µ) ∈ End(E),(2.11)

wobei 0 6= ω der Erzeuger des eindimensionalen Vektorraums der holomorphen Differentialformen von E über C ist, siehe [Sh71], S. 113. Dieser Isomorphismus heißt normalisiert. Man bezeichnet mit dem Paar (E, λ) die
normalisierte elliptische Kurve.
Wir fixieren einen Isomorphismus ξ von C/a nach E, wobei a ein Z−Gitterin k ist. Es gilt ξ(αv) = λ(α)(ξ(v)) für jedes Element α ∈ k mit αa ⊆ awegen der Auswahl 2.11 des kanonischen Isomorphismus λ. Ferner ist ξ(K/a)
stets die Menge aller Punkte der endlicher Ordnung von E ([Sh71], S. 117).
Somit haben wir nach dem Hauptsatz 2.8 den Hauptsatz der komplexen
Multiplikation für elliptische Kurven.
Satz 2.11. Hauptsatz: Elliptische Kurven (ideltheoretisch)
Es seien k, (E, λ), a und ξ wie oben definiert. Ferner sei σ ein Automorphis∗ mit [s, k] ∈ k ab . Dann existiert
mus von C über k und s ein Element von kA
ein Isomorphismus
ξ 0 : C/s−1 a −→ E σ ,(2.12)
wobei für ξ 0 stets ξ(u) = ξ 0 (s−1 u) für alle u ∈ k/a gilt. Des Weiteren ist das
folgende Diagramm kommutativ:
K/a
s−1



K/s−1 a

ξ

/E .
σ

ξ0



/ Eσ

(2.13)

2.3. HAUPTSÄTZE FÜR GESCHLECHT EINS

31

Zusätzlich ist die Abbildung ξ 0 für gegebenes σ eindeutig, wenn ξ fest gewählt
wird.
Es gilt für die j−Invariante des Z−Gitters a in k nach 2.11 j(a)σ = j(s−1 a),
und somit hängt j(a)σ nur von der Einschränkung σ|kab ab. Für jedes Z−Gittera gelten damit j(a) ∈ k ab und j(a)[s,k] = j(s−1 a). Ferner ist ein Z−Gitter∗ mit a = xO
a genau dann ein gebrochenes Ot −Ideal, wenn ein x ∈ kAtexistiert, siehe [Sh71], S. 122. Wir bezeichnen nun die Gruppe der gebrochenen Ot −Ideale mit It und die Untergruppe der Hauptideale von It mit
Pt . Dann ist die Ringklassengruppe
Clt = It /Pt isomorph zu der Gruppe
Q ∗∗ /k ∗ W , wobei W = k ∗
kA
O
ist,
siehe
[Sh71], S. 123. Diese Überlegungen∞p pliefern den folgenden Satz, welcher den Satz 2.10 für beliebige Ordnungenverallgemeinert:
Satz 2.12. Hauptsatz für beliebige OrdnungenEs sei k ein imaginär quadratischer Zahlkörper mit der Ordnung Ot vom
Führer t und τ ∈ Ot ∩ H. Dann ist Ωt = k(j(τ )) der Ringklassenkörper
von k, der Körper, welcher nach der Klassenkörpertheorie zu der Gruppe Clt
korrespondiert. Die Isomorphie Gal(k(j(τ ))/k) ∼= Clt ist durch σ 7→ b mit
j(a)σ = j(b−1 a)gegeben. Ferner gilt
1. Es gibt eine Isomorphie zwischen Gal(Ωt /k) und Clt , die durch
σ 7→ b,mit j(a)σ = j(b−1 a) gegeben ist,
2. [k(j(τ )) : k] = [Q(j(τ )) : Q],
3. Falls [τ1 , 1], · · · , [τht , 1] ein Repräsentantensystem der Klassen in Clt
sind, dann bilden j(τ1 ), · · · , j(τht ) ein komplettes System der konjugierten Zahlen über Q, und über k, wobei ht die Ordnung von Clt bezeichnet.
Beweis: Aus j(a)[s,k] = j(s−1 a) folgt zusammen mit dem Satz von Shimura,[Sh71], S. 122, theorem 5.5, die erste Behauptung, weil der Satz von Shimu∗ /k ∗ W eine zu Cl isomorphe Gruppe ist. Aus der ersten
ra besagt, dass kAt
Behauptung folgt ht = [k(j(τ )) : k].
Es sei nun E eine elliptische Kurve, die zu C/a isomorph ist. Dann sindEnd(E σ ) und End(E) isomorph. Nach [Sh71], S. 104, proposition 4.8 gilt
nun die Gleichung j(a)σ = j(E σ ), aus der die Ungleichung[Q(j(τ )) : Q] ≤ ht folgt. Da [Q(j(τ )) : Q] ≥ [k(j(τ )) : k] trivialerweise gilt,
haben wir die zweite, und daher die dritte Aussage. ¤32KAPITEL 2. HAUPTSÄTZE DER KOMPLEXEN MULTIPLIKATION
Bemerkung 2.13. Wir merken an, dass aus dem Satz 2.12 mit t = 1
der Satz 2.11 folgt. Der Ringklassenkörper Ω1 von k ist daher genau derHilbertklassenkörper Hk von k.
Klassenkörper über Hilbert- und Ringklassenkörper
Es sei nun E eine elliptische Kurve über C, die komplexe Multiplikation mit
einer Ornung Ot eines imaginär quadratischen Zahlkörpers k besitzt. Dannist die Automorphismengruppe G von E nach 2.4 gerade die Einheitengruppe
Ot∗ , da für den Einheitenrang r von k stets r = 0 gilt. Sie besteht daher nur
aus Torsionseinheiten. Es gilt G ∼= {±1}, falls die j−Invariante von E der
Bedingung j 6= 1728, 0 erfüllt. Wir haben
1. Für j = 1728: k = Q(i), Ok = Z[i] und somit Ok∗ = {±1, ±i},
2. Für j = 0: k = Q(ρ), ρ = e2πi/3 , Ok = Z[ρ] und somit
Ok∗ = {±1, ±ρ, ±ρ2 }.
Mit E bezeichnen wir die Menge aller elliptischer Kurven in kurzer WeierstraßForm y 2 = 4x3 − g2 (τ )x − g3 (τ ), wobei g2 und g3 die in 1.19 definierten
Eisensteinschen Reihen sind. Wir klassifizieren die elliptischen Kurven indrei verschiedenen Klassen E1 , E2 und E3 , deren Automorphismengruppe 2i
Elemente hat, i = 1, 2, 3. Daher entsprechen die Mengen E2 und E3 den elliptischen Kurven, deren j−Invariante j = 1728 bzw. j = 0 sind. Wir definierennun die folgenden Funktionen:
Definition 2.14. Es sei E eine elliptische Kurve in kurzer Weierstraß-Form
y 2 = 4x3 − g2 (τ )x − g3 (τ ). Dann heißen die Funktionen
1. h1E ((x, y)) = (g2 (τ )g3 (τ )/∆(τ )) · x,
2. h2E ((x, y)) = (g2 (τ )2 /∆(τ )) · x2 ,3. h3E ((x, y)) = (g3 (τ )/∆(τ )) · x3
Webersche Funktionen.
Wir haben nun(
h1E = h3E = 0 und h2E ((x, y)) = g2 (τ )−1 x2 falls E ∈ E2 ,h1E = h2E = 0 und h3E ((x, y)) = (−27g3 (τ ))−1 x3 falls E ∈ E3 .
Aus der expliziten Beschreibung der Elemente von G und der obigen Eigenschaft folgen nun die folgenden Eigenschaften dieser Funktionen:2.3. HAUPTSÄTZE FÜR GESCHLECHT EINS

33

Lemma 2.15.
1. Es sei E ∈ Ei , 1 ≤ i ≤ 3. Dann gilt hiE (t) = hiE (t0 )genau dann, wenn ein α ∈ G mit t = αt0 existiert.
2. Es sei η ein Isomorphismus zwischen zwei elliptischen Kurven E und
E 0 mit E, E 0 ∈ E. Dann gilt hi = hi ◦ η.
Nach 2.15 haben wir somit eine explizite Beschreibung der normalisierten
Kummer Varietät (E/G, hi ), die den Anforderungen des Satzes 2.5 für jede
elliptische Kurve E ∈ E genügt.
Die Untergruppe Hb aus dem zweiten Hauptsatzes der komplexen Multiplikation 2.6 ist genau die Gruppe Pk (b) ∩ Ik ((b)), falls E die komplexe
Multiplikation mit Ok eines imaginär quadratischen Zahlkörpers k besitzt.
Nun entspricht dem Körper k(j(τ ), hi (P )) genau der Strahlklassenkörper
modulo (b), wobei P ∈ E ein Punkt der Ordnung b ist. Ferner haben wir
den folgenden Satz, welcher das 12. Problem von Hilbert im Falle imaginär
quadratischer Zahlkörper löst. Wir verweisen für den Beweis auf [Lang73], S.
126, theorem 2. Für eine entsprechende Aussage des Satzes im Falle beliebiger
Ordnungen imaginär quadratischer Zahlkörper verweisen wir auf [Sh71], S.
123, corollary 5.6.
Satz 2.16. Es sei E eine elliptische Kurve in Ei , 1 ≤ i ≤ 3, die die
komplexe Multiplikation mit der Maximalordnung Ok eines imaginär quadratischen Zahlkörpers k besitzt. Dann wird k ab durch die Adjunktion der Werte
hi (P ) der Punkte P ∈ E endlicher Ordnung an den Hilbertklassenkörper
Hk = Ω1 erzeugt.
Bemerkung 2.17.
1. Im Allgemeinen beschreibt die Untergruppe Hb desSatzes 2.6 nicht die gesamte Strahlklassengruppe modulo (b). Daher ist
es nicht möglich die maximal abelsche Erweiterung (K r )ab mittels derTheorie der komplexen Multiplikation explizit zu erzeugen.
2. In den Kapiteln 4 und 5 werden wir, nebst den Eigenschaften der Relativerweiterung k0r (F (t))/k0r der in 2.6 und 2.3 mittels der CM-Theorie
konstruierten Klassenkörper k0r (F (t)) und k0r auch den maximalen abelschen Teilkörper von (K r )ab , der durch die CM-Theorie konstruierbar
ist, näher untersuchen.

34KAPITEL 2. HAUPTSÄTZE DER KOMPLEXEN MULTIPLIKATION

Kapitel 3

Die CM-Methoden
Ziel dieses Kapitels ist es, einen Überblick über die Methoden der komplexen Multiplikation, die CM-Methoden, anzugeben. Ferner wird auf die
Probleme, die bei der CM-Konstruktion auftreten, nebst ihren Lösungeneingegangen. Die CM-Methoden ermöglichen die Konstruktion elliptischer
Kurven und hyperelliptischer Kurven vom Geschlecht zwei mit komplexer
Multiplikation, Kurven mit CM, über endlichen Körpern.
Wir werden die in der Literatur eingeführten Algorithmen zur Konstruktion
elliptischer und hyperelliptischer Kurven mit CM, insbesondere die analytische Methode der Konstruktion der Klassenpolynome, die Laufzeitaussagen
zur Konstruktion dieser Klassenpolynome, die Konstruktion der Igusaklassenpolynome der hyperelliptischen Kurven nebst Laufzeitaussagen, und die
Einschränkungen der CM-Methode im Geschlecht zwei zusammenstellen.
Zuvor werden wir auf die Anwendungsgebiete der CM-Konstruktionen nebst
ihren Anforderungen eingehen.

3.1

Anwendungen

Wie in der Einleitung erwähnt wurde, gibt es Anwendungen der Konstruktion algebraischer Kurven mit CM im Primzahlnachweis, und in der gruppenund paarungsbasierten Kryptographie. Bevor wir die CM-Methoden erklären, werden wir in diesem Abschnitt erläutern, welche Anforderungen fürdiese Anwendungen benötigt werden.
Dass die Jacobischen Varietäten mit vorgegebener Ordnung über endlichen
Körpern mittels der speziellen Eigenschaften der komplexen Multiplikation
konstruiert werden können, ist der wesentliche Vorteil dieser Methoden. Die
CM-Methoden stellen somit eine alternative zu den Punktzählalgorithmen
dar. Wir werden sehen, wie spezielle Eigenschaften der Kurven mit komplexer
35

36

KAPITEL 3. DIE CM-METHODEN

Multiplikation diese Anwendungen realisieren.
Primzahlnachweis
Lenstra hat im Jahre 1987 einen probabilistischen Algorithmus entwickelt,
der ganze Zahlen mit Hilfe elliptischer Kurven faktorisiert, siehe [Len87].
Die Idee seines Verfahrens basiert auf dem Pollard p − 1−Verfahren, siehe [Coh93], Kapitel 8.8, mit dem Unterschied, dass man statt der Gruppe(Z/N Z)∗ eine elliptische Kurve E über dem Ring Z/N Z betrachtet, wobei
N die Zahl ist, die faktorisiert wird, und E(Z/N Z) gewisse Glattheitseigenschaften erfüllt, siehe [Coh93], Kapitel 10.3. Für die Eigenschaften derelliptischen Kurven über endlichen Ringen verweisen wir auf [Coh93], S. 485
bis S. 487. Darin, dass es viele elliptische Kurven über Z/N Z gibt, und damit
die Wahrscheinlichkeit eine passende Kurve, deren Punkte den Glattheitsanforderungen genügen, zu finden groß ist, liegt die Stärke seines Verfahrens.
Auch heute ist dieses Verfahren eine der schnellsten Methoden, um die Primfaktoren mit ca. 50 Dezimalstellen der zu faktorisierender ganzen Zahl N
zu berechnen. Deswegen benutzt man in modernen Faktorisierungsverfahren
diese Methode mit den quadratische Sieb und Zahlkörpersieb Algorithmen,
um zunächst die Faktoren von N bis 50 Dezimalstellen zu bestimmen.
Diese Flexibilität der Auswahl der Kurven E über Z/N Z benutzen Goldwasser und Killian, um ein probabilistisches Verfahren zu entwickeln, welches ECPP (elliptic curve primality proving) genannt wurde, siehe [GoKi86].
Dieses verallgemeinerte das N − 1−Primzahlnachweisverfahren auf das Verfahren des Primzahlnachweises mittels elliptischer Kurven, siehe [Uz04]. Der
folgende Satz wird bei diesem Verfahren benutzt, siehe [Uz04], S. 63, theorem
4.9:
Satz 3.1. Es sei N 6= 1 eine zu 6 teilerfremde Zahl und E eine elliptische
Kurve über Z/N Z mit einem Punkt P ∈ E. Ferner sei m eine Zahl, die den
folgenden Bedingungen genügt:
1. Es existiert ein Primfaktor q von m mit√
4q > ( N + 1)2 .
2. Es gilt m · P = OE = (0 : 1 : 0).
∗: :3. Es gilt m
q · P = (x y t) mit t ∈ (Z/N Z) .

Dann ist die Zahl N prim.
Das Verfahren basiert auf einer DOWN-RUN Strategie, bei der die Primzahleigenschaft einer Zahl N1 = N aus der Primzahleigenschaft einer3.1. ANWENDUNGEN

37

kleineren Zahl q = N2 < N1 folgt. Nach m Schritten erhält man zum Beispieleine Zahl Nm < 109 , deren Primzahleigenschaft (und somit auch die von N )leicht nachzuweisen ist. Die aufwendigsten Schritte dieses Verfahrens sinddie Bestimmung der Gruppenordnungen verschiedener elliptischer Kurvenüber endlichen Körpern und die Faktorisierung dieser Gruppenordnungen,die wegen 3.1 bei jedem Reduktionsschritt durchgeführt werden muss. Dabei beginnt man mit einer zufälligen Kurve, bestimmt die Gruppenordnung,und überprüft, ob die Eigenschaften nach 3.1 erfüllt sind. Diesen Prozess
wiederholt man solange, bis eine passende Kurve bestimmt wird.
Dieses Verfahren wurde mittels der Konstruktion elliptischer Kurven mit
komplexer Multiplikation von Atkin und Morain im Jahre 1993 deutlich verbessert, siehe [AtMr93]. Mit der CM-Konstruktion können stets Kurven mit
vorgegebener Ordnung konstruiert werden, die apriori die nötigen Eigenschaften erfüllen. Der Algorithmus liefert zur Zeit den effizientesten Primzahlnachweisalgorithmus in der Praxis. Der Rekord liegt momentan bei ca.
2580 Dezimalstellen, siehe [MorECPP].
Eine Verallgemeinerung dieses Verfahrens, welches den Primzahlnachweis mit
Hilfe der hyperelliptischen Kurven vom Geschlecht zwei durchführt, ist unter
anderem wegen des Fehlens der effizienten CM-Kontruktion für solche Kurven und ihre Jacobischen bisher nicht möglich, obwohl Adleman und Huang
mittels der Jacobischen hyperelliptischer Kurven vom Geschlecht zwei ein
Verfahren entwickelt haben, aus dem der folgende Satz folgt , siehe [AdHu92]:
Satz 3.2. Es existiert ein Algorithmus, der in erwarteter polynomieller Zeit
beweist oder widerlegt, dass eine gegebene Zahl N prim ist.
Dieses Verfahren wurde wegen des Fehlens einer effizienten Arithmetik undeiner schnellen Methode der Konstruktion hyperelliptischer Kurven vom Geschlecht zwei (nach dem Kenntnis vom Author dieser Arbeit) nie implementiert.
Bemerkung 3.3. Wir merken an, dass mit dem Algorithmus von Agrawal,
Kayal und Saxena, [AKS04], deterministisch in polynomieller Zeit bewiesen
oder widerlegt werden kann, dass eine gegebene Zahl N prim ist. Dieses Verfahren ist aber in der Praxis schlechter als die ECPP-Methode.
Andererseits wurde das Faktorisierungsverfahren von Lenstra auf die
hyperelliptischen Kurven vom Geschlecht zwei verallgemeinert. Dabei ist die
Laufzeit mittels spezieller hyperelliptischer Kurven und zugehöriger Kummer Flächen, Satz 2.5, verbessert worden, siehe [Cos10]. Dieses Verfahrenbietet sogar schnellere Faktorisierung als das Verfahren von Lenstra für die
Faktorisierung größer Zahlen an, siehe [Cos10], S. 1203.

38

KAPITEL 3. DIE CM-METHODEN

DLP

Es sei G =< g > eine zyklische additiv geschriebene Gruppe. Das Problem
für ein gegebenes α ∈ G ein x ∈ Z mit α = x · g zu bestimmen wird diskretes Logarithmus Problem, DLP, genannt. Das Lösen von DLP ist eine
grundlegende Voraussetzung zum Bearbeiten vieler Probleme aus der konstruktiven Zahlentheorie, insbesondere der Probleme der endlichen abelschen
Gruppen. Das ist zum Beispiel in der konstruktiven Klassenkörpertheorie interessant, siehe [Coh00], Kapitel 4.
Im Gegensatz zu den Anwendungen von DLP in der konstruktiven Zahlentheorie basiert die Sicherheit gruppenbasierter kryptographischer Methoden
auf der Schwierigkeit von DLP, siehe [Men96], [Avan06]. Die zugrundeliegende Gruppe und ihre Präsentation bestimmen die Schwierigkeit dieses Problems. Im Falle, dass die Gruppenordnung nur kleine Primzahlfaktoren besitzt, ist dieses Problem mittels des chinesischen Restsatzes einfach zu lösen,siehe [Men96] S. 107. Daher benutzt man in der Praxis entweder multiplikative zyklische Untergruppen endlicher Körper Fqn , deren Ordnung einen
großen Primteiler besitzt, oder zyklische Untergruppen Jacobischer Varietäten algebraischer Kurven von größer Primzahlordnung.
Die generischen DLP Algorithmen, d. h. Pollard-ρ und seine Varianten, besitzen eine exponentielle Laufzeit im p
Logarithmus der Gruppenordnung, genauer gesagt liegen ihre Laufzeit in O( |G|), siehe [Avan06]. Das Index-Calculus
Verfahren und seine Varianten dagegen nutzen die speziellen Eigenschaften
der zugrundeliegenden Gruppen aus, und die Laufzeit dieser Algorithmen
ist subexponentiell, falls die Gruppen entweder die multiplikativen Gruppen
endlicher Körper, siehe [Avan06] Kapitel 20, oder die Jacobischen hyperelliptischer Kurven vom Geschlecht g > 2 sind, siehe [Avan06] Kapitel 21, und[EnGau02]. Es existieren daher zur Zeit für sorgfälltig gewählte elliptische
Kurven und hyperelliptische Kurven vom Geschlecht zwei keine Algorithmen,
die das DLP in subexponentieller Zeit lösen. Diese Tatsache ist der Grundfür die Attraktivität dieser Gruppen in der gruppenbasierten Kryptographie. Deshalb benötigt die Konstruktion dieser Kryptosysteme eine passende Gruppe mit einer Untergruppe von Primzahlordnung. Die CM-Methodenbieten an dieser Stelle eine Alternative, wie in ECPP, zu den Punktzählalgorithmen an.

Bemerkung 3.4. Obwohl es Spekulationen gibt, dass die speziellen Eigenschaften der komplexen Multiplikiation eventuell zu Angriffen führen könnten, ist kein Angriff solcher Art zur Zeit bekannt, siehe [BSS99], S. 151,
VIII.2.

3.2. KONSTRUKTION ELLIPTISCHER KURVEN

39

Paarungen
Mit Hilfe der Weil- und Tate-Lichtenbaum Paarungen ist es möglich das
DLP auf der Jacobischen einer hyperelliptischen Kurve vom Geschlecht güber Fq auf das DLP über dem endlichen Körper Fqk zu übertragen, wobei
k- der Einbettungsgrad- von q und von den Torsionspunkten der Primzahlordnung l, ggT(l, q) = 1, auf der Jacobischen abhängt, siehe [Avan06],
chapter 6. Ist k klein, so lässt sich das DLP auf diesen Kurven mittels der
MOV/Frey-Rück Angriffe, [Avan06], chapter 22.2, lösen, denn wir können für
das DLP auf Fqk das Index-Calculus Verfahren anwenden. Die supersingulären Jacobi-Varietäten der algebraischen Kurven vom Geschlecht eins undzwei besitzen kleine Einbettungsgrade. Daher sind sie für die Konstruktion
gruppenbasierter Kryptosysteme nicht geeignet.
Andererseits sind diese Paarungen zur Zeit die einzigen Abbildungen, die
identitätsbasierte Kryptosysteme realisieren, siehe [BSS05], Kapitel X, und[Avan06], chapter 24. Dieser konstruktive Aspekt führt dazu, dass man Kurven mit dem optimalen k konstruieren will, der nicht so klein ist, dass das
DLP in subexponentieller Zeit gelöst werden kann, aber gleichzeitig nicht
groß ist, so dass die Paarungen effizient berechenbar sind. Man braucht die
gewöhnlichen Jacobischen algebraischer Kurven, um optimale Einbettungsgrade zu erzielen. Die Konstruktion solcher Kurven basiert auf der CMMethode, welche kontrolliert Kurven konstruiert, deren Jacobischen optimale Einbettungsgrade haben, siehe dazu [FST06] und [Fre08]. Es existieren
zur Zeit, außer den CM-Methoden, keine Methoden, die die Jacobischen mit
optimalen Einbettungsgraden konstruieren.

3.2

Konstruktion elliptischer Kurven

In diesem Abschnitt werden wir uns mit der CM-Konstruktion elliptischer
Kurven beschäftigen. Neben der Grundidee der CM-Konstruktion, werden
wir auch auf die Berechnung der Klassenpolynome eingehen, da die Konstruktion dieser Polynome den aufwendigsten Teil der CM-Konstruktion darstellt. Dafür werden die analytischen Methoden der Konstruktion der Klassenpolynome erklärt. Desweiteren werden wir auch die anderen Probleme,
die bei dieser Konstruktion vorkommen nebst ihren Lösungen erläutern.

3.2.1

Algorithmus

Es sei E eine elliptische Kurve über C. Im ersten Kapitel haben wir gesehen, dass jede elliptische Kurve mit komplexer Multiplikation über C einen
Definitionskörper K hat, welcher ein Zahlkörper ist. Ferner ist der Endomorphismenring EndK (E) genau dann zu einer Ordnung Ot eines imaginär

40

KAPITEL 3. DIE CM-METHODEN

quadratischen Zahlkörpers k (mit der Diskriminante dk ) isomorph, falls E
komplexe Multiplikation besitzt.
Wir wollen eine gewöhnliche elliptische Kurve mit vorgegebener Ordnung
N = p + 1 − t über einem endlichen Körper Fp , p > 3, konstruieren. Zunächst
konstruieren wir dazu eine elliptische Kurve E über K, die komplexe Multiplikation mit einem vorgegebenen Endomorphismenring EndK (E) ∼= Ot besitzt, wobei Ot die Ordnung modulo t von k mit der Diskriminante D = t2 dk
ist. Es existiert ein Isomorphismus zwischen der Galoisgruppe des Ringklassenkörpers Ωt modulo t über k und der Ringklassengruppe Clt nach dem
Satz 2.12 aus dem zweiten Kapitel. Zu jedem Primideal q, welches zu (t)teilerfremd ist, haben wir daher die folgende Äquivalenz:
q ist Hauptideal in Ot ⇔ q ist voll zerlegt in Ωt .

(3.1)

Bestimmung der Primzahl: Der Satz von Hasse besagt, dass für die Gruppe E(Fp ) der Fp −rationalen Punkte einer elliptischen Kurve E stets√|E(Fp )| = p + 1 − t mit |t| ≤ 2 p

(3.2)

√
√
gilt. Wir bestimmen daher eine Primzahl p ∈ [N + 1 − 2 N , N + 1 + 2 N ],die in Ot zerlegt ist:
Dazu überprüfen wir, ob die Gleichung x2 − Dy 2 = 4p ganzzahlige Lösungen(u, v) besitzt.
Die Lösungen dieser Gleichung lassen sich mit Hilfe vom Cornacchias Algorithmus bestimmen, siehe [Coh93], S. 36, algorithm 1.5.3, falls es welche
gibt.
√Dann gelten für π = u+v2 D die Gleichungen ππ̄ = p und t = π + π̄, siehe[Coh93], S. 471. Da es sich um eine gewöhnliche elliptische Kurve handelt,
fordern wir, dass t 6= 0 gilt. Wir haben daher die Eigenschaft nach derÄquivalenz 3.1, dass (p) in Ωt voll zerlegt ist.
Berechnung der Klassenpolynome: Die klassische Methode ist die analytische Konstruktion dieser Polynome mittels der Isomorphie Clt ∼= Gal(Ωt /k).
Da nach dem Hauptsatz 2.12 der komplexen Multiplikation Ωt = k(j(τ )) mitτ ∈ Ot gilt, und nach 2.12, (3), die j(I) mit I ∈ Clt ein komplettes Systemder konjugierten Zahlen sowohl über k als auch über Q bilden, kann man
durch das Numerieren der Elemente ji = j(Ii ), Ii ∈ Clt , i = 1, · · · , ht , das
Minimalpolynom wie folgt berechnen:
HD (x) =htYi=1(x − ji ) ∈ Q[x].

(3.3)

3.2. KONSTRUKTION ELLIPTISCHER KURVEN

41

Satz 3.5. Die j−Invariante einer elliptischen Kurve E über C mit komplexer
Multiplikation ist eine ganz algebraische Zahl.
Beweis: Der Satz 3.5 kann mittels der klassischen analytischen Methodeoder der Reduktionstheorie bewiesen werden. Für die jeweiligen Beweise verweisen wir auf [Sil94], S. 140 bis 151. ¤Nach dem Satz 3.5 haben wir nun
HD (x) ∈ Z[x].

(3.4)

Dieses Polynom heißt das Hilbertklassenpolynom der Ordnung Ot , da im
Falle maximaler Ordnung Ok nach dem Satz 2.10 das Polynom HD (x) den
Hilbertklassenkörper Hk über k erzeugt. In der Literatur sagt man im allgemeinen Fall auch, dass das Polynom HD (x) Ringklassenpolynom ist. Wir
benutzen im Folgenden aber in beiden Fällen den Begriff Hilbertklassenpolynom.
Da das Ideal (p) in Ωt voll zerlegt ist, zerfällt das Hilbertklassenpolynom
HD (x) über Fp in Linearfaktoren. Zusätzlich gilt für das Polynom HD (x)der folgende Satz:√
Satz√ 3.6. Die Nullstellen von HD (x) modulo p mit p ∈ [N +1−2 N , N +1+
2 N ] sind genau die j−Invarianten der gewöhnlichen elliptischen Kurven,deren Endomorphismenringe isomorph zu der Ordnung Ot sind.
Beweis: Zunächst sei ε eine gewöhnliche elliptische Kurve über Fp . Wir betrachten nun einen Endomorphismus φ ∈ EndFp (ε) mit der Eigenschaft, dass
EndFp (ε) = Z[φ] = Ot gilt. Nach dem Lifting-Satz von Deuring, [Lang73], S.
184, existiert eine elliptische Kurve E über einem Zahlkörper K, ein Endomorphismus φ0 ∈ EndK (E), und ein Primideal p über p, so dass E eine gute
Reduktion E modulo p besitzt, und die Endomorphismenringe von E und εisomorph sind. Aus unserer Wahl End(E) = Z[φ] und der Kommutativität
dieses Endomorphismenrings folgt, dass die Abbildung zwischen dem reduzierten Endomorphismenring von EndK (E) modulo p und EndK (E) surjektiv ist, und nach [Lang73], S. 182, sie für jede Reduktion injektiv ist. Daher
existiert zu jeder gewöhnlichen elliptischen Kurve ε über Fp eine elliptische
Kurve E über einem Zahlkörper K mit EndK (E) ∼= EndFp (ε). Dies impliziert, dass die elliptische Kurve ε/Fp als eine Reduktion einer Kurve E/Ωtvorkommt.
Umgekehrt sei E eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper K mit CM,
d. h. EndK (E) ist isomorph zu einer Ordnung Ot in einem imaginär quadratischen Zahlkörper k. Da p in K voll zerlegt und kein Teiler des Führers vonOt ist, gilt EndK (ε) ∼= EndFp (E), siehe [Lang73], S. 175 bzw. 182. Wir habensomit die Eigenschaft, dass die Nullstellen von HD (x) die j−Invarianten derelliptischen Kurven über Fp sind. ¤42

KAPITEL 3. DIE CM-METHODEN

Twists: Nun werden wir aus den j−Invarianten die expliziten Gleichungender elliptischen Kurven bestimmen. Falls für die Charakteristik des endlichen
Körpers Fq stets 6= 2, 3 gilt, können wir jede elliptische Kurve über Fq in derkurzen Weierstraßform

E(Fq ) = {(x, y) ∈ Fq × Fq : y 2 = x3 + ax + b, a, b ∈ Fq } ∪ {OE }(3.5)

mit 4a3 + 27b2 6= 0 schreiben. Dann ist die j−Invariante von 3.5
j = 1728

4a3.
4a3 + 27b2

(3.6)

Nicht isomorphe Kurven über Fp mit der gleichen j−Invariante heißen Twists
voneinander. Nun wollen wir feststellen, wie viele Twists einer elliptischen
Kurve mit der j−Invariante j existieren, und daraus was die Anzahl r dernicht isomorphen elliptischen Kurven mit der vorgegebenen j−Invarianteüber Fp ist. In der Literatur existieren dazu falsche Angaben, siehe [Coh93],
S. 472. Daher führen wir im Folgenden einen Beweis für diese Anzahl aus.
Weil die Aussage für beliebige endliche Körper Fq nicht schwerer zu zeigen
ist, werden wir die Aussage in dieser allgemeinsten Form formulieren:
Satz 3.7. Es sei Fq ein endlicher Körper der Charakteristik > 3 mit j ∈ Fq .
Dann ist die Anzahl r der Twists einer elliptischen Kurve über Fq mit derj−Invariante j durch4 , falls j = 1728 und q ≡ 1 mod 4
r = 6 , falls j = 0 und q ≡ 1 mod 3
(3.7)


2 sonstgegeben. Außerdem sind zwei gewöhnliche elliptische Kurven E und E 0 überFq genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Ordnung und die gleiche j−
Invariante haben.
Beweis: Es sei nun die Zahl n durch2 , falls j 6= 0, 1728,
n = 4 , falls j = 1728,

6 , falls j = 0(3.8)

gegeben.
Nach [Sil86], S. 308, Proposition 5.4., ist die Anzahl r gleich dem Index derUntergruppe (F∗q )n von F∗q . Nun sei α ein Erzeuger der Gruppe F∗q . Dann ist
αn ein Erzeuger von (F∗q )n . Wir haben daherord(αn ) = ggTq−1.
(n,q−1)

3.2. KONSTRUKTION ELLIPTISCHER KURVEN

43• Für j 6= 0, 1728 gilt ord(α2 ) = (q − 1)/2 und somit r = 2,
• Für j = 1728 und q ≡ 1 mod 4, gilt ggT(4, q − 1) = 4 ⇒ r = 4. Fürq 6≡ 1 mod 4 gilt ggT(4, q − 1) = 2 ⇒ r = 2.
• Für j = 0 und q ≡ 1 mod 3, gilt ggT(6, q − 1) = 6 ⇒ r = 6. Fürq 6≡ 1 mod 3 gilt ggT(6, q − 1) = 2 ⇒ r = 2.
Für die zweite Aussage merken wir an, dass wir EndFq (E) = EndFq (E)haben, da E gewöhnlich ist, und daher einen kommutativen Endomorphismenring besitzt. Eine Richtung folgt nun aus der Eigenschaft, dass es eineüber Fq definierte Isogenie λ zwischen E und E 0 gibt, falls sie die gleiche
Ordnung besitzen, siehe [Tate66], S. 139, theorem 1:
Da j(E) = j(E 0 ) gilt, existiert eine Isomorphie γ zwischen E und E 0 überFq . Dann gilt γ ◦ λ ∈ EndFq (E). Für jedes Element σ ∈ Gal(Fq /Fq ) folgt
daher ausγ σ ◦ λ = γ σ ◦ λσ = (γ ◦ λ)σ = γ ◦ λstets γ σ = γ, da (γ σ − γ) ◦ λ = 0 gilt, und λ als Isogenie insbesondere surjektiv ist.
Die andere Richtung ist trivial. ¤Korollar 3.8. Folgende elliptische Kurven haben die j−Invariante j überjedem Körper der Charakteristik 6= 2, 3:27j27j
x − 4(1728−j), falls j 6= 0, 1728,
y 2 = x3 + 4(1728−j)

y 2 = x3 + 1, falls j = 0,y 2 = x3 + x, falls j = 1728.
Beweis: Aus der elementaren Rechnung der j−Invariante der angegebenen
elliptischen Kurven folgen die Behauptungen. Für die Auswahl dieser Gleichungen der Kurven verweisen wir auf [Lang73], S. 18 und 19. ¤Bemerkung 3.9.
1. Es folgt nach dem Satz 3.7, dass entweder eine derKurven aus 3.8 oder einer ihrer Twists genau N Punkte hat. Falls
nicht die Kurven aus 3.8 sondern einer ihrer Twists die Ordnung N
besitzt, kann man die Gleichungen dieser Twists nach [Coh93], S. 472
und 473, angeben.
2. Wir merken an, dass in [Coh93], S. 472, für die Fälle q 6≡ 1 mod 3 undq ≡ 3 mod 4, 6 bzw. 4 Kurvengleichungen angegeben wurden, und nachSatz dem 3.7 nur zwei dieser Gleichungen die Twists und die restlichen
eine zu diesen elliptischen Kurven isomorphe Kurven liefern.

44

KAPITEL 3. DIE CM-METHODEN

Wir haben nun einen Algorithmus, der zu einer vorgegebenen Zahl N stets
die Diskriminante D < 0 und u, v mit u2 − Dv 2 = 4p, p >√3, berechnet,√unddamit auch eine elliptische Kurve E über Fp , p ∈ [N +1−2 N , N +1+2 N ]der Ordnung N mit Hilfe der CM-Methode konstruiert. Dieser Algorithmus
findet eine elliptische Kurve der Ordnung N , falls eine existiert. Der Beweis
folgt unmittelbar aus unseren Vorüberlegungen.

Algorithmus 1: Konstruktion elliptischer Kurven
Eingabe: Eine√natürliche Zahl
√ N und eine Primzahlp ∈ [N + 1 − 2 N , N + 1 + 2 N ] mit p 6= 2, 3
Ausgabe: Eine elliptische Kurve E über Fp der Ordnung N
1. Bestimme die Diskriminante D < 0 und u, v mit u2 − Dv 2 = 4p
2. Berechne das Hilbertklassenpolynom HD (x) ∈ Z[x].
3. Reduziere das Polynom HD (x) modulo p und bestimme eine Nullstellej ∈ Fp .
27j
4. Setze a ← 4(1728−j)
und E : y 2 = x3 + ax − a, falls j 6= 0, 1728,
y 2 = x3 + 1, falls j = 0, y 2 = x3 + x, falls j = 1728 ist.

5. Gebe E oder einen ihrer Twists der Ordnung N zurück.

1. Schritt: Falls u, v nicht bekannt sind, kann man, wie zuvor erwähnt
wurde, den Cornacchias Algorithmus, [Coh93], S. 36, benutzen, um geeignete
u und v zu bestimmen.
2. Schritt: Der ist der aufwendigste Schritt. Es gibt drei verschiedene Methoden, um die Klassenpolynome zu berechnen. Die klassische Methode ist
die analytische Konstruktion des Polynoms 3.3, auf die wir im nächsten
Abschnitt und im vierten Kapitel näher eingehen wollen. Es gibt auch die
p−adische Methode der Konstruktion dieser Polynome, die sogenannte nicht
archimedische Methode, siehe [Brö08], und die Konstruktion mit Hilfe desChinesischen Restsatzes, die sogenannte CR-Methode, [Beld08].
Alle Methoden haben unter bestimmten Annahmen die Laufzeit O(|D|1+² )für ² > 0. Die Rekorde liegen zur Zeit bei |D| > 1015 für speziell ausgewählte
Diskriminanten mit einer Kombination der analytischen und CR-Methoden,
siehe [EngSut10].

3.2. KONSTRUKTION ELLIPTISCHER KURVEN

45

3. Schritt: Die Methoden der Faktorisierung der Polynome über endlichen Körpern, zum Beispiel die Algorithmen von Berlekamp oder CantorZassenhaus, können für kleine Diskriminanten angewendet werden. Außerdem wird die spezielle Eigenschaft, dass wir die Galoisgruppe des Ringklassenkörpers über k kennen, ausgenutzt, um eine Nullstelle dieses Polynoms
modulo einer großen Primzahl zu bestimmen, falls die Diskriminante undsomit die Klassenzahl größer wird, und daher mittels der klassischen Faktorisierungsmethoden die Nullstellen zu bestimmen nicht mehr möglich ist.
Für die Details verweisen wir auf [HanMor01] und [EngMor03].
4. Schritt: Wir wissen, dass entweder die elliptischen Kurven 3.8 oder einer
ihrer Twists die Ordnung N hat. Daher ist die Kenntnis, welcher Twist der
Kurven 3.8 die Ordnung N besitzt, für die Effizienz des Verfahrens vorteilhaft.
In [RubSil09] wird ein Verfahren beschrieben, welches mittels des Shimuraschen Reziprizitätsgesetzes den richtigen Twist zuvor bestimmt, damit nicht
alle Twists ausprobiert werden müssen, um die richtige elliptische Kurve der
Ordnung N zu bestimmen.
5. Schritt: Wenn wir nur eine Untergruppe der Primzahlordnung q bestimmen wollen, müssen wir überprüfen, ob die elliptische Kurve E eine
Untergruppe hat, die genau q Punkte besitzt. Man wählt dazu einen zufälligen Punkt P der elliptischen Kurve und überprüft, ob q.P = OE gilt. Wir
verweisen auf [Mor05] für die Details.

3.2.2

Probleme

Um die numerische Berechnung des Hilbertklassenpolynoms HD (x) durchführen zu können, müssen wir eine obere Schranke für die benötigte Präzision
bestimmen, damit wir bei der Berechnung keine Rundungsfehler haben undsomit die ganzzahligen Koeffizienten berechnen können. Eine obere Schranke
ist nach [Beld08], S. 285, durch





X
p
1 
log2 2.48ht + π |D| + 1,a(a,b,c)∈H(D)gegeben, wobei mit H(D) die Formklassengruppe, die Gruppe der reduzierten binären quadratischen Formen der Diskriminante D, bezeichnet wird.
Die Formklassengruppe ist isomorph zu der Idealklassengruppe Clt durch die
folgende Abbildung, siehe [Uz04], S. 25:√−b + DQ = (a, b, c) 7→ [τ =
, 1],
2a

(3.9)

46

KAPITEL 3. DIE CM-METHODEN

wobei für die Diskriminante von τ stets D(τ ) = D = b2 − 4ac gilt, und [τ, 1]
die entsprechende Idealklasse in der Ringklassengruppe Clt ist. Wir merken
an, dass man in der Praxis wegen der Isomorphie 3.9 die binären quadratischen Formen benutzt, da die Arithmetik quadratischer Formen schneller
durchzuführen ist.
Die Koeffizienten des Hilbertklassenpolynoms sind sehrp groß(verglichen mit
dem Betrag der Diskriminante D). Wir haben ca. |D| Koeffizienten zu
berechnen, denn der Satz von Brauer-Siegel besagt, dass der Grad ht desHilbertklassenpolynoms wie |D|1/2+o(1) wächst, siehe [Br47]. Die Koeffizienten wachsen sogar exponentiell mit dem Betrag der Diskriminante |D|, siehe[BrSt08], S. 23. Für die Diskriminante D = −204 zum Beispiel haben wir
das Hilbertklassenpolynom
H−204 (x) = x6 − 30703802307926880672 · x5 +95864841637996112067555072 · x4 + 775121756231241041610849730560 · x3 +534484930703209896960446929872814080 · x2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
Eine Klasseninvariante ist ein singulärer Wert g(τ ), τ ∈ Ok ∩ H, einer Modulfunktion g der Stufe N mit der Eigenschaft, dass k(j(τ )) = k(g(τ )) gilt.
Die analytische Konstruktion wird in der Praxis mittels singulärer Werten
der sogenannten Klasseninvarianten von Weber oder deren Verallgemeinerungen ermöglicht. Der Vorteil dieser singulären Werten ist, dass die vondenen erzeugten Klassenpolynome für diese Werte wesentlich kleinere Koeffizienten als die Koeffizienten der Hilbertklassenpolynome besitzen. Für die
obige Diskriminante D = −204 bekommen wir zum Beispiel mit einer geeigneten Klasseninvariante das folgende Polynom:
W−204 (x) = x6 − 16 · x5 − 12 · x4 + 48 · x3 + 144 · x2 + 64 · x + 64,
welches wir Weberklassenpolynom nennen.
Daher benutzt man in der Praxis, soweit es möglich ist, diese alternativen
Klassenpolynome. Obwohl, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, dielogarithmische Höhe der Weberklassenpolynome asymptotisch für |D| → ∞nur einen konstanten Faktor kleiner als die logarithmische Höhe der Hilbertklassenpolynome ist, ist die Verbesserung in der Praxis von großer Bedeutung.
Wir werden im nächsten Kapitel auch darauf eingehen, wie man bestimmen
kann, ob ein singulärer Wert einer Modulfunktion höherer Stufe eine
Klasseninvariante ist und wie wir damit eine Familie imaginär quadratischen
Körper bestimmen können, für die diese Polynome als eine alternative zu den
entsprechenden Hilbertklassenpolynome benutzt werden können. Wir brauchen im 3. Schritt des Algorithmus 1 aber die j(τ ) Werte um die Kurvengleichung zu konstruieren. Wir werden auch erläutern, wie die Nullstellen

3.3. KONSTRUKTION HYPERELLIPTISCHER KURVEN

47

dieser Polynome und die Nullstellen der Hilbertklassenpolynome zusammenhängen, damit wir die j Invariante über Fp stets aus den Nulstellen dieser
neuen Polynome bestimmen können.
Als nächstes stellt sich die Frage, wie gut wir auf diese Weise primitive Elemente kleinerer Höhe des Körpers Q(j(τ )) mit einer Klasseninvariante konstruieren können. Auf diese Frage der Optimalität wird auch im nächsten
Kapitel eingegangen.

3.3

Konstruktion hyperelliptischer Kurven

Die Verallgemeinerung der CM-Konstruktion elliptischer Kurven auf hyperelliptische Kurven vom Geschlecht zwei und ihre Jacobischen wird in diesem
Abschnitt erklärt. Wie im Falle der elliptischen Kurven, ist die Konstruktion
der Klassenpolynome der aufwendigste Teil der CM-Konstruktion hyperelliptischer Kurven. Desweiteren sind die Algorithmen nur durchführbar, falls
die CM-Körper gewisse Eigenschaften erfüllen. Diese machen die Konstruktion in vielen anderen Fällen unmöglich. Wir werden näher erläutern, welche
Schwierigkeiten bei der Konstruktion zu diesen Einschränkungen führen.
Die CM-Methode wurde von Spallek, siehe [Spa94], auf die hyperelliptischen
Kurven und ihre Jacobischen vom Geschlecht zwei verallgemeinert. Weng
hat nach den Vorarbeiten von Spallek einen Algorithmus entwickelt, der die
CM-Konstruktion im Geschlecht zwei durchführt, siehe [Weng01]. Wie bei
der CM-Konstruktion elliptischer Kurven gibt es drei verschiedene Methoden
der Konstruktion der Igusaklassenpolynomen, zum einen die analytischevon Weng, zum anderen die p−adische von Kohel et. al., siehe [Gau06]
und [CaKoh08], und auch die CR-Methode, siehe [EiLa05]. Wir werden in
Folgendem die analytische Methode von Weng erklären.
Infolge des Fehlens der Klasseninvariantensysteme ist eine der Konstruktion
der alternativen Klassenpolynome, die in Analogie mit der Klasseninvariante im Geschlecht eins die speziellen Werte der Siegelschen Modulfunktionen
höherer Stufe im Geschlecht zwei sein sollten, bisher jedoch nicht möglich.
Wir werden im Kapitel 5 zum ersten Mal eine Methode entwickeln, die konstruktiv überprüft, ob die Werte solcher Modulfunktionen ein Klasseninvariantensystem bilden.

3.3.1

Algorithmen

Algorithmus von Weng
Wir wollen zunächst eine einfache hauptpolarisierte abelsche Fläche mit komplexer Multiplikation OK konstruieren, wobei OK die Maximalordnung eines

48

KAPITEL 3. DIE CM-METHODEN

primitiven CM-Körpers K vom Grad 4 über Q mit einem reellen quadratischen Teilkörper K0 ist. Dabei wird die Klassengruppe von K0 als trivial
vorausgesetzt. Diese Fläche ist genau die Jacobische einer hyperelliptischen
Kurve vom Geschlecht zwei. Wir wissen, dass K entweder eine zyklische
Erweiterung von Q oder eine nicht-galoissche Erweiterung von Q ist, deren
galoissche Hülle L die Galoisgruppe D4 über Q hat.
Wir fixieren zunächst einen solchen CM-Körper K. Wir merken an, dassdiese Methode nach der Cohen-Lenstra Heuristik, siehe [CohLe84], auf mehrals 3/4 der primitiven CM-Körper anwendbar ist, da die Dichte der reell
quadratischen Zahlkörper mit Klassenzahl eins nach dieser Heuristik größer
als 3/4 ist.
Um eine hyperelliptische Kurve C über einem geeigneten endlichen Körper
Fp zu konstruieren, müssen wir den Frobeniusendomorphismus π betrachten.
Nach dem ersten Kapitel besitzt π ein irreduzibles charakteristisches Polynom vom Grad 4 über Q, welches über Q den CM-Körper K = Q(π) erzeugt,
da K primitiv ist. Mit Hilfe der Nullstellen πi , i = 1, · · · , 4, von π können
wir die Ordnung der Jacobischen J(C) durch|J(C)| =4Y(1 − πi )(3.10)

i=1

bestimmen. Diese Nullstellen πi sind assoziiert, und je zwei Nullstellen unterscheiden sich um eine Einheitswurzel. Daher haben wir zwei mögliche
Gruppenordnungen nach 3.10, falls K keinen Kreisteilungskörper enthält,
das heißt Tor(K) = {±1} ist, wobei Tor(K) die Torsionsgruppe der Einheiten von K bezeichnet. Allgemeiner gibt es daher genau |Tor(K)| Möglichkeiten für die Gruppenordnung.
Um nun eine geeignete Primzahl p zu bestimmen, lösen wir zunächst die
relative Normgleichung zu einem Element ω ∈ OK
ω ω̄ = p.

(3.11)

Bemerkung 3.10. Falls es keine nicht trivialen Einheitswurzeln gibt, liefert
die Methode von Weng für die Jacobische J(C) über Fp zwei mögliche Gruppenordnungen N1 und N2 . Wenn p in K voll zerfällt und K nicht galoisschist, existieren drei oder vier mögliche Gruppenordnungen, falls die Normgleichung 3.11 zwei verschiedene Lösungen, abgesehen vom Vorzeichen, besitzt,siehe [Weng01], S. 52 und 53, Satz 3.1.8.
Nach diesen Vorüberlegungen können wir eine hyperelliptische Kurve überFp konstruieren, falls p der relativen Normgleichung 3.11 genügt.
Wie bei den elliptischen Kurven, wollen wir nun alle nicht isomorphen hauptpolarisierten abelschen Flächen bestimmen, die die komplexe Multiplikation

3.3. KONSTRUKTION HYPERELLIPTISCHER KURVEN

49

durch die Maximalordnung OK besitzen. Diese werden durch die Periodenmatrizen τi in der Siegelschen oberen Halbebene H2 gegeben.
√
Es sei nun K0 = Q( d), d ∈ N, der reell quadratische Teilkörper von K.
√
Wir können den CM-Körper K durch√K = Q(i α) mit einem quadratfreien
total positiven Element α = a + b d angeben. Ferner bezeichne U + die
Gruppe aller Einheiten mit positiver Norm von K0 und U1 die Untergruppe
der gesamten Normeinheiten bezüglich K/K0 von U + . Es gilt U + = U1 , falls
die Fundamentaleinheit in K0 eine negative Norm hat. Da die Klassenzahl
von K0 eins ist, existiert eine relative Ganzheitsbasis von OK von der Form
OK0 + γOK0 mit γ ∈ OK .

(3.12)

Die reelle Konjugation von K0 hat zwei Fortsetzungen nach K. Wir setzen
p
p
√ +
√ +
σ̂(i α ) = i σ(α) und ρσ̂(i α ) = −i σ(α),(3.13)√ +wobei a die positive Quadratwurzel einer reellen Zahl a, σ die reelle Konjugation von K0 und ρ die komplexe Konjugation von K sind.
Es gilt nun der folgende Satz von Spallek, siehe [Spa94], S. 60, Satz 4.7, undS. 62 Satz 4.8, welcher ein volles Repräsentantensystem nicht isomorpher
einfacher hauptpolarisierter abelscher Flächen mit CM durch OK und die
zugehörigen Periodenmatrizen bestimmt
Satz 3.11. Es sei K ein primitiver CM-Körper vom Grad 4 über Q mit der
Klassengruppe τ1 , · · · , τhK mit =(τj ) > 0, j = 1, · · · , hK , gegeben. Fernerseien K0 = Z + Zω der reelle quadratische Zahlkörper von K, σ die reelle
Konjugation von K0 , ρ die komplexe Konjugation von K und ϕ = ρσ̂.
1. Ein Repräsentantensystem nicht isomorpher einfacher hauptpolarisierter abelscher Flächen mit CM durch OK , ist durch folgende Menge
gegeben(K1,ϕ, falls K galoissch ist,
K=
K1,ϕ ∪ K1,ϕ̄ , sonstwobei K1,ϕ und K1,ϕ̄ durch die folgenden Mengen definiert sind:ϕϕ
{(τj , τj ), (ε0 τj , ε0 τj ) : NK/K0 (τj ) ist total positiv}, falls ε0 ∈ U1 ist,
K1,ϕ = {(τj , τjϕ ) : NK/K0 (τj ) ist total positiv}, falls ε0 ∈ U + \U1 ist,{(τj , τjϕ ) : NK/K0 (τj ) ist total positiv}, sonst,

ϕ̄
ϕ̄

{(τj , τj ), (ε0 τj , (ε0 τj ) ) : NK/K0 (τj ) ist nicht total pos.}, falls ε0 ∈ U1 ist,
K1,ϕ̄ = {(τj , τjϕ̄ ) : NK/K0 (τj ) ist nicht total pos.}, falls ε0 ∈ U + \U1 ist,{(ε0 τj , ε0 τjϕ̄ ) : NK/K0 (τj ) ist total positiv}, sonst.

50

KAPITEL 3. DIE CM-METHODEN
2. Die Periodenmatrix einer einfachen hauptpolarisierten abelschen Fläche vom Typ (K, {1, ψ}) der Form (sj , sψj ) ist durch folgende Matrix
gegeben:1Ω(s ,sψ ) =j j
ω − ωσÃω 2 sj − (ω ψ )2 sψωsj − ω ψ sψjj
ψωsj − ω ψ sψ
s
−
s
j
j
j

!
.

Der folgende Satz gibt die Anzahl der Periodenmatrizen nicht isomorpher
einfachen abelschen Flächen an:
Satz 3.12. Es sei K ein primitiver CM-Körper vom Grad 4 über Q und C(K)die wie in 2.1 definerte Gruppe mit h := |C(K)|. Dann gilt für die Anzahl sder Periodenmatrizen nicht isomorpher einfacher abelscher Flächen mit dem
Endomorhismenring OK(h, falls K galoissch ist,s=
2h, falls K nicht galoissch ist.
Beweis: Nach dem Satz 2.1 und 2.2 haben wir für die Anzahl s0 der Isomorphieklassen der hauptpolarisierten abelschen Varietäten vom CM-Typ(K, Φ) stets|Cl(OK )|∗ +∗) /NK/K0 (OK
)|.
s0 =
|(OK
0
|Cl0 (OK0 )|Dieser Wert ist offenbar von der Auswahl des CM-Typs Φ unabhängig. Es
gibt genau einen CM-Typ im Falle zyklischer primitiver CM-Körper und zwei
CM-Typen im Falle nicht galoisscher primitiver CM-Körper bis auf komplexe
Konjugation. Daher folgt die Behauptung. ¤Satz 3.13. Es sei K ein primitiver CM-Körper vom Grad 4 über Q übereinem reell quadratischen Zahlkörper K0 , dessen Klassenzahl hK0 = 1 ist.
Dann gilt für die Anzahl s der Periodenmatrizen nicht isomorpher einfacher
abelscher Flächen mit dem Endomorhismenring OK(
hK , falls K galoissch ist,s=
2hK , falls K nicht galoissch ist,
wobei hK die Klassenzahl von K bezeichnet.
Beweis: Es gilt∗ )+ /N∗|(OK
K/K0 (OK )|0|Cl0 (OK0 )|=1nach [Weng01], S. 54. Dann folgt aus 3.12 die Behauptung. ¤3.3. KONSTRUKTION HYPERELLIPTISCHER KURVEN

51

Invarianten und Klassenpolynom
Nun muss man wie im Falle der j−Invariante die Klasseninvarianten j1 , j2
und j3 von Igusa berechnen. Diese Invarianten sind rationale Funktionen
der geraden Thetanullwerte, wie wir im ersten Kapitel gesehen haben. Man
berechnet daher mittels der geraden Thetanullwerte die numerischen Werte(l)dieser Invarianten ji = ji (Ωl ), i = 1, 2, 3 und l = 1, · · · , s, und konstruiert
die entsprechenden Igusaklassenpolynome durch
Hi (x) =sY(l)(x − ji )(3.14)

i=1

Diese Polynome haben rationale Koeffiziente, weil für jeden Autormorphismus σ von C die hauptpolarisierte abelsche Varietät (Aσ , E σ ) vom CM-Typ(K, Φ) ist, falls (A, E) vom CM-Typ (K, Φ) ist, siehe [Spa94], S. 75 und 76.
Somit haben wir
Hi (x) ∈ Q[x].
(3.15)
Für diese Polynome berechnet man das kleinste gemeinsame Vielfache D derNenner mittels des Kettenbruchalgorithmus, damit wir durch das Multiplici (x) ∈ Z[x] berechnen können,
zieren mit D die Polynome D · Hi (x) = H
siehe [Weng01], S. 37. Dann werden die Polynome modulo p reduziert, um
die entsprechenden Igusa-Invarianten modulo p zu bestimmen. Im Gegensatz
zu den Hilbertklassenpolynomen zerfallen die Igusaklassenpolynome modulo
p nicht immer in Linearfaktoren. Der folgende Satz besagt aber, dass die
reduzierten Polynome mindestens eine Nullstelle modulo p besitzen, siehe[Weng01], Abschnitt 3.2:
Satz 3.14. Die Igusaklassenpolynome besitzen mindestens eine Nullstelle
modulo p, falls p der relativen Normgleichung 3.11 genügt.
Bemerkung 3.15. Aus den Igusa-Invarianten können wir nicht die expliziten Kurvengleichungen direkt bestimmen. Der Algorithmus von Mestre
berechnet zu gegebenen Igusa-Invarianten die expliziten Kurvengleichungen,siehe [Weng01], S. 32.
Als letztes muss man die richtige hyperelliptische Kurve berechnen, deren
Jacobische die vorgegebene Ordnung hat. Dieses geschieht wie im Falle der
elliptischen Kurven mittels der Betrachtung der Twists solcher Kurven, siehe[Weng01], S. 37 und 38.
Der folgende Algorithmus berechnet stets eine hyperelliptische Kurve übereinem endlichen Körper Fp vom Geschlecht zwei, wobei p der relativen Normgleichung 3.11 genügt.

52

KAPITEL 3. DIE CM-METHODEN

Algorithmus 2: Konstruktion hyperelliptischer Kurven (analytisch)Eingabe: Ein primitiver CM-Körper K vom Grad 4 über Q und eine Primzahl p, die der Gleichung 3.11 genügt.
Ausgabe: Eine hyperelliptische Kurve C vom Geschlecht zwei mit
J(C) = N ∈ {N1 , N2 } (oder N ∈ {N1 , · · · , N4 }, siehe 3.10)
1. Bestimme die Liste L = {τ1 , · · · , τs } aller hauptpolarisierten abelschen
Flächen mit CM durch OK anhand von 3.11, wobei s wie in 3.12 ist.
2. Berechne die 10 geraden Thetanullwerte mit hinreichender Präzision.
3. Berechne die Klassenpolynome Hi (x) ∈ Q[x], i = 1, 2, 3.
fi (x) = D · Hi (x) ∈ Z[x].
4. Bestimme D ∈ Z mit H
fi (x) modulo p.
5. Bestimme die Nullstellen j1 , j2 , j3 von H
6. Bestimme die Kurvengleichung mittels {j1 , j2 , j3 } und des Algorithmus
von Mestre, siehe 3.15
7. Gebe C oder einen ihrer Twists der Ordnung N zurück.

Wir werden auf die Probleme, die Einschränkungen und die Laufzeit dieses
Verfahrens im nächsten Abschnitt näher eingehen.
Nicht archimedische MethodeIn [Gau06] und [CaKoh08], haben Kohel et. al. ein alternatives Verfahren zur
Konstruktion der Igusa-Klassenpolynome entwickelt, welches die Methodevon [Brö08] auf Geschlecht zwei verallgemeinert.
Im Gegensatz zur klassischen Konstruktion, basiert das p−adische Verfahren
darauf, dass man, statt mit einem CM-Körper K, mit einer hyperelliptischen
Kurve C über Fpd beginnt, um die Igusa-Klassenpolynome zu berechnen,
wobei p = 2 in [Gau06] und p = 3 in [CaKoh08], d eine kleine natürliche
Zahl sind, so dass der Endomorphismenring der Jacobischen von C leicht zu
berechnen ist.
Der folgende Satz verallgemeinert 3.6 auf abelsche Varietäten, siehe [Gau06],
Satz 3.16.
1. Es seien Qp der Körper der p−adischen Zahlen und Qdp
die eindeutige unverzweigte Körpererweiterung von Qp , Zp und Zdp die

3.3. KONSTRUKTION HYPERELLIPTISCHER KURVEN

53

Ganzheitringe von Qp bzw. Qdp . Es gibt eine abelsche Varietät A0 überZdp , der sogenannte kanonische Lift einer gewöhnlichen abelschen Varietät A über Fdp mit
End(A0 ) ∼= End(A).
Ferner, ist A0 nicht nur über Zdp sondern auch über Q definiert.
2. Es sei C̄ eine gewöhnliche hyperelliptische Kurve über Fpd vom Geschlecht zwei. Dann existiert eine hyperelliptische Kurve vom Geschlecht
zwei über Qdp , deren Jacobische ein kanonischer Lift der Jacobischen
von C ist. Ferner existiert eine (p, p)−Isogenie zwischen J(C) undJ(C σ ), welche die Frobeniusabbildung σ von J(C) in ihren Konjugierten reduziert.
Der Satz 3.16 besagt nun, dass zu einer gewöhnlichen abelschen Varietätüber Fpd stets der kanonische Lift existiert. Er liefert aber keine explizite
Konstruktion.
Die Richelot-Isogenie liefert die Relationen zwischen den definierenden Gleichungen hyperelliptischer Kurven vom Geschlecht zwei, deren Jacobischen(2, 2)−isogen sind. Sie ermöglicht eine explizite Beschreibung des Satzes 3.16
mittels einer Menge der Gleichungen, die den kanonischen Lift definieren,
falls 2 in OK ∼= End(J(C)) voll zerlegt ist. Danach werden diese Gleichungenmittels einer Variante des Newton-Verfahrens gelöst, welches die expliziten
Igusa-Invarianten des kanonischen Lifts mit höher Präzision nebst dem Grads der Igusa-Klassenpolynome mit Hilfe einer Variante des LLL-Algorithmus
berechnet. Für die Details verweisen wir auf [Gau06].
Diese explizite Konstruktion des kanonischen Lifts wurde in [CaKoh08] auf
p = 3 verallgemeinert. Die nicht analytische Methode ermöglicht deshalb
die Konstruktion der Igusa-Klassenpolynome, falls p = 2 oder p = 3 inOK voll zerlegt ist. Eine eventuell explizite Konstruktion der Invariante deskanonischen Lifts würde die Verallgemeinerung dieser Methode für in OK
zerlegte p > 3 erweitern.

Algorithmus 3: Nicht archimedische Konstruktion
Eingabe: Eine gewöhnliche hyperelliptische Kurve C über Fpd vom Geschlecht zwei mit CM durch End(J(C)) ∼= OK , d ∈ N, und eine Primzahl p,
die der Gleichung 3.11 genügt.
Ausgabe: Eine hyperelliptische Kurve C vom Geschlecht zwei mit
J(C) = N ∈ {N1 , N2 } (oder N ∈ {N1 , · · · , N4 }, siehe 3.10)
1. Berechne die Igusa-Invarianten j¯1 , j¯2 , j¯3 von C und wähle einen beliebigen Lift auf Zdp .

54

KAPITEL 3. DIE CM-METHODEN
2. Berechne die Invarianten j1 , j2 , j3 des kanonischen Lifts aus dem Liftim ersten Schritt.
3. Bestimme den Grad s von Hi (x).
4. Wende den LLL-Algorithmus mit den Eingaben s und den Potenzen
von j1 , j2 , j3 an.
5. Bestimme mit den Ergebnissen des vierten Schritts die Polynome Hi (x).
^6. Bestimme D ∈ Z mit Hi (x) = D · Hi (x) ∈ Z[x].
7. Bestimme die Kurvengleichung mittels {j1 , j2 , j3 } und des Mestre-Algorithmus,
siehe 3.15
8. Gebe C oder einen ihrer Twists der Ordnung N zurück.

Siehe [Gau06] und [CaKoh08] für die Details, wie man den LLL-Algorithmus
anwenden kann, um die entsprechenden Potenzen von j1 , j2 , j3 nebst dem
Grad s dieser Polynome zu bestimmen.

3.3.2

Einschränkungen und Probleme

Klassenzahl von K0 : Der Algorithmus von Weng setzt voraus, dass der reell
quadratische Zahlkörper K0 die Klassenzahl eins hat. In diesem Fall existierteine relative Ganzheitsbasis von K über K0 . Aber schon die Existenz einersolchen ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass wir die Menge aller nicht
isomorpher hauptpolarisierter abelscher Varietäten bestimmen können. Wir
werden im fünften Kapitel die Bedingungen für die Existenz einer relativen Ganzheitsbasis von K über K0 herleiten, um die CM-Methode auf alleprimitiven CM-Körper K zu erweitern.
Berechnung der Periodenmatrizen und Thetanullwerte: Um die Werte j(τi ) schneller berechnen zu können, wendet man im Geschlecht eins die
SL(2, Z) äquivalenten Elemente von τi ∈ ClO an, welche im Fundamentalbereich von H liegen, da die j−Invariante in diesem Fall schneller konvergiert.
Seit der Arbeit von Gottschling [Got59] ist es möglich, auch im Geschlecht
zwei die Peridodenmatrizen zunächst auf den Fundamentalbereich B abzubilden.
Die MAGMA-Funktion, [MAGMA], To2DUpperHalfSpaceFundamentalDomain
bildet zum einen jede Periodenmatrix nach B ab und gibt zum anderen die
Transformationen aus, welche uns eine schnellere Konvergenz unserer Igusaklasseninvariante ermöglichen.

3.3. KONSTRUKTION HYPERELLIPTISCHER KURVEN

55

Im Schritt 3 des Algorithmus 2 müssen wir die Thetanullwerte mit hinreichender Präzision berechnen, damit die Werte der Igusa-Klasseninvariante
im Schritt 4 berechnet werden können. Weng hat Schranken für die Thetanullwerte mit vorgegebener Präzision im Geschlecht zwei angegeben, [Weng01]
S. 27. Eine verbesserte Version der Schranken der Thetanullwerte ist in derArbeit von Dupont zu finden. Damit ist es möglich, die Thetanullwerte(und somit die Igusa-Klassenpolynome) mit absolutem Fehler < 10−s zu
berechnen, [Dup06], S. 138 bis 141. Schließlich hat Streng, [Str10], S. 35, mit
Hilfe dieser Schranken eine verbesserte Version der Berechnung der IgusaKlasseninvarianten gegeben:
µ
¶
τ1 τ3
Korollar 3.17. Es seien Ω =∈ B, xj und yj der reelle bzw.
τ3 τ2
imaginäre Teil von zj , j = 1, 2, 3, und jk die in 1.28 definierten IgusaInvarianten. Dann gilt
• log2 |h4 (Ω)| < 8,
• log2 |h6 (Ω)| < 13,• log2 |h10 (Ω)| < 11,• log2 |h12 (Ω)| < 17,• − log2 |h10 (Ω)| < π(y1 + y2 − y3 ) + 3 + max{2, − log2 |z3 |},• log2 |jk (Ω)| < 2π(y1 + y2 − y3 ) + 64 + 2max{2, − log2 |z3 |}, k = 1, 2, 3
Schranken für die Nenner der Klassenpolynome: Um die gesamte
Laufzeit der Konstruktion der Igusa-Klassenpolynomen bestimmen zu können, brauchen wir eine obere Schranke D der Igusa-Klassenpolynome fürdie
D · Hi (x) ∈ Z[x]gilt. Diese Schranken werden in [GoLau10] gegeben. Sie ermöglichen es Streng([Str10]), die Laufzeit der Konstruktion der Igusaklassenpolynome durch folgenden Satz anzugeben:Satz 3.18. Es sei ∆0 die Diskriminante des reell quadratischen Teilkörpers K0 eines CM-Körpers K vom Grad vier über Q mit der Diskriminante∆ = ∆1 ∆20 . Die Igusaklassenpolynome Hi (x), (i = 1, 2, 3) im Schritt 3 desAlgorithmus 2 werden für jeden primitiven CM-Körper K vom Grad vier7/2 11/2
über Q in O(∆1 ∆0 ) berechnet, falls die Bedingung 1.18 erfült ist. Die
Länge der Ausgabe ist O(∆21 ∆30 ).

56

KAPITEL 3. DIE CM-METHODEN

Nicht-archimedische Methoden:
Um diese Methode anwenden zu können, benötigt man die Eigenschaft, dassp in OK voll zerlegt ist. Wie wir erwähnt haben, braucht man die explizite Konstruktion der Invariante des kanonischen Lifts, um diese Methode
auf in OK zerlegte p > 3 erweitern zu können. Selbst für p = 3 ist diese explizite Beschreibung sehr kompliziert, siehe [CaKoh08]. Deswegen ist
diese Methode zur Zeit nur sinnvoll, falls 2 oder 3 in OK voll zerlegt ist.
In [Koh07], hat Kohel die nicht-archmedische und analytische Methode implementiert. Wegen der leider zur Zeit fehlenden effizienten Arithmetik der
Thetafunktionen, insbesondere der Thetanullwerte, führte es dazu, dass die
Igusa-Klassenpolynome mit der nicht-archimedischen Methode in dieser Datenbank nur bis zum Grad 96 bestimmt sind.

Kapitel 4

Klassenpolynome vom
Geschlecht eins
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Konstruktion von Klassenpolynomen vom Geschlecht eins.
Es sei k ein imaginär quadratischer Zahlkörper. Im ersten Abschnitt erklären wir das Reziprozitätsgesetz von Shimura, welches uns ermöglichen wird,
effizient zu überprüfen, ob ein singulärer Wert g(τ ) einer Modulfunktion g
der Stufe N eine Klasseninvariante ist, das heißt ob k(g(τ )) = k(j(τ )) gilt.
Weber hat schon im Jahre 1908 in seinem ’Lehrbuch der Algebra’ ([Wb1908])
solche Modulfunktionen höherer Stufe eingeführt. Es ist allerdings bei seinen
Formulierungen nicht klar, ob es sich um einen Satz oder um eine numerische
Beobachtung handelte.
Aufgrund dieser Unklarheit führte Heegner ([Heeg52], S. 22 bis 27) einenlückenhaften Nachweis des Klassenzahleinsproblems. Diese Unklarheiten wurden nach den Vorarbeiten von Weber und Heegner von Birch ([Birch69]) undvon Stark ([St69]) geklärt.
Shimura entwickelte in seinem Buch ’Introduction to the Arithmetic Theoryof Automorphic Functions’ seine abstrakte Theorie, insbesondere sein Reziprozitätsgesetz ([Sh71]) welches Gee und Stevenhagen ermöglichte, die Klasseninvarianteneigenschaft konstruktiv zu überprüfen und die Verallgemeinerung der Klasseninvariante von Weber einzuführen ([GeSt98]).
Schertz ([Sch02]) hat mittels dieses Reziprozitätsgesetzes die von Webereingeführten Klasseninvarianten vollständig bewiesen. Schertz, Enge undMorain benutzten seine Methoden verallgemeinerte Klasseninvarianten zu
entwickeln, die einerseits statt einfachen η−Quotienten mittels der Doppel
η−Quotienten ([EnSch04]), und andererseits mittels verallgemeinerter Weberscher Funktionen konstruiert sind ([EngMor09]).

57

58

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS

Das zur Zeit schnellste Verfahren, welches die Klasseninvarianten als singuläre Werte gewisser η−Quotienten numerisch berechnet, basiert auf der
Berechnung der geraden Thetanullwerte mit hinreichender Präzision mittels der AGM-Methode von Dupont ([Dup07]) und mittels einer Identität
zwischen den Thetanullwerten und der Funktion η 12 . Aus dieser Identität
lässt sich die Werte der Dedekinschen η−Funktion und die Klasseninvarianten etwa mit Hilfe des 12ten Wurzelziehens durch eine Variante der Newton
Iteration berechnen. Dieses Verfahren berechnet die N −signifikanten Bitseines Thetanullwerts in O(M(N ) log N ), wobei M(N ) die Komplexität derMultiplikation zweier N −Bit Zahlen bezeichnet.
Im zweiten Abschnitt werden wir zeigen, dass wir die klassischen Klasseninvarianten als singuläre Werte von Quotienten gewisser Thetanullwerte darstellen können, und somit der zweite Schritt, nämlich die 12ten Wurzeln vonη zu ziehen, gespart werden kann. Dadurch erhalten wir das schnellste Verfahren, welches die Klasseninvarianten mittels der Thetanullwerte berechnet.
Insgesamt sparen wir in der Laufzeit O(M(N ))−Bit Operationen.
Im dritten Abschnitt werden wir zeigen, dass fast alle Klasseninvarianten
von Weber stets Einheiten in den entsprechenden Ringklassenkörpern sind.
Diese Ergebnisse ermöglichen es, neue Klasseninvarianten zu erhalten, auf
die wir auch im dritten Abschnitt eingehen werden.
Die Eigenschaft, dass eine Klasseninvariante eine Einheit in dem entsprechenden Ringklassenkörper ist, liefert ein Verfahren, mit dem die Einheitengruppen solcher Ringklassenkörper berechnet werden können. Wir werdendieses Verfahren im Abschnitt vier entwickeln. Wir wenden dabei die untere
Regulatorabschätzung von Fieker und Pohst ([FiPohst08]) und ein Verfahrenan, welches aus einer Untergruppe von endlichem Index der Einheitengruppe
die volle Einheitengruppe berechnet ([PhZs89], s. 371 und 372).
Die von Gee ([Gee01]), Enge und Morain ([EngMor09]) entwickelten verallgemeinerten Klasseninvarianten werden wir im fünften Abschnitt mittels derThetanullwerte darstellen. Dies ermöglicht, auch in diesen Fällen schnellere Berechnung der numerischen Werte dieser verallgemeinerten Invarianten
durchzuführen. Des Weiteren werden wir auch zeigen, dass die von Gee eingeführten Klasseninvarianten Einheiten in den entsprechenden Hilbertklassenkörpern sind.
Im letzten Abschnitt werden wir auf die Frage der Optimalität der
Klasseninvariante eingehen. Dabei werden wir uns mit der Frage beschäftigen, wie gut wir die alternativen Klassenpolynome im Vergleich zu den
Hilbertklassenpolynomen mittels der CM-Konstruktion erhalten können.
Teile der Ergebnisse der Abschnitte zwei, drei und vier hat uns zu dem
Artikel ’On the computation of class polynomials with “Thetanullwerte” andits applications to the unit group computation’ geführt ([LePoUz09]). Wir4.1. SHIMURASCHES REZIPROZITÄTSGESETZ

59

merken an, dass die Ergebnissen der Darstellung der Invarianten mittels derThetanullwerte dieses Artikels, [LePoUz09], S. 5, im Abschnitt drei mit Hilfe
der Duplikationsformel der Thetafunktionen verbessert sind.

4.1

Shimurasches Reziprozitätsgesetz

Wie wir im dritten Kapitel erwähnt haben, wachsen die Koeffizienten der Hilbertklassenpolynome exponentiell mit dem Betrag der Diskriminante, welche
die Erzeugung der Hilbert- oder Ringklassenkörper für große Diskriminanten
unausführbar macht. Unser Ziel ist es nun, statt der j−Invariante die Modulfunktionen g höherer Stufe zu betrachten. Die Hoffnung ist, dass sowohl die
singulären Werte g(τ ) dieser Funktionen die Hilbert- bzw. Ringklassenkörper
erzeugen, als auch die Minimalpolynome dieser Werte kleinere Koeffizienten
als die Koeffizienten der Hilbertklassenpolynome besitzen. Um die Anwendungen realisieren zu können, auf die wir im dritten Kapitel eingegangensind, müssen wir zusätzlich in der Lage sein, aus den Nullstellen der Minimalpolynome dieser neuen Klasseninvarianten die entsprechenden j−Werte
zu bestimmen.
Um die Minimalpolynome solcher Klasseninvarianten bestimmen zu können,
müssen wir in der Lage sein, die Konjugierten dieser Invarianten zu bestimmen. Dies bedeutet, dass allein die Tatsache, dass die Klasseninvarianten
die Ringklassenkörper erzeugen, uns keine Methode liefert, mit der wir die
Klassenpolynome berechnen können.
Modulfunktionen
Sämtliche Aussagen in diesem Abschnitt sind in [Lang73] zu finden, falls sie
nicht explizit zitiert oder bewiesen sind.
Die Modulfunktionen der beliebigen Stufe N > 1 erhält man durch die Kongruenzuntergruppe Γ(N ) = ker[SL(2, Z) → SL(2, Z/N Z)]. Die kompaktifizierte Riemannsche Fläche (Γ(N )/H)∗ ist isomorph zu der Modulkurve
X(N ) der Stufe N über C. Der Funktionenkörper FN,C von X(N ) über F1,C
hat die Galoisgruppe SL(2, Z/N Z)/{±12 }, wobei 12 die 2×2 Einheitenmatrix
bezeichnet. Die Modulfunktionen der Stufe N sind somit Γ(N )−Invariante
Modulfunktionen auf H, die auch im ’Unendlichen’ meromorph sind. Wir
merken an, dass diese Funktionen unter der Abbildung τ → τ + N invariant
und daher periodisch sind.
Wir werden uns mit den arithmetischen Modulfunktionen beschäftigen, das
heißt Modulfunktionen, deren Fourierkoeffizienten im Kreisteilungskörper
Q(ζN ) liegen . Im Falle N = 1 ist der Funktionenkörper von X(1) bekanntlich F1 = Q(j), da die Modulkurve X(1) über Q definiert ist. Für N > 1

60

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS

müssen wir aber neben der geometrischen Operation der Kongruenzuntergruppe Γ(N ) auf den Funktionenkörper FN der arithmetischen Modulfunktionen der Stufe N auch die Operation der Galoisgruppe (Z/N Z)∗ des N −ten Kreisteilungskörpers Q(ζN ) betrachten, da die Fourierkoeffizienten derModulfunktionen von FN in Q(ζN ) liegen.
Mittels der Operation der Galoisgruppe G(Q(ζN , j)/Q(j)) und des Basiswechsels von Q(ζN ) nach C erhalten wir die Galoisgruppe G(FN /F1 ) als
semidirektes Produkt
SL(2, Z/N Z)/{±12 } o (Z/N Z)∗ ∼= GL(2, Z/N Z)/{±12 }.

(4.1)

Wir merken an, dass die Gruppe (Z/N Z)∗ in GL(2, Z/N Z)/{±12 } so eingebettetµ¶ist, dass wir die Untergruppe der Elemente der Form
1 0
∈ GL(2, Z/N Z) mit d ∈ (Z/N Z)∗ betrachten.
0 dDaher erhalten wir das folgende exakte Diagramm von Gruppen:1/ {±1}/ SL(2, Z/N Z)/ Gal(FN /F1 (ζN ))

/1

1


/ {±1}

/ GL(2, Z/N Z)

/ Gal(FN /F1 )


/1






/ Gal(F1 (ζN )/F1 )


/ 1.

/1

1

det

/ (Z/N Z)∗(4.2)

Nun können wir die Galoisgruppe aller arithmetischen Modulfunktionen
F = ∪N ≥1 FN über F1 durch den projektiven Limes wie folgt beschreiben:∼blim (GL(2, Z/N Z)/{±12 }) = GL(2, Z)/{±12 } = Gal(F/Q(j)).

←N

(4.3)

Wir erhalten somit die folgende exakte Sequenz1/ {±1}/ GL(2, Z)b/ Gal(F/F1 )

/ 1.

(4.4)

Reziprozitätsgesetz
Es sei k ein imaginär quadratischer Zahlkörper mit der Diskriminannte d.
Ferner bezeichne Ot für ein t ∈ N die Ordnung mit dem Führer t in k, Clt
die Idealklassengruppe von Ot . Wir können diese Ordnung explizit wie folgt
angeben:4.1. SHIMURASCHES REZIPROZITÄTSGESETZ

61

#
√
d+ d
Ot = t ·
,1 ,
2
"

(4.5)

wobei für Q−linear unabhängige Vektoren ω1 , ω2 mit [ω1 , ω2 ] := Zω1 + Zω2
das von diesen Vektoren erzeugte Gitter zu verstehen ist.
Nach dem Hauptsatz der komplexen Multiplikation für die Ordnungen derimaginär quadratischen Zahlkörper 2.12 folgtk(j(I)) = Ωt für alle I ∈ Clt .
Ωt ist eine abelsche Körpererweiterung von k, welche zu der Untergruppe
Ut der Idealgruppe von k gehört, die durch die Ideale der Form (λ), λ ∈ Z,
mit ggT(λ, t) = 1 und λ ≡ r mod t für ein geeignetes r ∈ Z erzeugt wird,[Sch02], S. 328.
Nun können wir den Hauptsatz der komplexen Multiplikation 2.12 mit dem
folgenden Satz verallgemeinern, [Lang73], S. 128:
Satz 4.1. Es seien k und Ot wie oben und N ≥ 1. Dann ist der Strahlklassenkörper HN,Ot bezüglich der Ordnung Ot des Führers N über Ωt durch die
Werte g(τ ) der Funktionen g ∈ FN erzeugt, welche keine Pole an τ besitzen.
Ferner wird die maximal abelsche Erweiterung k ab über k durch die endlichen
Werte der Funktionen f ∈ F erzeugt.
Es sei g nun eine arithmetische Modulfunktion der Stufe N und τ ∈ Ot . Nach
4.1 gilt g(τ ) ∈ HN,Ot . Falls alle Automorphismen der Gruppe Gal(k ab /Ωt )auf g(τ ) trivial operieren, dann liegt g(τ ) bereits im Ringklassenkörper Ωt .
Somit ist g(τ ) eine Klasseninvariante.
Die Galoisgruppe Gal(k ab /Ωt ) können wir mittels der Klassenkörpertheorie
beschreiben.
Wir wählen τ ∈ k ∩ H mit dem Minimalpolynom AX 2 + BX + C ∈ Z[X]
mit A > 0. Wir haben Ot = Z[Aτ ] mit der DiskriminanteD(τ ) = B 2 − 4AC = t2 d.
∗ der archimedische Teil von k ∗ , k ∗Es seien ka∗ die Idelgruppe von k, k∞a∞+ die∗ . Dann liefert derzusammenhängende Komponente des Einselements von k∞
Hauptsatz der Klassenkörpertheorie in der idelischen Sprache die folgende
exakten Sequenz (wie wir im zweiten Kapitel 2.6 gesehen haben):1/ k∗ k∗∞+/ k ∗ Ar / Gal(k ab /k)
a

/ 1,

(4.6)

62

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS

wobei Ar die Artinabbildung auf die Idelgruppe ka∗ von k bezeichnet. Weil die∗ . Ausser∗= k ∗ k∞+Einheitengruppe von k endlich ist, gilt zunächst k ∗ k∞+
dem ist k insbesondere ein total komplexer Zahlkörper. Deswegen können wirb ∗ vondie exakte Sequenz 4.6 mittels der endlichen Idelgruppe kb∗ = (k ⊗Z Z)
k beschreiben, da das Bild des unendlichen Teils unter der Artinabbildung
trivial ist. Der Hauptsatz der Klassenkörpertheorie für die imaginär quadratischen Zahlkörper kann daher durch die folgende exakte Sequenz formuliert
werden:
/ k∗

1

/ 1.

/ b∗ Ar / Gal(k ab /k)
k

(4.7)

Q0
Innerhalb des endlichen Rings der Adele b
k = p (K ⊗Q Qp ) haben wir dieb = lim←N (Ok /N Ok ) = Z+b Z·Aτ
bct = Ot ⊗Z Z
proendliche Vervollständigung O
Q0
der Ordnung Ot von k, wobei mit
das eingeschränkte Produkt bezeichnetct ∗ = Q (Ot ⊗Z Zp )∗ von bwird, siehe [CaFr67], S. 62. Die Untergruppe Ok ∗ istpnach dem Satz 2.11 (und nach der Diskussion nach diesem Satz im zweiten
Kapitel) das Urbild unter der Artinabblidung Ar, siehe auch [Sh71], S. 123.
Wir schreiben (einfachheitshalber) Ot = O.
b∗ auf den singulären Wert
Wir müssen überprüfen, ob die Operation von O
g(τ ) einer Modulfunktion g trivial ist, um zu entscheiden, ob g(τ ) eine Klasseninvariante ist. Diese können wir mit Hilfe des Shimuraschen Reziprozib∗
tätsgesetzes testen, welches besagt, dass das Bild von g(τ ) unter x ∈ Odurch den Wert an τ einer zu g über Q(j) konjugierten Modulfunktion bestimmt ist. Genauer gesagt existiert eine Abbidung hτ , welche die exakte
Sequenz 4.4 mit der exakten Sequenz 4.7 der Klassenkörpertheorie wie folgt
verbindet:
1

1

/ O∗

/ {±1}/ b∗O/ Gal(k ab /Ω )t

/1

/ Gal(F/F1 )

/1

(4.8)

hτ

/ GL(2, Z)b

Wir können nun das Reziprozitätsgesetz von Shimura durch den folgenden
Satz formulieren, siehe [Sh71], S. 157, theorem 6.31 und S. 160, proposition
6.33:
Satz 4.2. Die Voraussetzungen seien wie oben. Es giltg(τ )[x−1 :k]= g(τ )hτ (x) (τ ).

(4.9)

b eine offene Untergruppe mit dem Fixkörper F ⊆ F.
Ferner sei G ⊆ GL(2, Z)Q
Bezüglich der Artinabbildung wird die Untergruppe von p Op∗ , die trivial auf

4.1. SHIMURASCHES REZIPROZITÄTSGESETZ

63k(F (τ )) operiert, von O∗ erzeugt. Ferner gilt:h−1τ (G) = {x ∈YOp∗ : hτ (x) ∈ G}.

pb
Wir können die Abbildung hτ wie folgt explizit angeben: hτ (x) ∈ GL(2, Z)∗c
ist die Transponierte der Matrix, welche die Multiplikation mit x ∈ Ok aufbb + ZAτbb = Z
den freien Z−ModulO
bezüglich der Basis {τ, 1} beschreibt.
2
Falls AX + BX + C das Minimalpolynom von τ über Z ist, dann haben wirµ¶t − Bs −Cshτ : x = sτ + t 7→.
sA
t

(4.10)b∗ kann
Da g ∈ FN ist, ist der Wert g(τ ) ∈ HN,O . Die Operation von O∗
durch den endlichen Quotient (O/N O) beschrieben werden. Das ist die
Verallgemeinerung von [GeSt98], S. 448 für beliebige Ordnungen. Wir können
damit 4.8 auf die folgende exakte Sequenz der endlichen Gruppen reduzieren:

1

1

/ O∗

/ {±1}/ (O/N O)∗
/ Gal(HN,O /Ωt )/1/ Gal(FN /F1 )/1(4.11)hτ,N/ GL(2, Z/N Z)

Dieses gilt wegen der Eigenschaft, dass k ab die Vereinigung aller endlichen
Erweiterungen HN,O über Ωt nach dem Satz 4.9 ist, welche den endlichenb∗ ³ (O/Nb O)
b ∗ = (O/N O)∗ von Ob∗ , N ∈ Z≥1 entsprechen,
Quotienten O
siehe auch [Stev01], S. 167.
Falls nun alle Bilder von (O/N O)∗ unter hτ,N auf der Modulfunktion g trivial
operieren, liegt g(τ ) bereits in Ωt und ist daher eine Klasseninvariante.
Nun können wir mittels des folgenden Verfahrens überprüfen, ob g(τ ) eine
Klasseninvariante ist, dessen Beweis unmittelbar aus unseren Vorüberlegungen folgt:

Algorithmus 4: Konstruktion der Klasseninvariante
Eingabe: Eine Modulfunktion g der Stufe N und τ ∈ Ot ∩ H
Ausgabe: g(τ ) liefert eine Klasseninvariante oder nicht
1. Berechne die Erzeuger x1 , · · · , xk von (O/N O)∗

64

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS
2. Bilde mittels hτ,N die Erzeuger in GL(2, Z/N Z) ab
3. Für i = 1 bis k überprüfe, ob hτ,N (xi ) ∈ GL(2, Z/N Z) auf g(τ ) trivial
operiert
4. Falls es ein j mit einer hτ,N (xj ) gibt, welche auf g(τ ) nicht trivial
operiert, gebe ’g(τ ) ist keine Klasseninvariante’ aus. Sonst gebe ’g(τ )ist eine Klasseninvariante’ aus.

Nach [GeSt98], S. 448, und [Stev01], S. 169, 170, gilt nun der folgende Satz:
Satz 4.3. Es sei g(τ ) eine Klasseninvariante für eine Ordnung eines imaginär quadratischen Zahlkörpers k der Diskriminante D. Dann ist g(τ ) Klasseninvariante für alle imaginär quadratischen Zahlkörper, deren Diskriminantemodulo 4N zu D kongruent sind.
Bemerkung 4.4. Der Satz 4.3 besagt, dass wir für eine Familie von imaginär quadratischen Zahlkörpern K eine Klasseninvariante g(τ ) haben, falls
sie für einen Körper k ∈ K eine Klasseninvariante ist.
Minimalpolynome, N −Systeme
Das Reziprozitätsgesetz von Shimura ermöglicht auch, die Konjugierten einer Klasseninvariante zu bestimmen, welche Schertz mittels der N −Systeme
beschrieben hat, auf die wir nun eingehen.
Definition 4.5. Eine imaginär quadratische Zahl τ ∈ H∩k ist die Nullstelleeiner quadratischen Gleichung Ax2 + Bx + C = 0, welche durch τ eindeutig
bestimmt ist, falls wir folgende Normalisierung annehmen:
A, B, C ∈ Z, ggT(A, B, C) = 1, A > 0.
Wir nennen diese Gleichung primitiv.
Definition 4.6. Es seien N ∈ N und τ1 , τ2 , · · · , τht ∈ H, so dass[τ1 , 1], [τ2 , 1], · · · , [τht , 1]
ein volles Repräsentantensystem der Idealklassen von Clt ist. Ferner seien
Ai x2 + Bi x + Ci = 0 die primitiven Gleichungen für τi , welche der folgenden
Eigenschaft genügen:ggT(Ai , N ) = 1 und Bi ≡ Bj

mod 2N, 1 ≤ i, j ≤ ht .

Wir nennen dann die Elemente τ1 , τ2 , · · · , τht ein N-System modulo t.
Nach [Sch02], S. 335, proposition 3, existiert für jede natürliche Zahl N ein
N −System. Für die gegebene Klasseninvariante g(τ ) liefert das N −System
die Werte τi so, dass g(τi ) die konjugierten Elemente von g(τ ) sind.

4.1. SHIMURASCHES REZIPROZITÄTSGESETZ65

Die Klasseninvarianten von Weber
Wir können nun mit dem Algorithmus 4 und der N −Systeme die klassischen Weberschen Klasseninvarianten angeben, welche die ersten expliziten
Klasseninvarianten der Ordnungen imaginär quadratischer Zahlkörper liefern, deren Diskriminante durch 4 teilbar sind.
Die Dedekindsche η−Funktion wird durch
η(τ ) = q

1
24

∞
Y

(1 − q k ), q = exp(2πiτ ) mit =(τ ) > 0.

(4.12)

k=1

definiert. Die Schläflischen Funktionen f, f1 und f2 von Weber können nun als
die folgenden Quotienten der Dedekindschen η−Funktion definiert werden:√ η(2τ )η( τ )πi η( τ +1
2 )), f1 (τ ) = 2 , f2 (τ ) = 2.
(4.13)
24 η(τ )
η(τ )
η(τ )
Diese Funktionen erfüllen die folgenden Gleichungen, siehe [Wb1908], S. 114:f(τ ) = exp(−

Satz 4.7. Es gelten die folgenden Gleichungen für jedes Element τ ∈ H:
1. f(τ )8 = f1 (τ )8 + f2 (τ )8 ,√2. f(τ )f1 (τ )f2 (τ ) = 2.
Die Funktionen γ2 und γ3 definieren wir nun mittels der j−Invariante wie
folgt:ppγ2 = 3 j(τ ), γ3 = j(τ ) − 123 .

(4.14)Nach [Sch02], S. 327, haben wir nun das folgende Lemma
Lemma 4.8. Die Schläflischen Funktionen von Weber erfüllen die folgenden
Identitäten:f24 + 16
f24 − 16
f24 + 16γ2 == 1 8
= 2 8 .
(4.15)
8f
f1
f2
g sei eine der Funktionen f, f1 , f2 , γ2 , γ3 . Dann gilt nach dem Lemma 4.8 stets
Q(j(τ )) ⊆ Q(g(τ )).
Offenbar sind die singulären Werte der 72ten Potenzen dieser Funktionen
Klasseninvarianten. Die Koeffizienten der Minimalpolynome dieser Klasseninvarianten sind aber wegen 4.15 nicht wesentlich kleiner. Allerdings untersuchte Weber die kleineren Potenzen dieser Modulfunktionen, welche Klasseninvarianten liefern. Schertz hat in [Sch02] mit Hilfe des Shimuraschen Reziprozitätsgesetzes den folgenden Satz bewiesen, welcher es ermöglicht, die
Ringklassenkörper mit Polynomen mit ’kleineren’ Koeffizienten zu erzeugen.
Dieser Satz umfasst alle Ergebnissen von Weber, siehe [Sch02], S. 329:

66

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINSSatz 4.9. τ ∈ H sei die Nullstelle einer primitiven GleichungAx2 + Bx + C = 0 mit ggT(A, 2) = 1, B ≡ 0 mod 32
mit der Diskriminante D(τ ) = B 2 − 4AC = −4m = t2 d. Dann sind die
folgenden algebraischen Zahlen g(τ ) Klasseninvarianten:
1.

³¡ ¢
2
1
A

√ f(τ )22

´3

, falls m ≡ 1 mod 8,

2. f(τ )3 , falls m ≡ 3 mod 8,¡¢3
3. 12 f(τ )4 , falls m ≡ 5 mod 8,
³¡ ¢
´3
2 √1
, falls m ≡ 7 mod 8,
4.
f(τ
)
A
2
5.

³¡ ¢
2
1

6.

³¡ ¢
2

A

A

√ f1 (τ )2
2

´3

1
√
f (τ )42 2 1

wobei der Faktor

´3

¡2¢
A

, falls m ≡ 2 mod 4,, falls m ≡ 4 mod 8,

das Legendre Symbol bezeichnet.

Falls τ = τ1 , · · · , τht ein 16−System modulo t ist, dann sind die oben beschriebenen singulären Werte g(τi ) ein komplettes System der Konjugiertenüber Q. Daher ist das Minimalpolynom über Q durch
Y
WD(τ ) =(x − g(τi ))igegeben. Ferner besitzt dieses Polynom ganzzahlige Koeffizienten.
Beispiel: Wir betrachten die Diskriminante −204, wie im dritten Kapitel.
Da −204 = −4 · 51 und 51 ≡ 3 mod 8 ist, ist f (τ )3 nach dem Satz 4.9 eine
Klasseninvariante. Mittels eines 16−Systems erhalten wir die Konjugierten
von f(τ )3 . Daher haben wir das Minimalpolynom:
W−204 (x) = x6 − 16 · x5 − 12 · x4 + 48 · x3 + 144 · x2 + 64 · x + 64.
welches im Gegensatz zu dem Hilbertklassenpolynom
H−204 (x) = x6 − 30703802307926880672 · x5 +95864841637996112067555072 · x4 + 775121756231241041610849730560 · x3 +534484930703209896960446929872814080 · x2 +6020337293681148983229932704488367325184 · x+
28508041377034538166862450172153093456658432.
wesentlich kleinere Koeffizienten besitzt.

4.2. KLASSENIVARIANTEN MITTELS DER THETANULLWERTE 67
Bemerkung 4.10. Im Falle, dass 3 die Diskriminannte D(τ ) nicht teilt,
liefern die Funktionen im Satz 4.9 ohne die 3−ten Potenzen die Klasseninvarianten, siehe [Sch02], S. 330, theorem 2.

4.2

Klassenivarianten mittels der Thetanullwerte

Im ersten Kapitel haben wir die Riemannschen Thetafunktionen und Thetanullwerte für beliebiges Geschlecht betrachtet. Nun betrachten wir die Thetanullwerte für g = 1, τ ∈ H und q = exp(2πiτ ), die wir im ersten Kapitel
eingeführt haben:
Definition 4.11. Es gelten für τ ∈ H
1. θ00 (τ ) := θ[0, 0](0, τ ) =P

n2 /2 ,

2. θ10 (τ ) := θ[1, 0](0, τ ) =P(n+ 12 )2 /2

3. θ01 (τ ) := θ[0, 1](0, τ ) =P

4. θ11 (τ ) := θ[1, 1](0, τ ) =

P

n∈Z q
n∈Z q

,

n n2 /2 ,n∈Z (−1) qn (n+ 21 )2 /2 .
n∈Z (−1) q

Wir merken an, dass die Funktionen θ00 , θ10 , θ01 die geraden Thetanullwerte
sind und die Funktion θ11 der einzige ungerade Thetanullwert ist.
Die Frage, mit der wir uns beschäftigen, ist zwischen den Schläflischen Funktionen von Weber (4.13) und den Thetanullwerten (4.11) Identitäten zu bestimmen. Dabei stützen wir uns auf den folgenden Satz, siehe [Wb1908], S.
112 und 114:
0 die Ableitung der Funktion θ . Dann gelten die
Satz 4.12. Es bezeichne θ1111folgenden Gleichungen für τ ∈ H :0 (τ ) = 2πη(τ )3 ,1. θ11

2. θ00 (τ ) = η(τ )f(τ )2 ,3. θ01 (τ ) = η(τ )f1 (τ )2 ,4. θ10 (τ ) = η(τ )f2 (τ )2 .
Ferner gilt für die Schläflischen Funktionen von Weber (4.13) der folgende
Satz:
Satz 4.13. Es gelten für τ ∈ H
1. f1 (2τ )f2 (τ ) =

√

2,

68

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS√
πi2.
2. f(τ )f2 ( τ +1
)
=
exp(
)
2
24

η(τ )
Beweis: Als erstes folgt aus f1 (2τ ) = η(2τ) stets f1 (2τ )f2 (τ ) =√ η(2τ )gilt f2 (τ ) = 2 η(τ ) .

√2, denn es

Für die zweite Aussage haben wir zunächst aus [Sch02], S. 335, proposition
πi
2, die Transformationsformel η(τ + 1) = exp( 12)η(τ ), welche bedeutet, dasswir stets
f1 (τ + 1) =η( τ +1−πi η( τ +1
−πi
2 )
2 )
= exp()= exp()f(τ )
η(τ + 1)
12
η(τ )
24

(4.16)

haben. Nun folgt aus dem ersten Teilf(τ )f2 (

√
√
τ +1
f(τ )
πi
)= 2
= 2 exp( ).¤2
f1 (τ + 1)
24

Wir führen nun die folgenden Quotienten der geraden Thetanullwerte ein,
die wir modifizierte Schläflische Funktionen nennen:
Definition 4.14. Für τ ∈ H definieren wir die modifizierten Schläflischen
Funktionen wie folgt:
πi

1. F(τ ) = e 8√

2 θ θ00( τ(τ+1) ) ,102

01 (τ )
2. F1 (τ ) = θ2θ
,
10 (τ /2)√

3. F2 (τ ) =2θ10 (τ )θ01 (2τ ) .

Satz 4.15. Es gelten für τ ∈ H die folgenden Gleichungen:
1. F(τ ) = f(τ )3 ,2. F1 (τ ) = f1 (τ )3 ,3. F2 (τ ) = f2 (τ )3 .
Beweis: Wir multiplizieren die drei Funktionen θ00 , θ01 und θ10 und erhalten
nach dem Satz 4.7,(2), und dem Satz 4.12 :√θ00 (τ )θ01 (τ )θ10 (τ ) = η(τ )3 (f(τ )f1 (τ )f2 (τ ))2 = ( 2)2 η(τ )3 = 2η(τ )3 .
Damit gilt
η(τ )3 =θ00 (τ )θ01 (τ )θ10 (τ ).
2

4.2. KLASSENIVARIANTEN MITTELS DER THETANULLWERTE 69
Nun ist die dritte Potenz von θ00 (τ ) nach dem Satz 4.12, (2),
θ00 (τ )3 = η(τ )3 f(τ )6 .
Dann giltf(τ )6 =θ00 (τ )32θ00 (τ )32θ00 (τ )2==.
η(τ )3
θ00 (τ )θ01 (τ )θ10 (τ )
θ01 (τ )θ10 (τ )Analog haben wir mit dem Satz 4.12, (3) und (4),f1 (τ )6 =2θ10 (τ )22θ01 (τ )2, bzw. f2 (τ )6 =.
θ00 (τ )θ10 (τ )
θ00 (τ )θ01 (τ )Andererseits folgt aus der Definition 4.11 von θ00 (τ ) und θ01 (τ ) zusammen
mit der Identität 2(n2 + m2 ) = (n + m)2 + (n − m)2 die sogenannte Duplikationsformel, siehe auch [RaFa74], S. 63:
θ10 (τ )2 = 2θ00 (2τ )θ10 (2τ ).

(4.17)

Daher gilt
2θ01 (τ )24θ01 (τ )2
f1 (τ ) ===
θ00 (τ )θ10 (τ )
θ10 (τ /2)26µ2θ01 (τ )θ10 (τ /2)¶2= F21 .

Nun folgt aus dem Vergleich des Vorzeichens mittels der jeweiligen q−EntwicklungenF1 (τ ) = f1 (τ )3 .
Nach dem Satz 4.13, (1), haben wir für die dritte Potenz von f2√√
2 2θ10 (τ )2 2=
= F2 (τ ).
f2 (τ ) =f1 (2τ )3
2θ01 (2τ )3Abschließend betrachten wir analog die dritte Potenz von f(τ ). Nach 4.13,(2), gilt daher
πi √
πi √
e82 2
e 8 2 2θ01 (τ + 1)√
f(τ ) ==
= F(τ ).¤
3f2 ( τ +1
2θ10 ( τ +1
2 )
2 )

3

Wir können nach dem Satz 4.15 und dem Satz 4.9 die Klasseninvarianten
von Weber stets als Quotienten der Thetanullwerte durch den folgenden Satzangeben, dessen Beweis auch unmittelbar aus 4.15 und 4.9 folgt:
Satz 4.16. τ ∈ H sei die Nullstelle einer primitiven GleichungAx2 + Bx + C = 0 mit ggT(A, 2) = 1, B ≡ 0 mod 32
mit der Diskriminante D(τ ) = B 2 − 4AC = −4m = t2 d. Dann sind folgende
Zahlen g(τ ) Klasseninvarianten:

70

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS
1.

¡2¢
A

1
√
F(τ )2 , falls m ≡ 1 mod 8,
2 2

2. F(τ ), falls m ≡ 3 mod 8,
3. 18 F(τ )4 , falls m ≡ 5 mod 8,¡ ¢ 1
4. A2 2√F(τ ), falls m ≡ 7 mod 8,
2
5.

¡2¢

6.

¡2¢

A
A

1
√
F (τ )2 , falls m ≡ 2 mod 4,
2 2 1
1√F (τ )4 , falls m ≡ 4 mod 8,
16 2 1wobei der Faktor¡2¢
A

das Legendre Symbol bezeichnet.

Falls τ = τ1 , · · · , τht ein 16−System modulo t ist, dann sind die oben beschriebenen singulären Werte g(τi ) ein komplettes System der Konjugiertenüber Q. Daher ist das Minimalpolynom über Q durch das Polynom
Y
WD(τ ) =(x − g(τi ))igegeben. Ferner besitzt dieses Polynom ganzzahlige Koeffizienten.

4.2.1

Laufzeitaussagen

Mittels der naiven Methode der Berechnung der N −signifikanten Bits derThetanullwerte
erhält man ein Verfahren, welches die Bit-Komplexität in√
O(M(N ) N ) hat, siehe [Dup07], S. 5, wobei M(N ) die Komplexität derMultiplikation zweier N −Bit Zahlen bezeichnet.
Mittels der Relationen der Thetanullwerte und der Newton-Iteration hat
Dupont ein Verfahren entwickelt, welches die N −signifikanten Bits der Thetanullwerte in O(M(N ) log N ) berechnet, siehe [Dup07], S. 14. Dieses Verfahren ist somit die zur Zeit asymptotisch schnellste Methode der Berechnung
der N −signifikanten Bits von den Thetanullwerten.
Diese Methode ermöglicht, die numerischen Werte der j− Invariante und der
Dedekindschen η−Funktion zu bestimmen. Wir definieren dazu die folgenden
Funktionen:
Definition 4.17. Für τ ∈ H definieren wir κ und κ0 wie folgt:• κ(τ ) =³

• κ0 (τ ) =³

θ10 (τ )θ00 (τ )´2

θ01 (τ )θ00 (τ ),´2.

4.2. KLASSENIVARIANTEN MITTELS DER THETANULLWERTE 71
Nach [BorBor87], S. 112 bis 116, haben wir den folgenden Satz, welcher
ermöglicht, die j−Funktion rational in κ0 darzustellen. Zusammen mit dem
Verfahren von Dupont haben wir nun den folgenden Satz:
Satz 4.18. Mittels der Identität
1 − κ0 (τ )2 + κ0 (τ )4j(τ ) = 256 0 4
κ (τ ) (1 − κ0 (τ )2 )¡¢√können wir die N −signifikanten Bits von j(τ ) in O(M(N ) N ) berechnen.
Analog haben wir die folgende Aussage für die Berechnung der N −signifikanten
Bits von η(τ )12 :Satz 4.19. Mittels der Identitätη(τ )12 =κ0 (τ )2 (1 − κ0 (τ )2 )θ00 (τ )12
16

können wir die N −signifikanten Bits von η(τ )12 in O(M(N ) log N ) berechnen.
Beweis: Nach [Dup07], S. 19, gilt zunächst
f(τ )24 κ0 (τ )2 (1 − κ0 (τ )2 ) = 16.
Nach dem Satz 4.12, 2, gilt nun f(τ )24 η(τ )12 = θ00 (τ )12 . Daher erhalten wir
η(τ )12 =κ0 (τ )2 (1 − κ0 (τ )2 )θ00 (τ )12.¤
16

Bemerkung 4.20. Um den Wert η(τ )12 numerisch zu berechnen, müssen
wir nach dem Satz 4.19 sowohl θ00 (τ ) als auch θ01 (τ ) zuerst mittels desVerfahrens von Dupont mit hinreichender Präzision berechnen.
Um die Klasseninvarianten in 4.9 berechnen zu können müssen wir zusätzlich die 12−ten Wurzeln aus η(τ )12 ziehen. Da die Klasseninvarianten die
Quotienten von zwei Werten der Dedekindschen η−Funktion sind, müssen
wir das 12−te Wurzelnziehen zweimal durchführen. Das kann man mittels
der Newton-Iteration in O(M(N )) berechnen, siehe [Dup07]. S. 10 bis 12.
Insgesamt haben wir das folgende Korollar:
Korollar 4.21. Um die N −signifikanten Bits von η(τ ) und damit die
N −signifikanten Bits einer Klasseninvariante in 4.9 zu berechnen, müssen
wir zusätzlich O(M(N ))−Bit Operationen durchführen.

72

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS

Wenn wir im Gegensatz zu dem Satz 4.9 die Klasseninvarianten als die Quotienten der Thetanullwerte im Satz 4.16 benutzen, erhalten wir den folgenden
Satz, dessen Beweis aus unseren Vorüberlegungen und dem Verfahren vonDupont folgt:
Satz 4.22. Wir sparen O(M(N ))−Bit Operationen, wenn wir die Klasseninvariante im Satz 4.16 statt den Satz 4.9 benutzen.
Bemerkung 4.23. Mit dem Satz 4.22 haben wir die zur Zeit effizienteste
Berechnung der Klasseninvarianten in der Darstellung aus dem Satz 4.16.
Wir werden im Abschnitt 5 auf die Darstellungen der anderen Klasseninvarianten mittels der Thetanullwerte eingehen. Die Methode liefert auch indiesen Fällen die bisher schnellste Methode bei der Berechnung solcher Klasseninvarianten.

4.3

Einheiteneigenschaft der Klasseninvarianten

Beispiel: Wir hatten im ersten Abschnitt mit Hilfe der KlasseninvarianteF(τ ) das Weberklassenpolynom
W−204 (x) = x6 − 16 · x5 − 12 · x4 + 48 · x3 + 144 · x2 + 64 · x + 64.
der Diskriminante −204 berechnet. Falls wir die Koeffizienten und Nullstellen
αi , 1 ≤ i ≤ 6, dieses Polynoms näher untersuchen, dann sehen wir schnell,dass das Polynom
f−204 (x) = x6 − 8 · x5 − 3 · x4 + 6 · x3 + 9 · x2 + 2 · x + 1
Wstets die Nullstellen α2i besitzt, welche Einheiten sind. In diesem Fall können
wir F(τ )/2 als eine Klasseninvariante benutzen und daher das Klassenpolyf−204 erhalten. Wir werden in diesem Abschnitt sehen, dass das obige
nom W
Beispiel kein Zufall ist. Wir erhalten somit in einigen Fällen des Satzes 4.16
bessere Klasseninvarianten.
Ein Satz von Deuring
Es bezeichne Ps die Menge aller 2 × 2−Matrizen der Determinante s mit den
folgenden Eigenschaften:
µ
¶
a b
M =
∈ Z2×2 mit det(M ) = s und ggT(a, b, c, d) = 1. Diesec dMatrizen heißen primitive Matrizen.
Nach [Sch10], S. 63 und S. 64, theorem 2.2.2., theorem 2.2.4, ist die Untergruppe

4.3. EINHEITENEIGENSCHAFT DER KLASSENINVARIANTEN73

ΓM = Γ ∩ M −1 ΓMeine Kongruenzuntergruppe modulo s. Ferner haben wir auf Ps die Äquivalenzrelation
M ∼ M 0 :⇐⇒ ΓM = ΓM 0 ,mit der Ps in eine endliche Anzahl von ψ(s) Äquivalenzklassen zerfällt, wobei
ψ(s) die Anzahl der positiven Teiler von s bezeichnet. Das Vertretersystem
ist gegeben durch die Dreiecksmatrizen
µ

a b
0 d

¶
, a > 0, ad = s, ggT(a, b, d) = 1,

wobei b aus einem vollen Restsystem modulo d etwa 0 ≤ b < d ist.
Mittels der Eisensteinschen Reihen g2 , g3 , schreiben wir die Diskriminantenfunktion für τ ∈ H und die absolute Invariante j an τ wie folgt, siehe [Deu58],
S. 3:∆(τ ) := g2 (τ )3 − 27g3 (τ )2 , j(τ ) := 26 33 g2 (τ )3 ∆(τ )−1 .

(4.18)

Aus der Theorie der elliptischen Modulfunktionen folgt, siehe [Deu58], S. 3,
die Identität∆(τ ) = (2π)12 η(τ )24 .

(4.19)

zwischen ∆(τ ) und η(τ ). Für die ∆−Funktion haben wir die folgende Aussage:
Lemma 4.24. Es sei {ω1 , ω2 } eine Z−Basis eines Gitters L ⊂ C mitτ = ωω21 . Dann giltµ¶ω1∆= ω2−12 ∆(τ ).
(4.20)
ω2
Beweis: Es gelten nach [Lang73], S. 17,
g2 (τ ) = ω2−4 g2 (ω1 , ω2 ) und g3 (τ ) = ω2−6 g3 (ω1 , ω2 ).
Aus der Definition (4.18) folgt unmittelbar die Behauptung.¤
Wir definieren für eine primitive Matrix M der Determinante s den folgenden
Quotient der ∆−Funktion

74

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS

µ µ
¶¶
ω1
∆ M
ω2
12
µ
¶ .
ϕM (τ ) := sω1∆
ω2

(4.21)

Jede primitive Matrix M kann in der Form
M = P1 P2 · · · Pm
dargestellt werden, wobei det(Pi ) = pi stets eine Primzahl ist, siehe [Deu58],
S. 43. Es gilt ferner, auch nach [Deu58], S. 43:
ϕAB (τ ) = ϕA (B(τ ))ϕB (τ ).
Deuring hat die Bestimmung des Divisors eines singulären Wertes ϕM (τ )daher mittels der Divisoren der ϕPi (τ ) durch den folgenden Satz explizit
angegeben, welcher von dem Zerfällungsverhalten der Primzahlen pi in kabhängt, siehe [Deu58], S. 43:
Satz 4.25. Es seien t > 0 eine ganze Zahl, p eine Primzahl und l ≥ 0 der
maximale Exponent von pµ mit pl |t.
¶ Ferner seien a, b, c und d ganze Zahlen,a b
die Determinante p hat. Es sei {ω1 , ω2 }so dass die Matrix P :=c deine Basis eines gebrochenen Ot -Ideals I mit τ := ωω21 ∈ H.

1. Falls p in k zerlegt mit p = pp ist, dann gelten die folgenden Aussagen:¶µω1(a) ϕP (τ ) ist eine Einheit, falls P
eine Basis eines gebrocheω2
nen Otp -Ideals ist,µ¶
ω1
ϕP (τ )(b) p12 ist eine Einheit, falls P
eine Basis eines gebrocheω2
nen Otp−1 -Ideals ist,µ¶
ω1
ϕP (τ )
eine Basis(c) Im Falle l = 0, ist p12 eine Einheit, falls P
ω2eines gebrochenen Ideals IOt pOt oder IOt pOt ist.
2. Falls p in k verzweigt mit p = p2 ist, dann gelten die folgenden Aussagen:µ¶ω1
ϕP (τ )
ist eine Einheit, falls P
eine Basis eines gebroche(a)6ω2
p pl+1
nen Otp -Ideals ist,

4.3. EINHEITENEIGENSCHAFT DER KLASSENINVARIANTEN(b)

ϕP (τ )
p

12− 6
pl

µ
ist eine Einheit, falls P

ω1
ω2

75

¶
eine Basis eines gebroche-

nen Otp−1 -Ideals ist,(c)

ϕP (τ )
ist eine Einheit, falls P
p6

µ

ω1
ω2

¶
eine Basis des Ideals IOt pOt

ist.
3. Falls p in k träge ist, dann gelten die folgenden Aussagen:µ¶ω1
ϕP (τ )(a) 12/pl (p+1) ist eine Einheit, falls P
eine Basis eines gebrop
ω2chenen Otp -Ideals ist,
µ
¶
ω
ϕ
(τ
)
1
P
– ist eine Einheit, falls P»
eine Basis eines
(b)
1
12 1−
ω2
pl−1 (p+1)
pgebrochenen Otp−1 -Ideals ist.
Wir haben nun den folgenden Satz:
Satz 4.26. Es sei g(τ ) eine der Klasseninvarianten aus dem Satz 4.9 oder
4.16. Dann ist g(τ ) eine Einheit, falls m ≡ 1, 5, 7 mod 8 oder m ≡ 2 mod 4
gelten, wobei D(τ ) = −4m ist.
√√
Beweis: Es sei τ ∈ Q( d) = Q( d0 ) =: k mit D(τ ) = −4m = t2 d = t02 d0 ,wobei d0 quadratfrei ist. Dann haben wir nach [Coh93], S. 218, 219(
t falls d0 ≡ 1 mod 4, d. h. d0 = d, ist0t =(4.22)
2t falls d ≡ 0 mod 4, i. e. d0 ≡ 2, 3 mod 4 ist.
Für die Fälle m ≡ 1, 5 mod 8 haben wir zunächst m ≡ 1 mod 4. Es giltt0 ≡ 0 mod 2, weil sonst d0 keine quadratfreie Zahl wäre.
Wir setzen t0 = 2s, woraus stets s2 d0 ≡ −1 mod 4 folgt und daher ggT(s, 2) =1 ist. Daraus folgt s2 ≡ 1 mod 4 und d0 ≡ −1 mod 4.
√
Insgesamt haben wir für m ≡ 1 mod 4 die Maximalordnung Ok = Z[ d0 ] und(2) = p2 , da 2 in Ok verzweigt ist. Mittelsµder Betrachtung
der Basis
¶
µ {τ,
¶ 1}
1 s
τ
von Ot zusammen mit der Matrix P =haben wir P=
0 2
1[τ + s, 2] als eine Basis des Ideals pOt .
Nach dem Satz 4.25, (2(c)), haben wir die Eigenschaft, dass ϕP26(τ ) eine Einheit ist, die wegen der Identität 4.19 gleichbedeutend damit ist, dass2−6∆( τ +12 )∆(τ )eine Einheit ist, da s eine ungerade Zahl ist. Nun machen wir eine Fallunterscheidung

76

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS• Im Falle m ≡ 1 mod 8, erhalten wir damit die Gleihung
Ãµµ ¶
¶3 !4
τ +1
2 f(τ )2
−6 ∆( 2 )4√
2
= g(τ ) =
.
∆(τ )
A
2
Diese impliziert, dass g(τ ) eine Einheit ist.
• Im Falle m ≡ 5 mod 8, erhalten wir die Gleichung
Ãµ
¶3 !2
τ +1
f(τ )42−6 ∆( 2 )= g(τ ) =
,
2
∆(τ )
2
woraus folgt, dass g(τ ) eine Einheit ist.

Für m ≡ 7 mod 8, haben wir auch t0 ≡ 0 mod 2. Wir setzen t0 = 2s wie
oben, und erhalten s2 d0 = −m mit ggT(s, 2) = 1. Es gelten dahers2 ≡ 1 mod 8 und somit −d0 ≡ 3 mod 4. Aus diesen Kongruenzen folgt,
dass
√

0

Ok = Z[ 1+2 d ] und (2) = pp gelten, da 2 in Ok zerfällt.
Mittels der Betrachtung
dereines O2t¶
−Ideals zusammen mit¶ Basis {τ + s, 1} µ
µ
τ +s
1 0
= [τ + s, 2] als eine
erhalten wir P
der Matrix P =1
0 2
Basis eines Ot -Ideals.
Nach dem Satz 4.25, (1(b)) und der Identität 4.19 ist
Ãµµ ¶
¶ !8
ϕP (τ + s)
2 f(τ ) 3
8√
= g(τ ) =212
A2eine Einheit. Somit ist auch g(τ ) eine Einheit in diesem Fall.
Im Falle m ≡ 2 mod 4 haben wir t2 d0 ≡ 2 mod 4 mit einer ungeraden√t, welche bedeutet, dass d0 ≡ 2 mod 4 gilt, und daher Ok = Z[ d] und(2) = p2 .
µ¶
1 0
Für die Basis {τ, 1} von Ot mit der Matrix P =haben wir
0 2
µ ¶
τ
P
= [τ, 2] als eine Basis von pOt . Nach dem Satz 4.25, (2(c)) und1
der Identität 4.19, erhalten wir die Einheit ϕP26(τ ) . Daher gilt∆( τ2 )2−6
= g(τ )4 =∆(τ )Somit ist g(τ ) eine Einheit. ¤

Ãµµ ¶
¶3 !4
2 f1 (τ )2√.
A2

4.3. EINHEITENEIGENSCHAFT DER KLASSENINVARIANTEN

77

Bemerkung 4.27.
1. Nach Satz 4.26 und 4.9 liegen diese Einheiten zusammen in den entsprechenden Ringklassenkörpern.
2. Für die Fälle m ≡ 3 mod 8 und m ≡ 12 mod 16 werden wir beweisen, dass die Invarianten keine Einheiten in den Ringklassenkörpern
sind. Aber wir werden mit Hilfe des Satzes 4.25 zeigen, dass es Einheiten gibt, welche eine Beziehung zu den Klasseninvarianten haben.
Wir werden also damit beweisen, dass die konstanten Koeffizienten der
Minimalpolynome der Klasseninvarianten Potenzen von 2 sind, undfür diese Koeffizienten 2l stets l|ht gilt, wobei ht die Klassenzahl der
Ringklassengruppe modulo t ist.
Ferner werden wir zeigen, dass für m ≡ 4 mod 16 die Klasseninvarianten auch Einheiten sind.
Die Klasseninvarianten, die Einheiten sind, nennen wir nun Klasseneinheiten.

4.3.1

Neue Klasseneinheiten

Satz 4.28. Es sei g(τ ) eine der Klasseninvarianten aus dem Satz 4.9 oder
4.16.
1. Für m ≡ 3 mod 8 gelten die folgenden Aussagen:(a) g̃(τ ) := g(τ )/2 ist eine Klasseninvariante und eine Einheit, fallsm ≡ 3 mod 24 ist,(b) g(τ ) hat die Norm 2l mit ht = 3l, falls m ≡ 11, 19 mod 24 ist.
2. Für m ≡ 4 mod 8 gelten die folgenden Aussagen:(a) g(τ ) ist eine Einheit, falls m ≡ 4 mod 16 ist,(b) Für m ≡ 12 mod 16, schreiben wir m = 16a + 12. Dann gelten
die folgenden Aussagen:• g(τ ) hat die Norm 2l mit ht = 2l, falls a ≡ 0, 1, 5 mod 6 ist,
• g(τ ) hat die Norm 2l mit ht = 6l, falls a ≡ 2, 4 mod 6 ist,• g̃(τ ) := g(τ )/2 ist eine Klasseninvariante mit der Norm 2l
mit ht = 2l, falls a ≡ 3 mod 6 ist.
Beweis: Wie im Beweis des Satzes 4.26, setzen wir zunächst −4m = t02 d0 .
Falls m ≡ 3 mod 8 gilt, dann haben wir −m = s2 d√0 für eine ungerade s. Wir
0erhalten daher, dass d0 ≡ 5 mod 8 mit Ok = Z[ 1+2 d ] gilt.
Wir merken an, dass 2 in Ok träge ist. Ferner gilt t ≡ 2 mod 4 wegen d = d0
und −4m = t2 d, da sonst m 6≡ 3 mod 8 wäre. Mittels der Basis {τ + s, 1}

78

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS
µ

¶
µ
¶
1 0
τ +s
eines O2t -Ideals und der Matrix P =, erhalten wir P=
0 2
1[τ + s, 2] als eine Basis eines Ot -Ideals. Nach dem Satz 4.25, 3(b), und derIdentität 4.19 istτ +1−8 ∆( 2 )

2

∆(τ )

eine
¡ Einheit, weil ¢t ≡ 2 mod 4 stets l = 1 impliziert und wir
12 1 − (1/21−1 3) = 8 haben.
Insgesamt gilt
τ +1
−8 ∆( 2 )

2

∆(τ )

µ
=

f(τ )32¶8=(g(τ ) 8) .
2

Für m ≡ 11, 19 mod 24 ist die Funktion f(τ ) nach der Bemerkung 4.10 selbst
eine Klasseninvariante, denn es gilt gcd(3, D(τ )) = 1. Wir erhalten daher,
dass g(τ ) die Norm ±28ht /24 hat, und daher l = ht /3 ist.
Im Falle m ≡ 3 mod 24 gilt 3|D(τ ), daher l = ht für die Klasseninvariantef(τ )3 . Dies impliziert, dass g̃(τ ) = f(τ )3 /2 eine Klasseninvariante und eine
Einheit ist.
Für den Fall m ≡ 4 mod 8, schreiben wir m = 8a + 4. Es gilt damit −4(8a +4) = t02 d0 und daher t0 = t = 4s. Wir erhalten nun −2k − 1 = s2 d0 . Dies
bedeutet(
3 mod 4 falls m ≡ 4 mod 16,
d ≡1 mod 4 falls m ≡ 12 mod 16.
0(4.23)

Wir betrachten zunächst den Fall m ≡ 4 mod 16.
√
Wir haben die Eigenschaften, dass Ok = Z[ d0 ] gilt, und 2 in Ok verzweigt
ist. Ferner gilt −4m = t2 d = t2 (4d0 ) und daher −m = t2 d0 ≡ 4 mod 16 undsomit t ≡ 2 mod 4. Dies bedeutet, dass l = 1 ist.
µ¶1 0
Mit der Basis {τ, 1} eines O2t -Ideals zusammen mit P =
haben
0 2
µ ¶
τ
wir P
= [τ, 2] als eine Basis eines Ot −Ideals.
1
Nun nach dem Satz 4.25, (2(b)), und 4.19 erhalten wir
Ãµµ ¶
¶3 !2
τ
2 f1 (τ )4−9 ∆( 2 )√2=
= g(τ )2 ,
∆(τ )
A 2 2
6

weil 212− 2 = 29 gilt. Daher ist g(τ ) eine Einheit im Falle m ≡ 4 mod 16.

4.3. EINHEITENEIGENSCHAFT DER KLASSENINVARIANTEN79

Für den letzten
Fall m ≡ 12 mod 16 mit d = d0 ≡ 1 mod 4 haben wir√
1+ d0
Ok = Z[ 2 ]. Wir müssen die folgenden zwei Fälle betrachten:(
1 mod 8, d. h. 2 ist zerfällt, falls a ≡ 1, 3, 5 mod 6d≡5 mod 8, d. h. 2 ist träge,
falls a ≡ 0, 2, 4 mod 6.

(4.24)

Außerdem gilt s2 d ≡ 2a mod 3. Dies bedeutet, dass für a ≡ 1, 2, 4, 5 mod 6
stets ggT(3, d) = 1 gilt. Wegen der Bemerkung 4.10 betrachten wir in diesem
Fall die Klasseninvarianten ohne die 3−ten Potenzen.
√

0• Falls a ≡ 0 mod 6 ist, dann ist 2 träge in Ok = Z[ 1+2 d ].
µMittels der Basis {τ, 1} eines O2t -Ideals und der Matrix P =µ ¶τ
haben wir P= [τ, 2] als eine Basis eines Ot −Ideals.
1

1 0
0 2

¶

Nach dem Satz 4.25 (3(b)) erhalten wir die Einheit2τ−10 ∆( 2 )

∆(τ )

=

f1 (τ )24g(τ )2=,210
2

1
da t = 2 und somit 12(1 − 22−1
) = 10 gelten. Somit ist ht = 2l.
3• Falls a ≡ 2, 4 mod 6 gilt, haben wir die Einheit∆( τ2 )
f1 (τ )24g(τ )6
=
=
.
∆(τ )
210
2
´
³¡ ¢
1
4 . Es gilt daher h = 6lf(τ)
In diesem Fall haben wir g(τ ) = A2 2√
t
2 1
wegen
2−10

ht
Y
g(τi )6
i=1

2

= ±1.
√

0

• Falls a ≡ 1, 5 mod 6 ist, dann ist 2 zerfällt in Ok = Z[ 1+2 d ].
µ¶
1 0
Es seien {τ, 1} die Basis eins O2t −Ideals und P =. Dann ist
0 2
µ ¶
τ
P
= [τ, 2] eine Basis eines Ot −Ideals.
1
Nach dem Satz 4.25 (1(b)) ist
2−12∆( τ2 )
f1 (τ )24g(τ )6
=
=
,
∆(τ )
212
23

80

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS
eine Einheit. Damit erhalten wir analoghtYg(τi )6
i=1

23

= ±1,

welche impliziert, dass wir stets ht = 2l haben.
• Falls a ≡ 3 mod 6 ist, erhalten wir die neue Klasseninvariante
¶3
µµ ¶
g(τ )
1
2
4
√ f1 (τ )g̃(τ ) ==2
A 4 2
und die Einheit2−12∆( τ2 )
f1 (τ )24g̃(τ )2
=
=
∆(τ )
212
212

welche bedeutet, dasshtYg̃(τi )2
i=1

212

= ±1

gilt, und daher wir ht = 2l haben. ¤Beispiel: Für die Diskriminante D = −204 = −4 · 51 haben wir
51 ≡ 3 mod 24.
Es gilt nach dem Satz 4.28, (1(a)) und dem Satz 4.16, dass F(τ )/2 eine
Klasseninvariante ist. Daher erhalten wir das Minimalpolynom
f−204 (x) = x6 − 8 · x5 − 3 · x4 + 6 · x3 + 9 · x2 + 2 · x + 1,
Wwelches wir mittels der Betrachtung der Koeffizienten von W−204 (x) am Anfang dieses Abschnitts festgestellt hatten.
Wir haben nun nach dem Satz 4.28 das folgende Korollar für die Klassenzahl
ht der Ringklassengruppe Clt :Korollar 4.29. Es gelten die folgenden Teilbarkeitsaussagen für die Klassenzahl ht der Ringklassengruppe Clt modulo t:
1. 3|ht , falls für die Diskriminante D = −4m die Kongruenzbedingungm ≡ 3 mod 8 gilt,
2. 2|ht , falls für die Diskriminante D = −4m die Kongruenzbedingungm ≡ 4 mod 16 gilt,
3. 6|ht , falls für die Diskriminante D = −4m die Kongruenzbedingungm ≡ 4 mod 16 und für a mit m = 16a + 12 die Bedingung a ≡ 2, 4 mod
6 gilt.

4.4. BERECHNUNG DER EINHEITENGRUPPE

4.4

81

Berechnung der Einheitengruppe

Da die Klasseninvarianten nach dem Satz 4.26 und 4.28, (2(a)) fürm ≡ 1, 5, 7 mod 8, m ≡ 2 mod 4 und m ≡ 4 mod 16 Klasseneinheiten sind,stellt sich die Frage, ob wir die Einheitengruppe der entsprechenden Ringklassenkörper mit diesen Einheiten und ihren Konjugierten berechnen können.
In diesem Abschnitt betrachten wir dazu die Nullstellen der Klassenpolynome dieser Klasseneinheiten und die Untergruppe der Einheitengruppe, welchevon diesen Nullstellen und Einheitswurzeln erzeugt wird. Wir führen mittels
einer Methode der Vergrößerung dieser Gruppe ein Verfahren ein, wodurch
sich die gesammte Einheitengruppe berechnen läßt, falls die Nullstellen eines
Klassenpolynoms eine Untergruppe vom endlichen Index der Einheitengruppe des entsprechenden Ringklassenkörpers bilden.
L sei ein Ringklassenkörper vom Grad n über k, welcher von einer Klasseneinheit erzeugt ist. Ferner seien hL die Klassenzahl und EL die Einheitengruppevon L.
Nach dem Dirichletschen Einheitensatz, siehe [PhZs89], S. 334, ist die Einheitengruppe EL das direkte Produkt der Untergruppe der Torsionseinheiten
WL und der r = n − 1 Grundeinheiten, da L unter anderem eine total komplexe Erweiterung von k ist.
Es seien ²1 , · · · , ²n−1 ∈ EL unabhängige Einheiten. Die Matrix
R(ε1 , · · · , εn−1 ) = Rε ,(j)deren ijten Eintrag log |εi |2 ist, heißt die Regulatormatrix.
Nach [PhZs89], S. 360, ist der Betrag der Determinante von R(ε1 , · · · , εn−1 )positiv.
Umgekehrt folgt daraus, falls die Regulatormatrix R(ε1 , · · · , εn−1 ) nicht singulär ist, dass ²1 , · · · , ²n−1 ∈ EL unabhängige Einheiten sind.
Die unabhängigen Einheiten ²1 , · · · , ²n−1 ∈ EL bilden zusammen mit derUntergruppe der Torsionseinheiten WL eine Untergruppe
EL = WL × < ε1 > × · · · × < εn−1 > .
in EL von endlichem Index.
Es gilt die folgende Identität für den Index dieser Untergruppe in EL :(EL : EL ) =|det(Rε |,RE(4.25)

82

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS

wobei wir mit RE den Regulator von L bezeichnen, siehe [Wa82], lemma
4.15.
Falls man eine untere Schranke für den Regulator |RE | des Körpers L hat,
erhält man damit wegen der Gleichung 4.25 eine obere Schranke B für den
Index (EL : EL ).
Das von Pohst und Fieker ([FiPohst08]) eingeführte Verfahren liefert eineverbesserte untere Schranke für |RE |, und daher auch eine obere Schrankefür (EL : EL ).
Wir benutzen dazu die Computeralgebra Systeme KANT/KASH ([Pohst])
und MAGMA ([MAGMA]). In beiden Systemen haben wir die Funktion
RegulatorLowerBound, mit der wir eine untere Regulatorabschätzung für|RE | bestimmen können.
Wir haben nun den folgenden Satz für die Grundeinheiten von L, siehe[LePoUz09], S. 14 und 15:Satz 4.30. Es seien ²1 , · · · , ²n−1 ∈ EL unabhängige Einheiten. Dann existieren die Grundeinheiten u1 , · · · , ur of EL so dass
ε1 = ζ1 ub111
ε2 = ζ2 ub121 ub222..
.
εr = ζt ub1r1 · · · ubrrr ,mit bij ∈ Z, bii > 0, ζi ∈ WL . Ferner, haben wir(EK : EK ) = b11 · · · brr .
Es sei nun W (x) das Klassenpolynom einer Klasseneinheit, welche über k
den Körper L erzeugt.
Wir wählen n − 1 Nullstellen ²1 , · · · , ²n−1 dieses Polynoms W (x), so dassdet(R(ε1 , · · · , εn−1 )) = det(Rε ) nicht Null und minimal ist, falls wir solche
Nullstellen von W (x) haben. Da wir die n Nullstellen von W (x) explizit
wegen der Konstruktion des Klassenpolynoms W (x) numerisch berechnet
haben, ist es nicht schwer die n−1 Nullstellen mit der Eigenschaft zu wählen,dass det(Rε ) minimal ist.
Wir haben die folgenden drei Lemmata, welche uns ermöglichen zu testen,ob eine Einheit eine p−Potenz ist, wobei p eine Primzahl ist, siehe [Haj88],
lemma 5.2.1, 5.2.2 und 5.2.3 :Lemma 4.31. M = Q(α) sei ein algebraischer Zahlkörper vom Grad n >(1)(n) die Konjugierten von α sind. Ferner sei f (x) =1,αQnwobei α (j), · · · , α
(x
−
α
)
das
Minimalpolynom
von
α.
j=1

4.4. BERECHNUNG DER EINHEITENGRUPPE

83m

Für jede positive ganze Zahl m gilt α ∈ M ∗ genau dann, wenn fα (xm )einen irreduziblen Faktor in Z[x] hat, dessen Grad ein positiver Teiler von n
ist.
Lemma 4.32. Es bezeichne EL+ die Gruppe der Einheiten in L+ = L∩R. Es
seien p eine Primzahl und ε ∈ EL+ . Genau dann gilt ε ∈ ELp , wenn ε ∈ ELp +oder ε/d ∈ ELp + ist, wobei d die Diskriminante des imaginär quadratischen
Zahlkörpers k ist.
Lemma 4.33. Es sei Q(ε) einer der Konjugierten des maximal reellen Teilkörpers von L für eine Einheit ε ∈ EL und −d ∈ P, wobei d die Diskriminante des imaginär quadratischen Zahlkörpers k ist. Ferner sei fε (x) das
Minimalpolynom von ε.
Genau dann gilt für jede Primzahl p stets ε ∈ ELp , wenn fε (xp ) einen irreduziblen Faktor in Z[x] hat, dessen Grad ein positiver Teiler von n ist.
Algorithmus
Überprüfung der p−ten Potenzen:
Wir listen zunächst die Primzahlen p ≤ B, wobei B die obere Schranke fürden Index der Untergruppe EL von EL ist.
Durch die folgenden Schritte finden wir den p−Teil von (EL : EL ):Schritt 1: Teste ob ε1 ∈ WL ELp gilt.
Falls NEIN, setze θ1 = ε1 .
Falls JA, teste ob ε01 ∈ WL ELp gilt, wobei für ε01 ∈ EL ε0p
1 = ζε1 für einζ ∈ WL gilt.
j1

Wir folgen dem Schritt bis wir ε1 ∈ WL ELp
pj1

Nun gilt für θ1 stets θ1

j1 +1

mit ε1 6∈ WL ELp

haben.

= ζε1 für ein ζ ∈ WL .

Schritt 2: Wir nehmen an, dass wir θm−1 gefunden haben.
Finde die größte ganze Zahl jm , so dass ganze Zahlen c1 , . . . , cm−1 existieren,welche der Ungleichung 0 ≤ ci ≤ pjm −1 genügen und und für die
jm

c

p
c1
m−1
ε−1
m θ1 · · · θm−1 ∈ WL EL

gilt.
jm

−c

p
m−1
Nun sei θm eine Einheit in EL , für die θm−1
= ζεm θ1−c1 · · · θm−1
mit ζ ∈ WL
gilt.

Wir merken an, dass wir in diesem Schritt die Anzahl der Schritte zur Überprüfung der p−ten Potenzen mittels des Verfahrens von Pohst und Zassenhaus, siehe [PhZs89], p. 371-372, von p(m−1)(jm−1 ) Schritten auf Maximum(m − 1)jm Schritte reduzieren um das geeignete jm zu bestimmen.

84

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS

Schritt 3: Der p-Teil von [EL : EL ] ist pj1 +···+jt , und < WL , θ1 , · · · , θn−1 >hat den Index [EL : EL ]/(pj1 · · · pjt ).
Grundeinheiten: Wir können nun durch den folgenden Algorithmus die
Einheitengruppe EL berechnen:

Algorithmus 5: Berechnung der Einheitengruppe
Eingabe: Eine Ordnung Ot eines imaginär quadratischen Zahlkörpers k mit
dem Führer t, τ ∈ Ot und D(τ ) = −4m, wobei m die Kongruenzbedingungen nach dem Satz 4.26 oder 4.28, (1(a)), (2(a)) erfüllt und wir somit eine
Klasseneinheit g(τ ) haben.
Ausgabe: Die Erzeuger der Einheitengruppe EΩt des RingklassenkörpersΩt modulo t vom Grad ht über k.
1. Berechne das Klassenpolynom W (g(τ )) von g(τ )2. Bestimme eine untere Schranke l des Regulators von Ωt = k(g(τ )).
3. Bestimme ht − 1 Nullstellen ²1 , · · · , ²ht −1 von W (g(τ )), so dass die Determinante der Regulatormatrix den kleinsten von Null verschiedenen
Betrag m hat.
4. Bestimme aus (3) eine obere Schranke B = m/l für den Index der Untergruppe von EΩt , welche von ²1 , · · · ²ht −1 und den Einheitenwurzeln
erzeugt sind.
5. Liste alle Primzahlen pi ≤ B, i = 1, · · · , n auf.
6. Für i = 1 bis n(a) Bestimme mittels der Überprüfung der p−ten Potenzen ei vonpi , sowie die Einheiten γ1 , · · · , γht −1 , die zusammen mit den Einheitswurzeln eine Untergruppe vom Index (EΩt : EΩt )/pei i bilden.
(b) Setze γ1 , · · · , γht −1 := ²1 , · · · , ²ht −1 .
7. Gebe die Grundeinheiten γ1 , · · · , γht −1 und die Untergruppe der Einheitswurzeln von Ωt aus.

Beispiel: Wir betrachten noch einmal das Beispiel m = 24 · 3 + 3. Das
Klassenpolynom von F(τ )/2 war
f−204 (x) = x6 − 8x5 − 3x4 + 6x3 + 9x2 + 2x + 1.
W

4.5. VERALLGEMEINERTE KLASSENINVARIANTEN MITTELS THETANULLWERTE85
Es sei L = K(F(τ )/2). Mittels der Benutzung der Funktion RegulatorLowerBoundvon KANT/KASH erhalten wir 43.3706 als untere Schranke des Regulators
von L.
Die Konjugierten (F(τ )/2)(i) , für i = 1, · · · , 5 liefern die Determinante derRegulatormatrix det(R) = 74.6592.
Nach der Gleichung 4.25 haben wir damit die obere Schranke
B = 74.6592/43.3706 = 1.7214
für den Index der Untergruppe EL von EL , welche von (F(τ )/2)(i) und den
Einheitenwurzeln von L erzeugt ist.
Dies bedeutet aber, dass bereits (F(τ )/2)(i) mit WL die Einheitengruppe EL
erzeugen, da es keine Primzahl p ≤ B existiert.

4.5

Verallgemeinerte Klasseninvarianten mittels Thetanullwerte

Mittels der Verallgemeinerungen der in 4.13 definierten Funktionen f, f1 undf2 für l ∈ Z>2
ml (τ ) =√ η(lτ )η( τ +jl )l, mj (τ ) = ζ, 0 ≤ j ≤ l − 1,
η(τ )
η(τ )

(4.26)

sind die verallgemeinerten Schläflischen Funktionen der Stufe l definiert, wobei ζ eine geeignete Einheitswurzel ist, siehe [Gee01], S. 73.
Die singulären Werte der kleineren Potenzen dieser Funktionen liefern wie
im Satz 4.9 Klasseninvarianten, siehe [EngMor09].
Die Stufe l = 3: Für diesen Fall haben wir die Funktionen

g0 (τ ) =

τ +1√ η(3τ )η( τ3 )η( τ +2−1 η( 3 )3 ), g1 (τ ) = ζ24, g2 (τ ) =, g3 (τ ) = 3
.
η(τ )
η(τ )
η(τ )
η(τ )
(4.27)

Für diese Funktionen haben wir nun den folgenden Satz:
Satz 4.34. Es sei τ ∈ H. Dann gelten die folgenden Gleichungen:√
1. g0 (τ )g1 (τ )g2 (τ )g3 (τ ) = 3,Q
2. 3i=0 (x − gi (τ )12 ) = x4 + 36x3 + 270x2 + (756 − j(τ ))x + 36 ,√3. g0 (3τ )g3 (τ ) = 3,

86

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS
4. g3 ( τ +1
3 )g1 (τ ) =

√

3,
√

5. g3 ( τ +23 )g2 (τ ) = ζ12 3.
Beweis: Für die Beweise der ersten zwei Aussagen verweisen wir auf [Wb1908],
S. 255. Nun folgt die dritte Aussage aus
g0 (3τ )g3 (τ ) =√ η(τ ) η(3τ ) √3= 3.
η(3τ ) η(τ )Mittels der Transformation der Dedekindschen η−Funktion η(τ +1) = ζ24 η(τ ),τ ∈ H, haben wir
g3 (√ −1 η(τ + 1) η( τ +1
√ −1
√
τ +1
3 )
)g1 (τ ) = 3ζ24
= 3ζ24
ζ24 = 3.
τ+1
3
η( 3 ) η(τ )Analog erhalten wir die letzte Aussage. ¤Der folgende Satz erweitert den Satz 4.9 für die kleineren Potenzen der Funktionen gi , 0 ≤ i ≤ 2, siehe [Gee01], S. 73:
Satz 4.35. Es sei Ok = [τ, 1] die Maximalordnung eines imaginär quadratischen Zahlkörpers k der Diskriminante D mit Trk/Q (τ ) ∈ {−1, 0}.
Dann liefern die singulären Werte der folgenden Funktionen an τ in der Tabelle Klasseninvarianten, deren Klassenpolynome ganzzahlige Koeffizienten
besitzen:D ≡ 1(4)D ≡ 0(8)D ≡ 4(8)D ≡ 1(9)ζ3 g20 , ζ32 g21
ζ32 ζ4 g21 , ζ3 ζ4 g22
ζ3 g41 , ζ32 g42

D ≡ 4(9)g20 , g21
ζ3 ζ4 g21 , ζ32 g22
ζ32 g41 , ζ3 g42

D ≡ 7(9)ζ32 g20 , ζ3 g21
ζ4 g21 , ζ4 g22
g41 , g42

D ≡ 3(9)√1 g6
3 −3 2
1
√
g6
3 3 0
1 12
g
33 0

D ≡ 6(9)
√1 g2
−3 2
√1 g2
3 0
1 4
g
3 0

Die Stufe l = 5: In diesem Fall haben wir die Funktionen
h0 (τ ) =η( τ5 )η( τ +1
η( τ +2
5 )5 ), h1 (τ ) = ζ8
, h2 (τ ) = ζ12
,
η(τ )
η(τ )
η(τ )

h3 (τ ) = ζ24√ η(5τ )η( τ +3η( τ +4
5 )5 ), h4 (τ ) = ζ3−1
, h5 (τ ) = 5
.
η(τ )
η(τ )
η(τ )

Für diese Funktionen haben wir nun die folgenden Identitäten:Satz 4.36. Es sei τ ∈ H. Dann gelten die folgenden Gleichungen:
1. h0 (τ )h1 (τ )h2 (τ )h3 (τ )h4 (τ )h5 (τ ) =√5,(4.28)

4.5. VERALLGEMEINERTE KLASSENINVARIANTEN MITTELS THETANULLWERTE87
2. h0 (τ )6 + h1 (τ )6 + h2 (τ )6 + h3 (τ )6 + h4 (τ )6 + h5 (τ )6 = −30,√
3. h0 (5τ )h5 (τ ) = 5,√
4. h5 ( τ +1
)h
(τ
)
=
ζ
5,
1
6
5
√
5. h5 ( τ +25 )h2 (τ ) = ζ8 5,√
6. h5 ( τ +35 )h3 (τ ) = ζ12 5,√−1
7. h5 ( τ +45 )h4 (τ ) = ζ3 ζ24 5.
Beweis: Für die Beweise der ersten zwei Aussagen verweisen wir auf [Hr08],
S. 439 und 440. Nun folgt die dritte Aussage aus
h0 (5τ )h5 (τ ) =√ η(τ ) η(5τ ) √5= 5.
η(5τ ) η(τ )Mittels der Transformation η(τ + 1) = ζ24 η(τ ) haben wir
h5 (√ η(τ + 1) η( τ +1
√
√
τ +1
5 )
)h1 (τ ) = 5ζ8
=
5ζ
ζ
=
ζ
5.
8
24
6
5
η(τ )
η( τ +1
5 )Analog folgen die anderen Aussagen. ¤Der folgende Satz erweitert den Satz 4.9 für die Funktion h25 , siehe [EngMor09],
S. 17:
Satz 4.37. Es sei Ot = [τ, 1] die Ordnung eines imaginär quadratischen
Zahlkörpers k der Diskriminante D = t2 dk , wobei dk die Diskriminannte desKörpers k ist. Dann liefert h25 (τ ) eine Klasseninvariante, falls 3 6 |D ist.
Im Gegensatz zu den anderen Klasseninvarianten, sind die Koeffizienten des
Klassenpolynoms von h25 im Satz 4.37 nicht ganzzahlig. Sie liegen in Ok .
Bemerkung 4.38. Wir verweisen auf [EngMor09] für die anderen verallgemeinerten Funktionen der Stufe l, deren Potenzen Klasseninvarianten liefern. Die hinreichende Bedingung dafür, dass die Klassenpolynome solcher
Invarianten ganzzahlige Koeffizienten haben, wurde auch in [EngMor09] angegeben, theorem 10 und theorem 21 .
Quotienten der Thetanullwerte
Wir haben gesehen, dass sich die Quotienten der Thetanullwerte schneller
als die Quotienten der Dedekindschen η−Funktionen berechnen lassen. Wirwollen deshalb die verallgemeinerten Schläflischen Funktionen als Quotienten
der Thetanullwerte darstellen.

88

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS

Wir werden die Darstellungen der Schläflischen Funktionen der Stufe l = 3
und l = 5 als Quotienten der Thetanullwerte herleiten. Die Idee der Beweise dieser Darstellungen wird uns ermöglichen, auch die verallgemeinerten Schläflischen Funktionen beliebiger Stufe l als Quotienten gewisser Thetanullwerte darzustellen.
Die Stufe l = 3: Wir haben in diesem Fall den folgenden Satz:
Satz 4.39. Es gelten die folgenden Identitäten für τ ∈ H:
2

(τ /6) f1 (τ /3)
10 (τ /6) θ01 (τ /3)
1. g0 (τ ) = θθ10
, g0 (τ )3 = θθ10,
(τ /2)2 θ01 (τ )10 (τ /2) f1 (τ )
τ +1 2
τ +1
θ ( τ +1
)f1 ( τ +1)
3 = θ10 ( 6 ) θ01 ( 3 ) ,
6
3
,
g
(τ
)
1
τ +1
τ +1 2
θ10 ( 2 ) θ00 (τ )10 ( 2 )f(τ )2. g1 (τ ) = ζ48 10θ
3. g2 (τ ) =4. g3 (τ ) =τ +2
τ +2 2)f1 ( τ +2)
θ10 ( τ +2
3 = θ10 ( 6 ) θ01 ( 3 ) ,
6
3
,
g
(τ
)
τ
τ 2
2
θ10 ( 2 )f1 (τ )
θ10 ( 2 ) θ01 (τ )√ θ10 ( 3τ )f1 (3τ )√ θ ( 3τ )2 θ (3τ )3 θ10 (2τ )f1 (τ ) , g3 (τ )3 = 3 3 θ1010 (2τ )2 θ01.
01 (τ )
2

2

Beweis: Wir haben im Beweis des Satzes 4.15 gezeigt, dass die folgende
Gleichungθ00 (τ )θ01 (τ )θ10 (τ )
η(τ )3 =2
gilt. Daraus folgt die Gleichungg0 (τ )3 =

θ00 (τ /3)θ01 (τ /3)θ10 (τ /3).
θ00 (τ )θ01 (τ )θ10 (τ )Nach der Duplikationsformel 4.17 und der Transformationsformel 4.12, (3),erhalten wir
g0 (τ )3 =

θ10 (τ /6)2 θ01 (τ /3)
η(τ /3) θ10 (τ /6)2 f1 (τ /3)2
θ10 (τ /6)2 f1 (τ /3)2
=
=
g
(τ
)
.
0
θ10 (τ /2)2 θ01 (τ )
η(τ ) θ10 (τ /2)2 f1 (τ )2
θ10 (τ /2)2 f1 (τ )2

Es gilt daher mittels des Vergleichs des Vorzeichens beider Seiten
g0 (τ ) =

θ10 (τ /6)f1 (τ /3).
θ10 (τ /2)f1 (τ )Wir haben somit wegen des Satzes 4.15, (2),g0 (τ )3 =

θ10 (τ /6)3 θ01 (τ /3) θ10 (τ /2)
θ10 (τ /6)2 θ01 (τ /3)=.
θ10 (τ /2)3 θ10 (τ /6) θ01 (τ )
θ10 (τ /2)2 θ01 (τ )Aus dem Satz 4.34, (3), folgt nun

4.5. VERALLGEMEINERTE KLASSENINVARIANTEN MITTELS THETANULLWERTE89√

g3 (τ ) =und

√ θ10 ( 3τ32 )f1 (3τ )= 3,
g0 (3τ )θ10 ( τ2 )f1 (τ )

√
2
√ 3 3
√ θ10 ( 3τ
2 ) θ01 (3τ )3g3 (τ ) = 3 3=
3.
g0 (3τ )3
θ10 ( τ2 )2 θ01 (τ )3

Die Aussagen der Sätze 4.34, (4), und 4.16 implizieren die Gleichungen√g1 (τ ) =3

g3 ( τ +1
3 )

=

τ +1
τ +1
θ10 ( τ +1
θ10 ( τ +1
6 )f1 ( 3 )6 )f1 ( 3 )=ζ,48
θ10 ( τ +1
θ10 ( τ +1
2 )f1 (τ + 1)
2 )f(τ )

und
√
τ +1
2
θ10 ( τ +1
3 36 ) θ01 ( 3 )g1 (τ ) ==.
32
g3 ( τ +1
θ10 ( τ +1
3 )2 ) θ01 (τ + 1)
3

Mittels der folgenden Transformationsformel der Thetanullwerte

θ01 (τ + 1) = θ00 (τ ), θ00 (τ + 1) = θ01 (τ ) und θ10 (τ + 1) = ζ8 θ10 (τ ) (4.29)
erhalten wir den zweiten Teil der zweiten Aussage
g1 (τ )3 =

τ +1
2
θ10 ( τ +16 ) θ01 ( 3 ).
2θ10 ( τ +12 ) θ00 (τ )Der Satz 4.34, (5), besagt√
τ +2
θ10 ( τ +2
ζ12 3
6 )f1 ( 3 )=ζ.
g2 (τ ) =12
g3 ( τ +2
θ10 ( τ +2
3 )2 )f1 (τ + 2)
Aus der Transformationsformel 4.16 und den Transformationsformeln 4.29
erhalten wir die Gleichungen−1−1
f1 (τ + 2) = ζ48
f(τ + 1) = ζ24

η( τ +2
τ +2
−1
2 )
= ζ24
f1 (τ ), θ10 () = ζ8 θ10 (τ /2),
η(τ + 1)
2

aus denen der erste Teil der dritten Aussage folgt:

g2 (τ ) = ζ12

τ +2
τ +2
τ +2
θ10 ( τ +2
θ10 ( τ +2
θ10 ( τ +2
6 )f1 ( 3 )6 )f1 ( 3 )6 )f1 ( 3 )
=
ζ
=
.
12
τ
−1
θ10 ( 2 )f1 (τ )
θ10 ( τ +2
ζ8 θ10 ( τ2 )ζ24
f1 (τ )
2 )f1 (τ + 2)

90

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS

Letztlich nach dem Satz 4.34, (5), gilt√
τ +22
θ10 ( τ +2
ζ4 3 36 ) θ01 ( 3 )g2 (τ ) =
=
ζ
.
4
3
2
g3 ( τ +2
θ10 ( τ +2
3 )2 ) θ01 (τ + 2)
3

Aus den Transformationsformeln 4.29 folgt somit die letzte Aussage:g2 (τ )3 = ζ4

τ +2
τ +2
2
2
θ10 ( τ +2
θ10 ( τ +26 ) θ01 ( 3 )6 ) θ01 ( 3 )=.¤ζ4 θ10 ( τ2 )2 θ01 (τ )
θ10 ( τ2 )2 θ01 (τ )Die Stufe l = 5: Mit Hilfe des folgenden Satzes können wir die verallgemeinerten Schläflischen Funktionen der Stufe 5 mittels Quotienten der Thetanullwerte darstellen, dessen Beweis, wie im Beweis des Satzes 4.39, aus der
Betrachtung der Transformationen von f1 zusammmen mit den Transformationen 4.29 folgt:
Satz 4.40. Es gelten die folgenden Identitäten für τ ∈ H:
2

f1 (τ /5)
θ10 (τ /10) θ01 (τ /5)
3
1. h0 (τ ) = θθ1010(τ(τ/10)/2) f1 (τ ) , h0 (τ ) = θ10 (τ /2)2 θ01 (τ ) ,+1
τ +1
τ +1 2θ ( τ10)f1 ( τ +1)
3 = − θ10 ( 10 ) θ01 ( 5 ) ,
5
,
h
(τ
)
1
τ +1
τ +1 2
θ10 ( 2 ) θ00 (τ )10 ( 2 )f(τ )2. h1 (τ ) = ζ6 ζ48 10θ

θ ( τ +2 )f ( τ +2 )

θ ( τ +2 )2 θ ( τ +2 )5,
3. h2 (τ ) = ζ24 10θ1010( τ )f11 (τ )5 , h2 (τ )3 = ζ8 10θ1010( τ )2 θ01
01 (τ )
22

τ +3 2
τ +3+3)f1 ( τ +3)
θ ( τ10
3 = θ10 ( 10 ) θ01 ( 5 ) ,
5
,
h
(τ
)
3
τ +1
τ +1 2
θ10 ( 2 ) θ00 (τ )10 ( 2 )f(τ )4. h3 (τ ) = ζ48 10θ

θ ( τ +4 )f ( τ +4 )

θ ( τ +4 )2 θ ( τ +4 )

01
10 10
−1 10 10 1 53
5
5. h4 (τ ) = ζ24
θ10 ( τ )f1 (τ ) , h4 (τ ) = ζ8 θ10 ( τ )2 θ01 (τ ) ,2

6. h5 (τ ) =√5

θ10 ( 5τ)f1 (5τ )2
θ10 ( τ2 )f1 (τ )2√
, h5 (τ )3 = 5 5

θ10 ( 5τ
)2 θ01 (5τ )2
θ10 ( τ2 )2 θ01 (τ ).

Beliebige Stufe l: Aus der Idee des Beweises des Satzes 4.39 können wir
die Funktionen
ml (τ ) =√ η(lτ )η( τl )lund m0 (τ ) =
η(τ )
η(τ )

(4.30)

mittels des folgenden Satzes als Quotienten der Thetanullwerte darstellen.
Satz 4.41. Es gelten die folgenden Identitäten für τ ∈ H:
1. m0 (5τ )ml (τ ) =√l,(τ /2l)f1 (τ /l)
2. m0 (τ ) = θ10
θ01 (τ /2)f1 (τ ) ,4.5. VERALLGEMEINERTE KLASSENINVARIANTEN MITTELS THETANULLWERTE912(τ /2l) θ01 (τ /l)
3. m0 (τ )3 = θθ10
2 θ (τ ) ,01
10 (τ /2)

4. ml (τ ) =√ θ10 (lτ /2)f1 (lτ )l θ10 (τ /2)f1 (τ ) ,√/2)2 θ01 (lτ )5. ml (τ )3 = l l θθ1010(lτ.
(τ /2)2 θ01 (τ )Beweis: Analoge an den Beweisen der Sätze 4.34 und 4.39 folgen sämtliche
Aussagen. ¤Bemerkung 4.42. Die Funktionenζη( τ +kl )η(τ )der beliebigen Stufe l kann man mittels des Satzes 4.41 mit einer geeigneten
Einheitswurzel ζ sowie der Transformationen 4.29 als gewisse Quotienten
der Thetanullwerte darstellen.

4.5.1

Klasseneinheiten

Wir werden nun mit Hilfe des Satzes 4.25 zeigen, dass die im Satz 4.35
eingeführten Klasseninvarianten stets Einheiten sind.
Satz 4.43. Die im Satz 4.35 eingeführten Klasseninvarianten sind Einheiten
in den entsprechenden Hilbertklassenkörpern.
Beweis: Wir betrachten zunächst den Fall D ≡ 1 mod 3 und D ≡ 1 mod 4.
Wir haben daher die Bedingung D ≡ 1 mod 12.
√

Es gilt somit, dass Ok = Z[ 1+2 D ] ist und 3 in Ok zerfällt.
Ferner gilt für die Zahl l des Satzes 4.25 stets l = 0, da wegen der Voraussetzungen im Satz 4.35 für den Führer t = 1 gilt.
Nach dem Satz 4.25, 1. (c), sind die Quotienten ϕ3P12(τ ) und
µ
¶
µ
¶
1 0
1 1
Matrizen P =bzw. Q =Einheiten.
0 3
0 3

ϕQ (τ )
312

mit denNun erhalten wir nach dem Satz 4.24 daher die Einheiten∆( τ +1
ϕQ (τ )ϕP (τ )∆(τ /3)−12 ∆(τ /3)
3 )
=
3
=
und
=
.
12
−12
12
3
3 ∆(τ )
∆(τ )
3
∆(τ )
Wegen der Identität 4.19 sind die 12−ten Wurzeln dieser Einheiten die Klasseninvarianten für die Fälle D ≡ 1 mod 4 und D ≡ 1, 4, 7 mod 9.
Analog erhalten wir für die Fälle D ≡ 0, 4 mod 8 und D ≡ 1, 4, 7 mod 9 die
Einheiteneigenschaften der Klasseninvarianten, da wir stets D ≡ 4 mod 12

92

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS

haben. Denn auch in diesem
Fallµ¶ zerfällt 3 in Ok , und wir können neben Q
1 2
auch die Matrix R =mit dem Satz 4.25, 1. (c), betrachten, um
0 3
die Einheiteneigenschaft von g2 (τ )2 nachzuweisen.
Nun haben wir für die Fälle D ≡ 0 mod 3 und D ≡ 0 mod 4 stetsD ≡ 0 mod 12.
Es gilt daher, dass 3 in Ok verzweigt ist. Nach µ
dem Satz¶ 4.25, 1. (c), und
1 0
dem Satz 4.24 erhalten wir mit der Matrix P =die Einheit
0 3
1 ∆( τ3 )ϕP (τ )=.
36
36 ∆(τ )Es folgt daraus wegen der Identität 4.24 die Gleichungµ¶12
g0 (τ )2
1 ∆( τ3 )√= 6.
3 ∆(τ )
3
Wir haben insgesamt die Eigenschaft, dass die Klasseninvarianten
g0 (τ )2 g0 (τ )4 g0 (τ )6
g0 (τ )12
√ ,, √ und333
3
3 3
Einheiten für D ≡ 24 mod 72, D ≡ 60 mod 72, D ≡ 48 mod 72 bzw.
D ≡ 12 mod 72 sind.
Letztlich erhalten wir für den Fall D ≡ 1 mod 4 und D ≡ 0 mod 3 die
Kongruenzbedingung D ≡ 9 mod 12, und damit 3|D. Wieder nachµ dem¶Satz
1 2
die
4.25, 1. (c), dem Satz 4.24 haben wir mit der Matrix R =0 3
EinheitϕR (τ )
1 ∆( τ +2
3 )
=
,
6
6
3
3 ∆(τ )
und wegen der Identität 4.24µ

g2 (τ )2
√
3

¶12
=

1 ∆( τ +2
3 ).
6
3 ∆(τ )

Somit sind die Klasseninvarianten
g2 (τ )2g2 (τ )6
√
und √
−3
3 −3
Einheiten für D ≡ 33 mod 72 bzw. D ≡ 57 mod 72. ¤4.6. OPTIMALE KLASSENINVARIANTEN

93

Bemerkung 4.44. Enge und Schertz haben in [EnSch03] und [EnSch04] die
Klasseninvarianten mittels der Doppel η−QuotientenÃmsp1 ,p2 (τ ) =η( pτ1 )η( pτ1 )!s

η(τ )η( p1τp2 )eingeführt, wobei p1 6= p2 Primzahlen sind, unds = 24/ ggT(24, (p1 − 1)(p2 − 1)) ∈ Z gilt.
Diese Quotienten sind nach [EnSch03], S. 7, auch Einheiten. Wir merken an,
dass wir für gegebenes s auch diese Invarianten mittels der Thetanullwerte,
wie in 4.39, mit Hilfe der Transformationsformeln 4.16 und 4.29 darstellen
können.

4.6

Optimale Klasseninvarianten

Wir werden uns nun mit der Frage beschäftigen, wie gut wir mittels einer
Klasseninvariante als ein singulärer Wert der Modulfunktion g der Stufe N
im Vergleich zu dem Wert der absoluten Invariante j ein Klassenpolynom
erhalten können.
Es sei g eine Modulfunktion, deren singuläre Werte g(τ ) Klasseninvariantensind. Dann unterscheidet asymptotisch, |D| → ∞, die logarithmische Höhe
der Nullstellen des Klassenpolynoms von g(τ ) von der logarithmischen Höhedes Hilbertklassenpolynoms von j(τ ) um einen konstanten Faktor, wie wir
früher diskutiert haben. Daher wollen wir feststellen, ob dieser konstante
Faktor beliebig gut sein kann. Wir werden aber sehen, dass dieser Faktornach oben durch 100.82 beschränkt ist.
Zu jeder Modulfunktion g ∈ F existiert ein Polynom mit
Φ(g, j) = 0,
welches wir Modulpolynom nennen, siehe [EnSch05], S. 132. Für die Modulfunktion g der Stufe N definieren wir den folgenden Quotienten, welcher
uns ermöglicht, die Klasseninvariante g(τ ) mit j(τ ) zu vergleichen:r(g) =

degg (Φ(g, j)).
degj (Φ(g, j))(4.31)Nach [HinSil00], Proposition B.3.5, haben wir den folgenden Satz:
Satz 4.45. Voraussetzungen seien wie oben. Dann ist r(g) asymptotischgleich dem Faktor

94

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINS

lim

H(g(τ ))

H(j(τ ))→∞ H(j(τ )),wobei der Limes über alle CM-Punkte τ ∈ H gebildet wird, welche durch den
Betrag der Diskriminante der entsprechenden Ordnungen geordnet sind, undH die absolute logarithmische Höhe ist.
Mit Hilfe des Satzes 4.45 haben Bröker und Stevenhagen den folgenden Satzbewiesen, siehe [BrSt08]:
Satz 4.46. Es giltr(g) ≤ 32768/325 ≈ 100.82,
wobei g eine beliebige Modulfunktion einer beliebigen Stufe ist.
Es bezeichne Γ(g) den Stabilisator von g in Γ = Sl(2, Z). Um den Satz 4.46
zu beweisen, haben Bröker und Stevenhagen eine obere Schranke durchr(g) ≤24,
λ1 (Γ(g))(4.32)

erhalten, wobei λ1 (Γ(g)) den Selbergschen Eigenwert bezeichnet, d. h. λ1 (H)für eine Kongruenzuntergruppe H von Γ der kleinste positive Eigenwert desLaplace-Operators auf der Modulkurve XH ist, siehe auch [Sar95]. Die zur
Zeit beste untere Schranke für den Selbergschen Eigenwert beträgt
λ1 (Γ(g)) ≥ 975/4096.
Daher hat man die obere Schranke 100.82 für r(g).
Nach der Vermutung über den Selbergschen Eigenwert gilt für die untere
Schranke, siehe [Sar95]:
λ1 (Γ(g)) ≥ 1/4.
Daher haben wir den folgenden Satz, wessen Beweis aus der Ungleichung4.32 folgt:
Satz 4.47. Falls die Vermutung über den Selbergschen Eigenwert gilt, danngiltr(g) ≤ 96.

4.6. OPTIMALE KLASSENINVARIANTEN

95

Der Satz 4.47 besagt, dass wir zumindest theoretisch einen optimalen konstanten Faktor 96 gewinnen können, falls es eine Modulfunktion gibt, deren
singulären Werte Klasseninvarianten liefern.
Die Schläflische Funktion f aus dem Satz 4.9 nach der Bemerkung 4.10 und
dem Lemma 4.8 liefert den Faktor r(f) = 72, falls für die Diskriminante
3 6 |D und D = −4m mit m ≡ 1 mod 8 gilt. Im Sinne des Satzes 4.47 istdiese Klasseninvariante die zur Zeit mittels der CM-Methode konstruierbare
beste Klasseninvariante.
Die Aufgabe besteht also darin, die Modulfunktionen g zu bestimmen, fürdie r(g) = 96 gilt und deren singulären Werte Klasseninvarianten sind.
Dieses ist zur Zeit ein offenes Problem, welches vermutlich mittels der Untersuchung gewisser Quotienten der Thetanullwerte gelöst werden könnte.
Falls wir für die Optimalität noch die Bedingung haben wollen, dass die
Klasseninvarianten Einheiten sein sollten, erhalten wir nach dem Satz 4.9,
der Bemerkung 4.10, und dem Lemma 4.8µ ¶2
1√ f(τ )
A2
als im Sinne des Satzes 4.47 beste Klasseninvariante, falls m ≡ 7 mod 8 und
3 6 |D gilt.

96

KAPITEL 4. KLASSENPOLYNOME VOM GESCHLECHT EINSKapitel 5

Klasseninvarianten imGeschlecht zwei
Hauptziel dieses Kapitels ist es, das Verfahren der Bestimmung einer Klasseninvariante vom Geschlecht eins mittels des zweidimensionalen Reziprozitätsgesetzes von Shimura und einer von Sasaki ([Sa99]) bestimmten Arithmetik gewisser Siegelschen Modulfunktionen auf die einfachen hauptpolarisierten abelschen Flächen (A, E) von vorgegebenem primitiven CM-Typ (K, Φ)zu verallgemeinern. Des Weiteren werden wir beweisen, dass alle primitiven
CM-Körper K vom Grad vier über Q eine relative Ganzheitsbasis über ihrem
reell quadratischen Zahlkörpern K0 besitzen, falls A = C2 /Φ(OK ) ist. Dies
wird es ermöglichen, die im dritten Kapitel eingeführte CM-Konstruktion
auf alle primitiven CM-Körper zu erweitern.
Wir schreiben (einfachheitshalber) F = K r , wobei K r der im ersten Kapitel
eingeführte Reflexivkörper des primitiven CM-Körpers K ist. Dann gilt nachdem ersten Kapitel, dass K entweder zyklisch mit K = F oder nicht-galoisschmit der galoisschen Hülle L ist, wobei die absolute Galoisgruppe von L stets
die Diedergruppe D4 ist. Im nicht-galoisschen Fall ist F wieder ein primitiver
CM-Körper vom Grad vier mit K 6= F , welcher in L enthalten ist.
Wie wir im dritten Kapitel erläutert haben, ist es hinreichend, die CMKonstruktion durchzuführen, falls der primitive CM-Körper K eine relative
Ganzheitsbasis über seinem reell quadratischen Zahlkörper K0 besitzt. Wir
werden im ersten Abschnitt zeigen, dass die Steinitzklasse, siehe 5.1, fürjeden primitiven CM-Körper K vom Grad vier ein Hauptideal ist, falls für
die hauptpolarisierte abelsche Fläche A stets A = C2 /Φ(OK ) gilt. Aus dieser
Eigenschaft der Steinitzklasse folgt, dass K eine relative Ganzheitsbasis überseinem reell quadratischen Zahlkörper K0 besitzt. Damit erweitern wir die
CM-Konstruktion auf alle primitiven CM-Körper, deren reell quadratischen
Zahlkörper nicht notwendig die Klassenzahl eins besitzen soll.

97

98

KAPITEL 5. KLASSENINVARIANTEN IM GESCHLECHT ZWEI

Das in diesem Kapitel entwickelte Verfahren überprüft, ob der Wert einer
Siegelschen Modulfunktion g der Stufe (2N, 4N ), ggT(2, N ) = 1 an einem
CM-Punkt τ ∈ H2 in dem Modulkörper HF = F (j1 (τ ), j2 (τ ), j3 (τ )) der
hauptpolarisierten abelschen Fläche (A, E) vom primitiven CM-Typ (K, Φ)
liegt. Damit können wir entscheiden, ob g(τ ) eine Klasseninvariante ist. Im
Falle, dass wir ein Klasseninvariantensystem (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) mittels dieses Verfahrens mit F (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) = HF bestimmen können, dannkönnen wir, wie im Geschlecht eins, statt der Igusa-Klassenpolynome, die
Klassenpolynome von g1 (τ ), g2 (τ ) und g3 (τ ) berechnen, welche kleinere Koeffizienten als die Koeffizienten der Igusa-Klassenpolynome besitzen.
Wir werden im zweiten Abschnitt die von Sasaki bestimmte Arithmetik derSiegelschen Modulfunktionen beschreiben.
Als nächstens werden wir im dritten Abschnitt, den maximal mittels der
CM-Theorie konstruierbaren Klassenkörper F cm ideltheoretisch beschreiben,
welcher in den Arbeiten [Ov74], [Sh97] und [Sh62] zu finden ist. Im Prinzip
besagt die Theorie der komplexen Multiplikation, dass die Klassenkörper, diemittels der komplexen Multiplikation konstruiert werden, die Körper sind,die nicht aus den Klassenkörpern der total reellen Teilkörper stammen.
Ferner wird im vierten Abschnitt auf die arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen mit komplexer Multiplikation nebst ihren Eigenschaften eingegangen. Des Weiteren werden wir uns mit dem zwei dimensionalen Reziprozitätsgesetz von Shimura beschäftigen, welches uns ermöglicht, unser
Verfahren zu beschreiben.
Im fünften Abschnitt werden wir ein Verfahren entwickeln, welches die aus
den vorherigen Abschnitten erläuterten Eigenschaften benutzt, um eine explizite Abbildung von (O/N O)∗ nach U ≤ GL(4, Z/N Z) zu beschreiben.
Falls die Bilder dieser Abbildung auf den Wert g(τ ) einer arithmetischen
Siegelschen Modulfunktion der Stufe (2N, 4N ) trivial operieren, dann liefert dieser Wert g(τ ) eine Klasseninvariante. Wir werden somit abschließendüberprüfen, ob ein System (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) der arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen der Stufe (2N, 4N ) bereits den Körper HF erzeugt.
Wir werden abschließend auf die praktischen Betrachtungen dieses Verfahrens im sechsten Abschnitt eingehen.

5.1

Steinitzklasse

Wir haben im dritten Kapitel erläutert, dass die Existenz einer relativen
Ganzheitsbasis des primitiven Körpers K über seinem reell quadratischen
Zahlkörper eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass wir die Menge aller
nicht isomorphen hauptpolarisierten abelschen Flächen bestimmen können.
In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass jeder primitive CM-Körper K

5.1. STEINITZKLASSE

99

vom Grad vier über Q stets eine relative Ganzheitsbasis über seinem reell
quadratischen Zahlkörper K0 besitzt, falls A = C2 /Φ(OK ) ist. Dabei stützen
wir uns auf die Tatsache, dass die Existenz einer relativen Ganzheitsbasisäquivalent dazu ist, dass das Ideal, welches die sogenannte Steinitzklasse
repräsentiert, ein Hauptideal ist.
Relative Ganzheitsbasis
Es sei nun K ein primitiver CM-Körper, [K : Q] = 4, mit dem reell quadratischen Zahlkörper K0 . Dann existieren Elemente ω1 , ω2 ∈ K und ein
gebrochenes Ideal a von K0 mit
OK = ω1 OK0 + ω2 a,(5.1)

siehe [PohstVL], S. 38. Die Idealklasse von a heißt die Steinitzklasse vonK. Nach [PohstVL], S. 38, theorem 1.43, haben wir folgende notwendige undhinreichende Bedingung für die Existenz einer relativen Ganzheitsbasis vonK über K0 :Satz 5.1. Es existiert genau dann eine relative Ganzheitsbasis von K überK0 , wenn das in 5.1 definierte Ideal a ein Hauptideal ist.
Bemerkung 5.2. Mit der Einführung der ideltheoretischen Diskriminanteliefert Fröhlich, siehe [Fr60], eine Vereinfachung des obigen Kriteriums. Der
Satz von ihm besagt, dass K/K0 genau dann eine relative Ganzheitsbasis
besitzt, wenn die ideltheoretische Diskriminante durch ein Hauptidel dargestellt werden kann, siehe [Fr60], S. 26, theorem 3.7.
Wir merken an, dass es in der Praxis schwierig ist dieses Kriterium zu überprüfen, da es zur Zeit keine effizienten Algorithmen für Idele gibt.
Im Falle der Existenz einer relativen Ganzheitsbasis gibt Streng, [Str10], dasvolle Repräsentantensystem hauptpolarisierter abelscher Flächen mit CMan, deren primitive CM-Körper nicht notwendig einen reell quadratischen
Zahlkörper K0 mit der Klassenzahl eins haben. Für den Beweis verweisen
wir auf [Str10], S. 28 und 29:Satz 5.3. Es seien K ein primitiver CM-Körper vom Grad 4 über Q,∗ , so dass < −1 > × < ² > in
Φ = (φ1 , φ2 ) ein CM-Typ von K und ² ∈ OK
∗ einen endlichen Index besitzt. Ferner sei K0 = {zOOK
K0 + OK0 } ⊂ K ein
volles Repräsentantensystem der Idealklassen von K, die ein Ideal der FormzOK0 + OK0 besitzen, und es sei K = ±K0 ∪ ±²K0 . Ein volles Repräsentantensystem hauptpolarisierter abelscher Flächen wird wie folgt angegeben:
1. {Ω(z)|z ∈ K, =(φ1 (z)) > 0 > =(φ2 (z))}, falls K galoissch ist,

100

KAPITEL 5. KLASSENINVARIANTEN IM GESCHLECHT ZWEI

2. {Ω(z)|z ∈ K, =(φ1 (z)) > 0}, falls K nicht galoissch ist,wobeiΩ(z) = (φ1 + φ2 )(zδ

−1

µ

ω2 ω
ω 1

¶
) ∈ H2 ,OK0 = Z[ω] und δ das erzeugende Element der Differente DK0 /Q sind.
Wir merken an, dass die Differente DK0 /Q stets ein Hauptideal ist, falls K ein
primitiver CM-Körper ist. Dies folgt aus der Eigenschaft, dass jeder primitive
CM-Körper die Form
K = Q(

pp∆0 , −a + b∆0 )(5.2)

hat, wobei ∆0 die Fundamentaldiskriminante des reell quadratischen Zahlkörpers, und −a + b∆0 ein total negatives Element mit√ a, b ∈ Z ist, siehe[Str10], S. 38. Dann wird DK0 /Q von dem Element δ = ∆0 erzeugt. Außerdem gilt für das Element a die Ungleichung 0 < a < ∆, wobei ∆ = ∆1 ∆20
die Diskriminante von K ist.
Nach Satz 5.1 und 5.3 können wir die Menge aller nicht isomorphen hauptpolarisierten abelschen Flächen konstruieren:
Bemerkung 5.4. Wir können bei der Konstruktion hyperelliptischer Kurven
im Algorithmus 3 alle primitiven CM-Körper K benutzen, deren Steinitzklasse trivial ist.
Satz 5.5. Es seien die Voraussetzungen wie im Satz 1.2. Ferner sei(A, E) = (C2 /Φ(OK ), E) eine einfache hauptpolarisierte abelsche Fläche
vom CM-Typ (K, Φ). Dann besitzt jeder solche primitive Zahlkörper K vom
Grad 4 (über Q) eine relative Ganzheitsbasis über seinem reell quadratischen
Teilkörper K0 .
Beweis: Zu der Maximalordnung OK existieren wegen 5.1 Elementeω1 , ω ∈ K und ein gebrochenes Ideal a ⊆ K0 mit
OK = ω1 OK0 + ωa.
Wir können o. E. OK mit ω1−1 OK und ξ mit ω1 ω¯1 ξ, wegen [Spa94], S. 46,
Satz 4.1, vertauschen. Daher haben wir
OK = OK0 + ωa.
Nach dem ersten Kapitel haben wir die Riemannform5.2. DIE ARITHMETIK DER SIEGELSCHEN MODULFUNKTIONEN101

Eξ : OK × OK → Z, (x, y) 7→ TrK/Q (ξxȳ).
Nun seien x, y ∈ OK0 . Dann gilt
E(x, y) = TrK/Q (ξxȳ) = TrK/Q (ξyx) = TrK/Q (ξyx̄) = E(y, x).
Da E eine Riemannform ist, gilt aber E(x, y) = −E(y, x). Wir erhalten
somit E(x, y) = 0.
Analog gilt E(x, y) = 0 für x, y ∈ ωa.
Diese implizieren, dass die Riemannform E durch die Elemente OK0 × ωabestimmt sind, da E insbesondere alternierend ist.
Es sei T : K0 × K0 → Q die Q−lineare Spurform mit (a, b) 7→ TrK0 /Q (ab).
Weil ξ(ω − ω̄) ein Element von K0 ist, giltEξ (ωa, b) = T (ξ(ω − ω̄)a, b)
für alle a ∈ a, b ∈ OK0 .
Da die Riemannform Eξ die Hauptpolarisierung liefert und somit die Determinante eins besitzt, gilt nach der Bedingung 1.18 die Eigenschaft, dassξ(ω − ω̄)a das duale gebrochene Ideal von OK0 bezüglich der Form T ist.
Dies impliziert wegen [Neu92], III.2, S. 205 bis 207, dassξ(ω − ω̄)a = D−1 (K0 /Q) = δ −1 OK0
gilt. Daher ist das Ideal a ein Hauptideal. Die Behauptung folgt somit aus
dem Satz 5.1¤
Korollar 5.6. Man kann die Menge aller einfachen hauptpolarisierten abelschen Flächen vom CM-Typ (K, Φ) bestimmen, falls K ein primitiver CMKörper vom Grad vier über Q ist.
Beweis: Aus dem Satz 5.5 und 5.3 folgt unmittelbar die Behauptung. ¤5.2

Die Arithmetik der Siegelschen Modulfunktionen

Wir werden in diesem Abschnitt eine Arithmetik des Körpers der Siegelschen Modulfunktionen bestimmen, die auf der Arbeit von Sasaki ([Sa99])basiert und uns ermöglichen wird, die exakte Sequenz 4.4 der eindimensionalen arithmetischen Modulfunktionen auf die zweidimensionalen arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen der Stufe (2N, 4N ) zu verallgemeinern.
Für die Aussagen der Siegelschen Modulfunktionen verweisen wir auf [Kli90].

102

KAPITEL 5. KLASSENINVARIANTEN IM GESCHLECHT ZWEIIn [Kr68] untersuchte Kronecker die Körper über Q, die durch√κ=θ10 (2τ )θ00 (2τ )

(5.3)

und
θ11 (2τ, 2(τ h1 + h2 ))mit h =
θ01 (2τ, 2(τ h1 + h2 ))

µ ¶
1
h1
∈ Z2
h2
N

(5.4)

erzeugt werden.
Die Funktionen 5.3 und 5.4 entsprechen der j−Funktion und den Weberschen
Funktionen 2.14 in der modernen Sprache.
Die Menge aller symmetrischen 2 × 2−Matrizen τ ∈ C2×2 mit positiv definitem Imaginärteil bildet eine drei-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit
H2 , die wir im ersten Kapitel als die Siegelsche obere Halbebene der Dimension zwei definiert haben.
Da wir keine entsprechenden Funktionen der j− Invariante für die Modulfunktionen höherer Dimension haben, aber eine entsprechende Theorie derThetafunktionen für ein beliebiges Geschlecht existiert, werden wir die Körper über Q betrachten, die durch die folgenden Quotienten der zwei dimensionalen Thetanullwerte der zweiten Ordnung und der Thetafunktionen erzeugt
werden:κi =θai (2τ ), 1 ≤ i ≤ 3, τ ∈ H2
θa0 (2τ )

(5.5)

und

θa (2(τ h1 + h2 ), 2τ ): i = 1, 2, 3, h =fi (h)[τ ] = i
θa0 (2(τ h1 + h2 ), 2τ )

µ ¶
1
h1
∈ Z4 /Z4 , τ ∈ H2
h2
N
(5.6)

wobei a1 = [1, 0, 0, 0]t , a2 = [0, 1, 0, 0]t , a3 = [1, 1, 0, 0]t und a0 = [0, 0, 0, 0]t
die im ersten Kapitel definierten geraden Thetacharakteristiken sind undτ ∈ H2 ist.
Diese Funktionen stellen somit Verallgemeinerungen der Funktionen 5.3 und
5.4 im Falle der Dimension zwei dar.
Die symplektische Gruppe Sp(4, R) operiert auf H2 durchµ¶a bM ·τ =
τ = (aτ + b)(cτ + d)−1 ,
c d

(5.7)

5.2. DIE ARITHMETIK DER SIEGELSCHEN MODULFUNKTIONEN103µ¶
a b
wobei M =∈ Sp(4, R) und a, b, c und d stets 2 × 2−Matrizen sind.
c d
Wir betrachten die Kongruenzuntergruppe Γ(2, 4) der Siegelschen Modulgruppe Γ = Sp(4, Z), welche aus den Matrizen M ∈ Sp(4, Z) der Form
M ≡ 14 mod 2, {at b} ≡ {ct d} ≡ 0 mod 4(5.8)

besteht, wobei 14 die 4 × 4 Einheitsmatrix und {A} den Vektor der quadratischen Matrix A bezeichnen, welcher aus den diagonalen Elementen von A
besteht.
Der Quotient H2 /Γ(2, 4) ist der Modulraum der hauptpolarisierten abelschen
Varietäten mit der Stufe (2, 4)−Struktur. Die Funktionen κ1 , κ2 und κ3 derGleichung 5.5 erzeugen den Modulkörper bezüglich der Kongruenzuntergruppe Γ(2, 4), siehe [Sa99], S. 81.
Explizite Kummer Fläche
Es sei nun (A, E) = C2 /(τ Z2 + Z2 ) eine einfache hauptpolarisierte abelsche Varietät vom CM-Typ (K, Φ) mit der wie im ersten Kapitel definierten
Periodenmatrix τ ∈ H2 . Dann liefert das Bild der holomorphen AbbildungΨ : (A, E)/Tor(K) → P3 , z 7→ (θa0 (2z, 2τ ) : θa1 (2z, 2τ ) : θa2 (2z, 2τ ) : θa3 (2z, 2τ ))(5.9)
die explizite Kummer Fläche W (τ ) im Falle der Dimension zwei, siehe [Igu60-I].
Für das Produkt der Thetafunktionen existiert die folgende Identität ([Sa99],
S. 91):f (τ ) = θa0 (2z, 2τ )i θa1 (2z, 2τ )j θa2 (2z, 2τ )k θa3 (2z, 2τ )l mit i + j + k + l = 4,
(5.10)
welche die definierende Gleichung der Kummer Fläche W (τ ) beschreibt, ausder der folgende Satz folgt, siehe [Sa99], S. 93:
Satz 5.7. Es sei τ wie oben. Dann ist die Kummer Fläche W (τ ) über dem
folgenden Körper definiert¾¶µ½
θai (2τ ): i, j = 0, 1.
(5.11)
Qθaj (2τ )Teilungspunkte
Es sei N eine ungerade positive ganze Zahl mit dem wie im zweiten Kapitel
definierten Annulatorideal n mit N = n ∩ Z. Es bezeichne ferner W (τ )[N ]104

KAPITEL 5. KLASSENINVARIANTEN IM GESCHLECHT ZWEI

die Untermenge der Kummer Fläche W (τ ), die aus den PunktenΨ(τ h1 + h2 ) = (· · · : θai (2(τ h1 + h2 ), 2τ )) : · · · )(5.12)µ ¶h1besteht, wobei h =∈ N1 Z4 /Z4 wie in der Gleichung 5.6 definiert ist.
h2
Es sei W [N ] die Untermenge der Kummer Fläche W , die aus den Untermengen W (τ )[N ] der Kummer Fläche W (τ ) für die CM-Punkte τ ∈ H2 besteht.
Wir bezeichnen den Modulkörper der Elemente W [N ] mit FN .
Dann gilt der folgende Satz, [Sa99], S. 101 und 102:
Satz 5.8. Voraussetzungen seien wie oben. Dann gilt
¾¶
µ½
1 4 4
.
FN = Qf1 (h), f2 (h), f3 (h) : h ∈ Z /Z
N
Ferner ist FN der Körper der arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen
der Stufe (2N, 4N ).
Aus dem Satz 5.8 und der Gleichung 5.5 folgt unmittelbar, dass
F1 = Q(κ1 , κ2 , κ3 )(5.13)gilt.
Die exakte Sequenz
Der folgende Satz verallgemeinert die galoistheoretische Betrachtung 4.2 derKörper arithmetischer Modulfunktionen vom Geschlecht eins auf den Körper
der arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen der Stufe (2N, 4N ), siehe[Sa99], S. 103:
Satz 5.9. Der Körper FN hat die folgenden Eigenschaften:
1. FN ist eine Galoiserweiterung des Körpers F1 ,2. ζN ∈ FN ,3. Q(ζN ) ist in FN algebraisch abgeschlossen,
4. Gal(FN /F1 ) = U (4, Z/N Z) ≤ GL(4, Z/N Z)/{±14 }, wobei U (4, Z/N Z)
aus den Matrizen

R ∈ GL(4, Z/N Z)/{±14 } besteht, für die ein n ∈ N existiert mit

5.3. KONSTRUIERBARE KLASSENKÖRPER MIT CM

105

ggT(n, N ) = 1, und
µ
¶
¶
0 1
0 1
t
R mod N.
n
≡R
−1 0
−1 0
µ

Wir können somit die Galoisgruppe des Körpers aller arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen bezüglich aller Stufen (2N, 4N )F = ∪N ≥1 FN
über F1 durch den projektiven Limes (wie im Geschlecht eins 4.3) wie folgt
beschreiben:∼blim (GL(4, Z/N Z)/{±14 }) = U (4, Z)/{±14 } = Gal(F/F1 ).

←N(5.14)

Wir erhalten somit die folgende exakte Sequenz1

5.3/ {±1}/ U (4, Z)b/ Gal(F/F1 )/ 1.

(5.15)

Konstruierbare Klassenkörper mit CM

In diesem Abschnitt werden wir den maximal mittels der Theorie der komplexen Multiplikation konstruierbaren Klassenkörper F cm beschreiben, wobei F
der Reflexivkörper eines primitiven CM-Körpers K vom Grad 4 über Q ist.
Der maximale Klassenkörper
Im zweiten Kapitel haben wir diskutiert, dass die Typ-Norm Abbildung 1.13
als eine QA −lineare Abbildung fortgesetzt werden kann, deren Fortsetzung∗NΨ : FA∗ → KA

(5.16)

auch einen stetigen Homomorphismus der Idelklassengruppe∗ /K ∗ ,CF = FA∗ /F ∗ nach der Idelklassengruppe CK = KAund somit einen stetigen HomomorphismusNΨ : CF /DF → CK /DK(5.17)

liefert, wobei DM die zusammenhängende Komponente des Einselements derIdelgruppe MA∗ eines Zahlkörpers M bezeichnet.
Es sei (A, E) eine einfache hauptpolariserte abelsche Fläche vom primitiven
CM-Typ (K, Φ). Wir können die Untergruppe Gn der Idelgruppe FA∗ , die

106

KAPITEL 5. KLASSENINVARIANTEN IM GESCHLECHT ZWEI

dem Klassenkörper des Hauptsatzes 2.6 HF (f (t)) über F entspricht, durch
den folgenden Satz von Ovseevich beschreiben, [Ov74], S. 17, theorem 3.2.3:
Satz 5.10. Dem Körper HF (f (t)) über F entspricht die Untergruppe Gn derIdelgruppe FA∗ mit Gn = NΨ−1 (Hn ), wobei
Hn = P Un mit∗: ξ ξ¯ ∈ Q} und
P = {ξ ∈ K ∗ ⊆ KA∗
: u ≡ 1 mod n ein ganzes Idel ist}.
Un = {u ∈ KA

Im Falle, dass der Endomorphismenring von (A, E) nicht der Maximalordnung OK , sondern einer beliebigen Ordnung O ⊆ OK entspricht, kann man
die Hauptsätze der komplexen Multiplikation auch formulieren (siehe Kapitel
2). Es gilt insbesondere, dass diese Klassenkörper stets im Kompositum F cm
aller Klassenkörper HF (f (t)) liegen. Daher ist die Betrachtung der Maximalordnung und des entsprechenden Klassenkörpers HF (f (t)) genügend, um
den maximal mittels der CM-Theorie konstruierbaren Teilkörper F cm ⊆ F ab
ideltheoretisch beschreiben zu können.
Nun haben wir für die Untergruppe GΨ der Idelgruppe FA∗ , die dem Körper
F cm entspricht den folgenden Satz, siehe [Ov74], S. 17, theorem 3.2.4, und[Sh97], S. 129:Satz 5.11.
1. Es seien die Voraussetzungen wie oben. Dann giltGΨ = Kern(NΨ ), wobei NΨ die Typ-Norm Abbildung
CF /DF → CK /DK ist.
2. Die folgende Sequenz ist exakt:
1/ Tor(F )/ M∞ N −1 (ΨQ∗
p Op )/ Gal(F cm /HF )/ 1,(5.18)∗ den unendlichen Teil bezeichnet.
wobei M∞ ⊆ F∞

Wir schreiben (einfachheitshalber) OK = O und Ln = HF (f (t)), wobei n das
im zweiten Kapitel definierte Annulatorideal vom Punkt t ∈ A bezeichnet.
Weil F ein total komplexer Zahlkörper ist, haben wir die Eigenschaft, dass
∗ der Idelgruppe
der im zweiten Kapitel definierte nicht archimedische Teil F∞∗
FA von F unter der Artinabbildung trivial ist. Daher haben wir nach dem
Satz 5.11 die folgende exakte Sequenz (Wir vergessen den unendlichen Teil,vgl. mit dem vierten Kapitel):1/ Tor(F )/ N −1 (Ψ

Q∗
p Op )/ Gal(F cm /HF )/ 1.

(5.19)

5.3. KONSTRUIERBARE KLASSENKÖRPER MIT CM

107

Bemerkung 5.12. Die exakte Sequenz 5.19 entspricht genau der Verallgemeinerung der exakten Sequenz 4.8 imaginär quadratischer Körper k, da wir
in diesem Fall stets F = K = k, NΨ = Id und Tor(k) = Ok∗ haben.
Relative Erweiterung
Zuvor werden wir die relative Körpererweiterung HF (f (t))/HF galoistheoretisch beschreiben, wobei nach dem zweiten Hauptsatz der komplexen Multiplikation 2.6 die Galoisgruppe Gal(HF (f (t))/F ), und nach dem ersten
Hauptsatz der komplexen Multiplikation 2.3 die Galoisgruppe Gal(HF /F )der KongruenzuntergruppeHn = a ∈ I(F )((N )) :∃µ ∈ K ∗ mit NΨ (a) = µOKµµ̄ = NF/Q (a)µ ≡ 1 mod × (N )von IF ((N )), bzw. der Kongruenzuntergruppe∃µ ∈ K ∗ mit 
H0 = a ∈ I(F ) : NΨ (a) = µOKµµ̄ = NF/Q (a)von IF entsprechen.
Nun gilt der folgende Satz:
IF ((N ))/Hn
Satz 5.13. IF /H0 ∼= (IF ((N))∩H0 )/Hn .

Wir beweisen den Satz 5.13, nach dem wir die folgenden zwei Lemmata
beweisen:Lemma 5.14. Es seien m1 und m2 zwei Moduln eines Zahlkörpers M im
Sinne der Klassenkörpertheorie mit a ∈ IM (m1 ). Dann existiert ein Elementα ≡ 1 mod × m1 mit der Eigenschaft, dass αa ein zu dem Modul m1 m2 teilerfremdes ganzes Ideal ist.
Beweis: Wir fordern für die reellen unendlichen Stellen p∞ |m1 die Eigenschaft νp∞ (α) > 0. Falls wir nun ein Primideal p mit p|m1 haben, dannfordern wir νp (α) = 0 = −νp (a), da wir a ∈ IM (m1 ) haben. Falls nun
p 6 |m1 m2 gilt, ist die Forderung νp (α) ≥ −νp (a). Sämtliche Forderungen folgen aus einem Korollar des starken Approximationssatzes, siehe [Coh00], S.
4, corollary 1.2.9. ¤Lemma 5.15. Es seien m1 und m2 zwei Moduln eines Zahlkörpers M im
Sinne der Klassenkörpertheorie.

108

KAPITEL 5. KLASSENINVARIANTEN IM GESCHLECHT ZWEI

1. Es gelten IM (m2 ) ⊆ IM (m1 )PM (m2 ) und IM (m1 ) ⊆ IM (m2 )PM (m1 ).
2. Es gilt IM (m2 ) = IM (m1 )CM (m2 ), falls m2 |m1 und CM (m2 ) eine wie
im zweiten Kapitel definierte Kongruenzuntergruppe modulo m2 sind.
Beweis: Nach dem Lemma 5.14 existiert zu jedem Ideal a ∈ IM (m2 ) ein
Element α mit α ≡ 1 mod × m2 und αa ∈ IM (m1 ). Damit erhalten wir
a ∈ IM (m1 )PM (m2 ), weil αOM ∈ PM (m2 ) ist. Es gilt daher für jede Kongruenzuntergruppe CM (m2 ) modulo m2
IM (m2 ) ⊆ IM (m1 )PM (m2 ) ⊆ IM (m1 )CM (m2 ).
Umgekehrt ist IM (m1 ) ⊆ IM (m2 ) und CM (m2 ) ⊆ IM (m2 ), falls m2 |m1 ist.
Daher folgt die Behauptung. ¤Beweis des Satzes 5.13: Nach dem Lemma 5.15 gilt zunächst
IF = IF ((N ))H0 .
Daher folgt aus den Isomorphiesätzen die Behauptung:IF
IF ((N ))H0 ∼ IF ((N )) ∼IF ((N ))/Hn
=
.¤
=
=
H0
H0
IF ((n)) ∩ H0
(IF ((N )) ∩ H0 )/Hn
Aus dem Satz 5.13 und der Galoistheorie folgt unmittelbar das folgende
Korollar:
Korollar 5.16. Es gilt Gal(HF (f (t))/HF ) ∼= (IF ((N )) ∩ H0 )/Hn .
Nun haben wir das folgende Lemma nach [Sh97], S. 118,:
Lemma 5.17. Es gilt LN := Gal(HF (f (t))/HF ) ⊆ NΨ−1 ((OK /N OK )∗ )/Tor(F ),wobei Tor(F ) die Untergruppe der Torsionseinheiten von F bezeichnet.
Wegen der Injektivität der Typ-Norm Abbildung identifizieren wir das Bild
NΨ (LN ) ⊆ (OK /N OK )∗ /Tor(F ) mit der Gruppe Gal(HF (f (t))/HF ), falls
Tor(F ) = Tor(K) ist. Wir betrachten daher nur die CM-Körper K und ihre
Reflexivkörper F mit Tor(F ) = Tor(K).
Wir erhalten nach dem Lemma 5.17 und dem Korollar 5.16 ein
L = NΨ (LN )/Tor(K) mit der folgenden exakten Sequenz:
1/ Tor(K)/L/ Gal(HF (f (t))/HF )/ 1.

(5.20)

Bemerkung 5.18. Die exakte Sequenz 5.20 entspricht der Verallgemeinerung der exakten Sequenz 4.11.

5.4. ZWEIDIMENSIONALES REZIPROZITÄTSGESETZ

5.4

109

Zweidimensionales Reziprozitätsgesetz

In diesem Abschnitt werden wir das mehrdimensionale Reziprozitätsgesetz
von Shimura erklären, welches im nächsten Abschnitt ermöglichen wird, die
exakten Sequenzen 5.15 und 5.19 miteinander zu verbinden.

Arithmetische Modulfunktionen
Eine Siegelsche Modulform f (z) vom Gewicht k ist eine holomorphe
Funktion auf H2 (und endlich an den Spitzen, falls n = 1 ist), die der folgenden Bedingung genügt:
f (z) = (f |k γ)(z) = det(cz + d)−1 f (γ(z)),(5.21)

für alle γ in einer Kongruenzuntergruppe Γ(N ) von Γ = Sp(4, Z), wobei γ
auf den Punkt z ∈ H2 wie in 5.7 operiert. Eine Siegelsche Modulform hat
folgende Fourierentwicklung:f (z) =

Xcα exp(2πi(Tr(αz)/N )).

(5.22)αt =α,α∈Z2×2

Wir verstehen unter einer arithmetischen Modulform f (z) eine Modulform,
deren Fourierentwicklung 5.22 stets Koeffizienten aus Kreisteilungskörpern
hat (vergleiche mit dem vierten Kapitel).
Der Raum der arithmetischen automorphen Formen Ak (Qab ) vom Gewicht k ist die Menge aller Quotienten g(z)/h(z), wobei g(z) und 0 6= h(z)stets arithmetische Modulformen des Gewichts k + m bzw. m sind.
Es sei nun J die 4 × 4 Matrix
µ
J=

¶
0 −12
.
12
0

(5.23)

Wir definieren die Gruppe der eingeschränkten symplektischen Ähnlichkeiten(eng.: similitudes)

GA+ = {γ ∈ GL(4, AQ )|γ t Jγ = ν(γ)J, wobei ν(γ) ∈ A∗Q und ν(γ)∞ > 0},Q

GQ+ = GA+ ∩ GL(4, Q).
Q(5.24)

110

KAPITEL 5. KLASSENINVARIANTEN IM GESCHLECHT ZWEINach [Sh78], S. 39, existiert eine assoziative Rechtsoperation von GA+ auf
Q

dem Raum Ak (Qab ), f 7→ f u , f ∈ Ak (Qab ) und u ∈ GA+ mit folgenden
Q
Eigenschaften:
1. f γ = f |k γ = det(cz + d)−k f (γ(z)) für γ =µ¶a b∈ GQ+ .
c d

b und
2. f ι(t) = f [t,Q] mit t ∈ Zµ¶
120ι(t) =,
0 t−1 12wobei f [t,Q] die Modulform ist, die durch die Operation des Elements[t, Q] auf die Fourierkoeffizienten von f erhalten wird.
3. Die Untergruppe von GA+ , die die Modulform fixiert, ist offen.
Q

CM Fall
Es sei nun (A, E) eine polarisierte abelsche Fläche mit der im ersten Kapitel
erwähnten Frobeniusbasis {λ1 , · · · , λ4 } undµ(E(λi , λj ))1≤i,j≤4 =

0
-D

D
0

¶

mit der Diagonalmatrix D = diag(d1 , d2 ), d1 |d2 . Dann existiert (nach dem
ersten Kapitel) eine 2 × 4−Matrix Ω = (ω1 , ω2 ) mit 2 × 2−Matrizen ω1 und
ω2 , die das Gitter Λ mit (A, E) = (C2 /Λ, E) erzeugen. Wir haben daherE(Ωx, Ωy) = xt Jy für x, y ∈ R4 ,
µ
¶
12 0
Z4 .
Λ=Ω
0 D
Der CM-Punkt τ = ω1 ω2−1 , welcher der polarisierten abelschen Fläche (A, E)
entspricht, ist dann bis auf Translationen durch
µ

1
0
Γ∩ 2
0 D

¶−1

µ

1
0
GL(4, Z) 2
0 D¶

eindeutig.
Wir nehmen an, dass (A, E) stets hauptpolarisiert vom primitiven CM-Typ(K, Φ) ist. Wir fixieren einen Anti-Isomorphismus
ς : K → End(A) ⊗ Q.

5.4. ZWEIDIMENSIONALES REZIPROZITÄTSGESETZ

111

Die Wahl des Anti-Isomorphismus statt einem Isomorphismus ist mit dem
Hauptsatz der CM-Theorie 2.8 kompatibel, siehe [Sh70], I,2.7.3 und II, 6.2.3.
Dann liefert die Formel
ς(k)Ωx = Ωt ξ(k)x für x ∈ R4 , k ∈ K(5.25)

eine Darstellung ξ von K in GL(4, Q). Es gilt nun, siehe [Rum83], S. 216:
E(Ωt ξ(k)u, Ωv) = E(Ωu, Ωt ξ(k̄)v).

(5.26)

Wir haben den folgenden Satz, siehe [Rum83], S. 216:
Satz 5.19. Für alle Elemente k ∈ K ∗ mit k k̄ ∈ Q gilt ξ(k) ∈ GQ+ , und die
Gleichungξ(k)(τ ) = τ.
Wegen des Satzes 5.19, heißt ξ die Einbettung an dem CM-Fixpunkt τ in
der Siegelschen oberen Halbebene H2 .
Reziprozitätsgesetz
Wir können nun das zwei-dimensionale Reziprozitätsgesetz von Shimura mittels der Typ-Norm Abbildung 1.13 NΨ : F ∗ → K ∗ formulieren. Die Kompositionsabbildung ξ ◦ NΨ bildet die Elemente von F ∗ in GQ+ ab. Ferner,
wegen der Diskussion im zweiten Kapitel nach der Gleichung 2.9, bildet die
Q−lineare Fortsetzung von ξ ◦ NΨ die Elemente von FA∗ in GA+ ab. Diese
Q
Fortsetzung bezeichnen wir auch mit ξ ◦ NΨ .
Das zwei dimensionale Reziprozitätsgesetz von Shimura besagt, dass wir
stets für jedes s ∈ FA∗ und eine arithmetische Siegelsche Modulfunktionf ∈ A0 (Qab ), welche an τ endlich ist, folgende Gleichung haben:f (τ )[s,F ] = f ξ◦NΨ (s

−1 )

(τ ).

(5.27)

Wir haben nun die folgende Version des Hauptsatzes der komplexen Multiplikation: (Für den Beweis verweisen wir auf [Sh70], I, 4.3, und [Sh76], S.
685, proposition 2.3.)
Satz 5.20. Es seien die Voraussetzungen wie oben. Ferner seien s ∈ FA∗
mit σ|F ab = [s, F ] für jeden Automorphismus σ von C. Dann existiert eine hauptpolarisierte abelsche Fläche (Aσ , NF/Q E) mit Aσ = C2 /NΨ (s−1 )Λ.
Ferner gilt für jedes Element v ∈ A stets v σ = NΨ (s−1 )v.

112

KAPITEL 5. KLASSENINVARIANTEN IM GESCHLECHT ZWEI

5.5

Algorithmus

Der Wert g(τ ) einer arithmetischen Siegelschen Modulfunktion g ∈ A0 (Qab )heißt eine Klasseninvariante, falls
g(τ ) ∈ HF = F (j1 (τ ), j2 (τ ), j3 (τ ))gilt, wobei j1 (τ ), j2 (τ ) und j3 (τ ) die im ersten Kapitel betrachteten absoluten Klasseninvarianten 1.28 von Igusa sind.
Außerdem sagen wir, dass die Werte g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ ) der drei arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen g1 , g2 , g3 ∈ A0 (Qab ) ein Klasseninvariantensystem ist, wenn
HF = F (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ ))mit F (ji (τ )) ⊆ F (gi (τ )) für den CM-Punkt τ ∈ H2 , 1 ≤ i ≤ 3, gilt.
Die AbbildungenEs sei g eine aritmetische Siegelsche Modulfunktion der Stufe (2N, 4N ).
Dann gilt g(τ ) ∈ FN , wie wir im ersten Abschnitt diskutiert haben, wenn N
eine ungerade positive ganze Zahl ist.
Nach dem Satz 5.7 und der Riemannschen Additionsformel der Thetafunktionen ([Sa99], S. 92) folgt, dass der Körper
µ½
Q¾¶
θai (2τ ): i, j = 0, 1
θaj (2τ )über dem Modulkörper HF von (A, E) definiert ist. Daher erhalten wir nachdem Satz 2.5 die normalisierte Kummer Fläche (W, F ) der Dimension zwei.
Bemerkung 5.21. Nun erhalten wir nach dem Satz 5.8 die Eigenschaft,dass der Körper F F durch die Elemente f (τ ), f ∈ FN , erzeugt wird, wobei
f (τ ) endlich ist. Da wir uns mit der arithmetischen Siegelschen Modulfunktion g der Stufe (2N, 4N ) beschäftigen, ist der Körper nach dem Hauptsatz
der CM-Theorie 2.8 ein Teilkörper von F cm , falls n das Annulatorideal vont ∈ A mit N = n ∩ Z ist.
Folglich erhalten wir nach den exakten Sequenzen 5.19 und 5.15 zusammen
mit dem zweidimensionalen Reziprozitätsgesetz von Shimura 5.27 die folgende Reziprozitätsabbildung:Ybξ ◦ NΨ : NΨ−1 ( Op∗ ) → GL(4, Z).
p(5.28)

5.5. ALGORITHMUS

113

Q
Für die Argumentation, warum das Bild von NΨ−1 ( p Op∗ ) unter ξ◦NΨ geradeb liegt verweisen wir auf [ShGo97], S. 787.
in GL(4, Z)
Q
Wir merken an, dass die Bilder NΨ−1 ( p Op∗ ) unter ξ ◦ NΨ , wegen der Bemerb liegen, falls g ∈ F ist.
kung 5.21 und der Gleichung 5.27, gerade in U (4, Z)
Falls diese Bilder auf g(τ ) trivial operieren, ist g(τ ), wegen der Bemerkung
5.21, eine Klasseninvariante, da in diesem Fall g(τ ) ∈ HF gilt.
Wir erinnern uns, dass wir Tor(K) = Tor(F ) wie im vorherigen Abschnitt
fordern.
Die exakte Sequenz 5.19 zeigt, dass die Galoisgruppe von F cm eine unkomplizierte Struktur besitzt. Da Tor(F ) eine endliche Gruppe ist, ist die Galoisgruppe Gal(F cm /HF ) im wesentlichen das Urbild der Einheitengruppe derb∗ von O∗ . Dies bedeutet, dass das Kompoproendlichen Vervollständigung O
cm
situm F
die Vereinigung der endlichen Erweiterungen HF (f (t)) über HF
ist, die den endlichen Quotientenb∗ ³ (O/Nb O)
b ∗ = (O/N O)∗
O
entsprechen, falls wir die Galoisgruppe Gal(HF (f (t))/HF ) mit dem Bild
NΨ (LN /Tor(K)) ⊆ (OK /N OK )∗ /Tor(F ) identifizieren.
Insgesamt erhalten wir eine modulo N reduzierte Abbildungξ¯ : NΨ (LN /Tor(K)) → GL(4, Z/N Z).
Nach der Bemerkung 5.21 liegt der endliche Wert g(τ ) einer arithmetischen
Modulfunktion der Stufe (2, 4) in HF (f (t)), falls n das Annulatorideal desPunktes t ∈ A mit einer ungeraden positiven Zahl mit N , die das Ideal n ∩ Zerzeugt. Dies bedeutet, dass das Bild von g(τ ) stets in der wie im Satz 5.9
definierten Gruppe U (4, Z/N Z) liegt, die aus den Matrizen
R ∈ GL(4, Z/N Z)/{±14 } besteht, für die ein n ∈ N existiert mit
ggT(n, N ) = 1, und
¶
µ
¶
0 1
0 1
t
n
≡R
R mod N.
−1 0
−1 0
µ

Bemerkung 5.22. Die obige Betrachtung impliziert, dass g(τ ) eine
Klasseninvariante ist, falls die Bilder von NΨ (LN /Tor(K)) auf g(τ )trivial operieren.
Da wir im Allgemeinen die Untergruppe NΨ (LN /Tor(K)) von (O/N O)∗
nicht explizit beschreiben können, müssen wir die reduzierte Abbildungξ¯ : (O/N O)∗ → GL(4, Z/N Z)(5.29)

114

KAPITEL 5. KLASSENINVARIANTEN IM GESCHLECHT ZWEI

betrachten, um entscheiden zu können, ob g(τ ) eine Klasseninvariante ist.
Es sei (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) ein System der Werte der arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen der Stufe (2N, 4N ) für einen CM-Punkt τ ∈ H2 mit
den folgenden Eigenschaften:
1. Es gilt F (j1 (τ )) ⊆ F (g1 (τ )).
2. Es gilt F (j2 (τ )) ⊆ F (g2 (τ )).
3. Es gilt F (j3 (τ )) ⊆ F (g3 (τ )).
4. Es gilt F (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) = F (j1 (τ ), j2 (τ ), j3 (τ )).
Wir können nun überprüfen, ob gi (τ ) eine Klasseninvariante ist, 1 ≤ i ≤ 3.
Falls alle gi (τ ) Klasseninvarianten sind, folgt aus der Eigenschaft (4.), dass
HF = F (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) gilt und (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) somit ein
Klasseninvariantensystem bildet.
Daher können wir die Klassenpolynome der Elemente g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ ) statt
der Igusa-Klassenpolynome berechnen. Wie im Fall der elliptischen Kurven,
erwarten wir somit, dass diese neuen Klassenpolynome kleinere Koeffizienten
als die Koeffizienten der entsprechenden Igusa-Klassenpolynome besitzen,
falls wir N > 1 haben.
Insgesamt erhalten wir den folgenden Algorithmus, welcher überprüft, ob die
Werte g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ ) Klasseninvarianten sind. Im Falle einer positiven
Antwort erhalten wir ein Klasseninvariantensystem (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )).

Algorithmus 6: Konstruktion des Klasseninvariantensystems
Eingabe: Ein System der arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen(g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) der Stufe (2N, 4N ) und ein CM-Punkt τ ∈ H2 , der einer
einfachen hauptpolarisierten abelschen Fläche (A, E) vom primitiven CMTyp (K, Φ) mit dem Reflexivtyp (F, Ψ) entspricht.
Ausgabe: (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) ist ein Klasseninvariantensystem oder nicht.
1. Überprüfe, ob F (j1 (τ )) ⊆ F (g1 (τ )) gilt. Falls JA gehe zu (2), falls
NEIN gehe zu (8).
2. Überprüfe, ob F (j2 (τ )) ⊆ F (g2 (τ )) gilt. Falls JA gehe zu (3), falls
NEIN gehe zu (8).
3. Überprüfe, ob F (j3 (τ )) ⊆ F (g3 (τ )) gilt. Falls JA gehe zu (4), falls
NEIN gehe zu (8).

5.6. PRAKTISCHE BETRACHTUNGEN

115

4. Berechne die Erzeuger x1 , · · · , xk von (O/N O)∗ .
5. Bilde mittels ξ¯ die Erzeuger in U (4, Z/N Z) ab.
¯ l ) ∈ GL(4, Z/N Z) auf gi (τ ),6. Für l = 1, · · · , k überprüfe, ob ξ(xi = 1, 2, 3, trivial operiert. Falls JA gehe zu (7), falls NEIN gehe zu(8).
7. Gebe ’(g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) bildet ein Klasseninvariantensystem’ aus.
8. Gebe ’(g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) bildet kein Klasseninvariantensystem’ aus.

Nach der Bemerkung 5.22 ist es hinreichend, die Bilder von NΨ (LN /Tor(K))
zu untersuchen, um zu entscheiden, ob sie auf einem Wert g(τ ) einer arithmetischen Siegelschen Modulfunktion g der Stufe (2N, 4N ) trivial operieren. Da
wir im Allgemeinen die Untergruppe NΨ (LN /Tor(K)) von (O/N O)∗ nicht
explizit beschreiben können, betrachten wir die reduzierte Abbildungξ¯ : (O/N O)∗ → GL(4, Z/N Z),
die offenbar zusätzliche Bilder unter der Abbildung ξ¯ in U (4, Z/N Z) besitzt.
Daher ist es möglich, dass der Algorithmus 6 ’(g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) bildet kein
Klasseninvariantensystem’ ausgibt, im Falle, dass alle Bilder der Abbildungξ¯ von NΨ (LN /Tor(K)) auf g(τ ) trivial operieren, aber nicht alle Bilder von(O/N O)∗ auf g(τ ) trivial operieren. In diesem Fall gibt der Algorithmus 6eine falsche Antwort, was die Suche nach einem geeigneten Klasseninvariantensystem erschwert.

5.6

Praktische BetrachtungenWir untersuchen in diesem Abschnitt die einzelnen Teile vom Algorithmus
6.
Die Modulfunktionen
Wir müssen mit einem System (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) der Werte der arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen anfangen, die den Anforderungen derSchritte (1), (2), (3) und (4) genügen. Wie im Falle der elliptischen Kurvensind die rationalen Funktionen g = u/v der Quotienten der Thetanullwerte
mit ji = u/v, die die arithmetischen Siegelschen Modulfunktionen der Stufe(2N, 4N ) sind, die natürlichen Kandidaten eines Klasseninvariantensystems.

116

KAPITEL 5. KLASSENINVARIANTEN IM GESCHLECHT ZWEIDie Gleichung 4.19 lehrt uns, dass wir eine Analogie der ∆−Funktion in diesem Fall brauchen, deren Quotienten arithmetische Siegelsche Modulfunktionen der Stufe (2N, 4N ) sein sollten. Falls wir eine zusätzliche Eigenschaft
haben, dass wir gewisse Wurzeln der Quotienten dieser zur ∆−Funktion analogen Funktion erhalten, dann sind die Werte dieser Funktionen gute Kandidaten, die ein Klasseninvariantensystem liefern können. (Wir verweisen auf
die Definition der Schläflischen Funktionen 4.13.)
Wir betrachten nun die im ersten Abschnitt gegebene Gleichung 1.24∆(τ ) = 16π 12 θ00 (τ )8 θ01 (τ )8 θ10 (τ )8 .

(5.30)

Dieses Produkt besteht im Wesentlichen aus dem Produkt der 8−ten Potenzen eindimensionaler gerader Thetanullwerte. Wir definieren daher
θev (τ ) = θ00 (τ )θ01 (τ )θ10 (τ )(5.31)

für τ ∈ H. Nun können wir, wie in der Gleichung 5.31, das Produkt aller zehn
zweidimensionalen geraden Thetanullwerte mit τ ∈ H2 wie folgt definieren:θev (τ ) =10Yθ[ai ](τ ).

(5.32)

i=1

Aus der Gleichung von h10 aus dem erstem Kapitel folgt
h10 (τ ) = θev (τ )2 .

(5.33)Deshalb ist die Funktion h10 aus dem erste Kapitel, S. 19, eine natürliche
Verallgemeinerung der ∆−Funktion, die wir im Folgenden auch mit∆(τ ) = h10 (τ ) bezeichnen, wobei τ ∈ H2 ist.
Die Werten der zu den eindimensionalen Modulfunktionen anologen Quotienten der ∆−Funktion sind damit natürliche Kandidaten eines Klasseninvariantensystems, falls sie arithmetische Siegelsche Modulfunktionen der Stufe(2N, 4N ) sind und den Anforderungen der Schritte (1), (2), (3) und (4) von
Algorithmus 6 genügen.
Um geeignete Wurzeln der Quotienten der ∆−Funktion zu erhalten, betrachten wir die Gleichung
µ
∆

ω1
ω2

¶

= ω2−12 ∆(τ ),(5.34)

die wir im Satz 4.24 bewiesen haben. Wir wollen eine verallgemeinerte η−Funktion
für die Dimension zwei definieren:5.6. PRAKTISCHE BETRACHTUNGEN

117

Für die 2 × 2−Matrizen ω1 und ω2 mit Ω = (ω1 , ω2 ), die das Gitter Λ mit(A, E) = (C2 /Λ, E) erzeugen, haben wir
E(Ωx, Ωy) = xt Jy für x, y ∈ R4 ,
µ
¶
12 0
Λ=Ω
Z4 .
0 D
wie wir im vierten Abschnitt erklärt haben. Dann gilt für den CM-Punktτ = ω1 ω2−1 stets die folgende Gleichung, siehe [ShGo97], S. 778:
µ
∆

ω1
ω2

¶

= det(ω2 )−10 ∆(τ ).

(5.35)

Inspiriert von den Gleichungen 5.34, 5.35 und der Gleichungθ00 (τ )θ01 (τ )θ10 (τ )= η(τ )3 ,2
die wir im Beweis des Satzes 4.15 gezeigt haben, definieren wir für τ ∈H2 die folgende Funktion, die die analoge verallgemeinerte Funktion der
η−Funktion der Dimension zwei ist:pη(τ ) = 5 θev (τ ).

(5.36)

Daher sind die Quotienten der η−Funktion 5.36 die natürlichen Kandidateneines Klasseninvariantensystems, falls sie arithmetische Siegelsche Modulfunktionen der Stufe (2N, 4N ) sind, und den Anforderungen der Schritte(1), (2) und (3) von Algorithmus 6 genügen.
Die explizite Abbildung
Wir müssen im Schritt (5) vom Algorithmus 6 die Erzeuger der Gruppe(O/N O)∗ berechnen. Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir(O/N O)∗ ∼=r
Y(O/plii O)∗ ,(5.37)

i=1

wobei N =Qrli
i=1 pi die Primfaktorzerlegung von N ist.

Cohen hat einen Algorithmus entwickelt, der die Erzeuger von (O/pii O)∗
berechnet, siehe [Coh00], S. 188, Algorithm 4.2.2. Mit diesem Algorithmus
können wir stets die Erzeuger x1 , · · · , xk von (O/N O)∗ mittels der Isomorphie 5.37 berechnen.

118

KAPITEL 5. KLASSENINVARIANTEN IM GESCHLECHT ZWEIMit Hilfe der reduzierten Abbildung ξ¯ erhalten wir nach dem Satz 5.9 schließlich eine kleine Untermenge der Gruppe U (4, Z/N Z), die aus den Matrizen
R ∈ GL(4, Z/N Z)/{±14 } besteht, für die ein n ∈ N existiert mit
ggT(n, N ) = 1, und
¶
µ
¶
0 1
0 1
t
n
≡R
R mod N.
−1 0
−1 0
µ

Abschließend wenden wir den letzten Schritt vom Algorithmus 6 an, um
entscheiden zu können, ob wir ein Klasseninvariantensystem erhalten haben.
Die wesentliche Schwierigkeit besteht darin, die geeigneten CM-Punkteτ ∈ H2 mit der Eigenschaft zu finden, dass die Bilder von ξ¯ auf dem System(g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) trivial operieren.

Kapitel 6

Beispiele
In diesem Kapitel werden wir Beispiele der Klassenpolynome angeben, die
wir nach dem Satz 4.16 mittels der Quotienten der Thetanullwerte konstruiert haben. Außerdem werden die Beispiele der verbesserten Klasseninvarianten nach dem Satz 4.28 angegeben. Abschließend werden wir die obere
Schranken für die Indizes der Untergruppen in der Einheitengruppe angeben,
die durch die Klasseneinheiten und die Untergruppen der Torsionseinheiten
wie im Algorithmus 5 konstruiert sind.
Diese Beispiele werden mit Hilfe der Computeralgebra Systemen
KANT/KASH ([Pohst]) und MAGMA ([MAGMA]) implementiert.

6.1

Klasseninvarianten

In diesem Abschnitt werden wir für gegebene Diskriminante D = −4m die
Weberklassenpolynome wie im Satz 4.16 angeben, die mittels der Quotienten
der Thetanullwerte konstruiert werden.
Der Fall m ≡ 1 mod 8• D = −4(8 + 1) = −36 :W−36 (x) = x2 − 4x + 1.
• D = −4(8 · 2 + 1) = −68 :W−68 (x) = x4 − x3 − 2x2 − x + 1.
• D = −4(8 · 5 + 1) = −164 :W−164 (x) = x8 − 5x7 + 7x6 − 12x5 + 14x4 − 12x3 + 7x2 − 5x + 1.
• D = −4(8 · 17 + 1) = −548 :
119

120

KAPITEL 6. BEISPIELE
W−548 (x) = x8 −21x7 +103x6 −236x5 +302x4 −236x3 +103x2 −21x+1.
• D = −4(8 · 38 + 1) = −1220 :W−1220 (x) = x16 −60x15 −540x14 −2340x13 −5997x12 −11800x11 −18780x10 −23960x9 −26712x8 −23960x7 −18780x6 −11800x5 −5997x4 −2340x3 −540x2 −
60x + 1.
• D = −4(8 · 103 + 1) = −3300 :W−3300 (x) = x24 −2216341500x23 −1420926197800x22 +15432002107500x21 −101874159288214x20 − 122366073946020x19 + 682118853627000x18 −555206230915500x17 − 230074208623025x16 + 630650404619880x15 −
127643499555920x14 − 1580010485061000x13 + 2781233380405900x12 −
1580010485061000x11 − 127643499555920x10 + 630650404619880x9 −
230074208623025x8 − 555206230915500x7 + 682118853627000x6 −122366073946020x5 − 101874159288214x4 + 15432002107500x3 −1420926197800x2 − 2216341500x + 1.
• D = −4(8 · 247 + 1) = −7908 :W−7908 (x) = x36 − 518419280722370x35 − 20842423371663774150x34 − 778788489552229858370x33 −
65694435534630946013191x32 − 873475419433326653870960x31 −
7735998665227508662645200x30 − 31455243002787053984846960x29 −
31773852733219851001872364x28 + 117258718364567323546125640x27 −207746226796346503187788200x26 − 39108752787085524478418360x25 −484785259600801747433177116x24 − 533230607097383300828648720x23 −496431950329704158087732400x22 − 1539972243621166359481352720x21 −
3268939324130212944612261874x20 − 4337309806600369481505845900x19 −
6229707356743784102797630500x18 − 4337309806600369481505845900x17 −
3268939324130212944612261874x16 − 1539972243621166359481352720x15 −496431950329704158087732400x14 − 533230607097383300828648720x13 −484785259600801747433177116x12 − 39108752787085524478418360x11 −207746226796346503187788200x10 + 117258718364567323546125640x9 −31773852733219851001872364x8 − 31455243002787053984846960x7 −7735998665227508662645200x6 − 873475419433326653870960x5 −65694435534630946013191x4 − 778788489552229858370x3 −20842423371663774150x2 − 518419280722370x + 1.

• D = −4(8 · 1303 + 1) = − − 41700 :W−41700 (x) = x72 − 23721762625445845201846527744008500x71 −
3407997591037428225011112145017945065988509000x70 −461803360261503916842891068597234221447259573500x69 −615824045070967857559833280390503187353173380044642x68 +
216654263305162452022403502275982665738609275360978500x67 −
34095326420008799105744963293391866743923029759956813000x66 +1101042344033973918444468710174039495113156934596644175500x65 −421677026992726165527643913828534863689224443651545219687x64 +···
22646686744177815192843060159007068460351097181656120502241600x10 +
208734242952841300386104827297258290081002230651830661468000x9 −421677026992726165527643913828534863689224443651545219687x8

6.1. KLASSENINVARIANTEN

121+ 1101042344033973918444468710174039495113156934596644175500x7 −
34095326420008799105744963293391866743923029759956813000x6 +
216654263305162452022403502275982665738609275360978500x5 −
615824045070967857559833280390503187353173380044642x4 −461803360261503916842891068597234221447259573500x3 −
3407997591037428225011112145017945065988509000x2 −23721762625445845201846527744008500x + 1.

• D = −4(831447 + 1) = −1006308 :W−1006308 (x) = x240 −
42910048205143797251929550029384226217862283760601433177274446228433324772339906314192
0059803067475579476193285951925228285223562866105770809614672130829313295717670796920x239 +
155024750108701927106405858924935105485 − 444180002857002121405829415354587878279319906
7372914197296179739644113548916150262612591857977741185997626268619535014547346932984
934544989150635150400x238 −···
155024750108701927106405858924935105485444180002857002121405829415354587878279319906737
291419729617973964411354891615026261259185797774118599762626861953501454734693298493454
4989150635150400x2 − 4291004820514379725192955002938422621786228376060143317727444622
84333247723399063141920059803067475579476193285951925228285223562866105770809614672130
829313295717670796920x + 1.

• D = −4(8 · 1378567 + 1) = −44114148 :W−44114148 (x) = x1376 + · · · +19771517784610070596317699525513118627303957222200427239350049564657440394129393279826
29517267664135739382685301914414472646587700895616297323888427133270261106630054112954
03937829588833696373850374674302712768008569576042910729012300371624478802160852861710
16489004272024687880894512706168499475206416218152567167755996409642093387299842529221
76911600382168057802780362173630219758942964228342182021807330133045836299675530058904
40903090952229295240022905990981259170107607946296120602902657392620677291269148676211
57887331264708652502593346270664531385098675874322286046508392364956989920411637611341
04456568816918547579454815020144384563700774102479272659618061398020877415672833465640
75055608078703660728772337653156535555778754681374381520333836983441373541274878540610
11196100163127729026126836533158532713035232537729583098815380669276744346859485003963
71176811749371653612843735932138607963369883077293319174358130078177424196661523221939
91163411751547047982450830048177956633302764509027397237676982003094661293893860937136
55767552724357993217505972674481694273046599302630651393946513997834829108046280541275
347501316406720x + 1.

Der Fall m ≡ 5 mod 8• D = −4(8 + 5) = −52 :W−52 (x) = x2 − 3x − 1.
• D = −4(8 · 2 + 5) = −84 :W−84 (x) = x4 − 168x3 + 142x2 + 168x + 1.

122

KAPITEL 6. BEISPIELE• D = −4(8 · 8 + 5) = −276 :W−276 (x) = x8 −58032x7 +596444x6 −468720x5 +1316166x4 +468720x3 +596444x2 + 58032x + 1.
• D = −4(8 · 36 + 5) = −1172 :W−1172 (x) = x18 − 3881x17 − 84475x16 − 610566x15 − 1261181x14 −
370065x13 +761469x12 −903894x11 −423730x10 +2486316x9 +423730x8 −
903894x7 − 761469x6 − 370065x5 + 1261181x4 − 610566x3 + 84475x2 −
3881x − 1.
• D = −4(8 · 103 + 5) = −3316 :W−3316 (x) = x22 −1762935x21 −20890163x20 −81110082x19 +320016313x18 −
3356535321x17 − 884146755x16 − 13875732036x15 − 315027759x14 −
26945965971x13 −3356933115x12 −32926936158x11 +3356933115x10 −26945965971x9 + 315027759x8 − 13875732036x7 + 884146755x6 −3356535321x5 − 320016313x4 − 81110082x3 + 20890163x2 −1762935x − 1.
• D = −4(8 · 245 + 5) = −7860 :W−7860 (x) = x40 − 217353267589383339688880133168x39 +
326740386131615535754727385431259995212x38 −
46640212505825931321707951685218171821332336x37 +
145007185192986350706299969832784425231325579006x36 −292635000990742651380348148439343923246028968473872x35 −38083107895974595210606486441960788494507684737654548x34 −
1092572602427655489065104272330728655309807736989634128x33 +16883384609548306817413949666402621202926807820911573229x32 +30517002168658003523354811203246133119803740829342806336x31 +175733250082988305151868567978007506708653980039426899696x30 +
1424348274016084995702921044533445396264442945063014457408x29 +6707600139911165882350866863039818677296246293071547692648x28 +25567193560104306873205868490896015032237877533870874010816x27 +52321148180202538163439331966016864511292436815906633589424x26 −4864908935993962517857254565701347160539044432081945899072x25 −123019080382668210117407108731172404376539125899194555304430x24 −
37552986633699292295745612583986320866821130521091055102880x23 +
136379703080567084196568858926303339685532715900685319020840x22 +35385258304347627625914328032820698769125988145596783515360x21 −114456769229876906150430831023886876595202856998329663379660x20 −
35385258304347627625914328032820698769125988145596783515360x19 +
136379703080567084196568858926303339685532715900685319020840x18 +
37552986633699292295745612583986320866821130521091055102880x17 −123019080382668210117407108731172404376539125899194555304430x16 +6.1. KLASSENINVARIANTEN

123

4864908935993962517857254565701347160539044432081945899072x15 +52321148180202538163439331966016864511292436815906633589424x14 −
25567193560104306873205868490896015032237877533870874010816x13 +6707600139911165882350866863039818677296246293071547692648x12 −1424348274016084995702921044533445396264442945063014457408x11 +
175733250082988305151868567978007506708653980039426899696x10 −
30517002168658003523354811203246133119803740829342806336x9 +16883384609548306817413949666402621202926807820911573229x8 +1092572602427655489065104272330728655309807736989634128x7 −38083107895974595210606486441960788494507684737654548x6 +292635000990742651380348148439343923246028968473872x5 +
145007185192986350706299969832784425231325579006x4 +46640212505825931321707951685218171821332336x3 +326740386131615535754727385431259995212x2 +217353267589383339688880133168x + 1.

• D = −4(8 · 1371 + 5) = −43892 :W−43892 (x) = x102 − 330508055868190639617313x101 +
22055073178153014246088728119955x100 −627000170861534071168104572755555585580x99 +173919802413133053400483312874360794968670x98 +
2867709974196635390739776051215600288719582x97 −···331994708648767028810892038823828466520453697476355x9 +12373029613277936854903260942923280934821425734295x8 −262373255816667887690814832763534354562869563938x7 +1622410979517041923113880424662959055287376360x6 +2867709974196635390739776051215600288719582x5 −
173919802413133053400483312874360794968670x4 −
627000170861534071168104572755555585580x3 −
22055073178153014246088728119955x2 −330508055868190639617313x − 1.

• D = −4(8 · 756986 + 5) = −24223572 :W−24223572 (x) = x1136 + · · · +749843255428537849797133976376993981552072486870433626410977341601933449163681611320454234669
321992288336195230654458906556099899131112816939830345700399020223334394894719225327429047427
024639240938329923828909951717422383631031843520565394944493572403417708656465253657077202778
364235684351775327223053734054417151220898754571033275054782027855784883900755900364316236890
743704913503416263590918770674624349723576680293942042121372352936142007167192343544887320750
344205452296481232447637418174630537793706490232963034792002227535635059949591638548466816457
526706294458486240631879406877482713434992263475914390650257832188631885861720093542426490161
614414289934104790232017682202462024776269423030750539616853586558676564009072626788696195357
559469109041198758352308885704592868577623072463776281592905096772515421877246197873965135898

124

KAPITEL 6. BEISPIELE
623921053561600055283246329103370045685591962580504505572478698208630297044451546114308788426
058978439311802057005744079807802137447388440992876775482666033570616005708045025689943568368
437814841141096391901525626709266842099328361533856536844817379172359000590318281263969235603
992221096121166561827394783760804668811336813783056709920103075277355140421506059281393289804
478198628722468801582878331720115743204108408764493425435917525519274718750932743681092226004
777242642656541140166241745075947680038123924336132204318250099661041137337241558484392017003
385299789134883290366707696808764519228065706071727199601986313124365088858806342587382420550
435346714078730152916333513837866738346714418633435806602651813908566257287061491518706623020
404211430840939857455006781659832203598677947965086695646939237740793105455962276639022544159
088800x + 1.

Der Fall m ≡ 7 mod 8• D = −4(8 + 7) = −60 :W−60 (x) = x2 − x − 1.
• D = −4(8 · 2 + 7) = −92 :W−92 (x) = x3 − x − 1.
• D = −4(8 · 8 + 7) = −284 :W−284 (x) = x7 − 2x6 − x5 + x4 + x3 + x2 − x − 1.
• D = −4(8 · 891284 + 7) = −28521116 :W−28521116 (x) = x2912 + · · · +105150172257429112468583143080185177188010328325469005827828356802283214413486256995067721702
68474120993112392646788511036958105x5 +7098434480959295130679608239004432928667676638887555
18588591129136501861773309468886447138961686028713138389801430x4 +
642674704388513552339388928898477095554392318231585981014267875527886861270840305245182226
58736x3 + 7957463656506220109105881179125025630637462931238346857568916625840057626648x2 −
17487162883741407719480523940681197984x + 1.

Der Fall m ≡ 2 mod 4• D = −4(4 + 2) = −24 :W−24 (x) = x2 − 2x − 1.
• D = −4(4 · 21 + 2) = −344 :W−344 (x) = x10 −8x9 +2x8 −18x7 +9x6 −4x5 −9x4 −18x3 −2x2 −8x−1.
• D = −4(4 · 1023751 + 2) = −16380024 :W−16380024 (x) = x1816 + · · · +617426757073178346488847543215877034331675282475340869518759847574583259966270405815761854286
150064501435653570179478268636028371649248938611274360190836226700734881845462756189102600392

6.1. KLASSENINVARIANTEN

125016897122956692845904086357566575469862253685348847154436928603061206216687162468366162255893
759051503396501205893205434455801841074415476996717988820491060184203978308366193681101406626
068679898187366412313373623128731877789494306771973856158372590927232534960456321108483170697
897853262819713457360185187798020264807934623785030687950235559944178275846489961244302895823
120449668318353751312881392925298585320357886514636460848381239477268320530122189086258017558
939274704508583528631364147496569586608x + 1.

Der Fall m ≡ 4 mod 16• D = −4(16 + 4) = −80 :W−80 (x) = x4 − 2x3 − 5x2 − 4x − 1.
• D = −4(16 · 17 + 4) = −1104 :W−1104 (x) = x16 −9521956360x15 −2422629573672x14 +26219327498664x13 −84375886568580x12 − 393712002485544x11 − 325494461836888x10 +
187439192911816x9 − 154132266526074x8 + 47748165387496x7 −15489293319448x6 + 2215927447800x5 − 332337094020x4 +11432970312x3 − 61341672x2 + 163736x + 1.
• D = −4(16 · 214967 + 4) = −13757904 :W−13757904 (x) = x2256 + · · · +136634191898339921953724873009567762742537764948894689380563516146571939911024816718682598054
173685294619618505599765223785481212062573921040293695864031626873595103374415511730452419721
120226257609045069211158239304341617677930985077012950308415556939477479708381626917147943825
748851659959076309762061989022698764601653789742090818526729757596568811232634408792097540563
443356509711898766387223038413403738252501974861792394127608032901171598447318935408624868017
743750302713543671256064941000044833266054392746183284008738884926314114833294357712394609202
191785962017079153500549236616723423781012733938318984357754602780440838440x + 1.

Der Fall m ≡ 11 mod 24• D = −4(24 + 11) = −140 :W−140 (x) = x6 − 2x5 − 2x4 + 4x3 − 4x + 22 .
• D = −4(24 · 13 + 11) = −1292 :W−1292 (x) = x12 − 8x11 − 28x10 + 12x9 + 56x8 − 72x7 + 16x6 + 144x5 −
80x4 − 96x3 + 32x2 + 32x + 24 .
• D = −4(24 · 307 + 11) = −29516 :W−29516 (x) = x84 − 76368x83 − 6478884x8 2 − 166900768x81 −
560587544x80 + 3962192744x79 + 24019103736x78 −126

KAPITEL 6. BEISPIELE··· +9314173452288x2 + 84288733184x + 228 .
• D = −4(24 · 115752 + 11) = −11112236 :W−11112236 (x) = x1674 + · · · +120449668318353751312881392925298585320357886514636460848381239477268320530122189086258017558
267215429217335692049155997902389091259493210432167505238595406628761548536450421876409817048
077860912420798499755006996413063938901730677919645275867639168565460223337858806818003141887
86614135596178982945260695126122398111755182744051719631903904553327313027072x2 −619534187684350972636514715681140735223217154689791206169434306329251819212714839381961768887
181205119822005977880971952241346372973064315141521686449873139869686263430258663749997706646
21055556359992018330368081920x + 2558 .

Der Fall m ≡ 19 mod 24• D = −4(24 + 19) = −172 :W−172 (x) = x3 − 2x2 − 2.
• D = −4(24 · 19 + 19) = −1900 :W−1900 (x) = x12 − 20x11 + 52x10 − 108x9 + 124x8 − 152x7 + 152x6 −
176x5 + 160x4 − 48x3 + 16x2 + 64x + 24 .
• D = −4(24 · 287 + 19) = −27628 :W−27628 (x) = x51 − 53036x50 − 374352x49 − 1220446x48 −2397560x47 − 5023592x46 + 11340104x45 +···
8860663808x3 − 3582984192x2 + 42205184x − 217 .
• D = −4(24 · 531519 + 19) = −51025900 :W−51025900 (x) = x1728 + · · · +114005983394606252856780513507410839763538053784227139906320328444251636651060649419159889589
702439991328373602832826840926149792738721872689346892222107334658882321665309914151444304184
240086329421460445386878336889180481424306065863877287449239730647513758542831776989970432x+
2576 .

Der Fall m = 16a + 12 mit a ≡ 0, 1, 5 mod 6• D = −4(16(6 · 1) + 12) = −432 :W−432 (x) = x6 − 543090x5 − 482106x4 − 215840x3 − 55788x2 − 9960x −23 .
• D = −4(16(6 · 1 + 1) + 12) = −496 :W−496 (x) = x6 − 122x5 + 194x4 − 180x3 + 112x2 − 112x + 23 .

6.1. KLASSENINVARIANTEN

127• D = −4(16(6 · 1 + 5) + 12) = −752 :W−752 (x) = x10 − 460x9 − 1752x8 − 9880x7 − 20316x6 − 23800x5 −
19552x4 − 12080x3 − 4096x2 − 640x + 25 .
• D = −4(16(6 · 43245 + 0) + 12) = −16606128 :W−16606128 (x) = x1104 + · · · +509030210854166184241253877109678932751499860458041801744012848418856398772554492578049931996
069683270792909400034625694543439525759708197552651511543606336922226660041618154668961775670
515014161401350908918711048191163904381364640001185404704795922073903953882151179655907817251
438857517546108314818184258008194788277732314066717697258059928454477105915826530156919198764
784458314051447967343533095748620016027833348219068388239245142290161615850122052300836140064
459722125516891130610518715136050816871572769365834458100645670024278163532493037292823230480
760524284162469048529719706405301295020717036228717317191819819767378940350234025128650607673
004966525587605365970474708831415817692802817098697800772279293124504907688946536819197127919
667282275160097585639862430719880674993138503231506387920648031245623954535459771764877843009
801259961330710955950080x + 2552 .

• D = −4(16(6 · 153192 + 1) + 12) = −58825840 :W−58825840 (x) = x2736 + · · · +477663272286852766263250069864514966988319070894381151495530399758061178125993300282927660896
548099383477820899937584083726556420269307611386026187347553708756763682854768262282234186454
929735485835630997346956987261888915064717102471957889104669922241245141999822792288240792743
788233194450911627444822890370393593707333699415739369954602084013867734503467495649563261435
847326389124171808096715333397549107944348041129445803341791774887555170018630191966600245368
537455116464906950141925861207900214819940691184164146066430213737019034193679627962238187977
263763672347144390993934073564142019022744628349100541946147088109224905517719809497494699299
897184267357361776374978258487438685202592637934573147453056152581430968311850142556772304348
979839820003805205070342711881206751499856768394412040633376629360806933615035549141403057048
93447929856x + 21368 .

• D = −4(16(6 · 90125 + 5) + 12) = −34608368 :W−34608368 (x) = x1664 + · · · +553111234404668346794447669191223804174068966622661542395578217748742566722120133504108942152
388390163202830652736536591847690026631201827678971936136754828430946780885759030253391683821
268234227472235069423953473412785996023858544115557576833284231252046356002830575850952313208
102845693530830648077642790386512908868261724253139451833464702687120388794410820649912285790
009187063129287235237434774146057155340137546300463606159931054658238091022417793039910652798
578289897874149501171270136909383376600699304230625505596637127097351122749894667356740108718
567107712715293908497596416x + 2832 .

Der Fall m = 16a + 12 mit a ≡ 2, 4 mod 6• D = −4(16(6 · 2) + 12) = −560 :128

KAPITEL 6. BEISPIELE
W−560 (x) = x12 − 180x11 + 1160x10 − 2620x9 + 1740x8 + 1260x7 −
3504x6 + 3680x5 − 2360x4 + 1000x3 − 280x2 + 40x + 22 .
• D = −4(16(6 · 4) + 12) = −688 :W−688 (x) = x6 − 340x5 + 200x4 − 70x3 + 80x2 − 40x − 2.
• D = −4(16(6 · 12 + 2) + 12) = −4784 :W−4784 (x) = x48 − 25855016x47 − 1648271584x46 − 586739518648x45 ++ ··· +
− 4844421120x4 + 684366848x3 − 47669248x2 + 1540096x + 28 .
• D = −4(16(6 · 21 + 4) = − − 8368 :W−8368 (x) = x30 −8895776032x29 −211988625088x28 −1924006079878x27 ++ ··· +
190277728x3 + 32118464x2 − 3588928x − 25 .
• D = −4(16(6 · 38562 + 2) + 12)) = −14807984 :W−14807984 (x) = x1890 + · · · +272547799193369770249843757024345932659750265194693507537665374853249428368868046313656588655
040501228528597663042632942526024339085738642765510659631509193228884111839566322382801178602
325592318092914388482699477938636101681790724854218075423619986066939759085740294571902956038
91842928362591419708638426302513152x − 2315 .

• D = −4(16(6 · 81025 + 4) + 12)) = −31113904:
W−31113904 (x) = x2376 + · · · +144627298530652657288921349455234442367454106324163468671991883126036861095472218406767228257
423275178324214541574255123226841636323059333613336019510600519749686947892937846947997908851
956224069939918443877403909882091372013854230915808864172849929679943433786340613405381862822
0263093947577720572006320421936985316434747075316816538536299650195394105650199625762097721252
0076147565184470004832544239718561021813208370864101350432571392x + 2396 .

6.2

Neue Klasseneinheiten

Wir werden in diesem Abschnitt die mittels des Satzes 4.28, 1.(a) und 2.(b)verbesserten Klassenpolynome der neuen Klasseninvarianten angeben, dienach dem Satz 4.16 mittels der Quotienten der Thetanullwerte konstruiert
werden. Um die Koeffizienten dieser neuen Polynome mit den entsprechenden
Weberklassenpolynomen vergleichen zu können, geben wir die Weberklassenpolynome in den Beispielen auch an.
Am Ende dieses Abschnitts stellen wir zwei Tabellen vor, die zu der gegebenen Diskriminante D den Quotienten der größten Beträge der Koeffizienten
der neuen Klassenpolynome und der Weberklassenpolynome vergleichen.

6.2. NEUE KLASSENEINHEITEN

129

Der Fall m ≡ 3 mod 24• D = −4(24 + 3) = −108 :W−108 (x) = x3 − 6x2 − 12x − 8,
f−108 (x) = x3 − 3x2 − 3x − 1.
W
• D = −4(24 · 3 + 3) = −300 :W−300 (x) = x6 − 32x5 + 60x4 + 240x2 + 128x + 64,
f−300 (x) = x6 − 16x5 + 15x4 + 15x2 + 4x + 1.
W
• D = −4(24 · 27 + 3) = −2604 :W−2604 (x) = x24 − 22480x23 + 394144x22 + 6141728x21 +
21897312x20 − 118225664x19 − 365260544x18 +
86675968x17 − 1274671360x16 − 2554568704x15 +7379943424x14 − 4408459264x13 − 4044079104x12 +46980530176x11 − 62486872064x10 + 30277894144x9 +
145046306816x8 − 248412897280x7 + 400335831040x6 −254801870848x5 + 224737099776x4 − 36624662528x3 +46321893376x2 + 973078528x + 16777216,
f−2604 (x) = x24 − 11240x23 + 98536x22 + 767716x21 + 1368582x20 −W
3694552x19 − 5707196x18 + 677156x17 − 4979185x16 − 4989392x15 +
7206976x14 − 2152568x13 − 987324x12 + 5734928x11 − 3813896x10 +
924008x9 + 2213231x8 − 1895240x7 + 1527160x6 − 485996x5 +
214326x4 − 17464x3 + 11044x2 + 116x + 1.
• D = −4(24 · 71 + 3) = −6828 :W−6828 (x) = x30 − 11125128x29 + 2224856348x28 + 55651302016x27 +461320536848x26 + 921130310400x25 − 2593045062208x24 −
838537973760x23 + 48348753437952x22 + 112987683063808x21 +376518787779584x20 + 1175574943727616x19 + 2977647233028096x18 +
7427572669480960x17 + 15503544159354880x16 + 30014020194926592x15 +
48467269256413184x14 + 75333799118372864x13 + 99304313885818880x12 +109346366412554240x11 +134246376257093632x10 +76561183380865024x9 +
129294010530398208x8 + 19871624241086464x7 + 99862930304008192x6 +8960933732810752x5 + 44011600469819392x4 − 2571583751192576x3 +1495578210992128x2 − 1408749273088x + 1073741824,
f−6828 (x) = x30 − 5562564x29 + 556214087x28 + 6956412752x27 +W
28832533553x26 + 28785322200x25 − 40516329097x24 − 6551077920x23 +188862318117x22 +220679068484x21 +367694128691x20 +574011202992x19 +
726964656501x18 +906686116880x17 +946261240195x16 +915955206144x15 +
739551838019x14 +574751275012x13 +378815894645x12 +208561642480x11 +
128027321107x10 + 36507217112x9 + 30826094277x8 + 2368882208x7 +130

KAPITEL 6. BEISPIELE
5952294487x6 + 267056636x5 + 655823953x4 − 19159792x3 +5571463x2 − 2624x + 1.

• D = −4(24 · 411371 + 3) = −39491628 :W−39491628 (x) = x1728 + · · · +517065119393952923019770729453449721046148273534772636476424926954431038265800317193454624454
247870753483168561054900478331037431757368284400197738478282148634264869619001948272630849071
409647364754274241693290074112525848209982265018447999186748281867026871686850243923698000458
157145311868175069995459853444422092123635074002190872388172171018329603683737655274624100129
706131453502201631440631381508987473773840495592258150126985267201650070380436823184753283962
723086188603849672974121490554819424492759621386255780584800987697750519957791442150553483803
334356600309186684086497599923495793156153603246093319100656622072718980213050589878858928823
045315423300071041133722841470575484164564153918618011249312549565426095391221514032983089503
65564362465911537112649316779108987964489728x + 21728 ,f−39491628 (x) = x1728 + · · · +W683506627634567185467910601988687218251237974450481260991873328476812105437934665037421855463
103357870040560171267950799281727658153709115519341044736510094982306975748541858543102837179
7339345555632065328160286342064368528112328867247323217560570552773575355361820126x + 1.

• D = −4(24 · 654214 + 3) = −62804556 :W−62804556 (x) = x3540 + · · · +477926508418243493885213660921776525875197340988245607402706974605327485066753319271263531748
201783632953148531538286231393282296646311296865561191961320493632831907360683159029421446799
510937621488991819380609674531874529866816457036354700699041590756521247360526540834080523913
562936079707614391730617347963639849819373004140924787881103196689838196575483433976376510992
315820488509092226470358532451994663973831902650279332236486990773614930421230207882706835783
222480125961210896723324693929107206437067514160205383932374563922478426101051969738804910195
125529858530324302630687873760664213264565930422447323516298040767912284193234827201281340207
057193766560870375821612779890058037444279739699941729270143160131528042795735533916334932954
337208494032464109698701279712571558670291827934679119206898272619895263434299643888114189865
436618283468467116196410184044684566569509897671319767801762947013559020827800887092486720598
133644472572080326272516358137622353262005536918449228232372640706571412468910284376982799591
672157692205963356499528081708601295570260486017732786831491616907329642968855198574850414322
185079948062449801048718736491384732392398115910908803944902029619323817311471058519249916425
810127858460159304122010988770964498419911944998423526979813501657767815654300155175271497962
447424137166758830698778259623055099617068601190904271524889028076594676428947425191208936982
28879360x + 23540 ,f−62804556 (x) = x3540 + · · · +W
215877045023218448274401692322740584605802340522039555909848311050854015758034495521157999883
018163974989405818550628068435287649084287241887900732995132367917806359313533724118159081088
889112303601123349006967719617699603766707639431942375023716913175992755982188535069724678012
98482201554417285948691365588052604456078007076969863810720x + 1.

6.2. NEUE KLASSENEINHEITEN

131

Der Fall m = 16a + 12 mit a ≡ 3 mod 6• D = −4(16 · 3 + 12) = −240 :W−240 (x) = x4 − 8500x3 − 25464x2 − 9760x + 64,
f−240 (x) = x4 − 4250x3 − 6366x2 − 1220x + 4.
W
• D = −4(16 · (6 + 3) + 12) = −624 :W−624 (x) = x8 −14651828x7 −398682872x6 +1450059200x5 −1935551872x4 −321277696x3 − 251052032x2 − 26329088x + 4096,
f−624 (x) = x8 −7325914x7 −99670718x6 +181257400x5 −120971992x4 −W
10039928x3 − 3922688x2 − 205696x + 16.
• D = −4(16 · (6 · 19 + 3) + 12) = −7536 :W−7536 (x) = x32 − 18021452550275807475414336796x31 −
5906451848827005535289805423482367032x30 −
134910912211081970610076932892657431244736x29 −
8058910160015754734399600860842051777432606400x28 −88627352426923821929113768630638791084951253248x27 −
983064690082202764443664132168764307625895753216x26 −
6004490383421103898493846071660430555931245654016x25 −19951893619747209461133935974786713598255753150464x24 −
26717156322915470559277780140761542394693920227328x23 −10539178241018987449160459576439858739663070167040x22 +3673935914714211412883479993354961526723791814656x21 +5953161337527635986111191571807147094993042407424x20 +
8355514940928366009511181771611056359492839014400x19 −5486572084584758871368705190350037111496473837568x18 +2556990256273446842401215199544199371829811347456x17 −2624312103584501577741011229107463302835779665920x16 +
334071463031241371840108577511617910550688694272x15 −
266526125587284178981266766736546060026268090368x14 +
23107602140319028936717921363386152765397925888x13 −35289806770918004222266181922225623364813193216x12 +
11567189605578903846532994813902135469287669760x11 −4356097898189006828679893867703677729198047232x10 +
830762683161087683187619207096151643414069248x9 −
127189694290894124803484065171228361893085184x8 +7130029745804866632203788148643045398544384x7 −255579167310877614521047427264565353644032x6 +10521225746713858242396406768743466663936x5 −
250741098033614289905238668224673873920x4 +1093147640934179069417125879767629824x3 −132

KAPITEL 6. BEISPIELE
1898610503915129146281738320740352x2 −63548775238862676048694214656x + 248 ,f−7536 (x) = x32 − 9010726275137903737707168398x31 −W
1476612962206751383822451355870591758x30 −
16863864026385246326259616611582178905592x29 −503681885000984670899975053802628236089537900x28 −2769604763341369435284805269707462221404726664x27 −
15360385782534418194432252065136942306654621144x26 −46910081120477374206983172434847113718212856672x25 −
77937084452137536957554437401510599993186535744x24 −
52181945943194278436089414337424887489636562944x23 −10292166250995104930820761305117049550452216960x22 +1793914020856548541447011715505352307970601472x21 +1453408529669833004421677629835729271238535744x20 +1019960319937544678895407931104865278258403200x19 −
334873784459518974082562572653200507293485952x18 +
78033149910688685376013647447027568720392192x17 −40043824822761559718948535600394642682430720x16 +
2548762993097239470215672130673354420094976x15 −
1016716482495438304829661433168586959939072x14 +44074253349912698625026552893421464472576x13 −33654982348363880369440252229905722966016x12 +
5515665819920970843569276244116847738880x11 −1038574671313525874299977747846526558208x10 +
99034629244934044264271164786356883456x9 −
7581096547299273300378564904405377024x8 +212491445118333894974106197018714112x7 −3808426369888746954814306307801088x6 +
78389240404321687239381721382912x5 −934083379930311031286562488320x4 +2036146150779312605815242752x3 −1768218822698229128757248x2 −29592204484558979072x + 216 .
• D = −4(16 · (6 · 31457 + 3) + 12) = −12079728 :W−12079728 (x) = x1024 + · · · +481041560110386570130731134256704046828613190140155210981007693301121497006051658089717785708
714304122958239160145140555643204662171259143731578605047740899568624862517772945672324052346
871343051806684951407308481194604189543365238889323451002251740999224836103770549705492398992
308458461300746457595065557866050007705744553712893916918334055751522500058770959898485635672
966245098220778829727322498154797524539524885045667597064080887952271210770588612500498322487
966829933263233528561689912250619077568168853079351821360481245348320264626764397718406392200
314834875538205448362314279508138034237794049925536781819285267725838829356443505103211432478

6.2. NEUE KLASSENEINHEITEN

133

737983414505405374471207398580695607028977769136934436130281676963248032010308289737069787170
122665432169980802018010356350582620864312432168242402728050348563884319200968891033373713898
223612685861507647464376641088115758815359091930802748884083487759653076465871587564526528282
980748217203466721108821557958667192794993686561169351848160672527602672327741169486539182441
63134622079407245663349589934080x + 21536 ,f−12079728 (x) = x1024 + · · · +W535176500128570848042022438707396463859782841276845218582026474082361250013367785203007244345
695124652577362418390778465182544311302678012801939511332971240904538184552063842484226621924
363422083740798815076655332635712009089510455683551987445073868303293039519695736943284453785
323958517749147053363512205122875925001996374859228425838654344589745843723776293066382690445
427760218189917261029334110291145353460086658752100075093520149824514228220756765781431745620
626724469873639713644991877461733719442814806892056474417009323875551101436160572194971138746
231613996838198559396494615841899013401571539157304288359715387978573428596201535772982549628
483312369512061992659306172144371541457150515588036765051912741763886811006975029759293794549
760x + +2512 .

• D = −4(16 · (6 · 189532 + 3) + 12) = −72780528 :W−72780528 (x) = x2272 + · · · +263738392553978067007372185467162066743639577279892026314644136673267739076008334050573052760
015266144975699326341536523743737596092796284181717362221339650688108693816443129370305332967
409563406880325137203616729243296994112043036072552981896967638100974385795544940303384118758
071365974169606252850978876948476092683251446715782321698617396105279736919646621894013233873
915147412015768067082684565797384486806500533260802821064169645695376439039793986637291551062
005095593035659560992512177378915329076581657244899043513377006236521967275788668918442890241
772085686624954641274100414923203978072600909322164931309242899899584714718874781517337255339
326044837432555398937265869480910970803635236312140349278206648229179192896055732082649484534
705799089987827554992840951695956808779013022626828735973620016030010170045107868763408295566
768962259100822656066421410328565213981653660418270502204790987498645667801279821168545124077
802602430397737451640346003384700359790840711782598905292134313151844540370335079592781753774
634408802096520455814840322603358843583260758702242512720956770023304342935326505870660205169
932073322865805545355022773706076699153853380312273498307354562118153086371060422723797648797
755636036485610075182820009583670289206406807861766267356453266795738276001375246518805411710
962264000281091669547431719971935298300304600116909745753755659681301198877196869998712948131
745763428967647402695632132906185755634824127861600214054989845254004057948227765110649223809
750097950156013083108204875462661631733623719460534985582271608087071832593430545926793212829
908209726648989363537516860680872200351672980226938707821839986061797749023846456346290618587
764059573748402582091126980431359279941997686407196714430674110654882831250047324631359993648
822821925801358253195071238555987693535011289747458261092913824861867788427300558635853704373
266563594019493028207387591060958075360457519981724072465458081592158442472970725182512138258
655857506877608054355476641981428088449702987797048729801873747150660811334019197189809410910
111443758655755901676029686801709879011878066430380216012584400967488369163354426325236717814
843863667353368836730024837231775592210094752319363227870315187892411442899447354799596563776
857643490151634299721279805185872666909306654331820920290882829231360371943279692240104013553

134

KAPITEL 6. BEISPIELE
199657548923572716426590365813783628899946258631922229718815521349886711485305860595900189867
436399864315158843541286414333753954003471451044565172554301440x + 23408 ,f−72780528 (x) = x2272 + · · · +W605415034842640599755848802713318666853988215637730931071782264378924180357646848221492971225
126754709562089406724989910502855011843663757926885181293914881629762690928590613400586817124
625241803713449724822029495256771745280556441446015549729706400324415868065126128533223289807
910275359477726202158040338605896860064125106654255956696246999173516616248341068898173399748
903353415198092769811494055133845424084084659469676884993079450452772890299085806819403764898
617429906242573054939076630367224653160975183545250127207527430778536382367193647475493495225
286908167456180552051452554729801430618861145873145338889214240464243896747904840224062229064
805820036677534212534655950380168293593350421413016002395055381463741245317548191162761242712
811207663701414021046778576892700403497408157365190647429648477884825394622156739344907631204
965351027378975541715844254252875913327319985771006964043874641226959757650628451437129160012
713569960407448817847030055407883048477689620092012204340438929885878200398946259422330478929
147871750926841426692181959556437696417717195427977523985850709307342269195482086755974723347
136151088635410612913641014588947724655201935462395399050906919129305083208451145968821357110
467838228025797148456305586891165448335545694127705794111569553637572550442019100776200128174
962950583809190902072942457030467205525729678500205063405092707910317900622612862411116511064
109009886264358394679876343385339524626984422045430711915413423375399655308313649990838354714
289245980049539737149883858455487744514409758489012745461435105989644463947939529703394333077
770785443044460743806343794306981488290833965505216176421760100475428316121364742517197312280
061739231737646678037866398451348574183976967137359215172624269198757178987146122673819791481
163464313814150312726133473280x + 21136 .

Vergleichstabellen

Es bezeichne l den größten Betrag der Koeffizienten von WD (x) und l0 den
fD (x) und t = l/l0 .
größten Betrag der Koeffizienten von W
Wir erhalten die folgende Tabelle für den Fall m ≡ 3 mod 24:

6.2. NEUE KLASSENEINHEITEN
D
−108
−204
−684
−780
−972
−1164
−1356
−1644
−2604
−3660
−6828
−11496−59436−5867436−62506668

hD
3
6
12
12
9
12
18
18
24
24
30
36
96
744
1992

135

l
12
144
86016
38195248000
1573632
86114304
193265664
400335831040
3382296117248

l0
3
9
139
1283
1548
15484
25812
1207767206976
129495040

134246376257093632

946261240195

3473333201993488924672

4984737146959232≤ 2, 3 · 1066

≤ 3.92 · 1047
≤ 5.25 · 10644
6.79 · 101987≤ 7.9 · 10777≤ 5.20 · 102346

t
4.0
16.0
618.8201297.7023
31.0078101.930
3336.212
1600.2055548.38
26119.12
141870.31
696793.65≥ 5, 63 · 1017
≥ 1.5 · 10133≥ 7.65 · 10358

Wir erhalten die folgende Tabelle für den Fall m = 16a + 12 mita ≡ 3 mod 6 (Bezeichnungen seien wie oben):

D
−240
−624
−1008
−1392
−1776
−2544
−3696
−6384
−12528−123888−203376−3148656−4266864−12677616−45657072

hD
4
8
8
12
16
20
24
32
36
104
240
736
1056
2000
2500

l
25464
1935551872
4915855232

l0
6336
181257400
1491889320

1784894646530240

111555915408140

1023491167730943859712

15992049495795997808

554845976808115783903154176

6327461795808893670289840

7475561705286613200346355977928704

25164662252199417184585914872912≤ 1.35 · 1048

≤ 5.7 · 1044
≤ 4.04 · 1056
≤ 8.30 · 10224≤ 1.36 · 10460≤ 5.84 · 102002≤ 3.65 · 102555≤ 3.4 · 105127≤ 3.7 · 107626≤ 1.44 · 1060
≤ 7.03 · 10235≤ 1.16 · 10482≤ 3.98 · 102067≤ 1.98 · 102652≤ 2 · 105308≤ 2.6 · 107848

Bemerkung 6.1. Mit Hilfe der im Kapitel 4 betrachteten Klasseninvarianten können wir die Klassenpolynome bis zur Klassenzahl ca. 4000 undzum Betrag der Diskriminante ca. 108 im Computeralgebra-System MAGMA, [MAGMA], berechnen. Darüber hinaus war es sogar möglich für speziell gewählte Diskriminanten die Klassenpolynome vom Grad ca. 6600 zu

t
4.0
10.68
3.30
16.0
64.0
87.69
297.07≥ 2384.15≥ 3535.18≥ 8.45 · 1010
≥ 8.45 · 1021
≥ 6.81 · 1064
≥ 5.41 · 1096
≥ 5.8 · 10180≥ 7.1 · 10221

136

KAPITEL 6. BEISPIELE

konstruiren. Analog erhält man für die Diskriminanten < −109 mit kleiner
Klassenzahl (ca. 3500) die Klassenpolynome zu berechnen.

6.3

Einheitengruppe

Wir werden in diesem Abschnitt die Indizes der Untergruppen der Einheitengruppen von Ringklassenkörpern angeben, die durch die Nullstellen eines
Klassenpolynomes (welches von einer Klasseneinheit erzeugt wird) zusammen mit den Einheitswurzeln wie im Kapitel 4 (Abschnitt 4) konstruiert
werden.
Beispiel 6.2. Wir betrachten das Weberklassenpolynom
W−164 (x) = x8 − 5x7 + 7x6 − 12x5 + 14x4 − 12x3 + 7x2 − 5x + 1,
welches mittels des Satzes 4.16 und nach der Bemerkung 4.10 durch die Klasseninvariantesµ ¶12√ F(τ )2g(τ ) = 3
A 2 2
erzeugt wird.
Als untere Regulatorabschätzung des entsprechenden Ringklassenkörpers erhalten wir 6.966709.
Aber die Determinante der Regulatormatrix beträgt 0 für jede Wahl der Nullstellen von W−164 (x). Daher bilden die Nullstellen von W−164 (x) zusammen
mit den Einheitswurzeln eine Untergruppe der Einheitengruppe von unendlichem Index. In diesem Fall können wir den Algorithmus 5 aus dem vierten
Kapitel nicht anwenden.
Es sei nun B die obere Schranke für den Index der Untergruppe der Einheitengruppe, die durch die Nullstellen des Klassenpolynoms einer Klasseneinheit zusammen mit den Einheitswurzeln erzeugt werden. Wir bestimmen
B mittels der unteren Regulatorabschätzung, wie wir im vierten Kapitel erklärt haben. Ferner seien D die Diskriminante und hD die Klassenzahl wie
im vorherigen Abschnitt.
Wir geben nun zu gegebener Diskriminante D, die Klassenzahl hD , eineuntere Schranke R für den Regulator, die Determinante der Regulatormatrix
R und B an.
1. Für D = −116 gilt hD = 6 mit
R = 2.84108928, R = 0.

6.3. EINHEITENGRUPPE

137

Daher bilden die Nullstellen von WD (x) zusammen mit den Einheitswurzeln keine Untergruppe von endlichem Index.
2. Für D = −188 gilt hD = 5 mit
R = 0.30220245, R = −0.5267712 und B = 1.74310.
Daher bilden die Nullstellen von WD (x) zusammen mit den Einheitswurzeln die gesammte Einheitengruppe.
3. Für D = −204 gilt hD = 6 mit
R = 43.3706, R = 74.6592 und B = 1.7214.
Daher bilden die Nullstellen von WD (x) zusammen mit den Einheitswurzeln die gesamte Einheitengruppe.
4. Für D = −404 gilt hD = 14 mit
R = 6.966709379, R = −991452246.217 und B = 142312847.03.
5. Für D = −636 gilt hD = 10 mit
R = 11.27469586, R = −94032.7146707 und B = 8340.155323.
6. Für D = −780 gilt hD = 8 mit
R = 4.959567428, R = 371242225.327301 und B = 74853750.999611.
7. Für D = −972 gilt hD = 6 mit
R = 26.756805737, R = −10241.05192424 und B = 382.74568.
8. Für D = −1164 gilt hD = 12 mit
R = 263.3490957, R = 205006262.750542 und B = 778458.19914.
9. Für D = −1236 gilt hD = 12 mit
R = 2156.932362, R = 18808192352229204.295 und
B = 8719880458340.866.
10. Für D = −5292 gilt hD = 18 mit
R = 6529.292738 R = −29488290.73 und
B = 4516.31.

138

KAPITEL 6. BEISPIELE

Bemerkungen für Geschlecht zwei
In diesem Abschnitt werden wir auf die Probleme eingehen, die bei der CMKonstruktion der einfachen hauptpolarisierten abelschen Flächen vorkommen.
Wir merken zunächst an, dass es uns trotz unserer zahlreichenden experimentellen Bemühungen nicht gelungen ist, geeignete CM-Punkte τ ∈ H2eines Systems (g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) der Werte der arithmetischen Siegelschen
Modulfunktionen der Stufe (2N, 4N ) zu finden, so dass das System(g1 (τ ), g2 (τ ), g3 (τ )) ein Klasseninvariantensystem ist.
Dass die Betrachtungen von Weber ([Wb1908]) schon vor der Einführung derKlassenkörpertheorie und der Theorie der komplexen Multiplikation stattgefunden sind, war der Vorteil des Verfahrens im Falle der elliptischen Kurven,da man stets die Kandidaten hat, für die man das Reziprozitätsgesetz vonShimura anwenden könnte.
Aufgrund des Fehlens der galoistheoretischen Beschreibung des Modulkörpers aller arithmetischen Modulfunktionen, sind wir gezwungen, uns mit
der zur Zeit existierenden Arithmetik der arithmetischen Modulfunktionen
der Stufe (2N, 4N ) zu beschäftigen. Dabei wird als Zukunftsprojekt die genauere Untersuchung der Thetafunktionen und Thetarelationen notwendig,
da die Transformationsverhalten der Thetafunktionen uns, wie im Falle der
elliptischen Kurven, die Konstruktion expliziter Klasseninvarianten ermöglichen könnte. Ferner würde eine genauere Beschreibung der Untergruppe
NΨ (LN /Tor(K)) von (O/N O)∗ die Suche nach einem Klasseninvariantensystem effizienter als der Algorithmus 6 bewerkstelligen, wie wir im fünften
Kapitel erläutert haben.

Zusammenfassung
Es seien k ein imaginär quadratischer Zahlkörper und Ot die Ordnung von
k mit dem Führer t und der Diskriminante Dt . Mit Hilfe der Theorie derkomplexen Multiplikation zeigen wir, dass der singuläre Wert des Quotienten gewisser Thetafunktionen den Ringklassenkörper Ωt modulo t über kerzeugt. Dies ermöglicht eine schnellere Konstruktion der Klassenpolynome
der Ringklassenkörper als die Konstruktion mittels der klassischen Quotienten von Funktionswerten der Dedekindschen η−Funktion. Ferner beweisenwir, dass die verallgemeinerten η−Quotienten mittels der Quotienten der
Thetanullwerte darstellbar sind. Diese Darstellungen lassen sich auch zur
schnelleren Konstruktion der Klassenpolynome verwenden.
Im Falle, dass Dt gewissen Kongruenzbedingungen genügt, beweisen wir, dassdiese singulären Werte Einheiten in den entsprechenden Ringklassenkörpern
sind. Diese Eigenschaft wird benutzt, um die Einheitengruppen solcher Ringklassenkörper mittels der in der Konstruktion des Klassenpolynoms explizit
bestimmten Nullstellen zu berechnen.
Es sei (A, E) eine einfache hauptpolarisierte abelsche Fläche vom primitiven
CM-Typ (K, Φ) mit [K : Q] = 4. Wir erweitern die CM-Konstruktion hyperelliptischer Kurven vom Geschlecht zwei über endlichen Körpern mittels
einer Bedingung an die Steinitzklasse auf alle primitiven CM-Körper.
Mit Hilfe des zweidimensionalen Reziprozitätsgesetzes von Shimura, der Theorie der komplexen Multiplikation abelscher Varietäten, und einer Arithmetik
der Siegelschen Modulfunktionen g der Stufe (2N, 4N ), ggT(2, N ) = 1, verallgemeinern wir das Verfahren, welches im Falle der elliptischen Kurvenüberprüft, ob ein singulärer Wert einer arithmetischen Modulfunktion g(τ )ein Erzeuger des Ringklassenkörpers Ωt ist. Damit erhalten wir ein Verfahren,
welches überprüft, ob ein System der Werte der Siegelschen Modulfunktionen
g1 (τ ), g2 (τ ) und g3 (τ ) der Stufe (2N, 4N ) mit τ ∈ H2 den über dem Reflexivkörper K r von K unverzweigten Klassenkörper nach dem ersten Hauptsatz
der Theorie der komplexen Multiplikation erzeugt.
Den Abschluss bilden einige Beispiele der Klassenpolynome nebst den Untergruppen der Einheitengruppen entsprechender Ringklassenkörper, die wir
mittels der singulären Werte der Quotienten der Thetanullwerte berechnen.

140

KAPITEL 6. BEISPIELE

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