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数理解析研究所講究録
第2014巻 2017年 1-10素数および概素数のギャップについて
宗野恵樹 (城西大学理学部)

概要
近年発展した Maynard, Tao の手法を相異なる2つの素数の積で表される整数 (概素数,または

E_{2} ‐number とよぷ) の集合に適用することで,概素数の集合,あるいは素数と概素数からなる集合における隣接する元のギャップに関するいくつかの結果が得られる.本稿では,それらの結果と証明の概略について述べる.

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序論

3と5, 17と19, 41と43のように,差が2であるような素数の組を双子素数という.古代より,
双子素数は無限に存在すると予想 (双子素数予想) されてきたが,現在のところ証明も反証もなされていない.この予想に最も接近した結果としては,[素数 p であって, p+2 が素数または2つの素数の積になるようなものが無限に存在する」 というChenの定理 [1] が挙げられる.解析的整数論

では,双子素数予想のような問題に対し,十分大きい範囲において対象となる数が大体どの程度存在するかをとりあえず考察してみることが常套手段である.およそ100年前,HardyとLittlewood[4] は確率論的な考察に基づき,双子素数予想を一般化した問題に対し次のような予想を立てた:\mathcal{H}=\{h_{1}, \cdots, h_{k}\} を相異なる k 個の整数の組とし,各素数 p に対し \mathcal{H} を \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p で数えたときの元の個数を $\nu$_{p}(\mathcal{H}) と表すことにする.このとき,もしも全ての素数 p に対して $\nu$_{p}(\mathcal{H})<p となるな
n+ 妬が全て素数になるような n の個数は漸らば,1以上 N 以下の整数 n であって n+h_{1},\cdots

近的に\displaystyle \frac{N}{\log^{k}N}\prod_{p}(1-\frac{$\nu$_{p}(?t)}{p})(1-\frac{1}{p})^{-k}になるであろう (Hardy‐Littlewood 予想). 上の条件をみたす集合 \mathcal{H} は許容集合 (admissible set)と呼ばれる.双子素数予想は \mathcal{H}=\{0 2 \} の場合である.
,

以下, n 番目の素数を p_{n} と表す.素数定理により,十分大きい n に対し p_{n} は漸近的に nlog n程度になる.このことから, p_{n+l-}Pn は平均すると漸近的に \log p_{n} 程度になることが分かる.
2009年,Goldston, Pintz, Ylldmm らは,彼らの頭文字を冠した GPY sieve と呼ばれる飾を用いて, p_{n+1}-p_{n} が \log p_{n} に比していくらでも小さくなりうることを示した [2]. すなわち,\displaystyle\mathrm{h}\mathrm{m}\inf_{n\rightar ow\infty}\frac{p_{n+\mathrm{l} -p_{n} {\logp_{n} =0

.

(1.1)

更に同じ論文において, 1/2< $\theta$<1 に対し素数の分布レベルが $\theta$ であるならば(用語の定義は第2章を参照のこと),\displaystyle \lim_{n\rightar ow}\inf_{\infty}(p_{n+1}-p_{n})<\infty(1.2)

であること,言い換えればある正定数 C があって,差が C 以下になる素数の組が無限に存在することが示された.Bombieri‐Vinogradov の定理により素数の分布レベルは 1/2- $\epsilon$ 以上であることが知られているので,2009年の時点であと一歩で (1.2) が無条件(unconditional)に証明できるのではないかと期待されていた.そしてそれは期待通り,時を待たず実現されることとなる.2013年,\mathrm{Z}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}[10] は,Bombieri‐Vinogradov の定理をある条件下で拡張することにより,\displaystyle \lim_{n\rightar ow}\inf_{\infty}(p_{n+1}-p_{n})\leq 7\times 10^{7}

(1.3)

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が成り立つこと,すなわち差が7000万以下の素数の組が無限に存在することを示した.Zhangの結果は Terence Tao らの有力な数学者により直ちに改良され,たとえば [8] では (1.3) の右辺が4680に置き換えられることが示された.その直後,Maynard[5] は,Zhangとは大きく異なる方法で (1.3)の右辺が600に置き換えられることを示した.また,同時期に Tao も同様の手法を考察していたということで (Maynard の論文 [5] にprivate communication でそう伝えれたと書かれている), 彼らの手法は Maynard‐Tao の方法と呼ばれている.Maynard‐Tao の方法は GPY の飾を多次元化したものであり,Zhang の手法に比べると非常に簡単で使い勝手がよい.そのため,その後に出版された素数のギャップに関する論文の多くはMaynard‐Tao の手法の応用や拡張が基本になっている.
また,Maynard‐Tao の方法は Zhang のアイデアとも相性が良く,2016年3月現在ではこれらの長所を組み合わせることにより (1.3) の右辺を246に置き換えられることが知られている [9].
次に,概素数のギャップに関する歴史を紹介する. 6=2\mathrm{x}3, 10=2\mathrm{x}5, 14=2\times 7, 15=3\times 5のように相異なる2つの素数の積で表される整数を概素数,または E_{2^{-}}number という (ただし 「概素数」という言葉の定義は人によって少し異なる場合があるが,本稿では上の定義で統一する). 概

素数は素数よりも高い密度で存在するため,隣接する元の差がどの程度小さくなりうるかを考える
場合素数よりも比較的よい結果が得られる.以下, n 番目の概素数を q_{n} と表すことにする.2009
年,Goldston, Gralram, Pintz, \mathrm{Y}_{1}1\mathrm{d}_{1}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{m} らは,GPY の筋と同様の手法により(1.4)\displaystyle \lim_{n\rightar ow}\inf_{\infty}(q_{n+1}-q_{n}\rangle\leq 6が成り立つこと,および十分大きい任意の m\in \mathrm{N} に対し\displaystyle \lim_{n\rightar ow}\inf_{\infty}(q_{n+-}-q_{n})\leq m(1+o(1) \exp(- $\gamma$+\frac{m}{2 $\theta$})(1.5)

が成り立つことを示した [3]. ここで, $\gamma$=0.57721\cdots はEuler定数, $\theta$ は素数および概素数の分布レベルであり, $\theta$=1/2- $\epsilon$ と取れる.
上述した通りこれらの結果は GPY の筋を概素数の集合に適用して得られるものである.そこで自然に生じる問いとして,GPY の代わりにMaynard‐Tao の方法を概素数に適用すると,果たして
これらの結果を改善できるだろうか? という問題が考えられる.本稿の目的はこの問いに答え,概素数の集合に対し Maynard‐Tao の方法がどの程度機能するのかを明らかにすることである.

2

主定理

主定理を述べる前に必要な記号をいくつか準備する.先と同様,自然数 n に対し n 番目の素数をp_{n}, n 番目の概素数を偽 と表すことにする.また,素数全体の集合を \mathcal{P} 概素数全体の集合を E_{2}と表す.また,これらの和集合を P_{2} と表す. \mathcal{H}=\{h_{1}, \cdots h_{k}\} は許容集合であるとする.十分大,

きい自然数 N に対し,$\beta$(n)=\left\{ begin{ar y}{l 1(n=p_{1}p_{2},\mathrm{Y}<p_{1}\leqN^{\frac{1}2 <p_{2})\ 0(\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}) \end{ar y}\right.

(2.1)とする.ここで, \mathrm{Y}=N^{ $\eta$}, 1\displaystyle \ll $\eta$<\frac{1}{4} 次に,.

$\pi$^{\mathrm{b}}(N)=\#\{p\in \mathcal{P}|N\leq p<2N\},$\pi$^{\triangleright}(N;q,a)=\Downarrow\{p\in \mathcal{P}|N\leq p<2N,p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} q$\pi$_{$\beta$}(N)=\displaystyle\sum_{N<n\leq2N}$\beta$(n), $\pi\beta$,\mathrm{q}(N)=\sum_{(n,\mathrm{q})=1}$\beta$(n)N<n\leq2N$\pi\beta$(N;q,a)=\displayst le\sum_{N<n\leq2N}$\beta$(n) \equiva(\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{d}q)

3とする.等差数列上の素数と概素数の分布について,次の2つの仮定を考える:
仮定1 (BV[ $\theta$, \mathcal{P}])
任意の $\epsilon$>0, A>0 に対し,\displaystyle\sum_{\triangle ft\leqN^{$\theta$-e} $\mu$^{2}(q)_{(}\max_{a,q)=1}|$\pi$^{\mathrm{b} (N;q,a)-\frac{$\pi$^{\triangleright}(N)}{$\varphi$(q)}|\l A\frac{N}{\log^{A}N}(N\rightar ow\infty)

(2.2)

.

仮定2 (BV[ $\theta$,E_{2}])$\beta$(n) の定義における 0< $\eta$<\displaystyle \frac{1}{4} を固定するとき,任意の $\epsilon$>0, A>0 に対し\displaystyle\sum_{\mathrm{q}\leqN^{$\theta$-\not\in} $\mu$^{2}(q)_{(}\max_{a,q)=1}|$\pi$_{$\beta$}(N;q,a)-\frac{$\pi$_{$\beta$,q}(N)}{$\varphi$(q)}|\l A\frac{N}{\log^{A}N}(N\rightar ow\infty)

.

(2.3)

上の仮定が成り立つ $\theta$ をそれぞれ素数ないし概素数の分布レベルという.Bombieri‐Vinogradov の定理により, BV[1/2, \mathcal{P}] が成り立つことが知られている.更に強く, BV[1, \mathcal{P}] が成り立つのではないかと予想されている.これを Elliott‐Halberstam 予想という.また, BV[1/2, E_{2}] が成り立つ
ことが Motohashi の結果 [7] から従う.素数の場合と同様, BV[1, E_{2}] が成り立つのではないかと予想するのは自然であり,これを概素数に関するElliott‐Halberstam 予想と呼ぶことにする.
主定理は以下の4つである:
Theorem 2.1. P および E_{2} は共に分布レベル $\theta$>0 であるとする.そのとき,任意の $\epsilon$>0 に対し, p_{ $\epsilon$}>0 であって任意の整数 $\rho$>$\rho$_{ $\epsilon$} に対して不等式\displaystyle\mathrm{h}\mathrm{m}\inf_{n\rightar ow\infty}(q_{n+$\rho$}-q_{n})\leq\exp(\frac{(2+$\epsilon$)p}{3$\theta$\log$\rho$})(2.4)

が成り立つものが存在する.特に,任意の p>p_{ $\epsilon$} に対し,\displaystyle\lim\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{J}\mathrm{f}(q_{n+$\rho$}n\rightar ow\infty-q_{n})\leq\exp(\frac{2( +$\epsilon$)$\rho$}{3\log$\rho$})(2.5)

Theorem 2.1はGoldston, Graham, Pintz, Ylldlrm らの結果 (1.5) の改良といえる.なお,東京工業大学の禰寝崇之氏は本稿とほぼ同様の方法により,Theorem2.1よりも良い評価が得られたと修士論文で報告している.
Theorem 2.2. 6つの元からなる任意の許容集合 \mathcal{H}=\{h_{1}, h_{2}, \cdots , h_{6}\} に対し,整数 n であって

n+h_{1},n+h_{2}, \cdots, n+h_{6} のうち少なくとも3つが P_{2} の元になるものが無限に存在する.
集合 \mathcal{H}=\{0,4 6, 10, 12, 16 \} は6つの元からなる許容集合である.よって, P_{2} の n 番目の元を
,

r_{n}

と表す時,仮定なしに\displaystyle \lim_{n\rightar ow}\inf_{\infty}(r_{n+2}-r_{n})\leq 16

.

(2.6)

が成り立つ.
\mathcal{P} および E_{2} に関する Elliott‐Hatberstam 予想を仮定すると,より強い結果が得られる:
Theorem 2.3. \mathcal{P} および \underline{E^{\neg} _{2} に関する Elliott‐Halberstam 予想を仮定する.そのとき,整数 n であって n, n+2,n+6 が全て P_{2} の元になるものが無限に存在する.特に\displaystyle \lim \mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{J}n\rightar ow\infty \mathrm{f}(r_{n+2}-r_{n})\leq 6

(2.7)

.

Maynard Pは, n(n+2)(n+6) が高々 7つの素因子を持つような n が無限に存在することを示した[6]. Theorem 2.3は彼の結果を仮定付きで改良したものであるといえる.最後に,Theorem 2.4. \mathcal{P} と E_{2} に関する Elliou‐Halberstam 予想を仮定すると,\displaystyle \lim_{n\rightar ow}\inf_{\infty}(q_{n+2} - q_{n})\leq 12

.

(2.8)

4

3

Maynard‐Tao のfi\mathcal{H}=\{h_{1}, \cdots, h_{k}\} は k 個の元からなる許容集合とする.本稿を通して,の元は有界であるとする.すなわち, k のみに依存する正定数 C=C_{k} があって,1碗 \leq C(i=1, \cdots, k) となるとする.
素数全体の集合 \mathcal{P} 上の特性関数を $\chi$_{\mathcal{P} と表す.

D_{0}=\displaystyle \log\log\log N, W=\prod_{p\leq D_{0} p\ll(\log\log N)^{2}と置く. \mathcal{P} および E2は分布レベル $\theta$ であるとする. $\nu$_{0}\in \mathrm{N} を, $\nu$_{0}+h_{i}(i=1, \cdots, k) が全て
W と互いに素になるように取る (は許容集合なのでこのような取り方ができる).

滑らかな関数

F:\mathrm{R}^{k}\rightarrow \mathrm{R} であって,\displaystyle \mathcal{R}_{k}:=\{(x_{1}, \cdots,x_{k})|x_{1}, \cdots x_{k}\geq 0, \sum_{i=1}^{\text{ゐ} x_{i}\leq 1\}に台を持つものに対し,$\lambda$_{d_{1},\cdots,d_{k} =(\displaystyle\prod_{i=1}^{k}$\mu$(d_{i})d_{i})\sum_{r_{1^{f}k }\frac{$\mu$(\prod_{i=1}^{k}r_{i})^{2} {\prod_{i=1}^{k}$\varphi$(r_{i}) F(\frac{\logr_{1} {\logR},\cdots,\frac{\logr_{k} {\logR})(3.1)

d_{:}|r_{l}(\forall i)(r_{i},W)=1(\forall\dot{x})と置く.ここで, R=N^{ $\theta$} $\pi$- $\delta$ であり, $\delta$ は十分小さい正定数.この $\lambda$_{\mathrm{d}_{1},\cdots,d_{k} は, \displaystyle \prod_{i=1}^{k}d_{i} が平方自由であり, \displaystyle \prod_{i=1}^{k}d_{i}\leq R かつ (d_{i}, W)=1(i=1, \cdots, k) であるとき以外は 0 になる.ウエイト w_{n} を,,

偏 $\lambda$_{d_{1},\cdots,d_{k})^{2}w_{n}=(3.2)

で定義する.隣接する概素数のギャップを調べるには,自然数 $\rho$ に対し,和S(N,$\rho$)=n\displayst le\equiv$\nu$_{0}(\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{d}W)\sum_{N\leqn<2N}(\sum_{m=1}^{k}$\beta$(n+h_{m})-$\rho$)w_{n}(3.3)

を考える.もし S(N, $\rho$)>0 となるならば, n\in[N, 2N ) であって, n+h_{1}, \cdot, n+h_{k} のうち少な
くとも $\rho$+1 個が E2の元になるものが存在する.よって,十分大きい任意の N に対し S(N, $\rho$)>0となるならば,]\displaystyle \mathrm{j}\mathrm{m}\inf_{n\rightar ow\infty}(q_{n+ $\rho$}-q_{n})\leq\max_{1\leq i<j\leq k}|h_{\mathrm{j} -h_{i}|が成り立つ.同様に, \prime P_{2}=\mathcal{P}\cup E_{2} の元のギャップを調べるには,自然数 $\rho$ に対し,和S'(N,p)=\displaystyle\sum_{N\leqn<2N}n\equiv$\nu$_{0}(\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{d}W)(\sum_{m=1}^{k}($\beta$(n+h_{m})+$\chi$_{\mathcal{P}(n+h_{m})-$\rho$)w_{n}を考えればよい.もし S'(N, $\rho$)>0 となるならば, n\in[N, 2N ) であって, n+h_{1},(3.4)\cdots,n+h_{k} のうち少なくとも p+1 個が \mathcal{P}_{2} の元になる.このような考察から,以下のような和を考えれば良いことが分かる:

S_{0}=\displaystle\sum_{N\leqn<2N}w_{n} \equiv$\nu$_{0}(\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{d}W) S_{1}^{(m)}=\displaystyle\sum_{N\leqn<2N}$\chi$_{P)
}(n+h_{m})w_{n} \equiv$\nu$_{\mathrm{O} ((3.5)

S_{2}^{(m)}= \displaystyle \sum_{N\leq n<2N} $\beta$(n+h_{m})w_{n} (m=1, \cdots , k)

(3.6)



mod W

n\equiv$\nu$_{0}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} W)

.

5

4

仮定の役割
第2章で導入した2つの仮定 BV[ $\theta$, P], BV[ $\theta$, E_{2}] が計算上どのような状況で利用されるかを手短かに説明したい.たとえば S_{1}^{(m)} は, w_{n} の定義を代入して和の順序交換を行うと

s_{1}^{(m)}= \displaystyle \sum $\lambda$_{d_{1},\cdots,d_{k} $\lambda$_{e_{1},\cdots,e_{k} \sum $\chi$ p(n+h_{m})d_{1},\cdots,d_{k} N\leq n<2N
\mathrm{e}_{1},\cdots,e_{k}n\equiv$\nu$_{0}( modW)[d_{:},e_{i}]|n+h_{l}(\forall i)( [d_{i}, e_{i}] は d_{i} と e_{i} の最小公倍数) と書けるが,ウエイトの条件から W, [d_{1}, e_{1}],[d_{k}, e_{k}] のどの2つも互いに素なもののみ S_{1}^{(m)} に寄与するので, q=W\displaystyle \prod_{i=1}^{k}[d_{i}, e_{i}] と置くとき,後ろの和はある\cdots,$\nu$_{m}\in \mathrm{Z} に対する n\equiv$\nu$_{m}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} q) なる n に関する和と考えられる.ここに現れる q はある程度大きくなりうるため,Siegel‐Waffisz の定理などは上手く機能しない.そこで,等差数列上の和を\displaystyle \frac{1}{ $\varphi$(q)}\sum_{N\leq n<2N}$\chi$_{\mathcal{P} (n)+O(E(N, q),

E(N,q)=1+\displaystle\sup_{(a,q)=1}\left|\begin{ar y}{l \sum_{N\leqn<2N}$\chi$\prime$\rho$(n)-\frac{\mathrm{l} $\varphi$(q)}\sum_{N\leqn<2N}$\chi$_{\mathcl{P}(n)\ n\equiva(\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{d}q) \end{ar y}\right|と書き換える. q\leq WR^{2}\leq N^{ $\theta$- $\epsilon$} であり,ここに現れる E(N, q) の寄与の評価に BV[ $\theta$, \mathcal{P}] が利用されるのである.

5

漸近公式
S_{0} と S_{1}^{(m)} の漸近公式は Maynard[5] により得られた.結果は以下の通りである:

Proposition 5.1.

I_{k}(F)=\displaystyle \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1}F(t_{1}, \cdots , t_{k})^{2}dt_{1}\cdots dt_{k},J_{k}^{(m)}(F)=\displaystyle \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}F(t_{1}, \cdots , t_{k})dt_{m})^{2}dt_{1}\cdots \mathrm{d}t_{m-1}dt_{m+1}\cdots dt_{k}と置く.すると,Ik (F)\neq 0 ならば,

S_{0}=\displaystyle \frac{(1+o(1) $\varphi$(W)^{k}N(\log R)^{k} {W^{k+1}}I_{k}(F)

(5.1)

.

また, J_{k}^{(m)}(F)\neq 0 ならば

S_{1}^{(m)}=\displaystyle \frac{(1+o(1) $\varphi$(W)^{k}N(\log R)^{k+1}}{W^{k+1}\log N}J_{k}^{(m)}(F) (m=1, \cdots, k)

.

(5.2)

よって後は S_{2}^{(m)} を計算すればよい.和の順序交換により,

整数娠, e_{m} は,\displaystle\mathcl{S}_2^{(m)}=\sum$\lambda$_{d 1},\cdots,_{k}$\lambda$_{e 1},\cdots,e_{k}\sum_{0(\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{d}W),[d_{:},el|n+h_{\mathrm{i}(\forali)}$\beta$(n+h_{m})d_{1},.\cdot.' _{k}N\leqn<2Ne_{1},\cdot.\cdot,e_{kn\equiv$\nu$}d_{m}, e_{m}|n+h_{m}

を満たす.

.

(5.3)

(5.4)

6

さて, n+h_{m}=p_{1}p_{2}, \mathrm{Y}<p_{1}\leq N^{\frac{1}{2}}<p_{2} のとき以外は $\beta$(n+h_{m})=0 であり,更に \displaystyle \prod_{i=1}^{k}d_{i}\leq
R<N^{\frac{1}{2}} のとき以外は $\lambda$_{d_{1},\cdots,d_{k}}=0 であるから,以下の4つのタイプのみが上の和に寄与する:

1) d_{ $\tau$ n}=p, e_{m}=1 (Y<p\leq R)2) d_{m}=1, e_{m}=p (Y<p\leq R)3) d_{rn}=e_{m}=1,4) d_{m}=e_{m}=p (\mathrm{Y}<p\leq R)

,

,

.

これに応じてS_{2}^{(m)}=\mathcal{S}_{2,I}^{(m)}+S_{2,I1}^{(m)}+S_{2,IJ1}^{(m)}+S_{2,IV}^{(m)}(5.5)と分割する.これらは次の漸近式で与えられる :Proposition 5.2. BV[ $\theta$,P] を仮定する.もしもL_{k,$\delta$}^{(m)}(F):=\displayst le\int_{$\eta$^{\mathfrak{T}-$\delta$}^{$\theta$}\frac{\frac{$\theta$}{2-$\delta$- \xi$}{1-$\xi$}L_{k,$\delta$}^{[m]}($\xi$)\frac{d$\xi$}{$\xi$}\neq0,
ならば,

S_{2,\mathrm{J} ^{(m)}=-\displaystyle \frac{ $\varphi$(W)^{k}N}{W^{k+1} (\log R)^{k}(1+o(1) L_{k, $\delta$}^{(m)}(F)(5.6)+O(\displaystyle \frac{F_{\max}^{2} $\varphi$(W)^{k}N(\log N)^{k} {D_{0}W^{k+1} )+O_{B}(\frac{NF_{\max}^{2} {(\log N)^{B} )

.

ここで,

L_{k, $\delta$}^{[m]}( $\xi$):=\displaystyle \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1}\{\int_{0}^{1}F_{m, $\delta$}(u_{1}, \cdots,u_{k}; $\xi$)du_{m}\}\displaystyle \mathrm{x}\{\int_{0}^{1}F(u_{1}, \cdots, u_{k})du_{m}\}du_{1}\cdots du_{m-1}du_{m+1}\cdots duk,
F_{m, $\delta$}(u_{1}, \cdots,u_{k}; $\xi$):=F(u_{1},\displaystyle\cdots,u_{m-1,\frac{$\xi$}{\frac{$\theta$}{2}-$\delta$} +\frac{\frac{$\theta$}{2}-$\delta$-$\xi$}{\frac{$\theta$}{2}-$\delta$}u_{m},u_{rn+1},\cdots,u_{k}).

対称性により, S_{2,I }^{(m)} も全く同じ式で与えられる.もしも L_{k, $\delta$}^{(m)}(F)=0 ならば,

S_{2,I}^{(m)}=\displaystyle \mathcal{S}_{2,tI}^{\langle m)}=o(\frac{F_{\max}^{2} $\varphi$(W)^{k}N(\log N)^{k} {W^{k+1} )+O_{B}(\frac{NF_{\max}^{2} {(\log N)^{B} )となる.

Proposition 5 3. BV[ $\theta$, E_{2}] の仮定下で,\cdot

S_{2,I 1}^{(m)}=\displaystyle \frac{ $\varphi$(W)^{k}N(\log R)^{k+1} {W^{k+1}\log N}(\log\frac{1- $\eta$}{ $\eta$})(1+o(1) J_{k}^{(m)}(F)+O(\displaystyle \frac{F_{\max}^{2} $\varphi$(W)^{k}N(\log N)^{k} {W^{k+1}D_{0} )+O_{B}(\frac{F_{mu}^{2}N}{(\log N)^{B} )

(5.7)
.

ここで,

J_{k}^{(m)}(F)=\displaystyle \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}F(t_{1}, \cdots , t_{k})dt_{rn})^{2}dt_{1}\cdots dt_{m-1}dt_{rn+1}\cdots dt_{k}

.

(5.8)

7

Proposition 5.4. BV[ $\theta$, \mathcal{P}] の仮定下で,

S_{2,IV}^{(m)}=\displaystyle \frac{ $\varphi$(W)^{k}N\log N(\log R)^{k-1} {W^{k+1}}(1+o(1) M_{k, $\delta$}^{(m)}(F)(5.9)+O(\displaystyle \frac{F_{\max}^{2} $\varphi$(W)^{k}N(\log N)^{k} {W^{k+1}D_{0} )+O_{B}(\frac{F_{ $\pi$ wx}^{2}N}{(\log N)^{B} )が,

M_{k,$\delta$}^{(m)}(F):=\displaystyle\int_{$\eta$^{\mathrm{E}-$\delta$}^{$\theta$}\frac{(\frac{$\theta$}{2-$\delta$- \xi$)^{2}{1-$\xi$}M_{k,$\delta$}^{[m]}($\xi$)\frac{d$\xi$}{$\xi$}\neq0のとき成り立つ.ここで,

M_{k, $\delta$}^{[m]}( $\xi$)=\displaystyle \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}F_{m, $\delta$}(u_{1}, \cdots,u_{k}; $\xi$)du_{m})^{2}du_{1}\cdots du_{m-1}du_{m+1}\cdots du_{k},F_{m, $\delta$}(u_{1}, \cdots, u_{k}; $\xi$):=F(u_{1},\displaystyle\cdots,u_{m-1\frac{$\xi$}{\frac{$\theta$}{2}-$\delta$} +\frac{\frac{$\theta$}{2}-$\delta$-$\xi$}{\frac{$\theta$}{2}-$\delta$}\mathrm{u}_{m},u_{m+1},\cdots,u_{k}).

M_{k, $\delta$}^{(m)}(F)=0 のときは,

S_{2,tV}^{(m)}=o(\displaystyle \frac{F_{\max}^{2} $\varphi$(W)^{k}N(1\mathrm{o}gN)^{k} {W^{k+1} )+O_{B}(\frac{NF_{\max}^{2} {(\log N)^{B} )6.

ここまでのまとめ概素数 (E2) におけるギャップを調べるには, $\rho$\in \mathrm{N} に対しS(N, $\rho$)=\displaystyle\sum_{m=1}^{\text{ゐ} S_{2}^{(m)}-$\rho$S_{0}=\displaystyle \sum_{m=1}^{k}(S_{2,1}^{(m\rangle}+S_{2,1 }^{(m)}+\mathcal{S}_{2,I }^{(m)}+S_{2,IV}^{(m)} - $\rho$ S_{0}(6.1)

を考える.素数および概素数からなる集合 (P2) におけるギャップを調べるには,

S'(N, $\rho$)=\displaystyle \sum_{m=1}^{\text{た} (S_{1}^{(m)}+S_{2}^{(m)} -pS_{0}=\displaystyle \sum_{m=1}^{k}(S_{1}^{(m)}+S_{2,I}^{(m)}+S_{2,I }^{(m)}+S_{2,I J}^{(m)}+S_{2,IV}^{(m)} - $\rho$ S_{0}(6.2)

を考えればよい.もしも S(N, $\rho$)\rightarrow\infty となるならば, n+h_{1}, \cdots, n+ 煽のうち少なくとも $\rho$+1
個が E2の元になる n が無限に存在する.もしも S'(N, $\rho$)\rightarrow\infty となるならば, n+h_{1},\cdots,n+h_{k}のうちすくなくとも $\rho$+1 個が P_{2} の元になるような n が無限に存在する.ここまでで S(N, $\rho$),

S'(N, $\rho$) を構成する各項の漸近公式はすべて得られている. S_{2,I}^{(rn)} と S_{2,I }^{(m)} はProposition 5.2で,

S_{2,I I}^{(m)} はProposition 5.3で, S_{2,IV}^{(m)} はProposition 5.4でそれぞれ与えられる.また, S_{0} と S_{1}^{(m)} はMaynard [5] により計算されており,これらはProposition 5.1で与えられる.これらを組み合わせ
ると, BV[ $\theta$, \mathcal{P}], BV[ $\theta$,E_{2}] の仮定の下, S(N, $\rho$) は漸近的に\displaystyle \{-$\theta$'\sum_{rn=1}^{k}L_{k,$\delta$}^{(m)}(F)+\frac{$\theta$^{2}\prime}{4}(\log\frac{1-$\eta$}{$\eta$})\sum_{m=1}^{k}J_{k}^{(m)}(F)+\sum_{m=1}^{k}M_{k,$\delta$}^{(m)}(F)-\frac{$\rho\theta$'}{2}I_{k}(F)\}\displaystyle\times(\frac{$\theta$'}{2})^{k-1}\frac{$\varphi$(W)^{k}N(\logN)^{k}{W^{k+\mathrm{l}8となり, S'(N, $\rho$) は漸近的に\displaystyle \{-$\theta$'\sum_{m=1}^{k}L_{k, $\delta$}^{(m)}(F)+\frac{$\theta$^{2}\prime}{4}(1+\log\frac{1- $\eta$}{ $\eta$})\sum_{m=1}^{k}J_{k}^{(m)}(F)+\sum_{m=1}^{k}M_{k, $\delta$}^{(m)}(F)-\frac{ $\rho \theta$'}{2}I_{k}(F)\}\displaystyle\times(\frac{$\theta$'}{2})^{k-1}\frac{$\varphi$(W)^{k}N(\logN)^{k}{W^{k+\mathrm{l}となる (ただし,leading term が 0 でない場合). ここで,$\theta$^{\text{び} = $\theta$-2 $\delta$.
$\delta$\rightarrow+0 とし,係数- $\theta$\displaystyle \sum_{m=1}^{k}L_{k,0}^{(m)}(F)+\frac{$\theta$^{2} {4}(\log\frac{1- $\eta$}{ $\eta$})\sum_{m=1}^{k}J_{k}^{(7n)}(F)+\sum_{m=1}^{k}M_{k,0}^{(m)}(F)-\frac{ $\rho \theta$}{2}I_{k}(F)- $\theta$\displaystyle \sum_{m=1}^{k}L_{k,0}^{(m)}(F)+\frac{$\theta$^{2} {4}(1+\log\frac{1- $\eta$}{ $\eta$})\sum_{n=1}^{k}J_{k}^{(m)}(F)+\sum_{m=1}^{k}M_{k,0}^{(m)}(F)-\frac{ $\rho \theta$}{2}I_{k}(F)

(6.3)

,

(6.4)

がそれぞれ正になるかどうかを見ればよい.

7定理の証明の概略

まず,Theorem 2.1の証明の概略を記す. $\rho$\in \mathrm{N} は十分大とする.ウエイト w_{n} を定めるテスト
関数 F はMaynard [5] と同じものを用いる.すなわち, A=\log k-2\log\log k, T=(e^{A}-1)/A と
し,関数 g : [0, \infty)\rightarrow \mathrm{R} を

g(u)=\left\{ begin{ar ay}{l} \text{①}&(0\lequ\leqT)\ 0&(u>T) \end{ar ay}\right.

(7.1)

F(u_{1},\cdots,uk)=\left\{ begin{ar ay}{l} \prod_{i=1}^{k}g(ku_{i})&(u_{1},\cdots,u_{k}\geq0,u_{1}+\cdots+u_{k}\leq1)\ 0&(\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}), \end{ar ay}\right.

(7.2)

で定め,

として F を定義する. $\eta$ を$\eta$=\displaystyle\frac{$\theta$T}{k}\sim\frac{$\theta$}{(\logk)^{3}として定める.このとき, F_{m,0} は

F_{m,0}(u_{1}, \displaystyle \cdots, u_{k}; $\xi$)=g(k(\frac{2 $\xi$}{ $\theta$}+\frac{ $\theta$-2 $\xi$}{ $\theta$}u_{m}) \prod_{i\neq m}g(ku_{i})で与えられる. (u_{m}, $\xi$) が [0 1 ] \displaystyle \times[ $\eta$, \frac{ $\theta$}{2}] を動くとき,,

k(\displaystyle \frac{2 $\xi$}{ $\theta$}+\frac{ $\theta$-2 $\xi$}{ $\theta$}u_{m})\geq\frac{2k $\eta$}{ $\theta$}=2T>Tとなるので, F_{m,0} は恒等的に 0 となる.よって L_{k}^{(m)}(F)=M_{k}^{(m)}(F)=0(m=1, \cdots, k) よって,.

\displayst le\frac{\frac{$\thea$^{2} 4(\log_{$\eta$}^{\underline{1}-$\Delta$})\sum_{m=1}^{k}J_{k}^{(m)}(F)}{\frac{$\thea$}{2I_{k}(F)}>$\rho$

ならば,(6.3) は正になる. k\in \mathrm{N} を

k=[\displaystyle \exp(\frac{(2+ $\epsilon$) $\rho$}{3 $\theta$\log $\rho$})+1]

(7.3)

9

で定めると,[5] と同様の計算により上の不等式が成り立つことが分かる.よってTheorem2.1の結論を得る.Theorem 2.2‐2.4はMathematica を用いて積分計算を行う.Theorem 2.2を示すには, k=6, $\rho$=2, $\theta$=\displaystyle \frac{1}{2} としてある F に対し (6.4) が正になることを確認すればよい.

F を,x, y, z, u,v,w\geq 0,x+y+z+u+v+w\leq 1 のときF(x,y, z, u, v, w)=1-\displaystyle \frac{143577}{50000}P_{1}+\frac{12337}{5000}P_{1}^{2}+\frac{86987}{50000}P_{2}-\displaystyle \frac{619873}{1000000}P_{1}^{3}-\frac{156481}{100000}P_{1}P_{2}-\underline{230073} 瑞OUUUUUUとし,それ以外では F(x, y, z, u, v, w):=0 として定義する.ここで, P_{i}=x^{i}+y^{i}+z^{i}+u^{i}+v^{i}+w^{i}(i=1,2,3) また, $\eta$=10^{-10} とする.そのとき,.

I_{6}(F)=5.30806\cdots \mathrm{x}10^{-6}, J_{6}(F)=1.88915\cdots\times 10^{-6},

L_{6,0}^{(m)}(F)=9.20744\cdots \mathrm{x}10^{-6}, M_{6,0}^{(m)}(F)=2.22265 ..\times 10^{-6}.

となるので,-\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{m=1}^{6}L_{6,0}^{(m)}(F)+\frac{1}{16}(1+\log\frac{1-10^{-10} {10-10})\sum_{m=1}^{6}J_{6}^{(m)}(F)+\sum_{7n=1}^{6}M_{6,0}^{\langle m)}(F)-\frac{1}{2}I_{6}(F)=8.02\cdots\times 10^{-8}>0.

よって Theorem 2.2の結論を得る.
Theorem 2.3を示すには, k=3, $\rho$=2, $\theta$=1 のときある F に対し (6.4) が正になることを示せばよい. F を,F(x, y, z)=\{(1-x)(1-y)(1-z)
0(x, y, z\geq 0, x+y+z\leq 1)(otherwise)(7.4)

で定義し, $\eta$=10^{-10} と置く.すると,

I_{3}(F)=0.0287919\cdots , J_{3}^{(m)}(F)=0.0154828\cdots,

L_{3,0}^{(m)}(F)=0.1606331\cdots , M_{3,0}^{(m)}(F)=0.0779163\cdotsとなる.よって,-\displaystyle \sum_{m=1}^{3}L_{3,0}^{(m)}(F)+\frac{1}{4}(1+\log\frac{1-10^{-10}}{10-10})\sum_{m=1}^{3}J_{3}^{(m)}(F)+\sum_{m=1}^{3}M_{3,0}^{(m)}(F)-I_{3}(F)=0.00204\cdots>0.
よってTheorem 2.3が従う.

Theorem 2.4を示すため, k=5, $\rho$=2, $\theta$=1 のとき (6.3) がある F に対し正になることを示す.
F を, x,y, z, u,v\geq 0, x+y+z+u+v\leq 1 のときはF(x, y, z, u, v)=1+\displaystyle \frac{917}{500}Q_{1}-\frac{281}{50}Q_{1}^{2}-\frac{41}{25}Q_{2}+\frac{287}{100}Q_{1}^{3}+\frac{191}{100}Q_{1}Q_{2}-\frac{81}{250}Q_{3}とし,それ以外では F(x, y, z, u,v):=0 として定める.ここで,Qi =x^{\mathrm{i}}+y^{i}+z^{i}+u^{i}+v^{i}(i=1,2,3) また, $\eta$=10^{-10} とする.このとき.

I5(F)=\displaystyle \frac{1735763}{1732500000}, J_{5}^{(rn)}(F)=\displaystyle \frac{722755717}{1871100000000},

L_{5,0}^{(m)}(F)=0.00392368\cdots , M_{5,0}^{(m)}(F)=0.00190092\cdotsとなるので,-\displaystyle \sum_{m=1}^{5}L_{5,0}^{(m)}(F)+\frac{1}{4}(\log\frac{1-10^{-10} {10-10})\sum_{m=1}^{5}J_{5}^{(m)}(F)+\sum_{m=1}^{5}M_{5,0}^{(m)}(F)-I_{5}(F)=2.13079\cdots\times 10^{-6}>0となる. \mathcal{H}=\{0 2, 6, 8, 12 \} は5個の元からなる許容集合であるから,Theorem 2.4の結論が得ら
,

れる.

10

8

謝辞
本稿は2015年度RIMS研究集会 「解析的整数論とその周辺」 における私の講演を基にしたものである.講演および本稿の執筆の機会を与えていただいた研究代表者の神谷諭一先生,副代表者の石川秀明先生にこの場を借りて御礼申し上げます.

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[10] Y. Zhang, Bounded gaps between primes, Ann. of Math. (2) 179 (2014), No. 3, 1121‐1174
Josai University,

Keyakcidai, Sakado,
Saitama, JapanE‐‐mail address: souno@josai.ac.jp