1微分と偏微分微分というのはわかりやすい概念である.よく知っているという人は ， この章をざっと読めばよい. よくわかっているつもりなのに熱力学で偏微分が出てくるとあやしくなる人は，初めからていねいに読むのがよいだろう.この章では ，微分に関連して本書で後に出てくる事項と，物理に出てくる偏微分がらみの事項をまとめである.特にラグランジュの未定乗数法は，力学，統計力学などにも使われる重要な方法である .

~ l.1 微 分n を微分すると微分と言われて ， きみは何 を思い浮かべるだろうか一‑ xηxn‑l になる

sinは cosになる.幾何学的には接線の傾きを表す.積分はむずかしくてできない場合もあるけれど，微分できなくて困ることはない.
一 一 確かに，数式を扱う上では，微分とはそんなものだろう . でも，きみが物理を勉強しているのだったら，物理の式の中に dy/命 が 出 て き た ら ，ちょっとちがった見方もしなくてはいけない . dy
/命 と い う 記 号 は ， 物 理
量である Z がちょっと変化したときに ， yが ど れ だ け 変 る か と い う 変 化 率を表している . dV/dpと書いてあれば，I
これは，圧力 ρをわずかに変えた

ときに体積 V がどれだけ変るかを表しているのだ j とそうはっきり意識しなくてはいけない . (さらに言えば，この圧力 ρは自分のこの手で押すのだ『物理のための応用数学~(小野寺嘉孝著/裳華房)

21 微分と偏微分と思う方がよいだろう.)そんなことはあたりまえだと思うかもしれない.
でも，偏微分でひっかかる人は，こういう意識が欠けているのではないだろうか.

91.
2偏微分
数学の本は物事を何でも一般的に考えたがる癖があって，いきなり独立変数 n個などという書き方をするけれども，ここでは独立変数が 2個または3個の場合だけを考える. 4個以上でも話にちがいはない.

3個の独立変数 x，y，zの関数 f(x，y，z) を Z について微分して得られる偏導関数
じ̲̲

f(x+L1x，y，z) 一 f(x，y，z)

L1xj~~ô

(1.
1)

は，普通，ん，立乙ax'

ま(υ))(1.2のように書かれる.この 3つの記号は同等である. 1番目の記号んは，スペースを省略したい場合に(誤解の生ずる余地がない場合に限って)用いる. 2番目の記号 afj
むもよく 使われる. 3番目の記号は，物理(特に熱力学)でよく使われるもので，右下に書いた U と zは xについて微分するときに一定に保たれることを明示している.あるいは言い方を変えると，zの 3つを考えているのですよ j と意志表示「ここでは独立変数として x，y，をしていることになる.同じ意志表示をするのに，。
!
f(x，，z)axy(1.3)と書くのもよいだろう.こう書けば，微分は Z だけについて実行し ，y と zを一定にすることがはっきりする.物理で使うのは(1.2) の記法が多いが，) のように書くのが明確でよいと思う.偏微分が出て慣れないうちは(1.3きたときには，独立変数が何であるかを見きわめるのがポイントである.な3~ 1.2 偏 微 分

お ，aはラウンド・ディー(roundd) と読む.

[例] 圧縮率.体積 V の物体に圧力 ρを加えて，体積がどれだけ縮むかを測る.このとき，圧縮率を
1 avvaρX=と定義する.この偏微分が何を一定としているかが早速問題になる.温度一定という条件で圧縮したときには，右下に添字 T をつけて
Xr= ‑1{aV¥V¥8ρ}r(1.4)

を等温圧縮率とよぶ.上に書いた(1.3) の記法を使えばXT = ‑}
rav並之上v ap(1.5)となる.つまり，体積 V を，圧力 ρと温度 T の関数として考えているわけだ.
[問題1.1] 気体の熱膨張率は，どのような偏微分記号を使って表されるか.

(1.2) のような 1階偏導関数を更に偏微分すると，高階の偏導関数が得られる.

ん = 丘2= 一ι
/判
δx

L

̲

JXY ‑‑ax¥axJ(ff ̲ a (af¥‑‑‑‑‑‑"‑‑"ayax‑ ay¥axJ
(1.6)

色/笠}
f ‑ZL=一日 ‑axay ‑ ax¥ayJんν=笠=一色/判ay' ‑ay¥ayJyxを 逆 に 定 義 す る 人 も あ る . し か し ， fxyと fyxが 連 続 で あ れ ばfxyと fんν =jyxが成り立つから，応用上このちがいに注意をはらう必要はほとん
どない
なお，普通の微分(常微分)で4

1.微分と偏微分d/̲̲1̲dxdx(1.7)d/が成り立つからというので，偏微分についても。
'If̲

1axax(1.8)

a/と書いてしまう人を見かけるが， (1.8) は正しいことも正しくないこともあ) は正しい.そのりうる.右辺と左辺で一定に保つ変数が同じならば(1.8) が(1.7) と同様だからである.しかし， 一定に保つ変数が場合には(1.8右辺と左辺で異なるならば， (1.
8) は正しくない.式の見かけに引きずられるのではなく，何を一定としているのかきちんと見きわめる目をもたなくてはいけない.

91.3 全 微 分+L1xとし，同様に U の値もほん

Z の値をほんの少し L
1xだけ増して xの少し L
1yだけ増して y+L1y としたとき，関数 /(x，y) の増分 L
1/は

(x十 L
1x， y+L1y)‑ /(x，y)
L
1/=/

(1.9)

で与えられる .L
1x，L1yが十分小さいものとすれば，右辺は L
1xとL
1y について 1次の項だけで近似することができて

̲a/A ‑a/L
1/= a~~
1x+仰~~ L
1yxLyI(1.10)となる.普通は L1/， L
1x，L
1yを d/， dx， dyと書きかえて，d/=笠与
ぬaxdx+，立a1.
l グU W(1.11)と書く.この式は，独立変数である Z が無限小の量 dxだけ増し ， yが dyだけ増したときに，関数/の値がどれだげ増すかを表している.物理で現れる式は，ただ漫然と眺めるのではなしいちいちそのように意識して自分に確かめながら読むべきである.

D.3 全 微 分(1.11) の右辺の形を 全微分と いう.各項

5(af/ax)dx， (af/ゐ)dyを偏j!
ax， af/み は 偏 微 分 係
微分と いう .偏微分の和が全微分である.また ， a/axを作用さ数， あるいは関数として見たときには 偏導関数 とよばれる . aせる操作自体は「偏微分する j という.偏微分係数とか偏導関数という術語は正式なものであるが言いにくい.日 常語では ， aj/
ゐを単に偏微分と言ってしまうことが多いようである .
， dx， dyを 微 分 と よ ぶ メ 物 理 で は j，x， y
ついでに書いておくと ， djが何らかの物理量を表すから，微分量という表現も使われる.単に無限小の量(たとえば微量の熱)というだけでは微分とよばれる資格がないことを注意しておこう.物理量である Z という変数の無限小変化 dxでなければ微分とよべないのである.この区別は，熱力学で特に重要である .
(1.11) のような式は ，物理のいろいろな分野でよく現れる.
[例] 電磁気学で見られる例として

必 =‑Exdx‑Eydy‑Ezdz(1.12)= ‑ E'drがあげられる . この式は，位置 r をわずかに変えると電位。がどれだけ変化する，Ey，Ezがゆの偏導関数かを表している . これから ，電場ベクトル E の成分 ExとしてEz=‑2t，ax'=一旦止E~y ‑ay'

ι=‑4tdZ(1.
13)のように表せることがわかる .
[例] 熱力学で非常によく使われる基本的な関係式に

dU= TdS‑pdV4)(1.1というのがある . この式は，それ自体でいくつかのことを意味している. (1.14)
1) と比べてみればわかるように ， (4) を書いた人は，内部エネ/レギーを(1.11.1*dxが 2つの量 d とzの積ではな く微分であることをはっきりさせるため，物理では d を立体にして dxと書くのが普通である.しかし，数学書ではこのことを気にしない.

1.微分と偏微分

6U を独立変数 S (エントロビー)と V (体積)の関数として考えているととになる(この式を自分で書いたのならば，はっきりとそう意識しなくてはい砂ない).
また，(努)v' ρ=‑(鍔)s

T=(1.15)が成り立つことになる.あるいは(1.3) の記法によれば
̲ aU(S，V)as

J打 (S，V)av

ムb 一一 一一一~一一y ‑(1.16)

である.

][問題1.2(1.14)は‑
4dS=よ
T dU+， T dV~~(1.17)と変形できる.これについて上の例と同じ考察をせよ.
[問題1.3] 上の 2つの例で，数学的には同じ偏微分だといっても， (1.13)と5) では何となくちがいがあると感じなかっただろうか.もしちがいがあると(1.1
感じたならば，それがどんなちがいか考えてみよう.これは数学の問題ではなく，物理の問題である.

914 ラグランジュの未定乗数，

ここでも独立変数が 3個の問題を考えよう.実際には 2個でも 4個以上でもいくつでも大差ないが， 3個程度が一番考えやすい.

3変 数 x，y，zの関数 f(x，y，z) の極値を求める問題は，よく知られているよう』こ，。
!
f(x，y，Z)̲ rIdxv，a.
!
f(x，y，Z)̲ 0，rIdya.
!
f(x，y，z)
VJ \""~_II' ~I = 0(1.18)，y，zが独立に変化しうる場合には，を連立させて解くことに帰着する . x
このように話が簡単である.ところが，点(x，y，z) がある平面の上だけしか動けない場合，すなわち ， x，y，zのあいだに条件

g(x，y，z)=c (定数)9)(1.17~ 1.4 ラグランジュの未定乗数がある場合には ，x，y，zが独立に変化しえないから， (1.18) が使えない.
どうしたらよいだろうかというのが本節の問題である.

9) をたとえば zについて解いて，その結果
もちろん， (1.1z=z(x，y)(1.20)を f(x，y，z) に代入すれば， 2変数 x，yの関数 f(x，y，z(x，y)) の極値問題となって，普通のやり方で解くことができる. (1.20) のような形が簡単) の関数形に得られるのなら，それに越したことはない.しかし ，g(x，y，zが複雑だとそれができない.そういう場合にもうまく対処するのが，以下に述べるラグランジュの未定乗数法である.
) が極値をとるという条件は関数 f(x，y，zi!
L

df=立Ldx+
与y+ zdz=0ox""'" ，立oVd"'Y ， o(1.21)と表すことができる.何でもない式のようだが，念のため，この式の意味を確かめておこう.関数 fの極値点から x，y，zを任意の微小量 dx，dy，dzだけ変化させても ，fの変化 dfは1次の範囲では Oである.付加条件9) がなげれば dx，dy，dzは独立に変化しうる微小量である.任意の(1.1dx，dy，dzについて(1.21)が成り立つことから(1.18) が出てくるわけだ.

9) がついた場合には，極値点から動かすといっても全く勝手に条件(1.1動かすことはできない. (1.19) そのものが極値点で成り立っているとすると，g(x+dx，y+dy，z+dz) = g(x，y，z)を満たす変化しか許されない. dx， dy，dzが無限小の量なので，(1.22)(1.22)

からは2立dx+~~ dz=Oox""'" ，丘重~dy+oy(1.23)が得られる.この式は ，dx，dy，dzが独立ではありえないことを示してい81. 微分と偏微分1.21)と (る. (1.23) は見かけが同じだが，導出してくるときの考え方がちがうことを注意してほしい.

dz=一ん州自主 h(1.23) をゐについて解げば(1.24)

主主となる .xの変化 dxと U の変化 dyを与えると ，zの変化 dzが決まってし

M一ゐWMり一伽んμ+一支笠k主k1) に使えばまうのである. これを(1.2となる.式の形が繁雑なので，簡単にするため立ιAO‑ z。

一生(1.26)

4=(if‑A告)ゐ+(者‑A77)ぬ=。

(1.27)zとおけば， (1.25)はと書ける. ぬ と dyの 2個だけならば自由に変えることができるから，(1.
27) が成り立つためには，dxと dyの係数はどちらも Oでなければならない:

af，aoAヱι=0~~
À~=
ay‑ "
ayax‑ "
ax 0， ヱム(1.28)

また，振返ってみると， (1.26) はこれと同形であることがわかる:

EL A2ι=0az "az9)(1.2

こうして得られた (1.28)， (1.29) は，あたかも f‑Agに対する極値問題のような顔をしている. Aを定数とみなして f‑Agの偏導関数を Oとおく8)， (ことにより(1.21.29) が出てくるからである. つまり， Aを導入して

~ 1.4 ラグランジュの未定乗数9f‑)..gに対する極値問題を考え，条件(1.19) のことを一時的に忘れるこ9) がついたときのとができる. 言いかえると次のようになる.条件(1.1f(x，y，z) の極値問題は，f=f‑).
.
g(1.30)

とおき ，x，y，zが独立に変化しうるものと考えて !(x，y，z) の極値問題を解くことと同等である.
1.28)と (1.29) が出てく
このように置きかえた fの極値問題からは， (る.実際には， (1.28)， (1.29)， (1.19) を連立させて解けばよい.未知数は x，y，z，，1の 4個であるが，方程式も 4本あるから解くことができる. '‑Vの Aをラグランジュの未定乗数とよぶ.上の枠組の中では Aの意味ははっきりしていない. しかし，物理の問題でラグランジュ未定乗数を使う場合には，結果として物理的意味をもっ重要な量になっていることが少なくない.
また，実際の問題では，条件が 2個という場合もある. 2個の条件=Clgz(x，y，z) =Cz
gl(X，y，Z)(1.31)がついたときの f(x，y，z) の極値問題は， ラグランジュの未定乗数を 2個導入して，f=f‑Algl‑ Azgzとおし(1.32)

x，y，zが独立に変化しうるものとして fの極値問題を解けばよし). この場合に解くべき方程式は，

af ̲ 1¥ax，vaf ̲ 1¥ayaf ̲ "az(1.33)と (1.31) の合計 5本を連立したものであり ，解としてム y，Z，，
110 Azの値が得られる.

[例題] 楕円に内接する長方形(1‑1図)の面積の最大値を求めよ .
[解] 長径 2a，短径 2bの楕円の方程式は長+手 =1(1.34)

101.微分と偏微分

1‑1図で与えられる.この条件の下で面積5= 4xy(1.35)の最大値を求めるという問題である. (1.28) はいまの場合

jf(4zg)‑Ajt(長 + 長)=4Y‑A与 =0
長 (4 却)-Æà~(手+手)=4X-Æ 与 =0となる.これから2y，AX= 2aA
Y= 2b2xが得られるから ，Aを消去すれば

三ご2 ￡2a ‑ bとなる.これと (1.34) から

αx= /2'by = /2が得られ，そのときの面積は 5=2abである.これは楕円の面積 7rabの約 64%にあたる.
[問題1.4] 楕 円 体 長 + 手 + 十 1に内接する直方体の体積の最大値を求めよ.

] N 個の変数九九・・・ ，PNが 2つの条件[問題1.5NL:Pi= 1

呂ρiei = E (一定値)~1. 511

ヤコビアンを満たすとき，
NS三一呂 ρilogPiを最大にする Piを求めよ.この問題は，物理的背景を知らなくてももちろん解けるが，熱力学・統計力学の教えるところによれば，孤立系のエントロビーは平衡状態で最大値をとる .Piは，状態 iの実現する確率を意味する.

91.
5 ヤコビアン
偏微分の計算をわかりやすくするものに，ヤコビアンがある.一見とっつきにくいが，一度覚えてしまうと偏微分の入り組んだ計算も機械的に実行できるようになる.ヤコビアンがきっかけで熱力学が面白くなったという人もある.
zの 3個とし， 今度は従属変数として !，g，hの 3
やはり独立変数は x，y，個を考えよう.

!=!(x，y，z)，g=g(x，y，z)，h=h(x，y，z)(1.36)

このとき， ，! g，hの x，y，zに関する偏微分係数は全部で 9個得 られる.こU一ゐべ仰一hu一ゐ主h柑

u一ゐ主むの 9個のつくる行列の行列式

(1.
37)

3h 3h 3h3x 3y 3zをヤコビアンという.左辺の記号は，右辺の行列式を簡単に表現するために使われる.ヤコビアンは，変数変換(1.36) により 3次元での積分が!
!
!
Id!
ぬdh
11I~ ~:'.
.
'.
~"~~ I命 dydz!!!d!dgd
h=1~~~士会|，y，z)I13(xのように変換されるときにも現れるが，それについてここではこれ以上触れないことにする.

12

1.微分と偏微分

ヤコビアンは，次のような性質をもっ.まず，

2立，g，h) a(u，V，W ) ̲ a(u，V，ω)a(x，y，z) a U，g，h) ‑ a(x，y，z)(1.38)が成り立つ.これを証明するには，合成関数の微分法を利用する.すなわ
ちU，V，W が f，g，hを通じて x，y，zに依存するとして右辺を計算する

7) から明 らかなようにと，左辺が得られる.また， (1.3100

務話ト=(1.39)

2立~互主主互L-la(x，y，z) a U，g，h) ‑..L

(1.40)

立記~___l(1.41)であるから

あるいはa(x，y，z)。

豆住，y，z)U，g，h)

が成り立つ.さらに，行列式は行または列の交換により符号を変えるから。

立立~_(x，y，z)‑

a包，/， h) 一一三笠~a(x，y，z)‑a(y，x，z)(1.42)

が成り立つ.
このようなヤコビアン記号を利用すると，単なる偏微分係数(偏導関数)は(倒扮
ιzt=仰afω(凶仇x，y，ax}yax‑ a(x，y，z)，Z ‑(1.43)と表わすことができる .x，y，zが独立変数だから

豆主L=fhL=o，axaz。
'zaxazay ー υとなることに注意すると， (1.37) の定義にしたがって(1.43) が得られる.
以上の関係を利用することにより，偏微分を含む式はいろいろに変形でき~ 1.6 同次関数の偏微分

131.8) で注意した式は ， y と zが一定であればる. たとえば， ((まん=誌記ト= 2包i1llA 一(銅山au，y，z)(1.44)

1.43) と (となる . ここでは， (1.41) を使った. また，特に重要な関係式として，

主色uil(生t= 些ùil-~x)ax}
y‑a(x，y)‑a包uil ‑(z，x)。

ま(z) (1.45)(~~t1.43)，(1.38)，(1.42) を使った. (が得られる . ここでは (1.45)は支(t(まt(~~)z 二一 1(1.46)と変形することもできる. このような結果はヤコビアンによらなくてももちろん得られるが，機械的な計算によって所要の結果を導くことのできるのがヤコビアンの強みである.

[問題1.6](告一ω)(ま)一一一(缶入(1.47)

w ‑を示せ. (1.45) とのちがいに注目せよ .

[問題1.7] X，y，zの あ い だ に xyz!= c (定数) の 関 係 が あ る と し て(1.45)， (1.46) が成り立つことを実際に確かめよ.
[問題1.8J(~~)J告)x =(~~)z( ~;)utを示せ. この式は， ( 軌 を ( 告(1.48)は例する形で表 す必要のある場合に使われる (たとえば，熱力学で定圧比熱 Cp を定積比熱 Cvにより表す場合).

0.6 同次関数の偏微分関数 f(x，y，z) の引数 x，y，zを共通に a倍して得られる関数が

141.微分と偏微分f(ω ，ay，az) =aPf(x，y，z)(1.49)を満たすとき，関数 fを ρ次の同次関数であるという.同次関数についてはιιι

xa41"1立z立z =tJ
ゲx+'ay +，~ a‑ YJ(1.50)が成り立つ.これは， (1.49) の両辺を αについて微分して ，a =1とおくことにより得られる.
[例] 物理量には，体系の大きさを α倍(たとえば半分)にしたときに G 倍になる量(内部エネルギー U，エン トロピ ‑5，体積 Vなど)と，変らない量(混度 T，圧力 ρなど)とがある. (1.14) にしたがって U = U(5，V) と考えると，(1.49) はいまの場合

U(a5，aV) = aU(5，V)(1.51)となる.したがって， (1.50) と(1.15) により

au， auU = 5一一V一一a5 +'，av=T5‑ pVTT

(1.52)

が成り立つ.
[問題1.9] 上の例で，粒子の個数 N も独立変数に含めて正しい U の表式を求めよ.内部エネルギーを粒子数で偏微分して得られる量は化学ポテ ンシ ャルとよばれる.

H.7 ライブニッツの微分公式と 2項係数微分の話の終りに，関数の積の微分に触れておこう.この結果は，後に第5章で使うことになる.
関数 f(x) と g(x) の積の導関数は，よく知られているように，

jtω =f'g+fg'である.微分の階数をふやしていくと

15~ 1.7 ライプニッツの微分公式と 2項係数

手ω =f"g+21加 Ig".
.
13

会す(か)=f"'g+31
γ +31
γ +ゲ，2， 1とか 1，3，3， 1は， 2項係数となる. この右辺に出てきた整数の 1C) γ!ご( !
r)三(1.53)にほかならない. ここに，階乗の記号は

η!=n X (n‑ 1)X ・・・ X 2X 1(1.54)

O!=1(1.55)を意味し，であると約束する. この 2項係数を使うと， n階微分に対して五二(か~I)=会o¥(n戸立
金‑ #r/
命 n‑rdxr(1.56)が成り立つ. これをライプニッツの微分公式という.

2項係数C)

は，確率の問題に現れる組合せ nCrと同ーのものであるが，確率以外の問題では 2項係数として扱われるのが普通である. これを 2項係数とよぶのは，2項展開

二ゑ (;)xn‑ryr(x+y)n(1.57)の係数として現れるからである.
階乗記号についての注意

階乗 n!は， nが正整数または Oの場合にだけ意味をもっ. そこで， (1.56)や (1.57) での γ についての和は，r階乗記号が意味をもっ範囲についてだけとる Jものと約束して，和の上限と下限をあらわに書かないことがある.いまの場合には，式そのものが簡単だからそんなことをしても大したメリットはないが， 2重の和が出てきて和の順序を交換するようなときには便利である.計算の途中段階で上限と下限にいち161 微分と偏微分いち気を配らなくて済むからである .
この約束は，負の整数に対して11

一 一一一一下 =・・・ 一 o(‑1)!一、町.

(1.58)とおくと考えても同じことである.階乗記号のこの性質は，ガンマ関数(第7章)の性質と関連している.
[例題]

Xxeの 階導関数を求めよ.
η

[解] (1.56) で g=xの場合である.この級数は r=1までで切れて:;n(xeX)=(~)xeX +(~)eX=(x+n)eXである.
[問題 10] x2eX の n階導関数を求めよ.その結果が正しいことを n=2の場.1合について確認せよ .
[問題1.11] (1.57) を用いて土 r(n)xn γ を求めよ .
T~O

その結果を利用して， 主¥rIrC)を求めよ・[問題1.12] 2変数 x，yの関数 /(x，y) がz立ι
，し立乙=ax '"ayを満たすならば，この関数は y/xを通じてのみ Z と U に依存することを示せ. (ヒントy=xtとおき，/をみ tの関数と考えよ.)

3] 前問のような偏微分方程式が成り立つ例として，気体の圧力 Dを[問題1.11.
49) のような関係を考えよ.
粒子数 N，体積 V，温度 Tの関数と見て， (4] エントロビー Sを一定として体積 V を内部エネルギ[問題1.1‑uについ4)て微分して得られる偏微分係数は，どんな記号により表きれるか.さらに， (1.1式を用いて，その偏微分係数を求めよ.
[問題 1.
15] 底辺 a，高き hの二等辺三角形に内接する長方形の面積の最大値を， ラグランジュの未定乗数法により求めよ.