中学校は数学３

じめに福岡県教育委員会では、児童生徒に国語、算数・数学における基礎基本を含む活用力（基礎的・基本的な知識・技能及び思考力、判断力、表現力等）を育むとともに、地域間の学力向上の取組の差を解消することを目的として、平成２５年度から小学校５年生〜中学校３年生向けの国語、算数・数学の教材集を作成・配布しました。各学校においては、教材集を授業等で繰り返し活用し、取組の改善が図られてきました。
また、平成２８年度からは、学力向上に係る検証改善サイクルを小学校中学年から一層計画的に推進するために、小学校４年生向けの教材集を新たに作成してきました。
この度、中学校学習指導要領（平成２９年告示）の全面実施を受けて、教材集の改訂を行いました。
各学校では、授業の中だけでなく、朝の学習の時間や家庭学習等における補充・発展問題として活用していただいているところですが、更に、各問題の特質に応じて、先生方の授業づくりや校内研修の際の参考資料としても活用され、基礎基本を含む活用力の向上に役立てていただくことをお願いします。
令和５年３月
福岡県教育委員会

目

次１

教材集
〇 式の展開と因数分解・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 二次方程式・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 関数 y＝ax2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 図形と相似・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 円の性質・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 三平方の定理・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 標本調査・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・２

解説資料〇 式の展開と因数分解・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 二次方程式・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 関数 y＝ax2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 図形と相似・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 円の性質・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 三平方の定理・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・〇 標本調査・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

追補版

基礎基本を含む活用力を育成する教材集

福岡県学力向上教材集

第3学年

（数学）組（単元「式の展開と因数分解」）番・氏名（

１ 図1のように，半径 r の円形の花だんのまわりに，幅 a の）

図1ℓ

道があります。この道の面積をＳ，道のまん中を通る円周の長さをℓとします。
r

このとき，Ｓ＝ aℓとなることを，下のように証明しましa花だんた。
証明
道の面積Ｓは，2－ πr2Ｓ ＝ π（r ＋ a）

＝ πa2 ＋ 2πar……①

また，道の真ん中を通る円の半径はそのまわりの長さℓは，aℓ ＝ 2π（ ＋ r）
2
＝ πa ＋ 2πra2＋ r だから，

よって，aℓ ＝ a（πa ＋ 2πr）
＝πa2 ＋ 2πar……②①，②より，Ｓ ＝ aℓ

次の（1）から（3）までの各問いに答えなさい。

（1）上の証明のＳ＝π（r ＋ a）2 － πr2 は，どのような考えからつくった式ですか。言葉や文字，式を使って説明しなさい。

―2―

（2）図2のように，縦が p ，横が q の長方形の花だんの

図2ℓ

まわりに，幅 a の道がついています。この道の面積をＳ，道のまん中を通る線の長さをℓとします。このとき，（1）の証明を参考にして，Ｓ ＝ aℓとなることをqpa花だん

証明しなさい。

道の面積Ｓは，Ｓ＝（全体の面積）－（花だんの面積）で求められるから，①，②より，Ｓ＝ aℓ（3）図3のように，半径 r の半円の花だんの横に，幅 a の道が図3あります。

ℓ

この道の面積をＳとし，道の真ん中を通る線の長さを ℓ

花だんとするとき，Ｓ＝ aℓが成り立つといえますか。その理由をr

説明して答えなさい。
アいえる

イ

いえない

理由―3―a福岡県学力向上教材集

第3学年

（数学）組（単元「二次方程式」）番・氏名（）たて

１ 縦30 ｍ ，横40 ｍの長方形の土地に，下の図のように同じ幅の通路をつくり，残った土地を畑にしたら，畑の面積が875 ｍ2 になりました。まいさんとみつおさんは，通路の幅を求めるための方程式について考えています。次の（1），（2）の各問いに答えなさい。
40 m
畑30 m
は縦方向の幅通路

畑は横方向の幅（1）まいさんは，通路の幅を x ｍとして，次のような方程式をつくりました。

30 × 40 － 875 ＝ 30x ＋ 40x － x2

まいさんは，どのように考えて方程式をつくったかを，下の図に補助線を入れて示し，その図をもとに説明文を完成させなさい。

土地全体の面積から畑の面積をひいた面積が，通路の面積となる。
通路の面積は（30 × 40 － 875）。
通路の幅を x ｍとすると，xm

xm

―4―

（2）みつおさんは，下の図のように畑を移動して新しい図形を考えて，まいさんとは別の方程式をつくりました。どんな方程式を，どのような考え方からつくったのかを図に補助線を加えて説明しなさい。

40 m

30 m

畑

通路の幅を x ｍとする。

―5―

福岡県学力向上教材集

第3学年

（数学）組（単元「関数 y ＝ ax2」）番・氏名（）

１ 一般に，短距離走ではスタート直後の数秒間は加速し，進む距離は時間の2乗にほぼ比例することが知られています。
なおとさんは，短距離走でスタートしてから3秒間に進んだ距離を測定しました。

ア
y(m)

20

右の図は，x 秒間に進む距離を y ｍとして，測定結果をグラフアにまとめたものです。
調べてみると，y ＝ 2x2 の関係がありました。
次の（1）から（3）までの各問いに答えなさい。
（1）けいたさんは秒速4 ｍの一定の速さで走っています。

15
10
500.5 1 1.5 2 2.5 3x(秒)なおとさんがスタートすると同時に，けいたさんが同イじスタート地点を通過しました。

y(m)けいたさんが同じスタート地点を通過してから x 秒20間に進む距離を y ｍとして，x と y の関係を先のグラ

15

フアにかき加えると右のグラフイのようになります。

10

なおとさんがけいたさんに追いつくのは，スタート地点から何ｍ進んだ地点でしょうか。また，そう考えた理由をグラフをもとにして説明しなさい。

50

0.5 1 1.5 2 2.5 3x(秒)ｍ

理由―6―（2）リレーのタイムを短縮するためには，効率のよいバトンパスが重要です。つまり，「前の走者がどの地点に来たとき，次の走者はスタートすればよいか」を考える必要があります。
いま，前の走者けいたさんは一定の速さで走り，y(m)y ＝ 2x2

次の走者なおとさんはスタートして加速しながら走るものとします。なおとさんがスタートしてから x秒後のスタート地点からの距離を y ｍとし，けいた

y ＝ 4x − 22さんとなおとさんの走るようすが，それぞれ右の図0のようなグラフになるとき，次のことが読み取れまx(秒)

1−2す。
ア
①～

ウに当てはまる数字を，書きなさい。

なおとさんがスタートしたとき，けいたさんはスタート地点のアｍ手前を走っている。
②

なおとさんがスタートしてからイ秒後にウｍ進んだ地点でけいたさんからバトンを受け取っている。
ア

イ

ウ

（3）
（2）でもし，なおとさんがスタートしたとき，けいたさんがスタート地点の3 ｍ手前を走っていたとすると，バトンの受け渡しはできるでしょうか。また，その理由が分かるよ
うにグラフをかき加え，その説明を簡潔に記述しなさい。
ア

できるイ

できない

理由
y(m)
y ＝ 2x2

y ＝ 4x − 220−2―7―

1x(秒)福岡県学力向上教材集

第3学年



（数学）組（単元「関数 y ＝ ax2」）番・氏名（）

２ ふりこが1往復するのにかかる時間は，おもりの重さやふれはばに関係なく一定で，それを周期といいます。周期が x 秒のふりこの長さを y ｍとすると， y は x2 に比例することがわかっています。
みさきさんは、そのときの周期とふりこの長さの関係を調べることにしました。   みさきさんが行った実験方法

下の表は，みさきさんが行った実験の結果を表にまとめたものです。

x（秒）

0.9

1.3

1.8

2.2

2.5

2.8y（ｍ）
y

0.2

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0.247

0.237

0.247

0.248

0.256

0.255x2

このとき，次の問いに答えなさい。

―8―みさきさんは，この実験結果から，周期 x とふりこの長さ y の間に，次のような関係が成り立つと考えました。

y＝①①にあてはまる式を，次のア～エの中から選び，そう考えた理由を説明しなさい。

アy ＝ x2

イy＝

ウ

y＝

エ

y＝

12
14
15x2x2x2

理由―9―

福岡県学力向上教材集

第3学年



（数学

単元「図形と相似」）組（）番・氏名（）

１ ひなたさんは，アイスクリームを買いにいきました。
お店では、下の図のように，円柱の形の容器に入った大小2種類のアイスを，それぞれ箱に入れて販売していました。
Ａ：小

Ｂ：大

Ａが6個入り（960円）

Ｂが2個入り（1000円）

次の（1），（2）の各問いに答えなさい。
ただし，2種類のアイスクリームの形は円柱として考えます。

（1）ひなたさんは，それぞれの容器について調べた結果，次のように考えました。

ＡとＢは，相似比が2：3の相似な円柱である

円柱の容器について，「どこを調べてどうなっていれば」，ひなたさんのように考えることができるかを，下の言葉を用いて簡潔に説明しなさい。
（言葉はいくつ用いてもよい）《説明に用いる言葉》
直径，高さ，底面，周りの長さ，比― 10 ―（2）ＡとＢの相似比が2：3であることから，ひなたさんは，Ａの6個入りとＢの2個入りのどちらを買った方が割安かを考えました。
下のア，イ，ウのうち，正しいものを1つ選び，その理由を説明しなさい。
ただし，「割安」とは「同じ値段でより多くの量を買うことができる」とします。

ア

Ａの6個入りを買った方が割安である。

イ

Ｂの2個入りを買った方が割安である。

ウ

どちらも同じである。

理由― 11 ―福岡県学力向上教材集第3学年

（数学）組（単元「円の性質」）番・氏名（）と１ あゆみさんが廊下の壁際に立って，向かいにある作品の写真をカメラで撮ろうとしていまさつえいす。あゆみさんは，下の図の点Ｐの撮影位置からは作品全体が入らないが，点Ｑの撮影位置からはぴったり入ることに気づきました。
そこで，あゆみさんは作品全体がぴったり入る撮影位置について調べてみました。
ただし，カメラで撮影できる角度は一定であるとします。

Qの撮影位置からの見え方

Pの撮影位置からの見え方

次の（1），（2）の各問いに答えなさい。

― 12 ―

（1）3点Ａ，Ｂ，Ｑを通る円を作図しなさい。また，点Ｐはこの円の周上にありますか。下のアとイから選びなさい。

AQアある

イ

ない

作品全体の幅B

壁壁P（2）Ｑの撮影位置のほかに壁際で作品全体がぴったり入る撮影位置があります。
その撮影位置をＲとするとき，点Ｒの位置を図に示し，記号Ａ，Ｂ，Ｑを使って説明しなさい。

AQ― 13 ―作品全体の幅B

壁壁

福岡県学力向上教材集

第3学年



（数学）組（単元「三平方の定理」）番・氏名（）

１ けいこさんは，次の問題を考えています。
問題
右の図のように，三角定規の直角をはy

さむ2辺が点Ｐ（0，－1），Ｑ（0，2）を通り，直角の頂点Ａが x 軸上にあるように置きます。このとき，点Ａの x 座標は 2になります。なぜでしょうか。

x次の（1）～（3）の各問いに答えなさい。

（1）けいこさんは，ＡＯ＝ x として，点Ａの x 座標の求め方について，次のような方針を立てました。
けいこさんの方針
手順1△ＡＯＰについて三平方の定理を用いて，辺ＡＰの長さを x を使って表す。

手順2△ＡＯＱについて三平方の定理を用いて，辺ＡＱの長さを x を使って表す。

手順3ア

上のアに言葉や数，式を書き込んで，けいこさんの方針を完成させなさい。

― 14 ―

（2）けいこさんの方針に基づいて，ＡＯの長さを求めなさい。ただし，どのように求めたか分かるように書きなさい。

ＡＯ ＝ x とおく。

（3）けいこさんは（1），（2）を振り返って，点Ｐの位置を変えずに点Ｑの位置を動かして，点Ａの x 座標が3 となる三角定規の置き方に気づきました。どのように三角定規を置いたのか，下の図にかき入れなさい。

yA
OP −1

― 15 ―x

福岡県学力向上教材集第3学年

（数学）組（単元「標本調査」）番・氏名（）

ぼ きん ばこ１ なおとさんは募金箱から，枚数の多かった10円硬貨と100円硬貨だけを袋に移して，合計金額を次の方法で推測しました。
なおとさんの方法
取り出した硬貨の重さを測ると，袋の重さを除いて3.6 ㎏ありました。また，袋の中をよくかき混ぜてから1つかみの硬貨を取り出したところ，10円硬貨が30枚と100円硬貨が12枚ありました。

次の（1），（2）の各問いに答えなさい。

ア（1）次のに当てはまる言葉を書きなさい。また， イ， ウに当てはまるものを下の①，②から選びなさい。
なおとさんの行った調査をア

調査という。このア

貨と100円硬貨であり，標本はウ10円硬貨と100円硬貨である。

調査で母集団はイ

10円硬イ，ウに当てはまるもの①

取り出した（1つかみの）

②

ア

袋の中のイ

ウ

（2）10円硬貨1枚の重さを4ｇ，100円硬貨1枚の重さを5ｇとします。なおとさんは，袋に移した硬貨の合計額を x 円とおき，比例式 x：1500＝3600：180をつくり，合計金額がおよそ30000円であることが分かりました。
なおとさんのつくった比例式は，何の比と何の比が等しいことを表していますか。の比との比― 16 ―福岡県学力向上教材集第3学年

（数学

単元「標本調査」）組（）番・氏名（）

２ ある工場では，毎月20000個の製品を生産しています。この中から，無作為に300個を取り出して不良品を調べたら4個ありました。
次の（1）から（3）までの各問いに答えなさい。

（1）この工場で行われた標本調査で，母集団と標本はそれぞれ何にあたりますか。
次のアからエまでの中から1つずつ選びなさい。
ア

無作為に取り出した製品にふくまれていた不良品

イ

無作為に取り出した製品

ウ

毎月生産している製品にふくまれている不良品

エ

毎月生産している製品

母集団

標本

（2）1年間で出る不良品の数を x として，比例式をつくり， x を求めなさい。
ただし，求め方が分かるようにかきなさい。

― 17 ―

（3）Ａ社から37000個の製品の注文がありました。Ａ社に不良品がないように納品したいと思います。
（2）を参考にして，製品をおよそ何個生産すればよいかを求めなさい。ただし，求め方がわかるようにかきなさい。

― 18 ―