それでは，前回の解答です．

an = cosの両辺の自然対数をとって第１問（数Ⅲ）log an =実数 x および自然数 n に対して
an = cosx の値を決めると， 2 an sin
nªxの値は，n2nº

また，(1) より

1p1tan n = を証明せよ．
n2pn=2 22 n an sin

Sx= sin x2nであるから， sin＜解答＞an + 1 = an ∑ cos= 2 an ∑ 2 sin
nª2n + 1= 2 n an sin

cosªx
2n + 1x
1x cos 2 n 1cos x∑tan k =kx 2n2sin x
k= 1 2sin n2nSxx
2 an sin n = 21 a1 sin 122xx= 2 cos sin
22= sin xnが成り立ち，さらに x =S

よって，x の値を決めると， 2 an sinnpとして
2pcos n + 1 11p2
∑ ntan k + 1 =kp
2k =1 2
sin n + 1 22pn +1n +1pp
12- 2
∑ ∑ cos n + 1
tan k = 2kpp2
2k=2 2
sin n + 12pNNpp
11∑ ∑ cos N
tan k = 2kp
2
2k=2 2sin N p2
( N = n + 1)nである．
xの値は2nSn と無関係に一定である．
0 < x < p とする．このとき，k = 1,2,ºº,nSに対してcosºである．1,2 よりx2nであるから(2)º - log 2nxdcos x cos 2 n 1∑ºº 2log an =x 2ndx
sin x
sin n2x2n + 1x2nである．この両辺を x で微分すると

n +12xx> 0,sin x > 0 に注意して2nlog an = log ( sin x) - log sinxに注意すると，自然数 n に対して
2 n + 1 an + 1 sinSが成り立つ．

•(1)

kk= 1nd1xlog an = tan k ºº 1kdx
22k= 1と無関係に一定であることを証明せよ．
(2)xnS log ªcos 2 ºである．この両辺を x で微分してxxx
cos 2 ºº cos n222とする．以下の問いに答えよ．
(1)xxx
cos 2 ºº cos n222x> 0,an > 02kであるからであるから

1•1pnnN1pkk

S 2 tan 2 = lim S 2 tan 2n= 2N Æ• k = 2n1pkk

S 2 tan 2

k=3p
N1
p2= lim∑ ∑ cos Np p
N Æ•2sin N21=p

Snª1n1pkk1pp
k=32 k tan k2 k - 1 tan k - 12211=pp
22 tan 22 n tan n
22=である．

\□S 2 tan 2 =k=2※(2) は (1) を無視して次のように解くこともできます．

=＜ (2) の別解＞

2 tanp2nptan n2p2n∑1pn1pkkである．よってp
まず， 0 < q < において
4

•

1pnn

S 2 tan 2 = lim S 2 tan 2n=2

12= tan q ºº (*)
tan q tan 2qn Æ •k = 2= lim

p2npnÆ•tan n21=pを示す．
実際，(*) の左辺を倍角の公式を使って変形すると
12
12(1 - tan 2 q)=tan q tan 2q tan q
2 tan q2tan q=tan q= tan q∑1pである．
□＜コメント＞
数学科の川﨑です．今年度もよろしくお願いしまとなる．
(*) で
q=

1nº

す．１問目は，三角関数を使った極限の問題でした．
p(k = 3,4,ºº,n)2k

完答するまでには，三角関数の公式をしっかりおさえることと，(1) を (2) に利用する発想力が必要です．

として ( ただし，n は十分大 )解けなかった人は，自分に何が足りないかを確認しp12tan k =pp2tan ktan k - 122であり，両辺をて，次に活かしてください．
以下，設問ごとの補足です．

1倍することで2k(1)1p11tan k =pp2k2kk-1tan k - 12 tan k222an は cosx• の積で表されています．角度の分2母が 2 の冪なので，倍角や半角の公式できれいになるんだろうなというのがまず最初に思ってほしとなる．これを，k = 3,4,ºº,n で足していところです．問題の指示通りに 2 n sinてみると2xを掛け2nsin一択だと思います．実際の入試問題には

xx1xcos n = sin n - 1n2222「 log an を微分することで」(sin の倍角の公式 )を使って，因数を一つ減らせることが分かります．
すると，お次はsinxx1xcos n - 1 = sin n - 22n - 1222として，さらに因数が一つ減ります．後はお分か

別解の方は，(*) の式を知らないと無理ですが，これを証明させてから (2) を解かせる問題も過去に出題例がありますので，(*) の証明から自力でできるようにしておいてください．

りですね．sin と cos がどんどんくっついて，最終的には sin x だけが残ります．某パズルゲーム
で連鎖していって最後にきれいな形だけが残った
ときと似た感動を味わうことができます．2n をかけたのは，繰り返し出てくるというフレーズが，(2) の最初についていました．
それでは単なる計算問題になるので，そこを考える訓練をしてもらおうというのが今回の出題の意
図です．微分して形を整えることで，求める無限級数の値を得ます．

最後に 1 問，練習問題をつけておきます．同じようなテーマで求めることができるので，挑戦してみてください．

1をすべて相殺する
2

ためなのも確認しておいてください．
解答では，an + 1 と an の関係式を作ることですっ問きりと一定であることを示しました．

OA1 = OB1 = 1,– B1OA1 = q (0 < q < p) である
ような二等辺三角形 OA1B1 がある．辺 A1B1 の中点を B2 とし，辺 OA1 上に OA2 = OB2 となる
点 A2 をとり，二等辺三角形 OA2B2 をつくる．以下同様にして，n > 2 についても二等辺三角形
OAnBn をつくっていく．

(2) (1) と似ても似つかない形ですが，どうやって使うのかを考えましょう．
ここで，連想クイズです．
Q1．an は cos の積の形ですが，求めるものはtan の和 ( の極限 ) です．「積→和」で連想するものは？

an を求め辺 OAn の長さを an とするとき， nlimÆ•よ．

私の頭の中の引き出しには，この Q1 に対する答えとして，log や相加・相乗平均の関係，( 三角関数の ) 和積の公式などが入っています．その中から，何がうまくいきそうかを考えるわけですが「無限積 log をとって 無限和に」は強者を目指す皆さんなら，必ず１度はやったことがあるのではないかと思います．an に対して絶対値をつけて，log をとりましょう．

＜解答＞
OA2A1

では，次のクイズです．

B1

B2

図形を繰り返しつくっていくと

Q2． log an を考えることで，log (cos) の和の形

∠ B n OB n + 1 =になりました．ここから，tan にもっていくにはどうしますか？

であるからここまでくれば先が見えますね．これは微分の3q2nan + 1 = an ∑ cos ∠ B n OB n + 1= an cos

q2nである．n が十分大のとき，これを繰り返し用いて
an = cos(#qqqcos n - 2 ºº cos
2n - 122a1 = 1)である．この両辺に sinq2n -1をかけてq2n - 1qqqq= sin n - 1 cos n - 1 cos n - 2 ºº cos
22221qqq= sin n - 2 cos n - 2 ºº cos
22221qqq= 2 sin n - 3 cos n - 3 ºº cos
2222= ºº
1= n - 1 sin q
2an sinであるから， sinq2n -1> 0 に注意して

1qn - 1 sin q
n -1
sin q
22
an =
∑=qqq
sin n - 1
sin n - 122である．よって

lim an =nÆ•sin qqである．
＜解答終＞
an の形を見て， sinqをかけるのが point で2n - 1す．出来ましたか？ q は定数なので答えに残って構わないのですが，1 と答えてしまう間違いが多いですので気をつけてください．
では，今回はこれぐらいにしたいと思います．
また次回．
（数学科川﨑）4