ビームモニター概論

イドを参照することを前提として、実際の講義で話したことを文章で書きながらスライドの行間を埋めていくス
タイルをとります。結果としてこの文書はスライドの補

1

はじめに

1.1

OHO20 全体に関して

足資料という位置づけになるかと思います。また、実際の講義で話した内容＋追加コメントなども可能なかぎり反映してありますし、講義では時間がなく話さなかった

本年 2020 年は「ビーム診断の基礎」をテーマとして余談も追記しています。該当するスライドページ番号を14 名の講師に講義をお願いしました。ビーム診断に関reference 形式で記載していますので参照してください。

する講義はこれまでの OHO にもたびたび出てきたテー

テキスト印刷版は白黒ですが、PDF やスライドファイ

マでもあり、詳細なテキストも公開されています。それ

ルはカラーになっていますので判別できない場合はそちらの講義には基礎から最先端の技術や研究成果なども含らを参照してください*1 。

まれていますので、いまさら診断を取り上げる必要性は筆者の浅学非才により間違い・勘違いなどが含まれてあるのかとも考えましたが、ここで基本に立ち返ってあいる可能性は高いのでそのつもりで読んで頂ければ幸い

くまでも「基礎」として診断に関係するトピックスをまです。

とめて取り上げることには意義があることだとの結論に至りました。できるだけ広いテーマをカバーすることを目指しましたが、残念ながら近年のビーム診断・ビーム制御ではとても重要な「デジタル信号処理」について専1.3

本講義の概要〜導入

本講義「ビームモニター概論」では今回の OHO レク

用の枠をもうけることが出来なかったのは心残りです。 チャー全体の導入となるような基礎的な内容を講義いた*2
いずれこのテーマで集中的に講義をおこなうことを期待 します [Slide p3] 。特にしています。
また、実際の講義にあたってはコロナウィルスの影響もあり初のオンライン (リモート) 開催となりました。全
体としてはとても順調に進行し、大きなトラブルはありませんでした。参加者数も例年より多く、むしろ遠隔地• 何のためにビームモニターが必要なのか理解する• 基礎的なビームモニター（ビーム位置・ビーム強度）を理解する• 用語に慣れるから気軽に参加できるのはメリットとなったようです。 ことを主眼としています。古典的な電磁気学の前提は必
一方で受講者にとっては一日中 PC の前で聴き続けるこ 要ですが、大学の学部生であれば十分理解できるようなとはかなりの負担となったようですし、講師の側からみものを目指します。また、正確性や詳細よりも全体像をると受講者の反応が見づらいなどの欠点もありました。 描くことが出来ればと考えて準備したつもりですが、結色々な御意見は今後の OHO 講義への参考としたいと考 果としてうまくいったかどうかは分かりません。高度なえておりますので事務局または講師まで連絡いただけれ内容は私の講義ではなく、他の講師による講義や過去のば幸いです。

OHO 講義のテキストを参照してください。

蛇足ですが、今回の OHO’20 では似たようなトピック
スが何度か登場します。これは「重要なことは繰り返し出てくる」と理解して頂きたく存じます。

1.4

ビーム診断に関連する情報

OHO セミナーでの講義を通して加速器やビーム診断

1.2

本文書のスタイルについて

最初にこの文章のスタイルに関して１つコメントしまに興味をもった場合に、より詳しい内容や進んだ情報をどのようにして探せばよいのかについてコメントします。
最初のキーワードはビーム診断（Beam Diagnostics）やす。これまでの OHO テキストと同様に教科書スタイル
として文章として書くやりかたを考えたのですが、せっかく既に講義が終了しているというメリットを活かした方が良いと考えました。そこで、ここでは作成したスラ*1 本来ならば白黒でも判別できるように図表を準備すべきです。申し訳ございません。
*2 これは L
AT X の引用を忘れたのではなく、講義プレゼン資料のE
ページ番号を示しています。以下同様に記述します。

ビーム計測・計装 (Beam Instrumentation *3 ) でしょう。
代表的な国際学会としては IBIC があります。これは以前に米国で開催されていた BIW と、欧州で 1 年おきに

• Joint Universities Accelerator School (JUAS)
https://espace.cern.ch/juas/SitePages/
Home.aspx

開催されていた DIPAC にアジア地域を加えて毎年開催

さらなる詳細についてはこれらスクールの講師に直接するようにしたものです。今年 2020 年はブラジルで開コンタクトをとって議論するのが良いかもしれません。

催予定でしたが [Slide p4] コロナのためオンライン開催

過去の OHO テキストは日本語による質の良い情報源となりました。

です。毎年１つは診断に関連したトピックスが取り上げられていますので参照してください。http://accwww2.

1.5

Faraday Cup Award

kek.jp/oho/index.html

近年では、加速器制御とビーム診断・制御は深く関係し
IBIC には “Faraday Cup Award” とよばれる賞があ ていますので、制御関係の最新情報を知っておくことはります [Slide p5]。この賞の名前はもちろん電荷を測定 とても有益になるでしょう。該当する大きな学会としてはするためのファラデーカップとかけたものです。過去に

ICALEPCS（International Conference on Accelerator

日本人も受賞されています。もちろん賞のために研究すand Large Experimental Physics Control Systems）でるわけではありませんが、このような企画があることはす。https://www.icalepcs.org/ また、診断に限らず、喜ばしい話だと思います。残念ながら 2020 年は「該当加速器全般の話まで考えると、やはり IPAC が参加人数・なし」となりました。今後に期待したいところです。

規模ともに最大の国際学会といえます。一方であまりに幅広い分野の発表があるために、トピックスが広がりす1.6

各種の情報源ぎてしまい、詳しい情報を得ようとするとたいへんであるという面もあります。しかし、多くの研究者・技術者

加速器スクールも多く開催されています [Slide p6]。 や企業のディスカッションが可能という点で重要な学会
トピックスは年によって異なっており、診断に関する であることは間違いありません。ICALEPCS、IPAC と多くの講義資料が公開されています。とはいえ、情報

もにプロシーディングスは JACoW で検索できます。こが多すぎて悩んでしまうかもしれません。１つ推薦すこが加速器研究者にとって非常に重要な情報源になってるならば CAS2008 は “Beam Diagnostics” と題しています。https://jacow.org/

開催されていますので、診断に関するトピックスを多スライドに記載しておらず、レクチャーの時には話さく取り上げています。概観するには適切と思います。 なかった重要な項目があります。それは学会プロシーディ

https://cas.web.cern.ch/schools/dourdan-2008
以下に代表的な国際加速器スクールとリンク情報を列挙します:• CERN Accelerator School (CAS)
http://cas.web.cern.ch/

ングスで概要を知った次のステップとして、原著論文を読むことです。（もちろん最初に原著論文から読む場合も多いでしょう）。加速器関係の論文が出される場所としては Physical Review Accelerators and Beams (通称PRAB, https://journals.aps.org/prab) が最近ではもっとも有力な Open Access の論文となっています。

• U.S. Particle Accelerator School (USPAS)
http://uspas.fnal.gov/index.shtml

もちろん、プレプリントの段階で Cornell 大学で運営さ• US-CERN-Japan-Russia Joint International Accelerator School
http://uspas.fnal.gov/programs/JAS/index.

な情報源です。また、PRAB 以前から存在している雑誌

shtml

れている arXiv サイト (https://arxiv.org/) は強力
で重要なものの１つとしては Nuclear Instruments andMethods in Physics Research Section A: Accelerators,
Spectrometers, Detectors and Associated Equipment*3 Instrumentation という用語には「楽器法」という意味もありま （通称 NIM-A）でしょう。基本的には購読している組織
す。歌詞や歌唱の無い、音楽だけの曲のことをインストゥルメンタルと からでないとダウンロードできませんが、最近では NIM
呼んだりするので一般的にはこちらの方がなじみ深いかもしれません。
後述する Faraday Cup Award のポスター絵にも楽器が出てくるの でもオープンアクセスとして出版される場合も増えてきはこのあたりをかけているとの話。加速器用語には Tune, Harmonics
たようです。また、ビーム診断関係の情報にだけに限らなど音楽と関係しそうなものもあります。

ず、「ビーム物理/Beam Physics」というキーワードでビーム診断・制御の１つの理想としては、「これまで情報を収集すれば、より多くの知見が得られることと思の装置では見えなかったものが見えるようになったり、います。

ビーム制御ができるようになったりして、それがビーム

他にも論文誌は多くありますがキリがありませんの性能の向上につながる」形です。もちろん、斬新なアイで、最後に重要な情報源として加速器学会の Twitter ア

ディアというものはなかなか出るものではありませんし、

カウント https://twitter.com/pasj_jp を挙げてお時間を要したりするものです。もっと根本的な話として、

きます。投稿者の情報補足能力が極めて高いために、加そもそもビーム性能を向上させて何を目指しているのか

速器関連のプレスリリースはもちろんのこと、主要雑誌という問いがあるかもしれません。

への論文投稿もいちはやくここに掲載されます。とてもどれくらい意識するかは別として、研究・開発を継続有益なのでぜひともこの投稿ペースを維持して欲しいとしていくには、大きな目標と日々の小さな目標の両方が願っています。

必要なのだと思います [Slide p10]。目的はいろいろあるビーム診断に特化した教科書としては平松成範先生にでしょう。例えば高エネルギー物理を考えるとより高い

よる「加速器のビームモニター」があります [Slide p8][1]。 エネルギーに到達したい、もっと大電流を蓄積したい、
これは 2003 年度の技術職員専門研修のために書かれたもっと高品質なビームが欲しい、などなどあるでしょう

ものです。ビームスペクトルの話から CT, 位置モニター

し、逆に低エネルギーのビームでしか測定できない物理など、今回の OHO で取り上げている項目はほぼカバー現象もありますのでそのときにはまったく異なった加速されているかと思います。詳細を知りたい方はこちらを器が欲しくなります。

一読されることをお勧めします（むしろ、これがあればまた、１つの加速器を考えた時にも、加速器の建設か

私の講義ノートを読むよりもためになる、と思います）。 らコミッショニング時に求められる診断装置と、そこからビーム品質を上げていく（高度化する）ときに必要な1.7

診断装置とは全く性格が異なる場合が多くあります。もビーム診断の目的

ちろん、陽子加速器と電子加速器でも異なりますし、医ここから具体的な診断の話に入ります。ここで強調し

療用加速器と高エネルギー物理用の加速器も異なりまたかったのは「なぜ」診断が必要なのか、というところす。当然ですが、すべてに使える万能な道具はありませです [Slide p9]。正しい診断をしなければ運転が狂ったん。加速器固有に、それぞれの段階・目的に応じて、適方向へ行ってしまう可能性があり、危険です。そのため切な道具立て（Instrumentation）を考えることが必須に必要なツールを作ったり、改良したり、研究開発を行となるでしょう。そこが腕の見せ所、と考えて頂いてもいます。*4

良いかと思います。既存の装置で見えることと、あらたな装置や技法でないと見えない事の区別は重要です。こビーム診断・制御の重要性

れから加速器やビーム物理に関わっていく若い人にとって、例えばいまさらオシロスコープを一からつくる必要

世間一般で「診断」というと、こちらかも...

Diagnostics：診断

Operation：手術
運転・制御

はないのは明確ですから、原理を理解した上で既存技術を活用し（＝巨人の肩に乗った上で）過去の人が到達できなかった景色を目指して頂きたいと考えています。

1.8

加速器とビーム

図 1 に示す写真のクルックス管はとても出来が良く、正しいビーム診断無くして加速器運転・制御は不可能！！
適切なツール（道具）を作ったり、改良したり、研究開発を行う

きれいに電子ビームの軌道が見えています。外側にある

運転や目的に応じて、より高度な診断装置の開発もおこないます。
9補正電磁石で少し曲げていることも分かるかと思います。
それでは、実際にこのような加速器を目の前にしたとしてどのようなビームパラメータが知りたくなるでしょ*4 と書いてはいますが、実は Operation=手術というネタを入れた

かっただけという説もあるうか？

• ビーム位置 (beam position)• 電荷量（粒子数＝ビーム強度, charge）• 横方向分布 = ビームサイズ• 進行方向分布 = バンチ（電子塊）長、時間分布• エネルギー絶対値、エネルギー広がり• エミッタンス (位相空間での分布)• その他、知りたいことはたくさんあるでしょう...
図 2: ビーム座標を示すときによく使われる用語す。ビーム進行方向に対して垂直の面方向を Transverse方向と呼び、水平 (Horizontal)・鉛直 (Vertical) の 2 方
向を指します。“タテ方向” という用語は（ちょっと危険なことがあるので）要確認です。それは Longitudinal 方
向を指す場合と、鉛直方向を意味する場合があるからです。もちろん会話の文脈から分かる場合は多いですが、混乱を避けるためにはできるかぎり “タテ方向” という表現は避けた方が安全です。また、同様に「垂直方向」
も危険なことがあります。つまり鉛直方向を示す場合と、ビーム進行方向に対して垂直な Transverse 方向を示す
場合があるからです。
水平・鉛直ともにどちらを＋にとるか（右手系なのか左
図 1: クルックス管は立派な電子加速器です

手系なのか）は定義によって変わるのでケースバイケー
スで判断しましょう。

実際に、このクルックス管のビームパラメータをちゃんと測定しようと思うと、それなりに手間はかかりそうです。精度をどこまで出せるか。最初はカメラかなにか

2

基礎電磁気学

で位置を測定して、磁場をかけて曲がる大きさを見るあ

詳しくは各自おすきな教科書を参照してください。例たりからスタートでしょうか。そのほかにも、装置とし

えば [2], [3], [4] などを挙げておきます。この章では必要てカソードの寿命はちょっと気になるところです。

な知識をざっとおさらいすることを目指します。

このクルックス管はガラス管でできていてガスが封入してあるので外から軌道がきれいに見えますが、実際の加速器では真空ダクトはステンレスやアルミ、銅などの金属で出来ていますので外からビームの状態をみることは出来ません。金属壁の内側にある電子ビームの状態をいかにして測定するかが課題となります。また、各種測定器を遠隔から操作する必要があるのも、少し面倒になります。トンネル内は放射線レベルも高いので電子回路もあまり設置したくない。色々な手法を駆使することになります。
最後に、今後の講義で出てくる用語について少し言及
しておきます。スライド [Slide p16] 及び図 2 で説明しているように ビーム進行方向のことは Longitudinal 方向と呼び、場合によっては Temporal 方向と呼ぶ場合も多いで

2.1

静電場・静磁場とポテンシャルがあります。ここで重要なのは「場」とそこからうける「力」を分けて考えることです。また、場は重ね合わせの原理が成り立ちます。

Coulombの法則

図は Wikipedia や Wikimedia から拝借しておりま

高校生の時に習う書き方：電荷 q1, q2が距離r離れているときに及ぼす力はす。本当はこれらの図を書き直すと良いのかもしません
が、下手に劣化コピーのようなものを書くよりはイメー

q2

r

ジをつかむことを重視してこれらの外部リソースを有効q1に活用させていただきます。
電場、という考え方
ベクトルで書くと：q1は「電場 (Electric Field)」をつくり、

これは「力」の大きさと向きで電荷の相互作用を表すやりかた。
歴史的には静電力として実験されてきたそれによってq2が受ける力は
Wikipedia : 力場

19となる。（ファインマン物理にも記載があるが）「分けて考える」ことが重要。

高校生のころに習うクーロンの法則は、電荷に働く「力」で定義しました。方向を示すためベクトル表示と電場を視覚的に表すためには電気力線を使うことが大部分（3次元表示は通常は不要）。密度が濃い場所は電場が強く、密度が薄い場所は弱いすると、単位ベクトル r̂ は r̂ = r/|r|。
歴史的には
https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_field21

電荷なるもの：箔検電器

電場を視覚的に表すためにはベクトルで表現したり、色を変えたり、3 次元的に表現するなど色々なやりかたがありますが、通常は電気力線を使うのが便利です。電場が強い場所では線と線の間隔を狭く（＝線の密度を高く）表現し、電場が弱い場所は間隔を狭く（＝密度を低↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Electroscopeく）表現します。線の本数は１クーロンあたり 1/ε 本などと定義はできるのですが、実際に図示するときはそも
そも電荷量が何クーロンか気にすることはないので適当

Coulombの実験：ねじり天秤
https://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb%27s_law →20に見やすいようなスケールになるように調整することが多いように思います。また、図では金属があるときに表
歴史的には「琥珀*5 」を布でこすると静電気が生じ、 面に誘導電荷が発生することや、反対側に逆極性の電荷
これが「電荷」のようのものであるところまでさかのぼが発生することなどが表されています。そのほか、金属

ります。箔検電器が開くことで、なにか「力」を及ぼしにとがった部分があると電場が集中することも表示されていることがわかり、Coulomb は電荷量と働く力を関ていることがわかります。

係をねじり天秤で精密に測定して法則を導き出しまし電荷 Q が静止しているとき（あるいは静止系で観測た。当時はこれが何かは分からないけれど、「力」を定するとき）、電場は 3 次元自由空間に発生し、分布は球量的に測定することで法則を見つけていった、という歴状になります (図 3)。電荷を囲む閉曲面で積分すると、史です。

内部に含まれる電荷になります。これがいわゆる電場に

現在では電荷は「電場（Electric Field)」をつくり、その場によって電荷が力を受ける、という考え方をとります。このあたり、ファインマン物理学の教科書にも記載*5 electron の語源は琥珀のギリシャ語読み対するガウスの法則 (Gauss’s Law) です [Slide p22]。

面を考えてなかに磁石をおくと直感的にわかるように、「湧き出し」も「吸い込み」もないこと。すなわち、磁束線は閉曲線となりモノポールは存在しない、となりま
す (図 5)。

図 3: 電荷 Q のつくる静電場
電場に対するガウスの法則を積分形で表わすと
∫
Q
EdS =
ε0

図 5: 磁石のまわりに出来る磁場の例. 画像は wikimedia

commons より [6]
(1)

微分形では

divE =

ρε(2)となります。
電場 E に対して、スカラーポテンシャルとして電位

磁場に対するガウスの法則を積分形で表すと∫
BdS = 0微分形で表すとdivB = 0（electric potential) V が定義できます [Slide p23]。

E = −gradV
そして静電場では

(3)

(4)

(5)

となります。
磁場に関するもう１つは、電流の周りに磁場が生じる、

rotE = 0 となることも重要です。 Ampere の法則。

これは直感的にイメージしやすいでしょう。ここで肝心なのは電場というものはポテンシャルからできている、という考え方です。

図 6: 電流が流れると回りに磁場が生じるアンペールの法則

図 4: 電場ポテンシャルの 3 次元表示。画像は wikimedia

commons より [5]

このアンペールの法則を積分形で表すと∫Hdl = I

(6)

同様に、静磁場に対する重要な法則を２つ [Slide p24]。 微分形で表すと１つは磁場に対する Gauss の法則で、これはある閉曲

rotH = j(7)

とても単純な場合として z 軸に沿って無限長の電流がとなります。

それでは、このような場があるときに「ポテンシャル」 流れる場合を考えてみます [Slide p26 下]。電流素片 dsは定義できるのでしょうか？電場のような湧き出しのあがつくるポテンシャルは ds × r なのでベクトル積の向る場ではスカラーポテンシャルを考えてその grad で電きを考えると Ax = Ay = 0 となるのは明確。そして Az

場を導くことが出来ましたが、湧き出しが無く回転の成分は電流からの距離に依存するので上に書いた式の通ある場では B = rotA としてポテンシャル A を定義す

りになります。Az の大きさは電流から離れるにしたがっることができます。これはスライド [Slide p25] に書いて減衰し、図に示したある場所を考えると、左右でベクたように、発散がゼロのベクトル場 X があれば、別のトルポテンシャルの大きさが異なります→これによってベクトル場 Y から X を導くことができるという関係

回転 rotY が生じて、それで磁場ができると思えば、イがあることによります。(これは divX = 0 であれば、 メージしやすいのではないでしょうか（ベクトルポテン

div(rotY ) = 0 という関係式が恒等的になりたつことか シャルという川の流れがあり、あるポイントに注目すると左右の流れる量に差があれば水車がまわり、それ磁場ら理解することができます)。

一方で、たとえば多数の永久磁石を考えるときには、 であるというイメージ）。
磁子とか、ポテンシャルとして磁位を定義する方が取り余談になりますが、初めてベクトルポテンシャルを習ったときには、単に「便利だから」「ツールとして」と扱いが楽になる場合もあります。
さて、ここでいつも初学者を悩ませる（？）問題があいう説明があったようにも記憶しています。古典電磁気

ります。スカラーポテンシャルはなんとなく理解できるではなく、量子力学まで行くと話が変わってくるので興のですが、ベクトルポテンシャルとはいったい何なのか？ 味がある人は AB 効果 とかで検索（勉強）していく
本当に存在するのか？単なる便利なツールなのか？というとその先の世界が開けるかもしれません。今回の講義範ことです。これに答える前にまずはベクトルポテンシャ 疇からは外れるのでここまで。
ルと、それがつくる磁場の関係について簡単な例で考え
ます。

2.2

電流素片 ds がつくる磁場
Biot-Savartの法則

ローレンツ力ローレンツ力P(x’, y’, z’)

電場および磁場がある環境で、電荷qが受ける力はrds

Q(x,y,z)

ここから、ベクトルポテンシャルAは以下のようにあらわすことができる

B

E

i
q
?
z
z方向に無限に電流が流れる場合を計算I

P(x’, y’, z’)

例えば一様磁場中の粒子は等速円運動

r

v

q
B

dz
y
x

r
I

A

rotA

B

このとき、Aはz成分のみで、x,yが遠ざかるにつれて小さくなる。
小さくなり方によって回転(rot)してそれが磁場。

このとき1周にかかる時間はサイクロトロン周期(半径rによらない)

26

電磁気の最初の方で習う、ビオ・サバールの法則。一定

また、運動量pとするとと書ける ＝ 半径を測れば、運動量がわかる。
27の電流がつくる磁場は「右ネジの法則」で示されるよう

さて、ここまでで静電場・静磁場の話をしてきましたに電流の回りに渦をまいています。ではその電流を（物が、加速器で肝心なのはこのような場の中を荷電粒子が理では常套手段ともいえる）微小に分割した「素片」が通過したときに何が起こるか、です。それはローレンツ

生成する磁場 dB を考えるとスライド [Slide p26 上] に力の式ですべて表されています [Slide p27]。

示した式で表すことが出来ます。磁場を求めるにはそれ

一様磁場中を運動する粒子の式は上の通りで、1 周にを電流の経路に沿って積分すれば良いわけです。これをかかる時間は半径によらず一定となります。これをサイベクトルポテンシャルを使って表したのがその下の式とクロトロン周期、と呼びます。また、電荷と磁場の大きなります。

さが分かっていれば軌跡の半径を測ることで粒子の運動量がわかります。

2.3

時間的に変化する場

実は電荷の保存を考えるとおかしなことが起きてしまいます。例えば、ある領域で電荷密度が時間変化するということは ∂ρ/∂t となることに相当し、これは電流がそこ

静電場・静磁場から時間的に変化する場へ：電磁誘導から出てくることと等価です。つまり divJ = −∂ρ/∂t

磁束Φの時間変化に応じて起電力が生じるとなるはずです。これに対して、先に出てきたアンペー
ルの法則 rotH = J という式は両辺の div をとると左辺は div(rotH) = 0 ですから、整合性がとれずおかしよくある説明として「磁束の変化を打ち消す方向に電流が流れる」という表現をする（レンツの法則）

なことになります。そこで、Maxwell はアンペールの法
ファラデーの電磁誘導実験
https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_induction

則を拡張して「変位電流」と呼ばれる概念を導入しました。これで４つの基本式が出来上がります。歴史的には

Maxwell は色々なモデルを構築したらしいのですが、最終的な結論としてこの４つで時間変化する電磁場を全て（磁場の中で導線が動くとき、電子がLorentz力

で動く、と考えても良い）

28

矛盾なく記述することが出来ました。
変位電流は、例えばコンデンサーの中を流れる電流として理解するのが簡単です。

これまでの章で静的な場について話をしてきました。
ここからは時間的に変化する場について、ざっと復習します。最初のステップとしてはファラデーの電磁誘導実

2.4Maxwell 方程式と電磁波

験に代表される、「磁束が変化すると起電力が生じる」という現象です [Slide p28]。おそらく中学生か高校生の頃には、最初に「磁束の変化を打ち消す方向に電流が流れ

Maxwell方程式
電荷が動くと、電磁場を発生する（EM-field)

る」と説明されたかもしれません。これはこれで現象として正しいのですが、「なぜ打ち消す方向に電流が流れEBるのか？」という説明には応えることができません。
ここまで読んだ人には既に明確なことですが「磁場のqv中で導線を動かすと、電子が磁場からローレンツ力を受けて動く」という考え方で全く同じ結果を導くことがで

where

きます。
Maxwell方程式へむけて

30

このページは、これまでに出てきた式をまとめたもの

ここまでをまとめると電荷の保存(連続の式)と矛盾するです。この４つの式をまとめて Maxwell 方程式と呼びます。*6 この式をみると、電場の時間変化が磁場をつく

Maxwellは定常（または準定常電磁場）で成り立つアンペールの法則（ビオ・サバールの法則）を拡張し、時間変化をともなう場について変位電流と呼ばれる概念を導入した。
真電流

り、磁場の時間変化が電場をつくることが分かると思います。これらをまとめて電磁場（Electro-Magnetic

Field, EM-Field) と呼びます。

変位電流

日常生活では電子は金属中に存在しており、たとえば電池に導線をつなぐと電流＝電子の流れをつくることができます。これを時間変化させると、Maxwell 方程式か
29

らの帰結として電磁波が空間を伝搬していくことが分かります。それを模式的に示したのが [Slide p31] です。

ここまでの電磁場に関する法則をまとめると、スライ*6 この絵だと相対論的効果が入っているかのように見えてしまうの

ド [Slide p29] 左上に記載した４つの式が出てきますが、 で..... あまり良くなかったかもしれない。Maxwell 方程式から出てくる電磁波の放射は相対論とは関係無く成立します。

となります。

マイクロ波の伝播:定性的な説明
電流ループがあるとすれば、Hが出来る。静磁場であればこれだけ。

2.5
I

特殊相対論と電磁場加速器では電荷が光速に近い速度で運動します。このときに観測される電磁波はどのようになるのでしょう

Hか？まずは特殊相対性理論を復習します。

電流ループが時間変化すれば、伝播していく

ここでは２つの完成座標系 S および S’ を考えます*9 。

E(t)特殊相対論と電磁場I(t)光速度不変の原理 → 時空の相対性 を簡単に説明します。
ここで、２つの慣性座標系(S, S')を考え、x軸に方向に v で進むことを考える

H(t)
31

y’
y

マイクロ波の伝播

Sv

P(x, y, z, t)(x’, y’, z', t’)

S’

次々と伝播していく
O
z

E(t)
I(t)

x

x’

２つの系での座標変換を考えると、y,zについては運動していないので

H(t)

H(t)

となり、古典的なガリレイ変換（Galilei Transform）ではx,tについてとなるが、vが光速度に近づくにしたがって従来の考えでは不十分となった。
（歴史的には Michelson-Morley 干渉計での実験など）
34

そして S’ 系が x 軸方向に速度 v で進むことを考えた
真空中のときとき、座標変換は y,z についてはそのままで、x については x′ = x − vt となります。これがいわゆる古典的なガ32

ここでは円環状に定常電流 I が流れるときに磁場 Hができることを示します。そして、I が時間変化すると
磁場 H も時間変化します。すると E = ∂B/∂t なので変化する磁場の周りに電場が生じます。これを繰り返していくことで [Slide p32] に示すように空間に電磁波が飛び出していくことになります。これがアンテナです*7*8 。
ここまで媒質中の Maxwell 方程式を記載してきましたが、加速器のモニター機器の場合、真空（あるいは大リレイ変換 (Galilei Transform) です。そして t′ = t となるのはあまりにも自然だったのでここを疑う余地は日常生活の範囲ではあり得ないわけです。ところが、有名な Michelson-Merley による干渉計での実験のころ、このガリレイ変換では説明できない現象が出てしまったのです。たとえば、地球は自転＋公転の両方おこないながら太陽のまわりをまわっているので、ここで書いたような東西方向には x 方向に動く成分があるのに対して南北方向には移動速度の効果が無いはずです。しかし、実験

気）中での伝播を扱うことが多いと思います。その場合

結果はこれでは説明できませんでした (測定精度を上げは真空中の誘電率と透磁率を使用し、また、その空間でても同時に光が戻ってくる)。

は実電流 J が流れずに電磁波だけを取り扱うので、もっそこで、新たな変換式として、1 次変換の形を仮定しと簡略化した関係式 [Slide p32] の最後の式だけで十分*7 図では便宜的に横方向のみに伝搬していくような絵をかいていま
すが、本来ならば 3 次元的に飛んでいき、その方向は「指向性」で示します。例えばダイポールアンテナの８の字指向とか、八木アンテナの指向性など、アンテナの形状を工夫することによってある方向に限定して電磁波を放出したり、逆に受信できるようになります*8 加速器のように自遊空間を電子が飛んでいくのと異なり、金属中で動くのは伝導帯にいる自由電子だけです。そして電子自体が動く速
度は「ものすごく」遅いです。しかし、金属中の電子の数は加速器中の電子とくらべてと圧倒的に数が多いため、ほんの少し動くだけで大きな電場を作ることができます。アボガドロ数（6 × 1023 ）は超巨大です。

*9 どうでも良い話ですが、S は System(=系) の頭文字。P はPoint(=点)、原点 O は Origin の略だし、速度 v は velocity。質量 m は mass、加速度 a は acceleration, 力 F は Force、と。これらの記号は中高校生の頃から天下り的に使っているのでほとんど意識することは無かったのですが、仕事量 W について、英語の Work だと知ったのはずいぶん後...... 仕事関数 (Work Function) という文章を読んでこのことに気づくという情けなさ。英語の教科書を読めば、とても素直にこれらの変数名の意味が流れてくるんですけど日本語の中
学・高校教科書には「なぜこの記号を使うのか」という説明が無かったですね.... まぁ、当たり前すぎてわざわざ書くまでもない、ということなんでしょうか。

てみます。

{

きには (x, y, z) と t は独立ではなくなり、(x, y, z, ct) がx′=

px + qtt′=

rx + st(8)

これは単に x, t についてお互いになんらかの関係を持つということを表しているだけで、ここから p, q, r, s がそ

１つのベクトルの４つの成分として取り扱うことが必要になります。これがいわゆる４元ベクトル（four vector）
です。
ここまでだと単なる変換だけの話ですが、アインシュ「S, S’ は対等な空間であって、れぞれどのような形になるのかを求めるのが目的です。 タインの導入した考えは、どちらが正しいということはない」というものでした。

特殊相対論と電磁場

すなわち、「自然界の法則は２つの系 S,S’ のいずれから

そこで、新たな変換式として以下の形を仮定してみる。
y’

※

y

みても同じ形で表される」＝相対性原理（principle ofv

P(x, y, z, t)(x’, y’, z', t’)S’S

relativity）が成り立ち、運動方程式やエネルギー保存則など様々な自然法則はこの原理に適合するような形にな

O'

O

x

z

おしたものが真の自然法則である、と言う考え方ですx’[Slide p37]。これに従うと、たとえば質量 m は不変のものではなく v によって変わるということになりますし、

t=0 (when O=O’) のときに光を発したとする。
光の波面は伝播して点Pに到達する。どちらの系で見てもその波面は球の表面として表現できるので、波面の方程式は以下のようになる：

エネルギーも変わります。この辺を詳細に解説しはじめると時間が足りなりますし、よい教科書もほかにありま

光速度不変

すのでそちらに譲り、ここでは結果として得られる相対35

さて、S 系と S’ 系の原点が一致したときを t=0 として、その瞬間に光を発したとします。その波面は伝播して論でいくつか重要な式を [Slide p39] に掲載するに留めます（ここであらためてフォローすることは行いません）。

いき、観測者 P の位置に到達します。どちらの系でみても P に到達した時点では波面は球状に広がっていきますので、以下のような関係式がなりたちます。ただし「光速度はどちらの系でも不変である」という原理をおいています。
{
x2 + y 2 + z 2=

c t

x′2 + y ′2 + z ′2=

c2 t′2

ここから相対論でよく出てくる式など（説明はskip）

S, S'は対等な空間であって、どちらが正しいということはない。
「自然界の法則は２つの系S,S'のいずれからみても同じ形で表される」＝相対性原理（principle of relativity）

Energy E, rest mass m_0, speed of light c, speed of particle v

where
運動方程式やエネルギー保存則など様々な自然法則はこの原理に適合するような形になおしたものが真の自然法則。
now introduce a momentum p
たとえば、物体の質量mは速度vによって変わり、静止質量をm0とすると
On the other hand, from the relationshipとなることなど。エネルギーは以下のようにあらわすことができる。

you can confirm

2 2
37

ここで y ′ = y, z ′ = z ですので書き直すと、

38加速器に関係する重要な項目として、電子および陽子を加速したときに γ = E/E0 および β = v/c がどうな

x′2 − c2 t′2 = x2 − c2 t2るかを図示したものが [Slide p39 - 40] です。

の関係が得られます。ここに先ほど仮定した x′ , t′ に関Kinetic Energy and b,g of e-, pする変換式 (8) をいれると(px + qt)2 − c2 (rx + st)2 = x2 − c2 t2が得られます。この式が任意の x, t に対して成立するために必要な p, q, r, s を求めると
1′
 x = √1−β 2 (x − vt) y′ = y


z′




 t′

= z
= √1

1−β 2

(

(9)

)
vx

t − c2

ここで β = v/c とおいています。これがローレンツ変換（Lorentz Transform）です。つまり、v が非常に速いと39

運動する電荷のつくる電磁場：相対論的

Kinetic Energy vs momentum

電子に乗った系から静止系（S）へ変換 E’, B’ → E,B

電荷 q が速度 v で動く場合 (簡単のため、2次元 x-y 平面で考える)

y’
y
S

S’

P(x,y,t)(x’, y’, t’)v

距離 OP も同様に変換される r’ → r.
t=0 (when O=O’) のときに4つのベクトルは以下のようになる

r
r’

O’

O
q
静止系S’(O’-x’y’)では磁場は無く、電場のみ

xx’

また、以下の関係式が成り立つのでしたがって r’は
となる
43

42

各要素ごとに書き下すとまとめると実験室系からみて、荷電粒子の運動が相対論的な領域に到達すると下の式でいうところのsin^2の項が出てきて分布が球対象ではなくなる•

GeVクラスの電子加速器では相対論効果を気にすることは(意外と)少い•陽子（重粒子）のマシンや、電子でも低エネルギーマシン(KEKではcERLなど)では大きな効果があります➢ β = 1、γ>>1 で良い（ultrarelativistic limit; 超相対論的極限)

andその他色々と出てくるのですが、とりあえず電磁気の話に戻ります40

ここで意識すべきことをいくつか記載しておきます:• 電子は数 kV でかなり速くなる• 陽子は重く、GeV クラスまで加速しないと光速に

44

途中の詳細は各スライドを見て頂くとして、最後の[Slide p45] にも記載した通り最終的には以下のように

γ ≫ 1) として良さそう

qr
1 − β24πε0 r3 (1 − β 2 sin2 θ)3/2(10)

qv × r1
1 − β2= 2v × E
4πr3 (1 − β 2 sin2 θ)3/2
c

(11)

E=

近づかない
• 電子も 1 MeV 程度だと微妙に相対論的効果が効く
領域 (β = 1 と考えてはいけない領域)• 電子で 100 MeV 超えたら超相対論的領域 (β = 1,45

B = µ0となります。β sin2 θ の項が出てくるため、実験室系で球対象であった電磁場が粒子の速度に応じて角度分布が相対論のなかでもビーム診断に必要な電磁気の話に戻変わることがわかります。電場を例として、大きさをベります。すなわち、Maxwell 方程式を Lorentz 変換してクトルの長さで示したものを掲載します (ここには代表

ちゃんと相対論的領域で成り立つ形式に直すということ

例として２つのみ掲載します)。詳細には [Slide p46〜です。ここでも x 軸方向だけに進む系 S’ での話を考え

48] をみてください。p49 はアニメーションになってい

ると [Slide p41] に記載する結果となります。

ます。

Maxwell方程式の相対性
Maxwell方程式をLorentz変換する。(x軸方向に運動する系S’ (x’))

より、簡単のため電流密度 J=0、電荷密度 ρ=0 の場合を考えて

同様に

より、

最後に、運動する電子がどのような電磁場を発生す
るのかについて、とても分かりやすいデモとして新竹41

積氏が作成された “Shitanke Radiation (Radiation 2D

Simulator)” を紹介します。
では、電場と磁場がどのような形になるかを具体的に（簡単のため x-y の 2 次元平面で考える) 示したものが[Slide42〜45] です。

3

余談：イメージをつかむために••新竹さんの作成された、“Radiation 2D Simulator”
http://www.shintakelab.com/en/enEducationalSoft.htm

Beam Position Monitor
この章ではビーム診断の基礎となるビーム位置モニ– 現在サイト消滅 → 昨日連絡をとり、OHOのサイトへのupload許可頂いた– 残っているのはUSPASのサイトの Physics Demonstration （旧ver）

タ（Beam Position Monitor, BPM) について取り上げます。具体的なモニタの種類やその設計については他の講義（高井氏、宮原氏の講義など）を参照してください。
図 8 のような円筒型のビームダクト中を荷電粒子が移動する場合を考えて x, y のビーム位置をどのようにして検出するかを考えます。

51

残念ながら以前に公開されていたサイトは消滅してしまっています。御本人から OHO の Web サイトに掲載許可を頂きましたので 2008 年バージョン*10 をアップロードしました http://accwww2.kek.jp/oho/oho20/

oholecture2020.htm。Windows 専用プログラムです。
このプログラムについては論文（EPAC2002 に掲載 [7]）が出ていますのでそちらも参照してください。

図 8: 円筒チャンバーとビーム軌道のイメージ
前章の議論はすべて自由空間での電磁場について記述
してきましたが、実際の加速器は真空を保つため金属製

この章の最後に、１つ実用的な (?) 話題を取り上げまの容器（真空チャンバー）で囲まれています。したがっす。それは図 7 のように「２つの電子が同じ速度で動いて、仮に荷電粒子が静止していたとしても電場は球状にたとき、お互いに及ぼす力はどうなるか？」という話ではならずに図 9 左 のように壁面に対して垂直に電場がす。静止しているときは Coulomb 則ですので、同じ電立ち、壁面には符号が逆の電荷が誘起されます [8]。そ荷であれば斥力を及ぼし合います。では相対論的な電子

して、電荷が動いているときには相対論的効果によってでは?ということでこれは実際の加速器のなかでも、バ電場は進行方向に対して垂直の面（Transverse 方向) に

ンチ内の電荷でおきている現象です。特に低エネルギー

集中するので図 9 右のようになります。s 軸にそって積の電子や、陽子加速器でよく問題になる「空間電荷効果」 分すれば壁面の総電荷は電荷 q と等しく (符号逆) なりと呼ばれるものに通じます。２個の電子であれば簡単にます [Slide p56]。

計算できますので試してください。

図 9: 円形チェンバーでの電磁場。A. Hofman, “Dynam-

ics of Beam Diagnostics”, CERN-2009-005 figure 4 よ
図 7: 2 つの電子が並行に動く場合*10 これが最新版とのこと。USPAS のサイトに掲載されているのは少し古いバージョンです。本講義後の質疑時間に「境界条件の入ったモノが欲しい」との話がでましたが、私も同意します。誰か作りませんか？

り引用
高エネルギー加速器の場合（超相対論的近似が成り立つ場合）、進行方向の電場広がりは無視することができますので壁面で測定する粒子分布はもとの荷電粒子の分布と等しくなります。ということは、ダクト中でのビーム位置を計測するには粒子の進行方向分布を無視できて、２次元の静電場問題とみなすことができる、ということもういちど、ガウスの法則••

無限に長い線電荷（線電荷密度 l ）を考える
全ての電場は線電荷に対して垂直方向のみ。進行方向成分は無いです。あるいは無限に続く直流 (DC) 電流成分だけ考えlる、という言い方もできるでしょう。簡単のため、円筒は無限に長いと仮定（ビームが斜めに動く効果も無いとrdGauss’s Law :仮定）すれば、チャンバー内の「鏡像電荷」の分布から、ビーム位置を計算することが可能です。例えば、ビーム
が真空容器の中心にいれば鏡像電荷は壁面に均一に分布することは明確ですし (図 10 左）、右図のように中心か

then

らずれた位置にいれば、鏡像電荷が偏りますので、この電荷分布からビームがどの位置にいるかを算出すること58が出来ます。
ここから電場 E およびスカラーポテンシャル V は容易に求めることができて、logr の形となります。
さて、真空壁は電位ゼロの境界となります。ここでは
半径 R の円形チャンバー中心から x1 だけ離れた場所に
線電荷 λ があるとして、簡単のため x 軸を図 [Slide p60]のようにとります。ここで原点から x2 = R2 /x1 の位置に逆符号の電荷 −λ を配置すると、2 つの線電荷のつくる電場は半径 R の電位ゼロ境界を表すことができます。これを電気鏡像法*11 と呼ばれる手法でお馴染みで
図 10: 円筒チャンバー中央にビームがある場合 (左) おしょう。

よび中央からずれた場合 (右) の鏡像電荷分布。図はきち
電気鏡像法（電気映像法, method of images)

んとスケールして書いたものでは無く、イメージです。
•

ここでは無限に長い線電荷（線電荷密度 λ）を考えま

２つの線電荷を配置することで、ポテンシャル（V) がゼロのチャンバー壁（=Ground Level)を表現できるyQ

す。全ての電場は線電荷に対して垂直方向のみで、進行方向成分は無いため、これにガウスの法則を適用するには図 [Slide p58] のようなディスク上の領域を考えれば

r1

r

R
q
O
x1

r2

l

-l

P

P’

x

良い。この体積内に含まれる電荷量はディスクの厚さをd として λd であり、ディスク側面の面積は半径 r とすると 2πrd ですから、電場に対するガウスの法則 (式 1)を適用すると図左下の式となります。

Geometrical relationship (Low of cosines)60

まずは半径 R 上で電位がゼロになることを確認します。2 つの線電荷が任意の点 Q につくる電位は図 [Slidep60] の左下に書いた形になり、r1, r2 は単純な余弦定理(law of cosines) によって求めることができます。ここ*11 学部の電磁気学ではじめて習ったときには「うまく考えて便利だ
けど、こんなものが何の役に立つのか?」と思ったこともありますが...
実際、かなり役立ちます。このほかにも並行平板による鏡像電荷もビー
ム力学計算で出てくることもあります。

で、x2 = R2 /x1 としていますので、置き換えて電位をれて大きくなり、反対側の電圧が下がります。図 [Slide

計算すると [Slide p61] の最後の式となります。これをみp62] に示すように、円周上の 4 か所に電極を配置してそると、電位が角度 θ に依存しない、すなわち定数であるの表面に誘起される電荷量から位置を計算することが出ことが分かります。これで円筒境界上の電位は一定であ来ます。ここに記載しているのは通称 ∆/Σ 法と呼ばれり、適当な定数をとればそれをゼロにできることがわかるもので、ダクト中心付近でのビーム位置は左右の電圧ります。

「差」に比例することを利用しています。

ここで、x2=R2/x1 と置くと円筒境界を満足することを確認する

and

using

r=R と置くことで円筒境界の電場を求めることができる：
qに依存しない＝定数61

図 11: 円筒チャンバー上に誘起される電荷分布。縦軸は電位が分かったので、次に欲しいのは境界面上ではどのような電荷分布になっているか、という情報です。これは図 [Slide p62] に示すように動径方向に微分すれば良く適当にスケールしている。
図 [Slide p63] に実際に使われているボタン電極の例を示します。具体的な設計指針などは参考文献 [9] を参照してください。

鏡像電荷の分布電極の例

チャンバー上の電荷分布はポテンシャルを動径方向に微分してKEKBのBPM (1/4 cut mode）
N-connectorとなる。簡単のため”normalized position”として P=x/R を使用すると以下のようにも表現できる

y

図のような位置に電極を配置。
各電極に発生する電荷量から x,y 位置を計算する（線形近似）QB
QC

周波数特性を改善するためガラ
スフィードスルーを使用したボタン
電極の例。SMAコネクター。
ceramics er ～10> glass = er ～ 4

QA
x

QD

M. Tobiyama
Proc. IBIC2012 tuta02 talk62

63となります。当然ですが x1 = 0 とすれば一定分布となりますし、例えば R = 54 mm の円形ダクトに対して(後述する PF-AR のダクト）ビームが中心から 5 mm,
10mm とずれたとき*12 にどうなるかを図 11 に示します。
角度 θ = 0 がビームが動いていく方向で、近づくにつ*12 蓄積リングでは実際にはこんなにずれることはほとんどない（はず）です。Linac では調整によって大きな変位を出すことは可能です。

電極の配置は上下左右だけには限りません。蓄積リン
グでは放射光が当たってしまうのを避けるために、45 度
回転した図 [Slide p64] のような配置を取ることが多くあります。この場合も計算式は大差ありません。式の意
味合いは明確と思います。

りません。単純な形状であれば鏡像電荷の配置を工夫す

ピックアップ電極の配置例

ることで解析解を求めることができる場合もありますが、

円形ダクト＋45 deg rotated 配置

数値計算で行う方が現実的でしょう。そして今では有償・– 放射光リングでは、光が当たるのを避けるためこのような回転配置をとる場合が多い。

無償含め様々なツールが存在しています。よく使われるyVb

ソフトとして CST Particle Studio/Microwave Studio,

このときの x,y 位置計算式

Va

QB

GdfidL, MAFIA, Poisson/Superfish などが挙げられまQAす。これらの計算ツールでは大きく分けて２つの手法が
x

使われます

QD

QC

• 有限要素法 (FEM, Finite Element Method)• 境界要素法 (BEM, Boundary Element Method)

Vd
Vd

64

ビームがダクト中心付近にあるときにはこのような線形近似で十分です。中心から外れた場所では、高次の多項式近似を使ったり、電圧の Log をとったり、AM/PM法と呼ばれる方法を使ったりします。それぞれに利点と欠点がありますが本講義では k これらの手法の比較は行
わず多項式での例を紹介するのみとします。他の手法に興味のあるかたは参考文献 [10] に詳しいので参照してください。
多項式の定義の仕方にも色々な可能性があります。よく使われるのは、図 [Slide p66] のように U, V として電荷量で規格化した位置を定義して、それらの多項式として計算する方法です。もちろん 1 次だけ使うと前のスライドで説明した式と一致します。同じ図にマッピングの例を示します。青色が元のビーム位置で、赤色で示したものが多項式による計算です。これらの計算は円形ダク
トであれば先に述べた電荷分布の解析式から導くことが出来ます。

FEM では計算したい空間をメッシュで区切り、各点での電位など各種の物理量を計算します。一方で BEM は注目している境界部分を区間で区切り、その上に電荷を配置してポワソン方程式を解きます。したがって、数値計算の速度や誤差の点で（2 次元メッシュではなく 1 次
元の分割だけで済むので）有利になります。また、単純なので自分でプログラムを書くこともできます。ぜひ挑戦してみてください。
詳しくは新竹氏の執筆された NIM 論文 [11] を参照してください（本講義のスライドやこの文書は、あくまでも概略を紹介することが目的です。元の論文を読むことをお勧めします）。
解きたい問題は図 [Slide p68] 左下にあるような、真空容器をポテンシャルゼロの金属境界とした領域の内側にある電荷が境界上につくる電磁場を求めることです。
これはラプラス方程式 ∇2 = ϕ を満たし、境界条件として ϕ = 0 を満たします。そして、この問題は右下の図のような、境界上に分布した電荷と内側の電荷からつくる
ポテンシャル問題と等価です。
境界要素法

多項式での計算例•

例えばU,Vを定義•

15– FEM uses 2-Dim “mesh”– BEM uses 1-Dim “line charge”

有限要素法は非常に細かい構造の計算には有利
境界要素法は高速かつシンプル。実は高精度。簡単に自分で実装できる。

•

Reference : T. Shintake, et.al., NIM A254(1987) 146-150

cERL でのBPM 位置計算例（5次多項式）
おおよそ -5mm< (x,y) <+5mm の範囲では Linearで良い

5

Y [mm]••

Beam position
Calculated10

理想的にはビームをこの範囲内に保って運転することが望ましい。（蓄積リングではだいたい実現可能。しかし、Linacではどこの場所でも通ることができるので

0
-5
-10
-15
-15

Boundary Element Method (BEM)

-10

-5

0

X [mm]

5

10

15

注：通常は4電極和は電荷量に比例する。
x,yが大きくなると 補正が必要となる
66

Original problem. The field satisfies the
Laplace equation
andon the boundary.

Equivalent problem described byfree charges only

68

領域内のポテンシャル ϕ(r) は表面電荷と実電荷との一方で、加速器のダクトは必ずしも円形ばかりではあ

和となります。ここで詳細な式を再掲することはしませんが、流れとしては各電荷からのポテンシャルを計算して、区間を十分小さく区切ることで積分を和に変えるとBEMなら任意の真空容器形状に対応できる
例：cERLのアーク部のダクト形状

いう常套手段です。このようにすると単に逆行列を計算するのみとなります。
１つだけコメントを追加したのが図 [Slide p71,72] です。ソースとターゲットとの距離が離れている場合 Gijの計算は特に問題ありませんが Gii の場合は発散するので少しだけ注意が必要です。
Comment•

How to treat i=j case?
i-1
i
i+1

Dsj

i-1

i

rij

i+1

※ 例えば4電極を使うとして、どの位置に、どのサイズの電極を配置するのが良いか検討する際に使うことができる。
例：x, y の係数が偏りすぎないように、とか、非線形項を使わずにどこまで
Linear 計算でカバーできるか、など検討

sj j

76

j+1
j-1

sj j

No problem

has the form

3.1

Gii(r) becomes infinite at r -> 0 limitG(r)時間応答とビーム計測

ここまでの話で、真空チャンバー内の static な 電
0r

However, you can integrate from 0 to some length
has the form

荷分布の計算ができるようになりました。これは時間方
向には無限長の電荷が存在していることと等価でした。
実際のビーム計測では、加速器内の電荷は時間方向に塊71

図 [Slide p73, 74] は元論文にある図のままです。サンプルとして PF-AR のダクトでの計算が掲載されています。最近の計算機の能力であれば 100 分割よりももっと多く分割して計算することは容易です。ぜひ試してください。円形ダクトの場合は数値計算の結果と解析式との比較が容易ですので、ちょうど良いサンプルとなるでしょう。図 [Slide p75] は論文掲載と同じダクト形状で、BEM による計算をおこなった例です。このようにチェックを行った後で、任意のダクト形状に拡張することをお勧めします。
図 [Side p76] は cERL アーク部のダクト形状の例を示しています。例えば 4 電極を使うとして、どの位置に、どのサイズの電極を配置するのが良いか検討する際にBEM を活用すれば計算時間が早いので便利です。実際の設計にあたってどのように配置すべきかは色々な指針（流儀）があります。例えば、x, y の係数が偏りすぎない
ように、とか、非線形項を使わずにどこまで Linear 計（バンチ）を形成しています。そこで次の段階としてバンチの時間構造やピックアップ電極の周波数特性などについて簡単に説明していきます。おおまかなイメージを持つことを目的として詳細はそれぞれの参考文献に委ねます。
まずは平松先生の教科書 [1] より引用します。静電型モ
ニターは一般化すると [Slide p78] にあるように、ビーム電流に相当する電流源と、検出部である抵抗成分とキャパシタンス成分から記述することができます。典型的な
ボタン電極では数 pF 程度、検出用の抵抗は通常 50Ω を使うことが多いです。この等価回路は

dv
v
dq
=C
+
dt
dt
R

(12)

となり、この解は∫
1 t dq(t′ ) −(t−t′ )/CR ′v(t) =edt + v(t0 )e−(t−t0 )/CR
C t0 dt′(13)

算でカバーできるか、などです。ボタン電極であれば、 となります。ここで第 1 項がバンチ形状に依存する部分
次の章で述べる時間応答まで考慮してサイズを決めるの で、第 2 項は時間とともに変化する成分で最終的にはゼが良いでしょう。

ロになる成分です。KEKB でのバンチ形状で計算した
例は [Slide p80] に記載します。実際に PF-AR で観測した BPM 信号の例を図 12 に示します。測定に使ったのは 500 MHz 帯域のオシロスコープです。

に電荷の周波数分布項 Q(ω) がかかります）これを図示したものが図 13 です。

図 13: ピックアップ電極の周波数特性のイメージ。
図 12: PF-AR single bunch でのビーム測定例。横軸 2

ns/div。

実際の測定では、加速器トンネル内から外の測定室まで同軸ケーブルを使用することが大部分です。このとき、周波数特性が高いと減衰量が大きくなります。個オシロスコープは入力信号の「時間変化」を表示する

別の特性は各社が出しているスペックシートで確認*14

測定器で、横軸を時間、縦軸を電圧として表示します。 するのが確実です。実験室でよく使っているケーブルに一方、目的によっては時間領域 (Time Domain) で信号 RG58 ケーブル*15 がありますが、これは 1 GHz で 約を測定するのではなく、どのような周波数成分をもってい

0.6 dB/m の減衰量です。シールド性の問題もあります

るかを測定した方がビームの振る舞いを解析する上で便のでおおまかにいって 1 GHz より上の信号では使うべ利なことが多くあります。これは周波数領域 (Frequency

きではありません。本当は 500MHz でも避けたいとこ

Domain) での測定と呼ばれ、通常はスペクトラムアナ

ろです。減衰量だけに注目すれば、一般的に径の大きいライザと呼ばれる装置で測定します。*13 例えば Keysight （太い）ケーブルを使う方が有利で、高周波特性（周波社の”Spectrum Analysis Basics’ などに詳細な説明があ

数分散特性や位相安定性）を考慮すると中の絶縁体の材

ります [Slide p82][12]。

質まで含めて検討することが必要となります。特にパル

さきほどのボタン電極の信号を周波数領域でみるとどス波形（矩形波）をちゃんと伝送しようとすればこのあのように見えるでしょうか。式 13 の解（の振動項）は{
v = V (ω)e−jωt(14)q = Q(ω)e−jωt

たりに気を付けましょう。逆に同軸ケーブルを高周波数領域の信号を減衰させるための Low Pass Filter として活用する場合もあります。ビーム信号の周波数特性と、これらケーブルの特性まで考えてイメージすると図 14の形をしていることは明らかですので、これを代入するのような形になることが理解できると思います。

と電圧は以下の式で表すことができます。

V (ω) =jωQ(ω)
1C jω + CR(15)

この形から、電圧の周波数成分はもともとの電荷分布

Q(t) を周波数領域で表した Q(ω) に対して、ピックアップの周波数特性を乗じたものになる、ということです。
周波数が低い時、すなわち ω ≪ CR の領域であれば分

図 14: 同軸ケーブルの損失を考慮するとこうなる。ま母第 2 項は無視できるため V (ω) ∝ CR となり、周波数

た、一般的にバンチ形状の周波数成分も高周波領域ではが高い時 ω ≫ CR では逆に周波数依存項が無くなって下がっていく。

V (ω) = const. となることが分かります（もちろんこれ*14 昔は「電線便覧」というキーワードだった気もしますが、これは*13 もちろん時間領域で取り込んだ後で FFT(Fast Fourier Transform) をかけるやり方もあります。これは低周波領域で良く用いられ 死語になりつつあるのでしょうかる手法で、このときには FFT アナライザと呼ばれる装置をつかうか、 *15 RG は Radio Guide の略。58 は米国での型番です。JIS 規格では 3D-2V に相当します。
計算機で取り込んだ後に解析したりします。

次にビーム形状に起因する因子 Q(ω) の項について考えます。加速器中を周回しているバンチは一般に進行方
向にガウス分布をしています*16 。これを周波数領域に変Beam signal : single bunch or bunch train••

Monitor a bunch at some location of the ring
Assume a “Impulse” beam

Trev

換するにはお馴染みのフーリエ変換です。詳細は付録 Aを参照して頂くとして、ガウス分布をフーリエ変換する
Vとガウス分布になることはすぐに理解できるでしょう。

Trev

KEK-PF: ～600 ns
KEKB : ～ 10ms

時間領域でバンチ長が長いときと短いときに、周波数領域でどのように見えるかを図 [Slide p89] に示します。この特性を使ってバンチの長さを測定するということも行

Oscilloscope
Spectrum Analyzert
In frequency domain : Fourier transform

われています [13]。最近ではより短いバンチの長さを測Amp定するために THz 領域の信号を使ったりもします。

DC

frev
2*DC

KEK-PF: ～1.6 MHzKEKB : ～ 100 kHz

f
90

Gaussian Beam•

The single bunch spectrum rolls off in high frequency depending on
its bunch shape (Gaussian for electron storage ring).

さらに複数のバンチをリングに蓄積するとどうなるでしょうか。リング内に n 個のバンチを蓄積したとすれ
ば、各バンチの時間間隔は [Slide p91] に示すように 2

ns となります。このとき周波数ドメインでは周回信号の成分は完全に消えてしまい、RF 周波数おきの信号と

1 nC bunch

なります。例えば PF では 1.6 MHz の周回周波数成分
は消えてしまい、500 MHz おきの線スペクトルだけ残ることがわかるでしょう。このように時間領域で密になるほど周波数領域では疎になります。
multibunch

89

Every bucket are filled with bunch

ここで、ひとまずバンチ形状のことを忘れて蓄積リン

Trf = 1/frf

グの 1ヵ所でビームをみるとどのように見えるか、という話をします。簡単のためバンチは非常に短いインパル

V

Trev

ス形状とすれば、周波数領域では無限に続くインパルス

KEK-PF: ～2 ns
KEKB : ～ 2 ns

列になります。例えば PF の場合はリング 1 周を周回す
るのに約 600 ns を要しますので、周波数領域では約 1.6

Trft
In frequency domain : Fourier transform

MHz おきの線スペクトルが測定できます。KEKB の場
合は周長が長く約 3 km ありますので、周回に 10 µs を要し、これは周波数領域では 100 kHz の密な線スペク
トルとなります [Slide p90]。

Amp

fRF
KEK-PF : ～500 MHz
KEKB : ～ 500 MHzf91

以上で全ての道具立てがそろったので、実際の信号がどのようになるかを見てみましょう。図 15 に AR で単
バンチ運転したときの、ボタン電極で測定した周波数領域信号を示します [Slide p101]。縦軸で使われるデシベ
ル表記 (dB, dBm など) に関しては付録 B を参照してください。本当は周回周波数 (AR では 800 kHz) ごとに線状にスペクトルが立っているのですが、この横幅だと一*16 線形加速器や陽子リングでは異なる場合もありますが、大きくは違わないことが多い

様に塗りつぶされて表示されています。横軸 (周波数軸)を拡大すれば判別できます。次に、前に説明した通り、

ボタン電極は DC 成分が通りませんので、左端に向かっては信号レベルが下がっています。そして、周波数が高くなるに従って信号が減衰していることが分かります。
ただし、縦軸が Log 表示であることに注意してください。リニアスケールで見るとかなり印象が異なります。
もう１つ注目すべき点はマーカーの位置 (約 1.8GHz) 付
近からスペクトルの形状に凸凹が見えることです。これは真空容器を金属の導波管としてみたときにカットオフ
周波数より上の信号成分は伝達するということを示しています。目的によりますが、例えば「ビーム位置を測定したい」のであればこれより上の周波数を使うべきではありません。

図 16: PF-Ring の全バンチを入射したときの信号。横軸 500 MHz 〜 3 GHz。
それでは、全バケットに蓄積するのではなく、一部にビームが無かった場合はどのように見えるでしょうか？

[Slide p103〜105] に掲載したように、大局的には矩形波とみなすことができて、パルス列の幅に応じて sinc 関数(= sin(x)/x の) 形となります。そして信号強度が下がる
場所がパルス列の幅に相当します。スライドでは先に周
波数スペクトルを出してそこから時系列を推察するという話にしましたが、時系列から周波数の方が理解はしや
図 15: PF-AR 単バンチ運転時のスペクトル。横軸はすいかと思います。ただし、frequency domain と time

周波数で 0〜3.6 GHz の範囲を表示している。水平 360

domain は 1 対 1 の関係なのでどちらからでも変換でき

MHz/div, 垂直 10dB/div, Reference Level -10 dBm。

ることが望ましいです。実際に、ビーム不安定現象への対策のために「ここの周波数成分を落としたいので、バ次に、PF-Ring で全バケットに蓄積したときの信号

ンチの時間構造を変える」ということも行っています。

を示します。RF 周波数は 500 MHz で、その整数倍にピークが見えており、その間にはほとんど信号が見えな
い（30 〜 40 dB 下のレベル) ことがわかります [Slidep102]。

図 17: PF バケットの一部にビームが無い場合の時系列
信号（左, 80 ns/div, 200mV/div）およびその周波数領域での信号（右, CF 1 GHz, Span 1 GHz）。

4

ビーム強度測定ここから先のトピックスは講義では時間が無いため省略しました。ただしスライドは残してありますので [Slide108 - 121] 興味のある方はざっと見て頂くと良いかと思 くのビームモニター関係者の協力を頂きました。ここに感謝いたします。

います。

1 つだけコメントすると、DCCT の原理はそんなに難しいモノではありません。とはいえ、現実的に高精度なものを作ろうとすると加速器の周りにある外部磁場や温度変化など様々な外乱が影響します。また、真空容器のどこかに金属壁を切る部分（通常はセラミックスで製作する）が必要になり、ビームが誘起する高周波信号への対策や、発熱対策も必要になるなど色々と大変です。[Slide p116] は一般公開用に春日俊夫先生がつくっ*17た DCCT おもちゃです。少し分かりづらいかもしれませんが、中央付近の白いケーブル（ワニ口クリップ付き）と、電流計・乾電池・可変抵抗からなるループ部分がビーム電流を模擬しているところ。回路につながっているのが DCCT としての検出回路です。真空対応ではな
いことを除いては実際に使われる DCCT と同じ原理で動作します。このようなおもちゃを作ることも原理の理解に役立ちます。ほかにもストリップラインで電気信号

参考文献[1] 平松 成範, 「加速器のビームモニター / Beam Instrumentation for Accelerators」, KEK Internal
2004-4[2] 金原 寿郎, 「電磁気学（I）（II）」基礎物理学選書
12A, 裳華房[3] The Feynman Lectures on Physics https://www.
feynmanlectures.caltech.edu/[4] 前野 昌弘, 「よくわかる電磁気学」, 東京図書, http://irobutsu.a.la9.jp/[5] https://commons.wikimedia.org/wiki/File:の伝わる早さを測定するおもちゃなどもありますので、Electric-field-terrain-model-3D-potential-with-point

興味のある人は連絡してください。

jpg[6] https://commons.wikimedia.org/wiki/File:

DCCTおもちゃ•

VFPt_cylindrical_magnet_thumb_potential

春日先生謹製。一般公開用。

[7] T. Shintake, “New Mathematical Method for Ra-

DCCTコア
DCCT回路: 電流表示

diation Field of Moving Charge”, Proc. EPAC02,
Paris, France (2002)1667, https://accelconf.
web.cern.ch/e02/PAPERS/WEPRI038.pdf

ビームを模擬電流計[8] A. Hofman, “Dynamics of Beam Diagnostics”,
CERN-2009-005, p67 (Lecture Note of CERN Ac-

可変抵抗

celerator Schaool 2008, Dourdan, France) https://cas.web.cern.ch/previous-schools

乾電池
116

[9] M. Tobiyama,

Tutorial Talk at IBIC2012,

TUTA02.

5

最後にビーム計測の基礎となる電磁気学から位置モニターの解説、覚えておくと現場で役立つだろうと思われる知識[10] R. E. Shafer, “Beam Position Monitoring”, AIP
Conf. Proc. 249, 601 (1992); https://doi.org/
10.1063/1.41980などを書き散らかしてきました。これをきっかけに、計[11] T. Shintake, et.al., “Sensitivity Calculation of

測に興味を持つ人がおられたならば存外の喜びです。執Beam Position Monitor Using Boundary Element

筆にあたっては PF, KEKB, Linac, J-Parc をはじめ多Method”, Nucl. Inst. Meth. A254(1987) 146150, https://doi.org/10.1016/0168-9002(87)*17 立派な箱に入れるのではなく、できるだけシンプルな構成にして単純な原理を見せるのは重要。回路図もあります。

90496-7

[12] Keysight Application Note 150, “Spectrum Analy-

付録 A

フーリエ変換について

sis Basics”, http://literature.cdn.keysight.
com/litweb/pdf/5952-0292.pdf

私が大学院生のときに指導教員から教えて頂いた参考書として R. Bracewell 著の “The Fourier Transform[13] T. Ieiri, “A real time bunch-length monitor using

and its Applications” [14] を挙げておきます [Slide p86
the beam spectrum and measurements of bunch 〜89]。Time Domainomain/ Frequency Domain をイ
lengthening”, Nucl. Inst. Meth. A329(1993)371 メージでつかむにはこの本が素晴らしいと考えていま

https://doi.org/10.1016/0168-9002(93)す。残念ながら Amazon では売り切れていたり高騰して91272-O

いたりしますが、研究所や大学の図書館にはあると思い[14] R. Bracewell, “The Fourier Transform and its Applications”, McGrow-Hill, (1978)

ます（KEK の図書にはありました）。
この本では関数 f (x) のフーリエ変換を F (s) と定義するとき、下の式のように規格化項を exp の肩に乗せる流儀で、∫ ∞F (s) =

f (x)e−i2πxs dx

−∞

および

∫ ∞
f (x) =

F (s)e−i2πxs ds−∞のペアで定義します。f (x) ががガウス分布であれば F (s)はガウス分布になるのは明らか。
このほか、Frequency Shift / Time Shift Theorem とかがグラフィカルに表示されているので初学者にとって直感的な理解を助けると思います。後ろの方では因果律(causality) とヒルベルト変換の話とかも出てきたりし
ます。

付録 B

デシベルについてオシロスコープは（通常の使い方では）入力信号の時
間変化、すなわち横軸に時間、縦軸に電圧を表示し、電圧はリニアスケールで表示します。どんなに良くてもダイナミックレンジは２桁（100 倍）無いくらいでしょう。
例えばピークで 1 V の正弦波を表示したときに 1 mVの電圧を同じスケールで読み取ることはほぼ不可能で、10 mV の桁であっても苦しい（拡大すれば見えないわ
けではない）といったところ。もちろん、デジタル値として読み込んで処理すればもう少し良くなりますが、通常は有効ビット数 8bit 程度しかありません。一方で、スペアナは（通常は）入力信号が非常に微弱なものから大信号まで幅広い入力電圧を表示することが必要です。例
えば周波数によって信号強度が 100 倍違うというのは良くある話です。そのため、縦軸は「デシベル」単位で表示することが大部分です [Slide p95-97]

とても微弱な信号から大強度の信号まで、幅広い入力

また電力は電圧の 2 乗ですから、電圧をいちどに表示するにはどうするのが適切でしょう

dB = 20 × log

か。一般的に大きい（小さい）数を表す方法といえば、指数表現でしょう。そして指数表現した数字の常用対数をとると、指数部分を整数で表せるので簡単になります。
つまり、log10 10−2 = −2 です (下の表の右端)。
数値であることはすぐに分かるでしょう。下に覚えておくべ
き比率を一覧にします*19 。

dB

電力比

電圧比

comment

log10
→

0 dB

1

1

log1 = 0

-2

3 dB

2

1.4

√
log2 = 0.31, 2 = 1.41√
log10 = 1, 10 = 3.16

指数表現

0.01

=

10−2

0.1

=

10−1

→

-1

1

=

100

→

0

2
3

10

→

4
10

=

1

6 dB
10 dB

1

2

→

20 dB

100

10

2

→

30 dB

1000

30

3

40 dB

10000

100

10
100

=

10

1000

=

103

V2
V1

また、log を使うと、掛け算を足し算で、割り算を引き算で表すことができるのもメリットで、後述する多段のアンプなど考えるときに役立ちます。

dB 単位は電圧の「比」を表すものでした。一方で、少し似ていますが dBm は 「1 mW」を基準とした電力を表す単位です [Slide p98]。これも良く使うので覚えてお=log(a) + log(b)きましょう。例えば 0 dBm は 1 mW のことで、 1 W

log(a/b) =log(a) − log(b)= 30 dBm となります*20 。

log(ab)

例えば、なにかのシステムで電力を伝えることを考え

Q: 0 dBm の信号をオシロスコープの 50Ω 負荷で測定すると、何 V か？

ます。

A: P = V 2 /R で R = 50Ω なので、これから計算すると V = 0.224 [V] = 224 [mV] となる。ただし、こ√れは「実効値」なので、ピーク電圧はこれの 2 倍図のように入力パワーを P1 , 出力を P2 としたときにP2
B = log
P1になり、もしオシロで測定するときの peak-to-peak
であればさらに 2 倍となる。0 dBm の信号はオシロで測定するのにちょうどよい程度の電圧信号といえるでしょう。

これが「ベル」単位 B の定義です。ただし、実用上はベル単位が使われることはほぼ無くてこれを 1/10 倍した数値である「デシベル」単位が使われます。これはベル単位は実用単位として大きすぎて、日常生活とかけ離れた数字にになることによります。例えばコップに入れる水の量を考えるときにはリットル ℓ では小さな数値になりすぎ、ミリリットル mℓ だと大きな数字になりす
ぎるのが原因で「デシリットル」を使うのと同じ理屈です*18 。

dB = 10 × log

P2
P1*18 最近、デシリットルを見ることがなくなりましたね。一方でなぜかセンチリットル cℓ は根強くのこっている気がします（特にヨーロッパ界隈）。センチデシベルにしなかったかというと.... アメリカだからでしょうか。アメリカの液体にはガロン・オンスがあるし。

回路でよく使うアンプや減衰器は dB 表示をすると便利です。例えば 1/3 に信号を減衰するのは log(1/3) =*19 10dB の電圧比は 3.16 倍だが、現場では 3 倍と覚えておくと吉*20 実は dBm は SI 単位系ではなく、実用単位です。将来的には Wに統一されて書いてはいけない単位になってしまうのでしょうか？現
場レベルではなかなか消えないとは思いますが...

−log(3) のように引き算で考えることができるので、たとえば以下のように信号をつないだ時でも、信号をアンプしたり減衰したりするたびに〇倍する△分の 1 にする、などと掛け算で考えずに単に dB 数の加減算を考えるだけで済みます。

以下は雑談レベルの話です [Slide p100] 。加速器でよく使う「dBm」単位は電力を表す単位（W 相当）であって、「dB」と言ったら 相対的な量を示す単位 であってなにかのゲインや減衰を表します。この２つを混同することはあり得ません。そして、なにかの絶対値を表すときには dBV とか dBµ など、dB の後ろに何かが付いた絶対レベル値を使います。一方で、音圧を表す業界はちょっと特殊で、慣例として「dB」といったときに勝手に基準
音圧＝ 20µPa に対する相対値として表します。よく騒音計で〇 dB は図書館に相当し、工事現場は○○ dB といった表記を見たことがないでしょうか？正直言ってこれを見るたびに「dB といったら相対値だろう！」と、気持ち悪くて仕方ないのですがこれも業界の標準なので、従うしかありません。
（場合によっては dB SPL と明示
してある場合もあります。Sound Pressure Level の意。）
※ 通常の人間が感知できる最小音圧は 20µPa と言われていますのでそれが基準らしい。