ここでは、主リニアックとバンチ圧縮装置（bunch
compressor）のビームダイナミクスについて述べる。

Table 1, Parameter of ILC Main Linac (ECM=500
GeV)
Beam energy

13~15 GeV to 250 GeV

Acc. Gradient31.5 MV/m

Bunch Population

1 ~ 2 x1010 /bunch

1. はじめに

Number of bunches<= 5640 /pulse

主リニアックは LC の中で圧倒的に長い部分であTotal particles<=5.64 x1013 /pulse

るが、ビームダイナミクスの観点からは単純な基

Bunch spacing>= 150 ns

本要素の繰り返しであり、数が非常に多いことをBunch Length0.15 ~ 0.3 mm

除き、LC のほかの部分と比べて複雑な部分ではEmittance x

8/10~12 x10-6 m-rad

ない。

Emittance y

2/3~8 x10-8

同じ要素の多数の繰り返しであるため、後でみる(at DR exit/IP)

1. 主リニアック

m-rad

ように、ある程度解析的な計算が有力である場合も多い。しかしながら、軌道の補正などを含めるには解析的な計算のためには問題が複雑になりすぎる。したがって、ほとんどの場合、計算機を使ったシミュレーションが欠かせないものとなっている。

2. ILC 主リニアックの構成
2.1. パラメーターと基本構成単位
Table 1 に、衝突点での重心系エネルギー５００
GeV の場合の現時点（2006 年 7 月）での ILC 主
リニアックのパラメーターのうち、ビームダイナ
ミクスに特に関係するものを示す。パラメーター
は一つの決まった値でなく、ある幅を持っている。
主リニアックは、基本的に Fig１のようなクライ
オモヂュール 3 つからなる構成単位の繰り返しである。電子、陽電子それぞれの主リニアックには、この単位が約 320 個ある。

Fig. 1, Unit in Main Linac. There will be about 320
units per Linac.
ただし、３２個の加速空洞毎に、つまり、４個のクライオモジュールのうちの一台に４極磁石を１個置くという案もある。今年の７月まではこれが標準の設計であったため、以下に出てくる図や数値にはこのような構成を仮定しているものもある。このため数値の若干の違いがあるが、重要な性能上の違いはないはずである。
200

磁石の両側には BPM（ビーム位置モニター）と150

ステアリング磁石（主に補正用の弱い２極磁石）がある。

βx,y (m)24 個の加速空洞毎に、４極磁石が置かれる。４極

βx (m)βy (m)

2 103

4 103

100

50

0

0

6 103

s (m)

Fig. 2, Beta-function vs distance.

8 103

1 104

Fig. 2 に４クライオモジュールに１個の４極磁石られるが、これはきちんと確認しておく必要があを置く場合のベータ関数を示す。単純な FODO でる（次節以降参照）。

あり、この設計では、FODO セル当たりの位相の進みは水平方向 75、垂直方向 65 度で、リニアッ

3. ビームの質

クのどこでも一定である。

主リニアックの役目は、当然ながらビームを加速

2.2. 地球の表面に沿うリニアック

することであるが、「ビームダイナミクス」の研究の主な目的は、「いかに質の良さを保ちながら長い距離にわたって超伝導空洞に液体ヘリウム

ビームを加速するか」であると言える。

を供給するための技術的な理由から、主リニアッ「ビームの質」とはなにか？大雑把には、全てのクのクライオモジュール（に沿ったヘリウム供給

方向についてビームのばらつきが小さいことでライン）は、重力に対して垂直（水平面に対してあると言える。

平行）に設置されるのが望ましい。つまり、主リ

この「方向」は普通、縦方向（ビーム軸方向）とニアックは地球の表面に沿った曲線になる。

横方向に分けられる。また、横方向は、水平方向

ビームオプティクスとしてセル当たりの位相のと垂直方向に分ける。これら３つの「方向」（自進みが一定の FODO を仮定し、アラインメント

由度）各々について２次元（位置と運動量、など）の設計基準線（全てのコンポーネントがこれを基となる位相空間を考えるのが普通である。

準にして設置される）を円とし、ビームが４極磁

ビームは、この合計６次元の位相空間の中に分布

石の中心を通るようにすると、ビームの設計軌道しているわけだが、大雑把に言えば、この分布がは Fig.3, 4 のようになる。ステアリング磁石は補安定しており（どのパルスのどのバンチも同じよ正のためだけでなく、このような軌道を作るため

うな分布を持つ）、分布の範囲が狭い（バンチのにも使用する。

サイズが小さい、など）ビームが「良質」であると言える。
ビームの「質の良さ」は基本的にダンピングリン
グで作られ、その下流では、この質をいかに保っていくかが課題になる。

4. エネルギーの広がりと安定性
Fig. 3, Schematic view of alignment and beam orbit
which are following the earth curvature.

まず、縦方向を考える。これは、粒子の縦方向の運動量と位置の２次元としてもよいが、エネルギ
ーと時刻（ある位置に到達する相対的な時刻）と考えてもよい。主リニアックの場合、ビームエネ
ルギーが高く、超相対論的であることから、縦方向の位置は固定されていると考えてよい。縦方向の位置の変化はバンチ圧縮装置では非常に重要になるが、主リニアックでは、エネルギーの分布の変化のみを考えておけばよい。

Fig. 4, Alignment line and beam orbit, 150 m of themain linac.

従って、主リニアックに関係するビームの縦方向

この曲がりが滑らかで緩やかであれば、ビームダ（１）エネルギーの安定性、イナミクスの観点からは問題にならないと考え（２）エネルギーの広がりの小さいこと、

の質は、

である。

8 104

Deceleration by wakefield (V/m)

エネルギーの不安定や広がりの増大は、２つの影響をもたらす。すなわち、（a）重心系エネルギーの安定性、精度の悪化（b）粒子のエネルギーに依存した横方向の運動（粒子軌道）の変化。それによるルミノシティの減少。

一方、（b）は、理想的には存在しないものである

6 104
5 104
4 104
3 104
2 104
1 104
0
-0.001

ただし、（a）は、物理のテーマによるがほとんどの場合（b）ほどは問題にならないと思われる。

7 104-0.000500.0005

0.001

z (m)

Fig. 6, Energy loss per unit length of accelerating
cavity due to wakefield. Single bunch.

が、実際上はより重要になる場合が多い。
3.145 1074.1. 単バンチのエネルギーの広がり

2 105

高周波による加速と加速空洞でのウェーク場を考慮する必要がある。
線電荷密度を λ (z ) 、ウェーク関数を W (z ) とする

3.14 107

1.5 1053.135 107

1 105

wakefield

3.13 107

wakefield (V/m)

まず、単バンチのエネルギーを考える。

Accelerating field (V/m)

RF field
Total acceleration

5 104と、位置ｚにある粒子がウェーク場のために失うエネルギーは

3.125 107
-0.001z
Eloss = e ∫− ∞ dz ' λ ( z ' )W ( z − z ' )(4-1)-0.000500.0005

0
0.001

z (m)

Fig. 7, Energy gain from RF field, energy loss due towakefield and total energy gain per unit length.

と書ける。
Fig. 5 には、短距離でのウェーク関数[1]と電荷密度（σ=0.3 mm の正規分布）を、Fig.6 に式(4-1)

図に示したように、エネルギーの広がりを最小にから計算したエネルギー損失を示した。

するためにバンチの中心は高周波電場のピーク

高周波による加速勾配の設計値が 31.5MV/m でではなく約５度ずれたタイミングに置いている。

あるから、ウェーク場の効果は最も大きいところ

エネルギーの広がりはリニアックの中ではあまで約 0.25%になる。

り増加しない。加速があるために相対的なエネル

高周波によるエネルギー増、ウェーク場によるエギーの広がりは減少する。Fig.8 に、これを示し

ネルギー減、これらの合計をしめしたのが Fig.7

た。電子ビームの場合は陽電子生成のためのアンである。

ジュレーターを通る部分でエネルギーの広がり

4 1013が増大する。
（エネルギーは減少する。）

5 10-6

3.5 1013
4 10-6Charge Density (C/m)

WL (V/C/m)

3 1013
2.5 1013
2 1013
1.5 1013

1 1013

3 10-6

2 10-6

1 10-65 1012
0
0

0.001

0.002

0.003

s (m)

0.004

0.005

0
-0.001-0.000500.0005

0.001

z (m)

Fig.5, Wake function (left) and charge density in abunch.

エネルギーの安定性は、高周波電場の振幅と位相0.012の安定性から決まる。

0.01

σE/E

0.008

Positron

高周波電場の振幅と位相の変動が、クライストロ

Electronンからの高周波の変動によるとし、個々のクライ

0.006

ストロンの変動が独立であるとすると、ビームエ

0.004

ネルギーの変動の RMS（Root Mean Square）

0.002

δE は、

0

0

5 10101 1011

1.5 1011

2 1011

2.5 1011

δE / E ≈E (eV)(

1
δ amplitude
nkly+ δ phase sin φ0 / cos φ0

Fig. 8, Relative energy spread in the main linacs.

)

(4-1)

となる。ただし、 E は平均加速エネルギー、 nkly
エネルギーの広がりが設計よりも増大する要因
としては、高周波の位相のずれなどが考えられるが、すぐ後でみるエネルギー（の中心）の安定性からの要求に比べれば、要求される精度は非常に緩い。

はクライストロンの数、 δ amplitude は各クライス
ト ロ ン 出 力 の 振 幅 の 相 対 的 な 変 動 の RMS 、δ phase は位相の変動、 φ0 は平均の位相。
リニアックの全ての高周波が全て共通の変動を持つ（大本の電源の変動、全システムの標準となるの高周波ラインの変動など）とすると、ビーム

4.2. バンチ間のエネルギーのばらつき
次に、バンチ間でのエネルギーの違いを考える。
バンチ内のエネルギーの広がりは避けられないものであるから、バンチ間の差はこれに比べて十分に小さくなっていればよい。

エネルギーのずれ ∆E は、∆E / E ≈ ∆ amplitude − ∆ phase sin φ0 / cos φ0 (4-2)となる。ただし、 ∆ amplitude は振幅の相対的なず

バンチ毎のエネルギーの安定性は、「ローレンツ

れ、 ∆ phase は位相のずれである。

デチューニング」やビーム入射時に変動するビー

それぞれ項目の、主リニアックの終点（ビームエムローディングなどを補償する、高周波の制御の

ネルギー２５０GeV）でのエネルギー変動への寄精度に依存している（他の講義参照）。

与 の 許 容 値 をバンチ内では（短距離の）ウェーク場が重要であったが、バンチ間で働く長距離の高次モードのウ

0.02 ％ と す る と 、o（ nkly ≈ 320, φ0 ≈ 5 ）として、

ェーク場はあまり問題にならない。減衰と、周波δ amplitude < 3.6 × 10 −3

数が空洞ごとにわずかながらばらつくことによδ phase < 3.6 × 10 −2 rad ≈ 1.8o

り、バンチが多数あってもウェーク場の影響が蓄積しないためである（5.3.6 横方向のウェーク場の∆ amplitude < 2 × 10 −4

議論を参照）。

∆ phase < 2 × 10 −3 rad ≈ 0.1o

4.3. エネルギーの安定性
エネルギーは当然なるべく安定であったほうがよいが、要求される安定性の目安は、単バンチのエネルギーの広がりより（十分）小さいと言うこ
とである。

(4-3)

となる。
ただし、ゆっくりした変動はフィードバックによって補正することが可能であり、ここで計算した許容値はフィードバックできないような速い変動についてものである。ILC の繰り返しは５Hz

であり、これよりも十分遅い変動に対する許容値

5.1.1. ４極磁石の振動によるビーム位置の変動

は、はるかに緩いものとなる。

ここでは、統計的な考察から、４極磁石がでたら

5. 横方向のビームの質

めに振動することによるビーム軌道の変動を解

良質のビームとは、高いルミノシティの得られるビームである。横方向の運動を考えた場合、それみる。
ある１個の４極磁石が垂直方向に ai だけ動くと、はビーム軌道の角度がこの場所で ai ki 変化するの（１）衝突点でのビーム位置の安定性。
（２）衝突点でのビームの広がり（ビームサイズ）

析的に計算し、振動の大きさの許容値を概算してで、リニアックの終点でのビーム位置の変化は、が小さいこと。

y = − ai k i Ei / E ββ i sin ϕ iの２つだと言える。
衝突点でのビーム－ビーム相互作用の考察から、ビームの断面の形は丸でなく扁平なほうがよい。
ビームの大きさの下限は、エミッタンスによって制限される（Oide-limit, Hour-glass effect, 他の講義参照）ため、低エミッタンスを得やすい垂直方向のビームサイズを水平方向のサイズよりも小さくする。ILC の設計値は垂直方向のエミッタ
ンスは水平方向の 1/200 以下、衝突点での垂直方向のビームサイズは水平方向の約 1/100 である。

と書ける（係数(5-1)

Ei / E に つ い て は 付 録 を 、

ββ i sin ϕi については他の講義参照）。ここで、ki はこの４極磁石の k 値（焦点距離の逆数）、Ei 、

β i はこの磁石の場所でのビームエネルギーとベータ関数、 E 、 β は終点でのビームエネルギーとベータ関数、 sin ϕ i はこの磁石の場所から終点までのベータトロン振動の位相の進みである。これ

そのため、ビーム位置の安定性や、ビームサイズ

を全ての４極磁石に対して足し合わせたものがの増大によるルミノシティの減少は、垂直方向のビーム位置の変化であり、影響が水平方向に比べて非常に大きい。

y = −∑ ai ki Ei / E ββ i sin ϕ i

従って、ここでは、垂直方向のみを考える。

(5-2)

i

となる。
5.1. ビーム位置の安定性

ここで、ビーム位置変化の分散

衝突点で、２つのビームの位置がビームサイズと同程度以上にずれていれば、ルミノシティの大きな減少をもたらす。従って、ビーム位置の変動はビームサイズよりも（十分）小さい必要がある。
ビーム位置（ビーム軌道）の変動をもたらす主リ

y

2

⎛
⎞
= ⎜⎜ ∑ ai ki Ei / E ββ i sin ϕi ⎟⎟
⎝i
⎠

2

(5-3)

は期待値を表し、多数の異なを求めてみる。

ニアック内の主要な原因は、

る磁石のずれに対する平均である（磁石が振動す（１）４極磁石の振動によるビーム位置のずれ

る場合、時間的な平均）。

（２）磁場強度の変動によるビーム位置のずれ

全ての磁石の位置が独立かつでたらめに変化し（３）加速空洞の傾きと電場の変動による位置のている場合

ai a j = δ ij ai2

ずれと考えられる。

(5-4)

であるから、y2 =β∑ ai2 ki2 β i Ei sin 2 ϕi

E i

(5-5)

であり、さらに、全ての磁石の変位が同じ RMS a

が有効に働けば、より速い変動（kHz 程度まで）を持つとし、オプティクスが Fig.2 のようにエネにも対処できる。

ルギーによって変化しないとすると、

y2 = a2
となる。k
（

2

β
E

k 2 β ∑ Ei sin 2 ϕi

5.1.2. 磁場強度の変動によるビーム位置の変動
(5-6)

i

β の上の棒は、リニアック内での平均とは意味が違うことに注意）を表す。４極磁石が多数ある場合を考えれば、 E0 をリニアック
始点でのビームエネルギー、 N q を４極磁石の数

２極電磁石が励磁されている場合、ビーム軌道が４極磁石の中心からずれている場合、これらの磁石の磁場強度が変動するとビームの軌道も変動する。
１個の磁石（i）での角度の変化を ∆θ i とすると、リニアック終点での位置のずれは、全節と同様に

y = ∆θ i Ei / E ββ i sin ϕ iとして、
2

sin ϕi → 1 / 2∑ Ei → N q ( E0 + E ) / 2(5-11)

となる。
(5-7)

i

全ての磁石の変動が独立と仮定すれば、前節と同様にビーム位置変動の分散を計算できる。

となるので、

y2 = a2 Nqβ k 2β

( E0 + E )
4E

(5-8)

が得られる。
この位置の変動は、ビームサイズよりも十分小さければ許容できる。ビームサイズ（ σ y ）の３分の１まではよいとすると、

y2

σ y = a Nq k 2β

( E0 + E )4mc 2γε y< 1/ 3ε y β を使った。

∆θ i = y q, i kiδ q, i

(5-12)であり、磁場変動からの寄与は、前節の式で − ai ki

y q,i 、 δ q,i の RMS を y q 、 δ q とすると

y 2 = yq2δ q2 N q β k 2 β( E0 + E )4E(5-13)

y q を約 300µm（磁石の設置誤差程度）と仮定す
ると、位置の変動をビームサイズ（ σ y ）の３分

2
主リニアックのパラメーターより、 k β ≈ 0.08 、
γε y ≈ 2 ×10 −8 m、E0 + E = 265 GeV などであるから、

a < 26 nm

y q,i とし、相対的な磁場の変動を δ q,i すると、

を y q , i kiδ q, i で置き換えればよいことがわかる。

(5-9)
ただし、 γε y を垂直方向の規格化エミッタンスとした。また、 σ y =i 番目の４極磁石の中心とビーム軌道のずれを(5-10)

が許容値となる。
ただしこの場合も、ゆっくりした変動はフィードの１以下とするためには、

δ q < 9 ×10 −5(5-14)

程度であればよいことになる。
次に、２極磁石の磁場変動による角度変化は、蹴り角を θ i 、相対的な磁場の変動を δ d , i すると

バックによって補正することが可能であり、計算した許容値はフィードバックできないような速い変動についてものである。繰り返し（５Hz）よりも十分遅い変動に対する許容値は、はるかに緩いものとなる。又、パルス内でのフィードバック∆θ i = δ d ,iθ i(5-15)

であるから、前節の式で − ai ki を δ d , iθ i で置き換えればよく、 θ i 、 δ d , i の RMS を θ 、 δ d とするとなる。ただし、１空洞当たりの加速電圧 V は全空洞で等しく、ψ 、 δ c を傾き角度、電圧の相対と的な変動の RMS とする。ここで、

y 2 = θ 2δ d2 N q β β( E0 + E )4E(5-16)となる。
ここで、２極磁石の蹴り角として、地球の曲率に沿って曲げるためのものを考えると、
θ i ≈ 5 × 10 −6 であるから、位置の変動をビームサ
イズ（ σ y ）の３分の１以下とするためには、

δ d < 1.7 ×10 −4(5-17)

程度であればよいことになる。
5.1.3. 加速空洞の傾きと電場変動によるビーム
位置の変動
加速空洞が傾いていると、加速モードの電場（エラーがなければビーム軸方向のみ）によって、ビ

⎛ E ⎞
1
1
1
⎟⎟
log⎜⎜
→ ∫ di≈E0 + ieV eV⎝ E0 ⎠
i Ei∑(5-21)を使った（i は始点から数えた空洞の数、Ei = E0 + ieV ）。
前と同様に、y2

σ y < 1 / 3 を要求すること

にすると、
2

8mc γε y1δ cψ <≈ 1.2 × 10 − 6
3 V β log(E / E0 )(5-22)

ψ が 0.3 mrad 程度であれば、 δ c の許容値は0.4%となり、エネルギーの安定性から要求される許容値と同程度である。
（式(4-3)）

ームが横方向に蹴られる。この電場が変動すれば、この蹴り角も同じ割合で変動するため、（電5.2. エミッタンス

場変動によるエネルギーの変動の効果を無視し多くの場合、ビームの横方向の質を論ずる場合、ても）結果としてビームの軌道が変化する。

エミッタンスを使う。主リニアックにおいては特

この効果の大きさも、前節と同様な取り扱いで見にそうである。一方、我々が本当に求めるものは積もることが出来る。

ルミノシティであり、エミッタンスが必ずしも常i 番目の加速空洞の加速電圧、傾き角度、電圧の変動を Vi 、ψ i 、 δ c, i とすると、ここでの軌道角の変化はにルミノシティとよい相関を持つとはいえない。
特に、横方向ウェーク場によってバンチの前と後ろの位置がずれた状態で衝突する場合にエミッ∆θ i = δ c, iψ iVi 2 Ei

(5-18)

タンスの悪化以上にルミノシティが低下すること書ける（係数 1/2 については付録参照）。従ってとが知られている（バナナのようにバンチが曲が１個の空洞による終点での位置の変動は、る場合の効果なので ”banana-effec”などと呼ば

y = δ c, iψ iVi 1 / Ei E ββ i sin ϕ i / 2(5-19)となる。さらに、
2 2 22β δ c,iψ i Vi β i sin ϕi
2

y

=

∑

E i

βδ c2ψ 2V 2 β≈
8Eい場合にはエミッタンスはルミノシティとよいるようなよいパラメーターがない、という理由により、エミッタンスがビームの質の指標として使⎛ E ⎞βδ c2ψ 2V β
1
⎟
log⎜
≈

i Ei

しかしながら、（１）粒子の分布が正規分布に近相関を持ち、（２）他にルミノシティの指標とな

4 Ei

∑

れている）。

8E

⎜E ⎟
⎝ 0⎠
(5-20)われる。
主リニアックにおいて、エミッタンスの悪化する要因は主に、（１） 加速空洞の横方向ウェーク場

（２） エ ネ ル ギ ー に 依 存 し た 軌 道 の ず れ（dispersive effect）
である。
5.3. 加速空洞の横方向ウェーク場によるエミッタンス悪化
荷電粒子が加速空洞などの構造の中を通過すると、そこに電磁場を励起し、この電磁場をウェーク場と呼ぶ。粒子のエネルギーが高い（超相対論的）ため、ウェーク場の影響はビーム中の前方の粒子から後方の粒子へ及ぼされる。後方の粒子の励起した電磁場が前方の粒子に影響を与えることはない。
加速空洞内の横方向のウェーク場（後方の荷電粒子に横方向の力を与える）は、荷電粒子が加速空洞の中心からずれた位置を通過することによっ以下、この効果を２粒子モデルを使って簡単に調べてみる。先行する粒子とその後方の粒子の２個だけを考え、後方粒子が受けるウェーク場の影響を計算する。
y0 ( s ) と y1 ( s ) を距離 s での先行する粒子と後方の粒子の横方向の位置とし E0 、 E1 をエネルギ
ー、 K を収束力、 q を先行粒子の電荷、 W をウェーク関数とすると、それぞれの粒子の運動方程式は、

K
y0 ( s )E0K
eqW
y1 ' ' ( s) = −y1 ( s) +y0 ( s )E1
E1
y0 ' ' ( s ) = −(5-23a)(5-23b)と書ける。空洞等の設置誤差はないとする。
ここで、 E0 、 E1 、 K 、 q 、W を s によらない定（１）先行する粒子の横方向の振動（ベータトロ数とし（加速なし、一定の連続した収束力）、さらに E0 = E1 と仮定すると、先行粒子は単振動、ン振動）が後方の粒子の振動を励起してその振幅後方の粒子は強制振動し、て励起される。従って、ウェーク場の影響は、を増大させる効果（BBU: Beam Break Up）

y0 ( s) = y0 (0) cos(ks) + y0 ' (0) sin(ks) / k（２）加速空洞の設置誤差により（軌道と空洞中
心が相対的にずれる）横方向ウェーク場が励起され、後方の粒子の軌道を変化させる効果。
の２つに分けて考えることが出来る。
（厳密には、y1 ( s ) = y1 (0) cos(ks) + y1 ' (0) sin(ks) / k+seqW( y0 (0) sin(ks) − y0 ' (0) cos(ks) / k )2 E0 k（２）の効果で励起された振動により、さらに後方で（１）の効果が生ずる。この２つは完全に分離することは出来ないが、実際上分けて考えてよ
い場合が多い。）
又、ウェーク場は、バンチ内で働く短距離のウェ
ークと、バンチ間で作用する長距離でのウェークに分けることが出来る。

(5-24a)(5-24b)となる。ただし、 k ≡K E0 とした。

後方の粒子の強制振動の振幅は、距離に比例して増大する。（加速なしの場合）一定の加速 g がある場合に振動の振幅の変化を計算してみると、リニアック入り口から距離 s でのエネルギーを E ( s ) = E (0) + gs とすると、 s での先行粒子の振幅はエネルギーの平方根に逆比

5.3.1. BBU(Beam Break Up)

例して小さくなり、ビームが何らかの理由で横方向に振動（ベータトa 0 ( s ) ≈ a0 ( 0) E ( 0) / E ( s )ロン振動）するとき、先行する粒子の励起するウ（付録参照）、後方の粒子の強制振動の振幅は、

ェーク場によって後方の粒子の振動が増大する
可能性がある。この効果が大きいと、エミッタン
スが増大し、さらに振動が大きくなるとビームの一部がが失われてしまう。これを、BBU (BeamBreak Up)と呼んでいる。

(5-25)⎧⎛ E (s) ⎞⎟⎟ 2 g⎪a0 ( s ) e q W β log⎜⎜
(
0
)
E
⎝
⎠
⎪
⎪
( g > 0) (5-26)
a1 ( s ) ≈ ⎨⎪a ( s ) e q W β s 2 ( g = 0)⎪ 0⎪⎩のように相対的に増加することがわかる。
（ β = 1 / k はベータ関数。）

さらにバンチの前部と後部のエネルギーの差をILC の１個のバンチを前後２つに分け、各々がバ小さくすることが出来る。これは、ウェーク場がンチ半分の電荷を持ち、距離が２シグマ離れてい振動を抑える方向に働くからである。これを３人るという２粒子モデルを考えよう。

の提案者の名前の頭文字を取って「BNS ダンピン
2大きくすると、初期状態が同じ後方粒子の振幅を（1 q ≈ 1.6 nC 、 W ≈ W (0.6mm) ≈ 30V/pC/m ）グ」と呼んでいる。

主リニアックのパラメーター、 E (0) = 15 GeV 、

このようなバンチの前部と後部のエネルギーにE (final) = 250 GeV 、 β ≈ 70 m 、
g ≈ 31.5 MeV/m 、差をつけるためには、加速高周波電場のバンチ中を入れてリニアックの最後での強制振動の振幅少しずらしてやればよい。

を計算すると、

ただし、前節で見たように、ILC においては、短心に対する相対的な位相を Fig. 7 のところから

a1 ( s ) eqWβ log( E ( s ) E (0))≈≈ 0.15 (5-27)
a0 ( s )2gとなる。
即ち、バンチの後半は、バンチの前半のベータト
ロン振動の励起するウェーク場によって、その振幅の 0.15 倍の強制振動を励起される。この程度のものは許容できるかと思われるが、先にも出てきた「banana-effect」を考慮すると、無視してよいかどうか、衝突でのビームとビームの相互作用ま距離のウェーク場がそれほど大きくなく、BBU は
深刻な問題ではない。このため、BNS ダンピングなどの手段を使う必要はないと考えられている。
5.3.3. 加速空洞の設置誤差による影響
ビームのベータトロン振動がない、あるいは非常に小さい場合でも、加速空洞が横方向にずれていればそのためにビームの後方の粒子が横に蹴られる。ここでは、5.1 節と同様に、その効果を近で考えて判断する必要がある。

似的に表す式を導いてみる。
i 番目の加速空洞の設置誤差を ai 、空洞の長さを5.3.2. BNS ダンピング

Lc 、横方向ウェーク関数を Wi (z ) とすると、ｋ番

バンチ内のウェーク場による BBU を抑制する方

目の電子（又は陽電子）が受ける横方向の角度変法 と し て 、 BNS ダ ン ピ ン グ 、 あ る い は

化は、

Auto-phasing というものがよく知られている。
これは、バンチの前部と後部のエネルギーに差をつけることによって共鳴による強制振動の増大を抑えようとするものである。
式（5-23）において、もし

K
K eqW
=
−
E0 E1
E1

(5-28)y1 ( s ) = y0 ( s )(5-29)

であれば、が後方の粒子の運動方程式の解になることが容易にわかる。即ち、ウェーク場の効果とエネルギ
ー差の効果がちょうど釣り合って、（初期状態が∆θ k , i = −eai Lc∑ eWi ( z k − zl )Ei z l < z k(5-30)ea L= − i c Wk , iEiとなる。ただし、 zl はｌ番目の粒子の縦（ビーム軸）方向の相対的な位置であり、和はｋより前方の全粒子についてとる。Ei はこの空洞の場所でのビームエネルギーである。また、i 番目の加速空洞のｋ番目の電子（又は陽電子）に対する「sum-wake」を以下のように定義した。

Wk ,i ≡ ∑ eWi ( z k − zl )(5-31)

zl < z k

同じであれば）後方粒子は前方粒子と完全に同じ多数の空洞の寄与を足し合わせて、リニアック終軌道を持ち、強制運動の振幅が増大していくこと

点でのｋ番目の電子の位置のずれは、がない。これを「Auto-phasing」と呼んでいる。

-8

2.025 10y k = −e∑ ai LcWk , i 1 / EEi ββ i sin ϕ i(5-32)
個々の空洞の設置誤差が独立とすると、位置のずれの分散は、yk2

ββ= e 2 a 2 L2c ∑ Wk2,i i sin 2 ϕi
E iEi
β β Wk2E≈ e 2 a 2 Lc
log
2 Eg
E0

β β e 2 Wk2-8

projected γε (µ)

i

2.02 10-82.015 10-82.01 10-82.005 10

-8

2 10

0

2000

4000

6000

8000

10000

s (m)

(5-33)

Fig. 10, Normalized emittance along linac. Simulation
result for single bunch BBU, with injection offset
1-sigma, in perfectly aligned linac, monochromaticbeam.

E(5-34)
E0

次に、空洞の設置誤差（offset）の効果を見る。

となる。「 」はリニアック全体での平均を表す。

Fig. 11 は、バンチ内（+-3sigma でカット）の線

y k2

σ y ≈ a Lc

2mc 2 (γε ) glog（ビームエネルギー、ベータ関数、ウェーク関数の間には相関がないと仮定。）

電荷密度（標準パラメータ）と TESLA 空洞のウェーク関数から計算した「sum-wake」を示した。

5.3.4. 単距離ウェーク－単バンチ内の効果

バ ン チ 中 心 と 後 方 の sum-wake
3× 10 2 V/m 4 と 1× 10 5 V/m 2 である。

バンチ内の横方向のウェーク場の影響を見てみ

まず、これを前節の式（5-34）にいれてみると、る。
TESLA の加速空洞のウェーク関数の例が Fig. 9である。（TESLA TDR より計算。）
60

yk2

σ y ≈ 0.3 (center), 0.9 (tail) となり、問題になるかどうか、微妙な数字であり、このあた

Cahrge density40

2

W (V/pC/m )空洞設置誤差の RMS（ a ）が 0.5 mm に対し、りに許容値がありそうだと言える。

Transverse-short-wake(from TESLA-TDR formula)

50

30

Sum-Wake
5

7 10

3

1.4 103

1.2 10

5 10

3

1 10

4 10

3

8 10

3 10

3

6 10

2 10

3

4 10

3

2 10

5

T

6 10

0
0.00050.001

0.0015

0.002

s (m)

4
4
4
4

1 10

0

0
-1

このウェーク関数を仮定して、トラッキングシミュレーションをした結果が Fig. 10 である。ビー

2

Fig. 9, Shortrange Transverse Wakefunction of
TESLA Cavity

5

Sum-Wake (V/m )10

Cahrge density (nC/m)

20

0

は 約

-0.5

0

0.5

1

z (mm)

Fig. 11, Charge density and Sum-Wake

ムサイズの１－シグマの入射位置のずれがあってもエミッタンスは 1%程度しか増加しないことがわかる。

トラッキングシミュレーションの結果が Fig. 12である。空洞設置誤差の RMS 0.5 mm で、エミッタンス増加は約 7%程度であり、この程度の精度で設置できれば大きな問題とはならないこと

200

がわかる。

150

TESLA-TDR

W (V/pC/m )

100
-8

2

2.14 10average of 100 seeds
example, from one seed-8-8

2.1 10-8

2.08 10T

projected γε (m)2.12 10-82.06 10

50
0
-50
-100

-8

2.04 10-150-82.02 10

-8

2 10

0

2000

4000

6000

8000

-200

10000

0

s (m)

Fig. 12, Normalized emittance along linac. Simulation
result for single bunch with cavity misalignment 0.5
mm RMS, monochromatic beam.(Dotted: one
example, Solid: average of 100 random seeds.)

50

100

time (ns)

150

200

Fig.13, Long Range Longitudinal Wakefunction of
TESLA Cavity (calculated from TESLA-TDR
parameters).
長距離のウェーク場の距離（時間と言ってもよ

5.3.5. 長距離ウェーク－多バンチ間の効果
横方向のウェーク場は短距離では Fig. 9 のように距離とともに単調に増加するが、長距離のウェーク場は多くの振動（共振）するモードの和として表される。
TESLA TDR[1] に書かれているウェーク場の 14
個のモードのパラメータが Table 2 で、これを元い）に依存した変化はバンチの長さに比べて緩やかなので、長距離ウェーク場の影響を考える場
合、とりあえず、各バンチを１個の大きさのない荷電粒子とみなす。
そ う す る と 、「 ｋ 番 目 の バ ン チ に 対 す る
sum-wake」が、W ( z ) をウェーク関数、 ql を l 番
目のバンチの電荷として、

Wk ≡ ∑ qlW ( z k − zl )にモードの和を計算した結果が Fig.13 である。

(5-35)

l <kと定義できる。これを、Table 2 と、ILC の標準
ビームパラメーターを使って計算したのが Fig.
14 である（減衰なしと仮定）。
6

1 10

5

5 10

2

sum-Wake (V/m )Table 2, Parameters of transverse wakefield of TESLA
Cavity (from TESLA-TDR)

0
5

-5 10

-1 106

0

200

400

600

800

3

1 10

Bunch number

Fig. 14, Sum-wake as function of bunch number. No
damping. Bunch spacing is set as 219/650E6 sec.

Sum-wake の大きさは、バンチ間隔に強く依存するので注意が必要だが、Fig. 11, 14 から、この場（短距離）の sum-wake よりもはるかに（１桁）
大きいことがわかる。実際にこのようなウェーク場があれば、後方のバンチが大きな横方向の力を受け、バンチごとの軌道の差が大きくなる。
この長距離ウェーク場の問題を解決するのが、減衰（damping）とデチューニング（detuning）である。
5.3.6. ダンピングとデチューニング

2

sum-Wake (V/m )合はバンチ間（長距離）の sum-wake がバンチ内

5

4 10

5

2 10

0
5

-2 10

5

-4 10

0

50

100
150
Bunch number

200

Fig. 15, Sum-wake as function of bunch number. No
damping. Bunch spacing is set as 219/650E6 sec.

超伝導空洞では、空洞内部での電磁場エネルギーの損失がほとんどないので、励起されたウェーク場を減衰させるためには空洞の外に引き出す必要がある。このために、HOM（Higher Order
Mode）カプラーと呼ばれるカプラーを取り付ける。これは、問題を引き起こすウェーク場（HOM：高次モード）は外に引き出すが、加速に使われる電磁場（加速モード）は閉じ込めておく
ような特別な構造でなければならない。
Table 2 にあるように、全ての高次モードについて、Q 値（電磁場のエネルギーが何周期で 1/e に
4
なるかという値。小さいほど減衰が強い。）が 10
5から 10 以下になると見積もられている。

「デチューニング」を簡単に説明するために、１個の高次モードのみ考え、i 番目の加速空洞でのこのモードの角周波数を ωi とすると、n 個の空洞のウェーク関数の和は、nnWeffective ( z ) = ∑Wi ( z ) = ∑W0 sin (ωi z / c )
i =1
i =1
(5-36)と書ける。ただし、 Wi (z ) は、i 番目の加速空洞のウェーク関数、 W0 はこのモードのウェーク関数の振幅（全ての空洞で共通と仮定）で、減衰はこの減衰をいれて sum-wake を計算したものを無視する。
ωi が全加速空洞で等しければ、これは当然ｎ倍にFig. 15 に示した。１００バンチ目あたりから後なるだけ、ろのバンチ全てに対しては sum-wake がほとんど変化しないことがわかる。
この程度の減衰は、かなりの長距離では有効だ
が、１０バンチ程度まではあまり効かない。この
比較的短いところでウェーク場の影響、特にBBU、を抑えるのが「デチューニング」である。
BBU を考えると、ベータトロン関数程度の長さ（ベータトロン振動の周期の 1 / 2π ）ではあまり位置が変化せず、その間にある加速空洞から同じ方

Weffective ( z ) = nWi ( z )である。
ωi が δ ω 程度の幅でばらつきをもっていたらどうか。 z / c ≈> 2π / δ ω となるような長距離では、

sin ωi が ± 1 の範囲ででたらめに分布し、従って、Weffective ( z ) の大きさは（ n >> 1 と仮定）、Weffective ( z ) ≈ n / 2 Wi ( z )くと、この n 個の空洞でのウェーク場の影響は、
これらの空洞のウェーク関数の和から決まる。

( z / c ≈> 2π / δ ω )(5-38)

向のウェーク場を受ける。ここで、ベータトロン
関数程度の長さの中にある加速空洞の数を n とお

(5-37)となる。すなわち、Weffective ( δ ω ≈>

2πc
)
z

ている。しかし、周波数のばらつきが不十分だと(5-39)

1
Weffective (δ ω = 0)2nとなり、実質的なウェーク場の振幅を 1 2n にできる。ILC では、 n ≈ 60 であり、約一桁減らせる≈ことになる。
Fig. 16 に、減衰のみの場合と、減衰に加えて全てのモードについて δ ω = 0.001 の周波数のばらつきがある場合（この計算では n=50 としている）のウェーク場のエンベロープを示した。デチュー
ニングがはじめの 300 ns 程度（ILC のバンチ間隔程度）のところで非常に有効であることがわかる。

されるようなばらつきを持つように何種類かの異なる形状の空洞を作る必要がある。
5.3.7. 多バンチのシミュレーションの結果
以下、各バンチを１個の荷電粒子と見做したトラッキングシミュレーションの結果を示す。
Fig. 17(a)~(c) は、設置誤差の無いリニアックでビームサイズ１シグマ分の入射誤差を仮定した場合のリニアック終点での２００バンチ目までの各バンチの垂直方向の位置を示した。(a)は長距離のウェーク場の減衰もデチューニングも無い
場合、(b)は減衰のある場合、(c)は減衰もデチュー
ニングもある場合である。（縦軸のスケールの大きな違いに注意。）

δ =0, dampingω

リニアック終点でのビームサイズは xxx ミクロン

100

2

W-envelope (V/C/m )予想されるようであれば、うまくデチューニング

であるので、これ以上のずれがあるようだと問題
がある。

10

(a) 減衰もデチューニングも無ければ、後方のバンチほど振動がどんどん大きくなることがわか

1る。(b) 減衰の効果はあきらかだが、後方のバンチの振幅はビームサイズ（先頭バンチの振幅）よ

0.1

0

3

1 10

3

2 10

3

3

3 10 4 10
time (ns)

3

5 10

3

6 10

りかなり大きく、十分でない。(c) 減衰とデチューニング両方ある場合は、後方のバンチの運動は先頭バンチとほとんど異ならないので問題ない。

ω0.0001

2

W-envelope (V/C/m )δ /ω=0.1%, damping
100

y (m)

5 10

10

-5 10

1

0.1

-5

0

-0.0001

0

3

1 10

3

2 10

3

3

3 10 4 10
time (ns)

3

5 10

3

6 10

Fig. 16, Envelope of effective transverse
wakefunction, sum of 50 cavities. Top: with damping
and without detuning, Bottom; with damping and withdetuning.

δ ω = 0.001 程度のばらつきは、超伝導空洞の場合にはその製作誤差から自然に生ずると考えられ

δf=0, no damp

-5

0

50

100

Bunch number

150

200

Fig. 17(a), Position vs. bunch number at the end oflinac. Injection error of 1-sigma of beam size.
Wakefield has no damping and no detuning.

1 10

-5

y (m)

y (m)

δf=0, damp
0

-1 10

-5

0

50

100

Bunch number

150

200

-6

1.6 10-6

1.4 10-6

1.2 10

-6

1 10

-6

2 10

-5

1 10

-5

-1 10

-5

-2 10

-5

-3 10

-5

δf=0, no damp

0

1 10

0

0

50

50

100

Bunch number

150

200

-5

δf=0, damp

δf=0.1% damp
y (m)1.8 10

y (m)

-6

-5

Fig. 18(a), Position vs. bunch number at the end oflinac. Cavity misalignment 0.5 mm RMS. Wakefield
has no damping and no detuning.

Fig. 17(b), Same as (a) but wakefield has damping
and no detuning. Note the different vertical scale.
2 10

3 10

100

Bunch number

150

200

Fig. 17(c), Same as (a) but wakefield has damping anddetuning. Note the different vertical scale.

-1 10

1 10

mm(RMS)を仮定した場合のリニアック終点での

0

50

100

Bunch number

150

200

-5

δf=0.1%, dampy (m)置を示した。(a)は長距離のウェーク場の減衰もデ-5Fig. 18(b), Same as (a) but wakefield has damping
and no detuning. Note the different vertical scale.

Fig. 18(a)~(c) は 、 加 速 空 洞 の 設 置 誤 差 0.5
３００バンチ目までの各バンチの垂直方向の位

00

チューニングも無い場合、(b)は減衰のある場合、(c)は減衰もデチューニングもある場合である。
(a) 減衰もデチューニングも無ければ、後方のバンチほど振動がどんどん大きくなることがわかる。(b) 減衰の効果はあきらかだが、後方のバンチの振幅はビームサイズより大きく、十分でない。(c) 減衰とデチューニング両方ある場合は、

-1 10

-5

0

50

100

Bunch number

150

200

Fig. 18(c), Same as (a) but wakefield has damping andno detuning. Note the different vertical scale.
5.3.8. ウェーク関数のスケーリングについて

約３０バンチ以降の運動がほとんど同じであり、

主リニアックに超伝導空洞を使用する ILC にお

問題ないことがわかる。

いては、常伝導空洞で設計されていた GLC, NLCなどに比べて、ウェーク場の影響がはるかに小さい。これは、超伝導空洞の場合、比較的周波数が低い（1.3GHz。常伝導では 11GHz 以上。RF エ
ネルギーをビームに伝える効率の最適化の結果が、超伝導と常伝導ではまったく異なるため。）
ため、周波数に反比例して空洞の大きさ、特に開口部の大きさが増大し、その結果ウェーク場が弱くなるためである。

完全に相似形の空洞の場合、ウェーク関数の各モニアックでの変動しないエラーによって引き起

3 のように、周波数の３乗にこされるエミッタンスの増大を考える場合には、ードの振幅は W ∝ f

比例し、 z →0 でのウェーク場の傾きは、
dW / ds ∝ f 4 のように４乗に比例する。従って、減衰やデチューニングを考えず、又ビームパラメ
ーターが同じであれば、1.3GHz の ILC では、
11GHz の常伝導 LC に比べて、ウェーク場の影響が長距離（バンチ間）で 1/600、短距離（バンチ内）では 1/5000 程度ということになる。
（実際には、減衰やデチューニングのやり易さ、ビームパ「１次 dispersion を補正後のエミッタンス」を見る必要がある。（補正が追いつかないような速く変化するエラーが引き起こすエミッタンス増大を調べる場合には、このような補正を考慮してはいけない。）
この補正をしない y（垂直）方向のエミッタンスは、εy ≡[(< y 2 > − < y > 2 )(< y ' 2 > − < y ' > 2 )ラメーターの違いなどのためこれほどの大きな(5-40)− (< yy ' > − < y >< y ' >) 2 ]1 / 2差はない。）のように定義されるが、「１次 dispersion を補正
5.4. Dispersive Effect によるエミッタンス悪化

後のエミッタンス」は、εη − cor, y ≡5.4.1. Dispersive Effect とは[(< ( y − ηδ ) 2 > − < y − ηδ > 2 )異なるエネルギーを持つ荷電粒子は、同じ電磁場× (< ( y '−η 'δ ) 2 > − < y '−η 'δ > 2 )− (< ( y − ηδ )( y '−η 'δ ) >によって横方向に同じ力を受けたときの軌道の角度変化が異なる（角度変化はエネルギーに反比(5-41)がある。その結果エミッタンスの増大につなが− < y − ηδ >< y '−η 'δ >) 2 ]1 / 2と定義できる。ただし y 、 y ' は位置と角度、δ は相対エネルギーのずれ、η 、η ' は位置と角度の１る。このような、エネルギーに依存して横方向の

次 dispersion であり、＜＞は全ビーム粒子の平均運動の差が生じる効果を dispersive effect と呼を表す。

例）。そのため、ビームエネルギーの広がりがあると、それに伴い軌道にも広がりが生じる可能性

ぶ。

5.4.3. 入射誤差による Dispersive Effect5.4.2. １次ディスパージョン補正後のエミッタ
ンス

まず設計通りで全く誤差のないリニアックで、入リニアックの終点や最終収束系付近では必ずビは filamentation と呼ばれる現象を簡単に示してームの計測が行われ、エネルギーに依存した横方いる。横軸と縦軸は基本的に、粒子の位置と角度向の位置の分布が時々測定されるはずである。こを表し、１個の丸はあるエネルギーを持つ粒子のの依存の１次の成分が「１次 dispersion」である分布を表す。エネルギーに差があると、ベータトが、測定できればこれを補正することは可能であロン振動の位相の進みが異なるために、このようると思われる。

に粒子の分布が位相空間上で広がっていく。

また、リニアックは地球の曲率に沿って曲がって右上のような状態ならば、dispersion が線形に近いるので、必ず dispersion が生ずるが、これもリ

いため、１次の補正が有効だが、左下のようになニアックの終点以降で必ず補正されなければなってしまうと、（実際には、他の要因から作り出らない。

される dispersion も重なり合って複雑になるた

従って、問題となるのは１次 dispersion を補正しめ）これを補正するのはほとんど不可能であろた後で残るもの（高次の dispersion）であり、リう。

射位置（角度でもよい）のずれがある場合。Fig. 19

dispersion まで作られる。エネルギーの広がりがあまり大きくないために、高次の dispersion はあ
まり効いてこないと期待できるが、４極磁石の場
所での１次の dispersion があまりに大きいと、それによって作られる 2 次の dispersion も大きくなってしまい、問題を生ずる。
４極磁石の設置誤差の RMS を１ミクロンとして補正を全くしない場合のトラッキングシミュレーションの結果を Fig. 20 に示した（ウェーク場
はなし）。
１次ディスパージョン補正後のエミッタンスは5%増大する。この値は、設置誤差の２乗に比例す
Fig.19, Schematic explanation of filamentation.

る。従って、設置誤差が 100 ミクロンあれば、１次ディスパージョン補正後のエミッタンスは 500倍になり、とても許容できない。設置誤差は数百

リニアック全体での位相の進みの広がりは、

σ ( s)ds
σϕ ≈ ∫ E(5-42)
E ( s) β (s)と見積もることが出来る（ E (s ) 、σ E (s ) 、 β (s )ミクロンと見積もられているため、何らかの補正が必須であることがわかる。
一方、設置誤差１ミクロンで１次ディスパージョ
ン補正なしのエミッタンスは 45%増大するから、は距離 s でのビームエネルギー、エネルギー広が補正が効かないような速い４極磁石の振動が 100

り、ベータ関数）。
ILC の場合、σ E ( s ) ≈ 200 MeV 、 β ( s ) ≈ 70 m 、

nm 程度であれば、エミッタンスは 0.45%程度の

1
eff

log

E
≈ 0.4 ≈ 2π × 0.07
E0(5-43)
ただし、 g eff ≈ 20 MeV/m は、実効的な加速勾配（空洞以外の部分の長さを含む、長さあたりのエ
ネルギー増）。従って、位相の広がり（RMS）は、

2π の 7%ていどであり、あまり問題にならないことがわかる。
5.4.4. ４ 極 磁 石 の 横 方 向 設 置 誤 差 に よ る
Dispersive Effect
Dispersion がない場所では、４極磁石の磁場中心と粒子の軌道のずれは（エネルギーに反比例した
角度変化をもたらすので）１次の dispersion を作る。１次の dispersion ある場所ではエネルギーγε (m) average of 50 seedsds∫ E ( s) ≈ g

増大で済みそうだ、と予測できる。
3 10

-8

2.8 10-8

2.6 10-8

2.4 10-8

projected γεη corrected γε2.2 10-8
2 10-8

0

3

2 10

3

4 10

6 10

3

8 10

3

1 10

4

s (m)

Fig. 20, Projected and dispersion-corrected
Emittance (dashed line and solid line) along linac,
average of 50 random seeds. Quad misalignment 1
micron.

の異なる粒子は４極磁石の異なる場所を通るた

5.4.5. 加速空洞の傾きによる Dispersive Effect

め異なる磁場を感じ、さらに異なる角度変化を受４極磁石の設置誤差の他に、もう一つ dispersive

け、結局２次の dispersion も作られる。以下同様

effect をもたらす重要な誤差が、加速空洞の傾きにして、n 個の４極磁石を通過すると、n 次の（ｘ軸の周りの回転）である。

加速空洞が傾いていると、本来ビーム軸方向にしかない加速電場によって横方向に力を受ける。このとき変化する横方向の運動量は粒子のエネル
ギーによらない。従って、変化する角度は粒子のエネルギーに反比例する。これが、エネルギーに依存した軌道の変化をもたらす。これだけなら、１次の dispersion であるが、ビームはこの後４極磁石を通過するので、結局高次の dispersion も発生する。

6. 時間変化のないエラーによる横方向の運動の補正
前節でみたように、現実的な設置誤差を仮定した場合、何も補正をしなければエミッタンスが巨大になってしてしまう。ILC の場合、このほとんどが dispersive effect による。特に４極磁石の設置
誤差の影響が大きい。ここではいくつかの補正方法を述べる。

空洞の傾きの RMS を 10 マイクロ－ラジアンとして補正を全くしない場合のトラッキングシミュ

6.1. Quad Shunting による BPM の位置校正

レーションの結果を Fig. 21 に示した（ウェーク

ビーム位置の測定に基づく多くの補正方法では、

γε (m) average of 50 seeds

場はなし）。
2.6 10-8

2.5 10-8４極磁石の磁場中心と、その磁石に付けられている BPM（ビーム位置モニター、Beam Position
Monitor）の中心（読みがゼロとなる位置）を正

2.4 10-8
2.3 10-8

2.2 10-8

2.1 10-8確に合わせておく必要がある。

projected γεη corrected γε

１つの４極磁石の強さを変えて、その下流のビー
ムの軌道の変化を測定する。軌道の変化から、その磁石の場所での角度の変化がわかる。この角度

2 10-8はビームと４極磁石の中心のずれに比例するはずであり、これからビームの磁場中心に対する位置が計算できる。このときの BPM の読みと比べ
0

3

2 10

3

4 10

6 10
s (m)

3

8 10

3

1 10

4

Fig. 21, Projected and dispersion-corrected
Emittance (dashed line and solid line) along the linac,
average of 50 random seeds. Cavity tilt 10
micro-radian.

ることにより、磁場中心と BPM の相対的なずれがわかる。BPM のデータに対してこのずれを補正すれば磁場中心と BPM の中心を合わせることが出来る。(Fig. 22 参照)

１次ディスパージョン補正後のエミッタンスは5%増大する。この値は、傾き誤差の２乗に比例する。従って、傾きが 100 マイクロ－ラジアンなら、
１次ディスパージョン補正後のエミッタンスは 5倍になり許容できない。傾き誤差は数百マイクロ－ラジアンと見積もられているため、何らかの補Fig. 22, Schematics of Quad-BPM offset calibration
by Quad Shunting.

正が必須であることがわかる。

この結果の、４極磁場中心と BPM の中心の相対

一方、傾き誤差 10 マイクロ－ラジアンで１次デ的な位置の誤差は、BPM の相対位置測定精度（設ィスパージョン補正なしのエミッタンスは約

置精度などは含まない、ビーム位置の変化量に対25%増大するから、補正が効かないような速い振する誤差）に比例し、４極磁石の強さの変化量に動による傾きの変化が 1 マイクロ－ラジアン程反比例する。

度以下であれば、エミッタンスは 0.25%程度の増大で済みそうだ、と予測できる。

6.2. 逐次位置補正「dispersion」の定義はリニアックでは一意的でな

最も単純な補正として、ビーム位置を BPM の読

いが、ビームエネルギーの差に依存した軌道の変みが全てゼロになるように、２極磁石を使って上化 を 最 小 に す る 軌 道 補 正 が DFS（ Dispersion

流から軌道補正していく方法がある（逐次位置補Free Steering）である。一般的には、正規のビー正）。ILC の今の設計では全ての４極磁石に BPM

ムエネルギーでの軌道と、補正したい範囲の上流と補正用の２極磁石が付けられているので、上流でエネルギーを変化させた場合の軌道の差が小から１個１個軌道を合わせていくことになる

さくなるように、補正用の２極磁石をセットす（one to one correction）。

る。各補正磁石に対して、それぞれのエネルギー

Fig. 23 に、４極磁石の設置誤差 0.3 mm(RMS)のビーム軌道がどう変化するかはオプティクスとした場合（他の誤差は無し）のシミュレーショ

から（ある誤差の範囲で）わかるので、実際にエンの結果を示した。上の図は４極磁石の位置（丸）ネルギーを変化させてビーム位置を測定することビーム軌道（線）を示す。下の図はエミッタンとでどのように補正磁石の強さを変えればよいスであり、リニアック終点では約３倍になってしか計算できる。

まうことがわかる。４極磁石の設置誤差をこれよ

DFS といってもいろいろなバリエーションが世り小さくすることは困難と考えられるので、この補正だけではエミッタンスの増大を抑えられな
いことになる。

y (m)01to1, quad offset 300 µm
3

2 10

)]

(6-1)

ネルギーの異なるビームに対する BPM の読みの差、 ydesign と ∆ydesign はこれらの設計値（リニ-0.0005

η corrected γε (m))

を最小にするように補正２極磁石を設定する。ただし、 y measure は BPM の読み、 ∆y measure はエQuad offset
Beam Orbit-0.001 0
0 10

[ (

(

0.001
0.0005

界中で研究されているが、基本的には、
χ 2 ≡ ∑ w1 ∆ymeasure − ∆ydesign 2
BPM+ w2 ymeasure − ydesign 2

3

4 10

6 10

3

s (m)

8 10

3

1 10

4

アックが曲がっているためゼロとは限らない、）
w1 と w2 は重み係数であり、BPM について和を

7 10

-8

6 10

-8

5 10

-8

相対的な（２つの測定値の差の）誤差の比の２乗

4 10

-8

程度にするべきである。

3 10

-8

2 10

-8

0 10

とる。 w1 との比 w2 は、BPM の絶対的な誤差とaverage of 100 seeds
one example

一例として、SLEPT（KEK で開発されているシ

1to1, quad offset 300 µm
0

3

2 10

3

4 10

6 10

s (m)

3

8 10

3

1 10

4

Fig. 23, Result of tracking simulation. Top: Quadoffset and beam orbit after one to one correction, one
example. Bottom: Emittance along linac, average of
100 different sets of misalignment (100 random seeds)
and one example.

ミュレーションコードの名前）に組み込まれている DFS の結果を Fig. 24 に示した。４極磁石の設置誤差 0.3 mm(RMS)とした（他の誤差は無し）。上の図は４極磁石の位置（丸）とビーム軌
道（線）を示す。下の図はエミッタンスであり、リニアック終点で約 20%のエミッタンス増大が予測されるが、許容範囲かと考えられる。

6.3. DFS（Dispersion Free Steering）
Dispersive effect を 抑 え る 自 然 な 方 法 は 、
dispersion が小さくなるように軌道を変えることであろう。

蹴りである。この実質的な蹴り角を小さくしよう

0.001

Quad offset
Beam orbit

y (m)0.0005とするのが「Kick Minimization」である。

-0.0005-0.001

0

2000

4000

6000

8000

10000

s (m)

average of 100 seeds
1 seed-8

η correct γε (m)2.5 10

)

)]

(

(6-2)
を最小にするように補正２極磁石を設定する。θ i-8

2.6 10DFS Quad offset 300 µm-82.4 10は各 BPM に対応する（同じ４極磁石についている）補正２極磁石による蹴り角、 ki は BPM に対-8

2.3 10-8

2.2 10-8

2.1 10

応する４極磁石のｋ－値である。従って、

-8

2 10

この補正では基本的に、
χ 2 ≡ ∑ w1 ymeasure − ydesign − θ i ki 2
BPMi
+ w2 ymeasure − ydesign 2

[ (

0

0

2000

4000

6000

8000

(ymeasure − ydesign )ki

10000

s (m)

Fig. 24, Result of tracking simulation. Top: Quadoffset and beam orbit after DFS, one example.
Bottom: Emittance along linac, average of 100
different sets of misalignment (100 random seeds) and
one example.

(6-3)

は、４極磁石による余分の蹴り角、(ymeasure − ydesign − θi ki )(6-4)

は、４極磁石と補正２極磁石両方を合計した余分の蹴り角をｋ－値で割ったものになり、これを小さくすることは、ここでの蹴り角を小さくするこ

また、Fig. 25 には、４極磁石の設置誤差と加速とになる。

空洞の傾きの誤差に対する DFS 後のエミッタン

0.001

スの依存性を示した。
y (m)

-8

-8

2.8 102.8 10-8

0-8

2.7 102.7 10-8-0.0005-8

2.6 102.6 10η correct γε (m)-8

2.5 10-8

2.4 10-8

2.3 10

KM Quad offset 300 µm-82.5 10-0.001-8

2.4 10-8

2.1 10

-8

2 10

0

100

200

300

400

Quad offset error ( µm)

500

Average of 100 seeds
1 seed-8

2.08 10

-8

-8

s (m)

6000

8000

10000

2.1 10

-8

2 10

4000

-8

2.2 102.1 102000

2.3 10-8

2.2 10

0

-8

0

100

200

300

400

500

Cavity tilt angle (µrad)

Fig. 25, Sensitivity of DFS to quad misalignment andcavity tilt.

η corrected eη correct γε (m)Quad offset
Beam orbit

0.0005

KM Quad offset 300 µm-82.06 10-82.04 10-8

2.02 10

-8

2 10

0

2000

4000

s (m)

6000

8000

10000

石の場所で（ビームが磁場中心からずれた位置をFig. 26, Result of tracking simulation. Top: Quadoffset and beam orbit after Kick Minimization, one
example. Bottom: Emittance along linac, average of
100 different sets of misalignment (100 random seeds)
and one example.

通ることにより）ビームが横方向に蹴られること

Fig.26、27 に、シミュレーション結果を示した。

である。４極磁石の隣には補正用の２極磁石が付

DFS の 場 合 と 同 じ ４ 極 磁 石 の 設 置 誤 差 0.3

けられているので４極磁石による蹴りと補正磁mm(RMS)とした（他の誤差は無し）。リニアック

石による蹴りとの合計がその場所での実質的な終点で予測されるエミッタンス増大はわずか

6.4. 蹴角最小化（Kick Minimization）
Dispersive effect の大きな原因の一つは、４極磁１％であり、許容範囲である。

この結果からもわかるように、この補正は４極磁石で生ずる dispersive effect には非常に有効であるが、加速空洞の傾きに対する補正ができないと

6.6. 大局的（Global）補正いうことに注意しなければならない。この補正をこれまで述べた補正はすべて、「局所的（Local）

採用する場合、加速空洞の傾きの効果は別途補正補正」と呼べる。即ち、リニアック全体に配置さする必要がある。

れた補正ノブを使い、軌道、あるいは dispersion-8-8

2.8 10-8-8

2.7 102.7 10-8

ある目標の値（直線のリニアックではゼロ）に近-8

2.6 102.6 10η corrected γε (m)η corrected γε (m)などを、リニアック全体に配置されたモニターで2.8 10-8

2.5 10-8

2.4 10-8

2.3 10-8

づけようとするものであった。

-8

2.5 10-8

これに対し、少数（１または２個程度）の補正ノ

2.4 10-8

2.3 10ブを使い、リニアックの終点（あるいは、リニア-82.2 102.2 10-8

2.1 10-8

2 10

ックをいくつかの領域に分け、それぞれの終点数-82.1 10

-8

2 10

0

200

400

600

800

1000

Quad offset (µm)

0

100

200

300

400

500

Cavity Tilt (µrad)箇所）でのみある量を目標の値に近づけようとする補正が「大局的（Global）補正」である。

Fig. 27, Sensitivity of Kick minimization to quad
misalignment and cavity tilt.

大 局 的 補 正 の 代 表 的 な 例 と し て 、「 dispersion

6.5. その他の軌道補正ある狭い範囲でのみビーム軌道の変化（バンプ、

上で述べた他にも様々な補正方法が考えられている。
エネルギーをある割合で下げたときの磁場による蹴り角の変化は、磁場を同じ割合で強くした場
合の蹴り角の変化と同じはずである。そこで、エネルギー変化に対する軌道の変化を小さくする
代わりに、ある区間の全ての磁石の磁場強度を一定の割合で変化させて、正規の設定での軌道との差を最小にする、という方法が考えられる。
（「Quad Shunting」）ただし、特に超伝導の場合、磁場中心を変えないで、速い時間で、性格に磁場強度を変化させることが難しいといった問題がある。
他の例として、「Ballistic Alignment (BA)」と呼ばれる方法もある。まず、ある区間の全ての磁石の磁場をゼロにしてビームを通してビーム位置を測定する。磁場が無いので、この軌道は直線になっているはずである。４極磁石を正規に設定
し、磁場ゼロの場合の BPM の読みが再現される
ように軌道を（２極磁石を使って）補正する。以上が理想的に出来れば、ビーム軌道を直線にする
ことが出来る。ただし、ILC のように地球に沿って曲がっているリニアックでこの方法が使えるかどうか問題がある。

bump」、「wake bump」という方法がある。
dispersion bump）を与えることによって、下流の軌道は変えずに、ディスパージョンを作る（あるいは既にあるディスパージョンを打ち消す）ことができる。リニアック終点でのビームサイズ（あるいはエミッタンス）を測定しながら最もよいバンプの条件を見つける。結果的に、リニアッ
ク全体の誤差から生ずる dispersive effect と、バンプによって生じる dispersive effect とが打ち消しあうことになる。実際には、ベータトロン位相が約９０度離れた２つの場所でのバンプの大きさを変化させる。
加速空洞のある場所で軌道を変化させれば、ウェーク場による効果を変化させることが出来る。下流の軌道とディスパージョンを変えないがウェーク場の効果のみが変わるようなバンプを「wakebump」と呼んでいる。これを使えば、dispersion
bump と同様に、リニアック全体のウェーク場の効果をある狭い範囲で打ち消すように出来る。
これらの方法は、filamentation があまり大きくならない範囲、即ち、ベータトロンチューン（振動の回数）とエネルギーの相対的広がりの積が大きくない範囲で有効である。ILC の場合、主リニ
アックのベータトロンチューンが 30 以下と小さ
いため、この条件を満たしている。チューンが大きいリニアックの場合は、filamentation が大きくならないようにいくつかに分けて補正する必

１－（ア）、２－（ア）、（イ）については加速器要がある。

自体の問題であり、なるべく安定なシステムを作ることが重要である。１－（ウ）、（エ）の振動に6.7. まとめついては、加速器をどこに作るかに大きく依存する。２－（ウ）は、低エネルギー部分では何も対

主リニアックにおける設置誤差などの「固定され処しなければ問題となるかもしれないが、主リニた誤差」に対する補正についての検討は、多くのアックのような高エネルギー部分では問題にな

人たちが参加しており、かなり進んでいる。次節

らないと考えられる。

で述べるような時間的な変動による影響が小さければ、「現在設計されている主リニアックではTable 3, Dynamic errors and cures

高品質のビームを加速できるであろう」と言える（と思う）。

変動の時間

重要な要因

スケール

ビーム補正による対処

DR キッカー電磁Feedforward

場強度

in turnaround

４極磁石の振動、

Intra-pulse

これまでは、とりあえず磁石や加速空洞の設置誤

加速空洞の電場変

feedback

差といった「固定された誤差」をどう補正するか

動

7. 時間変化のあるエラーによる横方向の運動の補正~100ns1µs ~ 0.1s

振動、磁石の磁場

Pulse-to-pulse

間とともに変化している。この変化の速さが、補変動、加速空洞のfeedback

正（ビーム測定、補正量の計算、補正の設定）に電場変動、温度の必要な時間より十分ゆっくりしたものであれば、変化を述べた。実際には加速器のいろいろな誤差は時実質的に固定された誤差とみなせる。しかし、例
えば DFS などの補正には数分あるいは数十分の

1s ~ 100s

1000s ~

同上

“Static”＋地盤の動き等

correction

時間が必要と思われ、その間の変動に対しては別に対処する必要がある。

技術的、経済的理由により、装置をいくらでも安考えられる時間的に変化する誤差としては、以下定にすることが出来るわけではない。残った変動のようなものが考えられる。

には、（何もしないと問題であれば）ビーム補正
によって対処する。考えられる変動の大雑把な時

1. コンポーネントの位置の変動

間スケールとそれへの対処を Table 3 にまとめて(ア) 加速器自身による振動 （冷却ポンプのみた。一番下の Static correction は前節で述べた

振動、冷却パイプ内の泡などによる）ものである。フィードフォワード, フィードバッ(イ) 温度の変動

クについて以下に述べる。

(ウ) 付近の自動車、工場などからの振動(エ) 地盤の動き、地震など。
2. コンポーネントの電磁場の変動

7.1. 折り返しでのフィードフォワード(ア) 磁石の磁場変動

ダンピングリングから取り出されるビームの軌(イ) 加速空洞の電場の変動

道がバンチ毎に異なっている可能性がある。この(ウ) 環境の電磁場の変動（地磁気、太陽風の変動はほとんど取り出しキッカーのパルス電源

変動など）の変動からくると考えられる。

このバンチ毎の変動は、フィードフォワードによし、衝突点でのビーム軌道の位置を補正すって補正するしかないが、これを直線部分で行うる。（垂直方向）ことは（高速を超える通信ができないので）不可

4. 衝突点での位置と角度を走査しながらルミノ

能である。現在の設計では、ダンピングリングか

シティ最大となるところを探す。
（垂直方向）

らビームを取り出す方向を主リニアックと反対向きにして向きを変える、折り返し部分（turnaround）を作ることでフィードフォワード

7.3. パルス間のフィードバックを可能にしている。ダンピングリングから出たバ

ILC の繰り返し５Hz よりもゆっくりした変動にンチの軌道を測定し、その変動を打ち消すように対しては、パルス間のフィードバックが有効にな

主リニアックに入る前（バンチ圧縮機に入る前）る。

に補正する。

ダンピングリング出口から、衝突点の近くまでの領域全体にわたって、多数の BPM と補正用の２極磁石を使ったビーム軌道のフィードバックが行われる。基本的には、BPM の読みを一定に保つような補正である。
又、エネルギーのフィードバックは、リニアックの入り口、リニアックの出口などで行われる。これには、ディスパージョンのある場所での精密な位置測定が必要になる。

Fig. 28, Schematics of feedforward in turnaround.

7.4. 注意点、他

7.2. パルス内のフィードバック

様々なフィードバック が存在する場合、それら

ILC の繰り返しは５Hz と遅いが、ビームパルス

がどのように影響しあっているかを十分検討すは１ｍｓ、バンチ数３０００程度ある（標準パラる必要がある。上流での補正は、当然下流に影響メータの場合）ので、パルス内の前方のバンチのするので、多くのフィードバックを平行して行う

測定結果を使って後方のバンチを補正することには、これらを全て含めて制御することが必要でが出来る。少なくとも、主リニアックの出口（BDS,あろう。

Beam delivery system, の入り口）、と衝突点で、

また、６節で述べたような「固定された誤差」に

以下のようなパルス内のフィードバックが行わ対処するための補正は、かなりの時間をかけて測れる予定である。

定と補正の設定を何度も繰り返す必要があるが、この間にいろいろな変動があっても補正が有効

1. リニアック出口でビーム位置を（水平、垂直方

なのかどうか検討する必要がある。速い変動に対

向各々２箇所以上）測定し、軌道を補正する。

してフィードバックを行いながら、固定された誤2. 衝突点の前の BPM でビーム位置を測定し、衝差に対する補正をゆっくり行う、といったことが突点でのビーム軌道の角度を補正する。（垂可能かどうか？などである。

直方向）

これらの課題の検討は行われてはいるが、非常に

3. 衝突後（ビーム－ビーム相互作用により、ビー

複雑な問題も多く、今のところ必ずしも十分であム間の相対位置に依存して、衝突後のビームるとは言えない。今後早急に検討すべき課題であ

重心の角度が変わる）のビーム位置を測定る。

2. バンチ圧縮機

Small beta

8. はじめに

Large beta

ここではバンチ圧縮機の原理、ビームダイナミク
ス上の課題などについて述べる。ILC におけるこの部分のビームダイナミクスに関する検討はまだ十分とは言えない。従って、ここでは定量的な議論はほとんどせず、定性的な議論にとどめることにした。

9. バンチ圧縮はなぜ必要か

Fig. 29, Beam size around the focal point.
以上のような理由（他にも理由があるが）で、ダダンピングリングから取り出されるバンチの長さは 6 mm（シグマ）以上であるがそれを 0.15 mm

ンピングリングから出たビームのバンチ長を短くする必要がある。

から 0.3 mm まで短くするのがバンチ圧縮機の役目である。

10. バンチ圧縮の原理

ダンピングリング内のビームをより短くすることは現実的でない。理由の一つは、バンチ内の集団的な効果のためバンチ密度をあまり大きくすることが困難だということであり、低エミッタン
スでかつ短いバンチのビームが作れないからである。（他にも、技術的、経済的な理由がある。
）
一方、長いバンチを衝突させて高いルミノシティ
を得ることは困難である。其の理由の一つが「砂時計効果（hourglass effect）」である。高ルミノ
シティのためにはビームを小さく絞らなければならないが、焦点でのビームの大きさを小さくす
ると、焦点からビーム軸方向にずれた場所でのビバンチの圧縮は、
1. バンチ内でビーム軸方向の位置に依存したエ
ネルギー差を作る。
（高周波加速空洞を使う。
バンチが高周波電場のゼロ交差付近に来る
ように位相を合わせることにより可能。）
2. バンチ内でエネルギーに依存した軌道長の差を作る。（円弧、シケイン、周期の大きいウィグラーなど、曲がったビームライン。）という、２つの組み合わせで行うことが出来る。

ームは大きくなってしまう。これを式で表せば、以下のようになる。
焦点から距離 s でのビームの大きさ：

σ ( s ) = εβ ( s)(9-1)

β ( s) = β (0) + s 2 / β (0)(9-2)

ベター関数：

ε はエミッタンスである。ビームを小さく絞るとは、β (0) を小さくすることであるが、ビームが小さいのは s ~ β (0) 程度以下の領域であり、従って、 β (0) をバンチ長よりも極端に小さくすると、かえってルミノシティが下がる。
Fig. 30, Basic scheme of bunch compressor, including
only linear d-z correlation. About 90 degree rotation inthe longitudinal phase space. (Vertical axis is δ=∆E/E,
relative energy deviation, and horizontal axis is z, thelongitudinal position.) Each of the small circle and asmall square represents a particle whose δ or z iszero at the beginning.
６次元の位相空間を( x, x' , y, y ' , z , δ ) ≡ ( w1 , w2 , w3 , w4 , w5 , w6 )(10-1)と表したとき、ある粒子の、あるビームラインのと表され、又、σ ij ≡< wi w j > と書くことにする
2
2と（＜＞は全粒子の平均、σ 55 ≡ σ z 、σ 66 ≡ σ δ等）、⎡σ 55 ' σ 56 '⎤ ⎡1 + R56 R65 R56 ⎤
⎥=⎢
⎢
1 ⎥⎦
⎣σ 65 ' σ 66 '⎦ ⎣ R65(10-6)⎡σ 55 σ 56 ⎤ ⎡1 + R56 R65 R65 ⎤
⎢σ
⎥⎢
1 ⎥⎦
⎣ 65 σ 66 ⎦ ⎣ R56

出口での座標は入り口での座標から、となる。Fig. 30 のように、はじめと終わりで z − δ

wi ' = ∑ Rij w j + ∑ Tijk w j wk
jjk

+ ∑ U ijkl w j wk wl + LL

相関がない（楕円の軸が傾かない）ようにするに(10-2)

は、

R56 =

jkl

− R65σ z2
2 2
R65
σ z + σ δ2(10-7)のように書けるであろう。
ここでは、縦方向（ビーム軸方向）、5, 6 成分のみ考え、とりあえず、第２項以下を無視する（線形近似可能な場合）と、加速空洞（ゼロ交差の位
相）では、⎡ z ' ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ z ⎤⎥⎢ ⎥⎢δ '⎥ = ⎢ R⎣ ⎦ ⎣ 65 1⎦ ⎣δ ⎦

R65 =

eVω
Ec

であればよく、このとき、
σ z2σ δ2
2
σ 'z =
2 2
R65
σ z + σ δ2
2 2
σ 'δ2 = R65
σ z + σ δ2(10-8)(10-9)(10-3)となる。
ここで、 σ z σ δ が不変（位相空間上での面積が保(10-4)

存：Liuville の定理）であることに注意。σ z を縮めるには σ δ を同じ割合で増加させる必要があとなる。ただし、E は平均エネルギー、V は電圧、る。

ω は周波数である。

又、Fig. 30 の小さい丸と四角の位置からわかる

又、曲線を含むビームラインによって、 R56 を作

ように、このバンチ圧縮は位相空間上でほぼ 90

ることが出来る。

度の回転になっている。

最も単純な場合（Fig. 30 と同様）、これら２つを

ここでは、式(10-2)の第２項以下を無視したが、つなげれば、出口の座標は入り口の座標で、⎡ z ' ⎤ ⎡1 R56 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ z ⎤⎥⎢ ⎥⎢δ '⎥ = ⎢0 1 ⎥ ⎢ R⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣ 65 1⎦ ⎣δ ⎦⎡1 + R56 R65 R56 ⎤ ⎡ z ⎤=⎢1 ⎥⎦ ⎢⎣δ ⎥⎦⎣ R65

実際には、高周波の波長が有限であるから、加速空洞では R65 以外の項が必ず出る。どのようなビームラインでも R56 だけ有限にし、高次の係数を(10-5)

完全にゼロにすることは出来ないであろう。高周波の波長を長くすれば高次の効果を減らすことが出来るが、電圧をその分大きくしなければならない。ビームラインを長く複雑にすれば（少なくとも設計上は）、高次の効果を減らせるであろう
が、多くの場所と磁石が必要になる。従って、高次の効果について十分検討して設計することが必要である。
10.1. R65 及び高次項
加速空洞でのエネルギー変化の位置依存性をみる。（ウェーク場はとりあえず無視する。）
バンチ中心に対する高周波電場の位相を φ0 とす
ると、相対位置 z の粒子の受けるエネルギー増は、
eV cos(φ0 + ωz / c)
(10-10)となる。ただし V は電圧、 ω は高周波の周波数、c は光速である。ここでの（平均）ビームエネル
ギーの設計値を E 0 とすると、

eV cos(φ0 + ωz / c) − eV cos φ0E0(10-11)eV ωR65 =cos φ0E0 c

U 6555 = −LB = ρ sin θ(10-13)の関係がある。
最初の磁石の入り口から最後の磁石の出口まで

l = 4 ρθ + 2 LD cos θ + LD 2

(10-14)であり、 θ が小さい（従って、 ρ が大きい）とき、であり、 cos(φ0 + ωz / c) をテイラー展開して、

cos θ ≈ 1 − θ 2 / 2
sin θ ≈ θ − θ 3 / 6
ρ = LB / sin θ ≈ LB / θ + LBθ / 6(10-15)

θ ≈ LB / ρ + (LB / ρ )3 6

2

1 eV ⎛ ω ⎞⎜ ⎟ sin φ0
2 E0 ⎝ c ⎠各磁石の曲げ角を θ 、曲率半径を ρ とすると、の軌道長は、図より= R65 z + T655 z 2 + U 6555 z 3 + L

T655 =

Fig. 31, Simple chicane.

(10-12)3

1 eV ⎛ ω ⎞⎜ ⎟ cos φ0
6 E0 ⎝ c ⎠等となる。
当然ながら、周波数が低いほど高次の効果は小さ
くなり、線形に近い結果が得られるが、同じ R65などであるから、l ≈ 4 LB + 2 LD + LD 2
+ 2 LDθ2+ 4 LBθ22≈ 4 LB + 2 LD + LD 2
+ 2 LDを得るのに必要な電圧は周波数に比例する。

L2B
2ρ

2

+ 4 LB

6+ O(θ 3 )

L2B
6ρ

2

(

+ O (1 / ρ )3)

(10-16)となる。
10.2. R56 及び高次項
次に、簡単な例として、Fig. 31 のような同じ強さと長さの４個の２極磁石からなるシケインでの R56 及び高次の項を計算してみよう。

E − E0とすると、
E0
ρ = (1 + δ ) ρ0
(10-17)エネルギーのずれを δ ≡（ ρ 0 は δ = 0 での ρ ）であるから、l ≈ l (δ = 0)2⎛⎞
+ ⎜ LD L2B + L3B ⎟ ρ 02 (−2δ + 3δ 2 − 4δ 4 + L)3⎝⎠
≈ l (δ = 0)2⎛⎞
+ ⎜ LD + LB ⎟θ 02 (−2δ + 3δ 2 − 4δ 4 + L)
3⎝⎠
(10-18)

く少し加速する位相に乗せることによって、加速と R65 を作ることを同時に行う。）

12. ９０度回転と０度（１８０度）回転
Fig. 30 のようなバンチ圧縮は位相空間上で約９０度の回転を伴うので、このような圧縮を２回行うと、位相空間上で約１８０度回転することになる。即ち、ダンピングリングから出てきたビームであるから、のエネルギーのずれは、主リニアックの入り口で2⎛⎞
R56 ≈ −2⎜ LD + LB ⎟θ 02
3 ⎠⎝3
T566 ≈ − R56
2

もエネルギーのずれとなり、ダンピングリングから出てきたビームの時間（縦方向の位置）のずれ
は、主リニアックの入り口でも時間のずれとな(10-19)U 5666 ≈ 2R56であることがわかる。

る。
一般的に、リングから出てくるビームのエネルギ
ーの中心値のエネルギー広がりに対する相対的な変動は非常に小さいのに対し、バンチの中心位
置のバンチ長に対する相対的な変動はそれほど小さくない可能性が高い。
一方主リニアックの入り口では、エネルギーの変11. 二段階圧縮
ILC では、バンチの長さを２０～４０倍以上縮めなければならない。ということは、エネルギーの広がりが２０～４０倍以上になる。大きなエネル
ギーの広がりは、縦方向の運動を考えた場合、高次の効果を増大させる。又、横方向の運動でもdispersive effect（主リニアックの節を参照）のよ
うな悪い影響を増大させる。そこで、エネルギーの相対的な広がりがあまり大きくならないよう、
バンチ圧縮を２段階に分けて行うことが考えられている。すなわち、
バンチ圧縮１―＞加速―＞バンチ圧縮２とする。加速することにより、相対的なエネルギ
ーの広がりを減少させることが出来る（ δ = ∆E / E の分子は変わらないが分母が大きくなる）。
現在の標準的設計では、5 GeV の平均ビームエネ
ルギーの約 6 mm のバンチを第一段で約 1 mm まで圧縮し、15 GeV の平均ビームエネルギーの二段目で 0.3 mm ないし 0.15 mm にする。（二段目
では、バンチを高周波のゼロ交差のところではな

動はそれほど問題にならない（加速によって相対的に小さな効果しか持たなくなる）。それに対して、時間の変動は直接衝突点での時間のずれとなり、衝突の起こる縦方向の位置の変動となる。衝突位置の変動は、衝突が焦点からずれた位置で起こることを意味し、先に述べた「砂時計効果」と同様の理由により、ルミノシティの減少をもたらす。
そこで、位相空間上の回転の合計は、０度、１８
０度でなく９０度、２７０度に近いほうが望まし
いと考えられる。そのためには２段階圧縮の場
合、二段目では０度又は１８０度に近い回転にする。Fig. 32 は約０度の回転で圧縮する例である。
高周波電場の位相とビームラインの構成を変えることによって、この位相空間上の回転角を調整することが出来る。ILC の標準設計では、合計が０度にも９０度にも調整出来るようなシステムになっている。

15. 横方向エミッタンスの増大
15.1. 曲線部での設計水平エミッタンス増大
バンチ圧縮のためにはエネルギーに依存した軌道長の差を作らねばならず、そのためには、曲率のある部分にディスパージョンが無ければならない。あるビームラインの R56 は、そのラインに沿った積分で、

η ( s)
ds(15-1)
ρ (s)と書ける。ただし、 η (s ) 、 ρ (s ) はライン上の距
R56 = ∫

Fig. 32, Basic scheme of bunch compressor. About 0
rotation in the longitudinal phase space.

離 s の場所での線形ディスパージョンと曲率半径である。曲率があるということは、そこで荷電粒子が曲げられ放射光が出るということである。よ13. バンチ圧縮の調整

く知られているように、ディスパージョンがある

バンチの長さ、位置、エネルギーの設計値からのところで放射光が出るとエミッタンスが増大す

ずれを許容できる範囲にするためには、これらをる（「加速器の基礎とダンピングリング」を参照）。

測定し、その結果から加速高周波の振幅、位相とこのため、バンチ圧縮機ではエミッタンスが増大

ビームラインのパラメーターを補正する必要がすることが避けられない。

ある。

水平方向の設計エミッタンスは垂直方向の設計

様々な誤差がある場合にこの調整を具体的にどエミッタンスよりはるかに大きいので、エミッタのように行うか、細かい検討はまだ行われていな

ンス増大の影響を小さくする（相対的な増大を小いようである。いずれにせよ、第一段の後と第二さく）するため、ビームラインの曲がりは水平方段の後其々でバンチ長、タイミング、エネルギー

向にし、垂直方向には影響が無いようにする。

分布を測定できるようにすることが必要である。

バンチ圧縮の最後に近い部分では、当然バンチが短くなる。短いバンチが曲げられると、普通のシ

14. 要求される安定性（縦方向）
縦方向（バンチ長、位置、エネルギー）の安定性のために最も重要なのが、高周波加速電場の位相と振幅の安定性である。位相変動の影響のうち、
バンチ圧縮機の出口、つまり主リニアックの入り
口での縦方向の位置（タイミング）の変動がエネ
ルギーの変動よりも問題となる。これは、先にも述べたが、位置の変動はそのまま衝突点の位置変動になり、ルミノシティが下がるからである。
これから要求される位相と振幅の安定度は、各々0.1 度、0.1%よりも厳しいと見積もられている。

ンクロトロン放射だけでなく CSR（coherent
synchrotron radiation）の影響が問題になってくる。個々の粒子がばらばらに放射光を出す（incoherent radiation、強度は粒子数に比例）だ
けなく、多くの粒子が集団的に放射光を出す効果（強度は粒子数の２乗に比例）である。ただし、CSR はバンチ長程度より長い波長のみしか出てこないため、長いバンチに対してはあまり影響が無い。
これらを考慮した結果、放射光のため水平方向のエミッタンスは数％増大すると計算されている。

E → E + g ds

15.2. 誤差によるエミッタンス増大
様々な誤差によって、水平、垂直エミッタンスは(16-2)となり、その結果粒子の角度がy' →増大する。設計エミッタンスの小さい垂直方向が相対的に重要になる。

Ey'
E + g ds

(16-3)

加速、及びエネルギースロープをつけるための加速空洞が並んだリニアック部分のエミッタンスのように減少する、従って、振幅は、については、主リニアックと同様に考えられる。
ただし、エネルギー広がりが相対的に大きな部分

y 2 + β 2 y'2a=があること、エネルギースロープがあること等のために問題が複雑になる。

⎛
⎞
E
⎟⎟
→ a cos φ + a sin φ ⎜⎜
E
+
g
ds
⎝
⎠
2

シケイン又はウィグラー部分で垂直方向のディ

2

2

2

スパージョンがあると、放射によるエミッタンス

2(16-4)

増大が生ずるので、ディスパージョンを小さくすのように減少する。 g ds << E と仮定したから、るような調整が必要になるであろう。
ILC におけるこれらの調整方法などについての詳g ds ⎞⎛a → a⎜1 − sin 2 φ⎟
E ⎠⎝しい検討は、現時点ではまだ十分行われていないと思われる。

(16-5)となる。
ここで、ベータトロン振動１周期の間の E の変化

g ds
を定数とみなせる）といE

16. 付録が小さい（従って、16.1. 加速によるベータトロン振動の振幅の減小う仮定を使い、１周期あたりの振幅の変化は、加速がある場合、粒子の横方向の振動（ベータトg ds ⎞⎛⎛ 1 ∆E ⎞a → a⎜1 − ∫ sin 2 φ⎟ = a ⎜1 −⎟E ⎠⎝ 2 E ⎠⎝

ロン振動）の振幅が、エネルギーの平方根に反比
例して減少することを示す。加速によるエネルギ≈ a E /( E + ∆E )ー変化はゆっくりしており、振動１周期あたりの相対的な加速エネルギーは非常に小さいものと(16-6)となる。ただし、∆E = 2πβ gする。
簡単のため（本質的な仮定ではない）、ベータ関数（ β ）は一定（constant focus）とすると加速が無視できる短い範囲で、運動は、

y = a cos φ
y ' = (a / β ) sin φは、１周期当たりの加速によるエネルギー増分である（ ∆E / E << 1 と仮定）。
従って、はじめのエネルギーを E 0 とすると、n 周
期後のエネルギーは E n = E0 + n∆E であり、そ(16-1)と書ける。ここで、 a がこのあたりでの振幅、
φ = φ0 + s / β は振動の位相（ φ0 は定数、 s は距離）である。ここでのビームエネルギーを E 、加速勾配（簡単のため一定とする）を g とすると、ある短い距離 ds での加速によって、エネルギーは、(16-7)のときの振幅 a (n) は、

a(n) = a(0)E n −1EnE= a(0) 0
En

En − 2
EL 1
E n −1E2

E0
E1(16-8)

であり、振幅がビームエネルギーの平方根に反比
例することが示された。
（ ∆E / E << 1 が必要だが、 (E n − E0 ) / E0 は大きくてもよいことに注意。
）
Fig. 34, Transverse kick at edges of tilted cavity.

16.2. 加速空洞の傾きの効果
加速空洞の傾きがあると、Fig. 33 のように加速
空洞内で斜め方向に加速されるため、横方向の成分の力を受ける。横方向の運動量変化は、 θ を傾き角度、 E を平均電場、 L を空洞の長さとして、∆pt = θeEL / c(in cavity)(16-9)

空洞の端での収束力と発散力は、空洞の傾きの効
果（空洞内部での効果）を半減させることがわかる。

16.3. 加速空洞端部の収束（発散）力
加速空洞の端部で荷電粒子が受ける横方向の力である。
一方、空洞の傾きのために、（まっすぐな）ビー
ムは空洞の入口と出口を異なる横方向のずれを持って通過する（Fig. 34）。その差は Lθ である。
ビーム軌道の典型的な角度は、典型的な空洞の傾きに比べてはるかに小さいと考えられるので、ここではビームはまっすぐと近似できる。
入口（出口）を y のずれを持って通過する粒子はを、ガウスの定理から導いてみる。
Fig. 35 のように、ビーム粒子が中心から r のずれを持って空洞に入ってくる場合を考える。半径ｒで、一方の端は空洞の十分外に、一方の端は空洞の十分中にある円筒を考えて、ガウスの定理を適用してみる。

− yeE / 2 （ + yeE / 2 ）だけの横方向の運動量変化を受ける（次の付録を参照）。その結果、入口と出口で受ける横方向の運動量変化の合計は、∆pt = −θeEL / 2c (at edges)(16-10)となる。
これを空洞内での運動量変化と合わせれば、∆pt = θeEL / 2c (total)(16-11)となる。

Fig. 35, Edge focus of accelerating cavity.
円筒内に電荷はないので、全表面での積分はゼロである。

∫ E n dS = 0
Fig. 33, Transverse kick in tilted cavity.

(16-12)空洞の外の端面は電磁場が無いので積分に寄与2しない。空洞内の端面からの寄与は、 Eπ r （ E
は加速電場）である。すべては空洞中心軸に対し

て回転対称であるから、円筒表面での垂直方向の電場を E r (s ) とすれば、

2π r ∫ E r ( s )ds = − Eπ r 2(16-13)であることがわかる。
eE r (s ) はｓにおいてビーム粒子が横方向に受ける力であるから、空洞の入口での横方向の運動量変化は、∆pt = e ∫ E r ( s )ds / c = −eE r / 2c

(16-14)であることが導かれたことになる。
空洞の出口でも電場の向きが反対になること以外は全く同様である。

参 考 文 献[1] TESLA TDR (Technical Design Report),
http://flash.desy.de/tesla/tesla_documentation/index_eng.html#e1509[2] TRC(International Linear Collider Technical
Review Committee)-II Report,
http://icdev.kek.jp/TRCII/INDEX.HTM[3] Tor Raubenheimer, SLAC-Report-387