最終収束ビーム光学系の設計

高エネルギー加速器研究機構
加速器研究施設
奥木 敏行

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目次
線形ビーム光学系の基礎
最終収束系のパラメーターの決定
最終収束系のビーム光学系の設計
ATF-II の紹介

2

線形ビーム光学系の基礎

線形ビーム光学系の基礎（ビームとは？）
ビーム光学系の基礎１ 単粒子の運動
自由空間

x , y ; 単粒子の位置
x’, y’ ; 単粒子の角度

Pos 0
Pos 1

四極電磁石
Pos 0

転送行列

Pos 1

四極電磁石は水平方向に収束させると、垂直方向は発散する。
3

線形ビーム光学系の基礎

単粒子の運動 （つづき）
一般に、転送行列をパラメーターα、βを使って、と書き下すことが出来る。
ただし、α、βはビームラインに沿ってここで、位置と角度は、と変化する。の座標変換をすることにより、（u, v）空間では円運動をすることになる。

パラメーターα、βは数学的にはどんな値をとっても良く、どんなα、βをとっても、上の関係は成り立つ！
4線形ビーム光学系の基礎

集団運動へ‥
x-x’ 空間 （自由空間の運動）

u-v 空間 （自由空間の運動）

形がどんどん伸びていく

α、βは適当に選んだ！ → 角度は変わるけど、分布の形は変わらない！
α、βは数学的には、どうとでもとれる。
→ しかし、適当に選んだのでは、物理的意味はない。
→ 物理的意味を持つ組み合わせを選ぼう！
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線形ビーム光学系の基礎

物理的意味のあるα、βの選び方
x-x’ 空間 （自由空間の運動）

u-v 空間 （自由空間の運動）

一度、真ん丸になるように選べば、ずっと真ん丸！
ベータ関数

分布の面積

ビームサイズを表すパラメーター

エミッタンスと定義 位置と角度の相関
角度拡がり
ビームの質を表す指標

α、β、γ ； Twiss Parameter （ビームの分布を表すパラメーター）6

線形ビーム光学系の基礎

物理的意味のあるα、βの選び方

α、βは数学的にはどんな取り方をしても良い。
水平方向のβ関数

そして、α、βは一度決めると、そのあとは、垂直方向のβ関数に従って変化する。

しかし、 u-v 空間での分布が真ん丸になる取り方は一つだけ！
→ このとき、α、βは Twiss Parameter と呼ばれ、ビームの性質という物理的な意味をもつパラメーターとなる。
逆に言うと、電磁石の配置や、電磁石の強さなどのビーム光学系を決めただけではビームの性質は決まらず、入射ビームの性質に合うようなビーム光学系を作ることによって初めて、ビームを期待する形に操作できる。
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パラメーターの決定

最終収束系のパラメーターの決定
一番大きな要求

大きなルミノシティーを得たい！

ルミノシティー
衝突点でビームサイズを絞る。

では、衝突点でどこまでビームを絞れるのか？？

8パラメーターの決定

どこまでビームを絞れるのか？？

Oide Limit
最終収束系の四極電磁石のシンクロトロン放射により焦点で収束できるビームサイズに制限が生じる。
Synchrotron Radiation
IP

Final Focus
Quadrupole

L

L*

シンクロトロン放射により収差が起こる。

この収差はシンクロトロン放射によりビーム自体が変形してしまうので、他の方法で補償できない。

衝突点でビームを絞れる原理的な限界となる。
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パラメーターの決定

どこまでビームを絞れるのか？？

衝突点でのビームサイズ
線形光学系で決まる大きさ
ベータ関数が小さい程小さいシンクロトロン放射の影響ビームサイズを小さく絞る。
最終収束系でのビームサイズが大きくなる。
四極電磁石では中心から離れる程、磁場が大きくなる。

Ｏｉｄｅ Limit による限界値

ベータ関数が小さい程、シンクロトロン放射の影響が大きくなる。

ILC での限界値
β=15μm, σ=1.3nm (500GeV運転）
β=30μm, σ=1.3nm ( 1TeV 運転）

10パラメーターの決定

Oide Limit により最終収束系で収束できるビームサイズの原理的な限界値がわかった。
では、Oide Limit の限界値までビームサイズを小さく絞るのが得なのか？

そうともいえない！
理由１） ビームサイズを小さくすれば、ルミノシティーが大きくなるとは限らない。
理由２） 衝突点の設計はただルミノシティーを大きくすれば良いわけではない。

11

パラメーターの決定ビームサイズを小さくすれば、ルミノシティーが大きくなるとは限らない。

砂時計効果
有限のバンチ長の為、焦点のビームサイズを小さくすると、実効的なビームサイズが大きくなる効果

衝突点でのベータ関数はバンチ長程度が望ましい。
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パラメーターの決定ビームサイズを小さくすれば、ルミノシティーが大きくなるとは限らない。

交差角の影響ＩＬＣ では衝突点に有限の交差角があり、この影響も考えないといけない！

交差角の影響で実効的にルミノシティーが減少してしまう。
水平方向のビームサイズは、ある値より絞ってもルミノシティーは増えない。
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パラメーターの決定ビームサイズを小さくすれば、ルミノシティーが大きくなるとは限らない。

Crab 衝突 交差角の影響を無くす為の技術。
交差の直前に高周波キックにより、バンチの前方と後方で軌道差をつける。

実効的に正面衝突を実現できる。
大角度での衝突では必須の技術！
現在のILC の最終収束系の R&D 項目になっている。
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パラメーターの決定ビームサイズを小さくすれば、ルミノシティーが大きくなるとは限らない。

幾何学的な Luminosity の減少量

砂時計効果

500GeV 運転1 TeV 運転

交差角の影響2mrad 20mrad Crab 衝突
0.771
0.211 0.830
0.689
0.176 0.745

20mrad の交差角では Crab 衝突は必須の技術
このように、ビームサイズを小さくしただけ、ルミノシティーが大きくなるとは限らず、適切な値がある。
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パラメーターの決定

衝突点の設計はただルミノシティーを大きくすれば良いわけではない。

ビームビーム効果
一方のビームが作る磁場で、他方のビーム中の粒子が曲げられる効果

B
B

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パラメーターの決定

衝突点の設計はただルミノシティーを大きくすれば良いわけではない。

ビームビーム効果の大きさの指標
Disruption Parameter

ビームビーム効果でのビームの変形を表すパラメーター
ビームサイズが小さい程、大きくなる。

ビームビーム衝突の際の振動数はDisruption Parameter を使ってと表せる。
ビームを小さく絞れば、線形の効果以上にルミノシティーは得をする。
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パラメーターの決定

衝突点の設計はただルミノシティーを大きくすれば良いわけではない。

ビームビーム効果の利点２
２つのビーム間でオフセットがあってもビームビーム効果により引き合うため、ある程度のルミノシティーが出る。

ＢＢ
これもビームを小さく絞ればオフセットに強くなり、結果としてルミノシティーは得をする。

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パラメーターの決定

衝突点の設計はただルミノシティーを大きくすれば良いわけではない。

ビームビーム効果の欠点
シンクロトロン放射により大量の光子が発生
ビームのエネルギー損失！
ビームエネルギーの減少
エネルギー拡がりの増大- 各イベントの重心系エネルギーの不定性
レプトン加速器の優位性をスポイルする。

測定器へのバックグラウンド！
Beamstrahlung 光子
Beam-beam Pair
- Beamstrahlung 光子がビーム交差中の強磁場で対生成を起こす。
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パラメーターの決定

衝突点の設計はただルミノシティーを大きくすれば良いわけではない。

ビームビーム効果の大きさの調整
ビームビーム効果はビームが作る磁場により決まる。

円形B
楕円
B
N2
L = 4πσ σxy

ルミノシティー
磁場

水平垂直方向のビームサイズの積で決まる。
水平垂直方向のビームサイズの和で決まる。

π（σx+σy）B =μI
楕円の離心率を大きくすると、ビームビーム効果は弱くなる！
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パラメーターの決定

衝突点の設計はただルミノシティーを大きくすれば良いわけではない。

ビームビーム効果の纏め
ビームビーム効果を強くすると‥
Luminosity Enhancement が大きくなる！
ビームのオフセットに強くなる！
しかし、エネルギー損失、バックグラウンドが大きくなる！
また、ビームビーム効果の強さは、衝突点のビームサイズの縦横比を変えることで調整できる。

そこで‥ビームビーム効果のご利用は計画的に！
バランスを考えて無理のないご利用を！
ＩＬＣでは Dy は 10-20 程度にしている。
それでも１ＴｅＶ運転では 5%のエネルギー損失！
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パラメーターの決定

ＩＬＣでの最終収束系のパラメータのまとめ
500GeV運転 1TeV運転
βy 400μm
300μm
βｘ
21 mm
30 mm
σyσx

5.7nm
655nm

交差角1交差角2バンチ長により決まる。
Disruption Parameter
Dy=18 により決まる

3.5nm ILC では Oide Limit でビームサイズが554nm 制限されているわけではない。

2mrad Crab 交差無しでも可能なパラメーター
20mradCrab 交差無しでは成り立たないパラメーター
しかし、その他で2mrad の欠点を補うところも多い。
本講義では時間の関係で割愛（詳しくは講義ノートと高橋さん（広大）の講義参照）
22ビーム光学系の設計

Final Doublet

最終収束系のビーム光学系の設計
Final Doublet
複数の四極電磁石を組み合わせることによって、水平垂直双方で同じ位置に焦点を結ばせることが可能
VerticalHorizontal

KF

KDL*

注意） 光学系の組み方（電磁石の強さ等）で焦点のビームサイズが決まるのではない。
ビームサイズを決めるのは、入射ビームのパラメーター！
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ビーム光学系の設計

Final Doublet

Final Doublet での色収差
線形光学では入射ビーム系を大きくすれば大きくする程、焦点のビームサイズを小さくできる！
しかし‥あまり大きくすると色収差も大きくなる。

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色収差とは、粒子のエネルギーの違いにより焦点がずれてしまうこと。

ビームサイズの増大率

水平方向
垂直方向15105設計値
設計値

00.0001

0.001

0.010.1

β[m]24ビーム光学系の設計

Final Doublet

Dispersion 関数と六極電磁石を使った色収差補正

Dispersion 関数

エネルギーのずれた粒子の軌道
理想的な粒子の軌道粒子が偏向電磁石を通過するとき、エネルギーの違いにより違った軌道を通る。
この軌道の違いは一時近似ではエネルギーに比例する。

六極電磁石
中心位置に比例した収束力を生む電磁石

Δx = ηδΔx’= -K2 (x2-y2)/2= -K2η δxΔy’= +K2 xy
Dispersion 関数が有限のところに置くことによって= +K2η δy
付加的な色収差を生むことが出来る。

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ビーム光学系の設計

Final Doublet

六極電磁石を用いた色収差補正
Final Doublet の直前に六極電磁石を置いて、垂直方向の色収差を補正したとき
GeometricalAberration
色収差の余り2nd OrderDispersion

GeometricalAberration

2nd OrderDispersion

色収差の補正に六極電磁石を使うと、新たな収差
Geometrical Aberration、 2nd Order Dispersion 等が発生
最終収束ビーム光学系の設計とは、収差を抑えることとの戦いである！

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ビーム光学系の設計

グローバルコレクション

アイデア１ グローバルコレクション
六極電磁石を使うことにより発生する新たな収差
Geometrical Aberration、 2nd Order Dispersionの無いシステム。
２つの六極電磁石の強さは同じ
２つの六極電磁石でのDispersion関数は同じ

ηx

２つの六極間の輸送行列を六極電磁石-1 0 0 00 -1 0 0
M=
0 0 -1 00 0 0 -1

六極電磁石とする。

このようなシステムを最終収束系の前に置き、最終収束系の色収差を、このシステムで補正する。
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ビーム光学系の設計

グローバルコレクション

リニアコライダーの為に考えられた
グローバルコレクションを使った最終収束系
水平方向と垂直方向の色収差をそれぞれ個別に補正するシステム

垂直方向の補正

水平方向のβ関数を400
垂直方向に比べ有意に大きくしているので、効果はほぼ水平方向だけ！
300

水平方向の補正1/2)

ηx(m0.00

1/2

βx

β1/20.05

ηy2001/2βyη (m)500

垂直方向のβ関数を水平方向に比べ0.15有意に大きくしているので、効果はほぼ垂直方向だけ！
0.10

-0.05

100

-0.10

00200

400

600

-0.15
800 1000 1200 1400 1600 1800s (m)Geometrical Aberration、 2nd Order Dispersionが無いので、あとは六極電磁石の強さを調整して、色収差を補正すれば良い！

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ビーム光学系の設計

ローカルコレクション

アイデア２ ローカルコレクション
色収差の大きい Final Doublet の直近で色収差を補正するシステム。
色収差、 2nd Order Dispersion 補正

M=I

M=n 0 0 0n12 1/n 0 00 0 n 00 0 n34 1/n

M=六極電磁石対

Final Doublet

ηxm 0 0 0m12 1/m 0 000 m 000 m34 1/m

IP

六極電磁石対Geometrical Aberration や 2nd Order Dispersion を補正する為にアイデアを凝らしてある。

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ビーム光学系の設計

ローカルコレクション

Geometrical Aberration を補正する為のアイデア
対になる六極電磁石の強さにの関係を持たせることによってGeometrical Aberration は抑えられる。

水平、垂直方向の色収差と水平方向の 2nd Order Dispersionの補正３つの補正したい項目に対して、六極電磁石の自由度は２個！
そこで、線形光学系の付加的な色収差を利用する。

当時の苦肉の策？？
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ビーム光学系の設計

ローカルコレクション

リニアコライダーの為に考えられた
ローカルコレクションを使った最終収束系
Final Doublet の直近に補正用の六極電磁石
0.14 を置いている。

1/2(m1/2)

400

色収差生成

300

ηx

1/2

βy200

ηyβ

水平方向にのみ付加的な色収差を作りたいのでβ関数は水平方向が有意に大きい！

六極電磁石対

βx100

1/2

100

200

0.08
0.06
0.04
0.02
0.00

直近の六極で補正する。

-0.02
-0.04
-0.06

000.120.10 垂直方向の色収差は
η (m)

500

300

400 s (m)最終収束系の中で色収差の補正が出来ている為、非常にコンパクトな光学系になっている。
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ビーム光学系の設計

性能比較

遠くから補正する時

性能比較

Final Doublet での位置をズレすことにより色収差を補正する

エネルギーの違いによる
Final Doublet でのビームサイズの違いは大きい。

六極電磁石

近くで補正する時
Final Doublet に入る角度をズレすことにより色収差を補正する

六極電磁石

エネルギーの違いによる
Final Doublet でのビームサイズの違いは小さい。
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ビーム光学系の設計

性能比較

エネルギーバンド幅の比較

Global Correction
Local Correction

ローカルコレクションの方が大きなバンド幅を持っている。
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ビーム光学系の設計

性能比較

テール粒子の分布の比較
1008060Y (mm)40200-20-40-60-80

Traditional FF
グローバルコレクション
New FF
ローカルコレクション-100-100 -80 -60 -40 -20

X (mm)
0204060

80 100

ローカルコレクションの方がテール分布は小さく纏まる。
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ビーム光学系の設計

性能比較

２つの補正方法の性能の纏め
ビームラインの長さ
エネルギーバンド幅
テールの分布

グローバル
長い
狭い
広い

ローカル
短い
広い
狭い

コスト、サイト
ビーム調整
バックグラウンド

全体的にローカルコレクションの方が優れている。
しかし、ローカルコレクションでは・収差の微調整に線形の光学系を動かさないといけない。
・フィードバックの為の仮想焦点を置きたい。などの要求もある。

ＩＬＣではローカルコレクションを若干修正したビーム光学系を採用している。
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ビーム光学系の設計

ＩＬＣの最終収束ビーム光学系

π/2

付加的な色収差源にグローバルコレクションのアイデア

SF1-I

SF5SF6ＩＬＣの最終収束ビーム光学系
SD0SD4IP

以下の関係を満たすことで、Geometrical Aberration の影響はない

仮想焦点

SD0 SF1 で主に Final Doubletの色収差を補正しているので、ローカルコレクションと同等の性能になる。

KS1, KS2, KS3 の３つのパラメーターを調整して、水平垂直方向の色収差、水平方向の 2nd Order Dispersionの補正が出来る。

微調整で線形光学系には影響はない！
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ビーム光学系の設計

ＩＬＣの最終収束ビーム光学系

ＩＬＣの最終収束系の調整
更に、焦点位置、Dispersion関数、カップリング等の線形光学系の微調整も六極電磁石の位置をずらすことでおこなえる。

焦点位置

カップリング

四極電磁石のヒステリシス等に悩まされずにビーム調整が出来る！

37

ATF-II の紹介

ATF-II の紹介
ＩＬＣのための最終収束ビーム光学系の試験施設
高エネ研のＡＴＦの取り出しラインを延長して建設予定。

アジア、アメリカ、ヨーロッパの３地区の国際協力で建設、運転をおこなう。
運営方式も ILC のための一つのモデルケースとなっている。
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ATF-II の紹介

ATF-II のパラメーター

エミッタンスが非常に良い ATF のビームを使う為、エネルギーが非常に低くても、ＦＦＴＢよりも小さくビームを絞れる39

ATF-II の紹介

ATF-II のビーム光学系
ＩＬＣの最終収束系

ＡＴＦ-II のビーム光学系

ＩＬＣの最終収束系とほぼ同じ光学系を採用している。
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ATF-II の紹介

ATF-II と ＩＬＣの最終収束系の許容値の比較
電磁石の強さ電磁石の傾きの設置誤差

電磁石の振動電磁石位置の設置誤差

ATF-II は ILC の最終収束系と同程度の難しさになっている。
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ATF-II の紹介

ATF-II はILCの最終収束系実現に向けた非常に良い試験加速器である。
高エネ研のＡＴＦの取り出しラインを延長して建設予定。
現在、電磁石、電源、モニター等の製作を進めている。
２００７年、増設部分の床工事、ビームライン建設開始
２００８年、運転開始

宣伝！
ATF-II では意欲のある若い方達の参加をスタッフ一同、心よりお待ちしております。
興味を持たれた方がいらっしゃいましたら、是非とも、お気軽にお声をおかけ下さい！
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最後に‥
今回の講義では、最終収束系周りには問題は無いように感じられるかも知れませんが、実際にはいろいろと懸案事項もあります。
現在の ILC の最終収束系周りの設計で問題があるとされている（面白い？）内容は、講義では時間の関係で割愛させて頂きましたが、講義ノートには載せておきました。そちらを参照下さい。
また、それらは測定器周辺に集中しているので、高橋さん（広大）の講義に重複しているところが多いと思うので、そちらも参考にして下さい。

おわり