コヒーレントシンクロトロン放射光とビームダイナミクス

高エネルギー加速器研究機構
島田 美帆

目次
1

はじめに

1

2

コヒーレントシンクロトロン放射光（CSR) とインコヒーレントシンクロトロン放射光

1
1

3

2.1

Liénard − Wiechert ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2
2.3

シンクロトロン放射光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
コヒーレントシンクロトロン放射光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
3

CSR の電子バンチに及ぼす影響
3.1 Frenet-Serret 座標系の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55相互作用ハミルトニアンとローレンツ力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
6
9

3.2
3.3
3.4

4

5

CSR の影響によるエネルギー分布と軌道の変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
偏向電磁石の端における CSR の影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5
3.6

チャンバーによる遮蔽効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.7

シミュレーションコードによる計算結果の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

様々なシミュレーションコード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

CSR の影響とビームダイナミクス

20

4.1
4.2

ビームダイナミクスの基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3
4.4
4.5

R 行列によるエミッタンスの計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
位相調整法によるエミッタンス劣化の最小化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
エンヴェロープ・マッチングによるエミッタンス劣化の最小化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.6

コンパクト ERL の周回部の最適化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

偏向電磁石からなる光学系によるバンチ圧縮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

謝辞

A 遮蔽効果を含めたインピーダンスの導出

30
30

1

はじめに

(通常のシンクロトロン放射光) と比較しながら説明する。第 3 章では CSR の電子バンチに及ぼす影響や遮蔽

次世代放射光施設には、高輝度、サブピコ秒短パルス効果の解析解やその導出について説明し、数多く公開さ

X 線の実現が期待されている。このような X 線を発生させるには、位置・角度広がりの指標であるエミッタン

れている計算コードを紹介する。第 4 章では、エミッタ

スと呼ばれる量が小さく、短いバンチ長の電子ビームが説明するとともに、これらの影響を最小にするビームダ

必要不可欠である。しかし、従来の蓄積リング型放射光イナミクスの最適化の手法について説明する。第 2 章、加速器には平衡状態が存在し、電子ビームのエミッタン

第 3 章がとっつきにくいと感じられたら、この章から読ンスの増加やバンチ長の伸長などのメカニズムについて

スやバンチ長は加速器の仕様で制限されてきた。そこ

むことをお勧めしたい。本テキストは 3.6 章を除いてガで、OHO’08 のテーマであるエネルギー回収型線形加速

ウス単位系を使用する。

器 (Energy Recovery Linac, ERL) が注目を集めている。

ERL では平衡状態が存在しないため、電子銃で作られた状態のビームを劣化させることなく輸送できることがコヒーレントシンクロトロン放射2最大の特徴である。したがって、ERL によって、これ光（CSR) とインコヒーレントシン

までに以上の低エミッタンス・短バンチ電子ビームが実

クロトロン放射光

現する可能性があるのである。
短バンチ電子ビームから期待される物理にコヒーレン
トシンクロトロン放射光 (Coherent Synchrotron Radi-

J. Schwinger が加速電子からの放射光を数式で書き
ation, CSR) がある。CSR とは偏向電磁石などによって下したときには、特別なケースで扱ったのは CSR では
電子の軌道が曲げられたときに短バンチから発生するシ
なく、バンチ長よりも短い波長のインコヒーレントな
ンクロトロン放射光 (SR) のうち、位相が揃っている成放射光であったが、現在ではその立場が逆転してしま分のことを指す。この CSR はパワーが強く、コヒーレったようである [1]。本章では、シンクロトロン放射光
ント性の高い放射光源として期待されている。バンチ長や CSR wake(第 3 章）の解析解の導出に必要不可欠な以上の波長でコヒーレント性が高くなるため、バンチ長
Liénard − Wiechert ポテンシャルの説明を行い、通常が短いほど強い放射光となる。
のシンクロトロン放射光とコヒーレントシンクロトロン
しかし、この短バンチ電子ビームによってこれまでに放射光の特徴について比較する。
なかったビームダイナミクスの問題が議論されるようになった。短いバンチが自ら発生した CSR によって摂動が加わってしまうのである。加速器物理ではこの摂動を

2.1

wake（航跡場）と呼ぶ。wake とはチャンバーや加速空洞など、電子ビームを取り巻く環境によって電磁場に歪Liénard − Wiechert ポテンシャル

まず、単位電荷量をもつ点電荷が位置 r 0 で静止している場合を考える。すると、r におけるポテンシャルはみが生じ、ビーム物理に影響を与えることを指す。通常の wake では先に通過した電子によって引き起こされ、後続の電子に摂動が与えられるが、CSR wake の場合は次のように表すことができる [2] 。

G(r; r 0 ) =バンチ後方の電子が、バンチ先頭に影響を及ぼす。この1|r − r 0 |(2.1)

影響によって、バンチ内のエネルギー分布や軌道が変化

式 (2.1) は r と r 0 のみで決定する関数であり、このようし、エミッタンスの増加やバンチ長の伸長などの悪影響なある点の単位物理量が別の点に及ぼす場を表す関数をを及ぼしてしまう。

グリーン関数 (Green function) と呼ぶ。加速器で扱う電本テキストでは第 2 章で、CSR の光源としての性質

子のように、光速に近い速度で運動している電荷量 −eをインコヒーレントな高周波数のシンクロトロン放射光1

の点電荷 n が作る電磁場は、運動の軌跡を r n (t) と表す

ル A(r, t) は重ねあわせで求めることができ、∫
Φ(r, t) = dr 0 dt0 ρ(r 0 , t0 )G(r, t; r 0 , t0 ),∫= dr 0 ρ(r 0 , t)Φn (r − r 0 , t)∫A(r, t) = dr 0 dt0 βρ(r 0 , t0 )G(r, t; r 0 , t0 )∫= dr 0 ρ(r 0 , t)An (r − r 0 , t)と Maxwell 方程式より次の波動方程式を満たす。
()
1 ∂2∆ − 2 2 Φn (r, t) = 4πeδ(r − r n (t))
c ∂t
(2.2)
(
)
1 ∂2
∆ − 2 2 An (r, t) = 4πeβ(t)δ(r − r n (t))
c ∂t
ここで r ≡ (x, y, z) の 3 次元ベクトルであり、

∆≡

∂2
∂2
∂2
+ 2 + 2,
2
∂x
∂y
∂z

cβ(t) ≡ dr n /dtとなる。ここで、電荷分布 ρ(r, t) は次の様に定義した。
∑(2.6)
ρ(r, t) =δ(r − r n (t))

である。式 (2.2) を満たすグリーン関数は次のようになnる。

δ(|r − r 0 |/c − (t − t0 ))(2.3)|r − r 0 |∫ここで、c は光速であり、デルタ関数は δ(r)dr = 1を満たすものとする。 因果律より t0 < t の領域を扱
うところから遅延グリーン関数と呼ばれる。この遅延G(r, t; r 0 , t0 ) =2.2

シンクロトロン放射光

シンクロトロン放射光の解説は OHO’08 の原田さんの解説がすばらしいので、詳しくはそちらを参考にしてほしい。ここでは、放射光強度の導出に関する概要のみをまとめた [4]。

グリーン関数から導出されるポテンシャルを一般的に式 (2.4) の Liénard − Wiechert ポテンシャルを簡単

Liénard − Wiechert ポテンシャル呼ぶ。式 (2.2) を満

たすスカラーポテンシャル Φn (r, t)、ベクトルポテンシャ な表示にするために、L ≡ |r − r n (t̄)| とし、法線ベクト
ル A (r, t) の解は次のように書き下すことができる [3]。 ル n = (r − r n (t̄))/L を導入する。すると、n∫Φn (r, t) =∫An (r, t) =e,
(1 − β · n)Leβ
An (r, t) =(1 − β · n)LΦn (r, t) =dr 0 dt0 eδ(r 0 − r n (t0 ))G(r, t; r 0 , t0 ),dr 0 dt0 β(t0 )eδ(r 0 − r n (t0 ))G(r, t; r 0 , t0 )(2.7)

となる。このポテンシャルを元に数学的に処理を行うと、
p = |r − r 0 |/c − (t − t0 ) とおいて p に変数を変換して電場 E は r と t の関数で以下のように書ける。
計算すると、Liénard − Wiechert ポテンシャルは次のe(n − β)ように与えられる。
E(r, t) = 2
γ (1 − β · n)3 L2eΦn (r, t) =,e n × [(n − β) × β̇]|r − r n (t̄)| − β(t̄) · (r − r n (t̄))
+
(2.8)
(2.4)
c (1 − β · n)3 Leβ(t̄)An (r, t) =|r − r n (t̄)| − β(t̄) · (r − r n (t̄))
ここで γ はローレンツ因子 (Lorentz factor) と呼ばれる変数で、γ 2 ≡ 1/(1 − β 2 ) である。式 (2.8) は加速度t̄ は遅延時間であり、次の方程式を満たす。
β̇ ≡ dβ/dt が含まれないクーロン場 (第 1 項）と、含む|r − r n (t̄)|
t − t̄ =(2.5) 加速度依存の場 (第 2 項) に分けている。通常、放射光c
源となる電子エネルギーでは γ −2 ≪ 1 であるため第 1
ここで電荷分布 ρ(r, t) が与えられた場合は、全体のス 項を無視する1 。
カラーポテンシャル Φ(r, t) およびベクトルポテンシャ
1 最大エネルギーまで加速する前の低エネルギーのビームダイナミ
クスを扱う際には、このクーロン場が無視できなくなる。

2式 (2.8) の第 2 項から、単位時間当たりの放射エネル
ギーを表す Larmor の公式を導くことができる。
()
2 re dp dp
P =
(2.9)
·
3 mc dt dt
ここで、m および re はそれぞれ電子の質量および古典半径であり、運動量 p は p ≡ γmcβ とする。これはローレンツ変換で不変な量である。β を使って書き直すと、 図 2.1: バンチから発生する位相の揃っていない通常の

PSR =

2
re mcγ 6 [(β̇)2 − (β × β̇)2 ]3

シンクロトロン放射光とコヒーレントシンクロトロン放(2.10)

射光 (CSR)となる。偏向電磁石で加速された場合を想定すると、近似式は次のようになる。

ため、強度が桁違いに大きくなる。これは、バンチ長が2 re mc3 4 4
PSR =
β γ
3 R2

短いほど高い周波数の放射光で位相が揃い、CSR のパ(2.11)

ワーが強くなることを意味する。模式図を図 2.1 に示す。

ここで、R は軌道の曲率半径である。

バンチ長は有限であるためにすべての放射光の位相が完放射光の角度拡がりについて補足しよう。ここで、放全に一致することはなく、部分的にコヒーレントとなる。

2
射角度 θrad の拡がりを < θrad>1/2 と定義する。これはこの章では、そのコヒーレントな放射光とインコヒーレ

放射光の周波数 ω によって異なり、臨界周波数 ωc に近ントな放射光の割合を示すフォームファクタ−（Form

い高い周波数ではFactor）について説明する [5] 。

2>1/2 ∼< θrad1γ

ここで、N 個の電子からなるバンチを考える。簡単の(2.12)

ために粒子の運動は進行方向の一次元で考え、各電子かとなるのに対し、ω ≪ ωc となる低い周波数では
)1/3
(
)1/3
(
1 2ωc
3c
2
1/2
=
(2.13)< θrad > ∼ωRγωなっているものとする。ある点から距離 zn ( n=1,・・・,N )となる。ここで、臨界周波数 ωc とは高い周波数の限界

らなる電場をそれぞれ位相 exp(ikzn ) の電子が感じる。

らの放射光のパワーは PSR (k) と等しく、位相だけが異だけ離れた N 個の電子について位相を重ね合わせると、
波数 k に対しては ΣN
n=1 exp(ikzn ) となる。この位相か付近を指し、次のように定義される。

3 c
ωc = γ 3
2 R

すると、全体の放射光のパワー Pall (k) は(2.14)
Pall (k) = PSR (k)これより高い周波数で放射光の強度は急激に小さくなN∑

2

exp(ikzn )(2.15)n=1る2 。参考に放射光スペクトルの模式図の図 2.2 に臨界となる。展開すると、次のようになる。

周波数 ωc の位置を示す。式 (2.13) は、より低い周波数
では高い周波数に比べて (2ωc /ω)1/3 倍も広い角度で放Pall (k) = N PSR (k) +射することを意味する。

N∑

exp[ik(zn − zm )]PSR (k)n̸=m(2.16)

コヒーレントシンクロトロン放射光

ここで第 2 項は n ̸= m を満たす N(N-1) 個の組み合わせ

バンチ長よりもシンクロトロン放射光の波長が長い場について和を取るものとする。式（2.16）の第 1 項は通2.3

常のインコヒーレントな放射光、そして第 2 項がコヒー

合は、それぞれの電子から放射する放射光の位相が揃う

レント放射光強度に相当する。ここで、フォームファク

2 臨界周波数の定義は参考文献 [4] による。

3

を考えよう。電子線密度 λ(z) は次の様になる。
[]
z21
exp − 2(2.20)
λ(z) = √
2σz
2πσz

ωc

フォームファクターは簡単に計算でき、F(k) = exp[−σz2 k 2 ](2.21)

分散が 1/2σz2 のガウス分布になる。ガウス分布に対して∫は全体のエネルギー損失 Pall = Pall (k)dk についても解析的に解くことができ [6]、(Pall = N PSR + N (N − 1)PSR T

図 2.2: バンチ長による CSR スペクトルの変化。電子数

N の場合、通常の放射光に比べて CSR は N 倍の強度に

3σz γ 32Rβ)(2.22)となる。ここで、なる。CSR の最短の波長はバンチ長（この図では σs と9
T (a) ≡ √ 3 exp
32 πaなっている）程度である。

ター F(k) を定義する。粒子数 N は非常に大きいと仮定

(

1
8a2

)

(
K5/6

1
8a2

)
−

9
16a2
(2.23)である。ここで、K5/6 は変形ベッセル関数である。式

し、z と z + dz の間に含まれる電子線密度 λ(z) を導入(2.22) と (2.23) を用いて、飛行距離 L のバンチ全体のエ
ネルギー変化 ∆E は次のように近似することができる。

して積分表示に変える。

∑
1
exp[ik(zn − zm )]N (N − 1)
n̸=m
[∫
]2
=
λ(z) exp(ikz)dz(2.17)NF(k)Γ(5/6)
L∆E ≈ −N 2 re mc2 1/3 √
2
6
π (R σz4 )1/3≡

(2.24)となる。ここで、Γ(5/6) はガンマ関数である。
放射光の角度拡がりについて補足をしよう。ここで、サブ GeV 以上の電子エネルギーでバンチ長がサブピコ

ここで、

∫ ∞

秒程度の場合を考える。すると、CSR の波長は短くてλ(z)dz = 1(2.18)

も波長がバンチ長程度であり、c/ωc よりも十分長く (図である。このフォームファクター F(k) を使って、全体2.2)、インコヒーレントの放射光に比べて放射角度が大きい。式 (2.13) より、バンチ長 σz 程度の波長の CSR の
放射角度は次のようになる3 。

−∞の放射光のパワーは次のように表すことができる。

Pall (k) = N PSR (k) + N (N − 1)F(k)PSR (k) (2.19)

1
2< θrad>1/2 ∼
γ

(

3σz
R

)1/3
(2.25)

F(k) がコヒーレント放射光の割合を示すパラメーター
通常の放射光によるエネルギー損失とは異なり、コであることがわかるだろう。N が十分大きいときは、
2
ヒーレント放射光によるエネルギー損失は電子のエネル
Pall (k) ≃ N F(k)PSR (k) となり、電子数の 2 乗に比例する。通常、バンチ内の電子数は 109 〜1011 であるため、 ギーではなく、主にバンチ長に依存する。蓄積リングのわずかな F(k) でも放射光強度が大きく増幅される。

3 くどいようだが、最大エネルギーまで加速する前の低エネルギーのビームダイナミクスを扱う際には、臨界波長がバンチ長よりも長くなる場合があるので注意が必要である。

ここで、次のようなバンチ長 σz のガウス分布の場合

4

バンチ長は短い場合でも数ピコ秒であるため [7],[8]、サyブ GeV クラスでは CSR の波長は c/ωc に比べて長くエz

ネルギーが低いため無視できる。しかし、低エネルギーx

クラスにおいては、通常の放射光によるエネルギー損失

基準粒子に加えて、CSR によるエネルギー損失が数十倍になるという計算結果が報告されている [9]。
このコヒーレント放射光は東北大学のライナックで世s

界で初めて観測に成功しており [10]、その後、数多くの図 3.1: FrenetSerret 座標系

蓄積リングも数ピコ秒の短いバンチ長の電子ビームの蓄積に成功し、CSR が観測されたことが報告されている[11][12]。

位ベクトルをそれぞれ ex 、ey および es と表す。ここで、基準粒子の位置ベクトルを r ref とすると、各粒子の位置ベクトルは r = r ref + xex + yey となり、時間

CSR の電子バンチに及ぼす影響

3の遅れを z = s − cβt で定義する。このような座標系をバンチからの CSR はどのような影響をビームに与えFrenet-Serret 座標系と呼ぶ。

るのだろうか？2.3 章で、CSR が発生することによってバンチ全体のエネルギーが減少することを述べた。そ3.2の他に、自ら放射した CSR によって進行方向のエネル
ギー分布を歪める影響があり、このインピーダンスにつ相互作用ハミルトニアンとローレンツ力

電磁場の中を運動する電子のローレンツ変換で不変な

いて Warnock が解析解を導出した [13]。エネルギー分

ハミルトニアン H は布の変化はエミッタンスの増加やバンチ長の伸長などをH=引き起こす原因となるため、ここでは、特に後者のメカ
ニズムや遮蔽効果について説明したい。エネルギー変化(3.1)

ここで、P は共役な正準運動量で P ≡ γm(dr/dt) +を解析的に解く方法はいくつか報告されているが、ここ(e/c)A である。電磁場と電子の相互作用を扱うには、
式 (3.1) のうち相互作用の部分のみを抜き出せばよい。
ローレンツ不変な相互作用ハミルトニアン Hint は次のでは Derbenev の方法を紹介する [14], [15]。また、この複雑な問題を数値的に解くためにどのようなシミュレー
ションコードが開発されているか紹介する。

3.1√(cP − eA)2 + m2 c4 + eΦ

ようになる。

Hint = e(Φ − β · A)

Frenet-Serret 座標系の定義(3.2)

次に個々の電子に及ぼす力をローレンツ力 F を求め

第 2 章ではデカルト座標を使って説明したが、加速器よう。

中の電子のように光速に近い速さで運動している粒子を扱う場合は、理想の軌道上を運動する粒子を基準にとる

F = e(E + β × B)

方が物理的な理解を得やすい。その基準粒子の軌道上の(3.3)

位置を s とし、各粒子の位置は基準粒子からの位置のとなる。これをスカラー・ベクトルポテンシャルから導ずれで定義する。図 3.1 に模式図を示す。基準粒子が運出するには、以下の公式を用いればよい。

動する平面内に水平な方向のずれを x とし、基準粒子

E = −∇Φ −の軌道より外側を正にとる。その平面に垂直な方向のずれを y と表す。水平方向、垂直方向および進行方向の単

5

1 ∂
A,
c ∂t

B =∇×A(3.4)

Frenet-Serret 座標系において、A および ∇ は次のように定義される。
A∇= Ax ex + Ay ey + As es
∂
∂
1
∂
= ex
+ ey
+
es
∂x
∂y 1 + Kx ∂s

K は軌道の曲率半径 R の逆数、すなわち K ≡ 1/R であり、es および ex の微分は次のようになる。

des= −Kex ,
ds

dex
= Kes
ds

図 3.2: バンチ後部から発生した CSR がバンチ前方に与(3.5)

える影響の模式図

理想的には電子は (x, s) 平面上の軌道をたどるため、Ay は無視する。すると、∂Φ 1 ∂Ax
−
∂x
c ∂t
∂
Ey = − Φ∂y∂Φ 1 ∂As−
Es = −
∂s
c ∂t
∂As
Bx =
∂y
1
∂Ax
∂As
K
By =
−
−
As
1 + Kx ∂s∂x
1 + Kx∂Ax
Bs = −∂yEx = −(3.6)

図 3.3: 遅延距離の模式図

ここで式 (3.2) の相互作用ハミルトニアン Hint を用
いてローレンツ力を求めると、∂∂Hint
Fy = −e (Φ − βs As ) = −
∂y
∂y
∂Hint
dAx
KAs
Fx = −−e+e∂x
cdt
1 + Kx
dE
∂Hint
dΦ
=
−e
dt
∂t
dt

3.3
(3.7)

CSR の影響によるエネルギー分布と軌
道の変化

サブピコ秒程度のバンチ長から出る CSR の放射角度
は式 (2.25) で示したように広いため、CSR の一部は図3.2 に示したような光路を辿り、曲線を描くバンチに追いつく。その結果、バンチ内の電子が感じる電磁場は直となる。これらの式は微小な項を無視することによって、線運動の場合と異なり、これがエネルギー分布や軌道の∂Hint dE
∂Hint
∂Hint
, Fx ≈ −,≈Fy ≈ −(3.8) 変化を引き起こす。本章では、スカラー・ポテンシャル
∂y
∂x
dt
∂t
Φ およびベクトル・ポテンシャル A から電磁場を求め、とすることができる4 。

バンチに及ぼすローレンツ力やエネルギー分布の変化について解析解を導出する。
⌢
図 3.3 の中で曲線 AB がバンチの軌道、直線 AB が4 式 (3.7) の F

x の 3 項目、 eKAs /1 + Kx は Talman 効果として知られており、式 (3.17) の F0 を打ち消すと言われている。本論
で後ほど議論するビームダイナミクスにはほとんど影響を与えないので、注釈するにとどめる。

CSR の進路である。軌道の曲率半径 R で偏向角度 Θ が
1 より十分小さい場合、点 B におけるバンチと CSR の
6

光路差 z̃ は次のように近似できる。

3.2 章の結果より、ここで x0 = 0、y0 = 0 における相互⌢
Θ3 R
z̃ =AB −|AB| = RΘ − 2R sin(Θ/2) ≈24

作用ハミルトニアン Hint を求めよう。ここで、ξ < 0 の(3.9)

積分、γ −2 に比例するクーロン場は無視する。すると、

これは、電子が B にたどり着いたとき、z̃ だけ後方にあHint (x, y, s, t)

る電子の CSR の影響を受けることを意味する。光路差z̃ を追いつき距離とも呼ぶ。
2.1 章の結果を用いて、この場合の Liénard-Wiechert
ポテンシャルを求めよう。ここでは、バンチの横方向の広がり σ⊥ はバンチ長 σz に比べて十分小さく、チャン
式に書き下すと、σz√≫ σ⊥ σ⊥ /R√≪ h h/R

であり、Frenet-Serret 座標系の定義より、z = s − cβt、(3.10)dξ = ds = (1 + K)dz である。 最後の項の 2 階偏微分を部分積分で 1 階偏微分にして計算すると、相互ハミル(3.11)

トニアン Hint (x, y, z, t) が以下のように求まる。

ここで、h はチャンバーの断面のサイズである。式 (3.10)の右辺は x = σ⊥ と −σ⊥ からの CSR の光路長の差、式

1
Hint = U (z)(1 + Kx) − F0 (z)x + g(z)(3x2 + y 2 )2(3.16)(3.11) は直接届いた CSR と反射した CSR の光路長の差である。ここで、新しい変数 τ を

τ = |r − r 0 |/c

すると、(3.12)∫
2N re mc2 ∞ dz̃
U (z) =λ(z − z̃)
(3R2 )1/3 0 z̃ 1/3
2N re mc2
F0 (z) = −
λ(z)
R
∫ ∞
N re mc2 ∂dz̃
g(z) =λ(z − z̃)2
2/3
(3R ) ∂z 0 z̃ 2/3と導入すると、式 (2.4) は次のように書き換えることができる。

∫

Φ(r, t)A(r, t)ρ(r 0 , t − τ ),cτ∫βρ(r 0 , t − τ )
=
dr 0
cτ
=

dr 0

水平・垂直方向のローレンツ力について最終的な式が得s − s0 を導入して、次のように表すことができる。
[
cτ = (R + x)2 + (R + x0 )2ξ+ (y − y0 )2
R

られる。

dE
dE(z)
∂
=
= − U (z)ds
cdt∂z
Fx (z) = F0 (z) − 3g(z)x]1/2(3.14)(3.18)Fy (z) = −g(z)y

変数 ξ で書き直すと、次の式が得られる。

cτ ≈ ξ −(3.17)

式 (3.8) および式 (3.17) を代入してエネルギー変化、軌道の曲率半径 R が一定であるときは、新しい変数 ξ ≡−2(R + x)(R + x0 ) cos∫ ∞ここで、3 次元の電子分布 ρ(z) を線密度分布 λ(z) で近似∫した。 λ(z)dz = 1 である。式 (3.9) より z̃ = ξ 3 /24R2

バーによる遮蔽効果がない場合を考える5 。この条件を

σz

[
(
)
ξdξ
ξ
x2 + y 2 1 ∂= N re mc
1−
x+
2R2
2R
2ξ
c ∂t
0
]
(
)
2
2
3
1 ξ
ξ
2 ∂
+
x
λ s − βct −2 4R2 c2 ∂t2
24R2
2

ξ3
ξ
+
(x + x0 )2
24R
2R(x − x0 )2 + (y − y0 )2+2ξ

∂U (z)/∂z はエネルギー変化、F0 (z) は水平方向の収束
力、g(z) は水平・垂直方向の多次元の収束力が新たに加えられることを意味する。この進行方向の wake 関数
W0′ (z) を(3.15)dE= N re mc2
ds

5 遮蔽効果とは、チャンバーの反射によって CSR の影響が打ち消される現象である。詳しくは 3.5 章で説明する。

7

∫ z
−∞

W0′ (z − z ′ )λ(z ′ )dz ′(3.19)

と定義すると、CSR の wake 関数については

W0′ (z) = −

1 ∂
2
2
1/3
1/3
∂z
(3R ) z(3.20)となる。
ここで、全体のエネルギー変化量およびエネルギー変化量の拡がりを求めることは有用である。式 (3.19) のdE/ds を z について積分すると、全体のエネルギー変化
PCSR を得ることができる。
∫ ∞
dE(z)
λ(z)dzPCSR =−∞ cdt∫2N re mc2 ∞ dζ= − 4/3 2/3[Λ(0) − Λ(ζ)]
3 R
ζ 4/3
0
(3.21)∫ ∞Λ(ζ) =dzλ(z)λ(z − ζ)

図 3.4: ガウシアン分布の電荷線密度を持つバンチに対するエネルギー変化（実線）の関数 I0 (z) と水平・垂直方向のローレンツ力 (点線) の関数 I1 (z)。横軸はバンチ−∞

長で規格化 z/σz しており、右側が前方に当たる。

フーリエ変換することによって積分表示は簡単にすることができ、PCSR = −8πCo N 2 re mc2
34/3 R2/3∫ ∞式 (3.17) と (3.18) より、エネルギー変化および水平・垂|λ(k)|2 k 1/3 dk (3.22)

直方向の摂動は次のようになる。

0

ここで、λ(k) は λ(z) のフーリエ関数であり、∫ ∞1
λ(k) =
λ(z)e−ikz dz
2π −∞

dE
2N re mc2
I0 (z/σz )= −√ds
2π(3R2 σz4 )1/3

(3.23)

2N re mc2
λ(z)R
3N re mc2
I1 (z/σz )− x√
2π(9R4 σz5 )1/3
N re mc2
Fy (z) = −y √I1 (z/σz )2π(9R4 σz5 )1/3

Fx (z) = −である。式 (3.22) の導出には次の公式を用いた。
√
∫ ∞
3 3
−4/3
Co =
(1 − cos ζ)ζdζ =Γ(2/3) (3.24)
20
エネルギー変化量の広がり σPCSR は次の式で得ること
ができる。
2
σP
CSR

≡

∫ ∞(
−∞

−

dE(z)
cdt

式 (3.27) に現れる I0 (x) および I1 (x) についてプロット)2したものが図 3.4 である。I0 (x) のプロファイルから、バ

λ(z)dz(∫ ∞dE(z)λ(z)dz−∞ cdt

ンチ前方の電子でエネルギーが増加する一方で、バンチ)2

中央付近で大きなエネルギー損失があることが分かる。
水平・垂直方向の摂動の向きは I1 (x) で示されているが、エネルギー変化と同様に、バンチ前方と中心から後方に(3.25)

かけて逆方向の影響を与えることが分かる。I0 (x) およ

電荷線密度分布が分散 σz2 のガウシアン分布であるバ

び I1 (x) の詳しい積分表示は以下のようになる。
∫ x∂ −x′2 /2dx′e
I0 (x) =′ )1/3 ∂x′
(x
−
x
−∞
(3.28)∫ xdx′∂ −x′2 /2I1 (x) =e′ 2/3 ∂x′−∞ (x − x )ンチについて具体的な関数を求めよう。λ(z) は次の様に与えられたとする。

λ(z) = √(3.27)

1exp(−z 2 /2σz2 )2πσz(3.26)

8

バンチ全体のエネルギーの変化量は式 (3.22) より次のよ
うになり、減少していることが分かる。

PCSR = −N 2 re mc2 24/3 31/6 [Γ(2/3)]2
4/3
πR2/3 σz(3.29)(A)

これは、別に導出した式 (2.24) とほぼ一致する。ここ㪘

で、偏向電磁石の長さを L としたとき、エネルギー変化

㪧0

量の広がり σPCSR は式 (3.25) を用いると、

σPCSR

2N r mc2√ e
1/3
32π(Rσz2 )2/3
N re mc2 L≈ 0.22(Rσz2 )2/3

=

√

㪙

㪧

㪦

< I02 > − < I0 >2

(B)

㪧0

㪧

㪘

(3.30)

㪙

となる。

㪦

3.4

偏向電磁石の端における CSR の影響

L

(C)
㪘
㪧0

これまでは、バンチが常に同じ偏向電磁石の磁場を受㪙㪧

ける場合、CSR の影響が常に一定である定常状態につ㪦

いて考えてきた。しかし、偏向電磁石の長さは有限であることから、CSR の影響によるエネルギー変化は時間

㪧0

(D)

とともに変化する。もし、偏向電磁石の外側が直線部で㪘あれば、式 (3.9) に相当する飛行距離の差は小さくなる

LB
ξB

㪙

からである。この過渡状態 (transient eﬀect) と呼ばれる

㪧

解析解 [16]、[17] が、多くの計算コードでも取り入れら

㪦

れている。
簡単のために、最初は 2 粒子モデルを考える。図 3.5で電子の進行方向は右向きであり、点 P (= s) とその後

図 3.5: 偏向電磁石と 2 つの電子の位置。電子の進行方

方の点 P0 (= s0 ) に電子がある場合を考える。偏向電磁石

向は右向きであり、P および P0 はそれぞれ前方と後方の入口および出口はそれぞれ A(= sA ) および B(= sB )の電子の位置を示す。(A) : P0 が直線部に残り、P が偏とすると、点 P と点 P0 の位置関係によって次のように

向電磁石内にある場合。(B) : P0 および P が同じ偏向

場合分けができる。

電磁石内にある場合。(C) : P0 が偏向電磁石より手前の直線部にあり、P が偏向電磁石の後の直線部にある場(A) : s0 < sA , sA < s < sB(B) : sA < s0 < sB , sA < s < sB(C) : s0 < sA , sB < s合。 (D) : P0 が偏向電磁石内に残り、P が直線部にある場合。

(D) : sA < s0 < sB , sB < s
領域 (A) の影響は厳密には CSR ではない。直進する電子から CSR が発生せず、通常 γ 2 ≫ 1 の高エネルギーではクーロン場も無視できる。しかし、前方の電子が偏向

9軌道に入った場合は、短い距離で追いつくため式 (2.8)となる。偏向電磁石が無限に続いている場合、つまりで示したクーロン場の影響が無視できなくなるほど大きξA = ∞ のときは、式 (3.33) は式 (3.19) および (3.20)

くなる。領域 (B) は両方とも偏向電磁石内にある場合と一致する。
出口付近の wake 関数 W0′ (z) の導出は複雑であるたで、これまでと同じ条件である。領域 (C) は 2 つの電
子が偏向電磁石を挟んだ直線部にある状態である。領域

め、結果のみを示そう。領域 C および D では、それぞ(D) は偏向電磁石内からの CSR が直線部に進んだ電子に与える場合である。

れ次のように近似することができる。

ここで、3.3 章と同じように変数 ξ = s − s0 、z̃ =ξ 3 /24R2 を導入する。電磁石入口からの距離に対しても
3/24R2 と定義し、出口からの距ξA = s − sA 、z̃A = ξA
離は ξB = s − sB と定義する。
う。領域 A および B の wake 関数 W0′ (z) は、それぞれ次のように近似することができる。

: W0′ (z) = −2
1 ∂(3R2 )1/3 z̃ 1/3 ∂z(3.31)

2
1 ∂(3R2 )1/3 z 1/3 ∂z(3.32)A(B): W0′ (z) = −(3.34)(3.35)

入口の場合と同様に積分範囲に注意して積分を行うと、まず、偏向電磁石の入り口付近の影響について考えよ

(A)

1 ∂
L + x ∂z1∂′(D) : W0 (z) = −4
LB + x ∂z(C) : W0′ (z) ∼ −4(A) では (B) の z を z̃A と置き換えて近似する。
ここで、任意の線密度分布 λ(z) に対して dE/ds を求出口付近のエネルギー変化は以下のようになる。
[( )dEλ(z − ξ1 (L)) λ(z − 4ξ2 (L))= 4N re mc2−
ds exitL + 2ξB
L + 2ξB
]
∫ z
dz ′
∂
′
+
λ(z )
′
′
z−ξ1 (L) ζ + 2ξB ∂z(3.36)と計算することができ、ここで ξ1 は

ξ1 (ζ) ≡めよう。すべての電子について積分して求めるにはいく
つか注意しなければならない点がある。ひとつは (A) のζ 3 ζ + 4ξB
24R2 ζ + ξB

(3.37)

近似が成り立つ点 P0 の位置が限られていることである。 と定義される関数あり、ξ1 (LB ) は点 P0 から点 P の電A 点からの距離が長すぎると、式 (3.31) の近似式が成立 子の軌道に沿った長さと直線距離の差、つまり追いつきしない。もうひとつは遅延時間が存在することである。 距離に相当する。C が成り立つ範囲は z = ξ2 (L) までで
例えば、ある時間において (B) の状態であったとする。 あり、次のような式で近似できる。
点 P が感じる CSR は遅延距離 z̃A だけ前に点 P0 から

ξ2 (ζ) ≡放射された CSR である。その時に、点 P0 が直線部に

ζ2(ζ + 3ξB )
24R2(3.38)

あった場合は (A) の wake 関数を適用する。このようにここで数値計算を容易にするために変数変換する。式

して、各領域の dE/ds は、
[∫
( )
z−z̃A
dE
dz ′ ∂
2N re mc2=
λ(z ′ )
2
1/3
1/3 ∂z ′ds ent(3R )z−4z̃A z̃A
]
∫ z
∂
dz ′
′
λ(z
)
+
′ 1/3 ∂z ′z−z̃ (z − z )[ A
2N re mc2 λ(z − z̃A ) λ(z − 4z̃A )
=
−
1/3
1/3
(3R2 )1/3
z̃A
z̃A
]
∫ z
dz ′
∂
′
λ(z )
+
′ 1/3 ∂z ′z−z̃A (z − z )(3.36) の積分で、z ′ = z − ξ1 (ζ ′ ) と変換すると次の式が
得られる。
[
( )
dE
λ(z − 4ξ2 (L))
2 λ(z − ξ1 (L))= 4N re mc−
ds exitL + 2ξB
L + 2ξB]∫ L
dζ ′ dξ1 (ζ ′ ) ∂′+λ(z − ξ1 (ζ ))′dζ ′ ∂z0 ζ + 2ξB
(3.39)
すると、式 (3.37) の ξ1 について 4 次方程式を解く必要(3.33)
10がなくなり、数値計算が容易になる。

図 3.8: Z=1 で上になっているグラフがエネルギー損失< ∆E >、下のグラフがエネルギー広がり < (∆E− <シャル。図中の s-s は定常状態を表し、入口からの距離 ∆E >2 )2 >1/2 の推移。50 cm の偏向磁石とその後に続ごとにプロットしている。図 3.4 と横軸の向きが異なり、 く直線部に沿ってプロットした。◇および○は図 3.6 お
左側がバンチ先頭になる。負の符号がエネルギー損失に よび図 3.7 に対応する。L0 はバンチ後方からの追いつ
図 3.6: 偏向電磁石の入口付近における CSR のポテン

き距離に相当し、およそ 14 cm である。

当たる。バンチあたりの電荷量は 1 nC、軌道の曲率半
径 R は 1.5 m、バンチ長 σz は 50µm である。

ここで数値計算の例を挙げる。式 (3.33) と式 (3.39) のプロファイルを図 3.6 と図 3.7 に示す。入口付近の過渡状態では、距離が長くなるにつれ、エネルギーが増加す
る部分がバンチ前方に進み、やがて定常状態となる。定常状態となる前の入口から 10 cm 付近までは、バンチ前
方のエネルギーの増加と後方のエネルギー損失がほぼ同じである。徐々にエネルギー増加の割合は減少し、さらにバンチ前方へをシフトしていく一方、エネルギー損失には変化が見られない。出口付近では距離とともに徐々に wake ポテンシャルが小さくなり、z に対する分布にはほとんど変化が見られない。偏向電磁石からの直線部に対する CSR の影響は強く、出口から 50 cm 先でもその影響が残っていることがわかる。
図 (3.8) にエネルギー変化量の推移をプロットした。
図 3.7: 偏向電磁石の出口付近における CSR のポテン

エネルギー変化量のバンチ全体にわたる平均値 < ∆E >シャル。出口からの距離ごとにプロットしている。図 3.4およびその標準偏差 < (∆E− < ∆E >)2 >1/2 を載せと横軸の向きが異なり、左側がバンチ先頭になる。負のる。偏向電磁石を通過した後でもエネルギーは減少し続符号がエネルギー損失に当たる。バンチあたりの電荷量

け、エネルギー広がりが大きくなっていくことがわかる。

は 1 nC、軌道の曲率半径 R は 1.5 m、バンチ長 σz は

この過渡状態が定常状態に比べて非常に短い場合、つ50µm である。

まり偏向電磁石の両端の飛行距離の差がバンチ長よりも非常に長い場合 L3 /24R2 ≫ σz であるときはほとんど

11

y

y

h

h

図 3.9: 反射する CSR。Frenet-Serret 座標系の z-y 平面を図示したものであり、電子は紙面と垂直方向の加速を
図 3.10: 鏡像電荷による遮蔽効果の計算モデル。青い丸受ける。

は赤い丸と符号が反対の鏡像電荷を意味する。
定常状態と同じとみなして構わない。

CSR がバンチの先頭に追いつくときに、反射した CSR
がバンチの後尾で追いつくことが必要条件である。反射3.5

チャンバーによる遮蔽効果

した CSR とバンチの飛行距離の差 z̃1 は図 3.3 からCSR の影響を抑えるメカニズムにはチャンバーによる遮蔽効果がある。CSR の影響によるエミッタンスの増加やバンチ長の伸長を抑える対策として、いくつかのラ
ティスデザインの最適化が提案されているが（第 4 章）、一番効果があるとされているのこのチャンバーによる遮蔽効果である。ここでは、最も基本的な無限平行平板に

z̃1

⌢ √
AB − |AB|2 + h2
(
)
⌢
1 h2
≈ AB − |AB| +2 |AB|⌢
1 h2≈ AB −|AB| − ⌢2AB=(3.40)⌢
ここで、必要条件 AB −|AB| = σz および z̃1 = 0 を満よる遮蔽についてまとめた。

バンチから発生した CSR は、直進するだけなくチャ たす高さ h は、式 (3.9) の定義を用いて次のように得るンバーの表面で反射する。もし、チャンバー表面がビーことができる。

ムに近いところにある場合、反射した CSR によって、バンチに与える影響はさらに複雑なものとなる。チャン
バー表面では固定端反射によって CSR の位相が反転す

h = 2(3σz4 R2 )1/6

(3.41)

バンチ長や軌道の曲率半径が長いほど、遮蔽効果が期待るため、反射した CSR と直進した CSR の光路長が十分小さい場合は、CSR の影響を打ち消すことになる。こできることがわかる。ここで、5 GeV のと 200 MeV ERL
について、h の最大値を求めよう。軌道の曲率半径が 20 mの現象を遮蔽効果と呼ぶ。しかし、わずかな反射 CSRの遅れによって CSR の影響を完全に打ち消すことは困および 1 m であるので、バンチ長 0.3 mm のバンチでは、それぞれ 3 cm および 1 cm となる。バンチ長が 0.03 mm

難である。
さて、バンチの軌道に対して高さ ±h/2 に無限に続く完全導体の平面があると (図 3.9)、CSR はその表面で固定端反射する。高さ h が十分小さい時は、反射した CSRが弧を描く電子に追いつく。ここで、遮蔽効果が表れると短い場合では、それぞれ 6 mm および 2 mm となり、条件が厳しくなる。
次は遮蔽による電磁場について述べる。導体平面の電場 E の接線成分がゼロになるような境界条件にするために、図 3.10 のように鏡像電荷を無限に配置する方法がh の最大値を大雑把に求めよう。直進した最後尾からの12多く使われている。この状態のグリーン関数を式 (2.3)

に倣って書き下すと、次のようになる。

G(r, t; r 0 , t0 ) =∞∑(−1)k δ(|r − r 0 − khey |/c − (t − t0 )) (3.42)|r − r 0 − khey |k=−∞

式 (3.42) を 3.3 章と同じように展開してエネルギー変化を求めることができる。ここで、興味があるのは

h → 0 とした時の漸近解であるが、式 (3.42) から導出
するのは非常に困難であるため、インピーダンスを使った解析解を紹介する [13],[19],[20],[21]。これまでと同じように進行方向の 1 次元のみを扱う。単位長さ当たりのインピーダンス Z(k) は wake 関数のフーリエ変換で定図 3.11: CSR による (z, ∆E) 分布の麗。バンチ長 σz は義される。

0.3 m、エネルギーは 5 GeV、バンチ当たりの電荷量

∫

cZ(k)

=

dzW ′ (z) exp(−ikz)(3.43)

Maxwell 方程式を用いたインピーダンスの導出については補遺に詳細を載せたので参考にしてほしい。ここでは、その結果の一部を挙げる。興味があるのは h → 0 に

は 1 nC である。チャンバーの高さ h がそれぞれ h = ∞（自由空間、左上）、4 cm（右上）、2 cm（左下）、1 cm（右下）である。横軸と縦軸の単位はそれぞれ µ m およおけるインピーダンス Z(k) の漸近解である。これは次び MeV である。

3.6

様々なシミュレーションコード

のようになる。

Z(k) =
C5=[( 2 3 )2 ]πZ0 −2π3 R/3k2 h3 3i
k h
e
− C5
kh2
2
π3 R

開されているので、ここで紹介したい [22]。できる限り∞∑するために、若干変更している箇所があるので、ご了承

1= 1.004524
(2p
+
1)5
p=0

CSR の数値計算のための様々な計算コードが開発・公元の論文に忠実に説明するが、本テキストで変数を統一(3.44)

式 (3.44) の実部は、h が小さくなると exp(−h−3 ) の項

• 2 次元プログラム (名称未定） - R. Li

によって急速にゼロに近くなる。一方で、Z(k) の虚数

ビームラインに沿って進行する電子による Lienard-

部は h4 に比例する。h が小さくなるとゼロに近くなるが、実部に比べて遮蔽が効きにくい。
また、シールドがない自由空間、つまり h → ∞ では

Z(k) =

Z0 2Γ(2/3) (ik + 0)1/3
4π 31/3
R2/3

いただきたい。

(3.45)

この式は、式 (3.20) をフーリエ変換して −N re mc2 λ(k)で割ったものになる。
ここで、図 3.11 に計算結果を示す。R=20 mm、バン
チ長 0.3 mm で h の最大値が 3 cm と見積もったが、遮蔽効果が顕著になるのは h が 1 cm 以下であることが分

Wiechert ポテンシャルから得られる電磁場の履歴を残して、CSR の影響を計算する方法である。こ
れまでのコードでは、理想軌道上の電子による電磁場を残しており、CSR の影響によって摂動を受けた電子の履歴を残していなかった。このような矛盾をなくす (self-consistent) ために、電子の作る電磁場をそのつど再計算する方法を最初に導入したコードである。Maxwell の微分方程式をリープ・フロッグ法 (leap-frog) を用いて解くことにより、各時間に対応する電磁場の履歴を計算している。
垂直方向の力学を無視しており、進行方向と水平

かる。

13

図 3.12: 疑似グリーン関数の模式図

方向の 2 次元のみを考えている。バンチ形状は進
図 3.13: メッシュの作成

行方向と水平方向にガウシアン分布を持つディス
ク状の組み合わせで近似する。

• TraFiC4

これより、既知の関数 K(s, u) から高速フーリエ- A. Kabel ら

変換 (FFT) で求める方法である。非常に計算時間大きな特徴はビームラインに沿って進行する電子の放射による電磁場の履歴を 3 次元上で完全に保存することにある。最新バージョンでは、R.Li のが短い一方、放射場の影響を低く見積もってしまう場合もある様である。

コードと同じように摂動を受けた電子の履歴を残

疑似グリーン関数の方法では垂直方向が無視されして、因果律を満たしている。疑似電荷を並列すており、事実上 2 次元である。マクロ電子 (sub-る手法で、平行平板の遮蔽効果を取り込むこともbunch) の軌跡 rν (t) は基準粒子の軌跡 r0 (t) を用いて次のように近似されている。

可能である。1D コードよりも詳細で正確な情報が得られる一方、計算に必要な時間、CPU、履歴の保存領域が大きくなるという欠点がある。計算時
間短縮のためにガウシアン分布のマクロ粒子の使用、履歴の時間間隔とメッシュの切り方の最適化、並列計算など様々な工夫をしている。

rν ≈ r(t0 ) + R · (r0 (t) − r0 (t0 ))(3.47)

ここで R は偏移・回転の推移を表すパラメーターである。各電子の電場 E (ν) (r, t0 ) は基準粒子の電場 E (0) (r, t0 ) を用いて

• CSRtrack - M.Dohlus and T. Limberg
4

TraFiC の最大の欠点は計算時間のパフォーマンスにある。それを改善するために、TraFiC4 を元に CSR の場の計算アルゴリズムを改良したもの
が CSRtrack である。1 次元近似や疑似グリーン関数などを使用したアルゴリズムを選ぶことがでE (ν) (r, t0 )qν
≈ R · E (0) (r0 (t0 ) + R−1 (r − rν (t0 )), t0 )q0
(3.48)と近似する。磁場 B (ν) も同様に扱う。この模式図を図 3.12 に載せる。この疑似グリーン関数はメッ

きる。

シュで区切られた 2 次元平面上で計算し、これら

1 次元近似では電場 E(z, t) の進行方向の成分が放射場の関数 K(z, u) と縦方向の電荷分布 λ(z, t) とを補間することによって放射場を計算する。（図以下に示す畳みこみ積分で近似できるものとする。、∫∂λ(u + z − vt)
K(z, u)du (3.46)
E(z, t) =∂u以上も計算効率が高くなる場合もある。

143.13）メッシュの取り方によって計算時間を大幅に短縮でき、通常の 3 次元の計算に比べて 100 倍• TREDI - L. Giannessi and M. Quattromini

ステップ 1 の 100 個という数はあくまでも目安であり、個別に変更することができる。ステップ 2

Lienard-Wiechert ポテンシャルでモンテカルロ法(Monte-Carlo method) をベースとして粒子追跡

では乱数を使って発生させた各マクロ粒子の運動するコードである。一般的にモンテカルロ法とは、方程式を積分し、パーツ出口のバンチの分布を推解析解を求めることが困難な場合に、多数発生さ定する。追跡した電子はビンと呼ばれるパラメー

せた一様乱数を使用して近似解を求める手法のこ

ターで区切られた区画に格納される。電子数が少とをを指す。TREDI では粒子（電子）を指定したない場合、ビンの数が多すぎる場合はノイズが入分布で発生させるために一様乱数を用い、個々のりやすいため、Savizky-Golay フィルターと呼ばれ電子を追跡してビーム力学をシミューレーション

るフィルターを用いて高速フーリエ変換を施し、ノする。この方法は応用範囲が広く、3.3 章で切り離イズに対応する高周波数成分を落としてスムージ

して考えたクーロンポテンシャルの項、つまり空ングを行う。ステップ 3 では式 (3.19) および (3.20)

間電荷効果、も同時に取り入れて計算することがからエネルギー分布の変化を導出し記録する。こ可能である。それは、TREDI では元来、電子銃周の際、水平・垂直方向への蹴りは無視している。まりの低エネルギーの電子の 3 次元追跡を目的とした、過渡状態も式 (3.33) と (3.39) を用いて取り入たものであったため、低エネルギー領域で顕著にれている。ステップ 4 の計算では、前のパーツでなる空間電荷効果を外すことができなかったための CSR によるエネルギー分布の変化がバンチのである。

分布に反映される。各電子のエネルギー変化による軌道の変化、その結果起こるエミッタンス増加• elegant- M. Borlandなどの影響を推定することができる。

elegant はラティスデザインのために開発された粒子追跡 (トラッキング) コードであり、オプショ

スムージングをすることによって、ノイズではなンとして CSR の効果を取り入れた計算ができる

とつである。このことによって、続く偏向電磁石

ように開発され [23]、進行方向のエネルギー分布の CSR を少なく見積もってしまう恐れがある。

の変化によって引き起こされるビームダイナミク

い鋭い波形が潰される可能性があるのが欠点のひ• 近軸光線近似による CSR コード - 吾郷智紀&横スを計算する。比較的シンプルなアルゴリズムであり、すでに計算コードが確立している。計算時

谷馨

間が速く、新しい計算コードを開発するためのベ

これまでの計算コードとの大きな違いは Maxwell

ンチマークの基準としても用いられる。

方程式をフーリエ変換を施し、周波数成分で扱うこCSR に対する計算ステップは次のようになる。

とにある [20],[21]。従来の遮蔽効果の計算では、平行平板の場合しか扱うことができなかったが、メッ

1. 偏向電磁石を 100 個程度の区分 (パーツ) に細分化する。

シュで区切ることができるあらゆるチャンバーの形において遮蔽効果を計算できるのが最大の特徴である。このコードは次に示す 2 つの仮定の下で2. CSR がない状態でパーツ出口のバンチの分布を計算する。

有効である。

3. 出口において、CSR によるエネルギー分布の変化を反映させる。

–

軌道の曲率半径 R に比べてチャンバーの断√面の寸法 h が非常に小さいこと, ε = h/R

4. 次のパーツに進み、2 から繰り返す。偏向電–後方に進行する放射場が無視できること

磁石の出口まで続ける。

15

図 3.14: ガウシアン分布の重ね合わせによるバンチ形状の近似

図 3.15: 94mm 四方のチャンバーによる遮蔽効果を含ん

Maxwelll 方程式より、以下の式が出てくる。

だ、放射場によるバンチのエネルギー変化。バンチ長は∂ 2 E(z)1 ps、偏向電磁石の曲率半径は 16.3 m である。
∇(∇ · E(z)) − ∇ × (∇ × E(z)) −∂t2()∂J (z)= µ0 ∇J0 +∂t
作る電場 E b の和として表す方法を発案している。
(3.49)
すると、
ここで、J0 、J (z) は電荷および電流であり、µ0 は真空の透磁率である。ここで光速は 1 としている。

∇2⊥ E b⊥ = µ0 ∇⊥ J0(3.52)

この放射場 E をフーリエ変換し、上記の仮定を元と置き換えることができる。すると、式 (3.50) はに近軸光線近似をすると水平・垂直方向に対する

次のように書きなおすことができる。
[(
)
]
∂E ′⊥
i
2k 2 x2k 2 x b
2
′
=
∇⊥ +
E⊥ +
E⊥
∂s
2k
ρ
ρ
(3.53)

放射場 E ⊥ については
[(
)
]
∂E ⊥
i
2k 2 x2=∇⊥ +E ⊥ − µ0 ∇⊥ J0∂s
2kρ(3.50)

式 (3.53) を解く際にはリープ・フロッグ法 (leapここで ∇⊥ = (∂x , ∂y )、∇2⊥ = ∂x2 + ∂y2 である。進行方向の放射場 Es については
(
)
i ∂Ex
∂Ey
Es =
+
− µ0 J0k∂x∂y(3.51)frog) を用いて E ′⊥ を導き、E b を足し合わせている。
バンチの分布はガウシアン分布の集まりとして近似しており、模式図を図 3.14 に示す。

となる。以上の展開は超相対論の高エネルギーで

ここで、94mm 四方のチャンバーの遮蔽効果を取成り立つものだが、低エネルギーに対応する式もり入れた計算結果の例を挙げよう。図 3.15 はバン

同様に導くことができる。

チ長 1 ps、図 3.16 はバンチ長が 10 ps の場合であ計算時間を速くするためにはメッシュの区切りがる。短いバンチ長では遮蔽効果が弱く、バンチ長

大きいほうが望ましい。式 (3.50) に見られる ∇J0によって大きな差があることがわかる。

の項はバンチの横の広がり程度のスケールである• Bmad - D. C. Sagan

ため、細かくメッシュを切る必要がある。それを回避するために、電場 E を放射場 E ′ とバンチの16電子が低エネルギーである ERL の入射部付近でトラッキングをするために開発されたコードである

は複数の電磁石で構成される。式 (2.8) の Liénard-

Wiechert ポテンシャルから求められる電場 E は
CSR による電場のほかに、空間電荷効果 (Space
Charge Eﬀect) と呼ばれる項が合わさったものである。空間電荷効果とはバンチの中にある電子間の斥力であり、エネルギーが低い場合に顕著に現れる現象である。空間電荷効果による電場 ESC は
すでにわかっているため、次のようになる。

ECSR
ESC
図 3.16: 94mm 四方のチャンバーによる遮蔽効果を含んだ、放射場によるバンチのエネルギー変化。バンチ長は= E − ESCen=,
4πε0 γ 2 ζ 2(3.54)
ζ = Ls − βL

ここで、L は式 (2.8) と同じ定義で L = (t − t̄)/c
であり、Ls は P ′ から P への軌道に沿った飛行距

10 ps、偏向電磁石の曲率半径は 16.3 m である。

離である。CSR による電場は ECSR ≡ E − ESC で求めることができる。
ここでは、水平・垂直方向の CSR の影響は無視
し、進行方向の 1 次元のみを扱う。すると、すべての種類の電磁石は偏向電磁石と直線部の組み合わせで表すことができる。それぞれの長さを d と表し、偏向電磁石の場合は曲率半径および偏向角をそれぞれ R および ϕ と表すことにする6 。ここで、図 3.17 中の v と w を計算しよう。偏向電磁石

O から P まで N 個の電磁石で構成されていると
図 3.17: P および P’ にある 2 つの電子の軌道の模式図。

O と P の間には複数の電磁石からなるラティスが存在する。

[6],[24]。このコードでの CSR の影響の計算では、
式 (2.8) の第 1 項目のクーロン力による項を組み込んで計算していることが大きな特徴である。こすると、i 番目の電磁石による v と w の変化量は次のようになる。
R (sin(ϕ + ψ ) − sin ψ ) 偏向電磁石
i
i
i
i
∆vi =
d cos ψ
直線部iiR (cos ψ − cos(ϕ + ψ ))
偏向電磁石
i
i
i
i
∆wi =
d sin ψ
直線部ii

こでは、CSR に関する部分のみを紹介するが、そここで、ψi は i 番目までの ϕ の和であり、の他の低エネルギーの電子の物理や ERL 入射部の計算例は宮島氏によって OHO’08 で詳しく説明

ψi =されているのでそちらを参照にしていただきたい。

i−1
∑

ϕk

k=1

Saldin etal と同じように 2 つの電子について考え、前方の電子の位置を P 、後方を P ′ であらわす。模である。

式図を図 3.17 に示す。

O は P ′ の偏向電磁石の出口であり、O から P まで
17

6 直線部の場合は R = ∞、ϕ = 0 である。

ここで、単位飛行距離当たりの CSR によるエネル
ギー損失 KCSR ≡ dE/ds は Liénard-Wiechert
ポテンシャルから次のように求めることができる。

KCSR= en · ECSR={

g(τ 2 − α2 )(α − τ κ)+
(τ 2 + α2 )3}τ 2 − α2 + 2τ ακ
re mc2− 2 2
223(τ + α )γ ζ(3.55)

4re mc2 γ 4 τ 2

ここで、
)
(N
)
N
∑
∑ (
1 2
1
2
α=γ
di ψi + gi di + gd
di + gd
2
2
i=1

i=1

図 3.18: KCSR の計算例。ζ は遅延時間。

κ = γ(θ + gd),

τ = γ(d +

N
∑

di )

i=1

である。ここで、下付き i がないパラメーターはP ′ を含む偏向電磁石を指し、ϕi は微小であると仮定している。上の具体的な式を追うことも大切だが、ϕi 、Ri や di の影響を足し合わせることで最終的な式がでることが伝われば十分である。γ で規格化された距離 γ 3 ζ/R を横軸に、KCSR をプロットした図を図 3.18 に示す。ここで、ζ ≪ R/γ 3 お
よび ζ ≫ R/γ 3 の漸近は次のようになる。

−4re mc2 γ 4
3R2
2re mc2
KCSR ≈ 4/3 2/3 4/3
3 R ζ
KCSR ≈ −

R
γ3
R
ζ≫ 3
γ
ζ≪

(3.56)

全体のエネルギー損失を KCSR で表すと次のよう
になる。
( )
dE
ds CSR
図 3.19: ICSR の計算例。ζ は遅延時間。

∫ ∞
=
≡

−∞
∫ ∞
−∞

dz ′ λ(z ′ )KCSR (z − z ′ )dz ′dλ(z ′ )ICSR
dz ′(3.57)

式 (3.57) で定義される ICSR を z ′ は式 (3.20) の微分を取り除いた z −1/3 に比例する項と同じになる。
ここで、それぞれの計算結果を比べた結果が図 3.19である。γ 3 ζ/R ≫ 1 の範囲では非常によく一致す18

る一方、γ 3 ζ/R < 1 では z −1/3 の近似式は不の無限大に発散するが、ICSR はゼロに近づき、物理的に意味のある値になっていることがわかる。

Bmad では、入口および出口の過渡状態の式 (3.33)
および式 (3.39) も計算に取り込むことが可能である。遮蔽効果を入れた過渡状態についても計算可
能である。

3.7

シミュレーションコードによる計算結果 図 3.21: それぞれのコードによる CSR の計算結果の比の比較
較。δE 、δσE はそれぞれ平均エネルギーとエネルギー広新しく開発したシミュレーションコードの計算結果の精度を判断するために、同じ条件の計算結果を比較することは有効である。上に取り上げたコードのうち、TraFiC4 、がりの変化量を表す。初期値の電子エネルギー、バンチ
あたりの電荷量、規格化エミッタンスはそれぞれ 5 GeV,

1.0 nC, 1.0 mm mrad である。

TREDI、Li によるコード、elegant、CSR CALC(本テキストでは紹介していない), Dohlus による計算結果(CSRtrack) が報告されているので紹介する [25]。図 3.20に示すようなシケインを設定し、シケイン通過後のバン
チの平均エネルギー E 、エネルギー広がり σE 、規格化
エミッタンス ε を評価しているが、それぞれの結果に大きな差は見られない。
また、Sagan は Bmad を吾郷氏の近軸近似法およびelegant の計算結果と比較している [26]。図 3.22 のの結果より、遮蔽効果がある場合で Bmad と吾郷氏の近軸近似法の結果とよく一致することがわかる。h が十分大
きい値では、elegant の自由空間の計算結果と一致している。

図 3.22: Bmad を吾郷氏の近軸近似法および elegant との比較。R=10 m, 偏向電磁石の長さ L = 3.0 m,

チャ

ンバーの水平方向および垂直方向のサイズがそれぞれ0.5 m および 0.02 m、バンチ長 σz =0.3mm である。縦軸は E0 =2.48 keV で規格化している。

19

水平方向の運動を座標 x とその s の全微分、x′ =dx/ds で表す。
√
εx βx cos(ϕ(s) + ϕ0 )√=εx γx sin(ϕ(s) + ϕ1 )

x =
′

x

(4.1)
(4.2)

式 (4.1) および (4.2) に出てくる βx および γx と、−2αx ≡βx′ で定義される αx の 3 つが Twiss パラメーターと呼ば

図 3.20: ベンチマークに使われたラティスの模式図

れる電子の運動に関するパラメーターである。ここで、

γx βx = 1 + αx2(4.3)という関係式がある。これらは s に依存する関数で、加速器の光学系によって決まり、個々の電子には依らない。

ϕ(s) は s に依存した位相であり、これも重要なパラメー
ターである。4.4 章で扱うので、後ほど詳しく説明する。

ϕ0 および ϕ1 は各電子によって異なる値をもつ位相の初期条件である。εx はエミッタンスと呼ばれる量で、x とx′ のばらつきを示す指標であり、Twiss パラメーターを用いて次の様に定義される。
εx==

図 4.1: Twiss パラメーターとエミッタンスと位相空間⟩1⟨
γx x2 + 2αx xx′ + βx x′2
2⟨
⟩
1 x2
(αx x + βx x′ )2
+
2 βx
βx

(4.4)

ここで <> は全ての電子に対する平均を表す。εx π は、

CSR の影響とビームダイナミクス

4

CSR の影響によって引き起こされるエネルギー分布の

図 4.1 に示した楕円の面積に相当し、電子は各 Twiss パ
ラメーターに対応した楕円上を動くことになる。垂直方向でも同様に運動を記述できる。

変化は、低エミッタンスビームの輸送や数十〜百フェム

ある点におけるバンチの状態は 6 次元のベクトルでト秒の短バンチの実現に大きな障害となる。本章では、 書き下すと便利である。3.1 章で説明した (x, y, z) に加

CSR の影響がエミッタンスやバンチ長に及ぼすメカニ
ズムを説明し、バンチの質の劣化を防ぐ光学系の設計にえて、x, y の s に対する微分とエネルギー偏差 δ を合わせて、ついて紹介する。まずは、その理解のために必要なビー
ムダイナミクスの基礎とバンチ圧縮の原理から始める。

r ≡ (x, x′ , y, y ′ , z, δ)(4.5)と表すことにする。r0 の状態の電子がある光学系を通過

4.1

した後に r1 に移ったとする。r1 は行列演算で求めるこ

ビームダイナミクスの基礎とができ、6 × 6 の転送行列 R を用いてビームダイナミクスの基礎については多くの教科書があり [4]、すでに OHO でも取り上げられているため [27]、r1 = Rr0(4.6)[28]、ここで改めて取り上げるのはいささか恐縮してしで与えられる。ここで、6 × 6 の転送行列の中身は以下
まうが、本テキストに関わるほんの一部分を紹介する。
のようになる。
20

δ >0

x’

x

δ >0

基準粒子

x

δ <0

δ <0

図 4.2: エネルギー偏差による遅れ

図 4.3: エネルギー変化による位相空間上のシフトの例。



R11

 R21

 .
R =  ..


 R51
R61

R12
R22
..
.
R52
R62

···
···
..
.
···
···

これは ηx = 0 のオプティクスから偏向電磁石に入った



R16

R26 

.. 
. 


R56 
R66

場合。

(4.7)

ここで、エネルギーは十分大きいと仮定し、γ −2 の項は無視した。このエネルギー偏差によって、電子は位相空間上を図 4.3 のようにシフトする。
このように偏向電磁石ではエネルギー偏差によって軌

CSR によるエミッタンスやバンチ圧縮に及ぼす影響を議論するには、r0 のエネルギー変化が r1 に及ぼす影響が重要である。このことから、R16 , R26 そして特に道が異なる。これを s の関数として表したものが分散関数 ηx と呼ばれるものである。これは、エネルギー偏差によって生じる水平方向のずれの指標であり、次のよう

R56 が重要なパラメーターとして出てくる7 。
ここで、偏向電磁石における電子の転送行列についてに定義される。

考えよう。図 4.2 にエネルギ偏差 δ があるときの軌道をx = xβ + ηx δ

(4.9)

示す。エネルギーが基準粒子より高い状態、つまり δ > 0の場合は曲がりにくくなるため、外側に逸れてしまう。 ここで、xβ は δ = 0 のときの軌道である。分散関数がδ < 0 の場合は、逆の傾向が現れる。ここで具体的な R ゼロでない場合を’ 分散がある’ という表現をすることもの成分を求めよう。偏向電磁石の偏向角を θ とし、軌道あり、エネルギー広がりによってバンチが水平方向に広の曲率半径を ρ とする。垂直成分の運動は無視して他のがってしまう。このときの位相空間の様子の例を図 4.4

要素のみを抜き出すと、次のようになる。

R11 R12 R15 R16 R21 R22 R25 R26 


R = 

 R51 R52 R55 R56 
R61 R62 R65 R66


cos θ
ρ sin θ0 ρ(1 − cos θ) − sin θ/ρ

cos θ
0
sin θ


= 
ρ(cos θ − 1) 1 ρ sin θ − s  − sin θ

0
0
0
1

に示す。図 4.4 の全体の面積が射影エミッタンス εpx と7R

55 はおおむね 1 である。

呼ばれるものである [29]。ERL で求められている低エ
ミッタンスビームとは概ね射影エミッタンス εpx が小さいビームのことを指す。これは次の式で定義される。

εpx =

√
< x2 >< x′2 > − < xx′ >2(4.10)

式 (4.4) のエミッタンス εx とは違うことに注意してほしい。εx は、初期の電子分布と光学系で決まるエミッタンスであり、εpx は分散関数や CSR の影響などによるエネ

ルギー変化の影響を含めたエミッタンスである。図 4.4(4.8) では、εpx は全ての楕円の面積の和になるのに対し、εxはひとつの楕円の面積に相当する。

21

x’

δ

δ

δ
σ δi

δ >0

σ δi

z

z

z

x
σ zi

δ <0

㻾㻲 䛻䜘䜛ຍ㏿

σ zf

図 4.6: 周回部におけるバンチ圧縮の模式図

図 4.4: 射影エミッタンスの模式図

ひとつはアークと呼ばれるものであり、電子の向きを変えるための光学系である。周回部とも呼ぶ。もうひとδ <0

つはシケインと呼ばれるもので、進行方向を変えないδ >0

まま、エネルギー圧縮やバンチ圧縮を行うための光学系である。まず、周回部で考えてみよう。周回部では、エ

δ >0
δ <0

ネルギーが大きい電子は、偏向電磁石を遠回りすること(a)によって遅れが生じ、逆に、エネルギーが小さい電子は(b)内側を通るため前方に進む。もし、バンチ前方の電子がエネルギーが大きく、後方で小さい場合は、バンチの中

図 4.5: アーク (a) とシケイン (b) の模式図

央に電子が集まることになり、バンチ長が短くなる。模式図を図 4.6 に示す。シケインの場合はエネルギーが小放射光を取り出す位置の εpx を小さくするためには、 さいほど大きく曲げられるために、遠回りをする。した
その部分の分散関数をできる限りゼロに近くすることががって、シケインでバンチ長を短くするには、バンチ前望ましい。よって、偏向電磁石の間に 4 極磁石などを組方のエネルギーが小さく、後方で小さくする必要がある。

み合わせて、最終的に分散関数がゼロになるような光学ERL では周回部でバンチ圧縮をする計画になっている

系を組み立てる方法が主流である。このような光学系をため、これからは周回部の場合について説明する。

アクロマティックであると呼ぶ。ηx と転送行列の R56 は密接な関係にあり、∫
R56 =方向の位相空間）がバンチ圧縮のときに変化する様子をηx (s)dsρ(s)

図 4.6 に示す。位相空間上に垂直にした場合にバンチ長(4.11)

が最短になる。図 4.6 の回転角度は転送行列の R56 で決まる。また、δ に対する高次項も考慮にいれると、バンチ

となる。

4.2

縦軸をエネルギー偏差 δ 、横軸を z とした位相空間（縦圧縮による縦方向の位置のずれ ∆z は次のようになる。

∆z = R56 δ + R566 δ 2 + R5666 δ 3 + · · ·(4.12)

偏向電磁石からなる光学系によるバンチ
圧縮
R56 がゼロの場合ではバンチ長は変わらず、このようなエネルギー偏差がある電子は偏向電磁石を通過するときに軌道がずれ、それによって進行方向の位置にもずれ

周回部をアイソクロナスという。
エネルギー分布の傾斜は加速正弦波の位相 ϕRF をずらすことによって調整可能である。模式図を図 4.7 に示が生じる。この性質を利用してバンチ長を調整するようす。加速周波数を fRF とすると、δ は z に依存する関数

な光学系を作ることができる。偏向電磁石からなる光学系には主に 2 種類がある (図 4.5)。

22

CSR
RF

Arb. Units

CSR+RF

φ RF

図 4.7: RF による傾斜の模式図
-1.2

となり、

δ(z) ≈[
1
2πfRF−
z sin ϕRFcos ϕRFc]()2
1 2πfRF+z cos ϕRF
2
c

-0.6
0
0.6
longitudinal position z/σz1.2

図 4.8: CSR の影響と加速 RF が電子バンチに与えるエ
ネルギー変化の計算例(4.13)CSR の影響がバンチ圧縮に影響を及ぼす場合がある。

となる。ここで最初の係数 1/ cos ϕRF は z = 0 の加速を

位相をずらした RF によるエネルギー分布に CSR の影

一定にするために導入した。

響が重なると、図 4.8 に示すようにバンチの中央の傾斜

ここで式 (4.12) および (4.13) について１次項のみを取がきつくなる。これは、バンチが局所的に強く圧縮されり上げて考えよう。圧縮前のバンチ長およびエネルギーることを示す。その結果、バンチ形状はガウス分布でな広がりをそれぞれ σzi および σδi とする。すると、バン

くなり、局所的に電子が集まったところからさらに強い

チ圧縮後のバンチ長 σzf およびエネルギー広がり σδf は

CSR が発生するなどの影響が生じる。
k を大きくすることはエネルギー広がりを大きくする

R56 を用いて次のようになる [30]。
√
2 + R2 σ 2σzf =(1 + kR56 )2 σzi
56 δi√
2 + σ2σδf =k 2 σzi
δi(4.14)

ことに相当するため、R56 も可変であることが望ましい。
したがって、周回部のラティスは 3 つ以上の偏向電磁石(4.15)

が組み込まれていることが理想である。3 つの偏向電磁

ここで、k ≡ dδf /dσi とし、δf は式 (4.13) の加速後のエ石からなるアクロマティックなラティスを TBA(Triple
Bend Achromat) と呼ぶ。ラティス構造とそのオプティ

ネルギーを表す。図 4.6 の模式図からもわかるように、 クスを図 4.9 に載せる。4 極電磁石の強さを調整すると、バンチ長が短くなる代償として、エネルギー広がり σδ

中央の偏向電磁石（図 4.9 では、2 番目と 3 番目の偏向が大きくなってしまう。バンチ長を最短にするには、式

電磁石の間) の ηx の値を負の値にすることもでき、式(4.14) で 1 + kR56 がゼロになる場合で(4.11) の R56 を正の値から負の値にわたって調整することが可能である。

fRF = −σzc
2π tan ϕRF R56(4.16)とすればよく、図 4.6 で縦の位相空間が直立する。このときのバンチ長は σzf ≈ R56 σδi となり、初期のエネル

4.3

R 行列によるエミッタンスの計算

トラッキングによる CSR によるエミッタンスのシミュ

ギー広がりによって決まる。また σzf ≫ R56 σδi の場

レーションは時間がかかり、光学系の最適化の能率に影合は響を及ぼす。ここで、エネルギー変化による影響を一次

σzf ≈ |1 + kR56 |σzi

(4.17)となり、kR56 でバンチ長を変えることができる。

23の項まで考慮に入れた R 行列による計算方法が提案さ

のように書き下すことができる。



cos θ
 1
 − ρ sin θRbend = 
0


0


ρ sin θρ(1 − cos θ)

cos θ

sin θ

0
0

1
0

0

0

0
(a)

(b)

ρ(1 − cos θ)sin θ0

図 4.9: TBA のラティス構造とその βx 、βy および ηx 関

10数の例。ラティスの BM*および Q*はそれぞれ偏向電磁ρ2 (θ − sin θ)ρ(1 − cos θ) 
 (4.20)
0


ρθ

1

石と 4 極電磁石を表す。(a):アイソクロナス (R56 = 0) で
中央で ηx = −0.14、(b):R56 = −0.3 で中央で ηx = 0.08

ここで、分散関数 ηx に加えて ζx を新しく定義しよう。

ζx は CSR に対する分散関数であり、
x = xβ + ηx δ + ζx δCSR

(4.21)

ここで、xβ は δ = δCSR = 0 の場合の位置である。CSRの影響によるエネルギー変化は x には依らないと仮定し
図 4.10: テスト用の光学系ているので、x の分散は xβ と ∆x = ζx δCSR の分散の和になる。すると、エミッタンス εx は式 (4.10) を用いて、れた [31]。ここで、CSR によるエネルギー変化を組み入

ε2xれた運動を考えよう。偏向電磁石内では水平方向 x の運−(ε0 αx − DD′ )2動方程式は次のようになる。

d2 x
x
1
= − 2 + [δ + δCSR + κ(s − sA )]
2
ds
ρ
ρ

= (ε0 βx + D2 )(ε0 γx + D′2 )(4.22)

D は wake ポテンシャルによるエネルギー偏差の広がり(4.18)

ここで、右辺の最初の 2 項は偏向電磁石を通過するときの基本となる方程式であり、残りの 2 項が CSR によって新たに付け加えられた項である。sA は偏向電磁石の入り口を示し、sA に到達する前に CSR によって変化し∆Erms を用いて次のように定義する。
∆δrms∆Erms 1
ζx =
ζx
L
E0 L
∆δrms ′
∆Erms 1 ′
D′ =
ζx =
ζ
L
E0 L xD=(4.23)たエネルギーを δCSR と表す。κ は wake ポテンシャル

ここで、L は偏向電磁石の長さであり、′ は進行方向 s

を基準エネルギー E0 で規格化した項で κ ≡ dδ/ds とに対する 1 階微分である。∆Erms は式 (3.30) から推定なる。

することができる。

式 (4.18) の運動を表すには、位相空間上の位置ベクト
ルを次のように定義すると便利である。

r ≡ (x, x′ , δ, δCSR , κ)T

この方法でエミッタンスを求めるには、• バンチ長が変化しないこと(4.19)• 軌道の曲率半径 ρ が常に一定であること

そして、r0 から r1 までの 5×5 の転送行列、r0 = R0−1 r1という条件が必要である。また、過渡状態が無視できなと定義しよう。偏向角度が θ の偏向電磁石については次

い場合は、式 (3.20) に補正項を与えて κ を求める必要24

味である。低エミッタンスに最適な光学系にするには ζx
も出口でゼロになるのが望ましい。次の章で、そのような光学系について考えよう。

4.4

位相調整法によるエミッタンス劣化の最小化

前章で述べた ζ をゼロにするにはどうすればいいだろうか？ひとつの解として式 (4.1) の位相の進み ϕ(s) を調整する方法があるので紹介しよう。周回部はｎ個の同じ光学系の繰り返し（ひとつの光学系の塊をセルという）
図 4.11: 図 4.10 のベータ関数、分散関数および CSR 分
散関数で構成されている場合、位相の進みを 2πm/n とすればよい。ここで m は整数である。簡単のために、n = 2、m = 1 の場合について考えよう。
図 4.12 に模式図を示す。(a) は最初のセルで CSR のがある。分散関数 ηx を CSR の分散関数 ζ は次の式で求 キックを受けた様子である。位相が進みが ϕ であるため、位相空間の楕円上を半周する (b)。その後、2 つ目
めることができる。
の偏向電磁石で CSR のキックを受ける (c)。すると、最(ηx (s1 ), ηx′ (s1 ), 1, 0, 0)T = R0−1 (ηx (s1 ), ηx′ (s1 ), 1, 0, 0)T 終的には元の位置に戻り、CSR によるキックは相殺さ(ζx (s1 ), ζx′ (s1 ), 1, 0, 0)T = R0−1 (ζx (s1 ), ζx′ (s1 ), 1, 0, 0)Tれる。

TBA に対して、セルあたりの位相の進みが ϕ = 8π/3
この式を使って図 4.10 の光学系を計算した例を図 4.11の 3 セル構造を組み立てた例がある。その光学系を図に示す。出口で ηx がゼロになっているにもかかわらず、

4.13 に示す。この光学系でエミッタンスの増加を計算し
ζx がゼロになっていないことが分かるだろう。これは、 た結果が図 4.14 である。R 行列と elegant の結果はよアクロマティックな光学系でも、CSR によるエネルギー

く一致している。このことから、一次の近似では最後でが変化した電子は基準粒子の軌道と合流しないという意

x’

x’

x

఩┦䛾㐍䜏䃟

x’

x

x

δ <0

δ <0

᭱ึ䛾䝉䝹䛾䜻䝑䜽(a)㻞␒┠䛾䝉䝹䛾䜻䝑䜽(b)
図 4.12: 位相 ϕ(s) の進みが π のときの CSR の抑制

25

(c)

図 4.13: 図 4.10 で位相調整をしたときのベータ関数、分

図 4.14: 図 4.10 で位相調整をしたときのエミッタンスの散関数および CSR 分散関数

計算値。 elegant の結果 (ドット）とよく一致している。

CSR のキックが相殺され、エミッタンスの増加が抑えられていることがわかる。すでに気づいているかもしれれることを意味し、これまでの議論と同じである。しかないが、この抑制効果によってエミッタンスの増加をゼ(4.26) をゼロに近づけることでエミッタンス増加を抑えることができるだろう。

し、バンチ長に変化がある場合でも、式 (4.26) および式

ロにするには、バンチ長が一定である必要がある。出な
いと、図 4.12 の (a) と (c) のキックの強さが違ってしまうためである。
ここで、理解を深めるために転送行列を用いて射影エ

4.5

ミッタンスの変化について説明する [32]。 式 (4.4) で定義されたエミッタンスからコヒーレントな摂動を受けた
時の射影エミッタンスを推定することができる。
εx [εpx ≈ εx +< ∆x2 > +(αx < ∆x2 >1/2
βx]+β < ∆x′2 >1/2 )2(4.24)

エンヴェロープ・マッチングによるエミッ
タンス劣化の最小化

十分にスペースを確保できない場合、4.4 章に示したように位相の進みを調整する余裕がない場合がある。そのような場合でも、エミッタンス増加を完全に抑制することはできないが、最小にとどめる方法がある。エミッタンスの楕円の長径方向と CSR のキックの方向を一致させる手法であり、エンヴェロープ・マッチングと呼ばここで、< ∆x > =< ∆x′2 > =)2dσδ
R16 (s)
ds
ds
(∫
)2
dσδ
R26 (s)
ds
ds

れる。

(∫

2

(4.25)

エネルギーが変化した電子の動きを位相空間上で見てみよう。図 4.3 に示したようにエネルギーにずれが起こ(4.26)

ると、位相空間上をシフトするがその方向は偏向電磁石のパラメーターで決まる。その方向 θCSR は次のように転送行列の成分から求めることができ、である。もし、バンチ長が一定であれば、CSR の影響によって引き起こされる dσδ /ds は一定である。このよ∫∫うな場合は、 R16 ds = 0 そして R26 ds = 0 の場合にεps の増加が防ぐことができる。このようなラティスはあるセルで受けたキックが別のセルのキックで打ち消さ

θCSR =

sin θ
R26
=
R16
ρ(1 − cos θ)(4.27)となる。通常、位相空間は楕円であり、その傾き ϕ は26θphase

4.6

Px

Px

コンパクト ERL の周回部の最適化

ここで、ERL の試験器として計画中のコンパクト ERLθCSRθCSR=θphase

で、周回部の最適化を行ったので紹介する。まずは、パxx

ラメーターの設定について説明する。最終的な ERL で目指すエネルギー 5GeV とエミッタンス 10−12 m · radは、波長 λSR = 10−10 m で強い放射光を取り出すことを目安にして決めている。5GeV とは、ERL にはアン
(a)

(b)

ジュレーターと呼ばれる放射光を取り出す挿入光源の 0次光の放射光の波長が 10−10 m となるエネルギーであDirection of kick induced by CSRる。エミッタンス 10−12 m·rad は回折限界 εx < λSR /4π
から決まり、この回折限界以下にエミッタンスを小さく

図 4.15: エネルギー変化による位相空間上のシフト

しても輝度が高くなることはない。
しかし、エネルギーの低いコンパクト ERL でエミッTwiss パラメーターでタンス 10−12 m · rad はほぼ不可能である。なぜなら、tan 2θPhase = 2α/(γ − β)(4.28)

数 MeV 以上では CSR の影響は電子のエネルギーに因らずにバンチ長と電荷量に依存するため、エネルギーが低いほどエミッタンスに対する影響は大きくなるためでとなる。

ある。そこで、エネルギーの異なるコンパクト ERL で

図 4.15 に位相空間の楕円の ϕ が θCSR と垂直である

場合 (a) と直線上にある場合 (b) を図示した。図から、 エミッタンスの評価を行うときは、電子のエネルギーを(b) で全体の楕円の占める面積、エミッタンスが小さい 考慮に入れたエミッタンスが必要とされる。これは、規格化エミッタンス εnx と呼ばれ、εnx = γεx と定義されことがわかるだろう。
バンチ当たりの電荷量がサブナノクーロン以上に大きる。このコンパクト ERL での規格化エミッタンスの目
標値は 10−7 m · rad とする。

くなると、多次項成分が無視できなくなり、エミッタン
スが最小となる点が θCSR = θPhase という条件から外れ

電子のエネルギーは最大 165MeV、バンチ長は通常モードで数 ps、バンチ圧縮モードで 0.1 ps を目標としてしまうこともある [33] 。

ている。通常モードのバンチ長は 1.3GHz の RF 周波数

Injection∆E/E0

Accelerate at phase φz

Non isochronousarc section(Insertion Device )図 4.16: コンパクト ERL のラティス案

27

Normalized emittance (mm mrad)

表 4.1: コンパクト ERL のパラメーターの設定
モード

E0
σz
εxn

低 εnx

165MeV
1 ps−7
10 m · rad

バンチ圧縮

THz CSR

fs X-ray

165MeV0.1 ps−4
10 m · rad

65MeV< 0.1 ps10−4 m · rad2.5
not-optimized
optimized
initial emit (0.1 mm mrad)

2

1.5

1

0.5

0

60

80

100

120

140

160

180

200

Electron Energy (MeV)で加速した際、エネルギー偏差 δ の拡がりが 5 × 10−5
以下にするためである。バンチ当たりの電化量は 77pC

図 4.17: コンパクト ERL の周回部において生じる CSR

が目標値である。バンチ圧縮モードでは、テラヘルツコ

によるエミッタンス増大の計算。エンヴェロープ・マッチ

ヒーレント光やフェムト秒 X 線の光源利用が目的であングを満たすように周回部の光学系を最適化すると、エり、バンチ当たりの電荷量は 1 nC を目標値としている。 ミッタンスの増加を抑えることができることが示されて
テラヘルツギャップと呼ばれる 1THz から 10THz までの いる。バンチ当たりの電荷量は 77 pC、バンチ長は 1 ps

CSR を光源として利用するためにはバンチ長が 0.1 ps
以下であることが望ましい。この場合、CSR の影響によってエミッタンスの増加を抑えることは困難であるた
め、目標値を 10−4 m·rad とする。これは、横方向のビー
ムのサイズを波長以下に抑える必要があるためである。
フェムト秒 X 線では電子のエネルギーに条件が加わり、ユーザーが必要とする 50keV 付近をチタン・サファイア
レーザーで発生させるには電子エネルギーが 65MeV 程
度でなければならない。これは、テラヘルツ光源のケーインがあり、その後に挿入光源が入る直線部が続く。規格化エミッタンスおよびバンチ長の評価は挿入光源が入る直線部で行う。
シミュレーションコード elegant を用いて、周回部の最適化を行った結果について紹介する。バンチ当たりの電荷量 77 pC、バンチ長 1 ps とし、低エミッタンス
モードで規格化エミッタンスの増大を評価した。エミッスに比べて CSR の影響が大きく、バンチ圧縮はより困難となる。これらのパラメーターを表 4.1 にまとめた。
図 4.16 にコンパクト ERL のレイアウトを示す。低エ
ミッタンスモードでは RF の位相をずらすことなく加速し、アイソクロナス (R56 = 0）の周回部を通す。バンチ
圧縮のモードでも、入射時のバンチ長は低エミッタンス
モードと同じである。これは、CSR の影響はエネルギーが低いほど大きいためであり、バンチ圧縮は加速後に行タンス増加を抑えるには遮蔽効果が一番期待できると述べた。しかし、偏向電磁石の曲率半径は 1 m であることから、式 (3.41) より遮蔽効果が期待できるのはチャンバーの断面のサイズがバンチ長程度となり、現実的でない。これまで、エミッタンスの増加を抑制する方法を２つ紹介したが、コンパクト ERL では直線部までの磁石の数に限りがあるために位相調整法を使うことができな
いため、エンヴェロープ・マッチング法で最適化した。

う。左上から入射したバンチは加速空洞でバンチ中心にある基準粒子が最大エネルギーになるまで加速し、RFの位相は前方でエネルギーが高く、後方で低くなるよう

電子のエネルギー 65MeV から 205MeV に対してシミュ
レーションした結果を図 4.17 に示す。エンヴェロープ・
マッチング法によって、効果的にエミッタンス増加を抑に調整する。このように進行方向にエネルギー分布に傾斜がついたバンチが、R56 > 0 の周回部を通ってバンチ
長が短くなる8 。周回部直後の周期長補正のためのシケ
8R

である。

56 の符号の定義は計算コードによって異なる。本テキストでは

28

制できていることがわかる。65MeV 付近に残るに規格化エミッタンスの増加も輝度が著しく減少するレベルでelegant の定義に合わせる。

はなく、低エミッタンスモードは周回部の最適化によってシミュレーション上では実現可能であることがわかる。
はバンチ長が最短になるように最適化したときの挿入光的な傾向としては、電子エネルギーが大きいほどバンチ
長が長くなるが、揺らぎが大きい。これは、光学系の高次項や CSR の影響によって生じたテールの影響が原因である。図 4.19 に 165MeV, 125MeV および 65MeV の場合の縦方向の位相空間のプロットを示す。ここでは、
縦軸は δ 、横軸は t = cz である。縦方向のバンチの形

200

0.3

150
SigZ (ps)

0.2

100
0.1
50

Bunch Length (ps)

源でのバンチ長および規格化エミッタンスである。全体

normalized emittance (mm mrad)

次はバンチ圧縮モードについて評価を行った。図 4.18

emittance(mm mrad)0

状が複雑に変化するが、密度の高い部分のみを切り取る

0

200

400

600

800

0
1000

Bunch Charge (pC)と、バンチ長が電子のエネルギーにしたがって短くなる
ことが見て取れる。
バンチ当たりの電荷量が 1 nC の場合について、電子ンチ長と規格化エミッタンスを計算した結果。電子のエネルギーは 165MeV である。

140

0.6
emittance(mm mrad)

120
100

0.4

80
60
SigZ (ps)400.2

Bunch Length (ps)normalized emittance (mm mrad)のエネルギーが 165MeV と 65MeV の場合で検証を行っ

図 4.20: バンチ当たりの電荷量を変えたときの最短のバ

20
0

0

200

400

600

800

0
1000

Bunch Charge (pC)

図 4.21: バンチ当たりの電荷量を変えたときの最短のバンチ長と規格化エミッタンスを計算した結果。電子のエネルギーは 65MeV である。

29

0.15

z

emittance(mm mrad)
8
0.1
7
6
0.05
5

๟࿁๟ᵄᢙ ω 0

Bunch Length (ps)normalized emittance (mm mrad)

9

ᢿ㕙࿑

r

h
θ

SigZ (ps)
4

40

60

80

100

120

140

160

0

Electron Energy (MeV)

図 A.1:

図 4.18: 電子のエネルギーを変えたときの最短バンチ長と規格化エミッタンスを計算した結果。バンチ当たりの謝辞

5

電荷量は 77 pC

このテキストを完成させるにあたり、多くの人の協力
165 MeV

125 MeVをいただきました。特に、CSR の原理から計算コード

65 MeV

まで、詳細に原稿を見ていただいた吾郷智紀氏には、心より感謝しています。また、日本原子力機構の羽島良一
氏から CSR からビームダイナミクスまで幅広い面でご1 ps

指摘を頂きました。また、横谷馨氏からは貴重なご意見をいただきました。宮島司氏には低エネルギーの CSR
図 4.19: バンチ圧縮後の縦方向の位相分布。電子のエについて有意義な議論をしていただきました。最後に、ネルギーは 165MeV, 125MeV および 65MeV の場合で計算。

放射光施設の小林幸則氏、坂中章悟氏、原田健太郎氏には、本テキスト執筆のために日常の業務に配慮をしていただきました。ここで、改めて感謝の意を示したいと思た結果をそれぞれ図 4.20 と 4.21 に示す。165MeV ではいます。

電荷量が大きくなるにつれ、達成可能なバンチ長が限ら

コヒーレント放射光の影響とバンチ圧縮という難しいれてしまうが、400 pC 以下であれば、バンチ長 0.1 ps 以

テーマについて、筆者の力量以上のトピックを詰め込ん

m · rad を実現できる見込みがある。1 nC の場合でも 0.25 ps 以下まで圧縮すでしまったため、説明不十分な箇所が多数あるかとおもることができ、エミッタンス増加もコヒーレント性を著ます。

しく損なうほど大きくはない。図 4.21 に示した 65MeV

Appendix−4

下および規格化エミッタンス 10の場合では、電子のエネルギーが低いために CSR の影
響の影響を受けやすく、165MeV に比べてバンチ圧縮が困難であることがわかる。バンチ長 0.1 ps を実現するにいますが、おおよその全体像が伝わればうれしいと思いA

遮蔽効果を含めたインピーダンスの導出

はバンチ当たりの電荷量を 100 pC 以下に抑えなければ
ここで遮蔽効果のインピーダンスを求める手順についならないことがわかる。

て概略を紹介する [19],[13],[20]。本章では円柱座標 (r, θ, z)を使う。Frenet-Serret 座標系との関係式は r = x, rθ = s
および z = y となり、模式図を図 A.1 に示す。
ここで、ω0 は周回周波数で ω0 = βc/R となる。周回
周波数の整数倍の周波数 ω = nω0 に対して、電場 E と
磁場 H の z 成分を次のようにフーリエ展開する。

30

方程式より Eznp および Hznp を用いて、次のように与∫ ∞Hz (r, θ, z, t)

=

dωe

−iωt

−∞
∞
∑

×

∞
∑

えられる。
inθ

e

Eθp

n=−−∞

=

[
(
)]
−i
n
ω
∂Hznp
α
E
+
Z
+
J
p
znp
0
θnp
γp2
r
c
∂r

sin αp (z + h/2)Hznp (r, ω)

(A.9)

p=1

∫ ∞
Ez (r, θ, z, t)

=

(A.1)
dωe−iωt

−∞
∞
∑

×

∞
∑

向の波数で次のように決められる。
√
ω2− αp2 ,
γp =
c2

einθ

n=−−∞

cos αp (z + h/2)Eznp (r, ω)

p=1

(A.2)
ここで、下付き p は垂直方向のモード番号を表し、αp はz 方向の波数を表す。
αp =π(2p + 1)h(A.3)

他の成分については、αp (z + h/2) を変数とする関数を(Er , Hθ , Hr , Eθ ) ↔ (sin, cos, cos, sin)

ここで、Z0 は真空のインピーダンスであり、γp は r 方(A.4)とすると、z = ±h/2 において電場 E の接線成分と磁場

H の垂直成分がゼロになるような境界条件を満たす。電流 J や電荷 ρ についても同様にフーリエ変換をする。

Eznp および Hznp は Maxwell 方程式を用いて、
(
) (
)
1 ∂
∂Hznp
n2
1 ∂
2
r
+ γp − 2 Hznp = −(rJθnp )
r ∂r
∂r
r
r ∂r
(A.11)
(
) (
)
2
1 ∂
∂Eznp
n
r
+ γp2 − 2 Eznp = Z0 αp cρnp
r ∂r
∂r
r
(A.12)とベッセル関数 (Bessel function) を用いて表すことができる。ここで、式 (A.6) を使用している。
ベッセル関数とは
(
) (
)
1 d
df (x)n2x+ 1 − 2 f (x) = 0
x dx
dx
x

(A.5)

電子は r = R 付近の軌道上を周回するものと考えて、(Jr , Jθ , Jz , ρ) = (0, βcρr/R, 0, ρ)Iθ (n, ω) =

(A.6)

−h/2

dzJθ (n, r, z, ω)(Hankel function) が次のように定義されている。
(A.14)

このハンケル関数も式 (A.13) の解となる。これらの関
ヘルムホルツ方程式 (Helmholtz equation)、(A.7)と定義すると、周回あたりのインピーダンス Z̄(n, ω) は−2πREθ (n, ω) = Z̄(n, ω)Iθ (n, ω)

は第 1 種ハンケル関数

数について少し説明しよう。これは円筒座標系における

∫ h/2
dr

よび Yn (x) がある。他に Hn

Hn (x) = Jn (x) + iYn (x)と設定する。平均の電流 Iθ (n, ω) を∫

(A.13)

を満たす関数のことであり、2 つの独立な関数 Jn (x) お(1)(Jr , Jθ , Jz , ρ) ↔ (sin, sin, cos, sin)

(A.10)(A.8)(∆ + k 2 )f (x) = −ρ(x)(A.15)の解である。このグリーン関数は(∆ + k 2 )G(x, x0 ) = −δ(x − x0 )(A.16)

を満たす。3 次元空間上ではグリーン関数は以下の式ので与えられる。

ように求めることができる。

式 (A.8) より、Eθ (n, ω) が分かればインピーダンスを求めることができることわかるだろう。これは、Maxwell

31

G(x, x0 ) =e±ik|x−x0 |4π|x − x0 |(A.17)

これを円柱座標系 (r, θ, z) で表現すると、G(x, x0 )

∫ ∑
∞

1
4π

=

ることができるため、計算が容易になる。エアリー関数とは、

ϵm Jm (λr)Jm (λr0 ) cos m(θ − θ0 )d2 f (x)− xf (x) = 0
dx2

m=0
√
− λ2 −k2 |z−z0 |

×e

λdλ
√
λ2 − k 2(A.23)(A.18)の微分方程式を満たす関数であり、n = 1/3 のベッセル関数とは以下の関係式が成り立つ。
とベッセル関数が表れることになる。
)
)]
[
(
(
1√
2 3/2
2 3/2
このベッセル関数を用いて Eznp および Hznp を求めよ Ai(−x) =x+ J−1/3x
x J1/33
33う。ここで、平行平板に対する解を求めるためにトリッ
√ [
)
)]
(
(
1
2 3/2
2 3/2
キーなことをしている。まず、断面が矩形であるドー Bi(−x) =x J−1/3x− J1/3x3
3
3
ナッツの形をしているチャンバーを考えて、チャンバー
壁が r = a, b (a < R < b) にある場合について解を解 ここでは、問題にする放射光の周波数 ω は周回周波数
き、a → 0、b → ∞ の極限を取る。すると、平行平板に ω0 に比べて非常に大きい場合を扱うため、n が大きい
対する周回当たりのインピーダンスは次のように与えら場合の近似式を導入する。すると、ベッセル関数はエアれる。

リー関数を使って以下のように近似することができる。
(
)1/4
4ζ
1
Jn (nz) ≈Ai(n2/3 ζ)
1 − z2
n1/3
(
)1/4
1
1 1 − z2Ai′ (n2/3 ζ)Jn′ (nz) ≈ −
2/3
z
4ζ
n
(
)1/4
4ζ
1
−πi/3
(1)
Hn (nz) ≈ 2eAi(e2πi/3 n2/3 ζ)
1 − z2n1/3()1/4
4 4πi/3 1 − z 2
1Hn′ (1) (nz) ≈eAi′ (e2πi/3 n2/3 ζ)
z
4ζ
n2/3

Z̄(n, ω)n=

2π 2 Z0 R
β h
[
∞
∑
βωR ′
×
Λp
Jn (γp R)Hn′ (1) (γp R)
nc
p=0
]
αp2
+ 2 Jn (γp R)Hn(1) (γp R)(A.19)γp

ここで、δh はバンチの垂直方向のサイズであり、さらに、次のパラメーターを導入している。

(
Λp =

sin x
x

)2
,

x=

πδh
(2p + 1)2h

ここで、ζ は z = 1 の付近で次のように展開できる関数(A.20)

γ → ∞、δh → 0 の極限で単位長さ当たりのインピー

である。

[
]
3
ζ ∼ 21/3 (1 − z) + (1 − z)210(A.24)

ダンス Z を求める。変数を k = ω/βc = n/R とすると、 すると、式 (A.21) の実部は次のようになる。
次のようになる。

πkR
J ′ (r)Hn′ (1) (r)h p=0 n()]
n2
− 1 − 2 Jn (r)Hn(1) (r) (A.21)r√( α )2p≡ n 1−(A.22)
k

Z(k) =

r

∞ [
∑

Z0

ReZ(k)]∞ [πkR ∑ ′2
1 − z2 2
J n (r) +
J
(r)
n
h p=0
z2
(
)1/3
2
2π
= Z0
h Rk
∞ [
]
∑
2
2
Ai′ (βp2 ) + βp2 Ai(βp2 )×(A.25)= Z0

p=0

ここで、ベッセル関数の代わりにエアリー関数 (Airy

ここで、βp は次のように定義する。

function) を導入する [20], [21]。エアリー関数を導入す

πβp = (2p + 1)h

ることでベッセル関数の下付き文字 n を変数の中に入れ32( 2 )1/3
c R
2ω 2(A.26)

同様に虚部は次のようにエアリー関数で表すことがで[10] T. Nakazato, M. Oyamada, N. Niimura, S.
Urasawa, O. Konno, A. Kagaya, R. Kato, T.

きる。

ImZ(k)

(
)1/3
2π
2
= −Z0
h Rk
∞
∑[
]
×
Ai′ (βp2 )Bi′ (βp2 ) + βp2 Ai(βp2 )Bi′ (βp2 )Kamiyama, Y. Torizuka, T. Nanba, Y. Kondo, Y.
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p=0

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