2. 加速器の概念

ビーム輸送の物理（入門）

加速器で扱える粒子は，電荷をもっていることと安定でなければならない．この条件を満たす

1. はじめにものとして，電子、陽子、各種イオンがある．

加速器の施設というものは，一般には複数の加速器と粒子源から構成されている．粒子源で作成された粒子群（ビーム）は次の加速器へ送り込まれてそこで加速され，必要があればさらに次の，さらにはまた次の加速器へ送り込まれ加速される．加速器は加速できるエネルギー範囲に合わせて最適に設計されているため，大幅なエネルギー加速には，このように複数の加速器を使うことになる．今回のテーマであるビーム
輸送路は、粒子源と加速器，あるいは加速器と加速器を接続してビームを輸送する通路である．
輸送路の出口に接続している加速器は，加速エネルギー範囲がある、すなわち受け取るビー
ムのエネルギーが決まっている，だけではなく、€受け取るビームに対してさらに気難しい注文を付けている．また、輸送路の入り口に接続して€いる粒子源や，前段の加速器は、それぞれの機

加速時間が短かければ，短寿命核の加速も可能である．今年の講義では，加速器で加速が可能なこれらの粒子源を扱うことになっている．
加速器の key word として，同期加速と収束があると思われ，これらに沿ってまとめたつもりである．
2.0. 荷電粒子の運動
加速器で定義するエネルギーT とは，運動エネル
ギーを意味し，全エネルギーE から静止エネルギーを除いた部分である．非相対論的では、
1 r
T = m0 v 2 であり，相対論的では，
2r
T = E − m0c 2 = c 2 p 2 + m0 2c 4 − m0c 2= m0γc 2 − m0c 2rrrとなる．ここで力学的運動量は， p = mv = m0γv である．

このことから，これらの間を取り持つビーム

電荷をもった粒子は電磁場によるローレンツ
力を受け，運動は、 €rr r rr dp rp˙ == F = q( E + v × B )dtで与えられる．ここでは MKSA 単位系を用いる．

輸送路を理解するには，まずは粒子源や加速器

ついでにこの後で扱う座標系の変数をまとめて€について理解しなければならない．粒子源につおく．デカルト座標系では，進行方向を z とし，いては，今年の講義の全体のテーマであるので

水平，垂直をそれぞれ，x,y，とする，あるいはそちらの任せ，この講義では，上に述べた精神

共通に u とする場合もある．円筒座標系では，に沿って，加速器の理解に力点を置く．輸送路

半径方向 r，円周方向 ϕ とする．なお，進行方向

はある意味で，加速部を除いた加速器とも見なを s とする場合もある．

器の特徴を持った癖のあるビームを送り込んでくる．

せるので，輸送路の理解に直接つながるはずである．また最後に，ビーム輸送路に特徴的な機能をまとめた．この講義では，加速器へのビームの入射や取出しに関しては扱わない．
ビーム輸送路を理解するにはまず加速器を理€解しなければならない，ということで話を始める．

エネルギーの増減率を求めてみると，
rrr€dc 2 pp˙ r r˙2T˙ =c 2 p 2 + m0 c 4 ==v⋅pdt
m0γc 2となる．運動方程式を入れると，
r r r
r dr
r
T˙ = v ⋅ q( E + v × B ) = qE ⋅dtとなり、よく知られているように，粒子のエネ
ルギー変化は磁場によってなされず電場によっ€てのみなされる．
エネルギーの変化量は、

r r
ΔT = ∫ T˙dt = q ∫ E ⋅ dr = qUのように電圧差 U で与えられる．

€の運動を考える．よく知られているように，一粒子のエネルギー単位として，eV が用いられ

定エネルギー粒子は円軌道を描き，運動量，磁場、軌道半径 ρ の間には、 p = mv = qBρ の関係

1V の電位差で電荷 e の得られるエネルギーであがある．相対論的領域においても運動量は常にる．小さな量にも見えるが，温度に換算すると軌道半径に比例する．このとき回転周波数は，
v
qB
qB
f€
= €=
rev =
2 πρ 2 πm 2 πm0γ

超高温である．ちなみに可視光では約 2.5eV である．
粒子を偏向する場合の磁場と電場による力をで与えられる．ここで重要なことは非相対論的比較してみる．再度ローレンツ力を並べてみる
r r r€と， E と v × B の次元は同じである．例えば，常で質量が一定であると見なせる範囲では，回転伝 導 磁石 に よ る磁 場 2T ， 最大 電 場 とし て 10

周波数は一定であるということである．この周波数はサイクロトロン振動数と呼ばれる．

kV/mm すなわち 10MV/m の程度とする．最大€€電場に対し，粒子の速度が光速の高エネルギー領域では、磁場は電場の約 100 倍の効果がある
ことがわかる．低エネルギーでは電場も有効に働くことがわかる．例としてはブラウン管があげられる．
今年の講義では低エネルギー領域である粒子
源ということで，電場が使われる例があるかもしれない．高エネルギー加速器では特殊な場合を除き，磁場による偏向がなされる．
初期の加速器は直流の高圧電源によって粒子を加速するものであった．このため安定に高電圧を発生する機器の開発がなされた．CockcroftWalton 整流型高電 圧発生装置、Van de Graaff
ベルト式静電高圧発電機がある．今回の講義でなされる粒子源は，ある意味でこれらの直流高電圧の加速器と見なせるものである．
2.1.

繰り返し同期加速2.1.1. サイクロトロン
直流高圧電源による加速器では，最大エネルギーが達成可能な高電圧によって制限される．さらにエネルギーをあげるには，交流電場による繰り返し加速が考えられる．このアイデアを実現するものの一つとして，サイクロトロンがある．この加速器は，繰り返し加速において必須な条件である同期加速の簡単な導入になるので，動作原理を説明する．
時間によらず一定で，空間的に一様な垂直磁場を仮定し，磁場と直交する水平平面内の粒子

図１：サイクロトロンをモデル化したものの平面図を示す．垂直方向に，空間的にも時間的にも一様な磁場がある．磁場中におかれた２つの電極の間に交流電場がかかっている．回転周波数は運動量によらず一定で，同期は完全である．

図１で示すように D 型をした２個の電極を設置して，その間に交流電場をかけてみる．粒子は電極の間を通過する際に，交流電場の大きさによって，加速されたり減速されたりする．粒子が電極間を通過する際に常に加速されるとうまい話なのであるが，実は交流電場の周波数をサイクロトロン周波数に設定することによって可能となる．非相対論的領域では回転周波数が一定で，自動的に交流電場との時間的同期が常に満足される．

サイクロトロンの同期は完全で，電極間を通る加速器の基礎である．この加速器は，加速に過する際に交流電場のどの時間位相であってもよって速度変化が無視できないような粒子、陽同期がとれていることである．現実のサイクロ

子，イオンの加速に用いられる．

トロンの運転条件では，電場が最大となる位相を通過し，常に最大電場で加速され最短時間で最大エネルギーに達する．電場が半分となる位相で加速された場合は，常に加速量は半分で，最大エネルギーまでの時間は２倍となる．電場がゼロとなる位相では、加速されないため初期
エネルギーのままで永久に同じ軌道を回り続けることになる．このような交流電場との完全同期は特別であって，この後ででてくる加速器においては、ある決まった時間位相のみで同期条件が満足される．

図２：Drift tube linac をモデル化したものを横ちなみにエネルギーがさらにあがって相対論から見ている．加速器は，軸対称である．粒子が通的領域で質量が増加すると，回転周波数が低下

過する円筒形の電極と次の電極の間に交流電場がかし交流電場との同期が外れそれ以上加速ができかっていて，粒子はそこを通過する際に加速されなくなる．

る．加速されるにつれて粒子の速度が速くなってい
くが，dift tube の長さをうまく調整することによ

2.1.2. 線形加速器
Drift tube linac
サイクロトロンに戻って，最大加速位相に同って，常に粒子は電極の間隙の電場の位相と同期がとれている．

期した粒子の軌道を考えてみる．粒子は電極間線形加速器では加速位相が決められていて，で電場を感じて加速されるが，それ以外では電それ以外の位相から外れた粒子は，必要な加速極の箱の中を動き、電場が導電性の電極箱で遮が得られないため，電極間を通過する際の位相蔽されるため，電場を感じない．加速につれてがずれてしまう．サイクロトロンではエネルギ

速度が速くなるが，軌道半径が増大して電極箱ーが相対論的領域になると同期がずれてしまっ

内の軌道長が増大し，電極間では常に加速位相たが，線形加速器では円筒の長さを短く調整すに同期している．

ることで，加速の同期をとることが原理的に可軌道はスパイラルを描くが，この軌道を直線能である．

に伸ばし，電極箱の部分を半円の軌道長と同じ長さの円筒に置き換える．そして，D 型電極間にかかる同じ周波数の電圧を，隣り合う全てのDisk-loaded linac
電子の静止エネルギーが低いため，電子は加円筒の間にかけてみる．粒子は円筒間で加速さ速によって容易にほぼ光速に達する．その後のれ，円筒内では電場が遮蔽されているため加速加速では，速度は変わらずエネルギー増加は質されず，次の円筒間でまた加速されることにな

量の増加となる．速度が光速で一定と見なせる

り，粒子のエネルギー変化はサイクロトロンとので，加速の同期をとることが容易である．

全く同じである．

交流電場を，例えば円筒管の中に通して，軸この方式により，軌道が直線となる加速器を方向に高速の電子が加速されるかどうかを考え作ることができる．円筒電極は drift tube と呼ばてみる．しかしながら drift tube linac の場合でれ，図２で示すような drift tube linac と言われ見た通り，交流電場は一般には円筒内には遮蔽されて入らない．入るためには，交流電場の波

電場は絞り盤の間の空洞部に発生していて，長が円筒の径程度以下でなければならない．周電磁場の位相速度が光速であるので，光速の電波数が上がって波長が短くなり，円筒を通過す

子は常に空洞で加速される．このように空洞がるような交流電場は，高周波電磁場と呼ばれ、連なっている加速装置は他にも種類があるが，また伝送する筒は導波管と呼ばれるようにな

加速原理は、線形加速器でも後で扱う円形加速る．

器でも，全て同じで電磁場の位相速度を粒子の導波管内に高周波電磁場を満たして，光速の速度に一致している．このことから光速になっ粒子を入れてみる．粒子が進行する軸方向の電ていない粒子でも加速による速度変化が顕著で場を感じれば加速される．粒子が移動する際に，なければ，電磁場の位相速度を粒子の速度にす

常に電磁場の同じ進行方向の電場を感じれば，ることで加速が可能である．

連続的に加速されることになる．すなわち，粒ちなみに，加速部を空洞構造にする意味は，子は同じ位相の電磁場に乗っていなければなら粒子が通過する空洞そのものが共振器になってない．粒子は光速であることから，電磁場の位

いて，少ない高周波電力の入力でも強い強度の相速度も光速でなければならないことがわか

電磁場を発生させることが可能であるからである．

る．

ところが長さ方向に断面が一様な導波管内で直線加速器においては，加速器の全長の制限

は，電磁場の位相速度は常に光速よりも速い．

がなければ，最大エネルギーの原理的な制限はこのままでは同期がとれない．そこで導波管内ない．ただし，粒子の速度に合わせて設計されに邪魔板を入れて，電磁場を散乱させ，位相速ているので，非相対論的領域では，加速器のエ度を光速に合わせることが可能である．図３でネルギーは変えられない．

示すように，挿入した絞り盤 iris disk のある、
このような原理で動作する線形加速器を Disk-

2.1.3. 円形加速器

loaded linac と呼んでいる．

円形の加速器サイクロトロンに戻って，加速限界を考えてみる．エネルギーが上がって相対論的効果が見え始めると，回転周波数が下がり，
加速交流電場との同期が外れるのであった．
一定磁場
まずは磁場を時間的に一定にしておくという条件の下で、エネルギーの限界を上げることを

図３：Disk-loaded linac のモデルを横から見た考える．

ものを示す．この加速器も軸対称の構造を持つ．相

一つにはエネルギーがあがって回転周波数が対論的で速度がほとんど変わらない粒子，高エネル

下がるのであれば，磁場を強くして軌道半径をギー電子陽電子の加速に用いられる．高周波電磁場

小さくし，回転周波数を一定に保つことができを送り込むことによって，絞り盤，iris disk，の間る．すなわち，半径が大きい部分で磁場を徐々の空洞に電場が発生し，光速の粒子からみると電磁に空間的に強くすることで対応できる．実際に場の位相速度が粒子と同期して見える．

は後ででてくる収束作用を考慮して，半径及び構造的に，同じように空洞が並んでいるもの，ま周方向にも空間的に磁場を変化させた磁場構造

たは１個でもよいが，加速空洞として，線形加速器をもっている．この種には AVF cyclotron，リンおよび円形加速器において使われている．

グサイクロトロンなどがある．

もう一つには，回転周波数がエネルギー増加

増加するので回転周波数は上がることになり，とともに下がるのであれば，交流電場の加速周加速の交流電場の周波数もそれにつれてあげる

波数をそれに伴って下げることで対応できる．

必要がある．この種の加速器は，運動量と磁場

この種の加速器は周波数を同調させるということの同調，とで，synchro-cyclotron と呼ばれる．ここまで

p(t) = qB(t) ρ 、

でてきた加速器は，連続加速，すなわち加速周

および回転周波数と交流電場の周波数の同調、波数繰り返しで加速が可能であったが，この種

f acc (t) = (integer) ⋅ f rev (t) = (integer) ⋅の加速器では周波数変調の加速繰り返しで断続€的な加速となる．

v(t)2πρの両方を常に満足させなければならない．このためシンクロトロンと呼ばれる．

変動磁場

€

シンクロトロンの導入前の円形加速器では，ここまでは磁場が時間的に一定であったが，加速とともに軌道がスパイラル上に広がること

磁場を変えることによってエネルギーの制限をになり，軌道を変更するための磁場の領域は半上げることを考える．磁場の変化のさせ方はい

径方向に広がっていなければならないことにな

ろいろあるであろうが、いっそのこと磁場中のる．このためエネルギーをさらにあげようとす

円軌道の半径が一定になるようにすることで軌

ると，磁石が巨大になってしまうことになった．

道そのものを一定にしておく，すなわち粒子のシンクロトロンの導入によって軌道に沿っての運動量に比例して磁場が変化する加速器を考えみ磁石を設置すればすむことになり，磁石の大る．

きさを小さくすることが可能となり，さらに高エネルギーを目指す大型の円形加速器を可能にした．実際に円形の高エネルギー加速器は，すべてシンクロトロンである．ただし実際のシンクロトロンは，図で示したモデルと全く異なり，
軌道にそって一様な磁石の構成ではなく，偏向
磁石や収束用磁石、加速部，及びこれらの間の自由空間で主に構成されている．
2.2.

収束作用

ここまで交流電場，高周波電磁場による加速について，粒子の速度と加速周波数の同期を主題として，円形加速器ではさらに運動量と磁場との関係についても説明してきた．
粒子の進行方向，時間方向に関して，加速の
図４：シンクロトロン，synchrotron，の概念をための交流電場の位相が完全に同期した粒子に示すもので，現実にはこの形式のものはない．サイ

ついては，期待した加速が得られるであろう．

クロトロンのモデルを，加速部を１カ所にしてある

しかし，同期が常に完全であるとは期待できず，が，円環状に切り出している．軌道半径が一定で，むしろ実際の加速器では必ずわずかでも同期が運動量，磁場，加速周波数が互いに同期している．

ずれているはずである．このため，同期が外れた粒子を同期がとれる方向にずらすような収束

図４では説明のために交流電場の電極も含め作用が存在することが望ましい．

てサイクロトロンの一部を切り出している．軌

一方，線形加速器や，特にシンクロトロンに道は一定であるが，加速とともに粒子の速度がおいて，中心軌道に沿って運動する粒子は，中心軌道を運動し続けるであろうが，この場合でする．また完全に同期をとるために必要なエネも実際の加速器では必ずわずかでも中心軌道かルギー量を横線で示す．効率よく加速するにはら外れて運動しているはずである．このため，最大値のところに設定したら良さそうなもので中心軌道から外れた粒子を中心軌道へ引き戻す

あるが，そうしないことの重大な意味は後ほどような収束作用の存在が望ましい．

わかる．

ここではこれらの２種類の収束作用について説明する．実際の加速器において確かにこれらの収束作用が存在することを理解できれば，加速器をほぼ原理的に理解したことになる．ここから先は，定性的な説明、しかしながら次には数学の道具立ての助けを借りての説明になる．
2.2.1 位相安定の原理
まずは進行方向の，時間的な同期に関する収束作用を扱う．線形加速器の drift tube linac での話で，加速を連続的に行うには，加速電磁場の進行波の位相速度が粒子の速度と合致していて、常に加速する位相にいなければならなった．
他の直線加速器や，円形加速器での交流電場は

図５：粒子が加速部を通過するときの加速位相

必ずしも進行波ではなく，かつ軌道に沿ってのと，エネルギー増加量の関係を示す．前もって定め

一部でのみ加速が行われる．

られている必要加速量が得られる位相が２カ所あっ

そこで実際には加速は軌道の一部分である
が，交流電場を軌道に沿っての多数の進行波のて，どちらが安定であるかは，加速部から次の加速部までの軌道の性質に依存する．

重ね合わせ，Fourier 級数として構成することが可能である．進行波はさまざまな位相速度を持ここで注意することは，平衡粒子の時間的なっていて，なかには粒子の進行方向と逆行する

位置は２カ所あって，加速器の種類，運転条件ものもある．想像できることであるが，この中に依存するが一方が安定な平衡点で他方が不安で位相速度が粒子の速度と一致した進行波のみ定な平衡点となることがわかる．どちらになるが加速に寄与する．他は一時的には加速に寄与

かは平衡粒子よりエネルギーが高い粒子が，直するかもしれないが，長時間平均では加速に寄

線加速器おいては平衡粒子より速度が速くなる

与しない．加速を、粒子がこのように進行波に（自明である）か，円形加速器おいては回転が速常に乗って加速されるように見なすことにすくなるか，によっている．

る．

理解しやすい場合として超相対論的でない，

進行波に粒子が乗っているとして，単位時間

すなわち粒子速度が光速とは見なせないようなに粒子が得るエネルギーは図５のように進行波

直線加速器の場合を考えてみる．図５で横軸はを表す三角関数で表される．一方で 加速器の設

位相（時間）を表し，正の方向は時間の遅れを計において単位時間の加速量は前もって決まっ表す．ここで２つの平衡点のうち，加速量が時ていて，この加速量に応じて速度が増加し，こ間的に増加している方の周りを考える．平衡粒

れに同期して加速周波数が決まっている．

子より早く波に乗っている粒子は，必要な加速

この条件を満たすような仮想粒子を平衡粒子量を得られないため速度の増加が平衡粒子と比と呼ばれる．平衡粒子の時間位置が原点に対応

べて少なくなり，時間的に徐々に遅れることになり，平衡点に近づく．逆に平衡粒子より遅れ

て波に乗っている粒子は，必要以上の加速量をれが増大することはなく，収束作用がなくても獲得し，平衡粒子よりも速度が速くなりやはり加速が可能である．

平衡粒子に近づく．この観察から，こちらが安定平衡点となる．他方の平衡点の周りでは，平衡点からはなれている粒子は平衡点からはなれる方にずれることがわかる．よって，こちらは不安定平衡点となる．
次に相対論的な円形加速の場合を考える．以前にサイクロトロンにおける最大エネルギーの制限について考察したが，相対論的なエネルギ
ー領域ではエネルギーが上がると回転周波数が下がり，回転時間が長くなってしまう．この場
合には，２つの平衡点のうち加速量が時間的に減少している方が安定になりそうであると予想される．平衡粒子より早く波に乗っている粒子
は必要以上の加速量を獲得するが，回転時間が

図６：平衡粒子よりエネルギーのずれた粒子につ平衡粒子よりも長くなり，確かに平衡粒子へ近いて，加速部間でかかる時間を，平衡粒子のそれとづくことになる．平衡粒子より遅れて波に乗っの差，として表したもの．例えば，非相対論的で線ている粒子も確かに平衡粒子へ近づく．

形の場合には，エネルギーが高いと速度が速くな以上をまとめると，時間的な同期の観点で，り，加速部間を通過する時間は短くなる．

一般的には安定と不安定の２つの平衡点があって，平衡粒子よりもエネルギーが高い粒子が平2.2.2. 横方向の弱収束

衡粒子よりも時間的に早くなるか遅くなるか

次に中心軌道からずれた粒子の振る舞いについで，安定，不安定の平衡点が入れ替わる．平衡て考える．ここでは，粒子のエネルギーはすべ粒子と比べて，時間のずれとエネルギーのずれて同じであるとし，また考えている時間の間でとの関係を図６で示してみる．時間のずれが小はエネルギーの変化がわずかで無視できるもの

さい場合には線形の関係とみなせて，傾きの正とする．

負によって安定点が入れ替わる．実際の加速器

簡単な例としてサイクロトロンのような一様では安定平衡点の周りの収束作用が必要であ

磁場中で中心軌道が円となる場合を考える．軌る．このことから，安定点近くで加速量が時間

道が水平面にあるとして，この水平面内で中心的に変化していなければならず，効率が良さそ

軌道からずれた粒子の軌道はどうなるか．ずれ

うではあるが最大加速の位相では収束作用が期た粒子も同じ半径の円軌道を描くはずで，この待できないことがわかる．

円軌道は中心軌道と２カ所で交差する．すなわ

加速器によっては図６で，傾きがない場合が

ち中心軌道をずれた粒子は中心軌道の回りに振あり，当然のことながら収束作用が期待できな

動し，一周するとちょうど１回振動する．このい．一つの例はサイクロトロンで，まさに回転ことから水平方向にずれた粒子に関しては収束

周波数が運動量に依存しなかった．もう一つの作用があることがわかる．一方垂直方向にずれ

例は，高エネルギーの電子線形加速器で，速度た粒子はどうなるか．上向きに傾いた軌道の粒がほとんど光速になっていて運動量がかわって子は，上向きの速度を持っていてこの方向の速も速度の変わりようがない．これらの例では，度が変わらないため，コイルスプリング状の軌

時間差がないため進行方向に平衡粒子からのず道を描き等速度で中心軌道からはなれる．このことから垂直方向には収束作用が全くないことがわかる．

が得られ．一方、軌道半径が一定であるという条件は、 p˙ = qρB˙ρ と書ける．ここで、軌道上の磁場 Bρ = B( ρ,t)

ベータトロン
ここで寄り道をして，後で出てくる用語の都とした．これらから磁場の変化量の条件、
˙ = 2 πρ 2 B˙ = 2S B˙
€Φ
ρ
ρ ρ

合上，誘導電場による円形加速器，ベータトロ € が求まる．ここで、 Sρ は円軌道内の面積である．
ンについて図７，８で説明する．ベータトロン

積分すると，最終的に円軌道上の磁場と円軌

では中心軌道は常に一定の円で，加速とともに€運動量に比例した偏向磁場を持っている．面白

道内の磁束の関係が，ベータトロン条件、
Φ(t) − Φ(0) = 2Sρ (Bρ (t) − B(0)))

いことにこの加速器には電場を発生させる加速として求められる．

装置がなく，加速は偏向磁場の変化によって軌道上に発生する誘導電場によってなされる．

€€

この結果で大事なことは，軌道上の磁場は軌
道の円内の平均磁場の約半分になっていることである．現実のベータトロンは中心付近の磁場が強く，半径が大きくなると磁場が弱くなっている．このような磁場の分布の場合では、粒子軌道はどのようになるであろう．

図７：ベータトロンのモデルとして，平面図を示している．粒子は一定の円軌道を描く．垂直磁場の強度は，半径に依存するが軸対称で，時間的に変動する．図で，グレイの円は軌道内の磁束を示しているが，軌道の外にも連続して磁場があることはいうまでもない．

r
r∂B
さて誘導電場は， ∇ × E = −で与えられる．
∂t
軌道半径 ρ の円で面積分すると、d˙ (t)2 πρEϕ (t) = − ∫ B(r,t)dS = −Φ€ dt ρ
のように円周方向の電場が軌道半径 ρ の円内の磁€束変化として表わされる．ここでは磁場は円周€方向で一様であるが，半径方向には半径に依存
して変わることを想定している．
€
これから運動量の時間変化、˙Φp˙ = qEϕ (t) = −q
2 πρ

€

€

図８：ベータトロンのモデルの断面図を示す．軌
道付近での磁場は，外側で強度が下がるように設計されている．

円軌道を含む水平面内での垂直方向の磁場を、

Bz (r,z) =Bρ( r / ρ)nとする．ここで実数 n（整数を表すわけではない）が正ならば外側で磁場が下がり，負では外側があがる．実数 n は歴史的に n 値と呼ばれてきた．

Maxwellrの 式 、 ∇×B =0 の ϕ 成 分 、∂Br ∂Bz−=0∂z∂rから、水平面に近いところで上€下に z ずれたところでの径方向の磁場は，€nBρ
Br (r,z) ≈ −zn +1( r / ρ)€で与えられる．ここで Δθ を微少量とすると，連€となる．軌道から水平方向に x ずれた位置での€垂直磁場は，近似的に，BρnBz ( ρ + x,z) =≈ Bρ (1− x)nρ((r + x) / ρ)となる．

x(θ + Δθ ) = x(θ ) + x ′(θ ) ρΔθ ,xx ′(θ + Δθ ) = x ′(θ ) − (1− n ) Δθρ
立微分方程式、dx= x ′ρ,dθ€dx ′x= −(1− n)dθρが得られる．傾きの変数を消去すると，２階の€€微分方程式、
d2x+ (1− n)x = 0dθ 2が得られ，(1-n)が正の場合は振動解で，中心軌
道からのずれに対して安定である．前に考察し€た一様磁場(n=0)の場合には、確かに１周すると軌道のずれが１回振動することがわかる．
同様に垂直方向のずれに対して，z(θ + Δθ ) = z(θ ) + z ′(θ ) ρΔθ ,z ′(θ + Δθ ) = z ′(θ ) − n€
図９：水平偏向磁石内の水平面内の軌道を示す．
水平方向の座標軸は，中心軌道に沿って常に垂直の€関係にある．

zΔθρが得られ，２階の微分方程式，d 2z+ nz = 0dθ 2が導出される．垂直方向では n が正であれば，ずれに対して安定である．すなわち外側で磁場が低下すると，垂直方向に収束作用がある．
磁場の傾き n をさらに大きくすると，垂直方向の収束は強くなるが，ついには水平方向で(1-n)

まず水平方向の運動について，図９で示すよが負になってしまい，軌道のずれが発散するこ

うに軌道を含む水平面内で考える．軌道に沿っとになる．このことから、水平垂直の両方ともての角度を独立変数にとり，中心軌道からずれ収束させるには磁場の傾き n は 0 と 1 の間に選た軌道を、 (x(θ ), x ′(θ ))ばなければならない．

と表す．ただし微分は軌道長によるものである．角度が Δθ 増加する時のn
軌道長は、 (ρ + x)Δθ で，磁場は Bρ (1− x) になっρ€ている．このためこの間での偏向角は，
€
ρ+x
nx
x
−€
(1− )Δθ ~ −(1+ (1− n) )Δθ€ρρρとなる．座標軸が Δθ 回転することを考慮する€と ， 微 小 角 度 進 ん だ と こ ろ で の 軌 道( x(θ + Δθ ), x′(θ + Δθ )) は、€€

図 10：左の図で，一様な垂直磁場では軌道がずここで収束作用を再考してみる．収束作用とれても円軌道であり，１周すると必ず戻る．ただし，いうことであれば光学におけるレンズがある．

垂直方向の収束はない．右の図で，ベータトロンの光学レンズの場合には水平垂直の両方で収束すように軌道の外側で磁場強度が下がると垂直磁場がることが可能である．レンズの場合には光線の発生し，これによって垂直方向の収束が期待でき方向に対し軸対称であり水平垂直の区別はな

る．円軌道の中心は，図の左側にあることに注意．

い．中心からのずれに比例してレンズによって偏向される．荷電粒子にとって光学レンズのよ

図 10 の右図で示す磁場配置による収束の方法
は弱収束と呼ばれる．中心軌道からのずれた粒

うに水平垂直の両方に収束するものがあるであろうか．

子は中心軌道の周りで水平と垂直方向では別の先ほどのベータトロンの弱収束の例におい振動数で振動する．このような振動をベータトて，磁場の傾き n が大きい正では垂直方向収束

ロン振動と呼ぶ．ベータトロンの場合は弱収束

で水平方向は発散となり，逆に n が大きい負でで，１周あたりの振動数は水平垂直とも 1 以下

は水平方向が収束で垂直方向が発散となる．こである．弱収束の名称から予想されるように，のような磁場の傾きを使った収束では，水平垂強収束もあって実はほとんどの加速器はこちら

直の２方向で同時に収束することは不可能であの収束方法を採用している．しかしながら円形ることがわかる．

加速器で周方向に一様な磁場である方が理解しやすいのでまずは弱収束の説明を加えた．

実は軸対称な磁場により光学レンズのように
水平垂直の２方向で同時に収束させることが可

サイクロトロンのエネルギー限界を超えた，能であるのであるが，収束力が小さいので，特一定磁場で一定周波数の「円形」加速器、AVF

殊な場合以外は採用されない．このことは，後サイクロトロン、リングサイクロトロンの話をで触れることになるであろう．

した．サイクロトロンでエネルギーがあがるとで，磁場の傾きによる収束をもう少し追求し同期がずれる原因は，相対論の効果で速度の上てみる．光学レンズの例に戻ってみると，収束昇が少なくなることにあった．この種の加速器

作用の凸レンズと発散作用の凹レンズを適当なでは，このため半径の大きいところで軌道長を距離を離しておくと，組としての作用は収束と短くするために磁場を上げる必要がある．しかなることが知られている．

し，弱収束での話によると，半径方向で磁場をこの事実を確かめてみるが，まずはレンズ系

強くすると垂直方向で発散になってしまうことの働きを復習してみる．後で扱う粒子軌道の行がわかる．これを避けるために，磁場を周方向

列表現の予習にもなっている．中心軌道を基準に一様とせず変化させ，平均的には外側で磁場線とし、中心軌道からずれた光線の軌道をが強くなるようになっている．周方向の磁場分(x, x ′) と表すことにする．最初の簡単な例とし布は単純ではなく，この後の強収束を考慮したて，何もない空間を光線が通過する場合を考える．長さが L の空間で，入り口での軌道 (x i , x i′)と出口での軌道 (x f , x ′f ) の間には，設計になっている．
この講義において、ここで初めて周方向に磁€場の変化がある円形加速器の話が出てきた．こx f = xi + L ⋅ xi′,

こまでは，理解しやすいように円形加速器におx ′f = xi′

いては、シンクロトロンについても、周方向に一様なモデルに制限してきた．

と呼ばれる厚さのないモデルレンズを考える．

€
2.2.3. 強収束の原理
光学レンズからの示唆€の関係がある．次にレンズの場合で薄肉レンズ€
さらにレンズを通過するときの光線の偏光角は中心からのずれ x に完全に比例するものとする．

このような理想レンズの入り口と出口の軌道の間には、比例係数を仮に k として、
x f = xi ,用の凹レンズでは焦点距離が負となるようにすの関係がある．

€
理想レンズで構成した光学系は，これらの関係のみで扱うことができる．
これらの入り口と出口の軌道の関係をよく見ると，実は数学で言う線形変換であり，行列で表される．空間 L の場合は，
 x f  1 L   x i 
 =
⋅ 
 x ′f  0 1   xi′ €にできることを意味する．系は３つの要素に対かの光学要素で構成された光学系は，各要素にレンズの強さを表す k の物理的な意味を知るために，レンズ k と次に空間 L がある系を考え€る．このとき２つの要素全体に対応する行列は，

L

1

となる．
収束作用がある凸レンズでは，中心軸に平行に入る全ての光線は焦点で中心軸を通ることが€知られている．ずれが h である平行な光線軌道
は (h, 0) であるが，レンズ通過後焦点距離 f の空間の後で，軌道中心を通過する．この関係をL = f として表すと、€
1+ k ⋅ f f  h  0 ⋅  =  
1  0  ∗  k€となり，すなわち， 1+ k ⋅ L = 0 であり、このことからレンズの強さとして仮においた k は焦点€

もう少し寄り道をして，空間 a、収束レンズ、

ある光源の像がレンズの後の b の距離のところことで得られることにある．

€

であれば発散であることがわかる．

場合を想定する．これはレンズの前 a の距離に対応する行列を光学系の順に左からかけていく€の符号によって，すなわち負であれば収束，正る全ての光線が，空間 b の出口で中心軸を通る行列を用いて線形変換で扱う利点は，いくつ€できる．またこの行列の(2, 1)成分に着目し，その入り口でいろいろな傾きを持って中心軸を通でありレンズ k の場合には、
 x f   1 0  x i 
 =
⋅ 
 x ′f   k 1  xi′ 行列の積で表され，
1 L  1 0 1+ k ⋅ L

 ⋅
=
0 1  k 1  k

ると，この行列表現はどちらのレンズにも拡張

空間 b の順にならんだ系を考える．そして空間 aであることがわかる．

€

0

1


となる．凸レンズでは焦点距離が正で，発散作

x ′f = xi′ + k ⋅ xi

€

 1
 1
− f


距離の逆数の符号を変えたものという物理的な意味があることがわかった．すなわちモデルレ€ンズに対応する行列は，€応する行列の積で表され，
 b1−
1 b  1 0 1 a  f


1

⋅
⋅
=




0 1 − f 1 0 1  − 1
 f

a ⋅b
f 

a 
1−

f

a+b−

となる．
空間 a の入り口での光源は， (0, θ ) と表される．空間 b での出口では，系の行列を用いて，
 b
a ⋅b
1− f a + b − f  0  0 ⋅ € =a  θ  ∗ 
−1
1−
f
 f

でなければならないことから，系の行列の(1, 2)
要素が０でなければならない．すなわち，
a⋅b
a+b=
f
で書き換えると，
1 1 1
+ =
a b f
となり，レンズについてよく知られた関係式に到達する．
さらに蛇足ながら，関係式を，
1 1 1
= −
b f a
と書き直してみると，レンズが発散レンズ（f が負），または a が収束レンズの焦点距離よりも小さい場合には，b が負になってしまう．この場合には虚像がレンズの前にできるのであるが，空間 b の行列で b を負として光線が逆行するよう着目していたが，実は必ずしも正しくないことに扱うことで，距離が負となる空間に拡張するがわかる．レンズ間の距離が離れて発散になっことが可能となる．

た場合には，(1,1)成分が負になってしまっていた．このような場合には(2,1)成分が正になるとここまで準備して，やっと組み合わせレンズ収束になる．よって行列を見て収束発散を判断の作用を扱えることになった．はじめの場合とするには，(1,1)と(2,1)成分の符号が逆であるかして，収束レンズ、空間 L、発散レンズの順の系

どうかによるべきであろう．系の長さが長い場をとりあげる．この系は３個の行列の積で表さ合は特に注意が必要である．

れ，(2, 1)成分に着目すると，
L
 1
0 1 L   1
0  1−f 1
 ⋅ ⋅ − 1 1 =  (L − f −F f )−1
 f
 0 1   f
 
D
F
 D

 F


fD ⋅ f F

２つのレンズの系に戻って，逆に置いた場合


*

*


となる．発散レンズの焦点距離は負であり，例
えば二つのレンズの作用の強さを同じとすると、 f D = − f F の場合では確かに，(2, 1)成分は
L − fD − f FL=− 2
fD ⋅ f F
fF

€

€
€

は常に後の凸レンズによる内側への偏向角が凹レンズの外向き偏向角よりも大きく，常に収束作用を持つことがわかる．
最後に， f D = − f F の場合での(2, 1)成分を書き換えて，
L
1− 2 =−
f f F  ⋅ fF
€ F
Lとしてやると，レンズ間の距離 L を焦点距離のとなって負になり，３変数に対して連続関数で程度（越えてはいけない）にしておいてレンズあるから二つのレンズの強さと距離をある範囲€で選ぶと全体として収束作用をもつことが確かを強くする（焦点距離を小さくする）ことによめられる．二つのレンズを置く順序を変えても，こともわかる．

(2, 1)成分に着目すると変わらないことから収束
作用は変わらないことがわかる．

って，全体の収束作用をいくらでも強くできる
弱収束の場合では、ベータトロン振動の波長はせいぜい円軌道の周長程度であることから，定性的に考えてみる．理想レンズでは，中心焦点距離は周長の 1/4 程度で、円軌道が大きくな

からのずれに比例した偏向角を生ずるが，このると焦点距離がさらにのびて収束作用が弱くな

比例係数がレンズの強さである．収束発散ではってしまうことが予想される．このことから円偏向角の正負のみが異なる．同じ強さの凸と凹形加速器が小型である範囲では、ベータトロンの２枚の理想レンズを，凸レンズが前になるよのように弱収束でも対応可能であるが，大型化うに置いて、平行な光線を通す．光線は凸レン

につれて収束が不十分になってきた．強収束のズを通過時に中心軸の方に偏向され，次の凹レ

場合にはレンズの焦点距離、間隔を適切に選ぶンズに達しそこで中心軸の反対方向に偏向されことにより，加速器の大きさに関わらず短い焦る．このとき，光線が通過するずれの位置が二点距離を達成できる．強収束の原理の発見は，つのレンズで異なり、レンズ間距離が焦点距離

位相安定の原理とともに大型加速器の実現の基よりも近い時は，必ず凹レンズでのずれが小さ礎となっている．

くなり，外向きの偏向角が凹レンズの内向きの偏向角よりも小さく，結果として収束作用を持

3．輸送路に理解に必要な加速器の話

つ．

3.1.

もしレンズ間距離が焦点距離よりも離れる

ベータトロン振動の解析

3.1.1 運動方程式と，凹レンズでの光線ずれが逆転しそこではさ強収束を導入するまでは，この講義で扱ってきらに外向きに偏向するため，発散になってしま

た円形加速器は、半径方向には傾きがある場合

う．行列による計算で，(2,1)成分の正負のみにがあったが，全て円周にそって軸対称な磁場であった．軸対称な加速器に固執したのは，理解しやすいであろうとの判断であった．強収束の導入によって，もはや軌道に沿って一様な磁場ではないような加速器を扱わなくてはならなくなった．強収束は磁場の勾配によって行うわけであるが，線形の勾配をもった磁場は４極磁場で与えられ、垂直磁場強度は水平方向の変位に∂B ∂By=0 か対し線形である．Maxwell の式、 x −∂y∂x
ら、水平成分も線形であり，Bx = g ⋅ y€となる．磁場の中心では磁場が０なので，中心と呼ばれる．一様な偏向磁場は２極磁場と呼ば€れる．これらの磁場による粒子の運動は線形方

軌道が曲がらず扱いは容易である．

程式で扱うことができる．加速器には非線形運からずれた粒子の軌道を扱う．独立変数として軌道の長さ s をとり，軌道を ( x(s), x ′(s)) と表す．
rr rdp
磁場 中の 運動 方程 式、= q( v × B ) に まで 戻っ
dtて、水平方向の成分の変化は，€
dpx= −qvBydt€となるが，独立変数を軌道長 s に換えると，
dpx dt dpx 1= ⋅= ⋅ −qvBy = −qByds ds dtvが得られる．ここで軌道の傾き x ′ は、vpx′ = x = xv
p

動を起こすような６極以上磁石も使われるが，加速器の入門ということで図 11 で示す断面形状の２極４極磁場のみ扱うことにする．
強調しておきたいことは，横方向の収束は低エネルギー領域を除き，ほとんどビームの収束に強収束方式が採用されている．円形加速器でも，直線加速器でも，さらに今回のビーム輸送€路においても採用されている．この部分のほとんどは，輸送路にも当てはまるはずである．ベータトロン振動の語源であるベータトロンは弱€収束であったが，弱収束も横方向収束の一部であり全てここでの話に含まれる．

€

まず中心軌道を含む水平面内での，中心軌道()

であるから、結局€
dx ′ 1 dpxq= ⋅= − ⋅ By
ds p dspとなる．
４極磁場の場合では，
dx ′q= − ⋅ g ⋅ x = K(s) ⋅ x
ds
p

€

€

図 11：中心軌道に垂直な断面での磁場分布を示す．通常の磁石では，太い実線が磁石の表面に対応
し，+/-は磁極の符号を表している．左では２極磁€場であり，右では４極磁場であり，軌道中心では磁場が０である．さらに多極磁場が，加速器では使われるが，ここでは扱わない．

４極磁場において垂直成分は、
 ∂B 
By =  y  ⋅ x = g ⋅ x
 ∂x 

€と収束力を表す K(s) を用いて書ける．これと，dx
自明な式= x ′ とから、軌道についての２階dsの微分方程式、€
d2x− K(s) ⋅ x = 0€ ds 2が得られる．垂直方向に同様な計算を行うと，
d2y+ K(s) ⋅ y = 0
ds 2が得られる．
収束力を表す K(s) は軌道にそって一様でないことから軌道の長さ s に依存する関数であるが，加速器において K(s) は区分的に一定な関数である場合が一般的である．上のようにK(s) の符号€をとると， K(s) が正の場合は水平方向で発散で，負の場€合 に 収 束 と な る ． 一 方 ， 垂 直 方 向 で は

€
€

€

€

€

K(s) が正の場合に収束となり，水平方向と全く上の式を基本として軌道を扱うのであるが，逆の働きをすることがわかる．自明なことであ

扱い方に２種類あって，場合に応じて使い分け

るが，磁場がないところでは K(s) を０とすればをする．一つには，力が線形であることから、よい．

前に光学レンズで採用した行列を使う方法，も最後に偏向磁石による弱収束を K(s) の中に取う一つは方程式が単振動の式に似ていることかり込んでみる．弱収束で水平方向の軌道の式、€
d2x+ (1− n)x = 0dθ 2€に戻って，独立変数を s(= ρ ⋅ θ ) に変えてみると，

ら，単振動に準じて扱う方法がある．どちらも有用で，場合に応じて使われるので，ここでも両方について説明する．

d2x 1+ (1− n)x = 0
ds 2 ρ 2

3.1.2. 転送行列による扱い
上記の微分方程式は線形２階微分方程式である．よく知られているように，ある場所 s0 でのとなることがわかる．磁場の傾きn を０とし，€強収束の式と比較すると，偏向磁場による収束€€€

力 K(s) は、
1
K(s) = − 2
ρ

軌道 (u(s0 ), u ′(s0 ))所 s での軌道 (u(s), u′(s)) が一意に決まってしまと置けば良いことがわかる．ただし偏向磁場の€€場合には，収束は水平方向のみであり垂直方向の収束発散は全くない．
もう一つ注意することは，ここまで水平偏向
磁石、４極磁石と磁場のない空間を扱ってきた€が，水平方向の運動と垂直方向の運動が分離していることであり、運動を独立に扱うことができるということである．このことは必ずしも実€際の加速器では自明ではないが，話を複雑にするだけであるのでこれ以上言及しない．

€
以上のことから，軌道は水平方向も垂直方向

も同様な形式の２階の微分方程式で独立に決定されることがわかった．そして，収束力 K(s) は磁石や空間の並びの要素に対応した値をもつことになる．そこで両方向で扱えるように，変位 x、y を共通の u とし，共通の微分方程式を，€
d 2u+ K(s) ⋅ u = 0
ds 2
とする．

€

が与えられたら，一般の場€収束の要素としてこれまで偏向磁場、４極磁€場を扱ってきたが，線形の扱いができるものとして，磁石の端面での収束作用があり，重要な寄与をする．ここでは扱わないが，いわば光学で扱った無限小の厚さのレンズに対応していう．
€
特に， 初期条件を (u(s0 ), u ′(s0 )) = (1, 0) と置いた場合のcos 関数に似た解を (C(s,s0 ), C ′(s,s0 )) と€し、 (u(s0 ), u ′(s0 )) = (0, 1) と置いた場合の sin 関数に似た解を€(S(s,s0 ), S ′(s,s0 )) とする．これらの€と，一般の初期軌道特別な解を用いる(u(s0 ), u ′(s0 )) に対し， (u(s), u ′(s)) は、u(s)€= C(s,s0 )u(s0 ) + S(s,s0 ) u ′(s0 ),u ′(s) = C ′(s,s0 )u(s0 ) + S ′(s,s0 ) u ′(s0 )€と書くことができる．線形であることから予期したように，軌道は行列を用いて，
 u(s1)   C(s1 ,s0 ) S(s1,s0 )   u(s0 ) 

=

⋅
u ′(s1)  C ′(s1 ,s0 ) S ′(s1,s0 ) u ′(s0 )
 u(s ) 
= M (s1 ,s0 ) ⋅  0 
 u ′(s0 )
となる．また一般に s2 での軌道は，行列の積によって，
 u(s2 )  u(s0 )  = M (s2 ,s1) ⋅ M (s1 ,s0 ) ⋅ u ′(s2 )  €u ′(s0 )
のように書ける．
簡単な例として収束４極磁石 K(s) = K > 0 を見てみる．軌道の式は，
d 2u+K ⋅u = 0€
ds 2とな り２ つの 独立 な解 cos( K s), sin( K s) を 持
ち，特別な解は、る．そのため，収束力 K(s) をいわゆるデルタ関€数として扱うことになる．

€€

を考察する．この場合においても、 s0 におけるC(s,s0 ) = cos( K (s − s0 )),S(s,s0 ) =軌 道 (u(s0 ), u ′(s0 )) と s1 に お け る 軌 道

1sin( K (s − s0 ))K(u(s1 ), u′(s1 )) は前と同様に，

であることがわかる．よって長さが L の収束４€極磁石の行列は，
cos( K L)
MF =
− K sin( K L)1sin( K L)
K
cos( K L) 

 u(s1)   C(s1 ,s0 ) S(s1,s0 )   u(s0 ) € ⋅ =€ u ′(s1)  C ′(s1 ,s0 ) S ′(s1,s0 ) u ′(s0 )
€ u(s ) 
= M (s1 ,s0 ) ⋅  0 
 u ′(s0 )
となる．ただし、ここでは、 C(s,s0 ), S(s,s0 ) が１€となる．ここで４極磁石の強さを一定にして長1€
さを無限小にする，すなわち KL = const. =とf€

したままで L を０とする極限をとると，
 1 0
M F → − 1 1 €
 f




次微分を含む微分方程式，
C ′′(s,s0 ) + D(s)C ′(s,s0 ) + K(s)C(s,s0 ) = 0,

S ′′(s,s0 ) + D(s)S ′(s,s0€) + K(s)S(s,s0 ) = 0
を満たしているとした．最初の式に S(s,s0 ) をかけ，２番目の式に C(s,s0 ) をかけて差をとると，€(C ⋅ S ′′ − S ⋅ C ′′) + D(s) ⋅(C ⋅ S ′ − S ⋅ C ′) = 0となり，以前の光学レンズの薄肉凸レンズの行€€列になる．また L を一定として K を０とすると，
1 L 
€MF → ML = 0 1 

が， D(s) に依存して，増減することを表してい応している．

る．重要なことは，この量の変化が収束力 K(s)€に依らないことである．よく知られているようcosh( −K s), sinh( −K s) であり，長さが L の場合では，
 €cosh( −K L)
MD = −K sinh( −K L)1sinh( −K L)
−K
cosh( −K L) 
1
<0 ととなる．この場合でも， KL = const. = −f
したままで L を０にする極限をとると，
 1 0
M D →  1 1€
f




€

この 式は 意味 あり げな (C ⋅ S ′ − S ⋅ C ′) と いう 量となり、粒子ビームが磁場のない空間を通過す€る場合に相当し，また光学での自由空間にも対発 散 ４ 極 磁 石 K(s) = K < 0 で は ， 独 立 解 が€となり，書き換えると， €d€( + D(s)) ⋅(C ⋅ S ′ − S ⋅ C ′) = 0dsが得られる．

となり、光学の凹レンズの行列に対応する．

€に１次の微分の係数 D(s) は振動振幅の減衰また€は増大の働きを表しており，ここで扱っている
粒子軌道の場合では幸いにも０となっている．
上の量 (C ⋅ S ′€− S ⋅ C ′) はちょうど転送行列の行列式になっていて、定数であることがわかる．定数であることから例えば s0 で計算すると，１にな€ っている．以上の結論として，転送行列の行列式は常に１であることになる．

€

3.1.3. 位相平面
転送行列の行列式が常に１であることの物理的な意味を考える．これまで軌道を (u(s), u′(s))€

ここまで軌道要素に対応する行列を求めてきとして表してきたが，多くの軌道をまとめて扱たが，これらの行列は物理からの要請があり，う必要上，２次元平面の点として軌道を表すこ

特別な条件を満足していることを示す．
軌道の方程式は２階の線形微分方程式で，１次微分の項がない．一般化するために，１次微分の項を持った，２階の線形微分方程式、
d 2u
du+ D(s)+ K(s)u = 0
2
ds
ds

€

ととする．この平面は位相平面€ （空間）phase spaceと呼んでいるが，数学でいう位相空間には含まれるが異なるものである．軌道に沿って s が変化
するが，各々の s に別の位相平面があると見なす．そして一つの粒子軌道は，異なる s の多数（実際には非加算個）の位相平面を貫く１本の曲線

この方面への更なる発展のためにもう少し道で表される．
まず s0 の位相平面で２つの微小ベクトルを考
r r
える．始点が原点の２つの微小ベクトル du1 , du 2rrを， du1 = (du1, du1′), du 2 = (du 2 ,du 2′ ) ととる．この草をしてみる．２次元の行列式は行列の積とし€ ようにとると，２つの微小ベクトルの終点は s のと書くことができる．ここで T は転置を意味す

€

€
€
€

€
位置では，転送行列によって変換され２つの微€小ベクトルの終点へ移る．これらの２つのベクrr
トル dU1, dU 2 は、€
rr
dU1 = M (s,s0 ) ⋅ du1 ,rr
dU 2 = M (s,s0 ) ⋅ du 2となるが，並べて行列として書き直して、
rrrr
dU1 dU 2 = M (s,s0 ) ⋅ [ du1 du 2 ]rrが得られる．ただし du , dU は縦ベクトルとして€扱う．さらに行列表示の式で両辺の行列式をと

[

]

[

]

軌道に沿って一定である．
行列式は一般に行列を構成するベクトルが張る斜面体の体積に対応している．平面の場合には２つのベクトルで張られる平行四辺形の面積€になっている．３次元では，３つのベクトルが作る平行６面体の体積になる．さらに高次元でも事情は同じである．
行列式が１となる行列による線形変換である
r rことから， s0 における位相平面で du1 , du 2 によって張られる微小平行四辺形内に点を分布させて€みると各点は， s の位置の位相平面においてrr€
dU , dU によって張られる平行四辺形内に１対

€1

€

r
r  0 1 r T rr
du 2 ]=T (du1) ⋅  ⋅ du 2 = (du1) ⋅ J 2 ⋅ du 2
−1 0

る．これを使うと，rrr
det dU1 dU 2 = det M ⋅ du1

[

]

[

r
M ⋅ du 2]rr=T (M ⋅ du1 ) ⋅ J 2 ⋅(M ⋅ du 2 )r Tr=T (du1 ) ⋅( M ⋅ J 2 ⋅ M ) ⋅ du 2rrrr
= det[ du1 du 2 ]=T (du1) ⋅ J 2 ⋅ du 2となる．最初にとった２つの微小ベクトルは任意であったので，転送行列は，
T

M ⋅ J2 ⋅ M = J2

ここまでの２次元（１自由度）転送行列への€となり、微小ベクトルで構成された行列式は，€

rdet[ du1

を満足させる必要がある．

ると，

r
r
r
r
det dU1 €dU 2 = det M (s,s0 ) ⋅ det [ du1 du 2 ]rr= det[ du1 du 2 ]て，

2１で移る．このとき平行四辺形の面積は変わら€ない．このことから分布した点の密度が不変で€物理からの要請は，行列式が１ということで十分である．自由度が２になると，例えば水平垂直 を 同 時 に 扱 う と 軌 道 を 表 す に は(x, x ′, y, y ′) の４変数が必要で，転送行列は４次元となる．自由度が２以上になると転送行列への物理からの要請は行列式が１という条件だ
けでは不十分で，上で導いた条件を拡張したものとなる．すなわち４次元（２自由度）の転送
行列でも表示の上では，
T

M ⋅J ⋅M = Jとなるのであるが、ここでは
J0
J = 2 0 J 2 となる．さらに多自由でも転送行列に対する条
件の表示は同じであるが，行列 J は自由度の数だ
け対角の位置に J 2 を並べたものになっている．

大きさの平面領域についても同様に成り立つは

ただし，軌道を表す変数のならびに依存するの€で注意を要する．ここでの拡張に興味を持たれ€たならば，ぜひ力学の教科書で勉強してくださずである．実は，位相平面での面積が不変であい．

あることがわかる．微小な平行四辺形について考えてきたが，線形変換であることから有限のることは，Liouville の定理として知られている．

ここまでは粒子が進行するにつれてどのよう要するに物理からの要請で，行列式が１となるに軌道が変化するかを転送行列を用いて表す方べきものであった．

法を解説してきた．多数の粒子軌道があっても，これらは各位置での位相平面上の点として扱う

ことができ，これら点の分布がどのように移動するかを扱うこともできた．
注意深い方はすでに気がついたかもしれないrが，解析力学での運動量 pcanonical は正準運動量で€あって、ここで扱っている力学的運動量rpmechanical ではない．２種の運動量の間には電磁r
A
場のベクトルポテンシャルに対応した差があ
€
€

€

って，
r
r
r
pcanonical = pmechanical + q ⋅ A€の関 係があ る． 知ら

d 2u+ K(s) ⋅ u = 0
ds 2であった．収束力が一定の単振動の場合の解は、
u(s) = A ⋅ cos( K (s − s0 ) + φ 0 ),u ′(s) = − A ⋅ K ⋅ sin( K (s − s0 ) + φ 0 )のように振幅と初期位相で書ける．
そこでこれに倣って収束力が一定でない場合に，u(s) = A β (s) ⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 )れているようにベクトルポテンシャルが物理量€という形の解を探してみる．ただし常に β (s) > 0

ではないので，力学的運動量は物理量ではある€が，解析力学の運動量は物理量ではない．解析とする．

力学の Liouville の定理は、力学的運動量につい１階微分は，u ′(s) = A( β (s) )′ ⋅ cos(ψ (s,s0 ) + φ 0€)て論じているわけではない．しかし，電磁場がないところではベクトルポテンシャルを 0 とおけるので，結果的には解析力学を援用できてい€る．では電磁場中では，保存則はどうなっていとなり，さらに２階微分は、
u ′′(s) = A( β )′′ cos(ψ + φ 0 ) − 2 A( β )′ψ ′ ⋅ sin(ψ + φ 0 )− A βψ ′′ ⋅ sin(ψ + φ 0 ) − A β (ψ ′) 2 cos(ψ + φ 0 )るのか．偏向磁石や４極磁石の中でも，ベータとなるのでこれらを，微分方程式に代入すると，トロン振動の解の振る舞いから判断すると，保２つの関係式，( β )′′ − β (ψ ′) 2 + K β = 0,

存しているようだ．これらの磁石の磁場は，実€はベクトルポテンシャルの Az 成分だけで導出できて、 Ax = Ay = 0 とすることができることから，
自明かもしれない．他の磁石や，加速電場ではどうだろう．さらには，ベクトルポテンシャル€€€ はゲージ変換が可能であって，磁場中でどんなゲージをとっても成り立っているのか興味がある．

€

2( β )′ψ ′ + βψ ′′ = 0が得られる．２番目の式は，( β )′ ψ ′′
2
+
=0
ψ′
β
へと変形でき，さらに積分すると積分定数 C をC使って， ψ ′ =となる．ここで単振動の場合にβ
戻 る と ， ψ (s) = K (s − s0 ) で あ っ た こ と か ら 、

3.1.4. Twiss parameter による扱い
次に、軌道を表す方程式が単振動の式に似ていることに着目して，軌道を表示することを考えてみる．単振動と見なすと，運動は振幅と振€動位相によって表すことができる．軌道のずれ€
はベータトロン振動をするのであるが，同様に振動振幅の大きさと位相とに対応する量によっ€て表すことを試みる．単振動の場合には収束力

K(s) が 一 定 であ る こ と か ら 扱 い は容 易 で あ るが，加速器の場合は一定ではないので扱いは面
倒である．

€

− A β (s)ψ ′(s,s0 ) ⋅ sin(ψ (s,s0 ) + φ 0 )€前出の、粒子のベータトロン振動の方程式を再度引き出すと，

ψ ′ = K と確定している．すなわち積分定数は，€
β (s) のスケールを決める意味を持っていることがわ€か る ． 確 か に 探 し て い る 解 の 形 で 振 幅 は ，A β (s) であり、 β (s) のスケールを変えることは，
A のスケールをかえることになる．
積分定数の選択は任意であるので，簡単のた€めに１ととると，

ψ ′(s) =1β (s)という重要な関係が得られる．この関係式を２組の式の最初に代入すると， β (s) を決定する
微分方程式、( β )′′ − ( β )−3 + K(s) β = 0€€が得られる．これは２階の非線形微分方程式であり，解を決定するにはあくまで２つの初期条件が必要であることを強調しておく．

u(s) = A β (s) ⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 ),u ′(s) = −関数 β (s) が求められたので，収束力 K(s) における解は確かに、
u(s) = A β (s) ⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 )€ となることが確かめられた． €− A β (s)ψ ′(s, s0 ) ⋅ sin(ψ (s, s0 ) + φ 0 )= −A

なる関連する２つの関数 α (s), γ (s) を以下のように導入する．
1€
α (s) = − β ′(s),2€21+ (α (s))γ (s) =
β (s)

€

α (s)
⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 )β (s)1⋅ sin(ψ (s, s0 ) + φ 0 )
β (s)

−A

ここで β (s) はベータ関数と呼ばれ，後で必要と€A β ′(s)⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 )2 β (s)となり、この２式から，u(s)A cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 ) =β (s)A sin(ψ (s, s0 ) + φ 0 )= − β (s)(A

これらの３つの関数は Twiss parameter と呼ばれ前に導入した転送行列と同様に加速器におい€が導かれ，単振動の場合と同様に三角関数を消互いに独立なのは２つで， β (s) を決める初期条件

去すると、(u(s)) 2α (s)A2 =+ β (s) ⋅(u(s) + u ′(s)) 2
β (s)
β (s)

3.1.5. 保存量

€

€

2

= γ (s) ⋅(u(s)) + 2α (s) ⋅ u(s) u ′(s) + β (s) ⋅(u ′(s))

単振動の場合には振幅が一定で，あるいはエネルギーが一定で保存量であった．ベータトロン振動の場合にそれに相当するものを導いてみ€る．
単振動の場合は、
u(s) = A ⋅ cos( K (s − s0 ) + φ 0 ),€であったが、三角関数を消去すると，
1(u(s)) 2 + ( u ′(s)) 2 = A 2
Kとなり、振幅が一定であることがわかり，さらに振幅の２乗は単振動の運動方程式
d 2u€+ K ⋅ u = 0 のエネルギー積分に対応していds 2
ることがわかる．
同 様 な こ と を ベ ー タ ト ロ ン 振 動 で 行 っ て€
み

€

と
2

なり，振幅の２乗に対応する保存量が得られた．
すなわち一つの粒子軌道に沿って
γ (s) ⋅(u(s)) 2 + 2α (s) ⋅ u(s) u ′(s) + β (s) ⋅(u ′(s)) 2という量を求めると位置 s によらず一定である．
単振動の場合には，Twiss parameter は一定で、

u ′(s) = − A ⋅ K ⋅ sin( K (s − s0 ) + φ 0 )

€

α (s)
u(s) + u ′(s))β (s)て重要な働きをする．ただし３つの関数のうちの数の２つに対応している．

€= − β (s)(α (s)⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 ) − u ′(s))β (s)る．導入した Twiss parameter を使うと振動は、求めてみると，
1
1
β= =
,
ψ′
K

α = 0,
γ= Kとなるから，単振動の保存量としては、
1
K ⋅(u(s)) 2 +( u ′(s)) 2 = K ⋅A 2
Kとした方が良いように見える．
単 振 動 の 場 合 は ， あ る 場 所 s0 で

(u(s0 ), u ′(s0 )) が決まったら，保存量が決まる．
しかしベータトロン振動の場合には，ある場所
s0 で (u(s0 ), u ′(s0 )) を決めても，図€ 12 が示すよう€にそこでの Twiss parameter を決めてやらなけ
れば保存量の値は決まらない．Twiss parameter€€

には２つの自由度があって一意には決まらないのであるが，する動機の一つに，ベータトロン振動の軌道の22γ (s) ⋅(u(s)) + 2α (s) ⋅ u(s) u ′(s) + β (s) ⋅(u ′(s))という量が保存量であることには変わらない．
この保存量は場合に応じて，通常 2J, ε と書かれ€

さて Twiss parameter を導入して軌道を記述

る．
γ (s) ⋅(u(s)) 2 + 2α (s) ⋅ u(s) u ′(s) + β (s) ⋅(u ′(s)) 2 = 2J,€=ε振幅を求めることにあった．そこで，振幅に関係する保存量が一定の軌道類はどのようなものであるか．振動の式，
u(s) = 2Jβ (s) ⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 ),u ′(s) = −2J(α (s) ⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 )β (s)+ sin(ψ (s, s0 ) + φ 0 ))において、 s = s0 の位置で 2J を一定とし， φ 0 を€パラメーターとする軌道類を調べてみる． s = s0€での位相平面で，これらの軌道類はそれぞれ点で表されるが，これらの点はどのように分布す€€るか．上の２式で， s = s0 とおいて、€ φ 0 を消去す
ると，
γ (s0 ) ⋅(u(s0 )) 2 + 2α (s0 ) ⋅ u(s0 ) u ′(s0 )2€ + β (s0 ) ⋅( u ′(s0 ))€ = 2Jとなり、位相平面で楕円となる．すなわち保存€量が一定の軌道に相当する点は，楕円上に乗っていて、 φ 0 が０から 2 π 間で変化すると楕円をち図 12：軌道が決まっていても，その点を通る楕

ょうど一周する．また、保存量 2J は位相平面で円は決定されず，対応する保存量（楕円の面積に比てベータトロン振動をするが，Twiss parameter をの楕円の面積を π で割ったものになっていること€€が確かめられる．
さて s = s0 の位相平面で，楕円を構成している

どのようにとろうとも，同じ軌道を表現できる．

各点は，粒子の進行方向の下流のs の位置の位相€例）も決まらない．軌道はこの後，転送行列に従っ

平面内へ転送される．このとき，保存量を示す
保 存 量 を 用 い る と ， ベ ー タ ト ロ ン 振 動 は 、 € 式，
u(s) = 2Jβ (s) ⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 ),γ (s) ⋅(u(s)) 2 + 2α (s) ⋅ u(s) u ′(s)u ′(s) = −+ β (s) ⋅(u ′(s)) 2 = 2J2J
(α (s) ⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 )β (s)が教えるように，また楕円を構成することがわ
かる．ただし、 s0 と、 s0 と別な s の位置とでは一+ sin(ψ (s, s0 ) + φ 0 ))と，最終的に書くことができる．

€

は異なる．この間に存在する位相平面に描かれ（保存量）へ変換されたことになっている．ベータトロン振動の位相 ψ (s, s0 ) は，前に求めた関係
1€
式、 ψ ′(s) =を積分して，β (s)各点は筒の上を同じ向きに回転しながらスパイ

s

ds
β (s)
s
0

€

般には Twiss parameter が異なるので楕円の形

Twiss parameter が決まったとすると，軌道を決める２つの初期条件は， 2J, φ 0 の２つの定数ψ (s, s0 ) €
= ∫
€

€

となる．

€
る楕円をつなぐと，断面が楕円の筒ができるが，€€ラル状に進む、ということを理解してほしい．
万が一 Twiss parameter が一致して楕円の形が同じであったとしても， s0 の楕円の各点が s の楕
円の同じ場所に転送されるわけではない．楕円の転送と，楕円上の各点の転送とは異なる．

€€

3.1.6. ２つの表示法の相互関係
ここで面倒ではあるが、ベータトロン振動を

u′ = −

2J((α cosψ + sinψ ) cos φ 0β+ (cosψ − α sinψ ) sin φ 0 )転送行列で表す場合と，Twiss parameter を使って表す場合との相互の関係式を導いてみる．

=−

まずは一つの粒子軌道に着目して転送行列の1u((α cosψ + sinψ ) 0ββ0

Twiss parameter による表示を求めてみる．初期
軌道は，u(s0 ) = 2Jβ (s0 ) ⋅ cos(φ 0 ),u ′(s0 ) = −− (cosψ − α sinψ ) β 0 (=−2J(α (s0 ) ⋅ cos(φ 0 ) + sin(φ 0 ))β (s0 )

1((α − α 0 ) cosψ + (1+ αα 0 ) sinψ )u 0
ββ 0+と書け，これらから前もって以下のように必要€な量を計算しておく．
u
2J cos φ 0 = 0 ,β02J sin φ 0 = − β 0 (α0u 0 + u 0′ )β0M(s,s0 ) の要素になっている．書き出すと，€€期軌道を追跡すると s の位置では，
u(s) = 2Jβ (s) ⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 ),u ′(s) = −β0(cosψ − α sinψ )
β2J(α (s) ⋅ cos(ψ (s, s0 ) + φ 0 )β (s)となるが，これらを書き換えて，u = 2Jβ ⋅(cosψ cos φ 0 − sinψ sin φ 0 ),となる．
転送行列の要素は，その間の軌道要素が決ま€っていれば確定する．Twiss parameter を使って

2J
(α ⋅(cosψ cos φ 0 − sinψ sin φ 0 )β

表示したものは，Twiss parameter には２つの+ (sinψ cos φ 0 + cosψ sin φ 0 ))が得られる．これらの式の右辺を初期軌道で書うに見える．しかし当然 Twiss parameter をどのようにとっても，位相差 ψ (s,s0 ) と組み合わせ

き換えると，転送行列が求められる．

たものは変わらないはずである．しかし，行列u′ = −€

β(cosψ + α 0 sinψ )

β0
€

1
M (s,s0 ) = 
− ββ ((α − α 0 ) cosψ0
+ (1+ αα 0 ) sinψ )ββ 0 sinψ

+ sin(ψ (s, s0 ) + φ 0 ))€β0(cosψ − α sinψ )u 0′βと な る ． u0 , u0′ の 係 数 が そ れ ぞ れ 転 送 行 列

表示を簡略化したが，意味は自明であろう．初€α0u 0 + u 0′ ))β0

自由度があって，見かけは要素が決まらないよ

要素が決まっているからといって位相差ψ (s − s0 ) も決まっていると誤解をしやすい．私€最初の式ではuαu = β ⋅(cosψ 0 + sinψ β 0 ( 0 u 0 + u 0′ ))β0β0=はこの誤解により加速器の設計で，痛い目にあった経験がある．

β(cosψ + α 0 sinψ ) ⋅ u 0 + ββ 0 sinψ ⋅ u 0′β0€

次に，転送行列によって Twiss parameter がどのように転送されるかを調べてみる．このたとなり、同様に２番目では，

め Twiss parameter で決まる楕円上の軌道類をまとめて扱う．初期位置 s0 での位相平面での楕€円は，γ (s0 ) ⋅(u(s0 )) 2 + 2α (s0 ) ⋅ u(s0 ) u ′(s0 )2€ + β (s0 ) ⋅( u ′(s0 )) = 2J€

で与えられることを思い出す．これは、 u 0 , u 0′ にるということに注意しておく．ただし，着目しついての２次形式になっていて，
 γ α  u 
(u 0 u 0′ ) ⋅α0 β 0  ⋅ u 0′  = 2J €
 0
0  0

ている時間の間では，エネルギーの変化を無視となっている．記号は省略したが意味は自明でビーム輸送路にも当然適用できる．

あろう．この楕円は s での位相平面内の楕円に転

€

€

€

となるのであるが、二つの楕円上のそれぞれのを追跡することを想定している．初期条件の異点の間には，転送行列によって，
u 0 u   = M (s,s0 ) ⋅  
u ′
 u 0′ 

なる複数の粒子軌道を扱う場合もあるが，互いの関係があり、その逆行列を使って，
u 0 u −1  = (M ) ⋅  
u 0′ u ′の転送である．Twiss parameter は楕円の形状をT u   γ α 0 u −1= (M )−1 ⋅   ⋅  0
 ⋅(M ) ⋅  
u ′ α 0 β 0 
 u ′= (u 0γ α 0 u −1u 0′ )⋅T (M )−1 ⋅  0
 ⋅(M ) ⋅  
α 0 β 0 
 u ′

= 2Jとなって、2J は保存量であるから s での保存量と比較し、また u, u′ は任意であるから，γ α  T
α 0
−1 γ 0−1 ⋅(M )

= (M ) ⋅ 
α β 
α 0 β 0 €

ここでベータトロン振動を扱うのに，転送行
列を使う場合と，Twiss parameter を使う場合の楕円は書き直すと、
 γ α  u 
(u 0 u 0′ ) ⋅α0 β 0  ⋅ u 0′ 
 0
 0
0 €

€

変わらないということで，今回のテーマである

送され，この楕円を同様な形式で表すと，γ α   u (u u ′) ⋅ ⋅   = 2Jα β  u ′と書いて準備しておく．位置 s0 での位相平面内€

できるという仮定をしているが．エネルギーががあったが，これらが必要である意味を考えてみる．転送行列は，基本的には一つの粒子軌道に独立に軌道を追跡する．一方、Twiss parameter
表示の場合には，本質的には Twiss parameter
表しているのであるが，前に導入した保存量 2Jと一緒にすると，位相平面内の大きさの決まった楕円を表す．このことから，面積が一定の楕
円が，各位置での位相平面内のどのような楕円に転送されるかが示される．ある最初の位相平面において、楕円の内部が軌道を表す点で一様な密度で満たされているとすると，これらの点は進行するに従って常に楕円の内部にとどまっていて，外に出ることは決してない．楕円内の点の数は一定で，面積も一定であるので，
Liouville の定理の示すところにより，確かに粒子密度は一定である．
この表示方法では，ある位相平面の楕円内部の各点が，別の位相平面の楕円内のどの位置に対応するかについては，計算することはできるが得られる．両辺で対応する要素を比較するこ€とで， (β 0 ,α 0 , γ 0 ) → (β,α , γ ) の変換公式が得らが，着目していない．いわば粒子の詰まった楕れる．ベータ関数を決める微分方程式は元々非る．

円バッグがどのように変形するかに注目してい線形であったが，変換は線形変換で書ける．

€

ベータトロン振動においては、転送行列 M に

3.1.7. エミッタンス
ここまでは Twiss parameter が先に決まって

よって s が進行するに従って軌道が振動する．
Twiss parameter の変換 (β 0 ,α 0 , γ 0 ) → (β,α , γ )いたとしたが，逆な見方をしてみる．ある位相においての変換行列は、いわば M€を２回かけた

平面で初期条件として粒子分布が与えられたとものになっていて，Twiss parameter は軌道振する．このとき，分布した点を全て含む最小面動の２倍の振動数で振動する．
€

積の楕円を考える．この楕円は，面積に対応す

ここで扱った方法は，加速器の形状に関わら€る保存量と，楕円の形を決める２つの量で完全ず，直線にでも，円形にでも、適用が可能であに指定できる．この２つの量というのが，まさに Twiss parameter の持つ２つの自由度に対応
し て い る ． 粒 子 分 布 を 含 む 楕 円 ので表される場合には，簡単な計算により，s の位
置での u 軸方向の粒子の拡がりの半幅 W u 、及びTwiss parameter がどのように変換されるかに傾きの拡がりの半幅 W u′ はそれぞれ図 13 で示す

ついて追跡すると，各位置で粒子分布がどうなように，W u (s) = β (s)ε ,っているかを知ることができる．
再度確認すると，Twiss parameter を導入し€W u′ (s) = €γ (s)εたのは，加速器や輸送路の収束系によるベータで与えられる．注意することは，ここでのトロン振動を記述するためであった．一方で，Twiss parameter は粒子分布を表すもので，加位相平面で粒子分布が楕円である場合に，楕円€速器におけるベータトロン振動を表現するを表すパラメーターで記述するのであるが，たTwiss parameter ではないことである．両者はまたま Twiss parameter と同じ記号と呼び名を一般には一致していない．

使っていると考えると混乱が避けられるかもし
れない．そして両方とも，一般的には互いに値は一致していないが，ある場所からある場所への変換行列は、その間の転送行列が共通であるから，全く同等である．
ここで重要な量を導入できる．粒子分布を含む最小の楕円を考えたが，その楕円の保存量 2J、または全く同じ量である ε 、をエミッタンスと呼ぶ．一般には分布の形が楕円になるわけではな
いので，その場合には点が分布している領域の面積を π で割ったものがエミッタンスである．領€域の外周が楕円でない場合には，外形のみに着図 13：水平方向の位相平面で，楕円の内部に粒目したくても，当然ながら外周の各点を転送行子が分布している．実空間のビームの横幅，傾きの€ 列で追跡し、別の位相平面で外周を再構成しな広がりの幅は，それぞれの座標軸へ射影した分布のければならない．一般の場合でも，領域内の点幅になる．

は領域内にとどまり，エミッタンスは保存する．
粒子分布を表すためにエミッタンスを導入しビームの振る舞いを位相空間で扱う上で有用

た理由は，一つには保存量であって扱いやすいな保存量としてエミッタンスを導入した．エミ

ことと，さらにはもし分布を位相平面での楕円

ッタンスの保存は解析力学での Liouville の定理

で近似できるのであれば分布形状の転送を容易に基礎をおくものである．正式の解析力学の位に求められることであろう．

相平面は，座標と対応する運動量が座標軸であ位相平面での粒子分布と，実空間での分布との関係を考えてみる．一般に，２次元位相平面(u, u′) において分布した粒子を，u 軸へ射影すると u 軸方向の分布が得られる．同様に， u′軸へ射影すると u′軸方向、すなわち u 軸との傾きの分布が得られる．

€

粒子分布がある位置 s での位相平面で楕円，€2γ€(s) ⋅(u(s)) + 2α (s) ⋅ u(s) u ′(s) + β (s) ⋅(u ′(s)) 2 = ε€った．
例として，水平方向 x を考え、この場合の位相平面は (x, px ) である．一方これまで慣れ親しんだ位相平面は (x, x ′) であり，正式なものと異なる．また位相平面 (x, px ) に閉じて Liouville€の定理が成り立つためには，水平方向の運動が他の２軸、すなわち垂直方向、進行方向の運動€と独立でなければならない．これまで扱ってき€た，偏向磁場、４極磁場では，幸い垂直方向の用される．特に，今回のテーマである粒子源の運動とは独立でありそうだ．

場合には，その後の加速があるため，粒子源か

しかし，ローレンツ力のところでの話で，磁らのビーム性能を表す量の一つとして規格化エ

場はエネルギーを変えないと聞いている．だか

ミッタンスが採用されるであろう．

ら，磁場によって x 方向の運動量が変えられた
ら，実際に変えられるのであるが，エネルギー

正規化していないエミッタンスは加速することによって， 1 βγ に比例して減少する．この現を保存するために進行方向の運動量も変化しな

象は断熱減衰、adiabatic damping、と呼ばれてければならない．その結果、進行方向の運動とは独立ではなくなる．同様な議論で，垂直方向いる．加速すると実空間でのビームの断面が小€さくなり，必要なアクセプタンスが小さくてすと進行方向の運動も独立ではなくなり，その結

むようになる重要な過程である．ビーム輸送路

果３方向の運動が独立でなくなくなる．この場では断熱減衰はないが，どちらのエミッタンス

合の Liouville の定理の主張は，３自由度６次元を使っているかについては配慮が必要である．

の位相空間において，粒子分布が保存するということで，例えば (x, px ) に射影した場合には保エミッタンスの数値について誤解しやすいので，注意をしておく．エミッタンスは元々，

しかしながら，加速器では一般に進行方向の2J, ε で表した量で，前に伝えたように位相平面での楕円の面積を π で割ったものである．場合に運動量が圧倒的に大きく，そのため進行方向の€

よっては面積でエミッタンスを表示することが運動量は変化してもごく僅かであり，いわば熱€ある．この場合には，数値の後ろに π をつけて示

浴として一定とみなせる．このため，３自由度

π を外したものしている．実際のエミッタンスは€の運動が互いに独立であると見なすことができであることは言うまでもない．なぜか陽子加速る．この見方はあくまで近似であって，もっと器、線形加速器、粒子源では€ π 付きのエミッタン

正確な扱いが必要な場合もあるのであるが，こスが使われる傾向がある．
€

存則が成り立たない．

こでは入門ということでこの近似を了承するこ

€

とにする．
位 相 平面 (x, px ) で の 分布 の 拡 が り が保 存 す

3.1.8. アクセプタンス€

る、が正式な主張である．これまでの位相平面

Twiss parameter には自由度が２つあることを伝(x, x ′) と比較して，正式な位相平面の縦軸が異
x ′ は x 方向と進行方向の速度なる．軌道の傾き€えてきた．同じ軌道を粒子が周回する加速器においては、粒子にとって収束力が周期的であり、v
mvx pxpx==の比であり、 x ′ = x =
からわか
v
mv
p m0cβγ

必ず一周に相当する長さの周期がある．そこでるように質量を分子分母にかけると運動量の比€

周で連続になるように取るのが合理的であろこのような場合，Twiss parameter を加速器一になり，さらに分母を静止質量で書き換えてお€く．この式を見ると
βγ が一定であれば、確かにう．
ベータ関数 β (s) とその微分である α (s) が連続

これまでのエミッタンスが保存することがわかる．しかし， βγ が変化した場合，すなわちエネとなるという２条件を満足するために，元々あルギーが変わるとこれまでのエミッタンスは保€軌 道€ が 一 周 す る よ う€な 加 速 器 で は ，存しない．そこで，これまでのエミッタンスにをかけて新たに正規化エミッタンス
βγ €εn (normalized emittance)、 ε n = βγε€€

さて加速器でのベータトロン振動を表現するというもった２つの自由度を使うことにする．その結果、Twiss parameter が決定される．一周しないよ
うな加速器やビーム輸送路では，自分自身の中での連続条件は使えないが，これらの加速器やのを導入する．

ビーム輸送路が一周する加速器と接続している

この量は加速しても保存量なので，加速の前€後でのビームを比較することが必要な場合に採ならば，接続部で互いに Twiss parameter が連続になるようにするのが合理的であろう．そのビーム輸送路だけであれば無用であるのだ

結果，一周しないような加速器やビーム輸送路

が，その先でつながっているかもしれない、一においても，Twiss parameter を決めることが周する加速器に特有な話をまとめてみる．
１周する加速器では，Twiss parameter は１できる．
そこで加速器やビーム輸送路の始まりの位置
s0 、一周する加速器では任意の位置 s0 ，での位相平面において保存量 ε でそこで決まっている
Twiss parameter の楕円、
γ (s0 ) ⋅(u(s0 )) 2 + 2α (s0 ) ⋅ u(s0€) u ′(s0 )€€ + β (s0 ) ⋅( u ′(s0 )) 2 = εを考え、この中に一様に粒子が分布しているとする．この粒子分布を持ったビームが進行する€と，各位置 s での位相平面では，
γ (s) ⋅(u(s)) 2 + 2α (s) ⋅ u(s) u ′(s)の楕円になる．そしてそこでは実空間の u 軸方向でのビームの拡がり W u が、€W u (s) = β (s)ε となることはすでに述べた．
現実の加速器では，様々な理由で実空間での€口径が制限されていて、ビームが口径より拡が€ると失われてしまう．許される口径は位置 s によって異なり，それを A(s) とすると、
W u (s) = β (s)ε < A(s) ∀sβ0(cosψ − α sinψ )
βから始める．ここで，ある場所 s0 から１周して元の場所に戻る転送行列を考えると，そこではTwiss parameter も戻るはずであるから、M (s0 +C,s0 )€cos Δψ + α 0 sin Δψ=−γ 0 sin Δψ
β 0 sin Δψ
cos Δψ − α 0 sin Δψ と書ける．ここで、ベータトロン振動の加速器€を満足する極大の保存量 ε があるはずである．こ€に 完 全 に 決 定 さ れ る ． 前 に 求 め た Twiss
parameter 表示の s0 から s への転送行列β(cosψ + α 0 sinψ )

β
0

1€
M (s,s0 ) = €− ββ 0 ((α − α 0 ) cosψ
+ (1+ αα 0 ) sinψ )ββ 0 sinψ+ β (s) ⋅(u ′(s)) 2 = ε€

周全てで１次微分も含めて連続という条件の下の量をアクセプタンスと呼ぶ．
€

１周の位相の進み Δψ は、dsとなる．この量を 2 π で割って１周Δψ = ∫β(s)s
0

アクセプタンスは，エミッタンスと対になった概念で，入れ物の大きさを表している．アク€€セプタンスは一つの量であるが，各位置 s での位相平面における保存量がちょうどアクセプタン
スに相当する楕円をʻアクセプタンスʼと拡大して称することもある．エミッタンスは，入る
ものの大きさを表している量であるが，前と同様に位相空間での楕円をエミッタンスと称する
場合もある．しつこいようであるが，ある場所での加速器側の Twiss parameter とビームの持
つ Twiss parameter は 一 般 に は 一 致 し て い な
い．

の 間 に ベ€ー タ ト ロ ン 振 動 の 振 動 回 数 に し た もの，すなわち、 ν = Δψ € はベータトロン振動数
2πという極めて重要な数値である．収束は水平と垂直で独立なので，２種類の振動数を持つ．
１ 周€の 転 送 行 列 M (s +C,s ) は ， s で の000Twiss parameter に依存するから s0 に依存しているが，１周の位相の進みはどこから始めても、€説明は省くが，同じである．

€

さて、１周の転送行列 M (s0 +C,s0 ) を書き換え
て，

€

 α0
1 0
β0 
M (s0 +C,s0 ) =  ⋅ sin Δψ ⋅ cos Δψ + 0 €1
−γ 0 −α 0 = I ⋅ cos Δψ + J ⋅ sin Δψ

3.1.9. １周する加速器に特有な話としてみる．二つの行列は交換可能で， J ⋅ J = −Iという面白い関係があるため， I , J はそれぞれ，€€€

１と虚数 i のように振る舞う．このため N 周するなり，実数ではなくなる．要するに，１周の転転送行列は，

送行列が安定条件を満たしていない場合には，１周にわたって１次微分まで連続な β 関数が存在

M (s0 + NC,s0 ) = (I ⋅ cos Δψ + J ⋅ sin Δψ )€N

= I ⋅ cos NΔψ + J ⋅ sin NΔψとなり，どの要素も有界であるから，粒子は安定に永遠に回り続けられる．よってどんな１周€する加速器でも，粒子は安定に回り続ける！

正

転送行列で，N 周回転を扱ってみよう．今度は一般的に，

TT12 
M (s0 +C,s0 ) =  11
T21 T22 とする．N 周する転送行列は，１周の転送行列€€の微分の初期値、及び保存量€ 2J を適当に与えて、そこから β 関数とその微分を追跡することは可能である．しかしながら，周を重ねるうちに
β 関数
€

しいか？

€

しないことを意味している．
この場合でも，もちろんある場所に β 関数とそは徐々に増大し続けるであろう．保存量に対応€した楕円は面積が保存するため，回転しながら長軸が伸び短軸が縮むはずである．
€
3.2.

シンクロトロン振動の解析

N 個の積をとれば良い．同じ行列を多数回かけ

縦方向の収束作用，すなわち位相安定の原理

る場合の常套手段は，固有値を使うやり方であについて定性的な説明をすでに行った．ここでる．そこで固有値を求めてみる．固有値 λ を決めはもう少し解析的な扱いをする．ビーム輸送路

る式は，

ではシンクロトロン振動は関与しないのであるT − λT12 det(M (s0 +C,s0 ) − λ I ) =  11
= 0
 T21 € T22 − λ が，輸送路は加速器と接続しているため加速器となり、 det M (s0 +C,s0 ) = 1 、を使って計算する

出てくる縦方向のアクセプタンスの理解が必要と，
λ2 − (T11 + T22 ) λ +1 = 0€となり、２つの根の積は１である．もし固有値である．また輸送路によっては縦方向の運動をが２つの共役複素数であれば，絶対値が１なの

まず加速器を理解しなければならない、と言えで，固有値を何回かけても有界で，軌道は安定

る．

での縦方向の運動を無視できない．特に，後でさせて，加速器とうまく接続させる場合もあるからである．ここでも，輸送路を理解するにはである．両方が実数で，１と-1 でなければ必ず片方の絶対値が１より大で，軌道はベキ乗で不安定である．残りの 1 と-1 の場合は，安定な場

ベータトロン振動を位相平面で扱った場合に合と、不安定が線形に増大する場合がある．すは，原点は中心軌道，あるいは設計軌道であっ

なわちこの場合は重根になるのであるが，独立た．縦方向の運動の場合でも，同様に縦方向のな固有ベクトルが２つ存在する場合は安定で，位相平面で扱うのであるが，原点として位相安

１つしかない場合は線形に増大する．後の例と定の原理で導入した仮想的な平衡粒子にとる．

して，自由空間がある．

平衡粒子は，いわば縦方向運動の設計どおりに

よって転送行列に対する安定条件は，２次方程式が複素根を持つ，すなわち、

T11 + T22 = Tr(M (s0 +C,s0 )) < 2

振る舞う粒子である．そして一般的な粒子の運動を，設計粒子からの差として扱う．
加速を扱うために，正式な位相平面として進は限らないということになった．では行方向の座標と，それに対応する運動量をとることにする．原点としての平衡粒子の位置 s0 (t) 、Twiss parameter 表示の転送行列は何であった

縦方向運動量 p0 (t) をとる．注目するある一つのとなる．つまり，１周する加速器は常に安定と€

3.2.1. 運動方程式のか．この転送行列の対角和を確かめてみると
2cosΔψ で、もし２以上であれば Δψ は複素数に粒子については，位置 s(t) 、縦方向運動量 p(t)

€
€

€
€

€

€

とすると，位相平面での２つの変数は平衡粒子

距離 C と速度 v(t) を使うと， T (t) =からの差，
z(t) = s(t) − s0 (t),特に平衡粒子では、 T0 (t) =

C0
と書ける．
v0 (t)こ こ€
で T0 (t), v0 (t) は €p0 (t) と 同 じ 時 間 ス ケ ー ル

pz (t) = p(t) − p0 (t)となる．
縦方向の運動を理解する上で，まず時間のス€

ケールが３種類あることを知る必要がある．一番短い時間スケールは，一つの加速部から次の€加速部への時間，すなわち加速繰り返しの時間間隔である．直線加速器の場合はこの定義で良€いが，円形加速器のように粒子が周回する場合には，加速器にそって複数の場所に加速部があるかもしれない．このばあいでも一周にそって加速されると見なし，加速繰り返し時間は一周する時間を取る．

€
次の時間スケールは，位相平面でのz(t), pz (t) の振動時間周期である．この周期は，

€

C
となる．
v(t)

で， C 0 は定数である．
着 目 し て€い る 粒 子 は 平 衡 粒 子 か ら 運 動 量 で€ pz (t) ずれているので，€
T (t) は T0 (t) と異なり，加速周期時間 がずれる．ずれの時間 量を Δτ とす
る．

€ dv
dC €
pz , v = v0 +
pz ,
dp
dp
€
T = T0 + ΔτC = C0 +とおくと，
Δτ dC dv=−
T0 C 0 v0=(pp0 dC p0 dv pz
−
)
=η⋅ z
C 0 dp v0 dp p0
p0

通常は加速繰り返し周期時間の 10 倍以上である．３番目は平衡粒子の運動量 p0 (t) が変化する€
時間スケールである．この時間スケールで，シとなる．
ここで導入した η は slippage factor と呼ばれンクロトロンにおいては，磁場や加速周波数がきに，加速周期時間がどれだけずれるかを示す．

変化する．

€

る重要な量で、平衡粒子より運動量がずれたと
括弧の中の第１項目は，運動量のずれに対し€シンクロトロン振動の解析では２番目の時間

加速部間の距離がどう変わるかを示す量で，スケールの世界で過ごすのであるが，３つの時

momentum compaction factor と呼ばれ記号 α

間スケールを用意した意味を明らかにする．一が使われる．２項目では、
v
を 使って計 算して、 まと
p = mν = m0
1− v 2 c 2€

番短い時間スケールに関するものは，時間平均を取る．先ほどの一周の間に複数箇所加速部があっても，一周の平均加速を取る．また，３番目の時間スケールのものは，一定と見なす．こ€のようにして，２番目以外の時間スケールを分

めると，
p
Δτ
1 p
= (α − 2 ) z = η ⋅ z
T0
p0
γ p0

離した近似を採用することにする．

という重要な式がまず得られる．第２項目は，

ちなみに，後ほどベータトロン振動をシンク€
ロトロン振動と関連づけて扱うが，この場合は運動量が増加すると速度が上がって，次の加速

１番目の時間スケールに着目することになるの項目は，運動量が増加すると軌道長が長くなり，で，２番目のシンクロトロン振動の時間スケー

その分次の加速までの時間が長くなることを示

ルのものは定数として扱うであろう．

している．

までの時間が短くなることを示している．第１

一番短いスケールである加速周期の間に変化

例として，円周方向に一様磁場であるサイクする量には Δ をつけて示すことにする．まず加速時間周期 T(t) は，加速部から次の加速部までのロトロンをとると、
C
p = qBρ = qB
2πであり，運動量と１周の軌道長は比例している€€

ことから， α = 1 となる．よって，非相対論的な€€であることから，

が 2π の整数倍であれば，平衡粒子は同じ位相 φ 0となり運動量が変わっても時間同期がず（ 2π を法として）で加速される．この条件を書
2π⋅ h となり、整数 h は harmonic
くと， ω =
T0

エネルギー領域ではΔτ = 0γ =1れないことを意味している．
€
直線加速器では，加速部間の軌道長が変わら€€な直線加速器では，２項目が極めて小さくなり，運動量が変わっても時間同期がずれないこと€ 関係を導く．ずれ z が正だとすると，平衡粒子よは，前に述べた通りである．
€
１周あたりの時間のずれが求められたので，これによる z 方向のずれを求めることは容易である．ただし，時間がかかるということは進行方向に遅れるということを考慮し， Δz = −Δτ ⋅ vとなる．最後まで計算すると，
pΔz = −ηv0T0 zp0€となる．ここで v = v 0と近似した．

次に運動量方向の変化を見てみる．その前に€全エネルギーE の変化と運動量変化の関係を求め
2ておく．よく知られた関係，
E 2 = c 2 p 2 + m0 c 4 か€ら、
c 2 p ⋅ Δp = E ⋅ ΔE

Δp =

€

E
mc 2 €
1
ΔE=
ΔE = ΔE
2
2
v
c p
c mv

qV
z
(sin(φ 0 − ω ) − sin φ 0 )v0v0となる．最後に両式を加速周期 T0 で割って，連立の微分方程式にすると，
p (t)
dz(t)
= −ηv0 zdt
p0dpz (t) qVz(t)=(sin(φ 0 − ω) − sin φ 0 )
dt
v0T0
v0
と完成する．ここで時間依存を明示した量は，

平 衡 粒子€で は ， 平衡 粒 子 の位 相 φ 0 を 用い て ，

変化するもので定数として扱う．

sin 関数のため非線形である．そこで，位相平面

ΔE ΔE0−v
v0の中心付近での振る舞いを見てみるために、z, pz が小さいとして，２番目の式を展開して最qV=(sin φ − sin φ 0 )v0となる．
加速周波数とここで考えている加速周期時間€との関係を見てみる．加速周波数は，平衡粒子にのみ同期しているので，加速周期として T0 を€とり，加速周波数を ω とすると、加速部から次の加速部へ平衡粒子が T0 かかって達すると，加速電場の位相は、 ωT0 進む．このとき位相の進み€€€

3.2.2. 安定条件とアクセプタンス
連立微分方程式の２番目の式は，加速電圧が€Δpz = Δp − Δp0 =€荷を除く他の量は全て３番目の時間スケールでとなる．

は v を近似して

€

Δpz =

着目している２番目の時間スケールの量で，電そこで，平衡粒子からの運動量の差の変化量€

以上まとめて，加速周期時間あたりの変化量€は，
p€Δz = −ηv0T0 zp0

すると、１加速周期でのエネルギー増加は，€
ΔE = qV ⋅ sin φ となるはずである．また同様に

ΔE0 = qV ⋅ sin φ 0€

りも時間が早く加速部へ来るので位相は前に，負の方向にずれる．時間差は z /v
€0 であり，これzによる位相差は ωとなるので、符号を考慮
v0zすると， φ = φ 0 − ω € が得られる．
v0€が得られる．
まず加速位相を φ とし、最大加速電圧を V と€€number と呼ばれる．
周波数が決まったので，z 方向のずれと φ とのないので， α = 0 と見なすことにする．相対論的€€

初の項だけとると、
dpz (t)qωV= − 2 cos φ 0 ⋅ z(t)dtv0 T0となり、１番目の式とあわせると２階の線形微分方程式，
d 2 z(t) qηVω−
cos φ 0 ⋅ z(t) = 0
v0 p0T0
dt 2となる．

このとき z の係数が正のとき単振動の式となり安定である．元々 qV > 0 を想定していたので，すなわち安定のためには、 η cos φ 0 < 0 とならなければならない．この場合、 z(t), pz (t) は単振動を行€い，位相平面では楕円を描く．

に注目する． K = 1 としてポテンシャルを図示してみる． K > 0, η > 0 の場合のポテンシャルエネ
ルギーが最小（極小）になる位相は， φ = φ 0 でそ
€ cos φ < 0 となっている．粒子が安定に運
の時、

qηVω
Ωs = −
cos φ 0v0 p0T0€
動するには，ポテンシャルの壁で閉じ込められ€ていなければならない．このことからエネルギとなる．
安定条件 η cos φ 0 < 0€ ーは図 14 で示す E max . で制限されることが分か€を調べてみる．加速を想定していたので sin φ 0 > 0 であることから、 η > 0の場合には、 cos φ 0 < 0 でなければならない．す€なわち相対論的な円形加速器では，平衡位相で€る．逆に，
は時 間€的に加速電圧が減少していの場合には，安定のためには cos φ 0 > 0 であ€η < 0€
り、以前の話の非相対論的な直線加速器の位相安定性の説明になっている．
€
ベータトロン振動の場合にアクセプタンスと€の和 E となる．ここでポテンシャルエネルギー、U(φ ) = K(cos φ (t) + sin φ 0 ⋅ φ (t))€ Ωs はシンクロトロン振動数と€単振動の周波数
€
呼ばれ，
2

€

と，運動エネルギーとポテンシャルエネルギー

エミッタンスを扱ったが，縦方向に関しても必要な概念である．シンクロトロン振動の場合に0る．加速電圧を上げるために，加速位相角を減らして π に近づけると，ポテンシャル全体の傾2€き（ sin φ 0 ）が強くなり，谷の幅と深さが少なくなることによって，安定領域が減少することが€ 定性的に分かるであろう．加速位相角を変えて加速量を増やそうとすると，アクセプタンスが減少する．アクセプタンスを確保するには最大加速電圧を増加させねばならない．K が負の場
合は，図で極大値が安定位相となることも理解できるであろう．

は，加速電圧が非線形のため原理的に安定領域が存在し，その外部では粒子を保持できない．
この状況を，力学の問題として眺めてみよう．
運動量の増加が非線形のままの連立方程式，
p (t)
dz(t)
= −ηv0 zdt
p0dpz (t) qVz(t)=(sin(φ 0 − ω) − sin φ 0 )
dt
v0T0
v0

€

€

€
€
€

に戻る．これらから，２階微分の運動方程式、
d 2 z(t) qηVz(t)+(sin(φ 0 − ω) − sin φ 0 ) = 0
2
p0T0
v0
dt
が得られる．ここで，z 方向のずれを位相z(t)φ (t) = φ 0 − ωに戻し、係数をまとめて、
v0qηωV= K としておくと、
v0 p0T0
d 2φ (t)− K(sin φ (t) − sin φ 0 ) = 0
dt 2となる．エネルギー積分は，
1 ˙ 2(φ (t)) + K(cos φ (t) + sin φ 0 ⋅ φ (t)) = E
2

図 14：加速位相と，シンクロトロン振動のポテンシャルとの関係を，K=1 として表した．全体の傾きは，加速量 sin φ 0 に比例するので，加速位相を

π に近づけると，谷が浅くなる．K が負の場合に2は，極大点が平衡位相となる．

€€€

その他に，ビーム輸送路や加速器では平衡粒粒子の平衡粒子からの運動量のずれを時間的に子からのエネルギーのずれに対し，様々な理由

一定として，この粒子の軌道を解析してみる．

により制限がある．アクセプタンスの最大はこ運動量がずれていることによる効果を今後扱うの安定領域の大きさ及びエネルギーの許容幅でのであるが、結果を予告すると、中心軌道がず制限される．

れてしまうこと，それによって軌道長がずれて位相平面で見てみると楕円のような軌跡を描しまうこと，収束力が変わってベータトロン振

くが，z 方向のずれが大きいとそれに対応してシ

動数や Twiss parameter が変化すること、が重ンクロトロン振動の 1/4 周期後には運動量のずれ要である．軌道長のずれに関してはすでにシンも大きくなる．もし運動量のずれが制限されてクロトロン振動に深く関連していたが，ここでいるならば，許容される運動量のずれに対応すは理解を深めてみる．

る軌跡がアクセプタンスを決定する．このことからシンクロトロン振動をする加速器へビーム

3.3.1. 分散関数

をアクセプタンスに入れるには，エネルギー幅

加速器やビーム輸送路を構成する磁石としに制限がある他に，進行方向にも平衡粒子の前て，水平偏向磁石と４極磁石を考える．着目し後に局在していなければならない．

ている粒子が平衡粒子から運動量がずれている

高エネルギーの電子線形加速器ではシンクロ
トロン振動は起こらないが，通常効率よく加速とする．この粒子が４極磁石の中心を通過しても偏向されず影響を受けない．

するため平衡粒子を最大加速電圧付近の位相でしかし，偏向磁石では偏向角が運動量に逆比加速する．加速途中では進行方向の運動はない

例することから，運動量が高い方にずれている

ので，それぞれの粒子は加速の途中の全てで同と，平衡粒子より偏向角が少なくなる．設計軌

じ加速位相に乗っている．最大電圧付近では位道を通る平衡粒子から見ると、粒子が偏向磁石

相，または z 方向のずれに対し最終エネルギーがの場所で偏向角の差だけ外に偏向されたと見な

ほぼ２次関数で低下する．あまり低下しすぎるせる．これにより粒子は設計軌道からずれるかと，その後のビーム輸送路の許容エネルギー幅ら，その後はベータトロン振動をする．その後の制限や，円形加速器のアクセプタンスの制限

また偏向磁石で軌道が外に変更されさらに振動にかかってしまう．このばあいにも，粒子は平を続け，さらに同様な過程を続ける．この過程

衡粒子の前後に局在する．

を式で表現してみよう．

このような固まりをバンチと呼ぶが，粒子源ームを損失なく送るためには，バンチ構造を持

まず偏向磁石では円軌道を描くが，その半径dsを ρ(s) とする．軌道長 ds 間での偏向角は，ρ(s)たせる必要がある．

となるが，平衡粒子の運動量 p からのずれを δpとしてその後の繰り返し加速をする加速器へビ

3.3.

€
平衡粒子から運動量がずれた粒子の軌道

これまでベータトロン振動とシンクロトロン
振動を独立に扱ってきた．最後に，これらを関連させることによってビーム輸送路の理解に必€要な軌道の解析をひとまず完成させる．
時間のスケールが３種類あったことを思い出とすると，着目する粒子の偏向角は，
ds
δp €
€
(1− ) となる．
ρ(s)
p

€

€

水平方向のずれを x とし，ここでは外側を正とする．粒子は平衡粒子よりも外側に蹴られ，
傾き x ′ の変化は、

x ′(s + ds) − x ′(s) = x ′′(s)ds =ds δp⋅
ρ(s) p

すと，ベータトロン振動をしながら粒子が進行と書ける．これと，以前に出したベータトロン

するのが１番速い時間スケールで，シンクロト

振動の式で u を x とおいたもの、€

ロン振動は２番目であった．そこで，着目する€d2x+ K(s) ⋅ x = 0
ds 2と組み合わせるのであるが，着目する粒子にとって収束力も低下しているはずで，考慮に入れ

€

ると，
d2x
δp
1 δp
+ K(s)(1− ) ⋅ x =p
ρ(s) p
ds 2

り立つ．

€

を満足する特殊解 x c (s) と、
d 2 xβ (s)δp+ K(s)(1− ) ⋅ xβ (s) = 02pdsを満足する一般解 x β (s) との和，

€

€

€

δp
p

であり，微分方程式は
d 2η(s)1+ K(s) ⋅ η(s) =
2
ρ(s)
ds
で与えられる．

るはずで，収束力の補正項はさらに高次の微小な効果であるから無視できて，特殊解を求める€には，

d 2 xc (s)1 δp+ K(s) ⋅ xc (s) =ρ(s) pds 2€

差 の 因 子 を 除 い た も の は 分 散 関 数
η(s) (dispersion function)と呼ばれるまた重要な

xc′ (s) = η′(s)となる．
€
ただし，特殊解は
δp p の微小因子を持ってい€€特殊解が決まったとして，相対的な運動量の量である．すなわち，
δpxc (s) = η(s) ,px(s) = xc (s) + xβ (s)€ら れ る ． あ る い は ， 初 期 条 件 と し て
xc (s0 ) = 0, xc′ (s0 ) = 0 とする場合もある．粒子源直あろう．

半径を無限大と見なすと，この式はどこでも成良く知られているように，解は、
d 2 xc (s)δp
1 δp+ K(s)(1− ) ⋅ xc (s) =2pρ(s) pds

までの連続条件を満たすようにすることで決め後のビーム輸送路では，この初期条件になるで€となる．ここで，偏向磁石の場所以外では軌道€

送路では，接続する加速器と特殊解が１次微分を解けば良い．
解が和の形になっていて、 x β (s) は運動量のず€れの補正があるがまさしくベータトロン振動の解である．すなわち，着目する粒子は特殊解を中心軌道としてその周りをベータトロン振動を€しながら進行することがわかる．
運動量のずれた粒子のベータトロン振動、及びそれに相当する Twiss parameter は K(s)€に補正係数をかけて，以前のやり方をたどれば，導出は簡単であろう．
さて中心軌道を求める特殊解を探そうとして€みる．この場合も，以前に Twiss parameter€を求めた状況が再現する．すなわち解の決定には２つの初期条件が必要である．ただし粒子が周回する加速器では，１周にわたり x c (s), x ′c (s) の両方が連続であるべしということで決定€
される．前と同様に，周回しない加速器やビーム輸

周回する加速器において，１次微分まで連続な周期解となる分散関数を求めるのは良い演習になる．方針としては，前に導入した周期解とd 2η(s)しての β (s) を使 うと、+ K(s) ⋅ η(s) = 0 の一
ds 2
般解は
η(s) = a β (s) cos(φ (s)) + b β (s) sin(φ (s)) となる．そ€€の後で元の方程式の解
η(s) が１次微分まで連続な周期解になるように a,b を変数と見直して定数変化法によって求めれば良い．あるいは、１次
微 分 ま で 連€
続 な 周 期 解 で あ る Green 関 数
2
d G(s, s′)+ K(s) ⋅G(s, s′) = −δ (s − s′) をまG(s, s′) ，
ds 2
ず、
たとえば定数変化法で求めておく．
この Green関数は他でも有用であるが，これを使うと，
1€
η(s) = − ∫G(s, s′)ds′ となるはずである．
ρ( s′)
3.3.2. 軌道長変化
平衡粒子の軌道と着目する粒子軌道の差は(xc (s), xc′ (s)) となるが，この差による軌道長の差を求めてみる．
まず平衡粒子が直線の場合は，軌道長の差は軌道の差の傾き xc′ (s) から発生し，中心軌道長 ds
あたり、

€
€

€

1
( xc′ ) 2 ds
2となり，変化は２次の微少量で当面は無視でき

ところでは実空間の口径を大きくしておく必要

る．

4．ビーム輸送路の機能

1+ ( xc′ ) 2 ds − ds ≈€平衡粒子の中心軌道が偏向磁石内にある場合には，例えば x c (s) が正で一定だとすると，軌道半径は元々の ρ(s) ではなくて ρ(s) + xc (s) のように
なる．

ds
€
dθ =
偏向磁石の中で，微小偏向角
を導入
ρ
(s)
€
€
する．ここで ds は中心軌道に沿っての軌道長である．この微小偏向角の間において半径が異なる２つの軌道長の差は，€
x (s)(ρ(s)€+ xc (s))dθ − ρ(s)dθ = xc (s)dθ = c ds
ρ(s)€

横方向マッチング

ビーム輸送路の重要な機能の一つにマッチン
グ matching というものがある．マッチングというのは，位相空間でのビーム分布の形を，次の加速器のアクセプタンスの中に入るように、あるいはある望ましい形に整形することである．
粒子の運動は３自由度あり、ここでは簡単のために互いに独立とする．そうすると，３つの自由度それぞれに位相平面を考えると，そこでのビームの広がりはそれぞれの位相平面で保存するはずである．

長変化は２次の微小量である．
よってある軌道区間 [s1,s2 ] における軌道長の差4.1.1 ビームプロファイル

s2s2

はじめの例として，水平方向の位相平面で考€えるが、まずは位相平面内のビーム分布の測定

xc (s)
η(s) δpds = ∫
ds
€
ρ
(s)
ρ(s)
p
s
s

ΔC = ∫
1を考えてみる．位相平面でのビーム分布を直接1測定することは通常は困難で，実空間，この場と計算できる．
シンクロトロン振動のところで運動量のずれと軌道長の差との関係を表す量として
momentum compaction factor α を 導 入 し た

€

4.1.

となる．また偏向磁石の中でも x ′c (s) による軌道

は、

€

がある．

合は水平方向の軸に粒子分布を射影したものをまず測定する．
このような測定器は，ビームプロファイルモ

が，ここでその具体的な表示式が得られる．周ニターと呼ばれ，様々な種類が開発されている．

回する加速器において平衡粒子の１周の軌道長ここで射影とかプロファイルとかは，どういうを C とすると、€
ΔC 1 η(s) δp
δp= ∫ds ⋅ = αCC ρ(s)
pp

ものなのか確認しておく．ビームは進行方向にの関係がある．

ムを思い浮かべ，まずこのビームを水平軸に垂固まりになっていて，いわゆるバンチ構造をしているとする．実空間の３次元の楕円体のビー

横方向のアクセプタンスを導入したときに直な多数の互いに等微小間隔の面で切断し、水は，ビームの運動量広がりの効果，すなわち分平方向にならんだビームのスライスを作る．各散関数を考慮しなかった．ここで分散関数があ

微小スライスに入っている粒子数をスライスのると，運動量のずれた粒子の中心軌道がずれる

幅で割ったもの，すなわち単位スライス幅内のため，空間的なビームの幅は、エミッタンスか

粒子数を縦軸にして，横軸にスライスの位置をら寄与する分の他に，中心軌道の広がりの分がとると、プロファイルを図示したものが得られある寄与をし，その結果広がることになる．こる．

のため，分散関数によるビーム広がりへの寄与

ビームの分布は各粒子の軌道を決める６個のδp
変 数 (x, x ′, y, y ′,z, ) に よ る 分 布 関 数pδp
ρ(x, x ′, y, y ′,z, ) で一般に与えられる．ここで進pが無視できないと，実空間の口径が変わらなくても，アクセプタンスは減少してしまう．アクセプタンスを確保するため，分散関数が大きい€€

行方向の運動量のずれとして，後で扱う相対値に換えている．ここで水平軸に垂直に切ったス
ライス幅 dx に入っている粒子数は，x 以外はどとなる．転送行列 M (s,s0 ) の要素 m ij が与えられた

んな値でもかまわないので，これらについて積€
分し，として，まず逆行列を求めてみる． Det M = 1 で€( ∫ ∫∫ ∫∫ dx′dydy′dzd(δp ) ρ(x, x′, y, y′,z, δp )) ⋅ dxppとなる．すなわち x 以外を全て積分したものが射影で，x 方向のプロファイルを表す．ちなみに，€

 γ (s) α (s) T
α 0
−1 γ 0−1 ⋅(M )

= (M ) ⋅ 
α
β
α
(s)
β
(s)


 0
0

水平方向の位相平面での分布とは， x, x ′ 以外を€全範囲で積分したもので， (x, x ′) 平面へ射影したものである．
要するにプロファイルモニターとは，ビーム€€を多数のスライスの集まりと見なし，各スライ€
ス内の粒子を測定するものである．簡単な例としては，ある太さの棒をビームが通るところにあることから，２行２列では簡単に求められて，€ m−m12 
(M )−1 =  22€€−m21 m11 となる．これを代入して，必要な β (s) のみを書
き直すと，
β (s) = (m11 (s)) 2 ⋅ β 0 − 2m11(s)m12 (s) ⋅ α 0 + (m12 (s)) 2 ⋅ γ 0となる．ここで転送行列の要素は位置
s0 ,s に依存€するのであるが， s0 は固定であるので s のみを明示した．
さて s0 の下流の N 箇所で，ビーム幅を測定し€たとする．測定場所を，s,s[
1 2 ,⋅ ⋅ ⋅,sN ] として、上€の式の両辺に保存量 ε をかけると N 個の式、
22
€ (W x (s1 )) = εβ (s1 ) = (m11(s1)) ⋅ εβ 0
粒子の数を測定できたとすると，その数は棒の− 2m11 (s1€)m12 (s1) ⋅ εα 0 + (m12 (s1 )) 2 ⋅ εγ 0 ,幅のスライスの中の粒子数であるはずである．
(W x (s2 )) 2 =€εβ (s2 ) = (m11(s2 )) 2 ⋅ εβ 0
棒を水平軸方向に動かしながら測定を繰り返− 2m11 (s2 )m12 (s2 ) ⋅ εα 0 + (m12 (s2 )) 2 ⋅ εγ 0 ,す，または多数の棒を水平方向にならべて各棒⋅⋅⋅を通過する粒子数を同時に測定すると，プロフ(W x (sN )) 2 = εβ (sN ) = (m11(sN )) 2 ⋅ εβ 0ァイルが原理的に求められる．測定器について− 2m11 (sN )m12 (sN ) ⋅ εα 0 + (m12 (sN )) 2 ⋅ εγ 0はこれ以上立ち入らずに，ここではプロファイ
水平面に垂直に入れる．そして，棒を通過したが得られる．
これは，３つの未知数 εβ 0 ,εα 0 ,εγ 0 の連立方程式

ルモニターがあるものとする．

€

4.1.2. エミッタンス測定のであるが，ここでは分布の境界が楕円で表さ

左辺は測定で得られる．
€
これを解くには，最低３カ所で測定をすればれ，かつ境界のみに着目することにする．すな

良いことがわかる．３つの未知数が解れば，

わち，ビームのエミッタンスと楕円を表す

βγ − α 2 = 1の関係式から，εβ 0 ⋅ εγ 0 − (εα 0 ) 2 = ε 2 (β 0γ 0 − (α 0 ) 2 ) = ε 2

水平方向の位相平面でのビームの分布を扱う

Twiss parameter の測定を試みる．

€

ある場所で水平方向のプロファイルを測定す
ると，ビームの幅が知られるが，その半幅 W€x (s)は エ ミ ッ タ ン ス ε と Twiss parameter で €，とエミッタンスがまず求められ、次にW x (s) = εβ (s) となることを前に述べた．
あ る 場 所 s0 で の エ ミ ッ タ ン€ ス ε と Twiss

求めることができ，測定精度の評価や、ビーム

parameter€ (β 0 ,α 0 , γ 0 ) を 測 定 す る こ と を 考 え性を評価できるので，望ましい．ただし当然のる．前に導いたものであるが、 s0 から下流の位ことであるが，精度よく測定するには係数行列

置 s€までの転送行列を M (s,s€0 ) とすると、 s におけが特異に近づかないように，測定位置を選ばなる€
Twiss parameter は、€Twiss parameter が求まる．
測定を４カ所以上で行えると，最小二乗法で分布を位相平面の楕円で近似したモデルの正当ければならない．もう一つの注意は，分散関数があるとビーム幅はエミッタンスだけではなく€€である．係数は転送行列によって既知であり、€

€

運動量の広がりにも依存するようになるので，することで，位相平面での分布が楕円でなくてこれによる誤差の評価が必要である．

も忠実に測定することが可能である．水平方向

この測定法の定性的な説明をしてみる．ある
測定位置 si でビーム幅を測定すると，その場所でのエミッタンス測定を想定して定性的な説明をの位相平面においてビームの楕円分布に接するを置くと，スリット通過後のビームは位相空間

２本の垂直線が決まる．これらの２本の垂直線€を s0 の位相平面に戻すと，そこでは一般的にはでは水平方向で位置 x にあるスリットの中に局

斜めの２本の平行線になり，また当然そこで楕

x ′ 方向の分布を次ぎに測定しよう．それには，円に接しているはずである．複数箇所で測定す
ると，その数に相当した平行線の組を s0 に引く

スリットの下流でこのビームを見てみると，位ことができ，それら全てに接するという条件に€る．そこで，水平軸への射影，すなわちプロフ

よって、原理的には楕円が決まる．最低３組あァイルを測定すると，スリットの位置での x ′ のれば楕円を決められるし，それ以上あれば誤差€分布を再現できる．スリットの位置 x を変えなが最小になるように楕円を決めるべきであろう

がら，下流でプロファイル測定を繰り返すと，と想像できる．またせっかく測定しても，測定した平行線が s0 の位相平面で別の組の平行線に前もって分布の形を仮定しなくても位相平面で€極めて近い（特異行列に近づく）場合には有効あろう．高エネルギー領域では，スリットでビではないことも分かる．
もう一つのやり方は，
s0 の下流のある１カ所 s€

ームをきれいに切り出すことが困難なので，こ間での転送行列を複数の値に換え，それぞれでは有効なエミッタンス測定法である．

図 15 ですると，水平位置 x にある幅のスリット在している．このスリットの中にあるビームの相平面でビームが時計回りに傾くことがわかの分布を完全に測定できることが理解できるでの方式は使われない．低エネルギーの粒子源でビーム幅を測定して求めるものである．前と同様に N 個の行列について測定したとする．異な€る行列要素を上付きの数字で示すと，やはり，N個の式，(W x1(s)) 2 = εβ1(s) = (m111(s)) 2 ⋅ εβ 0

− 2m111(s)m112 (s) ⋅ εα 0 + (m112 (s)) 2 ⋅ εγ 0 ,2(W x (s)) 2 = εβ 2 (s) = (m 211(s)) 2 ⋅ εβ 0
− 2m 211(s)m 212 (s) ⋅ εα 0 + (m 212 (s)) 2 ⋅ εγ 0 ,⋅⋅⋅N(W x (s)) 2 = εβ N (s) = (m N 11(s)) 2 ⋅ εβ 0
− 2m N 11(s)m N 12 (s) ⋅ εα 0 + (m N 12 (s)) 2 ⋅ εγ 0が得られる．これを使って解くやり方は前と同
じである．

€

図 15：左の上は，実空間でのビームの進行方向に対する垂直断面とスリットの位置を示している．

この方法は測定が一カ所で可能なため安易で

左下は，スリットの位置での位相平面のビーム分布はあるが，測定するときに収束系の値を変えてで，グレイの濃い部分がスリットを通過する．右下しまうために，ビームが輸送路のアクセプタンの図で，スリットを通過したビーム分布は，進行すスから外れて失われる畏れがある．ビーム損失

るに従い時計方向に傾き，十分傾いた場所でプロフが問題になる場合には勧められない．

ァイルを右上のように測定する．測定値から，スリ

低エネルギーの場合には，幅の狭いスリットットを通過したビームについて，スリットの位置でを用いて，まさにビームのスライスを作り、スの傾きの分布が得られる．スリットの位置をずらし

リットの下流でスライスのプロファイルを測定ながら，測定を繰り返すと，水平方向の位相平面で，

どのような形であっても，ビーム分布，エミッタン

由度は楕円の形を決める２自由度である．２つスが最終的に求められる．

の位相平面で，合計４つの自由度がある．
楕円の形を変えるには４極磁石によって可能

さてここで，３軸方向のそれぞれの位相平面である．前にも述べたが１つの４極磁石は，両で分布関数が考えられるが、それらが他の軸の方の位相平面で同時に楕円の形を変えるが，４位相平面の分布関数と独立かどうかについて、台の４極磁石の強さを４自由度と見なして適当ビームのプロファイルやエミッタンスを測定すに選べば二つの位相平面で希望する別々の楕円る立場で考えてみる．ここで３軸の分布が独立の形に、同時に変換することが原理的に可能でであるとは、分布関数が３つの位相平面の分布

ある．もちろん，４台の４極磁石の間の距離は関数の積、合理的な値でなければならないが．前にも述べδpδpρ(x, x ′, y, y ′,z, )dxdx ′dydy ′dzd( )
p
p
δp
δp
= ρx (x, x)dx ′dx ⋅ ρy (y, y)dydy ′ ⋅ ρz (z, )dzd( )pp

たようにこの過程を，特に横方向マッチングととなっているということである．

4.2.

呼んでいる．エミッタンス測定とともに，ビー
ム輸送路に期待される重要な機能である．

これまでの話で，元々の６次元の分布関数を€射影することによってプロファイルや，位相平縦方向ビーム整形

4.2.1. 縦方向位相平面
次に縦方向の位相平面について扱ってみる．

面分布が得られる．このとき射影が完全であれ

横方向のビームプロファイルを測定することにば，分布関数が独立でも相関があっても正しい

対応して，ビームは電荷を持っているのである

分布が得られる．射影が完全でない場合には考場所でビーム電流の時間依存を測定すれば、進慮が必要である．

行方向に射影した分布（縦方向プロファイル）

例として水平方向と垂直方向の位相平面での分布を測定する場合で互いに相関があるとすを求められる．電流の時間依存の測定は電流モニターを使うことで遥かに容易である．

る．そして水平方向のエミッタンスを測定して縦方向の位相平面の座標として，横軸には前いるときに，ある理由で輸送路の途中で垂直方と同様に平衡粒子からの進行方向へのずれ z、縦向に狭いところがあり，垂直方向に広がった外側の部分のビームを失ったとする．その下流で測定しても，元のビームに対して垂直軸の積分が全範囲でなく射影が完全ではないため，水平方向の分布が変化してしまう．

軸にはここでは平衡粒子からの運動量の相対的δp p − p 0=
なずれ δ =をとる．
p0p0
横方向の場合には正式な位相平面、(x, px ), (y, py ) を基本として，横運動量を軌道方向

これに反し，分布が独立であれば，垂直方向 € の 運 動 量 p0 (= pz ) で 割 っ て ， 位 相 平 面 、でどのように積分範囲が変わろうとも，大きさ€は変化しても分布関数の形は変わらない．このことから、測定方法によっては３軸方向の分布€が独立であるかについては注意をしなければならない．特に粒子源からでてくるビームについては独立ではないであろう．

€(x, x ′(= px p0 )), (y, y ′)を導入した．縦方向では，

正式な位相平面から，軌道方向の運動量の差をで割って，位相平面を導入している．このた
p0€
め３つの位相平面の面積の次元は共通である．
簡単にするために位相平面での分布を楕円とする．横方向の運動では，自由空間と、４極磁同様なやり方を垂直方向でも行い，２つの位石や偏向磁石による収束発散の２つの種類で構相平面でのビーム分布を表す楕円が求まったと成されていた．縦方向でこれらに相当するもの

する．一つの位相平面での楕円の自由度は３あを考えてみる．

るがエミッタンスは保存するので変更できる自軌道を (z(s),δ (s)) とする．まず運動量の差によ加速は通常高周波電圧 V(t) によって行われ sin 関る平衡粒子との速度差を求めてみる．速度差を数の時間依存をするが，平衡粒子の近くでは簡δ (s) との関係で表すと，単のために電圧は線形の変化をし，またバンチ€の中心にある平衡粒子は加速されないとする．

dv
δp v0
€ dv
δv = δp =p0= δ (s)dp
dp
p0 γ 2

平衡粒子から z ずれた粒子のエネルギー増加量となる．自由空間（ここでは４極磁石も含まれ

€

ΔE は，

る）の軌道長を L とするとこの間を平衡粒子が通過する時間は L v0 で，これに速度差をかけるL €と，着目する粒子が z 方向にずれる量 2 δ (s)がγ€

ΔE = qとなる．ここで t(z) はずれ z の粒子が加速部を通過する際の時間のずれで，符号に注意する．運
ΔE
動量変化は， Δp =であるので，相対的運動量
v
€
変化は，
Δp
dV z
Δδ =
= −q
p
dt p0 v0 2€0

求まる．この間で
δ (s) は変わらないから，自由空€€
間 L の入り口出口の軌道は転送行列で書くと，€
 z f  1 L   zi 


2
⋅ 
  = €γδ f  0 1  δ i zとなる．よって，加速部を転送行列で表すと，10 dV 11
−q dt
2
p0 v0



となる．
もし自由空間でなくて，この間で運動量のず€れによって軌道長の変化があるとする．軌道長€zの変化について、すでにシンクロトロン振動でとなり，予想した通り４極磁石の働きをする転扱った momentum compaction factor α に準じ
て，
ΔL
δp
=α
= α ⋅δ
L
p0

送行列が得られた．加速電圧の時間変化の符号€を変えることで，収束発散を切り替えることができる．

€

縦方向の位相平面でどのように楕円が変換さと書いておく．ここで軌道長の差はすでに導出

€

€

したもの、
x (s)
η(s)
ΔL = ∫ c ds = ∫
ds ⋅δ
ρ(s)
ρ(s)
L
L

れ る か は ， こ の 位 相 平 面 で 新 た にTwiss parameter (β z ,α z , γ z ) と 保 存 量 エ ミ ッ タ ン

で計算できることを確認しておく．
軌道長の差が正であると，その区間を粒子がずである．
€
ここでは定性的な話のみにしておく．まず軌

通過するとその差の分だけ z 方向に遅れる．この€道長変化があるようなビーム輸送路 L をバンチ

区間での速度差によるずれも考慮すると，このが通過するとする．輸送路の入り口での位相平区間の転送行列は結局、

1
1 ( 2 − α )L 
γ


1
0
z

面で，ビーム分布が直立の楕円であるとする．

ス εz を導入すれば，横方向と全く同じに扱えるは普通の輸送路では， α > 0 であるので、転送行列
1
1 ( 2 − α )L  の (1,2) 要素を負として説明を続け
γ


0
1

z

となる．この行列は縦方向の運動で、横方向の€運動の自由空間の転送行列、
1 L 
0 1 

る．

€

輸送路を通過すると，図16 で示すように δ の€€ずれた粒子は， δ に比例して z 軸方向にずれる．
比例係数がこの場合には負であるので，直立のと同等な働きをするはずである．

€

dV
dV
z
t(z) = q
(− )
dt
dt
v0

次に４極磁石に相当するものとして加速部を楕円は δ 方向の幅が変わらずに反時計方向に傾€考える．そして加速電圧はバンチが通過する間

く．エミッタンスが保存するので，楕円の面積€は変わらない．バンチの長さの半分 W z (s) は分布に変化するとし，加速部の軌道長は０とする．

€€

を z 軸に射影したもので，求めるとすると
W z (s) = β z (s)ε z となることは理解できるであ

ビーム輸送路の途中に η(s) が大きいところを設ろう．

することが行われる．この結果は、入射路の前計して用意して、感度よく運動量のずれを測定段にある加速器の運動量の安定化に使われる．
€
運動量の中心を測定することは比較的容易で€あるが，運動量の幅を測定するのは、重要な輸送路の仕事なのであるが，容易ではない．困難
さは横方向のエミッタンスの測定に対応している．
まず，分散関数がある場所でのビームサイズ
がどうなるかを考えてみる．水平方向の位相平面で扱うとして，ビームに含まれている粒子は
図 16：進行方向の位相平面において，通常のビ

運動量の分布をしているのであるが，運動量がーム輸送路では α > 0 であるため，運動量が高い粒

ある量ずれた粒子群に着目して，これらはある

子は軌道長が長く，遅れてしまい，輸送路の出口でエミッタンスを持って、位相平面で楕円の形をは，バンチ長がのびてしまう．

しているとする．一般的には，エミッタンスや楕円に対応する Twiss parameter は運動量のず€
このことから，輸送路においてバンチ長がのれに依存するはずであるが，ここでは無視する．

びてしまい，その後の加速器の縦方向のアクセ

楕円の中心は位相平面の中心より分布関数とそ

プタンスに入らないことになりうる．この効果の微分に対応してずれることになる．すなわち，は上記の転送行列の (1,2) 要素であるが，３自由ずれを δ とすると、図 17 で示すようにずれは、
Δx(δ ) = ηδ , Δx ′(δ ) = η′δ と なる．ビ ームはい ろい

度の粒子軌道をまとめて扱うことにして，軌道を (x, x ′, y, y ′,z,δ ) の順で表し，軌道の追跡を６次

ろな運動量のずれを持っているので，ビーム全元の転送行列で正式に行うと，この要素は，６€€ 体の位相平面での分布は， δ の異なる楕円分布€次元行列の (5,6) 要素に対応している．長い輸送を、楕円の中心をずらしながら重ねたものにな€路の設計では運動量の広がりによるバンチ長のることがわかる．ただし、ずれの大きさによっ

変化に配慮しなければならない．

て，そこに属する粒子数が異なることを考慮す€€

るのは当然である．すなわち運動量中心付近で4.2.2. 分散関数によるビーム測定

は大きく，分布のはずれでは粒子数は少ない．

簡単のために水平方向のみに分散関数の値があると仮定する．分散関数 η(s) の意味するとこ注意すると，はずれでもエミッタンスは変わら

ろは、運動量が平衡粒子よりもずれた粒子の中ねる場合には『薄い』楕円としてふるまう．要

心軌道が、
xc (s) = η(s)δ ,するに，ビーム全体の分布関数は，δ に対応した、€

xc′ (s) = η′(s)δ

輸送路に送られてくるビームはある運動量幅を持っているが，運動量の中心の値が変動すると， η(s) の値があるところでは実空間で水平方向に変動する．前もって η(s) が知られていたとすると，この変動量を測定すれば，ビーム運動€

高さも含めた，分布関数の畳み込みで得られる．
この場合でも、水平方向のビームプロファイで表されるということである．

€

ないとしたから，楕円の大きさは変わらず，重量の中心のずれを知ることがわかる．そこで、ル、ビーム幅は位相平面の分布をx 軸へ射影し€たものになっている．簡単な例として， δ = 0 に対応したビームプロファイルと，運動量分布の両方ともガウス分布だとする．裾を長く引いているので，どこが幅かが判らないのであるが，€半幅として便宜上 2σ をとることが多い．

€€

もう一つは， β 関数が無理なら，エミッタンス
を小さくするというものである．これは，低エ
ネルギー領域で可能であったエミッタンス測定に準じたもので，分散関数が０のところでスリ€ットを使って水平方向に狭いスライスビームを作る、必要があればさらに下流に次のスリットを置いて，傾きの方向も切り出すことによって，エミッタンスをしぼってしまう．その後で，分散関数があるところでプロファイルを測定すれば，精度よく運動量、エネルギー広がりを測定
図 17：運動量のずれた粒子群の分布の中心は，できる．もしスリットがあるところで分散関数

分散関数と運動量のずれ量に応じて，左の図のようがあると，水平分布と運動量分布に相関ができ，にずれる．ビーム全体では，運動量のずれに対応し測定される運動量分がスリットの位置に依存す

た分布を重ねたものになっていて，実空間ではそのることになる．

射影になっている．

この方式は，スリットがうまく働くために，
低エネルギー領域で採用されている．また，こ

この例では，ガウス分布の畳み込みになり，れらは輸送路そのものの邪魔になることから，良く知られているように，各分布関数の標準偏22差の間には， σ X = σ β + (ησ δ ) 2 の関係がある．

輸送路からビームを分岐して測定することが通常行われる．

ここで、 σ X , σ β , σ δ は、それぞれビーム全体、
エミッタンスが起源のビーム、運動量のずれ、€の標準偏差を表す．判りやすく，両辺を４倍に4.2.3. エネルギー圧縮、バンチ圧縮€
して今まで使ってきた半幅
W で書くと，積極的に変換する、希望の形にマッチングする

2

2

2

W X = W β + η Wδ= εβ + η 2Wδ

軌道長の変化を使って位相平面で楕円の形を2ことを試みる．
一つの例として，図 18 で示すような構成で，

2

まず２台の互いに逆極性の偏向磁石で軌道を平となる．原理的には，前もって ε, β を求めてお行にずらし，次にまた順序を換えた２台の互いいて，測定値 W X からこの式を使って運動量幅€に逆極性の偏向磁石で，軌道をもとの軌道の延Wδ を評価できるのであるが，実際には困難があ長上に戻す．このような軌道を作ったときに，る．現実の分布関数が単純ではなく，簡単な２€面倒ではあるが具体的に軌道長変化を計算して乗和の関係が保証されない．
€

€

みよう．
これまで偏向磁石のよる軌道半径 ρ の符号につ困難を避けるには，エミッタンス起源のビー
ム幅を運動量幅が起源のビーム幅よりできるだ

いて気にかけなかったが，ここでは逆極性の偏け小さくすることが求められる．
一つには，輸送路に β が小さく、しかも絶対値€

向磁石を使うので符号を考えてみる．この講義
では今まで円形の加速器では偏向磁石は内向き€

η が大きな場所を用意することである．しかし，前に述べたように β 関数はベータトロン振動の２倍の振動数で振動し，
η は式を見るとベータトロ€
ン振動と相似であるから， β と絶対値 η は両方とに粒子を偏向していると想定してきた．そして
水平軌道のずれの正の方向を加速器の外向きにしていた．
ここではこの符号の取り方を継続する．すな
わち、 x, y,s 軸を通常の右手系にとり，x 軸で負も同じように大きさが変わる傾向があるので、€片方だけ小さくするのはそう容易ではない．
€€の方向に水平偏向する場合に軌道半径を正とと€€る．最初の偏向磁石の軌道半径を正とすると２，
３番目は負で４番目は正となる．半径の絶対値と磁石長は４台とも同じとする．こうすると確
かに，２、３番目の磁石の間では軌道がもとの€軌道に対して負の方向に平行にずれ，４番目の磁石の後で軌道が延長線上に戻る．

η(LB ) =1
L
2
LB , η′(LB ) = B
2ρρ

を ２ 番目 の 磁石 の入 り 口 ま で 延 長 す る と ， そ こ で は 、
1
L
2
η(LB + LD ) = η(LB ) + η′(LB )LD =LB + B LD ,2ρρとLη′(LB + LD ) = η′(LB ) = B
ρなる．最後に，この初期条件で，２番目の磁石での分散関数を解くと，
1
η(s) = η(LB + LD ) −(s − (LB + LD )) 2 ,2ρ

€1(s − (LB + LD )),ρ
(LB + LD ) < s < (2LB + LD )η′(s) = η′(LB + LD ) −となる．

€
図 18：運動量変化による軌道長変化を作る，

ここで２番目の磁石の出口では
1
η′(2LB + LD ) = η′(LB + LD ) − LB = 0
ρ

シケインの構成を示す．偏向磁石による収束を無視

で分散関数の傾きがちょうど０となり，この分すると，軌道がもとの軌道の直線上に戻れば，分散散関数をさらに追跡すると磁石の配列の対称性関数も０に戻る．偏向磁石の軌道半径の符号にも注€から，４番目の出口では分散関数もその微分も意．

同時に０となることがわかる．すなわち，軌道も分散関数も元に戻る．

この条件で，軌道長変化を計算するためにまず分散関数を求めてみよう．分散関数を決める

ΔL = ∫であった．この場合全体では、１，２番目の磁であったことを思い出す．ここで，収束力 K(s)€は偏向磁石による弱いものであるために，簡単のため無視をする．
偏向磁石の軌道長を LB とし，磁石間の自由空€間の軌道長を LD とする．軌道半径は，１，４番目の偏向磁石では ρ > 0 で，２，３番目では€−ρ
とする．

として，

１番目の磁石での分散関数の近似方程式、€€
d 2η(s) 1
=
ρ €
ds 2

€

石での軌道長変化の２倍となるので，
L

2L +L

B
B
D
η(s)
η(s)
η(s)
ds ⋅δ = 2( ∫ds + ∫ds) ⋅ δ
ρ(s)
ρ
−ρ
L
0
L +L

ΔL = ∫

B

Dと書けるが，２番目の磁石で上記の分散関数の２項目の積分は１番目の磁石の積分と同じで，
結局，
LB

€

分散関数の初期条件を
η(0) = η′(0) = 0€

運動量による軌道長変化は

xc (s)
η(s)ds = ∫
ds ⋅δ
ρ(s)
ρ(s)
L
L

方程式は，
d 2η(s)1+ K(s) ⋅ η(s) =
2
ρ(s)
ds

€

準備ができたので，軌道長変化を求めてみる．

2L +L

B
D
η(s)
1
ΔL = 2(2 ∫ds + η(LB + LD ) ∫ds) ⋅ δ
ρ
−ρ
0
L +L
B

LB

2

D

s
L
ds − η(LB + LD ) B ) ⋅ δ
2
ρ
0 2ρ

= 2(2 ∫

3は簡単に解けて，
1 2sη(s) =s , η′(s) = , 0 < s < LB となる．磁石の2ρ
ρ
出口での分散関数、

€
€

= 2(
=−

2

LB
L
L
L
− ( B + B LD ) B ) ⋅ δ
2
2
ρ
ρ
ρ
3ρ

LB 2
(LB + 6LD ) ⋅ δ = αL ⋅ δ
3ρ 2

となり、 α < 0 である．
この例のように軌道を平行にずらしてまたもエネルギー圧縮 energy compression という．まとに戻す軌道配置をシケイン chicane と呼ぶが，€軌道長そのものをかえる場合やここでの目的のた特に非相対論的エネルギー領域では転送行列
2の (1,2) 要素の 1 γ の項が大きくて、軌道長があように運動量による軌道長変化を作るために設るだけでも十分に楕円が傾き，デバンチャー

置される．

debuncher（バンチ伸長）と呼ばれる加速部を置シケインの入り口で位相平面での分布が，図 €19€

このようにエネルギー幅を狭くする操作を，いてエネルギー圧縮が可能である．
€

で示すように，やはり直立の楕円であったとす

次に，エネルギー圧縮の逆過程がある．予想

る．シケイン通過後は，前例と異なり転送行列

されるように，この場合はバンチを短くする目の (1,2) 要素の中の α の符号が逆なので，この例的の過程で，バンチ圧縮 bunch compression とではこの要素を正としておくと、楕円の傾く方呼ばれる．すなわち始めに加速部があり，平衡向が前例と逆になる．その後で，４極磁石と等粒子の前後で運動量の傾きをつけ，その後に転価な働きをする加速部を置いてz が正，すなわち€送行列の (1,2) 要素の値を持つビーム輸送路を接平衡粒子より前では減速で，後方では加速する

続すると，輸送路の出口ではバンチ長が短くでように加速電圧を平衡粒子と時間的同期をときる．詳しい説明は省く．

り，加速部通過後に傾いた楕円がちょうど水平€ 原理は同じであるが、粒子源からの時間的にになるように電圧を選ぶ．このようにすると，連続または長過ぎるバンチ長のビームを、その定性的に理解できるように，楕円の縦方向の幅

後に接続する加速器の縦方向アクセプタンスのすなわち運動量幅、エネルギー幅を狭めること中へ入るように、十分短いバンチへ転換する装ができる．ただし，位相平面での面積は保存す

置をバンチャーbuncher と呼んでいる．粒子源

るから，バンチ長は伸びてしまう．

の出口ではまだ非相対論的であり，エネルギーの幅は十分な速度の幅になる．このため平衡粒
子の前の粒子を減速し後方を加速すると，ある軌道距離の後で平衡粒子の周りに集まって短い
バンチが作られる．
あるいは粒子源からのビームを加速せずに，ビームをある時間幅で横に偏向させて消去して，バンチ構造を作ることも可能である．この場合はチョッパーchopper と呼ばれる．
以上見てきたように，ビーム輸送路において
縦方向の位相平面でのビーム分布の形を変える

図 19：進行方向の位相空間での，エネルギー圧ことができる．具体的には、エネルギー幅を狭縮の過程．左上の初期状態から，右上のシケイン通

くしたり，あるいはバンチを短くしたりする．

過後のビーム分布を表している．その後の加速部

ただし，ここまでの説明で加速電圧が完全な線

で，バンチの前半分を減速し後半分を加速すること形であると仮定した．現実には交流電圧は非線によって，右下のようにエネルギー幅を狭くでき形でありバンチ長が長くなって非線形の効果がる．位相空間での面積は保存するので，バンチ長は顕著になると，エネルギー圧縮やバンチ圧縮が初期状態よりものびる．

うまく行かないが、ここでの理解をもとにしてこの逆過程を辿ると，バンチ圧縮ができる．

非線形の場合の考察も可能であろう．
4.3.

低エネルギー領域で特有な収束系

これまで収束系に関し、主に高エネルギー領

この配置によって軸対称の電場が，中心軌道域で使われる４極磁石による収束を想定してきの近くにできる．電場がどのような形になるか，た．１つの４極磁石では，光学レンズと異なり、た．これらをうまく組み合わせることによって，Maxwell の式，
r 1 ∂ (rE ) 1 ∂Eϕ ∂Ezrdiv E =
+
+
=0
r ∂r
r ∂ϕ
∂z

両方向の収束を可能にするのが強収束であっで見てみる．対称性から，２項目は０であるの

た．

で，まず、
∂E (r,z)1 ∂ (rEr (r,z))
=− z
r
∂r
∂z
が得られる．ここで右辺も r に依存するはずであ

水平方向と垂直方向では収束発散が逆であっ€
ここで、光学レンズのように軸対称な収束ができないか考えてみる．エネルギーが低い場合には，電場も有効になる．そこで始めに，これ
ま で 扱 わ な か っ た 電 場 に よ る 収 束 を 扱 っ て€みる．ちなみに４極磁場に対応して，４極電場を作ることは可能であり，粒子への働きはほぼ同じであるので，極性が逆の４極電場を組み合わせれば，強収束が期待できるが，自明であるので扱わない．

€
4.3.1. 静電レンズ

るが，中心軌道に近いところにのみ関心がある
ので，中心軌道で評価する．両辺に r をかけて rで積分し，さらに r で割ると，
1 ∂Ez (0,z)
Er (r,z) = −r2 ∂zが得られる．
ここで r に比例した E r が発生し収束発散を起こしそうだが、話はそう簡単ではない．すなわ
ち， r が一定とした軌道に沿って r 方向の電場

軸対称な電場によるレンズは昔から知られて
いて，各種の電子源で採用されている．軸対称
電場による収束作用を調べてみよう．
円形の穴があいた金属板でできた電極を３個用意し，直線の粒子軌道に対し，電極版を垂直にし，中心軌道と円の中心をそろえておく．電極の配置を図 20 に示す．電極の間の距離を適当€にとり，１と３番の電極の電圧を０とし，２番をこのまま積分すると，電極の外では電場が０€であるので，結局０になってしまう事情がある．
電場のローレンツ力による運動方程式は，
rrd(mv ) = qE であるが，非相対論的であるとし
dtて m を静止質量の m 0 とし、独立変数を軌道長 zに換えておくと、
r
r dt
r dz
r
m0 dv = qEdt = qE dz = qE
dz
vz

€

目に直流高電圧 V をかけるものとする．

€となる．z と r 成分に分けて書き出すと，
1
m0 dvz = qEz (z) dz,
vz

m0 dvr = qEr (z)1q ∂Ez (z) r
dz = −dzvz
2 ∂z v zとなる．

€
図 20：左の図は，中心に円孔があいた，３個の電極盤で構成された静電レンズのモデルを横から見€た形状を示す．中心軌道に対し，軸対称である．右は，中心軸上で進行方向の電場を示す．

１番目の式を書き換えると，
1
2
m0 vz dvz = m0 d(vz ) = qEz (z)dz
2というエネルギー変化を表す．初期速度を v 0 として，積分すると、
z1
1
2
2
m0 vz = q ∫ Ez (z)dz + m0 v0
2
2
0

€

となる．
ここで、 v z (z) は z に依存して v 0 から変化する€が，その変化量が v 0 より極めて小さいとする．

€€€

そこで、 vz (z) = v0 + Δvz (z)としてエネルギーの式に代入して，変化量 Δvz (z) を求めると，

q z∫ Ez (z′)dz′€
m 0 v0 0€と近似できる．
Δvz (s) =次に２番目の r 方向の速度変化の式を扱うのに

€

€

€

際し、まず r が一定であると近似をする．さらに右辺で速度変化量を使って，
1
1
1 Δv (z)== − z2vz v0 + Δvz v0v0€と展開すると，この速度変化の式は、
q ∂Ez (z) 1 Δvz (z)m0 dvr = −
r( −
)dz
2
2 ∂z
v0
v0

€

方向の速度が変わり，その結果、内向きの電場を通過する時間が外向きの電場を通過する時間より必ず長いからである．
なぜ横方向の速度変化が、電場の場合には電となる．１項目は全範囲で積分すると０となる場を通過する時間幅に依存するかは，電場と磁はずであるから，２項目だけが残り、計算を進

場のローレンツ力を比較すると，当たり前なのめると，であるが納得できる．

q ∂Ez (z)m0 dvr =rΔvz (z)dz
2
∂z
2v0

簡単のため非相対論的とすると，運動方程式r r rr
は、 m0 dv = q( E + v × B )dt であるが，電場が xz=

q 2 dEz (z)( ∫ Ez ( z ′)dz ′) ⋅ rdz
2m0 v0 3 dz
0

を向いていて，磁場が y を向いているとして，x方向の速度変化は， m0 dvx = q(Ex − vz By )dt となとなる．よって３電極を通過したときの r 方向の €€となる．さらに、 qV = ΔT は電極間でのエネルギm2
ー加減量で、粒子の運動エネルギーを 0 v0 = T
2
とすると、
€
ΔT 2 rΔr ′ ~ −()
T
4D€と評価される．焦点距離 f で評価すると，r
T 2
f = ~ 4(
) D の程度となる．
r′
ΔT
収束作用が発生する理由は，通過する途中で z

速度変化は，部分積分で書き換えると，
out
dEz ( z ′) z′q2
Δvr =( ∫ Ez ( z ′′)dz ′′)dz ′ ⋅ r∫
2m0 2 v0 3 in dz ′0=2

2m0 v0

=−

out

z

q2

0

2

in

in

out

q2
2m0 v0out− ∫ (Ez (z)) 2 dz) ⋅ r(Ez (z) ∫ Ez (z ′)dz ′32

3∫ (Ez (z)) dz) ⋅ r

る．さらに，独立変数を軌道長 z にすると，
dt
m0 dvx = q(Ex − vz By ) dz
dz€
E= q( x − By )dz
vzとなる．この式からある軌道距離を進む間の横方向の速度変化は電場の場合は速度で割ってか

€

in

となる．

ら積分し，磁場の場合は磁場をそのまま積分したものになっていて通過する速度によらないことがわかる．

ここで重要なことは，r 方向の速度変化は常に€負で r に比例していて，確かに光学凸レンズのよ€

4.3.2. ソレノイド磁場

うな軸対称の収束作用がある．さらに電場の２軸対称な電磁場で，収束作用のために使われ乗の積分であるから，中間電極の電圧の正負にるものに、軌道方向に一様磁場があるソレノイ

依存しない．逆の言い方をすると，発散レンズ

ド磁場がある．形状を図 21 に示す．粒子源のよは作れない．

うな低エネルギー領域で有用であるので，ここ

レンズの強さを見積もってみる．電極間の距
離を D と置くと， Ez ~ V D の程度であり，速度で取り扱うことにする．磁場の形状は単純であ変化を傾きの変化にして評価すると，
Δvq2
V
Δr ′ = r ~ −( ) 2 2D ⋅ rv0 € 2m0 2 v0 3 D

らせた．

るが，取り扱いが複雑なのでここまで扱いを遅となる．
速度を軌道の傾き、 x ′ =微分を軌道長の微分、d dz dに換えると，運動方程式は、=dt dt dz€
1
x ′′ − R(z) y ′ − R ′(z)y = 0,2
1
y ′′ + R(z) x ′ + R ′(z)x = 02
qB(z)となる[1]．ここで、 R(z) =
と置いた．
mvz

€

€

この式でわかるようにソレノイド磁場では，

図 21：進行方向に一様で軸対称なソレノイド磁水平と垂直の運動が結合している．そこで，複素数表示 ξ =€x + iy を導入すると，２つの式は形式

場では，磁力線が連続でなければならないために，左の図のようにソレノイド磁場の入り口と出口では状の値を持つ，すなわちソレノイド磁場の範囲外で€は０で範囲内では一定とする近似を用いる場合が多考える．それには、の図で示すように，進行方向の磁場強度がステップ

い．進行方向の磁場の変化がステップで変わるとこ
ろでは，それに伴って無限小の距離に r 方向の磁場が集中している．ソレノイド磁場を通過する粒子
は，入り口出口の r 方向の磁場によって偏向される€が，この効果はソレノイド磁石の働きの重要な一部
である．

€
ある有限の長さで軌道方向を向いたソレノイ
ド磁場 Bz (z) = B(z) があるとする．磁場中の運動
方程式は，mv˙x = q(vy Bz − vz By ),

€

€

€

€

上１つの式，1
ξ ′′ + iR(z)ξ ′ + i R ′(z)ξ = 0
2€にまとめられる．
ここで強引に１次微分の項を消去することを

r 方向の磁場を必ず伴っている．軌道計算では，右

€

dx vx
=
に換え，時間dz vz€

mv˙y = q(vz Bx − vx Bz )で，進行方向の速度変化を無視する．Maxwell€の式、
r 1 ∂ (rB ) 1 ∂Bϕ ∂Bzr
div B =
+
+
=0
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
において静電レンズのときと同じ導き方で，
1 ∂Bz (0,z)
1
Br (r,z) = −r = − B ′(z)r2 ∂z2が得られる．成分で分けると，xB′
Bx = Br = − x,r2yB′
By = Br = − yr2(gf )′′ = gf ′′ + 2 g′f ′ + g′′f = g( f ′′ + 2

g′
g′′
f ′+
f)
g
g

の関係式かからでてくる，
g′1
g′′f ′′ + 2 f ′ = ((gf )′′ − (gf ))gggを利用する．すなわち、 ξ の方程式と見比べて，
g′
2 = iR(z) となる因子 g(z) を見つけられれば，１g次微分の項をなくせるはずである．

€

簡単に求められて，€i zg(z) = exp( ∫ R(z ′)dz ′)2となる．これから、後で使う量を計算しておく．
Rg′ = i g,
2
R′
R
R′ R 2g′′ = i g + i g′ = (i −
)g
2
2
2
4
この因子を使うと， ξ の方程式の１次微分は消えるはずで，さらに変形すると不思議にも R′(z)

€

も消えて，

€

€

1
ξ ′′ + iR(z)ξ ′ + i R ′(z)ξ
2
1
g′′
1
= ((gξ )′′ − (gξ )) + i R ′(z)ξ
g
g
2
=

1
R 2 (z)((gξ )′′ +(gξ )) = 0g4となる．すなわち，R 2 (z)(gξ )′′ +(gξ ) = 04という振動を与える微分方程式がでてくる．

€となり、出口での値は
R2Rh(L) = h(0) cos( L) + h ′(0) sin( L),
2
R
2
R
R
R
h ′(L) = − h(0) sin( L) + h ′(0) cos( L)
2
2
2
となる．

€

時に，ソレノイドに入る前と出た後で，評価す本質的には，ベータトロン振動の式と全く同€€じである．１次の係数が常に正であり，またg(z) は絶対値が１であるので ξ (z) は安定で，確かに収束作用が期待できる．
これを一般的に解くのは困難なので，ベータトロン振動の場合と同様，
R(z) が区分的に一定€€

さ て こ の 式 で ， h(z) の 入 口 出 口 の 値 を 元 のξ (z) の入口出口での値で書き換えてみる．このる．具体的には，€
h(0) = g(0− )ξ (0− ) = ξ (0− ),h ′(0) = g′(0− )ξ (0− ) + g(0− )ξ ′(0− ) = ξ ′(0− ),Rh(L) = g(L+ )ξ (L+ ) = exp(i L)ξ (L+ ),2h ′(L) = g′(L+ )ξ (L+ ) + g(L+ )ξ ′(L+ ) = exp(iRL)ξ ′(L+ )2€回、２回積分した h ′(z), h(z) はそこも含めて全域€
で連続になる．４極磁石や偏向磁石の場合に，€入り口出口での収束力のとびについて考察しな€かった．確かに，ソレノイドの場合も同じ式なとすれば良い．代入して整理すると，
RR
ξ (L+ ) = ξ (0− ) exp(−i L) cos( L)
2
2
2
R
R
+ ξ ′(0− ) exp(−i L) sin( L),
R
2
2
R
R
R
ξ ′(L+ ) = − ξ (0− ) exp(−i L) sin( L)
2
2
2
R
R
+ ξ ′(0− ) exp(−i L) cos( L)22となる．形式的ではあるが行列で書いてみると，
RR ξ (L+ )   exp(−i L) cos( L)
2
2

=
+
ξ ′(L )  − R exp(−i R L) sin( R L)
 2
2
2
2
R
R 
exp(−i L) sin( L)  ξ (0− ) 
R
2
2

⋅
−
R
R
exp(−i L) cos( L)  ξ ′(0 ) 
22ので同じ扱いでよいように思える．しかし後でと書ける．

なものとする．すなわち，ソレノイドの長さを Lとして，入り口，出口をそれぞれ、 z = 0, z = L と€する．その間では磁場が一定
B、それに対応して€R(z) = R 、それ以外では０とする．扱いやすいよ€うに， g(z)ξ (z) = h(z) に書き換えて，

R 2 (z)h(z) = 0
4€としておく．因数は、ソレノイドの中でR
g(z) = exp(i z) 、それ以外は１となる．
2€
入り口出口では， R(z) に値のとびがあるので
h ′′(z) +€€h ′′(z) もそこで不連続である．しかし，それを１わかるように，ソレノイドの入り口出口は極め€て重要な働きをすることがわかる．
こ こ で の 定 式 化 で は 因 子 g(z) を か け る こ とで，見かけ上ベータトロン振動の式と差がなく€扱いやすい．で，何も知らずに解くと、初期条件を h(0), h ′(0) として€R2R
h(z) = h(0) cos( z) + h ′(0) sin( z),
2
R
2
R
R
R
h ′(z) = − h(0) sin( z) + h ′(0) cos( z)222€

収束の効果は， (2,1) 要素にあるので，これを書き換えて，R
R
R
R− exp(−i L) sin( L) = i (1− exp(−iRL))
2
2
2
2
€
R
= i (1− cos(RL) + i sin(RL))
2
R
R= − sin(RL) + i (1− cos(RL))
22としておく．
実空間に戻ってみると， ξ = x + iy であったから、 (2,1) 要素の実数部は，水平垂直それぞれで

€

€

€

の収束を表しているはずである．もしsin(RL) > 0 となる長さを選ぶと，実数部が負とさてここでソレノイド磁場による収束を評価

なり、確かに両方向で収束作用がある．しかししてみよう．先ほどの行列表示の (2,1) 要素の実R
数部は， − sin(RL) であった．ここで RL が小2
R
R2
さいとして、 − sin(RL) €
~−
L
2
2
€
としておく．
€qB(z)R の定義、 R(z) =を思い出すと，
mvz€
qB(z) qB 1
R(z) =
=
=
mvz
pz ρ

長さが長くなりすぎて、符号が反転したらどうなるか、確かめてみてください．長くなると，€となるはずである．

出口での位置の正負に考慮して判断しなければならないことに注意する．長過ぎる場合、平行に正のずれで入ると，ある距離の出口では正の傾きに出てくる．このとき出口でも正のずれであれば発散であるが，もし出口で負のずれになっていたら収束である．

€
中心軌道に平行に，すなわちソレノイド磁場と平行に粒子が入ると，磁場と速度が平行なた€め粒子は全く力を受けないはずである．しかし，現実には上に示したように確かに収束力、発散力？を受けている．うまく働く理由は，ソレノ
イドの入り口出口にある Br で，これによって粒子が偏向され横方向の速度を十分得ることにあとなるので、ソレノイド磁場に直角に入った場€
合の軌道半径の逆数であることがわかる．よっ1 Lて，実数部が − 2となり、前にやったこρ 2
1とで， 2 は偏向磁石の収束を表していることをρ
思い出すと，ソレノイド磁場は軌道半径
ρ で長さ€
L 2 の偏向磁石による収束と等価である．十分なる．磁束が連続で，ソレノイドの入り口出口で€ 収束作用を得るには ρ を小さくしなければならは 外 側に 向 か ざ€るを 得 な いこ と で Br が発 生 すず，そのため低エネルギー領域で使われること€る．
€
が理解できたであろう．
では，この効果を確かめてみる．まず入り口
以上で，面倒なソレノイド磁場の解析を終え€で考えると，ここでの定式では，
h(z), h ′(z) は€る．運動が水平垂直で結合していること，入り
そこでも連続であった．この量を，ソレノイド
口出口の効果が無視できないことが面倒な原因の端面を通過する直前と直後で g(z), ξ (z) を使っである．行列要素及び ξ , ξ ′ を実数部と虚数部にて評価する．連続であるから、どちらの評価も€分け，書き直すと (x, x ′, y, y ′) に対応した４次元の同じはずである．具体的には、−
転送行列が得られるはずであるが，必要な時まh(0) = g(0− )ξ (0− ) = ξ (0€),
で待てば良いであろう．
€= g(0 + )ξ (0 + ) = ξ (0 + )h ′(0) = g′(0− )ξ (0− ) + g(0− )ξ ′(0− ) = ξ ′(0− ),R= g′(0 + )ξ (0 + ) + g(0 + )ξ ′(0 + ) = i ξ (0 + ) + ξ ′(0 + )2となり、すなわちξ (0 + ) = ξ (0− ),Rξ ′(0 + ) = ξ ′(0− ) − i ξ (0− )2となり，確かに端面を通過するときに横方向の€€話のついでに，低エネルギーでの軸対称な別の収束発散作用を見てみよう．磁場を使って，軸対称な収束発散で，かつ水平垂直の運動が結合しないようにできるであろうか．軌道に直角の平面内で同心円状の磁場で，強さが半径に比例していれば可能である．このような磁場は，速度が不連続的に変わることがわかる．出口で軌道方向に一様密度の電流を流すことで，物理も速度が不連続に逆方向に変わり，
ξ (L+ ) = ξ (L− ),的には発生する．ビーム自身はある意味で電流ξ ′(L+ ) = ξ ′(L− ) + i€€

4.3.3. 交流加速電場による収束Rξ (L− )
2であり，ビームの中にはこのような磁場が実際に存在して，これは加速器物理の重要なテーマ

を提供する．しかしながら，粒子が通過するとり，幸いにも加速電圧が収束作用を持つことがころに電流を流すことは極めて困難である．

わかった．

磁場を発生させることは，電流の他に変位電

物理的に考えると，進行方向を向いている電流によっても可能である．軌道方向の電場が変場が時間的に増加していると，変位電流が進行化すれば，変位電流となり磁場が発生する．こ方向に流れる．ビームも電流であり，変位電流の現象はまさに加速部で起こっていて，電場はと同じ向きに流れる．同じ向きに流れる電流同ビームが通過する十分広い断面の範囲で一様な士は引き合うので，ビームは変位電流によってはずであり，理想的である．
交流加速電場 E z (t) が存在する距離を L とし，中心へ引き寄せられることになる．

簡単なモデルとしてこの間で電場は進行方向にも r 方 向 に も 一r 様 と す る ． Maxwell の 式 ，r
1 €r r∂Eで、 電流 j が ないとし て，z∇ × B = j +ε0
µ0
∂t
成分は、
∂E
1 ∂ (rBϕ ) ∂Br
1 ∂E(−) = ε 0µ 0 z = 2 z
€
r ∂r
∂ϕ
∂t c ∂t€となる．対称性から左辺の２項目は０とするこ€とができ，また，前と同じ議論で，1 ∂E
Bϕ (r) = 2 r z∂t2c€が得られる．運動方程式，
r r r
r
d
(mv ) = q(E + v × B ) で，加速による質量変化をdt€
無視すると，r 方向の式は，
dv
m r = −qvz Bϕ
dtとなる．さらに例によって，独立変数を軌道長

€

€

€

€

€
€

€

に換え，横方向の速度を軌道の傾きに換えると，
€
qB
q ∂Ez
dr ′ = − ϕ rdz = −rdz
mvz
2mc 2 vz ∂t€が得られる．ここで交流電場の時間依存性を，€Ez (t) = E0 sin(ωt) としておく．軌道のずれ r を一

低エネルギー陽子ビームについて評価してみよう．陽子の静止質量 938 MeV(m0c 2 = eV0 ) ，加c
速電圧 V(= E0 L) 、加速周波数の波長 λ (= 2 π ) をω
使うと，収束力は，
€
Δr ′
πV
=−
cos φ 0€rV0 βλ€と一つの加速部あたり評価される．実際の加速器では加速電圧が数 100 kV の程度であるので，−3
πV V0 は、 10 の程度である．波長 λ の距離で考えると，速度 cβ で粒子が進む間の時間に，電場は 1 β 回振動する．そこで荒っぽく、加速電場に€€なっているときには常に粒子が加速部を通過す
ると仮定すると，この間に加速部は
1 β 箇所置け€る．よって単位長さあたりの収束力は、
1
K(s) ~ 10−3 cos φ 0 2 2
β λ€となる．ここで偏向磁石による収束力がK(s) = 1 ρ 2 であったことを思い出すと，例えば，

β = 0.1(~ 5 MeV) では，軌道半径 λ の偏向磁石の収束力の約一桁少ない収束力であることがわかる．あるいは，軌道半径 λ の偏向磁石のベータト

2πλ であった
ロン振動の波長は円周に対応する€定として，電場の距離 L で積分すると、
Δr ′
qE Lω
= − 0 2 cos φ 0r
2mc vzから，この場合には波長は 20 λ の程度となる．

となる．ここで φ 0 は加速位相を表している．まがら，この弱い収束力を利用した線形加速器が€ずこの式から， cos φ 0 > 0 であれば，誘導磁場が実際に存在することを最近知った[2]．

収束作用を持つことがわかる．

実際の加速電場の波長は1 m の程度であるので，€強い収束力は期待できないであろう．しかしな€以上蛇足ながら，交流加速電場による収束をでは実際の線形加速器で，縦方向の位相安定€€との関係を見てみる．電荷を正としておく．位

考えてみた．

相安定のところの話で，非相対論的な直線加速

あとがき」

器では，平衡粒子を加速電場が増加している方の加速位相へのせた．すなわち、 cos φ 0 > 0 であず加速器を理解しようということで，この講義€

ビーム輸送路を理解するには，まを構成しました．ただし，ビーム輸送路との関連に主眼を置いたので，加速器入門の全てを網羅しているわけではありません．逆に，筆者の興味にそって，ほじくり出している話題もあります．読んでいただいて，興味を感じていただ
ければ幸いです．
この講義のシリーズで講義をするのは２回目で，前回はちょうど 20 年前の，1987 年で［ビーム輸送：入射取り出し］のテーマでした．個
人的な感想ではありますが，前回の中身を見て，今でも発想は変わらないな，さらには，今回は何に理解が深まっているのか，とも反省する次
第です．
今回の講義をまとめるにあたり，総研大での「加速器概論」と「ビームハンドリング」の講義を参考にしました．さらに，これまで気になっていたことを堀り出して加えました．途中で計算のミスがあるかもしれませんが，どの式の導出も，面倒かもしれませんが，簡単ですので訂正は可能だと思います．
参考文献[1] F. Willeke, G. Ripken, ‘Methods of Beam Optics’,
DESY 88-114, 1988.
[2] Y. Iwata, et al, Nucl. Instr. and Meth. A 572 (2007)1007.