Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Quelques miracles admirables

Développement décimal de 1/p(d’après O. Mathieu)
Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Jérôme Germoni (université Lyon 1)

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

1

2

3

4

Devinettes
Quelques miracles admirables

Devinettes
Quelques miracles admirablesPériode (Fermat)
Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre
Demi-périodes (Gauss)
Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”
Longueur de la période (Artin)
Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels
Miscellanea
Digression : couper les cheveux en trois ou quatreMuseum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Quelques miracles admirables

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Quelques miracles admirables

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Une réponse ?
4

Si Julian a calculé 142 + 857, il n’a pas fait de retenue.
Donc,

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Quelques miracles admirables

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Une réponse ?
4

Si Julian a calculé 142 + 857, il n’a pas fait de retenue.
Donc, rien !

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Quelques miracles admirables

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement périodique.
Vocabulaire : longueur : 6,
motifs : 142 857, mais aussi 285 714.

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Quelques miracles admirables

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement périodique.
Vocabulaire : longueur : 6,
motifs : 142 857, mais aussi 285 714.
Pas de demi-mesure : 142 + 857 = 999.

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Quelques miracles admirables

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement périodique.
Vocabulaire : longueur : 6,
motifs : 142 857, mais aussi 285 714.
Pas de demi-mesure : 142 + 857 = 999.
Silence, on tourne !
1
2
3= 0,142857 · · · , = 0,285714 · · · , = 0,428571 · · · ,
7
7
7
4
5
6
= 0,571428 · · · , = 0,714285 · · · , = 0,857142 · · ·777Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Quelques miracles admirables

Figures tutélaires
Suivant Gauss, Disquisitiones arithmeticæ (1801), on s’intéresse audéveloppement décimal de 1/p, où p est un nombre premier.

p+1-ème chiffre
longueur p − 12
Notation : nombres premiers : P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . }.
p-ème chiffre

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Plan

1

2

3

4

Devinettes
Quelques miracles admirablesPériode (Fermat)
Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre
Demi-périodes (Gauss)
Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”
Longueur de la période (Artin)
Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels
Miscellanea
Digression: couper les cheveux
en trois ou quatreMuseum de Lyon, 21 octobre 2006
Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Traduction de l’existence d’une période
Dire que le développement de 1/p est périodique de période d,c’est dire qu’il existe des chiffres a1 , . . . , ad ∈ {0, . . . , 9} tels que
1= 0,a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad · · ·.
|
{z
}|
{z
}|
{z
}
p
d

Museum de Lyon, 21 octobre 2006dd

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Traduction de l’existence d’une période
Dire que le développement de 1/p est périodique de période d,c’est dire qu’il existe des chiffres a1 , . . . , ad ∈ {0, . . . , 9} tels que
1= 0,a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad · · ·.
|
{z
}|
{z
}|
{z
}
p
d

Posons n = a1 a2 . . . ad =
10d ×

d

Pd

d

d−i , il vient :i=1 ai 1011= a1 a2 a3 · · · ad , a1 a2 a3 · · · ad · · · = n+ ⇐⇒ np = 10d −1.
{z
} |
{z
}
p |
p
d

d

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Existence d’une période
1= 0, | {z n} | {z n} · · · ⇐⇒ np = 10d − 1.
pddMuseum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Existence d’une période
1= 0, | {z n} | {z n} · · · ⇐⇒ np = 10d − 1.
pddConséquenced = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;Exemple : p = 7
106 − 1 = (103 + 1) × (103 − 1) = 7 × 11 × 13 × 999 ;Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Existence d’une période
1= 0, | {z n} | {z n} · · · ⇐⇒ np = 10d − 1.
pddConséquenced = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;10d − 199 · · · 9
motif correspondant de 1/p : n ==.
ppExemple : p = 7
106 − 1 = (103 + 1) × (103 − 1) = 7 × 11 × 13 × 999 ;motif : 7 × 142 857 = 999 999.
Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Fermat et Lagrange
Proposition
Pour p premier, p 6= 2, 5 :1

p − 1 est la longueur d’une période de 1/p ;2

la longueur minimale est un diviseur de p − 1 ;10d − 1
le motif correspondant est :.
p

3

Idée de la preuve :1
2

3

petit théorème de Fermat (v. 1636 ?) : p divise 10p−1 − 1 ;théorème de Lagrange : si p divise 10d − 1 et 10e − 1, avec d
minimal, alors d divise e ;déjà vu.
Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Fermat : le p-ème chiffre
1Quel est le 53-ème chiffre de 1/53 ?

Réponse
1

C’est le même que le premier : 0.

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49
95Museum de Lyon, 21 octobre 2006

7Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49
95
35
96

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

57

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49
95
35
96
56
94

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

857

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
2 857
49
95
35
96
56
94
14
98

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49 42 857
95
35
96
56
94
14
98
28
7

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49 142 857
95
35
96
56
94
14
98
28
7
7
0
Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53
159
84

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

3

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53
159
···3
84
···

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Plan

1

2

3

4

Devinettes
Quelques miracles admirablesPériode (Fermat)
Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre
Demi-périodes (Gauss)
Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”
Longueur de la période (Artin)
Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels
Miscellanea
Digression: couper les cheveux
en trois ou quatreMuseum de Lyon, 21 octobre 2006
Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Dichotomie (exemples)
Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Dichotomie (exemples)
Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.
1= 0, 142 857 · · ·71= 0, 0 9 · · ·111= 0, 076 923 · · ·131= 0, 05882352 94117647 · · ·17Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Dichotomie (exemples)
Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.
1= 0, 142 857 · · · : 142 + 857 = 999 ;7
1= 0, 0 9 · · · : 0 + 9 = 9...
11
1
= 0, 076 923 · · · : 76 + 923 = 999 ;13
1= 0, 05882352 94117647 · · ·5 882 352
17
+ 94 117 647
99 999 999
Hasard ou nécessité ?
Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Dichotomie (formalisation)
Proposition (Midy)
Supposons que d = 2e soit une longueur de période de 1/p, maisque e ne soit pas la longueur d’une période :1= 0, | {z A} | {z B} | {z A} | {z B} · · ·,p
| e {z e } | e {z e }d=2e

0 ≤ A, B < 10e .

d=2eAlors,A + B = 10e − 1 = 99
· · · 9} .
| {ze chiffres

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Preuve1= 0, | {z A} | {z B} | {z A} | {z B} · · ·,
p
e

e

e

0 ≤ A, B < 10eepermet d’écrire102e
1= 10e A + B + ,
p
p
puis

10e + 1× (10e − 1) = 10e A + B.
p

Modulo 10e − 1, il vient :A + B ≡ 0 [10e − 1]etMuseum de Lyon, 21 octobre 2006

1 ≤ A + B < 2(10e − 1).

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Un énoncé surprenantThéorème (O. Mathieu)
Soit p ≥ 11 un nombre premier :1

la (p + 1)/2-ème décimale de 1/p est 0 ou 9 ;2

le fait que ce soit 0 ou 9 ne dépend que de p modulo 40.
↓
1= 0, | {z } | {z } · · ·p| e {z e }p−1=2eMuseum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Preuve (premier point)
1

Partie facile.
↓1= 0, | {z A} | {z B} · · · ,p| e {z e }


 A=B
ou

A + B = 99 · · · 9.

p−1=2eMuseum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Preuve (premier point)
1

Partie facile.
↓↓1= 0, |0 {z A} | {z B} · · · ,pe| e {z
}


 A=B
ou

A + B = 99 · · · 9.

p−1=2eCas A = B : c’est 0.
Cas A + B = 99 · · · 9 : c’est 9. En effet :0 • ··· • •+ ? • ··· • •A+B

9 9 ··· 9 9

10 2 − 1

Museum de Lyon, 21 octobre 2006p−1

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Esquise de preuve (deuxième point)p−1

2

2 − 1.
Il faut décider si p−1
2 est une période, i.e. si p divise 10
p−1

p−1

Fermat et Gauss : p divise 10 2 − 1 ou 10 2 + 1.
Notation (Legendre)
 
p−1
a
Pour p > 2 premier et a ∈ Z,
= a 2 mod p ∈ {−1, 1, 0}.
p
Exemple (non trivial)  
2
1 si p = ±1 mod 8=−1
si p = ±3 mod 8.
p
Ce symbole ne dépend donc que de p modulo 8.
Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Loi de réciprocité quadratiqueThéorème (Gauss – 1801)
Soit p, q premiers impairs distincts. Alors :  
(p−1)(q−1)
pq4.
= (−1)qp

Un miracle ?
Sens du symbole de Legendre :q= 1 SSI l’équation x 2 = q a une solution dans Z/pZ.
p

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Loi de réciprocité quadratiqueThéorème (Gauss – 1801)
Soit p, q premiers impairs distincts. Alors :  
(p−1)(q−1)
qp4= (−1).
qp
Application au (p + 1)/2-ème chiffre : 0 ou 9 ?
 
p−1
10
La p+1-èmedécimale
de
1/p
est
0
SSI
= 10 2 = 1 [p]. Or...
2p       
10
2
5
2
p
=
=
.
p
p
p
p
5
Par le lemme chinois, ceci ne dépend que de p modulo 40.
Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Reformulation et étude “statistique”
Théorème (O. Mathieu)
Soit p ≥ 11 premier.
reste de la division de p par 40

p+1
2 -ème chiffre de 1/p

1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39
7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33

0
9

y=

card{p ∈ P, p ≤ x, chiffre = 0}card{p ∈ P, p ≤ x}

xmax = 45000

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Reformulation et étude “statistique”
Théorème (O. Mathieu)
Soit p ≥ 11 premier.
reste de la division de p par 40

p+1
2 -ème chiffre de 1/p

1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39
7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33

0
9

y=

card{p ∈ P, p ≤ x, chiffre = 0}card{p ∈ P, p ≤ x}

xmax = 450000

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”

Reformulation et étude “statistique”
Théorème (O. Mathieu)
Soit p ≥ 11 premier.
reste de la division de p par 40

p+1
2 -ème chiffre de 1/p

1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39
7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 330
9Théorème (Dirichlet – 1837)
Pour tout b premier avec 40,
1card{p ∈ P, p ≤ x, p ≡ b mod 40}= .
x→+∞card{p ∈ P, p ≤ x}
16
lim

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Plan

1

2

3

4

Devinettes
Quelques miracles admirablesPériode (Fermat)
Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre
Demi-périodes (Gauss)
Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”
Longueur de la période (Artin)
Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels
Miscellanea
Digression: couper les cheveux
en trois ou quatreMuseum de Lyon, 21 octobre 2006
Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Occuper Julian (8 ans) à la pizzeria
1 × 142857 = 142857,

2 × 142857 = 285714,

3 × 142857 = 428571,

4 × 142857 = 571428,

5 × 142857 = 714285,

6 × 142857 = 857142.

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Occuper Julian (8 ans) à la pizzeria
1 × 142857 = 142857,

2 × 142857 = 285714,

3 × 142857 = 428571,

4 × 142857 = 571428,

5 × 142857 = 714285,

6 × 142857 = 857142.

Occuper Julian (11 ans) à la pizzeria
1= 0,142857 · · · ,73= 0,428571 · · · ,7
5= 0,714285 · · · ,7Museum de Lyon, 21 octobre 2006

2
= 0,285714 · · · ,74= 0,571428 · · · ,76= 0,857142 · · ·7Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Equivalence : un seul motif ⇐⇒ longueur min = p − 1
On pose la division de 1 par p :1, 000 000

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

7Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Equivalence : un seul motif ⇐⇒ longueur min = p − 1
On pose la division de 1 par p :1, 000 000
30
20
60
40
50
1

7
0,142 857

longueur min période = nombre d’étapes de la division :longueur min = p − 1 ⇐⇒ tous les restes apparaissent ;Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Equivalence : un seul motif ⇐⇒ longueur min = p − 1
On pose la division de 1 par p :1, 000 000 0 7300,142 857 1
20
60
40
50
10
3
longueur min période = nombre d’étapes de la division :longueur min = p − 1 ⇐⇒ tous les restes apparaissent ;pour chaque reste k, k/p a le même motif que 1/p.
Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Ceci se produit-il souvent ?
Problème
Que dire des nombres premiers p longs, pour lesquels on a :la longueur minimale des périodes égale à p − 1 ?
un seul motif (à permutation cyclique près) pour tous les k/p,
1≤k ≤p−1 ;(Les deux conditions sont équivalentes !)Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Deux types de nombres premiers
Pour un nombre premier p, deux cas :1= 0, 142857 · · · ;71= 0, 076923 · · · .
longueur minimale période < p − 1 ; ex. :13
longueur minimale période = p − 1 ; ex. :Problème
P(10) = {p premier long en base 10}.

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Deux types de nombres premiers
Pour un nombre premier p, deux cas :1= 0, 142857 · · · ;71= 0, 076923 · · · .
longueur minimale période < p − 1 ; ex. :13
longueur minimale période = p − 1 ; ex. :Problème
P(10) = {p premier long en base 10}.
Est-ce que P(10) est infini ? Estimer la “densité” de P(10) :d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}

Museum de Lyon, 21 octobre 2006:

lim d10 (x) ?

x→+∞Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 4500

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 45000

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 450000

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Enoncé de la conjecture (base 10)

Conjecture (Artin – 1927)
Il existe un nombre infini de nombres premiers p qui sontlongs en base 10.
La densité de ces p est :Y CArtin =1−
q premier1
q(q − 1)


' 0,373 955 813 6 . . .

Remarque : où intervient 10 ?

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Enoncé de la conjecture (base presque quelconque)

Conjecture (Artin – 1927)
Il existe un nombre infini de nombres premiers p qui sontlongs en base b.
La densité de ces p est :Y CArtin =1−
q premier1
q(q − 1)


' 0,373 955 813 6 . . .

Remarque : où intervient 10 ?
On peut remplacer 10 par (presque) n’importe quelle base b.

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partielsRésultats partiels

La conjecture est toujours ouverte, mais on sait :Hooley – 1967 : avec l’hypothèse de Riemann généralisée, laconjecture d’Artin quantitative est vraie ;Gupta–Ram – 1984 : sans hypothèse de Riemann, la
conjecture d’Artin qualitative admet au plus 2 exceptions
parmi les bases b ∈ P ;par exemple, une infinité de nombres premiers sont longs enbase 2, 3 ou 5.

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Conclusion

Questions très simples, réponses sophistiquées :1développement périodique ; Fermat, XVIIème.

2

chiffre du milieu ; Gauss, 1801.

3

fréquence des p longs : question d’Artin, 1927 ; quand ?

NB : les mathématiques, science expérimentale ?

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Plan

1

2

3

4

Devinettes
Quelques miracles admirablesPériode (Fermat)
Traduction de l’existence d’une période
Existence d’une période
Application : le p-ème chiffre
Demi-périodes (Gauss)
Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Etude “statistique”
Longueur de la période (Artin)
Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels
Miscellanea
Digression: couper les cheveux
en trois ou quatreMuseum de Lyon, 21 octobre 2006
Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Ceci n’est pas une preuvep−1

hai = (Z/pZ)∗ ⇐⇒ ∀q premier : p ≡ 1 [q], a q 6= 1 [p]Fixons q :
1
;
q−1
p−1
1
probabilité pour que a q = 1 [p] : .
qprobabilité pour que p = 1 [q] :1.
q(q − 1)
Si indépendance, probabilité pour que “ça marche” pour tous
les q :
Y1
1−.
q(q − 1)q
Probabilité pour que “ça marche” pour q : 1 −Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : couper les cheveux en trois ou quatreDécoupage de période en 3, 4 et plus
Maitrisant la dichotomie, tentons de diviser plus !
Exemples :1= 0, 142 857 · · ·71= 0, 14 28 57 · · ·71= 0, 07 69 23 · · ·13
Contre-exemple :1= 0,01 36 98 63 · · ·73Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : couper les cheveux en trois ou quatreDécoupage de période en 3, 4 et plus
Maitrisant la dichotomie, tentons de diviser plus !
Exemples (généraliser) :1= 0, 142 857 · · · : 142 + 857 = 999 ;7
1= 0, 14 28 57 · · · : 14 + 28 + 57 = 99 ;7
1
= 0, 07 69 23 · · · : 7 + 69 + 23 = 99.
13
Contre-exemple (trouver un énoncé quand même) :1= 0,01 36 98 63 · · · : 1 + 36 + 98 + 63 = 2 × 99.
73

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, • • • • • • · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • • • • • · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 10

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • • • • 3 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=9Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • 6 9 • 3 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=90••+ • •3
999

Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Période (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 076 923 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=90••+ • •3
999
0•
+69
+ •3
99
Museum de Lyon, 21 octobre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)