6Chapter

固有値と固有空間

本章では，行列の固有値と固有空間について解説する．行列の固有値は線形微分方程式を解く際にも用いられるなど，数学的な応用上も大変重要な概念である．
固有値を求める際に，与えられた行列の成分たちを用いて定まる，ある代数方程式を解く必要がある．ところが，x + 1 = 0 が実数解を持たないように，実数だけを考えていたのでは与えられた行列に固有値が存在しない場合が出てくる．このような事態を避けるために，以下，行列の成分はすべて複素数であると考える．なぜなら，複素数を係数とする代数方程式は，重複度も込めてその次数の個数だけ複素数解を持つことが代数学の基本定理によって示されているからである＊．


そこで，今後，数ベクトル空間といえば R ではなく，複素数を成分に持つ数ベクトルからなる，C 上の数ベクトル空間

 aC:=⫶aa,⋯,a ∈ Cを考えることにする．また，単にベクトル空間 V といえば C および，その部分空間を表すことにする．しかしながら，大抵の議論は R の場合とまったく同様であるので，特に断らない限りはあまり気にしなくてよい．
＊

存在性は示されているものの，与えられた方程式の解を具体的に記述することは一般に困難である．

6.1

6.1

行列の固有値，固有ベクトル，固有空間 ● 153

行列の固有値，固有ベクトル，固有空間■ 本講の目標 ■●行列の固有多項式，固有値，固有ベクトルおよび，固有空間を求めることができる．
相異なる固有値に属する固有ベクトルは 1 次独立であることを理解す

●

る．
●

行列 A のすべての固有値の和と積がそれぞれ，A のトレース，行列式に一致することを理解する．
n 次正方行列 A に対して，零ベクトルでない，C のベクトル a と，あるα ∈ C に対して，Aa = αaとなるとき，α を A の固有値といい，a を固有値 α に属する A の固有ベクトルという．また，W(A) := a ∈ V | Aa = αaは V の部分空間になる．これを，固有値 α に属する A の固有空間という．
行列の各固有空間の基底を求めることが最初の目標になる．そのためには，まず固有値を見つけなければならない．これには次の定理を利用する．
定理 6.1(1)

A を n 次正方行列とする．このとき，以下が成り立つ．

α ∈ C が A の固有値  det(αE − A) = 0.

(2) α ∈ C が A の固有値のとき，dim(W(A)) = n − rank(αE − A).
証明(1)以下のことから従う．

α ∈ C が A の固有値である．
 ある零でないベクトル a ∈ C

が存在して，Aa = αa．

 連立 1 次方程式 (αE − A)x = 0 が自明でない解を持つ．
 det(αE − A) = 0．
(2)

α に属する A の固有空間 W(A) は，係数行列が αE − A である連立

154 ● 第 6 章

固有値と固有空間

1 次方程式 (αE − A)x = 0 の解空間であるから，その次元 (基本解に含まれるベクトルの個数) は n − rank(αE − A) である． ■一般に，n 次正方行列 A = (a) に対して，x の 1 変数多項式

det(xE − A) =x − a−a⋯−a−ax − a ⋯−a⫶⫶⫶⫶−a−a⋯x − aを A の固有多項式といい，F(x) と表す．上の定理より，A の固有値全体はA の固有多項式の根全体であり，A の固有値を求めるには F(x) = 0 を xについて解けばよい．
(1)

まれに，det(A − xE) を固有多項式としている答案があるが，通常，固有多項式の最高次の係数は 1 とするのが慣例であるので，det(xE− A) とすること．
(2)固有多項式は多項式であるので，あたかも方程式のように det(xE− A) = 0 と書かれても不正解であるので注意してほしい．
(3)

複素数を成分とする行列を考えているので，固有多項式は複素係数の 1 変数多項式である．したがって，その根 (固有値) は重複度も込めてちょうど n 個存在する (代数学の基本定理) ことにも注意してほしい．
α を A の固有値とするとき，上でも述べたように，W(A) は (A − αE)x = 0 の解空間 W (A − αE)で あ る．し た が っ て，α に 属 す る 固 有 空 間 W(A) の 基 底 を 求 め る に は，
(A − αE)x = 0 の基本解を求めればよい．
例題 6.1

2 次正方行列
A=0 2 2 0に対して，A の固有値と各固有値に属する固有空間の基底をひと組求めよ．
解答A の固有多項式は

F(x) =6.1

行列の固有値，固有ベクトル，固有空間 ● 155x−2 −2x = (x − 2)(x + 2)となるので，A の固有値は ±2 となる．
①W(A) について．連立 1 次方程式
(2E − A)x = 0 

2−2−22x=0の基本解を求めればよい．すると，行基本変形を用いてA 

1−100と変形できるので，11が求める基底である．
②W(A) について．(1) と同様にして，(−2E − A)x = 0 の基本解を求めて，−1 1◆を得る． ◇例題 6.23 次正方行列
40−6A= 3−2−330−5に対して，A の固有値と各固有値に属する固有空間の基底をひと組求めよ．
解答A の固有多項式を計算すると，
F(x) = (x − 1)(x + 2)となる．ゆえに，A の固有値は 1 と −2 である．
①W(A) について．W(A) は (E − A)x = 0 の解空間であり，E −A に行基本変形を施すと，

156 ● 第 6 章

固有値と固有空間

10 −201 −1000となるので，2

11が求める基底である．
②W(A) について．W(A) は (−2E − A)x = 0 の解空間であり，−2E − A に行基本変形を施すと，

10 −1000000となるので，
011 ，001 ◆が求める基底である． ◇以下，固有値，固有ベクトルに関する性質をいくつかまとめておく．
定理 6.2
証明

A の相異なる固有値に属する固有ベクトルは 1 次独立である．

α,⋯,α ∈ C を A の相異なる固有値とし，各 1 ≤ i ≤ r に対して，aを固有値 α に属する A の固有ベクトルとする．このとき，a,⋯,a が 1 次独立であることを示せばよい．ここでは，r = 2 の場合を示そう．a + a
= 0 とする．この式の両辺に左から A を掛けると，A(a + a) = 0   Aa +  Aa = 0 αa + αa = 0となる．一方，a + a = 0 の両辺に α を乗じると，
αa + αa = 0を得る．よって，2 式6.1行列の固有値，固有ベクトル，固有空間 ● 157αa + αa = 0αa + αa = 0の辺々を引くことで，
(α − α)a = 0を得る．a ≠ 0 であるので，(α − α) = 0 となるが，α ≠ α であるので
 = 0．これを a + a = 0 に代入して，a = 0 となり，a ≠ 0 より
 = 0 を得る．したがって，a,a は 1 次独立．
r ≥ 3 の場合も，帰納法を用いてまったく同様に示される． ■n 次正方行列 A = (a) の対角成分の和a + a + ⋯ + a
を A のトレース (trace) といい，tr A と表す．たとえば，
tr(1234 )=1+4=5である．
命題 6.1証明

n 次正方行列 A, B に対して，tr AB = tr BA が成り立つ．

以下の式より従う．
tr AB = ∑ (tr AB の (i,i) 成分)
= ∑ ∑ ab = ∑ ∑ ba

= ∑ (tr BA の (,) 成分)
= tr BA．
行列 A の固有値と，tr A，det A の間には以下のような関係がある．
定理 6.3n 次正方行列 A の固有多項式 F(x) の根を (重複度も込めて) α,⋯,α とする．このとき，(1) tr A = α + α + ⋯ + α(2)

det A = αα⋯α■158 ● 第 6 章

証明

固有値と固有空間固有多項式の解と係数の関係を考えればよい．ここでは，n = 3 の場合で考えてみよう．A = (a) とおく．
F(x) = (x − α)(x − α)(x − α)= x − (α + α + α)x + (αα + αα + αα)x + (−1) αααであることが分かる．一方，F(x) =

x − a−a−a−ax − a−a−a−ax − a

(6.1)

である．そこで，x = 0 を代入して両者を比べると，(−1) ααα = (−1) det Aとなり，det A = ααα を得る．
一方，(6.1) の右辺を第 1 行で展開することを考えると
F(x) = (x − a)x − a−a−ax − a+ a−a−a−a x − a− a−a x − a−a−aとなる．したがって，x の項が出てくるのは，右辺の第 1 項のみであることが分かる．同様に，第 1 行で余因子展開を続けることにより，x の項が出てくるのは(x − a)(x − a)(x − a)の項からであることが分かり，さらにそれは，−(tr A)x であることも分かる．
よって，tr A = α + α + α である． ■演習問題 6.1
6.1.1

行列
A=

1221 ，B=

6−190の固有多項式，固有値および，各固有値に属する固有空間の基底を求めよ．

6.2

6.1.2

行列の対角化とべき乗計算 ● 159行列
A=−1001−10−10 ，−1B=

2−11011−111の固有多項式，固有値および，各固有値に属する固有空間の基底を求めよ．
6.1.3n 次正方行列 A について，A の固有値と A の固有値は一致することを示せ．

6.1.4

α ∈ C を A の固有値とし，v を α に属する A の固有ベクトルとする．






(1) α は A の固有値で，v は α に属する A の固有ベクトルであることを示せ．
(2)







自然数 m ≥ 2 に対して，α は A の固有値で，v は α に属する Aの固有ベクトルであることを示せ．

6.1.5

n 次正方行列 A に対して，以下を示せ．
(1)A = 2A のとき，A の固有値は 0 または 2 である．

(2)ある  ≥ 1 が存在して A = O となるとき，A の固有値は 0 のみであ

る．
6.1.6

A を n 次正方行列とする．このとき，以下を示せ．
A は正則行列  A のすべての固有値が 0 でない

6.2

行列の対角化とべき乗計算■ 本講の目標 ■●相似な行列の固有値は (重複度も込めて) 等しいことを理解する．

●

固有ベクトルを利用して，対角化可能な行列を対角化する．

●

行列の対角化は，行列のべき乗計算に応用できることを理解する．

固有ベクトルを利用して，与えられた行列を標準的な形に変形することを考えよう．この節では，まず，行列の対角化という簡単な場合について解説する．
A, B を n 次正方行列とする．ある正則行列 P が存在して B = PAP と書けるとき，A と B が相似であるという．すると，
F(x) = det(xE − B) = det(xE − PAP) = det(P (xE − A)P)= (det P )(det(xE − A))(det P) = det(xE − A) = F(x)160 ● 第 6 章

固有値と固有空間であるから，A と B の固有多項式は一致する．したがって以下の定理を得る．
A と B を相似な行列とすると，以下が成り立つ．

定理 6.4(1)

tr A = tr B．

(2)

A と B の固有値は (重複度も込めて) 一致する．

証明

命題 6.1 より，(1)

tr (P  AP) = tr (APP ) = tr Aとなる．(定理 6.3 の (1) を用いても示される．
)(2)

A と B の固有多項式が一致するので明らか． ■対角成分以外はすべて 0 であるような正方行列

α000⋱000αを対角行列といった．正方行列 A がある対角行列に相似となるとき，A は対角化可能であるという．一般に，すべての行列が対角化可能となるわけではない．どういうときに対角化できるか考えてみよう．まず，対角化できるとしたら，ある正則行列P = (  ⋯ )が存在して，PAP =α000⋱000α AP = Pα000⋱000α (A A ⋯ A) = (α  α  ⋯ α )となる．したがって，各  は A の固有値 α に属する固有ベクトルでなければならないことが分かる．
逆に，α,⋯,α を A の固有値とし (重複があってもよい)，各 1 ≤ i ≤ n に対して，′ を固有値 α に属する固有ベクトルとし，P′ = (′ ⋯ ′)とおくと，

6.2行列の対角化とべき乗計算 ● 161AP′ = A(′ ⋯ ′) = (A′ ⋯ A′) = (α ′ ⋯ α ′)= P′

α000⋱000αとなる．したがって，′, ⋯, ′ が 1 次独立であれば P′ が正則になり，
(P′) AP′ =

α

000

⋱000αと書けることが分かる．以上の議論から以下の定理が得られる．
定理 6.5(1)n 次正方行列 A に対して，以下は同値な条件である．

A は対角化可能．

(2) n 個の 1 次独立な A の固有ベクトルが存在する．
定理 6.2 より，相異なる固有値に属する固有ベクトルは 1 次独立であるから以下の定理を得る．
定理 6.6n 次正方行列 A が相異なる n 個の固有値を持てば，A は対角化可能である．
ワンポイント 対角化可能かどうかの判定法
n 次正方行列 A が具体的に与えられたとき，A が対角化可能かどうかを判定するには以下の手順に従えばよい．
手順 1A の固有多項式 F(x) は重根を持つか？
No.  対角化可能， Yes.  手順 2 へ．

手順 2A の相異なる固有値全体を α,⋯,α，A の固有多項式を


F(x) = (x − α) (x − α)  ⋯(x − α) とするとき，各 α に対して (A − αE)x = 0 の基本解が  個の元から構成されているか？ すなわち， = dim W(A) となっているか？
Yes.  対角化可能， No.  対角化不可能．

162 ● 第 6 章

固有値と固有空間

つまり，行列 A の各固有値に対して，その重複度の分だけ 1 次独立な固有ベクトルがとれれば A は対角化可能である．
この手順により対角化不可能となった場合，対角化は絶対にできないのであきらめるしかない．
例題 6.33 次正方行列
01 0A= 10 000 2 を対角化せよ．
解答

A の固有多項式はF(x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)となるので，A は相異なる 3 つの固有値 ±1, 2 を持つ．したがって，A は対角化可能．固有値 1, −1, 2 に属する固有ベクトルとして，それぞれ
11 = 1 ，00 

 = −1 ，

 = 001がとれる．そこで，
110P = (  ) = 1−10001

とおくと，
P

10 0

AP = 0 −1000 2◆となる． ◇ワンポイント 上で考えた対角化は，あくまで P の構成によることに注意する．すなわち， たちの順序を変えて同様の議論を行った場合，対角化はできるが，その際に対角成分に現れる A の固有値の順序が変わるこ6.2行列の対角化とべき乗計算 ● 163とに注意する．たとえば，上の例題で，P′ = (  ) とおくと，200(P′) AP′ = 0−10001となる．
次に，固有値に重複がある場合の例を考えてみよう．
例題 6.43 次正方行列
A=

4−3−33−2−3−112を対角化せよ．
解答A の固有多項式は
F(x) = (x − 1) (x − 2)となるので，A の固有値は 1 と 2．固有値 1 に属する固有空間の基底を求めるために，(A − E)x = 0 の基本解を求めると，1 = 1 ，1 = 001が得られる．さらに，固有値 2 に属する固有空間の基底を求めるために，3(A − 2E)x = 0 の基本解を求めると， = が得られるので，A は3−1対角化可能である．ここで，113P = (  ) = 10301−1

とおくと，



164 ● 第 6 章

固有値と固有空間

1 0 0P 

AP = 0 1 00 0 2となる．

◆◇

ワンポイント すべての行列が対角化できるというわけではない．対角化できない行列の例として
A=0100 110

B= 011001 ，などがある．実際，もしA がある正則行列 P を用いて対角化可能であるとすると，A の固有値は 0 のみであるから，PAP = O となる．すると，A = O となり矛盾．同様に，B の固有値は 1 のみであるから，ある正則行列 P を用いて P BP = E となったとすると，B = E となり矛盾．

行列のべき乗計算への応用
様々な行列の計算において，行列のべき乗を計算する必要が生じる場合がある．行列は実数や複素数のように簡単にべき乗が求まるわけではないので，効率良く行列のべき乗を計算する方法を確立しておくことは大変重要である．ここでは，行列の対角化が，行列のべき乗計算に応用できることを解説しよう．
一般に，正方行列 A と正則行列 P に対して，(PAP) = P

A P，  ≥ 0(6.2)

が成り立つ．そこで，A を対角化可能な n 次正方行列とし，P を n 次正則行列でPAP =αOα⋱Oαとなるものとする．このとき， ≥ 0 である任意の整数  に対して，(6.2) より，

6.2

A = P(PA P)P= P (PAP) P

行列の対角化とべき乗計算 ● 165=PαOα⋱OαPを得る．したがって，上式右辺を計算することで A が計算できることが分かる．
2 次正方行列

例題 6.5

A=1 2 2 1に対して，A (n ≥ 1) を計算せよ．
解答

A の固有多項式は
F(x) = x − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3)となるので，A は相異なる 2 つの固有値 −1, 3 を持つ．したがって，A は対角化可能．固有値 −1 に属する固有ベクトルとして  =に属する固有ベクトルとして  =111 −1，固有値 3がとれる．そこで，

P = ( ) =11−11とおくと，PAP =

−100 3となる．したがって，
A = P(P=◆を得る． ◇AP) P

=1 1−11



(−1)

00



(−1)
+31 (−1) + 32 (−1) + 3 (−1) + 3

3

1 12 1 −11166 ● 第 6 章

固有値と固有空間

演習問題 6.2
6.2.1

以下の行列 A に対して，A の固有値，および固有空間の基底を求めよ．さらに，その結果を用いて，A が対角化可能かどうか判定し，対角化可能であれば対角化せよ．対角化可能でない場合はその理由を示せ．
(1)(4)
6.2.23542 (2)011−4424−3−1

0−110(5)6−330(3)−7−2000−81−106(6)

1i0−i10001

2 次正方行列A=−1−13−5を考える．

6.2.3

(1)

A を対角化せよ．

(2)

n ≥ 1 に対して，A を求めよ．

3 次正方行列
102

A= 011002

 を考える．

6.2.4

(1)

A を対角化せよ．

(2)

n ≥ 1 に対して，A を求めよ．

n 次正則行列 A, B について，AB の固有値と BA の固有値は一致することを示せ．

6.3

行列の三角化とケイリー・ハミルトンの定理■ 本講の目標 ■●任意の行列は上三角化できることを理解し，その具体的な方法を学ぶ．

●

対角化同様，上三角化は行列のべき乗計算に応用できることを理解す
る．