物理
びゅんびゅんごまにおけるねじれの力に関する研究
群馬県立前橋女子高等学校 科学部
3 年有馬瑠那 3 年遠藤七海

回転数の最大値の平均値は、図 2 のようになった。また、一元配置分散分析によって、それぞれの回転数の最大値には、有意差が認められた。回転数の変化は図 3 のようになった。
図3

１. 背景と研究の目的
本校科学部では、文化祭や各種発表会においてびゅんびゅんごまを用いて、小学生との交流を図っていた。そこで、びゅんびゅんごま(以下、こまとする)の回転原理について調べてみようと思った。
２. 実験Ⅰ①仮説
紐が回転方向に加える力によって、こまが回ると仮説を立てた。本数が増えても、一本の力は弱まる
ため、回転数は変わらないと考えた。
②方法
紐の本数を２本、４本、８本と変える。中心から紐を通す穴への距離を 0.50cm にし、こまを作成する。
12 回ねじったこまに 1kg の重りで力を加える。その回転数を算出する。
図 1[こま]写真 1[実験装置]
0.50cm6.0cm

厚さ 2.0mm
紐 70.0cm
・おもり 1kg、紐 テグス
こまの片側を柱に固定し、もう片側に 1kg のおもりをつける。このとき、ねじれの幅を固定するために滑車の手前に棒を入れておく。
こまを 12 回転させ、 回転数を算出する。
③結果
図2

④考察
回転数の最大値の平均値は、紐の本数が多いほど大きくなった。よって、張力の大きさではなく、ねじれが解けようとする力（以下、ねじれの力とする）で、回転していると考えられる。
また、誤差が小さくなったのは、人為的要因を可能な限り排除した装置であったためだと考えられる。
起こった誤差については、手の離し方だと考えられる。
３. 実験Ⅱ①仮説
実験Ⅰの結果は紐のねじれの力によるものだということを示すため、厚紙は外し、変える条件は実験Ⅰと同様、紐の本数とする。
②準備するもの[実験装置] 写真 2 →・おもり 1kg・柱 ・棒・スタンド ・こま
紐の状態を再現するために、スタンドの上部にこまを固定し、垂らした糸におもりをつける。前回の実験と同様に測定し、回転数を算出する。

③結果
回転数の変化は図 4 のようになった。

図6

図4④考察
図 3 と図 4 を比較すると、グラフの形状が非常に近くなった。このことから、回転数の変化は紐のねじれの力に依存しているとわかる。
周期に注目すると、2 本の周期は 8 本の周期の 2倍になった。
４. 実験Ⅲ①仮説
ねじれの力を変化させる要因を調べるために紐の長さに着目して実験を行った。紐の長さが短くなるほど、回転数が大きくなると仮説を立てた。
②方法
紐の長さを 23.3cm、35.0cm、70.0cm と変え、こまを作成する。実験Ⅰと同様の実験装置を用いる。
③結果
図5

x 軸は紐の長さ(cm)、y 軸は回転数の最大値の平均値(rpm)④考察
紐の長さを短くすると、回転数は大きくなった。これは、ねじれの巻きが強くなったことで、ねじれの力が大きくなったからだと考えられる。

↑巻きが強い↑巻きが弱い
結果のうち、紐の長さと回転数はどちらも常に 0以上なので、太線の曲線になると考えた。
紐の長さと回転数の最大値は数式化できる可能性があるが、実験が不十分である。
５. まとめと今後の展望
こまを回転させているのは、ねじれの力だということが分かった。今後はねじれの力についての詳しい研究を行っていきたい。
６. 参考文献・M. Saad Bhamla “Paperfuge: An ultra-low cost,hand-powered centrifuge inspired by the mechanics
of a whirligig toy” 2016

回転数の最大値の平均値は図 5 のようになった。
一元配置分散分析によって、それぞれの回転数の最大値には、有意差が認められた。
得られたデータに二次曲線を当てはめると図 6 のようないくつかの曲線が考えられる。

3種類の十二角柱における座屈による強度の比較
群馬県立前橋女子高校

要旨
紙で作成した３種類の十二角柱（正十二角柱、六角星柱、十字柱）を圧縮したとき、十字柱の強度が最も大きいとわかった。これは角柱によって座屈による変形の仕方が異なるからであり、十字柱は座屈荷重が大きい、つまり断面二次モーメントの値が大きいとわかった。さらに３Dプリンターで作成したポリ乳酸製の角柱でも同様の実験を行い、同じ結果が示された。

１. 序論＜測定方法＞

角柱の強度は角の数が多いほど強くなる

１. 測定装置に7500gのおもりを吊るすex) 正三角柱 ＜ 正四角柱 ＜ 正六角柱 ≪ 円柱

２. 約30秒ごとに500gずつおもりを追加していく

角の数が同じ角柱において、底面の形状を３. 角柱が破壊されたときのおもりの質量を測定する＜結果＞変えた時に『強度』に差があるのか？

ba,ba『強度』＝『角柱が破壊されたときの質量』と定義＜仮説＞
角の数と周囲の長さが同じ中空の角柱を用いれば、強度は底面の形状によって変わらない
角柱の耐力は『応力度 ✕ 力が加わる面積 ＝ 耐力』で表され、耐力を強度とみなした※同じ英文字間ではTukey(5%)で有意差がない (n=６)

＜考察＞

２. 実験

・仮説は否定され、十字柱が最も強くなり、これは前【 実験Ⅰ 】

述した仮説で用いた式に矛盾する。

＜試料＞

・その要因として①紙の素材 ②セロテープの貼付位置

すべての角柱を厚紙で周囲180.0mm✕高さ82.5mm✕
厚さ0.2mmに作成③実験装置 ④潰れ方 の視点で考察した。そこで実験

セロテープを貼るⅠのすべての角柱で破壊される際に、側面が急激に折れる現象（座屈）が見られたことから、④潰れ方に着目し、新たな仮説を立てた。

３種類の十二角柱の底面形状

３. 新たな仮説＜測定装置＞
1. ２枚の板を用意し、その間に角柱を挟む

オイラーの座屈荷重の公式

2. 角柱と板の中心に糸を通しその下におもりを吊るす
角柱の重心を圧縮角柱

Pcr : 座屈荷重
C: 端末係数
E: ヤング率l: 高さ
Imin : 最小断面二次モーメント

上記の式から l :角柱の高さ と Imin: 底面の形状によって定める値である最小断面二次モーメント に着目
バッグ（中におもり）

して【 実験Ⅱ 】【 実験Ⅲ 】を行った

【 実験Ⅱ 】＜測定方法＞

座屈荷重の公式の角柱の高さに着目して実験を行う

１. 右図の測定装置に角柱を置く

実験Ⅰのデータに加えて高さが低い角柱で実験を行う

２. 0.015~0.018mm/秒で圧縮する
３. 角柱が破壊されたときの力を＜仮説＞
高さが低くなるほど座屈が起こりにくくなり、高さが低いほ測定する『株式会社島津製作所
万能圧縮試験機』

うが強度が強くなる＜試料＞
角柱は厚紙で周囲180.0mm✕高さ10.0mm✕厚さ0.2mmに作成＜結果＞b＜測定方法＞

aa

１. 測定装置に7500gのおもりを吊るす２. 約30秒ごとに500gずつおもりを追加していく
３. 角柱が破壊されたときのおもりの質量を測定する

＜結果＞

n.s.
※ 同じ英文字間ではTukey(5%)で有意差がない (n=６)＜考察＞
・すべての角柱には圧縮方向と垂直に亀裂が生じ、角柱は潰れた。この亀裂は座屈によるたわみによって生み出されたものと考えられる。
よって、ポリ乳酸でも底面の形状によって座屈により※ n.s.は分散分析で有意差がないことを示す（n=6）

強度は変わり、十字柱が最も強くなった。

＜考察＞・実験ⅠとⅡの結果より高さが低くなると座屈がはたら

４. 結論

きにくくなり強度が強くなった。

十二角柱において、・実験ⅠとⅡのデータ数は同じであるが、データ数が少ないため実験Ⅱの結果は正確なものとは言えない。

【 実験Ⅲ 】
座屈荷重の公式の角柱の最小断面二次モーメントに着目して実験を行う
より正確な底面の形状を作るために３Dプリンターで角柱を作成した＜仮説＞
底面の形状によって座屈により強度が変わる＜試料＞
全ての角柱は３Dプリンターを用いてポリ乳酸で周囲120.0mm✕高さ82.5mm✕厚さ0.5mmに作成

底面の形状を変えた時に強度は変わる！！
⇒ 座屈による変形の違い の可能性が高い＜展望＞・角柱の側面を抑えて実験を行うことで、座屈の起こる方向を調べたい＜実用想定例＞
・十字型の建物や、お菓子の仕切りを十字にする
・災害時の簡易ベッド・椅子の足に十字柱を使用する

強度が強い柱

災害に強い柱

５. 参考文献
山口梅太郎, 西松裕一: 岩石力学入門[第３版], 東京大学出版会(1991).

3 種 類 の 12 角 柱 の 強 度 比 較

群馬県立前橋女子高校
押本

3 年

和佳子

1. 要 旨厚 紙 （ マ ー ク シ ー ト ） で 作 成 し た 3 種 類 の 12 角 柱 （ 正 十 二 角 柱 ， 六 角 星柱，十字柱）を圧縮してその強度を測定した。用いた角柱はすべて中空であり，底面の周囲の長さは同じである。角柱を圧縮した結果、十字柱の強度が最も大きくなった。これは角柱による座屈による変形の仕方が異なるからであり，十字柱は座屈荷重が大きい，つまり断面二次モーメントが大きいと分か っ た 。 さ ら に 3D プ リ ン タ ー で 作 成 し た ポ リ 乳 酸 製 の 角 柱 で も 同 様 の 実 験を行い，同様の結果が示された。

2. 研 究 目 的
一般に力が加わる面積が同じ角柱において圧縮強度を測定すると，角の数が少なくなるほど，強度は小さくなることが知られている

1)。 山 口 ら が 石 材

で底面積の等しい正三角柱，正四角柱，正六角柱，円柱の圧縮強度を測定したところ，圧縮強度が小さい方から順に正三角柱，正四角柱，正六角柱，円柱となった。
最近災害時などで段ボールを組み合わせて土台にした簡易ベッドを見かけるようになった。このように木材や石材ではなく中空の角柱でも十分な耐荷重をもっている例がある。しかし，中空の角柱の圧縮強度についての研究は見当たらなかった。そこで，周囲の長さを同じにすることで力の加わる面積を同じにし，かつ角の数が同じ中空の角柱ならば，圧縮強度は変わらないと
予 測 し 本 研 究 で 調 べ る こ と に し た 。具 体 的 に は 12 角 形 で 異 な る 底 面 形 状 を もつ 3 種類の角柱，正十二角柱，六角星柱，十字柱の強度を測定した。中空の角柱における圧縮強度を調べることは，先述した簡易ベッドなどの家具にお1いて軽くて丈夫な物作りなどの分野に活かされると思われる。

3. 実 験 Ⅰ( 1 ) 目的
マークシートで作成した底面形状が異なる３種類の角柱，正十二角柱，六角星柱，十字柱において強度を測定し比較する。
( 2 ) 試料図 1 に使用した試料を示す。学校で使用しているマークシート（株式会社デ ー タ ビ ジ ネ ス サ プ ラ イ ， 厚 さ 0 .2mm） を 使 用 し た 。 使 用 し た 理 由 は ， コ ピ
ー用紙より丈夫で安価，また手に入りやすい素材であったからである。マーク シ ー ト を 180 .0 mm×82 .5 mm の 長 方 形 に 切 り 取 っ た 。 そ れ を 高 さ 8 2.5mmの正十二角柱，六角星柱，十字柱になるように折り，マークシートの端をセロテープで留めた。セロテープの貼付位置は角の谷側とした。

図 1.
左 よ り 正 十 二 角 柱 ，六 角
星 柱 ， 十 字 柱 （ 周 囲180. 0mm，高 さ 82.5mm）( 3 ) 測定方法(ⅰ ) 測 定 装 置
図 2 に示すように 2 枚の同じ材質のベニヤ板の間に角柱をはさみ，釣り糸を角柱と板の重心を通るように上から垂らし，その下におもりを吊るし荷重をかけることで強度を測定した。おもりには水を入れたペットボトル，ゴム製のおもり，分銅，ダンベルを用いた。板を用いて下へ引っ張って荷重をかけた理由は，角柱の重心に荷重をかけること，および糸やバッグを用いることでおもりを追加するときの揺れを少なくしたかったからである。
2図 2.
測定装置
図の上部中央で角柱がベニヤ板に挟まれている(ⅱ ) 測 定 方 法
測 定 装 置 を 用 意 し 、 お も り を 30 秒 ご と に 30 0g ず つ 追 加 し て い き ， 角 柱 が破壊されたときのおもりの質量を測定した。そして，そのおもりの質量を強度 と み な し た 。 デ ー タ の 処 理 に つ い て は Tuke y を 用 い た 。
( 4 ) 結果
実験Ⅰの結果を図 3 に示す。十字柱の強度が正十二角柱のそれよりも大きいことが分かる。また角柱が破壊される過程に注目すると，全ての角柱は，徐々に側面が少し歪み，急に側面の上部から中部が折れることで潰れた（図4 参 照 ）。

ba, b

図 3.

a

3 種類の底面形状の異なる角柱の強度 （ 周 囲 18 0.0mm 高 さ 82 .5 mm）（ n=6 ）
※ 同 じ 英 文 字 間 で は Tuke y( 5 %) で有意差がないことを示す。

3図 4.
破壊された正十二角柱（ 周 囲 1 80 .0 mm， 高 さ 82 .5 mm）( 5 ) 考察
底面形状の違いによって強度に差がみられた理由を考察するために，圧縮
強 度 と 面 積 の 関 係 を 示 す『 応 力 度 ×面 積 ＝ 耐 力 』の 式 2 ) 3 ) を 実 験 Ⅰ の 結 果 に 当てはめてみる。式中の「応力度」は，本実験では加える力が非常に小さいため定数とみなせる。
「 面 積 」と は 力 が 加 わ っ て い る 面 積 の こ と な の で ，底 面 積の同じ試料を用いれば理論的には耐力は一定となる。ここで，耐力とは強度とみなすことができるので，理論的には面積が同じなら強度に差が生じないはずである。しかし，実験Ⅰの結果では面積が同じであるにも関わらず底面形状の違いによって強度に差が生じた。この要因として，試料の精密さや測定装置の妥当性，測定方法の画一性などにおいて不適なものがある可能性が考えられた。また，すべての角柱が破壊される過程において，徐々に側面が少し歪み急に側面の上部から中部が折れるように潰れる座屈が観察された。
そこで，本研究ではこの座屈という現象に着目し，実験Ⅰの結果で強度に差が生じたのは角柱の底面形状によって座屈の起こり方が異なったからであると考えた。
オ イ ラ ー の 座 屈 荷 重 の 公 式 2)3)
Pcr =（ Pcr:𝐸𝐼𝑚𝑖𝑛

（イ）

𝑙2

座 屈 荷 重 ，𝐸 : ヤ ン グ 率 ，𝐼𝑚𝑖𝑛 : 最 小 断 面 二 次 モ ー メ ン ト ，𝑙 : 部 材 の高さ）
式（イ）を実験Ⅰの結果に当てはめてみる。式（イ）のヤング率は素材によって決まる定数より，高さと最小断面二次モーメントが座屈荷重すなわち強度に影響することがわかる。最小断面二次モーメントは底面形状に相当する
4

値であることより，底面形状が同じ角柱で高さを変える，すなわち高さを小さくすると強度が大きくなると考えられる。そこで実験Ⅱでは同じ底面形状の角柱について，角柱の高さを変えて強度を測定した。

4. 実 験 Ⅱ( 1 ) 目的異なる底面形状の角柱における強度の差の要因が座屈の起こり方の違いによることを確かめるために，同じ底面形状の角柱について角柱の高さを変えて強度を測定し比較する。
( 2 ) 試料図 5 に 使 用 し た 試 料 を 示 す 。 実 験 Ⅰ と 同 様 の マ ー ク シ ー ト を 18 0 .0 mm×1 0.0 mm の 長 方 形 に 切 り 取 っ た 。 そ れ を 高 さ 1 0.0mm の 正 十 二 角 柱 ， 六 角 星柱，十字柱になるように折った。但し，六角星柱と十字柱についてはセロテープの貼付位置をすべて角の谷側にした。

図 5.
左 よ り 正 十 二 角 柱 ，六 角星 柱 ， 十 字 柱 （ 周 囲1 80. 0mm，高 さ 10.0mm）( 3 ) 測定方法
実験Ⅰと同様の方法で各角柱が破壊されたときの重りの質量を測定した。
そして，そのおもりの質量を強度とみなした。データの処理については T 検定を用いた。
( 4 ) 結果
実 験 Ⅰ と 実 験 Ⅱ の 結 果 を 比 べ る 。同 じ 底 面 形 状 で 高 さ の 異 な る（ 82 .5 mm( 左側 ) ，10 .0 mm( 右 側 ) ）角 柱 ３ 種 類 の 強 度 を 比 較 し た 結 果 を 図 6 に 示 す 。同 図 より 同 じ 底 面 形 状 の 角 柱 で は ３ 種 類 の 形 状 す べ て で 高 さ が 低 い 方（ 1 0.0 mm）の5角柱の強度が大きかった。また，破壊される過程に着目するとすべての角柱は，徐々に側面が少し歪み，急に側面の上部から中部が折れることで角柱が潰れた。

図 6.
同 じ 底 面 形 状 の 高 さ 82 .5 mm と 1 0.0 mm の 強 度（ 周 囲 180 .0 mm）（ n= 6）※ ＊ : p<0.05＊ ＊ ： ｐ ＜ 0 .01( 5 ) 考察
図 6 より 3 種類の形状すべてで低い方の角柱の強度が大きくなった。この
結 果 は 式 （ イ ）， す な わ ち 𝑙 が 小 さ く な る と 𝑃𝑐𝑟 が 大 き く な る ， に 当 て は まり本研究において角柱の強度は座屈の影響が大きいと考えられる。したがって，実験Ⅰにおける形状の違いによる強度の差は，角柱による座屈の起こり
方 の 違 い が 要 因 と 考 え ら れ ， 式（ イ ）よ り 強 度 は 𝐼𝑚𝑖𝑛，す な わ ち 底 面 形 状 の 違いによって差が生じたものと考えられる。

5. 実 験 Ⅲ( 1 ) 目的式（ イ ）よ り 𝐼𝑚𝑖𝑛に 着 目 し ，マ ー ク シ ー ト を 使 用 し た 手 作 業 に よ る 角 柱 の 底面 形 状 と 比 べ ， よ り 正 確 な 底 面 形 状 を 3Ｄ プ リ ン タ ー で 作 製 し ， 底 面 形 状 が異なる 3 種類の角柱において強度を測定し比較する。
( 2 ) 試料
図 7 に 使 用 し た 試 料 を 示 す 。 3 D プ リ ン タ ー （ XYZ プ リ ン テ ィ ン グ ジ ャ パ
6

ン 株 式 会 社 『 da Vinc i 1 .0 Pr o』） で ポ リ 乳 酸 （ PLA） 製 の 高 さ 82 .5 mm， 周
囲 は 120 .0 mm， 厚 さ 0 .5 mm の 正 十 二 角 柱 ， 六 角 星 柱 ， 十 字 柱 を 作 製 し た 。

図 7.
左 よ り 正 十 二 角 柱 ，六 角 星柱 ，十 字 柱（ 周 囲 120. 0mm，高 さ 82.5mm）( 3 ) 測定方法
PLA 製 の 正 十 二 角 柱 ，六 角 星 柱 ，十 字 柱 を 油 式 万 能 圧 縮 機（ 株 式 会 社 島 津 ）で 0 .015 ~0 .018 mm/ 秒 で 圧 縮 し た 。 実 験 Ⅰ ， Ⅱ と 測 定 装 置 が 異 な る の は 角 柱の素材を変えたことにより大きな力が必要になったからである。加圧値の最高 値 を 強 度 と し て 測 定 し た 。 デ ー タ の 処 理 に つ い て は Tukey を 用 い た 。
( 4 ) 結果
図 8 よ り ，六 角 星 柱 と 十 字 柱 の 強 度 が 正 十 二 角 柱 の そ れ よ り 大 き く な っ た 。
六角星柱と十字柱の強度については，有意差がなく同程度だった。
また，角柱が破壊される過程に注目すると，破壊後のすべて角柱には図 9に示すように圧縮方向に対して垂直方向に亀裂が生じていた。

baa

図 8.

3 種類の底面形状の異なる角柱の強 度（ 周 囲 12 0.0 mm 高 さ 82 .5 mm）（ n=6）※ 同 じ 英 文 字 間 で は Tu ke y (5 %) で有意差がないことを示す。

7

図 9.
破壊された正十二角柱，十字柱（周囲120. 0mm， 高 さ 82. 5mm）( 5 ) 考察正 確 な 底 面 形 状 を 作 成 で き る PL A 製 の 角 柱 に お い て も マ ー ク シ ー ト 製 の場合と同様に底面形状の違いによる強度の差がみられた。よって力の加わる面 積 は 同 じ で 底 面 形 状 が 異 な る 角 柱 に お い て そ の 強 度 は 紙 や PL A と い う 素材によらず，底面形状によって異なると考えられる。
また図 9 より，破壊されたすべての角柱に圧縮方向に対して垂直方向に生じ た 亀 裂 の 原 因 と し て ，3D プ リ ン タ ー で の 角 柱 の 作 成 は 細 い 糸 状 に 押 し 出 され た PLA が 一 段 ず つ 底 面 の 形 に 積 み 上 げ ら れ て い く た め ，一 段 一 段 に 若 干 の隙間が生まれているからと考えることができる。そのため，座屈の定義である試料中部でのたわみが起こったときに試料が外にはみ出る力に耐えきれずに亀裂が生じたと考えられる。

6. 結 論力 の 加 わ る 面 積 お よ び 角 の 数 が 同 じ で 底 面 形 状 が 異 な る 12 角 柱 で は ，そ の強 度 に 差 が 生 じ た 。そ の 要 因 と し て 式（ イ ）よ り ，𝛪𝑚𝑖𝑛の 値 が 形 に よ っ て 異 な
る こ と よ り ， 底 面 形 状 の 違 い に よ り 𝑃𝑐𝑟の 値 に 差 が 生 じ た と 考 え ら れ た 。
試料のたわみは圧縮方向に対して垂直方向に起こったことから座屈の起こる方向が強度に影響している可能性も考えられる。

7 .参 考 文 献1 ) 山 口 梅 太 郎 ，西 松 裕 一 郎 . 岩 石 力 学 入 門 [ 第 3 版 ] . 東 京 大 学 出 版 会 . 19 91 .
2) 寺 本 隆 幸 ， 長 江 拓 也 . 建 築 構 造 の 力 学 Ⅰ 第 2 版 静 定 力 学 編 . 森 北 出 版 .
82021.
3 ) 島 津 孝 之 編 集 . 鋼 構 造 [第 2 版 ]. 森 北 出 版 . 2003.

8 .謝 辞本研究を行うにあたり，前橋工科大学の北野敦則教授，群馬県立高崎工業高校の福島正樹先生には実験に際して丁寧なご指導とご協力をいただきました。また，指導教員の大島先生，岩佐先生には，実験計画から論文作成の長きに渡って丁寧かつ熱心なご指導を賜りました。土屋先生には，論文作成において数々のご助言を賜りました。この場をお借りし，心より感謝申し上げます。

91PS-3208(ppm)(10cm)

n=7

n=8

n=3n=4()24.1cm×19.0cm)3)50)

8000ppm(33.1cm×2
8000±1000ppm(20.0-²s-¹)
PPFD(( )(8000/GFRPjstage.jst.go.jp/article/jsmekyushu/2013.66/0/2013.6
6_33/_pdf
CO2

F.C.Lab