Théorie des Nombres
Unités de Stark et corps de classes de Hilbert

Xavier-François Roblot
Résumé. Suivant l’idée originale de Stark selon laquelle ses conjectures sont uneréponse partielle au XII-ième problème de Hilbert, on montre comment ces conjectures permettent de construire le corps de classes de Hilbert d’un corps totalement
réel à l’aide de calculs approchés des dérivées de certaines fonctions L d’Artin.

Stark units and Hilbert class fields
Abstract. Following Stark original idea, we describe how one can use his conjectures to construct the Hilbert Class field of totally real fields by computing accurate
approximations of the first derivative of some Artin L-functions.

I. Conjectures de Stark
Soient K/k une extension abélienne de corps de nombres, f le conducteur de cetteextension et G son groupe de Galois ; on suppose qu’au moins une place infinie dek est totalement décomposée dans K/k. A tout élément σ de G est associée lafonction zêta partielle définie pour Re(s) > 1 par :Xζ(s, σ) =N a−s ,(a,f)=1σa =σoù a parcourt les idéaux entiers de k premiers avec f dont le symbole d’Artin σavaut σ.
Pour un caractère χ de G, on définit une fonction L d’Artin au moyen du produit
eulérien pour Re(s) > 1 :YL(s, χ) =(1 − χ(σp )N p−s )−1p-foù p parcourt les idéaux premiers de k ne divisant pas f.
Ces fonctions admettent des prolongements méromorphes au plan complexe (etmême holomorphes pour la fonction L si le caractère χ est non trivial) et sont liéespar la relation :X1
ζ(s, σ) =L(s, χ)χ̄(σ).
[K : k]χ∈Ĝ

Pour un caractère χ de G, on pose s(χ) le nombre de places infinies de k etde places finies ramifiées dont la restriction de χ au groupe de décomposition est
triviale. L’ordre r(χ) du zéro de L(s, χ) en s = 0 est r(χ) = s(χ) − 1 si χ est lecaractère trivial, sinon r(χ) = s(χ).
Soient v une place infinie de k totalement décomposée et w une place fixée de K
au-dessus de v.
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XAVIER-FRANÇOIS ROBLOT

Conjecture de Stark. Il existe une unité ε de K telle que log |εσ |w = −eζ 0 (0, σ) pour tout σ ∈G, ou de manière équivalente :L0 (0, χ) = −1X
χ(σ) log |εσ |weσ∈Goù e est le nombre de racines de l’unité contenues dans K. (Cette unité n’estdéfinie qu’à la multiplication
par une racine de l’unité contenue dans K près.) De√
eplus, l’extension K( ε)/k pour une unité ε vérifiant la condition précédente est
abélienne, et ainsi ne dépend pas du choix de ε.
Un énoncé plus complet des conjectures de Stark se trouve dans le livre de Tate
[6].
Le but de cette méthode étant d’utiliser les unités de Stark dans la construction
du corps de classes de Hilbert d’un corps totalement réel (suivant l’exemple original
donné dans [5]), on admet dans la suite la validité de cette conjecture et on vérifie
ensuite cas par cas que l’unité utilisée pour cette construction possède toutes lespropriétés décrites. Les résultats suivants sont démontrés sous l’hypothèse que laconjecture énoncée ci-dessus est valide.
II. Applications aux corps totalement réels
Soient k un corps totalement réel de degré N ≥ 3 (†) et dk son discriminant. Onnote v1 , . . . , vN les plongements de k et, par extension, les places infinies associéesde k.
Soit η un entier de Ok , anneau des entiers de k, tel que v1 (η) > 0 et vi (η) < 0√pour 2 ≤ i ≤ n ; η n’est pas un carré dans Ok . On note k 0 = k( η) ; la signaturede k 0 est (2, N − 1) et toutes les places de k, sauf v1 , se ramifient dans k 0 . Soit
f0 le discriminant relatif de l’extension k 0 /k ; f0 est produit d’idéaux premiers
distincts sauf, éventuellement, pour les idéaux premiers au-dessus de 2. On notef∞ = v2 . . . vN ; le conducteur de k 0 /k est alors f = f0 f∞ .
√Soit K = H( η), où H est le corps de classes de Hilbert de k ; K est une
extension abélienne de k de conducteur f. Soit ε l’unité de Stark associée à K/ket à w place infinie fixée de K au-dessus de v1 telle que w(ε) > 0 (cette unité estsupposée exister - cf. ci-dessus) ; les seules racines de l’unité contenues dans Kétant ±1, la condition imposée assure l’unicité de cette unité.
Proposition. L’unité ε engendre K sur k, et même sur Q .
On peut à présent énoncer le résultat principal de ce paragraphe :Théorème. Il existe un élément α ∈ H tel que, pour tout σ ∈ Gal(H/k), on a∗∗ασ = εσ + 1/εσ , où σ ∗ est un prolongement arbitraire de σ à G. De plus, α est
un générateur de H/Q .
III. Méthode de calcul explicite
Soient k un corps totalement réel de degré ≥ 3 et K défini comme dans la section
précédente. On a un isomorphisme G ∼=< τ > ×H où τ est l’automorphisme nontrivial de l’extension quadratique K/H et H = Gal(H/k).
Soit χ un caractère de G ; on écrit χ = χ0 χ1 où χ0 est un caractère de < τ >et χ1 un caractère de Gal(H/k). On considère pour le calcul de L0 (0, χ) deux cas,suivant que χ0 est trivial ou non.
(†) dans un but de simplification, on écarte le cas où k est un corps quadratique.

3Si χ0 est trivial, le corps fixe des’ensuit quep χ est H, son conducteur est Ok et ils+1s
NL (0, χ) = 0. Sinon, posons C = dk N f0 /π et Λ(s, χ) = C Γ(s/2)Γ( 2 )N −1 L(s, χ).
La fonction Λ vérifie l’équation fonctionnelle Λ(1 − s, χ) = W (χ)Λ(s, χ̄), où W (χ)
est un nombre complexe de module 1 appelé “Artin Root Number”. Le calcul dece nombre est un des problèmes principaux de cette méthode et s’effectue par desconsidérations locales (voir [4] pour une définition complète).
En faisant tendre s vers 0, on trouve que lims→0 Λ(s, χ̄) = 2π (N −1)/2 L0 (0, χ̄) carla fonction Γ admet un pôle simple en s = 0 de résidu 1. On a donc prouvé que :0Λ(1, χ̄)L0 (0, χ) =2π

N −1
2.

W (χ̄)

Le calcul de la fonction Λ en s = 1 se fait en généralisant la méthode de Friedman
expliquée dans [3] et developpée par Tollis [7].
Une fois déterminées des valeurs approchées de Λ(1, χ) pour tout χ, on en déduit
des valeurs approchées des conjugués de ε, puis de α sur k. Il faut remarquer que
quand on ôte la valeur absolue dans la formule définissant les conjugués de ε, unsigne reste à determiner ; en fait, on a fixé ce signe en choisissant ε tel que w(ε) > 0,et dans ce cas, on démontre que tous
√ les conjugués de ε sur k sont positifs (ceciest une conséquence du fait que K( ε)/k est abélien). On peut alors former lepolynôme réel dont les racines sont les approximations des conjugués de α obtenus :on obtient des approximations en v1 des coefficients de ce polynôme. Pour pouvoir
identifier ces coefficients, on a besoin de savoir ce qui se passe en les autres placesde K.
Lemme. Soit w0 une place de K qui ne divise pas v1 (elle est donc complexe).
Alors on a |ε|w0 = 1.
Grâce à ce lemme, on peut borner les plongements en toutes les places des coefficients du polynôme irréductible de α sur k. On obtient un nombre fini d’entiersalgébriques susceptibles d’être un coefficient donné de ce polynôme. Le plus souvent une précision suffisante dans les calculs permet de ne retenir qu’un seul entieralgébrique pour chaque coefficient. Il suffit alors de construire le polynôme correspondant et de vérifier qu’il définit bien le corps de classes de Hilbert de k.
Des calculs analogues pour démontrer les conjectures de Stark dans le cas decorps cubiques réels ont été menés à bien dans [2] et en utilisant la théorie deKummer on peut construire le corps de classes de Hilbert d’un corps de nombres(cf. [1]).
On cite, pour terminer, deux exemples obtenus lors de la construction d’une
table de corps de classes de Hilbert pour les corps cubiques réels non principaux dediscriminant ≤ 100000.
Le corps k défini par une racine θ du polynôme X 3 −21X −35 est de discriminant
3969 et de nombre de classes 3. On obtient un corps K dont la norme absolue duconducteur est 5 et un polynôme relatif définissant le corps de classes de Hilbert :X 3 +(−56θ2 +176θ+624)X 2 +(1568θ2 −4920θ−17491)X+(−6244θ2 +19592θ+69649).
Le corps k défini par une racine θ du polynôme X 3 − 36X − 1 a un discriminantde 20733 et un nombre de classes de 5. Dans ce cas la partie finie du conducteurde K est triviale et l’on obtient le polynôme relatif :X 5+−77θ2 − 458θ + 10 4 4954θ2 + 29803θ + 892 3
X +X +(−28300θ2 −170186θ−4672)X 2 +33

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375296θ2 + 2256983θ + 62480−487366θ2 − 2930938θ − 81019
X+.
33Dans chacun des deux exemples, on peut démontrer que le polynôme relatifdonné définit le corps de classes de Hilbert du corps k, et que l’unité ε utilisée danscette construction vérifie la conjecture énoncée dans la limite de la précision descalculs.
BIBLIOGRAPHIE[1] M.Daberkow, M.Pohst, Computations with relative extensions of number fields with an application to the construction of Hilbert class fields, Proc. ISAAC’95 (1995).
[2] D.Dummit, J.Sands, B.Tangedal, Computing Stark units for totally real cubic fields, Math.
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[3] E.Friedman, Hecke’s integral formula, Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux (19871988).
[4] J. Martinet, Character theory and Artin L-functions, in Algebraic number fields (A.Frölich,ed.), Academic Press, 1977.
[5] H.M.Stark, Hilbert’s twelfth problem and L-series, Bull. Am. Math. Soc. 83 (1977), 1072–1074.
[6] J. Tate, Les conjectures de Stark sur les fonctions L d’Artin en s = 0, Birkhaüser, Boston,
1984.
[7] E. Tollis, Calculs dans les corps de nombres : étude algorithmique de la fonction zêta deDedekind, Thèse, Université Bordeaux I, 1996.
Laboratoire A2X
Université Bordeaux I
351, cours de la libération
33405 Talence- France
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