電磁誘導

時間依存性があるときに何が起きるのかを見ていきます。細かく見るといろいろ面倒なので、大雑把に見ていきます。
ここで曲線と言っているのは電流が流れる導線で、外部に電場を発生させないとしています。
マクスウェルの応力テンソルも求めています。

ファラデー (Faraday) は電流による磁場の発見から、磁場から電流を作れないかと考え、そのための実験を行いました。それが確認できた実験は、鉄のリングの右半円と左半円部分にそれぞれ銅線を螺旋状に巻きつけ、右側の銅線に電流を流すというものです。そして、このリングからある程度離れた左側 (右側の銅線が作る磁場の影響を受けない距離) に磁針をおき、その反応を見ます。その結果、電流を流し始めたときと止めたときの短い時間間隔において、磁針が元の位置からズレるのが確認されました (安定して流れ出すと磁針は元の方向を向く)。
この実験は簡単に言えば、片方の銅線に一定でない電流を流すともう片方の銅線で電流が発生し、発生した電流によって磁針が動くというものです。つまり、変動する電流 (変動する磁場) は電流を発生させます。これを電磁誘導 (electromagnetic induction) と呼びます。
電磁誘導に関する法則を見つけるための実験は簡単に言えば(i) 静磁場中で閉曲線を動かす(ii) 閉曲線を固定して静磁場を動かす(iii) 磁場の強さを変化させる
これらを見ていきます。閉曲線には電荷がいます。

(i) では、閉曲線を動かすことで閉曲線にいる点電荷が動くので磁場からローレンツ力を受けます。静磁場 B の中に閉曲線 C1 があり、それが速度 v で動いているとします。その閉曲線にいる点電荷は速度 v で動くので、それらの点電荷は B から FL = Qβb−1 v × B の力を受けます。ここで、電荷が外部から力を受けているときの量として

IE=dl · Fext
Cを定義します。Fext は外部から電荷に作用する単位電荷あたりの力、C はその電荷が動く曲線です。E は起電力

(electromotive force, emf) と呼ばれます。起電力と呼ばれますが E は力の次元ではなく、単位電荷当たりの力による仕事です。

FL は点電荷に作用する力なので、単位電荷あたりの力FL= βb−1 v × B
Qとして、起電力はI
E=dl ·CFL= βb−1Q

IC1dl · (v × B)

C1 の微小間隔を ∆l とすると、∆l が時間 ∆t 動いたときにできる微小な面（平行四辺形）の面積は ∆s = vdt × ∆lで与えられます。∆s の向きは、∆t 後の閉曲線を C2 とすれば、C1 と C2 で挟まれた面の外向きです (C1 , C2 が同じ円なら、円筒の側面の外向き)。そうすると

1∆l · (v × B) = (∆l × v) · B =1∆s(∆l × v∆t) · B = −·B∆t∆t

なので、C1 , C2 で挟まれた面を S とすれば

E =−1βb∫ds·BS dt

右辺の積分は、C1,2 を縁とする面 S1,2 を加えると閉曲面になるので、磁場の発散 ∇ · B = 0 から (法線方向は閉曲面の外向き)∫∫

Sds · B +∫ds · B +S1

ds · B = 0S2

今は C1 を動かすと C2 になるので、C1 の法線方向に C2 での ds も合わせれば∫S∫
ds · B =S2∫
ds · B −S1ds · B

S2 は S1 から ∆t 経過したものなので、磁束 Φ で∫S

ds · B = Φ(t + ∆t) − Φ(t)と書けて、∆t → 0 で右辺は S1 での面積分になります。よって

11 dΦ1 dΦ(t + ∆t) − Φ(t)E =−=−=−lim∆t→0βb∆tβb dtβb dt∫
S1ds · B

これが (i) の結果で、閉曲線を動かすことで磁束の時間微分に等しい起電力が現れ、それによって電流が流れます。

(ii) では閉曲線は固定されているために点電荷は静止しているので、磁場によるローレンツ力を受けません。このため、電場 Eind が発生して点電荷を動かしていると考えられます。そして、F /Q = Eind による起電力と磁束の関係が実験から

I

1 dΦ
1dl · Eind = −=−βdtβbbC1∫S1ds ·∂B∂tと求められます（閉曲線は固定されているので時間の偏微分として磁場に作用する）。ストークスの定理を使うことで∇ × E(r, t) = −1 ∂B(r, t)βb∂t(1)として、微分形になります。

(i) と (ii) で同じ形になるのは、静磁場と閉曲線の相対速度が一定であるなら、(i) では静磁場が静止している座標系、(ii) では閉曲線が静止している座標系であることと相対性原理を要求すれば、予想通りです。(i) の座標系で2

は 0 だった電場が、(ii) では Eind で現れていると見れば、ガリレイ変換において電場は E ′ = βb−1 v × B と変換されていると言えます ((i) で 0 でない電場 E が存在しているなら E ′ = E + βb−1 v × B)。

また、静電場 E が存在しているなら全体の電場は E + Eind となり、静電場では任意の閉曲線でI
dl · E = 0
なので、全体の電場に対して

IIdl · E +I
dl · Eind =dl · E = −1 dΦ
βb dtとなります。

(iii) では閉曲線は固定されて磁場が変化するので、(ii) と同じ結果になります。というわけで、磁束が変化するなら起電力が現れる、というファラデーの法則になり、磁束を Φ、発生する起電力を E とすれば

E =−

1 dΦ
βb dt(2)となります。ただし、(i) は閉曲線の移動 (ローレンツ力)、(ii),(iii) は磁束そのものの変化 (電場の発生) なので、結果は同じでも起源が異なることに注意してください。(i) を flux rule として区別する場合もあります。というわけで、電磁誘導での結論は (1) となります。

(2) の右辺のマイナスは閉曲線の方向と面の法線方向を右巻きに取るように決めているためで、レンツ (Lenz)の法則に従っています (閉曲線が xy 平面上で反時計周りなら ds は z 軸方向になる)。レンツの法則は磁場の変化と反対方向に電流が流れるというものです。例えば、閉曲線に対して下から上に向かう磁場があり、その磁場を強めていくと、その変化を消すように上から下に向かう磁場を発生させる時計周りの電流が作られます。
ついでに、磁場のエネルギーを定義します。閉曲線 C に電流 I(t) を流して、磁場 B を発生させます。電流は時間依存しているので、磁束も時間依存し起電力が発生します。つまり、閉曲線 C での磁束の変化が C へ起電力を発生させます。磁場は I(t) によって作られ、磁束は積分で位置依存性が消えているので

Φ = LI(t)と書くことにし、L を自己インダクタンス (self inductance) と言います。これによって発生する起電力はファラデーの法則から

E =−1 dΦ1 dI=− Lβb dt
βb dt

流れる電流が増加するなら、レンツの法則から起電力は電流 I の向きとは逆です。このため、I を流し続けるにはその電流に逆らうエネルギーが必要になり、それを磁場のエネルギーとします (電流は磁場を発生させるので、その電流のエネルギーを磁場のエネルギーとする)。
起電力は F · ∆l なので、それに逆らって電荷を運ぶエネルギーとして、エネルギー Um の変化を

dUm= −EIdt3と与えます。E は単位電荷あたりの力によるので、単位時間あたりに運ばれる電荷として電流 I をかけています。
起電力を磁束にすれば

dUm
1dI=
LIdtβbdt∫1dI
Um =L I dtβbdt=

1
LI 2 + C
2βb(3)

t = 0 で I = 0 として、積分定数は C = 0 にします。磁場を使えば
III
Um =
LI =
Φ=2βb2βb2βb∫Sds · B

ベクトルポテンシャル A (B = ∇ × A) にすれば

Um =

I2βb∫
Sds · ∇ × A =I2βbICdl · A =12βbI
Cdl In · A

n は曲線の接ベクトルです。電流が流れる領域に幅を持たせて 3 次元に拡張し、電流密度 j の面積分によって∫In =ds j

電流密度を含む 3 次元領域を V とし、アンペールの法則を使えば

1Um =2βb=∫Vdτ j · A

112βb 4πβm βb∫Vdτ (∇ × B) · A∫
11dτ (B · (∇ × A) − ∇ · (A × B)) (∇ · (X × Y ) = Y · (∇ × X) − X · (∇ × Y ))2βb 4πβm βb V
∫I
1 1
1 1=
dτ |B|2 −ds · (A × B) (β = βm βb )2βb 4πβ V
2βb 4πβ S=

積分領域を全空間に取ればその表面は無限遠になり、第二項は無限遠での面積分です。無限遠では磁場は 1/r2 で減少していくので消えるとして、全空間においてエネルギーはUm =1 12βb 4πβ∫Vdτ |B|2となります。
磁場の変化から電場が出てくるので、次は電場の変化は磁場を作るのかという疑問が出てきます。実際に、電場の変化は電流を作り、それによって磁場が発生します。その電流を変位電流 (displaacement current) と呼び、電流密度は4jind =1 ∂E4πα ∂tと与えられます。これはマクスウェル (Maxwell) によって導入されました (エーテルを使った理論のために導入したので、ここで見るような電荷の保存を目的としていなかった)。
理論側での変位電流の必要性はすぐに分かります。アンペールの法則 ∇ × B = 4πβj の発散を取ると∇ · (∇ × B) = 4πβ∇ · j左辺はベクトルの計算から必ず 0 で、右辺は位置依存しない定常電流なら 0 です。なので、定常電流以外では成立しません（静磁場では問題がない）。そして、∇ · j = 0 が任意の電流で成立していると、電荷密度 ρ が時間依存するときの連続の方程式∂ρ=∇·j∂tが成立しなくなり、電荷の保存が壊れます。
変位電流をアンペールの法則の電流部分に加えて∇ × B = 4πβ(j + jind )(4)とすると、右辺は ∇ · E = 4παρ から4πβ(∇ · j +∂1 ∂∇ · E) = 4πβ(∇ · j + ρ)
4πα ∂t∂tとなるので、∂ρ+∇·j =0∂tとして、連続の方程式になります。変位電流の導入によって、連続の方程式が含まれた状況になります。(4) をアンペール・マクスウェルの法則と呼びます。
これで時間依存性があるときの電場と磁場の法則が求まり∇ · E = 4παρ∇·B =0∇×E =−∇×B−1 ∂Bβb ∂tβm βb ∂E= 4πβm βb jα ∂t

この連立方程式がマクスウェル方程式で、電磁気の基本原理です。後は比例定数を決めて単位を与えれば具体的な量が計算できます。

5

ついでに、マクスウェルの応力テンソル (stress tensor) を出しておきます。応力 (面に作用する単位面積当たりの力) とついているように、領域の表面に作用する力と関係するので、ローレンツ力を見ていきます。電荷 Q に作用するローレンツ力は、電荷の速度を v として

F = Q(E(x, t) + βb−1 v × B(x, t))
電荷は電荷密度 ρ で分布しているとして、適当な 3 次元領域の体積 ∆τ で割れば

f = ρE + βb−1 ρv × B = ρE + βb−1 j × Bj は電流密度です。マクスウェル方程式での∇ · E = 4παρ , ∇ × B −β ∂E= 4πβjα ∂t(β = βm βb )

を使えば

f=

11β ∂E(∇ · E)E +(∇ × B −)×B
4πα4πβb βα ∂t

第二項では、マクスウェル方程式での∇×E =−1 ∂Bβb ∂tを使って

∂E
∂∂B
∂
× B = (E × B) − E ×= (E × B) + βb E × (∇ × E)∂t∂t∂t∂tと変形できるので

f=11 β ∂E1(∇ · E)E +(∇ × B) × B −×B
4πα4πβb β4πβb β α ∂t=111∂(∇ · E)E +(∇ × B) × B −( (E × B) + βb E × (∇ × E))
4πα4πβb β4παβb ∂t=111∂((∇ · E)E − E × (∇ × E)) +(∇ × B) × B −(E × B)
4πα4πβb β4παβb ∂tベクトルの関係

X × (∇ × X) =1∇X 2 − (X · ∇)X2から6

1(∇ · E)E − E × (∇ × E) = (∇ · E)E − ∇E 2 + (E · ∇)E21(∇ × B) × B = − ∇B 2 + (B · ∇)B2となりf=11((∇ · E)E + (E · ∇)E) +(B · ∇)B
4πα4πβb β−1 1 111∂( ∇E 2 +∇B 2 ) −(E × B)
2 4π αβb β
4παβb ∂t

磁場では ∇ · B = 0 のために (∇ · B)B を加えても影響がないので

f=11((∇ · E)E + (E · ∇)E) +((∇ · B)B + (B · ∇)B)
4πα4πβb β−

1 1 111∂( ∇E 2 +∇B 2 ) −(E × B)
2 4π αβb β
4παβb ∂tとして、電場の項と磁場の項が同じ形になります。成分で書くと

fj =3333∑∑∑
11 ∑( (∂i Ei )Ej +(Ei ∂i )Ej ) +( (∂i Bi )Bj +(Bi ∂i )Bj )4πα i=14πβb β i=1i=1i=1111 1∂∂j E 2 +∂j B 2 ) −(E × B)j− (2 4πα4πβb β4παβb ∂t(x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z), (E1 , E2 , E3 ) = (Ex , Ey , Ez ) のようにし、∇ の成分は ∂i = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) と表記しています。
ここで

Tij =

1
1
11
(Ei Ej − δij E 2 ) +(Bi Bj − δij B 2 ) , Tij = Tji
4πα24πβb β2というものを作ります。δij はクロネッカーデルタで、i = j なら 1、i ̸= j なら 0 です。Tij をマクスウェルの応力テンソルと呼びます。テンソルの意味はここではどうでもいいので、ただの 3 × 3 対称行列と思えばよく、行列で書けば



1 2 1 2
11 22 α (E1 − 2 E ) + βb β (B1 − 2 B )111 E1 E2 +B1 B2
αβb β4π 
1
1E1 E3 +B1 B3αβb β11E1 E2 +B1 B2αβb β
1 2 1 2
1
1(E − E ) +(B 2 − B 2 )α 2 2βb β 2 21
1E2 E3 +B2 B3αβb β71
1E1 E3 +B1 B3αβb β11E2 E3 +B2 B3
αβb β
1 2 1 2
11 2 
2(E − E ) +(B − B )α 3 2βb β 3 2

i 成分で偏微分の和を取ってみると、Tij の第一項は333∑)
1 (∑1∑(∂i Ei )Ej +(Ei ∂i )Ej −∂i (δij E 2 )4πα i=12 i=1i=1=33∑)
1 (∑1(∂i Ei )Ej +(Ei ∂i )Ej − (δ1j ∂1 E 2 + δ2j ∂2 E 2 + δ3j ∂3 E 2 )4πα i=12i=1

δij は定数なので微分の外に出ます。δij は i ̸= j で 0 なので、クロネッカーデルタの項は j = 1, 2, 3 に対してそれぞれ ∂1 , ∂2 , ∂3 の項だけが消えずに残ります。このため

δ1j ∂1 E 2 + δ2j ∂2 E 2 + δ3j ∂3 E 2 = ∂j E 2と書けます。磁場の項でも同じ形になり、Σ∂i Tij は3∑
i=1∂i Tij =3333∑∑∑
11 ∑(Ei ∂i )Ej ) +(Bi ∂i )Bj )( (∂i Ei )Ej +( (∂i Bi )Bj +4πα i=14πβb β i=1i=1i=1

1 1
1− (
∂j E 2 +∂j B 2 )2 4πα4πβb β
これは f の最後の項を除いたものなので

fj =3
∑

∂i Tij −i=11∂(E × B)j4παβb ∂t

第一項は j が固定されていれば、ベクトルの i 成分に対する発散の形なので、ガウスの発散定理が使えて∫d3 xV3∑∂i Tij =∫ ∑3i=1S i=1Tij dsi

このため、Tij は領域 V での表面 S 上での単位面積あたりの力と見れるので、応力とついています。また、第二項でポインティングベクトル

S=1(E × B)
4πβを使えば

fj =3∑∂i Tij −i=1と書けます。
運動方程式として見れば、粒子の運動量を p として

8βm ∂Sjα ∂tdp=dt

∫

3
∑

βmd x
∂i Tij −αVi=13∫d3 xV∂Sj∂t(5)p が定数ならβmα∫∂d x Sj =∂tV

∫33d xV3∑∂i Tiji=13∑βm ∂Sj=∂i Tijα ∂ti=1となり、連続の方程式の形になります。また、(5) を

dp βm+dtα∫d3 xV∂Sj =∂t∫d3 xV3∑∂i Tiji=1と書いたとき、V が時間依存していなければd(pmech + pfield ) =dt

∫
d3 x
V3∑

∂i Tiji=1として、βm S/α の 3 次元積分は電磁場の運動量 pfield と見れます。そして、右辺は運動量の時間変化となります。
なので、電荷密度と電流密度による連続の方程式に当てはめて言えば、(5) での第一項は領域の表面を通過する単位時間あたりの運動量、左辺に対応する第二項は領域内で持っている電磁場の運動量と言えます。このように、Tijは応力と運動量、S はエネルギーと運動量としての役割を持って現れます。

・補足
自己インダクタンスを別の視点から見ます。電磁誘導は

1. 時間変化する電流を導線に流す
2. 時間変化する磁場が現れる
3. その磁場を受けて別の導線に電流が発生するとなっており、上では 2 と 3 からファラデーの法則を作っています。今度は、2 を無視して 1,3 から Um を求めます。
閉曲線 C1 に時間変化する電流 I1 が流れているとします。実験結果から、閉曲線上の微小部分 ∆l1 から距離 Rの位置にある電荷 Q2 は∆F = −βm Q21 dI1∆l1R dtという力を受けます。∆l1 は電流の進行方向です。マイナスは、C1 の電流が増加しているなら電流の方向の逆方向に力が作用し、減少しているなら同じ方向に力が作用するからです。C1 全体からの力は

9IF = −βm Q2C1dl1dI1dtとなります。
この力が同じ閉曲線上にいる電荷に作用する場合を考えます。単純化するために閉曲線 C を円とし、そこに時間変化する電流 I が流れているとします。この円上の 2 点を取り、それぞれを微小部分 ∆l1 , ∆l2 とします。∆l1での電流による力が ∆l2 を微小時間に通過する電荷 ∆Q に作用するとすれば、仕事はI

I∆W =Cdl2 · F = −∆Qβm

I

Cdl2 ·Cdl1

1 dI1
R dt

I は位置に依存していないので、外に出してI∆W =Cdl2 · F = −∆QdILdt

通過する電荷 ∆Q は I = ∆Q/∆t なので∆W = −I∆tdI
Ldt

ポテンシャル ∆U にするために仕事の符号を反転させて、∆t で割れば

dIdUdI∆U=I L ⇒= IL∆tdt
dt
dtとなり、(3) と一致し、今の力による仕事は起電力に対応しています (磁場を経由してないので βb は出てこない)。
自己インダクタンスはI
L = βmC

Idl2 ·と与えられます。

10

C

dl1

1
R