数理解析研究所講究録1022 巻 1997 年 123-130

123

CLIFFORD 数による SCHWARZ 微分の–般化

和田昌昭 (MASAAKI WADA)

奈良女子大学理学部
Lars

.

$V$

$Ahlf^{\circ}rs$

をしのんで

この原稿は、 [3] を日本語訳したものである. ここでは、 次元ユークリッド空間
級局所写像に対して Schwarz 微分を拡張する試みを紹介する.
から自分自身へのへの–般化とそのような試みとしては、 [1] において Ahlfors が cross-ratio のの関連で定義したものが知られている. その論文で Ahlfors は、 古典的 Schwarz 微
分の実部と虚部を別々に、 いくぶん違った仕方で拡張している. 実は、 これら 2 つの Schwarz 微分のへの拡張は、 Clifford 数を用いることにより統–的にとりあ
つかうことができる. ここではそのようにして、 Clifford 数に値をもち、 Ahlfors のSchwarz 微分を含むような Schwarz 微分の–般理論を展開する.
最初に Clifford 数と M\"obius 変換との関係および高次微分に関する準備をした後、Schwarz 微分を定義する. 主定理は M\"obius 変換と Schwarz 微分の関係を示す公式でになることある. その後 Schwarz 導関数を定義し、 M\"obius 変換に対して恒等的にを示す. 最後に低次元の場合の例をあげる.
$n$$\mathrm{C}^{3}$$\mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{n}$$0$

1. Clifford 数と M\"obius 変換.
ここでは Clifford 数と M\"obius 変換について、 後で必要になることがらを手短に述べる. 詳しくは [2] を参照のこと.
は基本関係式Clifford 代数$Cl_{n}$$(j=1, \ldots, n)$$\mathrm{i}_{j}^{2}=-1$$\{$$\mathrm{i}_{j}\mathrm{i}_{k}=-\mathrm{i}_{k}\mathrm{i}_{j}$$(j, k=1, \ldots, n, j\neq k)$

によって生成される実結合的代数である.
をみたす個の元
Clifford 数と呼ぶ. 任意の Clifford 数は生成元の積$n$$\mathrm{i}_{n}$$\mathrm{i}_{1},$$Cl_{n}$$\ldots,$$I=\mathrm{i}_{j_{1}}\cdots \mathrm{i}_{j_{r}}$の元を$(j_{1}<\cdot:\cdot<j_{r})$の–次結合として–意的に$a= \sum a_{I}I$と表わすことができる. このとき

$a$のノ) レムは$|a|^{2}= \sum a_{I}^{2}$

によって定義される.
1991 Mathematics Subject Classification. Primary$53\mathrm{A}55$; Secondary $30\mathrm{G}35,53\mathrm{A}20,57\mathrm{R}35$ .

Typeset by$A_{\mathcal{M}}S-\tau \mathrm{E}\mathrm{X}$124

上記の積 のうち異なる 個の生成元の積になっているもの全部によって張られるで表わすことにする. するとベクトル空間としの部分ベクトル空間をての直和分解$I$$r$$Cl_{n}^{(\Gamma)}$$Cl_{n}$$Cl_{n}= \bigoplus_{r=0}Cl_{n}^{(r})$

が得られるが、 それにしたがって任意の Clifford 数

$a$

は–意的に

$a=a^{(0)}+a^{(1)}+\cdots+a^{(n)}$)

を の -部と呼ぶことにする. 部分空間と書かれる. このとき成分は自然にと同–視することができ、 したがって -部のことを実部とも呼ぶ. ユーのベクトルを常に Clifford
をクリッド空間と同–視することにより、数であるとみなす. とくに、 以下ではベクトルどうしの積は常に Clifford 数としての積であるものとする. ベクトルに対しては $v^{2}=-|v|^{2}$ が成り立つ.
の乗法群を Clifford 群と呼び、 琉ででないベクトル全体により生成される表わす.
の反自己同型でベクトルを不変に保つものがただ–つ存在するが、 そ$a\vdash+a^{*}$
れをで表わす. Clifford 群の元に対しては $aa^{*}=a^{*}a\in \mathbb{R}$ であり、したがっての逆元は $a^{-1}=(1/aa^{*})a^{*}$ と表わすことができる.
の変ベクトルが与えられたとき、 $v\vdash+uvu(v\in \mathbb{R}^{n})$ によって定まる
換は、 に直交する超平面に関しての面対称と原点を中心とした囮 2 倍変換との合の変換は、
成である. よってに対して $v\vdash+ava^{*}(v\in \mathbb{R}^{n})$ で与えられるの相似変換でいくつかの面対称とスカラー倍変換との合成、 つまり原点を保つ
ある.
Clifford 数係数の $2\cross 2$ 行列$a^{(r)}\in Cl_{n}^{(r)}$$Cl_{n}^{(}0$

$a$

$r$

$0$

$\mathbb{R}$$Cl_{n}^{(1)}$$\mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{n}$$v\in \mathbb{R}^{n}$$0$$Cl_{n}$$Cl_{n}$$a\in\Gamma_{n}$$a$$u\in \mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{n}$$u$$\mathbb{R}^{n}$$a\in\Gamma_{n}$$\mathbb{R}^{n}$

$g=$

(1-1)

で次の条件を満たすものを Clifford 行列と呼ぶ:

(1)
,
(2)
,
(3) $ad^{*}-bc^{*}=d^{*}a-b^{*}c=1$ .
ここでは次の事実が最も重要である:の任意の M\"obius 変換は、 向きを保つ保たないにかかわらず、 Clifford 行列を用いて$a,$ $b,$ $c,$ $d\in\Gamma_{n}\cup\{0\}$$ab^{*},$ $cd^{*},$ $a^{*}C,$ $b^{*}d\in \mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{n}\cup\{\infty\}$$g(x)=(ax+b)(cx+d)^{-1}$$(x\in \mathbb{R}^{n}\cup\{\infty\})$と表わされる.

2. 高次微分.
一般に滑らかな多様体 $X$ に対して $X$ 内の滑らかな道のにおける芽全体の$\# x$
$\#
x$
$X$
集合を
は
と表わすことにする. すなわち内の滑らかな道$0\in \mathbb{R}$$x$:$\mathbb{R}arrow X$

全体からなり、 2 つの滑らかな道はの十分小さな近傍上で–致するときに $\# x$の同じ元を表わすものと考える. 以下では道のパラメータとして常に文字 を用いることにする. $t=0$ における値を評価することにより射影$0\in \mathbb{R}$$t$$\mathrm{b}$: $\# xarrow X$ ,$|\mathrm{p}(x)=x(\mathrm{O})$$(x\in\# x)$125が定義される.
滑らかな写像$f$:$Xarrow \mathrm{Y}$に対しては、 写像の合成により、 自然な拡張$\#_{f:}\# xarrow$作,$(x\in x\#)$$\#_{f(X)=}f\circ x$が存在する. 混同を起こしやすくするために、 この拡張を単に $f$ と省略する.
$X$
$V$
さて、
が有限次元ベクトル空間の開集合である場合を考えよう. パラメー
タに関する微分演算を$\#_{f}$$t$$\#_{d:}\# xarrow$と書くことにする.

和,$(x\in X\#)$$\#_{dx=}\frac{dx}{dt}$このとき $x\in\# x$ の r-階微分を$d^{r_{X}}=^{\mathfrak{y}dx)}(^{\#}r= \frac{d^{r}x}{dt^{r}}|_{t=0}\in V$

によって定義する. 再び記号の乱用により、にする. いずれにせよ
は線形作用素である.

$\#_{d^{r}}$と$d^{r}$の両方を単に$d^{r}$

と書くこと

$d$

補題.

に対し、 次が成り立つ.

$x,$ $y\in\# c\iota_{n}$(1) $d(xy)=dxy+xdy$(2) $d(x^{-1})=-x^{-1}dXx^{-1}$
証明. Clifford 数の積演算は双線形なので、 明らかに (1) が成り立つ.
辺の “が をとり、 (1) を適用すれば容易に (2) が得られる.

$xx^{-1}=1$の両3. Schwarz 微分.
$x\in$

噸 n に対して Schwarz 微分$s^{3}x$および$s^{2}x$を$s^{3}x=d3x- \frac{3}{2}d^{2}Xd_{X^{-1}}d^{2}x\in \mathbb{R}^{n}$$s^{2}x=s^{3}Xdx^{-1}=d^{3}xdx-1- \frac{3}{2}(d^{2}xdx^{-})12\in Cl_{n}(0)\oplus Cl_{n}^{()}2$

によって定義する.
定理 1.

$M_{\ddot{\mathit{0}}}$bius 変換のとき $x\in$ 噸 n が$g$が Cl\Phi 帽行列 (1-1) によって与えられているものとする.
によって
$g$

$y=g(x)=(ax+b)(cx+d)^{-1}\in\#_{\mathbb{R}^{n}}$に写されているとすれば、 次がなりたつ.

(1) $dy=(cx+d)^{*-1}dx(cx+d)^{-1}$ ,(2) $s^{3}y=(_{Cx+d})^{*}-1_{S}3(_{C}XX+d)-1$ ,(3) $s^{2}y=(cx+d)^{*-1_{S}2}x(cx+d)^{*}$ .

こ

126

証明. $c=0$ の場合の計算は容易なので読者の練習問題とする. 以下 $c\neq 0$ と仮定しよう. まず、$y(_{CX}+d)=aX+b$に補題を適用して$dy(cx+d)+ycdx=adx$を得る. 両辺に左から $(cx+d)^{*}$ を掛ければ、$(cx+d)^{*}dy(cx+d)=(xc^{*}+d^{*})$ a $dx-(ax+b)^{*}cd_{X}$$=(x(c^{*}a-a^{*}C)+(d^{*}a-b^{*}C))dx$となるが、 $c^{*}a=(a^{*}c)^{*}=a^{*}C$ および $d^{*}a-b^{*}c=1$ であるから、 (1) が成り立つ.

次に進む前に $c^{-1}d$ がベクトルであることに注意しよう. 実際、 $w=(1/d^{*}d)cd^{*}\in$とおくと、 $wd=c$ となり、 $c^{-1}d$ $=$ $(1/cc^{*})C^{*}d=(1/cc^{*})d*wd\in \mathbb{R}^{n}$ がベクトル. .
であることがわかる.
そこでベクトル $c^{-1}d$ をと書くことにしよう. すると (1) は$\mathbb{R}^{n}$$v$$c^{*-1}(x+v)^{-1}dx(x+v)^{-1}c^{-1}$$dy=$となり、 補題によって$d^{2}y=-2c^{*-1}(x+v)^{-1}dx(x+v)^{-1}dx(x+v)^{-1}c^{-1}$$+c^{*-1}(x+v)^{-1}d^{2}X(x+v)^{-1}c^{-1}$および

6 $c^{*-1}(x+v)^{-1}dx(x+v)^{-1}dx(x+v)^{-1}dx(x+v)^{-1}c^{-1}$$d^{3}y=$$-3c^{*-1}(x+v)^{-1}d^{2}X(x+v)^{-1}dx(x+v)^{-1}c^{-1}$$-3c^{*-1}(x+v)^{-1}dx(x+v)^{-1}d^{2}X(x+v)^{-1}c^{-1}$$+c^{*-1}(x+v)^{-1}d^{3}X(x+v)^{-1}c^{-1}$が得られる. あとはただ計算を進めれば、$s^{3}y=$$c^{*-1}(_{X}+v)^{-}1sx3(X+v)^{-1}c^{-1}$となる. 最後に、 (3) は言うまでもなく (1) と (2) の自明な帰結である.
$cx+d\in\Gamma_{n}$であることに注意すれば、 [2] の Proposition と Lemma より次がわ

かる.

系 2. Schwarz 微分の実部
よって不変に保たれる.

$(s^{2}x)^{(}0)$

および 2-部のノルム$|(s^{2}x)^{(}2)|$

は M\"obius 変換に

127

4. Schwarz 導関数.
$f$は$\mathbb{R}^{n}$から自分自身への$\mathrm{C}^{3}$級の局所写像とし、 $x\in$ 町\nu が $f$ により$\ldots,n’$$y=f(x)= \sum\hat{l}\mathrm{i}_{i}fi(_{Xx)}1,$に写されているものとしよう.

$(x= \sum X_{j}\mathrm{i}_{j}j\in \mathbb{R}^{n})$このとき$dy=D_{1}(x, d_{X})$$d^{2}y=D_{2}(x,$ $d_{X},$ $d_{X)}2$$d^{3}y=D_{3}(x, d_{X}, d2_{X}, d3)x$と書かれる. ただし$n)$ の式である.

$1,$$D_{1},$$D_{2},$$D_{3}$

は次のように定義される変数$r_{j},$$u_{j’ j}v,$$w_{j}(j=$$\ldots,$$D_{1}(r, u)= \sum \mathrm{i}_{i}\sum ij\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(r)u_{j}$,$D_{2}(r, u, v)= \sum_{i}\mathrm{i}_{i}(\sum_{j,k}\frac{\partial^{2}f_{i}}{\partial x_{j}\partial_{X_{k}}}(r)u_{j}u_{k}+\sum j\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(r)vj)$,$D_{3}(r, u, v, w)= \sum_{i}\mathrm{i}_{i}(\sum_{j,k,l}\frac{\partial^{3}f_{i}}{\partial x_{j\iota}\partial x_{k}\partial X}(r)u_{j}uku\iota$$+3 \sum_{j,k}\frac{\partial^{2}f_{i}}{\partial x_{j}\partial X_{k}}(r)vju_{k}+\sum j\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(r)wj)$

そこで、 形式的な式$\tilde{S}^{3}f$および$\tilde{S}^{2}f$.

を$\tilde{S}^{3}f(r, u, v, w)=D_{3}-\frac{3}{2}D_{2}D_{1}^{-1}D_{2}$$\overline{S}^{2}f(r, u, v, w)=D_{3}D_{1}^{-1}-\frac{3}{2}(D_{2}D_{1}^{-1})^{2}$と定義する.

したがって$s^{3}y=\overline{s}^{3}f(X, d_{X,d^{2}X}, d3)x$$s^{2}y=\overline{S}^{2}f(x,$ $d_{X},$ $d^{2}x,$$d_{X)}^{3}$となっている.

定義.

$\mathbb{R}^{n}$における$\mathrm{C}^{3}$級の局所変換 $f$ に対して、 Schwarz 導関数$S^{3}f$および$S^{2}f$を$S^{3}f(x, dx, d^{2}X)=\overline{s}^{3}f(X,$ $dx,$ $d^{2}x,$ $\frac{3}{2}d^{2}XdX^{-1}d_{X)}2$$S^{2}f(x,$ $dX,$ $d_{X)}2= \overline{s}^{2}f(x, dx, d2d_{Xdx^{-}}x, \frac{3}{2}21d2X)$と定義する.
ここで、 Ahlfors が [1] において定義した Schwarz 導関数の–般化は、 上の $S^{2}f$ を用いれば、$S^{2}f(x, dX, \mathrm{o})$の実部および 2-部に対応することを注意しておく.

128

系 3.

$f$

は

$\mathbb{R}^{n}$における$\mathrm{C}^{3}$級の局所変換、$g$は M\"obiu8 変換であるとする.

$g$

力S

Cl\Phi 蜴行列 (1-1) で与えられているとすれば、$s^{3}(g\circ f)(x, dx, d^{2}X)=(_{Cf}(X)+d)*-1S^{\mathrm{s}2}f(X, d_{X,dX})(cf(X)+d)^{-1}$$S^{2}(g\circ f)(x, dx, d_{X}2)=(cf(X)+d)*-1S^{2}f(X, d_{X}, d2_{X})(Cf(X)+d)^{*}$

が成り立つ.
これは、 定理 1 の直接の帰結である. M\"obius 変換の Schwarz 導関数については次がなりたつ.
系 4.

$f$が M\"obius 変換ならば $S^{3}f\equiv s^{2}f\equiv 0$ .

証明. 任意に与えられたベクトル$r,$ $u,$$v\in \mathbb{R}^{n}(u\neq 0)$

に対して道 $x\in$ 杓\nu を$x(t)=r+tu+ \frac{t^{2}}{2}v+\frac{t^{3}}{4}vu^{-}v1$

によって定義する. したがって $dx=u,$ $d_{X}2=v,$ $d^{3}x=(3/2)vu-1v$ となり. $S^{3}x=0$
が $y=f(x)$ に写されているとすが成り立つ. ここで、 M\"obius 変換 $f$ によってると、 定理 1 より $s^{3}y=s^{2}y=0$ である. つまり $u\neq 0$ を満たす任意のベクトル$x$$r,$ $u,$$v\in \mathbb{R}^{n}$に対して$S^{3}f(r, u, v)=s^{2}f(r, u, v)=0$がなりたつ.

系 4 の逆もなりたつと期待される.
級の局所変換 がある開集合上の論点において $S^{3}f(r, u, v)\equiv 0$を満たすならば、 は局所的には M\"obiu8 変換である.

予想.

$\mathbb{R}^{n}$の$f$$\mathrm{C}^{3}$$f$

5. 低次元における例.
複素解析的関数の場合の考察から始めよう. まず複素数体を対応と同–視する. したがって複氷解析的関数 $f$ はにおいてはすことになる. その場合複素数の積はによって$Cl_{2}^{(1)}$$1rightarrow \mathrm{i}_{1},$$Cl_{2}^{(1)}$$\mathrm{i}rightarrow \mathrm{i}_{2}$の変換とみな$Cl_{2}^{(1)}$$(u, v\in Cl_{2}^{()})1$$(u, v)rightarrow u\mathrm{i}_{1}^{-1}v$という演算に対応することに注意する.
$y=f(x)$ ,$(x, y\in C\#\iota_{2})(1)$とすれば$dy=f’(X)\mathrm{i}^{-1}1d_{X}$となる.

ここで $f’$ は複素関数 $f$ の導関数を$Cl_{2}^{(1)}$の変換とみなしたものである. 同様に$d^{\mathrm{z}_{y=f’}\prime}’(X)(\mathrm{i}_{1}-1d_{X)f}2+(x)\mathrm{i}_{1}^{-}d^{2}1X$$d^{\mathrm{a}_{y=f’}\prime\prime}(X)(\mathrm{i}_{1}^{-1}dX)33f’’(X)\mathrm{i}_{1}-1d_{X}2+\mathrm{i}-1dX+f’(X)\mathrm{i}_{1}-11d^{3}X$

129が得られ、 ベクトノレ $u,$ $v,$ $w\in Cl_{2}^{(1)}$ に対して $uvw=wvu$ となることを用いてさらに計算を続ければ、$s^{3}y=(.f’’’(X)- \frac{3}{2}f^{\prime;}(X)f’(x)-1f’’(x)),(\mathrm{i}^{-1}d_{X})^{3}1.+f’(x)\mathrm{i}-1(1d3x-\frac{3}{2}d2_{Xd_{X^{-}}dX}12)$$s^{2}y=(f^{\prime\prime;}(X)f’(X)^{-1}- \frac{3}{2}(f’’(x)f’(X)-1)^{2})(dx\mathrm{i}_{1}^{-}1)2+d_{Xdx^{-}(}^{\mathrm{s}1}-\frac{3}{2}d^{2_{X}}dx^{-})12$となる.

Schwarz 導関数は

(5-1)
$S^{3}f(x,$ $d_{X},$ $d_{X)}2=(f’’’(X)- \frac{3}{2}f’’(x)f’(X)-1f\prime\prime(x))(\mathrm{i}_{1}^{-1}dx)^{3}$(5-2)$S^{2}f(x, dX, d_{X}^{2})=(f’’’(X)f’(x)-1- \frac{3}{2}(f’’(X)f’(X)-1)^{2})(dx\mathrm{i}_{1}^{-}1)2$となる.
ル

この場合には Schwarz 導関数は 2 階微分によらない量である. ベクトの複素数の積に関する逆元がであることに注意すれば、 $f$ の古$d^{2}x$$v\in Cl_{2}^{(1)}$$\mathrm{i}_{1}v^{-1}\mathrm{i}_{1}$

典的な意味での Schwarz 導関数 $Sf(x)\in Cl_{2}^{(1)}$ は( il$Sf(x)=f”’(x) \mathrm{i}^{-1}(1f’\mathrm{i}_{1}(x)-1\mathrm{i}_{1})-\frac{3}{2}f’;(X)\mathrm{i}_{1}-1(\mathrm{i}_{1}f’(X)-1\mathrm{i}_{1})\mathrm{i}^{-}11f\prime\prime(x)\mathrm{i}^{-1}$$1$$f’(x)^{-}1\mathrm{i}1$)$=(f^{\prime J;}(x)f’(_{X)^{-1}\frac{3}{2}(}-fJ’(_{X)}fJ(x)-1)2)\mathrm{i}_{1}$で与えられることを指摘しておこう.
変数実数値関数 $f$ :で級の場合の計算も上と同様になる. 公式 (5-1)と (5-2) もそのままの形で成り立つ.
平面
における任意の級の変換の場合には、 Schwarz 導関数 $S^{3}f(x, dx, d2X)$
および $S^{2}f(x, dx, d2X)$ はもはや $dx$ だけではなくも含んだ複雑な式になる. ただしこの場合次がなりたつ.
$\mathbb{R}arrow \mathbb{R}$$\mathbb{R}^{2}$$\mathrm{C}^{3}$$\mathrm{C}^{3}$$d^{2}x$系 5. $f$ がならば$\mathbb{R}^{2}$における$\mathrm{C}^{3}$級の局所的変換で、$g$が向きを保つ$\mathbb{R}^{2}$の M\"obius 変換$S^{2}(g\circ f)(X, dX, d2X)=S^{22}f(x,$$d_{X,d_{X)}}$ .

証明. M\"obius 変換$g$は Clifford 行列 (1-1) によって与えられているものとする.

向きを保つのは$cx+d\in Cl_{2}^{(\mathrm{e}\mathrm{V})}\equiv Cl_{2}^{(0)}\oplus Cl_{2}^{(2)}$となっている場合である.

ここで$Cl_{2}^{(\mathrm{V})}\mathrm{e}$$(x\in Cl_{2}^{(1)})$は $Cl_{2}$ の可換な部分代数なので、$S^{2}f(x,$ $dX,$ $d_{X)}2\in Cl_{2}^{(\mathrm{V})}\mathrm{e}$に注意すれば、 系 3 によって、$S^{2}(g\circ f)(x,$ $d_{X},$ $d_{X)}2=(cf(x)+d)^{*-1}S^{2}f(X,$ $dX,$ $d_{X)}2(cf(x)+d)^{*}$$=S^{2}f(x,$ $d_{X},$ $d_{X)}2$

となる.

$g$

が

130

REFERENCES, Complex Analysis: articles
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his
80th
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occasionthePflugerontoAlbertdedicated, Birkh\"auser Verlag, Basel, 1988, pp. 1-15.
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3. –, A generalization of the Schwarzian via Clifford numbers, preprint.
〒 630 奈良市北魚屋西町奈良女子大学理学部情報科学科$E$-mail address: wada@ics.nara-wu.ac.jp