数理解析研究所講究録909 巻 1995 年 1-40

1
半単純 Lie 群の standard 表現入門$-Sp(2,\mathbb{R})$と $SU(2,2)$ を中心に–

西山享 (京都大学・総合人間学部)

Kyo NISHIYAMA

この論説においては $G$ を実半単純 (あるいは簡約型) の連結な行列群とする。 ただしここに述べられている結果のうち大半のものはもっと広いクラスの Lie 群に対して成立する。 $G$
または $SU(p, q)$ などを想定してもらえばよい。 このとしては具体的には $SL(n, \mathbb{R}),$$sp(\uparrow l, \mathbb{R})$うち階数が 2 である次のふたつの群を主な例にして以下解説する。

$I_{2,2}=$$SU(2,2)=\{g\in SL(4, \mathbb{Q}|g^{*}I_{2,2g}=I_{2,2}\},$$Sp(2, \mathbb{R})=\{g\in SL(4, \mathbb{R})|{}^{t}gJg=J\}$$J=J_{2}=$,

特に Part I で–般論を述べたあとは、 Part II で $G=SU(2,2)$ に話を限って具体的に述べる。読者によっては Part II から見たほうが有益なことがあるかもしれない。 またなにぶん紙数が限られているのですべてのものに厳密な定義を与えるわけにはいかないと思うが、 その場合には [redbook], [greenbook], [darkgreenbook] [Warner] などを参照していただきたい

尚、筆者の計算ミスにより講演当日に述べた結果には重大な誤りがあった (本文、定理 45.
及び定理 6.2. 参照) お詫びするとともにこの論説において訂正することでお許しいただけ$\circ$

れば幸いである。

Part I. Harish-Chandra 加群の分類と standard 表現 (概観)1.

$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathrm{S}}$($-\mathrm{K}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}$-Zuckerman) classification)」 という道具はなくてはなら
表現の分類理論にとって 「誘導表現 (inducedであり、 より小さな群の既
これは
–
種の帰納法
(induction)
ないものである。名前の通り、知の表現から大きな群の未知の表現を作りだす方法を与えている。 とくに半単純群の表現論$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$においては放物型部分群からの誘導表現が扱われることが多い。 この誘導表現について簡単に見ておこう。
\S V.5]を放物型部分群として $P=MAN$ をその Langlands 分解とする ($N$ はべき単部分群にはベクトル群、$M$
は簡約型で中心はコンパクト、参照)。 このとき$P\subset C_{7}$$1^{\mathrm{r}\mathrm{e}}\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{k},$$A$

なっている。

Example 1.1.

$G=Sp(\mathit{2}, \mathbb{R})$において$P–\{g\in C_{7}|g=($.

$0_{2}^{*}$

$**$

)

$\}$

2

とおくと $P$ は放物型部分群 1 になり、 その Langlands 分解は$M=\{|A\in sL^{\pm}(2, \mathbb{R})\}\simeq SL^{\pm}(2, \mathbb{R})$ ,$N=[$$A=[|a\in \mathbb{R}_{+}^{\cross}|\simeq \mathbb{R}_{+}^{\cross},$($1_{2}$$1_{2}^{*})\in G$で与えられる。
いま$(\sigma, V_{\sigma})$を $M$ のユニタリ表現とし、$e^{\nu}(\nu\in$a(C=(叱の複素双対空間)) を

タリとは限らない–次元表現、 $e^{\rho(\log)}a=\sqrt{\det}$
Acl

とおく

$a|_{\mathfrak{n}}(a\in A)$

$0$

$A$

のユニ

このとき

$(\pi, V)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}^{G}\sigma\otimes e^{\nu}\otimes 1_{N}$を次のように定義する。 まず表現空間を

{ :

$V=$

$f$

$Garrow V_{\sigma}|f|_{I_{1}}’\in L^{2}(I\mathrm{i}^{r},$ $V\sigma),$$f(grncl)=\sigma(7n)^{-}1-e(_{\mathcal{U}+}\rho)(\log a)f(g)$$(ma\uparrow\in$MAN)}と定義し、 表現の作用素を左移動で決める。
$\pi(g_{0})f(g)=f(g^{-}0g)1$(go,$g\in c_{7}$)の内このようにして得られる表現 $(\pi, V)$ が放物型部分群からの誘導表現であり、 $V$ はがユニタリ、 つまり積と ’ 上の内積によって自然にヒルベルト空間になり、 さらに$\nu\in\sqrt{-1}a’$ ならば $(\pi, V)$ は自然にユニタリ表現になる 2。したがって $\nu\in\sqrt{-1}a’$ であるとはの実双対空間を表わす。
き「ユニタリな誘導表現」 と呼ぶことにしよう。 ただし$V_{\sigma}$$L^{2}$$I\mathrm{i}$$e^{\nu}$

$a’$

$P$

-adic group$a$

cuspidal 表現は parabolic induction に現れない、 したがって既約表現の分類のためには基本的な表現である。

real group

任意の既約 admissible な表現は極小放物型部分群からの誘導
表現に部分表現として現れる。 (Subrepresentation Theorem[Harish-Chandra 54],$=$$[\mathrm{c}_{\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}}^{\mathrm{t}}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}- \mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\check{\mathrm{C}}.\mathrm{i}\acute{\mathrm{C}}])$

しかし放物型部分群からのユニタリな誘導表現のみを考えるとこの状況は違ったものになる。
つまりとなっている。 ここで離散系列表現
表現、言い替えれば行列要素が(離散系列表現とは$(\mathrm{D}\mathrm{S}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\Gamma \mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}$series))上の部分表現として実現されるようなに属するような表現のことを言う ([, Chapter。したがって実理単純 Lie 群の表現を考えるとき離散系列表現は基本的である。
離散系列表現の「極限」 3 を limits of discrete series (LDS) と呼ぶ。 LDS はユニタリか
つ tempered な既約 admissible 表現である。 LDS は–般に特異なパラメータに関するユニタ
リ誘導表現の部分表現としては現れるが、既約な誘導表現そのものとしては表わされない。
以下では DS(離散系列表現) は LDS の–部として含まれているものとする。
$(\mathrm{D}\mathrm{S})$$L^{2}(C\tau)$$L^{2}(C_{\tau})$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{b}_{0}\mathrm{o}\mathrm{k}$$\mathrm{I}\mathrm{X}])$

1 この放物型部分群は通常 Siegel parabolic と呼ばれる
2 もちろんがユニタリでなくても $(\pi, V)$ はユニタリ表現になりうる。 このようなとき (歴史的な理由か
ら) 特に補系列表現と呼ぶことがある。
ここでいう極限とは Zuckerman の translation functor による regular infinitesimal character から
infinitesimal character への移行を指す$\{\supset$$e^{l\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}$$([\mathrm{Z}\mathrm{u}\mathrm{C}\mathrm{k}\mathrm{e}\Gamma \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}])_{\circ}$

3のを実半単純 (あるいは簡約型) の連結な行列群とする。 このとき$\hat{C_{\tau\text{
ある}}
性質の形に書くことにする}$
たとえば既約表現の同値類で「ある性質」 を持つものをDefinition 12.

$G$$C_{7}$。

$\hat{C\tau}\mathrm{a}\mathrm{d}_{\ln}$$=$$\hat{C\tau}_{\mathrm{t}}\mathrm{t}$$=$$\hat{C\tau}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{P}$$=$$\hat{C\tau}\mathrm{L}\mathrm{D}\mathrm{S}$$=$$\hat{C\tau}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}$$=$(既約 adlnissible 表現の伺値類)(既約 unitary 表現の同値類)(既約 tempered 表現の同値類)(limits of discrete series 表現の同値類)$\hat{G}_{\mathrm{D}\mathrm{S}}=(\text{離散系列表現の同値類})$などである。 これらの表現の間には次のような包含関係がある 4。
$\hat{C\tau}\mathrm{a}\mathrm{d}_{\mathrm{l}}\mathrm{n}\supset\hat{G}_{\mathrm{u}}\supset\hat{C\tau}_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}}\mathrm{P}\supset\hat{C\tau}\mathrm{L}\mathrm{D}\mathrm{S}\supset\hat{C\tau}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}$の Plancherel 直積分の台に現れるようなユニタリ表現でさて tenlpered な表現は.
ある ([Bernstein]) が、 その分類は LDS を用いて出来ることがわかる。’$L^{2}(C_{7})$Theorem 1.3. (Knapp-Zuckerman [Knapp-Zuckerman],に対して
1491])[redbook,

Theorem$\forall\pi\in C\tau \mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}$$\exists P\subset C_{\tau}$$\exists\sigma\in\overline{M}_{\mathrm{L}\mathrm{D}\mathrm{S}}$が存在して、である。

$P=MAN$ : Langlands 分解,: 尖鼠的放物型部分群,$\pi=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}^{G}(\sigma\otimes e^{\sqrt{-1}\nu}\otimes 1_{N})$,$\exists\nu\in a’$と書ける。 この書き方は適当な共役性の下で–意的

この定理の重要性は次の定理をみればよくわかるであろう。
Theorem 1.4. (Langlands [Langlands, Lemmas 3.14&4.2], [redbook, Theorem
に対して8.54])$\forall\pi\in c_{\tau_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}}}$$\exists P\subset G$: 放物型部分群,$\exists\xi\in\overline{M}_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}}$,$P=MAN$ : Langlands 分解 ,$\exists\nu\in a_{\mathbb{C}}^{*}$: strictly N-positive5

はのただ–つの既約商表現 $J(P;\xi, \nu)$ の形に書ける :が存在して. またこの書き方は放物型部分群の共役性の下で–意的である。
$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}^{G}(\xi\otimes e^{\nu}\otimes 1_{N})$$\pi$$\pi\simeq$$J(P;\xi, |\text{ノ})$ここで I く napp-Zuckerman の定理により$\xi\in\overline{\Lambda’I}_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}}$は $M$ の尖点的放物型部分群からのLDS の誘導表現として書けているわけだからこの二つの定理を合わせると次のことがわかる。
4 よく知られているように($\mathrm{H}\mathrm{a}1^{\cdot}\mathrm{i}_{\mathrm{S}}]1^{-\mathrm{C}\mathrm{h}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}$ととがコンパクトCartan 部分群を持つとき、 かつその時に限りによるが、 例えば [redbook, Theorem 1220] 参照)。

は同値である。 あとの説明を見ればわかるようにが open Weyl chamber に入る、 という意味。

$\hat{G_{\mathrm{L}\mathrm{D}\mathrm{S}}’}=\hat{G^{1}}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{c}}$$5{\rm Re}\nu$$G$$-\vee$のとき$\hat{G’}_{\mathrm{t}\mathrm{p}}\mathrm{e}\mathrm{m}\neq\emptyset$$\hat{G}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{c}}\neq\emptyset$

である

自身がコンパクトであるこは常に成り立っている。

$G’$

4
Theorem 1.5. (revised Langlands classification [redbook, Theorem 14.92])
に対して$\forall\pi\in C\tau \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}$$\exists P\subset C_{7}$$\exists\sigma\in\overline{\overline{M}}_{\mathrm{L}\mathrm{D}\mathrm{S}}$が存在して$J(P;\sigma, \nu)$$P=MAN$ : Langlands 分解,: 尖点的放物型部分群,$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}^{G}(\sigma\circ-\otimes e^{\nu}\otimes 1_{N})$. このパラメータ,$\exists\nu\in a_{\mathbb{C}}^{*}$のただ–つの既約$(P;\sigma, \nu)$によって: N-positive6
表現 $J(P;\sigma, \nu)$ がは分類される 7。

$\pi$を与える :$\pi\simeq$$\pi\in\hat{C_{\tau_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}}}}$

を standard 表現、 あるDefinition 16. 上の定理に現れる誘導表現
いは–般主系列表現 (generalized prillcipal series representation) と呼ぶ。
$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}^{G}(\sigma\otimes e^{\mathcal{U}}\otimes 1_{N})$以上の説明からわかるように standard 表現とは (それ自身は既約表現とは限らないが) 既
約表現を分類する 「素」 になるような表現である。 したがってその定義は分類の方法によっても若干変わってくる。現在では以下の 3 種類の既約表現の分類方法があり、 それに伴って3 種類の見かけ上は異なる standard 表現の定義がある。

1.

$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{s}-\mathrm{I}_{\acute{\mathrm{C}}\mathrm{n}}\mathrm{a}1^{)}\mathrm{p}- \mathrm{Z}\mathrm{u}\mathrm{c}1_{\mathrm{c}}\prime \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{n}$による分類 (上で説明したもの ([redboolc] 参照))

2. Vogan-Zuckerman による minimal $K$ -tyPe を用いた分類$([\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{b}_{\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{k}}])$

3. Beilinson-Bernstein による旗多様体上のの-主群を用いた分類 ([Beilinson-Bernstein],[HMSW],$[\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{n}\dot{\mathrm{u}}\mathrm{d}91])$

これらの分類とその standard 表現についても簡単に見ておくことにする。

2.

Vogan(-Zuckerman) による既約表現の分類

を極大コンパクト部分群とし、 を対応する Cartan 対合とする。 またに関する固有空間分解にほかならない。
を Cartan 分解とする。 この分解は Cartan 対合$C_{7}\supset K$$\mathrm{g}=\not\in\oplus\epsilon$$\theta$$\theta$

Example2.1.
$C_{7}=SU(2,2)\supset S(U(2)\cross U(2))=I_{1}^{\nearrow}$$K=G^{\theta}=\{g\in C_{7}|\theta(g)=g\}$であることに注意しよう。

$\theta(g)=g\iota-1$$(g\in Sp(2, \mathbb{R}))$,,$\theta(g)=\iota_{\overline{j},C^{-1}}$$Sp(2, \mathbb{R})$では$K=C\tau\theta\simeq U(2)$となる。
$\mathrm{b}\subset 9\mathbb{C}$: Borel 部分代数をとる (必ずしも$\mathrm{g}$の Borel 部分代数の複素化ではないことに共役を取ることにより: -不変 Cartan 部分代数が存在しの適当なから \theta -不変となるようにできる (て, [greenbook, Proposition 23.4])。
$T$
Cartan 部分群 $H=TA=Z_{G}(\mathfrak{y}C)$ を定義する。 ここに はコンパクトな torus で $A$ はベク
トル群であるが、 $T$ は連結とは限らないことに注意しよう。
注意)。

$\mathrm{b}$$\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}\subset \mathrm{b}$$0{\rm Re}\nu$$C_{7}$$\exists \mathfrak{h}\subset \mathrm{g}$$[\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{i}]$$\theta$$\mathfrak{y}_{\mathrm{c}}$が closed Weyl chamber に入る、 という意味。実はただ–つの既約商表現が存在するためにはこれだ

けでは不十分である。詳しくは [redbook, Theorem 1492] を見られたい。
7 しかし、 このようにして表された表現の中には重複があり、 どのパラメータが同じ表現を表すかを決めるのはしばしば厄介な手続きになる。

5がユニタリ指標になるよ
Definition 22. A を Cartan 部分群 $H$ の–次元表現で、を A から決まる
このときの微分をうなものとする。
A
脆と書いておく。
( , T)-加群とするとき、$\Lambda|_{T}$$\mathrm{d}\Lambda=\lambda\in$$\mathbb{C}_{\Lambda}$$\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}$$(0\leq p)$$\mathcal{R}_{\mathrm{b}}^{p}(\mathbb{C}_{\Lambda})=A_{\mathfrak{y}}^{l^{J}}(\Lambda)$

を (Vogan-Zuckerman の) standard 加群と呼ぶ。

上の定義において$\mathcal{R}_{\mathrm{b}}^{p}(V)=(\Gamma_{\tau^{\mathfrak{i}’}}^{I})^{\iota)}(\mathrm{H}_{\mathrm{o}\mathrm{m}}\mathfrak{y}(U(\mathrm{g}\mathrm{c}),$$V\otimes\wedge^{\mathrm{t}\circ \mathrm{p}}[\mathrm{b}, \mathrm{b}])1^{\tau}])$’は-加群を表わし、はその右導来関手を意味する (この関手は通常 relative Lie
Zuckerinan の関手、 さらに
mlgebra cohomology を用いて計算される (cf. [darkgreenbook, Chapter 6], [Schmid 91, )である。 ここに$V_{[I\mathfrak{i}]}$は $V$ の $K$ -有限ベクトル全体の成す$\Gamma_{T}^{Ii}$$(\mathrm{g}_{\mathbb{C}}, K)$$(\Gamma^{I}\tau^{\iota’})^{p}$$\S 4]$

Vogan はこのようにして定-tyPe ともいう) を用いてstandard 加群とけ例で見ておこう。
$I_{1}’$

type (あるいは lowestの分類を行っている ([greenbook])。 Vogan-Zuckerman のの意味での standard 加群との関係を少しだされた standard 加群と minimal$\hat{G}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}}$$)_{\circ}$$I_{1}’$$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{s}- \mathrm{I}’\backslash \mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{J}\mathrm{p}-\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{c}1’1\mathrm{e}\mathrm{r}11\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{I}1$b)、つまり の中に実形を持つとき。 このが複素共役で不変 (Example 23.
は quasi-split 群と呼ばれるが、話を簡単にするために特に split 群の場合に考えよ
ときはは split でもある。
$sU(2,2)$ ともに quasi-split であり、う。 たとえば、としてよい。すると
が split ならば: split Cartan 部分代数が存在してはの–次元表現とかつ $T=Z_{Ii(}a$ ) $\simeq H/H_{0}$ は有限群である。 したがって
鱈よのべき零根基で、の–次元表現の outer tensor 積表現である。
可換有限群$\overline{\mathrm{b}}=$$\mathrm{b}\subset 9\mathbb{C}$$\mathrm{g}$$C_{7}$$Sp(2,\mathbb{R})$$Sp(2,\mathbb{R}),$$c_{\tau}$$\mathfrak{a}=\mathfrak{h}$$\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}\subset \mathrm{b}$$\exists \mathfrak{h}$$\mathbb{C}_{\Lambda}$$H_{0}=A\simeq \mathbb{R}$$T$$\mathrm{b}$$\wedge^{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}\mathrm{u}=\mathbb{C}\bigwedge_{\alpha}E_{\alpha}$$(E_{\alpha} (\alpha\in\triangle^{+}(.9\mathbb{C}, \mathfrak{y}_{\text{。}}))$となっているからその上に $A$ は微分がはルート

$2\rho=\Sigma_{\alpha}\in\Delta+(\mathfrak{g}_{\mathrm{c},\mathfrak{h}}\mathbb{C}^{)}\alpha$$\alpha$のルートベクトル)の表現として働く。 もちろん $T$

も各ルートベクトル E。上に–次元表現として働いているのでそれらの積表現として働く。
以上の記号の下に. $e^{-\rho}U)1Ii’$$\mathcal{R}_{\mathrm{b}}^{0}(\mathbb{C}\Lambda)\simeq(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{B=\tau}^{c}\mathbb{C}_{\Lambda}\otimes(\wedge \mathfrak{U})AU\otimes 1\mathrm{t}_{0}\mathrm{p}$]\S 6.3], [Schmid 91, (4.9) 式])。 したがって
この場合は極小放物型部分群からの普通の放物型誘導表現になり、主系列表現と呼ばれるもが成り立ち、他の$\mathcal{R}_{\mathfrak{h}}^{I)}$はすべて消える ($[\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{l}\supset \mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{k},$のである。

すこし具体的に計算しておく。 $C_{7}=SP(2,\mathbb{R})$ では、 Borel 部分群が次のように取れる。

$B=T\wedge\cdot 4U=\{$$(-.\wedge 1$

ご2$\epsilon_{1}$$\epsilon_{2}$)$|\epsilon_{i}=\pm 1\}\cross$$\alpha_{i}\in \mathbb{R}_{+}^{\cross}\}.\cross$$’\backslash \in G\}$

6

したがって、$T\simeq$

霧の表現は$\hat{T}\simeq\ovalbox{\tt\small REJECT}\ni(t_{1}, t_{2})$の–次元表現はにも $TA$ は働くが、 それぞれの表

で決まり、$A\simeq\ovalbox{\tt\small REJECT}$によって決まる。 また現にその分を吸収させてしまうことが出来る。 したがって$\wedge^{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}\mu$$e^{\nu}(\nu=(\nu_{1}, \nu_{2})\in \mathbb{C}-\simeq a_{\mathbb{C}}^{*})$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{B}^{G}(_{\llcorner}c_{12}\mathrm{b}^{\wedge 2}.)t_{1}t\otimes(a_{12}^{\nu_{1}\nu_{2}}a.)\otimes 1_{U}$.

が standald 表現である。
はのコが Cartan 部分代数の時 8。 このときはExample 2.4.
はは連結でンパクト Cartan 部分群になり、 特にDS を持つはによって–意的に決まるあることに注意しよう。 したがって Aの表現に積分できるための積分可能条件を満たさねばならない 9)(ただし はもちろん$T=Zc(\mathfrak{y}_{\mathbb{C}})$$\overline{\mathrm{b}}\cap \mathrm{b}=\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}$$G$$(\Leftrightarrow \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} C_{7}=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}K)$。

$\in\hat{T}$

$G$

$T$

$d\Lambda=\lambda\in\sqrt{-1}\mathfrak{h}’$$T$$\lambda$$\circ$$=(1/2)\dim(K/T)$ とおくと、$s=\dim_{\mathbb{C}}(\mathfrak{e}\mathrm{c}\cap \mathrm{u})$.

$\mathcal{R}_{\mathrm{b}}^{s}(\mathbb{C}_{\lambda})=(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}$series of Harish-Chandra parameter’$\lambda+\rho)_{[]}Ii$にはに関する positivity と regularity をはすべて消える。 ただしであって他の仮定する。詳し \langle は [darkgreenbook, \S 6.7.6], [Schmid 91, (4.10) 式] などを参照のこと 10。
$\lambda$$\mathrm{b}$$\mathcal{R}_{\mathrm{b}}^{p}(\mathbb{C}\lambda)$

このように Borel 部分代数の取り方によって cohomological induction は性質の違ったもの
を ellipticを hyperbolic induction, 例 2.4. におけるを表わす。例 23. における$\mathcal{R}_{\mathrm{b}}^{*}$$\mathcal{R}_{\mathrm{b}}^{*}$

induction などと呼ぶこともある。一般の$\mathcal{R}_{\mathrm{b}}^{*}$

はこの二つの場合の混交であって、代表的な場合は$\mathcal{R}_{\mathrm{q}}^{i}$(極小放物型部分群から誘導された主系列表現)

や、 または$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{p^{7}}^{C}$(尖点的巴物型部分群の離散系列表現)\S 6.5,の形になる。前者は Vogan の本で standard 表現として定義されたもの ([の意味での-Zuckerlnan
Defiffition 6.5.2]) 、後者は前節で説明したように表現である。
$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{I}\supset \mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{k},$$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{s}- \mathrm{I}\backslash \mathrm{n}\prime \mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}$$\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{l}\backslash \mathrm{d}$Beilinson-Bernstein による既約表現の分類

3.

軌道を旗多様体とする。 $X$ にはん C が左から作用している。 $Q\subset X$ を上にで既約な局所系 をとる。 はほとんどの場合自明なもの
として、しかなく、他にあったとしても有限個である。
と書き、上のに随伴した ,-箪群を $X$ に極小拡張したものを$X=C_{7}\mathbb{C}/B_{\mathbb{C}}$

$Q$

$Q$

$I\mathrm{i}_{\mathbb{C}}’$$\tau$$\tau$$I\mathrm{c}^{r_{\mathbb{C}^{-}}}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}_{1}r\mathrm{a}1\backslash \mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$$\mathcal{I}(Q, \tau)$$\mathfrak{D}$$\tau$$\Gamma^{p}(X,\mathcal{I}(Q, \tau))$$(0\leq p)$を満たすような Borel 部とできる。一般に共役を取ることによって
8 このときは適当な部分代数と呼ばれ、 コンパクト部分が最大の Cartan
分代数に対応する Cartan 部分代数は fundalnental
部分代数である (松木氏談)。
9 英語では integral condition で、通常は「整条件」 などと訳される。 これも意味の無いことではなく実際はという条件でだいたいかける (この記述はかなり曖昧であるが、例えば [redbook, \S IV.5I を参照さは coroot である
れたい) ここに$\theta \mathrm{b}=\mathrm{b}$$\theta \mathrm{b}=\mathrm{b}$$I_{1^{\vee}}\mathbb{C}$$\mathrm{c}_{\mathrm{a}1}\cdot\tan$$\lambda(\alpha^{\vee})\in \mathbb{Z}$$a^{}$$0$$\circ$10t-vallach の本は離散系列についてはかなり具体的に書いてあり、計算するには参考になる。ただ惜しむらくは随所に致命的な misprint がある。 たとえば上記箇所では離散系列の定義式
おいてが使われるべきである。
: ではなく$\rho\iota$$\rho$$D_{P,\mu}=\Gamma^{n}M(\mathrm{b},\mathbb{C}_{S(}K\mu+\rho_{k}))$

に

7

.
を standard 加群と呼ぶ 11。
duality theorem によって Beilinson-Bernstein の意味め standard 加群は Vogan-Zuckerman$\cdot$の意味の standard 加群の双対表現 (の $K$-有限部分表現) と同値になる ([HMSW])。

筆者は D-加群の理論はよく理解していない部分が多いのでここで詳しく記述することは止める。詳しくは [HMMMSW] [Schmid 91] [Chang] [Mirkovi6] などを参照されたい。 またの-加群の基礎的な部分の優れた概説が谷崎によってなされている ([Tanisaki])。また関口による詳しい解説 ([Se.kiguchi]) もあるのであわせて参照されたい。 ただどちらも実 Lie 群に対してはあまり詳しくなく、 主に複素代数群が扱われている。

$11\mathcal{I}(Q, \tau)$のことを Harish-Chandra 層と呼ぶ。 こちらの方は既約性とかが見易い ($[\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{i}\acute{\mathrm{C}}]$参照) が、 無限小指標が特異の場合には、可約であっても大域切断を取ることにより消滅が起って既約になることもあるので、一般に standard 加群の方は (特異無限小指標の場合には) 複雑な振る舞いをする。

8Part II. $SU(2,2)$ における standard 表現$G=SU(2,2)$ の外点的放物型部分群は (共役を除いて) 次の 3 つである 12。

1.

$P_{\min}=P_{\emptyset}$: 極小放物型部分群

2.

$P_{\max}=P_{\beta}$: 極大放物型部分群 (

3.

$G$

$rightarrow \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$

root)

自身

以下上の 3 つの順にの意味での standard 表現 (–般化された-Speh] に拠った。 まず–般的な記号から重複をいと$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{s}-\mathrm{I}\acute{\mathrm{l}}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}-\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{C}\mathrm{l}\mathfrak{c}\mathrm{e}\Gamma \mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{n}$主系列表現) を扱う。記号は主に [わず書いておこう。

$\mathrm{I}’\backslash \mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}’$$C_{7}=SU(2,2)=\{g\in SL(4, \mathbb{C})|g^{*}I2,2g=I_{2,2}\}$$\theta(g)=^{\epsilon_{\overline{j}C}}-1$,$I_{2,2}=$: Cartan 対合 (群レベル),$K=G^{\theta}=\{\in SL(4, \mathbb{C})\}\simeq S(U(2)\cross U(2))$

4.

極小放物型部分群

極小放物型部分群を$P_{\mathrm{n}1}=P_{\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{n}}$と書く。
$P_{\mathrm{I}\mathrm{n}}=M_{\mathrm{m}}A\mathrm{m}N_{\mathrm{n}1}\subset C_{7}$$NI_{\mathrm{n}1}=T\cross\{1, \gamma_{2}\}$は連結ではなく、連結成分が二つある。原点を含む連結成分が $T$ である。

$.\gamma_{2}=$$\theta\in \mathbb{R}$

ベクトル群$A_{\mathrm{n}1}$は Lie 環で与えたほうが見易い。

$A_{\mathrm{m}}=\exp a_{\mathrm{m}}$,$a_{\mathrm{m}}=\{|$$s,$ $t\in \mathbb{R}\}$べき単群 N 章は $a,$, 関する制限ルート系とその正ルートによって与えられる。
( , 果、)$\nabla \mathrm{g}$$rightarrow$

ここに$f_{1},$$f_{\mathit{2}}\in \mathfrak{a}_{\mathrm{n}1}’$$=\{\pm \mathit{2}f_{1}, \pm \mathit{2}f2, \pm f1\pm f_{2}\}$: 制限ルート系 ,であって$f_{1}(X)=s\cdot$,$f_{2}(X)=t$($X\in a_{\mathrm{m}}$( $X$ は上の行列の形))

12 放物型部分群はこの他に Siegel 型のものがあるが、 これは尖点的ではない。

9$\underline{.\nabla}(\mathrm{g}, a_{1)\tau})=\Sigma\supset^{\underline{\nabla}}=+\{2f_{1},2f_{2}, f_{1}\pm f_{2}\}$: 正ノレ $-$ ト ,$N_{\mathrm{m}}= \exp(_{\alpha\in}\sum_{\underline{\nabla}+}\mathrm{g}_{\alpha})$は制限ルートに関するルート空間を表わす。
は $G$ の Borel 部分群であり、 したは可換な Cartan 部分群になっているのでがって $c_{7}=SU(2,\mathit{2})$ は quasi-split 群である。 quasi-split 群の極小放物型部分群から誘導さここに$\alpha\in\Sigma$$\mathrm{g}_{\alpha}\subset \mathrm{g}$$lVI4\mathrm{n}\mathrm{u}^{\mathit{1}}\mathrm{n}1$$P_{\mathrm{m}}$れた表現は Vogan の理論において本質的であって、極めて詳しく調べられている。読者は[greenbook, Chapter 4] を合わせて読まれることをお勧めする。

さて主系列表現を具体的に記述するためにまずの表現を記述しておく。今の場合は可換な Cartan 部分群の表現であるので何の問題もないであろう。
$M_{\mathrm{m}}A_{\mathrm{m}}$$\overline{M}_{\mathrm{m}}=\{(\}\backslash \cdot’,$$\uparrow l(u)=e^{i}?\iota\theta$($?l)|\uparrow l\in \mathbb{Z},$$u\in T:\mathrm{c}\iota$$\kappa=\pm 1\}\simeq \mathbb{Z}\cross \mathbb{Z}$は上の行列の形),$\kappa(\gamma_{2})=f_{\hat{\iota}}$$\mathit{1}4_{\mathrm{m}}=a_{\mathrm{m}\mathbb{C}}=\wedge*\{\nu=\nu 1f1+\nu 2f.2|\nu=(\iota\dot{\text{ノ}_{}1}, \nu_{2})\in\infty\}\simeq \mathfrak{G}$

そこで主系列表現を$\pi((\kappa, n);\nu)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}c_{7}((h, ?l)\otimes e\mathcal{U}P\mathrm{m}1_{N}\otimes \mathrm{m})$と書くことにしよう。 まず最初の問題$\pi((\kappa, n);\nu)$

はいつ既約になるか?

について考えてみよう。 この問題に関しては の無限小指標が正則の時 Speh-Vogan による簡単な判定法がある。 その前にまず無限小指標について簡単に説明しておこう。
表現 が既約ならば展開環の中心 3 はスカラー作用素で働くと期待できる (Shurの補題)。 このように 3 がスカラーで働くような表現を quasi-simple な表現と呼ぶが、に属する表現はすべて quasi-simple であることが知られている。 また–般化された主系列表
現も (既約とは限らないが) quasi-siinple である。の展開環 (これは方展開環の中心 3 は Harish-Chandra 同型により Cartan 部分代数可換であるから対称代数、 あるいは脆上の多項式環といってもよい) の Weyl 群不変元のなと同型である。 したがって
す代数
$\pi$

$U(\mathrm{g}_{\mathbb{C}})$$\pi$$\hat{G}_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}}$$\mathfrak{y}_{\mathrm{c}}$$U(\mathfrak{h}_{\mathbb{C}})^{\nu V}$

Hollualg$\mathbb{O}\simeq \mathfrak{h}_{\mathbb{C}}^{*}/W$$(3, \mathbb{C})\simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{I}\mathrm{n}_{\mathrm{d}}r(U(\mathfrak{y}_{\mathbb{C}})^{W},$の元がただ–つが成り立っている。上で見たように quasi-simple 表現 にはには上の同型から対応しているが、 これを無限小指標と呼ぶ。無限小指標
脆が対応
と書いて
のことも無限小指標と呼ぶ。
しているので、魅の選び方には Weyl群の作用による不定性があることに注意しよう。 の固定部分群$\dot{\pi}$$\mathrm{H}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}1_{\mathrm{a}}}(3,$$\mathbb{O}$$\lambda\in$$\chi$$\lambda\in$$\lambda$$\iota=,\backslash \lambda$$\lambda$$W_{\lambda}=\{w\in W|u’\lambda=\lambda\}$の退化度を表わすが、 とくに $W_{\lambda}=\{1\}$ のときにという。

は$\lambda$

Lemma 4.1. 主系列表現$\pi((\kappa, \uparrow l);\nu)$の無限小指標$\lambda$$\lambda$

を正則といい、 それ以外の時特異は$/ \backslash =\frac{1}{4}(_{ll+}\mathit{2}\nu_{1}, -?l+2\nu_{2}, -n-2\nu_{2}, tl-2\nu_{1})$で与えられる。

10

この補題では$\mathfrak{h}=\mathfrak{m}_{\ln}+.a_{\mathrm{m}}$を Cayley 変換によって対角化してその上の線型形式として$\lambda$を与えている。具体的にぽ次のようにする。

$C_{m}\text{ノ}--$とおき、$\mathrm{c}$:となる。 さらに$\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}$

には

$-$

に対して $\mathrm{c}(X)=c-1\mathrm{x}n?c_{m}$ と定義する。行列の形で書くならば$X\in \mathfrak{h}=\mathfrak{m}_{\mathrm{m}}\oplus a_{\mathrm{m}}$を複素線型に延長し、 自然に$\mathrm{c}$Cartan 部分代数を同–視する。すると
める。

$(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{4})\in \mathbb{C}^{\iota}$$\mathfrak{h}_{\mathbb{C}}$と$\epsilon\downarrow(4, \mathbb{C})$は自好に$\lambda\in$の対角行列の成す

魅を次のように決$(X\in \mathfrak{h}_{\mathbb{C}})\text{つ}$$\lambda(X)=\sum_{i=1}\lambda_{i}(4\mathrm{c}(X))i$の第 $(i, i)$ 成分を表わすものとする。上の補題中のは対角行列
分表示はこの意味で与えられたものである。
ただし.

$\mathrm{c}(X)$$(\mathrm{c}(X))_{i}$$\lambda$の成では Speh-Vogan の–般化された主系列の既約性の判定方法について述べよう。

Theorem 4.2. (Speh-Vogan [Speh-Vogan, Theorem 1.1]) $P=MAN$ を尖点的放物型部分群としてその–般化された主系列表現$(\sigma\in\overline{M}_{DS}, \nu\in a_{\mathbb{C}}^{*})$$\pi(\sigma, \nu)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}^{G}(\sigma\otimes e^{\nu}\otimes 1_{N})$はの Cartan 部とすればを考える。 のコンパクト Cartan 部分代数をのについて考えるものとする。
分代数である。以下ルート系などはすべてが可約であるための必要十分条件はが正則であるとき無限小指標が存在して次の条件を満たすことである。
$\mathrm{t}^{+}$$\mathfrak{m}$$\mathfrak{h}=\mathrm{t}^{+}\oplus a$$(\mathrm{g}\mathrm{c}, \mathfrak{h}_{\mathrm{c}})$$1s_{\text{、}}$$\lambda=\lambda_{M}+\nu$$\mathrm{g}$$\pi(\sigma;\nu)$$\pi(\sigma;\nu)$$\exists\alpha\in\triangle(\emptyset \mathrm{c}, \mathfrak{h}\mathbb{C})$$\lambda$は$\alpha$に関して整つまり$\alpha^{\vee}(\lambda)=\frac{2\langle\alpha,\lambda\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle}\in \mathbb{Z}$であって次の (a) または(a)$\alpha$は complex root$(\dagger))$を満たす。

$(\Leftrightarrow-\theta\alpha\neq\pm\alpha)$

であって 14‘$\langle\alpha, \lambda\rangle>0>\langle\theta\alpha, \lambda\rangle$が成り立つ。
はの無限小指標である。誘導表現は正規化されていることに注意せよ。
14 [Spell-Vogan] では complex root には純虚ルート $(\Leftrightarrow-\theta\alpha=-\alpha)$ も入っているが、 そのときには以下の$13\lambda_{M}$$\sigma$

不等式は自動的に不成立である。 したがってここでは除いている。そもそも純虚ルートは離散系列指標にしか関係しないので–般主系列の既約性については何等影響を与えないのである。

$\sigma$

の無限小

11

(b)

$\alpha$は real root$(\Leftrightarrow-\theta\alpha=\alpha)$であって、 parity condition を満たす 15

この定理を $G=SU(\mathit{2},2)$ で、極小放物型部分群からの主系列表現の場合に当てはめると次のようになる。

Theorem 4.3.

$7l\neq\pm\nu_{1}\pm\nu_{2}$あるための必要十分条件ははに関して整つまり$\lambda$,$\nu_{1},$$\nu_{2}\neq 0$であるとする。 このとき $\pi((\kappa, n);\nu)$ が可約でが存在して次の条件を満たすことである。

$\exists\alpha\in\triangle(\mathrm{g}_{\mathbb{C}}, \mathfrak{h}_{\mathbb{C}})$$\alpha$$\alpha^{\vee}(\lambda)=\frac{2\langle\alpha,\lambda\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle}\in \mathbb{Z}$であって次の$(\mathrm{a}’)a$$(\mathrm{a}’)$または (1 力を満たす。

は complex root$(\Leftrightarrow-\theta\alpha\neq\pm\alpha)$

であって 16‘$\langle c\mathrm{t}’, \lambda\rangle\cdot\langle-\theta\alpha, \lambda\rangle>0$が成り立つ。
$(|_{\mathrm{J}’})\alpha$は real root$(\Leftrightarrow-\theta\alpha=\alpha)$であって、 parity condition を満たす 17。

この定理は Speh-Vogall の条件 (a) を少し書き直したものにすぎない。つまり今の場合$a^{\vee}(\lambda)\in \mathbb{Z}$と$(’\theta\alpha)^{\mathrm{v}}(\lambda)\in \mathbb{Z}$とが同値であることに注意すればよい。
を具体的に書き下してみよう。 まずはルート系から見ておこト系を持つ。 それを通常のようにおよび
以下この条件う。 $C_{7}=SU(\mathit{2},2)$ は . 型の$(\mathrm{a}’)$$(1_{\mathrm{J}’})$$\mathit{1}4_{3}$$i\mathrm{s}-$$\triangle(9\mathbb{C}, \mathfrak{y}_{\mathbb{C}})=\{\mathrm{h}^{-}.\hat{\mathrm{c}}j|i^{-}1\leq i\neq j\leq 4\}$と表わす。 Cartan 部分群$H=\Lambda/I\ln A\mathrm{m}$の連結成分は$H_{0}=TA_{\mathrm{m}}$であり、$X\in \mathfrak{h}=\mathrm{f}\oplus a_{\mathrm{m}}$を$X=$と書いておけば、$(.=_{1}-62)(\mathrm{x})=S-t+2\sqrt{-1}\theta$,$(\hat{c}_{3^{-\mathcal{E}_{4}}}.)(X)=s-t-2\sqrt{-1}\theta$$(_{\mathit{6}_{1}-}\epsilon_{3}.)(x)=s+t+2\sqrt{-1}\theta$,$(\overline{\vee.}2-\mathrm{c}’)4(x)=s+t-2\sqrt{-1}\theta$.

$(\epsilon_{1^{-c_{4}}}.)(x)=\mathit{2}s$$(\epsilon_{\underline{)}}.-_{\overline{\mathrm{C}}}.3)(X)=2t$

が正ルートになっている。 このうち横に並んだもの同士は複素共役で、 したがってこの二つは複素ルートである。最後の二つは実ルートで、 実際このときルートの値が実数になっていることに注意されたい。 またこのルート系において $\theta=0$ と形式的におけば (重複度も込め
15 この$16-\theta$$\mathrm{P}^{\mathrm{a}1\mathrm{i}\mathrm{t}}.\mathrm{y}$condition については後ほど $G=SU(2,2)$ については具体的に解説する。

は Cartan 部分代数を対角型行列として実現しておくとその上では複素共役を取ることに当たる。

17 この parity condltlon については後ほど具体的に解説する。

12を決める正の制限ルート系になっト系た) 制限が得られ、それはちょうどていることに注意しよう。
をとる。 このとさて上の定理の条件を確かめてみよう。 たとえば複素ルートきである。 したがって上の定理の条件は$[]\mathrm{s}-$$.\nabla+arrow(\mathrm{g}, a_{\mathrm{m}})$$N_{\mathrm{m}}$$\alpha=\epsilon_{1}.-\mathcal{E}_{2}$$-\theta\alpha=.c_{3}-.\wedge 4$$\frac{2\langle\alpha,\lambda\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle}=\frac{1}{2}(n+\nu_{1^{-}}\nu_{2})\in \mathbb{Z}$かつ$\langle\alpha, \lambda\rangle\langle-\theta\alpha, \lambda\rangle=\frac{1}{4}(_{l}l+\nu 1-\nu_{2})(-n+\nu 1-\nu 2)>0$となる。 これをまとめると(mod 2),$ll\equiv\nu_{1}-\nu_{2}$$|\nu_{1}-\nu_{2}|>|n|$が条件になる。 ( $tl\equiv\nu_{1}-\nu_{2}$ と書いた時点で暗黙の内にと了解して欲しい。 )次に実ルートの場合を見てみよう。例としてが仮定されているもの$\nu_{1}-\nu_{2}\in \mathbb{Z}$$\alpha=\mathrm{c}_{1}-\wedge\hat{\mathrm{c}}_{4}=2s$を考えよう。 まず整条件は$\frac{2\langle\alpha,\lambda\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle}=\frac{1}{4}((_{l\tau}+2\nu 1)-(n-2\nu 1))=\nu_{1}\in \mathbb{Z}$である。 問題は parity condition の方であるが、 すべての用語を説明すると紙数が足らないので、 以下現れる用語で説明していないものについては例えば [redbook] あるいは [Warner]

を参照されたい。
さて実ルートによって定まる Cayley 変換をと書く。 この Cayley 変換によって得られる Cartall 部分代数をとすれとしてルート系の中の純虚ルートの全体をはのの non-compact ルートである
ば、
さて
による像
を単純ルー
トにするようなの正ルート系を $-$ つ決め、 その順序に関して$\mathrm{d}_{\alpha}$$\alpha$$\triangle(9\mathbb{C},\tilde{\mathfrak{y}}_{\mathrm{c})}$$\tilde{\mathfrak{h}}$$\beta=\mathrm{d}_{\alpha}(\alpha)$$\mathrm{d}_{\alpha}$$\alpha$$\Psi_{1}$$\Psi_{1}$$\beta$$0$$\Psi_{1}$$2 \rho(\Psi_{1})=\sum_{\Psi\gamma\in+}\gamma$,$2\rho_{C}(\Psi_{1})=$$\gamma$$\sum_{\gamma\in\Psi^{+}}$,$\gamma:\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}$rootと定義する。 今の場合
$2\rho(\Psi_{1})=\beta=.c_{1}-\overline{\mathrm{c}}_{4}$,$2\rho_{c}(\Psi_{1})=0$となっていることに注意しよう。 さて以上の記号の下に.
$ll_{\alpha}= \frac{2\langle/\mathit{3},\rho(\Psi 1)-2_{\beta}(C\Psi_{1})\rangle}{\langle/\mathit{3},/\mathit{3}\rangle}\in \mathbb{Z}$と定義する。 もちろん
の時には
である。
次に、 は実ルートであるからの定めるに同型である。 この同-triplet は$-1_{2}\inSL(2,\mathbb{R})$
型によって
の元を
に対応する
と書こう。 いまの場合には具体的には$ll_{\alpha}=1$$\alpha--\llcorner\vee^{\wedge}1-\vee C4$$\alpha$$\alpha$$SL(2, \mathbb{R})$$\ovalbox{\tt\small REJECT} 1(\mathit{2})$$C_{7}$$m_{\alpha}$$m_{\alpha}=$13となっている。

以上の用意の下に$\pi(\sigma;\nu)$についての parity condition は以下のように述べることが出来る。
$\sigma(m_{\alpha})=(-1)n\alpha+2\langle\alpha,\lambda\rangle/(\alpha,\alpha\rangle$

これを今の場合に当てはめれば、左辺は.
$(-1)^{\eta}h=(-1)^{1\nu_{1}}+$,’ であるから

14\gamma_{2})=(-1)^{n_{h}}$,ifif $\kappa=-1$ ,(mod 2)(mod 2)$n+1$.

$[] \mathrm{e}$$(\kappa, \uparrow l)(-.

$\nu_{1}\equiv\{$$n$$\kappa=1$となることがわかる。

の表現をよく知っている人にとってはわ
condition はExample4.4. このの Borel 部分群 $B$ を上半三角
かりやすいと思うのでここで簡単に説明しておく。
を対角成分が正の対角行列、 $N$ を対角線が 1 の行列とし、 $B=MA\Lambda^{r}$ を
上半三角行列とする。 このとき主系列表現を$SL(2, \mathbb{R})$$\mathrm{P}^{\mathrm{a}1^{\backslash }\mathrm{i}\mathrm{t}}\mathrm{y}$$SL(2,\mathbb{R})$$A$$M=\{\pm 1_{2}‘\}_{\text{、}}$$\pi(\kappa’;\nu)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{B}(\kappa\otimes sL(2,\mathbb{R})e^{\nu_{\otimes}}1_{N})$は $A$ に属する行列の $(1, 1)$ 成分をと書くならと定義する。 ここに$A$
このときよく知のユニタリとは限らない–次元表現である。
ばで与えられるおよび\mbox{\boldmath $\pi$} $(1; 2n+1)$
は可約であってその他のられているように $\pi(-1;2l\iota)$
は既約である。
では上の parity condition は–体どうなっているだろうか? 問題となるルートはただと表わされる。次につでこのルートは実ルートである。 まず無限小指標の整条件は$\kappa\in\{\pm 1\}\simeq\overline{M}_{\text{、}}$$a$$e^{\nu}$$e^{\nu\log a}=a^{\nu}$$(n\in \mathbb{Z})$$(n\in \mathbb{Z})$$\pi(t\hat{\iota};\nu)$$(\nu\in \mathbb{C})$$\nu\in \mathbb{Z}$$SL(2,\mathbb{R})$はコンパクトルートを持たないので上で計算した$n_{\alpha}$は$n_{\alpha}= \frac{2\langle_{\mathrm{C}1}\prime,\rho-2\rho_{c}\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle}=\frac{2\langle\alpha,\alpha/2\rangle}{\langle\alpha,\alpha\rangle}=1$

で,?\mbox{\boldmath $\lambda$}\alpha $=-1_{2}$ だから parity condition は$\sigma(\eta l_{\alpha})=h=(-1)^{??\alpha}\cdot(-1)^{\nu}$,$[].\mathrm{e}$.

(lnod 2)
1(mod 2)$0$$\nu\equiv\{$

if
if $\kappa=1$$t_{\iota}’=-1$となり、 これは上に書いた事実にほかならない。実際 [Speh-Vogan] では実階数 1 の場合に, 画の主系列表現の可約性が用いられている。
可約性の証明を帰着して本質的にはこの
このような可約性について–般的な考察を行ったのは Schmid [Schmid 75] であり、指標の段, Theorem 12 .34] 参照)。
階で可約性を表わした等式を Schmid identity と呼ぶ ($SL(.\mathit{2}$$[\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{b}_{0}\mathrm{o}\mathrm{k}$残った複素ルート、実ルートについてもまったく同様に計算すれば次の定理を得る。
であるとする。 このとき $\pi((\kappa, n))\nu)$ が可約で,あるための必要十分条件は次の (1) $-(4)$ のいつれかが成り立つことである。

Theorem 4.5.

$ll\neq\pm\nu_{1}\pm\nu_{2}$(1)$n\equiv\nu_{1}-\nu_{2}$(mod 2) であって

(2)$\uparrow x\equiv\nu_{1}+\nu_{2}$$\nu_{1},$$\nu_{2}\neq 0$$|\nu_{1}-\nu_{2}|>|\uparrow l|$が成り立つ。

(mod 2) であって $|\nu_{1}+\nu_{2}|>|n|$ が成り立つ

14

(3)

$\nu_{1}\in \mathbb{Z}$(4)$\nu_{2}\in \mathbb{Z}$であって、 $\kappa=1$ なら $\nu_{1}\equiv ll+1$
成り立つ。
であって、

なら

$t\mathrm{i}_{J}=1$$\nu_{2}\equiv 1$

$($

$($

mod

mod

なら

$2)_{\text{、}}\kappa=-1$$2)_{\text{、}}\kappa=-1$

なら(mod 2) が$\nu_{1}\equiv n$(mod 2) が成り$\nu_{2}\equiv 0$

立つ。

このようにして正則な無限小指標を持つ主系列表現についてはその可約性は非常に明快に書けることがわかった。では特異な主系列についてはどうか? まず上の定理は実は可約性の必要条件として有効である、 ということに注意しておこう 18。そのようにして可約性の範囲はかなり絞られる。
では例えば $\nu=0$ のときはどうであろうか? このときは主系列表現はユニタリな誘導表現
であり、状況はかなり見易くなる。以下それを $R$ -group を中心に見ておこう。

5.

$R$

-group と minimal $K$ -tyPeと同型である,R-group は Weyl 群の部分群の商群であってLemma 4.3.14], また [Vogan 85, Theorem 36] も参照のこと)。 この群はDefinition$(\mathbb{Z}_{\underline{)}})^{r}$$(\exists r\geq 0)$$([\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}[_{)}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{k}$$4.4.\underline{9,}$$\pi(\sigma;\nu)$$(\sigma\in NI\mathrm{D}\mathrm{S}, l\text{ノ}\in a_{\mathbb{C}}^{*})$

によって決まる。特に

つまり$\nu\in\sqrt{-1}\mathfrak{a}_{\text{、}^{}\prime}$$\pi(\sigma;\nu)$がユニタリな誘導表現であるときには($\#(R- \mathrm{g}1’ \mathrm{O}\mathfrak{U}\mathrm{p})=$$\pi(\sigma;\nu)$の自己 intertwining 作用素の次元)が成り立っている ([redbook, Theorem 1443], [greenbook, Corollary 6.5.14]19)。
$\pi\in\hat{c_{\tau_{\mathrm{a}\mathrm{d}_{\ln}}}}$の minimalの分解に現れる
現
weight) とするとき$\pi|_{Ii}$を極大コンパクト部分群のうち「極小」なもの。つまり$I_{1-}’\mathrm{t}\underline{\mathrm{y}1)}\mathrm{e}$$\tau\in I_{1}’$

とは

$\pi$

$I\mathrm{i}’$$\pi|_{I_{1}},$に制限して得られた表$\supset\tau_{\mu}\in\overline{I\mathrm{i}^{r}}(\mu$: highest$||\mu||^{2}=\langle\mu+2\rho C’\mu+2\rho_{c}\rangle\in\ 0$

とおきこれを$I\mathrm{c}’$-length と呼ぼう。 minimal$I\mathrm{i}^{r}$-type の定義はこの$I_{1^{\nearrow}}$-length が最少になるものという定義である。
$\tau_{\mu}\in\overline{I_{1}’}$

が

$\pi$

において極小$\Leftrightarrow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}||\mu||^{2}$が, Vogan)
Theorem 5.1. (表現であるとき)、次の (1), (2) が成立する。

$l\text{ノ}\in\sqrt{-1}\mathfrak{a}’$$\mathrm{K}\mathrm{n}\mathrm{a}_{\mathrm{P}\mathrm{P}}$

(1)

$\#$

( $R$-group) $\leq\#$ ( minimal(2) minimal$I_{1}’$$I\mathrm{i}^{r}$となる,$\tau_{\mu}\subset\pi|_{I_{1}}$$I1^{r}$-tyPe の中で最少値を取るのとき (つまり$\pi(\sigma;\nu)$がユニタリな誘導-types)-type がただ–つしかない$\Rightarrow$$R$-group は自明$\Rightarrow$$\pi(\sigma;\nu)$は既約18 基本的にはこのような条件は十分条件になるべきものであるが、 translation functor によって特異な無限小指標へと移行したときに消滅してしまう表現があるために事情が複雑になるのである。 -invaliallt と呼ばれる概念はこのような消滅をコントロールするために考案された。
Vogan のものは–見放物型部分群からの誘導ではないようにみえるが、実は同じことになる。つまり
cohomological parabolic induction は適当な尖点的放物型部分群を選ぶことによりここで扱っている実放物型部分群からの誘導表現に–致する [greenbook, Theoreln 66. $15$ ]$\tau$$1\theta$$\theta- \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}1_{\mathrm{J}\mathrm{l}\mathrm{e}}$$\circ$15

Example 5.2. $C_{7}=SL(2, \mathbb{R})$ の主系列表現で見ておこう。 よく知られているように...

$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{B}^{G}((\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{a}1)\otimes e^{\nu}\otimes 1)$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{B}^{G}((\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n})\otimes e^{\nu}\otimes 1)$. ..

minimalminimal$I\mathrm{i}^{r}$$I\mathrm{i}’$-type $=\{0\}$-type $=\{\pm 1\}$である。 したがってユニタリ誘導表現のところでは$:$$( \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{c}\iota_{G}^{G}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{c}\iota(B(B((\mathrm{t}1\backslash \mathrm{i}\mathrm{l}^{\Gamma}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n})\otimes e^{0}\otimes)1)\otimes e^{0}\bigotimes_{1}1)$

:

既約約

(

$\#$

irreducible component $=2$ )となっている。上の方が既約なユニタリ主系列表現、下の方は二つの離散系列表現の極限(LDS) へと分解する。
$C_{7}=SU(\mathit{2},2)$の極小放物型部分群の場合に戻ろう。 まず

こう。
[/$e^{i\psi}.$$I’\backslash - \mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}\mathrm{e}$の記述についてみてお,$\backslash 1$$I\mathrm{c}^{r}=[|\cdot$($\overline{I_{1}’}\ni t\mathrm{t}’.\otimes\tau_{\mu_{1}}\otimes\tau_{\mu_{2}}$$n’\in \mathbb{Z},$$\mu_{1},$$\mu_{2}\geq 0$: highest weights )ただし上のの積表示は直積ではないので compatibility により $n’\equiv\mu_{1}+\mu_{2}$ないといけない。 このとき-length は$I_{1}’$(mod 2) で$I_{1}’$$I_{\mathrm{t}}’$-length$=\uparrow \mathit{1}_{l}^{;2}+2(\mu_{1}+2)^{2}+2(\mu_{2}+2)^{2}$なので It’-length の最少値は $n’=\mu_{1}=\mu_{2}=0_{\text{、}}$ つまり自明な表で与えられる。
現の時に $0+8+8=16$ である。 したがって特に $((f_{1^{\wedge}}’, n))\nu)=((1,0);0)$ ならば明らかに$\ell \mathrm{t}_{1,\mu 2}\geq 0$$\pi((1,0);0)|I1^{-}\supset 0\otimes\tau_{\mathit{0}^{\otimes\tau}0}$.

であってこれが極小になる (重複度 20 は 1)。つまり $\pi((1,0);0)$ はただ–つの minimalを持つ。

Corollary 5.3. $\pi(0,0;\nu)$$\hat{C_{\tau_{\mathrm{u}}}}$$(\nu\in\sqrt{-1}a_{\mathrm{n})}’)$$(\iota\ovalbox{\tt\small REJECT}\in\sqrt{-1}\mathfrak{a}_{\ln}’)$はユニタリな既約表現である :$I\iota^{\nearrow}$-type$\pi((1,0);\nu)\in$.

-Speh, \S 3.3.a] に詳しく出ているのでそちらを参照して具体的な $R$-group の計算は [いただきたい。例えば $\nu=0$ のとき、 既約成分は最大で 4 つ出るというようなことも判る。
$\mathrm{I}\acute{\backslash }\mathrm{n}\mathrm{a}_{1^{)}\mathrm{P}}$( $ll\equiv 1$ (mod 2)) の minimal IC-type はのふたつ。 $\nu=0$ ならば実はR-grOuP $=2$ であってExample 54. 主系列表現$\mu_{1},$$\ell_{l\underline{\cdot)}})=(\pm 2,0,0)$$\pi((-1, ll);\iota\ovalbox{\tt\small REJECT})$$(ll^{l}$,$\#$$\#(\pi$( $(-$ 助ほ $0)$ の既約成分) $=2$である。

他にも DS の主系列表現への埋めこみ ([Ytluashita $90]$ の結果) などの話題はあるが、それは \S II.7. にまわすことにしてとりあえず極大放物型部分群の場合にに移ろう。

の重複度は常に 1 である ([20 実は nlinimal
も参照のこと)。
lary6515]$I_{\mathrm{L}-}^{\sim}\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}\mathrm{e}$$\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}\iota_{)\circ\circ}\mathrm{k}$, Theorem 6.5.10] また [greenbook, Corol-

16

6.

極大放物型部分群$P$$\mathfrak{m}$$M$$(/\mathit{3}=2f_{2})$$=$$P_{2f_{\wedge}}.?=MAN$$=$$\mathrm{m}_{\mathrm{n}1}+_{9\beta}+9-\beta+[9\beta, \mathrm{g}-\beta]$$=$$\{|\theta\in \mathbb{R}|\oplus\{$ $|\delta\in \mathbb{R}w\in \mathbb{C}\}$$=$$T\cross\{|$i.e.

$\mathfrak{a}=$$N$$=\exp(_{92}f_{1}\oplus 9f1+f\underline{\cdot\supset}\oplus \mathrm{g}_{ff}1-\underline{.\supset})$

ルート系$\beta\in \mathbb{C}\}$$\alpha,$$\{H\in \mathfrak{a}_{\mathrm{m}}|2f2(H)=0\}=\{|s\in \mathbb{R}\}$

$=$

$=$

,

$( \frac{\alpha}{\beta}\frac{\beta}{\alpha})\in SU(1,1)$$A$$\mathfrak{h}$$|\alpha|^{2}-|\beta|^{2}=1$$\exp a$$\{X=$$\triangle(9\mathrm{c}, \mathfrak{h}\mathrm{c})$は次のようになる。 ただし$X\in \mathfrak{h}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\theta,$$\delta\in \mathbb{R}\}$は上の式に現れる行列とする。

$(\hat{c}_{1}--.-2\mathrm{I}(\mathrm{x})=s-\sqrt{-1}\delta+2\sqrt{-1}\theta, (\epsilon_{2^{-}}\epsilon_{4})(x)=S+\sqrt{-1}\delta-2\sqrt{-1}\theta$$(\epsilon_{1}-\hat{\mathrm{C}}3)(\mathrm{x})=S+\sqrt{-1}\delta+2\sqrt{-1}\theta$,$(\hat{c}_{3}-\epsilon_{4})(x)=s-\sqrt{-1}\delta-2\sqrt{-1}\theta$$(^{\sim}-.1^{-}.=_{4})(X)=2S$$(^{--c_{3}}.\cdot 2\cdot)(x)=\mathit{2}\sqrt{-1}\delta$

が正ルートである 21。このうち横に並んだもの同士は複素共役で、 したがって複素ルートでは純虚ノレ一 } になる。
は実ノレ一トで、ある。
$\backslash$$\epsilon_{1}-c.4$$M\simeq U(1)\mathrm{x}SU(1,1)$$\epsilon_{2}-\epsilon_{3}$の離散系列表現のパラメータ付けを次のようにとる。
$\overline{lVI}\mathrm{D}\mathrm{s}=\{(n, D_{r}\pm)?1|\uparrow l\in \mathbb{Z}m\geq 1\}$2111 ページにある極小放物型部分群の場合の正ルート系と比べてみられたい。

17

ここに

$D_{m}^{\pm}$は Harish-Chandra のパラメータが $m$ の $SU(1,1)\simeq SL(2, \mathbb{R})$ の離散系列表現であって$D_{??\iota}^{\pm}|_{\mathrm{t}\mathrm{r}}\text{。}\iota \mathrm{t}\mathrm{s}\simeq$(複号同順)$. \sum_{i=\mathit{0}}^{\infty}\oplus\pm(n?+\mathit{2}i+1)$となっている 22 したがっそ極大尖点的放物型部分群 $P$ からの誘導表現は$\nu\in \mathbb{C}$として$\pi(n, D^{\pm}\eta;\nu)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}^{G}((n, D_{m}^{\pm})\otimes a^{\nu}\otimes 1_{N})$となる。 ついでに$I\mathrm{i}^{r}$-type について見ておくと、$\pi(\uparrow l, D_{??\iota}\pm; \nu)|_{Ii}=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{M}^{I_{1}’}\cap I\mathfrak{i}(n, D_{??\iota}^{\pm})|_{M\cap K}$

であって、 これは基本的には( $SU(2)\cross SU(\mathit{2})$ の表現を torus に制限する)$=$($\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}$space 分解の問題)という問題を考えるのと同じである。

以下 D ふの場合のみを扱うことにする。 (D 最が難しい訳ではなく、 同様なので省く)
Lemma 6.1.

$\pi(\uparrow\iota, D_{n?}^{+} ; \nu)$の無限小指標$\lambda\in$

脆は$\lambda=\frac{1}{4}(\uparrow+2\nu, -?l+\mathit{2}m, -n-2\prime 7x, n-2\nu)$で与えられる。
ただしここでも Cayley 変換を通じて脆を対角行列上の線型形式と同–視している。具体的には Cayley 変換は次のようにとればよい (前節も参照されたい)。

.

$C$

とおき、

$\mathrm{c}$$X\in \mathfrak{h}=\mathrm{t}\oplus a$

:

となる。

$=$

$-$

に対して $\mathrm{c}(X)=C^{-1},\mathrm{x}C$ と定義する。行列の形で書くならば

さて Speh-Vogan の定理 42. よりわかる正則な無限小指標においての既約性についてここでも調べておこう。

22 [redbook,.\S ] 参照。 ただしこの解説では Harish-Chandra パラメータ (無限小指標) を離散系列表現のパの最高ウェイト) がラメータとして採用しているが、 [redbook] では Blattner パラメータ (minimal$\mathrm{I}\mathrm{I}.5$$Ii’- \mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}\mathrm{e}$採用されているのでパラメータ間に食い違いがある。具体的にはここでいう離散系列,$D_{n+1}^{+}$と書かれている。

$D_{m}^{+}$は [redbook] では

18

Theorem 62. 一般化された主系列表現であるとき)、
まり $\nu\neq\pm n\pm m,$$\pi(\uparrow\tau, D_{m}^{+}; \nu)$$\nu\neq 0,$$\nu\in \mathbb{Z}$であっての無限小指標が正則であるとき (つ$\pi(n, D_{m}^{+}; \nu)$$\uparrow\neq 0$$\nu\equiv n+\uparrow n$が既約であることと$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2)$が成り立つことは同値である。

この定理は極小放物型部分群の場合の定理 45. とは可約性の条件がずいぶん異なっているように見えるが、 それについて少し述べておこう。 まず Speh-Vogan の定理 42. の条件のうが互いに共役なち複素ルートに関する部分であるが、 これは例えばルー卜 1–\epsilon 3 ととおくと、複素ルートであるからこの二つについて見てみよう。 まず\alpha$\epsilon_{2}-\epsilon_{4}$$=\epsilon_{1}-\epsilon_{2}$$\alpha^{\vee}(\lambda)=\frac{1}{4}((n+2\nu)-(-\uparrow l+2m))=\frac{1}{\mathit{2}}$ $(l\text{ノ}+(n-m))\in \mathbb{Z}$であって $\nu\equiv n+m$ (mod 2) となることに注意しが最初の整条件である。 このとき–致していることはすぐにわかるだ
この条件は\theta\alphaに関する整条件ともよう。
ろう。
次に定理 42. (a) の条件を考えよう。
$\nu\in \mathbb{Z}$$=-(\llcorner^{\wedge}.2-\mathrm{L}^{\wedge}.)4$$\langle\alpha, \lambda\rangle=\frac{1}{2}((\uparrow l-nl)+\nu)>0>\langle\theta\alpha, \lambda\rangle=\frac{1}{2}((n-m)-\nu)$についても (a) を考えると結局 $(n-m)+\nu$ と $(n-m)-\nu$ が異がその条件であるが、符号であれば可約であることがわかる。 つまり$\theta\alpha$$((\uparrow \mathrm{t}-\uparrow 7l)+\nu)((n-\uparrow 7l)-\nu)=(?l-ln)2-\nu‘<02$がその条件である。 これをまとめて、$\nu\in \mathbb{Z}$$\epsilon_{1}-\in_{2}$

かつ $\nu\equiv n+m$となる。 同様に互いに共役な複素ルー卜 1$\nu\in \mathbb{Z}$

かつ

と

と

$\epsilon_{3}-\mathrm{c}\prime 4$(mod 2),.

$\cdot\cdot$$|n-m|<|\nu|$に関する可約性の条件は(mod 2),$-\mathit{6}3$$\nu\equiv\uparrow\tau+\uparrow n$$\epsilon_{2}-\vee=4$,$|\nu|>|n-m|$を考えることにより$|\nu|>|n+m|$だけであるが、 これが極小放物型部が可約性の条件となる。 さて残るは実ルート分群の場合とは様相を異にしている。 まず整性の条件は$\alpha=\epsilon_{1}-\hat{C}_{4}$$\alpha^{\vee}(\lambda)=\frac{1}{4}((n+2\nu)-(\uparrow l-2\nu))=\nu\in \mathbb{Z}$

次にに関する parity condition を考えよう。
と書く.。 この Cayley 変換によって得られによって定まる Cayley 変換を
実ルートになっている。 ルート系
る Cartan 部分代数は今の場合コンパクト Cartan 部分代数の non-compact ノレ- ト
は
の
による像
を
と書けば、
の正ルート系を $-$ つ決めよう。 たとえばである。 さて /3 を単純ルートにするようなとなる$\alpha$$\circ$$\mathrm{d}_{\alpha}$$\alpha$$\mathfrak{h}_{\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}$$\triangle(\mathrm{g}\mathrm{c}, \mathfrak{y}_{\mathrm{C}}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathbb{C})$$\Psi_{1}$$\alpha$$/\mathit{3}=\mathrm{d}_{\alpha}(\alpha \mathrm{I}$$\mathrm{d}_{\alpha}$$\Psi_{1}$$\Psi_{1}$($\Psi_{1}$の simple roots)$=\{\beta=\epsilon_{1}-\in_{4}, \mathcal{E}_{4^{-\mathrm{c}_{3,\mathit{6}_{3}}}}\wedge-\epsilon_{2}\}$19とすればよい。 この順序に関して$\rho,$$\rho_{c}$を計算すれば$\rho(\Psi_{1})=\frac{1}{\mathit{2}}(3, -3, -1,1)$,$\rho_{c}(\Psi_{1})=\frac{1}{2}(1, -1, -1,1)$なので$n_{\alpha}= \frac{2\langle\beta,\rho(\Psi_{1})-2\rho \mathrm{c}(\Psi_{1})\rangle}{\langle\beta,\beta\rangle}=1$

次に、$??1_{\alpha}$.

であるが、 いまの場合には具体的に. $==(-1_{4})\cdot\gamma$\uparrow\gamma l_{\mathrm{o}}$となっているので、離散系列表現の$t7l_{\alpha}$2$における値は$(?1, D_{?1}^{\pm})?(?n\alpha)=l\tau(-14)\cdot D^{\pm}(m\gamma 2)=(-1)^{n}(-1)m+1=(-1)n+m+1$となる。 以上から parity condition は$(\uparrow l, D_{7?}^{\pm})l(?7l_{\alpha})=(-1)^{n_{\alpha}+}2\langle\alpha,\lambda\rangle/\langle\alpha,\alpha\rangle$となり、$\nu\in \mathbb{Z}$,. . $(-1)^{n+m}+1=(-1)^{1+}\nu$とあわせて\nu $\equiv n+m$ (mod 2) が条件となる。

は以上の 3 条件のうちいつれかを満たせば可約だが、実ルート
staztdard 表現に関する条件が–番弱くこれさえ満たせば可約になることがわかり、定理 62. を得る。
$\pi(?l, D_{\eta l}^{\pm}; l\ovalbox{\tt\small REJECT})$

Example 6.3.
(2)$\pi(0, D_{1}^{\pm};\mathit{2})$

7.

(1)

$\lambda=(\lambda_{j}.)$が整 (つまり$\lambda_{i}.-\lambda_{j}\in\otimes\forall i,j$

) ならば
$)$

$\pi(n, D_{m}\pm;\nu)$

は可約。

は既約。

離散系列とその埋めこみの記述が残っていることになる。 この部分はよく知られているとは思うが、 この論説は入門的解説でもあの離散系列表現については [Yamashita 90] が詳しるので繰り返しておこう。特にいので、読者はそちらも参照するとよいだろう。後ほど [Yamashita 90] の結果の–部も引用
放物型部分群として $G=SU(2,\mathit{2})$ 自身も許されているので、 あとは$\hat{G}_{\mathrm{L}\mathrm{D}\mathrm{S}}$$SU(\mathit{2},\mathit{2})$する。

離散系列の分類は最初に指標の理論を用いて Harish-Chandra によって成し遂げられた([Harish-Chandra66])。初期のうちにやはり Harish-Chandra によって (反) 正則な離散系列-Chandra56])、一般的には [Narasimhan-Okamoto], [Hotta],の実現が与えられたが (などの仕事を待たねばならなかった。 ここで[Parthasarathy], [Schmid 70],$[\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{S}}\mathrm{h}$$[\mathrm{A}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{h}_{-}\mathrm{s}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}]$は分類についてだけ紹介する。

がコンパクトな Cartan 部分群をCartanにおいては対角行列全体がコンパクト持つということは同値である。 $c_{7}=SU(2,2)$を部分群 Hcpt になるので離散系列表現が存在する。そこで正則な無限小指標の有限次元表現のウェイトにについて整であるとする (つまりが取り、 さらにまず既に述べたように離散系列表現が存在することと$C_{7}$$\Lambda\in\sqrt{-1}\mathfrak{h}_{\mathrm{c}_{\mathrm{P}^{\mathrm{t}}}}’$$\Lambda+\rho$$I_{1}’$$I\mathrm{i}^{r}$20, A4) と書いは対角行列であるから A を成分表示して A (なっているとする)。
として差し支えない。
ておこう。 A はんについて整なのでの Weyl 群は 4 次の対称群
で座標の置換としてり;pt に働く。 -方コン$W$はの部分群であって、 群 $G$ に代表元を取れるもパクトルートに対応する Weyl 群
であって、のに–致する。つまりの部分群としては $K\simeq S(U(2)\cross U(2))$ であることに対応して最初の二つの座標、後ろの二となっている。
つの座標それぞれの置換全体、 つまり$=$$\mathfrak{h}_{\text{。}\mathrm{p}\mathrm{t}}$$\Lambda_{1},$$\cdots$$\Lambda_{i}\in \mathbb{Z}$$W=\mathfrak{S}_{4}$$(9\mathrm{c}, \mathfrak{h}\text{。}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathbb{C})$$W_{\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}$$W=\mathfrak{S}_{4}$$W_{\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}\simeq N_{c}(\mathfrak{y}_{\text{。}\mathrm{p}}\mathrm{t})/Z_{G}(\mathfrak{h}_{\text{。}\mathrm{p}}\mathrm{t})=N_{I\iota’}(\mathfrak{y}_{\text{。}\mathrm{p}}\mathrm{t})/Z_{K}(\mathfrak{h}_{\text{。}\mathrm{p}}\mathrm{t})$$W_{\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}=\mathfrak{S}_{2}\cross \mathfrak{S}_{2}$Theorem 7.1. (Harish-Chandra) 無限小指標が A であるような離散系列表現は有限個と –対– に対応する。 したがって無限小指標が A存在し、 それらはの離散系列表現は 6 個ある。
$\mathrm{T}W/W_{\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}=\mathfrak{S}_{4}/\mathfrak{S}_{2}\cross \mathfrak{S}_{2}$

この定理では実際の離散系列を特定する役には立たないが、 これらの離散系列表現は minimal -tyPe によって区別できるので $SU(2,2)$ の場合にそれを少し見ておこう。
正のルート系の取り方と Weyl 群による基本領域 (Weyl の部屋) は–対– に対応するから結局正則な無限小指標 A を $-$ つ決めたときの離散系列はコンパクト正ルートによって決まる正領域に含まれる Weyl の部屋と –対– に対応するごとになる。今の場合正のコンパクト$I\mathrm{i}^{-}$

ルートとして$\triangle_{c}^{+}=\{_{\Xi_{1}-c}.2, .3-\in 4\}c$をとると、 これに対応して A が正の領域にある条件は$\langle\Lambda,-.-1-\overline{\llcorner.}\mathit{2}\rangle=\Lambda_{1}-\Lambda_{2}>0$となっている。 これを満たすような,$W=\mathfrak{S}_{4}$$\langle\Lambda, .c_{3^{-\mathit{6}_{4}}}\rangle=$

A3$-\Lambda_{4}>0$の軌道は 6 個の元からなり、 それぞれに対応する A は次のような条件で決まる。

(I)
(II)
(III)

$\Lambda_{1}>\Lambda_{2}>\Lambda_{3}>\Lambda_{4}$$\Lambda_{1}>\Lambda_{3}>\Lambda_{2}>\Lambda_{4}$$\Lambda_{1}>\Lambda_{3}>\Lambda_{4}>\Lambda_{2}$

(IV)
(V)
(VI)

$\Lambda_{3}.>\Lambda_{1}>\Lambda_{2}>\Lambda_{4}$$\Lambda_{3}>\Lambda_{1}>\Lambda_{4}>\Lambda_{2}$$\Lambda_{3}>\Lambda_{4}>\Lambda_{1}>\Lambda_{2}$

もちろんこれらの 6 個の元は同じ Weyl 群の軌道に属しているので {, A4} は集合としの番号付けは [Yamashita 90] と同じにしてある。 まては常に–定である 23。このた (I) と (VI) は (反) 正則な離散系列である (-Chandra56], [Schmid 75])。
の最高ウェイト
Blattner パラメータ、 つまり離散系列表現の唯–つの minimal
は A を正にする正ルートをと書けば、$\Lambda_{1},$$\cdots$$(\mathrm{I})-(\mathrm{V}\mathrm{I})$$[\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{I}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{h}$’$I1- \mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}\mathrm{e}$$\lambda$$\triangle^{+}$$\lambda=\Lambda+\rho_{n}-\rho_{c}$,$\rho_{n}=\frac{1}{\mathit{2}}\sum_{\alpha\in\Delta_{n}^{+}}\alpha$,$\rho_{c}=\frac{1}{2}\sum_{\alpha\in\Delta_{\mathrm{C}}^{+}}\alpha$はコンパクトな正]は non-comPact な正ルート全体、で与えられている。ただし
トの全体を表す。すでに述べたように離散系列表現はその minimal K-type を与えることにより -意に決まるのでこれで離散系列表現が特定できた とになる。
さて次に離散系列の極限 (LDS) についても見ておこう。 LDS では無限小指標がコンパク
トなに関しては正則でなければならないが、 non-colnpact なルートに関しては特異で$\triangle_{c}^{+}$$\triangle_{n}^{+}$$\dot{}$$j\mathrm{s}-\text{ト}$$23A$ 型のルート系の実現のしかたによって場達に–定の数を加えても同じ (h。pt) あの元を表わすが、ではそれについては余り気にしないで簡単に述べてある。

ここ

21

あってもよい。 このとき特異な無限小指標に関しては正則な無限小指標からの「極限」 として得られるわけであるが、 この 「極限」 は Weyl の部屋によって異なるので同じ特異な無限小指標であってもどの部屋からの極限であるかによって違う LDS を表わすことがある。具体的には各離散系列からの極限について記しておくと、

(IV)

(I)

$\Lambda_{1}>\Lambda_{2}=\Lambda_{3}>\Lambda_{4}$$(\mathrm{I}\mathrm{I})$$\Lambda_{1}=\Lambda_{3}>\Lambda_{2}>\Lambda_{4}$$\Lambda_{3}>\Lambda_{1}>\Lambda 2=\Lambda_{4}$$\Lambda_{1}>\Lambda_{3}=\Lambda_{2}>\Lambda_{4}$$\Lambda_{3}=\Lambda_{1}>\Lambda_{2}=\Lambda_{4}$(V)$\Lambda_{1}>\Lambda_{\mathrm{s}}>\Lambda 2=\Lambda 4$(III)$\Lambda_{3}=\Lambda_{1}>\Lambda_{2}>\Lambda_{4}$$\Lambda_{3}=\Lambda_{1}>\Lambda 4>\Lambda_{2}$$\Lambda_{1}=\Lambda_{3}.>\Lambda_{2}=\Lambda_{4}$$\Lambda_{3}>\Lambda_{1}=\Lambda_{4}>\Lambda_{2}$$\Lambda_{1}=\Lambda_{3}>\Lambda_{4}>\Lambda_{2}$$\Lambda_{3}>\Lambda_{1}>\Lambda_{4}=\Lambda_{2}$$\Lambda_{1}>\Lambda_{3}>\Lambda_{4}=\Lambda_{2}$$\Lambda_{3}=\Lambda_{1}>\Lambda_{4}=\Lambda_{2}$(VI)$\Lambda_{1}=\Lambda_{3}>\Lambda 4=\Lambda_{2}$$\Lambda_{3}>\Lambda_{4}=\Lambda_{1}>\Lambda_{2}$

このうち例えば (I) のものと (II) の 2 番目のものは無限小指標を見ていても区別は出来ないが、を $DS(\Lambda),$どの部屋からの「極限」かまで見れば区別できる。そこで以下$\mathrm{D}\mathrm{S}$$DS_{\mathrm{I}()}\Lambda,$$LDs\mathrm{I}(\Lambda)$などと書く。

Example 7.2. 山下 [Yamashita 90] によって離散系列表現の (一般化された) 主系列表現
への埋めこみは $G=SU(2,\mathit{2})$ の場合には完全に決定されている。 この解説の記号に合わせてその結果を紹介しておく。 (I) の場合 (つまり正則な離散系列表現) を考えよう。
$DS_{\mathrm{I}}(\Lambda)$,$\Lambda_{1}>\Lambda_{2}>$A3$>\Lambda_{4}$は次の主系列表現に重複度 1 で埋めこまれる :$DS_{\mathrm{I}}(\Lambda)\llcornerarrow\pi(\Lambda 2-\Lambda_{1}+\Lambda_{3}-\Lambda 4, D_{\Lambda_{1}}^{+}-\Lambda_{4} ; \Lambda 2^{-}\Lambda_{3})$.

このような埋め込みを全て表にしておこう。 まず極大尖点的放物型部分群から誘導された主
系列表現(\S II.6. 参照) への離散系列の埋め込みの表を掲げる。
この表では離散系列表現(X) のすぐ後に埋めこめる主系列表現を列挙してある。二重縦線の右側の記号は山下の記号による主系列の表示 (Weyl 群の元による) である ([Yalllashita 90, Theoreln 8.2] 参照)。
$\pi((n, D_{1?}^{\pm},);\nu)$$DS_{\mathrm{X}}(\Lambda)$$=\mathrm{I}-\mathrm{V}\mathrm{I}$$DS_{\mathrm{I}}(\Lambda):\Lambda_{1}>\Lambda_{2}>\Lambda_{3}>\Lambda_{4}$$\pi((-\Lambda_{1}+\Lambda_{2}+\Lambda.3^{-}\Lambda_{4}, D^{+}\Lambda_{1}-\Lambda 4);\Lambda 2-\Lambda_{3})$$(_{S_{1^{S}\mathrm{s}^{\Lambda :}}}\mathrm{I}+)$$DS_{\mathrm{I}\mathrm{I}}(\Lambda):\Lambda 1>\Lambda_{3}>\Lambda_{2}>\Lambda_{4}$$\pi((\Lambda_{1}-\Lambda_{2^{-}}\Lambda_{3}+\Lambda_{4}, D\Lambda_{3}+.-\Lambda_{9}\sim);\Lambda 1-\Lambda_{4})$$(\Lambda_{1} :+)$$\pi((-\Lambda_{1^{-}}\Lambda 2+\Lambda_{3}+\Lambda_{4}, D_{\Lambda-}^{+})1\Lambda 2;\Lambda 3-\Lambda_{4})$$(s_{1}\Lambda_{\mathrm{I}} :+)$$\pi((\Lambda_{1}+\Lambda_{2}-\mathrm{A}3^{-}\Lambda 4, D+)\Lambda_{3}-\Lambda_{4};\Lambda_{1}-\Lambda_{2})$$(s_{3}\Lambda_{\mathrm{I}} :+)$$\pi((-\Lambda_{1}+\Lambda_{2}-\Lambda_{3}+\Lambda_{4}, D_{\Lambda_{1}}+)-\Lambda_{3};\Lambda 2-\Lambda_{4})$$(_{S_{1}S}2\Lambda_{\mathrm{I}} :+)$$\pi((-\Lambda_{1}+\Lambda_{2}+\Lambda_{3}-\Lambda_{4}, D^{+}\Lambda_{1}-\Lambda 4);\Lambda 3-\Lambda_{2})$$(_{S_{1}S}3\Lambda_{\mathrm{I}} :+)$$\pi((\Lambda_{1^{-}}\Lambda_{2}+\Lambda_{3^{-\Lambda}}4, D^{+}\Lambda\underline{\circ}-\Lambda_{4});\Lambda 1^{-}\mathrm{A}_{3})$$(_{S_{3}S}2\Lambda_{\mathrm{I}} :

+)$

22

:

$DS_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}(\Lambda)$$\Lambda_{1}>$A3$>\Lambda_{4}>$$\mathrm{A}_{2}$$\pi((-\Lambda_{1}+\Lambda_{2^{-}}.\Lambda_{3}+\Lambda_{4}, D_{\Lambda-}^{+}\Lambda 3)1-;\Lambda 4\Lambda_{2})$$(s_{12}s.\Lambda_{\mathrm{I}} :+)$$\pi((\Lambda_{1}-\Lambda_{2}+\Lambda 3-\Lambda_{4}, D-)\Lambda_{4}-\Lambda 9;\Lambda 1-\Lambda 3)\sim.$$(S_{3}S_{2}\Lambda_{\mathrm{I}} :-)$$\pi((-\Lambda_{1}+\Lambda_{2}-\Lambda 3+\Lambda 4, D_{\Lambda_{3}\Lambda_{1}}^{-}-);\Lambda 2^{-\Lambda}4)$$(_{S_{1}S_{2}}\Lambda_{\mathrm{I}} :-)$$\pi((\Lambda_{1^{-}}\Lambda_{2}+\Lambda_{3}-\Lambda 4, D+)\Lambda\underline{9}-\Lambda 4;\Lambda 3-\Lambda_{1})$$(s_{3^{S}2}.\Lambda \mathrm{I}:+)$: A3$DS_{\mathrm{I}\mathrm{V}}(\Lambda)$$Ds_{\mathrm{V}}(\Lambda)$:$>\Lambda_{1}>$$\mathrm{A}_{2}$$>\Lambda_{4}$.

$\Lambda_{3}>\Lambda_{1}>\Lambda_{4}>\Lambda_{2}$$\pi((-\Lambda_{1}+\Lambda_{2}+\Lambda_{3}-\Lambda 4, D\Lambda-1-\Lambda 4);\Lambda 3-\Lambda_{2})$. .

$(\Lambda_{1} :-)$.

$\pi((\Lambda_{1}+\Lambda_{2}-\Lambda_{3}-\Lambda 4, D^{-}\Lambda 3-\Lambda 4);\Lambda 1-\Lambda_{2})$$(s_{1}\Lambda_{\mathrm{I}} :-)$$\pi((-\Lambda_{1}-\Lambda_{2}+\Lambda_{3}+\Lambda 4, D_{\Lambda_{1}}^{-}-\Lambda\underline{\iota});\mathrm{A}3-\cdot\Lambda_{4})$$(s_{3}\Lambda_{\mathrm{I}} :-)$$\pi((-\Lambda_{1}+\Lambda_{2}-\Lambda_{3}+\Lambda 4, D\Lambda-3-\Lambda 1);\Lambda 4-\Lambda_{2})$$(S_{1}S_{2}\Lambda_{\mathrm{I}} :-)$$\pi((\Lambda_{1^{-}}\Lambda_{2}-\Lambda_{3}+\Lambda_{4}, D_{\Lambda-}^{-}\Lambda 2)3-;\Lambda 1\Lambda_{4})$$(s_{1}s_{3}\Lambda_{\mathrm{I}} :-)$$\pi((\Lambda_{1^{-}}\Lambda_{2}+\Lambda 3^{-}\Lambda 4, D\Lambda 4-\Lambda\underline{\mathrm{o}})-;\mathrm{A}3-\Lambda_{1})$$(S_{3}S_{2}\Lambda_{\mathrm{I}} :-)$$(_{S_{1}S_{3}}\Lambda_{\mathrm{I}} :-)$$Ds_{\mathrm{v}\mathrm{I}():}\Lambda$

A3$>\Lambda_{4}>\Lambda_{1}>$$\mathrm{A}_{2}$$\pi((\Lambda_{1^{-}}\Lambda_{2}-\Lambda_{3}+\Lambda_{4}, D_{\Lambda-}^{-})3\Lambda 2;\Lambda 4-\Lambda_{1})$次に極小放物型部分群から誘導した主系列表現しておく。表の見方は上と全く同じである$\pi((\kappa, n);\nu)$$([\mathrm{Y}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l})\mathrm{a}\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}90$$DS_{\mathrm{I}}(\Lambda)$.

$\cdot$:$\pi$(\S II.4. 参照) への埋め込みを列挙, Theorem 6.1] 参照)。

$\Lambda_{1}>\Lambda_{2}>\Lambda_{3}>\Lambda_{4}$($(-(-1)^{\Lambda_{1}\Lambda_{4}}-,$ $-\Lambda_{1}+\Lambda_{2}+$

A3

$-$

$\Lambda_{4});(\Lambda_{2}$

$-$

A3,

$\Lambda_{1}$$-$$\Lambda_{4})$)$S_{l}S_{\mathit{3}}$$DS_{\mathrm{I}\mathrm{I}}(\Lambda):\Lambda 1>\Lambda_{3}>\Lambda_{2}>\Lambda_{4}$$1$$\pi((-(-1)^{\Lambda-}\mathrm{a}\Lambda 2, \Lambda 1-\Lambda 2-\Lambda \mathit{3}+\Lambda_{4});(\Lambda_{1}-\Lambda 4, \Lambda_{\mathit{3}^{-}}\Lambda 2))$

$\pi$

(

$(-(-1)^{\Lambda_{1}-\Lambda\underline{\eta}}$$-\Lambda_{1}$
$,$

$-$

$\Lambda_{2}+$A3$+\Lambda_{4})$; (A3 $-$$\Lambda_{4},$$\Lambda_{1}$$-$$\Lambda_{2})$)$s_{1}$$\pi((-(-1)\Lambda\underline{\mathrm{o}}-\Lambda 3, \Lambda_{1^{-}}\Lambda 2^{-}\Lambda_{3}+\Lambda 4);(\Lambda 1^{-}\Lambda 4, \Lambda_{2}-\Lambda_{\mathit{3}}))$$s_{2}$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{3}\Lambda_{4}}-, \Lambda 1+\Lambda_{2}-\Lambda 3-\Lambda 4);(\Lambda_{1^{-\Lambda_{2},\Lambda}}3^{-}\Lambda_{4}))$$s_{3}$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{1}}-\Lambda_{3}, -\Lambda 1+\Lambda_{2^{-}}\Lambda.3+\Lambda 4);(\Lambda 2^{-}\Lambda 4, \Lambda_{1}-\Lambda_{\mathit{3}}))$$S_{l}S_{\mathit{2}}$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{1}\Lambda_{4}}-, -\Lambda 1+\Lambda 2+\Lambda_{\mathit{3}}-\Lambda 4);(\Lambda 3^{-}\Lambda 2, \Lambda_{1}-\Lambda_{4}))$$S_{l}S_{\mathit{3}}$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{2}\Lambda_{4}}-, \Lambda_{1}-\Lambda 2+\Lambda 3-\Lambda 4);(\Lambda_{\iota-}\Lambda 3, \mathrm{A}2 - \Lambda_{4}))$

S382

23

$Ds_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}(\Lambda):\Lambda_{1}>\Lambda_{3}>\Lambda_{4}>\Lambda_{\mathit{2}}$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{4}\Lambda_{3}}-, +\Lambda_{1}+\Lambda_{2}-\Lambda_{3}-\Lambda_{4});(\Lambda 1^{-}\Lambda 2, \Lambda_{4}-\Lambda_{3}))$$\pi((-(-1)\Lambda_{1}-\Lambda_{3}, -\Lambda_{1}+\Lambda 2^{-}\Lambda \mathit{3}+\Lambda_{4});(\Lambda 4-\Lambda 2, \Lambda 1-\Lambda_{\mathit{3}}))$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{4}\Lambda}-\cdot\sim, \Lambda_{1^{-}}\supset\Lambda 2+\Lambda 3-\Lambda_{4});(\Lambda 1^{-}\Lambda 3, \Lambda_{4}-\Lambda_{2}))$$s_{2}$$s_{1}s_{2}.$$s_{3}s_{2}$$Ds_{\mathrm{I}\mathrm{V}}(\Lambda):\Lambda_{\mathit{3}}>\Lambda_{1}>\Lambda_{2}>\Lambda_{4}$$\underline{\pi((-(-1)^{\Lambda\underline{?}-}.\Lambda 1,-\Lambda 1-\Lambda 2+\Lambda 3+\Lambda_{4}),\cdot(\Lambda_{3}-}\Lambda 4, \Lambda_{2}-\Lambda_{1}))$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{3}}-\Lambda_{1}, -\Lambda_{1}+\Lambda 2-\Lambda_{3}+\Lambda 4);(\Lambda_{2}-\Lambda 4, \Lambda_{3}.-\Lambda_{1}))$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{2}\Lambda_{4}}-, \Lambda_{1}-\Lambda 2+\Lambda_{3}-\Lambda 4);(\Lambda 3^{-}\Lambda 1, \Lambda_{2}-\Lambda_{4}))$$DS_{\mathrm{V}}(\Lambda \mathrm{I}$:$s_{2}$$s_{1}s_{\mathit{2}}.$$s_{3}s_{2}$$\Lambda_{3}>\Lambda_{1}>\Lambda_{4}>\Lambda_{2}$$\pi((-(-1\mathrm{I}^{\Lambda_{1}\Lambda_{4}}-, -\Lambda 1+\Lambda 2+\Lambda 3-\Lambda_{4});(\Lambda 3^{-}\Lambda 2, \Lambda_{1}-\Lambda_{4}))$$1$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{3}\Lambda}-4, \Lambda_{1}+\Lambda_{2^{-}}\Lambda.3^{-\Lambda);}4(\Lambda 1^{-}\Lambda 2, \Lambda_{3}-\Lambda_{4}))$$s_{1}$$\pi((-(-1)\Lambda_{4}-\Lambda_{1}, -\Lambda_{1}+\Lambda_{2}+\Lambda 3^{-}\Lambda_{4});(\Lambda.3^{-}\Lambda 2, \Lambda_{4}-\Lambda_{1}))$$s_{2}$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{1}}-\Lambda_{\sim-}.\supset,\Lambda 1-\Lambda_{\mathit{2}}+\Lambda 3+\Lambda_{4});(\Lambda 3^{-}\Lambda 4, \Lambda_{1}-\Lambda_{2}))$$s_{3}$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{3}\Lambda_{1}}-, -\Lambda_{1}+\Lambda_{2^{-}}\Lambda_{3}+\Lambda_{4});(\Lambda_{4}-\Lambda 2, \Lambda_{3^{-}}\Lambda 1))$$s_{1}s_{\mathit{2}}$$\pi((-(-1)\Lambda_{3}-\Lambda\underline{\cdot\supset}, \Lambda 1-\Lambda_{2}-\Lambda_{\mathit{3}}+\Lambda_{4});(\Lambda 1^{-}\Lambda 4, \Lambda_{3}-\Lambda_{2}))$$S_{l}S_{\mathit{3}}$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{4}\Lambda_{\underline{1}}}-\cdot, \Lambda 1^{-}\Lambda_{2}+\Lambda_{3^{-}}\Lambda 4);(\Lambda \mathit{3}-\Lambda 1, \Lambda_{4^{-\Lambda_{2}))}}$$s_{3}s_{\mathit{2}}$‘$DS_{\mathrm{I}}(\Lambda):\Lambda 3>\Lambda 4>\Lambda 1>\Lambda_{2}$$\pi((-(-1)^{\Lambda_{3}\Lambda_{2}}-, \Lambda 1-\Lambda_{2}-\Lambda_{3}+\Lambda_{4});(\Lambda_{4}-\Lambda 1, \Lambda_{3^{-}}\Lambda 2))$$s_{1}s_{3}$24standard 表現の8.

つぎに standard 表現のLemma 8.1.

$I\mathrm{i}’$$K-\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}^{\mathrm{e}}$-type について見ておこう。.

が極大尖点的放物型部分群 $P$ から誘の既約有限次元表現
導した主系列表現 $\pi((n, D^{+}.??);\nu)$ の -tyPe であることと次の式を満たすが存在することは同値である。
$I\iota$$n’\otimes\tau_{\mu_{1}}\otimes\tau_{\mu_{2}}$$\exists i\geq 0,0\leq\exists j_{1}\leq$$I\mathrm{i}’$$\mu_{1},0\leq\exists j_{2}\leq\mu_{2}$$n’\equiv n$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2)$

$2i$

,

$=$

$2j_{1}-\mu_{1}+(n+n’)/2-m-1$$=$$-\mathit{2}j_{2}+\mu_{2}-(\uparrow\tau-tl’)/\mathit{2}-m-1$.

PROOF.

なので’ の衣現 $X$

$I\mathrm{i}$($\overline{I\mathrm{i}^{-}}\ni n’\otimes\tau_{\mu_{1}}\otimes\tau_{\mu}\underline,$$n’\in \mathbb{Z},$$l^{l_{1}},$$\mu_{2}‘\geq 0$: highest weights )の表現 $n’(e^{i})\psi=e^{in’\cdot\psi}$ であり.
はトーラスの $SU(2)$ の表現であって $\dim\tau_{\mu}=\mu$ となるもの$\tau_{l},\in SU(2)^{\sim}$ は highest weight がのウェイトはである。 よく知られているようにと書こう。 ここに$ll’\in \mathbb{Z}$$\mathbb{T}=\{e^{i\cdot\psi}’|\psi\in \mathbb{R}\}$$\mu\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$$\tau_{\mu}$(weights of$\tau_{\mu}$) $=\{-\mu, -\mu+2, \cdots, \mu^{-2}, \mu\}=\{\mu-2j|0\leq j\leq\mu\}$の積表示は直積ではないので、とあらわされ、 すべて重複度 1 である。 また上のの条件が必要である事にも注意しておこう。
というcompatibility2)(mod
さて $P=MA\Lambda^{r}$ を \S II.6. で決めた梅子的極大放物型部分群とする。 $P$ から誘導した主系列
表現 $\pi((?l, D_{nl}^{+});\nu)$ の ’ への制限はコンパクト群に関する Frobenius の reciprocity により、$\prime n’\equiv$$I\mathrm{t}’$$l^{l_{1}}+\mu_{\mathit{2}}$$I\mathrm{i}$: $(m|M\mathrm{n}K]\omega$$D+)\wedge’$$\pi((_{l}l, D_{\eta \mathit{1}}+);\nu)|_{I’}\backslash \simeq\sum_{\omega\in Ii}\oplus[\omega_{M\mathrm{n}I}in,$がわかる。 ここで$\theta\in \mathbb{R}$$\cross\{$$\delta\in \mathbb{R}$$\simeq \mathbb{T}\cross \mathbb{T}$のコンパクト Cartan 部歯群に $-$ 致している事に注意しよう。従ってであってこれはなので $(M\cap K)^{\sim}\simeq$$(?l, D_{m}+)$ のウェイト分解は (, D,+??)|Mn えの分解に--致する。
$\mathrm{J}/I$$ll$$\mathrm{T}\cross \mathbb{T}=\mathbb{Z}\cross \mathbb{Z}$$M\cap K\simeq \mathbb{T}\cross \mathbb{T}$と同–視すれば$(n, D_{m}+)|M\cap K=$$\sum_{i=0}^{\infty}\oplus(n, m+2i+1)$

である (\S II.6. 参照)。 –方$n’ \otimes\tau_{\mu_{1}}\otimes\tau,\iota 2|M\cap K=\sum_{\tau\nu_{j\mathrm{g}\mathrm{t}}\in \mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{i}1_{1}(}\oplus 2\mu_{j})(\nu_{1}+\nu_{2}, (n’-\nu 1+\nu_{2})/)$

25

なので 24、$\exists\nu_{j}\in \mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(\mathcal{T}_{\mu}\mathrm{j})$および$\exists i\geq 0$

$\{$

これを

$\nu_{1},$-tyPe であることと次の式を満たすが存在する事は同値である:が $\pi((n, D_{m}^{+});\nu)$ の$\omega=n’\otimes\tau_{\mu_{1}}\otimes\tau_{\mu_{2}}$$\nu_{2}$$I\{^{\vee}$

$n$

$=$

$\nu_{1}+\nu_{2}$$m+2i+1$$=$$(_{ll’\nu_{1}}-+\nu_{2})/2$

について解くと、$\nu_{1}$$=$$(tl+ll’)/2-m-2\prime i-1$$=$$(\uparrow l-n’)/2+m+2i+1$$\{$$\nu_{\mathit{2}}$となり、 さらにり補題を得る。

$(0\leq j_{\mathit{2}}\leq\mu_{2})$$\nu_{\mathit{2}}=\mu_{2}-2j_{2}$, とおくことによ1に関しては次の補題が成り立つ。

$\pi((\uparrow\iota, D_{r?l}-);\nu)$Lemma 82.
および$(0\leq j_{1}\leq\mu_{1}),$$\nu_{1}=_{l^{l_{1^{-}}2j_{1}}}$$I\mathrm{c}’$の表現,$tl^{J}\otimes\tau_{\iota_{1}},\otimes\tau_{l2}$$0\leq\exists j_{1}\leq l^{\iota_{1},\mathrm{O}}\leq\exists j_{2}‘\leq\mu_{2}$$\uparrow l’\equiv n$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mathit{2})$が $\pi((n, D_{m}^{-});\nu)$ の-type に現れることと$I\mathrm{i}’$$\exists i\geq 0$が存在して次を充たすことは同値である。
$2i$

,

$=$

$\mu_{1}-2j_{1}-(n+tl^{J})/2-m-1$$=$$2j_{2}-\mu_{2}+(n-n)’/2-m-1$ .

PROOF. 上の補題と全く同様にして$(\uparrow?l, D_{7^{-}}?1)|_{M}\cap K=$$\sum_{i=0}^{\infty}\oplus i(_{l}l, -(\eta+2+1))$

であることにより $M\cap K$ の表現 $(?l, -(tn+\mathit{2}i+1))$ がるための条件を書き下したにすぎない。

$\sqrt$\otimes \tau \mu 1\otimes \tau \mu 2|Mn えのウェイトにな1の埋め込みのある主系列表現で例を計算してみる。 -番簡単な場合、 $\Lambda=(4,3,2,1)$とすると、.
$DS_{\mathrm{I}}(\Lambda)$$DS_{\mathrm{I}}(\Lambda)\llcorner_{arrow\pi(\mathrm{o},D;1)}\mathit{3}+$

そこで$(0, D_{3}^{+})|_{M\cap}K\ni(n, m+2i+1)=(0,4+2i)$$(i\geq 0)$

をとって固定する。
$\overline{I\iota.}\ni\uparrow l’\otimes\tau\mu_{1}\otimes \mathcal{T}_{\mu_{2}}|_{M}\cap K\supset(\mathrm{o}, 4+2i)$となる条件は Lemma 8.1. より,$2\prime i$$n’\equiv 0(\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$

かつ

$=$

$\mathit{2}j_{1}-\mu_{1}+l\iota’/2-4$$(0\leq\exists j_{1}\leq\mu_{1})$$=$$-2j_{2}+\mu 2+n’/2-4$$(0\leq\exists j_{2}\leq\mu_{2})$更に$I\iota^{-}$-length$(n’\otimes\tau_{\mu_{1}}\otimes\tau_{\mu_{2}})=n^{\prime 2}+2(\mu_{1}+2)^{2}+2(\mu_{2}+2)^{2}$を与えることがわかる。
を考慮すれば $(ll’, \mu_{1}, \{\iota 2)=(6,1,1)$ がただ–つの minimalの minimal
は
$(8,
0,0)$
なので
の
-tyPe は
方離散系列
minimal -type
では極小ではないことがわかる。 より -般的に次のことが知られている。
$I\backslash ’- \mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}\mathrm{e}$$DS_{\mathrm{I}}(\Lambda)$$I\mathrm{c}’$$DS_{\mathrm{I}}(\Lambda)$$f\mathrm{c}’$$\pi(0, D_{3}^{+}; 1)$

24 この$(\nu_{1}, \nu_{2})$は主系列表現のパラメータとは関係がない。少し紛らわしい記号であるが、 ここだけのことなのでお許しいただきたい。

26

が唯–の Langlands 商表現
Theorem 8.3. ([redbook, Theorem 15.10])の minimal K-type と Langlands の商表現 $J_{p(;}n,$ )
を持つ時、
しかも
の ininimal
minimal -type の重複度はすべて 1 である。
-typ e は–致する。
$\pi(n, D_{\eta}^{+}; \nu)$$J_{P}(ll, D_{m}+ ; \nu)$$\pi(n, D_{n1}^{+} ; \nu)$$D_{m}^{+}\nu$$’$$I_{1}’$$I\mathrm{i}$また \S II.5. と同様にして “は既約である” こともわかる。

$\pi(0, D_{\mathit{3}}^{+}; 0)$

REMARK. Beilillson-Bernstein 型の standard 加群 (あるいは Harish-Chandra 層) についても minimal -type. は研究されている。たとえば [Challg] を参照されたい。そこでは minimal-tyPe は special $K$ type と呼ばれている。
$I\mathrm{i}^{r}$$I_{1}’$

Proposition 8.4.
minim]$I_{\mathrm{t}^{-}-}\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}\mathrm{e}$$(\mathrm{K}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{P}^{-\mathrm{s}}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{h})$(mod 2) かつ $|n|\neq n\tau$ なら$n\equiv m$$\pi(n, D_{m}^{+}; \iota\ovalbox{\tt\small REJECT})$のは 2 個以上ある。

; O) はたまたま可約であるが、 -つの既約表現が複数の minimal ’-typeの可約性を含むことがあるので minimal K-type が 2 個以上あるからと言って
このとき

$\pi$

( $n,$$I\mathrm{i}$$D_{??}^{+},$$\pi(n, D_{m}^{+} ; \iota\ovalbox{\tt\small REJECT})$が出る訳ではない。

Example 85. $ll\equiv/n$ (mod 2) かつ-type Gf(7) minimal$\uparrow$: 十分大、 $n>0$ が十分小ならば、$\pi(n, D_{m}^{+}, \nu)$$I\iota^{r}$$(\uparrow l’, \mu 1, \mu_{2})=(m+\mathit{2},$ $\frac{m-n}{\mathit{2}},$ $\frac{l?l+ll}{2}),$$(m+4,$ $\frac{m-n}{2}-1,$ $\frac{m+n}{2}-1)$の二つである。

から誘導された主系列表現 $\pi((\kappa, n);\nu)$
次に極小放物型部分群の K-type について見ておく。
$P_{\mathrm{m}}$$(\kappa\in\{\pm 1\},$ $n\in \mathbb{Z},$$\mathfrak{l}\text{ノ}\in$$\mathbb{C}^{2})$Lemma 86.
十分条件は

$I_{1}’$

の既約表現
が存在して

$n’\otimes\tau_{\mu_{1}}\otimes\tau_{\mu_{2}}$が$\pi((\kappa, \uparrow);\nu)$の$I_{1-}’\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}^{\mathrm{e}}$に現れるための必要$\exists\iota \text{ノ_{}j}\in \mathrm{w}^{\tau}\mathrm{e}.\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(\mathcal{T}_{\mu}j)$$\nu_{1}+\nu_{2}=n$,$(-1)^{\nu_{1}}\sqrt{-1}n’+\nu_{1}+\nu_{2}=h$が成り立つことである。更にこれは次の条件とも同値である 25。
$l^{\iota_{1}+_{l^{l}}\geq}\mathit{2}|n|$PROOF.
$lVI_{\mathrm{n}\mathrm{u}}$$P_{\mathrm{m}}=\Lambda’I_{\ln \mathrm{m}}\mathit{1}4\Lambda^{T_{\mathrm{n}\mathrm{u}}}$であるから、結局,$\sqrt{-1}^{n+n’}=(-1)^{\mu}1\kappa$

を極小放物型群の Langlands 分解とする (\S II.4. 参照)。
に対して
\omega|_{M_{\mathrm{m}}}]$

における重複度を与える。
に関してウェイと分解できて、 それは$\omega$の$\pi((\kappa, \uparrow 1,);\nu)|_{Ii}$$I_{1^{\nearrow}}\cap M_{\mathrm{m}}=$$\omega\in\overline{I_{1}^{r}}$$[(\kappa, \uparrow\tau) :が.

$\omega=\uparrow\tau’\otimes\tau\mu 1\otimes\tau_{\mu\underline{\mathrm{o}}}$に対しては$M_{\mathrm{n}1}=\{1, \gamma_{2}\}\mathrm{x}T$$\nu+\nu_{2})$$?l’ \otimes\tau\otimes\mu 1’\iota\underline{\circ}|\tau\{1,\gamma_{2}\}\chi\tau^{=}\nu_{1}\in \mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(\tau\mu 1),\sum_{)\nu_{2}\in \mathrm{i}\mathrm{t}(_{\mathcal{T}}}\oplus(i^{n}\prime 1\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{h}\mu 2(-i)^{\nu}1i^{\nu_{2}},$25 最初の weightの組がいくつ存在するかによって重複度が与えられる。 -方簡単になった 2 番目の条件では重複度まではわからない。
$(\nu_{1}, \nu_{2})$27となっている。 ここで $i=\sqrt{-1}$ と書いた。第–成分、 つまり$\gamma_{2}=\cdot$$\{1, \gamma_{2}\}^{\wedge}$の成分は$\in K$

なる分解より従う。 このことから最初の条件式は明らかであろう。 この条件式において\nu 1などとおいてまとめなおすと$=$$(0\leq j_{1}\leq l^{\iota_{1}})$$l^{l_{1^{-}}}2j_{1}$$\mu_{1}+\mu_{2^{-\uparrow l=\mathit{2}}}(j1+j_{2})$,$\sqrt{-1}^{n+n’}=(-1)^{\mu_{1}}h$$(0\leq\exists j_{1}\leq\mu_{1},0\leq\exists j_{2}\leq\mu_{2})$という条件を得る。 ここで $0\leq j_{1}+j_{2}\leq\mu_{1}+\mu_{2}$ であることを考慮すれば、二番目のウェイ
トを用いない条件式が得られる 26。
I

9.

無限小指標が$\rho$の既約表現たち

最後に今までの結果を fu 旧こ活用して、無限小指標が の既約表現たち 27 を全て Langlands
parameter により記述して minimal -tyP e の情報などを与えておくことにする。
まず revised Langlands classification (Theorem 15.) により任意の既約表現は$\rho$$’$$I\mathrm{i}$(a) 離散系列表現$(|_{1)})$$D_{\mathrm{X}}(\Lambda)$(X$=\mathrm{I}-\mathrm{V}\mathrm{I}$)

極大尖点的放物型部分群からの誘導表現(c) 極小放物型部分群からの誘導表現$({\rm Re}\nu\geq 0)$の既約商表現$({\rm Re}\nu_{1}\geq{\rm Re}\nu_{2}\geq 0)$の既約商表現$\pi((\uparrow l, D^{\pm}m);\nu)$$\pi((\kappa, \uparrow l);\nu)$のいつれかである。

(a) 無限小指標が $\rho=(4,3,2,1)$ の離散系列は 28$DS_{\mathrm{I}}(4,3,2,1)$,$Ds_{\mathrm{I}\mathrm{V}}(3,2,4,1)$

であってそれぞれの minimal,, $DS_{\mathrm{V}}(3,1,4,2)$ ,$\mathrm{K}- \mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}^{\mathrm{e}}$$DS_{\mathrm{I}\mathrm{I}}(4,2,3,1)$$DS_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}(4,1,3,2)$,$DS_{\mathrm{V}\mathrm{I}}(\mathit{2},1,4,3)$を記しておくと離散系列

minilnal$DS_{\mathrm{I}}(4,3,\mathit{2},1)$$8\otimes\tau_{0}\otimes\tau_{0}$$DS_{\mathrm{I}\mathrm{I}}(4,2,3,1)$$4\otimes\tau_{2}\otimes\tau_{2}$$Ds_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}(4,1,3,2)$$0\otimes\tau_{4}\otimes\tau_{0}$$Ds_{\mathrm{I}\mathrm{V}}(3,\mathit{2},4,1)$$0\otimes\tau_{0}\otimes\tau_{4}$$\mathrm{K}$-type$DS_{\mathrm{V}}(3,1,4,\mathit{2})$$(-4)\otimes\tau_{2}\otimes\tau_{2}$$DS_{\mathrm{V}\mathrm{I}}(2,1,4,3)$$(-8)\otimes\tau_{0}\otimes\tau_{0}$K-length

82
80
80
80
80
82

(mod 2)であったことに注意すれば確かめられる。
27 特に単位表現は無限小指標がである。 は特殊ではあるが、正則かつ整な無限小指標なので比較的よく扱われ基本的である。
28 通常は $\rho=1/2(3,1, -1, -3)$ とするべきだが、 ここではの各座標を 5/2 だけずらしている。
$26\mathrm{P}^{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}}\mathrm{y}$に関しては $i^{n+n’}.=\pm.\perp$ より $n.+n’.\equiv 0$ mod$($$\rho$$2)_{\text{、}}$

また左の表現については$\rho$$\rho$$n’\equiv\mu_{1}+\mu_{2}$28となっている。 もちろん全てユニタリ表現である。
$({\rm Re}\nu\geq 0)$ で無限小指標が(b) 極大尖点的放物型部分群 $P$ からの誘導表現のものは以下の 12 個ある。 これらは実際には ${\rm Re}\nu>0$ を満たすので revised version ではない通常の Langlands の商表現を持ち、全て相異なった既約商表現 $J_{P}((n, D_{m}\pm))\nu)$ を与える。
の millinlal
このとき-tyPe と $\pi((n, D_{?l},\pm);\nu)$ のそれとは–致する (Theorem
8.3.) が、 それも同時に与えてある。
$\pi((\uparrow, D_{m}\pm);\nu)$$\rho$$J_{P}((\uparrow?,, D_{n}^{\pm}.)?;\nu)$$I\mathrm{i}^{r}$

主系列

minimal$\pi((0, D^{\pm}1);3)$$(\pm 4)\otimes\tau 0^{\otimes\tau_{0}}$$\pi((\pm \mathit{2}, D^{\pm}2);2)$$(\pm 4)\otimes\tau_{0}\otimes\tau_{2}$$\pi((\mp 2, D_{2}\pm);2)$$(\pm 4)\otimes\tau_{\mathit{2}}\otimes\tau_{0}$$\pi((0, D^{\pm}\mathit{3});1)$$(\pm 6)\otimes\tau_{1}\otimes\tau_{1}$$\pi((\pm 4, D_{1}\pm);1)$$(\pm 2)\otimes\tau_{1}\otimes\tau_{3}$$\pi((\mp 4, D1\pm);1)$$(\pm 2)\otimes\tau_{3}\otimes\tau_{1}$$\mathrm{K}$-type-length
32
56
56
72
72
72
$K$

$\mathrm{I}\backslash \mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\vee$が$\rho$

unitary
unitary
unitary
unitary
unitary$\pi(\cdots)$$J_{P}(\cdots)$$Ii\overline{-\prime \mathrm{t}\mathrm{y}1)\mathrm{e}\text{を持_{つ}}([\mathrm{I}\mathrm{t}\prime}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{P}$$\mathrm{a}$(c) 極小放物型部分群.

$\cross$

および
(
) はた
minimal-Speh, \S 3.2. ] 参照 29)。ユニタリ性については-Speh] の結果を適用したにすぎない。

この $-$ 覧表において複号は同順であり、 したがって各表現

だ– つの

[

の unitary 性$J_{P}$$P_{\iota \mathrm{n}}$からの誘導表現 $\pi((\kappa, n);\nu)$$({\rm Re}\nu_{1}\geq{\rm Re}\nu_{2}\geq 0)$

で無限小指標となるものは$\pi((\prime \mathrm{i},, \mathrm{o});(3,1))$,$\pi((\kappa, \pm 2);(\mathit{2},2))$,$\pi((\kappa, \pm 4);(1,1))$$(f_{\mathrm{t}}’\in\{\pm 1\})$と $\pi((\kappa, -2);(\mathit{2},2))$ は同値な表現を与えることがの計 10 個あるが、 このうち$\pi((t\mathrm{i}’,\pm4);(1,1))$わかる。同様のことがでも言えるから、結局次の表に挙げる 6 個の表現を考$\pi((\kappa, 2);(\mathit{2},\mathit{2}))$

えればよい。 この表においては複号は重複していることを表しており、 $\pi((-, 0))(3,1))$ は 2
個の millimalを、
れぞれ 4 個の IniniInalを持つ。残りの二つの表現はただ–つの minimal K-type を持っている ([-Speh,\S 3.3.a] 参照)。
’$\pi((-\overline{\mathit{2})\cdot,(\mathit{2},\mathit{2}))\text{および}\pi((-,4);(1,1))\text{はそ}},$$I\mathrm{i}- \mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}\mathrm{e}$$I_{1- \mathrm{t}}’\mathrm{y}\mathrm{P}^{\mathrm{e}}$$\mathrm{K}\mathrm{n}\mathrm{a}_{1}\mathrm{J}\mathrm{P}$

主系列

minimal$\pi((+, 0);(3,1))$$0\otimes\tau_{0}\otimes\tau_{0}$$I\mathrm{i}’- \mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}\mathrm{e}$$\pi((-, \mathrm{o});(3,1))$$(\pm 2)\otimes\tau_{\mathit{0}^{\otimes\tau}}\mathit{0}$$\pi((+, 2);(2,2))$$0\otimes\tau_{1}\otimes \mathcal{T}1$$\pi((-, 2);(2,\mathit{2}))$$(\pm 2)\otimes \mathcal{T}_{1}\otimes\tau_{1}$-length1620
3640$I_{1^{\nearrow}}$

J 塩の unitary 性
unitary$\cross$$\cross$$\cross$$0\otimes\tau 0\otimes\tau 2$$0\otimes\tau_{2}\otimes \mathcal{T}0$$\pi((+, 4);(1,1))$$0\otimes\tau_{2}\otimes \mathcal{T}2$$\pi((-, 4)J^{\cdot}.(1,1))$$(\pm 2)\otimes \mathcal{T}_{2}\otimes\tau_{2}$$6864$$\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}\cross$$0\otimes \mathcal{T}_{1}\otimes\tau_{3}$$0\otimes\tau_{3}\otimes\tau_{1}$

これらの Langlallds 既約商表現は全て異なっていてそれをと書こう。 もちろ$((+, 0);(3,1))$ は $G$ の単位表現を表す。 また $\pi((-, 4);(1,1))$ は既約な主系列表現なの$J_{P_{\mathrm{m}}}((t_{\iota,n}’);\nu)$ん$J_{P_{\mathrm{m}}}$29] ただし離散系列表現
parameter) が我々の.

の paralmeter は食い違っていることに注意。
(Harish-Chandra parameter) に相当する。

$D_{m}^{\pm}$$D_{k-1}^{\pm}$] での$1\mathrm{I}C\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{P}-\mathrm{s}_{\mathrm{P}}\mathrm{e}\mathrm{h}$$D_{k}^{\pm}$(Blattner29である。 その他の主系列についてはすべて可約であとなっている。いつれにしても Langlands 商表現と主系列表現の$()$ の minimal -type の表でもある。
-type は–致しているからこの表は

で $J_{P_{\mathrm{m}}}((-, 4);(1,1))=\pi((-, 4);(1,1))$

るので $J_{P_{\mathrm{m}}}(\cdots)\neq\pi(\cdots)$

minimal$I_{1}’$$I\mathrm{i}^{r}$$J_{P_{\mathrm{m}}}$最後に離散系列の埋め込みを主系列を主体として表にまとめておく。
極小放物型部分群 ,$\pi((+, 0);(3,1))$II, V$\pi((-, 2);(\mathit{2},2))$
II, V

極大放物型部分群 $P$$\pi((0, D_{1}^{+});3)$$\pi((0, D_{1}^{-});3)$$\pi((0, D_{3}+);1)$$\pi((0, D_{3}^{-});1)$$\pi((\pm 2, D_{\underline{)}}^{+}.);\mathit{2})$$\pi((\pm 2,$ $D_{2}^{-);2)}$$\pi((4, D^{+}1);1)$$\pi((4, D_{1}^{-});1)$$\pi((-4, D_{1}+);1)$$\pi((-4,$ $D_{1}^{-);1)}$$P_{\mathrm{n}}$

II
V
I, II
V, VI
II
V
II, IV
III, VII, IIIV, IV$\pi((+, 4);(1,1))$,$, \frac{\mathrm{I}\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{V},\mathrm{V}}{\pi((+,0)\cdot(1,3))\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{I},\mathrm{V},\mathrm{v}\mathrm{I}}$$\pi((+, 0);(3, -1))$

II, III, IV, V

ここでよく知られた $SU(1,1)\simeq SL(\mathit{2},\mathbb{R})$ の主系列表現の分解から次の主系列同志の埋め込みがわかる。
$\pi((0, D^{\pm}1);3)$– $\pi((+, 0);(3,1))$$\pi((2, D_{2}^{\pm});2)$$\pi((4, D^{\pm}1);1)$$\mathrm{c}arrow$$\pi((-, 2);(2,2))$$rightarrow$$\pi((+, 4);(1,1))$

いつれの場合にも右端の主系列への離散系列
ら誘導されたものであることがわかる。

$DS_{\mathrm{X}}$の埋め込みは左端の系列への埋め込みか

30

半単純 Lie 群の standard 表現入門–

文献表 30–

ここでは

1. standard 表現 (その定義にはBeilinson-Bernstein などの表面的には異なる流儀がある)$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{S}- \mathrm{K}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}-\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{l}\sigma \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}$2. $SU(2,2),$$sp(2, \mathbb{R})$,Vogan-Zuckerman,の主系列 (離散系列) 表現の二つに関連している文献に絞ってリストアップし、 それに西山の個人的な感想を付け加えた。 このうち 1 に関してはすべてを列挙するのは不可能であり、 もし列挙するとなれば半単純群の表現論に関する論文は多かれ少なかれこの話題と関係の無いものはないとも言える。
したがってここでは主な文献と西山の話に関係するものだけを選ばせていただいた。 もちろん 2 のリストにしても (例によって) 完全なものではないし、 12 の感想の部分も的外れなものがあるかもしれない。 これらはすべて西山の知識の不完全さが理由である。 しかも正直に告白するとすべての論文を読んだわけではなく、単にざっと目を通しただけのものが大半である。 その意味でも間違いは多いかもしれないのでみなさんのご教示があることを期待している。

を半単純リー群またはしばしば簡約型のリー群、 $K\subset G$ を極大コンパ以下記号としてを放物型部分群の Langlands 分解とする。 $P$ はしばしば尖点的、クト部分群、は Cartan 分解であるいは極大と仮定される。 また記号的には少し紛らわしいか j
$X$
$-$
$P$
で
は
のり
の旗多様体を表わす。
あって環ではない。最後に$G$$P=MA\Lambda^{\gamma}$$=\not\in\oplus \mathfrak{p}$’$G_{\mathbb{C}}$$\mathfrak{p}$References.
[Atiyah-Schmid] M. Atiyah and W. Schnlid, A geometric construction of the discrete series
for semisimple Lie groups, Invent. Math., 42(1977), 1–62.
[Barbasch-Vogali] D. Barbascb alid D. A. Vogan, Jr., Reducibility of standard representations, Bull. AMS, 11 (1984), 383–385.
Speh-Vogan [Speh-Vogan] で陰伏的には証明されていた generalized principal series の可約性をある種のルート系 (root system) の存在に帰する方法が述べられてい$=\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{a}\mathrm{J}$る。ただし証明はほとんど無い。 このようにルート系の存在条件に直すことによって既の場合に述べられている。
心性の証明が簡略化される場合が$G=C_{7}L(\uparrow l, \mathbb{R})$[Beilinson-Bernstein] A. Beilinson and J. N. Bernstein, Localisation de -Inodules, C. R.
Acad. Sci. Paris, 292(1981), 15–18.
$\mathrm{g}$[BGG] I. N. Bernshtein, I. M. Gelfand and I. S. Gelfand, Models of representations of compact
Lie groups, Funct. Analysis and its Appl., 9 (1975), 322–324.
の部分群 $K\cap M$ からの表
放物型部分群からの誘導表現の -tyPe を調べるには結局が重複度 1 になるかどうかはいろ
現を調べることになる。 このとき誘導表現のいろな判定条件があるが、 ここでは involutive subgroup からの誘導表現が重複度 1 にな
$I\mathrm{c}^{\nearrow}$$I\mathrm{i}^{r}$$I_{1^{\nearrow}- \mathrm{t}}\mathrm{y}\mathrm{P}^{\mathrm{e}}$アブストラクト代わりに配布したものに少し手を加えた。 したがって本文に30 この文献表は研究会の当は引用されていない文献も多い。 また新しく追加した文献も多いのだが、 十分な時間もなく筆者が力尽きてコメントをつけきれなかったものもある。 それゆえコメントがないことには特に深い意味はない。
$\mathrm{B}t_{\sim}’$31

るためにはどの様な表現を誘導すればよいかについて調べられている。 このような表現
は丘 lle と呼ばれ、 Vogan の lowestを用いた表現の分類理論の核になってゆく。
$I\{\mathrm{i}_{-}\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{e}$[Bernstein] J. N. Bernstein, On the support of Plancherel measure, J. Geom. Phys., 5(1988),
663–710.
, Asymptotic behavior of matrix coefficients
W. Cassellnan and D.
of admissible representations, Duke Math. J., 49(1982), 869–930.
$\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\check{\mathrm{C}}\mathrm{i}_{\acute{\mathrm{C}}}$$[\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}-\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\check{\mathrm{C}}\mathrm{i}\acute{\mathrm{C}}]$[Chang] J.-T. Chang, Special -types, tempered cbaracters and the Beilinson-Bernstein realization, Duke Math. J., 56 (1988), 345–383.
$I_{\mathrm{t}}’$Beilinson-Bernstein 流の旗多様体上の分加平を用いた standard 表現についての詳し
い情報が得られる。例えば Vogan の lowest -tyPe の情報や、 Knapp-Zuckerman の
tempered 表現の分類などが Beilinson-Bernstein の standard 表現を使って再証明されている。 この論文は-Wolf[HMSW] の応用の–つであるとも言えるが、 standard 表現間の duality, intertwinillg 作用素などが極めて詳細に記述されていて便利かもしれない。 -語群の基本的な知識は仮定されている。 Mirkovi5 の学位論文[Mirkovi6] も参照されたい。
$I_{\mathrm{t}}’$$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}- \mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{i}\acute{\mathrm{C}}- \mathrm{s}\mathrm{C}1_{1\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{d}$$\mathfrak{D}$[Halish-Chandra 54] Harish-Chandra, Representations of semisimple Lie groups II, Trans.
AMS, 76(1954), 26–65.

[-Chandra 56] Harish-Chandra, Representations of semisimple Lie groups V, Amer. J.

$\mathrm{H}\bm{\mathrm{t}}^{\backslash }\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{h}$Math., 78(1956), 1 $-41$ .

[Harish-Chandra 66] Halish-Chandra, Discrete series for semisimple
Matb., 116(1966), 1–111.

$\mathrm{L},\mathrm{i}\mathrm{e}$groups II, Acta

[HMSW] H. Hecht, D. Mili\v{c}i\v{c}, W. Schmid and J. A. Wolf, Localization and standard modules
for real semisinlple Lie groups I: The duality theorem, Invent. Math., 90 (1987), 297332.
による cohomological induction を用いて定義された standard moduleと Beilinson-Bernstein による旗多様体上の-equivariant な D-加群によって定義された standard module が実は互いに双対表現になっていることを証明したもの。既約性と$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{l}1- \mathrm{z}_{\mathrm{u}\mathrm{c}}1\backslash \mathrm{e}\prime \mathrm{r}111\mathrm{a}11$$I\iota^{r_{\mathbb{C}}}$

かユニタリ性に関する双方の結果が使えるようになるので応用の幅は広い。 D-晶群お
よび Vogan-Zuckerman の理論が前提になっているので内容を完全に理解するにはかな
りの知識を必要とする (私には荷が重い)。 また双対性を記述するには旗多様体上の軌道と八\acute C 軌道の対応 (松木対応) が用いられるが、 この部分についてはむしろ Sch 而 dの論文 [Schmid 91] を参照するのがよいだろう。
$G_{\mathbb{R}}$, 1993[Hiraga] 平賀郁, On the nmltiplicities of the discrete series representations of
保型形式シンポジウム報告集 (城崎), pp. 33–46.
, preprint,
K. Hiraga, On the nlultiplicities of theseries representations of
Kyoto University, Kyoto-Math 93-06.
これも保型形式の専門家の方の方が内容は良くご存じだろう。四型形式の次元を計算する際に trace formula の spectral side の具体的な形が問題になる。その計算にはにcohomology から決まる既約認容表現の重複度が必要である。 この論説では$Sp_{2}(\mathbb{R})$$\mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{S}}\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}$$Sp_{2}‘(\mathbb{R})$$(\mathrm{g}, K)-$

$Sp_{2}(\mathbb{R})$32

対して重複度の計算が Vogan, Nzoukoudi の結果を用いて具体的になされている。 またについては本研究会で報告された。
$SU(\mathit{2},2)$[Howe-Tan] R. E. Howe and E.-C. Tan, Homogeneous functions on light cone: The infinitesimal structure of some degenerate principal series representations, Bull. AMS, 28 (1993),
1–74.
符号が $(p, q)$ の光爪上の関数を考えることにより $G=o(P, q),$ $U(p, q),$ $Sp(p, q)$ の型ではない) 極大放物型部分群から誘導された退化主系列表現の実現が与えられる。

$(\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}arrow$

yP への分のような実現は表現の性質を研究する上で非常に便利である。 たとえば
解は古典的な球面調和関数によって与えられるのでほとんど議論を必要としない。 またの作用も極めて具体的に書けるので composition factor やユニタリ性についてもほとんど完全な情報が得られる。文献も充実しているので参考にされたい。
$I_{1}^{\nearrow}$$\mathfrak{p}$[Hotta] R. Hotta, On realization of the discrete series for semisinlple Lie groups, J. Math.
Soc. Japan, 23(1971), 384–407.
離散系列表現の実現には岡本清郷、堀田良之の二人が日本人では大きな貢献をしている。
実際その核となった論文は [Narasimhan-Okamoto] およびこの堀田の論文である。離散系列の実現の歴史についてはこの論文の Introduction に詳しいが、先駆的な仕事となつが Hermite 対称空間のときに離散系列の実現が与た [Narasin 宙 an-Okamoto] ではについて “十分” 正則な無限小指標を持つ離散系列表現がえられ、 [Hotta] では–般の微分作用素の固有空間として実現されている。同時期にSchmid [Schmid 70] おCasimir
よび Parthasarathy [Parthasarathy] によってもほぼ同様の結果が独立に得られている。
[Schmid 70] および [Parthasarathy] では後に [Yamashita 90, Yamashita 91] で中心的に用いられる $-$ 階の微分作用素 31 が用いられているが、 これは Casimir 作用素の平方根のようなものであり、 この 3 つの論文の間に本質的な差異はない。
$C_{7}/K$$c_{\tau}$

離散系列表現については平井武による大域指標の決定 (T. Hirai, The characters of thediscrete series for semisimple Lie groups, J. Math. Kyoto Univ., 21(1981), 471–500.) (7)
仕事もあり、 日本人にとっては馴染みの深い分野となった。 岡本 (1935 生) 、堀田 (1941生)、平井 (1936 生) という年代も近い 3 人が日本の表現論史上に残した足跡は極めて大きい (岩波数学事典 411 参照)。

[Johnson 90] K. D. Johnson, Degenerate principal series and conlPact groups, Math. Ann.,287 (1990), 703–718.
$G=Spi_{ll}\mathrm{o}(n, t),$の時に Siegel type の極大放物型部分群から –次元$SU(\uparrow l, n),$ $S_{P(}ll,$$\uparrow)$

表現を誘導したときの退化主系列表現の構造について詳しく調べている。特にこの場合
は $(K, M\cap K)$ が対角型の synnnetric pair になるので-type はすべて重複度 1 であり、$\mathrm{K}$

よくわかっている。あとは の作用を具体的に書き下すだけであるが、 ちょっとした工そのものではなくその中の–次元部分空間の作用を見ればよい、 という観点
夫によりから計算がなされている。退化主系列の composition factor だけでな Jordan-H\"olcler
列の詳細も得られている。
$\mathfrak{p}$$\mathfrak{p}$$\langle$[Johnson 92] K. D. Johnson, Degenerate principal series on tube type domains, Contemp.
Math., 138 (1992), 175–187.

31Schmid’s operator 又は Dirac$\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{l}.\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\text{、}$あるいは山下の最近の用語によれば gradient 型微分作用素。

33

Johnson [Johnson 90] の結果を $G/K$ が tube tyPe の Hermite 対称空間である場合に拡釈したもの。議論はより –般的になっているが、その分だけ抽象化され本質が見えにくくなっているような気がする。
, in Applica[Knapp] A. W. Knapp, Langlands classification and unitary dual oftions of group theory in physics and mathematical physics (ed. M. Flato, P. Sally and
G. Zuckerman), pp. 209–217, Lectures in Applied Mathematics 21, AMS, 1985.
$SU(\mathit{2},2)$の既約ユニタリ表現の決定を扱った B. Speh との共著論文の要約。しかしこちらのほうが短く簡潔に急所がまとめられていてわかりやす.\vee 1。また Langlands classification
についての簡潔な要約とユニタリ表現か否かを判定する手法の解説は理論の心臓部をいきなり掴んだよい解説でもある $(SU(2,2)$ に限らず–般的に述べてある)。

$SU(\mathit{2},2)$[redbook] A. W. Knapp, Representation theory of semisimple Lie group –An overview basedon examples, Princeton Univ. Press, 1986.

Harish-Chandra に代表される半単純り $-$ 群の Plancherel の定理と既約認容表現の分類
を具体的な例を交えて解説した大著。特にその主眼は Plancherel の定理にある。 Steinとの共同の仕事である intertwining 作用素の理論、 Zuckerman との共同の仕事である
tyPe (lowest K-type と同じ) の記述、ユ
tempered な既約表現の分類理論、 minimal
パラメータの決定など
ニタリ表現の Langlands
Knapp 自身のやって来た仕事も後半にまとめられていて便利である。 しかし cohomological inductioll, D-驚群を使った既約認
容表現の分類などについては–切触れられていない。筆者のこの本の書評が雑誌「数学」$I_{1}’$( $44(1992)$ , p.183) にあるのでそちらも参照されたい。

[yellowbook] A. W. Knapp, Lie groups, Lie algebras, and cohomology, Math. Notes 34,
Princeton Univ. Press, 1988.
前半はコンパクト群、特に $U(?l)$ の表現論を扱っていて大学院初年級のためのよい教科書と言える。 しかし後半の 2 章は non-compact 半単純群に話題を移し Zuckerman のcohomological induction の絶好の紹介となっている。扱い方も具体的であり、 -typeの重複度を与える Blattner formula までが証明される。 しかしユニタリ性、既約性についてはほとんど触れられていないのは残念である。
$Ii^{r}$[Knapp-Speh] A. W. Knapp and B. Speh, Irreducible unitaly representations of $SU(2,2)$ , J.
Funct. Anal., 45 (1982), 41 –73.の既約ユニタリ表現の決定を扱った論文。基本的な戦略はまず Langlands の商$SU(\mathit{2},\mathit{2})$表現をパラメータによって決定し、 そのどれがユニタリであるかを主に補系列表現とその端点という観点から分類したもの。ユニタリかどうかの判定条件には Knapp と Stein
によって詳細に研究された (一般化された) 主系列表現間の intertwining 作用素の正定値性が用いられている。記述は具体的なので Langlands の商表現の具体例を見るにも絶好の論文と言える。

of irreducible tem[Knapp-Zuckerman] A. W. Knapp and G. J. Zuckerman,
116(1982),
Math.,
389–501.
pered representations of semisimple groups, Ann. ofrection: 119(1984), p. 639).
$\mathrm{C}^{\mathrm{t}}1\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{0}\mathrm{n}$$(\mathrm{C}_{0}^{\mathrm{t}}\mathrm{r}-$[Kobayashi] T. Kobayashi, Singular unitary representations and discrete series for indefinite
Stiefel manifolds $U(p, q;\mathrm{F})/U(p-m, q;\mathrm{F})$ , Memoirs of AMS 462, AMS, 1992.

34

derived functor modules に関する仕事を小林は精力的に続けているが、 この小冊子では
等質空間上の解析において derived functor modules が離散系列として果たすべき役割と具体的な例とが美事に提示されている。

[Lee-Zhu] S. T. Lee aiid C. Zhu, Degenerate principal series and local theta correspondence,
preprint, Research Report 640 (1994), National University of Singapore.
を用いて $U(p, q)$ の 部分のreductive dual pairの表現を研究している この表現は自然に
determinant character に対応する$U(tl, tl)$ の Siegel 放物型部分群から誘導された退化主系列に埋めこむことが出来る。 さらに $U(n, 7l)$ の退化主系列の構造は S. T. Lee [Lee] によって研究されているので $K$ -tyPeを比較することによってその composition factor の情報がわかる。 この論文の主眼点はその様な埋めこみによって退化主系列の composition factor を特定することにある。少$U(p, q)\cross U(\uparrow l, n)\subset Sp(4(p+c\mathit{1})n, \mathbb{R})$$P$$U(\uparrow l, \gamma l)$$\circ$なくともこの特殊な状況ではその試みは大成功を収めているようである。

of irreducible representations of real alge[Langlands] R. P. Langlands, On the
braic groups, in Representation theory and harmonic analysis on semisimple Lie groups(ed. P. J. Sally, Jr., and D. A. Vogan, Jr.), pp. 101–170, Math. Surveys and Monographs
31, AMS, 1989.
$\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{0}\mathrm{n}$tempered な表現の parabolic induction とその商表現を取ることにより半単純群の既約認容表現を分類するという基本的な枠組みを確立した論文。 ながらくノートの形でしか出まわっていなかったが、 1989 年にようやく印刷になった。論文集につけられた
IIltroduction に歴史とそれからの進展が要にして簡潔にまとめられているのでそちらも参照されたい。

[Lee] S. T. Lee, On some degenerate principal series representations of $U(n, n),$Anal., 126(1994), 305–366.

$.\mathrm{J}$. Funct.

の退化主系列については多数の研究がある。 中
Siegel parabolic から誘導されたでも Johnson [Johnson 90] と Howe-Tan [Howe-Tan] でかなり詳しい結果が報告されての遷移作用が詳細いる。 この論文では退化主系列の K-type そのものを特定しその$U(\uparrow l, tl)$$\mathfrak{p}$に研究されている。 この論文を手に入れるのが遅かったので細部までは確認する隙がなに対する計算かったが、おおよそ Oda [Oda], Miyazaki-Oda [Miyazaki-Oda] の
$U(n,
n)$
でも行っている。 その結果、 退化主系列表現の coinpositionに匹敵する計算を
factor の情報が詳細にわかる。 composition factor が Pascal の三角形状に並ぶという結果は (予想されたこととはいえ) なかなかおもしろい。 $(U(n, 1)$ でもこの状況は同じである、拙著 K. Nishiyaina, Algebraic structures on virtual characters of asemisimple$I’\backslash -\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}\mathrm{e}$Lie grouP, Adv. Stud. Pure Math., 14 (1988), 417–468 を参照されたい。)[Matsuki] T. Matsuki, Tbe orbits of affine symmetric spaces under the action of minimal
parabolic subgroups, J. Math. Soc. Japan, 31(1979), 331 $-357$ .
T. Matsuki, Orbits on affine symmetric spaces under the action of parabolic subgroups,
Hiroshima Math. J., 12(1983), 307–320.

[Matumoto 88] H. Matumoto, Cohomological Hardy space for $SU(2,2)$ , Adv. Stud. in Pure
Math., 14 (1988), 469–497.

35

Kashiwara-Vergne (M. Kashiwara and M. Vergne, Functions on the Shirov boundary of
the generalized half plane, LNM 728 (1979) では $SU(n, tl)$ の退化したユニタリ主系列の表現を $ll+1$ 個の既約成分に分解したが、そのうち二つは (反) 正則な関数の極限として得られるもので、 その退化主系列への埋めこみは単に Shirov 境界への境界値を取ることで実現されていた。 この論文では残る –つの既約成分の埋め込みが “cohomological
Hardy space” の Shirov 境界への境界値写像として得られることを示した。 (これは次の論文の Introduction からの受け売り)$)$[Matumoto 88] H. Matumoto, On the representations of $U(m, n)$ unitarily induced from derived functor modules, preprint.
からのユニタリな parabolic induction の既約分解が dederived functor module$G=U(?n, n)$ の場合に示したもの このの和で表わされることを
rived functor module
ような parabolic induction を generalized unitary degenerate series と呼び、 その–番
基本的な例は Kashiwara-Vergne による退化したユニタリ主系列の既約分解である。 $-$般には Borel とは限らない放物型部分群からの cohomological induction を扱うことになるので standard 表現よりさらに広い種類の表現を扱うことになる。語り口は直裁であり、記号的にも洗練されていて初心者にもわかりやすい論文となっている。
$A_{\mathrm{q}}(\lambda)$$\circ$, Intertwining functors and irreducibility of standard Harish-Chandra
D.
sheaves, in Harmonic analysis on reductive groups (ed. W. Barker and P. Sally), pp. 209$-222$ , Progress in Math. 101, Birkh\"auser, 1991.
$\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\check{\mathrm{C}}\mathrm{i}_{\acute{\mathrm{C}}}$$[\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}_{\check{\mathrm{C}}}\mathrm{i}\acute{\mathrm{c}}]$$[\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{V}\mathrm{i}\acute{\mathrm{c}}]$I.

$\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{i}\acute{\mathrm{c}}$, Classification of irreducible tempered representations of semisimple

groups, Ph. D. dissertation, The University of Utah, August 1986.
この学位論文の結果は J.-T. Chang の論文 [Chang] と重複する部分が多く、本質的には二つの論文は (独立に) ほとんど同じことをやっているといってもよい。 こちらは学位論文なので、見通しもよく定義なども初学者向きに書かれているような気がする。 しかし
やはり D-瓢群の初歩は仮定されている。
[MUV] I. Mirkovi\v{c}, T. Uzawa and K. Vilonen, Matsuki correspondence for sheaves, Invent.
Math., 109(1992), 231 –245.
軌道の間の
軌道と
松木対応は例えば本文中にも書いたが、 旗多様体 $X$ 上のこの論文ではの結果であるが、
これはもちろん松木[Matsuki]
自然な対応を指す 32。
moment 写像を使った力学系の理論を用いて松木対応が幾何的に見通しのよい形で証明されている。更に対応そのものが幾何的に解釈されたことから自然とそれは $X$ 上のと-州群のカテゴリー-equivariant な DX-感興のカテ
equivariant な
ゴリーの間のカテゴリー同値を導く (柏原の予想の解決)。 Beilinson-Bernsteinはやの定理によって無限小指標が の Harish-Chandra 加群のカテゴリーとはりカテゴリー同値であることが知られているからこれでこの 3 つのカテゴリーはすべて同値でその具体的な同値対応もわかる。
$G_{\mathbb{R}}$$f\mathrm{t}_{\mathbb{C}}^{\nearrow}$$C_{7}\mathbb{R}^{-}$$D_{c_{\mathrm{R}}}(X)$$\mathfrak{D}_{X}$$I\zeta_{\mathbb{C}}$$D_{I1^{\vee}}\mathbb{C}(x)$$\rho$$D_{Ii}\prime \mathrm{c}^{(X)}$

最初の nlonlent 写像を用いた軌道の対応の証明の蔀分は宇澤のアイディアが大きな役割を果たしているようで、その非凡な発想 (と同時に自然な発想でもあるが) は注目に値すると思う。
32 もっ \succeq --般に 換な二つの involution がある場合にも旗多様体上の軌道の間に同様の対応がある。詳しくは原論文を参照されたい。
$\neg \mathrm{D}$36[Narasimhan-Okamoto] M. S. Narasimhan and K. Okamoto, An analogue of the BorelWeil-Bott theorem for hermitian symmetric pairs of non-compact type, Ann. of Math.,
91(1970), 486–511.
[Hotta] の項参照。
[Nzoukoudi] B. Nzoukoudi, Repr\’esentations irr\’eductibles unitaires de
Sc. Paris, S\’erie I, 297 (1983), 451–454.
$Sp(2, \mathbb{R})$$Sp(2, \mathbb{R})$, C. R. Acad.

の既約ユニタリ表現を Langlallds パラメータによって分類したもの。方針はたぶん I く nal)l) 達のものと同じと思われるが、結果だけで証明は無い。

[Miyazaki-Oda] T. Miyazaki and T. Oda, Principal series Whittaker functions on $Sp(2;\mathbb{R})-$
Explicit formulae of differential equations-, preprint, RIMS-951, November 1993.
, preprint,
T. Miyazaki and T. Oda, Principal series Whittaker functions on
RIMS-992, September 1994.
この二つの論文の内容は保明形式の専門家の方たちの方がよくご存じだと思うのでここでの論評は控えさせていただく。主系列表現に限っていうならば (もちろんそれはこのによる遷移が応用
二つの論文の主題ではないが)、 非常に具体的な実現と K-type のしゃすい形で計算されており、 (繰り返しになるが、それがこの論文の主題ではないにも$Sp(2;\mathbb{R})\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathfrak{p}$関らず) 主系列表現を用いて計算を行う者にとって役に立つだろう。

[$\mathrm{O}\mathrm{c}$hiai] 落合啓之 (示野信–記), 指標の幾何的計算方法, 数理解析研究所講究録, 826 (1993),

55–67.
の Harish-Chandra 加群は Beilinson-Bernstein 対応により旗多様体上のequivariequivariant perverse
ant な -加群と対応し、 さらに Riemann-Hilbert 対応によってShea ぼと対応している。 Ochiai (H. Ochiai, Character and character cycles, . Math. Soc.
$45(1993),$ $583-598)$ では対応する
equivariant perverse sheaf から表現の大$C_{7}$$I\mathrm{i}_{\mathbb{C}}’$$\mathfrak{D}$$I\mathrm{i}_{\mathbb{C}}’$$.\mathrm{J}$$I_{1}’\mathbb{C}$$\mathrm{J}\mathrm{a}- 1)\mathrm{a}\mathrm{n},$域指標の値を幾何的な情報を用いて計算する方法を与えた。 この論説ではの場合に standard 表現の指標を具体的に計算して (その値がどの様な幾何的な意味を持
つかがよくわかる) その–覧表を作成している。
$C_{7}=s_{P}(\mathit{2}, \mathbb{R})$落合啓之, $SU(2,2)$ における旗多様体上の-orbit と Bruhat cell との共通部分について, 数理解析研究所講究録, 826 (1993), 98–117.
$I\mathrm{f}_{\mathbb{C}}$で行っている。 こちらの作業の方がはるか上の論説とまったく同様のことをに大変であるが、 有限郡上の幾何 (ひいては表現論?) との関係もうかがえる結果でなか
なかおもしろい。 ただし解説部分は必要最小限で、 その説明のほとんどは前記論説の方$SU(\mathit{2},2)$にある。

for the[Oda] T. Oda, An explicit integral representation of Whittaker functions on
T\^ohoku(1994),
J.,
261–279.
46
representations,Math.
large discrete series
startdard 表現の–番原始的な形は極小放物型部分群からの誘導表現と離散系列表現である。離散系列表現は Schmid 作用素の核として実現する方法があり、 山下氏の方法にならってここでも Schmid 作用素が Whittaker 関数を特徴付ける微分方程式として具体$Sp(2;\mathbb{R})$的に計算されている。 もちろん論文の主眼は Whittalqer 関数の決定とその具体的な積分表示にあるが、離散系列表現の K-type の計算などにおける計算は参考にするべき点は

多い。

37

[Parthasarathy] R. Parthasarathy, Dirac operator and the discrete series, Ann. Math.,
96(1972), 1–30.
[Hotta] の項参照。

[Speh-Vogan] B. Speh and D. A. Vogan, Reducibility of generalized principal series representations, Acta Math., 145 (1980), 227–299.
Knapp-Zuckerlnan の結果により Langlands の商表現は結局 (limits of) discrete seriesの尖点放物型部分群からの誘導表現を考えればよいことになった。そのような–般化された主系列表現がいつ既約になるか、 という問題が扱われている。無限小指標が正則の場合には既約性の必要十分条件が得られる (無限小指標が特異な場合にでも十分満足する結果が得られている)。また表現のユニタリ性、 composition factor についても考察がなされている。 ここで使われている道具は lowest
tyPe の理論と (Schmid identity も含んだ) -invariant の理論である。
$I_{1^{\mathcal{F}}}$$\tau$[Schmid 70] W. Schmid, On the realization of the discrete series of a senlisimple Lie group,
Rice Univ. Studies, 56 (1970), 99–108.
[Hotta] の項参照。

[Schmid 75] W. Schmid, On the characters of discrete series: the Hermitian symmetric case,Invent. Math., 30(1975), 47–144.
W. Schmid, Two character identities for semisimple Lie groups, LNM, 587(1977), 196.
$-\mathit{2}\mathit{2}5$[Schmid 91] W. Schmid, Construction and classification of irreducible Harish-Chandra modules, in Harmonic analysis on reductive groups (ed. W. Barker and P. Sally), pp. 235275, Progress in Math. 101, Birkh\"auser, 1991.
ハムサンドウィッチ ([HMSW]) で扱った duality theorem をもっと洗練して Beilinson-

Bernstein, Vogan-Zuckerlnan,$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{S}-\mathrm{I}\acute{\backslash }1\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{P}\mathrm{p}-\mathrm{Z}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{l}\prime \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}$のそれぞれの standard 表

平間に旗多様体上の軌道を用いて幾何的な対応を付けたもの。 [HMSW] では陰伏的であった Lazlglands の分類との関係がここでは明快に述べられている。 また旗多様体上の軌道との対応もより具体的かつ直接的に述べられている。 同じ論文集に軌道との論文も参考にするとよい。
収録されている$C_{7}\mathbb{R}$$I\mathrm{i}_{\mathbb{C}}^{r}$$\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\check{\mathrm{C}}\mathrm{i}_{\acute{\mathrm{C}}}$[Sekiguchi] 関口次郎, 微分方程式の表現論への応用, 上智大学数学講究録, 27, 1988.
この講究録では複素半単純 Lie 環の Verma 加群に対する Kazhdan-Lusztig の予想 33 が初歩的なことから丁寧に解説されている。 Verma 加群は言うまでもなく実半単純群における standard 加群に対応しておりその代数的理論を理解するにはうってつけの入門-加群の基礎的な理論、 Beilinson-Bernstein の定理の証書と言えると思う。例えばとここまで書いておいて無責任な話だが、筆者は本書の内明なども解説されている...
容をぱらぱらと見た程度なので大きなことは言えないのである。
$\mathfrak{D}_{\mathrm{Y}\wedge}$

33 証明されてしまったので定理と言うべきであろうが、表現論だけをとってみてもほかにも Blattner 予想、Osborne 予想など、 既に証明されているがなんとなく今までの行きがかり上「予想」 と書いてしまうものがある。 -方では予想と言われないで Fermat の定理と永年呼ばれてきたものがあるが、 あれは Wiles の定理とはならないんでしょうね、 やっぱり。

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ただこの講究録の下敷きとなっているのは 1981 年に数理研で行われた柏原正樹による講義のノートであり、 それには筆者も修士の–年目の講義として出席していた。柏原氏
は確かこの講義を行っている間に突如として丸坊主になったりと大変にユニークなファッションをしていたように思う。講義の内容はと言えば、 Verma 加群などの表現論の代数的理論にはついていけたものの、 sheaf の導来圏の–般論あたりで落ちこぼれ (柏原氏の講義は非常に丁寧だったのだが)、いまや講師のファッションしか記憶に残っていな
いようなありさまで、やはり内容についてうんぬんする能力は持ち合わせていないのである。

[Tanisaki] 谷崎俊之, 半単純り $-$ 群の表現と$D$

加群, 数学, $41(1989),$ $126-139$ .

[Sekiguchi] では表現は Lie 環の代数的表現だけが扱われているが、 この解説では群作用-加群の理論を扱うことにより、 Lie 群の admissible 表現を扱を伴う旗多様体上のうことが可能になっている。非常に簡潔に述べられており、見通しのよい解説になって$\mathfrak{D}_{X}$いると思う。

ただ扱われているのはほとんどの場合複素半単純代数群とその主系列表現で実代数群の場合には方針のみが述べられている (といってもこの紙数では無理もないが)。堀田との共著での加護の本も近々発行されるようなのでそちらも興味を引かれる。
[Vogan 79] D. A. Vogan, Jr., The algebraic structure of the representation of semisimple Liegroups I, Ann. Math., 109 (1979), 1 $-60$ .

-type の理論を最初に打ちだした記念碑的な論文。 しかしその内容はいまやほ
とんどが Green Book [greenbook] に含まれているので、 そちらを参照するほうがよい

lowest$I_{1}’$だろう。

[greenbook] D. A. Vogan, Representations of real reductive Lie groups, Progress in Math. 15,
Birkh\"auser, 1981.
長い間 Zuckerman の cobolnological induction を扱ったただ– つの成書であった。 もちろんこの本の目的はそれではなく、 lowest K-type を用いた既約認容表現の分類理論にある。手法は極めて代数的であり、極力解析的側面を排除した理論を構成している。結の既約認容表現の完全な理解と quasisplit 群の極小放物型部分群に果的には対する Langlands の理論 (この部分はある程度解析的にならざるをえない) を用いて、あとは cohomological induction さえあれば分類理論にたどり着けることが示されている。
この本のエッセンスが Vogan [Vogan 85] に要約されているのでそちらも参考にすると$SL(\mathit{2}, \mathbb{R})$よい。

[Vogan 85] D. A. Vogali, Jr., Classifying representations by lowest $K$-types, in Applicationsof group theory in physics and mathematical physics (ed. M. Flato, P. Sally and G. Zuckerman), pp. 269–288, Lectures in Applied Mathematics 21, AMS, 1985.

Vogan の有名な Green Book [greenbook] の内容のエッセンスを具体例としてを用いて解説した論説。証明は–切付属していないが解説は丁寧であり特ににおける具体的な計算は非常に参考になると思う。 ただしここでは「結果」だけに注目して再構成されており、 Zuckerman の cohomological induction の理論とか Langlandsの理論とかはきれいに切り捨てられている。 むしろ筆者にはこの二つの理論を切り捨てて Green Book の内容 (といっても既約認容表現の分類理論の部分だけだが) がこうも簡潔にまとめられること自体が驚きであった。 -読をお勧めする。
$SL(2n, \mathbb{R})$$SL(2n, \mathbb{R})$39[darkgreenbook] N. R. Wallach, Realdemic Press, 1988.

$reduct\prime ive$groups , Pure and Appl. Math. 132, Aca$I$

簡約型り $-$ 群の認容表現に関する教科書。方向としては Vogan の Green Book に近く (奇しくもこの本も緑の本である) Zuckerman の cohomological induction が fundamental
表現 ( 離散系列あるいはそれに対応する fundaluental カルタン部分群に台を持つ表現) の構成に本質的に用いられている。 ただし Langlands の分類もまた本質的であり、ちょうど解析的理論 (表現要素の漸近挙動など) と代数的理論 (cohomological inductionの理論など) の融和を図った内容となっている。 また保型形式への応用なども扱われて
$=$

いる。

[Warner] G. Walner, Harmonic analysis on semi-simple Lie groups, , Springer-Verlag, 1972.
G. Warner, Harmonic analysis on semi-simple Lie groups, II, SPringer-Verlag, 1972.
$I$[Yamasbita 90] H. Yanlashita, Embeddings of discrete series into induced representations ofsemisinlple Lie groups, I–General theory and the case of $SU(2,2)-$ , Japan. J. Math.,

16 (1990), 31–95.
Schnnid は の離散系列表現を
section の空間として実現した$C_{7}$$C_{7}/K$のベクトルバンドル上のある微分方程式を満たす
が、 この論文ではその実現を用いて離散系$([\mathrm{S}_{\mathrm{C}}\mathrm{h}_{1}11\mathrm{i}\mathrm{d}70])$

列表現のいろいろな誘導表現への埋め込みを微分方程式によって決まるある特殊な関数の存在の問題に帰着している。 とくにこの論文 [Yamashita 90] では (一般化された) 主系
列表現への埋め込みを扱っていて、一般論の後 $G=SU(2,2)$ の場合に離散系列の主系列
表現への埋め込みがすべて決定されている。離散系列の主な性質、実現についても丁寧に書かれており、絶好の入門になるだろう。織田、あるいは織田、宮崎両氏の Whittaker
関数の計算はこの論文が基礎になっていると言ってよい。

[Yanla.shita 91] H. Yamashita, Embeddings of discrete series into induced representationsof semisimple Lie groups, –Generalized Whittaker models for $SU(2,2)-$ , J. Math.
Kyoto Univ., 31 (1991), 543–571.
[Yainashita 90] では主系列表現への埋め込みを扱ったがこの論文 [Yamashita 91] では
Gelfaild-Graev 表現への埋め込みを扱っている。 ここでも –般論の後、 $G=SU(2,2)$ の$\mathrm{I}\mathrm{I}$場合に具体的な計算が実行されている。

G. Znckerman, Tensor products of finite and infinite dimensional representations of senlisimple Lie groups, Ann. of Matb., 106(1977), 295–308.
いわゆる Zuckermail の translation functor34 を最初に定義した epoch making な論文。
translation functor の性質は大域指標の代数的な計算から容易に導けるが、 この論文ではその応用として離散系列表現の極限 35 の存在を証明している。その後この functor は
ルートの壁から十分離れた無限小指標に対して証明された定理を正則な無限小指標一般に拡張する際に必要不可欠となった。 もちろん詳しい解析を行うことにより特異な無限$[\mathrm{z}_{\mathrm{u}\mathrm{C}}.\mathrm{k}\mathrm{e}\Gamma \mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}]$小指標に対しても使用できるが、 この場合には表現の消滅と生成の問題があり、 一般に複雑である。
34 当時からこの呼称と表現あるいは指標の coherent continuation と言う用語が並列に用いられてきた。 -方は functor としての側面を、 もう $-$ 方は表現の family を扱うという側面を強調した用語になっている。
35 当時まだそのような表現の存在は「信じられている」状態で、確たる証明はなかった。

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筆者は恩師である平井武先生の勧めによりこの論文を数学研究の–番最初に手にして、以後半単純群の表現論に深く関ることとなった。その意味で思い出深い論文の–つである (あまり論文の内容と関係なかったですね (笑))。