原子核若手三者@オリンピックセンター, 22nd August 2024

時空の分解とその応用
白水徹也
名古屋大学大学院多元数理科学研究科/KMI
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shiromizu/20240822pdf

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Content

1. はじめに( + 一般相対論)
2. 時空の分解
3. 正質量定理とPenrose不等式
4. 特異点定理と面積増大定理
5. 静的Black holeの唯一性定理
6. 高次元宇宙模型 ~ braneworld~

1. はじめに (+ 一般相対論)

一般共変性
一般相対論の原理の一つ
一般共変性、等価原理

重力理論を決定する、俯瞰するなどの際には重要であるが、個々の問題にアプローチするには不向き
時空を分解し、重要な幾何学量の振る舞いの理解がしばしば重要
定常性や球対称性などの付加的な対称性を要請する場合の特殊性を理解する上でも重要本講義で扱う物理での応用例-正質量定理とPenrose不等式
時空の安定性 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピーに対する上限-特異点定理と面積増大定理
極限宇宙の存在 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピー増大則 ⇒ ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-静的Black holeの唯一性定理
ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-高次元宇宙模型 ~ braneworld~
曲がった余剰次元 ↝ large extra dimension, string LandscapeEnd of the world brane計量と共変微分
抽象添字(テンソルタイプを表示)
計量

符号
時間

空間
時空間の距離成分の添字

共変微分

torsion free

局所的に適当に座標をとることによって０とすることが可能 ↝ 等価原理

ベクトル、(計量)テンソル、内積ベクトル、テンソルの成分の変換則

内積共変微分と平行移動

内積が保存RiemannテンソルとEinstein方程式- Riemannテンソル

Ricciテンソル

Ricciスカラー- Einstein方程式

宇宙定数

エネルギー・運動量テンソル
弱重力場、時間変動無視
単位質量あたりの重力ポテンシャル

Poisson方程式

Einstein方程式と保存則- Einstein方程式

縮約されたBianchi恒等式

エネルギー・運動量の保存則と無矛盾なように左辺が構成されている。
一般共変な作用を考えると自動的。

真空解の例：Minkowski時空

時間的(timelike)

光的(null)
空間的(spacelike)

一般の時空は局所的にこの時空の構造を持つ

真空解の例：Schwarzschild時空

静的球対称ブラックホール
以後、c=1

Carter-Penrose diagram
特異点

光的無限遠方black hole
event horizon
white holedeSitter & 反deSitter時空

n次元deSitter時空

n次元反deSitter時空

測地線 ↝ 粒子の軌道
測地線方程式
軌道接ベクトル

弱重力、時間変動無視

2. 時空の分解葉層化

単位法線ベクトル
誘導計量

ラプス関数αとシフトベクトルβ

外的曲率

平行移動

Lie微分
1-パラメータによって生成された座標変換

(分子)外的曲率のLie微分例：一様等方(平坦)宇宙計量

外的曲率のトレース部分(平均曲率)

体積の変化率[補足]体積要素

局所擬正規直交座標系⇒⇒

超曲面上の共変微分上のベクトル

Riemannテンソルの分解[ガウス方程式]

平坦
特に、[ガウスの驚異の定理]
曲面の内的記述が可能(Riemann幾何学へ発展)[ガウス方程式]

Σ上のベクトル

(左辺)
(右辺)

(左辺)

Riemannテンソルの分解[ガウス方程式]

外的曲率のトレース部分の変化

さらに、nを測地線の接ベクトル、λをその固有長/時間にとると、α=1であり、[超曲面直交測地線束に対するRaychauduhri方程式]⇒ 特異点定理/面積増大定理などへ応用

Ricci/Einsteinテンソルの分解

Ricci/Einsteinテンソルの分解

有用な公式⇒

Einstein方程式の分解

拘束条件

まとめ

外的曲率

体積の変化率Riemannテンソルの分解[ガウス方程式]

Ricci/Einsteinテンソルの分解

Einstein方程式の分解

拘束条件

応用

極小曲面のトポロジー(n-2)次元空間(n-1)次元空間

極小曲面

穴の数

(n-2)+1+1分解(n-2)次元空間(n-1)次元空間的超曲面

n次元のEinsteinテンソルと関係付ける

(n-2)+1+1分解：続き(n-2)次元空間(n-1)次元空間的超曲面

null膨張率
光波面の変化は強重力場を特徴付けるのに有益⇒の振る舞い？

再録

安定最外捕獲面

Shiromizu, Nakao, Maeda and Kodama 1993
Hayward, Shiromizu and Nakao 1994
Maeda, Ishibashi, Narita and Koike 1998
Shiromizu, Izumi, Lee and Soligon 2022

(stable most outer trapped surface, SMOTS )SMOTS

優エネルギー条件
dominant energy cond.

例：Schwarzschild-deSitter時空

rBH
BHの面積半径rCHr

宇宙の地平面の面積半径例：Sch-dS時空 - critical case -rBH = rCHr

3 正質量定理とPenrose不等式

本講義で扱う物理での応用例-正質量定理とPenrose不等式
時空の安定性 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピーに対する上限-特異点定理と面積増大定理
極限宇宙の存在 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピー増大則 ⇒ ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-静的Black holeの唯一性定理
ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-高次元宇宙模型 ~ braneworld~
曲がった余剰次元 ↝ large extra dimension, string LandscapeEnd of the world brane正質量定理正質量定理Schoen & Yau 1979, 1981, Witten 1981, …
・漸近的に平坦・優エネルギー条件(～空間的超曲面上のRicciスカラーが非負)
因果的ベクトル
任意の時間的ベクトル
Arnowitt-Deser-Misner質量は非負。
ゼロは平坦時空に限る。

ADM質量弱重力場、時間変動無視
線形化されたEinstein方程式

ADM質量の様々な表式
Ashtekar & Magnon 1984, Tanabe, Kinoshita & Shiromizu 2011

Weylテンソルの電場パート～潮汐力Gerochによる証明

Geroch 1973

逆平均曲率流(inverse mean curvature flow, IMCF)

Geroch massの単調性⇒

の物理的意味(Hamiltonian)拘束条件を満たす時間一定面上で弱いエネルギー条件(weak energy condition)が成り立つとき注意- spinorを用いた証明 Witten 1981

・高次元への拡張が容易
・優エネルギー条件- 極小曲面の性質を利用した背理法による別証明 Schoen & Yau 1971
RiemannianからLorentzianへ Schoen & Yau1981- 逆平均曲率流は一般には特異
Geroch質量の単調性を保持しつつ改良 Huisken & Ilmanen 2001
- Green関数を用いた証明 Agostiniani, Mazzieri and Oronzio 2021

Penrose不等式

Penrose不等式
Jang and Wald 1977, Huisken-Illmanen 2001, Bray 2001

・漸近的に平坦・非負のRicciスカラー極小曲面の面積に対して

証明
Jang and Wald 1977の単調性より極小曲面上でk=0なので、極小曲面と見かけの地平面(全測地的)を満たす時間一定面上で見かけの地平面極小曲面(apparent horizon)

裸の特異点がなければ、見かけの地平面はブラックホール内部に存在する。
Hawking 1972

4 特異点定理と面積増大定理

本講義で扱う物理での応用例-正質量定理とPenrose不等式
時空の安定性 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピーに対する上限-特異点定理と面積増大定理
極限宇宙の存在 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピー増大則 ⇒ ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-静的Black holeの唯一性定理
ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-高次元宇宙模型 ~ braneworld~
曲がった余剰次元 ↝ large extra dimension, string LandscapeEnd of the world brane特異点定理(膨張宇宙版)
Hawking 1967
過去向き時間的単位法線ベクトル・宇宙が(未来向きに)膨張している。
・(強)エネルギー条件を満たしている。
・大域的に双曲的(タイムマシーンは存在しない)過去向きの時間的測地線は非完備である(宇宙には必ず始まりがある)証明のスケッチ
時空が過去に測地的完備だとする。

強エネルギー条件

で

(共役点)
矛盾

共役点

大域的に双曲的な時空において最長曲線が存在し、それは共役点を持たない測地線

面積増大定理
Hawking 1972
ヌルベクトル・ヌルエネルギー条件・ブラックホールの外側が大域的に双曲的事象の地平面の断面積は単調増加～ブラックホールの外側の境界

証明のエッセンス
ブラックホールの断面積が減少したとする。

事象の地平面を生成するヌル測地線束に対して共役点が事象の地平面上で発生共役点の前後でヌル測地線が時間的曲線で結ばれる。
事象の地平面/ブラックホールが観測されてしまう。
ブラックホールの定義に矛盾

ヌル測地線束共役点

時間的曲線

5 静的ブラックホールの唯一性定理

本講義で扱う物理での応用例-正質量定理とPenrose不等式
時空の安定性 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピーに対する上限-特異点定理と面積増大定理
極限宇宙の存在 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピー増大則 ⇒ ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-静的Black holeの唯一性定理
ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-高次元宇宙模型 ~ braneworld~
曲がった余剰次元 ↝ large extra dimension, string LandscapeEnd of the world brane静的BHの唯一性定理
4次元、静的、真空、漸近的に平坦なBH時空はSchwarzschild時空に限る
Israel 1967
静的時空の計量

真空のEinstein方程式

V=一定面

境界条件

事象の地平面無限遠方(i) 事象の地平面(V=0)上(ii) 無限遠方
M・・・質量３つの発散恒等式

計算の要

３つの発散恒等式

第一発散恒等式から

第二発散恒等式からのとき等式成立

第三発散恒等式からのとき等式成立

V=一定面への制限

逆Penrose不等式

Penrose不等式

球対称性

極大対称空間注意- 高次元への単純な拡張はできない
高次元の場合 Gibbons, Ida and Shiromizu 2003

- 発散恒等式の導出？
Nozawa, Shiromizu, Izumi and Yamada 2018

6 高次元宇宙模型 ~braneworld~本講義で扱う物理での応用例-正質量定理とPenrose不等式
時空の安定性 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピーに対する上限-特異点定理と面積増大定理
極限宇宙の存在 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピー増大則 ⇒ ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-静的Black holeの唯一性定理
ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-高次元宇宙模型 ~ braneworld~
曲がった余剰次元 ↝ large extra dimension, string LandscapeEnd of the world brane

Randall-Sundrum (RS) model1999

braneadS5adS5Neumann B.C.

Warped large extra dimension
最近ではEnd of the world braneとして重要

一般化
Shiromizu, Maeda and Sasaki 2000

Junction condition

brane近傍(y~0)でIsrael 1966

RS modelの場合

対称性

braneの張力とその上に局在した物質

RS modelの一般化

Shiromizu, Maeda and Sasaki 2000

7. おわりに

本講義で扱った時空の分解の物
理への応用例-正質量定理とPenrose不等式
時空の安定性 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピーに対する上限-特異点定理と面積増大定理
極限宇宙の存在 ↝ 量子重力理論
ブラックホールエントロピー増大則 ⇒ ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-静的Black holeの唯一性定理
ブラックホール熱力学 ⇔ 情報損失問題-高次元宇宙模型 ~ braneworld~
曲がった余剰次元 ↝ large extra dimension, string LandscapeEnd of the world brane