第 17 回 統計教育の方法論ワークショップ・理数系教員授業力向上研修会（東京）【発表資料】

2020/2/28

高等学校数学科における新内容「仮説検定の考え方」の扱いと今後の展望
塩澤友樹・岐阜聖徳学園大学教育学部〒501-6194 岐阜県岐阜市柳津町高桑西 1-1
１．はじめにきるのか，また相対度数に基づき，仮説を判定する場合，帰平成 30 年告示高等学校学習指導用要領では，数学 B で30 年ぶりに「仮説検定」，数学Ⅰで初めて「仮説検定の考え無仮説を棄却する基準をどうするかといった課題が想定される。

方」が扱われることになった。
「仮説検定の考え方」の導入

そこで，本稿では，高等学校学習指導要領における「統計については同解説数学編理数編（以下，新解説数学編）で次的な推測」内容の変遷及び統計教育先進国であるアメリカのように述べられている。の国家カリキュラムにおける仮説検定の扱い方について整「データの分析」では，四分位数など（箱ひげ図を含む。
）理する。そして，「仮説検定の考え方」を題材としたアメリを中学校に移行して，「仮説検定の考え方」を取り扱うこカの教科書教材を参考に，日本で新たに「仮説検定の考え方」ととした。仮説検定については「数学 B」の「統計的な推を扱う上での留意点と今後の展望について明確にすること測」で取り扱うが，この科目の履修だけで高等学校数学のを目的とする。

履修を終える生徒もいることから，実際的な場面を考慮し，具体例を通して「仮説検定の考え方」を直観的に捉え

２.「統計的な推測」内容の変遷と「数学一般」の教科書にさせるようにした（新解説数学編，p.11）

おける「標準偏差による判断」の扱い(1) 高等学校学習指導要領における「統計的な推測」内容のしたがって，数学Ⅰでは「仮説検定の考え方」を，具体例を変遷通して直観的に理解させることをねらいとしている。また，教育課程の基準としての性格が明確化したのは，昭和 33

新解説数学編 p.48 では，新素材の枕効果をコイン等の実験

年告示小学校及び中学校学習指導要領からである。そこで，を通して検証すること（以下，新素材枕問題）が例示され，国立政策教育研究所(2014)を参考に，それ以降の高等学校の具体的な仮説棄却の方法については「相対度数」に基づく方指導内容に着目し「統計的な推測」内容について整理すると，

法と「平均値±2標準偏差(±3標準偏差)」に基づく方法(以下，

表 1 のようになる。表 1 では，用語「二項分布」，「正規分標準偏差による判断)が示された 1)。

布」
，
「推定」
，「検定」を含む項目及びこれらを含まないが，しかし，正規分布が数学 B で扱われることを考慮すると，関連すると判断できる項目を抽出した。

正規分布を扱わずに「標準偏差による判断」を扱うことがで

表 1 より，昭和 45 年告示高等学校学習指導要領以前は 3

表１ 高等学校学習指導要領における「統計的な推測」内容の変遷
昭和 35 年告示
「数学ⅡA」イ 統計(イ)推測統計の考え方
母集団，標本，標本調査

昭和 45 年告示

「数学一般」(4) 不確定な事象のとらえ方
イ 簡単な標本調査「数学ⅡA」(1) 確率と統計「数学Ⅲ」
イ 統計的な推測の考え方ウ 分布「数学Ⅲ」(イ)二項分布，正規分布 (1) 確率分布
エ 標本調査ウ 二項分布，正規分布
乱数表にふれるエ 用語および記号
用語と記号
二項分布，正規分布
二項分布，正規分布，標 (2) 統計的な推測
本，母集団，標本調査， ア 統計的な推測
抜取り検査，品質管理 イ 用語および記号 推定，検定「応用数学」「応用数学」(3) 確率分布
エ 二項分布，正規分布 ウ 統計的な推測の考え方
オ 標本調査(7) 確率と統計の応用
抽出，推定，検定
ア 統計的な推測
イ 品質管理，抜取り検査など

昭和 53 年告示
「確率・統計」(4) 確率分布
イ 二項分布．正規分布(5) 統計的な推測
イ統計的な推測の考え[用語・記号]
推定，検定

平成元年告示「数学 B」(3) 確率分布
イ 確率分布(イ)二項分布「数学 C」(4) 統計処理
イ 統計的な推測(イ)正規分布(ウ)統計的推測の考え[用語・記号]
推定

平成 11 年告示

平成 21 年告示

「数学 C」(3) 確率分布
イ 確率分布(イ)二項分布(4) 統計処理
ア 正規分布(イ)正規分布イ 統計的な推測(イ)統計的な推測の考え[用語・記号]
推定「数学 B」(1) 確率分布と統計的な推測
ア 確率分布(イ)二項分布イ 正規分布ウ 統計的な推測(イ)統計的な推測の考え科目以上で「統計的な推測」内容が扱われており，充実していたことが分かる。また必履修科目では，昭和 45 年告示高等学校学習指導導要領の「数学一般」のみ，「統計的な推測」内容を扱っていた。

３．アメリカの国家カリキュラムにおける「仮説検定」の扱
い(1) 高等学校段階における「統計と確率」内容の概観
アメリカでは，教育は各州や地域毎に任されていた。しか(2) 昭和 45 年告示高等学校学習指導要領に基づく「数学一し，2010 年に幼稚園から 12 学年までを対象に英語の言語技般」の教科書における「標準偏差による判断」

術/リテラシーと数学の共通国家カリキュラムとして，昭和45 年告示高等学校学習指導要領に基づく「数学一般」

Common Core State Standards が発表された(高橋，2012）。の検定教科書である鍋島ほか(1973)では，第 4 章「不確定なCommon Core State Standards Initiative(CCSSI)の CCSSI(2010a)

事象」について，次のように構成している。

における高等学校段階の「統計と確率」内容の概要をまとめ

表２ 鍋島ほか(1973)における「不確定な事象」単元構成

ると，表 3 のようになる。

§1 簡単な事象の確率
1 確率の意味，2 事象と集合，3 確率の計算，4 期待値§2 簡単な標本調査
1 度数分布，2 正規分布，3 標本調査，4 平均値の推定

表３ CCSSI(2010a)p.80 における高等学校段階の「統計と確率」内容の概要（①～⑨は筆者が加筆）

図１ 実験のヒストグラム例

質的データと量的データの解釈①1 つの個数あるいは測定データを要約，表現，解釈する②2 つの質的変数及び量的変数のデータを要約，表現，解釈する③線型モデルを解釈する
推論と結論の正当化④統計的な実験の根底にあるランダムプロセスを理解し評価す
る⑤標本調査や実験，観察研究から統計的な推測を行い，結論を正当化する
条件付き確率と確率の法則⑥独立性と条件付き確率を理解し、それらを使用してデータを解釈する⑦確率の法則を用いて、一様な確率モデルにおける複合事象の確率を計算する
意思決定のための確率の利用⑧期待値を計算し，それらを用いて問題を解決する⑨確率を用いて決定の結果を評価する（鍋島ほか(1973)，p.122 から引用）

表 3 より，「質的データと量的データの解釈」，「推論と結そして，さらに標準偏差を σ として，正規分布における標論の正当化」，「条件付き確率と確率の法則」，「意思決定のた準偏差の性質を紹介する（図 2）。

めの確率の利用」という 4 つの柱で，「統計と確率」内容が表 2 の 2 正規分布の単元では，10 円の硬貨を 10 枚，20枚，40 枚と投げることを 100 回繰り返すことを説明し，理論分布が二項分布になる実験結果を例示する（図 1）。そして，1000 回，2000 回実験したらどうかと投げかけ，正規分布を導入する。ただし，用語「二項分布」は用いてはいない。

構成されることが分かる。
(2) 高等学校段階における仮説検定の扱い
CCSSI(2010a)では，7 学年で標本調査，8 学年で 2 変数の
図２ 正規分布における標準偏差の性質相関関係を扱い，9 学年以降で表 3 に対応する高等学校内容（鍋島ほか(1973)，p.123 から引用）を扱う。「仮説検定」については，CCSSI(2010a)で用語

また，3 標本調査では,無作為抽出だけでなく層化抽出，二「hypothesis（仮説）」は見当たらず，「test(検定)」は⑨に関段抽出を取り上げる。そして，4 平均値の推定では，母集団わる説明の中で，「product testing」や「medical testing」としからの大きさ n の標本について，標本平均𝑚′，母標準偏差て用いていた（p.83）。一方，用語「significant（有意な）」は，の代用として標本の標準偏差を𝜎 ′ とし，母集団についての⑤の解説の中で，次のように記載された。

平均𝑚が信頼度 95％で，次の式で推定できることを扱う 2)。

5.ランダム化実験から得られたデータを用いて，2 つの処

𝑚′ −2𝜎 ′√𝑛≦ 𝑚 ≦ 𝑚′ +2𝜎 ′理を比較する：パラメーター間の差が有意であるかどう√𝑛かを判断するために，シミュレーションを用いる

したがって，鍋島ほか(1973)では，「仮説検定の考え方」を(CCSSI, 2010a, p.82)

扱ってはいないものの，「標準偏差による判断」の背景を正さらに，CCSSI(2010a)の付録資料では，上記の補足説明とし規分布と関連付けて説明していた。て，「統計的有意性の概念は，標本抽出によるランダム選択または実験におけるランダム割り当ての結果として発生する可能性が低い結果を意味し，シミュレーションを通して表を埋める作業を通して考えさせる。そして，問題場面を理非形式的に発達する」と加えられた(CCSSI，2010b，p.43)。

解させた上で，「推薦者 35 人中 21 人が「男性」なら女性差

ただし，CCSSI(2010b)でも「偽陽性(False positive)」や「偽陰別といえるか…※」と課題を焦点化し，シミュレーション性(False negative)」といった「第 1 種の過誤」及び「第 2 種させる。シミュレーションはトランプを準備し，赤札 24 枚の過誤」に対応する用語が見つかるが，明確に仮説検定に言を「女性」，黒札 24 枚を「男性」とする。48 枚から推薦さ及してはいない。

れない 13 枚を取り出し，推薦された 35 枚の状況を調べる。

そのため，CCSSI(2010a)では，形式的な「仮説検定」とい各生徒は 20 回の実験を繰り返し，35 枚中「男性」が何枚でうよりはむしろ，非形式的な形でのシミュレーションを通あったかのドットプロットを作成する。そして，標本分布で，して，統計的有意性の概念やその考え方を重視している。

その平均が 17.5 人付近に密集することを確認する。
その後，各生徒の標本分布に基づき，20 回の実験の内，４．
「仮説検定の考え方」の教科書教材例「男性」が 21 人以上となる結果の相対度数を求め，1/20=(1) Burrill et al. (2003)の教科書教材の概要

0.05(5%)や 2/20= 0.1(10%)が滅多に起こらないことかどうか

日本では，近年，ドイ(2019)が高校 2 年生を対象に統計的を検討する。この中で，※の判定基準として 5%を紹介するな推測の授業実践を行った。具体的には「16 人中 14 人が3)『お助けキャラクター』を選ぶことは起こりやすい結果なし，※を検討する。なお，Burrill et al. (2003)pp.39-41 では，のかどうか」と課題を提示し，コイン投げのシミュレーショ

5%を基準にシミュレーションの結果を判定させる際，第 1ンソフトを用いて解決する授業事例を紹介している。しか種の過誤及び第 2 種の過誤につても補足している。

。最終的には，クラス全員のシミュレーション結果を合算し，このような「仮説検定の考え方」を見据えた授業事例や教材はいまだ少ないが現状である。
そこで，2003 年に全米数学教師協議会(NCTM)から発行された Burrill et al. (2003)を参照すると，「仮説検定の考え方」

５．考察(1)「仮説検定の考え方」における仮説棄却の方法の扱い
新解説数学編では，「仮説検定の考え方」の具体例の中で，の対応教材として，次のような問題が記載されている。

仮説棄却の方法として「相対度数」に基づく方法と「標準偏1972 年，48 人の男性の銀行管理者は，それぞれ無作為に個人ファイルが割り当てられ，ファイルの中の個人は“慣例通り”支店長としての昇進を推薦されるべきかどうか，それとも，その個人ファイルを保留して，別の候補者を面談されるべきかどうかについて判断することを求められた。そのファイルにおいて，管理者の半分へは「男性」と記入され，もう半分には「女性」と記入されている点を除いては同一であった。48 のファイルが審査され，そのうち 35 のファイルが昇進を推薦された。

差」に基づく方法の 2 つを紹介した。

(From Rosen , Benson ,and Tomas H . Jerdee “Influence of Sex-Role Stereotypes on Personnel

実際の授業では生徒に判断基準を決めさせる展開も想定さ

Decisions” , Journal of Applied Psychology 59 [February 1074],pp.9-14)

もし，昇進を推薦された「男性」と「女性」のフォルダ－の数が分かり，「男性」のフォルダーが「女性」とフォルダーの数よりも多いならば，銀行管理者に女性差別が働いたと結論することができますか？
あなたは次の活動において，この関心のある疑問を探究できるでしょう。
・あなたは何を期待しますか？
・この場面をシミュレーションせよ。
・シミュレーション結果を分析せよ。

図３ Burrill et al. (2003)p.104 における問題例
この問題では，帰無仮説「昇進で女性差別はない」に対し，対立仮説「昇進で女性差別がある」を設定する。そして，実際にシミュレーションを行い仮説を検証する中で，「仮説検定の考え方」を経験的に学習することを目的としている。
(2) Burrill et al. (2003)の教科書教材で想定される活動例
Burrill et al. (2003)では，まず男女が何人ずつ（どれくらいの割合で）昇進で推薦されたら女性差別といえるか，2 次元「相対度数」に基づく方法について，新素材枕問題ではBurrill et al. (2003)のように活動を展開することが想定される。そのため，「滅多に起こらないことが起こったと判断する基準」を明確にしなければ仮説を判定できない。確かに，れる。しかし，数学 B では「信頼度 95%での区間推定」及び「有意水準 5%での仮説検定」を扱う。また，Burrill etal.(2003)でも，活動の解説の中で判定基準として 5%を紹介した。そのため，「相対度数」に基づく方法を扱う際には，滅多に起こらないことの基準として有意水準 5%を用いることを明確化して単元に位置付ける必要がある。
一方，「標準偏差」に基づく方法について，新解説数学編
では，「外れ値」の判定方法の 1 つとして紹介され，「仮説検定の考え方」でも言及された。しかし，鍋島ほか(1973)では，「標本サイズを変えた実験分布（理論分布：二項分布）」→「実験回数を変えた実験分布（理論分布：二項分布）」→「正規分布の導入（正規近似）」→「正規分布における標準偏差の性質」→…と単元を構成していた。そのため，正規分布の性質として「平均値±2 標準偏差」を用いることの妥当性を説明できた。しかし，新解説数学編では，正規分布が数学 B

註

内容であるため，「標準偏差」に基づく方法の妥当性は，用1) 新解説数学編 p.47 では，「外れ値」の扱いについては，語「正規分布」を用いずに説明されることが想定される。そ「外れ値は通常四分位範囲の 1.5 倍以上離れた値とされのため，データの分布が正規分布でない，あるいは，正規近る（標準偏差 s を用いて，平均値より±2s（事象によって似しがたい二項分布の場合でも，「標準偏差による判断」をは±3s）以上離れた値とされることもある）」と記載してい用いることが危惧される。確かに Brrilll et al.(2003) のようる。に相対度数を「仮説検定の考え方」で用いれば，分布の裾が2) 鍋島ほか(1973)p.130では，この式について「この法則は，起こりにくいことが納得しやすい。しかし，「標準偏差によn が十分大きいときに成り立つものであるが，取り扱いをる判断」を用いるならば，その根拠となる性質は正規分布を簡単にするために，n が 10 個程度の場合についても用い前提する。ゆえに，「標準偏差」に基づく方法を扱う際には，ることにする」と補足している。

正規分布との関係を明確にした上で，単元に位置付ける必要がある。

3) 実際には，35 人中 21 人以上が男性である確率は，p=35C21(1/2)21(1/2)14+…+35C35(1/2)35(1/2)0≒0.155 となる。

(2) 高等学校数学科における「仮説検定の考え方」の今後の展望

引用・参考文献

表 1 より，日本では，昭和 53 年告示高等学校学習指導要

Benson Rosen, Thomas H. Jerdee(1974)．Influence of Sex-Role

領以来 30 年ぶりに数学 B で「仮説検定」を扱うだけでな

Stereotypes on Personnel Decisions ． Journal of Applied

く，数学Ⅰで「仮説検定の考え方」を扱う。一方，アメリカ

Psychology, 59(1), 9–14.の国家カリキュラムでは，明確に「仮説検定」に言及してはおらず，統計的有意性の概念を重視して，シミュレーション

CCSSI(2010a). COMMON CORE STATE STANDARDS FOR
MATHEMATICS. http://www.corestandards.org/Math/を位置付けていた。実際，Burrill et al. (2003)のように授業をCCSSI(2010b). COMMON CORE STATE STANDARDS FOR

展開すれば，帰無仮説や対立仮説，有意水準といった考え方

MATHEMATICS Appendix A. http://www.corestandards.org/

を数学Ⅰ「仮説検定の考え方」で扱うことは可能である。まMath/たドイ(2019)のようにシミュレーションソフトを用いれば，さらに授業の効率化を図ることも期待できる。

Gail Burrill, Christine A. Frankin , Landy Godbold, Linda J.
Young(2003). Navigating through Data Analysis in Grades 9–12.

今後，新たなカリキュラムが施行される学校現場の実態

National Council of Teachers of mathematics, 29-41, 104-112.

を注視する必要があるが，日本でも数学Ⅰで「仮説検定の考

ジミー・ドイ(2019)．シミュレーションに基づく統計的推論え方」を重視して扱う。そして，「数学 B」では「仮説検定」とアクティブ・ラーニングの授業事例．日本数学教育学会の代わりに確率分布や区間推定内容を充実して扱う，ある誌 101(3)，28－39．

いは新たに「ブートストラップ法」等の先行研究で注目されている内容を扱うことも想定される(Wild et al.，2011)。そのため，10 年後の改訂を見据え，「仮説検定」を含めた統計的な推測内容の在り方をさらに検討するとともに，日本での動向を検証していく必要がある。

国立政策研究所(2019)．学習指導要領データベース．
https://www.nier.go.jp/guideline/
文部科学省(2019)．高等学校学習指導要領（平成 30 年告示）
解説数学編理数編．学校図書．
鍋島信太郎，柴垣和三雄，森嶋太郎，野崎正雄，内田虎雄ほ
か 8 名(1973)．高等学校 数学一般．池田書店．

６．まとめ・今後の課題
本稿では，高等学校段階で新たに「仮説検定の考え方」を扱う上での留意点と今後の展望について示した。
今後の課題は，本留意点を授業事例と重ねて検証するこ

高橋昭彦(2012)．米国における統一カリキュラムへの模索―Common Core State Standards―．日本数学教育学会誌
94(1)，19-22．
Wild,C,J.,Pfannkuch,M.,Regan,M.,Horton,N.J.(2011).

Towardsと及び海外の動向を踏まえながら統計的な推測内容の在り

more accessible conceptions of statistical inference. Journal of方について検討することの 2 つである。

the Royal Statistical Society: Series A (Statistics Society) 174(2),謝辞

247–295.

本研究は，JSPS 科研費 JP19K14249 の助成を受けている。

（上記 URL はすべて 2020 年 1 月 17 日現在）