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  പࢃΠΩυϝʖड़൝‫ ۃ‬

５5. 1

序

圧縮性流れ

論

導管内または物体まわりの気体および蒸気の流いて種々の計算がなされることとなる。

れにおいては、激しい圧力、速度あるいは温度の高速な圧縮性内部流は導管中、翼列流路または変化が起こるために、密度および体積の変化がも容器開口部における大きな圧力差によって発生はや無視できない程となる。このような流れが圧し、圧縮性外部流は高速で飛翔する物体の周辺に縮性流れに他ならない。

生ずる。

密度変化が非常に小さい場合には密度と容積は一定と見なしうるので、非圧縮性流れの法則を用

5. 2

地球重力の影響は、気体流れおよび蒸気流れの場合にはほとんどの場合これを無視しうる。

音の伝播

小さな圧力乱れにより発生する圧力波は音速で伝播する。

現われる。

理想気体および蒸気中の音速は 1. 3 節において次のように導かれている。

p u v ug p uglａ）音源が音速以下の速度で動く場合ｂ）音源の速度と音速とが互いに等しい場合（5. 1）a 

圧力波を発生する音源が動く時、三つの場合がｃ）音源が音速以上の速度で動く場合
図 5.1 中に三つの可能な圧力伝播が比較対照し

g u Ri u Tて示されている。
速度 w と音速 a との比は、オーストリアの物理a

音速学者エルンスト・マッハの栄誉に対してマッハ数p

圧力Ma と名付けられている。

v

比体積

g

等エントロピー指数l

密度Ri

特殊気体定数T

温度（5. 2）
Ma  w
a193wawaａ）waｂ）ｃ）

3 2 1 0at

2aw

t

3 2at

12aw

0t

静止w

領域

静止領域

3at

3錐
円ハッマ21at_2a03att

円球波wtwt

wt

2wt2wt
3wt

2wt

3wt

3wt

図5.1 音源の速度が異なる場合における圧力波の伝播

マッハ数 Ma の大きさに従って、次のように速度領域を区別する。
Ma 1音速以下領域（亜音速）Ma 51

音速近傍または遷移領域（遷音速）Ma 1音速以上領域（超音速）Ma 5

極超音速領域（極超音速）

超音速流の音伝播を観察すれば（図 5.1 ｃ）、全ての円球波は円錐内に存在することがわかる。ここで、超音速で動く円錐頂点が音源に他ならない。

_w

マッハ円錐と呼ばれる円錐外部には如何なる圧力乱れも存在しない。
円錐母線と運動方向線とが成す角度は、マッハ角と呼ばれている。
sin a  a u t  a  1wutw
Ma
図5.2 例題35（5. 3）
sin a 194

1Ma30$例題 35〔設問〕Ma 

弾道学研究において、弾丸背後におけるマッハ角が 30$ と測定された（図 5.2）。

1
 1  2sin 30$0.5

式（5. 2）から、飛行速度 w は次のようになる。

音速 a  333 m/s の時、弾丸の飛行速度 w はw  a u Maどれだけか？

w  333 u 2  666 m/s〔解〕式（5. 3）から、マッハ数は次のように求めらw  2, 400 km/hれる。
Ma 

5. 3

基礎方程式

5. 3. 1連続方程式

1sin am2  A2 u w 2 u dt u l 2

圧縮性流れの連続性は、質量保存則によって表m1  m2  m現される。図 5.3 に描かれた流管の入口断面 A1 に

A1 u w1 u dt u l 1  A2 u w 2 u dt u l 2

おいて質量 m 1 が流入する。質量 m 1 は体積 A 1 u l 1

A1 u w1 u l 1  A2 u w 2 u l 2と密度 l 1 によって、次のように表わされる。
m1  A1 u l1 u l 1

断面積 A と速度 w との積は体積流率 V˙ であるので、断面積 A、速度 w および密度 l の間の積は質

行路長 l 1 は、速度 w 1 と時間 dt から次のように量流率 ṁとなる。
密度 l と速度 w との積は流れ密度と呼ばれていなる。
l1  w1 u dt
m1  A1 u w1 u dt u l 1

る。
それゆえに、連続方程式は次のように表わされる。

位置①において時間間隔 dt 内に流入する質量m 1 は、定常流れの場合には位置②において時間間隔 dt 内に流出する質量 m 2 と等しくなければならない。

（5. 4）ṁ  A1 u w1 u l 1
 A2 u w 2 u l 2  A u w u l  一定

195

5. 3. 2

既知の断面変化 A  f ( l )と与えられた初期値 w 1と l 1 によって流管の他の任意の場所における支配

エネルギー方程式

気体流れまたは蒸気流れ中には、次のようなエ

速度 w と密度 l を計算するためには、式（5. 4）のネルギー形態が現われる。

みでは十分ではなく、密度 l の状態変化に関する

ａ）位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）他の仮定がなされなければならない。

m ug uzｂ）圧力エネルギー

亜音速流れの場合には断面積 A が増すに従って

V up  m uv up  (m /l) up

速度 w は減少するが、密度 l は増加する（圧縮）。
断面積 A が減るに従って速度 w は増加するが、ｃ）運動エネルギーm uw 2/ 2

密度 l は減少する（膨張）。
超音速領域における流れの場合には、これらのｄ）内部エネルギー状況は全く逆になる。断面積 A が減少する場合に

m uu

は流体は圧縮されるが、断面が増す場合には流体は膨張する。

エネルギー方程式を導くに際して、流体とエネルギーは共に増加も減少もしないと仮定される。

これらの反対の挙動は図 5.4 中に対照して示されている。

したがって、流管に沿って総エネルギーは一定に保たれなければならない。
mu g uzm up
l2mu w
2m u u  一定

1（5. 5）
A1w1

l1guz

2A2
l2

l1plw22u  一定w2

ほとんどの気体流れおよび蒸気流れの場合に、l2

ポテンシャルエネルギー m ug uz は無視しうる。

図5.3 連続方程式のために管形状w11w22w11w22

亜音速領域

超音速領域

膨張（ノズル）圧縮（ディフューザー）w2 > w1

w2 < w1

p2 s t < p1 s t

p2 s t > p1 s t

T2 < T1

T2 > T1l2 < l1l2 > l1

圧縮（ディフューザー）膨張（ノズル）w2 < w1

w2 > w1

p2 s t > p1 s t

p2 s t < p1 s t

T2 > T1

T2 < T1l2 > l1

l2 < l1

図5.4 亜音速と超音速領域におけるノズルとディフューザーの種々の挙動
196

理想気体と蒸気に対して、p/l は式（1. 30）よりている。
（5. 6）

次のように表現される。
p p u v  R i u T （一般気体方程式）
lhw2 一定2式（1. 31）より、特殊気体定数 R i を次のようにしたがって、式（5. 6）の書き方で表わされたエ置くことができる。
Ri  cp < cv

ネルギー方程式は、流れに対していかなるエネルギー付加も除去もされない場合には、流管に沿っしたがって、p/l は次のように表わされる。て比エンタルピー方程式（5. 5）と（5. 6）は非粘性p (c p < c v ) u Tl

流れのみならず粘性流れに対しても成立すること

内部エネルギー u は次のように定義されていエネルギー方程式は何よりも先ず最初に、円管となる。

流（5. 5 節）および外部流過程（5. 6 節）に対し応用る。
u  cv u T
これらの表現を式（5. 5）に代入すると、次のような新しいエネルギー方程式を求めることができる。

される。

5. 3. 3運動量定理

4. 2. 4 項において非圧縮性流れに対して導かれた運動量定理は、圧縮性流れに対してもまた成立(c p < c v ) u T
cp u Tw22

c v u T  一定w 2  一定
2する。
輪郭を描かれた流れ領域に対して、加えられる外力（通常の場合には圧力）と運動量力とは互いに平衡を保つこととなる。

c p と T との積は比エンタルピー h と名付けられ5. 4
5. 4. 1

衝撃波と膨張波序論

つ数学的取り扱いの複雑さを考慮して断念した。

5. 2 節においては、圧縮性流体中における小さ衝撃波は速度、圧力、温度、密度およびエンタな圧力変動の伝播が取り扱われた。大きな圧力乱ルピーの大きくかつ急激な変化を引き起こす。これは音速以上の速度で伝播する。このような超音の急激な状態変化は大きな消耗を伴いつつ、極め速で伝播する圧力波は、超音速物体の外部流とデて薄い衝撃波面（オーダー 1/1,000 mm）内においトネーションの場合に、導管内およびノズル内にて起こる。

おいて発生する。
流れ空間の形状に応じて、超音速圧力波の伝播時において衝撃波または膨張波が発生する。
衝撃波と膨張波の計算と記述のために必要な法則と公式の理論的導出は、これに伴う熱力学的か

5. 4. 2

衝撃波

流れ方向に対する乱れ面の位置に応じて、表5.1 に対照的に示されているように垂直衝撃波と斜め衝撃波に区別される。

197

表5.1 衝 撃 波
垂直衝撃波

斜め

衝撃波

衝撃波断面w1  a

状態 2

Ma 1  1

Ma 2  1
w1

w1p;w

主流

w2  a

衝撃波
前面

状態 1

p2
p1

w2 

w1mw2

`

くさび楔

図5.5 垂直衝撃波

図5.7 内向きに屈曲した角部における斜め衝撃波

流れの方向は真直ぐのままである。超音速流れ

斜め衝撃波の衝撃波面は、流れ方向に対して傾①は亜音速流れ②に変換される。

斜している。衝撃波面と流向との成す角度が衝撃衝撃波前後の圧力間に次の関係が成立する。
p2 stat1p1 stat

波角 m に他ならない。
衝撃波角 m はマッハ数 Ma 1 に関連するマッハ角2 u g ( Ma 2 < 1)
1g 1_ 1 より大きい。

速度の間には次の関係が成立する。

圧力上昇は次の関係から求められる。
p2 stat1
p1 stat£¥w2
 1 < 2 u g ²1 < 1 2 ´g 1 ¤w1
Ma1 ¦粘性作用により、衝撃波背後の総圧 p 2 ges は衝撃波前方の総圧 p 1 ges より小さくなる（図 5.6）。

2 u g ( Ma 2 u sin2 m < 1)
1g 1

ここで、衝撃波角 m と楔角 ` との間に図 5.8 に描かれた関係が存在する。

1.0

衝撃波m0.890$

0.6

Ma 1  1`w a_180$

p2 gesp1 ges70$

0.440 $

60$
50$

0m0.240$

20$

30$

12Ma1 3456w1g u R i 1 u T1

図5.6 垂直衝撃波による階段状圧縮の場合における総圧力損失
その他の主要文献として［5.1］から［5.4］までを参照されたい。

198`  30$

10$

20$

0$
（m  _  →マッハ線

10$
0$
1）

2

345Ma 1

図5.8 斜め衝撃波の場合における角度関係

5. 4. 3

膨張波

屈曲壁（図 5.9）上を超音速で流体が流れると、膨張流れが生ずる。偏角 ` が大きくなければ、流膨張波

れは転向後はく離しない。
圧力 p 1 から圧力 p 2 へと減圧、すなわち膨張す_1

る結果として、屈曲点 I を基点とする扇形の膨張波が形成される。

w 1 ; p 1 ; Ma 1w2 

w1  a1w2 ;_2

非定常に発生する衝撃波とは対照的に、静圧が`1I減少する場合には膨張波は定常に移動していくこ

w1p2 ;

Ma2w2 a2ととなる。
速度 w 2 は加速するので、マッハ数もまた増加
図5.9 外向きに屈曲した壁面角部に形成される膨張波する。したがって、Ma 2 Ma 1。
このいわゆるプラントル・マイヤー角流れのより詳細については文献［5.1］等を参照されたい。

5. 5

円管流

5. 5. 1

序論

気の場合には、圧力エネルギーと速度エネルギー導管内における空気、ガスおよび蒸気の輸送過と比べて無視しうる。

程においては、流れ方向への摩擦損失の結果、圧力が減少するので膨張流れとなる。

導管に沿って現われる圧力と速度の変化過程は、膨張の仕方と摩擦力に依存する。実際は、2

一般的には、同時に導管に沿って圧力、温度、種類の典型的な導管形態、すなわち滑らかな非断密度そして速度が変化する。導管内における流体

熱導管と断熱導管が存在する。以下の比較対照にの非圧縮輸送とは異なり、導管に沿う圧力降下はおいて、2 種類の導管について個々の相違点を指線形ではなく、速度も一定ではない（図 5.10）。位摘することとする（表 5.2）。

置エネルギーの変化は通常の空気、気体および蒸非圧縮性流れ
1pw

圧縮性流れ
21pw

p16p vp<変化

2p1p<変化6p vp2w  一定

w2p2w1w  変化

図5.10 非圧縮性と圧縮性円管流の相互比較

199

表5.2 導非断

熱導管

管断

熱導管

断熱帯

T innenT innen
T außen

T außen

図5.11ａ 非断熱導管

図5.11ｂ 断熱導管

円管壁を介して熱交換が起こる。流体温度 T innen

導管を隔離することによって、管壁と隔離層とは徐々に外温 T außen と等しくなる。

を介する熱交換はほぼこれを無視することができ流れは良い近似で、等温と呼ばれている。

る。断熱導管は高温または低温であって、その内

例：地下に埋設された長距離ガス管部温度 T innen が外部温度 T außen とが異なるようなガスまたは蒸気の輸送に応用される。
もし、この熱交換が零であるならば、真の断熱円管流が実現していることとなる。
例：長距離蒸気管

両者の物理学的特性、すなわち断熱と等温は、実際の円管流の場合には必然的になにがしかの量の熱交換が現われるし、また温度は常に一定なわけではないので、これらはいずれも極限の場合に相当している。

以下の項における圧縮性導管中流れの圧力降下に関して導かれる法則や公式は、円管中の定常流れに限定される。
wddl

1

5. 5. 2

任意熱交換を伴う圧力降下方程式2

長さ dl の円管要素に対して、粘性に帰因する圧xl

力降下は式（4. 56）より次のように置くことができ
w2p1

る（図 5.12）。

pdp  < h u

T1Tpp2

dpTw1w

T2dl lu
uw2d 2管の長さ l の増加に伴って圧力は減少するので、上の評価式の右辺に負号があらかじめ付けられている。
理想気体に関する気体方程式（式（1. 7））より、

図5.12 圧縮性円管流における圧力、速度および温度変化

密度 l は圧力 p と温度 T を用いて次のように表わされる。

l 200p
Ri u T