はじめに大学初年次で学ぶ線形代数＊の主な目的は，行列とベクトル空間の理論を身につけることである．具体的には，●行列の階数や逆行列，および行列式を計算すること．

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体系的に n 変数で m 個の式からなる連立 1 次方程式を解くこと．

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行列の固有値，固有空間を求めること．

●

行列を対角化，もしくは三角化すること．

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内積を用いてベクトル空間の基底を正規直交化すること．

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実対称行列を直交行列で対角化すること．などが主な目標である．連立 1 次方程式を解く際に研究されはじめた行列の理論が，現代的な抽象代数学の理論とともに整備され確立され，高等教育機関で「線形代数」として教えられるようになったのは戦前，戦後くらいからであろう
か．整数論や初等幾何学，微分積分学などに比べればずいぶんと新しい分野である．一般に，ある純粋な数学的理論が確立され，それがその他の諸科学などに応用されるようになるのは百年単位の話であって，人ひとりが生き抜く人生の時間を大きく凌駕している．高等数学を実社会に応用させることはそれだけ容易なことではない．にもかかわらず，今日の科学技術における線形代数やその考え方の応用については，例を挙げるだけでも枚挙に暇がない＊2．
しばしば，数学は何の役に立つのかという声を耳にするが，現代の純粋数学＊ 「せんけい」とは，英語の linear type の訳語であるので，「線型」と書かれるのが正しい．

「函数」を「関数」と書き換えるように，最近では「線形」という表記が多く見られるようになった．本書は大学 1 年生向けということもあり，一般的な表記を用いることにする．
＊2 具体的な応用例があまりにも多く，特定の例を記載してしまうと，かえって視野が狭まってしまうかもしれない．興味ある読者は 7, 9, 8 などやインターネットなどを利用して，自身でいろいろ調べられると面白いと思う．

iv ● は じ め にがすべて社会への直截的な応用を念頭に研究されてきたわけではない．というか，むしろそのような数学などほとんどない．日本が世界に誇る数学者である
高木貞治博士は著書『数学の自由性』において，「数学の応用とは数学的精神の発揮，すなわち，数学的なものの考え方や活用が大切であるが，多くの実際家は数字が出てくるところから数学が始まると思っている．」，「特急現金主義のような数学は実用をなし得ないので実際は不実用である．」などという旨を述べられており，まさにその通りである．これは，安易に純粋数学に実益を追求することへのある種の警鐘のようにも感じられるが，線形代数に関しては上に述べたような「反例」がいくつも存在し，まさに例外的である．
本書は，主に工学部の学生や，将来理学系に進学しない学生などを対象としている．数学者としては，厳密な数学的考え方，論理の活用などを身につけてもらいたいところであるが，いきなり，極端に抽象的な概念を天下り的に述べたり，一般の次元や次数などを用いて解説したのでは，嫌悪感さえ抱かれてしまいかねない．そこで本書では，最近の多くの数学書にも見られるように，●

何を何のために学ぶのかという目標を各節の初めに示した．

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高校数学との繋がりと線形代数を学ぶ必然性を確認するため，平面ベク
トルや 1 次変換を最初に取り入れた．

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高校で行列が未修得になったことを受け，2 × 2 行列に関する例や例題を随所に取り入れた．

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図を多数取り入れ，視覚的に理解を助ける工夫を行った．

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新しい理論を学修する際には，やさしい例や例題で無理なく手を動かして計算，証明できる場を設け，数学的感覚を養えるように配慮した．

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反復学習の効果を得るために，例題の類題を多く演習問題に取り入れた．

●

半期およそ 13 回分の講義，および学生の自学自習の利便性などを勘案し，全 26 節構成とした＊．などの配慮を試みた．加えて，定理の証明は，一般的な場合を簡単に考察できる場合を除いて，なるべく具体的に低い次元や次数の場合などで解説し，かつ＊場所によっては量に偏りがあったり，理論的に難しい箇所もあるので，教員としてご使用になられる場合は中間試験などもご考慮の上，適宜調整して頂ければ幸いです．

はじめに ● v

一般の場合に適用可能な方法をとった．たとえば，行列の演算に関する証明では，一般の m×n 型の行列に関する定理であっても，2 × 2 型や 3 × 3 型など，具体的に簡単に書き下して確かめられるような場合で解説した．よって，数学が不得意，もしくは不慣れな読者であっても，最初は見よう見まねで手を動かせられるよう配慮した．さらに，証明に用いた考え方や手法はあくまで一般の場合に通じるようなもので，特殊な場合においてのみ成り立つような議論は用いていない．したがって，理論に興味がある意欲の高い学生は，本書の解説をもとに一般の場合を考察しやすいものと考えている．
本書は，行列式の定義で「置換」を用いるなど，他の工学系のテキストに比べ理論や論述を重視している．したがって，単に計算ができるというスキルだけを身につけるという特急現金主義に比べれば，学修にそれなりの時間を要することになる．しばしば，工学系の学生から，数学は計算だけができればよい，理論などはどうでもよいということを仄聞する．たしかに，自身の専門分野の学修ですら大変なのに，専門が異なる学問の難解で抽象的な理論を習得することは，よほど高いモチベーションや興味がない限り相当な負担かもしれない．
「抽象数学など何の役に立つのか」と一蹴されれば，大変残念な気持ちになるのは否めないが，逆の立場になって考えれば無理もない話である．しかしながら，いまや我々は最先端の科学技術を使いこなし，理学・工学・医学・薬学などの多くの科学技術分野で世界を牽引している．目の前の結果だけを重視することで，本当にこの先も何の問題もなく発展，成長を遂げられるだろうか．
そもそも，現代自然科学を根底から支える基礎学問としての数学ではあるが，その難解複雑で抽象的な理論体系や，目に見える直接的な応用をなかなか認識しづらい学問としての性格上，誰しも敬遠したがるものであり，そのこと自体は何ら不思議ではない．逆にいえば，このようなものであるからこそ，数学は学ぶ者の真の才能や適性，並びに人間性を測るための道具として最も適したものであるともいえる．どの程度の粘り強い忍耐強さ，研ぎ澄まされた集中力，鋭い洞察力を持ち合わせているのか．数学力を測ることで見えてくるものは 1
つや 2 つではない．我々が数学を学修する意義はここにある．このような観点から，本書では他の工学系のテキストに比べ理論を重視した．

vi ● は じ め に

著者が大学生の頃，指導教官だった中村博昭先生 (東京都立大学助教授．現大阪大学教授) から「点数で人を評価することには限界がある」と常々諭された．所詮，大人が決めた試験で点がとれたところで，一定の努力は認められるが，それ以上の才能はもっと違った形で測られるべきだという意味である．数学は点をとることが目標の学問ではない．仮に満点をとったとしてもひたすら暗記によるような解答であったり，一朝一夕の付け焼き刃的な学力はまさに実際には何の実用もなさず，不実用の極みである．一方，仮に点が伸び悩んだとしても，真剣に試行錯誤して考え抜いた答案であれば，自らの誤りを深く吟味，検討することができ，のちに成功に繋がる方法へたどり着く可能性が十分にある．そのような可能性を秘めている答案を書ける限り，その答案は良き「模範」であり，それを書いた人間は今後も成長し続けるであろう．社会はそういう人材を求めているし，人はそのような人間に付いていきたいと思うものである．
ぜひ，数学を通して最後まであきらめない忍耐力を身につけてほしい．
本書でも，多数の最近の学生を指導，試験する中で気づいた，学生がつまずきやすいところ，間違えやすいところ，不十分な答案論述などについてはその都度注意喚起を行った．特に，答案に式だけを書いて何の日本語の説明文も書かれていないようなものを見ることが少なくない．このような事態を避け，答案作成の良き模範となるよう，例題の解説は丁寧かつ簡潔に行った．さらに詳しい解説が必要な場合は脚注などでそれを行った．将来，いくら工学的に素晴らしい設計図や企画ができ上がっても，それを他者に説明するための文章表現が心許ないようでは，誰からも見向きもされずに宝の持ち腐れになってしまう．
少しずつでいいので意識しながら，他人に自分の考えを伝える表現力を身につけてほしい．例題や演習問題は主として理解の確認を目的とするような平易なものや，難易度的にレポート問題として適当だと思われるもののみを取り上げた．各節とも，例題を少し多めに入れたので，もし教員として講義でご使用になられる場合は，学生の習熟度に応じて適宜取捨選択して頂ければ幸いである．
すでに，線形代数に関してはおびただしい数の教科書，参考書が和書として刊行されており，数学研究者を目指す者を対象としたものは当然のことながら，理科系，工科系，医科系，薬科系，ひいては人文・社会学系の学生を対象とし

は じ め に ● vii

たものまで，あらゆる学生の要望に応えられるだけの豊富な種類と数量が揃っている．さらに，その各々に対しても，良書と呼ばれる定評ある書籍が少なくない．高等数学教育において，これほどまでに充実した文献が母国語で揃っているということは，日本国内での科学技術への興味と関心の高さを明らかに示すものであり，学ぶ者にとって大変恵まれた環境にあるといっても過言ではない．そのような中で新たに拙著を加えることに関しては，当初から抵抗感が少なくなかった．時代とともに移り変わる学生像に適応するよう，これまでの経験を踏襲したが，どの程度奏功したかは読者諸氏の忌憚のないご意見をまたねばならない．拙著が少しでも読者の学修の一助となり得たのであれば，大変嬉しい限りである．

謝辞

このたび本書の執筆の機会を与えてくださった (株) 裳華房編集部の亀井祐樹氏に心より感謝お礼申し上げます．亀井氏には本書を出版する意義や，対象とする読者層など，出版に対する熱意や詳細を大変丁寧に説明して頂きました．
わざわざ雨の中，私の研究室まで足を運んで頂いたこともあります．また，南清志氏には原稿を何度もチェックして頂きました．無事に本書を上梓することができ大変嬉しく思っています．裳華房の皆さまのご尽力に心より感謝お礼申し上げます．
平面ベクトル，空間ベクトルに関する部分については，東京理科大学理学部第二部数学科の卒業生で，元 日本大学藤沢高等学校・藤沢中学校教諭の井澤久廣氏にご高覧頂き，高大連携に関する有益なコメントをいくつも頂きました．
それをもとに原稿を改訂した部分がいくつもあります．著者の滞在先であるドイツまで手書きの信書を送ってくださった井澤氏に改めて感謝お礼申し上げます．本書ではのちに掲げる文献も大いに参考にさせて頂きました．本文中では逐一出典を明示しませんでしたが，執筆者の方々に敬意を表すとともに深く感謝いたします．
本書の一部は，著者が在外研究としてドイツ，およびポーランドに滞在してviii ● は じ め にいた時期に執筆しました．著者を温かく迎え入れ，素晴らしい研究環境を提供してくださった，ボン大学数学研究所の Ursula Hamenstädt 教授，アダムミ
ツキエビチ大学数学・計算機科学部の Krzysztof M. Pawałowski 教授，そしてその機会を与えてくださったマックスプランク数学研究所，並びに東京理科大学に深く感謝いたします．
本書は，著者が京都大学在職中に，工学部学生向けに行った線形代数学の講義に関するレジュメがもとになって書き起こしました．当時，グローバルCOE の教育能力向上プログラムの一環として，上司だった元 京都大学教授の河野明先生から多大な薫陶を受けました．ご自身の長年の経験をもとに，多くのご指導ご鞭撻を賜り，教育者・研究者として大変有意義な研鑽を積むことができました．子育てや仕事に奮闘する私を暖かく支えてくださり，まるで本当の弟子のように接してくださった河野明先生に心より感謝お礼を申し上げます．
また，当時，阿部拓郎さんや榎本直也さんをはじめ，京大の同僚たちと幾度となく線形代数の講義，演習に関する議論を交わしました．私の教育力はそのような中でも培われました．十年近く経った現在でもその交誼は大変厚く，本当に良き友人たちに恵まれたものだと感謝しています．気の置けない同僚との議論を頭の片隅において，娘をベビーカーに乗せ，哲学の道や鴨川の畔などを散歩しながら，次はどのような演習問題にしようかと考えていたあの頃が懐かしく思い出されます．

東京 神楽坂にて
令和元年 5 月著者