数理解析研究所講究録
第 1872 巻 2014 年 165-168

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Prime graphs and subgroup lattices of finitegroups
飯寄信保 (Nobuo Iiyori, 山口大学教育),
澤辺正人 (Masato Sawabe, 千葉大学教育)

平成 25 年 4 月 10 日
以下、 $G$ を有限群とする。群の構造を調べる上で部分群束の構造を調べることは非常に重要である。議論において、 直接、 部分群束があらわれない場合でも本質的には部分群束 (またその部分束) の構造について考察していることが少なくない。 この小文において、 部分群束を考察する上で今後重要になるのではないかと思われる代数系について紹介したいと思っている。

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クイバーとそのパス代数

2 つの集合
但し、及び、 2 つのからへの写像からなる 4 つ組 $(Q_{0}, Q_{1}, s,r)$ をクィバーという。の要素を頂点 (点)、の要素を矢と呼ぶ。矢 について、 $s(x),$ $r(x)$ をそれぞれ の始点、 終点と呼ぶ。 始点、 終点がそれぞれ $a,b$ であるような矢を $aarrow xb$ 又は単に $x=(aarrow b)$ で表すこともある。
$Q_{0},$$Q_{1}$$($$Q_{0}\neq\emptyset)$$Q_{1}$$Q_{0}$$Q_{0}$

$x$

$s,$

$r$

$Q_{1}$$x$

クイバー $Q=(Q_{0}, Q_{1}, s,r)$ の矢の列 $(x_{1}, x_{2}, \ldots,x_{l})$ が $r(x_{i})=s(x_{i+1})(i=1,2,$$\ldots,$$l-$

1 を長さ の道という。 $a_{i}=r(x_{i})=s(x_{i+1})(i=1,2, \ldots, l-1)$ かつ $a_{0}=s(x_{1})$ で$l$$)$あるような道をしばしば$(a_{0}arrow a_{1}x_{1}arrow a_{2}x_{2}arrow\ldotsarrow a_{l-1}arrow x_{l}a_{l})$であらす。 話の流れで$x_{i}$がわかる場合は、$x_{i}$等の記載を省くこともある。 この小文において道は大文字のギリシャ文字を用いて表すものとする。

$\triangle=(a_{0}arrow a_{1}arrow$のとき、をそれぞれそれぞれ の始点、終点と呼ぶ
び、で表す (記号の乱用ではあるが)。 便宜上の要素を道と考え、それを自明な道と呼ぶ。 $a\in Q_{0}$ を自明な道として扱っていることを明示したいと
きと表すことにし、 また、 $a=\mathcal{S}(e_{a})=r(e_{a})$ と考える。 $P(Q)$ でクィバー のパス全体を表すものとする。
$a_{2}arrow\cdotsarrow a_{l-1}arrow a_{l})$$s(\triangle),$$e_{a}$$r(\triangle)$$a_{0},$$a_{l}$$\triangle$$Q_{0}$$Q$

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クイバー $Q$ について形式的に $p(Q)$ を基とする各自由加群

道$\triangle_{2}=(\beta_{1}, \ldots,\beta_{m})\in P(Q)$$\triangle_{1}=(\alpha_{1}, \ldots,\alpha_{k}),$$\mathbb{Z}Q$を考える。二つのに対し、$\Delta_{1}\Delta_{2}:=\{\begin{array}{ll}(\alpha_{1}, \ldots,\alpha_{k},\beta_{1}, \ldots,\beta_{m}) if r(\alpha_{k})=s(\beta_{1})0 otherwise\end{array}$が有限であれば、上の積を考えると、単位元とする泌代数となる。 これを のパス代数と呼ぶ。と定義し線形に$|Q_{0}|$$\mathbb{Z}Q$$\mathbb{Z}Q$

は$\sum_{a\in Q_{0}}e_{a}$

を

$Q$

2

アップダウンクイバー$Q=(Q_{0},Q_{1},s,r)$ をクイバーとする。 $tQ_{1}=\{tx|x\in Q_{1}\}$ を形式的に考える。 当然$tQ_{1}\cap Q_{1}=\emptyset$と考える。

$Q_{0}^{ud}=Q_{0}$$Q_{1}^{ud}=Q_{1}\cup tQ_{1}$$\mathcal{S}^{ud};Q_{0}^{ud}arrow Q_{1}^{ud}; s^{ud}(x):=s(x), \mathcal{S}^{ud}(^{t}x):=r(x)(x\in Q_{1})$$r^{ud};Q_{0}^{ud}arrow Q_{1}^{ud}; r^{ud}(x);=r(x), r^{ud}(^{t}x):=s(x)(x\in Q_{1})$を得ること
上記のように定めると $Q^{ud}=(Q_{0}^{ud},Q_{1}^{ud},s^{ud},r^{ud})$ というクイバーが出来る。これをクイバー $Q$ のアップダウンクイバーと呼ぶ。の重要な表現について考察することでこの小文では $Q$ を部分群束を考え$Q^{ud}$$\mathbb{Z}Q^{ud}$ある。

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クイバーのパス代数の表現 アップダウン代数$\bullet$$Q=(Q_{0},Q_{1},s,r)$ をクイバーとする。 $w$ を $Q_{1}$ から可換環 $R$ への写像とする。 ここでは主に$R=\mathbb{Z}$の場合について考える。

$Q$の道$\Delta=(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k})$にたいし、$w(\Delta)=w(\alpha_{1})w(\alpha_{2})\cdots w(\alpha_{k})$また $w(e_{a})=1(a\in Q_{0})$ とおくことにより $w:P(Q)arrow R$ への写像が定まる。 この写像を用いて $RQ$ の標準的な有限次表現を構成することが出来る。
る自由加群 $RQ_{0}$ を考える。 $RQ$ の $RQ_{0}$ 上の作用を$Q_{0}$を基とす$a\Delta=\{\begin{array}{ll}w(\triangle)r(\Delta) (a=s(\triangle) の場合 )0 それ以外\end{array}$

で定めることが出来る。 このようにしてできる $RQ$-加群 $RQ_{0}$ 及びこの加群によって定まる $RQ$ から End $(RQ_{0})$ への準同形写像の像 $X$ が非常に重要であると我々は167考えている。 特にクィバー $Q=(Q_{0}, Q_{1}, s, r)$ とから可換環 への写像 に対し、を考え、 $w(t\alpha)=w(\alpha)(\alpha\in Q_{1})$ とおくことにょって得られる “ $X$ “ を$Q_{1}$$R$$w$$Q^{ud}$$\cup D(Q, w, R)$

又は単に $\cup D(Q)$ と書き表し，$Q$のアップダウン代数と呼びこれらを用いた群の研究を考えている。

具体例を挙げる前にアップダウン代数を考える上で重要な量を定義しておく。記号は上のもとの同じとする。
線形に定義する:$a,$ $b\in Q_{0}$に対し、 End $(RQ_{0})$ の要素$e_{a,b}$を次にょり$xe_{a,b}=\{\begin{array}{l}b (x=a の場合 )0 それ以外\end{array}$

この要素$\{e_{a,b}\}_{a,b\in Q_{0}}$を用いると$\cup D(Q)=\sum_{a,b\in Q_{0}}s_{a,b}e_{a,b}$

なる $s_{a,b}\in R$ が定まる。 この$\{s_{a,b}\}$を $UD$ $(Q)$ の構造定数と呼ぶ。 明らかに $UD$ $(Q)$の外見を知りたければこの構造定数を調べればよいということになる。

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例: 部分群束の場合

を有限群、 Sgp $(G)$ をに対し、$G$$G$の部分群全体とする。 $Q_{0}=$ Sgp $(G)H,$ $K\in Sgp(G)$$Harrow K\Leftrightarrow K\subset H$

で矢を定めるとクィバーが得られる。 $w_{G}(Harrow K)=(H:K)$ と定める、とすればアップダウン代数 $UD$が得られる。 この小文においてでこの代数を表すことにする。 このとき構造定数 $s_{H,K}$ は、 $H$ から $K$ を結ぶすべての道 を考え達の最大公約数に一致することが直ちにわかる。 またこのこ$Q_{G}$$R=\mathbb{Z}$$(Q_{G}, w_{G}, \mathbb{Z})$$\Delta$$w_{G}(\Delta)$とにより構造定数は群の位数の約数であることもわかる。 この代数造の情報をきちんと保っているこのと一例として次がある。
定理

(1)
(2)

$\cup D_{G}$$\cup D_{G}$

上の記号のもとに、 次は同値である。
$\mathcal{S}_{H,K}=|G|$$G=HK$ かつ $H\cap K=1$

よく知られている群論の結果と結びつけると次のような結果を得る。
系$H,$ $K$

がベキ零でかつ $s_{H,K}=|G|$ であるならば $G$ は可解群である。

が群の構

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5

例: 群指標の場合

を有限群、 $H$ をその部分群とする。 Irr $(H)$ で $H$ の通常既約指標全体の集合を表すものとし、$X=$
Irr $(H)$$G$$\cup$$H\in Sgp(G)$とする。 (以下、 $\mathbb{Z}[Irr(H)]$ に属する指標を表すとき$\chi_{H}$のように所属する部分群を下付きで表すものとする。)$\chi_{H},$$\theta_{K}\in X$

に対し、$\chi_{H}arrow\theta_{K}\Leftrightarrow H>K$

かつ $(\chi_{H}|_{K}, \theta_{K})_{K}\neq 0$

によって矢を定義するとクイバー $Q_{ch}(G)=(Q_{0}, Q_{1}, s, r)$ 但し $Q_{0}=X)$ が定まがと定めることにより $UD$る。 また、で表すことにする。 こ得られる。 このアップダウン代数をここでは簡単にの代数は、「自然な形で」 いろいろな重要な代数 (バーンサイド環等) 及びアップ等) を含む懐の大きな代数である。 そこでこの外形を知ダウン代数 (例えばの構造定数を求めることが重要なることは大きな意味があると考えられ、$($$(Q_{ch}(G), w, \mathbb{Z})$$w(\chi_{H}arrow\theta_{K})=(\chi_{H}|_{K}, \theta_{K})_{K}$$\cup D_{c}(G)$$\cup D_{G}$$\cup D_{c}(G)$

課題と考えられる。
当初この代数の構造定数は、 複雑なものになると考えていたが、 次の結果が示された。

定理$\cup D_{c}(G)$の構造定数はすべて 1 である。

証明のポイントは、 ブラウワーの既約指標の特徴づけ定理を用いて $G$ を基本銑群の場合に帰着することである。問題を考えていた当初、我々は $\cup D_{c}(G)$ の構造定数は当然 1 以外の値もとるものと考えており、ベキ零群でさえそのようになると思っていた。我々にとっては実に驚きの結果であった。

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終わりに

今回部分束等を調べる上で重要と思われるクイバーとそのアツプダウン代数について説明をした。これらは、部分群束、コセット幾何等の研究に重要な役割を果たすであろうと思われる。これらについては、別の機会に紹介したいと思う。

文献[1] N.Iiyori and M.Swabe, Representations of path algebras with apphcations tosubgroup lattices and group characters, preprint.
文責．飯寄信保