数理解析研究所講究録909 巻 1995 年 41-50

41指標と不変固有超関数
三上俊介 (福井医科大学)
AN|駿化 M! 障 wl
Harish-Chandra, 平井ほかにより展開された半単純り -群の指標の理論のうち, 同じ infinitesimal character をもつどのくらいあるか, またある条件をみたす既約指標を具体的に書き表す方法などを $Sp(2, \mathbb{R})$ の場合を主に説明する。
) とし, で $G$ の Lie 環,
を線形実半単純 Lie 群 (具体的に記述するときは $Sp(2,$でその複素化を表す。 $\det(t+1-\mathrm{A}\mathrm{d}(x))=\Sigma D_{i}(X)t^{i}$ $(x\in G)$ とし 恒等的には とな$G$$\mathbb{R})$$\mathrm{g}$$\mathrm{g}_{\text{。}}$

$0$

らない

$D_{i}$のなかで最小の$i$を$\ell$

とおく。

$x\in G$ が $D_{l}(x)\neq 0$ をみたすとき$x$は regularとよび, $G$ の regular な元全体を $G’$ で表す。

1

積分公式
T を $G$ の Cartan 部分群,$\mathrm{t}$をその Lie 環, $T’=G’\cap\tau$ とし,$G_{T^{\prime=}} \bigcup_{\mathit{9}\in G}\mathit{9}T^{J-1}g$

とおく。 $(G, T)$ の Weyl 群を $W(G, T)(=N_{G}(\tau)/T)$ で表し, 写像$\phi:G/T\cross T^{J}arrow G_{T’}$$\phi$を,$(\dot{g}, t)arrow gtg^{-1}(=\dot{g}t)$と定義する。

は $|W(G, \tau)|^{*}$ 対 1 の対応になり, $p\mathit{0}=(\dot{g}_{0,0}t)\in G/T\cross T’$ とすると,$\phi$$|\det(d\emptyset)p0|=|\det(\mathrm{A}\mathrm{d}(t-1)0-1)|\mathfrak{g}/\{|$$C_{\text{。}}(G\tau’)$となる。

ゆえに測度を適当に normalise すれば $f\in$

に対して

.

(1)

$\int_{G_{T’}}.f(x)dx=\frac{1}{|W(G,\tau)|}\int_{T}|\det(\mathrm{A}\mathrm{d}(t^{-1})-1)|9/\{|\int_{G/T}f(^{\dot{g}}t)d\dot{g}dt$いま$(\mathrm{g}C’ \mathrm{t}\text{。})$

に関するルート系をノレ– トベクトル$X_{\alpha}\in \mathrm{g}_{\mathrm{c}}^{\alpha}$$\Sigma=\Sigma(\mathrm{g}_{\text{。}}, \mathrm{t}_{c})$, 正のルートの全体を$\Sigma^{+},$$\alpha\in\Sigma$

に対して

を選び
$\mathrm{A}\mathrm{d}(t)X_{\alpha}=\xi_{\alpha}(t)x_{\alpha}$となるように T 上の character$\xi_{\alpha}$を定義する。

また$\rho=\frac{1}{2}\Sigma_{\alpha\in\Sigma}+\alpha$いう仮定の下で Weyl の denominator を,(2)$\triangle_{\mathrm{e}}(t)=\xi\rho(t)\prod_{\alpha\in\Sigma}(+1-\xi_{\alpha}(t)^{-1})$$*|E|$

は集合 $E$ の元の数である。

$t\in T$とし “acceptable” と42と定義すると,$|\det(\mathrm{A}\mathrm{d}(t^{-1})-1)_{1/}g\mathrm{t}|=|\triangle_{\mathrm{t}}(t)|^{2}$が成り立つ。 $G$ の互いに $G$-共役でない Cartan 部分群の代表系を$G’= \bigcup_{i=1}^{k}GT_{i}$’は測度 だから(disjoint) となり,$\cdots,$$T_{k}$とすると$0$$G\backslash G’$(3)$T_{1},$$\int_{G}f(X)dx=\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{|W(G,T_{i})|}\int\tau_{i}|\triangle_{i}(t)|2\int_{G/}\tau_{i}\dot{g}f(^{\dot{g}}t)ddt$

となる。

2

ただしへ

へである。

$=$

不変固有超関数
を $G$ のヒルベルト空間上の quasi-simple 既約表現とする。 $f\in C_{c}^{\infty}(G)$ に対し,$\pi$

とおくと, $\pi(f)$ は trace class の作用素になる。 そこで $\Theta_{\pi}(f)=$の指標という。 このときは $G$ 上の超関数になる。 これを表現$\pi(f)=\int_{G}f(x)\pi(X)dX$

とおくと,は次の性質を満たす。
$\Theta_{\pi}$$\mathrm{T}\mathrm{r}(\pi(f))$$\Theta_{\pi}$

(4)

$\pi$

,

1)

$\Theta_{\pi}(f)=\Theta_{\pi}(f^{g})$2)$Z\cdot\Theta_{\pi}=\lambda(Z)\Theta\pi$

ここに $f^{g}(x)=f(\mathit{9}^{X}g^{-}1)$$\forall_{g\in G},\forall f\in c^{\infty}C(G)$$\forall_{Z\in 3}$’.

であり, 3 は g。の展開環の中心,$\lambda\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{a}}(3, \mathbb{C})$(infinitesimalcharacter) であるの元を infinitesimalと書き,一般に上の 1), 2) を満たす 上の超関数全体を
character をもつ不変固有超関数という。 これに関し Harish-Chandra は次の基本的結$\text{。}$$G$$\mathfrak{U}(\lambda)$$\mathfrak{U}(\lambda)$$\lambda$

果を示した。

Theorem 1([3])$\Theta\in \mathfrak{U}(\lambda)$とする。 このとき$\Theta$は $G$ 上の局所可積分関数で $G’$ 上実解析的である。

以後,$\Theta$に対応する $G’$ 上の解析的関数を1)’$Z\cdot\Theta’=\lambda(z)\ominus^{J}$$\Theta’$と書く。 (4) の,$\forall_{Z\in 3}$$2)’\Theta’(gxg^{-1})=\Theta’(x)$,$1$), ) より$2$,,$\forall_{x\in G^{J\forall_{g\in}}G}$が成立する。

微分作用素の radial component

3$G$

は $G_{T’}$ 上に conjugation:

であれば,$X\in U(\mathrm{g}_{c})$$G_{T}’,$$\ni x\vdash+gxg^{-1}$で作用する。

$f\in C^{\infty}(G_{T’})$が G-不変に対し $X$ の radial component とよばれる $T’$ 上の微分作用素 $R(X)$が存在する。 すなわち,,$\overline{(Xf\backslash )}=R(X)\tilde{f}$$\tilde{f}=f_{|T}’$.

43$\text{さ^{}\vee}C,$の$\gamma$

Weyl ffl,-不変な元の全体とする。 3 の元の radial component は Harish-Chandra 同型$S(\mathrm{t}_{\text{。}})\text{を}\mathrm{t}_{c}\text{の}$$W(\mathrm{g}_{c}, \mathrm{t}_{\mathrm{c}})$:symmetric algebra,$I(\mathrm{t}_{\mathrm{c}})-\tau S(\mathrm{t}_{c})$$W(\mathrm{g}_{c}, \mathrm{t}_{c})-\tau(\mathrm{g}_{c}, \mathrm{t}_{c})\text{の}$を用いて次のように表せる。

$3arrow I(\mathrm{t}_{C})$

Theorem 2([3])$Z\in 3$に対し,$R(Z)=\triangle^{-}l\mathrm{o}\gamma 1(z)0\triangle_{\mathrm{t}}$となる。

で $\lambda 0\gamma^{-1}(D)=\mu(D)(^{\forall}D\in I(\mathrm{t}_{c}))$の元への翁島同型だから,による orbit を除いて–意的に定まる。
をみたすものが存在し, それらは Weyl 群
ここで Cartan 部分群 $T$ 上の関数をいくつか導入しよう。
$\lambda 0\gamma^{-1}$はから$I(\mathrm{t}_{C})$$\mathbb{C}$$\mathrm{t}_{c}^{*}$$\mu$$W(\mathrm{g}_{c}, \mathrm{t}_{c})$,(5)$\epsilon_{\mathrm{t},R}(t)=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\{\prod_{\Sigma\alpha_{\Gamma \mathrm{e}}\in}1^{+}(1-\xi_{\alpha}(t)-1)\}$$\tilde{\kappa}_{\{}(t)=\triangle \mathrm{t}(t)\Theta^{J}(t)$,$\kappa_{\{}(t)=\epsilon_{\mathrm{t}},\mathrm{B}(t)\tilde{\kappa}_{\iota}(t)$(註:$\triangle,$$\epsilon,\tilde{\kappa},$$\kappa$の下添え字$\mathrm{t}$.

は混乱が生じないときは省略する。)

このとき次の命題が成り立つ。

Proposition 3 ([6])

ここに$\epsilon$$\tilde{\kappa}$

およびは次の性質をみたす。

$\kappa$,

1)$D\tilde{\kappa}_{\mathrm{t}}=\mu(D)\tilde{\kappa}_{\mathrm{t}}$2)$\tilde{\kappa}_{\mathrm{t}}(^{w}t)=\epsilon(w)\tilde{\kappa}_{\mathrm{t}}(t)$3)$\Theta(f)=\sum_{i=1}^{k}$ci$\int T_{?}$,$\kappa_{\mathrm{t}}(^{w}t)=\epsilon(w, t)\kappa_{\mathrm{t}}(t)$)$I^{\nearrow}\mathrm{t}(ift)\kappa i(tdt$はそれぞれ $\triangle(^{w}t)=\epsilon(w)\triangle(t),$関数であり,$K_{f}^{i}(t)$$\forall_{D\in}I(\mathrm{t}_{c})$$\kappa_{\mathrm{t}}=\mu(D)\kappa_{\mathrm{t}}$,,$\forall_{w}\in W(G, T)$,.

$(\epsilon_{R}\cdot\triangle)(^{w}t)=\epsilon(w, t)(\epsilon_{R}\cdot\triangle)(t)$により定まる符号

は軌道積分を用いて$K_{f}^{i}(t)= \epsilon_{i,\mathrm{B}}(t)\overline{\triangle_{i}(t)}\int G/T_{i}f(\dot{g}t)d\dot{g}$と定義される$T_{i}$

上の関数である。

1) については, Theorem 2 より$(Z\cdot\Theta’)_{1}\tau’=R(z)\Theta|T’=\triangle^{-1}0\gamma(z)\circ\triangle\Theta_{|\tau}’\lambda(’=Z)\Theta_{T}’$が成り立つので$\gamma(Z)\tilde{\kappa}=\lambda(z)\tilde{\kappa}$,が導ける。 $\gamma(Z)=D$ とおけば 1) を得る。

2) は $0’$ の不変性より直ちにわかる。
の不変性より導ける。
3) は積分公式 (3) および$\Theta’$

さて $T’(R\mathrm{I}=$ { $t\in T;\xi_{\alpha}(t)\neq 1$

Proposition 4 ([6])$\kappa_{\mathrm{t}},\tilde{\kappa}_{\mathrm{t}}$$\forall$real root$\alpha$of$(\mathrm{g}_{\text{。}},$$\mathrm{t}_{C})$

} とおく

$0$

はいずれも $T’(R)$ 上の解析的関数に拡張できる。

は T 上の連続関数に拡張できる。

さらに$\kappa_{\mathrm{t}}$44$T’(R)$の連結成分を $F$ とし, $a_{0}\exp H\in F(H\in \mathrm{t})$ とする。 Proposition 3 の 1) および

Proposition 4 A$\text{り}$(6)$\tilde{\kappa}_{\mathrm{t}}(a_{0\mathrm{e}\mathrm{x}}\mathrm{p}H)=\sum p_{w}w\in W(a_{0}, H)\exp(w\mu(H))$

ここに $p_{w}(a_{0}, H)$ は$H\in \mathrm{t}$が定数であるとき (例:$\mu$上の多項式であり$W=W(\mathrm{g}_{\text{。}’ C}\mathrm{t})$が regular なときなど),$\Theta$である。

特にすべての$p_{w}$

を定数係数の不変固有超関数とよぶ。

Theorem 5 $([1],[10])$ 1) 既約指標は定数係数の不変固有超関数である。
2) 定数係数の不変固有超関数は既約指標の 1 次結合で表せる。
以後は $Sp(2, \mathbb{R})$ の定数係数の不変固有超関数について考察する。

4$Sp(2, \mathbb{R})$の Cartan 部分群と離散系列表現$G=Sp(2, \mathbb{R})=\{g\in SL(4, \mathbb{R});{}^{t}gJg=J\}$$2\cross 2$の単位行列を表す。

$Sp(2, \mathbb{R})$

の

とする。

Cartan 部分群と$J=$
Cartanで 12 は部分環の代表系として次

ここに,のように選ぶ。

$T_{20}=(\},$ $\mathrm{t}_{20}=\{H=\}$$T_{10}=\{\}$,$\mathrm{t}_{10}=(H=\}$ ,$T_{01}=\{\}$
坊1,$=\{H=\}$

,

,

45

$T_{00}=\{\}$ ,($\mathrm{c}_{1}’=\epsilon_{2}=\pm 1$

各 $T$ に対しであり, その他の変数は実数の値をとる。 )$x_{1},$$x_{2}$(7)を次のように定める。

:$T_{20}$$=\sqrt{-1}\phi_{1}$$x_{1}$$\{$:$T_{01}$$=\tau+\sqrt{-1}\theta$$x_{1}$

character$\lambda$

$\mu$

であるとき

$x_{2}$$=\sqrt{-1}\phi_{2}$$x_{1}$$=t_{1}$$x_{2}$$=t_{2}$と書き表す。

$\mu-=(\ell_{1}, \ell_{2})$ではすべての Cartan 部分環秘に対し, 同じ

とおくと,$e_{1}=(1,0),$ $e_{2}=(0,1)$$=t_{1}$$\{$$=\tau-\sqrt{-1}\theta$$\mu(H)=\sum_{=\ovalbox{\tt\small REJECT} 1}^{2}\ell_{i}X_{i}$

に対応する

:

$T_{00}$$\{$$x_{1}$$\{$$=\sqrt{-1}\phi_{2}$$x_{2}$

が:$T_{10}$$x_{2}$$\mu\in \mathrm{t}^{*}(=\mathrm{t}ij*)$$\mathrm{t}_{00}=\{H=\}$ .

$(\mathrm{g}_{\text{。}}, \mathrm{t}_{c})$のノレ一$\text{ト}$系$\Sigma$

同じ infinitesimal$\ell_{1},$$\ell_{2}$で表せる。

は $\Sigma=\{\pm 2e_{i}(i=1,2), \pm e_{1}\pm e_{2}\}$となる。 そして $rightarrow=\nabla+\{2e_{i}(i=1,2), e_{1}\pm e_{2}\}$ と定めておく。 また, $W(G, T_{20})\cong\{1, s_{\alpha}\}\subseteq$$W(\mathrm{g}_{c}, \mathrm{t}_{c})$$W(\mathrm{g}_{c}, \mathrm{t}_{c})$と同–視できる。
の $W(G, T_{20})$による左程余類の代表系を $\omega_{1}=1,$

が regular integral のとき(8)

ここに $\alpha=e_{1}-e_{2}$ であり,$H\in \mathrm{t}_{20}$$s_{\alpha}$$\omega_{2},$は$\omega_{3},$$\alpha$$\omega_{4}$に関する鏡映である。
とすれば,$\mu=(\ell_{1}, \ell_{2})$に対し$\tilde{\kappa}_{20}(\exp H)=\sum_{i=1}^{4}\{\exp(\omega_{i}\mu(H)-\exp(s\omega_{i}\alpha\mu(H)\}$$= \sum_{\nu_{i}=\pm 1}C_{\iota}\text{ノ}1\nu_{2}$と表せる。 ただし,$\delta_{i}=e^{x_{i}}$Theorem 6([4])$l_{1}>\ell_{2}>0$$(i=1,2)$ である。

散系列表現 (2 乗可積分表現)(9)なる整数とし,$\pi_{\lambda_{:^{\nu_{1}}},\nu_{2}}$$l\ovalbox{\tt\small REJECT}_{i}.=\pm 1$

で, その指標とする。 このとき, $Sp(2, \mathbb{R})$ の離$\Theta_{\lambda,\nu_{1},\nu_{2}}$が T2。上$\tilde{\kappa}_{20}(\exp H)=\triangle\cdot\Theta’\lambda,\nu_{1,2}\nu(\exp H)=-\iota \text{ノ}1^{l^{\text{ノ}}}2$となるものが存在する。
ノ(註

$\nu_{1}=I\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2}=1$のときが holomorphic な離散系列になる。 )46

隣接する Cartan 部分的上での境界条件

5

Cartan 部分群$\mathrm{b}=\mathrm{g}\cap\iota^{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\alpha}}(\alpha C)$

通部分

$A$

と $B$ について$(\mathrm{g}, a)$real rootの$\alpha$に関する Cayley 変換となっている場合を考える。 $A’(R),$ $B’(R)$ の連結成分
が $G$ の semi-regular な元を含むように選ぶ。

$\overline{F}_{A}\cap\overline{F}_{B}$$F_{A},$$F_{B}$$\iota\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\alpha}$

によりをその閉包の共$\Sigma^{+}(\mathrm{g}_{\text{。}’\text{。}}\mathrm{b})=l\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\alpha}(\Sigma^{+}(\mathrm{g}\text{。}’ a_{\mathrm{C}}))$となるように正のノレ一$\text{ト}$このとき semi-regular なを定めておく。

$t_{0}\in\overline{F}_{A}\cap\overline{F}_{B}$に関し

次の境界条件が成り立つ。

(10)$\frac{d\tilde{\kappa}_{\alpha}}{dt}(t_{0^{\mathrm{e}\mathrm{x}}}\mathrm{p}tH)\alpha|t=0=\frac{1}{\sqrt{-1}}\frac{d\tilde{\kappa}_{\mathrm{b}}}{dt}(t_{0}\exp t\sqrt{-1}H_{\beta})|t=^{0}$

ここに$\beta$は$\beta(X)=\alpha(l_{\alpha}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}-.

となる

1(x))$

によりそれぞれのルートに対応する $a,$との場合値を考える。

$\sqrt{-1}\mathrm{b}$$Sp(2, \mathbb{R})$$T_{20}$は Killing formのルートであり,からの極限の元である。 ただし, 左辺はと Too の間で上のと Too, T2。と
$H_{\alpha},$$(\mathrm{g}_{c}, \mathrm{b}_{\text{。}})$$\tau_{10},$$H_{\beta}$$F_{A}$$T_{01},$$\tau_{10}$$T_{\mathit{0}1}$

境界条件が成り立つことになる。

不変固有超関数の height6

一般の半単純 Lie 群 $G$ に関し, その Cartan 部分局 $A$ と $G$-共役なもの全体を $[A]$ で表となるとき $[A]<[B]$
す。 $[A]$ . と $[B]$ について適当な $g\in G$ によりと書く。 この関係 $<$ を推移的に延長して $G$ の Cartan 部分群の共役類全体 Car $(G)$ 上におよび [Too] $<[T_{01}]<[T_{2}\mathrm{o}]$の場合 [Too]
順序関係が導入される。
$\mathrm{b}=\mathrm{A}\mathrm{d}(g)\{\mathrm{g}\cap\iota\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\alpha}(\alpha c)\}$$Sp(2, \mathbb{R})$である。 $G$ 上の不変固有超関数$\Theta$Supp(O)$<[T_{1}\mathrm{o}]<[T_{2}\mathrm{o}]$に対して$=\{[T]\in \mathrm{c}_{\mathrm{a}}^{1}1(G);\Theta_{1}’\tau’\neq 0\}$,とおき, Supp(O) の中で maximal なものを $0$ の height と呼ぶ。 そして height がただ 1
つの Car(G) の元からなるとき $0$ は extremal という。

Theorem 7([6])

$[T]$

を

$\Theta$の height

とする。

このとき

$\kappa_{\mathrm{t}}$は $T$ 上解析的である。

いま

(11)

$\mathfrak{B}(T, \mu)=\{f\in C^{\infty}(T);2)1)$$\backslash D.\mathrm{f}=f(^{w}t)=\epsilon\mu(D).’\forall_{D}\in(w_{\mathrm{f}()}t)f(t)\forall wI\{_{C}\in W(G, T)\}$と書ける。
とおくと, Theorem 7 はり立つことも平井により示されている。
$\kappa_{\mathrm{t}}\in \mathfrak{B}(T, \mu)$Theorem 8([7])
るとする。

Harish-Chandra 同型により$\mathfrak{B}(T, \mu)\ni\varphi\neq 0$$\mathfrak{B}(T, \mu)\neq\{0\}$が$\mu\in \mathrm{t}^{*}$のとき, この定理の逆が成$\lambda\in \mathrm{H}_{\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{a}\mathrm{l}}}(\mathrm{g}3, \mathbb{C})$に対し, 次の条件をみたす extremal な

1)
2)$\Theta$の height $=\{[T]\}$ ,$\epsilon_{\iota,R}\cdot\triangle_{\mathrm{t}}\cdot\Theta_{|T}’’=\varphi$.

$\Theta\in \mathfrak{U}(\lambda)$に対応していが存在する。

47

この標準的な不変固有超関数の構成法から–次独立性が示せて(12)$\dim \mathfrak{U}(\lambda)=\sum_{[\tau \mathrm{J}}\mathrm{d}\mathrm{i}\ln \mathfrak{B}(\tau, \mu)$であることがわかる。 $G=Sp(2, \mathbb{R})$ で i 浦 nitesimal character

integral で $\ell_{1}>\ell_{2}>0$ のとき, 各所に対応する$\lambda$$\mu=(\ell_{1}, \ell_{2})$の次元は次のように計算できる。 各$(T_{ij,\mu})$が$\mathrm{t}=\mathrm{t}_{ij}$に対し $W=W(\mathrm{g}_{c}, \{_{c})$ とすると, まず $\dim \mathfrak{B}(T20, \mu)=|(W/W(G, \tau 20))|=4$ であるこ

次に $W(G, T\mathit{0}1)\cong\{1, s_{e_{1}-e}ss-e_{2}s\}2’ e_{1}+e2’ \mathrm{e}1e1+e2$ だから,とがわかる。

を得る。

$|(W/W(G, T_{\mathit{0}1}))|=2$$T_{10}$$\mathrm{d}\mathrm{i}\ln \mathfrak{B}(\tau_{\mathit{0}1}, \mu)=$, Too の連結成分を次のように与える。

$T_{10}^{0}=\{t\in T_{10};\epsilon_{1}=1\}$,$T_{10}^{1}=\{t\in T_{10};\epsilon_{1}=-1\}$$T_{00}^{0}=\{t\in T_{00};\epsilon_{1}=\epsilon_{2}=1\}$,,$T_{00}^{1}=\{t\in T_{00}; \epsilon_{1}=-\epsilon_{2}=1\}$,$\tau_{00}^{2}=\{t\in T_{00};\epsilon_{1}=\epsilon_{2}=-1\}$

一般に $G$ の部分集合 $F$ に対して $W(G, F)$ を $gFg^{-1}\subseteq F$ をみたす $g\in G$ により引きおこされる $F$ の変換全体と定義する。

(13)$T_{ij}^{k}$に関し$\mathfrak{B}(T_{ij}^{k}, \mu)=\{f\in C^{\infty}(T_{ij}^{k});2)1)$

とおく。 $\dim \mathfrak{B}(T_{ij}, \mu)=\Sigma.$ diln$.D.t=\mathrm{f}(^{w}t)=\epsilon\mu(D(w_{\mathrm{f}\in I}).’t).f(t)\forall_{w}W\forall_{D}((\mathrm{t}_{i}\in j)\grave{\mathrm{C}})(G, T^{k})ij\}$

であり, $|(W/W(G, T^{k})ij)|=\dim \mathfrak{B}(\tau^{k}ij’\mu)$ なので$\mathfrak{B}(T^{k},)ij\mu$

$k$

(14)

$\mathfrak{B}(T_{10,\mu})=4+4=8$

となる。

,

$\mathfrak{B}(T_{00}, \mu)=1+2+1=4$ゆえに同じ infinitesimal character$\lambda$

(対応する

$\mu$

は

$(\ell_{1},$$\ell_{2})$)をもつ既約指標は 18 個あることがわかる。

7

緩増加な指標$\mathrm{G}(G)$で $G$ 上の急減少関数の全体とし, $G$ 上の不変固有超関数 $0$ がきるとき$\Theta$は緩増加は超関数という。

特に$\lambda$$\mathrm{G}(G)$’ の元に拡張でが regular なときは$| \Theta’(x)||D_{\ell}(X)|\frac{1}{2}<\infty$$\sup_{x^{\backslash }\in G},$が成り立つことと同値である。
号を用意する。
$k\exp X$$I\mathrm{i}^{\Gamma}$を$G$$(k\in K, X\in \mathfrak{p})$緩増加の条件を Cartan 部分群上で記述するために記の極大コンパクト部分群,とする。 $B$ を$\mathrm{g}$$\mathrm{g}=\not\in+\mathfrak{p}$の Killing form

を Cartan 分解, $G\ni g=$とし, $\sigma(g)=B(X, X)^{\frac{1}{2}}$ と定義する。 さて,

(15)

(16)
とおく。

$\tilde{\mathfrak{U}}(\lambda)=${$\Theta\in \mathfrak{U}(\lambda)$;$\Theta$は緩増加である},. $\geq 0 \sup_{t\in T}, |1+\sigma(t)|^{-S}|.\mathrm{f}(t)|<\infty\}$ ,$\overline{\mathfrak{B}}(T, \mu)=\{f\in \mathfrak{B}(T, \mu); \exists_{S}$緩増加の場合にも平井により次の結果が得られている。

48

がHarish-Chandra 同型によりが regular でと仮定する。 このとき,るとする。
がただ 1 つ存在する。
して次の条件をみたす extremal な

Theorem 9([7])$\mu\in \mathrm{t}^{*}$$\lambda\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{a}}(3, \mathbb{C})$$\mu\in \mathrm{t}^{*}$$\overline{\mathfrak{B}}(T, \mu)\neq\{0\}$に対応してい$\varphi\in \mathfrak{B}(T, \mu)$に対$\Theta\in\tilde{\mathfrak{U}}(\lambda)$1)
2)

O の height $=\{[T]\}$ ,.

$\epsilon_{\mathrm{t}.R}\cdot\triangle_{\mathrm{t}}\cdot\Theta_{|\tau}\prime\prime=\varphi$

このことは $0$ の height 上での値がわかると境界条件と緩増加の条件よりすべての Cartan

regularity の条件はもう少しゆるめることができる。)
従って離散系列表現 (Theorem 6) の指標の形をすべての Cartan部分群上で順次決定できる。 具体的には 4 章で記述した に対し次の形をしている。 ([8])
部分群上でのの形が決定されることを意味する。

$\Theta$$(’\mu$の$t$$T_{20}$:$\triangle\cdot\Theta_{\lambda,\nu_{1},\nu_{2}}=\tilde{\kappa}_{20}(t)=-$$(\delta_{i}=e^{x_{i}})$$T_{10}$:$\triangle\cdot\Theta_{\lambda,\nu_{1},\nu_{2}}=\tilde{\kappa}_{10}(t)=-$$(\delta_{1}=\epsilon_{1}e^{\tau}.1, \delta_{2}=e^{x2}, t_{1}>0)$$T_{01}$:$\triangle\cdot\Theta_{\lambda,\nu_{1},\nu_{2}}=\tilde{\kappa}_{01}(t)=-$$T_{00}$:$\triangle\cdot\Theta_{\lambda,\nu\nu_{2}}1\cdot=\tilde{\kappa}_{00}(t)=-$($t\in$$T_{00}^{0}$

$=-$
例として

$\tilde{\kappa}_{10}$または$(\delta_{i}=e^{x}, \tau>i0)$$T_{00}^{2},$$\delta_{i}=\epsilon_{i}e^{x_{i}},$$t_{1}>t_{2}>0$$(t\in T_{00}^{1}, \delta_{i}=\epsilon_{i}e^{x_{i}}, t_{1}>0, t_{2}>0)$の場合を考える。 $t=\exp X\in T_{10}^{0}$$(t_{1}>0)$とし,$W=W(\mathrm{g}_{\text{。}}, (\mathrm{t}_{10})_{c})$

おく。

(17)

$\tilde{\kappa}_{10}(t)=\sum_{Ww\in}be^{w}w\mu(x)$に対し $W(G, \tau_{1}0)$ に関する不変性, および緩増加の条件より(18)$\tilde{\kappa}_{10}(t)=b_{0^{\exp}}(-\ell_{1}x1+\ell_{2^{X}2})+b_{1}\exp(-P1^{X}1-\ell_{2^{X}2}\mathrm{I}$$+b_{2}\exp(-\parallel_{2}X_{1}+\ell_{1^{X_{2}}})+b_{3}\exp(-\ell_{2^{X_{1^{-}}}}\ell 1X2)$$=b_{0}\delta_{12}^{-^{pl}}1\delta 2+b_{1}\delta^{-l}1\delta_{2}-l_{2}+1\delta^{-}b_{212}l2\delta l_{1}+b_{3}\delta_{1}^{-l}2\delta_{2}-\ell 1$

ここで Tl。と$T_{20}$で境界条件を適用する。

)$\alpha=2_{C_{1}},$$\beta=\nu_{\alpha}(\alpha)$

.

とする。

(19)

$\frac{d\tilde{\kappa}_{10}}{dt}(t_{0}\exp tH_{\alpha})|t=0=-b_{0}\ell_{1}\delta^{l_{2}}2-b_{112}\ell\delta^{-l_{2}}-b_{2}\ell_{2}\delta_{2}\ell_{1}-b_{322}\ell\delta^{-l_{1}}$(20)$\frac{1}{\sqrt{-1}}\frac{d\tilde{\kappa}_{20}}{dt}(t_{0}\exp t\sqrt{-1}H\beta)_{|t0}==-\nu_{2}\ell_{1}\delta_{2}\nu 2l2+\nu_{1}\ell_{2}\delta_{2}\nu 1l1$と49

ここに, t。は次の形の semi-regular な元である。

$t_{0}=$$\varphi_{2}$.

は任意 $(\neq\pm n\pi, (n=0,1,2, \cdots))$ だから係数$b_{i}$

が定まり,$T_{10}^{0}$上で$\tilde{\kappa}_{10}(t)=\nu_{2}\delta_{1}^{-}l1\delta_{2}\nu_{2}l_{2}-\nu_{112}\delta^{-}p_{2}\delta^{\nu}1p_{1}$

$=-$
が導ける。

8

他の場合も 1 つもしくは 2 つの境界条件を用いることにより結果を得る。

regular な緩増加既約表現の構成法

Cartan involution を とし, -不変な Cartan 部分四 $T=(T\cap K)A$ に対し, の における centralizer を $MA$ とし P=MAN を(極小放物型部分群) を含む cuspidal 放物$T\capK$$M$の compact Cartan 部分群となる。
型部分群とする。 このときはを $M$ の$\theta$$A$$\theta$$G$$P_{0}$$\sigma$

離散系列の表現,$e^{\nu}$

を $A$ ユニタリな–次元表現として, $P$ から誘導表現$\pi_{P,\sigma,\nu}=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{M}^{c_{AN}}(\sigma\otimes e^{\nu}\otimes 1)$を考える。 $Sp(2, \mathbb{R})$ の場合, 各 $T$ に対応する $M$ は次のとおりである。
$\tau_{00:}$$M=\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \epsilon_{1,2}\epsilon); \epsilon_{i}=\pm 1\}$

$T_{10}$:$M=SL(2, \mathbb{R})\cross\{\pm 1\}$

$T_{01}$:$M=SL^{\pm}(2, \mathbb{R})$の場合は主系列ユニタリ表現であり, 他の $M$ の離散系列の表現は既知である。 さらに
誘導表現の指標は のそれ, およびを用いて表すことができる。 infinitesimal characterが regular な, height が以外の extremal な緩増加既約指標にはこれらの表現が対応し,$T_{00}$$e^{\nu}$$\sigma$$T_{20}$前章の定理によってもあるいは誘導指標を求める方法でも緩増加既約指標の計算ができる。

のsingular な場合には tra-nslation principle を用いるなど工夫を要するし, 表現も(sub)quotient まで考える必要がある。 緩増加でない場合には, 境界条件 (10) だけでは不$\pi_{P,\sigma,\nu}$

変固有超関数は–意的には定まらない。
るが, regular のときでも合とは様相を異にする。

$\pi_{P.\sigma,\nu}$

誘導指標は緩増加の場合と同じように計算できの (sub)quotient を調べなければならないなど, 緩増加の場

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参考文献
[1] Formin,A.I. and Shapovalov,N.N.,A property of the characters of semisimple Liegroups, Functional Anal. Appl.,8 (1974), 270-271[2] Harish-Chandra, The characters of semisimple Lie groups, Trans. Amer. Math. Soc.,
83 (1956), 98-163[3] Harish-Chandra, Invariant eigendistributions on aMath. Soc., 119 (1965) 457-508$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{i}_{\mathrm{S}}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{P}\mathrm{l}\mathrm{e}$Lie group, Tran. Amer.

[4] Harish-Chandra, Discrete series for semisimple Lie groups II, Acta Math., 116 (1966)

1-111[5] Hirai,T., The characters of some induced representations of semisimple Lie groups,
J.Math.Kyoto Univ., 12 (1972) 393-411[6] Hirai,T., Invariant eigendistributions of Laplace operators on real semisimple Liegroups II, General theory for semisimple Lie groups, Japan. J. Math., 2 (1976) 27-89[7] Hirai,T., Invariant eigendistributions of Laplace operators on realLiegroups III, Method of construction for
Lie groups, Japan. J. Math., 2(1976) 269-341$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{i}_{\mathrm{S}}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{P}\mathrm{l}\mathrm{e}$$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{i}_{\mathrm{S}}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{P}\mathrm{l}\mathrm{e}$[8] Hirai,T., Invariant eigendistributions of Laplace operators on re semisimple Liegroups IV, Explicit forms of the characters of discrete series representations for, Japan. J. Math., 3 (1977) 1-48
$a1$

$Sp(n, \mathbb{R})$[9] Mikami,S., On the character identities forand the lifting of stable tempered
invariant eigendistributions, Japan. J. Math., 11 (1985) 361-385$Sp(n, \mathbb{R})$[10] Nishiyama,K., Virtual characters and constant coefficient invariant eigendistributions
on a semisimple Lie group, Japan. J. Math., 12 (1986) 75-94[11] Zuckerman,G., Tensor product of finite and infinite dimensional representations ofsemisimple Lie groups, Ann. of Math., 106 (1977) 295-308