1

1

躍動する量子力学

21 世紀の今日，携帯電話，LED 電球，レーザー，MRI など，量子力学を応用した電子・光・医療デバイスが日常生活のいたるところに浸透している．この章では，量子力学を本格的に学ぶ前に，量子力学の誕生からその後の発展，そして今日の我々の生活の中で活躍する身近な量子力学の応用について簡潔に述べる．

1.1

なぜ量子力学を学ぶのか？

�量子力学�という物理学の分野の芽が出始めたのは，19 世紀の終わりから 20 世紀の始まりの頃，我が国では明治時代である．それまでの物理学は，
ニュートンの力学とファラデー，マクスウェルの電磁気学を柱とする古典物理学が中心であり，物理学者たちの旺盛な好奇心で，地上と天体の諸現象を含む自然現象の不可思議さはすべて古典物理学で解き明かされそうな状況であった．
しかし，19 世紀の終わりになって，新しい物理学が誕生するのではないかとの息吹の中で物理学者たちの好奇心は，鉄鉱石から鉄をつくる高温の炉，
すなわち，溶鉱炉の中の光の強度が波長にどのように依存するか (スペクトル分布とよぶ) に向けられた．この実験結果を説明するために，いろいろな考え方が提案されたが，1900 年 (明治 33 年) にマックス・プランク (Max
Planck) は，これらの提案された考え方を俯瞰的に眺め，1 つの定数 (プランク定数 h) を導入して，全波長領域で実測のスペクトル曲線を正確に再現す1．躍動する量子力学

2

る公式を導いた．
このプランクの輻射公式は，当初は単なる内挿公式であったが，プランクは後に，「炉の中の振動数 ν をもつ電磁波のエネルギーは，hν の整数倍という離散的な値しかとることができない」という仮説から，この公式が導かれることを示した．こうして，当時の古典物理学では考えられない画期的な結論を得て，エネルギー量子の存在を発見し，量子力学という学問体系への扉を開いた．
アルバート・アインシュタイン (Albert Einstein) は電磁波のエネルギーがとびとびの値をとるというプランクの発想をさらに発展させ，光量子説を立てて光電効果の謎を解き明かした (1905 年)．1913 年には，ニールス・ボー
ア (Niels Bohr) が，(1) 原子はとびとびの値のエネルギーの状態のみをもつ．
(2) 原子が光を放出・吸収するのは，それらの状態のうち，2 つの状態間を遷移するときである．
などからなる量子仮説を立てて，原子の輝線スペクトルの謎を解き明かした．
その後，ルィ・ド・ブロイ (Louis de Broglie)，ウェルナー・ハイゼンベルク(Werner Heisenberg)，アーウィン・シュレーディンガー (Erwin Schrödinger)，ポール・ディラック (Paul Dirac) など，当時の新進気鋭の物理学者の活躍により古典物理学とは全く異なる量子力学が誕生したのは，1926 年の頃である (図 1.1)．

古典物理学の限界と新しい量子力学

量子力学に基づいた量子力学に基づいた物理学の模索の誕生

近代物理学の発展

ナノサイエンス・テクノロジー

1900 年

1925 年
図 1.1

1950 年

1975 年

量子力学の誕生から今日まで

2000 年

現在

1．躍動する量子力学

4となっている．テレビゲームで遊んだり，リモコンでテレビのチャンネルを変えたり，DVD やブルーレイディスクで映画を鑑賞したり，日常のあらゆる場面で量子力学の恩恵を受けている．さらに，近い将来には，毎日食する
お米や野菜も量子力学の恩恵を受けて食卓に上がってくると聞かされると，
読者はビックリすることであろう．
また，人間の健康を管理するのに，物理学の原理を用いてつくられた医療機器，磁気共鳴画像装置 (MRI) や陽電子放出断層装置 (PET-CT) などが大変活躍をしている．
このことからも，これから人類の生活をより豊かに，より幸せにするためには，量子力学の基礎をしっかりと学び，量子力学を我々の生活に応用していくことが必要であろう．本書の意図は，まさにその点にある．

1.2

日常生活で量子力学が演じる役割

20 世紀は，量子力学の世紀，トランジスタの世紀といわれたが，21 世紀では否応なしに日常生活に量子力学が浸透し，物理，化学，生物学，医学などが融合した世紀になるように思われる．この節では，次章以降，量子力学を本格的に学ぶ前に読者の好奇心を刺激するため，日頃我々がいかに量子力学の恩恵を受けているかの例を，前節で述べた白色 LED 電球の例に続けて，
�光�をキーワードにいくつか述べておこう．
赤外線発光ダイオード
図 1.3 にあるように，テレビやエアコンなどのリモコンの先端には，半球状の透明な突起がある (図 1.3 (b))．この突起が，発光ダイオード (Light
Emitting Diode，LED と略す) とよばれるものである．目に見えない赤外線を発するので，赤外線発光ダイオードとよばれる．赤外線を介してリモコンとテレビ本体との間で情報のやり取りを行なうので，わざわざテレビのもと

8

量子力学の起源

2

19 世紀の終わり頃，物理学の研究対象が�光と物質の相互作用�や�物
質のミクロな構造�に向けられはじめると，それまで信じられていたニュートンの力学やマクスウェルの電磁気学では説明困難な物理現象が次々に発見されはじめた．この章では，それらの物理現象のうち，(1) 空洞輻射のエネルギー密度のスペクトル，(2) 光電効果，(3) 原子の輝線スペ
クトルを紹介する．
この章の内容は最終的な結論も重要であるが，それに加えて，先人たちが難問を解決するために常識を放棄し，試行錯誤の末に�量子�という全く新しい自然の姿を発見するに至ったその道のりに知的冒険としての価値
がある．

2.1
2.1.1

空洞輻射とエネルギー量子の発見

空洞輻射の実験19 世紀後半のヨーロッパ，とりわけドイツでは鉄鋼業が盛んになっており，良質の鉄を精錬するために溶鉱炉の温度を正確に調節する必要があった．
その当時には鉄が溶けるような高い温度を測れる温度計が存在しなかったた
め，職人が小さな窓から炉内を覗き，炉から発する光の色を見て炉内のおおよその温度を判断していた．しかし，これでは正確な温度を知ることはできないため，職人の経験と勘に頼ることのない科学的な温度測定方法の確立が望まれていた．
こうして 19 世紀末に物理学者たちは，溶鉱炉に対応する実験室での装置

（a）

空洞輻射とエネルギー量子の発見

真空91919 K

温度T

（b）

光

赤外領域

u（ν,T）

2.1

1722 K

紫外領域

1532 K

0

1.0

2.0
3.0
ν
（×104 s−1）

図 2.1 (a) 空洞輻射の模式図(b) 空洞スペクトルの実験結果として，温度 T に熱した物体 (例えば鉄の塊) を考えた．その中に空洞をつくれば，空洞の温度は T で，その中は，物体から放出された電磁波 (光) で満たされることになる (図 2.1 (a))．このような放射を空洞輻射とよぶ．
ある温度 T において空洞内にはどのような振動数 ν の光が存在して，そのエネルギー密度 (輻射の強さとよぶ) が ν の関数としてどのような分布(空洞スペクトルとよぶ) を示すかを測定したところ，図 2.1 (b) のような結果が得られた．縦軸の u(ν, T) は空洞の壁からの輻射の強さで，横軸の ν は振動数である．ウィーン (Wilhelm Wien) は，図 2.1 (b) の実験結果を見て，物体の温度が高くなれば，放射される光の振動数のピークは高い方にシフトすること，
すなわち波長は温度とともに短くなることに強い好奇心をもった．
物体の温度と光の振動数 (色) との関係は，日常生活の中でも実感することができる．例えば，白熱電球を見ると，温度が低いとき，波長 600 nm あた
りの黄色のような光になり，さらに温度が低いと赤く見えるようになる(〜 波長 700 nm)．

2.1.2

ウィーンの変位則と輻射公式

図 2.1 (b) からわかるように，電磁波のエネルギー密度 u(ν, T) は，ある

2.1

空洞輻射とエネルギー量子の発見

17輻射の強さ u（ν，T）

1646 K

1449 K
図 2.5 空洞スペクトルの実
験データとプランクの輻射
公 式 の 比 較．黒 丸 は 実 験
データ，実線はプランクの輻射公式による計算結果．

1259 K
904 K
1.0

2.0

3.0
4.0
5.0
波長λ
（＝c /ν）［μm］

である．
プランクの輻射公式と空洞スペクトルの実験データとの比較が図 2.5 であるが，あらゆる波長領域でプランクの輻射公式 (実線) が実験データ (黒丸)と一致していることがわかる．
例題 2.1(�)

プランクの輻射公式の低い振動数極限と高い振動数極限hν ≪ BT を満たす低振動数領域において，プランクの輻射公

式がレイリー - ジーンズの輻射公式と一致することを示せ．
(�)hν ≫ BT を満たす高振動数領域において，プランクの輻射公

式がウィーンの輻射公式と一致することを示せ．
［解］ (�)hν／ BT ≪ 1 であるから，eu(ν, T) dν =h／BT→ 1 + hν／ BT を用いて

8π
1
8πh
3
2
ν dν → 3 BTν dν
3h／ Tcc e B −1となって，レイリー - ジーンズの輻射公式と一致する．
(�)hν／ BT ≫ 1 であるから，eu(ν, T) dν =h／BT≫ 1 を用いて8πh h／BT 3
1
8πh3
ν dν → 3 eν dν
3h／ Tcc e B −1となって，ウィーンの輻射公式と一致する．

2．量子力学の起源

18

2.1.5

プランクのエネルギー量子仮説

1900 年 10 月の発表時点では，プランクの輻射公式は (プランク自身が述べているように) 幸運にも見つけた内挿式にすぎなかった．つまり，プラン
クの輻射公式は空洞輻射の実験データと一致するものの，その物理的な意味や導出方法は全く不明であった．しかし，プランクはこの問題に自ら取り組
み，わずか 2ヵ月後の 1900 年 12 月にその成果を発表した．
プランクの空洞輻射の理論では，まず，エネルギー量子という古典物理学とは全く異なる自然観を含む概念を導入する．
プランクの量子仮説
空洞内に存在する振動数 ν の電磁波のエネルギーは，連続的な値をとることができず，エネルギー量子 hν を単位として
εn = nhν(n = 0, 1, 2, …, ∞)の離散値で与えられる．これをエネルギーの量子化とよぶ．
すなわち，プランクの量子仮説では，すべての物体がそれ以上分割することのできない粒子から構成されているように，エネルギーも連続的な量ではなく，それ以上に分割できない素量 (エネルギー量子) hν からできているというわけである．
それでは，プランクの量子仮説に基づいて (2.14) 式のプランクの輻射公
式を導いてみよう．ボルツマンの統計力学によると，温度 T の熱平衡状態にある空洞内の光がエネルギー εn = nhν をとる確率 Pn(T) はPn(T) =

n／BTe∞∑ e

m／BT

(2.16)m0で与えられる．この確率分布を用いて，振動数 ν の光の平均エネルギー〈ε〉を計算すると，

33

シュレーディンガーの波動力学

3

この章では，まず最初に，電子に対する�粒子と波の二重性�に関する
ド・ブロイの理論について述べ，電子の波動的側面を表すド・ブロイ波の概念を導入する．次に，ド・ブロイ波の波動量 (波動関数) が従う波動方程式 (シュレーディンガー方程式) について，また，波動関数は実在する波ではなく，確率波とよばれるものであることを述べる．

3.1
3.1.1

ド・ブロイの物質波

アインシュタイン - ド・ブロイの関係式

それまで�波�と信じられていた光が�粒子�の性質も合わせもつことが，1905 年にアインシュタインによって提唱された (光量子仮説)．一方，1906
年に J. J. トムソンが電子を発見して以来，電子は�粒子�であると信じられていた．
1923 年，パリのソルボンヌ大学の大学院生であったド・ブロイ (Louis
Victor de Broglie) は，アインシュタインの�光の波動性と粒子性の二重性�
の仮説に強く感銘を受け，
�波�と考えられていた光が�粒子�としても振る舞うのであれば，逆に，
�粒子�と考えられている電子が�波�として振る舞ってもよいはずだと考えた．この世紀の逆転の発想は，1924 年 11 月に「量子論の研究」と題した博士論文としてパリ大学に提出された．
ド・ブロイの発想
ド・ブロイは，アインシュタインの有名なエネルギーの式 E =  (c) + (mc )2

2 2

3．シュレーディンガーの波動力学

34に注目した．m と p は物体の静止質量と運動量，c は光速度である．光速度
c は光の波長 λ と振動数 ν を用いると c = λν で与えられる．この光速度の表式 c = λν と光子の質量 m = 0 を E =  (c) + (mc ) に代入すると
22 2

E = λν(3.1)となる．(3.1) 式の左辺にアインシュタインの関係式
E = hν

(3.2)

h


(3.3)

を代入すると，
λ=を得る．この式は，光の波動性を特徴づける波長 λ と光の粒子性を特徴づけ
る運動量  を結び付ける式であり，まさに光の二重性を表す式といえる．
ド・ブロイは，
�粒子と波の二重性�は光に対してのみ成り立つようなもの
ではなく，万物に成立する普遍的な法則と考えた．つまり，(3.2) 式と (3.3)
式は光に対してだけでなく，電子にも適用できることを提唱した．この(3.2) 式と (3.3) 式をセットにしてアインシュタイン - ド・ブロイの関係式とよぶ．ド・ブロイは粒子に付随した波を実在する波と考え，それを物質波と名付けた．なお，(3.3) 式の λ をド・ブロイ波長とよぶ．
光の波数  = 2π／λ と光の角振動数 ω = 2πν を用いてアインシュタイン ド・ブロイの関係式を書き直すと，E = ω， = 

(3.4)となる．ここで，
≡

h
2π

(3.5)

はディラック定数とよばれる普遍定数であり，「エイチバー」と読む．

3.1.2

物質波によるボーアの量子仮説の解釈

2.3 節で学んだように，原子はボーアの量子仮説を満足するときのみ安定3.1

ド・ブロイの物質波35である (原子が安定である
ことと，電子の軌道が安定であることはほぼ同義である)．しかし，ボーアの量子仮説は天下り的に導入されたため，なぜそのような量子仮説が成立するのかについては前期量子論の範囲（a）安定な軌道
図 3.1（b）不安定な軌道
物質波と電子の軌道では何も答えていない．そこでド・ブロイは，物質波の概念を原子の中の電子に適用し，原子の安定性とボーアの量子仮説について次のような説明を与えた．
いま，電子が半径 r の円周上 (これを電子軌道とよぶことにする) を等速円運動しているとする．ド・ブロイによると，この電子軌道が安定に存在す
るか否かは，電子の物質波が円周上で定在波を形成するか否かによって決まる．そして，定在波を形成するためには，円周の長さ 2πr が物質波の波長 λの整数倍に等しくなければならない (図 3.1 (ａ))．すなわち，
2πr = nλ(n = 1, 2, …)(3.6)

を満たすときに，電子軌道の円周上に物質波の定在波が形成され，電子軌道は安定な定常状態となる．逆に，この条件を満足しない場合には，物質波は定在波となりえず，電子軌道は不安定となって定常状態にならない (図 3.1(ｂ))．実際，(3.6) 式にアインシュタイン - ド・ブロイの関係式 (λ = h／mv)を代入すると，(2.24) 式のボーアの量子条件が導かれる．
このように物質波の概念は，根拠不明であったボーアの量子条件に物理的な説明を与えたことから，理論的に説得力のあるものとなった．残る課題は，その実験的検証である．

3.3

波動関数の物理的な意味

47と表され， と E は電子の運動量とエネルギーである．
一般に，時間に依存しないポテンシャルの中の電子の時間部分 f(t) は(3.37) 式で与えられる．(3.37) 式と (3.43) 式を比較することで，(3.37) 式に現れる定数 E が電子のエネルギーであることがわかる．

3.3

波動関数の物理的な意味

実在波解釈と確率波解釈
3.2.2 項と 3.2.3 項で，物質波の波動量である波動関数 Ψ が満足するシュレーディンガー方程式には虚数単位 i が含まれており，一般に波動関数は実関数ではなく複素関数であることを学んだ．古典物理学の常識から考えると，観測可能な波動量は実数でなければならない．波動関数 Ψ(r, t) が複素関数であるとすると，少なくとも Ψ(r, t) そのものは観測不可能である．一方，波動関数 Ψ(r, t) の絶対値の 2 乗である Ψ(r, t)  は必ず実数であるの2

で，観測に関わり得る．
以下では，シュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数 Ψ(r, t)とその絶対値の 2 乗である Ψ(r, t)  の物理的な意味について考える．
2

実在波解釈
ド・ブロイやシュレーディンガーは，波動関数 Ψ(r, t) を物理的実体と捉え，原子の中の電子は原子核の周りに雲のように拡がった波 (実在波) と考え，Ψ(r, t)  はその密度であると主張した．実在波の解釈では，粒子とは2

多数の実在波が重なり合って空間に局在した波束であると考える．しかし，この解釈にはいくつかの問題点がある．
まず，(3.32) 式のシュレーディンガー方程式は時間 t に関して 1 階，空間
x に関して 2 階の偏微分方程式，すなわち�拡散方程式�とよばれる形をしており，空間に局在した波束は時間の経過にともない拡がり続ける．しかし，

3．シュレーディンガーの波動力学

48

これでは粒子が安定に存在できないので，粒子を多数の波の重ね合わせと考えることはできない．また，波動関数が実在波であるならば，波のかけらに対応する電子のかけらが見つかってもよいはずであるが，実験的にそのようなものは未だかつて発見されたことがない．
では，波動関数 Ψ(r, t) が実在波でないとすると，
Ψ(r, t) あるいは Ψ(r, t) 

2には果たしてどのような物理的な意味があるのだろうか．
確率波解釈
1926 年の夏，ボルン (Max Born) によって実在波解釈とは全く別の波動関数の解釈が与えられた．今日，確率波解釈として広く受け入れられているその内容は，以下のとおりである．
ボルンの確率波解釈
波動関数が Ψ(r, t) で与えられたとき，時刻 t において位置 r を含む微小体積 dV = dx dy dz の中 (図 3.4) に粒子を見出す確率は Ψ(r, t)  dV2に比例する．
z
dV
dy

dz
dx

r＝（x, y, z）
yO

図 3.4 位置 r を含む微小体積 dV = dx dy dzx

波動関数 Ψ(r, t) が2

 Ψ(r, t) dV = 1(3.44)のように規格化 (normalization) できるとき，Ψ(r, t)  dV は微小体積 dV259

量子力学の一般原理と諸性質

4

実験や観測によって得られる物理量は数値であり，もちろん実数である．
この数値として与えられる物理量 (観測量) と量子力学における演算子としての物理量の間にはどのような関係があるのだろうか．これが，この章のテーマである．また，波動関数や，波動関数に作用する演算子に対する要請と，そこから導かれる諸性質について学ぶ．

4.1
4.1.1

量子力学の基本事項

物理量の期待値

直線上 (x 軸上) を運動する粒子の位置 x の測定について考えよう．量子力学では，1 回の測定ではどこに粒子が現れるかを予言することはできない．
しかし，粒子の状態が波動関数 Ψ(x, t) で与えられるとき，位置 x にその粒2子を見出す確率は Ψ(x, t) に比例するので，多数回測定したときに粒子が平均としてどこにいるかを知ることができて，位置の平均値は
2

 x Ψ(x, t) dx〈x〉 = Ψ(x, t) dx
t




2

(4.1)



で与えられる．
この式は，波動関数が Ψ(x, t) で与えられる状態において粒子の位置 x を多数回測定したときの，位置 x の平均値を意味する．ただし，各々の測定は互いに非干渉 (影響を及ぼし合わない測定) である．この〈x〉t は位置 x の4．量子力学の一般原理と諸性質

60

期待値 (expectation value) ともよばれ，〈x〉t の添字の t は，期待値が波動関数 Ψ(x, t) を介して時間 t に依存することを表す．
もし，波動関数 Ψ(x, t) が規格化されているのであれば ((4.1)式の分母は1 になるので)，〈x〉t は単に，〈x〉t =

2

 x Ψ(x, t) dx

(4.2)



でよい．
それでは，状態 Ψ(x, t) での運動量演算子  = −i(d／dx)の期待値はどのように与えられるであろうか．(4.1) 式のように
2t) dx Ψ(x,〈〉 = Ψ(x, t) dx



t

(4.3)

2



と書きたくなるが，これは間違いである．正しくは， Ψ (x, t)Ψ(x, t) dx〈〉 = Ψ(x, t) dx
＊





t

(4.4)

2



＊

のように，運動量演算子を Ψ (x, t) と Ψ(x, t) で挟み込まなければならない．なぜ，このような形になるのかを，ここで詳しく述べる．
まず，波動関数 Ψ(x, t) の運動量についてのフーリエ変換
Φ(, t) =

1
 2π



i

 Ψ(x, t)e







d

(4.5)

によって，運動量  を変数とした運動量空間での波動関数 Φ(, t) を導入する．
また，その逆変換は
Ψ(x, t) =

1
 2π



 Φ(, t)e


i





d

(4.6)

で与えられる．座標空間での波動関数 Ψ(x, t) に対する規格化条件に (4.6)
式を代入すると，

4.2

4.2
4.2.1

波動関数と物理量に対する要請

67

波動関数と物理量に対する要請

線形演算子としての物理量

シュレーディンガー方程式に従う波動関数に，次のことを要請する．
要請 1
シュレーディンガー方程式を満足する波動関数 ϕ とそれに任意の定数 c を掛けて得られる波動関数 cϕ は，いずれも同じ状態を表す．
要請 1 は，波動関数 ϕ と cϕ の確率密度  ϕ  と  cϕ  が同一の相対確率を22与えることに基づく要請である．
要請 2
シュレーディンガー方程式を満足する波動関数の組を ϕn (n = 1,
2, 3, …) とすると，それらの線形結合 Φ = ∑ cnϕn によって任意の状態nを表現できる (状態の重ね合わせの原理)．
このことを出発点にすると，ある物理量を表す演算子 Q が波動関数に作用する際には，上述の要請 2 (重ね合わせの原理) を乱さないようにするために，次の規則に従わなければならない．
(cϕ) = c(Qϕ)Q(4.30)

Qϕ1 + c2Qϕ2
Q(c1ϕ1 + c2ϕ2) = c1

(4.31)

ここで，c，c1，c2 は任意の実数であり，(4.30) 式と (4.31) 式の規則に従う演
算子を線形演算子 (linear operator) という．

4.2.2

エルミート演算子

ある演算子 Q に対して，＊Q Φ(ξ) Ψ(ξ) dξ =  Φ (ξ)Q Ψ(ξ) dξ
＊†(4.32)

90

1 次元のポテンシャル問題

5

この章では，シュレーディンガー方程式が厳密に解けるポテンシャルの代表例として，�1 次元井戸型ポテンシャル�と�1 次元調和ポテンシャル�
を取り上げ，その定常状態の中でも，とりわけ束縛状態について学ぶ．
この章で取り扱うポテンシャル問題は 1 次元系という特殊なものであるが，そこには量子力学の基本的な考え方や本質が多く含まれており，ここで習得する計算手法と知識は，複雑な量子現象を理解する上で大変役に立つものである．

5.1

束縛状態と散乱状態

ポテンシャルが時間に依存しない系の波動関数 Ψ(r, t) はE

Ψ(r, t) = e  ψ(r)
i

t

(5.1)

の 形 に 表 せ る こ と を 3.2.3 項 で 述 べ た．こ の と き，確 率 密 度 ρ ( r, t ) ≡22Ψ(r, t) は時間 t によらず常に一定 (ρ(r) = ψ(r) ) であることから，(5.1)
式の状態を定常状態 (steady state) とよぶ．
定常状態の波動関数の空間部分 ψ(r) (以後，ψ(r) を単に波動関数とよぶ)を求めるためには，考えている物理的状況に適した境界条件 (boundary condition) を波動関数に課し，その条件の下で (3.38) 式の (時間に依存しない)
シュレーディンガー方程式を解く必要がある．
波動関数に課される境界条件には大きく分けて 2 種類ある．1 つは，原子5.2

無限に深い井戸型ポテンシャル

91

内の電子のように，空間的に束縛された粒子の状態 (束縛状態 (boundstate)) を記述する束縛条件である．束縛条件とは，すでに何度か登場した
ように，無限遠方において波動関数が速やかにゼロになるという条件である．
もう 1 つの境界条件は，電子線を原子に衝突させる実験などのように，空間のあらゆる場所に粒子が存在できる非束縛状態 (あるいは散乱状態 (scattering state)) を記述する条件である．前章で述べた自由粒子の平面波の状態は非束縛状態の一例である．この章では，前者の束縛状態について詳しく述べ，散乱の量子力学については，より専門的な量子力学の本に譲ることにする．
また，この章で取り扱う系は 1 次元系に限定する．1 次元系を取り扱う理由は，主として 2 つある．1 つは，数学的な煩雑さなしに量子力学の基本的な考え方や本質を学ぶことができることである．もう 1 つは，科学技術の進歩により，量子細線，ナノワイヤー，原子鎖といった 1 次元物質が現実のものとなり，1 次元系に固有の量子現象が実際に観測されるようになったことが挙げられる．つまりこの章では，量子力学の基礎を述べると同時に，最先端のナノサイエンス，ナノテクノロジーの基礎を述べることになる．

5.2

無限に深い井戸型ポテンシャル

x 軸上を 1 次元運動する質量 m の粒子に対する (時間に依存しない) シュ
レーディンガー方程式は



−

2

2



 d
+ V(x) ψ(x) = E ψ(x)2m dx 2

(5.2)

で与えられる．1 次元系といえども，この微分方程式が解析的に解けるようなポテンシャルは，ごく稀である．なお，
�解析的に解ける�とは，数式の変形などによって厳密に解けることをいい，そのときの解を解析解という．
ここでは，(5.2) 式の方程式に解析解が存在する最も簡単なポテンシャル

章末問題

225

著者の一人 (上村) は若い時代に，古典物理学の歴史をつくってきたケンブリッジ大学キャベンディッシュ研究所で，モット先生 (Sir Nevill Mott) と一緒に，この章のテーマの 1 つである電子相関について共同研究を行なった．同時に，ケンブリッジ大学の大変ユニークな慣習である Tea time の素晴らしさも経験した．
Tea time は，毎日午前 11 時頃と午後 3 時頃にあり，全員がグループごとに集まって，いろいろなテーマを話題に取り上げて駄弁ったり，議論をしたりした．学生た
ちは，講義のテーマが新しい内容で，理解したことを互いに確認したいときにも話題にしたりした．
そこで第 8 章の Tea time は，ケンブリッジ方式で第 8 章で学んだテーマを話題にすることにした．Tea time のように気楽な気持ちで，物理学を楽しんでほしい．
(1)

1 電子近似の効果

第 7 章で学んだ 1 電子近似の特徴も含めて，ここにまとめておく．
1 電子近似では，軌道関数が直交している系にあっては，交換相互作用は同じ向きのスピンをもつ電子間に作用して，エネルギーを低くする効果をもつ．これがフントの規則の主要な起源である．2 つの電子のスピン量子数が最大のときは，(8.14) 式，(8.15) 式，(8.16) 式でみたように，スピン関数はスピン座標の交換に関して対称 (符号を変えない) であるので，それに対応する 2 つの電子の空間座標の波動関数は，座標の交換に関して反対称の性質をもつ．その結果，同じ向きのス
ピンをもった 2 つの電子の波動関数で確率密度を計算すると，2 つの電子が同じ場所に来る確率はゼロとなる．人間でいえば，電車で吊革に掴まって立っていれば，そこには誰も来ることができないので，ぶつかることがない．したがって電子の場
合も，電子間のクーロン斥力の効果が，反対向きのスピンをもった 2 つの電子の場合に比べて小さい．
反対向きのスピンの電子間には，クーロン斥力のみしかはたらかないので，この効果が過大に含まれていることがわかる．つまり，1 電子近似では，各電子が他の電子の存在をハートリー場として平均的にしか考慮していないために，反対向きのスピンをもつ電子は，過分に近づきすぎて，電子間のクーロン相互作用の効果が過大になっているということができる．満員電車の中で立っている人間が，いつも後ろを通る人とぶつかって，まっすぐ立っていられないようなものである．
以上の結果，1 電子近似では，同じ向きのスピンをもった電子群と反対向きのスピンの電子の間では，パウリの原理と交換相互作用の 2 つの影響で，得をするエネ
ルギーに差が現れる．

315

配位子場の量子論

13〜量子力学の宝庫探索〜

本書の第 7 章 〜 10 章において，原子，分子，結晶という物質のミクロな階層構造のメカニズムが量子力学によって初めて明らかにされたこと，ナノメートル・サイズの新しい物質を量子力学を用いて予言・設計できることを述べた．
この章では，原子，分子，結晶の宝庫から，遷移金属錯体や遷移金属化合物を対象に選び，その電子状態を計算する量子力学の方法論「配位子場の量子論」について述べることにする．

量子力学の宝庫

13.1

今日，量子力学が対象とする世界は実に広い．第 1 章の図 1.2 でその一部を眺めたが，量子力学の世界を長さというスケールで概観してみよう．小さい方から眺めると，質量の謎を解くといわれているヒッグス粒子，そしてクォーク，電子，原子核などの素粒子の世界は，陽子を例にとれば 10
サイズである．本書の第 7 章で述べた原子は 105細胞分子は 10

10

15

mの

m，我々の体を構成する

m，そして，毎日眺める空のスケールは巨大で，暗黒物質が26満ちているといわれる宇宙の大きさは 10 m ともいわれ，とてつもなく大きくなる．
この膨大なスケールの世界に，量子力学が対象とする分野は数えきれないほど多数ある．その中で，今日我々の住む人間社会では，ナノメートル・サ
イズの物質を人工的につくることができるようになって，量子力学を応用し

13．配位子場の量子論

316

たトランジスタ，携帯電話，LED (発光ダイオード)，レーザー，MRI (磁気共鳴画像装置) などの電子・光・医療デバイスが発明されて日常生活に浸透し，我々は量子力学の多大な恩恵を受けている．しかし，我々にとって未知の領域は，あまりにも広大である．この膨大なスケールの世界を量子力学の宝庫とよぶことにする．
本書の最後のこの章では，金属絶縁体転移，銅酸化物および鉄系高温超伝導，光磁気記録，巨大磁気抵抗，ルビーレーザーに始まる固体レーザー，ルビー，サファイアなどの宝石，フェライト磁石，赤血球などで注目を集めている遷移金属化合物や遷移金属錯体を対象に選び，その電子状態を計算する
量子力学の方法論である「配位子場の量子論」について，その基礎を述べる．

13.2

宝石の色：結晶の中の遷移金属元素― なぜ美しい色に見えるのか ―第 7 章で原子の電子状態について述べたが，周期表で 110 種を超える元素のうち，3 d 殻が電子によって不完全に占められたチタン (Ti) から銅 (Cu)
元素までの第 1 次 (鉄族) 遷移金属元素に注目しよう．これらの遷移金属イオンは，10 個の電子を収容する 3 d 殻が完全に満ちていないために，鉄やコバルトの磁石のように，古くから磁性を示す原子として知られている．他方，
遷移金属を結晶やガラスの中に入れると，宝石のルビーや教会のステンドガ
ラスのように美しい色を示す．宝石のルビーは，Cr3

イオンを 1％程度，酸化アルミニウム (通称アルミナ Al2O3) に不純物として導入したもので，美しい赤色を示す．そして，アルミナにチタンを不純物として入れると，美しい青色を示す．これが宝石のサファイアである．元素自体は美しい色を示さな
いのに，宝石やステンドグラスなどでは，なぜ美しい色に見えるのか，また
血液中のヘモグロビンがどうして赤色なのか．こうした色の起源を明らかにするのが，この章の目的である．

348

章末問題略解章末問題略解の補足説明 (pdf 版) を裳華房のホームページ (www.shokabo.co.jp) に用意したので，必要に応じて参照してほしい (ダウンロード可)．

第

2 章


［2.1］ (2.14) 式を用いて(∂u(ν,T)／∂ν)T = 0 を計算すると，(3 − x)e = 3 が得られる．ここで，x = hνmax／BT であり，νmax は u(ν, T) が最大値となる振動数
1である．数値解 x = 2.8214 を用いると νmax／T = C = 5. 8831s ・K

1

となる．

［2.2］ (2.14) 式を (2.31) 式に代入し，x = hν／BT とおくと
4

8πB



3

 c h  e − 1 dxT = αTu(t) =

3が得られる．また，積分公式
ルツマン定数 α は

3

0



x

x

4

4



3

π

4

 e − 1 dx = 15 を用いると，シュテファン - ボ


0

5

4

8π B
3
4
3 3 = 7.56573 J・m ・K
15c h

α=
となる．

［2.3］ (2.32) 〜 (2.34) 式を連立して解くことで，ν' = νhν／1 + m c (1 − cos θ)
2eを得る．散乱後の光子の振動数 ν' は散乱前の振動数 ν より小さいことがわかる．
基底状態 (n = 1) の電子がつくる円電流の大きさ I は I = −

[2.4]

ev
2πaB

=−

eh
2
2
2 で あ る の で，こ の 電 流 が つ く る 磁 気 モ ー メ ン ト μB は μB = πaB I
4π me aB

=−

eh
24
1
= 9.274 × 10 J・T となる．
4πme

第

2



2

Δ

 2m

= −

2



∂Ψ

= −
∂t
2m



2

Δ

［3.1］ i

＊

3 章



＊

+ V + iW Ψ に Ψ を掛けたものから，−i

∂Ψ
∂t

＊

+ V − iW Ψ に Ψ を掛けたものを引くことで，(3.57) 式を得る．