数理解析研究所講究録
第 1817 巻 2012 年 64-70

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四元数ケーラー多様体のツイスター埋め込み

明治大学理工学部 長友康行 (Yasuyuki Nagatomo)
Department of Mathematics, Meiji UniversityABSTRACT. コンパクト四元数ケーラー多様体上の特別な接続を許容するベクトル束において定義されるツイスター方程式をみたす切断をツイスター切断という。 ツイスター切断を用いてグラスマン多様体への写像を構成する。 このとき、 この写像が (半) バランス条件を満たすならば、調和写像であることを示す。 定義域がコンパクト四元数対称空間であり、ベクトル束が既約等質束である場合にツイスター切断を許容するベクトル束を用いて調和写像の例を与える。 バランス条件の考え方の一端として、 複素射影空間から複素射影空間への調和写像に関する結果にも言及する。

1. 序
本稿では、 はじめに四元数ケーラー多様体上のベクトル束の接続に関するある条件の下、 ツイスター方程式をみたす切断 (ツイスター切断) を利用して複素グラスマン多様体への写像を構成する。 そして、 この写像がある条件を満たすならば、それは調和写像であることを示す。
定理 1.1. (cf.[7], [8]) $v$ を四元数ケーラー多様体 $M$ 上の (局所的に定義されがツイスター方た $ASD$ ベクトル束であるとする。ベクトル束
程式の解空間 $W$ により、大域的に生成されるとする。
このとき、 $W$ にバランス積が存在すれば、 $(V\otimes \mathbb{H}arrow M, W)$ による誘導写像 (ツイスター写像) $f$ : $Marrow Gr_{p}(W)$ はエネルギー密度が一定な調和写像となる。 ただし、 グラスマン多様体 $Gr_{p}(W)$ は $W$ 上のバランス積により誘導されるリーマン計量をもつものとする。
$)$$V\otimes \mathbb{H}arrow M$

定理内の用語は次節以降で説明していく。 また、 定理 1.1 に対する具体例を、第 3 節において挙げることにする。これは単なる具体例ではなく、 Penrose変換と Bott-Borel-Weil の定理を用いれば分類結果を与えるものである。
定理の証明では、一般化された高橋の定理とツイスター方程式をみたす切断がラプラス作用素の固有切断になるという事実を使う。そのためにまず、四元数ケーラー多様体上で定義される様々な幾何構造を紹介した後に、 リーマン多様体からグラスマン多様体への調和写像に関して話を進めることにする。
上の定理においてバランス積なる用語が使用されているが、 これは [3] において定義された用語を踏襲している。 しかし、本来の意味と若干異なり、弱い条件になっているので、半バランス積と呼ぶべきかもしれない。
バランス積の考え方の一端として、複素射影空間から複素射影空間への調和写像に関する結果にも言及する。 これらは板東-大仁田の結果や Calabi の結果の別証明となっている。

652. 準備$Varrow M$ をエルミート計量をもつ四2.1. 四元数ケーラー多様体上の幾何学．
元数ケーラー多様体、 もしくは超ケーラー多様体上の複素ベクトル束とする。

をその四元数構造とする。超ケーラー多様体上では $I,$ $K$ は大域的に定義されるが、 四元数ケーラー多様体上では、 局所的に定義される対象であることに注意する。 しかし、 以下の定義では $I,$ $K$ が局所的に定義されてぃれば十分である。
$I,$ $J,$ $K$$J,$$J,$.

定義 $2.1$ (cf. Mamone Capria-Salamon[5]) ベクトル束 $Varrow M$ 上の接続がに対して、その曲率形式$\nabla$$R^{\nabla}$$R^{\nabla}(IX, IY)=R^{\nabla}(JX, JY)=R^{\nabla}(KX, KY)=R^{\nabla}(X, Y)$.

を ASD 接続という。 また、 このとき $Varrow M$ ををみたすときに、 接続(ベクトル)
ASD
束、 もしくはインスタントン (束) という。
$\nabla$

注意．$Galicki-Poon[4]$ により、 ASD 接続の曲率形式$R^{\nabla}$

は、$*R^{\nabla}= \frac{-1}{(2n-1)!}R^{\nabla}\wedge$をみたすことが知られている。 ここで は $M$ の基本 4 形式である。 したがって、 ASD 接続は Tian[ll] の意味での一般化された反自己双対インス$\Omega^{n-1}$$\Omega$

タントンの例になっている。特に向きづけられた 4 次元リーマン多様体上の反自己双対接続も上の意味の ASD 接続である。 また、 Verbitsky[13] は超ケーラー多様体上の ASD 束を $tri$ -holomorphic ベクトル束と呼んでいる。
次にツイスター作用素を定義する。 簡単のため、 四元数ケーラー多様体上でその定義を与えるが、超ケーラー多様体上でも同様に定義される。
定義により、 四元数ケーラー多様体 $M$ の正規直交枠よりなる主束と LeviCivita 接続は、構造群が Sp(l) . Sp $(n)$ である主束 $Parrow M$ に還元される。
を $Sp(1)$ の標準表現とする。 このとき、局所的に定義される随伴ベクトル束をと表すことにする。 同様にして、 Sp $(n)$ の標準表現に対して局所的に定義される随伴ベクトル束をと表すことにする。の $m$ 次対称積束、をの 次歪対を称積束であるとする。 Clebsch-Gordan の定理から得られる射影を使って、微分作用素を定義する。
$\mathbb{C}^{2}$$\mathbb{H}arrow M$$\mathbb{C}^{2n}$$\mathbb{E}arrow M$$S^{m}\mathbb{H}arrow M$$\mathbb{H}arrow M$$\wedge^{i}\mathbb{E}arrow M$$\mathbb{E}arrow M$$i$$S^{m}\mathbb{H}\otimes \mathbb{H}\cong S^{m-1}\mathbb{H}\oplus S^{m+1}\mathbb{H}$$q:S^{m}\mathbb{H}\otimes\wedge^{i}\mathbb{E}\otimes \mathbb{H}\otimes \mathbb{E}arrow S^{m+1}\mathbb{H}\otimes\wedge^{i+1}\mathbb{E}$

定義 2.2. (Salamon[9, 10]) ツイスター作用素
続と射影 の合成として定義される。

$\mathcal{D}$と呼ばれる微分作用素が接$q$$\mathcal{D}_{m}=q\nabla:\Gamma(S^{m}\mathbb{H}\otimes\wedge^{i}\mathbb{E})arrow\Gamma(S^{m+1}\mathbb{H}\otimes\wedge^{i+1}\mathbb{E})$$n=1$ , すなわち 4 次元の場合にはツイスター作用素
注意．
ター作用素と一致し、 一種の Dirac 作用素となる。

$\mathcal{D}$

ベクトル束 $Varrow M$ に接続が存在するならば、その接続と.

は通常のツィス

$S^{m}\mathbb{H}\otimes\wedge^{i}\mathbb{E}arrow M$の接続を利用して、 一般化されたツイスター作用素$\mathcal{D}_{m}=q\nabla:\Gamma(V\otimes S^{m}\mathbb{H}\otimes\wedge^{i}\mathbb{E})arrow\Gamma(V\otimes S^{m+1}\mathbb{H}\otimes\wedge^{i+1}\mathbb{E})$が定義される。 この拡張されたツィスター作用素も単にツィスター作用素ということにする。

66$(M, g)$ をリーマン多様体として、 $Earrow M$ を $M$ 上の階数が2.2. 誘導写像．の実または複素ベクトル束とする。 また、 $W$ を$\Gamma(E)$$q$の有限次元部分空間とする。 すると、
$ev:W:=M\cross Warrow E,$$(x, t)\mapsto t(x)$なるベクトル束の準同型を得る。
定義 2.3. ベクトル束の準同型 $ev:W:=M\cross Warrow E$ が全射準同型である
とき、 ベクトル束 $Earrow M$ は $W$ によって大域的に生成されるという。
ベクトル束 $Earrow M$ が $N$ 次元空間 $W$ によって大域的に生成されているとする。 $p=N-q$ とおく。 このとき、 写像 $f$ : $Marrow Gr_{p}(W)$ が以下のようにして構成される。
$f(x) :=Kerev_{x}=\{t\in W|t(x)=0\}$とおけば、 ま $M$ からグラスマン多様体 $Gr_{p}(W)$ への写像となる。 こうして得られた写像 $f$ を $(Earrow M, W)$ から得られた誘導写像という。 なお、ベクトル束 $Earrow M$ が明らかな場合には、単に $W$ による誘導写像ともいう。 このとき、 $Qarrow Gr_{p}(W)$ をグラスマン多様体上の普遍商束とすれば、その引き戻し
束 $f^{*}Qarrow M$ と $Earrow M$ とはベクトル束として同型となる。
したがって、逆に写像 $f$ : $Marrow Gr_{p}(W)$ が与えられたときには、 $f$ は$f\ovalbox{\tt\small REJECT}$$(f^{*}Qarrow M, W)$による誘導写像とみなすことができる。

$Larrow M$ を射影的代数多様体上の十分豊富な正則直線束とする。 $W$ を
例．
$Larrow M$ の正則切断全体のなす $N+1$ 次元線形空間とする。 このとき、 $W$ による誘導写像は小平埋め込み $Marrow Gr_{N}(W)=\mathbb{C}P^{N}$ である。
定義 2.4. 多様体 $M$ からグラスマン多様体 $Gr_{p}(W)$ への写像 $f:Marrow Gr_{p}(W)$に対して、 $W$ から普遍商束の引き戻し束 $f^{*}Qarrow M$ の切断全体のなす空間への線形写像 $Warrow\Gamma(f^{*}Q)$ を考える。 この線形写像が単射であるときに、 $f$ : $Marrow Gr_{p}(W)$ は充満な写像であるといわれる。

$\Gamma(f^{*}Q)$

最後に、 バランス積を定義する。

定義 2.5. $Earrow M$ をファイバー計量と計量を保つ接続をもつベクトル束とする。 $W\subset\Gamma(E)$ が $Earrow M$ を大域的に生成するときに、 $(Earrow M, W)$ による誘導写像 $f$ : $Marrow Gr_{p}(W)$ を考える。 ここで、 $W\subset\Gamma(E)$ にエルミート積を与える。 すると $W$ にエルミート計量を導入したことから、 $Qarrow Gr_{p}(W)$ には計量と計量を保つ接続が定義されることに注意する。 このとき、 引き戻し
束 $f^{*}Qarrow M$ にも計量と接続が定義されるが、 これらが、 $Earrow M$ に与えられた計量と接続にゲージ同値であるときに $W$ に与えられたエルミート積をバランス積という。
なお、 リーマン多様体 $(M, g)$ からリーマン多様体 $(N, h)$ への写像 $f$ : $Marrow$$N$ のエネルギー密度とはである。
$|df|^{2}$

67
3. 主定理の証明と具体例
この節では、 主定理の略証を紹介する。
(略証) 定理の仮定から、
ツイスター方程式$s\in W\subset\Gamma(V\otimes \mathbb{H})$は一階の線型方程式である$\mathcal{D}s=0$をみたす。 すると、

$s$はラプラス作用素の固有切断となることが示される。

定理 3.1. [7] $(M,g)$ を $4n$ 次元四元数ケーラー多様体とし、 $Varrow M$ を (局所的に定義された) $ASD$ ベクトル束とする。 このとき、 ツイスター方程式を満たす任意の切断はラプラス作用素に対する固有切断となる。
$t\in\Gamma(V\otimes \mathbb{H})$$\triangle t=(2ncs)t,$

ここで、$c$は四元数ケーラー多様体の次元のみによる正の定数であり、$s$はスカラー曲率を表す。
ツイスター切断のなす空間 $W$ がベクトル束を大域的に生成することが仮定されているので、 誘導写像 $f$ : $Marrow Gr_{p}(W)$ が存在する。 そこで、 以下の一般化された高橋の定理 [8] を適用することにより、 定理が成り立つことが示される。
$V\otimes \mathbb{H}arrow M$

定理 3.2. [8] $(M,g)$ をリーマン多様体とし、写像 $f:(M, g)arrow Gr_{p}(W)$ が与えられたとする。
$W$ にスカラー積を導入したときに、 $f$: $Marrow Gr_{p}(W)$ に対する次の 2 条件は互いに同値である。

(1) : $Marrow Gr_{p}(W)$ は調和写像である。
(2) あるベクトル束 $f^{*}Qarrow M$ の自己準同型$f$$A$が存在して、 $W$ に属する任意の切断 $t\in\Gamma(f^{*}Q)$ に対して、$\triangle t=-At$が成り立つ。

この条件の下、 $|df|^{2}=$ -trace $A$ が成り立っ。
したがって、 エネルギー密度は固有値とベクトル束の階数を使って記述できる。

注意上の証明において、 自然な同型の下、 ツイスター切断を定義する接続と誘導接続がゲージ同値である理由はない。 そこで、 バラン$V\otimes \mathbb{H}\cong f^{*}Q$ス積の概念を必要としたのであった。
具体例を与える。 $M$ としてコンパクト四元数対称空間 $G/K$ を考え、 ベクトル束としてはある ASD 束 $Varrow M$ が存在して、と同型となる既約等質ベクトル束 $Farrow G/K$ を考える。 さらに、 既約等質束の標準接続との接続がゲージ同値であると仮定する。 このようなベクトル束はすべて分類されている [6]。
問題点は $Farrow G/K$ がツィスター切断を許容するか、 許容するとすればツイスター切断のなす空間 $W$ はいかなるものか、 また $W$ はバランス積を持つのかといったことにある。
$V\otimes \mathbb{H}arrow M$$V\otimes \mathbb{H}arrow M$

68
これらの問題をツイスター空間を導入することにより解決する。 $z$ を $M$ のツイスター空間とする [9]。このとき、 Penrose 変換といわれる切断の空間の同一視が存在する。
$W:=\{s\in\Gamma(V\otimes \mathbb{H})|\mathcal{D}s=0\}\cong H^{0}(Z, V(1))$$V(1)=V\otimes \mathcal{O}(1)$

ここで、$\mathcal{O}(1)\ovalbox{\tt\small REJECT}$,,

ま局所的に定義された $z$ 上の正則直線束である [9]。

そこで、 問題はツイスター空間上の正則ベクトル束の正則切断の空間を求めることに帰着する。 仮定から、 ツイスター空間 $z$ は等質ケーラー多様体となり、 Penrose 変換により $Farrow G/K$ に対応するベクトル束も $z$ 上の既約等質ベクトル束となる。 そこで、 Bott-Borel-Weil の定理を利用すれば、 ツイスター切断の存在やそれが存在するときに、 $w$ が $G$ 既約表現空間となることがわかる。
したがって、 $W$ のバランス積として不変エルミート積をとればよい。
も四定義 3.3. $Varrow M$ を四元数構造をもつ $ASD$ 束とする。すると、は実構造をもつ。 このとき、元数構造をもつので、の切断とみの切断 が実切断であるとは、 が実ベクトル束の部分集合は実構造で不変ななせることである。 ただし、を表している。 (以後も同様な記法を用いる。)
また、 Penrose 変換により対応する正則ベクトル束 $V(1)arrow Z$ の正則切断の実切断に対応するならば、 も実切断とが Penrose 変換の下、いうことにする。
$\mathbb{H}arrow M$$V\otimes \mathbb{H}arrow M$$V\otimes \mathbb{H}arrow M$$(V\otimes \mathbb{H})^{\mathbb{R}}arrow M$

$s$

$s$

$V\otimes \mathbb{H}$$(V\otimes \mathbb{H})^{\mathbb{R}}$$\tilde{s}$$V\otimes \mathbb{H}arrow M$$\tilde{s}$$Varrow G/K$ を $K$ 不変四元数構造をもつ $ASD$ 束とする。このとき、 $Farrow G/K$

は $K$ 不変実構造をもち、ツイスター切断全体のなす空間 $W$ も $G$ 不変実構造をも $F^{\mathbb{R}}arrow G/K$もつ。 また、 $w$ が $Farrow G/K$ を大域的に生成するならば、$w^{\mathbb{R}}$を大域的に生成することがわかる。 したがって、 実グラスマン多様体への誘導写像 $Marrow Gr_{p}(W^{\mathbb{R}})$ が定義される。 (簡単のため ‘向き ’ については言及しない。) また、 このとき $Gr_{p}(W^{\mathbb{R}})arrow Gr_{p}(W)$ は全測地的である。 そこで、このような場合には誘導写像として、 $Marrow Gr_{p}(W^{\mathbb{R}})$ を与えることにする。

例．以下は全測地的埋め込みとなる。
$\bullet Gr_{2}(\mathbb{C}^{n+2})arrow Gr_{4}(\mathbb{R}^{2n+2})$,$\bullet Gr_{4}(\mathbb{R}^{n+4})arrow Gr_{4}(\mathbb{R}^{n+4})$,$\bullet Gr_{4}(\mathbb{R}^{7})arrow Gr_{4}(\mathbb{R}^{8})$$Gr_{4}(\mathbb{R}^{8})arrow Gr_{4}(\mathbb{R}^{8})$,$Gr_{4}(\mathbb{R}^{9})arrow Gr_{8}(\mathbb{R}^{16}) , Gr_{4}(\mathbb{R}^{10})arrow Gr_{16}(\mathbb{R}^{32})$$\bullet \mathbb{H}P^{n}arrow Gr_{4}(\mathbb{R}^{4n+4})$$\bullet$(6)
Sp (3)$E_{6}/Sp(1)SU$$\bullet F_{4}/Sp(1)$

,

,

,

$arrow Gr_{30}(\mathbb{R}^{54})$$arrow Gr_{12}(\mathbb{R}^{26})$,,$\bullet$$E_{7}/Sp(1)$Spin (12)$arrow Gr_{48}(\mathbb{R}^{112})$,$\bullet G_{2}/SO(4)arrow Gr_{4}(\mathbb{R}^{7})$例．以下は極小埋め込みとなる。
$\bullet \mathbb{H}P^{n}arrow Gr_{4n}(\mathbb{R}^{2n^{2}+3n})$,$\bullet Gr_{2}(\mathbb{C}^{n+2})arrow Gr_{4n}(\mathbb{R}^{n^{2}+3n+2})$$\bullet Gr_{4}(\mathbb{R}^{12})arrow Gr_{32}(\mathbb{R}^{64})$$F^{\mathbb{R}}arrow M$

わかる$[7]_{0}$.

,の階数が $M$ の次元以下である場合は上の例で尽きていることが69
4. バランス積の考え方の応用
以下はすでに知られた写像の剛性に関する結果である。 これらは板東-大仁
田 [1] では、 調和写像のツィスター構成を用いて、 Calabi[2] では，diastasis なる関数を用いて証明されていた。 (ただし、 Calabi の定理はここで紹介するものより、はるかに一般的な結果である。)

ところが、 一般化された高橋の定理 3.2 とバランス積の概念を用いれば統一的な別証明を与えることができる。その一端を紹介する。
定理 4.1. [1] $f$ :をエネルギー密度が一定である充満な調和写像とする。 この時、 $f$ は $SU$ (2) 同変な写像である。
$\mathbb{C}P^{1}arrow \mathbb{C}P^{n}$定理 4.2. [2] $f$ :をエネルギー密度が一定である充満な正則写像とする。 この時、 $fl$ ま $SU(m+1)$ 同変な写像である。
$\mathbb{C}P^{m}arrow \mathbb{C}P^{n}$

証明はほとんど平行な議論によるので、 前者の略証を与えることにする。
ここでは $Q=\mathcal{O}(1)arrow \mathbb{C}P^{n}$ とおく。 ($\mathbb{C}P^{n}$を$Gr_{n}(\mathbb{C}^{n+1})$

は複素 1 次元なので、 引き戻し束正則ベクトル束の構造が誘導される。 すると、
で、 直線束の正則構造の一意性が成り立っので、と正則同型であることがわかる。 ここで、線束である。
この同型を固定して、 計量を比較すると$\mathbb{C}P^{1}$$f^{*}Qarrow \mathbb{C}P^{1}$とみなしている。)には引き戻し接続により、は Fano 多様体であるの$\mathbb{C}P^{1}$$f^{*}Qarrow \mathbb{C}P^{1}$$\mathcal{O}(k)arrow \mathbb{C}P^{1}$$Qarrow \mathbb{C}P^{n}$ので、 その引き戻し束の誘導計量は、$\mathcal{O}(k)arrow \mathbb{C}P^{1}$は$\mathcal{O}(k)arrow \mathbb{C}P^{1}$

は次数が$k$の正則直は複素階数が 1 であるの標準計量とあるゲージ変換により同一視される。
一方、 計量と正則性に両立する (エルミート) 接続の一意性から、 $f^{*}Qarrow$とは接続まで込めてゲージ同値であることがわかる。 こをれは、 $f$ :による誘導写像とみなせば、のエルミート内積がバランス積であることを示している。
$\mathbb{C}P^{1}$$\mathcal{O}(k)arrow \mathbb{C}P^{1}$$\mathbb{C}P^{1}arrow \mathbb{C}P^{n}$$(\mathcal{O}(k)arrow \mathbb{C}P^{1}, \mathbb{C}^{n+1})$$\mathbb{C}^{n+1}$

一般化された do Carmo-Wallach の定理 [8] から、 $f$ :$\mathbb{C}P^{1}arrow \mathbb{C}P^{n}$

は $SU$ (2)同変な写像の線形写像による変形として得られることがわかる。 しかし、 そのような変形は存在しないことが表現論より結論できるので、 上の定理が成り立つことがわかる。
からToth はへの多項式調和写像という概念を与えた
これ$S^{2m+1}$
は Hopf 写像
からを考え、への多項式写像から誘導されるエネルギー密度が一定な調和写像の特別なクラスであり、 特に、 写$\mathbb{C}P^{m}$$\mathbb{C}P^{n}$$S^{2m+1}arrow \mathbb{C}P^{m}$$[12]_{0}$$S^{2n+1}$

像に対して 「水平性」 を要求するものであった。 この水平性という条件は、我々の言葉を用いれば、 問題の写像を誘導写像とみなしたときに、にバランス積が存在することと同値である。
ところが、 一般化された高橋の定理 3.2 を使えば、 Hopf 写像や球面間の多項式写像を経ることなく、 Toth の意味での多項式写像という概念が得られることがわかる。
$\mathbb{C}^{n+1}$

定理 4.3. $f:\mathbb{C}P^{m}arrow \mathbb{C}P^{n}(m\geqq 2)$ をエネルギー密度が一定な調和写像とする。 また、 $f$ を誘導写像とみなしたときに、に Fubini-Study 計量を誘導するのエルミート積がバランス積であるとする。 このとき、 $f$ は Toth$\mathbb{C}P^{n}$$\mathbb{C}^{n+1}$の意味での多項式調和写像である。

70
そこで、 Toth の結果を使えば、 上の写像のモジュライ空間が得られることになる。 ただし、 これは一般化された do Carmo-Wallach の結果に含まれる。 さらに、 Toth は次元公式を用いて、 モジュライ空間の次元の評価を与えている。

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