数理解析研究所講究録
第 1645 巻 2009 年 90-9990楕円渦流上の Kelvin 波の弱非線形相互作用
によって誘導される平均流
九州大学大学院数理学研究院 1彌榮洋一 (Yoichi Mie)
福本康秀 (Yasuhide Fukumoto)服部裕司 (Yuji Hattori)
廣田真 (Makoto Hirota)

九州工業大学工学部 II
日本原子力研究開発機構 III

IGraduate School of Mathematics, Kyushu University
IIFaculty of Engineering, Kyushu Institute of Technology
IIIJapan Atomic Energy Agency

1

研究背景
飛行機雲は反対回転を持つ 2 っの渦管で近似される。 これを翼端渦というが、 この不安定性が 70 年代以降後続機の安定性に作用する大きな因子としてクローズアップされてきた。片方の渦管に注目するとき、相手側の渦管が誘導する速度を渦糸といっしょに下降する座標系で見ると、ひずみ場が誘導される。 ここ
ではひずみ場中の単独渦管としてモデル化する。 このひずみ場により渦核は楕円形に変形する。

円形の流線をもつ回転流はスペクトル的に安定である。これは、軸まわりの回転対称性と軸方向の並進-対称性が壊れるとき、方位波数が 2 離れたペア $(m,m+2)$ のKelvin 波が共存する波数、振動数でパラメータ共鳴不安定が起こる可能性が生じる。 ただしひずみ場により、不安定を起こす波数、振動数はひずみの強さ に比例する有限の幅をもつ [10, 12]。特に、基本流と反転対称性に由来する。 ひずみ場により$S^{1}$$\epsilon$

して一定の渦度である Rankine 渦に設定することで、増幅率や不安定波数バンド幅をベッセル関数で具体的に計算することができた [31。
Malkus[9] は実験により側面が変形する楕円柱に回転流を与えることで波が崩壊することを示した。
Waleffe[14] は Malkus[91 の実験に関して、 Euler 的方法により弱非線形解析を与え、 可解条件を用いることで撹乱振幅の弱非線形発展方程式を与えた。 ここで与えられた発展方程式は $(m,m+2)$ モードの 2 つのKelvin 波の撹乱振幅砺, $A_{m+2}$ に加えて、非線形相互作用によって誘導される平均流 の振幅方程式である。 Sipp[11] は無限領域にある 2 次元ひずみ場内の回転流に関して、 Waleffe[14] の方法で弱非線形方程式
$B$

を与えた。

速度や圧力などの流れを特徴づける量を時刻、空間の関数として調べる方法を Euler 的方法というのに対して個々の流体粒子を追いかける方法を Lagrange 的方法という。 これは流体粒子の存在する領域 $D$ の自己微分同相写像 6: $Darrow D$ によって表すことができる Arnold[11 は、流体粒子が iso-vortical sheet 上を動くとき、定常状態のエネルギー は極値となることを示した。 この内容を数学的に表現するには Lagrange 的方法しかない。 さらに La ange 的記述には Kelvin 波のエネルギーの計算を系統的に行うことを可能にする。
$\circ$$E$

91
波のエネルギーが求まる副産物として、 Kelvin 波の非線形相互作用による平均流を計算できる Fukumoto$\ Hirota[4]_{0}$第 2 章は、本研究で使われているモデルと境界条件を設定する。次に第 3 章では、従来よく使われていた Euler 的方法 [11, 14] を概説する。 この方法では撹乱として導入した $(m,m+2)$ モードの 2 つの Kelvim

波の非線形相互作用による平均流が一般には定まらないという難点がある。第 4 章では、 Euler 的方法に代わり、流体粒子を追いかける Lagrange 的方法を紹介する。 この方法により Euler 的方法では求めることができなかった平均流を計算できる。第 5 章では、振幅の弱非線形方程式を与えて解析する。

2

基本方程式と境界条件
我々が考えるのは楕円柱の容器内に閉じ込められた流体に回転流の安定性である。楕円形の断面を表す

式は
(2.1)

$\frac{x^{2}}{1+\epsilon}+\frac{f}{1-\epsilon}=1$とする。円柱の軸を$z$軸とする円柱座標系 $(r,\theta,z)$ を使う、
$x=r\cos\theta$,$y=r\sin\theta$$e_{r}=\cos\theta e_{x}+\sin\theta e_{y}$

,

,

(2.2)

$e_{\theta}=-\sin\theta e_{X}+\cos\theta e_{y}$は $x,y$ 方向、は動径方向、方位角方向の単位ベクトルである。このとき側壁境界はである。楕円柱内の流体は Euler 方程式にしたがい、非粘性、非圧縮を仮定する。速度$u=$ $(u,v,w)$ 、圧力 $p$ が満たすべき各成分の方程式はここで$e_{x},$$e_{y}$$e_{r},$$e_{\theta}$$r=1+\epsilon\cos 2\theta/2$,$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{v}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}+w\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{v^{2}}{r}+\frac{\partial p}{\partial r}=0$$\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{v}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta}+w\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{uv}{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}=0$

,
(2.3)

,

$\frac{\partial_{1}v}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{v}{r}\frac{\partial w}{\partial\theta}+w\frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\partial p}{\partial z}=0$$\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{u}{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$,

これを満足する定常回転流 $U=U_{0}+\epsilon U_{1}$ は$\ovalbox{\tt\small REJECT}=0$,,$U_{1}=-r\sin 2\theta$$\nabla_{0}=r$,$W_{0}=0$$V_{1}=-r\cos 2\theta$

,

,

(2.4)

$P_{0}=\neq/2$$W_{1}=0$,$P_{1}=0$(2.5)

これは「流れは境界を貫通しない」という境界条件

at$U\cdot n=0$

(2.6)

$r=1+\epsilon\cos 2\theta/2$も満足している。ただし $n$ は壁に対する法線ベクトルであり、$n=e_{r}+\epsilon(-e_{r}\cos 2\theta/2+e_{\theta}\sin 2\theta)$

この $U$ を基本流にとり、撹乱$\tilde{u}$を加える。撹乱

$\tilde{u}$を撹乱振幅$\alpha$.

, ひずみ度(2.7)$\epsilon$$\overline{u}=\alpha u_{01}+\epsilon\alpha u_{11}+\alpha^{2}u_{02}+\alpha^{3}u_{03}+\epsilon\alpha^{2}u_{12}+\cdots$

そして Euler 方程式から各オーダー

逐次求める。

$O(\epsilon^{t}\alpha^{j})$で漸近展開する、(2.8)

での方程式を抜き出し、それを解いて速度と圧力を低次から

92
3

Euler 的方法

3.1

Kelvin 波

撹乱の主要項$O(\alpha)$

として、 Kelvin 波(3.1)$u_{01}=A_{m}(t)u^{(m)}(r)e^{i(n\prime\theta+kz)}$の重ね合わせを考える。波数 k、周波数 o) も$\epsilon$について展開する、$k=h+\epsilon k_{1}+\ldots$,$\omega=on+\epsilon\omega_{1+}\ldots$$O(\alpha)$

(3.2)

.

での Euler 方程式と非圧縮の条件 (2.3) は次の線形斉次の微分方程式に帰着する。

$\mathcal{L}^{(m,k)}(\begin{array}{l}u^{(m)}p^{(m)}\end{array})=(\begin{array}{l}00\end{array})$,$\mathcal{L}^{(m,k)}=(\begin{array}{llll}\text{一}i(an-m) -2 0 \partial_{r}2 -i(ar-m) 0 im/r0 0 -i(\infty-m) ik\partial_{r}+l/r im/r ik 0\end{array})$

.

(3.3)

この方程式の解は$p_{01}^{(m)}=J_{m}(\eta_{m}r)$,$u_{01}^{(m)}= \frac{i}{a\mathfrak{v}-m+2}\{-\frac{m}{r}J_{m}(\eta_{m}r)+\frac{\mathfrak{U}-m}{\infty-m-2}\eta_{m^{j}m+1}(\eta_{m}r)\}$

,

(3.4)
$v_{01}^{(m)}= \frac{1}{an-m+2}\{\frac{m}{r}J_{m}(\eta_{m}r)+\frac{2}{an-m-2}J_{m+1}(\eta_{m}r)\}$,$w_{01}^{(m)}= \frac{k}{ar-m}J_{m}(\eta_{m}r)$と求められる。ただし(3.5)$\eta_{m}^{2}=[\frac{4}{(an-m)^{2}}-1]d$は動径波数に相当する。 ここに境界条件 (2.6)$u_{01}=0$

を課すと、

),

$\alpha$

at

(3.6)

$r=1$

絢が満たすべき分散関係に導かれる、$J_{m+1}( \eta_{m})=\frac{r-m-2m}{ar-m\eta_{m}}J_{m}(\eta_{m})$

.

(3.7)

らせんモード、方位波数 $m=+1$ ,-1、のときの分散関係を図示したものが図 1 である。左巻きらせんモード $(m=1)$ に対する分散曲線は青の破線、右巻きらせんモード $(m=-1)$ に対する分散曲線は赤の実線で描いている。 $m=+1$ のとき $(?,r)=(1,0)$$<1$ 側に無限の分散曲線の枝が発生する。
から $\infty>1$ 側、
図 31 では無限個の中の 20 本の分散曲線、 on $>1$ 側に 10 本、on$(\mathfrak{U}<1$

側に 10 本を描いている。
図 $1;(-1,1)$ mode の分散曲線

93
3.2 パラメータ共鳴による線形不安定性
楕円ひずみにより基本流 $U$ は円形の流れ
みの効果は$\cos 2\theta,$ $\sin 2\theta$に変形する。 (2.5) を見ると、 この楕円ひずという項を与える。すなわち方位波数の成分をもつ。 この形の摂動が方位波$U_{0}$

から$U_{0}+\epsilon U_{1}$$2\theta$

数 $m$ の差が 2 の 2 個の Kelvin 波はパラメータ共鳴を可能にする。パラメータ共鳴を起こす不安定な波を探しているので、$u01=A_{m}(t)u_{m}(r)e^{im\theta}e^{ikz}+A_{m+2}(t)u_{m+2}(r)e^{i(m+2)\theta}e^{ikz}+c.c$と設定して、解析を進めよう。 このとき、楕円ひずみ$\epsilon$をともなう線形撹乱.

$O(\epsilon\alpha)$(3.8)

では以下のモードが発生する、$u_{11}=A_{m}u_{11}^{(m-2)}e^{f(m-2)\theta}e^{ik}+A_{m+2}u_{11}^{(m)}e^{lm\theta}e$地$+A_{m}u_{11}^{(m+2)}e^{i(m+2)\theta}e^{ik}+A_{m+2}u_{11}^{(m+4)}e^{i(m+4)\theta}e^{ikz}+c.c$

(3.9)

.

各モードごとの方程式は$\mathcal{L}^{(m,k)}(\begin{array}{l}u_{11}^{(m)}p_{11}^{(m)}\end{array})=(\begin{array}{l}\Lambda^{\prime(m)}0\end{array})$

この方程式は、,$\mathcal{L}^{(m+2,k)}(p_{11}^{(m+2)}u_{11}^{(m+2)})=(\begin{array}{l}\Lambda^{r(m+2)}0\end{array})$(3.10)

が特異なので、特定の非斉次項でしか境界条件を満足する解を持たない。
したがって、非斉次項が解をとり得る値になる必要がある。 (310) の右辺は時間微分項で非斉次項を調整$\mathcal{L}^{(m,k)},$ $\mathcal{L}^{(m+2,k)}$する。
(3.11)$\mathcal{L}(\begin{array}{l}u_{11}p_{11}\end{array})=(\begin{array}{l}A’0\end{array})-\frac{\partial}{\partial t_{10}}(\begin{array}{l}u_{01}0\end{array})$

ただし$\Lambda’$

はひずみ場による$o(\epsilon)$の基本流の摂動$U_{1}$と $o(\alpha)$ の撹乱 $u_{01}$ との相互作用項である。

$o(\epsilon\alpha)$での境界条件 (2.6) は$u_{11}+ \frac{1}{2}\frac{\partial u_{01}}{\partial r}\cos 2\theta-\frac{u_{01}}{2}\cos 2\theta+v_{01}\sin 2\theta=0$

at

$r=1$

(3.12)

Euler 方程式 (2.3) と境界条件 (2.6) を満足するのは伽 $-m-1\neq 0$ のとき、$\frac{\partial A_{m}}{\partial t_{10}}=ipA_{m+2}$,$\frac{\partial A_{m+2}}{\partial t_{10}}=iqA_{m}$(3.13)である。ただし係数は$p= \frac{J_{m+2}(\eta_{m+2})}{J_{m}(\eta_{m})}\cross$$\frac{(a\eta-m+2)(a\mathfrak{y}-m)^{3}(a\mathfrak{v}-m-2)\{(k_{0_{-}}^{2}(m+1)+m(m+1)(m+2))af-2(P_{0}m(m+2)+m(m+1)^{2}(m+2))_{0I\}}+k_{0}^{2}(m+1)(m^{2}+2m-4)+m^{2}(m+1)\}}{32k^{T}(a\mathfrak{v}-marrow 1)(ma\mathfrak{v}+m^{R}+2k^{\urcorner}\overline{)}}$,$q= \frac{J_{M}(\eta_{m})}{J_{m+2}(\eta_{m+2})}\cross$$\frac{(r\alpha)h^{2-2(k_{0}^{2}m(m+2)+m(m+1)^{2}(m+2))_{\mathfrak{U})}+k_{0}^{2}(m+1)(m^{2}+2m-4)+m^{2}(m+1)(m+2)^{2}\}}}{32k_{0}^{2}(ar-m-1)((m+2)0\mathfrak{h}+m^{2}+4m+26+4)}$(3.14)の形をとる。
特に $(-1,+1)$ モードの共鳴において、波数両 $=1.578,3.286,\cdots$ のとき $\infty=0$ で共鳴する。このとき、$-p=q= \frac{3(3k_{0}^{2}+1)}{8(2k_{0}^{2}+1)}$

この結果は Vladimirov et al [13], Kerswell[7]$\text{と^{一}}$

致する

。

.

(3.15)

94
線形増幅率を$\epsilon\sigma$

は、$\sigma=\sqrt{}\exists q$

表 2: $(-1,1)$ モードの線形増幅率から求められる。らせんモー

ド $(-1,+1)$ 同士のパラメータ共鳴での増幅率は、

if on $=0$$\sigma=\{$(3.16)$\frac{3(3d}{8(2k},\overline{\sqrt{\frac{(3+\alpha’)(3-a\mathfrak{y})(1+\alpha))^{4}(1-on)^{4}0z_{41)}^{+1)}}{256(1+2H-(\phi)(1+2k_{0}^{2}+a\mathfrak{y})}}}$

if$\alpha)\neq 0$

であり、パラメータ共鳴し得る分散曲線の交点 $(?, oh)$ と線形増幅率 を計算したものが表 2 である。 とくに鋤 $=0$ のとき
大きな増幅率をとることがわかる。線形時間発展方程式 (3.14)$\sigma$が書き下されているので$\grave$–般の $(m,m+2)$ によるパラメータ

共鳴に関しても増幅率を容易に計算することができる。

3.3 非線形相互作用によって誘導古れる平均流に依存しない平均流と呼ばれるモード $u_{mf}(t,r)$ がを考える。 このオーダーでは、の計算では求めるこ発生する。 Euler 的方法の枠内では、 この平均流は、 線形作用素の縮退によりそこでの可解条件かまで進み、とができない。 Sipp[11] は楕円ひずみをともなう高次のオーダー
2 次の撹乱$o(\alpha^{2})$$\theta,$$z$$O(\alpha^{2})$$O(\epsilon\alpha^{2})$ら平均流の時間微分を計算した。 ただし、 この方法ではパラメータ共鳴が起こる $(m,m+2)$ モードの分散

曲線上の交点における平均流の時間微分しか決まらない。以下でこの内容を復習する。
$O(\alpha^{2})$の撹乱では以下のモードが発生する。
$u_{02}=A_{m}^{2}u_{02}^{(2m,2k)}e^{l2m\theta}e^{l2kz}+A_{m+2}^{2}u_{02}^{(2m+4,2k)}e^{i(2m+4)\theta}e^{\iota 2\ }$(3.17)$+A_{m}A_{m+2}u_{02}(eie^{*}+\overline{\Lambda_{m}}A_{m+2}u_{02}^{(2,0)}e^{l}+c.c.+u_{mf}(t,r)$

2 次の平均流モードの線形非斉次の微分方程式は(318)$\mathcal{L}^{(0_{1}0)}(\begin{array}{l}u_{mf}p_{mf}\end{array})=(\begin{array}{l}f(r)000\end{array})$$w_{mf},p_{mf}$ は不定である。
となる。この方程式は平均流の動径方向 $u_{mf}=0$ を解にもつが、の直流モードの線形非$u_{mf}(t,r)$を求めた。
の可解条件により、平均流
Sipp$(2000)[11]$ は$v_{mf},$$o(\epsilon\alpha^{2})$$o(\epsilon\alpha^{2})$斉次方程式は$(\begin{array}{lllll} 0 -2 0 \partial_{r} 2 0 0 0 0 0 0 0\partial_{r} +l/r 0 0 0\end{array})(u_{12}^{(0,0)}p_{i2}^{(0_{1}0)})=i(\overline{A_{m}}A_{m+2}-A_{m}\overline{A_{m+2}})(\begin{array}{l}f_{r}(r)f_{\theta}(r)f_{z}(r)0\end{array})-\frac{\partial}{\partial t_{10}}(\begin{array}{l}u_{mf}0\end{array})$(319)

この方程式が解をもつためには右辺の 2, 3 行目がゼロすなわち$i \tau_{m}\neg(\begin{array}{l}\int_{\theta}(r)f_{z}(r)\end{array})-\frac{\partial}{\partial t_{10}}(\begin{array}{l}v_{mf}w_{mf}\end{array})=(\begin{array}{l}00\end{array})$(3.20)

95が必要条件である。平均流が変数分離して書き表されるとする、 すなわち鋭 mf$(t,r)=B(t)u_{B}(r)$ のとき$\frac{dB}{dt}=i(A_{m+2}\overline{A_{m}}-\overline{A_{m+2}}A_{m})$この方法は楕円ひずみ,$u_{B}(r)=(\begin{array}{l}0f_{\theta}(r)f_{z}(r)\end{array})$.

(3.21)

を前提としているので、 パラメータ共鳴が起こる分散曲線の交点 $(k,\omega)$ でのみしか平均流の時間微分を計算できない。 また時間微分しか決まらず、初期条件は存在しないので 2 つのKelvin 波の摂動 (3.8) による平均流が決定しない。
$\epsilon$

4 Lagrange 的方法
Lagrange 的方法とは流体粒子の軌道を追いかける方法である。最近、 Hirota&Fukumoto[6], Fukumoto&Hirota[4] はこの手法により、 2 次の平均流を求めた。本章でこの方法を紹介し、 今考えている楕円柱容
器内回転流に起こる 2 次の平均流を求める。
$La\Psi^{ange}$

変位

$\xi$

を

(4.1)

$\xi=\alpha\delta x+\frac{\alpha^{2}}{2}\delta^{2_{X}}$とする。

Euler 方程式を満足して、 非粘性非圧縮を仮定しているので、 渦度方程式(4.2)$\frac{\partial\Omega}{\partial t}=\nabla\cross(u\cross\Omega)$が成り立つ。ただし$\Omega$

は渦度 $\Omega=\nabla\cross u$ である。 これを満足する渦度$\Omega$の摂動を考えると、$\Omega=\Omega_{0}+\alpha\delta\Omega+\frac{\alpha^{2}}{2}\delta^{2}\Omega$$\delta\Omega=\nabla\cross[\delta x\cross\Omega_{0}]$$\nabla\cross$,$\delta^{2}\Omega=\nabla\cross[\delta xx\delta\Omega+(\delta^{2}x-(\delta x\cdot\nabla)\delta x)\Omega_{0}]$

(4.3)
(4.4)

の逆演算を考えることで、一致する速度場 $u$ が与えられる、$\delta u=p[\delta x\cross\Omega_{0}]$ただし写像$La\Psi^{ange}$$\mathcal{P}$,$u=U_{0}+ \alpha\delta u+\frac{\alpha^{2}}{2}\delta^{2}u$(4.5)$\delta^{2}u=\mathcal{P}[\delta x\cross\delta\Omega+(\delta^{2}x-(\delta x\cdot\nabla)\delta x)\Omega_{0}]$(4.6)

は divergence がゼロになる成分を取り出す射影演算子である。

変位は体積保存より、$\nabla\cdot\delta x=0$,$\nabla\cdot\delta^{2}x=0$(4.7)

Euler 方程式の解 (4.4), (4.6) は iso-vortical sheet 上に制限され、 渦度のトポロジーを保つ。運動エネル
ギー $K(u)$ を$K(u)= \int|u|^{2}dV$,$K=$ 衝$+ \alpha\delta K\frac{\alpha^{2}}{2}\delta^{2}K$(4.8)とする、ただし,$\delta K=\int U_{0}\cdot\delta ud\nabla$$\delta^{2}K=\int(U_{0}\cdot\delta^{2}u+|\delta u|^{2})d\nabla$

(4.9)

96
Amold(1966)[1] は iso-vortical sheet 上に制限された流体の運動エネルギーに注目して、定常解はエネルギー汎関数の極値をとることを以下の計算により示した。
$\delta K=\int U_{0}\cdot(\delta x\cross\Omega_{0}+\nabla\phi_{1})dV$$= \int(\delta x\cdot\Omega_{0}\cross U_{0}+U_{0}\cdot\nabla\phi_{1})d\nabla$(4.10)$= \int(\delta x\cdot\nabla\psi_{1}+U_{0}\cdot\nabla\phi_{1})dV$$= \int\nabla\cdot(\psi_{1}\delta x+\phi_{1}U_{0})dV=0$

このとき$O(\alpha^{2})$

これは平均流の運動エネルギー$\overline{\delta^{2}u}$$\delta^{2}K$は$\delta^{2}K=\int[|\delta u|^{2}+U_{0}\cdot\delta^{2}u]dV=\int[|\delta u|^{2}+U_{0}\cdot(\delta x\cross\delta\Omega)]d\nabla$(4.11)$\overline{\delta^{2}u}=\overline{\mathcal{P}[\delta x\cross\delta\Omega]}=\overline{\mathcal{P}[\delta x\cross(\nabla\cross(\delta x\cross\Omega_{0}))]}$(4.12)がであることを表している。 そして線形の Lagrange 変位$\delta x$

から 2 次の平均流$\overline{\delta^{2}u}$が求められることを意味する。
を求める方程式として、 Frieman-Rotenberg 方程式 [5] が知られている。 この方程式はLagrange 変位
Lagrange 変位の時間発展方程式$\delta x$$\delta u=\frac{\partial\delta x}{\partial t}+(U_{0}\cdot\nabla)\delta x-(\delta x\cdot\nabla)U_{0}$(4.13)$\frac{\partial\delta u}{\partial t}+(U_{0}\cdot\nabla)\delta u+(\delta u\cdot\nabla)U_{0}=\nabla\phi$(4.14)

を線形撹乱 Euler 方程式に代入することによって得られる次の方程式(4.15)$\frac{\partial^{2}\delta x}{\partial t^{2}}+2(U_{0}\cdot\nabla)\frac{\partial\delta x}{\partial t}-\nabla\cdot(\delta xU_{0}\cdot U_{0}-U_{0}U_{0}\cdot\nabla\delta x)=\nabla\phi$

これは F-R 方程式と矛盾しない。 この方程式と体積保存の式 (4.7) から Lagrange 変位$\delta x$は求まる。 そして (4.12) に代入することで、 Euler 的手法では求めることができなかった非線形相互作用による平均流が与えられる。
$(\overline{\delta^{2}u})_{r}=0$$( \overline{\delta^{2}u})_{\theta}=\frac{8k_{0}^{2}J_{m}(\eta_{m}r)}{(al)-m+2)(q)-m)^{Z}}[\frac{m}{r(\infty-m)}J_{m}(\eta_{m}r)-m)(\eta_{m}r)]|\alpha_{m}|^{2}$$+ \frac{8*J_{m+2}(\eta_{m+2}r)}{(a\mathfrak{y}- m)(\alpha’-m-2)^{2}}[\frac{(m+2)J_{m+2}(\eta_{m+2}r)}{r(w-m)}-J_{m}\ovalbox{\tt\small REJECT}\eta_{m2}r]|\alpha_{n+2}|^{2}$$( \overline{\delta^{2}u})_{z}=\frac{-8h}{(n\mathfrak{y}-m)(a\mathfrak{y}-m+2)^{2}}[\frac{nd_{m}(\eta_{m}r)}{r(\alpha)-m)}-\frac{\eta_{n}d_{m+1}(\eta_{m}r)}{\infty-m-2}][\frac{nd_{m}(\eta_{m}r)}{r}+\frac{2\eta_{\hslash}d_{m+1}(\eta_{m}r)}{0r-m-2}]|\alpha_{n}|^{2}$$- \frac{8k_{0}}{(0\mathfrak{h}-m-2)(a\mathfrak{y}-m)^{Z}}[\frac{(m+2)J_{m+2}(\eta_{m+2}r)}{r(a\mathfrak{y}-m-2)}-\frac{\eta_{m+2}J_{m+3}\langle\eta_{m+2}r)}{a\mathfrak{y}-m-4}][\frac{(m+2)J_{m\star 2}(\eta_{m+2}r)}{r}+\frac{2\eta_{m+2}J_{m+3}(\eta_{m+2}r)}{0\mathfrak{h}-m-4}]|\alpha_{n+2}|^{2}$

(416)

4.1

Euler 的方法と Lagrange 的方法との比較

Euler 方程式の解が iso-vortical sheet 上に制限されるという特徴は定常解がエネルギー汎関数の極値として表れる。 これは撹乱による 2 次のエネルギーを 1 次の Lagrange 変位から計算可能にして、単一モードの97
自己相互作用によって生み出される平均流を 1 次の Lagrange 変位から求めることができた。 これは任意の分散曲線上の Kelvin 波により誘導される平均流が計算できることを意味する。初期に摂動 (3.8) を与える
ことにより誘導される平均流 (4.16) は Euler 的方法の時のように新しい変数の振幅$B$を必要とせず、 初期の摂動の振幅 $A_{m},A_{m+2}$ だけで与えられる。

Euler 的方法では平均流の時間微分を求めることができた。 ただし、 この平均流の時間微分は方位波数$(m,m+2)$ の組み合わせで生成されたものである。 そのため、 パラメータ共鳴が起こる分散曲線上の交点$(h, r)$ でしか平均流の時間微分を計算できない。パラメータ共鳴を考慮しなければならないため、 楕円
ひずみ が必要となった。
$\epsilon$

5 振幅方程式
2 次の平均流を計算できることで、 3 次の非線形モードまで求めることが可能である。 この結果、 自動
的に弱非線形振幅方程式は以下のハミルトン標準形に到達できた [8]。今は、のオーダーの非線形$o(\alpha^{3})$作用による時間変化と$O(\epsilon\alpha)$のオーダーの楕円ひずみによる時間変化を同じスケー Jl/で考えるために(5.1)$\alpha^{2}=\epsilon$とすることで摂動の大きさが決定する。
以下では、 振動数 $\omega=0$ の定常 Kelvin 波でパラメータ共鳴が起こり得る特別な場合、$u_{01}=A_{-}(t)u_{-}(r)e^{-i\theta}e^{lk}+A_{+}(t)u_{+}(r)e^{-i\theta}e^{ikz}+c.c$

.

(5.2)

のときを考える。 このとき振幅方程式は以下の形で与えられる、$\frac{dA\pm}{dt}=\pm[i\epsilon aA\mp+i\epsilon A\pm(b|A\pm|^{2}+c|A_{\mp}|^{2})]$$a= \frac{3(36+1)}{8(2*+1)}$

,

(5.3)

,

$b= \frac{2k_{0}^{4}}{3(2*+1)}[\frac{4}{J_{0}(\eta)^{2}}\int_{0}^{1}rJ_{0}(\eta r)^{2}J_{1}(\eta r)^{2}dr-(11k_{0}^{4}+13k_{0}^{2}+5)J_{0}(\eta)^{2}]$

,
(5.4)

,

$c= \frac{-k_{0}^{2}}{12(2k_{0}^{2}+1)}[\frac{64k_{0}^{2}}{J_{0}(\eta)^{2}}\int_{0}^{1}rJ_{0}(\eta r)^{2}J_{1}(\eta r)^{2}dr+(20k_{0}^{6}+97k_{0}^{4}+14k_{0}^{2}-27)J_{0}(\eta)^{2}]$$\eta=\sqrt{3}k)$

この定常 Kelvin 波は軸方向波数砺を離散的な値でとり、$k_{0}$が小さいときに係数 $a,b,c$ がどのような値をとるかを表に記す。
複素振幅 $A_{+},A_{-}$ の関係を

$A_{+}=\overline{A_{-}}$に制限した振幅方程式 (5.3)のふるまいを考える。
$\tau=\epsilon t,A=A_{+},$$b+c=-D_{NL}$ と変数変換すると、振幅方程式(5.3) は$\frac{u}{d\tau}=ia\overline{A}-iD_{NL}|A|^{2}A$(5.5)

この方程式を満足するとき複素振幅 がどのように変化するか調べるために、 の相図を描く。平衡点は $A=0,\pm\sqrt{a}/D_{NL}$ の
$A$

$A$

98

表 3: The coefficients of amplitude equation (5.4)

3 点である。 $A=0$ は線形不安定を示す平衡点で、増幅率は〉$a$である。 $A=\sqrt{a}/D_{NL}$ は安定平衡点である。

この方程式の楕円ひずみによる作用、 非線形による作用をよを用いる。振幅
り詳しく調べるために、 極座標表示$\Lambda=|A|e^{i\phi}$$\frac{d|A|}{d\tau}=|A|\sin 2\phi$

,

$|A|$

, 位相

$\phi$の時間発展方程式は(5.6)$\frac{d\phi}{d\tau}=\cos 2\phi-D_{NL}|A|^{2}$となる。 この方程式からわかることは、楕円ひずみにより線形不安定が起こる、 そして非線形作用は位相を負の方向に回転させる作用があり、 これによって不安定成長が回避される、 すなわち振幅は飽和してしまう。

の時間発展のグラフを描いたのが図である。
この図は初期の複素振幅として $A=e^{i\pi/4}/\iota\alpha$) として、最初に線

振幅凶と位相$\phi$形不安定を起こすように設定している。最初は線形不安定の影が指数的に増大している。一方、位相 は楕円
響で、振幅
$|A|$

$\phi$

ひずみによる影響がないため、 ほぼ一定のままである。徐々に

振幅凶が大きくなると、 非線形項の影響で位相が負の方向に回転し、 安定化する方向の位相 $\phi=-\pi/4$ あたりになると振幅$|A|$ が指数的に小さくなる。 この繰り返しが行われることが分かる。
図 5: $|A|,$6$\phi$の時間発展グラフ考察

初期の撹乱として 2 つのモード $(m,m+2)$ を考えた。結果は 2 つのモードだけでは波が不安定化するとは言えなかった。 しかし実際には楕円柱内の回転流は崩壊することが Eloy et al.[2] による実験で示されている。波の崩壊を示すには 3 波以上の相互作用を考えたい。
3 波以上考えるとき、 Euler 的方法では解析できない。 なぜなら Euler 的方法では $(m,m+2)$ モードのパ
ラメータ共鳴点しか平均流を求めることができないからである。 Lagrange 的方法は平均流を一般的に導くことができる。 これが 3 波以上の非線形解析を可能にする。

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