リングダイアグラム

有限温度で現われる赤外発散とそれをなくす方法を見ます。

φ4 理論での分配関数で出てきた log Z1 は特に何も起きていなかったので次のオーダにいきます。で、次の log Z2のオーダで早々に問題が起こります。それは、log Z2 の図のうちの一つである

この図です。この図のループ積分部分は

βV T 4X Z d3 p1 · · · d3 p4
D(n1 , p1 )D(n2 , p2 )D(n3 , p3 )D(n4 , p4 )(2π)3 δ(p1 − p2 )βδn1 ,n212(2π)
n ,··· ,n14と書けます。ここでの D(n, p) は1
ωn2 + p2 + m2(ωn = 2πnT )このループ積分は相変わらず紫外発散を起こすんですが、それはゼロ温度のくり込みでどうにか出来ます。しかし、状況を設定するとそれとは別に赤外発散を起こします。どう設定するのかというと、図の真ん中の部分の松原振動数を 0 にし、質量も 0 にします。そうするとループ積分はIX Z d3 p1 · · · d3 p4
D(0, p1 )D(0, p2 )D(n3 , p3 )D(n4 , p4 )(2π)3 δ(p1 − p2 )βδn1 ,n212(2π)
n1 ,··· ,n4³ Z d3 p´³ X Z d3 p´³ X Z d3 p´
34= βV T
D(0,p)D(0,p)
T
D(n,p)
T
D(n4 , p4 )333
33(2π)(2π)(2π)
nn= βV T 434

このとき、D(n3 , p3 ), D(n4 , p4 ) は 1 ループでの計算そのままになるので、それを Π1 とおいてしまい

I³ ZβV T´
d3 pD(0, p)D(0, p) Π213(2π)
Zd3 p 1= βV T Π21(2π)3 p4Z ∞d|p| p2= 4πβV T Π21(2π)3 p4Z0 ∞d|p| 1= 4πβV T Π21
3 p2(2π)0=この積分は明らかに下限である 0 で発散します。つまり、赤外発散を起こしています。このように、有限温度において、質量 0 の場合に n = 0 という静的な極限で赤外発散を起こします。同様のことがなんでゼロ温度で起きな
いかは、ゼロ温度での 1 ループの寄与は質量に比例して現われるために、質量 0 では寄与しないからです (場の量子論の「くり込み〜φ4 理論〜」の結果を見ればそうなっています)。それに対して有限温度では質量 0 でも Π1 は0 になりません (下で実際に計算します)。
さらにオーダを上げていけば同様の発散が現われており、それらはこのような図によって表現されます。で、このタイプの図のことをリングダイアグラム (ring diagram) と呼びます (リング図だと語呂が悪い気がするのでダイアグラムとしています)。これらの発散をどうにかしないと高次の計算ができないので、どうにかしてやります。
方法は単純で、このタイプの図を足し上げてしまいます。リングダイアグラムの現われ方というのは、図を見れば分かるように、係数を無視すれば

ΠN
1XZd3 p(n1)Nωn2 + p2

このような構造をしています (ωn = 0 で赤外発散を起こす)。N は λ のオーダ、ようは頂点の数です (λ は Π1 の中に入っています)。この形をみると

XZn¡
d3 p Π1¢N X
1=22
ωn + pnZ¡¢Nd3 p Π1 D(ωn , p)と書けることが分かります。そうすると、これの N に対する和を取ればリングダイアグラム全てを足したことにできます。なので、リングダイアグラムの和というのは∞ XZ
X
N =1 nd3 p(−1)N(Π1 D(ωn , p))N2N(1)こんな形で書けるはずです (マイナスがついているのは頂点の数 (頂点には −λ を当てる) によってマイナスがつくからです)。2N というのは場合の数からでてきたものです。頂点の並び方として (N − 1)!/2 通りで、これを分配関数の展開によってでてくる N ! で割ります

1(N − 1)!
=2N !
2N
他にも 1 つのループ部分 (頂点) における場合の数もあります。頂点に対する線の取り方として 3! 通り。両隣の頂点とをつなぐ線のつなぎ方によって 2 通り。この 3! × 2 通りというのは Π1 の場合の数にそのまま対応します。なので、これは Π1 の計算のときに考慮すればいいので、ここでは無視します。

(1) をちゃんと係数も含めて書けば

X
1βV T
2nZ∞

d3 p X (−1)N(Π1 D(ωn , p))N(2π)3N
N =1

このようになっています。しかし、N = 1 の場合というのは今は関係のない図なので、必要なリングダイアグラ
ムの足し上げは

Ω=

X
1βV T
2nZ∞

d3 p X (−1)N(Π1 D(ωn , p))N(2π)3N
N =2

これでいいです。当たり前ですが、これの和の各項 (N = 2, 3, · · · ) はそれぞれ赤外発散しています。
この式は log の展開

log[1 + x] =∞X(−1)n+1n=1nxnと同じ格好をしているので、N の和を取ると

Ω ==X
1βV T
2nZ

X
1βV T
2nZ∞
¢Nd3 p X (−1)N ¡Π1 D(ωn , p)
3(2π)
N
N =2∞
X
¢N 1d3 p 1 X (−1)N +1 ¡
Π1 D(ωn , p) − βV T
3(2π) (−1)
N
2n
N =1Z

=

X
1− βV T2n
X
1− βV T
2nZ

=

X
1d3 p
log[1+ΠD(ω,p)]+βVT1n(2π)32nZZ¢d3 p 1 ¡
Π1 D(ωn , p)3(2π) (−1)

d3 p
Π1 D(ωn , p)(2π)3¢d3 p ¡log[1 + Π1 D(ωn , p)] − Π1 D(ωn , p)3(2π)

このように書けます。この式にはこの時点で分かりやすい問題があって、それは Π1 はゼロ温度での紫外発散を持っているということです。これの除去は簡単で、ゼロ温度と同じ相殺項を加えればいいです。具体的に見るために、Π1 を計算します。Π1 は φ4 理論での自己エネルギーの図に対応するものなので、式にすれば

Π1 = 12λT

XZnX
d3 p−1=12λT(2π)3 (iωn )2 − p2 − m2nZ

d3 p132(2π) ωn + p2 + m2

ここでの 12 がさっき出てきた場合の数です。これは今の場合相互作用項を λ にとっているために 12 なんていう数になっていますが、24 で割れば λ/4! でのものになるので、1/2 になり場の量子論でやっていた係数に一致します。

この計算は相当単純な形をしているので

Z i∞
Π1 = 12λdp0−i∞ 2πiZd3 p−1+ 12λ × 2(2π)3 p20 − p2 − m2Z i∞+²dp0−i∞+² 2πiZ

d3 p−11(2π)3 p20 − p2 − m2 eβp0 − 1

このように、「和の計算」で出てきた形をそのまま使えます。第一項は p4 = ip0 として

Π01 = 12λZ ∞dp4−∞ 2πZd3 p1(2π)3 p24 + p2 + m2

第二項は留数定理を使って、右半円の経路を時計周りにとることで

Z i∞+²ZZ i∞+²Zdp0= 12λ × 2−i∞+² 2πi

ΠT1dp0= 12λ × 2−i∞+² 2πi(−2πi)= 12λ × 22πi
Z= 12λZd3 p−11(2π)3 p20 − p2 − m2 eβp0 − 1d3 p−11(2π)3 (p0 − Ep )(p0 + Ep ) eβp0 − 1(Ep = p2 + m2 )d3 p −11(2π)3 2Ep eβp0 − 1d3 p 11(2π)3 Ep eβEp − 1というわけで、

Π1= Π01 + ΠT1Z ∞dp4= 12λ−∞ 2πZ

d3 p1+ 12λ23(2π) p4 + p2 + m2Z

d3 p 11βE3p(2π) Ep e−1

ここでの第一項 Π01 は明らかにゼロ温度での場合と一致しています。なので、実際にゼロ温度での紫外発散を持っています。で、Π1 から Π01 を消すためには、相殺項を加えてやればいいです。そのためには、リングダイアグラ
ムの Π1 の代わりに質量の相殺項 δm2 にしたものを、Π1 のリングダイアグラムに加えればいいです。そうすることで、Π1 + δm2 という形を作ることが出来ます。単純に Π1 を δm2 に置き換えるだけなので、例えば、N = 3 の
とき

¢3
¡
¢3 ¡
Π1 D(ωn , p) + δm2 D(ωn , p)

=

¢3
¡ 0
¢3 ¡(Π1 + ΠT1 )D(ωn , p) + δm2 D(ωn , p)

=

¡ 0
¢3
Π1 + ΠT1 D3 (ωn , p) + (δm2 )3 D3 (ωn , p)

=

¡ 0
¢3
Π1 + ΠT1 + δm2 D3 (ωn , p)=(ΠT1 )3 D3 (ωn , p)となります。δm2 は δm2 = −Π01 として作るので、Π1 + δm2 は ΠT1 だけを返すことになります。

このことによって、最終的なリングダイアグラムの足し上げた形はX
1Ω = − βV T2nZ¢
d3 p ¡log[1 + Π1 D(ωn , p)] − Π1 D(ωn , p)
3(2π)

X
1
⇒ ΩR = − βV T2nZ¢
d3 p ¡
log[1 + ΠT1 D(ωn , p)] − ΠT1 D(ωn , p)(2π)3となります (図を足し上げることは再加算 (resummation) とよく表現されます)。ここで嬉しいことが起きていて、足し上げる前には赤外発散を起こしていたのに足しあげた後では赤外発散をしなくなっています。実際に赤外発散が出てこないことを見ていきます。

m = 0 のとき ΠT1 はZ
ΠT1 = 12λZ

d3 p 11(2π)3 Ep eβEp − 1d3 p 114π= 12λT(2π)3 p eβp − 1(2π)3⇒ 12λ= 12λZ ∞0|p|d|p| βpe −14π 1 π 2( )(2π)3 6 β= λT 2
これを代入して、n = 0 とすればZd3 p(log[1 + ΠT1 D(0, p)] − ΠT1 D(0, p))(2π)3ΩR (n = 0) =1− βV T
2=1− βV T
2=14π− βV T2(2π)3===−βV T £4π 2Zd3 p ¡λT 2λT 2 ¢log[1+]−(2π)3p2p2Z ∞Z ∞0¡¢λT 2d|p| p2 log[1 + 2 ] − λT 2pd|p|p2 log[1 +0λT 2]−p2Z ∞βV T h£ 1 3λT 2 ¤∞−plog[1+] −4π 2 3p2 0Z ∞βV T h£ 1 3λT 2 ¤∞p log[1 + 2 ] 0 −24π3pZ ∞−0d|p|λT 201 p3 −2λT 2d|p|−23 1 + λT
p3p2d|p|0¤−2λT 2p2−23p + λT 2

ここでの第一項は |p| が無限大のとき log を展開すればp3¡ λT 2¢
1 (λT 2 )2(λT 2 )22−···=|p|λT−···p22 p4|p|

Z ∞d|p|λT 2i0

Z ∞0d|p|λT 2iとなるので、この第一項のみが |p| 無限大では生き残ります。これは言い換えればλT2Z ∞d|p|0の積分にあたるのでΩR (n = 0)=βV T h λT 2−4π 23= −= −βV T4π 2βV T
4π 2βV T= −4π 2= −=βV T
4π 2Z ∞0

Z ∞0

Z ∞0Z ∞0

Z ∞Z ∞d|p| −00−2λT 2p2d|p|−3p2 + λT 2Z ∞d|p|λT 2i0¡ λT 2¢2λT 2p2+d|p|− λT 22233 p + λT
¡ λT 2 p2 + λT 22λT 2p2
3λT 2 p2 + λT 2 ¢d|p|+−3 p2 + λT 2
3 p2 + λT 2
3 p2 + λT 2
¡ λT 2 3p2 + λT 2
3λT 2 p2 + λT 2 ¢d|p|−3 p2 + λT 2
3 p2 + λT 2
¡ 2λT 2 λT 2 ¢d|p| −3 p2 + λT 22 βV T(λT 2 )23 4π 2

Z ∞d|p|01p2 + λT 2

=2 βV T1|p| ¯¯∞(λT 2 )2arctan
221/23 4π(λT )(λT 2 )1/2 0=2 βV Tπ1(λT 2 )223 4π2 (λT 2 )1/2=βV 3/2 4
λ T12πとなり、赤外発散が起きていません。さらにこれから分かるように、結合定数が λ3/2 のように中途半端なオーダを持ちます。また、n 6= 0 とした時には λ のオーダが 3/2 より大きいものが出てきます (λ2 から)。
話をなんでこんなものを計算したのかに戻します。出発点は、log Z の２次のオーダを計算しようとしたときに、質量 0 では n = 0 となる静的な場合に赤外発散が出てきてしまうというものです。そしてこの発散はリングダイアグラムで常に出てきます。このリングダイアグラムの赤外発散をどうにかする方法として、オーダごとに計算するのではなく、リングダイアグラムは高次のオーダも含めて全て一緒に足してしまおうという方針をとりました。
これによって、リングダイアグラムで生じる赤外発散は上手いこと消えてくれました。つまり、静的な場合で赤外発散する図を赤外発散しないものとして計算できたので、上のリングダイアグラムの n = 0 の結果を λ の 1 次のオーダの次の寄与として加えることになります。これがまともに摂動論が使えない理由で、1 次の次に効いてくるオーダが 2 次ではなくなるために通常の摂動展開は破綻します。このオーダまでの質量 0 のボソンによる圧力は

P =βV 3/2 4π2 41515π 2 4 λT 4T −+λ T =T (1 − 2 λ + 3 λ3/2 )904812π908π2πちなみに、ここでは 1 次のオーダでの自己エネルギー Π1 を使って計算しましたが、厳密なリングダイアグラムは高次のオーダまで含めた完全な自己エネルギー Π を使って構成されます。

φ4 理論でやってきましたが、QED や QCD でも赤外発散は起きるのでリングダイアグラムの足し上げは必要になります。