背景場の方法

生成汎関数をゲージ不変にして計算する背景場の方法を見ていきます。

通常のゲージ場のラグランジアンはゲージ不変性を持っていません。この原因はゲージ場を量子化するために導入されるゲージ固定項の存在によります。実際に、「ワード・高橋恒等式」で見たようにゲージ固定項がゲージ不変にならずに余計な項を出しています。そのため、生成汎関数が不変とならず、そこから求まる有効作用もゲージ不変性を明確に持っていません。摂動論の計算を行えばわかりますが、計算はゲージ依存性を持った状況で行われ、最終的な物理量に対応する結果までいくことでゲージ不変な結果が求められます。分かりやすい例が S 行列
で、ファインマン図を個別に計算するとゲージ依存しますが、全部足すとゲージ不変な結果が導かれます (QED
ではカレントとくっつくためゲージに依存する部分は消えてゲージ不変になる。qµ J µ = 0)。というわけで、計算の途中でゲージ不変性がないのは不便だということで、有効作用をゲージ不変な形に持っていこうとします。S 行列は LSZ の簡約公式によって相関関数から求められ、その相関関数は生成汎関数や有効作用から求められます。なので、生成汎関数がゲージ不変な形を持っているなら、計算はゲージ不変性を保ったまま行えます。そのための方法が背景場の方法 (background field method) です。
この方法は単純にゲージ不変な形式を作るというだけでなく、有効作用の計算を簡単にしてくれるので、背景場を使った時は有効作用を計算しようとします。
スカラー場を使って実際に見ていきます。場 ϕ による生成汎関数は∫Z[J] =[ ∫]Dϕ exp i d4 x(L[ϕ] + Jϕ)(1)

このラグランジアンでの ϕ に対して背景場 (background field)Q というの加えます。それによって背景場を含めた生成汎関数として∫
Z[J, Q] =[ ∫]Dϕ exp i d4 x(L[ϕ + Q] + J(x)ϕ(x))

このようなものを作ります。「.」は背景場を含んだものとします。ここから有効作用を作るために W としてW [J] = −i log Z[J]W [J, Q] = −i log Z[J, Q]と定義します。有効作用には後は古典的な場 ϕc , ϕc が必要で、これは

ϕc =

δW
δJϕc =

δW
δJとして、定義されます (自己エネルギーと有効作用」参照)。これらによって有効作用は(2)∫Γ[ϕc ] = W [J] −d4 xJ(x)ϕc (x)(3)∫Γ[ϕc , Q] = W [J, Q] −d4 xJ(x)ϕc (x)(4)

これとは別に、違う見方をして背景場があるときとないときでの関係を出します。(1) と (2) を比較してみると、源の項を無視すれば、(2) において ϕ を ϕ − Q と変数変換すれば (1) になります。なので、(2) をこのように変数変換すれば∫
Z[J, Q] =[ ∫]Dϕ exp i d4 x(L[ϕ] + J(x)(ϕ(x) − Q(x)))

そうすると、Z を使って

∫d4 xJ(x)Q(x)]Z[J, Q] = Z[J] exp[−iと書けます。これの対数をとれば∫log Z[J, Q] = log Z[J] − id4 xJ(x)Q(x)なので、W は∫W [J, Q] = −i log Z[J, Q] = − i log Z[J] −d4 xJ(x)Q(x)∫= W [J] −d4 xJ(x)Q(x)そして、背景場があるときの古典的な場 ϕc は定義によって

ϕc =

δW
δW
=− Q = ϕc − Q
δJδJ

これらの関係を (4) に使用すると∫Γ[ϕc , Q] = W [J] −∫d xJQ −4∫= W [J] −となり、この右辺は通常の有効作用になるのでd4 xJϕcd4 xJ(ϕc − Q)(5)Γ[ϕc , Q] = Γ[ϕc ]という関係を持ちます。さらに (5) よりΓ[ϕc , Q] = Γ[ϕc + Q]
として、通常の有効作用を背景場のあるときの場で書けます。これの利点は、ϕc = 0 としたときに

Γ[0, Q] = Γ[Q]と書ける点です。つまり、左辺を計算していき、Q = ϕc とすれば通常の有効作用になるという対応関係ができています。で、具体的には見ませんが、左辺は通常の有効作用 Γ[Q] を計算するよりも簡単な形になっているために楽になります。大雑把に言えば、左辺の有効作用 Γ[0, Q] には外線のついていない 1PI の図 (真空泡) しか出てこな
いためです。そのために、ゲージ不変性がどうこういう以前に、有効作用を簡単に計算する方法として背景場を導入することができます。
ここからゲージ不変性の問題に進んでいきます。ここでは非可換ゲージ場を使って話を進めていきます。記号は「ヤン・ミルズ理論」や「BRS 変換」と同じにし、その随伴表現は(tb )ac = if abc∂µ ϕa − igAbµ (tb )ac ϕc = ∂µ ϕa + gf abc Abµ ϕcと与えます。ta は生成子、f abc は構造定数、Aaµ はゲージ場です。
非可換ゲージでの生成汎関数はゴーストを出す前段階では∫
Z[J] =[ ∫]1
δGa
4a 2aaDηexp
idx(L[A]−DAµ det(G)+J·A)δΛb2α1 a 2aL = − (Fµν) , Fµν= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gf abc Abµ Acν
4Ga はゲージ条件の関数です。「·」はミンコフスキー空間での内積 Jµ Aµ を表わし、ローマ文字の添え字はは内部自由度で、同じローマ文字では和を取ります。非可換ゲージ場 Aaµ に対するゲージ変換は (Λa は x に依存)

aaabc b cAa′Aµ Λ = Aaµ + ∂µ Λa − gf abc Λb Acµ = Aaµ + δAaµµ = Aµ + ∂µ Λ + gf

Λb Acµ としているのは Aµ が後にあった方が見やすいからというだけです。この変換に対してラグランジアンは不変になっていません。
次に背景場を加えます。背景場 Qaµ をゲージ場 Aaµ に加えることで、生成汎関数は

∫Z[J, Q] =DAµ det |a][ ∫δG1ai d4 x(L[A + Q] −(G )2 + J a · Aa )|expbδΛ2α(6)aGa の中には Aµ がいるので、背景場がある形 G (A, Q) に書きます。ゲージ条件の微分 δG/δΛb の計算においては条件をゲージ変換したものが必要になりますが、このように背景場が入ってきたことによって G はゲージ変換として、Aµ に対して

δAaµ = ∂µ Λa − gf abc Λb (Acµ + Qcµ )(7)a

行列式 |δG /δΛb | は Aµ のゲージ自由度を失くすために入ってきているものなので、このように Aµ の変換を受けaます (exp 内の G は別の変換を行う)。
まず分かるのは、最初にみた性質がそのまま使えるということで、有効作用はスカラー場のときと同じようにして

Γ[A, Q] = Γ[A + Q; Q]
Aaµ =δW [J, Q]
δW [J]=− Qaµ = Ãaµ − QaµaδJµδJµaと書けます。Ãaµ は背景場がないときの Aaµ の真空期待値です。また、区別していませんが、有効作用に現われているのは W の汎関数微分から求められる真空期待値です。スカラー場と違うのはゲージ固定項の存在によって、生成汎関数の関係が∫[]Z[J, Q] = Z[J; Q] exp − i d4 xJ(x)Q(x)aと書けることです。これは Aµ ⇒ Aµ − Qµ と変数変換したときに G が背景場 Qµ を含むからです。これによって有効作用も Γ[A + Q; Q] と書いています。
ここから変換を行っていきますが、Λ の 1 次まで取ることにします。背景場を使ったときの特徴はゲージ条件をaG = ∂ µ Aaµ + gf abc Qbµ Acµ
このように背景場がまぎれ込んだ形で設定する点です。この条件によってゲージ不変な形式での計算を行えるようになります。また、Z[J; Q] に含まれる形としては

G̃a = ∂ µ Aaµ − ∂ µ Qaµ + gf abc Qbµ Acµ
第 3 項が変更されないのは f abc Qb · Qc は 0 だからです。
次に、通常のゲージ場でなく背景場 Qaµ がδQaµ = ∂µ Λa − gf abc Λb Qcµ = ∂µ Λa + gf abc Qbµ Λc(8)このように通常のゲージ変換されるとします。これから、背景場での共変微分としてD(Q) = ∂µ + gf abc Qbµというのが作れます。背景場があるときのラグランジアン部分はL[A + Q] = −)21(∂µ (Aaν + Qaν ) − ∂ν (Aaµ + Qaµ ) + gf abc (Abµ + Qbµ )(Acν + Qcν )4(9)この形を見ると、Aaν + Qaν が通常のゲージ変換の形になっていれば、ラグランジアンは不変になるのが分かりまa 2す ((Fµν) はゲージ不変)。つまり

δ(Aaν + Qaν ) = ∂µ Λa − gf abc Λb (Acµ + Qcµ )であればいいです。これと δQaµ を見比べると Aaµ は

δAaµ = −gf abc Λb Acµ(10)となり、(9) を不変にするためのゲージ場 Aaµ の変換がこれになります。
問題のゲージ固定項は

aG = ∂ µ Aaµ + gf abc Qbµ Acµ = (Dµ (Q)Aµ )aとして、背景場を使った共変微分の形になっています。今の変換規則を見ると、背景場がゲージ場のように変換し、ゲージ場が物質場 (フェルミオン場のような) として変換されています。そして、共変微分もその対応で作らaaれています。なので、共変微分の定義から見れば G · G の項はこの変換に対して不変な量になっているはずですa(共変微分は運動項を不変にする)。実際に、G を変換すると (Λ の 1 次まで)

a

G = ∂ µ Aaµ + gf abc Qbµ Acµ = (∂ µ δ ac + gf abc Qbµ )Acµ⇒ (∂ µ δ ac + gf abc (Qbµ + ∂µ Λb − gf bmn Λm Qnµ ))(Acµ − gf cij Λi Ajµ )= (∂ µ δ ac + gf abc (Qbµ + ∂µ Λb − gf bmn Λm Qnµ ))(δ cj − gf cij Λi )Ajµ= (∂ µ δ ac + gf abc Qbµ + gf abc (∂µ Λb ) − g 2 f abc f bmn Λm Qnµ )(δ cj − gf cij Λi )Ajµ)(= δ cj ∂ µ δ ac + gf abc Qbµ + gf abc (∂µ Λb ) − g 2 f abc f bmn Λm Qnµ()+ − gδ ac f cij ∂ µ Λi − g 2 f abc Qbµ f cij Λi − g 2 f abc (∂µ Λb )f cij Λi + g 3 f abc f bmn Λm Qnµ f cij Λi Ajµ()= δ cj ∂ µ δ ac + gf abc Qbµ + gf abc (∂µ Λb ) − g 2 f abc f bmn Λm Qnµ Ajµ()+ − gδ ac f cij ∂ µ Λi − g 2 f abc Qbµ f cij Λi − g 2 f abc (∂µ Λb )f cij Λi Ajµ= δ cj (∂ µ δ ac + gf abc Qbµ − g 2 f abc f bmn Λm Qnµ )Ajµ + (−gδ ac f cij Λi ∂ µ − g 2 f abc f cij Qbµ Λi )Ajµ= (∂ µ δ aj + gf abj Qbµ Ajµ − gf aij Λi ∂ µ Ajµ + g 2 f aic f cjb Qbµ Λi Ajµ= (∂ µ δ aj + gf abj Qbµ − gf aij Λi ∂ µ )Ajµ + g 2 f aic f cjb Qbµ Λi Ajµ= δ aj ∂ µ Ajµ + gf abj Qbµ Ajµ − gf aij Λi ∂ µ Ajµ + g 2 f aic f cjb Qbµ Λi Ajµ= ∂ µ Aaµ + gf abj Qbµ Ajµ − gf aij Λi ∂ µ Ajµ − g 2 f aic f cbj Qbµ Λi Ajµ= (δ ac − gf aic Λi )(δ jc ∂ µ + gf cbj Qbµ )Ajµ= (δ ac − gf aic Λi )(δ jc ∂ µ + gf cbj Qbµ )Ajµ= (δ ac − gf aic Λi )(D · A)c= (δ ac − gf aic Λi )Gc

途中の g 2 の項をまとめるときに

f abc f cmn = −f amc f cnb − f anc f cbmを使って

−δ cj f abc f bmn Λm Qnµ Ajµ − f abc f cij Qbµ Λi Ajµ= −f abj f bmn Qnµ Λm Ajµ − f abc f cij Qbµ Λi Ajµ= (−f abj f bmn Qnµ Λm − f abc f cij Qbµ Λi )Ajµ= (−f abj f bmn Qnµ Λm − (−f aic f cjb − f ajc f cbi )Qbµ Λi )Ajµ= (−f abj f bmn Qnµ Λm + (f aic f cjb + f ajc f cbi )Qbµ Λi )Ajµ= (−f abj f bmn Qnµ Λm + f ajc f cbi Qbµ Λi + f aic f cjb Qbµ Λi )Ajµ= (−f abj f bmn Qnµ Λm + f acj f cib Qbµ Λi + f aic f cjb Qbµ Λi )Ajµ= f aic f cjb Qbµ Λi Ajµaとなるのを使っています。というわけで、G の変換はa

δG = −gf aic Λi Gc

そして、f aic の入れ替えによってaaca

δ(G · G ) = −2gf aic Λi G · G = 0となるので、ゲージ固定項が (8)(10) の変換において実際に不変になっています。
残っている項はゲージ条件の行列式です。(7) からaG = ∂ µ Aaµ + gf abc Qbµ Acµ⇒ ∂ µ (Aaµ + ∂µ Λa − gf abc Λb (Acµ + Qcµ )) + gf abc Qbµ (Aaµ + ∂µ Λa − gf abc Λb (Acµ + Qcµ ))なのでaδG= ∂ µ (∂µ δ ai − gf abc δ bi (Acµ + Qcµ )) + gf abc Qbµ (∂µ δ ci − gf cmn δ mi (Anµ + Qnµ ))δΛi= ∂ µ (∂µ δ ai − gf aic (Acµ + Qcµ )) + gf abc Qbµ (∂µ δ ci − gf cin (Anµ + Qnµ ))= ∂ µ (∂µ δ ai + gf aci (Acµ + Qcµ )) + gf abc Qbµ (∂µ δ ci + gf cni (Anµ + Qnµ ))f abc を (tb )ac = if abc に変えたほうが見やすいので、変更して

aδG= ∂ µ (∂µ δ ai − ig(tc )ai (Acµ + Qcµ )) + gf abc Qbµ (∂µ δ ci − ig(tn )ci (Anµ + Qnµ ))δΛiaici= ∂ µ Dµ (A + Q) + gf abc Qbµ Dµ (A + Q)cici

= δ ac ∂ · D (A + Q) − ig(tb )ac Qb · D (A + Q)acci

= D (Q) · D (A + Q)
背景場の共変微分はab

Dµ (Q) = ∂µ δ ab − ig(tc )ab QcµabDµ (A + Q) = ∂µ δ ab − ig(tc )ab (Acµ + Qcµ )としています。これを exp 内に入れればゴースト項としてaccb

C ∗a D (Q) · D (A + Q)C bというのが現われます。C, C ∗ はゴースト場、反ゴースト場で、「.」で区別すると紛らわしいので「∗」にしています。表面積分と文字の入れかえによってcbcb

C ∗a (∂δ ac − ig(tb )ac Qb ) · D (A + Q)C b = (−∂C ∗a δ ac − ig(tb )ac Qb C ∗a ) · D (A + Q)C bcb= (−∂C ∗a δ ac + ig(tb )ca Qb C ∗a ) · D (A + Q)C bcb= − (∂C ∗a δ ac − ig(tb )ca Qb C ∗a ) · D (A + Q)C bca

cb= − (D (Q)C ∗a ) · (D (A + Q)C b )= − (D(Q)C ∗ )c · (D(A + Q)C)c
分解して書けば−(D(Q)C ∗ )c · (D(A + Q)C)c = − (D(Q)C ∗ )c · (∂µ δ cb − ig(ta )cb (Aaµ + Qaµ ))C b
cb= − (D(Q)C ∗ )c · (D (Q)C b − ig(ta )cb Aaµ C b )cb= − (D(Q)C ∗ )c · (D (Q)C b + gf cab Aa C b )この状況で、ゴースト場の変換を

δC = −f abc Λb C c , δC ∗ = −f abc Λb C ∗cと設定すれば、G と同じように考えられるので、(8),(10) の変換に対して不変にできます。というわけで、ここで作った変換に対して、ゲージ固定項とゴースト項を含めた全ラグランジアンが不変になりました。ここでの重要な点はゲージ条件を

aG = ∂ µ Aaµ + gf abc Qb · Acと設定することと、背景場に対してゲージ変換を行っていることです。ちなみに、この条件によるゲージ場の量子化を背景場ゲージと呼んだりもしています。
また、生成汎関数自体は変換に対して不変になっていないので、源も変換します。源 J の項は今の変換に対して

J a · Aa ⇒ J a · Aa + J a · δAaとなっているので、Jµa もδJµa = −f abc Λb Jµc
このように変換させます。そうすると

J a · δAa + δJ a · Aa = − f abc Λb J a Acµ − f abc Λb Jµc Aa= − f abc Λb J a Acµ − f cba Λb Jµa Ac= − f abc Λb J a Acµ + f abc Λb Jµa Ac=0となって不変になります。
まとめると、背景場のゲージ変換 (無限小) としてaゲージ条件： G = ∂ µ Aaµ + gf abc Qb · Ac
背景場： δQaµ = ∂µ Λa + gf abc Qbµ Λc
ゲージ場： δAaµ = −gf abc Λb Acµ
ゴースト場： δC = −gf abc Λb C c , δC ∗ = −gf abc Λb C ∗c
これによって非可換ゲージ場のラグランジアンは不変になります。
そして、源に対しては

δJµa = −gf abc Λb Jµcとすれば、生成汎関数は不変になります。ちなみに、フェルミオン場の変換は通常通りです。
この結果を見ると、背景場をゲージ変換しているので本当の意味でのゲージ変換ではないように見えます。しかし、これを有効作用まで持っていくことで利点が見えてきます。
生成汎関数は今の変換で不変になっているので、有効作用 Γ[A, Q] も不変です (区別しませんが、有効作用で出てくる A, Q は背景場での源ありの真空期待値)。そして、上で見たように Γ[0, Q] が重要になっています。この場
合、A が 0 になっているので、A の変換

δAµa = −gf abc Λb Acµが効いてこなくなります。しかも、この変換は Aaµ のただの回転変換なので Aaµ = 0 になったところで害を与えません。なので、Γ[0, Q] は Q の変換に対して不変です。この点が重要で、Q の変換はゲージ変換そのものであるた
めに、Γ[0, Q] はゲージ不変性を持ちます。これによって、Q に関して相関関数を求めれば、それは通常のゲージ場を用いた計算と対応させられるために、ワード・高橋恒等式や Slavnov-Taylor 恒等式を満たすようになります。
これが背景場を使った時の特徴であり利点で、実際にゲージ不変な状況で計算を行っていけます。
背景場ありでのワード・高橋恒等式は、有効作用が背景場の変換に対して不変ということから求められます。すでに有効作用 Γ[A, Q] は無限小変換に対して不変となっているので、Γ[A + δA, Q + δQ] を展開したときに 1 次の部分が消えればいいことから∫d4 x(δΓδΓδQa +δAa ) = 0
δQaµ µ δAaµ µとなり、δQaµ と δAaµ を入れることでac−(D (Q)δδ− gf abc Abµ a )Γ[A, Q] = 0δQaµδAµとなります。共変微分を前に出しています。フェルミオン場の部分は何も変更されていないので、これに通常のワード・高橋恒等式のフェルミオン部分を足せば、今の場合でのワード・高橋恒等式になります。
ここでは背景場を Aaµ + Qaµ と加えましたが、別の見方でも同じことができます。背景場を加える前のもとのラグランジアンにいるゲージ場 Aaµ がすでに背景場を含んでいると見て、Aaµ = Vµa + Qaµと量子論的な Vµa と古典的な Qaµ に分離させる見方です。そうすると、ゲージ場と背景場の差として Vµa が入ってきます。この状態で始めると、Aaµ は通常の変換を受けることになります。つまり、ゲージ場に対する変換

Aaµ ⇒ Aaµ + δAaµ = Aaµ + (Dµ Λ)aが作られます。これに対応して、背景場はQqµ ⇒ Qqµ + δQaµ = Qqµ + ∂µ Λa + gf abc Qbµ Λcと変換されます。これによって、差 Vµa がAaµ − Qqµ = Vµa ⇒ Vµa + δVµa = Vµa − gf abc Vµb Λc
このように物質場としての変換を受けます。この対応関係から分かるように、今まで使ってきた Aaµ がここでのVµa に対応することになります。なので、ゲージ条件も変更されて

aµG = (D (Q)(A − Q)µ )a = ∂ µ (Aaµ − Qaµ ) + gf abc Qb · (Aa − Qa )また、有効作用の関係は Vµa = 0 に対応する Aaµ = Qaµ として成立します。
最後に電磁場での場合を示しておきます。電磁場への変更は簡単で非可換ゲージ場で表れる f abc をなくせばいいです。なので、電磁場での背景場のゲージ変換はゲージ条件： G = ∂ µ Aµ
背景場： δQµ = ∂µ Λ
ゲージ場： δAµ = 0

電磁場ではゴーストは関係ないので無視しています。これらによって、ゲージ固定項も含めた電磁場のラグランジアンが不変になっていることはすぐに分かると思います。電磁場のラグランジアンは

1
Lem = − Fµν F µν4
これに背景場を加えると

F µν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + ∂µ Qν − ∂ν Qµ
これを変換すれば、Aµ の項は変化せずに Qµ の方が動きますが、全体として見れば δAµ + δQµ = ∂µ Λ なので、ただのゲージ変換です。よって、Fµν F µν はこの変換に対して不変です。ゲージ固定項

LG = −

11
G · G = − (∂ µ Aµ )(∂ ν Aν )2α2αに対しては明らかに不変です。共変微分を含むフェルミオンの項は

Lf = ψ(i∂µ γ µ − gγ µ (Aµ + Qµ ) − m)ψ

ψ は ψ † γ0 です。この場合でも結局、Aµ + Qµ の部分が通常のゲージ変換を受けるので、通常のフェルミオンの変換を行うことで不変になります。
ゲージ条件の行列式 |δG/δΛ| は、ローレンツゲージのときと同じ格好なのでダランベール演算子 □ がでてきます。これはどう見ても変換とは無関係なので、行列式は不変です。というわけで、生成汎関数を不変にすることができます。
ワード・高橋恒等式も簡単に求まって、Qµ の部分は

−∂µδΓ
=0
δQµとなるので、全体として−∂µとなります。

(δΓ )
δΓδΓ
+ ie ψ(x)− ψ(x)=0δQµ (x)δψ(x)δψ(x)