31第2章

確率変数とその性質◆ 本章の内容 ◆確率論は，第 1 章で述べたことを基礎にしながら，様々な偶然的に変化する量（これを数学用語では確率変数という）の規則性を扱う分野である．
「偶然的な量の規則性」について述べることが本章の目的であるが，「量」というと，個数や金額などの離散的な量と，長さ，重さ，密度などの連続的な量がある．そこで，第 1章と同様に，離散型の確率空間と連続型の確率空間に分けて扱う．
◆ 確率論の中での本章の位置づけ ◆具体的な現象として現れるのは「偶然的な量」すなわち，確率変数であり，すべての現象は確率変数で表されるともいえ，確率を学ぶ中心概念が確率変数であるともいえる．また，確率変数に対応する概念として，「この値までの確率」という概念である累積分布関数について，その定義や性質について述べるが，累積分布関数は確率変数と対になる重要な概念である．
◆ 本章のゴール ◆本章のゴールは，確率変数とはどのような概念で，公理系からどのように定義されるかを理解し，合わせて，累積分布関数の概念を理解することである．

2.1

確率変数の定義

確率変数とは，偶然的に変化する量のことであり，例えば，重さや長さな
ど，身の回りにたくさんある．ただし，「偶然的に」といっても，「一定の条件のもとでの変化」でなくてはならない．
「一定の条件のもと」というのは，例えば，コインを机の上に落としたと

32

第2章

確率変数とその性質

きに表と裏のどちらが上を向くかを調べる偶然現象において，「コインを落とす高さは常に一定の幅の範囲でなければならない」とか，1 本の木から収穫される「りんごの重さ」というときに，「違う品種の異なるりんごの木から収穫されるりんごを混ぜたりしない」というようなことである．
本章では，確率変数を離散的な場合と連続的な場合に分けて扱い，まずは離散的な場合の偶然現象の解析からはじめる．
サイコロ投げにともなう確率変数
サイコロを投げたときにどの目が出るかという偶然現象を調べる場合において，例えば「出た目の数を 10 倍した数値（例えば金額(円)）を与える」というような，確率をともなう関数のことを離散型確率変数という．
〈試行実験〉
サイコロをランダムに 100 回投げる実験において，が出たら 20 円，が出たら 30 円，が出たら 10 円，が出たら 40 円，が出たら 50 円，が出たら 60 円を与えるような離散型確率変数が，例えば次のようになったとする．

Prog[2-1]

20，60，40，30，40，50，30，30，40，50，10，50，10，10，50，40，30，10，60，20，
20，50，50，50，20，10，10，10，50，50，60，50，20，30，60，20，10，10，40，30，
10，20，10，40，10，10，10，10，30，10，60，30，30，40，40，50，10，50，20，20，
20，40，10，40，10，30，50，30，20，10，20，30，20，50，50，40，10，60，60，10，
30，10，30，60，40，20，30，40，50，50，10，50，10，50，40，30，50，30，50，60〈データの整理と評価〉
このデータをヒストグラム（柱状グラフ）で表してみると，図 2.1 のようになる（Prog[2-1]の結果でグラフも変化）．

Prog[2-2]

25

度

数

20
15
10
5
0

10

20

30

40

確率変数の値

50

60
図 2.1

2.1

確率変数の定義33

各 数 値 の 相 対 頻 度 を 求 め る た め に，実 験 回 数 を 1000 回，10000 回，
100000 回まで増やし，その結果を表にすると，例えば次のようになる．
Prog[2-3]
回数

10

20

30

40

50

60

100
1000
10000
1000000.25
0.166
0.16450.16633

0.14
0.157
0.16780.16818

0.17
0.146
0.16490.16681

0.14
0.184
0.16520.167640.21
0.164
0.16830.16586

0.09
0.163
0.16930.16518

確率変数の値と，その値をとる確率とを組にしたものを確率変数の確率分布という．いま，離散型確率変数の値を X として，X の値とその確率をセットにして確率変数の分布を表にすると次のようになる．
確率変数 X の値
確

率

10

20

30

40

50

60

1
6

1
6

1
6

1
6

1
6

1
6

次に，連続型確率変数であるが，例えば，1 本のりんごの木から収穫されるりんごの 1 つ 1 つの重さなどが，その例である．一例として，りんご 100個の重さ（g）が次のようになったとする．
275，237，240，249，249，270，246，259，236，260，253，261，254，240，248，
248，228，237，270，248，247，237，257，244，251，257，237，247，257，249，
263，241，250，284，229，243，233，249，237，241，231，240，240，233，242，
227，268，243，226，259，253，213，243，261，249，232，235，260，243，243，
257，218，261，285，219，264，275，214，239，238，255，261，247，238，240，
236，251，240，264，244，242，243，250，241，267，284，247，234，263，247，
296，230，236，250，238，266，220，271，256，245

このデータのヒストグラム(柱状グラフ）は，図 2.2 のようになる．
ここで，抽出する数を増やしていき，りんご 100000 個を選んだときのヒストグラムが図 2.3 のようになったとする（縦軸は，各範囲に入るデータの個数（度数）を表す）．抽出する個数を増やしていくと，平均値 250，標準偏差 15 の図 2.4 のような正規分布の形に近づいていくことがわかり，確率密度関数 f (x) は次のようになる．

34

第2章

確率変数とその性質

20

度

数

30

10

220

240

260

280

300

2000

確率密度

度

数

確率変数の値

1000

図 2.2

0.020

0.010

200 220 240 260 280 300 320

220

240

260

確率変数の値

確率変数の値

図 2.3

図 2.4

f (x) ＝

280

300

(−250) 2
1
e − 2×15 22
 2π × 15

ヒストグラムでは縦軸は「データの個数」であったが，正規分布のグラフ
では，縦軸は確率密度関数の値であり，ある範囲（区間）における面積が，その範囲の値をとる確率の値を表すことになる．
公理的な表現
このように，「偶然的に変化する数値」が確率変数であるが，「偶然的」というのは，ある確率法則に従って変化することを意味し，ある確率空間(Ω，ℱ，P) が背後にある．これらの具体例をもとにすると，確率変数は数学
的には次のように定義される．
確率空間 (Ω，ℱ，P) において，Ω の各要素 ω ∈ Ω に対して実数値をとる
関数 X(ω) が，1 次元ボレル集合体 B1 に属する任意の集合 A に対して，
X −1(A) ＝ ω ∈ Ω  X(ω) ∈ A ∈ ℱ

52

第3章

確率変数の期待値と分散◆ 本章の内容 ◆確率変数は，ランダムに変化する量の大きさのことであったが，「大体どのくらいの値をとるのか」ということは，大事な視点である．この点から，本章では確率変数の期待値（平均値）について述べる．
もう一つ，確率変数の変化の仕方が大きいのか，小さいのかということも大事な視点である．大きく変化した値をとるのか，それともほとんど変化しないかを分析するために，分散と，その平方根である標準偏差について述べる．
最後に，確率変数列の収束について述べる．関数列の収束と異なり，確率論独特の収束概念がいろいろあるのである．
◆ 確率論の中での本章の位置づけ ◆確率変数の振舞いを表す数値としては，期待値と分散が有効である．期待値と分散（標準偏差）を示すことで，この確率変数の大体の動きがわかる．確率変数の性質を調べるには，まず確率変数の重要な指標である期待値と分散を指定する
ことからはじめる．そして，確率変数列の収束は，後で出てくる中心極限定理の説明に不可欠となる．
◆ 本章のゴール ◆本章では，まず確率変数の期待値と分散の定義を理解し，その値を求められるようになること，また，代表的な分布の期待値と分散を求める式を実際の計算に活用できることが求められる．正規分布のいろいろな範囲の確率を，標準正規分
布の表から求められるようになることもゴールの一つである．そして，確率変数列の収束では，いくつかの異なる定義を理解し，相互の関係等を理解することが求められる．

3.1

3.1

確率変数の期待値53

確率変数の期待値

ここでも，偶然現象の例を調べることからはじめて，公理系に基づく確率
変数の期待値について述べる．
偶然現象の例の解析
最初に具体例として，サイコロを 100 回投げたときに，出た目の数の 10倍を与える確率変数を考えて，その実験結果の値を列挙する．次に，この結果の平均値を求め，それを，各値が出る相対頻度で表す．
さらに，サイコロを投げる回数を増やし，1000 回投げたときの平均値，10000 回投げたときの平均値，100000 回投げたときの平均値を求める．
最後に，これらのことからわかることをまとめてみよう．
〈試行実験〉
サイコロを 100 回投げたときの結果が，例えば次のようになったとする．
Prog[3-1]
10，40，10，10，60，20，10，10，10，30，20，20，60，30，40，10，20，10，20，
20，20，60，30，20，20，40，30，10，40，40，50，30，60，20，30，50，10，30，
60，60，50，50，30，50，60，20，20，10，10，50，20，50，60，10，20，30，10，
20，60，60，50，60，20，30，50，40，50，40，10，60，20，40，20，10，30，50，
30，30，10，20，10，60，40，60，10，60，60，50，40，50，30，30，20，60，10，
40，50，60，40，30

この 100 個の普通の平均値を求めるために，100 個の値を足して，100 で割り算する．
10 ＋ 40 ＋ 10 ＋ 10 ＋ 60 ＋ … ＋ 40 ＋ 50 ＋ 60 ＋ 40 ＋ 30
＝ 33.4100
これより，100 個の確率変数の平均値は 33.4 であることがわかる．そして，この平均値は，次のように変形すると相対頻度で表すこともできる．
10 ＋ 40 ＋ 10 ＋ 10 ＋ 60 ＋ … ＋ 40 ＋ 50 ＋ 60 ＋ 40 ＋ 30
100＝

10 × 20 ＋ 20 × 20 ＋ 30 × 16 ＋ 40 × 12 ＋ 50 × 14 ＋ 60 × 18
100

＝ 10 ×

20
20
16
12
14
18
＋ 20 ×＋ 30 ×＋ 40 ×＋ 50 ×＋ 60 ×
100
100
100
100
100
100

＝ 10 × (10の相対頻度) ＋ 20 × (20の相対頻度) ＋ 30 × (30の相対頻度)

54

第3章

確率変数の期待値と分散＋ 40 × (40の相対頻度) ＋ 50 × (50の相対頻度) ＋ 60 × (60の相対頻度)＝ 33.4
サイコロを投げる回数を 1000 回，10000 回，100000 回と増やしてみると，平均値は次の表のようになる．
投げた回数

10

100

1000

10000

100000

平均値

43

33.4

35.45

34.99635.0469〈データの整理と評価〉
1.3.1 項で述べたように，サイコロを投げる回数を増やすと，「相対頻度の値」は「確率の値」に近くなっていく．
「相対頻度の値」を「確率の値」に置き換えたのが，「確率変数の期待値または平均値」であり，記号でそれぞれ E(X)，M (X) などのように表す．
そこで，この記号を用いると，E(X) ＝ 10 × P(X ＝ 10) ＋ 20 × P(X ＝ 20) ＋ 30 × P(X ＝ 30)＋ 40 × P(X ＝ 40) ＋ 50 × P(X ＝ 50) ＋ 60 × P(X ＝ 60)＝ 35（サイコロの各目の出る確率は等しく

1
とできる）
6

のように表すことができ，「確率変数 X の期待値 E(X) とは，試行回数を増やしていったときに，確率変数のデータの「平均値」が近づいていく値である」ということがわかる．
確率変数の期待値の定義
確率空間(Ω，ℱ，P) 上の確率変数 X(ω) に対して，「X の期待値 E(X)」は次のように離散型と連続型に分けて定義する．
(1)

確率空間 (Ω，ℱ，P) が離散型確率空間の場合

Ω が有限個または可算無限個でできていて，Ω ＝ ω1，ω2，ω3，… となってい る と き，x ＝ X(ω)，p ＝ P(ω)とおく．
こ の と き，確 率 変 数 X(ω) の 期
待値 E(X) は事

象

確率変数の値
確 率

ω1

ω2

ω3

…

x1
p1

x2
p2

x3
p3

…
…

3.1

確率変数の期待値

55∞

E(X) ＝ x1 p1 ＋ x2 p2 ＋ x3 p3 ＋ … ＝ ∑ x p

(3.1)

＝1

で定義される．
問題 3.1200，

サイコロ投げの偶然現象において，が出たら 300，が出たら 400，が出たら 100，が出たら 500，が出たらが出たら 600 を与えるような確率変数 X の期待値を，定義式 (3.1) から求めよ．
事象

確率変数の値
確

(2)

100
1
6

率

200
1
6

300
1
6

400
1
6

500
1
6

600
1
6

確率空間 (Ω，ℱ，P) が連続型確率空間の場合

確率変数 X が平均値 50，標準偏差 10 の正規分布に従うとき，ここからサンプルを 100 個，1000 個，10000 個，100000 個取り出し，その平均値を求める．そして，これらの結果を表にまとめて，その変化を調べてみよう．
〈試行実験〉
サンプルを 100 個取り出したときの結果が，例えば次のようになったとする（小数点以下を四捨五入）．

Prog[3-2]

29，32，58，32，45，58，40，67，50，59，43，64，72，31，57，53，62，67，50，
70，70，62，45，68，60，24，59，28，60，45，59，46，62，48，36，44，34，59，
41，34，48，65，43，40，37，41，65，55，26，54，58，52，57，57，43，51，64，
57，71，55，26，47，40，60，25，63，63，60，52，58，54，55，45，45，53，34，
41，49，49，40，31，44，49，48，41，66，32，36，50，39，52，58，52，44，41，
54，66，59，27，40

このような数の羅列では様子がわからないので，幅を 5 刻みにとって度数分布表をつくり，ヒストグラムを描いてみると図 3.1 のようになる．
X の値の区間

頻度

X の値の区間頻度

25 ≤ x ≤ 29

7

55 ≤ x ≤ 59

17

30 ≤ x ≤ 34
35 ≤ x ≤ 39
40 ≤ x ≤ 448416

60 ≤ x ≤ 64
65 ≤ x ≤ 69
70 ≤ x ≤ 74

11
7
3

45 ≤ x ≤ 49
50 ≤ x ≤ 5413
13

75 ≤ x ≤ 79

1

81

第4章

二 項 分 布◆ 本章の内容 ◆
本章では，代表的・典型的な離散分布である二項分布について述べる．
二項分布は，コインを投げて表が出るか裏が出るか，サイコロを投げてが出るか出ないかなど，ある事象 A が起きるか起きないかを扱う確率分布が基礎になる．具体的には，コイン投げを何回か行ったときに表の出る回数とその確率を表す確率分布が二項分布となり，サイコロ投げでは，サイコロを何回か投げたときに，ある特定の目が出る回数とその確率などが二項分布から求められる．
◆ 確率論の中での本章の位置づけ ◆二項分布は確率分布の典型的な場合で，日常生活でも多数観察される．「二項分布についてわかれば，離散型確率分布はすべてわかったようなもの」といえるく
らい大事なものである．また，理論と実験との関係を知る上でもわかりやすい例
である．本章では，この二項分布についての実験的な成り立ちや性質，期待値や分散などについて述べる．
◆ 本章のゴール ◆本章では二項分布の公式の由来を理解し，実際の問題に使えるようになってほしい．二項分布の期待値と分散についても理解し，それらを具体的な問題に使えるようになることが必要である．

4.1

偶然現象から二項分布へ

サイコロを 20 回投げたときに， が何回出るかを実験で確かめてみよう．
この実験を例えば 100 回行うと，が出る回数は，0 回から 20 回まで起き

82

第4章

二 項 分 布る可能性がある．このときのそれぞれの相対頻度の結果は，例えば次の表のようになる．ただし，この表では，小数点第 3 位以下は四捨五入している．
Prog[4-1]が出る回数

相対頻度の値が出る回数

相対頻度の値

0
1
2
3
4

0.02
0.13
0.24
0.19
0.26

11
12
13
14
15

0.00
0.00
0.00
0.00
0.00

5
6
7
8
9
10

0.13
0.06
0.01
0.02
0.00
0.00

16
17
18
19
20

0.00
0.00
0.00
0.00
0.00

この表の結果をグラフで表すと，図 4.1 のようになる．

Prog[4-2]

相対頻度の値

0.30

0.20

0.10

0.00

0

5

10
回

15
数

20
図 4.1

この段階では，まだ規則性はみえてこない．そこで，サイコロを 20 回投げる実験の回数を，100 回ではなく 1000 回にしてみる．そして，相対頻度は数値で示しても規則性がはっきりしないので，実験結果をグラフで示してみると，図 4.2 のようなグラフになる．
さらに実験回数を増やした 10000 回の場合は図 4.3，そして，100000 回の場合は図 4.4 のようなグラフになる．

4.1

偶然現象から二項分布へ

83

相対頻度の値

0.30

0.20

0.10

0.00

0

5

10

15

回

20

数

図 4.2

相対頻度の値

0.30

0.20

0.10

0.00

0

5

10
回

15

20

数

図 4.3

相対頻度の値

0.30

0.20

0.10

0.00

0

5

10
回

15
数

20
図 4.4

実験の回数が多くなるにつれて，図 4.1 のようなデコボコがなくなり，図4.4 のようなグラフになってくることがわかる．100000 回の場合を数値で示
すと次の表のようになる．

92

第5章

大数の法則

◆ 本章の内容 ◆確率論の公理を導くときに，「相対頻度の安定性」を手掛かりにしたが，本章では，この性質を確率論の公理系から導く．大数の法則には，「弱法則」と「強法則」という 2 つの法則がある．どちらも，確率の概念の基礎である「相対頻度の安定性」を表したものである．
◆ 確率論の中での本章の位置づけ ◆第 1 章の 1.2 節で相対頻度の安定性から確率の数値を導き出したときに，大数の法則の概念についてはすでに触れたが，1.2 節ではコインを投げる実験から述べたので，本章では，「サイコロを投げる」という偶然現象の解析から大数の法則を導く．そして次に，公理，定理，定義から出発し，公理の基礎である「確率」そのものの定義を，大数の法則という形の定理として証明する．
すなわち，確率論の公理系から出発し，公理の基礎になっている「相対頻度の安定性」を証明するというものである．いわば，確率論の公理の正当性を示しているのが「大数の法則」に他ならないのである．
◆ 本章のゴール ◆本章では，確率論の公理系から大数の法則が導けるということ，そして，大数の法則の弱法則と強法則の違いについて理解できればよい．細かい証明よりも，
まずは「こんなふうに証明できるのか」と納得できるようになってほしい．

5.1

偶然現象の解析から大数の弱法則へ

確率変数 X を， 回目の試行で事象 A が起きたら 1，起きなかったら 05.1

偶然現象の解析から大数の弱法則へ93を対応させるとすれば，S ＝ X1 ＋ X2 ＋ … ＋ X は，n 回の試行で事象 Aが起きた回数を表し，これを「二項分布」とよんだ（4.2 節を参照）
．
ここで，

S
は事象 A が起きる「相対頻度」を表し，例えば 1 回の試行nで事象 A が起きる確率を p ＝ P(A) とすると，平均値は m ＝ E(X) ＝
1 × p ＋ 0 × (1 − p) ＝ p のように求めることができた．
サイコロ投げでは p ＝ P( ) ＝

S
1
であり，
は
6
n

る．いま，20 人で各自がサイコロを 100 回投げ，が出る相対頻度であの目が出る相対頻度を求めてみたときに，例えば次のような結果になったとする．
0.18，0.22，0.2，0.2，0.18，0.14，0.17，0.22，0.24，0.14，0.17，0.18，0.21，
0.15，0.18，0.14，0.12，0.21，0.16，0.12

この相対頻度と，いわゆるサイコロのの目が出る確率の差（絶対値）を求めてみると，次のようになる．

1≒ 0.1667 と60.0133333，0.0533333，0.0333333，0.0333333，0.0133333，0.0266667，
0.00333333，0.0533333，0.0733333，0.0266667，0.00333333，0.0133333，
0.0433333，0.0166667，0.0133333，0.0266667，0.0466667，0.0433333，
0.00666667，0.0466667

数値だけではわかりにくいので，横軸に人数，縦軸に 20 人の相対頻度をとってグラフにしてみよう．各自の値が1にどれだけ近いかをみるため，
6

図 5.1 では 16 ± 0.01 に横線を入れてある．

Prog[5-1]

0.20

相対頻度

0.18
0.16
0.14
0.12

0

5

10
人

15

20

数

図 5.1 をみると，20 人のほとんどの人の相対頻度が

図 5.1

1
と離れていて，差6が 0.01 より大きく，相対頻度の値は 16 ± 0.01 の範囲に入っていない．つまり， n − p  < 0.01 を満たしていない．
S

94

第5章

大数の法則

そこで，サイコロを投げる回数を 100 回から 1000 回に増やしてみると，20 人の相対頻度は，例えば次のようになる．

Prog[5-2]

0.182， 0.185， 0.152， 0.178， 0.167， 0.155， 0.167， 0.156， 0.17， 0.161，
0.147，0.143，0.182，0.156，0.163，0.173，0.143，0.158，0.158，0.1711
この相対頻度と との差（絶対値）は次のようになる．
6
0.0153333， 0.0183333， 0.0146667， 0.0113333， 0.000333333， 0.0116667，
0.000333333， 0.0106667， 0.00333333， 0.00566667， 0.0196667， 0.0236667，
0.0153333， 0.0106667， 0.00366667， 0.00633333， 0.0236667， 0.00866667，
0.00866667，0.00433333
0.20

相対頻度

0.18
0.16
0.14
0.12

0

5

10
人

図 5.2 をみると，今度は，

15
数

20
図 5.2

S
1
1
− 0.01 << ＋ 0.01 の範囲に入って66n

いる方が多くなったが，まだ，「ほとんどがこの範囲に入っている」という状況ではない．そこで，さらに投げる回数を増やして，20 人が各自 100000回投げたときのが出る相対頻度は，例えば次のようになる． Prog[5-3]0.165， 0.1684， 0.161， 0.1615， 0.1684， 0.1662， 0.1677， 0.1639， 0.1604，
0.1719， 0.169， 0.1661， 0.1623， 0.1681， 0.1642， 0.1691， 0.169， 0.1651，
0.164，0.1588

1との差（絶対値）は次のようになる（図 5.3）．
60.00166667，0.00173333，0.00566667，0.00516667，0.00173333，0.000466667，

この相対頻度と0.00103333，0.00276667，0.00626667，0.00523333，0.00233333，0.000566667，
0.00436667，0.00143333，0.00246667，0.00243333，0.00233333，0.00156667，
0.00266667，0.00786667

図 5.3 をみると，今度は 20 人すべての相対頻度が＋ 0.01 の範囲に入っていることがわかる．

S1
1− 0.01 <
<
6
6
n

5.1

偶然現象の解析から大数の弱法則へ

95

0.20

相対頻度

0.18
0.16
0.14
0.12

0

5

10
人

15

20

数

図 5.3

もっとも，サイコロを投げる人数を 20 人から 30 人，100 人と増やしていくとこの範囲に入らない例も出てくるかもしれないが，その場合には，投げる回数をさらに増やせばよい．
また，ここでは1との差を ε ＝ 0.01 としたが，幅をさらに小さい値に設6定しても，投げる回数を増やせば上記の状況は変わらない．念のため，ε ＝0.001 とした場合，投げる回数を 1000000 回に増やせば

1± 0.001 の範囲
6に入ることが図 5.4 からわかる（縦軸の目盛りのスケールが小さくなっていることに注意）．
0.170

相対頻度

0.168
0.166
0.164
0.162
0.160

0

5

10
人

15
数

20
図 5.4

というわけで，ε(> 0) をどんなに小さくとっても，投げる回数を大きくしさえすれば，ほぼ確実に「相対頻度は験的に確認できたことになる．

 n − p  < ε を満たす」ことが実S

以上は，サイコロ投げの偶然現象を例とした「偶然現象の解析結果」であ

107

第6章

中心極限定理◆ 本章の内容 ◆確率論というと思い浮かべるのは正規分布というくらい，正規分布は確率論の花形である．なぜ正規分布が重要かというと，いろいろな確率分布が正規分布に近づいていくという中心極限定理があるからである．偶然的な要因が多数重なると，正規分布に近づいていくのである．
本章では，二項分布が正規分布に近づいていくことを述べる．もちろん，正規分布を必要以上に過信してはならない．例えば，人間の能力などは個性もあり，いろいろな側面があるので，人間の能力まで正規分布に当てはめられるなどと考えてはいけない．
◆ 確率論の中での本章の位置づけ ◆本章では，いろいろな確率分布の中で中心的な役割を果たすのが正規分布であることを述べる．すなわち，中心極限定理は確率論の中でも大数の法則と並ぶ極めて重要な内容といえる．
◆ 本章のゴール ◆試行回数が増えると二項分布が正規分布に近くなっていくことを理解し，二項
分布の代わりに正規分布を近似的に使えることを知り，実際に活用できるようになることがゴールである．なお，二項分布の計算はコンピューターがないとできないが，正規分布は便利な表があるので，それを使えるようになればよい．

6.1

偶然現象の解析から中心極限定理へ

いま，サイコロを n 回投げたときにが出る回数を S とし，平均が 0

108

第6章

中心極限定理で標準偏差が 1 である標準正規分布と比較するために，次のように変換した
S＊ を導入する（これを正規化という）．
S＊ ＝

S − np
 npq

(6.1)

S＊ のグラフが次第に標準正規分布のグラフに近づいていくことを確かめてみよう．
サイコロを 10 回投げたときに

が

0.5

＊
10

出る回数 S10 から導かれる S の分布

0.4そのものを柱状グラフ（ヒストグラ
ム）で表すと，例えば図 6.1 のように
なる．

0.3

Prog[6-1]
0.2

＊
10

横軸の値は，S の値である．縦軸＊の値は，S10を定めるときに横軸の値0.1を  npq で割っているので，全面積が1 に な ら な い．そ こ で，縦 軸 の 値 は

 npq 倍して，全面積が 1 になるようにしてある．こうすると，標準正規分

−6

−4

−2

0

2

4

6

S＊
10
図 6.1

布との比較がしやすくなる．
サイコロを投げる回数を増やして，50 回，200 回投げたときに＊50

回数 S50，S200 から導かれた S と S

＊
200

が出る

の分布を柱状グラフ（ヒストグラム）

で表すと，それぞれ図 6.2，図 6.3 のようになる．このように，サイコロを投げる回数を増やしていくと，標準正規分布のグラフ (図 6.4) に近くなっていくことがわかるだろう．
＊
サイコロを 100 回投げた場合の正規化された二項分布 S100のグラフと，標準正規分布のグラフを同時に描いてみると，図 6.5 のようにほとんど同じで重なってしまい，区別がつかないほどである．つまり，n を増やしていくと，正規化された二項分布 S＊ の分布の仕方は，標準正規分布に近づいていくことがわかる．しかも，10000 回とか投げてみなくても，100 回でも充分にÈ近づいていくÉことがわかるし，近づき方はかなり速いペースであることもわ
かる．

6.1

−6

−4

偶然現象の解析から中心極限定理へ

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

−2

0

2

4

6

−6

−2

0
S＊
200

図 6.2

図 6.3
0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

−4

−4

S＊
50

0.5

0.0
−6

109

−2

0

2

4

6

0.0
−6

図 6.4

−4

−2

0

2

2

4

4

6

6

S＊
100
図 6.5

このような偶然現象の解析から，次節で述べるような中心極限定理とよばれる定理が成り立つのである．
問題 6.1(1)

次の問いに答えよ．

1 回 の 試 行 で 事 象 A が 起 き る 確 率 が p ＝ P(A) ＝ 0.1 で あ る と し，

q ＝ 1 − p とおく．この試行を 10 回行ったとき，A が起きる回数を表す確率変数
を S10 とする．これを正規化した確率変数を

140

第9章

確率過程入門◆ 本章の内容 ◆確率現象が時間の経過とともに変化していく場合を，確率過程という．本章では，その入門的な部分としてのランダムウォークとマルコフ連鎖について解説する．
（大学での「確率論」の講義が半期の場合には，ここまで扱うのは分量として多くなってしまうかもしれないが，「これからこんな面白いことが始まるよ」という刺激になればと思う．）◆ 確率論の中での本章の位置づけ ◆これまでの本書の内容は，いわば「確率論の基礎」であり，確率論の面白いところ，確率論の主流は，「確率過程」なのである．本章で，ようやく確率論の本題に入ったといっても過言ではない．他の分野との関連でも，微分方程式に関係するのは確率過程であり，経済学におけるファイナンスと関係するのも確率過程なのである．ただし，これらの場合には，本章で扱う「時間が離散的なマルコフ連鎖」
ではなく，「時間が連続になった場合のマルコフ過程」が主流となってくる．
◆ 本章のゴール ◆本章では，ランダムウォークとマルコフ連鎖の面白い話題を紹介するが，「確率過程入門」の章なので，ここでは，確率過程の面白さがわかってもらえればよい（そのため，細かい証明は省略することが多いことを予めお断りしておく）．

9.1

ランダムウォーク

ランダムウォークとは，英語の random walk そのものであるが，日本語では「乱歩（らんぽ）」とか「酔歩（すいほ）」などとよばれている．

9.1

9.1.1

ランダムウォーク

141

ランダムウォークのサンプルパス

いま，会社の同僚と酒を飲んで帰宅途中の酔っぱらいが，最寄りの駅から自宅まで，道をまっすぐ進むべきところを，右に行ったり左に行ったり，フラフラしながら進んでいく姿を想像して欲しい．
この酔っぱらいの動きは，ランダムに左右に動きながら前へ進んでいるのであるが，ここでは，1 秒後に右へ移動する確率が1，左に移動する確率も21とする．しかも，時間が経過してどの場所まで行っても，その地点から
2
1
1
右へ移動する確率が ，左に移動する確率も としよう．これはちょうど，
2
2

コインを投げて表が出たら 1 万円を取得し，裏が出たら 1 万円を失うというゲームと同じであり，ある時点における酔っぱらいの位置が，その時点における所持金に相当する．
左右に同じ確率で移動するランダムウォークのことを，特に対称ランダムウォークとよぶ．
問題 9.1

酔っぱらいの気持ちになって，右へ行ったり左へ行ったりするラン

ダムウォークを考えてみる．はじめに右へ行き，次に左へ行き，もう一度左へ行き，さらにもう一度左へ行き，今度は右へ行き，もう一度右へ行く，というランダムウォークの変化するグラフを，右を上，左を下にして描いてみよ．

ここでは，5 秒後にどのような地点にどのような確率で到達しているかを，
シミュレーションで確かめてみよう．一例の図 9.1 の 6 つの図は，進む方向と時間の経過を横軸にとって，左右に進むのを上下に表したものである．
Prog[9-1]
図 9.1 をみると，酔っぱらいがどのような道筋を通るかは，ランダムで全
くわからないため，1 つ 1 つがサンプル（標本）であるといえる．このような図をサンプルパスという．
「パス」は英語の「path」（道，道筋，経路）から来ている．
図 9.1 ではランダムウォークの 5 回までの変化を 6 つの図で示したが，もう少し長い時間の変化もみておこう．酔っぱらいが 1000 秒間にどのように動いたかを 4 通りのサンプルパスで示すと，例えば図 9.2 のようになる．
Prog[9-2]

142

第9章

確率過程入門

4

4

2

2

0

1

2

3

4

0

5

−2

−2

−4

−4

4

4

2

2

0

1

2

3

4

0

5

−2

−2

−4

−4

4

4

2

2

0

1

2

3

4

0

5

−2

−2

−4

−4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

図 9.1
100

100

50

50

0

0

−50

−50

−100

0

200

400

600

800

1000

−100

0

図 9.2（続く）

200

400

600

800

1000

9.1

ランダムウォーク

100

100

50

50

0

0

−50

−50

−100

0

200

400

600

800

1000

−100

0

143

200

400

600

800

1000

図 9.2
100

50

0

−50

−100

0

200

400

600

800

1000

図 9.3

さらに，1000 秒間における酔っぱらいのランダムウォークのパス 20 通りを同時に示すと図 9.3 のようになるが，これをみると，酔っぱらいは極端に右へ行きっぱなしになったり，左に行きっぱなしになったりはしないことが
わかる．
9.1.2

ランダムウォークの数学的表現

ここでは，ランダムウォークを数学的に表現する方法について述べる．
例えば，酔っぱらいが n 回目に右に移動することを＋1 で表し，左に移動することを−1 で表すには，次のような確率変数 X を使えばよい．

X ＝



＋1
−1

確率は 12 
確率は 12 (n ＝ 1，2，3，…)

(9.1)

158

第9章

確率過程入門

100

50

0

50

−100
−100

−50

0

50

100

図 9.22ば図 9.22 のようになる．

Prog[9-23]

2 次元ランダムウォークの場合，原点から出発したときは，確率 1 で「いつかは原点に戻ってくる」，すなわち，「再帰的である」ことが知られている．
なお，3 次元ランダムウォークの場合には「再帰的ではない」ことが知られていて，次元によって異なるところが面白いが，これらの性質についての証
明は本書では省略する．

9.2

マルコフ連鎖ランダムウォークには次の性質がある．
「時刻 n でとりうる値は，その前の時刻 n − 1 での値から確率的に定まり，それ以前の値には無関係である．
」
この性質を，マルコフ性という．
ランダムウォークの特徴は，次の値が前の時刻の値に対して＋1 か−1 かであるが，2 つの値だけに限らず複数の値をとる場合をマルコフ連鎖という．
いま，確率過程（時間的に変化していく確率変数を確率過程という）をX と表すと，マルコフ性は次のように表せる．
P(X ＝ i  X1 ＝ i1，…，X−1 ＝ i−1) ＝ P(X ＝ i  X−1 ＝ i−1)(9.14)
この式の意味は，時刻 1，
2，
3，…，
n − 1 でいろいろな値をとって，n のときに i という値をとる確率が，n − 1 でとった値 i−1 だけに依存して決まる

9.2

マルコフ連鎖159ということである．
時刻 n において，X の値が X ＝ i から時刻 n ＋ 1 で X ＋ 1 ＝ j に移動する確率を推移確率といい，p(n) と表す．X のとりうる値を状態空間というが，本書では整数としておく．
p(n) ＝ P(X＋1 ＝ j  X ＝ i)(9.15)

確率の値であるから 0 以上になるのは当然で，推移確率には次の性質が成り立つ．
p(n) ≥ 0(i，j ＝ 1，2，3，…)(9.16)

また，n のとき i で，n ＋ 1 のとき，あらゆる値を足せば全確率になるので∞∑ p(n) ＝ 1(9.17)

＝1

も明らかであろう．
では，マルコフ連鎖の具体例を紹介しよう．
自動車メーカーが A 社，B 社，C 社，D 社，E 社の 5 社あって，ある人が，現在乗っている車のメーカーから，新しく購入する他のメーカーの車に乗り換えるとし，その確率が定まっているとする．
現在，A 社の車に乗っている人が，それぞれ次の確率で他のメーカーの車に乗り換えるとする．

A社

⇒



0.2 (A 社)
0.4 (B 社)
0.2 (C 社)
0.1 (D 社)
0.1 (E 社)

同様に，次の確率が定まっているとする．

B社

⇒



0.1 (A 社)
0.4 (B 社)
0.3 (C 社)
0.1 (D 社)
0.1 (E 社)

C社

⇒



0.3 (A 社)
0.2 (B 社)
0.4 (C 社)
0.0 (D 社)
0.1 (E 社)

160

第9章

D社

⇒



確率過程入門0.1 (A 社)
0.3 (B 社)
0.2 (C 社)

E社 ⇒0.3 (D 社)
0.1 (E 社)



0.1 (A 社)
0.1 (B 社)
0.5 (C 社)
0.1 (D 社)
0.2 (E 社)

これらの確率をまとめて表すには，次のような行列による表現を使うとよ
い．
A社
B社
C社
D社
E社

A社 B社 C社 D社 E社
0.2 0.4 0.2 0.1 0.1
0.1 0.4 0.3 0.1 0.1



0.3
0.1
0.1

0.2
0.3
0.1

0.4
0.2
0.5

0.0
0.3
0.1

0.1
0.1
0.2



左側の名前が現在乗っている車のメーカーであり，右側へ伸びている数値
が，新しく購入する他のメーカーの車に乗り換える確率である．上と横の名称をとった行列のことを，この例における推移確率行列とよび，のように表せる．
9.2.1



0.2 0.4 0.2 0.1 0.1
0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
0.3 0.2 0.4 0.0 0.1
0.1 0.3 0.2 0.3 0.1
0.1 0.1 0.5 0.1 0.2



初期分布

マルコフ過程における，各時刻でどこにいる確率がどのくらいかを表す確率分布は，初期分布がわからなければ定まらない．初期分布とは，時刻 0 において，どこにいる確率がどのくらいかを表す確率分布のことであり，時刻
0 で  という値をとる確率をμ() ＝ P(X0 ＝ )(9.18)のように表す．
車の買い換えの例で，A 社，B 社，C 社，D 社のみとして，推移確率行列が例えば次のように表されるマルコフ連鎖を考えてみよう．

9.2

Q＝



マルコフ連鎖p11(n) p12(n) p13(n) p14(n)p21(n) p22(n) p23(n) p24(n)p31(n) p32(n) p33(n) p34(n)p41(n) p42(n) p43(n) p44(n)


＝

161

0.6 0.2 0.1 0.1
0.1 0.5 0.2 0.2
0.1 0.1 0.7 0.1
0.0 0.1 0.1 0.8



初期分布が各メーカーとも等しく，μ(1) ＝ μ(2) ＝ μ(3) ＝ μ(4) ＝ 0.25とすると，n ＝ 1 における分布は次のようになる．
P(X1 ＝ 1) ＝ μ(1) × p11(1) ＋ μ(2) × p21(1) ＋ μ(3) × p31(1)＋ μ(4) × p41(1)＝ 0.25 × 0.6 ＋ 0.25 × 0.1 ＋ 0.25 × 0.1 ＋ 0.25 × 0.0＝ 0.2(9.19)

この計算は，ベクトル
0.6

μ ＝ (0.25 0.25 0.25 0.25)

と

p＝

0.1
0.1
0.0

の，1 番目と 1 番目，2 番目と 2 番目，3 番目と 3 番目，4 番目と 4 番目の積の和で，いわゆるベクトルの内積 μ･ p に他ならない（ベクトルの内積については，拙著：「経済・経営のための数学教室」（裳華房）を参照されたい）．
P(X1 ＝ 2)，P(X1 ＝ 3)，P(X1 ＝ 4) となる確率も同様に計算すると次のようになる．




0.2

P(X1 ＝ 2) ＝ (0.25 0.25 0.25 0.25)･

0.5
0.1

＝ 0.225

0.1
0.1

P(X1 ＝ 3) ＝ (0.25 0.25 0.25 0.25)･

0.2
0.7

＝ 0.275

0.1

0.1

P(X1 ＝ 4) ＝ (0.25 0.25 0.25 0.25)･

0.2
0.1
0.8

＝ 0.3