数理解析研究所講究録909 巻 1995 年 124-135124の離散系列表現の MULTIPLICITY について。

$SU(2,2)$

(Ttu

平賀郁

$\mathrm{H}\mathrm{t}\mathrm{Y}\mathrm{q}?\alpha$

)

京都大学

\S 0 INTRODUCTION$G$を$SL_{2}(\mathbb{R})$とし、$\Gamma$とする。 このとき、重さを$k$$SL_{2}(\mathbb{R})$の cocompact かつ torsion free な discrete subgroupの保型形式$S_{k}(\Gamma)$の次元について、次のことが知られていた。

$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{r}\backslash G)\frac{k-1}{\sqrt{2}\pi}$

(0.1)

,

$k\geqq 3$$\dim S_{k}(\mathrm{r})=\{$$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{r}\backslash G)\frac{1}{\sqrt{2}\pi}+1$

,

$k=2$

重さが 2 のときには、重さ 3 以上のものと比べて次元が 1 増加している。 よく知られてい
るように
対し、

$SL_{2}(\mathbb{R})$$m_{\pi}$にをもつ o また、 $G$ の既約表現の重複度とすると、 $m_{D_{k}^{-}}<+\infty$への右正則表現におけるは discrete series

を $G$ の$L^{2}(\Gamma\backslash c)$$D_{k}^{+},$$D_{k}^{-}(k\geq 2)$

$\pi$

$\pi$

であり、 しかも $\dim S_{k}(\mathrm{r})=m_{D}-k$ が成り立っている。 $G$
ると、$m_{D_{k}^{-}}= \mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{r}\backslash G)\frac{k-1}{\sqrt{2}\pi}$(0.2)

上の適当な関数に跡公式を適用す,$k\geqq 3$$\{$$m_{D_{2}^{-}}-m_{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}} \mathrm{a}1=\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash G)\frac{1}{\sqrt{2}\pi}$

,

$k=2$

は明らかに 1 なので、 (0.1) の式における重さ 2 の場合が成立することがわかる。
は Harish-Chandra parameterの +1 の変化は、 $m$ Trivial によることがわかる o ここで、に対しても同様であり、が最も wall に近い discrete series representaion である。 (と同じ infinitesimal
も、 (0.2) と同様の式が成立する o) また、 trivial representaion はであった。つまり、
なdiscrete series
unitary representaion
character をもつ non-temperedの Harish-Chandra parameter が wall に近いときに、 non-tempered な representaion の寄与があるのである。
$G=SU(2,2)$ の場合に、以上と同様の現象を調べることが、我々の目標である。
$m_{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{V}}}\mathrm{i}\mathrm{a}1$$D_{2}^{-}$$D_{2}^{+}$$D_{2}^{+}$$D_{2}^{-}$

125
平賀郁

\S 1. ADMISSIBLE REPRESENTATIONS OF $SU(2,2)$
1.1 Discrete Series Representations of $SU(2,2)$$G$.

が discrete series もつための条件は次の定理により与えられる。

Theorem 1.1. (Harish-Chandra)
を connected semi-simple Lie group とする。このとき、 が discrete series をもつことと、 に compact Cartan subgroup が存在することとは同値である
$G$

$G$

$G$

$T$

$0$

いま、 $G$ が discrete series をもつとする。 このとき、 $K$ を $G$ の maximal compact subgroup とすると、 $G$ の compact Cartan subgroup $T$ を $K$ の subgroup からとることができる。
をそれぞれ $G,$ $T,$ $K$ の Lie algebra とする。
が、ある $T$ の character Aの微分に等しいとき、 は analytically integral であるという。 また、 が regular のとき、$\mathrm{f}$$\mathfrak{g},$$\mathrm{t},$$\lambda\in(\mathrm{t}^{\mathrm{c}})^{*}$$\lambda$$\lambda$$\Delta_{\lambda}^{+}(\mathrm{g}, \mathrm{t})=\{\alpha\in\Delta(9, \mathrm{t})|{\rm Re}\langle\lambda,\check{\alpha}\rangle>0\}$$\rho_{\lambda}=\frac{1}{2}\sum_{\alpha\in\Delta_{\lambda}^{+}(_{9^{\mathrm{t})}}},\alpha$$\rho_{\lambda,c}=\frac{1}{2}\sum_{\Delta_{\lambda}^{+}\alpha\epsilon(_{9^{\{}},)\cap\Delta \mathrm{t}^{\epsilon,\mathrm{t})}}\alpha$

とおく。

Theorem 1.2. (Harish-Chandra)が discrete series をもっとする。
が regular でかつanalytically integral ならば discrete series representaionが存在する。逆に、series は、 このようなもので尽くされる。 また、$G$$\lambda\in(\mathrm{t}^{\mathrm{c}_{)^{*}}}$$\lambda+\rho_{\lambda}-2\rho_{\lambda,c}$$G$$D_{\lambda}$.

$D_{\lambda}\cong D_{\lambda’}\Leftrightarrow\exists w\in W(K, T)\mathrm{s}.\mathrm{t}$がの discrete$\lambda’=w\lambda$

が成り立つ oRemark.
(1)
(2)
(3)
(4)

$\lambda$

は Harish-Chandra parameter と呼ばれる。

$D_{\lambda}$の infinitesimal character は$D_{\lambda}$

は highest$\lambda+\rho_{\lambda}-2\rho\lambda,C$$\chi_{\lambda}$$\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}\lambda+\rho_{\lambda}-2\rho\lambda,c$である。
の minimal $K$ -type

は Blattner parameter と呼ばれる。

を multiplicity 1 でもつ。

126
$SU(2,2)$の離散系列表現の MULTIPLICITY について。

$G=\{g\in SL_{4}(\mathbb{C})|t\overline{g}Jg=J\}$$J=$$K=\{|u_{i}\in U(2),$ $\det u_{1}\cdot\det u_{2}=1\}$$T= \{|\prod_{k=1}^{4}e^{i\theta_{k}}=1\}$

は明らかに、 $G$ の compact Cartan subgroup なので、 theorem 11 により、 $SU(2,2)$は discrete series をもつことがわかる。 ここで、$T$$\mathrm{t}=\{$$\sum_{k=1}^{4}\theta k=0\}$とし、 $\lambda=(n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4})\in(\mathrm{t}^{\mathrm{c}_{)^{*}}}(n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}=0)$ を$\lambda[$$=i \sum_{k=1}^{4}nk\theta_{k}$により定義する。 このとき、容易に$\lambda i^{\grave{\grave{\mathrm{a}}}}$

analytically integral$\Leftrightarrow\forall i,j$$n_{i}-n_{j}\in \mathbb{Z}$であることがわかる。
また、 $W(K,T)$ は$w_{1}(n_{1,2,3}nn, n_{4})=(n_{2,1}n, n_{3}, n_{4})$$w_{2}(n_{1}, n_{2}, n3, n_{4})=(n1, n2, n_{4}, n_{3})$により生成されることもわかる。
Thorem 12 により、 $SU(2,2)$ の discrete series は次のようになる。

127
平賀郁

: $\{D_{\lambda}|n_{i}-n_{j}\in \mathbb{Z}, n_{1}>n_{2}>n_{3}>n_{4}\}$: $\{D_{\lambda}|n_{i}-n_{j}\in \mathbb{Z}, n_{1}>n_{3}>n_{2}>n_{4}\}$: $\{D_{\lambda}|n_{i}-n_{j}\in \mathbb{Z}, n_{1}>n_{3}>n_{4}>n_{2}\}$$D_{\mathrm{I}}$$D_{\mathrm{I}}$$D\mathrm{m}$$D_{\mathrm{I}\mathrm{v}:}\{D_{\lambda}|n_{i}-n_{j}\in \mathbb{Z}, n_{3}>n_{1}>n_{2}>n_{4}\}$$D_{\mathrm{V}}$$D_{\mathrm{V}\mathrm{I}}$: $\{D_{\lambda}|n_{i}-n_{j}\in \mathbb{Z}, n_{3}>n_{1}>n_{4}>n_{2}\}$: $\{D_{\lambda}|n_{i}-n_{j}\in \mathbb{Z}, n_{3}>n_{4}>n_{1}>n_{2}\}$.

1.2 Standard Representations of $SU(2,2)$をその Lie algebra が$SU(2,2)$ の Borel subgroup$P_{0}$$\mathfrak{p}_{0}=$Ad $[ \frac{1}{\sqrt{2}}]\{\}$となるものすると、恥を含む
応する parabolic subgroupようになる。

$P_{1}$$G$の cuspidal parabolic subgroup は島と、 long rootに対と $G$ 自身である o またそれぞれの Langlands 分解は、次の..

$M_{0}=\{\}$$a_{2}$$A_{0}=\mathrm{A}\mathrm{d}[\frac{1}{\sqrt{2}}]1[$$A_{0}=\mathrm{A}\mathrm{d}[\frac{1}{\sqrt{2}}]\{|a_{i}\in\mathbb{R}\}$$M_{1}=\{|\{x_{ij}\}\in sU(1,1)\}$$A_{1}= \mathrm{A}\mathrm{d}[\frac{1}{\sqrt{2}}]\{$

ここで、 国ば、$M_{0}$$a\in \mathbb{R}\}$$[]=\pm 1,$ $\chi_{n}[]=e^{ni\theta}$ とすれの character は $[\pm]\otimes\chi_{n}$と書け、$A_{0}$$\nu=(\nu_{1}, \nu_{2})$ として、
のは、

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$s\sigma(2,2)$の離散系列表現の MULTIPLICITY について。

,の (Limit of) discrete series representaion 1 よと書ける。また、の quasi-character は $e^{\nu}(A)=a^{\nu}$ と書ける。 このとき、誘導表現の Langlands quotient が存在すれば、それを、それぞれ $J(P_{0};\pm, n;\nu_{1}, \nu_{2}),$ $J(P_{1} ; n, D_{k}\pm;\nu)$ と書くことにする。
, discrete series representaion),)
表現
及び、 Limit of discrete series ( が singular の場合に相当する tempered representaaon
が $SU(2,2)$ の standard representaion である$\chi_{n}\otimes D_{k}^{\pm}$$M_{1}$$e^{\nu}(A)=aa^{\nu_{2}}\nu 112$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}^{c}(\mathrm{o}([\pm]\otimes\chi_{n})\otimes$$A_{1}$$e^{\nu}\otimes 1),$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{p_{1}(}G(xn\otimes D_{k}^{\pm})\otimes e^{\nu}\otimes 1)$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}^{G}P1((\chi_{n}\otimes D^{\pm})k\otimes e^{\nu_{\otimes)}}1$$\otimes e^{\nu}\otimes 1$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P_{\mathrm{O}}(([\pm]\otimes}^{G}x_{n}$$\lambda$$D_{\lambda}$$)$\S 3. MULTIPLICITY OF DISCRETE SERIES REPRESENTATION
を両側 K-finite な $G$ 上 smooth で compact support な関数の集合とする。
のを cocompact な discrete subgroup とする。このとき、への作用は、 trace をもち、次の式が成り立つ。
$C_{c}^{\infty}(G, K)$$\varphi\in C_{c}^{\infty}(c, K)$$\Gamma\subset G$(31)$m_{\pi}$$\sum_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{e}}$$\pi$$\pi(\varphi)=\sum_{\{\gamma\}_{\Gamma}}\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash \gamma)c_{\gamma}\int_{G_{\gamma}\backslash }Gg^{-1}\varphi(\gamma g)dg$: irreducible unitary

ただし、右辺は、$D_{\lambda}$tr$L^{2}(\Gamma\backslash G)$$\Gamma$の conjugacy class について和をとっている。Discrete series representaion

に対し、左辺を$m_{D_{\lambda}}$Problem 3.1.
関数$\varphi\in C_{c}^{\infty}(G, K)$としたければ、次のような関数があれば良い。

で次の条件を満たすものは存在するか ?
$\mathrm{t}\mathrm{r}D_{\lambda}(\varphi)=1$$\{$$\mathrm{t}\mathrm{r}\pi(\varphi)=0$,$\pi\not\cong D_{\lambda},$$\pi$:irreducible unitary

残念ながら、一般的には、 このような関数は存在しない。代りに、次のような関数を考える。

Definition 3.2.
関数$\varphi\in C_{c}^{\infty}(G, K)$が次の条件を満たすとき、$D_{\lambda}$の pseudo-coefficient であるという。

$\mathrm{t}\mathrm{r}D_{\lambda}(\varphi)=1$$\{$$\mathrm{t}\mathrm{r}\pi(\varphi)=0$,$\pi\not\cong D_{\lambda}$: standard representaion

Pseudo-coefficient については、次の結果が基本的である。
Theorem 3.3. (Clozel-Delorme [C-D2])を上定義されたnected reductive algebraic group とし、series をもつとする。 このとき、 の任意の discrete series representaionが存在する。
pseudo-coefficient$\mathrm{G}$$\mathbb{R}$$G=\mathrm{G}(\mathbb{R})$$co\mathrm{n}$$G$$D_{\lambda}$

が discreteにたいし、$\varphi_{\lambda}$

だは以外の standard representaion に対しては、
Pseudo-coefficientの値を知りた\nu \sim それには、standard representaion
が、我々は、既約表現 に対するの composition factor がわかれば良い。
$\mathrm{t}\mathrm{r}\pi(\varphi)=0$$D_{\lambda}$$\varphi_{\lambda}$$\pi$$\mathrm{t}\mathrm{r}\pi(\varphi_{\lambda})$

129
平賀郁

Theorem 3.4. (Vogan $[Vl]$)が infnitesimal characterの有限次元表現を持つならば、 infinitesimal characterの場合の Kazhdan-Lusztig conjecture は正しい。
$G$$\chi_{\mu}$$\chi_{\mu}$

この theorem により、 standard representaion の composition factor を計算することができる また、 $SU(2,2)$ の unitary representaion が、 Knapp-Speh ([K-s]) により、決定されている。以上により、跡公式の spectral side が計算できる。跡公式の geometric sideについては、 Harish-Chandra による結果 (IH-CII) を使って計算することができる。 まず、とし、 infinitesimal characterの場合の結果を述べる。 Infiinitesimalの discrete series representaion はそれぞれの系列にひとつずつで、それを、
character,の irreducible representaionとする。 また、それ以外の infinitesimal character,$\circ$$\mu=(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$$\chi_{\mu}$$D_{\mathrm{I}}$$\chi_{\mu}$$D_{\mathrm{V}\mathrm{I}}$$\chi_{\mu}$は、$F_{1}^{\pm}=J(P_{1}; 4, D_{2}^{\pm};1)$$F_{2}^{\pm}=J(P_{1}; 2, D_{3}^{\pm};2)$$F_{3}^{\pm}=J(P_{1}; 0, D_{2}^{\pm};3)$$F_{4}^{\pm}=J(P_{1}; -4, D_{2}^{\pm}; 1)$$F_{5}^{\pm}=J(P_{1}; -2, D_{3}^{\pm}; 2)$$F_{6}^{\pm}=J(P_{1}:.

0, D_{4}^{\pm};1)$$P_{1}^{\pm}=J(P_{0};\pm, 0;3,1)$$P_{2}^{\pm}=J(P_{0}; \pm, -4;1,1)$$P_{3}^{\pm}=J(P_{0};\pm, -2;2,2)$の irreducible representaion は 24 存在する $\circ(J(\cdots)$であり、 infinitesimal character
とかくと、 長くなるので、 以下などの記号を使う。) この内、 unitarizable でないものは、である。 また、 trivial representaion はである。
を simple root が $\{(1, -1,0,0), (0,1, -1,0), (0,0,1, -1)\}$ である positive root systemとし、これに対応する Weyl denominator を $D(t)= \xi\rho(t)\prod_{\alpha}\in\Delta+(1-\xi\alpha(t)^{-1})$ とする。また、上の real symmetric bilinear form $B$ をとし、 [H-CII PP.114-115
に従い、 $G$ の measure を決める。
$\chi_{\mu}$$F_{1}^{+}$$F_{3}^{\pm},$$P_{1^{-}’ 2}P^{-},$$P_{3}^{\pm}$$P_{1}^{+}$$\Delta^{+}$$B(X, \mathrm{Y})={\rm Re}[\mathrm{t}\mathrm{r}x\mathrm{Y}]$$\mathfrak{g}$Theorem 3.5.

$m_{D_{\mathrm{I}}}-m_{F_{6}}-+m-F_{2}+m_{F_{5}^{-}}+m_{P_{1}^{+}}$$m_{D_{\mathrm{I}^{-}}}m_{F_{1}}--m_{F_{4}^{-}}-m_{F_{6}^{-}}+m_{F_{2}^{-}}+m_{F_{\mathrm{s}}^{-+}P_{2}P^{+}}m++m1$$m_{D\mathrm{m}}-m_{F_{1^{+}}}-m_{p_{4}^{-}}+mF^{+}2+m-F+m++PmP^{+}\mathrm{s}21$$\sum m_{\pi}\mathrm{t}\mathrm{r}\pi(\varphi\lambda)=\{$$m_{D_{\mathrm{I}\mathrm{v}F_{1^{-}}}}-m-m_{F_{4}^{+}}+m_{F^{-+}2}m_{p_{5^{+}}}+m+P2^{+}m_{P^{+}1}$$m_{D_{\mathrm{V}}}-m_{F_{1}F_{4}F^{++}}+-m+-m6m+F_{2}+m_{F_{\mathrm{s}2^{+}}^{+}}+m+Pm_{P^{+}1}$$m_{D_{\mathrm{V}\mathrm{I}}}-m_{F_{\epsilon^{+}}}+m_{F_{2^{+}}}+m+F5^{+}m_{P^{+}1}$

130$SU(2,2)$の離散系列表現の MULTIPLICITY について。

また、 $\lambda=(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})$ とし、$\lambda^{1}=w_{1}\lambda$$=(n_{2}, n_{1}, n_{3}, n_{4})$$\lambda^{2}=w_{2}\lambda$$=(n_{1}, n_{2},n_{4}, n_{3})$$\lambda^{12}=w_{1}w_{2}\lambda=(n_{2,1}n, n_{4}, n_{3})$とおく。

$\epsilon=\{$

1if
$-1$
if

$D_{\mathrm{I}},$$D\mathrm{m},$$D_{\mathrm{I}},$$D_{\mathrm{V}}$$D_{\mathrm{N}},$$D_{\mathrm{V}\mathrm{I}}$$\tau[\theta 1, \theta 2, \theta 3, \theta 4]=$

Semisimple で elliptic な$G$の conjugacy class の代表元は$\tau[\theta_{1}, \theta_{2}, \theta 3, \theta 4]$$\tau[\theta, \theta, \theta_{3,4}\theta]$$\tau[\theta_{1}, \theta, \theta, \theta_{4}]$$\mathcal{T}1^{\theta_{1},\theta\theta,\theta}2,]$.
$\tau[\theta, \theta, \theta, -3\theta]$$e^{i\theta}\neq 1,$ $i,$$-1,$ $-i$$\tau[-3\theta, \theta, \theta, \theta]$$e^{i\theta}\neq 1,$ $i,$$-1,$ $-i$$\tau[\theta, \theta, -\theta, -\theta]$$e^{i\theta}\neq 1,$$e^{i\theta}\neq i,$$\tau[\theta, \theta, -\theta+\pi, -\theta+\pi]$$\tau[\theta, -\theta, -\theta, \theta]$$e^{i\theta}\neq 1,$$\tau[\theta, -\theta+\pi, -\theta+\pi, \theta]$$iI_{4},$$I_{4},$となる。ただし、
また、それぞれの$e^{i\theta}\neq e^{i\theta_{k}},$$\tau$$-I_{4},$

$-1$

$-i$

$-1$
$e^{i\theta}\neq i,$$-i$$-iI_{4}$$e^{i\theta_{j}}\neq e^{i\theta_{k}}(j\neq k)$

である。

にたいし、

$\tilde{D}_{\tau}=\frac{D}{\prod_{\alpha\in\Delta+},\alpha(\tau)=1(1-\xi_{\alpha}^{-}1)}$$= \xi_{\rho}\prod_{+_{\alpha(\mathcal{T})}\alpha\in\Delta,\neq 1}(1-\xi_{\alpha}-1)$と定義する。

131
平賀郁

Theorem 3.6.

$\sum \mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{r}\backslash \gamma)c_{\gamma}\int_{G_{\gamma}\backslash G}\varphi_{\lambda}(g-1\gamma g)dg$$\{\gamma\}_{\Gamma}$$= \sim\tau[\theta_{1},\theta 2,\theta_{3}\sum_{\{\gamma\}_{\Gamma},\theta_{4}]}\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{r}_{\gamma}\backslash c\gamma)\frac{\epsilon}{\tilde{D}_{\tau}(\tau)}[\xi_{-\lambda}(\tau)-\xi_{-}\lambda 1(\tau)-\xi-\lambda 2(rr)+\xi_{-}\lambda 12(\mathcal{T})]$$+ \{\gamma\}_{\Gamma}\sim \mathcal{T}\sum_{1^{\theta},\theta,\theta 3,\theta 4]}\mathrm{v}_{0}1(\Gamma\backslash \gamma c_{\gamma})\frac{-1}{2}\frac{\epsilon}{\tilde{D}_{\tau}(\tau)}(n_{1^{-}}n2)[\xi-\lambda(\tau)+\xi_{-}\lambda 1(\tau)-\xi_{-}\lambda 2(_{\mathcal{T}})-\xi_{-}\lambda 12(\mathcal{T})]$$+ \sum_{\theta\{\gamma\}\mathrm{r}\sim\tau 1\theta 1\theta,,\theta 41},\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{r}\backslash \gamma G_{\gamma})\frac{-1}{2\sqrt{2}}\frac{\epsilon}{\tilde{D}_{\tau}(_{\mathcal{T})}}$$\cross[(n_{3}-n2)\xi_{-\lambda(_{\mathcal{T})}}+(n1-n3)\xi_{-\lambda^{1}}(_{\mathcal{T})+(-n)\xi_{-\lambda}}n242(\tau)+(n4-n_{1})\xi_{-\lambda}12(_{\mathcal{T}})]$$+ \sum_{1\{\gamma\}_{\Gamma}\sim\tau 1\theta_{12}\theta,\theta,\theta},\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash \gamma G)\gamma\frac{-1}{2}\frac{\epsilon}{\tilde{D}_{\tau}(_{\mathcal{T})}}(n3-n_{4})[\xi-\lambda(_{\mathcal{T}})-\xi_{-\lambda}1(\tau)+\xi_{-}\lambda 2(_{\mathcal{T}})-\xi_{-}\lambda 12(\mathcal{T})]$$+ \sum_{\theta\{\gamma\}\mathrm{r}\sim\tau[\theta,\theta,\theta,-31}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma_{\gamma}\backslash G)\gamma\frac{1}{16\sqrt{2}\pi^{2}}\frac{\epsilon}{\tilde{D}_{\tau}(\tau)}$$\cross[-2(n_{1}-n_{2})(n_{2^{-n}}3)(n1^{-n_{3}})\xi_{-}\lambda(\mathcal{T})+2(n1-n_{2})(n1^{-}n_{4})(n2^{-}n_{4})\xi_{-\lambda}2(\tau)]$$+ \sum_{]\mathrm{t}\gamma\}_{\Gamma}\sim\tau 1^{-}3\theta,\theta,\theta,\theta}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{r}_{\gamma}\backslash G)\gamma\frac{1}{16\sqrt{2}\pi^{2}}\frac{\epsilon}{\tilde{D}_{\tau}(_{\mathcal{T})}}$$\cross[-2(n_{2}-n_{3})(n_{3}-n_{4})(n_{2}-n4)\xi_{-}\lambda(\tau)+2(n1-n_{3})(n3-n_{4})(n_{1}-n4)\xi_{-\lambda}2(\tau)]$$+ \sum_{\theta\{\gamma\}_{\Gamma}\sim \mathcal{T}1\theta,\theta,-\theta,-]}\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash \gamma G)\gamma\frac{1}{4}\frac{\epsilon}{\tilde{D}_{\tau}(_{\mathcal{T})}}[4(n1-n_{2})(n_{3}-n_{4})\xi_{-\lambda}(\tau)]$$+ \{\gamma\}_{\mathrm{r}\sim \mathcal{T}}[\theta,\theta,-\theta+\pi,\theta+\pi 1\sum_{-}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{r}\backslash \gamma)G_{\gamma}\frac{1}{4}\frac{\epsilon}{\tilde{D}_{\tau}(_{\mathcal{T})}}[4(n1^{-n_{2}})(n_{3}-\cdot.

n_{4})\xi_{-\lambda}(\tau)]$$+ \sum_{\theta\{\gamma\}_{\Gamma}\sim \mathcal{T}1\theta,-\theta,-\theta,1}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma_{\gamma}\backslash G)\gamma\frac{1}{8\pi^{2}}\frac{\epsilon}{\tilde{D}_{\tau}(_{\mathcal{T})}}$$\cross[(n_{1}-n_{4})(n2^{-}n_{3})(\xi-\lambda(\tau)+\xi-\lambda^{12}(\tau))-(n1^{-n_{3}})(n_{2}-n_{4})(\xi-\lambda^{1}(\tau)+\xi_{-}\lambda 2(\tau))]$$+ \{\gamma\}_{\Gamma}\sim\tau 1^{\theta},-\theta+\pi,-\theta\sum_{+\pi,\theta]}\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma_{\gamma}\backslash G)\gamma\frac{1}{8\pi^{2}}\frac{\epsilon}{\tilde{D}_{\tau}(_{\mathcal{T})}}$$\cross[(n_{1}-n_{4})(n_{2^{-}}n_{3})(\xi-\lambda(\mathcal{T})+\xi_{-}\lambda 12(_{T}))-(n1-n_{3})(n_{2^{-}}n_{4})(\xi-\lambda 1(\tau)+\xi_{-}\lambda 2(\tau))]$$+ \sum_{\gamma=\pm I_{4},\pm iI_{4}}\mathrm{v}_{0}1(\mathrm{r}\backslash c)\frac{1}{128\pi^{4}}\epsilon$$\cross[(n_{1}-n_{2})(n_{1^{-}}n_{3})(n_{1^{-n_{4}}})(n2-n3)(n2-n_{4})(n3^{-}n4)\xi-\lambda(\gamma)]$

一般の infinitesimal character$\mu_{2}>\mu_{3}>\mu_{4})$$\chi_{\mu},$$\mu=(\mu_{1}, \mu 2, \mu_{3}, \mu_{4})(\sum\mu_{k}=0,$$\mu_{j}-.\mu_{k}\in \mathbb{Z},$については theorem 3.5 の式の中で、次の項があらわれる。

$\mu_{1}>$132$SU(2,2)$ の離散系列表現の MULTIPLICITY について。

if $\mu_{1}-\mu_{2}=1$
if $\mu_{2^{-}}\mu_{3}=1$
if $\mu_{3}-\mu_{4}=1$
if $\mu_{1}-\mu_{2}=\mu 2^{-\mu_{3}=1}$$F_{1}^{\pm}$$F_{6}^{\pm}$$F_{4}^{\pm}$$\{$$F_{2}^{\pm};F_{1}^{\pm},$$F_{6}^{\pm}$$F_{5}^{\pm};F_{4}^{\pm},$$F_{6^{\pm}}$$P_{2}^{+};F_{1}^{\pm},$$F_{4}^{\pm}$

if $\mu_{2}-\mu_{3}=\mu 3^{-}\mu_{4}=1$
if $\mu_{1}-\mu_{2}=\mu_{3}-\mu_{4}=1$
ifall$\mu=(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$$F_{1}^{\pm}=J(P_{1} ; 2\mu_{1}+2\mu_{2}, D_{\mu_{3}}^{\pm}-\mu_{4}+1;1)$$F_{6}^{\pm}=J(P_{1;}2\mu 2+2\mu_{3}, D_{\mu_{1}-\mu 4}^{\pm};+11)$$F_{4:}^{\pm}=J(P1;2\mu_{3}+2\mu_{4}, D_{\mu 1^{-}}^{\pm}\mu 2+1^{\cdot}1)$$F_{2}^{\pm}=J(P1;2\mu_{1}+2\mu_{3}, D_{\mu 2}^{\pm}-\mu 4+1^{\cdot}2)$$F_{5}^{\pm}=J(P_{1} ; 2\mu_{2}+2\mu_{4}, D_{\mu 1^{-\mu+1}\mathrm{a}}^{\pm}\cdot 2)$$P_{2}^{+}=J(P0;(-1)^{2\mu\epsilon}+2\mu 4,2\mu 3+2\mu_{4};1,1)$

いま、 $\mu=\rho+\delta$ とする。 また、$D_{\lambda}$

を infinitesimal character$\chi_{\mu}$のdiscrete series$r\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}_{X}\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\text{とし、}\Delta^{+}\text{の}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}_{\hslash k^{\backslash }\lambda \text{の}}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\lambda\iota \text{る}\grave{\eta}\iotaarrow\sim\text{、}\lambda k\text{とる_{}0}D\lambda\iota_{\sim\llcorner}\wedge^{\backslash }\mathrm{A}\mathrm{a}\mathrm{W}\mathrm{a}11\vee X*?\theta \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\Delta^{+}=\alpha\in\Delta|l_{\sim}^{\grave{\backslash }}\backslash arrow\hat{\mathrm{E}}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\text{す^{}\{}\text{る_{}0}}{\rm Re}\langle\lambda,\check{\alpha}\rangle>0\}\mathrm{F}_{\sim}^{\mathrm{r}}\epsilon \text{ま}$

Wal1
また、

$(D_{\lambda})=\{\alpha\in\Delta_{\lambda}^{+}|_{\mathrm{i}\mathrm{i}.)}^{\mathrm{i}.)}\alpha\cdot.\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}- \mathrm{c}\mathrm{o}{\rm Re}\langle\lambda-\rho\lambda,\check{\alpha}\rangle\leq \mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{P}^{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{t}\}$の minimal $K$ -tyPe$D_{\lambda}$

を$\Lambda_{\lambda}$とし、$\mathrm{i}.)\epsilon_{\alpha}=0,1$$T_{\lambda}=\{$$\sum$$\Lambda=\Lambda_{\lambda}-$$\epsilon_{\alpha^{\mathrm{Q}}}$$\mathrm{i}\mathrm{i}.)\Lambda$: dominant for positive compact$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{s}.\}$$\alpha\in \mathrm{W}\mathrm{a}\mathrm{l}1(D_{\lambda})$と定義する。
いま、$\pi$

を infinitesimal character

highest weight$\delta$$\chi_{\mu}$の irreducible unitary representaionとし、$F_{\delta}$

をの有限次元表現とすると、$H^{p,q}(\mathfrak{g}, K;\pi\otimes\check{F}_{\delta})\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(\wedge^{p}’ q\mathfrak{p}\otimes F_{\delta}, \pi)$である。

Theorem 3.7. ([V-Z])の irreducibleとする。 このとき、 infinitesimal characterをく pqp\otimes F, ので、次の条件をみたすものは、存在しても、 同値を除いて 1 つで
unitary representaion$K-t\mathrm{y}P^{e}$$\tau$$\pi_{\tau}$

ある。

(1)
(2)

$H^{p,q}(\mathrm{g}, K;\pi\otimes\check{F}\delta)\neq 0$$\tau$

はく p.qp\otimes F\mbox{\boldmath $\delta$} と$\pi$の共通の K-type.

$\chi_{\mu}$

133
平賀郁
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

を $K$-tyPe の集合とみて、$T_{\lambda}^{coh}=$とし、$\tau\in T_{\lambda}^{CO}h${$\tau\in T_{\lambda}|$について、

theorem 3.7 の条件を満たす$d_{\tau}= \prod_{\alpha\in}\mathrm{W}\mathrm{a}\mathrm{l}1(D\lambda)(-1)^{\epsilon_{\alpha}}$$\pi_{\tau}$が存在する。}

とおく。

最終的に次の定理が得られる。

Theorem 3.8.
$\sum_{\tau\in T_{\lambda}^{\mathrm{c}o}}hd_{\tau\pi}m\tau=$orbital integral of theorem 3.6

この定理は–般の discrete series representaion をもつ semisimple algebraic group についても成立すると予想される。

List of irreducible unitarv$\pi$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}$with infinitesimal character$H^{p,q}(\mathfrak{g}, K;\pi)\neq 0$

$K$

-type

$(2, 2, -2, -2)$$(2,0,0, -2)$$(2, -2,0,0)$$(0,0,2, -2)$$\mathrm{Y}_{\wedge}.\cdot$

Length

$D_{\mathrm{I}}$$H^{4},$$D_{\mathrm{I}}$$H^{3,1}$$D\mathrm{m}$$H^{2,2}$$D_{\mathrm{I}V}$$H^{2,2}$$D_{\mathrm{V}}$$H^{1,3}$$(0, -2,2, \mathrm{o})$$0$$H^{0,4}$$(-2, -2,2,2)$$0$$D_{\mathrm{V}\mathrm{I}}$$F^{\text{十}}$$F_{1}^{-}$$F^{\text{十}}$$F_{4}^{-}$$F^{\text{十}}$$H^{1,2}, H^{2,3}$$H^{2,1}, H^{3,2}$$H^{1,2}, H^{2,3}$

$1$

$1$

$1$

$H^{0,3}, H^{1,4}$$(-1, -2,2,1)$$1$$(2,1, -1, -2)$$(0, -2,1,1)$$(1,1,0, -2)$

$2$

$H^{0,2}, H^{1,3}, H^{2,4}$$(-1, -1,2, \mathrm{o})$$2$$H^{2},0, H^{3,1}, H^{4,2}$$(2,0, -1, -1)$$(1, -1,1, -1)$

$H^{0,2}, H^{1,3}, H^{2},4$$F_{2}^{-}$$H^{2,0}, H^{3,1}, H^{4,2}$$P^{\text{十}}$

$0$

$1$

$F_{2}^{+}$$\mathrm{p}\text{十}$$0$$(2, -1, \mathrm{o}, -1)$

$H^{3,0}, H^{4,1}$$F_{5^{-}}$$0$$H^{2,1}, H^{3,2}$$F_{6^{-}}$$F^{\text{十}}$$(1, -2,1,0)$$(1,0,1, -2)$$(0, -1,2, -1)$

$0$

$H^{1,1}, H^{2,2}(\dim H^{2},2=2), H^{3,3}$$H^{0,0}, H^{1},1, H2,2(\dim H^{2},2=2), H^{3,3}, H^{4,4}$$(0,0,0, \mathrm{o})$

$1$

$2$

$2$

$2$

$4$

134
$s\sigma(2,2)$の離散系列表現の MULTIPLICITY について。

$C_{F_{1}^{+}}=F_{1}^{+}+D\mathrm{m}+D\mathrm{v}$$C_{F_{1}^{-}}=F_{1}^{-}+D_{\mathrm{I}}+D_{\mathrm{I}}$$C_{F_{4}^{+}}=F_{4}^{+}+D\mathrm{I}\mathrm{v}+D\mathrm{v}$$C_{F_{4}^{-}}=F_{4}^{-}+D_{\mathrm{I}}+D\mathrm{m}$$C_{F_{6}^{+}}=F_{6}^{+}+D\mathrm{V}+D\mathrm{V}\mathrm{I}$$C_{F_{6}^{-}}=F_{6}^{-}+D_{\mathrm{I}}+D_{\mathrm{I}}$$C_{F_{2}^{+}}=F_{2}^{+}+F^{+}1+F_{6}++D\mathrm{m}+D\mathrm{v}+D\mathrm{v}\mathrm{I}$$C_{F_{2}^{-}}=F_{2}^{-}+F_{1}^{-}+F-+6D_{\mathrm{I}}+D\mathrm{I}+D_{\mathrm{N}}$$C_{F_{5}^{+}}=F_{5}^{+}+F_{4}^{+}+F_{6}^{+}+D_{\mathrm{I}\mathrm{V}}+D_{\mathrm{V}}+D_{\mathrm{V}\mathrm{I}}$$C_{F_{5}^{-}}=F_{5}^{---}+F_{4}+F_{6}+D_{\mathrm{I}}+D\mathrm{N}+D\mathrm{m}$$C_{P_{2}^{+}}=P_{2}^{+}+p_{1}++F_{1}^{-}+F_{4}^{+}+F_{4}^{-}+D_{\mathrm{I}}+D\mathrm{m}+D_{\mathrm{N}}+D_{\mathrm{V}}$$C_{F_{3}^{+}}=p_{3}++P_{2}^{+}+F_{5}^{+}+p_{2}++F_{1}^{+}+F_{1}^{-}+F_{4}^{+}+F_{4}^{-}+F_{6}^{+}$$+D_{\mathrm{I}}+D\mathrm{m}+D\mathrm{N}+D\mathrm{v}+(q+1)D\mathrm{V}\mathrm{I}$$C_{F_{3}^{-}}=F_{3}^{-}+P_{2}^{+}+F_{5}^{-}+F_{2}^{-}+F_{1}^{+}+F_{1}^{-}+F_{4}^{+}+F_{4}^{-}+F_{6}^{-}$$+(q+1)D_{\mathrm{I}}+D_{\mathrm{I}}+D\mathrm{m}+D_{\mathrm{N}}+D_{\mathrm{V}}$$C_{P_{3}^{-}}=P_{3}^{-}+F_{2}^{+}+F_{2}^{-}+F_{5}^{+}+F_{5}^{-}+P_{2}^{+}+F_{1}^{+}+F_{1}^{-}+p_{4}++F_{4}^{-}+F_{6}^{+}+F_{6}^{-}$$+D_{\mathrm{I}}+D_{\mathrm{I}}+(q+1)D\mathrm{m}+(q+1)D_{\mathrm{N}}+D_{\mathrm{V}}+D_{\mathrm{V}\mathrm{I}}$$C_{P_{1}^{+}}=P_{1}^{+}+P_{3}^{-}+F_{3}^{+}+F_{3}^{-}+P_{2}^{+}+F_{2}^{+}+F_{2}^{-}+F_{5}^{+}+\ovalbox{\tt\small REJECT}$$+F_{1}^{+}+F_{1}^{-}+F_{4}^{+}+F_{4}^{-}+F_{6}^{+}+F_{6}^{-}+D_{\mathrm{I}}+D_{\mathrm{I}}+D\mathrm{m}+D_{\mathrm{N}}+D_{\mathrm{V}}+D_{\mathrm{V}\mathrm{I}}$$C_{P_{2}^{-}}=P_{2}^{-}$$C_{P_{3}^{+}}=P_{3}^{+}+P_{2}-$$C_{P_{1^{-}}}=P_{1}^{-}+P_{3}+$

135
平賀郁

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