理工系リテラシー

物理学入門 問題解答例

最終更新日 2021 年 9 月 14 日

2

第1章
問題 1.1 (1) 36 = (32 )3 = 9 × 9 × 9 = 729(2) (22 )5 = 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024(3) −22 × (−3)3 = −4 × (−27) = 108
問題 1.2 (1) 100 m/10 s = 10 m/s．
(2) 秒速に直して，次を得る．

1000 km/h =1.0 × 106 m≃ 2.8 × 102 m/s
3600 s(1)(3) 赤道 1 周の長さは約 4 万 km であり，それを 24 時間で自転するので，次を得る．
40000 km≃ 4.6 × 102 m/s
24 × 3600 s(2)(4) 半径 1.5 × 108 km を 1 年で公転するので，次を得る．
2π × 1.5 × 1011 m≃ 3.0 × 104 m/s
365 × 24 × 3600 s(3)5.0 × 10−2 m≃ 1.6 × 10−9 m/s
365 × 24 × 3600 s(4)(5) 秒速に直して，次を得る．

(6) 風速はもともと秒速なので，30 m/s．
(7) 温度 0◦ C での音速は 3.3 × 102 m/s．
(8) 真空中の光速は 3.0 × 108 m/s．
したがって，大きい順に (8) → (4) → (3) → (7) → (2) → (6) → (1) → (5) となる．
問題 1.3 (1) 1 au は，地球 · 太陽間の平均距離で1 au ≃ 1.50 × 108 km = 1.50 × 1011 m

(5)

となる．

(2) 1 光年は，光速（≃ 2.998 × 108 m/s）で運動したときに 1 年間（≃ 3.156 × 107 s）に移動す
る距離なので，/ × 1015 m
1 光年 ≃ 2.998 × 108 × 3.156 × 107 = 9.461
(6)
となる．

3
問題 1.4 題意より，x，y を未知数とし，C を無次元の比例定数として，

v = CE x ρy(7)

とおく．[v] = [L/T]，[E] = [ML−1 T−2 ]，[ρ] = [ML−3 ] であるから，(7) の次元は，[LT−1 ] = [ ML−1 T−2xyML−3 ] = [Mx+y L−x−3y T−2x ]

(8)

となる．
両辺の次元が等しいとして，x + y = 0, −x − 3y = 1, −2x = −1 とわかる．これらより，
x = −y = 1/2 を得る．したがって，C を無次元の比例定数として次式を得る．
s
E
v=C
(9)
ρ

/ = 2.6
問題 1.5 (1) 1.23 + 1.4 = 2.63
(2) 1.34 − 1.2 = 0.14/ = 0.1
2//(3) 9.8 × 1.2 = 1/
1.7
6 = 12[注意] 例えば，9.0 × 2.0 の計算は，
9. 0̇
× 2. 0̇0̇ 0̇
1 8 0̇
1 8．0̇ 0̇/となる．厳密には有効数字は 3 桁であるが，実用的には，掛け合わせる 2 つの数字のうち有効
数字の桁数の小さい方に合わせてしまう場合が多い．

問題 1.6 図 1.2 を見ると，線の太さのために，測定の精度はたかだか 0.1◦ であるので，0.1◦ の位までが有効数字である．したがって，θ = 45.1◦ である．また，cos θ = 0.70587157 であるが，θ
の有効数字が 3 桁であるので，cos θ の値もそれに合わせて 4 桁目を四捨五入して 3 桁にする．すなわち，cos θ = 0.706 となる．
問題 1.7 |x| ≪ 1 のとき，(1 + x)n ≃ 1 + nx を使って次式を得る．



5

10000 5
10000
−4 −5
=
=
1
+
1.0
×
10
10001
10000(1 + 1.0 × 10−4 )≃ 1 − 5.0 × 10−4 = 0.9995(10)

一方で，電卓を使って計算すれば，この値は 0.9995001· · · となり，上式が良い近似になっている
ことがわかる．

第1章

4
問題 1.8 例えば，2 = 1.52 − 0.25 を用いて，√

p
2 = 1.52 − 0.25 = 1.5

r



1
1
1 − ≃ 1.5 1 −9
2×9/= 1.5 × 0.944 = 1.41

(11)

を得る．
√
2 項展開近似を用いて 2 のさらに精度の良い値を得るには，上で得られた 1.4 を用いて，
r



p
√
1
2
1
2
2
2
2 = 1.4 + (2 − 1.4 ) = 1.4 1 +(2 − 1.4 ) ≃ 1.4 1 +−1
1.42
2 1.42
1/− 0.7 = 1.414(12)= 1.4 +
1.4と繰り返していけばよい．

章末問題 1
1.1 かつて，SI（国際単位系）は原器とよばれる基準をもとに定義されていた．しかし，原器が経年によって変化してしまう問題があった．そこで SI は，原器を用いた定義から，徐々に物理法則を用いた定義に変わっていった．なぜなら，物理法則を用いた定義であれば，経年によって変化することはないからである．
国際キログラム原器は，1879 年に製作された人工物（白金 90%，イリジウム 10%の合金製）である．これは，表面吸着により質量が約 1 µg/年増加したり，洗浄により 60 µg も急減したりと不安定であった．そのため，キログラムについても自然定数を用いた新定義が切望されていた．
最近になって，プランク定数が高精度で測定できるようになった．そこで，プランク定数に基づく新たなキログラムの定義に変更されることになった．プランク定数の高精度な測定は，産業技術総合研究所の藤井らのグループによっても行われ，キログラムの定義に大きく貢献した．
1.2 12 C 原子は陽子の数と中性子の数を合わせると 12 個であり，物質量 1 mol（およそ 6.0 × 1023
個）の 12 C 原子が 12 g と定義されるので，陽子の質量，すなわち，水素原子の質量は次のように求まる．
71
g = 1.6/6/ × 10−27 kg(13)（水素原子の質量）=236.0 × 10
1.3 (1) 単位を変換して，以下を得る．
1.0 × 10−3 kg= 1.0 × 103 kg/m3
10−6 m3(14)

5.974 × 1024 kg/ × 103 kg/m3= 5.492(4π/3 × (6.38 × 106 m)3 )(15)（水の密度）=(2) 数値を代入して，以下を得る．
（地球密度）=

5(3) 空気 1 mol の質量は，窒素分子が N2 と表されることなどから，（質量）= 28 × 0.7808 + 32 × 0.2095 + 40 × 0.0093 + 44 × 0.0004= 28.956 g = 28.956 × 10−3 kg(16)である．したがって，密度は以下のように求まる．

28.956 × 10−3 kg/ kg/m3= 1.292
22.4 × 10−3 m3(17)

1
1.989 × 1030 kg= 1.40/8/ × 103 kg/m3
83
4π/3 × (6.96 × 10 m)(18)（大気密度）=(4) 数値を代入して，以下を得る．
（太陽密度）=(5) 数値を代入して，以下を得る．
（中性子星密度）=

51.989 × 1030 kg= 4.74/9/ × 1017 kg/m3
43
4π/3 × (1.00 × 10 m)(19)

1.4 東京の赤道面に平行な円周の長さは，62π × (6.38 × 106 ) × cos(35◦ 41′ ) = 3.25/5/ × 108 m(20)となる．これを 24 時間で 1 周するので，東京の位置における自転の速さは

73.255 × 108= 3.76/7/ × 102 m/s
24 × 60 × 60

(21)

となる．
音速は，気温 15◦ C，1 気圧 (1013.15 hPa) の空気中で約 340 m/s となるので，およそマッハ1.1 で自転している地球の上で，我々は生活している．

1.5 (1) それぞれの物理量の SI を [ ] で表すと，v [m/s]，h [m]，g [m/s2 ] である（ここでは単位を用いて導くことにする）．v は h と g のみの関数であるというのだから，
v = Chx g y(22)と表せる．ここで C は無次元の比例係数，x と y は求めようとする未知数である（次元解析
では比例係数までは決まらない）．両辺の単位は等しいから (SI を用いて表すと），

m · s−1 = 1 · (m)x · (m/s2 )y = (m)x+y · (s)−2y(23)となる．両辺の次元が等しいとして x+y = 1，−2y = −1 とわかる．これを解いて x = y = 1/2となる．すなわち，p(24)
v = C hg (C は無次元の比例定数)となる．
C = 1 として数値を代入すると，pv = 4.2 × 103 × 9.8 = 2.02/ × 102 m/s(25)となり，約 200 m/s である．(25) より，到達するまでの時間は以下のように求まる．
（時間）=

4
1.7 × 107 m= 8.3/8/ × 104 s = 23.3/ h2
2.02 × 10 m/s

(26)

第1章

6
(2) E = ρx Ry tz とおき，x, y, z を求める．
kg · m2 · s−2 = kg · m−3

x· my · sz = kgx · m−3x+y sz(27)

より，x = 1，− 3x + y = 2，z = −2 が成り立ち，x = 1，y = 5，z = −2 となる．すなわち，Cを無次元の定数として，

E=C

ρR5
(C は無次元の比例定数)
t2

(28)

となる．
C = 1 として，数値を代入すれば，E=

1.2 × 1105
(1.6 × 10−2 )2= 7.54/ × 1013 J

(29)

を得る．
TNT 爆弾 1 t が 4.184 × 109 J に相当するとすれば，このエネルギーは，TNT 爆弾

7.54 × 1013
= 18.0/ × 103 t = 18 kt
4.184 × 109(30)に相当する．

(3) c [m/s]，G [m3 /(kg · s2 )], h̄ [kg · m2 /s], を用いて単位を合わせる．c，G，̄
h の任意のべき乗のzxy積を考えよう．x, y, z を未知数とすると，c G h̄ の単位は(m/s)x (m3 /(kg · s2 )y (kg · m2 /s)z
= mx+3y+2z kg−y+z s−x−2y−z(31)となる．これらがそれぞれ長さ，質量，時間の単位，m，kg，s になるように x, y, z を決めればよい．
例えば，長さの単位とするには，x + 3y + 2z = 1，− y + z = 0，− x − 2y − z = 0 であるから，x = −3/2，y = z = 1/2 とすればよい．同様にして，質量，時間の単位とするようにべきを求め，無次元の係数を 1 とし，数値を代入すると，以下のように求まる．
r

Gh̄

−35

（長さ） =≃ 1.6 × 10
m 


c3


r

h̄c
−8
(32)
≃ 2.2 × 10 kg （質量） =
G


r



Gh̄

−44

（時間） =
≃
×
5.4
10
s
5
c

1.6 まず，X a について考える．





∆X a
∆X
(X + ∆X)a = X 1 +≃X 1+aX
X(33)

Y b も同様に書けるから，A のずれの上限 ∆A は，次のように見積もることができる．
A + ∆A ≃ (X + |∆X|)a (Y + |∆Y |)b



|∆X|
|∆Y |
≃ XY 1 + a
1+b
X
Y


|∆X|
|∆Y |
≃ XY 1 + a
+b
X
Y

(34)

7
となる．ここで，∆X ，∆Y の 2 次の項 ∆X∆Y /XY は，1 次の項に比べて小さいとして無視した．
結局，


|∆X|
|∆Y |
A + |∆A| ≃ A 1 + a
+b
(35)
X
Y
となって (1.9) を得る．

1.7 sin θ/θ < 0.99，cos θ < 0.99，tan θ/θ < 0.99 になる最大の θ を求めて，それぞれ 0.245，0.200，
0.173 と求まる．
実は，この三角関数の近似はテイラー展開を行っているにすぎない．この展開の誤差は，
|θ|3
6
|θ|2
| cos θ − 1| <2
| sin θ − θ| <

(36)
(37)

と評価できる．すなわち，sin θ の誤差は |θ| の 3 次であるのに対し，cos θ の誤差は θ の 2 次である．そのため， (1.8) の近似を用いたときには，誤差は cos θ の方が大きくなる．

8

第2章
問題 2.1 スタート地点を原点とし，コースに沿って x 軸を取れば，図 1のようになる．
x [m]

x [m]

x [m]

25

100

10 t [s]

O

O

200

20

40

60 t [s]

O

(2)

(1)

30

(3)

60

90 t [s]図 1: x–t グラフ
問題 2.2 t = 1.0 ∼ 6.0 s の質点における平均の速度：t = 1.0 ∼ 6.0 s の物体の平均の速度 vx を求めるために，図 2.7 のグラフで t = 1.0 s と t = 6.0 s の点を直線で結ぶ．その直線の傾きが，
t = 1.0 ∼ 6.0 s の平均の速度 vx に対応するから，次のように求まる．

vx =8.0 m − 2.0 m
6.0 m== 1.2 m/s
6.0 s − 1.0 s
5.0 s

(38)

t = 1.0 s における質点の速度：t = 1.0 s における物体の速度 vx を求めるために，図 2.7 のグラフ
で t = 1.0 s の点での接線を描く．その接線の傾きが t = 1.0 s における物体の速度 vx に対応するから，次のように求まる．
vx =4.0 m − 0.0 m
4.0 m== 2.0 m/s
2.0 s − 0.0 s
2.0 s

(39)

問題 2.3 (1) 速さが最大になるのは，傾きの絶対値が最大になるときであり，0 s，3.0 s，6.0 s
である．速さが最小になるのは，傾きの絶対値が最小（今の場合，0 m/s）になるときであり，1.5 s と 4.5 s である．

(2) 正の向きに進んでいる時間は，傾きが正の領域 0.0 s ≤ t < 1.5 s と 4.5 s < t ≤ 6.0 s，負の向きに進んでいる時間は，傾きが負の領域 1.5 s < t < 4.5 s であり，それぞれ 3.0 s 間である．
問題 2.4 v–t グラフにおいて，時刻 t での変位は，速度の線と x 軸および時刻 t の線で囲まれる
面積に相当する．t = 4 s までの面積は 4.0 × 2.0/2 = 4.0 m，t = 4 s から 6 s までの面積は−2.0 × 2.0/2 = −2.0 m なので，変位は 4.0 − 2.0 = 2.0 m となる．
問題 2.5 同時に原点を出発したので，B が A に追いつくのは，A と B の変位が等しくなる時刻である．A と B の変位が等しくなるのは，その面積が等しくなる時刻であり，時刻 6.0 s となる．

9[別解] A の速度は 4.0 m/s で一定なので，時刻 t での位置 xA (t) は xA (t) = 4.0t となる．一方，時刻 t での B の速度 vB (t) は vB (t) = 4t/3 なので，変位は vB (t)t/2 = 2t2 /3 である．原点から出発したので，時刻 t の位置 xB (t) は変位と同じで xB (t) = 2t2 /3 である．時刻 t1 [s] に B が A に追いつくとすると xB (t1 ) = xA (t1 ) より 4t1 = 2t1 2 /3 となる．これを解いて t1 = 0.0 s および 6.0 s を得る．したがって，時刻 6.0 s に追いつく．
問題 2.6 (1) 速度を時間で割って次の値を得る．

10 m/s
= 5.0 m/s2
2.0 s

(40)

(2) 加速度を a [m/s2 ] とすると，時間 t [s] 後の距離は at2 /2 であるから，a として次の値を得る．
a=2 × 20.0 m= 10 m/s2(2.0 s)2(41)(3) 2.0 s での速度変化が (2.0 − 10.0) = −8.0 m/s になったのだから，加速度として次の値を得る．
−8.0 m/s= −4.0 m/s2
2.0 s

(42)

(4) 初速 v [m/s]，加速度 a [m/s2 ] のとき，時間 t 後の移動距離は at2 /2 + vt であるので，数値を代入して次の値を得る．
1a × (2.0)2 + 10.0 × 2.0 = 30.0
2(43)

これを a について解いて，5.0 m/s2 を得る．
問題 2.7 最初の関係式 (2.16) は， (2.10) の定義式で f (t)g(t + ∆t) を引き，また足して次のように証明できる．

d (f (t)g(t))
f (t + ∆t)g(t + ∆t) − f (t)g(t)
= lim
∆t→∞
dt
∆t
f (t + ∆t)g(t + ∆t) − f (t)g(t + ∆t) + f (t)g(t + ∆t) − f (t)g(t)
= lim
∆t→0
∆t
g(t + ∆t) − g(t)f (t + ∆t) − f (t)= limg(t + ∆t) + lim f (t)
∆t→0
∆t→0
∆t
∆t
df (t)g(t)=g(t) + f (t)
dt
dt

(44)

2 番目の関係式 (2.17) は， (2.10) の定義式で g(t) = T ，g(t + ∆t) = T + ∆T とおいて次のよ
うに導くことができる．
df (g(t))
f (g(t + ∆t)) − f (g(t))
= lim
∆t→0
dt
∆t
f (T + ∆T ) − f (T ) ∆T
df (g) dg(t)
= lim
=
∆t→0
∆T
∆t
dg
dt

(45)

第2章

10

問題 2.8 (1) 無限回繰り返しても追いつくまでの時間は有限であり，有限の時刻にアキレスは亀に追いつき，追い越していく．したがって，パラドックスではない．
アキレス腱について：アキレスの母親が，生まれたばかりの息子を不死身にするために足首を持って血の池に逆さにざぶんと漬けたという．そのため，アキレスの足首だけは不死身ではなく，弱点として残ったといういい伝えから，足首の腱をアキレス腱という．

(2) 物体の速度（位置を時間で微分したもの）が 0 でないとき，物体は動いている．飛んでいる矢の速度は 0 ではない．したがって矢も動いている．極限の概念をしっかり身に付けよう．
問題 2.9 時間 t [s] 後の速度，加速度をそれぞれ vx (t) [m/s]，ax (t) [m/s2 ] とすると，vx (t) =dx(t)/dt，ax (t) = d2 x(t)/dt2 より，(1) vx (t) = A [m/s],ax (t) = 0(2) vx (t) = 2At + B [m/s],ax (t) = 2A [m/s2 ](3) vx (t) = 4A(At + B)3 [m/s],ax (t) = 12A2 (At + B)2 [m/s2 ]問題 2.10 最初の関係式 (2.20) は， (2.19) の定義式に代入して，次のように示すことができる．
Z tb
n
n
X
X
Cf (t)dt = lim
Cf (ti )∆t = C limf (ti )∆t
n→∞

ta

n→∞

i=1

Z tb
=C

i=1

(46)

f (t)dtta

2 番目の関係式 (2.21) は， (2.19) の定義式の和を ta から tc （i = m）までと tc から tb までに分割して，次のように示すことができる．
Z tb
m
n
X
X
f (t)dt = limf (ti )∆t + lim
f (ti )∆t
m→∞

ta

Z tc
=

i=1

n→∞

Z tb

f (t)dt +
ta

i=m+1

f (t)dt(47)

tc

問題 2.11 時間 t [s] 後の位置，速度をそれぞれ x(t) [m]，vx (t) [m/s] とすると，積分により以下のようになる．
1(1) vx (t) = a0 t + v0 [m/s], x(t) = a0 t2 + v0 t [m]
2
1 2
1 3
(2) vx (t) = At [m/s], x(t) = At [m]
2
6
1 3
1
(3) vx (t) = At [m/s]， x(t) = At4 [m]312
問題 2.12 x, y は

x = 2.0 cos

π √= 2.0 ×6であるから，(1.7 m，1.0 m) となる．

3
= 1.73/,2

y = 2.0 sinπ 
6= 2.0 ×

1
= 1.0
2

(48)

11
問題 2.13 GPS では，人工衛星からの電波を受けて，カーナビなどの受信機がその位置を求めている．このとき，3 次元空間内の 1 点を特定するためには，3 つの人工衛星からの距離がわかればよい．電波の速さ（光速）は高精度で求まっているので，人工衛星が電波を発した時間と，受信機が電波を受信した時間がわかればよい．しかし，人工衛星に乗せるような高精度な時計は高価なため，受信機に搭載することはできない．そこで，時間も未知として，4 つの人工衛星を用いて，
3 つ（空間座標）+1 つ（時間）の合計 4 つを決定している．
問題 2.14 変位は，ある時刻の位置から別の時刻の位置までの差で，ベクトル量である．移動距離は，ある時刻の位置から別の時刻の位置まで移動したときの道のりの総和で，スカラー量である．
問題 2.15 ((4.0 − 2.0) m，(3.0 − 2.0) m) = (2.0 m，1.0 m) である．

章末問題 22.1 (1) 図 2の実線の通り．
(2) 5 時 10 分に出発すればよい．ダイヤグラムは，図 2の点線の通り．
(3) 5:22 に出発すればよい．ダイヤグラムは，図 2の破線の通り．
D
(2)

x [m]

C
(1)
B

(3)
A
5:00

5:30
᫬㛫

図 2: ダイヤグラム

2.2 (1) 図 3の通り．

6:00

第2章

12

v [m/s]

100
0
{100
{200

0

10

20
t [s]

30

40

図 3: ロケットの v − t 図(2) 10 s 後のロケットの高度は，14.7 × 102 /2 = 7.35 × 102 m である．そのときのロケットの速さは，14.7 × 10 = 147 m/s である．その瞬間から最高点に達する時刻を t [s] とすると，−9.80t + 147 = 0 より 15.0 s 後となる．その距離は
1
× 9.80 × 15.02 = 11.02/ × 102 m
2

147 × 15.0 −(49)となる．合計して 1.84 × 103 m となる．

(3) 最高点から地上に戻る時間を t [s] とすると，1.84 × 103 −1
× 9.80t2 = 0
2(50)

より t = 19.4 s を得る．打ち上げ後からの時刻は (2) の値を足して 44.4 s となる．

2.3 (1) 投げ上げてから小球 A が最高点に達する時間を t1 [s] とすると，v0 −gt1 = 0 より t1 = v0 /gとなる．最高点の高さは
1
v0 2
v0 t1 − gt1 2 =
2
2g

(51)

1 2 v0 2
gt1 =
2
2g

(52)

v0 2
v0 2 v0 2
+
=
=h
2g
2g
g

(53)

となる．一方，t1 の間に小球 B はだけ落ちる．したがって，が成り立つ．

(2) 小球 A が地上に戻る時刻を t2 [s] とすると，t2 = 2t1 = 2v0 /g である．時刻 t2 に小球 B が空中にある条件は，h − gt2 2 /2 > 0，すなわち，h > 2v0 2 /g である．
2.4 (1) 夏至：(−R, 0)，秋分：(0, −R)(2) (0, R) − (R, 0) = (−R, R)(3) (0, −R) − (0, R) = (0, −2R)

13
2.5 (1) (0, 0, RE )(2) z 軸となす角度が 60◦ であるから，(RE sin 60◦ cos 135◦ ，RE sin 60◦ sin 135◦ , RE cos 60◦ )
!
√
√
6RE
6RE RE
= −
,
,
4
4
2

(54)

となる．

(3)

!
√
6RE
6RE RE(RE , 0, 0) − −
,
,
4
4
2
!
√ !
√
6
6RE RE,−=
1+
RE , −
4
4
2
√

(4)

(55)

!
√
6RE
6RE RE(0, 0, RE ) − −
,
,
4
4
2
!
√
√
6RE
6RE RE
=
,−
,
4
4
2
√

(56)

(5) 静止衛星の位置は，赤道上，地球中心から距離 RE + h にあるから!
√√
2(RE + h) 2(RE + h)
−
,
,0
2
2

(57)

となる．

2.6 軌跡は図 4の通り．
y

y
r

(1)

{r

O

(2)

r

2r

x

O

{r

図 4: 軌跡(1) 時刻 t [s] での角度は vt/r [rad] だから，



vt
vt


（位置ベクトル） = r cos ，sin


r
r

 


vt
vt
（速度ベクトル） = v − sin ，cos
r  

 r

v2
vt
vt 


（加速度ベクトル） = −cos , sin

r
r
r


x

第2章

14
(2) 時刻 t [s] での，(0, r) から見た y 軸とのなす角度は vt/r [rad] だから，

 
vt
vt 

（位置ベクトル） = r sin ，1 − cos



r

r


vt
vt
（速度ベクトル） = v cos ，sin
r

 r
 


v2
vt
vt


（加速度ベクトル） =− sin , cos

r
r
r
となる．

2.7 (1) 位置座標そのものだから，


vt
vt
r sin ，1 − cos
r
r

(58)



vt
vt
sin ，1 − cos
r
r

(59)

である．

(2) (1) を t で割って次式を得る．
rt2.8 速さは一定でも，速度の向きは変わるので，加速度は 0 ではない．

15

第3章
問題 3.1 図 3.3 のように，F 1 [N]，F 2 [N] の始点を合わせて平行四辺形（この問題の場合，長方形になる）を描き，対角線にベクトル F 合力 [N] を描く．F 1 ，F 2 ，F 合力 は直角三角形をなすか
ら，合力の大きさ F合力 は，三平方の定理より次のように求まる．

qp√
F合力 = F1 2 + F2 2 = 4.02 + 3.02 = 25.0 = 5.0 N(60)

問題 3.2 1.0 N の力の方向を x 軸とし，2.0 N の力を xy 平面に y 成分が正になるようにおく．す/)ると 2 つの力は，単位を N として，それぞれ (1.0, 0.0)，(2.0 cos 120◦ , 2.0 sin 120◦ ) = (−1.0, 1.73となる．合力は(1.0 − 1.0，0.0 + 1.73) = (0, 1.73/)(61)となる．したがって，合力の大きさは 1.7 N となる．
問題 3.3 A 君，B さんのひもの力の大きさを，それぞれ FA [N ], FB [N] とする．水平方向，垂直方向の力のつり合いは，それぞれ，

0 = FA sin θA − FB sin θB ,W = FA cos θA + FB cos θB(62)となる．水平方向のつり合いより，FB = FA sin θA / sin θB を得る．これを垂直方向のつり合いの式に代入して，sin の和の公式を用いると

FA =sin θBW
sin(θA + θB )(63)を得る．また，A を B におきかえて次式を得る．

FB =sin θAW
sin(θA + θB )(64)

ここで，例えば θA = 0 にすると，θB のいかんにかかわらず FA = W になる．θA = θB = 0 の場
合は，0 への近づき方によってどちらかに全重量（W ）がかかることになる．また，両方の角度がπ/2（すなわち，ひもの方向が水平）になると，必要な力は無限大になってしまう．
問題 3.4 図 5のように，2 つの主塔の間のメインケーブルに働く力を考えると，主塔が低いとメ
インケーブルにかかる負担が増え，メインケーブルを太くしなければならないため．ただし，主塔を高くすると建設費も高くなるので，実際には，両者のバランスを取って主塔の高さは決まっ
ている．

第3章

16

Ⲵ㔜

図 5: 吊り橋の力のつり合い問題 3.5（万有引力の大きさ）= G ×

602= 6.7 × 10−11 × 104 = 6.7 × 10−7 N
0.602

(65)

となり，十分に小さいのでそれを感じることはない．
問題 3.6（地球質量）×（太陽質量） （地球 · 太陽間の力の大きさ） = G ×
（地球 · 太陽間の距離）2 （地球 · 月間の力の大きさ）（地球質量 × 月質量）=G×
（地球 · 月間の距離）2






(66)

であるから，その比は2（太陽質量）（地球 · 月間の距離）×（月質量）（地球 · 太陽間の距離）230
2.00 × 10
3.84 × 108≃
×= 1.783/ × 102
7.35 × 1022
1.50 × 1011

(67)となり，太陽からの引力の大きさは月からの約 180 倍である．
問題 3.7 質量は物質固有の量で不変量である．一方，重量 = 質量 × 重力加速度 であり，無重力状態では重量は 0 である．SI での質量の単位は kg で，重量の単位は N である．
問題 3.8 地上で質量 m の物体にはたらく重力は，重力加速度の大きさを g地球 として，

mg地球 = G ×

m ×（地球質量）（地球半径）2(68)と書ける．月では。上式の地球での値に相当する部分が月のそれに変わるので，比を取ると
2
g月（月質量） （地球半径）27.35 × 1022
6.38 × 106=
×≃×
g地球 （地球質量） （月半径）25.97 × 1024
1.74 × 106
61= 0.16/
5/
5≃
(69)
6
が得られる．つまり，約 1/6 である．

17
問題 3.9 伸びを x [m] とすると，フックの法則により kx = mg である．したがって，伸びは
x = mg/k となる．
問題 3.10 おもり B にはたらく力について考えると，糸 2 の張力は上向きに，B の重力が下向きにはたらく．したがって，糸 2 の張力の大きさは mB g [N] である．一方，おもり A にはたらく力について考えると，糸 1 の張力は上向きに，糸 2 の張力と A の重力が下向きにはたらく．よって，
糸 1 の張力の大きさは (mA + mB )g [N] となる．
問題 3.11 いえない．机が物体を押す力は，物体が机を押す力と作用反作用の関係にある．物体にはたらく重力と作用反作用の関係にあるのは，物体が地球を引っ張る万有引力である．
問題 3.12 (1) 摩擦力は F とつり合っているので，10 N である．

(2) 静止摩擦係数を µ とすると 20 = µ × 1.0 × 9.8 より，µ = 20/9.8 ≃ 2.0 となる．
問題 3.13 摩擦力の大きさと垂直抗力の大きさの比例関係は，表面が乾いており，垂直抗力の大きさが（物体の硬さに比べて）小さいときにはよく成り立つが，そうでないと，それらは徐々に比例しなくなる．そして，比例関係が成り立つ領域から外れると，摩擦力の大きさが接触面の面積に依存し始める．
特に，スリックタイヤの場合は，摩擦熱によって，タイヤ表面を溶かしてベトベトにして，それが粘着テープのように路面に貼り付いてグリップ力を高めている．この場合は，粘着テープの場合と同じで，接触面の面積が大きいほど摩擦力が大きくなるので，接触面積を増やした方がよ
い．それならば，タイヤを大きくして表面積をできるだけ増やせばよいと考えるかも知れないが，タイヤを大きくすると，運転が難しくなるし，重量も増える．それゆえ，バランスを考えてタイヤの大きさを決めている．
ところで，市販車のタイヤにはなぜ溝が掘られているのだろうか．雨が降って道路に水が溜まると，タイヤと路面の間には水の膜ができやすくなり，グリップ力が下がってしまう．それを防ぐために排水用の溝が掘られている．レース用のタイヤでも，雨天で使用するものには溝が掘られている．

章末問題 3
3.1 アーチを構成する一番上の石塊 a は重力を受けて下方に移動しようとするが，両側の石塊に支えられて移動ができない（これらの力がつり合っている）．図 6のように，a の右および左の石にはそれぞれ，a の石塊から反作用としての力と重力を受けて移動しようとするが，さらに隣の石に支えられて移動ができない．こうして，端の石 b まで力が伝わっていく．端の石塊 b では，地面（土台）から受ける力が隣の石塊から押される力と重力を支えている．

第3章

18

a
b

図 6: アーチ橋の力のつり合い
ところで，アーチ構造は半円形が一番よいのだろうか．昔は，アーチ構造は半円形が一番よい
ぎゃくけんすいきょくせんかたと思われていた．しかし，今ではアーチ構造は 逆 懸 垂 曲 線 （ひもの両端を懸けて垂らしたとき
ひもの形を逆さまにした曲線）が一番よいことがわかっている．
懸垂曲線は，半円に比べて左右に少し開いている．したがって，アーチ橋では一番下のところ
で，左右に開く力がはたらく．さらに，アーチ橋では上に荷重がかかると，橋脚の上に橋桁を置いた単純な構造の桁橋とは違って曲げの力は発生しにくいが，この場合も左右に開く力がはたらく．そのため，アーチ橋を作るときには，そのことに注意し，土台を横方向にも頑丈にしなければならない．
ところで，橋にはいろいろな構造があるが，それを力学的な視点で見ると面白い．例えば，吊り橋はアーチ橋に比べて支間長（橋脚と橋脚の間の距離）が大きいものを作ることができるが，吊り橋にはメインケーブルにかかる力の大きさを小さくするための高い主塔と，一番力の加わるメイ
ンケーブルの端にはアンカレッジという，メインケーブルを固定させるための大きいコンクリー
トブロックがある．例えば，明石海峡大橋の主塔の高さはおよそ 300 m もある（問題 3.4 参照）．
東京ゲートブリッジはユニークな形をしたトラス橋（三角形の骨組みを組み合わせて補強した橋）であるが，これは，近くに羽田空港があるために，航空法により高さに制限があり，高い主塔を必要とする吊り橋が作れなかったからである．また，大型貨物船の通り道なので，それが通過できるようにしなければならないことや，景観や強度などを考慮して，最終的にこのような形になった．

3.2 図 7のように，2 つの支点を A，B とし，加重の加わる点を O とする．支点間隔に対してスリングが短いと，̸ AOB が 120◦ よりも大きくなり，それぞれの支点には，1 つの支点で支えるよりも大きな加重が 1 つの支点に加わる．通常は，̸ AOB が 60◦ 程度（もしくはそれ以下）になるよう，支点 AB 間の間隔に対してスリングを長くする．
A

B

O

図 7: スリング

3.3 装置 A では，荷物への重力とひもを引く力がつり合っているので，荷物の質量の最大値は M[kg] である．装置 B では，荷物を 2 本のひもで支えるので，張力は荷物の重力の半分であり，荷物の質量の最大値は 2M [kg] である．
このように，定滑車は力を加える向きを変える際に，動滑車は少ない力で大きな重量の荷物を持ち上げる際によく用いられる．工事現場などでクレーンを見てみると，定滑車と動滑車とを交19
互に組み合わせて，元の何倍もの力が出せるように工夫されている．

3.4 鳥が止まり木に留まっているとき，電子天秤は，鳥と（止まり木も含めた）鳥籠の重量の和を指し示す．
鳥が飛んでいるときには，鳥の重量を支えるために鳥には上向きの力がはたらいている．これは鳥が羽で空気を押している力の反作用としての力である．この力を得るために，鳥は空気を下向きに押しており，押された空気は電子天秤を下に押す．鳥籠が密閉されていれば，空気が電子
天秤を下に押している力の大きさは，鳥の重量と等しいので，電子天秤は鳥と鳥籠の重量の和を指し示す（実際には鳥が羽ばたいているときには，電子天秤の指し示す値はそれより大きくなったり小さくなったりするが，平均すると和の重量になる）．
鳥籠が密閉されていなければ，空気の一部は鳥籠の外に流れ出て，鳥籠の外の地面を下に押す
ので，電子天秤の指し示す値は鳥と鳥籠の重量の和より小さくなる．
3.5 (1) 個々のばねにはたらく力の大きさは f [N] であるから，それぞれの伸びは f /k1 [m]，f /k2 [m] である．
(2) 1 のばねの伸びを x [m] とすると，引っ張る力の大きさは f1 = k1 x [N] である．2 のばねは
x [m] だけ縮み，押す力の大きさは f2 = k2 x[N] である．f = f1 + f2 = k1 x + k2 x [N] より，
x = f /(k1 + k2 ) [m] となる．
3.6 (1) 水平方向の力がつり合っているので，摩擦力の大きさは f cos θ [N] である．
(2) 垂直抗力の大きさは mg − f sin θ であり，最大摩擦力は µ 倍であるので，µ(mg − f sin θ) =f cos θ より，f は以下のように求まる．
f=

µmg
[N]
cos θ + µ sin θ(70)

3.7 加える水平な力の大きさを F ，摩擦力の大きさを f [N] とする．f の最大値は µ(mg cos θ +F sin θ) である．F の最大値は摩擦力が斜面に沿って下向きのときであり，そのときの斜面に沿った向きの力のつり合いは F cos θ = mg sin θ + f である．したがって，最大値は F cos θ = mg sin θ +µ(mg cos θ + F sin θ) のときで，F =sin θ + µ cos θmg
cos θ − µ sin θ

(71)

F =

sin θ − µ cos θmg
cos θ + µ sin θ(72)となる．同様に，最小値は，

となる．

20

第4章
問題 4.1 慣性の法則は，運動方程式が成り立つ系を規定している．非慣性系では，運動方程式に「見かけの力」が現れる（見かけの力については，4.3 節参照）．
問題 4.2 時刻 t [s] での位置 x [m] が与えられたとき，加速度は d2 x/dt2 である．運動方程式の左辺は m(d2 x/dt2 )，右辺は正味の力である．

(1) 正味の力は 0 なので，次式が成り立つ．
m

d2 x
=0
dt2

(73)

m

d2 x
=0
dt2

(74)

d2 x
= Fx0
dt2

(75)

(2) 正味の力は 0 なので，次式が成り立つ．

(3) 正味の力は Fx0 なので，次式が成り立つ．
m(4) 正味の力は max0 なので，次式が成り立つ．
md2 x= max0dt2(76)

問題 4.3 図 8のように乗っている人とかごの質量の和を m [kg]，つり合いおもりの質量を m′ [kg]とし，かごの上昇する方向を x 軸とする．巻上機がケーブルに及ぼす力を Fx [N]，重力加速度の大きさを g [m/s2 ] とする．ケーブルは軽くて伸び縮みせず，滑車は軽くて滑らかに回転するとす
れば，運動方程式は，

max = (m′ − m)g + Fx

(77)となり，m = m′ であれば，|Fx | が小さくても Fx > 0 の場合は上向き，Fx < 0 の場合は下向きの加速度が得られる．|Fx | が小さいと，モーターにかかる負荷を低減することができる．
実際には，m は乗っている人の質量によるので，常に m と m′ とを等しくすることはできない．
そのため，通常はその間を取って，「かごの重さ＋定格積載量の半分の質量」のつり合いおもりが吊り下げられている場合が多い．

21
Fx

ᕳୖᶵ

࠿ࡈ

࠾ࡶࡾ
mg

m0g

図 8: トランクション式エレベータ
問題 4.4 図 9の通り．ここで，黒い実線の矢印は，それが結ぶ 2 つの時刻の間の速度ベクトル，赤い矢印は，その時刻の加速度ベクトルである．また，破線は，作図より速度の変化を求めるために，1 つ先の時刻の速度ベクトルを平行移動したものである．加速度の向きが力の向きであるから，力の向きは鉛直下向きであることがわかる．ボールの進行方向が力の方向ではないことに注
意しよう．
(1)

2s

(2)

1s

(3)

5s
4s

8s
9s

6s

0s

10 s

図 9: 放物運動でボールにはたらく力（解答）問題 4.5 (4.13) の y の式において y = 0 とすれば，ボールが再び地上に到達する時刻 t1 [s] が，

t1 =

2v0 sin θg(78)と求まる．飛距離 L [m] は，これを (4.13) の x の式に代入して，

L=

2v0 2 cos θ sin θ
v0 2 sin(2θ)
=
g
g

(79)

と求まる．θ = 45◦ のときには L = v0 2 /g なので，これを v0 について解き，数値を代入して，

v0 =

√

1
9.8 × 170 = 40/.8/ m/s(80)を得る．これは，時速に直せば 147 km/h である（実際は空気抵抗があるので初速はもっと速い）．
問題 4.6 t = 0 の自動車の位置を原点とし，運動方向を x 軸とすると，運動方程式は，md2 x= −µ′ mg
dt2

(81)

第4章

22
となる．時刻 t [s] の速度 vx (t) [m/s] は，これを t で積分し，初速 v0 を用いて，

vx (t) = −µ′ gt + v0

(82)を得る．時刻 t の自動車の位置 x(t) [m] は，もう一度 t で積分して，

1x(t) = − µ′ gt2 + v0 t
2(83)となる．自動車が止まる時刻を t1 [s] とすると，(82) で vx (t1 ) = 0 より，t1 = v0 /(µ′ g) を得る．これを (83) に代入して，（制動距離）=

v0 2
2µ′ g

(84)

と求まる．
制動距離は，自動車の質量にはよらず，初速の 2 乗に比例することがわかる（この関係式は，第5 章で扱うエネルギー保存則を用いれば，運動方程式を解かなくても求めることができる（問題5.9 参照））．
問題 4.7 t = 0 の物体の位置を原点とし，運動方向を x 軸とすると，運動方程式は，

m

d2 x
= At
dt2

(85)

となる．t で積分し，時刻 t の速度を vx (t) とすると，初速度 vx (0) = 0 だから，

vx (t) =

At2
2m

(86)

を得る．さらに積分すると，初期位置は x(0) = 0 であるから，位置 x(t) は，

x(t) =

At3
6m

(87)

となる．
問題 4.8 (c)．ヘリウム風船は前に傾く．空気が後ろに力を受ける反動である．

章末問題 44.1 地球は西から東に自転しているので，自転と同じ東の方向に打ち出すと，慣性の法則より，打ち上げ基地が赤道に近いほど初速は稼げる．また，赤道上空にある静止軌道（地球の自転と同じ周期で周回運動する人工衛星の軌道）に乗せるための方向転換に要する燃料が少なくてすむ．
このようにロケットの打ち上げは赤道に近いほどよいが，種子島は日本の最南端ではない．これは，種子島宇宙センターは 1969 年に開設されたが，当時，アメリカから小笠原諸島が返還されたばかり（1968 年に返還）であったことや，沖縄がまだ返還されてなかった（1972 年に返還）という歴史的な事情がある．

23
4.2 時刻 t [s] での位置と速度を，それぞれ x(t) [m]，vx (t) [m/s] とする．
(1) 力の x 成分は mg sin θ なので，次式が成り立つ．
md2 x= mg sin θ
dt2

(88)

これを t で積分し，初期条件を考慮して次式を得る．

vx (t) = g(sin θ)t,1
x(t) = g(sin θ)t22

(89)(2) 力の x 成分は mg sin θ − f なので，次式が成り立つ．
md2 x= mg sin θ − f
dt2

これを t で積分し，初期条件を考慮して次式を得る．




1
f
f
t, x(t) =g sin θ −t2
vx (t) = g sin θ −
m
2
m

(90)

(91)

(3) x 方向の力は F − mg sin θ なので，次式が成り立つ．
md2 x= F − mg sin θ
dt2

これを t で積分し，初期条件を考慮して次式を得る．




F
1 F
vx (t) =− g sin θ t, x(t) =− g sin θ t2
m
2 m

(92)

(93)

(4) x 方向の力は F − mg sin θ − f なので，次式が成り立つ．
md2 x= F − mg sin θ − f
dt2

これを t で積分し，初期条件を考慮して次式を得る．




F −f
1 F −fvx (t) =− g sin θ t, x(t) =− g sin θ t2
m
2
m

(94)

(95)

4.3 (1) 動き出す直前の質量を M0 [kg] とすると，M0 g = µmg が成り立つ．したがって，求める質量は µm である．
(2) 物体もおもりも同じ加速度で運動するから，その加速度を ax とおくと，物体，おもりの運動
方程式はそれぞ以下のようになる．
max = S − µ′ mg,

M ax = M g − S(96)(3) (96) のそれぞれの辺を足して，(m + M ) で割ると
ax =M − µ′ m
g
m+M

(97)

を得る．これを (96) のどちらかに代入して，S が次のように求まる．

S=(1 + µ′ )mM g
m+M

(98)

第4章

24
(4)
a0 =

M − µ′ m
g
m+M

(99)

とおく．
時刻 t [s] の位置および速度を x(t) [m]，vx (t) [m/s] とすると，(97) を t で積分して，vx (0) = 0
および x(0) = 0 を用いると，

vx (t) = a0 t,

1x(t) = a0 t22を得る．t = t1 [s] のときに B が床についたとすると，x(t1 ) = h より，
r
2h
t1 =
a0

(100)

(101)

を得る．これを速度の式に代入して

pv1 = vx (t1 ) = a0 t1 = 2a0 h =r2(M − µ′ m)gh
[m/s]
M +m

(102)

が求まる．

(5) 物体が止まるまでの運動方程式は
md2 x= −µ′ mg
dt2

(103)

と書ける．加速度を a1 = −µ′ g とおき，(4) での速度を v1 とし，t で積分すると，t = t1 での条件を考慮して

1
x(t) = a1 (t − t1 )2 + v1 (t − t1 ) + h
2vx (t) = a1 (t − t1 ) + v1 ,(104)となる．止まった時刻を t2 [s] とすると

vx (t2 ) = a1 (t2 − t1 ) + v1 = 0
より

t2 − t1 = −

v1
a1

(105)

(106)

と求まる．よって，物体が滑った距離は次のように求まる．

1
v1 2
x(t2 ) = a1 (t2 − t1 )2 + v1 (t2 − t1 ) + h = h −
2
2a1
2
′
v1
(1 + µ )M=h+ ′ = ′h2µ gµ (M + m)(107)

4.4 下向きに ma の見かけの力がはたらいている．目盛りは kg 単位になっているので，g で割って，見かけの体重は m(1 + a/g) となる．
4.5 (3)．飛行機に重力以外の力がはたらかなくなったとき，エレベータ内と同様に，中の人から見て見かけの力と重力がつり合って，無重力を味わえる．

25
4.6 コップとともに動く系で，水滴にはたらく力を考えよう．水滴の質量を m [kg] とすると，水滴には，斜面に沿って上向きに見かけの力 mg sin θ がはたらく．したがって，力の斜面に沿う成分はつり合い，水滴にはたらく正味の力は，斜面に垂直下向きで mg cos θ になる．すなわち，水面は斜面に平行になる．
4.7 加速度センサとして最も一般的なものは，ばねとおもりである．おもりの動きがばねの伸び
縮みに変換され，フックの法則により加速度が測定できる．速度の測定が有用でない理由の 1 つは，慣性の法則により，等速度運動の場合の速度は測定できないからである．また，速度よりも速度変化（加速度）の方が一般に有用だからである．重力加速度も含めて加速度を測ることによって，スマートフォンの動きがわかり，地磁気センサなどの他のセンサと組み合わせることによって，歩数計などのアプリにも活用される．

26

第5章
問題 5.1 (1) 力積は運動量変化に等しい．速さは 9.0 × 103 /3600 = 2.5 m/s であるから，力積 = 50 × 2.5 × 2 = 2.5 × 102 N · s(2) 初速を v [m/s] とすると，500v = 1.0 × 106 × 0.01 より，v = 20 m/s．すなわち，時速 72 km
である．
問題 5.2 ボールを停止させるためには，（ボールの質量）×（ボールの速度）の大きさと同じだけの力積をボールに及ぼさなければならない．簡単のため，ボールに大きさ F [N] の一定の力を時間 ∆t [s] だけ加えているとすると，この力がボールに及ぼす力積は F ∆t [kg·m/s] である．したがって，同じ力積を及ぼすのであれば，時間 ∆t が大きい方が，加える力の大きさは少なくてすむ．
グローブを引きながらボールを取ると，ボールに力を加える時間が増える．そうすると，ボールに加える力の大きさが小さくなるので，その反作用としてのボールが手に及ぼす力も小さくなり，
痛みも少なくなる．
問題 5.3 着地は急斜面にし，着地後は斜面に沿って滑り降りるので，運動量の変化（すなわち選手に加わる力積）は選手が耐えられるぐらい小さくすることができる．なお，ヒルサイズ（K 点の先にある）超えの飛行をすると，着地地点の斜面がなだらかなため危険である．
問題 5.4 A，B の質量を m [kg] とする．衝突後の A，B の速度を vA [m/s],
運動量保存則は，

mv0 = mvA + mvBvB [m/s] とすると
(108)が成り立つ．

(1) 弾性衝突でははね返り定数 (vB − vA )/v0 = 1 より，vA = 0, vB = v0 を得る．すなわち，進んできた物体は停止し，衝突された物体は同じ速度で進む．
(2) vA = vB だから，(108) に代入して，vA = vB = v0 /2 を得る．すなわち，くっついた物体は半分の速度で進む．

問題 5.5 地上ではね返る直前の速さは v =返り係数は次のようになる．

√

v′
=
v

2gh，直後の速さは v ′ =
r

√
1
3
=
3
3

p
2gh/3 であるから，はね(109)

問題 5.6 図 10のように，A，B のなす角を θ とし，A が底辺となるような平行四辺形を考えると，高さは B sin θ であるから，平行四辺形の面積 S は S = |A||B| sin θ である．一方で， (5.19)

27の右辺に内積の定義を入れて整理をすれば，

pp|A|2 |B|2 − (A · B)2 = |A|2 |B|2 − |A|2 |B|2 cos2 θq= |A|2 |B|2 sin2 θ = |A||B| sin θ(110)となり， (5.19) が成り立つことが確かめられる．
B
Bsinµ
µ
A

図 10: 平行四辺形の面積√問題 5.7 斜面 A の距離は L/ cos 45◦ = 2L，斜面 B の距離は L/ cos 60◦ = 2L となる．また，斜面√
A に平行な重力の成分は mg sin 45◦ = mg/ 2，斜面 B に平行な重力の成分は mg sin 30◦ = mg/2となる．仕事は「（重力の斜面に平行な成分）×（移動距離）」だから，両方とも mgL となる．
問題 5.8 (1) （仕事率）=（仕事）/（時間）なので，以下を得る．

450 × 9.8 × (2600 − 1000)= 4/3.5/ W
5 × 3600(111)(2) 仕事率は（力）×（力の向きへの速度）であり，速度は 6.0/60 = 0.10 m/s なので，1000 ×
9.8 × 0.10 = 9.8 × 102 W である.
(3) 毎秒 1 トンの水量なので，1000 × 9.8 × (1.0 × 103 ) = 9.8 × 106 W である.
問題 5.9 静止するまでに動く距離を L [m] とする．動摩擦力の大きさは µ′ mg であり，静止するまでに物体がされる仕事は µ′ mgL である．運動エネルギーの変化が仕事であるから，

1
mv0 2 = µ′ mgL
2

(112)

より，

L=

v0 2
2µ′ g

(113)

となる．もちろん，これは問題 4.6 の答えと一致する．
問題 5.10 等しい．ボールの質量を m [kg]，初速を v0 [m/s]，ビルの屋上の高さを h [m]，地上での速さを v [m/s]，重力加速度の大きさを g [m/s2 ] とすると，力学的エネルギー保存則により，どちらの場合も1
1
mv0 2 + mgh = mv 222が成り立つ．地上での速さは v =pv0 2 + 2gh となって等しい．

(114)

第5章

28

問題 5.11 h [m] の高さから落としたときの速さ v [m/s] は，質量を m [kg]，重力加速度の大きさを√
g [m/s2 ] とすると，力学的エネルギー保存則より mgh = mv 2 /2 が成り立つ．すなわち，v = 2ghとなる．下のボールが床と弾性衝突をして速さ v ではね返ったとき，上のボールは速さ v で落ちてきて弾性衝突をする．下のボールとともに動いている系から見ると，上のボールが，静止している下のボールに速さ 2v で衝突する．m ≪ M なので，このとき上のボールは 2v ではね上がると考えることができる．元の系に戻すと上のボールは 3v ではね上がる．したがって，高さ h′ は

h′ =

(3v)2
= 9h
2g

(115)

となる．すなわち，n = 9 である．
問題 5.12 物体の質量を m [kg] とすると，力の斜面に沿った成分は下向きに mg(sin θ − µ cos θ)
であり，力のした仕事は mgL(sin θ − µ cos θ) である．そのときの速度を v [m/s] とすると，仕事pと運動エネルギー mv 2 /2 は等しいから，v = 2gL(sin θ − µ cos θ) と求まる．

章末問題 55.1 だるま落としは，重ねて置いてある円柱を下段から木槌で水平に叩いて抜いていき，うまく一番上のだるまを下に落とす玩具である．下段を叩いて抜くとき，その 1 つ上の円柱にはたらく力は，円柱同士の摩擦力である．木槌で素早く叩くほど，摩擦力のはたらく時間が短くなり，上の円柱が受ける力積が小さくなる．与えた力積が円柱の運動量の変化であるから，上の円柱の運
ちゅうちょ

動量の変化が小さくなるように抜くためには，円柱を思い切って素早く叩いた方が良い． 躊 躇 してゆっくり叩くと，崩れてしまう，

5.2 探査機の運航方向を正とする．速度 v [m/s] で運航する（燃料も含めた）質量 m [kg] の探査機が，質量 ∆m [kg] のキセノンガスを探査機に対して相対速度 u [m/s]（u < 0）で放出し，∆v [m/s]の速度変化を得たとすると，運動量保存則により
mv = (m − ∆m)(v + ∆v) + dm(v − u)(116)が成り立つ．∆m∆v の項を無視して整理すると，∆v = u

∆m
m

(117)

となる．
∆v → dv ，∆m → dm として，この方程式の両辺を時間 t で積分すると，燃料を m′ [kg] だけ使ったときの探査機の質量は，m(0) − m′ であるから，Z v(t)
Z m(0)−m(t)
dm′
(118)
dv = um(0) − m′v(0)0となる．ここで，m(t) は時刻 t での探査機の質量である．速度変化 ∆v = v(t) − v(0) とすれば，∆v = u ln

m(0)
m(t)

(119)

29
を得る．これに数値を代入すれば，10 kg のキセノンガスを放出した後では，∆v = 30 km/s × ln

600 kg/ km/s= 0.504
590 kg(120)だけ増加する．
一方で，ロケット打ち上げ時に使われる化学推進エンジンの場合は，噴出速度が数 km/s であり，イオンエンジンと同じだけ速度変化を得ようとすると，イオンエンジンに比べて多くの燃料を積まなければならない．
それでは，イオンエンジンでロケットの打ち上げをすればよいと考えるかも知れないが，イオンエンジンは，単位時間当りの噴出質量が小さいのでロケット打ち上げには適さない．イオンエ
ンジンは，探査機のように長期運用に適している．

5.3 (1) しない．移動方向と力の向きが直交しているため．
(2) しない．力は瞬時にはたらき，運動方向への距離は 0 であるため．
(3) する．エスカレータは垂直抗力の向きにも移動しているため．
5.4 (1) 初速を v [m/s] とすると，エネルギー保存則より，となる．したがって，v =√1
mv 2 = µmgL
2

(121)

2µgL を得る．

(2) 0．同じ質量の弾性直衝突では，自分たちのストーンは停止する．
(3) 自分たちのストーンは停止し，相手のストーンはそのときの速さで滑り出す．結局ストーンp
が L + L′ だけ滑ったことと同じであるから，最初に与えるべき速さは 2µg(L + L′ ) となる．
(4) 衝突直前の速度ベクトルを v 0 [m/s]，斜め衝突後の速度ベクトルを v 1 [m/s]，v 2 [m/s] とす
ると，運動量保存則はmv 0 = mv 1 + mv 2

(122)となる．力学的エネルギー保存則は，

1
1
1
mv0 2 = mv1 2 + mv2 2
2
2
2

(123)

となる．(122) から v 0 = v 1 + v 2 ，(123) から v0 2 = v1 2 + v2 2 が得られるが，これは，3 つのベクトルが v 0 を斜辺とする直角三角形となることを意味する．すなわち，v 1 と v 2 は直交する．

5.5 A，B の速さをそれぞれ vA [m/s]，vB [m/s] とすると，互いの向きは逆向きであり，運動量保存則により mA vA = mB vB ，エネルギー保存則により E = mA vA 2 /2 + mB vB 2 /2 が成り立つ．
これらより
s
2mB E
vA =
(124)
mA (mA + mB )

第5章

30

と求まる．
3 つの粒子 A，B，C に分裂したときは，2 つの粒子に分裂したときと異なり，粒子の速度の向きによって，粒子 A の速さは，0 と (124) で求めた値（より小さい値）との間の値を取る（C の質
量が 0 の場合は，(124) で求めた値になる）．例えば，粒子 B と C の速度が同じ向きであり，粒子A だけが逆向きのときには粒子 A の速さは大きくなり，粒子 B と C の運動量が逆向きのときに，
粒子 A の速さは小さくなる．
20 世紀の初め，炭素の β 崩壊
1414−
6C → 7 N + e(125)

によって放出される β 線（e− ）の運動エネルギーを測定すると，その値は 0 から (125) で予想されるエネルギーまでの値に分布することがわかった．これは，放出される粒子が 147 N と e− の 2 つだけでは説明ができない．そこで，パウリはこの現象を説明するために，1930 年に観測できない粒子の存在を予言した．この粒子が（反）ニュートリノである．その後，1956 年にライネスらによって原子炉から放出されるニュートリノが初めて観測され，現在ではニュートリノの存在が確認されている．
コラム：ニュートリノ振動2015 年，梶田隆章氏は「ニュートリノに質量がある」ことの発見で，ノーベル物理学賞を受賞した．
ニュートリノは，電子と対をなし，電子から電荷を取り除いた粒子といえる（それ以外の性質は電子と似ている）．もともと電子は核力（強い力）を感じないが，ニュートリノは電荷がないので，核力だ
けでなく電磁力も感じない．そのため，地球でも太陽でもほとんど何もせずに通過できる．それで幽霊粒子などともいわれる．
しかし，ベータ崩壊などを引き起こす「弱い力」は感じるので，多数のニュートリノのうちのほんの少数は，物質と衝突して観測にかかる．
実は電子には，ミューオンとタウオンという，性質が大変似ていてより重い仲間があることがわかった．そして，それらの粒子と対関係にあるニュートリノも 3 種類存在することが明らかになった．すな
わちニュートリノには，電子ニュートリノ，ミューニュートリノ，タウニュートリノの 3 種類（3 つのフレーバー）がある．
受賞対象となった発見は，大気で生成されたニュートリノの観測によってなされた．地球外から飛来する高エネルギーの 1 次宇宙線（主に陽子や軽い原子核）は，大気中の窒素や酸素原子核と衝突して，たくさんの 2 次粒子を生成する（空気シャワー）．その際，ミューニュートリノや電子ニュートリノも生成される．
5 万トンの純水を蓄えたスーパーカミオカンデ実験では，水中や周りの岩盤で衝突するニュートリ
ノを 1 日 10 事象ほど観測する．そこでは，観測した粒子がミューニュートリノなのか，または，電子ニュートリノなのかを区別することができる．
観測の結果は，地球の裏側から来るミューニュートリノが予想値に比べて有意に減っていることを示していた．一方，電子ニュートリノについては予言通りの数が観測された．
これはニュートリノ振動が起こっているためと結論できる．すなわち，ミューニュートリノは生成
後，地球の裏側から約 13,000 km 飛来する間にニュートリノ振動をして，観測困難なタウニュートリノに変わったと考えると説明できる．
ニュートリノ振動とは，例えばミューニュートリノとして生成された粒子が飛来中に，別のフレーバーのニュートリノになったり，また元に戻ったりを繰り返す量子力学的現象である．この現象は，ニュートリノが互いに異なる質量をもたないと起こらない．その質量は，電子などと比べてはるかに小さいこともわかった．
ニュートリノが質量をもつことがどんな意味をもつのだろうか．20 世紀後半に素粒子の世界を矛盾なく説明する標準理論が完成した．標準理論は，ニュートリノの質量を 0 と仮定して組み立てられている．すなわち，ニュートリノが質量をもつことは，標準理論を超える理論の大きなヒントになっている．
この宇宙は物質でできていて，反物質の銀河などは（見える範囲の宇宙には）存在しない（物質優勢宇宙）．ビッグバン宇宙では，宇宙初期に物質と反物質をほぼ等量生成し，対消滅したと考えられる．

31

ほんの少しだけ物質が多く生成された結果，物質優勢宇宙となった．ニュートリノがほんのわずかの質
量をもつことが，その理由を説明する鍵を握っているのではないかと注目されている．

5.6 A，B の質量をそれぞれ mA [kg]，mB [kg] とし，衝突直前の A の速さを v [m/s] とする．衝突後 A と B は同じ高さまで上がったのだから，速さは同じであり，それを v ′ [m/s] とする．
(1) 運動量保存則より，
mA v = mB v ′ − mA v ′(126)

また，弾性衝突なので，はね返り係数が 1 の条件より v = 2v ′ となる．この 2 つの式より，mB /mA = 3 を得る．
√√
(2) 重力加速度の大きさを g [m/s2 ] とすると，v = 2gH ，v ′ = 2gh より,H/h = 4 を得る．

5.7 踏み切ったときの速さを v [m/s]，体重を m [kg] とすると，力学的エネルギー保存則より，
1
mv 2 = m × 9.8 × (6.14 − 1.00)2が成り立つ．よって，v =

√

(127)

2 × 9.8 × 5.14 = 10.0/ m/s を得る．

5.8 初速を v [m/s]，質量を m [kg] とすると，力学的エネルギー保存則より，
1
mv 2 − mgRE ≥ 0
2であれば落ちてこない．最小値は，数値を入れて，ppv = 2gRE = 2 × 9.8 × 6.4 × 106 = 11.2/ × 103 m/s = 11 km/s
となる．

(128)

(129)

32

第6章
問題 6.1 等速円運動する物体の運動エネルギーは変化しないので，この物体にはたらく力のする
仕事は 0 である．したがって，物体にはたらく力は常に運動方向に垂直でなければならない．すなわち，力は円の中心を向く．
問題 6.2 ばねが自然長のときのおもりの位置を原点とし，ばねが伸びる方向を x 軸とすれば，時刻 t でのおもりの位置 x(t) は，

x(t) = 3.0 × 10−2 m × cos(2π × 0.50t [s])(130)となる．したがって，1.0 s 後のおもりの位置は，

x(1) = 3.0 × 10−2 m × cos(π) = −3.0 × 10−2 m(131)となる．つまり，おもりは −3.0 cm の位置にある．
[別解] おもりの周期は 2.0 s なので，半周期の 1.0 s 後には，おもりは，原点に対して逆の位置，すなわち，−3.0 cm の位置にある．
問題 6.3 ばね定数 k は，k = 1.0 × 10−2 × 9.8/(4.9 × 10−3 ) = 2.0 × 10 N/m である．おもりの質
量を m [kg] とすると，角振動数 ω は

r
ω=

k
=
m

r

5
20
= 4.4/7/ × 10 rad/s−2
1.0 × 10(132)となる．したがって，周期 = 2π/ω ≃ 0.14 s である．
問題 6.4 周期 T は

T =

1
1
=
= 2.0 s
f
0.50

(133)

となる．また，振り子の糸の長さは， (6.14) を l について解けば，

l=

T2
2.02
g
=
× 9.80 = 0.99 m
4π 2
4 × 3.142(134)となる．これより，おおよそ 1 m の振り子を用いれば，その周期がおおよそ 2.0 s になることがわ
かる．

√
問題 6.5 単振り子の周期は重力加速度の大きさの逆数の平方根に比例するから， 6 ≃ 2.4 倍になり，周期は 4.8 s となる．

33
問題 6.6 地上すれすれに回る人工衛星では，重力と遠心力がつり合うので，人工衛星の質量をm [kg]，速度を v [m/s] とし，人工衛星の軌道半径を地球の半径と等しいと近似して RE = 6.37 ×
106 m を用いれば，

mg =

mv 2
RE

(135)

より，以下を得る．

v=

pp/ × 103 m/s
RE g = 6.37 × 106 × 9.8 = 7.90

(136)

問題 6.7 23 時間 56 分 4.091 秒 = (23 × 60 + 56) × 60 + 4.091 = 86164.091 s．距離を r [m] とす
ると， (6.34) より
3
2
1
2π
T =√
r 2 = 2πr 3 √
[s]
(137)
gRE
GME
となる．ここで，GME = RE 2 g を用いた．

√
r=

gRE T
2π

√

2
3

=

9.8 × (6.37 × 106 ) × 8.62 × 104
6.28

!2
3

/ × 104 km= 4.21(138)

6/7/ × 104 km となる．
を得る．すなわち，静止衛星の高度は r − RE = 3.5
問題 6.8 地軸は地球の公転面に対し 23.4◦ だけ傾いていて，太陽は，近日点では南緯 23.4◦ の地
点を真上から照らす．このとき，北半球は斜めに照らされるため，単位面積当りに受け取る熱量が小さくなり，冬となる．季節があるのは，この地軸の傾きのためである．
地軸が傾いた原因は，46 億年前に原始地球が火星ほどの原始惑星と斜め衝突したため，という説が有力である．このときの破片から，月ができたといわれている（ジャイアントインパクト， 章
末問題 6.5 の解答参照）．
問題 6.9 角速度を ω [rad/s] とすると，質量 m の物体の遠心力は m × 500 × ω 2 ，これが m × 9.8pと等しければよい．ω = 9.8/500 なので，周期は次のように求まる．
r
5
2π
500
(139)
（周期）=
= 2π
= 4/4.8/ s
ω
9.8

問題 6.10 図 11の通り．

B

O

A

B

0

図 11: コリオリ力の図

第6章

34

問題 6.11 北半球で台風に吹き込む風は，右向きにコリオリ力を受ける．したがって，反時計回
てんこうりょくりになる．このように，コリオリ力は風の向きを変えることから，気象学の分野では 転 向 力 ともよばれている．
問題 6.12 ヒントより，図 12の通り．
Ẽᅽഴᗘຊ
➼ᅽ⥺

పᅽഃ

㢼ྥࡁ

ࢥࣜ࢜ࣜຊ

㧗ᅽഃ

図 12: 地衡風

章末問題 6
6.1 つり合いの位置でのばねの伸びを x0 [m] とすると，mg = kx0 より，x0 = mg/k と求まる．つり合いの位置を原点とし，下向きを正とする x 軸を取ると，x での位置ではたらくばねからの力は，上向きに k(x+x0 )，下向きに重力 mg である．この関係により，正味の力は −k(x+x0 )+mg = −kxとなる．したがって，運動方程式は次のように書ける．
m

d2 x
= −kx
dt2

(140)

運動方程式の解は，初期条件 x(0) = d より，

rx(t) = d cos(ωt),

ω=

k
m

(141)

となる．おもりの速度は，x(t) を微分して，

rvx (t) = −ωd sin(ωt) = −rkkd sin(
t)
m
m

(142)

となる．

6.2 例えば，ばね定数のわかっているばね（k [N/m] とする）に体をつけ，振動させて周期 T [s]pを測る．体重を m [kg] とすると，周期 T = 2π m/k より，体重は
m=
と求まる．

kT 2
4π 2

35
6.3 テザーが常に地球方向を向くので，2 つの衛星は，同じ角運動量 ω [rad/s] で周回する．万有引力定数を G [m3 /(kg · s2 )]，地球質量を M [kg]，テザーの張力を T [N] とすると，それぞれの力のつり合いより
GmM
+Tmrω 2 =
r2
(143)
Gm′ M 
′ ′ 2
T +mrω =r′2となる．2 つの式のそれぞれの辺を足して，ω について解くと，
s


GM
m m′
ω=
+
mr + m′ r′ r2 r′2(144)と求まる．よって周期は，

v
u
2π
u
（周期）=
= 2π utω

mr + m′ r′


m m′
GM
+
r2 r′2(145)となる．また，張力は次のように求まる．



GmM
=
r2
Gmm′ M (r3 − r′3 )=(mr + m′ r′ )r2 r′2

T = mrω 2 −′m+ rm′2
r2
mr + m′ r′

GmM r


−

GmM
r2
(146)

6.4 かぐやの軌道半径を r = 17.4 × 105 + 1.0 × 105 = 18.4 × 105 m，質量を m [kg]，万有引力定数
を G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg · s2 )，月の質量を M [kg] とする．かぐやの公転の角速度を ω [rad/s]とすると，かぐやの力のつり合いより，
mrω 2 =

GmM
r2

(147)

となる．M を求めると，ω = 2π/(2.0 × 3600) rad/s より，

M=

ω2 r3
π 2 (1.84 × 106 )3== 7.11/ × 1022 kg
G36002 6.67 × 10−11(148)と求まる（実際の月の質量は，(7.34581 ± 0.00073) × 1022 kg である）．

6.5 月の公転周期を T [s]，角速度を ω [rad/s] とすると，ω は
ω=

2π
2 × 3.14=T(27 × 24 + 7) × 3600 + 43 × 60

= 2.66 × 10−6 rad/s(149)となる．万有引力定数を G [m3 /(kg · s2 )]，地球の質量を ME [kg]，月と地球の間の距離を r [m] とすれば，rω 2 = G

ME
r2

(150)

第6章

36
となるので，

r3 =GME
6.7 × 10−11 × 6.0 × 1024=
= 56.8 × 1024
ω2(2.66 × 10−6 )2

r = 3.84/ × 108 m

(151)
(152)

と求まる．月の半径を R月 [m] とすれば，

R月 ≃ r × tan(15.53′ ) = 3.84 × 108 × 4.52 × 10−3 = 1.73/ × 106 m(153)が得られる．
これらの結果より，月を一様な球体と仮定して，月の平均密度 ρ月 [kg/m3 ] を求めてみると

ρ月 =4
7.36 × 1022
= 3.3/9/1/
63(4/3) × π × (1.73 × 10 )× 103 kg/m3 = 3.4 g/cm3(154)と求まる．地球の密度は 5.51 g/cm3 であるので，月の密度は地球の密度に比べてずいぶん小さい．
月の密度はなぜ地球の密度に比べて小さいのだろうか．それは月の形成に関わってくる．月がどのように形成されたかという理論については，完全には解明されたわけではないが，現在のところ，原始地球に火星ほどの大きさの天体が激突し，衝突によってえぐり取られた地球の表層部
分と天体の破片が集まって月が形成されたとする，ジャイアントインパクト説が最も有力である．
ジャイアントインパクト説によれば，地球の表層部分は中心部より密度が小さいので，月の密度
は地球の密度に比べて小さいのである．

6.6 向心力と万有引力が等しいという式を書くときに用いるべき距離は，実は，地球と太陽を合わせた系の質量中心からの距離である．地球と太陽の場合は，地球に比べて太陽が十分に質量が大きいため，質量中心が太陽の中心とほぼ一致する．そのため，太陽の質量中心との距離を公転半径と考えてよい．地球を中心と考えるときには，距離を公転半径にすることはできない．
それでは地球 · 太陽間の距離はどのように測定すればよいのだろうか．以前は，金星の太陽面通過を利用して地球 · 太陽間の距離の測定が行われていた．地球上のできるだけ離れた 2 地点から，
太陽に映る金星の影の位置の違いを測定し，三角形の相似関係を用いて地球 · 太陽間の距離を求めるのである．しかし，地球 · 太陽間の距離に比べて，地球上の 2 地点間の距離は非常に小さいので，
地球 · 太陽間の距離を精度良く決定するのは難しかった．
電波天文学が発展したことにより，地球と他の惑星との電波の往復時間が測定できるようになった．電波の速さは定義されているので，それより，地球と他の惑星間の距離を求めることができる．よって，例えば，まず地球 · 金星間の距離を求め，ケプラーの法則を用いて，地球 · 太陽間の距離を求めることができる．
6.7 地球と太陽の質量をそれぞれ m [kg]，M [kg]，地球 · 太陽間の距離を r [m]，万有引力定数を
G [m3 /(kg · s2 )]，地球の公転の速さを v [m/s] とすると
mv 2
mM
=G 2
r
r

(155)

が成り立つ．v は，公転周期が 1 年（3.16 × 107 s）であるから，v=

2π × 1.5 × 1011 3 0= /2./9/8 × 104 m/s
3.16 × 107

(156)

37
となる．2 つの式より，以下のように太陽質量が求まる．

M=

rv 2
1.5 × 1011 × (3.0 × 104 )2/ × 1030 kg== 2.01G
6.7 × 10−11(157)

6.8 (1) 地球の質量を M [kg] とすると，mg = GmM/RE 2 より，
M=

RE 2 g(6.4 × 106 )2 × 9.8 6 0== 5/.9/9/ × 1024 kg
G
6.7 × 1011

(158)(2) 半径 |x| [m] の球内に含まれる質量 Mx [kg] は Mx = M × (|x|/RE )3 であり，乗り物にはたらく万有引力の大きさは，(1) の結果を代入して
mg|x|
GmMx
GmM |x|3
=
=
3
2
2
|x|
RE
RE |x|(159)となる．向きは常に中心を向くから −mgx/RE となる．

(3) 運動方程式は
m

d2 x
mg
=−
x
2
dt
RE

(160)

となる．

(4) (3) の解は x(0) = RE として
rx(t) = RE cos ωt,

ω=

g
RE

(161)

となる．速度 v(t) は，これを微分して v(t) = −ωRE sin ωt となり，中心を通過するときが
ωt = π/2 になるから，そのときの速さはp
p
RE ω = RE g = 6.4 × 106 × 9.8 = 7.91/ × 103 m/s(162)となる．すなわち，7.9 km/s（第 1 宇宙速度）となる．

(5) 地球の裏側に達するのは，半周期のときだから，rπ
6.4 × 106
/ × 103 s=π= 2.53
ω
9.8

(163)

となり，約 42 分となる．

6.9 まず，地球の公転の角速度 ω [rad/s] を求めよう．太陽，地球の質量をそれぞれ M [kg]，m [kg]，太陽 · 地球間の距離を r [m]，万有引力定数を G [m3 /(kg · s2 )] とすると，M ≫ m より，太陽と地球からなる系の質量中心は，太陽の中心にあるとしてよく，
mrω 2 =

GmM
r2

(164)

ω2 =

GM
r3

(165)

より，

第6章

38

となる．
L1 に置く物体の質量を µ [kg]，L1 の地球からの距離を rx [m] とすると，L1 での力のつり合いから，

GµM
r2 (1 − x)2= µr(1 − x)ω 2 +Gµm
GµM (1 − x) Gµm
=
+ 2 2
2
2
r x
r2
r x

(166)

を得る．整理して次式を得る．




1
1 m
− (1 − x) = 2
2(1 − x)
x M(167)

x ≪ 1 なので，左辺で 1/(1 − x)2 ≃ 1 + 2x からx≃ m 1/3
3M

=

6.0 × 1024
3 × 2.0 × 1030

1/3

= 1.0 × 10−2

(168)となり，地球と L1 の距離は 1.5 × 106 km となる．L2 の距離も同じであることがわかる．
次に，L3 の太陽からの距離を (1 + x)r [m] とすると，L3 に置いた質量 µ の物体にはたらく力のつり合いはµr(1 + x)ω 2 =GµM
r2 (1 + x)2+Gµm
r2 (2 + x)2(169)

であり，ω を代入して整理すると

1+x−

1
m
1
=
(1 + x)2
M (2 + x)2(170)を得る．x ≪ 1 を用いて，

x≃m
6.0 × 1024=
= 2.5 × 10−7
12M
12 × 2.0 × 1030

(171)となり，地球からの距離はほぼ公転直径となる．
ラグランジュ点 L1，L2 は不安定な平衡点である．平衡点から少しでもずれると，そのずれが拡大するので，自身の推進力で軌道を修正しなければならない．しかしながら，地球からの距離がいつも一定であり，障害物が少ない観測ができるという利点から，ラグランジュ点付近での軌道には今までいくつもの観測機が投入されている．
例えば，1995 年に打ち上げられた SOHO は，L1 で現在でも太陽の観測を続けている．NASAの SOHO のウェブサイト（https://sohowww.nascom.nasa.gov）に行くと，観測データを見ることができる．また，L2 での，ビッグバン宇宙の直接証拠であるマイクロ波背景放射の観測において，WMAP や Planck 探査機が素晴らしい成果をもたらした．
2016 年に地上のレーザー干渉計型重力波検出器「LIGO」で，重力波が初めて検出されたが，重力波を宇宙で観測する計画が進められている．日本の宇宙重力波望遠鏡 DECIGO 計画では，観測機投入の候補として，ラグランジュポイント付近の軌道が挙がっている．

39

第7章
問題 7.1 支点には WA + WB の大きさの力が上向きにかかっている．点 A 周りの力のモーメントを考えると，時計回りに (lA + lB )WB ，反時計回りに lA (WA + WB ) がはたらき，つり合っている．
すなわち，(lA + lB )WB = lA (WA + WB )(172)となり，整理して (7.1) と同じ式が得られる．
問題 7.2 例えば，物体にひもを取りつけて吊す．このとき，物体の重心はひもを取りつけた点を通る鉛直線の上にある．したがって，取りつける場所を変えてこの作業を行えば，物体の重心を見つけることができる．
問題 7.3 地球の質量を ME [kg] として計算する．

(1) 遠心力は m にはたらく万有引力と等しいから，GmM/R2 である．
(2) 万有引力と遠心力との差は，
GmM
GmM
GmM
GmM
−
=
−
2
2
2
2
(R − RE )R
R2
R (1 − (RE /R))


GmM
2RE
2GmM RE
≃
1+
−1 =
2
R
R
R3

(173)

と導かれる．ここで，|x| ≪ 1 のとき，1/(1 − x)2 ≃ 1 + 2x の近似を用いた．

問題 7.4 密度 ρ = m/(πa2 h)，円筒座標を用い，体積要素が rdrdφdz であることから
Z a
Z h Z 2πma2mrdrr2 =
dφdz
I=2
πa h 0
2
0
0

(174)

となり，円板と同じ形である．
問題 7.5 密度 ρ = m/(4πa3 /3)，軸を z 軸と取ると，任意の点 (r, θ, φ) での体積要素は r2 dr sin θdθdφ，回転軸との距離は r sin θ であるから
Z a
Z π
Z 2π
m
2
I = 4 3r drsin θdθdφ(r sin θ)2
πa
0
0
0
3
Z π
Z
2πm a 4
2πm
a5 4
= 4 3
sin3 θdθ = 4 3 ×
r dr
×
5
3
0
0
3 πa
3 πa
2
=
ma2
(175)
5

第7章

40
を得る．ここで，θ の積分は cos θ = x と変数変換することによって簡単に求まる．

問題 7.6 中心軸周りの慣性モーメントは ml2 /12，中心から端部までの長さは l/2 なので，平行軸の定理により，

ml2
+m
12

 2
l
ml2
=
[kg · m2 ]
2
3

(176)

と求まる．
問題 7.7 (1) 平行軸の定理により，慣性モーメント I [kg · m2 ] は，



2R2
2
I = m (l + R) +
5

(177)

である．

(2) 回転角を φ [rad] とすると，力のモーメントは −mgl sin φ ≃ −mglφ であり，運動方程式はd2 φ= −mg(l + R)φdt2pとなる．これは単振動の式であり，角速度 ω = mg(l + R)/I を用いると，周期は
v

u
2R2
u
s
u (l + R) +tI
2π5(l + R)
= 2π
= 2π
（周期）=
ω
mg(l + R)
g
I

(178)

(179)

となる．

(3) R/l ≪ 1 より，周期は棒の代わりに糸を用いた単振り子の場合と同じになる．
問題 7.8 足の長さを l [m]，足の質量を m [kg] とすると，足 1 本の慣性モーメントは ml2 /3 とな
る．一様な棒であるから，重力は棒の中心（足の付け根から l/2 の位置）にはたらくと考えることができる．これより，周期は，
s
s
s
r
I
2ml2
2l
2 × 0.80（周期）= 2π
= 2π
= 2π
= 6.28 ×= 1.466 s(180)
mg(l/2)3mgl
3g
3 × 9.8と求まる．したがって，（1 歩の時間）=

1.466/s= 0.7332(181)となり，速さは
（速さ）=

1
0.8
= 1./0/9 m/s
0.73となる．これを時速に直せば，3.9 km/h となる．

(182)

41
問題 7.9 上の 1 枚を残すことによって，両指同時に離すことは難しくなり落としたコインは回転を始める．
1 回転する高さについては，回転角速度を ω [rad/s]，重力加速度の大きさを g [m/s2 ] とすると，
時刻 t [s] での回転角は ωt [rad]，落下する距離は gt2 /2 [m] であり，30 cm で半回転するとき，1回転するには時間が 2 倍になるので，30 × 22 = 120 cm の高さが必要となる．
問題 7.10 鉛直下向きに x 軸を取り，回転角を φ [rad]，糸の張力を S [N] とする．

(1) 運動方程式はmd2 x= mg − S,
dt2

I

d2 φ
= RS
dt2

となる．ここで，Rφ = x の関係より S を消去して

 2
I
d x
m+ 2
= mg
R
dt2

(183)

(184)

が得られる．

(2) 加速度は，次のように求まる．
（加速度）=

d2 x
=
dt2

g
I
1+
mR2



(185)

問題 7.11 物体の質量を m [kg]，半径を R [m] とする．慣性モーメントが小さいほど速く下る．
一番速いもの：慣性モーメントが 1 番小さいのは，中心に質量が集まった球状構造のもの，または，中心軸上に質量が集まった円筒状構造のものであり，中心軸付近以外の半径 R までは，できるだけ軽いもので満たしたものである．理想的にはともに I = 0 となる．
一番遅いもの：慣性モーメントが 1 番大きいのは，中空で半径 R のところに質量が集まっている
円筒形のもの（I = mR2 ）である．

章末問題 77.1 物体にはたらく力は図 13の通り．

(1)

(2)

図 13: 物体にはたらく力(1) 重力の作用線が底面の先端より前になると倒れる．そうならない条件は以下の通り．
htan θ ≤ a
2

(186)

第7章

42

(2) 前後の人の肩にかかる力の大きさをそれぞれ f1 [N]，f2 [N] とすると，f1 + f2 = mg で，円柱の重心周りの力のモーメントのつり合いは，腕の長さが h2 cos θ ± a tan θ なので，




h
h
cos θ + a tan θ f1 =cos θ − a tan θ f2
(187)
2
2
が成り立つ．これを解いて次式を得る．
mg
2a tan θ
f1 =
1−
,
2
h cos θ

mg
f2 =
2



2a tan θ1+h cos θ(188)

7.2 棒の長さを 2l [m]，重力の大きさを W [kg]，床となす角度を θ [rad] とする．
(1) 床からは，垂直抗力と摩擦力が及ぼされる．壁は滑らかなので，垂直抗力のみが及ぼされる．
図 14のように，床から及ぼされる垂直抗力の大きさを Nf [N]，摩擦力の大きさを Ff [N]，壁から及ぼされる垂直抗力の大きさを Nw [N] とすると，まず，棒が静止しているとき，力のつり合いは，
Ff = Nw ,W = Nf(189)となる．また，床側の棒の先端周りの力のモーメントのつり合いは2lNw sin θ = W l cos θ(190)

である．滑り始めるのは Ff が Nw を超えたときである．超える直前の角度 θ の値は，

Nw =W
= Ff = µf Nf = µf W
2 tan θ(191)

より求められ，tan θ = 1/(2µf ) を得る．

Nw

Nf
W
Ff
図 14: 壁に立てかけられた棒(2) 床が滑らかで壁が粗いときは，棒が床から及ぼされる力は床に垂直な成分 Nf しかない．このとき，力のつり合いの関係より，壁に立てかけられた棒にはたらく壁からの垂直抗力も 0でなければならない．このような場合，棒は床に垂直（90◦ ）に立つか，平行（0◦ ）になるかのどちらかしか許されない．滑り始める角度としては π/2 となる．

7.3 (1) 簡単のため，図 15のような球からなる，底をもつ起き上がり小法師を考えよう．O は球の中心であり，G は小法師の重心とする．図 15(a）のように重心が O より上にあると，小法43
師を傾けたときに，O 点周りの重力のモーメントはさらに小法師を回転させようとする．一方で，図 15(b) のように重心が O より下にあると，小法師を傾けたときに，O 点周りの重力のモーメントは小法師を元に戻そうとする．実際の起き上がり小法師は下部におもりが固定されており，傾けてもひとりでに起き上がる．

G

G

O
㔜ຊ

O

O

O
G

G

㔜ຊ
D

E

図 15: 起き上がり小法師(2) 大型のタンクローリーの重心は高く，カーブを曲がるときに，タンクの内容物が遠心力で外側に移動すると，重心の位置関係が起き上がり小法師の図 15(a) のようになり，少しの傾きで転倒しやすくなる．内容物の過剰な揺れによる転倒を防ぐために，タンクローリーのタンクの中には防波板が設けられている．
(3) 月の重心は月の中心よりも地球に近い位置にあり，起き上がり小法師の原理で，地球からの引力により同じ面を地球に向けている（このように，2 つの天体のうち 1 つが常に相手に同じ面を向けて回転している現象を潮汐ロックという）．
7.4 (1) 三角形の重心は，ある頂点とその底辺の中点を結ぶ線を 2:1 に分割した点である．したがって，重心の座標は (a/3，b/3) である．
(2) 平行四辺形の重心は対角線の交点であり，(a/2,0) である．
(3) 切った方の三角形の重心を求めると (5a/9，2b/9) となる．元の三角形の質量を 9 とすると，切った方の三角形の質量は −4．したがって台形の重心の x 座標は
9 × a3 − 4 × 5a
7a
9
=
9−4
45

(192)

9 × 3b − 4 × 2b
19b
9
=
9−4
45

(193)

となり，y 座標はとなる．すなわち，(7a/45，19b/45) である．

(4) 図 16のように，円板の中心を原点，穴の中心の位置を正の x 軸上に置くと，穴の中心の座標
は (a − 2c，0) である．したがって，穴の空いた円板の重心の x 座標は
c2 (a − 2c)a2 × 0 − c2 (a − 2c)=−a2 − c2a2 − c2
となる．

(194)

第7章

44
y
a

{a

c c c aOx{a

図 16: 穴の空いた円板(5) 物質の密度を 1 すると，球と円柱の質量はそれぞれ 4πa3 /3，πr2 h である．球の中心を原点，
円柱の軸を正の x 軸とすると，円柱の重心の x 座標は a + h/2 である．したがって，全体の重心は以下のように求まる．




h
h 2
4πa3
2
+ a+
× πr h
a+
r h
0×
3
2
2
=
(195)
4πa3
4a3
2
2
+ πr h+r h
3
3
7.5 独立な 3 点で平面が決まる．脚が 4 本ある場合は，より長い 3 本で床に安定するが，短い 4 本
目が床に届いていないため，そこに重さがかかると沈んでがたつく．
以下はより詳しい説明である．
椅子の 4 本の脚によって，座面には垂直にそれぞれ F 1 ，F 2 ，F 3 ，F 4 の力が加わっているとする．力 F 1 ∼ F 4 の値を決めるにはどうしたらよいだろうか．これらを決める条件は，力のつり合
いと，力のモーメントのつり合いである．まず，力のつり合いの式は，座面に垂直な方向成分ただ 1 つである．また，力のモーメントのつり合いの式は，水平方向の独立な 2 つの軸についての回転が考えられるので，2 つになる．したがって，力 F 1 ∼ F 4 の値を決める条件の式は，合計で3 つになる．
F 1 ∼ F 4 の 4 つの値を決めるための条件が 3 つしかない．それゆえ，4 つの値すべてを決めることができない．これは，椅子は座面は 3 本の脚だけで支えられていることを意味している．それゆえ 4 本脚の椅子はがたつき，また，がたつきを押さえるためには，脚先にゴムを付けるなどして，床面と脚先を接するようにするのである．
それでは，椅子の脚は 3 本で十分だと思うかも知れない．3 本脚にすれば 4 本脚の椅子よりもコストが抑えられる．しかし，3 本脚の椅子には問題がある．3 本脚の椅子では，椅子に座っている
人が動いて，重心の位置が脚を結ぶ三角形の外側に移動すると転倒してしまうので，大変危険である．
3 本脚の椅子がないわけではない．例えば，アルネ・ヤコブセンがデザインしたアントチェアは3 本脚の椅子として有名である．この椅子は，椅子の 3 本脚と人間の 2 本の足の 5 本で支えるということをコンセプトにデザインされている．

45
7.6 (1) 定義より，以下のように求まる．
 2
l
M l2
2×M
=
2
2

(196)

(2) 定義より，M l2 ．
(3) 辺 a からの距離 x と x + dx にある板の質量は (M adx)/(ab) = (M dx)/b である．その部分の慣性モーメントは dI = x2 M dx/b である．したがって，以下のようになる．
Z b
x2

I=
0

M b2
M dx
=
b
3

(197)

7.7 重心が高い方が，地面と接する点周りの慣性モーメントが大きくなる．その結果，重心が高い方がゆっくりと倒れる．そのため，制御が容易になる．これは，手のひらにバットを立てて持ち，バットが倒れないようにバランスを取るときに，ヘッドを下にするよりもグリップを下にした方が，バランスが取りやすいのと同じである．
7.8 (1) 定義より，以下の通りである．
I

d2 φ
= rF
dt2

(198)

(2) (1) を t で積分して，t = 0 で dφ/dt = 0 の条件から，以下のように求まる．
dφ(t)
rF
=
t
dt
I

(199)

(3) (2) を t で積分して，t = 0 で φ = 0 として，
φ(t) =

rF t2
2I

(200)

を得る．

(4) 慣性モーメントは質量に比例するので，回転の加速度は 1/4 倍になる．
7.9 斜面上向きに x 軸を取る．並進運動の運動方程式を立てよう．−x 方向に M g sin θ + F がはたらいているから，次のようになる．
M

d2 x= −M g sin θ − F
dt2

(201)

d2 φ
= RF
dt2

(202)

回転の運動方程式は，公式により，Iと求まる．Rφ = x より，d2 φ/dt2 = ẍ/R，F を消去して，加速度は

d2 x
g sin θ=−2dt
1 + I/(M R2 )

(203)

第7章

46

と求まる．加速度を −a0 と置くと，t = 0 で斜面に差しかかったとして，dx/dt = −a0 t + v0 である．最高点では左辺が 0 だから，かかった時間は以下のように求まる．

v0
1 + I/(M R2 )=v0a0
g sin θ(204)

7.10 ローラーを回転させようとする力のモーメントは，体重に比例して大きくなる．したがって，ローラーの回転の速さは，体重の重い大人の方が速いので，速く滑り降りる．

47

第8章
問題 8.1 水蒸気が肌の表面で水に凝縮するとき，大量の潜熱を放出するため．
問題 8.2 減圧する．減圧すると，状態は液体（水）から蒸気圧曲線を越えて気体（水蒸気）の領域に入り，水は沸騰する．
一方で，昇圧をすると，水は 100◦ C を超えても沸騰しなくなる．深海にある熱水噴出孔において，噴出している熱水の温度は水圧のために数百 ◦ C に達するものもある．熱水噴出孔の周りでは
熱水のエネルギーを供給源として，独自の生態系が形成されている．
問題 8.3 二酸化炭素の三重点は 5.1 気圧で，1 気圧よりかなり上にある．1 気圧のもとで温度を上げると，昇化曲線を越えて固体から気体の領域に入り，昇華する．
白い「煙」は，空気中の水蒸気が冷却されて細かい水滴（霧）になったものである．
問題 8.4 ヤング率を E [Pa] とすると，

30
1.0 × 10−3=E×
2.0 × 10−7
1.0

(205)

より E = 1.5 × 1011 Pa を得る．
問題 8.5 まず，王冠の質量を測って M [kg] だったとする．次に糸に吊した王冠を水に沈めて王冠の重さを測り，その目盛りが m [kg] だったとしよう．アルキメデスの原理により，王冠の体積は(M − m)/ρ [m3 ] とわかる．ただし，ρ [kg/m3 ] は水の密度である．王冠の密度は M [kg] を体積で割って，M ρ/(M − m) [kg/m3 ] と求まる．金の密度は銀のそれより 1.8 倍も大きいので，この値が純金の密度の値より有意に小さければ，王冠に銀が混入されたことは間違いないと結論できる．
問題 8.6 氷山の体積を V [m3 ]，水面上の氷山の体積を xV [m3 ] とすると，氷山にはたらく重力と浮力はつり合うから，重力加速度の大きさを g [m/s2 ] として，0.92 × 103 × V g = 1.03 × 103 × (1 − x)V g(206)が成り立つ．x について解いて

x=1−

1
0.92
= 0.10/7/
1.03

(207)

を得る．すなわち，11%が海上に出ている．
このことが，ことわざ「氷山の一角」（表面に出ているのは全体のほんの一部分であって，大部分が明らかになっていないということ）の由来である．ところで，日本人にとって氷山は馴染み

48

第8章

がない．それなのにこのようなことわざができたのは，西洋から入ってきたものを訳したからだといわれている．実際に「氷山の一角は」は，英語でも”The tip of the iceberg.”という．
問題 8.7 いえない．浮力の原因は，物体上底面と下底面にはたらく水からの圧力差である．下底面がぴったりとくっつくようにして水に沈めた場合には，下底面には水からの圧力がはたらかないので，アルキメデスの原理に従う浮力ははたらかない（しかし，下底面と水槽との間に少しでも隙間があると，そこに水が入り込む（毛細管現象）．そうすると，浮力がはたらくことになる）．
問題 8.8 同じである．液体の圧力は，液面からの深さのみによる．2 つの容器で水の深さが同じなので，底での圧力は同じである．
しかし，この水の入った 2 つの容器 A，B をはかりに載せると，A，B の底面積が等しかったとしても，容器 A は 2 kg 重+（容器の重量），容器 B は 1 kg 重+（容器の重量）を指し示す．水は同じ圧力で底を押しているにもかかわらず，重量が異なるのはなぜかを考えてみよう．
問題 8.9 水銀の液面からの水銀柱について考える．ガラス管の断面積を S [m2 ] とすると，水銀柱にはたらく重力の大きさは ρShg である．一方で，大気圧を P大気 [Pa] とすれば，大気が水銀柱に及ぼす上向きの力の大きさは P大気 S である．この 2 つがつり合っていることから，ρShg = P大気 S
であり，両辺を S で割って，P大気 = ρgh が示せる．
問題 8.10 1 気圧は 1.0 × 105 Pa なので，1 気圧になる水深を h [m] とすると，1.0 × 105 = 1.0 ×
103 × 9.8 × h より，h = 1.02/ × 10 m となる．すなわち，水深 10 m ごとに 1 気圧だけ増える．
問題 8.11 魚の体は海水より密度が大きいので，浅海魚は鰾（うきぶくろ）とよばれる器官に空気を溜めたり抜いたりして浮力を得ている．しかし，深海魚は高い水圧のため，空気を溜めたり抜いたりすることができない．そこで深海魚は，浮力を得るために，鰾の内容物を気体ではなく海水よりも密度の小さい脂肪にして浮力を得ているものもいる．また，深海魚の中には鰾をもたず，脂肪を筋肉中に保持して浮力を得ているものもいる．脂肪は気体に比べてほとんど体積変化しないので，つぶれることはない．
（バラムツなどを食べるとお腹を壊してしまうのは，浮力を得るために，人間が消化できない脂肪を溜めているからである．
）
液体や固体は，ほとんど体積が変化をしないが，それでも，水深がおよそ 3000 メートル辺りから，水圧が生命活動で行われる化学反応や，タンパク質の構造に影響してくる．そこで，深海魚はトリメチルアミン-N-オキシドを増やして，高圧でもタンパク質が機能できるようにしている．さらに，水深 8400 メートル辺りになると急に魚はいなくなる．この水深は，トリメチルアミン-Nオキシドを用いた高圧力への適応の限界だと考えられている．
しかし，深海ではまだわかっていないことも多く，これより先で，まったく別の機構でタンパ
ク質を機能させて，高圧力に適応するように別の進化を遂げた魚が見つかるかも知れない．
前問で求めたように，水深 10 m ごとにおよそ 1 気圧だけ増えていく．したがって，水深 1000 m
ならば，水圧は 100 気圧にもなる．もし，ドラム缶を密閉して深海に沈めるとドラム缶はつぶれてしまうだろう．このときドラム缶がつぶれるのは，水圧によって缶の中の気体の体積が小さくなるからである．ところで，気体の体積は圧力によって大きく変化するが，それに比べて，液体や固体の体積はほとんど変化をしない．それゆえ，水で満たしたドラム缶を密閉して深海に沈めても，ドラム缶はつぶれない．

49
地上の人間には，およそ 1000 hPa(= 100000 Pa) の大気圧がはたらいている．すなわち，単位
面積当り 100000 N（≃ 10000 kgw）の力がはたらいている．しかし，人間の体（肺の中の空気）がつぶれるということはない．なぜならば，肺は気管を通じて開いているので，肺の中の空気の圧力と大気圧が等しいからである．
問題 8.12 ホースの口を細くし，ホースを水平からおよそ 45◦ の角度に向ける．細くすると (8.9)
により速さが大きくなり，45◦ の角度だと一番遠くまで飛ぶからである．
問題 8.13 (1) 図 17のように船は流線形をしているため，2 隻の船の間は船首よりだんだんと狭くなっていて，連続の方程式より流速が速くなる．よって，ベルヌーイの定理により圧力が低くなり，2 つの船は引力を受ける．
2 枚の紙を平行にして，その間に息を吹き込んでみよう．同じ原理で，紙はお互いに引き
合う．
㐍⾜᪉ྥ
⯪

⯪

図 17: 並走する 2 隻の船(2) 飛行機の翼の底面は平面，上面は上に凸の流線形である．翼が止まっていて，空気が流れているとしよう．今，底面は水平とすると，上面に沿っての空気の流れは，面がカーブしているため，底面に沿う空気流より流速は速くなる．
（空気の流れは層流であるので，翼の後ろで渦を起こさないため．
）よって，ベルヌーイの定理により圧力が低くなり，揚力を受ける．
翼が斜め上向きの場合には，空気が翼の下面で下方に動き，その反動で上向きの揚力がはたらく．
(3) きのこが傘の型をしているのは，飛行機の翼と同様に，傘の上面を通る風の速さが下側より速く，胞子が揚力を受けるため．
(4) (1) と同様に，窓の外を流れる空気流は速いため，ベルヌーイの定理により窓の外側の圧力が低くなり，室内の空気も減圧される．それで，鼓膜が引っ張られて耳が痛くなる．
(5) 横から見て，ボールの回転が反時計回りで左に進むとする．この状態は，ボールがある位置に回転しながら停止していて，空気の流れが右向きであるとしても同じである．ボールの上面を通る空気はボール表面の動きと逆向きなので遅くなり，下面を通る空気は速くなる．したがってベルヌーイの定理により，下向きの力がはたらき，下方に曲がる．
(6) 声帯の狭い隙間を空気が通るとき，ベルヌーイの定理により圧力は下がって声帯が互いに引き合い，弾性のため元に戻ろうとすることを繰り返すことにより振動する．その振動は単にズズズという音である．それを声にするために，口腔を変形させることで，喉と口腔で音を共鳴させ，「あいうえお」などを発音している．
問題 8.14 トリチェリの定理は，ベルヌーイの定理を適用して導出することができる．穴が容器

第8章

50

に比べて十分に小さいとき，液面が低下する速さは 0 と見なせる．穴の内側では速さは 0，外での気圧は大気圧なので，

11P大気圧 + ρ × 02 + ρgh = P大気圧 + ρv 2 + ρg × 0 [Pa]
2
2

(208)

と書ける．これを整理してトリチェリの定理を得る．
問題 8.15 空気の流れの中で静止しているボールを考えても，ボールにはたらく力については同じである．無回転ボールでは空気の流れに突発的な渦が生じ，その方向に抵抗力を受けて曲がる．
渦はランダムに生じるので，いつどのように曲がるのかを予測することができない．

章末問題 88.1 臨界温度以下に冷やさないと，いくら圧力をかけても液化しない．成功の秘訣は冷却能力にあった．
1908 年，カマリン・オンネスは，断熱容器の中に液体水素によって冷やしたヘリウムの温度を，さらに高圧に圧縮したヘリウムを小孔から吹き出させて圧力を下げて温度を下げ（ジュール-トム
ソン膨張），ヘリウムの液化に成功した．
8.2 (1) 図 18(a) のように，伸びをそれぞれ x1 [m]，x2 [m] とすると
F
x1
x2
= E1
= E2
2
L
H1
H2
となる．伸び x1 + x2 は


x1 + x2 =

H1 H2
+
E1
E2



(209)

F
L2

(210)

F
L2

(211)

と求まる．

(2) 図 18(b) のように考えると，同様に
x1 + x2 =

H1 H2
+
G1
G2



と求まる．
F
x2
F

H2
x1

H2

H1

H1

x2

L

L

(a)

(b)

x1

図 18: 2 つの直方体を接続したときの弾性係数

518.3 液面での圧力は同じだから，m = 100 kg とし，A にかかる力の大きさを W [N] とすると，
W
mg
=
10S
S

(212)

が成り立つ．したがって，W =100 × 9.8S
mg == 98 N
10S
10

(213)

を得る．OA:AB=1:2 だから，てこで半分になって F = 49 N となる．

8.4 マウンドの上を通り過ぎる風は，マウンドによって押し上げられ風速が上がる．マウンドが高ければ高いほど風速が速くなり，それゆえ圧力が小さくなる．マウンドの高低差によって圧力差が生じるため，それによって巣穴に新鮮な空気が吹き込む．
8.5 下から xh [m] の位置に穴を開けたとしよう．水の初速 v [m/s] は，トリチェリの定理によっpて v = 2g(1 − x)h である．その初速で出た水滴の時間 t [s] 後の位置は (vt, (xh − 12 gt2 ) であり，
p
床へ到達する時刻は t = 2xh/g である．したがって，床での位置 L は
s
p
p
2xh
L = vt = 2g(1 − x)h ×= 2h x(1 − x)(214)gとなる．L が最大になるのは x = 1/2，つまり，半分の高さのときである．

8.6 (1) 体積は 4πr3 /3 であるから，（浮力）= 4πr3 ρl g/3 である．
(2) 時刻 t の速度を v [m/s] とすると，質量は 4πr3 ρm /3 なので，次式のように書ける．
4πr3 ρm g 1 2 2 4πr3 ρl g
4πr3 ρm d2 x=
− Cr v −
3
dt2
3
2
3
(3) （左辺）= 0 と置き，v について解いて次式を得る．
r8πr(ρm − ρl )g
v終端 =
3C

(215)

(216)

8.7 B の水銀面までの高さを h [m] とすれば，ベルヌーイの定理より，1
ρ v 2 + ρ空気 g(h + ∆h) = ρ空気 gh + ρ水銀 g∆h
2 空気である．これを v について解けば， (8.21) を得る．

(217)

52

第9章
問題 9.1 示強的な物理量の例は，圧力，比熱，密度，など．示量的な物理量の例は，体積，粒子数，など．
問題 9.2 50 km 付近にはオゾン層があり，太陽からの紫外線を吸収しているため温度が高い．また，90 km 以上では，太陽からの熱を吸収し，希薄な空気分子が高速で運動しているため温度が高い．
問題 9.3 高地では気圧が低く，水が沸騰する温度も低くなる．カップラーメンの麺を戻すには，それだけ余計な時間が必要になる．また，お湯の温度が低い上に，時間がかかると，さらに冷めてしまう．
ただし，それが美味しいか美味しくないかは人による．高い山に登って，疲れたときに食べる
カップラーメンなので，少しくらい冷めていても美味しいと感じる人が多いだろう．なお，航空
機内で低い温度でも作ることができる機内用カップラーメンも開発されている．
問題 9.4 図 9.2 のように，10 km を超えると，高度とともに温度が上昇する．そのため，水蒸気を含んだ暖かい空気がそれ以上上昇できなくなるため，横に広がる．
問題 9.5 (9.9) より，E内部 = 3nRT /2 であるから，理想気体の状態方程式 P V = nRT より，(9.10) を得る．
ジュール

問題 9.6 熱量の単位を J に直して時間（秒）で割ればよい．1 cal = 4.184 J であるから，

4.184 × 2400 × 103≃ 1.162/2/ × 102 W
24 × 3600(218)となる．約 116 W である．
問題 9.7 そばやうどんを入れたときにお湯の温度が変化しないとすれば，2 人前でも 3 分ゆでればよい．その理由は，ゆでるのに必要な熱量は，温度 × 時間であり，1 人前でも 2 人前でも温度は 100◦ C で一定であると見なしているので，時間も同じである
吹きこぼれないようにするためには，沸騰を保ったまま火力を小さくすればよい．上述のように温度はほぼ 100◦ C で一定に保たれればよいので，吹きこぼす余計な火力は不要である．
ゆで上がった後に冷水にさらすのは，反応を止めるためである．熱いままだと反応が進み，のびてしまって美味しくなくなる．

53
問題 9.8 金属の比熱を c金属 として，金属が吸収した熱量 Q は，

Q = m金属 c金属 (θ − T )(219)= 0.10 × c金属 × (35.0 − 98.0) = −6.3c金属(220)

水の比熱を c水 として，水が吸収した熱量 Q′ は，

Q′ = m水 c水 (θ − T ′ )(221)= 0.20 × 4.2 × 10 × (35.0 − 30.0) = 4.2 × 10
3

3

(222)

である．Q + Q′ = 0 より，−6.3c金属 + 4.2 × 103 = 0(223)となる．したがって，c金属 は以下のように求まる．

7c金属 = 6.6/6/ × 102 J/(kg · K)

(224)

問題 9.9 V = l3 を代入して，次式を得る．

β=∆l33l2 ∆l
=
= 3α
l3 ∆T
l3 ∆T

(225)

問題 9.10 通常は圧力一定のもとでの体膨張率なので，p =（一定）として，V = nRT /P だから∆V = nR∆T /P より次式を得る．

β=

nR
nR
1
∆V
= P =
=
V ∆T
V
nRT
T

(226)

問題 9.11 レールは熱膨張により伸び縮みするので，温度変化に対応できるように隙間を空けている．新幹線では，騒音対策などのため，熱膨張率が低いレールを開発した他，列車の車輪はレールの内側にはまっているため，レールのつなぎ目を斜めカットにし，レールが伸びたときに外側に張り出すようにした（伸縮継目）．
問題 9.12 アルミ箔の方が熱伝導率はずっとよいので，アルミ箔にくるんだ氷が先に融ける．ウールのセーターやダウンジャケットが暖かいのは，中に含まれる空気の熱伝導率が小さいため，体温を外に逃がしづらくするからである．
問題 9.13 (1) ax を 1 つの塊としてまず微分し，ax をさらに微分する．

deax
deax d(ax)== aeaxdx
d(ax) dx

(227)(2) 同様に次式を得る．
2

deax
2
= 2axeax
dx

(228)

第9章

54
(3) 同様に次式を得る．
2de(x+a)2= 2(x + a)e(x+a)
dx

(229)

問題 9.14 ax を 1 つの塊としてまず微分し，ax をさらに微分する．

d ln(ax)d ln(ax) dax
1==dx
d(ax) dxx(230)

[別解] ln(ax) = ln a + ln x で ln a の微分は 0 なので (230) を得る．

章末問題 99.1 1 mol の気体の状態方程式は P V = RT より，以下を得る．
V =RT
8.31 × 273.15/ × 10−3 m3== 22.40P
1.01325 × 105(231)

9.2 (1) 自由度が 3 であるから，分子 1 個当りの平均エネルギーは 3kB T /2 である．これに NAを掛け，T で微分して 3R/2 を得る．
(2) 自由度が 5 であるから，同様に 5R/2 となる．
(3) 自由度が 6 であるから，同様に 3R となる（デュロン・プティの法則）．
9.3 熱気球の下部の穴付近では，気球内部と外部の圧力は等しいが， (9.2) より，高度が増えたときに，気体の温度の高い方が圧力の減少量が少ない．気球上部では，空気は外部に比べて温度が高いために圧力が大きく，その合力は上向きになるために，気球は浮く．
9.4 (1) 物質量を n1 [mol] とすると，理想気体の運動方程式より次式を得る．
P V1
RT1

(232)

P (V − V1 )
RT2

(233)

n1 =
(2) 物質量を n2 [mol] とすると，同様に
n2 =となる．求める温度を T [K] とすると，P V = (n1 + n2 )RT なので次式を得る．

T =PV
V T1 T2=(n1 + n2 )RV1 T2 + (V − V1 )T1(234)(3) P1 V = n1 RT1 = P V1 より，次式を得る．
P1 =

P V1
V

(235)

55
9.5 (1) 半径を r [m] とすると，体積は 4πr3 /3 = 1.00 × 103 RT /P よりr=

3 × 1.0 × 103 × 8.31 × 300
4π × 1.0 × 105

1/3= 1.81/ m

(236)

を得る．

3
(2) (1.0 × 103 /3.00)1/3 = 6.93/ 倍になるから，1.81 × 6.93 = 12/.5/ m を得る．
9.6 (1)（物質量）=

2
20 × 1.0 × 105= 8.1/5/ × 102 mol
8.31 × 295.15(237)(2) （熱量）=（モル数）×（モル比熱）×（温度差）より，以下を得る．
（熱量）= (8.15 × 102 ) ×

5 × 8.31
× 5.0
2

5= 8./4/6 × 104 J(238)/ kcal となる．
カロリーに直して，20.3
9.7 熱伝導率は，金属が高く，ゴムは低い．したがって，手の熱は，金属に触るとすぐ奪われて冷たく感じるが，ゴムだとゆっくり奪われるのでそうは感じない．
9.8 陸の土は熱伝導率が高く，熱せられやすく，冷めやすい．海水は逆である．昼は陸地が熱せられ，低気圧になって，海から陸に風が吹き，夜は逆である．その境目の朝や夕方は，陸地と海水の温度がほぼ等しくなって風が止む．
9.9 コンクリートと空気では，熱伝導率が異なるため，コンクリート構造物の中に空隙があると，日射や気温が変化したときに表面温度に差が生じる．それゆえ，例えば，サーモグラフィーカメ
はくりラで撮影して表面温度の変化のむらを測定すれば，コンクリート内部の剥離や空洞などを予測することができる．疑わしい箇所があれば，X 線などを用いたより正確な方法で調べればよい．
ただし，この方法はトンネル内部などの日の当たらない場所を調べるのにはあまり適していない．

56

第 10 章問題 10.1 気体は，固体や液体に比べて熱膨張率が大きい．したがって，温度を変えたときに，気体が外部にする仕事の大きさも大きいからである．
問題 10.2 気体が外部にした仕事 w は，（圧力）×（体積増加）であるから，次のようになる．

w = 1.0 × 105 × (3.0 × 10−5 − 2.0 × 10−5 ) = 1.0 J(239)

である．また，内部エネルギーの変化 ∆E内部 は (9.10) より，

3∆E内部 = w = 1.5 J
2

(240)

となる．
したがって，気体が吸収した熱量 Q は，

Q = E内部 + w = 2.5 J

(241)

となる．
問題 10.3 理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数である．(10.6) と ∆T = TB − TA [K] より，(10.7) を得る．
問題 10.4 宇宙船が大気圏に突入すると，大気が断熱圧縮されて高温になる．
（大気との摩擦熱の影響はそれに比べると小さく，大気との摩擦のために高温になるというのは間違いである．
）
このような，航空機，ロケット，宇宙船などが，音速を超えて大気中を飛行するとき，空気の圧縮によって発生する熱のために，表面が加熱する現象を空力加熱という．
2003 年 2 月，スペースシャトル「コロンビア号」は 28 回目の飛行を終え，地球に帰還する直前であった．スペースシャトルの大気圏突入後の温度は，機体の主翼の前縁部でおよそ 1400◦ C にもなる．そのため，この部分には，この熱に耐えられるように耐熱パネルが貼ってある．コロンビ
ア号は打ち上げの際に外部燃料タンクの断熱材が落ち，その破片が左主翼を直撃して，耐燃パネ
ルに穴が開いていた．大気圏突入の際に，その穴から高温の大気が翼の構造内に入り込んだ．そのため，コロンビア号は空中分解し，7 名の宇宙飛行士が犠牲になった．
問題 10.5 赤道付近で上昇した空気に含まれていた水蒸気の大半は雨となり，空気中の水蒸気量は少なくなる．その空気が下降気流となって断熱圧縮されると，ヒントの通り，熱力学第 1 法則
により温度が上がる．したがって湿度（相対湿度）が低くなり，北緯 30 度，南緯 30 度付近は乾燥空気に覆われるので砂漠となる．

57
問題 10.6 0◦ C での圧力，体積，絶対温度をそれぞれ P0 [Pa], V0 [V], T（
0 = 273.15 K）とする
γγと，P V = P0 V0 より，

dP
dV −γ
= −P0 V0 γ V
dV
dV
P0 V 0 γ
= γP
= γP
PV γ
となる．1 mol の空気を考えると，気体定数を R [J/(K·mol)]，モル質量を M [kg/mol] として，密pppp
度は ρ = M/V だから， K/ρ = γP/ρ = γP V /M = γRT /M となるので，
rr
R(T0 + t)
T0 + t= v(0) ×v(t) = γMT0t≃ v(0) 1 +2T0p√と求まる．ここで v(0) = γRT0 /M であり， 1 + x ≃ 1 + x/2 を用いた．
K = −V問題 10.7 P V γ = 一定 に，V = nRT /P ∝ T /P を代入して
 γTγ(一定) = P V ∝ P= P 1−γ T γ
P

(242)

を得る．
問題 10.8 1 分間に 6000 回転しているので，1 秒間に 6000/60=100 回転している．したがって，1サイクル当りの外部にした仕事 w は，w = 60 × 103 /100 = 0.60 × 103 J となる．効率が 30% であるから，1 サイクル当りの高温熱源から流入した熱量 QH は仕事 w を効率で割って 0.60 × 103 /0.30 =2.0×103 J となり，1 サイクル当りの低温熱源に排出した熱量 QL は (2.0−0.60)×103 J = 1.4×103 Jとなる．
問題 10.9 浮力は，表面各点にはたらく圧力を積分したものとなる．圧力は面に垂直にはたらくので，その合力である浮力は円柱の中心を斜めに押し上げる力となり，回転力にはならない．
問題 10.10 図 19の通り．
P

3
QH
2

4
QL

O

0

1

VL

VH

V

図 19: ガソリンエンジンの P –V 図

第 10 章58

問題 10.11 図 20の通り．
P
ᐃᅽ⭾ᙇ
2
3
QH
᩿⇕⭾ᙇ
᩿⇕ᅽ⦰

4
QL
ᐃ✚ᅽ⦰

0
1

V

O

図 20: ディーゼルエンジンの P –V 図

章末問題 1010.1 (1) H2 O の分子量は 18，N2 ，O2 の分子量はそれぞれ 28，32 なので，水蒸気は大気の主成分である窒素や酸素より軽い．同じ圧力，温度では，含まれる分子数は同じなので，湿った空気の方が軽くなる．
(2) 断熱膨張では熱の流入無しに膨張するので，熱力学第 1 法則により，外へ仕事をした分だけ内部エネルギーが減少し，温度が下がる．
(3) 水蒸気が水滴として凝結する際，大量の凝結熱を放出する．そのため温度が上がる．
10.2 (1) その状態が決まれば，内部エネルギーは決まるので，内部エネルギーの変化量は (a)，(b)，(c) すべて等しい．
(2) それぞれの曲線と V = VA ，V = VB ，V 軸に囲まれた面積が，気体が外部にした仕事であるから，気体が外部にした仕事は (a)>(b)>(c) となる．
(3) (1) により内部エネルギー変化は 0 であるから，気体が吸収した熱量は気体が外部にした仕事に等しく，(a)>(b)>(c) となる．
10.3 気体の圧力は P0 + M g/S のまま一定である．
(1) 状態方程式は (P0 + M g/S)Sh = nRT0 となる．したがって，h は以下のように求まる．
h=nRT0P0 S + M g(2) 2T0 ．圧力は一定なので，2h [m] のときの温度を T1 [K] とすると，T0 /(Sh) = T1 /(2hS) が成り立つため．

59(3) 気体が外部にした仕事は，（圧力）×（体積変化）より，


Mg
P0 +
S(2h − h) = (P0 S + M g)h = nRT0
S(4) ncP (T1 − T0 ) = ncP T0 ．ここで，マイヤーの関係式を用いれば，3R/2 + R = 5R/2 であるか
ら，単原子分子からなる理想気体の定圧モル比熱は，
5ncP T0 = nRT0
2

(243)

となる．

10.4 (1) 図 21の通り．ただし，(a) の過程を行った後の状態の体積を V1 [m3 ]，(b) の過程を行った後の圧力を P1 [Pa] とした．
P
(a)
P0

(b)
(c)
P1

O

V0

V1

V

図 21: P –V 図(2) 気体のモル数を n [mol]，気体定数を R [J/(K · mol)]，(a) の定圧変化の終状態の温度を T1 [K]とすると，状態方程式 P0 V1 = nRT1 と始めの状態での P0 V0 = nRT0 とから，nR =P0 V 0
,
T0

V1 =

T1
V0
T0

(244)

が成り立つ．それぞれの過程での値は次のようになる．

(a) 定圧過程での，気体が外部にした仕事は
wa = P0 (V1 − V0 ) = P0 V0

T1
−1
T0


(245)

であり，内部エネルギーの変化は，

3
3∆Ea = nR(T1 − T0 ) = P0 V0
2
2



T1
−1
T0


(246)

が成り立つ．また，気体が吸収した熱量は，

5
Qa = ∆Ea + wa = P0 V0
2



T1
−1
T0


(247)

と求まる（Qa > 0）．定圧比熱 CP を用いて書けば，吸収した熱量は Qa = CP (T0 − T1 )と書くこともできる．

第 10 章60(b) 定積過程での，気体が外部にした仕事は wb = 0．内部エネルギーの変化は，


3
3
T1
∆Eb = nR(T0 − T1 ) = P0 V0 1 −
2
2
T0

(248)

となる．また，気体が吸収した熱量は，



3
T1
Qb = ∆Eb = P0 V0 1 −
2
T0

(249)

と求まる（Qb < 0）．定積比熱 CV を用いて書けば，吸収した熱量は Qb = CV (T0 − T1 )と書くこともできる．

(c) 等温過程での気体が外部にした仕事は
Z V0
wc =

Z V0
P dV =

V1

V1

nRT0
V0
T0
dV = P0 V0 ln= P0 V0 ln
V
V1
T1

(250)

と求まる．内部エネルギーの変化は，∆Ec = 0．気体が吸収した熱量は，

Qc = wc = P0 V0 ln

T0
T1

(251)

となる（Qc < 0）．
ところで，(a)→ (b)→ (c) と 1 サイクルしたときの内部エネルギーの変化は 0 であるから，

Qa + Qb + Qc = wa + wb + wc

(252)となる．したがって，これより Cp − CV = nR，すなわち cp − cV = R となり，マイヤーの関係式が得られる．

(3) 熱効率 e は，次のように求まる．
e=2 ln TT10
wa + wb + wc

=1− 
T1
Qa
5
−1
T0

(253)

10.5 外部に排出する熱は，1.2 × 109
/ × 109 W
× 0.65 = 2.23
0.35

(254)

となる．すなわち，1 秒当り 2.2 × 109 J の熱を排出する．このときの水の温度変化を ∆T [K] とすると，

4.2 × 103 × 80 × 1.0 × 103 × ∆T = 2.23 × 109(255)/ K を得る．
より，∆T = 6.63
日本の原子力発電所や火力発電所のほとんどが海岸に立地し，冷却に海水を使用している．一部の自治体を除き排水の温度に関する基準・指針は定められておらず，規制は行われていないが，ほとんどの発電所では，環境への影響を考慮して，∆T が 7.0◦ C 以下になるように設定されている．

61
10.6 単位時間当りに屋内に放出する熱の大きさを QH [J]，屋外から吸収する熱の大きさを QL [J]とすれば，エアコン暖房の場合は，単位時間当り QH − QL [J] の消費電力しか要さないのに対し，
電気ストーブの場合は，単位時間当り QH [J] の消費電力が必要になる．したがって，エアコン暖
房は，電気ストーブに比べて少ない消費電力ですむことになる．
このように，通常はエアコン暖房では消費電力が少なくてすむが，寒冷地においては，屋外は氷点下になることも珍しくない．そのため，エアコン暖房の屋外機に霜がついてしまって，うまく熱を吸収することができない事例が多発した．それでこれまで，寒冷地においてはエアコン暖房ではなく，ガスや灯油などの燃焼式暖房が多く用いられてきた．しかし最近では，屋外機に除霜機能がついた機種や，地中から熱を吸収する機種が出回って，寒冷地でもエアコン暖房が使用できるようになってきている．
10.7 表 10.1 の番号で各状態を表し，そこでの変数を用いることにする．定積変化であるから，QH，QL は，
QH = ncV (T3 − T2 ),QL = ncV (T4 − T1 )(256)となる．したがって，熱効率は

e=1−

T4 − T1
QL=1−
QH
T3 − T2(257)となる．一方，1 → 2，3 → 4 は断熱変化，2 → 3，4 → 1 は定積変化であるから，

T1 VH γ−1 = T2 VL γ−1 ,T3 VL γ−1 = T4 VH γ−1(258)を得る．これらから，

T2
T3
=
=
T1
T4



VH
VL

γ−1
(259)

となり，熱効率の式に代入して (10.17) を得る．
実際のガソリンエンジンの圧縮比 VH /VL は 10 程度（10 以下のものが多い）であるので，オットーサイクルの式で比熱比を 1.4 として計算すれば効率はおよそ 60%となる．これは，現在のガ
ソリンエンジンの効率 (30%前後) に比べてずいぶんと大きい値となっている．その理由は，ガソ
リンエンジンは理想的ではないためであるが，その一方で，この結果はガソリンエンジンの効率を今よりも上げられる可能性も示唆している．実際に，最近は効率 40 %を超えるガソリンエンジンも開発されてきている．
ところで，効率を上げるために圧縮比を上げればよいと思うかも知れないが，圧縮比を上げす
ぎると，異常燃焼などが起こる原因になるので単純に上げればよいということではない．そこで，運転状態によってピストンの位置を変え，圧縮比を変えられるエンジンも登場した．例えば，日産 VC-T エンジンは，タービンが稼働している高速の状態では圧縮比を小さくし，低速の状態では圧縮比を大きくして効率よくエンジンを回すことができるようになっている．

62

第 11 章問題 11.1 断熱過程は，理想気体の温度を低温熱源の温度または高温熱源の温度にするのに必要である．
問題 11.2 いろいろなサイクルの中でカルノーサイクルは，T –S 図において曲線に囲まれた領域
が長方形になり，面積が最大になる．すなわち，QH − QL が最大となる．したがって，効率は最大になる．いろいろなサイクルの中でカルノーサイクルの効率が最大ではあるが，等温過程が非常に遅い．そのため，熱効率が高いが，自動車のエンジンなどでカルノーサイクルは利用されてない．
また，カルノーサイクルに近い熱機関としてスターリングエンジンがある．スターリングエン
ジンは，カルノーサイクルに近い熱効率を得ることができるので，環境問題に対する意識の高まりとともに注目されている．スターリングエンジンは，発電所で用いるほどの十分な出力を得る
ためには大型な装置が必要になる．そのために，設備費がかかってしまうので大型の発電所には向いていない．しかし，小さい出力の家庭用発電機などでは利用されている．
問題 11.3 等温過程では内部エネルギー変化は 0 であるから，T ∆S = w である．P = nRT /V より，以下のように求まる．

Z V2
w
∆S =
=
T

Z V2

P dV
V1

T

= nR
V1

dV
V2
= nR ln
V
V1

(260)

章末問題 1111.1 可逆である．おもりが最下点に到達したとき，初めの位置での位置エネルギーすべてが運動
エネルギーに変換される．空気の抵抗や支点における摩擦がなければ，振り子がちょうど 1 周期
したときには，外部に何の影響もなしに，この変換された運動エネルギーすべてが，再び位置エ
ネルギーになっている．
実際の振り子は，空気の抵抗や支点における摩擦があるため，振り子の運動エネルギーが熱に変換されて，周りの環境に散逸されていき，最終的に静止する．外部に何の影響もなしに放出された熱を振り子の位置エネルギーに変えてもとに戻すことができないため，実際の振り子の運動は不可逆になる．
11.2 カルノーサイクルの式を用いて熱効率の最大値を求めると，e = 1−(TL /TH ) = 1−(278.15/298.15) =0.067 = 6.7 ％ となり，温度差が小さいので，効率は現在使われている発電方式に比べてとても小さ63い．実際には，この効率よりもさらに小さくなる上，作業物質の循環などにエネルギーを必要とする
ために，場合によっては，発電して得られるエネルギーよりも多くのエネルギーが必要になる．また，損失がないとしても 165 MW の電力（小さめの火力発電 1 基の電力量）を得るためには，温水から取り込まなければならない単位時間当りの熱量は，QH = W/e = 165 MW×1 s/0.067 = 2.5×109 Jと非常に大きなものになる．温水からこのような大きな熱量をどうやって取り込むかという課題もある．これらの理由から，海洋温度差発電は現在，研究されてはいるが，実用には至っていない．

11.3 熱源から ∆QH [J]，∆QL [J] だけ供給されたとき，熱源の温度がそれぞれ ∆TH [K]，∆TL [K]
だけ変化したとすれば，これらの間には，∆QH = mH cH ∆TH ,∆QL = mL cL ∆TL ,(261)

が成り立つ．カルノーサイクルでは，

∆QH
∆QL
=
TH
TL

(262)

が成り立つから，終わりの状態の温度を TF として，これを始めの状態から終わりの状態まで積分
すれば，

Z TF
TH

dQH
=
TH

Z TF

dTH
mH cH
=
TH
TH

mH cH ln

Z TL
TF

∆QL
TL

Z TL
mL cL
TF

(263)

dTL
TL

TF
TL
= mL cL ln
TH
TF

(264)

(265)

が得られる．これを TF について解けば，
mH cH

mL cL

TF = TH mH cH +mL cL TL mH cH +mL cL

(266)

と求まる．

11.4 (266) の導出の計算で ∆QL /TL を使っており，上の議論を TL = 0 K の場合に単純に適用することはできない．
11.5 第 1 種永久機関の熱効率は熱流入なしに仕事をするので，無限大，第 2 種永久機関の熱効率
は高温熱源からの熱量の分だけ仕事をするので，1 である．
11.6 いえない．水力発電や風力発電のエネルギー源は太陽であり，太陽からの熱が途絶えたら使えない．地熱発電は地球内部に蓄えられた熱を利用しているが，地球が冷えてしまうと使えない．

第 11 章64

11.7 しきりを取り去る前と取り去った後での気体の温度は等しい．したがって，しきりを取り去る前としきりを取り去った後の状態を，仮想的に等温膨張によって十分にゆっくりと変化させたとすると，そのときの気体が外部から加えられる仕事は負であるから，熱力学第 1 法則より気体が外部から加えられる熱は正となる．エントロピーの変化は途中の経路によらない．しきりを取り去る前と比べて，取り去った後のエントロピーは増加している．
一方で，十分にゆっくりと図の右端まで動かしたときは，断熱膨張であるから熱の出入りはな
く，エントロピーの変化は 0 である．この場合は，気体は外部に仕事をしているので，気体の温度
はしきりを瞬間的に取り去ったときに比べて低くなっている．
11.8 Q = 2400 kcal，m = 70 kg，c = 0.83 kcal/(kg·K) とする．
(1) 温度上昇を ∆T [K] とすると，Q = mc∆T より，
∆T =

Q
2400
=
= 41.3/◦ C
mc
70 × 0.83

(267)

となる．

(2) Q = 2400 × 4184 = 1.004 × 107 J，温度 T でのエントロピー変化は Q/T だから，全体のエントロピー変化 ∆S は，

1
1∆S = Q−= 1.08 × 103 J/K(268)
300.15 310.15となる．
生体活動を行う際に体内でいろいろな化学反応が行われる．そのままでは，体内のエント
ロピーは増加し続けてしまうので，体温を外気温より高くして，余分なエントロピーを体外に放出している．

11.9 m = 200 g，c = 4.2 J/(g·K)，T = 300.15 K，∆T = 60 K とおく．コーヒーのエントロピー
変化は，Z 300.15
Z 300.15∆Q
mcdT
300.15300.15∆Scoﬀe === mc ln= 200 × 4.2 ln= −153 J/K
TT
360.15360.15360.15360.15(269)
である．一方，部屋のエントロピー変化は，吸収した熱量 Q が

Q = mc∆T = 200 × 4.2 × 60 = 5.04 × 104 J(270)であるから，∆Sroom =Q
5.04 × 104== 168 J/K
T
300.15(271)となる．したがって，168 − 153=15 J/K となる．

11.10 図 22の通り．断熱変化のときには，熱の出入りがないのでエントロピーは変化しない．また，温度変化の値が同じであれば，定圧過程の方が定積過程に比べて，エントロピーの変化は大
きくなる．

65
T

T
➼

⭾ᙇ

T
ᐃ✚ຍ⇕

QH

O

᩿⇕⭾ᙇ

QH
᩿⇕⭾ᙇ

᩿⇕ᅽ⦰
QL

ᐃᅽຍ⇕

᩿⇕⭾ᙇ

➼

(1) ࢝ࣝࣀ࣮ࢧ࢖ࢡࣝ

᩿⇕ᅽ⦰

᩿⇕ᅽ⦰

ᅽ⦰
S

QH

QL
O

QL

ᐃ✚෭༷
S

(2) ࢜ࢵࢺ࣮ࢧ࢖ࢡࣝ

図 22: T –S グラフ

O

ᐃᅽ෭༷
S

(3) ࢹ࢕࣮ࢮࣝࢧ࢖ࢡࣝ

66

第 12 章問題 12.1 図 23の通り．
（実線：合成波，破線：右向きの波，点線：左向きの波）

t=1.5 s
2
y [m]
0
{2
0

2

4

6
x [m]

8

10

12

2

4

6
x [m]

8

10

12

2

4

6
x [m]

8

10

12

t=2.0 s
2
y [m]
0
{2
0
t=2.5 s
2
y [m]
0
{2
0

図 23: 2 つの波の重ね合わせ問題 12.2 図 24の通り．
（実線：合成波，破線：入射波，点線：反射波）

67
t=2.0 s

ᅛᐃ➃

2
y [m]

ྜᡂἼ

ධᑕἼ

0
཯ᑕἼ
-2
0

4

2

6

8

10
x [m]

12

図 24: 固定端で反射問題 12.3 図 25の通り．
（実線：合成波，破線：入射波，点線：反射波）
t=2.0 s

⮬⏤➃

2
y [m]

ྜᡂἼ

0
ධᑕἼ

཯ᑕἼ
-2
0

2

4

6

8

10
x [m]

12

図 25: 自由端で反射問題 12.4 図 26の通り．
ᇶᮏ᣺ື

2 ಸ᣺ື

3 ಸ᣺ື

図 26: 片端（左端）固定の固有振動問題 12.5 音の高さ，すなわち，振動数を小さくするためである．長さ L [m] の弦で生じる基本振動の波長は 2L である．振動数 f [Hz] は，弦を伝わる音速を v [m/s] とすると f = v/(2L) となり，速さに比例する．振動数を小さくするには，弦の長さを長くすればよいが，物理的制限がある．
p
弦を伝わる音速は v = T /ρ1 と表されるから，弦の線密度が大きいほど振動数は小さくなる．
そこで，金属の巻線により低い音を出せるようにしている．

第 12 章68

問題 12.6 管楽器は，管内にその長さに合った定常波を作り，音を出している．通常は，管をスライドさせるなどして管の長さを調節するが，オーボエ（とファゴット）は，管を抜き差しして音の高さを調節することができない．そこで，オーボエを基準にして，皆がそれに合わせているのである．
問題 12.7 (1) 水深は海岸に近づくほど浅くなっていくので，波は海岸に近いほど遅くなる．海岸線に対して斜めに入射する波面を考えよう．海岸に近い方の素元波は，速さが小さいので半径も小さい．沖の方の素元波は，速さが大きいので半径も大きい．したがって，波は海岸線に平行になっていく（図 27）．
ᾏᓊ⥺Ἴ㠃

図 27: 海岸への波(2) 沖での津波の波長は数 km にもおよび，速さは大きく波高は小さい．海岸に近づくと水深が浅くなるので速さは小さくなり，後ろからくる波が前の波に重なって波高は大きくなる．
問題 12.8 夜は地上が冷え，大気が暖かい．音速は温度が高いほど大きい．したがって，夜では，音源からの音が屈折して地上に降りてくるので，遠くの音が聞こえやすい．逆に昼間では，音源からの音は屈折して地上から離れていくため聞こえにくい．
問題 12.9 |220 × 4 − 293.665 × 3| = 0.995 Hz より，1 s 間に 1 回（0.995 回）．
問題 12.10 反射角は 30◦ ，屈折角を θ とすると

sin 30◦= 1.333
sin θ

(272)

であるから，これを解いて θ ≃ 22◦ を得る．
カップの底にコインを置き，カップのふちでコインがほとんど見えなくなる位置に目線を合わせる．そのままの状態で，このカップに水を入れると，カップの底のコインが見えるようになる．
これは，図 28のように光が水面で屈折するためである．

69

ࢥ࢖ࣥ
図 28: カップの中のコイン問題 12.11 法線となす角度は π/2 − θ となるので，sin(π/2 − θ) = n2 /n1 のとき全反射する．最大の角度は，cos θ = n2 /n1 のときである．
問題 12.12 図 29(a) のように，主虹では，球形の水滴の上側から入射した太陽光が，水滴の中で屈折，反射，屈折して目に届く．このとき，波長の短い青い光ほど屈折角が大きいので，上側に赤，下側が紫の虹ができる．
図 29(b) のように，副虹では，入射した太陽光が水滴内で 2 回反射するので，水滴の下側から入射して上側から出てくる太陽光を見ている．そのため色の順序が逆転する．
水滴での虹の屈折の様子をより詳しく見てみると，入射光の水滴と中心軸（水滴の中心を通り入射光に平行な直線）との距離によって，入射角が変わるので，水滴から出てくる光の角度が異なることに気がつく．それでは，なぜ色によって特定の角度で見えるのだろうか．入射光と中心軸との距離を徐々に変化させていくと，出射光の方向が変化するが，その変化が小さくなり，やがて変化の向きが逆転する．そして，色ごとに変化の向きが逆転する箇所が異なり，逆転する箇所の方向で，対応する色の強度が強くなるのである．
また，出射光の向きが逆転するために，入射光と水滴の中心軸との距離を変えても，主虹と副虹の間の方向には，水滴から光が出ていかない．それゆえ，主虹と副虹の間は他の部分よりも暗く見える．これをアレクサンダーの暗環という．

第 12 章

70
ኴ㝧ග
⣸
⣸

±

53

(b) ๪⹿
㉥

±

51

㉥

㉥
㉥

±

42

(a) ୺⹿

±

⣸

⣸

40

図 29: 主虹 (a) と副虹 (b) の原理問題 12.13 空が青い理由：波長の短い青い光が，空気分子などに散乱されて目に届くからである（波長の長い赤い光は散乱されにくいため，ほぼ直進する）．
海が青い理由：海水中では，青い光は透過しやすく，反射，屈折して目に届くからである．赤い
光は吸収されてしまう．
葉が緑色である理由：葉緑素が光合成するときに，青と赤の光を吸収するためで，不要な緑色の
光は透過・反射して目に届く．
問題 12.14 波長 λ [m]，スリットの間隔を d [m]，明線の間隔を ∆x [m]，スクリーンからスクリーンまでの距離を L [m] とすると，d∆x/L = λ が成り立つ．

(1) d = 1 cm/500 = 2.00 × 10−5 m より，
λ=d∆x
2.00 × 10−5 × 31.6 × 10−3=
= 6.32 × 10−7 m
L
1.00

(273)

となる．これは He-Ne レーザーの波長である．

(2) d を求めると，
d=3Lλ1.00 × 6.32 × 10−7
m = 9.02/8/ × 10−5 m = 0.093 mm=−3∆x
7.00 × 10

(274)

となる．

(3) 2 つのスリットから等しい距離に n = 0 の位置があるので，いろいろな波長はすべて強め合って，白の明線ができる．n = 1 では，波長が短いほど明線の中心からの距離が小さくなるので，中心に近い方から紫 → 赤という虹色の線ができる．

71

問題 12.15 入射光を，薄膜に垂直に入射させて反射光の強度を測定する．薄膜表面で反射した光と，薄膜裏面で反射した光が干渉し，強め合う条件は (12.25) で与えられる．空気中に置かれた薄膜に光を垂直に入射して，波長を反射光が弱め合う波長 λ1 [m] から再び弱め合う波長 λ2 [m] まで変化させる．その間の反射光の強め合う数を m とすれば，次の式より膜厚 d [m] を求めること
ができる．


1
1
−
m = nd(275)
λ2 λ1
ただし，n は空気に対する相対屈折率で，既知とする．

第 12 章72

章末問題 1212.1 図 30のように点 A，B から点 P までの距離 PA と PB の差を x （= PB − PA [m] とすれば，
P における A からの波と B からの波は，位相が 2πx/λ だけ異なる．それゆえ，AB に比べて波長 λが長い場合には，P に到達する A と B からの波の位相差が小さく，波の山と山がほとんど重なる．
一方，波長 λ が短い場合には，波面 AB 上の各波源からの波は位相が異なるので，打ち消し合って消える．したがって，隙間が波長に比べて広いときは，ホイヘンスの原理によって波はほぼ直進し，回折は目立たない．
P

A

B

┤⥺Ἴ

図 30: 波の回折√
12.2 楕円の性質により，2 つの焦点間の距離は 2 5.02 − 4.02 = 6.0 m となる．そこで，xy 平面を考え，x 軸上の，(x, y) = (−3.0 m, 0.0 m)，(x, y) = (3.0 m, 0.0 m) の位置に音源があるとする．楕円の性質により，楕円上の任意の点と各焦点との距離を l1 [m]，l2 [m] とすると，l1 +l2 = 10.0 m が成り立
つ．(x, y) = (0.0 m, 4.0 m) の位置では，∆L = 0 であるから，音は強め合う．(x, y) = (5.0 m, 0.0 m)の位置では，光路差が ∆L = 8.0 − 2.0 = 6.0 m となり，波長の 2 倍であるから，音は強め合う．
(0.0 m, 4.0 m) の点から (5.0 m, 0.0 m) の点まで楕円上を移動する間に，光路差が波長の 2 倍だけずれるので，その間に 2 箇所，音が弱め合う位置がある．したがって，対称性より，楕円上には
4×2=8 箇所，音が消える位置がある．
12.3 (1) パイプの長さを L [m] とすると，基本音の波長は 2L である．音速を v [m/s] とすると振動数は f = v/(2L) だから，
L=

340
/m
= 0.3863
2 × 440(276)となる（実際には，開口端に最も近い定常波の腹は，開口端の少し外側にある（開口端補正）．
そのため，管の長さはこれより短い）．

(2) 単に 2 倍，3 倍するだけである．880 Hz，1320 Hz となる．
(3) 閉管では，基本音の波長は 4L となるので，振動数は 1/2 倍，すなわち，1 オクターブだけ下
がって 220 Hz となる．
(4) 温度が上がると，音速は速くなる．（振動数）=（音速）/（波長）であるから，音速が速くなると，振動数は大きくなる．
季節によって気温の変化の激しい場所では，パイプオルガンのパイプの長さをわずかに調節するなどしてチューニングを行っている．
12.4 基本振動数の波長を λ = 2 × 0.29 = 0.58 m，線密度を ρ1 = 7.9 × 103 × π × (1.0 × 10−3 )2 =73
5
2./4/8 × 10−2 kg/m，振動数を f = 350 Hz とすると，波の速さは λf だから
T = ρ1 (λf )2 = 2.48 × 10−2 × (0.58 × 350)2 = 1.02/ × 103 N

(277)

となる．
音を聞いて振動数がわからなくても，各スポークを弾いた音を比べることで，スポークの張力の均一さを確かめることができる．また，自転車に人が乗った状態（荷重がかかった状態）では，下部のスポークの張力が上部のものに比べて小さくなる．すなわち，音が低くなる．誰かに自転車に乗ってもらい，スポークを弾いて確かめてみよう．

12.5 マイクロ波の振動数を f [Hz]，ボールと衝突後の振動数を f ′ [Hz]，ボールの速さを V [m/s]とすると，スピードガンを出てボールに到達する波の数は 1 s 間当り，
f′ =

c+V
f
c

(278)

である．この波がボールで反射するが，ボールはスピードガンに近づいてくるので，スピードガ
ンで観測する波の波長は，f ′′ =

c
c+V
f′ =
f
c−V
c−V

(279)

2V f
2V f
≃
c−V
c

(280)

となるから，

f′ − f =を得る．V を求めると

V =(f ′ − f )c
2340 × 3.00 × 108== 33.34/ m/s = 120.0/ km/h
2f
2 × 10.525 × 109

(281)

と求まる．

12.6 シャボン玉の膜厚は可視光線の波長とだいたい同じであり，シャボン玉の膜の表面と裏面で反射した可視光線が干渉する．このとき，場所によって膜厚が少しずつ違うことで，干渉する光の波長が異なり，虹のような模様になる．
割れるまでシャボン玉を観察していると，だんだんと虹模様が見えなくなり，透明になることに気付く．これは，水分が蒸発したことによりシャボン玉の膜厚が薄くなるからである．さらに膜厚が薄くなると，やがてシャボン玉は割れる．
12.7 空気と屈折率 n1 の膜の間の表面で反射する光と，その膜と屈折率 n2 の媒質の間の表面で反射する光とが，弱め合えばよい．2 つの反射光はどちらも π だけ位相がずれる．また，厚さをd [m] とすると，屈折率 n1 の膜中の光路は 2n1 d となるので，弱め合う条件は，

1
2n1 d = m −λ (m = 1, 2, 3, · · · )(282)
2となる．m = 1 が最小の厚さであるから，d = λ/(4n1 ) となる．

第 12 章74

12.8 媒質へ入射した光は法線に近づくように屈折する．光を粒子と考えると，表面で下向きに力を受け，下向きに加速されたことになる．この場合，媒質中の光速は，真空中の光速 c より大きくなるはずである．
12.9 人の目には角膜と水晶体というレンズの役割をする部分があり，光の屈折を調節して網膜に像を映し出している．角膜は球面をなして，光の屈折の大半を担っている．すなわち，空気から入射した光は，角膜でまず大きく屈折される．
ところが水中では，水と角膜との屈折率の差は小さく，屈折を調節しきれなくなる．このこと
により，ものがぼやけて見える．
一方で，魚の目の作りは人間とよく似ているが，魚の水晶体は人間に比べて球形をしているため，光は人間よりも大きい角度で屈折する．そのため，魚は人間に比べて，水の中でもぼやけずに，ものを見ることができる．
12.10 太陽の周りにうっすらと虹色の環が見えることある．これは光環とよばれる現象である．大気中には多くの微粒子が浮遊している．これらの微粒子に光が当たると，その光が微粒子によって回折される．太陽光はいろいろな波長の光を含んでいるが，波長によって回折する角度が変わるので虹のように見えるのである．
光環は，薄い雲や霧がかかったときに見られることが多いが，3 月や 4 月，雨の日の翌日が晴れると，スギ花粉が多く飛散するので，スギ花粉による回折によって光環が現れることがある（花粉光環）．花粉光環は非常に綺麗な気象現象ではあるが，光環が現れるということは，スギ花粉が飛んでいるということになるので，スギ花粉症の人にとってはあまりうれしくない．
なお，スギ花粉の場合に鮮明な光環が現れるのは，スギ花粉の粒が揃っているからである．ス
ギ花粉が飛んでいたとしても，黄砂などが同時に飛散している場合には，光環は現れない．
光環を観測するときには，目やデジタルカメラのセンサを痛めないように．太陽本体は必ず建物などで隠し，直接見ないようにしよう．
12.11 x の位置での隙間は x tan θ である．光は下の面で反射して半波長だけずれるので，強め合
う条件は


1
λ (m = 1, 2, 3, · · · )2x tan θ = m −(283)
2となる．したがって，m 番目の明線の位置 xm は

xm =
となる．

(m − 1/2) λ2 tan θ(m = 1, 2, 3, · · · )

(284)

75

第 13 章問題 13.1 電荷には正と負の 2 種類があり，異符号の電荷は引き合って全体として電荷は 0 とな
る．電荷 0 の物質に別の電荷を近づけても，どちらにも電気力ははたらかない．物質は通常は電気的に中性である．磁気に関してもほぼ同様である．すなわち，電気的に中性（電荷が 0）の物質
間には，電気力ははたらかない．
一方，質量は正の値を取り，万有引力はその名の通り引力のみがはたらくので，宇宙では支配的となる．
問題 13.2 角度 45◦ をなしたので，クーロン反発力の大きさ f は重力の大きさと等しい．また，小√球間の距離は 0.20 2 m であるから，

q2
1√= 1.0 × 10−3 × 9.8
4πε0 (0.20 2)2が成り立つ．数値を入れて q を求めると，
p30
q = 4π × 8.85 × 10−12 × 0.080 × 1.0 × 10−3 × 9.8 = 2/.9/5/ × 10−7 C

(285)

(286)

を得る．
問題 13.3 水面に 1 円玉が浮かぶのは，表面張力による．1 円玉の周りの水面はへこんでいる．へこんでいるもの同士はくっつく．一方で，水よりも比重の小さい木片は，浮力によって水に浮かぶが，木片は水に濡れて，水面は盛り上がっている．盛り上がった水面とへこんだ水面は反発する．
このような場合には，1 円玉同士や，1 円玉と木片がそれぞれ直接力を及ぼし合っているのではなく，1 円玉や木片が周りの水面の形を変えて，水面を通して力を及ぼし合っている．電荷をもった物質が力を及ぼし合う場合も同様で，物質が空間に電場，磁場を作り，電場，磁場を通して力を及ぼし合うのである．
問題 13.4 (1) 3 つの点電荷の作る電場の強さは同じで，それぞれ 120◦ の向きなので，それらはキャンセルする．したがって，電場は 0 となる．(2) 電荷 2Q を電気量 Q の 2 つの電荷であると考えれば，そのうちの 1 つの作る電場は，残りの頂点にある 2 つの点電荷の作る電場とキャンセル
する．したがって，この場合の重心の位置における電場は，電気量 Q の点電荷が 1 つだけ固定し√√て置かれている場合と等しい．頂点から重心への距離は 2/3 × 3a/2 = 3a/3 である．したがって，重心の位置の電場は，Q > 0 のとき点電荷 2Q から重心の向きで，その強さ E は，真空の誘電率を ε0 として，

E=
となる．

Q
1
1 3Q
√
=
[N/C]
2
4πε0 ( 3a/3)
4πε0 a2(287)

第 13 章76

問題 13.5 粒子を入射した位置を原点とし，電場の方向に x 軸を取る．はたらく力は，電場の向きに大きさが qE である．これを運動方程式 max = Fx に代入すると，運動方程式は，

max = qE

(288)となる．なお，添え字 x は x 成分を表している．ax = d2 x/dt2 であるから，これを運動方程式に代入すれば，

d2 x
qE
=
2
dt
m

(289)

となる．これを時間 t で 2 回積分すれば，C1 ，C0 を定数として，

qE
t + C1m
1 qE 2x(t) =
t + C1 t + C0
2 m

vx (t) =(290)が求まる．ここで，t = 0 のとき x(0) = 0 および vx (0) = v0 より，C0 = 0，C1 = v0 が求まる．したがって，入射後の任意の時刻における荷電粒子の速度と位置は次のようになる．

vx (t) =qE
t + v0 ,mx(t) =

1 qE 2t + v0 t
2 m

(291)

章末問題 1313.1 スマートフォンやタブレットの多くは，静電容量式というタッチパネルの方式が採用されている．なぜなら，人間の身体は導体と見なしてよいためである．静電容量式タッチパネルに指を近づけると，パネル表面の電荷分布が変わり，この変化を検出することによって，タッチした位置を特定している．手袋などの電流を流しにくいもので触れても電荷分布が変わらないので，反応しない．
13.2 (1) 開く．静電誘導によって，金属板には逆の符号，箔には同符号の電荷が現れ，箔は互いに反発して開く．
（このように，箔が開くか閉じたままかの状態によって，金属板に近づけた物体が帯電しているかどうかがわかる．
）(2) 箔は開く（(1) のときほどは開かない）．負に帯電したアクリル棒を近づけたまま手を触れると，金属板の正電荷はそのままで，箔検電器の負の電荷は人体に移動する．アクリル棒を放しても検電器には正電荷は残り，箔は反発して開く．
(3) 箔検電器の箔が開くには，数百 ∼ 数千ボルトが必要である．木は日常経験から電流を流さない絶縁体だと思うかもしないが，このような大きな電圧では絶縁体だと見なすことはできな
い．この場合は，木から身体を伝わって，地面に電気が逃げるので，箔は閉じる．
13.3 距離 r [m] だけ離れた電気量 q [C]，Q [C] の点電荷にはたらく静電気力を考えよう．電気量の積のべき乗になることは明らかである．なぜなら，一方の電荷が 0（中性）のとき，力は 0 にならなければならないからである．そこで，電気力が 1/r2 に比例することは既知とし，静電気力が

77
点電荷の積の n 乗に比例するとする．すると，比例定数を 1/(4πε0 ) として，電荷 q にはたらく静電気力の大きさ F は，

F =

1 (qQ)n4πε0 r2

(292)

と書ける．
一方で，電荷 Q が電気量 Q/2，Q/2 の 2 つの電荷の和であるとすれば，電荷 q にはたらく静電
気力の大きさ F は，

F =

Q
Q
1 (q 2 )n(qQ)n1 (q 2 )n2+=4πε0 r2
4πε0 r2(2n )πε0 r2(293)と書くこともできる．この 2 つが等しくなるのは，n = 1 以外にない．したがって，点電荷間にはたらく静電気力は，点電荷の電気量の積に比例する．

13.4 点 (x，0) に電荷 A，B が作る電場の強さ EA ，EB は，ともに
EA =

1
q
,
4πε0 x2 + (d/2)2

EB =

1
q
,
4πε0 x2 + (d/2)2(294)である．合成電場の x 成分はキャンセルして 0 になるので，合成電場は −y の向きで，その強さ E
は，

E =2×

q
d/2
1
qd
1
×p
=
2
2
2
4πε0 x + (d/2)
4πε0 (x + (d/2)2 )3/2
x2 + (d/2)2(295)となる．特に，d が x より十分に小さいときには，

E≃

1 qd
4πε0 x3(296)となり，x の −3 乗に比例することがわかる．

13.5 酸素原子から水素原子の距離を l = 1.0 × 10−10 m とする．図 31のように，酸素原子の電荷−q (q > 0) を −q/2 の 2 つの電荷に分けて考え，それらとそれぞれ電荷 q/2 を持つ 2 つの水素原子との双極子モーメント（大きさ ql/2）のベクトル和を求める．それが 6.2 × 10−30 C · m に等しいことから
ql
cos(52.5◦ ) = 6.2 × 10−30 C · m
2

(297)

6.2 × 10−30= 1.02 × 10−19 C
1.0 × 10−10 cos(52.5◦ )

(298)

2×
が成り立つ．よって

q＝となる．これが酸素原子の電荷の大きさで，水素原子では半分になる．
電子の電気量の大きさは e = 1.60 × 10−19 C であるから，

1.02 × 10−19/= 0.3122 × (1.6 × 10−19 )(299)

第 13 章78

より，水素原子 1 つ当り，電子の電荷のおよそ 1/3 を酸素原子が引きつけているともいえる．
{q/2 O {q/2
±

105

H
q/2

H
q/2

図 31: 水分子の双極子モーメント13.6 (1) リングの微小部分 dl が，リングの軸線上，リングの中心から距離 x の位置に作る電場の大きさ dE は，
dE =

1
λdl
[N/C]
4πε0 x2 + a2

(300)である．リングの軸線上の軸線に垂直な成分は，リング全体からの合成電場を求めると相殺されて 0 になるので，合成電場は軸方向の成分のみになる．dE の軸方向の成分は，

dE軸 = dE × √x
x2 + a2=1
λx
dl [N/C]
2
4πε0 (x + a2 )3/2

(301)であるから，合成電場の大きさ E を求めるには，これをリング全体で足せばよい．dl = adθ
として，
Z 2π
λx
1
2πaλx
1
adθ =
[N/C]
(302)
E=
3/2
2
2
2
4πε0 (x + a )4πε0 (x + a2 )3/20と求まる．
特に，|x| ≫ a の場合は，E=

1 2πaλ x[N/C]
4πε0 x2 |x|(303)となり，電気量 2πaλ の電荷が作る電場と一致する．

(2) 円板を，同心リングの集まりだと考えると，(1) の結果を利用することができる．半径 r，幅dr のリングの軸線上，リングの中心から距離 x の位置に作る電場の軸方向成分は，
dE軸 =

2πrσx
1
dr [N/C]
2
4πε0 (x + r2 )3/2

である．合成電場の大きさ E を求めるには，これを円板全体で足せばよく，
Z a
Z
1
2πrσx
σx a
2r
dr =
dr
E=
3/2
2
2
2
4ε0 0 (x + r2 )3/2
0 4πε0 (x + r )


a

σx
1
x
x
σ
√
=−
−√
[N/C]
=
2ε0
2ε0 |x|x2 + r 2 0
x2 + a2

(304)

(305)

となる．
特に，x ≫ a の場合は，近似式 (1 + a2 /x2 )−1/2 ≃ 1 − a2 /(2x2 ) を用いれば，

E=

πa2 σ x[N/C]
4πε0 x2 |x|

(306)

79
となり，Q = πa2 σ [C] の点電荷の作る電場と一致する．また，x ≪ a の場合は，

E=

σ x
[N/C]
2ε0 |x|

(307)

となる．

13.7 重力，浮力，静電気力，空気の抵抗力のつり合う速度とは，十分に時間が経ったときの速度である．したがって，油滴の電気量の大きさを q [C] とすれば，
4 34πr ρ油 g − πr3 ρ空気 g − 6πηrv+ − qE = 0
3
3
4 3
4
πr ρ油 g − πr3 ρ空気 g − 6πηrv− + qE = 033が成り立つ．これを，r，q について解けば，
s3
η(v− + v+ )r=[m]
2 (ρ油 − ρ空気 )g9π(v− − v+ )
q=
2E
となる．

s

η 3 (v− + v+ )[C]
(ρ油 − ρ空気 )g

(308)
(309)

(310)

(311)

80

第 14 章問題 14.1 球の内部にある電荷の総量は，ρ ×（球の体積）= ρ × 4πa3 /3 であるから，この球を取り囲む閉曲面に含まれる全電荷は，4πa3 ρ/3 である．これが閉曲面を貫く全電束に等しいので，全電束 ΦE は，4
ΦE = πa3 ρ [C]
3

(312)

となる．
問題 14.2 ガウスの法則を用いて解く．電場の強さを E ，電束密度の大きさを D [C/m2 ] とする．

(1) 閉曲面として，半径 r の同心球面を考える．r > a のときは 4πr2 D = 4πa3 ρ/3，r < a のときは 4πr2 D = 4πr3 ρ/3 となるので，点電荷から r の位置の電束密度の大きさ D は，


ρa3



[C/m2 ]
(r > a)
2
3r
D=
(313)

 ρr


[C/m2 ]
(r < a)3となる．よって，点電荷から r の位置での電場の強さ E は


ρa3



[N/C]
(r > a)3ε0 r2
E=



 ρr
[N/C]
(r < a)3ε0(314)であり，向きは球の中心から放射状に広がる向きになる．

(2) 閉曲面として，半径 r，長さ l の同軸円筒を考える．r < a では，閉曲面内の電荷は 0 だから，
D = E = 0 である．r > a では，電束密度ベクトルは円筒面に垂直，外向きで，大きさはすべて等しい．閉曲面内の電荷は 2πalσ であり，これがガウスの法則より 2πrlD に等しいから，E = D/ε0 より，E は次のように求まる．




 0
(r < a)
E=
(315)


σa


[N/C]
(r > a)ε0 r
向きは円筒の軸に対して垂直に遠ざかる方向．

81(3) (2) と重ね合わせの原理により，以下を得る．





0





σa
E=
[N/C]


ε0 r





σ(b − a)


[N/C]
ε0 r

(r < a)(a < r < b)(316)

(r > b)

向きは円筒の軸に対して垂直に，a < r < b では外向き，r > b では内向き．

(4) 閉曲面として，半径 r で長さ l の同心円筒面を考える．電束密度ベクトルは円筒面に垂直，外向きで，大きさはすべて等しい．r < a では，閉曲面内の電荷は πr2 lρ で，これが 2πrlD に等しいから D = rρ/2, E = rρ/(2ε0 ) となる．r > a では，閉曲面内の電荷は πa2 lσ であり，
これがガウスの法則より，2πrlD に等しいから，以下を得る．


 ρr


[N/C]
(r < a)
2ε0
E=
(317)

2

ρa


[N/C]
(r > a)2ε0 r
向きは円筒の軸に対して垂直に遠ざかる方向．

(5) 閉曲面として，半径 r で長さ l の同心円筒面を考える．電束密度ベクトルは円筒面に垂直，
外向きで，大きさはすべて等しいので，全電束は 2πrlD となる．r < a では，閉曲面内の電荷が 0 なので，D = E = 0．a < r < b では閉曲面内の電荷は π(r2 − a2 )lρ，r > b ではπ(b2 − a2 )lρ となる．よって，D = ε0 E より以下を得る．





0
(r < a)ρ(r2 − a2 )
E=
(318)
[N/C]
(a < r < b)


2ε
r
0



2 − a2 )


ρ(b


[N/C]
(r > b)2ε0 r
向きは円筒の軸に対して垂直に遠ざかる方向．

問題 14.3 (1) （容量）=（誘電率）×（極板面積）/（極板間距離）より，次のように求まる．
（容量）=88.85 × 10−12 × 2.0 × 106=
1.
7/7/ × 10−8 F
1.0 × 103(319)(2) （電荷）=（容量）×（電圧）より
8/.7/ C（電荷）= 1.77 × 10−8 × 109 = 17と求まる．下部は負電荷なので，−18 C となる．

(320)

第 14 章82(3) （静電エネルギー）=（電荷）×（電圧）/2 より，（静電エネルギー）=

917.7 × 109= 8./8/5 × 109 J
2

(321)

となる．

章末問題 1414.1 (1) 電場の定義により，（電場の強さ）= F/q [V/m] となる．
(2) 電場ベクトルと電束密度ベクトルとの関係により，（電束密度の大きさ）= ε0 F/q [C/m2 ] となる．
(3) 金属中の電場は 0 なので，金属面に対して平行な面をもつ円筒の閉曲面にガウスの法則を適用して，（電束密度の大きさ）×（面積）=（電荷密度）×（面積）より，（電荷密度の大きさ）= ε0 F/q [C/m2 ] が得られる．
14.2 電束密度の大きさを D [C/m2 ]，電場の強さを E [V/m]，電位を ϕ [V] とする．また，電位の基準点を無限遠とする．
(1) 重ね合わせの原理より，中心から距離 r の位置での電場の強さはσ(b2 − a2 )


[V/m]
(r > b)
ε0 r 2



σa2
E=
[V/m]
(b > r > a)
 ε0 r 2






 0
(a > r)(322)となり，向きは a < r < b では中心から遠ざかる向き，r > b では中心に向かう向きである．
中心から距離 r の位置の電位は，r > b では， Z rσ(b2 − a2 ) ′σ(b2 − a2 )
dr
=
[V]
(323)
ϕ=− −
−
ε0 r′2ε0 r∞

b > r > a では，
Z b
ϕ=
r

σa2 ′
dr −
ε0 r′2Z ∞bσ(b2 − a2 ) ′
σ
dr =
′2
ε0 r
ε0

 2

a
− b [V]r(324)

a > r では，(324) で r = a とおいて
ϕ=−
となる．

σ
(b − a)[V]
ε0

(325)

83
(2) 重ね合わせの原理より，中心から距離 r の位置での電場の強さはρ(b3 − a3 )


[V/m]
(r > b)
3ε0 r2ρ(r3 − a3 )E=
[V/m](b > r > a)

3ε0 r2






 0
(a > r)(326)となり，向きは中心から放射状である．
中心から距離 r の位置の電位は，r > b では，ϕ=ρ(b3 − a3 )
[V]
3ε0 r

(327)

b > r > a では，電場を無限遠まで積分して
Z b
Z ∞ρ(r′3 − a3 ) ′ρ(b3 − a3 ) ′
ϕ=
dr
+
dr
3ε0 r′2
3ε0 r′2
r
b


ρ
2a3
2
2
=
3b − r −
[V]
6ε0
r

(328)

a > r では，(328) で r = a とおいてϕ=

ρ 2(b − a2 ) [V]
2ε0

(329)

を得る．

(3) ガウスの法則を適用する閉曲面として，同心の半径 r の球面を考える．電束密度ベクトルは，球面上至るところで面に垂直で大きさは等しい．r > a のとき，閉曲面内の電荷は
Ra 2
2
5
2
= 4πAa5 /5 であるから，
0 Ar 4πr dr = 4πAa /5 であり，これがガウスの法則により 4πr DRr
D = Aa5 /(5r2 ) となる．また，r < a のとき，閉曲面内の電荷は 0 Ar2 4πr2 dr = 4πAr5 /5であり，これがガウスの法則により 4πr2 D = 4πAr5 /5 であるから，D = Ar3 /5 となる．し
たがって，電場の強さは


 Aa5


[V/m]
(r > a)5ε0 r2
E=
(330)

3

Ar


[V/m]
(a > r)5ε0となり，向きは中心から放射状である．
中心から距離 r の位置の電位は，電場を r から無限遠まで積分して得られる．r > a の範囲での積分は簡単に求まる．r < a では，
Z a
Z ∞

Ar′3 ′
Aa5
A
ϕ=
dr +
5a4 − r4
dr′ =
(331)
′2
5ε0 r
20ε0
r 5ε0
a
となる．以上をまとめると以下のようになる．


Aa5



[V]
5ε0 r
ϕ=




 A 5a4 − r4 [V]20ε0(r > a)(332)(a > r)

第 14 章84

14.3 陽極の面電荷密度を σ [C/m2 ] とすると，管内で中心から r [m] の位置での電場の強さ E は
E = aσ/(ε0 r) である．電圧 V は，電場を a から b まで積分して V = (aσ/ε0 ) ln(b/a) を得る．この 2 つの式から (14.27) を得る．
14.4 a は d に比べて十分に小さいので，一方の電荷分布は他方の電荷分布に影響を与えず，一様に分布させることができる．一方を線電荷密度 λ，もう一方を −λ で帯電させたとき，2 つの導線の中心を結ぶ直線上で一方からの距離が x の位置の電場の強さは，
E=

λ
λ
+
2πε0 x 2πε0 (d − x)(333)となる．したがって，導線間の電位差は，


Z a
λ
1
1
λ
d−a
V =−
+
dx =
ln
[V]
x d−x
πε0
a
d−a 2πε0(334)となる．これより，単位長さ当りの電気容量は，

C=

λ
πε0
=
[F]
V
ln((d − a)/a)

(335)

となる．

14.5 図 32の通り．

3C

3C
2

2C
3

1C
3

図 32: 3 つのコンデンサの接続法

14.6 C1 [F] のコンデンサに蓄えられた電荷を Q1 [C]，C2 [F] のコンデンサに蓄えられた電荷を Q2 [C] とする．Q1 = C1 V0 ，Q2 = C2 V0 であり，エネルギーの総和は，(Q1 V0 + Q2 V0 )/2 =(C1 + C2 )V0 2 /2 である．
(1) スイッチを閉じた後の電荷 Q [C] は |Q| = |Q1 − Q2 | = |C1 − C2 |V0 であり，合成容量 C [F] はC = C1 +C2 である．したがって，蓄えられたエネルギーは Q2 /(2C) = |C1 −C2 |2 V02 /(2(C1 +C2 )) である．比を取ると (C1 − C2 )2 /(C1 + C2 )2 を得る．
(2) 実際には，導線にも抵抗があり，失われたエネルギーの一部はその抵抗によって熱エネルギーに変換された．また，残りはコンデンサの極板間から発生する電磁波のエネルギーとして放射された（抵抗が発生するジュール熱については 第 16 章 ，電磁波については 第 17 章 参照）．

85
14.7 (1) 極板間を真空とし，極板の面積を S [m2 ] とすれば，間隔 d [m] および d + ∆x [m] の平行板コンデンサの電気容量 C(d)，C(d + ∆x) は，それぞれC(d) =ε0 S
ε0 S， C(d + ∆x) =dd + ∆x(336)であるから，∆x だけ広げたときに，蓄えられている静電エネルギーの増量は，

1
Q2
1 Q2
−
2 C(d + ∆x) 2 C(d)1 Q2
1 Q2 ∆x
1 Q2((d + ∆x) − d) =∆x ==2 ε0 S2 ε0 S
2 C d

∆E =

(337)

となる．

(2) コンデンサに加えた力を F [N] とすれば，仕事は F ∆x [J] と書けるから，F ∆x =

Q2 ∆x
2C d

(338)

Q2
2Cd

(339)

より，

F =
と求まる．

86

第 15 章問題 15.1 物質量 1.0 mol の銅の体積は 64/9.0 cm3 ，その中に 6.0 × 1023 個の電子があるから，数
密度 n は，
n = 6.0 × 1023 × 9.0/64 = 8.44 × 1022 cm−3 = 8.44 × 1028 m−3となり，断面積 S は S = 1.0 × 10−6 m2 なので，素電荷を e，電流を I として，ドリフト速度 vd
は，vd = I/(neS) より

vd =

1.0
1.60 × 10−19 × 8.44 × 1028 × 1.0 × 10−6

/ × 10−5 m/s= 7.40(340)となる．すなわち，0.074 mm/s となる．
問題 15.2 銅線の中におびただしい数（物質量 1 mol 当りアボガドロ定数個）の自由電子が線に沿って存在しており，スイッチを入れると電圧（光速で伝わる）を感じてそれらが一斉に動き出すので，瞬時に電流が流れて部屋の電気がつく．
問題 15.3 16 倍になった．抵抗は長さに比例し，面積に反比例する．面積は 1/4 倍になったから，
抵抗は 4 × 4 = 16 倍になる．
問題 15.4 ρ–t グラフを描いて読み取れば，ρ 軸との切片と傾きから ρ0 = 2.1 × 10−8 Ω · m，α =4.2 × 10−3 /K と求まる．
問題 15.5 並列である 20 Ω と 30 Ω の合成抵抗は (20 × 30)/(20 + 30) = 12 Ω であるから，直列の 10 Ω との合成抵抗は 22 Ω となる．
問題 15.6 (1) 10 Ω．検流計 G に電流が流れないので，bc 間の電位は等しい．したがって R1 :R2 = R3 : R4 になる．よって 10 Ω と求まる．

(2) c→b．R4 の抵抗値が大きくなるから，b より c の電圧が高くなり，c→b となる．

章末問題 15
15.1 R3 > R1 > R2 ．流れる電流は同じなので，電圧降下が大きいほど抵抗値は大きい．したがって，R3 ，R1 ，R2 の順となる．

87
15.2 (1) R と 2R を並列につないだものなので，以下のようになる．
（合成抵抗値）=

1
1
1
+
R 2R

=

2R2
2
= R
R + 2R3(341)(2) R と 3R を並列につないだものなので，以下のようになる．
（合成抵抗値）=

1
1
1
+
R 3R

=

3R2
3
= R
R + 3R4(342)(3) 2R と 2R を並列につないだものなので，以下のようになる．
（合成抵抗値）=

1
1
1
+
2R 2R

=R

(343)

(4) 合成抵抗値を x [Ω] とすると，図 33のような等価回路となる．したがって，x と R を並列接続したものに R が直列接続された合成抵抗が x となるので，
RxR+x√となる．これは 2 次式となり，正の解は x = (1 + 5)R/2 である．
x=R+

(344)

R

R

x

図 33: 合成抵抗：無限の梯子

15.3 R = r のとき．起電力を E [V] とすると，流れる電流は E/(R + r)，したがって，抵抗 R において単位時間当りに発生するジュール熱 P は
P =

E2R
[W]
(R + r)2(345)

である．R を変化させたときに，P が最大になるのは

dP
E 2 (r − R)=0=dR
(R + r)3(346)となり，R = r のときに，単位時間当りに発生するジュール熱が最大になる．

15.4 抵抗 R1 ，R2 ，R3 に流れる電流は 1 A，2 A，3 A で，向きは右，右，左である．R1 を通る電流を右向きに i1 [A]，R2 を通る電流を右向きに i2 [A] とすると，R3 を通る電流は左向きに
i1 + i2 [A] である．キルヒホッフの第 2 法則を閉回路に適用して，12 = 3(i1 + i2 ) + 3i1 ,21 = 3(i1 + i2 ) + 6i2となる．これを解いて，i1 = 1 A，i2 = 2 A を得る．向きは 2 つとも右向きである．

(347)

第 15 章88

15.5 抵抗が大きいときは (a)，小さいときは (b)．R の値が大きいときには，電圧計に流れる電流が無視できず，また，電流計の電圧降下が無視できる．したがって，(a) の回路の方が適してい
る．R の値が十分に小さいときには，電圧計に流れる電流が無視でき，また，電流計の電圧降下が無視できない．したがって，(b) の回路の方が適している．
15.6 (1) 図 34の通り．
(2) 図 34の通り．それぞれの合成抵抗は R/3，2R/3，3R/2，3R であり，全体の消費電力は (電圧)2 /(合成抵抗値) なので，明るさは合成抵抗値の逆数に比例する．

3ಸ

3
ಸ
2

2
ಸ
3

1
ಸ
3

図 34: 3 つの電球

15.7 たこ足配線をすると，並列に負荷が接続されていることになる．その数が多いと電源タップには大きな電流が流れることになり，それにより，ブレーカーが落ちたり，電源タップ内で発火したりしてしまう場合がある．

89

第 16 章問題 16.1 電流の定義式 (16.1) に数値を代入する．1 m 当りにはたらく力の大きさを f [N] とす
ると，電流に 1 A，距離に 1 m を代入して，

f=µ0 |IA ||IB |4π × 10−7 1 × 1=
×= 2 × 10−7 N/m
2π
r
2π
1

(348)

を得る．したがって，定義通りになっていることがわかる．
問題 16.2 長さ a のコイルの辺には，大きさは IaB で，それぞれ鉛直下向きと上向きに，コイルを反時計回りに回転させようとする力がはたらく．長さ b の辺には，大きさは IbB sin θ で，コイ
ルを縮めようとする力がはたらくが，この力は回転には寄与しない．
問題 16.3 (1) ローレンツ力 F は次のように与えられる．

F = q(E + v × B) [N](349)

粒子は力を受けていないので E + v × B = 0，すなわち，E = −v × B になっている．

(2) v と B が直交するので，E = vB より v = E/B [m/s] である．
問題 16.4 磁場を z 軸方向とし，入射した速度ベクトルを v 0 = (v0x , 0, v0z ) [m/s] とすると，粒子は xy 平面内で半径 mv0x /(qB) の円運動をしながら，z 軸方向へ速さ v0z でドリフトしていく．すなわち，らせん運動をする．
問題 16.5 もし磁荷が存在したら，磁場に関するガウスの法則において，わき出し口や吸い込み口が存在することになり，磁場に関するガウスの法則は，次のように書きかえられる．
I
ΦM = B · dS = Qm
(350)
S

ここで，Qm は閉曲面 S に含まれる磁荷の総和である．
問題 16.6 円筒の軸を中心とする，円筒に垂直な半径 r の円を考え，この円にアンペールの法則を適用する．例題 16.3 と同様に考えれば，対称性より，磁場の方向はこの円の接線方向であり，向きは右ねじの向きとなる．また，その強さは円上の至る所で同じになる．磁場の強さを H [A/m]とすれば，アンペールの法則の左辺は 2πrH となり，右辺は，r > a では I [A]，r < a では 0 と第 16 章90

なる．したがって，磁場の強さ H [A/m] と磁束密度の大きさ B [T] は，次のように求まる．


I



[A/m] (r > a)
2πr
H=
(351)



 0
(r < a)



µ I


 0 [T] (r > a)
2πr
B=



 0
(r < a)(352)

章末問題 1616.1 導線内には負電荷をもつ電子の他に正電荷の原子核があり，全体として電気的に中性になっている．電子と同じ速度で運動している観測者からは，電子が静止しており，正電荷の原子核が逆向きに運動しているように見える．よって，それぞれ同じように平行に電流が流れていることになり，電流間には引力がはたらいている．
電流として電子線を考える場合には，電流間にはたらいている力として，ローレンツ力の他にクーロン力も考える必要があり，それも含めて考えれば矛盾はしない．
16.2 図 35のように，磁場のもとに正方形電流 OPRQ を置く．

R
B
I

FQR

FRO
O

Q
FPQ

FOP

R

B

FQR

Q

I

P

O

(1)

FOP
(2)

P

図 35: 正方形電流にはたらくローレンツ力(1) すべての辺の電流は磁場と垂直なので，それぞれの辺は大きさ IBl の力を受けるが，力の向きは，向かい合う辺で互いに逆向きであるので打ち消し合って正方形にはたらく合力は 0 になる．
(2) OR，PQ の辺にはたらく力は，電流と磁場とが平行なので，0 である．なお，FOP = FQR = IBlとなるので，この力が偶力としてはたらく．

16.3 電流が位置 r = (0, a, 0) の位置に作る磁束密度 B は −x 方向で，その大きさは
B=

µ0 I
2πa

(353)

91
となる．したがって，荷電粒子にはたらくローレンツ力 F は，+z 方向で，その大きさは，

qv0 B =

µ0 qv0 I
2πa

(354)

となる．
荷電粒子は，力を電流と直接及ぼし合っているのではなく，電磁場を通して力を及ぼし合っている．そのため，ローレンツ力の反作用は荷電粒子が電流に及ぼす力ではなく，荷電粒子による電磁場の変化である．実際に，電磁場の運動量を考えることにより，広い意味での，作用反作用の法則が説明できる．

16.4 重心までの距離はである．

√

3d/3，そこでの磁場の強さ H は，その電流への向きと垂直に√

3I/(2πd)(1) 電流が同じ向きなので，中心での磁場は互いに打ち消し合い，0 となる．
(2) C が作る磁場は，向きは A と B が作る磁場を合成した向きで，強さはその合成した磁場の強√さと等しい．したがって，全体として強さは 3I/(πd) であり，向きは C を中心とする円の接線方向，C に対して右ねじの向きである．

16.5 経路を C，磁荷の受ける磁場を H [A/m] とすれば，1 周させるのに要する仕事 W は，
IIW =qm H · dl = qm
H · dl(355)
CCであるが，アンペールの法則より，1 周の経路によらずI
H · dl = I

(356)

C

となる．これより，W = qm I [J] が示せる．

16.6 磁場の方向は右ねじの法則の向きである．内側の円柱の作る電流の向きを正の向きとし，電流の大きさを I [A] とすれば，例題 16.3 の結果と磁場の重ね合わせの原理より，磁束密度の大きさは
µ0 (I − I)=0(r > c)


2πr




2
2


(r − b )µ0 I − I × 2µ0 I(c2 − r2 )(c − b2 )
=(c > r > b)2πr2πr(c2 − b2 )
B=
(357)



µ0 I



(b > r > a)


2πr



 µ0 I × r22

µ0 Ir

a

=
(r < a)
2πr
2πa2
となる．

第 16 章92

16.7 r1 < r < r2 では µN I/(2πr)，それ以外では 0 である．
半径 r の閉曲線にアンペールの法則を適用する．r < r1 と r > r2 では，閉曲線を貫く電流は 0であるから，磁場も 0 である．
r1 < r < r2 では，磁束密度の大きさを B(r) [T] とすると，2πrB(r) = µN I より，B(r) =µN I/(2πr) となる．
16.8 (1) 磁束密度の大きさ B は，数値を代入して
3µ0 nI = 4π × 10−7 × 2.0 × 102 × 5.0 × 103 = 1.2/5/ T

(358)

と求まる．

(2) 単位長さ当りの力の大きさは，電流値に磁束密度の大きさを掛けたものだから，
3
5.0 × 103 × 1.25 = 6.2/5/ × 103 N/m(359)となる．フレミングの左手の法則より，向きは外側にはたらく．

(3) 単位長さ当りの力の大きさは4π × 10−7 × (5.0 × 103 )2µ0 I 2== 1.0 × 103 N/m2πd2π × 5.0 × 10−3(360)となる．向きは，（一方の電流が他方に作る磁場と電流とから，フレミングの法則を適用させて）お互いに引き合う向きになる．

93

第 17 章問題 17.1 電磁誘導とレンツの法則により，つまり，磁石の落下を妨げる向きに電流が流れる．磁石の下側では，N 極に反発するため，N 極ができるように図 36の向きに電流が流れ，磁石の上側では，S 極を引きつけるため，N 極ができるように図 36の向きに電流が流れる．

SN

図 36: アルミパイプと磁石問題 17.2 この電球の抵抗値 R [Ω] は，電力を P [W]，実効電圧を V [V] とすると

R=

V2
1002
=
= 2.0 × 102 Ω
P
50

(361)

である．したがって，実効電流 Ie は，

Ie =

P
50
=
= 0.50 A
V
100

(362)

であり，電球に流れる電流の最大値 I0 は，

I0 =

√

1
2 × 0.5 = 0.70/7/ A

(363)

となる．
問題 17.3 ソレノイドに電流 I [A] を流したとき，ソレノイドの内部に生じる磁束密度の大きさは，

B = µ0 nI [T](364)である．ソレノイドのコイル 1 巻きを貫く磁束は BS であり，コイルの巻き数は nl であるから，
ソレノイド全体を貫く磁束は，

Φ = BS × nl = µ0 n2 lSI [Wb](365)である．したがって，誘導起電力は

V =−

dΦ
dI
= −µ0 n2 lS
[V]
dt
dt

(366)

第 17 章94
であり，インダクタンスの定義より，

L = µ0 n2 lS [H]

(367)

と求まる．
ヘンリー

問題 17.4 透磁率の単位は N/A2 である． H の定義より，

H = V · s/A = V · (A · s)/A2 = V · C/A2 = J/A2 = N · m/A2

(368)となる．したがって，透磁率の単位は H/m となる．
問題 17.5 V = −LdI/dt の式により，電流の時間変化が大きいとき，高い電圧が生じ，火花放電が起こる．
問題 17.6 電場と磁場の比の式

Ex
=
Hy

r

µ0
[Ω]
ε0

(369)

に By = µ0 Hy を代入すると，Ex
1=√= c [m/s]
By
ε0 µ 0(370)が得られる．
問題 17.7 z = 0 の位置での電場ベクトルを考える．任意の位相を θy = 0 とすると，Ex = cos(ωt−θx )，Ey = cos(ωt) となる．

(1) Ex = Ey より，直線偏光．
（偏光面は x 軸に対して 45◦ だけ傾いている．
）(2) Ex = cos(ωt − π) = − cos(ωt) = −Ey より，直線偏光．
（偏光面は x 軸に対して −45◦ だけ傾いている．
）(3) Ex = cos(ωt − π/2) = sin(ωt) より，電場ベクトルは +z 方向から見て右回転するので，右回り円偏光．
(4) Ex = cos(ωt + π/2) − sin(ωt) より，電場ベクトルは +z 方向から見て左回転するので，左回
り円偏光．

95

章末問題 1717.1 (1) IH クッキングヒーターは，数十 kHz の交流磁場を生じさせて磁性の鍋に誘導電流を起こし，ジュール熱によって加熱する．交流磁場は，インバータによって生成した同じ周波数の交流電流を鍋直下のコイルに流して生成する．
(2) ワイヤレス給電器は，送信コイルからの交流磁場を受信コイルで受け，誘導起電力により生じる電流を整流して直流電圧を生成し，給電する装置である．
(3) IC カードは，その中の IC モジュールが読み取り機からの電波を受信し，情報を送受信するカードである．電波受信には，電磁誘導の原理が用いられている．
17.2 素電荷を e [C] とすると，自由電子にはローレンツ力 F = evB [N] が導体棒に沿った向きにはたらく．したがって，電場の強さ E [V/m] は E = F/e = vB となり，導体棒の長さ l [m] を掛けて起電力 V = vBl [V] を得る．
17.3 引き下げ導線に電流が流れると，その電流によって磁場が発生し，その磁場の変化によって周りの電線に誘導電流が流れる．そして，その誘導電流が機器を故障させる原因になるからである．
17.4 万有引力定数を G [m3 /(kg · s2 )]，地球の質量を M [kg]，軌道半径を r [m] とすれば，衛星の速さ v は，
v2GM
= 2 より，rr
sr
GM
6.67408 × 10−11 × 5.97 × 1024
/ × 103 m/s== 7.61v=
r(6371 + 500) × 103(371)となる．したがって，誘導起電力 V は，

1
V = vBl = 7.61 × 103 × 3.1 × 10−5 × 300 = 70/.7/ V

(372)

と求まる．

17.5 (1) 送電線にもわずかであるが抵抗 R [Ω] がある．長い距離を送る場合，この送電線の抵抗で消費される電力 ∆P [W] が無視できなくなる．発電所での電力を P [W] として，同じ電力P を送る場合を考えよう．送電電圧を V [V]，流れる電流を I [A] とすれば，P = IV より，∆P = I 2 R =

P 2R
[W]
V2

(373)

となり，電力損失は電圧の 2 乗に反比例して小さくなる．そこで，電力を発電所から家庭まで送る際に，変圧器で高電圧に変換して送っている．現在，発電所から変電所までの送電には 500 kV 送電が多く用いられている．

(2) 送電設備が整備され始めた当時は，直流電圧を昇圧する方法が確立されておらず，(1) で論じた送電損失が大きく，直流送電では遠くまで送電できなかった．
しかしながら，直流送電は，同じ絶縁強度で 2 倍の電力を送ることができる．また，送電線のリアクタンスによる電圧降下がないなどのメリットがある．現在では，直流においても第 17 章96

昇圧できるようになっており，このようなメリットから，直流送電が行われているところもある．だが，交流直流変換の設備にコストがかかったり，交流直流変換時の電力損失があったりなどの理由により，普及には課題もある．

17.6 回路に流れる電流を I = I0 sin ωt [A] とすると，時刻 t における抵抗，コンデンサ，コイルの両端の電圧 VR ，VC ，VL [V] は，
VR = RI0 sin ωt,(374)

VL = ωLI0 cos ωt,
I0
VC = −cos ωt
ωC

(375)
(376)

である．したがって，3 つの素子の両端の電圧は，


1
V = VR + VL + VC = RI0 sin ωt + ωL −I0 cos ωt [V]ωC(377)となる．これは，三角関数の合成より，
s
!

2
1
ωL
−
1
−1
ωC
V = R2 + ωL −I0 sin ωt + tan
ωCRとなる．よって，回路のインピーダンスは，
s

Z=

R2 +



1
ωL −
ωC

(378)

2
[Ω]

(379)

√
であり，ωL − 1/ (ωC) = 0 を満たす ω のときに，すなわち，ω = 1/ LC のときに，回路に流れる電流の実効値が最大になる．
17.7 ω = 2πf = 4.77 × 108 rad/s より，コイルのインダクタンス L は，電気容量を C [F] とする√と ω = 1/ LC から
4.77 × 108 = √1
L × 20 × 10−12(380)

より，L = 0.22 µH 以上とすればよい．
一方で，L = 0.22 µH のコイルを用いたとすると，このラジオの受信できる最大周波数は C = 3 pF
として，次のようになる．

f=

20
1
√
= 1/.9/5/ × 108 Hz = 2.0 × 102 MHz
2π LC

(381)

17.8 （波長）=（光速）/（振動数）より計算する．(1) 187.1 ∼ 565 m (2) 3.3 ∼ 3.9 m (3) 1.35 ∼ 3.3 m

97
17.9 偏光板では，向きが揃った長いヨウ素化合物が並んでいる．その方向に振動する直線偏光が入射すると，化合物上の電子はその方向に動くことができるので，偏光板は光を吸収する．化合物が揃っている方向とは垂直方向に振動する直線偏光に対しては，電子は動けず，光を透過する．
液晶画面では，液晶を用いて偏光を制御しているので，透過して来る光はある方向に直線偏光している．したがって，偏光板をその方向に合わせると光は透過できず，画面は暗くなる．
17.10 透明なセロハン等は製造過程で方向性をもち，光が複屈折する．複屈折とは，縦横の方向によって屈折率が異なることであり，その屈折率も波長に依存する．偏光板で方向が揃った偏光がセロハン等で複屈折し，2 枚目の偏光板で選ばれた波長の光が目に届く．片方の偏光板を回すことによって選ぶ波長が異なるため，色が変わって見える．
17.11 (1) ポインティングベクトルの大きさは，
P =3.8 × 1026
× 0.70 = 9.4 × 102 W/m2
4 × 3.14 × (1.5 × 1011 )2

(382)

となる．

(2) 地球表面での電場の振幅を E [V/m]，磁束密度の振幅を B [T] とすると，(17.21) より B = E/c，
(17.24) と µ0 = 1/(ε0 c2 ) より
P =

EB
E2
=
= ε0 cE 2µ0cµ0となる．E について解き，数値を代入すると
r
9.4 × 102
E=
= 6.0 × 102 V/m
3.0 × 108 × 8.85 × 10−12

(383)

(384)

となり，(17.21) より，磁場の振幅は

B=
となる．

E
= 2.0 × 10−6 T
c

(385)

98

第 18 章問題 18.1p√√
1 − β 2 = 1/2 より β = 3/2，すなわち，速さ = ( 3/2)c ≃ 0.866c ≃ 2.6×108 m/s．

問題 18.2 相対性原理により，「兄から見ても弟は高速で移動していたのだから，兄がおじいさんになっていてもよいはずである」ということになってパラドックスとなる．
しかしながら，兄は地球を出発して戻ってきたので，出発時，引き返すとき，着陸時に加速度運動をしている．したがって，兄と弟とでは，運動が異なる．このことにより，兄と弟で時間の差が生じてもよく，実際に起こりうる現象となる．
問題 18.3 ローレンツ収縮により，B の宇宙船は実際の長さより縮んで見えるから．停止しているときには宇宙船 A の長さの方が，宇宙船 B の長さよりも短い．
問題 18.4 宇宙船 B から見ると，ローレンツ収縮により，A の宇宙船はさらに縮んで見える．
問題 18.5 β ≪ 1 のとき，γ ≃ 1 + β 2 /2 → 1 であるから，γ → 1，β → 0，cβ = V とすると，ローレンツ変換はガリレイ変換に一致する．
問題 18.6 まず，V = c のときを考えよう．β = V /c = 1 だから，vy′ = v ′ z = 0，よって

vx =vx ′ + c=c′
1 + vcx2 c

(386)

となる．
次に vx′ 2 + vy′ 2 + vz′ 2 = c2 のときは，

vx 2 + vy 2 + vz 2 =(vx′ + V )2 + (vy′ 2 + vz′ 2 )(1 − β 2 )(vx′ + V )2 + (c2 − vx′ 2 )(1 − β 2 )
=



2
2
′
′
1 + vcx2V
1 + vcx2V

vx′ 2 + 2vx ′ c + V 2 + c2 − vx′ 2 − (c2 − vx′ 2 ) Vc2=
2

′
1 + vcx2V2′22vx′ c + c2 + vxc2V=2′
1 + vcx2V
となって，

2

p
vx 2 + vy 2 + vz 2 = c となる．

(c + vx′ V /c)22= 
2 = cvx′ V
1 + c2(387)

99
問題 18.7 4 元ベクトル A, B のローレンツ変換されたベクトルを A′ , B ′ とすると，

A′0 = γ(A0 − βAx ),A′x = γ(Ax − βA0 ),A′y = Ay ,A′z = Az(388)が成り立つ．B ′ と B の関係も同様に書ける．すると，

A′ · B ′ = A′ · B ′ − A′0 B0′ = γ 2 (Ax − βA0 )(Bx − βB0 ) + Ay By + Az Bz− γ 2 (A0 − βAx )(B0 − βBx )= γ 2 (1 − β 2 )(Ax Bx − A0 B0 ) + Ay By + Az Bz = A · B(389)となり，確かに内積は不変である．
問題 18.8 （静止エネルギー）=（質量）×（光速）2 なので，1 g の静止エネルギーを燃焼熱で割って次の値を得る．
（静止エネルギー） 1.0 × 10−3 × (3.0 × 108 )2== 5.0 × 108（燃焼熱）
1.4 × 105(390)

すなわち，約 5 億倍である．
問題 18.9 (18.27) より，|p| ≪ mc のとき，p
E = c |p|2 + m2 c2 = mc2= mc2 +

r



|p|2
|p|2
2
1 + 2 2 ≃ mc 1 +m c
2m2 c2

|p|2
2m

(391)

となる．したがって，K = mv 2 /2 を得る．
問題 18.10 式に数値を代入して，

2GM
2 × 6.67 × 10−11 × 2.0 × 1030 × 10=
= 3.0 × 104 m
2
c(3.0 × 108 )2(392)となり，30 km となる．

章末問題 18
18.1 0.95c で運動している π 中間子の平均寿命 τ ′ は
7
8.4 × 10−17
τ′ = √= 2.6/9/ × 10−16 s
2
1 − 0.95
となる．

(393)

第 18 章100

18.2 図 18.3 のように，列車の中央から光を発射した場合を考える．光が前端と後端に到着した
ときに，それぞれの時計を t = 0 に合わせる．これを列車の外の観測者から見てみよう．列車の外pの観測者からは，2 つの時計の間隔はローレンツ収縮をして，D 1 − (V /c)2 となっている．光が前端に到着する時刻 T前 は
cT前 =

D

p

1 − (V /c)2
+ V T前2(394)の関係を満たし，光が後端に到達する時刻 T後 は

cT後 =

D

p

1 − (V /c)2
− V T後2(395)の関係を満たす．
したがって，外の観測者から見た，光が前端に到達する時刻と後端に到達する時刻の時間差はp
DV 1 − (V /c)2DV
∆t = T前 − T後 =
= p
(396)
2
2
2
c −V
c 1 − (V /c)2
であり，前端の時計に光が到達する時刻が，後端の時計に光が到達する時刻に比べて遅い．
p
時計は列車の外の観測者から見て運動しているので， 1 − (V /c)2 の因子だけ，ゆっくりと時を刻んでいる．よって，列車の外の観測者から見ると，後端の時計が先に t = 0 に合わせられ，前p
端の時計を t = 0 に合わせるときには，後端の時計は t = ∆t × 1 − (V /c)2 = V D/c2 を指し示していることがわかる．

18.3 (1) t = t′ = 0 で原点が一致して，K 系，K′ 系とも原点に時計を置き，そのとき時計を合わせたとする．x′ = 0，すなわち x = cβt に置かれた時計はローレンツ変換 ct′ = γ(ct − βx)で x = cβt を代入して，
pct′ = γ(ct − βx) = γ(1 − β 2 )ct = 1 − β 2 ct(397)を得る．β = V /c < 1 より，動いている時計は遅れて見える．

(2) K′ 系に置かれた長さ l′ の棒を，K 系では長さ l と見えるとしよう．l′ = x′2 − x′1 として，
x′ = γ(x − βct) を代入すると，l′ = γ(x2 − βct2 − x1 + βct1 ) となる．ここで，K 系での時計は同じ（t1 = t2 ）であるから，l = l′ /γ ≤ l′ となる．1/γ < 1 より，動いている棒は縮んで見える．
(3) s2 = (ct2 ，x2 ，y2 ，z2 ) などとおくとき，(s′2 − s′1 )2 = (s2 − s1 )2 となることを以下に示す．
(s′2 − s′1 )2 = (x′2 − x′1 )2 + (y2′ − y1′ )2 + (z2′ − z1′ )2 − (t′2 − t′1 )2= γ 2 (x2 − βct2 − x1 + βct1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2− γ 2 (ct2 − βx2 − ct1 + βct1 )2= γ 2 (1 − β 2 ) (x2 − x1 )2 − c2 (t2 − t1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2= (s2 − s1 )2

(398)

101
18.4 確かに，光は伝わる媒質がなく，また，どの座標系でも同じ速さなので，ドップラー効果は起こらないと思うかも知れない．しかし，光源に置かれた時計と，観測者が持っている時計で時間の進み方が異なるので，その結果，光についても 2 つの場合で異なる結果を得る．また，それらの結果は，非相対論的極限で，音波のドップラー効果の形と一致する．
具体的には，真空中の光速 c [m/s] とすれば，光源が振動数 ν の光を出して一定の速さ v で真っ直ぐに近づいてきたとき，静止している観測者が観測する光の振動数 ν ′ はs
1 + v/cν′ = ν
(399)
1 − v/c
せいほうへんいとなり，振動数は高く観測される（青方偏移）．光が遠ざかる場合には，v → −v として，s
1 − v/cν′ = ν
(400)
1 + v/c
せきほうへんいとなり，振動数は低く観測される（赤方偏移）．
また，相対性理論では，運動している光源の時計はゆっくりと時を刻むので，光源が観測者と結ぶ線と直角をなす方向に運動している場合でもドップラー効果が生じ，赤方偏移した光を観測する．これを横ドップラー効果という．

p
18.5 ct′ = γ(ct − βx) と x′ = γ(x − βct) に数値を代入して β = 5/13，γ = 1/ 1 − β 2 = 13/12
より，以下を得る．


5
390
26
13
13 × 10−7 −×=
× 10−7 ≃ 8.67 × 10−7 st′ =12
13 3.0 × 108
3


13
5
′
8
−7
x =
390 −
× 3.0 × 10 × 13 × 10
= 260 m(401)
12
1318.6 右向きを x 軸とし，C 君の立場を慣性系 K，A 君の立場を慣性系 K′ とすると，V = 0.4c，vx = −0.5c と書ける．これを速度の加法則の式に代入して以下を得る．
vx′ =vx − V−0.5c − 0.4c
−0.9
3
=
=
c=− c
1 − V vx /c2
1 − (0.4c)(−0.5c)/c2
1.2
4

したがって，A 君から見た B 君の速さは 3c/4（左向き）になる．

18.7 結論は，「どちらから見てもガレージに収まる」というものである．ガレージから見ると，車はローレンツ収縮しているのでガレージに収まる．逆に車から見たとき，車の後端がガレージの入り口に達した瞬間と車の先端がガレージの奥に達した瞬間とが同時刻であり，やはりガレージに収まる．ただし，実際にこのようなことをすると車は圧縮されて大破してしまう．
これは，車の先端と後端に時計を固定しておくとわかりやすい．この 2 つの時計は，車に乗った人（車が静止している系）で同じ時刻を指しているとする．車の先端がガレージの奥に到達する瞬間に，先端の時計が時刻 t = 0 を指し示していることを，外に静止している人が観測したとす
れば，その時刻に後端の時計は先端の時計よりも進んでおり，時刻
√
0.75L
vL
(402)
=
2
c
c

第 18 章102を指し示している．すなわち，車の外に静止している人から見て，車が車庫に収まっているときにブレーキをかけよということは，車に乗っている人から見れば，車の先端がガレージの奥にあ√るときにまずブレーキをかけ，時刻 0.75L/c 後に，車の後端がガレージの入り口にあるときにブレーキをかけることを意味している．

18.8 温度上昇によって増加した鉄製の物体のエネルギーは，/ × 103 J
0.100 × 0.46 × 103 × (100 − 30) = 3.22
である．したがって，増加した質量 m は，

m=

6E
3.22 × 103== 3./5/7 × 10−14 kg
c2(3.00 × 108 )2となる．

18.9 (1) A の 3 元運動量を p [kg·m/s] とすると，B の 3 元運動量は −p である．A の速さはpp|p|c/ mA 2 c2 + p2 = 4c/5 より，mA c = 3|p|/4 を得る．同様に，B の速さは |p|c/ mB 2 c2 + p2 =3c/5 より，mB c = 4|p|/3 を得る．したがって，mA /mB = 9/16 を得る．
p(2) A の 3 元運動量を p [kg·m/s] とすると，B の 3 元運動量は −p である．A の速さは |pc|/ mA 2 c2 + p2 =p12c/13 より，mA c = 5|p|/12 を得る．同様に，B の速さは |p|/ mB 2 c4 + p2 c2 = 5c/13 より，mB c = 12|p|/5 を得る．したがって，mA /mB = 25/144 を得る．
18.10 π 中間子のエネルギーを Eπ0 [J]，光子のエネルギーを Eγ [J] とすれば，エネルギー保存
則は，Eπ0 = Eγ + Eγ = 2Eγと書ける．ここで，Eπ0 = mπ0 c2 = 135MeV であるから，光子のエネルギーは，

Eγ =

135
= 67.5 MeV = 67.5 × 1.60218 × 10−13 J = 1.08 × 10−11 J
2となり，運動量の大きさ p は以下のように求まる．

p=E
1.08 × 10−11== 3.60 × 10−20 kg · m/s
c
3.0 × 108(403)

18.11 (1) 公転半径の球面の面積を地球に到達する太陽光線のエネルギーに乗じて，
9
1.37 × 103 × 4π × (1.5 × 1011 )2 = 3.8/7/ × 1026 W

(404)

を得る．

(2) 光速の 2 乗で割ると質量になるから，
3.9 × 1026
/ × 1010 kg/s
= 0.433(3.0 × 108 )2
を得る．

(405)

103
(3) 太陽質量を (2) の値で割って，1 年は 3.16 × 107 s だから，
5
2.0 × 1030
= 1.4/6/ × 1013 年
10
70.433 × 10 × 3.16 × 10

(406)

を得る．
実際には，太陽の質量がすべてエネルギーに変換されるわけではない．太陽では，水素の原子核（陽子）4 個が 42 He に核融合することでエネルギー放出している．この反応では，およそ 0.7 %の質量が減少する．また，太陽の質量のおよそ 10%が，この反応に関わる中心部の水素だといわれている．
したがって，水素が燃え尽きるまでの時間は，およそ1.5 × 1013 × 0.10 × 0.007 = 1.0/ × 1010 年（100 億年）

(407)

となる．
それでは，太陽が中心部の水素を使い果たして，すべてヘリウムの原子核になってしまうとどうなるのだろうか．ヘリウムの原子核が増えると，中心部は自己の重力に耐えられなくなり収縮していく．そうすると重力エネルギーが熱となって放出され，外層部の水素の核融合が加速する．さらに重力による収縮を上回ると，外層部は膨張し始める．膨張につれて，太陽の表面温度は低下していき赤色巨星となる．その頃には，人類はどうなっているのだろ
うか．

104

第 19 章問題 19.1 静止していた電気量 1.602 × 10−19 C の電荷を，一様な電場のもとで加速する場合を考える．初めの位置と，そこから距離 d だけ離れた位置の電位差を 1 V とすると，電荷が電場から受ける力の大きさは F = qV /d = 1.602 × 10−19 /d CV/m であるから，電荷が得る運動エネル
ギーは，E = F d = 1.602 × 10−19 /d CV/m × d = 1.602 × 10−19 CV = 1.602 × 10−19 J である．
したがって，1 eV= 1.602 × 10−19 J となる．
問題 19.2 これは人智を超えるとしかいいようがない．そもそも波とか粒子とかは，日常の経験から，人間が認識，区別している概念であり，自然はそんな人間の概念などはあずかり知らない．
問題 19.3 原子の周りのすべての電子は，基底状態に落ち込んでしまう（原子半径は重い原子ほど小さくなる）．さらに，原子と原子が近づくと爆発的に反応して，より大きな塊になるということであり，とても現在のような自然にはならない．
問題 19.4 中性子の数が偶数であること．陽子，中性子，電子はすべてフェルミ粒子であり，原子がボース粒子として振る舞うためには，全体として偶数個でなければならない．中性原子では，陽子と電子は同数で，合計は偶数個である．よって，中性子の数は偶数でなければならない．
問題 19.5 (f )(f )(f )( )，(f )(f )( )(f )，(f )( )(f )(f )，( )(f )(f )(f ) の 4 種類．
問題 19.6 重い質量のアルファ粒子が大角度に散乱されるということは，それより重いものが，標的の中に含まれていることを意味する．また，それが稀にしか起こらないということは，その大きさが非常に小さいことを意味する．
金は金箔として均一に非常に薄くでき，アルファ粒子が何度も散乱することを防いでくれる．
問題 19.7 波長を λ として，E3 − E2 = hc/λ から計算する．E1 = −2.18 × 10−18 J だから

λ=hc
6.626 × 10−34 × 2.998 × 108/ × 10−7 m
 = 6.560=
1
1
E3 − E2
2.18 × 10−18 ×
−
4 9

(408)

となる．約 656 nm である．
問題 19.8 n = 1 として，数値を代入する．

rボーア =

ε0 h2
8.854 × 10−12 × (6.626 × 10−34 )2=≃ 5.3 × 10−11 mπe2 m
π(1.602 × 10−19 )2 × 9.109 × 10−31

(409)

105
エネルギーは eV 単位なので，1.602 × 10−19 J で割って

me4
8ε0 2 h2 × 1.602 × 10−19
9.109 × 10−31 × (1.602 × 10−19 )4=−
8 × (8.854 × 10−12 )2 × (6.626 × 10−34 )2 × 1.602 × 10−19

E基底 = −

≃ −13.6 eV

(410)

を得る．
問題 19.9 (19.12) より，半径は電荷の 2 乗に反比例するが，一方が e，他方が Ze として利くから，Z −1 倍になる．(19.13) とこの考察により，エネルギーは Ze の 2 乗に比例するから，Z 2 倍になる．
問題 19.10 陽子は中性子に崩壊して，軽水素（1 H）原子が存在できない．中性子は安定なので，危険な中性子が飛び交っていて，恐らく生物は誕生しなかったであろう．
（陽子と中性子が結びつ2いた重水素原子（ H）は存在できるが，存在はわずかと思われる．したがって水（H2 O）もほとんどない．
）
問題 19.11 235 g（1 mol）の 235 U からの質量差が 0.96 mg なので，1 g の 235 U からは 0.96 ×
10−6 kg/235 の質量差となる．これに c2 を掛けると，次の生成エネルギーを得る．
（エネルギー）=

7
0.96 × 10−6× (3.0 × 108 )2 = 3.6/7/ × 108 J
235

(411)

章末問題 1919.1 D1 ，D2 それぞれのエネルギーは，
3hc
6.6261 × 10−34 × 2.9979 × 108== 3.3691 × 10−19 J = 2.102/8/ eV−9λ589.6 × 10
5hc
6.6261 × 10−34 × 2.9979 × 108−19/4/9 eVD2 :==3.3725
×
10
J
=
2.10
λ
589.0 × 10−9

D1 :

(412)
(413)

であるから，2 つの状態のエネルギー差は∆E = 2.1049 − 2.1028 = 0.0021/ eV

(414)

となる．
ナトリウムは，ナトリウム内の電子が，3p とよばれる状態から，3s の状態へ移ったときに光を放出する．3p 状態は異なるエネルギーの 2 種類があり，この 2 つの 3p 状態のエネルギー差が上で求めた ∆E に相当する．

19.2 (1) (b1 b2 b3 )( )，(b1 b2 )(b3 )，(b1 b3 )(b2 )，(b2 b3 )(b1 )，(b1 )(b2 b3 )，(b2 )(b1 b3 ),(b3 )(b1 b2 ), ( )(b1 b2 b3 ) の 8 種類．

第 19 章106(2) (bbb)( )，(bb)(b)，(b)(bb)，( )(bbb) の 4 種類．
(3) (bbf )( )，(bf )(b)，(f )(bb)，(bb)(f )，(b)(bf )，( )(bbf ) の 6 種類．
(4) (f b)(f )，(f )(f b) の 2 種類．

19.3 (1) 基底状態のエネルギーは −13.6 eV なので，これを電離するのに必要なエネルギーは
13.6 eV（ = 2.18 × 10−18 J）以上である．
(2)
me4
El − Ek =8ε0 2 h211−
k 2 l2

(415)である．したがって，

R=

me4
9.109 × 10−31 × (1.602 × 10−19 )4=
8ε0 2 h3 c8(8.854 × 10−12 )2 × (6.626 × 10−34 )3 × 2.998 × 108= 1.097 × 107 m−1

(416)

を得る．

19.4 (19.12) から，ボーア半径は質量に反比例することがわかる．よって，電子とミューオンの質量をそれぞれ me [kg]，mµ [kg] とすると，
rµ =

me
1
≃ 4.838 × 10−3
=
mµ
206.7

(417)

となり，4.838 × 10−3 倍となる．
ミューオンを標的に当てて，原子核に束縛された状態ができると，ミューオンは原子核に近い位置に存在することから，原子核の電荷分布の影響を強く受ける．それゆえ，原子核の電気的な性質を調べるためにミューオンを用いる方法がある．また，重水素の電子をミューオンにおきかえて，
原子内の核間距離を縮めることで，核融合反応率を高めるミューオン触媒核融合の研究もされているが，現状では，入力エネルギーを超える出力エネルギーを得られる段階には至っていない．

19.5 (1) (19.19) の両辺を ∆t で割り，∆t → 0 の極限を取れば，次の微分方程式が得られる．
N (t)dN (t)
=−
dt
τ

(418)

この微分方程式を t について 0 から t まで積分すると，(19.20) が得られる．

(2) 寿命（崩壊するまでの時間）の平均値を求める式は次式である．
Z ∞tN (t)dt（平均寿命）= Z0 ∞N (t)dt
0

(419)

107
これに (19.22) を代入して計算を行えば，
Z ∞tN (0) exp(−t/τ )dt（平均寿命）= Z0 ∞N (0) exp(−t/τ )dt
0∞−tτ exp(−t/τ ) − τ 2 exp(−t/τ ) 0=τ=[−τ exp(−t/τ )]∞
0

(420)

となる．

(3) 半減期 T はN (T )1T= = exp −
N (0)
2
τ

(421)

より求めることができる．これを変形すれば，T と τ の関係

T = τ ln 2 ≃ 0.693τ

(422)

を得る．

19.6 半減期の定義により，
1.2 × 10−12
×0.99

  10000
1 5730= 3.63/ × 10−13
2

(423)

となる．

19.7 水 1 mol の質量は 18 g である．物質と反物質が消滅してエネルギーが発生するので，質量に光速の 2 乗（c2 ）を掛けるとそのエネルギーが求まる．これを燃焼エネルギーで割って，
50.018 × (3.0 × 108 )2 J=
6.
4/8/ × 109
2.5 × 105 J(424)を得る．約 65 億倍となる．

19.8 両辺で質量数，原子番号の和が等しいことから求める．
(1) 189 F(2) 10 n（中性子）19.9 1 回の α 崩壊ごとに質量数が 4，原子番号が 2 だけ減り，1 回の β 崩壊ごとに原子番号が 1だけ増える．(質量数, 原子番号) = (A1 , Z1 ) の原子核が，α を nα 回，β を nβ 回行って (A2 , Z2 ) の原子核になったとすると，
A1 − A2 = 4nα ,が成り立つ．これらより次を得る．

(1) α :8，β :6(2) α :7，β :4(3) α :6，β :4Z1 − Z2 = 2nα − nβ(425)