形の不思議
サイエンスカフェ in 静岡

第８１話 静岡大学理学研究科 佐藤 信一

講演内容（前半） フラクタル
Ｉ 自然界のさまざまなパターンと３つのキーワード(1)自己相似性 (2) 非平衡 (3)拡散ＩＩ 樹枝状パターンと雪の結晶（後半） 反応拡散系
ＩＩＩ 貝殻の模様
ＩV 熱帯魚の模様を巡る話

（１）自然界の自己相似構造
雲雷地形
雪の結晶

フラクタル （＝自己相似構造）
Benoit B. Mandelbrot
数学者,フラクタル幾何学の創始者（１９２４年～2010年）

フラクタルの生みの親
マンデルブロー

海岸線や放電パターンなどは滑らかな線ではなく, 細かく見れば 見るほど凸凹や枝分かれが見えてくる。自己相似なパターンに対してフラクタルという言葉を考案し,非整数次元で表した。フラクタルは, 数学, 物理学はもとより経済学, 生物学など広い分野で応用された。

マンデルブローが考えた自己相似集合

非整数次元フラクタル次元曲線を小さい円（または箱）で覆う。そのときに必要な円の個数を数えてフラクタル次元を求める。
求めた次元の値が2に近いほど, 平面を埋め尽くすように複雑に入り組んだ曲線になる

若狭湾の海岸線 1.35次元

コッホ曲線 1.26次元

ペアノ曲線 2次元

形の物理学：日本のパイオニア
寺田寅彦（1878年～1935年）
物理学者, 随筆家, 俳人。
物理学の多くの分野で活躍し, 夏目漱石とも親交が深かった。金平糖の角やひび割れの形などにも着目した「形の物理学」の先駆的研究者。「天災は忘れた頃にやってくる」は寺田寅彦の言葉とされている。

中谷宇吉郎 （1900年～1962年）
物理学者。
雪の結晶の研究を行い, 結晶の詳細な相図（中谷ダイアグラム）の作成,低温実験室で人口雪の作成に成功。随筆家としても知られ, 「雪は天から送られた手紙である」の言葉を残した。

（２）自然の多様性を生む非平衡
平衡状態
外界

熱エネルギーや物質の流れがつり合った状態

非平衡（＝平衡でない）
常に熱や物質の流れがある系
多様な構造をもつ世界非平衡系の例：熱対流

内部

低温
熱いものは冷め, 冷たいものは温められる。
熱や物質の出入りがつり合って,一様な状態へ流れがゼロの一様な世界

熱流

液体
高温散逸構造地球は大きな非平衡系
地球に多様な構造, 生命活動があるのは, 非平衡系だからこそ太陽太陽エネルギー地球
太陽エネルギーがなくなると・・・
分子が一様に混ざり合った,生命のない荒涼とした世界に（エントロピー増大の法則）

結晶成長は典型的な非平衡系
雪の結晶（空気中の水蒸気が固化した氷の結晶）

結晶の形を決める要因
空気中の結晶表面の反応
水分子の拡散 +水蒸気
出典：Snowflakes and crystals
http://www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals/

（３） 拡散とは？
1粒子のランダム・ウォーク

平面上で, 原点から5000個の粒子を10000ステップだけランダム・ウォークをさせたときの粒子位置の分布
yx

粒子の軌跡

拡散 ＝ 多数の粒子のランダム・ウォーク

ＩＩ 樹枝状パターンと雪の結晶結晶成長の単純化

遠方から粒子をランダム・ウォークさせる○結晶は粒子の集まり○粒子を1個づつランダム・ウォーク（拡散粒子の分布の時間変化が無視できる）○結晶表面に粒子が達すれば、すぐに付着拡散に支配された凝集モデル
Diffusion Limited Aggregation (DLA)
by T. A. Witten and L. M. Sander (1981)

粒子の集まり（クラスター）

計算機によるＤＬＡパターン
20000粒子のパターン

電気との類似性粒子が付着する確率 ⇔ 電気力（同じ式で表される）

特徴○先端に粒子が達する確率が大きい⇔ 先端に電気力が集中○枝に囲まれると成長しない⇔ 金属に囲まれると電気力を受けない（しゃへい効果）

自然物のＤＬＡパターン
静岡駅前地下広場のエレベーターのまわりの床タイルの模様はＤＬＡ？
金属葉（硫酸亜鉛溶液の電析）
放電パターン
寒天上で成長するバクテリア・コロニー
しのぶ石など自然界にはＤＬＡ的パターンが数多く見受けられる。
身の周りを探せば, 静岡駅前のエレベーターの床にもＤＬＡ的パターンが・・・しのぶ石

雪の結晶
表面の分子が受ける力

表面張力

表面張力は、結晶の枝の太さ と 異方性 に影響する方向によって作用する力が異なる性質
氷の結晶の分子模型

水素原子
水分子 Ｈ２Ｏ分子の間に働く引力
表面の分子と内部の分子では、作用する力が異なる。

酸素原子枝が成長しやすい６つの方向がある異方性を取り入れた成長（ＤＬＡ＋異方性）
成長する方向

弱い異方性

強い異方性

異方性+多数の粒子が同時に拡散

[後半] 反応拡散系
貝殻と熱帯魚の模様を巡る話

生物の模様：空間的に分布した色素細胞（要素）の集団
要素間の相互作用によってパターンを形成
反応拡散系

パターンを再現する強力な手段⎛ 個々の要素 ⎞ ⎛ 拡散の ⎞⎟⎟ + ⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎝ の反応 ⎠ ⎝ 効果 ⎠拡散の効果？

拡散とは？ その２
拡散する粒子の密度(物質の濃度)の変化を表す式 （拡散方程式）（密度の時間変化）＝（定数）×（分布の凹凸の鋭さ）
分布が下に凸（鋭さ正）分布が上に凸(鋭さ負)拡散は濃度や密度の分布を一様にする効果をもつ

拡散的な相互作用
密度 小周りの色によって, 多数決で自分の色を決める

密度 大周りと同じになろうとする作用
赤と白がランダム赤と白のグループを形成ＩＩＩ 貝殻の模様

巻貝の三角形パターン

タガヤサンミナシ
巻貝（イモ貝）の1種
貝殻の成長面三角形パターンを作る
細胞,個部屋

自動機械

その１

時間

セル・オートマトン

三つのマスの色に応じて, 次の時間ステップのマスの色を決める。

空間

三角形パターンを作る

その２

拡散的に結合した振動子の集団運動
回転運動
y⇔

振動y

時間

θxt

半径
⇔ 振幅
回転角 ⇔ 位相空間
一様になろうとする効果によって,部分的に振動がそろう領域ができる。

拡散的に結合した振動子が作るパターン

時間

１次元

2次元

三角形パターンを作る その３
同じ式で係数を変えると反応拡散系

時間

ブランデー貝ＩＶ 熱帯魚の模様を巡る話
体表の模様は, 体内からの物質の供給で形成, 維持される非平衡系
多様な模様はどのように形成される？

反応拡散系によるパターン
自発的に生じる空間パターン（グレイ - スコット モデル）

⎛ AとBの濃度 ⎞ ⎛ AとBの⎞⎜⎜⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟ + (拡散効果)⎝の時間変化 ⎠ ⎝ 反応 ⎠係数を変えると斑点模様から縞模様へパターンができる典型的な仕組み
活性 - 抑制因子モデル (Activator-Inhibitor model)

物質 Ａ ： 活性因子
反応を活性化（自己増殖反応）

初期状態：ランダムなゆらぎ
濃度物質 Ｂ ： 抑制因子
Ａの増加を抑える働き

Ａ ゆっくり拡散Ｂ 速く拡散

Ａの濃度

Ｂの濃度

空間

チューリング・パターン
アラン・チューリング （Alan Mathison Turing ）イギリスの数学者,計算機科学者(1912年～1954年)
人口知能の父とも言われ, 計算機におけるアルゴリズムの概念を確立, チューリング・テスト, チューリング・マシンなどチューリングの名前を冠した重要な概念を提唱した。第二次世界大戦中,ドイツ海軍の暗号エニグマの解読に貢献したことも知られている。
195２年に数理物理学の形態形成に関する論文を発表,反応拡散系で自発的に生じるパターン（チューリング・パターン）の存在を示した。

最後にパターンを得るために使った数式
樹枝状パターン（拡散方程式）∂φ= D∇ 2φ∂t

チューリング・パターン：2次元反応拡散系（グレイースコット モデル）
⎧ ∂A22⎪ ∂t = − AB + a (1 − A) + D1∇ A,⎨ ∂B⎪= AB 2 + (a + b) B + D2∇ 2 B,
⎩ ∂t

振動子の拡散結合系（複素ギンツブルグーランダウ方程式）∂W= μW − λW | W |2 + D∇ 2W∂t

貝殻の模様（1次元反応拡散系）⎧ ∂a⎞⎛ a22⎟b= sb⎜⎜+⎪a ⎟ − ra a + Da ∇ a2⎠
⎝1+ a⎪ ∂t⎪ ∂b⎞⎛ a2+ ba ⎟⎟ − rb b + Db ∇ 2b⎪⎪ = (1 + sb c ) p ( x) − sb⎜⎜
2⎠
⎝1+ a
⎨ ∂t
2a c + bc⎪ ∂c2⎪ ∂t = rc s + d − rc c + Dc ∇ cd⎪d∂⎪= rc a c 2 + bc − rd d + Dd ∇ 2 d⎪⎩ ∂t()()

From “The algorithmic beauty of sea shells”
by Hans Meinhardt (Springer, 1995)