数理解析研究所講究録924 巻 1995 年 164-187

164

Prehomogeneous Vector Spaces over Finite Fields$\mathrm{A}1\mathfrak{i}$I HIKO$\mathrm{G}\mathrm{Y}^{r}\mathrm{O}.$]A\S 0. Introduction.
Let

neously on V’(resp.

$V^{}$

be a complex reductive group which acts linearly and$C_{7}$$l^{r}$,$=\mathbb{C}^{n},$) suchthe dual space, and$\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{l}11(\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}[\mathrm{t},1\tau \mathrm{e}\mathrm{o}\Gamma \mathrm{e}\ln$spaces due to M.Sato says$f^{}$

is) a relative inva$\mathrm{a}1\supset \mathrm{s}^{r}\mathrm{o}1\mathfrak{U}\mathrm{t}_{}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{y}\zeta_{\tau^{\eta}}$of t,he theory ofoge-$\mathrm{r}\mathrm{c}\mathfrak{l}\mathrm{l}\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}$on$\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathfrak{l}1\mathrm{t}_{}$-invaria$\mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{t}$$1^{)\mathrm{r}\mathrm{e}1\mathfrak{l}\mathrm{n}\mathrm{o}}1\mathrm{O}\mathrm{g}(\mathrm{Y}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}1‘ \mathrm{b}^{}$,$l^{\mathit{1}}$.
vector$\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}$(Fourier t,ransform of(1)$s\in \mathbb{C}$(resp.

$\mathrm{t}_{1}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{t}.f(1’)f^{\mathrm{v}\mathrm{v}_{)}}(\tau’((\tau" v^{\vee}\mathrm{I}\in V\cross|^{\prime\vee}’)$Roughly, the

for

$f$

)

$1$

, with some factor$(^{*})$$f^{\mathrm{q}}$. One of

) $=(f^{})^{-9}\cross(^{*})$$\mathrm{t},1\mathrm{l}\mathrm{e}$

main

)

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{s}$

$1$

is to

$\mathfrak{c}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f},\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}$$(’\backslash 1\backslash )$explicitly.

In this note, we consider an analogue of (1) over a
we give a closed$\ulcorner\Gamma \mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{s}$has been$\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}$for$(^{*})$of (1) in the$\mathrm{F}_{q}$$\mathrm{f}\mathrm{i}11\mathrm{i}\mathrm{t}_{}\mathrm{e}$fiel-case assulnil]g charwork was started as a joint work with N.Kawanaka$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{P}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathfrak{c}1$

recently (in 1991) as a joint, work with$\mathrm{J}.\Gamma$)$\mathrm{d}\mathrm{F}_{q}$.

$\mathrm{F}_{{}^{t}l}^{\mathrm{j}}\gg 0$$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\ln \mathfrak{c}|$$\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{f}$,$\mathrm{P}_{r}.\mathrm{q}1^{)\prime}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{y}$.

1981, and.

\S 1. Review of preholnogeneous vector spaces.
$\mathrm{I}_{\lrcorner}\mathrm{e}\mathrm{t}G$$\rho$

be a linear algebraic: $Garrow GL(V)$ a fillite)$\mathrm{g}_{\Gamma \mathrm{O}\iota 1}1$over an algebraically closecl fielrl$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}.\mathrm{i}’ \mathrm{i}o1\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}_{\uparrow}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathfrak{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{e}_{1^{)\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{n}}}\mathrm{t},\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}$

.

, and

$\mathrm{F}^{\urcorner}\mathrm{o}\mathrm{r}\phi\in \mathrm{H}_{011}1((^{\mathrm{t}}\iota, l\cdot \mathrm{x})$put$k[V]\psi:=\{f\in k[\mathrm{t}/’\cdot]|.f.(g\mathrm{c}))=\emptyset(g)f(v)\}$$l\cdot$

.

,

165

$Tllcf()llo$ wing

1.1. Lelnma.

(1) There cxists an opcn
(2) For a nv$\Lambda 4$$\mathrm{t}\mathrm{r}.\deg_{k}k(\iota)^{G}=0$(4)$k(\iota^{r},)^{C,}’=\mathrm{x}\cdot$

oreover, in this(2)$\Rightarrow(^{\underline{)}})(^{\mathrm{t}}\mathrm{f}-$Then it is easy to see t,hat

The

$k$

that
$f_{\mathrm{I}},$$\ulcorner \mathrm{I}^{\eta}$’ for somefollows$t\gamma \mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{e}\Gamma \mathrm{f}_{}\mathrm{i}o\mathrm{n}$

to

polyn

$1\mathrm{O}lt1i\partial$].

. Kimura ill the same volt$f_{2}\in \mathrm{A}\cdot[l’\gamma]‘$$\Leftrightarrow(l)$$\mathrm{f}_{\Gamma \mathrm{O}1}1$)$l\cdot[l’,]_{\phi}$).

$\zeta^{}$$f_{\mathrm{J}},$$f\sim)\in k[V]$Hence dilll$\iota \mathrm{n}\urcorner \mathrm{C}$

ancl

.

$(.f_{1}.f_{2})=\lfloor$$kl\cdot[]/^{r}]\mathrm{C}’\geq 2$

.

.

.

$[\mathrm{R}, r\mathrm{I}^{\gamma}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}2]$.

$((_{-}^{1}!\mathrm{f}.

, it is a constant[\mathrm{G}].)$$\mathrm{m}\iota\iota 1\mathrm{t}\dot{|}1^{)}1\mathrm{e}$

of

$f$

and

.

1.2. Definition. If t,he$\rho^{}$.

$l_{1(\mathrm{m}(}\mathrm{g}eneo\mathit{1}I.9$$f_{1}/f_{2}\in k(V)^{G}\backslash \mathrm{A}\cdot,$$f(c?\cdot)(c\in l^{\cross})|)\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{s}$$l)r\epsilon/?\mathit{0}1\mathit{0}\zeta/\epsilon?lCou.\mathrm{s}?\backslash ecto\mathrm{c}\Gamma$a. t,he lecture ofis algebraically closed, (3)hence we get the last,Let$\sigma 1i\iota 11\mathrm{A}\cdot k[]’,]\emptyset\leq 1$.

$\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}^{1\mathrm{i}\mathrm{c}\partial}\mathrm{t}\mathrm{i}_{01}1(\rfloor)\Rightarrow(1)$

Since

.

$\Gamma e1l\mathit{1}\mathrm{t}tJ1’ \mathrm{a}ll_{Yq_{1}\backslash lc’?}e\ddagger i1^{\prime \mathrm{a}}-.\dagger$in V.

$\mathrm{C}^{\tau}\mathrm{V}e\mathrm{r}*1’f\in \mathrm{A}\cdot[\mathrm{t}’,]_{\phi}i.\mathrm{s}$$\Rightarrow(4)\Lambda \mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{l}\iota\ln e$

Since

ditions a.

$(^{\neg},\partial_{\eta}\mathrm{s}e,$

Proof. (1)) $l1$$(_{-O}^{\mathrm{t}},rl)\mathrm{i}t2$$\phi\in \mathrm{H}o\ln((’,, \mathrm{A}\cdot \mathrm{X}),$(3)$c,\mathrm{c}$)$\mathrm{a}1-$$\mathrm{O}\backslash ^{\mathrm{v}}\mathrm{e}$condit,$\mathrm{i}_{011}\mathrm{S}$are$\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}_{}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathfrak{c}$],$(G, \rho, \mathrm{t}’,)$

is called$a$spacr..

: $Garrow GL(l, )$ be t,he dual of .
$\rho$

1.3.

Lenima. Ass$\iota\iota t71etl1\partial t_{7}tl\uparrow\epsilon:c- n\mathrm{l}od\iota Ilel\cdot[\mathrm{f}^{\gamma}/]$is$\mathrm{c}\mathrm{o}\iota 7\uparrow l$)]$\mathrm{e}t\mathrm{e}lv|\mathrm{e}d$ucible.

Then(1) $k[V^{}]$ is also complctely reclucib le,(2)$\dim h\cdot[\mathrm{T}^{\gamma}f]\phi=\mathrm{d}\mathrm{i}_{113}\iota\cdot[\iota,’]\varphi’-1$(3) if (G. .

$\mathrm{t},$$\rho$

prehomogen $eo$ us) is a prehomogen)$1^{\gamma}eC\mathrm{f}_{\mathit{0}\Gamma_{r}\mathrm{q}}l$

Proof. , ince$\partial$$\mathrm{A}\cdot[\mathrm{t}^{\gamma\vee},/]$$\supset$, we get (1)1.4. Hellc$\partial 11\mathrm{d}(2)$$G\mathrm{f}\mathrm{Q}1^{\cdot}\mathrm{t}_{}11$$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{v}\phi$$e\mathrm{o}n‘ \mathrm{s}$, andvector spa ce,$tl_{l}e\mathrm{n}(G, \rho^{\mathrm{v}.\vee}\prime l/)’$is also ace.

($k[V]_{\phi})$for(resl).

$l\cdot[|’,]\phi^{-}\mathrm{J}$) is t,he$\mathrm{d}_{11}\mathrm{a}1G$. Then (3) follows from (1.1).

, we assume t,he following.

-module of$\mathrm{A}\cdot[1^{:}](\mathrm{r}\mathrm{e}.\mathrm{q}1^{)}\cdot$

166

Assumptions.
(1) base field(2)(3)$=\mathbb{C}$.

$G=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{f},\mathrm{i}\mathrm{V}e$.

$(G,\rho, \mathrm{t}^{7},)=1^{)\mathrm{r}(^{\tau \mathrm{h}_{0}\mathrm{t}1\mathrm{l}}}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}11\mathrm{e}\mathrm{o}11‘ \mathrm{q}$vector$\mathrm{s}_{1}\supset \mathrm{a}\mathrm{c}(\}$.

Notations etc.

prehomogeneous vector spaces(4)(5)$V=\mathbb{C}^{7}$’$V^{}=\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{l}$(6)$\langle$$\rangle$:$\mathrm{t}/^{\mathrm{v}}\mathrm{x}$space|ノ\mbox{\boldmath $\gam a$}\rightar ow C)$\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{l}},\mathrm{g}$$1$(7) $\rho:Garrow GL(1^{r}’)$(8)$\rho^{\vee}:$(9)$(G, \rho^{\vee,\nu\prime \mathrm{v}})=1^{)\Gamma \mathrm{e}}\mathrm{h}\mathrm{o}\Pi\log_{\mathrm{C}1}1\mathrm{e}\mathrm{o}11\mathrm{s}$$Garrow GL(\iota^{J})$vector space by (1..3, (3)).

relative invariant(10)$f\in \mathbb{C}[V],$(11)$f^{}\in \mathbb{C}[|’.\mathrm{v}],$is guaranteed by 1.3,$($$.f\cdot(cj\mathrm{t}’)=\emptyset^{r}(g)f(7’ \mathrm{I}(g\in G, \iota’\in V)$$f(g?’)=\phi(g)^{-}1f\mathrm{v}(\uparrow’\vee)(j’\in G, \tau^{}’\in V^{\vee})(^{r_{1^{1}]_{1\mathrm{c}}}}\mathrm{e}\mathrm{X}\mathrm{i}\mathrm{s}\uparrow\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{e}$$(^{\underline{y}}‘)).$

)

(12)

$\Omega:=\iota^{r},\backslash f-1(0)$(13)$\Omega^{\mathrm{v}_{:=}\vee}|’’\backslash .f^{\vee 1}-(0)$(14)$O1\subset \mathrm{J}l$(15)$O_{1}^{\vee}\subset\Omega^{}$(16)$F:=\mathrm{g}r\mathrm{a}\mathrm{d}\log f,$(17)$F^{\vee}:=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\log f^{\mathrm{v}},$(18)$m:=\mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{l}}\mathrm{n}O_{1}=\dim O_{1}^{\vee}$(19)$d:=\deg f=C1\mathrm{e}\mathrm{g}.f^{\mathrm{v}}$(20)$n:=\mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{l}}\mathrm{n}V=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\tau\iota,-\vee$: unique closed$(_{r’}^{-}$: unique closed-orbit$\zeta_{l}^{\mathrm{t}}$-orbit$(F’(\zeta\iota)=O_{1}\vee)$$(f^{i^{1}}(\Omega^{\mathrm{v}})=O_{1})$

.
,

,

167

b-function(21)$.f^{\vee}(\mathrm{g}\iota\cdot \mathrm{a}\mathfrak{c}1_{x}).f.(.\gamma)9+1=l)(.\mathrm{s}).f\cdot(.r)^{9}$(22)$f(\mathrm{g}\mathrm{r}i\mathrm{i}\mathrm{d}_{y})f\mathrm{v}(y)^{9}+1=b(s).f^{\mathrm{v}}(y)^{s}$(23) $b(s)=b0^{\prod}j=1(\mathrm{q}+(\supset jd.),$(24)$(b_{\mathrm{t}}\mathrm{l}\in \mathbb{C}^{\cross}, 0_{j}’\in \mathbb{Q}_{>0})$$b^{\exp}(f):= \prod_{jj\geq 1(}^{d\underline{\prime}_{\Gamma 1}}=1(t-’\sqrt{-1}t\iota_{\mathrm{J}})=\prod t^{j}-])^{e1}j),$$(c(j)\in \mathbb{Z})$finite field(25) char
(26)
(27)

(28)

$\mathrm{F}_{q}=l$)(32)$\not\equiv|$$\backslash \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{I}=\mathrm{x}\mathbb{C}\cross)q$’.

$G( \backslash , ?^{l}i’)=\sum_{x\in}\mathrm{F}^{\cross}q\backslash (X)\psi’(_{\Gamma)}$$r_{\mathrm{I}^{1}11(\iota \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}111}$

B.

$r:= \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{j|\langle y_{j}\in \mathbb{Z}\}=\sum_{j\geq 1}\epsilon(j)$(30) $r():=$ rank

(31)

.

$?\mathit{1}’\in \mathrm{H}\mathrm{o}1\urcorner 1(\mathrm{F}\mathbb{C}^{\mathrm{x}}q’)$

rank: notation for(29)$\gg 0$$s():=\mathrm{s}_{1^{)}}1\mathrm{i}\mathrm{t}i$$=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}11\mathrm{S}\mathrm{i}_{01)}$rank$r(\mathrm{c}^{\mathrm{v}}’):=\uparrow\cdot(G)-?’(C’,\mathrm{t}’\vee)$

.

(34)

$s(1^{\rangle}\mathrm{v}):=B(G)-s(c_{\mathrm{t}},\mathrm{v})$

.

(35)

(36)

$\mathrm{F}q\neq‘ 2$) :$11\mathrm{O}\mathrm{t}_{1}\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{o}\mathfrak{l}1$$\backslash 1/2\in \mathrm{H}_{0111(}[=‘ \mathrm{x}, \mathbb{C}l\mathrm{x}),$$\neq 1,$,$/_{7(\iota)}^{\mathrm{v}})=\mathrm{d}\mathrm{i}^{\mathrm{c}}\subseteq\dagger \mathrm{C}\Gamma \mathrm{i}\mathrm{n}\gamma \mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathfrak{l}\mathrm{l}\mathrm{t}$(For a$0,$$\ldots,$ $a_{m},$$\cdots,$(37)$\cdot$$\mathrm{s}\mathrm{y}11111\urcorner e\mathrm{t}_{1’},\mathrm{i}\mathrm{C}$ofmat,rix,’l, (($0).)$$(m+\uparrow\cdot)/\underline{\cdot)}\in \mathbb{Z}$of a lnaximal split, t,orus.

at, $\iota^{}’\in V^{\vee=}([)q\cdot$(33)

quadratic form (chalof a maximal torus.

$=\mathrm{d}\mathrm{i}_{111}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{o}11$$c_{\tau_{8},\vee}=\mathrm{i}_{\mathrm{S}\mathrm{O}}\mathrm{t}_{}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{g}ro111)$.

for$\ulcorner\Gamma \mathrm{t}_{1eo\mathrm{r}}\mathrm{e}\mathrm{m}c$$(\backslash 1/\cdot\sim))^{2}=1$(.
lnbol)$\mathrm{I}\lrcorner \mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\zeta \mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{S}.\mathrm{v}$$( \frac{\partial^{9}\sim\log\int\vee}{dy_{i}\partial\tau/},(1^{\vee}’))(\iota^{}’\in O_{1}^{\vee}(\mathrm{F}_{q}))$$|\mathrm{i}_{\mathrm{S}\mathrm{C}}1^{\cdot}\mathrm{i}_{\mathrm{I}\mathrm{n}}\mathrm{i}_{1}1\mathrm{a}\mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{t}$

of )
$A$

$= \prod_{i=1}^{m}a_{i}$if$A\sim(\mathrm{d}\mathrm{i}’\gamma \mathrm{g}(C\ell_{1},$$\cdot$168\S 2. Main.

$\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{S}$Theorem Al.

$\sum$$q^{-n}$$\Lambda.\mathrm{q}_{L}\mathrm{s}\mathrm{I}\iota[1]C$tllat,$\mathrm{C}\iota 1t\urcorner \mathrm{r}(\mathrm{p}_{q})\gg 0$. Then$\chi(f(\tau’ \mathrm{I})?/^{\mathit{1}}’(\langle\iota’\uparrow\vee.’\rangle)$$\mathrm{z}\}\in\Omega\langle \mathrm{F}_{q})$.

$q^{-m/2}j \geq\prod_{1}(\frac{G^{l}(\backslash ^{j}\backslash \mathrm{V}’)}{\sqrt{c_{\mathit{1}}}})^{\langle}\cdot\iota\epsilon j)(\frac{b_{0}f\mathrm{v}(_{\mathit{1}}))\vee-1}{\prod_{j\geq 1}(j^{j})^{e\langle}j)})$$\kappa^{\vee}(_{l^{)}}\vee)$if$\iota^{\mathrm{v}_{\in \mathit{0}_{1}}\vee}’(\mathrm{p})q$if$\tau^{}’\in(\Omega^{\vee}\backslash \mathrm{O}_{1})(\mathrm{F}_{q})$

$=\{$
$0$

where

$r_{\backslash }\cdot(\mathrm{v}\tau’)\vee=\pm 1d\mathrm{r}’ p$

Theorem A2.

ends $om^{}’/$$\mathit{1}\mathrm{t},\mathrm{s}S’?\mathrm{l}\mathrm{e}$)$1lt_{\mathrm{J}}$

that

not

$\mathit{0}\iota\iota\backslash \cdot$$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{t}\cdot(\mathrm{F})q\gg 0$.

$’\tau l1$

en 1$q^{-m} \sum_{91}\mathrm{Y}(\backslash f^{\vee}.(v^{\vee}))?)\in\vee \mathit{0}\vee \mathrm{t}\mathrm{I}=)\uparrow \mathit{1}^{\mathit{4}}’(\langle?’\iota \mathrm{v},)\rangle)$$=q^{-m/\cdot)} \sim j\geq\prod_{\mathrm{J}}(\frac{(_{\tau^{\mathrm{t}}(\backslash ^{j\prime}},?_{f}’)}{\sqrt{q}})^{c\langle j})$for$v\in\Omega(\mathrm{F}_{q}),$$wit_{\iota}l1\mathrm{A}^{\vee}.t_{l}ll\rho$Theorem B.

sa me

.

$\mathrm{Y}(\frac{l)\mathrm{o}f(\uparrow))^{-1}}{\prod_{j\geq 1}(j^{j})^{e\mathrm{t}j})})\cdot \mathrm{A}^{\vee}.(F’(?’))$$r\gamma_{\mathrm{L}}\mathrm{b}^{\neg}\mathrm{i}_{1},Tl1\mathrm{C}()re,\mathrm{n}l$A 1.

$\mathrm{t}_{t}\mathrm{S}s\iota \mathit{1}111c\mathrm{t}|l1_{t}?t\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(\mathrm{F}_{q})\gg 0$. Then$f\mathfrak{i}^{}(\mathrm{c}^{\vee\langle v^{\mathrm{v}_{)}\vee}}’)=(-1)^{r}-\mathrm{q}\mathrm{t}\iota))$for$\mathrm{c}^{\vee}’\in o_{1}^{\mathrm{v}}(\mathrm{F}_{q}\mathrm{I}\cdot$

Theorem C. Assume th a$t\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{t}\cdot(\mathrm{F}^{;})q\gg 0$. Then$\kappa^{\vee}(\tau^{\mathrm{v}}’ \mathrm{I}=\backslash 1/2((-])^{\mathrm{t}}m+r)/\cdot-,\prod_{1j\geq}j\epsilon 1j)$.

$h\mathrm{v}(v^{}\mathrm{I})$

,

169

for

$v^{}\in o_{1}^{\mathrm{v}}(\mathrm{F}_{q}\mathrm{I}\cdot$

Remark. Not,( t,hat

other }$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{s},$$b^{\exp}(t)$t,he$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}_{\Gamma}|1\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{S}\mathrm{i}_{1}$$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}-[\lrcorner \mathrm{e}\mathrm{f}\iota \mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}rI$

often
$b$

)

$\epsilon(\dot{)})’ \mathrm{s}\mathrm{a}_{1\mathrm{p}_{\mathfrak{k}^{\mathrm{Y}}}}.$$\mathrm{a}_{1^{)}\mathrm{P}^{(^{\backslash }}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}$$\mathrm{e}\mathrm{x}_{1}$)in many places in$|$$\mathrm{C}\mathrm{c}\mathrm{t}$$\mathrm{e}$,he vanishing cycle sheaf’t,hat t,hese theorems could($\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}_{l}$such as 1-adic \’et,ale sheaves, $or$ the$\mathrm{Y}$abt,he lninima[$‘ \mathrm{t}$colnpletely ill the framework of$\mathrm{t}1_{1\mathrm{t}^{\mathrm{Y}}}$$\mathit{0}\backslash \cdot \mathrm{e}\mathrm{f}_{\downarrow}|1\epsilon^{\mathrm{Y}}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{s}$$(1.1, (2\mathrm{t}).)\ulcorner\Gamma 1_{1}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{f},\mathrm{i}\mathrm{o}\iota 1b^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{r})}(t)$-function $b(B)$ , is known t.o )monodromy ofpresent), I can not,. (See$\mathrm{a}\mathrm{r}$fields,$|_{)\mathrm{e}_{1)}}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{i}_{1}1$$\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}_{}]_{1}011\mathrm{t}$$f_{d}- \mathrm{f}_{1}111\mathrm{c}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}$$R?/’ f^{(\mathbb{C})}$

using t,he.

, which wasof t,he$1^{)\mathrm{O}}1\}^{\mathrm{V}}.|1\mathrm{o}\mathrm{t}1\urcorner \mathrm{i}tr_{11}$. Thus (at, leastan eIcnTetlta$\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{t}^{\mathrm{Y}1}$$111$$\Gamma \mathrm{y}$)$\mathrm{I}\mathrm{a}\mathrm{i}\sim\cdot \mathrm{c}\mathrm{g}(^{1}o$$\mathrm{a}\mathrm{t}_{\mathrm{t}}$

way,

metry

etc.

\S 3. Example.
Notations etc.
(1) $1\prime^{\gamma}(R)=\{(x_{ij})_{1\leq i,j\leq 1}\gamma|2^{\cdot}ij=.r_{ji}\in R(i\leq j)\}$ , where$R=\mathbb{Z},$$\mathbb{C},$$\mathrm{F}_{q}^{\mathrm{j}}$.

(2) $\mathfrak{s}^{r},a(R)=\{ (y_{ij}’)1\leq i,j\leq n|y_{ij}^{l}=_{J_{j}}\mathrm{i}’i’ y_{ii}/\in R. 2y_{ij}’\in R(i<j)\}$.

$(i=j)$$y_{ii}’$(3)$J?ij=\{$$(i<j)$$\underline{.)}y_{ij}’$(4) $f(v)=\det \mathrm{c}’$ .

(5)

.

(Then
(6)

$f\in \mathbb{Z}[V]$$. \frac{1}{\sim)}\mathfrak{c}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}(2\iota^{}’)$$(n=\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d})$$\mathfrak{c}1\mathrm{e}\mathrm{t}(21^{\vee}’)$$(n=\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n})$$f^{\vee}.(\mathrm{c}’)=\{$and t,he co$\langle v, \mathrm{t})\vee\rangle=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(?)\iota^{}))$$e\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\{,\mathrm{S}$have no$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{l}\mathrm{l}\urcorner \mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{l}$.

(7) $\rho(g)_{1}’=gvgt$ for $g\in G=Gl_{\text{ノ}}7l$ .
(8)$\rho^{\vee}(g)v^{\vee}={}^{t}g^{-1}\cdot?^{7}g\vee.-1$(9) $\phi(g)=\det(g)^{2}$ .

for $g\in G=GL_{n}$ .

divisor, and similarly for$f^{}.$

)

170

(10)

$b(s)=b_{0}(_{\mathrm{c}} \mathrm{q}+1)(s+‘’\frac{3}{2})(_{B}+.\frac{4}{--}, )\cdots(1\mathrm{S}+\frac{n+1}{2}.)$(11)$b_{0}=(^{\underline{\eta}2})^{l}$if $77=2l+\rceil$ or 21.

(12)

(13)

Let
$v^{}$.

$(f-1)(f.-\underline{)}1)^{l}$$(77=2l+1)$$(f^{2l}’-])$$(.7l=2l)$ .

$b^{\mathrm{e}\mathrm{x}_{1^{)}}}(t)=\{$$b_{0}/ \prod j(j^{j})e(j)=\rfloor$.

$O(?^{\vee}))(v^{\vee}\in\iota_{\mathit{1}}^{r\vee})|_{)\mathrm{C}}\mathrm{t}$,he$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}_{}1\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}11\partial$]$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{o}\iota\iota 1^{)}\mathrm{W}\mathrm{i}\{01_{1}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{l})\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t} \mathrm{t},0 \mathrm{t},\mathrm{h}\mathrm{c} \mathrm{S}\}^{\gamma}|11111\mathrm{t}^{\tau}\mathrm{t}\iota\cdot \mathrm{i}_{\mathrm{t}}\neg$mat,rix

.

(14)

(15)

(16)
(17)
(18)

$l+1$

$(7?=2l+1)$

1$(_{7l=}2l)$$\uparrow\cdot(v^{\vee})=?’(GL\gamma l)-\Gamma(O(?’))=?\cdot=\{$$0$$(\mathrm{O}(\mathrm{t}’)\mathrm{v}=\mathrm{s}_{1^{)}}1\mathrm{i}\mathrm{t},$$-\rceil$$(O(?’)\vee=\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}-\mathrm{s}\mathrm{l})\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}$$\mathrm{t},\mathrm{y}\mathrm{P}^{\mathrm{e})}$$r(v)-.\mathrm{q}(\iota^{\vee}’)=\{$

type)$(-1)^{\mathrm{t}^{l+)^{2}}}1=(-1)^{l}+1$$(n=2l+1)$$(-1)^{l^{2}}+l=1$$(7?=‘ 2l)$$(-1)^{(m+}T]/2=\{$) $=2^{l}$$\prod_{j\geq 1}j^{e}\{j$

if $n=2l+1$ or 2/.

$h(v)= \zeta\iota_{e}\mathrm{t}(\frac{\partial^{2}\log f}{\dot{(}\}x_{i}\partial\tau_{\mathit{3}}}$.

$(\iota’))=(-1)^{r1\langle+}n1)/22^{n}\mathrm{t}n-1)/‘\sim f(v)-)n-1$.

$h^{\vee}(v^{})= \mathrm{d}(^{1}\mathrm{t}(‘\frac{\dot{(})^{2}1()\mathrm{g}f\mathrm{v}}{9y_{i}\partial y},(\uparrow^{\vee}’))$(19)$(-1)^{\gamma\prime}\langle n+[)/\underline{\cdot)}\{n-\mathrm{J})(n+\cdot 2\mathfrak{l}/2.f2^{\cdot}\mathrm{v}(1’)-n-]$,$(_{7l=}2l+1)$ ,$=\{$$(-1)^{\mathit{7}l}\langle n+1)/\underline{\supset}’\cdot \mathrm{t}\underline{)}n\gamma|+3)/‘\sim f^{}(?’.)-.\mathrm{v})-n-1$$\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{e}O_{1}=\Omega$and$O_{1}^{}=\Omega^{}$such a case, we refer$\mathrm{t}_{}\mathrm{o}$t,hemNow Theorem A, Theorem A I and)$\mathrm{s}\mathrm{i}\downarrow 111^{1}$$\mathrm{i}\mathrm{m}_{1^{)}}1\mathrm{i}e\mathrm{s}$$\mathrm{y}$

as

that

,

$\mathrm{T}\mathrm{h}\epsilon^{\mathrm{Y}}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}1$$‘ r_{\Gamma \mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{A}’}$.

$(n=2l)$ .

A2 )
$|$

$\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{C}$t,he sarne.

Ill

171

$q^{-n\{n+\rfloor}\mathrm{I}/4$$\sum$$\backslash (\zeta\iota_{\mathrm{c}}\mathrm{t}, 1’)\mathrm{t},\Gamma \mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(\uparrow)?’)\vee$$\iota’\in\nu\cdot\langle\ovalbox{\tt\small REJECT}_{q})$(20)$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t},v\neq 0$$(_{l}’(\iota, \mathrm{t}\mathit{1}’)c(\iota‘, ?’,))2l(\backslash f^{}(\mathrm{c}’)^{-1})_{\mathrm{A}}\cdot \mathrm{v}(l^{)}\mathrm{v})$$(n=2l+])$$=\{$$G(\backslash \cdot, \mathrm{t}_{\mathit{1}’})^{l}/\cdot(\underline{)}\backslash (.f^{\mathrm{v}\mathrm{v}_{)^{-})_{\mathrm{A}}}}\iota’ 1.\mathrm{v}(1’)$

if$\mathrm{t}^{\vee}’\in \mathrm{t}/^{r\vee}(\mathrm{F}_{q}^{\mathrm{i}})$and

Theorem(21)$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t},$$?^{\vee}’\neq 0$$\mathrm{B}\mathrm{i}_{11}11^{)}1\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{S}$$\kappa^{\vee}(\mathrm{t}’)\mathrm{v}=\{$$(_{7\mathrm{t}=}‘ 2l)$

.

that,

1

if

1

if

$-$ [

$l7$

is odd$n$

is even and$O(\iota^{}’)$

is of split type

if ’? is evell and$O(\uparrow^{\vee}’)$is of non-split, type$r_{\Gamma \mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}1}\mathrm{t}^{\mathrm{t}}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l})|\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{S}$

(22)

1

if

$n$

is odd$\backslash 1/\underline{\cdot,}((-[)^{l}f^{\vee}(v))$

if

$n$

is even$h^{\mathrm{v}_{(\iota},\mathrm{v}_{)=}}.\{$(It, is easy to see t,hat, (21) and (22) are$\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}1^{^{\prime \mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}}}11\mathrm{t}_{}.$)\S 4. History.
Arolllld 1981,( $C1$$rf_{\mathrm{J}}.(_{/}- 1|_{1}e\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{f},\mathrm{a}\mathrm{t}’ \mathrm{t},$.

$\mathrm{h}_{0\mathfrak{l}\mathrm{n}\mathrm{o}}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{o}11\mathrm{s}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}|\mathrm{O}\iota\cdot \mathrm{s}1^{)}\mathrm{a}\mathrm{C}G\mathrm{s}$$\mathrm{b}_{\mathit{4}}^{\urcorner}\mathrm{s}_{1}\mathrm{J}G\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}[\mathrm{y}$

(1)

, he

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}$)-analogue of thecalculated t,he$\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{l}’ \mathrm{Y}$

of )
$1$

$\mathrm{r}\mathrm{e}-$$\mathrm{c}\mathrm{h}_{\partial \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{C}}\uparrow_{}(^{\mathrm{Y}}\Gamma \mathrm{s}\iota 1\ln$$(\iota^{}’\in V\vee(\mathrm{F}:_{q}\mathrm{I}\backslash f^{\vee-}\downarrow(0))$$\mathrm{Y}-1$$\mathrm{r}e\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{S}$the Fourier transform of$\mathrm{F}_{q}$$\mathrm{e}\mathrm{x}_{1^{)[\mathrm{i}\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{t},]}}.\mathrm{Y}$$(.f\cdot(?)))_{l,’}(’\langle l"?’\rangle \mathrm{v})$$q^{-n/2} \sum_{v\in l^{P}\mathrm{t}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\mathrm{t}\mathfrak{l}\mathrm{I}\backslash \int}$forto study anvect,or ,$\mathrm{c}_{{}^{t}1)\mathrm{a}\mathrm{c}(^{\mathrm{Y}}}\mathrm{S}$$f^{s}$. See \S 0.). (This$\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\cdot \mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{t},G\mathrm{r}$sum is an$\mathrm{F}_{q}^{\mathrm{j}}$-analogue of172

Around 1983, N.Kawanaka has taken 111) the sanle
Z.Chen. His$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}|\tau$lies$\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}_{}11e$wit,h $G$ reduct,ive; he fotlld
charact,er table oflluain$01$)($\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}$$G(\mathrm{F}_{l}‘)$$\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}$charact,er$\mathrm{s}\iota\iota \mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{s}$in t,he$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{p}_{1\mathrm{C}}.\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{o}11\mathrm{f},\mathrm{h}_{G}o\mathrm{r}.\mathrm{v}$linear)$r_{\Gamma 1_{1}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}e\mathrm{m}\mathrm{q}}$of$G(\mathrm{F}_{q})$$e\mathrm{C}\uparrow$in,$\zeta 1\mathrm{e}_{1^{)\mathrm{C}\mathrm{t}1}}\zeta 1_{\mathrm{C}}\mathrm{n}\mathrm{f},1_{3^{7}}$$\Gamma \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}11\mathrm{f},\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11\mathrm{s}$$\Gamma \mathrm{e}_{1}$of type (1)the following collj$\dagger^{\backslash }\mathrm{o}\mathrm{r}111\iota\iota 1\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{c}\mathrm{d}$of$\mathrm{a}\mathrm{c}\{_{\downarrow\iota 1}\mathrm{a}[1\mathrm{y}\mathrm{a}_{1^{)}1)\mathrm{c}C}\urcorner 1^{\cdot}9$(in$\mathrm{c}1_{1\mathrm{a}\Gamma}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{f}e|\mathrm{f},t\gamma|$$\mathrm{A}_{1})\mathrm{r}\mathrm{i}1$)[$\mathrm{e}$of$(_{-}\tau’(\mathrm{F}_{q})$in t,heis$\mathrm{t}_{}1_{1}\mathrm{e}$. 1995).),ure concerning (1), which

A and C.

4.1. ‘Conjecture’ of Kawanaka.

regular$\mathrm{c}\mathrm{o}11\mathrm{l}1^{)[}\mathrm{e}\mathrm{X}$. (The explicit determinat,ion of t,heLat,er, Kawanaka

is now contained in,$\mathrm{t}_{7}11\mathrm{a}\mathrm{f}$t,heory of$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}|_{)}1e\mathrm{t}1\urcorner$. and$p\mathrm{r}ello\mathrm{m}ogC.\eta e.O\iota\iota\iota \mathrm{q}\mathrm{L}J^{-}c,c\dagger 6ors_{Pt}r1C.\epsilon^{\mathrm{j}}$$\Lambda,\mathrm{q}_{L}\mathrm{q}1\iota me$tltat$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\Gamma(\mathrm{F}_{q})\gg 0$$(C_{7}, \rho, |’)$

is an irred ucible. Then$q^{-n/\underline{9}} \sum_{8^{\rangle\in\Omega}\{\mathrm{p}_{q})}\backslash (f(1’))u’(\langle v1)\rangle,)$(K1)$=_{\vee}C(_{\mathrm{Y}}, \tau f’)\backslash (f\mathrm{v}(v\mathrm{v})-1)\backslash _{1}/2(f\vee(v\vee)-2n/d\mathrm{I}$with some$co\mathrm{n}$$(K2)$ Fix anstant$\circ(\prime \mathrm{Y}, \uparrow_{t}’\uparrow)’$$\mathrm{i}^{\mathrm{t}}.;omo\Gamma l$).

$l_{J}i, \mathrm{s}\mathrm{J}\eta(\frac{1}{1-q}\mathbb{Z}/\mathbb{Z})arrow\simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{F}_{\mathrm{J}}^{\cross}, \mathbb{C}^{\cross}(),$$7n(c\mathrm{y}):=\mathrm{c}\mathrm{a}\Gamma\zeta 1${$\alpha\mapsto\backslash \cdot I_{1I}^{\mathrm{J}}\mathrm{t}$mod$j|\alpha+\alpha_{j}\equiv 0$$\mathbb{Z}$

}.

Then

$|_{\vee^{-}}-(\backslash , \psi \mathrm{I}|=q^{-}m\langle\alpha)/2$

4.2. Remark. In themultiple of$f^{\vee-\underline{9}}n/d$$\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{l}’ \mathrm{C}\zeta \mathrm{l}\mathrm{t}\iota \mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$.

regular case,$h^{}$

is a non-zero. Hence

X 1/2$(.f^{}(v^{\mathrm{v}_{)}n/\mathrm{v}_{)}}-^{\underline{9}}d)\sim\backslash 1/2(h\mathrm{v}_{(}\mathrm{v}_{)})v\sim\kappa(\vee v$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{S}\mathrm{t},\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$

,

173

up to
of

$\mathbb{C}^{\cross}$. Thus 4.
$($$\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\iota \mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{e}$)$|)\mathrm{i}_{\mathrm{I}11}1$$1\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{S}^{4}\mathrm{I}r\urcorner$]$\mathrm{l}(\mathrm{Y}\mathrm{o}\Gamma \mathrm{c}\mathrm{n}1\Lambda+\ulcorner\rfloor^{1}|1\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\uparrow 11\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{p}$$(^{\gamma}(\backslash )$,value one’ in t,hc irreducible regular case..

4.3. Lefschetz principle.

in $tl?e$ conte.xt of} $o_{j}f\Gamma nco?\iota.\sigma$$p’\cdot\epsilon./?ol\uparrow$-case is al.so hnte for th

rrctor$=$)$\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}$for t,he conjcct,ure of, after$\mathrm{I}I\mathrm{e}\mathrm{f}‘ \mathrm{q}\mathrm{C}11e\mathrm{t}\mathrm{z}_{1\mathrm{p}1G}$$.\backslash ^{\backslash }poCc.\mathrm{L}\mathrm{e}$

whatc

,

$v\epsilon r$

is truc for;$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{t}’ \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{l}_{1}-\mathrm{t}^{\mathrm{t}}- 11\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\Gamma \mathrm{a}$$t/|c\mathbb{R}- Ca_{\overline{\mathrm{b}}}.r$-casr. In fact,, in t,he -case, it is known$f(.l\cdot)^{\mathit{8}}$t.llnCti l] of s)($1\eta \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{S}}$$\mathbb{R}$$f\mathrm{F}_{q}^{\Gamma}$(Fourier t,ransform of(1)of the$\mathrm{O}11\mathrm{C}$

Kawanaka was what 1 would like to call t,he$\mathbb{C}$to a const,ant,, sayor$t/1\mathrm{f}$$\mathrm{t}_{t}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{t}|$)$\cross\square ^{d}\mathrm{I}^{1}(S+\alpha_{j})\cross f^{}(y)^{-}S\mathrm{x}\kappa^{\vee}(y)$$\circ$$j=1$$(s\in \mathbb{C})$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}.$, with some,$h^{\vee}(y)\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\zeta \mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{l})\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{e}|\mathrm{l}\mathrm{t}$ulne.) In (4.1, (K1)), t,heof s)$\cross\prod^{d}j=1\mathrm{r}_{(.0^{l}}\mathrm{S}+j$of . (Cf. t,he lecture of$6$$\int$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t},$$\vee^{-(}\llcorner\backslash _{j}\iota/’$

) is

)

$\mathrm{t},1\tau \mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\Gamma 1$$r_{\mathrm{I}^{\mathrm{t}}.\mathrm{I}\backslash ^{r}}$$\mathrm{a}\Gamma \mathrm{t}$imura in the)$\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}$$\mathrm{e}$of 4(some function)’.

,\S 5. Idea of proof (1).
The study of$\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}_{}\mathrm{e}$field is ‘casy’ in

about difficult, such as the convergence )deep analytic tools are not, at ourat$\mathrm{r}\mathrm{o}|_{)}1_{G}111$$1$$\vee \mathrm{Y}$$\mathrm{s}\mathrm{o}\ln e$$\mathrm{t}_{}\mathrm{h}\mathrm{e}$)$\mathrm{o}\mathrm{S}\mathrm{a}1$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}_{1}$.

sense t,hat, we do llot
. However it is same

$11e.e\mathfrak{c}1$$\mathrm{t},\mathit{0}$say t,hat t,he

, once we can not deal with$\prime \mathrm{r}\mathrm{h}\mathrm{e}\Gamma \mathrm{e}\mathrm{f}o\mathrm{r}\mathrm{C}$problem wit,hin ,he framework of finit, field, we need t,o recover t,he$\mathrm{t},\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}$$e$$\mathrm{t}$cost oft,o worry$co|1\mathrm{t}\mathrm{i}11\iota \mathrm{i}\mathrm{t}.\gamma$.

$\mathrm{t},]_{1\mathrm{e}}\mathrm{f}\mathrm{i}_{\mathfrak{l}?}\mathrm{i}\mathrm{t}|(\}\mathrm{n}\mathrm{e}.\mathrm{q}\mathrm{s}$5.1. How to recover the continuity.
-A rapid but insufficient course in 1-adic \’etale sheaves.

(1) Vector space.

$\mathrm{I}_{I}\epsilon \mathrm{Y}\mathrm{f},$$V=\mathbb{C}^{n}$and$F^{\urcorner}\in GL(V)$nulnber as follows:.

$F(\backslash \gamma’\Rightarrow \mathrm{t}_{1}\cdot \mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(F^{\urcorner}, V)\in \mathbb{C}$. Then we get a complex

174(2) Complex. Next. let, us consider

over$\mathbb{C}$and linear)$\mathrm{m}\mathrm{a}_{1^{)}1^{)\dot{|}\mathrm{n}}\mathrm{g}}.3|$$e\mathrm{t}_{\mathrm{W}\mathrm{C}}1\mathrm{c}^{\mathrm{Y}}\mathrm{I}1$with$d^{i}’ \mathrm{s}$. Then$\mathrm{k}e\mathrm{r}(\mathrm{r}l^{i})\supset \mathrm{i}_{111\mathrm{a}}\mathrm{g}e((.l.i-1).$act,s$t^{i^{1}}$linearly$0\iota \mathrm{l}$on each$\zeta\urcorner \mathrm{c}\mathrm{t}_{}\mathrm{s}$

dilll

eacb

$\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}\iota \mathfrak{l}11|$)$H^{i}(\mathrm{I}, )$$H^{i\prime}(l/)<\infty$$H^{i}(\mathrm{I}’)=0$

Then we get a complex

as a linear a$\mathfrak{h}^{\dot{p}}$$\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{r}$.

$\ln \mathrm{t}_{}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{s}$ca.se,, which is called the$H^{i}(V^{\cdot}):=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(di)/\mathrm{i}_{1}11\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}(di-1)$$\mathrm{o}_{1^{)e\Gamma \mathrm{a}}}\mathrm{f},\mathrm{o}\mathrm{r}F^{1}$$\mathrm{s}_{1^{)}}\mathrm{a}C\mathrm{e}\mathrm{S}$$d^{i}$$(\cdotsarrow 1^{\mathit{1}}- i-|arrow V^{i}arrow 1^{ri+1}/arrow\cdots )$Assume that $cl^{i},\cdot d^{i1}-=0$ , i.e.,

Assume that anfollowing sequence of vectorthem.

$d^{\mathrm{i}-\mathrm{l}}$.

$|_{!=}^{r}$a complex. Put$\mathrm{t},\mathrm{h}e$$i-\dagger/|co/_{7}\mathit{0}$acalled$|_{h}^{=}\dot{1}^{\mathrm{C}}.1$}$7?ol_{\mathit{0}}\zeta J^{1}/\cdot$$111^{-}[_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{I}1}\urcorner)\mathrm{a}\mathrm{f},\mathrm{i}|_{)}1\mathrm{y}$$\iota\iota \mathrm{t},\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}_{1^{)}1}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{i}_{\mathrm{S}111}$. Assume further t,hat,for all , and$i$for allnost all$i$

as follows:$F’ \sim\iota_{}^{r}.\cdot\Rightarrow\sum_{i}(-1)i_{\{,\mathrm{e}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(F^{1}, H^{i}(\nu^{r}))\in \mathbb{C}$We identify a vector space$\mathrm{t}’$with the.

$\mathrm{c}\mathrm{o}\ln_{\mathrm{P}}1\mathrm{e}\mathrm{x}$

$V$

$i=0$

$0$

$i\neq 0$$V^{i}=\{$

Thus (2) can be regarded as a(3) Sheaf.

$\ulcorner 1^{\mathrm{t}}11\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{d}$on which an operator

are finite dimensional$1\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{P}^{\mathrm{i}_{11}}\mathrm{g}\mathrm{s}$$fi^{1}$.

collsicle\iota a$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}[_{)}1\mathrm{y}$ctor spaces over

. Then we get, aof (1).

$\cdot$$1\mathrm{e}\mathrm{f}_{}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{S}$acts$\mathrm{v}e$$\mathrm{g}\epsilon^{\iota}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\iota \mathrm{i}_{7J}\partial \mathrm{t}|\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}_{1^{)}\mathrm{p}\mathrm{i}_{1\mathrm{l}}\mathrm{g}}\pi$: $Larrow X$ bet,ween two set, ,with . Assume that$\pi$$\mathbb{C},$$\mathbb{C}- \mathrm{v}\mathrm{a}[1\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{t}\dot{\iota}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{a}1!^{\mathrm{d}}F$$\mathrm{s}$$I_{T}\lrcorner:=\pi^{-1}(.\iota\cdot)(.r\in X)$: $L_{\alpha}\cdotarrow L_{F(x]}(x\in X)$ are linear

on $X^{f}’:=\{x\in X|F,$ . $=x\}$ as follows:175$F^{1}\cap(_{A}^{\mathrm{r}_{\text{ノ}}}1^{\pi}\backslash ^{\prime 1}\Rightarrow \mathrm{t},\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(^{\mathrm{Y}}L(.\Gamma):=\mathrm{f}_{\Gamma},\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{e}(F^{\urcorner}, L_{x})$(4) Complex of sheaves.

$(x\in A\mathrm{x}^{\prime F}’)$$\backslash _{\mathrm{A}}^{\iota_{\mathrm{O}}}\mathrm{t},\mathrm{c}\mathrm{t}_{1}1\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{f}_{-}L=\bigcup_{x\in x^{I_{J}}x}.$regarded as a family of vcctor spaces paramet,rized )$|$$\mathrm{y}X$

(

.

,

$\mathrm{d}\mathrm{i}|\mathrm{s}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{i}_{11\mathrm{t}}$union) call be. In this sense. (3) can be

regarded as a generalizat,ioll of (1).

Thus we get, two gcneralizat,ions of (1) (cf.
Consider a falHily
we get a$\mathbb{C}$

$F$

rx

$\mathrm{a}\mathrm{t}|\mathrm{t}$,he$011X^{l^{}’}$

as follows:$(_{\mathrm{x}^{\gamma}}^{JJ}.1 \pi 1\Rightarrow \mathrm{t},\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}/_{}(.r):=\sum_{i}(-])^{i}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(F, H^{i}(L)_{x}\mathrm{I}$$(.\tau\cdot\in X’’)$(5) Constructible sheaf. If $X$ is a complex algebraic variety

Hausdorff$\mathrm{t},\mathrm{o}\mathrm{p}_{0}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}$$X\ni x\mapsto T_{\text{ノ}}x$$L-^{7\ulcorner}X$of (2)).

$e\mathrm{t}11\iota-$of complexes as a generalization of (2) and (3). Thell$l_{\text{ノ}}x(.r\in X)$-valued funct,ion

t,he relnark), we lleed to claim so llle kind of ‘cont,inuity’ for t,he

. In fact, we can$\zeta[\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{i}_{1}]\mathrm{e}$a category$IJ_{C}^{b}(X, \mathbb{C})$.

$(\mathrm{w}\mathrm{i}\{_{}1)$)the$\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{l}\zeta \mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{n}\mathrm{C}\mathrm{e}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{I}’ \mathrm{t}\cdot \mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{l}$whose object, gives$\llcorner \mathrm{S}\mathrm{O}1\eta \mathrm{e}$as in (4).

$IJ_{c}^{b_{(.\nwarrow,\mathbb{C})\ni\blacksquarearrow}}.r\text{ト}(_{A}^{L}\downarrow.\pi\iota\prime 1\cdot$(Here I omit the dcfinition of(6) Etale$\overline{\mathbb{Q}}_{l}$-sheaf.

$D_{c}^{b}$(X.

$\mathbb{C})$$|_{\lrcorner}e\mathrm{t}|X$, and so$\blacksquare$is a black box.)

be all algebraic variety over$\mathrm{F}_{q}$. (If.X’ is anaffine variety, this lllca\uparrow ]s t,hat,$X=X(k)=\{(.r_{1}, \cdots, x_{!}\iota)\in\tilde{l}^{N}.|f_{i}^{)}(x_{1}, \cdots, .l_{N})=0(i=1, \cdots, \Lambda,I)\}$176

with some$\mathrm{F}_{q}$$P_{i}\in \mathrm{F}_{q}[.r_{1}, \cdots, .r_{N}]$. Hcre and )$|$$e1\mathrm{o}\mathrm{w},$, and we identify X witl] the set of rational )$k$denotes an algebraic$\mathrm{c}1\mathit{0}$sure ofbe$\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{S}X(k).)\mathrm{I}_{\lrcorner}e\mathrm{t}F^{\urcorner}\in(_{-^{1}}^{\mathrm{t}}\mathrm{a}1(l\cdot/\mathrm{F}_{q})$$1$

the Frobenius)]$1\mathrm{i}\mathrm{S}1F^{1}.r=.?q(.?\cdot\in$e\mathrm{n}\mathrm{d}_{0\Pi 10}\mathrm{r}_{111;}$k)$.

$r_{\mathrm{I}^{\urcorner}11e11}$( $F$ acts on.X’),$F\sim X$$X^{F}=X(\mathrm{F}_{q})$, and$D_{(}^{b}.(\lrcorner 1’,\overline{\mathbb{Q}}l)\ni\blacksquare\mapsto[F^{\urcorner}\sim(,L\downarrow.\pi)1’-]$(Exercise:$\overline{\mathbb{Q}}_{l}\simeq \mathbb{C}.$

trace

)

. we can$\mathrm{o}\mathrm{l}$$r_{1’ 1_{1}\mathrm{e}\mathrm{r}e\mathrm{f}_{0}\mathrm{r}\mathrm{G},}$){,$\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}$a$\mathbb{C}$-valued$\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{c}\{,\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}0\uparrow 1.1’(\mathrm{F}‘)\mathrm{J}$$(x\in X(\mathrm{F}_{q}))$$L(x):= \sum_{i}(-1)^{i}\mathrm{t}_{\Gamma}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(F^{*}’, Hi(L^{\cdot})x)$,where $F^{*}=F^{-1}$ .

5.2. Example 1.
(1) Multiplicative character$\pi$

us explain how to find$Larrow \mathrm{A}^{\cross}$(2) Lang torsor$k^{\cross})$.

$1^{\urcorner}\{\mathrm{o}\mathrm{r}a\in \mathrm{F}_{q}^{\cross}$something like a
$\pi$

:

Put

act, on$L_{\nwarrow}:=k^{\cross}\cross_{\mathrm{F}_{t}^{\cross}},$Then we can define$F([x, t]):=[x^{q}, f]$ .

. with$\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{f}_{\mathrm{Y}}$$\mathbb{C}$$\iota\iota \mathrm{n}C\iota 1\mathrm{e}$$1^{)\Gamma \mathrm{i}_{1}}1\mathrm{c}\mathrm{i}_{1^{)}}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{F}_{q}^{\cross}- \mathrm{I}$$k^{\cross}\cross_{\mathrm{F}_{q}^{\mathrm{X}}}\mathbb{C}arrow \mathrm{A}^{\cross}\mathrm{a}.\mathrm{s}$$\mathrm{I}_{\lrcorner}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{F}_{q}^{\cross}$$k^{\cross}$($\overline{\mathbb{Q}}_{l}$-sheaf on, fix $a’\in\lambda^{-1}(a)$ . Then)on$\mathrm{F}_{q}^{\cross}$).

,$1_{\mathrm{J}}\mathrm{e}\mathrm{t}$$\mathrm{A}^{\cross}.$$k^{\cross}$). Put $\lambda(?\cdot)=.\tau^{l^{-1}}‘(x\in$$\lambda^{-1}(a)=a’\mathrm{F}_{q}\cross$, from which we.

$\mathrm{T}\mathrm{h}_{\mathrm{l}\mathrm{t}}\mathrm{S}\lambda$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}.\mathrm{S}\mathrm{t}1^{\cdot}\iota 1\mathrm{c}\mathrm{f}_{}$:$k^{\cross}arrow \mathrm{A}^{\cross}$a lineis’$|_{)\mathrm{t}\iota 11}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}$follows.
$l^{\cross}\cross \mathbb{C}$by$c\cdot(.r, t)=(c.r, \backslash (c)\cdot t)(c\in \mathrm{F}_{q}^{:\cross}, .r\in l^{\cross}.

$\mathbb{C}:=(k^{\cross}\cross \mathbb{C})/\mathrm{F}_{q}^{\mathrm{i}\cross}$$\pi$( -valued function on$\mathbb{C}$$\mathrm{F}_{q}^{\cross}$which gives 1 as in (5.1, (6)).

on$L_{\{}$

of$\backslash$

:

.

])

$\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}$t,he inlage of$T_{\mathrm{t}}\lrcornerarrow l^{\cross}[_{)}\mathrm{y}\pi([.\Gamma, t]):=\lambda(x)$$(.r, \dagger)$, and theint\in \mathbb{C})$$/_{\text{ノ}}\backslash |_{)}\mathrm{y}[x, t]$$f^{\mathrm{i}^{1}}- \mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}_{}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}11I_{\text{ノ_{}\searrow}}$

.

.

by

It, is easy to see that $\pi^{-1}(a)=\{[a’, t]|t\in \mathbb{C}\}$ , which we shallby $[a’, t]=t$ .

177

Now, let, us calctllate the$a^{lq-1}=a,$ $a^{lq}=\mathit{0},a’$$f^{j^{1}}$-action on$\pi^{-1}(a)=:(L_{\{})_{a}(a\in \mathrm{F}_{q}^{\cross})$. Since. Hence$F$$t=[a’.t]arrow[cl’q, t]=[aa’, t]=[a’, \mathrm{x}(a)^{-}1t]=\backslash (a)^{-1}t$ ,and, finally we get$(x\in \mathrm{F}_{q}^{\cross})$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}_{L\mathrm{Y}}(x)=,\backslash (x)$.

(Recall that we have used $F^{*}=F^{-1}$ instead of $F$ to define(3) Similar sheaf on$x\in \mathbb{C}^{\cross}$. Then$\lambda$:$\mathbb{C}^{\cross}arrow \mathbb{C}^{\cross}$$\mathbb{C}^{\cross}$

is a )$1$in the same way as in (2). The

is obtained fromnote that$\lambda$$\lambda$:

is defined

equations as p–adic$\backslash \rfloor^{\mathrm{T}}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}$)$\iota \mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}$$\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{I}}1\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{F}_{q}^{\cross}-|$), and we can define$\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}’\lambda$:$k^{\cross}arrow k^{\cross}$by the ‘recluction modulo$p’$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}_{1\mathrm{e}}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{S}$$\epsilon^{\mathrm{Y}}\mathrm{C}\mathrm{t}_{0}$, if ) $\gg 0$ , and t,hen as elements of$l$is called$\mathrm{t},\mathrm{h}(^{\mathrm{Y}}r\mathrm{r}’ d,?\ell cfion$:$\Gamma_{\lrcorner}\backslash arrow \mathbb{C}^{\cross}$collsi\mbox{\boldmath $\zeta$}lcrGcl in (2). (More precisely, first. (Althoughsome root of unity. Hen ce the$x^{\alpha}$$\mathrm{F}_{q}(l):=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\Gamma \mathrm{I}=)q$$\mathrm{i}_{\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{n}1$,$\alpha\mapsto\chi$.

is multivalued, the ambiguity is$\mathrm{t},o\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t},\mathrm{y}$of its scalar$\mathrm{m}\iota 1\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}$$1\rceil \mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$x \frac{du}{dx}=\alpha u$,byis globally well-definecl.)(5) Differential equation of Fuchsian type. Note that$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}_{j}\dot{\ddagger}\mathrm{o}\mathrm{n}$. Themodulo $p’$.

$( \frac{1}{1-q}\mathbb{Z}/\mathbb{Z})arrow \mathrm{H}_{\mathrm{o}\mathrm{m}}(\mathrm{F}_{q}^{\cross}, \mathbb{C}^{\cross}\simeq)$

acterized by the$\pi$. Then, ill general, regard the coefficient, of t,he defining(4) Another description of (3). Fix an$I_{\text{ノ}}\backslash \simeq \mathbb{C}x^{\alpha}$$(^{\ulcorner}.y.[\}(6).)$$\mathrm{s}$resulting geometric obj

Then

in

that, $\lambda(x)=x^{q-1}$ can be considered also for$‘ 1^{)\mathrm{r}\mathrm{i}_{11\mathrm{c}\mathrm{i}_{1^{)\mathrm{a}}}1}}\mathrm{F}_{q}^{\mathrm{x}_{-}}|$$\mathbb{C}^{\cross}arrow \mathbb{C}^{\cross}$$\mathrm{o}\mathrm{v}e\mathrm{r}\mathbb{Q}$.

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}_{L}(x)$$u=.r^{\alpha}$

is char-178

which is of Fuchsian t,ype. i.e., it.s singularit,ies atwords,$L_{\lambda}\simeq \mathbb{C}x^{a}$in$(\chi 1)$

can be regarded a.s$\mathrm{t},1_{1\mathrm{e}}\mathrm{f},\mathrm{o}\mathrm{t}_{}\mathrm{a}$]$\dot{1}\mathrm{t}\mathrm{y}$.herare regular. In$0\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{d}\infty$of local$\mathrm{s}\mathrm{o}[_{1}1\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}18$$\mathrm{o}\mathrm{t}$of the above

equation.
5.3. Example 2 (additive character). Let$\alpha(x)=x-x^{q}(_{\mathrm{L}}r\in \mathrm{A}\cdot)$$1\neq\psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{I}11(\mathrm{I}^{=}q\cdot \mathbb{C}^{\mathrm{x}})$. Since $c\mathrm{v}’(x)=|-q.r^{q-1}=1$ ( $q=0$ ill

unramified covering of t,he affine line . It, is easy t,o see that,$l\cdot$$\mathrm{F}_{q}- \mathrm{b}\mathrm{U}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}’$$(x\in \mathrm{F}_{q})$, and tlellce we can$\mathrm{d}$efillein the sarne way as in (5.2).
Obviously,$l_{\text{ノ}y}$

:

$\pi$

$I_{J}\psi’arrow Ii^{r}$$r_{1^{\urcorner}1_{1}\mathrm{i}_{\mathrm{i}}\backslash }./_{\text{ノ_{}lf}}$, is not, compatible wit,$|_{1}$$\alpha$

$k$

),

:

$0$

. i.s

:

such that trace. is an$\mathrm{A}\cdotarrow \mathrm{A}$$l\cdotarrow \mathrm{A}$$\mathrm{r}\gamma 1$

)

. Put

)

$\mathrm{a}\mathrm{l}$$\mathrm{t}\cdot \mathrm{i}|\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{l}$$L_{\mathrm{V}},(.r)=\tau_{f}^{f}’(.\mathrm{T})$, is called the Arti,-,5 chrcicr torsor.
t,he$‘ \mathrm{r}\mathrm{e}\zeta 1_{11\mathrm{c}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$modulo 1).

5.4. Example 3 (substitution).

Let us come back t,oof vector spaces$f$$\mathrm{t}11\mathrm{C}$$\{\Gamma_{J}\lrcorner|x\in X\}$

sit,uation of (5.1, (3)). Let,on whicb: $Yarrow X$ is given, we can define a new$(\mathrm{i}.\mathrm{e}, f^{*}Larrow Y)$$f^{l^{1}}$(3)). If aact,s as in (5.1,$\mathrm{f}\mathrm{a}\iota \mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{y}$: $Larrow X$ be a fanlily$\pi$$F^{1}-111\mathrm{a}\mathrm{P}1$)$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$of vector spaces $\{ (f^{*}l’)_{y}|y\in l^{r}\}$by$(.f^{*}.L)y:=I\prime f\mathrm{t}^{y})$and we callon$f^{*}L$$f^{*}L$the$p\iota\iota/l$-back of /, by$f$.

$\mathrm{r}_{\Gamma \mathrm{h}\mathrm{e}11}\mathrm{t},1_{1}\mathrm{e}F^{1}$-action on$I_{\lrcorner}arrow.\backslash ^{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{l}\zeta 1\iota \mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{s}$

olle

by
$F$

.

$(f^{*}.I_{\text{ノ}})_{y}=L_{f\mathfrak{l}^{y})}arrow I_{d}p_{\langle f}^{\gamma}\{y)\mathrm{I}=l_{J}=f\mathrm{t}^{F}\mathrm{t}y))(f^{*}L)\Gamma\{y)$

Then

trace
Therefore, we can }$f.L(y)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}_{L(f())}y$$\backslash \mathrm{C}$$\mathrm{a}\mathrm{y}$

that,

)

$\mathrm{t}_{}\mathrm{h}e‘ 1$$\mathrm{t}\mathrm{l}11$$(y\in Y^{F})$.

-back’ is the geomet,‘substitution’. It would be obvious how to generalize the cont,to the situation of(4) .

$(^{r}.y.|,$$)$,$\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{O}}\mathrm{u}|1\mathrm{t},\mathrm{e}\mathrm{r}_{1^{\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{r}}}\mathrm{f}$$\mathrm{e}\mathrm{l}1${, of t,hisof the$1^{)\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{a}}\mathrm{g}_{\Gamma}\mathrm{a}\mathrm{p}1\cdot\iota$

179

5.5. Example 4(5.1, (3)), define$I_{J}i^{\backslash }.-JL’arrow X$$(J_{d}$

If
$L$

on

$F- \mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t},\mathrm{i}_{0}\mathrm{n}\mathrm{S}$

C-4

$I’,$

Cb

$Larrow X$

and $L’arrow X$ are given as inby$J_{\lrcorner}’)_{l}.\cdot=l_{d}\cdot \mathrm{c}_{\nu}\nearrow \mathit{1}L^{/}x$

and , are given,

$L$

. lf

$(\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{P}}1\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})$$\Gamma’$$\mathrm{t},1_{1}\mathrm{e}11$(tensor product).

we can naturally$\mathfrak{c}1e\mathrm{f}\mathrm{i}_{1}1\mathrm{e}\mathrm{t}‘ 1\mathrm{l}\mathrm{e}F$-action$011$, and we get$\mathrm{t}_{}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}_{L}\emptyset L’(x)=\mathrm{t},\Gamma \mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}_{L(.r})\cross \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}_{L}’(.r)$$\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}e\mathrm{f}_{0}\mathrm{t}\cdot \mathrm{e}$, we can say that the ‘t,ellsor’$1^{)}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{t}1C\mathrm{t},$$(x\in X^{F})$is the geonletric.

$\mathrm{c}\mathrm{o}\iota 111\mathrm{t},e\mathrm{r}_{1}$)$\mathrm{a}\Gamma \mathrm{t}$of the‘multiplication’.

5.6. Example 5 (summation).

Theorenl (Grothendieck-Lefschetz trace formula).
bra

$ic$

variety over$\mathrm{F}_{q}$.

$\tau^{1}lle1\uparrow for$$\partial 1\mathrm{t}^{1}\cdot L\in D_{c}^{b}(x,\overline{\mathbb{Q}}_{l})$$L_{Ct}.\lambda’l$).

$H_{c}^{i}$dellot,es$\mathrm{t}_{}\mathrm{h}_{G}$(1-adic$\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}_{}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}$$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}111\mathrm{c}\mathrm{t},\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{C}\mathrm{c}}\mathrm{o}\mathrm{t}\iota 11\mathrm{t}_{\mathrm{C}\mathrm{r}_{1^{)}}},\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}$.

) cohornology with compact,definit,ion we do not, give here. Anyway, we can say that

supports’ is t,he

an alge-,$\sum_{1}$ $(- \mathrm{I})^{i}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(F^{\urcorner}*, H_{C}i(x, L^{\cdot}))=\sum \mathrm{t}\Gamma T\in-\iota_{\langle \mathrm{F}_{q})}’\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{e}L(X)$Here$\mathrm{e}$$\mathrm{s}\mathrm{t}11^{)}1$)$\mathrm{O}\Gamma \mathrm{t}_{}\mathrm{s}$, whose)$\mathrm{t},1\mathrm{l}\mathrm{e}‘ \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}\mathrm{v}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}‘|1co\mathrm{n}\mathrm{I}\mathrm{l}$$\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{t}$of the ‘stllnnlation’.

5.7. Proof of (K1). (1) Summing $11\mathrm{p}(5.2)-(5.6)$ , we can find thc geometriccoullterpart, of the )
$|$

(2)

we

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}$sides of (,he fact,$\mathrm{t}$$\mathrm{U}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}$$\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}(5.3)$$\Gamma \mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$$\mathrm{o}\mathrm{f},11$$\mathrm{t}_{}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{f},$, which is not,$\cdot 1.1$

is a

$f$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}_{1}$, (K1)) ()$(=1)\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}\Gamma \mathrm{s}\mathrm{e}\mathbb{C}$$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}_{\Gamma},\dot{|}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{C}\mathrm{t}|$$\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}|_{)[\mathrm{e}}$-sheaves onover$l^{-}(\mathbb{C}\mathrm{I}\mathrm{I}\cdot$-sheaves on$\iota_{1\mathrm{o}\mathrm{t}}1\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}11\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{U}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}$$\dagger^{l},(l\cdot \mathrm{I})$.

(cf. (1.1)), we canwith t,he reduction modulo . Since all the$p$(i.e., (5.2) and (5.1) (5.6)) are

lift the$=\acute{e}\mathrm{t}_{1\mathrm{a}}1\mathrm{e}1^{)}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}\Gamma \mathrm{s}\mathrm{e}\overline{\mathbb{Q}}l$$\mathrm{F}_{q}$)$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{n}\mathrm{l}$$\mathrm{a}\mathrm{f},\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{i}\{_{0}\mathrm{h}$t,he rffiuction modulo

obtained in (1) to a geomet,$\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}$object, over$p$,$\mathbb{C}$180(3) The last geometric objects over

the regulax$\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\urcorner \mathrm{i}\mathrm{c}l\mathit{3}$-modules on$\mathrm{T}^{\gamma}.(\mathbb{C})$$\mathbb{C}$are invia$\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}- \mathrm{t}_{\mathrm{o}^{-}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}}$correspondence with

Riemann-Hilbert,$\mathrm{t}_{1}1_{1}\mathrm{e}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}e\mathrm{s}_{1)\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{C}\mathrm{e}$(M.Kashiwara and Z.Mebkout).

regular$\mathrm{h}\mathrm{o}\iota_{011}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{C}D_{\ln}-\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{U}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}$$3)\downarrow \mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{e}\iota \mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}$$\langle$$\mathbb{C}$\’etale perverse)$0\mathfrak{l}([\mathrm{e}\mathrm{I}\iota \mathrm{C}^{\cdot}\mathrm{e}$$\mathrm{C}\mathrm{o}\Gamma \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{S}\iota$$V(\mathbb{C})$$2)\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\overline{\Theta}_{l}$$l/(\vee \mathbb{C})$-Hilbert,

perverse -sheaves on$\langle$onmodulo-sheaves on$\mathrm{p}$$l/^{r}(k)$$11)\downarrow\,\mathrm{r}\mathrm{a}C\mathrm{e}$function on

Now let$11\mathrm{S}$consider$\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}$$V(\mathrm{F}_{q}^{:})$

identit,y ( $/].1$ , (K1)), which we are now going t,o prove.

This identity belongs t,o the bott,$\mathrm{O}\ln$of the above diagram. After lift,

to the top by the procedure explained so far, we can prove it as the$\mathrm{i}\mathrm{l}$the identity$\mathrm{i}\mathrm{d}e\mathrm{n}\mathrm{f}\uparrow \mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}|$)$\mathrm{C}\mathrm{t}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}$two D-modules.

Note-module is a syst,$\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{t}_{1}D$

say intuitively that we haveThus in our$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}7_{J}\mathrm{a}\mathrm{t}_{I}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$This ambiguity causes$\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}$$.=\mathrm{t},\mathrm{h}\mathrm{e}$of linear differential, t,he$e\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{01}1\mathrm{S}.$$\mathrm{a}\mathfrak{l}1\mathrm{l}|_{)}\mathrm{i}\mathrm{g}11\mathrm{i}\mathrm{t},\mathrm{y}$of$\ln\iota\iota 1\mathrm{t},\mathrm{i}_{1)}1\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$by scalar is inevitable.

$\vee C(\mathrm{X}, l’)’ \mathrm{a}\{_{n}$the end.

Aft,er the famous work of P.Deligne on ]$\mathrm{t}_{\mathrm{c}}$$\cdot$Rielluanl] hypothesis forgeometrically such an arithmetic )$\mathrm{z}e\mathrm{t},\mathrm{a}$solute value of, say, a character$\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{l}$More precisely, we call determinefunct,ions of algebraic variet,$\mathrm{r}\mathrm{o}|_{)}1\mathrm{e}\mathrm{n}1$$1$

Tllll.c} we canfunctions by linear different,ial equat,ions.

$\mathrm{c}11\mathrm{a}\Gamma \mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{f},\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{Z}}\mathrm{e}\mathrm{d}$ambiguity of ‘some constant

5.8. Proof of (K2).

ture ($\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{l}$$\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{s}$$\mathrm{l}\mathrm{e}$Weil conjec-), we canas t,he determination of (archi In$\mathrm{e}\zeta 1e\mathrm{a}\mathrm{n}$. This procedure is called the Weil$\mathrm{s}\iota \mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{h}$an$\mathrm{a}\mathrm{b}.\mathrm{s}$olute value by calculating$\mathrm{s}\mathrm{t}\iota \mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{y}$) ab-$c,st\uparrow?7$$\mathrm{t}_{e}\mathrm{h}1\tau$ate.

weightfiltration.

In fact, we can start,$\mathrm{f}_{\Gamma \mathrm{O}11}1\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}1i\mathrm{x}\mathrm{e}(\mathrm{i}\mathrm{l}$Hodge module of M.Sait, ill t,he top of$0$

the diagram of (5.7), and we get the Weil estimate at the bottom, and we get, a proof$\mathrm{T}$

181

of

$(l.1, (\mathrm{I}\backslash ^{r}2\mathrm{I})$.

5.9. Remark. (1)1986, the lllixeda$\llcorner \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{l}|$)$\mathrm{s}\mathrm{f},\mathrm{a}$,ial$\mathrm{n}\mathrm{f}$theory$\mathrm{H}\mathrm{o}(^{-}1\mathrm{g}\mathrm{t}\tau$$1_{1\mathrm{C}}\backslash 1_{1}$)from.M.

IIICYI]$\backslash \wedge’$$\mathrm{o}\mathrm{f}.\backslash$$1_{1}\mathrm{a}\backslash$

first

(

$\mathrm{c}o$nsidercd,he$\mathrm{t}$$1$). of (5.8)$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{e}\zeta[_{11\mathrm{I}(^{1}}$I.Sait,o was not yet, available, (\urcorner Ilt-l here I$\mathrm{i}_{\mathrm{I}1}$$01_{)}\mathrm{t}\cdot \mathrm{a}\mathrm{i}|1\mathrm{e}(1-$.

$|\{\prime A.\mathrm{s}^{L}11\mathrm{i}\backslash \}^{\tau_{C\iota \mathrm{t}\mathrm{a}}}’$(2) Our maiIl t,heorem } in$‘ \mathrm{C}$$\S\underline{\cdot)}$

can

$1$

)

now )

$\mathrm{e}$$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}1_{1}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}_{1}11.\mathrm{s}\mathrm{i}$$1$ng the$111\dot{1}\mathrm{x}(^{\mathrm{Y}}(^{-}1$

Hodge t,heory.

${}^{t}\dot{s}6$

.

6.1.
(

$\mathrm{r}e\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{i}\iota 1$

, in

end.)

$\mathrm{F}^{\urcorner}11\mathrm{r}\mathrm{t}1_{1}\mathrm{e}\mathrm{r}\uparrow 1\urcorner \mathit{0}\ulcorner c$’$\mathrm{o}\mathrm{f}.\sigma)$

at the end of$\mathfrak{c}|$have see-l$\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{f}1\mathrm{l}\mathrm{O}|\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{h}\backslash \eta\cdot \mathrm{e}$$\mathrm{f}s5$$\downarrow\iota$. ($\mathrm{t}11(^{\mathrm{Y}}\mathbb{R}$$\lambda 4^{\cdot}\mathrm{i}\mathrm{t}_{}11\mathrm{O}|1\uparrow$in the$\mathrm{f}_{0\Gamma \mathfrak{l}1\urcorner}\mathrm{t}\mathrm{t}1^{r}\prime 1$$\mathrm{f}\mathrm{o}\iota^{\mathrm{Y}}|1)111\mathrm{a}||1$

cas of$‘\tau$t,he$\mathrm{F}_{tj}$-case. (($\mathrm{F}_{q}^{\mathrm{i}}-\mathrm{C}t\urcorner,\mathrm{s}^{}\mathrm{e}$$\mathrm{t}_{\eta}1_{1}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{t},11‘\backslash \mathrm{r}$. it becomes athe’$\backslash ^{\vee}\mathrm{a}.\mathrm{h}$way under ,he)$|\mathrm{e}$$\mathrm{t}\mathrm{l}\urcorner 1$($\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{e}\zeta[$invery definit,

)

$1$

$s$

$\zeta[0\iota 11$$\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{c}\epsilon^{\tau}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{t}_{1}\mathrm{o}$$\mathrm{f}_{t\gamma \mathrm{c}}\mathrm{f}_{t}\uparrow[]\mathrm{r}\urcorner \mathrm{t}$)colljectl\iota)$\mathrm{t},$

will

of

$\mathrm{i}\mathrm{g}\iota 1\mathrm{i}\mathrm{t}_{\}},.-$)$\zeta 1\mathrm{i}_{\mathrm{H}\mathrm{a}_{1^{)}}}1$$\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{o}\iota 1\mathrm{t}_{\gamma}\mathrm{t}_{1}11\mathrm{e}c\mathrm{x}\mathrm{i}^{\mathrm{c}}.$}$\mathrm{a}\mathrm{t}’ \mathrm{g}(\in(\mathrm{x}\cdot?.’))$

t,he very,$\mathrm{C}\mathrm{a}1^{\cdot}’\gamma \mathrm{t}$‘$(^{\mathrm{c}}.$}function$0|11\mathrm{C}^{\tau}$$\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{Y}\mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{c}(^{\mathrm{Y}}\mathrm{o}\mathrm{t}\cdot$$|\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{l}’\cdot \mathrm{c}111\mathrm{b}\backslash J\vee 0|$)

a closeda closcd[$\mathrm{t}_{r},\tau \mathrm{i}_{\mathrm{I}1}\mathrm{c}\mathrm{t}^{-}$

t,o find a closed formula in t,he

$1\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{r}$$\mathrm{t},1_{1\{^{\neg}}$)$\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{C}$

. (

, it,

a

$11^{\gamma}0\uparrow 11\mathrm{d}|$)$\mathrm{t}^{\tau}$$\uparrow 1_{1}\mathrm{c}$arja$ } $t$

if$\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{f}_{g}11\mathrm{O}11\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}_{\iota}11\mathrm{i}\mathrm{S}$$\mathrm{t}_{}\mathrm{h}_{\mathrm{l}_{!}\mathrm{S}}$ass$|1\mathrm{r}\mathrm{n}_{1}$$\mathrm{i}\mathrm{f}_{}$$|)$\S 7. Idea of proof (2).

$\mathrm{W}\mathrm{O}11|_{(^{-}\iota}$be$\mathrm{t}\mathrm{l}.\mathrm{q}e\mathrm{f}\iota 11$$r_{11_{1\mathrm{C}}}$$\zeta 11\iota \mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}_{\mathrm{Y},\vee}$

is t,ransformed

is not, a ($|_{\mathrm{t}^{\tau}}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}‘$$\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t},$$\in(\backslash , \iota^{\beta},’)\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{l}[\zeta 1$),ion turned out$\mathrm{t}$conject,ures, which are llow Theorems A

same procedure.

$\uparrow_{}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}1.\backslash ^{}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{C}\mathfrak{c}1\mathrm{i}_{\mathrm{I}}1$t,o call a$\mathrm{w}\mathrm{a}11\mathrm{f}_{}$

natural to assume$\mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{t},.\mathrm{q}.111\dagger \mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{f}_{},$

Al is$\overline{\vee-}(\backslash \cdot?.’)$$r$$\uparrow,\mathrm{a}\mathrm{i}\uparrow \mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{c}1-$stated at, the end of 6. .
$($formula for$\ulcorner 11_{1}co1^{\cdot}(\iota 111$

$co.\sigma t/i?’\prime J?n?’$\mathrm{i}$, and I havc $o1$)$\mathrm{c}1_{\mathrm{o}\mathrm{S}}\mathrm{e}\zeta 1$

general, I$111$

cast,ling t,ransformat,ion.

of castling nva ria

I expect that,a$\mathrm{r}\mathrm{e}$t,he left hand side of$\mathrm{c}C\gamma \mathrm{s}\mathrm{t}- \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{I}\mathrm{t}_{\mathrm{t}\mathrm{a}11}\mathrm{s}\{0\Gamma|\urcorner 1\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{o}11$$‘ \mathrm{c}_{\{(^{\mathrm{Y}}.)}r||1\mathrm{e}1^{\cdot}e\mathrm{f}\mathrm{o}1\{^{\mathrm{Y}}$$\mathrm{t}_{\downarrow \mathrm{e}\mathrm{r}}111\mathrm{s}$$\mathrm{i}\backslash ^{\vee}\mathrm{c}$$\mathrm{i}\mathrm{g}_{1}1\mathrm{i}\mathrm{t},.\mathrm{v}$. sincc we$\mathrm{I}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}‘ \mathrm{c}_{i\mathrm{t},\dot{\mathrm{t}}(}’ 1^{)}\mathrm{r}\mathrm{o}|$$|\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{O}|\urcorner \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{L}^{\tau}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}_{}o\mathrm{r};;1$way’ underin the usual sen$\mathrm{e}\mathrm{x}1)\mathrm{r}$

wa a

)

)

a closed formula for$\mathit{0}\backslash \mathrm{v}$$\mathrm{t}$associat,ed to a

4in a si$\uparrow|11G\mathrm{r}\mathrm{C}$$\mathrm{a}111\mathrm{I}$$\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{I}$fields.)basic mot,ivation }$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}_{1^{)}}1_{\mathrm{C}^{\mathrm{Y}}}$say, t,his$-\mathrm{O}\mathrm{I}11^{\cdot}\mathrm{e}\mathrm{r}‘\backslash ^{\sim}\mathrm{e}|\mathrm{v}\mathrm{s}_{1)\mathrm{e}}\subset\gamma \mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{g}$6.2. In 1989, I have

a

, t,o

-case. we do llotl kn

in (4.3. (1)). Thus, once.

, the a)$11\urcorner_{\urcorner},|1\mathrm{y}\mathrm{t}^{- 1|\mathrm{t}^{\epsilon_{\}}}}\mathrm{e}\mathrm{c}1$$\mathrm{r}\mathrm{C}\mathrm{S}11,.$in considering$(\}-$

ionbe$\mathrm{t},\mathit{0}|$)$\mathrm{e}$.

$\uparrow\downarrow|_{1}\mathrm{e}1^{)1}.0|_{11}\mathrm{C}11\urcorner$

182

7.1. In April of 1993, I have learnt, a$\mathrm{i}\mathrm{t}_{1}$idea fronl$\cdot \mathrm{J}.$

[

$)$

(

$11\epsilon 1\mathrm{f}$. I will)$C^{\mathrm{Y}}\mathrm{X}1^{1\mathrm{i}\mathrm{n}}$$\mathrm{a}$here.
$\mathrm{I}_{I}\mathrm{e}\mathrm{t}$$\mathbb{C}$$\mathrm{c}\mathrm{t}\cdot 1\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}$us colne back t,o$\mathrm{t}_{}11\mathrm{C}\mathrm{Y}.3\mathrm{i}\mathrm{f},11\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{i}_{0}11$of$(^{r},).1,$(6) . There we have considered a$)$-valued function

(1)

for

$(_{X\in x^{F}’})$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{C}\oint^{\urcorner}\text{ノ}(_{\Gamma \mathrm{I}=}.\sum_{i}(-1)\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(iF\urcorner*, H^{i}(F_{J}^{\cdot})x)$$E^{\cdot}\in D_{c}^{b}(X,\overline{\mathbb{Q}}l)$.

$111‘\aleph$tead of such an addit,ive$\mathrm{t},\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{o}\Gamma \mathrm{Y}\sim$’

we can consider the$\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{t}\iota \mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}-$plicative theory:(2)$(.r\in X^{F}’)$$\vee\prime_{\text{ノ}}\overline{\llcorner}’(.\Gamma):=\prod_{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t},(-f\prime^{7}, H*i(F_{J}^{\cdot})\mathrm{z}\cdot \mathrm{I}\mathrm{t}-1)i+\mathrm{i}$7.2. From additive theory to
exist,$\mathrm{s}i_{0}\in \mathbb{Z}$such$\mathrm{t}\downarrow \mathrm{h}\mathrm{a}\uparrow$theory. Assume ,hat there$\mathrm{t}$$\mathrm{n}\tau \mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{V}\mathrm{e}$,$\zeta 1\mathrm{i}\mathfrak{l}1)H^{i\mathrm{o}}(F_{\text{ノ}}’\cdot)_{x}=1$

for all. $r\in X$ , and(1)if$H^{i}(E^{\cdot})=0$$i\neq i_{0}$

.

Then

,

$\mathrm{t}$race $L(x)$ ,$e\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\iota \mathrm{l}\mathrm{C}$$\llcorner Ec,$

$(x)$

of

.

$F^{\urcorner*}\mathrm{o}11H^{i_{0}}(F^{1},)_{x}$

, and

183

are essent,ially

additive.

$\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{c}.\iota_{\}\mathrm{a}\mathrm{I}11(^{\mathrm{Y}}}$$\mathrm{t},1_{1\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}}\mathrm{y}\mathrm{f},\mathit{0}$sitllation of our )the)$111\iota 1|\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}$$\mathrm{r}\epsilon\backslash \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{o}11\mathrm{C}\{^{\mathrm{B}}\iota\cdot \mathrm{t}1$$11|\backslash ’\subset\cdot \mathrm{x}_{1^{)}}|\mathrm{a}\mathrm{i}_{\mathrm{I}}1$an a$\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$1$$|\mathrm{i}C\mathrm{a}\mathrm{t}$$1$

Next, let

if (1) occllrs in some )($\mathrm{H}\mathrm{e}11\mathrm{C}$, we$\mathrm{c}\mathrm{a}\iota 1$

IIIOV(\taufrom t,heive ,heory, atld vice versa. Ill fact,, we ca $|1([0$ in t,hee$\mathrm{t}$.
$\zeta 1_{\mathrm{Y}^{-\mathrm{a}}}|\mathrm{l}\mathrm{f},\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{C}$of t,he)$\downarrow \mathrm{n}n1\mathrm{f},\mathrm{i}_{1^{1}}$$\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{f},\mathrm{i}\mathrm{V}G$t,heory, i.e.,

duct$\mathrm{t}\downarrow 1\mathrm{l}\mathrm{c}_{1)}1’ \mathit{0}$$\dot{\tau}$

formula of G.Laumon.

7.3. Grothendieck theory on Artin L. Let,$\mathrm{e}|$$k1^{i}$)a field and)$l\cdot \mathrm{i}s\mathrm{t},\mathrm{s}.\mathrm{q}‘\tau 1$$\mathrm{a}\Gamma \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$closure. Then$\rangle${(1),-sheaf of rank

$f^{t^{1}}.|\mathrm{c}’\backslash \mathrm{t}\mathrm{a}|\mathrm{e}\overline{\mathbb{Q}}$$=${$p_{\text{ノ}^{}1’}|l$?-dimensional$(\overline{\mathbb{Q}}_{l},$

$n$

on

$X=\mathrm{s}_{1)\mathrm{e}\mathrm{c}}k$}$\mathfrak{c}_{1}^{\mathrm{t}}\mathrm{a}1(k\mathrm{q}/k))- 111\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}]e$

}

and

(2)

$H_{\mathrm{e}’\iota,\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}^{i}(sx, F_{\text{ノ}^{}1})=H_{(_{1}^{\tau}\mathrm{a}\mathrm{I}0\mathrm{i}}i.$( al $(k_{9}/k),$ $E’$ ).

$\mathrm{q}1\subseteq_{1}$For a gelleral scheme

is a cert,ain$-\mathrm{X}’,$$lj^{b}(.(.\backslash ’.\overline{\mathbb{Q}}_{l})$$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}\cdot \mathrm{a}\iota \mathrm{i}7,\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}$which$\mathrm{a}_{1^{)}1^{)\mathrm{e}}}\mathrm{a}\mathrm{r}G\mathrm{d}$in (5.1, (6))

of (1), and the -adic c’t,ale$(\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t},\mathrm{t}\gamma 0\iota 1\mathrm{f}\downarrow\zeta 1\mathrm{C}\mathrm{f}\mathrm{i}|1\mathrm{i}\mathrm{f},\mathrm{i}_{01}1)$$l$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}$is a generalizationof (2).

Coming back t,o a variety
the -adic \v{c}tale$l$$Co\iota_{10}$mology.

$.\iota’$over$\mathrm{F}_{q}\mathrm{a}\mathrm{l}\tau \mathrm{d}E^{\cdot}\in D_{c}^{b}(X,\overline{\mathbb{Q}}_{l})$, let, $H^{i}(.\iota’, E^{\cdot})$ beAft,er A.Crot,hendieck, we define t,hc Art,in$I_{\text{ノ}}-\mathrm{f}\iota 1\mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$

by

(3)

$(^{r_{\Gamma l1\mathrm{i}}}\mathrm{S}$$L(X, t^{i^{\urcorner}} \text{ノ}., g):=\prod_{i}\zeta\iota_{\mathrm{e}}\mathrm{t}(]-q^{-\forall}.F^{*}, Hi(x, E^{\cdot}))^{\mathrm{t}^{-}}1)^{t}$is amodule.s.)$\mathrm{g}\mathrm{e}11\mathrm{e}\mathrm{r}C\gamma$$\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{l}\urcorner$]$i_{7_{}}\mathrm{a}\mathrm{f},\mathrm{i}\mathrm{o}|1$of$\mathrm{t},|_{1}\mathrm{c}$t,he following

llstlaI\wedge rt,in L-filIlcf,ions associat,ed wit,1] ($\mathrm{f}_{11}11\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11\mathrm{a}1(^{1}\mathrm{q}_{11\mathrm{a}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\Pi$follows$\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\tau \mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}$$\overline{\mathbb{Q}}_{l}$, (: alPoincar\’e$(k_{9}./l\cdot)$$\mathrm{d}\uparrow\iota \mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\uparrow_{}.\backslash \mathrm{v}$

)

.

$-$

184

(4)

wllere$L(X, F_{\text{ノ}^{}\urcorner}..B)=-\vee-(.1^{I}, F/\cdot)q-9a\mathrm{t}^{X,E})L(X, \mathrm{D}F_{y}^{\cdot}, -S)$

is t,he$a(A\mathrm{x}’, F\lrcorner)$(5).

$l^{\mathrm{i}_{\mathrm{J}\mathrm{l}\mathrm{t}}^{\urcorner}}|\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\Gamma \mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{t},\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}s\mathrm{t}_{}\mathrm{i}C$$\mathbb{D}()$,

denot,e the Verdier$\zeta 1_{11}\mathrm{a}$].

$\mathrm{i}\mathrm{t}_{}.\mathrm{Y}^{\cdot}$$\mathrm{a}11(^{-\iota}$$\overline{\llcorner}’(X, B^{1}.)=\prod_{i}\mathrm{d}_{\mathrm{C}\mathrm{t}}(-F*, H(X, Ei\cdot))\mathrm{t}-1)i+1$

Note that llere
to calculat,$\mathrm{e}(5)$)$\mathrm{e}\mathrm{a}1^{\cdot}\mathrm{S}$$\mathrm{a}_{1^{)}}1$

a similar )$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}_{\mathrm{t}}1\mathrm{C}\mathrm{t}_{}$$1$

as (7.1, (2)). In fact, in essence, our$\mathrm{t}\mathrm{a}‘ \mathrm{s}\mathrm{k}$is.

7.4. Langlands theory on Hecke L.

Notation.
$X$: a connect,ed$I\mathrm{i}’$: the ftlnc{lion field of.X.
: the adblization of$I\mathrm{i}_{A}’$

$\pi$

: an

$\pi^{\vee}$$\mathrm{S}\ln oo\mathrm{t}]_{1}1$: the$\mathrm{R}.\mathrm{P}$)$\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{f}_{0\mathfrak{l}11\mathrm{O}},\mathrm{r}1$$\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{C}\mathrm{c}\mathrm{t}\iota \mathrm{s}1$)$/\backslash ’$)$\Gamma \mathrm{o}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{Y}e}-$curve over$\mathrm{F}_{q}$.

.

$\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{a}\iota \mathrm{r}\mathrm{e}_{1)1^{\backslash }O}\mathrm{S}\mathrm{e}1\mathrm{l}\{,\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{I}1\{_{1\uparrow}\cdot \mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{t}\cdot \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\downarrow \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{p}_{\Gamma}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathfrak{l}1\mathrm{t}_{1\mathrm{a}\mathrm{t}}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$of$GL_{n}(I\mathrm{t}_{A}’)$

.

of .
$\pi$

.Langlands defi ned a Hecke -function$l_{\text{ノ}}$$L(X, \pi, .\mathrm{s})$, and showed ,hc follow$\mathrm{t}$ing functional equation.

(1)

Since

$L$

$\mathrm{t},\mathrm{h}\dot{\mathrm{l}}\mathrm{S}$($\lambda’,$T.

$s\mathrm{I}=c(\llcorner\chi,$funct,ional equation is(like the Tate theory),$\pi)q$$\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{t}_{1}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{d}$-Sa$\mathrm{t}\cdot \mathrm{x}^{-},\pi$) $L(X, \pi \mathrm{v}, 1-B)$

as a product, of local.

[ equations$\mathrm{f}_{11\mathrm{n}\mathrm{C}\mathrm{f}\mathrm{a}}\dot{|}\mathrm{o}\mathrm{n}$

185

(2)

with a certain const,ant,closed points of $X$ . See

7.5.
$\mathrm{F}_{\lrcorner}$(local -factor at )$v$$\overline{\llcorner.}$$\in(A\iota’, \pi)=\zeta/\cdot\prod_{\mathrm{X}^{\vee}1)\in|\wedge|}$$(^{1}$$[\mathrm{L}$, wheredenot,es the set of places of$|.\backslash ’|$, the$\mathit{1}\iota’,\dot{1}.\mathrm{C}^{\backslash }$$]$Langlands conjecture (a generalization of the

{

would

,

$\mathrm{e}\mathrm{x}\prime i‘ 9t$a ce)’$\Gamma c_{\Lambda}\mathrm{q}\mathit{1}^{)O}l1$

law of,$\mathrm{r}e\mathrm{c}\mathrm{i}_{1^{)}Y}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{t}$dence$F_{J}|smoot_{l}hj_{\Gamma r}odncil)lc:\overline{\mathbb{Q}}_{l^{-}}.\mathrm{s}h\Theta at${$arrow$.

of rank$7l$

on some $op$ en dense$\pi_{E}|c\iota l^{\mathrm{c}}‘ \mathrm{i}l^{)}id_{c}?l\mathrm{a}|rt_{\mathit{0}\iota\gamma}c\mathit{1}O\Gamma l^{)}llj(r\backslash c,l)\Gamma C19\mathrm{e}\mathit{1}1tat_{j}\mathrm{i}_{\mathit{0}}\mathit{1}l$of$GL_{n}(I_{\dot{\mathrm{Y}}}^{r}A)$$I’\subset.\backslash$}$sucl_{l}tl1\mathrm{a}t$

(1)

$L$

7.6. Local constant.

(X.

$\pi_{F_{d}^{\urcorner}},$$B$)$\rangle\iota_{)\mathrm{t}1\Pi \mathrm{l}}^{1}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{i}_{1\mathrm{l}}\mathrm{g}$$=Ij(-\mathrm{x}’, F_{\text{ノ}}, s)$.

up $(7.3)-(7.5)$ , we get,by 7.3,$($$\prod_{i}\det(\rho^{*}’, Hi1(arrow’ h_{\text{ノ}}\prime\urcorner))(-1)^{+1}?=_{\vee}c(X, E)$(1)$=^{\mathit{7}}..\mathrm{C}//$$=\zeta/$.

$\vee=(X, \pi_{F_{J}}\backslash )$(.

$(^{\gamma/}$(local -factor. (Here$(_{\mathrm{J}}^{\ulcorner}.))$by (7.5, (1))$\vee^{-}-$$” \cdot,\prod_{l\in|.\backslash |}$with a certain constalltof, 3.1.3.5 .

. Artin).
$7^{\tau}l_{l}\epsilon^{1},\mathrm{r}\mathrm{c}$$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{f}_{Y}$

‘

$!’$

$\mathrm{a}\mathrm{t}_{1}\mathrm{c}$))nleans t,hatby$(7.4, (‘ \mathit{2}))$,

it is based on a conjecture.)

}

186

A
by

$\mathrm{B}.1)_{\mathrm{b}}\mathrm{v}\mathrm{o}$$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{f}_{\Upsilon}G$rk)$\mathrm{t}\mathrm{l}1$for$\mathrm{s}\mathrm{t}\downarrow \mathrm{c}\mathrm{h}$to sign, andplified the proof by a global

‘

local

$\vee^{-}--\dagger \mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}o\mathrm{r}$by R.

$\mathrm{t}_{\mathrm{I}}11\mathrm{e}\mathfrak{l}1$a certain con.qtallt,) is actually equal

tain assumption.

,$\mathrm{a}\mathrm{t}\cdot \mathrm{g}_{1\iota}\iota 1\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{f},$$\mathrm{t}_{-1}^{\mathrm{t}}.\mathrm{I}_{\mathrm{J}\mathrm{a}1\mathrm{l}}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}[\mathrm{L}$’associated t,ouncondit,ionally.

$|^{)}.\mathrm{r}_{\lrcorner}\mathrm{a}\mathrm{t}^{[}\mathrm{a}11\mathrm{d}.\mathrm{s}$and )$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}^{-e}\mathrm{d}$that their )$|^{)}.|$$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\iota 1\mathrm{C}\mathrm{t},$stlccPedcd$]$$\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{g}11e$$\mathrm{f}\prime 0$

provc t,he )sim-$(111\downarrow 1\mathrm{l}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{l})\mathrm{l}\mathrm{i}e\mathrm{d}$t,he most, left hand side of (1), (3.2.1.1)

)

$1$

$1$

$\mathrm{t}_{1}\mathrm{o}$$\mathrm{s}1\iota \mathrm{c}\mathrm{l}1FJ\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{S}\mathrm{f}\mathrm{i}_{1’}.\mathrm{S}\{)CO1\mathrm{l}.\mathrm{c}\mathfrak{j}\mathrm{t},\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{t}e\mathrm{d}$$[1\mathrm{t}]\mathrm{t}^{-1\mathrm{c}\Gamma}$$\mathrm{r}\mathrm{o}\zeta|1\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{t}$

$1$

by

a cer-

formula ingeneral.

7.7. Although t,he
we need$\mathrm{t}_{t}\mathrm{h}\mathrm{e}$$\mathrm{i}11\mathrm{o}\mathrm{s}\{_{1}$basic$\mathrm{i}_{11}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{e}1\mathrm{l}\mathrm{f}_{t}\mathrm{i}.\mathrm{S}$thefollowing mat,erials as well in an act,ual[$1^{)\mathrm{f}}\mathrm{o}T1\iota 1\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{f}\mathrm{o}\Gamma \mathrm{n}\mathrm{l}\iota\iota$$\arg\iota \mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}(=$a$\mathrm{a}$of I,a$1\downarrow[]1\mathrm{O}1$$\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}_{l}\backslash \mathfrak{n}^{\mathrm{v}}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}$

],

with

J.Denef).
(1) A work by F. Loeser and$\mathrm{C}^{1}.\mathrm{s}\mathrm{a}1$)$\mathrm{b}\mathrm{a}11[\mathrm{L}\mathrm{S}]$

, and

)}

$\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\zeta \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{d}e1\mathrm{l}\mathrm{t}|\mathrm{y}^{1}$G.

$\backslash l’$. Anderson[A] on Aomoto complexes.

(2) A work by.J.

$1)_{(^{1}}\iota 1\mathrm{e}\mathrm{f}$and F. Loeser [DL], and)$\mathrm{i}11\mathrm{d}_{\mathrm{C}}1$$\mathrm{e}11\mathfrak{c}1\mathrm{e}11\mathrm{t},|\mathrm{y}$by$r1^{\mathrm{t}}.\mathrm{s}_{\mathrm{a}}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{o}[\mathrm{S}]$on global e-factors.

In fact, comparing (1)(3) An idea of$\mathrm{a}\mathrm{l}\tau \mathrm{d}(2)$. we$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{f}_{\epsilon}\Gamma 1\urcorner \mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\tau$$\mathrm{N}.\iota\backslash ^{I}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{a}11\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{a}[\mathrm{K}, 3.1]$

Al.

.

In fact, we get Theorem f3 using t,his idea.
$\ulcorner\Gamma 11\mathrm{e}$proof of Theorem

on a$\mathrm{t}^{\mathrm{t}}-\cdot \mathrm{d}\mathrm{c}_{1^{)\mathrm{e}11}}\zeta[\mathrm{s}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\ln_{1^{)}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{y}$direct, calculat,ion of

local e-factors.

References[A] G.W.Anderson, Local facofri.

$\sim\vee atio’ l$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\urcorner 1^{)0}\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{h}$$g?^{\backslash }O\mathrm{t}\iota P^{S},$[DL] J.Denef and F.Loeser,$\mathrm{B}\iota 111$

of$det\epsilon$

rminants of$tt/’ i.\mathrm{s}t_{Cd}lJR$. 83 (1992), 69-105.

$D_{\mathrm{f}}f_{\mathrm{f}\Gamma}’ 7$} $?\Pi atio$ } lg\’eo}n\’efriq$\mathrm{t}\iota ed\rho.s$

sot7}. Soc. Mat,1]. France 122 (1994), 101-119.

[G] A.Gyoja,”$c_{\mathrm{z}\theta\Gamma\}},$

cohomology

ic quoticnf$?’ a?\cdot i_{P}\dagger i_{C_{\mathrm{t}}^{\mathrm{q}}}$, in the same volume.

$’\uparrow 1$

es dr:$S\mathrm{f}.lb\mathrm{f}\}^{\backslash }g- E’ von.\mathrm{q}$

,

187

[K] N. Kawanaka,$1^{\gamma}\mathrm{a}11\mathrm{C}(\backslash \mathrm{d}$[L] G.

$(_{r’r\}\}}\rho$Studie,$\backslash ,\dashv \mathrm{i}$$\mathrm{r}_{I\partial 11}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n},$conje.ctureIl}$\eta/i^{\sim_{\Gamma}}\vee\cdot d(’,\mathrm{r}/fo$ation$d\mathrm{r}\mathrm{M}^{r}!\epsilon’?/.\prime 1^{)}\mathrm{t}\mathrm{l}1$[LS] F. Loeser and$(^{1}.\mathrm{s}_{\mathrm{a}}-,|)[)\mathrm{a}]],$$\prime 5^{\mathrm{I}}07r7e$}

lfations and$F_{\text{ノ}},,\mathit{0}/ad?\ell a/ity$, Ad-$drf^{\prime^{\urcorner}o\mathrm{t}}\iota$}$\eta c\uparrow$”$CO?7\cdot‘ \mathrm{i}$falrtr.q $d’ c^{\text{ノ}}quat?onSfo?t$ ctionrllcs$\epsilon^{\backslash }t$

IH ES 65 (1987), 131-210.

)|.

$fl^{1}\text{ノ}q?\ell \mathrm{r}\mathit{4}t?\mathit{0}\}l\cdot \mathrm{q}$$d_{Cf_{\dot{O}n}}ctio’?.\sigma t77t//tifol"\}lc.\backslash \neg,$[R] M.RosenliCllt,,$\Gamma,S\mathrm{f}$Math. 6 (1985), 175-226.

$l^{)}\mathrm{t}1\Gamma \mathrm{C}$$7^{\urcorner}ra?’.\overline{\mathrm{b}}f_{\dot{O}}\Gamma n7$}’ $d- cra\mathrm{r}7’ r\Gamma p$ }’$a?l.$ ?

$(_{-\mathrm{O}111}^{\mathrm{t}}111e\mathrm{n}\mathrm{t}$basicdiffirc nccs fim ic. s et$d_{\acute{C}frr\iota}\gamma 7?’$}

$q\dagger i\mathit{0}l?.\mathrm{q}$d$int\acute{e.}grale\prime s$. Math. Helvetici 66 (1991), 158503.

$th_{\theta}ow,?7$ )son algebraic groups, Amer. J. Math. 78(1956), 401 1 t3.

[S]$r_{l^{\mathrm{t}}.\mathrm{s}_{\mathrm{a}}}\mathrm{i}\mathrm{t}_{0,.-},"-f\dot{a}C\dagger or$

389417.

of$\dagger a\uparrow 77\xi^{\prime l}y\}^{\backslash }a’\gamma??fird$

sheof 0}? a variety, Invent. Mat,h. 113 (1993),