仮説検定の考え方〜導入の一例〜
上野 隆彦・聖マリアンナ医科大学

e-mail: t2ueno@marianna-u.ac.jp

序

講義内容（概要）

本稿は高等学校数学 I に含まれる予定の「仮説検以下，学生に対する質問はゴシックで表記する．

定の考え方」とは関係ない．本年度，筆者が講義（立教大学理学部数学科（2 年生以上）「確率と統計１」
および聖マリアンナ医科大学医学部医学科（3 年生）「医学情報学」）で行った仮説検定の導入部分の紹介である．
仮説検定は「実験的にとったデータをもとに意思決定をする方法論」だが，昨年度までの講義では学生の十分な理解は得られていないように感じていた．
仮説検定は「帰無仮説に基づいて確率分布を検討し問．
「普通の薬は 2 人のうち 1 人に効果がある」とします．新しい薬を作った人は「新しい薬はもっと多くの人に効果がある」と思ってます．これを確かめるにはどうしたらいいでしょう？意見のある人は手を挙げて下さい．薬の効果で考えづらければ普通のコイン：表，裏が出る確率は 0.5
新しいコイン：表が出る確率は 0.5 より大きいと置き換えて下さい．

棄却域を定め，それに基づいて結果を解釈する」の手を挙げるものはいなかったので「仮に科学的にだが，理解の不十分な学生はデータからの統計量の歪みを分析して，このコインの表が出る確率は 0.62

計算方法とそれを P 値に変換する方法までを覚えてだ，といわれても，本当かはわからないので最後は「さて結論は？」となっている印象であった．「デー実験して確かめるよりない」と誘導した．

タをもとに意思決定をする方法論」を教えたはずなのに「データからの統計量の計算方法と P 値への変換方法」を覚えて意思決定ができないのでは，仮説検定を学んだとはいえない．そこで問．10 回コインを投げて表が出やすいかを判定することにします．何回以上表が出たら「このコインは表が出やすい」とあなただったら判定しますか？答
えづらいと感じる人もいるかもしれませんが，正解

1. 学生に質問し考えさせるがあるというものではありません．普通のコインで

2. 簡単な例で徐々に内容を深める

あれば表が出る回数はという 2 点を意識して講義しようと試みた．まず確率分布を用いずに適当に棄却域を定め，データをもとに結果を解釈するという検定の本質的な部分を紹

5 回くらい ．10 回中で 5回くらいより多いと思う回数はどこからでしょう？
この回答を x, 以下の問の y, z と共に受講者に回答させた．この回答については考察で紹介する．

介し，その後に確率分布を用いて適当な棄却域の意
味を考える，というのが本年度の仮説検定の導入部

問．コインの表が出やすいと判定するのは分の流れである．

100 回コインを投げたとき，y 回以上表が出たら．
1000 回コインを投げたとき，z 回以上表が出たら．
学生達に「これでコインの表が出やすいか判定する方法が 3 つ出来ました」と伝えたところ戸惑っていたように感じたので，その理由を学生に尋ねた．て「表は 6 回〜10 回出るだろう」，つまり，表は 5 回A. 思いつきで決めた基準で判定してよいのか．

より多く出そうと解釈できる．同様に「表が 7 回出B. 人によって判定法は異なるのではないか．

た」という結果は「表は 5 回〜9 回出るだろう」，つ学生達の疑問は上記 A, B に集約された．A につい

まりは表の出る回数が 5 回を上回るとまではいえなては後で考えると回答し，B については「コインのいと解釈される．得られた結果から，観測される結判定結果と共に自分の判定法を公開すればよい．そ果の存在しそうな範囲を推定することを区間推定との結果をどうとらえるかは，それを見た人が判断すいう．特に検定と対応する形で考えられる区間を信ること」と回答した．

頼区間という．

また「コインをどう投げて結果をどう記録したか」も公開すること，つまり投げ方，記録の仕方も大事と教えた．記録がデタラメでも，投げ方で表，裏を操作できても判定法を決めた意味がないと強調した．
ここで検定を紹介した．「コインを 10 回投げて 8回以上表が出たら表が出やすいコインと判定する」という判定法のことを検定という．ここで検定の判断基準（この場合 8 回）のことを検定の有意水準と呼ぶ，と説明した．
問．10 回中 7 回表が出たとき，そのコインは表が出次に「人によって異なる，思いつきで決めた判定法」の性能を考えた．この判定法を用いたときに「普通のコインを表の出やすいコインと判定してしまう誤り」を検定の第 1 種の過誤，また「表の出やすいコインを表が出やすいと判定できない誤り」を検定の第 2 種の過誤ということを説明した．
問．上記の検定で第 1 種の過誤が起きる確率を求めよ（式を答えよ）．
10∑

10 C k (0.5)

10,

100
∑

100 C k (0.5)

100k=y,1000∑

1000 C k (0.5)

1000

k=z

やすいと判定されない．この解釈として「これは普k=x通のコイン（表の出る確率 0.5）である」は妥当か？

を答えてもらい，いくつか計算例を示した．また「有意水準」＝「第 1 種の過誤確率」であることを説明

この判定法は「表が出やすいことを判定するためのもの」である．その判定基準に満たなかったコイ
ンは，あくまでも（この判定法で，今回の実験結果から）「表がでやすいと判定されなかったコイン」とした．更に第 1 種の過誤確率をどのくらい小さくしたいかを二項分布を用いて検討しておけば全員が同じ有意水準を選べることを説明した．ここまでが仮説検定の考え方の導入である．

なる．「（この判定法で）表が出やすいと判定されない」＝「表の出る確率が 0.5 の普通のコイン」は成り

この後に，ここまでの内容を仮説検定の手順（１．

立たない点を注意した．また仮に「10 回中 5 回表が帰無仮説，対立仮説を設定，２．帰無仮説のもとでの出た」としても同じ解釈となることを注意した．

確率分布の検討，３．実験結果の判断）に当てはめて書き直した．更に続く講義では分布を変えて，同問．先程の 3 つの判定法を参考に「裏が出やすい」という判定法を考えよ．また「表または裏が出やすい」という判定法も考えよ．
続けて検定と信頼区間の関係を次のように紹介し様のことを行うという形で仮説検定を紹介していった．また平均値の検定，平均値の差の検定は分散未知の場合に限るなどの配慮をした．

考察た．「コインを 10 回投げて 8 回以上表が出たら表がこの導入のメリットは，仮説検定において理解し出やすいコインと判定する」場合，「5 回くらい」＝づらいと思われる以下の点を具体的なイメージと共「3 回〜7 回」と考えていることになる．つまり 10 回に学修できることにあると考えている．

投げるとき ±2 回の誤差を許容している．そうすると「表が 8 回でた」という結果は ± 2 回を誤差とし1. 有意水準：検定の判断基準で，第 1 種の過誤を制御．

は経験的に知っていると考えられるが，その多くが2. 実験結果を見てから有意水準を設定することがダメな理由．

x = 8, 9 を選択している点は興味深い．「大」は試行回数が増えるとバラツキも増えるという考え方の学

3. 有意差なし≠差がない．

生で 8 名（全体の 6 ％）が該当した．
「他」に分類さ4. 信頼区間と検定の関係．

れた多くは，y, z を y/100, z/1000 が殆ど同じくらい

5. データをどのようにとるかも考える必要がの割合となるよう選択しているので，「同」に分類しある．

た学生達に近い感覚があるのではないだろうか．[1]5 を説明している初心者向けの統計学の本を見たことはないが，仮説検定は「データが間違いやバイアスを含まないようとられてる」ことが前提であることは，しっかり教えておく必要があると感じている．
次の表は「10 回中 x 回以上表が出たら，表が出やすいと判定する」学生達の判断基準が，試行回数の増加でどう変化するかをまとめたものである．

x56789計

同において割合を一定，標本の大きさを変化させたとき 48 人中 22 人 (45.8 ％) が，標本の大きさを考慮しなかった旨等を報告している．調査方法は異なるが，今回の調査結果とも類似しているのではないだ
ろうか．
本年度，このような導入を試みた感想は次のようになる．まず導入から二項分布を用いた検定までは学生の様子から察するに理解はしやすかったのでは

小大他

計ないかと感じている．しかし，その他の検定の説明

5012 113 161 160531 38026008024
17825153952
257128

では，欠席・遅刻や他の勉強をしている学生が目立ち

表の「同」は割合が変化しないもの（例． x = 7,y = 70, z = 700），「小」は割合が小さくなるもの（例． x = 7, y = 65, z = 600），「大」は割合が大きくなるもの（例． x = 7, y = 75, z = 800），「他」は始めた．初心者向けの講義では，学生に主体的に考えてもらう工夫が必要であるように感じている．そのため次年度は学生の出席，学生同士で議論させることを重視した講義内容にしたいと考えている．
皆様にとって参考になる部分が多少でも本稿に含まれていれば幸甚である．

参考文献

それ以外のもの（例． x = 7, y = 68, z = 680）と[1] Evans, J. St. B. T. and Dusoir, A.E. “Proportion-分類した．ただし例外として x = 6 の「他」には

ality and sample size as factors in intuitive statisticalx = 6, y = 51, z = 501 と回答した 18 名（全体の 14judgement”, Acta Psychologica, 41, 129-137 (1977).

％）を含んでいる．この回答は割合が小さくなっていくという意味では小に分類されるべきであるが，「1 回でも表が多ければ表が出やすいと判定する」というデータのバラツキを許容しないという主旨の回答と考えたため「他」に分類することにした．これは「小」に分類される回答数＝大数の法則を何となく知っている学生数としたかったためである．
「小」に分類された学生は 38 名（全体の 30 ％）である． x = 8, 9 と回答した 32 名のうち 21 名（66％）， x = 7 と回答した 52 名のうち 16 名（31 ％），x = 6 と回答した 39 名のうち 1 名 (3 ％) が「小」に分類された．これらの学生は大数の法則を知識また