数理解析研究所講究録
第 1872 巻 2014 年 49-58

49

Lifting construction of strongly regular graphs andassociation schemes in$\mathbb{F}_{q}$–$\mathbb{F}_{q}$上の強正則グラフとアソシエーションスキームの構成法
熊本大学・教育学部数学科

籾原

–

幸二*

Koji Momihara
Department of Mathematics, Faculty of Education,
Kumamoto University

概要
論文 [8] の中で，有限体$\mathbb{F}_{q}$上の二次形式を用いた強正則ケーリーグラフおよびアソシ

エーション (トランスレーション) スキームの構成法を与えた．その構成法では，の指数上の強正則ケー$\mathbb{F}_{q^{2}}$$q-1$ の乗法部分群のいくつかのコセットの和集合を連結集合とする，$\mathbb{F}_{q^{2}}$リーグラフおよびアソシエーション (トランスレーション) スキームの存在を仮定した．この論文では，そのような条件を満たす，有限体上の強正則グラフと 3- クラスのアソシェーショ

ンスキームの構成法を与える．この論文は，論文 [5,8] の要約である．
キーワード: 強正則グラフ，アソシエーションスキーム，ガウス和1

導入

この論文では，位数

$q$

の有限体

$\mathbb{F}_{q}$上のケーリーグラフ

フの分解を考え，どのようなうまい$Cay(\mathbb{F}_{q}, D_{i})$$D_{i}\subseteq \mathbb{F}_{q}(1\leq i\leq d)$

らにょる$\mathbb{F}_{q}$上の完全グラに対し，その分解がアソシェーション

スキームを成すかを考えたい．

よく知られている事実として，対称的な 2- クラスアソシェーションスキームと強正則グラフの存在性は同値で，アソシエーションスキームの各 relation が，強正則グラフとなる．例えば，よく知られたアソシエーション (トランスレーション) スキームとして，有限体の乗法部分群とそのコセットらを relation とする円分 (cyclotomic) スキームはよく知られてぃる．また，Paley グ
ラフはパラメータ $(v, k, \lambda,\mu)=(4t+1,2t, オー 1, t)$ を持つ強正則グラフであり，有限体の指数 2の乗法部分群とそのコセットを relation とする 2- クラスアソシェーションスキームである．

$\overline{1-}$860-8555, 熊本県熊本市黒髪 2-40-1, 熊本大学教育学部数学科，Email: momihara@educ.kumamoto-u.ac.jp〒

この研究は，科学研究費補助金 (研究活動スタートアップ 23840032) の補助を受けています．

50
今後， を素数， を正整数，$q:=p^{f},$

$k$

た，

と表記する．これらのコセットを円分類と呼ぶことにする．

$f$

$p$

$C_{i}^{(k,q)}=\gamma^{i}\langle\gamma^{k}\rangle(0\leq i\leq k-1)$

を $q-1$ を割る正整数， を$\gamma$$\mathbb{F}_{q}$の一つの原始根とする．ま

Momihara-Xiang は論文 [8] の中で，以下のようなアソシエーションスキームの構成法を与えた．
定理 1.1. $([8J)n$ を偶数とし，$Q:V=\mathbb{F}_{q}^{n}arrow \mathbb{F}_{q}$

自然数

$k$

に対し，

$1\leq i\leq d$ を $\{0,1, \ldots, k-1\}$$A_{i},$

ケーリーグラフを非特異な二次形式とする．$q-1$ を割る$Cay( \mathbb{F}_{q}, \bigcup_{\ell\in A_{i}}C_{\ell}^{(k,q^{2})}),$$1\leq i\leq d$の部分集合とし，$\mathbb{F}_{q^{2}}$による分割が，d- クラスアソシエーションス

キームを成すと仮定する．このとき，架上の完全グラフのケーリーグラフ$Cay(V, D_{\bigcup_{\ell\in A_{i}}C_{\ell}^{(e,q)}}),$$1\leq i\leq d$

上の完全グラフのと$Cay(V, D_{0}\backslash \{O\})$による分割は $(d+1)-$ クラスアソシエーションスキームを与える．ここで，$D_{u}=\{x\in V|Q(x)=u\}$ とし，また，に対し $D_{X}= \sum_{x\in X}D_{x}$ と定める．

上の d-

クラスの円分スキームを持ってくれば，$X\subseteq \mathbb{F}_{q}$

例えば，自明な適用例として，$d=k$ とし，$\mathbb{F}_{q^{2}}$$\mathbb{F}_{q}^{n}$

上の $d+1$ クラスのアソシエーションスキームが得られる．しかし，一般にはこの構成法の種となるアソシエーションスキームについて，多くのことは知られていない．この論文では，この構$q-1$ を割る自然数 を位数とする円分類の和集合を連結集合に成法の条件を満たす，つまり，$k$持つ上のアソシエーションスキームの構成法を与える．特に，$d=2$ および $d=3$ の場合について扱う．
$\mathbb{F}_{q^{2}}$2

ガウス和および強正則グラフアソシエーションスキームに関する準備

2.1$\mathbb{F}_{q}$準備の標準加法的指標$\psi$と$\mathbb{F}_{q}$のある乗法的指標$\chi$

に対し，指標和$G_{f}( \chi)=\sum_{x\in F_{\dot{q}}}\chi(x)\psi(x)$をガウス和と呼ぶ．ここでは，以下のガウス和の計算に関するよく知られた性質を用いる．
(i)
(ii)

(iii)
(iv)

$\chi$$p$が非自明のとき，$G_{f}(\chi)\overline{G_{f}(\chi)}=q.$を$\mathbb{F}_{q}$の標数とする．このとき，$G_{f}(\chi^{p})=G_{f}(\chi)$.

$G_{f}(\chi^{-1})=\chi(-1)\overline{G_{f}(\chi)}.$$\chi$$G_{f}(\chi)=-1.$
が自明のとき，(v) $\sigma_{a,b}(G_{f}(\chi))=\chi^{-a}(b)G_{f}(\chi^{a})$ . ここで， を
$k$

$1$

に対し，

$\sigma_{a},b(\zeta_{k})=\zeta_{k}^{a}$かつ$\sigma_{a,b}(\zeta_{p})=\zeta_{p}^{b}$$\chi$の位数とし，

で決まる$\sigma_{a,b}$$\mathbb{Q}(\zeta_{kp})$を $gcd(a, k)=gcd(b,p)=$の自己同型とする．

これまで，小さな位数 に対し，ガウス和の計算が行われてきた．例えば，位数 2 の場合のガウ$k$ス和の計算は古くから知られている．また，準原始的な場合 すなわち$($$-1\in\langle p)\leq(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^{*}$な51る場合) に対しても，ガウス和の値は完全に決定されており，また，これらの計算に基づいて様々な組合せ構造の存在性が示されてきた．様々な結果および歴史については，[2] を参照されたい．

一方，最近活発に研究されているケースは，指数 型と呼ばれるケースであり，以下のようなものである:
をにおける位数とする．また， のと書く．この$e$$e=[(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^{*}:\omega\rangle]$

$f$

に対し，

$\mathbb{F}_{p^{f}}$上のガウス和を指数$G_{f}(\chi_{k})$$e$$\phi(k)/e$$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$$p$型と呼ぶ．ここで， は$\chi_{k}$$\mathbb{F}_{p^{f}}$

$f$

の位数

$k$

の乗法的指

標とする．特に，$e=2$ の場合は，このガウス和は完全に値が決定してぃる ([11]). しかしながら，これら以外の場合における完全な計算結果はあまり知られておらず，計算は容易でないように思われる．

以下は代数的グラフ理論でよく知られた結果である [3].
補題 2.1. $(G, +)$ を有限可換群とし，$D$ を $0\not\in D$ かつ$D=-D$ を満たす $G$ の部分集合とする．

このとき，$\{\psi(D)|\psi\in\hat{G}\}$

が $Cay(G, D)$ の固有値全体を与える．ここで， は $G$ の指標群とする．
$\hat{G}$

一方で，非自明な正則グラフが強正則であるための必要十分条件は，そのグラフの固有値がちょうど 3 つとなることが知られている [3]. (うち 1 つはグラフの次数である．) よって，
$D=$$\bigcup_{i\in I}C_{i}^{(k,q)}\subseteq \mathbb{F}_{q}$に対し，$Cay(\mathbb{F}_{q}, D)$が強正則グラフを成すか否かは，$\psi(aD)=\sum_{x\in D}\psi(ax)$,がちょうど 2 つの値を取ることを示せばよい．ただし，の標準加法的指標とする．まを一島を満たすた，を分割する部分集合とするとき，$a\in \mathbb{F}_{q}^{*}$$\psi$$R_{1},$ $R_{2},$$i\leq 3$$\mathbb{F}_{q}^{*}$

で$R_{i}=$$R_{3}\subseteq \mathbb{F}_{q}^{*}$は$\mathbb{F}_{q}$$Cay(\mathbb{F}_{q}, R_{\dot{\eta}}),$$\mathbb{F}_{q}^{*}$

が 3- クラスアソシエーションスキームを成すための必要十分条件は，部分集合$\mathbb{F}_{q}^{*}$

を分割するものが存在し，$\psi(aR_{i})$ところで，指標の直交性を用いて，$\psi(aD)$の値が $a\in D_{j}$ なる$j$はガウス和の言葉で以下のように表せる (cf. [6]):.

$C_{0}^{(k,q)}$$C_{0}^{\perp}$$D_{3}\subseteq$

のみに依存することである．

$\psi(aD)=\frac{1}{k}\sum_{\chi\in C_{0}^{\perp}}G_{f}(\chi^{-1})\sum_{i\in I}\chi(a\gamma^{i})$ここで， は鳶の部分群で，$D_{1},$ $D_{2},$$1\leq$(2.1)

上自明な乗法的指標から成る．よって，強正則グラフの場

合も，3- クラスアソシエーションスキームの場合も本質的な計算は，ガウス和の計算が重要である．しかしながら，既に述べたように，ガウス和の完全な計算を行うことは大変困難であるため，可能な限りガウス和の直接的な計算を避けながら，証明を行いたい．そこで，我々は，以下のDavenport-Hasse のリフトの公式と呼ばれる定理を用いる．
定理 2.2. ([2])$\alpha\in \mathbb{F}_{q’}$$\chi$

に対し，を$\mathbb{F}$q〆の乗法的指標， を$=\mathbb{F}$$\chi’$$\chi’(\alpha)=\chi(Norm_{q’/q}(\alpha))$$\chi$の $\mathbb{F}_{q’}=F_{p^{fs}}$と定める．このとき，$G_{fs}(\chi’)=(-1)^{s-1}(G_{f}(\chi))^{s}$が成立する．

へのリフトとする．つまり，

52
3$\mathbb{F}_{q}$上の円分的強正則グラフから得られる

この章では，円分的強正則グラフと呼ばれる$\mathbb{F}_{q}$$\mathbb{F}_{q^{2}}$上の強正則グラフ上の特別な強正則グラフを利用した，強正則グ

ラフの構成法を与える．
$\mathbb{F}_{q}$$Cay(\mathbb{F}_{q}, D)$の乗法部分群 $D$ に対し，が強正則であれば，このグラフを円分的であるとよぶ．

円分的強正則グラフの存在性について以下の予想が知られている．
予想 3.1. ([9])$k$$Cay(\mathbb{F}_{p}{}_{f}C_{0}^{(k,p^{f})})$

を$k| \frac{p^{f}-1}{p-1}$$C_{0}^{(k,p^{f})}=-C_{0}^{(k,p^{f})}$を仮定する．このとき，は以下のいずれかである．

(1) 部分体型) $d|f$ なる(2) (準原始型)-1(3) 撒在型)を満たす正整数とし，

$\in$

$d$

に対し，

$C_{0}^{(k,p^{f})}=\mathbb{F}_{p^{d}}^{*},$$p\rangle\leq(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^{*},$$Cay(\mathbb{F}_{p}{}_{f}C_{0}^{(k,p^{f})})$

は表 1 の 11 個のいずれか．
表 1:11 個の散在型$\mathbb{F}_{q}$とその $m$ 次拡大$\mathbb{F}_{q^{m}}$を考え， を$L$$\mathbb{F}_{q^{m}}^{*}/\mathbb{F}_{q}^{*}$の代表系とする．ここで， の元として，$L$$b_{F_{q^{m}}/F_{q}}(x)=$0 または 1 となるように選ぶことができる．ここで，$L_{0}=\{x\in L|Tr_{F_{q^{m}}/F_{q}}(x)=0\}, L_{1}=\{x\in L|R_{\mathbb{F}_{q^{m}}/F_{q}}(x)=1\}.$

とおく．このとき，$H_{0}=\{\overline{x}\in \mathbb{F}_{q^{m}}^{*}/\mathbb{F}_{q}^{*}|x\in L_{0}\}$は$\mathbb{F}_{q^{m}}^{*}/\mathbb{F}_{q}^{*}$

上差集合を成す．(Singer 差集合と呼ばれている．)

法的指標 は，が成立する．
$\chi$$\mathbb{F}_{q^{m}}^{*}/\mathbb{F}_{q}^{*}$$\mathbb{F}_{q^{m}}^{*}$(3.1)の位数 $(q^{m}-1)/(q-1)$ の乗の指標を誘導する．このとき，山本 [10] の結果より，$\chi(H_{0})=G_{fm}(\chi)/q$

53$\mathbb{F}_{q}^{*}\leq C_{0}(:=C_{0}^{(k,q^{m})})\leq \mathbb{F}_{q^{m}}^{*}$$\mathbb{F}_{q^{m}}^{*}/\mathbb{F}_{q}^{*}$を$\overline{C_{0}}$なる部分群$c_{0}$

に対し，$\overline{C0}=Co/\mathbb{F}_{q}^{*}\leq \mathbb{F}_{q^{m}}^{*}/\mathbb{F}_{q}^{*}$

で割った剰余群の代表系とし，

$S$

とする．

$G=\{\overline{s}|s\in S\}\simeq \mathbb{F}_{q^{m}}^{*}/C_{0}$今，とおく．また， を$s\in S$ はちょうど 2 つのが強正則であると仮定する．このとき，値を取る [4, 9]. よって，を得る．ここで， は非零整数である．今，ををの自明な乗法的指標とし，なる任意の指標とする．このとき，$Cay(\mathbb{F}_{q^{m}}, C_{0})$$|H_{0}\cap s\overline{C_{0}}|,$$|H_{0}\cap s\overline{C_{0}}|-|H_{0}\cap\overline{C_{0}}|=0,$$\mathbb{F}_{q^{m}}$$\chi_{0}$$\chi$$\delta$$\delta$$\chi^{k}=\chi_{0}$$\chi(H_{0}) = \sum_{s\in ヨ}|H_{0}\cap s\overline{C_{0}}|\chi(\overline{s})$$= \sum_{s\in S}(|H_{0}\cap s\overline{C_{0}}|-|H_{0}\cap\overline{C_{0}}|)\chi(\overline{s})$$= \delta\sum_{s\in S’}\chi(\overline{s})$を得る．ここで，(3.2)$S’=\{s\in S:|H_{0}\cap s\overline{C_{0}}|-|H_{0}\cap\overline{C_{0}}|=\delta\}$とする．よって，以下の公式を得る．
$\sum_{s\in S}\chi(\overline{s})=\frac{\chi(H_{0})}{\delta}=\frac{G_{fm}(\chi)}{\delta q}$

注意 3.2.
$H_{0}$$\gamma$$\delta$は $p$の幕であり，また，$\overline{S’}:=\{\overline{s}|s\in S’\}\subset G$

.

(3.3)

は $G$ 上 $(k, |S’|, \lambda’)$ 差集合を成す．

の部分差集合と呼ばれる．

を$\mathbb{F}_{q^{2m}}$の原始根，$\omega=Norm_{q^{2m}/q^{m}}(\gamma)=\gamma^{q^{m}+1}$である．また，$C_{j}^{(k,q^{2m})}=\gamma^{j}\langle\gamma^{k}\rangle,$

定理 3.3.

とすると， は$\omega$$C_{j}^{(k,q^{m})}=\omega^{j}\langle\omega^{k}\rangle=\omega^{j}C_{0}$$\mathbb{F}_{q^{2m}}$の部分体$\mathbb{F}_{q^{m}}$

の原始根

とおく．

を満たす部分群とし，が円分的強正則グラフであると仮定する．今，$I=\{0\leq i\leq k-1|\omega^{\neg}\in S’\}$ と定める．ここ$\mathbb{F}_{q}^{*}\leq c_{0}\leq \mathbb{F}_{q^{m}}^{*}$

を $[\mathbb{F}_{q^{m}}^{*}:c_{0}]=k$ かつ $-C0=C0$

で， は似 2 で定義された
$S’$

$)$

$D= \bigcup_{i\in I}C_{i}^{(k,q^{2m})}$証明:$\psi_{1}$を$\mathbb{F}_{q^{2m}}$$S$の部分集合とし， は，$\overline{\omega}$$\omega \mathbb{F}_{q}^{*}$とすると，$Cay(\mathbb{F}_{q^{2m}}, D)$の標準加法的指標とし， を$\psi_{1}(\gamma^{a}D),$を意味するものとする．このとき，は強正則である．

の乗法的指標とする．
$0\leq a\leq k-1$
で与えられることに注意し，$\chi_{k}’$の次数以外の固有値は$Cay(\mathbb{F}_{q^{m}}, C_{0})$$\mathbb{F}_{q^{2m}}$

の位数

$k$

$Cay(\mathbb{F}_{q^{2m}}, D)$$Cay(\mathbb{F}_{q^{2m}}, D)$が強正則であることを示すために，$T_{a}=k \cdot\psi_{1}(\gamma^{a}D)+|I|=\sum_{x=1}^{k-1}G_{2fm}(\chi_{k}^{\prime-x})\sum_{i\in I}\chi_{k}^{;x}(\gamma^{a+i})$を $a=0,1,$$\ldots,$$k-1$ のすべてで計算する必要がある．
$k|(q^{m}-1)$ に対し， は$\chi_{k}’$標為のリフトであることに注意し，Davenport-Hasse のリフトの公式から$T_{a}=- \sum_{x=1}^{k-1}\chi_{k^{x}}(\omega^{a})G_{fm}(\chi_{k}^{-x})G_{fm}(\chi_{k}^{-x})\sum_{i\in I}\chi_{k}^{x}(\omega^{i})$$\mathbb{F}_{q^{m}}$

のある指

54
を得る．また， の定義より，$I$$\sum_{i\in I}\chi_{k}^{x}(\omega^{i})=\sum_{s\in S’}\chi_{k}^{x}(s)=\frac{G_{fm}(\chi_{k}^{x})}{\delta q}$を得る．よって，$T_{a} = - \frac{1}{\delta q}\sum_{x=1}^{k-1}\chi_{k}^{x}(\omega^{a})G_{fm}(\chi_{k}^{-x})G_{fm}(\chi_{k}^{-x})G_{fm}(\chi_{k}^{x})$

(3.4)

,

$= - \frac{q^{m-1}}{\delta}\sum_{x=1}^{k-1}\chi_{k}^{x}(\omega^{a})G_{fm}(\chi_{k}^{-x})$が成立する．最後に，仮定から$Cay(\mathbb{F}_{q^{m}}, C_{0}^{(k,q^{m})})$

は強正則より，

はちょうど 2 つの値を持つ．すなわち，$0,1,$ $\ldots,$ $k-1$$T_{a},$て，$Cay(\mathbb{F}_{q^{2m}}, D)$$a=$$\sum_{x=1}^{k-1}\chi_{k}^{x}(\omega^{a})G_{fm}(\chi_{e}^{-k}),$$0\leq a\leq k-1$

は 2 つの値を持ち，よっは強正則である．口定理の部分集合 $D$ の濃度は $|D|= \frac{(q^{m}-1)}{k}|I|(q^{m}+1)$ である．今，既知の円分的強正則グラフに定理を適用して，以下の 3 つの系を得ることができる．以下の系はそれぞれ，準原始型，部分体型，散在型に対応している．
$q^{m}=p^{2jr},$ $k|(p^{;}+1)$ とし， はこの条件を満たす最小の正整数とする．こを素数，$(n^{2}, r(n+1), -n+r^{2}+3r, r2+r)$ -強正則グラフがのとき，$n=q^{m}$ と $r=(q^{m}-1)/k$ に対し，

系 3.4.

$j$

$p$

存在する．
系 3.5.

$q$$m\geq 3,$
を素数幕，

$a$

$n=q^{m}$ と $r=q^{m-a}-1$ にを $m$ の任意の因数とする．このとき，$(n^{2}, r(n+1), -n+r^{2}+3r, r^{2}+r)$ -強正則グラフが存在する．
対し，

系 3.6.

$(q, k, e)$ を以下の 11 個のいつれかとする．

$(q, k, e)$$=$$(3^{5},11,5),$ $(5^{9},19,9),$ $(3^{12},35,17),$ $(7^{9},37,9),$ $(11^{7},43,21),$ $(17^{33},67,33)$$(3^{53},107,53), (5^{18},133,33), (41^{81},163,81), (3^{144},323,161), (5^{249},499,249)$.

$(q^{2},r(q+1), -q+r^{2}+3r, r^{2}+r)$ -強正則グラフが存在する．ここで，$r=e(q-1)/k$
このとき，

とする．

4

$\mathbb{F}_{2^{6s}}$

上の 3- クラスアソシエーションスキーム

この章では，$\mathbb{F}_{2^{6s}}$

4.1$\mathbb{Z}_{23\epsilon-1}$

上の 3- クラスアソシエーションスキームの構成法を与える．

の分割$2\overline{-}1$

$s$

を正整数，

$k= \frac{2^{3s}-1}{2^{s}-1}$とし，$F:=\mathbb{F}_{23\epsilon},$$E:=\mathbb{F}_{2^{s}}$とおく．さらに，$D:=\{u\in F^{*}|Tr_{F/E}(u^{-1})=0\}$

(4.1)

55
とする．この集合$D$は，$a(mod k)$ で決まる．($Dg=\{dg|d\in D\}=D$ を満たすので，
の値は，
に対し，
$0\leq a\leq k-1$ が 3 つの値を持つことの原始根) いま，

$g\in E^{*}$$\omega$は$F$$\psi(\omega^{a}D)$$\psi(\omega^{a}D),$を示す．加法的指標の定義より，以下を得る．
$\psi(\omega^{a}D)=\frac{1}{2^{s}-1}\sum_{u\in D}\sum_{x\in E^{*}}\psi(x\omega^{a}u)$$=| \{u|u\in D, Tr_{F/E}(\omega^{a}u)=0\}|-\frac{1}{2^{S}-1}|\{u|u\in D, Tr_{F/E}(\omega^{a}u)\neq 0\}|$$=-(2^{s}+1)+ \frac{2^{s}}{2^{S}-1}|\{u|u\in D, Tr_{F/E}(\omega^{a}u)=0\}|.$

ここで，$u \frac{2^{3s}-1}{2^{S}-1}Tr_{F/E}(u^{-1})=Tr_{F/E}(u^{1+2^{s}})$より，$D=\{u\in F^{*}|Tr_{F/E}(u^{1+2^{s}})=0\}$を得る．一方，$Q(x)=Tr_{F/E}(x^{1+2^{s}})$ は， 上の非退化な二次形式より，対応する $PG(2,2^{S})$ の
$E$

二次曲線

$\mathcal{Q}$は $PG(2,2^{S})$ の各直線と以下のように交差する [7].

$\{\begin{array}{l}2^{s}+1 本の直線は}1 点で交差，2^{2s-1}+2^{s-1} 本の直線は}2 点で交差，2^{2s-1}-2^{s-1} 本の直線は交差なし．}\end{array}$$Tr_{F/E}(a)=0$ なる $a\neq 0$ に対し，
ここで，
$L_{a}=\{[x]|x\in F^{*}, Tr_{F/E}(ax)=0\}$は直線を与えるので $([x] は x\in F^{*} に対し，x\cdot E^{*} に対応する PG(2,2^{s})$ の点とする)[1], 集合$S_{a}:=\{u|Tr_{F/E}(u^{1+2^{s}})=0, Tr_{F/E}(\omega^{a}u)=0\}$$0,2^{s}-1,2(2^{s}-1)$ のいずれかとなる．今，の濃度は，$T_{i}=\{a\in \mathbb{Z}_{k}:|S_{a}|=i\cdot(2^{S}-1)\}, i=0,1,2$とする．このとき，明らかに $|T_{0}|=2^{2s-1}-2^{s-1},$ $|T_{1}|=2^{s}+1,$ $|T_{2}|=2^{2s-1}+2^{s-1}$ が成立する．よって，以下の補題を得る．
補題 4.1.

$\psi(\omega^{a}D),$$0\leq a\leq k-1$

はちょうど 3 つの値をもち，それらは$\psi(\omega^{a}D)=\{\begin{array}{ll}-2^{s}-1 if a\in T_{0}-1 if a\in T_{1},2^{S}-1 if a\in T_{2}.\end{array}$

で与えられる．

さらに以下の補題を得る．(証明は [5] を参照されたい)56
補題 4.2. 各$T_{i}$

を群環$\mathbb{Z}[\mathbb{Z}_{k}]$の元と同一視するものとする．このとき，以下が成立する．

$(T_{2}-T_{0})T_{1}^{(-1)}=2^{s}T_{1}$

(4.2)

,

$(T_{2}-T_{0})T_{2}^{(-1)}=2^{2s-1}+2^{s-1}(\mathbb{Z}_{k}-T_{1})$

(4.3)

,

$(T_{2}-T_{0})T_{0}^{(-1)}=-2^{2s-1}+2^{s-1}(\mathbb{Z}_{k}-T_{1})$

(4.4)

.

注意 4.3. 今， は
$T_{1}$$T_{1}=\{i\in \mathbb{Z}_{k}:|Tr_{F/E}(w^{i})=0\}$

で与えられ， 上差集合を成すので，$T_{1}T_{1}^{(-1)}=2^{s}+\mathbb{Z}_{k}$$\mathbb{Z}_{k}$4.2$\mathbb{F}_{26s}$が成立することに注意する．

上の 3- クラスアソシエーションスキーム

乃， , 乃は前章の通りとし，$G:=\mathbb{F}_{2^{6s}}$$T_{1}$とする．

$\psi’$$\psi,$

とおく．

$C_{i}^{(k,2^{6s})},$$0\leq i\leq k-1$

を $G$ の位数

$G$ の原始根をそれぞれ $F$ and $G$ の標準加法的指標とする．また，$\omega=Norm_{G/F}(\gamma)$$\gamma$

$k$

の円分類

に対し，

,

とおくと，これは $F$ の原始根である．
以下がこの章の主定理である．
定理 4.4. $G$ の以下の分割を考える．
$R_{O}= \{0\}, R_{1}=\bigcup_{i\in T_{1}}C_{i}^{(k,2^{6s})}, R_{2}=\bigcup_{i\inT_{2}}C_{i}^{(k,2^{6s})}, R_{3}=\bigcup_{i\in T_{0}}C_{i}^{(k,2^{6s})}.$

このとき，$(G, \{R_{i}\}_{i=0}^{3})$

証明:

$G$

の指数

せる．今，

$k$

は 3- クラスアソシエーションスキームを成す．

の任意の乗法的指標$\eta_{a}’=\psi’(\gamma^{a}C_{0}^{(k,2^{6\epsilon})}),$$\chi$’ に対し， の指標 が存在し，’ は$0\leq a\leq k-1$

$F$$\chi$$\chi$のリフトとみなの値を計算する．Davenport-Hasse のリフトの公式と $G_{3s}( \chi)=2^{s}\sum_{x\in T_{1}}\chi(\gamma^{x})$ より，$\eta_{a}’=\frac{1}{k}\sum_{\ell=0}^{k-1}G_{6s}(x^{\prime-\ell_{)\chi’}\ell_{(\gamma^{a})}}$$=- \frac{1}{k}+\frac{-1}{k}\sum_{\ell=1}^{k-1}G_{3s}(\chi^{-\ell})^{2}\chi^{\ell}(\omega^{a})$$=- \frac{1}{k}+\frac{-2^{s}}{k}\sum_{\ell=1}^{k-1}G_{3s}(\chi^{-l})\sum_{i\in T_{1}}\chi^{\ell}(\omega^{a-i})$$=- \frac{1}{k}+\frac{-2^{s}}{k}(\sum_{\ell=0}^{k-1}G_{3s}(\chi^{-\ell})\sum_{i\in T_{1}}\chi^{\ell}(\omega^{a-i})+2^{s}+1)$$=-2^{S}\psi(\omega^{a}D)-1$$\chi$

57

表 3:を得る．ここで$D$$\psi’(\gamma^{a}D_{h})$の値$((G, \{D_{i}\}_{i.=\cap}^{3})$の指標表)

は (4.1) で定義された集合である．今，補題

4.1 より，$\eta_{a}’=\{\begin{array}{ll}2^{2s}+2^{s}-1 if a\in T_{0},2^{s}-1 if a\in T_{1},-2^{2s}+2^{s}-1 if a\in T_{2},\end{array}$が得られる．続いて，目的であった$\psi’(\gamma^{a}R_{h})$の計算を行う．

$\psi’(\gamma^{a}R_{h})=\sum_{i\in T_{h}}\eta_{a+i}^{/}$$=(2^{s}-1)|T_{1}\cap a+T_{h}|+(-2^{2s}+2^{s}-1)|T_{2}\cap a+T_{h}|+(2^{2s}+2^{s}-1)|T_{0}\cap a+T_{h}|$$=(2^{s}-1)|T_{h}|-2^{2s}|T_{2}\cap a+T_{h}|+2^{2s}|T_{0}\cap a+T_{h}|.$ここで，$-2^{2s}|T_{2}\cap a+T_{h}|+2^{2s}|T_{0}\cap a+T_{h}|$係数であることに注意し，補題 4.2 より，の値は群環の元 $-2^{2s}(T_{2}-T_{0})T_{h}^{(-1)}$ における$\psi’(\omega^{a}R_{h})$$\psi’(aR_{i})$の値が $a\in D_{j}$ なる$i$のの値は表 2 のように計算できる．特に，$D_{0}= \{0\}, D_{1}=C_{0}^{(k,2^{6s})}, D_{2}=\bigcup_{i\in T_{1}}C_{i}^{(k,2^{6s})}, D_{3}=\bigcup_{i\in(T_{0}\cup T_{2})\backslash \{0\}^{C_{i}^{(k,2^{6s})}}}$

とおくと，

$a$

のみに依存してぃるので，$(G, \{R_{i}\}_{i=0}^{3})$

.

(4.5)

は 3- クラスア

ソシエーションスキームである．
$\square$注意 4.5. 定理で得られたアソシェーションスキームの双対スキームは，$(G, \{D_{i}\}_{i=0}^{3})$ である．

ここで， は$D_{i}$$(4\cdot 5)$で定められた集合である．このアソシェーションスキームの$\psi’(\gamma^{a}D_{h})$の値は表 3 で与えられる．

参考文献[1] K. T. Arasu, J. F. Dillon, D. Jungnickel, A. Pott, The solutions of the Waterloo problem,
J. Combin. Theory, Ser. $A,$ $71$ (1995), 316-331.

58[2] B. Berndt, R. Evans, K. S. Williams, Gauss and Jacobi Sums, Wiley, 1997.
[3] A. E. Brouwer, W. H. Haemers, Spectra of Graphs, course notes, available ataeb $/math/$ ipm. pdf
http: //homepages. cwi. nl$/^{\sim}$[4] R. Calderbank, W. M. Kantor, The geometry of two-weight codes, Bull. London Math.
Soc., 18 (1986), 97-122.
[5] T. Feng, K. Momihara, Three-class association schemes from cyclotomy, ArXiv:

1211.2864.
[6] T. Feng, Q. Xiang, Strongly regular graphs from union of cyclotomic classes, to appear
in J. Combin. Theory, Ser. $B.$

[7] R. A. Games, The geometry of quadrics and correlations of sequences, IEEE Trans.
Inform. Theory, 32 (1986), 423-426.
[8] K. Momihara, Q. Xiang, Lifting constructions of strongly regular Cayley graphs, Arxiv:

1212.5752.
[9] B. Schmidt, C. White, All two-weight irreducible cyclic codes?, Finite Fields Appl., 8(2002), 321-367.
[10] K. Yamamoto, On Jacobi sums and difference sets, J. Combin. Theory, Ser. $A,$$3$

(1967),

146-181.
[11] J. Yang, L. Xia, Complete solving of explicit evaluation of Gauss sums in the index 2case, Sci. China Ser. $A,$ $53$ (2010), 2525-2542.