S3 行手IJX 行列のセオリー

11S
3 行列×行列のセオリー
行列×行列

かご

ある果物庄で，大小二種類の果物の詰合せ寵を売っていて，大リンゴ5個/カゴ2個/カゴ

ミカン

32

シ41ナが，その内容である.いま，太郎・次郎・三郎の悪友三人は，この庖で，
太郎

次郎

三郎

大 I 3カゴ

2カゴ

Iカゴ

ィ、 I 415だけの買物をしたとする.このとき，三人は，リンゴ・ミカン・ナシをそれぞれ，計何個ずつ買ったことになるだろうか?
太郎

三郎

つ個つ(悶つつミカン個
qr‑qr・次郎

つナシ

つつリンゴ

たとえば，太郎の買った果物の総数は，大・小の龍の分を合計して，
悶 + 8倒 =23個
リ ン ゴ (5個/カゴ x 3カゴ) +(2個/カゴ x 4カゴ )= 15f

ミ カ ン (3偲/カゴ x3カゴ) +(2個/カゴ x4カゴ )= 9個 十 8f
回 =17個ナ

シ (4個/カゴ x3カゴ) +(1個/カゴ x4カゴ ) = 1
2個 + 4個 =16個

同様に，次郎・ =郎の買 った果物の総数を計算すれば，
太郎

次郎三郎

リンゴ

23f
回

12個

15偲

ミカン

178

13シ

1699ナ

『基礎数学ポプリー(改訂改題) ~(小寺平治著/裳筆房)

第 1章12線)
1
手代数入門となるが，以上の関係を，簡潔に，
可1ム 司

8uA
1ム9

同dnhり

i1i

門︐a︑

phdq

12‑Illl111l﹂

UhdL﹁EEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

つL 1︑
η一一寸lム ﹁1寸1111111111JqtuA斗Aril‑‑‑L‑EEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
Jつ U つω 1 ム2という行列の積の形で表わして 行列の乗法 とよぶ. この乗法も， やはり，× いくら分l あたり全体の量という形になっていることに注意していただきたい.
いま，簡単な例 で説明したが， 一般の場合も理屈は同じである.

7︐tt
寸Ill11't
Jqun白円〆U F h u‑‑A

さて， たとえば，次の二つの行列の積 A Bを計算してみよう:

4

馴れてしまえば， なんでもないが， はじめての諸君は次の形にかいてみるのも一つの方法であろう.積 A Bの型がハツキリと目に見えてくる:

ハりlil‑‑﹂

寸ny

日~l-l
積 A Bの O 印の成分は， :5:78:と と の 積 和 ( 掛 け て加 える:4(Q)= (5x7)十 (8x4)= 67を作ればよい:δ口po‑‑寸Ill111J﹁Ill111 ﹂つd742X 7)+(3X 4) (2X 9)十 (3X 0)
1[(2× 川 X 1) ((5X6)+(8X1) (5X 7)+(8X 4) (5X9)十 (8X0)JA生FD﹁11111111111﹂

1i67o白26S3 行亨)
1 X 行列のセオリー

13ーー・ 例 3.1行列の積 ー ー

次の行列の積を計算せよ.

「16(1)

1(3)

(1)

二:
[]~
‑

5151(4)r行列の積[解(2)

19151

5

左はヨコ割り ・右はタテ割り 」と憶える.

[ -~-~----~i~ ][ : ]
:

l九二;
l:
:r;:;
?と:卜[J3‑;;l(2)[ -~----~ . ][ ‑~ - ~~ ]
=[~

(3)

[ -i----~----~ 1]~ 8 1=[~~ 1:~ ]

[:J:
2 8…

•

11 4I
[~1 5~ 9~]=111 河 ￨

(4) 12
1 71
82 81

114 42 80行列の積を計算してみると，次のことが分る :Aの列の数 =Bの行の数」のときだ
・行列の積 ABが定義されるのは rけである.
・行列の乗法では，交換法則 AB=BAは一般には成立しない.
ゼロ・A キ O，Bキ O，AB=0 となる行列 A，Bを 零因子(0の因数の意味).1(2)が零因子の例である.とよ ぶ.上の例 3

28

第 11主線形代数入門~ 6 表で解く

1次方程式

行基本変形の源が連立 1次方程式の解法にあったのだから，基本変形の応用として連立 l次方程式を考えるのは自然であろう.まず， 実例から入る.

・ーーー・宵U6.1

連立 1次方程式・ 1

連立 1次方程式【解】

I3x+61/= ‑ 3{

l4x+5y=2Zy 定数項

346 ‑35; 236‑3O‑3を解け.

基本変形

①②
①①r6②+① X(‑4/3)②r

9①'+②'x2①"‑36②'②"lO

3①"X1/3①mO

1‑2②"X(‑1/3)②m。

。
3ゆえに，x= 3， y= 一 2砂注

行•

この例の係数行列 A，拡大係数行列 [A:b]の階数は，上の基本変形から，ベ;:トlト叶;1:汗トドlトm
山=ra=rkι b]=ra
創ベr削
悶a創a加川n副叶
1叫川
此水Iとなつて'両者は等しいことに注意しておし=寸2

H

表で解く l次方程式ーー 例6.229・ー

じー

連立 1次 方程式・ 22x+5y+20z= 3
7 を解け.
5x+2y+ 8z= 1【解】ZUz 定数項

33123①25207②5281③FF

基本変形

行3123①①。
。

3125② + ① x(‑2/3)②312‑4③ + ① x(‑5/3)③'3312' 3①①"O3125②'②"OOO

1③'+②'x1③"

3F

ゆえに，!
…

•

与えられた方程式は， 解なし .
砂注 与えられた連立 l次方程式は，次と同値:

z=3Ox+3y+12z=5・・・・
‑

①②"

Ox十 O
y十 O
z=1…・・…・③"

H

H

この③"を満す x，y，zは存在しない.
この例の係数行列 A，拡 大 係 数 行 列 瓦 =[A:b]の階数は一致しない:

qくυ

一一1ム

U

illi‑‑l﹂
1EEEEEEEEEEB

Eム

つd R d

1Eム 唱

HUつd n u

HU A

ηL ワ U A

今Jq︿d A﹁I l l1 1i1111111L

且knaγ

︿A

一一‑
naγa︐

ηLn
HV

一一L︼

n〆臼‑A11︐
ηハHv1111111﹂
1EEEEEEEEEEE

qtυq4UハU︿qJ ハU﹁111111111111111111﹄Eし‑
naγA
一一A

vi

9uLhn

30

第 l章 線 形 代 数 入 門

・ーーー・ 修U6.3

連立 1次方程式 ・3

じ‑2x‑ 3y+4z= 5 を解け.

5x‑4y+3z= 9【解】xUz

定数項

1 ‑2

33

①2 ‑3

45②5 ‑439③

1 ‑2基本変形

行

33

①①'O

1 ‑2‑1② + ① x(‑2)②rO

6 ‑12‑6③ + ① x(‑5)③'

O ‑1 ，

1①'+②'x2①"

1 ‑2‑1②'②"③'+②'x(‑6)

③"。
。 。。
1O

この最後の結果を方程式でかけば，‑Eよ

一一一一1Eよzzuu

白つ一一r︑‑al‑‑
ill‑ztz

ゆえに

Ix= z十 ltとする)与えて，この方程式の解 x，y，zは，たとえば zを任意に (x=t+1， y=2t‑1， z=t砂注(t:任意)

この解の tを任意定数 などとよぶ.解の表現法は 一意的ではない.

(x=s …+2u=253 1u=2+lz=s‑lは ー る

Iz=u+1

この例 6.
3の rankA，rankA=rank[A :bJ は，一致する:

rankA=2， rank瓦 =rank[A :bJ=2・

62

第 l章 線 形 代 数 入 門

ゃく

S12 行列式の御利益二題
一般の場合も同様なので，簡単のために 3次の場合につい逆行列の公式て述べることにする.いま，行列式all a12 a13I
A I=Ia21 a22 a23。
31

a32

a33の(i， j)成分の余因子を Aijとする.
ところで，この行列式 IA
Iの，たとえば， 1行 による展開は，

IAI=
αllAll十 a12A 12+a13A 13であった.それでは，この式の右辺で，alh a12，a13 を，たとえば，行列 A の2行 a2h a22，a23でおきかえた式
α21All+a22A 12十 a23A 13
は，い ったい何であろうか.これは ， 1行と 2行が一致した行列式
a21a22a23

α21a22a23

α31a32a33の 1行による展開式に他 ならない.この行列式の値は Oであるから，
a21A ll+a22A 12+a23A 13= 0

一般に，

rIA I+ai2A j2十 ai3A j3= ijlailAI 0(i= j のとき)

(iキ J のとき)

列に ついても同様に ，rI
A I (i= j のとき)

+a2iA2j+a3iA3j二 {aliAlj

したがって，

I 0(iキ 1 のとき)

:

912 行列式 の御利益二組

al2

al3I

a21a22G幻￨AIl A21
AI2 A22a31

a32a33IAI3[[~A21A23I al al2A 3112A22 A32 I α21a2213A23 A 33 I a31a3263jJ￨=[A￨￨IAIO。
。
;￨=[￨￨AIAI。
OOOOOOOO

よって，次の逆行列の公式が 得 られ る :，‑「一一一一一一一一一一一一一一ーー一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 ーー一一一一一一ー ーー 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一

a22a31a32

333
123a21GGG

al2

B‑‑'IIIll11111‑El I﹂

一一A

all

は，

IIA

キ Oのとき逆行列をもち，逆行列eIAIl AI2 A，
1
3 1I'IA II A21 A 31 I
A‑1=，.
‑‑‑=;.
.
， IAI22 A22 A 3詑21A 11 f 11IA I3 A23 Aお

1 =七制計~ ん
11IAム{の公式

A22 A23 IA32A 33I砂j
主 一般に (m，n)行列 A の行と列を入れかえて得 られる (n，m)行列を ，Aの 転置行列 とよび A'または 'Aなどと記す. T
ごとえば，Fb
勺
JFbRU

Fhv

5 8η
/U

3A'=

ハwu

I5のとき，Aq ‑‑A=15 9 2 6FHυ

11よ1 4っ.υ

I3

転置行列について ，次が成り立つ:=A ， ( A+B)'=A '+B'， (AB)'=B'A'(A')'(i，j)成分がむである正方行列 A の (i，j)成分の余因子を Aijとするとき，(i，j)成分が Ajiであるような行列 を A の 余因子行列 とよび adjA と記す.

この記号を用いれば，逆行列の公式は，次のようにかける:

A- 1 ー ~adiaOJATAT64

第 1章

線形代数入門ーー 例 12.1

I‑4

逆行列の公式 ー ー26I

A = I‑7 3 9 1 のとき，逆行列の公式を用いて A一I を求めよ.
I‑6【矧27I'A'=
1‑73 91=2JηL

勺つωL

円

LqJ

円

一一47

Ill‑‑

﹁11111111111111111111J

一佳nUFO つム

LRUA

円

一一D
﹁ A 生一'u﹁SEEEEEEEEEEEEEEEEEL

Illi‑‑‑qu69

1一2バ斗a d せ っ1Illi‑‑‑J一一ハU

ph d nバu n hU

一一一一47lr

一nhun同 d23qJ ワω

﹁EEEEEEEEEEEEEEE‑‑
し一一1一2'i9ゐ司一一δ一一'hu'hu'hu

333

333
123

GGG‑
‑
2ZZ

222

+++

222
123

GGG

ZZZqLqδxzz

F︑'111111111111J
ぺ211111111Ill‑‑

GGG
且・の解の公式を作ろう.いま，突然で恐縮だが，次の行列式を考える :b
1 a12a13b2 a22a23b3

a33

a32

•

方程式の個数と未知数の個数が一致する連立 1次方程式+++

クラメルの公式nb

弓iIAI

ワiウt p O

LqLnL

円

1一一qdηJ

1ーA‑:￨￨:;￨;‑￨:;+a12X2+a13X3 al2 a1323X3 a22 a23
a21X1 +a22X2十 α
a31X1 +a32X2+a33X3 a32 a33
allX1

allX1a12a13alla12a13a21X1a22= X1Ia21
a23 I

a22a23

α31X1a32

a33

a32

a33

a31

98

第 2章

微積分序説

~ 5 山と谷の探求
われわれは，

S2で関数 fが点 G で可微分である"とは，関数y= f(x)…・…・①が，点 αの近くで，局所最良近似 1次関数
y=f(α)+/'(a)(x‑a) …・….. ②をもつことだ，と学んだ.関数 y= f(x) は，点、 αのごく近所では，②という l次関数とほぽ同様に振舞うということであった .
yν=/(x)01 /.
.

y=/(a)+/'(a)(x一α)

接線•x

これを図形的に 考えて ，点 α(，f(α))を通り，傾き /'(α)の直線②を， 曲線 y= f(x) の点 (a，f(α))における接線という.たとえば，f(x)=ヤ の と き ，/'(x)=ヤf(2)=2， ，/(2)=3だから， 曲線 ド ヤ 上 の 点 仇 2)における接線の方程式は，
y=2+3(x‑2)
y= 3x‑4z

S5 山と谷の探求
関数値の増減99

曲線 y=j(X)は，点 G の近くでは，この点における接線②で代用できる.したがって，

・>1'(α) 0ならば，点 αの近く￨・1'(α)<0ならば，点 αの近くでこの曲線は右上りになっている. I でこの曲線は右下りになっている.

x詩 α のときはいまいま ，x'=iaのときは，

x<α =今j(x)<j(αα<x 今 j(α)<j(X)
このとき，関数 j(x)は点 G にお ￨いて増加の状態にあるという

x<α =今j(x)>j(α)α<x 今 j(α)>j(X)
このとき，関数 j(x)は点 αにおいて減少の状態にあるという.
y~/(1/
ト一一一O.
t'‑ある区間で，Xl<X2Oi‑ある区間で，j(Xl)<j(X2)のとき，関数 j(x)はその区間で増Xlく み = キ j(Xl)>j(X2)のとき，関数 j(x)はその区間で減加するという.よって，ある区間で，少するという.よって，ある区間で，f'(x)>0

今

今

j(x)は増加する

lf'(x)<0今

j(x)は減少するI第 2章 微 積 分 序 説

100
極大・極小

関数のグラフをかいたとき， 山 になるところを極大，谷になるところを極小というが，くわしくは，次のようである:• aに十分近い xに対して，• aに十分近い xに対して，いて 極 大 になるといい ，f(α)を 極f(x)>f(α)
であるとき，関数 f(x)は点 αにおい て 極小 になるといい ，f(α)を 極大値という.

小値という.

x~a

今

f(x) <f(α)であるとき，関数 f(x)は点 αにおZキ α =キUw

H刷凹J什km大 仙l

極大・極小は，それぞれ局所的な最大・最小であるから，局大・局小とかきたい気もする.極大(x)が点値と極小値を極値と総称するが，関数 fαで極値になり，しかも可微分ならば，f(x)はこ'(α)>0でもなく，減少の状の点で増加の状態 1

工'(α)<0でもないから ，I'(α)=0である.し態 fかし，右図から明らかなように，逆は不成立:

f(x)は点 αで極値をとる石三 1'(α)=032
たとえば，f(x)= X ‑ 6x+9x+1では2f'(x)= 3x‑ 12x+9= 3(x‑l)(x‑3)
だから ，f(x)の増減は下表のようになる:V5 ~ 一一 - 7x3xSll これが二重積分だ~ 11二重積分

133

これが二重積分だ~ 6の定積分と同様に， 二重積分なるものを考えよう.

)
いま，均一平面の領域 D で f(x，y主 Oのとき，曲面z=f(x，y)が，領域 D とのあいだに作る立体の体積を念頭において，二重積分を定義する.
領域 D を η 個の小領域 DhD
2，・…，Dllに分割し，各小領域 Dk内に，代表点をとりPk(Xk，yk)

n個の細長い柱の体積の総和f(XhYl)Dl+… 十 f(xn，Yll)
Dllを作る.このとき，各小領域 Dkがどの方向の幅も→ Oになるように分割をドンドン細かくするとき，分割の仕方や，代表点の選び方によらず，上の値が一定値に限りなく近づくならば，この一定値のことを，領域 D における関数 f(x，y)の (二重)積分 とよび，必以 y)dxdyと記す. このとき ，Dを 積分領域，f(x，y)を 被積分関数 とよぶ.
この二重積分は~ 6の定積分と同様に，各種の線形性(加法性)をもっ:

1) 二つの領域 A，B が境界以外に共有点をもたなければ，川 f(x，y)dxdy= 川 f(x，y)dxdy+川 f(x，y)dxdy

JJAUB

JJAJJB

2) 川 (f(x，y)+g(x，y))dxdy= 川 f(x，y)dxdy+川 g(x，y)dxdy
JJDJJDF山 ， y)dxdy kf~ω y) dxdy
=JJD

JJD

(k:定数)

134

第 2掌 微 積 分 序 説

二重積分の意味と応用

立体の体積をモデルに二重積分を考えたのだから，二重積分の応用として，まず，体積が考えられる.
‑ 体 積 xy‑平 面 の 領 域 D でf(x，y)孟 g(x，y) のとき，二曲面zz=f(x，y)z=f(x，y)，z=g(x，y) ではさまれた D の部分の体積 V は，fl(仇v=y) 仇y))批 dy)
・領域 D で定義された量 f(x，yに対して，各微小領域 Dkにおけるf(x，y)の総量の総計の極限が，If(x，y)の D における二重積分だから，その応用は広い.たとえば，f(x，y)を地点 (x，y)の人口密度とすれば，地域 D の総人口は，瓜ル仇(累次積分体積をモデルに二重積分の実用的な計算法を考える.図のような立体の x軸 に 垂 直 な 平 面 による切口の面積を S(x)とすれば，ドぷ)f(x，U)duS(v=lbS(x)命だから，次の結果が得られる:必以 M ぬ =JU::)f(z，M ) kz

i累次積分

~ll135

これが二重積分だ

U11.1

累次積分・体積ーー

園 園 田 伊(1) 次の二重積分 Iを計算せよ.

fo!
矛ぬdy

D:山ドバ l

U壬 x，(2) 円 柱 が + 〆 =a2 の xy‑
平面の上部，平面 z=2yの下部にある部(a>0)分の体積 V を求めよ【解】(1) 積分領域 D は，図のようになる.

L2

ぬん︑ll/ ¥ ij ' 臼

Hμ7ぷ
一M k ‑ ¥11ω/Il‑一7ix zg
1子 1nufん+﹁﹁ 上zx一/F︑︑︐︐︐a︑︑︐ z'''stgat‑︑︑一 ︑︐一一一一一一F
L3P13fAfo!
矛dxdy

1=4Oll 吉1llE﹂

Z一一﹁llEL=3+lω
(2) D:O豆 U 豆 長E士子，-a 三五 x~玉 αzとすれば，求める体積 V は，v=必2ydx命)命
1:(a! 2yぬ=lb2
1‑kx2)ぬ =1:(α2̲÷α3==‑aracxz•I