JOURNAL

OF NUMBER

THEORY

17, 375-388

Petites valeurs(1983)de la fonctiond’Euler

JEAN-LOUIS NICOLAS
Dkpartement

de Mathtknatiques,
Universite’
F-87060 Limoges
CommunicatedReceivedde Limoges, I23 Avenue
Cedex, France

AlbertThomas,by H. Zassenhaus
January

24, 1982

Let 4 be the Euler’s function.
A question of Rosser and Schoenfeld
is answered,showing that there exists infinitely
many n such that n/d(n) > ey log log n, where yis the Euler’s constant.
More precisely, if Nk is the product of the first k primes, it
is proved that, under the Riemann’s
hypothesis,N,/)(N,)> eY log log Nk holds forany k > 2, and, if the Riemann’s
hypothesis
is false this inequality
holds forinfinitely
many k, and is false for infinitely
many k.

1. I~T~00ucT10N
Soit Q(n) = n I&,, (1 - l/p) la fonction d’Euler. II est bien connu (cf., parexemple, [ 1, Chap. 181 ou [2, p. 241) que l’ordre maximum de la fonction
n/#(n) est eylog log n, oti y est la consante d’Euler, ce qui signilie:lim

4(n) 10: log n = ey

Rosser et Schoenfeld ont demontre dans [3] que pour n > 3, on an/#(n) < eylog log n + 5/(2 log log n)
except~pourn=223092870=2~3~5~7~11~13~17~19~23pourlequel
5/2 doit &re remplace par 2,50637. 11sposent ensuite la question: “Existe-t-i1
une infinite de n pour lesquels n/#(n) > ey log log n?” Nous allons demontrer
le theoreme:
THBOR~ME 1. IIexisteune injhite’de n pourlesquels

n/$(n) >eylog log n.
Ce theoreme est une consequence du theoreme plus precis:
THI~OR~ME 2. Soit pk le k-it?me nombre premier et Nk = 2 . 3 . . . . pk leproduit des k premiers nombres premiers.
375
0022-314X/83
641/11/3-l$3.00

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376

JEAN-LOUIS NICOLAS(a)

Si Phypothesede Riemann est vraie, on a pour tout k > 1:
Nk/$(Nk) > eylog log iVk(1)(b) Si l’hypothese de Riemann est fausse, il existe une infinite’ de kpour lesquels(1) est vrai et une infinite’ de k pour lesquels(1) estfaux.
Le theoreme 2 se deduira facilement du theoreme 3:
THBOR~ME
3. Soit 0(x) = CPGx log p
Tchebychef On depnit pour x > 2:

f(x) = eylog e(x) nlapremiere fonctionde(1 - I/P)

P<X

(a)
f(x)

On a pour 2 < x < 108.f(x)< 1.

(b) Si Phypothese de Riemann est vraie, on a pour tout x > 2,
< 1; de plus on a:!ir~ (logf(x))

fi

log x = log ?I+ 2 log 2 - 4 - y = -2,046...

lim (logf(x))

fi

log x < y - log 7c- 2 log 2 = -1,954...

et(c) Si Phypothesede Riemann estfausse, il existe une suite de valeursde x tendant vers +co pour lesquellesf (x) c 1, et une autre suite de valeursde x tendant vers i-00 pour lesquellesf (x) > I. Et si l’on designepar 0 laborne superieure des parties reelles des zeros de la fonction C de Riemann,alors, pour tout b, vertftant 1 - 0 < b < 112, on a logf (x) = R i (x -‘),
c’est-a-dire lim x* log f (x) > 0 et @ x* logf (x) < 0.
La demonstration de (a) repose sur les calculs de Rosser et Schoenfeld 13,
pp. 72-73]), qui donnent pour x < 108:ete(x) < x.
La demonstration du theoreme 2 a partir du theoreme 3 se fait enobservant que#(N/Jf (PA = eY(b 1% NA Y--.

377

LAFONCTIOND'EULER

La demonstration du theoreme 3 commence par une estimation de logf(x)en fonction de 0(x). Sous l’hypothtse de Riemann on utilise la formule
explicite de la theorie des nombres. Dans l’autre cas, on utilise un thioremede Landau classique dans tous les rbultats de changement de signe desfonctions usuelles de l’arithmetique. Les resultats du (c) pourraient etre
precises suivant les techniques des “Q-theoremes”dCcrites par example dans(41.

Une fonction voisine de n/$(n) est a(n)/n, ou a(n) est la somme desdiviseurs de n. On sait que (cf. [2, Chap. 181 ou [2, p. 24]), pour tout n,0)/n < n/$(n) et we
7
hm

0)
= f?.
n log log 12

Robin ([5]) a dCmontre que si l’hypothese de Riemann est vraie, on a pour
tout n > 5041,
u(n) < e+l log log n(2)

et si l’hypothese de Riemann est fausse, il existe une infinite de n pourlesquels(2) est faux.
La demonstration de Robin utilise les memesidtes que pour n/$(n), mais
necessitela connaissance des nombres colossalement abondants, introduits
par Alaoglu et Erdiis (cf. [6]) en suivant l’exemple de Ramanujan qui avait
introduit les nombres hautement composes superieurs pour etudier lesgrandes valeurs de d(n) = Cd,,, 1. Dans le cas de n/$(n) l’equivalent de ces
nombres a une structure tres simple: ce sont les nombres N,.
J’ai plaisir a remercier Montgomery, qui au tours de discussions a
Oberwolfach m’a don& l’idte de la proposition 2, et Robin pour plusieurs
simplifications dans les demonstrations.

2. ESTIMATIONDEB

On detinit la deuxieme fonction de Tchebychef v(x) = CpmGxlogp et l’onpose S(x) = B(x) - x et R(x) = v(x) - x.
PROPOSITION

1.

Pour x > 121, on a, en posant

K(x)= j; $? (& + &)K(x) -

dt

s*(x) < log.!-(x) G K(x) + 2cx 1_ 1)

x2 log x

(3)
(4)

378

JEAN-LOUIS NICOLAS

Remarque. On sait d’apres le thioreme des nombres premiers que
S(t) = O(t/log t) et cela assurela convergence de l’integrale (3).
DEMONSTRATION.
11 resulte d’abord des theoremes 18 et 4 de [3] que
pour x> 121, on a f?(x)>4x/5.
On remarque ensuite que - (d*/df*)(log log t) = ((1 + log t)/t* log* t) est une fonction decroissante de t (pourt > l), et que, pour a > 0 la fonction t w t(t + 1 - a)/(t - a)’ est
dtcroissante pour t > a. On en dtduit, en faisant a = log 514 que pourx> 121, on a2
25 log 4x/5 + 1-G
16 x2 log* 4x/5
x2 log x
et la formule de Taylor appliquee a log log x donne:
vx>

3,

S(x)
log log e(x) < log log x + ~x log x .

vx>

121,

S(x)
log log e(x) > log log x + ___
xlogx

(5)
s*(x)
x2 log x *-(6)11vient ensuite:

-yT‘=
P<X

w(log t + 1) dt

x -=
4Wl
s*- tlogtpt*1og*t.

Comme 0(x) = x + S(x), on obtient:-j- ‘=PYX

P

S(x)---+loglogx-loglog2+xlogx

1
log 2

F‘ ~=~+loglogx+B,-~I;C~(~~~~~g:~l)dr
x
P

(7)

PTX

avec
B, = &- log log 2 + jm “‘qrp,p,;;‘) dt.

2

En comparant avec la formule classique: (cf. [ 1, Chap. 221)1, i=loglogx+B,+o(l),P<Xpon sait que B, = y + c, (log(1 - l/p) + l/p).

(8)

LAFONCTIOND'EULER

319

On pose ensuite:
U(x) = log log B(x) + c
PCX

(

-;

1

+ll,.

(9)

On a alors:logf(x)= U(x) + u(x)

(10)

avec

On a alors pour u(x) l’encadrement:~~~~~)4p~~~~l+‘/P+l/P2+~~~)
0

\‘
1
1
< u(x) < PTX 2P(P - 1) < 1‘
- 2n(n-lp2(xn>x

(11)

1
1)

On obtient (4) A l’aide de (lo), (9), (7), (5), (6) et (11).

3. SI L'HYPOTH~SE

DE RIEMAN

EST VRAIE

Dtmontrons d’abord un lemme:
LEMME

1. Soit p WI nombre complexe de partie rkelle 112. On pose:

On a:
1 x0-’
F,(x) = - -p - 1 log x + rJ*y)avec, pour x > e2,
Ir,(x>l <DEMONSTRATION.

4(p- 1~~log*x

En inttgrant par parties, on obtient:

F,(x)= - $2

+ r,(x)

380

JEAN-LOUIS NICOLAS

avec

Pourt>x>e2,0nalog3t>210g2x,et1
Iys-4 GPROPOSITION

Ip-

qfi1og*x= Ip-

4I]filog*x’

2.

.w

2

+ IP-

lllog*~C~ ! t-31-Jdt

Soit R(x) = v(x) - x. On pose:J(x) = irn y
x

(&

+ &j

dt.

(12)

Alors, sous l’hypothdse de Riemann, on a, pour x > 55 > e4

DEMONSTRATION.
On part de la formule explicite de la theorie desnombres premiers (cf. [7, 81 ou [9, p. 74]), valable pour x > 1
PiI

w,(x)=j?//(t)dt=;-“

f&f

0

x

1)

-x;(o)+;(-I)_ y. X1-2r,fl 2r(2r - 1)

(13)

La sommation en p Porte sur les zeros non triviaux de la fonction i deRiemann. La serie 2, I/]& + I)] est convergente. Soit A sa somme. On
pose, pour t > 0:1g(r)=$ i &+-, log t 1’
On a:g’(t)=

-’

2

3
-+$.
t’ ( log t + log2 t-

2log t 1La serie 2, g’(t) tP+l/p@ + 1) est absolument convergente pour tout t, etsous l’hypothese de Riemann, ses sommes partielles sont majorees en module

LA

FONCTION

par A 1g’(t)1 t3’*, qui est integrable
theoreme de la convergence dominie,
xg’(t)
P,;“;‘lj)

381

D’EULERsur [x, +co [, pour x > 1. D’aprb
on a:dt =1:(“&(t)P xp;‘;ll)

dt

le

(14)

Dans la formule (13), posons:g,(x)=x~(o)-+)+ z,
c 2r;;T1)
On a pour x > 1, avec la valeur de (C’/C)(O) da&epar [9, P. 661:

g;(x) = log(2n) + ; log( 1 - l/X2)
et pour x > 2, on a:0<s;(x)< lo@n>*(15)

Le premier membre de (14) vaut:j; s’(t) (;- wl(t> -s,(O)dt=g(x)(w,(x)-;+&(x)) +J(x)+J,(x)en integrant par parties, et en observant que VI(t) = O(t’),J,(x) = jm g(t) g;(t) dt.
x

avec
(16)

Le deuxieme membre de (14) vaut:

xP+l mg(t)$ dtP@+l)- cx
ILa formule (14) nous donne done

J(x)= - T +F,(x) -J,(x);

(17)

382

JEAN-LOUISNICOLAS(16) et (15) donnent, pour x> 2:
0 ,< J,(x) < log(2n) !‘R d (&)
x= =.
x log x(18)

Ensuite, le lemme 1 nous donne:xP-l-+Jx)=\’P p_ \‘ r,(x)fP

ypp@-l)logx
1

lT

xilmP

-\,

= filogx’;;‘P@-1)

r (x>
p.

7

p

La premiere serie est normalement convergente; on a: p(1 - p) > 0 et 19,
p. 159):1y= 2 + y - log 7L- 2 log 2 < 0,047.

P(1 -P)

On obtient done, avec l’estimation de r,(x) donnee par le lemme

pour x 2 e4. La demonstration de la proposition 2 s’acheve en considerant(17) et (18).
Demontrons maintenant le theoreme 3(b).
Rosser et Schoenfeld donnent (cf. [3, eq. 3.371)
vx>

121,

e(x) ,< y(x) - 0,98 fi.

Notons qu’une telle inegalite est facile a obtenir avec un coefficient moinsbon, puisque v(x) - 19(x)> 8(fi).
Dans [Ros [ 10, p. 265 1, on remplace
0,98 par 0,998.
On a alors S(x) <R(x) - 0,98 6,
pour x > 121, et la proposition 1
donne avec les notations du lemme 1:
log f(x) < J(x) - 0,98F&)+ 2(x \ 1>3

Le lemme 1 nous donne:

F,,,(x) =2
filogx+ rdx)

vx > 121.

(19)

LAFONCTIOND'EULER

383

et pour x > 3000 > e8, on a Iyliz(x)l < l/fi
FIi2(x> 2 l/fi
log x et-0,98&,(x)+12(x - 1)<-log x ce qui entraine

039
Jj;logxpour

x 2 3000.

(20)

L’inegalite (19) et la proposition 2 donnent alors

1ogf 6) < -

033
fi

pour

log x

x > 3000

ce qui, avec (a) dtmontre la premiere partie de (b) du theoreme 3.
Le comportement de f a l’infini s’itudie de facon similaire: Sousl’hypothese de Riemann, on a S(x) = O(fi log* x) (cf. [8, p. 1751) et laproposition 1 devient:logf(x) = K(x) + O(log3 x/x).
On a egalement v(x) - 0(x) = fidonne:.

lwf(x) =

-1
fi

log x

+ O(X”~), et le m2mecalcul que ci-dessus
Xilmp

2 + \’$0b PC1-PI 1( fi

1
log2 xPar le principe des tiroirs de Dirichlet, on peut montrer (cf. [8, p. 2031)
quelim \’ .x++CC
yp(1-p)-(.) =;P((l-P)

et cela acheve la demonstration de (b) du theoreme 3.
Les methodes actuelles de l’analyse ne permettent pas de calculer exactement lim(Y,, x’’ Irn“/p( 1 - p)). On peut cependant montrer que cette limite
inferieure est <O. (cf. [8, p. 195)).

4. St L'HYPOTH~SE

DE RIEMANNEST FAUSSE

Demontrons d’abord quef(x) n’est pas toujours 21 a partir d’un certain
x0. Avec (19) et (20), et les notations de la proposition 2, il suffrt dedemontrer que J(x) n’est pas constamment positif a partir d’une certaine
valeur de x.
Nous allons pour cela utiliser le lemme suivant, dill a Landau:

384

JEAN-LOUIS NICOLAS

LEMME 2 (cf. [ 7, 8, 11I).
par morceaux. Soit

Soit h: [ 1, +co [ --t R une fonction continue

H(s) = j-l’ $)dx

la tranformke de Mellin de h. Soit u,, l’abscissede convergence de H(s); on
sait que H(s) est holomorphe pour Re s > u,,. s’il existe x0 > 1, tel que pourx > x0 h(x) soit de signe constant, alors la fonction H(s) ne peut pas se
prolonger en une fonction holomorphe au voisinage de s = oO.
On va appliquer ce lemme avec h(x) =J(x)1,<~<2.Onpose,pourRes>lsi x > 2 et h(x) = 0 pourLe theoreme des nombres premiers donne IR(t)l = O(t/log t). L’integrale
double est absolument sommable et l’on a:G(s) = j2my

1ol;;2+t ’ j; f$(21)

G(s) = --&[2’-V(2)-et l’expression dans la paranthese s’annule pour s = 1.
Du risultat classique (cf. [6, p. 181):mv(t)i Tdx=-+$(s)tRes> 1

2

on deduit:

La troisieme integrale est une fonction entiere E,(s): on peut soit appliquer
le theoreme de derivation d’une fonction definie par une intigrale, soit
observer que l’abscisse de convergence de cette transformee de Mellin
particuliere est -co. Et l’on a:o3R(t)
i Tdt=-$+(s)t2y$+E,(s)

Res> 1.

(22)

LA

FONCTION

385

D’EULEROn sait a partir de la relation

que la fonction c n’a pas de zeros sur l’axe reel, 0 < s < 1 et done aussi dans
un ouvert simplement connexe
W={s;Res>l}U{s;O<Res<let(Imsl<J)

pour un certain 6 (Les calculs des zeros de la fonction C autorisent 6 = 14).
Le 2’ membre de (22) est holomorphe au voisinage de s = 1 et dans W, etdone admet dans W une primitive G,(s) et une primitive seconde G,(s).
On a done:c1 R(t)1

IztS+’ -log t dt = -G,(s) + A

Res>

1

O” R(t)i ztS”‘-T

Res>

1

1
dt = G*(s) + As + ,nlog t

La formule (21) devient alors:

G(s)= &

(G,(s)- G,(s)+ J%(S)) Res>

1

(23)

ou E,(s) est une fonction entiere de s. La parenthese est une fonction
holomorphe dans W, nulle en s = 1, done le second membre de (23) est
holomorphe dans W, et G(s) se prolonge en une fonction saris singularitt
pour O<s<1.
Si J(X) gardait un signe constant pour x assez grand, le lemme 2 nous
dirait que l’abscisse de convergence u,, de G(s) verifie CT,,< 0 et done G(s) se
prolongerait
en une fonction holomorphe
pour Re s > 0. Or ceci est
impossible, car (23) entrainerait que G,(s) - G2(s) est holomorphe pourRe s > 0, et aussi G;(s) - G;(s). Et au voisinage d’un zero p de multiplicite
m de la fonction [, on a:et G;’ - G; aurait un pole d’ordre 2 en s = p,Remarque.

Nous n’avons pas utilise jusqu’ici

d’hypotheses

sur les zeros

386

JEAN-LOUIS NICOLAS

de la fonction [, car on sait qu’il en existe une infinite sur la droite Re s = $.
La proposition 1, les inegalites (19) et (20) et ce debut du paragraphe IVconstituent une demonstration du theoreme 1.
PROPOSITION 3. Si i’hypoth&e de Riemann estfausse, on a, pour tout b
tel que 1 - 0 < b < l/2, J(x) = fJ,(xeb)c’est-d-dire lim x*J(x) > 0 et
!inJ xbJ(x) < 0.

11suffit d’adapter la demonstration precedente, suivant
DEMONSTRATION.
la mCthodeusuelle pour obtenir les “0-thCortmes” (cf. [7, Chap. VI). Soit b
verifiant 1 - 0 < b < l/2, il existe un zero p de c(s) de partie reelle
Rep=p>
1-b.
On va montrer que J(x) -x-‘,
puis J(x) + xpb ne gardent pas un signe
constant lorsque x + +co. Pour cela on calcule la transformee de Mellin:
(Res

> 1)

.m J(x) -x-b
J2
xs

dx=W-se;+b+ E,(s)oil E3(S) = J-f X-b-s dx est une fonction entiere. Le deuxieme membre se
prolonge en une fonction holomorphe dans W, = WCT (s; Re s > 1 - b}. Si
J(x) -x-~
avait un signe constant, l’abscisse de convergence de cettetransform&e de Mellin serait <l - b < j3, ce qui est impossiblepuisque G(s) aune singularite p de partie rtelle /I. On procede de meme avec J(x) + x ~-‘.
La proposition 1, (19) et (20) montrent que pour x > 3000, on alogf(x) <J(x) et la proposition 3 donne iim xb logf(x) < 0. 11nous reste ademontrer dans le (c) du thtoreme 3 que logy(x) = Q, (x-“) et pour cela,
compte tenu de (4), a etudier K(x) - S’(x)/x* log x. 11resulte de la formule
3.36 de 131:
I//(X) - B(x) < 1,42620 fi

vx > 0que I’on a:J(x) - tF,,2(4<K(x)<J(x).

L’estimation de F,,,(x) fournie par le lemme 1 et la proposition 3 nous indiquent que K(x) = Q,(x-b), pour tout b tel que 1 - 0 < b < l/2.
Etudions maintenant la fonction y(x) = K(x) - xeb. Elle est derivable en
tout point x different d’un nombre premier p, et l’on a:

Cette derivee peut changer de signe en x =p, et l’etude de l’tquation(x - a)(log x + 1) + bxlPb log2 x = 0 qui n’a qu’une settle racine dans

LA FONCTION D'EULER

387[ 1, +oo [ pour a > 1 montre que y’(x) s’annule au plus une fois dans l’intervalle ]p, p’ [ oti p et p’ sont deux nombres premiers constcutifs, d&s que
P2 3.
L’ensemble des changements de signe de y’ est done discret; rangeons lesen une suite (xi). Cette suite est intinie, puisque, si l’hypothkse de Riemann
est fausse, on a S(x) = R f (x’@+‘~~)“) (cf. 17, Chap. V]).
En un point xi, J’ change de signe et done aussi
S(x) - bx’-blog2 xlog x + 1

Cela signifie que cette quantitt est ou bien nulle, ou bien comprise entre 0 et
log xi. Dans tous les cas on aura:= O(X!-b

S(Xi)log Xi),ets2(xi)=Ox; log xi

l”gxi

cTJr*L 1

Maintenant il existe une infiniti de valeurs de i telles que y(xi) > 0. En
effet si la fonction y Ctait rkgative en tous ses extrkmas locaux, elle serait
nkgative partout, cela entrainerait pour tout x, K(x) < xPb et I’on a vu que
K(x) = f2+(x-bc) avec b’ = (1 $ b - 0)/2 < b.
En un tel point xi, on auras2(xi)

K(Xi) - xz log x, > XITb t O(log xix,rZb)
1

ce qui entraine logf(x)I= R, (xPb).

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