静磁場

ビオ・サバールの法則からアンペールの法則を導出します。
ここでは電流が流れる曲線のように言っていきますが、電流は電場を周りに発生させないとします。
状況を図で示していないので分かりづらくなってます。

1820 年にエルステッド (Oersted) は、電流のそばに磁針 (方位磁石) を置くと磁針が北でない方向を向くことから、電流は磁石に影響を与える力を発生させているとしました。その力を作用させるものを磁場 (magnetic field) と呼びます。つまり、電流は磁場を発生させることで磁石に影響を与えるとされました。その後 (1820 年の間に)、アンペール (Ampère) は 2 つの電流間にも同じ力が働くことを示し、ビオ (Biot) とサバール (Savart) は電流によって作られる磁場の法則を与えました。ちなみに、1820 年ではまだ電流の測定法はなく、シュヴァイガー (Schweigger)がエルステッドの実験結果 (電流が作る磁場によって磁針が受ける力) から電流を測定できると考え、1826 年にポッゲンドルフ (Poggendorﬀ) が検流器を作りました。
エルステッドの実験結果を簡単に言えば、z 軸方向の直線上に電流を流すと、xy 平面上でそれを中心とする円上で反時計周りに何かが作用するというものです。その何かが磁場 B です。そして、磁場でも重ね合わせの原理が使えます。
直線の導線（糸状の電流が流れる物体、電線）に流れる定常電流から見ていきます。定常電流しか出てこないので電流と言っていきます。2 つの十分長い直線の導線を平行に置き、それぞれが中性になるように電流 I1 , I2 が流れているとします (それぞれの導線内の電荷の和が 0)。そうすると、アンペールの実験結果から

F = −2βm I1 I2

ler|r|(er =r)|r|(1)という力が導線間に作用します (作用、反作用の法則から I1 から I2 と I2 から I1 の力は逆向き)。l は導線の長さ、βm は比例定数 (後のために 2βm としている)、|r| は I1 と I2 の間の距離、r は I1 の導線から I2 に向かう距離のベクトルです。2 つの電流が平行に流れていれば引力 (I1 I2 > 0)、反対なら斥力 (I1 I2 < 0) です。この実験には導線が十分長いという制限があることに気を付けてください ((5) のように無限大の長さとして求まる)。
ちなみに、電子回路の実験で導線の周りに電場が発生しますが、そのことは関係ないので無視します (実験は1962 年に Jefimenko が示している)。
ここから導線とは言わずに直線や曲線とだけ言っていきます。また、その曲線から電場は発生しないとします
クーロンの法則から電場を定義するのと同じように、I1 から I2 に作用する力 F は、I1 が作る磁場 B によって作用すると考えます。エルステッドの実験から、z 軸に沿って電流を流すと、磁場は xy 平面上での角度 θ の方向を持つので、その単位ベクトルを eθ （x 軸から y 軸方向）として

B = 2βm βbI1I1Feθ = 2β eθ = βb|r||r|I2(β = βm βb )と与えます。定常電流による磁場は静磁場 (static magnetic field) と呼ばれます。ただし、日本語だと B は磁場でなく磁束密度 (magnetic flux density) と呼ぶことが多いので気を付けてください。英語でもどちらで呼ぶか統一されていないです。

F と B の比例定数を同じに取るとは決まってないために任意性があり、それを比例定数 βb としています (F /Iに比例する量として B は定義されている。
「電磁気の単位系」参照)。電場は E = Fe /Q として定義されているので、Fe の比例定数をそのまま E が含みます。また、磁場を βb−1 B としてしまえば、βb は計算中は出てこなくなります。

1

静磁場しか出てこないので磁場と言っていきます。eθ は z 軸方向の単位ベクトル ez と xy 平面上の動径方向の単位ベクトル er (I1 から I2 に向かう単位ベクトル) に直交しているので、ベクトル積 (外積) を使えば er = eθ × ezです。よって、電流 I1 から I2 に作用する力は、I1 が作る磁場 B を使ってF = −2βm I1 I2

l11eθ × ez = − I2 B × lez = I2 l × B|r|βbβb(l = lez , B =2βm βb I1ez × er )|r|と書けます。力の方向は電流の方向と磁場の方向に直交します。
電流を中心とする半径 r = |r| の円上で磁場を積分すると、r は積分と無関係なので

I2βI1dr · B =rrcircle∫ 2πdθ eθ · eθ = 4πβI1(dr = rdθeθ )0

これは、電流を囲む円上での磁場の線積分はその円で囲まれた電流に比例すると言っています。後で示しますが、これは任意の閉曲線で成立し、アンペールの法則と呼ばれます。
直線で見てきましたが、任意の曲線に流れる電流での法則が実験から与えられています。定常電流 I1 , I2 が流れている各曲線 C1 , C2 上の微小部分を ∆l1 , ∆l2 (方向はそれぞれの曲線の接線方向で、電流の向き)、∆l1 , ∆l2 の位置ベクトルを r1 , r2 としたとき、I1 ∆l1 が I2 ∆l2 に作用する力は∆F = βmI2 ∆l2 × (I1 ∆l1 × eR )|R|2(R = r2 − r1 , eR =R)|R|となり (R は ∆l1 から ∆l2 へのベクトル)、このとき I1 ∆l1 が作る磁場 (I1 ∆l1 が位置 r2 に作る磁場) は∆B = βm βbI1 ∆l1 × eR|R|2と与えられます。これはビオ・サバールの法則と呼ばれます。作用する力は磁場を使えば∆F =1I2 ∆l2 × ∆Bβbと書けます。それぞれの曲線 C1 , C2 で線積分すれば∫∫

1
I1 dl1 × eR= I2
F = βm I2dl2 ×2|R|
βbC2C1∫I1 dl1 × eR
B = βm βb|R|2C1∫C2dl2 × B(2)(3)と書けます。
十分長い直線として積分を計算してみます。直線 C1 を z 軸に沿って置き、直線 C2 を r 離れた位置に置きます。

dl1 は原点から z = zez 、dl2 は r ′ にいるとします。dl1 から dl2 を結ぶベクトルは R とします。xy 平面上で C1から C2 へ向かうベクトルを r = rer として

R = r ′ − z = rer + z ′ ez − zez , |R|2 = r2 + (z ′ − z)22

なので∆F = βmI2 ∆l2 × (I1 ∆l1 × R)βm I1 I2 ∆z∆z ′=ez × (ez × R)
|R|3|R|3=

βm I1 I2 ∆z ′ ∆zez × (ez × (rer + z ′ ez − zez ))|R|3=

βm I1 I2 ∆z ′ ∆zaez × (ez × er )|R|3=

βm I1 I2 ∆z ′ ∆zrez × eθ|R|3= −(ez × ez = 0)βm I1 I2 ∆z ′ ∆zrer|R|3eθ は ez と er に直交する単位ベクトルです（eθ は z 軸と er 方向による平面に対して奥向き）。これを積分すれば∫F = −βm I1 I2 rer∫dz

C1dz ′C2

1= −βm I1 I2 rer
|R|3∫

∫

dz ′dz
C1C2

1(r2 + (z ′ − z)2 )3/2z, z ′ はそれぞれの積分で無関係なので個別に行えます。
ここで、C1 , C2 は無限大に取れるほど長いとします。そうすると、ρ = z ′ − z と置き換えても積分範囲は −∞ から ∞ のままになり

F = −βm I1 I2 rer∫ ∞∫ ∞dz−∞dρ−∞1(r2 + ρ2 )3/2(ρ = z ′ − z)

ρ 積分は∫ l11dρ 2= 22 )3/2r(r+ρ−l===1r21r2∫ ϕ+dϕ11cos2 ϕ (1 + tan2 ϕ)3/2dϕ

cos3 ϕcos2 ϕϕ−∫ ϕ+ϕ−(ρ = r tan ϕ , dρ = rdϕ)cos2 ϕ∫ ϕ+dϕ cos ϕϕ−1(sin ϕ+ − sin ϕ− )r2tan ϕ± = ±ρ/r → ±∞ なので、ϕ1 = −π/2, ϕ2 = π/2 から
∫ ldρ
−l2
1
1= 2 (sin ϕ+ − sin ϕ− ) ⇒ 2
rr(r2 + ρ2 )3/2

よって、l が十分長い場合において3(4)1F = −βm I1 I2 err∫ lldz = −2βm I1 I2 err−l(5)となり、(1) と一致します。磁場も∫B = βm βb

I1 dl1 × eR= βI1|R|2C1∫dz
C1ez × eR= βI1 r|R|2∫dz
C1eθ2βI1=eθ
3|R|rと求まります。
ビオ・サバールの法則から点電荷に作用する力を求められます。曲線に微小な幅があるとして、3 次元体積による電流密度 j を使うとI∆l = j∆s∆l∆s は断面積、∆τ = ∆s∆l は微小な 3 次元体積です。これによって
1F = I2βb∫

1dl2 × B =βbC2∫∫

V2dτ2 j2 × B , B = βV1dτ1j1 × eR
|R|2

電流密度 j2 を、点電荷 Q が位置 r ′ = r0 で速度 v で動いているとして

j2 (r ′ ) = Qv(r ′ )δ 3 (r ′ − r0 )これを入れると、動いている点電荷に作用する力はF (r0 ) =Qβb∫
Vdτ ′ δ 3 (r ′ − r0 )v(r ′ ) × B(r ′ ) =Qv(r0 ) × B(r0 )βbと求まります。3 次元積分は電流の流れる領域に対してなので、r ′ = r0 を含んでいます。これを磁場のローレンツ力 (Lorentz force) と呼びます。大抵は、電場による力 QE を加えた Q(E + v × B) をローレンツ力と呼びます。
ただし、磁場の項には比例定数による任意性があることに注意してください (「電磁気の単位系」参照)。
また、磁場のローレンツ力と点電荷が速度 v が微小時間 ∆t で動く経路 v∆t との内積を取ると

F · v∆t =Q(v × B) · v = 0βbベクトル積 v × B は v に垂直な方向なので、内積は 0 です。
ちなみに、ここでは電流が作る磁場の実験から始めましたが、動いている電荷に作用する力の実験結果としてローレンツ力を与えることからも磁場を導入できます。
アンペールの法則を求めます。まずは、磁場の発散と回転を計算します。任意の曲線を流れる電流密度 j(r1 ) に
よって r2 に作られる磁場は、ビオ・サバールの法則から∫B(r2 ) = βVdτ1j(r1 ) × (r2 − r1 )|r2 − r1 |34(I1 dl1 = j1 dτ1 )これに (∇1 は r1 、∇2 は r2 の微分 )∇21r2 − r11= −∇1=|r2 − r1 ||r2 − r1 ||r2 − r1 |3を使うと、∇2 は τ1 積分に作用しないので∫B(r2 ) = βdτ1 j(r1 ) × ∇2V

1= β∇2 ×|r2 − r1 |3∫Vdτ1j(r1 )|r2 − r1 |∇ · (∇ × X) = 0 なので、磁場の発散は∇ · B(r) = 0となるのが分かります。また、電束と同じように、面 S の面積分∫
Φ=Sds · Bとして、磁束 (magnetic flux)Φ が定義されています。B を磁束密度と呼ぶのは、これに対応しています。磁束は、3 次元領域 V とその閉曲面 S として、ガウスの発散定理から
I∫

Φ=Sds · B =Vdτ ∇ · B(r) = 0となっています。

∇ × (∇ × X) = ∇(∇ · X) − ∇2 X を使うと∫∇2 × B(r2 ) = β∇2 × (∇2 ×Vdτ1j(r1 )) = β∇2 (∇2 ·|r2 − r1 |∫Vdτ1j(r1 )) − β∇22|r2 − r1 |∫Vdτ1j(r1 )|r2 − r1 |(6)第一項は∫∇2 (∇2 ·Vdτ1j(r1 )) = ∇2|r2 − r1 |∫V= − ∇2dτ1 j(r1 ) · ∇2∫V1|r2 − r1 |dτ1 j(r1 ) · ∇1

∫1|r2 − r1 |11)−∇1 · j(r1 ))|r−r||r−r1 |212V∫
I1n · j(r1 )+ ∇2∇1 · j(r1 )= − ∇2dτ1ds1|r2 − r1 ||r2 − r1 |V
S= − ∇2dτ1 (∇1 · (j(r1 )S は V を囲む閉曲面、n はそれの単位法線ベクトルです。S は電流が流れている領域を囲む面上の積分なので、その領域内に閉じ込められている j の積分は 0 です。第二項は ∇ · j = 0 から 0 です。

5

(6) の第二項は、「静電場」で求めたように∇221= −4πδ 3 (r2 − r1 )|r2 − r1 |なので、磁場の回転は∫∇2 × B(r2 ) = 4πβVdτ1 j(r1 )δ 3 (r2 − r1 ) = 4πβj(r2 )(7)となります。
次に、任意の閉曲線を C とし（C に電流は流れていない)、それは電流密度 j が分布している領域にあるとします。そうすると、B の回転を閉曲線 C 上で線積分すると、ストークスの定理から

IC

∫

∫
da · B =Sc

dsc nc · (∇ × B) = 4πβSc

dsc nc · j

nc は閉曲線 C を縁とする面 Sc の単位法線ベクトルです。nc · j は面 Sc を通る電流密度なので、その面積分は面を通過する電流 Ienc です。よって、任意の閉曲線に対して

IC

da · B = 4πβIenc

これがアンペールの法則で、任意の閉曲面上の磁場の線積分は、その閉曲線で囲まれた電流に比例します。電場と同じように、ビオ・サバールの法則でなくアンペールの法則を使った方が楽に求められる場合もあります。また、(7) はアンペールの法則の微分形です。
電場ではクーロンの法則からガウスの法則、磁場ではビオ・サバールの法則からアンペールの法則となり、それぞれの発散と回転は∇ · E = 4παρ , ∇ × E = 0∇ · B = 0 , ∇ × B = 4πβjとなっています。これらが、時間依存しない電場と磁場の法則です (微分形)。∇ · E = 4παρ は時間依存しても成立するのと同じように、∇ · B(r, t) = 0 も成立します。しかし、アンペールの法則は時間依存がある場合では不十分で、修正されます。

∇ · (∇ × X) = 0 なので ∇ · B = ∇ · (∇ × A) = 0 として、ベクトル A を導入できます。A をベクトルポテンシャルと呼びます。A を使うとアンペールの法則は∇ × B = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A = 4πβjそして、ベクトルポテンシャルは ∇ · A = 0 になっているとして (「マクスウェル方程式」参照)∇2 A = −4πβj6これはポアソン方程式です（3 個のベクトル成分がそれぞれポアソン方程式になっている）。なので、電場での電位ポテンシャルの形がそのまま流用できて (電荷密度を電流密度におきかえる)∫dτ ′A(r) = βj(r ′ )|r − r ′ |となります。
磁場の導入として、電荷に対応する磁荷 (magnetic charge) を使う場合もあります。この場合も同じ結果になります。しかし、電流なら新しい量を加えなくても磁場が扱えることと、磁荷は発見されていないことから、最初は電流による磁場から見ていく方が面倒がないと思います (状況の把握が分かりづらいと言えば分かりづらいですが)。また、電流か磁荷かは、E.B 対応、E.H 対応という電磁気の形式に対する解釈と関わっています。ここではE.B 対応の立場です。

7