３年組番

氏名

授業者 綾小路尚子（筑波大学修士課程教育研究科数学教育コース１年）

１ バビロニアの数学（紀元前 24 世紀〜紀元前 14 世紀）

バビロニアの粘土版

箱の縦は 0；20，高さは横の 12 倍，箱の底（面積）と容積の和は 1；10 である。横を求めよ。
0；20 に 12 を掛けると４。４に 1；10 を掛けて 4；40。
0；20 の 1／２は 0；10 である。0；10 を二乗すると、0；1，40。
4；40 に 0；1，40 を加えて 4；41，40。
4；41，40 の根は 2；10 で、それと 0；10 の差は、2 である。
4 の逆数をつくれば、0；15。0；15 に２を掛ければ 0；30。
見よ、0；30 は横である。
【小倉金之助補訳(1960)『カジョリ初等数学史上』より】

書き直すと．．．
20
10
箱の縦は，高さは横の 12 倍，箱の底（面積）と容積の和は 1+である。横を求めよ。
6060201040に 12 を掛けると４。４に 1+を掛けて 4 +。
60606020
1 1010140の はである。
を２乗すると、+。
60
260
60
60 60 × 60
401404140
4+に+を加えて 4 ++。
6060 60 × 60
60 60 × 60
4140
10104++の根は 2 +で、それとの差は、2 である。
60 60 × 60
60
601515304 の逆数をつくれば、。に２を掛ければ。
60
606030
見よ、は横である。
60

ギリシアの数学（紀元前 3 世紀〜紀元後 5 世紀頃）

２

古代ギリシアの数学は、幾何学（図形の性質などを研究する学問）を中心としたもので、タレスやピタゴラスなど多くの数学者によって、理論上めざましい発達をとげました。
その数学者たちの理論をユークリッドがまとめ、後世に残しました。
→ユークリッドの『原論』（次のページ参照）

問題

こんな長さの線分↓ととこんな長さの線分↓が与えられたとき、が等しいような作図方法の比とを作図しよう！

（コンパスと定木を使ってかこう！）

本当にこの作図方法は正しいのか？

図で AB：BD＝BD：BC になることを示そう！との比ユークリッドの『原論』とは？
ユークリッドは、紀元前 4 世紀ぐらいのギリシアの人で、ムセイオンの最初で最高の教師の一人でした。
ユークリッドの『原論』は、学生のための教科書でしたが、当時かかれた数学書の中で最も大きい影響力をもったものでした。全部で 13 巻から構成され、467 もの命題が書かれています。

例えばユークリッドの『原論』

第 6 巻命題１３

は・・・【中村幸四郎他(1996)『ユークリッド原論縮刷版』より】

３

アラビアの数学（9 世紀頃）

アラビアの数学者にはアル=フワ―リズミー（780 年頃〜850 年頃）という人がいます。
フルネーム：アブジャフル・ムハマッド・イブン・ムーサ・アル＝フワリズミー
フルネームの意味：ジャファルの父、ムーサの息子、フワ―リズム出身のムハマッド
著書：『ジャブルとムカーバラ』（9 世紀半ば頃に書いた）

アル＝フワリズミーの方程式を解読しよう！
数の３に等しい（1 個の）ジズル
そのジズルは３であり、そこから生じるマールは９である。

１０個のジズルに等しい５個のマール
その１個のマールは２個のジズルに等しい。そのマールのジジズル（根）は２であり、マールは４である。
【伊藤俊太郎編著『数学の歴史２』共立出版より】

問題１

マールとジズルは何でしょう？

問題２

アル＝フワ―リズミーは何を言っているのでしょう？

39 ディルハムに等しい、（1 個の）マールとそのジズル（根）10 個について考えていこう！
問題３

次の文章を解読しよう。
39 ディルハムに等しい、（1 個の）マールとそのジズル（根）10 個
その意味は どんなマールに 10 個のジズルを加えたら、全体として 39 になるか？ ということである。
すると、その解法は、ジズル（の個数）を半分にすることである。
この問題では、それは 5 である。
そして、それ自身にかける。すると 25 になる。
それを 39 に加える。
すると、64 になる。
そこで、その根をとる。それは 8 である。
そこからジズル（の個数）の半分すなわち５を引く。すると３が残る。
それが求めるマールのジズル（根）であり、マールは９である。
【伊藤俊太郎編著

問題３『数学の歴史２』共立出版】

次の文章を解読しよう。
この問題に対して図がある。
それは面 AB で、これがマールである。
さて、我々はそれに 10 個のジズルに相当するものを加えたい。
そこで、その 10 を半分にする。それは５となる。
それらを面 AB の二方に接する 2 つの面とする。すなわち、面 G と D である。
それらの面の各々の長さは５、すなわち 10 個のジズル（の個数）の半分となり、その幅は面 AB の辺に等しくなる。
すると、面 AB の一角に四角形が１つ残る。
それは５掛ける５、すなわち我々が最初の面の二方に加えた 10 個のジズル（の個数）の半分（の自乗）である。
最初の面がマールであることと、その二方の２つの面が 10 個のジズルである
ことがわかっているから、その全体は 39 である。
大きな面が完成するのには５掛ける 5 の四角形が残っており、それは 25 である。
そこで、大きな面を完成させるために、それを 39 に加える。すると、それは全体で 64 となる。
そこでその根を取る。それは 8 である。
それが大きな面の一辺である。
そこで、我々が付け加えたもの、すなわち 5 をそこから引くと、３が残る。
それが面 AB、すなわちマールの辺であり、また、そのジズル（根）である。そして、マールは 9 である。
左がその図である。
【伊藤俊太郎編著 『数学の歴史２』共立出版】

４４−１

ヨーロッパの数学（１６世紀）
ジ ロ ラ モ ・ カ ル ダ ノ （ 1501 年 〜 1576 年 ）職業：医学者、数学者、人文主義者、占星術師
著書：『アルス・マグナ（大いなる技法）』を出版
ここには、3 次方程式の解法（特定の場合）だけでなく 4 次方程式の解法も説明している。

カルダノの『アルスマグナ』を見てみると・・・

原典『ARS MAGNA』より

４−２

ヴ ィ エ タ （ 1540〜 1630）
16 世紀のフランス最大の数学者
著書：『In Artem Aanalyticen Isagoge(解析法入門)』(1591)『De Aequationum Recognitione,et Emendatione Tractus duo(方程式の再検討及び改良に関する２論文) 』(1591)
これらの本は、のちに全集『Francisci Vietae Opera Mathematica』（1646）に収録されている。
有名な言葉：「解くことのできない問題はない」

ヴ ィ エ タ の 『 Francisci Vietae Opera Mathematica 』 か ら

ヴィエタの方程式を解読しよう！

母音 A･･･未知数（わからない数）
子音 B、Z･･･既知数（わかっている数）
quad･･･未知数の平方
plano･･･既知数の平方
in･･･乗法（×）
aequeter･･･等号（＝）を表している。
現代のような書き方にすると・・・

１. み ん な の 知 っ て い る 方 法 で 解いてみよう！

２ . ヴ ィ エ タ の 方 法 で解いてみよう！
ヴィエタの方法；
・図において正しいことのみを利用して解こうとした。
・２次方程式を、（２乗）=（数）に変形して解こうとした。
222（１） ( A + B ) = A + 2 AB + B ① が成り立つことを，図を用いて説明してみよう！

（２）A についての２次方程式

A の入った2A2 + 2 BA = Z 2＝A の入っていない式

2（３）ヴィエタの方法を用いて、 A+ 10 A = 39

を、①を利用してに変形しよう！

を解いてみよう！

３ . 同様に、 A2 − 2 BA = Z 2 をヴ ィ エ タ の 方 法 で 解いてみよう！