Versión 2015

¿Qué y cómo aprenden nuestros
estudiantes?
VI
Ciclo

Área Curricular
Matemática
1.° y 2.° grados de Educación Secundaria

1Ministerio de Educación
Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja
Lima, PerúTeléfono 615-5800
www.minedu.gob.peÍndiceVersión 1.0
Tiraje: 57.400 ejemplares
Elaboración:
Marisol Edith Zelarayan Adauto, Pedro David Collanqui Diaz, Maria Isabel Díaz Maguiña, Wendy
Betzabel Monteza Ahumada, Nelly Gabriela Rodríguez Cabezudo, Giovanna Karito Piscoya Rojas,
Lorena Puente de la Vega, Olber Muñoz Soliz, SINEACE-Programa de Estándares de Aprendizaje:
Gina Patricia Paz Huamán, Lilian Edelmira Isidro Cámac.
Colaboradores:
Carlos Ramiro Francisco Febres Tapia, Hugo Luis Támara Salazar, Marlene Valdez Damian, Daniel
Marcos Chirinos Maldonado, Rosa Luz Jaruko Yamamoto, María Torres Veliz, Luis Hurtado Mondoñedo, Manuel Ángel Nuñez Chumpitazi, Fernando Escudero Ratto, Rodrigo Valera Lynch, Andrea
Soto Torres.
Fotografía:
Victor Wilfredo Jacinto Ayala, Hayde Pumacayo Condori, Marisol Quispe Sánchez.
Ilustraciones:
Oscar Pablo Casquino Neyra, Hayde Pumacayo Condori.
Diseño y diagramación:
Hayde Pumacayo Condori.
Impreso por:
Quad/Graphics Perú S.A.
Av. Los Frutales 344 Ate – Lima
RUC: 20371828851© Ministerio de Educación
Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este material por cualquier medio,
total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores.
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: Nº 2015-02681
Impreso en el Perú / Printed in Peru
En vista de que en nuestra opinión, el lenguaje escrito no ha encontrado aún una manera
satisfactoria de nombrar a ambos géneros con una sola palabra, en este fascículo se ha optado por
emplear términos en masculino para referirse a ambos géneros.

2

Presentación............................................................................................................................Pág. 5
Introducción.............................................................................................................................. Pág. 7
1. Fundamententos y definiciones .....................................................................................................

8

1.1 ¿Por qué aprender matemática? ...........................................................................................
1.2 ¿Para qué aprender matemática?..........................................................................................
1.3 ¿Cómo aprender matemática?................................................................................................
2. Competencias y capacidades ........................................................................................................
2.1 Competencias matemáticas....................................................................................................
2.1.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad.................................
2.1.2 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,

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equivalencia y cambio....................................................................................................
		 2.1.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento
			 y localización...................................................................................................................
		 2.1.4 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e			 incertidumbre..................................................................................................................
2.2 Capacidades matemáticas .....................................................................................................
		2.2.1 Matematiza situaciones.................................................................................................
		 2.2.2 Comunica y representa ideas matemáticas................................................................
		 2.2.3 Elabora y usa estrategias...............................................................................................
		 2.2.4 Razona y argumenta generando ideas matemáticas................................................
2.3 ¿Cómo se desarrolla las competencias en el VI ciclo? .........................................................
		 2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad.................................
		 2.3.2 Descripción de algunos indicadores relacionados a la competencia
			
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad.................................
		 2.3.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,
			equivalencia y cambio....................................................................................................
		 2.3.4 Descripción de algunos indicadores relacionados a la competencia
			
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,
			equivalencia y cambio....................................................................................................
		 2.3.5 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento
			 y localización...................................................................................................................
		 2.3.6 Descripción de algunos indicadores relacionados a la competencia
			
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización

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		 2.3.7 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos
			 e incertidumbre...............................................................................................................
		 2.3.8 Descripción de algunos indicadores relacionados a la competencia
			
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos
			 e incertidumbre...............................................................................................................
2.4 Campos temáticos...........................................................................................................................

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3. Orientaciones didácticas ................................................................................................................

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3.1 Orientaciones para desarrollar la competencia actúa y piensa matemáticamente		 en situaciones de cantidad .....................................................................................................
3.1.1 Situaciones didácticas de Brousseau............................................................................
3.1.2 Prácticas en laboratorio de matemática......................................................................
3.1.3 Planteamiento de talleres matemáticos.......................................................................
		 3.1.4 El juego como fuente de aprendizaje de la matemática............................................

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79

Presentación
Las Rutas del Aprendizaje son orientaciones pedagógicas y didácticas para una
enseñanza efectiva de las competencias de cada área curricular. Ponen en manos denosotros, los docentes, pautas útiles para los tres niveles educativos de la Educación
Básica Regular: Inicial, Primaria y Secundaria.
Presentan:

3.2 Orientaciones para desarrollar la competencia actúa y piensa matemáticamente		 en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio........................................................
3.2.1 Aprendizaje basado en problemas de modelación matemática...............................
3.2.2 Empleo de la cruz demostrativa....................................................................................

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3.3 Orientaciones para desarrollar la competencia actúa y piensa matemáticamente		 en situaciones de forma, movimiento y localización.............................................................
3.3.1 Modelo de Van Hiele para el aprendizaje de la geometría.......................................
3.3.2 El dibujo y la construcción..............................................................................................

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3.3.3 La Uve de Gowin.............................................................................................................

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3.4 Orientaciones para desarrollar la competencia actúa y piensa matemáticamente		 en situaciones de gestión de datos e incertidumbre ...........................................................
		
3.4.1 La investigación escolar......................................................................................

105
105

• Los enfoques y fundamentos que permiten entender el sentido y las finalidades dela enseñanza de las competencias, así como el marco teórico desde el cual se estánentendiendo.
• Las competencias que deben ser trabajadas a lo largo de toda la escolaridad, y las
capacidades en las que se desagregan. Se define qué implica cada una, así comola combinación que se requiere para su desarrollo.
• Los estándares de las competencias, que se han establecido en mapas de progreso.
• Posibles indicadores de desempeño para cada una de las capacidades, por gradoo ciclos, de acuerdo con la naturaleza de cada competencia.
• Orientaciones didácticas que facilitan la enseñanza y el aprendizaje de lascompetencias.
Definiciones básicas que nos permiten entender y trabajar con las Rutas del Aprendizaje:

Mapas de progreso...............................................................................................................................

112

Referencias bibliográficas.....................................................................................................................

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1. Competencia
Llamamos competencia a la facultad que tiene una persona para actuar
conscientemente en la resolución de un problema o el cumplimiento de exigencias
complejas, usando flexible y creativamente sus conocimientos y habilidades,
información o herramientas, así como sus valores, emociones y actitudes.
La competencia es un aprendizaje complejo, pues implica la transferencia ycombinación apropiada de capacidades muy diversas para modificar una
circunstancia y lograr un determinado propósito. Es un saber actuar contextualizado
y creativo, y su aprendizaje es de carácter longitudinal, dado que se reitera
a lo largo de toda la escolaridad. Ello a fin de que pueda irse complejizando demanera progresiva y permita al estudiante alcanzar niveles cada vez más altos dedesempeño.
2. Capacidad
Desde el enfoque de competencias, hablamos de «capacidad» en el sentido
amplio de «capacidades humanas». Así, las capacidades que pueden integrar una
competencia combinan saberes de un campo más delimitado, y su incremento
genera nuestro desarrollo competente. Es fundamental ser conscientes de que si

45bien las capacidades se pueden enseñar y desplegar de manera aislada, es su
combinación (según lo que las circunstancias requieran) lo que permite su desarrollo.
Desde esta perspectiva, importa el dominio específico de estas capacidades, pero
es indispensable su combinación y utilización pertinente en contextos variados.
3. Estándar nacional
Los estándares nacionales de aprendizaje se establecen en los Mapas de progresoy se definen allí como «metas de aprendizaje» en progresión, para identificar
qué se espera lograr respecto de cada competencia por ciclo de escolaridad.
Estas descripciones aportan los referentes comunes para monitorear y evaluar
aprendizajes a nivel de sistema (evaluaciones externas de carácter nacional) y deaula (evaluaciones formativas y certificadoras del aprendizaje). En un sentido amplio,
se denomina estándar a la definición clara de un criterio para reconocer la calidad
de aquello que es objeto de medición y pertenece a una misma categoría. En estecaso, como señalan los mapas de progreso, se indica el grado de dominio (o nivel
de desempeño) que deben exhibir todos los estudiantes peruanos al final de cada
ciclo de la Educación Básica con relación a las competencias.
Los estándares de aprendizaje no son instrumentos para homogeneizar a losestudiantes, ya que las competencias a que hacen referencia se proponen como un
piso, y no como un techo para la educación escolar en el país. Su única función es
medir logros sobre los aprendizajes comunes en el país, que constituyen un derecho
de todos.
4. Indicador de desempeño
Llamamos desempeño al grado de desenvoltura que un estudiante muestra en
relación con un determinado fin. Es decir, tiene que ver con una actuación que logra
un objetivo o cumple una tarea en la medida esperada. Un indicador de desempeño
es el dato o información específica que sirve para planificar nuestras sesiones deaprendizaje y para valorar en esa actuación el grado de cumplimiento de una
determinada expectativa. En el contexto del desarrollo curricular, los indicadores dedesempeño son instrumentos de medición de los principales aspectos asociados al
cumplimiento de una determinada capacidad. Así, una capacidad puede medirse a
través de más de un indicador.
Estas Rutas del Aprendizaje se han ido publicando desde el 2012 y están en revisión
y ajuste permanente, a partir de su constante evaluación. Es de esperar, por ello, queen los siguientes años se sigan ajustando en cada una de sus partes. Estaremos muy
atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolas en las próximas reediciones,de manera que sean más pertinentes y útiles para el logro de los aprendizajes a los quenuestros estudiantes tienen derecho.

Introducción
El presente fascículo te proporciona pautas para ¿qué enseñar y cómo enseñar? El qué
enseñar relacionado con los contenidos y capacidades y el cómo enseñar relacionado conla variedad de estrategias y recursos que te permitirán generar aprendizajes significativos
en tus estudiantes. La matemática cobra mayor significado y se aprende mejor cuando sedesarrolla en situaciones de la vida real. Nuestros estudiantes desarrollaran aprendizajes
significativos cuando vinculen sus experiencias y saberes con la realidad que lo circunda.
Por ello, podríamos expresar una práctica matemática para la vida, donde el aprendizaje
se genera en el contexto de la vida y sus logros van hacia ella.
Asimismo, la sociedad actual requiere de ciudadanos críticos, creativos y emprendedores
capaces de asumir responsabilidades en la conducción de la sociedad, en ese sentido la
educación matemática debe ser un medio para tales propósitos. Por ello, es importantereconocer tu rol como agente mediador, orientador y provocador de formas de actuar ypensar durante las actividades matemáticas. Conscientes de la responsabilidad que tienes
con tus estudiantes, te brindamos el presente fascículo como una herramienta pedagógica.
Para tal efecto se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas, el cual orienta
el sentido de desarrollar competencias y capacidades matemáticas.
En el presente fascículo encontrarás:
Capítulo I: La fundamentación, que está redactada en torno al por qué y para qué
aprender matemática.
Capítulo II: La organización curricular por competencias, considerando en ella losestándares de aprendizaje, el cual expresa la metas de aprendizaje para el VII ciclo.
Capítulo III: Orientaciones didácticas que ofrecen propuestas para promover el logro deaprendizajes con la matemática.
La intención del presente fascículo es propiciar la reflexión de las prácticas educativas con
tus estudiantes y esperamos que contribuya en tu labor profesional. Asimismo, estaremos
atentos a tus aportes y sugerencias de la experiencia vivida con este material, lo que nosllevará a seguir mejorando de manera que sea lo más pertinente y útil para el logro de losaprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho.

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sucesos, de tal manera que tener un entendimiento y un desenvolvimiento matemático
adecuados nos permite participar del mundo que nos rodea en cualquiera de losaspectos mencionados.

1. Fundamentos y definiciones
1.1 ¿Por qué aprender matemática?
Vivimos en un escenario de constante cambio
e incertidumbres que requieren una cultura
matemática
La matemática está presente en diversos espacios de la actividad
humana, tales como actividades familiares, sociales, culturales
o en la misma naturaleza. El uso de la matemática nos permite
entender el mundo que nos rodea, ya sea natural o social.
En la anatomía del ser humano, por ejemplo, se observan formas,
patrones, estructuras, redes, grafos, dibujos y otros, que debemos
entender si pretendemos alcanzar un equilibrio con la naturaleza,y somos nosotros quienes desarrollamos estos saberes yconocimientos en base a la experiencia y la reflexión.
Por otro lado, resulta complicado asumir un rol participativo en diversos ámbitos delmundo moderno sin entender el papel que la matemática cumple en este aspecto,
su forma de expresarse a través de un lenguaje propio y con
características simbólicas particulares ha generado una
nueva forma de concebir nuestro entorno y actuar sobre él.
La presencia de la matemática en nuestra vida diaria, en
aspectos sociales, culturales y de la naturaleza es algo
cotidiano, pues se usa desde situaciones tan simples ygenerales como cuantificar el número de integrantes de lafamilia, hacer un presupuesto familiar, desplazarnos de lacasa a la escuela, o ir de vacaciones, hasta situaciones tan
particulares como esperar la cosecha de este año sujeta altiempo y los fenómenos de la naturaleza, hacer los balances
contables de negocios estableciendo relaciones entre variables
de manera cuantitativa, cualitativa y predictiva, o cuando
practicamos juegos a través de cálculos probabilísticos de

8

La matemática se ha incorporado en las diversas actividades humanas, de tal manera
que se ha convertido en clave esencial para poder comprender y transformar nuestra
cultura. Es por ello que nuestra sociedad necesita de una cultura matemática para
aproximarse, comprender y asumir un rol transformador en el entorno complejo y global
de la realidad contemporánea, esto implica desarrollar en los ciudadanos habilidades
básicas que permitan desenvolverse en la vida cotidiana, relacionarse con su entorno,
con el mundo del trabajo, de la producción, el estudio y entre otros.

Es un eje fundamental en el desarrollo de las sociedades y labase para el progreso de la ciencia y latecnología
En este siglo la matemática ha alcanzado un granprogreso, invade hoy más que nunca la práctica total delas creaciones del intelecto y ha penetrado en la mente
humana más que ninguna ciencia en cualquiera de losperiodos de la historia, de tal manera que la enseñanza
de una matemática acabada, y pensada para un mundo
ideal se ha ido sustituyendo por una matemática como
producto de la construcción humana y con múltiples
aplicaciones.
Hoy en día, las aplicaciones matemáticas ya no
representan un patrimonio únicamente apreciable
en la física, ingeniería o astronomía, sino que han
desencadenado progresos espectaculares en otros
campos científicos. Especialistas médicos leen obras
sobre la teoría de la información, los psicólogos estudian tratados de teoría de laprobabilidad, la sociología, la lingüística y otra gran parte de las humanidades usan lamatemática, que camuflada con el nombre de cliometría, se ha infiltrado en el campo
histórico. Existen tantas evidencias, que los más ilustres pensadores y científicos han
aceptado sin reparos que en los últimos años se ha estado viviendo un acusado periodo
de apreciación de la matemática.
Comenta Carl Sagan (1982) que hay un lenguaje común para todas las civilizaciones
técnicas, por muy diferentes que sean, y este es el de la ciencia y la matemática. La
razón está en que las leyes de la naturaleza son idénticas en todas partes. En este
sistema comunicativo-representativo está escrito el desarrollo de las demás ciencias;
gracias a ella ha habido un desarrollo dinámico y combinado de la ciencia-tecnología
que ha cambiado la vida del ciudadano moderno.

9Se requieren ciudadanos responsables y conscientes al tomar
decisiones
El desarrollo de una sociedad democrática requiere deciudadanos participativos capaces de tomar decisiones
responsables. Esto implica superar problemas que noson exclusivamente los de orden político y económico. Un
aspecto importante, que atraviesa cualquier proceso dedemocratización, es el de la distribución equitativa del poder.
Ella implica mayores canales de participación de la población
en la toma de decisiones en todos los niveles.
Por ello, una distribución desigual de los conocimientos
matemáticos juega también un rol en la estructuración de lasociedad, en la construcción de una democracia real. Por una
parte, existe una tendencia a fundar el poder en la matemática,
en la demostración, en la invocación al razonamiento y hasta
la intimidación por la actividad matemática. Por otro lado,
mientras más se complejiza nuestra sociedad, un número cada vez mayor de decisiones
se toman en nombre de la “racionalidad, el uso óptimo y conveniente”. Sin embargo,
esta racionalidad parece ser propiedad de los expertos, en tanto la gran mayoría de la
población permanece alejada de ella; mientras más científica es la política, entendida
en términos amplios que incluyen, por ejemplo las decisiones económicas, menor esla posibilidad de regulación democrática de la sociedad, pues el individuo no tiene
suficientemente asegurado el acceso al conocimiento, y así el ciudadano puede perder
su derecho a la decisión.
Finalmente, es importante considerar que toda persona está dotada para desarrollar
aprendizajes matemáticos de forma natural; y que sus competencias matemáticas sevan desarrollando de manera progresiva en la educación formal y no formal. Asimismo,decimos que la persona redescubre y construye sus conocimientos científicos conla ayuda de la matemática en el sentido que las disciplinas científicas usan como
lenguaje y representación de lo factual los códigos, procesos y conceptos de un cuerpo
de conocimiento matemático.

1.2 ¿Para qué aprender matemática?
La finalidad de la matemática en el currículo es desarrollar formas de actuar y pensar
matemáticamente en diversas situaciones que permitan al estudiante interpretar
e intervenir en la realidad a partir de la intuición, planteando supuestos, haciendo
inferencias, deducciones, argumentaciones, demostraciones, formas de comunicar yotras habilidades, así como el desarrollo de métodos y actitudes útiles para ordenar,
cuantificar, medir hechos y fenómenos de la realidad, e intervenir conscientemente
sobre ella.

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En ese sentido, la matemática escapa de ser ciencia de números y espacio paraconvertirse en una manera de pensar. Mejor que definirla como la ciencia de losnúmeros, es acercarse a ella en la visión de un pensamiento organizado, formalizado
y abstracto, capaz de recoger elementos y relaciones de la realidad, discriminándolas
de aquellas percepciones y creencias basadas en los sentidos y de las vicisitudes
cotidianas.
El pensar matemáticamente implica reconocerlo como un proceso complejo y dinámico
resultante de la interacción de varios factores (cognitivos, socioculturales, afectivos,
entre otros), el cual promueve en los estudiantes formas de actuar y construir ideas
matemáticas a partir de diversos contextos (Cantoral 2013). Por ello, en nuestra
práctica, para pensar matemáticamente tenemos que ir más allá de los fundamentos
de la matemática y la práctica exclusiva de los matemáticos y entender que se trata deaproximarnos a todas las formas posibles de razonar, formular hipótesis, demostrar,
construir, organizar, comunicar, resolver problemas matemáticos que provienen de uncontexto cotidiano, social, laboral o científico, entre otros. A partir de ello, se espera que
los estudiantes aprendan matemática en diversos sentidos:
Funcional, ya que encontrará en la matemática herramientas básicas para su desempeño social y la tomade decisiones que orientan su proyecto de vida. Es dedestacar aquí la contribución de la matemática a cuestiones tan relevantes como: los fenómenos políticos,
económicos, ambientales, de infraestructuras, transportes, movimientos poblacionales; los problemas deltráfico en las ciudades; la necesidad y formación deprofesionales cualificados; los suministros básicos; eldiseño de parques y jardines; la provisión de alimentos; la economía familiar o la formación en cultura matemática de las nuevas generaciones.
Formativo, ya que le permitirá desarrollar estructuras
conceptuales, procedimientos y estrategias cognitivas tanto particulares como
generales, características de un pensamiento abierto, creativo, crítico, autónomo ydivergente.

En este sentido, la matemática posee unos valores formativos
innegables, tales como:
La capacidad para desarrollar el pensamiento del estudiante con el fin de
determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias, y, en definitiva,
potenciar el razonamiento y la capacidad de acción simbólica, el espíritu crítico,la tendencia a la exhaustividad, el inconformismo, la curiosidad, la persistencia,
la incredulidad, la autonomía, la rigurosidad, la imaginación, la creatividad, lasistematicidad, etc.

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La utilidad para promover la expresión, elaboración y apreciación de patronesy regularidades, que combinados generan resultados eficaces y bellos paramuchos; la matemática ha de promover el uso de esquemas, representaciones
gráficas, fomentar el diseño de formas artísticas, la apreciación y creación debelleza.
La creatividad que fomenta, pues dentro de sus fronteras bien delimitadas seobserva una libertad absoluta para crear y relacionar conceptos, incluso demanera artística.
La potencialidad para desarrollar el trabajo científico y para la búsqueda,
identificación y resolución de problemas.
La honestidad, pues no se puede engañar a otros sin engañarse uno mismo.
Eso en matemática no se puede, las falsedades no tienen lugar en un ambiente
matemático.
Instrumental, de manera que la matemática sea reconocida como el idioma en el queestá escrito el desarrollo de las demás ciencias; gracias a ella ha habido un desarrollo
dinámico y combinado de la ciencia-tecnología que ha cambiado la vida del ciudadanomoderno.
Por ejemplo, en elchascampo biológico, mu
as
tic
rís
cte
ra
de las ca
ientoheredadas en el nacimdeerev
no se pueden prlor deantemano: sexo, coestatura,
r,
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pelo, pepermiteetc. La probabilidad
rísticas.
cteraca
describir estas

Sobre la resolución de problemas, porque explica la necesidad dereflexionar sobre los mismos procesos de la resolución de problemas como:la planeación, las estrategias heurísticas, los recursos, procedimientos,
conocimientos y capacidades matemáticas movilizadas en el proceso.
Para resolver problemas, porque involucran enfrentar a los estudiantes
de forma constante a nuevas situaciones y problemas. En este sentido laresolución de problemas es el proceso central de hacer matemática, y deesta manera vive como un proceso más que como un producto terminado(Font 2003), asimismo es el medio principal para establecer relaciones defuncionalidad de la matemática en diversas situaciones.

Enseñanza

Todas las profesiones requieren una base de conocimientos
matemáticos y, en algunas, como en la matemática pura,la física, la estadística o la ingeniería, la matemática es
imprescindible.
En la práctica diaria de las ciencias se usa la matemática.
Los conceptos con que se formulan las teorías científicas son
esencialmente los conceptos matemáticos.

1.3 ¿Cómo aprender matemática?
Donovan y otros (2000), basado en trabajos de investigación en antropología, psicología
social y cognitiva, afirman que los estudiantes alcanzan un aprendizaje con alto nivel designificatividad cuando se vinculan con sus prácticas culturales y sociales.
Por otro lado, como lo expresa Freudenthal (2000), esta visión de la práctica matemática
escolar no está motivada solamente por la importancia de su utilidad, sino principalmente
por reconocerla como una actividad humana; lo que implica que hacer matemática
como proceso es más importante que la matemática como un producto terminado.
En este marco se asume un enfoque centrado en la resolución de problemas con laintención de promover formas de enseñanza y aprendizaje a partir del planteamientode problemas en diversos contextos. Como lo expresa Gaulin (2001), este enfoqueadquiere importancia debido a que promueve el desarrollo de aprendizajes a travésde, sobre y para la resolución de problemas.

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A través de la resolución de problemas y del entorno del estudiante,porque esta permite construir significados, organizar objetos matemáticos
y generar nuevos aprendizajes en un sentido constructivo y creador de laactividad humana.

"A través de"
Enfoquecentrado en la
resolución deproblemas

Actuar y pensar
matemáticamente"Sobre la"

Resolución deproblemas"Para la"Aprendizaje13

La resolución de problemas como expresión adquiere
diversas connotaciones, ya que puede ser entendida
como una competencia que implica un procesocomplejo; una capacidad, que involucra movilizar
conocimientos y procesos de resolución para un fin
de aprendizaje más superior; una estrategia en la
característica que muestra fases y procesos que le dan
identidad respecto a otras estrategias. Al respecto, a
continuación expresaremos la resolución de problemascomo un enfoque, que orienta y da sentido a la
educación matemática, en el propósito que se persigue
de resolver problemas en el actuar y pensar matemáticamente para orientar el procesode la enseñanza y aprendizaje de la matemática.
En nuestro sistema educativo, este enfoque de resolución de problemas orienta laactividad matemática en la escuela, de tal manera que le permite al estudiante situarse
en diversos contextos para crear, recrear, investigar y resolver problemas; involucrando
la prueba de diversos caminos de resolución, el análisis de estrategias y formas derepresentación, la sistematización y comunicación de los nuevos conocimientos, entre
otros.

Finalmente, desde la mirada de Lesh & Zawojewski (2007), la resolución
de problemas implica la adquisición de niveles crecientes de capacidad
en la solución de problemas por parte de los estudiantes, lo que les
proporciona una base para el aprendizaje futuro, para la participación
eficaz en sociedad y para conducir actividades personales. Losestudiantes necesitan aplicar lo que han aprendido en nuevas
situaciones. El estudio centrado en la resolución de problemas por partede los estudiantes proporciona una ventana en sus capacidades para
emplear el pensamiento y otros acercamientos cognoscitivos generales,para enfrentar desafíos en la vida.

Problemas endiversos contextos

Rasgos más importantesdel enfoqueLos rasgos más importantes de este enfoque son los siguientes:
La resolución de problemas debe plantearse en situaciones de contextos diversos,
pues ello moviliza el desarrollo del pensamiento matemático. Los estudiantes
desarrollan competencias y se interesan en el conocimiento matemático, si leencuentran significado y lo valoran, y pueden establecer relaciones de funcionalidad
matemática con situaciones de diversos contextos.
La resolución de problemas sirve de escenario para desarrollar competencias
y capacidades matemáticas. Es a través de la resolución de problemas, que losestudiantes desarrollan competencias y capacidades matemáticas.

Una situación
se describe
tocomo un acontecimien
da
le
e
qu
significativo
to demarco al planteamiend,daproblemas con canti
.
etc
,
ma
regularidad, forPor ello, permite daradsentido y funcionalid
y
ias
nc
rie
pe
ex
a las
áticosconocimientos matem
los
n
lla
que desarro
estudiantes.

14

La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas. La
resolución de problemas sirve de contexto para que los estudiantes
construyan nuevos conceptos matemáticos, descubran relaciones
entre entidades matemáticas y elaboren procedimientos matemáticos,
estableciendo relaciones entre experiencias, conceptos, procedimientos
y representaciones matemáticas.
Los problemas deben responder a los intereses y necesidades delos estudiantes; es decir, deben ser interesantes y constituir desafíos
genuinos para los estudiantes, que los involucren realmente en labúsqueda de soluciones.

Matemático

Resolucióndeproblemas
CiEntÍfico

SocialUn problema
es un desafío, reto o
dificultad a resolver
y para lo cual no seoconoce de anteman
una solución.

El enfoquees el puntode partidapara enseñar
y aprendermatemática

La resolución deproblemas debe deplantearse en situaciones
de contextos diversos
lo que desarrolla
el pensamiento
matemático.
La resolución deproblemas orienta
al desarrollo decompetencias ycapacidades matemáticas.
Sirve de contexto para
comprender y establecer
relaciones entre
experiencias, conceptos,
procedimientos y
representaciones
matemáticas.
Los problemas deben
responder a lasnecesidades e interesesde los estudiantes.

ECONÓMICO

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2. Competencias y capacidades
Nuestrosadolescentes necesitan enfrentarse a retos
que demanda la sociedad, con la finalidad de que seencuentren preparados para superarlos, tanto en la
actualidad como en el futuro. En este contexto, la educacióny las actividades de aprendizaje deben orientarse a que losestudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol deciudadanos, lo cual involucra el desarrollo pleno de un conjunto
de competencias, capacidades y conocimientos que faciliten lacomprensión, construcción y aplicación de una matemática para lavida y el trabajo.
Los estudiantes a lo largo de la Educación Básica Regulardesarrollan competencias y capacidades, las cuales se definen como la facultad detoda persona para actuar conscientemente sobre una realidad, sea para resolver unproblema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos,
las habilidades, las destrezas, la información o las herramientas que tenga disponibles yconsidere pertinentes a la situación (Minedu 2014). Tomando como base esta concepción
es que se promueve el desarrollo de aprendizajes en matemática explicitados en cuatrocompetencias. Estas, a su vez, se describen como el desarrollo de formas de actuar yde pensar matemáticamente en diversas situaciones.
Según Freudenthal (citado por Bressan 2004), el actuar matemáticamente consistiría en
mostrar predilección por:

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Usar el lenguaje matemático para comunicar sus ideas o argumentar sus
conclusiones; es decir, para describir elementos concretos, referidos a contextos
específicos de la matemática, hasta el uso de variables convencionales ylenguaje funcional.
Cambiar de perspectiva o punto de vista y reconocer cuándo una variación eneste aspecto es incorrecta dentro de una situación o un problema dado.
Captar cuál es el nivel de precisión adecuado para la resolución de un problema
dado.
Identificar estructuras matemáticas dentro de un contexto (si es que las hay) yabstenerse de usar la matemática cuando esta no es aplicable.
Tratar la propia actividad como materia prima para la reflexión, con miras aalcanzar un nivel más alto de pensamiento.

De otro lado, pensar matemáticamente se define como el conjunto de actividades
mentales u operaciones intelectuales que llevan al estudiante a entender y dotar designificado a lo que le rodea, resolver un problema sobre conceptos matemáticos,
tomar una decisión o llegar a una conclusión, en los que están involucrados
procesos como la abstracción, justificación, visualización, estimación, entre otros(Cantoral 2005; Molina 2006; Carretero y Ascencio 2008).
Las competencias propuestas en la Educación Básica Regular se organizan sobre labase de cuatro situaciones. La definición de estas cuatro situaciones se sostiene enla idea de que la matemática se ha desarrollado como un medio para describir,
comprender e interpretar los fenómenos naturales y sociales que han motivado eldesarrollo de determinados procedimientos y conceptos matemáticos propios decada situación (OECD 2012). En este sentido, la mayoría de países han adoptado una
organización curricular basada en estos fenómenos, en la que subyacen numerosas
clases de problemas, con procedimientos y conceptos matemáticos propios de cadasituación. Por ejemplo, fenómenos como la incertidumbre, que pueden descubrirse en
muchas situaciones habituales, necesitan ser abordados con estrategias y herramientas
matemáticas relacionadas con la probabilidad. Asimismo, fenómenos o situaciones deequivalencias o cambios necesitan ser abordados desde el álgebra; las situaciones decantidades se analizan y modelan desde la aritmética o los números; las de formas,
desde la geometría.

17

Por las razones descritas, las competencias se formulan como actuar y pensar
matemáticamente a través de situaciones de cantidad; regularidad, equivalencia ycambio; forma, movimiento y localización; gestión de datos e incertidumbre.
Por tanto, las cuatro competencias matemáticas atienden a estas situaciones y se
describen como actuar y pensar matemáticamente, lo que debe entenderse como usar
la matemática para describir, comprender y actuar en diversos contextos; una de las
características en ellas el plantear y resolver problemas.

Actúa y piensa
matemáticamente ensituaciones de cantidad

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones deregularidad,
equivalen­cia ycambio

MATEMÁTICA

2.1 Competencias matemáticas

1competencia

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones decantidad.

En nuestra sociedad actual, la utilidad que tienen los números y datos es prácticamente
infinitas. Estamos bombardeados por titulares que utilizan medidas cuantitativas para
reportar aumentos de precios, los riesgos de ser propensos a una enfermedad, y elnúmero de personas afectadas por desastres naturales. Los anuncios publicitarios
utilizan números para competir en ofertas de telefonía celular, para promocionar bajointerés en préstamos personales, de pequeña empresa, hipotecarios, etc. En el ámbito
técnico profesional; los agricultores estudian mercados donde ofertar sus productos,
analizan el suelo y controlan cantidades de semillas y nutrientes; las enfermeras utilizan
conversiones de unidades para verificar la exactitud de la dosis del medicamento; lossociólogos sacan conclusiones a partir de datos para entender el comportamiento
humano; los biólogos desarrollan algoritmos informáticos para mapear el genoma
humano; los empresarios estudian los mercados y costos del proyecto utilizando las TIC.
FIGURA1: EVOLUCIÓN DE LA ENFEREMEDAD DEL DENGUE

Actúa y piensa
matemáticamente ensituaciones de gestión dedatos e incertidumbre

Actúa y piensa
matemáticamente ensituaciones de forma,
movimiento ylo­calización

La competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad implica
desarrollar modelos de solución numérica, comprendiendo el sentido numérico y demagnitud, la construcción del significado de las operaciones, así como la aplicación dediversas estrategias de cálculo y estimación al resolver un problema.

https://coveclinica.wordpress.com/enfermedades-de-vigilancia-epidemilogica/
eventos-de-notificacion-inmediata/dengue/

18

19

Esta competencia se desarrolla a través de las cuatro capacidades matemáticas lasque se interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante.
Esto involucra la comprensión del significado de los números y sus diferentes
representaciones, propiedades y relaciones, así como el significado de las operaciones
y cómo estas se relacionan al utilizarlas en contextos diversos.

Lo dicho anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes
asociados a la idea de cantidad, siendo algunas características las siguientes:
Conocer los múltiples usos que les damos.
Realizar procedimientos como conteo, cálculo y estimación de cantidades.
Comprender y usar los números en sus variadas representaciones.

CAPACIDADES DE LA COMPETENCIA

Emplear relaciones y operaciones basadas en números.
Comprender el sistema de numeración decimal.
Comunica y representa ideas
matemáticas

Matematiza situaciones

Expresar problemas
diversos en modelosmatemáticos
relacionados con
los números y
operaciones.

Justificar y validar conclusiones,supuestos, conjeturas e hipótesis
respaldados en significados ypropiedades de los números y
operaciones.
Razona y argumenta
generando ideas matemáticas

Expresar el significado delos números y operaciones
de manera oral y escrita,
haciendo uso de diferentes
representaciones y lenguaje
matemático.

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones decantidad.

Planificar, ejecutar y valorar
estrategias heurísticas,
procedimientos de cálculo,comparación, estimación,
usando diversos recursos para
resolver problemas.
Elabora y usa estrategias

La necesidad de cuantificar y organizar lo que se encuentra en nuestro entorno nos
permite reconocer que los números poseen distinta utilidad en diversos contextos.
Treffers (citado por Jan de Lange) hace hincapié en la importancia de la capacidad
de manejar números y datos, y de evaluar los problemas y situaciones que implican
procesos mentales y de estimación en contextos del mundo real. Por su parte, The
International Life Skills Survey (Policy Research Initiative Statistics Canada 2000) menciona
que es necesario poseer “un conjunto de habilidades, conocimientos, creencias,
disposiciones, hábitos de la mente, comunicaciones, capacidades y habilidadespara resolver problemas que las personas necesitan para participar eficazmente ensituaciones cuantitativas que surgen en la vida y el trabajo”.

20

Reconocer patrones numéricos.
Utilizar números para expresar atributos de medida reconocidas en el mundo real.
Comprender el significado de las operaciones con cantidades y magnitudes.

2

competencia
Actúa y piensa
matemáticamente ensituaciones de regularidad,
equivalencia y cambio.

En nuestro alrededor se manifiestan diversos
fenómenos que tienen características
de cambio, pudiéndose reconocer,
por ejemplo, cómo ciertos organismos
van variando a medida que crecen, el
movimiento de flujo y reflujo de las mareas,
los ciclos de empleabilidad en un sistema
económico, los cambios climáticos regidos
por las estaciones, fluctuaciones bursátiles,
el cambio de temperatura a lo largo del Adaptación: https://coveclinica.wordpress.com/enfermedades-de-vigilanciaepidemilogica/eventos-de-notificacion-inmediata/dengue/día, crecimiento de la población respecto al
tiempo (años), tiempo de distribución de un producto, costo para inmunizar al “x” porciento de una población contra una epidemia, velocidad de un móvil en movimientos,
uniformemente acelerados o retardados, recibos de la luz, agua o teléfono en funcióndel gasto, el movimiento de un cuerpo en el espacio, o cómo ha evolucionado en losúltimos años la preferencia del público frente a un producto con determinada campaña
publicitaria.
En este sentido, aprender progresiones, ecuaciones y funciones relacionadas a estas
situaciones desarrolla en el estudiante una forma de comprender y proceder en diversos
contextos haciendo uso de la matemática.

21

La competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio implica desarrollar progresivamente la interpretación ygeneralización de patrones, la comprensión y el uso de igualdades y desigualdades, y lacomprensión y el uso de relaciones y funciones. Toda esta comprensión se logra usando
el lenguaje algebraico como una herramienta de modelación de distintas situaciones dela vida real.
Esta competencia se desarrolla a través de las cuatro capacidades matemáticas,
que se interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante,esto involucra desarrollar modelos expresando un lenguaje algebraico, emplear
esquemas de representación para reconocer las relaciones entre datos, de tal forma
que se reconozca un regla de formación, condiciones de equivalencia o relaciones
de dependencia, emplear procedimientos algebraicos y estrategias heurísticas para
resolver problemas, así como expresar formas de razonamientos que generalizan
propiedades y expresiones algebraicas.

Comunica y representa ideas
matemáticas

Asociar problemas
diversos con modelosque involucran patrones,
igualdades, desigualdades
y relaciones.

Expresar el significado
de patrones, igualdades,
desigualdades y relaciones
de manera oral y escrita,
haciendo uso de diferentes
representaciones y lenguaje
matemático.

Razona y argumenta
generando ideas matemáticas

Planificar, ejecutar y valorar
estrategias heurísticas,
procedimientos de cálculo yestimación, usando diversos
recursos para resolver
problemas.
Elabora y usa estrategias

Lo expuesto muestra la necesidad de reconocer la manifestación de cambio en
fenómenos reales, en los que es posible identificar dos o más magnitudes y estudiar laforma como varían para tener una comprensión y control de ellos a partir de establecer
relaciones permanentes o temporales entre dichos fenómenos.

22

Comprender las regularidades que se reconocen en diversos contextos, incluidos
los propiamente matemáticos.
Expresar patrones y relaciones usando símbolos, lo que conduce a procesos degeneralización.
Hallar valores desconocidos y establecer equivalencias entre expresiones
algebraicas.

Matematiza situaciones

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones
regularidad,
equivalencia ycambio.

Lo expuesto anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes
asociados a la idea de patrones, equivalencia y cambio. Son algunas características:

Comprender la igualdad o desigualdad en condiciones de una situación.

CAPACIDADES DE LA COMPETENCIA

Justificar y validar conclusiones,supuestos, conjeturas e hipótesis
respaldados en leyes que
rigen patrones, propiedades
sobre relaciones de igualdad y
desigualdad y las relaciones.

De acuerdo con el Dr. Cantoral, este aprendizaje es parte del pensamiento matemático
avanzado y comprende las relaciones entre la matemática de la variación y el cambio,
por un lado, y los procesos del pensamiento, por el otro. Implica la integración delos dominios numéricos, desde los naturales hasta los complejos, conceptos devariable, función, derivada e integral; asimismo sus representaciones simbólicas, sus
propiedades y el dominio de la modelación elemental de los fenómenos del cambio.
(Dolores, Guerrero, Martínez y Medina 2002: 73).

Identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes.
Analizar la naturaleza del cambio y modelar situaciones o fenómenos del mundo
real, con la finalidad de resolver un problema o argumentar predicciones.

3

competencia
Actúa y piensa
matemáticamente ensituaciones de forma,
movimiento y localización.

A diario, en nuestro entorno cotidiano se nos presentan diversas oportunidades para
enfrentarnos a problemas espaciales. A través de estas, vamos construyendo unconjunto de referencias que nos permiten ubicarnos y ubicar cuerpos. Así, por ejemplo,
montar una bicicleta, ajustar una pieza de mobiliario, ordenar un equipo de música oponer un ventilador de techo involucra retos como reconocer instrucciones, palabras
que expresan referentes de dirección de arriba y abajo, adelante y atrás, etc., objetos
físicos entre otros.
Asimismo, muchos descubrimientos clásicos y procedimientos cotidianos de la ciencia
se basan en gran parte en el reconocimiento de formas y cuerpos geométricos, por
ejemplo, uno de los grandes descubrimientos de la ciencia moderna, el modelo de la
doble hélice de Watson de la estructura del ADN. Otro aspecto a considerar es que en lasúltimas décadas, se está experimentando una abundancia de información con el apoyo
de tecnologías: sensores (como sismógrafos e hidrófonos de alta resolución), dispositivos

23

(como el mar profundo y las tecnologías de perforación de núcleos de hielo), satélites
de muestreo (incluyendo imágenes multiespectrales y sistemas de posicionamiento
global GPS), y plataformas (tales como el telescopio Hubble y el sumergible Alvin). Esto
ha involucrado el desarrollo y la práctica de pensamiento espacial por ejemplo, mapas,
técnicas de análisis (análisis de superficie de tendencia), y sistemas de representación(diagramas espectrales).
En este sentido, aprender geometría relacionada a estas situaciones desarrolla en el
estudiante una forma de comprender y proceder en diversos contextos haciendo uso
de la matemática.
La competencia actúa y piensa en situaciones de forma, movimiento y localización
implica desarrollar progresivamente el sentido de la ubicación en el espacio, lainteracción con los objetos, la comprensión de propiedades de las formas y cómo estas
se interrelacionan, así como la aplicación de estos conocimientos al resolver diversas
problemas.
Esta competencia se desarrolla a través de las cuatro capacidades matemáticas, que
se interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante, esto
involucra desarrollar modelos expresando un lenguaje geométrico, emplear variadas
representaciones que describan atributos de forma, medida y localización de figuras
y cuerpos geométricos, emplear procedimientos de construcción y medida para
resolver problemas, así como expresar formas y propiedades geométricas a partir derazonamientos.
CAPACIDADES DE LA COMPETENCIA

Comunica y representa ideas
matemáticas

Matematiza situaciones

Asociar problemas diversos
con modelos referidos a
propiedades de las formas,
localización y movimiento
en el espacio.

Justificar y validar conclusiones,supuestos, conjeturas e hipótesis
respecto a las propiedades de lasformas, sus transformaciones yla localización en el espacio.
Razona y argumenta
generando ideas matemáticas

24

Expresar las propiedades delas formas, localización ymovimiento en el espacio,de manera oral o escrita,
haciendo uso de diferentes
representaciones y lenguaje
matemático.

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones deforma, movimiento ylocalización.

Investigaciones en el campo de la didáctica de la geometría, Villiers (1999), Moreno(2002), Duval (1998), Herscowitz y Vinner (1987), han llevado a reconocer que elaprendizaje de la geometría es un proceso complejo que pone en tensión ciertos polosdel desarrollo cognitivo:
Los procesos cognitivos de visualización, así Gutiérrez (1996) en relación a laenseñanza de la geometría define la visualización como la actividad de razonamiento
basada en el uso de elementos visuales o espaciales.
Los procesos de justificación de carácter informal o formal. “El estudio delrazonamiento está constitutivamente ligado al estudio de la argumentación” (Godinoy Recio, citados por Bressan 1998).
Los procesos de dar significado a los objetos y propiedades geométricas.
Los dominios empíricos y teóricos de la geometría, a través del desarrollo dehabilidades de dibujo y construcción.
Lo expuesto anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes
asociado a la idea de formas, posición y movimiento. Algunas características son:Usar relaciones espaciales al interpretar y describir en forma oral y gráfica trayectos
y posiciones para distintas relaciones y referencias.
Construir y copiar modelos hechos con formas bi y tridimensionales.
Expresar propiedades de figuras y cuerpos según sus características para que losreconozcan o los dibujen.
Explorar afirmaciones acerca de características de las figuras y argumentar sobre
su validez.
Estimar, medir efectivamente y calcular longitudes, capacidades y pesos usando
unidades convencionales.

Planificar, ejecutar y valorar
estrategias heurísticas yprocedimientos de localización,
construcción, medición yestimación, usando diversos
recursos para resolver
problemas.
Elabora y usa estrategias

25

4

competencia
Actúa y piensa
matemáticamente ensituaciones de gestión dedatos e incertidumbre.

Nos encontramos en la actualidad en uncontexto de una sociedad cambiante e
impredecible, en la que estamos avanzando apasos agigantados tanto en el desarrollo de laciencia y la tecnología, por ello contamos conlas TIC cada vez más potentes, reconocemos
sistemas de transporte y procesos decomunicación altamente eficientes, lo que
ha traído como consecuencia que estamos
enfrentados a un mundo saturado de
http://focoblanco.com.uy/2014/05/aumentan-las-posibilidades-de-fenomeinformación y datos. Es en este contexto en que
no-climatico-el-nino-para-america-del-sur/nos ha tocado vivir, que nos sentimos inseguros
sobre cuál es la mejor forma para tomar decisiones; por ejemplo, nos enfrentamos aresultados electorales inciertos, ciertas edificaciones colapsan, se manifiestan caídas
en los mercados de valores, tenemos condiciones meteorológicas cuyas previsiones noson fiables, predicciones de aumento o disminución del crecimiento de la población,los modelos económicos que no muestran una constante y, por tanto, no expresan una
linealidad, y muchas otras manifestaciones de la incertidumbre de nuestro mundo.
En este sentido, aprender estadística relacionada a estas situaciones desarrolla en el
estudiante una forma de comprender y proceder en diversos contextos haciendo uso
de la matemática.
La competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e
incertidumbre implica desarrollar progresivamente formas cada vez más especializadas
de recopilar, y el procesar datos, así como la interpretación y valoración de los datos, yel análisis de situaciones de incertidumbre.
Esta competencia se desarrolla a través de las cuatro capacidades matemáticas que
se interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante, esto
involucra desarrollar modelos expresando un lenguaje estadístico, emplear variadas
representaciones que expresen la organización de datos, usan procedimientos
con medidas de tendencia central, dispersión y posición, así como probabilidad en
variadas condiciones; por otro lado, se promueven formas de razonamiento basados
en la estadística y la probabilidad para la toma de decisiones.

26

CAPACIDADES DE LA COMPETENCIA

Comunica y representa ideas
matemáticas

Matematiza situaciones

Asociar problemas diversos
con modelos estadísticos yprobabilísticos.

Justificar y validar conclusiones,supuestos, conjeturas ehipótesis, respaldados enconceptos estadísticos yprobabilísticos.
Razona y argumenta
generando ideas matemáticas

Expresar el significado deconceptos estadísticos yprobabilísticos, de manera
oral y escrita, haciendo uso dediferentes representaciones ylenguaje matemático.

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones degestión de datos
e incertidumbre.

Planificar, ejecutar y valorar
estrategias heurísticas yprocedimientos para larecolección y procesamientode datos y el análisis deproblemas en situaciones deincertidumbre.
Elabora y usa estrategias

Investigaciones en el campo de la estadística, como Holmes (1980); destacan que laestadística es una parte de la educación general deseable para los futuros ciudadanos,pues precisan adquirir la capacidad de lectura e interpretación de tablas y gráficos
estadísticos que aparecen con frecuencia en medios informativos. Para Watson (2002),
el pensamiento estadístico es el proceso que debería tener lugar cuando la metodología
estadística se encuentra con un problema real.
El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en “estadísticos aficionados”;
puesto que la aplicación razonable y eficiente de la estadística para la resolución
de problemas requiere un amplio conocimiento de esta materia y es competencia
de los estadísticos profesionales. Tampoco se trata de capacitarlos en el cálculo y larepresentación gráfica, ya que los ordenadores hoy día resuelven este problema. Lo quese pretende es proporcionar una cultura estadística, “que se refiere a dos componentes
interrelacionados: a) capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información
estadística, los argumentos apoyados en datos o los fenómenos estocásticos quelas personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios decomunicación, pero no limitándose a ellos, y b) capacidad para discutir o comunicar
sus opiniones respecto a tales”.

27Desarrollar una comprensión de los conceptos básicos de probabilidad y estadística,
sus alcances y limitaciones, la confianza y la experiencia, escribir y hablar de ellos.
Interpretar información estadística presentada en una variedad de formas y para
comunicar su interpretación por informe escrito u oral.
Apreciar que los datos son adecuados para el análisis estadístico, se aplican
técnicas pertinentes y ser capaz de hacer deducciones e inferencias sobre la basede ellos.

2.2 Capacidades matemáticas
Capacidad 1

Matematiza situaciones

Es la capacidad de expresar un problema, reconocido en una situación, en un modelo
matemático. En su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, deacuerdo a la situación que le dio origen.

Desarrollar la confianza y la capacidad para llevar a cabo una investigación práctica.
Familiar

Ser conscientes de la importancia de la información estadística en la sociedad.

Evalúael modelo matemático

Adquirir una base de conocimientos, habilidades y comprensión adecuada a las
aplicaciones de la probabilidad y la estadística todos los días.

Contrasta, valora y verifica la validez del modelo con lasituación original, lo que supone modificarlo en caso
sea necesario

Usar y aplicar
el modelo a otras situaciones
Económico

Socialmodelomatemático

Identifica qué elementos o variablesdel modelo lo hacen aplicable a otras
situaciones

Identificar
datos y condiciones de la situación
Científico ... y otros

Por ello, esta capacidad implica:
Reconocer características, datos, condiciones y variables de la situación que
permitan construir un sistema de características matemáticas conocido como un
modelo matemático, de tal forma que reproduzca o imite el comportamiento de larealidad.
Usar el modelo obtenido estableciendo conexiones con nuevas situaciones en lasque puede ser aplicable; ello permite reconocer el significado y la funcionalidad delmodelo en situaciones similares a las estudiadas.
Contrastar, valorar y verificar la validez del modelo desarrollado o seleccionado, en
relación a una nueva situación o al problema original, reconociendo sus alcances ylimitaciones.

28

29

La matematización destaca la relación entre las situaciones reales y la matemática,
resaltando la relevancia del modelo matemático1, el cual se define como un sistema que
representa y reproduce las características de una situación del entorno. Este sistema
está formado por elementos que se relacionan y de operaciones que describen comointeractúan dichos elementos; haciendo más fácil la manipulación o tratamiento de lasituación (Lesh y Doerr 2003).

Capacidad 2

Por ejemplo, un estudiante puede representar en un diagrama sagital,en una tabla de doble entrada o en el plano cartesiano, la relación dela cantidad de objetos vendidos con el dinero recaudado, reconociendoque todas estas representaciones muestran la misma relación.
A continuación se presentan ejemplos de los diferentes tipos derepresentación.

Comunica y representa ideas matemáticas

Paranificadola construcción del sig
de los conocimientos
endablematemáticos es recom
licen
rea
tes
ian
que los estud
as
ers
div
en
n
y transite
rtiendorepresentaciones, pansode aquellas que
gar a lasvivenciales hasta lle
s.
lica
bó
sim
o
gráficas

Diferentes formas de representar

Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemáticas, y expresarlas enforma oral y escrita usando el lenguaje matemático y diversas formas de representación
con material concreto, gráfico, tablas, símbolos y recursos TIC, y transitando de una
representación a otra.

Elabora diversas representaciones
y las conecta

Representación
pictórica

Representación con
material concreto

Dibujos e íconos.

Representación
gráfica

Estructurados:
bloques lógicos,
Tangram, cubos,
cuentas, etc.
No estructurados:semillas, piedritas,
palitos, tapas,
chapas, etc.

Comprende ideas
matemáticas

Se expresa con lenguaje
matemático

Tablas deconteo, listas,
cuadros dedoble entrada,
etc.

Representación
vivencial

Representación
simbólica

Acciones motrices:
Juegos de roles ydramatización.

Símbolos,expresiones
matemáticas.

Adaptación: Discover strategies Young math students in competently using multiple representations de Anne Marshall (2010)

La comunicación es la forma de expresar y representar información con contenido
matemático, así como la manera en que se interpreta (Niss 2002). Las ideas
matemáticas adquieren significado cuando se usan diferentes representaciones y sees capaz de transitar de una representación a otra, de tal forma que se comprende laidea matemática y la función que cumple en diferentes situaciones.

30

1. Es importante reconocer que no todos los sistemas matemáticos funcionan como modelo. Para que sea un modelo, 		el sistema debe imitar otro sistema, considerando las ideas de Lesh y Doerr 2003.

El manejo y uso de las expresiones y símbolos matemáticos que constituyen el lenguaje
matemático se van adquiriendo de forma gradual en el mismo proceso de construcciónde conocimientos. Conforme el estudiante va experimentando o explorando las nociones
y relaciones, los va expresando de forma coloquial al principio, para luego pasar al
lenguaje simbólico y, finalmente, dar paso a expresiones más técnicas y formales
que permitan expresar con precisión las ideas matemática, las que responden a una
convención.

31

Capacidad 3

Capacidad 4

Elabora y usa estrategias

Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias
y diversos recursos, entre ellos las tecnologías de información y comunicación,
empleándolas de manera flexible y eficaz en el planteamiento y resolución deproblemas, incluidos los matemáticos. Esto implica ser capaz de elaborar un plan desolución, monitorear su ejecución, pudiendo incluso reformular el plan en el mismo
proceso con la finalidad de llegar a la meta. Asimismo, revisar todo el proceso deresolución, reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usados de manera
apropiada y óptima.

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Es la capacidad de plantear supuestos, conjeturas e hipótesis de implicancia matemática
mediante diversas formas de razonamiento (deductivo, inductivo y abductivo) , así comoel verificarlos y validarlos usando argumentos. Esto implica partir de la exploraciónde situaciones vinculadas a la matemática para establecer relaciones entre ideas,
establecer conclusiones a partir de inferencias y deducciones que permitan generar
nuevas conexiones e ideas matemáticas.

Verifica y valida supuestos,conjeturas, hipótesis usando
argumentos

Valora estrategias,
procedimientos yrecursos.

Inductivo
Elabora y usa
representaciones,
considerando el uso
de TIC

Resolución deproblemas

Formas derazonamiento

Deductivo
Abductivo

Prueba con ejemplo,
contraejemplos, deforma inductiva odeductiva.

Explica, sigue
argumentos,
construye,
defiende y refuta
argumentos

Plantea supuestos,conjeturas e hipótesis
Elabora un plan desolución

Las estrategias se definen como actividades conscientes e intencionales, que guían elproceso de resolución de problemas; estas pueden combinar la selección y ejecución
de procedimientos matemáticos, estrategias heurísticas, de manera pertinente yadecuada al problema planteado.
Por ello, esta capacidad implica:
Elaborar y diseñar un plan de solución.
Seleccionar y aplicar procedimientos y estrategias de diverso tipo (heurísticas, decálculo mental o escrito).

Basados en la percepción,
analogía, inducción, etc.

Por ello, esta capacidad implica que el estudiante:
Explique sus argumentos al plantear supuestos, conjeturas e hipótesis.
Observe los fenómenos y establezca diferentes relaciones matemáticas.
Elabore conclusiones a partir de sus experiencias.
Defienda sus argumentos y refute otros en base a sus conclusiones.

Valorar las estrategias, procedimientos y los recursos que fueron empleados; esdecir, reflexionar sobre su pertinencia y si le es útil.

32

33

Desarrollar esta competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad en el VI ciclo implica que los estudiantes practiquen matemática mediante acciones
orientadas a resolver problemas como por ejemplo de aumentos y descuentos porcentuales, proporcionalidad directa e indirecta, usando referencias que implican el uso delsigno, así como de potenciación en diferentes contexto.

Estas acciones contribuyen al proceso de aprendizaje de la matemática, cuando el estudiante puede expresarlas en modelos matemáticos que dan respuesta al problema.
Asimismo, cuando muestra una predisposición a comunicar ideas matemáticas con
respecto al significado del número entero, racional, el porcentaje y sus operaciones empleando términos particulares como por ejemplo: razón, porcentaje, fracción equivalente, mínimo común múltiplo; base, exponente, etc. Por otro lado, los estudiantes seránconscientes de gestionar eficazmente los recursos con los que cuenta para resolver el
problema movilizando un plan coherente de trabajo para investigar sobre porcentajes,
proporcionalidad en variados contextos, y en ella movilizando estrategias heurísticas,
procedimientos de cálculo y estimación entre otros. También contribuye en la medida
que se generan los espacios para que los estudiantes expresen formas de razonamiento basados en argumentar sobre experiencias con las variaciones porcentuales,
los incrementos bajo condiciones de razón proporcional, regularidades relacionadas
a exponentes positivos o negativos, así como las propiedades de las operaciones con
números enteros y racionales.

34

2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones decantidad

Relaciona datos de diferentes fuentes de información
referidas a situaciones sobre magnitudes, números
grandes y pequeños, y los expresa en modelos
referidos a operaciones con números racionales
e irracionales, notación científica, tasas de interéssimple y compuesto. Analiza los alcances ylimitaciones del modelo usado, evalúa si los datos ycondiciones que estableció ayudaron a resolver lasituación. Expresa usando terminologías, reglas yconvenciones matemáticas las relaciones entre las
propiedades de los números irracionales, notación
científica, tasa de interés. Elabora y relaciona
representaciones de una misma idea matemática,
usando símbolos y tablas. Diseña y ejecuta un plande múltiples etapas orientadas a la investigación oresolución de problemas, empleando estrategias
heurísticas y procedimientos para calcular y estimar
tasas de interés, operar con números expresados
en notación científica, determinar la diferencia entre
una medición exacta o aproximada, con apoyo dediversos recursos. Juzga la efectividad de la ejecucióno modificación de su plan. Formula conjeturas sobre
generalizaciones referidas a conceptos y propiedadesde los números racionales, las justifica o refuta
basándose en argumentaciones que expliciten el uso
de sus conocimientos matemáticos.
Discrimina información e identifica relaciones no explícitas
en situaciones referidas a determinar cuántas veces una
cantidad contiene o está contenida en otra y aumentos odescuentos sucesivos, y las expresa mediante modelos
referidos a operaciones, múltiplos o divisores, aumentos
y porcentajes. Selecciona y usa el modelo más pertinentea una situación y comprueba si este le permitió resolverla.
Expresa usando terminologías, reglas y convenciones
matemáticas4, su comprensión sobre las propiedadesde las operaciones con números enteros y racionales,
y variaciones porcentuales; medir la masa de objetos
en toneladas y la duración de eventos en décadas ysiglos. Elabora y emplea diversas representaciones deuna misma idea matemática usando tablas y símbolos;
relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado
a la investigación y resolución de problemas empleando
estrategias heurísticas, procedimientos para calcular yestimar con porcentajes, números enteros, racionales ynotación exponencial; estimar y medir la masa, el tiempo
y la temperatura con unidades convencionales; con apoyo
de diversos recursos. Evalúa ventajas y desventajas delas estrategias, procedimientos matemáticos y recursos
usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones
numéricas o propiedades de operaciones observadas ensituaciones experimentales; e identifica diferencias y errores
en una argumentación.
Interpreta datos y relaciones no explícitas de situaciones diversas
referidas a una o varias acciones de comparar e igualar dos
cantidades con números naturales, expresiones decimales,
fraccionarias o porcentajes, y los relaciona con modelos aditivos1y
multiplicativos2. Determina en qué otras situaciones es aplicable.
Describe, utilizando el lenguaje matemático, su comprensión
sobre el significado de la equivalencia entre fracciones, decimales
y porcentajes y la noción de potencia; compara y estima lamasa de objetos en unidades convencionales, y la duraciónde eventos en minutos y segundos. Elabora y emplea diversas
representaciones de una misma idea matemática, con gráficos
y símbolos; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un planorientado a experimentar o resolver problemas, empleando
estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo y estimación
con porcentajes usuales3 y números naturales, fracciones ydecimales; estimar, medir directa o indirectamente la masa
de objetos y la duración de eventos; con apoyo de recursos.
Compara los procedimientos y estrategias empleadas en
distintas resoluciones. Establece conjeturas sobre procedimientos,
propiedades de los números y las operaciones trabajadas, y las
justifica usando ejemplos o contraejemplos.

1. Problemas PAEV: Comparación e igualación 5 y 6.
2. Problemas multiplicativos conocidos como de producto cartesiano.
3. (10%, 20%, 25%, 50%, 75%).
4. Convenciones matemáticas: p.ej: convenir que el cero es múltiplo de todos los números.

VII CICLO

VI CICLO

V CICLO

Estándares (mapa del progreso)

A continuación les presentamos una matriz que muestra de manera integrada el estándar de aprendizaje (mapa de progreso), así como los indicadores de desempeño de lascapacidades para el desarrollo de la competencia en el ciclo. Los niveles de los mapas de progreso muestran una definición clara y consensuada de las metas de aprendizaje
que deben ser logradas por todos los estudiantes al concluir un ciclo o periodo determinado. En ese sentido, son un referente para la planificación anual, el monitoreo y laevaluación, pues nos muestran el desempeño global que deben alcanzar nuestros estudiantes en cada una de las competencias. Las matrices con los indicadores de desempeño
de las capacidades son un apoyo para diseñar nuestras sesiones de aprendizaje; son útiles también para diseñar instrumentos de evaluación, pero no nos olvidemos de que en
un enfoque de competencias, al final, debemos generar instrumentos que permitan evidenciar su desempeño integral. En resumen, ambos instrumentos nos ayudan tanto a laplanificación como a la evaluación, pero uno nos muestra desempeños más acotados (indicadores de desempeños), mientras que el otro nos muestra un desempeño complejo(mapas de progreso).
Hemos colocado el nivel anterior y posterior al ciclo correspondiente para que puedan identificar en qué nivel de desempeño se encuentra nuestros estudiantes, y así diseñar
actividades adecuadas para cada uno de ellos.

Matriz: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

2.3 ¿Cómo se desarrollan las competencias en el
VI ciclo?

35

MATEMATIZA SITUACIONES• Elabora un organizador de información
relacionado a la clasificación de lasfracciones y decimales, sus operaciones,
porcentaje y variaciones porcentuales.
• Representa aumentos o descuentos
porcentuales sucesivos empleando
diagramas, gráficos entre otros.

• Representa aumentos o descuentos porcentuales
empleando diagramas o gráficos.
• Expresa en forma oral o escrita, el aumento odescuento porcentual, expresando el significadodel porcentaje.
• Expresa en forma oral o escrita, el uso de porcentajes
más usuales en diversos contextos de la vida diaria(recetas, distancias, ofertas, etc.).
• Representa en forma concreta, pictórica, gráfica ysimbólica porcentajes más usuales.

5. Por ejemplo: situaciones duales: ganancias-perdidas, ingresos-reintegros; y situaciones relativas con: temperatura, numero de índices, cronología.

• Describe que una cantidad es directamente proporcional a la otra.
• Organiza datos en tablas para expresar
relaciones de proporcionalidad directa e
inversa entre magnitudes.
• Expresa la duración de eventos, medidas
de longitud, peso y temperatura considerando múltiplos y submúltiplos, °C, °F, K.

• Organiza datos en tablas para expresar relaciones de proporcionalidad directa entre magnitudes.

• Representa en forma concreta, gráfica y simbólica
los significados de las fracciones y sus operaciones(división con fracciones).

• Elabora un organizador relacionado a lafracción, el decimal y el porcentaje.
• Emplea expresiones como capital, monto,
interés, y tiempo en modelos de interéssimple.
• Describe la variación porcentual enintervalos de tiempo haciendo uso derepresentaciones y recursos.

• Expresa relaciones entre magnitudes
proporcionales compuestas empleando
ejemplos.
• Emplea esquemas tabulares para organizar y reconocer dos o más relaciones
directa e inversamente proporcionales
entre magnitudes.
• Expresa de forma gráfica y simbólica
números racionales considerando losintervalos.
• Emplea la recta numérica y el valor
absoluto para explicar la distancia entre
dos números racionales.

• Expresa que siempre es posible encontrar un número decimal o fracción
entre otros dos.
• Expresa la equivalencia de números
racionales (fracciones, decimales,
potencia de base 10 y porcentaje) con
soporte concreto, gráfico y otros.

• Representa de diversas formas la fracción de un conjunto.
• Representa el orden en la recta numérica de• Expresa en forma oral o escrita, el uso de los números
fracciones y decimales.
decimales hasta el milesimo y fracción decimal en diversos
contextos de la vida diaria (recetas, distancias, ofertas, etc.). • Expresa las características de las fracciones• Expresa en forma concreta, gráfica y simbólica las relaequivalentes, propias e impropias.
ciones de comparación y orden de números decimales y• Expresa las medidas de peso y temperatura,
fracción decimal.
• Representa en forma concreta, pictórica, gráfica y simbólica
entre otros, con expresiones decimales haciendode números decimales hasta el milésimo y sus equivalenuso de la estimación.
cias.
• Representa en forma concreta, gráfica y simbólica, lossignificados de la multiplicación y división con decimales.
• Describe la comparación y orden de los decimales hasta
el milésimo en la recta numérica, en el tablero posicional ysegún el valor posicional de sus cifras.

3.o grado sec.

• Evalúa si los datos y condiciones
que estableció ayudaron a resolver el problema.

• Selecciona información de fuentes,
para obtener datos relevantes ylos expresa en modelos referidos
a tasas de interés simple.
• Compara y contrasta modelosde tasas de interés simple al vincularlos a situaciones de decisión
financiera.

• Expresa rangos numéricos a través deintervalos.
• Expresa intervalos en su representación
geométrica, simbólica y conjuntista.
• Expresa un decimal como notación
exponencial, y asociada a múltiplos ysubmúltiplos.
• Expresa el valor absoluto como medidade la distancia de un punto al origen
de la recta numérica.

2.o grado sec.

• Relaciona cantidades y magnitudes ensituaciones, y los expresa en un modelo
de aumentos y descuentos porcentuales
sucesivos.
• Reconoce la restricción de un modelo deaumentos y descuentos porcentuales sucesivos de acuerdo a condiciones.

• Identifica dos o más relaciones
entre magnitudes, en fuentes deinformación, y plantea un modelo
de proporcionalidad compuesta.
• Diferencia y usa modelos basados
en la proporcionalidad compuesta
al resolver y plantear problemas.

• Organiza, a partir de fuentes deinformación, magnitudes grandes
y pequeñas al plantear modelos
con notación exponencial, múltiplos y submúltiplos del S.I.
• Reconoce la pertinencia de modelos en determinadas situaciones
que expresan relaciones entre
magnitudes

3.o grado sec.

• Describe las características de la potenciación• Representa un número decimal o• Representa en forma concreta, pictórica, gráfica yconsiderando su base y exponente con números
fraccionario, en una potencia con exposimbólica la potencia cuadrada y cúbica de un número
naturales.
nente entero.
natural.
• Representa en forma gráfica y simbólica las poten- • Describe las operaciones de multiplicación y división con potencias de bases
cias con exponentes positivos.
iguales, y de exponentes iguales.
• Expresa la operación inversa de la• Representa en forma concreta, gráfica y simbólica de • Expresa el significado de múltiplo, divisor, númepotenciación empleando radicalesros primos, compuestos y divisibles.
los múltiplos y divisores de un número, mínimo común
exactos.
•
Utilizalacriba
deEratóstenesparaexpresar
losmúltiplo y máximo común divisor.
números primos y compuestos inferiores a un
número natural cualquiera.

• Expresa procedimientos de medida de peso
y temperatura, entre otros, con expresiones
decimales.

• Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema.

• Determina en qué otros problemas es apicable el modelo• Describe la duración, estimación y comparación deeventos empleando años, décadas y siglos.
• Expresa la medida, estimación y la comparación delpeso de objetos en unidades oficiales usando sus
equivalencias y notaciones más usuales.

• Relaciona cantidades y magnitudes en situaciones
y los expresa en un modelo de aumentos y descuentos porcentuales.
• Usa un modelo basado en aumentos y descuentos
porcentuales al plantear y resolver problemas.

• Plantea relaciones entre los datos en situaciones, expresándolos
en un modelo de solución con porcentajes usuales.
• Emplea un modelo de solución referido a porcentajes usuales al
crear o resolver problemas.

• Expresa el significado del signo en el número
entero en situaciones diversas.
• Expresa en forma gráfica y simbólica las relaciones de orden entre números enteros empleando
la recta numérica.

• Reconoce relaciones entre magnitudes en problemas multiplicativos de proporcionalidad y lo
expresa en un modelo de solución.
• Usa modelos referidos a la proporcionalidad directa al resolver problemas.

• Plantea relaciones entre cantidades o magnitudes en problemas, ylos expresa en un modelo de proporcionalidad directa.

• Expresa en forma oral o escrita, el uso de los números
mayores de seis cifras en diversos contextos de la vida
diaria (distancias, presupuestos, precios de casas, premiosde lotería, etc.).
• Representa números mayores de seis cifras en forma
simbólica.
• Describe la comparación y el orden de números mayores
de seis cifras.

• Reconoce relaciones en problemas aditivos decomparación e igualación con decimales y fracciones, y los expresa en un modelo.
• Usa modelos aditivos con decimales al plantear
y resolver problemas aditivos de comparación eigualación.

• Interpreta datos y relaciones no explícitas, en problemas de varias
etapas, y los expresa en un modelo de solución aditivo que combinen las cuatro operaciones con decimales.
• Identifica datos en situaciones, expresándolos en un modelo desolución multiplicativo con decimales.
• Plantea relaciones entre los datos en problemas expresándolos en
un modelo de solución con fracciones como cociente.
• Plantea relaciones entre los datos en problemas expresándolos en
un modelo de solución con fracciones como operador.
• Plantea relaciones entre los datos en problemas, expresándolos
en un modelo de solución multiplicativo entre fracciones.
• Interpreta datos y relaciones aditivas en problemas que impliquen
repartir, partir una longitud o superficie y los expresa en un modelo
de solución de división entre una fracción y un entero.
• Emplea un modelo de solución aditivo o multiplicativo con fracciones al plantear o resolver un problema.

1.o grado sec.

• Reconoce datos y relaciones no explícitas, y losexpresa en un modelo relacionado a múltiplos ydivisores.
• Emplea el modelo de solución más pertinente al
resolver problemas relacionados a múltiplos ydivisores.

• Plantea relaciones entre los datos en problemas y los expresa en un
modelo relacionado a múltiplos y divisores de un número.
• Aplica modelos referidos a los múltiplos y divisores comunes de un
número.

6.o grado prim.

• Reconoce relaciones no explícitas en problemas aditivos de comparación e igualación
con decimales, fracciones y porcentajes, ylos expresa en un modelo.
• Usa modelos aditivos que expresan soluciones con decimales, fracciones y porcentajes
al plantear y resolver problemas.

• Ordena datos de cantidades y magnitudes en situaciones de regularidad y los expresa en modelos
referidos a la potenciación con exponente positivo.
• Usa modelos referidos a la potenciación al plantear
y resolver problemas en situaciones de regularidad.

• Ordena datos en problemas recursivos y de productos de medidasy los expresa en modelos referidos al cuadrado y cubo de un
número natural.
• Aplica modelos referidos a la potenciación al plantear y resolver
problemas relacionados con la potencia cuadrada y cúbica.

• Reconoce relaciones no explícitas enproblemas multiplicativos de proporcionalidad y lo expresa en un modelo basado en
proporcionalidad directa e indirecta.
• Diferencia y usa modelos basados en la
proporcionalidad directa e indirecta al plantear y resolver problemas.

• Relaciona datos en situaciones de medidas
y plantea modelos referidos a potenciación de base 10 con exponente positivo ynegativo.
• Reconoce la pertinencia de modelos
referidos a la potenciación en determinados
problemas.

• Reconoce datos y relaciones no explicitas en situaciones duales y relativas5, al expresar un modelo
usando números enteros y sus operaciones.
• Selecciona un modelo relacionado a números
enteros al plantear o resolver un problema en
situaciones duales y relativas.

• Interpreta relaciones aditivas y multiplicativas con datos no explícitos, en problemas de varias etapas, y los expresa en un modelo
de solución que combinen las cuatro operaciones con números
naturales.

2.o grado sec.

1.o grado sec.

6.o grado prim.

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

36
37

• Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas
relacionado al aumento o descuento porcentual.

• Emplea estrategias heurísticas, procedimientos y estrategias de cálculo al resolver
problemas con porcentajes más usuales.

• Propone conjeturas respecto al cambio del signode la base y el exponente relacionada o la potenciación.
• Propone conjeturas referidas a las relaciones deorden entre potencias de base 10 con exponente
entero.
• Propone conjeturas respecto a los números divisibles por 2, 3, 5, 7. 9, 11.
• Justifica cuando un número es divisible por otro a
partir de criterios de divisibilidad.
• Justifica procedimientos de aproximación en números decimales por exceso, defecto o redondeo.
• Justifica que al multiplicar el numerador y denominador de una fracción por un número siempre se
obtiene una fracción equivalente.
• Justifica a través de ejemplos que a:b = a/b= a x 1/b;a/b=nxa/nxb (siendo a y b numeros naturales, conn ҂ 0).
• Plantea conjeturas respecto a la propiedad fundamental de las proporciones a partir de ejemplos.
• Justifica la diferencia entre el concepto de razón yproporcionalidad a partir de ejemplos.
• Argumenta los procedimientos de cálculo sobre
aumentos y descuentos porcentuales.
• Justifica los procesos de variación porcentual para
resolver problemas.
• Identifica diferencias y errores en una argumentación.

• Establece conjeturas respecto a los múltiplos
y divisores de un número.
• Justifica cuando un número es múltiplo odivisor del otro.
• Explica a través de ejemplos y contraejemplos las diferentes formas de representar un
número decimal según su valor posicional.

• Establece relaciones entre las magnitudes
en un problema de proporcionalidad directa.

• Explica el procedimiento realizado al resolver
problemas con porcentajes.

• Justifica y defiende sus argumentos o conjeturas, usando ejemplos o contraejemplos.

• Justifica los procedimientos empleados paraobtener un aumento o descuento porcentual
sucesivo.
• Explica el significado del IGV y de cómo se
calcula.

• Justifica cuando una relación es directa oinversamente proporcional.
• Diferencia la proporcionalidad directa de la
inversa.

• Propone conjeturas referidas a la nociónde densidad, propiedades y relaciones deorden en Q.
• Justifica que dos números racionales son
simétricos cuando tienen el mismo valor
absoluto.
• Justifica cuando un número racional en su
expresión fraccionaria es mayor que otro.

• Propone conjeturas a partir de casos,
referidas a la relación entre la potenciación yradicación.
• Propone conjeturas para reconocer la teoríade exponentes con números fraccionarios.
• Comprueba a partir de ejemplos las operaciones con potencia de base entera, racional
y exponente entero.

• Propone conjeturas referidas a relaciones de orden
y propiedades de números enteros.
• Justifica con ejemplos que las operaciones con
números enteros se ve afectado por el signo.

• Establece conjeturas sobre las relaciones
de orden, comparación y equivalencia entre
fracciones, fracción decimal y decimales
hasta el milésimo.
• Establece conjeturas respecto a las propiedades y resultados de la potencia cuadrada
y cúbica de un número natural.

• Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados al
resolver el problema.

• Halla el valor de aumentos o descuentos
porcentuales sucesivos al resolver problemas.

• Emplea estrategias heurísticas, recursos
gráficos y otros, para resolver problemas
relacionado al aumento o descuento
porcentual sucesivos.

2.o grado sec.

• Emplea estrategias heurísticas, recursos
gráficos y otros, al resolver problemas
relacionados a la proporcionalidad.

• Emplea convenientemente el método de
reducción a la unidad y la regla de tres simple,
en problemas de proporcionalidad.

• Justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos.

• Plantea conjeturas respecto al cambio porcentual constante en un intervalo de tiempo
empleando procedimientos recursivos.
• Explica el significado del impuesto a las transacciones financieras (ITF) y cómo se calcula.

• Propone conjeturas respecto a que todo
número racional es un decimal periódico
infinito.
• Justifica la existencia de números irracionales algebraicos en la recta numérica.
• Justifica cuando una relación es directa oinversamente proporcional.

• Propone conjeturas a partir de casos, para
reconocer el valor absoluto con números
racionales.
• Justifica las relaciones entre expresiones
simbólicas, gráficas y numéricas de losintervalos.
• Justifica a través de intervalos que es posible
la unión, intersección y la diferencia de losmismos.
• Justifica la densidad entre los números
racionales en la recta numérica.

• Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan al resolver el problema.

• Emplea estrategias heurísticas, recursos
gráfico y otros para resolver problemas
relacionados al interés simple.

• Halla el valor de interés, capital, tasa y tiempo (en años y meses) al resolver problemas.

3.o grado sec.

• Emplea estrategias heurísticas, recursos
gráficos y otros, al resolver problemasde proporcionalidad directa e inversa
reconociendo cuando son valores exactos yaproximados.

• Emplea convenientemente el método de reducción a la unidad y la regla de tres simple,
en problemas relacionados con proporcionalidad compuesta.

• Realiza operaciones con números racionales
al resolver problemas.

• Emplea procedimientos para resolver
problemas relacionados a fracciones mixtas,
heterogéneas y decimales.
• Emplea procedimientos de simplificación defracciones al resolver problemas.
• Emplea estrategias heurísticas para resolver
problemas que combinen cuatro operaciones
con decimales, fracciones y porcentajes.

• Compara los procedimientos y estrategias
empleadas en distintas resoluciones.

• Halla el valor de aumentos o descuentos porcentuales apoyado en recursos gráficos y otros al resolver
problemas.

1.o grado sec.

• Halla el término desconocido de una proporción
apoyado en recursos graficos y otros al resolver
problemas.

• Emplea el factor de conversión, el método de
reducción a la unidad y la regla de tres simple enproblemas relacionados con proporcionalidad
directa.

6.o grado prim.

• Emplea estrategias heurísticas y procedimientos decálculo al resolver problemas de proporcionalidad
simple.

• Emplea estrategias heurísticas y procedimientos oestrategias de cálculo para sumar, restar, multiplicar
y dividir con decimales exactos.

• Emplea procedimientos de simplificación defracciones.

• Emplea procedimientos de estimación con decimales al resolver problemas.

• Emplea estrategias heurísticas para resolver
problemas que combinen cuatro operaciones con
decimales y fracciones.

• Emplea procedimientos para comparar, ordenar,
redondear números decimales a los décimos,
centésimos y ubicar números decimales entre dos
números decimales dados.
• Emplea estrategias o recursos para establecer equivalencias y conversiones entre decimales, fracción
decimal, fracción o porcentajes y entre diferentes
unidades de masa o longitud. (0,25 kg = 20/100 + 5/100 = 25/100 = 1/4 kg = 250 g)• Emplea estrategias heurísticas y procedimientos
al operar o simplificar fracciones y decimales.

• Realiza procedimientos de descomposición
polinómica con múltiplos de números naturales
al resolver problemas.

• Emplea el MCD y el mcm para resolver problemasde traducción simple y compleja con fracciones.

• Emplea procedimientos o estrategias de cálculo para
resolver problemas con fracciones.

• Emplea estrategias heurísticas, el MCD y el mcm
para resolver problemas simples de múltiplos ydivisores con números naturales.

• Emplea estrategias heurísticas y procedimientos
al resolver problemas relacionados a potenciasde base natural y exponente entero.

• Realiza operaciones con intervalos al resolver problemas.
• Realiza cálculos de multiplicación y división
considerando la notación exponencial ycientífica.

• Emplea operaciones de multiplicación entre
potencias de una misma base al resolver problemas.

• Emplea estrategias heurísticas y procedimientos
al resolver problemas relacionados a potencias
cuadradas y cúbicas.

• Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapasorientadas a la investigación o resolución deproblemas.

3.o grado sec.

• Emplea estrategias heurísticas al resolver
problemas con números racionales y base 10
con exponente positivo y negativo.
• Emplea procedimientos basados en teoría deexponentes (potencias de bases iguales, y deexponentes iguales) con exponentes enteros
al resolver problemas.

• Emplea procedimientos y recursos para realizar
operaciones con números enteros.
• Emplea estrategias heurísticas para resolver
problemas con números enteros.

2.o grado sec.

• Emplea procedimientos de medida, estimación yconversión al resolver problemas que impliquen
estimar, medir directa o indirectamente el tiempo ypeso de los objetos.

1.o grado sec.
• Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas.

6.o grado prim.
• Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigacióny resolución de problemas.

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS
MATEMÁTICASELABORA Y USA ESTRATEGIAS

38
39

2.3.2 Descripción de algunos indicadores relacionados
a la competencia Actúa y piensa matemáticamente ensituaciones de cantidad
Capacidad
Capacidad
Matematiza
situaciones:
Reconoce datos
y relaciones
no explícitas
en situaciones
duales, al
expresar un
modelo usando
números
enteros y sus
operaciones.

Descripción
Una situación relativa es aquella que presenta un punto de referencia y respecto a el
se determinan valores posicionales. Por ejemplo: El estado de temperatura en grados°C, el punto de referencia es el cero. El expresar sobre el nivel y bajo en nivel de mar,entre otros.
Usa situación dual aquella que expresa valores o connotaciones opuestas. Si ganoun partido, mi oponente lo perdió, si presto 100 nuevos soles, me falta ese monto. El
cuadro muestra a Jamaica que perdió un partido, tiene un diferencia de goles, etc.
ELIMINATORIASELIMINATORIASCONCA
COPA CAF
MUNDIALBRASIL
BRASIL2014
MUNDIAL2014
HEXAGONALFINAL
JORNADA 3
HEXAGONAL
FINAL
P

SelecciónJJ JG JE JP DG GA P

1 Panamá

3

1

2

0

2

5

5

2 Costa Rica

3

1

1

1

1

4

4
4

3 Estados Unidos

3

1

1

1

0

2

4 Honduras
sta Rica

3

1

1

1

-1

4

4

5 México
sta Rica

3

0

3

0

0

2

3

6 Jamaica
sta Rica

3

0

2

1

-2

1

2

EL BLOG DEL MUNDIAL

Adaptación, http://elblogdelmundial2010.blogspot.com/2013/03/eliminatorias-mundial-brasil-2014_24.html

El 2 es un número primo, el siguiente el 3, el 4 sería un número compuesto, puesto que
es divisible por 2; el 5 es primo… y, ¿hasta dónde podríamos continuar? Este proceso
es infinito. El primer método conocido para reconocer los números primos es la Criba
Capacidad
de Eratóstenes; este proceso permite conocer los números primos hasta un número
Comunica ydado. Consiste en elaborar una tabla en la que aparezcan todos los números y a partir
representa ideas de el se reconoce los primos.

matemáticas:
Describe
números primos
y compuestos
en la criba deEratóstenes
inferiores a un
número natural
cualquiera.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Capacidad
Elabora y usa
estrategias:
Empleaestrategias
heurísticas
para resolver
problemasde traducción
simple ycompuesta
relacionado
al aumentoo descuento
porcentual.

Capacidad
Razona yargumenta
generando
ideas
matemáticas:
Proponeconjeturas a lavariación de lacantidad y elsigno de la basey el exponente
relacionado a lapotenciación.

Una estrategia heurística se comporta como recurso organizativo del proceso deresolución, que contribuyen especialmente a determinar la vía de solución del problema
abordado.
En el ejemplo se reconoce una estrategia que es el razonamiento lógico.
Isabel ayuda a su tía los fines de semana, en una feria de artesanías. El último sábado,
Isabel observó que el precio de venta de un poncho es un 30 % más que su precio decosto. Sin embargo, al venderlo, ella tuvo que rebajar el precio de venta en un 10 %.
¿Qué porcentaje del costo se ganó?

Precio de costo

Precio de lista
+ 30%

100

Precio de venta
-10%

130

117

Por conjetura se entiende como una afirmación que se forma por la observación decasos, experimentar, y reconocer regularidades y características en sucesos. Para fines
pedagógicos en la Educación Básica se orienta a que los estudiantes desarrollen ideas
matemáticas ya conocidas.
A continuación, explora las potencias enteras positivas de 2 y 4.
n

1

2n

2

4n

4

2

3

4

5

Enumera las primeras cinco potencias positivas de 8.
Enumera tres números mayores que 16 que son potencias de 2, pero que no son
potencias de 8.
Enumera tres números mayores que 16 que sean potencias de 4. pero que no son
potencias de 8.
Describe las potencias de 2 que también son potencias de 8.
¿Para qué valores positivos de x, x-18 será mayor que x-20?

http://matematica.laguia2000.com/general/numeros-primos

40

41

Desarrollar esta competencia actúa y piensa matemáticamente en situaciones deregularidad, equivalencia y cambio en el VI ciclo implica explorar el entorno y reconocer
en ellas problemas referidas a situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.

Regularidades como en los frisos, expresiones artísticas, y de nuestras culturas.
Equivalencia en situaciones del desarrollo de un balance nutricional, en la cotización
con monedas extranjeras, en condiciones de distribución de masas, etc. Cambio en
situaciones de variaciones de velocidad en razón al tiempo, aumento de masa corporalen relación a la alimentación, tendencia del incremento del costo en razón al tiempo
transcurrido, etc.

Estas acciones contribuyen al proceso de aprendizaje de la matemática, cuando elestudiante puede expresarlas en modelos matemáticos relacionados a patronesgeométricos, progresiones aritméticas y geométricas, ecuaciones e inecuaciones
lineales, y funciones lineales. Así mismo, cuando muestra una predisposición a comunicar
ideas matemáticas con respecto al significado de la ley de formación, condiciones deigualdad y desigualdad y relaciones de dependencia empleando términos particularescomo por ejemplo: patrón, término inicial, razón aritmética o geométrica, igualdad,
primer y segundo miembro, dominio y rango, relación de dependencia, etc. Por otrolado, los estudiantes serán conscientes de gestionar eficazmente los recursos con losque cuenta para resolver el problema movilizando un plan coherente de trabajo para
investigar sobre razones de cambio, regularidades en diversos contextos, o explorar
condiciones de igualdad y desigualdad, y en ella movilizando estrategias heurísticas
y procedimientos algebraicos. También contribuye en la medida que se generanlos espacios para que los estudiantes expresen formas de razonamiento basados
en argumentar sobre experiencias para generalizar con expresiones basadas en laprogresión aritmética y geométrica, la igualdad y desigualdad y las funciones.

42
Relaciona datos provenientes de diferentes fuentes
de información, referidas a diversas situaciones
de regularidades, equivalencias y relaciones devariación; y las expresa en modelos de: sucesiones2
con números racionales e irracionales, ecuaciones
cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales,
inecuaciones lineales con una incógnita, funciones
cuadráticas o trigonométricas3. Analiza los alcances
y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos
y condiciones que estableció ayudaron a resolver
la situación. Expresa usando terminología, reglas
y convenciones matemáticas las relaciones entre
propiedades y conceptos referidos a: sucesiones,
ecuaciones, funciones cuadráticas o trigonométricas,
inecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones
lineales. Elabora y relaciona representaciones deuna misma idea matemática usando símbolos,
tablas y gráficos. Diseña un plan de múltiples
etapas orientadas a la investigación o resolución
de problemas, empleando estrategias heurísticas
y procedimientos para generalizar la regla deformación de progresiones aritméticas y geométricas,
hallar la suma de sus términos, simplificar
expresiones usando identidades algebraicas
y establecer equivalencias entre magnitudes
derivadas; con apoyo de diversos recursos. Juzgala efectividad de la ejecución o modificación delplan. Formula conjeturas sobre generalizaciones
y relaciones matemáticas; justifica sus conjeturaso las refuta basándose en argumentaciones que
expliciten puntos de vista opuestos e incluyan
conceptos, relaciones y propiedades de los sistemas
de ecuaciones y funciones trabajadas.

Discrimina información e identifica variables y relaciones
no explícitas en situaciones diversas referidas aregularidad, equivalencia o cambio; y las expresa con
modelos referidos a patrones geométricos1, progresiones
aritméticas, ecuaciones e inecuaciones con una incógnita,
funciones lineales y relaciones de proporcionalidad
inversa. Selecciona y usa el modelo más pertinente a
una situación y comprueba si este le permitió resolverla.
Usa terminologías, reglas y convenciones al expresar su
comprensión sobre propiedades y relaciones matemáticas
referidas a: progresiones aritméticas, ecuaciones
lineales, desigualdades, relaciones de proporcionalidad
inversa, función lineal y afín. Elabora y emplea diversas
representaciones de una misma idea matemática con
tablas, gráficos, símbolos; relacionándolas entre sí. Diseña
y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución
de problemas, empleando estrategias heurísticas yprocedimientos para determinar la regla general de una
progresión aritmética, simplificar expresiones algebraicas
empleando propiedades de las operaciones; con apoyo
de diversos recursos. Evalúa ventajas y desventajas delas estrategias, procedimientos matemáticos y recursos
usados. Formula y justifica conjeturas
referidas arelaciones entre expresiones algebraicas, magnitudes, oregularidades observadas en situaciones experimentales;e identifica diferencias y errores en las argumentaciones
de otros.
Interpreta datos y relaciones no explicitas en situaciones deregularidad, equivalencia y cambio entre dos magnitudes; ylos expresa con modelos referidos a patrones geométricos,
patrones crecientes y decrecientes, ecuaciones, desigualdades,y proporcionalidad directa y determina en qué otras situaciones
es aplicable. Describe utilizando lenguaje matemático acerca desu comprensión sobre: patrones, ecuaciones y desigualdades,y relaciones de proporcionalidad directa. Elabora y emplea
diversas representaciones de una misma idea matemática,
con tablas, gráficos y símbolos; relacionándolas entre sí.
Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver
problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos
para completar términos de una sucesión gráfica o numérica
de acuerdo a su posición, simplificar expresiones o ecuaciones
empleando propiedades aditivas y multiplicativas o establecer
equivalencias entre unidades de una misma magnitud; con
apoyo de recursos; y compara los procedimientos y estrategias
empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas sobre
regularidades, equivalencias y relaciones entre dos magnitudes,
y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.

1. Que se generan al aplicar reflexiones o giros.
2. Considerar progresión aritmética y geométrica.
3. Función seno y coseno.

VII CICLO

VI CICLO

V CICLO

Estándares (mapa del progreso)

A continuación les presentamos una matriz que muestra de manera integrada el estándar de aprendizaje (mapa de progreso), así como los indicadores de desempeño de lascapacidades para el desarrollo de la competencia en el ciclo. Los niveles de los mapas de progreso muestran una definición clara y consensuada de las metas de aprendizaje
que deben ser logradas por todos los estudiantes al concluir un ciclo o periodo determinado. En ese sentido, son un referente para la planificación anual, el monitoreo y laevaluación, pues nos muestran el desempeño global que deben alcanzar nuestros estudiantes en cada una de las competencias. Las matrices con los indicadores de desempeño
de las capacidades son un apoyo para diseñar nuestras sesiones de aprendizaje; son útiles también para diseñar instrumentos de evaluación, pero no nos olvidemos de que en
un enfoque de competencias, al final, debemos generar instrumentos que permitan evidenciar su desempeño integral. En resumen, ambos instrumentos nos ayudan tanto a laplanificación como a la evaluación, pero uno nos muestra desempeños más acotados (indicadores de desempeños), mientras que el otro nos muestra un desempeño complejo(mapas de progreso).
Hemos colocado el nivel anterior y posterior al ciclo correspondiente para que puedan identificar en qué nivel de desempeño se encuentra nuestros estudiantes, y así diseñar
actividades adecuadas para cada uno de ellos.

Matriz: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio

2.3.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones
de regularidad, equivalencia y cambio

43

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS• Identifica relaciones no explícitas en condiciones de igualdad al expresar modelosrelacionados a ecuaciones lineales5 con una
incógnita.
• Selecciona y usa modelos referidos a ecuaciones lineales al plantear y resolver problemas.

• Reconoce relaciones no explícitas entre datos
numéricos en situaciones de regularidad, que
permitan expresar la regla de formación deuna progresión aritmética.
• Asocia reglas de formación de una progresión aritmética con situaciones afines.
• Codifica condiciones de igualdad considerando expresiones algebraicas al expresarmodelos relacionados a ecuaciones lineales4
con una incógnita.
• Usa modelos referidos a ecuaciones lineales
al plantear o resolver problemas.
• Codifica condiciones de desigualdad considerando expresiones algebraicas al expresarmodelos relacionados a inecuaciones lineales7 con una incógnita.
• Asocia modelos referidos a inecuaciones
lineales con situaciones afines.
• Reconoce relaciones no explícitas ensituaciones de variación al expresar modelosrelacionados a proporcionalidad y funciones
lineales10.
• Asocia modelos referidos a la proporcionalidad directa y las funciones lineales con
situaciones afines.

• Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema.

• Interpreta los datos en problemas de regularidad
gráfica, expresándolos en un patrón aditivo omultiplicativo o con potencias, que depende de la
posición del elemento.
• Crea una regularidad gráfica a partir de un patrón
numérico.
• Interpreta los datos y variables en problemas deequivalencia y equilibrio, expresándolos en igualdades y ecuaciones.
• Modifica una ecuación al plantear o resolver otros
problemas.
• Interpreta los datos y variables en una situaciónde desequilibrio o desigualdad y las expresa enmodelos relacionados a una inecuación sencilla,
por ejemplo de la forma: a < x o a + x > b• Modifica una desigualdad al plantear o resolver
otras problemas.
• Interpreta los datos en una situación de variación
entre dos magnitudes, expresándolos en una
relación de proporcionalidad directa.

• Determina en que otros problemas es aplicableen modelo• Utiliza tablas o gráficos en el plano cartesiano, para expresar la proporcionalidad
directa entre dos magnitudes.

• Representa el valor desconocido de una
ecuación con letras.
• Representa una desigualdad con material
concreto, gráfico y simbólico.

• Describe patrones usando términos de transformaciones geométricas.
• Explica el desarrollo de un patrón geométrico.
• Reconoce expresiones gráficas y simbólicas
que expresan transformaciones en patronesgeométricos.

• Utiliza lenguaje matemático para expresar
los criterios geométricos (con traslaciones
y giros) que intervienen en la formación delpatrón y la regla de formación creciente delpatrón numérico.

• Describe una ecuación lineal reconociendoy relacionando los miembros, términos,
incógnitas, y su solución.
• Representa operaciones de polinomios deprimer grado con material concreto.
• Emplea gráficas, tablas que expresan ecuaciones lineales de una incógnita para llegar
a conclusiones.

• Describe el desarrollo de una progresión aritmética empleando el término n-ésimo, índicedel término, razón o regla de formación.
• Emplea tablas y diagramas para reconocer
relaciones entre términos y valores posicionales.

2.o grado sec.

• Decribe el comportamiento de la gráfica defunción lineal, examinando su intercepto con
los ejes, su pendiente, dominio y rango.
• Determina de una función lineal a partir de lapendiente y su punto de intercepto con el eje
de cordenadas.
• Establece conexiones entre las representaciones grafícas, tabulares y simbólicas de una
función lineal.

• Emplea representaciones tabulares, gráficas,
y algebraicas de la proporcionalidad inversa,
función lineal y lineal afín.
• Describe las características de la función
lineal y la familia de ella de acuerdo a lavariación de la pendiente.
• Describe gráficos y tablas que expresan
funciones lineales, afines y constantes.

• Representa las soluciones de inecuaciones lineales de la forma: x >a o x< a, ax >b o ax< b.
• Emplea la representación gráfica de una inecuación lineal para obtener su conjunto solución.

• Expresa condiciones de equilibrio y desequilibrio a partir de interpretar datos y gráficas desituaciones que implican ecuaciones de primer
grado.
• Establece conexiones entre las representaciones gráficas, tablas y símbolos a la soluciónúnica de una ecuación lineal dada.

• Explica el desarrollo de una progresión aritmética empleando el término n-ésimo, índice deltérmino, razón o regla de formación.
• Emplea diagramas y esquemas tabulares para
reconocer una razón constante.

1.o grado sec.

6.o grado prim.

3.o grado sec.

• Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación.

• Organiza a partir de fuentes de información,
relaciones de variación entre dos magnitudes al expresar modelos referidos afunciones cuadráticas.
• Compara y contrasta modelos relacionados
a las funciones cuadráticas de acuerdo asituaciones afines.

• Selecciona información de fuentes, paraorganizar datos de situaciones de equivalencias, y expresa un modelo referido aecuaciones cuadráticas de una incógnita.

• Identifica relaciones no explícitas que se
presentan en condiciones de desigualdad, yexpresa modelos relacionados a inecuaciones lineales9 con una incógnita.
• Usa modelos referidos a inecuaciones lineales al plantear y resolver problemas.

• Organiza datos y expresiones a partir deuno a más condiciones de igualdad, al
expresar un modelo referido a sistemas deecuaciones lineales6.

• Organiza datos que exprese términos, posiciones y relaciones que permita expresar
la regla de formación de una progresión
geométrica.
• Contrasta reglas de formación de una progresión geométrica con situaciones afines.

3.o grado sec.

• Describe la variación de los valores de a, b,c afecta la gráfica de las funciones f(x)= ax2,
f(x)= ax2+c, f(x)= ax2+bx+c, ∀ a≠0• Elabora representaciones graficas de f(x)=∀ a≠0ax2, f(x)= ax2+c, f(x)= ax2+bx+c,• Reconoce las funciones cuadráticas apartir de sus descripciones verbales, sus
tablas, sus gráficas o sus representaciones
simbólicas.

• Representa la obtención de polinomios dehasta segundo grado con material concreto.
• Expresa de forma gráfica el conjunto solución de una ecuación cuadrática.

• Describe la resolución de una inecuación
lineal relacionando miembros, términos,
incógnitas, y el conjunto solución.
• Emplea la representación gráfica de una
inecuación lineal para obtener su conjunto
solución.

• Emplea expresiones y conceptos respecto
a los diferentes elementos que componen
el sistema de ecuaciones lineales en sus
diferentes representaciones.
• Representa gráficamente un sistema deecuaciones lineales para clasificar e interpretar las soluciones.

• Organiza conceptos, características y condiciones empleando términos relacionados ala progresión geométrica.
• Vincula representaciones de tablas y gráficas para expresar relaciones entre términos
y valores posicionales de una progresión
geométrica.

• Reconoce relaciones no explícitas entre datos
de dos magnitudes en situaciones de variación, y expresa modelos referidos a proporcionalidad inversa, funciones lineales y lineales
afines11.
• Usa modelos de variación referidos a la función lineal al plantear y resolver problemas.

• Codifica condiciones de desigualdad considerando expresiones algebraicas al expresarmodelos relacionados a inecuaciones lineales8
con una incógnita.
• Asocia modelos referidos a inecuaciones
lineales con situaciones afines.

• Identifica relaciones no explícitas entre términos y valores posicionales, y expresa la reglade formación de una progresión aritmética.
• Usa la regla de formación de una progresión
aritmética al plantear y resolver problemas.

• Reconoce relaciones en situaciones deregularidad, expresándolos en un patrón que
combina transformaciones geométricas.
• Plantea relaciones de posición empleando unpatrón de repetición de variadas transformaciones geométricas.

• Interpreta datos y relaciones no explícitas enproblemas de regularidad, expresándolosen un
patrón de repetición geométrico con traslaciones ygiros de cuartos y medias vueltas.
• Propone situaciones de regularidad a partir depatrones de repetición geométricos con traslaciones y giros de cuartos y medias vueltas.

2.o grado sec.

1.o grado sec.

6.o grado prim.

4. Con coeficientes fraccionarios homogéneos, equivalentes y números enteros.
5. Con coeficientes decimales y enteros.
6. Con dos incógnitas.
7. Con coeficiente de números naturales y enteros.
8. Con coeficiente de fracciones y decimales.
9. Con coeficientes racionales
10.Con coeficientes enteros.
11. Con coeficientes enteros y decimales.

MATEMATIZA SITUACIONES

44
45

• Compara los procedimientos y estrategias
empleadas en distintas resoluciones.
• Emplea la calculadora para resolver problemas y verificar sus resultados.

• Emplea estrategias de ensayo y error, experimentación, recojo de datos u operaciones
para resolver problemas de relaciones decambio o de proporcionalidad.

• Simplifica términos en una igualdad que
incluyen la variable, usando las propiedadesde la igualdad.

• Emplea procedimientos por tanteo, sustitución o agregando, quitando o repartiendopara encontrar el valor o los valores de una
igualdad o ecuación, o de una desigualdado inecuación.

• Determina el conjunto de valores que puede
tomar una variable en una proporcionalidad
inversa, función lineal y lineal afín.

• Prueba si una función es lineal por los valores
de su dominio.
• Justifica el dominio apropiado de una función
lineal (si pertenece al campo natural, enteroo racional) de acuerdo a una situación dedependencia.

• Identifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros.

• Justifica sus conjeturas usasndo ejemplos ycontraejemplos• Plantea conjeturas sobre el comportamientode la función lineal y lineal afín al variar lapendiente• Prueba que las funciones lineales, afines y laproporcionalidad inversa crecen o decrecen
por igualdad de diferencias en intervalos
iguales.
• Justifica a partir de ejemplos, reconociendo la pendiente y la ordenada al origen elcomportamiento de funciones lineales ylineales afín.

• Justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos,
relaciones y propiedades matemáticas.

• Plantea conjeturas a partir de reconocer
el valor que cumplen los componentes ysignos de una función cuadrática.
• Explica los procesos de reflexión de una
función cuadrática respecto al eje X.
• Justifica el valor que tiene el intercepto, intervalo de crecimiento o decrecimiento, etc. deuna función cuadrática.

• Justifica los procedimientos de resolución deuna ecuación cuadrática completa haciendo
uso de propiedades.

• Justifica los procedimientos de resolución deuna inecuación lineal con una incógnita empleando transformaciones de equivalencia.

• Justifica la obtención del conjunto solución deuna inecuación lineal.

• Justifica y defiende argumentaciones
propias y de otros, usando ejemplos, para
afirmar que dos magnitudes son directamente proporcionales.

• Prueba que los puntos de intersección dedos líneas en el plano cartesiano satisfacen
dos ecuaciones simultáneamente.
• Justificar si dos o más sistemas son equivalentes a partir de las soluciones.

• Plantea conjeturas a partir de reconocer
pares ordenados que sean solución deecuaciones lineales de dos incógnitas.
• Prueba las propiedades aditivas y multiplicativas subyacentes en las transformaciones deequivalencia.
• Justifica cuando una ecuación es posible e
imposible a partir del conjunto solución.
• Justifica cuando dos ecuaciones son “equivalentes” considerando el conjunto solución.
• Plantea conjetura a partir de casos referidas alos criterios de equivalencia.
• Justifica si un número es solución de una
inecuación dada.

• Justifica y defiende argumentaciones
propias y de otros, usando ejemplos, sobre
el procedimiento utilizado para resolver problemas de igualdades o desigualdades.

3.o grado sec.

• Justifica la generalización de la regla deformación de una progresión geométrica.
• Plantea conjeturas respecto a posiciones, deuna progresión aritmética.
• Justifica las relaciones de dependencia entre
el n-ésimo término y el valor posicional de una
progresión aritmética.

• Justifica sus conjeturas sobre los términos noconocidos en patrones numéricos-gráficos.

2.o grado sec.

• Plantea conjeturas respecto a la obtención
de la suma de términos de una progresión
aritmética.
• Justifica el vínculo entre una sucesión y una
progresión aritmética.
• Prueba la progresión aritmética a partir de su
regla de formación (expresado de manera
verbal o simbólica).

• Plantea conjeturas respecto a posiciones, deun patrón geométrico.
• Prueba que algunos patrones geométricos secomportan como patrones cíclicos.

1.o grado sec.

• Justifica sus conjeturas sobre la predicciónde algunos términos no conocidos de un
patrón geométrico (con traslación y giros).

6.o grado prim.

• Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan al resolver el problema.

• Determina el eje de simetría, los interceptós,
el vértice y orientación de una parábola, en
problemas de función cuadrática.
• Adapta y combina estrategias heurísticas,
recursos gráficos y otros para resolver unproblema de función cuadrática.

• Emplea operaciones algebraicas para resolver problemas de ecuaciones cuadráticas
con una incógnita.

• Emplea procedimientos, estrategias, recursos gráficos y otros, para solucionar problemas referidos a ecuaciones cuadráticas.

• Emplea estrategias heurísticas yprocedimientos para resolver problemasde proporcionalidad inversa, función lineal
y lineal afín considerando ciertos valores,
su regla de la función, o a partir de su
representación.

• Ejecuta transformaciones de equivalencias
en problemas de sistema de ecuaciones
lineales14.
• Emplea transformaciones de equivalencias
en problemas de inecuaciones ax±b<c,ax±b>c,ax±b≥c, ax±b≤c, ∀ a≠0• Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos
usados al resolver el problema.

• Emplea métodos gráficos para resolver problemas de funciones lineales.

• Explora mediante el ensayo y error el conjunto
de valores que puede tomar una función lineal
al resolver un problema.

• Emplea estrategias para resolver problemasde proporcionalidad, y función lineal con
coeficientes enteros.

• Realiza transformaciones de equivalenciaspara obtener la solución en problemas deinecuaciones lineales.

• Emplea recursos gráficos para resolver problemas de ecuaciones lineales.

• Emplea propiedades e identidades algebraicas para resolver problemas de sistema deecuaciones lineales.

• Emplea procedimientos para hallar el n-ésimo término de una progresión geométrica.
• Adapta y combina estrategias heurísticas,
recursos gráficos y otros, para solucionar
problemas referidos a progresión geométrica.

• Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapasorientadas a la investigación o resolución deproblemas.

3.o grado sec.

• Emplea estrategias heurísticas al resolver
problemas de inecuaciones lineales.

• Emplea operaciones con polinomios ytransformaciones de equivalencia13 al
resolver problemas de ecuaciones lineales.
• Emplea estrategias heurísticas al resolver
problemas de ecuaciones lineales
expresadas con decimales o enteros.

• Realiza transformaciones de equivalencias12
para obtener la solución de ecuaciones
lineales.

• Emplea estrategias heurísticas al resolver
problemas de progresión aritmética.

• Halla el n-ésimo término de una progresión
aritmética con números naturales.
• Emplea estrategias heurísticas, recursos
gráficos y otros al resolver problema deprogresión aritmética
• Calcula la suma de “n” términos de una
progresión aritmética.

• Realiza procedimientos para hallar el términon-ésimo, índice del término, razón o reglade formación con números naturales de una
progresion aritmética.

• Realiza transformaciones geométricas para
hallar la posición y la expresión geométrica en
problemas.

• Emplea estrategias heurísticas para ampliaro crear patrones de repetición geométricos,
usando material concreto.

2.o grado sec.

• Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas.

1.o grado sec.

• Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas.

6.o grado prim.

12. Reducción de miembros, transposición de términos.
13. Eliminación de paréntesis y denominadores, reducción de miembros, transposición de términos.
14. Transposición de términos, multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero, sumar o restar a una
ecuación otra multiplicada previamente por un número.

ELABORA Y USA ESTRATEGIASRAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS

46
47

2.3.4 Descripción de algunos indicadores relacionados
a la competencia Actúa y piensa matemáticamente ensituaciones de regularidad, equivalencia y cambio
Capacidad

Descripción
La situación mostrada expresa la posición de figuras, entre ellas, se reconocen
relaciones respecto a reflexiones y traslaciones. Para los variados diseños se hacen
hasta dos transformaciones.

Capacidad
Matematiza
situaciones:

Realiza
procedimientos
detransformaciónde equivalenciaspara obtenerla solución deecuaciones
lineales.

Plantea relaciones
de posición
empleando
un patrón derepetición
de variadas
transformaciones
geométricas
http://carlosreynoso.com.ar/analisis-de-simtrias/

Capacidad
Comunica yrepresenta ideas
matemáticas:

A partir del VI ciclo, en el proceso de describir la resolución del problema con ecuaciones,el estudiante deberá vincular la representación gráfica, de tablas y simbólica para
reconocer la comprensión de la “ecuación”.

Establece
conexiones
entre lasrepresentaciones
gráficas, tablasy símbolos a lasolución única
de una ecuación
lineal dada.

Hace 15 años

Hoy

David

2x - 152xAnabelx - 15x

2. ¿Qué relación hay entre las edades de David y Anabel hace 15 años?
Hace 15 años, la edad de David era el triple que la de Anabel.
3. Escribe una ecuación que represente esta relación.
2x - 15 = 3 ( x - 15 ) ; x=30
4. Resuelve la ecuación y vuelve a completar la tabla.
Hace 15 años

Hoy

David

45

60

Anabel25

30

5. ¿Cuántos años tiene David? David tiene 60 años.
2x -15 = 3(x-15)
2x-15=3x-45
45-15=3x-2x (transposición de términos)
30=x(reducción de miembros)

La función lineal puede expresar diversos comportamientos, y estos se reconocen
Capacidad
graficando la línea que la caracteriza para mostrar la orientación de la pendiente.
Razona yargumenta
generandoideas
Su gráfica es
siempre una recta
matemáticas:
Planteaconjeturas
Cálculo de la pendiente
Características gráficas
sobre ela es la PENDIENTE
de la recta
comportamiento
valor de a
de la función
lineal al variar lapendiente.
pendiente=

Necesariamente pasa por
origen de coordenadas yaque cuando x=0, f(x)=0

pendiente=lo que se subelo que se avanza

y
x

y

x

pendiente= tg α

LINEALES
f(x) = axαSi a<0 la pendiente es
negativa. La función
decrece.
y= -2x

http://sucrerocafuerte.blogspot.com/2012/11/excel-2010_8021.html

48

Capacidad
Elabora y usa
estrategias:

Cuando no se puede reconocer a primera vista el conjunto solución de una ecuación,
entonces se transforma la ecuación paso a paso mediante transformaciones
equivalentes obteniendo una ecuación más simple.
A David no le gusta que descubran cuántos años tiene. Como es profesor de matemática,
cuando alguien le pregunta acerca de su edad, él responde muy suelto de huesos con
un acertijo. Por ejemplo, ayer, cuando Anabel le preguntó su edad, David contestó: “Miedad es el doble de la tuya; pero, hace 15 años, era el triple”. ¿Con estos datos, seráposible que Anabel pueda calcular la edad de David? Si es así, ¿cómo lo hará?
1. Completa la tabla que representa esta situación. ¿Qué significa la x mostrada?

Si a>0 la pendiente es
positiva. La función crece.
y= 3x

http://www.extremate.es/Definitivo%20Funciones/flash/Funciones%20CMAP/Funciones%20Lineales.html

49

Desarrollar esta competencia actúa y piensa matemáticamente en situaciones deforma, movimiento y localización en el VI ciclo implica que los estudiantes practiquen
matemática mediante acciones orientadas a resolver problemas referidos a prismas,
cuerpos de revolución, polígonos, triángulos, así como la ubicación y medida de cuerpos
en el plano.

Estas acciones contribuyen al proceso de aprendizaje de la matemática, cuando elestudiante puede expresarlas en modelos matemáticos de tal forma que caracterizalos atributos de forma, localización y medida de formas bi y tridimensionales. Asimismo,
cuando muestra una predisposición a comunicar ideas matemáticas con respecto
las características y propiedades de las formas geométricas empleando términos
particulares como por ejemplo: ángulo, vértice, punto, recta, escala, punto de referencia,
rotación, reflexión, etc. Por otro lado, los estudiantes serán conscientes de gestionar
eficazmente los recursos con los que cuenta para resolver el problema movilizando unplan coherente de trabajo para investigar sobre características de formas geométricas
compuestas en nuestro medio, el desarrollo de cuerpos geométricos conocidos,
el empleo de mapas a escala, etc. Y en ella movilizando estrategias heurísticas
y procedimientos geométricos con recursos como la regla y el compás. También
contribuye en la medida que se generan los espacios para que los estudiantes expresen
formas de razonamiento basados en argumentar sobre propiedades y característicasgeométricas, esto involucra establecer relaciones lógicas y de jerarquía entre formas
geométricas estudiadas.

50
Discrimina información e identifica relaciones no explícitasde situaciones referidas a atributos, localización ytransformación de objetos, y los expresa con modelos
referidos a formas bidimensionales compuestas,relaciones de paralelismo y perpendicularidad, posiciones
y vistas de cuerpos geométricos2. Selecciona y usa elmodelo más pertinente a una situación y comprueba si
este le permitió resolverla. Expresa usando terminología,
reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre
propiedades de formas bidimensionales y tridimensionales3,ángulos, superficies y volúmenes, transformaciones
geométricas; elaborando diversas representaciones deuna misma idea matemática usando gráficos y símbolos;
y las relaciona entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado
a la investigación y resolución de problemas, empleando
estrategias heurísticas y procedimientos como calcular
y estimar medidas de ángulos y distancias en mapas,
superficies bidimensionales compuestas y volúmenes
usando unidades convencionales; rotar, ampliar, reducir
formas o teselar un plano, con apoyo de diversos
recursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias,
procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula yjustifica conjeturas sobre relaciones entre propiedades deformas geométricas trabajadas; e identifica diferencias yerrores en las argumentaciones de otros.

1.	Triángulos, cuadriláteros, ángulos, círculos, circunferencias, prismas y pirámides.
2. Prisma, pirámide, círculo, cilindro
3. Polígonos, prisma, pirámide, círculo, cilindro, rectas paralelas, perpendiculares y secantes.

Interpreta datos y relaciones no explícitas de localización ymovimiento de los objetos, con las formas geométricas bi y tri
dimensionales, su rotación, ampliación o reducción y determina
en qué otras situaciones es aplicable. Expresa su comprensión
utilizando lenguaje matemático sobre las propiedades de lasformas bidimensionales o tridimensionales1; ángulos, superficies,
volumen y capacidad; ampliaciones, reducciones, giros y la
posición de un objeto en el plano cartesiano. Elabora diversas
representaciones de una misma idea matemática, con gráficos
y símbolos, relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un planorientado a experimentar o resolver problemas empleando
estrategias heurísticas y procedimientos como estimar y medirángulos, calcular perímetro, superficie, capacidad y volumen
seleccionando el instrumento y la unidad convencional
pertinente; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos
y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Elabora
conjeturas sobre relaciones entre propiedades de las formas
geométricas trabajadas y las justifica usando ejemplos ocontraejemplos.

V CICLO

Estándares (mapa del progreso)
VI CICLO

Relaciona datos de diferentes fuentes de información
referidas a situaciones sobre formas, localizacióny desplazamiento de objetos, y los expresa con
modelos referidos a formas poligonales, cuerpos
geométricos compuestos o de revolución, relaciones
métricas, de semejanza y congruencia, y razones
trigonométricas. Analiza los alcances y limitaciones
del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones
que estableció ayudaron a resolver la situación.
Expresa usando terminologías, reglas y convenciones
matemáticas su comprensión sobre: relaciones
entre las propiedades de figuras semejantes ycongruentes, superficies compuestas que incluyen
formas circulares y no poligonales, volúmenes decuerpos de revolución, razones trigonométricas.
Elabora y relaciona representaciones de una
misma idea matemática usando mapas, planos,
gráficos, recursos. Diseña un plan de múltiples
etapas orientadas a la investigación o resolución
de problemas, empleando estrategias heurísticas,
procedimientos como calcular y estimar medidas deángulos, superficies bidimensionales compuestasy volúmenes usando unidades convencionales;
establecer relaciones de inclusión entre clases paraclasificar formas geométricas; con apoyo de diversos
recursos. Juzga la efectividad de la ejecución omodificación de su plan. Formula conjeturas sobre
posibles generalizaciones estableciendo relaciones
matemáticas; justifica sus conjeturas o las refuta
basándose en argumentaciones que expliciten
puntos de vista opuestos e incluyan conceptos ypropiedades matemáticas.

VII CICLO

A continuación les presentamos una matriz que muestra de manera integrada el estándar de aprendizaje (mapa de progreso), así como los indicadores de desempeño de lascapacidades para el desarrollo de la competencia en el ciclo. Los niveles de los mapas de progreso muestran una definición clara y consensuada de las metas de aprendizaje
que deben ser logradas por todos los estudiantes al concluir un ciclo o periodo determinado. En ese sentido, son un referente para la planificación anual, el monitoreo y laevaluación, pues nos muestran el desempeño global que deben alcanzar nuestros estudiantes en cada una de las competencias. Las matrices con los indicadores de desempeño
de las capacidades son un apoyo para diseñar nuestras sesiones de aprendizaje; son útiles también para diseñar instrumentos de evaluación, pero no nos olvidemos de que en
un enfoque de competencias, al final, debemos generar instrumentos que permitan evidenciar su desempeño integral. En resumen, ambos instrumentos nos ayudan tanto a laplanificación como a la evaluación, pero uno nos muestra desempeños más acotados (indicadores de desempeños), mientras que el otro nos muestra un desempeño complejo(mapas de progreso).
Hemos colocado el nivel anterior y posterior al ciclo correspondiente para que puedan identificar en qué nivel de desempeño se encuentra nuestros estudiantes, y así diseñar
actividades adecuadas para cada uno de ellos.

Matriz: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización

2.3.5 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones
de forma, movimiento y localización51

MATEMATIZA SITUACIONESCOMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS• Determina en que otros problemas es aplicable el modelo• Aplica las transformaciones geométricas desimetría, traslación, ampliación y reduccióna otras situaciones similares.

• Interpreta datos y relaciones no explícitas en
objetos del entorno, al elaborar un modelo
basado en la rotación (en un cuarto devuelta y media vuelta) de figuras en un planocuadriculado.

• Emplea el plano cartesiano al resolver problemas localización.

• Plantea relaciones geométricas en situaciones
artísticas y las expresa en un modelo que
combinan transformaciones7.
• Reconoce la restricción de un modelo
relacionado a transformaciones y lo
adecuada respecto a un problema.

• Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema.

• Reconoce relaciones no explícitas, en situaciones de recubrimiento de superficies, al elaborar un modelo basado en transformaciones7.
• Usa un modelo basado en transformaciones alplantear o resolver un problema.

• Expresa diseños de planos y mapas aescala con regiones y formas.
• Diferencia y usa planos o mapas a escala alplantear o resolver un problema.

• Reconoce relaciones no explícitas basados
en medidas de formas, desplazamiento yubicación de cuerpos, para expresar mapas oplanos a escala.
• Usa mapas o planos a escala al plantear yresolver un problema.

• Interpreta datos y relaciones no explícitas
respecto a la localización de lugares odesplazamiento de objetos en la localidad
expresándolos en un croquis en el primer
cuadrante del plano cartesiano.

• Aplica las propiedades de las figuras
bidimensionales al plantear o resolver unproblema.

• Representa en forma concreta (geoplano), gráfica ysimbólica (pares ordenados) traslaciones, reflexiones
y giros (cuartos y medias vueltas) de formas bidimensionales; y relaciona los tres tipos de representación.

• Describe la rotación de una figura en el plano cuadriculado o en el plano cartesiano.

• Grafica en el plano cartesiano la posición de un lugar
usando puntos cardinales.

• Describe rutas de desplazamiento en guías, planosde ciudades utilizando referentes espaciales y otras
referencias.

• Expresa la medida de distancias muy largas usando
unidades convencionales (km)• Expresa la medida de superficie usando unidadesconvencionales (km2, m2).

• Representa gráficamente formas bidimensionales
en el plano cartesiano, así como sus ampliaciones y
reducciones.

• Construye polígonos regulares en forma concreta(origami, tiras de mecano, etc.) y en forma gráfica.

• Construye la circunferencia usando instrumentos dedibujo.

• Describe las propiedades y relaciones del círculo y lacircunferencia y de los polígonos regulares según sus
lados y sus ángulos.

• Explica lo que comprende sobre la relación entre elvolumen y la medida de capacidad de los objetos.

• Construye prismas y pirámides con material concreto(origami modular, plantillas), gráfico (papel isométrico) usando instrumentos de dibujo; a partir deindicaciones sobre su medida o su forma.

• Representa la medida del volumen del cubo y delprisma recto rectangular, con material concreto(material Base Diez) y gráfico.

• Describe las características de transformaciones de rotación, ampliación y reducción con
figuras geométricas planas.
• Grafica la rotación, ampliación y reducción defiguras poligonales regulares para recubrir
una superficie plana.

• Expresa las distancias y medidas de planos omapas usando escalas.

• Describe las relaciones de paralelismo yperpendicularidad en formas bidimensionales(triángulo, rectángulo, cuadrado y rombo) y
sus propiedades usando terminologías, reglas
y convenciones matemáticas.
• Expresa las relaciones y diferencias entre áreay perímetro de polígonos regulares.
• Representa polígonos regulares siguiendo
instrucciones y usando la regla y el compás.

• Representa en mapas o planos a escala eldesplazamiento y la ubicación de cuerpos,
reconociendo información que expresa propiedades y características de triángulos.
• Describe características de sistemas dinámicos y creación de mosaicos con figuras
poligonales que aplican transformaciones
geométricas.
• Grafica la composición de transformaciones de figuras geométricas planas que
combinen transformaciones isométricas y lahomotecia en un plano cartesiano.
• Describe las características de lacomposición de transformaciones
geométricas8 de figuras.
• Grafica la composición de transformaciones
de rotar, ampliar y reducir en un planocartesiano o cuadrícula.

• Expresa las propiedades de un triángulo de
30°, 60° y 45° usando terminologías, reglas
y convenciones matemáticas.

• Expresa relaciones y propiedades de lostriángulos relacionados a su congruencia,
semejanza y relaciones de medidas.
• Expresa líneas y puntos notables
del triángulo usando terminologías
matemáticas.
• Representa triángulos a partir de reconocer
sus lados, ángulos, altura, bisectriz y otros.

• Describe y relaciona variados desarrollos deun mismo prisma o cuerpo de revolución.
• Expresa de forma gráfica y simbólica
cuerpos basados en prismas y cuerpos derevolución.
• Expresa enunciados generales relacionados
a propiedades en prismas y cuerpos derevolución.

3.er grado sec.

• Representa cuerpos en mapas o planosa escala, considerando información que
muestra posiciones en perspectiva o que
contiene la ubicación y distancias entre
objetos.

• Describe las relaciones de paralelismo yperpendicularidad en polígonos regularesy compuestos5, y sus propiedades usando
terminologías, reglas y convenciones matemáticas.
• Representa figuras poligonales, trazos derectas paralelas, perpendiculares y relacionadas a la circunferencia siguiendo instrucciones y usando la regla y el compás.

• Describe prismas y pirámides en relación
al número de sus lados, caras, arístas yvértices.
• Describe el desarrollo de prismas, pirámides
y conos considerando sus elementos.
• Describe prismas y pirámides indicando la
posición desde la cual se ha efectuado laobservación.

• Describe prismas regulares en función delnúmero y forma de las caras, el número devértices y el número de aristas.
• Describe el desarrollo de prismas triangularesy rectangulares, cubos y cilindros.
• Grafica el desarrollo de prismas, cubos y cilindros, vistas de diferentes posiciones.

• Expresa la medida del área lateral y total del prisma
y la pirámide en unidades convencionales a partir desus plantillas o redes.
• Expresa la medida del volumen de cubos y prismas
en unidades patrón (cubitos de 1 cm3, estructuras de
1 m3 ).

2.o grado sec.

1.er grado sec.

6.o grado prim.

• Evalúa si los datos y condiciones que
estableció ayudaron a resolver el problema.

• Selecciona información para organizar
elementos y propiedades geométricas ensituaciones al expresar modelos que combinan transformaciones geométricas8.
• Compara y contrasta modelos que combinan transformaciones isométricas y lahomotecia.

• Organiza datos de medidas en situaciones ylos expresa por medio de un plano o mapa
a escala.
• Reconoce la pertinencia de los planos o mapas a escala que expresan las relaciones demedidas y posición al resolver problemas.

• Contrasta modelos basados en relaciones
métricas, razones trigonométricas, elteorema de Pitágoras y ángulos deelevación y depresión al vincularlos asituaciones.

• Relaciona información y condiciones,
referidas a la semejanza y relaciones demedida entre triángulos6 y las expresa en
un modelo.
• Diferencia y usa modelos basados en
semejanza, congruencia y relaciones demedida entre ángulos.

• Organiza características y propiedades
geométricas en figuras y superficies, y las
expresa en un modelo referido a figuras
poligonales regulares, compuestas5, triángulos y el círculo.
• Usa modelos, relacionados a figuras poligonales regulares, compuestas5, triángulos y el
círculo para plantear y resolver problemas.

• Organiza medidas, características y propiedades geométricas de figuras y superficies, ylas expresa en un modelo referido a figuras
poligonales5.
• Emplea el modelo más pertinente relacionado
a figuras poligonales y sus propiedades alplanterar y resolver problemas.

• Identifica características y propiedades
geométricas en objetos y superficies de su
entorno, expresándolos en figuras geométricas bidimensionales (círculo circunferencia,
polígonos regulares hasta 10 lados).

• Selecciona el desarrollo o las plantillas delas formas tridimensionales para resolver
un problema de construcción de prismas ypirámides.

• Relaciona una forma tridimensional con sus
diferentes vistas.

• Relaciona elementos y propiedades de cuerpos a partir de fuente de información, y losexpresa en modelos basados en prismas ycuerpos de revolución4.
• Contrasta modelos basados en prismas
y cuerpos de revolución al vincularlos asituaciones afines.

• Reconoce relaciones no explícitas entre
figuras y las expresa en un modelo basado
en prismas o pirámides.
• Selecciona un modelo relacionado a prismas
o pirámides al plantear y resolver problemas.

• Reconoce relaciones no explícitas entre figuras,
en situaciones de construcción de cuerpos, ylas expresa en un modelo basado en prismas
regulares, irregulares y cilindros.
• Usa modelos referidos a cubos, prismas ycilindros al plantear y resolver problemas deproyección o construcción de cuerpos.

• Plantea relaciones respecto a los elementos
y propiedades de las cajas o cubos y losrelaciona con los prismas y pirámides.

3.o grado sec.

2.o grado sec.

1.o grado sec.

6.o grado prim.

4. Cilindro y cono.
5. Considerar cuadriláteros:trapecio, rombo, parlelogramo, etc.
6. Considerar isóceles y equilátero.
7. De rotación, ampliación y reducción.
8. Considerando la homotecia.

52
53

ELABORA Y USA ESTRATEGIASRAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS
MATEMÁTICAS

54
55

2.o grado sec.

• Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos
usados al resolver el problema.

•• Realiza proyecciones y composición detransformaciones geométricas8, con polígonos en un plano cartesiano al resolver
problemas, con recursos gráficos y otros.

• Realiza composición de transformaciones
de rotar, ampliar y reducir, en un planocartesiano o cuadrícula al resolver
problemas, con recursos gráficos y otros.

• Identifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros.

• Justifica conjeturas usando ejemplos y
comtraejemplos.

• Justifica la combinación de proyecciones ycomposiciones de transformaciones geométricas8 con polígonos en el plano cartesiano.
• Plantea conjeturas respecto a las partes
correspondientes de figuras congruentes ysemejantes luego de una transformación.
• Explica las transformaciones respecto a una
línea o un punto en el plano de coordenadas
por medio de trazos.
• Plantea conjeturas acerca de la semejanza dedos figuras al realizar sobre estas rotaciones,
ampliaciones y reducciones en el plano.
• Explica como algunas transformaciones
pueden completar partes ausentes en figuras
geométricas.

• Juzga las relaciones y estructuras dentro delsistema de escala, con mapas y planos.
• Justifica condiciones de proporcionalidad enel perímetro, área y volumen entre el objeto
real y el de escala, en mapas y planos.
• Justifica la localización de cuerpos a partirde sus coordenadas (con signo positivo ynegativo) y ángulos conocidos.
• Justifica las variaciones en el perímetro, área y
volumen debido a un cambio en la escala enmapas y planos .
• Explica que medidas y situaciones son y noson afectadas por el cambio de escala.
• Explica el procedimiento usado para construir figuras y rotarlas.

• Plantea conjeturas sobre las propiedades deángulos determinados por bisectrices.
• Explica la relación proporcional entre lasmedidas de los lados correspondientes atriángulos semejantes.
• Justifica la clasificación de polígonos.
• Plantea conjeturas para reconocer las
propiedades de los lados y ángulos depolígonos regulares.
• Justifica la pertenencia o no de una figura
geométrica dada a una clase determinadade paralelogramos y triángulos.
• Justifica enunciados relacionados a ángulos
formados por líneas perpendiculares y oblicuas a rectas paralelas.
• Plantea conjeturas para reconocer las líneas
notables, propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo.
• Plantea conjeturas para determinar perímetro y área de figuras poligonales (triángulo,
rectángulo, cuadrado y rombo)• Justifica sus generalizaciones sobre el número
de diagonales trazadas desde un vértice, número de triángulos en que se descompone un
polígono regular, suma de ángulos internos
y externos.
• Justifica la pertenencia o no de una figura
geométrica dada a una clase determinada decuadrilátero.
• Elabora conjeturas sobre la relación entre
perímetro y área de formas bidimensionales,
entre áreas de cuadriláteros y triángulos.
• Establece conjeturas y las verifica sobre la
relación entre el radio y el diámetro de lacircunferencia.
• Establece características semejantes en lospolígonos regulares.

• Justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que explicíten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos,
relaciones y propiedades matemáticas.

• Explica deductivamente la congruencia,
semejanza y la relación pitagórica
empleando relaciones geometricas.

• Plantea conjeturas respecto a la variacióndel área y volumen en prismas y cuerpos derevolución.
• Justifica las propiedades de prismas ypirámides.
• Justifica la clasificación de prismas (regulares, irregulares, rectos, oblicuos, paralepipedos, ortoedros) según sus atributos deforma.
• Propone conjeturas respecto a las relaciones
de volumen entre un prisma y la pirámide.
• Justifica las propiedades de prismas y pirámides.
• Justifica la pertenencia o no de un cuerpo
geométrico dado a una clase determinadade prisma según sus características de forma(regulares, irregulares, rectos, etc).
• Propone conjeturas referidas a las propiedades de prismas regulares y el cilindro.
• Justifica la relación entre áreas de sus bases
y superficies laterales del cubo, prismas ycilindro.
• Explica como varía las relaciones entre loselementos de prismas y cilindros, al obtenerdesarrollo de estos cuerpos.

3.o grado sec.

2.o grado sec.

• Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan al resolver el problema.

• Adapta y combina estrategias heurísticas
relacionadas a ángulos, razones trigonométricas y proporcionalidad al resolver
problemas con mapas o planos a escala,con recursos gráficos y otros.

Aplica el teorema de Pitágoras para
determinar longitudes de los lados desconocidos en triángulos rectángulos.
Emplea relaciones métricas para resolver
problemas.
Emplea razones trigonométricas para
resolver problemas.
Calcula el perímetro y área de figuras
poligonales descomponiendo triángulos
conocidos.
• Usa estrategias y procedimientos
relacionadas a la proporcionalidad entre lasmedidas de lados de figuras semejantes al
resolver problemas con mapas o planos aescala, con recursos gráficos y otros.

•

•

•

•

• Usa estrategias para ampliar, reducir triángulos empleando sus propiedades, semejanza y congruencia, usando instrumentos
de dibujo.
• Halla valores de ángulos, lados y proyecciones en razón a características, clases, líneas
y puntos notables de triángulos, al resolver
problemas.

• Halla el área y volumen de prismas ycuerpos de revolución empleando unidades
convencionales o descomponiendo formas
geométricas cuyas medidas son conocidas,
con recursos gráficos y otros.

• Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapasorientadas a la investigación o resolución deproblemas.

3.o grado sec.

• Establece conjeturas sobre la relación entreel área lateral y el área total de los prismas.
• Establece semejanzas y diferencias entre losprismas y las pirámides.
• Elabora conjeturas sobre la relación entre elvolumen y la capacidad.

6.o grado prim.

1.o grado sec.

• Realiza transformaciones de rotar, ampliar y
reducir, con figuras en una cuadricula al resolver problemas, con recursos gráficos y otros.

• Usa estrategias para rotar figuras a partir desus vértices, incluyendo el uso de instrumentos como compás, transportador.

Compara los procedimientos y estrategias
empleadas en distintas resoluciones.

• Usa estrategias para construir polígonos según sus características y propiedades, usando
instrumentos de dibujo.
• Emplea estrategias heurísticas, recursos
gráficos y otros, para resolver problemas deperímetro y área del triángulo, rectángulo,
cuadrado, rombo.
• Emplea estrategias heurísticas y procedimientos para hallar el área, perímetro y ubicar
cuerpos en mapas o planos a escala, conrecursos gráficos y otros.

• Usa estrategias para construir y dibujar figuras según sus vistas y la rotación, usando
diversos materiales, instrumentos de dibujo
y uso de las TIC.
• Usa recursos, instrumentos de medición (cinta métrica) y unidades convencionales para
medir y comparar longitudes y distancias
muy grandes.
• Emplea estrategias que implican cortar la
figura en papel y reacomodar las piezas,
dividir en cuadritos de 1 cm2 y el uso deoperaciones para determinar el área y elperímetro de figuras bidimensionales.

• Emplea procedimientos con dos rectas
paralelas y secantes para reconocer
características de ángulos en ellas.
• Calcula el perímetro y área de figuras
poligonales regulares y compuestas,
triángulos, círculos componiendo y
descomponiendo en otras figuras cuyas
medidas son conocidas, con recursos
gráficos y otros.
• Emplea las propiedades de los lados yángulos de polígonos regulares al resolver
problemas.
• Emplea propiedades de los ángulos y líneas
notables de un triángulo al resolver unproblema.

• Emplea características, propiedades y perspectivas de cuerpos geométricos, para construir y reconocer prismas regulares, irregulares
y cilindros.
• Halla el perímetro, área y el volumen de prismas regulares e irregulares con perspectiva,
usando unidades de referencia (basada en
cubos) y comvencionales.

• Emplea características y propiedades de polígonos para construir y reconocer prismas ypirámides.
• Halla el área, perímetro y volumen de prismas y pirámides empleando unidades dereferencia (basadas en cubos), convencionales o descomponiendo formas geométricas
cuyas medidas son conocidas, con recursos
gráficos y otros.

• Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas.

1.o grado sec.

• Emplea procedimientos de cálculo para encontrar el área de una superficie del prisma
y el volumen de un prisma cuadrangular orectangular en unidades arbitrarias.
• Usa estrategias para estimar y medir el volumen en unidades arbitrarias y la capacidad
de objetos y recipientes en litros y mililitros.

• Elabora o ejecuta un plan orientado a experimentar o a resolver problemas

6.o grado prim.

2.3.6 Descripción de algunos indicadores relacionados
a la competencia Actúa y piensa matemáticamente ensituaciones de forma, movimiento y localización

A partir de situaciones como estas el estudiante emplea procedimientos de cálculo
a partir de una unidad referencial. El objetivo es que comprenda el significado delvolumen, antes de aplicar la fórmula.
Hallar el volumen del siguiente cuerpo sabiendo que un cubo tiene un volumen de 2 u3.

Capacidad

Este indicador está orientado a identificar relaciones que no se expresan propiamenteen la información mostrada, por ejemplo, a continuación se trata de reconocer 5 formas
geométricas, las relaciones entre tres de ellas y como se relacionan en ángulos de 90°.
El lado de un rectángulo es la mitad con respecto a su otro lado, asimismo la relación
entre los lados entre un rectángulo y otro están en 3 a 2.
1,5

2 cm
1,5 cm1ccm
m0,75 cm
2 cm

1 cm

1,5 cm

1 cm

1,5

cm

Halla elvolumen de unprisma usando
unidades dereferencia(basada en
cubos).

1c

3 cm

Capacidad
Elabora y usa
estrategias:m

3 cm
http://blog.educastur.es/navegamos/files/2008/05/polied20.gif

Explica que
medidas ysituaciones
son y no son
afectadas porel cambio deescala.

A partir de situaciones como esta, el estudiante reconocerá los atributos que varían ose mantienen constantes en el desarrollo de la escala.

2 cm

Trazamos una circunferencia con centro en A y radio AB y otra con centro en B yCapacidad
mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos. Tomamos uno de ellos,
digamos P. Trazando los segmentos AP y PB obtenemos el triángulo equilátero APB.
Comunica yrepresenta ideas
matemáticas.
RepresentaP
figuraspoligonales,
trazos de rectas
A
B
paralelas,perpendiculares
relacionadas ala circunferencia
siguiendo
instrucciones y
http://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-iii-los-poligonos-regulares/
usando la regla
Con este indicador se deben aprovechar para emplear el concepto de ángulo, radio,
y el complás.

Capacidad
Razona yargumenta
generando
ideas
matemáticas:

2 cm

El estudio de los cuerpos sólidos pretende una familiarización con la forma generaltridimensional, sus nombres y los elementos que los definen. Esto implica trabajar con
material concreto que permita explorar e identificar las características y relaciones encada cuerpo.

2 cm

Capacidad
Matematiza
situaciones.
Reconocer
relaciones no
explícitas entre
figuras y las
expresa en un
modelo basado
en prismas opirámides.

Descripción

2 cm

escala: 1/1

2 cm

escala: 2/1

2 cm

escala: 1/2

etc.

56

57

Desarrollar esta competencia actúa y piensa matemáticamente en situaciones degestión de datos e incertidumbre” en el VI ciclo implica que los estudiantes practiquen
matemática mediante acciones orientadas a investigar en su entorno, planteándose
previamente interrogantes a resolver.

Estas acciones contribuyen al desarrollo del aprendizaje de la matemática, cuando elestudiante puede expresarlas en gráficos estadísticos y medidas de tendencia central
y de probabilidad. Asimismo, cuando muestra una predisposición a comunicar ideas
matemáticas relacionadas por ejemplo a la población, media, mediana y moda,
frecuencia relativa, probabilidad de sucesos, etc. Por otro lado, los estudiantes seránconscientes de gestionar eficazmente los recursos con los que cuenta para realizar
sus investigaciones movilizando un plan coherente de trabajo para organizar fichas deregistro, procesar datos, analizarlos y obtener conclusiones de ellos. También contribuye
en la medida que se generan los espacios para que los estudiantes manifiesten la tomade decisiones respecto a la media, mediana y moda, características de datos discretos
y continuos, esto involucra vincular los procedimientos estadísticos con la práctica real.

A continuación se muestra el estándar de aprendizaje (mapa de progreso) para lacompetencia actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e
incertidumbre referido al VI ciclo. Así mismo, los indicadores de desempeño para eldesarrollo de la competencia y sus capacidades, las que están organizadas en una
matriz. En ese sentido, la organización por ciclos en el mapa de progreso expresa lasmetas de aprendizaje que deben ser logradas por todos los estudiantes peruanos,para este fascículo la referida al VI ciclo. Por ello, será un referente para la planificacióny la evaluación en los grados del primero y segundo grado de la secundaria.

58
Interpreta y plantea relaciones entre datos
provenientes de diferentes fuentes de información,
referidas a situaciones que demandan caracterizar
un conjunto de datos, y los expresa mediantevariables cualitativas o cuantitativas, desviación
estándar, medidas de localización y la probabilidad
de eventos. Analiza los alcances y limitaciones delmodelo usado, evalúa si los datos y condiciones que
estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa
usando terminologías, reglas y convenciones
matemáticas su comprensión sobre relaciones entre
población y muestra, un dato y el sesgo que produce
en una distribución de datos, y espacio muestral ysuceso, así como el significado de la desviación
estándar y medidas de localización. Realiza yrelaciona diversas representaciones de un mismo
conjunto de datos seleccionando la más pertinente.
Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas para
investigar o resolver problemas, usando estrategias
heurísticas y procedimientos matemáticos derecopilar y organizar datos, extraer una muestra
representativa de la población, calcular medidas
de tendencia central y la desviación estándar ydeterminar las condiciones y restricciones de una
situación aleatoria y su espacio muestral; con
apoyo de diversos recursos. Juzga la efectividad
de la ejecución o modificación de su plan. Formulaconjeturas1 sobre posibles generalizaciones ensituaciones experimentales estableciendo relaciones
matemáticas; las justifica o refuta basándose enargumentaciones que expliciten sus puntos devista e incluyan conceptos y propiedades de losestadísticos.

Discrimina y organiza datos de diversas situaciones ylos expresa mediante modelos que involucran variables
cualitativas, cuantitativas discretas y continuas, medidas
de tendencia central y la probabilidad. Selecciona y usa elmodelo más pertinente a una situación y comprueba si estele permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas
y convenciones matemáticas su comprensión sobre datos
contenidos en tablas y gráficos estadísticos, la pertinencia
de un gráfico a un tipo de variable y las propiedades
básicas de probabilidades. Elabora y emplea diversas
representaciones usando tablas y gráficos; relacionándolas
entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigacióny resolución de problemas, usando estrategias heurísticas
y procedimientos matemáticos para recopilar y organizar
datos cuantitativos discretos y continuos, calcular medidas
de tendencia central, la dispersión de datos mediante elrango, determinar por extensión y comprensión sucesos
simples y compuestos, y calcular la probabilidad mediante
frecuencias relativas; con apoyo de material concreto yrecursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias,
procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula
y justifica conjeturas referidas a relaciones entre losdatos o variables contenidas en fuentes de información,
observadas en situaciones experimentales; e identifica
diferencias y errores en una argumentación.
Interpreta los datos en diversas situaciones, los organiza
en tablas de frecuencia y los expresa mediante, variables
cualitativas o cuantitativas discretas, la media aritmética o laprobabilidad de un suceso. Determina en que otras situaciones
son aplicables. Describe utilizando lenguaje matemático su
comprensión sobre las preguntas y posibles respuestas para
una encuesta, la información contenida en tablas y gráficos, elsignificado de la media aritmética y la mediana de un grupo dedatos, los resultados de una situación aleatoria y la probabilidad
de un evento. Elabora y emplea diversas representaciones dedatos mediante gráficos de líneas o de puntos y la probabilidad
como fracción o cociente; relacionándolas entre sí. Elabora
y ejecuta un plan orientado a recopilar datos a través de una
encuesta, organizarlos y presentarlos; determinar la media;
determinar todos los posibles resultados de un experimento
aleatorio; calcular la probabilidad de un evento como una
fracción; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos
y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece
conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos ylas justifica usando ejemplos o contraejemplos.

1. Tener en cuenta que el razonamiento probabilístico y estadístico no es exacto como en matemática. Por lo tanto, en general las conjeturas que se puedan establecer no serán demostradas con
rigor, serán afirmaciones con un grado de validez, porque se trata de elegir representantes de un sistema de datos (media, mediana, moda), o cuantificar la posibilidad (probabilidad teórica, empíri
ca, etc.) pero que detrás de ello está la noción de incertidumbre.

VII CICLO

VI CICLO

V CICLO

Estándares (mapa del progreso)

A continuación les presentamos una matriz que muestra de manera integrada el estándar de aprendizaje (mapa de progreso), así como los indicadores de desempeño de lascapacidades para el desarrollo de la competencia en el ciclo. Los niveles de los mapas de progreso muestran una definición clara y consensuada de las metas de aprendizaje
que deben ser logradas por todos los estudiantes al concluir un ciclo o periodo determinado. En ese sentido, son un referente para la planificación anual, el monitoreo y laevaluación, pues nos muestran el desempeño global que deben alcanzar nuestros estudiantes en cada una de las competencias. Las matrices con los indicadores de desempeño
de las capacidades son un apoyo para diseñar nuestras sesiones de aprendizaje; son útiles también para diseñar instrumentos de evaluación, pero no nos olvidemos de que en
un enfoque de competencias, al final, debemos generar instrumentos que permitan evidenciar su desempeño integral. En resumen, ambos instrumentos nos ayudan tanto a laplanificación como a la evaluación, pero uno nos muestra desempeños más acotados (indicadores de desempeños), mientras que el otro nos muestra un desempeño complejo(mapas de progreso).
Hemos colocado el nivel anterior y posterior al ciclo correspondiente para que puedan identificar en qué nivel de desempeño se encuentra nuestros estudiantes, y así diseñar
actividades adecuadas para cada uno de ellos.

Matriz: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre

2.3.7 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones
de gestión de datos e incertidumbre59

MATEMATIZA SITUACIONES• Selecciona el modelo grafíco estadístico alplantear y resolver situaciones que expresan
características o cualidades.

• Selecciona el modelo gráfico estadístico más
adecuado al plantear y resolver situaciones.

• Sugiere preguntas para el cuestionario de una
encuesta acorde al propósito planteado.

• Realiza preguntas relevantes para un temade estudio y sus posibles opciones de respuesta a través de encuestas.

• Expresa lo que comprende sobre la probabilidad de un evento o suceso con apoyo deejemplos y usando lenguaje matemático.

• Registra en una tabla o diagrama de árbol,
los resultados de un experimento aleatorio.

• Describe el comportamiento de un grupo
de datos, usando como referencia la media
aritmética y la moda del conjunto de datos.

• Expresa lo que comprende sobre el significado de la media aritmética y la mediana
de un grupo de datos con ejemplos y apoyo
gráfico.

• Representa de diferentes formas un conjunto
de datos, empleando gráficos estadísticos.

• Representa con diagrama del árbol una serie
de sucesos y halla el espacio muestral de un
experimento aleatorio para expresarlo por
extensión o por comprensión.

• Expresa conceptos y relaciones entre experimento determinístico y aleatorio, espacio
muestral y sucesos, probabilidad, usando
terminologías y notaciones aportando a las
expresiones de los demás.

• Emplea diferentes gráficos estadísticos para
mostrar datos no agrupados y agrupados devariables estadísticas y sus relaciones.

• Expresa información y el propósito de cadauna de las medidas de tendencia central para
datos no agrupados aportando a las expresiones de los demás.

• Expresa información presentada en cuadros,tablas y gráficos estadísticos para datos noagrupados y agrupados.

1.o grado sec.

• Determina la tendencia de un conjunto dedatos a partir de su gráfico.

• Plantea y resuelve problemas sobre laprobabilidad de un evento en una situación
aleatoria a partir de un modelo referido a laprobabilidad.

• Ordena datos al reconocer eventos
independientes provenientes de variadas
fuentes de información, de característicaaleatoria al expresar un modelo referido aprobabilidad de sucesos equiprobables.

• Selecciona el modelo gráfico estadístico alplantear y resolver situaciones que expresan
características o cualidades de una población.

• Organiza datos en variables cualitativas(ordinal y nominal) y cuantitativas provenientes de variadas fuentes de información y losexpresa en un modelo basado en gráficos
estadísticos.

2.o grado sec.

• Representa con diagramas de árbol, por
extensión o por comprensión, sucesos
simples o compuestos relacionados a una
situación aleatoria propuesta.

• Expresa el concepto de la probabilidad deeventos equiprobables usando terminologías
y fórmulas.

• Usa cuadros, tablas y gráficos estadísticos
para mostrar datos no agrupados y datos
agrupados, y sus relaciones.

• Expresa información presentada en tablasy gráficos pertinentes al tipo de variables
estadísticas.

• Expresa información y el propósito de cadauna de las medidas de tendencia central,y el rango con la media, para datos noagrupados aportando a las expresiones delos demás.

• Representa en fracciones, decimales, porcentajes la probabilidad de que ocurra un
evento, la cantidad de casos y de frecuencia
para organizar los resultados de las pruebas o experimentos.

• Expresa conceptos de probabilidad de frecuencias usando terminologías y fórmulas.

• Representa las medidas de tendencia
central y de dispersión para datos no y
agrupados en tablas y gráficos.

• Expresa relaciones entre las medidas
de tendencia central y las medidas dedispersión (rango, varianza, desviación
típica), con datos agrupados y no
agrupados.

• Formula una pregunta de interés y define lasvariables claves que pueden atenderse a
través de una encuesta.

• Redacta preguntas cerradas respecto dela variable estadística de estudio para losítems de la encuesta.

3.o grado sec.

• Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema.

• Diferencia y usa modelos probabilísticos alplantear y resolver situaciones referidas a
frecuencia de sucesos.

• Organiza datos relativos a frecuencia de unsucesos provenientes de variadas fuentes
de información, considerando el contexto,
las condiciones y restricciones para la determinación de su espacio muestral y plantea
un modelo probabilístico.

• Diferencia y usa modelos basados en
gráficos estadísticos al plantear y resolver
problemas que expresan características o
cualidades de una muestra representativa.

• Organiza datos en variables cualitativa(ordinal y nominal) y cuantitativas
provenientes de variadas fuentes deinformación de una muestra representativa,
en un modelo basado en gráficos
estadísticos.

3.o grado sec.

• Expresa información presentada en tablas ygráficos estadísticos para datos no agrupados
y agrupados.

• Sugiere preguntas para el cuestionario de
una encuesta presentada acorde al propósito
planteado.

2.o grado sec.

• Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema.

• Plantea y resuelve situaciones referidas aeventos aleatorios a partir de conocer unmodelo referido a la probabilidad.

• Ordena datos al realizar experimentos
aleatorios simples o de eventos que expresar
un modelo que caracterizan la probabilidad deeventos y el espacio muestral.

6.o grado prim.

• Determina en que otros problemas es aplicable el modelo• Identifica todos los posibles resultados de
una situación aleatoria y los resultados favorables de un evento, expresando su probabilidad como cociente.

• Organiza datos en variables cualitativas ensituaciones que expresan cualidades o características y plantea un modelo de grafíco debarras y circulares.

• Interpreta los datos y relaciones no explícitas
en diversas situaciones y los expresa en una
tabla de doble entrada, diagramas de árbol
o gráficos lineales.

• Organiza datos en variables cuantitativas ensituaciones de frecuencia de eventos de su comunidad y plantea un modelo basado en histogramas de frecuencia relativa.

1.o grado sec.

6.o grado prim.

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS
MATMÁTICAS

60
61

62
63

• Selecciona la medida de tendencia central
apropiada para representar un conjunto dedatos al resolver problemas.

• Selecciona la medida de tendencia central
apropiada para representar un conjunto dedatos al resolver problemas.

6.o grado prim.

• Justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que explicíten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos ypropiedades de los estadísticos.

• Identifica diferencias y errores en una argumentación.

• Plantea conjeturas relacionadas con los resultados de la probabilidad entendida como
una frecuencia relativa.

• Argumenta procedimientos para hallarlas medidas de tendencia central y dedispersión, y la importancia de su estudio.

• Justifica conjeturas usando ejemplos y
comtraejemplos.

• Propone conjeturas sobre la probabilidad apartir de la frecuencia de un suceso en una
situación aleatoria.

3.er grado sec.

• Justifica a través de ejemplos eventos independientes y condicionales.

• Propone conjeturas acerca del resultado de un
experimento aleatorio compuesto por sucesos
simples o compuestos.

• Justifica el proceso de obtención defrecuencias de datos generados a partir de unproceso probabilístico no uniforme.

• Argumenta procedimientos para hallar la
media, mediana y moda de datos agrupados;
determina la medida más representativa deun conjunto de datos y su importancia en latoma de decisiones.

• Argumenta procedimientos para hallar
la media, mediana y moda de datos noagrupados, la medida más representativa deun conjunto de datos y su importancia en latoma de decisiones.

2.o grado sec.
• Justifica los procedimientos del trabajo
estadístico realizado y la determinación dela (s) decisión(es) para datos no agrupados yagrupados.

1.er grado sec.

• Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan al resolver el problema.

• Compara probalidades de distintos eventos,
sin calcularlas.

• Elabora conjeturas sobre el resultado deun experimento aleatorio, basándose en
experiencias concretas.

• Justifica sus predicciones sobre la tendenciadel comportamiento de los datos, a partir deun gráfico.

• Reconoce que si el valor numérico de laprobabilidad de un suceso, se acerca a 1 esmás probable que suceda y, por el contrario
si va hacia 0 es menos probable.

• Calcula la probabilidad por la regla de Laplace.

• Determina el espacio muestral de un suceso
estudiado.

• Formula una situación aleatoria considerando sus condiciones y restricciones.

• Determina la media, mediana y moda al
resolver problemas.

• Compara los valores de las medidas detendencia central de dos poblaciones paraseñalar diferencias entre ellas.

• Reconoce la pertinencia de un gráfico para
representar variables cualitativas al resolver
problemas.

• Determina la muestra representativa deun conjunto de datos, usando criterios
aleatorios y pertinentes a la población alresolver problemas.

• Recopila datos provenientes de su
comunidad referidos a variables cualitativaso cuantitativas usando una encuesta depreguntas cerradas y abiertas.

3.o grado sec.

• Justifica que variables intervienen en una
investigación de acuerdo a la naturaleza dela variable.

• Usa las propiedades de la probabilidad en elmodelo de Laplace al resolver problemas.

• Reconoce sucesos simples relacionados a una
situación aleatoria.

• Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos
usados al resolver el problema.

• Reconoce sucesos equiprobables enexperimentos aleatorios.

• Determina por extensión y comprensión elespacio muestral al resolver problemas.

• Justifica los procedimientos del trabajo
estadístico realizado y la determinación dela decisión(es) para datos no agrupados yagrupados.

• Compara los procedimientos y estrategias
empleadas en distintas resoluciones.

• Calcula la probabilidad de un evento por
medio de la regla de Laplace (cociente entre
caso favorables y el total de casos).

• Determina la media de un grupo de datos
discretos usando operaciones de igualaciónde valores o el algoritmo de la media.

• Determina el rango o recorrido de una variable y la usa como una medida de dispersión.

• Organizan datos en histogramas y polígonosde frecuencias al resolver problemas.

• Organiza datos en gráficos de barras y circulares al resolver problemas.

• Emplea procedimientos de recolección dedatos como fuentes de información indirectas (recortes de periódico, encartes desupermercado, revistas, lecturas, etc.)• Recopila datos cuantitativos discretos ycontinuos o cualitativos ordinales y nominales
provenientes de su comunidad usando una
encuesta de preguntas cerradas.

• Recolecta datos cuantitativos discretos ycontinuos o cualitativos ordinales y nominales
de su aula por medio de la experimentación ointerrogación o encuestas.

• Plantea una secuencia ordenada de acciones que demandan recoger y organizar
datos cualitativos o cuantitativos.

2.o grado sec.

1. o grado sec.

6.o grado prim.

• Toma decisiones o elabora recomendaciones sobre el tema en estudio y las justifica.

ELABORA Y USA ESTRATEGIASRAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS2.3.8 Descripción de algunos indicadores relacionados
a la competencia Actúa y piensa matemáticamente ensituaciones de gestión de datos e incertidumbre
Capacidad
Capacidad
Matematiza
situaciones:

Descripción¿Existe una diferencia entre hombres y mujeres respecto a la longitud del codo y lamano?
Este tipo de interrogantes orienta sobre la necesidad de agrupar los datos en clases,
pues las mediciones que se pudieran generar presentan mucha variabilidad, por lo
que no es viable resumir estos datos empleando cuadros o gráficos de frecuencia
simple.

Organiza datos
en variables
cuantitativas
en situaciones
de frecuencia
de eventos desu comunidad
y plantea unmodelo basado
en histogramas
de frecuencia
relativa.

Capacidad
Comunica yrepresenta ideas
matemáticas:
Representa conel diagrama delárbol una serie
de sucesos yhalla el espacio
muestral de un
experimento
aleatorio para
expresarlo por
extensión o por
comprensión.

64

Proponer a los estudiantes
problemascomo
elsiguiente:

Capacidad
Elabora y usa
estrategias:
Calcula laprobabilidad
por la regla deLaplace.

Capacidad
Razona yargumenta
generando
ideas
matemáticas:

Proponer a los estudiantes actividades como esta.
Considere un juego en el que se lanza una moneda tres veces. Determine todos los
posibles resultados del experimento. Para identificar cada resultado puede emplear
terna de datos, por ejemplo, SCC significa que se obtuvo sello en el primer lanzamiento
y cara en los otros dos.

Pararealizarunexperimento
sobre
sucesos
probabilísticos,
podemos emplear dados.
El resultado se determina
cuando los dados dejan derodar y se suman los puntos
que indican sus caras
superiores. Si se lanzan
dos dados, determinencon sus compañeros laprobabilidad de que lasuma sea igual a 4.

En una tómbola de barrio, se presentó el rulebol, un juego en dos etapas. Primero, se
hace girar una ruleta; luego, si se detiene en un número par, se le permite al jugador
sacar al azar una bolita de la bolsa. Cuando la que se toma es una bolita negra, segana un premio. Olivia juega una vez. ¿Qué probabilidad tiene ella de ganar un premio?

Proponeconjeturas
acerca delresultado de un
experimento
aleatorio
basado en
sucesos simples
o compuestos.

P = 5/6
El número es par

P = 1/6
El número es impar

P = 3/10
Sale bolita negra

P = 1/4
Gana un premio

P = 7/10
Sale bolita blanca

P = 7/12
El juego termina

P = 1/6
El juego termina

A partir de la situación y de la experiencia realizada el estudiante podrá expresar “esmás probable que en la ruleta salga un número par”.

2.4 Campos temáticos

S
S
S

C

C
Ciclo

S
C

C

S
S

C
C

S
C

{SSS, SSC, SCS, SCC, CSS, CSC, CCS, CCC}

VI

Relacionado asituaciones decantidad• Números naturales, enteros
y racionales, propiedades yoperaciones.
• Problemas multiplicativos deproporcionalidad (directa e
indirecta).
• Porcentajes (aumentos y
descuentos porcentuales)• Potenciación con exponentes
positivos y negativos.

Relacionado asituaciones deregularidad, equivalencia
y cambio

Relacionado a situaciones deforma, movimiento
y localización• Patrones geométricos.
• Progresión aritmética
(P.A.).
• Ecuaciones lineales.
• Operaciones
algebraicas.
• Inecuaciones lineales.
• Relaciones deproporcionalidad
directa e inversa.
• Funciones lineal ylineal afín.

• Figuras poligonales
regulares, compuestas,
triángulos y el círculo,
propiedades, perímetro yárea.
• Prismas, pirámides,
cubos, cilindros, conos.
Características, propiedades,área y volumen.
• Transformaciones
geométricas.
• Mapa y planos a escalas.

Relacionado a situaciones
de gestión de datos e
incertidumbre.
••••

Variables estadísticas.
Población.
Gráficos estadísticos.
Medidasdetendencia
central.
• Experimento determinísticoy aleatorio, espacio muestraly sucesos.
• Probabilidad.

65

a. Fase de acción

3. Orientaciones didácticas
3.1 Orientaciones para desarrollar
la competencia Actúa y piensa
matemáticamente en situaciones
de cantidad

Esta fase involucra tanto aspectos cognitivos como cuestiones de índole práctica, ambos
dirigidos a la solución de problemas que es preciso resolver en condiciones específicas.

Acciones del docente•

Expone la situación y las consignas, y se •asegura de que han sido bien comprendidas:
si es necesario, parte de los conocimientos
anteriores u “organizadores previos”
mediante actividades especiales para estefin.

Los estudiantes dan lectura
al problema y se analizan losfactores que la definen comotal, se identifican los datos, elpropósito, la factibilidad de su
resolución(es) y solución.

•

Adopta el rol de un “coordinador descentrado” •que interviene solamente como mediador
de la búsqueda, pero se abstiene de brindar
informaciones que condicionen la acción de •los estudiantes.

Se imaginan la situación
apelando a sus saberesprevios.

3.1.1 Situaciones didácticas
de Brousseau1
Una situación es didáctica cuando el docente, tiene la intención de enseñar, un saber
matemático dado explícitamente y debe darse en un medio.

Acciones del estudiante•

Aclara consignas, promueve la aparición demuchas ideas y señala contradicciones en
los procedimientos, etc.

En esta fase los estudiantes
movilizan aspectos cognitivos
así como cuestiones de índole
práctica, ambos dirigidos a lasolución de problemas.

Fases:
a. Acción

Ejemplo
Repartiendo galletas

e. Evaluaciónd. Institucionalización66

1. MINEDU (2007)

b. Formulación

El alcalde del distrito, por motivo del Día de laPrimavera, ha donado 45 kilos de galletas para serrepartidas en las secciones del 1.o A (44 estudiantes)
y 1.o B (45 estudiantes) de la I. E. N° 787 "Almirante
Miguel Grau". La maestra Mery pregunta a sus
estudiantes: ¿cuántas galletas le corresponde a cadauno? ¿cómo podríamos determinarlo?

c. Validación67

b. Fase de formulación

c. Fase de validación

Se busca la adquisición de destrezas para la utilización de decodificación de loslenguajes más apropiados, y se mejora progresivamente la claridad, el orden y laprecisión de los mensajes.

Es una fase de balance y representación de resultados, y de confrontación deprocedimientos.

Acciones del docente
•

•

•
•

Organizar a los estudiantes de modo •que puedan dividirse tareas, diseñar ymaterializar la solución, seleccionar losmateriales, las herramientas, etc.
Indicar las pautas para que los estudiantes •utilicen los medios de representación
apropiados.
Sondear el “estado del saber previos” y losaspectos afectivos y actitudinales.
Detectar procedimientos inadecuados,
prejuicios, obstáculos y dificultades, para •trabajarlos con los estudiantes, según
convenga a su estrategia.

Acciones del docente

Acciones del estudianteObtiene el plan ordenando,
procedimientos, estrategias,
recursos y el producto que
resuelve los problemas.
Explicita los conocimientos en
un lenguaje que los demás
puedan entender. Para ello,utilizan medios convencionales
de representaciones que
permiten la comunicación.
Pone énfasis en el manejode lenguajes muy variados,ya sea de tipo verbal, escrito,
gráfico, plástico, informático omatemático.

•

•

•

•

•

El docente estimula y coordina las pruebas, •los ensayos, las exposiciones, los debates ylas justificaciones.
Absuelve las dudas y las contradicciones
que aparezcan, señala procedimientos
diferentes, lenguajes inapropiados, y busca
que el consenso valide los saberes utilizados. •En este momento crece el valor de lasintervenciones del docente, que debe recurrira las explicaciones teóricas y metodológicas
necesarias de acuerdo con las dificultades
surgidas.
Esta es una buena oportunidad para tomar •datos evaluativos y para introducir nuevas
variantes de problematización.
Coordina y resume las conclusiones que sonclave para la sistematización de la próxima
fase.

Acciones del estudiante
Los estudiantes verifican sus
productos, representaciones yresultados como parte de lassituaciones mismas sin tenerque recurrir al dictamen deldocente.
Las producciones de lassituaciones son sometidas
a ensayos y pruebas por sus
pares en un proceso metacognitivo que se completa en
la fase siguiente.
Confrontan sus
procedimientos.

Ejemplo
Repartiendo galletas
Los estudiantes discuten sus ideas. Así para este caso una estudiante planteó:“cuántos estudiantes le corresponden a cada kilo de galletas”2 y no “cuántos
kilos de galletas le corresponde a cada estudiante”.
El docente debe anotar este error que deviene de un modelo intuitivo como:“Para dividir A/B siempre se debe dividir el número mayor entre el número
menor”, esto produce un modelo no deseado que ya no es válido para dividir tal
como se solicita para el caso.

(Se presenta un extracto de lo que ocurre en esta fase)
Estudiante 1 (Hilmer): (sale a la pizarra y escribe)
44 + 45= 89
89 / 45 = 1,977...
Maestra: ¿Qué significa esta respuesta?
Estudiante 1 (Hilmer): Significa que a cada uno nos
corresponde un kilo con 980 gramos de galletas.
Maestra: ¿Por qué afirmas esto? A ver explícanos. El equipo puede ayudar a dar
esta explicación.

1. D’AMORE y otros (2010). La didáctica y la dificultad en matemáticas. Bogotá: Editorial Magisterio.

68

69

d. Fase de Institucionalización
Equipo 1: Somos 89 en total y luego lo dividimos
entre los 45 kilos de galletas.
Estudiante 2 (Caroline): Como no nos podemos
repartir 1,977... kg, lo redondeo a 2. Verificamos, 89
por 2 nos sale 178, y nosotros somos 89.
Maestra: ¿Qué otra alternativa habrá para hacer esta división y por qué?

En esta fase se generaliza y se abstraen los conocimientos en base a los procedimientos
realizados y resultados obtenidos.
Acciones del docente••

Estudiante 2 (Caroline): Dividir 45 entre 89.
Maestra: ¿Por qué debemos hacer esto?
Estudiante 2 (Caroline): Porque, como ya dije profesora, dividiendo comoha hecho mi compañera no sale.
Maestra: ¿Qué significa esto? A ver contrastemos las dos opciones yveamos lo que significa cada caso. Para ello observemos las dos opciones
y respondamos primero entre ustedes y luego lo comparten con su equipo:•••

Acciones del estudiante

El docente cumple un rol como mediador •de códigos de comunicación.
Explica, sintetiza, resume y rescata losconocimientos puestos en juego para
resolver la situación planteada.
Destaca la funcionalidad.
Rescata el valor de las nociones y losmétodos utilizados. Señala su alcance, su•
generalidad y su importancia.
Formaliza conceptos y procedimientos
matemáticos, contribuyendo a resignificar
el aprendizaje en el contexto global delestudiante.

¿En qué se parecen?
¿En qué se diferencian?
¿Cuáles son las similitudes y diferencias importantes?

•¿Qué conclusión saco según similitudes y diferencias encontradas?
Estudiante 3 (Delia): Ah, ya lo tenemos profesora. En el primer caso mi
compañero Félix ha dividido 89 estudiantes entre 45 kilos de galletas,
pero queremos dividir las galletas no a nosotros; por eso, debemos dividir
los 45 kilos de galletas entre 89 que somos en total nosotros y nos
saaaleeee… Ummm… 0,5056. Significa que a cada uno nos toca un
poquito más de medio kilo.
Estudiante 1 (Hilmer): Pero tenemos que contara la profesora. Con ella somos 90, entonces
45 kilos de galletas entre 90, y nos sale
0,5, un poco más exacto.
Maestra: ¿Qué significa esto?
Equipo 4: Significa que a cada uno
nos toca medio kilo de galletas, yya verificamos el procedimiento y el
resultado, es así:El estudiante descontextualiza
y despersonaliza el saber paraganar el estatus cultural y social
de objeto tecnológico autónomo,
capaz de hacerlo funcionar como
herramienta eficaz en otras
situaciones.
Avanza en
los niveles deabstracción
correspondientes,
formalizando
conceptos
yprocedimientos
matemáticos,
contribuyendo a re significar el
aprendizaje en el contexto global,
explicando y redondeando ellenguaje matemático apropiado.
El
estudiante
traducelasituación, interpreta, realiza
representaciones
simbólicas,
discute sus supuestos en su
equipo, se comunica, socializa
sus resultados, encuentra elerror en el compañero, refuta ygeneraliza superando los erroresy el modelo intuitivo instalado.

Ejemplo
Maestra: ¿Qué conclusiones podemos sacar de esto? Organicemos nuestras
ideas (luego de las conclusiones dadas por los estudiantes en el pleno,la docente institucionaliza, con la participación de ellos, la división de losnúmeros racionales).

0,5 por 90 igual 45, exacto.

7071

3.1.2 Prácticas en laboratorio de matemática

e. Fase de evaluación
Se plantea el escenario de una nueva secuencia articulada con los temas aquítratados para no aislar la secuencia didáctica de la unidad y planificación
anual.
En esta fase se realiza la autoevaluación del estudiante y la coevaluación
entre pares, como instancias de aprendizaje: aprendizaje y evaluación comoproceso recursivo.

Acciones del docente•••

El docente realiza el seguimiento desde •la aparición de los primeros borradoresy bocetos hasta el producto final como
forma de evaluar el desempeño delestudiante.
Puede
solicitar
algunos
trabajosadicionales con el propósito de obtenermás datos evaluativos y permitir latransferencia y la nivelación.
Anticipa una nueva secuencia articulada
con los temas y/o contenidos tratados.

Acciones del estudiante
El estudiante realiza
la autoevaluación y la coevaluación
entre pares como instancias
de aprendizaje: Aprendizaje
y evaluación
como proceso
recursivo.

Estas fases pueden ser usadas en el desarrollo de las otras competencias
matemáticas. Observamos que el estudiante traduce la situación, interpreta,
realiza representaciones simbólicas, discute sus supuestos en su equipo, se
comunica, socializa sus resultados, encuentra el error en el compañero, refuta
y generaliza superando los errores y el modelo intuitivo instalado para dar
lugar a un modelo mental vía el conflicto cognitivo, porque hay discrepancia
entre la imagen mental3 formada anteriormente y la solicitada, luego nuestros
estudiantes tienen que poner en movimiento sus habilidades para construir
el modelo del concepto división de números decimales y acomodarlo a lanueva situación.

3.

72

D’AMORE (1999). Didáctica de la matemática. Bogotá: Editorial Magisterio. “La imagen mental es el resultado figural,
proposicional o mixto producido por un estímulo (interno o externo)… Esta se halla condicionada por la experiencia
personal, por las influencias culturales, por los estilos personales. (…) Se trata de un producto típico del individuo,
pero con constantes y connotaciones comunes entre individuos diferentes (…), es interna (…), y en primera instancia
involuntaria. (…) Con respecto a un cierto concepto, el estudiante se hace imágenes mentales cada vez más
generales, percibiendo cada vez más detalles, más informaciones, propiedades más extensas, por lo que tenemos
un proceso dinámico que consta de una sucesión de imágenes mentales; el modelo mental (cognoscitivo) sería
el límite de esta sucesión de imágenes, por lo que el modelo mental sería el resultado final del proceso de lasimágenes mentales, cuando una de estas se convierte en estable”, pp. 164-165.

Las “prácticas” de laboratorio de matemática, son entendidas como actividadesque pueden realizar los estudiantes en la educación secundaria con materiales
manipulables.
Para ello los estudiantes pueden contar con dos clases de materiales manipulables,que se clasifican en físicos y virtuales. Físicos como el ábaco, regletas, tangram, bloques
lógicos, geoplanos, multicubos, cuerpos geométricos, pentaminós, triángulos de Pascal,
entre otros, y virtuales en computadores y software educativo.
Las actividades pueden abordar diferentes aspectos relacionados a los conocimientos
de matemática, como pueden ser los siguientes:
Introducir nuevos conceptos.
Corregir errores.
Descubrir y/o comprobar propiedades.
Gaston Mirialet, presenta una serie de fases para el logro de aprendizajes de lamatemática relacionada con la acción, el relato y el símbolo.

Fases:

a. Acción realb. Acción
acompañada
por ellenguajed. Representación gráfica

c. Relato73

a. La acción real ejercida por el estudiante
Ejemplo
No refiere a la acción imaginada por el estudiante o narrada por el docente; se requiere
la manipulación de material concreto, donde se representen las operaciones y se logre
su comprensión.

Ejemplo

El gráfico muestra la construcción de los
cercos perimétricos que tienen forma detriángulos equiláteros unidos por estacas
separadas por distancias de una y dos
unidades lineales de lado haciendo uso
del geoplano triangular.

A continuación se muestra una actividad con materiales concretos:
Geoplano triangular (se puede
presentar en una hoja el geoplanotriangular, como se muestra en la
figura)En el siguiente geoplano triangular, dibuja dos de los posibles cercos
triangulares que continúan en la sucesión:

Ligas de colores (en caso depresentar el geoplano triangular),lápices de colores para realizar
trazos (en caso de presentar elgeoplano en una hoja).
Problema
La institución educativa dispone de un terreno destinado para jardín, losestudiantes del club de matemática elaboraron un diseño muy curioso paraadornar el terreno.

b. La acción acompañada del lenguaje
Cuando el estudiante está realizando acciones, aprenden palabras y expresiones
relacionadas con las matemáticas, necesarias para decir lo que hace.
Ejemplo:
Relaciones que encuentra en la sucesión:¿Qué característica tiene cada cerco triangular?
¿Hay algo que podamos afirmar que es constante en los cercos
triangulares?

Dichos cercos triangulares están unidos por cintas de colores, los lados del cerco
y los vértices están formados por estacas que se distribuyen a una distancia deunidad lineal (1 m), dentro de esa superficie triangular se observa que se plantará
flores diversas.

¿Podríamos saber cuántos puntos tendría cada perímetro del cerco
triangular que se requiera?

Los estudiantes del club de matemática desean saber, ¿Cómo se debe expresarel tamaño del cerco triangular si la sucesión continúa “n veces”?

74

75

c. Relato

3.1.3 Planteamiento de talleres matemáticos

El estudiante llega a ser capaz de decir lo que hace. Así se inicia en el trabajo en un
nivel abstracto.

El taller de matemática adquiere una función especial y no pretende ser una sesión deaprendizaje. El taller tiene la función de desplegar las competencias y capacidades ya
desarrolladas por los estudiantes en los grados respectivos, en ese sentido la relación
entre el estudiante y el docente tendrá una excepcional característica.

Ejemplo:
Con la sucesión de figuras el estudiante:

Fases del taller
matemático

Describe el patrón que se presenta en el perímetro de los cercos
triangulares mediante lenguaje matemático.

•¿Qué ocurrirá con las estacas que se encuentran en los cercos
triangulares si la sucesión continúa?

Familiarización¿Cómo se puede expresar la cantidad de estacas que se encuentra en el
perímetro del cerco triangular si la sucesión continúa “n veces”?

•

Problema de
traducción simple

Aquí las representaciones gráficas pueden, ante todo, ser muy concretas y luego
irse alejando poco a poco de la realidad hasta llegar a convertirse en expresiones
simbólicas.
A partir de lo expuesto, deduce la expresión matemática para calcular el términon-ésimo de la siguiente sucesión:

Número de puntos por losque pasa••d. Representación gráfica

Unidades lineales de lado

Características

1

2

3

4

5

6

7

6

Si el perímetro del cerco triangular
tuviera diez unidades de lado, ¿por
cuántas estacas pasaría?, ¿y si
tuviera veinte unidades de lado, por
cuántas estacas pasaría?

8

9

10

•
•
•

Problema de
traduccióncompleja••••

Problemas deinterpretación,
aplicación yvaloración

Familiarización

•
•
•
•

Se desarrolla en un clima de motivación y confianza en losestudiantes.
Se presentan problemas con un nivel de desarrollo elemental,
la intención es que los estudiantes reconozcan el desarrollo decompetencias y capacidades.
Los estudiantes son expuestos a un problema no típico y se
asegura que lo entiendan.
Los estudiantes son expuestos a interrogantes que requerien
emplear operaciones y conceptos básicos desarrollados
previamente.
El docente adopta un rol de coordinador, solo interviene comomediador.
Los estudiantes desarrollan sus propios procesos.
Coordinan y resumen sus conclusiones.
A partir de plantear otro problema no típico.
Los estudiantes se enfrentan a problemas que implican más dedos etapas y que movilizan estrategias heurísticas.
Los estudiantes explican y sintetizan los planteamientos
elaborados.
Valoran las competencias y capacidades desarrolladas.
Se presentan problemas con características de ser complejos yabiertos.
Se propicia el intercambio entre los estudiantes.
Los estudiantes explican y sintetizan los planteamientos
elaborados.
Valoran las competencias y capacidades desarrolladas.

Problema de
traducción
simpleProblema de
traduccióncompleja

Problemas deinterpretación,
aplicación yvaloración

Esta propuesta debe ir de acuerdo a las características de los estudiantes. El docente
puede considerar conveniente trabajar de forma progresiva en el año escolar.

76

77

Ejemplo deproblema de
traducción simple

Fernando lleva las cuentas de manera muy organizada, por ello gusta deusar tablas y gráficos matemáticos para poder tomar decisiones claras y con
fundamento. Él ha dividido su sueldo en 5 rubros y ha elaborado el diagrama
circular que se muestra a continuación:

3.1.4 El juego como fuente de aprendizaje de lamatemática
Cuando se utilizan los juegos en las clases de matemática, se consideran las siguientes
ventajas:
Rompen la rutina, nos dan espacio al aprendizaje tradicional.

¿Cuánto gasta en entretenimiento?

s/. 300

Alimentacións/. 350

Desarrollan las capacidades particulares de los estudiantes hacia lamatemática, ya que mediante ellos se aumenta la disposición al aprendizaje.

Servicios
Transporte¿Cuánto gasta en alimentación?

Saluds/. 200

Entretenimientos/. 250¿Cuánto gasta en total?

Fortalecen la socialización entre estudiantes, así como con sus docentes.

s/. 100

Fortalecen la creatividad de los estudiantes.

Problema de
traduccióncompleja

El Sr. Arturo Cárdenas trabaja para una empresa agrícola. Después de cobrar
su sueldo mensual, fue a su casa y le dio 2/5 de su sueldo a su esposa; luego
salió en la tarde y gastó la mitad del resto en ocho libros de relatos para sus
hijos. Ahora le quedan S/. 300.
¿Cuánto es el sueldo mensual del Sr. Arturo Cárdenas?

Cuatro amigos trabajaron durante las vacaciones del verano pasado: por las
mañanas, vendiendo raspadillas de cuatro sabores, y por las tardes, empanadas de cinco sabores. Antes de empezar el verano, se pusieron de acuerdo para repartirse las ganancias en partes iguales. Así, designaron a Julia
como contadora del grupo y convinieron en que ella debía llenar el formato
que se muestra. Al final de cada semana, juntaban las ganancias de los cuatro y las repartían equitativamente. Con los datos que aparecen en el cuadro
siguiente,¿puedes decir si el reparto fue justo para cada uno de ellos?
Problemas deinterpretación,
aplicación yvaloración

amigo

Carlos2

Primera semana
Ganancia
producida(S/.)
73

Le tocó

Venta de rapadillas y empanadas
segunda semana
tercera semana
Ganancia
producida(S/.)
02

Le tocóGanancia
producida(S/.)
52

Le tocóLe tocó

18

28

16

18

80

Diego

20

17

25

15

77

Rosa2

52

RepartoFases:
a. Adaptación

b. Estructuración

41

52

08

4

99

81

75

345

Le tocó

90/4

Sumando las ganancias y los repartos de las cuatro semanas, ¿quiénes
recibieron más de lo que ganaron? ¿Quiénes recibieron menos?

78

A partir de un medio natural, como es el juego, se pretende llegar a la abstracción decuestiones matemáticas, mediados en primera instancia por la sensación, percepción
e intuición; para luego, con la lógica del pensamiento, llegar a comprender ideas
matemáticas. Este proceso tan delicado, mediado por el docente, es el que se consigna
en las siguientes etapas, según Zoltan Dienes, esta estrategia también es aplicablepara otras competencias.

total
Ganancia
producida
(S/.)
04

Julia

totaL

Propician el compañerismo, el gusto por la actividad y la solidaridad.

f. Formalizacióno demostración

cuarta semana
Ganancia
producida(S/.)
21

Desarrollan el espíritu crítico y autocrítico, la disciplina, el respeto, laperseverancia, la cooperación, el compañerismo, la lealtad, la seguridad, laaudacia, la puntualidad, entre otros valores y actitudes.

e. Descripciónde las representaciones

c. Abstracciónd. Representación gráfica oesquemática

79

a. Adaptación

Ejemplo:

A esta etapa corresponden los juegos libres o preliminares, como actividades,
sin un propósito aparente, lo que permite que el estudiante interactúe
libremente con objetos concretos, los explore y encuentre satisfacción enla actividad misma, de donde surge la adaptación o propedéutica para lasetapas posteriores.

Ejemplo:

Recogiendo la propuesta de los estudiantes, el docente explica las reglas deljuego:
Llegar primero a decir 20, agregando 1 o 2 al número dicho por el otro.
El que comienza, dice 1 o 2. Supongamos que dice 1, el otro continúa y puedeagregar 1 o 2. Supongamos que agrega 2, entonces dice 3; a su turno elprimer jugador agrega 1 o 2. Supongamos que agrega 1, entonces dice 4,etc. El primero que llega a 20 gana el juego.

"La Carrera a 20" 4Exploran el juego y observan que se trata de quién llega primero a 20.
Proponen sus propias reglas y experimentan lo que sucede.

Algunos se darán cuenta de que responder al azar no es una buena
estrategia. Ellos encuentran restricciones del juego en el nivel de la acción yde sus propias decisiones; se dan una serie de ejemplos, algunos descubren
que el que dice 17 tiene una ventaja.

b. Estructuración
La actividad conduce al mayor número de experiencias para comprenderlas reglas de juego (restricciones). Sin embargo, su característica es aún laausencia de claridad en lo que se busca.
Incluye la percepción de enunciados, se dan las reglas de juego (restricciones)
que conllevarán a lo que se pretende lograr.

4. Adaptación de Chevallard y otros (1997). Estudiar matemáticas: el eslabón perdido entre la enseñanza y aprendizaje
Cuadernos de Educación n.° 22. Barcelona: Editorial Horsori.

80

Juega 1 contra 1: los estudiantes juegan, en grupos de 2, varias partidas.
Ellos marcan en columnas los números dichos por cada jugador. Esta fasedebe comprender 5 partidas, y durar a lo más 10 minutos. En esta fase losestudiantes solo aplican la regla.
Juega un equipo contra otro (6 u 8 partidas) de 15 a 20 minutos. Los estudiantes
se distribuyen en equipos; en cada equipo se nombra un representante y
se les da un distintivo (nombre o gorro). Cualquier estudiante puede serllamado para defender a su equipo (con el distintivo) en una partida en el
pizarrón, ante todo el salón. Si gana, obtendrá un punto para su equipo. Losestudiantes se dan cuenta rápidamente de la necesidad de concentrarse,y de discutir al interior de cada equipo para prepararse y comunicarse
estrategias. Desde la primera partida, aparece como estrategia: “Hay que
decir 17”.

81

c. Abstracciónd. Representación gráfica o esquemática

Los estudiantes obtienen la estructura común de los juegos y se deshacen de losaspectos carentes de interés. Aquí se interioriza la operación, en tanto relaciona
aspectos de naturaleza abstracta.

Se representa la estructura común o regular reconocida en el juego, de manera gráfica
o esquemática como forma de visualización o manifestación. Reconocida la estrategia
que le permitió desarrollar el juego con facilidad, esta debe ser puesta en práctica.

Comprende las conexiones con otros juegos o resultados parecidos, básicamentepara establecer la estrategia que conducirá todo el juego; para tal propósito algunas
interrogantes que ayudarán en esta sección son:Comprobaremos si la intuición se refleja en la formalidad. Pondremos en práctica laestrategia, respetando las reglas del juego. Ensayaremos la estrategia de diversas
formas, con la finalidad de hacerla vigente.

¿Puedes usar ahora la misma estrategia del juego para realizar el nuevo
juego planteado?
¿Puedes resolver al menos parte del juego? ¿Lo puedes hacer en circunstancias
especiales, suponiendo, por ejemplo, que hubieras conseguido superar una
etapa inicial? Supón que se te pide un poco menos, ¿puedes entonces?
¿Puedes tratar de recorrerlo hacia atrás? ¿Puedes pensar desde aquí enalguna pista?

Ejemplo:
Estos descubrimientos enunciados alternativamente por el equipo
A y luego el B, las escribe en el pizarrón o papelote.

Descubrimientos propuestos
Equipo A

Equipo B

PuntajeEquipo A

Equipo B

e. Descripción de las representaciones
Estudiamos las propiedades de la representación con el lenguaje técnico delprocedimiento u operación, introduciendo el lenguaje simbólico de la matemática.
Trata de localizar la razón profunda del éxito de tu estrategia.
Trata de entender, a la luz de tu solución, qué lugar ocupan las condiciones yreglas del juego.
Ejemplo:
Introduce tú mismo modificaciones en las reglas, en las condiciones, tratando desacar alguna luz de estas modificaciones.
Los estudiantes enuncian proposiciones. Estos son los descubrimientos que
ellos han hecho y que les han permitido ganar.

Se recomienda plantear interrogantes que impliquen conflictos y desafíos a losestudiantes.
Importante:
Para ampliar esta estrategia se recomienda visitar:
Aspectos metodológicos en el aprendizaje de los sistemas de números naturales, enteros, racionales y reales en secundaria
http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s2_f1.pdf

82

83

Ejemplo:

Ejemplo:

Un estudiante afirma que gana el juego siempre que avanza de uno en uno.
Inmediatamente el equipo contrario verifica los descubrimientos
propuestos.
Las proposiciones aceptadas se conservan en el pizarrón o papelote.
Para cada proposición enunciada, el estudiante deberá venir a probar a
un adversario que ella es verdadera o falsa, ya sea jugando o bien por
prueba intelectual (argumentaciones).
Modificación de esta etapa del juego: para dar más interés al juego, sepuede adoptar la regla siguiente:
Toda proposición enunciada que es aceptada por el aula vale un punto.
Toda proposición falsa le da tres puntos al equipo que lo probó.
Si el juego de descubrimiento se estanca (o los estudiantes no encuentranmás proposiciones que enunciar) se agrega “¿quién dirá 20?”.

f. Formalización o demostración
Se describen las propiedades y también se puede inventar un procedimiento paradeducir las demás. Los estudiantes exponen lo aprendido de manera segura y deforma convencional, al mismo tiempo que tienen la facultad de devolverse, explicando
cada uno de los procesos anteriores.

Ejemplo:
Dependiendo del desarrollo de las etapas anteriores,
el docente podrá institucionalizar saberes como losde número par, número impar, múltiplos de tres,
sucesión, secuencia, serie y otros.

Variables didácticas para “la carrera a 20“
Variables didácticas o variantes: son las diferentes propuestas que permiten
variar el juego:
Variable numérica final: “llegar primero a decir 20” puede ser “llegar primeroa decir 21”, “llegar primero a decir 25”, “llegar primero a decir 30”,...
Variable cualitativa, gana o pierde: el que dice (20, 21, 25, 30, etc.) gana eljuego. El que dice (20, 21, 25, 30, etc.) pierde el juego.
Variable numérica de inicio: “el que empieza dice 1, 2 o 3”, “el que empiezadice 1, 2, 3 o 4”. Análogamente: un jugador dice un número del 1 al 10, el otro
jugador le suma un número del 1 al 10 al número que dijo el primer estudiantey así, sucesivamente, el que dice 100 gana.
Variable de material concreto: en una mesa hay 20 chapitas (palitos, bolitas,
papeles, cartas, etc.), un jugador saca una o dos chapitas, el siguiente extrae
también una o dos chapitas y así, sucesivamente, gana (pierde) el que sacala última chapita (palito, bolita, papel, carta, etc.).
Los estudiantes que se apropien de la estrategia ganadora estarán enmejores condiciones de apropiarse de la estrategia ganadora de otro juego
en el que se aplique cualquiera de las variables didácticas.

3.2 Orientaciones para desarrollar la competencia
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones
de regularidad, equivalencia y cambio
3.2.1 Aprendizaje basado en problemas demodelación matemática
El docente tiene la responsabilidad de elegir la variable didáctica adecuada
correspondiente al grado y la edad del estudiante.
En los últimos años, “las investigaciones en didáctica de la matemática dan cuentade que uno de los temas que ha concitado la atención es el diseño de actividades
matemáticas basado en la modelización de situaciones reales y de las ciencias,
transformándose8485

en una vía prometedora tanto para enfrentar las dificultades y deficiencias como paraelevar la calidad de los aprendizajes matemáticos” (Aravena 2002: 66).

De preferencia este tipo de problemas deben ir asociados a imágenes o a materialreferencial concreto que los lleve a vincularlos con contextos de su entorno.

En diferentes países y condiciones, su inclusión en el currículo ha permitido desarrollar
capacidades de tipo cognitivas, metacognitivas y de formación transversal que ayudan
a comprender el rol de la matemática en una sociedad moderna (Niss 1993; Keitel
1993; Abrantes 1994; William & Ahmed 1997; Alsina 1998; Blomhoj 2000; Aravena 2001;
Gómez 2002).

Se recomienda plantear los siguientes tipos de problemas:
Situación de problemas realistas.
Situaciones problemáticas.
Problemas de traducción compleja de varias
etapas.

Esta estrategia consiste en entregar a los estudiantes un problema vinculado a unsituación en contextos diversos, y a partir de ello desarrollar un modelo matemático.
Esto permite debatir entre los estudiantes sobre puntos de vista matemático respecto
de la situación, llegar a un planteamiento de equipo, estar seguros y tener un sentido
funcional de los conocimientos matemáticos al resolver el problema.
Por otro lado, los prepara para afrontar retos en diversos espacios, esto debido a que
comúnmente nos enfrentamos a problemas cuya solución no se da espontáneamente,sino que es el resultado de reconocer relaciones, regularidades y propiedades
matemáticas asociadas a la realidad.

Fases:
a. Reconocer un problema muy vinculado a la realidad
Esto implica reconocer un problema planteado por el docente o por un equipo deestudiantes; este debe de ser muy general y libre de tantos datos como sea posible, ya
que en las etapas posteriores el estudiante examinará y recogerá lo que se necesita.

a. Reconocer
un problema
vinculado a larealidad
Considerar esta estrategia para el desarrollo deaprendizajes matemáticos en contextos reales,
la oportunidad de relacionarlos e integrarlos con
otros aprendizajes, comociencias, comunicación yotros.

e. Validación de lasoluciónd. Realizar laformulación
matematica

86

Ejemplo:Tarjetas que crecen
Para las fiestas navideñas los estudiantes del primer grado de secundaria van aadornar diferentes tamaños de tarjetas navideñas cuadradas, con la técnica delpuntillado aplicado en los bordes; de tal modo que para la tarjeta 1 tenga dos
puntos en cada borde, la segunda tarjeta tres puntos en cada borde, la tercera
tarjeta cuatro puntos en cada borde y así sucesivamente hasta la tarjeta nueve.
¿Cómo podremos saber cuántos puntos tendrá la tarjeta nueve en cada borde?
¿Cuántos puntos en total tendrá dicha tarjeta? Explique.

b. Concretar una finalidad problemática y reconocer cómo resolverla
Es recomendable que los estudiantes identifiquen los datos y relaciones que estánpresentes en la situación planteada.

b. Concretar
una finalidad
problemática yreconocer cómo
resolverlac. Hacersuposiciones oexperimentar

Por tratarse de un problema real, muchas veces vamos a encontrar términos que deben
ser relacionados a expresiones y conceptos matemáticos.
Es recomendable:
Desarrollar una lluvia de ideas, en este caso, anotamos en la pizarra los datos
y sus variaciones o en tarjetas para ser distribuidas a los grupos de trabajo. En
ellos se van generando preguntas que permitan incluir datos relevantes que
no hayan sido considerados.
Organizarse en grupos de trabajo, de tal forma que se permita discutir alelaborar la lista de términos, expresiones, datos, etc.

87Considerar o eliminar la información de la lista desarrollada.
Establecer relaciones entre la información, a fin de reconocer la resolución delproblema.
Ejemplo:
Observamos las siguientes características en:
Hacer dibujos o gráficos de cada tarjeta con sus respectivos puntos en losbordes, como se indica en la situación.

d. Realizar la formulación matemática
A partir de los supuestos planteados por los estudiantes, ellos expresan relaciones
matemáticas constituidas en modelos.
Si en la clase se decide por un modelo que no coincide con el previsto por el docente,este tiene la opción de intervenir y orientar el proceso. O esperar hasta que finalice elproceso para compararlo con el realizado por los estudiantes.
Ejemplo:

Anotar, debajo de cada figura, el número de puntos de cada una de ellas.

Encuentran las reglas que son equivalentes, al comparar sus tablas.

Hacer una tabla para predecir el número de puntos de las tarjetas.

Describen la regla de crecimiento de los puntos de manera verbal yescrita.

Número de la figura

Número de puntos de la figura

1
2

Algunas formulaciones podrían ser: “la secuencia aumenta de 4 en 4”,“los múltiplos de 4”, “la tabla del 4”, “voy sumando 4”, “sumo 4 al término
anterior”, “resto uno al número de puntos por lado”, etc.

3
4
5
8
9
Seleccionar y relacionar entre los términos, expresiones o datos que
consideres para solución al problema planteado.

c. Hacer suposiciones o experimentar
Es la parte más valiosa, no debe hacerse apresuradamente. Consiste en plantear cómo
varían los datos respecto a las condiciones que intervienen y luego tratar de simplificaro modificar la lista.
En esta etapa se hace evidente que existe una necesidad de obtener cierta información
que constituirán las condiciones esenciales del problema. Esta información se puede
obtener también a partir de actividades de simulación y experimentación en las que seprocesa información para obtener datos y relaciones entre ellas.
Ejemplo:
Relacionan los datos de la tabla y suponen la cantidad de puntos para latarjeta 5, la tarjeta 9. Para una tarjeta ganadora de Récord Guinness (la más
grande posible). ¿Cuántos puntos en los bordes se deberá considerar?.

88

e. Validación de la solución
En este momento, los modelos, junto con los supuestos que se asignan aellos, deben ser confrontados con los datos. Los grupos de trabajo comparansus soluciones o previsiones. Es un espacio para aceptar o no los modelos
propuestos.
Después de la obtención de sus soluciones, los estudiantes se dirigen de nuevo
al problema. Ellos deben comprobar para asegurarse de que han contestado
el problema dentro de los supuestos que han hecho.
Este es un paso importante para ayudar a los estudiantes a que se den cuentade que las soluciones a los problemas se ven limitadas por el contexto.

Importante:

Se recomienda visitar:
Uso de los recursos
tecnológicos en el
aprendizaje de lamatemática
http://sistemas02.
minedu.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_
mat_d_s1_f6.pdf

Algunos factores relacionados con el problema original pueden causar
rechazo o aceptación de modelos. Ante la negativa, la solución es volver a losdatos iniciales y reanudar el proceso.
Importante:
Las calculadoras estimulan la actividad matemática. Mediante el empleo deesta herramienta, los estudiantes tienen mayores posibilidades para tomar
decisiones, discutir con mayor libertad, etc. Incluso, aumenta la motivación delos niños por la matemática (Fielker 1986). Se descarta así la creencia de que lacalculadora reduzca la comprensión matemática por parte de la persona quela emplea. (Cockcroft 1982).

89

Ejemplo:
Se invita a los equipos a socializar sus acuerdos en el pleno.
Se pide opinión a los equipos, sobre cuál regla considera correcta, cuáles
no y por qué. No es necesario que lleguen a un acuerdo en este momento.
En esta actividad se presentan dos tipos de reglas: una regla recursiva yuna regla expresada como una fórmula. En las reglas recursivas, el valor
de cada término depende de algunos de los términos anteriores de lasucesión; en este caso, depende únicamente del valor del término anterior.
Esta es la característica de la primera regla (“El número de puntos de la
figura anterior más 4 puntos”); los estudiantes que la utilicen tendrán que
calcular el número de puntos para las tarjetas 6, 7 y 8 para obtener elnúmero de puntos de la tarjeta 9 que se les pide en la tabla.
En las reglas expresadas como una fórmula, el valor de cada término
depende únicamente del mismo término; es el caso de la tercera regla(“multiplicar por 4 el número de la figura”): no se requiere conocer elnúmero de puntos de la figura anterior y se obtiene, de manera inmediata,
el número de puntos de cualquier figura.
Es conveniente que los estudiantes vayan identificando algunas ventajas ydesventajas de cada una de las reglas; esto no quiere decir que usted deba
enseñarles los términos “regla recursiva” o “regla expresada como una
fórmula”, sino únicamente que los estudiantes identifiquen las diferencias yventajas de cada una de las reglas trabajadas.
Los estudiantes que hayan utilizado una regla recursiva (por ejemplo,“sumarle 4 al término anterior”) tendrían que completar toda la sucesión
calculando incluso términos que no son solicitados en la tabla (por ejemplo,
para obtener los términos de los lugares 30, 40 y 50 tienen que obtenertodos los términos que están entre esos lugares, o para una tarjeta
ganadora de récord Guinness con los puntos en los bordes que ellos
consideren necesarios). Si observamos que hay estudiantes que recurren aese procedimiento, permita que lo lleven a cabo, pues si bien les demanda
más tiempo y más cálculos, es posible que en este momento requieran
hacer todo ese proceso para comprender el paso de un término a otro.
Posteriormente, al comparar su procedimiento con otros, podrán ver que
hay otras formas más económicas de resolver, por ejemplo, multiplicar por
4 al lugar del término.

3.2.2 Empleo de la cruz demostrativa
Los organizadores visuales, en este caso la cruz demostrativa, son recursos que
posibilitan la estructuración de conocimientos, procedimientos para una exposición odiscusión, para determinar la validez o no de una situación matemática.
Esta estrategia tiene como finalidad que los estudiantes al analizar la información
identifiquen el carácter de verdad de una proposición; es decir, la validez o no de lasrelaciones de la situación matemática analizada, y a través de razonamientos inductivos
y deductivos logren dar razones suficientes que justifican, y luego expresan en una
conclusión mediante el lenguaje verbal y lenguaje matemático.
En este proceso se van a relacionar datos, siguiendo las reglas del pensamiento crítico,para obtener información nueva.

Fases:
a.

Presentación de la situación: en este paso se dará lectura a la información explícita
e implícita en un texto continuo o discontinuo.

b.

Análisis de la información: los estudiantes en este paso elaboran conjeturas y
respuestas a las pregunta del problema o situación es decir exploran la situacióny extraen nuevos conocimientos y relaciones.

c.

Demostración de la validez: los estudiantes responden a las preguntas:
En este paso se aborda la identificación de elementos de la situación matemática
presentada para establecer relaciones. Se anticipa una respuesta, se genera
unas secuencias de procesos y se contrasta con las respuestas a las siguientes
preguntas.
¿Qué estoy tratando de probar? ¿Qué haría primero para demostrar…?

d.

Conclusiones: los estudiantes aquí expresan sus respuestas, sus transformaciones
de una representación a otra tratando de probar el carácter de verdad de una
proposición y da justificaciones respondiendo a la pregunta central.

Importante:
Para ampliar estudios respecto a las funciones se recomienda visitar:
Aspectos metodológicos en el aprendizaje de funciones en secundaria.
http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s2_f3.pdf
Aspectos metodológicos en el aprendizaje del álgebra en secundaria.
http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s2_f2.pdf
Resolución de ecuaciones en secundaria.
http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s3_f4.pdf

9091

a. Presentación de la situación:
Determinar lo que se va a probar o demostrar.
a. Presentación dela situación- ¿Qué estoy tratando de probar?
- ¿La expresión algebraica f(x) = 2x-3 corresponde ala gráfica?
b. Análisis de la información.

b. Análisis de la
información

Argumentandoc. Demostración dela validez- ¿Por qué sí?
- ¿Por qué no?
¿Qué harías primero para demostrar que la expresión
algebraica f(x) = 2x-3 corresponde a la gráfica?

Eláfica,
recurso visual, la gr idenpermite en este caso s. Si
tificar y producir ideaeso,c. Demostración de la validez o de la falsedad
se continúa este procsde
es posible transitar desta- ¿Cuáles son las coordenadas en que la gráfica corta a los ejes algo particular ha ciola
re
as
ev
nu
r
ra
ne
ge
coordenados?¿Cómo encontraste dichas coordenadas?
lanes e ir convirtiendo en
ica
áf
gr
n
ció
- ¿Es correcto anotar las expresiones x=1,5 e y = -3 comota
represengesu representación al
dominio y el rango de la función?¿Por qué?
braica.
- ¿Cómo podemos saber los demás puntos de la gráfica?
- ¿Te ayudaría el siguiente esquema?

d. Conclusiones

Ejemplo:Presentación de la situación¿La expresión algebraica f(x) = 2x-3

x

...

-2

-1

0

1

2

...

y = f(x) = 2x-3

corresponde a la gráfica?

d. Conclusiones
Ejemplo:
Haciendo una tabulación se puede comprobar que la expresión corresponde a la
gráfica.
El estudio del álgebra necesita no limitarse sólo a las situaciones en la que la manipulación simbólica es relativamente directa simbólica. Utilizando la tecnología, losestudiantes pueden razonar sobre cuestiones más generales, como cambios en
los parámetros por ejemplo y pueden modelizar y resolver problemas hasta ahora
inasequibles para ellos. (NCTM 2003: 28)

Análisis de la información¿Por qué creo que sí?
¿Por qué creo que no?

Argumentando¿Cuál es mi conclusión?

92

Demostración de la validez o de lafalsedad¿Qué estoy tratando de probar?
¿Qué haría primero parademostrar que la expresión
algebraica
f(x) = 2x-3 corresponde a la
gráfica?

Entre los principios importantes que Shoenfeld menciona en el aprendizaje de lamatemática, incluye que el estudiante reconozca que: encontrar la solución deun problema matemático no es el final de la empresa matemática, sino el punto
inicial para encontrar otras soluciones, extensiones y generalizaciones del problema. Además, en el desarrollo de la matemática el proceso de formular, rediseñar
problemas se identifica como un componente esencial en el quehacer matemático. Aprender matemática es un proceso activo que requiere de discusiones sobre
conjeturas y pruebas. Este proceso puede guiar a los estudiantes al desarrollo denuevas ideas matemáticas. Es decir, el planteamiento de preguntas, la búsquedade respuestas y de justificaciones son actividades que se pueden practicar desdela enseñanza elemental y su práctica cotidiana pueden producir resultados matemáticos nuevos (Santos 1996: 79).

93

3.3 Orientaciones para desarrollar lacompetencia Actúa y piensa matemáticamenteen situaciones de forma, movimiento ylocalización
3.3.1 Modelo de Van Hiele para el aprendizaje de lageometría
El modelo de enseñanza de Van Hiele marca la pauta que se debe seguir en el
aprendizaje de la geometría. El modelo explica, al mismo tiempo, cómo se produce laevolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y cómo es posible ayudarlos
a mejorar la calidad de su razonamiento. El modelo consta de una serie de fases derazonamiento que permiten analizar el aprendizaje de la geometría. Así como deniveles de razonamiento (los que están graduados curricularmente en los indicadoresde los grados).

Fases:

Ejemplo:
Observen los diferentes objetos traídos por ellos mismos. El docente hace lassiguientes preguntas:¿Cómo clasificarían los objetos?
¿Qué característica consideraste para esa clasificación?

b.	Orientación dirigida
Los estudiantes exploran el tema de estudio con materiales que el docente
ha seleccionado cuidadosamente en una serie de actividades concretas, bien
secuenciadas, para que los estudiantes descubran, comprendan, asimilen, apliquen,etc., las ideas, conceptos, propiedades o relaciones que serán motivo de su aprendizaje
en ese nivel.
Se organizan en equipos de trabajo con la intención de que cualquier estudiante queno sepa abordar la situación planteada pueda ser ayudado directamente por algún
miembro del equipo y se aplican las estrategias que crean convenientes.

a. Interrogación

Ejemplo:e. Integraciónb. Orientación
dirigida

El docente propone que se agrupen los objetos considerando ciertas
características, pues los estudiantes plantean clasificaciones en torno a aspectos
generales.
a. Por sus curvas y las que no tienen curvas.
b. Por sus puntas y las que no tienen puntas.

d. Orientación
Librec. Explicación

a. Interrogación
En esta fase se expone la situación o problema, se asegura su comprensión y se activan
sus saberes previos. Es importante estimular la creatividad, la inventiva y la intuición.
Mediante preguntas adecuadas se trata de determinar el punto de partida de losestudiantes y el camino a seguir en las actividades siguientes. Se hacen observaciones
y se introduce un vocabulario específico de la geometría para el grado.

94

c. Explicación
Los estudiantes expresan e intercambian sus visiones sobre las estructuras que han sido
observadas, y construyen sobre sus experiencias previas. La interacción entre estudiantes
es importante, ya que los obliga a ordenar sus ideas, analizarlas y expresarlas de modo
comprensible para los demás. Cada grupo expondrá al resto de la clase los logros
alcanzados. Lo hará mediante un portavoz elegido libremente. Cada vez que el equipo
sea interpelado, intervendrá un portavoz diferente. El rol del docente se orienta a asistira los estudiantes en el uso cuidadoso y apropiado del lenguaje y a la participación detodos los estudiantes. El docente orienta, estimula y coordina los procedimientos que
siguen, resuelve las dudas y contradicciones que aparezcan. Es esta la oportunidad
para que el docente incorpore nuevas variantes de problematización y, a su vez, resuma
las conclusiones.

95Es importante que el docente rescate el valor de las nociones, procedimientos utilizados;
asimismo, señale su alcance, su generalidad y su importancia.

Ejemplo:
El docente absuelve las dudas y contradicciones que aparezcan,
planteando una variante a los estudiantes.
Importante:¿Crees que lo propuesto anteriormente sea una característica
geométrica?
¿Qué opinas del tamaño? ¿De la forma?

Para ampliar
estudios se recomienda
visitar:Resumiendo en una tabla de doble entrada los nombres de losobjetos y sus dibujos respectivos.

Aspectos metodológicos
en el aprendizaje de lageometria.
http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/
fasc_mat/04_mat_d_s2_
f4.pdfSólidos que tienen alguna cara
curva

Sólidos que tienen solamente caras
planasCUERPOS DE REVOLUCIÓN

POLIEDROSDIBUJOSDIBUJOS

Aspectos metodológicos
en el aprendizaje de lospoliedros.
http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/
fasc_mat/04_mat_d_s3_
f7.pdfAspectos metodológicos
en el aprendizaje de lageometría con corte ydoblado de papel.
http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/
fasc_mat/04_mat_e_s2_
f1.pdf

A partir de la síntesis mostrada en la tabla, los estudiantes
explican en forma discursiva y con sus propias palabras el nuevo
conocimiento construido.

d.	Orientación libre
Es el momento de la investigación en la clase (introducción deproblemas), de la diferenciación y actividades de apoyo (ejercicios deconsolidación y de recuperación). Los estudiantes enfrentan retos máscomplejos. Desafíos con muchos pasos que pueden ser resueltos devarias formas.
Por ello, estas actividades deberán ser lo suficientemente abiertas;lo ideal son problemas abiertos, para que puedan ser abordables
de diferentes maneras o puedan ser varias las respuestas válidas
conforme a la interpretación del enunciado. Esta idea los obliga
a una mayor necesidad de justificar sus respuestas y a utilizar un
razonamiento y lenguaje cada vez más potentes.
En esta fase el docente sintetiza, explica y rescata los conocimientos
puestos en el juego para resolver la situación planteada. Además
propicia la actividad de reflexión.

96

Ejemplo:
En esta fase el docente, usando las características trabajadas en la actividad
anterior, plantea una actividad que rescata lo aprendido.
Elabora una tabla de doble entrada, considerando las diferencias y semejanzasde los tres cilindros.
Escribe las semejanzas que encuentras en los prismas.
Escribe la diferencia entre una pirámide y un cono.
Escribe las diferencias entre prisma y pirámide.
Asimismo, se plantea preguntas de reflexión.
Reflexiona acerca del significado de truncado, en el cono y la pirámide.

e. Integración
La primera idea importante es que, en esta fase, no se trabajan contenidos nuevos
sino que solo se sintetizan los ya trabajados. Se trata de crear una red interna deconocimientos aprendidos o mejorados que sustituya a la ya existente. Los estudiantes
revisan y resumen lo que han aprendido sobre los objetos y sus relaciones, con el objetivode tener una vista panorámica. El docente puede apoyar esta síntesis exponiendo
visiones globales, recopilando el trabajo de los estudiantes; ordenará los resultados apartir de las situaciones vividas en clase y su conocimiento como matemático experto.
El docente debe presentar una síntesis de lo que los estudiantes han trabajado
y aprendido para revisar, integrar y diferenciar los conceptos, propiedades,
procedimientos, etc. Es importante que las actividades que se propongan no impliquennuevos conocimientos, sino solo la organización de los ya adquiridos, además de incluir
actividades de transferencia.
Ejemplo:
El docente propone el uso de organizadores visuales como una estrategia
no solo para organizar la información y relacionarla, sino también para laresolución de problemas en otros contextos.

Es muy frecuente que esta estrategia se pueda utilizar para abordar situaciones máscomplejas; por ejemplo, diseños, desarrollo de los sólidos en el plano, buscandomodelos diferentes a los convencionales; asimismo, para estimar sus medidas.

97Para la actividad cognitiva del pensamiento el uso de las representaciones o modelos
geométricos externos juegan un papel importante, estos son: una escritura, un símbolo,
un trazo, un dibujo, una construcción, los mismos que sirven para evidenciar conceptos
e imágenes visuales internas, así como propiedades geométricas que sirven de base ala intuición, la inducción y deducción.
De acuerdo a Ana María Bressan (2006), en el aprendizaje de la geometría losestudiantes deben desarrollar el dibujo y la construcción pasando por las siguientes
fases:

b. La reproduccióna partir de modelos
dados

a. La representación de figuras ycuerpos

Llevar uno de los vértices hacia la
mitad, buscando que el otro extremo
termine en punta (ver primera
fotografía). Al marcar bien el doblez,
quedaría como en la segunda
fotografía. Al abrir tenemos esta
figura, ver que la marca dejada es
una línea que va desde uno de losvértices (ver tercera fotografía).

Fuente: http://sbpmatematica.blogspot.com/2009/09/triangulo-equilatero-yorigami.html

3.3.2 El dibujo y la construcción5

Doblamos hacia esa marca el otro
extremo y fijamos bien el paso comoen la segunda fotografía.
Ahora doblamos el extremo derecho
sobre el otro y fijando bien el doblez
quedaría como en la segunda
fotografía.
El sobrante que queda al lado lollevamos hacia atrás, para formar
nuestro triángulo equilátero, fijamos
bien el doblez. Nuestro triángulo
equilátero con una hoja A4 quedaríacomo la muestra de la segunda
fotografía.

b. La reproducción a partir de modelos dadosc. La construcción
sobre la base dedatos dados

Los estudiantes deben hacer copias de igual o en distinto tamaño. El uso de la escalapermite la reproducción de dichos modelos.
Ejemplo:a. La representación de figuras y cuerpos

Los estudiantes elaboran triángulos equiláteros a partir de las hojas mencionadas en el
cuadro y establecen comparaciones:

En función al problema a resolver, los estudiantes representarán las figuras y cuerpos
siguiendo diversos procedimientos y desde diferentes puntos de vista o perspectiva.

Tamaño de hojas

A5

Los estudiantes de segundo grado de secundaria encuentran que la relación de una
hoja A6 con una hoja A5, es como 1 a 2 y de una hoja A5 con una hoja A4 también es
como 1 a 2, ellos se disponen a construir triángulos equiláteros a partir de dobleces,
haciendo uso de estas tres hojas. ¿Las áreas de los triángulos contruidos guardaránla misma relación con las áreas de las hojas A6, A5 y A4 respectivamente?.
Construcción del triángulo equilátero por dobleces.
Imágenes

Empezamos con una hoja A4.
Doblamos por la mitad (por el lado
más largo) como se muestra en la
segunda fotografía y marcamos bienel doblez y al abrir queda como latercera fotografía

98Área del triángulo formado por
dobleces

A4

Ejemplo:

ProcedimientosÁreas de las hojas

5. Ana María Bressan y otros. (2006). Razones para enseñar geometría en la educación básica. Argentina. Ediciones
novedades educativas.

A6¿Qué relación observas entre las áreas de las hojas?, descríbelo.
¿Qué relación observas entre las áreas de los triángulos obtenidos?, descríbelo.
¿Puedes decir que existe la misma relación en ambos casos?. Fundamenta tu respuesta.

c. La construcción sobre la base de datos dados
Esta construcción se hace en forma oral, escrita o gráfica. Permite hacer uso de propiedades
y características para construir nuevas propiedades y conceptos.
Ejemplo:
Construye dos triángulos equiláteros donde el área del primero sea cuatro veces el áreadel segundo.
¿Cómo lo hiciste?, explica tu procedimiento.
¿Habrá otras formas de realizar dicha construcción?, fundamenta tu respuesta.

99

Ejemplo 2: Pentominós

Ejemplo 1: Construcción con regla y compás

Construcción de triángulos

Construye un triángulo cuyas
longitudes de los tres lados seana, b y c dadas a continuación:abcImportante:
1ero: trazamos una
línea, fijamos el punto
A y copiamos el lado b,
marcando además elvértice C.

Ab

2do: con centro en A y radioc, trazamos un arco.

3ro: con centro en C y radioa, trazamos otro arco,
obteniendo el punto B.
B

c

b

A

c

b

A

c

Actividades para desarrollar con lospentominós

Fichas didácticas, pentominós yotros:

Actividad 1

http://repositorio.educacion.
gov.ar/dspace/bitstream/
handle/123456789/92139/
EL000560.pdf?sequence=1

Cálculo del área y del perímetro de las piezas delpentominós.
Los estudiantes realizan el cálculo del área y delperímetro de todos los pentominós. En este caso, losestudiantes reflexionan sobre los conceptos de área yperímetro.

Actividad 2
Construcción de figuras geométricas.
Los estudiantes construirán figuras geométricas condiferentes cantidades de piezas (desde un mínimo de
3 hasta el máximo de los 12 pentominós).

B

Actividad 3

Finalmente, trazamos
los segmentos AB y BC,
formando el triángulo
ABC pedido.

a

A

100

Construcción de una figura creativa utilizando laspiezas del pentominós. Tras un cierto tiempo, se les
proporcionan figuras que se pueden construir con lospentominós y se les pide que las construyan.

cbJuegos geométricos ypentominós.
http://www.mauriciocontreras.
es/JUEGOS5.pdf
Taller matemático, actividades
con pentominós.
http://servicios.educarm.es/
templates/portal/ficheros/websDinamicas/124/MatematicasRecreativas/116LibroTallerMatemticas.pdf

C1013.3.3 La Uve de Gowin
Recursos tecnológicosLos recursos tecnológicos
son importantes paravisualizar
lasformas,propiedades y llevar a cabo
diversos procedimientos.

El diagrama Uve de Gowin, empleado de manera adecuada en el aula, puede
constituirse en un potente instrumento de investigación y aprendizaje. El estudianteconstruye de forma activa su propio conocimiento, inmerso en el medio social en el que
se desenvuelve a partir de sus saberes previos.
La V muestra los acontecimientos y objetos que están en la base de toda producción yconstrucción de conocimiento. Es de suma importancia que los estudiantes se apropien
y sean conscientes de los acontecimientos y objetos con los que están experimentando
y en relación a los cuales se construye y reconstruye el conocimiento.

LAS PARTES QUE FORMAN EL DIAGRAMA VEl diagrama V está formado por las siguientes partes:

Ejemplos:102•

Cabri II

Los archivos pueden exportarse directamente a una página
web. Necesita el complemento Cabriweb.
• http://www.cabri.com/es• http://www.cabri.net/cabrijava•

Cabri II +Se pueden exportar construcciones a calculadoras.
• Texas Instrument. http://www.cabri.com/es•

Software interactivo en el que se vinculan la geometría y elálgebra. Exporta directa e inmediatamente las figuras a html.
Geo Gebra Se puede descargar en múltiples idiomas.
• http://www.geogebra.org/ y• http://recursostic.educacion.es/gauss/web/index.htm

•

Poly

Permite visualizar todo tipo de poliedros y sus desarrollos
planos.
• http://www.peda.com/poly/

•

Tess

Genera ilustraciones simétricas, rosetones y mosaicos
atractivos.
• http://www.peda.com/tess/•

Regla ycompásPrograma de geometría dinámica y que funciona directamente
en Java.
• http://matematicas.uis.edu.co/~marsan/geometria/
RyC/home.htm•

Geospace

Para dibujar figuras en el espacio.
• http://es.kioskea.net/download/descargar-4089geoplan-geospace•

Cabri3D

Para la construcción de figuras geométricas en el espacio.
• http://www.cabri.com/es

El lado izquierdo: Va la conceptualización: marco teórico, principios, leyes y conceptos
claves.
El lado derecho: va la metodología: afirmaciones de valor y de conocimiento,transformaciones y registros de hechos.
La parte inferior: va el acontecimiento o tema de investigación o estudio.
La parte central: va las preguntas centrales de investigación.

ELABORACIÓN DE UN DIAGRAMA V
En general, para elaborar un diagrama V, se debe realizar un diseño similar al que semuestra, y seguidamente responder a cada uno de los espacios reservados.
En la parte central, se plantean las interrogantes de estudio; estas no son simples
preguntas, sino que están en estrecha relación con el tema de investigación.
Tema de estudio: en el vértice precisamos el acontecimiento que será estudiado.
Se determinan los registros de medidas y observaciones que se deberán realizar
para poder desarrollar la investigación.
Se debe precisar el marco teórico que permitirá la comprensión e interpretación delos datos recogidos (registros y transformaciones).
Desarrollada la investigación, sobre la base del conocimiento conceptual, seplantean los juicios y conclusiones de conocimiento sobre el acontecimiento o tema
estudiado.
Finalmente, se invita a los estudiantes a tomar conciencia de que “su visión delmundo” motiva y orienta sus acciones como tales; es decir, determina la selecciónde recursos (teóricos y metodológicos) para comprender los acontecimientos
estudiados.

103

Ejemplo

CONCEPTUALIZACIÓNPREGUNTAS CENTRALES

g. MARCO TEÓRICO
• Función lineal afín: Una
función lineal es una
expresión y = a x + b,
donde a y b son números
reales que se denominan
constantes, con a distinto de
0. Los términos "x" e "y" sedenominan variables, "x" esla variable independiente
e "y" se denomina variable
dependiente. (puede seranalizado en situaciones decontexto).

a. INTERROGANTES  • ¿Qué valores debe
tener la fórmula deuna función lineal
para que su gráfica
sea paralela operpendicular a otra
función?
  • ¿Una recta que es  paralela al eje “y” es
una función?

e. PROCESOS BÁSICOS• Si la función es de la forma
y=mx+n, entonces su
pendiente es “m”.
• Si la función es de la forma
y=n, entonces su pendiente
es “0”.
c. CONCEPTOS• Función lineal. Función
constante.
• Proporcionalidad.
• Pendiente.

En el vértice de la “v“nse inicia la producciódel conocimiento.

•
•
•

104

METODOLOGÍA
h. JUICIOS Y CONCLUSIONES• En la expresión y=ax+b, alvariar b, obtenemos una
familia de funciones lineales
afines.
• En la expresión y=ax,
la gráfica de la función
pasará por el origen decoordenadas, la cual,denominamos función lineal.
• Si la gráfica de dos funciones
lineales tienen la misma
pendiente, entonces lasrectas son paralelas.
• Si la gráfica de dos
funciones lineales se cortan
formando un ángulo de 90°,
entonces el producto de sus
pendientes es menos uno.
f. DATOS• Si la pendiente de dos
funciones de la forma
y=mx+b se mantiene ycambiamos la cantidad deltérmino independiente que
sucede con la función.
d. REGISTRO DE MEDIDAS YOBSERVACIONES• Elabora una tabla de datospara las variables de la
función.
• Realiza gráficos de funciones
donde se evidencien rectas
paralelas y perpendicularespara analizar sus pendientes
respectivas.

3.4	Orientaciones para desarrollar lacompetencia Actúa y piensa matemáticamenteen situaciones de gestión de datos e
incertidumbre
3.4.1 La investigación escolar
El ciclo de la investigación comienza formulando preguntas sobre sí mismos, de su
entorno familiar, de su institución educativa, su comunidad y país; elaborarán un plan,
recolectarán datos por sí mismos o harán uso de una base de datos ya existentes en
distintas fuentes; luego analizarán los datos recolectados, construirán tablas, gráficos;
buscarán patrones, harán inferencias y predicciones para sacar conclusiones a partirde la interpretación y comunicación, y generar nuevas preguntas. Veamos:1

Fases:

Importante:

Para ampliar estudios serecomienda visitar:
Aspectos metodológicospara elaborar encuestasa. Planteamientodel problema

e. Fase deconclusiones

d. Análisis dedatos

b. Desarrollodel planc. Recoleccióny manejo
de datos

http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/
fasc_mat/04_mat_e_s1_
f9.pdfAspectos metodológicos
en el aprendizaje de laprobabilidad
http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/
fasc_mat/04_mat_e_s1_
f8.pdfb. TEMA DE ESTUDIO¿Cómo son las pendientes entre dos funciones lineales
cuyas gráficas son rectas paralelas?
¿Cómo son las pendientes entre dos funciones lineales
cuyas gráficas son rectas perpendiculares?
¿Qué sucede si el término independiente de la función“y=4x+3” no existe?.

1. REFIP (2012). Datos y azar. FONDEP D091-1023: 7.

105

a. Planteamiento del problema
El docente presenta una situación o problema a los estudiantes, estos se organizan
para expresar su comprensión.
Ejemplo
Las actividades físicas así como la dieta saludable pueden traer muchos
beneficios, incluyendo más energía, felicidad, salud y hasta una vida más
duradera. En consecuencia las actividades físicas y la dieta son elementos
fundamentales para determinar la salud en general de una persona. ¿Cómo
podemos hacer para conocer actividades físicas de tus compañeros de clasey reflexionar sobre la repercusión en una vida saludable?.

b. Desarrollo del plan
El objetivo de esta fase es que los estudiantes conozcan el tema de estudio que
van a abordar y que planteen posibles variables, también será parte de esta faseel diseño de un cuestionario.
En esta fase es importante diseñar un instrumento para el recojo de la información.

Ficha de Encuesta
Instrucciones: Estimado estudiante, esta encuesta ayudará a conocer sobre las preferencias de sus actividades físicas y/o deportivas en la I. E. Por favor responde todas las preguntas con veracidad marcando en los círculos o completando en los recuadros.
Edad:años 						Nivel que cursa: 1.°
2.°
3.°
4.°
5.°
1. ¿Disfrutas el practicar actividades
físicas y/o deportes?
Sí		

No

2. ¿Practicas actualmente algún deporte?
Sí		

3. ¿Cuántos días a la semana practicas
actividades físicas y/o deportes?
días

1. Formar equipos de cuatro a cinco estudiantes.
2. Una vez que los equipos han seleccionado el trabajo que desean investigar,
deben documentarse sobre el tema de estudio antes de elaborar las preguntas.

4. Cada equipo recogerán datos a través de una encuesta de cada grado, es
decir un equipo se hace cargo del primer grado, otro del segundo grado ysucesivamente.
5. En cada una de las preguntas
de la encuesta indica lavariable que estás analizando
y su tipo.
6. Contrastaránlastablaselaboradas por los diferentes
equipos (que deben ser
iguales para todos) y corregirerrores, si los hubiera.

106

Varón

4. ¿Qué tiempo destinas para practicar
actividades físicas y/o deportes en el
día?
Hasta 1 hora
Más de 1 hora, hasta 2 horas
Más de 2 horas, hasta 3 horas
Más de 3 horas

No

Para ello deben:

3. Diseña por ejemplo una encuesta sencilla (máximo cinco preguntas) que tepermita recoger la información que necesitas. Dos datos que siempre resultaútil recoger son edad y sexo, no olvides incluirlo en tu cuestionario.

Mujer

5. ¿Qué actividades físicas y/o deportes
practicas?
CaminarManejar bicicleta
FútbolVóleibol
Otros¿Cuáles?

c. Recolección y manejo de datos
Los estudiantes realizan procedimientos para encuestar de acuerdo alreconocimiento de la población, la muestra y las variables.
Antes de entrevistar deben estar perfectamente organizados para reconocer
quiénes van a realizar las encuestas y cómo van a proceder a realizar lasinterrogantes. No es necesario ni conveniente que todas las encuestas se hagan
en la hora de clase, solo algunas a modo de ejemplo y el resto como tarea fueradel aula (los recreos son un buen momento para hacerlas).
Si la institución educativa cuenta con varias secciones de cada grado, entonces
se escogerá al azar una de ellas para aplicar la encuesta.
Introduce papel marcados con el grado y la sección en una bolsa o caja.
Extrae un papel de la bolsa o caja, el primer papel que se saca determinará lasección y el grado donde se aplicará la encuesta.
Aplicación de la encuesta.
No se deben mezclar las encuestas de los diferentes grados.

107

d. Análisis de datos

TABLA 2: "Practicas actualmente algún deporte”

Hay diversas formas de organizar esta fase, pero es clave tenerla bien planeada,pues podemos invertir demasiado tiempo si no se organiza adecuadamente. El
docente debe explicar primero cómo se va a llevar a cabo esta fase. Te proponemos
los siguientes métodos a modo de ejemplo:
Primer método: cada integrante del equipo realiza el llenado de las tablas a partirde las encuestas realizadas por él. Luego, el coordinador del equipo unificará en
una sola tabla los datos que les den sus compañeros. Esta fase la pueden hacer
en una hoja de cálculo o a mano.
Segundo método: una persona apoyada de un auxiliar realiza el llenado dela tabla en una hoja de cálculo directamente y hace el recuento utilizando las
funciones de recuento del propio programa informático.
•

Cada equipo realizará el procesamiento de los datos del grado y sección que letocó aplicar la encuesta.

Datos

Frecuencia
absoluta(fi)

Frecuencia
acumulada(Fi)

Frecuencia
relativa(hi)

Porcentaje(%)

Grados
(°)

Sí
No

n=

Recuento de las respuestas a las pregunta 3:
TABLA 3: "¿Cuántos días a la semana practicas actividades físicas y/o deportes?”
Varón
Datos

Frecuencia
relativa

Mujer
Porcentaje

Frecuencia
relativa

Porcentaje

1
2

•

•

Cada equipo internamente se distribuirá el recuento de la siguiente manera:a) Tiempo que se destina a actividades físicas y/o deportes: 3 y 4.
b) Actividades físicas y/o deportes: 1, 2 y 5.

345Elaborar tablas de datos para cada uno de las interrogantes.

6•Construye los siguientes gráficos, de forma que reflejen los datos de las tablas.

•

Tiempo que se destina a actividades físicas y/o deportes:a) TABLAS 1 y 2: diagrama de barras.
b) TABLA 3: diagrama de sectores.
c) TABLA 4: dos diagramas, uno para mujeres y otro para varones.

•

TOTAL

Recuento de las respuestas a la pregunta 4:
TABLA 4: "¿Qué tiempo destinas para practicar actividades físicas y/o deportes
en el día?”

Actividades físicas y/o deportes:a) TABLAS 5: diagrama de barras.

Varón
Datos

Recuento de las respuestas a las preguntas 1 y 2:
TABLA 1: "Disfrutas al practicar actividades físicas y/o deportes”
Datos

Frecuencia
absoluta(fi)

Sí

Frecuencia
relativa(hi)

Porcentaje(%)

Frecuencia
relativa

Mujer
Porcentaje

Frecuencia
relativa

Porcentaje

Hasta 1 hora
Grados(°)

Más de 1 hora,hasta 2 horas
Más de 2 horas,
hasta 3 horas
Más de 3 horas

No

n=

108

Frecuencia
acumulada
(Fi)

7

TOTAL

109

e. Fase de conclusiones

Recuento de las respuestas a la pregunta 5:
TABLA 5: "¿Qué actividades físicas y/o deportes practicas?”
Varón
Datos

Frecuencia
relativa

Mujer
Porcentaje

Frecuencia
relativa

Porcentaje

CaminarEsta fase es fundamental, pues el estudiante desarrollará sus habilidades deanalizar los datos, extraer conclusiones, interpretar un dato en su contexto,
plantear afirmaciones, entre otras. El docente orientará esta fase para que elestudiante no se limite a dar su opinión del tema que está estudiando, sino que
haga su argumentación en función de los datos obtenidos a lo largo de todo
el proceso.

Manejar bicicleta
FútbolVóleibol
Otros
TOTAL

De acuerdo a la tabla 4, hallar la media y la moda del tiempo que destinan
los estudiantes en practicar actividades físicas y/o deportivas.
¿Cuál es el intervalo de número de horas diarias de actividades físicas y/odeportivas más frecuente en varones y mujeres?
Indica quién practica actividades físicas y/o deportivas menos de tres horas en
mayor proporción ¿varones o mujeres? y, ¿entre 2 y 3 horas?
¿Qué porcentaje de estudiantes encuestados practican actividades físicas y/odeportes?

Problema real
Planteamiento del problema
Población

definir

Variables

seleccionar
MuestraImportante:
El programa Excel es un paquete informático que a pesar de no ser diseñado
específicamente para la educación es muy útil porque integras tres ambientes
propios de la actividad matemática: una hoja de cálculo en la que se puede
inscribir numerosos datos y relacionar a funciones, fórmulas y operadores,
permite organizar de forma sistemática en filas y columnas, permite graficar
los contenidos de la base de datos. En los textos de matemática puede
encontrar actividades en Excel.

110

Recolección de la información
Presentación de datos
Tablas de frecuencia

Gráficos
Conclusiones

111

MAPA DE PROGRESO de la competencia

MAPA DE PROGRESO de la competencia

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio

Descripción del nivel

CICLO

Identifica situaciones referidas a agregar o quitar objetos y las asocia con nociones aditivas . Expresa con su propio lenguaje sobre agrupar objetos por
características perceptuales, ordenar2 hasta 5 objetos, ordenar objetos en una fila y señalar hasta el quinto lugar, comparar la duración de eventos
cotidianos usando “antes” o “después”, comparar de manera cuantitativa colecciones de objetos usando algunos términos matemáticos o cuantificadores“más que”, “menos que”, “pocos”, “ninguno” y “muchos”. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos o dibujos. Propone
acciones para experimentar o resolver situaciones de manera vivencial y con apoyo de material concreto; emplea estrategias y procedimientos comoagrupar, agregar y quitar objetos hasta 5, contar hasta 10 objetos, y comparar el peso3 de dos objetos, con apoyo de material concreto. Explica el por quéde sus afirmaciones en base a su experiencia.
1II
5 años

III
1ro y
2do
prim

IV
3ro
y 4to
prim

V
5to y
6to
prim

VI
1ro y
2do
sec

VII
3ro,
4to y
5to sec

DESTACADO

112

Identifica datos en situaciones referidas a acciones de juntar, separar, agregar, quitar, igualar o comparar cantidades y los expresa en modelos desolución aditivas4 , doble y mitad. Expresa los criterios para clasificar objetos en grupos y subgrupos, ordenar números naturales hasta 100, estimar
y comparar la duración de eventos, empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos o cuantificadores “todos”, “algunos” y “ninguno”.
Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos, dibujos, tablas de doble entrada y en forma simbólica. Propone y realiza una
secuencia de acciones para experimentar o resolver un problema, empleando estrategias heurísticas y procedimientos como estimar, contar y ordenar
cantidades hasta 100, medir y comparar la masa de objetos con unidades arbitrarias; con apoyo de material concreto. Comprueba los procedimientos y
estrategias usados. Elabora supuestos y explica el por qué de sus afirmaciones, procedimientos o resultados con ejemplos.
Plantea relaciones entre los datos en situaciones que combinan una o más acciones de agregar, combinar, igualar, comparar, repetir o repartir una
cantidad, y los expresa con modelos aditivos o multiplicativos con números naturales y fracciones usuales. Relaciona el modelo trabajado con otras
situaciones similares. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre reagrupar con criterios distintos, ordenar números naturales hasta millares,
medir la masa de objetos en gramos y kilogramos, medir la duración de eventos en horas, medias horas o cuartos de hora, el significado de la noción dedivisión y fracción, problemas aditivos5 y multiplicativos6 ; los representa mediante tablas de doble entrada y símbolos. Propone y realiza una secuencia deacciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo mental y escrito, conteo, orden
con cantidades de hasta cuatro cifras; estimar, medir y comparar la masa de objetos y la duración de eventos empleando unidades convencionales, conapoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o en relaciones matemáticas
trabajadas, y las justifica usando ejemplos.
Interpreta datos y relaciones no explícitas de situaciones diversas referidas a una o varias acciones de comparar e igualar dos cantidades con números
naturales, expresiones decimales, fraccionarias o porcentajes, y los relaciona con modelos aditivos7 y multiplicativos8. Determina en qué otras situaciones
es aplicable. Describe, utilizando el lenguaje matemático, su comprensión sobre el significado de la equivalencia entre fracciones, decimales y porcentajes
y la noción de potencia; compara y estima la masa de objetos en unidades convencionales, y la duración de eventos en minutos y segundos. Elabora y
emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con gráficos y símbolos; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado
a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo y estimación con porcentajes usuales9 y números
naturales, fracciones y decimales; estimar, medir directa o indirectamente la masa de objetos y la duración de eventos; con apoyo de recursos. Compara
los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas sobre procedimientos, propiedades de los números y las
operaciones trabajadas, y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
Discrimina información e identifica relaciones no explícitas en situaciones referidas a determinar cuántas veces una cantidad contiene o está contenida
en otra y aumentos o descuentos sucesivos, y las expresa mediante modelos referidos a operaciones, múltiplos o divisores, aumentos y porcentajes.
Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones
matemáticas10 , su comprensión sobre las propiedades de las operaciones con números enteros y racionales, y variaciones porcentuales; medir la masa
de objetos en toneladas y la duración de eventos en décadas y siglos. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática
usando tablas y símbolos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas empleando estrategias
heurísticas, procedimientos para calcular y estimar con porcentajes, números enteros, racionales y notación exponencial; estimar y medir la masa, el
tiempo y la temperatura con unidades convencionales; con apoyo de diversos recursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos
matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones numéricas o propiedades de operaciones observadas en situaciones
experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.
Relaciona datos de diferentes fuentes de información referidas a situaciones sobre magnitudes, números grandes y pequeños, y los expresa en modelos
referidos a operaciones con números racionales e irracionales, notación científica, tasas de interés simple y compuesto. Analiza los alcances y limitaciones
del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones
matemáticas las relaciones entre las propiedades de los números irracionales, notación científica, tasa de interés. Elabora y relaciona representaciones
de una misma idea matemática, usando símbolos y tablas. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución deproblemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para calcular y estimar tasas de interés, operar con números expresados en notación
científica, determinar la diferencia entre una medición exacta o aproximada, con apoyo de diversos recursos. Juzga la efectividad de la ejecución omodificación de su plan. Formula conjeturas sobre generalizaciones referidas a conceptos y propiedades de los números racionales, las justifica o refuta
basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos.
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las relaciones o restricciones de situaciones referidas a determinar cantidades expresadas
mediante logaritmos; y las expresa mediante operaciones en diferentes sistemas numéricos y una combinación de modelos financieros. Formulamodelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando
terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: propiedades de los números y las operaciones en los sistemas numéricos.
Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o lasolución de problemas, usando un amplio repertorio de recursos, estrategias heurísticas y las propiedades de los números y operaciones en los diferentes
sistemas numéricos. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis
sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática; y las justifica con demostraciones y a
través de argumentos matemáticos para convencer a otros.
Problemas PAEV: Cambio 1 y 2.
Seriación.
Coloquialmente se dice peso cuando nos referimos a la masa de un objeto, pero lo
formal es decir masa.
4
Problemas PAEV: Cambio 3 y 4, Combinación 2, y Comparación e igualación 1 y 2.
5
Problemas PAEV: Cambio 5 y 6, Comparación e igualación 3 y 4.

Problemas multiplicativos (proporcionalidad simple).
Problemas PAEV: Comparación e igualación 5 y 6.
Problemas multiplicativos conocidos como de producto cartesiano.
9(10%, 20%, 25%, 50%, 75%).
10
Convenciones matemáticas: p.ej: convenir que el cero es múltiplo
de todos los números.

1

6

2

7

3

8

CICLO

Descripción del nivel

II

Reconoce patrones de repetición en secuencias sonoras, de movimientos o perceptuales. Expresa con su propio lenguaje patrones y relaciones entre objetos
de dos colecciones. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos o dibujos. Propone y realiza acciones para experimentar oresolver una situación de manera vivencial y con material concreto, emplea estrategias y procedimientos propios para ampliar, completar o crear patrones
con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.
1

5 añosIII

Identifica datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio, y las expresa con patrones de repetición2 y patrones aditivos, igualdades que
contienen adiciones y sustracciones. Describe patrones, equivalencias y relaciones empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos. Realiza
representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos, dibujos, tablas simples y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones paraexperimentar o resolver un problema, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para ampliar, completar o crear patrones, encontrar equivalencias
agregando o quitando cantidades3 o para hallar un valor desconocido, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos o resultados.
Elabora supuestos basados en lo observado en experiencias concretas y los explica usando ejemplos similares.

1ro y
2do
prim
IV

Plantea relaciones entre los datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio; y la expresa con patrones de repetición4 o patrones multiplicativos,
igualdades con multiplicaciones y relaciones de cambio entre dos magnitudes. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con
lenguaje matemático su comprensión sobre patrones, equivalencias y cambio. Elabora y emplea tablas simples, gráficos y símbolos. Propone y realiza una
secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos para ampliar, completar ocrear patrones, encontrar equivalencias con expresiones multiplicativas o hallar el valor desconocido en una igualdad multiplicando o dividiendo, establecer
equivalencias entre unidades de medida de una misma magnitud, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora
conjeturas basadas en experiencias o en relaciones matemáticas y las justifica usando ejemplos.

3ro
y 4to
prim

Interpreta datos y relaciones no explicitas en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio entre dos magnitudes; y los expresa con modelos referidos
a patrones geométricos, patrones crecientes y decrecientes, ecuaciones, desigualdades, y proporcionalidad directa y determina en qué otras situaciones esaplicable. Describe utilizando lenguaje matemático acerca de su comprensión sobre: patrones, ecuaciones y desigualdades, y relaciones de proporcionalidad
directa. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con tablas, gráficos y símbolos; relacionándolas entre sí. Elabora yejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para completar términos de una
sucesión gráfica o numérica de acuerdo a su posición, simplificar expresiones o ecuaciones empleando propiedades aditivas y multiplicativas o establecer
equivalencias entre unidades de una misma magnitud; con apoyo de recursos; y compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas
resoluciones. Establece conjeturas sobre regularidades, equivalencias y relaciones entre dos magnitudes, y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.

V
5to y
6to
prim

Discrimina información e identifica variables y relaciones no explícitas en situaciones diversas referidas a regularidad, equivalencia o cambio; y las expresa
con modelos referidos a patrones geométricos5, progresiones aritméticas, ecuaciones e inecuaciones con una incógnita, funciones lineales y relaciones
de proporcionalidad inversa. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Usa terminologías,
reglas y convenciones al expresar su comprensión sobre propiedades y relaciones matemáticas referidas a: progresiones aritméticas, ecuaciones lineales,
desigualdades, relaciones de proporcionalidad inversa, función lineal y afín. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática con
tablas, gráficos, símbolos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, empleando estrategias
heurísticas y procedimientos para determinar la regla general de una progresión aritmética, simplificar expresiones algebraicas empleando propiedadesde las operaciones; con apoyo de diversos recursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados.
Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre expresiones algebraicas, magnitudes, o regularidades observadas en situaciones experimentales;e identifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros.

VI
1ro y
2do
sec

Relaciona datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a diversas situaciones de regularidades, equivalencias y relaciones devariación; y las expresa en modelos de: sucesiones6 con números racionales e irracionales, ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales,
inecuaciones lineales con una incógnita, funciones cuadráticas o trigonométricas7. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si losdatos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas las relaciones entre
propiedades y conceptos referidos a: sucesiones, ecuaciones, funciones cuadráticas o trigonométricas, inecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones
lineales. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemática usando símbolos, tablas y gráficos. Diseña un plan de múltiples etapasorientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para generalizar la regla de formación deprogresiones aritméticas y geométricas, hallar la suma de sus términos, simplificar expresiones usando identidades algebraicas y establecer equivalencias
entre magnitudes derivadas; con apoyo de diversos recursos. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación del plan. Formula conjeturas sobre
generalizaciones y relaciones matemáticas; justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e
incluyan conceptos, relaciones y propiedades de los sistemas de ecuaciones y funciones trabajadas.

VII
3ro,
4to y
5to sec

Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas a regularidad, equivalencia ocambio; y las expresa con modelos referidos a sumatorias notables, sucesiones convergentes o divergentes, idea de límite, funciones exponenciales,
logarítmicas y periódicas, y ecuaciones exponenciales. Formula modelos similares a los trabajados y evalúa la pertinencia de la modificación realizada a
un modelo, reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas, relaciones entre propiedades yconceptos referidos a: los sistemas de inecuaciones lineales, ecuaciones exponenciales y funciones definidas en tramos. Relaciona representaciones deideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, empleando un amplio
repertorio de recursos, estrategias heurísticas o procedimientos de: interpolar, extrapolar o calcular el valor máximo o mínimo de sucesiones y sumatorias
notables, plantear sistemas de inecuaciones lineales y exponenciales y definir funciones por tramos. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimizaciónde los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones elaborando relaciones entre conceptos y procedimientos
de diferentes dominios de la matemática; las justifica con demostraciones y produce argumentos matemáticos para convencer a otros.

DESTACADO

Patrones de repetición con un criterio perceptual(color,forma,tamaño,grosor).
Patrones de repetición con dos criterios perceptuales.
13
Equivalencias con igualdades que involucran adiciones y sustracciones con cantidades hasta 20.
14
Patrones de repetición que combinan criterios perceptuales y de posición.
11

15

12

16
17

que se generan al aplicar reflexiones o giros.
Considerar progresión aritmética y geométrica.
Función seno y coseno.

113

MAPA DE PROGRESO de la competencia

MAPA DE PROGRESO de la competencia

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre

CICLO

Descripción del nivel

CICLO

Descripción del nivel

II

Relaciona objetos del entorno con formas bidimensionales y tridimensionales. Expresa con su propio lenguaje lo que observa al comparar dos objetos
de diferente longitud, desplazarse e identificar la posición de un objeto en el espacio en relación a sí mismo u otro objeto; y realiza representaciones con
su cuerpo, materiales concretos o dibujos. Propone acciones para resolver una situación, empleando estrategias propias y procedimientos al realizar
desplazamientos y localización, o caracterizar objetos con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia..

II

Identifica datos de situaciones de su interés y los registra. Expresa con sus propias palabras lo que comprende sobre la información contenida enlas listas, tablas de conteo y pictogramas22; y la ocurrencia de sucesos cotidianos. Representa los datos empleando material concreto, listas, tablasde conteo o pictogramas. Propone acciones, estrategias o procedimientos propios para recopilar y registrar datos cualitativos con apoyo de material
concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.

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4to y
5to sec

DESTACADO

Identifica las características de objetos del entorno y los relaciona con elementos18 de formas bidimensionales y tridimensionales, determina su ubicación,
longitud, superficie o capacidad. Describe las formas bidimensionales y tridimensionales, ubicación y movimiento de objetos y las formas simétricas,
los atributos medibles de los objetos (longitud, superficie, y capacidad); empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos. Realiza
representaciones con su cuerpo, materiales concretos, dibujos, gráficos y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar
o resolver un problema, emplea estrategias heurísticas y procedimientos como medir, comparar y estimar longitudes, superficies y capacidades deobjetos con unidades arbitrarias, con apoyo de material concreto y recursos; comprueba sus procedimientos y estrategias usando material concreto.
Elabora supuestos sobre las características y atributos medibles de las formas geométricas y de los objetos, a partir de la observación en experiencias
concretas, y los explica usando ejemplos similares.
Relaciona características, atributos, localización y movimiento de los objetos del entorno, con las formas geométricas, ubicación en el plano y elespacio, simetría y traslación. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matemático su comprensión
sobre características de las formas bidimensionales y tridimensionales; longitud, perímetro, superficie y capacidad de objetos; simetría y traslaciones.
Elabora y emplea representaciones mediante tablas de doble entrada, gráficos, croquis y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones paraexperimentar o solucionar un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos para ubicar objetos y rutas, medir y estimar la longitud,perímetro, superficie y capacidad de objetos seleccionando el instrumento y la unidad arbitraria o convencional apropiada, reflejar o trasladar formas
en cuadrículas, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas sobre semejanzas y diferencias entre
formas geométricas y las justifica usando ejemplos.
Interpreta datos y relaciones no explícitas de localización y movimiento de los objetos, con las formas geométricas bi y tri dimensionales, su rotación,
ampliación o reducción y determina en qué otras situaciones es aplicable. Expresa su comprensión utilizando lenguaje matemático sobre las propiedadesde las formas bidimensionales o tridimensionales19; ángulos, superficies, volumen y capacidad; ampliaciones, reducciones, giros y la posición de un
objeto en el plano cartesiano. Elabora diversas representaciones de una misma idea matemática, con gráficos y símbolos, relacionándolas entre sí.
Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas empleando estrategias heurísticas y procedimientos como estimar y medirángulos, calcular perímetro, superficie, capacidad y volumen seleccionando el instrumento y la unidad convencional pertinente; con apoyo de recursos.
Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Elabora conjeturas sobre relaciones entre propiedades de las formas
geométricas trabajadas y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
Discrimina información e identifica relaciones no explícitas de situaciones referidas a atributos, localización y transformación de objetos, y los expresa
con modelos referidos a formas bidimensionales compuestas, relaciones de paralelismo y perpendicularidad, posiciones y vistas de cuerpos
geométricos20. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas
y convenciones matemáticas su comprensión sobre propiedades de formas bidimensionales y tridimensionales21, ángulos, superficies y volúmenes,
transformaciones geométricas; elaborando diversas representaciones de una misma idea matemática usando gráficos y símbolos; y las relaciona
entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos comocalcular y estimar medidas de ángulos y distancias en mapas, superficies bidimensionales compuestas y volúmenes usando unidades convencionales;
rotar, ampliar, reducir formas o teselar un plano, con apoyo de diversos recursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos
matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas sobre relaciones entre propiedades de formas geométricas trabajadas; e identifica
diferencias y errores en las argumentaciones de otros.
Relaciona datos de diferentes fuentes de información referidas a situaciones sobre formas, localización y desplazamiento de objetos, y los expresa
con modelos referidos a formas poligonales, cuerpos geométricos compuestos o de revolución, relaciones métricas, de semejanza y congruencia, yrazones trigonométricas. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver
la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: relaciones entre las propiedades de figuras
semejantes y congruentes, superficies compuestas que incluyen formas circulares y no poligonales, volúmenes de cuerpos de revolución, razones
trigonométricas. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemática usando mapas, planos, gráficos, recursos. Diseña un plan demúltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas, procedimientos como calcular y estimar
medidas de ángulos, superficies bidimensionales compuestas y volúmenes usando unidades convencionales; establecer relaciones de inclusión entre
clases para clasificar formas geométricas; con apoyo de diversos recursos. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formulaconjeturas sobre posibles generalizaciones estableciendo relaciones matemáticas; justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones
que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos y propiedades matemáticas.
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las relaciones, restricciones de situaciones referidas a formas, localización y desplazamiento
de objetos, y los expresa con modelos referidos a composición y transformación de formas bidimensionales, definición geométrica de la elipse
e hipérbola. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances ylimitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre relaciones entre propiedades de formas
geométricas compuestas, transformaciones geométricas en el plano. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la más óptima.
Diseña un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, estrategias heurísticas o procedimientos, de usar o combinar propiedades yteoremas de formas geométricas, calcular volumen y superficie de sólidos de revolución compuestos, determinar equivalencias entre composiciones
de transformaciones geométricas. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que disponía.
Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos geométricos; y las justifica con demostraciones y a través deargumentos matemáticos para convencer a otros.
Lados, caras, esquinas.
Triángulos, cuadriláteros, ángulos, círculos, circunferencias, prismas y pirámides.
20
prisma, pirámide, círculo, cilindro.
21
Polígonos, prisma, pirámide, círculo, cilindro, rectas paralelas, perpendiculares y secantes.
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DESTACADO

Identifica datos en situaciones de su entorno familiar o de aula, los organiza en listas o tablas simples o de doble entrada. Expresa empleando
lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos, lo que comprende sobre la información contenida en tablas simples, de doble entrada o gráficos,
el significado de la posibilidad o imposibilidad de sucesos cotidianos, y preguntas para recoger datos. Propone y realiza una secuencia de acciones
orientadas a experimentar o resolver un problema, empleando estrategias o procedimientos para recopilar, organizar y presentar datos, con apoyo dematerial concreto. Elabora supuestos referidos a características que se repiten en las actividades realizadas y los explica usando ejemplos similares.

Plantea relaciones entre los datos de situaciones de su entorno escolar, los organiza en tablas, barras simples, pictogramas con escalas o mediante lanoción de moda. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre, la frecuencia y moda de un conjunto de datos, la comparación de datos en
pictogramas o barras doble agrupadas, sucesos más o menos probables que otros23 . Elabora y emplea representaciones mediante gráficos de barras
dobles o pictogramas24, y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o solucionar un problema empleando
estrategias o procedimientos para recopilar datos cuantitativos y hallar el dato que más se repite; con apoyo de material concreto. Comprueba sus
procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las explica, o justifica usando ejemplos.
Interpreta los datos en diversas situaciones, los organiza en tablas de frecuencia y los expresa mediante, variables cualitativas o cuantitativas discretas,
la media aritmética o la probabilidad de un suceso. Determina en que otras situaciones son aplicables. Describe utilizando lenguaje matemático
su comprensión sobre las preguntas y posibles respuestas para una encuesta, la información contenida en tablas y gráficos, el significado de la
media aritmética y la mediana de un grupo de datos, los resultados de una situación aleatoria y la probabilidad de un evento. Elabora y emplea
diversas representaciones de datos mediante gráficos de líneas o de puntos y la probabilidad como fracción o cociente; relacionándolas entre sí.
Elabora y ejecuta un plan orientado a recopilar datos a través de una encuesta, organizarlos y presentarlos; determinar la media; determinar todos
los posibles resultados de un experimento aleatorio; calcular la probabilidad de un evento como una fracción; con apoyo de recursos. Compara losprocedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las justifica
usando ejemplos o contraejemplos.
Discrimina y organiza datos de diversas situaciones y los expresa mediante modelos que involucran variables cualitativas, cuantitativas discretas ycontinuas, medidas de tendencia central y la probabilidad. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió
resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre datos contenidos en tablas y gráficos estadísticos,
la pertinencia de un gráfico a un tipo de variable y las propiedades básicas de probabilidades. Elabora y emplea diversas representaciones usando
tablas y gráficos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, usando estrategias
heurísticas y procedimientos matemáticos para recopilar y organizar datos cuantitativos discretos y continuos, calcular medidas de tendencia central,la dispersión de datos mediante el rango, determinar por extensión y comprensión sucesos simples y compuestos, y calcular la probabilidad mediante
frecuencias relativas; con apoyo de material concreto y recursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos yrecursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre los datos o variables contenidas en fuentes de información, observadas ensituaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.
Interpreta y plantea relaciones entre datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a situaciones que demandan caracterizar
un conjunto de datos, y los expresa mediante variables cualitativas o cuantitativas, desviación estándar, medidas de localización y la probabilidad
de eventos. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación.
Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre relaciones entre población y muestra, un dato y el sesgoque produce en una distribución de datos, y espacio muestral y suceso, así como el significado de la desviación estándar y medidas de localización.
Realiza y relaciona diversas representaciones de un mismo conjunto de datos seleccionando la más pertinente. Diseña y ejecuta un plan de múltiples
etapas para investigar o resolver problemas, usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos de recopilar y organizar datos, extraer una
muestra representativa de la población, calcular medidas de tendencia central y la desviación estándar y determinar las condiciones y restricciones deuna situación aleatoria y su espacio muestral; con apoyo de diversos recursos. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formulaconjeturas25 sobre posibles generalizaciones en situaciones experimentales estableciendo relaciones matemáticas; las justifica o refuta basándose enargumentaciones que expliciten sus puntos de vista e incluyan conceptos y propiedades de los estadísticos.
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas a caracterizar un conjunto dedatos, y expresarlos mediante coeficiente de variación y probabilidad condicional. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia
de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando lenguaje matemático su comprensión sobre las relaciones
entre medidas descriptivas, el significado del coeficiente de variación, y la probabilidad condicional. Relaciona representaciones de ideas matemáticas
e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o resolución de problemas, usando un amplio repertorio
de recursos, estrategias heurísticas y procedimientos de recopilar y organizar datos de diversas variables, aplicar técnicas de muestreo, extraer lamuestra aleatoria de la población y calcular la probabilidad condicional. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos,
procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominiosde la matemática, y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros.
Pictogramas sin escala.
El estudiante indica intuitivamente si un suceso es más probable o menos probable que otro.
Pictogramas con escala.
25
Tener en cuenta que el razonamiento probabilístico y estadístico no es exacto como en matemáticas.
Por lo tanto, en general las conjeturas que se puedan establecer no serán demostradas con rigor, serán
afirmaciones con un grado de validez, porque se trata de elegir representantes de un sistema de datos(media, mediana, moda), o cuantificar la posibilidad (probabilidad teórica, empírica, etc.) pero que detrásde ello está la noción de incertidumbre.
22
23
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