競技上の注意
１．開始の合図があるまで問題用紙を開かないでください。
２．制限時間は６０分です。
３．競技中は他の人と相談することはできません。
４．筆記用具，消しゴムのみ使用することができます。
５．途中提出することはできません。

解答上の注意１．解答用紙には答えだけを書いてください。
２．答えが分数になるとき，約分してもっとも簡単な分数にしてください。
３．答えに根号が含まれるとき，根号の中の数はもっとも小さい正の整数にしてください。

下記の「個人情報の取扱い」についてご同意いただいたうえでご提出ください。
【この解答用紙でお預かりするすべての個人情報の取扱いについて】
１．事業者の名称
公益財団法人 日本数学検定協会
２．個人情報保護管理者の職名，所属及び連絡先
管理者職名：個人情報保護管理者 所属部署：事務局 事務局次長 連絡先：電話 03 - 5812 - 8340
３．個人情報の利用目的「数学甲子園」の参加者情報の管理，採点，本人確認のため
４．個人情報の第三者への提供
参加者の紹介のため，氏名，学校名，都道府県名，写真，動画等を，当協会の広報誌，公式サイトやマスコミ等を通じて，広く一般的に提供することがあります。
５．個人情報取り扱いの委託
前項利用目的の範囲に限って個人情報を外部に委託することがあります。
６．個人情報の開示等の請求
ご本人様はご自身の個人情報の開示等に関して，下記の当協会お問い合わせ窓口に申し出ることができます。その際，当協会はご本人様を確認させていただいたうえで，合理的な対応を期間内にいたします。
【お問い合わせ窓口】
公益財団法人 日本数学検定協会 「数学甲子園」係 〒110 - 0005 東京都台東区上野5 - 1 - 1 文昌堂ビル6階
TEL：03 - 5812 - 8340 電話受付時間 月〜金 9 : 30〜17 : 00（祝日・年末年始・当協会の休日を除く）
７．個人情報を提供されることの任意性についてご本人様が当協会に個人情報を提供されるかどうかは任意によるものです。
ただし正しい情報をいただけない場合，適切な対応ができない場合があります。

ＭＢ１−１

第１１回 全国数学選手権大会予選

問題１. 次の式を因数分解しなさい。
３６x 2 ＋６x y −１２y 2 ＋１１x ＋２６y −１２

問題２. x についての２次不等式 ax 2 ＋ bx ＋c ≧０の解が x ＝ a であるとき，a ，b ，c の符号をそれぞれ求めなさい。

問題３. 次の式を簡単にしなさい。
32323232（４＋ １５ ）＋（４− １５ ）（６＋ ３５ ）−（６− ３５ ）Ａ

問題４. ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，ＣＡ＝５の△ＡＢＣがあり，∠ＡＢＣの二等分線と辺ＡＣの交点をＤ，∠ＡＣＢの二等分線と辺ＡＢの交点をＥ，線分ＣＥとＢＤの交点をＦとします。△ＡＢＣの面積を S とするとき，△ＤＥＦのＥ面積を S を用いて表しなさい。

ＤＦＢ

Ｃ

問題５. あるスーパーマーケットでは，１パック８個入りの卵が売られています。下のデータは，無作為に選んだ２つのパックＡ，Ｂに入っていた卵の重さ（単位：g ）です。
Ａ５９，６２，６０，６３，６２，５９，６１，６２

Ｂ

６２，５９，５８，６１，６０，６３，５８，５９

それぞれのデータについて，分散を求めなさい。

ＭＢ１−２問題６. x ＝ω＋２i を解にもつ整数係数の n 次方程式のうち，次数が最小で x の最高次数の項の係数が１であるものを求めなさい。ただし，ωはω3 ＝１を満たす虚数，i は虚数単位を表します。

問題７. tanx＝ t とするとき，sin x ，cos x ，tan x を，それぞれ t を用いて表しなさい。
２問題８. 正の整数 a ，b に対して，a 2 は９桁，a 2 b 4 は３４桁の数とします。このとき，a と b の桁数をそれぞれ求めなさい。

問題９. 次の式を展開したときの項数を求め，n を用いて表しなさい。
2nk ＝1ak2＝（a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋a n ）問題10. １から n（ n ≧２）までの相異なる n 個の整数の中から無作為に２個選びます。大きい数をX ，小さい数をY とするとき，X の期待値を求めなさい。

ＭＢ１−３問題11. すべての辺の長さが a である正四角錐と，１辺の長さが a である正四面体があります。
この２つの立体の正三角形の面をぴったりとくっつけてできる立体は，何面体ですか。

問題12. x y 平面において，次の連立不等式が表す図形の面積を求めなさい。
x 2 −２｜x｜＋ y 2 −２｜y｜＋１≧０｜x｜＋｜y｜≦１

問題13. a ，b ，c ，d を正の整数とします。線分ＡＢを a：b に内分する点をＣ，c：d に内分する点をＤとするとき，ＡＣ：ＣＤ：ＤＢを a ，b ，c ，d を用いた整数比で表しなさい。ただし，
点Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｂはこの順に並んでいるものとします。

問題１問題２問題３問題４問題５問題６問題７問題８問題９問題10

ここにバーコードシールを貼ってください。

*M B

11421

1

*

問題11問題12問題13問題14問題15

問題16

問題17

問題18

問題19

問題20

エントリーNo.
学校名
点数
チーム名
氏名

採点員
チェック

ＭＢ１−４問題14. △ＡＢＣの３辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの長さをそれぞれ a ，b ，c とします。次の等式が成り立つ
とき，△ＡＢＣの内角のうち，最大の角の大きさを求めなさい。
（b＋c）
：
（c＋a）
：
（ a ＋ b ）＝４：５：６

問題15. k を正の整数とします。P（ k ）＝１k ＋２k ＋３k ＋４k ＋５k ＋６k とすると
P（１）＝１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１
P（２）＝１2 ＋２2 ＋３2 ＋４2 ＋５2 ＋６2 ＝９１
P（３）＝１3 ＋２3 ＋３3 ＋４3 ＋５3 ＋６3 ＝４４１であり，P（１），P（２），P（３）はすべて７の倍数となりますが，k の値によっては７の倍数にならないこともあります。P（ k ）が７の倍数にならない k の値をすべて求めなさい。

ＭＢ１−５（ x ，y ）をすべて求めなさい。
問題16. 次の等式を満たす整数の組
x y 3 −３y − x ＝１

問題17. 連続する５つの正の整数について，下の法則が成り立ちます。
１×２×３×４×５＋５＝１２５＝５×５2
２×３×４×５×６＋６＝７２６＝６×１１2
３×４×５×６×７＋７＝２５２７＝７×１９2⁝⁝⁝

このとき，次の等式を満たす正の整数 n の値を求めなさい。
２０１６×２０１７×２０１８×２０１９×２０２０＋２０２０＝２０２０× n 2

問題18. さいころＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄを同時に振り，出た目をそれぞれ a ，b ，c ，d とします。このとき，放物線 y ＝ a x 2 ＋ b x ＋ c の頂点の座標が（−１，d ）となる確率を求めなさい。ただし，さいころの目は１から６まであり，どの目も出る確率は等しいものとします。

ＭＢ１−６

問題19. ＯＡ＝３，ＯＢ＝４，∠ＡＯＢ＝６０°である△ＯＡＢにおいて，辺ＯＡの中点を通りＯＡに垂直な直線と，辺ＯＢの中点を通りＯＢに垂直な直線との交点をＱとします。ＯＡ＝ a ，
ＯＢ＝ b とするとき，ＯＱを a ，b を用いて表しなさい。

1f x ）＝ （４x −２t ）f（ t ）dt ＋３を満たす関数 （f x ）を求めなさい。
問題20. （−1※「数検」「数検／数学検定」「数検／Suken」は当協会に専用使用権が認められています。