MÓDULO 4ASPECTOS DIDÁCTICO-CURRICULARES
Competencia: “Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de Gestión dedatos e incertidumbre”.
-

Gráficos estadísticos
Medidas estadísticas
Probabilidad

MÓDULO 4

Dirección Regional de
Educación de Lima
Metropolitana

ASPECTOS DIDÁCTICO-

Jr. Julián Arce N.° 412(Ref. cdra. 4 de Av.
Canadá) - Santa Catalina,
La Victoria.

CURRICULARES
Sesión 1
Se proponen actividades de reflexión y reconocimiento de los tipos de tarea
que se requieren para lograr el aprendizaje orientado a la interpretación de
gráficos. Asimismo, se presentan lecturas para reconocer en los medios deprensa un recurso para desarrollar la estadística. Por otro lado, se plantean
actividades diversas que involucran el uso de recursos y materiales necesariospara desarrollar la competencia.
Sesión 2
Se proponen actividades para la resolución de situaciones relacionadas con
medidas de tendencia central y dispersión. Asimismo, los participantes
reflexionarán sobre el proceso de resolución de problemas relacionados a lasmedidas estadísticas. Finalmente, se plantean situaciones problemáticas que
permiten reconocer estrategias útiles para la enseñanza y el aprendizaje de laestadística.
Sesión 3
Se propone una lectura relacionado a los diversos enfoques de la probabilidad.
Asimismo, se plantean actividades orientadas a la comprensión de los tipos deproblemas y las técnicas y recursos probabilísticos más idóneos para dichas
tareas. Asmimismo, se desarrollan actividades que integran aspectos de la
didáctica, lo curricular y lo disciplinar relacionado a la probabilidad.

http://www.drelm.gob.pe/

Equipo de elaboración:
 Pedro David
Collanqui Díaz Jaime Luis Soto
Castro Kasper Michael
Gutiérrez Ibaceta

Lima, Perú1

El módulo de formación curricular y didáctica para docentes está organizado de la siguiente manera:
Duración del módulo: 15 horas de modalidad presencial.
 15 horas de modalidad no presencial.
 3 sesiones.
Temas a trabajar por sesión: Lectura:“La prensa en las aulasde matemáticas”• Lectura:“Comprensión ypropiedades delpromedio”

 Lectura:“Carácter multifacético
de la probabilidad”

 Desarrollo desituaciones: propósito
de la encuesta y tipos depreguntas• Desarrollo desituaciones:
recomendaciones parala enseñanza de laestadística•Análisis: recursos para
resolver problemas deprobabilidad

 Análisis:
representaciones
gráficas estadísticas

 Estrategias deaprendizaje yenseñanza relacionadas
con la estadística(Utilizando sesiones dela JEC e ítems de laevaluación PISA)• Análisis: los medios deprensa y el aprendizaje
de la estadística Estrategias deaprendizaje yenseñanza relacionada
con la probabilidad.
(Utilizando sesiones dela JEC e ítems de laevaluación PISA)

 Estrategias deaprendizaje yenseñanza relacionadas
con la estadística(Utilizando sesiones dela JEC e ítems de laevaluación PISA)

Productos esperados:

Reflexión detrabajo grupal

2

Sesión 1

Contenido

Lectura: “La prensa en las aulas de matemáticas”

Desarrollo de situaciones: propósito de la encuesta y tipos de preguntas

Análisis: análisis de representaciones gráficas estadísticas



Estrategias de aprendizaje y enseñanza relacionadas con la estadística (Utilizando sesiones
de la JEC e ítems de la evaluación PISA)

Competencias que desarrollará el docenteExpresa ideas relacionados al uso de la prensa para desarrollar aprendizajes estadísticos.

Reconoce las características de la encuesta y los tipos de preguntas.



Analiza las representaciones gráficas elaboradas y las dificultades de aprendizaje
reconocidas en ellas.

Propone maneras de solucionar un problema y los desarrolla en equipos de trabajo a fin dedefinir planteamientos didácticos específicos.

3

1.1

La prensa en el aula de matemáticas
En el contexto actual estamos realizando todas nuestras actividades en una sociedad de lacomunicación; en las prácticas educativas, la escuela no puede estar ajena a este espacio, donde sereconoce el tránsito de gran información y el desarrollo permanente de conocimientos. Por ello, lasactividades docentes exigen precisamente reconocer los recursos principales con los que se divulga la
información.
La educación debe preparar a los estudiantes para que sean capaces de controlar el medio social ycultural en el que se desenvuelven. Para ello es importante conocerlo, de ahí la importancia defomentar el interés por los temas de actualidad.
El periódico y otros medios impresos son algunos de los recursos que deben ser adecuados parapromover aprendizajes en la escuela porque permiten que los estudiantes trabajen con la lectura degráficas, fomentan una actitud crítica y reflexiva respecto a la información, estimulan la investigación yenseñan a compartir la información con los demás.
Esto involucra leer el periódico con ojos matemáticos. Por ejemplo:1-

En titulares
En ellos se puede localizar todas las expresiones relacionadas con estadística (frecuencias, valores
medios, comparaciones y relaciones entre características, etc.) de los titulares de los periódicos.

-

En noticias
o Valorar el espacio dedicado a noticias en distintos periódicos, calculando el porcentaje depáginas con noticias respecto al total (porcentaje de páginas con noticias), el porcentaje denoticias respecto al número de páginas con noticias (índice de noticias por página) y elporcentaje de noticias respecto al número total de páginas (densidad total de noticias).
o Valorar la información estadística respecto al contenido de la noticia, indicando si aporta
datos nuevos, si complementa las afirmaciones, si se escogen tablas y gráficos adecuados, etc.
o Comparar la misma noticia publicada en distintos medios de comunicación.
o Elaborar tablas o gráficos a partir del texto de una noticia.
o Completar huecos en una noticia basándose en los datos que se aportan en la misma noticia en
forma literal o bien en tablas y gráficos.
o Analizar informaciones deportivas en las que se adjunten datos numéricos.

-

En anunciosoo-Agendasooo-

Estudio de los juegos de azar.
Estudio de la evolución de los datos meteorológicos a lo largo de un tiempo.
Estudio de la correlación existente entre las temperaturas previstas y las reales.

Opiniónooo-Valorar la oferta y la demanda de empleo en los anuncios por palabras, durante varios días.
Valorar el número de páginas con anuncios y el espacio que ocupan en una revista dominical.

Localizar artículos de opinión en los que haya referencias estadísticas o traten de estudios
estadísticos. Ejemplo: editoriales, informe PISA.
Comparar el número de editoriales, artículos y cartas de opinión publicados en distintos
medios a lo largo de una semana.
Resumir los temas de las cartas al director durante un determinado periodo de tiempo yvalorar así qué problemática preocupa a los ciudadanos.

Tablas y gráficos

1

Tomado de Sonsoles Blázquez (s/f). Estadística a través de la prensa. Material de enseñanza. Valladolid: CFIE
Valladolid.

4

o
o
o
o
o
o
o

Clasificar los distintos tipos de gráficas estadísticas que aparecen en las distintas secciones.
Lectura de gráficos, valoración de la elección del gráfico.
Comparar la información de tablas o gráficos de distintos periódicos y valorar su diseño.
Seleccionar un pictograma y elaborar el gráfico de barras correspondiente.
Elaborar tablas a partir de gráficos y viceversa.
Buscar posibles errores en los gráficos que se presentan o elaborar gráficos manipulados para
ofrecer una visión distinta a la expuesta.
Calcular parámetros estadísticos a partir de tablas.

Actividad. Haciendo uso de revistas y periódicos, elabore un mapa mental con elque exprese las características que debemos de reconocer en los medios de prensa
para trabajar la estadística. Asimismo, haciendo uso del material disciplinar,reconozca los tipos de variables cualitativas y cuantitativas.

5

1.2

Propósito de la encuesta y tipos de preguntas
A continuación se muestran cuatro situaciones a partir de ellas, plantear:
Propósito de una investigación.
Población o muestra a evaluar.
Elaborar una encuesta.
Procesar la información haciendo uso de la hoja de cálculo.
Situación N.° 12
OMS: al día mueren 44 peruanos por consumo de tabaco
Domingo 1 de junio del 2014 | 07:20
Esta sustancia produce 55 males, de los cuales 17 son diversos tipos de cáncer, señala elMinisterio de Salud.

Alarmante cifra. Al día, 44 peruanos mueren por enfermedades relacionadas al consumo detabaco, según la Organización Mundial de la Salud (OMS). En nuestro país, el cigarrillo es lasegunda droga más consumida por la población después del alcohol.
Carlos Farías, presidente de la Comisión Nacional Permanente de Lucha Antitabáquica (Colat),
afirmó que un reciente estudio concluye que nuestro país es uno de los menos recaudadores de laregión.
“Los precios de los cigarrillos son de los más cómodos. Se trata de 1,8 dólares en promedio,
cuando en otros países están entre 3 y 4 dólares”, dijo.
Situación N.° 23
Peruanos prefieren el rock nacional de hace 20 años
Más de la mitad de los tracks de rock que buscan los usuarios locales en la plataforma fueron
lanzados entre 1980 y 1999.

2

Peru21 (2014). “OMS: al día mueren 44 peruanos por consumo de tabaco”. Peru21. Lima, 1 de junio de 2014. Consulta:
23 de febrero de 2016. <http://peru21.pe/actualidad/oms-al-dia-mueren-44-peruanos-consumo-tabaco-2185820>
3
Alayo Orbegozo, Fernando (2015). “Spotify: Peruanos prefieren el rock nacional de hace 20 años”. El Comercio. Luces.
Lima, 24 de julio de 2015. Consulta: 23 de febrero de 2016. <http://elcomercio.pe/luces/musica/spotify-peruanos-prefierenrock-nacional-hace-20-anos-noticia-1828019>

6

Hace unos días revelamos cuán antigua es la música que escuchamos regularmente los peruanos
en Spotify. El resultado fue sorprendente: pese a que no existe una emisora radial de por medio,
nos seguimos deleitando con canciones que han sido lanzadas hace casi una década.
Para dicho cálculo nos basamos en el “mapa musical” que publicó la plataforma musical, donde se
incluyen las cien canciones que definen a los usuarios de cada localidad alrededor del mundo. En
el caso de Perú, están disponibles las preferencias de Lima y Arequipa.
En el análisis descubrimos que, respecto a los géneros musicales, el rock y sus derivados (folk,
indie, etc.) son los de mayor representatividad entre los peruanos que utilizan Spotify con 42
canciones incluidas en la lista. Le siguen el latín / tropical —que incluye a la cumbia, el reggaetón,
y el urban— con 22 tracks y la salsa con 15.
Situación N.° 34
Fútbol peruano: ¿qué equipo tiene más hinchas en el Perú?
Una compañía de estudio de opinión pública quiso resolver la gran interrogante y estos fueron losresultados. ¿Alianza Lima o Universitario de Deportes?

Alianza Lima no puede recibir mejor noticia para enfrentar a Melgar este sábado por eltorneo Apertura. De acuerdo a una encuesta realizada por la compañía CPI, es el club con mayor
número de simpatizantes en el Perú por encima de su clásico rival, Universitario de Deportes.
Según el estudio de opinión pública de CPI, que fue realizado en mayo, Alianza Lima concentra
39,9 % de hinchas en el país. Mientras que en el caso de Universitario de Deportes, 28,9 %.
Sporting Cristal, por su lado, registra el 16,3 %.
Si bien aparece por detrás de Alianza Lima y Universitario de Deportes, Sporting Cristal tiene unmotivo para sonreír. Los celestes han ido incrementando su cantidad de seguidores en los últimos
cuatro años. De 11,8 en el 2012 ahora tiene 16,3.
Situación N.° 45
MINCETUR: turismo registra crecimiento en 7 % por feriados largos
Este fin de semana la preferencia de los viajeros fue el centro del país.
Sábado, 2 Mayo, 2015 - 13:06 0 Comentarios Economía

4

Depor.com (2015). “Fútbol Peruano: ¿qué equipo tiene más hinchas en el Perú?”. Depor. Fútbol peruano. Lima, 31 dejulio de 2015. Consulta: 23 de febrero de 2016. <http://depor.com/futbol-peruano/alianza-lima-universitario-deportessporting-cristal-hinchas-cpi-1049675>
5Radio Nacional (2015). “MINCETUR: Turismo registra crecimiento en 7 % por feriados largos”. Radio Capital. Economía.
Lima, 2 de mayo de 2015. Consulta: 23 de febrero de 2016. <http://www.radionacional.com.pe/informa/economia/minceturturismo-registra-crecimiento-en-7-por-feriados-largos>7

Un crecimiento entre 6 y 7 por ciento del turismo se ha registrado debido a los feriados largos por
fiestas, afirmó la titular del Ministerio de Comercio Exterior y Turismo (MINCETUR), Magali Silva.
Informó que en lo que va del año se registró un crecimiento de 11 % en el turismo receptivo, en
comparación al mismo periodo del año pasado. “Hemos visto que para este fin de semana largo se
han movilizado 800 000 personas, estos feriados largos están creciendo alrededor de 6 y 7 por
ciento, lo cual son divisas para la economía, que genera empleo y moviliza los negocios”.

Ideas importantes
Los propósitos que debe cumplir la encuesta6
Las encuestas deben cumplir dos propósitos:
El primero es el de traducir los objetivos de lo que se quiere averiguar en preguntas específicas.
Cada pregunta debe transmitir a la persona o al grupo al que se encuesta la idea o ideas que
recoge el objetivo, lo que se pretende conocer; para cada pregunta deberá recogerse una
respuesta susceptible de análisis, de manera que los resultados satisfagan los objetivos de laencuesta. Las preguntas deberán formularse de manera que la respuesta refleje exactamente la
posición de la persona o del colectivo a la que va dirigido.
El segundo propósito de la encuesta es ayudar al entrevistador a provocar motivaciones en el
encuestado, para que transmita la información requerida. Debe ayudar a crear las circunstanciaspara que el encuestado se comunique plena y libremente.
En la formulación de una encuesta se siguen ciertas normas que ayudan a asegurar que la
información recogida sea significativa:

61.

La primera norma se refiere a la elección del lenguaje, es decir, que el vocabulario y la sintaxis(construcción de las expresiones, los conceptos) ofrezcan la mejor oportunidad paratransmitir las ideas, completa y exactamente, entre el entrevistador y su interlocutor.

2.

El lenguaje de la encuesta, debe parecerse mucho al del entrevistado. Por esto es clave tenerclaro el grupo al que va dirigida la encuesta. Se pueden crear preguntas con términos que laspersonas no entiendan y es muy probable que por vergüenza no pregunten y escojan
cualquier respuesta. Esto alterará los resultados y la información que se obtenga no seráválida y llevará a que se trabaje con base en necesidades que la población no tiene.

3.

Es importante que la encuesta se empleen los términos que contengan los puntos que losentrevistados deban aportar sobre el tema en cuestión. Al respecto, es esencial situarse en lamisma situación en el que se encuentra el entrevistado; ponerse en la perspectiva del sujetopara diseñar las preguntas en función de éste.

4.

Para la formulación de una buena encuesta, es necesario ofrecer un conjunto de respuestas
que satisfagan las normas del entrevistado acerca de lo que es socialmente correcto.

5.

Las preguntas deben limitarse a una sola idea o a un solo concepto.

Tomado parcialmente de FiloCosta (s/f). ¿Cómo elaborar encuestas? Consulta: 23 de febrero de 2016.

<http://blocs.xtec.cat/filocostaillobera/files/2012/09/encuestas.pdf>

8

6.

El orden consecutivo de las preguntas nos permite que éstas sean más lógicas para la persona
interrogada. Toda entrevista bien elaborada, debe facilitar el paso de una pregunta a otra; loque a menudo hace que el interrogado se anticipe mentalmente a la pregunta siguiente,
porque le parece que lógicamente sigue en el tema.

7.

El encadenamiento de las preguntas puede también determinarse por lo que se denomina elefecto embudo. Esto es, hacer primero la pregunta más general o menos restringida yposteriormente las preguntas más restrictivas o específicas, de lo general a lo particular. En
ello hay que considerar que las primeras preguntas provocan las motivaciones iniciales paraque el entrevistado participe más a fondo.

8.

El tiempo para responder las encuestas no deberá tomar más de 30 minutos, preferiblemente
aún menos tiempo.

Tipos de preguntas para las encuestas 7
Según la contestación que admitan tenemos lo siguiente:a) Preguntas abiertas. Son aquellas que solo formulan la pregunta, sin establecer
categorías de respuesta, el entrevistado responde lo que cree adecuado y se extiende
todo lo que desee. Se deben utilizar muy poco en las encuestas porque después de laencuesta hay que cerrarlas y luego estandarizarlas.
b) Preguntas cerradas. Son aquellas en las que el entrevistado solo tiene que elegir larespuesta que más se acerque a su opinión.


Elección única: solo puede ser elegida una opción de entre las opciones planteadas enla pregunta. Son preguntas excluyentes entre sí.
oDicotómicas: son preguntas que se responden con un “Sí” o con un “No”, o en
su defecto “No sabe”, “No contesta” o “No responde”.

oPolitómicas: también conocidas como categorizadas, presentan varias
alternativas para que el encuestado elija la más conveniente.

Elección múltiple: se utiliza cuando las opciones de respuesta no son excluyentes
entre sí.



Ranking: consiste en jerarquizar las diferentes respuestas ordenándolas según
considere el encuestado. Por ejemplo, por orden de preferencia.

Escala: se utiliza para evaluar el grado de intensidad o sentimiento de una
característica o variable que se está midiendo.
-

Numérica: la característica se evalúa numéricamente. Pueden ser escalas de 1 a 10, de 1 a5, etc. Por ejemplo, “¿Qué te pareció la visita? Gradúala de 1 a 10, donde 1 es la menor
expresión y 10 la máxima”.

-

Nominal: en vez de números, estos son sustituidos por palabras o frases. Por ejemplo,“¿Qué te pareció la visita? ‘Me gustó mucho’, ‘Me gustó’, ‘No me gustó’, ‘No me gustó nada’”o “¿Vas al cine? ‘Muchas veces’, ‘A veces’, ‘Casi nunca’, ‘Nunca’”.

-

Likert: la escala de Likert es muy utilizada en las encuestas y su uso contiene una granutilidad para medir actitudes. Esta escala se diferencia con el resto en que no solo
medimos una variable sino varias que tienen que estar relacionadas entre sí. En próximos
artículos será mencionada con más detenimiento.

Según su contenido:a) Identificación: sitúan las condiciones en la estructura social. Ej.: edad, sexo, profesión.
b) Acción: tratan sobre las acciones de los entrevistados. Ej.: ¿va al cine? ¿Fuma?
c) Intención: indagan sobre las intenciones de los encuestados. Ej.: ¿va a votar?

7

Adaptado de E-encuestas (s/f). “Tipos de pregunta en la encuesta”. Consulta: 23 de febrero de 2016. <http://www.eencuesta.com/blog/2015/tipos-de-pregunta-en-la-encuesta/>9d) Opinión: tratan sobre la opinión de los encuestados sobre determinados temas. Ej.: ¿qué
piensa sobre...?
e) Información: analizan el grado de conocimiento de los encuestados sobre determinados
temas.
f)

Motivos: tratan de saber el porqué de determinadas opiniones o actos.

Según su función en el cuestionario:a) Filtro: se utilizan mucho en los cuestionarios para eliminar a aquellas personas a las que
no les afectan determinadas preguntas; es decir, que marcan la realización o no depreguntas posteriores.
b) Batería: todas las preguntas tratan sobre un mismo tema y siempre deben ir juntas en elcuestionario en forma de batería, empezando por las más sencillas y luego las máscomplejas. Esto se denomina embudo de preguntas.
c) De control: se utilizan para comprobar la veracidad de las respuestas de los encuestados;
normalmente lo que se hace en estos casos es colocar la misma pregunta pero redactada
de forma distinta (las preguntas deben estar separadas una de otra).

10

1.3

Análisis de representaciones gráficas estadísticas8
A continuación se muestra representaciones gráficas estadísticas elaboradas por estudiantes deentre 10 y 14 años. Observa cada caso y comparte tus apreciaciones en tu equipo de trabajo.
Caso N.° 1

8Adaptado de Arteaga, Pedro, Carmen Batanero, Juan Jesús Ortiz y José Miguel Contreras (2011). Sentido numérico ygráficos estadísticos en la formación de profesores. Granada: Universidad de Granada. Consulta: 21 de febrero de2016.<http://www.ugr.es/~jmcontreras/pages/Investigacion/articulos/2012Publicaciones.pdf>

11

Caso N.° 2

12Caso N.° 3

13

Caso N.° 4

Ideas importantes¿Qué errores y dificultades pueden mostrar los estudiantes en el desarrollo de lacompetencia?
Fallos en la formación de la distribución de frecuencias a partir de una lista de datos
Se reconoce que no fueron capaces de formar una distribución de frecuencias a partir de una lista dedatos. En consecuencia, no llegaron a agrupar los valores iguales (o similares) de cada una de lasvariables en estudio ni a calcular la frecuencia con la que aparecía dicho valor. En caso de representarúnicamente sus datos (y no los del conjunto de la clase) tratan de resolver el problema planteado con
un único elemento de la muestra y no con la muestra completa, es decir, no utilizan la idea de variable
estadística.

Los estudiantes no llegan a la idea de variable estadística ni a la de frecuencia asociada a cada valor ode distribución de frecuencias de la variable. Muestran, por tanto, dificultades en la clasificación delos valores obtenidos de la variable y su recuento; utilizan una ordenación arbitraria y no son capaces
de llegar a una representación gráfica adecuada de los datos. También confunden variable y unidad
estadística, no siendo capaces de dar sentido a los datos recogidos en el contexto presentado.

Errores en las escalas o divisiones de los ejes
Se reconocen los errores descritos por Li y Shen (1992):-

Elegir una escala inadecuada para el objetivo pretendido, que no cubre todo elcampo de variación de la variable representada o que es excesivamente amplia.
Omitir las escalas en alguno de los ejes horizontal o vertical, o en ambos.
No especificar el origen de coordenadas. Además, algunos estudiantes emplean
escalas no homogéneas, mostrando fallo de razonamiento proporcional. , además defallo en razonamiento proporcional hay errores al representar cantidades
numéricas en la recta real.

14

Elección de un gráfico inadecuado
Eligen un gráfico que no representa adecuadamente la tendencia o la variabilidad de los datos. Se
observa que no comprenden bien las opciones que ofrece el software. Según Ben-Zvi y Friedlander(1997), se realiza un uso acrítico del software, ya que se construye el gráfico aceptando las opciones
por defecto de la hoja Excel, sin valorar si la representación es adecuada o no.

Confusión entre variable dependiente e independiente en un gráfico
En algunas situaciones no realizan la distinción entre valor de la variable estadística y frecuencia.
Bien intercambian los ejes para representarlas o bien las representan conjuntamente en un diagramade barras adosadas. Estos estudiantes no relacionan las distintas formas de representación numérica
con sus aplicaciones, ya que no discriminan las magnitudes que intervienen en el problema.
Este conflicto ya fue detectado por Ruiz (2006) en un estudio de comprensión de la variable aleatoria
y lleva consigo una mayor dificultad en la lectura e interpretación del gráfico. Además, la moda eneste caso es más complicada de detectar visualmente. Esto conlleva una mayor dificultad en lacomparación de los gráficos de la secuencia simulada y la secuencia real y, por lo tanto, en lainterpretación y extracción de conclusiones para dar respuesta a la pregunta planteada en elproyecto. A pesar de estos problemas el estudiante es capaz de agrupar los datos brutos y llegar alconcepto de variable estadística y frecuencias y utilizar la idea de proporcionalidad en laconstrucción del gráfico.
Representación incorrecta de intervalos en la recta numérica
Aunque los datos obtenidos para realizar los gráficos solo tomaban valores enteros, algunos
estudiantes representan las frecuencias en un histograma, que es un gráfico adecuado solo paravariables continuas o variables agrupadas en intervalos. En este caso, los estudiantes al representar
los intervalos en la recta numérica, encuentran dificultades representando intervalos con extremo
común como si fuesen intervalos disjuntos. Hay también falta de comprensión del significado de unintervalo de valores en la recta numérica y del propósito del área en un histograma (que es
representar las frecuencias en el intervalo base del mismo, de manera que cada barra del histogramaes proporcional a la frecuencia de los valores representados). Además hay confusión entre elsignificado de los valores extremos de un intervalo en la recta numérica y la marca de clase delintervalo.
Cálculo de resúmenes estadísticos a partir de gráficas
El estudiante es más propenso a utilizar fórmulas matemáticas cuando tiene que determinar un
resumen estadístico en vez de utilizar las gráficas directamente y basarse en las propiedades
geométricas de las mismas. Por ejemplo, a la hora de calcular la moda o los percentiles a partir de una
gráfica, la mayoría de los estudiantes optaban por aplicar las formulas (en la mayoría de los casos dedificultad de memorización) en vez de utilizar un desarrollo geométrico basado en la semejanza detriángulos, donde también hay que aplicar la proporcionalidad (concepto difícil para los estudiantes).
Interpretación de información numérica de los gráficos
Un último problema es que aunque hacen una lectura literal, no llegan a visualizar las tendencias opatrones numéricos en los datos. Aunque llegaron a construir un gráfico que visualizaba la
distribución de los datos, estos se pueden presentar sin ninguna interpretación. Solo una tercera
parte de los estudiantes fue capaz de visualizar la posición central y dispersión a partir del gráfico, yde ellos solo un 13 % dio una conclusión correcta sobre la pregunta planteada en el problema.

15

1.4

Orientaciones para la enseñanza y el aprendizaje relacionados con laestadística
A continuación, resuelva los siguientes problemas. Reconozca en ellos la competencia y las
capacidades y proponga los indicadores para el grado. Asimismo, plantee el uso de una orientación
didáctica y reconozca los aspectos didácticos.
Los problemas mostrados fueron propuestos por la Dirección de Educación Secundaria (2015) en laplataforma Jornada Escolar Completa.
Problema N.° 1

16Problema N.° 2

17Problema N.° 3

18Problema N.° 4

19Problema N.° 5
Se encuesta a un grupo de personas para saber cuál de cinco ingredientes considera más
nutritivo. Los resultados se muestran en la siguiente figura:

Cuestionario:
a)
b)
c)

¿Qué tipo de respuesta dieron los encuestados? ¿Un valor numérico o no numérico?
¿Es útil calcular la moda en este caso? ¿Por qué? ¿Cómo interpretarías su valor?
Un estudiante del primer año está empeñado en calcular el promedio de este conjunto dedatos. ¿Será eso posible? ¿Por qué?

Problema N.° 6
Organizando datos relacionados al consumo de energía eléctrica
En grupo, organiza los datos relacionados al consumo de energía eléctrica. Para empezar, indica lacantidad de soles que se pagó en el último mes.
- Con los datos obtenidos, elabora una tabla de distribución de frecuencias agrupándolos en intervalos.
Calcula lo siguiente:a) Hallando el Rango (R):b) Hallando el número de intervalos (k):c) Hallando la amplitud (A):d) Determinando los intervalos:e) Hallando la marca de clase (mi):Organiza la tabla de distribución de frecuencias.
Tabla de distribución de frecuencias

Intervalos
(Ii)

Ii
-

Marca
de clase(Mi)

Frecuencia
Absoluta
simple (fi)Frecuencia
Absoluta
Acumulada
(Fi)

Mi

fi

Fi

Frecuencia
relativa
simple (hi)Frecuencia
relativa
acumulada(Hi)

Frecuencia
relativa
porcentual
simple
(hi%)

hi

Hi

hi%

Frecuencia
relativa
porcentual
acumulada
(Hi%)
Hi%

A partir de los datos obtenidos en la tabla de distribución de frecuencias, calcula las medidas detendencia central para datos agrupados y realiza su interpretación.

20

Sesión 2
Contenido
 Lectura: “Comprensión y propiedades del promedio”
 Desarrollo de situaciones: recomendaciones para la enseñanza de la estadística Análisis: los medios de prensa y el aprendizaje de la estadística Estrategias de aprendizaje y enseñanza relacionadas con la estadística (Utilizando sesiones dela JEC e ítems de la evaluación PISA)

Competencias que desarrollará el docente Expresa ideas y conceptos con respecto al promedio.
 Reconoce condiciones para resolver problemas de medidas estadísticas
 Formula procesos para solucionar un problema y los desarrolla en equipos de trabajo, para lo
cual concreta planteamientos didácticos específicos.

21

2.1

Comprensión y propiedades del promedio
Lectura9
En un artículo sobre proporcionalidad, el autor (Flores, 1995) describe la diversidad de circunstancias
en las que aparece el promedio. En este artículo cita dos maneras de calcular el promedio, las cuales sedan a continuación.
El promedio se puede obtener de dos maneras matemáticamente equivalentes, dependiendo de cómo
están presentados los datos. Para una lista de datos, x1, x2, ..., xn, el promedio se expresa como:

Si por otro lado, los datos están enumerados con sus frecuencias absolutas respectivas (f 1, f 2, ..., f n), el
promedio se expresa de la siguiente manera:

Este procedimiento es conocido como el algoritmo del promedio ponderado (el número de veces que
aparece cada dato es su “peso” o su ponderación). Por ejemplo, si un profesor realizó cuatro exámenes
durante un mes y desea contarlos con diferentes “pesos”: 10 % el primero, 20 % los siguientes dos y
50 % el final, y desea obtener el promedio de las calificaciones de sus estudiantes, tendrá que realizar
un promedio ponderado.
Esta idea de ponderación es más general y aparece en problemas de velocidades, mezclas, etc. Porejemplo, si un automóvil viaja a una velocidad de 100 km/h durante 2 horas y después viaja a 40 km/h
durante la siguiente hora, su velocidad promedio no será de 70 km/h. El promedio debe realizarse
ponderado, usando los tiempos como “pesos”. De esta manera, la respuesta correcta será de 80 km/h.
En un segundo ejemplo, si se mezclan dos metales en una razón de 4 a 1 y sus valores monetarios
respectivos son diferentes, el valor de la aleación resultará ser un promedio ponderado de los valores
de los dos metales. Otro de los trabajos pertinentes a la presente investigación es un estudio sobre eldesarrollo del concepto de promedio aritmético en niños (Strauss y Bichler, 1988). En él se citan siete
propiedades fundamentales del promedio, las cuales se enlistan a continuación (en cada una de ellas
hemos incluido un ejemplo a manera de explicación):a.

El promedio se localiza entre los valores extremos. Por ejemplo, el promedio de lasedades de un grupo de personas no puede ser mayor que la edad de la persona más
adulta ni ser menor que la edad de la persona más joven.

b.

La suma de las desviaciones desde el promedio es cero. Por ejemplo, el promedio de 1,
2, 3, 4, 5 y 6 es 3.5 y, por tanto, tenemos que: (3.5 – 1) + (3.5 – 2) + (3.5 – 3) + (3.5 – 4)
+ (3.5 – 5) + (3.5 – 6) = 0c.

El promedio es afectado por valores diferentes a él. Por ejemplo, si el promedio decalificaciones de un estudiante durante 5 años es de 9, cualquier calificación
subsecuente diferente de 9 cambiará su promedio.

d.

El promedio no es necesariamente igual a uno de los valores que fueron sumados. Porejemplo, el promedio de 1 y 3 es 2. Este valor no forma parte de los datos que fueron
promediados.

e.

El promedio puede ser una fracción que no tiene contraparte en la realidad física. Porejemplo, el promedio del número de hijos por familia de una población determinada
puede ser de 4.7. Este valor decimal no tiene un significado claro dentro de la variable
promediada que puede tener solo valores discretos enteros.

Tomado Mochón, Simón y María Margarita Tlachy Anell (2003) “Un estudio sobre el promedio: concepciones y dificultades en
dos niveles educativos”. Educación Matemática, volumen 15, número 3, pp. 5-28.
9

22

f.

Cuando se calcula un promedio, deben ser tomados en cuenta los valores de cero. Porejemplo, al promediar las calificaciones de un grupo de estudiantes en un examen,
debemos incluir todos los ceros que haya.

g.

El promedio es un valor representativo de los valores que fueron promediados. El
promedio de los sueldos de las personas en una región determinada es un indicador
de alrededor de qué valor se centra esta variable.

Mokros y Russell (1995) investigaron la noción de representatividad del promedio con niños en grados
escolares del cuarto al octavo. Encontraron cinco acercamientos diferentes al resolver problemas depromedio, los cuales se dan a continuación con una pequeña explicación:a) Promedio como moda. En este enfoque los estudiantes manejan el promedio como elvalor modal, es decir, como el valor que ocurre con mayor frecuencia. Muestrantambién una falta de flexibilidad en la elección de estrategias.
b) Promedio como algoritmo. Aquí los estudiantes eligen un acercamiento
exclusivamente algorítmico para encontrar el promedio, lo cual resulta con frecuencia
poco efectivo.
c) Promedio como algo razonable. En éste, los estudiantes se basan en su experiencia
cotidiana y en su intuición para resolver los problemas. Usualmente, estos estudiantes
tienen la noción de que el promedio está más o menos centrado dentro de los datos.
d) Promedio como punto medio. Estos estudiantes usan el concepto de punto medio en
sus construcciones e interpretaciones para definir el promedio. Impera en ellos la idea
de una distribución simétrica.
e) Promedio como punto matemático de balance. En esta noción, que aparece enestudiantes de mayor edad, el promedio es visto como un punto de balance, para elcual, un valor mayor tiene que balancearse con uno menor.
Varios investigadores señalan problemas de comprensión acerca del promedio. Strauss y Bichler(1988), mediante tareas presentadas a niños de 8 a 14 años de edad, estudiaron la dificultad de cadauna de las propiedades mencionadas anteriormente.
Estos autores concluyeron que estas propiedades podrían dividirse por su dificultad en dos grupos,
siendo las más complejas, las propiedades “b” (suma de desviaciones = 0), “f” (ceros en los datos) y “g”(representatividad del promedio). Estos investigadores sugieren que la instrucción del promedio en elsalón de clase se debe realizar en dos tiempos diferentes; uno atendiendo a las propiedades más
sencillas y el otro a las propiedades más difíciles. Otras investigaciones registran que el promedio es
utilizado principalmente como una regla de cálculo, sin poderle dar una interpretación al valor
obtenido (Gattusso y Mary, 1996; Gattusso, 1997). En estos estudios se registran las concepciones quetienen los estudiantes de diferentes niveles de escolaridad sobre el concepto de promedio. Estos
autores concluyen que el promedio no es un concepto fácil de entender. Por último, Pollatsek, Lima yWell (1981) estudiaron la noción del promedio y el promedio ponderado en estudiantes universitarios.
Un problema del tipo usado en este estudio es el siguiente. Puesto que el peso promedio de 6 hombres
es de 180 libras y el peso promedio de 4 mujeres es de 125 libras, se preguntó a los estudiantes cuál
sería el peso promedio de las 10 personas. Sus resultados indicaron que una gran proporción de losestudiantes no tiene un buen sentido de los promedios ponderados. Estos autores atribuyen estos
problemas a la enseñanza de tipo de reglas de cálculo y recetas sin que los estudiantes obtengan una
comprensión de los conceptos
Actividad. Elabora un cuadro comparativo que exprese las características delpromedio y acuerda en tu equipo de trabajo a que comprensión del promedio se
deberá dar más énfasis en el VI y VII ciclo de la EBR.

23

2.2

Recomendaciones para la enseñanza de la estadística
Resuelve los problemas y reconoce cuáles son sus características.
Situación N.° 110
Sabiendo que el consumo de combustible fue estudiado para cada una de las empresas líderes enla confección de calzado de los países del Mercosur, realice el análisis respectivo para las medidas
que se presentan a continuación; además, establezca cuál de las tres empresas es la más
homogénea y cuál de las tres es la que gasta más combustible.

Media

Mediana

Moda

C.V.

Empresa A

1025,8 L

898,3 L827,8 L 35 %Empresa B

758,29 L

645,8 L

545 L

66 %

Empresa C 9427,01 L

7305 L

7800 L50 %Situación N.° 211
Un grupo de economistas realizó un diagnóstico sobre los trabajadores de la empresa productorade los lácteos que más se exportan en la región, durante el año 2006. Los valores registrados porlas variables para cada mes del año 2006 fueron para la cantidad de horas trabajadas por día (X1);
cantidad de trabajadores (X2); litros de lácteos producidos por trabajador (X3), nivel derendimiento de los trabajadores (X4) y modo de traslado utilizada para llegar a la empresa (x5donde 1 = auto; 2 = moto; 3 = ómnibus, 4 = caminando).
Período

X1

X2

X3

X4

X5

1. Identifique la población objeto de estudio.

Ene 2006
Feb 2006
Mar 2006
Abr 2006
May 2006
Jun 2006
Jul 2006
Ago 2006
Set 2006
Oct 2006
Nov 2006
Dic 2006

4
5
1
2
1
4
2
3
4
3
4
3

30
12
34
12
8
20
42
24
14
8
55
7

2
8
12
2
20
8
2
4
20
24
4
24

Alto
Medio
Bajo
Bajo
Medio
Medio
Alto
Bajo
Bajo
Medio
Alto
Bajo

1
1
3
1
2
4
2
3
1
1
2
4

2. Identifique la unidad de análisis.
3. ¿Cuál es la escala de medición de cada una de las variables que
aparecen en la base de datos?
4. ¿Cuál es la cantidad de horas promedio de trabajo por día delos trabajadores lácteos?
5. ¿Cuál es el porcentaje de variación de los litros de lácteos?
6. El personal de la empresa se traslada mayoritariamente en……….
7. ¿Qué gráficos podría realizar para describir la variable X4?

10

24

Tomados de Repetto, Farías, Vigna, Alessandrini, Benitez (2012). Ejercicios sobre Medidas de Posición, Tendencia
Central y Dispersión. Material de enseñanza. s/l: Estadística RRII-Facultad Derecho.
11
Ídem.

Situación N.° 312
A partir de los datos sobre las importaciones y exportaciones, expresados en dólares americanos,de los diferentes tipos de cultivos de América Latina en los años 2006 y 2007 que se presentan acontinuación, resuelve.

a) Calcular y completar las medidas que faltan en el cuadro resumen.

b) ¿Cuál es el tipo de cultivo que más se importa para el año 2006?
c) Realice un análisis descriptivo de las importaciones que realizó América Latina en cadaaño.
d) Realice una comparación de las importaciones de los diferentes tipos de cultivos
realizadas el año 2006 y 2007.
e) Determine cuál de los dos años estudiados es el que registra mejor situación en las
importaciones de cultivos en América Latina.

Ídem.

25

12

Situación N.° 4

a. Identifique la variable y el tipo de variable.
b. Plantee un tipo de gráfica estadística.
c.

Determine la media aritmética, la mediana y la moda.

Situación N.° 513
Para resolver el siguiente problema, se recomienda formar grupos de seis estudiantes parainterpretar paso a paso la solución del problema, los cuales serán guiados por el docente.
Resuelve los problemas siguientes:
Para determinar el grado de sobrepeso de los estudiantes de tercero de Secundaria de un colegio
particular se tomó una muestra de 24 estudiantes. Los resultados fueron los siguientes:
62,2 53,2 60,2 55,6 65,8 49,6
57,3 62,3 65,2 62,2 49,9 46,4
54,2 50,1 61,1 42,3 44,8 40,9
66,9 60,2 61,4 51,2 56,2 43,3
Con respecto a esta información:d. Identifiquen la variable y el tipo de variable.
e. Elaboren una tabla de frecuencias para datos agrupados.
f.

Elaboren un histograma con su polígono de frecuencias.

g. Determinen la media aritmética, la mediana y la moda.
13

26

Ministerio de Educación del Perú (2007). Matemática. Serie 3 para docentes de Secundaria. Teoría de matemática
básica. Fascículo 10: la estadística y sus aplicaciones. Lima: Minedu. Consulta: 23 de febrero de 2016.
<http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s3_f10.pdf>

h. Establezcan una relación entre estas tres medidas de tendencia central y
determinen el tipo de simetría, interpretando los resultados.
i.

Calcula el valor de dispersión y el coeficiente de variaciónj.

Interpreta la asimetría de la distribución.

Situación N.° 614• Los diámetros en centímetros de 50 lapiceros fabricados por una cierta compañía se muestranen la siguiente tabla.
0,529 0,538 0,532 0,529 0,535 0,536 0,534 0,542 0,537 0,530 0,538
0,536 0,536 0,536 0,526 0,525 0,524 0,543 0,530 0,539 0,542 0,528
0,546 0,532 0,534 0,535 0,539 0,527 0,544 0,527 0,535 0,534 0,540
0,540 0,536 0,532 0,535 0,535 0,535 0,528 0,541 0,531 0,540 0,532
0,535 0,533 0,535 0,537 0,537 0,545
Con respecto a esta transformación:a. Identifica la variable y clasifícala.
b. Determina el número de intervalos de clase aplicando la fórmula de Sturges y lalongitud de los intervalos.
c.

Elabora una tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.

d. Traza el histograma, el polígono de frecuencias y la ojiva porcentual acumulada.
e. Calcula el diámetro medio, e indica la media en el histograma trazando una línea
vertical.
f.

Calcula la mediana y la moda.

g. Compara las medidas de tendencia central. Indica qué tipo de asimetría tiene la
distribución e interpreta el sesgo que presenta.
h. Calcula el valor de dispersión y el coeficiente de variacióni.

Interpreta la asimetría de la distribución.

Ideas importantes¿Qué actividades debemos de promover para desarrollar lacompetencia relacionado a estadística?15
Análisis de noticias
Se pide a los estudiantes traer recortes periodísticos sobre temas de actualidad en los cuales se evidencieel uso de la estadística o de la probabilidad. Por ejemplo, los resultados de una encuesta de opinión, el
movimiento del mercado bursátil, el crecimiento de la población, las estadísticas de mortalidad infantil, losestudios estadísticos, los resultados de experimentos, etc.
A partir del análisis de estos recortes periodísticos los estudiantes pueden ir definiendo las características
de una tabla de frecuencia o de los gráficos estadísticos. Se deben elaborar fichas de preguntas que llevenal estudiante a observar algunos detalles, como por ejemplo:
14

Ídem.
Ministerio de Educación del Perú (2007). Matemática. Serie 2 para docentes de Secundaria. Didáctica de laMatemática. Fascículo 5: aspectos metodológicos en el aprendizaje de la probabilidad y de la estadística en Secundaria.
Lima: Minedu. Consulta: 23 de febrero de 2016.
<http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s2_f5.pdf>
15

27



¿Cuáles son las variables objeto de estudio en esta noticia?

¿Cuál es la población y cuál es la muestra?



¿Cuál es la diferencia entre población y muestra?

¿Qué entiendes por frecuencia?

¿Qué tipos de frecuencias encuentras?

¿Qué representan los datos expresados en porcentajes?

Análisis de gráficas
La comprensión de las gráficas que aparecen en los periódicos es una de las habilidades básicas
imprescindibles para entender nuestro mundo tan basado en la información. Hay que estar atentos a lavariedad de gráficos que se presentan hoy en día en los medios de comunicación para poder trabajar ennuestras clases con todos los tipos posibles.
Algunas recomendaciones para trabajar con gráficos estadísticos de la prensa en nuestras clases:Buscar todas las gráficas que hay en uno o varios periódicos.

Clasificarlas según su tipo (cartesianas, circulares, poligonales, de barras, etc.).

Comentar que es lo que se “ve”, los tipos de gráficas que no se hayan visto antes (aquellas que
tengan un atractivo especial) y discutir su procedencia.

Comparar gráficas de un mismo tema, buscar analogías y diferencias.



Destacar los aspectos más llamativos.



Mejorar las gráficas si es posible.

Comparar los datos que aportan las gráficas con la información escrita.

Estudiar las gráficas con detenimiento para descubrir errores.

Buscar la manera de presentar las gráficas que destaquen determinados aspectos.



Determinar las características y diferencias de las diversas maneras de representar gráficamente
los datos analizados.

Estudio de unas elecciones
Las elecciones suponen un importante acontecimiento social y se realizan en nuestro medio cada cierto
tiempo. Ellas permiten estudiar mecanismos matemáticos como las encuestas. A continuación,
presentamos algunas pautas para desarrollar esta actividad con nuestros estudiantes:


Recopilar las encuestas sobre las elecciones que se presentan en distintos periódicos.



Reflexionar con los estudiantes sobre la posibilidad de comparar los diferentes resultados.

Comparar los resultados de las encuestas con los resultados reales obtenidos en las elecciones.



Determinar el periódico que presento los resultados más acertados.

Discutir los criterios que permitan hacer una clasificación de las encuestas electorales.

Elaborar encuestas y aplicarlas sobre colectivos que estén a nuestro alcance, por ejemplo: laspersonas que votan en un colegio.

Realizar el tratamiento de los resultados y compararlos con los obtenidos en las elecciones.



Representar gráficamente los resultados, utilizando los métodos más apropiados.



Estudiar el porcentaje de votantes y el porcentaje de escaños de cada una de las listas.

28

2.3

Los medios de prensa y aprendizajes de la estadística
A continuación, se presenta una relación de situaciones en las cuales se reconoce el uso de losmedios de prensa, resuelva cada situación en grupos de trabajo, asimismo, reconozca la intenciónde cada situaciones en el marco del desarrollo de competencias matemáticas. 16

Situación N.° 1
Responder las siguientes interrogantes respecto a los recortes periodisticos
Proporciones de personas que
opinan
sobre
un
tema.
¿Preguntarán a los mismos antes y
después?

Comparación entre las variables
sueldo de hombres y de mujeres a
través de la media. ¿Como se habrá
hecho el cálculo? ¿Es una media
muestral o poblacional?
Media de personas que incumplen
la normativa por semana.
¿Son siempre 20 personas?
Proporciones de personas que
opinan sobre un tema. ¿Cómo se
habrá seleccionado la muestra?

Plantear interrogantes a partir de cada una de las gráficas, de tal forma que podamos reconocer lainformación que hay en ellas.

16

29

Tomado de Sonsoles Blázquez (s/f). Estadística a través de la prensa. Material de enseñanza. Valladolid: CFIE
Valladolid.

Situación N.° 2

Situación N.° 3

Situación N.° 430Situación N.° 5
Completa los espacios en blanco, comprueba tus soluciones y localiza errores en el artículo inicial.

31

Ideas importantes¿Qué debemos
mostradas?17

depromoverenactividades

como

las

Para poder leer e interpretar tablas y gráficos es necesario, aunque no suficiente, conocer estos elementos
estructurales y los convenios relacionados con los mismos. Diversos autores han analizado las habilidades
implícitas en la lectura y comprensión de tablas y gráficos estadísticos, siendo la clasificación más
conocida la de Curcio (1989), quien definió los siguientes niveles, que también pueden considerarse parala lectura de tablas:a. “Leer entre los datos” (lectura literal del gráfico o tabla sin interpretar la información contenida
en el mismo). Por ejemplo, en la figura 1, ser capaz de ver cuántos países tienen una tasa denatalidad igual a 20 niños por 1000 habitantes o leer la esperanza de vida que corresponde a cadauno. En la tabla 1 identificar el número de niños con bajo peso en las madres fumadoras.
b. "Leer dentro de los datos" (interpretación e integración de los datos de la tabla o gráfico). Esta
capacidad requiere la comparación de datos o la realización de operaciones con los datos. Un
ejemplo en la figura 1 sería apreciar si la esperanza de vida es mayor en los países con tasa denatalidad 20 o 30 niños por 1000 habitantes o bien calcular el valor medio de la esperanza de vidaen países con tasa de natalidad igual a 20 niños por 1000 habitantes. En la tabla 1, un ejemplo
sería que la proporción de niños bajo de peso es mayor en mujeres fumadoras que no fumadoras.
c. “Leer más allá de los datos" (realizar predicciones e inferencias a partir de los datos sobre
informaciones que no se reflejan directamente en el gráfico o tabla). Por ejemplo, ser capaz deobservar que a mayor esperanza de vida en la figura 1 hay menor tasa de natalidad. En la tabla 1
deducir que hay una asociación entre las variables representadas.
Friel, Curcio y Bright (2001) amplían la clasificación anterior, definiendo un nuevo nivel “leer detrás de losdatos” consistente en valorar críticamente el método de recogida de datos, su validez y fiabilidad, así comolas posibilidades de extensión de las conclusiones. En la figura 1, alcanzar este nivel implicaría reconocerque si la política de un país hace aumentar la tasa de natalidad, ello no implicaría una reducción de laesperanza de vida en el mismo. En la tabla 1, preguntarse si la muestra de mujeres fue aleatoria o había
alguna variable que pudiera causar la asociación. Cuando se considera no solo la interpretación de losgráficos, sino también su valoración crítica, los niveles superiores se modifican ligeramente y la categoría“leer detrás de los datos”, puede subdividirse, en función de la capacidad crítica, respecto a la información
reflejada en el gráfico (Aoyama, 2007):
a.

b.

c.

Nivel racional/literal: los estudiantes leen correctamente el gráfico o tabla, incluyendo lainterpolación, detección de tendencias y predicción, pero no cuestionan la información, ni dan
explicaciones alternativas. Serían los estudiantes que en los ejemplos dados observan la relación
entre las variables, pero no tratan de explicarla.
Nivel crítico: los estudiantes leen los gráficos, comprenden el contexto y evalúan la fiabilidad de la
información, cuestionándola a veces, pero no son capaces de buscar hipótesis que expliquen ladiscordancia entre un dato y una interpretación del mismo. En los ejemplos dados, los estudiantes
podrían plantearse la posibilidad de que hubiese otras variables que afectasen a la asociación
observada, pero no serían capaces de poner ejemplos de los mismos.
Nivel hipotético: los estudiantes leen los gráficos los interpretan y evalúan la información,
formando sus propias hipótesis y modelos. Al leer la tabla o el gráfico 1os estudiantes querrían
obtener más información sobre los países con alta natalidad y baja esperanza de vida o sobre la
relación entre tabaco y peso del recién nacido en Internet u otros medios para decidir con esta
información cuál es la variable que explica la asociación observada.

Las Tablas y Gráficos Estadísticos como Objetos Culturales Pedro Arteaga, Carmen Batanero, Gustavo
Cañadas y J. Miguel Contreras (Universidad de Granada)

17

32

Adaptado de Arteaga, Pedro, Carmen Batanero, Gustavo Cañadas y J. Miguel Contreras (2010). “Las Tablas y Gráficos
Estadísticos como Objetos Culturales”. Números. s/l, volumen 76, pp. 55–67. Consulta: 21 de febrero de2016.<http://funes.uniandes.edu.co/3571/1/Arteaga2011LasNumeros76.pdf>

2.4 Orientaciones para la enseñanza y aprendizaje relacionados
con la estadística
A continuación, resuelva los siguientes problemas. Reconozca, en ellas, la competencia y las
capacidades, y proponga los indicadores para el grado. Asimismo, plantee el uso de una orientación
didáctica y reconozca los aspectos didácticos.
Los problemas mostrados fueron propuestos por la Dirección de Educación Secundaria (2015) en laplataforma Jornada Escolar Completa.

Problema N.° 1

33Problema N.° 2

Problema N.° 3

34Problema N.° 4

La proyección de la temperatura y la precipitación pluvial en Puno para enero de 2014 fue lasiguiente:
Tabla 1

Para construir la tabla de frecuencia es necesario que agrupes los datos en clases con un
determinado rango o amplitud.
a. Ordena de menor a mayor los datos de las temperaturas máximas que registran lasdiferentes estaciones.
b. Determina el rango o recorrido de los datos, tomando como referencia la siguiente
igualdad: rango = valor mayor - valor menor.
c. Determina el número de intervalos k empleando:, donde n es el número deelementos de la muestra (el valor de la unidad aumenta en uno si el décimo es igual o mayor
a 5).
d. Determina la amplitud de un intervalo de clase (C). Completa los datos en la siguiente
igualdad; donde C es amplitud, R es rango y K es número de intervalos.

e. Elabora la tabla en relación a la frecuencia absoluta y marca de clase:Intervalos oclasesDonde:: marca de clase,.

: frecuencia absoluta (determina el número de veces que se repite un dato).
f.

Elabora un histograma y un polígono de frecuencias haciendo uso de una tabla en Excel.

35Sesión 3
Contenido

Lectura: “Carácter multifacético de la probabilidad”



Análisis: recursos para resolver problemas d probabilidad



Estrategias de aprendizaje y enseñanza relacionadas con la probabilidad (Utilizando
sesiones de la JEC e ítems de la evaluación PISA)

Competencias que desarrollará el docenteEnuncia ideas y comprende el concepto de probabilidad.

Analiza las representaciones gráficas elaboradas y las dificultades de aprendizaje
reconocidas en ellas.



Formula procesos para solucionar un problema y los desarrolla en equipos de trabajo. Paraello, propone orientaciones didácticas específicas.

36

3.1

Carácter multifacético de la probabilidad
Lectura18
Dado el carácter multifacético de la probabilidad es muy difícil que los estudiantes puedan
comprender las nociones probabilísticas desde un enfoque axiomático puro. Discutiremos los cuatro
enfoques de la naturaleza de la probabilidad relevantes para las matemáticas escolares: clásico,frecuencialista, subjetivista y estructural.
Enfoque clásico: de acuerdo a Laplace la probabilidad de un suceso se obtiene mediante laproporción de resultados favorables a este suceso en el espacio muestral; este enfoque asume laequiprobabilidad de todos los resultados simples del espacio muestral. Los matemáticos llaman a esta
asignación de probabilidades una distribución de probabilidad uniforme. Es un enfoque a priori de laprobabilidad que permite el cálculo de probabilidades antes de realizar pruebas aleatorias. La
probabilidad geométrica está muy relacionada con este enfoque y reduce la probabilidad a cálculo deáreas.
En el momento de la aplicación de este enfoque a un experimento aleatorio real, nos enfrentamos conel problema de decidir cuáles son los resultados simples que son igualmente probables. La existencia
de simetría en el experimento físico, que permite aplicar el principio de razón insuficiente de Laplace,es una guía poco firme para ayudar en este problema, entre otras cosas, porque el mismo
experimento físico puede revelar diferentes simetrías lo que supone el problema de decidir entre
ellas.
Enfoque frecuencialista: la probabilidad de un suceso se obtiene o, más bien, se estima a partir de la
frecuencia relativa observada de ese suceso en ensayos repetidos. Es un enfoque a posteriori,
experimental, basado en información obtenida después de realizar ensayos reales. La probabilidad esel límite hacia el que tiende la frecuencia relativa, de este modo, el enfoque frecuencialista implica lateoría de límites y la convergencia. Al aplicar esta definición, hay dificultades obvias para definir lo
que significa 'similar' o 'aleatoriedad' ya que aparece la circularidad. Incluso la noción deestabilización de las frecuencias relativas a largo plazo presenta dificultades en relación al número deensayos necesarios para lograr dicha estabilidad.
Enfoque subjetivista: representa el tipo de probabilidad que en el Renacimiento se calificaba como
opinión o grado de creencia. En este enfoque, las probabilidades son evaluaciones de situaciones que
son inherentes a la mente del sujeto no a las características del mundo real que nos rodea tal como se
asume implícitamente en los dos primeros enfoques. "Las probabilidades son grados personales decreencia acerca de sucesos con incertidumbre" afirman von Winterfeldt y Edwards (1986: 91).
El enfoque subjetivista o personalista permite una discusión significativa sobre la probabilidad tantode un suceso único como de un suceso repetible; la probabilidad de que salga cara en el siguientelanzamiento de una moneda, la probabilidad de que el siguiente bebé nacido en determinada familia
sea niño, todas esas probabilidades son la misma clase de cantidad aunque varían ampliamente en el
grado en que se pueden definir frecuencias relativas relevantes. Desde este enfoque, todas las
incertidumbres se pueden medir apropiadamente utilizando probabilidades. Sin embargo, no todas
las opiniones numéricas acerca de resultados inciertos son probabilidades; las opiniones, para ser
tratadas como probabilidades deben ser consistentes. Por ejemplo, sería tonto hacer una apuesta de 3a 2 en cada uno de los dos caballos que participan en una carrera porque se pierde dinero en cuantoque la ganancia de 2 en un caballo no compensa la pérdida de 3 en el otro. La coherencia formaliza
esta idea básica de la que se puede deducir las leyes básicas de la probabilidad.
El enfoque subjetivo de la probabilidad no supone relativismo cultural o científico en el sentido deque no implica que "tu conjetura es tan buena como la mía". Aunque tu opinión inicial sobre la futura
conducta de una moneda o sobre cualquier otra hipótesis incierta, puede diferir radicalmente de la detus vecinos (de ahí viene el nombre de probabilidades personales), tu opinión y la suya se verán tantransformadas por una serie de observaciones relevantes que llegarán a ser casi indistinguibles. Esta
aproximación que surge de opiniones inicialmente divergentes es una razón para considerar"objetivas" las inferencias desde las frecuencias relativas.

18

37

Tomado de Sáenz de Castro, César (1992). “La enseñanza de la probabilidad. un problema pendiente”. En Autor.
Probabilidad. Madrid: Ediciones de la U.A.M. consulta: 21 de febrero del 2016.
<https://www.uam.es/servicios/apoyodocencia/ice/cesar/Capitulo%205.doc >Todas las probabilidades son condicionadas para el enfoque personalista. Formalmente, se puede
establecer una partición en cualquier conjunto de sucesos y una probabilidad es una medida asignada
a cada uno de los subconjuntos de la partición. Algunas veces la proposición a la que se asigna una
probabilidad define completamente el conjunto de partida; por ejemplo: "esta bolsa contiene 50 bolas
rojas y 50 azules, completamente mezcladas. Uno de nosotros selecciona una, metiendo la mano en labolsa a ciegas y cogiendo la primera que encuentra. Será roja". Sin embargo, con mayor frecuencia, la
proposición omite la mayor parte de la información que especifica el conjunto de partida; por
ejemplo: "la siguiente persona que veré medirá al menos 1,70 cm". La posibilidad de que el enunciado
sea verdad depende de cuestiones tales como dónde estoy en este momento y cuál es la secuencia
probable de sucesos que me llevará a ver a alguna persona: puedo estar en casa con mi mujer e hijos,
ninguno de los cuales llega a 1,70, puedo estar en un partido de baloncesto Real Madrid-Barcelona, enel primer caso la probabilidad de que se cumpla el enunciado será muy baja, en el segundo caso
aumenta esta probabilidad. La información condicionante siempre existe, independientemente deque sea explícita o implícita. Puesto que las probabilidades modelan creencias u opiniones, el tipo
más importante de condicionamiento tiene que ver con la información disponible en el momento enque se evalúa la probabilidad. La regla fundamental para cambiar las probabilidades cuando se
dispone de nueva información es el teorema de Bayes. Este teorema es una formalización matemática
del proceso de aprendizaje desde la experiencia. El enfoque personalista de la probabilidad se llama
con frecuencia Bayesiano.
El enfoque subjetivista trata las frecuencias relativas del siguiente modo: una observación es un ítemde información que cambia una probabilidad. Además, la naturaleza de ese cambio coincide
aproximadamente con la preconizada por el enfoque frecuencialista. Consideremos, por ejemplo, el
intento de estimar la probabilidad de que una chincheta, lanzada al aire, caiga de cabeza. Si un
frecuencialista ha observado que en N lanzamientos r veces la chincheta ha caído de cabeza y N es unnúmero razonablemente grande, estará dispuesto a admitir que r/N es una buena estimación de laprobabilidad pedida. Unos personalistas, como von Winterfeldt y Edwards, preferirán como
estimación (r+1)/(N+2), la cual, para N de razonable tamaño y r no demasiado próximo a 0 ni a N, escasi indistinguible de r/N. La razón para la preferencia, explicada de modo intuitivo, se basa en elhecho de que ya conocemos algo acerca de la chincheta antes del primer lanzamiento: puede caer decabeza o de punta. Para N pequeño, r puede ser 0, en cuyo caso el estimador 0/N=0 no parece muy
adecuado mientras el estimador 1/(N+2) al menos admite que la chincheta puede caer de cabeza.
El enfoque subjetivista de la probabilidad no ha formado parte de la enseñanza tradicional de lateoría de probabilidades. La mayoría de los libros de texto enseñan las probabilidades que tienen quever con experiencias aleatorias repetibles y que describen sucesos más que opiniones acerca deproposiciones o enunciados.
Enfoque estructural: la probabilidad formal es un concepto que se define por un sistema de axiomas
y el conjunto de definiciones y teoremas que se pueden deducir de esos axiomas. Unas probabilidades
se deducen de otras probabilidades de acuerdo a teoremas matemáticos, sin justificación para sus
valores numéricos en ninguna aplicación. Para Kolmogorov (1976), la teoría de la probabilidad, como
disciplina matemática que es, puede y debe ser desarrollada desde los axiomas, exactamente igual
que la geometría y el álgebra. Según Barnett (1973), este enfoque estructural no clarifica la naturalezade la probabilidad aunque los teoremas deducidos son un indicador de posibles interpretaciones. Sin
embargo, puede servir como una estructura teórica para las dos principales concepciones de laprobabilidad, la objetivista y la subjetivista. La posición objetivista abarca los enfoques clásico yfrecuencialista; según esta perspectiva, la probabilidad es un tipo de disposición de ciertos sistemas
físicos que se relaciona con frecuencias empíricas. Algunos teoremas como las leyes de los grandes
números, confirman esta relación. La posición subjetivista trata la probabilidad como un grado deconfianza en proposiciones que expresan incertidumbre. Los axiomas que se basan en una conductade apuestas "racional", como los de coherencia y consistencia, proporcionan reglas para asignar
probabilidades.

Actividad: Haciendo uso de textos educativos, reconoce la característica de losproblemas mostrados en dichos textos, y elabora un cuadro descriptivo considerando
la lectura realizada.

38

3.2

Recursos para resolver problemas de probabilidad

Problema N.° 1¿Cuáles serían los posibles resultados de fin de partida del problema del Caballero de Meré?
Problema N.° 2
En la caja A se han metido 3 fichas negras y 1 ficha blanca. En la caja B se han metido 2 fichas negras y 1 ficha
blanca. Si tienes que sacar una ficha negra para ganar un premio, ¿cuál de las dos cajas elegirías para hacer laextracción? ¿Por qué?

Problema N.° 3
Carlos pasa dos semáforos para ir al colegio cada mañana. El primero está verde 30 de cada 50 segundos yel segundo 30 de cada 90. ¿Qué probabilidad hay de que se pare en los dos semáforos? ¿Qué probabilidad
hay de que se pare al menos en uno? ¿Qué probabilidad hay de que coja los dos en verde?

Problema N.° 4
Se ha realizado un estudio sobre las enfermedades de pulmón. Los datos se recogen en la siguiente tabla:
FumadorNo fumador

Total

Padecer cáncer alpulmón20

2545

No padecer cáncer alpulmón

135

320

455

Total

155

345

500

Problema N.° 5
En mi clase hay el mismo número de chicas que de chicos. A las dos terceras partes de las chicas lesgusta bailar y a una cuarta parte de los chicos también. ¿Sabrías poner las probabilidades
correspondientes en el las ramas del siguiente diagrama (se llama diagrama de árbol)?

39

Problema N.° 6
En una clase con 30 estudiantes hay 13 que tienen Religión y el resto no, 5 que tienen Francés y el resto Inglés
y 10 que tienen Taller de Matemáticas y el resto otro curso optativo. Si elegimos un estudiante al azar:a) Calcula la probabilidad de que no tenga Religión.
b) Calcula la probabilidad de que tenga Taller de Matemáticas.
c) Si sabemos que 11 estudiantes tienen Inglés y Religión, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiantetenga Inglés o Religión?
Problema N.° 7
La probabilidad de que un hombre padezca cierta enfermedad es 1/4 y la de que la mujer lo padezca 1/3.
¿Los sucesos son dependientes o independientes?
a) Calcula la probabilidad de que ambos padezcan dicha enfermedad.
b) Calcula la probabilidad de que el hombre la padezca y la mujer no.
c) Calcula la probabilidad de que no la padezca ninguno.
Problema N.° 8
A una comida asisten 28 hombres y 32 mujeres. Han elegido carne 16 hombres y 20 mujeres, el resto deasistente ha tomado pescado. Con estos datos crea la tabla de contingencia, complétala y escribe los sucesos
que representa cada dato. Si elegimos a una persona al azar, calcula la probabilidad de los siguientes
sucesos:a) Probabilidad de que haya tomado pescado.
b) Probabilidad de que sea mujer y haya tomado pescado.
c) Si esa persona ha tomado carne, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?
d) Si selecciono a un hombre, ¿cuál es la probabilidad de que haya tomado pescado?
Problema N.° 9
En una fábrica de enlatados se producen 5000 envases diarios con tres máquinas distintas. La máquina
A produce 1000 envases, la máquina B 2500 y la máquina C 1500. Estas máquinas tienen unas
probabilidades de producir envases defectuosos del 2, 3 y 1 % respectivamente. Crea el diagrama deárbol correspondiente y calcula:a) La probabilidad de que, elegido un envase al azar, sea defectuoso.
b) Si el envase seleccionado es defectuoso, ¿qué probabilidad hay de que venga de la máquina A?
c) Con esos 5000 envases y las probabilidades conocidas crea la tabla de contingencia asociada.
Problema N.° 10
Una empresa de construcción de cohetes propulsores de astronautas desea que las condiciones
de seguridad en los lanzamientos sean muy altas, debido al elevado coste de los proyectos y al tiempo
que se tarda en poner todo a punto de nuevo. En uno de esos cohetes hay instalados tres
dispositivos de seguridad, Alfa, Beta y Gamma, para evitar un fallo en el encendido. Beta se pone
automáticamente en funcionamiento si falla Alfa, y lo mismo ocurre con Gamma si falla Beta. La
probabilidad de que funcione Alfa es 0,9, la de que funcione Beta es 0,95 y la de que funcione Gamma es
0,98.

40

Ideas importantes¿Qué recursos identificamos en la resolución de los problemasde probabilidad?
En la tabla mostrada aparecen las tecnologías que servirán para razonar las técnicas usadas en
los distintos campos de los problemas.

Campo de problemasRecursos

Exploración
muestraldelespacio

Visualización de distintos
resultados posibles.

Definicióndelespaciomuestral y los sucesos y sus
operaciones.

Probabilidad
simplesdesucesos

Mediante
recuento
comprensión.

Probabilidad
compuestos

deeventos

Unión,
intersección,
compatibilidadeincompatibilidad,
dependenciae
independencia.
Recuento, regla de Laplace ytabla de contingencia.

Propiedadesdelaprobabilidad y la regla deLaplace. Ley de los grandes
números.
Probabilidad de la unión eintersección.

Probabilidad condicionada

Probabilidad totalyDiagramadeárbolyvisualización de las opciones
posibles.

Probabilidad condicionada.

Teorema de la probabilidad
total.

41

3.3

Orientaciones para la enseñanza y aprendizaje relacionados con la probabilidad
A continuación, resuelva los siguientes problemas. Reconozca, en ellas, la competencia y las
capacidades, y proponga los indicadores para el grado. Asimismo, plantee el uso de una orientación
didáctica y reconozca los aspectos didácticos.
Los problemas mostrados fueron propuestos por la Dirección de Educación Secundaria (2015) en laplataforma Jornada Escolar Completa.
Problema N.° 1

Problema N.° 2

42Problema N.° 3

Problema N.° 443Problema N.° 5

La agricultura hoy en día es la fuente principal de ingresos de 2,3 millones de familias (querepresentan el 34 % de los hogares peruanos) y genera aproximadamente el 7,6 % del producto
bruto interno (PBI). Los agricultores ven la necesidad de conformar grupos o centros de acopio
para mejorar la comercialización de sus productos. Un claro ejemplo es la comunidad
agropecuaria de San Marcos, ubicada en el departamento de Cajamarca, quienes han tenido el
apoyo de personal técnico, ingenieros agrónomos y agricultores para mejorar la producción desus cultivos de papa. La tabla muestra la cantidad de personal que se necesitó para mejorar elcultivo de papa de dicha asociación:

Personal requerido
GéneroTotal
Técnicos (T)Ingenieros (I)Agricultores (A)Varones (H)

120

150

30

300

Mujeres (M)

50

140

10

200

Total

170

290

40

500

De acuerdo a la información de la cantidad del personal, construye una tabla de probabilidades
y brinda la información referente a los equipos de trabajo y respecto a sus integrantes deacuerdo a su género.

a. Dado que la, indica si cumple las siguientes

probabilidades y explica por qué:Probabilidad deP(H) es

Verifica en el siguiente modelo

CumpleExplica por qué
Sí

No

0,4
0,1+0,28+0,02
0,34+0,08
0,24+0,3+0,06

b. Dado que la, indica si cumple las siguientes

probabilidades y explica por qué:44

Probabilidad deP(M) es

Verifica en el siguiente modelo

CumpleExplica por qué
Sí

No

0,34
0,34+0,58+0,08
0,1+0,28+0,02
0,24+0,3+0,06
0,4
Problema N.° 6

Debido al aumento de los costos de los seguros en un determinado país, 8 millones de personas nocuentan con un seguro médico. En la tabla siguiente, se muestran datos muestrales representativosde la cantidad de personas que cuentan con seguro médico.
Seguro médico

Edad

Total

Sí

No

18 a 34 años

750

170

920

35 o mayor

950

130

1080

Total

2000

Seguro médico
Sí
Edad

Total
No

18 a 34 años
35 o mayor
Total

Con estos datos, elabora una tabla de probabilidad conjunta y úsala para responder las preguntas
restantes.
a. ¿Qué indican las probabilidades acerca de la edad de la población?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tomada en forma aleatoria no tenga seguro
médico?
c. Si la persona tiene entre 18 y 34 años, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga seguro médico?
d. Si la persona tiene 34 años o más, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga seguro médico?
e. Si la persona no tiene seguro médico, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre 18 y 34 años?
f. ¿Qué indica esta información acerca del seguro médico?

45

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