Obje ifs de recherche
La Théorie Inverse de Galois trouve son origine avec le problème de Hilbert–Noether qui demande s’il e vrai que tout groupe fini se réalise comme le groupe de Galois d’une extension galoisienne du corps des rationnels. Ce problème, toujours ouvert aujourd’hui, a engendré une fortea ivité mathématique, au point que la théorie e maintenant clairement reconnue comme théorie
à part entière. Depuis les années , la classification AMS lui a même réservé un code, le F,
témoignant ainsi de son importance. La théorie fédère un nombre sub antiel de mathématiciens,
sur trois générations a ives à travers le monde, et e toujours très prolifique. Les principaux pays
concernés sont la France (Caen, Grenoble, Lille, Paris), Israël (Beer-Sheva, Haïfa, Ra’anana, Tel-Aviv),l’Allemagne (Bayreuth, Dresde, Würzburg), le Luxembourg, l’Espagne (Barcelone, Séville), les ÉtatsUnis (Philadelphie par exemple), la Corée du Sud (Daejeon) et l’Angleterre (Oxford). La théorie
puise ses idées dans deux principaux domaines : la géométrie arithmétique (avec l’interprétation
du problème en terme de revêtements de la droite proje ive) et l’arithmétique des groupes profinis(description du groupe de Galois absolu d’un corps et de ses sous-groupes fermés). Elle a connu
ces  dernières années de grands succès et a permis une bien meilleure compréhension de la nature
galoisienne. Nous renvoyons aux livres [Ser], [Vol], [FJ], [MM] et aux articles de survol [DD], [Deb]pour un panorama de la théorie.
Le premier problème général de la théorie e

leProblème Inverse de Galois sur le corps k (PIGk ) : Tout groupe fini se réalise t-il comme le groupe deGalois d’une extension galoisienne de k ?
On remarquera que ce problème prend un sens dès que l’on possède une notion d’extension galoisienne de corps. Or, il exi e bel et bien une théorie de Galois générale qui inclut le cas des corps
gauches, théorie où l’on retrouve tous les éléments de la théorie dans le cas commutatif (correspondances galoisiennes par exemple). Dans le cas général, la notion d’extension galoisienne e celle
donnée par Artin : une extension H/k e dite galoisienne si le corps des invariants de H par l’a ionde Aut(H/k) e égal à k. Nous renvoyons au livre [Coh] pour un panorama de cette théorie.
Dans le cas des corps gauches, la présence d’automorphismes intérieurs perturbe un peu leschoses et l’on peut obtenir des situations surprenantes. Par exemple, dans le travail [Des], il econ ruit une extension galoisienne H/k de groupe fini G et telle que [H : K] < |G|... On trouvera dansl’article [Des] la preuve du fait que le corps des nombres complexes ne possède pour extensions
finies que des extensions de degré 2 et que les classes d’isomorphismes de ces extensions sont ennombre infini. Ainsi, on voit que la notion de compositum d’extensions finies d’un corps gauche eà manipuler avec beaucoup plus de précautions que dans le cas commutatif. La principale difficultédans le cas non commutatif e que la notion de polynôme, et donc d’élément algébrique, n’a pasde sens inné. Bien sûr, il exi e des con ru ions d’anneaux de polynômes, mais les applicationsd’évaluation ne sont alors plus des morphismes et toute tentative d’approche de la théorie de Galois
au moyen de la séparabilité/normalité devient ainsi vaine. La théorie de Galois des corps gauches
s’entend uniquement par a ions galoisiennes, ce qui rend les choses bien plus compliquées.
Jusqu’à très récemment, personne ne s’était aventuré dans cette forêt des corps gauches du pointde vue de la théorie inverse de Galois. Dans le travail [DL] qui paraîtra prochainement, B. Deschamps
et F. Legrand montrent qu’une promenade dans cette forêt peut être très fru ueuse. Plus précisément, ils s’intéressent aux corps de fra ions tordus à indéterminée centrale. Etant donné un corps
gauche H, le corps H(t) de fra ions tordu à indéterminée centrale et à coefficients dans H e lecorps de fra ions de l’anneau de polynômes tordu de Ore H[t] = H[t, α, δ] où α e l’automorphisme
identité et δ la dérivation nulle (voir [Ore]). Moralement, dans H[t], l’indéterminée t commute avec
tout le monde. Le résultat principal de l’article [DL] e leThéorème.— Si H désigne un corps de dimension finie sur son centre k et si k contient un corps ample,
alors le PIGH(t) admet une réponse positive.
La notion de corps ample fut introduite par F. Pop dans les années  pour résoudre un certain
nombre de que ions de théorie inverse de Galois, il s’agit là d’une notion centrale du domaine(voir [Pop], [Jar], [Pop]). Ce théorème s’applique notamment au corps H = H des quaternions
d’Hamilton. La ratégie mise en oeuvre pour démontrer ce théorème ouvre de nombreuses perspectives et ce sont ces perspe ives qui con ituent le coeur de ce projet de recherche.
Le projet que nous présentons ici e résolument précurseur, puisque personne ne s’e jamais
penché sur l’aspe non commutatif de la théorie inverse de Galois. Le fait que de premiers résultats
sur ces que ions soient publiés montre que cet aspe n’e pas du tout fantaisi e. Enfin, de parla forme parlante des résultats déjà obtenus (par exemple, le fait que le problème inverse de Galois
possède une réponse positive sur le corps H(t)) et ceux escomptés, il y a fort à parier que cettenouvelle branche de la théorie inverse de Galois intéressera beaucoup de mathématiciens à l’avenir.
Parmi les pi es à étudier, il conviendra de s’intéresser plus particulièrement aux que ions suivantes, dont chacune con ituera une tâche dans le programme.
A/ f -hilbertianité. Le théorème d’irrédu ibilité de Hilbert sur la conservation de l’irrédu ibilitéde polynômes à coefficients dans Q par spécialisation joue un rôle fondamental en théorie inversede Galois. Il permet notamment de passer du problème inverse de Galois sur un corps de fra ionsk(t) au problème inverse de Galois sur le corps des con antes k lui-même. Il e d’ailleurs conje uré
que la propriété d’hilbertianité (i.e. le fait qu’un corps k satisfasse au théorème d’irrédu ibilité deHilbert) e suffisante pour assurer une réponse positive au problème inverse de Galois sur k (voir[DD]). L’article [DL] montre qu’en dépit du fait que le théorème d’irrédu ibilité de Hilbert n’aa priori aucun sens pour un corps gauche, la notion d’hilbertianité re e centrale pour l’étude del’implication PIGH(t) =⇒ PIGH dans le cas des corps gauches. Sans trop rentrer dans le détail, voilà
en quelques mots la notion de f -hilbertianité qui va rentrer en jeu et qu’il conviendra d’étudier.
Etant donné un corps gauche H de dimension finie sur son centre k, on peut associer à l’extension
H/k une k-forme f relativement à la norme réduite de cette extension. Si G e groupe de Galois
sur H(t), on peut alors considérer un certain polynôme irrédu ible P (t, X) ∈ k(t)[X] dont le corps
de décomposition L sur k(t) e une extension galoisienne de k(t) de groupe G et qui jouit de la
propriété suivante : la forme f ne possède que le zéro trivial sur L. S’il exi e des spécialisationst = t0 ∈ k telles que le polynôme P (t0 , X) ∈ k[X] re e irrédu ible sur k et telles que la forme f nepossède que le zéro trivial sur le corps de décomposition de P (t0 , X) sur k, alors G e groupe deGalois sur H. La f -hilbertianité e la propriété que le corps k a de vérifier cette qualité pour tout
polynôme irrédu ible P (t, X).
Donnons un exemple simple, mais déjà in ru if, pour illu rer la difficulté du passage hilbertien −→ f -hilbertien : le corps Hk des quaternions sur un corps commutatif k de niveau au moins .
La forme f à considérer ici e la forme quadratiquef (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x12 + x22 + x32 + x42 .
Si l’on considère le polynôme= X 2 − t, on voit que f ne possède aucun zéro non trivial sur le√ P (t, X)
2
corps de décomposition k( t) de X − t sur k(t). Les bonnes spécialisations de t pour l’hilbertianité
sont les t0 ∈ k qui ne sont pas des carrés dans k. Pour la f -hilbertianité, les spécialisations
acceptables√sont les t0 ∈ k qui ne sont pas des carrés dans k et pour lesquels le corps k( t0 ) possède un niveau≥ 4. On voit donc sur cet exemple simple que la notion de f -hilbertianité e liée à l’anisotropie
de la forme quadratique f sur les extensions quadratiques de k, et e donc en lien avec la validitéd’éventuels principes "local-global" sur ces corps.
Il conviendra d’étudier dans cette partie du programme de recherche d’éventuels analogues derésultats sur les corps hilbertiens. Par exemple, pour quel type de forme f les corps de nombres
sont-ils f -hilbertiens ? A t-on des théorèmes de transition du genre "k e f -hilbertien =⇒ L e
f -hilbertien pour toute extension finie séparable L/k", ou encore un théorème de Weissauer : touteextension finie séparable ri e d’une extension galoisienne d’un corps f -hilbertien e -elle un corps
f -hilbertien ? Exi e-t-il des ensembles universels de Hilbert pour la f -hilbertianité ?
Par ailleurs, la notion de f -spécialisation évoquée ci-dessus permet de définir des analogues
de que ions portant sur les spécialisations déjà étudiées dans le cas commutatif. On peut par
exemple citer le problème de Beckmann-Black (voir [Bec], [Bla], [Deb]) ou la notion plus récented’extension paramétrique (voir [Leg], [Deb], [KL]). Comme pour les éventuels résultats sur les corps
f -hilbertiens évoqués ci-dessus, l’on envisage d’étudier ces variantes et d’obtenir d’éventuels analogues des résultats exi ant dans le cas commutatif. Par exemple, le problème de Beckmann-Black
pour les groupes abéliens admet-il une réponse positive sur n’importe quel corps gauche de dimension finie sur son centre ? Ou encore : exi e t-il des groupes finis G et des corps gauches H dedimension finie sur leurs centres k tels que k soit un corps de nombres et tels qu’aucune extension
galoisienne de H(t) de groupe G ne soit paramétrique ?
B/ ψ-liberté. Au début des années , P. Dèbes et B. Deschamps ont introduit dans l’article[DD] la notion de corps ψ-libre : il s’agit des corps qui possèdent tous les groupes profinis derang dénombrable pour groupes de Galois, c’e -à-dire les corps qui satisfont au problème inversede Galois lorsque l’on remplace l’hypothèse "groupe fini" par "groupe profini de rang dénombrable".
S’il e conje uré que le corps Q satisfait au PIG, ce dernier n’e certainement pas ψ-libre (la théorie
b Z
b n’e pas groupe de Galois sur Q). Dans le travail [DD],d’Iwasawa montrant, par exemple, que Z×
il e montré que, si k désigne un corps hensélien, alors le corps k(t) e ψ-libre. La preuve repose surune a ucieuse con ru ion de tours d’extensions galoisiennes à contraintes de ramification fixées.
Cette notion de ψ-liberté a un sens dans le cas des corps gauches. En combinant les résultats de[DD] et [DL], il semble possible d’envisager le résultat suivant : si H désigne un corps de dimension
finie sur son centre k et si k e hensélien, alors le corps H(t) e ψ-libre (par exemple, H(t) serait ψlibre). Cette voie con itue le coeur du travail de recherche de la thèse d’Angelot Behajaina (étudianten deuxième année de thèse sous la dire ion de B. Deschamps et F. Legrand) et e très prometteuse.
Si elle aboutit, elle con ituera l’extension naturelle au cas profini du cas fini traité dans [DL].
C/ Problèmes de plongement. La notion de problème de plongement joue un rôle capital en théorie
inverse de Galois. Rappelons brièvement de quoi il s’agit. On se donne un groupe profini Γ , deuxgroupes finis G et H, et deux épimorphismes π et ϕ
Γ
?

G

π


ϕ


/H

et l’on cherche à savoir s’il exi e un morphisme Γ −→ G qui fasse commuter le diagramme. Lorsque
c’e le cas pour tous G, H, π et ϕ, le groupe Γ e dit proje if (notion qui e en fait cara ériséepar le fait que sa dimension cohomologique soit ≤ 1). Si l’on peut à chaque fois choisir Γ −→ Gsurje if, alors Γ e dit ω-libre (un profond théorème du à Iwasawa montre que, lorsque Γ e derang dénombrable, cette propriété équivaut à être prolibre).
Du point de vue galoisien, on peut considérer, pour un corps commutatif k donné, le groupede Galois absolu Γ = Gal(k sep /k) de k. Un problème de plongement revient donc à se donner unépimorphisme α : G → Gal(L/k), où G désigne un groupe fini et L/k une extension galoisienne, et à
trouver une extension galoisienne M/k et un isomorphisme β : Gal(M/k) → G tels que L ⊂ M et α ◦ βsoit l’application de re ri ion Gal(M/k) → Gal(L/k):
M

L

G

k
Dans le cas des corps gauches, la notion de groupe de Galois absolu n’a pas de sens, mais la
notion de problème de plongement, telle que l’on vient de la traduire en termes galoisiens, en a
un et e particulièrement intéressante, notamment en raison du théorème d’Iwasawa rappelé plus
haut. Le cas qui nous intéressera en premier lieu e celui des corps gauches de dimensions finies
sur leurs centres, puisqu’il permettra d’utiliser les résultats de [DL]. De jolies choses pourraient bienêtre montrées, en particulier en relation avec la tâche B : on s’attend à pouvoir donner des exemples
de corps gauches ψ-libres qui ne pourraient être abordés avec les idées développées dans [DD].
Un autre résultat envisagé ici, et qui con ituerait une autre généralisation du résultat principal del’article [DL], e le suivant : étant donné un corps H de dimension finie sur son centre k, si k eample, alors tout problème de plongement fini scindé et con ant sur H(t) admet une solution.
D/ Arithmétique des corps de dimensions infinies sur leurs centres. Il s’agit là de la que ion laplus prospe ive de ce programme de recherche. Les résultats déjà obtenus ainsi que les que ionsprécédentes se situent tous dans le cadre d’un corps gauche H de dimension finie sur son centre k,avec pour application le corps H(t) des fra ions tordu à indéterminée centrale. L’hypothèse d’êtrede dimension finie sur son centre e cruciale dans la méthode développée pour aborder les tâches
A, B et C. Dans la tâche D, on s’intéressera à deux situations qui ne rentrent pas dans ce contexte :a) Un des points techniques utilisés dans les preuves e que le centre de H(t) e précisément k(t)et que dès lors, le corps H(t) e de dimension finie sur son centre. La que ion naturelle e desavoir si les résultats persi ent sur d’autres corps de fra ions tordus. Plus précisément, on sedonne un anneau de polynômes tordu de Ore H[t, α, δ], H étant un corps (éventuellement de dimension finie sur son centre, voire même simplement commutatif), α ∈ Aut(H) un automorphismeet δ une α-dérivation du corps H. On travaille alors sur le corps de fra ions H(t, α, δ) de l’anneau
H[t, α, δ] et l’on se demande s’il exi e une condition sur H (du genre de celle présente dans le casde l’indéterminée centrale) pour que le PIGH(t,α,δ) admette une réponse positive. Ici, les méthodes
précédentes ne marchent plus dès que α ,Id puisque, dans ces circon ances, le corps H(t, α, δ) n’eplus une algèbre simple centrale. Si le cas δ , 0 semble assez inaccessible, on peut espérer obtenir
des résultats significatifs dans le cas des corps H(t, α) = H(t, α, 0), en particulier pour la description du groupe Aut(H(t, α)/k) (dont on sait que, lorsque le corps H = k e commutatif infini et
α=Id, il e isomorphe au groupe PGL2 (k)). Un autre champ d’inve igation pour ces corps de fractions tordus sera de donner l’analogue de la méthode de Noether pour des corps de fra ions itérésH(t1 , . . . , tn , α1 , . . . , αn ). Une première étude de cette que ion a déjà été faite dans [Des], dans une
situation simple.
b) La théorie du groupe de Brauer permet de décrire, à corps commutatif k fixé, l’ensemble des corps
gauches de centre k et de dimension finie sur k. Puisque l’on sait aborder la problématique inversede Galois sur ces corps, on s’intéressera à des extensions L/k filtrées par ces corps. Plus précisément,on considèrera une suite S
croissante k ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ · · · ⊂ Ln ⊂ · · · où chaque Ln e une k-algèbre simple
centrale et le corps L = n Ln . Sous certaines hypothèses sur k, on tentera de déduire des informations galoisiennes sur L. La première étape consi era à bien comprendre comment l’inclusion
Ln ⊂ Ln+1 peut s’interpréter dans le groupe de Brauer de k.
Il convient de signaler pour finir ce paragraphe que, publicité des premiers résultats de cettenouvelle théorie ayant été faite lors des XXIXèmes Rencontres Arithmétiques de Caen à Tatihou en, plusieurs mathématiciens ont signalé leur intérêt pour ces que ions. C’e notamment le cas
d’Elad Paran (The Open University of Israel) et Pierre Dèbes (Université de Lille) qui souhaitent
vivement collaborer à ce programme (voir leurs lettres d’intention jointes en annexe) et qui seront
associés comme partenaire au projet. Un travail en commun avec Paran a d’ailleurs déjà débuté : dans
une note qu’il a écrite, il remarque très a ucieusement que le corps des fra ions H(x) de l’anneau
des fon ions polynomiales (fon ions de H dans H qui s’écrivent comme sommes de produits noncommutatifs de con antes et de puissances de la variable x, par exemple f (x) = ax + xb + ux2 vxwx)
à coefficients dans un corps gauche H de dimension finie sur son centre k e en fait isomorphe à
un corps de fra ions tordu H(t1 , . . . , tn ) en n variables et à indéterminées centrales. La conséquencede cette observation e que, d’après [DL], si k contient un corps ample, alors le PIGH(x) admet une
réponse positive. Pierre Dèbes e quant à lui un spéciali e des que ions hilbertiennes et nous
allons initier une collaboration avec lui sur la que ion de la f -hilbertianité.

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