その理由と法則性を、数学的視点から⑤解き明かしていきましょう。
③

植物の形の不思議
春になると大地から湧き出るように草に︑上から見て点対称に葉や枝を出します︵ 写 真 １ 〜３︶︒ そ の 時︑ ネ ジ バ ナ の花のように﹁らせん﹂を描きながら︑葉や枝を出していきます︒そして︑このネジバナの渦巻き︵写真４︶の美しさこそ︑﹁らせん﹂が生み出したものなのです︒

植物のらせん

植物は太陽の光をできるだけ効率よく吸収しようとします︒そのためには︑自分の葉と葉が重なっていては効率が良くありません︒葉をできるだけ重ならないようにするには︑どうしたらいいのでしょうか︒

例えば︑写真２の番号①②③⁝を結ん
畦に咲くタンポポ︒カタクリとタンポポ

すれば︑①と②の間の角度は３６０度÷

描きます︒ぴったり星形五角形になると花が出てきます︒林の中に咲くカタクリ︑ でみましょう︒すると星形のような図をには共通した特徴があります︒それは︑こ の 時︑ 葉 が 完 全 に 重 な ら な い 角 度を出しているのです︒

このように︑植物は渦を巻きながら葉背が低いということです︒背が低いので︑ ５×２＝１４４度になります︒
背の高い植物がまだ出てきていない早春の林の中で︑他の草が背を伸ばす前の畦が あ り ま す︒ そ の 角 度 は１３７・５ 度 で︑に花を咲かせるのです︒木の葉が出る前で︑太陽の光をいっぱい浴びて花を咲かていくと︑写真３のような葉が重ならなにつれて︑芽をこの黄金角で順番に出しこれを黄金角といいます︒茎が成長する植物のエネルギーは光合成によってつせ︑種を作るのです︒
くられたデンプンです︒植物にとって太植物の形態︱︱花の形︑葉や枝の芽のにも見えます︒松かさを下から見ると︑同じような構造が︑松かさ︵写真５︶い形ができます︒
出方などは︑太陽の光を効率よく取り込渦が見えてきます︒渦は右回りと左回り

陽の光は無くてはならないものです︒

むように進化してきました︒その進化のの﹁ ら せ ん ﹂ を 描 い て お り︑ こ の 渦 を本あ

右回りの﹁らせん﹂の本数は８本︑左﹁アルキメデスらせん﹂といいます︒

究極の形として︑私たちに美しさとは何かを教えてくれています︒
植物は太陽の光を取るために︑基本的回りの黄色い﹁らせん﹂の本数は10

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らせんの形は、なぜ生まれるのでしょう？
⑧ネジバナのらせん
写真4に 上 に 向 か っ て 伸 び ま す が︑ 幹 を 中 心

13葉に下から順に番号を付けていくと、不思議なことに気がつく。写真２のように、植物はできるだけ葉が重ならないように葉を出している。番号を結んでみよう①④⑥⑨②⑦「らせん」の形があります。

優美な、あるいはダイナミックな

写真2
写真3

自然界にはさまざまな
文・写真 ／上村文隆
写真1 植物の葉の出方には規則がある。その規則は植物の生命力の表れと言ってもよい

らせん、神秘の形

自然界のらせん

特集―― らせんとは、どんな形か？

り ま す︒８ やは︑ １︑１︑２︑３︑５︑８︑︑⁝と続く特別な数列の中の植物が成長する時︑成長の速度はおおよそ一定です︒一方︑動物の場合は大きくなるにしたがって︑成長の速度も増し︑数です︒この数は前の二つの数を足して本と︑本です︒

︑︑です︒図１﹁ひまわりの模式図﹂のらせんの数は︑フィボナッチ数は︑⁝⁝︑⁝⁝と続き︑隣同士の数の比は︑34

たどると︑図２のような曲線を描きます︒
芽は左下の中心から外側へ︑左回転しながら一定の角度で出てきます︒角度が大きいと︑とぐろを巻きます︒

きます︒黄金比は︑名刺の縦横比からパ

黄 金 比 で あ る１・６ １８ ⁝ に 近 づ い て い

幅が等間隔です︒に蚊取り線香の渦もこの﹁らせん﹂で︑ルキメデスらせん﹂と言います︒ちなみャ の ア ル キ メ デ ス の 名 前 を と っ て︑﹁ アこの﹁らせん﹂を研究した古代ギリシ

ルテノン神殿まで︑さまざまなところに一方︑動物のつくる﹁らせん﹂は﹁等ります︒この中心から﹁らせん﹂が渦をカリフラワー︵写真７︶には中心があに︑放射線となす角度がいつも等しくないます︒この﹁らせん﹂は︑図３のようの名前から﹁ベルヌーイらせん﹂ともい角らせん﹂といい︑また詳しく調べた人

巻 い て い ま す︒ パ イ ナ ッ プ ル も﹁ ら せっている曲線です︒
二つの﹁らせん﹂は︑同じように渦を巻きますが︑形は異なっています︒
例えば︑写真６のサボテンの棘は︑らん﹂があります︒では﹁らせん﹂とはど植物に限らず︑自然には多くの﹁らせに︑赤で描いた﹁等角らせん﹂は︑角度︵ 青 と 水 色 の 曲 線 ︶ に な り ま す︒ ち な み

ど っ て い く と﹁ ア ル キ メ デ ス ら せ ん ﹂せんを描きながら並んでいます︒棘をたんな形なのでしょうか︒一言でいうと︑をどのように調節しても棘と一致しません︒

動物のつくる﹁らせん﹂を﹁等角らせ動物のつくるらせんる﹁らせん﹂の二種類に分けることがでん﹂というのは︑成長しても角度︵形︶が変わらないからです︒図３では︑赤いきます︒どちらも数式にし︑グラフに描植物がつくる﹁らせん﹂と︑動物がつく自然界の﹁らせん﹂を大きく分けると︑のです︒

ネジバナの花のように渦を巻いているも自然界にある 二 つ の ﹁ ら せ ん ﹂も﹁らせん﹂になっているのです︒﹁ ら せ ん ﹂ を 描 い て 出 て く る の で︑ 果 実ん﹂を描きます︒パイナップルは︑花がることができます︒

は︑３ ６ ０ ÷︵ １・６ １８ ＋ １︶ で 求 め使われています︒そして先ほどの黄金角︑21341321と写真６のサボテンの﹁らせん﹂の本数はす︒この数をフィボナッチ数といいます︒ 芽や葉を出す植物は︑芽や葉の出た後をます︒幹や茎の軸を中心に回転しながら︑13生まれてきます︒数も成長しているので

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図２ アルキメデスらせん

図３ ベルヌーイらせん︵等角らせん︶

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1411_p09-18.indd 11212189くことができます︒

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写真6 サボテンの棘はアルキメデスらせんを描く（青と水色）。赤色の等角らせんでは棘の配列と一致しない

カリフラワーは蕾がらせんを描く

写真7

松かさのらせん（左回り＝黄色）
写真5
ひまわりの模式図
図1131355

ハマグリは自分自身を巻くことができ込めた願いをさまざまな﹁らせん﹂で表するものとしてこの曲線を描いてきたの古代の人が︑生命のエネルギーを象徴したのもうなずけます︒

用意する必要があります︒一方︑アワビが﹁らせん﹂文様ではないでしょうか︒

は成長していく時に︑成長する自分自身の町づくりをしたことを学びました︒との授業で︑奈良や京都︑鎌倉は碁盤の目ここで視点を変えてみましょう︒歴史皆さんの指の爪︑動物の牙や角なども︑する大都市になったのは︑この町づくり

んどん大きくなり︑ついには百万人を擁隠されています︒それは︑角度が１０７理︵角度が同じ＝等角︶で︑自然に﹁らくして積み重ねます︒すると相似形の原

城の石垣は︑同じ形の石をだんだん小さ12SOKA 2014.11ないので︑身を守るためにもう一枚殻をは巻貝なのに自分自身を巻けないので︑私は猪の牙から勾玉ができたのではない岩にへばりついているのです︒
貝類がなぜこのような﹁らせん﹂になを入れる家︵貝殻︶を同じ形にするのでころが︑江戸の町はごちゃごちゃしていかと思っています︒

す︒大きくなるたびに形が異なったら住るのかの秘密は︑相似形にあります︒貝み に く い こ と こ の 上 な し で す︒ 貝 殻 のます︒なぜでしょうか︒

江戸︵東京︶は﹁らせん﹂を描いているに﹁の﹂の字の形に成長してきました︒

江戸の町は︑江戸城内の紅葉山を中心

原料を分泌する量は自分自身の大きさに比例するので︑必然的に相似形になり︑﹁ベルヌーイらせん﹂を描くのです︒
この仕組みは︑その他の成長するものベルヌーイらせんを描きます︒象やマンの設計計画のおかげです︒

についても同じように言えます︒例えば︑ のです︒カタツムリが成長するようにどモスの牙の見事な曲線も﹁らせん﹂なの︶︒

そ の 他︑ お 城 の 石 垣 に も﹁ ら せ ん ﹂度の時︑図５のグラフのように︑フィボせん﹂を描きます︒上の方は反りますかを 描 い て い る も の が あ り ま す︵ 写 真

ナッチ数が出てきて︑その比は黄金比にら︑武者返しになります︒﹁ ベ ル ヌ ー イ ら せ ん ﹂ に も︑ 黄 金 比 がです︒

﹁ ア ル キ メ デ ス ら せ ん ﹂ と﹁ ベ ル ヌ ー

富士山も﹁らせん﹂を描きます︒輪郭なります︵図５︶︒
イらせん﹂は全く異なった曲線なのです

ん﹂ですから︑貝や爪の曲線と同じもの

せ ん ﹂ だ っ た の で す︒﹁ ベ ル ヌ ー イ ら せの な だ ら か な 美 し い 曲 線 は︑ 実 は﹁ らが現れてきます︒

さまざまな﹁らせん﹂こ の よ う に︑﹁ ら せ ん ﹂ は﹁ 成 長 ﹂ との︽冨嶽三十六景︾を思い出します︒写の﹁凱風快晴﹂に描かれた富士山のところで︑富士山といえば︑葛飾北斎す︒その角度で分類してみると︑サザエ密接にかかわっています︒成長は生命の真です︒違いは角度だけです︒
は１００度︑アワビは１２０度︑ハマグ象徴です︒私たちの遠い祖先が︑成長にフの角度︶が異なっているだけなのでま す︒ た だ︑ 中 心 と の 角 度︵ 前 の グ ラ

二枚貝も巻貝と同じように巻いていん﹂について面白いことを見つけました︒ が︑どちらにもフィボナッチ数と黄金比

この﹁らせん﹂は︑巻貝やカタツムリんだん大きくなっています︒

線と放射線とが形作る相似な三角形がだ

図4 貝は等角らせんの角度によって、形状が変わる。サザエ、オウム貝などの巻貝は95〜100度、アワビは110〜120度、ハマグリ、シジミなどの二枚貝は130〜140度の 殻 で 見 ら れ ま す︒ 貝 の つ く る﹁ ら せ11

写真10 サザエは成長につれ自分自身を巻き込みながら大きくなるχ

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アワビも中心かららせんを描いて成長している
写真9
図5 フィボナッチ数と黄金比

yリは１４０度となっています︵図４︶︒

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らせん、神秘の形特集

写真8 ハマグリを側面から見ると、貝殻は図３と同じような等角らせんを描いているお城の石垣とらせん飛んで火に入る夏の虫

らせんを探って宇宙まで飛び出してしの富士とは異なっているように感じます︒比べてみましょう︒

まいましたが︑再び足元に目を移しまし曲 線 は︑ 写 真の 富 士 山 の﹁ ら せ ん ﹂ の 角 度 はょう︒夏の夜︑虫たちが灯りをめがけてのです︒北斎はきちんと﹁ベルヌーイら見えるのは︑拡大率の違いによるものなの﹁らせん﹂の角度は１６２度︒違ってのに︑虫たちはなぜ明かりをめがけて飛の中に入って死んでしまいます︒それなンプなどの灯りでしたから︑虫たちは火飛んできます︒今は電灯ですが︑昔はラ目的の方向に行くことができます︵図６︶︒

月に対して一定の角度で飛べば︑夜でも月の明かりです︒月に向かうのではなく︑夜行性の昆虫の飛ぶ方向を定めるのは︑せん﹂を描いています︒北斎は︽神奈川︶︒ こ れ も﹁ ベ ル ヌ ー イ ら せ ん ﹂ で

ところが︑人間が新たな明かりを生みさらに︑宇宙を見ると︑やっぱり﹁らと比べてはるかに近いので︑光は平行でても一定の角度で進みます︒明かりは月んで行こうとする昆虫は︑明かりに対し出しました︒月に対して一定の角度で進︶︒ ま っ た く 異 な る 次 元 ので す︵ 写 真かみむら ぶんりゅう

ものが︑同じ﹁らせん﹂を描いているの15が不思議です︒

写真15 星雲もまたらせんを描いて成長するの 渦 の 中 に 入 り 込 み︑﹁ 飛 ん で 火 に 入 る

私たち人間も︑いつの間にやららせんに落ち込んでしまうのです︒てしまい︑やがて虫たちは中心の明かり﹁等角らせん﹂を逆にたどることになっはなく放射状に出ます︒それに従うと︑せん﹂があります︒生命の源である星雲と言ってもいいと思います︒

す︒台風は地球という生命の大きな活動真ましょう︒台風も渦を巻いています︵写さあ︑どんどんスケールを拡大してみイらせん﹂の波を描いています︒

んで来るのでしょうか︒

１６２〜１６３度です︒写真

写真の赤富士13沖浪裏︾においても︑見事に﹁ベルヌー121314

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夏の虫﹂になっているのかもしれません︒

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写真

写真
葛飾北斎
︽冨嶽三十六景・凱風快晴︾の富士とらせん

岐阜県郡上市にある浄土真宗
長善寺の住職。小学校・中学
校 で 教 員を 務める。1951年生まれ。社会や自然の出来事と数学のつながりをサイト「はまぐりの数学」（http://www.
rd.mmtr.or.jp/~bunr yu/index.htm）で解説。著書に『生き物たちのエレガントな数学』（技術評論社）。

図6 月の光の方向は一定なので、虫は角度を変えずに進むことができる（右）。一方、灯りから出る放 射 状の光に対して、虫は逆らせんを描いて進むことになる（左）上空から見た台風の渦
写真141112

写真13
遠望した富士山とらせん