論学生・若手論文特集

文

孤立したオンラインコミュニティにおけるユーザダイナミックスの
活性化特性
久保

尊広† a)

高野 知佐†† b)

会田雅樹† c)

Activation Characteristics of User Dynamics in Isolated Online Communities
Takahiro KUBO† a) , Chisa TAKANO†† b) , and Masaki AIDA† c)

あらまし オンラインソーシャルネットワーク上のユーザは，同じ志向をもつユーザたちと優先的に係わり合うことにより，特定のユーザ同士のコミュニティを形成する傾向がある．この傾向が過度に進むとコミュニティの孤立化が進行するとともに，孤立したコミュニティ内で一般常識とは異なる偏った思想や信念が強く信じられ，
ユーザダイナミックスが増幅する現象に繋がる．このようなユーザダイナミックスの発生メカニズムとして，オ
ンラインユーザダイナミックスを記述する振動モデルによるモデル化が行われており，特に孤立したコミュニ
ティにおける特殊な環境下でのユーザダイナミックスが注目されている．興味深いことに，そのモデルに現れる構造は，孤立したコミュニティ間が弱い紐帯で結びついたときに現れるネット炎上のモデルと類似している．本
論文は，その類似性を利用し，孤立したオンラインコミュニティでのユーザダイナミックスについて，数値計算
シミュレーションを実施し，ユーザダイナミックスの活性化の発生を確認した結果を報告する．
キーワード

ラプラシアン行列，波動方程式，ユーザダイナミックス，蔵本モデル

う特定の情報を選択的に入手する傾向がある．特に

1. ま え が き

OSN 上の関係では，同じ志向をもつユーザたちと優先

情報ネットワークの発展と普及により，個人間のコ的に係わり合うことにより，しばしば閉鎖的なコミュ

ミュニケーションや個人の情報発信力が飛躍的に活性ニティが形成されがちである．このような閉鎖的なコ化され，ビジネスや日常生活のあり方に変革をもたらミュニティが過度に進むと，他のコミュニティと相互している．特に，ソーシャルネットワーキングサービ

作用のない，事実上分断されたサブネットワークが形ス (SNS) では，一個人が不特定多数の他者に影響を成される．このようにして形成された閉鎖的なコミュ与えたり，逆に影響を受けたりすることが可能な枠組

ニティでは，一般常識とは異なる偏った思想や信念がみが実現している．このような SNS 上で形成される

強化される現象が知られている．

ユーザ間の関係をオンラインソーシャルネットワーク(OSN) と呼ぶ．

OSN 上のユーザダイナミックスの研究として，ネッ
トワークの振動モデルが知られている [1], [2]．このモ

情報ネットワークを活用することにより，ユーザは

デルは，ユーザ間に働く何らかの影響が，OSN を介し

望みさえすれば多様な情報を容易に入手することがて有限速度で伝搬すると考え，ネットワーク上の波動可能である．しかしながら，ユーザは自身の志向に合方程式によって影響の伝搬を記述するものである．振動モデルでは，ネット炎上のようなユーザダイナミッ† 東京都立大学システムデザイン研究科，日野市

Graduate School of Systems Design, Tokyo Metropolitan University, 6–6
Asahigaoka, Hino-shi, 191–0065 Japan†† 広島市立大学情報科学研究科，広島市

クスが過度に活性化する現象の発生メカニズムを説明することができる．典型的な発生パターンとしては，

OSN の構造を表すラプラシアン行列について，その固Graduate School of Information Sciences, Hiroshima City University, 3–4–1
Ozuka-Higashi, Asa-Minami-ku, Hiroshima-shi, 731–3194 Japan

有値に実数ではない固有値が含まれる場合に発生するa) E-mail: kubo-takahiro@ed.tmu.ac.jp

ケースが挙げられる．それ以外に，OSN の構造を表す

b) E-mail: takano@hiroshima-cu.ac.jp

ラプラシアン行列の固有値が全て実数であったとしてc) E-mail: aida@tmu.ac.jp
DOI:10.14923/transcomj.2021GWP0024

電子情報通信学会論文誌 B

も，固有値が縮退した場合に，それに起因してネット
Vol. J105–B No. 3 pp. 283–293 © 一般社団法人電子情報通信学会 2022

283

電子情報通信学会論文誌 2022/3 Vol. J105–B No. 3

炎上が発生することが確認されている [3], [4]．
振動モデルは，分断されたサブネットワークのユーするためには，現実のデータを分析することに加えて理論的なモデルの確立が必要である．

ザダイナミックスを説明するモデルにも適用されていOSN の理論的なモデルの研究は以下のように要約でて，自発的対称性の破れの概念を用いた OSN の分極化

きる．OSN 上の噂の拡散や新しいサービスの浸透をモデル [5]，及びそれに基づいてエコーチェンバー現象説明するための主なモデル化の方法は大きく分けて二を記述するモデル [6] が提案されている．それらのモ

つある [19], [20]．一つはマクロなモデルであり，個々

デルでは，孤立したコミュニティ内の全てのユーザがのユーザの状態を直接記述せずに，ユーザの集団特性

互いに接続されている状況を考えている．この状況でのようなマクロな情報を記述することが特徴である．

は OSN の構造を表すラプラシアン行列の固有値は実

もう一方はミクロなモデルであり，個々のユーザの状数であるが，固有値の縮退が発生する．このため，分態を直接記述することが特徴である．

断されたサブネットワークのユーザダイナミックスのマクロなモデルの代表例として，SIS モデルや SIR

モデル化に現れるユーザダイナミックスの方程式は，モデルが挙げられる．これらは本来，感染症に関する

形式上，固有値の縮退によるネット炎上モデルに類似モデルであるが，噂や情報の拡散を感染症の感染プロした構造をもつ．しかし，複数の要因が相互に影響す

セスにたとえることで，OSN のユーザダイナミックス

るため，モデルの方程式の解として，ネット炎上モデのモデル化を行っている [21]〜[24]．このようなモデルに相当するユーザダイナミックスの強度の増大が起ル化では，爆発的なユーザダイナミックスとは，状態

こるのかどうか，まだ解明されていない．

変化の時間的な速度について記述する．例えば，特定本論文は，分断されたサブネットワークを記述するの情報がユーザの集団に広まるタイプの現象を扱うこ

ユーザダイナミックスの方程式の構造が，固有値の縮とになる．しかし，ネット炎上のようなユーザダイナ

退によるネット炎上のモデル [4] と類似した構造をもミックスの強度自体が増大する現象をモデル化するこ

つことを利用し，孤立したサブネットワークのユーザとはできない．

ダイナミックスの特性を調べ，ユーザダイナミックス

ミクロなモデルは，ユーザの状態を個々にモデルの強度の増大が起こる可能性があることを数値計算シ

化 するもの で，情報伝搬を表すパーコレーション

ミュレーションによって示す．

モデル [25]〜[28] や，マルコフ連鎖を利用したモデ

本論文の構成は以下のとおりである．2. では，OSN

ル [19], [20], [29]〜[32] などが提案されている．しかのユーザダイナミックスに関する関連研究を示し，本し，これらのモデルは十分時間が経過したあとの定常研究の位置づけと重要性を明らかにする．3. では，分状態の性質や，そこに至るまでの過渡状態の性質を調断したコミュニティに現れるユーザダイナミックスをべる枠組みで解析されてきた．数学的には，ユーザダ記述する波動方程式を説明し，それが固有値の縮退に

イナミックスを記述する微分方程式が時間に関して一伴って現れる波動方程式と類似した構造をもつことを階微分となる方程式であり，十分時間が経過して時間微示す．4. では，数値計算シミュレーションにより，孤分が 0 になる状態が定常状態である．このモデル化は，立したサブネットワークにおいてユーザダイナミック

通常は安定な定常状態に向かうプロセスをモデル化しスの強度が増大する現象の発生を示す．5. では，本論ており，ネット炎上のようにユーザダイナミックスの強文の結論を述べる．

度自体が増大する現象をモデル化することはできない．

2. 関 連 研 究

本論文は，ユーザ間の影響が OSN 上を有限速度で伝搬することを前提として，ネットワーク上の波動方

OSN は現実のソーシャルネットワークよりも構造的

程式に基づくモデルである振動モデル [1] を取り扱う．

な情報を得やすいため，ネットワーク分析の研究が盛

波動方程式とは，何らかの信号が媒質中を有限速度でんに進められている [7]〜[9]．研究対象となる OSN の伝搬する様子を記述する方程式であり，今の場合は信構造は大まかには二種類に分類できる．一つは social

号がユーザ間の影響であり，媒質が OSN である．ネッ

relationship network と呼ばれており，フォロワー間のトワーク上の波動方程式は時間に関する二階の微分方

関係性により形成される [10]〜[14]．もう一つは social

程式である．また，OSN が一般に有向グラフであるこinteraction network と呼ばれており，個人間の実際のとから，現実の世界の波動方程式とは異なってエネル関係を示す [15]〜[18]．一方，OSN の構造を深く理解

ギー保存則が破れる場合があり，ネット炎上のような

284

論文／孤立したオンラインコミュニティにおけるユーザダイナミックスの活性化特性

ユーザダイナミックスの強度が発散する現象も取り扱る．このとき，ユーザの状態ベクトルに関する運動方

うことができる．

程式は以下のように記述できる．

3. 孤立したコミュニティから生じるユーザ
ダイナミックスのモデル

d2
x(t) = −L x(t)
dt 2

(3)

3. 1 振動モデルの基礎方程式

運動方程式 (3) はネットワーク上の波動方程式であり，本節では OSN 上のユーザダイナミックスを記述す

ユーザ間の影響がネットワーク上を有限速度で伝搬するネットワーク上の振動モデルの概要を述べ，ユーザ
ダイナミックスを記述する基礎方程式を紹介する．

る状況を記述している．
ラプラシアン行列 L の固有値に実数でない固有値

ネットワーク上の振動モデルは，ユーザの状態とが含まれるとき，ユーザのダイナミックスが発散する

ユーザ間の相互作用の規則について，できる限り単純ことが知られているが [1]，本論文では L が対角化可で普遍性のあるモデルとして考案された [1], [2]．ユー

能で，L の全ての固有値が実数である状況を考える．

ザ数 n の OSN の構造を表す有向グラフ G(V, E) のノー
ド i, j ∈ V について，有向リンク (i → j) の重みを wi j
として，隣接行列 A を

Ai j :=(i → j) ∈ E


 0,


(i → j) < E

di :=

(4)

ここで Λ はラプラシアン行列を対角化した行列であり，適当な正方行列 P によって Λ := P −1 L P となる．
また，ϕ(t) := P −1 x(t) である．式 (4) は，OSN 上の波と定義する．また，ノード i の重み付き出次数を∑と，以下の波動方程式が得られる．

d2ϕ(t) = −Λ ϕ(t)dt 2

A = [Ai j ]1≤i, j ≤n
 wi j ,式 (3) において，L を対角化するような変換を施す

wi j

動方程式 (3) が n 個の独立した振動モードに分解した形になっており，その解は以下のように与えられる．

ϕ(t) = exp[∓i Ω t] ϕ(0)j ∈∂iとし，次数行列を D := diag(d1, ...dn ) とする．ここで，∂i はノード i から出る向きのリンクに関する隣接ノードの集合である．これらを用いて OSN を表す重み付
き有向グラフのラプラシアン行列を(5)

こ こ で ，ラ プ ラ シ ア ン 行 列 の 固 有 値 を λµ (µ =0, 1, . . . , n − 1) としたとき，それらは全て非負であり，(√)√√Ω := diag λ0, λ1, . . . , λn−1である．

L := D − A

ユーザダイナミックスの強度の指標は，ネットワーとする．個々のユーザの状態は一次元の変数で記述されるものとし，時刻 t でのユーザ i の状態を xi (t) とする．ただし，i = 1, 2, ..., n である．また，全ユーザの状態を要素にもつ列ベクトルをクの振動エネルギーである．ネットワークの振動エネ
ルギーは，振動モードごとの解 (5) から求めることができる．振動モードごとの振動エネルギーは，振幅の 2乗と固有角振動数の 2 乗の積に比例した量である [33]．
基礎方程式は，波動方程式よりも基礎的な概念とし

tx(t) := (x1 (t), . . . , xn (t))(1)

とし，ユーザの状態ベクトルと呼ぶ．このとき，ユーザ間の相互作用を以下のように記述する．ユーザ i は
隣接ユーザ j から xi (t) − x j (t) に比例した力

Fi j = −wi j (xi (t) − x j (t))

て振動モデルに導入された [2], [36]．基礎方程式は，波動方程式 (3) の解を与えるだけでなく，OSN の構造とユーザダイナミックスの因果関係を明示的に記述することができる．例えば，元の OSN 構造から現れるユー
ザダイナミックスが既知であったとき，そこに新たに(2)加わった OSN の構造変化に対し，ユーザダイナミッ
クスがどのように変化するのかを明示的に記述するこを受ける．ここで wi j > 0 は定数である．ユーザ間のとができる．基礎方程式は波動方程式 (3) とは異なり，影響の強さは一般に非対称であるため wi j , w ji であ

時間に関して一階の微分方程式となる必要がある．
285

電子情報通信学会論文誌 2022/3 Vol. J105–B No. 3

まず，半正規化ラプラシアン行列を導入する．よく知られているように，正規化ラプラシアン行列がで，直接的な知人関係のみにリンクが生じるとは限ら√√
N := D−1 L D−1

ず，同じ電子掲示板を閲覧したユーザ間にもリンクが生じる．そのため，同じ志向をもったユーザからなるのように定義されるのに倣い，半正規化ラプラシアン

いま，比較的小さなコミュニティが分断して完全グ

√
D−1 L

ラフとなり，リンクの重みが全て等しくなる状況で，√

ここで，H は有向リンク (i → j) の重みが wi j / di で与えられるグラフのラプラシアン行列であることに注意する．また，H が表すネットワークのリンクの有無
は，L が表す OSN のそれと完全に一致する．

[√+1
Ĥ := D ⊗
0

0
−1

]
−

(√

[
) 1 +1D−1 A ⊗
2 −1

+1

]

−1
(6)

右辺第二項の 2 × 2 行列は 2 乗すると零行列となることに注意する．本論文では行列 Ĥ をハミルトニアンと呼ぶ．ハミルトニアンを使うと基礎方程式は以下のように与えられる．

dx̂(t) = Ĥ x̂(t)dt(7)

ここで， x̂(t) は以下で定義される 2n 次元の状態ベク
トルである．

x̂(t) := x + (t) ⊗

( )
1
0

+ x − (t) ⊗ユーザダイナミックスを記述する基礎方程式を考える．
これは，OSN 上で同じ志向や考えをもつメンバ同士が議論するときに，ユーザ間の相互作用が一定の量に達して飽和している状況に相当する．このとき，注目するサブネットワークの固有振動数のうち，0 以外の固次に，以下のような 2n × 2n 行列 Ĥ を定義する．

i

孤立したコミュニティで，ユーザが完全グラフで接続される状況は不自然とは言えない．

行列を以下のように定義する．

H :=ユーザ間のリンクはユーザ間の影響を表したものなの( )0

有角振動数は全て重複している．重複した固有振動数を ω とし，全てのリンクに共通のリンクの重みを d とすると，固有振動数 ω に関するユーザダイナミックス
を表す方程式は以下のように書ける [6]．

i

d
ψ(t)
dt
(
[
ω2 +1
= √
2 d −1+1−12
 +cω + ω √+d2=  +2icωt ω 2d−d
√
−e
2 d


]

[
d +1
2 +1

√
+

−1

])
ψ(t)

−1

2

+e−2icωt ω √−d 
2 d  ψ(t) (8)2−cω − ω √+d 
2 d 

ここで c は c > 0 を満たす定数である．ただし(
ψ(t) :=

ψ + (t))ψ − (t)1

波動方程式 (3) の解 x(t) は， x̂(t) に現れる x + (t) とx − (t) を用いて，x(t) = x + (t) + x − (t)で得られる．

3. 2 孤立したサブネットワークのユーザダイナミックス
孤立したオンラインコミュニティのユーザダイナ
ミックスを基礎方程式 (7) によって調べる．特に，孤立したコミュニティ内で議論が活性化した状況として，コミュニティ内のユーザが同じ重みのリンクにはユーザダイナミックスを表す波動方程式の解である．
この方程式の解を，位相を θ ± (t) を用いて以下のよ
うに表現する．
±ψ ± (t) := e∓iθ (t)(9)

ここで，位相は一般に複素数であるとしており，実部と虚部に θ ± (t) = Re[θ ± (t)] + i Im[θ ± (t)] と分解したとき，( ())ψ ± (t) = exp ∓i Re[θ ± (t)] + i Im[θ ± (t)]()()= exp ∓iRe[θ ± (t)] exp ±Im[θ ± (t)]()= A(t) exp ∓iRe[θ ± (t)]()

よって完全グラフで接続される状況がモデル化されてとなる．ここで， A(t) := exp ±Im[θ ± (t)] である．ついる [6]．一般に，OSN の全てのユーザが完全グラフ

まり，位相の虚部は ψ ± (t) の振幅を決定づける量であで接続することは考えにくい．しかし，OSN におけるる．いま考えている系では固有振動数 ω が一定である

286

論文／孤立したオンラインコミュニティにおけるユーザダイナミックスの活性化特性ため，ユーザダイナミックスの強度を示す振動エネル

礎方程式における位相の実部の時間発展方程式の共通

ギーは，振幅の大きさで決まる．

点は，右辺に以下の構造が現れることである．

式 (9) を式 (8) に代入して整理すると，θ ± (t) の実部と虚部の時間発展方程式が得られる．

と式 (12) では，sin(−Re[θ − (t)] + π/2 − Re[θ + (t)]) とsin(−Re[θ + (t)] + π/2 − Re[θ − (t)]) がそれぞれ式 (14) の−+ω2 − d+ √ e−(Im[θ (t)]+Im[θ (t)])
2 d構造に相当する．この構造において，振幅に対応する

exp (Im[Phase(t)]) の絶対値が十分大きければ，蔵本モ× cos(−Re[θ − (t)] − Re[θ + (t)])

デルと同様のメカニズムによって位相の実部の同期がω2 + d起こる (付録 1.)．

√2 d

次に，位相の虚部の時間発展方程式 (11)，(13) に注目

ω2 − d−する．位相の虚部の時間発展方程式 (11) と (13) では，+√ e−(Im[θ (t)]+Im[θ (t)])
2 dsin(Re[θ − (t)] + Re[θ + (t)]) と sin(Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)])× sin(−Re[θ − (t)] + π/2 − Re[θ + (t)])

がそれぞれ式 (14) の構造に相当する．したがって，

+

(10)
−
+
d Im[θ + (t)]ω2 − d= + √ e−(Im[θ (t)]+Im[θ (t)])
dt
2 d× sin(Re[θ − (t)] + Re[θ + (t)])
d Re[θ − (t)]
dt

=

(14)

こ こ で ，Phase は 位 相 を 表 す 関 数 で あ る ．式 (10)d Re[θ + (t)] ω2 + d
= √
dt
2 d

=

exp (Im[Phase(t)]) × sin(Re[Phase(t)])

位相の実部の時間発展方程式 (10)，(12) が式 (14) の構造をもつことで蔵本モデル的な同期を起こすた
め，Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] が特定の値に安定する．すると，sin(Re[θ − (t)] + Re[θ + (t)]) あるいは sin(Re[θ + (t)] +(11)

Re[θ − (t)]) の構造をもつ式 (11)，(13) も特定の値に安定する，すなわち Im[θ + (t)]，Im[θ − (t)] の変化率が一

ω2 + d√2 d定となる．Im[θ + (t)]，Im[θ − (t)] の変化率が一定となる

ω2 − d +(Im[θ + (t)]+Im[θ − (t)])√ e2 d効果は，式 (10)，(12) において同期の起点となった正× cos(−Re[θ + (t)] − Re[θ − (t)])

える．結果として，位相の実部と虚部が互いに影響を+弦関数に対して係数 exp (Im[Phase(t)]) として影響を与及ぼす構造となっている．このとき，位相の実部に位ω2 + d= √2 d

相同期が発生するかどうかは，位相の虚部の振る舞いからも大きく影響を受ける点に注意が必要である．

+−
ω2 − d+ √ e+(Im[θ (t)]+Im[θ (t)])
2 d

蔵本モデルとの関係から見た 3.2 の時間発展方程式

× sin(−Re[θ + (t)] + π/2 − Re[θ − (t)])(12)−

× sin(Re[θ (t)] + Re[θ (t)])

つ方程式の相違点は同期の発生し易さの違いである．

√

式 (10) と式 (12) は右辺に (ω2 + d)/(2 d) の項をもつ．
これは，ψ + (t) と ψ − (t) が本来は逆回りの位相をもって+−
ω2 − dd Im[θ − (t)]= − √ e+(Im[θ (t)]+Im[θ (t)])
dt
2 d

+

と文献 [3], [4] で議論されている縮退した固有値をもいることを示していて，位相同期を起こすには蔵本モ(13)

3. 3 固有値が縮退した位相の時間発展方程式との類似性

デルのメカニズムによる位相同期の力が本来の位相に打ち勝つ必要がある．これは固有値が縮退する場合のネット炎上モデルには存在しない特徴である．また，
蔵本モデルのメカニズムによる同期が発生するかどう

3.2 の時間発展方程式 (10)–(13) を，文献 [3], [4] でかは，位相の実部の時間発展方程式に現れる正弦関数

議論されている縮退した固有値をもつ位相の時間発展の係数の絶対値が十分大きいことが必要なので，位相方程式と比較しながら，その構造を分析する．比較は，の実部の同期が発生するかどうかに位相の虚部の振る

位相の実部と虚部の時間発展方程式に分けて行う．

舞いが大きく関係してくることが予想される．また，はじめに，位相の実部の時間発展方程式 (10)，(12)蔵本モデルに基づく位相同期が発生しない場合であっを比較する．式 (10)，(12) と縮退した固有値をもつ基ても，位相の実部と虚部が互いに影響を与えあう状況
287電子情報通信学会論文誌 2022/3 Vol. J105–B No. 3から，興味深いダイナミックスの出現が期待できる．

の正弦関数から明らかなように，蔵本モデル的な同期が起きているならば Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] は π/2 で安4. 数値計算シミュレーション

定する．しかし，図 2，図 3 の結果で位相が安定してい孤立したコミュニティのモデルにおけるユーザダイ
ナミックスの振る舞いを確認するため，表 1 のようにパラメータを設定し，時間発展方程式 (10), (11), (12),(13) から位相の実部と虚部の時間発展を数値計算シ
ミュレーションにより求める．

4. 1 予 備 実 験
位相の実部と虚部の数値計算シミュレーションを行
う前に以下の予備実験を行い，モデルに関する 3.3 での比較分析の妥当性を確認する．

4. 1. 1 蔵本モデル的な同期の確認
本節では，逆位相で回転する位相の実部が，逆位相の動きに打ち勝って同期する可能性があるのかを調べるための予備実験を行う．具体的には，位相の実部の時間発展は，時間発展方程式 (10), (12) の右辺第一項

図 1 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)]（C = 1 の場合）
Fig. 1 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] (for C = 1).

の値にかかわらず，正弦関数の係数が大きければ蔵本モデル的な同期が起こることを確認する．式 (10), (12)の右辺第二項の正弦関数の係数部分を定数 C に置き換
え，以下のようにする．

d Re[θ + (t)] ω2 + d
= √
dt
2 d
+ C sin(−Re[θ − (t)] + π/2 − Re[θ + (t)])(15)
d Re[θ − (t)]dt=

ω2 + d√2 d+ C sin(−Re[θ + (t)] + π/2 − Re[θ − (t)])(16)
このとき，C = 1, 3, 10 としたときの位相の実部の時間

図 2 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)]（C = 3 の場合）
Fig. 2 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] (for C = 3).

発展をそれぞれ図 1，図 2，図 3 に示す．横軸は経過時間を表し，縦軸は位相の実部の和 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)]を示す．図 1 の C = 1 の評価結果は，当然ある時刻には一つの値しか取らないが，その値は時間とともに激しく変動しているため，位相同期は確認できない．一方，図 2 の C = 3，図 3 の C = 10 では，位相の実部の和は安定しており位相が同期している．式 (15)，(16)
表1 初 期 条 件
Table 1 Initial condition.
ParameterdRe[θ1+ (0)]Re[θ1− (0)]

288

Value
2
0
0

ParameterωIm[θ1+ (0)]Im[θ1− (0)]

Value
√
3
0
0

図 3 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)]（C = 10 の場合）
Fig. 3 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] (for C = 10).

論文／孤立したオンラインコミュニティにおけるユーザダイナミックスの活性化特性

る値は π/2 とは異なっている．図 2，図 3 の位相が安り，図 2 よりも図 3 の同期位相が π/2 に近い値である

定した値を比較すると，図 3 の方が蔵本モデルから導ことを説明できる．

かれる同期位相 π/2 に値が近い．これは，図 3 の C が

4. 1. 2 位相の実部の正弦関数の係数

図 2 の C より大きいことと関係があると考えられる．

4.1.1 では，位相の実部の時間発展方程式において位

このように，C の値に依存した同期の有無のメカニ

相同期に寄与する正弦関数の係数が大きければ蔵本モ

ズムを探るため，式 (15)，(16) の両辺の和をとった次デル的な同期が起こることを確かめたが，ここでは，の式を考える．

時間発展方程式 (10), (12) の正弦関数の係数d Θ ω2 + d= √+ 2 C sin(π/2 − Θ)
dt
d

(17)

ここで Θ := Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] である．簡略化のため

ω2 − d ∓(Im[θ − (t)]+Im[θ + (t)])√ e
2 dが実際に大きいとみなせるのかどうか，その挙動について確認する．時間発展方程式 (10), (12) において二種類の初期値のもとでの位相の実部の正弦関数の係数

Û := d ΘΘ
dtの時間発展をそれぞれ図 5 及び図 6 に示す．初期条件
として，図 5 は Im[θ + (0)] = 0.1, Im[θ − (0)] = 0.1 とし，√
D := (ω2 + d)/2 d

図 6 は Im[θ + (0)] = 1.6, Im[θ − (0)] = 1.6 としており，その他のパラメータについては表 1 のとおりである．

とすると，式 (17) は以下のように書ける．

Û = D + 2 C cos(Θ)Θ

また，横軸は経過時間を表し，縦軸は時間発展方程式(18)

Û を縦軸としたグラフを，
図 4 に式 (18) の Θ を横軸，Θ
図 1, 図 2，図 3 の C の値ごとに示す．C = 1 の曲線は
Û = 0 となる x 軸との交点をもたないため，Θ の値が安Θ
定せず同期が生じない．一方，C = 3，C = 10 の曲線は

Û = 0 となる x 軸と二つの交点をもつ．π/2 < Θ < π
Θ

の交点は安定解，π < Θ < 3π/2 の交点は不安定解となっており，Θ の値は十分時間が経過すると安定解に同期する．もし D = 0 ならば C > 0 を満たす任意のÛ = 0 となるため，同期した位曲線は π/2 と 3π/2 で Θ
相が π/2 と等しくならない原因は D の項にあることが分かる．また，正弦波の振幅である C の値が大きくなると安定解は π/2 に近づくことが分かる．これによ(10), (12) に現れる正弦関数の係数である．
図 5 と図 6 のどちらの場合も，正弦関数の係数が比較的小さな値で安定するような振る舞いを示している
ことがわかる．この値は，4.1.1 で蔵本モデル的な同期が起こらなかった C = 1 よりも小さい値であるため，
蔵本モデル的な同期は起こらない可能性がある．したがって，位相の実部と虚部が互いの時間発展に影響を与える複雑なダイナミックスがどのような振る舞いをするのか，詳しく調べる必要がある．

4. 2 位相の実部の挙動
幾つかの異なる初期条件のもとで，位相の実部の和Re[θ + (t)]+Re[θ − (t)] の時間変化を図 7〜図 9 に示す．初期条件として，図 7 は Im[θ + (0)] = 0.0, Im[θ − (0)] = 0.0とし，図 8 は Im[θ + (0)] = 1.6, Im[θ − (0)] = 1.6 とし，
図 9 は Im[θ + (0)] = 1.62, Im[θ − (0)] = 1.62 としている．その他のパラメータについては表 1 のとおりである．また，横軸は経過時間を表し，縦軸は位相の実部の和 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] である．
こ れ ら の 結 果 か ら ，位 相 の 実 部 の 和 Re[θ + (t)] +Re[θ − (t)] は多様な値をとっていることがわかる．これは，蔵本モデル的な同期現象が現れていないことを示している．また，位相の実部の和 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)]は，激しく変化している時間領域と幾つかの離散的な値をとる時間領域がある．図 7 を例にとれば，位相図 4 位相和の時間発展
Fig. 4 Time evolution of phase sum.

の実部の和は時間が 6, 000 の手間までは激しく変化している．一方で，時間が 6, 000 の手間からは幾つかの
289電子情報通信学会論文誌 2022/3 Vol. J105–B No. 3

位相の実部の正弦関数の係数（初期条件：Im[θ + (0)] =0.1, Im[θ − (0)] = 0.1）
Fig. 5 Coeﬃcient of sine function (initial conditions: Im[θ + (0)] = 0.1,
Im[θ − (0)] = 0.1).
図5Re[θ + (t)]+Re[θ − (t)]（初期条件：(Re[θ + (0)], Re[θ − (0)],Im[θ + (0)], Im[θ − (0)]) = (0, 0, 0, 0)）Fig. 7 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] (initial conditions: (Re[θ + (0)],Re[θ − (0)], Im[θ + (0)], Im[θ − (0)]) = (0, 0, 0, 0)).

図7Re[θ + (t)]+Re[θ − (t)]（初期条件：(Re[θ + (0)], Re[θ − (0)],Im[θ + (0)], Im[θ − (0)])=(0, 0, 1.6, 1.6)）
Fig. 8 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] (initial conditions: (Re[θ + (0)],Re[θ − (0)], Im[θ + (0)], Im[θ − (0)])=(0, 0, 1.6, 1.6)).

図8
位相の実部の正弦関数の係数（初期条件：Im[θ + (0)] =1.62, Im[θ − (0)] = 1.62）
Fig. 6 Coeﬃcient of sine function (initial conditions: Im[θ + (0)] = 1.62,
Im[θ − (0)] = 1.62).
図6

離散的な値をとる様子が確認できる．この様子は，カ
オスの分岐現象が生じている可能性を示唆している．
また，位相の実部の和 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] の振る舞いは，初期値の違いによって結果が異なっていることが確認できる．Im[θ + (0)], Im[θ − (0)] の値が 1.6 と 1.62のようなわずかな差であっても，その後の時間発展に大きな差を生んでいることがわかる．位相の虚部は振幅に対応するので，初期位相における位相の虚部の違いはユーザの活動の強さの違いに対応する．

4. 3 位相の虚部の挙動
図 10〜図 12 に，図 7〜図 9 で示した位相の実部の時間発展に対応する，それぞれの位相の虚部の時間発展を示す．横軸は経過時刻，縦軸は Im[θ + (t)] の値を290

Re[θ + (t)]+Re[θ − (t)]（初期条件：(Re[δ + (0)], Re[δ − (0)],Im[δ + (0)], Im[δ − (0)])=(0, 0, 1.62, 1.62)）
Fig. 9 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] (initial conditions: (Re[δ + (0)],Re[δ − (0)], Im[δ + (0)], Im[δ − (0)])=(0, 0, 1.62, 1.62)).
図9

論文／孤立したオンラインコミュニティにおけるユーザダイナミックスの活性化特性

図 10 Im[θ + (t)], Im[θ − (t)]（初期条件：(Re[δ + (0)], Re[δ − (0)],Im[δ + (0)], Im[δ − (0)])=(0, 0, 0, 0)）Fig. 10 Im[θ + (t)], Im[θ − (t)] (initial conditions: (Re[δ + (0)],Re[δ − (0)], Im[δ + (0)], Im[δ − (0)])=(0, 0, 0, 0)).

図 12 Im[θ + (t)], Im[θ − (t)]（初期条件：(Re[θ + (0)], Re[θ − (0)],Im[θ + (0)], Im[θ − (0)]) = (0, 0, 1.62, 1.62)）
Fig. 12 Im[θ + (t)], Im[θ − (t)] (initial conditions: (Re[θ + (0)],Re[θ − (0)], Im[θ + (0)], Im[θ − (0)]) = (0, 0, 1.62, 1.62)).

+−

図 13 式 (19) における振幅：(a) e+Im[θ ] , (b) e−Im[θ ]+−Fig. 13 Amplitude of (19): (a) e+Im[θ ] , (b) e−Im[θ ] .

の時間発展は共に ψ ± (t) の振幅の増加に寄与し，ユー
図 11Im[θ + (t)], Im[θ − (t)]（初期条件：(Re[θ + (0)], Re[θ − (0)],ザダイナミックスの活性化をもたらすことがわかる．

Im[θ + (0)], Im[θ − (0)]) = (0, 0, 1.6, 1.6)）
Fig. 11 Im[θ + (t)], Im[θ − (t)] (initial conditions: (Re[θ + (0)],Re[θ − (0)], Im[θ + (0)], Im[θ − (0)]) = (0, 0, 1.6, 1.6)).

OSN 上ではユーザ間の情報流通の偏りが問題となっており，孤立したサブネットワークのダイナミックス
を調べることが求められる．我々が確認したユーザダ

黒のプロットで，Im[θ − (t)] の値を赤のプロットで表示

イナミックスの活性化は，分断するオンラインコミュ

した．

ニティを理解するための第一歩となる基礎研究であ全ての図において，Im[θ + (t)] は増加し，Im[θ − (t)] はる．ユーザダイナミックスの基礎的な理解を進めるこ

減少している傾向が確認できる．ここで，式 (9) の振とで，オンラインコミュニティの分断を緩和する技術

幅が明示的にわかるように，位相の実部と虚部を分けに結びつく可能性がある．
ま た ，図 10〜 図 12 と 図 7〜 図 9 を 比 較 す るて表示すると以下のようになる．
±と ，位 相 の 虚 部 の 値 の 変 化 は ，位 相 の 実 部 の 和±ψ ± (t) = e±Im[θ (t)] e∓iRe[θ (t)]±Im[θ ± (t)]この式から ψ ± (t) の振幅は e(19)Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] が激しく変化する期間で起こであることがわり，位相の虚部の値が増加しない時間領域では位相の+−かる．この振幅を e+Im[θ (t)] と e−Im[θ (t)] に分けて位実部の和 Re[θ + (t)] + Re[θ − (t)] が離散的な値をとる領相の虚部の関数として図示すると図 13 のようになる．
+

図 13 (a) から，Im[θ + (t)] の増加によって，振幅 e+Im[θ ]が増加することが理解できる．同様に，図 13 (b) から，−域に対応していることがわかる．本論文の評価で用いた初期位相では，位相の実部を 0 で固定し，位相の虚部を変化させていることから，位相の虚部の単調増加

Im[θ − (t)] の減少によっても，振幅 e−Im[θ ] が増加するが全ての条件で確認されたわけではない．しかしながことが理解できる．以上から，Im[θ + (t)] と Im[θ − (t)]ら，特定の位相条件で位相の虚部の単調増加が発生す291

電子情報通信学会論文誌 2022/3 Vol. J105–B No. 3

るならば，孤立したオンラインコミュニティのユーザ

eﬀect based on the concept of spontaneous symmetry break-

ダイナミックスは活性化するリスクがある．今回の評

ing,” 2020 International Conference on Emerging Technologies

価で用いた位相の虚部はユーザダイナミックスの振幅に関係するため，各ユーザの活動の強さとユーザダイ
ナミックスの活性化の関係を解明することで，分断すfor Communications (ICETC 2020), IB3-4, Dec. 2020.
[7]

D.J. Watts, “A twenty-first century science,” Nature, vol.445,
p.489, Jan. 2007.

[8]

S.P. Borgatti, A. Mehra, D.J. Brass, and G. Labianca, “Network
analysis in the social science,” Science, vol.323, no.5916, pp.892–

るオンラインコミュニティを理解できる可能性がある．

895, Feb. 2009.

5. む す び[9]J. Scott, “Social network analysis: developments, advances, andprospects,” Social Network Analysis and Mining, vol.1, pp.21–26,

本論文では，孤立したオンラインコミュニティに生じるユーザダイナミックスに着目し，そのダイナミッ

Jan. 2011.
[10]

authorship networks in the digital library research community,”

クスを記述する方程式がネット炎上現象を記述する方

Information Processing and Management, vol.41, no.6, pp.1462–

程式と類似していることを用いて，ユーザダイナミッ
クスが活発化する方向に変化する可能性があることを

1480, Dec. 2005.
[11]

poses,” WIMS’11, no.52, pp.1–8, May 2011.
[12]

重みが全て等しくなるという条件のもとで発生する

pp.25–30, Aug. 2008.
[13]services,” WWW’07, pp.835–844, May 2007.
[14]
[15]

19H04096 の助成を受けたものです．また，本研究の一部は東京都立大学ローカル 5G 研究プロジェクトの

2002.
[16]

[1]

bile communication networks,” National Academy of Sciences,vol.104, no.18, pp.7332–7336, May 2007.
[18]

having networks,” Journal of Theoretical Biology, vol.271, no.1,

M. Aida, C. Takano, and M. Murata, “Oscillation model for de-

pp.166–180, Feb. 2011.
[19]

tion,” IEICE Trans. Commun., vol.E101-B, no.1, pp.123–136, Jan.

会田雅樹，ネットワークダイナミクス入門，森北出版，2020.

[3]

T. Kubo, C. Takano, and M. Aida, “New model of flaming phenomena in on-line social networks caused by degenerated oscilla-

WWW’07, pp.191–200, May 2007.
[20]

vol.2013, P12002, Dec. 2013.
[22]

ics created by weak ties among divided communities,” NOLTA,
vol.12, no.12, pp.157–174, April 2021.
[5]

292

R. Pastor-Satorras and A. Vespignani, “Epidemic spreading inscale-free networks,” Physical Review Letters, vol.86, no.14,

Congress (ITC 32), Sept. 2020.
M. Aida and A. Hashizume, “Modeling of online echo-chamber

R.M. May and A.L. Lloyd, “Infection dynamics on scale-free networks,” Physical Review E, vol.64, no.6, 066112, Dec. 2001.

[24]

taneous symmetry breaking,” The 32nd International Teletraﬃc[6]

H.W. Hethcote, “The mathematics of infectious diseases,” SIAM
Review, vol.42, no.4, pp.599–653, Dec. 2000.

[23]

M. Aida, A. Hashizume, C. Takano, and M. Murata “Polarization
model of online social networks based on the concept of spon-

S. Pei and H.A. Makse, “Spreading dynamics in complex networks,” Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment,

1564, Aug. 2019.
T. Kubo, C. Takano, and M. Aida, “Evaluation of user dynam-

R. Th.A.J. Leenders, “Models for network dynamics: A Markovian
framework,” J. Math. Sociology, vol.20, no.1, 1995.

[21]

tion modes,” IEICE Trans. Commun., vol.E102-B, no.8, pp.1554–[4]

X. Song, Y. Chi, K. Hino, and B.L. Tseng, “Information flow
modeling based on diﬀusion rate for prediction and ranking,”

2018.
[2]

L. Isella, J. Stehle, A. Barrat, C. Cattuto, J.F. Pinton, and W.V.
den Broeck, “What’s in a crowd? Analysis of face-to-face be-献scribing network dynamics caused by asymmetric node interac-

J.P. Onnela, J. Saramaki, J. Hyvonen, G. Szabo, D. Lazer, K. Kaski,
J. Kertesz, and A.L. Barabasi, “Structure and tie strengths in mo-

情報を提供してくれた東京都立大 古谷諭史氏に感謝致文

G. Kossinets and D.J. Watts, “Empirial analysis of an evolvingsocial network,” Science, vol.311, no.5757, pp.88–90, Jan. 2006.

[17]

支援を受けたものです．本研究の一部の考察に有益なします．

H. Ebel, L.-I. Mielsch, and S. Bornholdt, “Scale-free topology ofe-mail networks,” Physical Review E, vol.66, no.3, 035103, Sept.

分断を緩和する技術に結びつく可能性がある．
謝辞 本研究は JSPS 科研費 21H03432, 20H04179,

J. Leskovec, D. Huttenlocher, and J. Kleinberg, “Signed networks
in social media,” CHI’10, pp.1361–1370 April 2010.

解する上で興味深い現象を示しており，この現象の理解を進めることで，将来，オンラインコミュニティのY.-Y. Ahn, S. Han, H. Kwak, S. Moon, and H. Jeong, “Analysis of topologial characteristics of huge online social networkingが増加することを確認した．この結果は，オンライン
ソーシャルネットワークのユーザダイナミックスを理A. Mislove, H.S. Koppula, K.P. Gummadi, P. Druschel, and B.
Bhattacharjee, “Growth of the flickr social network,” WOSN’08,

ことが予想されていた．数値計算シミュレーションの結果から，実際にユーザの振動モードの振幅の大きさ

S.A. Catanese, P. De Meo, E. Ferrara, G. Fiumara, and A.
Provetti, “Crawling facebook for social network analysis pur-示した．この特性は，孤立したコミュニティを表すサ
ブネットワークが完全グラフとなり，且つ，リンクのX. Liu, J. Bollen, M.L. Nelson, and H.V. de Sompel, “Co-pp.3200–3203, April 2001.
[25]

S. Solomon, G. Weisbuch, L. de Arcangelis, N. Jan, and D.

論文／孤立したオンラインコミュニティにおけるユーザダイナミックスの活性化特性
Stauﬀer, “Social percolation models,” Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol.277, no.1-2, pp.239–247, March∑dθ i (t) = ωi +Ki j sin(θ j (t) − θ i (t))
dt
n

[26]

M. Hohnisch, S. Pittnauer, and D. Stauﬀer, “RA percolation-basedmodel explaining delayed takeoﬀ in new-product diﬀusion,” In-[27]

す．もし，全ての i − j 間に対して Ki j = 0 が成り立つ

2008.

なら，振動子 i は固有角振動数 ωi の独立な振動子とA. Campbell, “Word-of-mouth communication and percolation

なる．ωi の値は，全ての振動子で等しいか，近い値とpp.2466–2498, Oct. 2013.

[30]なる場合を考えることが多い．また，振動子同士を結F. Morone and H.A. Makse, “Influence maximization in complex

合する項に位相差の正弦関数が現れることが蔵本モデ

networks through optimal percolation,” Nature, vol.524, pp.65–68,

ルの特徴である．

July 2015.
[29]

ここで，Ki j は振動子 i − j 間の相互作用の強さを表

dustrial and Corporate Change, vol.17, no.5, pp.1001–1017, Oct.

in social networks,” American Economic Review, vol.103, no.6,[28]

D.J. Watts and P.S. Dodds, “Influentials, networks, and public

蔵本モデルにおいて，相互作用の強さ Ki j が十分大opinion formation,” Journal of Consumer Research, vol.34, no.4,

きければ，時間発展とともに各振動子の位相が同一のpp.441–458, Dec. 2007.

値に近づくことが知られている．これが振動子の同期

W. Galuba, K. Aberer, D. Chakraborty, Z. Despotovic, and W.

現象である．

Kellerer, “Outtweeting the twitterers — Predicting information（2021 年 5 月 21 日受付，9 月 2 日再受付，
11 月 22 日早期公開）

cascades in microblogs,” WOSN’10, June 2010.
[31]

(A·1)

j=1

2000.

N. Barbieri, F. Bonchi, and G. Manco, “Topic-aware social influence propagation models,” Knowledge and Information Systems,
vol.37, no.3, pp.555–584, April 2013.

[32]

P.V. Mieghem, F.D. Sahneh, and C. Scoglio, “An upper boundfor the epidemic threshold in exact markovian SIR and SIS epi-

久保 尊広

demics on networks,” IEEE Conference on Decision and Control,
pp.6228–6233, Dec. 2014.
[33]

[34]

（正員）

平 17 都立大・理・物理卒．平 19 東大院・

C. Takano and M. Aida, “Revealing of the underlying mechanism

総文・広域科学専攻修了．同年 NTT 入社．

of diﬀerent node centralities based on oscillation dynamics on net-

平 29 より首都大東京 (現 都立大) 大学院博

works,” IEICE Trans. Commun., vol.E101-B, no.8, pp.1820–1832,

士後期課程に在籍し，社会ネットワークのAug. 2018.

ダイナミックスの研究に従事．平 26 年度

Y. Kuramoto, Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence,

学術奨励賞．IEEE 会員．

Dover Books on Chemistry, 2003.
[35]

H. Sakaguchi and Y. Kuramoto, “A soluble active rotator model

高野 知佐

showing phase transitions via mutual entertainment,” Progress ofTheoretical Physics, vol.76, no.3, pp.576–581, Sept. 1986.
[36]

（正員）

平 12 阪大・工・電子通信卒．平 20 首都

M. Aida, C. Takano, and M. Ogura, “On the fundamental equa-

大東京 (現 都立大) 大学院博士後期課程了．

tion of user dynamics and the structure of online social networks,”

博士 (工学)．平 12 NTT アドバンステクノ

NetSci-X 2020, Springer Proceedings in Complexity, pp.155–170,

ロジ (株) 入社．平 20 広島市立大大学院情2020.

報科学研究科准教授．令 2 同大学院教授．

付録

1. 蔵本モデル

平 14 年度学術奨励賞．通信トラヒック制
御，社会ネットワーク分析の研究に従事．IEEE，情報処理学会
各会員．

蔵本モデルは，複数の振動子が互いに弱く結合した結合振動子の位相同期を記述するモデルである [34], [35]．

会田 雅樹（正員：フェロー）蔵本モデルは，振動子の位相が同期するメカニズムを

昭 62 立教大・理・物理卒．平元同大学大

数学的に説明可能であるため，さまざまな分野で研究

学院博士前期課程了．同年 NTT 入社．平されている．
個数 n の結合振動子を考える．時刻 t において i(i = 1, . . . , n) 番目の振動子の位相を θ i (t) とすると，蔵
本モデルは位相 θ i (t) の時間発展方程式を以下のように与える．

17 首都大東京・システムデザイン・准教授．

平 19 同・教授．令 2 都立大・システムデザ
イン・教授．博士（工学，東京大学）．平 7
年度学術奨励賞．平 25 年度・28 年度通信
ソサイエティ論文賞．平 29 信学会創立 100 周年記念懸賞論文
優秀賞．著書「情報ネットワークの分散制御と階層構造」「ネッ
トワークダイナミクス入門」など．IEEE シニア会員，ACM，
日本 OR 学会各会員．

293