物質のトポロジカル現象(2016 年ノーベル賞に関連して)
野村

清英

Dept. of Phys., Kyushu Univ.

2017 年 8 月 10 日

1 / 59序論
2016 年度ノーベル物理学賞受賞者

Figure: 左 D.J.Thouless； 中 F．D.M.Haldane； 右 J.M.Kosterlitz“TOPOLOGICAL PHASE TRANSITIONS AND TOPOLOGICALPHASES OF MATTER”

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序論

相転移：(オーソドックスな理解)▶ 秩序パラメーターが重要▶ 低温では長距離秩序 (自発的対称性の破れ)，高温で秩序なし．
▶ ユニバーサリティ▶ 相転移には境界条件は重要では無い．

境界項▶ 解析力学や場の理論で，部分積分で境界項はほとんどの場合

あっさり無視▶ 例外、(Dirac, t’Hooft-Polyakov) モノポール、

3 / 59

BKT 転移J. M. Kosterlitz, and D.J. Thouless: Journal of Physics C 6 p. 1181-1203 (1973).
▶ 長距離秩序が全くないのに，相転移が起きることがある．

2 次元 XY 模型，超伝導薄膜，2 次元結晶（超伝導薄膜は複素数のオーダーパラメーター U(1) だが，XY モデル O(2) と同じく連続的対称性)▶ 注：2 次元以下で連続的対称性の系で長距離秩序が無い証明(Mermin-Wagner (1966))▶ But, 2 次元 XY 模型の低温展開では，相関関数がべき乗的で，相関距離発散 ← 2 次元のグリーン関数は対数▶ 高温展開 (相関距離有限）とは矛盾▶ 見落とし，トポロジカルな励起 (渦)▶ Berezinskii: Sov. Phys. JETP, 32, p.493 (1971); Sov. Phys. JETP, 34,
p.610 (1972)の寄与も大事だが、ノーベル賞を出すことが不可能だった。
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BKT 転移と繰り込み群
Kosterlitz (1973)
繰り込み群▶ Kosterlitz-Thouless (1973) でも繰り込み群の計算をしているが、間違っていた▶ Kosterlitz (1974) で繰り込み群の正確な計算
J. M. Kosterlitz: J. Phys. C, 7, pp. 1046-1060 (1974).
▶ 近藤効果の繰り込み群との対比
Anderson-Yuval :Phys. Rev. Lett, 23, (1969) 89 ;Anderson-Yuval-Hamann:Phys. Rev. B, 1, (1970) 4464

近藤効果の問題を 2 次元古典クーロンガスに帰着させ、繰り込み群を計算うーん、繰り込み群の計算をノーベル賞の理由に含まなかったのはこのためか。

5 / 59Haldane 予想
F.D.M. Haldane: Phys. Letters A, 93, p.464 (1983); Physical Review Letters, 50,
p.1153 (1983)▶ 1950-1970 年代

1 次元スピン鎖で S=1/2 の厳密解，ボゾン化の方法
エネルギーギャップは無く，相関関数は冪的挙動→
この結果はあらゆるスピンで正しいと思われていた．
▶ 1 次元ハイゼンベルクスピン鎖で整数と半整数スピンの違い

整数スピンでは，エネルギーギャップあり，相関関数は指数
関数的挙動▶ 部分積分で境界項をよく調べると，無視できないことがある（トポロジカル項)．
この項は，整数スピンと半整数スピンでは影響が違う．
▶ 境界に特徴 (エッジ状態)

6 / 59量子ホール効果と TKNN

D. J. Thouless, Mahito Kohmoto, M.P. Nightingale, and M. den Nijs: Physical Review
Letters, 49(6):405, (1982)

量子ホール効果の説明，トポロジカルなチャーン数
磁場が無い場合にも応用可能な形式 (スピンホール効果など)，

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トポロジーについて
1. 何らかの形を連続変形しても保たれる性質に焦点
2. 例 1. マグカップとドーナツの動画
3. 例 2. 回転数—(winding number)

Figure: 左:巻数 -2, 中: -1, 右: 0

Figure: 左:1, 中: 2, 右: 3

回転数の動画8 / 59

トポロジーについて 2

3. 例 2. 回転数の続き (数学や物理での例)
3.1 微分幾何学 (ベクトル解析）
1
2π

I (
y )
x
dy
−
dx
2
r2
C r

3.2 複素関数論 (コーシーの積分定理)
I
1dz
2πi C z − a

(1)

(2)

3.3 磁束の量子化 (超伝導)，渦の量子化 (超流動)9 / 59

トポロジーについて 3 (量子渦)循環 κ：流体中で速度場 v(r) にたいし、Iκ≡v · dr(3)

C(C:閉曲線の積分路 )1

閉曲線 C を連続的に変形して 1 点にすることができる領域
10 / 59

トポロジーについて 3 (量子渦)循環 κ：流体中で速度場 v(r) にたいし、Iκ≡v · dr(3)

C(C:閉曲線の積分路 )超流動の複素秩序変数 ϕ(x) = |ϕ(x)| exp(iθ(x))
超流動速度場
vs =

ℏ
∇θ
m

(4)

(ℏ = h/(2π),h: プランク定数、m: ヘリウム原子の質量)1

閉曲線 C を連続的に変形して 1 点にすることができる領域
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トポロジーについて 3 (量子渦)循環 κ：流体中で速度場 v(r) にたいし、Iκ≡v · dr(3)

C(C:閉曲線の積分路 )超流動の複素秩序変数 ϕ(x) = |ϕ(x)| exp(iθ(x))
超流動速度場
vs =

ℏ
∇θ
m

(4)

(ℏ = h/(2π),h: プランク定数、m: ヘリウム原子の質量)vs は流体力学でのポテンシャル流 (∇ × v = 0) であるから、流体中の単連結領域 1 での循環は 01

閉曲線 C を連続的に変形して 1 点にすることができる領域
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トポロジーについて 4 (量子渦)
多重連結の領域: 渦の量子化 (超流動)vsϕ(x) = |ϕ(x)| exp(iθ(x)) は一価関数、したがって閉曲線 C を一周した時の位相差 ∆θ は 2πn (n: 整数)II
vs · dr =

κ=
C

ℏ
ℏ
∇θ · dr = 2πn
m
C m

(5)

となる。したがって循環は以下のように量子化される。

κ = nκ0 ,

κ0 =

2πℏ
m

(6)
11 / 59

トポロジーについて 5 (磁束量子化)

超伝導体の磁束も同様に量子化される。

Φ0 =

h
2e

(7)

ジョセフソン接合,SQUID

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2 次元古典 XY モデル

XY モデル:
HXY = −J∑<i,j>

Si · Sj = −J∑cos(θi − θj )

(8)

<i,j>

(ここで，θj (0 ≤ θj < 2π) は Sj ≡ (cos θj , sin θj ) で定義した. さらに和 < i, j > は最近接格子間でとっている)
これは，薄膜超流動や超伝導のモデルでもある．

13 / 59

2 次元 XY モデルの渦
2 次元 XY モデルでの励起では，トポロジカルな渦が特徴

14 / 59

2 次元 XY モデルの渦渦 (vortex) と反渦 (anti-vortex)

1. 渦
特異点のまわりを実格子で 1 周する時，XY スピンが同じ向きに回転する場合
2. 反渦
特異点のまわりを実格子で 1 周する時，XY スピンが逆向きに回転する場合
3. 渦や反渦の考えを一般化して，渦度 (整数）が定義できる
4. 全てのスピンを同じ角度変化させても，渦度は変わらない
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2 次元 XY モデルの BKT 転移

1. 低温相スピンがほぼ揃っている
2. 高温相スピン秩序は無い，
3. 注意！
高温相でも低温相でも長距離秩序は無い．
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2 次元 XY モデルの BKT 転移

1. 低温相スピンがほぼ揃っている
2. 高温相スピン秩序は無い，スピン相関は指数関数的に減衰
3. 注意！
高温相でも低温相でも，2 次元では長距離秩序は無い．
高温相と低温相の違いは，スピン相関が早く減衰 (指数関数的減衰) するか，ゆっくり減衰するか (べき乗的減衰)
17 / 59BKT 転移 2
1. 従来の相転移c1′⟨S(r) · S(r )⟩ ≈ c2 |r − r ′ |−ηc3 exp(−|r − r ′ |/ξ(T ))(T < Tc )(T = Tc )(T > Tc )(9)

1.1 低温では長距離秩序
1.2 高温では秩序はなく，相関関数は指数関数的に減衰．
1.3 臨界温度 Tc ではべき乗的減衰

2. 2 次元 XY{′⟨S(r) · S(r )⟩ ≈c1 |r − r ′ |−η(T )c2 exp(−|r − r ′ |/ξ(T ))(T ≤ Tc )(10)(T > Tc )18 / 59低温展開（スピン波近似）(8) で，隣り合ったスピンの揺らぎが十分小さい場合
cos(θi − θj ) ≈ 1 − (θi − θj )2 /2 ≈ 1 − (∇θ)2 /2 と展開できる.
これをまとめると∫J
d2 r(∇θ(r))2(11)
H = E0 +2(E0 = 2JN は完全にスピンが揃った場合の基底状態エネルギー)
分配関数は (β = 1/(kB T ))
(
)
∫
∫
J
Z = exp(−βE0 ) D[θ] exp −β
d2 r(∇θ(r))2(12)
2
この場合の Green 関数は ∇2 ln(r) = 2πδ(r) より

Γ(r ′ − r) ≡ ⟨θ(r ′ )θ(r)⟩ =1
ln |r − r ′ |
2π

(13)

19 / 59低温展開（スピン波近似）2
ガウス積分とグリーン関数 (一般論)1. 1 変数のガウス積分∫ ∞1dθ exp(− Aθ2 + ihθ)2−∞
1
= (2π/A)1/2 exp(− A−1 h2 )2W (h)1 −1 2∴ ⟨exp(ihθ)⟩ ≡= exp(− A h )W (0)2
W (h) =

(14)
(15)

2. N 変数のガウス積分 ∑ ∑N
確率分布関数が exp(− 12 N
i=1
j=1 θi Ai,j θj ) では⟨exp(i

∑
i


N ∑
N
∑
1
hi θi )⟩ = exp −hi (A−1 )i,j hj 
2


(16)

i=1 j=1

20 / 59低温展開（スピン波近似）3
ガウス積分とグリーン関数 (一般論)3. 連続変数∫∫
確率分布関数 exp(− 12θ(r)A(r, r′ )θ(r′ )dd rdd r′ ) では∫
W (h) ≡ ⟨exp(i h(r)θ(r)dd r)⟩
(
)
∫ ∫
1
−1
′
′ d d ′
= exp −
h(r)A (r, r )h(r )d rd r
(17)
2
ここで A−1 の定義は∫
A−1 (r, r′ )A(r′ , r′′ )dd r′ = δ d (r − r′′ )(18)

4. 以上より相関関数とグリーン関数の関係は⟨θ(r ′ )θ(r)⟩ =δ 2 W (h)= A−1 (r1 , r2 )δh(r1 )δh(r2 )(19)21 / 59低温展開（スピン波近似）4

元の XY 模型での相関関数は⟨S(r) · S(r ′ )⟩ = ⟨exp(i(θ(r) − θ(r ′ )))⟩
kB T
= exp(
Γ(r − r ′ ))2πJ()kB T /2πJa=|r − r ′ |(20)

22 / 59渦度：トポロジカルな励起

スピン波近似では −∞ < θ < ∞ としていた．また，θ は 1 価としていた．

23 / 59渦度：トポロジカルな励起

スピン波近似では −∞ < θ < ∞ としていた．また，θ は 1 価としていた．
But, θ = θ + 2π の周期性 → 渦 (トポロジカルな励起)
渦度 v を次のように定義する
I1v≡
dl · ∇θ(r)
(21)
2π C
ここで S(r)(= exp(iθ(r))) は一価関数なので v = n (n:整数)

23 / 59単一の渦のエネルギー
孤立した単一の渦については，Idl∇ · θ(r) = 2πr|∇θ|
2πn =

(22)

C

なので，|∇θ| = n/r となる．
単一の渦のエネルギーは，|∇θ(r| = n/r より∫
J
Evor − E0 =d2 r(∇θ(r))2
2
( )2
∫ L
∫
1
L
Jn2 2πdθrdr= Jπn2 ln
=
2 0
r
a
a

(23)

(L はシステムサイズ，a は格子間隔程度)
つまり，単一の渦のエネルギーは，サイズ無限大で対数発散

24 / 59

渦対

渦 (渦度+1) と反渦 (渦度-1) でペアを作るとエネルギーは有限に収まる(全体としての渦度は 0 なので）
渦対のエネルギーは大体

2πJ ln

(r)
a

(24)

(r は渦対の間隔)
低温相ではスピン波近似＋（熱的に励起された）渦対

25 / 59

温度が上昇すると．渦対が解離して，バラバラな渦になった方がエントロピー的には有利
単一の渦の自由エネルギーは

( )
( 2)
L
L
F = E − T S ≈ Jπ ln− kB T ln
a
a2

(25)

TKT ≈ Jπ/(2kB ) でエネルギーとエントロピーがバランスして相転移

26 / 59

渦と双対性
渦による寄与を定量的に扱おう．そのために双対場を導入する．
∫
1S=(∂µ θ)2 d2 x, (θ ≡ θ + 2π)(26)2g

θ をスピン波成分 θsw と渦の成分 θvortex に分離する．
II

θ(x) = θsw (x) + θvortex (x)dθsw (x) = 0,dθvortex (x) = v

(27)
(28)

(v : 整数)(29)

渦の変数に対して双対場 ψ を導入

ϵµν ∂ν ψ = ∂µ θvortex(30)(複素関数の実部と虚部の関係)
27 / 59

渦と双対性グリーンの定理を使うとI∫
1v = dθvortex (x) = −∇2 ψd2 x2πである．したがって∇2 ψ = −2π∑vj δ(x − xj )(vj : 整数)

(31)

(32)

j
1
2 次元の Green 関数は 2πln |x| であるので，

ψ(x) = −2π

∑
j

vj

∑
1
ln |x − xj | = −vj ln |x − xj |2π

元の渦の変数ではθvortex (x) = −ℑ

(33)

j

∑

vj ln(x − xj )

(34)

j

(複素数を使うと表示が簡便に)
28 / 59

2D Coulomb gas
渦どうしの相互作用にたいする Action は

Svortex = −2π ∑vi vj ln |zi − zj |
2g

(35)

i,j

(2 次元クーロンガス (対数ポテンシャル))
スピン波成分と渦の成分の両方の Action を考慮して書き換えると，量子 sine-Gordon 模型の形になる
L=

1
2πχ
(∇χ)2 − 2 cos(
)
2g
g

(36)

(この表示では，−∞ < χ < ∞)29 / 59

繰り込み群

2 次元クーロンガスや量子 sine-Gordon 模型は，スケール変換に対して結合定数が変化する (繰り込み)．
スケール変換 α → α′ = α exp(dl) ≈ α(1 + dl) にたいして，dy1 (l)= −y22 (l)dldy2 (l)= −y1 (l)y2 (l)
dl

(37)

システムサイズ L にたいして，l0 = ln L
様々な物理量に対数補正 (1/ ln L)

30 / 59

繰り込み群:レベルスペクトロスコピー

対数補正は収束が大変遅いので，数値計算に支障
単一の物理量の相関ではなく，複数の物理量の相関を用いると対数補正を消去することができる．
K. Nomura: J. Phys. A, Vol. 28, pp.5451-5468 (1995); Nomura and A. Kitazawa: J.
Phys. A: Vol. 31 (1998) pp.7341

縮退がある場合の摂動論+繰り込み群

31 / 59

32 / 59

Haldane 予想

1 次元量子スピンハイゼンベルクモデル∑
H=J
Sj · Sj+1(38)

j▶ 基底状態は Néel 状態に近いが，長距離秩序は無い．
▶ 半整数スピン (S=1/2,3/2,. . .) と整数スピン (S=1,2,. . .) の違い
▶ 波数 0 と π のモードが重要

33 / 59

Haldane 予想:非線形シグマ模型
非線形シグマ模型

1
2g

∫

( (
)
(
) )
1 ∂φ 2
∂φ 2
dtdx
−v
v ∂t
∂x

(φ ≡ (φ1 , φ2 , φ3 ), φ2 = 1)

(39)

Wick 回転すると
12g∫
dx2 (∇φ)2(40)（2 次元古典ハイゼンベルクモデルと等価)

34 / 59

Haldane 予想:非線形シグマ模型
非線形シグマ模型

1
2g

∫

( (
)
(
) )
1 ∂φ 2
∂φ 2
dtdx
−v
v ∂t
∂x

(φ ≡ (φ1 , φ2 , φ3 ), φ2 = 1)

(39)

Wick 回転すると
12g∫
dx2 (∇φ)2(40)（2 次元古典ハイゼンベルクモデルと等価)
一見すると， massless(gapless) の自由場のモデルのように見える

34 / 59

Haldane 予想:非線形シグマ模型
非線形シグマ模型

1
2g

∫

( (
)
(
) )
1 ∂φ 2
∂φ 2
dtdx
−v
v ∂t
∂x

(φ ≡ (φ1 , φ2 , φ3 ), φ2 = 1)

(39)

Wick 回転すると
12g∫
dx2 (∇φ)2(40)（2 次元古典ハイゼンベルクモデルと等価)
一見すると， massless(gapless) の自由場のモデルのように見える
But φ2 = 1 と言う制約のため，エネルギーギャップ生成

34 / 59

Haldane 予想:非線形シグマ模型 2
非線形シグマ模型▶ 繰り込み群▶ インスタントン (後で述べるトポロジカル項と関連)

低温では無限遠で φ が揃う→ 平面の無限遠点を同一視して球面とみなせる→ 球面から球面への写像

35 / 59

Haldane 予想:非線形シグマ模型 2
非線形シグマ模型▶ 繰り込み群▶ インスタントン (後で述べるトポロジカル項と関連)

低温では無限遠で φ が揃う→ 平面の無限遠点を同一視して球面とみなせる→ 球面から球面への写像

Figure: これを量子化するとインスタントン (ネタです)

どちらからも gap 生成

35 / 59

Haldane 予想:非線形シグマ模型 2
非線形シグマ模型▶ 繰り込み群▶ インスタントン (後で述べるトポロジカル項と関連)

低温では無限遠で φ が揃う→ 平面の無限遠点を同一視して球面とみなせる→ 球面から球面への写像

Figure: これを量子化するとインスタントン (ネタです)

どちらからも gap 生成
元々は 4 次元 Yang-Mills 場 (非可換ゲージ場) の非摂動解を調べる
ため，簡略化したものとして 2 次元非線形シグマ模型を導入
35 / 59

Haldane 予想:ハイゼンベルクから非線形シグマへ
ハイゼンベルクモデルを連続体近似, 波数 0 と π のモードに注目する．

1(Ŝ2i+1 − Ŝ2i )2s
1l̂2i ≡(Ŝ2i+1 + Ŝ2i )2a
交換関係は a → 0, s → ∞ の極限でφ̂2i ≡(41)[ˆla (x), ˆlb (y)] = iϵabc ˆlc δ(x − y)[ˆla (x), φ̂b (y)] = iϵabc φ̂c δ(x − y)a2[φ̂a (x), φ̂b (y)] = iϵabc ˆlc 2 δ(x − y) → 0
s

(42)

ここで

δx,y
a→0 a

δ(x − y) = lim

36 / 59

Haldane 予想:ハイゼンベルクから非線形シグマへ 2
交換関係以外に，直交関係

11(Ŝ2i+1 − Ŝ2i ) · (Ŝ2i+1 + Ŝ2i )
2s
2a
1
2
2
=
(Ŝ
+ Ŝ2i+1 · Ŝ2i − Ŝ2i+1 · Ŝ2i − Ŝ2i)
2sa 2i+1=0(43)

φ̂2i · l̂2i =および φ̂ はほぼ単位ベクトル1
2[Ŝ 2 + Ŝ2i+1− 2Ŝ2i · Ŝ2i+1 ]4s2 2i122= 2 [2Ŝ2i+ 2Ŝ2i+1− 4a2 (l̂2i ))2 ]4s= 1 + 1/s − a2 l̂/s2(φ̂2i )2 =

(44)

である．
37 / 59

Haldane 予想:ハイゼンベルクから非線形シグマへ 32Ŝ2i · Ŝ2i+1 = 2a2 l̂2i
+ s(s + 1)(45)Ŝ2i−1 · Ŝ2i = −s2 φ̂2i−2 · φ̂2i[]
− as l̂2i−2 · φ̂2i − φ̂2i−2 · l̂2i
+ a2 l̂2i−2 · l̂2i()
≈ a2 2s2 (φ̂′ )2 − 2s(l̂ · φ̂′ + φ̂′ · l̂) + 2l̂2
− s(s + 1) − 2a2 s2 (φ̂ · φ̂′ )′(46)(ここで，φ̂2 = 1 + 1/s − al̂2 /s2 と，φ̂′′ φ̂ = (φ̂′ φ̂)′ − (φ̂′ )2 を使った．)

38 / 59

Haldane 予想:ハイゼンベルクから非線形シグマへ 4

Ĥ =

aJ
2

∫

dx[4l̂2 + 2s2 (φ̂′ )2 − 2s(l̂ · φ̂′ + φ̂′ · l̂)](47)

書き換えると

∫
dxĤ,
[ (
]
)
v
θ ′ 2 (φ̂′ )2Ĥ =g l̂ −
φ̂
+
2
4π
g

Ĥ =

(48)
(49)

ここで，v = 2Jas, g = 2/s, θ = 2πs

39 / 59

Haldane 予想:ハイゼンベルクから非線形シグマへ 5
Hamiltonian 密度 (49) はつぎの Lagrangian 密度1θ µν∂µ φ̂∂ µ φ̂ +ϵ φ̂ · (∂µ φ̂ × ∂ν φ̂)
2g
8π
1
θ
=
(∂0 φ∂0 φ − ∂1 φ∂1 φ) +φ · (∂0 φ × ∂1 φ)
2g
4π

L=

(50)

から得られる (簡単のため v = 1 とした）
[証明]
この場合の運動量密度は

Π≡

1
θ
∂L
= ∂0 φ +(∂1 φ × φ)∂(∂0 φ)g
4π(51)

ハミルトニアン密度は (次ページ)

40 / 59

Haldane 予想:ハイゼンベルクから非線形シグマへ 6
ハミルトニアン密度はH ≡ ∂0 φ · Π − L
)2
(
g
θ
1
=
φ×Π−
(∂1 φ) + (∂1 φ)2
2
4π
2g

(52)

ここで l ≡ φ × Π とすると，

v
Ĥ =
2

∫

[ (

θ ′
dx g l̂ −
φ̂
4π

)2

(φ̂′ )2+g]

Q.E.D.

41 / 59

Haldane 予想:ハイゼンベルクから非線形シグマへ 7得られた Lagrangin 密度を Wick 回転して Euclid 計量に直すと

1iθ µν∂µ φ̂∂ µ φ̂ +ϵ φ̂ · (∂µ φ̂ × ∂ν φ̂)
2g
8π
1
θ
=
(∂0 φ∂0 φ − ∂1 φ∂1 φ) +φ · (∂0 φ × ∂1 φ)
2g
4π

L=

真空期待値は (経路積分の形で)
( ∫
)
∫
2
Z = Dφ exp − d xL

(53)

(54)

42 / 59

Haldane 予想:トポロジカル項
前の結果には，非線形シグマ模型の項 (S0 とあらわす) に加え，∫
1Q=
d2 xϵµν φ̂ · (∂µ φ̂ × ∂ν φ̂)(55)
8πがついていた (トポロジカル項）．
この項は整数値をとる．
ユークリッド表示で exp(S0 + iθQ) であり，θ = 2πs を考慮す
ると，
▶ 整数スピンではトポロジカル項の寄与は無く，単純な非線形シグマ模型 → gapped▶ 半整数スピンではトポロジカル項の寄与で，gapless43 / 59

Haldane 予想:トポロジカル項 2
トポロジカル項が整数ということを示す.
φ = (sin α cos β, sin α sin β, cos α) と変数変換すると∫
1Q=
d2 xϵµν φ̂ · (∂µ φ̂ × ∂ν φ̂)8π∫
1=d2 x sin αϵµν ∂µ α∂ν β
4π∫
1D(α, β)=sin α
dx0 dx1
4π
D(x0 , x1 )
∫
1
=
dSint
4π

(56)

D(α,β)( D(xはヤコビアン )0 ,x1 )
結論:球面から球面への連続写像 → Q は整数

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インスタントン
インスタントン：トポロジカル数 Q を固定したときの最小作用解∂µ φ + ϵµν (φ × ∂ν φ) = 0(57)

φ2 = 1 を考慮して，次の複素数 w を導入 (球面から複素平面へ）w=

φ1 + iφ2
1 + φ3(58)

Figure: 球面から複素平面への投影
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インスタントン 2すると (57) は∂z̄ w = 0,(z = x0 + ix1 )(59)

したがってインスタントン解は

w(z) =

Q∏z − ajj=1

z − bj(60)

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Haldane 予想:半整数スピン

非線形シグマ模型を使った説明では，整数スピンの場合はギャップが生じるのが自然だが，半整数スピンでギャップレスになるのは分かりにくい他の方法

1. S=1/2
Bethe 仮説による厳密解
2. それ以外の半整数スピン (S=3/2,5/2,· · · )Lieb-Schultz-Mattis
I.Aﬄeck, E.H. Lieb: Lett. Math. Phys, p. 57 (1986)
K. N., J. Morishige,T.Isoyama : J. Phys.A. 48, p.375001 (2015)47 / 59

Haldane 予想:整数スピン

Haldane 予想とは独立な検証
1. 数値計算
2. 実験
3. AKLT(Aﬄeck-Kennedy-Lieb-Tasaki)
I. Aﬄeck, T. Kennedy, E.H.Lieb, H.Tasaki: Physical Review Letters. 59,
p.799(1987) .

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ホール効果 (Hall eﬀect)
電流の流れているものに対し、電流に垂直に磁場をかけると、電流と磁場の両方に直交する方向に起電力が現れる現象

F = q(E + v × B)

(61)

Ey
1
=
jx B
nq

(62)

RH ≡

応用：磁気センサー、携帯電話やパソコンの開閉の検出、自動車
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エンジンでの点火時期把握

量子ホール効果
量子ホール効果: 低温強磁場中の 2 次元電子系ではホール伝導率
σxy が量子化

σxy =Ichannel
e2
=ν
VHall
h

(63)

(h: プランク定数、ν: 整数または有理数(1/3,2/3,1/5,2/5,3/5,· · · ))Figure: 2 次元電子系 (左：MOS FET、右 GaAs ヘテロ接合)
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量子ホール効果

量子ホール効果の動画
ランダウ準位 (電子の軌道運動が量子化), アンダーソン局在、フェルミオン

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量子ホール効果：TKNN

TKNN(Thouless-Kohmoto-Nightingale-denNijs)
波数空間でのトポロジー (トーラス上)
ブロッホの定理
チャーン数52 / 59

量子ホール効果：バルクーエッジ (bulk-edge) 対応
量子ホール効果： バルクは絶縁体だが、エッジ (端) に永続電流(persistent current)(TKNN 理論では、並進対称性を前提にしていたが、エッジではこれが破れるため)
バルクのトポロジー構造を反映し、エッジ電流の量子化

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量子ホール効果：バルクーエッジ (bulk-edge) 対応
量子ホール効果： バルクは絶縁体だが、エッジ (端) に永続電流(persistent current)(TKNN 理論では、並進対称性を前提にしていたが、エッジではこれが破れるため)
バルクのトポロジー構造を反映し、エッジ電流の量子化
カイラルエッジ電流 (chiral edge current): エッジ電流は、時計回
りと反時計回りが考えられるが、磁場下では片方のみ実現
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スピンホール効果

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量子スピンホール効果

ゼロ磁場, カイラル電流が逆向きなので電流は打ち消されるが、スピン流はあり量子化

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トポロジカル絶縁体

ゼロ磁場、時間反転対称、スピン軌道相互作用
バルクは絶縁体、表面にギャプレス状態、
後方散乱禁止56 / 59

ゲージ変換57 / 59

ベリー曲率58 / 59

まとめ
1. トポロジー
1.1 BKT 転移の渦は，円周上のトポロジー
1.2 Haldane 予想は，球面から球面へのトポロジー(量子力学の回転と運動量，被覆群)
1.3 量子ホール効果、波数空間でのトポロジー ( ブロッホの定理）、TKNN

2. トポロジーの性質は摂動に対して安定、不純物などの影響を受けにくい。
3. 関連した発展
3.1 スピントロニクス
3.2 SPTP
3.3 グラフェン
3.4 トポロジカル超伝導
3.5 光ホール効果 (フォトニック結晶)
3.6 熱ホール効果

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