Versión 2015

¿Qué y cómo aprenden nuestros
estudiantes?
V
CicloÁrea Curricular
Matemática
5.° y 6.° grados de Educación Primaria

MINISTERIO DE EDUCACIÓN
Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja
Lima, PerúTeléfono 615-5800
www.minedu.gob.pe
Versión 1.0
Tiraje: 228 100 ejemplares
Elaboración:
Nelly Gabriela Rodriguez Cabezudo, Giovanna Karito Piscoya Rojas, Pedro David Collanqui Díaz,
Marisol Zelarayan Adauto. María Isabel Díaz Maguiña. SINEACE - Programa de Estándares deAprendizaje: Gina Patricia Paz Huamán, Lilian Edelmira Isidro Cámac.
Colaboradores:
Félix Rosales Huerta, Carlos Ramiro Febres Tapia, Elwin Contreras, Sonia Laquita, Alicia Veiga, José
Raúl Salazar La Madrid, Isabel Torres Céspedes, Fernando Escudero, Rodrigo Valera, Andrea Soto.
Cuidado de edición
Fernando Carbajal Orihuela.
Corrección de estilo:
Gustavo Pérez Lavado.
Ilustraciones:
Gloria Arredondo Castillo.
Diseño y diagramación:
David Crispín Cuadros.
Fotografías:
Félix Rosales Huerta.
Impreso por:
Metrocolor S.A.
Av. Los Gorriones 350, Chorrillos
Lima, Perú© Ministerio de Educación

Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este material por cualquier medio,
total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores.
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: Nº 2015-01453
Impreso en el Perú / Printed in Peru

En vista de que en nuestra opinión, el lenguaje escrito no ha encontrado aún una manera
satisfactoria de nombrar a ambos géneros con una sola palabra, en este fascículo se ha optado por
emplear términos en masculino para referirse a ambos géneros.

2Índice
Presentación........................................................................................................................... Pág.. 5
Introducción ..................................................................................................................................... 7
1. Fundamentos y definiciones ..................................................................................................................... 8
1.1 ¿Por qué aprender matemática? ..................................................................................................... 8
1.2 ¿Para qué aprender matemática? ................................................................................................. 10
1.3 ¿Cómo aprender matemática? ...................................................................................................... 12
2. Competencias y capacidades ................................................................................................................ 16
2.1 Competencias matemáticas........................................................................................................... 18		

1.

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad....................................... 18

		 2.
		

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio......................................................................................................... 20

		 3.
		

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento
y localización ........................................................................................................................ 22

		 4 .
		

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos
e incertidumbre ................................................................................................................... 24

2.2 Capacidades matemáticas ........................................................................................................... 25
		Capacidad 1 : Matematiza situaciones ........................................................................................ 25

		Capacidad 2 : Comunica y representa ideas matemáticas ...................................................... 26

		Capacidad 3: Elabora y usa estrategias ..................................................................................... 28

		Capacidad 4: Razona y argumenta generando ideas matemáticas....................................... 29

2.3 ¿Cómo se desarrolla las competencias en el V ciclo? ............................................................... 30
		

2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad...................................... 30

		 2.3.2 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,
		equivalencia y cambio ........................................................................................................ 473

		 2.3.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma,		movimiento y localización .................................................................................................. 58
		 2.3.4 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos
		e incertidumbre ................................................................................................................... 69

3. Orientaciones didácticas........................................................................................................................ 81
3.1 Estrategias para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente ensituaciones de cantidad ................................................................................................................. 81		

3.1.1 Recursos para plantear y resolver problemas .................................................................... 81		

3.1.2 Investigamos números en la prensa escrita ...................................................................... 86		

3.1.3 Estrategias para la resolución de problemas .................................................................... 90

3.2 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente ensituaciones de regularidad, equivalencia y cambio Patrones con transformaciones
geométricas....................................................................................................................................104		

3.2.1 Cubriendo el plano con figuras mediante traslaciones ...................................................105		

3.2.2 Estrategia para generalizar patrones................................................................................ 107

		

3.2.3 Estrategia de resolución de problemas para problemas de equilibrio........................... 111

		

3.2.4 Jugamos a las “vencidas”....................................................................................................113

3.3 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente ensituaciones de forma, movimiento y localización........................................................................115
3.3.1 Estrategias para aprender geometría según Van Hiele....................................................115		

3.3.2 Recursos para enseñar las figuras planas.........................................................................121

3.4 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente ensituaciones de gestión de datos e incertidumbre .....................................................................124		

3.4.1 Estrategias para resolver problemas estadísticos.............................................................124		

3.4.2 Recursos para plantear experimentos aleatorios ...........................................................130

Referencias bibliográficas................................................................................................................................ 132
Anexo 1: Matrices de las cuatro competencias para el quinto grado de primaria..............................134
Anexo 2: Matrices de las cuatro competencias para el sexto grado de primaria...............................143
Anexo 3: Mapas de Progreso....................................................................................................................152

4

Presentación
Las Rutas del Aprendizaje son orientaciones pedagógicas y didácticas para una enseñanza
efectiva de las competencias de cada área curricular. Ponen en manos de nosotros, losdocentes, pautas útiles para los tres niveles educativos de la Educación Básica Regular:
Inicial, Primaria y Secundaria.
Presentan:• Los enfoques y fundamentos que permiten entender el sentido y las finalidades dela enseñanza de las competencias, así como el marco teórico desde el cual se estánentendiendo.
• Las competencias que deben ser trabajadas a lo largo de toda la escolaridad, y las
capacidades en las que se desagregan. Se define qué implica cada una, así comola combinación que se requiere para su desarrollo.
• Los estándares de las competencias, que se han establecido en mapas de progreso.
• Los indicadores de desempeño para cada una de las capacidades, por grado o
ciclos, de acuerdo con la naturaleza de cada competencia.
• Orientaciones didácticas que facilitan la enseñanza y el aprendizaje de lascompetencias.
Definiciones básicas que nos permiten entender y trabajar con las Rutas del Aprendizaje:
1. Competencia
Llamamos competencia a la facultad que tiene una persona para actuar
conscientemente en la resolución de un problema o el cumplimiento de exigencias
complejas, usando flexible y creativamente sus conocimientos y habilidades,
información o herramientas, así como sus valores, emociones y actitudes.
La competencia es un aprendizaje complejo, pues implica la transferencia ycombinación apropiada de capacidades muy diversas para modificar una
circunstancia y lograr un determinado propósito. Es un saber actuar contextualizado
y creativo, y su aprendizaje es de carácter longitudinal, dado que se reitera
a lo largo de toda la escolaridad. Ello a fin de que pueda irse complejizando demanera progresiva y permita al estudiante alcanzar niveles cada vez más altos dedesempeño.
2. Capacidad
Desde el enfoque de competencias, hablamos de «capacidad» en el sentido
amplio de «capacidades humanas». Así, las capacidades que pueden integrar una
competencia combinan saberes de un campo más delimitado, y su incremento
genera nuestro desarrollo competente. Es fundamental ser conscientes de que si5bien las capacidades se pueden enseñar y desplegar de manera aislada, es su
combinación (según lo que las circunstancias requieran) lo que permite su desarrollo.
Desde esta perspectiva, importa el dominio específico de estas capacidades, pero
es indispensable su combinación y utilización pertinente en contextos variados.
3. Estándar nacional
Los estándares nacionales de aprendizaje se establecen en los Mapas de progresoy se definen allí como «metas de aprendizaje» en progresión, para identificar
qué se espera lograr respecto de cada competencia por ciclo de escolaridad.
Estas descripciones aportan los referentes comunes para monitorear y evaluar
aprendizajes a nivel de sistema (evaluaciones externas de carácter nacional) y deaula (evaluaciones formativas y certificadoras del aprendizaje). En un sentido amplio,
se denomina estándar a la definición clara de un criterio para reconocer la calidad
de aquello que es objeto de medición y pertenece a una misma categoría. En estecaso, como señalan los mapas de progreso, se indica el grado de dominio (o nivel
de desempeño) que deben exhibir todos los estudiantes peruanos al final de cada
ciclo de la Educación Básica con relación a las competencias.
Los estándares de aprendizaje no son instrumentos para homogeneizar a losestudiantes, ya que las competencias a que hacen referencia se proponen como un
piso, y no como un techo para la educación escolar en el país. Su única función es
medir logros sobre los aprendizajes comunes en el país, que constituyen un derecho
de todos.
4. Indicador de desempeño
Llamamos desempeño al grado de desenvoltura que un estudiante muestra en
relación con un determinado fin. Es decir, tiene que ver con una actuación que logra
un objetivo o cumple una tarea en la medida esperada. Un indicador de desempeño
es el dato o información específica que sirve para planificar nuestras sesiones deaprendizaje y para valorar en esa actuación el grado de cumplimiento de una
determinada expectativa. En el contexto del desarrollo curricular, los indicadores dedesempeño se encuentran asociados al logro de una determinada capacidad. Así,una capacidad puede medirse a través de más de un indicador.
Estas Rutas del Aprendizaje se han ido publicando desde el 2012 y están en revisión
y ajuste permanente, a partir de su constante evaluación. Es de esperar, por ello, queen los siguientes años se sigan ajustando en cada una de sus partes. Estaremos muy
atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolas en las próximas reediciones,de manera que sean más pertinentes y útiles para el logro de los aprendizajes a los quenuestros estudiantes tienen derecho.

6Introducción
El presente fascículo es la segunda versión de Rutas del Aprendizaje, mejorada y más
completa, fruto del trabajo de investigación y validación en las aulas, del que tú formaste
parte con tu opinión y tus sugerencias en los diversos talleres y eventos. Esta nueva versión
te proporciona pautas para responder a dos preguntas fundamentales: ¿qué enseñar? y¿cómo enseñar? El qué enseñar se relaciona con los contenidos y las capacidades, y el cómoenseñar, con la variedad de estrategias y recursos que te permitirán generar aprendizajes
significativos en los niños.
Sin duda, la matemática cobra mayor significado y se aprende mejor cuando se aplica
directamente a situaciones de la vida real. Nuestros estudiantes sienten mayor satisfacción
cuando pueden relacionar cualquier aprendizaje matemático nuevo con algo que saben ycon la realidad que los rodea. Esa es una matemática para la vida, donde el aprendizaje se
genera en el contexto de las relaciones humanas y sus logros van hacia ellas.
Por otro lado, la sociedad actual requiere de ciudadanos reflexivos, críticos, capaces deasumir responsabilidades en su conducción, y la matemática debe ser un medio para ello,
formando estudiantes con autonomía, conscientes de qué aprenden, cómo aprenden ypara qué aprenden. En este sentido, es muy importante el rol del docente como agente
mediador, orientador y provocador de formas de pensar y reflexionar durante las actividades
matemáticas. Conscientes de esta responsabilidad, mediante el presente fascículo tebrindamos una herramienta pedagógica orientadora para generar esos aprendizajes. Contal fin, se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partirde una situación problemática, se desarrollan las capacidades matemáticas configurando
el desarrollo de la competencia.
En el presente fascículo encontrarás:
Capítulo I: los fundamentos teóricos de por qué y para qué se aprende matemática,
asumiendo la resolución de problemas como la centralidad del quehacer matemático.
Capítulo II: los elementos curriculares que permiten generar aprendizajes significativos, asícomo los estándares de aprendizaje que constituyen los hitos o las metas de aprendizaje adonde deben llegar los estudiantes al culminar el V ciclo.
Capítulo III: las orientaciones didácticas en cada una de las competencias que te guiaránpara lograr los aprendizajes significativos en los estudiantes.
Finalmente, es necesario señalar que la intención del presente fascículo no es entregar
recetas “aplicables” de manera directa y mecánica, sino proporcionar herramientas
pedagógicas que, haciendo las adaptaciones convenientes, puedan servir para generar
aprendizajes en los niños y así complementen y refuercen tu labor cotidiana.

7

1. Fundamentos y definiciones
1.1 ¿Por qué aprender matemática?
Permite entender el mundo y desenvolvernos en él.
La matemática está presente en diversos espacios de la actividad humana, tales como
actividades familiares, sociales, culturales o en la misma naturaleza. También seencuentra en nuestras actividades cotidianas. Por ejemplo, al comprar el pan y pagar
una cantidad de dinero por ello, al trasladarnos todos los días al trabajo en determinado
tiempo, al medir y controlar la temperatura de algún familiar o allegado, al elaborar elpresupuesto familiar o de la comunidad, etc.

Las formas de la naturaleza y las
regularidades que se presentan
en ella pueden ser comprendidas
desde las nociones matemáticas dela geometría y de los patrones. La
matemática nos permite entenderlas,
representarlas y recrearlas.

Asimismo, el mundo en que vivimos se mueve y cambia rápidamente; por ello, es
necesario que nuestra sociedad actual demande una cultura matemática para
aproximarse, comprender y asumir un rol transformador en el entorno complejo y global
de la realidad. En este sentido, se requiere el desarrollo de habilidades básicas que nos
permitan desenvolvernos en la vida cotidiana para relacionarnos con el entorno, con elmundo del trabajo, de la producción y del estudio.

8

De lo dicho se desprende que la matemática está incorporada en las diversas
actividades de las personas, de tal manera que se ha convertido en clave esencial para
poder transformar y comprender nuestra cultura y generar espacios que propicien eluso, reconocimiento y valoración de los conocimientos matemáticos propios.
En los pueblos originarios también se reconocen
prácticas propias y formas de estructurar la realidadcomo, por ejemplo, agrupar objetos o animales en
grupos de 2 o 3, adoptando un sistema de numeración
binario o terciario. Ello nos conduce a la necesidad dedesarrollar competencias y capacidades matemáticas
asumiendo un rol participativo en diversos ámbitos delmundo moderno, pues se requiere el ejercicio de laciudadanía con sentido crítico y creativo. La matemática
aporta en esta perspectiva cuando es capaz de
ayudarnos a cuestionar hechos, datos y situaciones
sociales, interpretándolas y explicándolas.

Diseñar y elaborar una cometa
es una actividad divertida y
mediante la cual se pueden
construir conocimientos
geométricos y de medida.

Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnología, por lotanto, para el desarrollo de las sociedades.
En la actualidad, las aplicaciones matemáticas
ya no representan un patrimonio únicamente
apreciable en la física, ingeniería o astronomía,sino que han desencadenado progresos
espectaculares en otros campos científicos.
Por ejemplo, especialistas médicos leen obras
sobre la teoría de la información, los psicólogos
estudian tratados de teoría de la probabilidad,
etc. Así, existen muchas evidencias paraque los más ilustres pensadores y científicoshayan aceptado sin reparos que en los últimos
tiempos se ha vivido un intenso periodo dedesarrollo matemático.

9

En este contexto, las ciencias se sirven de la matemática como medio de comunicación,
pues hay un lenguaje común que es el lenguaje matemático para todas las civilizaciones
por muy diferentes que sean, y este saber está constituido por las ciencias y la matemática.
La razón está en que las leyes de la naturaleza son idénticas en todas partes. En este
sistema comunicativo-representativo está escrito el desarrollo de las demás ciencias;
gracias a él ha habido un desarrollo dinámico y combinado de la ciencia-tecnología
que ha cambiado la vida del ciudadano moderno.
Al día de hoy, la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemáticas seha hecho no solo indispensable, sino apremiante para el ejercicio de cualquier actividad
científica en la que tanto ciencias como humanidades han recibido ya visiblemente su
tremendo impacto.

Promueve una participación ciudadana que demanda toma dedecisiones responsables y conscientes.
La formación de ciudadanos implica desarrollar una actitud problematizadora capazde cuestionarse ante los hechos, los datos y las situaciones sociales; así como sus
interpretaciones y explicaciones por lo que se requiere saber más allá de las cuatro
operaciones y exige, en la actualidad, la comprensión de los números en distintos
contextos, la interpretación de datos estadísticos, etc. El dominio de la matemática parael ejercicio de la ciudadanía requiere no solo conocer el lenguaje matemático y hechos,conceptos y algoritmos, que le permitirá interpretar algunas situaciones de la realidad
relacionadas con la cantidad, forma, cambio o la incertidumbre, sino también procesos
más complejos como la matematización de situaciones y la resolución de problemas(Callejo de la Vega, 2000).
En virtud de lo señalado, los niños deben aprender matemática porque:
Permite comprender el mundo y desenvolvernos adecuadamente en él.
Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnología; por ende, para eldesarrollo de las sociedades.
Proporciona las herramientas necesarias para desarrollar una práctica
ciudadana responsable y consciente.

1.2 ¿Para qué aprender matemática?
La finalidad de la matemática en el currículo es desarrollar formas de actuar y pensar
matemáticamente en diversas situaciones, que permitan a los niños interpretar e intervenir
en la realidad a partir de la intuición, el planteamiento de supuestos, conjeturas e hipótesis
haciendo inferencias, deducciones, argumentaciones y demostraciones; comunicarse y otras
habilidades, así como el desarrollo de métodos y actitudes útiles para ordenar, cuantificar ymedir hechos y fenómenos de la realidad e intervenir conscientemente sobre ella.

10El pensar matemáticamente es un proceso complejo y dinámico que resulta de lainteracción de varios factores (cognitivos, socioculturales, afectivos, entre otros), el
cual promueve en los niños formas de actuar y construir ideas matemáticas a partir
de diversos contextos (Cantoral Uriza, 2000). Por ello, para pensar matemáticamente
tenemos que ir más allá de los fundamentos de la matemática y la práctica exclusiva delos matemáticos, y tratar de entender que se trata de aproximarnos a todas las formas
posibles de razonar, formular hipótesis, demostrar, construir, organizar, comunicar
ideas y resolver problemas matemáticos que provienen de un contexto cotidiano, social,laboral, científico, etc.
En este sentido, se espera que los estudiantes aprendan matemática desde lossiguientes propósitos:
La matemática es funcional. Se busca proporcionar las herramientas matemáticas básicas para su desempeño en contexto social, es decir, en la tomade decisiones que orientan su proyecto de vida. Es de destacar aquí la contribución de la matemática a cuestiones tan relevantes como los fenómenos políticos, económicos, ambientales, de infraestructura, transportes o movimientos poblacionales.
La matemática es instrumental. Todas las profesiones requieren una base deconocimientos matemáticos y, en algunas, como en la matemática pura, en la
física, en la estadística o en la ingeniería, la matemática es imprescindible.
En la práctica diaria de las ciencias se hace uso de la matemática. Los conceptos con que se formulan las teorías científicas son esencialmente conceptos
matemáticos. Por ejemplo, en el campo biológico, muchas de las características heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo,
color de cabello, peso al nacer, estatura, etc. Sin embargo, la probabilidad
permite describir estas características.
La matemática es formativa. El desenvolvimiento de las competencias matemáticas propicia el desarrollo de capacidades, conocimientos, procedimientos y estrategias cognitivas, tanto particulares como generales, que promuevan un pensamiento abierto, creativo, crítico, autónomo y divergente.
Así, la matemática posee valores formativos innegables, tales como:
Desarrollar en los niños capacidades y actitudes para determinar hechos,establecer relaciones, deducir consecuencias y, en definitiva, potenciar su
autonomía, su razonamiento, la capacidad de acción simbólica, el espíritu crítico,la curiosidad, la persistencia, la imaginación, la creatividad, la sistematicidad,
etc.
La utilidad para promover y estimular el diseño, elaboración y apreciación deformas artísticas, a través del material concreto, así como el uso de gráficos yesquemas para elaborar y descubrir patrones y regularidades.

11

Estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crítica, la participación ycolaboración, la discusión y defensa de las propias ideas, y para asumir latoma conjunta de decisiones.
El desarrollo de capacidades para el trabajo científico, la búsqueda,
identificación y resolución de problemas.
Las situaciones que movilizan este tipo de conocimiento, enriquecen a los niños
al sentir satisfacción por el trabajo realizado al hacer uso de sus competencias
matemáticas.

1.3 ¿Cómo aprender matemática?
En diversos trabajos de investigación en antropología, psicología social y cognitiva,
afirman que los estudiantes alcanzan un aprendizaje con alto nivel de significatividad
cuando se vinculan con sus prácticas culturales y sociales.
El cambio fundamental
es pasar de un aprendizaje,
en la mayoría de los casos
tosmemorístico de conocimien
tos
ues
sup
mo
(co
os
átic
matem
prerrequisitos para aprendera resolver problemas), a un
aprendizaje enfocado en la
tos
construcción de conocimienladematemáticos a partir
resolución de problemas.

Por otro lado, como lo expresó Freudenthal1, esta visión de la práctica
matemática escolar no está motivada solamente por la importancia de su
utilidad, sino principalmente por reconocerla como una actividad humana;lo que implica que hacer matemática como proceso es más importanteque la matemática como un producto terminado.
En este marco, se asume un enfoque centrado en la resolución de problemas
con la intención de promover formas de enseñanza y aprendizaje a partirdel planteamiento de problemas en diversos contextos. Como señaló
Gaulin (2001), este enfoque adquiere importancia debido a que promueve
el desarrollo de aprendizajes “a través de”, “sobre” y “para” la resolución
de problemas.

“A través de” la resolución de problemas inmediatos y del entorno de los niños, comovehículo para promover el desarrollo de aprendizajes matemáticos, orientados ensentido constructivo y creador de la actividad humana.
“Sobre” la resolución de problemas, que explicita el desarrollo de la comprensión delsaber matemático, la planeación, el desarrollo resolutivo estratégico y metacognitivo,
es decir, la movilidad de una serie de recursos y de competencias y capacidades
matemáticas.
“Para” la resolución de problemas, que involucran enfrentar a los niños de forma
constante a nuevas situaciones y problemas. En este sentido, la resolución deproblemas es el proceso central de hacer matemática; asimismo, es el medio
principal para establecer relaciones de funcionalidad de la matemática con larealidad cotidiana.
1

12

La educación matemática realista (EMR) fue fundada por el profesor alemán Hans Freudenthal (19051990).

Enseñanza

"A través de"
Enfoquecentrado en la
resolución deproblemas

Actuar y pensar
matemáticamente

Resolución deproblemas"Sobre la""Para la"Aprendizaje

La resolución de problemas como enfoque orienta y da sentido a la educación matemática,
en el propósito que se persigue de desarrollar ciudadanos que “actúen y piensen
matemáticamente” al resolver problemas en diversos contextos. Asimismo, orienta la
metodología en el proceso de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.
El enfoque centrado en la resolución de problemas orienta la actividad matemática en elaula, situando a los niños en diversos contextos para crear, recrear, investigar, plantear yresolver problemas, probar diversos caminos de resolución, analizar estrategias y formas
de representación, sistematizar y comunicar nuevos conocimientos, entre otros.

Las repartiremos
entre los 6.

¡Tengo 9 galletas
para compartir!

Pero debe ser la misma cantidad
para todos. ¿Cuántas nos tocan?

¡Más de una!

Sí, pero menos
de 2.

13

Rasgos esenciales del enfoque
La resolución de problemas debe plantearse en situaciones de contextos
diversos, pues ello moviliza el desarrollo del pensamiento matemático. Losestudiantes desarrollan competencias y se interesan en el conocimiento
matemático, si le encuentran significado y lo valoran, y pueden establecer lafuncionalidad matemática con situaciones de diversos contextos.
La resolución de problemas sirve de escenario para desarrollar competencias
y capacidades matemáticas.
La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas. La resolución
de problemas sirve de contexto para que los estudiantes construyan nuevos
conceptos matemáticos, descubran relaciones entre entidades matemáticas
y elaboren procedimientos matemáticos, estableciendo relaciones entre
experiencias, conceptos, procedimientos y representaciones matemáticas.
ibe
Una situación se descr
to
ien
cim
nte
como un aco
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e
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demarco al planteamiento
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experiencias y con
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de
e
qu
matemáticos
.
tes
ian
los estudLos problemas planteados deben responder a los intereses ynecesidades de los niños. Es decir, deben presentarse retos y desafíosinteresantes que los involucren realmente en la búsqueda desoluciones.
La resolución de problemas permite a los niños hacer conexiones
entre ideas, estrategias y procedimientos matemáticos que le densentido e interpretación a su actuar en diversas situaciones.

El cambio fundamental, entonces, para enseñar yaprender matemática radica en proponer a los niños,
en cada sesión de clase, situaciones o problemasque los obliguen todo el tiempo a actuar y pensar
matemáticamente.

,
Un problema es un desafíoyreto o dificultad a resolver
de
oce
con
se
para el cual noantemano una solución.

Ejemplo: Dos hermanos, Koki y Sandra, compran un regalo que cuesta S/. 30. Koki
puso los 3 de lo que costó. ¿Cuánto dinero puso Koki?
5
Observamos los gráficos que elabora un niño de clase para resolver el problema:
Dibujaré una barra para
representar el precio yluego la dividiré en 5partes iguales.

La barra representa el costo total: S/. 30.
Cada parte vale S/. 6.
Tres partes valen S/. 18.

El estudiante al resolver el problema pone en juego lo que sabe sobre la divisióny las fracciones. Este problema es el punto de partida para construir la noción defracción de un conjunto.

14

15

MATEMÁTICO

CIENTÍFICO

SOCIALLÚDICO

Problemas en diversos
contextos

El enfoque es el punto departida para enseñar yaprender matemáticaRESOLUCIÓN
DE
PROBLEMAS

La resolución de problemas
responde a los intereses ynecesidades de los niños.

Sirve de contexto para construir,
comprender y establecer relaciones
entre experiencias, conceptos,
procedimientos y representaciones
matemáticas.

La resolución de problemasorienta el desarrollo decompetencias y capacidades
matemáticas.

La resolución de problemas
debe plantearse en diversos
contextos, lo que moviliza elpensamiento matemático.

Rasgos esenciales delenfoque2.Competencias y capacidades
Los niños de hoy necesitan enfrentarse a los diferentes retos que demanda la sociedad,con la finalidad de que se encuentren preparados para superarlos tanto en la actualidad
como en el futuro. En este contexto, la educación y las actividades de aprendizaje deben
orientarse a que los estudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol deciudadanos, lo cual involucra el desarrollo pleno de un conjunto de competencias,
capacidades y conocimientos que faciliten la comprensión, construcción y aplicación deuna matemática para la vida y el trabajo.
Los niños en la educación básica regular tienen un largo camino por recorrer para
desarrollar competencias y capacidades, las cuales se definen como la facultad detoda persona para actuar conscientemente sobre una realidad, sea para resolver unproblema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos,
las habilidades, las destrezas, la información o las herramientas que tengan disponibles
y considere pertinentes a la situación (MINEDU, 2014).
Tomando como base esta concepción es que se promueve el desarrollo de aprendizajes
en matemática explicitados en cuatro competencias. Estas, a su vez, se describen como
el desarrollo de formas de actuar y de pensar matemáticamente en diversas situaciones,
donde los niños construyen modelos, usan estrategias y generan procedimientos para laresolución de problemas, apelan a diversas formas de razonamiento y argumentación,
realizan representaciones gráficas y se comunican con soporte matemático.
Según Freudenthal (citado por Bressan y otros, 2004), la matemática es pensada como
una actividad; así, el actuar matemáticamente consistiría en mostrar predilección por:
Usar el lenguaje matemático para comunicar sus ideas o argumentar sus conclusiones, es
decir, para describir elementos concretos, referidos a contextos específicos de la matemática,
hasta el uso de variables convencionales y lenguaje funcional.
Cambiar de perspectiva o punto de vista y reconocer cuándo una variación en este aspecto
es incorrecta dentro de una situación o un problema dado.
Captar cuál es el nivel de precisión adecuado para la resolución de un problema dado.
Identificar estructuras matemáticas dentro de un contexto (si es que las hay) y abstenerse deusar la matemática cuando esta no es aplicable.
Tratar la propia actividad matemática como materia prima para la reflexión, con miras aalcanzar un nivel más alto de pensamiento.

16

De otro lado, pensar matemáticamente se define como el conjunto de actividades
mentales u operaciones intelectuales que llevan al estudiante a entender y dotar designificado a lo que le rodea, resolver un problema sobre conceptos matemáticos,
tomar una decisión o llegar a una conclusión en los que están involucrados procesoscomo la abstracción, justificación, visualización, estimación, entre otros (Cantoral, 2005;
Molina, 2006; Carretero y Ascencio, 2008).
Las competencias propuestas en la Educación Básica Regular se organizan sobre la basede cuatro situaciones. La definición de estas se sostiene en la idea de que la matemática se
ha desarrollado como un medio para describir, comprender e interpretar los fenómenos
naturales y sociales que han motivado el desarrollo de determinados procedimientos
y conceptos matemáticos propios de cada situación (OECD, 2012). En este sentido, lamayoría de países ha adoptado una organización curricular basada en estos fenómenos,
en la que subyacen numerosas clases de problemas, con procedimientos y conceptos
matemáticos propios de cada situación. Por ejemplo, fenómenos como la incertidumbre,que pueden descubrirse en muchas situaciones habituales, necesitan ser abordados con
estrategias y herramientas matemáticas relacionadas con la probabilidad. Asimismo,
fenómenos o situaciones de equivalencias o cambios necesitan ser abordados desde elálgebra; las situaciones de cantidades se analizan y modelan desde la aritmética o losnúmeros; las de formas, desde la geometría.
Por las razones descritas, las competencias se formulan como actuar y pensar
matemáticamente a través de situaciones de cantidad; regularidad, equivalencia ycambio; forma, movimiento y localización y gestión de datos e incertidumbre.

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones
de regularidad,
equivalencia ycambio.

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones decantidad.

MATEMÁTICA

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones degestión de datos e
incertidumbre.

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones
de forma,
movimiento ylocalización.

171

2.1 Competencias matemáticas
COMPETENCIA

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones decantidad

En la actualidad, la presencia de la información cuantitativa se ha incrementado deforma considerable. Este hecho exige al ciudadano construir modelos de situaciones enlas que se manifiesta el sentido numérico y de magnitud, lo cual va de la mano con lacomprensión del significado de las operaciones y la aplicación de diversas estrategiasde cálculo y estimación.
Actuar y pensar en situaciones de cantidad implica resolver problemas relacionados concantidades que se pueden contar y medir para desarrollar progresivamente el sentido
numérico y de magnitud, la construcción del significado de las operaciones, así comola aplicación de diversas estrategias de cálculo y estimación. Toda esta comprensión
se logra a través del despliegue y la interrelación de las capacidades de matematizar
situaciones, comunicar y representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias
para resolver problemas o al razonar y argumentar generando ideas matemáticas a
través de sus conclusiones y respuestas.
S/. 3

Matematiza situaciones
Expresarproblemas
diversos enmodelos
matemáticos
relacionados con
los números y las
operaciones.

S/. 2
café

yogurtyogurtyogurtyogurtyogurtyogurtyogurtExpresar elsignificado delos números y
operaciones demanera oral y escrita,
haciendo uso derepresentaciones ylenguaje matemático.

S/. 5Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones decantidad.

Justificar y validar
conclusiones,supuestos,conjeturas
e hipótesis
relacionadas con
los números y las
operaciones.

Comunica y representa
ideas matemáticas

Planificar, ejecutar
y valorar estrategias
heurísticas,
procedimientos decálculo, comparación
y estimación usando
diversos recursos para
resolver problemas.

5

Razona y argumenta
generando ideas matemáticas

Elabora y usa estrategias

6

7

2 kg

1
4 kg

S/. 1

18

1
4 kg

1
4 kg

1 kg
2

1 kg
2

1 kg
2

S/. 2 S/. 3 S/. 4

La necesidad de cuantificar y organizar lo que se encuentra en nuestro entorno nos
permite reconocer que los números poseen distinta utilidad en diversos contextos.
Treffers (citado por Jan de Lange) hace hincapié en la importancia de la capacidad
de manejar números y datos, y de evaluar las problemas y situaciones que implican
procesos mentales y de estimación en contextos del mundo real.
Por su parte, The International Life Skills Survey (Policy Research Initiative Statistics
Canada, 2000) menciona que es necesario poseer “un conjunto de habilidades,
conocimientos, creencias, disposiciones, hábitos de la mente, comunicaciones,
capacidades y habilidades para resolver problemas que las personas necesitan para
participar eficazmente en situaciones cuantitativas que surgen en la vida y el trabajo”.
Lo dicho anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes
vinculados con el desarrollo de la aritmética asociada a la idea de cantidad, lo cual
implica lo siguiente:

S/. 1,00

Kg

S/. 1,00

Kg

S/. 3,00

Kg

Conocer los múltiples usos que les damos a los números naturales,
fracciones y decimales.
Representar los números naturales, fracciones y decimales en sus
variadas formas.
Realizar procedimientos como conteo, cálculo y estimación decantidades.
Comprender las relaciones y las operaciones.
Comprender el sistema de numeración decimal con
los números naturales y decimales.
Reconocer patrones numéricos en números de hasta
seis cifras.
Utilizar números para representar atributos medibles
de objetos del mundo real.
Comprender el significado de las operaciones concantidades y magnitudes.

19

2

COMPETENCIA
Actúa y piensa
matemáticamente ensituaciones de regularidad,
equivalencia y cambio

En el entorno se producen múltiples relaciones temporales y permanentes que se
presentan en los diversos fenómenos naturales, económicos, demográficos, científicos,
entre otros. Estas relaciones influyen en la vida del ciudadano exigiéndole que desarrollecapacidades matemáticas para interpretarlos, describirlos y modelarlos (OCDE, 2012).
La interpretación de los fenómenos supone comprender los diferentes tipos de cambio yreconocer cuándo se presentan con el propósito de utilizar modelos matemáticos para
describirlos.
Actuar y pensar en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica desarrollar
progresivamente la interpretación y generalización de patrones, la comprensión y el uso
de igualdades y desigualdades, y la comprensión y el uso de relaciones y funciones.
Por lo tanto, se requiere presentar el álgebra no solo como una traducción del lenguaje
natural al simbólico, sino también usarla como una herramienta de modelación dedistintas situaciones de la vida real.
Las cuatro capacidades de esta competencia se definen de la siguiente manera:

Comunica y representa
ideas matemáticas

Matematiza situaciones
Asociar problemas
diversos con
modelos que
involucran patrones,
igualdades,
desigualdades yrelaciones.

Justificar y validar
conclusiones,supuestos, conjeturas
e hipótesis respaldadas
en leyes que rigen
patrones, propiedades
sobre la igualdady desigualdad y las
relaciones de cambio.
Razona y argumenta
generando ideas matemáticas

20

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones
de regularidad,
equivalencia ycambio.

Expresar elsignificado depatrones, igualdades,
desigualdades
y relaciones, demanera oral yescrita haciendo
uso de diferentes
representaciones ylenguaje matemático.

Planificar, ejecutar
y valorar estrategias
heurísticas,
procedimientos decálculo, estimación,
usando diversos
recursos, para resolver
problemas.
Elabora y usa estrategias

Ana Bressan (2010) menciona que el descubrimiento de las leyes que rigen
patrones, y su reconstrucción con base en estas mismas leyes, cumple unpapel fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático. Ambas
actividades están vinculadas estrechamente al proceso de generalización,que forma parte del razonamiento inductivo, entendido tanto como pasarde casos particulares a una propiedad común (conjetura o hipótesis), comotransferir propiedades de una situación a otra. Asimismo, el estudio depatrones y la generalización de estos abren las “puertas” para comprender
la noción de variable y de fórmula, así como para distinguir las formas
de razonamiento inductivo y deductivo, y el valor de la simbolización
matemática.

La competencia de Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio implica promover aprendizajes relacionados con el álgebra enel V ciclo:
Identificar, interpretar y representar
regularidades que se reconocen
en diversos contextos, incluidos losmatemáticos.
Comprender que un mismo patrón
se puede hallar en situaciones
diferentes, ya sean físicas,
geométricas, aleatorias, numéricas,
etc.
Generalizar patrones y relaciones usando iconos y símbolos.
Interpretar y representar las condiciones de problemas, mediante
igualdades o desigualdades.
Determinar valores desconocidos y establecer equivalencias entre
expresiones numéricas y algebraicas.
Identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes.
Analizar la naturaleza del cambio y modelar situaciones o fenómenosdel mundo real mediante tablas yrelaciones de proporcionalidad.

x

x

21

3

COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente ensituaciones de forma, movimiento ylocalización

En el mundo en que vivimos la geometría está presente en diversas manifestaciones dela cultura y la naturaleza. En nuestro alrededor podemos encontrar una amplia gamade fenómenos visuales y físicos, propiedades de los objetos, posiciones y orientaciones,
representaciones de los objetos, su codificación y decodificación (PISA, 2012). Esto nos
muestra la necesidad de tener percepción espacial, de comunicarnos en el entorno
cotidiano haciendo uso de un lenguaje geométrico, así como de realizar medidas y
vincularlas con otros aprendizajes matemáticos. En este sentido, aprender geometría
proporciona a la persona, herramientas y argumentos para comprender el mundo; porello, la geometría es considerada como la herramienta para el entendimiento y es laparte de las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad (Cabellos Santos,
2006).
Actuar y pensar en situaciones de forma, movimiento y localización implica desarrollar
progresivamente el sentido de la ubicación en el espacio, la interacción con los objetos,
la comprensión de propiedades de las formas y cómo se interrelacionan, así comola aplicación de estos conocimientos al resolver diversos problemas. Esto involucra
el despliegue de las cuatro capacidades: matematizar situaciones, comunicar y
representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias y razonar y argumentar
generando ideas matemáticas.
Estas cuatro capacidades matemáticas se interrelacionan entre sí, para lograr que elestudiante sea capaz de desarrollar una comprensión profunda de las propiedades yrelaciones entre las formas geométricas, así como la visualización, la localización y elmovimiento en el espacio; todo lo cual permite resolver diversos problemas.

22Comunica y representa
ideas matemáticas

Matematiza situaciones
Asociar problemas
diversos con
modelos referidos a
propiedades de lasformas, localización
y movimiento en elespacio.

Justificar y validar
conclusiones,supuestos, conjeturas
e hipótesis respecto
a las propiedadesde las formas, sustransformaciones
y localización en elespacio.

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones deforma, movimiento
y localización.

Razona y argumenta
generando ideas matemáticas

Expresar las
propiedades de lasformas, localización
y movimiento en elespacio, de manera
oral y escrita, haciendo
uso de diferentes
representaciones ylenguaje matemático.
Planificar ejecutar yvalorar estrategias
heurísticas yprocedimientos
de localización,
construcción, medición
y estimación, usando
diversos recursos para
resolver problemas.
Elabora y usa estrategias

Esta forma de promover aprendizajes relacionados con la geometría involucra losiguiente:
Usar relaciones espaciales al interpretar y
describir de forma oral y gráfica, trayectos y
posiciones de objetos y personas, para distintas
relaciones y referencias.
Construir y copiar modelos de formas
bidimensionales y tridimensionales, condiferentes formas y materiales.
120

70
110

80
100

90
90

20

10

120

60

130

50

170 1800

7030

180 17080

160 10 0
140 20

Expresar propiedades de figuras y cuerpos
según sus características, para que losreconozcan o los dibujen.

100 110

40

140

60

130

140

160 30150 4050

Explorar afirmaciones acerca de características de las figuras y argumentar
su validez.
Estimar, medir y calcular longitudes, superficies y volumen usando unidades
arbitrarias y convencionales.

23

4

COMPETENCIA
Actúa y piensa
matemáticamente ensituaciones de gestión dedatos e incertidumbre

En la actualidad, nos encontramos en un contexto social cambiante e impredecible,
donde la información, el manejo del azar y la incertidumbre juega un papel relevante.
En este contexto, la información es presentada de diversas formas; por ejemplo, losresultados de las encuestas se presentan en diagramas y gráficos, motivo por el cualla estadística se convierte en una herramienta para comprender el mundo y actuar
sobre él. De otro lado, también se presentan situaciones de azar, impredecibles yde incertidumbre en la que nos sentimos inseguros sobre cuál es la mejor forma detomar decisiones, es por ello que la probabilidad se presenta como una herramienta
matemática para fomentar el pensamiento aleatorio y estas nociones se desarrollaránde forma intuitiva e informal en el nivel primario.
Actuar y pensar en situaciones de gestión de datos e incertidumbre implica desarrollar
progresivamente la comprensión sobre la recopilación y el procesamiento de datos, su
interpretación y valoración, y el análisis de situaciones de incertidumbre. Esto involucra
el despliegue de las capacidades de matematizar situaciones, comunicar y representar
ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias, razonar y argumentar generando ideas
matemáticas a través de sus conclusiones y respuestas.

Comunica y representa
ideas matemáticas

Matematiza situaciones
Asociar problemas
diversos con
modelos
estadísticos yprobabilísticos.

Justificar y validar
conclusiones,supuestos,conjeturas ehipótesis respaldados
en conceptos
estadísticos yprobabilísticos.
Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

24

Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones degestión de datos
e incertidumbre.

Expresar elsignificado deconceptos estadísticos yprobabilísticos de manera
oral o escrita, haciendo
uso de diferentes
representaciones ylenguaje matemático.

Planificar, ejecutar
y valorar estrategias
heurísticas yprocedimientos parala recolección y elprocesamiento dedatos y el análisis
de problemas deincertidumbre.
Elabora y usa estrategias

2.2 Capacidades matemáticas
Capacidad 1: Matematiza situaciones
Es la capacidad de expresar en un modelo matemático, un problema reconocido en
una situación. En su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, deacuerdo con el problema que le dio origen. Por ello, esta capacidad implica:
Identificar características, datos, condiciones y variables del problema que
permitan construir un sistema de características matemáticas (modelo
matemático), de tal forma que reproduzca o imite el comportamiento de larealidad.
Usar el modelo obtenido estableciendo conexiones con nuevas situaciones
en las que puede ser aplicable. Esto permite reconocer el significado y la
funcionalidad del modelo en situaciones similares a las estudiadas.
Contrastar, valorar y verificar la validez del modelo desarrollado, reconociendosus alcances y limitaciones.

Por ejemplo, un estudiante puede expresar un problema en un modelo de solución
concreto, gráfico o simbólico.
Mery lleva tres bolsas de ropa a la lavandería, una grande, mediana y otra pequeña. La
bolsa grande pesa 6,5 kg. La bolsa grande pesa igual que las otras dos bolsas. La bolsa
mediana pesa 4,5 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa la otra bolsa de ropa?
Modelo con
balanzas?

4,5 kg6,5 kgModelo con
esquemaModelo con una
operación

Peso de la bolsa Peso de la bolsa
pequeña
mediana? + 4,5 kg = 6,5 kg?

4,5 kg6,5 kgPeso de la bolsa grande?: peso de la bolsa
pequeña

La matematización destaca la relación entre las situaciones reales y la matemática,
resaltando la relevancia del modelo matemático, el cual se define como un sistema que
representa y reproduce las características de una situación del entorno. Este sistema
está formado por elementos que se relacionan y por operaciones que describen cómointeractúan dichos elementos, haciendo más fácil la manipulación o el tratamiento dela situación (Lesh y Doerr, 2003).

25

Capacidad 2: Comunica y representa ideas matemáticas
Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemáticas y expresarlas deforma oral y escrita1 usando el lenguaje matemático y diversas formas de representación
con material concreto, gráfico, tablas y símbolos, y transitando de una representacióna otra.
La comunicación es la forma de expresar y representar información con contenido
matemático, así como la manera en que se interpreta (Niss, 2002). Las ideas
matemáticas adquieren significado cuando se usan diferentes representaciones y sees capaz de transitar de una representación a otra, de tal forma que se comprende laidea matemática y la función que cumple en diferentes situaciones.
DIFERENTES FORMAS DE REPRESENTAR
Representación
pictórica

Dibujos e íconos.

Representación
gráfica

Representación con
material concreto

Estructurado:material Base Diez,ábaco, regletas decolores, balanza,etc.
No estructurado:
semillas, piedritas,
palitos, tapas,
chapas, etc.

Tablas, cuadros,
gráficos debarras.

Representación
vivencialAcciones motrices:juegos de roles ydramatización.

Representación
simbólica

Símbolos,expresiones
matemáticas.

Adaptación: Discover strategic young math students in completently using multiple representations de Anne Marshall (2010).

126

Entendemos por representación escrita también lo gráfico y lo visual.

Por ejemplo: representamos 57,95 de diferentes maneras usando material concreto,
gráfico o simbólico.
En forma concreta
Con billetes y monedas

Con el ábaco

En forma gráfica
57,95 aproximadamente

10

20

30

40

50

60

En forma simbólica
En el tablero de valor posicional:
D

U

,

d

c

5

7

,

9

5

Con sumandos:
57 +

5
9
+
10 100

En los primeros grados de la educación primaria, el proceso de construcción delconocimiento matemático se vincula estrechamente con
el proceso de desarrollo del pensamiento del niño. Este
Para la construcción
proceso comienza con un reconocimiento a través de su
del significado de loscuerpo interactuando con el entorno, y con la manipulación
conocimientos matemáticosdel material concreto; se va consolidando cuando el niño
es recomendable quelos estudiantes realicen
pasa a un nivel mayor de abstracción, al representar dediversas representaciones,
manera pictórica y gráfica aquellas nociones y relaciones
partiendo de aquellas queque fue explorando en un primer momento a través delson vivenciales hasta llegar
cuerpo y los objetos. La consolidación del conocimientoa las gráficas o simbólicas.
matemático, es decir, de conceptos, se completa con larepresentación simbólica (signos y símbolos) de estos, a
través del lenguaje matemático, simbólico y formal.

27

Es importante resaltar que en cada nivel de representación se evidencia ya un nivel
de abstracción. Es decir, cuando el niño es capaz de transitar de un material concretoa otro, o de un dibujo a otro, va evidenciando que está comprendiendo las nociones
y conceptos y los va independizando del tipo de material que está usando. Para
representar un descuento del veinte por ciento de cien, podemos usar material BaseDiez, o sino una cuadrícula de 10 x 10 en la que sombreamos 20 cuadritos de 100,
también podemos utilizar una representación simbólica como fracción decimal ( 20 ) o
100
con un número decimal (0,20) o usando el símbolo % (20%).
El manejo y uso de las expresiones y símbolos que constituyen el lenguaje matemático,
se va adquiriendo de forma gradual en el mismo proceso de construcción deconocimientos. Conforme el estudiante va experimentando o explorando las nociones
y las relaciones, va expresándolas de forma coloquial al principio, para luego pasar al
lenguaje simbólico y, finalmente, dar paso a expresiones más técnicas y formales que
permitan expresar con precisión las ideas matemáticas y que además responden a
una convención.

TRÁNSITO PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE MATEMÁTICO

Lenguaje
coloquial

Lenguajesimbólico

Lenguaje
técnico yformalCapacidad 3: Elabora y usa estrategias
Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias
y diversos recursos, entre ellos las tecnologías de información y comunicación,
empleándolos de manera flexible y eficaz en el planteamiento y la resolución deproblemas. Esto implica ser capaz de elaborar un plan de solución, monitorear su
ejecución, pudiendo incluso reformular el plan en el mismo proceso con la finalidad
de resolver el problema. Asimismo, implica revisar todo el proceso de resolución,
reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas de manera apropiada yóptima.
Las estrategias se definen como actividades conscientes e intencionales que guían elproceso de resolución de problemas; estas pueden combinar la selección y ejecución
tanto de procedimientos matemáticos como de estrategias heurísticas, de manera
pertinente y adecuada al problema planteado.

28

La capacidad Elabora y usa estrategias implica que los estudiantes:
Elaboren y diseñen un plan de solución.
Seleccionen y apliquen procedimientos y estrategias de diversos tipos(heurísticos, de cálculo mental o escrito).
Realicen una valoración de las estrategias, procedimientos y los recursos que
fueron empleados; es decir, que reflexione sobre su pertinencia y si le fueronútiles.
oiradnelaC

ozram

orerbef

od as iv uj im am ul

orene

od as iv uj im am ul
2 1
9 8 7 6 5 4 361 51 41 31 21 11 01
32 22 12 02 91 81 71
82 72 62 52 42

9 8 7 6 5 4 361 51 41 31 21 11 01
32 22 12 02 91 81 71
03 92 82 72 62 52 42
13

oinuj

od as iv uj im am ul
5 4 3 2 1
21 11 01 9 8 7 691 81 71 61 51 41 31
62 52 42 32 22 12 02
13 03 92 82 72

oyam

od as iv uj im am ul

lirba

od as iv uj im am ul
4 3 2 1
11 01 9 8 7 6 581 71 61 51 41 31 21
52 42 32 22 12 02 91
13 03 92 82 72 62

8 7 6 5 4 3 251 41 31 21 11 01 9
22 12 02 91 81 71 61
62 52 42 32
03

erbmeitpes

od as iv uj im am ul
6 5 4 3 2 1
31 21 11 01 9 8 7
02 91 81 71 61 51 41
72 62 52 42 32 22 12
03 92 82

otsogaod as iv uj im am ul
4 3 2 141 31 21 11 01 9 8
12 02 91 81 71 61 51
82 72 62 52 42 32 22
03 92

oiluj

od as iv uj im am ul
3 2 1
01 9 8 7 6 5 471 61 51 41 31 21 11
42 32 22 12 02 91 81
13 03 92 82 72 62 52

erbmeicid

od as iv uj im am ul
6 5 4 3 2 1
31 21 11 01 9 8 7
02 91 81 71 61 51 41
72 62 52 42 32 22 12
13 03 92 82

erbmeivon

od as iv uj im am ul
4 3 2 141 31 21 11 01 9 8
12 02 91 81 71 61 51
82 72 62 52 42 32 22
13 03 92

erbutcood as iv uj im am ul
2 1
9 8 7 6 5 4 361 51 41 31 21 11 01
32 22 12 02 91 81 71
03 92 82 72 62 52 42

od as iv uj im am ul
5 4 3 2 1
21 11 01 9 8 7 691 81 71 61 51 41 31
62 52 42 32 22 12 02
13 03 92 82 72

Voy a intentar
resolverlo de otra
manera para ver sisale igual.
]24[

}24{

¿Y si en vez de un
cuarto hubiera sido
un quinto?

Mi estrategia
es más fácil.

¿Cómo han resuelto
el problema?

Explícamecómo lo has
resuelto tú.

Usando tapas lo
resolví más rápido.

Capacidad 4: Razona y argumenta generando				ideas matemáticas
Es la capacidad de plantear supuestos, conjeturas e hipótesis de implicancia matemática
mediante diversas formas de razonamiento, así como de verificarlos y validarlos usando
argumentos. Para esto, se debe partir de la exploración de situaciones vinculadas a lasmatemáticas, a fin de establecer relaciones entre ideas y llegar a conclusiones sobre labase de inferencias y deducciones que permitan generar nuevas ideas matemáticas.
La capacidad Razona y argumenta generando ideas matemáticas implica que elestudiante:
Explique sus argumentos al plantear supuestos, conjeturas e hipótesis.
Observe los fenómenos y establezca diferentes relaciones matemáticas.
Elabore conclusiones a partir de sus experiencias.
Defienda sus argumentos y refute otros, sobre la base de sus conclusiones.

Profesora, una regleta rosada
representa la mitad delterreno, entonces la fracción
es 1 .
2

2
También dos regletas rojas son.
41.
Al simplificar equivale a24Maestra, yo encontré:, pero al8
simplificar equivale a 1 .
2

29

2.3 ¿Cómo se desarrollan las competencias
en el V ciclo?
2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones
de cantidad
Los niños en este ciclo, se enfrentan a situaciones y problemas de contextos sociales ycomerciales, por ejemplo a situaciones de compra-venta, de descuentos, problemasde reparto de cantidades, problemas en las que se informa de asuntos relacionados
con cantidades expresados en millones, entre otros. Así mismo, tienen la necesidad
de manejar con mayor precisión el peso de los objetos y orginizarse a nivel personal
haciendo uso del tiempo.
Es por ello que en este ciclo, actuar y pensar matemáticamente en situaciones de cantidad
implica que los estudiantes realicen acciones orientadas a matematizar situaciones alplantear relaciones y expresarlas en modelos de solución aditivos y multiplicativos con
naturales, fracciones y decimales; comunicar y representar ideas matemáticas sobre
el significado de los números naturales mayores de seis cifras, fracciones, decimales
y porcentajes, y sobre las diferentes formas de representar estos números; elaborar yusar estrategias y procedimientos de cálculo escrito y mental para resolver problemas;
y razonar y argumentar al establecer conjeturas sobre las propiedades de los números
y operaciones. En este afán es importante la consolidación de ideas y conceptos
fundamentales de la matemática, como el sistema de numeración decimal al trabajar
con decimales hasta el centésimo.
Es importante mencionar que en este ciclo se da inicio al estudio de los decimales
y porcentajes a partir de las fracciones decimales, pero además se relacionan losnúmeros decimales con el sistema de numeración decimal, lo cual significa un paso
más hacia la noción de números racionales.

Talla de los estudiantes del grupo 1
Karina		Pedro		Iván		
Esther		Ingrid		

30

0,9 m
1,5 m
1,2 m
1,3 m
0,7 m

31

6

5

4

3

2

1

Interpreta datos y relaciones no explícitas de situaciones
diversas referidas a una o varias acciones de comparare igualar dos cantidades con números naturales,
expresiones decimales, fraccionarias o porcentajes, ylos relaciona con modelos aditivos3 y multiplicativos4.
Determina en qué otras situaciones es aplicable. Describe,
utilizando el lenguaje matemático, su comprensión
sobre el significado de la equivalencia entre fracciones,
decimales y porcentajes y la noción de potencia; compara
y estima la masa de objetos en unidades convencionales,y la duración de eventos en minutos y segundos. Elabora
y emplea diversas representaciones de una misma idea
matemática, con gráficos y símbolos; relacionándolas
entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar
o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas,
procedimientos de cálculo y estimación con porcentajes
usuales5 y números naturales, fracciones y decimales;
estimar, medir directa o indirectamente la masa de objetos
y la duración de eventos; con apoyo de recursos. Compara
los procedimientos y estrategias empleadas en distintas
resoluciones. Establece conjeturas sobre procedimientos,
propiedades de los números y las operaciones trabajadas,y las justifica usando ejemplos o contraejemplos

Plantea relaciones entre los datos en situaciones que
combinan una o más acciones de agregar, combinar,
igualar, comparar, repetir o repartir una cantidad, ylos expresa con modelos aditivos o multiplicativos con
números naturales y fracciones usuales. Relaciona
el modelo trabajado con otras situaciones similares.
Describe con lenguaje matemático su comprensión
sobre reagrupar con criterios distintos, ordenar números
naturales hasta millares, medir la masa de objetos en
gramos y kilogramos, medir la duración de eventos enhoras, medias horas o cuartos de hora, el significado
de la noción de división y fracción, problemas aditivos1
y multiplicativos2; los representa mediante tablasde doble entrada y símbolos. Propone y realiza una
secuencia de acciones orientadas a experimentar oresolver un problema empleando estrategias heurísticas,
procedimientos de cálculo mental y escrito, conteo, orden
con cantidades de hasta cuatro cifras; estimar, medir ycomparar la masa de objetos y la duración de eventos
empleando unidades convencionales, con apoyo dematerial concreto. Comprueba sus procedimientos y
estrategias. Elabora conjeturas basadas en experienciaso en relaciones matemáticas trabajadas, y las justifica
usando ejemplos.

Problemas PAEV: Cambio 5 y 6, Comparación e igualación 3 y 4.
Problemas multiplicativos (proporcionalidad simple)
Problemas PAEV: Comparación e igualación 5 y 6.
Problemas multiplicativos conocidos como de producto cartesiano.
(10%, 20%, 25%, 50%, 75%)
Convenciones matemáticas: p.ej: convenir que el cero es múltiplo de todos los números.

V cicloIV cicloESTÁNDARES (Mapa de Progreso)

Discrimina información e identifica relaciones no explícitas
en situaciones referidas a determinar cuántas veces una
cantidad contiene o está contenida en otra y aumentos odescuentos sucesivos, y las expresa mediante modelos
referidos a operaciones, múltiplos o divisores, aumentos
y porcentajes. Selecciona y usa el modelo más pertinentea una situación y comprueba si este le permitió resolverla.
Expresa usando terminologías, reglas y convenciones
matemáticas6, su comprensión sobre las propiedadesde las operaciones con números enteros y racionales,
y variaciones porcentuales; medir la masa de objetos
en toneladas y la duración de eventos en décadas ysiglos. Elabora y emplea diversas representaciones deuna misma idea matemática usando tablas y símbolos;
relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado
a la investigación y resolución de problemas empleando
estrategias heurísticas, procedimientos para calcular yestimar con porcentajes, números enteros, racionales ynotación exponencial; estimar y medir la masa, el tiempo
y la temperatura con unidades convencionales; con apoyo
de diversos recursos. Evalúa ventajas y desventajas delas estrategias, procedimientos matemáticos y recursos
usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones
numéricas o propiedades de operaciones observadas
en situaciones experimentales; e identifica diferencias yerrores en una argumentación.

VI ciclo

A continuación les presentamos una matriz que muestra de manera integrada el estándar de aprendizaje (Mapa de progreso), así como los indicadores de desempeño de lascapacidades para el desarrollo de la competencia en el ciclo. Los niveles de los Mapas de progreso muestran una definición clara y consensuada de las metas de aprendizaje quedeben ser logradas por todos los estudiantes al concluir un ciclo o periodo determinado. En este sentido son un referente para la planificación anual, el monitoreo y la evaluación, pues
nos muestran el desempeño global que deben alcanzar nuestros estudiantes en cada una de las competencias. Las matrices con los indicadores de desempeño de las capacidades
son un apoyo para diseñar nuestras sesiones de aprendizaje; son útiles también para diseñar instrumentos de evaluación, pero no nos olvidemos que en un enfoque de competencias,
al final, debemos generar instrumentos que permitan evidenciar el desempeño integral de las mismas. En resumen, ambos instrumentos nos ayudan tanto a la planificación como a laevaluación, pero uno, nos muestra desempeños más acotados (indicadores de desempeños), mientras que el otro nos muestra un desempeño complejo (mapas de progreso). Hemos
colocado el nivel anterior y posterior al ciclo correspondiente para que puedan identificar en qué nivel de desempeño se encuentra cada uno de nuestros estudiantes, y así diseñar
actividades adecuadas para cada uno de ellos.

Matriz: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

32

6

5

4

3

2

1

Plantea relaciones entre losdatos en problemas aditivos
de dos o más etapas2 que
combinen acciones de juntarjuntar, juntar-agregar-quitar,
juntar-comparar, juntar-igualar
expresándolas en un modelo
de solución aditiva con números
naturales.

Plantea relaciones aditivas ymultiplicativas en problemas devarias etapas4 que combinen
acciones de agregar, quitar,
juntar, comparar, igualar,repetir, repartir o agrupar una
cantidad; expresándolas en
un modelo de solución aditiva
y multiplicativa con números
naturales.

Problemas de varias etapas con
números naturales

Usa un modelo de solución
aditiva al plantear o resolver unproblema en su contexto.

Emplea un modelo de solución
aditiva al plantear o resolver unproblema en su contexto.

Problemas aditivos de dos o másetapas con números naturales

Interpreta datos y relaciones no
explícitas en problemas aditivosde una etapa3, expresándolos
en un modelo de solución con
números naturales.

Problemas aditivos con números
naturales

Quinto gradoPlantea relaciones entre losdatos en problemas de una
etapa1, expresándolos en un
modelo de solución aditiva dehasta cuatro cifras.

Problemas aditivos con números
naturales

Cuarto grado

Primer Grado de Secundaria

Problemas de varias etapas con Problemas con números enteros
números naturales.
Reconoce datos y relaciones
no explícitas en situaciones
Interpreta relaciones aditivas
duales y relativas6, al expresary multiplicativas con datos no
un modelo usando números
explícitos, en problemas deenteros y sus operaciones.
varias etapas5, y los expresa
en un modelo de solución
Selecciona un modelo
que combinen las cuatro
relacionado a números enteros
operaciones con números
al plantear o resolver unnaturales.
problema en situaciones duales
y relativas.

Sexto Grado

COMPETENCIA: ACTÚA Y PIENSA MATEMÁTICAMENTE EN SITUACIONES DE CANTIDAD(PAEV) Problemas aditivos de cambio, comparación e igualación 5 y 6.
Problemas aditivos de dos o más etapas que combinen problemas de combinación- combinación, combinación-cambio, combinación -comparación, combinación –igualación, etc.
(PAEV) Problemas aditivos de igualación 3 y 4.
Problemas de varias etapas que combinen problemas aditivos con problemas multiplicativos.
Problemas de varias etapas que combinen problemas aditivos con problemas multiplicativos. Problemas multiplicativos de combinación-multiplicación y combinación-división o producto cartesiano.
Por ejemplo, situaciones duales con ganancias-pérdidas, ingresos-reintegros; y situaciones relativas con temperatura, número de índices y cronología.

MATEMATIZA SITUACIONES

33

6

5

4

3

2

1

Interpreta relaciones entre losdatos en problemas de división4,y los expresa en un modelo desolución con números naturales.

Organiza datos en problemas1,
expresándolos en un modelo
de solución multiplicativo con
números naturales hasta cuatro
cifras.

Relaciona un modelo desolución multiplicativo a
problemas de diversos
contextos.

Relaciona datos en problemas3,que impliquen acciones
de reducir una cantidad,
expresándolos en un modelo
de solución de mitad, tercia, etc.
con cantidades de hasta cuatro
cifras.

Usa un modelo de solución
aditiva o multiplicativa
al plantear o resolver unproblema.

Problemas multiplicativos con números
naturales

Problemas multiplicativos con números
naturales

Reconoce datos relevantes
en problemas2 y los expresa
en un modelo de solución dedivisiones exactas e inexactas
con números naturales hasta
con cuatro cifras.

Quinto grado

Cuarto grado

Aplica modelos referidos a losmúltiplos y divisores comunesde un número.

Plantea relaciones entre
los datos en problemas6 ylos expresa en un modelo
relacionado a múltiplos ydivisores de un número.

Múltiplos y divisores

Aplica modelos referidos ala potenciación al plantear
y resolver problemas
relacionados con la potencia
cuadrada y cúbica.

Ordena datos en problemasrecursivos y de productos demedidas5 y los expresa enmodelos referidos al cuadrado ycubo de un número natural.

Problemas de potencia cuadrada ycúbicaSexto Grado

Emplea el modelo de solución
más pertinente al resolver
problemas relacionados amúltiplos y divisores.

Reconoce datos y relaciones no
explícitas, y los expresa en un
modelo relacionado a múltiplos
y divisores.

Múltiplos y divisores

Usa modelos referidos ala potenciación al plantear
y resolver problemas ensituaciones de regularidad.

Ordena datos de cantidades
y magnitudes en situaciones
de regularidad y los expresaen modelos referidos a lapotenciación con exponente
positivo.

Potenciación

Primer Grado de Secundaria

Problemas multiplicativos de proporcionalidad simple, problemas de comparación- amplificación o comparación de la la forma “veces más que”. Problemas de organizaciones rectangulares.
Problemas multiplicativos de proporcionalidad simple: de reparto no exacto, análisis del residuo, problemas de iteración (“Estoy en el número 238. Doy saltitos para atrás de 12 en 12. ¿A qué número llego más cercano al 0?). Problemas de utilización de la relación: D = d.q + r, r < d(PAEV) Problemas multiplicativos de comparación que requieran reducir una magnitud, o comparar de la forma “veces menos que”.
Problemas de análisis del residuo, problemas de utilización de la relación: D = d.q + r, r < d. Problemas para reconstruir el resto de la división.
Problemas recursivos que impliquen por ejemplo: un cajón contiene 6 cajas con 6 estuches de 6 lápices cada uno. Problemas de productos de medida que impliquen el área de un cuadrado y elvolumen del cubo.
Problemas que impliquen el uso de múltiplos y divisores de números naturales, buscar divisores comunes entre varios números o múltiplos comunes a varios números, descomposición multiplicati- va de un número.

MATEMATIZA SITUACIONES

34

8

7

6

5

4

3

2

1

1

Emplea un modelo de solución
referido a las fracciones comoparte todo o reparto al plantear
o resolver un problema.

Plantea relaciones entre losdatos en problemas de una
etapa3, expresándolos en un
modelo de solución aditiva con
fracciones.

Identifica datos en problemas2
que impliquen partir el todo ola unidad en partes iguales,
expresándolos en un modelo desolución aditivo con fracciones
usuales.

Problemas aditivos con fracciones

Identifica datos en problemasque impliquen repartir una
cantidad en forma equitativa,
expresándolos en un modelo desolución con fracciones usuales
con denominadores 2,4,8,3,6,5
y 10.

Problemas con fracciones

Cuarto grado

Sexto Grado

Emplea un modelo de solución
aditivo o multiplicativo con
fracciones al plantear o resolver
un problema.

Plantea relaciones entre
los datos en problemas6,
expresándolos en un modelo desolución multiplicativo de una
fracción por un natural.

Problemas multiplicativos con
fracciones

Plantea relaciones entre losdatos en problemas de una
etapa5, expresándolos en un
modelo de solución aditiva con
fracciones.

Problemas aditivos con fracciones

Plantea relaciones entre losdatos en problemas4 que
impliquen repartir, medir
longitudes, partir superficies;
expresándolos en un modelo desolución con fracciones.

como

Emplea un modelo de solución
aditivo o multiplicativo con
fracciones al plantear o resolver
un problema.

Interpreta datos y relaciones
en problemas que impliquen
repartir, partir una longitud osuperficie y los expresa en un
modelo de solución de división
entre una fracción y un entero.

Plantea relaciones entre
los datos en problemas,
expresándolos en un modelo
de solución multiplicativo entre
fracciones.

Problemas multiplicativos con
fracciones

Plantea relaciones entre
los datos en problemas8
expresándolos en un modelo desolución con fracciones como
operador.

Plantea relaciones entre
los datos en problemas7
expresándolos en un modelo desolución con fracciones comocociente.

Problemas con fracciones como reparto Problemas con fracciones
cociente y como operador
y medida.

Quinto grado

Primer Grado de Secundaria

Problemas de reparto en las cuales el resto se reparta equitativamente.
Problemas que impliquen partir una unidad en partes iguales (noción de fracción como parte todo).
(PAEV) Problemas aditivos de cambio o comparación.
Problemas de fracciones que implican reparto, problemas de medida que impliquen comparación de longitudes y áreas.
(PAEV) Problemas aditivos de cambio, comparación e igualación.
Problemas multiplicativos de proporcionalidad simple de repetición de una medida. Problemas de área.
Problemas de fracciones que implican reconocer que la fracción es un cociente: ¿existe una número natural que multiplicado por 6, dé como resultado 8?¿Y una fracción?¿Cuál es el resultado de
dividir 8 entre 6?.
Problemas de fracciones como operador que implican reconocer la fracción de un conjunto o una cantidad discreta (conjunto de objetos, por ejemplo: ¼ de 28 caramelos). Problemas que impliquen
la fracción una cantidad continua (una superficie, una longitud, el tiempo, por ejemplo: ¼ de hora, ¼ de kilómetro)

MATEMATIZA SITUACIONES

35

4

3

2

1

Cuarto gradoInterpreta datos y relaciones
en problemas aditivos1, y losexpresa en un modelo desolución aditivo con decimales
hasta el centésimo.

Problemas aditivos con decimales

Quinto grado

Primer Grado de Secundaria

Usa un modelo de solución
basado en aumentos y
descuentos porcentuales alplantear y resolver problemas.

Emplea un modelo de solución
referido a porcentajes usuales al
crear o resolver problemas.

Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el
problema.

Relaciona cantidades ymagnitudes en situaciones
y los expresa en modelosde aumentos y descuentos
porcentuales.

Porcentajes

Plantea relaciones entre
los datos en problemas,
expresándolos en un modelo
de solución con porcentajes
usuales.

Porcentajes

Usa modelos referidos a laproporcionalidad directa al
resolver problemas.

Reconoce relaciones
entre magnitudes enproblemas multiplicativos deproporcionalidad y lo expresa
en un modelo de solución.

Proporcionalidad

Problemas aditivos y multiplicativos con Decimales
decimales
Reconoce relaciones enproblemas aditivos deInterpreta datos y relaciones
comparación e igualación4 con
no explícitas, en problemas dedecimales y fracciones, y losvarias etapas2, y los expresa
expresa en un modelo.
en un modelo de solución
aditivo que combinen las cuatro
Usa modelos aditivos con
operaciones con decimales.
decimales al plantear y resolver
problemas de comparación e
Identifica datos en problemas3,
igualación.
expresándolos en un modelo
de solución multiplicativo con
decimales.

Sexto Grado

Problemas aditivos de una o más etapas que impliquen combinar problemas de cambio-cambio, cambio-combinación, cambio-comparación, etc.; con números decimales hasta el centésimo.
Problema de varias etapas que impliquen operaciones combinadas con números decimales hasta el centésimo.
Problemas multiplicativos de proporcionalidad simple de repetición de una medida, de comparación de amplificación y reducción. Problemas de áreas que impliquen medidas en números decimales.
Problemas PAEV: Comparación e igualación 5 y 6.

MATEMATIZA SITUACIONES

36

Expresa mediante ejemplos
su comprensión sobre las
propiedades de la multiplicación
y división.

Multiplicación y división

Expresa mediante ejemplos
su comprensión sobre las
propiedades de la división.

Expresa con sus propias
palabras lo que comprende delproblema.

División

Expresa la medida de latemperatura en forma vivencial,concreta, pictórica, gráfica ysimbólica.

Expresa la medida, estimacióny la comparación del peso deobjetos en unidades oficiales(gramo y kilogramo) usando sus
equivalencias y notaciones.

Expresa la medida, estimacióny la comparación del peso deobjetos en unidades oficiales(gramo y kilogramo) y fracciónde una medida, como 1/2 kg,
1/4 kg.

Expresa en forma oral o escrita,
el uso de fracciones usuales
en contextos de medida (peso,
tiempo, longitud, capacidad,
superficie, etc.).

Describe la duración,
estimación y comparación deeventos empleando minutos y
segundos.

Tiempo y peso

Elabora representaciones
concretas, pictóricas, gráficas
y simbólicas de la potencia
cuadrada y cúbica de un
número natural.

Potenciación

Expresa la medida, estimacióny la comparación del peso deobjetos en unidades oficiales
usando sus equivalencias ynotaciones más usuales.

Describe la duración, estimación
y comparación de eventos
empleando años, décadas ysiglos.

Tiempo y peso

Describe la comparación y elorden de números mayores deseis cifras.

Elabora representaciones denúmeros mayores de seis cifras
en forma simbólica3.

Elabora representaciones
de números hasta seis cifras
en forma concreta, pictórica,
gráfica y simbólica2.
Describe la comparación y elorden de números de hasta seiscifras.

Expresa en forma oral o escrita,
el uso de los números mayores
de seis cifras en diversos
contextos de la vida diaria(distancias, presupuestos,precios de casas, premios delotería, etc.).

Números naturales

Sexto Grado

Expresa en forma oral o escrita,
el uso de los números hasta
seis cifras en diversos contextos
de la vida diaria (sueldos,
distancias, presupuestos
comunales y regionales, aforo
de un local, etc.).

Números naturales

Quinto grado

Describe la duración, estimación
y comparación de eventos
usando años, meses, hora, 1/2
hora o 1/4 de hora.

Tiempo y peso

Elabora representaciones denúmeros hasta cuatro cifras
en forma concreta, pictórica,
gráfica y simbólica1.

Describe la comparación denúmeros de hasta cuatro cifras,en la recta numérica y en eltablero posicional.

Expresa en forma oral o escrita,
el uso de los números naturales
en contextos de la vida diaria(peso, tiempo, sueldos,
etiquetas, etc.).

Números naturales

Cuarto grado

Representa de forma gráfica
y simbólica las potencias con
exponentes positivos.

Describe las características de lapotenciación, considerando subase y exponente con números
naturales.

Potenciación

Expresa procedimientos demedida de peso y temperatura,
entre otros, con expresiones
decimales.

Expresa en forma gráfica ysimbólica las relaciones deorden entre números enteros
empleando la recta numérica.

Expresa el significado delsigno del número entero ensituaciones diversas.

Números enteros

Primer Grado de Secundaria

Material concreto (ábaco, yupana, monedas y billetes), dibujos, gráficos (recta numérica) o representación simbólica (números, palabras, composición y descomposición aditiva y multiplicativa, valor
posicional en millares, centenas, decenas y unidades).
2
Material concreto (ábaco, monedas y billetes), dibujos, gráficos (recta numérica) o representación simbólica (números, palabras, composición y descomposición aditiva y multiplicativa, valor posicional en centena, decena y unidad de millar, centenas, decenas y unidades).
3
Simbólica (números, palabras, composición y descomposición aditiva y multiplicativa, valor posicional en millones, centena, decena y unidad de millar; centenas, decenas y unidades).

1

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

37

5

4

3

2

1

Expresa en forma oral o escrita,
el uso de las fracciones endiversos contextos de la vida
diaria (recetas, medidas delongitud, capacidad, tiempo,
precios, etc.).
Elabora representaciones
concreta, pictórica, gráfica ysimbólica4 de las fracciones
propias, impropias, números
mixtos y fracción de una
cantidad continua.

Describe la comparación yorden de las fracciones propias
y números mixtos, con soporte
concreto y gráfico.
Elabora representaciones
concreta, pictórica, gráfica ysimbólica de los significadosde la adición y sustracción con
fracciones.

Elabora representaciones
concreta, pictórica, gráfica ysimbólica2 de las fracciones
como parte de un todo, como
reparto, números mixtos,
fracciones homogéneas yheterogéneas, fracciones
usuales equivalentes3.

Describe la comparación
y orden de las fracciones
usuales con igual y distinto
denominador; con material
concreto y gráfico.

Elabora representaciones
concreta, pictórica, gráfica ysimbólica de los significadosde la adición y sustracción
con fracciones de igual
denominador.

Fracciones y sus operaciones

Quinto grado

Expresa en forma oral o escrita,
el uso de las fracciones usuales
en diversos contextos de la vida
diaria (recetas, medidas delongitud, tiempo, etc.).

Fracciones y sus operaciones

Cuarto grado

Describe la comparación
y orden de las fracciones
decimales5 con soporte concretoy gráfico.

Elabora representaciones
concretas, gráficas y simbólicas
de los significados de lasfracciones y sus operaciones(división).

Elabora diversas
representaciones de la fracciónde un conjunto.

Fracciones

Elabora representaciones
concretas, gráficas y simbólicas1
de los múltiplos y divisores deun número, mínimo común
múltiplo y máximo común
divisor.

Múltiplos y divisores

Sexto Grado

Expresa las características delas fracciones equivalentes,
propias e impropias.

Organiza datos en tablaspara expresar relaciones deproporcionalidad directa entre
magnitudes.

Representa el orden defracciones y decimales en larecta númerica.

Utiliza la criba de Eratóstenes
para expresar los números
primos y compuestos inferiores
a un número natural cualquiera.

Expresa el significado demúltiplo, divisor, números
primos, compuestos y divisibles.

Primer Grado de Secundaria

Material concreto (objetos, regletas de colores, base diez), pictórico, gráfica (descomposiciones rectangulares, tablero cien, recta numérica, diagramas de Venn) y simbólicas.
Material concreto (regletas de colores, tiras de fracciones equivalentes, fracciones equivalentes circulares, doblado del papel,), dibujos, gráficos (figuras, recta numérica) o representación simbólica
(números, palabras, fracciones menores y mayores que la unidad).
Fracciones equivalentes con las fracciones usuales (denominadores 2,4,8,3,6,5 y 10. Por ejemplo: ½=2/4=4/8; 1/3=2/6; 1/5=2/10)
Material concreto (regletas de colores, tiras de fracciones equivalentes lineales y circulares), dibujos, gráficos (recta numérica) o representación simbólica (números, palabras, notación de fracciones).
Fracciones decimales son aquellas cuyos denominadores es una potencia de 10. Por ejemplo: 1/10, 1/100, 1/1000, etc.

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

3

2

1

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

Realiza procedimientos para
comparar, ordenar y estimar
con números naturales hasta
cuatro cifras con apoyo dematerial concreto.

Números naturales

Propone una secuencia
de acciones orientadas aexperimentar o resolver unproblema.

Cuarto grado

Elabora representaciones
concretas, pictóricas, gráficas
y simbólicas1 de los números
decimales hasta el milésimo ysus equivalencias.
Describe la comparación yorden de los decimales hasta elmilésimo en la recta numérica,
en el tablero posicional y según
el valor posicional de sus cifras.
Elabora representaciones
concretas, pictóricas, gráficas ysimbólicas de los significadosde la multiplicación o división
con decimales.

Elabora representaciones
concreta, gráfica y simbólica
de los decimales hasta
el centésimo y de sus
equivalencias.
Describe la comparación yorden de los decimales hasta elcentésimo en la recta numérica,
en el tablero posicional y según
el valor posicional de sus cifras.
Elabora representaciones
concreta, pictórica, gráfica ysimbólica de los significadosde la adición y sustracción dedecimales hasta el centésimo.

Emplea procedimientos para
comparar, ordenar y estimaro redondear con números
naturales.

Números naturales

Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas.

Elabora representaciones
concretas, pictóricas, gráficas ysimbólicas3 de los porcentajes
más usuales.

Expresa en forma oral o escrita,
el uso de porcentajes más
usuales2 en diversos contextos
de la vida diaria (recetas,
distancias, ofertas, etc.).

Porcentajes

Expresa en forma oral oescrita, el uso de los números
decimales hasta el milésimo
y fracción decimal en diversos
contextos de la vida diaria(recetas, medidas muy
pequeñas, etc.).

Números decimales

Sexto Grado

Expresa en forma oral o escrita,
el uso de los decimales endiversos contextos de la vida
diaria (medidas de longitud,capacidad, tiempo, etc.) y enel sistema monetario nacional(billetes y monedas).

Números decimales

Quinto grado

Emplea estrategias heurísticas
y procedimientos para resolver
problemas con números
enteros.

Emplea procedimientos pararealizar operaciones con
números enteros.

Números naturales

Diseña y ejecuta un planorientado a la investigación yresolución de problemas.

Expresa en forma oral o escrita,
el aumento o descuento
porcentual, expresando elsignificado del porcentaje.

Representa aumentos odescuentos porcentuales
empleando diagramas ográficos.

Porcentajes

Primer Grado de Secundaria

Material concreto (material base diez, regletas), gráfica (ábaco, base diez, cuadrícula de 10 x10, diagramas de tiras) y simbólica (tablero de valor posicional, valor posicional de sus cifras, 0, 75 = 3/4)
Porcentajes usuales: 1%, 10% , 20%, 25%, 50%, 75%
Material concreto (material base diez), gráfica (cuadrícula de 10 x10, diagramas de tiras) y simbólica (notación y sus equivalencias: 0, 75 = 3/4 = 75%)

ELABORA Y USAESTRATEGIAS

38

39

1

Emplea procedimientos demedida, estimación y conversión
al resolver problemas que
impliquen estimar, medir directa
o indirectamente el tiempo ypeso de los objetos.

Tiempo y peso

Quinto grado
Emplea procedimientos demedida, estimación y conversión
al resolver problemas que
impliquen estimar, medir directa
o indirectamente el tiempo ypeso de los objetos.

Tiempo y peso

Sexto Grado

Emplea estrategias heurísticas
o procedimientos1 para sumar
y restar fracciones usuales
con denominadores iguales ydiferentes, y fracciones mixtas.

Realiza procedimientos para
comparar, ordenar y estimar
con fracciones usuales yfracciones equivalentes, conapoyo de material concreto.

Fracciones

Emplea propiedades de lasoperaciones y procedimientos
o estrategias de cálculo mental
y escrito para multiplicar ydividir números naturales con
resultados hasta cuatro cifras.

Emplea estrategias heurísticas
como hacer un esquema,
buscar regularidades, hacer
analogías al resolver problemas
aditivos o multiplicativos de una
o varias etapas con números
naturales con cantidades ymagnitudes (tiempo y peso).

Emplea procedimientos(fracciones equivalentes yalgoritmos) para sumar, restar ymultiplicar fracciones.

Emplea estrategias heurísticas
o procedimientos para sumar
y restar al resolver problemascon fracciones heterogéneas ofracción de un conjunto.

Emplea procedimientos para
comparar y ordenar con
fracciones y fracción decimal.

Fracciones

Emplea propiedades o lajerarquía de las operaciones
combinadas con y sin
paréntesis con números
naturales, al resolver problemas
aditivos o multiplicativos devarias etapas.

Emplea procedimientos oestrategias de cálculo para
resolver problemas con
fracciones.

Fracciones

Emplea estrategias heurísticas,
el MCD y el mcm para resolver
problemas simples de múltiplos
y divisores con números
naturales.

Emplea estrategias heurísticas
y procedimientos al resolver
problemas relacionados a
potencias cuadradas y cúbicas.

Problemas aditivos y multiplicativos con Problemas aditivos y multiplicativos con Problemas de potenciación y múltiplos
números naturales
y divisores
números naturales

Emplea procedimientos
y recursos para medir,
estimar, comparar y calcularequivalencias al resolver
problemas sobre la duración deltiempo y el peso de los objetos.

Tiempo y peso

Cuarto grado

Realiza procedimientos dedescomposición polinómica
con múltiplos de los números
naturales al resolver problemas.

Emplea el MCD y el mcm
para resolver problemas detraducción simple y compleja
con naturales y fracciones.

Emplea estrategias heurísticas
y procedimientos al resolver
problemas relacionados a
potencias de base natural y
exponente entero.

Emplea operaciones demultiplicación entre potencias
de una misma base al resolver
problemas.

Emplea estrategias heurísticas
y procedimientos para resolver
problemas con números
enteros.

Emplea procedimientos pararealizar operaciones con
números enteros.

Números naturales

Primer Grado de Secundaria

Estrategias heurísticas como hacer una simulación con material concreto, doblado del papel, hacer un esquema, un dibujo. En este ciclo se sugiere trabajar la adición y sustracción de fracciones con
fracciones equivalentes con apoyo concreto (regletas de colores, tiras de fracciones equivalentes, fracciones circulares) y gráfico para propiciar la comprensión con sentido sobre el cálculo y evitar la
mecanización sin reflexión.

ELABORA Y USA ESTRATEGIAS

40

2

1

Comprueba su procedimientoo estrategia y el de sus
compañeros y, de ser necesario,
lo replantea.

Cuarto grado

Emplea la calculadora para
resolver problemas y verificar
sus resultados.

Compara los procedimientos
y estrategias empleadas en
distintas resoluciones.

1

Emplea estrategias heurísticas yprocedimientos o estrategias decálculo para sumar y restar con
decimales exactos y fracciones
decimales.

Emplea estrategias o recursos
para ubicar y establecer
equivalencias entre una
fracción, fracción decimal y undecimal (1/10 = 0,1;
35/100 = 3/10 + 5 /100) y entre
diferentes unidades de longitud(1 m 5 cm = 1, 05 m).

Emplea procedimientos para
comparar, ordenar, estimar y
redondear números decimales
al entero más próximo.

Números decimales

Quinto grado

Sexto Grado

2

Compara los procedimientos
y estrategias empleadas en
distintas resoluciones.

Emplea estrategias heurísticas ,procedimientos y estrategias decálculo al resolver problemascon porcentajes más usuales.

Porcentaje

Emplea estrategias heurísticas
y procedimientos o estrategiasde cálculo para sumar,
restar, multiplicar y dividir con
decimales exactos.

Emplea estrategias o recursos
para establecer equivalencias yconversiones entre decimales,
fracción decimal, fracción oporcentajes y entre diferentes
unidades de masa o longitud.
(0,25 kg = 20/100 + 5 /100 =25/100 = 1/4 kg = 250 g)

Emplea procedimientos para
comparar, ordenar, redondear
números decimales a losdécimos, centésimos y ubicar
números decimales entre dos
números decimales dados.

Números decimales

Estrategias heurísticas como hacer una simulación con material concreto, hacer un esquema, recta numérica.
Hacer la simulación con material concreto como Base Diez; hacer un esquema como la cuadrícula de 10 × 10.

ELABORA Y USA ESTRATEGIAS

Evalúa ventajas y desventajas
de las estrategias,
procedimientos matemáticos yrecursos usados al resolver el
problema.

Calcula el valor de aumentos
o descuentos porcentuales
apoyado en recursos gráficos yotros al resolver problemas.

Emplea estrategias heurísticas
para resolver problemas
relacionado al aumento odescuento porcentual.

Halla el término desconocido
de una proporción apoyado
en recursos gráficos y otros al
resolver problemas.

Emplea el factor de conversión,el método de reducción a launidad y la regla de tres simple
en problemas relacionados con
proporcionalidad directa.

Emplea procedimientos desimplificación de fracciones.

Emplea procedimientos deestimación con decimales al
resolver problemas.

Emplea estrategias heurísticas
para resolver problemas que
combinen cuatro operaciones
con decimales y fracciones.

Emplea estrategias heurísticas
y procedimientos al operaro simplificar fracciones ydecimales.

Primer Grado de Secundaria

41

1Explica a través de ejemplos
con apoyo concreto o gráfico
la propiedad distributiva de lamultiplicación con números
naturales.

Explica a través de ejemplos
con apoyo concreto o gráfico,
los significados sobre lasoperaciones de adición ysustracción de fracciones.

Explica a través de ejemplos ycontraejemplos las diferentes
formas de representar
fracciones, fracciones decimales
y fracciones equivalentes.

Explica a través de ejemplos
las diferentes formas derepresentar fracciones usuales yfracciones equivalentes.

Explica a través de ejemplos
con apoyo concreto, gráfico osimbólico, los significados sobrelas operaciones de adición ysustracción con decimales.

Establece diferencias entre
fracciones propias e impropias,
heterogéneas y homogéneas.

Explica a través de ejemplos ycontraejemplos1 las diferentes
formas de representar un
número natural de seis cifras
y sus equivalencias según su
valor posicional.

Establece conjeturas sobrelas relaciones de orden,
comparación y equivalencia
entre fracciones y decimales
hasta el centésimo.

Quinto grado

Explica a través de ejemplos
las diferentes formas derepresentar un número decuatro cifras y sus equivalencias
en centenas, decenas yunidades.

Realiza conjeturas apartir de más de un caso
experimentado u observado
sobre las relaciones de orden,
comparación y equivalencia
entre fracciones usuales y losdiferentes tipos de fracciones(fracción propia, impropia,
homogénea y heterogénea).

Cuarto grado

Propone conjeturas referidas alas relaciones de orden entre
potencias de base 10 con
exponente entero.

Propone conjeturas respecto alcambio del signo de la base yel exponente relacionado a lapotenciación.

Justifica cuando un número es
divisible por otro a partir de un
criterios de divisibilidad.

Justifica cuando un número es
múltiplo o divisor del otro.
Establece conjeturas respecto alas propiedades y resultados dela potencia cuadrada y cúbica
de un número natural.

Propone conjeturas respecto alos números divisibles por 2, 3,
5, 7. 9, 11.

Justifica a través de ejemplos
que a:b = a/b= a x 1/b;
a/b:n=a/n x b (siendo a y b ynnúmeros naturales).

Justifica que al multiplicar elnumerador y denominador deuna fracción por un número
siempre se obtiene una fracción
equivalente.

Justifica procedimientos deaproximación en números
decimales por exceso, defecto oredondeo.

Justifica con ejemplos quelas operaciones con números
enteros se ve afectado por elsigno.

Propone conjeturas referidas
a las relaciones de orden ypropiedades de números
enteros.

Primer Grado de Secundaria

Establece conjeturas respecto alos múltiplos y divisores de un
número.

Explica a través de ejemplos ycontraejemplos las diferentes
formas de representar un
número decimal según su valor
posicional.

Establece conjeturas sobrelas relaciones de orden,
comparación y equivalencia
entre fracciones, fracción
decimal y decimales hasta elmilésimo.

Sexto Grado

Un contraejemplo consiste en proponer al estudiante desafíos contradictorios que tiene que resolver, contrario a las ideas matemáticas desarrolladas. Por ejemplo: Se propone la siguiente afirmación:“Todos los múltiplos de 2 terminan en 2, 4 y 8”. El contraejemplo consiste en formular una expresión que muestre que la afirmación señalada no es válida. En este caso, no es verdad pues 10 es múltiplo
de 2 porque 2 × 5 = 10 y termina en cero. Un contraejemplo también permite construir definiciones, expresando ejemplos que no cumplen con la condición o propiedad estudiada.

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS42

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDOIDEAS MATEMÁTICAS

Explica sus procedimientos y
resultados en la solución deproblemas.

Cuarto grado

Explica sus procedimientos y
resultados.

Justifica y defiende sus
argumentos o conjeturas,
usando ejemplos ocontraejemplos.

Quinto grado

Justifica los procesos devariación porcentual para
resolver problemas.

Argumenta los procedimientosde cálculo sobre aumentos y
descuentos porcentuales.

Justifica la diferencia entre el
concepto de una razón y una
proporcionalidad a partir deejemplos.

Plantea conjeturas respecto ala propiedad fundamental delas proporciones a partir deejemplos.

Primer Grado de Secundaria

Justifica y defiende sus argumentos o conjeturas, usando ejemplos ocontraejemplos.

Explica el procedimiento
realizado al resolver problemascon porcentajes.

Sexto GradoDescripción y ejemplos de algunos indicadores.

Capacidad: Matematiza situaciones
Indicador de quinto grado:
Plantea relaciones entre los datos en problemas de una etapa*,
expresándolos en un modelo de solución aditiva con fracciones.
*(PAEV) Problemas aditivos de cambio, comparación e igualación.

Descripción del indicador
Este indicador implica que el estudiante reconozca las fracciones que aparecen en el
problema y lo que ocurre con estas. Si se agregan, si una es mayor que la otra, si una
debe igualar a la otra, etc., de esa manera podrán establecer cómo se relacionan estas
cantidades.
Las relaciones que pueden establecerse entre los datos pueden ser:Cambio: Se agregan o quitan partes de la unidad o de una cantidad.
La cantidad inicial se modifica.
Comparación: Se comparan dos fracciones conociendo que una
cantidad tiene más que o menos que la otra.
Igualación: Se igualan fracciones considerando, cuánto debe quitar oagregar para igualar.

o
La definición de modelo com“esquematización construidaos
con una multiplicidad de datdde la experiencia o la realida
proporciona una abstracciónansatisfactoria de cómo funcion
5).
las cosas” (Castro y otros, 199

Ejemplo de indicador precisado:
Plantea relaciones entre los datos en problemas de cambio, expresándolas
en un modelo de solución aditiva con fracciones.
En el siguiente ejemplo podemos evidenciar el indicador.
La casa de David no tiene agua potable. Ellos compran
2
y almacenan el agua en cilindros. David llenó 8 del3cilindro, su hijo Carlos los . ¿Qué parte del cilindro
8
falta llenar?
Algunas preguntas que ayudan al desempeño de los estudiantes son:
¿Qué es lo que te preguntan? ¿Qué información te dan?
¿Qué parte llenó Carlos? ¿Qué parte llenó David?.
¿Cuánto llenaron ambos? ¿Cómo expresamos estas acciones de manera gráfica?

43Capacidad: Comunica y representa ideas matemáticas
Indicador de quinto grado:
Elabora representaciones concreta, gráfica y simbólica de losdecimales hasta el centésimo y sus equivalencias.
Descripción del indicador
Observar este indicador implica que el estudiante realice el tránsito de las representaciones
concretas, a las gráficas y simbólicas estableciendo equivalencias entre ellas.
En el siguiente ejemplo podemos evidenciar el indicador.
A Pedro y su familia les gusta hacer deporte. Ellos vieron
un afiche publicitario una caminata familiar. Pedro quedó
intrigado con dos números que no comprendía 8.5 k y
10:00 a. m. ¿cuál es el significado de 8.5 k?
Ayuda a Pedro a entender que es lo que quiere decir la
información.
s emplean
En muchas ocasiones, los estudiante
a,
fech
la
r
deci
para
rales
natu
los números
etc. En esta
una dirección, un número telefónico,eros en textos
actividad, los estudiantes buscarán núm
rtes publicitarios,
escritos de periódicos, revistas, enca
sobre su utilidadarxion
que servirá de medio para refletra vida.
nues
en
eros
núm
los
de
y la importancia

El estudiante puede registrar la información encontrada en el cartel:
Descripción¿Para qué se utiliza en ese
contexto?

Número encontrado

Tipo de número/ el número
indica un(a)5aOrdinalIndica que es la quinta vez que serealiza un evento de este tipo.

8.5 k

Medida de longitud

Debe decir 8.5 km. Indica ladistancia que se camina.

Representación con material Base diez.
Para el caso de los números decimales, las piezas del material Base diez tienen otros
valores relativos:
Si los niños usan hasta los décimos, basta utilizar la barra como unidad y el cubito
como décimo.
Si trabajan hasta centésimos, usarán la placa como unidad, la barra como décimo
y el cubito como centésimo.
Si trabajan hasta milésimos, usarán el cubo como unidad, la placa como décimo,
la barra como centésimo y el cubito como milésimo.

44

1
= 0,1
10

Usando material concreto
Con el material Base10, la representaciónde 8 unidades, 5décimos quedaría así:5 décimos

8 unidades

1
2

De otro lado, si usamos regletas
para las fracciones equivalentes,
observa que 5 es equivalente
10
a 1
2

1
10

1
2

Usando la recta numérica
8,5

0

1

2

3

4

Usando representación simbólica
El tablero de valor posicional

5

6

D

7

8

9

U

,

d

8

,

5

De los gráficos anteriores se desprende la representación simbólica de 8,5. Usando
fracciones decimales y descomposiciones aditivas se podría representar de esta manera:
En fracción decimal
8,5 = 8 +

1
1
1
1
1
+ + + +
10 10 10 10 10

8,5 = 8 +5
10

8,5 = 8 +1
2

En expresión decimal
8,5 = 8 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1
=8+

0,5

= 8,5

Capacidad: Elabora y usa estrategias
Indicador de quinto grado:
Emplea procedimientos para comparar y ordenar con fracciones yfracción decimal.

45

Descripción del indicador
Observar este indicador implica que el estudiante debe emplear diversas formas
de afrontar el problema, usando sus saberes previos o investigando sobre nuevos
procedimientos como por ejemplo: el aspa o la homogenización con la finalidad decomparar y ordenar fracciones. También puede utilizar representaciones gráficas.
El siguiente ejemplo de problema nos permite evidenciar algunos procedimientos que
el estudiante realiza para resolver problemas.
Carolina tiene un terreno de forma rectangular, divide la mitad para sembrar
hortalizas, la tercera parte de lo que queda para sembrar plantas medicinales. Y
la cuarta parte del resto para sembrar hierbas aromáticas. ¿Cuál de los tres tipos
de plantas tiene la mayor parte de terreno? ¿Cuál tiene la menor?
La representación gráfica para comparar visualmente:
Siembra la mitad de hortalizas yqueda la mitad, es decir 12
1
La tercera parte de lo que queda es 1 de2
3

Plantasmedicinales

12

2
Quedan 2 y la cuarta parte de6
6

Hierbasaromáticas

es

1
3

=

La homogenización por fracciones equivalentes:

12

2

4

12

2

4

Así:

1
12
1
2
1
4
=
=
=
2
24 ; 1224 ; 6
24

1
2

1
12

1
6

12
24

2
24

4
24

El método del aspa al comparar dos a dos:
1
2

1
12

1
2

1
6

1
6

1
12

12
24

2
24

6
12

2
12

12
72

6
72

1
2

1
12

1
6

1
6

1
12

Por lo que:

Luego:

46

1
2

1
6

1
2
1
12

es la fracción menor.

1
=
2

1
6

2
1
1
2
x
=
es decir
612
424

Hortalizas

Las nuevas fracciones homogenizadas
tienen denominador 24x2.3.2 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones
de regularidad, equivalencia y cambio
El desarrollo de esta competencia: actuar y pensar en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio en el V ciclo de Primaria, implica que los estudiantes observen
regularidades en las formas o en una secuencia numérica y que resuelvan problemas
referidos a patrones de repetición geométricos cuya regla de formación responde acriterios geométricos de traslaciones o giros de cuartos y medias vueltas. También sebusca que el estudiante avance en el camino de la generalización propia del álgebra,
al encontrar reglas de formación de patrones numéricos o gráficos que dependa de la
posición, como en el problema que se representa a continuación:

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3Fig. 4

Fig. 5

Número de posición que ocupa la figura

1

2

Cantidad de cuadrados expresados como
una multiplicación
Cantidad de cuadrados expresados como
una potencia cuadrada

1 x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 x 5 ... 10 x 10
22

12

3

32

4

42

5

52

...

...

10

102

Por otro lado, el desarrollo del pensamiento variacional se desarrollaen este ciclo a través de problemas donde los estudiantes identificanrelaciones de proporcionalidad entre magnitudes. Por ejemplo, analizan larelación entre el dinero que se paga y la cantidad de kilogramos que secompran de un producto, entonces a mayor cantidad de kilogramos más
se pagará. En estas situaciones identifican cómo cambian la magnitudes
una con respecto de la otra, los datos se organizan en tablas simples
y describen esta relación utilizando lenguaje matemático. Asimismo se
presentan problemas de equivalencia, en estas, se expresan igualdades ytérminos desconocidos utilizando íconos y el signo igual (=). Por ejemplo losproblemas de desigualdad o de equilibrio con balanzas u otros objetos, danpie a problemas en los que se busca uno o más valores desconocidos o deencontrar varias equivalencias para una misma cantidad.

triplica
duplica

Peso(kg)

Precio(Nuevossoles)

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

Entonces, lacantidad decuadrados la hallo
multiplicando lado
por lado.

triplica
duplica

Tabla donde se expresa las relaciones de proporcionalidad.

47

48

2

1

Discrimina información e identifica variables y relaciones
no explícitas en situaciones diversas referidas aregularidad, equivalencia o cambio; y las expresa
con modelos referidos a patrones geométricos2,
progresiones aritméticas, ecuaciones e inecuaciones
con una incógnita, funciones lineales y relaciones deproporcionalidad inversa. Selecciona y usa el modelo
más pertinente a una situación y comprueba si estele permitió resolverla. Usa terminologías, reglas yconvenciones al expresar su comprensión sobre
propiedades y relaciones matemáticas referidas
a progresiones aritméticas, ecuaciones lineales,
desigualdades, relaciones de proporcionalidad
inversa, función lineal y afín. Elabora y emplea diversas
representaciones de una misma idea matemática con
tablas, gráficos, símbolos; relacionándolas entre sí.
Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigacióny resolución de problemas, empleando estrategias
heurísticas y procedimientos para determinar la regla
general de una progresión aritmética, simplificar
expresiones algebraicas empleando propiedades delas operaciones; con apoyo de diversos recursos. Evalúa
ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos
matemáticos y recursos usados. Formula y justifica
conjeturas referidas a relaciones entre expresiones
algebraicas, magnitudes, o regularidades observadas
en situaciones experimentales; e identifica diferencias yerrores en las argumentaciones de otros.
Interpreta datos y relaciones no explicitas ensituaciones de regularidad, equivalencia y cambio
entre dos magnitudes; y los expresa con modelos
referidos a patrones geométricos, patrones crecientes
y decrecientes, ecuaciones, desigualdades, yproporcionalidad directa y determina en qué otras
situaciones es aplicable. Describe utilizando lenguaje
matemático acerca de su comprensión sobre
patrones, ecuaciones y desigualdades, y relaciones deproporcionalidad directa. Elabora y emplea diversas
representaciones de una misma idea matemática, contablas, gráficos y símbolos; relacionándolas entre sí.
Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar oresolver problemas, empleando estrategias heurísticas
y procedimientos para completar términos de una
sucesión gráfica o numérica de acuerdo a su posición,
simplificar expresiones o ecuaciones empleando
propiedades aditivas y multiplicativas o establecer
equivalencias entre unidades de una misma magnitud;con apoyo de recursos; y compara los procedimientos
y estrategias empleadas en distintas resoluciones.
Establece conjeturas sobre regularidades, equivalencias
y relaciones entre dos magnitudes, y las justifica usando
ejemplos o contraejemplos.

Plantea relaciones entre los datos en situaciones deregularidad, equivalencia y cambio; y la expresa con
patrones de repetición1 o patrones multiplicativos,
igualdades con multiplicaciones y relaciones decambio entre dos magnitudes. Relaciona el modelo
trabajado con otras situaciones similares. Describe
con lenguaje matemático su comprensión sobre
patrones, equivalencias y cambio. Elabora y emplea
tablas simples, gráficos y símbolos. Propone y realiza
una secuencia de acciones orientadas a experimentar
o resolver un problema empleando estrategias
heurísticas, procedimientos para ampliar, completar ocrear patrones, encontrar equivalencias con expresiones
multiplicativas o hallar el valor desconocido en una
igualdad multiplicando o dividiendo, establecer
equivalencias entre unidades de medida de una misma
magnitud, con apoyo de material concreto. Comprueba
sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas
basadas en experiencias o en relaciones matemáticas, ylas justifica usando ejemplos

Patrones de repetición que combinan criterios perceptuales y de posición.
Patrones geométricos que se generan al aplicar reflexiones o giros.

VI ciclo

V cicloIV cicloESTÁNDARES (Mapa de Progreso)

A continuación les presentamos una matriz que muestra de manera integrada el estándar de aprendizaje (Mapa de progreso), así como los indicadores de desempeño de lascapacidades para el desarrollo de la competencia en el ciclo. Los niveles de los Mapas de progreso muestran una definición clara y consensuada de las metas de aprendizaje quedeben ser logradas por todos los estudiantes al concluir un ciclo o periodo determinado. En este sentido son un referente para la planificación anual, el monitoreo y la evaluación,
pues nos muestran el desempeño global que deben alcanzar nuestros estudiantes en cada una de las competencias. Las matrices con los indicadores de desempeño de lascapacidades son un apoyo para diseñar nuestras sesiones de enseñanza aprendizaje; son útiles también para diseñar instrumentos de evaluación, pero no nos olvidemos que en
un enfoque de competencias, al final, debemos generar instrumentos que permitan evidenciar el desempeño integral de las mismas. En resumen, ambos instrumentos nos ayudantanto a la planificación como a la evaluación, pero uno, nos muestra desempeños más acotados (indicadores de desempeños), mientras que el otro nos muestra un desempeño
complejo (mapas de progreso).
Hemos colocado el nivel anterior y posterior al ciclo correspondiente para que puedan identificar en qué nivel de desempeño se encuentra cada uno de nuestros estudiantes, y así
diseñar actividades adecuadas para cada uno de ellos.

Matriz: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio

49

4

3

2

1

Identifica datos y relaciones enproblemas de equivalencia,
expresándolos en una igualdadcon íconos (con adición,
sustracción, multiplicación odivisión).

Igualdades:

Propone patrones aditivos omultiplicativos con números dehasta cuatro cifras.

Identifica la regla de formaciónde los datos en problemas deregularidad, expresándolas
en un patrón multiplicativo con
números de hasta cuatro cifras.

Interpreta datos y relaciones
en problemas de equivalencia
o equilibrio, expresándolos en
ecuaciones simples de la forma:
a± =b.

Modifica una ecuación alplantear o resolver otros
problemas.

Interpreta los datos y variables
en problemas de equivalencia yequilibrio, expresándolos en las
igualdades3 y ecuaciones.

Ecuaciones:

Crea una regularidad gráfica apartir de un patrón numérico.

Crea una regularidad a partir deun patrón aditivo con números
naturales.
Ecuaciones:

Interpreta los datos en
problemas de regularidad
gráfica2, expresándolas en un
patrón aditivo o multiplicativo ocon potencias, que depende dela posición del elemento.

Patrones numéricos:

Propone problemas deregularidad a partir de patronesde repetición geométricos con
traslaciones y giros de cuartos y
medias vueltas.

Interpreta datos y relaciones
no explícitas en problemas deregularidad, expresándolos
en un patrón de repetición
geométrico con traslaciones
y giros de cuartos y medias
vueltas.

Patrones de repetición:

Sexto gradoInterpreta los datos en
problemas de regularidad
gráfica1 y numérica,
expresándolas en un patrón
aditivo con números naturales ofracciones.

Patrones aditivos y multiplicativos:

Propone problemas deregularidad a partir de patronesde repetición que combinen un
criterio geométrico de traslación
y un criterio perceptual de color.

Propone un patrón de repetición
que combine un criterio
geométrico de simetría y criterios
perceptuales de color y tamaño.

Patrones aditivos y multiplicativos:

Interpreta relaciones en loselementos de problemas deregularidad y los expresa en
un patrón de repetición que
combine un criterio geométricode traslación y un criterio
perceptual de color.

Patrones de repetición:

Quinto gradoPlantea relaciones entre loselementos de problemas deregularidad, y las expresa
en un patrón de repetición
que combine un criterio
geométrico de simetría y criterios
perceptuales de color y tamaño.

Patrones de repetición:

Cuarto gradoACTÚA Y PIENSA EN SITUACIONES DE REGULARIDAD, EQUIVALENCIA Y CAMBIO= b) o a una

Usa modelos referidos aecuaciones lineales al plantear oresolver problemas.

Codifica condiciones de igualdad
considerando expresiones
algebraicas al expresar modelosrelacionados a ecuaciones4 con
una incógnita.

Ecuaciones:

Asocia reglas de formación deprogresiones aritméticas con
situaciones afines.

Reconoce relaciones no
explícitas entre datos numéricos
en situaciones de regularidad
que permitan expresar la reglade formación de una progresión
aritmética.

Plantea relaciones de posición
empleando un patrón derepetición de variadas
transformaciones geométricas.

Reconoce relaciones enproblemas de regularidad,
expresándolos en un patrón
que combina transformaciones
geométricas.

Patrones de repetición:

Primer grado de secundaria

Configuraciones puntuales, arreglos, figuras, etc.
Situaciones de regularidad con configuraciones puntuales o patrones gráficos de crecimiento: crecimientos de cuadrados, área de cubos apilados, etc.
Según Godino en su libro Razonamiento Algebraico; hay tres tipos de igualdad: las que se refieren a una identidad o propiedad ( a + (b × c) = a × b + a × c), a una ecuación (a +fórmula (área de un rectángulo = largo × ancho)
Con coeficientes fraccionarios y enteros.

MATEMATIZA SITUACIONES2

1

MATEMATIZA SITUACIONESInterpreta los datos en
problemas de variación entre
dos magnitudes, expresándolos
en una relación deproporcionalidad directa usando
tablas.

Cambio:Quinto grado

Utiliza lenguaje matemático
para describir la regularidad
en los patrones geométricos ynuméricos.

Patrones:
Utiliza lenguaje matemático para
expresar el criterio geométrico(traslación) que interviene en elpatrón y la regla de formación
creciente del patrón numérico.

Patrones:

Determina en qué otros problemas es aplicable el modelo .

Recoge datos experimentales dedos magnitudes en problemasde variación y los relaciona en
tablas simples.

Cambio:Cuarto grado

Con coeficientes fraccionarios y enteros.
Con coeficientes enteros.

COMUNICA Y REPRESENTAIDEAS MATEMÁTICAS

50
Utiliza lenguaje matemático
para expresar los criterios
geométricos (con traslaciones
y giros) que intervienen en laformación del patrón y la reglade formación creciente delpatrón numérico.

Patrones:

Interpreta los datos en una
situación de variación entre dos
magnitudes, expresándolos en
una relación de proporcionalidad
directa.

Proporcionalidad:

Modifica una desigualdad
al plantear o resolver otros
problemas.

Interpreta los datos y variables
en una situación de desequilibrio
o desigualdad y las expresa enmodelos relacionados a una
inecuación sencilla, por ejemplode la forma: a < x o a + x > b

Desigualdades:

Sexto grado

Emplea diagramas y esquemas
tabulares para reconocer una
razón constante.

Explica el desarrollo de
una progresión aritmética
empleando el término n-ésimo,índice del término, razón o reglade formación.

Reconoce expresiones gráficas
y simbólicas que expresantransformaciones geométricas
en patrones geométricos.

Explica el desarrollo de un patrón
geométrico.

Describe usando términos
adecuados de transformaciones
geométricas.

Comprueba si el modelo usadoo desarrollado permitió resolver
la situación.

Asocia modelos referidos ala proporcionalidad directa
y las funciones lineales con
situaciones afines.

Reconoce relaciones no
explicitas en situaciones devariación al expresar modelosrelacionados a proporcionalidad
y funciones lineales2.

Asocia modelos referidos a
inecuaciones lineales con
situaciones afines.

Codifica condiciones dedesigualdad considerando
expresiones algebraicas alexpresar modelos relacionados
a inecuaciones lineales1 con una
incógnita.

Primer grado de secundaria

51

1

COMUNICA Y REPRESENTAIDEAS MATEMÁTICAS

Problemas de proporcionalidad:
Utiliza tablas o gráficos en elplano cartesiano, para expresar
la proporcionalidad directa entre
dos magnitudes.

Ecuaciones y desigualdades:
Representa el valor desconocido
de una ecuación con letras.
Representa una desigualdad
con material concreto, gráfico ysimbólico.

Patrones de repetición:
Emplea estrategias heurísticas1
para ampliar o crear patronesde repetición geométricosde traslación y criterios
perceptuales.
Patrones aditivos y multiplicativos:
Emplea procedimientosde cálculo para ampliar,
encontrar el término intermedioo crear patrones aditivos ymultiplicativos, usando material
concreto, recursos, incluyendo el
uso de la calculadora.

Patrones aditivos:
Emplea procedimientos deconteo o de cálculo para
ampliar, encontrar el término
intermedio o crear patrones
aditivos, usando material
concreto, recursos, incluyendo el
uso de la calculadora.

Patrones aditivos y multiplicativos
con fracciones y naturales:
Emplea procedimientos decálculo para ampliar o crear
patrones aditivos con fracciones
y números naturales, incluyendo
el uso de la calculadora.

Patrones de repetición:
Emplea estrategias heurísticas
para ampliar o crear patrones derepetición geométricos, usando
material concreto.

Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas.

Problemas de proporcionalidad:
Expresa las relaciones deproporcionalidad de dos
magnitudes.

Ecuaciones:
Representa el valor desconocido
de una igualdad con íconos.

Patrones de repetición:
Emplea algunas estrategias
heurísticas para ampliar ocrear patrones de repetición
geométricos, usando material
concreto.

Propone una secuencia
de acciones orientadas aexperimentar o resolver unproblema.

Problemas de cambio:
Describe la relación de cambio
entre dos magnitudes.

Igualdades:
Representa una igualdad
con valores conocidos odesconocidos con íconos,de forma concreta, gráfica ysimbólica (con expresiones demultiplicación y división) y elsigno “=”).

Tablas, empezar por atrás.

ELABORAY USAESTRATEGIAS

Realiza procedimientos para
hallar término n-ésimo, índicedel término, razón o regla deformación con números naturales
de una progresión aritmética.
Emplea estrategias heurísticas
al resolver problemas de una
progresión aritmética.

Realiza procedimientos para
hallar término k-esimo, índicedel término, razón o reglade formación con números
naturales.
Emplea estrategias heurísticas
al resolver problemas deprogresión aritmética.

Patrones de repetición:
Realiza transformaciones
geométricas para hallar
la posición y la expresión
geométrica en problemas.

Diseña y ejecuta un planorientado a la investigación yresolución de problemas.

Describe el comportamiento
de una función lineal afín
examinando su intercepto con
los ejes, su pendiente, dominio yrango.
Determina una función lineal
a partir de la pendiente y su
punto de intercepto con el eje decoordenadas.
Establece conexiones entre
las representaciones gráficas,
tabulares y simbólicas de una
función lineal.

Expresa condiciones deequilibrio y desequilibrio a partir
de interpretar datos y gráficasde situaciones que implican
ecuaciones e inecuaciones deprimer grado.
Representa las soluciones deinecuaciones lineales de laforma x > a o x < a, ax > b oax < b.
Expresa una inecuación como
un intervalo o rayo en la recta
numérica.

52

1

Emplea la calculadora para resolver problemas y verificar sus resultados.

Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas
resoluciones.

Comprueba su procedimientoo estrategia y el de sus
compañeros y, de ser necesario,
lo replantea.

Emplea propiedades y lasimplificación de términos al
resolver una ecuación.

Emplea procedimientos portanteo, sustitución o agregando,
quitando o repartiendo paraencontrar el valor o los valores
ecuación, o de una inecuación.

Ecuaciones y desigualdades:

Sexto grado

Emplea estrategias de ensayo y error, experimentación, tablas, recojo dedatos u operaciones para resolver problemas de relaciones de cambio o deproporcionalidad.

Problemas de proporcionalidad:

Aplica la propiedad distributiva
de la multiplicación respecto
de la adición para formular
igualdades.

Emplea propiedades de las
igualdades (sumar, restar,
multiplicar o dividir en ambos
lados de la igualdad) para hallarel término desconocido de una
igualdad.

Emplea procedimientos portanteo, sustitución o agregando,
quitando o repartiendo paraencontrar el valor o los valores
desconocidos de una igualdad oecuación.

Ecuaciones:

Quinto grado

Emplea esquemas,
procedimientos de comparación
y operaciones para encontrar
relaciones numéricas entre dos
magnitudes.

Problemas de cambio:

Emplea estrategias yprocedimientos multiplicativos,
la relación inversa entre lamultiplicación y la división, la
propiedad conmutativa de lamultiplicación, para resolver
situaciones de equivalencia
o igualdad o hallar un valor
desconocido con expresiones
aditivas y multiplicativas.

Emplea material concretoy gráfico para encontrar
equivalencias o los valores
desconocidos de una igualdad
con multiplicación.

Igualdades:

Cuarto grado

Reducción de miembros, transposición de términos.

ELABORAY USA ESTRATEGIAS

Evalúa ventajas y desventajas delas estrategias, procedimientos
matemáticos y recursos usados
al resolver el problema.

Emplea métodos gráficos para
resolver problemas de funciones
lineales.

Explora mediante el ensayo yerror el conjunto de valores que
puede tomar una función lineal
al resolver un problema.

Emplea estrategias para resolver
problemas de proporcionalidad,
y función lineal con coeficientes
enteros.

Emplea propiedades y técnicas
de simplificación para obtenerla solución en problemas deinecuaciones lineales.

Emplea recursos gráficospara resolver problemas deecuaciones lineales.

Emplea propiedades y técnicas
de simplificación1 para obtenerla solución en problemas deecuaciones lineales.

Primer grado de secundaria

53

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS

Elabora supuestos sobre la
relación de cambio entre dos
magnitudes, basándose enlo observado en actividades
vivenciales, concretas y gráficas.

Problemas de cambio:

Elabora supuestos sobre loque ocurre en una igualdad almultiplicar o dividir una misma
cantidad de objetos o númerosa ambos lados de una igualdad,
basándose en lo observado en
actividades concretas.

Igualdades:

Explica sus resultados yprocedimientos al continuaro crear un patrón aditivo omultiplicativo de hasta cuatro
cifras.

Patrones aditivos:

Elabora supuestos sobre lostérminos que ocupan una
posición más adelante en elpatrón de repetición geométrico
de simetría y criterio perceptual.

Patrones:

Cuarto grado

Justifica y defiende
argumentaciones propias y deotros, usando ejemplos, para
afirmar que dos magnitudes son
directamente proporcionales.

Problemas de proporcionalidad:

Justifica y defiende
argumentaciones propias yde otros, usando ejemplos,
sobre el procedimiento utilizado
para resolver problemas deigualdades o desigualdades.

Igualdades y desigualdades:

Justifica sus conjeturas sobre
los términos no conocidos enpatrones numéricos-gráficos.

Patrones aditivos y multiplicativos:

Justifica sus conjeturas sobre lapredicción de algunos términos
no conocidos de un patrón
geométrico (con traslación ygiros).

Patrones:

Sexto grado

Justifica sus conjeturas, usando ejemplos y contraejemplos.

Justifica sus conjeturas, usando
ejemplos, para afirmar que dos
magnitudes son directamente
proporcionales.

Problemas de proporcionalidad:

Justifica y defiende sus
argumentaciones, usando
ejemplos, sobre losprocedimientos usados
para resolver problemas deigualdades.

Igualdades:

Justifica sus conjeturas sobre
los términos no conocidos enpatrones multiplicativos con
números naturales o fracciones.

Patrones aditivos y multiplicativos:

Justifica sus conjeturas sobre
los términos no conocidos delpatrón a regla de formación
creciente o constante de lospatrones aditivos con números
naturales o fracciones.

Patrones:

Quinto grado

Justifica el dominio apropiado deuna función lineal (si pertenece al
campo natural, entero o racional)de acuerdo a una situación dedependencia .

Prueba si una función es lineal
por los valores de su dominio.

Justifica si un número es solución
de una inecuación dada.

Plantea conjetura a partir decasos referidas a los criterios deequivalencia.

Justifica cuando dos ecuaciones
son “equivalentes” considerando
el conjunto solución.

Justifica cuando una ecuación es
posible e imposible a partir delconjunto solución.

Justifica la relaciones dedependencia entre el n-ésimo
término y el valor posicional deuna progresión aritmética.

Plantea conjeturas respecto a
posiciones, de una progresión
aritmética.

Prueba que algunos patronesgeométricos se comportan como
patrones cíclicos.

Plantea conjeturas respecto
a posiciones, de un patrón
geométrico.

Primer grado de secundaria

Descripción y ejemplos de algunos indicadores

Capacidad: Matematiza situaciones
Indicador de sexto gradoInterpreta los datos y variables en una situación de desequilibrio o desigualdady las expresa en modelos relacionados a una inecuación sencilla, por ejemplode la forma: a < x o a + x > b .
Descripción del indicador
Interpretar los datos y variables implica reconocer las cantidades y los valores
desconocidos, establecer las relaciones entre ellas identificando la cantidad mayor
o menor y determinar las condiciones de desigualdad o desequilibrio. Un problemade desequilibrio con balanzas (cuando uno de los platillos está más abajo que otro)
está referido a que en uno de los brazos se encuentra concentrada la mayor cantidad
de objetos. De otro lado, también se puede presentar situaciones donde se puedan
establecer equivalencias o condiciones de desigualdad, cuando por ejemplo una
persona es más fuerte que la otra o tiene más o menos objetos que otro.
El uso de la variable (letras) en este tipo de problemas actúa como incógnita para
representar el valor desconocido. Por ejemplo, en esta situación de juego de canicas
con Paco y Miguel, uno de ellos reconoce que tiene menos canicas que el otro.

Paco, ¡tengo
8 canicas!

Miguel, tienes más
canicas que yo.

¿Cuántas canicas puede tener Paco en la bolsa?
En este ejemplo se pueden realizar las siguientes preguntas para interpretar los datos
y el valor desconocido.
¿Cuáles son los datos o los valores conocidos?
¿Puedes reconocer la cantidad desconocida? ¿Quién la tiene?
¿Qué relación hay entre las dos cantidades que tienen Paco y Miguel?, ¿Quién tiene
mayor o menor cantidad, cómo te diste cuenta de ello?
¿Cuáles serían las afirmaciones que se pueden desprender del problema?

54Este problema lo podemos expresar en un modelo con una balanza o con una expresión
simbólica usando íconos o una letra para expresar la cantidad desconocida.

Miguel tiene 8 canicas

Paco tiene una bolsa y 2 canicas

Miguel tiene más canicas que Paco

Paco tiene menos canicas que Miguel

Paco
Miguel8 >+2+2 < 8Capacidad: Elabora y usa estrategias
Indicador de sexto grado
Emplea procedimientos de cálculo para ampliar, completar o crear patrones
numéricos, cuya regla de formación depende de la posición del elemento,
con números naturales, fracciones o decimales.

Descripción del indicador
Los procedimientos de cálculo que pueden emplear los estudiantes para resolver
problemas con patrones numéricos, están referidos a encontrar relaciones aditivas y/omultiplicativas entre la posición de la figura y la cantidad de elementos. Estas relaciones
la pueden encontrar por ensayo y error o descomponiendo los resultados en función dela cantidad de elementos y la posición de la figura.
Veamos el siguiente ejemplo:¿Cuántos palillos son necesarios para formar el dibujo situado en la 4ª posición?
¿Y para formar el dibujo que estuviera en la posición 10?, ¿y para la posición 20?

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

55

Así tenemos que :En la figura 1, hay 3 palillos
En la figura 2, hay 5 palillos
En la figura 3, tiene 7 palillos
En la figura 4, tiene 9 palillos

Posición de la
figuraCantidad depalillos

1

3

2

5

3

7

4

9

5

11

Podemos organizar esta información
en una tabla vertical.

Para resolver el problema se puede seguir construyendo la tabla, hasta llegar a la figura
10 y la figura 20, pero sería un procedimiento largo.
¿De qué otra manera se puede predecir la cantidad de palitos?
Se podrían generar relaciones aditivas o multiplicativas de tal manera que el resultado
sea expresado en función de la posición de la figura.
Así por ejemplo: podríamos ensayar operaciones para que resulte 3 y usando para operar
los números de la posición de la figura: Así para que resulte 3, tenemos que usar en laoperación necesariamente 1; para que resulte 5, debemos de usar 2 y así sucesivamente.
También podemos organizar las operaciones en una tabla horizontal:

Figura

1

2

3

4

5

6

10

20

Cantidad depalillos

3

5

7

9

11

13

?

?

Ensayo 1
con adición

1+1+1

2+2+1

3+3+1

4+4+1

5+5+1 6+6+1

10 + 10 + 1

20 + 20 + 1

Ensayo 2
conmultiplicacióny adición

2x1+1

2x2+1

2x3+1

2x4+1

2x5+1

2 x 10 + 1

2 x 20 + 1

56

2x6+1

Capacidad: Razona y argumenta generando ideas
matemáticas
Indicador de sexto grado
Justifica sus conjeturas sobre la predicción de algunos términos noconocidos de un patrón geométrico (con traslación y giros).
Descripción
El estudiante da explicaciones válidas respecto de sus predicciones sobre la figura quese encuentra en una posición más adelante sin necesidad de completar el patrón. Porejemplo:¿Qué figura está en la posición 25? ¿Por qué?

Yo creo que en la posición 25 está la figura con eltriángulo rojo a la derecha y el amarillo a la izquierda.

El estudiante explica que esta secuencia se forma cuando cada elemento del núcleo
de repetición da giros de ¼ de vuelta. Además, que el núcleo de repetición tiene cuatro
elementos y que cada cuatro posiciones se repite, entonces al avanzar de 4 en 4, seevidencia que en la posición 25 comienza el núcleo nuevamente, por tanto, la primera
figura es la que corresponde.

1.er giro

2.do giro

3.er giro

4.to giro

57

2.3.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones
de forma, movimiento y localización
Desarrollar esta competencia en el V Ciclo implica que los niños actúen y piensen
matemáticamente al proponerles que resuelvan problemas geométricos de diversos
contextos vinculados con las formas tri y bidimensionales; problemas referidos al
movimiento o las transformaciones geométricas como la traslación y rotación de figuras.
Los estudiantes en este ciclo matematizan situaciones a partir de una experiencia
vivencial con su entorno para expresar la realidad o los objetos que hay en ella enformas tridimensionales o bidimensionales que construyen con mayor precisión.
Asimismo aplican movimientos y transformaciones a las figuras, las cuales se trasladan,rotan, se amplían o reducen. También comunican y representan las ideas geométricas
relacionadas con las formas y sus propiedades empleando lenguaje matemático, asíel uso del lenguaje geométrico será necesario cuando quieran comunicar posiciones,
describir e identificar a los objetos, indicar oralmente los movimientos. La adquisición
del lenguaje geométrico se produce a partir de su utilidad para resolver problemas y es
en el marco de estos problemas que surge la necesidad de usar expresiones cada vez
más precisas y formales.
Los estudiantes en este ciclo también elaboran y usan estrategias al construir formas
mediante el plegado, recortado y el dibujo, miden la longitud, capacidad y superficie delos objetos, construyen figuras que se trasladan y rotan, usando instrumentos de dibujos
y diversos materiales. En este proceso también es necesario que razonen y argumenten
con el objetivo de construir o generar nuevas ideas geométricas al elaborar conjeturas
sobre las propiedades de las formas y verificarlas. Al explicar sus procedimientos y
resultados consolidarán lo que aprendieron.

Si las miras desdearriba, hay 3 piezas
que se ven iguales.

Recuerdas
qué formatenía?

58

59

3

2

1

Discrimina información e identifica relaciones no
explícitas de situaciones referidas a atributos, localización
y transformación de objetos, y los expresa con modelos
referidos a formas bidimensionales compuestas,relaciones de paralelismo y perpendicularidad,
posiciones y vistas de cuerpos geométricos2.
Selecciona y usa el modelo más pertinente a una
situación y comprueba si este le permitió resolverla.
Expresa usando terminología, reglas y convenciones
matemáticas su comprensión sobre propiedades deformas bidimensionales y tridimensionales3, ángulos,
superficies y volúmenes, transformaciones geométricas;
elaborando diversas representaciones de una misma
idea matemática usando gráficos y símbolos; y las
relaciona entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado ala investigación y resolución de problemas, empleando
estrategias heurísticas y procedimientos como calcular
y estimar medidas de ángulos y distancias en mapas,
superficies bidimensionales compuestas y volúmenes
usando unidades convencionales; rotar, ampliar,
reducir formas o teselar un plano, con apoyo dediversos recursos. Evalúa ventajas y desventajas delas estrategias, procedimientos matemáticos y recursos
usados. Formula y justifica conjeturas sobre relaciones
entre propiedades de formas geométricas trabajadas; eidentifica diferencias y errores en las argumentaciones
de otros.

Interpreta datos y relaciones no explícitas de localización
y movimiento de los objetos, con las formas geométricas
bi y tri dimensionales, su rotación, ampliación o reduccióny determina en qué otras situaciones es aplicable.
Expresa su comprensión utilizando lenguaje matemático
sobre las propiedades de las formas bidimensionaleso tridimensionales1; ángulos, superficies, volumen ycapacidad; ampliaciones, reducciones, giros y la posición
de un objeto en el plano cartesiano. Elabora diversas
representaciones de una misma idea matemática,
con gráficos y símbolos, relacionándolas entre sí.
Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar oresolver problemas empleando estrategias heurísticas
y procedimientos como estimar y medir ángulos,
calcular perímetro, superficie, capacidad y volumen
seleccionando el instrumento y la unidad convencional
pertinente; con apoyo de recursos. Compara losprocedimientos y estrategias empleadas en distintas
resoluciones. Elabora conjeturas sobre relaciones entre
propiedades de las formas geométricas trabajadas y las
justifica usando ejemplos o contraejemplos.

Relaciona características, atributos, localización ymovimiento de los objetos del entorno, con las formas
geométricas, ubicación en el plano y el espacio, simetría
y traslación. Relaciona el modelo trabajado con otras
situaciones similares. Describe con lenguaje matemático
su comprensión sobre características de las formas
bidimensionales y tridimensionales; longitud, perímetro,superficie y capacidad de objetos; simetría y traslaciones.
Elabora y emplea representaciones mediante tablas dedoble entrada, gráficos, croquis y símbolos. Propone y
realiza una secuencia de acciones para experimentaro solucionar un problema empleando estrategias
heurísticas, procedimientos para ubicar objetos y rutas,
medir y estimar la longitud, perímetro, superficie ycapacidad de objetos seleccionando el instrumento y la
unidad arbitraria o convencional apropiada, reflejar otrasladar formas en cuadrículas, con apoyo de material
concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias.
Elabora conjeturas sobre semejanzas y diferencias entre
formas geométricas y las justifica usando ejemplos.

Triángulos, cuadriláteros, ángulos, círculos, circunferencias, prismas y pirámides.
Prisma, pirámide, círculo, cilindro
Polígonos, prisma, pirámide, círculo, cilindro, rectas paralelas, perpendiculares y secantes.

VI ciclo

V cicloIV cicloESTÁNDARES (Mapa de Progreso)

A continuación les presentamos una matriz que muestra de manera integrada el estándar de aprendizaje (Mapa de progreso), así como los indicadores de desempeño de lascapacidades para el desarrollo de la competencia en el ciclo. Los niveles de los Mapas de progreso muestran una definición clara y consensuada de las metas de aprendizaje quedeben ser logradas por todos los estudiantes al concluir un ciclo o periodo determinado. En este sentido son un referente para la planificación anual, el monitoreo y la evaluación,
pues nos muestran el desempeño global que deben alcanzar nuestros estudiantes en cada una de las competencias. Las matrices con los indicadores de desempeño de lascapacidades son un apoyo para diseñar nuestras sesiones de aprendizaje; son útiles también para diseñar instrumentos de evaluación, pero no nos olvidemos que en un enfoquede competencias, al final, debemos generar instrumentos que permitan evidenciar el desempeño integral de las mismas. En resumen, ambos instrumentos nos ayudan tanto a laplanificación como a la evaluación, pero uno, nos muestra desempeños más acotados (indicadores de desempeños), mientras que el otro nos muestra un desempeño complejo(mapas de progreso).
Hemos colocado el nivel anterior y posterior al ciclo correspondiente para que puedan identificar en qué nivel de desempeño se encuentra cada uno de nuestros estudiantes, y así
diseñar actividades adecuadas para cada uno de ellos.

Matriz: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de formas, movimiento y localización

60

1

Usa un modelo basado enparalelogramos al plantear oresolver un problema.

Identifica características de losobjetos de su entorno según sus
lados, ángulos, paralelismo operpendicularidad y lo expresa
en un modelo basado enparalelogramos.

Formas bidimensionales:

Relaciona los prismas rectos
con su proyección vista desdeabajo, desde arriba o desde uncostado.

Aplica las propiedades delos cuadriláteros o triángulos
al plantear o resolver unproblema.

Identifica características ypropiedades geométricas
explicitas según su perímetroy área en objetos y superficies
de su entorno, expresándolos
en un modelo basado en
cuadriláteros y triángulos.

Aplica las propiedades delas figuras bidimensionales
al plantear o resolver unproblema.

Identifica características ypropiedades geométricas
en objetos y superficies desu entorno, expresándolos
en figuras geométricas
bidimensionales (círculo
circunferencia, polígonos
regulares hasta 10 lados)

Formas bidimensionales:

Selecciona el desarrollo olas plantillas de las formas
tridimensionales para resolver
un problema de construcción deprismas y pirámides.

Selecciona la estructura delsólido con cubos, para resolver
un problema de construcción deprismas.

Formas bidimensionales:

Relaciona una forma
tridimensional con sus
diferentes vistas.

Plantea relaciones respecto alos elementos y propiedades delas cajas o cubos y los relaciona
con los prismas y pirámides.

Formas tridimensionales:

Sexto grado

Relaciona un prisma con cubos
y sus diferentes vistas.

Reconoce elementos ypropiedades de los objetos
según sus caras, bases, altura,superficie lateral y los relaciona
con prismas.

Formas tridimensionales:

Quinto gradoACTÚA Y PIENSA EN SITUACIONES DE FORMAS, MOVIMIENTOS Y LOCALIZACIÓN

Identifica propiedades en
los objetos del entorno
según sus lados paralelos yperpendiculares, la forma desus caras o sus bases y, losrelaciona con prismas rectos.

Formas tridimensionales:

Cuarto grado

Triángulo, rectángulo, cuadrado, rombo

MATEMATIZA SITUACIONES

Emplea el modelo más
pertinente relacionado para
plantear o resolver situaciones
relacionadas a figuras
poligonales y sus propiedades.

Organiza medidas,
características y propiedades
geométricas de figuras y
superficies, y las expresa un
modelo referido a figuras
poligonales1 .

Formas bidimensionales:

Usa modelos referidos a
cubos, prismas y cilindros alplantear y resolver problemasde proyección o construcción decuerpos.

Reconoce relaciones no
explicitas entre figuras ensituaciones de construcciónde cuerpos, y las expresa un
modelo basados en prismas
regulares, irregulares ycilindros.

Formas tridimensionales:

Primer grado de secundaria

61

1Reconoce la traslación de una
figura en otros problemas.

Identifica condiciones ycaracterísticas relevantes enproblemas de desplazamiento,
expresándolos en un modelode traslación de formas
bidimensionales en una
cuadrícula de coordenadas.

Simetría y traslación:

Aplica las transformaciones
geométricas de simetría,
traslación, ampliación yreducción a otros problemassimilares.

Aplica la ampliación y reducciónde figuras a otros problemassimilares.

Determina en qué otros problemas, es aplicable el modelo.

Interpreta datos y relaciones no
explícitas en objetos del entorno,
al elaborar un modelo basado
en la rotación (en un cuarto devuelta y media vuelta) de figuras
en un plano cuadriculado.

Rotación:

Emplea el plano cartesiano
al resolver problemas delocalización.

Interpreta datos y relaciones
no explícitas respecto a la
localización de lugares odesplazamiento de objetos en lalocalidad expresándolos en un
croquis en el primer cuadrantedel plano cartesiano.

Ubicación y desplazamiento:

Sexto grado

Identifica condiciones ycaracterísticas de los objetos
de su entorno, expresándolos
en un modelo de ampliación
y reducción de figuras en unplano cuadriculado.

Ampliación y reducción:

Emplea un sistema decoordenadas con puntos
cardinales al resolver problemasde localización.

Emplea un croquis con
cuadrículas con coordenadas
al resolver problemas delocalización.

Verifica si el croquis empleado
corresponde a la realidad y
permite localizar o desplazarse
con precisión.

Organiza datos respecto ala localización de lugares ydesplazamiento de los objetos
en la localidad, expresándolos
en un croquis usando puntos
cardinales en un sistema decoordenadas.

Ubicación y desplazamiento:

Ubicación y desplazamiento:

Identifica las referencias
necesarias en situaciones delocalización y desplazamientos,
en el entorno escolar,
expresándolos en un croquis
apoyado en cuadrículas ycoordenadas.

Quinto grado

Cuarto grado

Rotar, ampliar y reducir.

MATEMATIZA SITUACIONES

Comprueba si el modelo usadoo desarrollado permitió resolver
el problema.

Usa un modelo basado entransformaciones isométricas
al plantear o resolver unproblema.

Reconoce relaciones no
explícitas, en situaciones derecubrimiento de superficies, alelaborar un modelo basado entransformaciones1.

Usa mapas o planos a escala
al plantear y resolver una
situación.

Reconoce relaciones no
explícitas basados en medidasde formas, desplazamiento
y ubicación de cuerpos, para
expresar mapas o planos aescala.

Primer grado de secundaria

62

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

Representa gráficamente
las diferentes vistas
bidimensionales que tiene una
forma tridimensional.
Construye figuras
tridimensionales en forma
concreta (origami modular),a partir de su medida e
instrucciones escritas y orales.

Construye figuras
tridimensionales con diferentes
materiales concretos y a partirde una plantilla.

Construye figuras
tridimensionales en forma
concreta, a partir de
instrucciones escritas y orales.

Describe la estimación y lacomparación de la medida decapacidad en fracciones de litro,galones.

Expresa las propiedades
y elementos de cubos oprismas, nombrándolos
apropiadamente.

Formas tridimensionales:

Describe las formas
tridimensionales según sus
elementos (caras laterales,
aristas, vértices, bases).

Formas tridimensionales:

Quinto grado

Explica lo que comprende sobre
la relación entre el volumen yla medida de capacidad de losobjetos.

Construye prismas y pirámides
con material concreto (origami
modular, plantillas), gráfico
(papel isométrico) usando
instrumentos de dibujo; apartir de indicaciones sobre su
medida o su forma.

Representa la medida delvolumen del cubo y del prisma
recto rectangular, con material
concreto (material Base Diez) ygráfico.

Expresa la medida del volumen
de cubos y prismas en unidades
patrón (cubitos de 1 cm3,
estructuras de 1 m3).

Expresa la medida del árealateral y total del prisma yla pirámide en unidades
convencionales a partir de sus
plantillas o redes.

Formas tridimensionales:

Sexto grado

Grafica el desarrollo de prismas,
cubos y cilindros, vistas dediferentes posiciones.

Describe el desarrollo en elplano de prismas triangulares yrectangulares, cubos y cilindros.

Describe prismas regulares ycilindro en función del número
y forma de las caras, el número
de vértices y el número dearistas.

Primer grado de secundaria

63

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

Elabora croquis, mapas
usando referentes paralelos,
perpendiculares y oblicuos,para ubicar objetos y expresar
rutas.

Describe rutas o ubicaciones,
usando como referentes objetos
y lugares cercanos o por los quedebe pasar.

Ubicación y desplazamiento:

Describe la estimación y lacomparación de la medidade la longitud, perímetro,superficie de las figuras apartir de unidades arbitrarias oconvencionales.

Construye paralelogramos
según indicaciones orales yescritas.

Describe rutas dedesplazamiento en guías,
planos de ciudades utilizando
referentes espaciales y otras
referencias.
Grafica en el plano cartesianola posición de un lugar usando
puntos cardinales.

Grafica en un planocuadriculado la posición de un
objeto.

Ubicación y desplazamiento:

Expresa la medida de distancias
muy largas, usando unidades
convencionales (km)Expresa la medida desuperficie usando unidades
convencionales (km2, m2)

Representa gráficamente
formas bidimensionales en elplano cartesiano, así como sus
ampliaciones y reducciones.

Expresa las distancias ymedidas de planos o mapas
usando escalas.

Representa polígonos regulares
siguiendo instrucciones yusando la regla y el compás.

Expresa las relaciones ydiferencias entre área yperímetro de polígonos
regulares.

Construye polígonos regularesen forma concreta (origami, tirasde mecano, etc.) y en forma
gráfica.

Construye la circunferencia
usando instrumentos de dibujo.

Describe las relaciones deparalelismo y perpendicularidad
en formas bidimensionales(triángulo, rectángulo, cuadrado
y rombo) y sus propiedades
usando terminologías, reglas yconvenciones matemáticas.

Formas bidimensionales:

Primer grado de secundaria

Describe las propiedades
y relaciones del círculo y lacircunferencia y de los polígonos
regulares según sus lados y susángulos.

Formas bidimensionales:

Sexto grado

Describe rutas dedesplazamiento en guías,
planos de ciudades utilizando
referentes espaciales y otras
referencias.

Ubicación y desplazamiento:

Representa en forma concreta(tangram, geoplano, origami) ygráfica (en cuadrículas, mallade puntos), cuadriláteros ytriángulos, dados la medida desus lados, ángulos, el perímetroo el área.

Describe la construcción deformas bidimensionales apartir de sus elementos opropiedades.

Representa en forma concreta(sogas, geoplano, etc.) y gráfica
(en cuadrículas), diferentes
formas bidimensionales quetienen el mismo perímetro.

Representa en forma concreta(sogas, geoplano, origami,etc.) y gráfica (en cuadrículas)diferentes rectángulos,
cuadrados, rombos y romboides
con el modelo presente yausente.

Describe las características ypropiedades básicas de loscuadriláteros y triángulos con
respecto a sus lados y ángulos
y diagonales, paralelismo yperpendicularidad.

Formas bidimensionales:

Quinto grado

Describe las características delos polígonos y paralelogramos,
según su número de ladosy vértices, nombrándolos
adecuadamente (triángulos,
cuadriláteros, pentágonos, etc.).

Formas bidimensionales:

Cuarto grado

COMUNICA Y REPRESENTAIDEAS MATEMÁTICASELABORAY USA ESTRATEGIAS

64

Usa instrumentos de medición(cinta métrica y reglas
graduadas) y unidades
convencionales para medir
y comparar longitudes y
distancias cortas.

Usa diversos recipientes como
jarras, envases de botellas,
recipientes graduados, para
medir, comparar y estimar lacapacidad de los recipientes.

Usa estrategias para construir
cuerpos geométricos, figuras
con el modelo ausente segúnsus ángulos y la simetría,
usando diversos materiales.

Formas tridimensionales:

Representa en forma concreta(geoplano), gráfica (encuadrícula), la traslación defiguras geométricas planas yel reflejo de una figura a partirdel eje de simetría vertical u
horizontal.

Describe las relaciones
de la traslación de figuras
geométricas planas y el reflejo
de una figura a partir del eje desimetría vertical y horizontal.

Simetría:

Cuarto grado

Representa en forma concreta(geoplano), gráfica y simbólica
(pares ordenados) traslaciones,
reflexiones y giros (cuartos
y medias vueltas) de formas
bidimensionales; y relaciona lostres tipos de representación.

Construye de una misma
figura dos o más ampliaciones
o reducciones en un planocuadriculado o en el planocartesiano.

Usa estrategias para construir
cuerpos geométricos y dibujar
figuras según sus vistas,
usando diversos materiales,
instrumentos de dibujo.

Formas tridimensionales:

Usa estrategias para estimar y
medir el volumen en unidades
arbitrarias (p.ej: cubitos) yla capacidad de objetos yrecipientes en litros y mililitros.

Emplea procedimientos decálculo para encontrar el áreade una superficie del prisma
y el volumen de un prisma
cuadrangular o rectangular en
unidades arbitrarias.

Formas tridimensionales:

Elabora o ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas.

Describe la rotación de una
figura en el plano cuadriculadoo en el plano cartesiano.

Transformaciones geométricas:

Sexto grado

Describe la transformación deampliación y reducción de una
figura en el plano cuadriculado.

Ampliación y reducción:

Quinto grado

Emplea estrategias heurísticas yy procedimientos para hallar elárea, perímetro y ubicar cuerpos
en mapas o planos a escala,con recursos gráficos y otros.

Emplea estrategias heurísticas,
recursos gráficos y otros,
para resolver problemas deperímetro y área de triángulo,
rectángulo, cuadrado, rombo.

Usa estrategias paraconstruir polígonos según sus
características y propiedades,
usando instrumentos de dibujo.

Formas tridimensionales:

Diseña y ejecuta un planorientado a la investigación yres

Grafica la rotación, ampliación yreducción de figuras poligonales
regulares para recubrir una
superficie plana.

Describe las características
de las transformaciones derotación, ampliación y reducción
con figuras geométricas planas.

Primer grado de secundaria

65

ELABORAY USA ESTRATEGIASRAZONA Y ARGUMENTA
GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS

Justifica sus conjeturas
usando ejemplos sobre losprocedimientos aplicados
en problemas de cálculo decapacidad con unidades patrón.

Elabora conjeturas sobre
cuáles son las característicasgeométricas comunes de lasformas tridimensionales.

Formas tridimensionales:

Usa estrategias para trasladar
una figura sobre un planocartesiano.

Traslación:

Emplea estrategias o recursos
para ubicar con precisión
un objeto en un planocuadriculado.

Ubicación y desplazamiento:

Usa estrategias que implicantrazar el recorrido de los vértices
de las formas bidimensionales,utilizar recortes de figuras depapel, para trasladarla sobre un
cuadriculado.

Usa unidades patrón (cartón,
cartulina, etc.) que midan
un metro cuadrado para
determinar cuántas unidades
cuadradas necesita para
cubrir superficies de figuras
bidimensionales

Formas bidimensionales:

Usa estrategias para rotar
figuras a partir de sus
vértices, incluyendo el uso de
instrumentos como compás,transportador.

Rotación:

Emplea estrategias que implican
cortar la figura en papel yreacomodar las piezas, dividir
en cuadritos de 1 cm2 y el uso deoperaciones para determinar elárea y el perímetro de figuras
bidimensionales.

Usa recursos, instrumentos
de medición (cinta métrica) yunidades convencionales para
medir y comparar longitudes y
distancias muy grandes.

Usa estrategias para construir ydibujar figuras según sus vistas
y la rotación, usando diversos
materiales, instrumentos dedibujo.

Formas bidimensionales:

Justifica la relación entre laclasificación de prismas según
su base con la clasificación depolígonos según el número delados.

Establece semejanzas ydiferencias entre los prismas ylas pirámides.

Elabora conjeturas sobre losprocedimientos matemáticos
a aplicar en la solución deproblemas de cálculo devolumen.

Elabora conjeturas sobre la
relación entre el volumen y lacapacidad.

Establece conjeturas sobre la
relación entre el área lateral y elárea total de los prismas.

Formas tridimensionales:

Elabora conjeturas sobre las
características semejantesgeométricas de los prismas.

Formas tridimensionales:

Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas
resoluciones.

Emplea procedimientosde cálculo y relaciones deproporcionalidad para ampliaro reducir una figura.

Ampliación y reducción:

Calcula el área del triángulo apartir del área del rectángulo.

Emplea procedimientos como
componer o rotar figuras,
estrategias de conteo decuadraditos o composiciónde triángulos para calcular elárea de paralelogramos y lostrapecios a partir del área delrectángulo.

Emplea diversos materiales yrecursos para construir o dibujar
figuras bidimensionales.

Formas bidimensionales:

Explica como varía lasrelaciones entre los elementos
de prismas y cilindros al obtenerdesarrollos de estos cuerpos.

Justifica la relación entre lasáreas de sus bases y superficies
laterales del cubo, prismas ycilindro.

Propone conjeturas sobre
propiedades de prismas
regulares y el cilindro.

Evalúa ventajas y desventajas
de las estrategias,
procedimientos matemáticos yrecursos usados al resolver el
problema.

Realiza transformaciones derotar, ampliar y reducir, configuras en una cuadrícula
al resolver problemas, conrecursos gráficos y otros.

Emplea estrategias heurísticas
y procedimientos para hallarel área, perímetro, volumen,reconocer características
proporcionales y ubicar cuerpos
en mapas o planos a escalacon recursos gráficos y otros.

Emplea estrategias heurísticas,
recursos gráficos y otros,
para resolver problemas deperímetro y área del triángulo,
rectángulo, cuadrado, rombo.

Usa estrategias paraconstruir polígonos según sus
propiedades y características
usando instrumentos de dibujo.

Formas bidimensionales:

66

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS

Formas bidimensionales:
Establece semejanzas ydiferencias entre cuadrado yrectángulo, entre cuadrado yrombo, etc.
Elabora conjeturas sobrelas propiedades de loscuadriláteros y triángulos.
Explica con ejemplos
y contraejemplos las
características de loscuadrados, rectángulos,
rombos, triángulo rectángulo yequilátero, etc.
Establece diferencias entreel área y el perímetro de una
figura.

Ampliación y reducción:
Elabora conjeturas sobre la
relación entre la ampliación
y reducción con la
proporcionalidad.

Traslación:
Elabora conjeturas sobre el
procedimiento para representar
traslaciones de formas
bidimensionales en cuadrículas.

Quinto grado

Formas bidimensionales:
Justifica sus conjeturas
usando ejemplos sobre losprocedimientos aplicados
en problemas de cálculo
de perímetro, superficie ycapacidad con unidades patrón.
Elabora conjeturas sobre
cuáles son las característicasgeométricas comunes de lasformas bidimensionales
Elabora conjeturas sobre losprocedimientos a aplicar en el
cálculo de perímetro, superficie
y capacidad con unidades
patrón.

Cuarto grado

Rotación:
Explica el procedimiento usado
para construir figuras y rotarlas.

Formas bidimensionales:
Elabora conjeturas sobre la
relación entre perímetro y áreade formas bidimensionales,
entre áreas de cuadriláteros ytriángulos
Establece conjeturas y lasverifica sobre la relación entre
el radio y el diámetro de lacircunferencia.
Establece características
semejantes en los polígonos
regulares.

Sexto gradoPlantea conjeturas acerca dela semejanza de dos figuras alrealizar sobre estas rotaciones,
ampliaciones y reducciones en
el plano.
Explica como algunas
transformaciones pueden
completar partes ausentes en
figuras geométricas.

Plantea conjeturas para
determinar perímetro y área defiguras poligonales (triángulo,
rectángulo, cuadrado y rombo).
Justifica sus generalizaciones
sobre el número de diagonales
trazadas desde un vértice,número de triángulos en que
se descompone un polígono
regular, suma de ángulosinternos y externos.
Justifica la pertenencia o no deuna figura geométrica dada
a una clase determinada decuadrilátero.
Justifica las variaciones en el
perímetro, área y volumen
debidos a un cambio en laescala en mapas y planos.
Explica qué medidas ysituaciones son y no son
afectadas por el cambio deescala.

Propone conjeturas referidas
a las propiedades de prismas
regulares y el cilindro.
Justifica la relación entre elárea de superficie de prismas
y cilindros con las áreas de sus
bases y superficies laterales delcubo, prismas y cilindro.
Explica como varía lasrelaciones entre los elementos
de prismas y cilindros, alobtener desarrollo de estos
cuerpos.

Primer grado de secundaria

Descripción y ejemplos de algunos indicadores

Capacidad: Comunica y representa ideas matemáticas
Indicador de quinto grado
Representa gráficamente las diferentes vistas que tiene una forma
tridimensional.
Descripción del indicador
Observar este indicador implica que el estudiante debe graficar las diferentes vistas quetienen las caras o vistas de una forma tridimensional u objetos de su entorno, como
sólidos, maquetas, etc.
Ejemplo de indicador precisado:
Representa gráficamente la vista superior que tiene una forma tridimensional(maqueta).
Veamos un ejemplo en el que se evidencia el indicador:

En la siguiente maqueta se tiene un jardín interior enforma de L y dos construcciones. Se tiene que mostrarel área construida y el área libre.

Algunas preguntas que ayudan a que el niño muestre este desempeño:¿Qué forma tiene el terreno de la maqueta? Dibújalo.
¿Desde dónde tienes que mirar la maqueta para ver el área construida y el terreno
libre?
¿Cómo se ve si la miras desde arriba?

67Capacidad: Elabora y usa estrategias
Indicador de quinto grado
Usa estrategias para construir cuerpos geométricos y dibujar figuras
según sus vistas, usando diversos materiales e instrumentos de dibujo.
Descripción del indicador
Observar este indicador implica que el estudiante construya cuerpos con el modelopresente o ausente y los reproduzca, tomando como base los datos dados; usando paraello diversas estrategias como abrir cajas para observar plantillas o sus desarrollos,
copiar las plantillas de los cuerpos en una cartulina y utilizar recursos como papel
cuadriculado, reglas y escuadras.
Ejemplo de indicador precisado:
Usa estrategias para construir prismas, usando diversos materiales e
instrumentos de dibujo.

Veamos un ejemplo que puede evidenciar el indicador.
Construye una cajita de 8 cm de largo, 4 cm de ancho y 4 cm de altura para
guardar tu borrador, tajador y otros, y así no perderlos y mantener ordenado
tu espacio de trabajo.
Completa el desarrollo de la cajita en la cuadrícula. Utiliza regla y escuadra.
Copia el desarrollo en una cartulina y construye la cajita.

1 cm¿Qué estrategia
utilizaré?
Puedo mirar elmodelo de otras cajas
y copiar su desarrolloy adaptarlo al mío.

1 cm

68

2.3.4 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones
de gestión de datos e incertidumbre
El desarrollo de esta competencia posibilita a las personas ocuparse del diseño deestudios referidos al análisis de datos recogidos y la predicción o toma de decisiones apartir de los resultados obtenidos.
Para desarrollar esta competencia en el V ciclo, los estudiantes se enfrentarán aproblemas en los que será necesario plantearse preguntas apropiadas y coherentes
con un tema de estudio, las cuales además se presentan con posibles respuestas. Esto
es así cuando el estudiante es capaz de restringir el recojo de los datos a la información
que se necesita para la resolución del problema.
El contexto para los temas de estudio en este ciclo se amplía por el hecho de que losestudiantes también son capaces de recopilar datos de fuentes indirectas, es decir, nosolo mediante las encuestas y cuestionarios, sino también de libros, revistas, diarios yotras fuentes escritas o virtuales.
La elaboración de tablas de frecuencia, tablas de doble entrada, de gráficos de barras,
gráficos de puntos, gráficos lineales; implica el reconocimiento de cuáles son las variables
cuyos datos has sido recogidos y la relación entre ellas. En este ciclo, comienza a cobrar
importancia el tipo de gráfico que se elija para modelar la situación; en ese sentido, seusan los gráficos de líneas para ver tendencias de comportamiento de los datos, los debarra para visualizar la comparación entre los datos y los de puntos para visualizar por
ejemplo, si los datos están por encima o debajo de la moda o el promedio.
La lectura de la información que se ha obtenido en los gráficos realizados requierede la movilización de la capacidad de los estudiantes de Comunicar y representar,
al describir la información y hacer comparaciones para responder las preguntasdel problema planteado. De igual modo, a partir de la lectura de la información losestudiantes pueden hacer supuestos y predicciones.
Asimismo, para el desarrollo de esta competencia en el V ciclo, se presenta a losestudiantes situaciones de incertidumbre y experimentos aleatorios en los que losestudiantes utilizan la probabilidad para cuantificar la ocurrencia de un suceso.
VENTA DE REVISTAS Y CUENTOS

Leyenda:Revistas

30

Cuentos
Venta (en miles)

25
20¿Cuál es la tendencia
de venta de lasrevistas?

15
10
5
0
Marzo

Abril

Mayo

Junio

Mes
GRÁFICO LINEAL

69

70

2

1

Interpreta los datos en diversas situaciones, los organiza
en tablas de frecuencia y los expresa mediante,variables cualitativas o cuantitativas discretas, la media
aritmética o la probabilidad de un suceso. Determina
en que otras situaciones son aplicables. Describe
utilizando lenguaje matemático su comprensión
sobre las preguntas y posibles respuestas para una
encuesta, la información contenida en tablas y gráficos,
el significado de la media aritmética y la mediana de
un grupo de datos, los resultados de una situación
aleatoria y la probabilidad de un evento. Elabora y
emplea diversas representaciones de datos mediantegráficos de líneas o de puntos y la probabilidad como
fracción o cociente; relacionándolas entre sí. Elabora yejecuta un plan orientado a recopilar datos a través deuna encuesta, organizarlos y presentarlos; determinarla media; determinar todos los posibles resultados deun experimento aleatorio; calcular la probabilidad deun evento como una fracción; con apoyo de recursos.
Compara los procedimientos y estrategias empleadas
en distintas resoluciones. Establece conjeturas basadas
en experiencias o relaciones entre datos y las justifica
usando ejemplos o contraejemplos.

Plantea relaciones entre los datos de situaciones de su
entorno escolar, los organiza en tablas, barras simples,
pictogramas con escalas o mediante la noción de moda.
Describe con lenguaje matemático su comprensión
sobre, la frecuencia y moda de un conjunto de datos,
la comparación de datos en pictogramas o barras
doble agrupadas, sucesos más o menos probables que
otros1. Elabora y emplea representaciones mediantegráficos de barras dobles o pictogramas2, y símbolos.
Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas
a experimentar o solucionar un problema empleando
estrategias o procedimientos para recopilar datos
cuantitativos y hallar el dato que más se repite; con apoyo
de material concreto. Comprueba sus procedimientos y
estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias
o relaciones entre datos y las explica, o justifica usando
ejemplos.

El estudiante indica intuitivamente si un suceso es más probable o menos probable que otro.
Pictogramas con escala.

V cicloIV cicloESTÁNDARES (Mapa de Progreso)

Discrimina y organiza datos de diversas situaciones ylos expresa mediante modelos que involucran variables
cualitativas, cuantitativas discretas y continuas, medidas
de tendencia central y la probabilidad. Selecciona y usa
el modelo más pertinente a una situación y comprueba si
este le permitió resolverla. Expresa usando terminología,
reglas y convenciones matemáticas su comprensión
sobre datos contenidos en tablas y gráficos estadísticos,
la pertinencia de un gráfico a un tipo de variable y las
propiedades básicas de probabilidades. Elabora y
emplea diversas representaciones usando tablas ygráficos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta
un plan orientado a la investigación y resolución
de problemas, usando estrategias heurísticas yprocedimientos matemáticos para recopilar y organizar
datos cuantitativos discretos y continuos, extraer lamuestra aleatoria de la población, calcular medidas detendencia central, la dispersión de datos mediante elrango, determinar por extensión y comprensión sucesos
simples y compuestos, y calcular la probabilidad
mediante frecuencias relativas; con apoyo de material
concreto y recursos. Evalúa ventajas y desventajas
de las estrategias, procedimientos matemáticos yrecursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas
a relaciones entre los datos o variables contenidas en
fuentes de información, observadas en situaciones
experimentales; e identifica diferencias y errores en una
argumentación.

VI ciclo

A continuación les presentamos una matriz que muestra de manera integrada el estándar de aprendizaje (Mapa de progreso), así como los indicadores de desempeño de lascapacidades para el desarrollo de la competencia en el ciclo. Los niveles de los Mapas de progreso muestran una definición clara y consensuada de las metas de aprendizaje quedeben ser logradas por todos los estudiantes al concluir un ciclo o periodo determinado. En este sentido son un referente para la planificación anual, el monitoreo y la evaluación,
pues nos muestran el desempeño global que deben alcanzar nuestros estudiantes en cada una de las competencias. Las matrices con los indicadores de desempeño de lascapacidades son un apoyo para diseñar nuestras sesiones de aprendizaje; son útiles también para diseñar instrumentos de evaluación, pero no nos olvidemos que en un enfoquede competencias, al final, debemos generar instrumentos que permitan evidenciar el desempeño integral de las mismas. En resumen, ambos instrumentos nos ayudan tanto a laplanificación como a la evaluación, pero uno, nos muestra desempeños más acotados (indicadores de desempeños), mientras que el otro nos muestra un desempeño complejo(mapas de progreso).
Hemos colocado el nivel anterior y posterior al ciclo correspondiente para que puedan identificar en qué nivel de desempeño se encuentra cada uno de nuestros estudiantes, y así
diseñar actividades adecuadas para cada uno de ellos.

Matriz: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre

71

MATEMATIZA SITUACIONES

Problemas con datos:
Plantea relaciones entre losdatos (cuantitativos discretos ycualitativos) en situaciones encontexto escolar, expresándolos
en tabla de doble entrada ográfico de barras simples con
escala.

Cuarto grado
Problemas con datos:Interpreta los datos y relaciones
no explícitas en diversas
situaciones y los expresa en
una tabla de doble entrada,
diagramas de árbol o gráficoslineales.
Selecciona el modelo gráfico
estadístico más adecuado alplantear y resolver situaciones.

Problemas aleatorios:
Identifica todos los posibles
resultados de una situación
aleatoria y los resultados
favorables de un evento,
expresando su probabilidad
como cociente.

Problemas aleatorios:
Identifica todos los posibles
resultados de una situación
aleatoria y los resultados
favorables de un evento,
expresando su probabilidad
como fracción.

Sexto grado

Problemas con datos:Interpreta datos y relaciones(hasta dos variables cualitativaso cuantitativas discretas) endiversos problemas estadísticos,
y los expresa en tablas de doble
entrada, gráficos de barras
dobles o gráficos de puntos.

Quinto grado

Ordena datos al realizar
experimentos simples o deeventos que expresar un
modelo que caracterizan laprobabilidad de eventos y elespacio muestral.
Plantea y resuelve situaciones
referidas a eventos aleatoriosa partir de conocer un modeloreferido a la probabilidad.

Problemas con datos:
Organiza datos en variables
cualitativas en situaciones
que expresan cualidades ocaracterísticas y plantea unmodelo de gráfico de barras ycirculares.
Selecciona el modelo gráfico
estadístico al plantear y resolver
situaciones que expresan
características o cualidades.
Organiza datos en variables
cuantitativas en situaciones defrecuencia de eventos de su
comunidad y plantea un modelo
basado en histogramas defrecuencia relativa.

Primer grado de secundaria

72

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

Registra los datos en tablasa partir de experimentos
aleatorios con dados omonedas.

Describe la ocurrencia deacontecimientos cotidianos
usando las expresiones: seguro,
posible e imposible.

Problemas aleatorios:

Expresa el significado de lamoda de un conjunto de datos.

Medidas de tendencia central:

Organiza los datos en tablas ylos representa en gráficos debarras.

Describe información contenida
en cuadros de doble entrada,
pictogramas, gráficos de barras
dobles agrupadas.

Realiza preguntas
relevantes para recoger
datos relacionados con eltema de estudio y aporta
con sugerencias a las
preguntas formuladas por sus
compañeros.

Problemas con datos:

Cuarto grado

Expresa lo que comprende
sobre la probabilidad de un
evento o suceso con apoyo deejemplos y usando lenguaje
matemático.
Registra en una tabla odiagrama de árbol, losresultados de un experimento
aleatorio.

Registra los datos en diagramade árbol partir de experimentos
aleatorios.

Problemas aleatorios:

Describe el comportamiento
de un grupo de datos, usando
como referencia la media
aritmética y la moda delconjunto de datos.

Expresa lo que comprende
sobre el significado de la media
aritmética y la mediana de un
grupo de datos con ejemplos yapoyo gráfico.

Medidas de tendencia central:

Utiliza expresiones como "másprobable", "menos probable"
para comparar la ocurrencia dedos sucesos provenientes de lamisma situación aleatoria.

Problemas aleatorios:

Describe el comportamiento
de un grupo de datos, usando
como referencia la moda delconjunto de datos.

Medidas de tendencia central:

Organiza los datos en tablasy los representa en gráfico
de barras dobles o gráfico depuntos.

Determina la tendencia de unconjunto de datos a partir de su
gráficoDescribe información no
explícita contenida en tablas,
gráficos de barras dobles,
gráficos de puntos, aportando alas expresiones de los demás
Representa de diferentes
formas un conjunto dedatos, empleando gráficos
estadísticos.

Realiza preguntas relevantes
para un tema de estudio y sus
posibles opciones de respuesta
a través de encuestas.

Problemas con datos:

Sexto grado

Realiza preguntas relevantes
para un tema de estudio y sus
posibles opciones de respuesta
a través de encuestas.

Problemas con datos:

Quinto grado

Representa con diagrama delárbol una serie de sucesos yhalla el espacio muestral de
un experimento aleatorio para
expresarlo por extensión o por
comprensión.

Expresa conceptos yrelaciones entre experimento
determinístico y aleatorio,
espacio muestral y sucesos,
probabilidad, usando
terminologías y notaciones
aportando a las expresiones delos demás.

Expresa información y el
propósito de cada una de lasmedidas de tendencia central
para datos no agrupados yagrupados aportando a las
expresiones de los demás.

Emplea diferentes gráficos
estadísticos para mostrar datos
no agrupados y agrupadosde variables estadísticas y sus
relaciones.

Expresa información presentada
en cuadros, tablas y gráficos
estadísticos para datos noagrupados aportando a las
expresiones de los demás.

Sugieren preguntas para elcuestionario de una encuesta
presentada acorde al propósito
planteado.

Primer grado de secundaria

73

ELABORAY USA ESTRATEGIASRAZONA Y ARGUMENTA GENERANDOIDEAS MATEMÁTICAS

Explica con ejemplos
basándose en experiencias
concretas si un suceso es
seguro, posible o imposible

Elabora supuestos sobre laocurrencia de sucesos con
lo más probable y menos
probable, basadas enexperiencias concretas.

Justifica sus predicciones
sobre la tendencia delcomportamiento de los datos, apartir del gráfico lineal.

Compara probabilidades dedistintos eventos, sin calcularlas.

Elabora conjeturas sobre el
resultado de un experimento
aleatorio, basándose en
experiencias concretas

Expresa sus concusiones
respecto a la información
obtenida.

Justifica sus predicciones
sobre la tendencia delcomportamiento de los datos, apartir del gráfico lineal.

Propone conjeturas acerca delresultado de un experimento
aleatorio basado en sucesos
simples o compuestos.

Argumenta procedimientos
para hallar la media, mediana ymoda de datos no agrupados,la medida más representativa
de un conjunto de datos y su
importancia en la toma dedecisiones.

Justifica los procedimientos deltrabajo estadístico realizado y la
determinación de la decisión(es)para datos no agrupados.

Toma decisiones o elabora
recomendaciones sobre el temaen estudio y las justifica.

Reconoce sucesos simples
relacionados a una situación
aleatoria.

Determina por extensión
y comprensión el espacio
muestral.

Expresa sus conclusiones
respecto a la información
obtenida.

Calcula la probabilidad de un
evento por medio de la reglade Laplace. (cociente entre caso
favorables y el total de casos)

Problemas aleatorios:

Determina la media de un
grupo de datos usando
operaciones de igualación devalores o el algoritmo de la
media.

Selecciona la medida detendencia central apropiada
para representar un conjunto dedatos.

Organiza datos en gráficos debarras y circulares.

Recolecta datos cuantitativos
discretos y continuos ocualitativos ordinales ynominales de su aula por
medio de la experimentación ointerrogación o encuestas.

Problemas con datos:

Primer grado de secundaria

Calcula la probabilidad por la
regla de Laplace.

Registra en una tabla lafrecuencia de ocurrencia de loseventos o fenómenos.

Problemas aleatorios:

Calcula la moda de un grupo dedatos ordenando los datos entablas de frecuencia o gráficosde barra

Medidas de tendencia central:

Emplea procedimientos derecolección de datos como
fuentes de información
indirectas (recortes de periódico,encartes de supermercado,
revistas, lecturas, etc.)

Plantea una secuencia
ordenada de acciones que
demandan recoger y organizar
datos cualitativos o cuantitativos.

Problemas con datos:

Sexto grado

Registra en una tabla lafrecuencia de ocurrencia deeventos o fenómenos.

Emplea material concreto y lavivienciación para reconocer
sucesos o fenómenos que son
seguros, posibles o imposibles.

Problemas aleatorios:

Ordena los datos de mayor amenor frecuencia para hallar lamoda.

Medidas de tendencia central:

Emplea procedimientos derecolección de datos como
fuentes de información
indirectas (recortes de periódico,encartes de supermercado,
revistas, lecturas, etc.)

Emplea procedimientos derecolección de datos a partir
de preguntas orales y escritas,
encuestas, registro de hechos,
etc.

Medidas de tendencia central:Plantea una secuencia
ordenada de acciones que
demandan recoger y organizar
datos cualitativos o cuantitativos.

Problemas con datos:

Quinto grado

Propone ideas para recoger yorganizar datos cualitativos ocuantitativos en situaciones desu entorno familiar y escolar.

Problemas con datos:

Cuarto gradoDescripción y ejemplos de algunos indicadores

Capacidad: Matematiza situaciones
Indicador de quinto gradoInterpreta datos y relaciones (hasta dos variables cualitativas o cuantitativas
discretas) en diversos problemas estadísticos, y los expresa en tablas dedoble entrada, gráficos de barras dobles o gráficos de puntos.
Descripción del indicador
Interpretar datos en primer lugar implica tener claro el tema de estudio y cómo los datos
recogidos se relacionan con este tema. Asimismo, se debe tener en cuenta qué tipo dedatos son los que se han recogido (cualitativos o cuantitativos).
Algunas definiciones que se debe conocer son las siguientes:
Frecuencia: es la cantidad de veces que se repite un dato. Por ejemplo: 5 niños dijeron
que les gusta los gatos.
Variables cualitativas: Expresan categorías, cualidades, características o modalidad
que nos permite hacer agrupamientos. Por ejemplo: deporte favorito, color, fruta omascota que más les gusta, número de orden en una premiación (primero, segundo,
tercero…), etc.
Por ejemplo variablemascota
Pueden tomar
distintos valores:- perro.
- gato.
- loro, etc.

Los datos lo
constituyen los valores
de la variable.

Variables cuantitativas discretas: Expresan cantidades que se puedan contar.
Por ejemplo: el número de hermanos, el número de años, la cantidad de ventas
diarias, cantidad de personas, etc.
Asimismo, en un problema se pueden recoger datos correspondientes a dos
variables cualitativas o cuantitativas. Por ejemplo: día preferido para el deporte(cualitativa) y sexo (cualitativa), número de años (cuantitativa) y sexo (cualitativa), o
edad (cuantitativa) y número de hermanos (cuantitativa).
Variable cualitativa
deporte- Vóley- Atletismo- Ciclismo

Variable cualitativa
sexo- Masculino- Femenino

Variable cuantitativa
edad
8
9
10

Variable cualitativa
sexo- Masculino- Femenino- Masculino

Expresar en tablas de doble entrada, gráficos de barras dobles o gráficos de puntos
implica tener en cuenta cuáles son las variables, sus relaciones y sus frecuencias.
Ejemplo de indicador precisado:
Identifica datos cuantitativos en problemas estadísticos en contexto escolar,
expresándolos en tablas de doble entrada.

74

El siguiente ejemplo promueve el desarrollo de la capacidad:
Se aplicó una encuesta a todos los alumnos del 5.° gradopara saber sobre las preferencias de los niños por losdeportes más comunes. Esta informacion se tomará encuenta para abrir talleres en el colegio.
gustos y
Los niños y niñas tenemos distintos
r deportes, a
hace
a
gust
preferencias. A algunos nos
gusta salir
me
mí
a
plo,
otros ver películas; por ejema montar bicicleta.
a la
En el colegio a algunos chicos le gustunicación...
Com
a
gust
Matemática pero a otros lesdes que
vida
acti
las
Lo bueno es que son muchas
intereses;
s
stro
nue
con
podemos hacer de acuerdo
ias,
renc
dife
s
stra
lo importante es respetar nue
aceptándonos como somos.

Para matematizar hay que reconocer lo siguiente:Las variables o las categorías sobre las cuales hay que recolectar los datos.
La población a quién se aplicará la encuesta.
El objetivo de la recolección de datos.
¿Cuáles son los posibles valores de la variable?
¿Qué tipo de organizador usaré para ordenar la información?
¿Es conveniente separar la información en niños y niñas?
Así se podría registrar los tipos de datos sobre los cuales hay que investigar:
VariabledeporteVariablesexo

Ciclismo

Masculino

BásquetFemenino

Atletismo

Conociendo la información podríamos organizar los datos en una tabla de doble
entrada.
Deportes practicado
por los niños

Recuento de datos

Deportes practicado
por las niñas

Ciclismo

Vóley

BásquetNatación

Atletismo

Atletismo

Recuento de datos

75

Indicador de sexto grado
Selecciona el modelo gráfico-estadístico más adecuado al plantear
y resolver problemas.

Descripción del indicador
El desempeño descrito en este indicador implica que los estudiantes deben, en primer
lugar, saber qué información se necesita obtener de los gráficos, para responder a las
preguntas o interrogantes del problema. Por ejemplo, si la información que se necesita
está relacionada con comparar las frecuencias de los datos, entonces puede usar un
gráfico de barras; si los datos están organizados en cuadros de doble entrada, lasbarras pueden ser dobles o triples; si lo que se quiere es comparar cómo han cambiado
los datos a lo largo de un período de tiempo es conveniente usar los gráficos lineales,
etc.
Una heladería desea saber cuántos helados vende diariamente para hacer
un presupuesto de inversión para los próximos meses. Además, quiere saber
qué día de la semana es el que vende más. Para ello, todos los días anota
la cantidad de helados en una lista. ¿Qué día vende más helados? ¿Cuántos
helados vende al día?
Presentamos un ejemplo:
Para resolver el problema el estudiante reconoce que necesita comparar los datos parasaber qué días vende más helados. Para ello, puede utilizar un gráfico de barras yaque en él se visualizan mejor las diferencias entre la cantidad (frecuencia) de helados
por día. Pero, además, también necesita ver el promedio de la semana y en el gráfico
de barras es posible ver la menor y la mayor cantidad de helados vendidos y se puede
intuir que el promedio estará entre estas dos cantidades (frecuencias). Con un cálculo
posterior puede determinarse el promedio y con el gráfico se sabrá que días vende más
que el promedio y qué días menos.
Venta de helados en la semana
50

Cantidad de helado

45
40
35

En este gráfico puedo
ver que el promedio
debe estar entre 25 y
45 helados por día.

30
25
20
15
10
5
0

76

L

M

M

J
Días

V

S

D

Capacidad: Comunica y representa ideas matemáticas
Indicador de sexto grado
Determina la tendencia de un conjunto de datos a partir de su gráfico.

Descripción del indicador
Al analizar la información que brindan los gráficos, los estudiantes son capaces de expresarcómo se comportan los datos en un periodo de tiempo. Para ello, deben tener en cuenta
aumentos o bajas en las cantidades (frecuencias), en qué tiempos se dan estas bajas oaumentos, si estas bajas o aumentos se mantienen constantes o se intercalan, etc.
Veamos cómo en el ejemplo anterior es posible determinar la tendencia de los datos.
Algunas preguntas que el docente puede realizar para mediar el desempeño de losestudiantes son:
¿Qué pasa con la cantidad de helados vendidos al inicio de la semana?
¿Qué pasa el fin de semana?
¿Por qué crees que el fin de semana se vende más?
¿Crees que este comportamiento se repita en todas la semanas?
¿Puedes decir cómo es el comportamiento de los datos?

Venta de helados en la semana
50
45

Cantidad de helado

40
35
30
25

20
15
10
5
0

Lunes

MartesMiércoles

JuevesViernesSábadoDomingoDías de la semana

77Esta información también puede ser presentada en un gráfico lineal.

Venta de helado en la semana
50
45
40

Cantidad de helado

35
30
25
20
15
10
5
0
lunes

martesmiércoles

juevesviernessábadodomingoDías de la semana

Capacidad: Elabora y usa estrategias
Indicador de sexto grado
Determina la media de un grupo de datos usando operaciones deigualación de valores o el algoritmo de la media.

Descripción del indicador
El estudiante puede utilizar ambos procedimientos para el cálculo de la media aritmética deun conjunto de datos.
Veamos un ejemplo:
Urpi quiere calcular su promedio de tiempode las últimas carreras de entrenamiento que
realizó. Ella participará en un campeonato
de atletismo de 100 metros planos. Ayúdale acalcular su promedio.

78

Tiempo registrado en los entrenamientos

Tiempo(segundos)

1.°
carrera2.°
carrera3.°
carrera4.°
carrera5.°
carrera

24

20

23

22

21

Usando operaciones de igualación de valores:

Mi promedio es
alrededor de 22
segundos.
Resto y sumo para
igualar mis tiempos.

Tiempo (S)

25
22
20
15
10
5
0

1.°

2.°
3.°
4.°
5.°
Carreras de entrenamiento

Usando el algoritmo de la media aritmética:
Primero, sumo todos
mis tiempos. Después,
divido el resultado
entre la cantidad deentrenamientos.

Media = 24 + 20 + 23 + 22 + 21 = 22
5

Capacidad: Razona y argumenta generando ideas
matemáticas.
Indicador de quinto grado
Elabora supuestos sobre la ocurrencia de sucesos con lo más probable ymenos probable, basadas en experiencias concretas.
Descripción del indicador

Puedo jugar a las
cartas y preguntar:¿Es posible que sepueda sacar un rey
de corazones?

Observar este indicador implica que el estudiante debe suponer de manera intuitiva;
es decir, dar por adelantado un resultado ante un hecho o fenómeno, de manera
vivencial o usando material concreto, de tal forma expresa que existen sucesos
en los cuales podemos asegurar que van o no a ocurrir, mientras que en otros
podemos decir que tienen más o menos probabilidad de suceder. Por ello, se debe
buscar situaciones donde el estudiante pueda decir:
Es probable que ocurra.				
Es seguro que ocurra. 				Es menos probable que ocurra.

Es imposible que ocurra.
Es más probable que ocurra.

79En quinto grado aún no cuantifican la probabilidad mediante la definición clásica comorazón entre casos favorables y casos posibles.
Veamos un ejemplo:
Hilmer, Marisol y Carolina juegan con cubos de colores. Ellos han acordado
que si logran adivinar el color que tendrá la cara superior después de lanzar
el cubo, ganarán un premio.

Mi cubo tiene
5 caras rojas y
1 cara azul.

Marisol

Mi cubo tienelas 4 carasamarillas y 2
caras rojas.

Carolina

El mío tiene 2
caras verdes y
4 caras rojas.

HilmerLos estudiantes al vivenciar la situación con sus cubos de colores, pueden registrar lo que
pasa al lanzar cada dado y luego de muchas jugadas (alrededor de 20), poder predecir por
qué es más probable que salga un color u otro.
Luego de la experimentación podrán también expresar situaciones imposibles que sucedano que sean menos probables de ocurrir.

80

3. Orientaciones didácticas
3.1 Orientaciones para el desarrollo de lacompetencia Actúa y piensa matemáticamenteen situaciones de cantidad
3.1.1 Recursos para plantear y resolver problemas
En este apartado vamos a presentar una selección de recursos para que sirvan
como medio para plantear y resolver problemas relacionados con las cantidades ylos números. No es una clasificación estricta, sino una lluvia de ideas y un abanicode posibilidades para que los docentes tengan caminos por donde investigar y
desarrollar el trabajo cotidiano.

JuegosRecursos TIC

PrensaEn todos los casos los estudiantes comunican y representan las ideas matemáticas
sobre lo que comprenden sobre el número, las fracciones y los decimales, empleando
lenguaje matemático apropiado; elaboran y usan estrategias al resolver los
problemas u operaciones usando diferentes procedimientos o algoritmos y razonan yargumentan el porqué de sus resultados.

811. Juegos
El juego tiene mucho atractivo para los niños y lo convierte en uno de los mayores
motores de motivación en la integración de los alumnos para la marcha de la clase.
Escoger un buen juego es como escoger un buen problema, pues debe ser el puntode partida para que los niños y niñas actúen y piensen matemáticamente al aplicar oconstruir conceptos matemáticos.
Incluimos algunos juegos como: el bingo, rompecabezas, cartas y los juegos
numéricos como "Atraviesa el panal" o la "Estrella numérica".

Bingo
Descripción
Es un juego para toda la clase. Se pueden utilizar los cartones de bingo normaleso construidos por los alumnos y los padres de familia. Las bolas del bingo serían
tarjetas con operaciones o problemas, cuyos resultados son los distintos números
que aparecen en las tarjetas.
Un estudiante elige una tarjeta del montón colocado boca abajo en la mesa;
se plantea una operación o un problema y los estudiantes hacen los cálculos ytachan o colocan una ficha en la tarjeta del bingo, hasta conseguir BINGO (cartón
lleno o solo una fila.
Variantes del bingo•

Bingo de fracciones equivalentes.

•

Bingo de equivalencia entre fracciones,
decimales o porcentajes.

OB
B I N G1 69I N GBO
4
59
16 4
40
4 17
4 550 I N

629
8 268
58
G
6 39 14
10 24 41551 6 34
O
74818718
150
2 26
742 6 33
69
62
2 52
2971
5
2
35
7
1
389 55
3 28
68
25 62
6 66
42
3 657
7 21 49 0 44716202 6 38 5
5
5
44
62
60
65

Rompecabezas
Descripción
Es un juego individual o para grupos pequeños. Consiste en construir varias
cuadrículas. Se resuelve el rompecabezas uniendo las piezas por los lados donde
aparezca la operación y el resultado correspondiente a las dos operaciones seránequivalentes.
A los estudiantes se les entrega una copia del rompecabezas desordenado, paraque ellos lo recorten y peguen correctamente en su cuaderno. Ejemplos de estos
rompecabezas lo podemos encontrar en los libros de Antonieta de Ferro o en lapágina web http://www.actiludis.com/?p=19294.

82

Variantes del rompecabezas•

Rompecabezas de operaciones combinadas,
de operaciones con fracciones, de potencia
cuadrada y cúbica, de porcentajes usuales, etc.

Atraviesa el panal
Descripción
Es un juego por parejas.
Se desarrolla sobre un tablero de forma de panal, con fichas o tapas de dos
colores distintos para cada jugador. Cada uno, por turno elige dos númerosdel rectángulo, realiza la operación y, si encuentra el resultado sobre el tablero,coloca una de sus fichas. Gana el jugador que consiga unir mediante una línea(recta o quebrada), dos bordes opuestos del panal.
Variantes del panal•

Operaciones combinadas.

•

Potencias cuadradas y cúbicas.

•

Operaciones equivalentes.

100

0,4
40

5

6,25
2,5

1
20

8
2

12,5
2,5

0,16
0,5

0,02

40
16

2
50

ATRAVIESA EL PANALCON MULTIPLICACIONES ODIVISIONES

0,5 4 25
0,25
10

250

6,25 0,05
0,4

0,01

100

Barajas de múltiplos y divisores
Descripción
Es un juego formado por 51 barajas o naipes; de los cuales 48, tienen numeradas
los números desde el 1 hasta el 48 y 3 comodines, para el valor que le asigne eljugador en cada jugada. Las reglas del juego son:•Un jugador por turno, reparte cuatro cartas a cada jugador y descubre una
boca arriba: será la llamada “carta muestra”. El resto de las cartas lo coloca
boca abajo en la mesa.

•

Comienza el juego el jugador situado a la derecha del que reparte las cartas. Y
comienza diciendo, por ejemplo: “divisores de… [aquí menciona el número que
corresponde a la carta muestra]”. Puede colocar una sola carta a la derecha oa la izquierda de la carta muestra, siempre que tenga algún divisor en común
con ella (divisor que tiene que explicitar al colocarla); asimismo, puede colocar
la carta hacia arriba o hacia abajo de la carta muestra si, respectivamente, es
múltiplo o divisor de esta.

•

Si no tiene ninguna carta que satisfaga las condiciones del punto anterior, roba unadel montón y la coloca si puede. Si no, pasa el turno al jugador de su derecha.

83

El jugador siguiente procede de la misma manera, pero puede hacerlo con
cualquiera de las dos cartas que haya en los extremos horizontales de lacadena que se vaya formando.
El ganador del juego es el primer jugador que coloca todas sus cartas o elque menos cartas tenga en su poder cuando ya nadie pueda colocar cartas.
Si la carta “muestra” que aparece es un número primo, las dificultades decolocar cartas son mayores. En ese caso, además de las posibilidades
descritas, se pueden colocar debajo de la carta muestra, y tapadas por
ella, cartas que representen a otros números primos. (Esta regla puede
no explicitarse, y únicamente ponerse en circulación cuando un grupo dejugadores –que puede ser toda la clase– comente que hay algunos números
que hacen más difícil el juego, y se llegue a caracterizar que esos son losnúmeros primos).

2. Prensa
La prensa escrita y la televisiva invaden los hogares peruanos diariamente. Los niños
tienen que acercarse a ella de manera crítica hacia los diferentes tipos de medios yevaluar la influencia en su formación.
A continuación algunas actividades:
Búsqueda de números:
Se pide a los estudiantes que busquen números naturales mayores que cinco
cifras e indiquen su significado: si son números que expresan una medida delongitud, peso, dinero, etc. o si son números para contar o codificar.
Se les pide buscar números decimales y las situaciones o contextos en los que
son utilizados.
Se les pide representar de diversa forma usando material concreto, gráfico, según
su valor posicional y empleando descomposiciones aditivas y multiplicativas(1 245 = 1 000 + 200 + 40 + 5 = 1 × 1 000 + 2 × 100 + 4 × 10 + 5).
Los estudiantes pueden redondear, ordenar y comparar los números.
Se plantean y resuelven problemas aditivos o multiplicativos con números
naturales, decimales o fracciones a partir de la situación encontrada.
Comparar medidas:
Se buscan objetos que pesen más que el niño, o se comparan los pesos entre losdiversos objetos.
Se buscan objetos que midan más o menos que el niño.
Se pide que clasifiquen los objetos y formen subconjuntos con ellos.

84

Problemas con el tiempo
Revisar anuncios de viajes y plantear preguntas y problemas a partir de la duración
y costo del viaje.
Revisar los horarios de la programación televisiva o de cine, estimar los tiempos
que pasan viendo televisión.
Establecer horarios para ver televisión, ir al cine, practicar deportes, realizar una
actividad cultural.
Ordenar las temperaturas en diferentes ciudades del Perú y del mundo, desde ellugar más frío al de más calor.
LOS MEJORES DESTINOS PARA EL 2015

MáncoraDisneySan Andrés

3 días / 2 noches

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3. Recursos TIC
Las herramientas relacionadas con la tecnología ofrecen hoy en día una amplia yvariada gama, donde el docente podrá crear experiencias de aprendizaje enriquecidospara que los estudiantes la perciban como una ciencia experimental y exploratoria.

La calculadora para plantear y resolver problemas
Se malogró la tecla 5: ¿puedes multiplicar 45 x 8, sin usar la tecla 5?
Se malogró la tecla 2: ¿puedes sumar estos decimales 0.25 + 1.75 sin usar esta tecla?
¿Qué procedimientos puedes emplear para hallar el cociente y el residuo de
152 ÷ 5? ¿Qué conocimientos se ponen en juego?
Recursos digitales
En la página web de la Junta de Andalucía y el Gobierno de Canarias encontrarás
recursos donde los niños podrán experimentar con los conceptos matemáticos.
http://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010032613_9081245/null
http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/fracciones/
html/recuerda.html

85

En la Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales de la Universidad de Utah
(NLVM) encontrarás interesantes softwares donde los niños podrán experimentar
con material concreto e instrumentos, las operaciones matemáticas y además
de manipuladores como el geoplano, mosaicos y balanzas para desarrollar otras
competencias matemáticas.

http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

3.1.2 Investigamos números en la prensa escrita
Descripción
Esta actividad consiste en explorar en los diferentes medios escritos los diferentes
usos de los números que aparecen en los avisos publicitarios, en las noticias, etc.
Por lo que constituye un buen recurso para relacionar las cantidades y los números
en contextos reales y reflexionar sobre su utilidad e importancia en nuestra vida.
Los diferentes números que aparecen en los afiches (naturales, fracciones odecimales), constituyen un punto de partida para desarrollar comprensivamente
los números.

Relación con las capacidades e indicadores
El propósito de esta actividad está relacionado con que los estudiantes comuniqueny representen al expresar de forma oral o escrita el uso de los números decimales
en contextos de la vida diaria, como medida, además de representar en forma
concreta, gráfica y simbólica los decimales hasta el centésimo; también razonan
y argumentan al conjeturar sobre las diferentes formas de representar un número
decimal.

Aplicación de la estrategia
Plantearemos esta situación a los estudiantes a partir de un afiche publicitario
donde se observen números decimales.

86http://prensa-oficial-estado.deperu.com/2012/12/manana-serealiza-la-5-caminata.html

EsSalud promueve campañas para una vida saludable, por ello convoca a lacomunidad a fin de realizar una caminata familiar, en ella pueden participar losabuelos, padres e hijos.
Pedro está leyendo el afiche que muestra el recorrido de la caminata y no entiende
qué quiere decir 8.5 k. Ayúdale a entender esta información.

Paso 1: Identificar los usos de los números
Realiza preguntas para interpretar la información que hay en el afiche:¿ De qué se trata?
¿Quién lo promueve?
¿Qué datos hay? Reconoce los símbolos y sus significados.
Registra los datos en una tabla, describe los usos de los números.
En este caso se encontró los números para expresar la medida del tiempo y longitud
y el número como ordinal.
2012: señala el año en que se realiza la caminata.
5.° es un número ordinal que indica que es la quinta vez que se realiza el eventoy al parecer es cada año, lo que les puede llevar a inferir: ¿en qué año se realizó
la primera caminata?, ¿Cuántos años tenían ustedes?
8.5 k: señala la distancia que se recorrerá en la caminata. En las noticias siempre
van a aparecer errores como éste. El símbolo correcto de kilómetro es km. La
distancia que habría que caminar es 8 kilómetros y medio.
10:00 a. m. señala que la hora de inicio de la caminata es a las diez de la mañana.

87

Registra en la siguiente tabla la información encontrada, por ejemplo:
Númeroencontrado
Uso de los números

El número se usa como:5.°

OrdinalIndica que es la quinta vez que serealiza un evento de este tipo.

8.5 k

Medida de longitud

Indica la distancia total de la caminata.
Su escritura correcta es 8, 5 km.

El número según Fuson,
citado en Chamorro(2006) distingue siete

Descripción:

contextos:
Tres contextos
matemáticos: cardinal,
ordinal y medida.

Paso 2: Representamos el número decimal de diversas formas
Representamos 8,5 con material concreto (Base Diez, el ábaco y las regletas)

Dos contextos social yutilitario: secuencia yconteo.

Con el material

Contexto simbólico
(números mágicos,

Base Diez, lacálculos).

representación de 8

Contexto no numérico

unidades 5 décimos(etiquetas, DNI).

quedaría así:

1
= 0,1
10

8 unidades

5 décimos

Con las regletas, podemos observar que 5 es equivalente a 1 .
2
10

1
2

1
2

5
10

88

1
10

Representamos en forma gráfica (recta numérica).
8,5
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Representamos en forma simbólica (tablero de valor posicional, fracción
decimal y expresión decimal).
D
DecenasU
Unidades,ddécimos

8,5

De los gráficos anteriores se desprende la presentación simbólica de 8,5. Usando
fracciones decimales y descomposiciones aditivas se podría representar de esta
manera.
En fracción decimal
8,5 = 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
10 10 10 10 10
8,5 = 8 +5
10

8,5 = 8 + 1
2

En expresión decimal
8,5 = 8 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1
=8+

0,5

= 8,5

Observa que en el afiche se escribe el número decimal con punto, esta es
una notación válida para escribir una expresión decimal. También en las
calculadoras se hace uso del punto.
¿Cuál es el significado de 8,5 km? La distancia a recorrer se representa así:8 km + 1 km, se lee 8 kilómetros y medio.
2
Solicita a los estudiantes que formulen números decimales y realicen sus
variadas representaciones.
Pide a los estudiantes que expresen el significado sobre lo que comprenden delos números decimales.
¿Los centésimos y los milésimos se representarían de la misma forma con elmaterial Base Diez? Solicita que elaboren afirmaciones respecto a ello y que
luego comprueben sus afirmaciones con material concreto.

89

Paso 3: Realizando conversiones de kilómetros a metros
Observa la relación entre las distancias de una fila a otra y completa losespacios en blanco.

x2

Distancia(km)

Distancia(m)Distancia(km)

Distancia
(m)

1

1 000

1

1 000

2

2 000

x2

La
mitad

5
8
Tabla 1

La
mitad

1
2
1
4
1
8

x2

Distancia
(km)
1
12
1
22
1
62
1
82

Tabla 2

Distancia
(m)
1 500

Tabla 3En las tablas se observa las relaciones que se establecen entre unidades deuna misma magnitud. Así en la tabla 1 las dos primeras medidas se relacionan
con la segunda a través del doble; de otro lado si multiplico por 5 a un kilómetro
y por 5 a 1 000 metros, obtendré 5 000 metros. En la tabla 2, para obtener losvalores desconocidos relacionados con la distancia en metros, se establece
una relación de mitad, cuarta, octava o dividir entre 2, 4 y 8.

3.1.3 Estrategias para la resolución de problemasAutores como Polya, Burton, Mason, Stacey y Shoenfield sugieren pautas para laresolución de problemas. Los siguientes pasos (García, 1992) se basa en los modelosde los autores.

Pasos de la estrategia
1. Comprender el problema
Lee el problema despacio.
¿De qué trata el problema?
¿Cómo lo dirías con tus propias palabras?
¿Cuáles son los datos? ¡Lo que conoces! ¿Cuál es la incógnita? ¡Lo que buscas!
¿Cuáles son las palabras que no conoces en el problema?
¿Encuentras relación entre los datos y la incógnita?
Si puedes haz un esquema o dibujo de la situación.

90

2. Concebir un plan o diseñar una estrategia¿Este problema es parecido a otro que ya conoces?
¿Podrías plantear el problema de otra forma?
Imagínate un problema parecido pero más sencillo.
Supón que el problema ya está resuelto ¿Cómo se relaciona la situación dellegada con la de partida?
¿Utilizas todos los datos cuando haces el plan?
3. Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia
Al ejecutar el plan, compruebas cada uno de los pasos.
¿Puedes ver claramente que cada paso es el correcto?
Antes de hacer algo, piensa: ¿qué consigo con esto?
Acompaña cada operación matemática de una explicación contando lo que
haces y para que lo haces.
Cuando tropieces con una dificultad que te deja bloqueado, vuelve alprincipio, reordena las ideas y prueba de nuevo.
4. Reflexionar sobre el proceso seguido
Lee de nuevo el enunciado y comprueba que lo que te pedían es lo que has
averiguado
Fíjate en la solución ¿te parece que lógicamente es posible?
¿Puedes comprobar la solución?
¿Puedes hallar alguna otra solución?
Acompaña la solución con una explicación que indique claramente lo que
has hallado.
Utiliza el resultado obtenido y el proceso que has seguido para formular yplantear nuevos problemas.

Orientaciones para el planteamiento de problemas
El verdadero problema es aquel que pone a los estudiantes en una situación nueva,
ante la cual no disponen de procedimientos inmediatos para su resolución. Por ende,
un problema se define en cuanto a su relación con el sujeto que lo enfrenta y no en
cuanto a sus propiedades intrínsecas; es un reactivo que involucra a los estudiantes en
una actividad orientada a la abstracción, la modelación, la formulación, la discusión,etc. (Isoda y Olfos, 2009).
Un buen problema para la clase es aquel accesible a la mayor parte de los estudiantes
y cuya resolución admite varios métodos o caminos, tanto intuitivos como formales. Si
bien el proceso de exploración es lento, lleva a una comprensión más profunda (Isoday Olfos, 2009).

91

¿Cómo diferenciar un problema de un ejercicio?
Veamos el siguiente cuadro:

Ejercicio

92

Problema

Según
las acciones

La actividad es simple y
reproductiva.
Aplican un algoritmo,
una fórmula,conocimientos ya
adquiridos.

Requiere un tiempo de la comprensión dela situación.
Diseñar estrategias y desarrollarlas.
Evaluar sus resultados y consecuencias.

Cantidad ycalidadResolver una grancantidad de ejercicios
no garantiza ser unbuen resolutor deproblemas.

Los buenos resolutores invierten tiempo
en dos procesos: la comprensión y lametacognición o evaluación de sus
resultados.

Desarrollode capacidades

Replican conocimientos
aprendidos.

Los desafía y los motiva a investigar,
experimentar, hallar regularidades ydesarrollar estrategias de resolución.

Desarrollo decualidades
personales

Reproducir
conocimientos,
procedimientos,
técnicas y métodos
genera con el tiempo
pasividad en losestudiantes.

Despierta una alta motivación yparticipación por querer resolver el
problema.
Movilizan experiencias previas yconocimientos adquiridos.
Hacen supuestos, experimentan, trazan
planes y, por último, sienten la satisfacciónde haber solucionado el problema.

Aplicación de la estrategia
La casa de David no tiene agua potable. Ellos compran y almacenan
cilindros con agua. David llenó 2 del cilindro, y su hijo Carlos los 3 .
88¿Qué parte del cilindro falta llenar?

Descripción
A partir de este problema aditivo, se aplicará los cuatros pasos para resolver
problemas.

Relación con las capacidades e indicadores
Al resolver este problema los estudiantes matematizan al plantear relaciones entre
los datos en problemas de una etapa, expresándolos en un modelo de solución
aditiva con fracciones, comunican lo que comprenden respecto a la adición defracciones y razonan y argumentan al explicar sus procesos y resultados.

Paso 1: Comprender el problema

Paso 2: Concebir un plan o diseñar una
estrategia

1. ¿Este problema es parecido a otro
1. ¿De qué trata el problema?
que ya conoces?
De la forma como almacenan agua
Este problema ya es conocido, pues
David y su familia y se quiere averiguar
se ha trabajado antes en los primeros
cuánto les falta para llenar el cilindro,
grados, pues la acción que se realiza
dado que David y su hijo Carlos ya
es agregar.
echaron una cierta cantidad.
2. ¿Cómo podría plantear el problema?
2. ¿Cuáles son las acciones que realizan
Se podría utilizar regletas deDavid y Carlos?
fracciones, realizar un dibujo delAgregan agua al cilindro.
cilindro o un rectángulo o al plantear
el problema, usaré todos.
3. ¿Qué te solicita el problema?
Hallar lo que falta para llenar
totalmente el cilindro con agua.

93

Paso 3: Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia
Planteando el modelo de solución con
regletas.
David

CarlosPlanteando el modelo de solución con
un gráfico rectangular.

¿?
Lo que llenó Carlos

El cilindro

Lo que llenó David

Planteando el modelo con un esquema y una operación
+2
8

nada

+ 3
8

2
8

estado inicial

?

2
3
+
8
8

=

estado final

Dependiendo del modelo de solución se aplicará la estrategia, que puede ser:completando a la unidad, contando las partes pintadas, aplicando el algoritmo
de la adición con fracciones homogéneas.
Paso 4: Reflexionar sobre el proceso seguido
Luego de plantear el modelo de solución y la estrategia, fíjate si los datos
corresponden al problema.
¿La solución 5 es lógicamente posible? Si es posible, pues las cantidades
8
iniciales fueron menores al resultado.
Formula otros problemas parecidos a partir del resultado.

Problemas aritméticos de una etapa (PAEV)
Los problemas aritméticos nos muestran las diferentes situaciones de la realidad en lascuales se aprecia fenómenos que responden al campo aditivo (adición y sustracción) o
al campo multiplicativo (multiplicación o división).
En este ciclo se desarrollarán también otros problemas aditivos de una etapa o de un
solo paso que por su formulación o estructura sintáctica, son de mayor complejidadcomo los problemas de comparación 5 y 6. Estos problemas para su resolución solo
se requiere de una operación y se resuelven por medio de la adición o la sustracción.
Asimismo también se desarrollarán problemas aditivos de varias etapas con naturales,
fracciones y decimales y problemas de varias etapas que requieren de utilizar varias
operaciones combinadas para su resolución. Estos problemas pueden ser de contexto
real –ocurren efectivamente en la realidad– o factibles de producirse.

941. Problemas aditivos de una etapa
Describiremos los problemas aditivos-sustractivos con números naturales y decimales,sugeridos para el V ciclo, en los cuales se darán sugerencias sobre los tipos de modelosde solución planteados con material concreto, pictórico y gráfico.

A. Problemas de comparación con decimales
Estos problemas presentan las siguientes características:
En estos problemas se comparan dos cantidades y se establece una relaciónde comparación entre ellas. Los datos son las cantidades y la diferencia que
existe entre ellas. Dado que una cantidad se compara con otra, una cantidad
es el referente y la otra cantidad es la comparada, es decir, la cantidad que secompara con respecto al referente.
A continuación, se describen los problemas para el V ciclo.
Comparación 5 (CM5)
Problema en la que se quiere averiguar
la cantidad referente conociendo lacomparada y la diferencia en más deésta.

Julio mide 1,3 m y mide 0,12 m más que
Fernanda. ¿Cuánto mide Fernanda?
Modelo de solución+ 0,12

1,3
¿?

Julio

Comparación 6 (CM6)
Se quiere averiguar la cantidad referente
conociendo, la comparada y la diferencia
en menos de ésta.

Fernanda

Miguel pesa 48,5 kg, y pesa 9 kg menos
que José. ¿Cuánto pesa José?
-9¿?
48,5 kg
MiguelJosé

B. Problemas de igualación
Estos problemas presentan las siguientes características:
En el enunciado se incluyen las palabras “tantos como”, “igual que”.
En este problema se trata de igualar dos cantidades.

95

Se actúa en una de las cantidades aumentándola o disminuyéndola hasta
conseguir hacerla igual a la otra.
Surgen 6 tipos de problemas.
A continuación, describiremos los problemas sugeridos para el V ciclo.

Igualación 3 (IG3)
Se conoce la primera cantidad Juan tiene S/. 1 700 de ahorros. Si Rebeca ganara
y lo que hay que añadir a la S/. 600, tendría lo mismo que Juan. ¿Cuánto dinero
segunda para igualarla con tiene Rebeca?
la primera. Se pregunta por la
segunda cantidad.
Gana
Sugerido para 5.° grado.
600
1 700

Juan

?
RebecaIgualación 4 (IG4)
Se conoce la cantidad delprimero y lo que hay que
quitar a la segunda para
igualarla con la primera. Se
pregunta por la cantidad delsegundo.
Sugerido para 5.° grado.

96

Una empresa A gana S/. 41 700 en un año. Si otra
empresa B gasta S/. 8 760, tendría ganancias comola primera ¿Cuánto de ganancia en total tiene laempresa B?
8 760

41 700Ganancia deEmpresa A

Empresa A

Empresa B

Gasta

C. Problemas de igualación (IG 5, IG6) con decimales
Estos problemas presentan las siguientes características:
En el enunciado se incluyen las palabras “tantos como”, “igual que”
En este problema se trata de igualar dos cantidades.
Se actúa en una de las cantidades aumentándola o disminuyéndola hasta
conseguir hacerla igual a la otra.
Es al mismo tiempo un problema de cambio y otro de comparación, pues una
de las cantidades se modifica creciendo o disminuyendo para ser igual a la otra
cantidad.
Surgen 6 tipos de problemas.
A continuación describiremos los problemas sugeridos para el V ciclo.

Igualación 5 (IG 5)
Se conoce la cantidad a igualar Flavio gana S/. 645,56, si le dieran S/. 122,34 más,y la igualación (añadiendo ganaría lo mismo que Ernesto. ¿Cuánto ganao en más), debiéndose Ernesto?
averiguar la cantidad quesirve de referente.
122,34¿?
645,56
FlavioErnesto

Igualación 6 (IG 6)
El 5.° A recaudó S/. 25,4 en la venta de papas
Se conoce la cantidad a igualar
rellenas. Si gastara S/. 3,80 tendría lo mismo que ely la igualación (quitando
5.° B. ¿Cuánto dinero tiene el 5.° B?
o en menos), debiéndose
averiguar la cantidad quesirve de referente.
-3,8

S/. 25,4

¿?

5.° A

5.° B

97

Problemas de estructura multiplicativa de una etapa de multiplicación o división
1. Problemas decomparación en más
o de la forma “veces
más que”.

Multiplicación- Comparación en más oamplificación

2. Problemas decomparación enmenos o de la forma“veces menos que”

Multiplicación-comparación en menos

Quinto grado

División-partitiva-comparación en más.
División agrupación-comparación en más.
Sexto grado

División partición en menos.
División cuotición en menos.

3. Problemas decombinación oproducto cartesiano

Combinación-multiplicación oproducto cartesiano

Sexto grado

Combinación-división oproducto cartesiano

1. Problemas de comparación en más o "veces más que"Multiplicación comparación
en másDada una primera
cantidad (multiplicando)
Otra cantidad, que es lasveces que otro la tienede más (multiplicador, dediferente naturaleza que
el multiplicando).
Se pregunta por lacantidad ampliada(producto)de la misma
naturaleza que elmultiplicando.

División partitiva
comparación en más.
Dada una cantidad(dividendo).
Otra cantidad, que es lasveces que tiene de más(divisor). Esta cantidad es
de distinta naturaleza.
Se pregunta por lacantidad reducida(cociente) de la misma
naturaleza que el
dividendo.

Se dan dos cantidadesde la misma naturaleza(dividendo y divisor)
Se pregunta por lacantidad de veces(cociente) que la mayor
contiene a otra.

José ahorró S/. 25,5. Mariela
tiene ahorrado cuatro vecesmás dinero que él. ¿Cuánto
dinero tiene Mariela?

Mariela tiene S/. 102, que
es cuatro veces más que
el dinero de José. ¿Cuánto
dinero tiene José?

Mariela ahorró S/. 102
y José ahorró S/. 25,50.
¿Cuántas veces más ahorró
Mariela que José?

Modelo de solución

Modelo de solución

Modelo de solución

Mariela tiene
4 veces más?

S/. 102

S/. 102?

José
cantidadreferente
José

Marielacantidad
ampliada
S/.25.50

Marielacantidadreferente?

Josécantidad
reducida

Mariela S/. 102
x4

Mariela¿Cuántas veces
más?

4 veces más

S/.25.50

98

División agrupación
comparación en más.

S/.25.50
MarielaJosé

Mariela S/. 102
?

:4
José

?

José

S/.25.50

2. Problemas de comparación en menos o de la forma "veces menos que"Multiplicación comparación enmenos

División partitiva comparación enmenos

División agrupación
comparación en menos

Dada una primera cantidad(multiplicando)
Otra cantidad, que es las veces
que otro la tiene de menos(multiplicador, de diferente
naturaleza que el multiplicando).
Se pregunta por la cantidad
ampliada (producto)de la misma
naturaleza que el multiplicando.

Dada una cantidad (dividendo).
Otra cantidad, que es las veces
que tiene de menos (divisor).
Esta cantidad es de distinta
naturaleza.
Se pregunta por la cantidad
reducida (cociente) de la misma
naturaleza que el dividendo.

Se dan dos cantidades de lamisma naturaleza (dividendo ydivisor)Se pregunta por la cantidad deveces (cociente) que una esmenor que la otra.

Un elefante al nacer pesa enpromedio 118 kg. Su peso es
cincuenta y tres veces menos que
cuando es adulto. ¿Cuánto pesa
un elefante adulto?

Un elefante adulto pesa 6 254 kg.
Un elefante bebé pesa cincuenta
y tres veces menos que unelefante adulto. ¿Cuánto pesa unelefante bebé?

Un elefante adulto pesa
6 254 kg. Un elefante bebé pesa
118 kg. ¿Cuántas veces menos
pesa el elefante bebé que el
elefante adulto?

Modelo de solución

Modelo de solución

Modelo de solución

Pesa 53 veces
menos que

?

6 254
kg

Elefante adulto
cantidad ampliada

Elefante adulto
cantidad referente

118 kgElefante bebé
cantidad referente
Elefante bebé

6 254
kg

?
Elefante bebé
cantidad reducida

Elefante adulto 6 254 kg

118 kgx 53

Elefante adulto¿Cuántas veces
menos?

Pesa 53 veces
menos que?

Elefante adulto

118 kgElefante bebé

Elefante adulto 6 254 kg: 53

Elefante bebé?

?
Elefante bebé

118 kg3. Problemas de combinación o producto cartesiano
En estos tipos de problemas se combinan dos cantidades determinadas, para formar
una tercera. Estas cantidades se combinan uno a uno, con independencia de su ordende colocación.
Combinación multiplicación

Combinación división¿De cuántas formas distintas se pueden
combinar 2 blusas y 3 faldas?

Se pueden combinar de 6 formas
distintas faldas y blusas. Si hay 3 faldas,¿cuántas blusas son necesarias?

blusa roja?
formas?
blusasHay 6
formasblusa amarilla
Dadas dos cantidades de distinta naturaleza(multiplicando y multiplicador), se pregunta por elnúmero de combinaciones posibles (producto).

Dada una cantidad (dividendo) y el número
de combinaciones (divisor), se pregunta porla otra cantidad que se combina (cociente).

99

Problemas con fracciones
El sentido de enseñar los números racionales se debió a que se necesitaba resolver
problemas que no podían ser dilucidados con los números naturales. Los números
naturales y los racionales tienen características diferentes, por lo que en los primeros
ciclos de la Educación Básica implica ciertas rupturas con lo que se aprendió respecto alos números naturales, y esto ya lo torna complejo. Por ejemplo, en los primeros grados
se tiene la certeza que 2 es menor que 3 y esta misma característica no se puede
emplear con las fracciones al indicar, por ejemplo que 1 es menor que 1 . ¿Cómo
3
2
hacer comprender a los niños que esta afirmación es errónea y que ya no funcionacomo en los números naturales?
En tal sentido, se sugiere enseñar las fracciones en problemas de contexto real, que
impliquen expresar repartos, medidas o relaciones entre las partes y el todo. En el
enfoque de resolución de problemas se cambia la organización de enseñar por
contenidos en forma aislada y desconectada por la enseñanza de las fracciones a partir
de problemas; así, los conceptos de fracción y su denominación, fracciones mixtas yequivalentes aparecerán de forma natural y relacionada, por lo que su aprendizaje
queda garantizado y será duradero. Enseñar las fracciones de forma separada oaislada, puede resultar más sencillo, pero es superficial y menos duradero, porque se
olvida fácilmente aquello que no aparece relacionado dentro de una organización ydonde las distintas nociones aparecen desconectadas.

Problemas de reparto
En estos problemas se pretende analizar si es posible seguir repartiendo lo que
queda y además seguir repartiendo en forma equitativa.
Estos problemas se conectan con los conocimientos previos de los niños con
respecto a la división, por lo que la “estrategia” de resolución es la división entre
números naturales. Analizar lo que sobra, lleva necesariamente a que los niños
sigan repartiendo, por lo que aparecerá de manera espontánea el concepto de
fracción, donde ya los números naturales no son pertinentes para dar la respuesta.

Problemas:
1. Reparte 23 chocolates entre 5 de tus compañeros en forma equitativa.
¿De cuántas formas diferentes puedes hacerlo? Busca otros repartos
que sean equivalentes a este.
1

2. Para decorar las bancas de la capilla se necesitan trozos de 4 m decinta. Cada niño compró rollos de cinta distintos. Margarita con su rollo
pudo cortar 8 trozos; Fernando, 6 y Joaquín, 5. A ninguno de los niños
le sobró cinta. ¿Cuál era la longitud de cinta de cada uno?

100

Dos modelos de solución, del problema 1 donde se observa el reparto de las cantidades,la partición de la unidad y también el modelo numérico.

4 + 21 + 101
4 + 21 + 101
4 + 21 + 101
4 + 21 + 101
Lo que sobra lo divido en 5 partes
y le doy a cada uno

1
más
10

4 + 21 + 101
5
20 + 2 21 + 10

1
2

Estos problemas favorecen la aparición simultánea de fracciones mayores y menores
que el entero, y con iguales y distintos denominadores, lo que permite salir de la lógica,
según la cual es necesario enseñar primero un tipo de fracciones (por ejemplo, losmenores que la unidad) para recién después utilizar otras.
Según esta lógica, se permite ir configurando un entramado que vincule unas fracciones
con otras, que pueda ir complejizándose y creciendo. Por ejemplo, al poder establecer
conexiones entre medios y cuartos, octavos y medios, quintos y décimos, tercios y
sextos, para ir ampliando progresivamente de repertorio de fracciones usuales a otras
fracciones con otros denominadores. Se corrobora que a partir de un problema se
pueden desarrollar varios conceptos matemáticos con referencia a la fracción y que
están interrelacionados, por lo que permite un aprendizaje significativo y duradero.

Problemas de medida
En estos problemas se utilizarán las fracciones para medir longitudes. Se proponen
situaciones de medición, donde la unidad no entra una cantidad entera de veces
en el objeto por medir, para provocar la necesidad de fraccionar la unidad.
1. Este pedazo de soga que tiene 3 cm es la quinta parte de una soga.
¿Cuánto mide la soga completa?
3 cm
1
5

?

2. ¿Cuál de las dos áreas
sombreadas es mayor?
Justifica tu respuesta.

3. Busca una estrategia paracolorear 5/8 y justifica tu
respuesta.

Solución101

Problemas de fracción como operador
1. En el último examen, 2 de los 36 alumnos aprobaron el examen.
3¿Cuántos aprobaron el examen?

Modelo gráfico

1
3

1
3

12

12

Modelo con una operación
36 : 3 = 12

36

El todo es 36 y se divide en tres grupos. Cada grupo está formado por
12 estudiantes.
2. En un salón de 30 estudiantes las dos terceras partes son mujeres; delos varones, la mitad son de Lima. ¿Cuántos estudiantes son de Lima?
5
10

10

M

V

3. Un avión tiene que recorrer 450 km. Hizo su primera escala a los
150 km. ¿Qué parte del recorrido le falta realizar?
450 km150?

Mitad, tercia y cuarta de una fracción
1

1. Hoy compraron una pizza para el almuerzo y sobró . Por la tarde, José4
se comió la mitad de lo que sobró. ¿Qué parte de la pizza se comió José?
Por la tarde se comió lamitad de lo que sobró
Con una operación

1
1
1
x
=
2
4
8

sobró 1
4

del gráfico

1
1
1
de
=
2
4
8

2. Susana tiene una bolsa de caramelos y le da a su hermana 2/3 deltotal. A la vez, su hermana le da a su mamá la mitad de lo que le dio su
Susana. ¿Qué parte de los caramelos recibió su mamá?

102

Fracciones en la recta numérica
1. En una carrera de postas de 100 metros planos, la pista está marcada en
tramos iguales, como muestra la figura.
SalidaA

B

C

D

LlegadaInés está en la marca B, ¿qué fracción del total del camino recorrió? ¿Ycuántos metros?
Wilma se encuentra a los 80 metros de la salida, ¿en qué punto está?
Cuando Gladys esté en los 3/5 de la pista, ¿en qué punto estará?

Problemas con dinero y números decimales
Los problemas donde intervienen soles y céntimos constituyen un buen punto departida para abordar los números decimales, en tanto permiten relacionar inicialmente
este contenido con prácticas sociales extraescolares que resultan familiares a losestudiantes. De otro lado, también es necesario que esos conocimientos se vayan
desprendiendo de los contextos particulares para alcanzar un mayor grado degeneralidad. Por ejemplo se podrían plantear los siguientes problemas:
Problemas donde se pueda componer una cantidad de dinero con
nuevos soles y céntimos y dar composiciones equivalentes para una
misma cantidad. Por ejemplo: pagar de diferentes maneras S/. 2,25 conmonedas de 5, 10, 20 y 50 céntimos.
Si el padrino de un bautizo tiene en su bolsa de monedas: 15 monedasde 10 céntimos, 7 monedas de 20 céntimos, 13 monedas de 50 céntimos,¿cuánto dinero tiene en total?
Problemas aditivos que hagan referencia a precios en nuevos soles.
Problemas de reparto de dinero. Por ejemplo, repartir 1 nuevo sol y 50
céntimos entre 2 niños.

1,50
1 nuevo sol
y 50 céntimos
150
céntimos103

3.2 Orientaciones para el desarrollo de lacompetencia Actúa y piensa matemáticamenteen situaciones de regularidad, equivalencia ycambioPatrones con transformaciones geométricas
En los frisos o guardas que figuran en los mantos o en nuestra vestimenta, estánrelacionados con los patrones de repetición que implican una transformación
geométrica. Construir un patrón o una secuencia implica reconocer la unidad mínima ola figura que se repite y a la cual se le aplica una traslación, reflexión o rotación.
Unidad mínima de repetición

También se pueden construir mosaicos con las unidades de repetición o teselas, comolas que se muestran a continuación:
Transformaciones de reflexión: El mosaico es armado con el simétrico de lapieza mostrada.

Teselado por reflexión

Transformaciones de traslación: Son movimientos directos sin cambios.

Teselado por traslación

Transformaciones de rotación:Estos patrones se forman cuando el núcleo
de formación dan giros de ¼ de vuelta ( 90°), de ½ vuelta ( 180°) o vuelta
completa ( 360°)

3.er giro

104

1.er giro

2.do giroObservamos que al cuarto giro, la figura queda en la misma posición de inicio. Es
importante observar que al realizarse el giro o rotación de la figura, hay que considerar
un punto de referencia.

3.2.1. Cubriendo el plano con figuras mediante
traslaciones
Recuerdan que las traslaciones son movimientos directos de las piezas para continuar
con el patrón sin que se realicen cambios de ninguna naturaleza, simplemente, se
trasladan en forma paralela, a la misma distancia y en la misma dirección.

Descripción
Los estudiantes cubrirán una superficie con figuras geométricas, donde construirán
las piezas del patrón a repetirse por traslación. Es importante que vivencien laexperiencia de elaborarlas y pintarlas con los colores que deseen.
Deberán pensar en formular un núcleo de repetición, considerando una combinaciónde colores de las figuras, las cuales se repetirán en la formación del patrón, una vez
identificado el núcleo a ser repetido, este solamente será desplazado.

Relación con las capacidades e indicadores
En esta actividad los estudiantes tendrán la oportunidad de matematizar situaciones
al interpretar datos y relaciones en problemas de regularidad, expresándolos en un
patrón de repetición geométrico con traslaciones, también comunican y representan
ideas matemáticas referidas a expresar el criterio geométrico que interviene en elpatrón utilizando lenguaje matemático apropiado (se traslada, el núcleo o la unidad
que se repite es…). En este proceso además elaboran y usan estrategias de ensayo yerror o una tabla, para ampliar o crear patrones de repetición.

Materiales:
Cartulina.
Regla, escuadra, compás.
Lápiz, borrador.
Tijeras.
Plumones, colores.
Diseños de figuras o papeles decorativos

105Desarrollo:
La docente debe tener en cuenta que en los últimos grados, la enseñanza de la geometría
debe trascender el nivel perceptivo, propiciando la descripción de las características
que permiten analizar propiedades de las figuras.
Paso 1:
Los estudiantes, organizados en grupos de trabajo, diseñan las figuras con papeles decolores, las cuales van a ser trasladadas. Las figuras también puede ser diseñadas en
hojas bond, y posteriormente, coloreadas.

Paso 2:
Proceden a armar el patrón, teniendo en cuenta el núcleo de formación diseñado.
Con esta actividad se espera que los estudiantes comprendan que solo trasladando
figuras en el plano podemos formar patrones. Es importante que observen que en los
mosaicos se visualiza una simetría traslacional, que estas traslaciones conservan lamisma distancia y una misma dirección.
Algunos mosaicos que los estudiantes pueden presentar:

1063.2.2 Estrategia para generalizar patrones
Descripción de la estrategia
Según Mason (citado por Butto y Rojano, 2004) la generalidad es fundamental para
desarrollar el pensamiento matemático y algebraico y puede ser desarrollada a partirdel trabajo con patrones o regularidades, que favorecen la generalización.
Esta estrategia consiste en cuatro pasos y permitirá la generalización, proceso
importante para desarrollar el pensamiento matemático y algebraico. La generalización
en el álgebra es fundamental para desarrollar la abstracción y puede ser desarrollada
a partir del trabajo con patrones.

El propósito
Los estudiantes tendrán la oportunidad de: matematizar al encontrar un elemento
desconocido de la secuencia, identificando el núcleo de formación del patrón.
Elaborar y usar estrategias heurísticas (organizando información en tablas). Razonar yargumentar al justificar la regla de formación, preparándolos para la generalización.
Comunican y describen lo vivenciado con material concreto, el cual les facilita construir
y representar la idea de rotación del elemento que gira.

Pasos de la estrategia
Se propone desarrollar cuatro etapas y se puede resumir así:Paso 1: Percibir un patrón, a partir de la sucesión de figuras, pudiendo surgir
preguntas matemáticas, por ejemplo: ¿cuál sería la regla de formación o el núcleo
que se repite para reconocer el patrón? El primer encuentro con el álgebra es partirde la identificación y comunicación de patrones o de relaciones, a través de lassemejanzas o diferencias.
Paso 2: Expresar un patrón, descubrir cuál es el patrón para uno mismo o para otro.
Es necesario decirlo para que luego se pueda reflexionar sobre él.
Paso 3: Registrar un patrón. Este paso hace visible el lenguaje de la matemática,
transitando desde los dibujos, a los íconos, letras o símbolos; lo cual permite laverificación de la regla.
Paso 4: Probar la validez de las fórmulas. Para que una regla de formación tenga validez
se debe probar de diferentes formas; por ejemplo, mediante su aplicación en otros casos.
Los patrones considerados como una sucesión de signos orales, gestuales,gráficos, etc., que se construyen siguiendo una regla ya sea de repetición (el núcleo
se repite de forma periódica) o de recurrencia (cada término puede ser expresado
en función de los anteriores). En todo patrón se aprecia una estructura de base oun núcleo el da origen a la regla o ley de formación.
Patrones o secuencias se pueden usar indistintamente. Otros autores usan eltérmino patrón para designar estrictamente el núcleo de la secuencia. (Bressan y
Bogisic, 1996).

107Aplicación de la estrategia
Problema 1:
Decorando un aula
Un albañil está decorando con cenefas, un aula de educación inicial de 5
años de una institución educativa. Aún no ha terminado el trabajo, pero paracontinuar con la tarea, el albañil tiene que resolver algunos problemas: ¿En qué
posición tendrá que colocar la siguiente mayólica? ¿Cuánto gira la pieza en
cada movimiento? ¿En qué posición tendrá que colocar la pieza n.º 96?

Paso 1: Percibir un patrón
Los estudiantes comprenden el problema respondiendo las siguientes interrogantes:¿Qué tiene que hacer el albañil? ¿Cómo se sabe qué pieza es la que continúa? ¿Han
identificado el núcleo de formación? ¿Puedes señalarlo en la imagen? ¿Qué relaciones
has identificado? ¿Crees que es un patrón con simetría? ¿Por qué? ¿Cómo crees que
puedes determinar la posición de la pieza n.º 96 si solo se muestran 9 piezas?
Los estudiantes tendrán en cuenta los giros de cada pieza que forma el patrón. Para
ello tienen que preparar sus materiales, probar dichos giros (cuartos de vuelta y reproducirlos en forma gráfica para ir construyendo el núcleo). Los movimientos que realizarán les permitirá identificar la cantidad de veces que tiene que girar la pieza (mayólica)
hasta formar el núcleo que repite.
También pueden experimentar la reproducción de lo solicitado, conforme al modelopresentado.
Ensayan en forma concreta (con piezas de cartulina) para probar los giros
de cada pieza.
Construyen la cenefa (friso) en una tira de cartulina con las piezas queconstruyeron, según la posición obtenida en cada giro. Luego se darán
cuenta que construirla de esta manera es muy laboriosa y es necesario otra
forma más económica de llegar a la pieza n.º 96. Por lo tanto, los estudiantes
asumen el reto de encontrar esta respuesta. ¿Cómo podemos averiguar la
posición de esta pieza?
Paso 2: Expresar un patrón.
Para expresar cuál es el patrón a sí mismo o a otra persona, es necesario decirlo paraque luego se pueda reflexionar sobre él. Al reproducir el patrón se darán cuenta que se
repite cada 4 piezas, por lo que el núcleo o regla de formación del patrón es el siguiente:

108

1.°

2.°

3.°

4.°

Pueden numerar las piezas (1.ª, 2.ª, 3.ª, 4.ª) que constituye el núcleo delpatrón, para luego organizar estos datos en una tabla.
Paso 3: Registrar un patrón. Este paso hace visible el lenguaje de la matemática,
transitando desde los dibujos, a los íconos, letras o símbolos. Esto permite la verificaciónde la regla.
Se les pide a los estudiantes que observen y que centren su atención en loscasilleros pintados de amarillo.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

Se promueve el análisis y la reflexión de estas observaciones: ¿Cómo son
estos números? ¿Son múltiplos de algún número? ¿Cuál es la diferencia
entre estas cantidades? ¿En qué columna se ubican las decenas? ¿Hay
algún parecido entre el 20 y el 40? ¿En qué columna se ubican estos últimos?
¿Cada cuántas filas aparecen las decenas 20, 40? ¿Y las decenas 10, 30, 50?
Se les pide que cuenten las filas que hay después del 10 y del 30, de igual
modo, entre el 20 y el 40. Se espera que los estudiantes respondan que hay
5 filas. Esta es una regularidad encontrada en la tabla.

109

Estas decenas se encuentran en dos columnas: las decenas 10, 30, 50 enla segunda columna y las decenas 20, 40 en la cuarta columna. Esta es
otra regularidad. Si seguimos la secuencia: 10, 30, 50, __ , __ , qué decenas
continúan.
Con estas observaciones en la tabla, los estudiantes se dan cuenta que elnúmero de pieza solicitado se ubicará en la segunda columna.
Una vez ubicada la posición 90, van contando y haciendo las siguientes
relaciones:
91

3.ª columna

92

4.a columna

93

1.ª columna

94

2.ª columna95

3.ª columna

96

4.ª columna

Sabemos que el núcleo del patrón consta de 4 piezas, por lo tanto, la piezan.º 96 se ubica en la cuarta columna.
Teniendo la ubicación de la pieza n.° 96 en la cuarta columna, los estudiantes
se fijan en qué posición se encuentran las piezas de esta columna, que
corresponde al n.° 96.
Las otras respuestas que deben dar los estudiantes corresponde a la piezay los giros
que continúa en el patrón presentado, que es la siguiente:
que han dado las piezas en el patrón son de un cuarto de vuelta.
Paso 4: Probar la validez de las fórmulas. Para que una regla tenga validez, se debe
probar de diferentes formas; por ejemplo, mediante su aplicación en otros casos.
Otra forma de encontrar la fórmula es dividir 96 ÷ 4 = 24; y 24 es la última
pieza del grupo de 4, por lo que podemos llegar a la pieza n.° 96 en lacuarta columna.
¿Podrían encontrar la posición de la pieza n.° 123, sin usar la tabla?
Finalmente, los estudiantes argumentan y justifican sus respuestas.

1103.2.3 Estrategia de resolución de problemas para
problemas de equilibrio
Descripción
A partir de un problema, establecerán equivalencias entre estos objetos buscandomantener en equilibrio una balanza.

El propósito: El propósito de la actividad es que los niños matematicen situaciones
al identificar datos y relaciones de equivalencia; razonen y argumenten al elaborar
y argumentar supuestos sobre las igualdades durante la simulación de pesaje dediversos objetos manteniendo el equilibrio en una balanza. Comunican y representan
ideas matemáticas al expresar igualdades en forma concreta , gráfica y simbólica,
haciendo uso de expresiones aditivas, multiplicativas y del signo “=”.

Materiales:
Balanzas simuladas, siluetas de esferas, cilindros y cubos.

Pasos de la estrategia
1. Comprensión del problema
Presenta el problema garantizando que todos los estudiantes lean:balanza A

balanza B?
balanza C

balanza D¿Qué objetos equilibran la balanza D, asumiendoque los objetos de formas iguales tienen igual peso?

Asegura la comprensión del problema presentado mediante preguntas: ¿De qué
trata el problema? Explica con tus propias palabras. ¿Cuáles son las condiciones
del problema?, ¿qué representan en el problema la balanza A?, ¿la balanza B?, ¿labalanza C?, ¿qué tenemos que averiguar?

111

2. Concebir un plan o diseñar una estrategia
Propicia que los estudiantes diseñen o adapten una estrategia a travésde preguntas: ¿Cómo podemos resolver este problema?, ¿alguna vez han
resuelto un problema igual o similar?, ¿podemos utilizar algún material para
resolver este problema?. Una de las estrategias utilizadas por los estudiantes
debe ser la simulación con material concreto.
3. Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia
Acompaña cada operación matemática de una explicación contando lo que
haces y para qué lo haces. Cuando tropieces con una dificultad que te deja
bloqueado, vuelve al principio, reordena las ideas y prueba de nuevo. Luego,
propicie a representar su solución mediante símbolos o formas geométricas.
Una forma de resolver el problema podría ser:
Haciendo uso de las siluetas simulamos la informaciòn de la balanza B y la
Balanza C para establecer otras relaciones:
En la balanza C se tiene que,equivaley en la balanza B,

equivale

De esas dos afirmaciones podemos establecer una nueva información.
Reemplazamos en la balanza C, siluetas de tres cilindros, por dos cubos
y una esfera.
equivaleObtenemos que

equivale

En la nueva relación, para que no se altere la equivalencia, extraemos
objetos similares en ambos brazos de la balanza (dos cubos de cadabrazo de la balanza)equivale
La nueva relación que se obtiene es:
equivale
Esta relación es la que nos piden determinar en la balanza D, por lo tantola respuesta al problema es: el peso de una esfera y un cilindro es igual
al peso de un cubo.
4. Reflexionar sobre el proceso seguido112

Lee de nuevo el enunciado y comprueba que lo que te pedían es lo que has
averiguado. Fíjate en la solución, ¿te parece que lógicamente es posible?
¿Puedes comprobar la solución? ¿Puedes hallar alguna otra solución?.
Acompaña la solución con una explicación que indique claramente lo que
has hallado. Utiliza el resultado obtenido y el proceso que has seguidopara formular y plantear nuevos problemas.

3.2.4 Jugamos a las “vencidas”
Descripción
Los estudiantes jugarán a “las vencidas” con soguillas para determinar igualdades eequivalencias entre la fuerza de grupos de niños y niñas o grupos mixtos.

Relación de las capacidades con los indicadores
Los estudiantes desarrollarán la capacidad de matematizar, al identificar datos yrelaciones de equivalencia mediante un juego vivencial, los cuales serán expresados
mediante igualdades en forma concreta , gráfica y simbólica, haciendo uso deexpresiones aditivas, multiplicativas y del signo “=”.

Materiales:
Soguillas de 4 metros, hojas cuadriculadas, lápiz.

Pasos de la estrategia
1. En el patio de la escuela o en un ambiente amplio y libre, forme dos o más grupos
mixtos de estudiantes, dependiendo de la cantidad de asistentes. Entregue una
soguilla a cada pareja de grupos e indíqueles que jugarán a las vencidas para
determinar qué grupo es el más fuerte. Gana el grupo que logra hacer pasar sobrela marca en el piso a un integrante del otro grupo.
2. Luego de experimentar el juego, pregunte a los grupos: ¿Quién ganó?, ¿cómo
podríamos hacer que el juego termine en empate? Promueve que los estudiantes
lleguen a la conclusión de que podrían agregar o quitar integrantes en los grupos,para obtener el equilibrio de fuerzas.
3. Motiva a que investiguen diferentes formas de obtener empate en el juego de lasvencidas. Estos resultados serán escritos en una hoja, por ejemplo:
La fuerza de dos niños es igual a la fuerza de tres niñas. La fuerza de Jimmy y
Edwin equivale a la fuerza de Ethel, Sisa y Betty juntas.
4. En el aula, conversa con los estudiantes sobre las equivalencias encontradas y
propicie a que cada una de sus anotaciones las transcriban en una tabla, haciendo
uso de símbolos matemáticos, dibujos o figuras geométricas.

LENGUAJE ESCRITO
La fuerza de dos
niños equivale ala fuerza de tres
niñas.
…

LENGUAJE ICÓNICO- SIMBÓLICO
2=3

Equivale: Niños: NiñasO 2H = 3M
H: hombres
M: mujeres
…

…

113

Asegura que los estudiantes comprendan, expliquen y justifiquen cada una de sus
propuestas.
5. Dialoga con los estudiantes sobre equivalencia e igualdad.
6. Plantea un reto. Que resuelvan el siguiente problema:

ALGO NO ESTÁ BIEN
Supongamos que:Cada niña puede tirar tan fuerte como cualquiera de sus compañeras.
Cada niño varón puede tirar tan fuerte como cualquiera de su compañeros.
Es posible descubrir que la siguiente información no es confiable pues hay
una contradicción en ella, ¿podrías indicar en qué consiste tal contradicción?
Cuatro niños empatan con cinco niñas.

Un niño y dos niñas empatan con el tío Juan.

Tío Juan y dos niñas empatan con los cuatro niños.

7. Enfatiza la resolución haciendo uso de los 4 pasos para resolver un problema. Losestudiantes podrían simularlo haciendo uso de material concreto.

114

3.3 Orientaciones para el desarrollo de lacompetencia Actúa y piensa matemáticamenteen situaciones de forma, movimiento ylocalización
Desarrollar esta competencia en este ciclo implica que los estudiantes se relacionen conlas formas, el movimiento y la localización de los cuerpos, desde su propia experiencia,
desde su percepción, su construcción, reproducción y designación de los objetos
geométricos. También se espera que se relacionen con la geometría dinámica frente a lageometría estática (de tiza y pizarra) presentando las formas desde diferentes posiciones
y vistas; se relacionen con una geometría interfigural e intrafigural frente a la geometría
exfigural propia de la enseñanza tradicional, haciendo explícitas las relaciones de una
figura y las que tiene esta figura con las otras; una geometría que tenga en cuenta el
carácter inductivo, deduciendo e infiriendo las propiedades geométricas, a partir deejemplos concretos de construcción y visualización.
Los estudiantes del V ciclo participarán en actividades que impliquen matematizar
objetos del entorno para expresarlos en un modelo relacionado con prismas, pirámides,
cilindros, cuadriláteros, triángulos y polígonos; expresar la ubicación de un objeto en
un croquis, empleando puntos cardinales en un sistema de coordenadas e identificar
características de los objetos por ampliación, reducción y rotación en un cuarto de vuelta
y media vuelta. Asimismo, se espera que comunique y represente ideas matemáticas
con las nociones arriba mencionadas; también se espera que empleen diversas
estrategias para la construcción de las formas y las transformaciones y razonen yargumentan cuando expresan sus conjeturas sobre las propiedades geométricas delos formas bi y tridimensionales y sus transformaciones.

3.3.1 Estrategias para aprender geometría según Van
Hiele
El modelo de Van Hiele ha sido elaborado por la escuela holandesa por los profesores
Van Hiele. El modelo consta de dos componentes: de los niveles de razonamiento y las
fases de aprendizaje. En el fascículo del III ciclo se han descrito las fases de aprendizaje,
las cuales también serán usadas en este ciclo.

APLICACIÓN 1 : Construyen casas y edificios con prismas y pirámides
Descripción
Los niños observarán las siguientes fotos de edificaciones de su localidad y se les pedirá
que hagan una réplica usando el material concreto y formas como prismas y pirámides.

115

Contextualiza esta
actividad con las casas
o edificaciones detu comunidad, de tu
región o tu ciudad.
Fotografía 1: casita andina
Tomada de: http://www.artelista.com

Fotografía 2Maqueta de principales edificios de laciudad de Madrid
Tomada de: http://yair.es/multimedia/datos/
Edificios_matematicos_011920_170610_1602.pdf

Materiales:

Poliedros desarmables, 1 bolsa de sorbetes (cañitas), tijeras. Fotos de edificios oedificaciones de su localidad.

Matematizan cuando
identifican característicasgeométricas en las
edificaciones y las
relacionan con prismas opirámides.

Relación con las capacidades e indicadores
Estas actividades propician que los niños matematicen al identificar
características y propiedades y poder expresarlas en prismas opirámides; comuniquen y representen ideas matemáticas al expresar,
usando lenguaje matemático, los elementos y propiedades de losprismas y pirámides, y representar estos sólidos usando diversos
materiales concretos; elaboren estrategias al construir los cuerpos
geométricos y razonen y argumenten cuando establecen conjeturas
sobre las propiedades geométricas o explican y argumentan el
resultados de sus respuestas o sus construcciones.

1.a fase: discernimiento o información
Los estudiantes se familiarizan con los materiales sin recibir indicaciones del docente,solo manipulándolos. Esto les permite concentrarse exclusivamente en lo que haceny, también, descubrir propiedades matemáticas por sí mismos.
Realiza preguntas para que expresen las propiedades y características de losmateriales y de las fotografías.
En esta fase se espera que los estudiantes expresen lo que saben sobre los elementos
o las características de los objetos relacionándolos con algunos nombres geométricosque conocen.
Al estar en el nivel 1 de reconocimiento, por ejemplo, al usar los poliedros, se darán cuentade que están formados por cuadrados, triángulos equiláteros y pentágonos. Podrán
mencionar los elementos de estas figuras como vértices, lados y ángulos.

116

De las edificaciones de las fotos podrían decir que tienen forma de cajas o de prismas.
Que algunos edificios se parecen porque son prismas, pero algunos tienen otra forma
en la punta; podrían decir que se trata de una pirámide o mencionar también laforma de sus bases.
Haz que realicen un cuadro con las características de los objetos.
Figura tridimensional(nombre)DibujoCaracterísticas

Figura bidimensional(nombre)DibujoCaracterísticas

2.a fase: orientación dirigida
Se propone una secuencia graduada de actividades aconstruir y explorar orientadas a la construcción de las ideas
matemáticas. En este caso, se proponen las siguientes
actividades. Se sugiere que todos los alumnos pasen por la
experiencia de construir los prismas y pirámides con ambos
materiales.
El grupo que tiene los poliedros une las piezas
para construir las edificaciones de la zona. Losestudiantes se podrán dar cuenta que las casitas
están compuestas por dos cuerpos diferentes, pero
con una característica en común.

Elaboran estrategias
al determinar cómoconstruirán las edificaciones
usando diversos materiales
concretos.
Comunican y representan
lo que saben sobre losprismas y pirámides.

Construir las edificaciones con los sorbetes o cañitas requiere de mayor tiempoy de destrezas motoras más finas pues en la elaboración tienen que pensar enla forma de unir las cañitas. Esto lo pueden hacer con lana o creando soportes
de enlaces o puentes entre dos cañitas con otro sorbete, introduciéndolas
dentro de ambas cañitas. También tienen que decidir de qué tamaños seránlas cañitas para obtener el prisma o la pirámide deseada.
Construir una réplica de la ciudad con edificaciones distintas con material
reciclado o construido con plantillas de los prismas con cartulina.
En esta fase se debe orientar a que los estudiantes determinen las
características de los cuerpos que componen una casita o un edificio. Y
que, por ejemplo, en el tejado de la casita sus caras laterales tienen forma
rectangular; y tiene otras dos caras paralelas en forma de triángulo. Orientar
para identificar las caras y aristas paralelas y perpendiculares. Pregunta:¿en qué otras formas encontramos caras paralelas y perpendiculares.

1173.a fase: explicitación
Una vez realizadas las experiencias, los estudiantes expresan sus resultados ycomentarios. Durante esta fase, estructuran en esquemas o gráficos el sistema derelaciones halladas, y lo expresan usando su propio lenguaje.
Como todavía no se conoce el nombre de los prismas o pirámides, se sugiere que sele ponga letras: el "cuerpo A" o "B".
A partir de las construcciones se pide que completen el cuadro con los elementos delos prismas y las pirámides.
DibujoVértices

Aristas

Caras

Cuerpo A
Cuerpo B
4.a fase: orientación libre
Los estudiantes podrán aplicar los conocimientos adquiridos de forma significativa
a situaciones distintas a las presentadas, pero con estructura comparable. Esta faseproporciona la práctica adecuada para aplicar los conceptos adquiridos que han sido
formados.
Construir otros prismas y pirámides con bases diferentes, usando material concreto(palitos y plastilina) con y sin el modelo presente, es decir, con o sin presencia delcuerpo geométrico.
Que construyan prismas y pirámides a partir
de instrucciones orales y escritas.
Que construyan edificaciones a partir de sus
vistas usando cubitos. Esta actividad también
ayudaría para propiciar la noción de volumeny área lateral y total.

Construido con cubescape (http://www.
themaninblue.com/experiment/Cubescape/)

Esta es la vista de un prisma desde arriba, constrúyelo usando plastilina o cañitas oplantillas.

118

5.a fase: integración
En esta fase los estudiantes están preparados para asimilar el nombre matemático
de los objetos, así como para entender los signos, los símbolos y las operaciones. En
las fases anteriores trabajaron con el concepto, pero en ningún momento se les dio
el nombre ni se les mostró un gráfico o un símbolo. Es aquí donde se estudian las
propiedades de la estructura abstracta.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian los prismas y laspirámides?
¿Qué pasaría si la base del edificio que has construido cambia?
¿Sigue siendo un prisma?
Solicita que completen el cuadro con el nombre de los prismas opirámides según sus bases.

Nombre delprismaDibujoVértices

AristasRazonan yargumentan
cuando establecen
conjeturas sobrelas diferencias ysemejanzas de losprismas y pirámides

Caras

Prisma ….

Prisma ….

Aplicación 2: Construyen prismas, pirámides y cilindros a partir de sus plantillas
Descripción
Los niños desarmarán varias cajas y construirán otros modelos o plantillas similares,
observarán por qué figuras geométricas planas están constituidas las plantillas o lasredes.

Materiales
Cajas de distintos modelos en forma de cubos, prismas y piramides, hojas cuadriculadas,
cartulina, goma y tijeras.

119Fases:Información

Los niños desarman las cajas o los envases y observan sus
características y propiedades, miden la longitud de sus lados.
Registran lo observado.

Orientación
dirigida

Se explica que el objetivo de la actividad es que observenlas plantillas de las cajas u otros envases con formas deprismas para que construyan otras similares, pero que
obtengamos siempre el mismo cuerpo. También el objetivo
es que hallen el área total de estos sólidos.
Reproducen las plantillas en hojas cuadriculadas de 1 cm delado y expresan el área total en cuadraditos y luego en cm.
Realizan otros modelos de plantillas para el cubo, prisma
rectangular, cilindro o la pirámide.

Explicitación

Expresan las características de las plantillas del cubo,
prisma o pirámide usando su propio lenguaje y lo que
ya conocen de estos cuerpos geométricos. Expresan lascondiciones para que se puedan conectar las caras de lasplantillas y obtener un cuerpo geométrico.
Explican los procedimientos que usaron para el hallar elárea total del cubo, prisma o pirámide e intercambian
experiencias con otros grupos.
Incorporan a su vocabulario nuevas palabras geométricas.

Orientación
libre

Se entrega un material fotocopiable de los diferentes
desarrollos de un cubo, prisma, cilindro o pirámide paraque determinen cuáles corresponden.
Expresan las condiciones que debe tener la plantilla paraque pueda ser un buen modelo para construir un cuerpo
geométrico.

Integración

Se hacen explícitas las ideas matemáticas construidas:
Características y elementos de los prismas, cilindros opirámides.
Diferencias y semejanzas entre estos cuerpos geométricos.
Clasificación de los prismas y pirámides por el número delados.
Características o propiedades que deben tener las
plantillas de los cuerpos y calculan el área lateral contando
los cuadraditos o empleando el procedimiento de cálculo
de áreas.

1203.3.2 Recursos para enseñar las figuras planas
MecanoTangram

Geoplano

Doblado depapel

El material didáctico juega un papel fundamental en la enseñanza-aprendizaje de lageometría. Para usar este material, el aula se debe convertir en un laboratorio donde los
niños experimenten, manipulen y construyan relaciones geométricas a partir del material.
Los materiales por sí solos no hacen la clase, se debe pensar en problematizar al
estudiante seleccionando las tareas que se presentarán haciendo uso de los recursos
didácticos.

Mecanos
Los mecanos son varillas que permiten construir diversos polígonos y entender las
propiedades de diversos conceptos matemáticos como líneas abiertas y cerradas,
construcción de polígonos, reconocimiento de formas geométricas, clasificación delos polígonos, transformación de unos polígonos en otros mediante la movilidad desus lados, ángulos, composición y descomposición de figuras.

http://www.eweb.unex.es/eweb/ljblanco/CD%20materiales/imagenes/mecano/Mecano%205.jpg

121

Actividades
1. Construye una figura cerrada con tus mecanos.
2. Construye una figura cerrada con el menor número de tiras.
3. Construye triángulos con tiras iguales y decir ¿cuánto miden sus lados?
4. Construir triángulos con dos lados iguales y uno diferente.
5. Es posible construir un triángulo con tres varillas cuyas dimensiones sean 10 cm,
12 cm y 25 cm. Construye con ellas un triángulo. ¿Qué sucede?
6. Construye 3 varillas cuyas dimensiones sean 10 cm, 12 cm y 20 cm. Construye con
ellas un triángulo. ¿Qué sucede? ¿Qué puedes concluir?
7. Con ayuda de tus mecanos construye diversos cuadriláteros.

Geoplano
En la mayoría de las escuelas públicas del país
cuentan con geoplanos; hay que aprovecharsu potencialidad para trabajar diversos
conceptos geométricos como las figuras planas,
simetría, traslación, ampliación y reducción,área y perímetro, potencia cuadrada y también
conceptos de números como fracciones, nociónde multiplicación.

Actividades
1. Construye una figura y amplíala al doble o redúcela a la mitad.

Estiraral doble

Encoger ala mitad2. Construye una figura y traslada según se indica.
3 unidades a la derecha

122

3 unidades hacia abajo

1 unidad a la derecha
3 unidades hacia arriba

3. Construye una figura simétrica e indica su eje de simetría.

Eje de simetría

Eje de simetría

TangramJuego de rompecabezas formado por 7 piezas. Con este juego se puede
problematizar con los estudiantes la composición de diferentes clases depolígonos, al mismo tiempo que se estudian polígonos con áreas o perímetros
iguales. Asimismo estudiar los ángulos, compararlos, ordenarlos. Se desarrollala suma y la igualdad, el paralelismo y la perpendicularidad; ordenar piezas
por áreas, medir las piezas usando la pieza menor; las relaciones de adición
y sustracción entre piezas. El tangram no es un solo un recurso potente para lageometría sino también para los números para calcular fracciones equivalentes.

Actividades
1. Construye un cuadrado con dos piezas y otro cuadrado
con todas las piezas.
2. ¿Cuántos rectángulos puedes construir con solo 3 piezas?
3. Construye un rectángulo con 5 piezas.
4. Construye un rectángulo con todas las piezas.
5. Construye dos trapecios con todas las piezas.

Doblado de papel
Haciendo dobleces al papel podemos construir variados objetos, animales opersonas y desarrollar o aplicar muchas ideas y conceptos matemáticos, como
noción de rectas, ángulos, relaciones entre líneas y ángulos, suma de ángulos deun triángulo, área, construcción de polígonos, simetrías, construcción de poliedros.
También con esta entretenida actividad podemos desarrollar la psicomotricidad fina,
así como la percepción espacial y otras habilidades como escuchar indicaciones.

1231. Cuando se arma un cerdito a partirde un cuadrado de papel permitiráque:•

Los niños interpreten mensajes,
códigos, gráficos e incorporan
vocabulario matemático en su
descripción. Por ejemplo: el
cuadrado lo doblamos por la mitad
y este otra vez por la mitad y hemos
obtenido un rectángulo. Del cuarto
al sexto paso se construye una
nueva figura que es el trapecio.

•

Realiza las siguientes preguntas
Tomado de http://en.origami-club.com/
para determinar sus relaciones ycaracterísticas: ¿por qué es diferente el trapecio del rectángulo, en qué se parececon el rectángulo y con el cuadrado, ¿cómo son sus lados? Tiene dos lados paralelos
y otros dos no paralelos. ¿Cuántos ángulos tiene? ¿cómo son sus ángulos? ¿cómo
demostrarías que sus lados no paralelos son iguales?, para ello pueden superponerel papel y luego medir sus lados con regla o con una regleta de color.

3.4 Estrategias para el desarrollo de lacompetencia Actúa y piensa matemáticamenteen situaciones de gestión de datos e
incertidumbre
3.4.1 Estrategias para resolver problemas
estadísticos
Según GAISE1 la resolución de problemas estadísticos es un proceso de investigación
que involucra cuatro pasos:
Paso 1: Formular preguntas, que implica aclarar el problema en cuestión y formularuna o más preguntas que pueden ser respondidas con datos.
Paso 2: Recopilar datos, que implica diseñar un plan para recopilar datos apropiados
y emplear el plan para recogerlos.
Paso 3: Análisis de datos, que implica seleccionar una gráfica o métodos numéricos
apropiados y utilizar estos métodos para analizar los datos.
Paso 4: interpretar resultados, que implica comprender los resultados del análisis yrelacionarlos con el problema planteado.

1 Guidelines for assessment and instruction in statistics education (GAISE) report: a pre-k–12 curriculum
framework. Authors, Christine Franklin. 2007 by American Statistical Association Alexandria.

124

APLICACIÓN 1 : ¿Cómo cuidamos el agua en nuestra escuela?

Descripción
La siguiente actividad se genera ante una problemática particular de la escuela debido
a la escasez de agua. Se sabe que el agua es un recurso vital, ningún ser vivo podría
sobrevivir sin agua. Cada vez se habla más que la población aumenta vertiginosamente y que el agua se va a agotar. Si estamos entre los países con más recursos hidrobiológicos, ¿por qué somos uno de los países más vulnerables con el cambio climático
y con la escasez de agua? Se orienta sobre la necesidad de reflexionar sobre el uso
inadecuado del agua en la escuela y tomar medidas para ahorrar.

Relación de las capacidades con los indicadores
El propósito de las actividades es que los niños matematicen una situación al identificar
datos estadísticos a partir de una lectura o de los datos recolectados en el aula o en laescuela. Comunican y representan al expresar sus ideas sobre datos, variables, gráficos, moda, media aritmética y de cómo presentan los datos de modo que al primer
golpe de vista reflexionen sobre la situación que viven con respecto al uso y cuidado.
Luego, elaboran estrategias para decidir cómo organizar y representar la información
recogida en tablas y gráficos estadísticos. Razonan y argumentan con base en el estudio estadístico realizado, al dar propuestas sobre cómo cuidar el agua, apoyando ypromoviendo programas e ideas para su cuidado.
Paso 1: Formular preguntas
El docente junto con los niños aclaran el problema en cuestión.
Propicie la reflexión sobre el tema para que los estudiantes estén motivados y se
involucren con el tema. Proporcione artículos sobre la problemática del agua en su
localidad o en su región, por ejemplo, que lean la siguiente noticia:

POBRES SIN AGUA. En conversación con Perú.21, Abel Cruz, coordinador deesta organización, reveló que a nivel nacional son alrededor de 10 millones depersonas que no cuentan con un servicio de agua potable ni sistema de desagüe
y alcantarillado.
Aseguró que en los pueblos más alejados de Huancavelica, Cusco y Ayacucho loshabitantes consumen el agua de los riachuelos. “Ese líquido no es potable, por lotanto no siempre es saludable”, señaló.
Explicó que en el caso de la capital, los asentamientos humanos de distritos como
San Martín de Porres, Ancón, Ventanilla, Carabayllo y Villa el Salvador, concentran
la mayor cantidad de ciudadanos que no cuentan con el líquido elemento. “Lospobladores de las periferias de Lima muchas veces sacan de los pozos o lacompran a 2 o 2,5 soles el cilindro de 200 litros”.
Publicado en Perú 21, 22 de marzo de 2010.

125Permite que los niños analicen esta información:
Tres de cada cuatro ciudadanos del planeta dispone solo de 50 litros de agua
al día, el mínimo necesario para una calidad de vida razonable es de 80 litros
por persona al día. En cambio, en el llamado mundo desarrollado se consume
un promedio de 250 litros por persona y al día.

Propicia la reflexión entre los estudiantes para que formulen preguntas a través deuna lluvia de ideas y luego seleccionen la más apropiada e identifican cuáles secontestan con palabras y cuáles con números.
Por ejemplo:

N.° pregunta

N.° pregunta

Posibles
respuestas

1¿Tienes agua
potable?

Sí
No¿Cuántos litros
consumes deagua al día?
Haz un cálculo
aproximado.

5 litros
10 litros
15 litros
20 litros
Más de 20 ymenos de 50
litrosMás de 50 ymenos de 1002

La respuesta
es connúmeros opalabras(cuantitativa ocualitativa)

PalabraCualitativa

NúmeroCuantitativa

Variable

En la segunda pregunta, surge otra: ¿Cómo podemos cuantificar la cantidad deagua que consumimos? ¿cómo lo comprobamos? ¿qué podríamos hacer? ¿cómo
podemos realizar una experiencia para observar lo que consumimos, desde el momento que nos levantamos hasta que nos vamos a dormir?
Determina las diferencias entre los datos cuantitativos; estos pueden ser realizados
por medición o por conteo.
Determina cuáles de esas preguntas permite recoger datos.

126

Paso 2: Recopilar y registrar datos
Una vez seleccionadas las preguntas, propicia que redacten una encuesta. Porejemplo:
Grado de estudios: ________ Edad: ______

HombreMujer

1. ¿Sabes de dónde viene el agua que bebemos en la casa o en el colegio?
No

Sí

2. ¿Cuántos vasos de agua tomas al día?
2

1

3

4

5

Más de 5

3. ¿Cuántas veces te lavas las manos? ____
4. ¿Qué haces mientras te lavas las manos?
Mantengo abierto el caño porque no me demoro en enjabonarme.
Cierro el caño mientras me enjabono las manos.
5. ¿Avisas al responsable cuando encuentras caños, tanques de inodoros o mangueras estropeadas?
Nunca

A vecesA menudo

Siempre6. ¿Cuántas veces te lavas los dientes? ____
7. ¿Qué haces mientras te lavas los dientes?
Mantengo abierto el caño porque no me demoro en cepillarme.
Cierro el caño mientras me cepillo los dientes.
8. ¿Cuántos litros de agua consumes en un día? Haz un cálculo aproximado.
de 50 a 10 L

de 10 a 20 L

de 20 a 50 L

de 50 a 100 L

Ordena los datos por categorías. Cada pregunta puede generar un cuadro deorganización distinto.
Por ejemplo:
TABLA 1 : cantidad de vasos que se consumen por día
N° vasos*

Cantidad de alumnos
Recuento (palotes)

Total(frecuencia absoluta)

1
2
3
4
5
Más de 5*Considerar en los vasos de agua que se consumen:
los vasos de refrescos, sopas, jugos, etc.

127

Determinen a quiénes van a encuestar, es decir, cuál será la población. De esa
población encuestarán a todos o solo una muestra representativa, es decir, solo a
una cantidad determinada ¿Cómo seleccionar esa muestra?, ¿hay una técnica?
Paso 3: Análisis de datos, que implica seleccionar una gráfica o métodos numéricos
apropiados y utilizar estos métodos para analizar los datos.
Comprueban que en la tabla, el total de respuestas corresponde al total deencuestados.
Pinto 3 cuadraditos y sigo pintando
hasta completar las 16 encuestas.

Son 16 encuestas.
3 toman 4 vasos
al día.

A partir de la tabla 1 se procede a realizar otros gráficos. Para este ciclo se
recomienda una tabla de doble entrada, diagramas de árbol o gráficos lineales,
pero se pueden incluir otros ya aprendidos en anteriores ciclos como diagrama debarras, pictogramas.
¿Sabes de dónde viene el agua que
tomamos?
Cantidad

Porcentaje

SÍ

24

30%

NO

56

70%

Total

80

100%

70
60

Porcentaje (%)

Respuesta¿Sabes de dónde viene el agua
que tomamos?

50
40
30
20
10
0
Sí

No

Respuesta

En este ciclo también es propicio calcular el porcentaje, la moda y media aritmética
a partir de los datos obtenidos y poder realizar el análisis de estos datos.
Para dar mayor soporte a su investigación, solicita a los estudiantes que empleenprocedimientos de recolección de datos de diversas fuentes de información
indirectas, recortes de periódico, encartes de supermercado, revistas, lecturas, visita
a instituciones de la región como ANA (Autoridad Nacional del Agua) del Ministeriode Agricultura, Sedapal, municipios, bibliotecas, resultados de la COP 20, ONG, etc.

128

Paso 4: Interpretar resultados, que implica comprender los resultados del análisis yrelacionarlos con el problema planteado
Los estudiantes reflexionan y comentan a través de algunas preguntas. Por ejemplo:•

Antes de realizar la investigación, ¿sabías cómo cuidar el agua en la escuela?

•

Al saber cuánto de agua consumes, puedes ser más consciente en su ahorro y
cuidado?

Es muy importante que los estudiantes repasen el proceso que realizaron para
desarrollar su investigación:•¿Cómo hicieron para saber qué datos necesitaban y cómo los iban a conseguir?

•¿Cómo recolectaron los datos? ¿Cómo los organizaron? ¿Cómo losrepresentaron? ¿les fue útil esta representación? ¿por qué?

•¿Les sirvió presentar los datos en porcentajes? ¿Por qué?

•¿Todos los grupos trabajaron con los mismos datos? ¿Comprobaste losresultados? ¿A tus compañeros y compañeras de grupo les salió igual? ¿por
qué?

Evalúan la importancia de la estadística en el estudio de una situación concreta desu realidad.
•

La investigación que han realizado sobre el agua, ¿les ha servido? ¿para qué?
¿Las opiniones que dan ahora respecto a este tema, les parece que tienen
fundamento? Expliquen a su grupo.

•

El estudio realizado, ¿te ha planteado retos que debes asumir? ¿por qué?

Promueven costumbres de cuidado del agua en su familia y generan nuevos
hábitos. Elaboran carteles con sus propuestas:¡Ahorra agua!

¡Ahorra agua!

Cierra el caño y la ducha
mientras te lavas los dientes
o enjabonas tus manos o tu
cuerpo mientras te bañas.

No uses el inodoro
como basurero.

¡Ahorra agua!

¡Ahorra agua!

Regar las plantas tempranoen la mañana o en la tarde
cuando ya se ocultó el sol.

Constata que los caños y el inodoro
no goteen. Avisa siempre a lapersona responsable de su cuidado.

http://cambioclimatico.minam.gob.pe/que-podemos-hacer/tips-sobre-el-cambio-climatico/129

3.4.2 Recursos para plantear experimentos
aleatorios
Del mismo modo, que hay materiales para los números y la geometría también es
necesario contar con materiales para generar y plantear experimentos aleatorios
asociados a las probabilidades. A continuación algunas sugerencias de materiales ypropuesta de actividades.
Dados

Monedas

RuletasJuego decartasBolas dediferentes
colores

Dados
Existen dados de diferentes formas: los cúbicos, tetraédricos, dodecaédricos, etc. Con
ellos puedes generar experimentos aleatorios para determinar la probabilidad.
Actividad: Al lanzar dos dados, ¿qué parejas de números podemos obtener?,¿Cuántas son en total?
Propiciar que el niño experimente libremente, para que pueda descubrir las
propiedades matemáticas al respecto.
Permite que registren los datos de diferentes formas: tablas, diagrama deárbol, etc.
Que socialicen los resultados.
Generar la construcción de los sucesos en pares ordenados: (2,5), (5,2).
Realiza otras preguntas: ¿qué
posibilidades tenemos de sacar
como suma 1?, ¿qué posibilidades
tenemos de sacar como suma un
número comprendido entre 2 y 12
incluidos?
Estas pregunta dan lugar a suceso
imposible y suceso seguro.

130

Juego de cartas
Actividad 1: ¿Cuál de las siguientes experiencias se consideran como aleatorias
y cuáles no:
Sacar una carta y observar si es de corazones.
Todas las cartas son reyes.
Si saco una carta es seguro que sea menor que 12.

Bolas de diferentes colores
Actividad 1: En una caja hay 4 bolas rojas, 3 verdes y 2 blancas. ¿Cuántas bolas
se deben sacar sucesivamente para estar seguro de obtener una bola de cadacolor?
Actividad 2: En una bolsa tenemos 10 bolas, de las cuales 2 son blancas, 4 azules,
3 verdes y una negra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?, ¿cuál
es la probabilidad de sacar una bola azul?

RuletasActividad 1: Construye ruletas con dos, tres, cuatro o más sectorescon colores distintos y otra con dos colores iguales.
Actividad 2: En la ruleta de la derecha:¿Es seguro caer en un color?
¿Qué es más probable?

10

1

2

9

3
4

8
7 6 5

¿Cuál es la probabilidad de caer en un color en una ruleta de
5 sectores, donde 2 sectores son rojo, 2 amarillos y uno es blanco?

MonedasActividad 1: Se lanza una moneda tres veces seguidas:¿Es seguro sacar cara?
¿Es seguro sacar sello?
Experimenta varias veces.
¿Cuál es la probabilidad de obtener más resultados con cara?
Actividad 2: ¿Cuáles son todos los posibles sucesos al lanzar una moneda al aire?
Actividad 3: ¿Cuáles son todos los posibles sucesos al lanzar dos monedas al aire?

131

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UNO. Didáctica de las Matemáticas. N.º 007 - Enero, Febrero, Marzo 1996.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN. (2004). Diseño Curricular para la Escuela Primaria. Educación General
Básica. Buenos Aires: Secretaría de Educación.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA. (2011). Programas de Estudio 2011: Guía para el maestro. Educación
Básica para Primaria. México D. F.: Secretaría de Educación Pública.

133

134

3

2

1

Expresa la medida, estimacióny la comparación del peso deobjetos en unidades oficiales(gramo y kilogramo) usando sus
equivalencias y notaciones.

Describe la duración, estimación
y comparación de eventos
empleando minutos y segundos.

Tiempo y peso3:

Describe la comparación y el orden
de números de hasta seis cifras.

Elabora representaciones denúmeros hasta seis cifras enforma concreta, pictórica, gráfica ysimbólica1.

Expresa en forma oral o escrita,
el uso de los números hasta seiscifras en diversos contextos de lavida diaria (sueldos, distancias,
presupuestos comunales yregionales, aforo de un local, etc.).

Números naturales:

Comunica y representa ideas
matemáticas

Emplea procedimientos demedida, estimación y conversión
al resolver problemas que
impliquen estimar, medir directa oindirectamente el tiempo y peso delos objetos.

Tiempo y peso:

Emplea procedimientos para
comparar, ordenar y estimar oredondear con números naturales.

Números naturales:

Elabora y usa estrategias

Explica a través de ejemplos ycontraejemplos2 las diferentes
formas de representar un número
natural de seis cifras y sus
equivalencias según su valor
posicional.

Números naturales:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Material concreto (ábaco, monedas y billetes), dibujos, gráficos (recta numérica) o representación simbólica (números, palabras, composición y descomposición aditiva y multiplicativa, valor
posicional en centena, decena y unidad de millar, centenas, decenas y unidades).
Un contraejemplo consiste en proponer al estudiante desafíos contradictorios que tiene que resolver, contrario a las ideas matemáticas desarrolladas. Por ejemplo: Se propone la siguiente
afirmación: “Todos los múltiplos de 2 terminan en 2, 4 y 8”. El contraejemplo consiste en formular una expresión que muestre que la afirmación señalada no es válida. En este caso, no es verdad
pues 10 es múltiplo de 2 porque 2 × 5 = 10 y termina en cero. Un contraejemplo también permite construir definiciones, expresando ejemplos que no cumplen con la condición o propiedad
estudiada.
Peso y masa son dos conceptos y magnitudes físicas bien diferenciadas, sin embargo en el habla cotidiana- aunque erróneamente- se usa peso como sinónimo de masa ya que en cualquier puntode la Tierra la masa y el peso tienen el mismo valor, de ahí que popularmente ambas magnitudes se identifican. De otro lado en el habla cotidiana, no se dice “cuánto de masa tienes” o “¿cuánto
masas” , es por ello que en este nivel las diferencias entre masa y peso no sean bien diferenciadas, por lo que no es oportuno diferencias ambos términos en este nivel.

Matematiza situaciones

Competencia 1: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

ANEXO 1: MATRICES DE LAS CUATRO COMPETENCIASPARA EL QUINTO GRADO DE PRIMARIA

135

6

5

4

Expresa mediante ejemplos
su comprensión sobre las
propiedades de la división.

Expresa con sus propias palabras
lo que comprende del problema.

Problemas de división:

Comunica y representa ideas
matemáticas
Emplea propiedades o jerarquíade las operaciones combinadas
con y sin paréntesis con números
naturales, al resolver problemas
aditivos o multiplicativos de varias
etapas.

Problemas aditivos y multiplicativos:

Elabora y usa estrategias(PAEV) Problemas aditivos de igualación 3 y 4. Para este ciclo se plantea estos tipos de problemas por ser muy difíciles, según su estructura sintáctica.
Problemas de varias etapas que combinen problemas aditivos con problemas multiplicativos.
Problemas de análisis del residuo, problemas de utilización de la relación: D = d.q + r; r < d. Problemas para reconstruir el resto de la división.

Usa un modelo de solución aditiva
o multiplicativa al plantear oresolver un problema.

Interpreta relaciones entre los datos
en problemas de división6, y losexpresa en un modelo de solución
con números naturales.

Plantea relaciones aditivas ymultiplicativas en problemas devarias etapas5 que combinen
acciones de agregar, quitar,
juntar, comparar, igualar, repetir,
repartir o agrupar una cantidad;
expresándolas en un modelo desolución aditiva y multiplicativa con
números naturales.
Problemas multiplicativos con números
naturales:

Problemas de varias etapas con números
naturales:

Usa un modelo de solución aditiva
al plantear o resolver un problema
en su contexto.

Interpreta datos y relaciones no
explícitas en problemas aditivos de
una etapa4, expresándolos en un
modelo de solución con números
naturales.

Problemas aditivos con números
naturales:

Matematiza situaciones

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Competencia 1: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

136
Describe la comparación yorden de las fracciones propias
y números mixtos, con soporte
concreto y gráfico.
Elabora representaciones concreta,
pictórica, gráfica y simbólica de lossignificados de la multiplicación
con fracciones.

Elabora representaciones concreta,
pictórica, gráfica y simbólica10 delas fracciones propias, impropias,
números mixtos y fracción de una
cantidad continua.

Expresa en forma oral o escrita, el
uso de las fracciones en diversos
contextos de la vida diaria (recetas,
medidas de longitud, capacidad,
tiempo, precios, etc.).

Problemas con fracciones:

Comunica y representa ideas
matemáticas

Emplea procedimientos (fracciones
equivalentes y algoritmos) parasumar, restar y multiplicar
fracciones.

Emplea estrategias heurísticas
o procedimientos para sumar yrestar al resolver problemas con
fracciones heterogéneas o fracciónde un conjunto.

Emplea procedimientos para
comparar y ordenar con fracciones
y fracciones decimales.

Problemas con fracciones:

Elabora y usa estrategias

Establece diferencias entre
fracciones propias e impropias,
heterogéneas y homogéneas.

Explica a través de ejemplos ycontraejemplos las diferentes
formas de representar fracciones,
fracciones decimales y fracciones
equivalentes.

Establece conjeturas sobre lasrelaciones de orden, comparación
y equivalencia entre fracciones ydecimales hasta el centésimo.

Problemas con fracciones:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

8

Problemas de fracciones que implican reparto, problemas de medida que impliquen comparación de longitudes y áreas.
(PAEV) Problemas aditivos de cambio, comparación e igualación.
9
Problemas multiplicativos de proporcionalidad simple de repetición de una medida. Problemas de área.
10
Material concreto (regletas de colores, tiras de fracciones equivalentes lineales y circulares), dibujos, gráficos (recta numérica) o representación simbólica (números, palabras, notación de fracciones).

7

Emplea un modelo de solución
aditivo o multiplicativo con
fracciones al plantear o resolver unproblema.

Plantea relaciones entre los datos
en problemas9, expresándolos
en un modelo de solución
multiplicativo de una fracción por
un natural.

Problemas multiplicativos con fracciones:

Plantea relaciones entre los datos
en problemas de una etapa8,
expresándolos en un modelo desolución aditiva con fracciones.

Plantea relaciones entre los datos
en problemas7 que impliquen
repartir, medir longitudes, partir
superficies; expresándolos en un
modelo de solución con fracciones.
Problemas aditivos con fracciones:

Problemas con fracciones:

Matematiza situaciones

137

12

11

Elabora representaciones concreta,
pictórica, gráfica y simbólica delos significados de la adición ysustracción de decimales hasta elcentésimo.

Describe la comparación yorden de los decimales hasta elcentésimo en la recta numérica,
en el tablero posicional y según elvalor posicional de sus cifras.

Elabora representaciones
concreta, gráfica y simbólica de losdecimales hasta el centésimo y desus equivalencias.

Expresa en forma oral o escrita, el
uso de los decimales en diversos
contextos de la vida diaria(medidas de longitud, capacidad,
tiempo, etc.).y en el sistema
monetario nacional (billetes ymonedas).

Problemas aditivos con decimales:

Comunica y representa ideas
matemáticas

Explica sus procedimientos y
resultados.

Compara los procedimientos y
estrategias empleadas en distintas
resoluciones.
Emplea la calculadora para
resolver problemas y verificar sus
resultados.

Justifica y defiende sus argumentos
o conjeturas, usando ejemplos ocontraejemplos.

Explica a través de ejemplos
con apoyo concreto, gráfico osimbólico, los significados sobrelas operaciones de adición ysustracción con decimales.

Problemas aditivos con decimales:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Elabora y ejecuta un plan orientado
a experimentar o resolver
problemas.

Emplea estrategias heurísticas12 y
procedimientos o estrategias decálculo para sumar y restar con
decimales exactos y fracciones
decimales.

(1 m 5 cm = 1, 05 m).

Emplea estrategias o recursos para
ubicar y establecer equivalencias
entre una fracción, fracción decimal
1
y un decimal ( 10 = 0,1;35 = 3 + 5 ) y entre diferentes
100 10 100
unidades de longitud

Emplea procedimientos para
comparar, ordenar, estimar y
redondear números decimales alentero más próximo.

Problemas aditivos con decimales:

Matematiza
Elaboray usasituaciones
estrategias

Problemas aditivos de una o más etapas que impliquen combinar problemas de cambio-cambio, cambio-combinación, cambio-comparación, etc.; con números decimales hasta el centésimo.
Estrategias heurísticas como hacer una simulación con material concreto, hacer un esquema, recta numérica.

Determina en qué otros problemas
es aplicable el modelo.

Interpreta datos y relaciones enproblemas aditivos11, y los expresa
en un modelo de solución aditivo
con decimales hasta el centésimo.

Problemas aditivos con decimales:

Matematiza situaciones

Competencia 1: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

138

14

13

Simulación, tablas, empezar por atrás.
Configuraciones puntuales, arreglos, figuras, etc.

Crea una regularidad a partir deun patrón aditivo con números
naturales.

Interpreta los datos en problemasde regularidad gráfica14 y numérica,
expresándolas en un patrón
aditivo con números naturales ofracciones.

Patrones aditivos y multiplicativos:

Propone problemas de regularidad
a partir de patrones de repetición
que combinen un criterio
geométrico de traslación y un
criterio perceptual de color.

Interpreta relaciones en loselementos, de problemas deregularidad y los expresa en un
patrón de repetición que combine
un criterio geométrico de traslación
y un criterio perceptual de color.

Patrones de repetición:

Matematiza situaciones
Utiliza lenguaje matemático para
expresar el criterio geométrico(traslación) que interviene en elpatrón y la regla de formación
creciente del patrón numérico.

Patrones de repetición:

Comunica y representa ideas
matemáticas
13

Emplea procedimientos de cálculo
para ampliar o crear patrones
aditivos con fracciones y números
naturales, incluyendo el uso de lacalculadora.

Patrones aditivos y multiplicativos:

Emplea estrategias heurísticas
para ampliar o crear patronesde repetición geométricos detraslación y criterios perceptuales.

Patrones de repetición:

Elabora y usa estrategias

Justifica sus conjeturas sobre lostérminos no conocidos en patrones
multiplicativos con números
naturales o fracciones.

Patrones aditivos y multiplicativos:

Justifica sus conjeturas sobre lostérminos no conocidos del patróna regla de formación crecienteo constante de los patrones
aditivos con números naturales ofracciones.

Patrones de repetición:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Competencia 2: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio

139Interpreta los datos en problemasde variación entre dos magnitudes,
expresándolos en una relación deproporcionalidad directa usando
tablas.

Problemas de proporcionalidad:

Interpreta datos y relaciones enproblemas de equivalencia oequilibrio, expresándolos en
ecuaciones simples de la forma
ax ± b= c

Ecuaciones:

Matematiza situaciones

Expresa las relaciones deproporcionalidad de dos
magnitudes.

Problemas de proporcionalidad:

Representa el valor desconocido
de una igualdad con íconos.

Ecuaciones:

Comunica y representa ideas
matemáticas

Justifica sus conjeturas usando
ejemplos y contraejemplos.

Compara los procedimientos y
estrategias empleadas en distintas
resoluciones.

Elabora y ejecuta un plan orientado
a experimentar o resolver
problemas.

Emplea la calculadora para resolver
problemas y verificar sus resultados.

Justifica sus conjeturas, usando
ejemplos para afirmar que dos
magnitudes soin directamente
proporcionales.

Problemas de proporcionalidad:

Ecuaciones:
Justifica y defiende sus
argumentaciones, usando
ejemplos, sobre los procedimientos
usados para resolver problemasde igualdades.

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Emplea estrategias de ensayo yerror, experimentación, tablas,
recojo de datos u operaciones para
resolver problemas de relaciones
de cambio o de proporcionalidad.

Problemas de proporcionalidad:

Aplica la propiedad distributiva
de la multiplicación respecto de la
adición para formular igualdades.

Emplea propiedades de las
igualdades (sumar, restar,
multiplicar o dividir en ambos
lados de la igualdad) para hallarel término desconocido de una
igualdad.

Emplea procedimientos por tanteo,
sustitución o agregando, quitandoo repartiendo, para encontrar elvalor o los valores desconocidos
de una igualdad o ecuación.

Ecuaciones:

Matematiza
Elaboray usasituaciones
estrategias

Competencia 1: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

140

Aplica las propiedades de loscuadriláteros o triángulos al plantear
o resolver un problema.

Identifica características ypropiedades geométricas
explícitas según su perímetro yárea en objetos y superficies desu entorno, expresándolos en un
modelo basado en cuadriláteros ytriángulos.

Formas bidimensionales:

Selecciona la estructura delsólido con cubos, para resolver
un problema de construcción deprismas.

Relaciona una construcción con
cubos y sus diferentes vistas.

Reconoce elementos y propiedadesde los objetos según sus caras,
bases, altura, superficie lateral y losrelaciona con prismas.

Formas tridimensionales:

Matematiza situaciones

Representa en forma concreta(tangram, geoplano, origami) ygráfica (en cuadrículas, malla depuntos), cuadriláteros y triángulos,
dados la medida de sus lados,ángulos, el perímetro o el área.

Describe la construcción de formas
bidimensionales a partir de sus
elementos o propiedades.

Describe las características ypropiedades básicas de loscuadriláteros y triángulos con
respecto a sus lados y ángulos
y diagonales, paralelismo yperpendicularidad.

Formas bidimensionales:

Construye figuras tridimensionales
en forma concreta (origami
modular), a partir de su medida e
instrucciones escritas y orales.

Representa gráficamente lasdiferentes vistas bidimensionales
que tiene una forma tridimensional.

Expresa las propiedades yelementos de cubos o prismas
nombrándolos apropiadamente.

Formas tridimensionales:

Comunica y representa ideas
matemáticas

Calcula el área del triángulo a partirdel área del rectángulo.

Elabora conjeturas sobre las
propiedades de los cuadriláteros ytriángulos.

Emplea procedimientos como
componer o rotar figuras,
estrategias de conteo decuadraditos o composición detriángulos para calcular el área deparalelogramos y los trapecios apartir del área del rectángulo.

Establece diferencias entre el área yel perímetro de una figura.

Explica con ejemplos ycontraejemplos las características
de los cuadrados, rectángulos,
rombos, triángulo rectángulo yequilátero, etc

Establece semejanzas y diferencias
entre cuadrado y rectángulo, entre
cuadrado y rombo, etc.

Formas bidimensionales:

Justifica la relación entre laclasificación de prismas según
su base con la clasificación depolígonos.

Elabora conjeturas sobre losprocedimientos matemáticos aaplicar en la solución de problemasde cálculo de volumen.

Elabora conjeturas sobre las
características semejantes de losprismas.

Formas tridimensionales:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Emplea diversos materiales yrecursos para construir o dibujar
figuras bidimensionales.

Formas bidimensionales:

Usa estrategias para construir
cuerpos geométricos y dibujar
figuras según sus vistas, usando
diversos materiales e instrumentos
de dibujo.

Formas tridimensionales:

Elabora y usa estrategias

Competencia 3: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización

141

Aplica la ampliación y reducción defiguras a otros problemas similares.

Identifica condiciones ycaracterísticas de los objetos desu entorno, expresándolos en un
modelo de ampliación y reducciónde figuras en un plano cuadriculado.

Ampliación y reducción:

Emplea un sistema de coordenadas
con puntos cardinales al resolver
problemas de localización.

Organiza datos respecto ala localización de lugares ydesplazamiento de los objetos enla localidad, expresándolos en un
croquis usando puntos cardinales
en un sistema de coordenadas.

Ubicación y desplazamiento:

Matematiza situaciones

Construye de una misma figura doso más ampliaciones o reducciones
en un plano cuadriculado o en elplano cartesiano.

Describe la transformación deampliación y reducción de una
figura en el plano cuadriculado.

Ampliación y reducción:

Grafica en un plano cuadriculado la
posición de un objeto.

Describe rutas de desplazamiento
en guías, planos de ciudades
utilizando referentes espaciales yotras referencias.

Ubicación y desplazamiento:

Comunica y representa ideas
matemáticas

Elabora o ejecuta un plan orientado
a experimentar o resolver
problemas.

Compara los procedimientos y
estrategias empleadas en distintas
resoluciones.

Emplea procedimientos de cálculo
y relaciones de proporcionalidad
para ampliar o reducir una figura.

Ampliación y reducción:

Elaboray usasituaciones
estrategias
Matematiza

Elabora conjeturas sobre la relación
entre la ampliación y reducción con
la proporcionalidad.

Ampliación y reducción:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Competencia 1: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

142

Identifica todos los posibles
resultados de una situación
aleatoria y los resultados favorables
de un evento, expresando su
probabilidad como fracción.

Problemas aleatorios:

Interpreta datos y relaciones(hasta dos variables cualitativas ocuantitativas discretas) en diversos
problemas estadísticos y los expresa
en tablas de doble entrada, gráficosde barras dobles o gráficos depuntos.

Problemas con datos:

Matematiza situaciones

Calcula la moda de un grupo dedatos ordenando los datos entablas de frecuencia.

Describe el comportamiento de
un grupo de datos, usando como
referencia la moda de un conjunto
de datos.

Registra los datos en diagramade árbol a partir de experimentos
aleatorios.

Utiliza expresiones como "másprobable", "menos probable" para
comparar la ocurrencia de dos
sucesos provenientes de la misma
situación aleatoria.

Problemas aleatorios:

Registra en una tabla la frecuencia
de ocurrencia de los eventos ofenómenos.

Problemas aleatorios:

Emplea procedimientos derecolección de datos como
fuentes de información indirectas(recortes de periódico, encartes desupermercado, revistas, lecturas,etc.).

Describe información no explícita
contenida en tablas, gráficos debarras dobles, gráficos de puntos.
Organiza los datos en tablas y losrepresenta en gráfico de barras
dobles o gráfico de puntos.

Plantea una secuencia ordenadade acciones que demandan
recoger y organizar datos
cualitativos o cuantitativos.

Problemas con datos:Elabora y usa estrategias

Realiza preguntas relevantes para
un tema de estudio y sus posibles
opciones de respuesta, a través deencuestas.

Problemas con datos:

Comunica y representa ideas
matemáticas

Elabora supuestos sobre laocurrencia de sucesos con lo
más probable y menos probable,basadas en experiencias concretas.

Problemas aleatorios:

Justifica sus predicciones sobre latendencia del comportamiento delos datos, a partir del gráfico lineal.

Problemas con datos:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Competencia 4 : Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre

143

2

1

Expresa la medida, estimación y lacomparación del peso de objetos
en unidades oficiales usando sus
equivalencias y notaciones más
usuales.

Describe la duración, estimación
y comparación de eventos
empleando años, décadas y siglos.

Tiempo y peso:

Describe la comparación y el orden
de números mayores de seis cifras.

Elabora representaciones denúmeros mayores de seis cifras enforma simbólica2.

Expresa en forma oral o escrita, el
uso de los números mayores deseis cifras en diversos contextos
de la vida diaria (distancias,
presupuestos, precios de casas,premios de lotería, etc.).

Números naturales:

Comunica y representa
ideas matemáticas

Justifica y defiende sus argumentos
o conjeturas, usando ejemplos ocontraejemplos.

Elabora y ejecuta un plan orientado
a experimentar o resolver
problemas.

Emplea procedimientos demedida, estimación y conversión
al resolver problemas que
impliquen estimar, medir directa oindirectamente el tiempo y peso delos objetos.

Tiempo y peso:

Emplea estrategias heurísticas
y procedimientos para resolver
problemas con números naturales.

Emplea procedimientos pararealizar operaciones con números
naturales.

Emplea la calculadora para
resolver problemas y verificar sus
resultados.

Compara los procedimientos y
estrategias empleadas en distintas
resoluciones.

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Elabora y usa estrategias

Problemas de varias etapas que combinen problemas aditivos con problemas multiplicativos. Problemas multiplicativos de combinación-multiplicación y combinación-división o producto cartesiano.
Simbólica (números, palabras, composición y descomposición aditiva y multiplicativa, valor posicional en millones, centena, decena y unidad de millar; centenas, decenas y unidades).

Interpreta relaciones aditivas
y multiplicativas con datos no
explícitos, en problemas de varias
etapas1, y los expresa en un
modelo de solución que combinenlas cuatro operaciones con
números naturales.

Problemas de varias etapas con números
naturales:

Matematiza situaciones

Competencia 1: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

ANEXO 2: MATRICES DE LAS CUATRO COMPETENCIASPARA EL SEXTO GRADO DE PRIMARIA

144

8

7

6

5

4

3

Describe la comparación y orden
de las fracciones decimales8 consoporte concreto y gráfico.

Elabora representaciones
concreta, gráfica y simbólica delos significados de la fracción y sus
operaciones (división).

Elabora diversas representaciones
sobre la fracción de un conjunto.

Fracciones y decimales:

Elabora representaciones concreta,
gráfica y simbólica5 de losmúltiplos y divisores de un número,mínimo común múltiplo y máximo
común divisor.

Múltiplos y divisores:

Elabora representaciones concreta,
pictórica, gráfica y simbólica de lapotencias cuadradas y cúbicas deun número natural.

Problemas de potencia cuadrada ycúbica:Comunica y representa ideas
matemáticas

Emplea procedimientos oestrategias de cálculo para
resolver problemas con fracciones.

Fracciones y decimales:

Emplea estrategias heurísticas,
el MCD y el mcm para resolver
problemas simples de múltiplos ydivisores con números naturales.

Múltiplos y divisores:

Emplea estrategias heurísticas al
resolver problemas relacionados a
potencias cuadrada y cúbica.

Problemas de potencia cuadrada ycúbica:Elabora y usa estrategias

Establece conjeturas sobre lasrelaciones de orden, comparación
y equivalencia entre fracciones,
fracción decimal y decimales hasta
el milésimo.

Fracciones y decimales

Justifica cuando un número es
múltiplo o divisor del otro

Establece conjeturas respecto a losmúltiplos y divisores de un número.

Múltiplos y divisores

Establece conjeturas respecto alas propiedades y resultados de lapotencia cuadrada y cúbica de un
número natural.

Problemas de potencia cuadrada ycúbicaRazona y argumenta generando
ideas matemáticas

Problemas recursivos que impliquen por ejemplo: un cajón contiene 6 cajas con 6 estuches de 6 lápices cada uno. Problemas de productos de medida que impliquen el área de un cuadrado y elvolumen del cubo.
Problemas que impliquen el uso de múltiplos y divisores de números naturales, buscar divisores comunes entre varios números o múltiplos comunes a varios números, descomposición
multiplicativa de un número.
Material concreto (objetos, regletas de colores, base diez), pictórico, gráfica (descomposiciones rectangulares, tablero cien, recta numérica, diagramas de Venn) y simbólicas.
Problemas de fracciones que implican reconocer que la fracción es un cociente: ¿existe una número natural que multiplicado por 6, dé como resultado 8?¿Y una fracción?¿Cuál es el resultado de
dividir 8 entre 6?.
Problemas de fracciones como operador que implican reconocer la fracción de un conjunto o una cantidad discreta (conjunto de objetos, por ejemplo: ¼ de 28 caramelos). Problemas que impliquen
la fracción una cantidad continua (una superficie, una longitud, el tiempo, por ejemplo: ¼ de hora, ¼ de kilómetro)
Fracciones decimales son aquellas cuyos denominadores es una potencia de 10. Por ejemplo: 1/10, 1/100, 1/1000, etc.

Plantea relaciones entre los datos
en problemas7 expresándolos
en un modelo de solución con
fracciones como operador.

Plantea relaciones entre los datos
en problemas6 expresándolos
en un modelo de solución con
fracciones como cociente.

Problemas con fracciones como cociente ycomo operador:

Aplica modelos referidos a losmúltiplos y divisores comunes deun número.

Plantea relaciones entre los datos
en problemas4 y los expresa en un
modelo relacionado a múltiplos ydivisores de un número.

Múltiplos y divisores:

Aplica modelos referidos a lapotenciación al plantear y resolver
problemas relacionados con lapotencia cuadrada y cúbica.

Ordena datos en problemasrecursivos y de producto de
medidas3 y los expresa en modelos
referidos al cuadrado y cubo de un
número natural.

Problemas de potencia cuadrada ycúbica:Matematiza situaciones

145

Explica a través de ejemplos ycontraejemplos las diferentes
formas de representar un número
decimal según su valor posicional.

Emplea procedimientos para
comparar, ordenar, redondear
números decimales a los décimos,
centésimos y ubicar números
decimales entre dos números
decimales.
Emplea estrategias o recursos
para establecer equivalencias yconversiones entre decimales,
fracción decimal, fracción oporcentajes y entre diferentes
unidades de masa o longitud.
(0,25 kg = 20 + 5 = 25
100 100 100= 1 kg = 250 g)
4
Emplea estrategias heurísticas12
y procedimientos o estrategiasde cálculo para sumar, restar,
multiplicar y dividir con decimales
exactos.

Expresa en forma oral o escrita,
el uso de los números decimales
hasta el milésimo y fracción
decimal en diversos contextos dela vida diaria (recetas, medidas
muy pequeñas, etc.).
Elabora representaciones concreta,
pictórica, gráfica y simbólica11
de números decimales hasta elmilésimo y sus equivalencias.

Elabora representaciones concreta,
pictórica, gráfica y simbólica de lossignificados de la, multiplicación odivisión con decimales.

Describe la comparación y orden
de los decimales hasta el milésimo
en la recta numérica, en eltablero posicional y según el valor
posicional de sus cifras.

Problemas aditivos y multiplicativos con
decimales:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Problemas aditivos y multiplicativos con
decimales:

Elabora y usa estrategias

Problemas aditivos y multiplicativos con
decimales:

Comunica y representa ideas
matemáticas

10

9

Problemas aditivos de varias etapas con números decimales hasta el centésimo.
Problemas multiplicativos de proporcionalidad simple de repetición de una medida, de comparación de amplificación y reducción. Problemas de áreas que impliquen medidas en números
decimales.
11
Material concreto (material base diez, regletas), gráfica (ábaco, base diez, cuadrícula de 10 x10, diagramas de tiras) y simbólica (tablero de valor posicional, valor posicional de sus cifras, 0, 75 = 3/4)
12
Estrategias heurísticas como hacer una simulación con material concreto, hacer un esquema, recta numérica.

Identifica datos en situaciones10,
expresándolos en un modelo
de solución multiplicativo con
decimales.

Interpreta datos y relaciones no
explícitas, en problemas de varias
etapas9, y los expresa en un
modelo de solución aditivo que
combinen las cuatro operaciones
con decimales.

Emplea un modelo de solución
aditivo o multiplicativo con
fracciones al plantear o resolver unproblema.
Problemas aditivos y multiplicativos con
decimales:Interpreta datos y relaciones enproblemas que impliquen repartir,
partir una longitud o superficie y losexpresa en un modelo de solución
de división entre una fracción y un
entero.

Plantea relaciones entre los datos
en problemas, expresándolos
en un modelo de solución
multiplicativo entre fracciones.

Problemas multiplicativos con fracciones:

Matematiza situaciones

146
Elabora representaciones concreta,
pictórica, gráfica y simbólica14 deporcentajes más usuales.

Expresa en forma oral o escrita, el
uso de porcentajes más usuales13
en diversos contextos de la vida
diaria (recetas, distancias, ofertas,etc.).

Porcentajes:

Comunica y representa ideas
matemáticas
15

Emplea estrategias heurísticas ,procedimientos y estrategias decálculo al resolver problemas con
porcentajes más usuales.

Porcentajes:

Elabora y usa estrategias

Explica el procedimiento realizado
al resolver problemas con
porcentajes.

Porcentajes:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

14

Problemas aditivos de varias etapas con números decimales hasta el centésimo.
Problemas multiplicativos de proporcionalidad simple de repetición de una medida, de comparación de amplificación y reducción. Problemas de áreas que impliquen medidas en números
decimales.
15
Hacer la simulación con material concreto, hacer un esquema como la cuadrícula de 10 × 10.

13

Comprueba si el modelo usado
permitió resolver el problema.

Emplea un modelo de solución
referido a porcentajes usuales al
crear o resolver problemas.

Plantea relaciones entre los datos
en situaciones, expresándolos
en un modelo de solución con
porcentajes usuales.

Porcentajes:

Matematiza situaciones

147

16

Utiliza lenguaje matemático para
expresar los criterios geométricos(con traslaciones y giros) que
intervienen en la formación delpatrón y la regla de formación
creciente del patrón numérico.

Patrones de repetición:

Comunica y representa ideas
matemáticas

Emplea procedimientos de cálculo
para ampliar, completar o crear
patrones numéricos y gráficos,
cuya regla de formación dependede la posición del elemento, connúmeros naturales, fracciones odecimales.

Patrones aditivos o multiplicativos:

Emplea estrategias heurísticas
para ampliar o crear patrones derepetición geométricos, usando
material concreto.

Patrones de repetición:

Emplea la calculadora para
resolver problemas y verificar sus
resultados.

Compara los procedimientos y
estrategias empleadas en distintas
resoluciones.

Elabora y ejecuta un plan orientado
a experimentar o resolver
problemas.

Elabora y usa estrategias

Justifica sus conjeturas sobre lostérminos no conocidos en patrones
numéricos-gráficos.

Patrones aditivos o multiplicativos:

Justifica sus conjeturas sobre lapredicción de algunos términos
no conocidos de un patrón
geométrico (con traslación y giros).

Patrones de repetición:

Justifica sus conjeturas, usando
ejemplos y contraejemplos.

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Situaciones de regularidad con configuraciones puntuales o patrones gráficos de crecimiento: crecimientos de cuadrados, área de cubos apilados, etc.

Crea una regularidad gráfica apartir de un patrón numérico.

Interpreta los datos en problemasde regularidad numérica y gráfica16,
expresándolas en un patrón aditivo
o multiplicativo o con potencias,que depende de la posición delelemento.

Patrones aditivos o multiplicativos:

Propone situaciones de regularidad
a partir de patrones de repetición
geométricos con traslaciones ygiros de cuartos y medias vueltas.

Interpreta datos y relaciones
no explícitas en situaciones deregularidad, expresándolos en un
patrón de repetición geométrico
con traslaciones y giros de cuartos
y medias vueltas.

Patrones de repetición:

Matematiza situaciones

Competencia 2: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio

148

17

Utiliza tablas o gráficos en elplano cartesiano, para expresar la
proporcionalidad directa entre dos
magnitudes.

Problemas de proporcionalidad:

Representa una desigualdad
con material concreto, gráfico ysimbólico.

Desigualdades:

Representa el valor desconocido
de una ecuación con letras.

Ecuaciones:

Comunica y representa ideas
matemáticas

Emplea estrategias de ensayo yerror, experimentación, tablas,
recojo de datos u operaciones
para resolver problemas derelaciones de cambio o deproporcionalidad.

Problemas de proporcionalidad:

Emplea propiedades desimplificación de términos al
resolver una ecuación.

Emplea procedimientos por tanteo,
sustitución o agregando, quitandoo repartiendo para encontrar
el valor o los valores de una
ecuación, o de una inecuación.

Ecuaciones:

Elabora y usa estrategias= b) o a una

Justifica y defiende
argumentaciones propias y deotros, usando ejemplos, para
afirmar que dos magnitudes son
directamente proporcionales.

Problemas de proporcionalidad:

Justifica y defiende
argumentaciones propias y deotros, usando ejemplos, sobre
el procedimiento utilizado para
resolver problemas de igualdadeso desigualdades.

Ecuaciones:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Según Godino en su libro Razonamiento Algebraico; hay tres tipos de igualdad: las que se refieren a una identidad o propiedad ( a + (b × c) = a × b + a × c), a una ecuación (a +fórmula ( área de un rectángulo = largo × ancho)

Interpreta los datos en una
situación de variación entre dos
magnitudes, expresándolos en
una relación de proporcionalidad
directa.

Problemas de proporcionalidad:

Modifica una desigualdad
al plantear o resolver otros
problemas.

Interpreta los datos y variables
en una situación de desequilibrio
o desigualdad y las expresa enmodelos relacionados a una
inecuación sencilla, por ejemplo dela forma: a < x o a + x > b

Desigualdades:

Modifica una ecuación o igualdad
al plantear o resolver otros
problemas.

Interpreta los datos y variables
en problemas de equivalencia
y equilibrio, expresándolos en
ecuaciones o igualdades17.

Ecuaciones:

Matematiza situaciones

149

Formas tridimensionales:
Expresa la medida del área lateraly total del prisma y la pirámide en
unidades convencionales a partirde sus plantillas o redes.
Expresa la medida del volumen
de cubos y prismas en unidades
patrón (cubitos de 1 cm3,
estructuras de 1 m3).
Construye prismas y pirámides
con material concreto (origami
modular, plantillas), gráfico (papel
isométrico) usando instrumentos
de dibujo; a partir de indicaciones
sobre su medida o su forma.
Representa la medida del volumendel cubo y del prisma recto
rectangular, con material concreto(material base diez) y gráfico.
Explica lo que comprende sobre la
relación entre volumen y la medidade capacidad de los objetos.
Formas bidimensionales:
Describe las propiedades
y relaciones del círculo y lacircunferencia y de los polígonos
regulares según sus lados y susángulos.
Construye la circunferencia usando
instrumentos de dibujo.
Construye polígonos regulares enforma concreta (origami, tiras demecano, etc.) y en forma gráfica.
Representa gráficamente
formas bidimensionales en elplano cartesiano, así como sus
ampliaciones y reducciones.
Expresa la medida de superficie
usando unidades convencionales(km2, m2).
Expresa la medida de distancias
muy largas, usando unidades
convencionales (km).

Formas bidimensionales:
Identifica características ypropiedades geométricas en
objetos y superficies de su
entorno, expresándolos en figuras
geométricas bidimensionales(círculo circunferencia, polígonos
regulares hasta 10 lados).
Aplica las propiedades de las
figuras bidimensionales al plantear
o resolver una situación.

Comunica y representa ideas
matemáticas

Formas tridimensionales:
Plantea relaciones respecto a loselementos y propiedades de lascajas o cubos y los relaciona con
los prismas y pirámides.
Relaciona una forma tridimensional
con sus diferentes vistas.
Selecciona el desarrollo olas plantillas de las formas
tridimensionales para resolver
un problema de construcción deprismas y pirámides.

Matematiza situaciones
Formas tridimensionales:
Establece conjeturas sobre la
relación entre el área lateral y elárea total de los prismas.
Establece semejanzas y diferencias
entre los prismas y las pirámides.
Elabora conjeturas sobre la
relación entre el volumen y lacapacidad.

Formas bidimensionales:
Elabora conjeturas sobre la
relación entre perímetro y áreade formas bidimensionales, entreáreas de cuadriláteros y triángulos.
Establece conjeturas y las verifica
sobre la relación entre el radio y eldiámetro de la circunferencia.
Establece características
semejantes en los polígonos
regulares.

Formas bidimensionales:
Usa estrategias para construir ydibujar figuras según sus vistas
y la rotación, usando diversos
materiales, instrumentos de dibujo.
Usa recursos, instrumentos demedición (cinta métrica) y unidades
convencionales para medir ycomparar longitudes y distancias
muy grandes.
Emplea estrategias que implican
cortar la figura en papel yreacomodar las piezas, dividir
en cuadritos de 1 cm2 y el uso deoperaciones para determinar elárea y el perímetro de figuras
bidimensionales.

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Formas tridimensionales:
Emplea procedimientos de cálculo
para encontrar el área de una
superficie del prisma y el volumen
de un prisma cuadrangularo rectangular en unidades
arbitrarias.
Usa estrategias para estimar y
medir el volumen en unidades
arbitrarias (cubitos) y la capacidad
de objetos y recipientes en litros y
mililitros.

Elabora y usa estrategias

Competencia 3: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización

150

Determina en qué otros problemas
es aplicable el modelo.

Aplica las transformaciones
geométricas de simetría, traslación,
ampliación y reducción a otros
problemas similares.

Interpreta datos y relaciones no
explícitas en objetos del entorno,
al elaborar un modelo basado enla rotación (en un cuarto de vuelta
y media vuelta) de figuras en unplano cuadriculado.

Rotación:

Emplea el plano cartesiano al
resolver situaciones de localización.

Interpreta datos y relaciones no
explícitas respecto a la localizaciónde lugares o desplazamiento
de objetos en la localidad
expresándolos en un croquis enel primer cuadrante del planocartesiano.

Ubicación y desplazamiento:

Matematiza situaciones

Elabora o ejecuta un planorientado a experimentar oresolver problemas.

Representa en forma concreta(geoplano), gráfica y simbólica
(pares ordenados) traslaciones,
reflexiones y giros (cuartos
y medias vueltas) de formas
bidimensionales; y relaciona lostres tipos de representación.

Describe la rotación de una figura
en el plano cuadriculado o en elplano cartesiano.

Rotación:

Grafica en el plano cartesianola posición de un lugar usando
puntos cardinales.

Describe rutas de desplazamiento
en guías, planos de ciudades
utilizando referentes espaciales yotras referencias.

Ubicación y desplazamiento:

Comunica y representa ideas
matemáticas

Compara los procedimientos y
estrategias empleadas en distintas
resoluciones.

Usa estrategias para rotar figuras
a partir de sus vértices, incluyendo
el uso de instrumentos comocompás, transportador.

Rotación:Elabora y usa estrategias

Explica el procedimiento usado
para construir figuras y rotarlas.

Rotación:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

151

Identifica todos los posibles
resultados de una situación
aleatoria y los resultados favorables
de un evento, expresando su
probabilidad como cociente.

Problemas aleatorios:

Selecciona el modelo gráfico
estadístico más adecuado alplantear y resolver problemas.

Interpreta los datos y relaciones no
explícitas en diversas situaciones ylos expresa en una tabla de doble
entrada, diagramas de árbol ográficos lineales.

Problemas con datos:

Matematiza situaciones

Registra en una tabla o diagramade árbol, los resultados de un
experimento aleatorio.

Expresa lo que comprende sobre
la probabilidad de un evento osuceso con apoyo de ejemplos yusando lenguaje matemático.

Problemas aleatorios:

Describe el comportamiento de
un grupo de datos, usando como
referencia la media aritmética y lamoda del conjunto de datos.

Expresa lo que comprende
sobre el significado de la media
aritmética y la mediana de un
grupo de datos con ejemplos yapoyo gráfico.

Medidas de tendencia central:

Calcula la probabilidad de un
evento por medio de la regla deLaplace. (cociente entre casos
favorables y el total de casos).

Problemas aleatorios:

Determina la media de un grupo
de datos usando operaciones
de igualación de valores o elalgoritmo de la media.

Medidas de tendencia central:

Emplea procedimientos derecolección de datos como
fuentes de información indirectas(recortes de periódico, encartes desupermercado, revistas, lecturas,etc.).

Determina la tendencia de unconjunto de datos a partir de su
gráfico.
Representa de diferentes formas
un conjunto de datos, empleando
gráficos estadísticos.

Plantea una secuencia ordenadade acciones que demandan
recoger y organizar datos
cualitativos o cuantitativos.

Problemas con datos:Elabora y usa estrategias

Realiza preguntas relevantes para
un tema de estudio y sus posibles
opciones de respuesta a través deencuestas.

Problemas con datos:

Comunica y representa ideas
matemáticas

Compara probabilidades dedistintos eventos, sin calcularlas.

Elabora conjeturas sobre el
resultado de un experimento
aleatorio, basándose en
experiencias concretas.

Problemas aleatorios:

Justifica sus predicciones sobre latendencia del comportamiento delos datos, a partir del gráfico lineal.

Medidas de tendencia central:Expresa sus conclusiones respecto
a la información obtenida.

Toma decisiones o elabora
recomendaciones sobre el temaen estudio y las justifica.

Problemas con datos:

Razona y argumenta generando
ideas matemáticas

Competencia 4 : Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre

ANEXO 3: MAPAS DE PROGRESO DE LAS COMPETENCIASII CICLO/ 5 años

Identifica situaciones referidas a agregar o quitar objetos y las asocia con nociones aditivas1 . Expresa con su propio
lenguaje sobre agrupar objetos por características perceptuales, ordenar2 hasta 5 objetos, ordenar objetos en una fila
y señalar hasta el quinto lugar, comparar la duración de eventos cotidianos usando “antes” o “después”, compararde manera cuantitativa colecciones de objetos usando algunos términos matemáticos o cuantificadores: “más que”,“menos que”, “pocos”, “ninguno” y “muchos”. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos
o dibujos. Propone acciones para experimentar o resolver situaciones de manera vivencial y con apoyo de material
concreto; emplea estrategias y procedimientos como agrupar, agregar y quitar objetos hasta 5, contar hasta 10 objetos,
y comparar el peso3 de dos objetos, con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su
experiencia.

III CICLO/ 1.o y 2.o de prmaria

Identifica datos en situaciones referidos a acciones de juntar, separar, agregar, quitar, igualar o comparar cantidadesy los expresa en modelos de solución aditivas4, doble y mitad. Expresa los criterios para clasificar objetos en grupos y
subgrupos, ordenar números naturales hasta 100, estimar y comparar la duración de eventos, empleando lenguaje
cotidiano y algunos términos matemáticos o cuantificadores “todos”, “algunos” y “ninguno”. Realiza representaciones
haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos, dibujos, tablas de doble entrada y en forma simbólica. Propone y
realiza una secuencia de acciones para experimentar o resolver un problema, empleando estrategias heurísticas yprocedimientos como estimar, contar y ordenar cantidades hasta 100, medir y comparar la masa de objetos con unidades
arbitrarias; con apoyo de material concreto. Comprueba los procedimientos y estrategias usados. Elabora supuestos y
explica el porqué de sus afirmaciones, procedimientos o resultados con ejemplos.

IV CICLO/ 3.o y 4.o de prmaria

Plantea relaciones entre los datos en situaciones que combinan una o más acciones de agregar, combinar, igualar,comparar, repetir o repartir una cantidad, y los expresa con modelos aditivos o multiplicativos con números naturales
y fracciones usuales. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matemático
su comprensión sobre: reagrupar con criterios distintos, ordenar números naturales hasta millares, medir la masa deobjetos en gramos y kilogramos, medir la duración de eventos en horas, medias horas o cuartos de hora, el significado
de la noción de división y fracción, problemas aditivos5 y multiplicativos6; los representa mediante tablas de doble entrada
y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando
estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo mental y escrito, conteo, orden con cantidades de hasta cuatro cifras;
estimar, medir y comparar la masa de objetos y la duración de eventos empleando unidades convencionales, con apoyo
de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o en
relaciones matemáticas trabajadas y las justifica usando ejemplos.

V CICLO/ 5.o y 6.o de prmaria

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

Interpreta datos y relaciones no explicitas de situaciones diversas referidas a una o varias acciones de comparar e igualar
dos cantidades con números naturales, expresiones decimales, fraccionarias o porcentajes, y los relaciona con modelosaditivos7 y multiplicativos8. Determina en que otras situaciones es aplicable. Describe, utilizando el lenguaje matemático,su comprensión sobre el significado de: la equivalencia entre fracciones, decimales y porcentajes y la noción de potencia;
compara y estima la masa de objetos en unidades convencionales, y la duración de eventos en minutos y segundos.
Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con gráficos y símbolos; relacionándolas
entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas,
procedimientos de cálculo y estimación con porcentajes usuales9 y números naturales, fracciones y decimales; estimar,
medir directa o indirectamente la masa de objetos y la duración de eventos; con apoyo de recursos. Compara losprocedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas sobre procedimientos,
propiedades de los números y las operaciones trabajadas y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
1
2
3
4
5
6
7
8

152

9

Problemas PAEV: Cambio 1 y 2.
Seriación
Coloquialmente se dice peso cuando nos referimos a la masa de un objeto, pero lo formal es decir masa.
Problemas PAEV: Cambio 3 y 4, Combinación 2, y Comparación e igualación 1 y 2.
Problemas PAEV: Cambio 5 y 6, Comparación e igualación 3 y 4.
Problemas multiplicativos (proporcionalidad simple)
Problemas PAEV: Comparación e igualación 5 y 6.
Problemas multiplicativos conocidos como de producto cartesiano.
10%, 20%, 25%, 50%, 75%.

VI CICLO/ 1.o y 2.o de secundaria

Discrimina información e identifica relaciones no explícitas en situaciones referidas a determinar cuántas veces una
cantidad contiene o está contenida en otra y aumentos o descuentos sucesivos, y las expresa mediante modelos referidos
a operaciones, múltiplo o divisores, aumentos y porcentajes. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación
y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas10, su
comprensión sobre las propiedades de las operaciones con números enteros y racionales, y variaciones porcentuales;
medir la masa de objetos en toneladas y la duración de eventos en décadas y siglos. Elabora y emplea diversas
representaciones de una misma idea matemática usando tablas y símbolos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta
un plan orientado a la investigación y resolución de problemas empleando estrategias heurísticas, procedimientos para
calcular y estimar con porcentajes, números enteros, racionales y notación exponencial; estimar y medir la masa, el tiempo
y la temperatura con unidades convencionales; con apoyo de diversos recursos y TIC. Evalúa ventajas y desventajas delas estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones
numéricas o propiedades de operaciones observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en
una argumentación.

VII CICLO/ 3.o , 4.o y 5.o de secundaria

Relaciona datos de diferentes fuentes de información referidas a situaciones sobre magnitudes, números grandes ypequeños, y los expresa en modelos referidos a: operaciones con números racionales e irracionales, notación científica,
tasas de interés simple y compuesto. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones
que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas lasrelaciones entre las propiedades de los números irracionales, notación científica, tasa de interés. Elabora y relaciona
representaciones de una misma idea matemáticas, usando símbolos y tablas. Diseña y ejecuta un plan de múltiples
etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos
para calcular y estimar tasas de interés, operar con números expresados en notación científica, determinar la diferencia
entre una medición exacta o aproximada; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución omodificación de su plan. Formula conjeturas sobre generalizaciones referidas a conceptos y propiedades de los números
racionales, las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos.

DESTACADO

Analiza datos de variadas fuentes de información, define las relaciones o restricciones de situaciones referidas adeterminar cantidades expresadas mediante logaritmos; y las expresa mediante operaciones en diferentes sistemas
numéricos y una combinación de modelos financieros. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia
de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas yconvenciones matemáticas su comprensión sobre: propiedades de los números y las operaciones en los sistemas
numéricos. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña yejecuta un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, usando un amplio repertorio de recursos TIC,
estrategias heurísticas y las propiedades de los números y operaciones en los diferentes sistemas numéricos. Evalúa laeficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis
sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática; y las
justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros..

10

Convenciones matemáticas: por ejemplo, convenir que el cero es múltiplo de todos los números.

153

II CICLO/ 5 años

Reconoce patrones de repetición1 en secuencias sonoras, de movimientos o perceptuales. Expresa con su propio lenguaje
patrones y relaciones entre objetos de dos colecciones. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales
concretos o dibujos. Propone y realiza acciones para experimentar o resolver una situación de manera vivencial y con
material concreto, emplea estrategias y procedimientos propios para ampliar, completar o crear patrones con apoyo dematerial concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.

III CICLO/ 1.o y 2.o de prmaria

Identifica datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio, y las expresa con patrones de repetición2 y patrones
aditivos, igualdades que contienen adiciones y sustracciones. Describe patrones, equivalencias y relaciones empleando
lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales
concretos, dibujos, tablas simples y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar o resolver
un problema, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para ampliar, completar o crear patrones, encontrar
equivalencias agregando o quitando cantidades3 o para hallar un valor desconocido, con apoyo de material concreto.
Comprueba sus procedimientos o resultados. Elabora supuestos basados en lo observado en experiencias concretas ylos explica usando ejemplos similares.

IV CICLO/ 3.o y 4.o de prmaria

Plantea relaciones entre los datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio; y la expresa con patrones derepetición4 o patrones multiplicativos, igualdades con multiplicaciones y relaciones de cambio entre dos magnitudes.
Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre
patrones, equivalencias y cambio. Elabora y emplea tablas simples, gráficos y símbolos. Propone y realiza una secuencia
de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos
para ampliar, completar o crear patrones, encontrar equivalencias con expresiones multiplicativas o hallar el valor
desconocido en una igualdad multiplicando o dividiendo, establecer equivalencias entre unidades de medida de una
misma magnitud, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas
basadas en experiencias o en relaciones matemáticas y las justifica usando ejemplos.

V CICLO/ 5.o y 6.o de prmaria

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones deregularidad, equivalencia y cambio

Interpreta datos y relaciones no explicitas en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio entre dos magnitudes; y losexpresa con modelos referidos a patrones geométricos, patrones crecientes y decrecientes, ecuaciones, desigualdades,y proporcionalidad directa y determina en qué otras situaciones es aplicable. Describe utilizando lenguaje matemático
acerca de su comprensión sobre: patrones, ecuaciones y desigualdades, y relaciones de proporcionalidad directa. Elabora
y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con tablas, gráficos y símbolos; relacionándolas
entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas
y procedimientos para completar términos de una sucesión gráfica o numérica de acuerdo a su posición, simplificar
expresiones o ecuaciones empleando propiedades aditivas y multiplicativas o establecer equivalencias entre unidadesde una misma magnitud; con apoyo de recursos; y compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas
resoluciones. Establece conjeturas sobre regularidades, equivalencias y relaciones entre dos magnitudes, y las justifica
usando ejemplos o contraejemplos.
1
2
3
4

154

Patrones de repetición con un criterio perceptual (color,forma,tamaño,grosor).
Patrones de repetición con dos criterios perceptuales.
Equivalencias con igualdades que involucran adiciones y sustracciones con cantidades hasta 20.
Patrones de repetición que combinan criterios perceptuales y de posición.

VI CICLO/ 1.o y 2.o de secundaria

Discrimina información e identifica variables relaciones no explícitas en situaciones diversas referidas a regularidad,
equivalencia o cambio; y las expresa con modelos referidos a patrones geométricos5, progresiones aritméticas,
ecuaciones e inecuaciones con una incógnita, funciones lineales y relaciones de proporcionalidad inversa. Selecciona
y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Usa terminologías, reglas
y convenciones al expresar su comprensión sobre propiedades y relaciones matemáticas referidas a: progresiones
aritméticas, ecuaciones lineales, desigualdades, relaciones de proporcionalidad inversa, función lineal y afín. Elabora y
emplea diversas representaciones de una misma idea matemática con tablas, gráficos, símbolos; relacionándolas entre
sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas
y procedimientos para determinar la regla general de una progresión aritmética, simplificar expresiones algebraicas
empleando propiedades de las operaciones; con apoyo de diversos recursos y TIC. Evalúa ventajas y desventajas delas estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones
entre expresiones algebraicas, magnitudes, o regularidades observadas en situaciones experimentales; e identifica
diferencias y errores en las argumentaciones de otros.

VII CICLO/ 3.o , 4.o y 5.o de secundaria

Relaciona datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a diversas situaciones de regularidades,
equivalencias, y relaciones de variación; y las expresa en modelos de: sucesiones6 con números racionales e irracionales,
ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales, inecuaciones lineales con una incógnita, funciones cuadráticaso trigonométricas7. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció
ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas las relaciones entre
propiedades y conceptos referidos a: sucesiones, ecuaciones, funciones cuadráticas o trigonométricas, inecuaciones
lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemática usando
símbolos, tablas y gráficos. Diseña un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas,
empleando estrategias heurísticas y procedimientos para generalizar la regla de formación de progresiones aritméticas
y geométricas, hallar la suma de sus términos, simplificar expresiones usando identidades algebraicas y establecer
equivalencias entre magnitudes derivadas; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución omodificación del plan. Formula conjeturas sobre generalizaciones y relaciones matemáticas; justifica sus conjeturas olas refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones ypropiedades de los sistemas de ecuaciones y funciones trabajadas.

DESTACADO

Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas aregularidad, equivalencia o cambio; y las expresa con modelos referidos a sumatorias notables, sucesiones convergentes
o divergentes, idea de límite, funciones exponenciales, logarítmicas y periódicas y ecuaciones exponenciales. Formulamodelos similares a los trabajados y evalúa la pertinencia de la modificación realizada a un modelo, reconociendo sus
alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas, relaciones entre propiedades
y conceptos referidos a: los sistemas de inecuaciones lineales, ecuaciones exponenciales y funciones definidas en
tramos. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña un planorientado a la investigación o la solución de problemas, empleando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias
heurísticas o procedimientos de: interpolar, extrapolar o calcular el valor máximo o mínimo de sucesiones y sumatorias
notables, plantear sistemas de inecuaciones lineales y exponenciales y definir funciones por tramos. Evalúa la eficaciadel plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre
generalizaciones elaborando relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática; lasjustifica con demostraciones y produce argumentos matemáticos para convencer a otros.

5
6
7

Que se generan al aplicar reflexiones o giros.
Considerar progresión aritmética y geométrica.
Función seno y coseno.

155

Identifica datos de situaciones de su interés y los registra con material concreto en listas, tablas de conteo y pictogramas1.
Expresa con sus propias palabras lo que comprende sobre la información contenida en las listas, tablas de conteo y
pictogramas y la ocurrencia de sucesos cotidianos. Representa los datos empleando material concreto, listas, tablas deconteo o pictogramas. Propone acciones, estrategias o procedimientos propios para recopilar y registrar datos cualitativos
con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.

IV CICLO/ 3.o y 4.o de prmaria

Identifica datos en situaciones de su entorno familiar o de aula, los organiza en listas o tablas simples o de doble entrada
y los expresa mediante pictogramas sin escala, gráficos de barras. Expresa empleando lenguaje cotidiano y algunos
términos matemáticos, lo que comprende sobre: la información contenida en tablas simples, de doble entrada o gráficos,
el significado de la posibilidad o imposibilidad de sucesos cotidianos, y preguntas para recoger datos. Propone y realiza
una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema, empleando estrategias o procedimientos
para recopilar, organizar y presentar datos, con apoyo de material concreto. Elabora supuestos referidos a características
que se repiten en las actividades realizadas y los explica usando ejemplos similares.

Plantea relaciones entre los datos de situaciones de su entorno escolar, los organiza en tablas, barras simples, pictogramas
con escalas o mediante la noción de moda. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre, la frecuencia ymoda de un conjunto de datos, la comparación de datos en pictogramas o barras doble agrupadas, sucesos más omenos probables que otros . Elabora y emplea representaciones mediante gráficos de barras dobles o pictogramas, ysímbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o solucionar un problema empleando
estrategias o procedimientos para recopilar datos cuantitativos y hallar el dato que más se repite; con apoyo de material
concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre
datos y las explica o justifica usando ejemplos.

V CICLO/ 5.o y 6.o de prmaria

III CICLO/ 1.o y 2.o de prmaria

II CICLO/ 5 años

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones
de gestión de datos e incertidumbreInterpreta los datos en diversas situaciones, los organiza en tablas de frecuencia y los expresa mediante, variables
cualitativas o cuantitativas discretas, la media aritmética o la probabilidad de un suceso. Determina en que otras
situaciones son aplicables. Describe utilizando lenguaje matemático su comprensión sobre: las preguntas y posibles
respuestas para una encuesta, la información contenida en tablas y gráficos, el significado de la media aritmética y la
mediana de un grupo de datos, los resultados de una situación aleatoria y la probabilidad de un evento. Elabora y emplea
diversas representaciones de datos mediante gráficos de líneas o de puntos y la probabilidad como fracción o cociente;
relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a recopilar datos a través de una encuesta, organizarlos
y presentarlos; determinar la media; determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio; calcularla probabilidad de un evento como una fracción; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias
empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las justifica
usando ejemplos o contraejemplos.
1
2
3

156

Pictogramas sin escala.
El estudiante indica intuitivamente si un suceso es más probable o menos probable que otro.
Pictogramas con escala.

VI CICLO/ 1ro y 2do de secundaria
VII CICLO/ 3ro , 4do y 5to de secundaria

Interpreta y plantea relaciones entre datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a situaciones que
demandan caracterizar un conjunto de datos, y los expresa mediante variables cualitativas o cuantitativas, desviación
estándar, medidas de localización y la probabilidad de eventos. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado,
evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas yconvenciones matemáticas su comprensión sobre relaciones entre: población y muestra, un dato y el sesgo que produce
en una distribución de datos, y espacio muestral y suceso, así como el significado de la desviación estándar y medidas
de localización. Realiza y relaciona diversas representaciones de un mismo conjunto de datos seleccionando la más
pertinente. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas para investigar o resolver problemas, usando estrategias
heurísticas y procedimientos matemáticos de recopilar y organizar datos, extraer una muestra representativa de la
población, calcular medidas de tendencia central y la desviación estándar y determinar las condiciones y restricciones
de una situación aleatoria y su espacio muestral; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de laejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas4 sobre posibles generalizaciones en situaciones experimentales
estableciendo relaciones matemáticas; las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten sus puntos devista e incluyan conceptos y propiedades de los estadísticos..

DESTACADO

Discrimina y organiza datos de diversas situaciones y los expresa mediante modelos que involucran, variables cualitativas,
cuantitativas discretas y continuas, medidas de tendencia central y la probabilidad. Selecciona y usa el modelo más
pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones
matemáticas su comprensión sobre: datos contenidos en tablas y gráficos estadísticos, la pertinencia de un gráfico a untipo de variable y las propiedades básicas de probabilidades. Elabora y emplea diversas representaciones usando tablasy gráficos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas,
usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos para recopilar y organizar datos cuantitativos discretos ycontinuos, calcular medidas de tendencia central, la dispersión de datos mediante el rango, determinar por extensión
y comprensión sucesos simples y compuestos, y calcular la probabilidad mediante frecuencias relativas; con apoyo
de material concreto y recursos TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos yrecursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre los datos o variables contenidas en fuentes deinformación, observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.

4

Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas
a caracterizar un conjunto de datos, y expresarlos mediante coeficiente de variación y probabilidad condicional. Formulamodelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances
y limitaciones. Expresa usando lenguaje matemático su comprensión sobre las relaciones entre medidas descriptivas, elsignificado del coeficiente de variación, y la probabilidad condicional. Relaciona representaciones de ideas matemáticas
e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o resolución de problemas,
usando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas y procedimientos de: recopilar y organizar datos dediversas variables, aplicar técnicas de muestreo, extraer la muestra aleatoria de la población y calcular la probabilidad
condicional. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que
utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominiosde la matemática, y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros.

Tener en cuenta que el razonamiento probabilístico y estadístico no es exacto como en matemáticas. Por lo tanto, en general las conjeturas
que se puedan establecer no serán demostradas con rigor, serán afirmaciones con un grado de validez, porque se trata de elegir
representantes de un sistema de datos (media, mediana, moda), o cuantificar la posibilidad (probabilidad teórica, empírica, etc.) pero que
detrás de ello está la noción de incertidumbre.

157

Identifica datos de situaciones de su interés y los registra con material concreto en listas, tablas de conteo y pictogramas1.
Expresa con sus propias palabras lo que comprende sobre la información contenida en las listas, tablas de conteo y
pictogramas y la ocurrencia de sucesos cotidianos. Representa los datos empleando material concreto, listas, tablas deconteo o pictogramas. Propone acciones, estrategias o procedimientos propios para recopilar y registrar datos cualitativos
con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.

IV CICLO/ 3.o y 4.o de prmaria

Identifica datos en situaciones de su entorno familiar o de aula, los organiza en listas o tablas simples o de doble entrada
y los expresa mediante pictogramas sin escala, gráficos de barras. Expresa empleando lenguaje cotidiano y algunos
términos matemáticos, lo que comprende sobre: la información contenida en tablas simples, de doble entrada o gráficos,
el significado de la posibilidad o imposibilidad de sucesos cotidianos, y preguntas para recoger datos. Propone y realiza
una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema, empleando estrategias o procedimientos
para recopilar, organizar y presentar datos, con apoyo de material concreto. Elabora supuestos referidos a características
que se repiten en las actividades realizadas y los explica usando ejemplos similares.

Plantea relaciones entre los datos de situaciones de su entorno escolar, los organiza en tablas, barras simples, pictogramas
con escalas o mediante la noción de moda. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre, la frecuencia ymoda de un conjunto de datos, la comparación de datos en pictogramas o barras doble agrupadas, sucesos más omenos probables que otros . Elabora y emplea representaciones mediante gráficos de barras dobles o pictogramas, ysímbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o solucionar un problema empleando
estrategias o procedimientos para recopilar datos cuantitativos y hallar el dato que más se repite; con apoyo de material
concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre
datos y las explica o justifica usando ejemplos.

V CICLO/ 5.o y 6.o de prmaria

III CICLO/ 1.o y 2.o de prmaria

II CICLO/ 5 años

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones
de gestión de datos e incertidumbreInterpreta los datos en diversas situaciones, los organiza en tablas de frecuencia y los expresa mediante, variables
cualitativas o cuantitativas discretas, la media aritmética o la probabilidad de un suceso. Determina en que otras
situaciones son aplicables. Describe utilizando lenguaje matemático su comprensión sobre: las preguntas y posibles
respuestas para una encuesta, la información contenida en tablas y gráficos, el significado de la media aritmética y la
mediana de un grupo de datos, los resultados de una situación aleatoria y la probabilidad de un evento. Elabora y emplea
diversas representaciones de datos mediante gráficos de líneas o de puntos y la probabilidad como fracción o cociente;
relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a recopilar datos a través de una encuesta, organizarlos
y presentarlos; determinar la media; determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio; calcularla probabilidad de un evento como una fracción; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias
empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las justifica
usando ejemplos o contraejemplos.
1
2
3

158

Pictogramas sin escala.
El estudiante indica intuitivamente si un suceso es más probable o menos probable que otro.
Pictogramas con escala.

VI CICLO/ 1ro y 2do de secundaria
VII CICLO/ 3ro , 4do y 5to de secundaria

Interpreta y plantea relaciones entre datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a situaciones que
demandan caracterizar un conjunto de datos, y los expresa mediante variables cualitativas o cuantitativas, desviación
estándar, medidas de localización y la probabilidad de eventos. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado,
evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas yconvenciones matemáticas su comprensión sobre relaciones entre: población y muestra, un dato y el sesgo que produce
en una distribución de datos, y espacio muestral y suceso, así como el significado de la desviación estándar y medidas
de localización. Realiza y relaciona diversas representaciones de un mismo conjunto de datos seleccionando la más
pertinente. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas para investigar o resolver problemas, usando estrategias
heurísticas y procedimientos matemáticos de recopilar y organizar datos, extraer una muestra representativa de la
población, calcular medidas de tendencia central y la desviación estándar y determinar las condiciones y restricciones
de una situación aleatoria y su espacio muestral; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de laejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas4 sobre posibles generalizaciones en situaciones experimentales
estableciendo relaciones matemáticas; las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten sus puntos devista e incluyan conceptos y propiedades de los estadísticos..

DESTACADO

Discrimina y organiza datos de diversas situaciones y los expresa mediante modelos que involucran, variables cualitativas,
cuantitativas discretas y continuas, medidas de tendencia central y la probabilidad. Selecciona y usa el modelo más
pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones
matemáticas su comprensión sobre: datos contenidos en tablas y gráficos estadísticos, la pertinencia de un gráfico a untipo de variable y las propiedades básicas de probabilidades. Elabora y emplea diversas representaciones usando tablasy gráficos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas,
usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos para recopilar y organizar datos cuantitativos discretos ycontinuos, calcular medidas de tendencia central, la dispersión de datos mediante el rango, determinar por extensión
y comprensión sucesos simples y compuestos, y calcular la probabilidad mediante frecuencias relativas; con apoyo
de material concreto y recursos TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos yrecursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre los datos o variables contenidas en fuentes deinformación, observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.

4

Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas
a caracterizar un conjunto de datos, y expresarlos mediante coeficiente de variación y probabilidad condicional. Formulamodelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances
y limitaciones. Expresa usando lenguaje matemático su comprensión sobre las relaciones entre medidas descriptivas, elsignificado del coeficiente de variación, y la probabilidad condicional. Relaciona representaciones de ideas matemáticas
e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o resolución de problemas,
usando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas y procedimientos de: recopilar y organizar datos dediversas variables, aplicar técnicas de muestreo, extraer la muestra aleatoria de la población y calcular la probabilidad
condicional. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que
utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominiosde la matemática, y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros.

Tener en cuenta que el razonamiento probabilístico y estadístico no es exacto como en matemáticas. Por lo tanto, en general las conjeturas
que se puedan establecer no serán demostradas con rigor, serán afirmaciones con un grado de validez, porque se trata de elegir
representantes de un sistema de datos (media, mediana, moda), o cuantificar la posibilidad (probabilidad teórica, empírica, etc.) pero que
detrás de ello está la noción de incertidumbre.

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Coloca aquí tus ideas

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