ＭＩＭＳ現象数理学拠点共同研究集会 (ハイブリッド，Zoom 会議)「折り紙の科学を基盤とするアート・数理および折紙工学への応用 Ⅲ」
2022 年 12 月 16 日（金）－ 17 日（土）プログラム（Program 2022/12/05 版）
16 日 (金)ページ
9:50 – 10:00 開会（Opening）
10:00 – 10:30 三谷 純 (Jun Mitani, 筑波大)

2

「大学の授業科目としての折紙の科学」
10:30 – 11:00 繁富 香織 (Kaori Shigetomi, 北海道大)

3「折り紙を用いた Creative Thinking」
11:00 – 11:30 戸倉 直（Sunao Tokura, 株）トクラシミュレーションリサーチ）

4「円筒ハニカム構造体の衝撃エネルギー吸収性能評価および塗装シミュレーション」
11:30 – 12:00 Jason Ku (The National University of Singapore (NUS))

5「Computing Folded States」～昼休み～
13:15 – 13:30 山崎 桂子 (Keiko Yamazaki, 明治大）

6

「折紙構造による音響空間の開発のための音響解析シミュレーション」
13:30 – 13:45 佐々木 淑恵 (Toshie Sasaki, 明治大)

7

「安全な折紙輸送箱のための応答曲面法最適化とエネルギー密度最適化法の融合に関する研究」
13:45 – 14:00 阿部 綾 (Aya Abe, 明治大)

8

「折紙コアへの適用のための振動・音響連成下の室内騒音低減検討」
14:00 – 14:30 岩瀬 英治（Eiji Iwase, 早稲田大）「折り紙や切り紙を用いた伸縮電子デバイス」

9

14:30 – 15:00 米田 大樹（Taiju Yoneda, 九州大）

10

「柱状生物の脱皮としわの形成 ー ヘビ、イモムシ、それから靴下」
15:00 – 15:30 斉藤 一哉（Kazuya Saito, 九州大）

11

「昆虫の翅に関する生物模倣工学について」～休憩（30 分間）～
16:00 – 17:00 特別招待講演（Special invited talk): Zhong You (Oxford University)「Compact Folding of Flat Arrays Composed of Panels with Uniform Thickness」

1

17 日 (土)
10:00 – 10:30 舘 知宏 (Tomohiro Tachi, 東京大)12

「自己組織化による曲線折紙」
10:30 – 11:00 鳴海 紘也 (Koya Narumi，東京大)13「折紙の折紙による折紙のためのインタラクティブファブリケーション」
11:00 – 11:30 買 伊陽 (Yiyang Jia, 成蹊大)

14

「地図折りの行列演算子代数の構築および圏論視点からの考察」
11:30 – 12:00 寺田 耕輔 (Kosuke Terada, 明星大)

15

「折紙工法を活用した構造体の圧潰特性」～昼休み～
13:15 – 13:45 ルイス ディアゴ

(Luis D. Diago, 明治大)

16

「3D Printing with Kirigami Honeycombs」」
13:45 – 14:15 萩原 一郎 (Ichiro Hagiwara, 明治大)

17

「ハニカムコアをしのぐキュービックコアの発明と応用展開」
14:15 – 14:45 上原 隆平 (Ryuhei Uehara, JAIST)

18「単純折りモデルにおける一刀切り問題の最適解に関する研究」
14:45 – 15:15 伊藤 大雄 (Hiro Ito, 電気通信大)19「平行山谷付き平坦折り問題（その３）」～休憩～
15:30 – 16:00 宮本 好信 (Yoshinobu Miyamoto, 愛知工大)

20「四節球面機構と単頂点剛体折紙の対応のデザイン応用」
16:00 – 16:30 松原 和樹 (Kazuki Matsubara, 埼玉大)

21

「剛辺数に着目した多面体の連続的平坦化問題（Ⅱ）」
16:30 – 17:00 奈良 知惠 (Chie Nara, 明治大)
「超立方体の連続的折り畳みとひし形の翼折り」
17:00 – 17:10 開会（Closing）
組織委員：奈良知惠（Chie Nara, Chair)，萩原一郎 (Ichiro Hagiwara)，上原隆平 (Ryuhei Uehara)，
三谷純 (Jun Mitani)，舘知宏 (Tomohiro Tachi), 俣野博（Hiroshi Matano）

22

特別招待講演 Zhong You 教授（オックスフォード大学）
Dr Zhong You is currently a Professor of Engineering Science at the Department ofEngineering Science, University of Oxford. He is also a Fellow of Magdalen College. Zhong
obtained his BS from Shanghai Jiaotong University, and MS from Dalian University ofTechnology, and Ph.D. from Cambridge University. He serves on the editorial board of somerenowned journals, including ASME Journal of Mechanisms and Robotics (Associate Editor),
Scientific Report and IMechE Journal of Mechanical Engineering Science Part C. Zhong’s
research is concerned with the design and realisation of novel deployable and origami
structures, a type of unconventional structures capable of large shape changes. He has
published many ground-breaking research papers in prestigious journals including SCIENCE
and PNAS. His work was selected for the Science Day Exhibition at Buckingham Palace in2007, organised by the Royal Society. SCIENCE introduced Zhong’s research work in their“profile” section. In addition, he developed a flow diversion stent to treat cerebral
aneurysms. Oxford Endovascular, a university spin-off company, was founded tocommercialise this technology.

Compact Folding of Flat Arrays Composed of Panels with Uniform Thickness
Zhong You
Professor of Engineering Science
Department of Engineering Science
University of Oxford
Parks Road, Oxford, OX1 3PJ, UK
Email: zhong.you@eng.ox.ac.uk

Many aerospace arrays have large flat profiles composed of regular polygonal panels. They
need to be packaged into small volumes for launch, and subsequently deployed to seamless flat
surfaces once in orbit. Examples of such structures include solar arrays and reflectarray
antennas, which are made from rigid thick panels. It is very challenging to package such arrays
compactly without any voids, especially when they are composed of panels with uniform
thickness and are designed to have bi-directional deployment with a small number of degrees
of freedom. In this talk, I shall demonstrate a kirigami based approach that enables compact
folding of such arrays without any voids.
Origami and kirigami have great advantages in folding large thin sheets into compact volumes.
However, when thick panels are involved, origami based approaches often lead to large gaps
or uneven surfaces in deployed arrays. In the newly proposed approach, a thick-panel
deployable kirigami is first introduced using the Hamitonian circuit. This approach is then used
to create an eight-panel element with shapes of isosceles triangles and parallelograms that areconnected together by revolute joints. Four such elements are then coupled together to form adeployable unit with a single degree-of-freedom. These units can be tessellated to create large
arrays of any dimension, and these arrays can always be folded into compact stacks without
any void. Although slits are introduced in the tessellation to accommodate thick panels during
the folding process, they are completely closed in the fully deployed states.

⼤学の授業科⽬としての折紙の科学
筑波⼤学 三⾕純
概要：
折紙は数学および⼯学など理⼯系の学問領域に密接に関係し、その応⽤は教育、芸術、医療分野なども含む広範に及ぶ。OSME（International Meeting on Origami in Science, Mathematics and Education）のような折紙研究に関する国際会議では、異分野の研究者が折紙を 1 つの共通ワードとして学際的な交流を⾏うことができる稀有な会議となっている。このように、幅広い分野に折紙が関わる⼀⽅で、折紙そのものについて体系的に学ぶ機会は乏しく、とくに⼤学での授業科⽬として、折紙を対象とした
正規科⽬というものはあまり⾒かけない。
本発表では、慶應義塾⼤学の総合政策・環境情報学部（湘南藤沢キャンパス）にて、2022 年度秋学期に「基礎科⽬・データサイエンス科⽬・データサイエンス２」分野の 2 単位正規科⽬として開講されることになった「折紙の科学」の内容について紹介する。本科⽬の定員は 100 名としたが、事前の履修希望者は 271 名あり、学⽣の関⼼の⾼さがうかがえる。シラバスは表 1 に⽰すとおりであり、折紙の、おもには理⼯系に関する事項全般を体系的に学べるように意識して組み⽴てた。また、各回には紙を実際に折る体験をする時間を設けるものとした。本稿執筆時現在、まだ第 7 回の授業を終えたところであるため全体の総括はできないが、総じて受講⽣の反応は好ましいものであると感じている。
受講⽣には、折紙の数理および⼯学的な側⾯を学ぶとともに、それを応⽤できる能⼒を⾝につけることを期待している。
表 1 「折紙の科学」のシラバス

Computing Folded States
Jason S. Ku1
A flat-folded state of an origami crease pattern is a folding along specified creases into the plane, and a layer-orderdefined on every pair of overlapping faces that (1) respects
any mountain/valley assignment, and (2) obeys the antisymmetry, transitivity, consistency, and non-crossing conditions defined in [1, Section 11.4]. We only discuss folded
states that fold flat, so we drop the ‘flat-’ prefix throughout.
Deciding whether a crease pattern admits any folded stateis known to be NP-hard [2], while some crease patterns
admit an exponential number of folded states, see Fig 1.
There are multiple existing software that can computeone or more folded states of a crease pattern, including
Oripa [3], Orihime [4], and Oriedita [5]. These software
all generally follow the algorithm described by [6] to compute folded states: (1) construct an overlap graph of cells,
where each cell is a maximal region of the folded image
that overlaps the same set of crease pattern faces, and (2)find a linear order of faces within each cell that avoids selfintersection of the paper. This algorithm is straight forward, and necessarily requires exponential time to computean exponential number of folded states.
An alternative algorithm constructs a bipartite constraint graph on the set of pairs of faces that overlap(variables that must be assigned a Boolean order), andthe set of transitivity, consistency, and non-crossing conditions that must be satisfied (constraints), with edges
connecting each constraint to its associated variables.
Theorem 1 The constraint graph for a crease pattern withn faces has complexity O(n3 ) and can be constructed inO(n3 ) time.
Corollary 2 The layer order of a given folded state can beverified in O(n3 ) time.
To find valid layer orders (i.e., valid assignments of thevariables), first assign each variable corresponding to apair of faces that bound a mountain/valley assigned crease(crease assignment implies layer order). When a variable isassigned, check whether any of its adjacent constraints are
violated (i.e., no valid assignment exists), or whether any
variable assignment can be inferred from the constraints.
This initial assignment stage can be computed in time
linear in the size of the constraint graph via breadth-firstsearch. For crease patterns that have a unique folded state,
this stage may fully compute the layer order in O(n3 ) time.
If there are still unassigned variables after initial assignment, one can compute all possible valid layer orderings in2
exponential time by checking the 2O(n ) possible remaining
variable assignments (layer orders), each in O(n3 ) time.
However, for many crease patterns, we can speed up thesearch by identifying groups of variables that are assignable
independently from each other. After initial assignment,
remove all assigned variable vertices from the constraintgraph to form the pruned constraint graph, which may
1 Department of Mechanical Engineering,Singapore, jasonku@nus.edu.sg

National University of

Figure 1: (a) A generalizable crease pattern with 2k+1 = nfaces (k horizontal flaps and k vertical flaps) with exactly2
22(k ) = 2Θ(n ) valid folded states. The pruned constraintgraph has k 2 connected components, each of size 1, allowing
an implicit representation of all folded states to be computed in O(n2 ) time. (b) A depiction of the constraintgraph variables: variables assigned in the initial assignment stage are colored light green, with the other variables
colored according to their pruned constraint graph component. (c) and (d) depict two valid folded states.
be disconnected into multiple components containing variables that are assignable independently from each other.
These components are often small, so an exponential
search on each one will be much faster than an exponential
search on the whole graph. Once all assignments for eachcomponent are enumerated, one can list all folded statesby computing the Cartesian product of the assignmentsfrom each component; or one can count the total numberof folded states by multiplying the number of assignments
found for each component. Storing only the assignments
for each component provides an implicit representation of
all folded states, which can represent an exponential number of folded states in polynomial space. See Fig 1 for one
such example.
Theorem 3 All folded states of a crease pattern with kpruned constraint graph components
sizes s1 , . . . , sk ,
 having
Pk3
can be implicitly computed in O n + i=1 s3i · 2si time.
This algorithm has also been implemented (somewhat
inefficiently) in a web application called flat-folder [7].
A primary motivator for the development of this algorithm
and software is to generate folded states in FOLD format [8]as test case input for future origami simulation software.
References[1] E. D. Demaine and J. O’Rourke, Geometric folding algorithms:
linkages, origami, polyhedra. Cambridge university press, 2007.
[2] H. A. Akitaya, K. C. Cheung, E. D. Demaine, T. Horiyama, T. C.
Hull, J. S. Ku, T. Tachi, and R. Uehara, “Box pleating is hard,” inJapanese Conference on Discrete and Computational Geometry
and Graphs, pp. 167–179, Springer, 2015.
[3] J. Mitani, “Oripa main page.” https://mitani.cs.tsukuba.ac.
jp/oripa/. Accessed: 2022-11-28.
[4] T. Meguro, “Orihime main page.” http://mt777.html.xdomain.
jp/index.html. Accessed: 2022-11-28.
[5] Github Contributors, “Oriedita main page.” https://oriedita.
github.io. Accessed: 2022-11-28.
[6] J. Mitani, “The folded shape restoration and the rendering
method of origami from the crease pattern,” in Proc. Int. Conf.
on Geometry and Graphics, pp. 1–7, 2008.
[7] J. S. Ku, “Flatfolder main page.” https://github.com/
origamimagiro/flat-folder. Accessed: 2022-11-28.
[8] E. D. Demaine, J. S. Ku, and R. J. Lang, “A new file standard torepresent folded structures,” in Abstr. 26th Fall Workshop Computat. Geometry, pp. 27–28, 2016.

折紙構造による音響空間の開発のための音響解析シミュレーション
山崎桂子*1，橋口真宜*2，萩原一郎*1*1

明治大学, *2 計測エンジニアリングシステム株式会社

コロナ禍を契機として自宅滞在時間が増加し，自宅での騒音に対する手段が望まれるようになっている．音楽を演奏したり歌を歌ったりなどする機会が増えている(1)ことからその音への対策，またリモー
トワーク時の家族間もしくは近隣住民とのトラブル対策として，防音ツールのニーズがあるものの，本格的な防音室の導入は設置場所及びその設置費用の関係で容易ではない．そこで， 本研究では，防音室ほどの機能までは持たないものの，比較的安価で折り畳み収納が可能であり， 内部の空間の大きさと残響時間が演奏に適したものであり，かつ外部への音を居住地域の騒音基準値である 55 ㏈（昼間）（参考
45dB（夜間））まで下げられる減音シェードの開発に取り組む．通常このような製品の開発には多くの試作と検証が必要となるが，本研究では有限要素解析（FEM）を活用することで，試作品を大量に制作することなく最適な素材，形状の減音シェードを得ることを目的とする．
既に他社から発売されている簡易防音ツールは全て直方体であるが，その形状を円柱や反転らせん構造等に変更することでシェード内外の音圧にどの様な変化があるのか調べ，さらに，それらの形状の改良のヒントとすべく，音響管を用いたコアの透過損失についてシミュレーションを行って検討をした．

図1. シェード形状（直方体，円柱，反転らせん構造）

図2.直方体形状に関する解析の画像表示：(a)解析対象の音源とメッシュ，(b)音圧分布，(c)フォン・ミーゼス応力，(d) 音圧の断面表示

図3.シェード内（音源真上及び30センチ離れた場所）とシェード外の音圧

安全な折紙輸送箱のための応答曲面法最適化とエネルギー密度最適化法の融合に関する研究〇佐々木淑恵（明治大学）楊 陽（明治大学） 萩原 一郎（明治大学）
Toshie Sasaki Yang Yang Ichiro Hagiwara

エネルギー密度位相最適化法は，各固有モードのマスの部分とバネの部分をそれぞれ運動エネルギー密度分布，ひずみエネルギー密度分布から抽出し，固有周波数を上げる場合にはバネ部に補強，マス部に穴，下げる場合にはバネ部に穴，マス部に補強を設ける制御方式である．固有角振動数は，等価剛性と等価質量によって決定されるという振動の原点に戻る
ことで考案した．折紙輸送箱の基本検討のため，段ボール矩形板で, 傷み易い周波数帯域を
危険周波数帯域と称し，この危険周波数帯域から共振周波数を移動する問題を取り上げる．
拘束条件を単純支持にして，固有値解析を行い，エネルギー密度分布を計算すると図１が得られる．20Hz から 40Hz までを危険周波数帯域とし，本手法で検討した．これは，図２に示すように従来の密度法トポロジー最適化法で収束しない問題で，これまで,何故収束しなかったかは不明であったが,本手法を用いるとその理由が分かることを示す．更に，収束可能な課題設定に直すこともできる.すなわち，図３に示すように補強までを含めて固有周波数の移動を行うと目標をクリアすることがわかる．穴の寸法や補強の厚さを定量的に得るため，応答曲面法などの手法を取り入れた．また，複数のコアを有す折紙輸送箱への適用の為,
まず, 図４で示すように本手法を一つのコアに適用した例も示す.

図 1 矩形板の固有周波数とエネルギー密度分布
上：ひずみエネルギー密度（バネ）下：運動エネルギー密度（マス）図 3 左：補強（3mm）を含めた固有周波数制御
固有周波数：7.91Hz,9.07Hz,40.58Hz,42.78Hz でクリア
右：さらに MPOD 法を使い補強部の最適化を行う

図２：上段左：従来最適化
固有周波数：12.14Hz,22.29Hz,36.76Hz,40.11Hz
図 4 トラスコア形状モデルの固有周波数制御
上段右：エネルギー密度位相最適化
7 次固有周波数を 90Hz 以上にする．
固有周波数：10.94Hz,20.45Hz,31.64Hz,37.89Hz
上：固有周波数とエネルギー密度分布
下段：上段右の形状におけるエネルギー密度分布
下：最適化前の形状と最適化後の形状 最適化後固有周波
これ以上，3 次の固有周波数を上げることができないことを示す． 数：90.98Hz,144.9Hz,237.1Hz,237.1Hz

折紙コアへの適用のための振動・音響連成下の室内騒音低減検討
阿部綾，楊陽，萩原一郎（明治大学）、米大海（計測エンジニアリング）
1

概要
室内騒音特性は商品性に大きな影響を与えるため，モード解析始めそれを利用した区分モード合成法など多様な技術が検討開発されてきた．しかし設計段階で使用される騒音低減技術は，問題となる周波数範囲での乗員耳位置の騒音レベル積分値の最小化の１パターンである．どの部分を補強すべきかの結果が得られてもなぜそうなったかの因果は不明である．それに対し新たに開発した共振周波数のひずみ・運動エネルギー密度分布の情報からの対策は因果が分かり，しかもこれまで以上に優れた結果が得られることを示す．
2 固有モードの歪及び運動エネルギー密度分布をベースとした位相変更による新しい高速・高効率
固有値制御法
本手法は,各固有周波数は,等価質量と等価剛性で決まるため,固有周波数を上げたい場合は,バネ部を補強するか,マス部に穴を空ける.逆に固有周波数を下げる場合は,バネ部に穴を設けるかバネ部を補強して位相を変化させるものである[1].固有値制御で最も期待されるのは,位相最適化法であり,著者の一人萩原は,均質化法や密度法による位相最適化解析を振動問題に適用しているが,実際の設計にまで持っていくのは極めて難しい.それは,最適化で得られるのは,板厚分布のあるものであり,その製造は困難だからである.そこで,ある閾値を設け,それ以下の要素に穴を設けることがなされるが,その時点で折角の収束値からずれてしまう.また,課題設定によっては勿論収束が困難である.これらを解決すべく開発したのが,本手法である.インタラクティブに極めて効率よく複数の大幅な変更を司ることができることが示された.
3 解析モデルとシミュレーション
図 1 に示すトラックキャビンモデルでフロア中心点に垂直上方向に加振しドライバー耳位置の音
圧低減を図ることを問題に設定する．先ず，シェル-音響連成計算を検討し，ダンピング（制振）設
定値(3.5%)の妥当性を確認し，次に従来手法により最適化を行う．その後，以下の条件によりエネル
ギー法ベース最適化を検討し，図 2 に示すように従来手法よりも 4.4％改善する結果が示された．
目的関数：耳位置音圧の指定周波数域の積分値の最小化
制御変数：板厚（0.3mm, 2mm, 4mm の 3 ケース）
手順：以下を数回反復する．
「固有周波数計算実施⇒エネルギー分布プロット⇒板厚調整⇒直接周波数応答で 50～60Hz 内耳位
置音圧積分値確認」

図 1. トラックキャビンモデル

4

図 2. 局所板厚設計（2 回実施）後の最適化結果

結語
室内騒音低減の最適化として,注目する周波数帯域内の乗員耳位置の音圧の積分値を最小化することがなされる.この最小化には,大きな極大値を与える共振周波数を帯域外に追い出すことが有効と考えられるが,従来の位相最適化法ではその対応が困難なため,本稿で述べた台形則などによる積分
値を最小にする検討に終始されている.本稿では,著者らのグループで開発された手法を用いた,顕著な固有周波数を帯域外に追い出す方式の有効性が見出された.
参考文献[1] Sasaki,T., Yang,Y. and Hagiwara,I., Proposition of a New High Speed and High Efficiency Control Method for Plural Eigen
Frequencies by Changing Topology, International Journal of Mechanical Engineering and Applications (IJMEA). (ISSN Print: 2330023X; ISSN Online: 2330-0248).

折り紙や切り紙を用いた伸縮電子デバイス
岩瀬 英治 （早稲田大学）
iwase@waseda.jp
近年，
フレキシブルなセンサやディスプレイ，
太陽電池などフレキシブル電子デバイスが盛んに行われている．
このようなフレキシブル電子デバイスを実現するために，多くの研究では有機 EL や有機半導体のような有機材
料を用いている．有機材料は，半導体材料や金属材料と比べた場合，機械的変形に対しては良い特性を持つかもしれないが，電気的特性は及ばない場合が多い．また，従来のフレキシブル電子デバイスの多くは曲げ変形は可能であるが，伸縮変形はできないのが実情である．その本質的な理由として，曲げ変形には圧縮ひずみも引張ひ
ずみもかからない中立面が存在するのに対し，伸縮変形ではひずみがゼロの領域が全く存在しないためである説明できる．すなわち，発光部やセンサ部，配線部を薄く作り，基板の中立面に配置すれば曲げ変形可能なフレキ
シブル電子デバイスは実現できる．一方で，伸縮変形には中立面が存在しないため曲げ変形可能なフレキシブル
電子デバイスを実現したアプローチでは解決できない．しかしながら，曲げ変形可能な電子デバイスは実現が容易であることを逆手に取り，局所的には曲げ変形をすることで，デバイス全体としては伸縮させることができるのではないかと考えた．すなわち我々は，折り紙のような折り畳み変形を，“中立面を有した伸縮変形”と捉えた．
これは，切り紙も同様の捉え方ができる．すなわち，折り紙構造や切り紙構造を用いることにより，良い電気的特性をもつ“硬い”材料や素子を用いて，“伸縮可能な”電子デバイスを実現することができる．
具体的には，中立面に電気配線を配置し，曲げ変形を受けない平板部に発光素子やセンサ素子を配置すれば，
電気配線や発光素子・センサ素子に曲げ耐性・伸縮耐性がなかったとしても，デバイス全体としては伸縮耐性を有することができる．図に示すように，金属や半導体など，曲げ耐性・伸縮耐性を有しないが良い電気的特性をもつ高性能な材料や素子を用いて，折り紙構造や切り紙構造を用いた伸縮変形可能な電子デバイス[1]-[4]や熱電発電デバイス[5]-[7]の研究を行っている．

折り紙や切り紙を用いた伸縮電子デバイス
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]

Y. Iwata, E. Iwase, Proc. of IEEE Int. Conf. on MEMS (MEMS2017), pp. 231-234, 2017.
A. Eda, H. Yasuga, T. Sato, Y. Sato, K. Suto, T. Tachi, E. Iwase, Micromachines, vol. 13, no. 6, 907, 2022.
H. Taniyama, E. Iwase, Micromachines, vol. 10, no.6, 395, 2019.
H. Taniyama, E. Iwase, Micromachines, vol. 12, issue 1, 76, 2021.
K. Fukuie, Y. Iwata, Eiji Iwase, Micromachines, vol. 9, issue 7, (2018), 315.
Y. Sato, S. Terashima, E. Iwase, Proc. of IEEE Int. Conf. on MEMS (MEMS2022), pp. 31-34, 2022.
S. Terashima, E. Iwase, Proc. of IEEE Int. Conf. on MEMS (MEMS2022), pp. 612-615, 2002.

柱状生物の脱皮としわの形成−ヘビ、イモムシ、それから靴下−
九州大学 芸術工学研究院
米田大樹
E-mail : yoneda.taiju.508@m.kyushu-u.ac.jp
折り紙を広義に "うすい構造 " と考えると、多くの生物の体構造には折り紙的な要素をいくつも発見できる。その中で、生物の表 皮は普 遍 的なうすい 構造であり、 その表皮の変形が肝要となる脱皮現象を取り上げた。
脱皮は節足動物を中心に多くの生物種で見られる成長の方法で、硬い表皮を脱ぐことで内部の体を大きく更新する。
タイトルに挙げた、爬虫類であるヘビと昆虫のイモムシは、系統的な分類はまったく異なる生物だ。それにも関わらず、ともに柱状の長い体型で、どちらも表 皮の弾性的な柔軟さを利用して脱皮するという共通の機能を獲得している。
一般に脱皮の古い表皮は硬く、宇宙服を脱ぐような複雑な行程で体を抜け出さなければ脱皮できない。それに対して、( 図 1) 体を剛体棒、表皮をシリコーン
円筒としてモデル化し、各脱皮の変形過程での力学測定を実施した。

柱状のヘビやイモムシは単純な体型ゆえに、より短時間で脱皮を完了することができる利点を獲得している。しかし、両者の脱ぐ皮の変形過程には決定的な違いがある。
ヘビは薄い皮の表と裏を反転させながら脱皮を進めるため、最終的に抜け殻はひっくり返った状態となる。その状況は乱暴に脱いだときの靴下を思い出せば想像しやすいかもしれない。一方イモムシの脱皮は、皮が座屈をともない折り
たたまれるため、抜け殻はジャバラに折りたたまれた状態となる。靴下でいうとルーズソックスがこれに該当する。
両者の違いは、皮の厚みや本体との隙間などの幾何的な要因と、皮の曲げ剛性や摩擦などの力学的な要因によって発現すると予想された。これらの脱皮モードの境界条件を調べるために、体と皮の構造を円柱とそれを覆う弾性円
筒膜にモデル化して、力学実験 (図 1) と数値解析 ( 図 2) を実施した。

( 図 2) 物理実験では測定が困難となるパラメータ領域での現象を詳しく調べる
用途で、有限要素解析ソフトを利用し、実験と比較した。

昆虫の翅に関する生物模倣工学について
斉藤一哉（九州大学大学院芸術工学研究院）
k-saito@design.kyushu-u.ac.jp
昆虫の翅にみられる巧妙な折り畳みは，非常にコンパクトでありながら一瞬で収納・展開が可能な究極の展開構造であり，様々な工学応用が期待されている．中でもハサミムシの翅は，展開状態の 1/15 程度と昆虫の中で最もコンパクトに折り畳み可能であることに加え，広げた状態の形を維持する特殊なスプリング機構など興味深い機能が多数報告されている．この

図１

ハサミムシの扇子の展開図設計法

折り畳みはバッタやカマキリの翅や扇子と同様に放射状のフレームに支えられているが，フレームの中央部にヒンジ構造があり，閉じた扇
子を更に真ん中で折り畳むことでコンパクトな折り畳みを実現する．本講演では，著者らが2020 年に発表したハサミムシの扇子の設計法[1]をベースに実用化を進めている展開構造のプロトタイプに関して紹介する．現在，ハサミ
ム シ 扇 子 型 展 開 構 造 に お け る Thickness
Accommodation に関す る検 討を行 って おり(図 2)，これを基にした軽トラック屋台用の展
開屋根，および宇宙展開構造のプロトタイプについて報告する．

[1] K. Saito, et al.: Earwig fan designing:
Biomimetic and evolutionary biology
applications, Proceedings of the National
Academy of Sciences, 117(2020), 1762217626.

図3

展開型太陽電池パネルの開発

図 2 ハサミムシ型展開屋根（おさけむし：柴田隆詠，中元翔一，斉藤一哉，株式会社鈴三材
木店、VUILD と共同開発．

自己組織化による曲線折紙
Self-organized Curved Folding
舘知宏, 堀川淳一郎
Tomohiro Tachi and Junichiro Horikawa
A sheet of paper has the property of not stretching or shrinking, but when a compressive
force is applied, it can macroscopically shrink while forming a "wrinkle". Origami is a methodof manipulating the relationship between intrinsic properties (properties of the surface

measured along the surface) and extrinsic properties (properties of the surface in space)through such "macroscopic shrinkage." For example, the "Origamizer" is a technique thatallows free-form surfaces containing bowl- or saddle-shaped regions to be made with a planethat has zero intrinsic Gaussian curvature.

Existing surface design approaches using origami tessellation have involved generating
patterns on a given surface using predefined geometric rules and adjusting them numericallyto satisfy the developability criteria. The limitation of the existing method is that the topologyof the given pattern is arbitrary and has no relation to the surface to be generated. As a result,the efficiency of paper usage in design may become low, and properties such as structural
stiffness and softness of the generated surfaces may be uncontrollable.
In this study, we aim to naturally generate crease patterns from the properties of thegenerated surfaces (or more precisely, from surface-to-surface mapping). We take anapproach inspired by the self-organization of wrinkles in biological membranes that attempt
to grow in confined spaces, such as brain wrinkles and insect shells. In such growing biologicalmembranes, repeating patterns are generated in a self-organized manner as each partcompresses against its surroundings. In this study, we generate a new origami tessellation bysimulating the fold pattern of such a membrane. We also report that by extracting andorganizing the wrinkle patterns produced, it becomes "Curved Origami," origami composedof curves and curved surfaces.

CMMA 共同研究集会｜明治大学先端数理科学インスティテュート 現象数理学研究拠点「折り紙の科学を基盤とするアート・数理および工学への応用Ⅲ」（2022）

折紙の折紙による折紙のためのインタラクティブファブリケーション
Interactive fabrication of origami, by origami, for origami

鳴海 紘也
Koya Narumi

東京大学 大学院工学系研究科
Graduate School of Engineering, The University of Tokyo

概要
本講演では、著者らが主に Human-Computer Interaction (HCI) の分野で実施してきた折紙にまつわるファブリ
ケーション・アクチュエーション・インタラクション技術を紹介する。具体的には、（１）一般的なインクジェッ
ト 印 刷 機 に よ り 数 百 か ら 数 千 の 面 を 持 つ 複 雑 な 折 紙 テ セ レ ー シ ョ ン を 自 己 折 り す る 手 法「Self-folded
Tessellation」（＝折紙のファブリケーション）、（２）3D モデルをあらかじめ折りたたんでから 3D プリントすることで印刷時間・材料消費・収納スペースなどを低減する手法「Pop-up Print」および「Blow-up Print」（＝折紙によるファブリケーション）、（３）印刷のような方法で作製でき配線が不要な薄く軽くやわらかいアクチュ
エータ「Liquid Pouch Motors」（＝折紙のためのアクチュエーション）について述べる。また、我々が過去に行ってきたその他の折紙インタラクション技術についても適宜触れる。

Abstract
In this talk, I will introduce three origami-related techniques on fabrication, actuation, and interaction which
we conducted mainly in the ﬁeld of human-computer interaction (HCI): (1) Self-folded Tessellation is theself-folding method based on a commercialized inkjet printer, which can automatically fold complex origami
tessellation with hundreds or thousands of facets (i.e., fabrication of origami); (2) Pop-up Print and Blow-up
Print are the 3D printing method of tall 3D objects requiring smaller printing time, smaller support material
consumption, and smaller storage space, by printing a given model in the bistably folded state and unfolding it
after fabrication (i.e., fabrication by origami); (3) Liquid Pouch Motors are the thin, lightweight, and soft
pneumatic actuators that are printable and untethered as well (i.e., actuation for origami). If time allows, I will
additionally introduce other origami-related interaction techniques we did in the past.

地図折りの表現および関連する圏構造
賈 伊陽 （成蹊大学情報科学科）， 三谷 純（筑波大学システム情報系）
地図折り問題とそれに関連する諸問題の多くは，計算機科学における計算量の観点から研究されており，圏論および代数論の観点からの研究はあまり見かけない．本稿では，地図折りをブール行列で表現する方法論を導入することで，良い性質を持つ圏の構造が得られることについて述べる．また，この圏の構造に基づいて Grothendieck 位相を構築できることを説明するとともに、今後の可能性について考察する．

１．状態行列
折り畳み状態が部分的であるか完全であるかにかかわらず，任意の折り畳み状態に対して，以下のようにして唯一の状態行列を定義できる．
地図の任意の折り畳み状態 S において，二つの正方形がなすペア(i, j)に対して，i と j の隣接関係に基づいて対応する状態行列の (i, j) 成分を定める．具体的には，S が地図の一つの完全に折り畳まれた状態であり，且つこの状態で正方形 i が正方形 j のすぐ下に位置する場合，または S がある部分的に折り畳まれた状態で，正方形 i が正方形 j に隣接し，対応する任意の完全に折り畳まれた状態で必ず正方形 j の下に位置する場合，状態行列の (i, j) 成分に１を割り当てる．それ以外の場合は状態行列の (i, j) 成分に 0 を割り当てる．

2. 状態遷移
本研究では，二種類の演算で状態遷移を表す．置換演算で同じレイヤーと異なる重なり順を持
つ折り畳み状態の間の遷移を表現し，加法演算で新しい隣接関係を表現する．

3. 圏構造と Grothendieck 位相
状態行列を対象，存在し得る加法演算を射とすることで，地図折りの状態行列の圏を定義できる．以下に，この圏の重要な性質を幾つか列挙する．
(１) この圏は始対象を持つが，終対象を持たない．
(２) この圏は半順序の圏である．
(３) この圏では，任意の二つの対象の積が存在する．
性質(３)に基づき，地図折りの状態行列の圏において，Grothendieck 位相を定義できる．即ち，元の地図の折り畳み状態から直接に得られる幾何学以外にも，本研究は状態行列の空間において，さらに抽象的な，重なり順のみに関わる幾何学を定義することができた．今後の研究の方向として，この構造のホモロジーについて考察することが考えられる．

折紙工法を活用した構造体の圧潰特性
明星大学

理工学部

機械工学系

寺田耕輔

2014年より毎年当研究集会において，筆者は折紙工法と呼ぶ工法を提唱し効果的な活用事例を提案してきている．こ
こでは，種々条件での衝撃圧潰実験における衝撃エネルギー吸収測定結果に基づき，折紙工法を活用した構造体の圧潰特性に関する下記事例について提案する．
1) 折線加工によって圧潰しやすくした事例(図1～5参照)
2)〃 による衝撃エネルギー吸収向上事例(図6～7参照)
3) 折紙工法によるPP製コア充填塩ビパイプでの衝撃エネルギー吸収向上事例(図8参照)

図1 飲料缶から円筒構造体切出手順
タイプA（折線無） タイプB（市販折線缶）タイプC（折線クロス8個）

図2 薄肉アルミ製円筒構造体（長さ120mm）の3タイプ実験材料

図3 タイプBの圧潰現象

図4 タイプCの圧潰現象

図5 3タイプ円筒構造体の荷重-変位推移測定結果比較（ダイ移動速度3m/sec）

図7 2タイプ角パイプの荷重-変位推移
測定結果比較（ダイ移動速度10m/sec）(a) 折線有の圧潰現象(b) 折線無の圧潰現象
図6 角パイプ（□50×120mm, 軟鋼板厚1.6mm）折線加工有無の圧潰現象

図8 2タイプ塩ビパイプの荷重-変位推移
測定結果比較（ダイ移動速度10m/sec）

3D Printing with Kirigami Honeycombs
L. A. Diago, J. Shinoda and I.Hagiwara,
Meiji University & Interlocus Inc., JAPANIntroduction
Three-dimensional (3D) printing also formally known as Additive Manufacturing (AM) or rapid prototyping is theprocess of making three dimensional objects from 3D modeled data in progressive layers and it is currently being
promoted as the spark of new industrial revolution. On the other hand, manufacturing technology based on honeycomb
panels has had a rapid growth in recent years due to its lightness and strength. The manufacturing process has changed
rapidly after Nojima and Sajito demonstrated that curved panels could be created using a kirigami operation. Nojima
and Saito introduced the term “kirigami honeycomb” in [1] where they use the cross section of the 3D shape to describe
the panel and include cuts in the pattern to obtain its 3D structure. Moreover, with conventional methods, STL (Stereolithography) data, which are often used by the additive 3D printer, can be used only after the formulas on the upper andlower surfaces are obtained. So, conventional methods cannot treat a structure with a non- uniform shape between theupper and lower surfaces, and also curvature and thickness can only change in one axis. Here we propose a new method
such as the target structure is expressed in CAD and/or STL data and it is covered with a honeycomb core of any shapein any direction.
Materials and methods
The main problematic point to build complex 3d shapes resides in the presence of non-convex unit cells that overlap in
the projection from 3D o 2D plane [1-3]. Instead of using Caslish and Gershenfeld [3] iterative approach to ensure thatno sections of the folding pattern overlap, we propose a two-step algorithm to avoid overlap and minimize the amountof un-used materials in the final pattern.
Preliminary Results
Figure 1 shows the honeycomb representation of honeycombs apples. The top left part shows the created pattern and the
top right part shows the folder state of the apple in the origamisimulator.org. The lower panels show the real models
printed on a 3D printer Creator Pro 2.0. The lower left panel shows the original 3D apple printed with full material. The
two middle panels showing the honeycomb apples printed with 30% and 70% reduction of the materials. Note that theweight is educed about 20% (154.3g vs 193.2g). The right panel shows the related model in paper.

Figure 1. Honeycomb representation of honeycomb apples.
References[1] Nojima, T., and Saito, K. Development of Newly Designed Ultra-Light Core Structures, JSME Int. A 2006, 49(1), pp. 38–42.
doi:10.1299/jsmea.49.38[2] RM Neville, et al., A kirigami shape memory polymer honeycomb concept for deployment.308Smart Mater. Struct.26, 05LT03(2017)[3] Calisch, SE, and Gershenfeld, NA. Towards Continu- ous Production of Shaped Honeycombs. Proceedings of the ASME 2018
13th International Manufactur- ing Science and Engineering Conference. Volume 3: Manufacturing Equipment and Systems. College
Sta- tion, Texas, USA. June 18–22, 2018. V003T02A007. ASME. doi:10.1115/MSEC2018-6646

ハニカムコアを凌ぐキュービックコアの発明と展開
萩原一郎（明治大学）
新たなキュービックコア軽量化パネルを提案して，その力学特性や加工手法等について検討を行い，以下の結論が得られた．
(1) 提案したキュービックコアパネルでは，芯材と上下面板との結合の面積がハニカムコアに比し大きくなる
ことから結合強度はより大になりハニカムコアでは適用が困難な長時間に亘り振動やせん断力を受ける構造にも適用範囲が広がる可能性が得られた．更に,等重量でハニカム構造より 16%程度高い曲げ剛性を持つことが理論的及び FEM 解析結果により確認できた．
(2) コア芯材及び芯材と上下面パネルとの接合にも接着剤が使用されるが故にハニカムコアパネルは高温環
境では使用が困難である. この環境下でもキュービックコアパネルが使用されるべく，簡単な穴抜きと曲げ成形によりキュービックコア芯材が加工でき，接着剤とリベットを使いキュービックコアパネルが容易に組み立てられ，比較的良い加工性能を持つことを確認した．ただし, リベットを使用する主な目的は面板と芯材の結合強度を増強することであり, 将来, 接着剤またはロウ付け等の結合方法により十分な結合強度が確保できれば, リベットを省略しても良く, 加工工程の簡素化にも寄与できる.

(3) 湾曲部が存在する軽量化構造のニーズに合わせて，湾曲を有すキュービックコアを得るべく実際の湾曲構
造の曲率半径と湾曲角度を実現するキュービックコアの切り取る範囲を求める設計式を導出した．それをもとに実際にキュービックコアの片側に対し，一部の材料を切り取る方法で容易にキュービックコアパネ
ルの湾曲部が加工できることを示した．なお、本研究は埼玉工業大学の趙希禄教授との共同研究である。

Face

Honeycomb
core

SquareFold up Fold down

hol

Face

(a)

(b)

図１ハニカム構造の断面図

Rivet

(a)

(b)

(d)

(c)

Side flat part図 2 キュービックコアの製造工程

Curved corner partSide

flat part

図３ フラット部と湾曲部を有す一般構造[1] 萩原一郎、趙希禄、コアパネル、コアパネルの製造方法およびコア製造装置、出願番号：特願 2022-177019（2022 年 11 月 4 日）.

単純折りモデルにおける一刀切り問題の最適解に関する研究
Ryuhei Uehara (uehara@jaist.ac.jp), School of Information Scinece, JAIST

Cut

Figure 2: 折れ線分の一刀切り問題

Figure 1: 平行線の一刀切り問題
p0

P

p1

p3

p2
pi

p4

fi+1

p5

pn

pi+1

Figure 3: 用いる記法
一刀切り問題とは，紙をうまく折りたたみ，ハサミで 1 回切るだけで，紙の上に描かれた図形の線分だけを切り抜くという問題である．一刀切り問題に対して，一般の場合にいつでも可能であるという万能定理が知られている [2]．
しかしこの万能定理では，かなり技巧的な折り操作が必要であり，必ずしも実用的でなく，機械化も難しい．そのため，単純折りと呼ばれる最も基本的な折りモデルを用いた場合の一刀切り問題が研究されている [1]．[1] で示された
結果では，単純折りの操作の回数が極めて多い場合があり，また一つの単純多角形しか扱うことができない．
単純折りモデル上での一刀切り問題において，複数の図形を扱い，かつ単純折り操作の回数を最小化する問題が[3] で研究されている．[3] では，複数の図形の最も単純なケースとして，細長い紙に様々な間隔で描かれた n 本の平行線を一刀切りで切る問題（図 1）が扱われている．この場合，平行線の間隔をうまく合わせて重ねて折ると，単純折りの操作回数を減らすことができる．[3] では，単純折りの最短手順を O(n3 ) 時間で求めるアルゴリズムが示されている．ただしここで n は平行線の本数である．
さて [3] と同様に細長い紙を折りたたみ，すべての折り線と交差する直線で一刀切りすると，すべてのカットライ
ンが連結となり，図 2のようにジグザグの線分列を一度に切り抜くことができる．これは [1] における単純多角形の特殊なケースであり，[3] の技法を用いると単純折りの回数を最小化できる．つまり，[3] のアルゴリズムをうまく利用すれば，[1] の問題の特殊な例に対して，単純折りの操作の回数を最小化できることを暗示している．
本研究では，この直感を定式化する．入力は細長い紙 P に描かれたジグザグの線分列 (p0 , p1 , . . . , pn ) である．Pは必ずしも長方形でなくてもよく，側面は曲線であってもよいが，両端は直線とする．p0 と pn は P の両端の直線の上にあるとする．そしてジグザグの線分列（だけ）を単純折り操作で一直線上に並べて，一刀切りで切り抜く問題を考える．これは [1] の結果より，いつでも可能である．そこで [3] の技法を用いて単純折りの回数を最小化する．ここ
で線分列の上の折れる可能性がある点に名前をつける．具体的には pi と pi+1 の中点を fi+1 とする．このとき紙 P を単純折りで折れる可能性のある点は，f1 , p1 , f2 , p2 , . . . , fn と，区間 [p0 , f1 ] と [fn , pn ] の中の任意の点となる．記述を簡単にするために，点列 (p0 , f1 , p1 , f2 , p2 , . . . , fn , pn ) を新たに (x0 , x1 , x2 , . . . , x2n−1 , x2n ) と表現する．これらの点
xi から P の外周部 ∂P との間のユークリッド距離を考え，この距離の最大値を ℓmax とする．また点 xi と xi+1 の間の距離を ℓi+1 とする．さらに点 xi (0 < i < 2n) における線分の角度の大きくない方を θi (≤ 180◦ ) とする．このとき次の定理が成立する．
√
Theorem 1 すべての i(0 < i < 2n) において，ℓi ≥ 2ℓmax / 3 かつ θi ≥ 120◦ のとき，単純折りモデル上の P の一
刀切り問題は，O(n3 ) 時間で最短手順を求めることができる．

References[1] E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Hawksley, H. Ito, P.-R. Loh, S. Manber, and O. Stephens. Making polygons by simple
folds and one straight cut. In China-Japan Joint Conference on Computational Geometry, Graphs and Applications(CGGA 2010), pages 27–43. LNCS Vol. 7033, Springer-Verlag, 2011.
[2] E. D. Demaine and J. O’Rourke. Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra. Cambridge University
Press, 2007.
[3] G. Hu, S.-i. Nakano, R. Uehara, and T. Uno. Simple Fold and Cut Problem for Line Segments. In Canadian Conference
on Computational Geometry (CCCG 2019), pages 158–163, 2019.

平行山谷付き平坦折り問題（その３）伊藤大雄
根芝冴
電気通信大学 大学院 情報理工学研究科
itohiro@uec.ac.jp
s.neshiba131@gmail.com
折り紙の平坦折り問題とは、紙片とその上に描かれた折り線が与えられ、全ての折り線を 180 度に折って、折りあがりを平坦にすることができるか否かを問う問題であり、各折り線に山折り (M) か谷折り (V) かが与えられている問題と、与えられず自由に折れる問題の二通りあるが、どちらも一般には NP 完全である [3]。しかし多項式時間解法が知られている部分問題も存在する。例えば、紙片を長方形とし、折り線を短辺に平行なもののみに限定し、折り線に山谷を与えた問題1 、１次元山谷付き平坦折り問題 (One-dimensional flat foldability with mountain-valley assignment;

1DFF-MV) に対する線形時間アルゴリズムが Arkin ら [1] によって与えられている。その問題の拡張として、紙片を平行四辺形に拡張し、折り線をやはり短辺に平行なもののみに限定した問題、平行斜め山谷付き帯平坦折り問題 (Strip

flat folding problem with parallel creases and mountain-valley assignment; StripFFP-MV)（図 1 (a) 参照）に対し、2020 年に著者らのグループによって [2]、さらに最近、その結果を紙片が凸多角形のものにまで拡張し、線形時間ア
ルゴリズムを示した [4]。その後、その結果をさらに拡張し、凸多角形を含む軸凸 (axis convex) 多角形に対する線形時間アルゴリズムの存在を昨年のこの研究集会で述べた。なお、平行山谷付き平坦折り問題の問題例が軸凸であるとは、折り線に平行または垂直な任意の直線について、その図形との共有部分が連続（線分）であること（図 1 (b)参照）であり、折り線が平行という条件の下では凸多角形を含むより広い概念である。今回はその後の進展を述べるとともに、折り線が平行という制約の下で NP 完全となる問題についての考察も行う。

入力

平坦折り
(a)

(b)

図 1: 平行山谷付き平坦折り問題：(a) 紙片が平行四辺形の例と (b) 軸凸多角形

参考文献[1] Esther M. Arkin, Michael A. Bender, Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Joseph S.B. Mitchell, Saurabh Sethia, andSteven S. Skiena: When can you fold a map?, Computational Geometry: Theory and Applications, Vol. 29, No. 1,
pp. 23–46, 2004.
[2] Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Hiro Ito, Chie Nara, Izumi Shirahama, Tomohiro Tachi, and Mizuho Tomura:
Flat folding a strip with parallel or nonacute zig-zag creases with mountain-valley assignment, Special Issue on Discrete
and Computational Geometry, Graphs, and Games, Journal of Information Processing, Vol. 28, No. 12, pp. 825–833,
2020.
[3] Erik D. Demaine and Joseph O’Rourke: Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge
University Press, 2007.
[4] Hiro Ito and Sae Neshiba: Flat folding problem with parallel creases with mountain-valley assignment on a convex
polygonal piece of paper, The 23rd Thailand-Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, Graphs, andGames (TJCDCG3 2020+1), Chiang Mai, Thailand, Sept. 3–5, 2021.
1 山谷を与えられていない場合はジグザグに折る（すなわち、山谷を交互に与える）ことで自明に平坦折り可能。

ＭＩＭＳ現象数理学拠点共同研究集会 (ハイブリッド，Zoom会議)「折り紙の科学を基盤とするアート・数理および折紙工学への応用 Ⅲ」
開催日程：2022 年 12 月 16 日（金）- 17 日（土）四節球面機構と単頂点剛体折紙の対応のデザイン応用
Design application of the correspondence between
spherical 4R linkage and rigid single vertex origami

愛知工業大学 工学部 Aichi Institute of Technology
建築学科 宮本 好信 Yoshinobu Miyamoto
球面機構と剛体折紙の対応を利用したデザイン応用を検討する。平面四節回転機構はグラ
スホフ条件により入出力棒の動作で分類され[1][2]、これを球面機構に拡張した場合の動作は33種に分類される[1]。この球面四節回転機構を単頂点四折り線の折り紙に対応させて、平面頂点と非平面頂点の折りたたみ動作を示す。球面機構と折り紙の動作の対応を整理して、機構と折り紙の双方からの設計方法を提案する。球面機構を切り紙折り紙(RES)に応用した事例を紹介する。
We discuss design applications using the correspondence between the 4R spherical linkage and the rigid origami. The planar four-bar linkage is classified by input/outpu
t bar motions according to the Grashof criterion[1][2], and when this is extended to a sp
herical mechanism, the motions are classified into 33 types[1]. Corresponding the sph
erical 4R linkage to the single-vertex degree-four rigid origami, we show the folding
behavior of the planar and non-planar vertices. By organizing the correspondence b
etween the spherical linkage and the origami behavior, we propose a design methodfrom both the mechanism and the origami. We present a study of the application of
the 4R spherical linkage with non-rigid kirigami-origami(RES).

Fig. 1. The spherical 4R linkage. [1][1]Fig. 2. Kirigami spherical 4R linkage.

Fig. 3. RES applicable with spherical 4R linkage.

J.Jesús Cervantes-Sánchez, Hugo I Medellı́n-Castillo, A robust classification scheme for spherical 4R linkages, Mechanism and Machine Theory, Volume 37, Issue 10, 2002, Pages 1145-1163, ISSN 0094-114X.

[2]

J.M. McCarthy, Geometric Design of Linkages, Springer, Berlin, 2000.

剛辺数に着目した多面体の連続的平坦化問題（Ⅱ）
松原和樹 （埼玉大学教育学部）
奈良知惠 （明治大学先端数理科学インスティテュート）
折り目によって折ることができる紙のような素材でできた多面体を平坦に折り畳む問題（詳細は[1]を参照）を考える。ただし，ここでは紙の厚さは考えず，切込みや伸縮は許されないものとする。「多面体が各面の形状を変えずに連続的に変形したとしても，その体積は不変である」というフイゴ定理[2]より，多面体の連続的平坦化においてすべての面の剛性を保つことは不可能であることが示される。つまり，平坦化状態への連続的な変形においては，いずれかの面を連続的に動く折り目（移動折り目）によって変形させる必要がある。これまで様々な連続的平坦化手法が考案され，特に我々は移動折り目領域の大きさ，剛性を保つ面の数，剛性を保つ辺の数などに着目した連続的平坦化問題の研究を進めてきた。
本講演では，与えられた多面体のどの辺も折らない連続的平坦化問題，つまり，初期状態から平坦化状態へどの辺も折らずに連続的に変形できるかという問題について，得られた結果を報告する。
定理（１） 任意の凸多角錐はどの辺も折らない連続的平坦化が不可能である。
（２） どの辺も折らない連続的平坦化が可能な非凸2𝑛角錐（𝑛 ≥ 2）が存在する。
（３） どの辺も折らない連続的平坦化が可能な非凸2𝑛角柱（𝑛 ≥ 2）が存在する。

例 どの辺も折らない非凸１２角柱の連続的平坦化（上：側面，下：上面と底面）
本講演の内容は[3]に基づいている。
参考文献[1] Demaine, E.D., O’Rourke, J.: Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra,
Cambridge University Press, 2007.
[2] Connelly, R., Sabitov, I., Walz, A.: The bellows conjecture, Beiträge Algebra Geom. 38, 1-10, 1997.
[3] Matsubara, K., Nara, C.: Continuous flattening of polyhedra with every edge rigid, in preparation for
Proceedings of the 24th Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, Graphs, andGames (JCDCG3 2022).

明治大学現象数理学拠点共同研究集会「折り紙の科学を基盤とするアート・数理および工学への応用Ⅲ」2022.12.16-17

超立方体の折り畳みとひし形の翼折り奈良 知惠 （明治大学先端数理科学インスティテュート，cnara@jeans.ocn.ne.jp）
２次元の平面上にある正方形について，もう１つ次元を上げて平面に直交する新しい軸方向に平行移
動すると立方体が得られる。同様に，３次元空間の立方体について，もう１つ次元を上げて３次元空間に直交する新しい軸方向に平行移動すると４次元の超立方体が得られる。立方体の表面は６個の正方形で構成され，これらは１つの正方形面上に連続的に折りたたむ方法は複数あるが図１は一つの例である。
この折りたたみでは上面と底面には折り目が入らず，４個の側面は高さ半分のところで内側に半分に折りたたまれるが，当然，隣り合う面同士がぶつかるので，どちらか一方を折り曲げて他方に貼り合わせている。このときの動きは「ひし形の翼折り」の応用としてとらえることができる。
さて，４次元の超立方体には 24 個の正方形の面があり，それらは２次元スケルトンを構成する（図 2）。
ひし形の翼折りを使うと，これを１つの正方形の面上に連続的に折りたたむことができる［1］。このとき，図 3 のように分解して図 1 のアイデアを用いる。では，超立方体の表面（８個の立方体からなる３次元スケルトン）を１つのファセット（立方体）上に折りたたむことはできるのだろうか。本講演では，最近の研究結果[2] (伊藤仁一氏との共同研究）について紹介する。

図 1. 立方体の折り畳み

図 2. 4 次元超立方体

図 3. 正方形面の分解
参考文献[1] J. Itoh, C. Nara, “Continuous flattening of the 2-Skeletons in a hypercube. Graphs and Combinatorics, 36, 331338 (2020). DOI: 10.1007/s00373-019-02100-8[2] C. Nara, J. Itoh, “Continuous flattening of the surface of a hypercube onto its facet". Abstract for JCDCGGG
2022, Sept. 9-11, Zoom.