材料にこだわった教材研究の方法

身の回りの素材を教材につくり変える方法―この世の中を支配しているのは、いくつかの数式だ―

上村文隆
１、「抽象と具象」と「素材と教材」

ドラマ「ハードナッツ！」を見ていたら、「この世の中を支配しているのは、いくつかの数式だ」という言葉が出てきました。支配しているとは思えませんが、数学が現代社会の中で多様に使われていることは間違いありません。としたら、身の回りには具象としての数学がいっぱいあるはずです。つ
まり、素材にあふれていることになります。そして、身のまわりにいっぱいある数学の素材をどう教材にするのかということが私たちの仕事になります。
身近なものを教材として取り上げることができたら、生徒はきっと興味を持つでしょう。でも、中学の数学は抽象化（モデル化）されていて、身近なものがなかなか見つかりません。一方、小学生に身近な素材を提示すると、話題が広がってしまい肝心の課題に入れないことがあります。
このことは「抽象と具象」の問題としてとらえることができます。私たちは具象から抽象へ、抽象から具象へと認識運動を繰り返しています。具象だけや抽象だけのどちらかに偏ったり、一方だけの方向になると、上のような問題が起こります。

この時、教材は具象の世界と抽象の世界をつなぐものとなります。また、教材は生徒と現実世界をつなぐものであり、生徒と教師をつなぐものです。もちろん、具象を教材にするだけではなく、法則を素材にするという面もあることも忘れてはなりません。法則（抽象）を具体化することも教材作成の大事な一面です。

２、「数学って面白い」を伝える素材
身の回りの素材を、単元のどこで教材として使おうかと考えると無理が出てきます。第一忘れてしまいます。そこで、ふと気がついた身のまわりの素材を普段の授業で話題として取り上げるようにしました。
それは、教材そのものを教えようという考えに陥ってしまうことを回避するためです。教材を学ぶのではない、教材は本当の世界ではなく一斉授業の中で効率的に引出せるように現実世界から切り取るか抽象化して人工的に作り上げた世界だということを忘れないためです。また、数学と現実世界とのつながりを常に意識するためでもあります。
そして、様々な素材を気軽に生徒たちに投げかけることは、「数学っていろいろなところで使われていて役立っている。アイディアが面白いな。」ということを伝える一つのメッセージになっていると思います。
では、身の回りのどんなものが素材となりうるのか、どうしたら教材にできるのかを考えてみましょう。

３、

素材を見つける(1)素 材 は 実 際 に 手 に 取 り 気 軽 に 話 題 に①実物を見つけること
百円ショップなどは教材の宝庫です。⇒②面白そうだと感じたもののどこが面白いのかを考えること
一応数学とつなげますが、無理につなげる必要はありません。
③生徒たちに興味がなかったらすぐにひっこめること
その食いつき具合を見ると、教材化のヒントになります。机の上には玩具や不思議な文具、地球儀などを置いておきます。休み時間にさわったりすることから子どもたちとの会話が始まります。
④遊びは教材化の大きなヒント
その素材で生徒と遊びながら楽しむとヒントが自然に浮かんできます。

(2)抽 象 化 と 具 体 化 ＝ 認 識 の の ぼ り お り … 常 に 関 心 を も つ①研究会に積極的に参加する研究会に参加するといろいろな刺激を受けます。私はいつも教材と発問に関心がいきます。教材の面白さと効果、そして、発問がその面白さや効果を生かせているのかを徹底的に分析し、自分なりに改良して試します。
②身の回りの文房具に目をつける
文房具は数学の素材の宝箱です。この消しゴムを持ってきた生徒がいました。とても幾何学的でひきつけられます。ゴムが減ってもどこかに角があってポイントを消せます。生徒と対話した後、「ちょっとこれ見てよ。すごいよ。このＩさんのカドケシの角はいくつある？」と発問します。みんなで数えてみると２８個もあります。
③あれ？と思ったことはすぐにネットで調べる
ＴＶや新聞やネットを見ていると、いろいろな疑問が浮かんできます。
ＴＶで文房具の紹介の特集をやっていてフィットカットカーブのはさみを見つけました。このはさみは、刃を閉じていっても二つの刃の角度がいつも３０度になっています。では、なぜ角度が変わらないのでしょう。このカーブは「等角らせん」ということがわかります。はさみを買い、普通のはさみと比べながら角度が変わらないことを示し、「なぜ角度が変わらないのだろうか？」と聞きます。
④どんどんファイリングをする
大事なことですが、書類にすることではありません。これは具体的なモノを集めることです。またモノでないものは写真でファイルします。

４、素材を教材にする

数学と結びつく素材があっても、それを教材化しなければなりません。

そのコツは、その素材の面白さと数学との結びつきにあります。そして、素材を教材にするポイントは発問にあります。その発問は自分自身に対する問いかけです。具体的な例で説明します。
① 壁に当たるライトの光は放物線
ある時、全校集会で体育館に集まりました。
その時気がついたのです。天井のライトが壁に当たって、二次曲線を描いているのです。これは放物線だろうか双曲線だろうかと疑問が浮かびました。
その自分自身への問いかけはすぐに発問に結びつき、どの様に提示しようかと考えます。この場合は写真に拡大して提示しました。「ライトの作るこの曲線をどこかで見たことない？」もちろん懐中電灯を持っていきます。
② 他 教 科 か ら ヒ ン ト 、特 に 理 科 室 は 教 材 の 宝 庫
理科と数学は切っても切れません。落体の法則と二次関数は密接に結びついています。鏡の反 射 は 対 称 図 形 で す し 、化 学 反 応 式 は 等 式 で す 。
この天秤は釣合っていますが、分配法則も表し て い る こ と に 気 が つ き ま す 。 ５ ×２ ＝ ２ ×２ ＋ ３ ×２ ＝ （ ２ ＋ ３ ） ×２
こ こ か ら ど の よ う な 教 材 と し て 提 示 で き る の か 考 え ま す 。こ の ま ま で な く 、左の錘を外しておいて、「２この錘をつるしてこの天秤を釣合わせるには、どこにかけたら良いのだろうか？」という発問をします。
③ 携帯は便利…大いに利用しよう
とちゅうで寄ったサービスエリアで見つけた
日よけです。シェルピンスキーのガスケットで作ってあります。隙間だらけなのにちゃんと日陰ができています。こういうものを見つけた時に携帯のカメラ機能は便利です。あとで拡大して印刷したことはもちろんです。このガスケットの作り方やフラクタルということも紹介します。

④ ネットで調べた２：√３：√３四面体二倍に拡大した立体の体積は８倍になるということは、立方体を並べて説明します。でも、正四面体では並べることはできません。空間充填立体をネットで調べていて、空間を充填できる四面体があることを知りました。この四面体は空間を隙間なく敷き詰めることができます。早速紙で作ってみます。２７個作りました。これを使うと四面体８個で２倍、２７個で３倍の四面体ができることが一目でわかります。ネットにはいろいろなヒントが詰まっていて、それを結びつけると意外な教材が現われてきます。
⑤ ミウラ折りを教材化する
右の様に紙を折るとミウラ折りになります。この折り方はとて も 面 白 く 、 実 際 に 地 図 な ど で 使 わ れ て い ま す 。（ 地 図 ゲ ッ ト ）そこで教材化します。平行四辺形の性質の所で扱うことにしま し た 。下 の 二 つ の 図 を 提 示 し て 、「 こ の 合 同 な 平 行 四 辺 形 の 敷
き詰めはどう違うのだろう？」と問います。平行移動や対称移動などが出ますが、実際に折ってみると、この二つは全く異なったものであることに驚きます。地図の開きも実演します。
⑥ 行事も素材や教材になる
身近な素材を教材にするには発問が大事です。行事がある時によく話題にしたことがあります。入学式や卒業式の時に、「方程式と卒業式はどこが同じ な の ？ 」「 違 う よ 。」「 で も ど ち ら も 式 だ ろ う 。同 じ 点 が あ る は ず だ よ 。」
卒業式が方程式の意味を明らかにするとは生徒たち思っていません。彼らはその意味を聞きたくてたまらなくなります。
身の回りには数学の素材があふれています。それを気軽にどんどん授業に持ち込みましょう。失敗を恐れないで。

元岐阜県中学校教員