卒業論文要旨
非接触給電における共鳴周波数帯での発生力の検討
Lorentz Force in the Resonance Frequency band in Magnetic Levitation

システム工学群
機械・航空システム制御研究室 1210032 上田 大貴

1.

はじめにスマートフォンが普及した現在，新たな充電手段として非接触給電（ワイヤレス充電）が利用されている．更には EV
自動車駐車時の自動非接触充電のシステムに利用が検討さ

送電コイルに与える外部電圧を E，送電・受電コイルに流れる電流をそれぞれ𝐼! ，𝐼" とおくと，
11
𝑅𝑋 + *𝜔𝐿 − 𝜔𝐶0 𝑌*𝜔𝐿 − 𝜔𝐶 0 𝑋 − 𝑅𝑌
𝐼! (𝑡) = &+𝑗
3 𝐸(𝑡) (1)𝑋# + 𝑌#𝑋# + 𝑌#れている．利点としては充電時にケーブルが不要なため断線や浸水による損傷の恐れがないこと，加えて充電器からコン𝜔𝑀𝑌
𝜔𝑀𝑋𝐼" (𝑡) = 5 #+𝑗 #7 𝐸(𝑡)𝑋 + 𝑌#𝑋 + 𝑌#

セントまでの距離を覗いて設置に制限がかからないことでとなる．ただし，送電・受電コイルの電気抵抗，電気容量とある．

自己インダクタンスは互いに一致するものとし，それぞれ R，また，もう一つの本研究対象でもある磁気浮上機構は磁気C，L とした．また，X と Y は以下に与える．の反発力や吸引力利用することにより対象を浮上させて支𝑋 = 𝑅(𝑅$ + 𝑅) − 5𝜔𝐿 −持する機構である．リニアモーターカーやクリーンルーム，宇宙空間といった特殊環境での利用が考えられている．

𝑌 = 5𝜔𝐿 −

利点は接触面との摩擦がなく，加えてそれによる塵埃の発生が抑制される．また宇宙空間に関しては接触がないために金属同士の固着の予防ともなり得る．

(2)

1 #
7 + (𝜔𝑀)#
𝜔𝐶

1
7 (𝑅$ + 2𝑅)
𝜔𝐶

(3)

(4)

ただし，𝑅$ は外部電圧の内部抵抗である．
このとき，各パラメーターを調整することによって入力周

本研究ではその磁気浮上機構に電力を供給する際に非接波数𝜔が共鳴周波数𝑓$ より小さい場合は逆位相，入力周波数触給電を用いたものを対象とする．磁気浮上機構に電力を供

𝜔が共鳴周波数𝑓$ より大きい場合は同位相となる．共鳴周波

給する際は電磁石を用いる場合がほとんどではあるが，常に数は以下の式で与えられる．

外部から浮上体に電力を供給する必要があり，塵埃を発生抑

𝑓$ =制を考えた際に好ましくない．したがって非接触給電によって浮上体に直接給電するのではなく，非接触給電を用いた間接的な給電で以って浮上体を制御することを今回の目的とする．

対させたコイルに発生する力の共鳴周波数帯での振る舞いについて考察する．

2.1.

2𝜋√𝐿𝐶

(5)

各コイルに発生する磁力

下図に示すように先行研究においては，入力周波数𝜔が共鳴周波数𝑓$ より小さいとき，すなわち電流が逆位相のときは本研究では先行研究（1）の通り，非接触給電を行う際に正2.

2.2.

1

送電側のコイルと受電側のコイルに発生する力各コイルの電流の位相関係

アンペアの法則から磁束が互いに向き合うように発生し，磁石のように反発する．

Fig.2 Lorentz force on lead wire piece
この図 2 のような力の大きさと向きの変化によって理論と実験結果に差異が生じたと考えた．
Fig.1 Repulsive force & suction force
逆に，入力周波数𝜔が共鳴周波数𝑓$ より大きいとき，すなわ

3.

モデル解析

ち電流が逆位相のときはアンペアの法則から磁束が互いに正対させた送電コイルと受電コイルに流れる電流の位相と，揃った向きに発生し，磁石のように吸引力が発生するとして発生力の時間平均値を JMAG ソフトで調べ，物理系の運動のいた．加えて，入力周波数と共鳴周波数が一致するときは力振る舞いを予想した．用いた解析モデルの３D モデルを図３が発生しないと予想されていた．に示す．

しかしながら，実験結果によると入力周波数が共鳴周波数より小さいときには吸引力が発生し，共鳴周波数より大きい場合は反発力が生じていた．
2.3.

理論と実験結果の不一致に関する考察

先行研究における理論と実験結果が不一致に終わったことの原因として理論に以下の２つの問題があると考えた．
①

電流と磁束密度（磁場）は一般に同位相ではない②

発生力の正体がローレンツ力である

まず①に関して，図 1 では電流と磁束密度が同位相であると考えているが Faraday の電磁誘導の法則により位相は異な

Fig.3 Analysis model
3.1.

解析モデルの各パラメータ

る．実際，電流片（半径𝑎）に流れる電流密度𝑖と鎖交する磁解析モデルとなる送電コイルと受電コイルは形状と材料束密度𝐵には以下の関係がある．ただし，簡単化のために電が銅であることに関して全て一致したものとした．ただし，気容量は考えず，𝑟を電流片の中心からの距離とする．

コイルの主な形状は共に円筒とした．各寸法に関して以下の𝑖(𝑟, 𝑡) =𝑘𝐼 𝐽$ (𝑘𝑟) &'(𝑒2𝜋𝑎 𝐽% (𝑘𝑎)(6)

𝐵(𝑟, 𝑡) =𝜇𝐼 𝐽% (𝑘𝑟) &'(𝑒2𝜋𝑎 𝐽% (𝑘𝑎)(7)𝑘 = −𝑖𝜇𝜎𝜔

表 1 に示す．更に各コイルの回路パラメータを表２に示す．
Table 1 Size & material of coils(8)

ただし，𝜇と𝜎はそれぞれ電流片の透磁率と電気伝導率とした．

Table 2 Circuit parameters of coils

また，𝐽) (𝑧)を Bessel 関数という．
次に②について，発生力は磁石と違い Lorentz により力の向きは時間変化し，以下の図 2 ように１つの電流の向きに対して２通りの力の向きが考えられる．
JMAG 解析を行う際，共鳴周波数𝑓$ = 8.66kHz なので調べる共鳴周波数帯を 2,4,6,…,20kHz とした．

3.2.

解析結果

Fig.10 Frequency is 14kHz(left:current,right: force)

共鳴周波数帯 2,4,6…20kHz のそれぞれの入力周波数における各コイルに流れる電流と発生力の様子を以下の図に示す．ただし，力の向きはそれぞれのコイルが互いに反発する向きが正となるように各コイルで設定した．
Fig.11 Frequency is 16kHz(left:current,right: force)

Fig.4 Frequency is 2kHz(left:current,right: force)Fig.12 Frequency is 18kHz(left:current,right: force)Fig.5 Frequency is 4kHz(left:current,right: force)Fig.13 Frequency is 20kHz(left:current,right: force)Fig.6 Frequency is 6kHz(left:current,right: force)Fig.14 Frequency is 8.66kHz(left:current,right: force)
上図 4〜14 のように２つのコイルの電流強度は入力周波数が共鳴周波数になるまで単調増加しその後は単調減少していた．また位相は共鳴周波数で丁度 90°ずれていた．
Fig.7 Frequency is 8kHz(left:current,right: force)

このとき，電流強度はイカの図 15 のように，送電側は入力周波数が 8.50kHz と共鳴周波数と一致するときに，受電側は 10kHz で最大となっていた，

Fig.8 Frequency is 10kHz(left:current,right: force)

Fig.9 Frequency is 12kHz(left:current,right: force)Fig.15 Current strength
発生力の時間平均について以下の図 16 に示す．

で吊るしていたことが原因であると考えた（図 17 参照）．
すなわち，糸の張力の水平成分が発生力の向きと同じ方向であるために，対象となる物理系の運動を考える際に考慮しなければならないといけなかったということである．

Fig.16 Time average of Lorentz force
これから分かる通り発生力の時間平均の大きさは入力周波数が共鳴周波数のところでピークとなっており，送電コイルが正，受電コイルが負であることから互いに揃った向きに運動すると予想された．その後は発生力の大きさは減Fig.17 Lorentz force and tension

少し，入力周波数が 12.25kHz と 12.5kHz の間で受電コイル

参考文献の発生力の時間平均が負から正に変わった．すなわち，(1) 田中雅子『非接触給電を用いた磁気浮上機構の開発』

12.5kHz 以上でコイルが互いに反発する向きに運動すると予想された．

高知工科大学院 2017 年度修士学位論文(2) 萩原述史『電磁結合による非接触電力伝送の原理について』電気学会論文誌 D (産 業応用部門誌)Vol.131

ここで JMAG を用いて発生力の時間履歴を求めたが，解析

No.5 pp703-713

結果は離散的に得られるので，時間平均を求める際には積分が使えない．したがって観測時間 T を複数の時間区間に n等分して考えなければならない．

(4) [1] 砂川重信『理論電磁気学(第 3 版)』紀伊國屋書

𝑎$ , 𝑎% , … , 𝑎) とし時間区間の幅を∆𝑡とおく．このとき時間平均 M は以下の式(9)で求められる．
(9)

*,%

4.

店
(5) 社団法人電気学会『電気工学ハンドブック(第６版)』)

1𝑎*+% + 𝑎*Q∆𝑡𝑇
2

安達三郎/大貫繁雄『電気磁気学(第 2 版・新装版)』森北出版株式会社

得た発生力のプロット値を経過時間が速い方から順に

𝑀=

(3)

結論

先行研究において正対させた２つのコイルに発生する力に関して，理論と実験結果が一致しないことが示されていた．そこで本研究ではその理論に問題があるとして訂正した．内容としては電流と磁束密度は必ずしも同位相ではないことと，発生力が磁石と違いローレンツ力に起因することであった．
そのことを踏まえながらの JMAG ソフトを用いた共鳴周波数帯でのモデル解析の結果，入力周波数が 12.25kHz 以下では互いに揃った向きに運動し，12.5kHz 以上では互いに反発する向きに生じるという結果となった．
最後に，先行研究における発生力の振る舞いが実験結果と一致しない理由としては実験において両コイルを上から糸