新型コロナウイルス感染症と経済学
付録

図 8 の設定岩本 康志

目次
新型コロナウイルス感染症と経済学 ...................................................................................1
付録 図 8 の設定............................................................................................................1付録 図 8 の設定 ...............................................................................................................2
1.

線形費用の場合の感染症対策 ...................................................................................22.

基本再生産数、平均世代期間、統計的生命価値 .......................................................3

3.

感染者の初期値 ........................................................................................................54.

致死率 ......................................................................................................................55.

感染症対策の費用.....................................................................................................76.

最適な感染機会削減行動 ..........................................................................................7

参考文献 .............................................................................................................................81 / 9

図 8 線形費用の場合の感染者数の推移（注）横軸は時間、縦軸は感染者数を表す。実線は、線形費用のもとで内生的予防行動がとられた場合の感染者数の推移。感染者が増加して感染予防の限界便益が限界費用に達すると、感染者数を一定に維持しようとする。点線は、予防行動がとられず感染率が一定の場合の感染者数の推移。
（出所）筆者作成。

付録
1.

図 8 の設定

線形費用の場合の感染症対策
この付録では、図 8 で示したシミュレーションのモデルとパラメータについて解説する。
Iwamoto (2021, eq.19)で示された貨幣価値化された厚生損失のなかで各時点の感染力削減に関係する部分は、感染することの費用と感染症対策の費用となる。未感染者 1 人当たり費用としては、𝜆𝜆𝐼𝐼 (𝑡𝑡)𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛�1 − 𝑥𝑥(𝑡𝑡)� + 𝑦𝑦�𝑥𝑥(𝑡𝑡)�𝑌𝑌� = 𝜆𝜆𝐼𝐼 (𝑡𝑡)𝛽𝛽0 �1 − 𝑥𝑥(𝑡𝑡)�𝐼𝐼(𝑡𝑡) + 𝑦𝑦�𝑥𝑥(𝑡𝑡)�𝑌𝑌�

(1)と表すことができる。(1)式の感染症対策の費用𝑦𝑦は、感染機会削減率𝑥𝑥の一般的な関数形で表されている。

感染することの社会的費用𝜆𝜆𝐼𝐼 は、SIR モデルでは将来の感染状況に依存し、非常に複雑な形となる（Iwamoto, 2021, eq.30）。個人の選択を考える際には、静学的外部性と動学的外部性に関する項が無視されるので、𝜆𝜆𝐼𝐼 は、∞𝜆𝜆𝐼𝐼 (𝑡𝑡) = � 𝑒𝑒 −(𝜌𝜌+𝑣𝑣+𝛾𝛾)(𝑠𝑠−𝑡𝑡)�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 − 𝜆𝜆𝑁𝑁 (𝑠𝑠)�𝜙𝜙�𝐼𝐼(𝑡𝑡)�𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾
𝑡𝑡

2 / 9(2)となる。これは、感染によって生じる死亡損失の割引現在価値である。死亡損失は将来の所得変動に影響を受けるが、実際に計測する際には統計的生命価値の推計誤差よりも影響は小さいと思われるので、(2)式での𝜆𝜆𝐼𝐼 を無視することができると仮定すると、死亡損失の割引現在価値は時間について一定で、

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝐼𝐼(𝑡𝑡)�𝛾𝛾
𝜌𝜌 + 𝑣𝑣 + 𝛾𝛾(3)𝜆𝜆𝐼𝐼 (𝑡𝑡) ≈ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝐼𝐼(𝑡𝑡)�

(4)𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝐼𝐼(𝑡𝑡)�𝛽𝛽0�1 − 𝑥𝑥(𝑡𝑡)�𝐼𝐼(𝑡𝑡) + 𝑦𝑦�𝑥𝑥(𝑡𝑡)�𝑌𝑌�

(5)

𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑡𝑡)𝜙𝜙�𝐼𝐼(𝑡𝑡)�𝛽𝛽0 𝐼𝐼(𝑡𝑡) =
�𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑌𝑌(6)

𝜆𝜆𝐼𝐼 (𝑡𝑡) =となる。𝛾𝛾は感染性期間の逆数であり、割引率𝜌𝜌とワクチン到来確率𝑣𝑣よりもはるかに大きいので、𝜌𝜌 + 𝑣𝑣 + 𝛾𝛾 ≈ 𝛾𝛾が成立すると考えると、(3)式より、が求められる 1。つまり、感染することの私的費用は、新型コロナウイルス感染症による死亡者の統計的生命価値と致死率の積で表される。(4)式を(1)式に代入すると、となる。したがって、内点解をもつ場合には、(5)式を𝑥𝑥で微分して 0 と置くことで、最適化条件は、として求められる。

感染機会削減の限界費用が一定の場合には、内点解がなく、最適な感染機会削減行動は、
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑑𝑑𝜙𝜙�𝐼𝐼(𝑡𝑡)�𝛽𝛽0 𝐼𝐼(𝑡𝑡) > のとき、𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 1
𝑌𝑌�
𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜙𝜙�𝐼𝐼(𝑡𝑡)�𝛽𝛽0 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = のとき、0 ≤ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ≤ 1𝑌𝑌�𝑑𝑑𝑑𝑑となる。

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜙𝜙�𝐼𝐼(𝑡𝑡)�𝛽𝛽0 𝐼𝐼(𝑡𝑡) < のとき、𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 0𝑌𝑌�𝑑𝑑𝑑𝑑

図 8 の計算に当たり、パラメータは以下のように設定した。
2.

基本再生産数、平均世代期間、統計的生命価値
CDC のシナリオ 2の標準値にしたがい、基本再生産数を 2.5、平均世代期間（1⁄𝛾𝛾）を 61(2)式でワクチン到来確率でも割り引かれる形となるのは、ワクチンが到来した時点で感染者も感染前経済の状態に戻ると仮定されたためである。これは Iwamoto (2021)で最適解を議論しやすくするための便宜的な仮定であって、現実的ではない。しかし、最終的に(4)式でワクチン到来確率が消去されるので、ここでの議論に本質的な影響はない。
2COVID-19 Pandemic Planning Scenarios （ https://www.cdc.gov/coronavirus/2019-ncov/hcp/planning-scenarios.html）。
3 / 9

日とする。感染率𝛽𝛽0は、𝛽𝛽0 = ℛ0 𝛾𝛾 = 2.5⁄6で与えられる。Hall, Jones and Klenow (2020)にしたがい、1 人当たり消費の 51 年分とするが、感染症対策費用が GDP 当たりなので、消費は GDP の 3 分の 2 とみなし、1 人当たり GDP の 34 年分と設定する。表 A.1 は、Iwamoto(2021)で紹介された先行研究でこれらの値がどのように設定しているのかをまとめたものである。
表 A.1 基本再生産数、平均世代期間、統計的生命価値の設定
基本再生産数

平均世代期間統計的生命価値（日）（1 人当たり年間消費当たり）

本稿2.56CDC

2.56Atkeson

2.5 (p.13)

8 (p.17)1.9

1853(2)1830

2.5 (Table 1)

18 (Table 1)

15 (p.8)

1.45 (p.5164)

18 (p.5161)

240

Hall, Jones andKlenow
Acemoglu et al.
Alvarez, Argente and3.6 (3)51

51 (Table 1)(1)

Lippi
Chari, Kirpalani andPhelenEichenbaum, Rebelo
and Trabandt
Jones, Phillipon and(pp.5162–5163)(4)
2.0 (p.5200)

20 (p.5200)

75 (p.5201)(5)

Venkateswaran（注） 空欄は、該当する数値が無いことを示す。括弧内は、出典の所在を示す。太字は、本稿で設定された数値の根拠となったものである。
(1)

0.81%の死亡リスクを避けることの支払意思額が年間消費の 41%であることから、

41%⁄0.81% ≈ 51となる。

(2) GDP の 35 年分。
(3) 𝛽𝛽⁄𝛾𝛾 = 0.2 × 18。

(4) 統計的生命価値が 930 万ドル、年間労働所得（消費に相当すると仮定）が 58,000 ドル。

(5) 統計的生命価値の 5%が GDP の 2.5 年分。
Acemoglu et al. (2021)、Eichenbaum, Rebelo and Trabandt (2021)は表 A.1 では小さい値となっているが、初期の版から下方に変更されている。平均世代期間については、Atokeson
4 / 9

(2020)の初期の版が発症期間の 18 日を用いていて、他の研究はそれを踏襲している。しかし、新型コロナウイルス感染症では、平均世代期間は発症期間よりも短いとされている。
3.

感染者の初期値
シミュレーションでは、人口は 1 に基準化され、感染者の初期値𝐼𝐼(0)に小さな値を与える。

各研究では、表 A.２のように設定されている。Atkeson (2020)をのぞく先行研究は 0.1%から 1%で設定している。これは患者が確認されたときにはすでに市中感染が進行していた欧米諸国には適しているが、日本では、2020 年 1 月 15 日に最初の患者が確認されて以降、感染は警戒されており、累積感染者が人口の10−6（100 万分の 1）を超えて、135 人になったのは 2 月 22 日、新型コロナウイルス感染症対策専門家会議が「これから１～２週間が瀬戸際」とする見解を発表したのが 2 月 24 日、政府がイベント等の自粛を要請したのは 2 月26 日であった。このような日本の状況に合わせるために、本稿では初期値を10−6とした。
表 A.2 感染者の初期値の想定
本稿
Atkeson (p.8)

感染者の初期値𝐼𝐼(0)回復・死亡者の初期値𝑅𝑅(0)𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔010−50Acemoglu et al.

0.005

0.005

Alvarez, Argente and Lippi

0.010.01

0.005

00.00100.01

0Chari, Kirpalani and Phelen(p.8)
Eichenbaum, Rebelo andTrabandt (p.5162)
Jones, Phillipon andVenkateswaran (p.5201)（注） 括弧内は、出典の所在を示す。括弧内は、出典の所在を示す。
4.

致死率
CDC のシナリオでの死亡率は、年齢階層別に推計した Levin et al. (2020)に準拠しているが、本稿では人口の平均の死亡率を用いるので、Meyerowitz-Katz and Merone (2020)をもとに 0.68%を出発点とする。そして、感染のピーク時に死亡率が 2～3 倍に高まると設定している研究が多いことから、本稿では出発点の 2.5 倍の 1.7%とした。表 A.3 は、先行研究での致死率の設定を示したものである。また、図 A.1 には、𝐼𝐼が増加すると死亡率が高まることを想定した、Alvarez, Argente and Lippi (2020)、Eichenbaum, Rebelo and Trabandt(2021)、Jones, Phillipon and Venkateswaran (2021)の想定での致死率の動きを図示したものである。
5 / 9

表 A.3 致死率の設定
致死率𝜙𝜙(𝐼𝐼)本稿

𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

CDC

設定の説明
ピーク時の想定として、
Meyerowitz-Katz andMerone (2020)の 2.5 倍。
Levin et al. (2020)に基づき年齢に依存。

Meyerowitz-Katz and0.0068(p.143)MeroneAcemoglu et al.

多次元 SIR モデルで年齢に依存。

Alvarez, Argente and Lippi
Chari, Kirpalani and Phelen
Eichenbaum, Rebelo andTrabandt
Jones, Phillipon and
Venkateswaran

0.01 + 0.05𝐼𝐼(p.12) ベース 1%、I が0.005 + 0.9𝐼𝐼 2(p.5163) Medical0.005

0.15𝛿𝛿
0.15𝛿𝛿 + 0.35

δ = 0.006 + 𝑒𝑒 0.4∙0.15𝐼𝐼 − 1(1)40%のとき 3%。
(p. 8)
preparedness model。ピー
ク時に 2 倍。
(p.5200) ベース 0.25%、Iが 20%のとき 3 倍。

（注） 空欄は、該当する数値が無いことを示す。括弧内は、出典の所在を示す。
(1) 論文では𝑒𝑒 0.4𝐼𝐼 としているが、設定された数値が再現できないので、修正している。
図 A.1 医療資源制約による致死率の上昇

6 / 9

（注） 表 A.3 を基に筆者作成。
5.

感染症対策の費用
Doti (2021)は、2020 年の米国の州の横断面データを用い、州の Oxford stringency index（厳格度指数）が GDP に与える影響と死亡者数に与える影響を推計しており、この 2 つの関係から、感染症対策の効果と費用の関係を導くことができる。岩本(2021)は、Doti (2021)の推計より、
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 0.02𝑥𝑥(𝑡𝑡)を求めており、本稿でもこれを採用し、𝑑𝑑𝑑𝑑= 0.02
𝑑𝑑𝑑𝑑する。これは、接触機会を 1%削減することで 1 人当たり GDP が 0.02%低下することを意味している。
6.

最適な感染機会削減行動
以上のパラメータの設定を(6)式に代入すると、34 ∙ 0.017 ∙2.5𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 0.026となる。これを満たす𝐼𝐼は、約 0.083 である。したがって、最適な感染機会削減行動は、𝐼𝐼(𝑡𝑡) > 0.083のとき、𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 1𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 0.083のとき、0 ≤ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ≤ 1𝐼𝐼(𝑡𝑡) < 0.083のとき、𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 07 / 9となる 3。図 8 は、このときの 0～180 日の約半年間の感染者数の推移を表したものである。

参考文献
Acemoglu, Daron, et al. (2021), “A Multi-Risk SIR Model with Optimally Targeted
Lockdown,” American Economic Review: Insights, forthcoming.

Alvarez, Fernando E., David Argente and Francesco Lippi (2020), “A Simple Planning
Problem for COVID-19 Lockdown,” American Economic Review: Insights,forthcoming.
Atkeson, Andrew G. (2020), “On Using SIR Models to Model Disease Scenarios for

COVID-19,” Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, Vol. 41, No. 1,June, pp. 1–33.

Chari, Varadarajan V., Rishabh Kirpalani and Christopher Phelen (2021), “The Hammer
and the Scalpel: On the Economics of Indiscriminate versus Targeted Isolation

Policies during Pandemics," Review of Economic Dynamics, Vol. 42, October, 2021,
Pages 1–14.
Doti, James L. (2021), “Benefit-cost Analysis of COVID-19 Policy Intervention at the Stateand National Level”, COVID Economics, Issue 67, February, pp. 94–127.

Eichenbaum, Martin S., Sergio Rebelo and Mathias Trabandt (2021), "The Macroeconomicsof Epidemics," Review of Financial Studies, Vol. 34, Issue 11, November, pp. 5149–5187.
Hall, Robert E., Charles I. Jones, and Peter J. Klenow (2020), “Trading off Consumption

and COVID-19 Deaths,” Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, Vol.
42, No. 1, June, pp. 2–13.

岩本康志(2021)、「感染症対策の厚生経済学：都市封鎖の事後評価」。
Iwamoto, Yasushi (2021), “Welfare Economics of Managing an Epidemic: An Exposition,”

Japanese Economic Review, Vol. 72, No. 4, October, pp. 537–579.

Jones, Callum J., Thomas Philippon and Venky Venkateswaran (2021), “Optimal Mitigation
Policies in a Pandemic: Social Distancing and Working from Home,” Review ofFinancial Studies, Volume 34, Issue 11, November, pp. 5188–5223,Levin, Andrew T., et al. (2020), “Assessing the Age Specificity of Infection Fatality Rates for
COVID-19: Systematic Review, Meta-analysis, and Public Policy Implications,”

European Journal of Epidemiology, Vol. 35, Issue 12, December, pp. 1123–1138.

3

𝐼𝐼が約 8.3%のとき、致死率が 1.7%と想定していることになる。この致死率の想定は、図A.1 に示された 3 つの研究の想定よりも若干、高い。
8 / 9

Meyerowitz-Katz, Gideon, and Lea Merone (2020), “A Systematic Review and Metaanalysis of Published Research Data on COVID-19 Infection Fatality Rates,”

International Journal of Infectious Diseases, Vol. 101, December, pp. 138–148.

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