授業資料・その１

ギリシャの数学者たち

624〜547)
・ ターレス(紀元前約
ターレス
ピラミッドの高さを測ったといわれる。
「二等辺三角形の底角が等しい」ことを証明した。
←ターレス

572 年誕生)・ ピタゴラス(紀元前
ピタゴラス「ピタゴラスの定理」で有名。
←ピタゴラス

ＡＣ【ピタゴラスの定理】とは？
直角三角形についてＡという正方形の面積

Ｂは、Ｂという正方形の面積とＣという正方形の面積の和に等しい。

300 年ごろ)・ ユークリッド(紀元前ユークリッド幾何学（図形を扱う数学）における様々な命題を扱った本「原論」をまとめた。この本は全部で 13 巻ある。

287？〜212)
・ アルキメデス(紀元前アルキメデス「球と円柱について」、「円の計量」、「らせんについて」などの著作がある。
「浮力の原理」を発見したとき、裸で町中を走り回ったという逸話がある。
アルキメデス→262〜190)
・ アポロニオス(紀元前アポロニオス
著作としては「円錐（えんすい）曲線論」などがある。

・ ディオファントス(250ディオファントス年ごろ)
この人たち以外にもたくさんいました。

授業資料・その２ギリシャ人の数学とは？
下にあるのはアポロニオスの「円錐曲線論」にある挿絵です。

この絵は座礁した船と 3 人のギリシャ時代の哲学者を描いたものです。彼らは見知らぬ土地ではあるけれども、無事上陸に成功しました。そして、そのうちの一人が『我々は恐れる必要なない』と叫んだそうです。
さてここで問題です。彼はなぜそのようなことを叫んだのでしょうか？
あなたの思ったことを書いてみよう。

ワークシート・その１方程式を解いてみよう
2年組 氏名「ある 2 つの数について、それらの和が 20、それぞれの平方（2 乗）の和が 208 であるとき、それら 2 数を求める。」という問題を、当時のギリシャ人になったつもりで図形を用いて解いてみよう。
（注意 ｘやｙなどの文字を使ったり、□や△を使ったりしてはいけません。）

あなたの答え授業資料・その３

ユークリッドの「原論」
下にあるのは、ユークリッドの「原論」の日本語訳です。ユークリッドはこんなことを考えていたわけです。
【第 2 巻命題９】

【第 2 巻命題 14】

授業資料・その４

ヘロンと方程式・人物紹介
ヘロン紀元前 150 年ごろに生きていたとも、紀元後 200 年に生きていたとも言われているが詳細は不明。測量や機械についての著書があり、その著書「幾何学」の中で述べられた三角形の面積を求める「ヘロンの公式」で有名。
参考「ヘロンの公式」って？
三角形の三辺をａ、ｂ、ｃとし、２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとする。
そのとき三角形の面積の２乗はｓ(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)に等しい。

・ヘロンの方程式に関する記述
以下はヘロンの著書｢幾何学｣(原題 Geometrica)にある記述です。

２次方程式

I.Thomas “GREEK MATHEMATICS WORKS” pp502-504 より円に関し直径と円周と面積が与えられているとき、それぞれを求めること。それはこのようにして行われる。与えられた和を２１２とする。これに１５４をかけると、その結果は３２６４８。１８３の平方である３３４８９をつくるために、８４１を加える。１８３から２９を引くと５４になり、これの１１分の１は１４である。これが円の半径である。円周を求めたいなら、１８３から２９を引き、のこった１５４を２倍し、７分の１をとるとこれが円周となる。面積を求める。これはこのようの求められる。
直径の１４に円周の４４をかけ、６１６を得る。これを４分の１すると、１５４が得られるが、これが求める面積である。

（日本語訳 関口光弘）

さて、ヘロンは方程式を解くのにこのように述べています。そこで先の問題「ある 2 つの数について、それらの和が 20、それぞれの平方（2 乗）の和が 208 であるとき、それら 2 数を求める。」
をヘロンのように記述するとどうなるでしょう？

授業資料・その５

ヘロンの記述「ある 2 つの数について、それらの和が 20、それぞれの平方（2 乗）の和が 208 である
とき、それら 2 数を求める。」という問題は波線部分が 2 次式になるので２次方程式です。
ヘロンの記述も２次方程式に関するものですが、そのことを実際に述べているのは資料・その４（日本語訳）の下線部のところです。では、上の問題をヘロンのような記述の仕方で書くとどうなるでしょう？
それは下のようになります。

208 に 2 をかけ、400 を引き 4 の平方（2 乗）である 16 にする。
4 に 20 を加え、これの 2 分の 1 をとると 12 になる。
これが求める答えの一つである。

これは一体どのようなことをしているのでしょう？
あなたはどんな風に考えましたか？

【あなたの思ったことを書いてみよう】

授業資料その６

ヘロンのようにやっていいのか？
ヘロンのような記述が正しい答えを導いていることはわかりました。ですが、どうしてそれは正しいのでしょう？ヘロンはそのことについて何も述べていません。
では、現代のやり方でヘロンのような記述の仕方が正しいことを確認しましょう。
（注意 ここから先はギリシャ人ではなく、現代人になってください。）＜現代的解答＞
問題は次のような連立方程式である。
x+y=20 ・・・・①x2+y2=208 ・・・・②①を y=20−x と変形して、②に代入すると
x2+(20−x)2=208
さて、この式を整理すると
2x2−40x+400=208
この式の両辺を 2 倍して4x2−80x+800=416
この両辺から 400 を引くと
4x2−80x+400=16
そして、この式は次のように変形できる。
(2x−20)2=42
よって、2x−20=420 を移項し、2x=24
両辺に 2 分の 1 をかけて、x=12
したがって、求める答えは、x=12 y=8 である。

参考
(1 次式)
次式)２の変形について(20−x)2 は次のように考えます。
(20−x)2=(20−x) (20−x)と考えられるので、片方を A とし、分配法則を用いると、(20−x)2=A(20−x)=20A−Ax=20(20−x)−(20−x)x=400−20x−20x+x2=x2−40x+400となります。
同様の理由から、4x2−80x+400=(2x−20)2ということがいえます。

さて、208 に 2 をかけるということは、実は上の解答では下線部のところを意味しています。では、ヘロンの記述での他の部分は、上の解答のどの部分に対応しているでしょうか？考えてみよう。
・「400 をひき」
・「4 の平方である 16 にする」
・「4 に 20 を加え」
・「これの 2 分の 1 をとる」

1 時間目・宿題

1 時間目の宿題
2年組

番

氏名

１

今日の授業の感想を書いてください。

２

ディオファントスはどんなことをした人ですか？書いてください。

３ 授業資料・その６に書いてある現代的解答が正しいことを、自分で計算して確認してください。その際そのページの右側にある事柄を用いるので、このことも自分で計算してみてください。

４授業資料・その６の一番下にある課題をやってください。

授業資料・その７ディオファントスって誰？
＜人物紹介＞
・ 紀元後 250 年ごろに生きていたのではないかと思われている数学者。
・ 「Arithmetica」（算術）という全 13 巻の本を残したが、現在残っているものは６巻までである。しかも、それらはすべて後世の数学者における写本である。
・ 生涯に関して詳しいことは全くわからない。
だけど・・・｢The Greek Anthology｣(ギリシャ詩華集)という本の中の次のような詩にディオファントスのことが書かれています。

【日本語訳】(訳 関口光弘)
この墓にはディオファントスが埋葬されている。あぁ、なんてことだ。この墓は彼の生涯の長さを教えてくれる。彼は一生のうち、６分の１を少年として過ごし、その後１２分の１はあごひげを生やしていた。さらに７分の１を経て結婚式を挙げ、その５年後に子供をもうけた。ところがかわいそうなことに、この息子は冷酷な女神に連れ去られた。その寿命は父の２分の一でしかなかった。そして、生涯の残りの４年間を、悲しみを癒しながら過ごした。
(“The Greek Anthology VolumeⅤ” 英訳 W.R.Paton p.92 p94 より抜粋)【問題】
もし本当にディオファントスの墓があって、本当にディオファントスの生涯を知っている人がこのようなことを後世に残し、本当にその言葉どおりのことを詩にしたとしたら、ディオファントスは何年生きたことになるのでしょう？

授業資料・その８

授業で扱った問題は・・・
気がついている人もいるかもしれませんが、前の時間で皆さんに考えてもらった問題は、実はディオファントスが扱ったものです。

(I.Thomas Greek Mathematics Works Ⅱ p.536)

これが、今、1 時間目から考えている問題について述べられたものです。
このギリシャ語による記述と、昨日のヘロンのギリシャ語による記述（資料その 6）とを見比べて、何か異なる点・気がついた点はありますか？
あなたの意見を書こう授業資料・その９

ディオファントスが用いた記号
ギリシャ時代の記数法(「高校数学史演習」 安藤洋美 著 p61 より抜粋)

ディオファントスは「省略記号省略記号」を導入しました。それは繰り返し出てくる量に対し、省略記号ある特定の記号を用いることです。そして、その繰り返し出てくる量というものは「未知未知なる数」のことでした。また、減法の記号も導入しました。
なる数≪現代との対応表≫
ディオファントスの記号(現代における未知なる数は x と書くことにします。)
現代の表し方

注意点・呼び方・現代との違い()

xarithmos と言う()

x2

平方(dynamis)と言う (()は英訳、以下同じ)(3(((x立方 (cubus)と言う)

x4平方の平方 (dynamodynamis)と言う)

5平方の立方 (dynamocubus)と言う

6立方の立方(cubocubus)と言う)

)

xx

特になし−

この記号の直後に現れる数字が定数項であることを表す
減法の記号 この記号以降はすべて減法(記号はGreek Mathematics Works Ⅱ より抜粋)＜具体的な記号の使い方＞
・ 未知数の直後に書いた数を係数として和(＋)の記号は省略し書きます。
・ 同類項を同一の式に何度も書くことはありません。
・ 減法の記号はこれ以降がすべて減法を意味するため、同一の式の中では一回しか使うことができません。
・ 足し算と引き算の部分を区別して書き、足し算のうち次数の高いほうから、引き算のうち次数の高いほうから、という順に並べていきます。
【例題】
ディオファントスの表現による式を今の表記に直しなさい。(ただし未知数は x とする)

ワークシート・その２君はディオファントスだ
2年組番

氏名

2 数について、その和とそれぞれの平方の和が与えられているとき、それぞれを求めること。
それぞれの平方の和を 2 倍したものは、それぞれの和の平方よりもある平方分だけ大きいというのは必要な条件である。
今その和が①で、それぞれの平方の和がそれらの差が③であるとしよう。

②であるとし、大きいほう④を、小さいほうをとす⑤る。
すると、その和は再び平方の和を②になり、差は①③になっている。にするということが残っている。しかし、それぞれの平方の和がになっている。

⑥

それゆえ、そして、 ⑦はは、⑥に等しくなり、②に等しくなる。

⑧

仮定に帰ると、大きいほうはで、小さいほうは⑨になる。これは条件を満たす。

⑩≪ディオファントスの記号を現代の記号に翻訳してみよう！≫

①⑥②⑦③⑧④⑨⑤⑩≪どんな解き方なのか考えよう≫≪思ったことを書いてみよう≫