第２章

数学は何をしているのか・・・知恵とは回り道をすること数学って何ですかと聞かれてもイメージが浮かびません。
そこで、次の問いが出てきます。

発問２-１「数学をやっている」という例をあげてください。
でも、これは「問い」ではなく「指示」なのでは？
そうです。
「数学をやっているという例は？」と発問してもいいのですが、このような発問も指示に置き換えることができるという例です。
（「問い」は「指し示し」ですから指示と区別できません）
さて、発問に答えましょう。
数学で最初に行なうのが、数を数えるということです。
これについて面白い例があります。
どんな物語でしょうか。
【ものがたり２】 数がなかった時どうやって数えたのか？
-----------------------------------------------------------T：数がまだ見つかっていないとき、人類はどうやって羊を数えたんだろう。
S：指を使うんだ。１、２、３と言って。
S：数は無いんだから、そうやって数えられないだろう。
T：さすがに１はあるとしようか。これは自分にあたる。
次に相手がいるから２もある。でも、それ以上は「たくさん」と言うしかないとしよう。（仮定）
S：数の言葉が無いだけだから、やっぱり指を折るんだよ。
T：どうやって数えるの？
S：１，２、１，２…。１０匹までなら数えられるな。
T：「数える」って何をやっているんだろう？
S：羊 羊 羊 羊 羊・・・｜

｜ ｜ ｜ ｜

１

２ ３ ４ ５・・・

こういうことかな。
T：一対一に対応させているのですね。でも、この数が使えないということは？
S：数の変わりになるものを探せば良いわけか。
T：この人は何を持っている？
S：わかった。この袋の中には石が入っているんだ。
S：羊が柵を出て行くとき、羊一匹に対して石を一個入れる。そうやって全ての羊が石に変わる。これ

は数えなくてもできるよ。
S：夕方になって羊を柵に入れる時は、逆に一匹羊が入ったら袋の石を一個捨てるんだ。もし、石が残れば羊を探しに行く。
T：羊を小石に置き変えているんだね。
S：でも、石だと落すかも。
T：この石はやがてどうなる？
S：そうか、持ち運びが便利なように数になるのか。
-----------------------------------------------------------発問２-２
このように指し示し（問いと対話）によって物語が生じました。
この物語は意味を持っています。
その意味は何でしょう？

意味はたくさんあります。
その中から、ある一つの意味を抜き出したいのです。
それは、「人間の知恵」とはどんなものかという指し示しです。
それを、説明するためにもう一つの例え、赤ちゃんの話をしましょう。
【ものがたり３】 知恵があるとは回り道を見つけること-----------------------------------------------------------T：ところで、「知恵がある」とはどう言う事をさすのでしょうか。
S：いろんなことを知っているということかな。
S：テストで点が取れる。
S：問題が解ける。応用が利く。
T：じゃあ、人間と動物は知恵という面からはどう違うのでしょうか。例えば、知恵は人間の方があるというけれど、動物の知恵とどう違うのでしょう。
S：言葉を使うということが違います。
S：動物だって言葉を使うよ。犬はワンワンと言うよ。
S：あれは言葉じゃないでしょ。
S：でも、チンパンジー（ボノボ）が手話をするって聞いたことがあるよ。
S：考えを伝える言葉は、人間しか持っていないと思います。
S：動物だって考えを伝えられるよ。猿が、「危ない」とか「逃げろ」という猿語を使っているのをテレビで見た事あるよ。
T：言葉は知恵を表現するためには大事なものだけど、知恵そのものではないようですね。では、言葉ではないとすると、知恵とは何でしょうか。
この絵を見てください。１歳の伝い歩きができはじめた頃の赤ちゃんが、テーブルの向う側にある飴を取ろうとしている。ところが、手が届かない。赤ちゃんはあきらめるでしょうか。
S：テーブル伝いに回って取りに行きます。
T：そうだね。ちゃんと回り道をします。回り道をしている途中にぬいぐるみのコアラを見つけると、今度はコアラに夢中になります。寄り道です。赤ちゃんはまだ言葉がしゃべれませんが、犬とは違います。
では、犬をこの絵の様に金網のすぐそばへつれてきて、金網の向う側のすぐ前へ肉を置くと、犬はどうするか。
S：やっぱり回って、肉を取りに行く。
T：いや、それは離れている時だよ。すぐ目の前に肉がある場合は、必死で金網越しに肉を取ろうとするらしい。この回り道ができるかどうかが、人間と動物の違いだね。
S：「急がば回れ」ということわざがありますね。
S：ぼくは目の前のものだけを取りに行く人間だな。
S：チンパンジーなんかはどうなの。
T：チンパンジーに、こういう実験をやった人がいる。部屋の中に天井からバナナを吊るす。もちろん届かないようにしておく。もう一つ、部屋の隅の方にいくつかの箱を置いておく。チンパンジーはどうするのか。始めは、跳び上がって何とか取ろうとする。ところが取れないのが解ると、箱を積み上げて取るという。
S：へー、賢い。チンパンジーも回り道ができるわけだ。
【数学には近道（思考の省エネ）をする方法という面もあるけど、ここで強調したいのは、「数学をすることは回り道を考えること」であるということです。
このことは案外自覚されていません。現代社会はすぐに答えにたどり着けるのが良いとされています。
でも、それは考えない脳をつくっているのです。
】
T：このように、直接やろうとしてもできない時に、回り道をする「ちから」というのが知恵であるわけだ。この「ちから」は数学でもずいぶんと用いられている。
これを数学にあてはめてみよう。数学は問題から答えを見つける勉強だろ。
問題↓答え
でもね、答えはすぐには見つからない。すぐに答えが見つかるような問題は、本当の問題じゃない。そういう時にどうしたらいいか。急がば回れって言うだろ。回り道をするんだ。
問題→

おきかえ↓

答え←

操作

------------------------------------------------------------

これらの二つの物語を比べると、ある一つのことが浮かび上がってきます。
それは、人間（チンパンジー）の知恵ということです。
「その知恵は回り道である」と言っても良いくらいです。

発問２-３
このことを最初のものがたり「１、２、たくさん」に当てはめるとどうなりますか？
（一対一対応）羊→石↓（袋に入れる・捨てる）

羊の数

←

石の数

見事に当てはまります。
チンパンジーの場合も同様にできます。
バナナ→↓箱↓（道具として使う）

手に入れる←台

これらは人間の行動の一面を表わしています。
この回り道の図を「図式（ダイアグラム）」と名づけます。
名づけたとたんに、図式（ダイアグラム）を使えるようになります。

発問２-４
この図式は他の場合にも応用できますか？
拡声器やラジオもこの図式から説明することができます。
（振動）
声→

↓
大きな声←

電気信号
↓（増幅）
スピーカー

この対応を見つけたからスピーカーが発明できたのだと言ってもいいですよね。
ここでは、声→電気信号となっていますが、その間には次のような対応があります。
声→音→空気の振動→電気の振動→電気信号→もちろんそれぞれの間に、たくさんの対応があります。
この対応は「変換」と言い換えても良いでしょう。
矢印は「変換」も表わしています。

発問２-５羊→石は一対一対応でわかるのですが、バナナ→箱 はどういう対応なのかわかりません。

どういう対応なのでしょうか？

バナナ→バナナを食べたい→バナナを手に入れたい→手に入れる道具は→箱がある→台にできる
このような対応が考えられます。
これをまとめて、バナナ→箱としたわけです。
これは心の動きです。
心が動いた結果、バナナが箱に変換したといえます。

発問２-６
羊の問題で、「石を入れる袋」は何にあたるのでしょうか？
これを解くために、図式を描きます。
羊→ 石 →数

↓↓↓？

←袋→？

羊の方で思い浮かぶのは、羊を入れる囲いです。
では、数の方は何でしょうか。
先ほどの数は一つ一つの数を羊に対応させました。
その数を、順番を表わす数（順序数）といいます。
でも、石と違って数は一つの数で済みますから、順序数ではありません。
一つの数で済むのは、その数字がすべての羊を表わしているからです。
したがって、数の方の ？ は、袋も兼ねている量としての数です。

発問２-７
矢印は何を指し示しているのでしょうか？
この図式を見ると、数学に詳しい人は「可換図式」を思い浮かべられると思います。
その場合、矢印は「射」で、「二つの数学的構造の間で構造を保存する過程を抽象化したもの」と定義されます。
例えば、関数や写像を言います。
でも、ここでは直感的にとらえるのが良いと考えています。
「何かつながっている」と感じたことを矢印で表わします。
「何か結びつくぞ」という感覚を矢印にしたのです。
それは「指し示し」、「関係」、「つながり」、「変換」、「写像」ともいえます。

そして、図にするとその矢印が何を表わしているのか見えてくるのです。

発問２-８
発問１-３で出てきた「意味」とは何ですか？
ある言葉の意味を調べる時に辞典を見ます。
辞典にはその言葉の意味が書いてあります。
そこに書いてあることは、その言葉を同じ意味の別の言葉に「おきかえ」た言葉です。
つまり、意味は別の言葉に「おきかえ」た時に出てくるのです。
今まで使ってきた「問い」＝「指し示し」の文脈で言えば、「指し示し」によって、あるコトやモノが別のコトやモノと「同じ」であると示せた時に、その「同じ」コトを、そのコトやモノの意味といいます。
例えば、『「量としての数」は「袋に入った石」のようなもの』ということが、「量としての数」の意味になります。
問い → 指し示し →事物Ａ⇒事物Ｂ→ 意味

難しいと感じられるかもしれません。
これらのことは、これから出てくる様々な例によってくり返し出てきます。
ですから、自然に身についてきます。
ご安心ください。
まとめ智恵→回り道→図式→対応図式