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32ᄂᆮңщᎍ

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ἋἣỶἻἽඬỉႆဃἳỽἝἌἲᴾஙɦ̲ɟ KINOSHITA, Shu-ichi


ᄂᆮಒᙲ

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35

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36ᄂᆮңщᎍ

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37

GCOE Research Fellows

ᄂᆮಒᙲ研究協力者

フラクタル反応理論の生態学への適用
八島健太

YASHIMA, Kenta

GCOE Research Fellows

所 属 ・ 役 職 ： 先端数理科学インスティテュート研究員
明治大学研究・知財戦略機構研究推進員（ポスト・ドクター）GCOE-現象数理 PD
専 門 ・ 学 位 ： 数理生物学・物理学，博士(工学)・慶應義塾大学，物理学（半導体物理）
研 究 内 容 ： 数理生物学（理論疫学）
研究概要
従来の数理生態学では，環境の不均質性を扱うための理論的枠組みとして，正常拡散を仮定
し質量作用則を用いてきた。しかしながら，環境の不均質性に伴い個体の移動パターンが異常拡散を示す際には，このような理論的枠組みは十分ではなく，フラクタル反応理論を用いた定式化の必要性が，不均質溶媒中における化学反応の知見から，示唆されている。
本研究では，これらの植物病虫害を念頭においた病害虫と被害植物からなる個体群動態の数理モデルを作成し，フラクタル反応理論に基づいた理論解析の有効性を検証した。具体的には，格子モンテ・カルロ法を用いて環境の不均質性を直接取扱った数値シミュレーションを行い，それとフラクタル反応理論から理論的に計算される病虫害の侵入条件を，基本増殖率を用いる
ことで評価し，環境の不均質性の効果を考慮できているかを調べた。
まず，環境の不均質性を直接扱える格子モンテ・カルロ法を用いて，病害虫および被害植物からなる個体群動態の数値シミュレーションを行うことで，不均質な環境下での病害虫の移動パターンを評価した。計算格子上に植物を配置し，植物およびその周辺が病害虫にとり好適な領域と設定した。ここで，環境の不均質性を特徴付けるパラメーターとして好適な環境の割合
p とその空間配置の相関の大きさ η を用いる。数値解析の結果，病害虫の移動パターンは p お
よび η の増加に伴い，移動個体の平均二乗変位が経過時間に対して線形増加よりも小さくなる
異常拡散を示した。このことより，病害虫の植物への定着プロセスにおいてフラクタル反応が生じていることが理論的に示唆された。
このことから，植物病虫害モデルを作成し，病害虫の植物への定着プロセスをフラクタル反応理論にて定式化を行った。これにより，環境の不均質性を考慮した病虫害の基本増殖率を明示的に書き下すことができ，実際に常微分方程式を用いた植物病虫害モデルにおいて侵入条件を記述できることを示せた。今後は，格子モンテ・カルロ法における不均質環境下における病虫害の侵入条件および伝播速度を，フラクタル反応理論を用いて記述できないかを行っていく予定である。これまでの成果は，2012 年 6 月の個体群動態理論の国際シンポジウム（京都大学），
2012 年 10 月の RIMS 研究集会
（京都大学），2013 年 2 月の Biophysical Society (Philadelphia,USA)等にて研究発表を行った。

38

研究協力者

1. Exact solutions of a Morisita-Shigesada system:
periodic stationary solutions and sharp wavefront
solutions
2. Blow-up in reaction-diffusion systems under Robinboundary conditions

洪立昌 HUNG, Li-Chang

1. Exact solutions of a Morisita-Shigesada system: periodic stationary solutions and sharp wavefront solutions
Under the condition that the population disperses to areas of lower density faster as the population gets more crowded,
the Morisita-Shigesada system of three species is considered instead of the classical Lotka-Volterra system. Motivatedby the results in [3] and the approach adopted in [5], exact periodic stationary solutions and sharp wavefront solutions
for the Morisita-Shigesada system of three species are constructed. In addition, certain numerical simulations of theMorisita-Shigesada system of three species and of two species are also included.
When the nonlinear diffusion terms are replaced by the linear diffusion terms, the scaled Morisita- Shigesada system
becomes the classical competitive Lotka-Volterra system.
To the best of our knowledge, very little is known about the existence of solutions for the competitive Lotka-Volterrasystem of three species. Under certain restrictions on the parameters, however, the question whether traveling wave
solutions of the competitive Lotka-Volterra system of three species exist or not is answered affirmatively in [1, 2] byconstructing exact solutions. Also, some interesting numerical results are given there. In general, one of the difficulties intackling this question arises due to the failure of the maximum principle for system the competitive Lotka-Volterrasystem of three species. As a result, the method of sub- and supersolutions generally is not available for constructing
solutions to the competitive Lotka-Volterra system of three species. Furthermore, when phase plane analysis is used tofind solutions of the Morisita-Shigesada system of three species, it is necessary to deal with a system of six ODEs. We
note however that, by means of explicit construction of solutions from solutions for the heat equation, it can be shownthat three new types of solutions exist for the competitive Lotka-Volterra system of three species ([4]).
The main purpose of our study is to show that, motivated by the results in [3], periodic stationary solutions and sharp
wavefront solutions can be found by virtue of the approach adopted in [5]. Also, this approach provides an alternative toobtain such two solutions, which are given in [3].
Since in [2], under certain conditions on the parameters, we find numerically and explicitly the traveling wave
solution of the competitive Lotka-Volterra system of three species having the profiles with u(z) being increasing(respectively, u(z) being decreasing) in z, v(z) being decreasing (respectively, v(z) being increasing) in z, and w(z) beinga pulse. It is natural to propose the following problem for the nonlinear diffusion case, i.e., for the Morisita-Shigesada
system of three species, does there exists a solution with similar profiles? We show that this question is answered
affirmatively by giving numerical experiments.

2. Blow-up in reaction-diffusion systems under Robin boundary conditions

We apply the differential inequality technique of Payne et. al to show that a reaction-diffusion system admits blow-up
solutions, and to determine an upper bound for the blow-up time. For a particular nonlinearity, a lower bound on theblow-up time, when blow-up does occur, is also given.
The physical meaning of the Robin boundary conditions can be explained as follows. Suppose that u and v represent
temperature, and are governed by the equations in our problem. Then the Robin boundary conditions mean that the heat
flux on the boundary of the domain are proportional to the temperature u and v on the boundary of the domain,
respectively. Due to the Robin boundary conditions, it follows that the larger the heat flux is, the smaller the temperature
is. We note that, from the biological point of view, the temperature and the heat flux can be substituted respectively topopulation density and population flux. In other words, the larger the population flux is, the smaller the population
density is. As a consequence, when the population flux on the boundary is large, the population density on the boundaryis small. The low density of u and v on the boundary then may result in the blow-up of u or v since the large flux flows
into the domain but on the boundary of the domain, the density of u and v are restricted to be small. Therefore, u and v
are may be forced to aggregate together so that blow-up occurs.

References[1] C.-C. Chen, L.-C. Hung, M. Mimura, M. Tohma, and D. Ueyama, Semi-exact equilibrium solutions forthree-species competition-diffusion systems, Hiroshima Mathematical Journal, 43 (2013), pp. 179–206.
[2] C.-C. Chen, L.-C. Hung, M. Mimura, and D. Ueyama, Exact travelling wave solutions of three- species
competition-diffusion systems, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 17 (2012), pp. 2653–2669.
[3] M. Guedda, R. Kersner, M. Klincsik, and E. Logak, Exact wavefronts and periodic patterns in a competition
system with nonlinear diffusion, manuscript.
[4] L.-C. Hung, Diffusion-induced long-term coexistence: constructing solutions for a diffusive lotka- volterrasystem from solutions of the heat equation, submitted.
[5] L.-C. Hung, Exact traveling wave solutions for diffusive Lotka–Volterra systems of two competing species,
Jpn. J. Ind. Appl. Math., 29 (2012), pp. 237–251.

39

GCOE Research Fellows

研究概要

所 属 ・ 役 職 ： 先端数理科学インスティテュート研究員
明治大学研究・知財戦略機構研究推進員（ポスト・ドクター）GCOE-現象数理 PD
専 門 ・ 学 位 ： 数学，Ph.D. National Taiwan University
研 究 内 容 ： 反応拡散系の進行波解，偏微分方程式の厳密解と半厳密解ᄂᆮңщᎍ

The earthquake prediction
based on focal mechanismᕏෙ༚   SIEW, Hai-Yen৑ ‫ ޓ‬ȷ ࢫ Ꮀ Ჴ έᇢૠྸᅹ‫ܖ‬ǤȳǹȆǣȆȥȸȈᄂᆮՃ ଢ඙‫ܖٻ‬ᄂᆮȷჷᝠ৆ဦೞನᄂᆮਖ਼ᡶՃᲢȝǹȈȷȉǯǿȸᲣ )%1'ྵᝋૠྸ 2&‫ ᧉ ݦ‬ȷ ‫ ܖ‬ˮ Ჴ ወᚘᅹ‫ܖ‬ᲦҦٟᲢወᚘᅹ‫ܖ‬Უȷዮӳᄂᆮ‫ܖٻ‬ᨈ‫ܖٻ‬ᄂ ᆮ ϋ ܾ Ჴ ወᚘႎȢȇȪȳǰƓǑƼȇȸǿᚐௌ

GCOE Research Fellows

ᄂᆮಒᙲIn this study, we tried to predict the occurrence time and magnitude of aftershocks based on theinformation of past occurrences. This work was collaborated with Professor Ah-Hin Pooi of the
Sunway University of Malaysia. We studied in detail the aftershock data of the great Wenchuan
earthquake that occurred in 2008, China. In this work, the data in which we included the information
not only the occurrence time, but also the depth of plane, magnitude, the azimuth, dip and slip angles ofthe moving plane. We fitted those variables to a multivariate powered normal distribution and thencalculated the conditional densities of the time between two consecutive occurrence and magnitude ofan event given the past history. The conditional densities allowed us to find the confidence intervals of
the prediction of the time elapsed before the next occurrence and the magnitude of the next occurrence.
As a result, it showed that the model gave a good model if we included the information up to lag 4,
which produced prediction interval and coverage length of time and magnitude are, which are 96% and1.38 days, 98.5% and 1.78Ms, respectively. We also applied the lag 4 model of Wenchuan data to
Tohoku earthquake, which gave a prediction on the occurrence of time gaps and magnitude of Tohoku
earthquake (2011) with accuracy of 84% and 86%, respectively. This result implied that we could
predict the aftershock of one place by using the historical earthquake data of other places. The result of
this study is published at ScienceAsia (2013, 39S, 6-10, doi: 10.2306/scienceasia1 513-1874.
2013.39S.006).
Besides that, I also studied with Prof. J. Zhuang of the Institute of Statistical Mathematics thesemi-parametric solution to estimate the intensity (hazard) function of the modulated renewal
processes: a non-parametric estimate for the baseline intensity function together with a parametricestimate of the model parameters of the covariate processes. Based on the martingale property
associated with the conditional intensity, we constructed a statistic from residual analysis to estimate
the baseline renewal intensity function, when the model parameters of the covariate processes are
known. On the other hand, when the baseline intensity is obtained, the model parameters can be
estimated using the usual maximum likelihood estimation. In practice, both the baseline intensity andmodel parameters are suggested to be estimated simultaneously via an iterative manner. For illustration,
we applied the proposed estimation procedure to data simulated from a gamma renewal process and theaftershock data of the Wenchuan earthquake. The result has been written as a research paper which is
now under revision.

40ᄂᆮңщᎍ

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41

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42

土居英一

DOI, Eiichi

所
属 ：大学院先端数理科学研究科現象数理学専攻博士後期課程３年
チームフェロー ：指導教員 刈屋武昭（モデリング班），
砂田利一（数理解析班），王京穂，山村能郎（シミュレーション班）
研 究 課 題 ：社債データによる業種・格付け別倒産確率の期間構造と回収率の推定モデルの実証
研究概要
国債（JGB）価格付けﾓﾃﾞﾙの割引率を表現するものとして金利の期間構造ﾌﾟﾛｾｽは有用であり、特にｾﾞﾛｸｰﾎﾟﾝ債の割引率を表現するものとして表現される。その情報は、基本的に各時点の国債価格全体にある。実際には、多くの国債はｸｰﾎﾟﾝ債であり、価格も含めた国債全体の価格の背後にあるｲｰﾙﾄﾞ全体のﾌﾟﾛｾｽとして表現される。このｲｰﾙﾄﾞの導出の仕方も、個別銘柄属性をどの程度考慮するかで結果は大きく異なる。無裁定価格理論では、個別銘柄の属性を無視し、割引債を前提としてｽﾎﾟｯﾄﾚｰﾄﾓﾃﾞﾙやﾌｫﾜｰﾄﾞﾚｰﾄﾓﾃﾞﾙなどの特定なﾓﾃﾞﾙによってﾓﾃﾞﾙ化し、可能なら解析的に割引率を導出し、未知ﾊﾟﾗﾒｰﾀをﾃﾞｰﾀから推定する。前者の代表的なﾓﾃﾞﾙは CJR ﾓ
ﾃﾞﾙであり、後者の代表的なﾓﾃﾞﾙは HJM ﾓﾃﾞﾙである。他方、本研究でのﾓﾃﾞﾙは、銘柄属性を積極的に考慮する刈屋(1995)、Kariya and Tsuda(1994)によるﾓﾃﾞﾙ化を基礎とする。その結果、個
別銘柄の数自体が資産数となり、非完備な状況を最初から設定することになり、ﾘｽｸ中立測度
は一意的に存在しないのであるから、実測度のもとでの評価を対象とする。さらに特定なﾓﾃﾞ
ﾙを前提とせずに個別銘柄属性を考慮したﾌｫﾜｰﾄﾞﾚｰﾄの期間構造表現による割引率を平均値とそこからの乖離に分解し、前者を多項式近似し、乖離の部分には確率的な相関構造を想定して一般化最小二乗法により統計的に処理する（図表１）。国債価格情報は、景気変動についての投資家のﾌｫﾜｰﾄﾞﾙｯｷﾝｸﾞな評価として将来動向を潜在的に表現した情報の集合として捉えることができるという考えに基づく。更に本研究では、これらの実証として金融危機時周辺のﾃﾞｰ
ﾀを使用し導かれた 6 次の多項式により近似される平均割引率関数を提案すると伴にゼロイールド等を叙述（図表２）
。
図表１

図表２

43

プログラム学生（博士後期課程）

実証的に有効なＪＧＢ価格付けモデルと金融危機時の金利の期間構造分析

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Ph.D.

プログラム学生（博士後期課程）

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弱小種の侵入による競争緩和共存に起因するパターン形成に関する研究

Ph.D.

藤間真

TOHMA, Makoto

所
属 ： 大学院先端数理科学研究科現象数理学専攻博士後期課程３年，
チームフェロー ： 指導教員 三村昌泰（数理解析班）
若野友一郎（モデリング班），上山大信（シミュレーション班）：
反応拡散系におけるパターン形成の数理
研 究 課 題研究概要
複数の生物種が相互関係の結果、どのような時間的空間的様相を示すかという問題は、生態学において重要な問題である。この問題において、重要な経験則はロシアの生態学者 G. F. Gause によって提唱された「競争排他律」である。競争排他律は、同じ生態学的地位にあって競合する二種の生物は共存できないと主張する経験則であり、Gause 自身の実験や、Lotka-Volterra 型と呼ばれる数理モ
デルで確認されている。しかし、現実の自然界では複数の生物種が競争しながらも共存している。報告者は、この「競争緩和共存」状態について、「多くの種が複雑な競争等によって，複雑なネットワークが生じ，それによって強競争関係が緩和され，共存が可能となるのであろう」という視点から、数理モ
デルを通じた理解を目指している。
過年度より、競合する三種をモデル化した三種競合 Lotka-Volterra 型反応拡散モデルにおいて、空間の効果を考慮しない場合には共存できないにも関わらず、拡散の効果を導入することによって動的共存状態が発生する場合について研究を進めてきている。特に、二種が競合しながら拡散する状
態に弱い第三種が侵入することによって発生する動的共存状態の発生メカニズムについて研究してきている。過年度、三変数すべてに関わるヘテロクリニックな一次元非自明安定進行波の存在が、回転する螺旋状の共存状態の一つの必要条件となることを数値的に示した。それをふまえ、一次元安
定進行波解の二次元的組み合わせに着目して研究を進めた。着目しているパラメータ領域では、安定な一次元進行波解として、侵入第三種の存在しない二種ヘテロクリニック進行波と、侵入第三種が既存二種に挟まれたプロファイルをした三種ヘテロクリニック進行波の二つが存在する。そして、二種進行波の方がわずかに速い場合には三種進行波に追いつく形で安定なホモクリニック進行波解を構成できるが、三種進行波の方が速い場合では追突時に消滅するので構成できないことを数値的に示した。更に、安定進行波が正面衝突時に消滅すること、二種進行波が三種進行波より十分速い場合には、追突時に反射したかの様に両方に進む三種進行波が発生すること、そして、速度差が適当であれば、反射と消滅を繰り返すことにより、二次元的な不規則動的パターンが発生することを数値的に確認した。
更に、競争排他状態・不規則パターンによる動的共存状態・規則的螺旋状動的共存状態という三つの状態が、二種進行波と三種進行波の相互作用と速度差によって説明できることを、数値的に確認できた。また、競争排他が起きる場合の漸近挙動についての数値実験結果を検討し、楔形をした
二次元的な進行波を発見し、この楔型進行波解が追突すると消滅する二つの一次元進行波解が斜めに組み合わさってさってできること、発生する角度に関する条件、進行方向と速さの定量的評価を数値的に確認した。
上記研究の一端は、9 月に開催された応用数理学会研究大会、12 月に開催された応用数学合同
研究集会および 2 月に開催された北陸応用数理研究会で報告した。

44

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Ph.D.

プログラム学生（博士後期課程）

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Traveling spots in singular limit
problems of reaction-diffusion
systems

Ph.D.

陳彥宇

CHEN, Yan-Yu

所
属 ： 大学院先端数理科学研究科現象数理学専攻博士後期課程３年，
チームフェロー ： 指導教員 二宮広和（数理解析班）
三村昌泰（モデリング班），Guo Jong-Sheng（シミュレーション班）
研 究 課 題 ： 反応拡散系に現れるパターンの数理的特徴付け
研究概要

Recently, there are many kinds of patterns was observed on experiments or numericalsimulation. However, the tool to analyze these patterns is not built very well. To study thisphenomenon, the bifurcation analysis is one of the methods. In this work, we try to treat
the pattern which is called traveling spot by singular limit analysis.
In this study, we consider the FitzHugh-Nagumo type equations as follows.

As   0 , we can expect u converges to 1 at the region (t ) and otherwise converges
to 0. Also ,we obtain the interface equation as follows.

where c(v)  a  bv . The traveling spot means the solution ((t ), v( x, y, t )) of (1) which
satisfies

Our main theorem of this research states in the following.

Theorem. For any c  (0, a) , there is a positive constant b such that the traveling spot
solution (, v) of (2) exists. Moreover,  is C 2 ,and converges to a disk with radius 1/ a as c closed to 0 and is non-convex if c closed

to a .
This is a joint work with professors Hirokazu Ninomiya and Yoshihito Kohsaka.

48

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プログラム学生（博士後期課程）

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Multiscale approach to pattern formationin reverse smoldering combustion

Ph.D.

IJIOMA, Ekeoma Rowland所
属 ： 大学院先端数理科学研究科現象数理学専攻博士後期課程 2 年
チームフェロー ： 指導教員 小川知之（シミュレーション班）
池田幸太（数理解析班），三村昌泰（モデリング班）
研 究 課 題 ： Multiscale methods and analysis of reaction-diffusion
systems.
研究概要
We approach the problem of reverse smoldering combustion of thin reactive porous materials fromthe point of view of the homogenization theory. The main objective of this study is to analyze theinfluence of microstructures on the behavior of structure formation behind a propagating smolder front.
To do this, the upscaled model we developed previously for isotropic porous materials is generalized totreat problems posed on anisotropic porous materials. Proceeding in this direction, we attempt toconfirm the experimentally observed fingering behavior for highly anisotropic materials, in which theresults of this study conforms to experimental findings: the uniformity of the patterns is reduced andthe distinct fingering states of the instability are reproducible.
The method of this research is based on a fixed geometry, in which directional fingering of thepatterns are shown to be consistent with the orientation of the microstructure of an idealized porous
sample. Furthermore, the validity of our derived upscaled model from a basic pore-scale description isassessed through mathematical rigor based on the notion of two-scale convergence and corrector
estimates. We show the convergence rate of our homogenization process by first order correction of thehomogenized problem.

Structure of distinct fingering patterns for highly anisotropic porous media

52

FRANCHISE FINANCIAL CONTRACTLUKITO, Adi Nugroho৑‫ ޓ‬Ჴ ‫ܖٻ‬ᨈέᇢૠྸᅹ‫ܖ‬ᄂᆮᅹྵᝋૠྸ‫ݦܖ‬ૌҦٟࢸ஖ᛢᆉ  ࠰ȁȸȠȕǧȭȸ Ჴ ਦ‫ݰ‬૙Ճ А‫ދ‬നଯᲢȢȇȪȳǰྰᲣ ʑܑ඙ᲢૠྸᚐௌྰᲣᲦɤ஭ଡ඲ᲢǷȟȥȬȸǷȧȳྰᲣᄂ ᆮ ᛢ ᫆ Ჴ 1RVKOK\CVKQPKP$WUKPGUU(QTOCV(TCPEJKUKPIᄂᆮಒᙲ
FRANCHISE MINIMUM REVENUE GUARANTEEIn order to survive in the current severe competition, newly established franchises havebeen looking for new ways to encourage people to become their franchisees. One approachthat becoming increasingly widespread is the inclusion of revenue guarantee. This feature
attracts risk averse franchisees because it reduces the apparent risk of joining a franchisewith the reassurance that they will earn predetermined level amount of income from day one.
This paper develops analytical framework using real options approach to value revenue
guarantee in business format franchise. Thus the model will be tested using Monte Carlosimulation to assess the impact of the revenue guarantee agreements on franchisees’ Present
Value. Result of this paper is that the franchisee will decision on joining guarantee program
will be based on projection of future sales and difference in discount rate.

OWNERSHIP REDIRECTION IN FRANCHISE: REAL OPTIONS PERSPECTIVE
Initiated by work of Oxenfeldt and Kelly (1968), the subject of franchise route to ownershipredirection hypothesis still attracting many scholars. This paper, differing from previous
studies, proposed alternative look for this hypothesis using real options perspective, wherefranchisor decision to franchise seen as deferring an investment and future acquisition as
options to expand.
Real options model build based on Datar-Mathews framework and tested using Monte Carlo
Simulation. In our model, options value will be affected by demand uncertainty andmonitoring cost.

Consistent with real options theory, simulation results reveal the raisingof call options importance as uncertainty increase53␁␗⏚␓␊‫ܖ‬ဃ␶Ҧٟࢸ஖ᛢᆉ␷REAL OPTIONS APPLICATION ON

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Ph.D.

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56

GANI, Mohammad Osman৑‫ ޓ‬Ჴ ‫ܖٻ‬ᨈέᇢૠྸᅹ‫ܖ‬ᄂᆮᅹྵᝋૠྸ‫ݦܖ‬ૌҦٟࢸ஖ᛢᆉᲫ࠰
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ᄂᆮಒᙲ
We introduce a new two-variable partial differential equations model of electrical wave propagationof cardiac cells. We modify the FitzHugh-Nagumo equations [1,2] without changing slow manifold
instead changing velocity of each branches of slow manifold. The nullclines of our model are shown in
Figure 1(a). Both nullclines intersect each other on the left branch of the u-nullcline only once at apoint, which is called the rest state of the excitable media. We investigate numerically the existence oftraveling wave solutions of the proposed model of reaction-diffusion system of equations. We study the
instability of the periodic traveling wave solutions in one-dimensional simulation. When the parameterb is gradually decreased, the traveling wave loses its stability via a supercritical Andronov-Hopfbifurcation (see Fig. 1(b)). In two dimensions, the emergence of stable spiral wave pattern is observedin the proposed model, which occurs when the heart is malfunctioning (i.e. ventricular tachycardia).
The oscillation of spiral pulse width i.e. alternans is observed in a specific parameter regime. We showthat unstructured spiral breakup running to complex spatio-temporal pattern occurs as a directconsequence of this instability of traveling wave solution. This chaotic behavior of the medium iscalled ventricular fibrillation. This is a joint work with Professor Toshiyuki Ogawa.

Figure 1: (a) The nullclines and (b) the bifurcation diagram of the proposed model.
References[1]. R. FitzHugh, Impulse and physiological states in theoretical models of nerve membrane,
Biophys. J. 1, 445-465 (1961).
[2]. J. S. Nagumo, S. Arimoto and S. Yoshizawa, An active pulse transmission line simulating nerveaxon, Proc. IRE. 50, 2061-2071 (1962).

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Alternans and Spiral Breakup
in a modified FitzHugh-Nagumo Modelof Cardiac Cell Dynamics

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Reaction-Diffusion Equationsin Ecology

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SCOTTI, Tommaso৑‫ ޓ‬Ჴ ‫ܖٻ‬ᨈέᇢૠྸᅹ‫ܖ‬ᄂᆮᅹྵᝋૠྸ‫ݦܖ‬ૌҦٟࢸ஖ᛢᆉᲫ࠰
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term indicates an algal bloom that has negative impacts on other organisms via the production of
toxins, mechanical damage, or by other means. Due to their potential impact on drinking or
recreational waters, in the recent years the formation of toxic algal blooms in lakes and rivers has
been causing more and more concern. Therefore, I am mainly interested in freshwater HAB and inparticular to those caused by cyanobacteria.
In general, toxin-producing species of phytoplankton are poor competitor for resources.
Nevertheless, they are observed to coexist with other species and occasionally to form dense
blooms. The goal of my research is to show if and in which way toxicity promotes the survival ofsuch species. Also, I investigate whether the selective predatory activity of zooplankton(phytoplankton’s natural predator) can promote the formation of toxic blooms. In fact, even though
they usually prefer the nontoxic species, zooplankton graze on toxic cyanobacteria despite theselatter’s toxicity inhibits their growth.
To answer the previous questions, I approach the problem by employing a 3-species Lotka-Volterrasystem of ordinary differential equations accounting for the dynamics of two prey (toxic andnontoxic phytoplankton) and one predator (zooplankton).
The system is studied using all the classical techniques of linear stability and bifurcation
analysis. Using such analysis, I show that a weak toxicity leads to the extinction of the toxic prey.
On the other hand, stronger toxicity promotes 3-species coexistence. At this point, I consider the
associated reaction-diffusion system. By numerical simulations, I show that when the species
move in space, the faster diffusivity of zooplankton can lead to the formation of a patchy patternconsisting of spots with high density of toxic phytoplankton surrounded by an area in which there
are almost exclusively the other two species. The same type of pattern can be also commonly
observed in nature. Therefore, I argue that the ability of zooplankton to move faster and to direct
its grazing effort mainly on the nontoxic prey might be the mechanisms underlying the formationof toxic blooms. This is also in accordance with experimental results.

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