Domaine de Recherche
Mon domaine de recherche mathématique concerne l’arithmétique des corps et des revêtements, la théorie de Galois et la théorie inverse, l’arithmétique des groupes profinis, la cohomologie
galoisienne et la théorie additive des nombres.
.— Théorie inverse de Galois, géométrie-arithmétique. Mots clés : Problème Inverse de Galois,arithmétique des revêtements algébriques, espace de Hurwitz, arithmétique des groupes profinis.
Il s’agit de mon domaine originel de recherche. La théorie inverse de Galois a pour obje ifde regarder la possibilité de réaliser des groupes (pro)finis comme groupes de Galois sur des corps
fixés. Plus généralement l’obje if e de mieux comprendre la ru ure arithmétique des groupesde Galois absolus (i.e. des groupes de Galois d’extensions galoisiennes maximales). L’approche
moderne à ce problème utilise la géométrie arithmétique, en particulier la théorie des revêtementsalgébriques.
Après avoir travaillé sur la théorie des espaces de modules de revêtements (espaces d’Hurwitz)
pendant ma thèse sous la dire ion de Pierre Dèbes, j’ai obtenu plusieurs résultats de théorie inverse de Galois (voir / et /) sur ce sujet. En particulier j’ai montré que pour un groupe fini
G donné il exi e des espaces de Hurwitz paramétrés par G et possédant pour tout p des points
Qp -rationnels (rappelons à ce sujet que l’exi ence d’un point Q-rationnel assure la réalisation dugroupe comme groupe de Galois sur Q).
Un important travail dans ce domaine e une collaboration avec P. Dèbes (cf. /). Danscet article nous introduisons une nouvelle notion : celle de corps ψ-libre. L’idée fut d’utiliser lesméthodes exi antes pour la con ru ion de revêtements à paramètres arithmétiques fixés (groupede Galois, ramification etc) et de les appliquer à la con ru ion de tours infinies cohérentes derevêtements. Ces con ru ions permettent de réaliser sur certains corps, le groupe profini librebω comme groupe de Galois (c’e ce que nous appelons être ψ-libre). Ende rang dénombrable Fparticulier nous montrons que si k e un corps valué hensélien de cara éri ique résiduelle nullebω e groupeet contenant les racines de l’unité alors le corps k(T ) e (régulièrement) ψ-libre (i.e. F
de Galois d’une extension régulière de k(T )). Ce résultat s’applique par exemple pour le corps
k = Qab ((T )).
Cette notion de psi-liberté e proprement nouvelle puisqu’elle vient s’intercaler ri ement
entre la propriété d’ω-liberté et le fait pour un corps de vérifier Galois Inverse. Des perspe ivesintéressantes s’ouvrent à partir de cette notion, par exemple pour la conje ure de Shafarevich (quiprévoit au total beaucoup plus que la ψ-liberté de la clôture abélienne de Q) ainsi que vers desperspe ives modulaires comme l’indique la dernière partie de l’article mentionné.
Il faut rajouter à ces travaux, la publication (en tant qu’éditeur et pour le compte de la SMF)
en , d’un livre d’articles de recherche sur ce thème (cf III). Il s’agissait à la base des a esd’une conférence que j’avais organisée à Saint-Etienne sur le sujet quand il était encore Maîtrede conférences. Le livre présente plusieurs exposés de base et des articles plus spécifiquement
orientés recherche.
.— Arithmétique des corps et des groupes profinis. Mots clés : Théorie de Galois, arithmétiquedes corps ordonnables et théorie d’Artin-Schreier, valuations et corps henséliens, groupes profinis, cohomologie galoisienne.
Vers la fin de ma thèse je me suis plus spécialement intéressé aux corps ordonnables et à lathéorie d’Artin et Schreier. Synthétisant plusieurs idées de théorie inverse de Galois, j’ai obtenu
des résultats arithmétiques et cohomologiques sur les clôtures totalement réelles, qui sont présentés dans /. Nommé Maître de conférence à Saint-Etienne en , j’ai continué mon travail surl’arithmétique des corps. J’ai repris des travaux de Ribenboim sur les corps fermatiens et j’ai montré que, sous certaines conditions, la clôture p-fermatienne d’un corps, a un groupe de Galois quie un pro-p-groupe sans torsion. Ce résultat e l’objet principal de /. Parallèlement, j’ai décrit
dans /, pour un corps K de cara éri ique 0, le plus petit corps complet et algébriquement closcontenant K((X)) : le corps des séries de Puiseux généralisées qui, comme son nom l’indique, étend
la notion de série de Puiseux. Un travail sur les corps gauches (voir /) e paru dans les annales
Blaise Pascal. Dans cet article, je montre notamment qu’un corps gauche de dimension finie sur uncorps algébriquement clos K (sans aucune condition de centralité) e en fait un corps de quaternions sur un sous-corps réel clos de K. Ce résultat étend, sur ce point, le fameux théorème deFrobenius. Ces dernières années je me suis concentré sur certaines ru ures algébriques apparaissant naturellement en arithmétique.
Un travail de fond a été fait sur l’étude des automorphismes continus d’un corps de sériede Puiseux. Dans l’article /, je donne une décomposition en un produit semi-dire à quatre
fa eurs du groupe des K-automorphismes du corps des séries de Puiseux à coefficients dans laclôture algébrique de K (K étant un corps de cara éri ique nulle). Les fa eurs de ce produitsemi-dire sont intrinsèquement donnés par l’arithmétique du corps, on y retrouve d’ailleurs demanière naturelle le groupe de Galois absolu de K((X)). En application de ce résultat ru urel, jedécris les classes de conjugaisons des sous-corps réels clos de ce corps de séries de Puiseux. Elles
sont paramétrées finalement par les ordres compatibles sur K. Une autre application de ce travailvise à décrire certains sous-groupes du mon re Aut(C). Je montre en particulier que pour toutcorps K de cara éri ique nulle et de cardinal au plus la puissance du dénombrable, le groupe deGalois absolu de K e un sous-groupe de Aut(C). En particulier Aut(C) contient en son sein tous
les groupes prolibres de rang plus petit que la puissance du continu.
Un autre travail (cf. /), qui e en collaboration avec Gérard Leloup (logicien, MCF au Mans)a porté sur la ru ure algébrique du groupe des unités d’un anneau de séries entières à coefficientsdans un anneau commutatif unitaire fini. Ce groupe e en fait profini. Le résultat principal del’étude montre qu’il s’agit d’une somme dire e du sous-groupe des éléments de torsion et d’une
partie con ituée de groupes (pro)-libres. Plus exa ement, pour un anneau de coefficients A fixé, cegroupe e isomorphe en tant que groupe topologique (pour la topologie profinie liée à la presqueQℵvaluation usuelle) au produit dire A∗ ×Γ × p|]A Zp 0 où Γ e un groupe profini abélien d’exposant.
L’étude de la torsion de ce groupe a été faite dans un cas assez large et nous montrons
p que sousℵ
0certaines conditions sur A (incluant le cas des produits dire s) on a Γ ' N où N = {0} désigne
le nilradical de A.
J’ai assuré en  à Lyon (et dans une variante en  dans la même université), un coursde DEA sur les groupes profinis. Consécutivement à ce cours, j’ai organisé un groupe de travail àl’ENS de Lyon sur un théorème de Serre concernant les sous-groupes d’indices finis d’un groupeprofini. Ce thème me tenait particulièrement à coeur puisque j’ai travaillé sur le problème généralsuivant : Serre montre que, dans un pro-p-groupe de rang fini, tout sous-groupe d’indice fini eouvert. La que ion e de savoir si cette propriété re e vraie pour n’importe quel groupe profinide rang fini. Par ailleurs, j’ai publié en  chez Hermann un livre de problèmes d’arithmétiquedes corps (cf. I/).
.— Théorie additive des nombres. Mots clés : Bases additives, essentialités.
Dans ce domaine le centre d’intérêt e la notion d’essentialité dans une base additive. Unebase additive e une partie A ⊂ N telle qu’il exi e un entier h ≥ 1 vérifiant que h.A ∼ N. Le plus
petit entier h vérifiant cette propriété s’appelle alors l’ordre de la base A.
En , un travail en collaboration avec G. Grekos (cf /) et publié au journal de Crelle traitait
du problème des éléments essentiels dans une base additive A donnée, c’e -à-dire les élémentsa ∈ A tel que A − {a} ne soit plus une base (par exemple 1 dans la base A = 2.N ∪ {1}). Le résultat
principal de cette étude e que le nombre d’élémentsqessentiels dans une base e fini et que lecardinal de l’ensemble de ces éléments ehlog hen O(avec une con ante effe ive = 5.7). Il e

par ailleurs montré que cette e imation en O e en fait la meilleure possible asymptotiquement.
Cette étude a été complétée ultérieurement par l’article / où il e démontré que l’on peut toujours

retirer d’une base additive une infinité d’éléments sans perdre le cara ère de basicité.
Une généralisation de la notion d’élément essentiel dans une base e la notion d’essentialité: une essentialité dans une base A e une partie minimale B de A telle que la partie A − B ne soitplus une base additive. Une collaboration (cf /) avec B.Farhi (ATER au Mans en -) aabordé le cas des essentialités finies. Le résultat principal de cette étude montre qu’à l’in ar deséléments essentiels, les essensialités finies dans une base sont toujours en nombre fini. Toutefois,leur nombre ne peut être contrôler par une fon ion de l’ordre de la base, comme le montre desexemples assez simples. Dans cet article, nous introduisons un invariant pour l’étude de ce nombre: la raison d’une base. Il s’agit de la plus grande raison des progressions arithmétiques contenant
presque totalement A (l’exi ence d’une telle progression maximale avec cette propriété n’e passimple). Etant donné la raison r d’une base on peut alors majorer le nombre d’essentialités finies
par la longueur du radical de r. Là encore ce résultat e optimal.
Re e le problème des essentialités infinies qui mériterait d’être étudié. Il n’e
que toute base possède au moins une essentialité infinie...

déjà pas clair