レーザーと先端光源加速器
1

レーザーの原理2

そもそもレーザーとは、誘導放出による光増幅作
用 (Light Ampliﬁcation by Stimulated Emission ofRadiation) である。ただ、現状では増幅作用のこと

はじめにだけでなく、その結果生成されるコヒーレントな光

近年、光源加速器の、とくにその性能を決める基

ビームのことをレーザー光またはレーザーと呼ぶよ

本的なシステムに、レーザーの技術が利用されるよ

うになっている。ともかく、誘導放出とはどういううになってきている。既に、RF 空洞、電子源、電磁

ものか、について説明しなければ話が始まらない。

石、真空、モニターなどと並んで、加速器における大抵のレーザーの教科書は、誘導放出ありきで解説が始まる。おかげで理解した気にならないもので基盤技術の一つと言っても良いであろう。
しかし一方で、加速器の分野に関わる多くの人にある。誘導放出は量子力学的な現象で、そこから話は、レーザーはあまり馴染みの無いもの (で、危険を始めては読者が付いて来ないからであろうか。かなので近づかない方が良いもの) と思われているよといって、量子力学の教科書では、最後の方に申しうでもある。これまでの OHO セミナーでもほとん

訳程度に書かれていることが多く、そこまで飽きずど扱われて来なかった。今回、ドライブレーザー関に付いて来る読者もそんなにいない。というわけで、係、というお題で講義の依頼を受けた。ドライブと原理をあまり良く勉強しないままレーザーを扱うこは何の事やら分からないながらも、ERL や先端光源とになりがちである。せっかくの機会なので、でき加速器で登場するレーザーについて、広く浅く、解るだけ最短距離で原理から考えてみたい。

説をすることにした。
加速器の分野に足を突っ込んでいるが、レーザーを専門にしている訳ではない方を念頭にして、打ち2.1

できるだけ前提とする知識無しに解説するため、合わせや研究会で出くわす話を理解しようとする際のとっかかりになる解説にでもなればと思う。加速

量子力学の復習

量子力学の解説から始める。

器と関係無くレーザーの専門書は沢山のものがある
ので、正確で詳細な理解には、それらを参考にして

2.1.1

頂きたい。
本講義では、まず基本に立ち返って、レーザーの原理について最低限の説明をする。その後、光源加速器での応用例として、電子銃のフォトカソード、シード FEL などのビームの変調、コンプトン散乱、について紹介する。(ビームモニターでのレーザーの利用も重要であるが、ドライブではないかなと思い、今回は除外した。)

波動性と粒子性KEK では最近、コンパクト ERL(cERL) という試験加速器を建設した。cERL は、その利用研究に向けた一面として、レーザーコンプトン光源 (LCSS:

Laser Compton Scattering Source) 試験加速器としての位置づけもあるようである。そこで、cERL の周回部にレーザー蓄積共振器なるものを設置した。

LCSS は、電子ビームとレーザー光を相互作用させて短波長の光を生成しようというもので、高強度の光源を実現するには強いレーザー光が必要である。
レーザー蓄積共振器というものは、加速空洞でおなじみのマイクロ波空洞をレーザー光の波長で作った㸴㸫 

secondary
emissione-beamcollimatorbuild-up cavity
laser

compton-scatteredphotonsamplephotondetector

photondetector

図 2: XRF のセットアップ
電荷を持った粒子である。原子は正電荷の原子核の図 1: LCSS のセットアップ

周りを負電荷の電子が回っているようなものだと考ものである。マイクロ波と同じく光も電磁波、つまり波動なので、波の干渉の性質があり、ある閉じた空間に波を重ね合わせていくことが出来る。蓄積共振器は、この性質を応用して、もともとのレーザー光源よりはるかに大きな振幅の電磁波を生成する装置である。
さて、この共振器に蓄積された、波動であるところのレーザー光に、ERL 周回中の電子ビームを衝突させてみた (図 1)。ビーム軸の前方に置かれた検出

えると、特定のエネルギーというものは無さそうに思える。もし、電子が波のような性質を持つものであって、原子核にまとわりついた定在波として存在すると考えると、状態が離散的になり、従って離散的なエネルギー構造が出来てもおかしく無いかもしれない。
光は波動であって粒子でもあり、電子は粒子であって波動でもあるような、考え方をする必要がありそうである。

器の信号を見ていると、ある決まったエネルギーの信号がパラパラと観測された。エネルギーが粒子状に塊になったものが生成しているようである。レー
ザー光の強度を変えてみると、信号の頻度が変わる
だけで、エネルギーの単位は一定である。何かエネ
ルギーの粒子のようなものが、ビーム中の電子に跳

数学的準備

2.1.2

厳密な議論をしているふりをするために、最初に数学的な準備をする。量子力学をユニタリー空間で展開するが、そのためにまず、実数とは何かを示し、計量ベクトル空間の概念を示す必要があるからである。

ね飛ばされて出てきていると思われる現象である。
どうやら、光は、波でありながら粒子のような側面

可換群も持っているらしい。

算 (+) が次の条件を満たすとき、群とよぶ。

二項演算が定義された集合で、その二項演

LCSS で単色の X 線が生成されたので、これを手近な物質に当ててみた (図 2)。今度は検出器を横に置

結合則

き X 線が照射された物質から続いて出て来る信号を観測したところ、当てた X 線よりも低いエネルギー
で、いくつかの決まったエネルギーの信号が見られ

a + (b + c) = (a + b) + c

(1)

零元の存在

a+0=0+a

(2)

逆元の存在

a + (−a) = (−a) + a = 0

(3)

さらに

た。物質を変えると、それぞれの原子組成に応じた交換則

エネルギーの信号が出て来るようである。原子といも満たすとき、可換群と呼ぶ。

うものは特定のエネルギー構造のようなものを持っているらしい。
加速器を周回していることから、電子は疑いなく㸴㸫 

a+b=b+aa, b, c は任意の元である。

(4)

単系

二項演算が定義された集合で、その二項演算

単位元の存在体

a · (b · c) = (a · b) · c(5)a·1=1·a=a(6)

加法と乗法という 2 つの二項演算が定義された集合で、次の条件を満たすとき、体とよぶ。

(7)

乗法に関して単系で 0 以外の元が群をなす

(8)

自明でない
実数の定義

を与えることにする。ベクトル空間とは、足し算とスカラー倍が定義された集合である。つまり、ベク
トル空間に属する 2 つの要素 u,v からもう一つの要
素 w を作る和という演算があること、要素 v を a倍に拡大するスカラー倍という演算があること、である。厳密には、以下の公理を満たすように定義さ加法に関して可換群 である

分配則

最初に線形代数の復習をし、ユニタリー空間 (計量が定義されたベクトル空間) で枠組み(·) が次の条件を満たすとき、単系とよぶ。
結合則

ベクトル空間れる。
結合律

u + (v + w) = (u + v) + w

(19)
(20)

a · (b + c) = a · b + a · c

(9)

交換律

0 = 1(10)

単位元の存在

v+0=v

(21)

v + (−v) = 0(22)a(u + v) = av + au

(23)

逆元の存在

数学的体系として物理法則を記述する

分配律には、まず、実数の定義から導入する必要がある。少和の分配律

し正確に定義すると、体である

u+v =v+u(a + b)v = av + bv

スカラー積の分配律(11)a(bv) = (ab)v

スカラー積の単位元の存在

x < y, x = y, x > y の一つだけが必ず成立

1v = v

(24)
(25)
(26)

(12)

x ≤ y, y ≤ z ならば x ≤ z(13)

x < y ならば x + z < y + z(14)x < y, 0 < z ならば x · z < y · z(15)

計量ベクトル空間

ベクトル空間に内積という演算を追加したものを、計量ベクトル空間と言う。内積

上 (下) に有界な部分集合は上 (下) 限をもつ (16)は要素の大きさや方向のような概念で、要素 u, v にたいして、スカラー u|v を与えるものである。内積は、以下の公理を満足するものと定義する。

u|v = v|u

共役対称性

となる。
つまり、四則演算が普通に出来て、順序が定義さ

線形性

au + v|w = au|w + v|w

れており、連続な集合、が実数体 R である。

正定値性

なお、この定義を満たす体は実質的に一意である
ことが証明できる。このため、通常想像するように、
実数とは数直線上に連続に無限個の数字が並んだものと考えておけば良い。
複素数の定義(28)(29)

とくに、複素数体上の計量ベクトル空間はユニタリー空間と呼ばれる。量子力学をユニタリー空間で記述できるものとして、以下考える。
ユニタリー空間は、正規直交基底をもつという基複素数体 C は、実数から定義することができる。つまり、実数の順序対 (a, b) として定義し、和と積を、
和(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(17)

積

(a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc)(18)と定める。通常、a + bi と書く。a + bi の複素共役
を a + bi = a − bi と書く。

v|v ≥ 0(27)

本的な性質がある。つまり、互いに内積が 0 で大きさが 1 の要素の集合を用いて任意の要素を展開できる。具体的に書くと、ei (i = 1, 2, ...) の要素が、

ei |ej  = δijを満たし、任意の要素 x が、
x=
x|ei eiiと表される。

㸴㸫 

(30)

(31)

2.1.3

量子力学の法則

状態の記述で定義する。とくに、u,v を基底 ei に選び、A を基物理法則が次のようになっていると考底で展開して、える。任意の物理状態 (世界) はユニタリー空間の 1

Aij = ei |Aej 

要素として表される。つまり、φ とか χ とかいうもと書くことが出来る。定義から分かるように、ユニのの一つが今の世界を表す。そして、φ という状態

タリー演算は A† A = AA† = 1 の性質がある。また、がχ という状態に観測される確率は、それらの内積

とくに A† = A となる演算をエルミート演算と呼ぶ。

の大きさの 2 乗 |χ|φ|2 に比例する。

(37)

ユニタリー演算の重要な性質として、任意のユニ

ユニタリー空間の性質から、世界を記述する正規タリー演算 U はエルミート演算 H を用いて直交基底 ei (i = 1, 2, ...) を選ぶことが出来、状態 φ

U = eiH = 1 + iH +は、正規直交基底で展開できる。展開する際の係数(振幅)Ci を、

i2 2
H + ...
2!

(38)と表すことができることが挙げられる。

Ci = ei |φ
とすると、

φ=



(32)

結局、状態の変化を記述するということは、作用を表現するエルミート演算 H を求めることに帰着

Ci e i

(33)

する。

i

と書けるということである。結局は、Ci (i=1,2,...)

時間発展の組を指定することが状態を記述することになる。

いて考える。φ(t) を時間 t での状態とし、時間が t か

正規直交基底の選び方はいくらでもあって、もちろ

ら t + Δt に進む様子は、ユニタリー演算 U (t + Δt, t)

んそれによって係数は異なって表現されるが、実際を用いて、例えば、時間発展による状態の変化につの物理状態としては同じものを表すし、物理法則がφ(t + Δt) = U (t + Δt)φ(t)変わることは無い。

(39)とかける。これを正規直交基底で展開して記述する
状態の変化

上述のように状態の記述を与えたので、と、次は状態が変化することを記述する必要がある。つCi (t + Δt) =まり、ユニタリー空間のある要素 (ある状態) が他の



Uij (t + Δt)Cj (t)

(40)

j

と書ける。

要素に変化することを表現すれば良い。
観測する際に全ての可能な状態の確率の和は 1 で

ユニタリー演算 Uij をエルミート演算 Hij で展開あるべきであるから、ある状態から別の状態に変化することが出来るが、Δt を微小として Δt に関してする際には大きさを保つような変換のみを扱えば良1 次までとると、い。これはユニタリー演算と呼ばれる変換である。
状態 φ にユニタリー演算 A を作用させて状態 χになる。というのは、

Uij = δij −i
Hij (t)Δt(41)と書ける。(適当な係数 −i/ は、後で便利なように入れてある。) これを使って、

χ = Aφ(34)

Ci (t + Δt) − Ci (t)iHij (t)Cj (t)
=−
Δt
 j

と書く。正確には、ユニタリー演算は、全射で、任意の要素 u,v について内積を保つ演算として定義さ

つまり、

れる。

Au|Av = u|v
算 A というものを、

Au|v = u|A† v

i

(35)

ユニタリー演算 A にたいしてエルミート共役の演(42)

dCi (t) 
Hij (t)Cj (t)
=
dt
j

(43)

が得られる。正規直交基底で展開した係数 Ci の組の時間変化を記述する微分方程式が得られたことに

(36)

なる。

㸴㸫 

2.1.4

時間に依存した摂動のある 2 状態系

状態発展のいくつかの例

1 状態系

まず、一番簡単な、基底が 1 つの場合を

考える。

i

dC1
= H11 C1
dt

あるだけだと考えると、基本的には 1 状態系の解が少し変化した表式になるはずである。

(44)

である。
この微分方程式の解は

C1 (t) = ae−(i/)H11 t

小さな摂動がCA = γA e−(i/)EA t(53)

CB = γB e−(i/)EB t(54)の形に書けるであろう。ここで、γA ,γB は t の関数(45)である。時間が発展しても形は変わらず、位相だけが進む。エネルギー E を、時間発展の固有状態の固で、ゆっくり変化するものである。

A の状態に観測される確率は、|CA |2 = |γA |2 、Bの状態に観測される確率は、|CB |2 = |γB |2 、という意味である。

有値 (位相の進み方) として定義し、これを代入して整理し、

E = H11(46)

ω0 = −とする。
とおくと、EB − EAdγA= αγB e−iω0 t
dt
dγB
i
= αγA eiω0 tdt

i

2 状態系 基底が 2 つの場合は、i

dC1= H11 C1 + H12 C2
dt

(47)

i

dC2
= H21 C1 + H22 C2
dt

(48)

(55)

(56)
(57)

となる。
ここで、摂動として働く相互作用項がと書ける。

α = 2α0 cos(ωt) = α0 (eiωt + e−iωt )2 つの基底状態があるといっても、それがほとん
ど個別と見なせる場合は、(58)の場合を考える。つまり、振動数 ω で変化する作用i

dCA= EA CA
dt

(49)

i

dCB
= EB CB
dt

(50)

である。

i

dγA
= α0 (ei(ω+ω0 )t + e−i(ω0 −ω)t )γB
dt

(59)

i

dγB
= α0 (ei(ω−ω0 )t + e−i(ω0 +ω)t )γA
dt

(60)

という独立な 1 状態系が 2 つあるだけのものであろう。この場合は、当然ながら、それぞれの状態に対応し、エネルギーが EA と EB の 2 つの解がある。
容易に想像できるように、ほぼ独立な 2 つの状態ω = ω0 の場合を考える。ω は速い振動とし、速い振動の項は平均的にはゼロとみなすと、があって、その間に摂動的な弱い相互作用がある場
合は、

dCA
i
= EA CA + αCB
dt
dCB
i
= αCA + EB CB
dtdγA= α 0 γBdt
dγBi= α0 γ A
dt

i
(51)
(52)

 α 2
d2 γ
0
=−
γ
2
dt


位相共役で、また、全体の位相の任意性から、実数と
とおいた。

(62)

代入してまとめると、となる。Hij がエルミートであることから、対角項がしても一般性を失わない。このため、H12 = H21 = α

(61)

となる。

㸴㸫 

(63)

E

P
1

PA

approximation

E0+2A

E0

PB
0
t

E0-2A
0

/b

/b

wave number (k)図 3: 2 つの状態の観測確率の時間発展
一般解は、

図 4: 一次元多状態系のエネルギー

α 
α 
0
0
γA = a cos
t + b sin
t


α 
α 
0
0
t + ib costγB = −ia sin



(64)
(65)

で記述される。隣り合う状態との間に僅かな相互作
用 A があるとすると、i

例として a = 1, b = 0 の解を考えることにする。
これは、初期状態で状態 A にある場合である。A のdCn= −ACn−1 + E0 Cn − ACn+1
dt

となる。

状態に観測される確率 PA は、

α 0PA = |γA |2 = cos2t
B の状態に観測される確率 PB は、
α 0PB = |γB |2 = sin2tCn (t) = φ(zn )e−(i/)Et(66)

つの固有エネルギー状態のエネルギー差に対応する(71)と書けることを踏まえて、

Eφ(zn ) = −Aφ(zn −b)+E0 φ(zn )−Aφ(zn +b) (72)となる。はじめ A の状態にあったものが、時間が経
つにつれて B の状態に移って行く (図 3)。つまり、2(70)と書き、空間的な周期を b とおくと、

zn+1 = zn + b
(67)

(69)

となる。
この方程式は、次の形の解、周波数の摂動を外部から加えると、状態間の遷移が起こる。また、遷移確率は摂動振幅の自乗に比例す

φ(zn ) = eikzn(73)

E = E0 − 2A cos kb(74)

る。ということが結果として得られる。
ここで言う 2 つの状態が原子のエネルギー準位で、摂動が光の電場としたとき、入力光によって誘導さがあることが分かる。つまり、波数 k でエネルギー

れて量子力学的状態が移り変わる、という現象が説

E の進行波解が存在する。−1 < cos kb < 1 なので、明できる。つまり、誘導放出や吸収である。

任意のエネルギーにたいして解がある訳ではないが、

E0 − 2A < E < E0 + 2A の範囲には連続的に解が周期的な多状態系

2 状態系の説明をしたついでに、ある (図 4)。もともと、式 68 で記述される 1 つのエ

もうすこし話を進めて、多数の状態が一列に並んだ

ネルギーしかなかったものが、一列に規則正しく並系を考える。一次元の結晶のような場合である。そんだことによって、連続的なエネルギーをとり得る

れぞれの状態が独立であれば、ようになったということである。

i

dCn
= ECn
dt

(68)

式 74 をエネルギーの最小値付近で展開すると、

m=

㸴㸫 

2
2Ab2

(75)

V

である。あるいは、ポテンシャルが

V =
m

m 2

1
mω 2 x22(80)で与えられる系、ということである。
これを量子力学として記述したい。エネルギー固x

有状態を考える際には、C(x, t) は時間に依存しない空間部分と、時間変化する位相部分に分けて書く事
図 5: 調和振動子ポテンシャルが出来る。

C(x, t) = u(x)e−(i/)Et

とおいて、

 2
E=
k
2m

(81)

2

(76)

の関係となる。エネルギーと運動量の関係を与える
もので、分散関係と呼ばれ、古典力学的には、質量m の自由粒子の運動を意味する。つまり、隣の状態

式 78 に代入して空間部分だけ書くと次のようになる (時間に依存しないシュレーディンガー方程式)。


2 d2
−
+
V
u(x) = Eu(x)(82)
2m dx2との結合 (相互作用の大きさ A と距離 b) が質量を与

ここで、え、それに従って、あたかも自由空間にある粒子の−iように状態が時間発展する。

d
=p
dx

(83)

と書くことにし、運動方程式



周期ポテンシャルの議論を拡張し、離a=

散化していた距離を無限小に持って行く。Ab2 = m
を保った状態で、b → 0 の極限を考えると、∂
2 ∂ 2i C(x, t) = −C(x, t)∂t2m ∂x2

mω
2

x+

i
p
mω

(84)

という演算子を導入する。簡単に確かめると、(77)が得られる。さらに、運動エネルギーと等価なもの
としてポテンシャル V を導入すると、

aa† − a† a = 1(85)の関係があることが分かる。これを使って書くと、調和振動子ポテンシャルの時間に依存しないシュレー∂2 ∂ 2i C(x, t) = −C(x, t) + V C(x, t) (78)∂t
2m ∂x2

ディンガー方程式は、(a† a)u(x) =となる。これを連続空間における粒子の運動を記述する方程式とする (シュレーディンガー方程式)。

E
1
−
ω 2

u(x)

(86)

となる。つまり、やりたいことは a† a の固有値問題
を考えることに他ならないことが分かる。

2.1.5

調和振動子

vn (x) を、a† a の固有値 n の固有状態とする。つ運動方程式が得られたので、連続的な空間においまり、(a† a)vn (x) = nvn (x)て、あるポテンシャルに束縛された粒子について考
えてみる。

(87)

である。このとき、例として、古典的な調和振動子、つまりバネ定数mω 2 のバネに取り付けられた質量 m の質点について考えてみる (図 5)。古典的な運動方程式は、

d2x(t) + ω 2 x(t) = 0
dt2

(79)

㸴㸫 

a† a(avn (x)) =(aa† − 1)avn (x)

(88)

=

a(a† a − 1)vn (x)(89)= (n − 1)(avn (x))(90)

a† a(a† vn (x))=

a† (a† a + 1)vn (x)

(91)

=

(n + 1)(a† vn (x))(92)

Wave equation of eigen state (un)

また、の関係があることが分かるので、avn (x) は、固有値

n − 1 の固有状態 vn−1 、a† vn (x) は、固有値 n + 1 の固有状態 vn+1 に他ならない。

0

u0
u1
u2
u3

内積の正定値性から、

avn |avn  =vn |a† avn  = nvn |vn  ≥ 0(93)0xより、固有値 n は負には成り得ない。一方で、a を作用させるたびに固有値が 1 だけ下がった解をいつ

図 6: 調和振動子ポテンシャルの固有関数

でも作る事が出来る。このことから、a† a の固有値
は n = 0, 1, 2, · · · であると結論できる。

規格化すると、

式 86 に戻って、調和振動子ポテンシャルのエネル

u0 (x) = v0 (x) =ギー固有値 En は、

En =

n+

1
2

ω

(94)

α
√
π

1/2

2

2

e−α x /2(98)である。エネルギーが高い解は、これに a† を作用させて作る事ができる。

ということになる。
態は、エネルギーがとびとびの値になる。また、基底状態 (n = 0) であっても、零点振動と呼ばれる ω/2のエネルギーがあることが分かる。これは調和振動

1a† un (x)
n+1

(99)

1
un (x) = √ (a† )n u0 (x)
n!

(100)

un+1 (x) = √つまり、調和振動子ポテンシャルに束縛された状

具体的には、

子に限らず、ポテンシャルに束縛された系で一般に

un (x) ∝ Hn

成り立つことで、例えば、原子核の正電荷のポテン
シャルによって束縛された電子についても同様である。このことから、原子には離散化されたエネルギー準位構造があり、そのうちの 2 つの状態に注目するmω 2mωx e− 2 x
(101)

Hn は次数 n のエルミート多項式である。これを図6 に示す。束縛された状態なので、無限遠に行くとゼロになる関数である。基底状態はガウス型、次数と、2 状態系の議論が出来ることが分かる。
基底状態 v0 (x) から出発して、固有状態を具体的が上がる毎に節が増える関数になる事が分かる。

に求めることができる。v0 (x) にたいして、固有値を2.1.6

1 つ下げる演算をするとなくなってしまうので、av0 (x) = 0

電磁場の量子化

次は、光が粒子の側面を持つ事を記述する。

(95)

電磁波の基礎方程式は、マクスウェル方程式と呼ばの条件が得られる。これをあらわに書き直して整理れるもので、4 元ベクトル Aμ = (φ, A) と jμ = (ρ, j)

すると、にたいして、

1 d
v0 (x) = −α2 x
v0 (x) dxである。α = mω/ と置いた。この解は、
22v0 (x) ∝ e−α x /2

(96)

jμ
0

(102)

∇ μ jμ = 0(103)

2 Aμ = −および、電荷の保存則

(97)

㸴㸫 

ここまでの古典電磁場を量子力学に置き換えるにである。

は、形式的に同じ手続きをすれば良いとする。つまり、もう少し具体的に書くと、

1 ∂2A
c2 ∂t21 ∂2φ∇2 φ − 2 2c ∂t∇2 A −

ここで、

=
=

j
0 c2
ρ
−
0
−

(104)

d
d
ql (t) → −i
dt
dq

(105)

という置き換えを形式的に行う、ということである。

(115)

そうすると、同じ形の式から出発したので、当然おなじ結果が得られて、固有エネルギーが

1 ∂φ∇·A=− 2
c ∂t

(106)
En =

である。A をベクトルポテンシャル、φ をスカラー
ポテンシャルと呼ぶ。j は電流密度、ρ は電荷密度で

n+

1
2

ωl

(116)

n = 0, 1, 2 · · · 、となる。

ある。

電磁場のとり得るエネルギーは ωl を単位として

電場 E と磁場 B は、とびとびである。つまり、光はエネルギーの粒子の

E

=

−∇φ −

B

=

∇×A

∂A
∂t

(107)
(108)

ように記述される。また、n = 0 の真空状態も零点振動の場が存在することが分かる。

2 状態系の遷移を考えた際、外部からの摂動によって状態が移り変わるとした。もし、摂動が無ければで得られる。
とくに真空中 (j = 0, ρ = 0) の場合は、E と B もも零点振動の場があるということなので、これによっ同じ形になって、

1 ∂2E∇ E− 2 2c ∂t
1 ∂2B∇2 B − 2 2c ∂t2ても状態の遷移が起こる。つまり、入力光に依存し

=

0

(109)

=

0

(110)

いずれにせよ、波動方程式∇2 ψ −

永遠に同じ状態にあるということになるが、真空にない遷移、それに伴って状態間のエネルギー差に対応する光が放出されるという現象である (自然放出)。

2.2

統計力学の復習

21 ∂ ψ
c2 ∂t2

=

0

(111)

を考えることに尽きる。ψ(r, t) を、モード展開して表すことにする。時間部分 ql (t) と空間部分 ul (t) に
分離して、

1 
ψ(r, t) = √ql (t)ul (r)
0

(112)

現実の世界では、多数の原子からなる系を扱う。
多数の量子力学的状態の平均した分布を制御することでレーザー装置は動作する。統計力学的な扱いが必要である。

2.2.1

温度

l

エネルギーが E の閉じた系を考える。系に許されと書く。l はモードを表す。

る状態数を W とし、エントロピーと呼ぶ量 S を次ω2∇ ul (r) + 2l ul (r)cd2 ql (t)+ ωl2 ql (t)dt22のように定義する。

=

0

(113)
S = kB ln W (E)

=

0

(117)

(114)
kB は、適当なスケール因子である。

が得られる。ωl はモードを特徴づける変数分離の定

仮に、この系が、エネルギーのやりとりが出来る数である。式 114 は、式 79 に示した古典的調和振動

2 つの系から成っているとする (図 7)。それぞれの系

子の運動方程式と全く同じ形である。

㸴㸫 

W1

W2

E1

E2

Sb

T

Wb

E=E1+E2

Eb

E
Et=Eb+E

図 7: エネルギーのやりとりが出来る 2 つの系からなる系

図 8: 熱浴と平衡状態にある系のエネルギーを E1 ,E2 、許される状態数を W1 (E1 ),W2 (E2 ) とすると、

W (E) =∼

2.2.2

ボルツマン分布

ある系が温度 T にあるとき、エネルギーが E の状

W1 (E1 ) × W2 (E2 ) (118)

E1 +E2 =E態の一つが実現する確率はいくらか、という問題をW1 (E1 ) × W2 (E2 ) (最大の項)考える。全体の確率で規格化するので、エネルギー(119)である。(非常に多数の状態がある場合は、式 118 の和は最大の寄与をする項の付近で鋭いピークになるので、ほぼその最大の寄与をする項だけで近似する

E1 と E2 の微視的状態の実現確率 P (E1 ), P (E2 ) の比を考えれば十分である。対象としている系と、それより圧倒的に大きな熱浴となる系が温度 T で熱平衡状態にあり、全体として閉じた系にあると考える(図 8)。全体のエネルギーを Et 、熱浴系の状態数をことができる。)
全ての微視的状態は同じ確率で実現する、という原理 (等重率の原理) に従うものと考えると、実現さ

Wb , エントロピーを Sb とする。確率の比は、熱浴系の状態数の比になるから、

P (E2 )
P (E1 )

れる巨視的な状態は、微視的な状態数が最大のものになるはずである。つまり、全体のエネルギー E を==保存して、全系の状態数が極大をとるときを考えると、2 つの系にどのようにエネルギーが分配された

Wb (Et − E2 )(124)
Wb (Et − E1 )Sb (Et − E2 ) − Sb (Et − E1 )
exp
kB
(125)

状態が実現するかが分かる。

dW =

∂W1
∂W2
W2 dE1 + W1
dE2 = 0
∂E1
E2

(120)

である。ここで、熱浴に比べて対象としている系は十分小さいので一次で展開すると、

dE1 = −dE2 なので、
1 ∂W1
1 ∂W2
=
W1 ∂E1W2 ∂E2Sb (Et − E)
(121)

=

あるいは、それぞれの系のエントロピーで書くと、

∂S1
∂S2
=
∂E1
∂E2

(122)

1
∂S
=
(123)
T
∂E
で定義する。つまり、2 つの系が平衡状態にあると

∂Sb
E
∂E
E
Sb (Et ) −T

Sb (Et ) +

(126)
(127)

と表すことができる。これを利用して式 125 は、P (E2 )exp(−E2 /kB T )=P (E1 )exp(−E1 /kB T )の状態が実現すると理解できる。
温度 T を、∼(128)となる。つまり、温度 T のときにエネルギー E の状態の一つが実現する確率 P (E) は、は、温度が等しいということである。

㸴㸫 P (E) ∼ exp −

E
kB T

(129)

E

E3
E2
E1

L

number of atom

図 10: 一辺 L の境界における定在波電磁波モード
図 9: ボルツマン分布に従う原子状態の分布

磁波モードは、に比例する (ボルツマン分布)。エネルギーが高い状

E = sin

態ほど、実現確率が低いということである。たとえば、原子にはいくつかエネルギー固有状態があり、多

x

L

sin

 n πx yLsin n πx 
z

L

(131)

の形で書けるものに限られる。ここで、数の原子がある温度に置かれているとすると、個々

L2 ω 2π 2 c2n2x + n2y + n2z =の原子の状態の分布は、ボルツマン分布に従う (図9)。

 n πx (132)(nx , ny , nz = 1, 2, 3 · · · ) である。つまり、モード数
は 3 次元空間の半径 Lω/πc の 1/8 球に含まれる格2.2.3

子点の数に相当する。電磁場の場合、偏光方向で 2電磁波の状態分布

既に述べたように、電磁波は調和振動子の集合と倍を含めて、モードの個数は、とることが出来る。多数の調和振動子の状態の分布

3

Lω
πc

1 4π
8 3

して記述され、そのエネルギーは ω を単位として

×2

(133)

はボルツマン分布に従うと考えられる。このとき、単位体積あたりにするには L3 でわって、単位角周

調和振動子一つあたりの平均のエネルギー E を求

波数あたりの状態密度 du/dω は、める。簡単のため、α = e−ω/kB T

とおく。基底状態

du
ω2
= 2 3
dω
π c

にある個数を N0 として、n 番目の順位にある振動子の個数は N0 αn 、そのエネルギーは nωN0 αn と
なるので、

E =

(134)

結局、温度 T における光のエネルギー分布 I(T, ω)
は、平均エネルギーと状態密度をかけて、

N0 ω(0α0 + 1α1 + 2α2 + · · · )ω= ω/k T
B
N0 (α0 + α1 + α2 + · · · )
e
−1
(130)

となる。

I(T, ω) =ω 3
π 2 c3 (eω/kB T − 1)(135)となる。つまり、温度 T の空間はこのようなエネル

空間には振動数の異なる振動子が無数に分布しており、その密度は振動数 ω に依存する。E に振動ギー分布をもった電磁波 (光子) に満たされているということである (黒体輻射)。

子の密度分布をかけると、温度 T で熱平衡状態にある電磁場のエネルギー分布を得る事が出来るはずで
ある。

2.3

光増幅の原理

まず、一辺 L の立方体を仮定して、状態の個数をようやくここで、誘導放出による光増幅が説明で計算する (図 10)。境界条件より、この中の定在波電きる。ここまでに議論してきた、2 状態系の遷移と統計力学による分布が基礎になる。

㸴㸫 

出力される電磁波は、誘導放出による増加と、吸2N2

spontaneousemission

収による減少によって、absorption

AN2

N1BI

stimulated
emission[1 + (N2 − N1 )B]I

(138)

N2BI

I

I+(N2-N1)BI
N1となる。もし、N2 > N1 (反転分布) であれば、入力より出力が大きくなり、光の増幅が起こることにな

1

る。ただし、熱平衡状態においては、ボルツマン分
布で、エネルギーの高い状態ほど少ないはずである。

図 11: 反転分布による光の増幅

つまり、通常の熱平衡状態にある系では光の増幅は光が増幅されることが分かれば、あとは適当に帰起きない。

還させれば発振器ができるし、それを種光として増簡単な考察から、係数 A, B の関係が得られる。こ幅させていけば強力な光が得られることは想像できの系が温度 T で熱平衡状態にあるとすると、R12 =るであろう。

R21 の条件になるはずで、これを解くと、I(ω) =

2.3.1

2 状態系の放射係数AB(eω/kB T − 1)(139)

外部からの光無しに平衡状態にある場合は、I(ω)ω だけ離れた 2 つのエネルギー準位がある多数個の原子の系を考える。基底状態を準位 1、励起状態

は式 135 の黒体輻射の分布になるはずである。このことから、2 つの係数 A, B の間に、を準位 2、とする。この系に電磁波が入力される状

A
ω 3
= 2 3
B
π c

況を考える (図 11)。
これまでの議論で分かった事をまとめる。まず、基底状態にある原子は、電磁波を吸収して励起状態に移ることができる (吸収)。これは、基底状態の原(140)の関係が成り立つ。つまり、自然放出が大きいもの
は誘導放出も大きい、という一般則が得られる。

子数 N1 と電磁波の強度 I(ω) に比例する頻度で起こる。一方、励起状態にある原子は、電磁波の摂動に2.3.2

よって基底状態に遷移する (誘導放出)。これは、励起状態の原子数 N2 と電磁波の強度 I(ω) に比例する
頻度で起こる。さらに、電磁波の強度に依存せずに基底状態に遷移する場合もある (自然放出)。これは、励起状態の原子数 N2 に比例する。
自然放出の係数を A21 、誘導放出の係数を B21 、吸収の係数を B12 とおくと、基底状態から励起状態へ変化する頻度 R12 は、

R12 = N1 B12 I(ω)

レート方程式

2 準位の間に反転分布ができていれば、誘導放出
によって、光の増幅が起こることが分かった。しかし、すでに述べたように反転分布は熱平衡では実現しない。そこで、外部からエネルギーが導入される非平衡状態を考える。増幅と吸収は同じ確率で起こるため、2 つの準位だけのシステムでは反転分布を作ることは出来ない。そこで、3 または 4 準位のシステムを考える必要がある。

(136)
3 準位系

また、励起状態から基底状態へ変化する頻度 R21 は、

R21 = N2 [A21 + B21 I(ω)](137)となる。2 状態系の遷移の議論から、B12 = B21 で3 準位から成る図 12 のようなシステムを考える。準位 1 と 2 の間に反転分布を形成するために、もう一つ上の準位 3 が必要である。
全体の原子数を N とし、それぞれのエネルギー準位にある原子数を N1 , N2 , N3 とする。

あることは分かっている。

N1 + N2 + N3 = N

㸴㸫 

(141)

準位 3 は寿命が非常に短く、すぐに 3 → 2 の遷移が起こり、N3 ∼ 0 となるとする。1 → 3 に相当す

N3

3る励起エネルギー P を入力するときの吸収の係数をBp とすると、Bp N1 P の速度で 1 → 3 の過程が起2こる。1 → 2 に相当するエネルギーの信号光の強度

N2

BpP

を I とすると、誘導放出の係数を B とし、吸収によBIる 1 → 2 過程は BN1 I 、誘導放出による 2 → 1 過程
は BN2 I の速度で起こる。また、自然放出の時定数

BI

N1
1

を τ とすると、入力光に無関係に、N2 /τ の速度で2 → 1 の過程が起こる。
これを微分方程式の形で表すと、

dN2
dt

=

Bp N1 P −図 12: 3 準位システム

N2− N2 BI + N1 BI
τ
(142)

dN1
dt

=

N3

3

N2
−Bp N1 P ++ N2 BI − N1 BI
τ
(143)

2

N2

BpP

BI

となる。定常状態では、

N1

dN2
dN1
=
=0
dt
dt

1

(144)
0

となる。この条件で解いて、反転分布の大きさ N2 −

N0

N1 は、
N2 − N1 =N (P/P0 − 1)
1 + P/P0 + 2I/Is

図 13: 4 準位システム(145)となる。4 準位のシステムでは、P が小さくても反

ここで、Bτ = Is ,

1
= P0
Bp τ

(146)

とおいた。N2 − N1 > 0 が反転分布という意味であるから、反転分布の出来る条件は、P > P0 、つまり転分布ができ、効率良く動作することが分かる。

2.4

光の伝搬

ある閾値以上の励起エネルギーを投入することであ

レーザー光が、狭線幅で回折限界の光であるためる。また、入力信号光を大きくしていって、I > Isには、光の増幅と同時に帰還のメカニズムが重要なになると、反転分布が消費されてゲインが飽和し始役割を果たしている。共振器とよばれる空間に光をめることが分かる。

閉じ込めることで、制限されたモードにエネルギーを集中する。共振器について議論するために、光の4 準位系

同様の計算を図 13 の 4 準位から成るシ

ステムで行う。凖位 3 は寿命が非常に短く、すぐに伝搬則の理解が必要である。この伝搬則が、レーザー
光の横モードを決定する。

3 → 2 の遷移がおきるとする。凖位 1 は寿命が非常に短く、すぐに 1 → 0 の遷移がおきるとする。その結果、N3 ∼ 0, N1 ∼ 0 になるとする。

2.4.1

はじめに近軸光線の伝搬についてまとめておく。

全く同様の計算をして、反転分布の大きさは、

N2 − N1 =N P/P0
1 + P/P0 + I/Is

幾何光学

任意の位置 z における光線を、軸からの距離 r と、

(147)

傾き dr/dz = r で表すことにする (図 14)。

㸴㸫 

Drift SpaceThin Lensrzd

図 14: 光線

A

B

C

D

図 16: 自由空間と薄レンズz

図 15: 光線の伝搬行列

図 17: 凹面鏡の反射

r(z)

(148)

r (z)

地点 1 から地点 2 に向かって光線が伝搬するとき、2点間の光線を 2×2 行列を使って、

r2
r2

=

A

B

r1

C

D

r1

正因子が入る。紙面方向 (tangential) の焦点距離 ftと、紙面に垂直 (sagittal) の焦点距離 fs は一致せず、(149)と書くことができる。間の光学要素がこの 2×2 行列

fs

=

ρ
cos(α/2)2ρ
2 cos(α/2)

(152)
(153)

また、光学要素が連続する場合は、行列の積によっ

たとえば、距離 d の自由空間は、

d1て、全体を表現する行列を得る事ができる。

(150)

これらは、加速器の単粒子力学において、四極電磁石などの収束要素を行列表現するのと全く同じである。

焦点距離 f の薄レンズは、

1
−1/f

=

となる (図 17)。

によって表される (図 15)。

1
0

ft

薄レンズをもう少し一般化し、収束作用が z 方向

0
1

(151)

に連続的に分布する場合を考える (図 18)。これは、加速器の場合に厚みのある四極電磁石を扱う場合にである (図 16)。半径 ρ の凹面鏡は、焦点距離 ρ/2 の凸レンズと同等である。ただし凹面鏡で入射が垂直相当する。空間を無限に細かく分割して、自由空間と薄レンズを交互に掛け合わせて表現すれば良く、で無く、反射全角 α で用いる場合は、焦点距離に補㸴㸫 

の形と仮定し、たまたま k2 = 0 として考える。(r =x2 + y 2 である。)

Distributed foucusing

今、伝搬方向を z とし、

u(x, y, z) = ψ(x, y, z)e−ikzと書き、近軸近似 ∂ψ  dz   k|ψ|,Fine array of thin lens

 2 


∂ ψ



  k ∂ψ 
 dz 2  dz 

(159)

(160)

をすると、ヘルムホルツ方程式は、

i

∂
1
ψ=
∂z
2k

∂2
∂2
+
∂x2
∂y 2

ψ−

k2 2
r ψ
2

(161)

とかける。これは、調和振動子ポテンシャルの場合のシュレーディンガー方程式と同じ形である。質量に相当するものが k で、復元力のバネ定数に相当す
図 18: 連続分布する収束作用

るものが k2 である。
ここで、ψ は、z と r2 の関数で書ける解を仮定す分布した収束作用 (距離 d) は、

cos( k2 /kd)
− k2 /k sin( k2 /kd)
k/k2 sin( k2 /kd)cos( k2 /kd)(154)と表されることが分かる。(横方向に屈折率が n =n0 (1 − 12 kk2 )r2 ) と変わる媒質に相当する。)

る。そのような解を、

ψ = exp −i(P (z) +

k 2
r )
2q(z)

(162)

と書く事にする。これを式 161 に代入すると、

r2 1 2
1  k2i+2kP= 0 (163)
(
+
(
+
+
)
)
k2 q
q
k
q
となり、これが全ての場所 (任意の r) で成立するた

2.4.2

めには、

ガウスビーム1
1
k2( )2 + ( )  +
q
q
k
i
P +
q

電磁場の波動方程式∇2 A −

1 ∂2A=0
c2 ∂t2

(155)

0

(164)

=

0

(165)

となる。

を、単一周波数の場合について考える。

ここで、これを変数分離すると、

A = q(t)u(x, y, z)

=

(156)

1
s
=
q
s

(166)

を満たす関数 s(z) を導入し、式 164 を置き換えると、と表され、空間部分については∇ u+k u =22s + s0(157)(k = ω/c) が得られる。これは、ヘルムホルツ方程式と呼ばれる。
が、後の展開の伏線として、

k2 2
r )
k

(167)

となり、この一般解は次の三角関数の形である。


k2
k2
s(z) = a sin(z) + b cos(
z)
(168)
k
k

ここで、一様な自由空間の場合は k は定数である

k 2 = k 2 (1 −

k2
=0
k

(158)

㸴㸫 

これを q の表式として書き直すと、cos[ k2 /kz]q0 + k/k2 sin[ k2 /kz]
q(z) =− k2 /k sin[ k2 /kz]q0 + cos[ k2 /kz]
(169)

ここで、q0 = q(z = 0) である。
いったん戻って、k2 = 0 の場合を考える。この場
合、式 164 は、q = 1(170)

q(z) = z + q0

(171)

w0

2 w0
z

z0

になるので、

そして、

P (z) = −i ln 1 +zq0

図 19: ガウスビームの発散の様子(172)

q0 は、単に積分定数で、座標原点を決めるだけであ1

q0 = ikw02
2と 書 く 事 に す る 。ln(a + ib)

Gouy phase ( ) [unit of ]るが、後の伏線として、

(173)
= ln

√

0.5

0

a 2 + b2 +i tan−1 (b/a) などを使って整理すると、近軸ヘルム-0.5

ホルツ方程式の軸対称最低次の解は、以下の形に表
-1
-4

される。

ψ(r, z) =

Aw0
r2
exp −
w(z)
w(z)

exp −i

kr2
+ iφ
2R(z)
(174)

ここで、

-3

-2

-1

0

1
2
3
4
Longitudinal position (z) [unit of z0]

図 20: Gouy 位相の変化なる。z0 をレイリー長と呼び、絞ったサイズが維持

r=w(z) =
R

=

φ

=

z0

=


x2 + y 2z
w0 1 + ( )2
z0

z0 
z 1 + ( )2z
−1 z
tan ( )
z0
2
πw0
λ

(175)

できる距離の指標である。R は波面の曲率半径を表す。φ は Gouy 位相と呼ばれ、図 20 に示すように、(176)

収束点を 1 回経由すると π だけ進む位相因子である。

(177)

これは、ガウスビームが一様な平面波ではなく、軸上に局在化したビームであることから、導波管など(178)と同じように位相速度が大きくなる現象に対応する。
レーザー光のような、単一周波数の回折限界光は、(179)

ガウスビームとして空間を伝搬する。

λ = 2π/k である。
これは、図 19 に示すように、z = 0 の位置に収束

2.4.3

転送行列

点を持ち、断面の電場強度がガウス型の分布のビームである (ガウスビームと呼ばれる)。収束点でのサ式 169 を、任意の z のときの解と z = 0 のときのイズは w0 で与えられる。これは、中心軸から w0 だ

解を関係づける式と見ると、たとえば、q1 から q2 へ

け離れた位置で、電場強度が 1/e になるという意味

の関係は、

q2 =

である。光子密度は電場の 2 乗であるから、光子密度としては 2σ サイズに相当する。波長 λ が固定で

A1 q 1 + B 1
C1 q1 + D1

(180)

q2 から q3 への関係は、あれば、(z 方向の平行移動を除いて)w0 が唯一のパラメータである。任意の位置でのサイズは w(z) で表され、収束点から離れるにつれて大きくなってい√く。収束点から z0 だけ離れると、サイズが 2 倍に

㸴㸫 

q3 =

A2 q 2 + B 2
C2 q2 + D2

(181)

これを合わせると、

q3 =AT q 1 + B T
CT q1 + DT

(182)

ここで、係数の A, B, C, D は、

AT

BT

CT

DT

=

A2

B2

A1

B1

C2

D2

C1

D1

(183)

periodと、行列の掛け算で表されることが確かめられる。
つまり、式 169 は行列で表すと、

k/k2 sin( k2 /kz)cos( k2 /kz)
cos( k2 /kz)
− k2 /k sin( k2 /kz)
(184)

図 21: 共振器の例
共振器の定常解 (固有モード) は、一周して元に戻るという条件から、

qs =ということで、幾何光学での光線の伝搬と全く同じ表式になる。

d1(188)を満たさなければならない。

k2 → 0 で、自由空間を表すことになり、
1
0

Aqs + B
Cqs + D

1
1
λ
=
−i 2
q
R
πw

(185)

(189)

の対応があることから、1/qs の実部から波面の曲率収束作用を一点のデルタ関数に集約すると、薄レン半径が分かり、虚部からビームサイズが分かること

ズを表すことになる。

になる。具体的に解を書くと、

1
−1/f

2.4.4

0
1

R

=

w2

=

(186)

共振器

2B
D−A
|B|
λ

π 1 − (D + A)2 /4

(190)
(191)

である。

複数の鏡を使って閉じた空間を作ったものを共振

ここで得られた R と w は、起点での値である。任器という。図 21 は、2 枚の凹面鏡を使った最も単純意の点での値を知りたいときは、起点を変えてこのな構成である。凹面鏡はレンズと同等なので、この計算を繰り返せば良い。w2 < 0 になる場合は、安定共振器内を往復する光は、レンズと自由空間が繰り解が無く、共振器として成立しないことを意味する。

返された光路を伝搬するものと考える事ができる。
この状況は、図 18 と似ていることから、ガウスビー

2.4.5

ムの定常解が存在すると期待出来る。

1 周期の伝搬行列を考えれば、共振器の特性を解析することが出来る。例えばこの場合、鏡の間隔をd とし、凹面鏡の収束力を f とする。共振器の中央を起点として 1 周期の伝搬行列は、

1
0

d
2

1

1
−1
f

0
1

1
0

d
1

1
−1
f

高次ガウスビーム式 161 が調和振動子ポテンシャルのシュレーディ
ンガー方程式と等価であることから、式 174 で得られた最低次の解の他に、高次の解がある。これは、横モードとも呼ばれる。高次の解の表式は、最低次の解に a† を掛けていく事で、次のものが得られる。

0
1

1
0

d
2

1
(187)

ψ(x, y, z) =である。選んだ起点によって、行列の表式は変わる

×が、共振器の安定性などの結果は同じになる。

×

㸴㸫 

√ x
√ y
Aw0
Hn
2
2
Hm
w(z)
w(z)
w(z)
2
2
2
k(x + y 2 )
x +y
exp i
exp −
2
w(z)
2R(z)
exp (i(m + n + 1)φ))(192)

Hn の具体的な表式は、a† を掛けていく操作から想像できるように、dn
Hn (x) = (−1)n exp(x2 ) n exp(−x2 )
dx

HG00

HG01

HG10

HG11

HG20

HG21

HG30

HG22

(193)

例えば、

H0 (x)

=

1

(194)

H1 (x)=2x

H2 (x)=

4x − 2(196)

H3 (x)=

8x3 − 12x

(197)

(195)
2

である。図 6 で示したものと同じく、次数に応じて断面方向の節が増える。これを、エルミートガウス
ビームと呼び、HGmn モードと書く。m,n はそれぞれ x,y 方向の次数を表す。図 22 に、高次のモードの断面プロファイルの例を示す。断面形状の他、Gouy
位相の進み方も次数に依存する。次数が高いほど、位相の進みが速い。

2.5

縦モードとレーザー発振器

レーザー光の時間方向および波長方向の自由度は、
縦モードと呼ばれる。これは、共振器の周長から決
定される。

2.5.1

共振器の縦モード

共振器の進行方向の境界条件に注目する。簡単の為、2 枚の平面鏡が間隔 L で配置された 1 次元共振

図 22: 高次ガウスビームの断面形状器を考える。(平面鏡では収束効果が無いので安定では無いが、今は無視して考える。また、Gouy 位相や鏡の反射による位相シフトの効果もここでは考え無い。) 共振器内に存在できる電磁波は、

2L = mλ(m = 1, 2, 3, · · · )(198)

を満たすものに限られる。光周波数 ν としては、

ν=

mc
2L

(199)

で、これを共振器の縦モードと呼ぶ (図 23)。縦モー

Frequency ( )ドの間隔 Δν = c/2L は、共振器の基本周波数 (光の速度で単位時間に共振器を何周回するか) に相当
する。

㸴㸫 

図 23: 共振器の縦モード

2.5.2発振器
ampliﬁer media

図 24 のように、共振器内部に光増幅器、つまり反転分布した媒質、を置く。これがレーザー発振器である。共振器内の光は離散的な縦モードおよび横モードとしてしか存在しない。はじめ、自然放出にMulti mode excitation

よって増幅器から、共振器とは無関係に光が放射さGainれる。その一部で共振器のモードに合ったものは、共振器に閉じ込められることになる。今度はそれが光増幅器の入力光として働き、誘導増幅によって増Frequency ( )幅する。これが帰還的に起こり、共振器モードの光Single mode excitation
Gainが成長する。各モードについて、ゲインが損失を上回っていればエネルギーが増大していく。レート方
程式で議論したように、入力光が大きくなると光増幅器はあるところで飽和しゲインが低下する。最終

Frequency ( )的には、共振器の損失とゲインが釣り合って、全体のゲインが 1 となるところで定常状態が実現する。

図 24: レーザー発振器

つまり、共振器によって横にも縦にも特定のモードを選択し、光を増幅したものがレーザー発振器で、足し合わせた電場は、以下のように計算される。

いわゆるレーザー光として知られる、線幅が狭く指向性の良い光ビームが実現する。

E(t)

N


=

n=−N

光増幅器は、原子準位によって動作帯域が決まっており、ゲインは周波数依存性を持っている。共振=

exp[−i(ω0 + nΔω)t]n=−N−iω0 tN#(e−iΔωt n)n=−Nと呼ぶ。一方、共振器長が小さく、縦モード間隔が=十分広い場合は、1 つの縦モードだけが成長する条E0

sin[(N + 12 )Δωt]cos(ω0 t)sin(Δωt/2)(201)

つまり、ω0 で振動する電場が、振幅変調された形になる。光強度はこれを 2 乗して、光を共振器の外に取り出す事ができる。

2.5.3

#

N


E0 Re e=縦モードが同時に励起された状態を多縦モード発振

共振器鏡の 1 つを、透過率のあるものとすると、""の動作帯域内に多数の縦モードが存在する。複数のれは理想的な CW レーザーである。

(200)

E0 Re

器長が大きく、縦モード間隔が狭い場合は、増幅器件になる場合があり、単一縦モード発振と呼ぶ。こE0 cos[(ω0 + nΔω)t]

I(t) = I0

sin2 [(N + 12 )Δωt]
sin2 (Δωt/2)(202)となる。これを図 25 に示す。1/Δν (= 2π/Δω)、つモードロック

まり共振器の基本繰り返しに相当するパルス列が得

多縦モード発振において、通常はそれぞれの縦モーられることになる。また、縦モード数が大きい程、短ドは無関係に発振すると考えられるが、何らかの原いパルスになる。これが、モードロックパルスレー

因で各縦モードの位相関係が固定されたとする。縦ザーである。

モードが 2N + 1 本あるとし、中心周波数を ω0 、縦どうやって多数の縦モードの位相を揃えるかが問

モード間隔を Δω とする。(ここでは角周波数で表す題である。色々な手法が確立しているが、基本的にこととし、ω = 2πν である。) 簡単のため、全てのは光の位相に直接働きかけるというよりは、強度の縦モードの振幅は等しいとする。全ての縦モードを

時間変化に働きかけて、強いところをより強く、弱㸴㸫 Intensity

N=5
N=10
N=100

output
SESAM
0
-1.5

-1

-0.5

0

0.5
1
Time [unit of 1/

1.5]

pump LD

図 25: 縦モードの加算によるパルス列
laser media
YVO4

いところをより弱くするような仕組みを導入し、パルス構造を成長させるやり方をする。
代表的な例を 2 つ紹介する。図 26 は、可飽和吸収

図 26: SESAM モードロック発振器

体を使ったモードロック発振器の構成である。可飽和吸収体とは、吸収体であって、その吸収の効果が光強度によって飽和するものである。つまり、弱い光に対しては光を損失するが、強い光に対しては損失が小さい。このようなものを半導体で出来た鏡として作ったものが SESAM(SEmiconductor Saturable

Absorber Mirror) である。これを共振器を構成する
low intensity

鏡の一つとして用いる。図 27 で原理を説明する。通high intensity

常は、2 準位系の下の準位にあって、光を吸収する(反射率が低い) が、高いピーク強度で光の吸収が進

saturatedphoton

み上の準位が埋まってくると、吸収率がさがる (反photonabsorption

射率が高い)。この作用によって、SESAM で反射される度にピークが成長し、最終的にモードロック状
図 28 は、ファイバ発振器で良く用いられる、非線形偏波回転 (NLPR: Non-Linear Polarization Rota-

intensity

態になる。
absorption
at low intensity
tail part

inputtion) モードロックと呼ばれる方式である。シングル
モード光ファイバ中では、断面が小さいため光強度が強く、ファイバ (石英) の非線形効果の影響が見ら

outputtれる。強度に依存した屈折率の変化として現れ、偏光方向を回転させる効果になる。偏光板と偏光スプ
リッタ (PBS) の関係をうまく調整して、低強度では損失が大きく、高強度では損失が小さい状態にすると、ピークが成長し、モードロック状態が実現する。

㸴㸫 

図 27: 可飽和吸収体によるパルスの生成

分極

2.7.1
dispersion correction

ここでは、真空中ではなく、電流密度 j がある場
output合を扱う。
分極 P を導入し、PBS

HWP QWP

j

=

ρ

=

dP
dt
−∇ · P

(203)
(204)

QWP

ここでは、P は空間的に一様である場合に限って扱

Yb fiber

うので、式 103 より ρ = 0 である。
式 203 を式 104 に入れて、両辺に ∂/∂t して、Epump LDと φ の式に変換し、ρ = 0 から E の式だけが残って、

1 ∂2E
1 ∂2P
=
c2 ∂t2
0 c2 ∂t2

(205)

P = 0 (χ(1) E + χ(2) EE + · · · )(206)∇2 E −

図 28: 非線形偏波回転によるファイバモードロック
発振器

2.6

が得られる。

P は、レーザー増幅器

反転分布を作って、そこに種光を通せば、増幅される。増幅器は、結晶であったり、ファイバであったりする。励起方法も色々である。(省略。適当な参考書を参照)

2.7(χ(n) ,EE とかはテンソル量) これを E にたいする線型部分 PL と非線形部分 PN L に分けて、波長変換レーザーは、原子準位の遷移によって光増幅を行うので、得られる波長は原子の種類で決まってしまPL=0 χ(1) E

PN L=

0 (χ(2) EE + χ(3) EEE + · · · )(208)(207)

式 205 を、E の線型部分と非線形部分に分けて書くと、う。必ずしも欲しい波長の光が直接に発振し、増幅∇2 E −

できるとは限らない。そこで、波長を変換する技術

1 + χ(1) ∂ 2 E
c2
∂t2

=

1 ∂ 2 PN L
0 c2 ∂t2
(209)が必要になる。特に、より短波長の光が欲しくなるのが常である。ここでは、波長変換の基本である 2倍波発生について説明する。通常、波長 1 μm 程度である。1 + χ(1) = n2 と書くと、∇2 E −の赤外で発振し、2 倍波変換して可視域、さらに 2倍波変換して紫外域、と進んで行く。それ以上にな

1 ∂2E(c/n)2 ∂t2=

1 ∂ 2 PN L
0 c2 ∂t2
(210)

ると結晶では無理で、高次高調波という手法が用いられる。さらに短波長領域では、加速器を用いた自となる事から分かるように、これは、屈折率 n の空

由電子レーザーの出番になる。その次はコンプトン

間に PN L を起源とする放射源があると理解できる。

散乱であろうか。

(真空中と比べて伝搬速度が c/n になった。)
ここでは非線形分極は 2 次までを考えることにする。(2 倍波発生は、2 次の非線形現象である。)

PN L = 0 χ(2) EE

㸴㸫 

(211)

反転対称性がある系の場合、P と E を同時に符号反強度 I は |E|2 なので、転しても変化しないはずである。

−PN L = 0 χ

(2)(−E)(−E)

I(L) ∝ L2(212)

sin2 (ΔkL/2)(ΔkL/2)2

(219)

である。
式 211,212 を見比べると、χ(2) = 0 でなければ辻褄Δk = 0 なら、L が大きいほど強くなるが、Δk = 0

が合わない。反転対称性がある系では 2 倍波発生はの場合、L = π/(2Δk) で減少に転じ、L = π/Δk ゼ

出来ないことが分かる。つまり、2 倍波発生のためロになってしまう。

には、反転対称性を持たない非線形結晶が必要ということである。

2 倍波変換の場合は、Δk = 0 の条件は、k2ω = 2kω
ということで、つまり、屈折率が、n2ω = nω ということである。

位相整合

2.7.2

入力する基本波が、発生する高次波に比べて十分

2.7.3

複屈折結晶

大きい場合を考える。

通常の透明媒質の場合、周波数が高くなるほど、屈分極の伝搬が、折率が大きくなる。つまり、n(2ω) > n(ω) である。

PN L = PN L exp(i(ωN L t − kN L z))(213)で表される波として伝わるとする。(PN L は z によ複屈折を持つ結晶 (ここでは 1 軸性を仮定で、図29 のように入射するとする) の場合、偏光成分と進
行方向に依存して屈折率が変わる。

らない)no (θ)

高次波の伝搬を、

E = E(z) exp(i(ωN L t − k(ωN L )z))1
ne (θ)2

(214)

=

no

(220)
2

=

2

cos θ sin θ
+
n2o
n2e

(221)

no は結晶軸と垂直方向の電場の偏光にたいする屈折と書く。屈折率 n は周波数成分の関数であるとし、k(ωN L ) = (ωN L /c)2 nωN L(215)率、ne は結晶軸と平行方向の電場の偏光にたいする屈折率である。ne < no の場合を、負の一軸性結晶と呼ぶ。
式 221 より、ne (θ) は、長軸半径が no で短軸半径の関係がある。

が ne の楕円の原点から θ 方向の距離と考える事が出式 210 に代入して整理すると、∂ 2 E(z)∂z 2−2ik(ωN L )来、図 30 のように示す事が出来る。no (2ω) > no (ω),

∂E(z)
∂z

ne (2ω) > ne (ω) だが、ne (2ω) < no (ω) となり得る

ω2= 2N L PN L exp(i(k(ωN L ) − kN L )z)
c 0
(216)

場合がある。つまり、ne (2ω) を示す楕円と、no (ω) を示す円が交わる条件の入射角 θ において、ne (2ω) =no (ω) が成立する。

E(z) は z にたいしてゆっくり変化するとすると、
2
∂E(z)
ωN
L
PN L exp(−iΔkz)=
2∂z
2i0 c k(ωN L )2.7.4

より短波長のレーザー光が欲しいが、紫外域になっここで、Δk = k(ωN L ) − kN L である。

てくると、そもそも透明な結晶が無い。そこで、結これを距離 L だけ積分すると、E(L) ∝ exp(iΔkL
sin(ΔkL/2))PN L L
2
ΔkL/2

高次高調波

(217)

晶ではなく、ガスを利用することが考えられる。通(218)

常、キセノンなどのガスジェットにレーザー光を入射する。当然、ガスは反転対称性があるため、偶数次の高調波は発生しないが、奇数次は発生し得る。

㸴㸫 

acceleration
recombinatione

Axis of Crystal

tunneling

extra-ordinary

図 31: 高次高調波発生の 3 ステップモデル

ordinary

この過程による高次高調波の発生は、図 31 のようなモデルで説明される。レーザーの光電場によって、ガス原子のポテンシャルが傾き、原子に束縛されていた電子が、トンネル効果で真空中に放出され

図 29: 一軸性複屈折結晶の結晶軸と入射光の関係る。光電場は周期的に変動するため、放出した電子を加速して引き戻す。電子が再び原子に再結合する
際に、運動エネルギーとイオン化エネルギーに相当するエネルギーを光として放出する。この過程が光
電場の半周期毎に位相を反転しておこる。図 32 に示
すような電場波形が生成され、これを周波数領域でみると、基本光の奇数次の高調波が生成されることになる。
自由電子が、振動電場中に置かれた場合、電場によって振動運動をする。このとき、電子が持つ平均

no2
ne2 ( )の運動エネルギーはポンデロモーティブエネルギー

Up と呼ばれ、Up =eE02
4m0 ω 2(222)である。(電場の振幅を E0 、角周波数を ω 、電子の質量を m0 、電荷を e とした。)

none ( )

放出された電子が戻って来たときに得る運動エネ
ルギーは、一声、これの 3 倍程度と考えられるので、光子として放出され得るエネルギーは、Ip + 3Up が最大である。

図 30: 位相整合㸴㸫 Electric field of input laser

intensity

HHG pulse

peak at every (2n+1)

max: ~3Up

photon energy

図 32: 高次高調波発生の 3 ステップモデル

㸴㸫 

3

光源加速器における応用

3.1

フォトカソードの励起

U

a

Uo

線型加速器による光源加速器では、ビームの性能は電子源できまる。このため、低エミッタンスの電x子源が重要で、フォトカソード電子銃が用いられる。
これは、電子銃の高電圧陰極部に備えられたフォト
図 34: 周期ポテンシャル

カソードをパルスレーザー光で照射して励起し、電子ビームを生成するものである (図 33)。

E

熱電子銃と比較して、フォトカソード電子銃は、電reduction zone

子の生成を時間的にも空間的にもレーザーによって制御することができる。特に、後段の RF 加速空洞

crystalでの加速位相に合わせて電子バンチを生成する事が出来るため、短バンチで、エミッタンスの良いビームが得られる。
ここでは、極低エミッタンスが実現できることで知られる半導体フォトカソードを仮定して議論する。

free space

電子が真空中に取り出されて以降の事は他で説明が

2

3

ak

あるはずなので、ここではレーザー光で半導体フォトカソードを励起し、電子が取り出されるまでの過図 35: 周期ポテンシャルの分散関係

程について説明する。

3.1.1

する極限をとり、デルタ関数として扱って、ポテン

半導体のエネルギー準位

シャルの具体的な形状に依存しない議論になる (ク結晶は、内部の電子にとっては原子の並びによっ

ローニッヒ-ペニーモデル)。シュレーディンガー方程て設定された周期的なポテンシャルの空間である。

式から固有エネルギーを求め、図 35 に示すような、

これを、図 34 のように簡単なモデル化をして考えエネルギーと波数の関係 (分散関係) が得られる。自る事ができる。周期が a の矩形ポテンシャルとして

由空間の場合は、連続な 2 次関数の分散関係が得ら導入するが、障壁を、面積を一定にして幅をゼロにれる (この 2 次の係数が有効質量を意味する) のにた
いして、周期ポテンシャルの場合は、不連続点が出
来、とり得ないエネルギー (バンドギャップ) がある
ことが分かる。

ak について 2π の整数倍は高次のモードとして

cathode0 < ak < π の範囲にまとめて表示 (還元ゾーン表記)eすると、波数ゼロの付近で、バンドギャップの下側は上に凸、上側は下に凸の構造ができることが分か

e-h
pair

laser

る。これを図 36 に示す。半導体結晶は、バンドギャッ
プの下側の上端までが電子で埋まっている (価電子帯)。バンドギャップの上側の領域は伝導帯と呼ばれる。下に凸になっていることから分かるように、電図 33: フォトカソード

子が運動エネルギーを持って自由に動き回ることが㸴㸫 State density (S(E))

E
electronelectronconduction band

photonband gap

photonvalence band
hole

hole

3D

2D

1D
E

k

図 37: エネルギーと状態密度

図 36: 周期ポテンシャルの分散関係となる。ついでに、2 次元の場合は、出来る状態である。

2 準位系と放射の相互作用で議論したように、準S(E)位間のエネルギー差に相当する光が入力されると、

∝
∝

dk
dE
const.

2πk

(227)
(228)

吸収および誘導放出が起こる。半導体では、下の準位である価電子帯が埋まっているので、光は吸収さ

1 次元の場合は、れ、電子の状態は上の準位に遷移する、つまり伝導

S(E)

∝

電子が生成することになる。

∝
3.1.2

状態密度

dk
dE
1
√
E

(229)
(230)

である。

半導体中の伝導電子は、質量 m が有効質量 m∗ に置き換わっただけで、あたかも自由空間にあるように動く。つまり、エネルギー固有状態は、自由空間のシュレーディンガー方程式に従う波動として扱うことが出来る。

2− ∗ ∇2 ψ = Eψ2m

3 次元の自由度を持つ系の場合は、運動エネルギーが高くなる程、とり得る状態が増える (図 37) ことが分かる。
光のエネルギーと励起効率について考える。エネ
ルギーがバンドギャップ以下の場合は、エネルギー保存が成り立たないので励起できず、光は吸収されな(223)

い (透明)。バンドギャップより少し高いエネルギーの光を入力する場合は、生成される伝導電子の運動

これは、式 113 と同じなので、電磁波モードと同じエネルギーは小さい。図 37 より、E が小さい領域の手順で状態の数を計算することが出来る。

状態密度は小さい。遷移確率は状態数に比例するのエネルギーと波数 k の関係が、


k2
2m∗

で、励起効率は低く、光の吸収は小さい (吸収長が

2

E=

(224)

長い)。光のエネルギーが高くなるに従って状態数が大きくなるので、励起効率が高くなり、吸収長が短である点が、光と電子の違いであることに注意し、3くなる。つまり、波長の短いレーザー光を使うほう

次元の半導体の場合について状態密度を計算する。

が、量子効率が高く、時間応答が短くなる。
図 37 を見ると、2 次元の系の場合は状態数が運動式 133 と同様に、3 次元波数空間で格子点の数を数

エネルギーに依らないので、運動エネルギーが小さえる計算を行い、状態密度関数 S(E) は、

S(E)

∝
∝

dk
4πk 2
dE
√
E

い領域でも状態数が大きく、励起効率が高くなる可(225)能性がある。ただ、2 次元ゆえに体積が稼げず、や(226)

はり励起効率で不利である。

㸴㸫 

3.1.3伝導電子の輸送2

図 36 に示すように、伝導電子は、ある運動エネル

dc
<0
dx2

c

ギーを持って生成する。光のエネルギーが大きい (波

2

dc
>0
dx2

長が短い) ほど、初期運動エネルギーは大きい。理
想的な周期ポテンシャルの空間であれば、あたかも自由空間のように伝導電子は抵抗無く移動するはずであるが、実際は不純物や格子振動によって周期性xが崩れている。そのため、伝導電子は格子と散乱を繰り返し、初期運動エネルギーを失い、伝導体の底

図 38: 拡散による時間発展のエネルギーに落ち込み、最終的には室温の熱振動と平衡状態になる (緩和)。緩和した後は、結晶内をpotential

熱運動でランダムウォークして拡散する。

c

個々の伝導電子の動きを追いかけて考える事もできるが、ここでは、多数の伝導電子があるとして、
伝導電子密度を c(x, t) で表し、その時間発展で伝導電子の移動を議論することにする。拡散では、密度の勾配に比例して移動が起こり、それが電流密度 Jc

0

h

x

であるから、

Jc (x, t) = eD∂c(x, t)∂x(231)

図 39: 境界条件の設定

また、ある地点において流れ込む電流と流れ出す電式 231 を参考に、

流の差は、電荷の変化を意味するから、∂c(x, t)1 ∂Jc (x, t)
=
∂t
e
∂x

∂c(x = 0)
∂x

(235)

で得られる。

これらをまとめて、∂c(x, t)∂ 2 c(x, t)
=D
∂t
∂x2

I∝

(232)

もし、図 39 の x = h の地点のようにポテンシャ(233)

ル障壁の境界条件を仮定するなら、そこでの電流密度がゼロという条件より、

これは、拡散方程式と呼ばれる。D は拡散の速度を∂c(x = h)=0∂x表す拡散係数で、結晶の物性で決まる。式 233 の意
味する所を図 38 に示す。つまり、密度の高いところ(上に凸) は減少しようとし、密度の低い所 (下に凸)(236)を設定すれば良いことになる。

は増加しようとする。
微分方程式を解く際には、境界条件が必要である。

3.1.4

時間応答

例えば、カソード表面 (x = 0) では、伝導電子が消取り出される電子ビームの時間構造は、伝導電子滅する (外に取り出されるか、表面で再結合する) わ

密度の時間発展を追いかければ計算できる。まず、けであるから、カソードは十分厚い半導体結晶 (バルク) の場合を考

c(x = 0, t) = 0(234)

えてみる。図 40 で説明する。カソードの表面からレーザーを照射すると、カソード深部に行くに従っの境界条件を設定する。真空に放出されるビーム電て、波長に応じた吸収長で指数関数的に光が減衰し

流 I は、表面での電流に比例すると考えられるので、ていく。光強度に比例して伝導電子の初期分布が生㸴㸫 

を使い、カソード上でのビーム形状を半径 R の一様
cabsorption
length0I分布として、xrms = R/2 を使うと、
2ET 
R
εn =
·
2
mc2

(0)
(1)
(2)
(3)

(240)

となる。つまり、初期エミッタンスは、ビームサイズ

xと、放出される電子の持つ横方向の運動エネルギー

(1)

で決まる。
ビームサイズは、励起するレーザーのスポットサ(2)

イズで決められ、小さい程、低エミッタンスになる。

(0)
(3)

0

伝導電子が結晶中で室温 (kB T ) まで緩和しているtとすると、結晶中での横方向 1 自由度あたりの運動
エネルギー ET∗  は

図 40: カソードの時間応答

ET∗  =成する。この分布から始まり、拡散方程式と表面の境界条件に従って、分布が時間発展していく (上図)。

1
kB T
2

(241)

と考えられる。

表面から電子が放出されると同時に、分布は深部にこれが、真空中に放出される際、有効質量 m∗ がまで拡散していく。ビームとして取り出される電流

真空中の質量 m に変化する。このときの横方向の運は、下図のような時間応答をすることになる。初期動量の保存を考えると、分布からすぐに取り出された速い成分と、一旦深部m∗ ET∗ = mETまで拡散してから出てくる遅いテイル成分ができる。
テイル成分の無い速い時間応答を望むなら、吸収長の小さい、短波長光で励起するのが良い。初期分が成り立たなければならない (質量効果、図 41)。これを踏まえると、布が表面近傍に局在するので、相対的に速い成分が2ET  =大きくなる。あるいは、厚みの薄い結晶を使い、深部に拡散しないようにすることで時間応用を良くすることも出来る。

(242)

m∗
kB T
m

(243)

となる。例えば GaAs の場合、m∗ = 0.067m であるから、理想的な場合は室温の 1/15 に相当する極低
エミッタンスが実現する可能性がある。

3.1.5

初期エミッタンス

実際には、表面の状態によって、散乱や表面粗さの影響で、縦方向の運動エネルギーが横方向に回り

規格化 RMS エミッタンスは、

1  2
εn =
x  · p2x  − x · px 2
mc

込んでしまう。これが ET  を決めている。

(237)

で定義される。m は真空中の電子の質量、x は横方向の位置、px は運動量である。カソード上では位置

短波長の光で励起すると、時間応答は良くなる一方で、完全に緩和する前に取り出される割合が増え、エミッタンスは増える傾向になる。

と角度には相関が無い (x · px  = 0) と考えられる
ので、

1
εn =
(238)
xrms · pxrmsmcである。また、横方向 1 自由度辺りの運動エネルギーET

p2
ET = x2m

3.2

高次横モードレーザー加速レーザーを使って荷電粒子を加速しようというア
イデアは、古くからある。現在、レーザーで駆動したプラズマによる加速の研究は、国内外で多く行わ(239)

れているが、ここでのテーマである ERL による光㸴㸫 

crystalvacuum

m*

m

y

ET
EL
x

E*T
E*L

図 41: 表面での質量効果源加速器と絡めた議論はあまりなされていない。ガ
図 42: TM10 モードの横電場のプロファイル

スジェットを使うという特殊な状況が、既存の加速器とうまく組み合わせるのが難しくしているし、そもそも低繰り返しの超高強度レーザーを使う為、高電場は独立では無いので、By と Ex は関係をもつ。)

繰り返しが利点の ERL とは整合しない。

Ey

=

0

(244)

Bx

=

(245)

ERL 光源加速器においては、ビームの平均エネル

By=

ギーを上げる (いわゆるビームの加速) というより

Bz

=

0
1
Ex
c
0

ここでは、それらとは異なり、レーザーの光電場
による真空中の直接加速の方式について紹介する。

は、バンチ内粒子にエネルギー変調を与えるような応用が、まず考えられる。

3.2.1

(246)
(247)

Ez は z 方向の進行波の形、|Ez | exp(i(ωt − kz)) とする。ω = kc である。マクスウェル方程式、

1 ∂Ez
∂By
∂Bx
=
−
c2 ∂t
∂x
∂y

進行方向電場

通常、光は横波で進行方向の電場を持たないの(248)に代入して整理すると、で、荷電粒子の加速には使用できない (Lawson-

ikEz =

Woodward の定理)。しかし、これは光が一様な平

∂Ex
∂x

(249)

面波の場合の話で、特殊な場合については実際に荷つまり、横方向の電場の空間変化があると、そこに電粒子を加速することが可能である。ここでは、空は進行方向の電場が存在することが分かる。

間的に一様でないレーザー光の場合には進行方向電

例えば、式 192 の高次ガウシアンモードで n =場が存在し、電子ビームにレーザー光を重ねて伝搬1, m = 0 のもの、TEM10 モードは、簡単に書くと、させることで電子ビームにエネルギーを与えることEx ∝ xe−xが出来ることを説明する。

z 方向に伝搬するレーザー光を考える。電場は x
方向に直線偏光とし、磁場は z 方向成分を持たない、

2

(250)

である (図 42)。この場合、進行方向電場は、

kEz = (1 − 2x2 )e−x

TM 波を考える。つまり、以下の条件である。(磁場と

2

(251)

で与えられる。中央付近 (x = 0) に、1/k 相当の進
行方向電場があることが分かる (図 43)。

㸴㸫 である。進行方向電場は、


1
1
P
P
Ez =
=
kw02 c02z0 c0Field amplitude [arb.u.]

1
0.8

Ex
kEz

0.6
0.4

(254)

0.2

z0 はレイリー長で、収束されたレーザー光が維持で0きる距離に相当する。収束点から z0 以上離れると、-0.2

径が拡がってしまうことと、Gouy 位相の効果で位

-0.4
-0.6
-4

-3

-2

-1

0

相が進んでしまうため、加速出来なくなってしまう。

1
2
34transverse position (unit of w)

実効的に加速に効く距離は 2z0 程度と考えられるので、エネルギーゲイン G は、

図 43: TM10 モードの横電場と縦電場


G = Ez × 2z0 = e

P
c0

(255)

となる。z0 あるいは w0 に依らず、レーザーのピー
クパワーのみで決まる。P = 100 MW で、G = 200
Laser propagation

keV のエネルギー変調を与えることが出来る計算である。これは、100 MeV 程度のビームにたいして∼10−3 のエネルギー変調を与えることに対応する。
Longitudinal
Electric field

ビームのもともとのエネルギー広がりと同等以上の変調で、後述する位相空間の制御に応用するのに適

electron beam propagation

している。ピークパワー 100 MW 程度のレーザー光は、例えば共振器蓄積の手法によって実現可能であ

図 44: レーザーと電子ビームの伝搬

3.2.2

ると考えられる。

エネルギーゲイン

3.3
図 44 のように、電子ビームと同じ方向に進行方向

アンジュレータにおけるビームとレーザーの相互作用

電場を持つレーザー光を伝搬させる。電子ビームもレーザー光の位相速度も光速とすると、バンチ内の

前節では、レーザー光の進行方向電場を使ってビー個々の粒子にたいする光電場の位相関係は固定されムと相互作用する方法を説明したが、アンジュレー

るので、進行方向電場が加速位相にある電子は常にタと呼ばれる装置を使ってビームに軌道を横に振る

加速され、減速位相にある電子は常に減速される状と、レーザー光の横電場で相互作用させることがで

況になる。

きる。
これによって、ビームにエネルギー変調を与えた

横電場のピーク値を E0 として、ウェストサイズ
E0x
w0 の場合、おおざっぱに、 ∂E∂x ∼ w0 であるから、

E0|Ez | =
kw0

り、ビームからエネルギーを取り出したり、逆にビー
ムにエネルギーを与えたりできる。

(252)
3.3.1

である。
レーザーのピークパワーが P の場合、パワー密度

S は、ひとこえ、S=

アンジュレータでのビーム軌道

アンジュレータは、周期的な磁場によって、ビー
ム軌道を蛇行させる装置 (図 45) である。アンジュP= c0 E02
w02

(253)

レータの磁場を垂直方向とし、

By = B0 cos(ku z)

㸴㸫 

(256)

β =1−

1
2γ 2

(265)

の関係を代入して整理すると、

dz
dt

=
∼

1 + K 2 /2
2γ 2
1 + K 2 /2
c 1−
2γ 2

c 1−

+

K 2 βccos(2ku z)
4β 2 γ 2

= β∗c

(266)

振動する項は平均するとゼロなので無視した。
図 45: アンジュレータβ∗ = 1 −1 + K 2 /2
2γ 2

(267)

とする。アンジュレータの周期を λu とし、ku =2π/λu とおいた。z は (蛇行運動を無視した) ビー

は、進行方向の平均的な速度を意味する。蛇行運動

ム進行方向である。

するために、β より少し小さい。

この磁場中での電荷 e で質量 m0 の電子の運動方
程式は、

3.3.2

d2 x(t)dt2
2d z(t)dt2

eB0 dz(t)cos(ku z)
m0 γ dt
eB0 dx(t)cos(ku z)
m0 γ dt−==

アンジュレータにおいて、電子は β ∗ c の速度で z(257)方向に進むことが分かった。一方、電子に沿わせる(258)

ように z 方向にレーザー光を入れると、当然ながら
光は c の速度で進行する。

と表す事が出来る。

アンジュレータの 1 周期 λu だけ進んだとき、電式 257 を積分して、

dx(t)
dt

共鳴

子と光で到達時間にずれが生じるが、その差をレー

cK−
sin(ku z)
γ

=

(259)

ザー光の波長 λ を単位として nλ と表すことにする。


nλ
λu
λu
=
−
(268)
β∗c
c
c

(260)

これを整理すると、

さらに積分して、軌道は

x(t) =

Kcos(ku z)
ku γ

nλ =

となる。ここで、K=

eB0
k u m0 c

(261)

λu
2γ 2

1+

K2
2

(269)

n が整数の場合、1 周期毎にずれるが、丁度波長の整数倍ずれたので同じ位相にある、という条件が成とおいた。

立する。これを共鳴と呼ぶ。

式 258 に代入すると、

d2 z(t)eB0 cK=−sin(ku z) cos(ku z)
dt2
m0 γ 2
両辺を積分して、 zdz
eB0 cK z
dt=sin(2ku z) dz
2
dt 0
2m0 γ 0dz

(262)

ビームとの相互作用

アンジュレータに導入するレーザー光を x 偏光とし、電場 Ex を次のように表す。

(263)

dz/dt ∼ βc と近似して、両辺それぞれ計算すると、
2

dz
K βc
(cos(2ku z) − 1)
− βc =
dt
4β 2 γ 2

3.3.3

(264)

Ex = E0 cos(kz − ωt + φ0 )(270)

式 260 の電子の横方向運動を合わせて考える。電場
方向に電子が運動すると、電場が電子ビームに仕事㸴㸫 

をすることになる。つまり、加速または減速の作用が起こる。電子が得るエネルギーは、

dγ
dt

=
=
=

=

2 dx(t)
(271)
Ex
m0 dt
eKE0
−
sin(ku z) cos(kz − ωt + φ0 )
m0 cγ
eKE0
−
[sin((ku + k)z − ωt + φ0 )2m0 cγ+ sin((ku − k)z + ωt − φ0 )]
eKE0
−
sin φ
(272)
2πm0 cγ

0

time
-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5
[unit of ]2となる。ここで、

φ = (ku + k)z − ωt + φ0

図 46: 位相空間上の運動 (共鳴エネルギー)(273)とおき、速く振動する項はゼロとした。φ は電子とレーザーとの相対的な位相を表す。つまり、位相関係によって、加速だったり減速だったりする。

φ の変化を表す方程式は、
0

dφ
dφ dt
=
dz
dt dz

=
=

ω
ku + k −dz/dt
1
ku + k(1 − ∗ )
β

(274)
(275)
time

となる。

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5
[unit of ]2

エネルギーを共鳴条件を満たすエネルギー γr からの差分で

γ = γr + Δγ(276)

図 47: 位相空間上の運動 (共鳴エネルギーより少し高い場合)と表現すると、最終的に一組の微分方程式が得られる。

になる。加速と減速が同時に起こるので、平均のエ

dφ
dz
d(Δγ)
dz

=
=

Δγ
γr
eKE0
sin φ
−
2m0 c2 γr

2ku

(277)
(278)

ネルギーのやりとりは無い。
ビームエネルギーが、アンジュレータの共鳴エネルギーより少し高い場合について、同様に計算した結果が図 47 である。この場合、まずサイン関数状に

つまり、エネルギーと位相で表現した位相空間を回エネルギーが変調されるのは同じであるが、位相空転する運動をすることが分かる。

間では共鳴エネルギーを中心に回転するので、回転この様子を図 46 に示す。Δγ = 0 の直線上の分布が進むと平均してエネルギーが下がってくる。ビーを初期状態とする。つまり、共鳴エネルギーに一致しムがエネルギーを失うわけであるから、このとき光たビームを入力する場合である。まず、式 278 に従っのエネルギーが増大する。

て、サイン関数状にエネルギーが変調される。エネ
ルギー変調が大きくなるにつれて、式 277 に従って、位相がシフトしていく。これを続けて行って、レーザー光の波長の周期構造で位相空間で回転すること㸴㸫 

3.3.4

長手方向分散加速器のある領域をビームが通過する際、エネル
ギーの違いによって到達時間 (あるいは軌道長) が異なる場合がある。z1 ,z2 をそれぞれ、領域の入口と出口における、バンチの中心を原点とした前後方向の位置、δ をビームのエネルギーからのずれ (δ = Δγ/γ)

+x)
x

( +x)
s

とし、

nominal energy (z2 = z1 + R56 δ + T566 δ + · · ·
2

=0)

(279)
=x/( / )( / )と表す。R56 は線型項、T566 は 2 次の項である。ここでは線型項だけ扱うことにする。ひとまず、ビー
ムエネルギーが十分高く、エネルギーが変わっても速度変化しないと仮定すると、エネルギー差が軌道

図 48: エネルギーによる軌道長の違いに影響するのは、分散があり、かつ、軌道が曲率をもつ領域、つまり偏向電磁石の部分だけである。この関係は、図 48 に説明される。曲率半径 ρ をもつ軌
道の角度 δθ に対応するある微小区間を考える。この区間における分散を η 、分散の変化率を η  とする。
<0

基準軌道の距離を δs とすると、

δs = ρδθ

(280)

>0

エネルギーが Δγ だけことなる場合の軌道長 δs は、

δs

=


((ρ + x)δθ)2 + (x (ρ + x)δθ)2∼(ρ + x)δθ

図 49: シケインの例(281)

単位長さあたりの軌道長の差 (δs − δs)/δs は、

δs − δsxη
= = (Δγ/γ)δsρρこれより、R56 は、次式で計算できる。
ηx (s)
R56 =
ds
ρ(s)

(282)

(283)

図 49 に示すような単純なシケイン部の場合、エネ
ルギーが高いほど軌道長が短くなるので、R56 < 0

R56 >0zである。
エネルギー変化による速度の違いが気になる場合
は、それを含めて R56 と考えても良い。その場合は、曲率と分散の無い領域でも R56 は有限の値をもつ。

z と δ による長手方向の位相空間における、有限な R56 の要素の作用を図 50 に示す。R56 > 0 の場
合、上半平面は右にシフトし、下半平面は左にシフ㸴㸫 

図 50: 長手方向位相空間での作用after
R56 >0initialfurther
R56 >0laser
e-beamSR
undulatorz

shortX-ray

radiator

図 52: レーザースライシングによる短パルス X 線の発生
図 51: サイン型エネルギー変調構造の変化

スレーザーを使って、バンチ内に時間方向に短い構

トするような作用である。前節の式 277 は、アンジュ
レータ自体の分散関係である。
例えば、ビーム進行方向にサイン関数状にエネル
ギー変調の構造があるとし、これが有限な R56 の分
散領域を通過した後でどう変化するかを考えてみる。
図 51 に示すように、はじめサイン関数型だったもの
が横方向に引き延ばされる効果になる。
特に、

R56

Δγ
= λ/4
γ

造を作るものである。図 52 のように、アンジュレー
タ内で電子の一部に重なるようにレーザーを相互作用させ、エネルギー変調を生成する。下流の偏向電
磁石等におけるシンクロトロン放射光を利用する際に、エネルギーの違いによる軌道と放射方向の違い
で分離することで、短パルスの放射光を得ることが出来る。
このエネルギー変調が、下流の分散部を通過する(284)

際に、図 53 に示すように密度変調に変換される。結果的にレーザーと重なっていた部分が穴が開いた構の場合に、エネルギー変調がのこぎり状に立った状造が出来る。短い時間構造からコヒーレント放射を態になり、大きな密度変調が出来る。

効率良く放射することが出来、IR-THz 光源として利用できる。

3.4

レーザーによる位相空間の制御

前節の議論で、共鳴条件を満足する関係でアンジュ

3.4.2

レーザーヒータ

レータを通過するビームにレーザー光を重ねて伝搬

FEL 施設において、マイクロバンチ不安定性と呼させると、レーザーの波長の周期でエネルギー変調

ばれる現象によって性能が制限されることがある。

を与えることが出来ることが分かった。さらに、エこの現象は図 54 に説明するようなものである。電子

ネルギー変調がついたビームをシケインなどの R56

バンチの初期状態に僅かな密度分布があったとして、を制御する区間に通過させることで、位相空間上でそれが空間電荷等の影響を介してバンチ内のエネル

動かすことが出来ることも分かった。この手法にはギー変動を生み、さらに密度分布が成長していくと多彩な応用が考えられる。

いうものである。結果的に、FEL の発振に重要なバンチ圧縮がうまく制御出来なくになってしまう。

3.4.1

これを解決する為、レーザーヒータと呼ばれる手

レーザースライス法が用いられる (図 55)。マイクロバンチ不安定性が電子ビームのバンチ長が比較的大きい、蓄積リン

成長する前に、積極的にレーザーによって光の波長グなどにおいて、実効的に短いバンチを模擬するもでエネルギー変調をかける。これを分散によって前のとして、レーザーバンチスライシングという手法

後に引き延ばすことによって、密度分布を平坦化しが知られている。これは、電子バンチより短いパルて、マイクロバンチ不安定性の種を解消することが㸴㸫 laserRF-gun

L0a(A) at modulator

L0b

Laser-Heater

diagnostics
135 MeV

図 55: LCLS のレーザーヒータzIz(B) after dispersive section(A) introduce energy modulation

z

z
I

I

z

z

(B) smear-out density modulation

図 53: レーザースライシングzIz(A) initial

図 56: レーザーヒータによる密度分布の平坦化

zI

出来る (図 56)。
z(B) density variation produces energy variation

3.4.3
z

光クライストロン

ところで、電磁波を使って電子ビームの密度に変I調をかける、というのは、マイクロ波の増幅器としzて良く知られているクライストロンと同じである。
図 57 にクライストロンの原理を簡単に示す。

(C) energy variation produces further density variation

レーザーとアンジュレータを使って、これと全くzI

同じ事が出来る (図 58)。入力 RF の代わりがレー
ザーで、出力 RF の代わりがアンジュレータ放射でzある。1 台目のアンジュレータにおいて、入力したレーザー光で電子ビームにエネルギー変調を与え、

図 54: マイクロバンチ不安定性

途中の分散部の R56 (あるいはアンジュレータ自体の分散) を経由して、これが密度変調に変換される。

㸴㸫 

energy modulation

coherent radiation

density modulation

e-gun
input
cavitydrift

outputcavity

z

z

I
input
RF

I

outputRF

図 57: クライストロンの原理

図 59: HGHG
Laser

z
I

z
I

transversely-dispersed
electron beam

図 58: 光クライストロンの原理

2 台目のアンジュレータには、入力レーザーと同じ波長でプリバンチされた電子ビームが入力され、コ

図 60: 分散部のアンジュレータにレーザーの斜め入ヒーレントに放射が成長し、大きな出力を得る事が射の配置できる。これは、シード型 FEL の一種で、入力光として高次高調波レーザーを用いる事で、短波長のフルコヒーレント FEL が実現できる。

かは、どれだけ鋭い密度変調を作る事ができるかで決まる。もう少し凝った事を考えてピークを鋭くする案も考えられている。アンジュレータ部に分散を導入し、そこにレーザーを斜めに入力する (図 60)。

3.4.4

HGHG

実効的にエネルギーによってレーザーの位相をずら

もともとの電子ビームのエネルギー広がりが小さす効果を与える事が出来る。すると、位相空間でのく、分散部が精密に調整されていると、サイン関数

回転の中心位相がシフトし、丁度一致した位相でサ状につけたエネルギー変調が立ち上がって、鋭い密イン関数が立ち上がるように出来 (図 61)、非常に度変調が得られる事に成る。この場合、密度変調に鋭い密度分布が生成される (PEHG: Phase-merging

高次の成分 nω も十分に含まれるので、2 台目のアン

Enhanced Harmonic Generation)。

ジュレータを nω の共鳴条件に設計しておくと、対応する波長でコヒーレント放射を起こすことが可能で3.4.5ある (図 59)。これは、HGHG (High Gain Harmonic

Generation) と呼ばれる。直接シードでは得られな
い、より短波長のシード FEL を実現する、有効な手法である。また、得られた高調波をを入力光として、多段に HGHG を構成することで、より短波長のコヒーレント放射を実現することが可能である。

HGHG でどれだけ高い次数の高調波を生成できる

EEHG

より細かな変調を作り出す手法として、変調を 2段階で行う手法もある (EEHG: Echo-Enebled Har-

monic Generation)(図 62)。まず、1 段目のアンジュ
レータでレーザーと相互作用させ、大きな振幅でサ
イン波状のエネルギー変調を付ける。次の分散部では、多数の横線が重なった状態 (横縞) になるまで大きく引き延ばす。これを 2 段目で変調すると、横縞㸴㸫 

(A)HGHG
at modulator

at radiator

z
I

z
I

(B)PEHG
at modulator

at radiator

z

z
I

I

(A) 1st modulation

図 61: PEHGz(B) after 1st dispersion

z

1

2

n 1+m
(C) 2nd modulationz

図 62: EEHG のレイアウト
全体にサイン波の変調を乗せる事が出来る。次の分(D) after 2nd dispersion

散部で適当なシフトをおこなうと、1 段目に作った縞構造が発現し、細かな密度変調が出来る。HGHG
z

では到達出来ない程の次数の高調波成分を生成することが出来る (図 63)。
I
z

3.4.6

ESASE

レーザーによる密度変調の生成は、シード型 FELに限らず、SASE-FEL の場合でも有用である。SASEの発振においては、ビームのピーク電流が重要であるから、密度変調の効果で局所的にできた高電流部から SASE 発振がはじまることで、飽和に至る距離を短く改善することが可能である。これは、Enhanced

SASE と呼ばれる手法である。

㸴㸫 

図 63: EEHG の位相空間分布の発展

ESASE
Seeding

Undulator

600MeV

scatterede-beamCW-FELaxion exp.

laser
(3)

(4)
600MeV
Acc.

(5)

Laser Modulator
150MeV

150MeVFEL users(2)

図 65: コンプトン散乱

Acc.
(1)
DC-gun Injector acc. 10MeV

(6)
10MeV

dump

図 64: 高繰り返し ERL-FEL でのレーザー変調シス

initialテム

3.4.7

photon高繰り返し FEL での検討

ﬁnal
electron*

ここまで述べて来た、レーザーによるシード FELmの話は、低繰り返しの加速器で行われている。従って、高強度単一パルスのレーザーを使用すれば良く、
比較的簡単なもので良い。一方で、ERL は高繰り返
しの大平均電流であることが利点であるので、エネ

図 66: 電子静止系でのコンプトン散乱

ルギー変調システムを導入するとしたら、高繰り返
しに対応したものである必要がある。典型的に必要とされるレーザーのパルスエネルギーは 100 μJ 程

3.5

コンプトン散乱度であるが、これを 100 MHz で供給するとすると、

高エネルギー光子の光源として、レーザーを利用

10 kW もの平均パワーが必要になる。これは、最後したコンプトン散乱光源 (LCSS) が考えられる (図に述べる蓄積共振器の手法で実現する事が出来ると65)。

考えられている。
式 269 より、アンジュレータの周期を λu = 50

3.5.1

散乱断面積

mm、強さを K = 2 とすると、波長が λ = 1 μm の
これまで、電子は非相対論的な量子力学と、相対レーザー光と共鳴するビームエネルギーは 140 MeV程度になる。ERL の構成の FEL を検討する際に、線型加速器を 2 段階に分けて、途中にエネルギー変調器を入れる構成が考えられる (図 64)。エネルギーの変調器と、そのあとに続くアークでの分散制御、主論的な古典力学で記述して来た。コンプトン散乱の断面積を計算するには、相対論的な量子力学が必要になるが、ここでは導出は省略し、結果だけ使用することにする。
電子の静止系での微分断面積は、クライン-仁科の加速部の加速位相、を組み合わせる事で、様々な応用が可能になると考えられる。

公式呼ばれるものがある。これを使うのが便利なので、まず電子の静止系で、図 66 に示す散乱を考える。質量 m の電子にエネルギー ω ∗ の光子が衝突し、終状態では、エネルギー ω ∗ の光子が角度 θ∗ の方
向に、電子は運動量 p∗ で角度 φ∗ の方向に散乱さ
れる。

㸴㸫 

同様に終状態のローレンツ変換より、
LAB frame

e-rest frame(289)−β + cos θ
1 − β cos θ(290)

cos θ∗ =pinitialstateω ∗ = ω  γ(1 − β cos θ )*mの関係がある。

*

また、2 つの系の立体角は、

dΩ∗
1
= 2
dΩ
γ (1 − β cos θ)2(291)の関係がある。

final
state

まとめると、実験室系での散乱の微分断面積は、

dσ
dΩ

=
=

図 67: 電子静止系と実験室系
以降、電子の静止系の量は ∗ をつけて、散乱後の量は  をつけて表すことにする。

となる。表式が複雑になるので、電子静止系の量も微分断面積は、

dσ
r02
=
dΩ∗
2

ω ∗
ω∗

2


ω∗
ω ∗
2 ∗
+ ∗ − 1 + cos θ
ω ∗
ω
(285)

r0 は電子の古典半径である。

混ぜて書いているが、∗ 付きの量はローレンツ変換
に従って実験室系の量に置き換えれば良い。
最大エネルギーの光子が得られるのは、θ = π の、ビーム軸上への散乱の場合で、

ωmax
=

ここで、運動量の保存から、ω ∗ =

ωdσ dΩ∗dΩ∗ dΩ2 ∗ω
r02 ω ∗
ω ∗
2 ∗
+
−
1
+
cos
θ
2 ω∗
ω ∗
ω∗
1
× 2
(292)
γ (1 − β cos θ)2∗∗
1 + ωm (1 − cos θ∗ )(286)

2γ 2 ω(1 − β cos θ)ω
1 + 2γ m(1 − β cos θ)(293)

特に、入射光子が正面衝突 θ = 0 の場合、

ωmax
=

の関係がある。ちなみに、入射光子エネルギーが電子質量と比較して十分小さい時 (ω ∗  m ) は、ω ∗ ∼4γ 2 ω
1 + 4γωm(294)

ω ∗ となり、入射光子と散乱光子のエネルギーは等しで、ビームエネルギーが比較的低く、γω  m の時

くなり、トムソン散乱と呼ばれる。

は、ωmax∼ 4γ 2 ω となり、入射光子がビームのエネ

今、興味があるのは実験室系での量なので、ロールギーで ∼ γ 2 倍にブーストされて出てくる。このこレンツ変換をする。γ = E/m、β = −p/m である。

とから、比較的小型の加速器でエネルギーの高い光実験室系と電子静止系の関係を図 67 に示す。実験室

子を生成できることが分かる。発散角は相対論的な系では、電子ビームにたいして角度 θ で光子が入射放射が大抵そうであるように、1/γ の広がりを持つ。

されるとした。
初期状態のローレンツ変換より、

3.5.2

ω ∗ = γω(1 − β cos θ)

(287)

sin θ
γ(−β + cos θ)(288)tan θ∗ =の関係があることが分かる。γと近似して良い。

ルミノシティ

反応の頻度 (dY /dt) は、散乱断面積 σ とルミノシ
ティL を用いて、

dY
= σL
dt

1 とすると、θ∗ ∼ 0
である。

㸴㸫 

(295)

4

![unit ofw]

w^2 [unit of w0^2]

4

3

2

3

2

2

2 w0

2 w

1

1
2

w0

w

z0

w

0
-2

-1

0

1
1.5
s [unit of w]

0
-2

2

図 68: 収束点付近の電子ビームサイズ

-1

0

1
s [unit of z0]2

図 69: 収束点付近のレーザーサイズ

ルミノシティは、ビームとレーザーの強度と衝突である。

の幾何学的な条件で決まる。ルミノシティを稼ぐ為

時間に依存した 3 次元的な電子ビームプロファイに、ビームもレーザーも衝突点で収束するように設ル DB (xB , yB , zB , t) を次のように記述する。座標軸計される。

を xB ,yB ,zB と表し、zB がビームの進行方向である。

まず、電子ビームについて考える。ビームサイズ

t は時間。

が、エミッタンス  とベータ関数 β だけで決まる理DB

想的な場合を考える。

σe =


β

2

s
βw

(297)

√

1
exp
2πσBx

−x2B
2
2σB
x

1
exp
2πσBz

−(zB − ct)2
2
2σB
z

·√

(296)

ベータ関数の伝搬は、収束点での値 βw だけで決まり、

β(s) = βw +

=

·√

1
exp
2πσBy

2
−yB
2
2σB
y

(301)

σBx ,σBy は、x,y 方向のビームサイズで、zB に依存する。σBz はバンチ長である。
同様に、レーザーのプロファイル DL (xL , yL , zL , t)に従う。図 68 のように、極小値が βw 、そこから βw

は、座標軸を xL ,yL ,zL 、zL がビームの進行方向とだけ離れると 2 倍になるような具合である。

して、レーザーは、ガウスビームとして伝搬する。光子密度分布の RMS サイズ σl と、電場強度の 1/e 半径DL=として定義した w は、

w = 2σ

√

1
exp
2πσLx

−x2L
2
2σL
x

1
exp
2πσLz

−(zL − ct)2
2
2σL
z

·√

(298)

·√

1
exp
2πσLy

2
−yL
2
2σL
y

(302)

の関係である。スポットサイズの伝搬は、図 69 のよ

σLx ,σLy は、x,y 方向のビームサイズで、zL に依存

うに、収束点でのサイズ w0 だけで決まる。

する。σLz はパルス長である。

w(z)

2

= w02

z2
1+ 2
z0

図 70 のように、ビームとレーザーが衝突角 θ の配(299)

z0 はレイリー長で、z0 = πw02 /λ である。つまり、レーザー RMS サイズの伝搬は、
w0
λ2 z 2σl (z) =1+ 2 42
π w0

置とすると、それぞれの座標軸を次のように考えれば良い。

(xB , yB , zB )=(x, y, z)(xL , yL , zL )=(x cos θ − z sin θ, y, −x sin θ − z cos θ)

(300)

㸴㸫 

(303)

(304)

flat

XL

flat

laser input

ZL
XB

Laser

Beam

ZB
waist
concaveconcave

図 71: 収束点を持つ 4 枚鏡共振器て、共振器の中には入って行かないように思える。た図 70: 電子ビームとレーザーの衝突角

だし、共鳴条件 (共振器内部で定在波が立つ条件) でルミノシティL は、これらを積分して得られる。
   L∝
DB · DL dxdydzdt
(305)
x

y

z

t

は、共振器としての反射率が下がり、内部にパワーが入って行く。これは、加速器でおなじみのマイク
ロ波空洞と同じである。
振幅足し合わせを考えれば、共振器としての動作

3.5.3

が理解できる。鏡の振幅反射率 r と透過率 t は、蓄積共振器

光源として検討すると、やはりフラックスが重要r=になってくる。そのためには、平均強度の大きなレー

t

=

√
√

R

(306)

T

(307)

ザー光が必要である。エネルギーの保存から明らかなように、レーザー光源を励起するエネルギー (例である。図 72 に概念的に示すように、振幅 1 で入射えば数 100 W の LD) 以上のレーザー光を生成する

した光は、各共振器鏡で反射と透過の振幅に分けらことは不可能である。そこで、共振器を使って、光れ、振幅として重ね合わされる。共振器としての反を蓄積し実効的に大きな平均強度を実現することが

射振幅 rcav と透過振幅 tcav 、内部の片道の振幅 scav

考えられる。

は、共振器は、鏡などを使って構成した閉じた光路である。この中のレーザー光は共振器内部を周回する
ため、共振器内部で電子ビームとの衝突を行えば、レーザー光を何度も衝突に再利用することができる(図 1)。ルミノシティを稼ぐにはレーザー光を収束することが重要であるが、最も単純な 2 枚鏡の共振器では安定性が良くない。そこで、図 71 のような 4 枚
鏡共振器が良く使われる。収束条件は凹面鏡で制御

rcav

=

r + trteiφ + trrrtei2φ + · · ·

tcav

=

tt + trrteiφ + trrrrtei2φ + · · · (309)

scav

=

t + trreiφ + trrrrei2φ + · · ·の進みである。共振器としての反射率 Rcav 、透過率 Tcav 、蓄積強度 (片道)Scav は、振幅を自乗して得られ、発振器について議論した際には、共振器の内部に

Rcav

=

Tcav

=

Scav

=

光増幅器が設置されたが、ここでは空の共振器に外からレーザー光を入力し、光を蓄積すること考える。
簡単のため、2 枚鏡共振器で議論する。誘電体多層膜の共振器鏡で、2 枚とも反射率が R、透過率が Tするが、普通に考えると、入口の鏡でほぼ反射され(310)となる。φ は共振器の周長に対応した一周での位相し、周長は独立に平面鏡で制御することができる。

の場合を考える。ここの外部からレーザー光を入力

(308)

R+T −

T (1 − R2 − T R)
(311)
(1 − R)2 + 4R sin2 ( φ2 )T2
(1 − R)2 + 4R sin2 ( φ2 )
Tcav
T

(312)
(313)

となる。周回位相、つまり共振器の周長を波長で割ったもの、と蓄積強度の関係を図 73 に示す。共鳴条件㸴㸫 input

1
t
r
tt
tr
trt

trr
trrt
trrr

reflection
trrrt

transmission

Stored power (enhancement gain)100
stored

R=0.8
R=0.9
R=0.99

80

60

40

trrrr

20
trrrrrmirrorcavity0

mirror-2

図 72: 共振器内の振幅の重ね合わせ

-1.5

-1

-0.5

0

0.5
1
1.5
2
Phase of round trip ( ) [unit of ]図 73: 周回位相と共振器内強度が成立するときに、共振器内部にレーザー光が蓄積

Enhancement cavity

されることが分かる。蓄積される強度は、共振器鏡
inputの反射率が大きい (つまり共振器の損失が小さい) ほtransmission

ど大きくなる。ただし、反射率の高い共振器鏡を用いると、共鳴幅が狭くなることが分かる。
多数の鏡からなる共振器で、それぞれの鏡の反射率を R1 , R2 , R3 , · · · とした場合、実効的は反射率 (あ√るいは周回効率) なるものは Ref f = R1 R2 R3 · · ·となる。フィネス F と呼ぶ量を、

π Ref fF =1 − Ref f

High gain
Amplifier(314)と定義すると、共鳴幅は波長にたいして ∼ 1/F の関図 74: 発振型の構成係になる。
共鳴条件を制御するには、共振器の長さを制御すある。発振は増幅器の自然放出光のノイズを種としるか、レーザー光の波長を制御する必要がある。具

て始まる。自然放出光が共振器に入力され、そのう体的には、蓄積共振器あるいはレーザー発振器の共ち共振器の共鳴条件を満たした成分だけが蓄積され振器を構成する鏡を機械的にピエゾで駆動するようる。共振器の透過光は、共振器で共鳴したものが漏にし、共振器長をフィードバック制御する。より高れて出て来ているものであるから、必ず共振器の共速な制御が必要になった場合は、レーザー発振器内鳴条件を満たしたものである。これを増幅し、再びに位相変調器を導入し、電気的な制御を行うことも入力光として利用することで、常に共鳴条件に合っ考えられる。高フィネスになると、外乱や波長のふた光が入力されるようになる。これが帰還的におこらつきの影響を受け、共鳴を維持するのが技術的にり、定常状態では、周回の損失と増幅器のゲインが難しくなってくる。

バランスする状態で、自動的に共振器の共鳴が維持

超高フィネスになった場合、人為的なフィードバッ

されることになる。

ク制御による共鳴維持が難しくなってくる。そこで、ここまでの議論は、単一周波数の CW レーザーを光そのものに働いてもらうという図 74 のような案念頭に行って来た。モードロックパルスレーザーのがある。独立なレーザー発振器を使用せずに、蓄積場合はどうなるか考えてみる。図 75 上に示すよう共振器と高ゲインの増幅器を一体にしたシステムでに、モードロックレーザーは、パルス繰り返しの周㸴㸫 

Spectrum of laser oscillator
CEO

Frep

CEP

CEO = 0Longitudinal modesof Mode-locked lasert

CEO = 00Frequency

Spectrum of laser stored in cavity
Fcav

Stored Longitudinal modes

Resonance peaksof Build-up cavity

0tFrequency

図 76: キャリアエンベロープ位相3.5.4

図 75: モードロックレーザーの蓄積
波数間隔 Frep の多縦モードのレーザーである。縦モードの一つ一つは CW レーザーと変わらない。図73 で見たように、共振器の共鳴ピークも有限の共鳴幅を持った多数の縦モード構造である。周波数軸で書くと、図 75 下のように共振器の基本周波数 Fcav
間隔に共鳴線があることになる。これに、入力する
モードロックレーザーの多数の縦モードを重ねて見て、共振器の共鳴幅に受け入れられたものが蓄積出来る事になる。発振器と共振器の絶対長が合ってい

LCSS の利用

LCSS は、とくに γ 線領域の高エネルギーで、単色で偏光を制御できる光源としてほぼ唯一の方式であろう。目先の予算の獲得ができそうな産業、医学などの応用研究だけにとどまらず、基礎科学での利用が期待出来ることを忘れてはならない。アクシオン
探索や真空複屈折の観測、リニアコライダーにおける偏極陽電子源、γγ コライダーによるヒッグスファ
クトリ、など、LCSS があって初めて可能になる実験が考えられている。

る、つまり Frep と Fcav が一致していると、全ての縦モードを受け入れる事ができ、パルスでの蓄積が4できることになる。(少しずれていると、一部のモードしか共鳴条件を満たせず、効率が落ちるし、パル
ス長が伸びる。)
より短パルスレーザー (より多数の縦モード) で、より高フィネスの共振器に蓄積しようとすると、パルス内位相 (CEP: キャリアエンベロープ位相) の影響も考えなければならない。図 76 に示すように、モードロックレーザーの各パルス内部の電場波形の位相は、発振器の分散関係に起因して、シフトしていく
場合がある。これは、図 75 上に示すように、周波数軸で縦モード構造の見た時の起点となるオフセット
周波数 (CEO:キャリアエンベロープオフセット と呼ぶ) と関係するものである。有限の CEO があると、パルス間の位相が重ならず、蓄積効率が低下してし
まう。

おわりに
KEK では、ERL 試験加速器である cERL が建設され、ビームコミッショニングを行っているところである。エネルギー回収しながら、連続運転でビームが周回するようになり、なんとかはじまりのおわりくらいまで来た、あるいはこれからようやく本格的なビーム運転の始まり、といったところである。思えば、KEK で最初の ERL 専任として仕事を初めて以来、今となっては人もかなり増えて一つの加速器の運転が出来るまでになった。果たしてこれから、試験加速器の成果を踏まえて本格的な実機の開発に発展して行くのであろうか、はたまたここを潮時に縮小に転じるのであろうか。いずれにしても、これから数年は ERL をめぐる動向からは目が離せない時期であろう。
そもそも、レーザーの専門という訳でもないが、余計な事に手を出すのにさして抵抗を感じない性格のためか、所外の某研究所に任せていた電子銃のレー㸴㸫 

ザーの開発がいよいよ cERL の建設に間に合わない[8] Z.F.Li et al., ”Multiple-harmonic generationとなったところで、首を突っ込んでしまったばっかりin rare gases at high laser intensity”, Phys.

に、いつの間にか電子銃レーザー担当みたいな立場

Rev. A, 39, 5751 (1989)に置かれてしまった。ひとたび電子銃レーザーの人[9] P. Hartmann et al., ”A diﬀusion model for pi-と見られてしまうと、いつでもその話を期待される

cosecond electron bunches from negative elec-

ようになってしまうし、それ以外の議論の際には除tron aﬃnity GaAs photocathodes”, Journal

外されてしまうことさえある。今回はきっと、cERLof Applied Physics, Vol. 86 , 4 (1999) p2245の電子銃レーザーシステムの解説を期待されたような気もするが、あえてそこは避けて通ってみた。今[10] Z. Liu et al., ”Narrow cone emission from

後の ERL などの光源加速器の展開を考えると、レー

negative electron aﬃnity photocathodes”, J.

ザーの開発にもっと力を入れる必要があるし、レー

Vac. Sci. Technol. B, 23 (6) ( 2005) p2758

ザーだけでなく加速器全体を見据えた設計検討が必要であることを示したつもりである。

[11] M. O. Scully et al., ”Simple laser accelerator:
Optics and particle dynamics”, Phys. Rev. A,
Vol. 44, pp2656 (1991)

謝辞[12] 本田洋介, ”高繰り返しシード型自由電子レーザーのためのレーザーエネルギー変調器”,

本稿の執筆にあたって、赤木智哉氏と小菅淳氏に第 11 回加速器学会 (2014)

査読コメントをいただいた。この場を借りて感謝いたします。
なお、本研究の一部は、光 · 量子融合連携研究開[13] 亀井亨, 木原元央, ”加速器科学 (パリティ物理学コース)”,

丸善

発プログラムによるものである。

[14] R.W. Schoenlein et al., ”Generation of femtosecond X-ray pulses via laser-electron beam

参考文献

interaction”, App. Phys. B 71 1-10 (2000)[1] ラング, ”線形代数学”,

ちくま学芸文庫[15] M. Shimada et al., ”Intense Terahertz Synchrotron Radiation by Laser Bunch Slicing[2] ファインマン他, ”ファインマン物理学 V”,

at UVSOR-II Electron Storage Ring”, Jpn.

岩波書店

J. App. Phys. Vol. 46, No.12, (2007) p7939[3] キッテル, ”熱物理学”,

丸善[16] Z.Huang et al., ”Measurements of the linac[4] Amnon Yariv, ”光エレクトロニクス”, 丸善[5] Siegman,”LASER”,

coherent light source laser heater and its
impact on the x-ray free-electron laser per-

University Science

formance”, Phys. Rev. ST-AB, 13, 020703

Books(2010)[6] キッテル, ”固体物理学入門”,

丸善[17] 稲垣隆宏 , ”大電力高周波源”,

OHO13[7] U. Keller et al., ”Semiconductor Saturable
Absorber Mirrors (SESAM’s) for Femtosec-[18] H. Tomizawa et al., ”Stable Operation of

ond to Nanosecond Pulse Generation in
Solid-State Lasers”, IEEE J. of Selected Topics in Quantum Electronics, Vol. 2, No. 3(1996) p435

㸴㸫 

HHG-Seeded EUV-FEL at the SCSS Test
Accelerator”, Proc. of FEL2013, New York,thoano01 (2013)[19] L. H. Yu et al., ”First Ultraviolet High-Gain
Harmonic-Generation Free-Electron Laser”,
New Journal of Physics 16 (2014) 043021[20] H. Deng et al., ”Using Oﬀ-Resonance Laser
Modulation for Beam-Energy-Spread Cooling in Generation of Short-Wavelength Radiation”, Phys. Rev. Lett., 111,084801 (2013)[21] C. Feng et al., ”Three-dimensional manipulation of electron beam phase space for seeding soft x-ray free-electron lasers”, Phys. Rev.
ST-AB, 17,070701 (2014)[22] G. Stupakov, ”Using the Beam-Echo Eﬀect
for Generation of Short-Wavelength Radiation”, Phys. Rev. Lett, 102,074801 (2009)[23] A. A. Zholents et al., ”Current-Enhanced
SASE using an Optical Laser and its Application to the LCLS”, SLAC-PUB-10713 (2004)[24] 本田洋介 他, ”発振型光蓄積装置の開発”,

第7 回加速器学会 (2010)[25] 本田洋介 , ”将来光源加速器による新粒子の探索”,

第 11 回加速器学会 (2014)[26] T. Omori et al., ”Conceptual Design of a
Polarized Positron Source Based on Laser
Compton Scattering”, KEK Preprint 2005-60[27] T. Akagi et al., ”Development of a three dimensional four mirror optical cavity for laserCompton scattering”, Nucl. Instr. Meth. A
724 (2013) 63-79[28] S.A.
Small

Bogaczetal.,Gamma-Gamma”SAPPHiRE:
Higgs

a

Factory”,

arXiv:1208.2827v1 [physics.acc-ph]㸴㸫 