数理解析研究所講究録 1411 巻 2005 年 15-2415

質量項が異なる Klein-Gordon 方程式系のエネルギー増幅現象と解の爆発
筑波大学数学系

砂川秀明 (Hideaki Sunagawa)

Institute of Mathematics, University of Tsukuba$\mathrm{t}$質量ff$m_{j}$(>0) をもつ Klein-Gordon 方程式が非線型項によって連立したシステム$(\square +m_{j}^{2})u_{j}=F_{j}(u, u’, u’’)$,$t>0,$

il , $j=1,$$d$$x\in$$\cdots,$$N$の, 小さくて滑らかなデータに対する初期値問題を考える. ここて $u=(u_{j})_{1<j\leq N}$ はに値をとる未知函数,型項$F_{j}$$u’=(\partial_{t,x}^{\alpha}u_{j})_{|\alpha|=1,1<j<N}$,, 口$u”=(\partial_{t,x}^{\alpha}u_{j})_{|\alpha|=2,1\leq j<N}$キ$\overline{t2}-\Delta$$\mathrm{R}^{N}$, 非線

は $(u, u’, u^{ll})$ に十分滑らかに依存するものとし, 更に次の意味で $p$ 次の非線型項(但し $p\geq 2$ ; 整数) であるとする :$\exists_{C>0},$$\exists\sigma>0\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

$\sum_{j=1}^{N}|$Fy $(u, u’, u”)|\leq C$ ( $|u|+|$ u $’|+|$ u )$\prime\prime|$$p$for u $|+|$ u $’|+|$ u”$|$$|\leq\sigma$

.

と
の組み合
以上の設定のもとて解の長時間挙動を考察する. 本稿では特に,わせ次第で, 初期値がどんなに小さくて滑らかてあっても時刻無限大において解はエネル
ギーノルムの意味て自由解 (非線型項を落として線型化した解) に漸近しないようにてきることを, 典型的な場合を例にとって説明したい. また, その応用として解の有限時間爆発に関する結果が得られることも併せて述べたい.
$\{F_{j}\}$$\{m_{j}\}$

本題に入る前に背景を簡単に整理してお . Klein-Gordon 方程式を含む非線型波動方
程式の解の長時間挙動の研究は 1960 年代から多くの研究者により考察され, これまてに数多くの結果が得られている. 空間次元が高いほと基本解は早く減衰することから, 小さくと非線型項の次数 がて滑らかなデータに対する初期値問題を考える限り, 空間次元
ある程度大きいとき (Klein-Gordon の場合は $p>1+ \frac{2}{d}$ のとき) には, 非線型問題の解は自由解のように振る舞うことが期待され, 実際にそれは概ね正しいことが知られている (例
えば [4] の 7 章参照). 従って空間低次元て非線型項の次数が大き < ない場合 $(p \leq 1+\frac{2}{d})$に注目することになる. なお, $p>1+ \frac{2}{d}$ という制約は, 非常に粗い言い方をすれば, 解の$\langle$

$d$

$p$

各点ての減衰評価とエネルギー評価を組み合わせて先験的評価式を得ようとしたときに
現れる積分

(1.1)

$l^{\infty_{a_{2}1\lrcorner}}t^{-\lrcorner\subset}dt$

16の揚合には, 期待できる解の減衰が不の収束に関係することを注意してお .
十分なために状況は複雑になる. 最近の研究 ([1], [11], [7], [2] 等) によって, Klein-Gordon
作用素の質量項がもたらす振動と非線型項が作り出す振動との関係が解の挙動に影響を及ぼすことが明らかになりつつあり, 両者の間にある意味での共鳴が起こらない場合 1 には, 空間低次元て非線型項の次数が大きくない場合であっても非線型問題の解は自由解のように振る舞うことが示されている. では, Klein-Gordon 作用素の質量項がもたらす振動と非線型項が作り出す振動が共鳴する場合には何が起こるのか? その問いに対するひとつ$p \leq 1+\frac{2}{d}$$\langle$の答えが, 以下に論じるエネルギーの増幅や解の有限時間爆発なのてある (関連する先行研究として, [6], [8], [9], [3] を挙けておく).
色々な一般化は考えられるだろうが, 本稿では, 次のような極めて具体的な例に話を限定し, このような現象が起こるメカニズムを明らかにすることに重点をおきたい:$(\square +m_{0}^{2})u_{0}=0$$(E_{1})$,($\partial_{t}$$u_{j},$

uj)$t>0,$$(j=1, \cdots, N)$ ,$(\square +m_{j}^{2})u_{j}=u_{j-1}^{2}$$\{$$(j=0,1, \cdots, N)$ ,$|,=0^{=}(f_{j}, g_{\mathrm{j}})$$x\in \mathbb{R}$$x\in \mathbb{R}$,.

と)\Re 番に解 } る力 1 ら何の問題. 解の存在 [こ関して’ ま,但し,$tarrow\infty$における解の振る舞いにある. 主結果は以下の通り :もない. 我々の興味は$f_{j},$$g_{j}\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$定理 1. 次の$(\mathrm{i})-(\mathrm{i}\mathrm{i})$$u_{0},$$u_{1},$$u_{2},$$\cdots$$\mathrm{t}$を仮定する :(i)$mj=2mj-1$(ii)$f_{0}$

または$g_{0}$$(j=1, \cdots, N)$ ,は「恒等的に O」てはない.

このとき, 定数 $C_{1}\geq C_{2}>0$ と $T\geq 1$ が存在して,$C_{1}t^{(2^{j}-1)/2}\geq||$u (t) E(m )
$||$

$j$

$\geq C_{2}t^{(2^{j}-1)/2}$$j$$(E_{1})$の解についてfor$t\geq T,$$j=0,1,$$\cdots,$$N$が成り立つ. 但し

$||$

w(t)

$||E(m)=( \frac{1}{2}\int|\partial_{t}$w(t, ) $|^{2}+|\partial_{x}w(t,x)|^{2}+m^{2}|w(t,x)|^{2}dx)^{1/2}$$x$のエ*ルギーノルムが T 度 $O(t^{(2^{j}-1)/2})$ て増大することを主張し注意 1. 上の定理は,はエネルギーノルムの意味て決して自由解には漸近している. これより特に ,ないことが分かる 2 なお, 仮定 (i) が満たされないときはこのようなエネルギー増幅現象$u_{j}$$u_{1},$$\cdots,$ $u_{N}$

1 (1.1) と \emptyset *‘}fb\mbox{\boldmath $\tau$}言うならば,$\int_{1}^{\infty}\frac{e^{i\omega t}}{t}dt$に相当する条件下ては振動の効果によって非線型のような積分の収束に関係する. つまり,
項の悪い部分が打ち消しあう.
2 もし自由解に漸近するならばエネルギーは有限に留まらなくてはならない.
$(\omega\in \mathrm{R})$$\omega\neq 0$17は起こらないということも証明できる (注意 5 を参照のこと).
定理 1 の応用として, 非線型 Klein-Gordon 方程式系の解の有限時間爆発に関する以下のような結果を得ることができる. 初期値問題$(\square +m_{0}^{2})u_{0}=0$$(E_{2})$$\{$$\partial_{t}$$u_{j},$$N\geq 2$$|_{t=0}=(f_{j}, g_{j})$$g_{j}\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}),$とする. 次の仮定

(iii)

(iv)

$t>0,$$u_{N+}=u$ $-1=’ u_{N+1}^{2}+G(u_{N},\partial(j=1, \cdots,N)N)$$u+$を考える. 但し $m_{j}>0,$ $f$j,
定理 2.

,

\sim ) j) j

( $\square +m$( $\square +m$(
uj)$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})-(\mathrm{v})$$\partial_{t},$x).

$\partial$$(j=1, \cdots , N)$

または go は「恒等的に(v) ある定数 $c>0$ が存在し, 任意の$x\in \mathbb{R}$の下, (E2) の時間大域的古典解は存在しない:$m_{j}=2m_{j-1}$$f\mathrm{o}$

(

,

,

$(j=0, \cdots, N+1)$ ,$\partial=$$x\in \mathbb{R}$$0$,」 てはない,$(\phi, \psi)\in \mathbb{R}\mathrm{x}\mathbb{R}^{2}$に対して$G(\phi, \psi)\geq c(|\phi|^{2}+|\psi|^{2})$.

注意 2. 当然, 爆発するのは $u_{N+1}$ だけてある. なお, $G.\equiv 0$ に相当する単独方程式$(\square +1)u=u^{2}$,$t>0,$$x\in \mathbb{R}$は, 十分小さく且つ滑らかな初期値に対して時間大域的古典解を持つことが知られている(例えば [4] の 7 章参照).
注意 3. 実は, 条件 (v) は $G($ \phi ,と).

$\psi)\geq c|\phi|^{2}$に置き換えることがてきる (注意 6 を参照のこ

注意 4. Keel and Tao の論文 [6] の前半ても同じような例が考えられている. しかし, [6]に関して滑らかてはない場合のみが扱われていて, 証明もかなり技巧的てある. [6] のアプローチては, 定理 2 に相当する主張は得られているが定理 1 のようなエネルギーノルムの増大評価が得られるかとうかは明ら
では $m_{0}=m_{1}=\cdots=m_{N}=m_{N+1}=1$ で $F$ が$u$かではないように思われる.

最後に, 定理の証明の方針を要約して本節を終える. 領域$\{(t, x)\in \mathbb{R}_{+}\cross \mathbb{R}|t^{2}-|x|^{2}>1\}$

において$\tau=\sqrt{t^{2}-|x|^{2}}$,$z=\tanh(x/t)$18によって変数変換 $(t, x)\mapsto(\tau, z)$ を行い,
$u_{j}(t, x)= \frac{v_{j}(\tau,z)}{\tau^{1/2}}$

によって新しい未知函数$v_{j}($\mbox{\boldmath $\tau$}, $z)$ を導入すると, 粗く言って(\partial \mbox{\boldmath $\tau$}2+mj2)vj=- \mbox{\boldmath $\tau$}l /2\rightar ow -l+(剰余項)における漸近挙動を調べるのような常微分方程式が満たされる. この\mbox{\boldmath $\tau$}, $z)$ の$tarrow\infty$のにおける振る舞いが分かり, それによって所要(t, )ことて光錐の内部てのの漸近挙動が関係する理由は, 周の結論が導かれる. なお, $m_{j}=2m_{j-1}$ という条件と期外力による強制振動$\tauarrow\infty$$v_{j}($$u_{j}$$x$$v_{j}$$j+\omega^{2}f=\cos\Omega t$

における共鳴2との類似と思えば納得しやすいであろう.

$(\omega=\Omega)$

定理 1 の証明

本節ては 5 つの段階に分けて定理の証明について述べる. 特に混乱が生じる恐れがない限
り, 以 T ては評価に現れる非負定数にはすべて同じ文字 $C$ を用いる.

第1段
ます最初に適当な変数変換を行って扱いやすい問題に帰着させる.
において領域$\{(t, x)\in \mathbb{R}_{+}\mathrm{x}\mathbb{R}|t^{2}-|x|^{2}>1\}$,$z=\tanh(x/t)$$\tau=\sqrt{t^{2}-|x|^{2}}$によって変数変換 $(t, x)\mapsto(\tau, z)$ を行なうと, ダランベルシアンは
口 $=\tau^{-1/2}L\tau^{1/2}$(ここて$\tau^{1/2}$

は掛け算作用素とみなす) と書き換えられる. 但し.

$L= \frac{\partial^{2}}{\partial\tau^{2}}-\frac{1}{\tau^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}+\frac{1}{4\tau^{2}}$次に$v_{-1}(\tau, z)\equiv 0$,

とおくと, もとの方程式系(2.1)$v_{j}(\tau, z)=\tau$$(E_{1})$$(j=0,1, \cdots , N)$,$0\leq j\leq N$

は$(L+m_{j}^{2})v_{j}= \frac{1}{\tau^{1/2}}v_{j-1}^{2}$と書き換えられる.

1/2uj $(\tau\cosh z, \tau\sinh z)$$($\mbox{\boldmath $\tau$}, $z)\in(1, \infty)\mathrm{x}\mathbb{R}$ ;

18

第2段
次に

$v_{j}$のエネルギーを上から評価する. そのために$|| \phi(\tau)||_{e(m)}=(\int|\partial_{\tau}\phi(\tau, z)|^{2}+\frac{1}{\tau^{2}}|\partial_{z}\phi(\tau, z)|^{2}+m^{2}|\phi(\tau, z)|^{2}dz)^{1/2}$

によってノルム||e(。) を導入する. このとき次が成り立つ :$||$補題 1. 各 $j\in$ 1,$\{$$\cdot$

.. ,

$N\}$

と

$l\in \mathrm{N}\cup\{0\}$$||$$v_{j}(\tau)||$

に対して,

e(m )

$\tau\geq 1$のとき$\leq C\tau^{(2^{f}-1)/2}$$j$が成り立つ.

証明. この補題は, 次の 3 つの式に注意すれば単純な帰納法によって示せる:$\frac{d}{d\tau}||\phi(\tau)||_{e(m)}\leq\frac{C}{\tau^{2}}||\phi(\tau)||e(m)+C||$$(L+m2)\phi(\tau$,$\cdot$$)||_{L}$2$(\mathrm{R}_{z})$,1$|| \phi(\tau, \cdot)||_{L(\mathrm{R}_{z})}\infty\leq C\sum$ll z$\phi(\tau)||_{\mathrm{e}(m)}$

,

$k=0$

$(L+m^{2})\partial_{z}=\partial_{z}(L+m2).$

これら 3 つの式の証明は標準的であるから省略する.

$\blacksquare$

第3段$\alpha_{j}(\tau, z)=e^{-im_{j^{\mathcal{T}}}}(1+\frac{1}{im_{j}}\frac{\partial}{\partial\tau})v_{j}(\tau, z)$

とおいて$\alpha_{j}($\mbox{\boldmath $\tau$}, $z)$ の挙動を調べる.

目標は以下の補題を得ることてある.

補題 2. 各 $j\in$ $\{0,1, \cdots, N\}$ に対して,(2.2)$\alpha$j$\tauarrow\infty$のとき$z\in \mathbb{R}$に関して一様に$(\tau, z)=c_{j}(\alpha(z))^{2^{j}}\tau^{2^{j-1}-1/2}+o(\tau^{2^{j-1}-1/2})$が成り立つ. ここて,.

$\alpha(z)=\alpha_{0}(1, z)+\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-im\mathrm{o}\tau}}{im_{0}\tau^{2}}(\partial_{z}^{2}-\frac{1}{4})v_{0}(\tau, z)d\tau$また, 9 は次式により帰納的に定まる 0 でない複素数である :$c_{j}= \frac{c_{j-1^{2}}}{2(2^{j}-1)im_{j}}$,$c_{0}=1$.

20

これを示すために, ます$\alpha_{j}($\mbox{\boldmath $\tau$}, $z)$ を上から粗く評価しておく

補題 3. 各 $j\in$ $\{0,1, \cdots, N\}$ と $k\in$ {0,1} に対して

| \mbox{\boldmath $\tau$}k\mbox{\boldmath $\alpha$}j(\mbox{\boldmath $\tau$}, )||L\sim$\cdot$$\leq C\tau^{(2^{j}-1)/2-k}$が成り立つ.

補題 3 の証明. $k=0$ の場合は
ては,

(2.3)

$\alpha_{j}$の定義と補題 1 から直ち$\mathrm{t}^{}.\cdot$

従う. $k=1$ の場合につい$\frac{\partial\alpha_{j}}{\partial\tau}=\frac{e^{-im_{j}\tau}}{im_{j}}(\partial_{\tau}^{2}+m_{j^{2}})v_{j}=\frac{e^{-im_{j}\tau}}{im_{j}}\{\frac{1}{\tau^{1/2}}(v_{j-1})^{2}+\frac{1}{\tau^{2}}(\partial_{z}^{2}-\frac{1}{4})v_{j}\}$という関係を使えば$|| \partial_{\tau}\alpha_{j}(\tau, \cdot)||_{L}\infty\leq C\tau^{-1/2}||v_{j-1}(\tau, \cdot)||_{L\infty}^{2}+C\tau^{-2}\sum_{l=0}^{2}||\partial_{z}^{l}v_{j}(\tau, \cdot)||_{L}\infty$$\leq C\tau^{-1/2}\tau^{2^{j-1}-1}+C\tau^{-2}\tau^{(2^{\mathrm{j}}-0/2}$$\leq C\tau^{(2^{j}-1)/2-1}$が成り立つことから分かる.

$\blacksquare$

補題 2 の証明. ます最初に$(v_{j-1})^{2}=\{$( j-1)2$\alpha$$e^{i2m_{j-1^{\mathcal{T}}}}+2|\alpha_{j-1}|^{2}+(\overline{\alpha_{j-1}})^{2}e^{-\dot{\iota}2m_{j-1^{T\}}}}$ $/4$に注意する. これを (2.3) に代入して整理すると,(2.4)$\frac{\partial\alpha_{\mathrm{j}}}{\partial\tau}=\frac{(\alpha_{j-1})^{2}e^{i(2m_{j-1}-m_{j})\tau}}{4im_{j}\tau^{1/2}}+\frac{|\alpha_{j-1}|^{2}e^{-im_{j^{\mathcal{T}}}}}{2im_{j}\tau^{1/2}}+\frac{(\overline{\alpha_{j-1}})^{2}e^{-i(2m_{j-1}+m_{j})\tau}}{4im_{j}\tau^{1/2}}+\frac{e^{-m_{j}\tau}}{im_{j}\tau^{2}}(\partial_{z}^{2}-\frac{1}{4})v_{j}$が威り立つ. ここで, 定理 1 の仮定 (i) より右辺第 1 項の の肩に乗っている $i(2m_{j-1}-m_{j})\tau$
は 0 になって振動が消えてしまうが他の項の振動は消えてないことに注目すると$e$$\frac{\partial}{\partial\tau}[\alpha_{j}(\tau, z)-O(\tau^{2^{\mathrm{j}-1}-3/2})]=\frac{(\alpha_{j-1}(\tau,z))^{2}}{4im_{j}\tau^{1/2}}+O(\tau^{2^{j-1}-5/2})$が得られる 3

(2.5)
3 恒等式

従って, $1\leq j\leq N$ に対して$\sup_{z\in \mathbb{R}}|\alpha j($\mbox{\boldmath $\tau$}, $z)-\alpha j(1, z)$$\underline{e^{i\omega\tau_{T}}}f\mathrm{u}\tau=\tau_{\tau}\partial$($\dot{.}$にこの右辺に補題 3 を用いる.

$\tau\tau$)$+$$- \frac{1}{4im_{j}}\int_{1}^{\tau}(\alpha j-1$ $($–e」$‘\omega j\omega\tau$$\tau\xi^{\tau\lrcorner}-\frac{\mathrm{e}^{i\omega\tau}}{i\omega r}$\sigma , $z))^{2}\sigma^{-1/2}d\sigma|\leq C\tau^{2^{j-1}-3/2}$

舒において$f=|\alpha j-1|^{2},$$\omega=-mj$.

なととして, 更21

一方$| \partial_{\tau}\alpha_{0}(\tau, z)|=\frac{1}{m_{0}\tau^{2}}|$($\partial_{z}^{2}-\frac{1}{4}$)$v_{0}(\tau, z)|\leq C\tau^{-2}$

より

(2.6)

$\sup_{z\in \mathbb{R}}|\alpha_{0}(\tau, z)-\alpha(z)|\leq C\tau^{-1}$となる. (2.5) と (2.6) から (2.2) が従う.

注意 5.

$m_{j}\neq 2m_{j-1}$$\blacksquare$のときは右辺のすぺての振動が消えないから
j $(\tau, z)-O(\tau^{2^{j-1}-3/2})]=O(\tau^{2^{j-1}-5/2})$$\frac{\partial}{\partial\tau}[\alpha$となり, (2.5) のかわりに$\sup_{z\in \mathrm{R}}|\alpha_{j}(\tau, z)|\leq C\tau^{\max\{0,2^{j-1}-}3/2\}$が成り立つ. 同様にして, すべてのしないことも分かる.

$j$に対して $m_{j}\neq 2m_{j-1},$ $m_{j}\neq m_{j-1}$ ならば解は増幅

第4段
もとの変数に戻って解$u_{j}$(t, ) の漸近形を導く.
$x$

補題 4. $K$ を $\{y\in \mathbb{R} : |y|<1\}$ のコンパクト部分集合とする. $tarrow\infty$ のとき $y\in K$ に関して一様に(2.7)$u_{j}(t, ty)={\rm Re}[a_{j}(y)e^{im_{j}t(1-|y|^{2})^{1/2}}]t^{2^{j-1}-1}+$

0(y)

o

$(t^{2^{j-1}-1})$

,

(2.8)

$(\partial_{t}u_{j})(t, ty)={\rm Im}[m_{j}\omega$(2.9)$(\partial_{x}u_{j})(t, ty)={\rm Im}[m_{j}(v_{1}(y)a_{j}(y)e^{im_{j}t(1-|y|^{2})^{1/2}}]t^{2^{f-1}-1}+o(t^{2^{j-1}-1})$$a_{j}(y)e^{im_{j}t(1-|y|^{2})^{1/2}}]t^{2^{\mathrm{j}-1}-1}+o(t^{2^{\mathrm{j}-1}-1})$が成り立つ. ここて$a_{j}(y)=c_{j}(1-|y|^{2})^{(2^{\mathrm{j}-1}-1)/2}(\alpha(\tanh(y)))^{2^{j}}$$\omega 0(y)=\frac{1}{\sqrt{1-|y|^{2}}}$,$\omega_{1}(y)=\frac{-y}{\sqrt{1-|y|^{2}}}$

.

,

,

22

証明. まず
$T_{K}:= \max\{(1-|y|^{2})^{-1/2}|y\in K\}$

とおくと, $t>T_{K}$ のとき$\{x\in \mathbb{R}|x=ty, y\in K\}\subset\{x\in \mathbb{R}|t^{2}-|x|^{2}>1\}$となることに注意する.

$\alpha_{j}($\mbox{\boldmath $\tau$}, $z)$ の定義と補題 2 から

$u_{j}(t,ty)= \frac{1}{\tau^{1/2}}{\rm Re}[\alpha j(\tau, z)e^{im_{j}\tau}]$$={\rm Re}[c_{j}(\alpha(z))^{2^{j}}e^{im_{j}\tau}]\tau^{2^{j-}}1-1+O(\tau^{2^{j-}}1-1)$が威り立つ. 但し $\tau=t(1-|y|^{2})^{1/2},$ $z=\tanh(y),$ $t>T_{K},$ $y\in K$ . これより (2.7) を得る. 同様に$(\partial_{t}u_{j})(t,ty)=((c\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}z)\partial_{\tau}$$- \tau^{-1}(\sinh z)\partial_{z})(\frac{1}{\tau^{1/2}}vj($\mbox{\boldmath $\tau$}, $z))$$= \frac{\cosh z}{\tau^{1/2}}\partial_{\tau}v_{j}(\tau, z)-\frac{\cosh z}{2\tau^{3/2}}v_{j}(\tau, z)-\frac{\sinh z}{\tau^{3/2}}\partial_{z}v_{j}(\tau, z)$$= \frac{\cosh z}{\tau^{1/2}}{\rm Im}[m_{j}\alpha_{j}(\tau, z)e^{im_{j}\tau}]+o(\tau^{2^{j-1}-1})$$={\rm Im}[m_{j}(\cosh z)c_{j}(\alpha(z))^{2^{j}}e^{im_{j}\tau}]\tau^{2^{j-1}-1}+o(\tau^{2^{j-1}-1})$(但し $\tau=t(1-|y|^{2})^{1/2},$ $z=\tanh($ y), $t>T_{K},$明も同様てある.

$y$\in K) となり, (2.8) が従う. (2.9) の証$\blacksquare$

第5段
補題 4 より, $y\in K,$$|\partial_{t}$$t$\gg 1 に対して

uj $(t, ty)|^{2}+|\partial$xuj $(t, ty)|^{2}+mj^{2}|uj(t, ty)|^{2}\geq m_{j}^{2}|aj(y)|^{2}t^{2^{j}-2}-o(t^{2^{j}-2})$が威り立つから, 十分大きな
$||$

u

$t$

に対して

tuj $(t,ty)|^{2}+|\partial_{x}u_{j}(t, ty)|^{2}+m_{j}^{2}|u_{j}(t, ty)|^{2}dy)^{1/2}$$j(t)||_{E(m_{j})} \geq t^{1/2}(\int_{K}|\partial$$\geq m_{j}||a_{j}||_{L^{2}(K)}t^{(2^{j}-1)/2}-o(t^{(2^{j}-1)/2})$$\geq\frac{1}{2}$

mj aj
$||$

$||_{L}$2$(K)^{t}(2^{j}-1)$/2が成り立つ (最後の行て, 仮定 (ii) より $||a_{j}||_{L^{2}(K)}>0$ となることを使っている). これて望んでいた評価のうち下からの評価が得られた. 上からの評価はもっと素朴にてきるのて省略する.

$\blacksquare$23

3

定理 2 について

定理 2 の示すために補題をひとつ用意する.

補題 6. 関数 $H$ (t, ) はある $\nu>2,$ $C$ >0, $T\geq 0,$
$x$

$r$

>0 に対して$(t\gg T)$$\int_{T}^{t}\int_{\mathbb{R}}H(s, x)dxds\geq Ct^{\nu}$$H(t, x)=0$を満たすとする. また, $f,$$g\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}),$,$(|x|\geq t+r)$$m\in \mathbb{R}$とする. このとき,$(\square +m^{2})v=v^{2}+H(t, x)$$\{$,$t>0,$$x\in \mathbb{R}$,$(v, \partial_{t}v)|_{t=0}=(f, g)$に対する時間大域的古典解は存在しない.
この補題を示すには$I(t)=/$ $v(t,x)dx$
が有限時間で発散することを見ればよい ([5], [6]).

上の補題と定理 1 を組み合わせれば, 定理 2 は直ちに得られる. 実際, $H=G$ ( uN,
とおいて $T$ を十分大きく取ると, 仮定 (v) と定理 1 よりuN$\int_{T}^{t}\int_{\mathrm{R}}H(s,x)dxds\geq c\int_{T}^{t}||$$(s, \cdot)||_{E}^{2}$(m $N$ )$/s\sim>t^{2^{N}}$$\partial u_{N}$)$(t\gg T)$となって補題 6 の仮定が満たされる (但し $N\geq 2$ のとき).
注意 6. 補題 4 を用いると(3.1)

uN $(s, x)|^{2}dxds=$ oo$\lim_{tarrow}\sup_{\infty}\frac{1}{t^{2}}\int_{0}^{t}\int_{\mathbb{R}}|$を示せるので, 補題 6 を少し修正することにより, 仮定 (v) をのても定理 2 と同様の主張が得られる. しかし, (3.1) はいる訳ではない (補題 4 からルムの増幅は導かれない).
$u_{N}$に置き換え
ルムの増幅を意味して$G(\phi, \psi)\geq c|\phi|^{2}$$L_{x}^{2}- \text{ノ}$$L_{x}^{2}- \text{ノ}$謝辞
本稿は 2004 年 5 月 13-14 に京都大学数理解析研究所て行なわれた勉強会「エネルギーの評価から見た波動方程式の研究」で講演させて頂いた内容をまとめたものてす. この場を借りて, 主催者の肥田野久二男氏に感謝の意を表します.
$\mathrm{R}$24

Referencesde[1] J.-M. Delort, Eistence globale et comportement asymptotique pour
Klein-Gordon quasi liniaire \‘a donn\’ees petites en dimension 1, Ann. Sci. Ec. Norm.
Sup. s\’erie 34 (2001), 1-61.
$l^{f}\acute{e}quation$$4^{e}$[2] J.-M. Delort, D. Fang and R. Xue, Global existence of small solutions for quadratic
quasilinear Klein-Gordon systems in two space dimensions, J. Funct. Anal. 211(2004), 288-323.

[3] D. Fang and R. Xue, Global existence and asymptotics behavior of solutions forresonant Klein-Gordon systems in two space dirnensions, preprint, 2003.

$a$[4] L. H\"ormander, Lectures on nonlinear hyperbolic differential equations, Springer Verlag, Berlin, 1997.
[5] T. Kato, Blow-up of solutions of some nonlinear hyperbolic equations, Comm. Pure
Appl. Math. 33 (1980), 501-505.
[6] M. Keel and T. Tao, Small data blow-up for semilinear Klein-Gonion equations,Amer. J. Math. 121 (1999), 629-669.

[7] H. Sunagawa, On global small arnplitude solutions to systems of cubic nonlinear
Klein-Gordon equations with different mass terms in one space dimension, J. Dif-

ferential Equations 192 (2003), 308-325.

[8] H. Sunagawa, A note on the large time asyrnptotics for a system of Klein-Gordon
equations, Hokkaido Math. J. 33 (2004), 457-472.
[9] H. Sunagawa, Large time asymptotics of solutions to nonlinear Klein-Gordon systems,
Osaka J. Math. (to appear).
[10] H. Sunagawa, unpublished work (Osaka Univ. RRM 200307).
[11] Y. Tsutsumi, Stability of constant equilibrium for the Maxevell-Higgs equations,
Funkcial. Ekvac. 46 (2003), 41-62.