数理解析研究所講究録
1091 巻 1999 年 205-210

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ディリクレの L-関数を $s=1$ でテーラー展開した時の係数について
新潟大学大学院自然科学研究科 石川秀明 (Hideaki Ishikawa)1

Introduction
ディリクレの L- 関数を$L(s, \chi)=\sum_{=n1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}$で定義する。 ここで $\chi(n)$ は$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} q$のディリクレ指標とする。

$\mathrm{s}=1$における L-関数の値とその微分係数については数論における重要な研究対象として、たくさんの人達によって研究されてきたことは、 よく知られたことである。 Berger [1], Selberg and Chowla$L(1, \chi)$[7], Deninger [2], 等によって $L’(1, \chi)$ を古典的な関数を用いて表すという結果が得られている。 また金光先生 [4] によって、彼らの仕事を –般化したに対する明示的な表現が得られている。豊泉先生 [8] はがの上からの評価式をreal で non-principalな場合について得ている。
本稿では とをを固定して,の関数としてみた時の漸近的な挙動について考察する。定理としての漸近展開を得る。その系としての偏角と、$|L^{(n)}(1,x)|$ガウス和の偏角との問にある関係が存在することを示す。 またの大きさについても述べる。
$L^{(n)}(1, \chi)$$L^{(n)}(1, \chi)$$q$$L^{(n)}(1, \chi)$$\chi$$\chi$$n$$L^{(n)}(1, \chi)$$L^{(n)}(1, \chi)$

ここで–般オイラー定数に関する松岡先生の仕事を紹介する。一般オイラー定数$\gamma_{n}$は$\gamma_{n}=\lim_{\infty Narrow}(\sum^{N}\frac{(\log k)^{n}}{k}-\frac{(\log N)^{n}+1}{n+1})k=1$で定義されて、 リーマンのゼータ関数を $s=1$ でローラン展開した時の番目の項が(ss-l)n で表される。この–般オイラー定数は興味深い研究対象として古くから調べられてきている。松岡先生 [5] はの漸近展開を得る事に成功して、 の詳しい挙動を調べることを可能とした。そして [6] においての正負の符号の変化と、の大きさについてのより深い結果を得た。
本稿の定理と系は [5] [6] と同じテクニックを用いるのである。 これは松岡先生の仕事の一般化として、ディリクレの L- 関数版を行ったといえよう。
$\zeta(s)$$n$$\frac{(-1)^{n}\gamma_{n}}{n!}$$\gamma_{n}$$\gamma_{n}$$\gamma_{n}$定義 1 次の関数を定義する :$\Phi_{q}(z)$$=$$z\log q-(n+1)\log z-z\log 2\pi i+\log \mathrm{r}(_{Z)}\text{、}$$\Omega_{q}(z)$$=$$z\log q-(n+1)\log z-z\log(-2\pi i)+\log \mathrm{r}(_{Z})_{0}$$|\gamma_{n}|$206

定義 2 定数 h 卿を次で定義する:$\exp[\Phi_{q}(a+yi)-\Phi_{q}(a+bi)+\frac{1}{2}\Phi_{q}’’(a+bi)(y-b)^{2}]=\sum_{j=0}^{\infty}hj(q,y-b)^{j}$

ここで $a+bi$ は方程式晶\Phi q(z) $=0$ の解で $0<b<a,$ $n^{1/}2<a<n$ を満たすものとする。

定義 3 記号を定義する:$\mathit{9}q(y)’\backslash$$=$${\rm Re}\Phi_{q(}/u+y\cdot i_{)\text{、}}\backslash$$f_{q}(y)$$=$${\rm Im}\Phi_{q}(a+yi)\mathrm{Y}$$\Phi_{q}^{l}(Z)$$=$$\frac{d}{dz}\Phi_{q}(z)_{\backslash }$$g_{q}^{J}(y)$$=$$\frac{d}{dy}g_{q}(y)\text{、}$$f_{q}’(y)$$=$$\frac{d}{dy}f_{q}(y)\text{、}$$\alpha$$=$$\{$

if $\chi(-1)=1$
1if $\chi(-1)=-1$$0$$P(x)=\{$$\cos x$$\sin x$

(if $x(-1)=1$ )(if $x(-1)=-1$ )。

この時、次の結果が得られる。
定理$n>n_{0}$$\chi$

は modulo$q$の primitive な指標とする。 この時ある$n_{0}>e^{q}$が存在して全てのに対して$(-1)^{n_{L^{(n}}})(1, x)$$=$$i^{\alpha} \frac{n!}{\pi}\frac{\tau(\chi)}{q}{\rm Re}[(-i)\alpha e^{\Phi_{q(a}}\sum_{m=0}+bi)Nh2m\Gamma(q,m+1/2)(,,\frac{2}{\Phi_{q}(a+bi)})^{m+}1/2]$$+i^{\alpha} \frac{\tau(\chi)}{q}(A_{q,\alpha}(n)+B_{q_{)}}\alpha(n))\backslash$

ただし$\frac{1}{2}(\log n)^{2}+3(\log n)(\log q)+3(\log q)^{2}-4>N$$\tau(\chi)=\Sigma_{r=1}^{q-1}x(r)e2\pi ir/q$で定義される。そして$A_{q,\alpha}(n)$はガウス和で、とする。 このは複は実数値関数、及び$\tau(\chi)$$B_{q,\alpha}(n)$素数値関数で、 それぞれ
$A_{q,\alpha}(n)=O(n!e^{g_{q}}(b)_{\frac{(\log n)\frac{11}{3}N+\frac{26}{6}}{n^{\frac{1}{3}N-\frac{1}{6}}}\mathrm{I}},$$B_{q,\alpha}(n)=^{o}(n!e^{g_{q}}(b)( \frac{\log n}{n})^{\frac{1}{3}N}+\frac{1}{3})$という評価を満たす。
系 1. 任意の $\mu>0$ に対して$|\arg(-1)n_{L^{(n)}}(1, x)-\arg i\alpha \mathcal{T}(\chi)|<\mu$207を満たす$n$が無限に存在する。

remark 1. 講演を行った時点ではこの系で $\arg(-1)nL^{(n)}(1, \chi)$ と $\arg\tau(x)$ との間に、何らかの関係を述べたことになると考えていたところ、講演における質疑応答で 「系の主、張からは、ガウス和の偏角との関連があるとは言い難いのではないか ? 。もしかしたら$\arg(-1)nL(n)(1, \chi)$ は全ての方向に–様に分布しているかも知れないのだから。
」 という御指摘をうけた。まことにそのとおりであり、この系から 「 $\arg(-1)^{n}L(n)(1, \chi)$ と $\arg\tau(x)$ との間にある関係がある。」というのは早計である。御指摘下さった方に感謝いたします。その後の研究によってこの系を改良したものが得られたので、結果を載せておく。
定義 4 記号を定義する:$S_{\mu}^{+}(N)=\#\{n\leq N||\arg(-1)n_{L(1,\chi)}(n)-\arg i\alpha \mathcal{T}(\chi)|<\mu\}_{\text{、}}$$S_{\mu}^{-}(N)=\#\{n\leq N||\arg(-1)nL^{(}n)(1, \chi)-(\arg i^{\alpha}\mathcal{T}(x)+\pi)|<\mu\}_{0}$

この時、 次の結果を得る。

.

系 1*(改良版). 任意に小さい $\mu>0$ に対して、 ある N0 が存在して、 $N>N_{0}$ なる全ての $N$ に対して

$S_{\mu}^{+}(N)= \frac{1}{2}N+O(\frac{N}{\log^{\lambda}N})$

ここで$\lambda$$S_{\mu}^{-}(N)= \frac{1}{2}N+O(\frac{N}{\log^{\lambda}N})$

は $0<\lambda<1$ の範囲で任意に与えて固定した実数値とする。

この改良された系は十分大きいでは、 ほとんどの $L^{(n)}(1, \chi)$ が原点を通って偏角がの直線の近くに集まっていると主張している。 これは興味深く思われる。 なぜなら$\dot{L}^{(n)}(1, \chi)=\lim_{sarrow 10^{L^{(n}}(x)}+)s$,は実解析的な計算で求まる量であり、 -方は本質的$n$$i^{\alpha}\tau(\chi)$$\tau(\chi)$には関数等式に現れる複素解析的な量であるから、その両者の間に何らかの関係が見られるというのは面白い現象であると筆者は考えている。
大きさの評価については、以下の結果を得た。
系 2. ある$n_{0}$が存在して全ての $n\geq n_{0}$ なる

$n$

に対して

$|(-1)^{n_{L(}}(n)1,\dot{\chi})|\leq q^{\frac{n1}{\log n2}}e^{n\mathrm{l}\mathrm{l}n}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{g}-\underline{n1}\circ \mathrm{A}\log n1\mathrm{o}\mathrm{R}n$が成立する。

この評価式は正則関数のコーシーの係数評価式よりは良い評価を与えている。系 3 では下からの評価を得て、その評価は系 2 で得た結果が、そんなに悪くはないことを保証する。

系 3. 不等式$|(-1)^{n}L(1, \chi)|\geq q^{\frac{n}{\log n}}$$- \frac{1}{2}$e n log log$n-A \frac{n10}{1}\circ \mathrm{g}n\mathrm{B}^{\circ n}1$

208を成り立たせる$n$が無限に存在する。 ここで$A$は、ある絶対定数。

Remark 2. 豊泉先生は [8] において次のような結果を得た :は cube-free とした時に任意の\epsilon $>0$ に対して、ある$n\geq\dot{0}_{\text{、}}q$$qo(\epsilon)$が存在して、$q>q\mathrm{o}(\epsilon)$

に対して$|L^{(n)}(1, x)| \leq(\frac{1}{(k+1)4^{k+}1}\frac{L(1+\epsilon,\chi)}{\zeta(1+\epsilon)}+\epsilon \mathrm{I}^{\mathrm{l}\mathrm{o}}\mathrm{g}n+1q\mathrm{o}$この結果と筆者の得た系 3 は見矛盾しているように見える。 しかし豊泉先生の結果は関は数少 s\perp xn が望まれる区間において単調減少となるようにするため、暗黙のうちに$q\mathrm{o}$$\exp[\frac{1x}{1+\epsilon}n]$より大きいということを認めている。 よって正確には$\exp[\frac{1}{1+\epsilon}n]\ll q_{0}$という条件がつくので、実は矛盾はしていないことを注意しておく。

2

定理と系の証明の概略
まず $L(s, \chi)$ の $s=1$ でのテーラー展開を考える:$L(s, \chi)=\sum\frac{L^{(n)}(1,\chi)}{n!}n\infty=0(S-1)^{n}$

ここで $s=1-z$とおくと、次を得る.

:$(-1)^{n}L^{()}n(1, x)= \frac{n!}{2\pi i}\int_{C}\frac{1}{z^{n+1}}L(1-z, \chi)dZ$

この $C$ は中心力\sim $=0$ で半径が\rho $>0$ の円周を反時計周りに–周するものとする。 さらに、 この積分路を変形して$(-1)^{n}L(n)(1, x)$$=$$\frac{n!}{2\pi i}\int_{E_{1}}\frac{1}{z^{n+1}}L(1-z, x)dZ+\frac{n!}{2\pi i}\int_{E_{2}}\frac{1}{z^{n+1}}L(1-z, \chi)d_{Z}$$=$$H_{1}+H_{2}$

は実録が で一\infty からに伸びる垂直な直線であり,は実部が で からまでの垂直な直線とする。 $\chi(-1)=1$ だと仮定する。 関数等式を用いて被積分関数を書とを次のように main term と error term に分ける
き換えて、この$E_{1}$$a$$0$$E_{2}$$\infty$$a$$0$$H_{1}$:$H_{2}$$H_{1}= \frac{n!}{2\pi}\frac{\tau(\chi)}{q}\int_{0}^{a}e^{\Phi_{q}}d(a+yi)y+\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{r}$$H_{2}= \frac{n!}{2\pi}\frac{\tau(\chi)}{q}\int_{-a}^{0}ed\Omega_{q}(a+yi)y+\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{r}_{\circ}$

この時$\Omega_{q}(\overline{a+yi})=\overline{\Phi_{q}(a+yi)}$なので$H_{1}+H_{2}= \frac{n!}{\pi}\frac{\tau(\chi)}{q}{\rm Re}\int_{0}^{a}ed\Phi_{q}(a+yi)y+\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{r}_{\circ}$

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ここで鞍部点法を用いることで次の結果が得られる :ある $no>e^{q}$ が存在して、全ての $n>n_{0}$ に対して

$H_{1}+H_{2}$$=$$\frac{n!}{\pi}\frac{\tau(\chi)}{q}{\rm Re}[e^{\Phi_{q}(i)}\sum_{=0}hq,2ma+bmN\mathrm{r}(m+1/2)(,,\frac{2}{\Phi_{q}(a+bi)})^{m+1/2}]$$+\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{r}$

ただし $\frac{1}{2}(\log n)^{2}+3(\log n)(\log q)+3(\log q)^{2}-4>N$ とする。

さらに、この error term のところを丁寧に処理していくと定理の statement が得られるのである。の時の証明も同様に行うが、 関数等式が少し異なるので、そのために mainterm の形に違いが生じるという事に注意する。 これで証明終わりである。
系の証明については簡単に述べる。定理においての場合を考えると次の式が得ら$\chi(-1)=-1\backslash =$$\mathrm{N}=0$

れる:$\Lambda$(1)$(-1)^{n_{L()=}}(n)1,$$x$$i^{\alpha}( \frac{2}{\pi})^{1/2}n!\frac{\tau(\chi)}{q}e\mathit{9}q(b)_{\frac{n^{1/2}}{\log n}\{(1}+C_{q,\alpha}(n))P(f_{q}(b))+D_{q,\alpha}(n)+E_{q,\alpha}(n)\}$

ここで $C_{q,\alpha}(n),$ $D_{q,\alpha}(n)$ はある実数値関数で、 $E_{q,\alpha}(n)$ はある複素数値関数である。そしてそれぞれの大きさは$C_{q,\alpha}(n)=O(( \frac{\log\log n}{\log n})^{1/4}\mathrm{I}\text{、}$$D_{q,\alpha}(n)=O( \frac{1}{\log n})\text{、}$$E_{q,\alpha}(n)=O( \frac{(\log n)4/3}{n^{5/6}})$と評価される。
ここで式 (1) における振動する関数 $P(f_{q}(b))$ の挙動と error term との関係を調べることで系 1 、系 1*、系 2 、系 3 の結果が得られる。

参考文献[1] A. Berger, Sur une sommation de quelques s\’eries, Nova acta Reg. Soc. Sci.Ups. (3) 12(1883), 31 pp.

[2] C. Deninger, On the analogue of the formula of Chowla and Selberg for real quadratic
fields, J. Reine Angew. Math. 351(1984), 172-191.
[3] A. Ivi\v{c}, the Riemann zeta function, John Wiley, New York, 1985.
[4] S.Kanemitsu, On evaluation of certain limits in closed form Number Theory J-M. De
Koninck C. Levesque$(\mathrm{e}\mathrm{d}.)1989$

210[5] Y. Matsuoka, On the Power series Coefficients of the Riemann Zeta Function, Tokyo
Journal of Mathematics Vol.12, No.1,pp.49-58, June 1989.

[6] Y. Matsuoka, Generalized Euler constants associated with the Riemann zeta function,
Number theory and combinatories, pp.279-295, 1985 by World scientific Publishing Co.
[7] A. Selberg and S.
227(1967), 86-110.

$\mathrm{C}\dot{\mathrm{h}}_{\mathrm{O}\mathrm{W}}1\mathrm{a}$, On Epstein’s zeta-function, J. Reine Angew. Math.

[8] M. Toyoizumi, On the size of
pp.145-149.
[9].Whittaker andUniv. Press, 1927.

$\mathrm{E}.\mathrm{T}$$\mathrm{G}.\mathrm{N}$$L^{(k)}(1, \chi)$, Journal of the Indian Math. Soc.

$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}.60(1994)$,.Watson, A course of modern analysis, fourth ed., Cambridge