数理解析研究所講究録
1091 巻 1999 年 18-26

18

ON AN INHOMOGENEOUS DIOPHANTINEAPPROXIMATION PROBLEM OF
$e$

1.

尚夫

小松

三重大教育

$(\mathrm{T}_{\Delta\underline{|}}\backslash --- c_{-}-\Delta\cap--\cdot.1<--\cap.-\backslash ’\wedge\tau_{\mathrm{A}\mathrm{T}\mathrm{s}}\mathrm{U})$序論

を実数とし、 $q\theta-\phi$ がどんな整数 を取っても整数にならないものとする。
このようなペアに対して非斉次近似定数$\theta$

を無理数、$\phi$$q$$\theta,$$\phi$$\mathcal{M}(\theta, \phi)=\lim\inf|q|q|arrow\infty|||q\theta-\emptyset||$を定義する。 また、補助定数として$\mathcal{M}_{+}(\theta, \phi)=\lim\inf q||q\theta-\emptyset||qarrow\infty$

及び.

$\mathcal{M}_{-}(\theta, \phi)=\lim_{qarrow+}\inf_{\infty}q||q\theta+\phi||=\lim_{qarrow}\underline{\inf_{\infty}}|q|||q\theta-\phi||$である。 (これらの逆の値については、数である Lagrange 定数を研究している者もいる。)
1950 年代に Cassels [1], Descombes [4], S\’os [11] などによりその評価が研究されてきたが、(例えば\theta $=\sqrt{2},$ $\phi=1/2$ ) に対しての値
その後殆ど進展がなく、具体的なペアがどうなるかは全く知られることがなかった。 しばらくして 1994 年に、 Cusick など [2] が So\’os のを定義しておく。すなわち、 $\mathcal{M}(\theta, \phi)=\min(\mathcal{M}+(\theta, \phi),$$\mathcal{M}_{-}(\theta, \phi))$$\mathcal{M}(\theta, \phi)$$\theta,$や$\mathcal{M}_{+}(\theta, \phi)$$\mathcal{M}(\theta, \phi)$$\phi$の値を求め、 $\theta=(1+\sqrt{5})/2=[1;1,1,1, \ldots]$ のときに等を示した。 しかしこの論文
アルゴリズムとでは、との関係が明確ではなく、 gap が多かった。更に 1997 年の値を求める方法が与には著者 [5] によって、 $\min||q\theta+\phi||$ を考えることにより$\mathcal{M}(\theta,1/2)=1/(4\sqrt{a^{2}+4})$ ,$\theta=(\sqrt{a^{2}+4}-a)/2=[0;a,a,a,\ldots]$
えられ、のときに$\mathcal{M}(\theta, 1/\sqrt{a^{2}+4})=1/((a^{2}+4)\sqrt{a^{2}+4}),$ $\mathcal{M}(\theta, 1/a)=1/(a^{2}\sqrt{a^{2}+4})$ 等が示された。
しかし、 この方法は求め方があまりに煩雑なばかりか、異なるパターンの連分数展開をもつなど) に対しては、全く応用がきかなかった。
(例えば\theta $=\sqrt{3}=[1;1,2,1,2,$

アルゴリズムを用いて、具体的な$\mathcal{M}(\theta, \phi)$$\mathcal{M}(\theta, 1/2)=1/(4\sqrt{5}),$$\mathcal{M}(\theta, 1/\sqrt{5})=1/(5\sqrt{5})$$\mathcal{M}(\theta, \phi)$$\mathcal{M}(\theta, \phi)$$\theta$$\ldots]$の値が比較的簡単に求められ最近になって、著者 [6] は西回\mu I -田村のアルゴリズム [9] によりることを発見した。 これにより、例えば\theta $=(\sqrt{ab(ab+4)}-ab)/(2a)=[0;a, b, a, b, \ldots]$ のときに $\mathcal{M}(\theta, 1/2)=b/(4\sqrt{D})$ ( $a,b$ とも奇数で $a>b$ ) $;a/(4\sqrt{D})$ (それ以外),$\mathcal{M}(\theta, \phi)$$\mathrm{I}|$$\mathcal{M}(\theta, 1/\sqrt{D})=a/(D\sqrt{D}),$$\mathcal{M}(\theta, 1/d)=a/(d^{2}\sqrt{D})$( は 1 以外の$d$$a$の約数) 等が示された。 ここで $D=ab(ab+4)$ としている。そればかりか、 この方法によれば、 が実 2 次無理に対してもであるどんなペア数での値が実際に求められるのである。
(このような の連分数展開は循環節をもち、 の による表現も循環することが知られてい$\theta$$\phi\in \mathbb{Q}(\theta)$$\theta,$$\mathcal{M}(\theta, \phi)$$\phi$$\theta$$\phi$$\theta$

る $[7]_{0})$を求めることができないの
それでは、連分数展開が循環しないような については、だろうか ? 実は、循環しなくても のように擬似循環すれば、 [6] で得た方法により計算が可能である。その事実を、 具体例により幾つか見てみたいと思う。
$\theta$$e$$\mathcal{M}(\theta, \phi)$19

2. 西岡-塩$/||-$

田村のアルゴリズム

まず最初に、 西岡-塩 $j||-$ 田村のアルゴリズムと$\theta=[a_{0};a_{1}, a_{2}, ...]$ を単純連分数展開として、$\theta=a_{0}+\theta_{0}$,$1/\theta_{n-1}=a_{n}+\theta_{n}$$a_{0}=\lfloor\theta\rfloor$,によって生成されるものとする。

$\theta$によって与えられる。
.

の $k$ 次近似 $Pk/q_{k}=[a_{0}$ ;

そして、数列.

, ]$,$\phi_{n-1}/\theta_{n-1}=bn-\phi n$$\phi$$\{\theta_{0},$$\theta_{1}$

, ...

$\}$

$a_{1}$, ... ,,
$q_{-2}=1$ ,$p_{-2}=0$

による$\phi$

は、漸論式$a_{k}]$$p_{-1}=1$,$q_{-1}=0$の表現 (非斉次連分数展開)

を$\phi=b_{0-}\emptyset 0$

によって与える。すると$(n=1,2, . . .)$$(k=0,1, ...)$ ,$(k=0,1, . . .)$ ,$q_{k}=akqk-1+qk-2$との関係を見てみよう。

,$a_{n}=\lfloor 1/\theta_{n-1}\rfloor$$p_{k}=a_{k}p_{k}-1+pk-2$$\phi=\theta[b_{0;}b_{1}, b_{2}, .

$\mathcal{M}_{-}(\theta, \phi)$$b_{0}=\lceil\phi\rceil$,$b_{n}=\lceil\phi_{n-1}/\theta_{n-1}\rceil$’$(n=1,2, \ldots)$ .

は$\phi=b_{0}-b1\theta_{0}+b_{2}\theta 0\theta 1^{-\cdots+(-1)}b_{k}\theta 0\theta_{1}\cdots\theta_{k}-1-(-1)^{k}\theta_{0^{\theta}}1\theta_{k-}1\phi kk\ldots$$=b_{0}- \sum_{k=0}(-1)^{k}b_{k1}+\theta 0\theta 1\theta_{k}=b0-\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}+1D_{k}\infty\cdots$と表される。 ここで$D_{k}=q_{k}\theta-p_{k}=(-1)^{k}\theta_{0}\theta 1\cdots\theta k(k=0,1,2, \ldots)$

以上のアルゴリズムと$\mathcal{M}_{-}(\theta, \phi)$としている。

との関係として次のことが知られている [6]。

定理 A.
$\mathcal{M}_{-}(\theta, \phi)=\lim_{narrow+}\inf\min(\infty B_{n}||B_{n}\theta+\phi||, B_{n}^{*}||B_{n}^{*}\theta+\phi||)$

ここで注$\phi_{n})$$B_{n}= \sum^{n}k=1b_{k}qk-1$

及び $B_{n}^{*}=B_{n}-q_{n-1}$。

更に $B$。$||B_{n}\theta+\emptyset||.=B_{n}|D_{n}-1|\phi_{n}$ 及び Bn*llBn*\theta +\mbox{\boldmath $\phi$}ll $=(B_{n}-q_{n-}1)|Dn-1|(1-$である事実から、$1\phi)$ と合わせて $\mathcal{M}(\theta, \phi)$ が求められる。

$\mathcal{M}_{+}(\theta, \phi)=\mathcal{M}_{-(-}\theta,$

3.
$\theta$,$\theta=e$の場合の連分数展開が擬似循環して、$\theta=[\mathrm{c}_{0;}c_{1}.$

’...

, ら,

$\overline{Q1(k),\ldots\}Qp(k)}]_{k}^{\infty}=1$,と表される場合、 を Hurwitzian number であるという。ここで、 $c0$ は整数、は$Q_{1}(k),$$Q_{p}(k)$正の整数、は有理係数をもつ多項式で、 $k=1,2,$に対して正整数値$\ldots,$を取り、少なくても 1 つの多項式は定数ではないものとする。 $Q_{1}(k),$, Qp(紛は擬似循環節と呼ばれる ([3],[8],[10] 等を参照)。 . .
$\theta$$c_{1},$$\ldots$$\ldots$,$\ldots,$$c_{n}$

20

最も典型的な Hurwitzian number である$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1, \ldots]=[2;\overline{1,2k,1}]_{k=1}\infty$を取り上げてみよう。 このとき、$a_{3n-2}=a_{3n}=1$ ,$a_{3n-1}=2narrow\infty$$(n=1,2, \ldotsarrow\infty)$

及び$\theta_{3n-2}=[0;2n, 1,1,2n+2,1,1,2n+4, \ldots]arrow 0$$\theta_{3n-1}=[0;1,1,2n+2,1,1,2n+4,1, \ldots]arrow\underline{1}$2$(n=1,2, \ldots)arrow\infty)$$\theta_{3n}=[0;1,2n+2,1,1,2n+4,1,1, \ldots]arrow 1$に注意する。

次に $\phi=1/4$ と取ってみると、西岡塩川-田村のアルゴリズムにより、$\frac{1}{4}=\theta[1;2,3,2,2,4,1,1,$$\frac{3a_{12k-4^{-2}}}{4},1$,$\frac{\overline
1}{4}a12k+5,2]k=1\infty$$\frac{3}{4}a_{12k-}1,2,1,$ $\frac{a_{12k+2}-6}{4},1,1,$$1,$と表される。 また$\phi_{0}=\frac{3}{4}$$\phi_{\mathrm{s}=}2-\frac{5}{4}\theta_{3}$かっ$n=1,2,$$\ldotsarrow\infty$,$\phi_{1}=\frac{5-3\theta_{1}}{4}$,$\phi_{2}=\frac{5(1-\theta_{2})}{4}$$\phi_{4}=\frac{5}{4}-2\theta_{4}$,$\phi_{5}=1-\frac{5}{4}\theta_{5}$

,

,

に対して

$\phi_{12n-6}=\frac{5}{4}-\theta_{12n-6}arrow\frac{1}{4}$$\phi_{12n-}5=\frac{3-5\theta_{12n-5}}{4}arrow\frac{3}{4}$$\phi_{12n-4}=\frac{3}{4}(1-\theta_{12}n-4)arrow\frac{3}{8}$$\phi_{12n-3}=\iota-\frac{3}{4}\theta_{12n-3}arrow\frac{1}{4}$$\phi_{12}n-2=\frac{3}{4}-\theta_{12n-2}arrow\frac{3}{4}$$\phi_{12n-1}=1-\frac{3}{4}\theta_{12n-1}arrow\frac{5}{8}$$\phi_{12n}=\frac{7}{4}-\theta_{12n}arrow\frac{3}{4}$$\phi 12n+1=\frac{1-7\theta_{12n+1}}{4}arrow\frac{1}{4}$$\phi_{12n+2}=\frac{1}{4}(1-\theta_{12n+2})arrow\frac{1}{8}$$\phi_{12n+}\mathrm{s}=1-\frac{1}{4}\theta_{12n+3}arrow\frac{3}{4}$$\phi_{12n+4}=\frac{1}{4}-\theta_{12n+}4arrow\frac{1}{4}$$\phi_{12n+5}=1-\frac{1}{4}\theta_{12n+5}arrow\frac{7}{8}$となる。実際に値を計算するために、 次の事実を使う。

.

21

補助定理. e の連分数展開$e=[2;1,2k, 1]_{k=1}^{\infty}$

において

11
,
,
$\lim_{narrow\infty}q3n-1|D3n-1|=\overline{2}$$\lim_{narrow\infty}q_{3}n|D_{3n}-1|=\overline{2}$$\lim_{narrow\infty}q_{3+}n1|D_{3n}|=1$,$\lim_{narrow\infty}q3n+2|D3n+1|=1$,$\lim_{narrow\infty}q3n|D3n|=\frac{1}{2}$,$\lim_{narrow\infty}q3n+1|D\mathrm{s}n+1|=0$が成り立つ。
証明.
$\frac{q_{3n-2}}{q_{3n-1}}=\frac{1}{2n+q_{3n-}\mathrm{s}/q3n-2}arrow 0$$(narrow\infty)$

であるから、$\lim_{narrow\infty}q_{3}n+2|D_{31}|n+=\lim_{narrow\infty}q_{\mathrm{s}}n-1|D_{3n-2}|$$= \lim_{narrow\infty}\frac{1}{1+\theta_{3n-1}q_{3n-2/q_{3n-1}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}\cdot 0}=1$

故に $q_{3n-}1|D_{\mathrm{s}}n-1|=q_{3n-1}|D_{3n-2}|\theta_{3n-1}arrow 1\cdot 1/2=1/2(narrow\infty)$ . また、$\frac{q_{3n-1}}{q_{3n}}=\frac{1}{1+q\mathrm{s}n-2/q3n-1}arrow 1$$(narrow\infty)$

であることから、$q_{3n}|D_{3n}|= \frac{1}{(1+\theta_{3n}+1)+q_{3n}-1/q_{3n}}arrow\frac{1}{1+0+1}=\frac{1}{2}$

それ故 $q\mathrm{s}_{n}|D_{3}n-1|=q_{3n}1D_{3}|n/\theta_{3n}arrow 1/2\cdot 1=1/2$$(narrow\infty)$である。最後に$q_{3n+1}|D3n+1|= \frac{1}{2n+2}(q3n+2|D3n+1|-q3n|D3n|\theta_{3n+1})arrow 0$$(narrow\infty)$及び$q \mathrm{s}_{n+}1|D3n|=\frac{1}{1+\theta_{\mathrm{s}_{n}+\cdot q3/}1nq3n+1}arrow\frac{1}{1+0}=1$がいえる。

$(narrow\infty)$口

さて、 $n=0,1,2,$$\ldots$に対して$B_{12n-6}=2q_{0}+3q_{1}+2q_{2}+2q \mathrm{s}+4q4+q_{5}+\sum_{i=1}^{n-}1(q_{12i}-6+\frac{3a_{12i-4}-2}{4}q_{12i}-5$$+q12i-4+q_{12i-}3+ \frac{3}{4}a12i-1q12i-2+2q12i-1+q_{1}2i$$+ \frac{a_{12i+2}-6}{4}q_{1}2i+1+q_{12}i+2+q_{1}2i+3+\frac{1}{4}q_{12i+}4+2q12i+5)$$=q_{6}+ \frac{5}{4}q5^{-}\frac{1}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}(q_{12i+}6+\frac{\bm{5}}{4}q_{1}2i+5-q12i-6-\frac{5}{4}q12i-7)$$=q_{12n-}6+ \frac{5}{4}q_{12n-}7-\frac{1}{2}$22であるから、補助定理より$B_{12n-6}||B12n-6\theta+\emptyset||=B_{12n-6}\emptyset 12n-6|D_{1}2n-7|$$=(q12n-6|D12n-7|+ \frac{5}{4}q12n-7|D12n-7|-\frac{1}{2}|D_{12-}n7|)\phi_{12}n-6$$arrow(\frac{1}{2}+\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$

.

$0$

)

$\cdot\frac{1}{4}=\frac{9}{32}$$(narrow\infty)$

及び$B_{126}^{*}n-||B_{12}*\theta-6+\emptyset n||=(B_{12n}-6-q_{1}2n-7)(1-\phi_{12n-}6)|D12n-7|$$=(q_{1_{\wedge}^{)}n-}.6|D12n- \tau|+\frac{1}{4}q_{1}2n-7|D_{1}2n-7|-\frac{1}{2}|D12n-7|)(1-\emptyset 12n-6)$$arrow(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}$$-$$\frac{1}{2}\cdot 0$)$(1- \frac{1}{4})=\frac{15}{32}$$(narrow\infty)$が成り立つ。 また補助定理を使って$B_{12n-5}||B12n-5\theta+\phi||=(B_{12n-6}+q_{1}2n-6)\phi_{1}2n-5|D12n-6|$$=( \frac{5}{4}q12n-5|D_{1}2n-6|+\frac{3}{4}q12n-6|D12n-6|-\frac{1}{2}|D_{12n-6}|)\phi_{12n-5}$$arrow(\frac{5}{4}\cdot 1+\frac{3}{4}$.

$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot 0)\cdot\frac{3}{4}=\frac{39}{32}$$(narrow\infty)$

を得る $\circ B_{12n-5}^{*}=B_{12n-5}-q12n-6=B_{12n-}6$ であるから$\text{、}$$B_{12n-5}^{*}||B^{*}-5 \theta 12n+\emptyset||=B_{12n-6}||B12n-6\theta+\phi||arrow\frac{9}{32}$$(narrow\infty)$が言える。同様にして、$B_{12n-4}||B12n-4 \theta+\emptyset||=B_{12n}^{*}-\mathrm{s}||B_{1}^{*}-3\theta 2n+\emptyset||arrow\frac{9}{32}$$B_{12n}^{*}-4||B_{12}* \theta-4+\emptyset n||arrow\frac{15}{32}$,$B_{12n-2}||B12n-2 \theta+\emptyset||arrow\frac{33}{32}$$B_{12n-3}||B12n-3 \theta+\emptyset||=B_{12n-}^{*}2||B_{1}^{*}-2\theta 2n+\emptyset||arrow\frac{7}{32}$$B_{12n-1}||B12n-1 \theta+\emptyset||arrow\frac{15}{32}$$B_{12n-}^{*} \perp||B_{1}^{*}-\theta+2n1\emptyset||arrow\frac{9}{32}$$B_{12n}||B12n \theta+\emptyset||=B_{12n+1}^{*}||B_{12n}*\theta++1\phi||arrow\frac{33}{32}$$B_{12n}^{*}||B_{12}^{*} \theta+\phi n||arrow\frac{7}{32}$$B_{12n+1}||B_{1}2n+1 \theta+\phi||arrow\frac{15}{32}$$B_{12n+2}||B12n+2 \theta+\phi||=B_{12n+3}^{*}||B_{1}*\theta+2n+\mathrm{s}\psi||arrow\frac{1}{32}$$B_{12n+2}^{*}||B^{*}2 \theta 12n++\psi||arrow\frac{7}{32}$$B_{12n+4}||B_{1}2n+4 \theta+\phi||arrow\frac{9}{32}$$B_{12n+3}||B12n+3 \theta+\emptyset||=B_{12n+4}^{*}||B_{12n}*\theta 4++\phi||arrow\frac{15}{32}$$B_{12n+5}||B12n+5 \theta+\emptyset||arrow\frac{7}{32}$$B_{12n+5}^{*}||B_{12}* \theta++5\phi n||arrow\frac{1}{32}$$(narrow\infty)$

23

を求めることができる。以上より、 $\mathcal{M}_{-}(\theta, \phi)=\mathcal{M}_{-}(e, 1/4)=1/32$ が得られる。
方、 1–\mbox{\boldmath $\phi$}=3/4 は,$\frac{3}{4}=\theta[1;1,2,1,1,3,2,2,7,2,1,1,2,1,$$\frac{3a_{12k+2}-2}{4},1,1,$$\frac{\overline3}{4}a12k+5,2$$\frac{\overline
1}{4}a_{12}k+11,2]_{k=1}^{\infty}$$1,$ $\frac{a_{12k+}\mathrm{s}-6}{4},1,1,$と表され、 同様にして$\mathcal{M}_{+}(\theta, \phi)=\mathcal{M}_{-}(e, \frac{3}{4})=narrow\infty 1\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{n}B_{1}2n+8|D12n+7|\phi 12n+8$$= \lim_{narrow\infty}\frac{q12n+8|D12n+7|+q_{1}2n+7|D12n+7|}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot(1-\theta 12n+8)$$= \frac{1+0}{4}$.

.
$\frac{1}{8}=$$\frac{1}{32}$を得る。 従って次の結果がわかる。
定理 1.
$\mathcal{M}(e, \frac{1}{4})=\frac{1}{32}$以上と同様な方法で、$\mathcal{M}(e, \frac{1}{3})=\frac{1}{18}$$\mathcal{M}(e, \frac{1}{2})=\frac{1}{8}$$\mathcal{M}(e, \frac{1}{5})=\frac{1}{50}$$\mathcal{M}(e, \frac{1}{6})=\frac{1}{72}$なども次々と求められる。従って、次のように予想するのはごく自然である。
予想 1. 2 以上の任意の整数 に対して$l$$\mathcal{M}(e, \frac{1}{l})=\frac{1}{2l^{2}}$しかし、各 に対して$l$$\phi$の$\theta$.

による表現 (非斉次連分数展開) のパターンがかなり異なるため、

簡単には–般化できない。よって、証明は思っているほど容易にはできそうにない。

4.

$e$

以外の HURWITZIAN NUMBER

2 以上の整数 に対して$s$$e^{1/s}=[1;s-1,1,1,3s-1,1,1,5s-1,1,1, \ldots]=[1;\overline{(2k-1)_{S}-1,1,1}]^{\infty}k=1$

も、 よく知られている Hurwitzian number の–つである。 このとき、$a_{3n-1}=a_{3n}=1$,$a_{3n-2}=(2n-1)S-1arrow\infty$$(n=1,2, \ldotsarrow\infty)$

及び $n=1,2,$ $\ldots,$ $arrow\infty$ に対して$\theta_{3n-2}=[0;1,1, (2n+1)s-1,1,1, (2n+3)s-1, \ldots]arrow\frac{1}{2}$$\theta_{3n-1}=[0;1, (2n+1)s-1,1,1, (2n+3)s-1,1, \ldots]arrow 1$:$\theta_{3n}=[0;(2n+1)s-1,1,1, (2n+3)s-1,1,1, \ldots]arrow 0$に注意する。更に、上記の補助定理に対応するものとして、次の補助定理*が成り立つ。

24

補助定理*

$e^{1/s}\text{の連分数展開}$$.$$e^{1/s}=[1;\overline{(2k-1)_{S-1,1},1}]_{k=1}^{\infty}$

において

,

$\lim_{narrow\infty}q_{3n-}1|D3n-2|=\frac{1}{2}$$\lim_{narrow\infty}q_{3n}|D3n-1|=1$,$\lim_{narrow\infty}q\mathrm{s}_{n}+1|D_{3}n|=1$,$\lim_{narrow\infty}q\mathrm{s}_{n}-2|D_{32}n-|=\frac{1}{2}$,$\lim_{narrow\infty}q\mathrm{s}n-1|D3n-1|=\frac{1}{2}$,$\lim_{narrow\infty}q3n|.D\mathrm{s}_{n}|=0$が成り立つ。
そこで、 $\theta=e$ の場合と同様にして $\theta=e^{1/s}$ についても、 $\phi=1/2,1/3,1/4,$に$\mathcal{M}(e^{1/s}, \phi)$$\ldots$と次々の値を計算していくと、次のことが自然に予想される。

予想 2. 2 以上の任意の整数 に対して$l$$\mathcal{M}(e^{1/s}, \frac{1}{l})=\frac{1}{2l^{2}}$

or

$0$

.

ただし、 どんなときに値が になるかの予想は難しい。参考までに、 $l\leq 30$ についての結果を記しておく。 が偶数のときは、 になる場合は見つからなかった (勿論 $l>30$ については、確かめられていない)。
$0$

$0$

$l$

また、 $e^{1/s}$ の派生である次のような値 ( $e^{1/s}$ の方がこれらの値の派生である、 というべきかもしれない。 Cf. [10] を として取ることも考えた。
$)$$\theta$$\frac{e^{1/s}-1}{e^{1/S}+!}=[0;2s, 6s, 10s, .

.

.

.

]=[0;\overline{(2k-1)s}]_{k=1}\infty$( は 2 以上の整数)]=[0;\overline{(4k-2)s}]^{\infty}k=1$

$s$

または
$\frac{e^{2/s}-1}{e^{2/s}+1}=[0;s, 3s, 5s, .

これらの$\theta$.

に対して、筆者は次の結果を得ている。

( は 3 以上の奇数).
$s$

25

定理 2.

$\mathcal{M}(\frac{e^{1/s}-1}{e^{1/s}+1},$$\frac{e^{1/S}}{e^{1/s}+1})=\frac{1}{4}$$\mathcal{M}(\frac{e^{2/s}-1}{e^{2/S}+1},$,$\mathcal{M}(\frac{e^{1/s}-1}{e^{1/}S+1},$$\frac{1}{2})=\mathcal{M}(\frac{e^{1/s}-1}{e^{1/S}+1},$$\frac{e^{2/S}}{e^{2/S}+1})=\mathcal{M}(\frac{e^{2/s}-1}{e^{2/s}+1},$ $\frac{1}{2})=\mathcal{M}(\frac{e^{2/s}-1}{e^{2/S}+1},$$\frac{1}{3})=0$$\frac{1}{3})=0$,.

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$e$

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229-241.

TAKAO KOMATSU
FACULTY OF EDUCATIONMIE UNIVERSITY
514-8507 JAPANkomatsu@edu.mie-u.ac.jp

26

Abstract and Appendix
by using the algorithm of
We consider the value. It isalgorithm)
aclass of pairsfor(theTamura, Shiokawa andcan be calculated if is apositive quadratic
known that the exact value of$\mathcal{M}(\theta,1/2)=b/(4\sqrt{D})$ (a andare odd withFor example,
irrational and$a>b);a/(4\sqrt{D})$ (otherwise), $\mathcal{M}(\theta, 1/\sqrt{D})=a/(D\sqrt{D}),$ $\mathcal{M}(\theta, 1/d)=a/(d^{2\sqrt{D})}(d$, ...
, whereis a ciivisor of withand $D=ab(ab+4)$ .
can be found even if isThis paper reveals that the exact value of
not a quadratic irrational but aHurwitzian number, namely the continued fraction
is an integer,
expansion of is $\theta=[c0;c_{\perp,c..c_{n}}2,.,,\overline{Q_{1}(k),\ldots,Qp(k)}]_{k=1}^{\infty}$ , whereare polynomials with rational coefficientsare positive integers,
and at least one of the polynomials
which take positive integral values for $k=12,$$e=[2;\overline{1,2k}’, 1]_{k}^{\infty}=1’ e^{1/S}=[1;\overline{(2k-1)s-1,1,1}]_{k}^{\infty}=1$
is not constant. For example,
where is an integer with $s>1$ , $(e^{1/s} - 1)/(e^{1/s}+1)=[0;\overline{(4k-2)S}]_{k=}^{\infty}\mathrm{l}$ where isan integer with $s>1,$ $(e^{2/S}-1)/(e2/s+1)=[0;\overline{(2k-\iota)S}]_{k=}\infty 1$. where is odd with.
$s>1$ , or$\mathcal{M}(\theta,\phi)=\lim\inf_{|q|arrow\infty}|q|||q\theta+\phi||$$\theta,$$\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{T}$$\mathrm{N}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}_{0}\mathrm{k}\mathrm{a}$$b$$\phi\in \mathbb{Q}(\theta).$$a$$\phi$$\theta$$\mathcal{M}(\theta,\phi)$$\theta=(\sqrt\frac{}{a\dot{\mathit{0}}(a\prime b\dotplus 4_{\grave{J}}}-\alpha b_{\grave{J}}/\langle^{\cap}/\prime\prime \mathrm{r}_{\cup,u}\angle a_{\grave{J}}=\lfloor\cap,\dot{\overline{\mathrm{u}}},u,$$d\nearrow 1_{\grave{J}}$$b$$\theta$$\mathcal{M}(\theta, \phi)$$\theta$$c_{1},$$\ldots,$$c_{n}$$\rfloor\rceil$$c_{0}$$Q_{1},$$\ldots,$$Q_{p}$$\ldots$

$s$

$s$

$s$

$\theta=[0;1,2,3, \ldots]=[0;\overline{k}]_{k=1}^{\infty}$

Indeed, $\mathcal{M}(e, 1/2)=1/8,$ $\mathcal{M}(e, 1/3)=1/18,$ $\mathcal{M}(e, 1/4)=1/32,$ $\mathcal{M}(e, 1/5)=$$1/50,$ $\mathcal{M}(e, 1/6)=\mathrm{j}./72,$ $\mathcal{M}(e, 1/7)=1/98,$
can be obtained. So, it is natural to$\mathcal{M}(e,1/l)=1/(2l^{2})$$l>1$. In a similar manner, one canintegerany
forconjecture$l\leq 30;\mathcal{M}(e^{1/}, 1s/\iota)=0$ or $1/(2l^{2})$$\mathcal{M}(e^{1/S}, 1/\iota)=1/(2\iota^{2})$ if
is even withfind that$1<l\leq
30$
conjectured
that these facts are true for $l>30$ too.
. It is
if is odd with
It is also obtained that $\mathcal{M}((e^{1/}-S1)/(e1/s+1), e^{1/S}/(e^{1}/s+1))=1/4,$ $\mathcal{M}((e-1/s$$\ldots$$l$$l$$1)/(e^{1/s}+1),$ $1/2)=\mathcal{M}((e^{1/S}-1)/(e^{1/s}+1), 1/3)=0,$$\mathcal{M}((e^{2/S}-1)/(e^{2/S}+$

1), $e^{2/S}/(e^{2}/s+1))=\mathcal{M}((e2/s-1)/(e2/s+1), 1/2)=\mathcal{M}((e^{2/2}s-1)/(e/s+1), 1/3)=$, and $\mathcal{M}(\theta, (\theta+1)/2)=\mathcal{M}(\theta, 1/2)=\mathcal{M}(\theta, 1/3)=0$ when $\theta=[0;1,2,3, \ldots]$ . But$0$$\mathcal{M}(\theta, (\theta+1)/2)=1/4$

and $\mathcal{M}(\theta, 1/2)=\mathcal{M}(\theta, 1/3)=0$ when $\theta=[0;2,4,6, \ldots]$ .