数理解析研究所講究録 1413 巻 2005 年 220-230220

粗い界面成長に対する動的スケーリング則 –実験
齋藤和亮 (Kazuaki Saito), 小澤達哉 (Tatsuya Ozawa), 小林奈央樹 (Naoki Kobayashi)

山崎義弘 1 (Yoshihiro Yamazalci), 松山東平 2 (Tohey Matsuyama)
松下貢 (Mitsugu Matsushita)

中央大学大学院理工学研究科
1 早稲田大学大学院理工学研究科 2 新潟大学医学部細菌学教室

Department of Physics, Chuo University, Kasuga, Bunky0-ku, Tokyo 112-8551(Received)

私達は成長する荒れた界面の構造とダイナミクスについて紙に水を染み込ませたときにみえる界面及ひ、 バクテリアコロニーの成長界面を用いて解析を行っている。 実験て得られる荒れた成長界面ては平坦な状態からはじめた場合、徐々に粗くなっていき、最終的に粗さの揺らぎが飽和状態になるという特徴がある。 今回行った実験ては成長する界面の性質を動的スケーリングを用いて特徴つけることを行った。

1.

$\mathrm{B}$adcground

成長する界面の動的な性質を実験的に考察することは、静的な性質を求めるのと違い非常に難しい。 今回行う解析ては時間ごとの界面の観察から動的スケーリングを用いて動的な性質を求める。

界面の粗さをスケールによって変わらないように定義するために横幅イト$x_{i}$

での高さ$y_{\acute{l}}$を決める。 そこから横幅$L$の中での標準偏差$\overline{h}\equiv<h>=\frac{1}{L}\sum_{i}^{L}y_{i}$以降は界面の状態は飽和し、横幅

式 (3) と式 (4) ての指数$\alpha$を$\mathrm{n}$)$\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}$$\alpha$と$\beta$exponent, 指数$L$を求める:(1).

標準偏差をこのように定義したとき、 ある特徴的な時間した量になる。の中に含まれるサ,$w^{2}= \frac{1}{L}\sum_{i}^{L}(y_{i}-\overline{h})^{2}$$t^{*}$

$w$

$L$

(2)
$t^{*}$

まては標準偏差は時間$t$に依存にのみ依存する量になる:$w\sim L^{\alpha}$$(t\gg t^{*})$,(3)$w\sim t^{\beta}$$(t<<t^{*})$.

(4)

はスケールに依存しない粗さの量として定義されるので、指数$\beta$を growth exponent と呼ばれる。 1980 年代、 時間発展における標準偏差の振る舞いにはある種のスケーリング仮説が成立していることが F.Fa$\mathrm{y},\mathrm{T}.\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{c}\sec$221
らによって提唱された。 1) 粗い界面の動的な性質は時間ときのベキ指数$\beta$と標準偏差$t$$w$を両対数プロットしたの値て表せる。 そうすると次のようなスケーリング仮説が成り立っていることがわかる。

$t^{*}\sim L^{z}$

スケーリング関数$\Psi$,$z= \frac{\alpha}{\beta}$

しかし実験の場合、 時間$w$(6)$(x<<1)$ ,$\Psi(x)\sim Const$$w$.

は次のような関数になる。
$\Psi(x)\sim x^{\beta}$

標準偏差(5),$w(L, t)=L^{\alpha} \Psi(\frac{t}{L^{z}})$$t$における標準偏差$w$.

$(x>>1)$.

を正確に求めるのは困難である。 そこて幅を元にしたスケーリング仮説が考えられた。

を両対数プロットしたときに得られるベキ指数$\alpha$$L$と2) 界面の静的な性質を幅 $L$ と標準偏差で表す。 そうすると次のようなスケーリン

グ仮説が成り立っていることがわかる。
$w(L, t)=t^{\beta}f( \frac{L}{t^{\frac{1}{z}}})$.

(7)

このスケーリング関数 $f$ は次のようになる。
$(x\ll 1)$$f(x)\sim x^{\alpha}$$f(x)\sim Const$.

,$(x>>1)$ .

今回行った実験ではこの動的スケーリングを用いた Data Collapse を行い、動的 $fp$’e 質を求める。

2. Interface growth of paper wetting

2.1 Introduction

紙に水を染み込ませた時にみられる成長界面の場合、バクテリアコロニーやその他の実験系
3)よりも再現しやすいと考えられるため、 これまでの粗さの研究ではしばしば用いられてきた。
今回行った実験ては、紙に水を染み込ませた時に得られる界面を時間ごとに撮影し、 その画像をもとに動的スケーリングを用いて Data Collapse を行い、 動的な性質を求めたいと思う。

f2.2 ffiperiment
紙に水を染み込ませた時にてきる界面を解析する。 透明な板の上に紙を水平に敷き、 その紙に水を染み込ませていく。 今回扱った紙は横幅 235cm, 縦幅 280cm, 厚さ 03cm のものを使用し、 染み込ませる液体には蒸留水を使用した。 この実験系の場合比較的早い時間て界面が進行する。 これは実験時間を短縮し、蒸発による効果や温度変化などの効果を抑えるためてある。 さらに染み込ませる水と紙の間にバッファをいれることによって水の吸収速度を調節した。

染み込ませたときにできる界面を時間ごとにデジタルカメラて撮影し、 幅垣こ対する標準偏差$w$を両対数プロットする。 [Fig. ]$1$$[\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}.2]$

このとき $L$ 及ひ $w$ の単位は pixel で、 1pixel あたりの222

Fig. 1.

Fig. 2.

粗い界面の時系列データ

実際の長さは 015$\mathrm{m}\mathrm{m}$roughness exponent は$L$-wpbt(10 個分のデータの平均)である。 ここで得られた $L-w$ プロットより $L<<L^{*}$ の領域ての傾き、$\alpha\simeq 0.73$となることがわかる。 次にこのデータをもとに data coUapseをする。 時間ごとの $L-w$ プロットを、 スケーリング指数 raughness exponent

exponent$z$$\alpha$と dynamicを用いて平行移動することで data collapse を行う。 ます最初に、 さきほどの $L-w$

プロットの傾きから求めた$\alpha$を固定して、$z$を変化させた時の fitting をみる。 [Fig 3] そのときにひとつの曲線にみえるものを採用すると $\alpha\simeq 0.73,$ $z\simeq 0.84$ となる。 しかし、 このプロットの場合 $x<<1$ の領域ではあまり fitting しているようにはみえない。 そこで同時に変えて fitting してみる。 [Fig 4] このとき最も fitting した値はた。 この時の$\alpha$は $L-w$ プロットから求めた$\alpha$$\alpha$$\alpha\simeq \mathrm{L}00$の値と$z$の値を, $z\simeq 1.40$ となっに比べると非常に大きい値となっている。 さらに $x\ll 1$ の領域での傾きは一致していて、 073 になっている。

2.3 Discussion
今回扱った系の場合、バッファを入れることで初期の段階のゆらぎを抑えることがてき、 さらに染み込みの速度も調節できたので理想的な実験環境ができた。 実際に界面の静的な性質は$L-w$ プロットて表せ、 そのときの指数$\alpha$は 073 という結果になった。

$\alpha$についてはしっかり223とした値がでるが、$\beta$については実験ては測定が難しくしつかりとした値はでない。 時間ごとの$L-w$ プロット [Fig 2] をもとに $t-w$ プロットを表示してみる [Fig 5]。 このプロットをみるかぎりでは特徴的な時間があり、 その前後で cross over が起こっている。

$L$が十分に大きいとき$(L=1000\sim 1200)$ 開始直後あまり時間がたっていない部分の傾きをみると 061 になっていて比較的時間がたった後の傾きをみてみると 041 となっていた。 最終的な結果として, $\alpha\cong 0.73$ ,$\beta\cong 0.61$とすると、 他の実験や paper wetting のモデルである DPD モデルなどの結果と比較的似た値になっていることがわかった。

Dynanic Scaling から求めた$\alpha$と$z$の値は $\alpha\simeq 1.00,$ロット, $t-w$ プロットから求めた $\alpha\cong 0.73,$$z\cong \mathrm{L}20$

も関わらす動的な性質を表す Dynamic Scaling の関数$z\simeq \mathrm{L}40$となった。 この値は $L-w$ プからは大きくすれたものである。 それに$\mathrm{f}(\mathrm{x})$がひとつに求まるというのは興味深いことだといえる。 この指数のすれが起こる理由のひとつの可能性として、 cross over の存在が考えられる。 $L-w$ プロットにおいての cross over の存在は界面を局所的にみるときと全体的にみるときとでは界面の性質が違うということを示している。 つまりこの界面が自己アフイン的な界面というよりは階層構造を持つ、 マルチアフイン的な界面であることを示している。
マルチアフイン解析ては$\mathrm{q}$次の相関関数をとることによって界面の性質を調べる。今回 t/ま固定してそのときの界面を解析した。

(8)$C_{q}(x’, t’)\sim\langle|h(x’, t’)-h(x’+x, t’+t)|^{q}\rangle_{x’,t’}$

マルチアフイン解析では$\mathrm{q}$が大きいほど相関が大きい部分が拡大される。 逆に$\mathrm{q}$が小さい時には相関が小さい部分が拡大される。 マルチアフィン解析においても次のようなスケーリング関係が成り立っていることがわかる。

(9)$C_{q}(x’, t’)\sim L^{q\alpha}$

自己アフィン的な界面の場合ならば$\alpha$の値は変わらないはすである。実際に染み込みの界面を用いて $L-C$ プロットて表す。 [Fig 6] すると、染み込みの界面ては次数exponent$\alpha$$\mathrm{q}$によって違った roughnessを持つことがわかった。 マルチアフィン構造を持つ理由としては界面の noise が考224えられるが、 この noise を解析するのは非常に難しい問題であり、 今後の課題といえる。

3. Interface growth of bacteria colony

3.1 Introduction
粗い成長界面の動的な性質に対する定量的な解析を、 前例とは異なる系においても行ってみる。 ここではバクテリアが作るコロニーの成長界面に注目する。 この実験系を用いる理由として次のことが挙けられる。 バクテリアという生物が増殖する際に形成される界面は、紙への水の染み込みにおける界面と比較して、様々な要素が絡む非常に複雑なものてある。 もしこの形成機構の異なる二つの界面に共通する性質が見られたなら、 それは非常に強い普遍性を持った動的な性質ということができる。 もし共通のものが見られなかったとしても、 その違いから生物的な要因の界面成長への寄与を考察することができるのではないか、 という期待が持てる。
また顕微鏡を用いることて、個々のバクテリアの運動を容易に観察てき、 ミクロな構成要素の動きとそれらが作るマクロな界面形成の関連を見れるというのも、バクテリアを用いる利点てある。

Colony formation of Bacillus subtilis$\mathit{3}.\mathcal{B}$3. Z. 1 Morphological diagrarn
本実験では試料バクテリアとして、 Bacillus subtdis を用いる。 この菌は土壌や水中に広く生息していて(1) 周毛性鞭毛を持つ桿菌(2) 環境によって菌体の長さを数$\mu \mathrm{m}\sim$

数$10\mu \mathrm{m}$

まて変化させる(3) 野生株は Surfactin と呼ばれる界面活性物質を産出する(4) 環境が悪化すると芽胞という形態をとり、 休眠状態になるという特徴がある。 実験ては再現性を持たせるため冷凍保存している野生株 OG-OI を用いるが、今回はニトロソグアニジン突然変異生成による、 Surfactin 非産出の変異株 OG-Olb も併せて用いた。 環境を変化させるパラメーターとして、 菌を植える寒天培地の初期栄養濃度
寒天濃度$C_{\mathrm{a}}$$C_{\mathrm{n}}$とを選ぶ。 ここて栄養濃度はバクテリアの増殖率を、 寒天濃度はバクテリアの運動性をコントロールすると考える。培養条件 (温度、湿度) は一定にする。寒天培地上に接種されたバクテリアは増殖によって、 寒天表面に二次元的に広がる。 パラメーターを変化させるとコロニーは様々なパターンを作り、 その変化は Figure 7 のような diagram て表される。

本実験ては成長界面の動的な性質を見るため、 コロニー界面を一次元的に定義てきる$\mathrm{B},$$\mathrm{D}$領域について解析を行った。 それそれの領域の特徴を以下に示す。

3.2.

$p$

Region$B$

この領域ではパラメーターを$C_{\mathrm{n}}=20\mathrm{g}/1_{\text{、}}C_{\mathrm{a}}=15\mathrm{g}/1$とする。 このとき界面は Figure

8 のように長いスパゲッティのような菌が連なって形成されている。 この界面付近の長い菌はactive には動かす、 菌の増殖やコロニーの少し内側に入った領域での菌の動きにょって押し出225l/(Conc. of Agar) [1/(y\eta ]Fig. 7.

Bacillus subtilis コロニーパターンの相図、 横軸は寒天濃度

Fig. 8.

界面の菌の様子、$C_{\mathrm{n}}=20\mathrm{g}/1_{\text{、}}C_{\mathrm{a}}=15\mathrm{g}/1_{\backslash }$$C_{\mathrm{a}}$の逆数、 縦軸は栄養濃度

Width$C_{\mathrm{n}}$$=0.21\mathrm{m}\mathrm{m}_{0}$されるようにして界面は進行する。 この領域以外ては菌は運動性を持たす、 さらにコロニー中心に近づくと芽胞状態になった菌が増える。 界面の進行を動画て観察すると、 長い菌の連なりが folding を起こして進む様子を見ることができる。 この領域でコロニーは、 菌を接種してから 3 日程度てシャーレ (内径 883.

$B.\mathit{3}$Region$\mathrm{m}\mathrm{m}$) 全体に広がる。

$D$

ますこの領域の実験については、 Surfactin 非産出の変異株 OG-Olb を用いる。 その理由は Surfactin 産出の野生株 OG-OI では、 ミクロな解析スケールにおいて界面を定義できないからである。 野生株 OG-OI のコロニーの界面を顕微鏡で観察すると、 Fi 距$\mathrm{e}9(\mathrm{a})$のように菌が散らばっていてミクロなスケールで界面を形成していない。 それに対して変異株 OG-Olb では Figure$9(\mathrm{b})$のようにミクロなスケールでも界面を定義することができる。 なおこの変異株

OG-Olb において Bacillus subtdis の他の生物的特徴は変化していないと考える。 領域と比界面付近の菌も active に動いている。 そのためコロ較してこの領域ては菌体は全体的に短ニーの成長速度は 領域より速く,, シャーレ全体に接種後 1 日程度で広がる。 またコロニー全$\mathrm{B}$$<\backslash$$\mathrm{B}$体において芽胞になっている菌は少なく、 多くの菌が運動性を持っている。 実験ではパラメー
ターを$C_{\mathrm{n}}=20\mathrm{g}/1_{\text{、}}C_{\mathrm{a}}=5\mathrm{g}/1$とする。

226

(b)

(a)

Fig. 9.

界面の菌の様子、異株$C_{\mathrm{n}}=20\mathrm{g}/1_{\backslash }C_{\mathrm{a}}=5\mathrm{g}/1$

Width,$=0.21\mathrm{m}\mathrm{m}_{\mathrm{o}}(\mathrm{a})$野生株 OG-OI(b) 変$\mathrm{O}\mathrm{G}-01\mathrm{b}_{\mathrm{o}}$3.3 Experimental Procedures
菌を培養する寒天培地の作成方法を記す。 まず蒸留水に$\mathrm{N}_{\mathrm{A}}\mathrm{a}\mathrm{C}1$と$\mathrm{K}{}_{2}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{O}_{4}$を 5$\mathrm{g}/1$

づつ、

溶かし、BACTO-PEPTONE (DIFCO Laboratories, Detroit, USA) を 20
HC1 をカ えてでに調節する。 その後適当な量の BACTO-AGAR (DIFCO) を溶かして、 12115 分間滅菌する。 この BACTO-PEPTON と BACTO-AGAR の量を変化させることで培地条件のパラメーターをコントロールする。 滅菌後、 内径 88のシャーレに溶液を 20注ぎ、室温で 1 時間、 60 oC で 120 分間乾燥させて培地が出来上がる。 このとき培地の厚さは約 3mm$\mathrm{g}/1$$6\mathrm{N}$$\mathrm{I}$$\mathrm{p}\mathrm{H}=7.1$$0\mathrm{C}$$\mathrm{m}1$$\mathrm{m}\mathrm{n}$になっている。 この培地に菌を接種するが、 本実験ではコロニー成長界面の曲率の効果を除くため、 菌を線状に接種する。 具体的には $30\cross 5$ mm の大きさにしたろ紙に菌液を染み込ませてそれを培地の中央に置く。 菌を接種後は温度 35 oC、湿度 90 % に設定した恒温恒湿器の中で培養する。 解析画像の取り込みには Digital$\mathrm{H}\mathrm{F}$microscope-8000(KEYENCE, Osaka) を$\mathrm{V}\mathrm{H}$用いる。

3.4 Experimental Results
3.4.1 Region$B$

実際の解析画像が Figure 10 である。 コロニーの拡大開始時刻を $t=0$ としてそれぞれ$=6,15,25,30$ 時間後の界面であり、 横幅は 28
この画像を解析してある横幅$L$$\mathrm{m}\mathrm{m}$に対する高さ

$h$

$t$

である。の標準偏差 $w(L, t)$ との関係を求めるとFigure 11 のようになる。 これは 10 個のデータの平均をとっている。 単位は pixel であり、 real
scale との対応は 1$\alpha\simeq 0.81$$\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{x}\mathrm{e}\mathrm{l}\simeq \mathrm{L}7$$\mu \mathrm{m}$となっている

この傾きより roughness exponent の値は$\text{。}$と求まる。 この値は Bacillus subtilis [こついて脇田ら (4) が、 E. coil [こついて Vicsek

ら (5) が求めたものと近い値である。 またこの界面の粗さに寄与している要素として、 個々の菌同士の相互作用が考えられるが、 fitting 領域の$L$の範囲はこの相互作用を見るのに適したスケールである。

このデータをもと [こ data collapse を行う。 ます
固定して$z$$\alpha$の値を$L_{1}\cdot w$

プロットから求めた値 [こを変化させ、 最もよく単一の曲線に乗る値を求める。 その結果が Figure 12(a) で

227

Fig. 10.

(a)

(b)

(c)

(d)

成長界面の時間推移。 コロニー拡大開始を $t=0$ としてそれぞれ (a) t=6、 (b)$t=25_{\backslash }(\mathrm{d})t=30$

時間後の界面の様子。 横幅は 28mm、 解像度$t=15_{\backslash }(\mathrm{c})$$1620\cross 1220\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{x}\mathrm{e}1\mathrm{s}_{\text{。}}$$’-\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{h}(\mathrm{P}^{1\mathrm{X}\text{\’{e}} \mathrm{S})}$

Fig. 1L

プロット、$L\cdot\cdot w$$C_{\mathrm{n}}=20\mathrm{g}/1_{\text{、}}C_{\mathrm{a}}=15\mathrm{g}/1_{\text{、}}10$個のデータの平均あり、 $z=\mathrm{L}5$ のときに最もよく fitting した。 なお collapse 後の傾きもが、 実際に Figure 12(a) から傾きを求めると、やはり Lになった。 次に求める。 すると$\alpha$の値と$\alpha=\mathrm{L}02$

$z$

$w$

$\alpha$のままであるはすだ

プロットから求めた値とほぼ同じの値を同時に変化させ、 その上で最もよ, $z=2.13$ のときに、$\alpha$$\langle$fitting する指数の組をの{直を固定したときの data coUapse の結果よ

りさらによく fitting することがわかった。 その結果が Figure 12(b) である。

228

(b)

(a)

Fig. 12. data coUapse の結果。 (a) $\alpha=0.81,$$z=1.5_{\backslash }(\mathrm{b})\alpha=1.02$, z=2.13、実線は傾き 081、 破線

は L02 のガイド。

Fig. 13.
(b)

(a)

(b)

(c)

(d)

成長界面の時間推移。 定常状態になってからのある時間を $t=0$ としてそれぞれ (a) t=2、$t=4_{\backslash }(\mathrm{c})t=6_{\text{、}}(\mathrm{d})t=8$

3.4.2 Region

分後の界面の様子。 横幅は 012mm、 解像度 1620$\cross$

1220pixels。

$D$

この領域での解析画像は Figure 13 である。 この領域ではコロニーの拡大開始時刻を正確に定めることが難しいため、 界面の粗さが定常状態になった後のある時間を $t=0$ としてその時点での界面を start line とし、 そこからの界面の成長を考える。 画像の横幅は 021 mm で、それぞれ $t=2,4,6,8$ 分後の界面である。

229$\hat{\S u}$宕I
11\SFig. 14.

L-$w$

プロット、$C_{\mathrm{n}}=20\mathrm{g}/1_{\backslash }C_{\mathrm{a}}=5\mathrm{g}/1_{\backslash }10$個のデータの平均(b)(a)

Fig. 15. data collapse の結果。 (a) $at=0.53$ , z=1.34、 (b) $\alpha=0.75$ , z=2.00、 実線は傾き 053、破線は 075 のガイド

この画像でも同じように

pixel$\simeq 0.129\mu \mathrm{m}$$L$-$w$

プロットをとると、 Figure 14 のようになる。 ここでは 1であり、 10 pixels 以下は菌長よりも短い scale にあたるのて考慮に入れない。

これも 10 個のデータの平均をとったものて、直線部分の傾きより$\alpha\simeq 0.53$が求まる。 界面付

近の菌が random に動いていることを考えるとこれは妥当な結果だと思われる。 このデータに対しても data coUapse を行う。 ますには、 $z=1.34$ てのとき最もよく$\alpha$の値を L-$w$プロットから求めた 053 に固定したとき

fitting L, た (Fiv『e15(a)) 。しかし rescale されたものを見ると、 単一の曲線に乗り同一の scaling 関数を満たしているとは言い難い。 そこて$\alpha$も変化させてさらに fitting する値を求めると、 $\alpha=0.75,$ $z=2.00$ のとき Figure15(b) のようにきれいにひとつの曲線に乗った。

230

(b)

(a)

Fig. 16.
(b)

定常状態になった後の横幅$L$と$\mathrm{q}$次の相関関数との関係。 (a)$C_{\mathrm{n}}=20\mathrm{g}/1_{\backslash }C_{\mathrm{a}}=15$g/l、$C_{\mathrm{n}}=20\mathrm{g}/1_{\backslash }C_{\mathrm{a}}=5\mathrm{g}/\mathrm{L}$

3.5 Discussion
本来 data coUapse の考えより、 L-変えていけば、 ある$w$$z$$w$

プロットから得られた$\alpha$の値を固定して$z$の値をの値でデータは単一の曲線を描くはずてある。 しかし本実験では、プロットから得られたものとは違う$\alpha$での data coUapse の方がより.

$L\cdot$fitting するという結果になった。 これはどういうことなのだろうか。 この原因として界面が純粋な self-affine てはなく、 multi-affine なのではないかということが考えられる。 Family-Vicsek scaling は界面のroughness exponent がどの local な場所ても等しい self-affine 界面についてのものであり、 もし界面が multi-affiffity を有するとするとその scaling 仮説は成り立たない。 そこで実際に$\mathrm{D}$$\mathrm{B}$,両領域について一 ti-affine 解析を行ってみた。 その結果が Figure 16 てある。 この解析より、$\mathrm{B}$領域については multi-affinity を持つことが明らかになり、 これが data coUapse の結果に影響しているのてはないかと思われる。 ただし、 この multi-affiffity が実際の物理系て何に対応しているのかは今後調べる必要がある。 また$\mathrm{D}$領域はやはり self-affine てあるらしく、 この領域についてはなせこのような結果になったか不明である。 ただし、 なにか特殊な性質を持つにせよ、 data coUapse において一つの scaling 関数を満たしたのはどちらの領域ても確かてあり、 より広い範囲においての動的な scaling 仮説の存在が示唆される。

referance
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