数理解析研究所講究録
1077 巻 1999 年 30-45

30

STRUCTURE OF GROUP-ALGEBRAS
OF LIE SEMI-DIRECT PRODUCTS$C^{*}$$\mathbb{C}^{n}\rangle\triangleleft \mathbb{R}$須藤

隆洋 (SUDO TAKAHIRO)

琉球大学理学部

この講演内容は、次のとおりである。

(1) Motivation など(2) 研究方法と具体例(3) 主定理について$.(4)$

まず$C^{*}$

応用-群環の構造を調べることの motivation などについて説明する。次に具体的なり一半直積を例にとり、 その $c*$ -群環の構造をあたえる。それから表題にあるとおり、 リー
半直積$\mathbb{R}^{n}\mathrm{x}\mathbb{R}$$\mathbb{C}^{n}\rangle\triangleleft \mathbb{R}$の$C^{*}$-群環の構造について説明する。さらに、 この結果が、 り $-$ 半直積の場合にも直接応用できることを示す。最後に、 これらの$C^{*}$

群環の stable rankと connected stable rank の計算への応用を述べる。

(1) MOTIVATION など
リー群 $G$ に対して、 その $c*$ -群環 $c*(G)$ が対応するは $G$ の同型不変量ではない。
$Grightarrow C^{*}(G)$RIMS, 1998 年 9 月$(\mathrm{c}\mathrm{f}.[\mathrm{D}\mathrm{x}])$. しかしながら、 $C^{*}(G)$31

ここで、 $C^{*}(G)$ は、$L^{1}$

ノルムと合成積に関する、 $G$ 上の可積分関数全体のなす Banach*-環 $L^{1}(G)$ を universal 表現で表現してまた、 $G$ の既約ユニタリ表現の同値類のなす空間$\mathrm{C}^{*}$-completion をとった C*-環である。

$\Pi\overline{\mathfrak{o}}\text{値類^{の}なす空間}\hat{c}$は、 $C^{*}(G)$ の既約非退化*-表現のすなわちスペクトルと位相同型である。

$C^{*}(G)^{\triangle}\text{、}$$\hat{G}\approx c^{*}(G)^{\wedge}$

この対応は、次の $L^{1}(G)$ の積分表現を経由してえられる。

$\hat{G}rightarrow L^{1}(G)^{\wedge}$,$\pirightarrow\pi(f)=\int_{G}f(g)\pi_{g}dg$,$g\in G,$ $f\in L^{1}(G)$記号として、 $G$ の 1 次元規約ユニタリ表現全体のなす空間を$\hat{G}_{1}$.

と書く。 (4) 応用で、 この空間の複素次元が、 $C^{*}(G)$ の ranks と深く関係していることを示す。

例.

$G$

が

$\mathbb{R}$の場合。 フーリエ変換を用いて、 $C^{*}(G)$ は、無限遠で関数全体のなす C*-環
$C_{0}(\mathbb{R})$$C_{0}(\mathbb{R})$と同型になる。 このとき、$\mathbb{R}$

$0$

になる

$\mathbb{R}$上の連続の 1 次元既約ユニタリ表現と、の極大イデアルが–対– に対応している。

$\hat{\mathbb{R}}\ni\pi_{p}\Leftrightarrow C_{0}(\mathbb{R}\backslash \{p\})\subset C_{0}(\mathbb{R})$ただし、: $t-+e,$$titp\in \mathbb{R}$$\pi_{P}$.

この例のように、 一般に $C^{*}(G)$ のイデアルを決定すること、 あるいは (組成列の) 構造を決定することは、 $G$ の表現論と深く関係している。 したがって、 $C^{*}(G)$ の構造を決定することにより、 これまで得られていなかった $G$ の既約ユニタリ表現を作れる可能性
もある。

32

ここで、 リー群のクラスをいくつか上げておく。

I 型の群 : コンパクト群、 可換群、連結巾零リー群、連結半単純リー群

I 型または non type I の群 : 連結可解り $-$ 群、 離散群
任意の単連結可解リー群は、連続する$\mathbb{R}$の半直積$\mathbb{R}\rangle\triangleleft \mathbb{R}_{\lambda\cdots\rangle}\triangleleft \mathbb{R}$の形をしている。 また、群が non tyPe I のときは、 Dixmier の結果で互いに非同値な既約ユニタリ表現の同値類が連続無限個存在することが証明されている。従って、群の全ての既約ユニタリ表現を構或することは非常に困難である。非 I 型の典型例として、 Mautner 群$\mathbb{C}^{2}\rangle\triangleleft \mathbb{R}$

が知ら

れている。

この講演では、実数群になっている ) 一半直積$\mathbb{R}$の複素ベクトル群$\uparrow$$\mathbb{C}^{n}\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{R}$$\mathbb{C}^{n}$上の自己同型としての作用 \alpha がり一作用の $c*$ -群環の構造について主に述べる。 ここで、 $C^{*}-$

環の構造とは、 $c*$ -環の組成列の構成と、その各剰余 $c*$ -環の構造のことを意味する。この意味で、$C^{*}$$C^{*}$-環の構造に関する有名な結果として、 $c*$ -環が I 型である必要十分条件は、-環が適当な組成列を持ち、 その各部分剰余る。 これと類似の結果を$\mathbb{C}^{n}\rangle\triangleleft \mathbb{R}$$C^{*}$-環が continuous trace を持つことであの C*-群環の場合にあたえるのが、今回の話の中心である。

(2) 研究方法と具体例
ここで考えるリー半直積は、.

$G=\mathbb{C}^{n}\lambda_{\alpha}\mathbb{R}$

ただし、$\alpha$は、$\mathbb{R}$の複素ベクトル群$\mathbb{C}^{n}$

上のリー作用で、写像$\mathbb{R}\ni t_{\text{ト}}arrow\alpha_{t}\in \mathrm{G}\mathrm{L}n(\mathbb{C})$33

は可微分なリー群の準同型である。 $G$ の接合積 (変換$\mathrm{C}^{*}$-群環) に同型である$\mathrm{C}^{*}$-群環 $C^{*}(G)$ は、 $G$ が半直積なので、次の$(\mathrm{c}\mathrm{f}.[\mathrm{B}\mathrm{l}])$$\mathrm{C}^{*}-$。

.

$C^{*}(G)\cong c*(\mathbb{C}^{n})\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{R}$さらに、$C^{*}(\mathbb{C}^{n})$からへのフーリエ変換をもちいて、 この接合積は、次と同型に$C0(\mathbb{C}^{n})$なる。

.

$C^{*}(\mathbb{C}^{n})\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{R}\cong C0(\mathbb{C}n)\rangle\triangleleft_{\hat{\alpha}}\mathbb{R}$

ただし、$\hat{\alpha}$は、次で定義される$\mathbb{C}^{n}$

上のり $-$ 作用である$\langle\alpha_{t}(z)|w\rangle=\langle z|\hat{\alpha}_{t}(w)\rangle,$

ここで、

:

. $t\in \mathbb{R},$ $z,$

$w\in \mathbb{C}^{n}$$z=(z_{i}),$ $w=(w_{i})\in \mathbb{C}^{n}$ は、$\langle z|w\rangle=e^{i{\rm Re}(\Sigma z\overline{w}_{i})}i,$$\mathbb{C}^{n}$の character で、${\rm Re}(\cdot)$は実数部分である。
さらに、 もし$K_{1}$

が$\mathbb{C}^{n}$の$\hat{\alpha}$-不変な閉集合とすると、次の完全列がえられる :$0arrow C_{0}(\mathbb{C}^{n}\backslash K_{1})\rangle\triangleleft \mathbb{R}arrow C_{0}(\mathbb{C}n)\lambda_{\hat{\alpha}}\mathbb{R}arrow c_{0}(K_{1})\rangle\triangleleft \mathbb{R}arrow 0$

さらに、$K_{2}$

が$\mathbb{C}^{n}\backslash K_{1}$の\alpha ^-不変な閉集合とすると、 次は完全になる:$0arrow C_{0}(\mathbb{C}^{n}\backslash (K_{12}\cup K))\rangle\triangleleft \mathbb{R}arrow C_{0}(\mathbb{C}^{n}\backslash K_{1})\rangle\triangleleft_{\hat{\alpha}}\mathbb{R}arrow C_{0}(K_{2})\mathrm{x}\mathbb{R}arrow 0$

帰納的に、$\mathbb{C}^{n}$の互いに素な -不変な部分空間の列:$\hat{\alpha}$$K_{1},$ $K_{2},$と $C^{*}(G)$ の部分剰余$\mathrm{C}^{*}$-環の列が対応する:$C_{0}(K_{1})n\mathbb{R},$このような$\mathbb{C}^{n}$$\cdots$の部分空間の列$\{K_{j}\}$$C_{0()}K2\rangle\triangleleft \mathbb{R},$$\cdots$,と、それに対応する各変換

構造がわかれば、元の $C^{*}(G)$ の構造がわかったことになる。

$\mathrm{C}^{*}$-群環$C_{0}(K_{j})\lambda_{\hat{\alpha}}\mathbb{R}$の34

例 2.1.

の場合を考える。 このとき、作用 は次のタイプにわかれる$G=\mathbb{C}\lambda_{\alpha}\mathbb{R}$$\alpha$(1) Trivial の場合::(3) 螺旋的の場合 :(4) 回転の場合 :(2) 放射的の場合$\alpha_{t}(z)=z,$$t\in \mathbb{R},$$\alpha_{t}(z)=e^{\mu}t_{Z},$$\alpha_{t}=e(\mu+i\theta)t$は$\mathbb{C}$の乗法群$\mathbb{C}^{\cross}$.

$\mu\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$$\alpha_{t}(z)=e(\mu+i\theta)t\chi,$$\alpha_{t}(z)=e^{i\theta t_{Z}},$$z\in \mathbb{C}$.

$\mu,$ $\theta\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$$\theta\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$の元で、$\alpha_{t}$

:

.

.

の $t=0$ での微分は、 $\frac{d\alpha}{dt}|_{t=0=\mu}+i\theta$.

さらに、 $C^{*}(G)$ の構造を考えるときは、 $\mu=1=\theta$ としてよい。実際に、上の各場合に対応して、次の完全列がえられる(1)(2), (3)(4)

ただし、$\mathrm{K}$:$c^{*}(G)\cong c_{\mathrm{o}(\mathbb{C}\mathbb{R})}\cross$,$0arrow C(\mathrm{T})\otimes \mathrm{K}arrow C^{*}(G)arrow C_{0}(\mathbb{R})arrow 0$$0arrow C_{0}(\mathbb{C}\backslash \{0\})\otimes \mathrm{K}arrow C^{*}(G)arrow C_{0}(\mathbb{R})arrow 0$.

は、可算無限ヒルベルト空間上のコンパクト作用素の全体のなす C*-環である。

上の理由を簡単に説明する。 (2), (3), (4) の場合では、動点になっているので、次の完全列がえられる$\mathbb{C}$の原点が、 閉集合かつ の不$\hat{\alpha}$:$0arrow C_{0}(\mathbb{C}\backslash \{0\})\rangle\triangleleft \mathbb{R}arrow C_{0}(\mathbb{C})\mathrm{x}_{\hat{\alpha}}\mathbb{R}arrow C_{0}(\mathbb{R})arrow 0$

さらに、 (2), (3) の場合は、作用 \alpha が$\mathbb{C}\backslash \{0\}$で自由で、 さらに wandering, つまり、の任意のコンパクト集合 $K$ に対して、集合が$\{t\in \mathbb{R}|\alpha_{t}(K)\cap K\neq\emptyset\}$

クトになっているので、 Green の結果 [Grl] より、次の同型がえられる$\mathbb{R}$$\mathbb{C}\backslash \{0\}$で相対コンパ

:.

$C_{0}(\mathbb{C}\backslash \{0\})x\mathbb{R}\cong C(\mathbb{C}\backslash \{\mathrm{o}\}/\mathbb{R})\otimes \mathrm{K}\cong c(\mathrm{T})\otimes \mathrm{K}$ただし、$\mathbb{C}\backslash \{0\}/\mathbb{R}$は、$\mathbb{R}$による$\mathbb{C}\backslash \{0\}$の軌道空間で、 トーラス$\mathrm{T}$に位相同型である。

35(4) の場合は、作用 が回転であることより、$\hat{\alpha}$$C_{0}(\mathbb{C}\backslash \{0\})\rangle\triangleleft \mathbb{R}\cong C\mathrm{o}(\mathbb{R})\otimes(c(\mathrm{T})\rangle\triangleleft \mathbb{R})$さらに、作用 が$\hat{\alpha}$$\mathrm{T}$.

上推移的であることと、 C*-群環に関する Green の imprimitivity 定

理 [Gr2] を用いて、$C(.\mathrm{T})\rangle\triangleleft \mathbb{R}\cong c(O(z))*\mathbb{R}\cong C(\mathbb{R}/\mathbb{R}_{z})\rangle\triangleleft \mathbb{R}$.

$\cong C^{*}(\mathbb{Z})\otimes \mathrm{K}(L^{2}(\mathrm{T}))\cong C(\mathrm{T})\otimes \mathrm{K}$

ただし、 $O(z)$ は、として、$z\in \mathrm{T}$の\alpha ^ による軌道で、$C_{0}(\mathbb{R})\otimes C(\mathrm{T})\cong c_{0}(\mathbb{C}\backslash \{0\})$$\mathbb{R}_{z}$は$z$の\alpha ^ に関する固定群である。 また、注.

上の議論は、 さらに–般のリー半直積$G=\mathbb{C}^{n}\rangle\triangleleft \mathbb{R}$の場合に–部応用が効く。すなわ

ち、 $G$ が I 型になる場合と、 そうでない場合の $C^{*}(G)$ の I 型部分剰余 C*-環の構造が解析できる。 また、後で述べる主定理からは、 $C^{*}(G)$ が I 型であることと、 CCR であること、 すなわち軌道空間$\mathbb{C}^{n}/\mathbb{R}$が$T_{1}$

空間になっていることが同値であることがわかる。

例 2.2. 次に $G$ が non type I になる場合の典型的な例として、 Mautner 群$G=\mathbb{C}^{2_{\lambda_{\alpha}}}\mathbb{R}$を考える。 ただし、$\alpha_{t}(_{Z_{1}}, \mathcal{Z}_{2})=(e^{i}Z1, e\mathcal{Z}_{2})ti\theta t$

フーリエ変換を用いて、,$z_{1},$$C^{*}(c)\cong C_{0}(\mathbb{C}^{2})\rangle\triangleleft_{\hat{\alpha}}\mathbb{R}$$z_{2}\in \mathbb{C},$ $t\in \mathbb{R},$. 次に$\mathbb{C}^{2}$$\theta\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$の原点 02 が、.

$\mathbb{C}^{2}$の閉集合で、$\hat{\alpha}$の不動点になっているので、次の完全列がえられる :$0arrow C_{0}(\mathbb{C}^{2}\backslash \{0_{2}\})\chi \mathbb{R}arrow C^{*}(G)arrow C_{0}(\mathbb{R})arrow 0$

さらに、$(\mathbb{C}\backslash \{0\})\cross\{0\},$$\{0\}\cross(\mathbb{C}\backslash \{0\})$が、$\mathbb{C}^{2}\backslash \{0_{2}\}$.

の互いに素な\alpha ^-不変な閉集合で

あるので、

.

$0arrow C_{0}((\mathbb{C}\backslash \{0\})^{2})\rangle\triangleleft \mathbb{R}arrow C_{0}(\mathbb{C}^{2}\backslash \{0_{2}\})\rangle\triangleleft \mathbb{R}arrow\oplus^{2}C_{0}(\mathbb{C}\backslash \{0\})\rangle\triangleleft \mathbb{R}arrow 0$

36

また、

$\mathbb{R}$の$\mathbb{C}\backslash \{0\}$上の作用は回転なので、 例 2.1 より、$C_{0}(\mathrm{c}\backslash \{0\})\rangle\triangleleft \mathbb{R}\cong C_{0}(\mathbb{C}\backslash \{0\})\otimes \mathrm{K}$は$(\mathbb{C}\backslash \{0\})^{2}$.

上多重回転になっているので、.

$C_{0}((\mathbb{C}\backslash \{0\})^{2})\rangle\triangleleft \mathbb{R}\cong c_{0}(\mathbb{R}_{+}2)\otimes(c(\mathrm{T}2)\rangle\triangleleft \mathbb{R})$

さらに、
るので、

$\hat{\alpha}$は$\mathrm{T}^{2}$

上自由に作用していて、$C(\mathrm{T}^{2})\rangle\triangleleft \mathbb{R}$

次がわかる

は葉層

$\mathrm{C}^{*}$$\mathrm{T}^{2}$は小乱構造 (Kronecker folitaion) をもってい-環になっていることがわかる$(\mathrm{C}\mathrm{f}.[\mathrm{c}_{\mathrm{n}]}, [\mathrm{M}\mathrm{S}])$:$C(\mathrm{T}^{2})\mathrm{x}\mathbb{R}\cong(C(\mathrm{T})\rangle\triangleleft \mathbb{Z})\otimes \mathrm{K}--\mathfrak{U}_{\theta}\otimes \mathrm{K}$ただし、$\mathfrak{U}_{\theta}$. このとき、.

は非可換トーラス。

(3) 主定理について
ここでは、一般の場合、$G=\mathbb{C}^{n}\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{R}$を考える。 まず最初に次の図式が可換であることに注意する。
$\mathbb{R}rightarrow\alpha \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathbb{C})$$\uparrow\exp$$\uparrow$$\mathbb{R}arrow \mathrm{d}\alpha \mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$

すなわち、 $\alpha_{t}=\exp(td\alpha)$ .
られ、 この基底を$\mathbb{C}^{n}$$\mathbb{C}^{n}$$t\vdasharrow\alpha_{t}$$t-+td\alpha$の適当な基底をとることにより、 d\alpha の Jordan 標準形がえの標準基底とみなすと次の対角和に等しい$\mathrm{d}\alpha=\oplus\oplus(\oplus_{i=2}^{l}(_{0}^{\lambda_{i}}1$:

ただし、 $\lambda_{1k}(1\leq k\leq n_{1}),$ $\lambda_{i}(2\leq i\leq l)$ は d\alpha の固有値。 このとき$\hat{\alpha}_{t}=\oplus$($\cdot\cdot$.

$e^{t\overline{\lambda_{1n_{1}}}}0$)$\lambda_{i}0))$$.\cdot..\cdot$.

$\cdot 1^{\cdot}$$\text{、}$$\oplus(\oplus_{i=2}^{l}e^{t}\overline{\lambda_{i}})$37

一般の場合は、 上の形の作用を解析することになるが、 その変換 C*-群環の構造を考える上では、以下の二つの特殊な、対角と非対角の場合の解析が本質的であることがわかる。

対角の場合.
まず最初に、 Cn 上で\alpha ^ が対角の場合。 すなわち、$\mathrm{d}\alpha=$$\hat{\alpha}_{t}=-$のときは、$\lambda_{1}=0$.

$c_{0}(\mathbb{C}^{n})\rangle\triangleleft \mathbb{R}\cong C0(\mathbb{C})\otimes(C_{0}(\mathbb{C}^{n}-1)\rangle\triangleleft \mathbb{R})$従って、すべての

$i$

に対して、

不変な開部分空間$\lambda_{i}\neq 0$とする。

$(\mathbb{C}\backslash \{0\})^{n\text{への}}\hat{\alpha}$の制限に対応する接合積$C_{0}((\mathbb{C}\backslash \{0\})^{n})\lambda_{\hat{\alpha}}\mathbb{R}$の解析が本質的なので、 以下で、 d\alpha の固有値\mbox{\boldmath $\lambda$}, が全て純虚数の場合と、 そうでない場合にわけて考察する。

\mbox{\boldmath $\lambda$}, が全て純虚数の場合は、$\hat{\alpha}$が各直和因子の半径方向には作用していないので、$C_{0}((\mathbb{C}\backslash \{0\})^{n})\rangle\triangleleft \mathbb{R}\cong c_{0}(\mathbb{R}^{n}+)\otimes(c(\mathrm{T}n)\rangle\triangleleft \mathbb{R})$

このとき、$C(\mathrm{T}^{n})\lambda \mathbb{R}$は foliation$\mathrm{C}^{*}$.

-環とみなせて、 次がなりたつ$([\mathrm{M}\mathrm{S}1)$:$C(\mathrm{T}^{n})\mathrm{x}\mathbb{R}\cong(c(\mathrm{T}^{n}-1)\lambda \mathbb{Z})\otimes \mathrm{K}$

ここで、

として、
$\theta_{i}$が$C(\mathrm{T}^{n-1})\lambda \mathbb{Z}\equiv \mathfrak{U}\ominus$$\theta_{i}$$\mathbb{Q}$が$\mathbb{Q}$は、高次元非可換トーラスである$(\mathrm{c}\mathrm{f}.[\mathrm{R}\mathrm{f}2])$. ここで、$\overline{\lambda_{i}}=i\theta_{i}$上独立な場合と、 そうでない場合にわける。

:

上独立な場合 このとき、高次元非可換トーラス U ーは単純で、 Elliott と Q. Linの結果 [EL] により、 AT-環になっている。

38\theta , が$\mathbb{Q}$

上独立でない場合

全列がえられる$([\mathrm{B}1])$: このとき、作用の形から、 ある自然数$P$に対して、次の完:$0arrow C_{0}(\mathbb{R})\otimes(C(\mathrm{T}^{n})\rangle\triangleleft \mathbb{Z}_{p})arrow C(\mathrm{T}^{n})\rangle\triangleleft \mathbb{Z}arrow C(\mathrm{T}^{n})\lambda \mathbb{Z}_{p}arrow 0$

非対角の場合.
次に、 \alpha ^が Cn 上で非対角の場合を考える。 すなわち、$d\alpha=$$\hat{\alpha}_{t}=e^{t\overline{\lambda}}$\mbox{\boldmath $\lambda$}が non zero かつ純虚数でない場合は、$\mathbb{C}^{n}$の\alpha ^不変な開部分空間$\mathbb{C}^{n-1}\cross(\mathbb{C}\backslash \{0\})$への\alpha ^ の制限に対応する接合積の解析が本質的で、 制限した\alpha ^ は自由かつ wandering になっているので、 Green の結果 [Grl] を用い、 かつ\alpha ^ の軌道を解析して、次がいえる:$C_{0}(\mathbb{C}n-1\cross(\mathbb{C}\backslash \{0\}))\cross_{\hat{\alpha}}\mathbb{R}\cong c0((\mathbb{C}n-1\cross(\mathbb{C}\backslash \{0\}))/\mathbb{R})\otimes \mathrm{K}$.

$\cong C_{0}(\mathbb{C}n-1\mathrm{x}\mathrm{T})\otimes \mathrm{K}$\mbox{\boldmath $\lambda$}が zero または純虚数の場合は、$\mathbb{C}^{n}$上の\alpha ^-不変な開部分空間$\mathbb{C}^{n-1}\cross(\mathbb{C}\backslash \{0\})$へのの制限に対応する接合積の解析が本質的で、制限した\alpha ^ は自由かっ wandering であるので、 Green の結果を用い、 かつ\alpha ^ の軌道を解析することにより、次がなりたつ$c_{0(\mathbb{C}}n-1\cross(\mathbb{C}\backslash \{0\}))\rangle\triangleleft \mathbb{R}\cong C_{0}((\mathbb{C}n-1\cross(\mathbb{C}\backslash \{0\}))/\mathbb{R})\otimes \mathrm{K}$$\cong c_{0(\mathbb{C}}n-2\cross \mathbb{R}\cross(\mathbb{C}\backslash \{0\}))\otimes \mathrm{K}$以上の議論をさらに組み合わせることにより、次がえられる :

:

39

主定理.

$G=\mathbb{C}^{n_{\lambda_{\alpha}}}\mathbb{R}$をり $-$ 半直積とすると、 $C^{*}(G)$ の有限組成列$\{2_{j}\}_{j=}^{K}1$が存在して、

各 subquotient $3_{j}/2_{j-1}$ は次に同型である。

$3_{j}/2_{j-1}\cong$$0\leq n_{0}\leq n$,$0\leq s_{j},$ $t_{j}\leq n-n_{0}$$2\leq u_{j}\leq n-n_{0}$

ただし、$n_{0}$,,$s_{j}+t_{j}+1\leq n-n_{0}$,$s_{j}+u_{j}\leq n-n_{0}$.

はぬの zero ジョルダンブロックの数で、 $u$ はぬの zero 固有値に対応するジョルダンブロックの数。二番目の場合は、$\mathbb{C}^{n}$のある$\hat{\alpha}$nonzero かつ純虚数でないとき、 三番目の場合は、不変部分空間上でぬのある固有値が$\mathbb{C}^{n}$のある 不変部分空間上で$\hat{\alpha}$ての固有値か\sim ero または、純虚数だが\alpha ^ が回転的でないとき。四番目はある部分空間上で回転的であるとき。

$\Theta=(i_{1}, \cdots, i_{u_{j}})$として、$\mathbb{C}^{n}$$d\alpha$の全の\alpha ^不変$\mathfrak{U}_{\ominus(i\cdots,i)}2,u_{j}=C(\mathrm{T}^{u_{j}})\rangle\triangleleft\ominus \mathbb{Z}$,は高次元非可換トーラス。

定理の系として、次がすぐにわかる :系. リー半直積$G=\mathbb{R}^{n}n\mathbb{R}$に対して、 $C^{*}(G)$ の有限組成列$\mathfrak{D}_{j}/\mathfrak{D}_{j1}-\cong$$0\leq n’\leq n$,$0\leq s_{j},$ $t_{j}\leq$1\leq u_{j}\leq n-n’$

ただし、$\Omega_{j}$は、,$\mathbb{C}^{n’+s_{j}}\cross(\mathbb{C}\backslash \{0\})^{t_{j}}\mathrm{x}\mathbb{R}$$\{\mathfrak{D}_{j}\}$が存在して、$j=Kf1\leq oro_{or}r’ j\leq K-1$

n-n’$

,

$s_{j}+t_{j}+1,$ $s_{j}+u_{j}\leq n-n’$

または、

.

$\mathbb{C}^{n’+s_{\mathrm{j}}}\cross(\mathbb{C}\backslash \{0\})^{t_{j}}\cross \mathbb{R}$分空間で、 $0\leq s_{j},$ $t_{j}\leq n$ –n’ かつ $s_{j}+t_{j}+1\leq n$ -n’ で、$\Omega_{j}’$(は$\mathbb{C}^{n’+s_{j}}\mathrm{x}\mathbb{R}_{+}^{u_{j}}$

のある閉部
のある閉部

40

分空間で、 $2\leq u_{j}$ \leq n--n’ かつ $s_{j}+u_{j}\leq n-n’$ .
ないとき、$\mathfrak{B}_{j}$) は単純で、 それが単純ではそれ自身か、 その quotient を意味する。

略証.

$\tilde{G}=\mathbb{C}^{n}n_{\overline{\alpha}}\mathbb{R},\tilde{\alpha}_{t}(x+iy)=\alpha_{t}(x)+i\alpha_{t}(y),$分

は d 不変で、$\mathbb{R}^{n}$$\mathfrak{U}_{\ominus(i_{2},\cdots,i_{u_{j}}}$$\mathbb{C}^{n}$$x,$ $y\in \mathbb{R}^{n}$とする。 このとき、 実数部で閉であるから、次の完全系列が得られる :$0arrow C_{0}(\mathbb{C}^{n}\backslash \mathbb{R}^{n})\rangle\triangleleft_{\overline{\alpha}^{\wedge}}\mathbb{R}arrow C^{*}(\tilde{G})arrow C^{*}(G)arrow 0$$C^{*}(\tilde{G})$の構造は主定理によりわかっているので、 それをイデアルとからめて、 $C^{*}(G)$ の構造を得ることができる。 口
注. ここで、上の主定理とその系と、他の人の結果との位置関係を見ることにする。
$\bullet$

まず最初に、 Z’ep [Zp] は、 (proper)$ax+b- \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{p},$$G=\mathbb{R}\rangle\triangleleft \mathbb{R}$の場合を考察している。

次に、 Rosenberg [Rs] は、と、$G=\mathbb{R}^{n_{\lambda_{\alpha}}}\mathbb{R},$$\alpha_{t}(x_{i})=(e^{t}x_{i})$さらに、 Wang [Wg] は、$\mathrm{C}^{*}$$G=\mathbb{R}^{2}\rangle\triangleleft \mathbb{R}$(3 次元以下の単連結可解り $-$ 群全て) の場合の場合を考察している。

$G=\mathbb{R}^{n_{\rangle\triangleleft_{\alpha}}}\mathbb{R},$$\alpha t(x_{i})=(e^{ts_{i}}..xi),$$Si.\in \mathbb{R}$の場合に. Foliation-環のテクニックを駆使して $C^{*}(G)$ の構造を解析している。
$\bullet$より -般には、Green [Gr2] は、 $G$ が連結局所コンパクト群のとき、 $C^{*}(G)$ を任意の原始イデアルで割った剰余$\mathrm{C}^{*}$-環は、単純なイデアル、すなわち $C^{*}(G)$ の単純 subquotientをもち、 それは stable か、 または有限次元行列環であることを示している。
さらに、 Poguntke [Pg] は、 $G$ が連結リー群のとき、 $C^{*}(G)$ を任意の原始イデアルで割った剰余$\mathrm{C}^{*}$-環は、単純なイデアル、すなわち $C^{*}(G)$ の単純 subquotient をもち、 それは、有限次元行列環か、明している。 ただし、$\text{る}$。

$\mathrm{C}^{*}$-テンソル積$C^{*}(\mathbb{Z}^{n}, \sigma)$

また、 \mbox{\boldmath $\sigma$}が非退化と、$\mathrm{K}\otimes C^{*}(\mathbb{Z}^{n}, \sigma)(n\geq 0)$に同型であることを証は、非退化なコサイクル\mbox{\boldmath $\sigma$} をもつツイスト C*-群環であ$C^{*}(\mathbb{Z}^{n}, \sigma)$が単純は同値である。実際に、上の主定理の高次元

41

非可換トーラスは、適当なコサイクル\mbox{\boldmath $\sigma$} をとれば、次が成り立つ$\mathfrak{U}_{\Theta}=C(\mathrm{T}n-1)\chi \mathbb{Z}\cong c*(\mathbb{Z}n, \sigma)$:.

特に、 $n=2$ の場合は、$\mathfrak{U}_{\theta}=C(\mathrm{T})\rangle\triangleleft \mathbb{Z}\cong c^{*}(\mathbb{Z}^{2}, \sigma)$,$\sigma((X_{1,y_{1}}), (X_{2}, y2))=e^{2\pi}i\theta y1x2$$\bullet$$(x_{i}, y_{i})\in \mathbb{Z}^{2}(1\leq i\leq 2)$

また、 Niels Pedersen [Pd] は、次のことを示している:.

を連結り $-$ 群で、そのり $-$$G$

環が半単純リー環と、 cocompact な radical をもつり $-$ 環の直和とすると、 $C^{*}.(G)$ の有限が存在して、各 subquotient $3_{j}/3_{j-1}$ は generalized liminary である。 ただ

組成列$\{3_{j}\}$し、-環が I 型ならば、それが generalized liminary と liminary$\mathrm{C}^{*}$$(=\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{R})$は同値である。

注として、 主定理とその系は、 この Pedersen の結果の realization をあたえている。

(4) 応用
この章では、 まず、 stable rank と connected stable rank の走義と基本公式について述
べる$([\mathrm{R}\mathrm{f}1])$

半直積群. さらに、 これらめ基本公式と、上の主定理とその系を組み合わせて、$\mathbb{C}^{n}\mathrm{x}\mathbb{R},$$\mathbb{R}n*\mathbb{R}$$\dagger j-$の C*-群環の stable rank と connected stable rank の評価式をあたえる。
$\mathfrak{U}$を単位元を持つる。いま、$\mathfrak{U}$$\mathrm{C}^{*}$の $n$ 直和-環とする。単位元がない C*-環の場合は、その単位元付加を考え$\mathfrak{U}^{n}$の部分集合$L_{n}(\mathfrak{U})=$

このとき、$\mathfrak{U}$の stable rank,質を満たす最小の正整数$n${$L_{n}(\mathfrak{U})$を次で定義する$(a_{i}) \in \mathfrak{U}^{n}|\sum_{i=1}a_{i}a^{*}ni$$\mathrm{s}.\mathrm{r}(\mathfrak{U})$が$\mathfrak{U}$で可逆}.

と connected stable rank,

で定義される:で稠密である。

$L_{n}(\mathfrak{U})$が$L_{n}(\mathfrak{U})$が連結である。

$\mathfrak{U}^{n}$

$\{$

:

$)$

$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U}$.

は、 それぞれ次の性42

注として、 これらの ranks は、$\mathrm{C}^{*}$-環の同型不変量にはなっていない。 -方、 stable rankと connected stable rank の間には、 次の関係が成り立つ$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U})\leq \mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U})+1$:.

を局所コンパクト乃空間とするとき、次がえられる :$X$$\mathrm{s}\mathrm{r}(C_{0(}X))=[\dim X/2]+1:=\dim_{\mathbb{C}}X$

ただし、 $\dim X$ は、 $X$ の被覆次元で、&はガウス記号である。 -方、$[\cdot]$$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(C0(\mathbb{R}n))=\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(c(sn))=\{$$n=1$ ,

2
1

$n=2$ ,$[(n+1)/2]+1$
ただし、$S^{n}$

は、$n$次元球面である。 ちなみに、 この証明には、典的な結果を用いる$C^{*}$-環の完全列$([\mathrm{S}\mathrm{h}])$.

$n\geq 3$$S^{n}$のホモトピー理論の古.

$0arrow 2arrow \mathfrak{U}arrow \mathfrak{U}/2arrow 0$が与えられたとき、次がなりたつ$\mathrm{s}\mathrm{r}(3)\mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U}/3)\leq \mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U})\leq \mathrm{s}\mathrm{r}(\mathrm{C}\mathrm{i})$$\mathrm{V}\mathrm{S}\mathrm{r}(\mathfrak{U}/3)\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U}/2)$$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U})\leq \mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(2)\vee \mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U}/2)$

:

,

.

ただし、 V は最大値をあらわす。

また、 C*-環$\mathfrak{U}$と$\mathrm{K}$$\mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U}\otimes \mathrm{K})=2\wedge \mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U})$ただし、$\wedge$,$\bullet$$G$が単連結可解り $-$ 群のとき、

C*-環$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U}\otimes \mathrm{K})\leq 2$A$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U})$.

は最小値をあらわす ([Sh], [Ns]).

さらに、次の二つの結果が知られている$\bullet$:のテンソル積については、次がいえる$\mathfrak{U}$:$\mathrm{s}\mathrm{r}(C^{*}(G))=1$の $K_{1}$ 群が自明でないならば、とは同値である$G\cong \mathbb{R}$$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(\mathfrak{U})\geq 2([\mathrm{H}\mathrm{s}])$.

以上の基本結果と主定理を組み合わせると、次がなりたつ :$([\mathrm{S}\mathrm{T}2])$.

43

定理 4.1. り $-$ 半直積$G=\mathbb{C}^{n}\rangle\triangleleft \mathbb{R}$

2V

に対して、

$\dim_{\mathbb{C}}\hat{G}_{1}\leq \mathrm{s}\mathrm{r}(c^{*}(G))\leq\dim_{\mathbb{C}}\hat{G}_{1}+1$$2\leq \mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(c^{*}(G).)\leq\dim_{\mathbb{C}}.\hat{G}_{1}$.

特に、$\mathbb{C}^{n}$

,

$+1$

.

の\alpha ^ による不動点が原点だけならば、 つまり、 $\dim\hat{G}_{1}=1$ ならば、$\mathrm{s}\mathrm{r}(c^{*}(G))=2$,$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(c^{*}(G))=2$.

注. $G$ が Mautner 群の場合は、 $\dim\hat{G}_{1}=1$ .

主定理の系からは、 次が従う
定理 42. り $-$ 半直積:$G=\mathbb{R}^{n}\lambda \mathbb{R}$に対して、$\mathrm{s}\mathrm{r}(C^{*}(G))=2\vee\dim_{\mathbb{C}}\hat{G}_{1}$
$\{$

2V

$\dim_{\mathbb{C}}\hat{G}_{1}\leq \mathrm{s}\mathrm{r}(C^{*}(G))\leq\dim_{\mathbb{C}}\hat{G}_{1}+1$if
if$\dim\hat{G}_{1}$is even,$\dim\hat{G}_{1}$is odd.

$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(c^{*}(G))\leq 2\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{r}(c_{0}(\hat{G}1))=[(\dim_{\mathbb{C}}\hat{G}1+1)/2]+1$.

注意. 上の二つの定理の違いは、定理 4.1 の場合は、 $G\text{の次元が奇数_{で_{、}}か_{つ}\hat{G}}1$ の次元も奇数になることによる。

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