数理解析研究所講究録 1233 巻 2001 年 67-81

67
Algorithms for computing Grothendieck local residues–improvement with a rescue step–
S. Tajima(田島慎一)
Niigata Univ.(新潟大学工学部情報工学科)1
本稿では, 多変数留数 (Grothendieck local residues) の計算法と semi-quasihomogeneous な孤立特異点との関係について, 最近得た結果について述べる.
前半では, 多変数留数計算アルゴリズムの基本的構或を説明する. まず, \S 1 でアルゴリズムに用いる一諧

アルゴリズム) は, もともと, 孤立特異点での代数
的局所コホモロジーの構造を調べることを目的として考案したものであり, 論文 [5] 等で与えた構或法とはの偏微分作用素の構或法について述べる. この構或法 ($\mathcal{L}-$

導出の仕方も異なる. 従来の方法に比べ, 以下の様な特徴がある.

・偏微分作用素の係数部分を求める方法が簡単で, syzygy の計算を必要としない.

・イデアルの準素イデアル分解と組み合わせることが可能であり, 各既約或分ごとに必要な偏微分作用
素を構或することができる.
次に, \S 3 で, これらの一階の偏微分作用素を利用して実際に留数値を求めるアルゴリズムを与える. 多くの場合 (generic という意味でほとんどの場合), ここに述べるアルゴリズムで多変数留数の値を (少なくとも理論上は) 計算することができる. 偏微分作用素を構或する段階で中国剰余定理を用いているので, 論文[14], [16] で与えたアルゴリズムに比べ計算効率が良くなっている.
このように, 本稿の前半で与える多変数留数計算アルゴリズムは, 実用性も重視して構或したものである
で表す) がが数学的な意味で適用範囲に限界がある. 留数計算の対象となる代数的局所コホモロジー類 ($\sigma_{F}$

複雑な特異性を持ち, その代数的局所コホモロジー類を特徴づけるようなホロノミツク系が高々一階の偏微分作用素を用いただけでは与えることができず 2 階以上の偏微分作用素も必要となる場合には, この計算アルゴリズムを直接には使うことが出来ない.
後半では, \S 3 で与える多変数留数計算アルゴリズムがそのままでは利用できないような場合の留数計算
型の孤立特異点を取り上げ, 以下のような 2 通りの方法によりについて議論する. \S 4 で, 具体例として$E_{12}$

留数計算が可能であることを実際に示す.
・方法 1: 2 階の偏微分作用素を利用する.

・方法 2: 代数的局所コホモロジー$\sigma_{F}$の代わりに ($\sigma_{F}$に比べ極の位数力伏きい) 別の代数的局所コホモロジー類を用いる.
方法 2 による計算においては, データの入力の仕方を変えるだけで, \S 3 で与える留数計算アルゴリズム自体は変更せずにそのまま利用することになる (remedy 法).
最後の節では, 多変数留数計算に適した形を持つような 1 階の偏微分作用素の構或法 (を与え, その計算例を紹介する.
1 tajima@geb ge.niigata-u.ac$.\mathrm{j}\mathrm{p}$$\Re-$

アルゴリズム)68
1

代数的局所コホモロジー、類と 1 階の annihilator
変数 $z=(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n})$ を不定元として持つ有理数係数の多項式 $f1(z),$ $f_{2}(z),$$f_{n}(z)\in \mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$$\ldots,$の組 $F=\{fi(z), f_{2}(z), \ldots, f_{n}(z)\}$ であり正規列となるものが与えられたとする.
が生或するイデアルを$f1,$ $f_{2},$ $\ldots f_{n}$を $Z$ で表す. 但し,$X=\mathbb{C}^{n}$

$I$

これら

$n$

個の多項式

と置き, その零点集合 $V(I)=\{z\in X|f_{1}(z)=f_{2}(z)=\cdots=f_{n}(z)=0\}$と置いた.

上の正則関数のなす層をと置き, 零次元集合 $Z=V(I)$ に台をもっ代数的局所コホモロジー群のなす層をとおく. 正規列 $F$ に対し, 代数的局所コホモロジー類
を$X$$O_{X}$$\mathcal{H}_{[Z]}^{n}(O_{X})$$\sigma_{F}$$\sigma_{F}=[\frac{1}{f_{1}(z)f_{2}(z)\cdots f_{n}(z)}.]\in H_{[Z]}^{n}(O_{X})=\Gamma(X,H_{[Z]}^{n}(O_{X}))$

で定める.
零次元イデアル $I=(f1,$イデアル.

$I_{1}$$f_{2},$の準素イデアル分解を $.I=I_{1}\cap I_{2}\cap\cdots\cap I_{l}$ とする.
に対する零点集合を $Z_{:}=V(I_{1}.)$ と置く. コホモロジー詳の直和$f_{n}\rangle$$\ldots,$$\subset \mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$$\subset \mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$$H_{[Z]}^{n}(O_{X})$分解$H_{[Z]}^{n}(O_{X})=H_{[Z_{1}]}^{n}(O_{X})\oplus\cdots\oplus H_{[Z_{l}]}^{n}(O_{X})$に対応したコホモロジー類の直和分解を$\sigma_{F}$$\sigma_{F}=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots+\sigma_{l}$とする. ここでベクトル空間$\sigma$: は,$\Sigma$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\sigma:)=Z.\cdot$

をみたすコホモロジー類$\sigma:\in H_{[Z.]}^{n}.(O_{X})$である.

を $\Sigma=\{h(z)\sigma_{F}|h\in \mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]\}$ で定め $\Sigma_{:}=\Sigma\cap H_{[Z.]}^{n}.(O_{X})$ とおく. このとき,$\Sigma=\Sigma_{1}\oplus\Sigma_{2}\oplus\cdots\oplus\Sigma_{\mathrm{t}}$が成り立つ.

さて, 記号の準備がほぼ整ったので, これからこの節の本題に入る. コホモロジー類
因子 $\sigma:\in H_{[Z.]}^{n}.(O_{X})$ に注日し,$\sigma_{F}$

の

$i$

番目の直和

$Ann_{D}(\sigma:)=\{P\in D_{X}|P\sigma=0\}$と置く. 但しは,$D_{X}$

上で有理数係数の多項式を係数に持っような線形偏微分作用素全体のなす$X=\mathbb{C}^{n}$Weyl 代数である.
以下, AnnD(\sigma

紡阿垢襪茲Δ憤豎 の線形偏微分作用素を求める方法を考える. 一階の偏微分作用素$P=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}$に対し, $P$ の一階の部分を$v_{P}$

十顧 ),$p_{k}(z.)\in \mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$$z$で表すことにする.
$v_{P}=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}.\cdot$

いま, 一階の偏微分作用素 $P$ が, $P\sigma:=0$ を満たすとすると,$P(h\sigma:)=(Ph-hP)\sigma:+h(P\sigma:)=(v_{P}h)\sigma:$,$\forall h\in \mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$となる. このことから次を得る.

補題 ([17])$P\in D\mathrm{x}$はコホ干ロジー類 : を annihilate する一階の偏微分作用素であるとする. 次が成り$\sigma$

立つ.

(i)
(ii)

$P(\Sigma:)\subseteq\Sigma:$$v_{P}(h)\in I.\cdot$,,$\forall h\in I_{1}.$.

69
この補題の (i), (ii) の条件は実際には同値であることが分がる.

そこで, (ii) の条件を満たす$v\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\partial$

一が与えられたとする.
,,$p_{1}(z)_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}+\cdots+p,\Leftarrow)$$\partial z$$v\sigma_{i}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{c}\Leftarrow$$\partial z$)

なる $c(z)$ を用いて$\sigma_{i}$$P=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}-c(z)$とおけば, コホモロジー類 : を annihilate する一階の偏微分作用素 $P$ で, $v_{P}=v$ を満たすものが存在す
ることが分かる.
$\sigma$

一般に, 一階の偏微分作用素 $P,$

$Q$が与えられたと$\llcorner$,$\frac{\partial}{\partial z_{n}}+I\sim(z)$,$p_{k}(z)\in \mathbb{Q}[z_{1},z_{2}, \ldots, z_{n}]$$Q=q_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+q_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}+q_{0}(z)$,$q_{k}(z)\in \mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$$P=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots$+p、(z),

とおく. ここで, $p_{k}(z)=q_{k}(z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I_{1}.(k=1,2., , , , n)$ が成り立つとする.

$P-Q$

$=$

$\frac{\partial}{\partial z_{1}}(p_{1}(z)-q_{1}(z))+\cdots+\frac{\partial}{\partial z_{n}}(p_{n}(z)-q_{n}(z))$+顧 z)-q00)-(–\partial \partial pz11$+ \cdots+\frac{\partial p_{n}}{\partial z_{n}}-\frac{\partial q_{1}}{\partial z_{1}}-\cdots-\frac{\partial q_{n}}{\partial z_{n}}$$=l \chi_{1}(z)-q\mathrm{o}(z)-(\frac{\partial p_{1}}{\partial z_{1}}+\cdots+\frac{\partial p_{n}}{\partial z_{n}}-\frac{\partial q_{1}}{\partial z_{1}}-.

となる. 従って, 零階のる際には, 偏微分作用素$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}I\backslash \dot{.}$

$P$

$L-$

$D_{X}I_{\dot{\iota}}$$P$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} D_{X}I.\cdot$を法として一階の ann 市 ilator $P$ を構或すの各係数 $p_{k}(z)$ は, 多項式そのものでなくイデアルを取ったものとみなして, 作用素

2の生或する左イデアル\cdots-\frac{\partial q_{n}}{\partial z_{n}})$)$I.\cdot$にょる剰余$\mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]/I.\cdot$を求めればよいことになる.

アルゴリズム以下のアルゴリズムによりベクトル空間$\mathcal{L}_{i}=\{P|P=p_{1}(z)\frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}+\mu_{1}(z), P\sigma:=0,p_{k}(z)\in \mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]/I\dot{.}, k=0,1, \ldots, n\}$を求めることができる. この計算にはグレブナ基底を必要とするので, 多項式環
をあらかじめ入れておく.

$\mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$上に項順序$\succ$$\mathcal{L}-$アルゴリズム・イデアル.

のグレブナ基底 Gr(I:) がら標準的単項式基底

をベクトル空間$E_{I}.\cdot=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{e(z)|e(z)\in Mb_{I_{i}}\}$$I^{(2)}=\langle f_{1}^{2}, f_{2}^{2}, \ldots, f_{n}^{2}\rangle$のグレブナ基底$v\in V_{i}$$\mathrm{G}\mathrm{r}(I^{(2)}\dot{.})$$Mb_{I}.\cdot$を計算. 剰余空間$\mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]/I.\cdot$と同一視する.

$V_{i}= \{v=a_{1}(z)\frac{\theta}{\theta z_{1}}+\cdots a_{n}(z)\frac{\theta}{\theta z_{n}}|vg\in I\dot{.},\forall g\in \mathrm{G}\mathrm{r}(\wedge)\}$・イデアノレ.

$I_{i}$の準素イデアノレ分解を求める.

$I^{(2)}=I_{1}^{(2)}\cap I_{2}^{(2)}\cap\cdots\cap I_{l}^{(2)}$を求める. (但しここでイデアル$I^{(2)}.\cdot$

は

とイデアル

. を満たすもの)$\sqrt{I^{(2\rangle}}.\cdot=\sqrt{I_{1}}$に対し, 条件$\sum_{k}f_{1}(z)f_{2}(z)\cdots f_{k-1}(z)v(f_{k})(z)f_{k+1}(z)\cdots f_{n}(z)+a_{0}(z)f_{1}(z)f_{2}(z)\cdots f_{n}(z)\in I^{(2)}.\cdot$を満たす$a_{0}(z)\in E_{I}.\cdot$を求め, $P=v+a_{0}(z)\in \mathcal{L}\dot{.}$ を構或する.

$I^{(2)}.\cdot$

70
作用素の構成例$y\succ x$

を辞書式順序とする.
$f1(x, y)=(x^{2}+y^{2})^{3}+3x^{2}y-y^{3},$ $f_{2}(x, y)=x^{4}+(2y^{2}-2)x^{2}+y^{4}-2y^{2}+1$のグレブナ基底は $-256x^{12}+768x^{10}-864x^{8}+432x^{6}-81x^{4},$ $-448x^{10}+1040x^{8}-$$836x^{6}+231x^{4}+12x^{2}+6y-6$ で与えられる.
の準素イデアル分解は $I=I_{1}\cap I_{2}$ で与えられる. 但しの生或するイデアノレ

$I$

$I$

$I_{1}=(256x^{8}-768x^{6}+864x^{4}-432x^{2}+81,$ $-3776x^{6}+8016x^{4}-5748x^{2}+96y+1443\rangle,$ $\sqrt{I_{1}}=\langle 2y+1,4x^{2}-3\rangle$ ,$I_{2}=\langle x^{4},2x^{2}+y-1\rangle,$$\sqrt{2}=\langle y-1,x\rangle$$\mathbb{Q}[x, y]/I_{1}$の単項式基底は$x^{7},x^{6},$ $x^{5},$ $x^{4},$ $x^{3},$の単項式基底は $x^{3},x^{2},x,$ である.の 1 階の annihflator を計算すると, ベクトル空間
アルゴリズムを用いて$\sigma_{1}$

.
.
.
.
.
.
.
.
.

$x^{2},$

$x,$

$1$

,

$1$

$\mathbb{Q}[x,y]/I_{2}$$\mathcal{L}-$である.

$\mathcal{L}_{1}$の基底として次の 6個の作用素を得る.
$(-256x^{6}+108) \frac{\theta}{\theta x}+(-113984x^{7}+246672x^{5}-178524x^{3}+43227x)\frac{\theta}{\theta y}$$- \frac{1019392}{3}x^{7}+712960x^{5}-506400x^{3}+118656x$$(-1024x^{7}+432x)_{T_{l}^{\theta}}+(-381120x^{6}+824688x^{4}-596484x^{2}+144261) \frac{\theta}{\theta y}$$(-128x^{6}+72x^{2}) \frac{\theta}{\theta x}+(-40\mathfrak{W}0x^{7}+86544x^{5}-62604x^{3}+15147x)\frac{\theta}{\theta y}$$-123136x^{7}+258240x^{5}-183792x^{3}+43380x$$(-512x^{7}+288x^{3}) \frac{\theta}{\theta x}+(-133824x^{6}+289584x^{4}-209412x^{2}+50625)\frac{\theta}{\theta y}$$-444672x^{6}+927168x^{4}-657648x^{2}+155844$$(-256x^{6}+192x^{4}) \frac{\theta}{\theta ae}+(-42176x^{7}+91248x^{5}-65988x^{3}+15957x)\frac{\theta}{\theta y}$$-1341ux^{7}+280704x^{5}-199680x^{3}+47304x$$(-1024x^{7}+768x^{5})_{Tx}^{\theta}+(-141120x^{6}+305424x^{4}-220860x^{2}+53379) \frac{\theta}{\theta y}$$-486912x^{6}+1012224x^{4}-716256x^{2}+169776$

同様に$\sigma_{2}$の annihilator

を計算すると, ベクトル空間$\mathcal{L}_{2}$の基底として次の 3 つの作用素を得る.

$x_{T^{\partial}\overline{x}}-4x_{Ty}^{2\theta}- \frac{26}{3}x^{2}+4$$x_{Tae}^{2\theta}-4x^{3} \frac{\theta}{\partial y}-\frac{26}{3}x^{3}+4x$$x_{Tae}^{3\theta}+4x^{2}$

多変数留数 (Grothendieck local residue) の計算法

3

多変数留数 (Grothendieck local residue)${\rm Res}_{\beta}( \frac{g(z)dz}{f_{1}(z)f_{2}(z)\cdots f_{n}(z)})=\mathrm{R}\epsilon \mathrm{s}_{\beta}(g(z)\sigma_{F}(z)dz)$の計算アルゴリズムについて, その概略を述べる.
の準素イデアル分解
点 は, イデアル. での留数値の計算法を示す.
.
.
$=V(I_{1}.)$ に含まれるとし,の零点集合に現れるイデアル. に対する標準的な単項式基底をに項順序を入れ, 剰余多項式環と同一視する.
で定め,と置く. ベクトル空間: を.
$j\neq i$ が成り立つので,の直和分解を $\sigma F=\sigma_{1}+\cdots+\sigma:+\cdots+\sigma_{\ell}$ と置く. 定義より,. において, 次を得る.
$\beta$$\beta\in Z_{1}$$Z_{1}$$\mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots,z_{n}]$$\mathrm{M}\mathrm{b}_{I}.\cdot$$I=I_{1}\cap I_{2}\cap\cdots\cap I\dot{.}\cap\cdots\cap I_{\ell}$$I=\langle f1, f_{2}, \ldots, f_{n}\rangle\subset \mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]$$I_{1}$$\succ$$E_{I}$$\mathbb{Q}[z_{1},z_{2}, \ldots, z_{n}]/I_{1}$$E_{I}.\cdot=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{e(z) \in \mathrm{M}\mathrm{b}_{I}:\}$$\mathbb{Q}[z_{1}, \ldots, z_{n}]/I.\cdot$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\sigma_{\mathrm{j}})\cap Z_{1}$$\beta\in Z_{1}$${\rm Res}\rho(g(z)\sigma F(z)dz)={\rm Res}\beta(g(z)\sigma:(z)dz)$.

$=\emptyset,$$\sigma F$

71: と置くと, 更 [こここで,

$g_{i}(z)=g(z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I\dot{.}\in E_{I}$${\rm Res}_{\beta}(g(z)\sigma:(z)dz)={\rm Res}\beta(g:(z)\sigma:(z)dz)$

を得る.

simple な極における計算法 ([12], [13])3.1の場合は, : は全て一位の極のみからなるので, 偏微分作用素を用いないで留数値を計算できる.

$I_{i}=\sqrt{I_{i}}$$f_{1},$ $f_{2},$項式$\ldots,$$\sigma$の Jacobian$f_{n}$$b_{i}(z)\in E_{I}.\cdot$

と置くと,

を

$j_{F}(z)= \det(\frac{\partial(f_{1},\ldots,f_{n})}{\partial(z_{1},\ldots,z_{n})})$が存在する. 各点$j_{F}(z)\sigma_{i}(z)=\delta z_{:}$$\beta\in Z\dot{.}$と置くと,は simple であるのでが成り立つ. 但し,$\delta_{\beta}\in H_{[\beta]}^{n}(O_{X})$${\rm Res}_{\beta}(g(z)\sigma_{F}(z)dz)$$g\dot{.}(z)=b:(z)j_{F}(z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I_{i}$に台を持つデルタ函数$Z_{i}$は, 点$\beta$$\sum_{\beta\in Z_{i}}\delta\beta$を$\delta_{z_{:}}$に台を持つデルタ函数を表す.

$=$${\rm Res}_{\beta}(g:(z)\sigma:dz)$$=$${\rm Res}_{\beta}(b:(z)\delta_{z_{:}}dz)$—$b_{:}(\beta)$

,

となる多

$\beta\in Z$

:

を得る.
:

$j_{F,i}(z)=j_{F}(z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I\dot{.}\in E_{I}$に対しても$j_{F}(z)\sigma:(z)=j_{F,:}(z)\sigma:(z)$となるので,$b_{i}(z)$を求めるには, あらかじめ $j_{F,:}(z)$ を求めてから,$g.\cdot(z)=b:(z)j_{F},\dot{.}(z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$を解けばよい. これらの留数値の値が満たす方程式を求めるには,I.
$\cdot$$\sqrt{I_{i}}$と $t-b:(z)$ から生或されるイデアル$\tilde{I}.\cdot=\langle t-b:(z), \sqrt{I_{i}}\rangle\subset \mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}, t]$の生或元を求めればよい.
を消去して,|よ, $r_{i}(t)=0$ を満たすことになる.

を取り, 変数の留数値$t$$\tilde{I}_{\dot{\iota}}\cap \mathbb{Q}[t]$$z$$\tilde{I}\dot{.}\cap \mathbb{Q}[t]=\langle r\cdot(|t)\rangle$と置くと,$Z_{\dot{*}}$

上Q点$\beta$でsimple な場合の計算例
上の項順序として, 全次数辞書式順序 $(y\succ x)$ を入れる. 多項式$\mathbb{Q}[x, y]$$f1(x, y)=(x^{2}+y^{2})^{3}+3x^{2}y-y^{3},$ $f_{2}(x, y)=4x^{4}+(13y^{2}-36)x^{2}+9y^{4}-61y^{2}+80\in \mathbb{Q}[x, y]$の生或するイデアルを$I=\langle f1, f_{2}\rangle$とする. イデアル$I$の準素イデアル分解は $I=I_{1}\cap I_{2}$ で与えられる.

但し,$I_{1}$$=$$\langle x^{2}+y^{2}-5, -4yx^{2}+5y-125, -4x^{4}+25x^{2}+125y-25\rangle$,

I2

$=$

$\langle 4x^{2}+9y^{2}-16, -125x^{6}-1200x^{4}+(-2511y-3840)x^{2}+1296y-4096\rangle$

である. $g(x, y)=1+3x^{2}-54yx^{5}-34y^{7}$ に対し, $\beta\in V(I_{1}),$ $V$ (I2) における留数 ${\rm Res}_{\beta}(g(x, y)\sigma Fdx\wedge dy)$

をそれぞれ求めよう.
剰余空間$\mathbb{Q}[x, y]/I_{1}$の単項式基底はの単項式基底は, 剰余空間$j_{F}(x,y)$ はで与えられる.
Jacobian$\mathrm{M}\mathrm{b}_{I_{1}}=\{1,x, y, x^{2},yx, x^{3}\}$$\mathrm{M}\mathrm{b}_{I_{2}}=\{1, x,y,x^{2}, yx, x^{3}, yx^{2}, x^{4}, yx^{3},x^{5}, yx^{4}, yx^{5}\}$$\mathbb{Q}[x, y]/I_{2}$$f_{1},$$f_{2}\text{の}$$60yx^{7}+(180y^{3}-300y-48)x^{5}+(180y^{5}-600y^{3}+126y^{2}+216)x^{3}+(60y^{7}-300y^{5}+294y^{4}-948y^{2})x$72,$j_{F,1}(x,y)$$=$$-396x^{3}+(3750y+1860)x\in E_{1}\cong \mathbb{Q}[x, y]/I_{1}$$j_{F,2}(x,y)$$=$$(- \frac{2500}{27}y+\frac{1240}{27})x^{5}+(-\frac{16000}{27}y-\frac{488}{27})x^{3}+(-\frac{25600}{27}y-\frac{15296}{27})x\in E_{2}\cong \mathbb{Q}[x, y]/I_{2}$である. 関数 $g(x, y)$ は$\mathbb{Q}[x, y]/I_{1},$$\mathbb{Q}[x, y]/I_{2}$においてそれぞれ

1119875

1753093,$g_{1}(x,y)$$=$$\frac{3375}{2}x^{3}+\frac{31887}{4}x^{2}+(-\frac{675}{8}y+\frac{16875}{8})x-y-\overline{32}\overline{32}$$g_{2}(x, y)$$=$$-54yx^{5}+(- \frac{8704}{135}y+\frac{269824}{10125})x^{4}+(\frac{34816}{675}y-\frac{237637}{2025})x^{2}-\frac{974848}{3375}y+\frac{567181}{10125}$と表される.

今, $Z=V(I)$ の点は全て simple なので, $g:(x, y)=j_{F,:}(x, y)b:(x,y)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I.\cdot$ を満たす多項式 $b_{i}(x, y)$ ,$i=1,2$ が存在する. 具体的には,$b_{1}(x,y)=- \frac{18415150417}{369442314000}x^{3}-\frac{43604925}{328393168}x^{2}+(\frac{1738072607}{5911077024}y+\frac{15874034231}{49258975200})x-\frac{271237665}{656786336}y-\frac{94827375}{656786336}$$b_{2}(x,y)=+( \frac{\frac{50}{--873}566553815\frac 2346006274709309892y+7706523929640877601470252392825726074889856996015376813831287512187945374658625}{13649477403363113790196992})x^{3}+((-\frac{26482710702841324477025}{6824\frac{\frac{y-4717396637143}{58650156867732y+}473)5x^{4}443600026968457191920471738701681556895098496)x}{31198805493401402949021696}\tau^{2}}5$$+(- \frac{20672949450600425}{2346006274709309892}y+\frac{47840177590179836}{586501568677327473})x^{2}$$+(- \frac{713288188140260851322249}{3412369350840778447549248}y-\frac{19652602995100031404239433}{54597909613452455160787968})x$$+ \frac{5564250689513284}{586501568677327473}y+\frac{9144297432785600}{586501568677327473}$で与えられる. $b_{1}(x,y),$ $b_{2}(x, y)$ を用いれぼ, 極の座標の多項式として留数値を表現することができる. $V(I_{1})$における留数は, イデアル
$r_{1}(t)=$

と

の共通部分

の生或元
$44921051190564868660396032000000000t^{6}+128385503200273036345344000000000000t^{5}$$\tilde{I}_{1}=\langle t-b_{1}(x,y), I_{1}\rangle$$\mathbb{Q}[t]$$\tilde{I}_{1}\cap \mathbb{Q}[t]$$+116682750326091007175205594931200\alpha)00t^{4}+1875129970067947942120524096000000000t^{3}$$+4550338130202500232340036993446414000t^{2}+7059333913008154556534395254216000000t$+86688137222809537846128877612181031961
を用いると, 方程式 $r_{1}(t)=0$ の解となる. また,共通部分の生或元を求めると,$\tilde{I}_{2}=\langle t-b_{2}(x, y), I_{2}\rangle$

から変数 $x,y$ を消去し,$\mathbb{Q}[t]$との$\tilde{I}_{2}\cap \mathbb{Q}[t]$$r_{2}(t)=$$8555616185653591603592182096776820196589544502272041418752000000000000000000t^{12}$$-24452167971844932904027601633973290383526786799274819584\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{o}\alpha)\mathrm{m}00000000000000t^{11}$$+382317841021904388348743895080726471054776003113752766757994496\mathrm{m}000000000000t^{10}$$-38779521901975200346994612203723290041061158391518531460556180684800000000000t^{9}$$+29298580032539387994813749317487106679049822221506571784694150715146240000000t^{8}$$-16915021071201834008425487486205240884174974476104928087920666624686817280000t^{7}$$+750382^{\cdot}6885244274100521494668181465274073172581264064970927439589893679874048t^{6}$$-2290165283639325038683625193396202084645230682655187427340193784570998423552t^{5}$$+915081174444307250391706709639606481903267105472149313903118950805523333120t^{4}$$-179585451120\omega 22559552314356880693479\% 579574831805589645838678976444497920t^{3}$$+58\Re \mathrm{I}3693571078581939114118859455130384854304823868080529469894501316203264t^{2}$$-1177161247049123831952216101954166869238886433305758538993127303094240768t$$+1500420475001224970620044688547162109560541665144580737509332560010331921$
を得る. よって, $Z_{2}=V(I_{2})$ における留数値は, $r_{2}(t)=0$ を満たす. $r_{1}(t),$ $r_{2}(t)$ の計算には, FGLM 法 ([1])
を用いた (cf. [13]).

73
32$I_{i}\neq\sqrt{I_{i}}$コホモロジー類

なる場合$\sigma:\in H_{[Z\dot{.}]}^{n}(O_{X})$は, 各点において位数が 1 より大きいような極を持つことにな$\beta\in Z\dot{.}$での多変数留数 ${\rm Res}_{\beta}(g(z)\sigma:(z)dz)$ の計算法について基本的事柄を述べる.
ホロノミック系の理論を用いて計算アルゴリズムを導出していくことが基本である. この考え方白体は,論文 [12], [14], [16] 等のなかで説明してあるので, ここでは説明を繰り返さない. 以下, いままでの方法と異る.

このような点$\beta$なる点を中心に話を進めていく.
: の 2 つの部分ベクトル空間, $E:,J,$ $E:,K$ を次

まず, ベクトル空間 $E_{I}.\cdot=\{e(z)|e(z)\in Mb_{I}:\}$ に対し,

$E_{I}$

で定める.

ここで,
る.

$=$

{

$E_{:,K}$$=$$\{h(z)\in E\dot{.}|{\rm Res}_{\beta}(h(z)\sigma_{F}(z)dz)=0,\forall\beta\in Z\dot{.}\}$$b(z)j_{F,:}(z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$$E_{\sqrt{I}}.\cdot=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{b(z)| b(z)\in Mb\}\sqrt{I_{i}}$また, 同値類

I. $|b(z)\in E.\cdot$ }$E_{:,J}$$b(z)j_{F,i}(z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I\dot{.}$も,$\cdot$$\sqrt$であり, 剰余空間
による剰余をとり’$\mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]/\sqrt{I}\dot{.}$$E_{:}$$\mathrm{G}\mathrm{r}(I_{i})$,を表現するのに用いていに属する代表元を取ることで,$E_{:}$の要素とみなしている.
次が成り立つ.
補題$E_{I}.\cdot$は次のように直和分解される.
$E_{I}:=E:,J\oplus E:,K$.

とすると, $P$ は線で表すことにする. いま,偏微分作用素 $P$ に対し, その形式随伴作用素を. が定義できる. この事実を:を誘導するので, その双対を取ることで
形写像$P\in\epsilon_{:}$$P^{*}$$P^{*}$$P:\Sigma_{i}arrow\Sigma_{i}$$E_{I}.\cdotarrow E_{I_{*}}$

使って$E_{:,L}=\{P^{*}1|P\in\epsilon_{:}\}$

とおく. ここで,の作用を受けているのは $1\in E_{I}$: のみであることを注意しておく.
が成り立つ. この包含関係で等号が成り立つ条件を考えるため,$P^{*}$

一般に $E_{i,L}\subseteq E_{:,K}$$\Psi_{:}=\{\psi\in\Sigma:|P\psi=0\}$,$H.\cdot=\{h\in E_{I}.\cdot|v_{P}(h)\in I.\cdot,\forall P\in \mathcal{L}\dot{.}\}$

とおく.
補題 次が成り立つ.
$\Psi_{:}=\{h(z)\sigma:|h(z)\in H:\}$.

一般に $\dim\Psi_{i}\geq\# Z$: が成り立つが, 等号が成立する場合が重要となる.

補題 市$\mathrm{m}$: は $E_{:,K}=E_{:,L}$ が成り立つ必要十分条件である.

$\Psi_{i}=\# Z$

零点集合$Z_{i}$の相異なる点の個数はベクトル空間$E\sqrt{I}\dot{.}$の次元と等しいので, 次の結果を得る.

命題 次の (i), (ii) は同値である.

(i)$\dim H_{i}=\dim E_{\sqrt}.\cdot$(ii)$E_{i,K}=E_{i,L}$,

この命題の条件 (i) が満たされているとする. 点
うに計算出来る.

$\beta\in Z_{i}$での多変数留数${\rm Res}_{\beta}(g(z)\sigma_{F}(z)dz)$

はつぎのよ

74
まず,

$g_{\dot{\iota}}(z)=g(z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I_{1}$.

: の直和分解$\in E_{I}$

9:(z)=g:,J $(z)+g:,L(z)$ ,$\mathit{9}:,J\in E:,J,g_{1,}.L\in E:,L$を取る.
${\rm Res}_{\beta}(g(z)\sigma F(z)dz)={\rm Res}\rho(\mathit{9}:,J(z)\sigma:(z)dz)$

であるが,$\mathit{9}:,J\in E_{1}.,J$であるので,.

$g:,J(z)=b\dot{.}(z)j_{F,:}(z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I_{1}$を満たす$b_{:}(z)\in E_{\sqrt}.\cdot$が取れる. 点$\beta\in z_{:}$

の重複度を

$\mu$

: とおけば,${\rm Res}_{\beta}(\mathit{9}:,J(z)\sigma:(z)dz)=\mu:^{b}:(\beta)$

を得る. あとの計算は. の場合と同様であるのでここでは説明を略す.

$I_{\dot{\iota}}=\sqrt{|}$

重複を持った点における計算例 (cf. [16])辞書式順序 $x\succ y$ を入れる.
$f1=x^{6}+(y^{2}-3)x^{4}+(y^{4}+y^{2}+3)x^{2}+y^{6}-y^{4}+y^{2}-1,$ $f_{2}=x^{6}+(3y^{2}-3)x^{4}+(3y^{4}+3y^{2}+3)x^{2}+y^{6}-3y^{4}+$$3y^{2}-1$の生或するイデア$I_{3}=(y+1,x^{2}\rangle$,$J\mathrm{s}I$の準素イデア \sim 分解は$I4=\langle y-1,x^{2}\rangle,$$I_{1}=\langle y^{2},$$x^{3}-3x^{2}+3x-1$ ), $I2=\langle y^{2},x^{3}+3x^{2}+3x+1\rangle$ ,$I_{5}=((2y^{2}+3)x^{2}-y^{4}-2y^{2},2x^{4}-x^{2}+y^{4}+2,x^{2}-2y^{6}-3y^{4}-2y^{2}-4\rangle$

で与えられる.
$Z_{1}=V(I_{1})=\{(1,0)\}$に台を持つ代数的局所コホモロジー類$\sigma_{1}$の annihilator

を求めることにより,$\mathcal{L}_{1}$の基底として次の 7 個の作用素を得る.
$\bullet y_{T\overline{y}}^{\theta}+2$$\bullet yx_{\partial^{\theta}\overline{y}}+2x$$\bullet yx_{T^{\theta}\overline{y}}^{2}+2x^{2}$.

$\bullet(-x^{2}+1)\frac{\theta}{\theta x}-\frac{10}{3}x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{2}{3}$$(-yx^{2}+y) \frac{\theta}{\theta x}-\frac{10}{3}yx^{2}-\frac{10}{3}yx+\frac{2}{3}y$$\bullet(-x^{2}+x)_{T\overline{x}}^{\theta}-\frac{41}{12}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{12}$$\bullet(-yx^{2}+yx)\frac{\theta}{\theta ae}-\frac{41}{12}yx^{2}+\frac{1}{3}yx+\frac{1}{12}y$

これら 7 つの作用素の形式随伴を取り 1 への作用を計算することで, $E_{1,L}$ の基底 {1, $x,x^{2},y(5x^{2}+2x-$$1),y(37x-16)\}$ を得る. 点 $(1, 0)$ の重複度は 6 であり, $E_{1,L}=E_{1,K}$ が成り立つので, $E_{1}=E_{1,J}\oplus E_{1,L}$

での留数計算が可能となる.
論文 [16] で与えた留数計算の方法に比べ, 効率が良くなっている. ([16] の第 5 節を参照).

を得る. 従って, これらを用いて

4$E_{12}$$Z_{1}$

孤立特異点

この節では, 例として型特異点を取り上げ, Grothendieck local residue の計算法を議論する. 内容に型特異点を例として選んだ理由を述べておく. 今, $f$ は $X$ 上の正則関数 (の芽) であり,入る前にまず,$E_{12}$$E_{12}$$f(.z)=0$ が原点を孤立特異点として持っものとする.

$Z=V(I),$$\sigma_{F}=[\frac{1}{f_{1}f_{2}\cdots f_{n}}]\in \mathcal{H}_{[Z]}^{n}(O_{X})$上の偏微分作用素のなす層を $Dx$ と置き,と置く.

$\sigma_{0}$$f_{j}= \frac{\partial f}{\partial z_{\mathrm{j}}}(j=1,2, \cdots,n)$$\sigma_{F}$として,$I=\langle f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}\rangle$の直和或分で原点に台を持つものをの annihilator のなす左 $D_{X}$$\sigma_{0}$イデアルを Annっ,で表す. $X$$(\sigma_{0})$

と置く.

75
今,

$f$

が

を満たし, quasihomogeneous とならないとすると, $Annv(\sigma_{0})$ は高々 1 階の上生或することができない ([17]). 1, たがって, 本稿の \S 3 で述べたアルゴリズム$f\not\in\langle f1, f_{2}, \cdots, f_{n}\rangle_{0}$ann 市 ilator のみでは $D_{X}$を直接用いただけでは, 留数値 ${\rm Res}_{0}(g(z)\sigma_{0}(z)dz)$ を求めることができないことになる.
型特異点は, 典型的な semiquasihomogeneous 特異点であり, quasihomogeneous とならない特異点$E_{12}$を対象に留数計算を行なう理由である.
としては最も簡単なものといえる. このことが, この節での準素イデアル分解は,
以下, $X=\mathbb{C}^{2},$ $f(x,y)=x^{3}+y^{7}+xy^{5}$ と置く. イデアル
$E_{12}$$I=\langle f_{x}, f_{y}\rangle$$I=I_{0}\cap I_{1}$

であり,

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

$I_{0}$となる.

ここで, $I_{0}=\langle-y^{8}, -5y^{4}x-7y^{6},3x^{2}+y^{5}\rangle,$の零点集合$Z_{0}$

は原点

$O$

からなる.

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{y^{3}x, y^{2}x, yx, x, y^{7}, y^{6}, y^{5}, y^{4}, y^{3}, y^{2}, y, 1\}$

原点

$O$

$I_{1}=\langle 25y+147,3125x+151263\rangle$の重複度 (Milnor 数) は 12 であり, $E_{0}=$である. 烏は, 次の 14 個の微分作用素で生或される.

$(84yx \frac{\partial}{\partial x,9y}+42y\frac{1953125}{y^{6}-15564962}\frac{781}{51058,+}+\frac{3125}{7203,-}\frac{125}{349+})-^{7}\frac{488281250+5y^{4})}{48049039854}+\frac{1952502_{\frac{\partial}{\partial y31}+(}}{3268642167}\frac{3906257y^{3}-}{22235661}y\frac{84125215625y}{151263}y^{4}\frac{625y-}{1029}y\frac{X25}{7}y^{2}+420y$$5y^{2} \frac{\partial}{y^{7}\partial y}+\frac{78125}{\frac{(-78}{466948}1250y222356616881}y^{3}\frac{3125}{\frac{+1}{3176}5625y151263523}y^{2}-\frac{125}{\frac{}{21}6251029,609}y+\frac{5}{7}+\frac{x_{131250}\frac{\partial}{\partial x95}+2y^{3}}{68641485507}-+-5y^{4}+\frac{25)x}{147}y^{\mathrm{s}}+22y^{2}$$y^{4} \frac{\partial}{\partial y}+(-\frac{6250}{151263}y^{3}+\frac{250}{1029}y^{2}-\frac{10}{7}y)x-\frac{390625}{466948881}y^{7}+\frac{15625}{3176523}y^{6}-\frac{625}{7203}y^{5}+\frac{25}{49}y^{4}+6y^{3}$$y^{5} \frac{\partial}{\partial y}+(\frac{250}{1029}y^{3}-\frac{10}{7}y^{2})x+\frac{15625}{3176523}y^{7}-\frac{625}{21609}y^{6}+\frac{25}{49}y^{5}+6y^{4}$$y^{6} \frac{\partial}{\partial y}-\frac{10}{7}y^{3}x-\frac{625}{21609}y^{7}+\frac{25}{147}y^{6}+6y^{5}$$y^{7} \frac{\partial}{\partial y}+\frac{25}{147}y^{7}+8y^{6}$$(-252yx+35y^{4}) \frac{\partial}{\partial x}+30x\frac{\partial}{\partial y}+(-\frac{1953125}{155649627}y^{3}+\frac{78125}{1058841}y^{2}-\frac{3125}{7203}y+\frac{125}{49})x$$+ \frac{488281250}{480490398549}y^{7}-\frac{19531250}{3268642167}y^{6}+\frac{390625}{22235661}y^{5}-\frac{15625}{151263}y^{4}+\frac{625}{1029}y^{3}-\frac{25}{7}y^{2}-504y$$-7y^{2}x \frac{\partial}{\partial x}+2yx\frac{\partial}{\partial y}+(\frac{15625}{3176523}y^{3}-\frac{625}{21609}y^{2}+\frac{25}{147}y+7)x$$- \frac{3906250}{9805926501}y^{7}+\frac{156250}{66706983}y^{6}-\frac{3125}{453789}y^{5}+\frac{125}{3087}y^{4}-\frac{5}{21}y^{3}-14y^{2}-$$y^{2}x \frac{\partial}{\partial y}+(\frac{1250}{21609}y^{3}-\frac{50}{147}y^{2}+6y)x+\frac{78125}{66706983}y^{7}-\frac{3125}{453789}y^{6}+\frac{125}{1029}y^{5}-\frac{5}{7}y^{4}$$y^{3}x \frac{\partial}{\partial y}+(-\frac{50}{147}y^{3}+6y^{2})x-\frac{3125}{453789}y^{7}+\frac{125}{3087}y^{6}-\frac{5}{7}y^{5}$$(-21y^{2}x+5y^{5}) \frac{\partial}{\partial x}-15x-42y^{2}$$y^{6} \frac{\partial}{\partial x}+(\frac{625}{7203}y^{3}-\frac{25}{49}y^{2})x+\frac{125}{1029}y^{5}-\frac{5}{7}y^{4}$$y^{7} \frac{\partial}{\partial x}-\frac{25}{49}y^{3}x-\frac{5}{7}y^{5}\backslash$$y^{3}x \frac{\partial}{\partial x}+(\frac{3125}{151263}y^{3}-\frac{125}{1029}y^{2}+\frac{5}{7}y)x+\frac{625}{21609}y^{5}-\frac{25}{147}y^{4}+2y^{3}$

直接計算することで,$H_{0}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{1, y^{7}\}$となることが分かり,

点に台を持つデルタ函数である ([7], [17]). 従って,

$E_{0,L}$$\Psi_{0}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{\sigma_{0}, \delta_{0}\}$を得る. ここに,$\delta_{0}$は原は 10 次元ベクトル空間となり, $E_{0,L}\subset E_{0,K}$ となる.

E0,J\oplus 昂,L に属する必要十分条件は , $g(0,0)=0$ である. 従って, $g(0,0)=0$ なる場合には[こより留数値 ${\rm Res}(0,0)(g(x, y)\sigma_{F}dx\wedge dy)$ を求めることができる. 例えぼ $g(x,y)=x^{2}-y^{3}$のアノレゴリズム\S 3$g(x, y)\in E_{0}$ がのときに \S 3 のアノレゴリズムを用いて計算すると, ${\rm Res}(0,0)(g(x, y) \sigma_{F}dx\wedge dy)=\frac{24462500}{68641485507}$ を得る.
しかし $g(x, y)\in E_{0}$ が $g(0,0)\neq 0$ のときには, \S 3 の方法では留数値を計算できないことになる.

2 階の偏微分作用素を用いる方法
2 階の偏微分作用素 $P$ を次で決める.

76$P=- \frac{2}{5}yx_{\overline{\theta}x}^{\theta^{2}}\nabla+(\frac{43}{21}x\frac{\partial}{\theta y}+(-\frac{968750}{66706983}y^{2}+\frac{495625}{6353046}y+\frac{725}{6174})x+\frac{2375}{43218}y^{3}-\frac{95}{294}y^{2}-\frac{6}{5}y)\frac{\partial}{\theta x}+y_{\partial y}^{\partial^{2}}=$”$( \frac{15625}{7411887}x+\frac{50}{147}y" \frac{232}{21})\frac{\theta}{\theta y}$” $(- \frac{104980468750}{1153657446916149}y^{3}+\frac{23779296875}{70632088586703}y^{2}-\frac{390625000}{480490398549}y-\frac{2265625}{1089547389})x$$- \frac{12207031250000}{3561340538630151963}y^{7}+\frac{866699218750}{72680419155717387}y^{6}-\frac{73730468750}{494424620106921}y^{5}+\frac{3173828125}{10090298369529}y^{4}$”$\frac{100000000}{68641485507}y^{3}-\frac{19859375}{466948881}y^{2}+\frac{1669375}{6353046}y$$P$”$\frac{10175}{6174}$

は $P\sigma_{0}=0$ を満たすが, 更に, $Ann_{D}(\sigma_{0})=\langle P,I_{0}\rangle$ となることが示せる ([6]). 今,$P^{*}y^{3}x,$ $P^{*}y^{4},$ $P^{*}x^{3},$ $P^{*}yx^{2},$ $P$ “ $y^{2}x,$ $P^{*}y^{3}P^{*}x^{2},$

“

$yx,$
’
$P\sim$$P^{*}y^{2},$ $P^{*}x,$ $P^{*}y,$ $P^{*}1$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} I_{0}$を計算すると, これらは 11 次元ベクトル空間を張るので,$E_{0,K}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{P^{*}y^{4}, P^{*}x^{3}, P^{*}yx^{2},P^{*}y^{2}x, P^{*}y^{3}, P^{*}x^{2}, P^{*}yx, P^{*}y^{2}, P^{*}x, P^{*}y, P^{*}1\}$となる.

例えば, $g(x, y)=x^{2}-y^{3}+3$ に対し, 直和分解 $g(x,y)=g_{J}(x,y)+P^{*}(\varphi(x,y))$ を求めると,$g_{J}(x,y)= \varphi(x,y)=\frac{\frac{\frac{}{+-((8721650}2-\frac{3}{57}y^{2}-5932415540625102484228592929868}{23641433609269412181245152269}\frac{1012810596568621100^{j_{F}(x,y)}8644}{488417392415641500197200097668647885885y^{7}’-}y2063176125}{324556624491074985015824569680096}y^{3}\frac{+50834018}{7298110555181493,y^{4}+\frac{\frac{14264366698}{744565180438866893}28957)x23523918728366820_{93030910\epsilon^{y}}^{066820}1096715}{8140289873594025}}0+\frac{185154241157473100327724241}{+\frac{1472827202262075650967007}{2345380318379910483}y^{2}643693357646532686176}y^{5}$と$+ \frac{3395437780641652625}{344770906801846841001}y+\frac{847590950151676211875}{1064307789297301198170087}$

なる.

原点での重複度は 12 に等しいので, 求める留数値は,
この 2 階の作用素 $P$ はコホモロジー類$\sigma 0$$\frac{25932415540625}{72680419155717387}$に等しいことが分かる.

を決定するのにも用いることができる. 実際, 微分方程式を解くことで,$\sigma_{0}-\frac{--1}{0\epsilon\epsilon}\{4^{\frac{2161^{\frac{1}{12xy}-}785}{460948881}+\frac{+12}{210}}\frac{30617578125}{53125121804125746715,1485507\ae y\neg+}\frac{1220703125}{\overline,xyx\frac{31256032}{3176523}\neg y148327380763\pi 1-1}-\mathrm{z}yI\frac{48828125}{10\mathrm{O}90298369529,09ay51\neg}\ae y11\neg$$- \frac{5}{147}\approx^{\mathrm{v}_{y}^{1}\mathrm{v}}-\frac{9765625}{1441471195647}x=^{1}\overline{y}+\frac{390625}{9805926501}\overline{x}\tau^{1}\mathrm{v}y-\frac{15625}{66706983}\overline{x}y\tau^{1}\mathrm{v}$$\dagger_{\overline{x}}^{\frac{625}{453789}\tau_{y}^{1}\tau}-\frac{25}{3087}\overline{x}\mathrm{z}^{1}\pi+\frac{1}{21}\propto^{1}\sigma+y\overline{x}y\frac{3125}{9529569}$

となる.

古一

$\frac{125}{64827}\overline{x}y3\neg 1$

ここで用いた 2 階の微分作用素 $P$ は, \S 2 で与えた十$\frac{5}{441}\overline{x}\tau^{1}\pi y$

一$\frac{1}{63}!]\overline{x}\overline{y}$-アルゴリズムを 2 階の作用素の場合に拡張したア$\mathcal{L}$

ルゴリズムを用いて構或した. この構或法についてはここでは略す.

1 階の微分作用素を用いる方法 (remedy 法)
正規列 $F=\{f_{x}, f_{y}\}$ に対するコホモロジー類
ジー類$\sigma F’=[\frac{1}{f_{x}^{2}f_{y}}]$を考える.

$\sigma_{F}=f_{x}\sigma_{F’}$$\sigma_{F}=[\frac{1}{f_{x}f_{y}}]$の代わりに $F’=\{f_{x}^{2}, f_{y}\}$ を取り, コホモロより,${\rm Res}(0,0)(g(x,y)\sigma_{F}dx\wedge dy)={\rm Res}(0,0)(g(x,y)f_{l}(x,y)\sigma F’dx\wedge dy)$を得る. この関係式に注日して留数を計算する.
である. $I_{F’}=$ ($25y^{10}+294y^{9}\rangle$$f_{x}^{2},f_{y}\rangle$と直和分解する. ここで,となる. ここで , $I_{0}’=\langle y^{12},5y^{4}x+7y^{6},225x^{4}+$$\sigma_{F’}=\sigma_{0}’+\sigma_{1}’$の準素イデア) 分解は $I_{F’}=I_{0}’$ 寡$I_{1}’$

であり, 全次数辞書式順序 $(x\succ y)$ で計算すると$\sigma_{0}’\in H_{[(0,0)]}^{2}(O_{X})$$\mathbb{Q}[x,y]/I_{F’}$の単項式基底は$y^{9}x,y^{8}x,y^{7}x,$ $y^{6}x,y^{5}x,y^{4}x,y^{3}x,$ $y^{2}x,yx,x,$ $y^{13},y^{12},y^{11},y^{10},$ $y^{9},y^{8},$ $y^{7},$ $y^{6},y^{\mathfrak{H}},$ $y^{4},y^{3},y^{2},$で与えられる.

$\sigma_{0}’$は $I_{0}’\sigma_{0}’=0$ を満たす.

$\sigma_{0}’$の満たす 1 階の微分作用素を求めると,$\mathcal{L}_{0}’$

$y,$

$1$

は 32 次元とな

は 24 次元,り, $H_{0}’=\{1, y^{13}\}$ を得る. 従って,は 22 次$h(x,y)\sigma_{F’}dx\wedgedy$
元となる. $h(0,0)=0$ であれぼの留数値は計算できる. 特に, $h(x,y)=g(x, y)f_{x}(x, y)$$E_{0}’(^{\underline{\simeq}}\mathbb{Q}[x, y]/I_{0}’)$$E_{0,L’}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{P^{*}1|P\in \mathcal{L}_{0}’\}$を考えれぼ, $f_{x}(0,0)=0$ なので, ${\rm Res}(0,0)(g(x,y)f_{x}(x,y)\sigma_{F’}dx\wedge dy)$ は計算できることが分かる. 実際,

77$g(x, y)=x^{2}-y^{3}+3$ の時に \S 3 のアルゴリズムを用いて計算してみると, 確かに$\frac{25932415540625}{72680419155717387}$となり,2 階の微分作用素を用いた方法と同じ結果を得る.
ここでは, $F$ の代わりに $F’=\{f_{x}^{2}, f_{y}\}$ を用いたが, $F”=\{f_{x}, f_{y}^{2}\}$ を考えて対応する代数的局所コホモを用いても, 多変数留数を計算することができる.
この節の内容は, semiquasihomogeneous singularity に関する中村弥生氏との共同研究に基づいて得たものである. ホロノミック系との関連については [6], [7], [17] を参照されたい.
ロジー類$\sigma_{F’’}$5\Re -アルゴリズム
第 2 節で与えた$\mathcal{L}-$アルゴリズムを用いると,$E_{:,L}$は$E_{:,L}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{P^{*}1|P\in \mathcal{L}_{:}\}$と計算できる.
$P=p_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+\cdots+p_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}+\mu_{1}(z)$の時,$P^{*}1=p0(z)- \frac{\partial p_{1}}{\partial z_{n}}(z)-\cdots-\frac{\partial p_{n}}{\partial z_{n}}(z)$となる. 留数計算をするためには, これらの計算を行なった後, $E_{i,L}$ の基底を求めることが必要となる.

以下に述べる$\Re-$

アルゴリズムを用いれば, 1 階の annihilator の構或と$E_{:,L}$の基底の構或を同じに行なうことができる. まず,$\Re_{i}=\{P=\frac{\partial}{\partial z_{1}}p_{1}(z)+\cdots+\frac{\partial}{\partial z_{n}}p_{n}(z)+l\lambda \mathrm{l}(z)|P\sigma_{i}=0, p_{k}(z)\in E_{I}., k=0,1, \ldots, n\}$と置く. 偏微分演算と多項式倍の順序が通常と逆になっていることに注意しよう.
\Re -アルゴリズム
・イデアル

.

のグレブナ基底をベクトノレ空間$\mathrm{G}\mathrm{r}(I\dot{.})$

から標準的単項式基底$E_{I}.\cdot=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{e(z)|e(z)\in Mb_{I}\dot{.}\}$$Mb_{I_{i}}$$I^{(2)}=\langle f_{1}^{2},$$f_{2}^{2},$$f_{n}^{2}$$\ldots,$のグレブナ基底$Gr(I^{(2)}.\cdot)$

を計算. 剰余空間) の準素イデアル分解を求める.

$I^{(2)}=I_{1}^{(2)}\cap I_{2}^{(2)}\cap\cdots\cap I_{l}^{(2)}$を求める. (但しここでイデアル$I^{(2)}.\cdot$は$\sqrt{I^{(2)}}\dot{.}=\sqrt{I}.\cdot$

に対し, $w=w_{P}$ であり, $P\in\Re$ : となる $P$ を求める. 但し,と置いた.
ハバ ) に対し,$w\in W_{i}$とイデアル$I^{(2)}\dot{.}$を満たすもの)$P= \frac{\partial}{\partial z_{1}}p_{1}(z)+\cdots+\frac{\partial}{\partial z_{n}}p_{n}(z)+$$w_{P}= \frac{\partial}{\partial z_{1}}p_{1}(z)+\cdots+\frac{\partial}{\partial z_{n}}p_{n}(z)$$z$$P\in\Re_{:}$$\mathbb{Q}[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}]/I.\cdot$と同一視する.

$W_{i}= \{w=\frac{\partial}{\partial z_{1}}a_{1}(z)+\cdots\frac{\partial}{\partial z_{n}}a_{n}(z)|wg\in I.\cdot,\forall g\in Gr(I.\cdot)\}$

・イデアル

.

$I_{i}$とすると, $P^{*}1=p0(z)$ であるので,$E_{:,L}= \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{p_{0}(z)|P=\frac{\partial}{\partial z_{1}}p_{1}(z)+\cdots+\frac{\partial}{\partial z_{n}}p_{n}(z)+p_{0}(z)\in\%.\}$となる. つまり,$\Re-$

アルゴリズムを用いれば,,$E_{L}.\cdot$の基底の構或が 1 階の annihilator の構或と同時にできることになる.

作用素の構成例$\succ$ル$I$を全次数辞書式順序 $(x\succ y)$ とする. $f1=3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}+y^{5},$ $f_{2}=5y^{4}x+7y^{6}$ の生或するイデアのグレブナ基底は

78$\{3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}+y’,$ $-21yx^{4}+42yx^{3}-21yx^{2}+5y^{4}x$ ,$-3087x^{8}+12348x^{7}-18522x^{6}+12348x^{5}-3087x^{4}-125y^{4}x^{3}\}$で与えられ, 準素イデアル分解は$I\ovalbox{\tt\small REJECT} I,$$\cap b\cap h$で与えられる. 但し,$I_{1}=\langle 5x+7y^{2},147x^{2}-294x+25y+147\rangle,$ $\sqrt{I_{1}}=\langle 5x+7y^{2},147x^{2}-294x+25y+147\rangle$ ,$I_{2}=\langle x^{2}-2x+1, y^{4}\rangle,$$\sqrt{I_{2}}=$( , x–l),$y$$I_{3}=\langle 5x^{3}+7y^{2}x^{2}, yx^{3}, x^{4},6x^{3}-3x^{2}-y^{5},21yx^{2}-5y^{4}x\rangle,$$\sqrt{I_{3}}=\langle y, x\rangle$である.

は全て単純点, $Z_{2}=V(I_{2})$ の重複度は 8 であり, $Z_{3}=V(I_{3})$ の重複度は 12 である.の annihilator を構或すると,アルゴリズムを用いて, $V(I_{2})$ に台を持つ局所コホモロジー類
基底として次の 10 個の作用素を得る.
$Z_{1}=V(I_{1})$$\Re-$$\sigma_{2}$

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$\frac{\theta}{\theta y}(-\frac{15}{28}y^{2}x+\frac{5}{28}y^{2})+\frac{\partial}{\theta x}(\frac{5}{14}yx-\frac{5}{14}y)+y^{3}x+\frac{5}{14}y$$\frac{\theta}{\theta y}(-y^{3}x)+y^{2}x$,,$\frac{\theta}{\theta y}(-\frac{1}{8}y^{2}x+\frac{1}{8}y^{2})+\frac{\theta}{\theta x}(-\frac{1}{4}yx+\frac{1}{4}y)+yx-\frac{3}{4}y$,,$\tau_{y}^{(-\frac{1}{3}yx+\frac{14}{15}y^{3})+x}\theta$,$\frac{\theta}{\theta y}(-\frac{15}{56}y^{2}x-\frac{5}{56}y^{2})+\frac{\theta}{\theta x}(\frac{5}{28}yx-\cdot\frac{5}{28}y)+y^{3}+\frac{15}{28}y$$T^{\theta}\overline{y}(-y^{3})+y^{2}$,$\frac{\theta}{\theta y}(-\frac{14}{15}y^{3}x+\frac{28}{15}y^{3}-\frac{1}{3}y)+1$,,$\tau^{\theta}\overline{u}(\frac{15}{14}y^{2}x-\frac{5}{7}y^{2})+\partial^{\theta}\overline{x}((-y^{3}-\frac{5}{7}y)x+y^{3}+\frac{5}{7}y)$)$+T^{\theta}(3y^{3}x\overline{x}(-y^{2}x+y^{2})$$\partial^{\theta}\overline{y}-2y^{3}$,$\tau_{y}^{((-\frac{49}{15}y^{3}+y)x+\frac{7}{3}y^{3}-\frac{2}{3}y)+(-x+1)}\theta\partial^{\theta}\overline{x}$$E_{2,L}$.

を求めるにはこれらの作用素の 0 階の部分を取り出すだけで良い.
$L \text{ },L=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{1,y^{2}, y^{3}+\frac{15}{28}y, x, yx-\frac{3}{4}y, y^{2}x,y^{3}x+\frac{5}{14}y\}$を得る. $\dim E_{2,L}=7$ であるので, $E_{2,L}=$ 槁,.
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$\Re-$

アルゴリズムを用いて$\Re_{3}$$K$が成り立つ.

の基底を求めると, 次の 14 個の作用素を得る.

$\frac{\theta}{\theta y,-}\frac{12006035125}{\frac{((2}{19}951546390848,03092781696531022 535}y^{3}-y^{2}-y+\frac{77583641625}{761\frac{237112678494539376)}{1903092781696}}xy^{7}+\frac{5\frac{130408046055}{3\epsilon 0618556339200\epsilon 503670077}}{7136597931360}y^{6}+\frac{\frac{132355125}{95154639084877583641625}}{3806185563392}y^{5}-y^{4}+\frac{65035202715}{7612371126784}y^{2}$),$+ \frac{\theta}{\theta x}((\frac{926485875}{19030927816\Re}y^{2}-\frac{130408046055}{1903092781696}y)x+\frac{12282066825}{951546390848}y^{4})+y^{3}x+\frac{16343210835}{475773195424}y$$\partial_{\overline{y}}^{\theta}((-\frac{875435639243}{951546390848}y^{3}+\frac{6615974384061}{19030927816960}y^{2}-\frac{4335680181}{951546390848}y-\frac{7275075935043}{38061855633920})x$$+ \frac{\frac{517960139}{\frac\partial x(\partial(951546390}88853y480+303497612677}{1903092781696}y.\frac{\frac{48917085}{4757731952+}6424y-661597438406136}{9515463908480}\frac{26374736405583592y-}{951546390848}+\frac{41193450813}{y)x-38061855633}\frac{3096914415}{1903092781696,y^{4})+y^{2}x+}y\frac{86616850795293}{\frac{13384244714-}{1189432988},58747y190309278169600600},y^{2})$$\frac{\theta}{\theta y}((-\frac{46560903725}{951546390848}y^{3}-\frac{811437004209}{3806185563392}y^{2}+\frac{1107954925}{951546390848}y+\frac{211521561065}{53286597887488})x$$+ \frac{635621530357}{5709278345088}y^{7}-\frac{8591435825}{1427319586272}y^{6}-\frac{4123167271045}{79929896831232}y^{5}+\frac{791396375}{1903092781696}y^{4}+\frac{407131709917}{7612371126784}y^{2})$,$+ \frac{\theta}{\theta x}((-\frac{7755684475}{1903092781696}y^{2}+\frac{140109386639}{1903092781696}y)x+\frac{219769342315}{19982474207808}y^{4})+yx-\frac{136810274139}{475773195424}y$.

$\Re_{2}\sigma$

79

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)

$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{((\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} 319\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} y^{3}-}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} y^{2}-\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}+\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$+\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}((\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} y^{2}-\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} y)x\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{o}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{4})+x$

一$x$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$,)$+ \frac{\frac{2965010}{\frac{-42507}{\frac{((1247\partial}{\partialx}(57731}9515463(-8620954}43447y228804951692400y39084893477-}{1903092781696}y\frac{1516589611551848\epsilon_{1}72y^{5}+y-}{4757731954240}\frac{\frac{1916005613571}{76123711267842334744405}}{1903092781696,y^{4})+y^{7}-}y\frac{40152734156241}{\frac{1009029834x-}{118943298},869529y1903092781696005600},y^{2}$$\frac{\partial}{\partialy,-}+\frac{80513927634357}{217921258495154639075773195,+\frac{\frac{}{4}424y-8051392763435781684800^{y}}{47577319542400y}}2\frac{32686421}{\frac{+191600}{380618)}951546390,x-556339561357}$)$\frac{\partial}{\partial y}((\frac{50425347525}{951546390848}y^{3}-\frac{547713793431}{3806185563392}y^{2}-\frac{555891525}{951546390848}y+\frac{325851294825}{7612371126784})x$$+ \frac{\frac{5784933}{\frac{1019\partial}{\partial x}((0309278}18095y696+38912406757}{1903092781696}y\frac{\frac{30478330}{4757731952-}424y+547713793431756}{1903092781696}\frac{5158468066525592y-}{951546390848}\frac{6864148550y^{4}+}{4757731954}-\frac{3258512948}{38061855633,y)x+}\frac{397065375}{1903092781696,y^{4})+y^{6}+}\frac{273147851403}{7612371126784,247y},y^{2})$$\frac{\partial}{\partial y,-}3++\frac{\frac{-956528}{\frac{((112\partial}{\partial x}((3788659}7712000y\frac{3}{96}174867659285y515463908483170180542410051293}{9515463908480}y^{2}+\frac{\frac{2}{7}1931360y-9\frac{182187}{8233811365974}75773195424000y1821872297207403229720740338536}{237886597712000}y\frac{\frac{11333032-}{)x1903092}99037y6960-\frac{452882}{-475773178152}93463y954240-489257277874895}{23788659771200}y\frac{1398049619202y^{4}-)x}{594716494280}7-2\frac{\frac{286896987585873}{1903092781696006469756209}}{1903092781696,4)+y^{5}+}\frac{2381092144888527}{951546390848000,0^{8}\mathrm{o}^{1}y},y^{2}$$\frac{\partial}{\partial y,-}\frac{30969144}{\frac{8637962+}{3806185y)x}951546390,+56339219547}+\frac{\frac{5436482}{\frac{-99430}{\frac{((1973\partial}{\partial x}(03092}9515463(-7816569}90848y216784009057979625753y-}{1903092781696}\frac{\frac{94513919}{\frac{-349407}{4757731y}238061855-75459542}63392y945139197723477232y^{6}-}{1903092781696}\frac{18839097432584815y^{5}+y+}{951546390848}\frac{\frac{1039296562149}{22120817257612371126784y}}{1903092781696,y^{4})+y^{4}-}\frac{12373835827899}{\frac{4191203495)x+}{237886597}9821y380618556339207120},y^{2}$))$\frac{\partial}{\partial y}((\frac{33257788375}{951546390848}y^{3}-\frac{5458278887435}{26643298943744}y^{2}-\frac{791396375}{951546390848}y-\frac{1057607805325}{373006185212416})x$$+ \frac{\frac{31781076}{\frac\partial x(\partial(399649484}51785y5539774625715616}{1903092781696}y^{2}\frac{\frac{6136739}{14273195-}86272y+7005469331958756}{13321649471872}y\frac{1098846711575522558624y-}{139877319454656}\frac{9772162438y^{4}-}{47577319542}-+\frac{2061583635}{55950927781,)x-}\frac{952111673973}{1903092781696,y^{4})+y^{3}+}\frac{2035658549585}{53286597887488,54y},y^{2})$)$\frac{\partial}{\partial
y,+}y^{3}+\frac{14354183793747}{\frac{27704}{475773}675607y951546390848006195424}y^{2}\frac{11940002529}{\frac{6998964+}{3806185}9,563392y951546390848226775}y-$$x \frac{((-\frac{3725033617091}{28546391725442437409y}40437506}{142731958627200}7--+\frac{\frac{8351525669641}{8528573235438061855633920y}}{1903092781696}-\frac{1}{6}y^{3}-\frac{146673671474967}{190309278169600}y^{2}$),$+ \frac{\partial}{\partial x}((-\frac{2629606030229}{5709278345088}y^{2}+\frac{14354183793747}{47577319542400}y)x-\frac{4963378832923}{14273195862720}y^{4})+y^{2}+\frac{6615974384061}{2378865977120}y$,$\frac{\partial}{\partial y}((-\frac{5}{28}y^{2}-\frac{25}{392})x-\frac{5}{42}y^{7}-\frac{7}{5}y^{6}-\frac{25}{588}y^{5}-\frac{1}{2}y^{4}-\frac{5}{56}y^{2})+\frac{\partial}{\partial x}((y^{3}+\frac{5}{14}y)x-\frac{25}{294}y^{4})$$\frac{\partial}{\partial y}((3y^{3}-\frac{441}{100}y^{2}+\frac{63}{40})x+\frac{441}{50}y^{7}+\frac{21}{4}y^{5}+\frac{441}{200}y^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(-\frac{441}{50}yx+y^{7}+\frac{21}{10}y^{4})$$\frac{\partial}{\partial y}((\frac{3}{4}y^{2}-\frac{15}{56})x+\frac{1}{2}y^{7}-\frac{5}{28}y^{5}-\frac{3}{8}y^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(\frac{3}{2}yx+y^{6}-\frac{5}{14}y^{4})$,,$\frac{\partial}{\partial y}((\frac{28}{5}y^{3}-\frac{3087}{250}y^{2}+y+\frac{441}{100})x+\frac{3087}{125}y^{7}+\frac{2}{3}y^{6}+\frac{147}{10}y^{5}+\frac{7}{5}y^{3}+\frac{3087}{500}y^{2})+\frac{\partial}{\partial x}((-\frac{21}{5}y^{2}-\frac{3087}{125}y)x+y^{5}+\frac{147}{25}y^{4})$れらの作用素の 0 階部分を取り出し, $E_{3,L}$ の基底$y^{2}+ \frac{6615974384061}{2378865977120}y$$y^{3}+ \frac{97721624385}{475773195424}y$,,$y^{4}- \frac{1912034959821}{2378865977120}y$,$y^{5}+ \frac{139804961920281}{59471649428000}y$$y^{6}+ \frac{68641485507}{475773195424}y$,,$y^{7}- \frac{10090298369529}{11894329885600}$y》$x- \frac{46311820688427}{11894329885600}y$$yx- \frac{136810274139}{475773195424}y$,,$y^{2}x+ \frac{13384244718747}{11894329885600}y$

,

.

80

.

$y^{3}x+ \frac{16343210835}{475773195424}y$を得る.

であるので, $E_{3,L}\neq E_{3,K}$ となることが直ちに分かる.
特異点の時と同様に, 正規列 $F=\{f1(x,y), f_{2}(x, y)\}$ の代わりに例えば $F’=\{f_{1}^{2}(x, y), f_{2}(x, y)\}$ を$\dim E_{3,L}=10$ であるが $\dim E_{3,K}=11$$E_{12}$取り, 対応するコホモロジー類
することが可能となる.

$\sigma_{F’}$の1 階の annihilator を用いれば,$Z_{3}$

においても多変数留数の計算を

これらのことが示すように, 多変数留数計算を行なう際は アルゴリズムを用いるよりもムを用いる方が無駄な計算を行なう必要がなく, 効率が良い.
を用いて行なった.
本稿での計算は, 数式処理システム$\mathcal{L}-$$\Re-$

アルゴリズ$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}/\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}$

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$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}$