数理解析研究所講究録 1413 巻 2005 年 70-74

70

砂山形成過程における預点移動のダイナミクス
京都大学・人間・環境学研究科 占部 千由 (Chiyori Urabe)
Graduate School of Human and Environmental,
Kyoto Univiversity

概要

預点は砂山形威過程で雷崩により激しく振動しつつけ、頂点の位置は雪崩と堆積を関係つける重要な量である。本研究では時間間隔 で 1 粒子つつ供給しつつけ砂山を形威する場合についてシミュレーションを用いて預点位置の運動を測定した。 時間間隔 が小さいときには預点位置の時系列のパワースペクトルは $1/f$ 的になり、 力吠きいときパワースペクトルは Lorentzian 的になることがわかった。パワースペクトルが $1/f$ 的に$T$$T$$T$なるときについては砂山料面上の雪崩の方向の切り替わりの時系列のパワースペクトルと預点のパワースペクトルが た傾向を示す。 このとき、雷崩の切り替わりの時系列の待ち時間分布の巾の指数 とパワースペクトルの巾の指数 に $\alpha=-\gamma-3$ という間係があり、ユレーションの紹果から雪崩の切り替わりの待ち時間分布が指数 -2 の巾の閏数で近但できることより、 パワースペクトルが $1/f$ 的になることがわか た。
$\dagger\uparrow 1$$\gamma$$\alpha$$\grave{\backslash }\nearrow_{\backslash }^{\sim}\backslash$$\text{っ}$1\Psi D めに粉体の状態は大きく分けて面体状態、流動状態、 ガス状態の 3 種類あり、 本研究では固体層と雪崩による流動層が共存する砂山に着目する。砂山の雪崩や砂山の形状の実験は数多く行われているが [1] [2] [3] [4] [5] [6]、 砂山の頂点の運動についての研究はなされていない。

砂山における雪崩、 砂山の形状なとはそれそれ独立に研究がなされているが、 砂山の頂点の移動はこれらの現象を互いに間連つけるものの一つと考える。 頂点の位置と砂山の縁の形によって砂山のおおよその料面の方向が得られるため、 粒子が供給される位置が固定されていれば、新たに供給された粒子が堆積する料面の方向が決まり、堆積によって必す雪崩が起きるため、預点の位置がおおよその雷崩の方向を決めていると言える。また、 頂点位置は雪崩と堆積による砂山形状の変化に従って動かされため、 砂山形威過程
において頂点と雪崩と堆積は互いに密接な関係にある。
砂山へ 1 点から 1 粒子づつ供給するとき、 籾子の供給の時間間隔 $T$ によって、 頂点位置の時系列のバワースペクトルが $1/f$ 的である場合と Lorentzian 的である場合があることがシミュレーションの紹果により見いだされた。預点のパワースペクトルが $1/f$ 的になるときに雪崩の方向の切り替わりの時系列のパワースペクトルを計算すると預点位置

71のパワースペクトルと巾の指数が等しく、雪 f. 崩の切り替わりのパワースペクトルが $1/f$的になることが原因で預点のパワースペクト ルが $1/f$ 的になると考えられる。 また、 雪崩の切り替わりの時系列の待ち時間分布が巾 的になり、 巾の指数が近 的に -2 になるこ$\dagger\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\text{、}}l$とからパワースペクトルが $1/f$ 的になること が説明される。

2問題設定

本研究では 2 次元の離散要素法(DEM) を用いて円盤状の多敦子からなる砂山の頂点位置を測定する。 DEM
では粒子間に法線方向の力として弾性’a
力と粘性、 接線方向の力として弾性力と粘性とクーロン摩擦を考える。 ここでは カカ 度を とし、 法線方向のバネ定数10’、 粘性とし 接線方向のバネ定数104、粘性係数
孫数 \eta t=0.0、摩擦孫数 $\mu=0.5$ とする。粒 は を最大粒径として $0.8d$ から の間で一となる。
様分布させる。 このとき跳ね返り孫数はほぼ
閃 1 のように最大直径 を持つ 80 粒子$\text{図}1:\varpi \mathrm{u}\downarrow \text{の}\wedge\star\backslash y\backslash f^{\grave{\text{、}}}$$\nu \text{ト}$$\mathfrak{n}^{\backslash }\ovalbox{\tt\small REJECT}$$g$$k_{t}=2.0\mathrm{x}$$\eta_{n}=2.0\mathrm{x}10^{2}$$k_{n}^{n}=1.0\cross$

$d$

$d$

$\backslash -0.2$$d$を敷き詰め床を作り、床を覆う適当な砂山を形或し、初期条件とする。雪崩によって流され床の端を越え落た粒子は考えないた.
め、測定中の砂山の大きさはほとんと変化しない。初期条件として与えられた砂山に
1 粒子つつ時間間隔 で落して砂山を形或しつづけながら測定を行う。粒子を供給する位置は閃 1 のように床の中心の真上で發山の頂点から鉛直胛離 $H$ の位置から粒子$T$を放し自由落下させる。砂山預点からの飴は直 \Re を固定するのは砂山に与える衝撃を
図 2: 横軸 x t)、縦軸時刻 t。
時刻 で頂点の位置が床の中心の真上にあるこ一定にするためである。本研究では と$H$ を変化させ頂点の位置を測定する。頂点位置を砂山を構或する粒子の中でもっとを測も高い位置にある粒子の重心として定義し、 時刻 での預点位置の水平威分$\sqrt$$x_{\ell\varphi}(t)=0$

$t$

$T$

$\epsilon\epsilon\epsilon \mathrm{o}\mathrm{e}\text{する_{。}}$$\text{、}$$t$$x_{u\varphi}(t)$定する。

3結果$x_{up}(t)$$2\sqrt{d/g}$,を $2\sqrt{d/g}\leq T\leq 80\sqrt{d/g}$ ,H=ll 侃のときの$x_{t\varphi}(t)$$20d\leq H\leq 11\mathrm{O}d$の範囲で測定した。 $T=$を図 2 に示す。 図 2 は 1000 粒子が供給される間72は幅 $20d$ にわたって帳動している。
(IOOOT) のプロットであり、が大きいときに振幅はやや広がる傾向にある。の時系列のパワースペクトルの広範囲に$S(f)$ は図 3 のように波数$x_{t\sigma p}(t)$$x_{t\varphi}(t)$の振幅は $H$$x_{t\varphi}(t)$$f$て直線でフィットでき、 $H=110\mathrm{d}$で $T=2\sqrt{d}/g$ のときパワースペクト
ノレは $1/f$ 的で、 $T=80\sqrt{d}/g$ のときパワースペクトルの巾の指数は近 (以的にわた$\vee 2$-2 になり Lorentzian 的であることがわかった。
いくっかの $T$ について同穆にパヮスペクトノレ $S(f)$ を指数の巾でフィットし、と巾の指数 の間係を調べると、 図 4 のように $T\leq 10\sqrt{d/g}$ で急激のパワースペクトノレ。傾き -1 と -2
閃 3:
$T$の直線を参考のため付け加えた。に -1 に近づき、逆に 力吠きくなるとゆっくり -2 に近づく傾向が見られた。
これは粒子の供給の時間間隔 $T$ 力吠きいときは頂点の時系列に何ら\sim かの特敏的時間が存在するが、 $T$ が小さくなるにつれて系の特散的時間が消えていく通程を示している。 また、 $H$ を変化させ を測定すると、 このような劇的な変化は生じなかった。の時系列のバワースペクト
頂点
ノレ $S(f)$ の巾の指数 がのときと$\alpha\cong-2$ のときで砂山の料面の状態にちのとき変化が現れる。 $T$ が小さくには雪崩が止まる前に次々に粒子が供給され、雪崩は発生しやすく継続しやすいことから、砂山料面の流動化状態が保たれやすい。逆に $\alpha\cong-2$ のときには $T$ が大きい
ため、ひとつの雪崩が終わってから次の粒$T$$\alpha$$\alpha$$x_{\Phi}(t)$$\alpha$$x_{t\varphi}(t)$$\alpha$$\alpha\cong-1$$\alpha\cong-1$子が供給され、砂山料面は固体的に振る舞い、雷崩の発生の仕方も砂山の表面から数層の部分に断層ができ崩落することから始のパワー
図 4: H=ll 侃のときの とスペクトノレの巾の指数
まることが多い。
2 次元の砂山では雷崩の起きる料面は左右 2 方向に限定されるが、両方の料面で同時に雪崩が発生することは少なく、 頂点の位置が粒子を供給する位置の左右とちらにあるかで、 新しく供給される粒子がとちかの料面に堆積するかが決まり、雪崩が発生する料面も決まるため、預点の位置の移動と左右のときの發山の左右の雷崩の切料面の雪崩の切り替わりには密接な関係がある。
り替わりの時系列 $K(t)$ を運動エネルギーを用いて測定し、 パワースペクトル $S_{k}(f)$ を計のパワースペクトノレ $S(f)$ の算すると、 図 5 のように $S_{k}(f)$ の傾きと預点の時系列$T$$S(f)\sim f^{\alpha}$$\alpha\cong-1$$x_{t\varphi}(t)$$x_{t\varphi}(t)$$\alpha$73と雪崩の切り替わり $K(t)$ の時系列が同じ特敏を示すことから、 切り替わりの時系列のパワースペクトル $S_{k}(f)$ が $1/f$ 的であることが原因で頂点の時系列のパワースペクトル $S(f)$ が $1/f$ 的になると考えられる。

傾きが等しくなる。預点$x_{t\sigma p}(t)$雪崩の左右の斜面での切り替わり $K(t)$
戯砂山の右半分. 左半分にある粒子の運動
エネノレギーの和をそれそれ$K_{f}(t)$,$K_{l}(t)$とし、 $K_{r}(t)$ と $K_{l}(t)$ から $K(t)$ を以下のように定義した。
$K(t)=\{$$+1$( $K_{\iota}(t)>K_{r}(t)$ のとき)

-1

(他)

$K(t)=+1,$ $-1$ は時刻 で左料面の雪崩あ$t$

るいは右料面の雷崩が起きていることを意味する。

解析的計算により、 $K(t)$ のような 2 値化された時系列の待ち時間分布が指数 の巾関数であるとき、時系列のパワースペク
トルの巾の指数は $-\gamma-3$ となることが知$\gamma$

図 5:$T=2\sqrt{d}/g,H=20d\text{て}.\text{の}xt\varphi(t)\text{と}$$K(t)$ のパヮースペクトル。

られており $[7]_{\text{ }}K(t)$ の待ち時間分相は図 6 のように巾の指数は -2 に近いため $K(t)$ のパワースペクトノレが $1/f$ 的になる。
、

4

まとめ2 次元の DEM を用いて砂山の頂点のの時系列を測定した。槽山へ位置
1 籾子つつ時間間隔 で供給し続けると$x_{u\varphi}(t)$$T$

すると、 預点の位置$x_{u_{\mathrm{P}}}(t)$の時系列のパワースペクトル $S(f)$ は $T$ が小さいとき$S(f)\sim 1/f$ となり、 $T$ 力吠きいとき $S(f)$は Lorentzian 的に振る舞うことがわかった。 頂点移動のパワースペクトノレ $S(f)$ が図 6: $T=2\sqrt{d/g},H=$ 加 での $K(t)$ の待ち$\circ$$d$

時間分布的になるとき左右の斜面の雪崩の切り替わりの時系列 $K(t)$ のパワースペクトル$S_{k}(f)$ と $S(f)$ は傾きが等しくなり、 雪崩と頂点移動には密接な関係があることから雪崩の切り替わりのパワースベクトル $S_{k}(f)$ が $1/f$ 的になることによって、頂点位置のパワー$1/f$

スペクトル $S(f)$ も l/f-的になると考えられる。雪崩の切り替わりの待ち時間分布が指数ユレーションの紹果から得られ、雪崩の切り替わりの時系列 $K(t)$ のような 2 値化された時系列の待ち時間分布の巾の指数が のとき時系列のパ力$\mathrm{r}_{-2}$に近い巾になることが$\sqrt[\grave{\text{、}]{}}$$\backslash \backslash \sim$$\gamma$

74
ワースペクトルの巾の指数が $-\gamma-3$ となることが解析的に知られていることから、 待ち時間分布の巾の指数が -2 に近いためにパワースペクトルカ$l/f 的になると説明できる。
し、今のところ待ち時間分布が巾的になる理由と巾の指数が -2 になる理由について判明しておらず、 今後の課題である。
$\uparrow\underline{\mathrm{B}}$参孝文献[1] V. Frette, K. Christensen, A.
, and P. Meakin.
J. Feder, T.
Avalanche dynamioe. in apile of rice. Nature, Vol. 379, p. 49, 1996.
$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}- \mathrm{S}\emptyset \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n},$[2] A.

and S. Douady. T.
. 399, p. 241, 1999.

$\mathrm{D}\mathrm{a}\epsilon \mathrm{r}\mathrm{r}$$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}$$\mathrm{w}\mathrm{o}$$\mathrm{J}\emptyset \mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}$types of avalanche behaviour in granular media. Nature,[3] P. M. Gleiser, S. A. Cannas, F. A. Tamarit, and B. Zheng. Long-range effects in
granular avalanAng. Phys. Rev. $E$, Vol. 63, p. 042301, 2001.

[4] J. J. Alonso and H. J. Hermann. Shape of the tail of atwO- imensional sandpile.
Phys. Rev. Lett., Vol. 76, p. 4911, 1996.

[5] Y. GrasseUi, H. J. Herrmann, G. Oron, and S. Zapperi. Effect of impact energy on
the shape of granular heaps. Granular Matter, Vol. 2, p. 97, 2000.
[6] Y. Grasselli and H. J. Herrmann. Crater formation on athree dimensional granularheap. Gmnular Matter, Vol. 3, p. 201, 2001.
[7] M. C. Teich S. B. Lowen. Fractal renewal processes generateVol. 47, p. 992,
$1993\backslash \cdot$$1/\mathrm{f}$noise. Phys. Rev. ,$E$