数理解析研究所講究録 1422 巻 2005 年 192-203

192

一般化ドリンフエルド ソコロフ階層の離散化と相似簡約$\text{・}$筧 三郎 (Saburo Kakei)
菊地哲也 (Testuya Kikuchi)

立教大学 理学部
東北大学 COE フェロー

1

はじ めに

相似簡約としてのパンルベ方程式--

数理物理学におけるパンルベ方程式の重要性は, いまさら繰り返すまでもないであろう。 古くは Wu らによるイジング模型の研究 [WMTB, ] から, 90 年代の2 次元量子重力の研究を経て現在に至るまで, 様々な物理量が満たす微分方程式としてパンルベ方程式が現れるのであった。
数理物理学にパンルベ方程式が現れるもう一つの状況として, ソリトン方程式の相似簡約 1 がある (例えば, 文献 [AS1] の 3. 節に簡単な解説がある)。 一例と方程式
して, 変形$\mathrm{J}$$7.\mathrm{b}$$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$(1.1)$4u_{t}=u_{xxx}-6u^{2}u_{x}$を考えてみよう (後の便宜のため, 係数のとり方は [AS1,に対して方程式 (1.1) を満たす $u=u(x, t)$ が, 任意の$\mathrm{A}\mathrm{S}2]$とは違っている)。

$\lambda\in \mathbb{C}^{\mathrm{x}}$(1.2)$\frac{u(x,t)}{\lambda}=u(\lambda x, \lambda^{3}t)$を満たすことを要請する。条件 (1.2) において,とで, 次が得られる :$\lambda$

で微分してから$\lambdaarrow 1$

とおくこ

(1.3)

$u+xu_{x}+3tu_{t}=0$(1.1), (1.3) から$u_{t}$

を消去して,

得られる :$x$に関して積分すれぼ, 次の 2 階常微分方程式が( $C$ は積分定数).

$4xu+3t(u_{xx}-2u^{3})=C$

さらに, $t=4/3$ とおけば, パンルベ$\mathrm{I}\mathrm{I}$

(1.4)

型方程式

$\frac{d^{2}u}{dx^{2}}=2u^{3}+$(1.5)

エユ $+ \frac{C}{4}$が得られる。
型方程式の場合を述べたが, 他の型のパンルベ方程式も,類似の相似簡約の手続きで, ソリトン方程式と関連付けられる。その種の研究は数多いが, 例えば論文 [NY] において, 野海・山田は, は型のルート系に付随した, “principal)’ 型の Drinfeld-Sokolov 階層に対する相似簡約から,型ルート系に対応),(型),(型) を含む枠組みを提出した (日本語での解説もある [ , YY] 。引き続く我々 2 の研究では, principal 以外の階層を調べ, その
ここでは, パンルベ$\mathrm{I}\mathrm{I}$$A_{n}^{(1)}$$\mathrm{P}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}(A_{1}^{(1)}$$A_{2}^{(1)}$$\mathrm{P}_{\mathrm{I}\mathrm{V}}$$1\mathrm{T}\backslash$1$\mathrm{P}\mathrm{v}$$A_{3}^{(1)}$$)$“Similarity reduction” という用語に対して, 本稿では 「相似簡約」 という訳語を用いること

にする。
2

「我々」

$=$

{池田岳 (岡山理科大学), 菊地, 寛}1, KIK].
我々の結果も含めて, これまでに知られている結果をまとめると, 次のようになっ場合でもやはりパンルベ方程式が得られることを示した [KK1,$\mathrm{K}\mathrm{K}2,$$\mathrm{K}\mathrm{K}3$ている。
$\lambda 1/-\mathrm{b}_{/}^{7}\mp_{\backslash }$$\neq_{-}arrow \mathrm{I}_{J}\S$

principal
homogeneous
principal$A_{1}^{1}$$A_{2}^{1}$$(\zeta 3=2+1’)$

homogeneous
principal$A_{3}^{1}$$1)\vdash\backslash E\not\in^{\square }fi^{\backslash }$$\backslash ,J$

NLS

$3$

.

$\cdot$4-reduced.
$\cdot$$\mathrm{P}_{\mathrm{I}\mathrm{V}}$$arrow$$\mathrm{R}\mathit{1}1|$$[\mathrm{J}\mathrm{M}1, \mathrm{K}\mathrm{K}1]$$\mathrm{P}_{\mathrm{V}}$$arrow$$\mathrm{P}_{\mathrm{V}\mathrm{I}}$$arrow$$\mathrm{K}\mathrm{P}$$[\mathrm{A}\mathrm{S}2]$$[\mathrm{N}\mathrm{Y}]$$\mathrm{P}_{\mathrm{I}\mathrm{V}}$$arrow$$\grave{\mathit{1}^{\backslash }}\ \ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{R}\Xi \mathrm{f}^{f}\mathrm{F}ffl$.

$\mathrm{P}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$$arrow$$\backslash \#\nearrow\eta^{\backslash }\acute{\prime}\backslash \grave{}\grave{2f}\backslash$$\Leftrightarrow\pi,$.

$\backslash 0\backslash ]\triangleright\grave{\grave{\backslash }}\hslash \mathrm{F}_{\yen}\mathfrak{F}^{\backslash }$$arrow$$\acute{\grave{\mathrm{a}}}^{\Gamma}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\nearrow\prime}\supset \mathrm{K}\nearrow \mathrm{d}\mathrm{V}$$\tau\acute{\Sigma}\backslash ff’//fi\#‘ \mathrm{E}_{\backslash }$$J$$arrow$$\mathrm{P}_{\mathrm{v}}$$[\mathrm{K}\mathrm{I}\mathrm{K}]$$[\mathrm{K}\mathrm{K}3]$$[\mathrm{N}\mathrm{Y}]$.
.

$\cdot$

表 1: 一般化 Drinfeld-Sokoiov 階層とパンルベ方程式
は 2 パラメータのものであるが, 実は 3 パラメータにで(注) 論文 [KIK] でのきることが分かっている。
$\mathrm{P}_{\mathrm{V}}$アフィン・り一代数による方法で構成したソリトン階層 (我々が般化 Drinfeld-Sokolov 階層」 と呼んでいるもの) を (多成分) 戸田格子階層[UT, Ta] の特殊化として捉えて, 戸田階層のもつ対称性から相似簡約を理解する
方法を解説したい。 [KJDM] の言葉で言えば, “sub-sub-holonomic” な場合にまで
以下, 本稿では,$\mathrm{r}-$戻って相似簡約の意味を考えようというものである。 このように考える場合には,
表 1 は次のように書き換えられる :表 2: 多成分戸田階層とパンルベ方程式

差分系 (multiph.cative) への拡張が比較的容易 3 であるということが挙げられる。 以下では, 1 成分戸田階層から現れる例を中心に, 微分方程式, 差分方程式, 差分方程式それぞれについて,
この考え方の.–つの利点として, 差分系 (additive),

$q$

$q$

「相似簡約」をどのようにして統一的な立場からとらえていくかを述べていく。

2

戸田階層の 2 周期簡約

$arrow$

パンルベ II型方程式への過程を,戸田階層の持つスケール対称性という立場から理解しなおす。 特に, 対称性の条
本節では, 1 節で考えた変形 mKdV 方程式からパンルベ
3 少なくとも,筆者にとっては$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathrm{S}\theta$

184
件に入っているパラメータが, パンルベ方程式のパラメータとどのようにして結びつくのかに注目して見ていく。

2.1

戸田格子階層$arrow$変形$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$方程式

まずは上野・高崎 [UT, Ta] に従って, シフト作用素を用いた方法で, 戸田格子
階層を定式化しておく。 中心となるのは, 次の “佐藤 Wilson 作用素” である :ただし,$W(s;t_{7}t]=1+w_{1}(s;t, t]e^{-\partial_{s}}+w_{2}(6_{1}^{\mathrm{B}}.t, t\gamma e^{-2\partial_{s}}+\cdots)$(2.1)$\overline{W}(s;t,t\gamma=\overline{w}_{0}(s;t, t]+\overline{w}_{1}(s;t, t]e^{\partial_{s}}+\overline{w}_{2}(s;t, t]e^{2\partial_{\mathrm{s}}}+\cdots$(2.2)$w_{j}=w_{j}(s,\cdot t,$ $t\gamma,\overline{w}_{j}=\overline{w}_{j}(s;t,$ $t7$$(t_{n})_{n=1,2},\ldots,$$t=(\overline{t}_{n})_{n=1_{7}2},\ldots$

は, 離散変数に依存する関数で,$?v_{0}$, 連続変数 $t=$は可逆とする。 また, 変数$s\in \mathbb{Z}$$t,\overline{t}$についての微分方程式系は, 次で与える :

(2.3)

,

$\frac{\partial W}{\partial t_{n}}$$. \frac{\nu}{\partial t_{n}}\gamma=-(We^{n\partial_{6}}W^{-1}),\backslash ^{0}W$$\partial\overline{W}$$\frac{\partial\overline{W}}{\partial t_{n}}=(We^{n\partial_{s}}W^{-- 1})_{\geq 0}\overline{W}$

(2.4)

,

$\overline{\partial t_{n}}$

(2.5)

,

$\frac{\partial\nu \mathrm{T}^{f}}{\partial\overline{t}_{n}}=(\overline{W}e^{-n\partial_{5}}\overline{W}^{-1})_{<0}W$

(2.6)

.

$\frac{\partial\overline{W}}{\partial t_{n}}=-(\overline{W}e^{-n\partial_{s}}\overline{W}^{-1})_{\geq 0}\overline{W}$についての非負ベキ部分, 負ベキ部分をとることを意味する。 戸田階層では, 負の重みを持つ変数 も重要であるが, 本稿の議論では用いないので, 以下では のみを考えることにする。 t- を固定して の
ここで,$(\cdot)_{\geq 0},$$(\cdot)_{<0}$は, それぞれ$e^{\partial_{s}}$$\overline{t}$

$t$

$t$

みに注目した階層を, 以下では 「変形階層」 と呼ぶことにする。
方程式の従属変数が何であるかをはっきりさせるために, 次の量を計
変形$\mathrm{K}\mathrm{P}$$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$

算しておく

:
$(W(s)e^{\partial_{s}}W(s)^{-1})_{\geq 0}=e^{\partial_{B}}+u(s)$,$(W(s)e^{3\partial_{\mathrm{s}}}W(s)^{-1})_{\geq 0}=e^{3\partial_{S}}+u(s)e^{2\partial_{\mathrm{s}}}+v_{1}(s\grave{)}e^{\partial_{\mathrm{s}}}+v_{0}(s)$ここで,$u(s),$ $v_{1}(s),$ $v0(s)$

(2.7)
.

(2.8)

は $w_{j}(s)(s=1,2\ldots)\}$ の多項式である。例えば, $u(s)=$として与えられる。
さて, 以下では
周期簡約」$w_{1}(s)-- w_{1}(s+1)$$T2$$W(s+2)=W(s)$ ,$\overline{W}(s+2)=W(s)$(2.9)

を要請する。 この条件の下で, 方程式 (2.3) の $n=1,3$ を考えると, $u(s)(=w_{1}(s)-$$w_{1}(s+1))$ が変形
方程式 (L1) を満たすことが示される $(x=t_{1}, t=t_{3})_{0}$ このこと自体はよく知られた事実であろうが, 以下の説明のために計算のあらすじ$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$を紹介しよう。

185
まず, 方程式 (2.3) の $n=1,3$ の場合, およびそれらの両立条件$\frac{\partial B_{1}(s)}{\partial t_{3}}-\frac{\partial B_{3}(s)}{\partial t_{1}}+[B_{1}(s), B_{3}(s)]=0$(2.10)(零曲率方程式, Zakharov-Shabat 方程式) より, 以下の方程式を導く (以下では$’=\partial_{t_{1}}$とする) :$w_{1}’(s)=u(s)w_{1}(s)+w_{2}(s+1)-w_{2}(s)$(2.11)$v_{1}(s)=w_{2}(s)-\cdot w_{2}(s+1)-u(s)w_{1}(s)$(2.12)$v_{1}’(s)=v_{0}(s+1)-v_{0}(s)+2v_{1}(s)u(s)$(2.13)(2.14)$u_{t_{3}}=v_{0}’$これら 4 式より $w_{1}(s),$ $w_{2}(s),$$.w_{1}(s+1))$

2.2

が変形

変形

$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$$v_{0}(s)_{\backslash }v_{1}(s)$を消去することができて, $u(s)(=w_{1}(s)-$方程式 (1.1) を満たすことが示される。

方程式$arrow$

パンルベ II$\sum_{n}nt_{n}\frac{\partial\overline{W}(s\cdot t)}{\partial t_{n}’}+[s,\overline{W}(s;t)]=W(s;t)c(s)$となる。 さらに,$\cdot t_{1},$$t_{3}$

以外を全て 0 とおき,$e^{0\partial_{\mathrm{s}}}$(2.17)の係数に注目すれば,$t_{1}u(s)+3t_{3}v_{0}(s)=c(s)$(2.18)

188という関係式が得られる。 (2.11), (2.12), (2.13) に関係式 (2.18) を組み合わせて型方程式$u(s)$ についての方程式をつくり, さらに $t=4/3$ とおけばパンルベ$C$(1.5) が得られる。 ただし, (1.5) でのパラメータ は, $C=2\{c(s)-c(s+1)\}$ として与えられる。 ここで強調しておきたいことは, 相似簡約でパンルベ方程式を導出する際の積分定数が, 「目の子」 で積分して見つけることではなく, スケール対称性の条件から自然に導かれたということである。
本節の最後に, り一代数的な定式化との関係を述べておこう。差分作用素
が 2 周期条件 $A(s+2;e^{\partial_{s}})=A(s;e^{\partial_{s}})$ を満たすときには,$\mathrm{I}\mathrm{I}$$A.(s,\cdot e^{\partial_{s}})=$$A(s,\cdot e^{\partial_{s}})$$\sum_{n}a_{n}(s)e^{n\partial_{s}}$と $2\cross 2$ 行列 $A(s;z)$ とを次のように対応付けることができる$A(s;z)= \sum_{n}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{0}^{a_{n}(0)}$$rightarrow$:$a_{n}(1)0\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{Z}^{0}01]^{n}$$A(s;e^{\partial_{\mathrm{s}}})= \sum_{n}a_{n}(s)e^{n\partial_{\mathrm{s}}}$

このとき, 特に$e^{(2n-1)\partial_{\theta}}$は$e^{(2n-1)\partial_{s}}$と対応し,(2.19)$rightarrow$$||_{z^{n}}^{0}$(2.20)$z_{0}^{n-1}\ovalbox{\tt\small REJECT}$の Heisenberg 代数の principal 実現の際に現れる 2行列と一致する。 また, この対応の下で, 差分作用素の次数と principal gradation による次
数付けも一致している。 それぞれでの次数付け作用素は, 次のように対応付けら$\mathcal{X}\iota \text{る}$$\hat{\mathrm{B}[}_{2}$

:

$-s$

$rightarrow$

q-KP 階層, 差分3$\mathrm{x}2$$2z \frac{d}{dz}+\frac{1}{2}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{0}^{1}$$\mathrm{K}\mathrm{P}$$-10\ovalbox{\tt\small REJECT}$.

(2.21)

階層の相似簡約

相似簡約を考える場合, 実は 差分のほうが扱いやすい。以下ではまず 3.1 節で差分系を議論し, 差分系は 32 節で扱う。
$q$

$q$

3.1

$q$

差分系

以下では, 変数

$x$

に関する

$q$

シフト作用素を$T_{q,x}$で表すことにする :(3.1)$T_{q,x}f(x)=f(qx)$$q$

差分系の場合の独立変数を与える :$\{x_{n}\}_{n=1,\ldots,M}$として, (2.3), (2.4) にあたるものを次で$\frac{1-T_{q,x_{j}}}{x_{j}}W=-((T_{q,x_{j}}W)e^{\partial_{s}}W^{-1})_{<0}W$$\frac{1-T_{q,x_{j}}}{x_{j}}\overline{W}=((T_{q,x_{j}}W)e^{\partial_{s}}W^{-1})_{\geq 0}\overline{W}$

.

,

(3.2)
(3.3)

187

$x_{j}$

を $(1-q)x_{j}$ で置き換えて $qarrow 1$ という極限をとれば, (3.2), (3.3) はそれぞれ(2.3), (2.4) において $n=1$ としたものに移行することは明らかであろう。
論文 [KNY] との対応をはっきりさせるためには, (3.2) を次のように書き換える
とよい :

,

(3.4)

$(T_{q,x_{j}}W)(1-x_{j}e^{\partial_{s}})=B_{x_{j}}W$$B_{j}=1-x_{j}((T_{q,x_{j}}W)e^{\partial_{s}}W^{-1})_{\geq 0}$

(3.5)

.

この場合,

(3.6)

$B_{j}(s)=v_{j}(s)-x_{j}e^{\partial_{s}}$(ただし,$v_{j}(s)=1-x_{j}\{T_{q,x_{j}}w_{1}(s)-w_{1}(s+1)\}$)となる。 このとき, (3.4) の両立条件$(T_{q,x_{k}}B_{j}(s))B_{k}(s)=(T_{q,x_{j}}B_{k}(s))B_{j}(s)$(3.7)

より, 次の方程式系が得られる :$\frac{T_{q,x_{k}}v_{j}(s)}{v_{j}(s)}=\frac{x_{j}v_{k}(s+1)-x_{k}v_{j}(s+1)}{x_{j}v_{k}(s)-x_{k-}v_{j}(s)}$

.

(3.8)

(3.11)$w_{j}(s_{\mathrm{i}} \lambda x)=\frac{w_{j}(s,x)}{\lambda^{j}}$が得られるので, (3.6) の $v_{j}(s)$ が$v_{j}(s;qx_{1}, \ldots, qx_{M})=v_{j}(s;x_{1}, \ldots, x_{M})$$(\dot{J}=1\}\ldots, M)$(3.12)

を満たすことが分かる。 この (3.12) と, $N$ 周期条件 $v(s+N;x)=v(s;x)$ を (3.8)
パンルベ系” である。に課した物が, [KNY] の意味での
“

$q$

4 同様の

$q$

差分階層は, 例えば [HI] などでも扱われている。

198
32

差分系

本節では, 加法的な差分の場合の “相似簡約” を扱う。 簡単のため, 1 成分階層として扱うことにする。 階層の構成自体は, いわゆる “三輪変換’ [Mi] を行えばよく, 佐藤-Wilson 作用素による定式化も可能である [ , Tsuj2]. ここでは, 次の$\mathrm{D}$ように離散変数 $l_{j,\vee},(j=1,2, \ldots)$ に対する依存性を定めよう :$\frac{e^{\partial_{1_{j}}}-1}{\delta_{j}}W(s_{2}.l)=(\overline{W}(s;l_{j}+1)e^{-\partial_{s}}W(s;l)^{-1})_{<0}W(s;l)$(3.13),$\frac{e^{\partial_{l_{j}}}-1}{\delta_{j}}\overline{W}(s;l)=-(W(s;l_{j}+1)e^{-\partial_{\dot{s}}}\overline{W}(s,\cdot l)^{-1})_{\geq 0}\overline{W}(s;l)$.

(3.14)という極限をとれば, (3.13), (3.14) はそれぞれ (2.5), (2.6) において $n=1$ としたものに移行することは明らかであろう。 より具体的に,差分間隔$\delta_{j}arrow 0$$\delta_{j}(\mathrm{T}\overline{/}V(s;lj+1)e^{-\partial_{s}}\overline{W}(s;l)^{-1})_{<0}=uj(s;l)e^{-\partial_{s}}$により $u_{j}(s;l)$ を定めると,$l_{1},$$l_{2}$(3.15)

に対する (3.13) の両立条件より, 次が得られる :$u_{1}(s;l_{1}, l_{2})+u_{2}(s;l_{1}+1, l_{2})=u_{1}(s;l_{1}, l_{2}+1)+u_{2}(s;l_{1}, l_{2})$(3.16)$\mathrm{u}_{1}(s-1;l_{1}, l_{2})u_{2}(s;l_{1}+1, l_{2})=u_{1}(s;l_{1}, l_{2}+1)u_{2}(s-1;l_{1}, l_{2})$(3.17)

さらに, 条件$u_{1}(s-1)= \frac{1}{u_{1}(s)}$,$u_{2}(s-1)= \frac{-1}{u_{2}(6^{\urcorner})}$(3.18)を要請すると 5, (3.17) は次のように書き換えられる。
$u_{1}(s;l_{1}, l_{2}+1)u_{1}(s;l_{1}+1, l_{2})+u_{2}(s;l_{1}, l_{2}+1)u_{2}(s,\cdot l_{1}+1, l_{2})=0$

一方 (3.16) より, ある$f(l_{1_{i}}l_{2})$(3.19)

を用いて$u_{1}(s;l_{1}, l_{2})=f(l_{1}, l_{2})-f(l_{1}+1, l_{2})$,$u_{2}(s,\cdot l_{1}, l_{2})=f(l_{1}, l_{2})-f(l_{1}, l_{2}+1)(3.20)$と表すことができるので, (3.19) と合わせて$. \frac{\{f(l_{1\}}l_{2})-f(l_{1}+1,l_{2})\}\{f(l_{1},l_{2}+1)-f(l_{1}+1,l_{2}+1)\}}{\{f(l_{1},l_{2})-f(l_{1},l_{2}+1)\}\{f(l_{1}+1,l_{2})-f(l_{1}+1,l_{2}+1)\}}=-1$(3.21)という非線形偏差分方程式が得られる。この方程式は, 論文 [N] で “格子 Schwarzian
方程式” と呼ばれているものに他ならない。
方程式 (3.13), (3.14) に対して, 命題 1 のようにと変換することを考える場合, 変換の前後で方程式の形が不変であるためには, 離散変数 では
なく 「差分間隔」
を変更しなくてはならない。

$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$$\lambda^{s}\circ W(s)0\lambda^{-s}$$l_{j}$$\delta_{j}$5 条件 (3.18) は 2 周期条件 $u_{j}(s+2)=u_{j}(s)$ と矛盾しない。

199

についての発展方程式を考えなければならなくなる。 こなる方程式が得られ,れを実行するために, e\partial \dashv こ対応する佐藤 Wilson 作用素を導入する :$\delta_{j}$$W^{(l_{j})}(s,\cdot l)=1+w_{1}^{(l_{j})}(s;l)e^{-\partial_{l_{\dot{f}}}}+w_{2}^{(l_{j})}(s;l)e^{-2\partial_{l_{j}}}+\cdots$$\overline{W}^{(l_{j})}(s;l)=\overline{w}_{0}^{(l_{j})}(s;l)+\overline{w}_{1}^{(l_{j})}(s,\cdot l)e^{\partial_{l_{j}}}+\overline{w}_{2}^{(l_{j})}(\mathrm{S}_{)}^{\cdot}\cdot l)e^{2\partial_{l_{j+}}}\cdots$

これらに対する$\delta_{j}$(3.25),(3.26).

依存性を, 次のように定める :,$\frac{\partial \mathrm{M}^{\gamma(l_{j})}(s,l,\delta)}{\partial\delta_{j}}.=-\frac{l_{j}}{\delta_{j}}(\overline{W}^{(l_{\mathrm{J}})}(1-e^{-\partial_{l_{j}}})(\overline{W}^{(l_{j})})^{-1})_{<0}^{(l_{J})}W^{(l_{j})}(s;l, \delta)$(3.28).

$\frac{\partial\overline{W}^{(l_{j})}(s_{\mathrm{i}}l,\delta)}{\partial\delta_{j}}=\frac{l_{j}}{\delta_{j}}(\overline{W}^{(l_{j})}(1-e^{-\partial_{l_{j}}})(\overline{W}^{(l_{j})})^{-1})_{\geq 0}^{(l_{j}\}}\overline{W}^{(l_{j})}(s;l\backslash \delta)’$

さらに, 関係式(3.29)$e^{\partial_{l_{j}}}=1+\delta_{j}e^{-\partial_{\mathrm{s}}}$によって, $W(s;l)$ と W- 働 $(s;l)$ とを同一視する$($(3.27)

cf.

$[\mathrm{K}\mathrm{S}])_{\text{。}}$

こうすると, 相似条件

後の常静 方程式を導(3.24) を, より具体的に書き下ろすことができる。相似”力ゞくと, [B] で議論されている “discrete conformal map” のうちの$\text{簡^{}\{}fi_{\iota}\backslash$$\mathrm{J}^{\backslash }$$\zeta(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{e}_{\lrcorner}\mathrm{t}\mathrm{e}Z^{\gamma}$

得られる。

4

おわりに
本稿では, 様々なタイプ (連続 差分,$q$差分) のパンルベ方程式を, ソリトン

方程式のスケール不変な解としてとらえることを議論してきた。 そうすることで,
例えばシューア函数解のような特殊解を議論することができるが, まだまだよく分からない点が多い。 例えばパンルベ$\mathrm{I}\mathrm{V}$の場合, 表 1, 表 2 で述べたように, 変

200
形ブシネ方程式と NLS 方程式の両方から得られるわけであるが, 現れるシューア函数は, 前者からはコア」 [N] のもの, 後者からは 「長方形」 (cf. [IY]) のものを使うと 「中央」の解 多成分だと 「壁の上」でが現れる。 どうやら, 1 成分
あるようなのだが, これが何を意味しているのかは今のところ不明である。
特殊解以外にも, パンルベ方程式の持つ様々な性質 (例えば, ハミルトニアン構造, 初期値空間, etc) が, 相似簡約前の何から来ているのかを解明することは,興味深い課題であろう。 また, 今のところ全ての 「パンルベ型方程式」 が相似簡約としてとらえられているわけでもない。特に, [S] のリストにおける q-PVI より$\Gamma 3$$\mathrm{K}\mathrm{P}$

上の, 対応する線形問題が分っていないものに対しては, 今のところ手がかりがない。
また, 本稿では基本的なアイデアを解説することを目的どしたため 1 成分系を中心に解説したが, 例えば矢嶋・及川階層のような, 多成分階層の principal でもhomogeneous でもない簡約からも, まだまだ面白い系が現れることが期待できる。
という例からも分かるように, 連続系
矢嶋・及川階層自体も興味深い対象であるし, もちろん対応する離散系を考えごとも大切であろう。 以下の Appendix では,「 $(2,1)$ 型の分割.

$\bullet$$(1, 2)$$arrow$$arrow \mathrm{P}_{\mathrm{V}}\mathrm{J}^{\cdot}$

型の分割$arrow$$(1, M)$ 型の分割

離散ロトカ・ボルテラ方程式$arrow$

離散ハングリー. ロトカ・ボルテラ方程式という例について, 簡単にまとめておく。

上記のもの以外にも, 自己双対ヤン・ミルズ方程式から見る立場 [MW] との関係,
階層 [Tsud] との関係など, まだまだやれること, やるべきことは残って$\mathrm{U}\mathrm{C}$いると思われる。

Appendix: $(M, 1)$ 型の分割に付随する階層の離散化
まずは 2 成分$\mathrm{K}\mathrm{P}$

階層に対する 「双線形恒等式」 [JM 2] から出発する :’$(-).g\vdash’\prime 27$$\frac{\mathrm{d}\lambda}{2\pi \mathrm{i}\lambda}\lambda^{s_{1}’-s_{1}’’-1}\mathrm{e}^{\xi(x^{(1)}-x^{(1)\prime},\lambda)}$$\mathrm{x}\langle s_{1}’-1, s_{2}’|\mathrm{e}^{H(x^{(1)}-[\lambda^{-1}],x^{(2)}\rangle}g|s_{2}, s_{1}\rangle$$\rangle\langle(s_{1}’’+1, s_{2}’’|\mathrm{e}^{H(x^{(1);}+[\lambda^{-1}],x^{(2)\prime})}g|s_{2}, s_{1}\rangle$$+ \oint\frac{\mathrm{d}\lambda}{2\pi \mathrm{i}\lambda}\lambda^{s_{2}’-s_{\acute{2}}’-1}\mathrm{e}^{\xi(x^{(2)}-x^{(2)\prime},\lambda)}$$\cross\langle s_{1}’, s_{2}’-1|\mathrm{e}^{H(x^{(1)},x^{(2)}-[\lambda^{-1}])}g|s_{2}, s_{1}\rangle$.

$\mathrm{x}\langle s_{1}’’, s_{2}’’+1|\mathrm{e}^{H(x^{\langle 1)\prime}x^{(2)\prime}+[\lambda])}).g|s_{2}, s_{1}\rangle 1=0$

ここで,$x^{(a)}=(x_{1}^{(a)}, x_{2}^{(a)}, x_{3}^{\langle a)}, \ldots)(a=1,2),$$[ \lambda^{-1}]=(\frac{1}{\lambda}, \frac{1}{2\lambda^{2}}, \frac{1}{3\lambda^{3}})\ldots)$

(4.1)
等の記号

を用いた。記号も含めて, 正確な定義については [JM2] を参照していただきたい。
双線形恒等式 (4.1) において
$s_{1}’=s_{1}+1$,$s_{2}’=s_{2}$,$s_{1}’’=s_{1}-1$,$s_{2}’’=s_{2}-1$,$x^{(2)}=x^{(2)\prime}$

(4.2)

201
としてから 「三輪変換」 [Mi]$x^{(1)}=(l+1)[\delta]$

,

(4.3)

$x^{(1)\prime}=l[\delta]$を施すことで, 次の差分方程式が得られる :$\tau(s_{1}, s_{2}, l)\tau(s_{1}, s_{2}-1, l+1)-\tau(s_{1}, s_{2}, l+1)\tau(s_{1}, s_{2}-1, l)$$=\delta\tau(s_{1}+1, s_{2}-1, l+1)\tau(s_{1}-1, s_{2}, l)$

さらに,

.

(4.4)

$(1, M)$ -reduction の条件(4.5)$\tau(s_{1}+1, s_{2}+M, l)=\tau(s_{1}, s_{2}, l)$を満たすことを要請して, 従属変数 $u(s_{2}, l)$ を$u(s_{2}$で定めれば,$u(s_{2}, l)$,の$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}=\frac{\tau(s_{1_{7}}s_{2}-M-1,l\dotplus 1)\tau(s_{1},s_{2}+M,l)}{\tau(s_{1},s_{2},l)\tau(s_{1},s_{2}-1,l+1)}$(4.6)

が次の非線形差分方程式を満たすことが導かれる$\frac{u(s_{2},l+1)}{u(s_{2},l)}=\frac{\prod_{i=1}^{M}\{1-\delta u(s_{2}+i,l)\}}{\prod_{i_{-}^{--}1}^{M}\{1-\delta u(s_{2}-\mathrm{i},l+1)\}}$

.

(4.7)

これは, 辻本らによって議論された,「離散ハングリー. ロトカ・ボルテラ方程式」[THO, Tsujl] に他ならない。 $M=2$ のときが, ソリトン・オートマトンの超離散化による導出 [TTMS] の際にも用いられた, 「離散ロトカ・ボルテラ方程式」 であ階層による定式化から得られる特殊解は, 「格る。 ただし、 上述のような 2 成分
(恒子型」 ではなく 「分子型」 となる。 このことは, 双線形方程式 (4.4) が$\mathrm{K}\mathrm{P}$$\tau\equiv 1$

等的に 1) という解を持たないことからも分かる。

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