数理解析研究所講究録980 巻 1997 年 150-161

150

フィードバックをもつ離散時間ガウス型通信路について
山口大. 工柳研二郎 (Kenjiro Yanagi)

INTRODUCTION

1

次のようなフィードバックをもつ離散時間ガウス型通信路を考える。
$Y_{n}=S_{n}+Z_{n}$ただし$Z=\{\mathrm{Z}_{n} ; n=1,2, \ldots\}$, $n=1,2,$$\ldots$は雑音を表す退化していない平均$0$のガウス過程、 $S=\{S_{n)}$. $n=$と $Y=\{Y_{n} ; n=1,2, \ldots\}$

はそれぞれ入力信号と出力信号を表す確率過程である。 通信
路は雑音のかからないフィ一ドバックをもつとする。 したがっては送信するメッセージと出力信号の函数であるとして表される。 レート
...,
, 長さ
の符号語 $x^{n}(W, Y^{n}-1),$ $W\in$$1,2,$$\ldots\}$$S_{n}$$Y_{1)}$$\{1, \ldots, 2^{nR}\}$$R$$\mathrm{Y}_{n-1}$と復号函数$\mathrm{g}_{n}$:$\mathrm{N}^{n}arrow\{1,2, \ldots, 2^{n}R\}$$n$に対して、 誤り確率は$Pe^{(n)}=Pr\{g_{n}(Y^{n})\neq W;\mathrm{Y}^{n}=x^{n}(W, Yn-1)+z^{n}\}$,で定義される。 ただし $W$ は $\{1, 2, \ldots, 2^{nR}\}$ 上の–様分布で雑音 $Z^{n}=(Z_{1}, Z_{2}, \ldots, z_{n})$ とは独立である。 入力信号には平均電力制限が課せられる。 つまり$\frac{1}{n}.\cdot\sum_{=1}^{n}E[S^{2}.]|\leq P$である。 またフィードバックは causal である。 つまり

Si $(i=1,2, \ldots, n)$ は$Z_{1},$$\ldots$, Zi-l に従属している。 同様にフィードバックがない場合は Si $(i=1,2, \ldots, n)$ は $Z^{n}=(Z_{1}, Z_{2}, \ldots , Z_{n})$ と独立である。

有限ブロック長容量を次のように定義する。
$c_{n,FB}(P)= \max\frac{1}{2n}\log\frac{|(I+B)R_{Z}^{(}n)(I+B)t+R_{V}(n)|}{|R_{Z}^{(n)}|}$,

ただし最大値は$T_{T}[BR_{z^{n}}^{()}B^{t}+R_{V}^{(n)}]\leq nP$を満たす狭義下三角行列 $B$ と非負対称行列$R_{V}^{(n)}$(1)

についてとる。 同様にフィードバックがないときには容量 $C_{n}(P)$ は $B=0$ としたときの最大値である。 これらの条件の下で Cover and Pombra は次の結果を得た。

151

Theorem 1(Cover and Pombra$[1]\rangle$

任意の$\epsilon>0$$2^{n(C_{n,FB}}(P)-\epsilon)$

個の符号語が存在して $narrow\infty$ のとき

ロック長$2^{n(c_{n}},FB(P)+\xi)$$n$でに対して各 $n=1,2,$$Pe^{(n)}arrow 0$$\ldots$

でブロック長とできる。 逆に任意の$\epsilon>0$

$n$

で

とブ

個の符号語からなる任意の符号の列に対しても $Pe^{(n)}arrow 0(narrow\infty)$が成り立たない。 これはフィードバックをもたない場合も成り立つ。

ここではブロック長を固定したとき $C_{n,FB}(P)$ と $C_{n}(P)$ との問の関係に興味がある。 $C_{n}(P)$$n$は正確に求められている。

Proposition 1(Gallager [4])$C_{n}(P)= \frac{1}{2n}.\sum_{1=1}^{k}\log\frac{nP+r_{1}+\cdots+T_{k}}{kr_{i}}$ただし $0<r_{1}\leq r_{2}\leq\cdots\leq r_{n}$ は$R_{Z}^{(n)}$

の固有値.

,

は $nP+r_{1}+\cdots+r_{k}>kr_{k}$$k(\leq n)$を満たす最大整数である。
ところで $C_{n,FB}(P)$ は正確には得られないので、今まで多くの人々によって様々な形の上界が得られている。例えば Ebert [3], Pinsker [8], Cover and Pombra [1], Dembo [2], Yanagi [10] [11] などがある。 この論文では今まで得られている上界よりある意味で強い上界を求める。

ある実 2 次形式の最小値2

次のような実 2 次形式を考える。
$Tr[QtR^{-}1Q-2WQ]= \sum k=1\hslash.\sum_{1=kj}’\sum_{k=}^{\hslash}r;jqi\mathrm{k}q_{j}k-2\sum_{k=1|}\sum w_{k_{1}}\cdot qi\mathrm{n}.=knk$

ただし $R$ は正定値対称行列で、 $R^{-1}=\{r_{1j} ; 1 \leq i, j\leq n\}$
$n,$

,

(2)

はその逆行列、 $Q=\{q_{1j}$ ; $1\leq i,$ $j\leq$$q_{ij}=0(i<i)\}$ は下三角行列、 $W=\{w_{ij} ; 1 \leq i, j\leq n\}$ は直交行列である。 ここでまず $W$ は固定しておいて任意の下三角行列$R^{-1}(k, \ldots, n)$

を $k,$$\ldots,$$n$

行 $k,$$\ldots,$$Q$の下での (2) の最小値を求めたい。 その前に記号を導入する。

$n$列からなる $R^{-1}$ の部分行列、 $|R^{-1}(k, \ldots, n)|$ を $R^{-1}(k, \ldots, n)$の行列式とする。 また $R_{11}(k)$ を 1,

1, . . . , $k-1$ 行$k,$$\ldots,$$n$. . . , $k-1$ 行 1, . . . , $k-1$ 列からなる列からなる $R$ の部分行列、 $R_{21}(k)=R_{12}(k)^{2}$ とする。 このとき次を得る。

(2) の最小値は次で与えられる。

Theorem 2$w_{kk}$$\backslash$$- \sum_{k=1}^{n}\mathrm{t}1R^{-}1(k, \ldots, n)]^{-}1,$

ただし{$\cdot)$$\cdot,$の部分行列、 $R_{12}(k)$ を$R$は$\mathbb{R}^{n}$の内積である。

/$\backslash$$w_{kk}$

$)$

,

(3)

152

Proof.

$k\leq\ell\leq n$とする。 (2) の右辺を変形すると.

$\sum\sum r;jq_{k}ll|.qjk-2\sum w_{kq_{ik}}\mathrm{r}|$$i=kj=k$

$i=k$

$=$

$\sum_{i\neq l}\sum_{j\neq l}r_{1j}.q;kqjk+2\sum_{li\neq}r_{l}|.q|.kq\mathit{1}k+r_{l}\ell q^{2}lk-2\sum_{i\neq l}w_{k};q|.k-2w_{kl}q_{l}k$(4) を$q\mathit{1}k$.

(4)で偏微分して次を得る。
$\sum_{i=k}r;lq|.k=w_{kl}$

.

したがって

$\gamma_{k.1k}\gamma_{nk}Tk+..k$$r_{k+}r_{nk}r_{kk}1^{+1}.\cdot.k+1+1$$..$$R^{-1}(k, \ldots, n)$. $r_{k+1n}r_{nn}r_{kn}..\cdot)=$ .

は正則だから$=[R^{-1}(k, \ldots, n)1-1\cdot$

ゆえに$qik= \frac{1}{|R^{-1}(k,\ldots,n)|}\sum_{\wedge-\mathrm{L}}^{-}.\tilde{T}_{1}.j(k, \ldots, n)w_{kj}$,

ただし $\tilde{r}_{ij}(k, \ldots, n)$ は $(i, j)$ における $R^{-1}(k, \ldots, n)$ の余因子行列である。 したがって最小値は次のように表現される。

$\sum\sum r_{i\mathrm{j}}\frac{\sum_{l=k}^{n}\tilde{\gamma}_{i}l(k,.\cdot.\cdot.\cdot,n)wk\mathit{1}}{|R^{-1}(k,,n)|}\frac{\sum_{m=k^{\tilde{\gamma}}j}^{n}m(k.\cdot.,n)w_{k,m}}{|R^{-1}(k,..,n)|}nn,.-2\sum w_{k}\cdot\frac{\sum_{\mathit{1}=k}^{n}\tilde{r}_{il}(k,.\cdot.\cdot.\cdot,n)w_{kl}}{|R^{-1}(k,,n)|}n|$$|.=kj=k$$|.=k$

ここで次のことに注意する。
$\sum’\sum\sum r_{1}j\tilde{r}|l(k, \ldots, n\hslash l..)w_{k\mathit{1}}\sum.\tilde{r}_{jm}(k, \ldots, n)w_{km}$$|.=kj=kl=k$$=$$\sum\sum\sum r\cdot j\tilde{r}il(k|’\ldots, n)w_{k}z\mathrm{n}*\mathrm{n}\sum nr_{jm}^{\sim}.(k, \ldots, n)w_{km}$$j=kl=k|.=k$
$=$

$m=k$

$m=k$

$\sum\sum’ S_{j}l|R^{-}1(*k, \ldots, n)|w_{kl}\sum_{m}n=k\tilde{r}_{j}(mk, \ldots, n)w_{km}$$j=kl=k$$=$$\sum_{j=k}^{*}|R-\cdot 1(k, \ldots, n)|wkj\sum_{m}*=k\tilde{r}_{j}(mk, \ldots, n)w_{km}$

.

.

153

したがって (4) の最小値は,$- \frac{1}{|R^{-1}(k,\ldots,n)|}.\sum_{1=k}^{n}w_{k}i\sum_{l=k}^{n}\tilde{r}_{l(n)w_{kl}}|.k,$$\ldots$$-\{[R^{-1}(k, \ldots, n)]-1, \}$

$=$

(5)

である。

口

次に今度は任意の直交行列 $W$ の下での (3) の最大値を評価したい。 これに関しては次の定理を得る。

任意の直交行列 $W$ の下での (3) の最大値は次で与えられる。

Theorem 3$-Tr1R]+k2 \sum_{=}^{n}\lambda_{\max}()$ ,ただし $\lambda_{\max}(A)$ は $A$ の最大固有値である。

Proof.
$\mathrm{w}_{k}^{*}=($$R_{22}(k)$$w_{k1}$$w_{k2}$を $k,$. ..

$\ldots,$$n$

行 $k,$$\ldots,$$n$列からなる $R$ の部分行列、 また) とする。 (3) より任意の直交行列$w_{kn}$$- \sum_{k=1}^{n}\{[R^{-1}(k, \ldots, n)]-1,$

$W$

の下で

$)$

を最大にしなければならない。 $2\leq k\leq n$ とする。
$[R^{-1}(k, \ldots, n)1^{-}1=R_{22}(k)-R21(k)R_{1}1(k)^{-}1R12(k)$より次を得る。

$-(1R^{-1}(k, \ldots, n)]^{-1} , )$$w_{kk}$$=$$-(R_{22}(k)$$=$$\mathrm{w}_{k}^{*}\}*\mathrm{t}+\mathrm{w}_{k}^{**},$ .
$-(\mathrm{w}_{k},$’$)+\{R_{21}(k)R11(k)^{-}1R12(k)$’$\mathrm{w}_{k}\}$

154

したがって

$- \sum_{1k=}^{n}(1^{R(k}-1, \ldots,)n]-1,$

$)$

$=$

$-(R \mathrm{w}_{1’ \mathrm{l}}^{\prime \mathrm{e}}\mathrm{w}\}\cdot-\sum_{k=2}\{\mathrm{t}R\mathrm{w}_{k’ k}\mathrm{w}^{*}\mathrm{I}*-\mathrm{t}n\mathrm{w}_{k}^{**}, \mathrm{w}_{k})\}$$=$$- \sum_{k=1}^{n}(R_{\mathrm{W}^{**}},$$=$$-Tr[R1+ \sum_{k=2}^{n}(\mathrm{w}_{kk}^{**}, \mathrm{W})$$\mathrm{w}\}kk+\sum \mathrm{t}k=2n\mathrm{w}_{k’ k}^{*}\mathrm{w}^{*}\}$

ここで $\lambda_{\max}(A)=\max\{(A\mathrm{X}, \mathrm{X}\};||\mathrm{x}||=1\}$.

だから$(\mathrm{w}_{k}^{**}, \mathrm{w}_{k})\leq\lambda_{\max}()$を得る。

口

次に $W$ を単位行列$I$によって置き換えて得られる実 2 次形式$Tr[QtR-1Q-2Q1$(6)を考える。 ここで任意の下三角行列 $Q$ の下での (6) の最小値を求めたい。 Theorem 2 より次を得る。

Theorem 4(2) の最小値は次で与えられる。
$-|R_{11}(2)|- \frac{|R_{11}(3)|}{|R_{11}(2)|}-\frac{|R_{11}(4)|}{|R_{11}(3)|}$–..

.

$- \frac{|R|}{|R_{11}(n)|}$Theorem 4 を証明するには次の補題が必要である。

Lemma 1

$2\leq k\leq n$に対して$|R^{-1}(k, \ldots, n)|=\frac{|R_{11}(k)|}{|R|}$

Proof.

$R=$

,

.

.

155

とする。 ただし$A_{11}$は$(k-1)$ $\mathrm{x}(k-1)$ 行列、$(n-k+1)\mathrm{x}(k-1)$ 行列|$A_{22}$は $(k-1)\mathrm{x}(n-k+1)$ 行列、$A_{12}$$A_{21}$

はは $(n-k+1)\mathrm{x}(n-k+1)$ 行列である。 また$R^{-1}=$

$=$
$=I$

を $R$ の逆行列とする。 ただし $B_{11}$ は $(k-1)\mathrm{x}(k-1)$ 行列、 $B_{12}$ は $(k-1)\mathrm{x}(n-k+1)$ 行列、$B_{21}$は $(n-k+1)\mathrm{x}(k-1)$ 行列.

$A_{11}$

も正則である。

より次を得る。

$B_{22}$は $(n-k+1)\mathrm{x}(n-k+1)$ 行列である。 $R$ は正則だから$|R|=|A_{11}||A_{22}-A_{21}A^{-1}11A12|$

方

.

(7)

だから次の関係を得る。

$A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}$

$=$

$0$

(8)

$A_{21}B_{12}+A_{2222}B$

$=$

I.

(9)

(8) より$B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{1222}B$

したがって (9) と

.

(10)

(10) より$-A_{21}A_{11}-1A_{1}2B_{2}2+A_{22}B_{22}=I$

即ち$(A_{22}-A21A^{-1}1112A)B22=I$.

を得る。 したがって$|A_{22^{-}}A_{2111}A-1A12||B_{2}2|=1$.

(7) より$\frac{|R|}{|A_{11}|}|B_{22}|=1$.

ゆえに$|B_{22}|= \frac{|A_{11}|}{|R|}$

つま り$|R^{-1}(k, \ldots, n)|=\frac{|R_{11}(k)|}{|R|}$.
口

Proof of Theorem 4.
られる。

(5) において $w_{kl}=S_{kl},$ $l=k,$$\ldots,$$n\text{とおくと}(6)$$.\text{の}$最小値は次で与え156$- \sum_{k=1}^{n}\frac{\tilde{r}_{kk}(k,..\cdot.\cdot.’n)}{|R^{-1}(k_{)},n)|}$,

ただし $\tilde{r}_{kk}(k, \ldots, n)$ は $(k, k)$ における $R^{-1}(k, \ldots, n)$ の余因子行列である。 $\tilde{r}_{kk}(k, \ldots, n)=|R^{-1}(k+$$1,$$\ldots,$と Lemma 1 より$n)|$(6) の最小値として$- \sum_{k=1}^{n}\frac{|R^{-1}(k+1,\ldots,n)|}{|R^{-1}(k,\ldots,n)|}=-|R_{11}(2)|-\frac{|R_{11}(3)|}{|R_{11}(2)|}$–. $..- \frac{|R|}{|R_{11}(n)|}$

を得る。

3

口

を 1, .

$R_{Z}^{11}(k)$

$k,$

の上界

$C_{n,FB}(P)$$\ldots,$$n$. . , $k-1$ 行 1, . . ., $k-1$ 列からなる

列からなる$R_{Z}^{(n)}$$R_{Z}^{(n)}$の部分行列、

Lemma 2 任意の正方行列 $A,$に対して次が成り立つ。

$C$$T_{T}[Ac^{1}]\leq\tau r[AA^{\mathrm{t}}]^{1/2}\tau_{r}[cC^{\mathrm{s}}]1/2$

Proof.

を 1, . . . , $k-1$ 行、$R_{Z}^{12}(k)$の部分行列、 $R_{Z}^{21}(k)=R^{12}z(k)t$ とする。

.

[2] を見よ。

Lemma 3口

条件 (1) の下で$\frac{1}{n}Tr[R_{V}^{(n})+BR_{Z}^{(n)(}B+BR_{Z}^{(n)}+R_{Z}^{(n)}B^{t}]$の上界は次で与えられる。

.

$P+2\sqrt{\frac{P}{n}}\sqrt{Tr1R_{Z}^{(n)}1-|R1(z^{1}2)|-\frac{|R_{Z}^{11}(3)|}{|R_{Z}^{11}(2)|}--\frac{|R_{Z}^{(n)}|}{|R_{z(n)|}^{11}}}$

Proof

煩雑さを避けるために$A=BR_{z^{/2}}^{1},$$R_{Z}^{(n)}$$C=R^{1/2}-Q^{r}zR^{-1/2}Z$

を $R_{Z}$ と書くことにする。

Lemma 2 において
] $=0$ に注意すとおく。 ただし $Q$ は下三角行列である。

$\tau_{r}1^{B}Q$ると次の式が得られる。

$Tr[BR_{Z}]$$=$$Tr[BRZ]-^{\tau_{r}}[BQ]$$=$$\tau r1^{BR^{1}}Z^{/}(2R_{Zz}1/2-R-1/2Q)]$$=$$T_{T}[BR_{z}/2(1/2QR^{1}-tR_{Z}^{-})Z]1/22$$\leq$$\tau\gamma[BRzB^{t}]1/2\tau r1(R_{z}^{1}/2--Q^{r_{R)}}Z1/2(R-z^{/-}12Qt_{R_{z}}1/2)^{2}]^{1}/2$$=$$Tr[BR_{Z}B^{t}]^{1/2}\tau r[Rz-Q-Q^{r}+QtR_{Z}-1Q]1/2$

.

157

.

$Tr[BRzB^{t}]\leq Tr[R_{V}+BR_{Z}B^{2}]\leq nP$は明らかである。 Theorem 4 より次を得る。

’$\min_{Q}Tr[R_{Z}-Q-Q^{2}+Q^{t}R_{z1}^{-1}Q$$=$$Tr[R_{Z}]+ \min_{Q}\tau_{r}[QtR_{Z}^{-1}Q-2Q]$$=$$T^{J}r[Rz]-|R_{Z}^{11}(2)|- \frac{|R_{z(3)|}^{11}}{|R_{z(2)|}^{11}}$$-\cdot.$.

$- \frac{|R_{Z}|}{|R_{z(n)1}^{11}}$

.

したがって
$\frac{1}{n}Tr[R_{V}+BR_{Z}B^{\mathrm{C}}+BR_{Z}+R_{Z}.B^{2}]$$=$$\frac{1}{n}Tr[R_{V}+BR_{Z}B^{t}]+\frac{2}{n}Tr[BRZ]$.

$P+2\sqrt{\frac{P}{n}}\sqrt{Tr[R_{Z}]-|R_{z}11(2)|-\frac{|R_{z}^{11}(3)|}{|R_{z}^{11}(2)|}--\frac{|R_{Z}|}{|R_{Z}^{11}(n)|}}.$$\leq$

口

次に Dembo$[2];\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{m}3$の拡張である次の命題が成り立つ。

Proposition 2$C_{n}(P) \leq C_{n,FB}(P)\leq\frac{1}{2}\log(P_{2}+\frac{1}{n}T\tau 1R_{Z}^{(}n)])-\frac{1}{2n}1o\mathrm{g}|R_{Z}^{(n)}|$

,

ただし

.

$P_{2}=P+2\sqrt{\frac{P}{n}}\sqrt{Tr[R_{z}^{(}n)]-|R11(Z2)|-\frac{|R_{Z^{1}}^{1}(3)|}{|R_{z(2)|}^{11}}--\frac{|R_{Z}^{(n)}|}{|R_{Z^{1}}^{1}(n)|}}$

Proof.

煩雑さを避けるために$R_{V}^{(n)},$$\ldots$

を $R_{V},$$\ldots$などのように書くことにする。

$\frac{1}{2n}\log|R_{V}+BR_{Z}B^{2}+BR_{Z}+R_{Z}B^{t}+R_{Z}|-\frac{1}{2n}\log|R_{Z}|$$\leq$$\frac{1}{2}\log\frac{1}{n}T_{T[}Rv+BR_{Z}B^{t}+BR_{Z}+R_{Z}B^{\mathrm{t}}+R_{Z}]-\frac{1}{2n}\log|R_{Z}|$($\frac{1}{2n}\log|A|\leq\frac{1}{2}\log\frac{1}{n}\tau_{r}[A]$

だから)

$=$

$\frac{1}{2}\log\{\frac{1}{n}Tr[Rv+BRzB^{\mathrm{e}}+BR_{Z}+R_{Z}B^{\ell}]+\frac{1}{n}Tr[RZ]\}-\frac{1}{2n}\log|R_{Z}|$$\leq$$\frac{1}{2}\log(P_{2}+\frac{1}{n}Tr[R_{Z}])-\frac{1}{2n}\log|R_{Z}|$(Lemma 3.

$\mathrm{k}\text{り}$

.

)

したがって
$C_{n}(P)\leq C_{n,FB}(P)\leq\overline{2}\mathrm{A}\log(P_{2}+\overline{n}",\overline{2n}Tr[Rz])-rightarrow\log|R_{Z}|$

.
口

158

$R_{U}^{(n)}=R_{V}^{(n)}+BR_{Z}^{(n)}B^{t}+BR_{Z}^{(n)}+R_{Z}^{(n)}B^{9}$

そこで{$R_{U}^{(n)})=((R_{U}^{(n)})tR^{()}Un)^{1/2}$とおくと、$R_{U}^{(n)}$は対称ではあるが正定値ではない。

とする。 このとき$R_{U}^{(n)}= \frac{\{R_{U}^{(n)})+R_{U}(n)}{2}-\frac{\{R_{U}^{(n)})-R_{U}(n)}{2}$$1^{R_{U}^{(n)}})+R_{U}^{(n)}$

と

{

.

は正定値であるので、$R_{U}^{(n)})-R_{U}^{(n)}$$R_{Z}^{(n)}+R_{U}(n) \leq R_{z}^{(n)}+\frac{\{R_{U}n))(+R_{U}(n)}{2}$

.

したがって
$|R_{zU}^{(n)}+R^{(}n)| \leq|R_{Z}^{(n}+\frac{(R_{U}^{(n)})+R_{U}(n\rangle}{2})|$(1) 。\mbox{\boldmath $\phi$}。。エア$\frac{1}{n}\tau_{r}[\frac{(R_{U}^{(n)}\}+R_{U}(n)}{2}]\text{の}\lrcorner_{\mathrm{i}}$与えられる。 したがって (1)Lemma 4

R&*b た$1 \bigcap_{\mathrm{O}}$$\text{の条件の下}-\mathrm{C}\frac{1}{n}\tau_{r}[\mathrm{t}R_{U}(n)\}1$.

Lemma 3 よ’$n$$\frac{1}{n}Tr1^{R^{(}}U$)]$\text{の上}RQP_{2^{-}}\mathrm{C}$の上界を求めなければならない。

(1) の条件の下で$\frac{\perp}{n}Tr[\mathrm{t}R^{(}Un))]$の上界は次で与えられる。

Proof.

煩雑さを避けるために$R_{Z}^{(n)},$$\ldots$

を $R_{Z},$$\ldots$のように書くことにする。 Schatten [9],$\mathrm{p}4$,

より$(R_{U})=W^{t}R_{U}=W^{t}R_{V}+W^{t}BRzB^{t}+W^{t}BRz+W^{t}R_{Z}B^{r}$を満たす直交行列 $W$ が存在する。
$Tr[W^{t}(Rv+BR_{Z}B^{t})]\leq||W^{t}||\tau_{r}[Rv+BR_{Z}B^{t}]\leq nP$は明らかである。 Lemma 2 で $A=BR_{z^{/2}}^{1},$ $C=WR_{zZ}^{1/1/2}22--QR$ とおく。 ただし $Q$ は下三角行列である。 $Tr[BQ]=0$ だから次の式を得る。
$Tr[W^{\mathrm{c}}BRz]$$=$$Tr[BRZWt]$$=$$Tr[BRzW^{t}]-T_{\mathit{7}}[BQ]$$=$$\tau r[BR^{1/21}Z(R_{z^{/1/2}}2Wr_{-R_{z}^{-}Q)]}$$=$$Tr[BR_{Z}/2(12QWR_{z^{//2}}^{1}-lR_{z^{1}}^{-})^{t}]$$\leq$$Tr[BR_{Z}B^{t}]^{1/\tau}2r[(WR_{zz}^{1/-}2-Q^{\mathrm{e}}R)1/2(WR_{z}1/2t-QR_{Z}-1/2)^{t}]^{1/}2$$=$$\tau r[BRzB^{2}]1/2\tau \text{ノ}r[WRzW^{t}-WQ-Q^{\mathrm{e}_{W}}2+Q^{t_{R}1}ZQ]^{1/2}$

.

159

ここで

$\min_{Q}Tr[WRzW\mathrm{c}-WQ-Q^{t}W^{t}+Q^{t}R_{Z}^{-1}Q]=Tr[R_{Z}]+\min_{Q}Tr[Qt_{R_{z^{1}}}-Q-2WQ]$だから Theorem 2 より次を得る。

$[A\cdot\cdot--w_{kk}$

れ

$\}$

’

.

(11)

$\min_{Q}T_{T}[Q^{t}Rz^{1}-Q-2WQ]=-\sum_{k=1}\mathrm{t}[R_{z^{1}}-(k, \ldots, n)]^{-1}$$(,)$

Theorem 3 より任意の直交行列 $W$ の下での (11) の上界は次で与えられる。
$- \tau_{r}[Rz]+\sum_{2k=}^{n}\lambda_{\max}$.

.

ゆえに (1) の条件の下で $\frac{1}{n}Tr[W^{t}BR_{Z}1$ の上界は次で与えられる。

(12)
同様に (1) の条件の下で$\frac{1}{n}Tr[WtRzBr1$の上界も (12) で与えられる。 したがって結果を得る。

$\square$

ようやく主定理を述べることができる。

Theorem 5,$C_{n}(P)\leq C_{n,FB}(P)\leq C_{n}(P^{*})$

ただし$\pm\sqrt Tr[R_{Z}^{(}n)]-|R1(Z^{1}2)|-\frac{|R_{z(3)|}^{11}}{|R_{Z^{1}}^{1}(2)|}$–.

..

$- \frac{|R_{z^{n}}^{()}|}{|R_{z(n)1}^{11}}$次の系は容易に得られる。

Corollary 1,$C_{n}(P)\leq C_{n,FB}(P)\leq C_{n}(P_{3})$

}.

160

ただし

$P_{3}$$=$$P+\sqrt{\frac{P}{n}}\{\sqrt{T_{\mathit{7}}[R_{z^{n}}^{()}1}$$+\sqrt{Tr1R_{z^{n)}}^{(}]-|R^{1}(z^{1}2)|-\frac{|R_{z(3)|}^{11}}{|R_{z(2)|}^{11}}--\frac{|R_{Z}^{(n)}|}{|R_{z(n)1}^{11}}}\}$

Proof

煩雑さを避けるために$A=BR_{z^{/2}}^{1},$$C=WR_{z}^{1/2}$$R_{Z}^{(n\rangle}$を$R_{Z}$.

と書くことにする。 Lemma 2 でとおくと次を得る。

$Tr[W^{t}BRz]$$=$$\leq$$\leq$$T_{T}[BRzW^{r}]$$Tr[BRzB^{t}]1/2T_{T}[WR_{Z}W^{r}]1/2$$\sqrt{nP}Tr[Rz11/2$.

Lemma 4 と同じ方法で結果を得る。

口

参考文献[1] T. Cover and S. Pombra, “Gaussian feedback capacity”, IEEE Trans. Information Theory,
IT-35, pp 37-43, January 1989.
$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}$[2] A. Dembo, “On Gaussian feedback capacity”, IEEE Trans. Information Theory,
PP 1072-1089, September 1989.

$\mathrm{V}o1$

IT-35,[3] P. Ebert,
capacity of the Gaussian channel with feedback”, Bell. Syst. Tech. J., pp1705-1712, 1970.
($‘ \mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}$[4] R. G. Gallager, Information theory and reliable communication, John Wiley and Sons, New
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