数理解析研究所講究録
第 1784 巻 2012 年 155-160

155

丹原関手と斜バーンサイド環

小田 文仁 (Fumihito Oda)
山形大学・理学部
Faculty of Science, Yamagata University

1. はじめに有限群の表現環，バーンサイド環，コホモロジー環等に共通した性質を取りだし，Tambara はTNR-functor を定義した [Tam], [Ta93]. その名は trace, norm, restriction という写像に由来する．TNR-functor は，Brun により Tambara functor と呼ばれ，現在に至っている [Br05]. Mackey
functor は，有限 G-set の圏から単位元をもつ可換環上の加群の圏への関手の対である．特に，それらの加群がすべて環でありいくつかの条件を満たすとき，Green functor と呼ばれる．Tambarafunctor は，乗法的誘導をもつ可換環が対応する Green functor である．
斜バーンサイド環 (crossed Burnside ring) は [OYOI] で紹介された．与えられた Mackey functor$M$ と-集合 $X$ から新たな Mackey functor $Mx$ を構成する手法は，Dress が紹介した [Dr72].に G-monoidが与えその手法は，現在 Dress 構成と呼ばれている．任意の Green functor
る Dress 構成から得られる Mackey functor
は，自然に Green functor の構造をもつ．特にBurnside Green functor に対しこの事実を適用することにより，斜バーンサイド環が与えられる．本稿では G-monoidに可換性を仮定することで，任意の Tambara functor でも同様の事実が成立するという結果 [Tam], [OYII] の概観を与えたい．Mackey functor については [TW95],
$G$

$A$

$S$

$A_{S}$$\Omega$$S$[WeOO], Burnside ring については [BoOO] がわかりやすくまとめられている．
講演の冒頭で紹介した Tambara functor に関する論文は，[Ta93], $[Br05]$ , [E106],[OYII],$[Na09|$ ,[Nall] である．

は有限群， は単位元をもつ可換環とする．G-set は有限とする．G-set と G-map の圏をのG-set, 集合と写像の圏を Set と書く．単位元をもつ monoid は，monoid 準同型を誘導するの disjoin union を $X+Y$作用に関する G-set であるとき G-monoid と呼ぶ．二つの -集合 $X,$
$G$$\mathcal{O}$

$G$

$Y$

$G$と書く．

2. EXPONENTIAL DIAGRAMS: $Xarrow Y$ を G-map とする．圏 G-set/X の対象は G-map
ぶ ,からへの射は G-map : $Aarrow B$ で
G-set : $Aarrow X$ に対し集合$f$$)$$Barrow\beta X$$Aarrow\alpha X$$\alpha$$\beta f=\alpha$$f$: $Aarrow X(X$ 上の G-set と呼をみたすものである． 上の$X$$\alpha$$\Pi_{f}A$$\{(y, \sigma)|y\in Y,\sigma.f^{-1}(y)\alpha\circ\sigma=id_{f^{-1}(y)}arrow A$$=$: map,$\}$に $G$-作用を$g(y, \sigma):=(gy^{g}\sigma)$

で定め，$\Pi_{f}A$から$Y$,$g\sigma(x):=g\sigma(g^{-}.x)$への射影 $(y, \sigma)\mapsto y$ をfunctor$f^{*}$:$\Pi_{f}\alpha$G-set/Y,$(g\in G)$と書く．G-map$arrow$$(Barrow Y)$$f$

G-set/X$(X \cross YBarrow^{pr}X)$は左随伴関手$\Sigma_{f}$: G-set $/X$

$arrow$$(Aarrow^{\alpha}X)$$\mapsto$G-set $/Y$$(Aarrow^{\alpha}Xarrow^{f}Y)$と右随伴関手$\Pi_{f}$: G-set $/X$$(Aarrow^{\alpha}X)$$arrow$

G-set/Y$(\Pi_{f}A^{\prod_{arrow}}f^{\alpha}Y)$: $Xarrow Y$ に対し pullback

156
丹原関手と斜バーンサイド環をもつ．二つの自然変換$\Sigma_{f}\Sigma_{f}f^{*}\Pi_{f}\underline{\Sigma_{f}\epsilon’}arrow^{\epsilon\Sigma_{j}}\Pi_{f}$(ただし， は随伴$\epsilon’$$f^{*}\dashv\Pi_{f}$の余単位射， は随伴$\epsilon$$\Sigma_{f}\dashv f^{*}$の余単位射) は$Aarrow^{\alpha}X$$\Sigma_{f}(\begin{array}{l}AV\alpha X\end{array})\underline{\Sigma_{f}\epsilon’(\alpha)}\Sigma ff^{*}\Pi_{f}(\begin{array}{l}A|\alpha X\end{array})arrow^{\epsilon\Pi_{f}(\alpha)}\Pi_{f}(\begin{array}{l}A|\alpha X\end{array})$に対し，図式,

すなわち$($

ただし， : $Xx_{Y}\Pi_{f}A\ni(x,$$(y,$ $\sigma))\mapsto\sigma(x)\in A$$e$$(f’=p\Pi_{f}A$用いた．

,$px,$ $P\Pi_{f}A$は射影$)$を与える．この図式とする を Tambara は canonical exponential diagram と呼び，
$TNR$ -関手の公理化に$)$

3. TAMBARA FUNCTORS
Tambara functor の定義を与える．G-map$f$: $Xarrow Y$ に対し関手の三つ組$T=(T_{!},T^{*}, T_{\star}):G-setarrow$Set,$T(X):=T_{!}(X)=T^{*}(X)=T_{\star}(X)$ ,$f_{!}$$:=T_{!}(f),$$f_{\star}$$:=T_{\star}(f)$: $T(X)arrow T(Y),$ $f^{*}:T(Y)arrow T(X)$は以下の条件を満たすとき semi-Tambara functor と呼ばれる:(T. 1) (Additivity)$Xarrow^{i}X+Yarrow^{j}Y\Rightarrow T(X+Y)\cong T(X)\cross T(Y)$and $T(\emptyset)=0(:=\{0\})$ . (T.2) (Pullback formula)$T(X)arrow^{a_{!}}T(Y)$$Xarrow^{a}Y$$T(X)arrow^{a_{\star}}T(Y)$$\Rightarrow$$b\downarrow$$PB$$\downarrow$$c$$Zarrow Wd$$b^{*}\{$$o$$\uparrow c^{*}$$T(Z)arrow T(W)d_{!}$ ’$b^{*}\{$$o$$\uparrow c^{*}$$T(Z)arrow T(W)d_{*}$.

157
丹原関手と斜バーンサイド環(T.3) (Distributive law)

$T(X)arrow^{a_{!}}T(A)arrow^{e^{*}}T(X\cross Y\Pi_{f}A)$$Xarrow aAarrow^{e}X\cross Y\Pi_{f}A$$EXP$$f\downarrow$$0$$f*\downarrow$$\downarrow f’$$\downarrow f_{\star}’$$\Rightarrow$$T(Y)T(\Pi_{f}A)\overline{q!}$ .

$Y\Pi\overline{q}f^{A}$

すべての $T(X)$ が可換環でがそれぞれ加法群，環，乗法的モノイドの準同型であるなら$T$ は Tambara
ば，functor と呼ばれる．
$f_{!},$$f^{*},$$f_{\star}$

は (T.1), (T.2) を満たすとき，semi-Mackey functor と呼ばれる．semi-Mackey functor$G$ の上の Mackey functor とは $T(X)$ がが -準同型であるならば，群で，$(T_{!}, T^{*})$$(T_{!}, T^{*})$$\mathcal{O}-\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$$f_{1},$$f^{*}$$\mathcal{O}$$\mathcal{O}$

呼ばれる．

4. 例

Tambara functor の例を述べる．
1. Invariant ring functors$R$を可換な G-ring とする．任意の G-set $X$ に対し $X$ から $R$ への G-map の集合を$\tilde{R}(X)=Homc(X, R)$$H$ がとする．
$f$$G$の部分群であるならば，$\tilde{R}(G/H)$

は invariant ring $R^{H}$: $Xarrow Y$ は 3 つの写像を誘導する::$f_{!}$$\tilde{R}(X),$

$f!$

,

$f^{*},$$\tilde{R}(Y)arrow\tilde{R}(X);\psi\mapsto f^{*}(\psi)(x)=\psi(f(x))$:$f_{\star}$

このとき$\tilde{R}(X)arrow\tilde{R}(Y);\varphi\mapsto f_{!}(\varphi)(y)=\sum_{x\in f^{-1}(y)}\varphi(x)$:$f^{*}$と同型である．G-map,,$\tilde{R}(X)arrow\tilde{R}(Y);\varphi\mapsto f_{\star}(\varphi)(y)=\prod_{x\in f^{-1}(y)}\varphi(x)$$f_{\star}$

は Tambara functor$\tilde{R}$.

を構成する．

2. Burnside functors.
任意の G-set $X$ に対し $\Omega_{+}(X)$ を $X$ 上の G-set の同型類 $[Aarrow X]$ 全体の集合とする．このとき $\Omega+(X)$ は圏 G-set/X の coproducts と products に関する半環である．G-map $f$ : $Xarrow Y$
は 3 つの写像を誘導する:$f_{!}$:$\Omega_{+}(X)arrow\Omega_{+}(Y);[Aarrow^{\alpha}X][Aarrow^{\alpha}Xarrow^{f}Y]$$f^{*}$:$\Omega_{+}(Y)arrow\Omega_{+}(X);[Barrow Y]\mapsto[X\cross YBarrow pxX]$:$\Omega_{+}(X)arrow\Omega_{+}(Y);[Aarrow^{\alpha}X]\mapsto[\Pi_{f}(A)\prod_{arrow}f^{\alpha_{Y]}}$$f_{\star}$

.

,

,

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丹原関手と斜バーンサイド環

このとき $\Omega_{+}(X),$は semi-Tambara functorを構成する．例えば以下の図式はが monoid 準同型であることを示している．
$f^{*},$$f_{!},$$\Omega_{+}(X)arrow\Omega_{+}(Y)$$\Omega_{+}$$f_{\star}$$\Omega(X),$を G-set/X の Grothendieck ring とすると，$\Omega(X)$$f_{!},$$f^{*},$$f_{\star}$$f_{\star}$:

は Tambara functor を構成

する．

5. CROSSED BURNSIDE RlNGS$S$

を G-monoid,$\bullet$を G-set とする．

$X$の対象は，

圏 G-xset $/S\cross X$

だし，$S\cross X$

上の crossed G-map (斜 $G$ -写像)

鴎 は weight function と呼ばれる G-mapを省略して $Aarrow^{\alpha}S\cross X$ と書く．
$|$$\bullet$$Aarrow^{\alpha}S\cross X$

任意の二つの対象$\bullet$$\alpha$から$Barrow^{\beta}S\cross X$

は G-map).

$|$

鴬(た$\cross\alpha$

への射 $f$ は G-map $f$ : $Aarrow B$ で $\beta f=\alpha$ と$Aarrow^{\alpha}S\cross X$と $Barrow^{\beta}S\cross X$ に対し和と積を以下のように定める．

$(Aarrow^{\alpha}S\cross X)+(Barrow^{\beta}S\cross X)=(A\coprod Barrow S\alpha\cup\beta\cross X)$,, ただし， はファイバー積，weight$(Aarrow^{\alpha}S\cross X)\cdot(Barrow^{\beta}S\cross X)=(A\cross xBarrow^{p}S\cross X)$

function は I$Aarrow\alpha X$を満たすものである．

$\Vert f(a)\Vert=\Vert a\Vert$$\bullet$$Aarrow S\Vert\cdot||,$$|$$A^{\Vert}arrow S\cross X||\cross\alpha$$(a, b)\Vert=\Vert a\Vert$$\Vert b\Vert$$P$で定義する．

斜バーンサイド環 (crossed Burnside ring, 以下 CBR と書く) $X\Omega(G, S, X)$ は圏 $G-xset/S\cross X$ の$X$ が 1 点集合のとき $X\Omega(G, S, X)$ はGrothendieck 環として定義する．
CBR $X\Omega(G, S)$ ([OYOI])と同型である．

6. CBR AS A GREEN FUNCTOR
Green functor は Mackey functors (とそれらの間の自然変換) の圏の monoid 対象 $[ML98, P.75]$$O$ 上のGreen functor $A=(A_{!}, A^{*})$ は， の 上の Mackey functor$X$に関する bilinear mapsとして定義される． のであり，任意の G-sets ,$G$

$G$

$Y$

$A(X)\cross A(Y)arrow A(X\cross Y)$.

$\mathcal{O}$: $(a, b)\mapsto a\cross b$

が以下の条件をみたすものである．
二つの G-maps $f$ : $Xarrow X’,$ $g:Yarrow Y’$ に対し以下の図式が可換である．
$A(X)\cross A(Y)arrow^{\cross}A(X\cross Y)$$A_{!}(f)\cross A_{!}(g)\downarrow$$0$$\downarrow A_{!}(f\cross g)$$A(X’)\cross A(Y’)arrow A(X’\cross\cross Y’)$ ,$A(X)\cross A(Y)arrow^{\cross}A(X\cross Y)$$A^{*}(f)\cross A^{*}(g)\{$$o$$\uparrow A^{*}(f\cross g)$$A(X’)\cross A(Y’)arrow A(X’\cross\cross Y’)$.

159

.

丹原関手と斜バーンサイド環

三つの G-sets $X,$$Y,$$Z$に対し以下の図式が可換である．

$A(X)\cross A(Y)\cross A(Z)arrow^{Id\cross(\cross)}A(X)\cross A(Y\cross Z)$$(\cross)\cross Id|$..

$\circ$$\downarrow\cross$$A(X\cross Y)\cross A(Z)arrow A(X\cross\cross Y\cross Z)$

を 1 点集合とする．任意の G-set $X$ と任意の $a\in A(X)$ に対し，$\epsilon_{A}\in A(\cdot)$が存在し以下の条件をみたす．

.

$A_{*}(p_{X})(a\cross\epsilon_{A})=a=A_{*}(q_{X})(\epsilon_{A}\cross a)$

ただし，$X\cross\cdotarrow Xp_{X},$$\cross X^{qx}arrow X$,は全単射な射影とする．

Dress 構成を用いた CBR の Green functor は以下の定理として知られている．
Theorem ([Bo03], [OY04])
を G-monoid, $A$ を Green functor とする．このとき Mackey functor $A$ のは Green functor の構造をもつ．
構成によって与えられる Mackey functor
$S$

$S$

による Dress$A_{S}$と G-monoid $S$ から Green functor $\Omega_{S}(=:X\Omega(G, S, *))$
この定理により Burnside Green functor$XarrowY$$f$は二つの写像を得る．特に G-map :$\Omega$$f_{!}$:$f^{*}$:$X\Omega(G, S, X)$$X\Omega(G, S, Y)$$X\Omega(G, S, Y)$:$[Aarrow^{\alpha}S\cross X]$$X\Omega(G, S, X)$:$[Barrow^{\beta}S\cross Y]$$arrow$$arrow$(ただし，weight function 鴬 : $X\cross YBarrow S$ は$|$$|$$\Vert(x,$ $b)\Vert=\Vert b\Vert$$[Aarrow^{\alpha}S\cross Xarrow S\iota_{s\cross f}\cross Y]$$\mapsto$,$[X\cross YBarrow S\Vert\cdot\Vert\cross pr\cross X]$$\mapsto$for $(x,$ $b)\in X\cross YB$ ) を誘導する．

7. CBR As A TAMBARA FUNCTOR

Dress 構成を用いた CBR の Tambara functor の構成を述べる．Green functor の場合とは異なり，G-monoid の可換性が必要である．
$T$ を任意のを可換な G-monoid とする．: $S\cross Sarrow S$ を積， : $\{1\}arrow S$ を単位射，Tambara$X$$T_{S}(X)$での二項演算 をfunctor とする．G-set に対し $T_{S}(X)=T(S\cross X)$を定義する．
$S$$\eta$$\tau_{s}$$x\cdot sx’=$$s$$( \cross 1_{X})_{!}(p_{1}\cross 1_{X})^{*}(x)\cdot(p_{2}\cross 1_{X})^{*}(x’)$

を単位元にもつ環となる．
で定める．このとき $T_{S}(X)$ は演算 に関して
: $Xarrow Y$ を G-map とする．Green functor の場合と同様に: $T_{S}(Y)arrow T_{S}(X),$$s$$(\eta\cross 1_{X})_{!}(1)$$f$$f^{*}$

写像$f_{\star}$$f_{1}$でそれぞれ定める．
: $T_{S}(X)arrow T_{S}(Y)$ を定義するため canonical exponential diagram$T_{S}(X)arrow T_{S}(Y)$を $(1s\cross f)^{*},$$(1_{S}\cross f)_{!}$$XS\cross X\underline{a}arrow^{e}x\cross Y^{\Pi_{f}(S\cross X)}$
$f\downarrow$$\downarrow f’$$Y\Pi\overline{q}f(S\cross X)$ .

を作る．: $\Pi f(S\cross X)arrow S\cross Y$ を$f$$f(y,$ $f^{-1}(y) arrow sS\cross X)=(\prod_{x\in f^{-1}(y)}\tilde{s}(x),$ $y)$ ,(ここで，9 は と射影 $S\cross Xarrow S$ の合成とする) で与えられる $S\cross Y$ 上の G-set とする．このとき: $T_{S}(X)arrow T_{S}(Y)$ を合成写像$s$$f_{\star}$$T(S\cross X)arrow^{e^{*}}T(X\cross Y\Pi_{f}(S\cross X))arrow^{f_{\star}’}T(\Pi_{f}(S\cross X))arrow!T(S\mu_{f}\cross Y)$で定義する．

:

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丹原関手と斜バーンサイド環

Theorem ([Tam], [OYII])
とき，上の $T_{S}(X),$$f^{*},$$f_{!},$$S$$f_{\star}$

を任意の Tambam functor とする．この
Tambara functor を構成する．

を可換な G-monoid,は$T$謝辞
柳田伸顕氏からは，新たな丹原関手の例に関するコメントをいただいた．佐々木洋城氏からは，激励をいただいた．集会の運営に尽力され，講演の機会を与えてくださった研究代表者のお二人に，心より感謝申し上げる．

REFERENCES[BoOO] S. BOUC, Burnside rings, Handbook of algebra, Vol. 2, 739-804,[Bo03] S. BOuc, Hochschild constructions for Green functors, Comm. Algebra 31 (2003) 419-453.
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