数理解析研究所講究録 1220 巻 2001 年 32-38

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Yoccoz の不等式
神貞介 (Jin Teisuke)

東京大学大学院数理科学研究科
概要

1 次元およひ高次元の多項式力学系における Yoccoz の不等式を証明する. 従来の Yoccoz の不等式はJulia 集合の連結性を仮定していたが, 以下では, 対象点を含む或分が一点でなければ戒り立つことを示す.

11 変数多項式力学系のとき
$f$

:

また,

$\mathbb{C}arrow \mathbb{C}$$a\in \mathbb{C}$を $\deg d>1$ の多項式とし, $K=$ { $z\in \mathbb{C};\{f^{n}(z);n\in \mathrm{N}\}$ が有界} を filled Julia 集合とする.

を $f$ の repelling な固定点, $\lambda=f’(a)(|\lambda|>1)$ を multiplier とする.

定理 Ll (Yoccoz の不等式). $K(a)$ ( $a$ を含む $K$ の成分) が一点でないとき,$\frac{{\rm Re} 1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda}{|\log\lambda-2\pi\cdot p/q|^{2}},.\cdot\geq\frac{Nq}{2\log d}$が成り立つ.

以下, $q,p,$ $N$ について説明する.

$a$において, Sch.r\"oder 方程式$f\circ\phi(t)=\phi(\lambda t)$の解が存在することが知られている.

$\phi\in O(\mathbb{C})$は$t\mapsto\lambda t$

で不変である.

$\phi$$(t\in \mathbb{C})$,,$\phi’(0)\neq 0$$K$

は $f$ で不変だから,$\phi(0)=a$$\tilde{K}=\phi^{-1}(K)$,は 0 で locally conformal だから,

は非有界であることを考えると,となる. 右の図はのモデルである. $q(=3)$ はの或分の周期である.
各或分はサイクルを左回りに $p(=1)$ 番目に移動するとする $(0\leq p<q)$ .
サイクルは全部で $N(=2)$ 個である.
$f(z)$ に対し, $G(z)$ を次のように定める.

任意の$n\in \mathrm{N}$に対して$\tilde{K}=\lambda^{n}\tilde{K}$$\tilde{K}(0)$$\tilde{K}$$\mathbb{C}\backslash \tilde{K}$$G(z)= \lim_{narrow\infty}\frac{1}{d^{n}}\log^{+}|f^{n}(z)|$すると, $G$ は$\mathbb{C}$.

上の連続な非負の劣調和関数で,,$G(z)=0\Leftrightarrow z\in K$$G\mathrm{o}f(z)=d\cdot G(z)$を満たす. さらに, $u(t)=G\circ\phi(t)$ とおくと,

$u$

{よ

$\mathbb{C}$上の連続な非負の劣調和関数で,$u(t)=0\Leftrightarrow t\in\tilde{K}$$u(\lambda t)=d\cdot u(t)$,33を満たす. すると,$\rho=\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}u=\lim_{rarrow}\sup_{\infty}\frac{\log\max_{|t|=r}u(t)}{\log r}=\frac{\log d}{1\mathrm{o}\mathrm{g}|\lambda|}$が成り立つ. 実際, 最大値の原理により$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}u\leq\lim_{narrow}\sup_{\infty}\frac{\log\max_{|t|=|\lambda|^{n+1}}u(t)}{1\mathrm{o}\mathrm{g}|\lambda|^{n}}=\lim_{narrow}\sup_{\infty}\frac{\log\max_{|t|=1}d^{n+1}u(t)}{1\mathrm{o}\mathrm{g}|\lambda|^{n}}=\frac{\log d}{1\mathrm{o}\mathrm{g}|\lambda|}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}u\geq\lim\sup\frac{\log\max_{|t|_{-}^{-}\downarrow\lambda|^{n}}u(t)}{\log|\lambda|^{n+1}}=\lim_{nnarrow\inftyarrow}\sup_{\infty}\frac{\log\max_{|t|_{-}^{-}1}d^{n}u(t)}{\log|\lambda|^{n+1}}=\frac{\log d}{1\mathrm{o}\mathrm{g}|\lambda|}$

さて,$q,$ $p,$ $N$

命題 L2.

,.

が適切に定義できるためには, 次の性質が必要である.

$\mathbb{C}\backslash \overline{K}$の成分の個数は $\max\{1,2\rho\}$ 以下である.

この主張はすでに [EL] で示されているが, Yoccoz の不等式の証明の案内として, 証明しておくことにする.

そのため, Tsuji の不等式を引用する.

定理 L3 (Tsuji の不等式
$0\}$$[\mathrm{H}$, Theorem 8.3]).

$u$を$\mathbb{C}$上の非負の劣調和関数とする. $D=\{t|u(t)>$とおき,$\infty$,$\{|t|=r\}\subset D$または$u\mathrm{l}\{\text{川}=r\}\equiv 0$$\theta(r)=\{$$\ovalbox{\tt\small REJECT} D\cap\{|t|=r\}$と定義する. このとき任意の $1/e\leq\kappa<1,$のとき,の各成分の長さの最大値),$r_{\mathrm{O}}\leq\kappa^{2}r$

その他のとき,に対し,$\log\max u(t)|t|=r\geq\pi\int_{r_{0/\hslash}}^{\kappa r}\frac{dr}{r\theta(r)}+\log\max u(t)+\log\frac{(1-\kappa)^{S/2}}{6}$$|t|=r_{0}$.

が成り立つ.
命題 L2 の証明. 或分の個数は 1 より多いと仮定してよい. $1<n<\infty$ に対し,

$n$

個の或分

$U_{1}$, . . .,

$U_{n}$をとり, $n\leq 2\rho$ を示せば十分.
$\mathbb{C}\backslash \overline{K}=\{u(t)>0\}$は劣調和関数である.

に注意する. $t\in U_{j}$ に対し $u_{j}(t)=u(t)$ , その他のとき $u_{j}(t)=0$ と定めると,$\theta_{j}(r)$を各$u_{j}$

について上の定理のように定める.

$u_{j}$に Tsuji の不等式を適用すると,$\log\max u(t)|t|=r\geq\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\log\max u_{j}(t)|t|=r\geq\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\pi\int_{1}^{\kappa r}\frac{dr}{r\theta_{j}(r)}$$n\geq 2$だから,$\sum\theta_{j}\leq 2\pi$$\{u_{j}\}_{j=1}^{n}$-const.

. Schwarz の不等式により,$n^{2}=( \sum\frac{\sqrt{\theta_{j}}}{\sqrt{\theta_{j}}})^{2}.\leq(\sum\theta_{j})(\sum\frac{1}{\theta_{j}})\leq 2\pi\sum\frac{1}{\theta_{j}}$.

よって,$\log\max u(t)|t|=r\geq\frac{n}{2}\log\kappa r$を得る.

$\rho$の定義により, $\rho\geq n/2$ が容易に計算できる.

-const.
口

34

t-pl!l『le図$1:$

平面と s-平面.

定理 Ll の証明. 証明法は, 平面から -平面へ対数で変換し, -平面上で Tsuji の不等式を適用するというものである.
$s$$\mathbb{C}\backslash \tilde{K}$の各サイクルから代表元をとり, それらを$s$

$U_{1},$$\ldots,$$U_{N}$とする.

$v(t)= \max\{u(t)-1,0\},$ $D=\{t\in \mathbb{C}|v(t)>0\}$ と定義し, $D_{1},$集合となるものとする. $t=e’$ , すなわち $s=\log t$ とおく.

$D_{j}’$$\ldots,$

を各$D_{N}$$D_{j}$

を $D$ の或分で

$D_{j}$

がの連結像のーっとする.

$U_{j}$の部分$\tilde{K}(0)$が非有界だから, この変換は適切に定まっている.
の適当な枝に対して
このとき,$\log\lambda$(1)$\Pi_{j}\ni S\mapsto s+q\log\lambda-2\pi ip\in\Pi_{j}$が well-defined である. 図 1 で説明しよう. 右側には,$D_{j}’$の軌道とその枝が描かれてぃる. -平面で点 A を$t$

倍すると点 に移るとする. -平面で点 A に qlog の適当な枝を加えれば点に移り点 A を含む元の或分に戻ることがわかる.
けば, 点 は点$\lambda^{q}$$\mathrm{B}$$\mathrm{B}$$s$$\lambda$$\mathrm{B}$に移る. 更に $2\pi ip$ を引$\mathrm{B}’$以上の議論から,
すなわち,$D_{\mathrm{j}}’$は, $\log\lambda-2\pi ip/q$ の方向を向いている直線に沿って分布してぃることがわがった.

$|{\rm Re} s- \frac{\mathrm{R}\epsilon 1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda}{|\log\lambda-2\pi ip/q|}|s||$は $s\in\cup D_{j}’$について有界.

(2)

一方, 平面の 0 中心の円は -平面では虚軸に平行な長さの線分になるので,の長さは平均して高々 $2\pi/q$ である. 以下, 詳しく説明する. len を通常の線測度とすると,$N$ について互いに交わらないから, 任意の$n=0,$$q-1,$ $j=1,$に対し$s$$2\pi$$\{{\rm Re} s=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.\}\cap\bigcup_{j}D_{j}’$$()$$\ldots,$$\ldots,$$\{\lambda^{n}U_{j}\}$は$\xi\in \mathrm{R}$$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}(\{{\rm Re} s=\xi\}\cap\cup\cup\log(\lambda^{n}Uj))j=1n=0Nq-1\leq 2\pi$が成り立つ. 更に (1) により, $\log(Uj)$ は $s\mapsto s+q\log\lambda-2\pi\dot{\iota}p$ で不変だから, 積分することによって次を得る.
$2 \pi\cdot q\mathrm{R}\epsilon\log\lambda\geq\int_{\xi}^{\xi+q\mathrm{R}\epsilon\log\lambda}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}(\{\mathrm{R}es=(\}$ $\cap\cup\cup\log(\lambda^{n}U_{j}))j=1n=0d\xi$=q \int_{\xi}^{\xi+q{\rm Re}\log\lambda}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}(\{\mathrm{R}es=\xi\}\cap\cup\log(Uj))j=1d\xi N$.

$\geq q\int_{\xi}^{\xi+q{\rm Re}\log\lambda}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}(\{\mathrm{R}\epsilon s=\xi\}\cap\cup D_{j}’)j=1Nd\xi$

Nq-1$

35

$\mathrm{H}2$:The area of$\cup D_{j}’$従って$\frac{1}{q\mathrm{R}e\log\lambda}\int_{\xi}^{\xi+q\ \log\lambda} \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}(\{{\rm Re} s=\xi\}\cap\cup D_{j}’)j=1Nd\xi\leq\frac{2\pi}{q}$$\text{さ^{}\vee}C$.

,$v(e^{\epsilon})$$t\in D_{j}’$0その他$w_{j}(s)=\{$と定めると,のとき,-平面上の劣調和関数である. この $wj(s)$ に対して Tsuji の不等式を適用する.

$\{w_{j}\}_{j=1}^{N}\mathfrak{l}\mathrm{h}s$$\sum_{j=1}^{N}\log\max w_{j}(s)\geq\sum_{j=1}^{N}|s|=r\pi\int_{1}^{\kappa r}\frac{dr}{r\theta_{j}(r)}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$,(3)ごとに定義する . $r=|s|$ に注意せよ. 十分大きな H こ対しては
まず右辺を計算しよう. Schwarz 不等式を使うと次を得る.

ここで,$\theta_{j}(r)$は各$D_{j}’$$N^{2}=( \sum_{j=1}^{N}\frac{\sqrt{r\theta_{j}}}{\sqrt{r\theta_{j}}})2\leq(\sum r\theta_{j})(\sum\frac{1}{r\theta_{j}})$$\theta_{j}(r)<\infty$,$( \kappa r-1)^{2}=(\int_{1}^{\kappa r}\frac{\sqrt{\sum r\theta_{j}}}{\sqrt{\sum r\theta_{j}}}dr)^{2}\leq(\int_{1}^{\kappa r}\sum r\theta_{j}dr)(\int_{1}^{\kappa r}\frac{dr}{\sum r\theta_{j}})$よって$\sum\pi\int_{1}^{\kappa r}\frac{dr}{r\theta_{j}(r)}\geq\pi N^{2}\int_{1}^{\kappa r}\frac{dr}{\sum r\theta_{j}(r)}\geq\frac{\pi N^{2}(\kappa r-1)^{2}}{\int_{1}^{\kappa r}\sum r\theta_{j}(r)dr}$.

.

が成り立っ.

36
故に, 式 (3) の右辺は次のように評価できる.
$\sum_{j=1}^{N}\pi\int_{1}^{\kappa r}.\frac{dr}{r\theta_{j}(r)}\geq\frac{N^{2}q|1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda-2\pi ip/q|}{2{\rm Re} 1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda}\frac{(\kappa r-\mathrm{l})^{2}}{\kappa(r+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.)}$

続いて, 式 (3) の左辺を評価しよう..

$|e^{s}|=e^{\mathrm{H}\epsilon s}$(4)-const.

に注意すると,$\sum_{j=1}^{N}\log\dot{\max}w_{j}(s)\leq N\log\max v(e^{s})|\epsilon|=rs\in\cup D_{j}’,|s|=r$(5)$\leq\max N\mathrm{R}\epsilon s\cdot\frac{1\mathrm{o}\mathrm{g}|u(e^{\epsilon})|}{1\mathrm{o}\mathrm{g}|e^{s}|}s\in\cup D_{\mathrm{j}}’,|\epsilon|=r$.

以上の不等式, (3), (4), (5) を合わせると$s \in\cup D_{\dot{g}^{j}}’|s|=r\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}N\mathrm{R}\epsilon s\cdot\frac{1\mathrm{o}\mathrm{g}u(e^{s})}{\log|e^{l}|}\geq\frac{N^{2}q|1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda-2\pi ip/q|}{2{\rm Re} 1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda}\frac{(\kappa r-\mathrm{l})^{2}}{\kappa(r+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.)}$

を得る. 両辺を$r$で割り, r\rightarrow箸垢襪伴，鯑世.

$N^{\cdot} \frac{\mathrm{R}\epsilon 1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda}{|\log\lambda-2\pi ip/q|}$

ここで,$\mathrm{R}\epsilon s/|s|$$(1/e\leq\kappa<1)$

が ${\rm Re}\log$-const.

$\lambda/|\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}.\lambda-2\pi ip/q|$

ordu$\geq\frac{N^{2}q|1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda-2\pi ip/q|}{2{\rm Re} 1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda}\kappa,\cdot$に収束することを用いた. 更に,$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}u=\log d/{\rm Re}\log\lambda$と,$\kappa$が任意だったことを使うと$\frac{N1\mathrm{o}\mathrm{g}\dot{d}}{|\log\lambda-2\pi ip/q|}\geq\frac{N^{2}q|1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda-2\pi ip/q|}{2\mathrm{R}\epsilon 1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda}$が導かれる. これは$\mathrm{Y}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}’ \mathrm{z}$.

め不等式である.

口の Spiral 定理は深い関係があることに注意しておく. 例えば, [ , Theorem
Yoccoz の不等式と .A. h1.
力l\neq
u.k 系のパラメタを無理矢理 Ahlfors の Spiral 定理|. こ当てはめると, Yoccoz の8.21.] を参照のごと. 実際,
不等式が形式的に現れる. Ahlfors の Spiral 定理の証明を T 寧に見れば, 正し Yoccoz の不等式を導き出せると予想しているが, 著者は確認していない. なお, Ahlfors の Spiral 定理も Tsuji の不等式に基づいて証明されるが, その証明までには非常に手間がかかる.
$\mathrm{H}$$\mathrm{f}.\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}$$\langle$$l$2

多変数多項式力学系のとき$f$:$\mathbb{C}^{m}arrow \mathbb{C}^{m}$を dynamical degee $d>1$ の多項式とする.

$z\in \mathbb{C}^{m}$に対し,$G(z)= \lim_{narrow\infty}\frac{1}{d^{n}}\log^{+}||f^{n}(z)||$が定まって$G\in PSH(\mathbb{C}^{m})$,$G\circ f(z)=d\cdot G(z)$を満たすと仮定する. $E=$. $G^{-1}(0)$ とおく. 一般には $E\supset K$ しか分からないが, $m=2$ で写像のときは $E=K$ であることが知られている.
に対し,を $f$ の固定点とし, ある$\lambda\in \mathbb{C},$$a\in \mathbb{C}^{m}$$|\lambda|>1$$f\mathrm{o}\phi(t)=\phi(\lambda t)$.

$|\phi(0)=a.$,,$(t\in \mathbb{C})$$\phi’(0)\neq 0$,$f$が一般 H\’enon

37を満たす正則なが存在すると仮定する.

$\phi:\mathbb{C}arrow \mathbb{C}^{m}$

程式の解がある. このときのさて嘉$\ovalbox{\tt\small REJECT}\phi^{-1}(E)$$\phi$

としては, 例えば saddle point に対するは不安定多様体を表している. [MNTU] 参照.

とおくと嘉は$t\mapsto\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\phi$$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{r}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}$方で不変で, 次の命題を満たす.

命題 21. 以下は同値.

1.
2.
3.

は bridged, すなわち 0 を含む成分が非有界 (bridged の定義).

$\overline{E}$の 0 を含む成分が 1 点でない.

$\overline{E}$は非有界成分を持つ.

$\overline{E}$

この命題の証明のため, 以下の準備をする.
を結ぶ -chain とは, 順序つき有限集合に対し, $x,$$\epsilon>0$$y\in \mathbb{C}$$\epsilon$$c_{1}=x$,$|c_{i+1}-c_{i}|<\epsilon,$$\{c_{1}, \ldots, c\iota\}\subset \mathbb{C}$$(0<i<l)$ ,で,.
$c_{l}=$$y$を満たすもののことをいう.
補題 22.

$\{\epsilon \mathrm{j}\}_{j=1}^{\infty}$

を正数の単調減少列で 0 に収束するとする.

で, $cj1$ は 0 に収束し,$\bigcup_{j=1}^{\infty}Cj$$C_{j}=\{cj1, \ldots, cjl_{\mathrm{j}}\}$

は相対 compact とする. このとき,$\omega$を$\mathrm{g}j$-chain の列-limit set:

$L=-\cup\infty\overline{\cap C_{\mathrm{j}}\infty}$$k=1j=k$は compact で連結である.

証明. $L$ が$\ni \mathrm{E}$連結と仮定すると, $L=L_{1}\cup L_{2},$$L_{1}\cap L_{2}=\emptyset$

なる compact 集合$L_{1},$ $L_{2}$が存在する. $a\in L_{1}$としてよい. $r=d(L_{1}, L_{2})$ とし,$I=\{x\in S|r/3\leq d(x, L_{1})\leq 2r/3\}$ ,は compact である.

とおくと

$I$

$\{C_{j}\}_{j=1}^{\infty}$

の部分列で

すると,

$C_{j}$

は $I$ と無限個の $j$ について交わる.

に接近するものがあるからである. 従って$L_{2}$$I\cap L\neq\emptyset$

なぜなら,$\mathrm{C}j1arrow 0$

でありかっ,, すなわち, $L\not\subset L_{1}\cup L_{2}=L$ .

これは矛盾である.

口

命題 2.1 の証明. 1 と 2 が同値なのは容易にわかり, 1 から 3 が従うのも自明. 3 から 2 を示す.
$\overline{E}_{\infty}$

を

をとり,

$\overline{E}$のある非有界或分とする. $R$ を十分大きい正数,.

$\epsilon j$

を 0 に収束する正値単調減少列とする.

$b\in\overline{E}_{\infty}$

上にがら $|t|>R$ まで延びる -chain をとり,は非有界だから,をまたいだ瞬間に$|t|=R$
chain を切断することで, 一様に有界な -chain の列を作ることができる.
補題 22 により, -limit set$L\cap\{|t|=R\}\neq\emptyset,$
は連結になる. また, 明らかにが成り立っ.
これは 2 を意味する.
口$c_{j1}= \frac{1}{\lambda},$ $b$とお$\langle$$\frac{1}{\lambda J}\overline{E}_{\infty}$$\frac{1}{\lambda},\overline{E}_{\infty}$$c_{j1}$$\epsilon_{j}$$\epsilon_{j}$$\omega$$L$

定理 23(Yoccoz の不等式).

$\{C_{j}\}$$L\subset\overline{E}$$\mathrm{O}\in L,$$\overline{E}$が命題 21 の条件を満たし,$\overline{E}\neq \mathbb{C}$であるとき,$\frac{{\rm Re} 1\mathrm{o}\mathrm{g}\lambda}{|\log\lambda-2\pi ip/q|^{2}}\geq\frac{Nq}{2\log d}$が成り立つ.
証明は 1 変数の場合と全く同じである. 一般的な設定でこの不等式が何を意味するかは不明だが,saddle point のときは, $E$ を不安定多様体で切断したときの断面の構造を記述してぃる.

$a$

が

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参考文献
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