数理解析研究所講究録 1200 巻 2001 年 103-115

103

結び目と素数, 3 次元多様体と代数体
金沢大理

森下昌紀 (Masanori Morishita)

Department of Mathematics, Faculty of Science,
Kanazawa University
以下、結び目と素数、 3 次元多様体と代数体の類似につぃて考えてきたことを、 私なりの動機、 考え方を中心に、 私自身の見方を論じたいと思う。
序. 1 変数関数体と代数体の類似

これは代数幾何と数論の間に成り立っ類似の原理である。その起こりは、 KrOnecker, Dedekind, Hensel あたりであろう。 Hermite-Minkowski の数の幾何 (まRiemann-Roch の理論であり、 Hflbert の類体論は初め Abel-Jacobi の理論をモデルとして考えられた。 これらは、素数は点、イデアルは因子、数は (素数たちの上の) 関数と見る 「関数体と代数体の類似」 という見方にょってぃる。
$F[X]$$rightarrow$$\mathrm{Z}$

口口$F(X)$$rightarrow$$F(X, Y)(f(X, \mathrm{Y})=0)$

直線 $/F$ (代数曲線 $/F$ )$\mathrm{Q}$$k=\mathrm{Q}(\theta)$$rightarrow$(f(\mbox{\boldmath $\theta$})=0)\supset Ok(k の整数環)$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathrm{Z})(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathcal{O}_{k}))$リリ

素イデアノレ

$P=\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$$rightarrow$因子$rightarrow$

イデアル

関数

$rightarrow$数$\wp=$

数の幾何から Arakelov 幾何への高次元化、類体論の非 abel 化や代数幾何的な高次元化、 また岩澤理論など類体論を深める方向への発展などにおいてもこの類似の幾何的な見方はとても実り多かった。
以下に述べる見方では、 素数は結び目、 イデアルは絡み目、 数は曲面に対応すると見る。 数が曲面だとは奇異に聞こえるかもしれないが、 数がらイ

104

デアルを生成する操作を曲面からその境界をとる操作と比べれば、 イデアル類群は 1 次元のホモロジー群と見れるという、 よりトポロジカルな見方であ. セクション 2)。
る。 (憶進体を曲面に対応するものと見る見方もできる$\mathrm{c}\mathrm{f}$こういうことを私が考えてきた動機の一つは、 関数体と代数体の類似という picture では説明できない代数体の Galois 群に関するある古典的な問題には、の最大不分岐 Galois 群$\pi_{1}(C)$の類似物と関数体と代数体の類似に基づけば、 代数曲線 C の基本群$\pi_{1}(C)$のそれと比較できるような類似の群論的構造は見られるが、性をもたず、有限にも無限にもなり全く不可解にみえる。 F を有限体とするのによる拡大で、 を $F$. の標数と異なると、 $\pi_{1}(C)$ は、はよく知られた曲面群の群表示をもつ。
素数とすると、 最大 pr\sim l 商\pi l
一方、 代数体の不分岐 prO-lGalois 群については、 そうした統一的な群構造の理論に関するは存在せず、 -類体塔の Galo 拍群([G-S]) がほとんど唯一の洞察を与えている (解析的な視点から [Ihl] がある)。
ここで類似が存在しない理由の一つは、 関数体と代数体の類似の見方では、各素数の個性が無視されていることにあるのではないかと考えたい。 これは、素数を点と見るという視点が初めから抱えている避けられない所で、 2 も 3 も 5 も皆没個性の点になってしまある。 例えば、 有限次代数体$k$$\pi_{1}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathcal{O}_{k}))$$\pi_{1}(\mathcal{O}_{k})$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{F}/F)\simeq\hat{\mathrm{Z}}$$l$$\pi_{1}(\overline{C})$$(\overline{C})^{(l)}$$\mathrm{G}\mathrm{o}1\mathrm{o}\mathrm{d}-\check{\mathrm{S}}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}$$\pi_{1}(\mathcal{O}_{k})^{(l)}$$l$うのであり、数学的には、関数体では各点の剰余体の標数が皆一致しているのに対し、代数体では各素イデアルの剰余体の標数は皆異なるのである。 だから、代数体でも -拡大を考える時は、逆に l の所に個性を集中させて他の素数の個性を無視できるような形にできれば、関数体の類似が成り立つだろう (よく “l 進云々 ” と l が単なる “文字” のような言い方をするが、 この見方である)。
をその整数環とす
それが岩澤理論である。 実際、 k。を k の円分 -拡大、$l$$\mathrm{Z}\iota$$\mathcal{O}_{\infty}$

がる時、完全夕 」
あり、 ここで無限素点を用いて l 上の分岐に工夫をすれば (positively ramffied(O\sim [l/l])(’) はある k に対しては曲面群と同様の群表示を持つこと
拡大)が知られている (Wingberg, Schmidt [Sc])。 それでは、 それ以外の分岐条件を持つ代数体の Galois 群に対しては、何らかの幾何的な見方はできないのであろうか ? こうして私が考えたのが、 素数を結び目と見、 岩澤 picture 以
外の分岐条件を持つ Galois 群も 3-manifold goup の類似と見れるのではな
いだろうか、 という 3 次元的な picture である。 この見方では、岩澤 picture
上の Seifert 曲面をファイバーとする曲面束の場合 ( は fibred 結び目
は、の如し) と見れ、 岩澤多項式は Alexander 多項式に対応する (この岩澤多項式と Alexander 多項式の類似が Mazur によって指摘されていることを最近が 3 次元この 3 次元的な見方は、知った ([Ma2], 本文最後参照)$\mathrm{I}$$1arrow\pi_{1}(\mathcal{O}_{\infty}[1/l])^{(l)}arrow\pi_{1}(\mathcal{O}_{k}[1/l])^{(l)}arrow \mathrm{G}\mathrm{a}1(k_{\infty}/k)\simeq \mathrm{Z}_{l}arrow 1$$\pi_{1}$$\text{、}$$l$$S^{1}$$)$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathcal{O}_{k})$

。

105

双対性の類似である Artin-Verdier の双対性をもっ ([Mal]) というあたりに現代的な芽があるが、 この考え方の起こりは関数体と代数体の類似という考え方よりもずっと古く、 Gauss の仕事の中に見られるように思ゎの$\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\ovalbox{\tt\small REJECT}$れるのである。

1. 絡み数と Legendre 記号

Gauss は若年、平方剰余の相互律を証明し、後に電磁気学の研究を行った。 この後者の研究から生まれたものに、絡み目の絡み数の積分表示がある ([G2])。
を内の絡み目、
示としよう。 $K,$ $L$ の絡み数
$K\cup L$$\mathrm{R}^{3}\subset S^{3}$$c,$$1\mathrm{k}(K, L)$

(1.1)

$l$

:

$[0, 1]arrow \mathrm{R}^{3}$

を各々のパラメータ表は積分$1 \mathrm{k}(K, L)=-\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{1}ds\int_{0}^{1}\frac{((l(t)-c(s))\cross d(s))\cdot l’(t)}{||l(t)-c(s)||^{3}}dt$$= \int_{0}^{1}B(l(t))\cdot l’(t)dt$

(1.2)

.

$H^{1}(S \mathrm{s}-K)\cross H_{c}^{2}(S^{3}-K)\bigcup_{arrow}H_{c}^{3}(S^{3}-K)\simeq \mathrm{Z}$[こおける $[D]\cup[L]$ で与えられる。

一方、 $p,$$\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}$を相異なる奇素数とし、とする。 X は etale topolにおいて Artin-Verdier の双対定理という一種の 3 次元の Poincare’ 双対$q$$X=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathrm{Z})$性を満たし、
より $\{p\}\subset X$ は結び目と見れる。 Robenius と結び目の longitude が対応してぃること [こ注意。 F2-係数の etale cohomology l こおける cup 積$\simeq\hat{\mathrm{Z}}$$\pi_{1}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathrm{F}_{p}))=(\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s})$$H^{1}(X- \{p\})\cross H_{c}^{2}(X-\{p\})\bigcup_{arrow}H_{e}^{3}(X-\{p\}, \mathrm{G}_{\mathrm{m}})\simeq \mathrm{Q}/\mathrm{Z}$を考よう。実際には、無限素点を考慮に入れた少し modify L た cohomology
を考える必要があるが、 省略する。 ここで境界写像$\check{\mathrm{x}}$:$H^{1}(X-\{p\})arrow H_{p}^{2}(\hat{X}_{p}.)\simeq \mathrm{F}_{2}$106の生成元 $[p]$ と同一視して、 $\partial([D])=[p]$ となるが同型なので、 を$D$ をを張る曲面と見ることにする。 同様に、 $[q]\in H^{2}(X-\{p\})$ がの生成元の像として定まる。 こうして (1.2) の類似 $[D]\cup[q]$ をもって、 2 つの素数乃 q の絡み数 ( , q)\in F2 が定義される。 Artin-Verdier の双対定理
は Legendre 記号と実質における計算 (類体論) により、 絡み数$H_{p}^{2}(\hat{X}_{p})$$p$$H_{q}^{2}(X)$$p$$1\mathrm{k}_{2}$$p$$1\mathrm{k}_{2}(p, q)$$-\mathrm{a}\text{する}([\mathrm{W}])$$(\begin{array}{l}gp\end{array})$:$( \frac{q}{p})=(-1)^{1\mathrm{k}_{2}\mathrm{C}p,q)}$より一般には、 初めに素数 を与えておいて、 考える素数はみな$l$に合同なものたちにするとよい。絡み数
れ、 幕剰余記号で表される。

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} l,$$1\mathrm{k}_{l}(p, q)\in \mathrm{F}_{l}$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$lで 1も同様に定義さLegendre 記号は絡み数と異なり、 一般には対称性をもたず、 そのずれを与えるのが平方剰余の相互律である。 Gauss は相互律を証明するために Gaussの和$G_{y}(p)= \sum(^{X})$p–e 禾 p(–2\pi )$\sqrt$
$1xy$

$p$
エ

を導入した。 実際(1.3)$\text{、}$$\in \mathrm{F}_{\mathrm{p}}$Legendre 記号は Gauss の和を用いて書き表せる :$( \frac{q}{p})=\frac{1}{p}\sum_{y\in \mathrm{F}_{p}}G_{y}(p)\exp(-\frac{2\pi\sqrt{-1}yq}{p})=\frac{1}{p}\sum_{x}\sum_{y}(\frac{x}{p})\exp(\frac{2\pi\sqrt{-1}(x-q)y}{p})$(1.1) と (1.3)、 磁場 $B(x)$ と Gauss の和 $G_{y}(p)$ は類似していないだろうか ?
この小野孝氏の指摘が私のもう一つの動機である。 素数 があるとその回りに磁場 $G(p)$ が生じ、 別の素数 q が力を受ける。 その相互作用が相互律 !
Gauss の仕事で他に、整係数 2 元 2 次形式の分類論 (Disquisitionae Arithmeticae [G1] があるが、その中で Gauss は与えられた判別式をもつ 2 次形式たちの間に「種」 というある同値関係を導入した。実は、 あとでみるように (セクション 3)、 これがまさに素数と判別式の絡み数の考え方なのである。 Gaussの中では数論、 トポロジーと物理が一体となっていたことがうかがわれる。
$p$

$)$

さて、 (1.1) の右辺の積分は、 ゲージ群を$\mathrm{U}(1)$とするゲージ理論におけるChern-Simo$ 汎関数の分配関数(1.4)$\int_{A(\mathrm{R}^{3})}\exp(2\pi\sqrt{-1}k\int_{\mathrm{R}^{S}}a\wedge da)$$\exp(\sqrt{-1}\int_{K}a)\exp(\sqrt{-1}\int_{L}a)$

Da

.

107

の主要項 $(karrow\otimes)$ と見れる。この積分は Gauss 積分 ,) $dx$の無限次元類似と見れ ([河])、従って、絡み目積分が Gauss 和の類似であると
レ う上 [こ述べた視点がここ [こ見てとれる。 さら}ここれを-Chern-SimOns$\mathrm{e}\psi\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\Sigma\lambda_{\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}}x_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\backslash$$\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$汎関数へ非可換化したものが、(1.5)$\int_{A(\mathrm{R}^{3})},\exp(2\pi\sqrt{-1}kCS(a))\psi_{K}(a)\psi_{L}(a)Da$の $karrow\infty$ )における主要項で (ここで、 $\psi_{K}(a)$ は $\exp(\int_{K}a)$ の非可換化 ([深2],[河] ‘Vassffiev 不変量などの絡み目不変量がこうして得られた。
一体、数論において Gauss の和をこのように一般化する理論はある (あった)だろうか ? Gauss の和を Dirichlet の 関数の $s=1$ [こおける値に現れる項と見ることが (1.4) に相当するのだろうか? (1.5) のような非可換化する話はあるのだろうか ?
上の積分は、 adele 上の積分に対応するのだろうか ([古]) ?
$))$$\mathrm{L}$$\mathrm{L}(s)=\sum(\frac{n}{p})n^{-s}$$A(\mathrm{R}^{3})$$S^{3}$$rightarrow$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathrm{Z})$$\cup$$\cup$

結び目$rightarrow$longitude
絡み数

Frobenius$rightarrow$$1\mathrm{k}(K, L)=1\mathrm{k}(L, K)$

3-dim.

Gauss 積分

Artin-Verdier 双対性$rightarrow$

上の積分

V 邸 siliev 不変量. . .
非可換 Chern-Simons ゲージ理論

Legendre 記号$(\begin{array}{l}\epsilon q\end{array})=(\begin{array}{l}pq\end{array})(p, q\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4)$

Poin\mbox{\boldmath $\alpha$}『e\acute 双対性$A(\mathrm{R}^{3})$素数Gauss の和adele 上の積分?

$rightarrow$

以上は、絡み数の積分表示の方の一般化の話であったが、絡み数の代数的な高次化は昔からあった。 それは Massey 積とか Milnor の 不変量とが呼ばれ$\overline{\mu}-$

るものである。 絡み目に対し、 Milnor 不変量は絡み目群
から、 その組合せ群論的な性質 (Wirtinger 表示) を用いて定義された。 同様$L$$G_{L}=\pi_{1}(\mathrm{R}^{3}\backslash L)$

なことを素数たちに対して行うには、絡み目群の類似である Galois 群の組合せ群論的性格がのそれと類似している必要がある。 次のセクションで見るように、 この期待は満たされる。
$G_{L}$

108

2. 絡み目群と Galois 群, \kappa n から成る絡み目とし、をそを GL の中心降下列の第 -term とする。 Milnor は幕の絡み目群とする。
は次の群表示をもつニとをホした
零商:
を K|. の回りの meridian を表す word x|. たちで生成される自由群とする。
の時、 各 $q\geq 1$ に対し、
y|(*q)\in F が存在し、
かっ、$L$

を $n$ 個の結ひ目$K_{1},$$G_{L}=\pi_{1}(S^{3}\backslash L)$$\cdots$$G_{L}^{(q)}$$q$$G_{L}/G_{L}^{(q)}$$([\mathrm{M}\mathrm{i}1,2])$$F=\langle x_{1}, \cdots, x_{n}\rangle-$$y_{1}^{(q)},$

(2.1)
ここで、

$y_{1}^{(q)}.\equiv y^{(q+1)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$$\cdots$$G_{L}/G_{L}^{(q)}=\langle x_{1}, \cdots, x_{n}|1^{x}:, y_{1}^{(q)}.]=1(1\leq i\leq n), F^{(q)}=1\rangle$$y^{(q)}\dot{.}$は $G_{L}/G_{L}^{(q)}$ で K. の回りの longitude を表す$\cdot$$x_{1},$$\cdots,$ $x_{n}$の word では q にょらず共通のが純組み紐からできる時は、自身のものとなる。 M 垣 nor はこの群表示を用い、坊がとれ、上の群表示もを非可換幕級数環の中で Magnus 展開ある。 また、 絡み目$L$$y^{(q)}\dot{.}$$G_{L}$$\mathrm{Z}[[X_{1}, \cdots, X_{n}]]_{nc}(x:=1+X\dot{.})\backslash$$y_{j}^{(q)}$$y_{\mathrm{j}}^{(q)}=1+ \sum\mu(i_{1}\cdots i_{r}j)X_{1}.\ldots X_{\dot{\nu}}1$

し、 Milnor 不変量 $\mu(i_{1}\cdots i_{f}j)(r<q)$ を導入した。 実際}こは、 ある indeter\Delta が絡み目 $L$ の釉。topy 不変量 [こなる。
minacy \Delta を考え、ここで、となるので、 multi-index I に対して
は高次$\overline{\mu}(I)=\mu(I)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$$\overline{\mu}(ij)=1\mathrm{k}(K.\cdot, K_{\mathrm{j}})$$\overline{\mu}(I)$絡み数という意味をもつ。 Massey 積との関係は、 Stallings が予想し、 Turaevと Porter が示した。

一方、 素数の方では、 セクション 1 で述べたように、 初めに素数 を与え、mo 旧となる相異なる 個の素数の集合 $S=\{p_{1}, \cdots,p_{n}\}$ を考える。
乃とする。 これは $S\cup\{\infty\}$ の外で不分岐な上の最大の Galois 群である。乃上の-拡大体の素因子 : を 1 っとり、. をその分解群、 惰性群とすると、 . は 1 元 \mbox{\boldmath $\tau$}l. で生成され、はとFrobenius 置換のある延長 : とで生成され、 関係式を満たす(Hasse-岩澤) Galois 群 $Gs(l)$ は次の群表示を持っ (Koch) :$l$$\equiv 1$$n$$G_{S}(l)=\pi_{1}(X\backslash S)^{(\mathrm{t})}$$l$$G_{:},$$\mathrm{Q}$$\mathrm{Q}_{S}(l)$$\mathrm{Q}_{S}(l)$$I_{1}$$\wp$$I_{1}$$G_{:}$$\tau_{\dot{l}}$$\sigma_{i}\tau\dot{.}\sigma^{-1}\dot{.}=\tau^{p:}$$\sigma$$\circ$(2.2)$G_{S}(l)=\langle x_{1}, \cdots, x_{n}|L?^{:-1}[x_{i}, y\dot{.}]=1,1\leq i\leq n\rangle$

ここで、 $x$ : は. を表す word で、 . は$\tau_{1}$$y_{1}$. を表す。

$\sigma_{1}$

この (2.2) を (2.1) の群論的類似とみること、 つまり、$\tau_{\dot{\mathrm{s}}}$(monodromy),

を各々 meridian, longitude の類似物と見ることが我々の基本的なアイディアである。
$\sigma:(\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s})$109の tubular 近傍
さらに、と自然な準同型$K_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$N\ovalbox{\tt\small REJECT}$と自然な準同型$\pi_{1}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathrm{Q}\sim)^{(l)}\ovalbox{\tt\small REJECT} G_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}arrow G_{S}(l)$を局所体の類似と見るのである。

$\pi_{1}(\partial N_{\ovalbox{\tt\small REJECT}})arrow G_{L}$$\mathrm{Q}_{p\ovalbox{\tt\small REJECT}}$

Milnor 不変量の類似物も次のように自然に定義される。 すなわち、 をを $1+X_{i}$ へうつす Magnus, xn で生成される自由 prO-l 群とし、埋入により, を Magnus 展開したものを$F$$x_{1},$$\cdots$$x_{i}$$Farrow \mathrm{F}_{l}[[X_{1}, \cdots, X_{n}]]_{nc}^{\mathrm{x}}$$y_{j}$$y_{j}=1+ \sum\mu_{l}(i_{1}\cdots i_{r}j)X_{i_{1}}\cdots X_{i_{r}}$を Milnor \mu l-不変量と呼ぶことにする。 これ (ま、 $I|<r$ [こ対し、 $\mu_{l}(I)=0$ であれば、が $Gs(l)$ の不変量 (こなる。
は 2 素数乃, の絡み数のはずだが、実際、\mbox{\boldmath $\zeta$}\mu \iota (l.j)(\mbox{\boldmath $\zeta$}はある 1 の原始 l 乗根)とした時、係数$\mu\iota(i_{1}\cdots i_{r}j)\in \mathrm{F}_{l}$l$\mu\iota(Ij)$$\mu_{l}(ij)$$p_{j}$

は幕剰余記号$(\begin{array}{l}\ pj\end{array})$と一致することが示せ (セクション 1 の群論的解釈)、従って一般の角 (I) は素数たちに対する triple 絡み数を意味する。その数論的意味
は、 Galois 群 $Gs(l)$ の Zassenhaus filtration $G_{S}(l)_{q}=Gs(l)\cap(1+I_{\mathrm{F}_{l}[[G_{S}(l)]]}^{q})$($I\mathrm{F}_{\iota}[[G_{S}(l)]]$は完備群環の elementary abeliam$\mathrm{F}_{l}[[G_{S}(l)]]$の augmentation ideml){こ対応する$\mathrm{Q}_{S}(l)/\mathrm{Q}$

お ‘て、-拡大たちからなる塔$\mu_{2}(ij)=0$
は
=l、つま
は、
の分解の仕方を記述していることである。
り 2 次拡大において、乃が 2 つの素イデアルに分解することと同値だが、 その -拡大塔への一般化である。例えば、昔、 R\’edei([R\’e]) が Legendre 記号を一般化する triple 記号 $[p_{1},p_{2},p_{3}]\in\{.\pm 1\}$ をある 上の 8 次 2 面体
拡大に対して定義したが、我々の Mflnor 不変量量と $(-1)^{\mu_{2}(123)}=[p_{1},p_{2},p_{3}]$なる関係にあることが示せる。 従って、 擬 dei 記号は高次絡み数して解釈されるのである。 さらに、絡み目側では、 Milnor 不変量は絡み目群のある幕零
モノドロミー表現に付随する幕零被覆の covering linkage iniant である、という村杉邦男氏の定理 ([Mu]) に対応し、 Fox の自由微分法の pro-l 版 (織l の Heisenberg 群への表
田、伊原氏 [Ih3] を用いて、 Gmlois 群 $G_{S}(l)$ の現が定義できる。 R\’edei の 2 面体拡大はこの Heisenberg 拡大の特別な場合と見られる。 詳しくは、参照。
$\mathrm{Q}(q)(q\geq 1)$$l$$\mathrm{A}$$\mu_{l}(i_{1}\cdots i_{r}j)$$p_{j}$$\mathrm{Q}(\sqrt{p_{j}})/\mathrm{Q}$$l$$\mathrm{Q}$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$$)$$[\mathrm{M}\mathrm{o}2],\S 3$

例.

$(p_{1},p_{2},p_{3})=(5,41,61),$ $(5,29,181)$.

この時、 $\mu_{2}(ij)=0(1\leq i\leq 3)_{\text{、}}$はでは、 どの 2 つも絡まないが、\mu 2(123)=1。 つまり、 素数
3 つを引き離すことができない Borromean 型の素数である。
$p_{1},p_{2},p_{3}$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2$

110

上に述べた群論的構造の類似に基づき、素数たちに対しても Alexander 加群の理論を議論することができ、 それは Galois 加群構造の理論の Fox$([\mathrm{J}],[\mathrm{N}])$

微分法を用いた言い換えに他ならない。 また、村杉氏の絡み目群の中心降下列についての予想 (小島、前田、Labute の定理) の類似も成り立つものと思われる。 詳しくは、 [M02] 参照。
$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{y}- \mathrm{R}\mathrm{a}1\mathrm{d}\mathrm{i}_{\text{、}}$

さて、 絡み数は Gauss の積分表示をもったが、 高次絡み数である Mflnor 不変量は何らかの積分表示をもつだろうか ? 自由群 $F=<x_{1},$$x_{n}>$ の. +( gher te\rightarrow なるもの
, Xn]]nxc への単射準同型で[は [, Xn]]nc の自己同型を除いて一意に決まる。 その意味では、 ひと
つ積分表示を係数にもっ F の非可換幕級数展開を与えられるとよいが、 例
えば、 $F=\pi_{1}(\mathrm{C}-\{1, \cdots, n\})$ と同一視し、 $\mathrm{C}-\{1, \cdots, n\}$ 上の自明なベクトル束の上の平坦な formal comectionを考えれば、 そ$\cdots,$$\mathrm{C}$$[X_{1},$$\mathrm{C}$$\cdots$$[X_{1},$$x_{\mathrm{i}}\mapsto 1+X_{1}$$\cdots$$\Sigma_{1=1}^{n}.(_{\overline{2}\pi}\tau_{-\overline{1}}^{1}\frac{\ }{z-} \dot{.})X\dot{.}$の monodromy 表現として、係数が開」 を得る ([Li]) :Chen の反復積分で与えられる$F\ni g=[c](c=1\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{p})$

$F$

の「展

に対し、

$I(g)=1+.. \sum_{11\leq:_{1,\prime r}\leq n}.\cdot((\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}})^{r}\int_{0\leq t_{1}\leq}..$ $. \leq t_{r}\leq 1\bigwedge_{k=1}^{r}\frac{dc(t_{k})}{c(t_{k})-i_{k}})X_{1}.\ldots X_{r}1\dot{.}$さらに、 Milnor 不変量は string link の有限型不変量と見れ、それを Kontsevich
積分で明示する公式が、 Habe 認 er-Maebaum により得られてぃる ([H-M])。数論側で、 我々の Milnor 不変量を反復積分の類似 (反復 Gauss 和 ?) で表せるかどうかは興味深い。 このあたりは伊原氏による Jacobi 和の普遍幕級数の理論 ([Ih2]) とどことなく関連を感じる。
絡み目 $L=K_{1}\cup\cdots K_{n}$素数たち $S=\{p_{1}, \cdots,p_{n}\}$ ,$rightarrow$$p:\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} l$$G_{L}$$rightarrow$meridian, longitude

Fox 自由微分法$rightarrow$

Milnor 不変量$rightarrow$$\overline{\mu}(123)$$G_{S}(l)$$\tau.\cdot$(monodromy),:(frobenius)$\sigma$prO-lFox 自由微分法 (Y.Ihara)

Mflnor 不変量厖$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{i}$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} l$triple 記号

111Alexander ideal$rightarrow$pro(mod)-lAlexander ideml(reduced)Alexander 多項式
Xexander(絡み目) 加群

岩澤多項式
GaJois(岩澤) 加群の prO-lCrowell 対応の Crowe 垣対応

Chen-Kontsevich 積分$rightarrow$multiple zeta, ploylog ?

による絡み目不変量

3. Arithmetic topology
セクション 1,

2 で、

の結び目と
の素数の類似について述べたが、任意の 3 次元向き付け可能閉多様体 (以下、 3-manifold) は S3 上ある絡み目で分岐する被覆多様体であり (Alexander, Hilden, Montesinos)、任意の代数体が上ある素数たちで分岐する拡大体であることを考えれば、 3-manifold と数体の間に概念的な類似があるだろうとは思われる。 私は、 1, 2 で述べたようなこと、 また、 以下に述べるようなことに考えを巡らせてきたが、 その途中、 A. Reznikov と M. Kapranov が私とは独立に、 3-manifold と数体の類似のアイディアを進め、 arithmetic
という理論
を創って
$S^{3}$$\mathrm{Q}$$\mathrm{Q}$$\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{P}\mathrm{o}10\mathfrak{d}$$([\mathrm{R}1,2])$いることを知った。 Reznikov の問題意識は、 数論的アイディアの 3-manif0ld

topology への応用の方にあるようで、 そのような結果である。 以下私の問題
意識と相通じる所を解説したい。

理論 (類体塔問題). 類体塔問題とは、 l-類体塔の Galois 群
が無限群になるような代数体 k があるか ? という問題である。
による解決の鍵は、 組合せ群論的な定理にある :「 $G$ を極小表示 $\langle x_{1}, \cdots, x_{n}|r_{1}=\cdots=r_{m}=1\rangle$ をもつ pr\sim l 群とする時、$m<n^{2}/4$ なら、 $G$ は無限群になる」(これは、 Lyndon resolusionの Hilbert 関数を評価することにideal, を用いて、 次数付き環より得られる。 可換環論における次元論などで使われるテクニックの非可換版類似である)。 従って、 $n=\dim H^{1}$ (, Fl)=(k のイデアル類群の -rank) が十分大きくなればは無限になる、 という方針でそのような k の存在例が示された。
$\mathrm{G}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{d}-\check{\mathrm{S}}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}$$([\mathrm{T}],[\mathrm{R}1])$$\bullet$$\pi_{1}(\mathcal{O}_{k})^{(l)}$$\mathrm{G}\mathrm{o}1\mathrm{o}\mathrm{d}-\check{\mathrm{S}}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}$$\mathrm{F}_{l}[G]^{m}arrow \mathrm{F}_{l}[G]^{n}arrow Iarrow 0,$$I=\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\oplus_{n\geq 0}I^{n}/I^{n+1}$$\pi_{1}(\mathcal{O}_{k})^{(l)}$$l$$F_{1}o-l(\mathcal{O}_{k})$一方、 M を 3-manifold とし、 対応$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

112$\pi_{1}(M)$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(M, \mathrm{Z})$$rightarrow\pi_{1}(\mathcal{O}_{k})$$rightarrow$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$のもとに、 3-manifold group に対する類体塔問題の類似として、 Reznikov は次を示した。
「ある素数 [こ対し、 $\dim H_{1}(M, \mathrm{F}_{l})\geq 4$ とし、 virtuaUy -poeitive でないとする。 この時、 M は無限に続-cover をもつ」
R 已 nikov はさらに、 M の第 類体塔 M. の $\dim H_{1}(M\dot{.}$ , F
六愎凜 ーダーで増加してゆくことも示した。 すなわち、の不等式を満たす&-manifold group の pr\sim l 完備化は、 l-進 Lie 群にはならないのである。 例えば、の任意の数論的格子は合同部分群性質をもたず、従って、 その
pr\sim l 完備化は l-進 Lie 群にはならない ( u])。
$l$$b_{1}$$\text{く}l$$i$$\cdot$$\mathrm{G}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{d}-\check{\mathrm{S}}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}$$\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{C})$$[\mathrm{I}$の方はどうだろうか ? このような Galois 群こそ、 古典的な一方、対象にもかかわらず、 関数体と代数体の類似という視点ではとりつけない対象の一つである。 その構造については、「それが無限群なら、 l-進 Lie 群ではないだろう」 という Fontaine と Mazur の予想がある。 すなわち、 こういった分岐条件をもつ数体の Galois 群は、 むしろ 3-manifold group と類似した
群論的性格をもつと思われる。
$\pi_{1}(\mathcal{O}_{k})^{(l)}$・種の理論 ([M03],[R2],[Sa]). セクション 1 に述べたように、 Gauss による
2 次形式の種の定義は絡み数の考え方の類似である。 2 次体 k の言葉でいえに Legendre 指標を用いて 「種」 という同値関係がはいば、イデアル類群
で分岐する素数の個数で表すのが Gauss の理論である。 その種の数を$H_{k}$$k/\mathrm{Q}$る。 その 3-manifold topoloy における類似が次のように考えられる。
を 個の結ひ目, Kt 上分岐する $m$ 次巡回被覆とし、 その
Galois 群 r の生成元を\sigma とする。
$H_{1}(M)=H_{1}(M, \mathrm{Z})$が同じ 「種」 ということを、$Marrow\pi S^{3}$$t$$K_{1},$

a$\alpha,$$\beta$$\alpha\approx\beta\Leftarrow 1\mathrm{k}(\pi_{*}(\alpha)$により定義する ($\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{U}$$\cdots$, \kappa$\equiv 1\mathrm{k}(\pi_{*}(\beta), K_{i})$mod $m:,$$1\leq i\leq t$-defined)。このとき、 次が成り立つ :の meridian の r における位数を $m_{i}(\neq 1)$

とすると、

,

$\alpha\approx\beta\Leftrightarrow\alpha-\beta\in H_{1}(M)^{\sigma-1}=H_{1}(M)^{\Gamma}$

113$H_{1}(M)/\approx$$arrow\sim$$\{(\xi_{i})\in\Pi_{i=1}^{t}\mathrm{Z}/m_{i}\mathrm{Z}|\Sigma_{=1}^{t}\dot{.}\xi_{i}=0\}(\mathrm{Z}/m_{i}\mathrm{Z}\subset \mathrm{Z}/m\mathrm{Z})$$\mathrm{I}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathfrak{l}V$$(1\mathrm{k}(\pi_{*}(\alpha), K_{i})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} m_{i})$$\mapsto$$[\alpha]$

これは有理数体上の巡回拡大に対する弥永-玉河による種の理論 ([I-T]) の類似である。 特に $m=2$ の時は、 $H_{1}(M)^{\Gamma}=2H_{1}$ (M)、従って、 $H_{1}(M)$ の 2-rank
力汀度 $t-1$ であることが示せ、 Gauss の種の理論 ([G1]) の主定理の類似を得る。 また、 作間 ([Sa]) では、 アーベル拡大における種の数に関する Leopoldtの公式 ([Le]) の類似が与えられている。
・単項化問題. イデアル類群を 1 次元ホモロジー群の類似物とみる視点から、 数体 k の元 に単項イデアル (a) を対応させることと、 3-manifoldM 内の曲面 S にその境界 S を対応させることを類似と見る。 これにより、 k の単が対応する ([R2])。
には数には閉非「縮曲面が対応し、 単数群$a$$H_{2}(M, \mathrm{Z})$$\mathcal{O}_{k}^{\mathrm{x}}$

閉非「縮曲面$rightarrow$$H_{2}(M, \mathrm{Z})$単数$\mathcal{O}_{k}^{\mathrm{x}}$不分岐 Galois 拡大 K/k が与えられた時、 K で単項化する k のイデアル類の数)(Gal(K/k),
は K の単数群の Galois cohomology の位数被覆とし、 :と等しい。 一方、 $Narrow M$ を 3-manifolds の不分岐 G へ
を $H_{2}(N)$とする時、を$H_{1}(M)arrow H_{1}(N)$transferの Galois cohomolo 訂で表せるだろうか ? さらに、 K/k が巡回拡大なら、{こ等しく (Herbrand, Artin,) は(Gal(K/k),
Hilbert の定理 94 「不分岐巡回拡大 K/k では、少なくとChevalley,
も $[K : k]$ 個の k のイデアル類が K で単項化する」が従う。 これの 3-manif0ld
類似は何だろうか ?
この問いについて、 古田幹雄氏に次の方針をご教示頂いた ([古]) :Poincare’と同型で、 後は双対性より
者は群の拡大 $1arrow\pi_{1}(N)arrow\pi_{1}(M)arrow \mathrm{G}\mathrm{a}1(N/M)=:Garrow 1$ に付随する
Hochschild-Serre spectral sequence を用いれば、 M が $K(\pi, 1)$ の時は計算される。 実際、 spectral sequence の計算を実行してみると次の完全列を得る。
$|H^{1}$$|\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(H_{k}arrow H_{K})|$$\mathcal{O}_{K}^{\mathrm{x}}$$t$$\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}$$|\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(H_{1}(M)arrow tH_{1}(N))|$$|H^{1}$$\mathcal{O}_{K}^{\mathrm{x}}$$|$$[K : k](\mathcal{O}_{k}^{\mathrm{x}} :N_{K/k}(\mathcal{O}_{K}^{\mathrm{x}}))$$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e})_{\text{、}}$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(H_{1}(M)arrow {}^{t}H_{1}(N))$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(H^{2}(M)arrow H^{2}(N))$,$0arrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}(d_{2}^{0,1})arrow \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}((H_{1}(M)arrow {}^{t}H_{1}(N))arrow \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(d_{2}^{1,1})arrow 0$$\theta_{2’}^{1}$: $H^{1}(G, H^{1}(N))arrow H^{2}(G, \mathrm{Z}),$

N/M が巡回被覆の時は、$H^{3}(G, \mathrm{Z})=0$$d_{2}^{1,1}$: $H^{1}(G, H^{1}(N))arrow H^{3}(G, \mathrm{Z})$ .

${\rm Im} d_{2}^{0,1}= \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\inf :H^{2}(G, \mathrm{Z})arrow H^{2}(M))=0$,なので、 $|\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}((H_{1}(M)-^{t}H_{1}(N))|=[N : M]|H^{1}(G, H_{2}(N))|$

$|$

114

となり、 3–manifold に対しても Hilbert の定理 94 は成り立っ。

最後に、 $$ のトピックに関連する論文として B. Mazur の [Ma3] がある。 Mazur
からの私信 ([Ma2]) によると、 Mazur は 35 年前、素数と結ひ目の類似 (絡み数の歪対称性としての平方剰余の相互律、 Alexander 多項式の類似としての

石項結ひ 群}こ関するある topic) t こつぃて mimeographed note(未発表) を書いたそうである (これは、 私の論文を松本幸夫先生へお送りした所、 松本先生より Mazur の mimeo. note のことをご教示頂き、 Mazur に問い合わせた所、 Mazur から頂いたご返事にょる)
Mazur の note の内容は$\text{目}$$\text{。}$

見ていないのでよくわからないが、 [Ma3] が Mazur のこの主題に関して発表した論文とのこと。 そこでは、結び目群の表現たちの複素解析的
variation Galoisの 2 進表現たち (7m0tive\rightarrow の?進解析的
iation の類似が論じられてぃる。 Mazur R 已 nikov, Kapranov と私のど異なるよ
研究は、独立になされたものであり、 g 機、 方紐 (見方)、 結$\pi_{1}(S^{3}\backslash K)$$\text{と}$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\pi_{1}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathrm{Z})\backslash \{p\})$$\prime x$

うである。 素数を結び目と見るというアイディアは共通である。

上 $[]’-$ も述べたが、 こうぃった考え方の源流は Gauss の思想の中に既にある.

ようにも思 れる。 Gauss に端を発する数論、 (位相) 幾何学、超幾何関数、
数 g 物理などの類似、 絡み合いに、「結び目と素数」 という視点から新たな$\mathrm{t}\supset$

光があてられればどんなにか素晴らしいことだろう。

御礼: 貴重な刺激、 コメント、 助言、励ましを下さった、 伊原康隆、 大田啓史、 大槻知忠、
小野孝、 小野薫、 加藤和也、 金子昌信、 亀谷幸生、 M.Kapranov、 久保田富雄、 河野俊丈、
後藤竜司、小林亮一 M.Kontsevich、今野宏、 野村明人、橋本義武、 J. llman、深谷賢治、
福本善洋、 古田幹雄、 古田孝臣、 松本幸夫、 村杉邦男、 B.Mazur、 望月拓郎、
J.Morava.
森田茂之、 AR 已 nikov の諸氏 (敬称略) に感謝申し上げます。
$\text{、}$参考文献[深 1] 深谷賢治, 電磁場とベクトル解析, 岩波.
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.

G——-.

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