数理解析研究所講究録
1091 巻 1999 年 9-17

9\theta -合同数と楕円曲線
菅真紀子 (Makiko KAN)
お茶の水女子大学人間文化研究科\S 1. \theta -合同数の紹介と主な結果
3 辺の長さが有理数であるような直角三角形の面積となりうる自然数
を合同数と呼びます。 自然数の合同性と楕円曲線論には密接な関係があり、 ある自然数が合同か否かを調べることは、 上定義された対応する楕円曲線のrank が正か否かを調べることと同値となります。楕円曲線論の研究の進展により、合同数についてはもう既にいくつかの興味深い結果が得られています。例えば、 Birch-Swinnerton-Dyer 予想を仮定すれば、 8 を法として 5,6,7 に合同な自然数は全て合同数であるということが知られています。また、 Birch-Swinnerton-Dyer 予想を仮定$7\mathrm{Z}$$\mathrm{Q}$$\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}-\mathrm{A}\mathrm{A}-\mathrm{t}\tau.\mathrm{i}\mathrm{l}$しなくても、素因子宝が少ないいくつかの合成数についてはその合同性
非合同性が確認されています $[1, 11, \perp 21]$。

[9] の中で、 Fujiwata は合同数の概念を次のように拡張しました。 を$0<\theta<\pi$ なる実数とします。 このについて、 1 つの角の大きさがで 3 辺の長さが有理数となるような三角形のことを” -有理三角形” と呼ぶことにします。ここで、 この様な三角形についてはの値が必ず$\theta$$\theta$$\theta$$\theta$$\cos\theta$

有理数として得られるという事に注意しなくてはいけません。その値をにと置きます。更に、 このよって–意的に定まるの値をとします。すると、従来の合同数の拡張判、 \theta -合同数は次の様に定義されます。

$\cos\theta=s/?\cdot,$$r,$ $s\in \mathrm{z},$ $\mathit{0}CC- l,(r, s)=1,$ $\uparrow’>0$$\theta$$\uparrow^{\mathrm{T}-S^{\underline{9}}}$$C|^{t}\mathit{0}$

定義.
$?l$

は

を自然数とする。”\alpha 0 がある \theta 有理三角形の面積となりうる時、合同数であるという。
$’\downarrow$$\theta-$

この報告の中では、常に は $0<\theta<\pi$ なる実数で $\cos$ \theta が有理数となるものとします。 また、三角形の各辺を整数倍することによってその面$\theta$10

積は 2 乗倍されますから、一般性を失うことなく自然数$n$は square-free

であると仮定します。

の時には c\iota \acute \mbox{\boldmath $\pi$}/2 $=1$ となり、 \mbox{\boldmath $\pi$}/2-合同数は従来の意味での合同数と同じになります。 このことから、 \theta -合同数の定義は従来の合同数の自$\theta=\pi/2$

然な拡張となっている事が分かります。
自然数 1’ と、上で与えた \theta 、つまりは自然数のペア $(r, s)$ に対して、楕円
曲線 $E,,.’$) を炉 $=.\chi’(.L+(\uparrow\cdot+s)??,)(x-(?’-S)\uparrow \mathrm{t})$ で与えます。
定理 (Fujiwara, [9]). ?1 を自然数とする。 この時がが位数 3 以上の有理合同数であることの必要十分条件は(1)点を持つことである。
(2) $??\cdot\neq 1,2,3,6$ である時\tau \uparrow ?. が\theta -合同数であることの必要十分条件は$\cdot$$\theta-$$t1$

が正の Mordell-Weil rank を持つことである。

$E_{r1.\theta}(\mathrm{Q})$注.

$E_{7?,\theta}$

上同型で割った族を考え合同数に対応する楕円曲線全体をます。するとその族は 上 3 つの–次因子に完全分解される楕円曲線の
の
が
族、つまり
-Weil 群の 2-torsion part形であるもの全体の族となります。
$\theta-$$\mathrm{Q}$$\mathrm{Q}$$E(\mathrm{Q})[21$$\mathrm{M}\mathrm{o}1^{\cdot}\mathrm{C}\iota \mathrm{C}\mathrm{l}1$$\{E_{?l},\mathrm{f}J\}/\cong_{\mathrm{Q}}$

$=$

{

$=$

$\{E/\mathrm{Q} :$/\mathrm{t}^{2}=(.\mathit{1}^{\cdot}-A)(x-B)(X-C,$$)$$\mathrm{Z}/2\mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}/2\mathrm{Z}$: 楕円曲線, $A,$ $B,$

$C\in \mathrm{Q}$E(\mathrm{Q})[2]\cong \mathrm{Z}/2\mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}/2\mathrm{Z}\}/\cong_{\mathrm{Q}}$

このような楕円曲線族はコンピューター計算をする時に便利であったり、. であることが証明されていたりで [6]、比較的扱いやすい対象で$\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{O}\mathrm{C}\iota_{\mathrm{u}}1_{\dot{c}\iota 1}$

あると言えます。
この定理から、楕円曲線 . は \theta -合同数についての重要な情報を私達に与えてくれるということが分かります。 この様な流れの中で、 24 を法$E_{\mathrm{t}t,\theta}$

として$0_{J}^{r}.7,19$に合同な素数は\mbox{\boldmath $\pi$}/3-合同でないことが確かめられています[9]。
今回得られた主な結果は次の通りです。
補題.

自然数 1\sim が -合同数であるなら$\theta$$p,$ $q\in \mathrm{N},rJC(l.(p, q)=1$

な $p,$$q$$n$

は $pq(p+q)(2\uparrow\cdot r_{-}\mathit{1}-(r-s)P)$ ,の square free part となっているで表される式の square-free part$\iota\mathrm{h}$逆に、 このよう\theta -合同数である$\circ$$\circ$}$/\cong_{\mathrm{Q}}$11

上の補題を用いると \mbox{\boldmath $\pi$}/2-合同数に関する既成の結果がいくつか導につき出されます o 例えば、 整数$\pi/2$はいて ,”’ 1 }-合同数であることが知られています (定理$q=b^{2},$$a>l_{J},$ $gcd(a, b)=1$ とすれ
2.1,[14] 。補題でば $pq(p+q)(p+2q)=Cl\cdot 2b^{\mathit{2}}(a^{22}+b)(a-2b^{2})\equiv(a^{2}+b^{2})((x^{2}-b2)$ (mod)
となります。再び. $+b,$ $n\tau_{2}=a-b(a,$ が共に奇数ならそれぞれと置き直すと上の結果が得られます [9]。また、任意の\theta - について\theta - 合同数は 8 を法とした各剰余類に無限個ずつ存在することも補題から得られます [9]。これも [3] の定理 3 を–般化した結果となっています。

注$\mathit{7}n_{1},$$.-\underline{1}$$’$$m_{2},$$rn1^{\eta \mathit{1}},2>1,$ $gcd(\uparrow?\tau 1, \gamma?\mathrm{t}_{2})=1$$l \cdot\underline{\cdot\gamma}(\cdot 1^{\cdot}1?^{\mathit{2}}\iota+??l,.\frac{.\supset}{.2})$$p=\mathrm{r}.\mathrm{t}\cdot-\underline{)}b^{2},$$)$$a,$ $b\in \mathrm{N},$$\mathrm{Q}^{*2}$$b$$???_{1},=\mathrm{r}_{-}\{$$2\uparrow|\uparrow_{-}1,2\uparrow 1\iota 2)$

例.
(1) $\theta=\pi/2$ について $p=1.q=1$ を取ると 6合同となる。実際、 6 は 3 辺の長さが 3:である直角三角形の面積となってい$\text{は}\pi/2-$$4_{\}$

「

$0$

る。

(2) $\theta-\vee 2\pi/3$ について $p=61991193600=2^{\mathrm{l}0}\cdot 3^{2}\cdot 0^{r2}\cdot 7^{2}\cdot 17^{2}\cdot 19$,

を取ると 19 は 2\mbox{\boldmath $\pi$}/3-合同となる。実際、
19 fi は 3 辺の長さが 544/105, 1995/136, 254659/14280 であるような
2\mbox{\boldmath $\pi$}/3 有理三角形の面積となっている。

$q=183^{\ulcorner}\mathrm{Q}78].1081=157^{2}\cdot 863^{2}$]) $>3$ を素数、
命題.
はそれぞれ $\theta=\pi/3,2\pi/3$ とその素,
数 に対応する楕円曲線とする。 この時、 これらの曲線の Mordell-Weilと Shafarevich-Tate 群は次の性質を満た載
rank」$F_{|J,\frac{\pi}{3}}$$\mathit{1}$$E? \mathrm{J},\frac{2n}{3}$$P$$?’(-|.\uparrow l\cdot/\iota.E(\mathrm{Q})$$\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{J}(E/\mathrm{Q})$$\uparrow’ \mathrm{c}.\mathrm{t}.?7,kEp,\frac{\pi}{3}(\mathrm{Q})+di,m_{2}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{J}(E_{p,\frac{\pi}{3}}/\mathrm{Q})[2]$

$=$

$\{$

1
2

$7^{\cdot}(.

$=$

$\{$

for
for
for

$p\equiv 5,7,19$(mod 24)$p\equiv 11,13,17,23$$p\equiv 1$(mod 24)(mod 24)\cdot nkE_{p.\frac{\underline{\circ}_{\pi}}{3}(\mathrm{Q})}+di\uparrow’ 1_{2}\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{I}(E_{\nu},\cdot\frac{\underline{)}\pi}{\theta}/\mathrm{Q})[2]$$0$$f\dot{o}r$

1

for
for

$p\equiv 7,11$(mod 24)(mod 24)$p\equiv 1,13$ (mod 24).
$p\equiv 5,17,19,23$

この命題は、 2-decsent と呼ばれる手法をもとに Hensel の補題などを駆使して楕円曲線の Selrner 群の構造を調べる事によって得られました。上の

12

結果は
定理.
$p \text{は}\frac{2\pi}{3}-$$p\text{は_{}\frac{2\pi}{3}-}$$.\backslash !1_{01}\cdot \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}1- 1\lambda\prime \mathrm{e}\mathrm{i}1- \mathrm{r}\mathrm{a}1\iota \mathrm{k}$に明確な上限を与えています。

を素数とする。 が 24 を法として 7, 11 又は 13 に合同なら合同数ではない。 また、 が 24 を法として 23 に合同な素数なら合同数である。
1)

$P$

$P$

非合同性は上の命題から直接得られます。ただ、 $p\equiv 13$ (mod 24) の場合に関してだけは錦,2yr/3 の定義方程式をちょっと変形させる工夫を要しました。 この場合に限って非自明な Shafarevich-Tate 群が確認されまの原理を満たさないような不定方程式を副産物として得る
すから、$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}’ e$

事が出来ます。合同性の証明については、 もう少し複雑ですので次節で詳しく触れることにします。

従来の合同数から\theta -合同数へ拡張するに当たって、 その性質を明らかにするのに様々な壁があります。例えば、 \mbox{\boldmath $\pi$}/2-合同数に対応する楕円曲線は虚数乗法を持つのですが、 \theta -合同数に対応する楕円曲線は--般に虚数乗法を持ちません。そこで、 Coats-Wiles の定理 ([4]) など虚数乗法を持つ楕円曲線に限った結果を適応することは–般には不可能になります。
しかし、 Coats-Wiles の結果に関して言えば、 Kolyvagin によって「虚数乗法を持つ」 という条件は「modular である」へと大きく弱められましたから [13](そして私達が扱う楕円曲線は全て modular でしたから) そ
この壁は取り除かれました。 Kolyvagin の定理は合同性に関する必要条件
を解析的手法によって与えてくれるものでしたが、十分条件で効果的な, $2\pi/3$ に制限して考えたものは余り得られていません。 しかし、 を、$\theta$$\pi/3$時、 まだ解かれていない、 しかし正しいであろうと思われるいくつかの予想やコンピューターを使っての数値実験によって、合同性に関する予想をたてることが出来ます。
例えば Frev は、任意の楕円曲線$E/\mathrm{Q}$について Tate-Shafarevich 群が有限であるという仮定のもと、は有限であろうという予偶数であることを示しました $([l])$ III
III$(E/\mathrm{Q})$の$cli_{-\gamma\cdot 1}\mathrm{z}_{2}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}(E/\mathrm{Q})[2]=$$2-\mathrm{P}^{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\Gamma}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}\iota\cdot \mathrm{y}1^{)_{\dot{\zeta}}}\mathrm{C}$。

$(E/\mathrm{Q})$

想がありますから、上の命題から次のような予想をたてることが出来ます。またこれは、
er 予想を仮定した上でのコンピューター実験によってもある程度確認されています。
$\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{l}\cdot \mathrm{C}.\mathrm{h}- \mathrm{S}\backslash \mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathfrak{U}\mathrm{C}.1^{\cdot}\mathrm{t}|\mathrm{o}\mathrm{n}-\mathrm{D}.\mathrm{V}$

13

予想.
$p \text{は}.\frac{\pi}{3}$を素数とする。 が 24 を法として 11, 13, 17, 23 に合同ならば-合同数である。また、 が 24 を法として 5, 17, 19, 23 に合同ならば合同数である。
$P$$\mathit{1}^{l}$$P$$p \text{は}\frac{\underline{)}_{\pi}}{3}-$\S 2. 合同性の証明
非合同性に比べて合同性を示すことは余り簡単ではありません。実際、楕円曲線の Mordell-Weil rank が正であることを確認する汎用な手段
は、具体的な有理点をコンピューター頼みに探す以外みつかっていません。
この節では Heegner point という概念を用いて、 どの様に定理の合同性部分を示したかを説明します。 まず 1 つ注を与えて置きます。
の -trvist
楕円曲線 $E$ :つまり $E$ とは $y^{2}=x^{3}+anx^{2}+b7\mathrm{t}^{2}x$ とい上同型であるような楕円曲線
う形で表されます。 (ここでは 上同型である楕円曲線族は同–視していはます。) 合同数に関した場合、楕円曲線-twist となってはいます。 さらに-twist となっています。特に
の
は
です。

注

$y^{\underline{)}}=x^{3}+c\iota_{\wedge}x^{2}+bx$$ll$$E^{(n)}\text{、}$‘$E^{(\prime\iota)}$$\mathrm{Q}(\sqrt{\uparrow\prime})$$\mathrm{Q}$$\theta-$$E_{n,\theta}$$E_{1\downarrow,\pi-\theta}$,$E_{1,\pi/:i}$$E_{1,\theta^{\text{の}}}?l$$E_{n,2\pi/3}$$E_{\iota.,\theta^{\text{の}}},(-1)$$(-??.)-\mathrm{f},\mathrm{t}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}$次に Birch の [1] にある定理を 1 つ引用します。 この論文において、
Heegner point の概念は初めて紹介されました。
がを 4 を法として 3 と合同な素数で、.
で可解であるようなものとする。すると、有限個を除いたほとんどのについて楕円曲線 $E$ : $]^{\prime 2}=(X-1)(X^{2}-4)$ の $(-p)$ -twist $E^{1-p)}$ は無限位数の有理点を持つ。

定理$p=96\tau^{2}-\mathrm{S}^{2}$$(13\mathrm{i}1^{\cdot}\mathrm{C}^{\cdot}1_{1}:[1])$$\mathit{1}^{J}$$\mathrm{Z}$$P$$\mathrm{Q}$

Birch の定理の中で扱っている楕円曲線 $E$ は\mbox{\boldmath $\pi$}/3-合同に関する楕円曲
. と
の
は
線
上同型です。 また、 上の注で見たようにとなっています。ですから、 この定理は 2\mbox{\boldmath $\pi$}/3-合同であるような素数 をいくつか与えてくれそうに見えます。 この段階で残された$E_{p,2\pi/3}$$\mathrm{Q}$$E_{1,\pi/\backslash \}}.$$E_{1,\pi/3}$$(-p)-\uparrow_{1},’\backslash :\mathrm{i}\backslash \mathrm{s}^{1}\mathrm{t}$$P$

96T-, –S2 がで可解となる の条件を知ること、 の有限個の例外が具体的に何なのかを知ることとなります。 [1] によると、例の modelから Fricke の 4 次曲線 $C_{24}([1,7])$ への外は
課題は、$\mathit{1}^{J}=$$H^{*}/\Gamma_{0}(24)$$\mathrm{Z}$$P$$J_{24}$$P$

14

写像がうまく作れるか否かに依存して生じるようです。 より詳しく見るために Fl icke の仕事について再考し、私たちのケ $-$ スへの適応を試みます。
$\Gamma_{0}(24)=\{\in SL_{2}(\mathrm{Z})$:$c\equiv 0$は上半平面 Im(z)(mod 24)}
上線型分数変換の形で作用しま$>$$\text{、}H$は $H^{*}=H\cup \mathrm{Q}$とします。するとをす。 $F_{0}(24)$ を 14 個の頂点 $\pm 1/12,$ $\pm 1/8,$ $\pm 1/6,$ $\pm 1/4,$ $\pm 1/3,$ $\pm 1/2,$
持ち、 12 個の半円周、 2 本の垂直線によって囲まれた 14 角形の形をした、
10(24) に関する基本領域であるとします。この領域の各辺は、 $1_{0}’(24)$ のあ$0$$\Gamma_{0}(24)$$0,$$\infty$

る要素によって虚像対称に移されますから、尖点は $0,1/12,1/8,1/6,1/4,1/3,1/2,$をに関する modular inの 8 つとなりますとは FFO(24) の作用によって不とすると、変となっています。実際り $=\in\Gamma_{0}(24)$ とすると、 $\gamma(j(z),j_{24}(Z))=$$(\mathrm{p}458,[8])$ 。 $j$$\Gamma_{0}(1)=SL_{2}(\mathrm{Z})$$j$$\mathrm{v}\cdot \mathrm{a}\mathrm{l}\cdot \mathrm{i}\mathrm{a}\mathfrak{U}\mathrm{t}_{\text{、}}.j_{2\cdot 1}.(.\neg\vee)=j(24^{\sim}.\vee)$$\infty$$j_{24}$.

$(j(^{\wedge\sim}’.

\vee),.)\underline{\cdot)}.\cdot \mathrm{t}(\wedge\prime\prime.\cdot..\cdot))=(j(\frac{a\approx+b}{c\approx+d}),j(24\cdot\frac{az+b}{cz+d}))=(j(^{r}\sim),j(.\frac{a\cdot 24z+24b}{c/24\cdot 24z+d}))=(j(_{Z}),j($となり、不変である事が確かめられます。 また、と j24 は rnodular equation と呼ばれる代数等式 $F_{24}(j,i_{24})=0$ を満たすの1事が知られていて、 曲線: $F_{24}(u, v)=0$ はつの model となっています。それに伴い、 $(i, i_{24})$ はから J24 への正則写像、 つまりは $F_{0}(24)$ から .J24 への写像とみなされます。 (Ji24) を$F_{0}(24)$ から」24 への写像とみなした時、 その過程で特異点が生じ得ることに注意しなくてはいけません。特にここでは 2 を基本領域内の虚二次数と仮定して、 z が特異点を生じる場合の特性を考察します。

$24\approx))=(j(_{\vee}^{\sim}.\cdot\cdot),i_{24(_{\vee}))}.$?

$j$$J_{24}$$arrow \mathrm{x}_{0}(24.):=H^{*}/\Gamma_{0}(24)$$-\chi_{\mathrm{o}()}^{-},24$

ゐ 4 が ^.\breve 上で特異性を持つとすると、ある $z’\in F_{0}(24)$ が存在して、 とz’ は $F_{0}(24)$ の点として異なるけれども曲線上の点として同じもの$A,$ $B,$ $C,$ $D\in$を与えてしまいます o つまり、$z$$J\mathrm{o}(24)$$a,$ $b,$ $c,$ $d,$$(i(_{/}^{-\cdot),.j_{-}\iota}..)_{-}(Z))=(j(_{\sim}\cdot’),j\underline{.)}4(,\sim\vee’))$$\mathrm{Z},$$ad-l)c=AD-BC=1$ で、 しかし $a=A,$ $24b=B,\sim c=24c,$ $d=D$,が成り立ちます。 こ$\text{という関係ではないも^{のに}ついて_{}\frac{24az+24b}{rz+d}},\cdot=\frac{2\mathit{4}A_{\sim}+B}{24C’z+D}$

れは行列$F_{0}(24)$$-‘ \prime \mathrm{t}\cdot I==(_{-2\mathit{4}a\overline{c}c}c\iota D.,’\frac{Bc}{\dagger^{\wedge}A\mathrm{o}_{4}}-24bcbD-\frac{Bd}{24,+}Ac\downarrow)\in SL_{\mathit{2}}(\mathrm{Q})$が上 elliptic である事を意味します。 (すなわち、 M は凡 (24) でただ二つの固定点を持つということです。)Elliptic element $M$ は$|tr\cdot l|./I|<2$ を満足するという事が–般に知られていますから、 ここでは$| \mathit{0},D-.\frac{JJ.r}{24}-24bC+Ad|<2$ です。計算によって、 この条件は-2304$\triangle(z)<0$ というの判別式に関する条件に帰着されます。
$z,$$-\overline{\backslash _{\sim}\backslash \cdot}$$\leq$$\approx$

方 Flicke は [8] の中で\tau (z) と$\sigma(z)$という 2 つの modular 関数を紹介

15

しました。
は主に次のような性質を持ちます:
は.j(,\sim ,) と $i_{24}(z)$ について対称、 $\sigma(z)/(j(z)-i2\mathit{4}(Z))\in \mathrm{Q}(\tau(z))\text{、}$$\tau(z),$ $\sigma(^{\sim}..)$$\tau(\nearrow\vee)\in \mathrm{Q}(j(Z),i_{24}(z))\text{、}$$\tau(_{\sim}^{\sim}.)$.

$\sigma^{2}(z)=f(\tau(z))=\tau^{4}(_{\sim}^{\sim}$ $)-12\tau^{3}(Z)+32\mathcal{T}(\mathit{2}Z)-24\tau(z)+4(\mathrm{p}459[8]$,,を $\eta^{r},z=-1/24\approx$ なる involution とします。 ここで W] はと 24[1]を入れ替える事に注意をします; $W(j(z),j_{\mathit{2}4}(Z))=(j(Wz),i\mathit{2}4(W_{Z}))=$$)$$\mathrm{T}/\dagger^{\mathrm{v}}$。

$j(-1/24_{\vee}^{\sim}.),.j(-1/z))=(j(24Z),j(z))=(j_{24}(z),j(Z))_{0}\tau(z)$と.?’-4 について対称でしたから $W$ -不変で、したがって FF0(24)/W 上のは $W$ で一\mbox{\boldmath $\sigma$}(Z) に写ります。 さ関数とみなす事が出来ます。 -方は$i$$\sigma(z)$らには $F_{0}(24)\mathrm{n}\{_{\sim}^{-} : |z|\geq\sqrt{6}/12\}$ を $F_{0}(24)\cap\{_{\sim’}^{\sim} : |z|\leq\sqrt{6}/12\}$$\mathrm{T}4^{r}/$に写すことが分かります。特に I $=\sqrt{6}/12$ 上、 を虚軸対称な点に写します。すると $F_{0}(.24)$ から Fricke の 4 次曲線 $C,24$ :への写像を次のように与えることが出来ます。
に$z$$13\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{C}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{V}\mathrm{e}$$\sigma^{2}=$$\tau^{\mathit{4}}-12\tau^{\backslash }\}+32\tau^{2}-24\tau+4$$(\tau, \sigma)$:$F_{0}(24)$.

$\rho_{\mathrm{B}A}$$arrow$$|z|>\sqrt{6}/12$$\mapsto$

$z$

Xef

$|z|=\sqrt{6}/1\mathit{2},{\rm Re}(z)\geq 0$

その他の場合$\text{ここで\sqrt{f(\tau)}$

についてはどちら$\hslash^{\mathrm{a}-}-$方の branch を選べば良い事とします。

このようにして、私たちは可換図式.

$z\in F_{0}(24)\backslash$$\nearrow$

$\pi$

:

$J_{24}\backslash${ 特異点}$(j(^{\gamma}’.),j24(Z))$$\backslash$$arrow$$\mapsto$$C_{\mathit{2}4}$$(\tau(Z),\sigma(z))$

を得ることができます。そして、 この図式は」24\{特異点} から C24 へのwell-defined map を導き出します。
$\pi$[1] の定理 1 より、 $-p=S^{2}-96T^{2}$ が整数解 $(S,T)$ をもつならば」24
はは有理点を持ちます。 ここでなる虚蝉次数で、なるものです。 (この が) 計算により.
–96T2 が整数解 $(S, T)$ を持つよ
Heegner
うな必要十分条件は $p\equiv 23$ (mod 24) であることが簡単に確かめられまをす。すると、 もし\Delta (\mbox{\boldmath $\omega$}) $=-p<-2304$ ならば写像 は$\mathrm{Q}(\sqrt{-p})-$$(j(\omega)_{\}}j24(\omega))$$\omega$$\triangle(\omega)=-p,\overline{j24(\omega)}=j(\omega)$$\mathrm{p}_{\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}}\mathrm{t}\circ$$\omega=\frac{S+\sqrt{-\mathrm{P}}}{48T}$$\omega$$-\mathrm{p}=\mathrm{S}^{2}$$\pi$$(j(\omega),j\mathit{2}4(\omega))$

16$(\tau(_{\mathrm{L}\mathrm{t}}i), \sigma(\omega)),$$\tau(\omega)\in \mathrm{Q},$$\sigma(\omega)\in \mathrm{Q}(\sqrt{-p})\backslash \mathrm{Q}$へと写します ([1])。

とすによって得られる C24 の $(-p)$ -twist を)のは有理点です。 [1] の補題 2 は、 もしると、上正の Mordell-Weil.
が有理点を持つならばその Jacobi 曲線は)曲線は Birch の定理
rank を持つと主張しています。そして、そのと上同における楕円曲線 E(-\rho ) 、すなわち私たちの呼ぶところの$c_{2}^{(\mathrm{Z})}$$(\tau, \sigma)\mapsto(\tau, \sigma/\sqrt{-\mathit{1}^{J}})$$(\prime r(\omega \mathrm{I}, \sigma(\omega)/\sqrt{-p})$$C_{2}^{(}\ovalbox{\tt\small REJECT} C$$\mathrm{Q}$$C_{24}^{(-p\rangle}$$\mathrm{Q}$$\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}$$\mathrm{i}$$\mathrm{Q}$$E_{\rho.\frac{\pi}{3}}\underline{.}$型です。 [1] において、写像$\pi$が $\omega=$”$\frac{\mathrm{j}+\sqrt{}^{\overline{-l^{J}}}\wedge}{4\mathrm{b}^{\backslash }T}\in F_{0}(24)$

上 well-clelined なは確かに非自明な有理点を私たちの楕円曲線に与えることが示されています。
{ 特異点} の中では は well-defined となりますから、 こ
れは $p>23()4$ なる素数について主定理の結果を与えてくれることとなりら$\omega’$$\pi$$.I_{21}.-!\backslash$ます。
(lllod 24) なる素数で、 $23\leq p<\mathit{2}304$ の範囲にあるような 42
が正個については、 [10] の定理 73 とコンピューター計算によって$jJ\equiv 2.3$

$E_{l^{J,\frac{\circ_{\pi}\vee}{3}}}$の rallk

1 を持つことが確認されました。 ということで、全ての $p\equiv 23$(lllod 24) なる素数について主定理は確かめられたことになります。

例.

23 は $2\pi/3-$ 合同である。実際、‘2$3\sqrt{3}$は 3 $\text{辺の長さが}\frac{14}{5},$$\frac{230}{7},$$\frac{1\mathit{2}0\mathit{2}}{35}$であるような $2\pi/3$ -有理三角形の面積となっている。更に 2039 も 2\mbox{\boldmath $\pi$}/3-合同では 3 辺の長ある。実際、2039, であるような 2\mbox{\boldmath $\pi$}/3-有理三角形の$.\cdot,\cdot..\cdot$$..\cdot..$ .
面積となっている。
$\sqrt{3}$$\frac{20361.93\supseteq\cdot\overline{)}\mathrm{b}_{\mathrm{C}}\backslash \backslash ^{1}l-rightarrow}{3\iota i\}3r_{()(_{)}03}\supset(-\overline{l}106\mathrm{J}\mathrm{o}s\triangleleft\overline{l}443\mathrm{L}1\sim \mathrm{I}^{\mathrm{c}}\mathrm{J}0^{\underline{9}\mathrm{r}\cdot\triangleleft 6\overline,)})arrow(\backslash 06’\mathrm{J}47\angle\}\ulcorner 0_{arrow)}\mathrm{J}- 1}$‘

参考文献[1] Birch,B.J., Elliptic Curves and4. 1970, 27-32.
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