数理解析研究所講究録
第 1777 巻 2012 年 62-74

62

Parametrizations of Teichmuller spaces by trace functions
中西 敏浩 (Toshihiro Nakanishi)
中村豪 (Gou Nakamura)

島根大学総合理工学部
愛知工業大学

Sepp\"al\"a-Sorvali の問題

1

11. 以下 $(g,m)$ は $2g-2+m>0$ をみたす非負整数の組とする。 $m$ 個の境界成分をもつ種数
向きのついたコンパクト曲面 $S$ の基本群の標準生成系を用いた表示は次のようになる。

$g$

の

ヨ
$\Gamma=\langle a_{1},b_{1},$$\ldots,$

群..

$\Gamma$$a_{g},$ $b_{g},$ $c_{1},$$\ldots,c_{m}:($$a_{j}b_{j}a_{j}^{-1}b_{j}^{-1})c_{1}\cdots c_{m}=1\rangle$$j=1$

から $SL(2, \mathbb{R})$ への忠実な表現$G=\rho(\Gamma)$$|\acute{r}]$$\rho$

で次の条件をみたすもの全体を考える。

は purely hyperbolic な Fuchs 群

きを保つ同相写像 $f$ ; $Sarrow \mathbb{H}/G$ と，その普遍被覆空間の間への lift$(\gamma\in G)$( は双曲平面とみた上半平面).

$f\circ\gamma=\tilde{\rho}(\gamma)\circ f$$f;\tilde{S}arrow \mathbb{H}$が存在して$\mathbb{H}$ここで射影 : $SL(2, \mathbb{R})arrow PSL(2,\mathbb{R})$ と との合成をと記した。上の条件をみたす 2 つのと表現が同値であるとは， と角が $G$ から $PSL(2,\mathbb{R})$ への表現として同値 (共役) であるこ$(g, m)$ 型タイヒミュラー空間と呼ぶ。
ととする。 このとき表現の同値類の空間をで表わし，は (たとえば Fenchel-Nielsen 座標によって)と同相であることが知られている。
$\pi$$\rho_{1}$$\tilde{\rho}=\pi 0\rho$$\rho$$\tilde{\rho}_{1}$$\rho_{2}$$\mathcal{T}(g, m)$$\mathbb{R}^{6g-6+3m}$$\mathcal{T}(g,m)$

1.2. $7\in\Gamma-\{1\}$ とする。 このとき trace function(実際は 2 より大きい値をとる)。次のことが知られている。

$\tau_{\gamma}([\rho])=|tr\rho(\gamma)|$

Theorem 1.1 有限個の$\gamma_{1},\ldots,$$\gamma_{N}\in\Gamma$

は $\mathcal{T}(g, m)$ 上の正値関数であるが存在して次の写像は embedding (したがって域的な座標系を与える)$(\tau_{\gamma_{1}}, \ldots,\tau_{\gamma_{N}}):\mathcal{T}(g, m)arrow \mathbb{R}^{N}$$\mathcal{T}(g,m)$の大.

この定理は $g+m$ が小さいときには Fricke–Klein の時代に遡るだろうが，一般の曲面に対して最初に証明したのは L. Keen である。定理にあるようなが存在する $N$ の最小値 $N(g, m)$ を求めよという問題があった。 $m=0$, すなわち閉曲面の場合は Wolpert の定理により $N(g,0)>6g-6=\dim \mathcal{T}(g,0)$であることがわかる。 Seppal\"a と Sorvali が 1980 年代中頃に $6g-4$ 個の trace functions による大域的座標系を導入したので $N(g, 0)$ は $6g-5$ または $6g-4$ であり，そのどちらであるかを決定することが一時 SeppJ\"a-Sorvali の問題と呼ばれた。 この問題は Schmutz によって 1993 年に解決された。 その
後 Okumura, Feng Luo, Hamenstadt らによって別証明が与えられている (参考文献を参照のこと)。
$\gamma_{1},\ldots,$$\gamma_{N}$Theorem 1.2$N(g, m)=\{\begin{array}{ll}6g-6+3m=\dim \mathcal{T}(g,m) (m\geq 1)6g-5=\dim \mathcal{T}(g,0)+1 (m=0)\end{array}$

この小論は SeppliSorvali の問題の再論である。 $SL(2, \mathbb{R})$ の行列について成立する一つのトレース
恒等式 (2.4.2 節の (2.7)) を紹介し，それを用いて $N(g,0)=\dim \mathcal{T}(g,0)+1$ であることを証明する。

63
2

いくつかの例

2.1

トレース恒等式$SL(2, \mathbb{R})$の行列に対して成り立つ次の恒等式は基本である ([6, \S 3.4]):(1) $trA=trA^{-1}$ ,(2) $trAB+trAB^{-1}=trAtrB$ ,(3) tr $ABC=trA$ tr $BC+trBtrCA+$ tr $CtrAB-trAtrBtrC-trACB$.
次の恒等式は (1),(2),(3) から得られるが，これらもよく用いる:$tr[A, B]=$ $tr$ $ABA^{-1}B^{-1}=(trA)^{2}+(trB)^{2}+(trAB)^{2}-trA$ $tr$ $BtrAB-2$ ,$trABCB=trABtrBC+$$tr$$AC-trAtrC$,(2.1)$trABCB^{-1}=trAtrC-trAC-trABtrBC+trBtrABC$ .
群 $G$ は

$A_{1},\ldots,$$A_{n}\in SL(2, \mathbb{R})$で生成されるとし，次のトレースの組を考える。

$S=\{tr(A_{i_{1}}A_{i_{2}}\cdots A_{i_{f}});1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{r}\leq n, 1\leq r\leq n\}$

.

(2.2)

このとき次の補題が知られている ([6, \S 35]).

Lemma 2.1 任意の $g\in G$ のトレース trg は
以下 $SL(2, \mathbb{R})$ の行列の組 $(A_{1},$$A$$\ldots,$

以下

上の整数係数多項式で表わされる。

のに対して次を定める :tr $(A_{1}, \ldots,A_{n})=(trA_{1}, \ldots, trA_{n})$ ,

22

$S$

sgn $(A_{1}, \ldots, A_{n})=(sgn$ tr$A_{1},$$\ldots$, sgn $trA_{n})$$g+m\leq 4$ をみたす $(g, m)$ 型タイヒミュラー空間の座標$\mathcal{T}(g, m)$の点$[\rho]$と行列の組$(A_{1}, B_{1}, \ldots, A_{g},B_{g}, C_{1}, \ldots,C_{m})=(\rho(a_{1}),\rho(b_{1}), \ldots, \rho(a_{9}),\rho(b_{g}),\rho(c_{1}), \ldots,\rho(c_{m}))$を同一視する。 ただし後者は (共役の自由度があるので) 適当な normalization を受けていると仮定する。 双曲的をそれぞれ $A$ の反発的 (吸bius 変換を表わす行列 $A\in SL(2, \mathbb{R})$ に対して $PA,$$M\ddot{o}$$q_{A}$

引的)

不動点とする。

2.3

Type (0,3)

type $(0,3)$ すなわち pair of pants のタイヒミュラー空間 $T(O, 3)$ の点を $(A, B, C)$ (ABC I(単位行列))で代表させる。 ここで sgn $(A, B)=(-, -)$ とする。 このとき $trAB=$ tr $C<0$ であり$=$$(a, b, z)=(-trA, -trB, -trAB)$ :$\mathcal{T}(0,3)arrow \mathbb{R}_{>2}^{3}$

64
は (surjective)embedding である。実際 $q_{A}<pc=-1<qc=1<p_{B}<q_{B}<p_{A}=-q_{A}$ という
normalization condition のもとで $(a,b, z)$ は $(A,B,C)$ を次のように一意に復元する 1 :$A=$$( \frac{2b+az-2\sqrt{K^{2}-4}}{2\sqrt{z^{2}-4}}-\frac{a}{2}$$\frac{2b+az+2\sqrt{K^{2}-4}}{2\sqrt{z^{2}-4}}-\frac{a}{2})$$B=(\begin{array}{ll}\frac{-b-\sqrt{K^{2}-4}}{2} \frac{2a+bz+z\sqrt{K^{2}-4}}{2\sqrt{z^{2}-4}}\frac{2a+bz-z\sqrt{K^{2}-4}}{2\sqrt{z^{2}-4}} \frac{-b+\sqrt{K^{2}-4}}{2}\end{array})$$C=$$(- \frac{\sqrt{z^{2}-4}}{2}-\frac{z}{2}$$- \frac{\sqrt{z^{2}-4}}{2}-\frac{z}{2})$

(2.3)

,

.

ここで
$K=\sqrt{obz+a^{2}+b^{2}+z^{2}}=\sqrt{trABA^{-1}B^{-1}+2}$

2.4

,

.

(2.4)

Type (1,1)の点を $(A,B,C)(ABA^{-1}B^{-1}C=I)$ で代表させる。
One-holed torus のタイヒミュラー空間
ここで tr $A>$ O, tr $B>0$ とすると $trAB>0$ である。このとき$\mathcal{T}(1,1)$$(x, y, z)=(trA,$ $trB$ , trAB :$)$$\mathcal{T}(1,1)arrow \mathbb{R}_{>2}^{3}$は embedding である。ただし surjective でない o $-trC=-trABA^{-1}B^{-1}=xyz-x^{2}-y^{2}-z^{2}+2>2$
なので $(x, y, z)$ による像は $\{(x, y, z):xyz>x^{2}+y^{2}+z^{2}\}$ に含まれていないといけない (実際は一

致する)。

2.5

Type (0,4)の点を $(A, B, C, D)$ (ABCD $=I$ ) で代表させる。 ここで sgn $(A, B, C)=(-, -, -)$ となるようにとる。 このとき$\mathcal{T}(0,4)$$(a,b,c,d, x, y, z)=(-trA, - trB, - trC, -trD, -trBC, - trCA, -trAB)$ :$\mathcal{T}(0,4)arrow \mathbb{R}_{>2}^{7}$は embedding で $F_{04}(a, b, c, d, x, y, z)=0$ をみたす。 ここで $F_{04}(a, b, c, d, x, y, z)$ は. (2.5)$x^{2}+y^{2}+z^{2}-xyz+(ad+bc)x+(bd+ca)y+(cd+ab)z+a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+abcd-4$

この式は $d^{2}-2=trD^{2}=$ tr $(AB)(CA)(BC)$ の右辺に基本トレース恒等式 (3) を応用して得られはについてモニックな 2 次多項式で の係数 $ax+by+cz+abc>0$ である。 したがってる。
$F_{04}$$d$$d$

1 以下の例 2.4-2.6 ででも trace functions の組がタイヒミュラー空間の座標系を与えるということは，それらが群の生成系 $(A_{1}, B_{1}, \ldots, C_{m})$ を (ある normalization のもとで) 一意に復元することを意味している。

65$F_{04}=0$ が $d$について必ず負の解をもつから，正の解をもてばそれは一意に定まる。 すなわち (2.5)

を $d^{2}+2Pd+Q$ のように書けば$d=-P+\sqrt{P^{2}-Q}$

であり $(-P+\sqrt{P^{2}-Q}>2$ が $(a, b, c,d,x, y, z)$ がタイヒミュラー空間の点を表わすための必要条件となる),を$(a,b,c,x,y,z)$ がに埋め込む $(6=\dim \mathcal{T}(0,4)$ に注意$d$は省略してよく，$\mathcal{T}(0,4)$$\mathbb{R}_{>2}^{6}$

$)$

。

2.6

Type (1,2)$\mathcal{T}(1,2)$の点を $(A, B,C,D)(ABA^{-1}B^{-1}CD=I)$ で代表させる。ここで sgn $(A, B,C,D)=(+, +, -, -)$であるとする。

26.1

トレース恒等式 I.

$(a,b,c,d,x,y,z)=(trA, trB, -trC, -trD,trAD, trAC, trAB)$ :$\mathcal{T}(1,2)arrow \mathbb{R}_{>2}^{7}$は embedding である。 $(A, BA^{-1}B^{-1}, C, D)$ は type $(0,4)$ であり，tr $BA^{-1}B^{-1}=a$ , $BA^{-1}B^{-1}C=$tr$trAD=x$ ゆえ $z_{1}=-trA(B^{-1}A^{-1}B^{-1})$ とおくと $F_{04}(a,a, c,d,x,y, z_{1})=0$ が成り立つ 2。この式に $z_{1}=abz-a^{2}-b^{2}-z^{2}+2$ を代入したものを $F_{12}(a, b, c,d, x,y,z)$ とおくと $(a,b,c,d, x,y, z)$ は$F_{12}(a, b, c, d,x, y, z)=0$ をみたす。 これを具体的に表示すると $F_{12}(a, b, c, d,x, y, z)$ は$a^{2}b^{2}-4b^{2}+b^{4}+c^{2}+2$$cd$ – $b$ 2$cd+d^{2}+acx+adx+x^{2}+acy+ady$$-2xy+a^{2}xy+b^{2}xy+y^{2}+4abz-a^{3}bz-2ab^{3}z+abcdz$ -abxyz(2.6)$-4z^{2}+a^{2}z^{2}+2b^{2}z^{2}+a^{2}b^{2}z^{2}-cdz^{2}+xyz^{2}-2abz^{3}+z^{4}$

となり

$c,$

$d$

について対称なモニックな 2 次多項式で および
$c$

たは c)

を省略してよく，

262

トレース恒等式 II.

$(a, b, c, x, y, z)$ が $\mathcal{T}(0,4)$ を$u=$$\mathbb{R}^{6}$の係数は正である。 したがってに埋め込む $(6=\dim \mathcal{T}(1,2)$ に注意
$d$

$d$

(ま

$)$

。

tr $CABA^{-1},$ $v=trCAB^{2},$ $w=$ tr CAB, $k=-trCD$とし $c,$ $d,$ は I と同じとする。 このとき $(u, v, z,w,c,d, k)$ :$(u,v, z,w,c,d, k)$ は $s=uvw-u^{2}-v^{2}-w^{2}+2$ とおくとさ$z$$w^{2}+ \frac{c+d}{2}zw+k+s+z^{2}+cd-w$$\mathcal{T}(1,2)arrow \mathbb{R}_{>2}^{7}$$(k+2)(s+2)+($穿は embedding である$)^{2}(z^{2}-4)=0$

.

。

(2.7)

をみたす。左辺を $G_{12}(u, v, z, w, c, d, k)$ で表わす。

3

種数 $g\geq 2$ の閉曲面$\mathcal{T}(g, 0)$の点を $(A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}, \ldots, A_{g}, B_{g})(\prod_{j=1}^{g}A_{j}B_{j}A_{j}^{-1}B_{j}^{-1}=I)$ で代表させる。 すべての行列のトレースは正とする。 $g=2$ の場合は次章で述べるので $g\geq 3$ とする。

2 トレ $-$

スの符号が例 2.3 と異なるところがあるが，同じ恒等式をみたす。

66
3.1

$g\geq 3$の場合

証明は についての帰納法である。 (正確には $(g,m)$ 型のタイヒミュラー空間すべてを考え $g+m$についての帰納法である。 すべての場合を取り扱うと大変なので，ここでは簡略化して記述する。)$a_{k}=trA_{k}>0,$ $b_{k}=$ tr $B_{k}>0(k=1,2, \ldots,g)$ とおく。 $E_{k}=[A_{k}, B_{k}]$ とおくと $ek=$ -tr $E_{k}>0$$(k=1,2, \ldots,g)$ . $S_{1}=(A_{1}, B_{1}, \ldots, A_{g-2}, B_{g-2},E_{g-1}E_{g})$ は tyPe $(g-2,1)$ のタイヒミュラー空間の点を定める。 今$g$$z_{k}=trA_{k}B_{k}$ ,,tr$A_{k}E_{k+1}\cdots
E_{9}C_{g+1}$tr$w_{k}=-$$a_{k},$

が$S_{1}$$(k=1, \ldots,g-2)$$b_{k},$$x_{k}=-$$y_{k}=-trE_{1}\cdots E_{k-2}A_{k-1}A_{k}$$B_{k-1}A_{k-1}^{-1}B_{k-1}^{-1}A_{k}$を決定すると仮定する。次に$\mathcal{T}(0,4)$(3. 1),$(k=2, \ldots,g-2)$の点$S_{2}=(E_{1}\cdots E_{g-3}A_{g-2}, B_{g-2}A_{g-2}^{-1}B_{g-2}^{-1}, A_{g-1}, B_{g-1}A_{g-1}^{-1}B_{g-1}^{-1}E_{g})$

,

を考える。
$d_{g-2}=trE_{1}\cdots E_{g-3}A_{g-2}$$d_{g-1}=$tr,$B_{g-1}A_{g-1}^{-1}B_{g-1}^{-1}C_{g}$$a_{g-2}=trB_{g-2}A_{g-2}^{-1}B_{g-2}^{-1}$,$y_{g-1}=-trE_{1}\cdots E_{g-3}A_{g-2}A_{g-1}$

は$S_{2}$$x_{g}=-$

,

tr

,

$a_{g-1}=trA_{g-1}$$B_{g-2}A_{g-2}^{-1}B_{g-2}^{-1}A_{g-1}$

(3.2)

,

$f_{g-2}=-tr(E_{1}\cdots E_{g-3}A_{g-2})(B_{g-2}A_{g-2}^{-1}B_{g-2}^{-1})$を決定する。 ここで$d_{g-1}=$ $tr$ $E_{1}\cdots E_{g-2}A_{g-1}$と書けること，および$d_{g-2}$,$f_{g-2}=-$ $tr$ $E_{1}\cdots E_{g-2}$ ,と $f_{g-2}$ は (3.1) を用いて表わされることに注意する (下の (D), (F) 参

照 . さらに $d_{g-1}$ は
$)$

(D)

$d_{g-1}$

次にについての 2 次方程式翫 $(d9- 2,a_{g-2}, a_{g-1}, d_{g-1}, x_{g-1},y_{g-1}, f_{g-2})=0$ の唯一の正の解．

$\mathcal{T}(1,2)$の点 $S_{3}=(A_{g-1}, B_{g-1}, E_{g},E_{1}\cdots E_{g-2})$ を考える。
$a_{g-1}$$d_{g-1}$

は$S_{3}$

(F)

を決定し，

$f_{g-1}$$f_{g-1}$,,$b_{g-1}$,$w_{g-1}=$$f_{g-1}=e_{9}=-trE_{1}\cdots E_{g-1}$$tr$ $A_{g-1}C_{9}$,,$f_{g-2}$(3.3)$z_{g-1}=trA_{g-1}B_{g-1}$

はについての 2 次方程式 $F_{12}(a_{g-1},b_{g-1}, f_{g-1}, f_{g-2},d_{g-1},w_{g-1}, z_{g-1})=0$ の唯一の正の解．

が生成する群の中に (共役を除いて) 共通の type $(0,3)$ の部分群が存在する。必要ならば，ととを選び直す。 またと表現を与えるように修正してその部分群上で同じ$S_{1}$$S_{2}$$S_{1}\cup S_{2}$$S_{2}$$S_{1}$$SL(2, \mathbb{R})$$S_{3}$

が生成する群についても同じことを行なう。このとき，

Proposition 3.1 $6g-9$ 個の tmce functions $ak,$$2,$$\ldots,g-2)$

次には$\mathcal{T}$$\mathcal{T}(1,2)$$b_{k},$$z_{k}(k=1,2, \ldots,g-1),$$x_{k},$$y_{k},$$w_{k}(k=$(9–1, 1) の点 $(A_{1}, B_{1}, \ldots, A_{g-1}, B_{g-1}, E_{g})$ を決定する．

の点 $S_{4}=(A_{g}, B_{9}, E_{1}\cdots E_{g-2}, E_{g-1})$ を考える．

$u_{g}=trE_{1}\cdots E_{g-2}A_{g}B_{g}A_{9}^{-1}$$z_{g}=trA_{9}B_{9}$,,$v_{g}=trE_{1}\cdots E_{g-2}A_{g}B_{g}^{2}$$f_{g-2}=-trE_{1}\cdots E_{g-2}$,$w_{9}=trE_{1}\cdots E_{g-2}A_{g}B_{9}$,,$e_{g-1}=-trE_{g-1}=a_{g-1}b_{g-1}z_{g-1}-a_{g-1}^{2}-b_{g-1}^{2}-z_{g-1}^{2}+2$$f_{g-1}=-trE_{1}\cdots E_{g-1}$

,

67
A B)$
を一意に定めるので，これらを Proposition 31 の trace ffinctions に加えて $(A_{1}, B_{1}, \ldots,$traceg$を決定することができる。 実際に新たに加わるのはなので全部で $6g-5$ 個のffinctions よるパラメータを得る。 それらは
をみたす。

は

$S_{4}$.

$u_{g},$$w_{g},$$V_{9},$$z_{g}$$[^{\vee}$$G_{12}(u_{g},v_{9}, z_{g}, w_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}, f_{g-2},e_{g-1}, f_{g-1})=0$

種数 3 のとき$\mathcal{T}(3,0)$の点 $(A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}, A_{3}, B_{3})$ は$a_{1}=trA_{1}$,$b_{1}=trB_{1}$,$z_{1}=trA_{1}B_{1}$$a_{2}=trA_{2}$,$b_{2}=trB_{2}$,$z_{2}=$$x_{2}=-$$u_{3}=$trtr$B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}$$E_{1}A_{3}B_{3}A_{3}^{-1}$,$y_{2}=-$,$v_{3}=$trtr$A_{1}A_{2}$,tr$A_{2}B_{2}$,,$w_{2}=trA_{2}E_{3}$$E_{1}A_{3}B_{3}^{2}$

,

,

(3.4)

$w_{3}=trE_{1}A_{3}B_{3}$,$z_{3}=trA_{3}B_{3}$の 13 個によって決まる。今，補助的に$e_{i}=-trE_{i}=a_{i}b_{i}z_{i}-a_{i}^{2}-b_{i}^{2}-z_{i}^{2}+2,$$e_{3}=-trE_{1}E_{2}=-trE_{3}$を定めると，これらはそれぞれ,$d_{2}=$$i=1,2$

tr $A_{2}E_{1}=trB_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}E_{3}$ .

$F_{12}(a_{1}, b_{1}, a_{2}, d_{2}, x_{2}, y_{2}, z_{1})$であり，(3.4) のパラメータはと$F_{12}(a_{2}, b_{2}, e_{3}, e_{1}, d_{2}, w_{2}, z_{2})$$G_{12}(u_{3},v_{3}, z_{3},w_{3}, e_{1}, e_{2},e_{3})=0$

の正の根

.

をみたす。

4

種数 2 の閉曲面の写像類群

4.1$g=2$ の場合$\mathcal{T}(2,0)$の点を 2, $0)$ 型 Fuchs 群 $G$ の標準生成系 $E=(A, B, C, D)([A, B][C,D]=1)$ の同値類で表す。
$($

ただし sgn $(A, B, C, D)=(+, +, +, +)$ とする。 7 つの trace functions $a=$ tr $A,$ $b=$ tr $B,z=$ tr $AB$ ,$u=-trACDC^{-1},$ $v=$ -tr $ACD^{2},$ $w=$ -tr $ACD,$ $t=$
$K=abz-a^{2}-b^{2}-z^{2},$ $s=uvt-u^{2}-v^{2}-t^{2}$

tr $CD$ は$\mathcal{T}(2,0)$を$\mathbb{R}_{>2}^{7}$$awt+a^{2}+w^{2}+t^{2}+K^{2}+S^{2}+4-w\sqrt{(K^{2}+4)(S^{2}+4)}=0$ ,4.2に埋め込む。

とおくと次の恒等式が成立する。

(4.1)

種数 2 の Fuchs 群上のトレース多項式

群 $G$ の任意の元のトレースを $a,$$b,$ $z,$$u,$ $v,$ $w,$ $t$を用いて表わしたい。 そのためには補題 21 により$c=x_{1}=trC$ and $d=x_{2}=trD,$ $x_{3}=trAC,$ $x_{4}=trAD,$ $x_{5}=trBC,$ $x_{6}=trBD,$ $x_{7}=trABC$ ,$xs=trABD,$ $x_{9}=trBCD$ および $x_{10}=trABCD$ を $a,$ $b,$ $z,$ $u,$ $v,$ $w,$ をもちいて表わしておけば
$t$

よい。

(1) $[A, B]=[C, D]^{-1}$ と (21) を用いて
$abz-a^{2}-b^{2}-z^{2}=cdt-c^{2}-d^{2}-t^{2}$

.

(4.2)

は離散だから tr $[A, B]=a^{2}+b^{2}+z^{2}-abz-2<-2([17,33D])$ . 以下 $K=\sqrt{abz-a^{2}-b^{2}-z^{2}}$
とおく。

$G$

68
(2) $BAB^{-1}=CDC^{-1}D^{-1}A$ と基本恒等式 (3) より.

$a=$ $tr$ $(ACD)\cdot C^{-1}\cdot D^{-1}=-wt+cx_{3}-ud+wcd-a$

したがって

(4.3)

$2a+wt-cx_{3}+ud-wcd=0$(3) $v=-$ tr $ACD\cdot D=-(trACDtrD- trAC)=wd+x_{3}$ だから

これと (43) を用いて

$x_{3}=v-dw$ .

(4.4)$2a+wt-cv+ud=0$ .

(4.5)(4) 次が成り立っ:$-u$

よって (4.3) から$d=u^{-1}$ $(c$り$=$$trA\cdot CD\cdot C^{-1}=ad+t(trAC^{-1})-wc-atc-x_{4}$$=$$ad+t(ac-x_{3})-wc-atc-x_{4}$ ,$x_{4}=u+ad-tx_{3}-wc=u+ad-tv+twd-cw$ .

(4.6)$-2a-wt)(4.5)$ を (4.2) に代入して$(uvt-u^{2}-v^{2})c^{2}-(2a+wt)(tu-2v)c-(K^{2}+t^{2})u^{2}-(2a+tw)^{2}=0$.

この等式を C の 2 次方程式と見なすと$uvt-u^{2}-v^{2}=$ $(-tr[CD^{-1}C^{-1}A,ACD^{2}]-2)+t^{2}>t^{2}>0$$([17, 33 D])$ と一 $(K^{2}+t^{2})u^{2}-(2a+tw)^{2}<0$から必ず負の根をもち，よって 2 より大きい根は存在すれば一意であることがわかる。 $c=trC>2$ だから$c= \frac{(2a+tw)(ut-2v)+u\sqrt{}\overline{(2a+tw)^{2}(t^{2}-4)+4(K^{2}+t^{2})(S^{2}+t^{2})}}{2(S^{2}+t^{2})},$ $d= \frac{cv-2a-wt}{u}$

ここで $S=\sqrt{u\text{励}-u^{2}-v^{2}-t^{2}}$ . ここで

$($

(4.7)

4.1 より $(2a+tw)^{2}(t^{2}-4)+4(K^{2}+t^{2})(S^{2}+t^{2})$ は次式
$)$

に等しい。
$((t^{2}-4)w+2 \sqrt{(S^{2}+4)(K^{2}+4)})^{2}=((t^{2}-4)w+\frac{2(awt+a^{2}+t^{2}+K^{2}+S^{2}+4)}{w})^{2}$.

よって (4.7) より$c= \frac{(K^{2}+S^{2}+t^{2}+a^{2}+4)u+w(2atu-2av-uw+t^{2}uw-tvw)}{w(S^{2}+t^{2})}$ ,(4.8)$d= \frac{(K^{2}+S^{2}+t^{2}+a^{2}+4)v+w(2au+twu-vw)}{w(S^{2}+t^{2})}$69
続いて (4.4), (4.6) と (4.8) より $x_{3}=$ tr $AC$ と $x_{4}=trAD$ の $(a, b, z, u, v, w, t)$ による表現を得る。
$x_{3}=- \frac{uw(2a+tw)+v(4+a^{2}+K^{2}-w^{2})}{S^{2}+t^{2}}$(4.9)$x_{4}=(ad+u-cw)+t \frac{(4+a^{2}+K^{2}-vw^{2})v+w(2au+tuw)}{S^{2}+t^{2}}$(5) 基本トレース恒等式により tr $B^{-1}CD=bt-x_{9}$ ,$tr$$B^{-1}(CDC^{-1})=bd-trBCDC^{-1}=bd-(bd-x_{6}-x_{6}t+cx_{9})=x_{6}+tx_{5}-cx\mathfrak{g}$.

よって $AB^{-1}A^{-1}=B^{-1}CD\cdot C^{-1}\cdot D^{-1}$ から
$b$

$=$

$(trB^{-1}CD)t+ctrB^{-1}C+dtrB^{-1}CD\cdot C^{-1}-(trB^{-1}CD)$ $cd$$=$

(bt-x ) $(t-cd)+c(bc-x_{5})+d(x_{6}+tx_{5}-cx_{g})-b$ .

-

$b$

$g$

が従い，さらに次が成り立っ。
(dt–c) $x_{5}+dx_{6}-tx_{g}=2b-bt^{2}+bcdt-bc^{2}$ .
(6) 基本トレース恒等式により tr $A^{-1}CD=at+w$ と

tr $B^{-1}A^{-1}\cdot C\cdot D$$=$$zt+ctrABD^{-1}+dtrABC^{-1}-zcd-$ tr $B^{-1}A^{-1}DC$$=$$zt+c(zd-x_{8})+d(zc-x_{7})-zcd-$ tr $B^{-1}A^{-1}DC$$=$$zt+cdz-dx_{7}-cx_{8}-$ tr $B^{-1}A^{-1}DC$.

を得る。 $B^{-1}A^{-1}DC=A^{-1}\cdot B^{-1}\cdot CD$ により$trB^{-1}A^{-1}DC$$=$$atrB^{-1}CD+btrA^{-1}CD+zt-abt-trB^{-1}A^{-1}CD$$=$$a(bt-x_{9})+b(at+w)+zt-abt$$-zt-cdz+dx_{7}+cx_{8}+trB^{-1}A^{-1}DC$

したがって次式を得る。

.

$dx_{7}+cx_{8}-m_{9}=-abt-bw+cdz$ .

(7) $B^{-1}CDC^{-1}=$ tr $AB^{-1}A^{-1}D$ により$=$$bd-trBCDC^{-1}$$=$$bd-$ $(trBtrD-$ tr $BD-trB$ Ctr $CD+$ tr $CtrBCD)=x_{6}+tx_{5}-cx_{9}$$trB^{-1}(CDC^{-1})$は次に等しい。
$trAB^{-1}A^{-1}D$$=$$bd-trDABA^{-1}$$=$$bd-$ $(trBtrD- trBD-trBAtrAD+ trAtrABD)=x_{6}+zx_{4}-axs$

したがって$tx_{5}+ax_{8}-cx_{9}=zx_{4}$(8) $BA^{-1}B^{-1}C=trA^{-1}DCD^{-1}$.

により$ac-trBAB^{-1}C=$ $tr$ $BA^{-1}B^{-1}C=trA^{-1}DCD^{-1}=ac-trADCD^{-1}$ ,.

70
したがって $trCBAB^{-1}=trADCD^{-1}$ .
$trCBAB^{-1}$$=$$trCtrA-$ tr $AC-$ tr $BCtrAB+$ tr $BtrCBA$$=$$ac-x_{3}-zx_{5}+b(trCtrBA+ trBtrCA+trAtrCB-trAtrBtrC-trABC)$$=$$ac-x_{3}-zx_{5}+bcz+b^{2}x_{3}+abx_{5}-ab^{2}$

$c$ -

$bx$

7

と
$trADCD^{-1}$

$=$

$=$

$=$

tr $AtrC-trAC-$ tr $ADtrDC+trDtrADC$$ac-x_{3}-tx_{4}+d(trAtrCD+trDtrAC+trCtrAD- trAtrDtrC- trACD)$$ac-x_{3}-tx_{4}+adt+d^{2}x_{3}+cdx_{4}-ad^{2}c+wd$

により，次式を得る。

(

$z$

-

$ab$

) $x_{5}+bx_{7}=(b^{2}-d^{2})x_{3}+(t-cd)x_{4}+bcz-ab^{2}c-adt+ad^{2}$

$c$ -

$wd$

.

(9) $C^{-1}BA=trDC^{-1}D^{-1}AB$ を用いて
$trC^{-1}BA$$=$$zc-trCBA$$=$$zc-(cz+bx_{3}+ax_{6}-abc-x_{7})=-bx_{3}-ax_{5}+abc+x_{7}$はtr $(DC^{-1}D^{-1})AB$$=$$cz-trABDCD^{-1}$$=$$cz-(trABtrC-trABC-trABDtrCD+trDtr(AB\cdot D\cdot C))$$=$$x_{7}+tx_{8}-d(zt+dx_{7}+cxs-zcd-x_{10})$.

に等しいことがわかる。 よって次式を得る。
$-ax_{5}+d^{2}x_{7}+(cd-t)x_{8}-dx_{10}=-abc+bx_{3}-dtz+cd^{2}z$.

(10) $D^{-1}C^{-1}B=C^{-1}D^{-1}ABA^{-1}$ を用いて $trD^{-1}C^{-1}B=bt-Xg$ と

tr $C^{-1}D^{-1}ABA^{-1}$$=$$tb-$ tr $(DC)ABA^{-1}$$=$$tb-(tb-trDCB-trDCAtrAB+ trAtrDCAB)$$=$$(dx_{5}+cx_{6}+bt-bcd-Xg)+z(dx_{3}+cx_{4}+at-acd+w)$$-a(zt+dx_{7}+cx_{8}-zcd-x_{10})$が成り立ち，次式を得る:$dx_{5}+cx_{6}-adx_{7}-acxs+ax10=bcd-zdxs-zcx_{4}-zw$ .

以上により，次の連立方程式が得られた:$M=$$(z-abdt_{0}c-adt$$00d00c$$-add^{2}0d0b$$cd^{0}-t-aca0c$$-a-t\overline{000}^{c}$$\frac{0000}{a}d),\tilde{x}=(\begin{array}{l}x_{5}x_{6}x_{7}x_{8}x_{g}x_{10}\end{array})$

71
および

$\vec{v}=(\begin{array}{l}2b-bt^{2}+bcdt-bc^{2}-abt-bw+cdzzx_{4}(b^{2}-d^{2})x_{3}+(t-cd)x_{4}+bcz-ab^{2}c-adt+acd^{2}-wd-abc+bx_{3}-dzt+cd^{2_{Z}}bcd-dzx_{3}-czx_{4}-zw\end{array})$を定めると$M\vec{x}=\overline{v}$,. 行列 $M$ は $a=c$ のときには正則ではないが (4.3) と (4.6) を用いて次を得る :砂 $5= \frac{c(2b+a^{2}b-2az+bK^{2})-tuz+dw(ab+z+zK^{2})-v(ab+zK^{2})}{K^{2}+a^{2}}$,$x_{6}= \frac{2(adz-bd)-u(ab+K^{2}z)+tv(ab+z+K^{2}z)+(c-dt)w(ab+z+K^{2}z)}{K^{2}+a^{2}}$ ,$x_{7}= \frac{-2cz-btu+avz+wd(b-az)}{K^{2}+a^{2}}$,(4.10)$x_{8}= \frac{d(K^{2}+a^{2}+2)+auz+vt(b-az)+w(bc-bdt-acz+adtz)}{K^{2}+a^{2}}$ ,$Xg= \frac{t(2b+a^{2}b-2az+bK^{2})+dvz+w(ab+K^{2}z)+u(cz-dtz)}{K^{2}+a^{2}}$$x_{10}= \frac{-2tz+b(c-dt)u+bdv-awz}{K^{2}+a^{2}}$

このように

5
$G$

$x_{1},\ldots,$$x_{10}$は $a,b,$ $z,u,$ $v,$ $w,$

$t$

,

.

の有理関数である。

写像類群
を $(2,$ $-)$ 型の Fuchs 群，$E=(A, B, C, D)$ をその標準生成系 (すなわち $G$ のマーキング) とする。

次のマーキングの入れ替えを定める:$\omega_{1}(E)=(AB^{-1}, B, C, D)$$\omega_{4}(E)=(A, B,CD^{-1}, D)$

各吻は

$G$

の自己同型

$\omega j$,,$\omega_{2}(E)=(B,BA, C, D)$ ,$\omega_{3}(E)=(B^{-1}CA, B, C, B^{-1}CD)$$(0_{S}(E)=(A, B, C, DC)$に拡張できる。 下図はいちばん左の列の元の吻による像を示す。

(51)

72
種数 2 の閉曲面の写像類群を$\omega_{*}$, ...,$\omega s*$とする。
は次の関係式をみたす ([1, Theorem 4.8]):$\omega j*\in \mathcal{M}C_{2}$$\mathcal{M}C_{2}$$\omega_{i*}\omega_{j*}=\omega_{j*}\omega_{i*}$を$\omega j$

によって誘導される写像類とする。

if $|i-j|\geq 2,1\leq i,j\leq 5$$\omega_{j*}\omega_{j+1n}\omega_{j*}=\omega_{j+1*}\omega_{j*}\omega_{j+1*}(j=1,2,3,4)$,$(\omega_{1*}\omega_{2*}\omega_{3*}\omega_{4*}\omega_{5*})^{6}=1$.

$\omega_{1c}\omega_{2*}\omega_{3*}\omega_{4*}\omega_{5*}^{2}\omega_{4*}\omega_{3*}\omega_{2n}\omega_{1*}=1$の各点を固定する。
最後の式は超楕円的対合 (hyperellptic involution)J の作用でありはを生成する。 $(ABCD_{j})=\omega(A, B, C, D)$ とおいて...,$\mathcal{T}(2,0)$$\omega_{5*}$$aj=trA_{j}$,$b_{j}=trB_{j}$$vj=-trA_{j}C_{j}D_{j}^{2}$

を $a,$$b,$$\omega_{1*}$$\mathcal{M}C_{2}’=\Lambda tC_{2}/(J\rangle$,,$Zj=$ tr $A_{j}B_{j}$ ,$wj=-trA_{j}C_{j}D_{j}$$z,u,v,w,t$ によって表わすと．

$\mathcal{M}C_{2}’$(Case of$\omega_{1*}$の,$\mathbb{R}^{7}$$t_{j}=$

tr$uj=-trA_{j}C_{j}D_{J}C_{j}^{-1}$上の有理変換による群による表現が得られる。

) 基本トレース恒等式を用いて $trAB^{-1}=$ tr $AtrB-trAB=ab-z$ ,$w_{1}=-trAB^{-1}CD$$u_{1}=-trAB^{-1}CDC^{-1}$

$=$

$=$

$=$

$=$

$-trBtrACD+trABCD=bw+x_{10}$ ,$-trBtrACDC^{-1}+tr(AB)CDC^{-1}$$-b(trAtrD-trAD- trACtrCD+trCtrACD)$$+(trABtrD-trABD- trABCtrCD+ trCtrABCD)$$-abd+$ bcut $+dz+btx_{3}+bx_{4}-tx_{7}-x_{8}+cx_{10}$ ,および$v_{1}=-trAB^{-1}CD^{2}$$=$$-trBtrACD^{2}+trABCD^{2}$$=$$-b(trACDtrD-trAC)+(trABCDtrD-trABC)$$=$$bdw+bx_{3}-x_{7}+dx_{10}$.

を得る。 したがって$\omega_{1*}(a, b, z, u,v, w,t)=(ab-z,b, a,u_{1},v_{1},w_{1},t)$(Case of$\omega_{2*}$) trABA$=$$\omega_{3*}$)$\omega_{3*}$.

trABtrA–trB $=za-b$ だから$\omega_{2*}(a, b, z, u,v,w, t)=(a, z, az- b, u,v,w, t)$(Caae of.

の計算がいちばん面倒である :$a_{3}=trB^{-1}CA=$ tr $BtrAC-$ tr $ABC=bx_{3}-x_{7}$$w_{3}$,$C_{j}D_{j}$.

tr $(B^{-1}C)(AC)(B^{-1}C)D=-$ tr $(AC)(B^{-1}C)D(B^{-1}C)$

$=$

$-$

$=$

$-trACB^{-1}CtrB^{-1}CD-trACD+trACtrD$$=$$-(trBtrAC^{2}-trACBC)(trBtrCD-trBCD)+w+dxs$$=$$-[b(cx_{3}-a)-(x_{3}x_{5}+z-ab)](u-x_{g})+w+dx_{3}$$=$$(x_{3}x_{5}+z-bcx_{3})(bt-x_{g})+w+dx_{3}$

.

,

73
$u_{3}$$v_{3}$$=$$-tr(B^{-1}C)(AC)(B^{-1}C)(DC^{-1})=-tr(AC)(B^{-1}C)(DC^{-1})(B^{-1}C)$$=$$-trACB^{-1}$ Ctr $B^{-1}CDC^{-1}-$ tr $ACDC^{-1}+$ tr $ACtrDC^{-1}$$=$$-(trACtrB^{-1}C-trAB)(trBtrD-trBCDC^{-1})+u+x_{3}$( $cd$$=$$-(x_{3}(bc-x_{5})-z)[bc-(bd-x_{6}-tx_{5}+cx_{9})]+u+x_{3}$ ( $cd$$=$$(x_{3}x_{5}+z-bcx_{3})(x_{6}+tx_{5}-cx_{9})+u+x_{3}$ ( $cd$

$t$

$=$

$(bt-x_{9})[(x_{3}x_{5}+z-bcx_{3})(bt-xg)+w+dx_{3}]+(bc-x_{5})x_{3}-z$$a_{3},$$x_{3},$.

tr $CB^{-1}CD=$ tr $CB^{-1}trCD-$ tr $BD=(bc-x_{5})t-x_{6}$ .

$v_{3}$とは負になる。 よって符号を入れ替えて次を得る ;$t_{3}$.

) この場合は容易に次を得る :$\omega_{4*}$$\omega_{5*}$)$-trB^{-1}CAC(B^{-1}CD)^{2}=-trB^{-1}CD$tr $B^{-1}CACB^{-1}CD+trB^{-1}CAC$$\omega_{4*}(a, b, z, u, v, w, t)=(a, b, z, u, w, -x_{3}, c)$(Case of)).

$\omega_{3*}(a, b, z, u, v, w, t)=(-a_{3},b, -x_{3},u_{3}, -v_{3},w_{3}, -t_{3})$(Case of

$t$

$t$

$=$

$t_{3}=$

この場合は

-

-

-

.

) $-trACDC=-trCtrACD+$ tr $ACDC^{-1}=cw-u$ ,$=$$v_{5}$$-trAC(DC)^{2}=-trCDtrACDC+trAC$$=$$-t(trCtrACD-trACDC^{-1})+x_{3}$$=$$\alpha i_{J}t-tu+x_{3}$,と tr $CDC=ct-d C$ よって.

$\omega_{5*}(a, b, z, u, v, w, t)=(a, b, z, w,cwt-tu+x_{3}, cw- u, ct- d)$

以上から次の結果を得る。

Theorem 5.1 写像類$\omega_{1*},$$\omega_{2*},$$\omega_{3*},$$\omega_{4*},$$\omega_{5*}$は $a,$ $b,$ $z,u,$ $v,$ $w,$$t$の有理変換として次の表現をもっ :$\omega_{1*}(a, b, z, u,v, w,t)=(ab-z, b, a,u_{1},v_{1}, w_{1}, t)$$\omega_{2*}(a, b, z, u, v, w, t)=(a, z, az- b, u, v, w, t)$$\omega_{3*}(a, b, z, u, v, w, t)=(-bx_{3}+x_{7}, b, -x_{3}, u_{3}, -v_{3}, w_{3}, -bct+x_{5}t+x_{6})$(5.2)$\omega_{4*}(a, b, z, u, v,w,t)=(a, b, z, u, w, -x_{3}, c)$$\omega_{5*}(a, b, z, u, v,w, t)=(a, b, z, w, \alpha vt-tu+x_{3}, cw- u, ct- d)$

ここで $c,$ $d,$$x_{1}=c,\ldots,$$x_{3},$$x_{10}$$x_{4},$$x_{5},$$x\circ$と$x_{7}$は (4.8),(4.9) と,(410) で与えられている。

はすべて $(a, b, z, u, v, w, t)$ の有理変換であるから，$\omega jn(j=1, , \ldots, 5)$

理変換である。

の逆変換も有74
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