数理解析研究所講究録
第 1795 巻 2012 年 189-203

189

A Pfaffian analogue of the Hankel
determinants and the Selberg integrals
Masao ISHIKAWA*

and Jiang ZENG \dag er

2010 Mathematics Subject Classification: Primary 05A30
Secondary 05A15,15A15,33D45.
Keywords: Hankel determinants, Pfaffian decomposition, Pfaffian of
Catalan numbers, moments of orthogonal polynomials.

概要

ここでは，M. Ishikawa, H. Tagawa and . Zeng, “Pfaffian decomposition and a Pfaffian analogue of q-Catalan Hankel determinants“, arxiv: 1011.5941 の中で証明した q-Catalan Hankel Pfaffian を de Bruijn の公式と Askey の q-Selberg 積分公式を使った別証明を与える．また，同じ手法を用いることにより，上記論文の中で$J$述べた予想の一部に証明も与える．

1

Introduction

この記事では，[15] の中で証明した q-Catalan Hankel Pfaffian を deBruijn の公式と Askey の q-Selberg 積分公式を使った別証明を与える．
また，同じ手法を用いることにより，上記論文の中で述べた予想の一部に証明も与える．

*Department of Mathematics, University of the Ryukyus, Nishihara, Okinawa 9010213, Japan, ishikawa@edu.u-ryukyu.ac.jp\dagger Institut Camille Jordan, Universit\’e Claude Bernard Lyon 1, 69622 Villeurbannecedex, France, zeng@math.univ-lyonl. fr190Selberg の積分公式とは$S_{n}( \alpha, \beta, \gamma)=\int_{[0,1|^{n}}\prod_{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha-1}(1-t_{i})^{\beta-1}\prod_{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma}dt$$= \prod_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma(\alpha+j\gamma)\Gamma(\beta+j\gamma)\Gamma(1+(j+1)\gamma)}{\Gamma(\alpha+\beta+(n+j-1)\gamma)\Gamma(1+\gamma)}$

.

(1.1)

と呼ばれるものである．また，1987 年に青本和彦により発見されていたSelberg 型積分$\int_{[0,1]^{n}}(\prod_{i=1}^{k}t_{i})\prod_{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha-1}(1-t_{i})^{\beta-1}\prod_{1\leq i<J\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma}dt$$=S_{n}( \alpha, \beta, \gamma)\prod_{j=1}^{k}\frac{\alpha+(n-j)\gamma}{\alpha+\beta+(2n-j-1)}$

.

(1.2)

も有名である．この記事の中では述べないが，この記事の手法と，青本和彦にる Selberg 型積分を組み合わせて新しい Hankel 型 Pfaffian の公式
を得ることもできる．

この記事では，q-series に関する以下の標準的な記法を使う (see [7, 9]):
任意の整数

$n$

に対して

$(a;q)_{\infty}= \prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^{k})$,$(a;q)_{n}= \frac{(a;q)_{\infty}}{(aq^{n};q)_{\infty}}$.

ここで $(a;q)_{n}$ は q-shifted factorial といわれる．また，以下の省略記法

も用いる:

,

$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r};q)_{\infty}=(a_{1};q)_{\infty}(a_{2};q)_{\infty}\cdots(a_{r};q)_{\infty}$$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\cdots(a_{r};q)_{n}$q-超幾何級数$r+1\phi_{r}$.

は$r+1\phi_{r}[^{a_{1},a_{2},.\cdot.\cdot.\cdot,a_{r+1}}b_{1},,b_{r};q,$ $z]= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_{1},a_{2},..\cdot.\cdot.’ a_{r+1};q)_{n}}{(q,b_{1},,b_{r};q)_{n}}z^{n}$によって定義される．

.

191

Pfaffian の和公式

2

行列 $A=(a_{i,j})_{i,j\geq 1}$$($

または $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n})$ が歪対称であるとは，$j\leq n)$ に対して成り立っ
幻がすべての $j\geq 1$ または
歪対称行列
が与え
ことである． を偶数として，られたとき， のパフィアン ([29, 30])$i,$$a_{j},\iota=-a$$1\leq i,$$($$A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$$n\cross n$

$n$

$A$

Pf

$(A)= \sum\epsilon(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{n-1}, \sigma_{n})a_{\sigma_{1},\sigma}\ldots a_{\sigma_{n-1},\sigma_{n}}2$

(2.1)

,

$[n]:=\{1,2, \ldots, n\}$ の 2-元集
によって，定義される．ここで左辺の和は，
合への分割
を動き，
$\sigma=\{\{\sigma_{1}, \sigma_{2}\}, \ldots, \{\sigma_{n-1}, \sigma_{n}\}\}$$\epsilon(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{n-1}, \sigma_{n})$

は置換
(2.2)

$(\begin{array}{lllll}1 2 \cdots n-1 n\sigma_{l} \sigma_{2} \cdots \sigma_{n-l} \sigma_{n}\end{array})$の符号を表す． の 2-元集合への分割
l-factor という．
$[n]$$\sigma$を perfect matching または$(u, v)$ が頂点の組$D=(V, E)$ を cycle を持たない digraph とする．

を
から
のとき，
に向かう道全体の集合とする． を正の整数とするとき，-頂点とは $D$ の 個の頂点の組とする．また $u=$
への $n-$と $v=(v_{1}, \ldots, v_{n})$ が -頂点であるとき， から$\mathscr{P}(u, v)$

$u$

$n$

$v$

$n$

$n$

$(u_{1}, \ldots, u_{n})$

道とは
て

$n$

$u$

$n$

$v$

個の道の組 $P=(P_{1}, \ldots, P_{n})$ であって，に対し$i=1,$となることである．-道 $P=(P_{1}, \ldots, P_{n})$ が交わ$\ldots,$$P_{i}\in \mathscr{P}(u_{i}, v_{i})$

$n$

$n$

らないとは，任意の異なる$i\neq$に対して君と乃が共通の頂点を持たへの -道全体の集合を表によってからないことである．
す，またによって， から への交わらない -道全体がなす$u=(u_{1}, \ldots, u_{m})$ と $v=(v_{1}, \ldots, v_{n})$ をの部分集合を表す，の -頂点の集合とするとき， がと整合であるとは，$i<i$ かつへのからと$k<l$ であるならば， からへの道
道が必ず交わることである．置換に対して， が$\mathscr{P}(u, v)$$\mathscr{P}_{0}(u, v)$

$u$

$u$

$v$

$n$

$v$

$n$

$D$

$\mathscr{P}(u, v)$

$u$

$n$

$u_{i}$$Q\in \mathscr{P}(u_{j}, v_{k})$

$n$

-頂点

$(v_{\pi(1)}, \ldots, v_{\pi(n)})$$v_{l}$$v$$D$$P\in \mathscr{P}(u_{i}, v_{l})$$u_{j}$$\pi\in S_{n}$$v_{k}$$v^{\pi}$$Tn$ -道 $P$ の重み $w(P)$を意味するとする．
は，各道の重みの積として定義され，各道の重みは，それをなす各辺の重みの積として定義される．ここでグラフの各辺には重みが与えられているとする．したがって $u=(u_{1}, \ldots, u_{n})$ と $v=(v_{1}, \ldots, v_{n})$ が -頂点のとき，n道の母関数 $F(u, v)=$ GF $[ \mathscr{P}(u, v)]=\sum_{P\in 9(u,v)}w(P)$ と，交わらないを定義する-道の母関数 $F_{0}(u, v)=$ GF
$n$

$n$

$[ \mathscr{P}_{0}(u, v)]=\sum_{P\in \mathcal{P}_{0}(u,v)}iw(P)$192
ことができる．特に $(u, v)$ が任意の頂点の組のとき，$h(u, v)= GF[\mathscr{P}(u, v)]=\sum_{P\in g(u.v)}w(P)$と書くことにする．このとき，次の定理が成り立つ．
定理 2.1. 2 -頂点 $v=(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{2n})$ が与えられたとき，これらの $2n$全体の集合をを結ぶ交わらない -道個の頂点
ノダ (v) $=\Lambda’(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{2n})$ によって表す．このとき$n$$v_{1},$$v_{2},$$\ldots,$$n$$v_{2n}$$\sum_{\pi\in S_{2n}}$

GF$[\Lambda’(v^{\pi})]=$Pf$P_{1},\ldots,$$P_{n}$(2.3)$(h(\tau_{i}’, \iota_{j}))_{1\leq i<j\leq 2n}$が成立する．

ここでは，この証明は行わないが，この定理から次のパフィアンの和公式が証明できる．このパフィアンの和公式は，のちに de Bruijn の定理を証明するのに使う．

定理 2.2. ([16, 17])$n$と $N$ を $n\leq N$ である正整数とし， を偶数とす$n$る．

$H=(h_{i,j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq N}$$N$

を任意の $n\cross N$ 行列とし，$A=(\alpha_{i,j})_{1\leq i,j\leq N}$を次の歪対称行列とする．このとき，次式が成り立つ．
$\sum$

Pf $(A_{I})\det(H_{I}^{[n]})=$ Pf $(Q)$ ,(2.4)$I\subset[N]$$\#\overline{I}=n$ここで，歪対称行列$Q$

は $Q=(Q_{i,j})=HAH^{T}$ によって定義され，その$(i, j)$ 成分は$Q_{i,j}= \sum_{1\leq k<\downarrow\leq N}\alpha_{k,l}\det(H_{k,l}^{i,j})$,$(1 \leq i, j\leq n)$(2.5)

によって与えられる．

次の命題は，実際にパフィアンを計算するときに便利なので，ここに引用しておく [16,17].
$B=(b_{i,j})_{i,j\geq 1}$
命題 2.3.
を任意の数列とし を正整数とする．
を次によって成分が定義される歪対称行列とする．
$\{\alpha_{k}\}_{k\geq 1}$$n$$b_{i,j}=\{\begin{array}{ll}\alpha_{i} if j=i+1 for i\geq 1,-\alpha_{j} if i=j+1 for j\geq 1,0 otherwise.\end{array}$

(2.6)

193
$I=(i_{1}, \ldots, i_{2n})$Pf

を $1\leq i_{1}<\cdots<i_{2n}$ を満たす添字集合とするとき，$(B_{I})=\{\begin{array}{ll}\text{垣}kn=1\alpha_{i_{2k-1}} if i_{2k}=i_{2k-1}+1 for k=1, ...

",0 otherwise,\end{array}$(2.7)

が成り立つ．

3

De Bruijn の公式と Hankel Pfaffians$0$からまでの q-Jackson 積分は$a$$\int_{0}^{a}f(x)d_{q}x=(1-q)a\sum_{n=0}^{\infty}f(aq^{n})q^{n}$ .

に、 よって定義され，この和は $|q|<1$ のとき絶対収束する． を閉区間$\mu$上の任意の測度とする，すなわち，ある weight function に対して
$d_{q}\mu(x)=w(x)d_{q}x$ と書ける．次の命題が de Bruijn の公式と呼ばれる:$[0, a]$$w$

命題 3.1.

$1\leq i\leq 2n$ に対して
を正の整数とし，
間 $[0, a]$ 上の連続関数とする．このとき$n$$\phi_{i}(x)$と$\int\cdots\int_{0\leq x_{1}<\cdots<x_{n}\leq a}\det(\phi_{i}(x_{j})|\psi_{i}(Xj))d_{q}\mu(x_{1})\ldots d_{q}\mu(x_{n})=$$\psi_{i}(x)$

Pf

を閉区

$(Q_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2n}$(3.1)
が成り立つ．ここで$Q_{i,j}= \int_{0}^{a}\{\phi_{i}(x)\psi_{j}(x)-\phi_{j}(x)\psi_{i}(x)\}d_{q}\mu(x)$であり，$(\phi_{i}(x_{j})|\psi_{i}(x_{j}))$

は第

$i$

(3.2)

行 $(1\leq i\leq 2n)$ が$(\phi_{i}(x_{1}), \psi_{i}(x_{1}), \ldots, \phi_{i}(x_{n}), \psi_{i}(x_{n}))$で与えられる $2n\cross 2n$ 行列である．

証明． と
$n$

$N$

$H=(h_{i,j})_{1\leq i\leq 21\leq j\leq 2N}n$ をを $n\leq N$ を満たす正整数とし，,$2N\cross 2N$ 歪対称行列 $A=(\alpha_{i,j})_{1\leq i<j\leq 2N}$ を
任意の $2n\cross 2N$ 行列とする．

$\alpha_{i,j}=\{\begin{array}{ll}1 if i is odd and j=i+1,0 otherwise,\end{array}$,

194
によって定義する．このとき，直接計算によって $Q=(Q_{i,j})=HAH^{T}$ の各成分は$h_{j,l}h_{i,l1=\sum_{k=1}^{N}}|_{h_{j,2k-1}}^{h_{i,2k-1}}$$h_{j,l}h_{i,l}|= \sum_{k=1}^{zv}|_{h_{j,2k-1}}^{h_{i,2k-1}}$$Q_{i,j}= \sum_{1\leq k<l\leq 2N}\alpha_{k,l}h_{j,k}h_{i,k}$$h_{j,2k}h_{i,2k}$となることがわかる．また $[2N]$ の任意の -元部分集合
$n$

$I$

,

に対して，命題 23 から，明らかに

Pf$(A_{I})=\{\begin{array}{ll}1 if I=\{2k_{1}-1,2k_{1}, \ldots, 2k_{n}-1,2k_{n}\},0 otherwise,\end{array}$となる．定理 22 を適用した後に $Narrow\infty$ とすると，$\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<<k_{n}}\ldots\det H_{2k_{1}-1,2k_{1},\ldots.2k_{n}-1,2k_{n}}=Pf(Q_{i,j})_{1\leq i<j\leq 2n}$(3.3)

が得られる．ここで$h_{i,2k}$$Q_{i,j}= \sum_{k=1}^{\infty}h_{j,2k-1}h_{i,2k-1}$$h_{j,2k}$である．(3.3) 式において $h_{i,2k-1}=(1-q)a\phi_{i}(aq^{k-1})w(aq^{k-1})q^{k-1}$ かつ$h_{i,2k}=\psi_{i}(aq^{k-1})$

とおくと$(1-q)^{n}a^{n} \sum_{0\leq k_{1}<k_{2}<<k_{n}}\ldots\det(\phi_{i}(q^{k_{j}})|\psi_{i}(q^{k_{j}}))\prod_{\nu=1}^{n}w(q^{k_{\nu}})q^{k_{\nu}}$$=Pf(Q_{ij}^{l})_{1\leq i<j\leq 2n}$

(3.4)

,

が得られる．ここで$\psi_{i}(aq^{k})$$w(aq^{k})q^{k}$$Q_{i,j}’=(1-q)a \sum_{k=0}^{\infty}\phi_{j}\phi_{i\{\begin{array}{l}aq^{k})aq^{k})\end{array}}$(3.5)$\psi_{j}(aq^{k})$これで望む式が証明された．

口系 3.2. $d_{q}\mu(x)=\eta f(x)d_{q}x$ を区間 $[0, a]$ 上の測度とし，$\mu_{i}=\int_{0}^{a}x^{i}d_{ql}\iota(x)$を，この測度の第$i$モーメントとする．このとき

Pf $((q^{i-1}- \oint^{-1})\mu_{i+j+r-2})_{1\leq i<j\leq 2n}$$= \frac{1}{n!}q^{(_{2}^{n})}(1-q)^{n}\int_{0}^{a}\ldots\int_{0}^{a}\prod_{i}x_{i}^{r+1}\prod_{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}\prod_{i<j}(qx_{i}-x_{j})(x_{i}-qx_{j})$$d_{q}\mu(x_{1})\ldots d_{q}\mu(x_{n})$が成り立つ．

.

(3.6)

195
証明．(3.2) 式において $\varphi_{i}(x)=q^{i-1}x^{i-1}$ かつ $\psi_{i}(x)=x^{i+r-1}$ とおくと，$Q_{i,j}=(q^{i-1}-q^{j-1}) \oint_{0}^{1}x^{i+j+r-2}d_{q}\mu=(q^{\iota-1}-q^{j-1})\mu_{i+j+r-2}$.

を得る．一方，(3.1) 式に同様の代入を行うと$\det(\phi_{i}(x_{j})|\psi_{i}(x_{j}))_{1\leq i\leq 2n,1\leq j\leq n}=\det(q^{i-1}x_{j}^{i-1}|x_{j}^{i-1})_{1\leq i\leq 2n,1\leq j\leq n}$$=q^{(_{2}^{n})}(1-q)^{n}(x_{1} \ldots x_{n})^{r+1}\prod_{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}\prod_{\iota<j}(qx_{i}-x_{j})(x_{i}-qx_{j})$を得る．ここで，最後の等号を示すにはヴァンデルモンド行列式(aj–ai) を使う．したがって$\det(a_{j}^{i-1})=$$\prod_{i<j}$

Pf $((q^{\iota-1}-q^{j-1})\mu_{i+j+r-2})_{1\leq i<j\leq 2n}$$=q^{(_{2}^{n})}(1-q)^{n} \int\cdots l_{0\leq x_{1}<\cdots<x_{n}\leq a}\prod_{i}x_{i}^{r+1}\prod_{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}$$\cross\prod_{i<j}(qx_{i}-x_{j})(x_{i}-qx_{j})d_{q}\mu(x_{1})\ldots d_{q}\mu(x_{n})$が証明された．示したい式は，この式の簡単な帰結である.

口系 3.3. $d\psi(x)=\psi’(x)dx$ を閉区間 $[a, b]$ 上の測度とする，また $\mu_{i}=$$\int_{a}^{b}x^{i}d\psi(x)$を，この測度の第 モーメントとする．このとき$i$

Pf $((j-i)\mu_{i+j+r-2})_{1\leq i<j\leq 2n}$
.

(3.7)

$xq]$

(4.1)

$= \frac{1}{n!}\int_{a}^{b}\ldots\oint_{a}^{b}\prod_{i}x_{i}^{r+1}\prod_{i<j}(x_{i}-x_{j})^{4}d\psi(x_{1})\ldots d\psi(x_{n})$が成り立っ．

4Selberg-Askey 積分公式
4.1

Little q-Jacobi 多項式

Little q-Jacobi 多項式 [9, 22] は$p_{n}(x;a, b;q)= \frac{(aq;q)_{n}}{(abq^{n+1};q)_{n}}(-1)^{n}q^{(_{2}^{n})_{2}}\phi_{1}[^{q^{-n},abq^{n+1}}aq1q,$196によって定義され，$J_{0}^{1}f(x)g(x)d_{q} \mu(x)=\frac{(aq;q)_{\infty}}{(abq^{2};q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(bq;q)_{k}}{(q;q)_{k}}(aq)^{k}f(q^{k})g(q^{k})$$= \frac{(aq;q)_{\infty}(bq;q)_{\infty}}{(abq^{2};q)_{\infty}(q;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(q^{k+1};q)_{\infty}}{(bq^{k+1};q)_{\infty}}(q^{\alpha+1})^{k}f(q^{k})g(q^{k}),$によって定義される内積に関して，直行多項式である．ここでする．よって測度は，$(4.2)$$a=q^{\alpha}$と,$w(x)= \frac{1}{1-q}\cdot\frac{(aq,bq;q)_{\infty}}{(abq^{2},q;q)_{\infty}}\cdot\frac{(qx;q)_{\infty}}{(bqx;q)_{\infty}}x^{\alpha+1}$

によって定義される重み関数によって与えられる．-二項定理により，little$q$q-Jacobi 多項式の第$n$モーメントは$\mu_{n}=.J_{0}^{1}x^{n}d_{q}\mu(x)=\frac{(aq;q)_{n}}{(abq^{2};q)_{n}}$$(n=0,1,2, \ldots)$(4.3)となる．q- ガンマ関数は$\Gamma_{q}(a)=\frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{a};q)_{\infty}}(1-q)^{1-a}$によって定義される$\mathbb{C}\backslash Z^{-}$

上の関数である．

$A_{n}(x, y;q)= \prod_{j=1}^{n}\frac{\Gamma_{q}(x+(j-1)k)\Gamma_{q}(y+(j-1)k)\Gamma_{q}(jk+1)}{\Gamma_{q}(x+y+(n+j-2)k)\Gamma_{q}(k+1)}$(4.4)

とおくとき，Askey [2] は，次のような Selberg 積分公式の q- アナログを予想し [2, Conjecture 1], Habsieger [12] と Kadell [19, Theorem $2;l=m=0$]

によって，独立に証明された，
現在では，この式は Askey-Habsieger-Kadell の公式として知られる．
$\int_{[0,1]^{n}}\prod_{i<j}t_{i}^{2k}(q^{1-k}t_{j}/t_{i};q)_{2k}\prod_{i=1}^{n}t_{i}^{x-1}\frac{(t_{i}q;q)_{\infty}}{(t_{i}q^{y};q)_{\infty}}d_{q}t$$=q^{kx(_{2}^{n})+2k^{2}(_{3}^{n})}A_{n}(x, y;q)$

.

(4.5)

ここで
$\int_{[0,1]^{n}}f(t)d_{q}t=(1-q)^{n}\sum_{1m,\ldots,m_{n}=0}^{\infty}f(q^{m_{1}}, \ldots, q^{m_{n}})q^{m_{1}+\cdots+m_{n}}$である．ここでは，詳しく述べないが，この公式を使って，次の [15, Theorem 3.11 の中の主定理の別証明が得られる．詳しい証明は [18] で述べる．

197
定理 4.1. 正整数$n$と整数 $r\geq 0$ に対して，$Pf((q^{i-1}-q^{j-1})\frac{(aq|q)_{i+j+r-2}}{(abq^{2}|q)_{i+j+r-2}})_{1\leq i,j\leq 2n}$$=a^{n(n-1)}q^{n(n-1)(4n+1)/3+n(n-1)r} \prod^{n-1}(bq|q)_{2k}\square ^{n}\frac{(q|q)_{2k-1}(aq|q)_{2k+r-1}}{(abq^{2}|q)_{2(k+n)+r-3}}$

$k=1$

$k=1$

$(4.6)$

が成り立つ．

4.2

Motzkin, Delannoy, Schr\"oder & Narayana$M_{n}= \sum_{k=0}^{n}(\begin{array}{l}n2k\end{array})C_{k}$Delannoy 数，をを Motzkin 数，$D_{n}= \sum_{k=0}^{n}(\begin{array}{l}nk\end{array})(\begin{array}{l}n+kk\end{array})$

を central

the Schr\"oder 数という．または Narayana 数といわれ，$S_{n}= \sum_{k=0}^{n}(\begin{array}{l}n+k2k\end{array})C_{k}$$N(n, k)= \frac{1}{n}(\begin{array}{l}nk\end{array})(\begin{array}{l}nk-l\end{array})$$N_{n}(a)= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}(\begin{array}{l}nk\end{array})(\begin{array}{ll} nk -1\end{array})a^{k}$

は，第

$n$

Narayana 多項式と呼ばれ，一般化された第 1 種チェビシェフ

多項式のモーメント列である．ここでは $N_{0}(a)=1$ と定義しておく．各数の母関数は次のようになる．
$g_{M}(z)= \sum_{n=0}^{\infty}M_{n}z^{n}=\frac{1-z-\sqrt{1-2z-3z^{2}}}{2z^{2}}$$g_{D}(z)= \sum_{n=0}^{\infty}D_{n}z^{n}=\frac{1}{\sqrt{1-6z+z^{2}}}$

(4.7)

(4.8)

,

$g_{S}(z)= \sum_{n=0}^{\infty}S_{n}z^{n}=\frac{1-z-\sqrt{1-6z+z^{2}}}{2z}$

,

,

(4.9)

また，Narayana 多項式の母関数もまた次のようになることが知られている [29, p. 238]
$g_{N}(z)= \sum_{n\geq 0}N_{n}(a)x^{n}=\frac{1+(1-a)x-\sqrt{(1-(1+a)x))^{2}-4ax^{2}}}{2x}$.

(4.10)

198
ここで $N_{0}(a)=1$ とする．[14] において，我々は，これらの数列のハンケ

ル行列式や，その -類似を計算した:$q$$\det(M_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}=1$$=2(\begin{array}{l}n+12\end{array})-1$$\det(D_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$$\det(S_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}=2^{(_{2}^{n})}$$\det(N_{i+j-2}(a))_{1\leq i,j\leq n}$$=a^{(_{2}^{n})}$ここでは [15] の中で予想した次の等式の証明を与える．ただし、この予想の最初の証明は [13] によって与えられ，ここで与えるのは 2 番目の証明になる．

定理 4.2. 正整数 $n\geq 1$ に対して次の等式が成り立つ:

Pf $((j-i)M_{i+j-3})_{1\leq i,j\leq 2n}= \prod_{k=0}^{n-1}(4k+1)$ ,(4.11)

Pf $((j-i)D_{i+\dot{\gamma}-3})_{1\leq i,j\leq 2n}=2^{n^{2}-1}(2n-1) \prod_{k=1}^{n-1}(4k-1)$ ,(4.12)

Pf $((j-i)S_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq 2n}=2^{n^{2}} \prod_{k=0}^{n-1}(4k+1)$ ,(4.13)

Pf $((j-i)N_{i+j-2}(a))_{1\leq i,j\leq 2n}=a^{n^{2}} \prod_{k=0}^{n-1}(4k+1)$ .

(4.14)

であるという事実から上の測度でになるものが存在することが保障される (see [8,$\det(\mu_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}\neq 0(n\geq 1)$

モーメント列がTheorem 3.1] .
$)$$\{\mu_{n}\}_{n\geq 0}$$\psi$とする，すなわちを$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$上の測度で，モーメント列が$\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}d\psi(x)=\mu_{n}$$\{\mu_{n}\}_{n\geq 0}$

であるものである．ここで実際に扱うのは$\psi$

は正値で，あるコンパクトサポート $[a, b]$ をもつものだけである．しかし，積分区間はと書いておく．このとき Stieltjes の分布関数 の変$(-\infty, \infty)$$\psi$

換公式は$G(z)= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\psi(x)}{z-x}=\frac{1}{z}g(\frac{1}{z})$と書かれる．ここで$G(z)$$g(z)= \sum_{n=0}^{\infty}\mu_{n}z^{n}$である．よって，分布関数から次の Stieltjes の逆転公式によって得ることができる:$\psi(t)-\psi(t_{0})=-\frac{1}{\pi}\lim_{yarrow+0}\int_{t_{0}}^{t}\Im G(x+iy)dx$,$\psi$

は

199
ここで

$\Im z$は$z$の虚数部分を表す．よって(4.15)$\psi’(t)=\lim_{yarrow+0}\frac{G(t-iy)-G(t+iy)}{2\pi i}$

これらの道具を使って上の定理を証明する．(4.15) によって，計算を行うに対応する分布関数は，ことによって，モーメント列 $\{M_{n}\},$
それぞれ次のようになる:$\{D_{n}\},$$\{S_{n}\}$$\psi_{M}’(x)=\frac{1}{2\pi}\sqrt{(x+1)(3-x)}$$\psi_{D}^{l}(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{6x-1-x^{2}}}$,,$\psi_{S}’(x)=\frac{1}{2\pi x}\sqrt{6x-1-x^{2}}$,$\psi_{N}’(x)=\frac{1}{2\pi a}\sqrt{4a-(x-1-a)^{2}}$ ,ゆえに，(3.7) によって，次の等式を得る:

Pf $((j-i)M_{i+j-3})_{1\leq i,j\leq 2n}$(4.16)$= \frac{1}{(2\pi)^{n}n!}\oint_{[-1,3]^{n}}\prod_{i<j}(x_{i}-x_{j})^{4}\prod_{i}\sqrt{(x_{i}+1)(3-x_{i})}dx$,

Pf $((j-i)D_{i+j-3})$(4.17)
l i,j$\leq$$\leq$

翫$= \frac{1}{\pi^{n}n!}\int_{[3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2}]^{n}}\frac{\prod_{i<j}(x_{i}-x_{j})^{4}}{\prod_{i}\sqrt{6x_{i}-x_{i}^{2}-1}}dx$.

Pf $((j-i)S_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq 2n}$(4.18)$= \frac{1}{(2\pi)^{n}n!}\int_{[3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2}]^{n}}\prod_{i<j}(x_{i}-x_{j})^{4}\prod_{i}\sqrt{6x_{i}-x_{i}^{2}-1}dx$.

$Pf((j-i)N_{i+j-2}(a))_{1\leq i,j\leq 2n}=\frac{1}{(2\pi)^{n}n!}\int_{[(1-\sqrt{a})^{2},(1+\sqrt{a})^{2}]^{n}}\prod_{i<j}(x_{i}-x_{j})^{4}$$\cross\prod_{i}\sqrt{4a-(x_{i}-1-a)^{2}}dx$.

(4.19)

200
Selberg の積分公式から，次の公式を得る:$\int_{[a,b]^{n}}\prod_{i\triangleleft}(x_{i}-x_{j})^{4}\prod_{i=1}^{n}\sqrt{(x_{i}-a)(b-x_{i})}dx=(b-a)^{2n^{2}}S_{n}(\frac{3}{2},$$\int_{[a,b]^{n}}\frac{\prod_{i<j}(x_{i}-x_{j})^{4}}{\prod_{i=1}^{n}\sqrt{(x_{i}-a)(b-x_{i})}}dx=(b-a)^{2n(n-1)}S_{n}(\frac{1}{2},$ $\frac{1}{2},2)$$\frac{3}{2},2)$,.

よって，次の補題を証明すれば，定理の証明が終わる．
補題 4.3. 次の等式が成り立つ:$\frac{(4\sqrt{a})^{2n^{2}}}{(2\pi)^{n}n!}S_{n}(\frac{3}{2},$$\frac{(4\sqrt{2})^{2n(n-1)}}{\pi^{n}n!}S_{n}(\frac{1}{2},$$\frac{3}{2},2)=a^{n^{2}}\prod_{k=0}^{n-1}(4k+1)$.

(4.20)$\frac{1}{2},2)=2^{n^{2}-1}(2n-1)\prod_{k=0}^{n-1}(4k-1)$.

(4.21)

Proof. Selberg の積分公式によって$S_{n}( \frac{3}{2},$$\frac{3}{2},2)=\prod_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma(\frac{3}{2}+2j)^{2}\Gamma(3+2j)}{\Gamma(1+2n+2j)\Gamma(3)}$を得る．(4.20) の左辺を

$L_{n}$.

(4.22)$n=1$ のととおく．明らかに $L_{1}=a$ であり，$\Gamma(1/2)=\sqrt{}\pi$ と $\Gamma(x+n)=(x)_{n}\Gamma(x)$ を使うと，
き，(4.20) 式は成り立つ．

$\frac{S_{n+1}(\frac{3}{2},\frac{3}{2},2)}{S_{n}(\frac{3}{2},\frac{3}{2},2)}=\frac{\Gamma(\frac{3}{2}+2n)^{2}\Gamma(3+2n)}{\Gamma(3+4n)\Gamma(3)}\prod_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma(1+2n+2j)}{\Gamma(3+2n+2j)}$$= \pi\frac{n+1}{2^{6n+2}}\frac{(1/2)_{n}(1/2+2n)}{(n+1)_{n}}$$=2^{-(8n+3)}(n+1)(4n+1)\pi$を得る．よって $L_{n+1}/L_{n}=a^{2n+1}(4n+1)$ となり，与式が証明できる．
同様にして$S_{n}( \frac{1}{2},$$\frac{1}{2},2)=\prod_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+2j)^{2}\Gamma(3+2j)}{\Gamma(-1+2n+2j)\Gamma(3)}$(4.23)

201が成り立つ．(4.21) 式の左辺を$L_{n}’$

とおく．このとき $L_{1}’=1$ である．一方，$\frac{S_{n+1}(\frac{1}{2},\frac{1}{2},2)}{S_{n}(\frac{1}{2},\frac{1}{2},2)}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+2n)^{2}\Gamma(3+2n)}{\Gamma(1+4n)\Gamma(3)}\prod_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma(-1+2n+2j)}{\Gamma(1+2n+2j)}$$= \pi\frac{(2n+1)(2n+2)}{2^{6n+2}}\frac{(1/2)_{n-1}}{(n)_{n}}(4n-1)$であるので，$L_{n+1}’/L_{n}’=2^{4n-1}(4n-1)(2n+1) \frac{(1/2)_{n-1}}{(n)_{n}}$が成り立つ．最後に$2^{4n-1}(4n-1)(2n+1) \frac{(1/2)_{n-1}}{(n)_{n}}=2^{2n+1}(4n-1)\frac{2n+1}{2n-1}$を示せばよい．すなわち $(n)_{n}=2^{2n-2}(2n-1)(1/2)_{n-1}$ , であるが，これは $(n-1)!(n)_{n}=(2)_{2n-2}=(1)_{n-1}(3/2)_{n-1}2^{2n-2}=2^{2n-2}(n-1)!(2n-$1 $)(1/2)_{n-1}$ を使って証明できる．口

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