数理解析研究所講究録1080 巻 1999 年 122-128

122

Djokovic の不等式と等号成立条件
九州工大情報工
山形大工本田あおい

高橋眞映

Hlawka の不等式 (cf. [31) の–つの–般化である Djokovic の不等式 (cf. [1]) とその等号成立条件について考察し、 そこから別のタイプの不等式及びその等号成立条
件を導くことが本稿の主な目的である。 またある種の weight version についても考察する。

今 Hilbert 空間$\mathrm{H}$を固定しよう。 このとき次の不等式が成立する :$(x, y, z\in H)$ .

$|x|+|y|+|z|+|x+_{\mathcal{Y}^{+_{\mathrm{Z}}}}|\geq|x+_{\mathcal{Y}}|+|y+z|+|\overline{\mathrm{c}}+X|$

これは Hlawka の不等式と呼ばれ、 -つの基本的な不等式と考えられる。 D. Z.

Djokovic はこの不等式を次のように拡張した :$n-2k-1 \mathrm{I}=\sum_{i1}^{n}|x_{i}1+(_{k-2}n-2\int i1x_{i}\sum_{=}n|\geq\sum_{1\leq i1<\cdots<i_{k}\leq n}|X+\cdots+\chi|i_{1}i_{k}$$(2\leq k\leq n-1, X_{1},\cdots, X_{n}\in H ; n=1,2, \ldots)$.

勿論 $n=3,$ $k=2$ のときが Hlawka となることは自明であろう。 また$x_{1},\cdots,$$x_{n}\in H$$n$

及びを固定したとき、 Diokovic の不等式の等号が成立するためには次の 5条件のうちの–つが成立することが必要十分であることが示された :(i) $\#\{i:x_{\mathrm{i}}\neq 0\}=2$ .
(ii) $\#\{i:x_{i}\neq 0\}=3$ and$\sum_{i=1}x_{i}=0$.

(iii) $k=n-1$ and $\sum_{i=1}x_{i}=0$ .

(iv)
(V)

$X_{1},\cdots,$$X_{\text{ハ}}$are codirectional, i.e.,$X_{1},\cdots,\hat{X}_{i},\cdots,$$x_{\text{ハ}}$$\exists y\in H,$$\exists \mathit{0}_{1},\cdots,$$\alpha\geq \mathrm{o}n:X=\alpha_{i\mathcal{Y}}i(i=1,\cdots, n)$are codirectional for some $i=1,\cdots,$$n$,and$x_{i},$$\sum$.

$x_{i}$.

are codirectional.

実はこれらの結果は、 D. H. Similey and M. F. Smiley [4] によっても独立に証明されている。

さて我々の–つの興味は、$n$と$k$だけに依存するある正数 $A,$ $B,$のような形の非自明な不等式が得られないかと言うことである :$A \sum_{i=1}^{\text{ハ}}|x_{i}|+B\sum_{1\leq i_{1}<\cdots<ik\leq n}|x_{i_{1}}+\cdots+Xi_{k}|\geq C|i1x\sum_{=}^{\text{ハ}}i|$.

$C$に対して、 次

123

このとき注意しなければならないのは、$\text{常に}\cdot\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}|x_{i}|\geq|\sum_{i=1}^{n}x_{i1}$が成り立っているのであるから、 上の不等式が意味をもつためには、 $A<C$ でなければならない。 この問題について考察しよう。 先ず $n(n\geq 3)$ 及び xl” $x_{n}\in H$ を固定し、 $1\leq k\leq n-2$ なる$k$を考える。 このとき

(1)$|x_{i_{1}}‘+ \cdots+Xik[+|\sum_{\mathrm{i}=1}..X_{i}-(X_{i}+\iota\ldots k+x_{i})|\geq|^{\sum_{i=1}}xi|$が成り立つから、 両辺(2)$1 \leq i_{1}<\cdots<i\sum_{k^{\leq}n}$をとると、 簡単な考察から$|X_{i1}+ \cdots+xln- k|\geq(_{k}^{n}\int\sum_{i=1}x_{i}n|$$\sum_{1\leq i_{1}<\cdots<i\mathrm{k}\leq n}|X_{i_{1^{+}}}\cdots+X|i_{k}+\sum_{k^{\mathrm{s}}1\leq i_{1^{<}}\cdots<i_{n-}}$ハ

め代りに、 $n-k$ を考えると (これは、となり可 \mapstoを得る。 -方 Djokovic の不等式において、であるから、 $2\leq n-k\leq n-1$$1\leq k\leq n-2$(3)$k$$\text{、}$$\sum_{1}^{\text{ハ}}|X|i+(_{n-k-2}^{n-2}\lambda=\sum_{i1}x_{i}n|\geq\sum_{\leq 1\leq i_{1}<\cdots<ik\text{ぬ}n-}|X_{i_{1^{+\cdots+X}}n}|i-k$。このとき、$\mathrm{B}_{\grave{\grave{\mathrm{a}}}}\Re O\backslash rightarrow\perp’\supset$) $T\backslash \text{等式}(2),$ (3) から、 簡単な計算により、$\neq 0_{-}-’\supset\sigma$$|x_{i_{1}}+ \cdots+x_{ik}|\geq\frac{2n-k-1}{n-k}|_{i}\sum_{=1}^{n}Xi$$n-2)_{i1}k1x|+ \frac{n-k-1}{k}\sum_{=}^{\text{ハ}}i\sum 1\leq i1<\cdots<i_{k}\leq$
ハ$k’\langle\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{る}\circ$勿論$< \frac{2n-k-1}{n-k}$

が成り立つ

$k$

は沢山あるから、 上で注意したように、 この不等式は意味がある。 例

えば、 $k=n-2$ とすると、 我々の不等式 (4) は次の不等式を導く:$|x_{1}+ \cdots+\hat{X}_{i_{1^{+}}}\cdots+\hat{x}+\cdots+x_{n}i2|\geq\frac{n+1}{- 2}|_{i1}\sum_{=}x_{i1}\text{ハ}$$\sum_{i=1}^{n}|X_{i}|+\frac{1}{n-2}\sum_{1\leq \mathrm{i}1^{<i_{2}}\leq}$.

..

ハ

さて不等式 (4) の等号が成立するためには、 容易な考察から、 不等式 (2) , (3) の等号が同時に成立することである。 また不等式 (2) の等号が成り立つための必要十につ分条件は、 不等式 (1) の等号が、 $1\leq i_{1}<\cdots<i_{k}\leq n$ を満たす全ての組$\{i_{1}, \cdots, i_{k}\}$いて成り立つこと、 つまり(vi)$|X_{i_{1}}+ \cdots+X_{i_{\mathrm{k}}1}+|\sum_{i=1}x_{i}-(x_{i_{1^{+\cdots+X_{i_{\mathrm{k}}}\mathrm{J}}}}|=|\sum_{i=1}^{-}\chi i|$for all couples$\{i_{1}, \cdots , i_{k}\}$such that$1\leq i_{1}<\cdots<i_{k}\leq n$である。 従って、 不等式 (4) の等号が成立するためには、 次の 5 条件のどれかが成り立つことである :$(\mathrm{i})$但し条件$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})^{\mathrm{t}}$$\wedge(\mathrm{v}\mathrm{i}),$は (iii) でる。 容易な観察から、た$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})\dagger\wedge(\mathrm{v}\mathrm{i})$$(\mathrm{i}\mathrm{i})\wedge(\mathrm{v}\mathrm{i}),$$k$$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})^{\dagger}\wedge(\mathrm{v}\mathrm{i}),$$(\mathrm{i}\mathrm{v})\wedge(\mathrm{v}\mathrm{i}),$$(\mathrm{v})\wedge(\mathrm{v}\mathrm{i})$.の代りに、 $n-k$ と置いた条件 : $k=1$ and$(\mathrm{i})\wedge(\mathrm{v}\mathrm{i})$と$(\mathrm{i}\mathrm{i})\wedge(\mathrm{v}\mathrm{i})$$\sum_{i=1}x\text{ハ}\mathrm{i}=0$

であは起こりえないと言うことが分かる。 まは $k=1$ and $x_{1}=\cdots=x_{n}=0$ と同値である。 また条件 (iv) は条件 (vi) を124
容易に導く。 最後に条件$(\mathrm{V})\wedge(\mathrm{v}\mathrm{i})$と条件 :(vii)は同値であることを見る。 先ず、を仮定しよう。 (V) より、$(\mathrm{V})\wedge(\mathrm{v}\mathrm{i})$$\exists y(\neq 0)\in H,$ $\exists\alpha_{j}\geq 0:x_{j}=\alpha_{j}y(j=1,\cdots,\overline{i},\cdots, n)$$\exists z(\neq 0)\in H,$ $\exists\beta 1\geq 0,$が成り立つ。 従って、$\beta_{1}\neq\beta_{2}$$\exists\rho_{\mathrm{z}}\geq 0:\sum_{1i=}xi=\beta 1z,$$i_{1},\cdots$$y=. \ldots\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{\alpha_{1}++\hat{\alpha}_{in}+\cdots+\alpha}z$, らを選ぶ。 このとき、$\cdots,$$n$,$X_{i}=\rho_{\mathrm{z}}\mathrm{Z}$である。 ここで勿論$(\alpha_{1^{+\cdots+\hat{\alpha}}i^{+}}\cdots+\alpha_{\text{ハ}})y=(\beta_{1}-\beta_{2})Z$と仮定してよいから、るように、

for some $i=1,$$\alpha_{i_{1}i_{\mathrm{k}}}+\cdot\cdot\cdot+\alpha\neq 0$

来なかったら、 $x_{j}=0(j=1,\cdots,\hat{i}, \cdots, n)$ となり、$\beta_{1}=\beta_{2}$となる。 今$i\not\in\{i_{1},\cdots, i_{k}\}$となとなるようにできる。 もし出となるからである。 そこで、これらを条件 (iv) の式に代入して、$\frac{\alpha_{i_{1}}+\cdots+\alpha_{i_{k}}}{\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{in}+\cdots+\alpha}|\beta_{1}-\beta 2||z1+|\beta_{\iota^{-\frac{\alpha_{i_{1}}+\cdots+\alpha_{i_{k}}}{\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i\text{ハ}}+\cdots+\alpha}(}}\rho_{\iota}-\rho 2)||z|=\beta 1|z1$を得る。 従って、 両辺に$\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i}+\cdots+\alpha \text{ハ}$を乗じて、$(\alpha_{i_{1}}+\cdots+\alpha_{i_{k}}.)|\beta_{1^{-\beta 2}}|+|\{\alpha_{1^{+\cdots+\hat{\alpha}_{i^{+\cdots+}}}}\alpha n-(\alpha+\cdots+\alpha \mathrm{J}i1i\mathrm{t}\}\beta 1+(\alpha+\cdots+\alpha i_{1}ik\mathrm{J}\rho_{2}|$$=\beta_{1}(\alpha+\cdots+\hat{\alpha}+\cdots+1i\alpha)n$となるが、$i\not\in\{i_{1},\cdots, i_{k}\}$から$\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i}+\cdots+\alpha_{n}\geq\alpha_{i_{1}}+\cdots+\alpha_{i_{k}}$であるので、 上式は$(\alpha_{i_{1}}+\cdots+\alpha_{i\mathrm{t}-})|\beta_{1}-\rho_{2}|=(\alpha_{i1}+\cdots+O)i_{k^{-}}(\beta_{1}-\beta_{2})$となり.

$\alpha_{i_{1}}+\cdots+\alpha_{i_{\mathrm{k}}}\neq 0$に注意して、$\beta_{1}>\beta_{2}$を得る。 つまり、 (vii) が示された。

逆に (vii) を仮定しよう。 従って (V) は自明である。 また仮定から$\exists y(\neq 0)\in H,$ $\exists\alpha_{j}\geq 0:x_{j}=\alpha_{j}y(j=1,\cdots,\text{\^{i}},\cdots, n)$$\exists z(\neq 0)\in H,$$\exists\rho_{1}\geq 0,$$\exists\beta 20\geq$:$\sum_{i=\iota}X_{i}=\beta 1Z,$である。 今 $1\leq i_{1}<\cdots<i_{k}\leq n$ なる任意の組

先ず仮定から

for some $i=’ 1,$$x_{i}=\rho_{2}z,$$\{i_{1}, \cdots, i_{k}\}$$(\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i^{+}}\cdots+\alpha_{\text{ハ}})\mathcal{Y}^{=}(\beta_{1}-\beta_{2})\mathrm{z}$$\cdots$,$n$,$\rho_{1}\geq\rho_{\mathrm{z}^{\geq}}0$を考え、 (vi) の等式を示そう。

である。 また$\beta_{1}\neq\beta_{2}$い。 もしそうでなかったら、 $X_{1}+\cdots+xX=\mathrm{o}i^{+\cdots+}n$ であるから、と仮定してよ125$\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i^{+\cdots+}}O0n$だからである。 さて’ 従って、 $x_{j}=0(j=1,\cdots, \text{\^{i}},\cdots, n)$ となり、 (Vi) の等式は自明$i\not\in\{i_{1},\cdots, i_{k}\}$の場合を考えよう。 $\text{このときは、}$$|x_{i_{\mathrm{l}}}+ \cdots+x_{i_{k}1+}|\sum_{i=1}^{n}x-(x_{i_{1^{+\cdots+}}}x_{i_{k}})i|$$=(\alpha_{i_{1}^{+}}...

+\alpha_{i_{\mathrm{k}}})|\mathcal{Y}1+|\{\alpha 1+\cdots+\overline{\alpha}_{i^{+}} ...

+\alpha_{n}-(\alpha_{i_{1}}+\cdots+\alpha i_{k})\}_{\mathcal{Y}^{+}}\beta_{2}z|$$= \{(\alpha_{i_{1}^{+}}\cdots+\alpha_{ik})+(\alpha\cdots+\hat{\alpha}+\cdots+\alpha_{\text{ハ}})1^{+}i-(\alpha i1+\cdots+\alpha_{i})+\frac{\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i\text{ハ}}+\cdots+\alpha}{\beta_{1}-\beta_{2}}\rho_{2}\}|y|$$=( \alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i}+\cdots+\alpha_{n})(1-\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}-\beta 2}ly|$$=\beta_{1}|z|$$1$

ね$=| \sum_{i=1}xi$となり、 (vi) の等式が成り立つ。 次にそうでない場合を考えよう。 例えば $i=i_{1}$ の場合を考える。 このときは、$\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{\mathrm{i}}+\cdots+\alpha n\geq\alpha \mathrm{i}_{2^{+\cdots+\alpha_{i_{k}}}}$

且つ.
$\alpha_{i_{2}}+\cdots$$+ \alpha+\frac{\beta_{\mathrm{z}}(\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}+\cdots+i\text{ハ}\alpha)}{\rho_{1^{-}}\beta_{2}}i_{k}$$= \frac{1}{\beta_{1}-\beta_{2}}(\beta_{1}(\alpha_{i2^{+}}\cdots+\alpha_{i_{k}})+\beta \mathrm{z}\{(\alpha+\cdots+\hat{\alpha}+\cdots+\alpha)-(\alpha+\cdots+\alpha_{i}\partial^{\}}11ini_{2}$$\geq 0$であるから、$|x_{i_{1}}+ \cdots+xi_{k}|+|_{i=}\sum_{1}^{n}X_{i^{-(}}Xi_{1^{+\cdots+x}}i_{k}\mathrm{J}|$$=|(\alpha_{i_{2}}+\cdots+\alpha)i_{k}\mathcal{Y}^{+x_{i1}}+|(\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i}+\cdots+\alpha_{n})\mathcal{Y}-(\alpha i2^{+}\ldots i+\alpha \mathrm{J}y\mathrm{t}$$=(^{\alpha_{i_{2}}+\cdots+}\alpha_{i}k^{+\frac{\beta_{2}(\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i}+\cdots+\alpha_{n})}{\rho_{1^{-}}\beta_{2}}})|_{\mathcal{Y}}|+$$((\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i^{+}}\cdots+\alpha_{\text{ハ}})-(\alpha\cdots+\alpha p|i_{2^{+}}\mathrm{i}|\mathcal{Y}1$$=( \alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i}+\cdots+\alpha+\text{ハ}\frac{\beta_{2}(\alpha_{1}+\cdots+\hat{\alpha}_{i}+\cdots+\alpha_{n})}{\beta_{1}-\beta_{2}})|\mathcal{Y}\mathrm{I}$126$= \frac{\beta_{1}(\alpha_{1^{+}}\cdots+\hat{\alpha}_{i}+\cdots+\alpha)n}{\beta_{1}-\beta_{2}}|_{\mathcal{Y}}|$$=\beta_{1}|z|$$=| \sum_{i=1}^{n}\chi_{i}|$となり、 O) の等式が成り立つ。 勿論他の場合も同様である。

以上を纏めると、 我々は次の定理を得る。

Theorem 1.

$\mathrm{I}x\mathrm{t}\mathrm{H}$be a Hilbert space and let$x_{1},\cdots,$$x_{n}\in H(n\geq 3)$

and $1\leq k\leq n-2$ .

Then$|x_{i_{1}}+ \cdots+x_{ik}|\geq\frac{2n-k-1}{;\iota-k}|i=1x_{i1}\sum \text{ハ}$$= \sum_{i1}^{n}|x_{i}|+\frac{n-k-1}{k}\sum_{\leq 1i1<\cdots<ik\leq}$.

ハ

Equality holds in the above inequality if and only if one of the following conditions holds :(a) $k=1$ and $x_{1}=\cdots=x_{n}=0$ ,(b)$x_{1},\cdots,$$x_{n}$are codirectional,(c)Here the sign A placed over a vector indicates that this vector is to be deleted from thesequence.
Corollary 2. Let$x_{1},\cdots,$$x_{n}\in H(n\geq 3)$. Then$\sum_{i=1}^{n}|X_{i}|+\frac{1}{n-2}\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}|x_{1}+\cdots+\hat{x}_{i_{1^{+}}}\cdots+\hat{x}i_{2}+\cdots+x\text{ハ}|\geq\frac{n+1}{2}|i=\sum x_{i1}1n$.

Equality holds in the above inequality if and only if one of the conditions (b) and (c) inTheorem 1 holds.
次に我々は Djokovic の不等式の weight version を考えたい。 然しながらこれはな
かなか困難を極める。 そこで比較的考えやすい $k=n-1$ の場合を考察する。 この場

合の不等式は(5)$i1 \sum_{=}^{\text{ハ}}1xi|+(n-2)|i=1i\sum nX|\geq\sum_{i=1}\text{ハ}|X_{1}+\cdots+\hat{X}i^{+}\ldots+X_{n}$である。 今 weights:$\mu_{1}\geq 1,$$\cdots,$$\mu_{\text{ハ}}\geq 1$を考える。 このとき、

127$\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}(|xx|-|x_{1}+\cdots+\hat{x}i|+|x_{i}|11^{+\cdots+}n+\cdots+X_{n}$(6)$\geq\sum_{i=1}^{n}(|X_{1^{+\cdots+}n}\chi|-|X_{1}+\cdots+\hat{X}i^{+\cdots+x}\text{ハ}|+|x|i$$\geq 2|x_{1}+\cdots+x_{n}|$(by the Djokovic inequality)であるから、 次の結果を持つ :Theorem 3. Let$\mu_{1}\geq 1,$$\cdots,$$\mu_{\text{ハ}\backslash }\geq.1.$$\mathrm{H}$be a Hilbert space and let$x_{1},\cdots,$$x_{n}\in H(n\geq 3)$

and

名.

.Then

$\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}1^{x}\mathrm{i}|+(\sum^{\text{ハ}}\mu i-2)|\mathrm{i}=1\mathrm{i}=\sum 1\text{ハ}X_{i11}\geq\sum_{i=1}\mu \text{ハ}l|x+\cdots+$

更に等号成立条件に関しては、 もし等 F-$\hslash^{\grave{\grave{\mathrm{a}}}}\text{成^{}\backslash }$$+\cdots+X_{\text{ハ}}|$り立てば、 (6) 式から$\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}(|x_{1}.+\cdots+X_{n}|-|x_{1^{+\cdots+\hat{X}}}i^{+\cdots+X||x_{i}}\text{ハ}+|)=2|X_{1^{+}}\cdots+X|n$であるから、 (5) 式の等号が成り立つことに注意を留めるだけにしよう。
所で、 Hlawka 不等式の成り立つノルム空間を Hlawka 空間と呼ぶことにしよう。

D. H. Similey and M. F. Smiley は Hlawka 空間においては常に Djokovic の不等式が成立することを述べている。 従って我々の不等式も Hlawka 空間においては常に成り立つ事に注意したい。 然しながら Hlawka 空間自体を決定することは非常に難しい。 例えば$p> \frac{\log 3}{\log 1.5},$$l^{p}(\Omega)$

を考えた場合、 この空間は $1\leq p\leq 2$ なら常に Hlawka であるが、$\#\Omega\geq 3$

ると、 どうものときは Hlawka ではない (cf. [21, [4])。コンピュータで計算す$p= \frac{\log 3}{\log 1.5}$が境界らしいことが分かるが、 数学的には全く分かっていないと思う。

謝辞 : コンピュータで御世話になった山形大学工学部の新関久–助教授に感謝の意を表したい。

また本稿作成に当たって、 貴重なご意見を頂いた岡山県立大学の高橋泰嗣教授と九州工大の岡崎悦明教授に感謝の意を表したい。

128
参考文献

inequality, Glasnik Mat.-Fiz. Astromon. Ser.
1. Z. D. Djokovic, Generalizations ofII. Drustvo Mat. Fiz. Hrvatske 18(1963), 169-175.
inequality,
2. A. Honda, Y. Okazaki and Y. Takahashi, Generalization of theBulletin of the Kyushu Institute of Thechnology Pure and Applied Mathematics,$\mathrm{H}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{k}\mathrm{a}^{\mathrm{t}}\mathrm{S}$$\mathrm{H}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{k}\mathrm{a}^{1}\mathrm{S}$45(1998).

3. H. Homich, Eine Ungleochung fur Vektorlangen, Math. Z., 48(1942), 268-274.
4. D. M. Smiley and M. F. Smiley, The polynomial inequalities, Amer. Math. Monthly,
71(1964), 755-760.