数理解析研究所講究録
900 巻 1995 年 119-129

119

半線形放物型偏微分方程式における

Kneser の定理と解写像の写像度

1. 解集合のコンパクト性

を

$D$

上之郷高志

東北学院大教養

菊池

慶応大理工

紀夫

の有界な開領域とし,$R^{n}$

その境界$\partial D$

は十分滑らかとする. 次の初期値境界値問題を考える.

’(E)$\partial u/\partial t=\Delta u+f(u)$$t>0$ ,$u(0, x)=u_{0}(\chi)$$u_{0}\in C(\overline{D}, R)$$t>0$ ,$\sim\partial u/\partial\nu=0$

ここで

$\nu$

は

$\partial D$の外向き単位法線ベクトルを表し,$x\in D$ ,,$x\in\partial D$.

$f\in C(R, R)$ は次の条件を満たしているものとする.

(A1)

注意 1

$\exists a>0$ ,$\exists b>0$

以下の議論では,

述を簡単にするために,

また領域

$D$

$f$

,

$f(u)$は$|f(u)|\leqq a+b|u|$ .

$\forall u\in R$ ,$f(t, x, u)$ に置き換えても成り立つが,は記だけの関数として扱うことにする.

$u$に対し, 次の仮定をおく.

$\exists 7>0$ ,$\forall(x, y)\in\overline{D}\cross\overline{D}$,$\exists\{p_{0}, p_{1}, p_{2}, \cdots.

P_{k}\}\subset\overline{D}$

,

(A2)

すなわち,

$x$

$x=P\mathrm{o}$,とを結ぶ折れ線$y$$\text{〃}=p_{k}$,$p_{i-1}P_{i}\subset\overline{D}$$P$が$\overline{D}$,$\sum_{i=1}^{k}|p_{i}-p_{i-1}|\leqq\gamma|x-y|$の中にとれて,$P$.

の長さが 7 $|x-y|$

以下にできるものとする.
上の仮定 (A2) は, 「 $D$ は滑らかな境界をもつ有界開領域である」 ことから証明さ120れるものと思われる.

定義$T>0$ とする.

$u(t, x)=[_{D}U(t.

を満たすとき,$u$$u\in C([0, T]\cross\overline{D}, R)$x, y)u_{0}(y)dv+[^{\mathrm{p}}0ds]_{D}U(t-s, x, v)f(u(s, y))dy$

を (E)

の

mild solution と呼ぶ.

ここで,

$u$

は $\partial u/\partial t=\Delta u$ ,の基本解である.

$\partial u/\partial\nu=0$$T>0$ を任意にとり固定し,$[0, T]\cross\overline{D}$でのmild solutions の評価をしよう. 次

よく知られた結果 (例えば [1] 参照) である.

の補題 1 は,

補題 1

が

正の数

$C$

が存在して, 任意の$t\in(0, T]$

と,

任意の

$x,$

$\text{〃}\in\overline{D}$に対し次が成り立つ.

て,(1)$0\leqq U(t, x, y)\leqq Ct^{-n}$(2)$[_{D}U(t, x, y)dy=1$ ,

(3)

ノ2

$\exp(-|x-y|^{2}/Ct)$ ,$| \frac{\partial}{\partial x_{j}}U(t, x, y)|\leqq Ct^{-()}n+1$

補題 2$0<t\leqq T$

か\check \supset$x,$$z\in\overline{D}$ノ2$\exp(-|x-\text{〃}|^{2}/C\tau)$ ,のとき,$[_{D}|U(t, x, y)-U(t, z, y)|dy\leqq c1t^{-1}$が成り立つ.

証明

ここで,$C_{1}=7^{\sqrt{n}\pi^{n\text{ノ}2}}C^{1+n}\text{ノ}2$(A2) より, 線分 $xz$ が$\overline{D}$$1\leqq j\leqq n$

ノ2$|x-z|$

である.

に含まれているとき,$]_{D}|U(t, x, y)-U(\grave{t}, z, y)|dy\leqq\sqrt{n}\pi Cn\text{ノ}21+n$

ノ2$t^{-1}$

ノ2$|x-z|$

を示せばよい. まず,$|U(t, x, y)-U(t, z, y)|=| \mathrm{I}_{0}^{1}\frac{d}{d\rho}U(t, \rho x+(1-\rho)Z,$$\text{〃})d\rho|$

.

121

$\leqq\sqrt{n}1_{0}^{1}Ct^{-(n1)}+$ ノ 2$|x-z| \exp\{-\frac{|\rho x+(1-\rho)z-y|}{Ct}\}d\rho$(by (3)).

したがって,$1_{D}^{|U}(t, x, y)-U(t, z, y)|dy$$\leqq\sqrt{n}C|\chi-z|]_{0}^{1}|_{R^{n}}t^{-(1)\text{ノ}}n+2\exp(-|\text{〃}|^{2}/Ct)dyd\rho$$=\sqrt{n}\pi^{n}\text{ノ_{}2}C^{1+n}$ ノ 2

補題 3$0<t\leqq T$$t^{-1\text{ノ}2}|x-z|$

かっ

$x,$

$z\in\overline{D}$.

.

$\mathrm{q}$$\mathrm{e}$.

$\mathrm{d}$

.

のとき,

$[_{D}U(t, x, z)|x-z|dz\leqq C_{2}\sqrt{t}$が成り立つ.

証明

ここで$C_{2}=C^{(n+3)\text{ノ_{}2]_{R^{n}}}}|\xi|\exp(-|\xi|^{2})d\xi$(1) より, 変数変換

$C(\overline{D}, R)$と$u_{0}\in C(\overline{D}, R)$$z=x+\sqrt{Ct}\xi$$C([0, \tau]\cross\overline{D}, R)$に対し,$\mathrm{S}u_{0}$は,$\sup$である.

をほどこして得られる.

normm$|\mathrm{i}\cdot$$\mathrm{q}$.

を次で定める.

$]_{D}U(t, x, y)u_{\mathit{0}}(_{\text{〃}})dy$,$(t. x)\in(0, T]\cross\overline{D}$ ,$(S_{\mathcal{U}_{0}})(t, x):=\{$$t=0$ ,

$u_{0}(_{X)},$

このとき,$Su_{0}\in C([0, T]\mathrm{x}\overline{D}, R)$$f\in C(R, R)$ に対し,

である.

また,

$x\in\overline{D}$.

$u\in C([0, T]\mathrm{x}\overline{D}, R)$$H[f, u]$ を$H[f. u](t, x)$ $:=\mathrm{I}_{0}^{\iota_{dS}}\mathrm{I}DU(t-s, x, y)f(u(s, y))dy$ ,$(t, x)\mathrm{E}_{\llcorner}^{\overline{|}}0,$で定める.

$H[f, u]\in C([0, T]\mathrm{x}\overline{D}, R)$

である.

.

$\mathrm{d}$.

’ の入った Banach 空間とする.

$ii$

}

$\mathrm{e}$$T]\cross\overline{D}$

と

122

補題 4
のとき,

$u_{0}\in C(\overline{D}, R)$,$||u_{0}|||\leqq M_{\text{。}}$とする. $0<t.<t’\leqq T$ 力|つ$x,$$x’\in\overline{D}$

次が成り立つ.

(4)

ここで,

証明

$C_{\mathrm{s}}=M0C_{1} \max\{C_{2},1\}$

$U$

である.

の半群の性質より次が成り立つ.
$U(t’, x, y)=[_{D}U(t’-t, \chi, z)U(t, z, y)dz$ .

これと(2) を用いて,$(\mathrm{S}u_{0})(t’, x)-(\mathrm{s}u0)(T, x)$$=[_{D}[DU(t’-t, \chi, z)U(t, z, y)u_{0}(y)dzdv$$-]_{D}U(t’-t, x, z)dz[DU(\mathrm{r}, x, v)u_{0}(y)dy$$=[_{o}U(t’-t, x, z)dz$
を得る. 従って, 補題 2, 3 より,

また補題 2 より次の評価も得られる.
$|(Su_{0})(t’, x)-(\mathrm{S}u_{0})(t’, x’)|\leqq M_{0}C_{1}t^{-1}$

ノ2$|x-x’|$ .

上の 2 っの不等式より (4) が従う.

補題 5$\in\overline{D}$$u\in C([0, T]\mathrm{x}\overline{D}, R)$のとき, 次が成り立つ.

,$\mathrm{q}$$|,1|\mathrm{t}’ u^{\{_{1}}|\mathrm{I}\leqq M1$とする.

$0\leqq t<t’\leqq T$.

かつ$\mathrm{e}$.

$\mathrm{d}$.

$x,$ $x’$

123$|H[f, u](t, x)-H[f, u](t’, x’)|$(5)

ただし, $M=a+bM_{1}$ ,証明

まず$C_{4}=2MC_{1} \max\{C_{2},1\}$$\forall(s, y)\in[0, T]\mathrm{x}\overline{D}$

,

である.

$|f(u(s, \text{〃}))|\leqq a+bM_{1}=M$

であることに注意しょう.

$|H[f, u](t’, x’)-H[f, u](t, x’)|$$\leqq|]_{0}^{t}dS]_{D}\{U (t ’ -s, x’, y)-U(t-s, x’, y)\}f(u(s, y))dy|$$+[_{t}^{t’}ds\mathrm{I}_{D}U(t , -s, x’, \text{〃})|f(\mathcal{U}(_{S}, \text{〃}))|dy$

ここで,$U(t’-S, x’, \text{〃〃})=[_{D}U(t’-’\tau, x’, Z)U(t-s, Z, y)dz$ と (2) より,$\leqq M\mathrm{I}_{0}^{t}dS[DU$$(t , -t, x’, z)dz[|U(tD-s, z, y)-U(t-s, x’, y)|d\text{〃}$$+M(t’-t)$ .
補題 2, 3 を用いると,また補題 2 より, 次の評価が得られる.

$|H[f, u](t, x’)-H[f, u](t, x)|$$\leqq M|U(t-s, x’, y)-U(t-s, x, y)|dy$$\leqq 2Mc_{1}\sqrt{t}|x-x’|$

補題 6
(E)

の

証明

$u_{0}\in C(\overline{D}, R)$,.

$||\}u|\}0|_{\mathrm{i}}!\leqq Mo$

mild solution ならば,$\mathrm{q}$

とする.

もし

$\mathrm{e}$.

$u\in C([0, T]\mathrm{x}\overline{D}, R)$$|u(t, x)|\leqq(M_{0}+a\tau)e^{bT}$Gronwall の不等式を用いる.

.

が成り立つ.

$\mathrm{d}$

.

が

124

定理 1

任意の

$?\mathit{4}_{\text{。}}\in C$(D. $R$ ) に対して.

(E) は

「
$\llcorner$

$0$

.

$T$

]

で定義された$\mathrm{x}\overline{D}$$\mathrm{m}$ldsolution をもつ.
Schauder の不動点定理を用いて. 局所解の存在が示せる. また補題 4, 5 と. . .
ツォルンの補題を用いると. $t=T$ まで解が延長できることが分かる.
証明$\mathrm{d}$$\mathrm{e}$$\mathrm{q}$定理 2が次の条件 (i). (\"u) を満たしているとする.

$f_{m}\in C(R, R)$(i)$|f_{m}(_{\mathcal{U}})|\leqq_{\mathrm{L}l}+b|l\mathit{4}|$(ii)$f_{m}arrow f$

またし$\mathcal{U}\text{。}$$u_{n},\in C(_{\sim}^{\mathrm{r}}|0.

$u\in R$ ,( $R$ で広義一様収束).

$marrow\infty$

はうで–様に 揚$u_{m}^{\text{。}}\in c(\overline{D}, R)$

,

as

.

T_{\lrcorner}^{\urcorner}|\cross\overline{D}, R)$$arrow u_{\text{。}}$$t>0$ ,

mild solution とすると,「$\llcorner|0$$x\in\overline{D}$, $T$ ]

証明$\cross\overline{D}$$u_{\text{ゎ}}$$t>0$$\partial u/\partial\nu=0$.

は) であるとする.

も$x\in D$ ,$u(0, x)=u_{m}(\text{。}\chi)$$(\mathrm{E}_{\text{ゎ}})$に,$marrow\infty$が$\dot{O}\mathcal{U}/\partial t=\triangle u+f_{m}(u)$の(as$x\in\partial D$(E) のひとつの mild solutionの部分列で,$\{u_{m}\}$

.

,

$u$

で–様収束するものがある.

$u_{m}=\mathrm{s}_{u^{\text{。}}}m+H[f_{\text{ゎ}}, u_{m}]$を満たしている. そして$|(\mathrm{S}u_{m}^{0})(t, x)-(\mathrm{s}u_{\text{。}})(t, x)|\leqq]_{D}U(t, x, y)|_{\mathcal{U}^{\text{。}}}m(y)-u_{0}(y)|dU$

より$Su_{\text{ゎ}^{}0}-\mathrm{s}_{\mathcal{U}_{\text{。}}}\mathrm{X}\leqq‘ u_{m}^{0}-u_{0}|arrow 0$

仮定より, 正の数

$M_{\text{。}}$が存在して,

を満たす正の数$|u_{n},(t.

x)|\leqq M_{1}$$+bM_{1}$が成り立ち, 補題 5 から,の定理より,のがある.

補題 7$\{u_{m}\}$

この

$u$

すなわち,

,

$:-$

$M_{1}$.

$u^{0},n\leqq M_{\text{。}}$である.

が成り立っているから, 補題 6 より,が存在する.

$\{H[f_{m}, u_{m}]\}$の適当な部分列で,が (E) の

$Su_{m}^{0_{arrow}}\mathrm{s}_{\mathcal{U}}0(_{\mathit{7}narrow}\infty)$

よって,$|f_{m}(u_{m}(t, x))|\leqq a$は同等連続となる. Ascoli-Arzela$C([0, T]\cross\overline{D}, R)$

の元

$u$

mild solution であることは明らか.

$f(u)$ が次の Lipschitz 条件を満たしているとする.

に–様収束するも$\mathrm{q}$.

$\mathrm{e}$.

$\mathrm{d}$

.

125

$\forall\beta>0$

,

このとき,

$\exists L(\beta)>0$ ,

(E)

の

補題 8

条件

$f_{\text{ゎ}}$証明$(\mathrm{A}_{1})$.

(\"u) および次の$\mathrm{O}\mathrm{O}$$\{f_{m}\}$を満たすものが存在する.

は補題 7 の Lipschitz 条件を満たす.

Mollifier を用いる.

定理 3

ここでは次の定理を証明する.

$f\in C(R, R)$ は条件$u_{0}\in C(\overline{D}, R)$を満たしているとする.

$(\mathrm{A}_{1})$

このとき,

任意の

に対して, 集合$\partial=\{u\in C([0, T]\cross\overline{D}, R)$;

は (E) の$u$

mild$\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{I}}$のコンパクトな連結集合である.

$C([0, T]\cross\overline{D}, R)$

証明$C(R, R)$ 内の列を満たす $f\in C(R, R)$ に対して,

2. Kneser の性質

は,$v\in[-\beta, \beta]$

mild solution は–意的である.

定理 2 の (i),

OD

$u,$

Gronwall の不等式より明らか.

証明

で,$|f(u)-f(v)|\leqq L(\beta)|u-v|$ ,Hartman の本 [2, pp. 15-17] と同じ方針で示す.
$u\in\partial\Leftrightarrow u=Su_{0}+H[f, u]$と補題 5, および定理 2 より,$\partial$$O$の連結性を示そう.

$\partial$$\partial$

がコンパクトであることが示される.

が連結でないとすると,と 2 っの空でないコンパクト集合$\partial=_{\mathrm{t}}\gamma 1\cup\partial_{2}$$u_{1}\mathrm{E}ffi_{1}$,$u_{2}\in\delta_{2}$をとる. 番号,$m$$\delta_{1},$$\theta_{2}$$\theta_{1}\subset O$,$C([0, T]\mathrm{x}\overline{D}, R)$の開集合が存在して次が成り立つ.

$(\mathcal{F}_{2}\cap\overline{O}=\emptyset$を固定し, 関数.

$g_{1}$.

$g_{2}$

を次で定める.

126$i=1,2$ .

$g_{i}(t, x, u):=f(ui(t, x))-f_{m}(\mathcal{U}i(t, x))+f_{\text{ゎ}}(u)$ ,

ただし,

$f$

ゎは補題 8 のに対して,$\theta\in[0,1]$$u_{i}(t, x)$はmld solution になっている $(i=1,2)$ .

の

方程式 $\partial u/\partial T=\Delta u+g_{i}(t, X, u)$
次に, 任意の

このとき,を満たすものとする.

$(\mathrm{i})-(\ddot{\dot{\mathrm{m}}})$

を$h_{\theta}$$h_{\theta}$

で定め, 初期$:=(1-\theta)g_{1}+\theta \mathrm{g}_{2}$値境界値問題’$t>0$ ,$\partial u/\partial t=\Delta u+h_{\theta}(t, x, u)$$x\in D$ ,$u(0, x)=u_{0}(_{X})$$(\mathrm{E}_{\theta})$$x\in\overline{D}$$t>0$ ,$-\partial u/\partial\nu=0$,$x\in\partial D$についてもを考える. 前節の注意 1(P. 1) で述べたように, 前節の諸結果はについて Lipschitz 連続である
適用されることに注意しよう. $h_{\theta}(t, x, u)$ は$(\mathrm{E}_{\theta})$$u$

補題 7 より,

から,
り,

は

$\tilde{u}_{\theta}$$\in\partial O$$h_{\theta_{\text{ゎ}}}$

.

この

の

てよい.

$\theta$について連続であり.

$\theta$と$\mathrm{m}\mathrm{i}1\mathrm{d}$

(E)

より,

は唯 1 っの mild solution$(\mathrm{E}_{\theta})$の$\tilde{u}_{\theta}$

を,

それぞれ

solution で,$\theta_{\text{ゎ}}$$h_{\theta_{m}}arrow f$

mld solution

,

$u$

,

だから

$\tilde{u}_{1}=u_{2}$ゎで表すと,$u_{m}$

は(広義一様収束) である.

が存在して,$u$であったから,$u_{m}\in\partial O$$\tilde{u}_{0}=u_{1}$$u\in\partial O$$\{u_{\text{ゎ}}\}$. 従って$\partial$を持つ. 定理 2 よ$\tilde{u}_{\theta}(t, x)$は$u$$\exists\theta\in[0,1]$

注意 2
で.

に–様収束しているとし

口 $\partial O\ni u$である.

$D=R^{n}$は$C(\overline{D}, R)$の場合には,

3. 解写像の写像度($\gamma$$C([0, T]\cross R^{n}, R)$

はの,$X:=C(\overline{D}, R)$

とし,

に対し,

$\Phi(u_{0}):=\{u(T)$ ;$u$.

$\mathrm{e}$$O$.

$\mathrm{d}$広義一様収束の位相$K(X):=$ { $A;A$ は $X$ の空でないコンパクト集合}$u_{0}\in X$

これはのコンパクトな連結集合である.

コンパクトな連結集合になる [3].

とする.

定理 2

したがって,$\mathrm{q}$$\{u(T); u\in\alpha\}$$\tilde{u}_{\theta}$$\partial u/\partial t=\Delta u+$の門り方に矛盾.
系1,

は (E) の mild SOlutiOnI

.

127

で写像

: $Xarrow K(X)$ を定義する. また補題 8 の$\Phi$

唯 1 っの mild solutionとしたものは,$f_{m}$$u_{m}(t, x)$に対し,$\varphi$ゎを定めると, 写像

補題 9

証明
て,

$u_{\text{。}}$$\varphi_{m}:Xarrow x$定理 2 より$\varphi$$\varphi_{m}$: $Xarrow x$ が得られる.

$A\subset X$

ゎの連続性がわかる.

をの近似列 と呼ぶ.

$\Phi$

また,と写像も有界な範囲を動くから, 補$u_{m}$$\mathrm{q}$が与えられたとき, 集合$\Psi:Xarrow K(X)$で定義する.

におい$u_{m}=Su_{0}+H[f_{\text{ゎ}}, u_{fn}]$

は同等連続である .

$\Psi(A):=\cup\{\Psi(u); u\in A\}$$\varphi+\Psi:Xarrow K(X)$$\{\varphi_{\text{ゎ}}\}$

は連続かっ完全連続である.

$\{u_{\text{ゎ}}(T)\}$

一般に, 集合$u_{\text{ゎ}^{}0}=\mathcal{U}0$$u_{0}\in X$ ,が有界な範囲をうごくとき, 補題 6 より,

題 4, 5 により

で

をもち,

$\varphi_{n},(u_{0}):=u_{n},(T)$ ,で$(\mathrm{E}_{m})$さらに,$\varphi$.

.

$\mathrm{e}$$\mathrm{d}$.

を$\Psi(A)$: $Xarrow X$ に対して, 写像を$(\varphi+\Psi)(u):=\varphi(u)+\Psi(u)=\{\varphi(u)+X$ ;$x\in\Psi(u)\mathrm{I}$$u\in X$ ,

,

と定める.
を

$X$

ただし,

$I$

$\Omega$

似列$\{\varphi_{\text{ゎ}}\}$(6)の有界な開集合とし,$(\mathrm{E}_{k,l,\theta})$を$p\not\in(1-\Phi)(\partial\Omega)$を満たすようにとる.

: $Xarrow X$ は恒等写像である. このとき, 写像度 $\deg(I-\Phi, \Omega, p)$ が, 近を用いて$\deg(I-\Phi, \Omega, p)=1\mathrm{i}\mathrm{m}marrow\infty\deg(I-\varphi_{m}, \Omega, p)$で定義できることを示そう.
$\theta\in[0,1]$$p\in X$$\{\varphi_{\text{ゎ}}\}$

を与える$\{f_{m}‘\}$

をひとつ取り,番号 ん, 1とに対し,$(_{\partial u/\partial\nu \mathrm{o}}=$$tt>0>0’$,の唯 1 っの mild solution を$u_{k,P,\theta}$

で表し,

さらに,

,

$x\in\overline{D}x\in X\in\partial DD,$128

$u_{0}\in X$ ,$\theta(T)\backslash$ ,$\varphi_{k,\iota,\theta}(u\mathrm{o}):=uk,$と定めると, 補題 9 より

補題 10.

$\varphi_{k,l,\theta}$

十分大きな番号$k,$: $Xarrow X$ は連続で完全連続である.
をとると,$n_{\text{。}}$$\theta\in[0,1]\Rightarrow p\not\in(I-\varphi_{k}, \ell, \theta)(\partial\Omega)$,$l\geqq n_{0}$.

もしそうでないとすると,

証明$\forall m\in N$,(7)$\exists k_{m}\geqq m$,$\exists l_{m}\geqq m$,$\exists\theta_{\text{ゎ}}\in[0, 1]$$u_{n}^{0},-\varphi_{k_{m}\ell,\theta},jnln(u^{0},n)=p$$(\mathrm{E}_{k\ell,\theta},)$

において,

$k,$

.

$\mathit{1}$$\theta,$$\mathcal{U}\mathrm{o}(x)$換えたものの mld solution を界,$\ell,$

したがって$\mathrm{t}u_{k_{n}\iota_{m}},,,$$\theta$$m${$\theta \text{ゎ}(u^{0}m)\mathrm{I}=$$\ell,$$\varphi_{k_{mm}},$

{

このとき,

(7) より,,$u_{k_{m}\ell\theta},$

定理 2 から,

(E)

の

これより

$\iota,$$u$$\xi=u_{0}-p$$u_{m}^{0}(x)$で置き$\{u_{\text{ゎ}^{}0}\}$

も有

}
と

$\varphi_{k_{m},\ell,\theta_{m}}(u_{m})m0arrow\xi$$u_{\text{ゎ}^{}0}arrow u_{0}$$\mathrm{t}_{\mathcal{U}_{k_{\text{ゎ}}},\theta_{m}}\iota,$

$m$

である.

$u_{k_{m},l_{m},\theta_{m}}arrow u$

}

と

とかく)

と

したがって,$u(T)\in\Phi(u_{0})$$\theta_{m}(u_{n},)0(=u_{km}, \ell, \theta T)mmarrow u(T)$ ,$u(T)=\xi$ が得られ,$\theta_{m},$( $R$ で広義一様収束)$\theta \mathrm{I}$が存在して,,

である.

{ $u_{k_{mmm}},$ の部分列 (これを再び

mld solution$\varphi_{k_{\#},\ell_{m}},,$

$(T)$
ゆ

$\exists\xi\in X$$u_{n}^{0},-\xi+p=:u_{0}$$l_{\text{ゎ}},$補題 4,5 より$(1-\theta_{m})f_{k_{m}}(u)+\theta_{m}f_{\ell_{m}}(u)arrow f(u)$より,,は有界だから,$\Omega$

よって,は同等連続である. Ascoli-Arzela の定理より,してよい.

$k_{m},$

で表す.

} も有界である.

$\exists u_{\text{ゎ}^{}0}\in\partial\Omega$.

をそれぞれ,$\mathcal{U}_{k,l,\theta}$,.

とあわせて,$\Phi(u_{0})\exists u(T)=\xi=u\mathrm{o}-P$となる.

これは $(I-\Phi)(u_{0})\ni P$ を意味している.

$\partial\Omega$はclosed だから$u_{0}\in$129$\partial\Omega$

となり,

$p$

定理 2 より,$\varphi_{k,\ell,1}=\varphi t$のとり方に矛盾.

$\varphi_{k,\ell,\theta}(u_{0})$である.

$\mathrm{q}$補題 10 より,

よって,について連続で,$(\theta, u_{0})\in[0,1]\cross X$

は

$k,$

$l$

.

$\mathrm{e}$.

$\mathrm{d}$.

$\varphi_{k,\ell,0}=\varphi_{k}$,が十分大なら$\deg(I-\varphi_{k}, \Omega, P)=\deg(I-\varphi_{\ell}, \Omega, p)$(6) の右辺は意味をもつ.

が成り立ち,$\Phi$の近似列として, 他の$\varphi_{1},$なる列も$\Phi$

定理 4をとったとき,$\{\psi_{m}\}$$\psi_{1},$$\varphi_{2},$の近似列になっている.

$\deg(I-\Phi, \Omega, P)\neq 0$$\psi_{2}$,$\cdot$. . . . .,$\varphi_{\text{ゎ}},$$\psi_{\text{ゎ}},$$\cdots\cdots$

よって (6) の値は近似列の取り方によらない.

ならば,(I $-\Phi$ ) $(u_{0})\ni p$ を満たす

$u_{\text{。}}\in\Omega$

が

存在する.

証明
$0$

近似列

だから,

$\{\varphi_{m}\}$$\exists u_{\text{ゎ}^{}0}\in\Omega$,

をひとつ取る. 十分大きな$u_{\text{ゎ}^{}0}-\varphi,n(u^{0},n)=p$

このとき,

得られ,

これと

を得る.

ここで,

$u_{m}^{0}arrow\xi+p=:u_{0}$$\xi=u_{0^{-p}}$$u_{0}\in\overline{\Omega}$

から,

であるが,

$\xi\in X$$\deg(I-\varphi m, \Omega, p)\neq$

をとれば,

,

のとり方より,すなわち,$u_{\mathit{0}}\in\Omega$$\{\varphi_{nt}(u^{0}m)\}$と$\varphi_{m}(u_{m}^{0})arrow\xi$である. –方, 定理 2 より,$\Phi(u_{0})\ni u_{\text{。}}-p$

$p$

について,

である. 補題 10 の証明と同様には同等連続であることが示せる. よって, 適当な
してよい.

$m$

が

$\xi\in\Phi(u_{0})$$(I-\Phi)(u_{0})\ni p$である .

$\mathrm{q}$.

$\mathrm{e}$.

$\mathrm{d}$.

$\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{E}\mathrm{s}$[1]

伊藤清三, 偏微分方程式 (培風館, 新数学シリーズ 26) ,[ 2]

Hartman,1966.

P. , Ordinary Differential Equations, John Wiley and Sons, Inc.

1964.
[3]

Kikuchi,N. , Kneser’$\mathrm{s}$property for a parabolic partial differential

equation, Nonlinear Analysis 20, 205-213(1993).