数理解析研究所講究録 1213 巻 2001 年 19-2719不安定構造の Generic 自己同型写像
東海大・理・情報数理桔梗宏孝 (Hirotaka Kikyo)

Dept. of Math. Sci., Tokai University
kikyo@ss.u-tokai.ac.jp

1

はじめに

のモデル完全な理論 $T$ に対し (不完全な) 理論{ は 自己同型}
$T$
を考える.
の言語は
である.
のモデル $M$ と
に対
力
].
し,
generic 自己同型であるとは $(M,\sigma)$ がの存在閉モデル (an existentiallyclosed model) ということである.
一般に構造 $D$ が理論 $U$ の存在閉モデルであるとは, (1) $D$ が $U$ のモデルで, (2) $D$にパラメータをもつ量化子のない任意の論理式 (たとえば $D$ 係数の方程式) につぃて, それが $D$ を拡大した $U$ のモデルで解をもっならば $D$ でも解をもっということである. たとえば, 体の理論の存在閉モデルは代数的閉体である.
一般的な問題として,の存在閉モデルのクラスが初等クラスになるための $T$
に関する必要十分条件を求めるということが考えられる.
の存在閉モデルのクラスが初等クラスになるとは,の一階の理論でそれが公理化できるということであるが, この理論を TA と書くことにする. これはのモデルコンパニオンで言語$\mathcal{L}$$T_{\sigma}=T\cup$$T_{\sigma}$$\mathcal{L}_{\sigma}=\mathcal{L}\cup\{\sigma\}$$\sigma$$\sigma$$\mathcal{L}$$\sigma\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}_{\mathcal{L}}(M)$$T_{\sigma}$$T_{\sigma}$$T_{\sigma}$$\mathcal{L}_{\sigma}$$T_{\sigma}$

ある.
この問題は $T$ を安定理論に限っても難しいようである [1], [5], [9]. この論文の意
味での generic 自己同型写像は Lascar[8] により最初に研究された. $T$ が代数的閉体の理論 $ACF$ の場合は Chatzid 吐 is と Hrushovski [2] によって詳しく調べられ, この問題がさらに興味あるものになった. Chatzidakis と Pillay は安定な $T$ に対する
TA の一般論を展開したが [3], TA の存在条件についてはそれほど述べてぃない.
Kudaibergenov は, TA が存在するならば $T$ において「無限に存在する」 という量化子が消去できることを示した. したがって, $T$ が安定で TA が存在するならば はをもたないことになる.
一方, 坪井氏はランダムグラフの理論に対する TA を構成しようとしてぃたが, ある種の難点を見つけていた. それをもとに筆者はランダムグラフの理論には TA が存在しないことを示した. この事実を筆者が Pillay に話したとき, 彼は Kudaibergenovの結果をふまえて,が理由かも知れないと言った. これは, Kudaibergenov の結果から $T$ が安定の場合は正しいので, $T$ が不安定ならば TA はないという予想$T$$\mathrm{f}\mathrm{c}\mathrm{p}$$\mathrm{f}\mathrm{c}\mathrm{p}$20-

稠密全順序集合の理論や無原子ブール代数の理論についても調べてみたが, ランダムグラフの場合と同様の方法により TA が存在しないことがわかった.
稠密全順序集合の場合はランダムグラフの場合より自然に議論ができたが, その議が不安定で independence property をも論をさらに自然に拡張することにより,
そこで,

$T$

たなければ TA が存在しなことがわかった [4]. $T$ が不安定で independence property
をもたなければ $T$ は strict order property をもつが, Shelah は strict order propertyをもつならば TA が存在しなことを示した [6].
無原子ブール代数やランダムグラフは independence property をもつので, これが融合
らの場合を含む一般の場合についても TA の非存在を示したかったが,性 (amalgamation property) をもつ場合も, $T$ が不安定ならば TA が存在しないこ$T_{\sigma}$ともわかった [4].
TA の存在しない例は Hrushovski も与えており, 単純理論の有名な例である
ACFA や擬有限体の理論 Psf に対しても TA は存在しない (未発表). 彼の議論はは融合性を
体論を本質的に使っているので, なかなか一般化ができない.
$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{A}_{\sigma}$$\cdot$もたないが, Psf, が融合性をもつかどうかは知られていないようである.
等はモデルの要素の有限列を表し, $x,$ 等は変数の有限列を
以 , 小文字 $a,$が要素の有限列で $A$ が要素の集合のとき, $a\in A$ は の各要素が $A$ に属表す.
することを表す. $\varphi(x,a)$ がパラメータをもつ論理式で $M$ が構造のとき, $\varphi(M, a)$$b,$ $c$$\mathrm{T}$

$y$

$a$

$a$

は $\varphi(x,a)$ の $M$ における解集合を表す. また.

イプのとき.
タイプをに属する論理式のパラメータ (係数) を
と書く.

$p$

$\sigma(p)$2$\sigma:Marrow M$ で,$\sigma$$p$

が $M$ 上の部分タで動かして得られる部分

具体例

この節では稠密全順序集合とランダムグラフの場合について generic 自己同型写像のクラスが初等的にならないことを示す. これらは次に定義する不安定構造の典型例である.

上の定義可能な関係 $r(x,y),$ 組の列
定義 2.1 構造 $M$ において, 自然数 $k,$が存在して. $i<j\Leftrightarrow r(a:,a_{j})$ が成り立つとき, $M$ は不安定であ果るという. 理論 $T$ が不安定なモデルをもつとき, $T$ を不安定と呼ぶ.
$k$$M^{k}$$\in M^{k}(i\in \mathrm{N})$

命題 2.2$T=\mathrm{T}\mathrm{h}(\mathbb{Q}, <)$に対し,TA は存在しない.

の自己同は証明 TA が存在すると仮定する. $\sigma_{0}(x)=x+1$ とするとに拡大する. さらに初等拡大
を TA のモデル型写像である.
を考えることにより, $(N, <,\sigma)$ は十分飽和と考えてよい. さて, 次の部分タイプ$p(x)$ を考える.
$\sigma_{0}$$(\mathbb{Q}, <,\sigma_{0})$$(N,\cdot<,\sigma)$$p(x)=\{n<x:n=0,1,2, \ldots\}$$(\mathbb{Q}, <)$21$\vee \mathrm{t}o k,$.

$(N, <, \sigma)|_{\llcorner}^{\vee}k.\mathrm{V}^{\backslash }\vee C*\sigma\supset 2’\supset l^{\mathrm{S}}ffi\mathfrak{h}f\vee\supset$(1) $p(x)\vdash\exists z(0<z<x\wedge\sigma(z)=z)$ ,(2) $q(x)$ が $p(x)$ の有限部分ならば $q(x)f-\exists z(0<z<x\wedge\sigma(z)=z)$ .
まず (2) を示す. $q(x)$ を $p(x)$ の有限部分とすると, 十分大きな自然数 $m$ は $q(x)$を満たす. さて, $q(x)\vdash\exists z(0<z<x\wedge\sigma(z)=z)$ とすると, ある $b\in N$ に対はの拡張
し $(0<b<m\wedge\sigma(b)=b)$ が $(N, <, \sigma)$ で成り立つ. ところで,は の固$\sigma^{m}(0)=m$ である. 一方,だったので, $\sigma(0)=1,$ $\sigma^{2}(0)=2,$
が $<$ についての同型写像なので, $0<b$ から定点なので, $\sigma^{m}(b)=b$ である.
$m=\sigma^{m}(0)<\sigma^{m}(b)=b<m$ となり, 矛盾する.
次に (1) を示す. これが示せれば $(N, <, \sigma)$ の飽和性に矛盾するので, 命題が示$\sigma$$\sigma_{0}$$b$$\sigma$$\ldots,$$\sigma$

せたことになる.

. 自然数 0, 1, 2, ... とを含む $(N, <, \sigma)$ の可算な初等部分構造 $(M, <, \sigma|M)$ をとる. $(M, <)$ において 0, 1, 2, .. . の自然数で決まる切断のタイプ $r(z)$ を考える ( $r(z)=\{a<z:a\in M, \exists i\in \mathrm{N}(a<i)\}\cup\{z<d$ :$d\in M,$
. すると, Th $<)$ la を許すので $r(z)$ は $M$ 上の完全タイプで, $0<z<c$ は $r(z)$ [こ属し, $\sigma(r)=r$ である.
$(N, <)$ が十分飽和なので, 次のような $(N, <)$ の初等部分構造 $(M’, <)$ とそのとなるものが $M’$ からとれ,の解 で自己同型写像 が存在する:$p(x)$ の $N$ での解 $c$ を任意にとる$\forall i\in \mathrm{N}(i<d)\})$$\tau$$(\mathbb{Q},$

$r$

$b’$

$c$

$\mathrm{Q}\mathrm{E}$$\tau(\mathcal{U})=b’$$\tau|M=\sigma|M$ である.

すると $(M’, <, \tau)$ において $(0<b’<c\wedge\tau(b’)=b’)$ が成りの存在閉モデルなので,立つが, $(M, <, \sigma|M)\subset(M’, <, \tau)$ で $(M, <, \sigma|M)$ が$(0<z<c\wedge\sigma(z)=z)$ は $(M, <, \sigma|M)$ においても解をもつ. 以上により (1) が示$T_{\sigma}$

せたので命題が得られる.

口が不安定で independence property をもたない場合 (もちろんモデル完全性も仮定する) に TA が存在しないことの証明も同様にできる. 自然数列 0, 1, 2, ... の代
わり [こ一様列 (indiscernible s 明) $(i=0,1,2, \ldots)$ を $a_{0}<a_{1}<a_{2}<\ldots$ となるようにとる. くは不安定性を与える順序である. したがって, : は一般に組であとなるように $T$ のあるモデルの自己同型写像をとり, TA の飽和る.
モデルに拡大して同様に議論すればよい. は $T$ の言語に対する $a:(i=0,1,2, \ldots)$の $M$ における平均タイプ (average type) とする. すると independence property がないことから H ま $M$ 上の完全タイプになる.
$T$$\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$$a_{\dot{1}}$$a$$\sigma_{0}(a_{\dot{l}})=a:+1$$r$

命題 23 $(G, R)$ がランダムグラフのとき,ない.

証明

TA が存在すると仮定する.

$T=\mathrm{T}\mathrm{h}(\mathrm{G}, R)$$(G, R)$ の自己同型写像に対し,$\sigma_{0}$TA は存在しと $a\in G$ を

$a$

を含

軌道が無限になるようにとる (たとえば往復論法で存在が示せる). すると,である. $(G, R,\sigma_{0})$ を TA のモデ J レ $(N, R’,\sigma)$ に拡大す$i\neq j$ ならばむ$\sigma_{0}$$\sigma_{0}^{i}(a)\neq\sigma_{0}^{j}(a)$22る. 表記を簡単にするため,$R’$

も $R$ と書くことにする.

デルとしてよい. さて, 次の部分タイプ$p\Leftarrow$$p(x)=\{x\neq\sigma^{m}(a) :$(N, R, \sigma)$は十分飽和なモ) を考える.
m\in \mathbb{Z}\}$

軌道に がないということを記述している. すると,
において次の 2 つが成り立つ.

$p(x)$ は $a$ を含む$x$$\sigma$$(N, R, \sigma)$(1) $p(x)\vdash\exists z(R(a, z)\wedge\neg R(x,z)\wedge\sigma(z)=z)$ ,(2) $q(x)$ が $p(x)$ の有限部分ならば $q(x)r\exists z(R(a, z)\wedge\neg R(x, z)\wedge\sigma(z)=z)$ .
ます (2) を示す. $q(x)$ を $p(x)$ の有限部分とすると, 十分大きな自然数 $m$ に対し,は $q(x)$ を満たす. (2) の結論の否定が成り立つとすると,のある不動点が の不動点で,に対し, $R(a, z)$ とが成り立つ.
が同型写像であることより, $R(a,z)$ から $R(\sigma^{m}(a),z)$ が得られるが, これは矛盾である.
次に (1) を示す. これが示せれば, $(N, R, \sigma)$ の飽和性に矛盾するので, 命題が示せたことになる.
と を含む $(N, R,\sigma)$ の可算な初等$p(x)$ の $N$ での解を任意にとる. さらに,を含む 軌道を $A$ とし, $M$ 上のタイプ $r(z)$ を部分構造 $(M, R|M,\sigma|M)$ をとる.

$\sigma^{m}(a.)$$z$$\sigma$$\urcorner R(\sigma^{m}(a), z)$

$z$

$a$

$c$

$a$

$r(z)=\{R(d,z) :$(N, R)$ の飽和性より,が存在して,$\sigma$$\sigma$$c$$\sigma$d\in A\}\cup\{\neg R(d’,z) :d’\in M^{\cdot}\backslash A\}$$(N, R)$ の初等部分構造 $(M’, R)$ とその自己同型写像$\tau$と $b’\in$の不動点にもなっており, $\tau|M=\sigma|M$ である.
$(M’, R,\tau)$ において $(R(a,b’)\wedge\neg R(c, b’)\wedge\tau(b’)=\nu)$ が成り立つが, $(M, R, \sigma|M)\subset$$(M’, R, \tau)$ で $(M, R,\sigma|.M)$ がの存在閉モデノレなので, $(R(a, z)\wedge\urcorner R(c, z)\wedge\sigma(z)=$$z)$ は $(M, R, \sigma|M)$ でも解をもつ.
以上により (1) が示せたので命題が得られる. 口
$M’$

$\nu$

は $r(z)$ の解で$\tau$$T_{\sigma}$3

一般論
この節では一般的な結果をいくつか証明する.

定義 3.1 $T$ を理論とする. 任意の論理式 $\varphi(x,y)$ に対しある自然数 が存在し, $T$の $M$ における解の個数が個の任意のモデル $M$ と任意の $b\in M$ に対し,
$T$以上ならばその数が無限になるとき,において 「無限個存在する」 という量化子が消去できるという.
$n$$\varphi(x, b)$$n$

定珊 3.2 (Kudaibergenov) $T$ がモデノレ完全で TA が存在すれば $T$ において「無限個存在する」 という量化子が消去できる.

23
は完全であると仮定できる. TA が存在するが,「無限個存在する」という量化子が消去できないと仮定する. すると, ある論理式にが存在して, 各においてのあるモデノレが存在し,における解の個数は 以上有限になる.
ついて,b$(M_{0},id)$ ( $id$ は恒等写像) を TA のモデル $(M, \sigma)$ に拡大する. $T$ がモデル完全なが有限なので,$\prec M$ である.
に対し,したがって, 各ので簡単な議論により,証明$T$$\varphi(x,y)$

$T$

$i$

$M_{0}$$\varphi(x$$i\in \mathrm{N}$$M_{0}$$|\varphi(M, b_{\dot{l}})|=|\varphi(M_{0}, b:)|$$\sigma$$i\in \mathrm{N}$$b_{:}\in M_{0}(i\in \mathrm{N})$$M_{0}$となり,$|\varphi(M_{0}, b_{1}.)|$

したがって $\varphi(M, b:)=\varphi(M_{0}$ , b

箸覆. するとは $\varphi(M, b:)$ の要素を点ごとに固定していることになる.

上の単生成でない超フィルター をとり, $(M, \sigma)$ の 上の超積において はの解を各点ごとすると,を考える.
とに固定する.
を含む 上のタにおいて無限個の解をもつ. すると,
は一方,がとイプ $p(x)$ で非代数的なものが存在する. $c\models p(x)$ に対し $d\neq c$ なる
かつ $\tau(c)=d\neq c$の拡大 $N\models T$ と $N$ の同型写像 で, }れる. するとによの解で,の存在閉モデルなので,はとなるものがとれる.
口り固定されないものがあることになる. これは先程示したことと矛盾する.
ここで,$\tilde{b}=\langle b:$\varphi(x,\tilde{b})$:i\in \mathrm{N}\rangle/\mathcal{U}$$(\tilde{M},\tilde{\sigma})$$\mathcal{U}$$\mathcal{U}$$\mathrm{N}$$(\tilde{M},\tilde{\sigma})$$\varphi(x,\tilde{b})$$\tilde{\sigma}$$\tilde{M}$$\varphi(x,\tilde{b})$$\tilde{M}$$d\models\tilde{\sigma}(p)$$\tilde{M}=\tilde{\sigma}$$\tilde{M}$$\tau$$\tau$$(\tilde{M},\tilde{\sigma})$$\varphi(x, \tilde{b})$$T_{\sigma}$$\tilde{\sigma}$

定義 33 構造 $M$ が strict order property をもつとは, $M$ の要素の組の列 $a:(i\in \mathrm{N})$が存在して,と論理式$\varphi(x,y)$$i<j$となることである.

$\varphi(M,a:)\subset\varphi$$\Leftrightarrow$( $M$, a 嘉)で $x<y$ を定義すると, $x<y$ は $T$ の言語$\varphi(M, x)\subset\varphiarrow(M,y)$で定義可能な順序 (非対称な推移関係) で, 無限上昇列をもつものになる. 理論 $T$
が strict order property をもつモデノレをもつとき, $T$ は strict order property をもつという.
定理 34(with Shelah) $T$ がモデル完全で $T$ が strict order property をもつならば TA は存在しない.
証明
とする.
合

$M_{0}$

を strict order property をもつ $T$ のモデルとする. また,

$T$

の言語を

$\mathcal{L}$上の定義可能な順序くと 組の集に対しが存在して $i<j$ ならば $a:<a_{j}$ となる. ラムゼーの定理よはを拡大することにより,における 一様列と仮定してより,となるの自己同型写像を拡大することにより,
い. さらにのモデルになる.
はがあると仮定できる. すると,を TA のモデル $(N, \sigma)$ に ffi.
さて, TA が存在するとして矛盾を導こう.
$\{a:

:

したがって, ある自然数

$k$

$k$

$M_{0}^{k}$i\in \mathrm{N}\}\subset M_{0}^{k}$$\langle a_{-} :$M_{0}$$M_{0}$

i<\omega\rangle$$M_{0}$$\sigma_{0}(a:)=a_{\dot{\iota}+1}$$(M_{0}, \sigma_{0})$$\mathcal{L}$$M_{0}$$\sigma_{0}$$T_{\sigma}$$(M_{0}, \sigma_{0})$大する. $T$ がモデル完全なので, $M_{0}\prec N$ である. $(N, \sigma)$ は十分飽和であると仮定してよい. 以下, $(N,\sigma)$ の中で考える.
部分タイプ $p(x)=\{a:<x:i<\omega\}$ と論理式 $\psi(x)\equiv\exists y(a_{0}.<.\sigma(y)<y<x)$ を考えると$(N, \sigma)$において次が成り立つ.

24(1) $p(x)\vdash\psi(x)$ ,(2) $p(x)$ の任意の有限部分 $q(x)$ に対し,

$q(x)\mu\psi(x)$.

これらが成り立てばの飽和性に矛盾する.
まず (2) を示す. $p(x)$ の有限部分 $q(x)$ [こ対し, $q(x)\subset\{a:<x : i<n^{*}\}$ となるをとる. するとち. は $q(x)$ を満たす. $q(x)\vdash\psi(x)$ とすると,は $\psi(x)$を満たす. $b\in N$ を勾く $\sigma(b)<b<a_{n}*$ となるようにとる. $a_{0}<\sigma(b)$ より,である.
から,=\sigma 1(勾)$(N, \sigma)$$n^{*}$$a_{n}*$.

$<\sigma^{n^{*}+1}(b)$$a_{n}$$\sigma(b)<b<a_{\mathrm{n}}$.

$\sigma^{n+1}.(b)<\sigma^{n}.(b)<\cdots<\sigma(b)<b<a_{n}\cdot$.

となり矛盾する.
推移性により’
では, (1) を証明しよう. $c\in p(N)$ と仮定する.
$c\in M,$ $|M|=|T|$ , となるよ
うにの初等部分構造 $(M,\sigma|M)$ をとる.
各 $d\in p(N)$ に対し, $d’\in p(N)$ かつ $d’<d$ なるある により $N$ で満たされる論理式全体の集合を $\Psi(d)$ とする.
$a_{n}\cdot<a_{\mathrm{n}}*$$a_{0},$$(N, \sigma)$$d’$$\mathcal{L}(M)$すると,$d_{1},$$d_{2}\in p(N)$ かつ $d_{2}<d_{1}$

クト性により, 任意の$d_{1},$$d_{2}\in p(N)$

ならば

[こ対し,

$\Psi(d_{2})\subseteq\Psi(d_{1})$$d_{3}<d_{1}$であり, また, コンパ

かつ $d_{3}<d_{2}$ となる $d_{3}\in p(N)$が存在する.
$\Psi=\bigcap_{a\epsilon p(N)}\Psi(d)$とおく.

の定義より, 各
論理式全体を $\{\varphi:(x) : i<|M|\}$ とする.
$:<|M|$ に対し, $\varphi:(x)\not\in\Psi(dt)$ となる $d_{t}\in p(N)$ をとる. $N$ の飽和性と上のこ$\in p(N)$ をうまくとると, すべての $i<|M|$ に対し c’
とから,
となる.
は
なので, 各となり,に属さない. よって,$\Psi(c.)$ $=\Psi$ となる.
$d\in p(N)$ かつ
く♂ならば $\Psi(d)=\Psi(c^{*})$ である. さらに, ♂く と仮定できる. 集合 $p(N)$ と $M$ は で不変なので,も で不変である. すなわち, 任と組 $a\in M$ に対し, $\varphi(x,a)\in\Psi(c^{*})$ と $\varphi(x, \sigma(a))\in\Psi(c^{*})$ は意の 論理式
同値になる.
を考える.
ここで, $b_{1}\in p(N)$ を $b_{1}<$ ♂となるようにとり,でである. $\Psi(c.)$ は で不変だったので,すると,の$=\Psi(b_{1})$ なので,である.
ある. ♂のとり方からを満たすような
定義とコンバクト性から. $b_{2}\in p(N)$ で $b_{2}<b_{1}$ かつ $h$ がものがとれる.
が $M$ 上の完全 タイプなので, $Mb_{1}b_{2}\subset M’,$ $\tau(b_{1})=b_{2}$ かつ $\tau|M=$となる $N$ の 初等部分構造 $M’$ と $M’$ の 自己同型写像 が存在する.
すると, 次が成り立つ.
$\Psi$

に属さない
$c$

.

$\Psi$$\mathcal{L}(M)$$<d_{\mathrm{t}}$$\Psi(c^{*})\subseteq\Psi(d_{t})$$\varphi:(x)$$\Psi(c^{*})$$\Psi(c^{*})\subseteq\Psi$

$d$

$c$

$\Psi(c^{*})$$\sigma$$\sigma$$\varphi(x,y)$$\mathcal{L}$$q_{1}(x)=\mathrm{t}\mathrm{p}_{\mathcal{L}}(b_{1}/M)$$q_{1}(x)\subseteq\Psi(c^{*})$$\sigma(q_{1}(x))\subseteq\Psi(c^{*})$$\sigma$$\Psi(c^{*})$$\sigma(q_{1}(x))\subseteq\Psi(b_{1})$$\sigma(q_{1}(x))$$\sigma(q_{1}(x))$$\sigma|M$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$(M’,\tau)\models a_{0}<\tau(b_{1})<b_{1}<c$$\tau$.

$\Psi(b_{1})$25は TA のモデルだったので, それはの存在閉モデルである. $T$ がモ
デル完全であることから, 順序 $<$ が の存在形の論理式で定義できることに注意
すると, 論理式 $a_{0}<\sigma(y)<y<c$ が $(M, \sigma|M)$ でも解をもつことがわかる. したがって, $(M, \sigma|M)\models\psi(c)$ である. これで (1) が示せたので, 定理が証明できた.
$(M, \sigma|M)$$T_{\sigma}$$\mathcal{L}$口

ランダムグラフは strict order property をもたないが, TA は存在しない.
融合性をもつ不安定な理論 $T$ に対しては TA は存在しない.

$T_{\sigma}$が定義 35 理論 $U$ が融合性 (amalgamation property) をもつとは, $U$ の任意のモデ
ノレ
かつ
に対し,
ならば,
なる $U$ のモデ,
ルが上が存在して,に埋め込めるということである.
$M_{0}$$M_{1},$$M_{0}\subset M_{1}$$M_{2}$$M_{3}$$M_{2}$$M_{0}$$M_{0}\subset M_{2}$$M_{1}\subset M_{3}$$M_{3}$

が融合性をもつことを Lascar は PAPA と呼んだ. 彼によると, PAPA をもたない理論はあまり知られていない.
$T_{\sigma}$定理 3.6 $T$ がモデル完全かつ不安定で,ない.

$T_{\sigma}$

が融合性をもつならば TA は存在し

$T$ の言語を証明, スコーレム化した理論を $Ts$ , スコーレム化した言語をとする. ただし, スコーレム関数は関係記号としていれておく. $T$ が不安定なので, $T$ のあるモデル $D$ との論理式で定義された( はある自然数) 上の 2 項
関係 $r(x, y)$ と $a:\in D^{k}(i\in \mathrm{N})$ をうまくとるととなる. $r(x,y)$は非対称な関係と仮定できる. $D$ に選択関数を加えることによりのモデルに拡張できる. 簡単のためにこれも $D$ と書く. さらに初等拡大することにより, 一様
が $D$ においてタリも拡大し,一様列であると仮定してよい.
をこの列のスコーレム閉包とすると,は $Ts$ のモデルである. また,$\sigma_{0}(a_{i})=a_{i+1},$ $\sigma_{0}(b:)=b_{i+1}$ と定義すると,自己同型 [こ自然に拡大
の
は
の
できる.
のモデルである.
への制限は$\mathcal{L}$$\mathcal{L}_{S}$$D^{k}$$\mathcal{L}$$k$$i<j\Leftrightarrow r(a_{\dot{l}}, a_{j})$$T_{S}$$\langle a_{\dot{\iota}} :i\in \mathbb{Z}\rangle^{\wedge}\langle b_{1}.

:i\in \mathbb{Z}\rangle$$\mathcal{L}_{S}$$M_{0}$$M_{0}$$M_{0}$$\sigma_{0}$$(M_{0}, \sigma_{0})$では,$\mathcal{L}(\sigma)$$\mathcal{L}s$$T_{\sigma}$

TA が存在すると仮定しよう. 目標は矛盾を導くことである. まず, TAを拡大する. スコーレム関数は全体で定義されているかどうかはわからないことに注意しておく. そこで,
の中で
を表す
$P$
述語 を加え,構造を考える. すなわち, $P(M_{1})=M_{0}$ で,スコーレム関数は $P$ 上で定義されている. また,は $P(M_{1})$ 上では $Ls$ 自己同型になっている.
をさらに初等拡大して, 十分飽和なモデルにしておく.
次のような部分タイプ $p(x)$ と論理式 $\psi\equiv\exists z(r(a, z)\wedge r(z,x)\wedge\sigma(z)=z)$ を考
える.
のモデル

$(M_{1}, \sigma_{1})$に$(M_{0}, \sigma_{0})$$M_{1}$$M_{1}$$(M_{1}, P, \sigma_{1})$$\mathcal{L}_{S}(P,\sigma)$$\sigma_{1}$$(M_{1}, P, \sigma_{1})$$p(x)=\{P(x)\}\cup$

すると,$(M_{1}, P,\sigma_{1})${$\langle a_{\dot{\iota}}$:$i\in \mathbb{Z}\rangle^{\wedge}\langle\sigma^{:}(x)$:$i\in \mathbb{Z}\rangle$において次の 2 つが成り立つ.

は$\mathcal{L}_{S}$

一様列}$M_{0}$

26(1) $p(x)\vdash\psi(x)$ ,(2) $p(x)$ の任意の有限部分 $q(x)$ に対し,
この 2 つが示せれば,$(M_{1}, P, \sigma_{1})$$q(x)r\psi(x)$.

の飽和性に矛盾するので,TA が存在しなかったことになる.
が $q(x)$ を満の有限部分とすると十分大きな $m$ をとればたすこと [こよる. $q(x)\vdash\psi(x)$ だとすると $r(a_{m}, z)$ かつ $r(z, a_{m})$ となることがわかの非対称性に矛盾する.
り,において $p(x)$ を満たす を任意にとる. すると, $c\in P(M_{1})$
次に (1) を示す.
を
は一様列である. この列のスコーレム閉包
で 果の平均タイプ $s(z)$ をのモデノレになる. Nl こおいて 果はとるとが一様列であることから $s(z)$ は 完全タイプになる. ま
考えると,た, 定義より, r(鞠, ) と $r(z, c)$ はともに $s(z)$ に属し, $\sigma_{1}(s)=s$ でもある. よっの自己同型となるものが存
は
で,
の拡大
て,
が
で
在し,
の解 $\nu\in N_{2}$ で $\tau(y)=b’$ となるものがとれる. すると,がで,の拡大が融合性をもつことにより,成り立つ.
が上埋め込めるようなものが存在する. $T$ のモデル完全性により,(2) は,$q(x)$ を $p(x)$$a_{m}$$r$$M_{1}$$\langle$$c$$:i\in \mathbb{Z}\rangle^{\wedge}\langle\sigma \mathrm{i}(c):i\in \mathbb{Z}\rangle$$N_{0}$$N_{0}$$\mathcal{L}s$$T_{S}$$\langle a::$\langle$$1\in \mathrm{N}\rangle$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$i\in \mathrm{N}\rangle$$z$$(N_{0}, \sigma_{1}|N_{0})$$(N_{2},\tau)$$N_{2}\models T,$$\tau$$N_{2}$$\mathcal{L}$$(N_{2},\tau)$$s$$T_{\sigma}$$(M_{3}, \sigma_{3})$$(M_{1}, \sigma_{1})$において存在形で表現できるので, $\psi(c)$ がの存在閉モデルであることから,が$(M_{3}, \sigma_{3})$$(M_{1}, \sigma_{1})$$T_{\sigma}$

がわかる.

4

$(N_{2}, \tau)$$r$$(N_{0},\sigma_{1}|N_{0})$$T$$\psi(c)$でも成り立つことがわかり,$(M_{1},\sigma_{1})$でも $\psi(c)$ が成り立つこと口

おわりに

TA の存在はよく気をつけないと明らかに思えてしまうことが多い. 一般に, TAの存在も非存在も証明が難しいようである. 不安定な単純理論については道具立
てがたくさんあるようだが, TA の非存在を証明するのは難しい. ACFA や Psf に対して, Hrushovski が TA の非存在を示したが, 彼は体論をうまく使っており, その議論の一般化はなかなかできないと思われる.

参考文献[1] Z. Chatzidakis, Generic automorphisms of separably closed fields, to appear
in the Illinois J. of Math.
[2] Z. Chatzidakis and E. Hrushovski, The model theory of difference fields,
Thansactions of AMS, 351 (1999), 2997-3071.
[3] Z. Chatzidakis and A. Pillay, Generic structures and simple theories, Annalsof Pure and Applied Logic 95 (1998) 71-92.

27[4] H. Kikyo, Model companions of theories with an automorphism, J. Symb.
.
Logic 65 (2000)$1215\ovalbox{\tt\small REJECT} 222$

[5] H. Kikyo and A. Pillay, The definable multiplicity property and generic auto
morphism, to appear in Annals of Pure and Applied Logic.
[6] H. Kikyo and S. Shelah, The strict order property and generic automorphism,
to appear in J. Symb. Logic.

[7] D. Lascar, Autour de la pr0pri\’et6 du petit indice, Proc. London Math. Soc.
62 (1991) 25-53.

[8] D. Lascar, Les beaux automorphismes, Arch. Math. Logic 31 (1991) 5568.
[9] A. Macintyre, Generic automorphisms of fields, Annals of Pure and Applied
Logic 88 (1997), 165-180.
[10] S. Shelah, Classffication theory and the number of non-isomorphic models,
North Holland, Amsterdam, 1978.