数理解析研究所講究録
第 1775 巻 2012 年 80-84

80

擬リーマン空間型内の平均曲率ベクトルが零となるローレンツ曲面について
三浦 幸平 (Kouhei Miura)

お茶の水女子大学大学院人間文化創成科学研究科

Graduate School of Humanities and Sciences,
Ochanomizu University

1

はじめに擬リーマン定曲率空間である，次元 , 指数 の擬球面および擬双曲空間には，正定値$(t=0)$ の球面 $S^{n}:=S_{0}^{n}$ 上の標準はめ込みに対応する “標準はめ込み” が構成される ([3]). (正$n$$t$$H_{t}^{n}$$S_{t}^{n}$定値) リーマン幾何学における標準はめ込みに対しては，多くの研究が知られている．擬りー
マン定曲率空間上の “標準はめ込み” も，その構成方法から，球面の標準はめ込みに類似した性質を持つことが期待される．の標準はめ込みに合同でへの極小等長はめ込みはから球面
本稿では，特に 「球面ある」 という E. Calabi([l]) のリーマン幾何学における結果の不定値版を考える．具体的には，への平均曲率ベクトルが零となる等長から定曲率空間「定曲率ローレンツ曲面はめ込みは剛性を持つか」 という問題に関して得られた結果を報告する ( $K$ と は断面曲率).
なお，本研究は長谷川和志氏 (金沢大学) との共同研究 ([2]) である．
$S^{2}$$S^{2}$$S^{n}$$\overline{M_{t}}^{n}(c)$$M_{1}^{2}(K)$$c$2

ローレンツ曲面の極値的な等長はめ込みが与えられたとき， を擬リーマンベクトル束とよぶ． が階数 2 でローレンツ計量を持つとき，ローレンツ平面束とよぶ． の階数が $2m$ で，$(J^{E})^{2}=id_{E},$ $g^{E}(J^{E}v, w)=-g^{E}(v, J^{E}w)$ を満たすの指数が であるとき，End $(E)$ で，ベクトル束 $E$ に，非退化な束計量$E$$g^{E}$

$E$

$E$

$J^{E}\in$$m$

ものを$E$$g^{E}$のパラエルミート構造という $(V, w\in E)$ .

向きづけられた 2 次元ローレンツ多様体はローレンツ曲面とよばれる．ローレンツ曲面には，そのレビチビタ接続 で平行なパラエルミート構造が (符号を除いて) 標準$M$ 上の向き付けら$M$ 上のパラエルミート構造 $J\in$ End $(TM)$ として，的に存在する．以降，$g(e\pm, e\pm)=$ O, g $(e_{+}, e_{-})=1$ となるもの対して，れた局所枠場 $e=(e_{+}, e_{-})$ で，$(M, g)$$\nabla$$J(e_{\pm})=\pm e$ 士
$M$ 上の等長はめ込みの第 2 基本形式をを満たすものをとる．とすると，上の局所枠場$H$$e=(e_{+}, e_{-})$ に関して， の平均曲率ベクトル場
は $H=\alpha(e_{+}, e_{-})$ と表される．本稿では，平$f$$\alpha$$f$

均曲率ベクトル場が恒等的に零である等長はめ込みを極値的であるとよぶことにする．
以下，ローレンツ曲面 $M$ から擬リーマン多様体 への等長はめ込み $f$ に関して，その定義域と値域を局所的に同一視して記述する．等長はめ込みの第 接触空間 Osc $k(f)$ を次のように$\overline{M}$

$k$

81
定める ( は正の整数):$k$

Oscl $(f):=TM$Os
ここで， は$\overline{\nabla}$

Span$(f)$ $:=$$c^{}$$\overline{M}$$\{\overline{\nabla}_{X_{1}}\tilde{\nabla}_{X_{2}}\cdots\overline{\nabla}_{X_{l-1}}X_{l}|X_{i}\in\Gamma(TM) (2\leq i\leq l\leq k)\}$のレビチビタ接続である．

等長はめ込み $f$ に対して，正の整数(1) Oscl$(f)\subsetneq$(2) Oscl $(f),$(3) Os$c^{}$Osc2$\ldots,$$d$で次を満たすものが一意的に存在する:$(f)\subsetneq\cdots\subsetneq Osc^{d}(f)$$Osc^{d}(f)$$(f)=Osc^{d+1}(f)$が， に沿って$f$である．
$T\overline{M}$の擬リーマン部分束である．

であるか，または $Osc^{d+1}(f)$ は$T\overline{M}$の擬リーマン部分束ではない．

このとき，等長はめ込み の大域的非退化階数は であるという．この定義により，$Osc^{k+1}(f)$内における Os $(f)$ の直交補空間が一意的に定まる．これを の第 法空間と定める
$f$

$d$

$N^{k}$$k$$f$$c^{}$$(k=1,2, \ldots, d-1)$ .
$Osc^{k+1}(f)=Osc^{k}(f)\oplus N^{k}$

さらに定義より，Os$(f)$$c^{}$の$T\overline{M}$での直交補空間も一意的であるので，$N^{d}:=Osc^{d}(f)^{\perp}$とお$N^{0}:=TM$ とおくことで， に沿って次の直交直和分解を得る:
く．
$f$$T \overline{M}=\bigoplus_{i=0}^{d}N^{i}$

大域的非退化階数が$d$である等長はめ込みに対して，第 $(k+1)$ 基本形式を$\alpha^{k+1}(X_{1}, \ldots, X_{k+1}):=(\tilde{\nabla}(X_{1}, \ldots, X_{k+1}))^{N^{k}}$と定義する．ここで，$(\bullet)^{N^{k}}$対称であり，$\alpha^{2}=\alpha$は“ ”の$\bullet$$N^{k}$$k=1,2,$$d$$\ldots,$成分を表している．これらの高階基本形式はすべてが成り立つ．簡単のため $l+m=k+1$ である非負整数$k,$$l$に対して.

$\alpha^{k+1}(X^{l}, Y^{m}):=\alpha^{k+1}(X, \ldots, X,Y, ..Y)\tilde{l}\tilde{m}$のように表す．
ローレンツ曲面からの等長はめ込み $f$ が極値的 $(H=\alpha^{2}(e_{+}, e_{-})=0)$ であるとき，高階基が $l+m=k+1$ を満たす正の整数に対して成り立っ．
本形式に対して，の大域的非退化階数が階までの法空間$(d-1)$の階数はこのことから，であれば，その$\alpha^{k+1}(e_{+}^{l}, e_{-}^{m})=0$$l,$

$f$

$m$

$N^{k}$$d$1 か 2 である．
$N^{k}=$

3

Span$\{\alpha^{k+1}(e_{+}^{k+1}), \alpha^{k+1}(e_{-}^{k+1})\}$

水平なレフレクターリフトをもつはめ込み$M$ に接する成分を, 直交する成分をに対して，$M$$2m$で表すことにする．ローレンツ曲面 から，偶数次元 , 指数 の向き付けられた擬リーマ

はめ込み $f$ に沿った$\overline{M}$のベクトル場$\zeta^{T}$$\zeta$$m$$\zeta^{\perp}$

82ン多様体と法束$J$$M_{m}^{2m}$$TM^{\perp}$

への等長はめ込み :のパラ・エルミート構造に対して， の標準的なパラエルミート構造$Marrow\overline{M}$$f$$J^{\perp}$$M$を用いて$\overline{J}(\zeta):=J(\zeta^{T})+J^{\perp}(\zeta^{\perp})$と定めた」を， のレフレクター．リフトという．等長はめ込み :が，水平なレフレクター．リフトをもつとは， のレビ・チビタ接続 に関して平行なレフレクターリフトが存在することである．このとき， は超極値的であるともいわれる．
$f$

$f$

$\overline{M}$$Marrow\overline{M}$$\tilde{\nabla}$$\overline{J}$$f$以降で述べていく結果を導く上で，次の補題は基礎的である．
が水平なレフレクターリフト をもち，その大域的な補題 等長はめ込み :非退化階数が であるとき， はすべての第 法空間 $(k=1,2, \ldots, d-1)$ にパラエルミートに対して構造を定める．特に， はローレンツ平面束となる．さらに，高階基本形式
次が成り立つ:$\overline{J}$$M_{1}^{2}arrow\overline{M}_{d}^{2d}(c)$$f$$\tilde{J}$

$d$

$k$

$\alpha^{k+1}$$N^{k}$$J^{k}$$\alpha^{i+1}(X_{1}, \ldots, X_{i}, JX_{i+1})=J^{i}\alpha^{i+1}(X_{1}, \ldots, X_{i+1})$

この補題より，超極値的であれば極値的となることが次からわかる:$\alpha^{2}(e_{+}, e_{-})=\alpha^{2}(J^{1}e_{+}, e_{-})=\alpha^{2}(e_{+}, J^{1}e_{-})=-\alpha^{2}(e_{+}, e_{-})$

さらに，法ベクト)$\triangleright\alpha$k l $(e_{+}^{k+1}),$ $\alpha^{k+1}(e_{-}^{k+1})$ が $N^{k}$$+$において，$J^{k}(\alpha^{k+1}(e_{\pm}^{k+1}))=\pm\alpha^{k+1}(e_{\pm}^{k+1})$を満たす局所枠場を与えることがわかる．このとき，次のように $(d-1)$ 個の関数をおくと$\lambda_{k}:=\langle\alpha^{k+1}(e_{+}^{k+1}),$ $\alpha^{k+1}(e_{-}^{k+1})\}$,$k=1,2,$$\ldots,$$d-1$

これらは，ローレンツ曲面 $M$ 上の大域的な関数を定める．また，補題によりこれらの は $M$上で零点を持たない．これらの関数について，つぎの関係式を得る $(k=1,2, \ldots, d-1)$ :$\lambda_{k}$(1)$\lambda_{k}=(c-(\begin{array}{l}k2\end{array})K-\triangle\log|\lambda_{1}\cdots\lambda_{k-1}|)\lambda_{k-1}$

ここで， は二項係数であり，$(\begin{array}{l}12\end{array});=1$$(\begin{array}{l}ab\end{array})$$\triangle$$K$とする．また， と$K$$c$はそれぞれ $M$ と$\lambda_{0}:=1$は $M$ 上のラプラス作用素であり，とする．関係式 (1) から，各関数$\overline{M}$$\lambda_{k}$の断面曲率，は $M$ の曲率, 定数 , 次数 から決定されることがわかる．
補題により得られた $f$ の局所枠場に関して計算することにより，次の定理が得られる．
$k$

$c$

定理 1

次元 $2d$ , 指数

込み化階数が共に$d$の定曲率空間$f,\overline{f}:Marrow\overline{M}_{d}^{2d}(c)$$d$$\overline{M}_{d}^{2d}(c)$への，連結なローレンツ曲面 $M$ からの等長はめに対して， と が水平なレフレクターリフトをもち，大域的非退$f$であれば， と$f$$\overline{f}$$\overline{f}$は互いに合同である．

注意文献 [3] で構成された等長はめ込みのうち，特に，次元 2 のローレンツ球面とローレンツ双曲空間上のものは定理 1 の条件を満たす．
$M$ が定曲率 $K$ のときは，すべてのは $K$ と から決まる非注意 関係式 (1) から，の非退化性とその階数が 2 であるこ零な定数となる．また，この の非零性は第 法空間$\lambda_{d-1}$$\lambda_{1},$$\ldots,$$\lambda_{k}$

$k$

$c$

$N^{k}$とに関与することが定義からわかる．この事実から，リフレクターリフトに関する条件の代りに定曲率 $K$ の値に関して条件を課すことで，極値的な定曲率ローレンツ曲面について，次節で述べる結果を得る．

83
4

定曲率空間内の極値的定曲率ローレンツ曲面

は定曲率$K>0$ のと以降，ローレンツ曲面をもつとする．特に測地的に完備で，きは擬球面$K<0$ のときは擬双曲空間であり，である．既に言及したように，これらの空間から定曲率空間への，ある極値的等長はめ込みが，球面 $S^{2}(K)$ の標準はめ込み$\psi_{2,d}:S^{2}(K)arrow S^{2d}(c)(d$ は正の整数で $K=2c/d(d+1))$から構成されている．それらを，$K$$M_{1}^{2}(K)$$S_{1}^{2}(K)$$H_{1}^{2}(K)$$\psi_{2,d,1}:S_{1}^{2}(K)arrow S_{d}^{2d}(c)$,$\psi_{2,d,1}^{H}:H_{1}^{2}(K)arrow H_{d}^{2d}(c)$で表し，これらも標準はめ込みとよぶことにする．ここで， は正の整数で曲率は $K=2c/d(d+$$d$$1)$である．

注意 文献 [3] では，任意の次元 と指数 の定曲率空間からの定曲率空間への極値的等長はめと込みをもとにして構成している．
を，球面の標準はめ込み
$t$

$n$

$\psi_{n,d,t}$$\psi_{n,d,t}^{H}$$\psi_{n,d}$とおく．超極値的な等長はめ込みに関して，次の結果が得$B_{d}^{c}:=\{2c/k(k+1)|1\leq k<d\}$られる．

定理 2

曲率 $K$ がに属さないとき，超極値的な等長はめ込み $f$ :的非退化階数は であり，$K=2c/d(d+1)$ である．特に，$c>0$ のとき $f$ はと局所的に合同である．
合同であり，$c<0$ のとき $f$ は$M_{1}^{2}(K)arrow\overline{M}_{d}^{2d}(c)$$B_{d}^{c}$$d$$\psi_{2,d,1}$の大域と局所的に$\psi_{2,d,1}^{H}$

系曲率 $K$ が任意の正の整数$k$$K\neq 2c/k(k+1)$ であるとき，定曲率空間
に対して，$\overline{M_{t}}^{n}(c)$への超極値的な等長はめ込みは存在しない．

以降は，(偶数とは限らない) 次元 , 指数 の定曲率空間
等長はめ込み :を考える． に対して，次の条件
$t$

$n$

$f$

$(\dagger$$)$$M$$Marrow\overline{M}$$f$への擬リーマン多様体 $M$ のを考える:$\overline{M_{t}}^{n}(c)$$(\dagger$ $)$の各ヌル測地線が， 内のある全等方的な全測地的部分多様体に含まれる．
$\overline{M}$

ここで， 内の部分多様体 が全等方的であるとは， の擬リーマン計量が定める の誘導計量が零テンソルとなることである．このような に対して，全測地的であるとは， のレ$\overline{M}$$\overline{M}$

$L$

$L$

$L$

ビチビタ接続$\overline{\nabla}$$\overline{M}$が $L$ に自然にアフィン接続を定めることである．

注意 任意の次元と指数の擬球面と擬双曲空間の標準はめ込み ([3]) は条件

一般に，接触数 (contact number) が(cf. [4], [5]).
等長はめ込み $f$ :$Marrow\overline{M}$$\infty$を満たす．よりを満たすである擬リーマン等長はめ込みは，条件$(\dagger$ $)$$(\dagger$ $)$に対して，$T_{f(p)} \overline{M}=Osc_{p}^{\infty}(f):=\bigcup_{k>0}Osc_{p}^{k}(k)$を満たすとき， は点 $p\in M$ で充満であるという．ここで，$f$$Osc_{p}^{k}(f)$は点$p$における第$k$

接触空間を表す．明らかに，定曲率空間へのはめ込みが充満な点をもつならば，線型充満である．す84
なわち，はめ込みの像を含む全測地的な真部分多様体は$\overline{M}$内に存在しない．

への極値的等長はめ込みが定理 3 連結な定曲率ローレンツ曲面 $M_{1}^{2}(K)$ の定曲率空間充満な点をもつとする．さらに，はめ込み $f$ が条件を満たすとき，ある正の整数が存在して$\overline{M_{t}}^{n}(c)$$(\dagger$ $)$$n=2d$ ,となる．さらに $c>0$ のとき， は$f$

き， は$f$$\psi_{2,d,1}^{H}$:$H_{1}^{2}(K)arrow H_{d}^{2d}(c)$$t=d$ ,

$K= \frac{2c}{d(d+1)}$$\psi_{2,d,1}:S_{1}^{2}(K)arrow S_{d}^{2d}(c)$と局所的に合同であり，$c<0$ のとと局所的に合同である．

参考文献[1] Calabi, E.: Minimal immersions of surfaces in Euclidean spheres, J. Differential Geometry
1, (1967) 111-125.
[2] Hasegawa, K. and Miura, K.: Lorentz surfaces in pseudo-Riemannian space forms withhorizontal reflector lifts, in preparation.

[3] Miura, K.: Construction of harmonic maps between semi-Riemannian spheres, Tsukuba
J. Math., 31, No. 2, (2007), 397-409.
[4] Miura, K.: Isometric immersions with geodesic normal sections in semi-Riemannian geometry, Tokyo J. Math., 31, No. 2, (2008), 479-488.

[5] Miura, K.: The contact number of affine immersions, Result. Math., 56, (2009), 245-258.