数理解析研究所講究録
第 1780 巻 2012 年 83-88

83

On Triangular array of numbers

正敏 (Masatoshi IIDA)

城西大学理学部 飯田

Faculty of Science,
Josai University

1Introduction
自然数$n$と $n$ 以下の非負整数$a_{n,k}= \sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}(\begin{array}{l}ki\end{array})i^{n}$$k$,に対して定義される数列$(k=1, \ldots, n)$

は Triangle of numbers と呼ばれる$($(ただし， は 2 項係数)$(\begin{array}{l}ki\end{array})$

オンライン整数列大辞典 https://oeis org $/A019538)^{1}$

この数列は数え上げ組み合わせ論的な意味を持ち，第 2 種 Stirling 数とも深く関わっていくつかの応用もあるが，たとえばこの分野のテキストとしてよく読まれている [GKP]などでも名前もなしに演習問題に出てくるだけ (p284 の問題 17 c) でマイナー感は否めない．

こうしたマイナーで名前がついているのかいないのかさえ分からないような数列に関する文献を調べるのは非常に困難であるが，上記サイトのようなデータベースサイト (数列の最初のいくっかの数字を入力するだけでマッチする数列のリストが検索される) によりその困難が除かれたといえる．
本小文ではこの triangle of numbers に関する性質，応用についていくつか述べる．2

2

添え字の拡張と漸化式

補題 1.
$\sum_{i=0}^{k}(-1)^{i}(\begin{array}{l}ki\end{array})i^{\ell}=0$,$(\ell=0,1, \ldots, k-1)$

.

が不定であ
ここで，数え上げ組み合わせ論では標準的な慣例として $0^{0}=1$ とする[GKP]pl59ページに見られる．
3).
るとする立場もあるが，これに対する反論が$(0^{0}$

証明は $(x-1)^{k}$ の 2 項展開の$l$階微分を考えればよい．実際には$k$のべキではなく下降階乗ベキが現れるが，それをベキに直すのは容易である．
12007 年頃は同サイトでは題名の通り Tkimgular array of numbers と呼んでいたが，2011, 年 8 月現在

は Triangle of numbers と呼び方が変わっている．本文中ではこちらの呼び方に統一する．

22 項係数や Stirling 数の言葉で書き直すと大半が既知の結果ではあるが，表現が煩雑になる．
3 大雑把に言うと $x\geq 0$ で定義された関数 $f(x)=0^{x}$ が $x=0$ で不連続であっても，すなわちOxxo(クロネッカーのデルタ) であっても構わないじゃないかという主張である．
$=\delta$

84
この式は $\ell=0$ の場合は有名な$\sum_{i=0}^{k}(-1)^{i}(\begin{array}{l}ki\end{array})=0$.

$(-1)^{i}=(-1)^{-i}$ に注意すると両辺に $(-1)^{k}$ をかけ，$\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}(\begin{array}{l}ki\end{array})i^{\ell}=0$,$(\ell=0,1, \ldots, k-1)$.の定義は $n,$ が $k\geq n$ を満たす非負整数のペアである場合まで拡張できて，その場合は 0 になることが分かる．

なので

$k$

$a_{n,k}$定理 2. T)riangle of numbers$a_{n,k}$は次の漸化式を満たす．

$\{\begin{array}{ll}a_{n+1,k}=ka_{n,k-1}+ka_{n,k} (k=2,3, \ldots, n+1)a_{n,1}=1, a_{n,0}=1, a_{n,k}=0 (n<k)\end{array}$

この漸化式は 2 項係数の性質を用いれば定義式から容易に導ける．4
が個の元からなる集合を 個の disjoint な空でない部分集合
この漸化式から個の元からなる集合から 個の列 (順序も意味を持っ) に分ける場合の数，あるいはの元からなる集合への全射の個数であることが分かる．
個の disjoint な空でない$n+1$ 個の元からなる集合 $A=\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\}$ を実際，部分集合の列に分ける方法は$a_{n,k}$

$k$

$n$

$k$

$n$

$k$

(1)

$A\backslash \{x_{n+1}\}$を(2)$A_{1}$

から$A\backslash \{x_{n+1}\}$を個の disjoint な空でない部分集合の列のどれかに割り振る $(ka_{n,k}$ 通り$k$$A_{k}$$\ldots,$に分け，$x_{n+1}$$)$

を $k-1$ 個の disjoint な空でない部分集合の列$A_{k}=\{x_{n+1}\}$$A_{k}$$A_{1},$ $A_{2},$$A_{1},$ $A_{2},$をこの列のどこかに割り込ませる $(ka_{n-1,k-1}$ 通り$\ldots,$$A_{k-1}$に分け，$)$のどちらかで尽くされるからである．

類似の漸化式をもつ数列に第 1 種/第 2 種 Stirling 数がある．記号は [GKP] のものを用いた．
第 1 種 Stirling 数$\{\begin{array}{l}[Matrix]=n[Matrix]+[Matrix][Matrix]=(n-1)!, [Matrix]=0, [Matrix]=0 (n<k)\end{array}$$k$

個のサイクルの積で表される$n$次対称群の元の個数．

4 逆に筆者は Stirling 数との関係などを知らないまま，この漸化式のみを頼りにのでかなりの試行錯誤を要した．

$a_{n,k}$の定義式に至った

85
第 2 種 Stirling 数$\{\begin{array}{l}[Matrix]=k[Matrix]+[Matrix][Matrix]=1, [Matrix]=0, [Matrix]=0 (n<k)\end{array}$$n$個の元からなる集合を 個の disjoint な (空でない) 部分集合に分割する方法の数．
第 2 種 Stirling 数の漸化式の両辺をで割ることで
$k$

$k!$

$a_{n,n}=n!$,$a_{n,k}=k!\{\begin{array}{l}nk\end{array}\}$であることが分かる．

3三角形$a_{n,k}$ある．の漸化式から次の三角形が得られる．上から$n$

番目，左がら$k$

番目の数が$a_{n,k}$で

1$\swarrow\cross 1$$\searrow\cross 2$

1$\swarrow\cross 1$

2$\searrow\cross 2$

1$\swarrow\cross 1$

1$\searrow\cross 3$$\searrow\cross 3$$\swarrow\cross 3$

6$\searrow\cross 2$

1$\swarrow\cross 1$$\swarrow\cross 2$$\swarrow\cross 2$

6

14$\searrow\cross 2$$\swarrow\cross 2$$\searrow\cross 4$

36$\searrow\cross 3$

30$\swarrow\cross 3$

24$\searrow\cross 4$

150$\swarrow\cross 4$240$\searrow\cross 5$120

パスカルの三角形は各行の数について交代和を取れば 0 になったがこの三角形についてもそれを modify した式が成り立っ．

命題 3. $n\geq 2$ について$\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k}a_{n,k}=0$

これも漸化式を用いて容易に示せる．

.

86

Bernoulli number との関係

4$n\in \mathbb{N}$を固定して$m^{n}$の母関数 (形式ベキ級数)$F_{n}(x)= \sum_{m=0}^{\infty}m^{n}x^{m}$$F_{n+1}(x)=xF_{n}’(x)$ が成り立っことから次の補題を得る．
を考える．

補題 4. $F_{n}(x)$ は$a_{n,k}$によって次のように表される．

$\sum_{m=0}^{\infty}m^{n}x^{m}=\sum_{k=1}^{n}a_{n,k}x^{k}(1-x)^{-k-1}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(x)F_{n}(x)$.

は $\sum_{m=0}^{k}m^{n}$ の母関数になっている (たとえば [N] 参照) ことを利用すると次の定理が得られる．
定理 5. 自然数 4,$n$に対して次が成り立っ．

$\sum_{i=0}^{\ell}i^{n}=\sum_{k=1}^{n}(\begin{array}{l}\ell+lk+1\end{array})a_{n,k}$

両辺の階差をとることで次の系が得られる．
系 6.
$\ell^{n}=\sum_{k=1}^{n}(\begin{array}{l}\ell k\end{array})a_{n,k}$

例 7. $n=5$ の場合，セクション 3 の三角形から $a_{5,1}=1,$ $a_{5,2}=30,$ $a_{5,3}=150,$ $a_{5,4}=240$ ,$a_{5,5}=120$ , が分かるので$\sum_{\mathfrak{i}=0}^{\ell}i^{5}$$=$$(\begin{array}{l}\ell+12\end{array})+30(\begin{array}{l}\ell+13\end{array})+150(\begin{array}{l}\ell+14\end{array})+240(\begin{array}{l}\ell+15\end{array})+120(\begin{array}{l}\ell+16\end{array})$$=$$\frac{\ell(\ell+1)}{12}\{6+60(\ell-1)+75(\ell-2)(\ell-1)+24(\ell-3)(l-2)(\ell-1)$$+2(\ell-4)(\ell-3)(\ell-2)(\ell-1)\}$$=$$\frac{\ell(\ell+1)}{12}(2\ell^{4}+4\ell^{3}+\ell^{2}-\ell)$$=$$\frac{l^{2}(\ell+1)^{2}(2\ell^{2}+2\ell-1)}{12}$.となる．

Bernoulli 数は$\frac{x}{e^{x}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}x^{k}$87
によって定義される有理数で，漸化式$\sum_{i=0}^{n}(\begin{array}{ll}n +1 i\end{array})B_{i}=0$を満たす．

$\frac{x}{e^{x}-1}+\frac{x}{2}=\frac{x}{2}\coth\frac{x}{2}$は$B_{n}$は定理 8.

$0$,$B_{0}=1$,

が偶関数であることから$n$が 3 以上の奇数の場合である．

$\sum_{i=0}^{\ell}i^{n}$

は Bernoulli 数にょって$\sum_{i=0}^{\ell}i^{n}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(\begin{array}{l}n+lk\end{array})B_{k}(l+1)^{n+1-k}$と表される．

定理 5 と定理 8 から Bernoulli 数と$a_{n,k}$の間に関係があることが分かり，これら定理の2 つの式を比べることにより次が得られる ([I], 2 項係数の言葉に翻訳した式は [AIK]).
定理 9. 全ての自然数

$n$

に対して

$B_{n}= \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k+1}a_{n,k}$である．
$n$が 3 以上のとき，Bernoulli 数は$0$になることから$\sum_{k=1}^{2m+1}\frac{(-1)^{k}}{k+1}a_{2m+1,k}=0$$a_{n,k}$に関する性質として$(m\in N)$も分かる．

例 10. セクション 3 の三角形から $a_{4,1}=1,$ $a_{4,2}=14,$ $a_{4,3}=36,$ $a_{4,4}=24$ が分かるので$B_{4}$が得られる．

$=$$\sum_{k=1}^{4}\frac{(-1)^{k}}{k+1}a_{4,k}$$=$$- \frac{1}{2}+\frac{14}{3}-\frac{36}{4}+\frac{24}{5}$$=$$- \frac{1}{30}$88References[AIK] 荒川恒男，伊吹山知義，金子昌信，ベルヌーイ数とゼータ関数，牧野書店，2001[Go] H. W. Gould, Explicit formulas for Benoulli numbers, Amer. Math. Monthly 79,
1972,$44arrow 51$[Gr] Ralph P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, Addison-Wesley,

2004[GKP] R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik, コンピュータの数学，共立出版，1993[I] M. Iida, On Triangle of numbers, To appear in Josai mathematical monographs[K] D. E. Knuth, The Art of Computer Programming voll. Fundamental Algorithms,
Addison-Wesley, 1973
[N] 成嶋弘，数え上げ組み合わせ論，日本評論社，2003[O] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
http: $//oeis.org/$