平成１８年度(２月７日実施)

北海道大学大学院理学院 量子理学専攻・宇宙理学専攻
修士（博士前期）課程入学試験 専門科目問題
受験に関する注意
・試験時間：

９：００～１２：００の ３時間

・解答紙、草案紙ともに受験番号を記入する。氏名は記入しない。
・解答の際、途中の問が解けないときも問題文に書かれている結果等を使って以降の問を解いてよい。
・試験終了後、解答紙、草案紙ともすべて提出する。
・量子理学専攻志望者：問題Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳを選択すること。
・宇宙理学専攻志望者：
宇宙物理学・素粒子論・原子核理論
問題Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳを選択すること。
宇宙物質進化論・宇宙物理化学・惑星物理学・地球流体力学・気象学
問題Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵから任意の４問を選択すること。

・配布するものは専門科目問題

Ⅰ
ⅡⅢ
ⅣⅤⅥ

２枚
１枚
２枚
１枚
１枚
１枚

解答紙

Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ

６枚（各問題１枚ずつ）

草案紙

Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ

６枚（各問題１枚ずつ）

受験上の注意（問題表紙）問題 I

問 1 質量 M 、長さ a の一様な 2 本の棒 AB、CD が端 B と C で固定され、互いに自由に回転できるようになっており、さらに棒 AB は図のように一端 A で自由に回転できるように固定されている。この 2 本の棒を鉛直面内で振動させる。次の設問に答えなさい。
鉛直方向と 2 本の棒のなす角をそれぞれ図のように θ(t)、ϕ(t) とする。また重力定数は g とせよ。
yoAqxsds

BCjGP
D

1-1. 棒 AB の運動エネルギー KAB を考えよう。A 端からの距離が σ のところにある長さ dσ の微小部分がもつ、点 A の回りの回転エネルギーを求め、これを σ について0 ≤ σ ≤ a にわたって積分することにより、KAB は θ の時間微分 θ̇ を使ってKAB =1I θ̇22(1)の形に表せる。定数 I を求めよ。

1-2. 図のように点 A を原点として座標軸 x、y を考えると、棒 CD 上の点 P の座標 (x, y)
は棒 CD の重心 G の位置座標 (xG , yG ) を使って

x = xG + ξ sin ϕ,y = yG − ξ cos ϕ,(−aa≤ξ≤ )22(2)と表せる。棒 CD の運動エネルギー KCD が、重心 G のまわりの回転エネルギー RCDと重心 G の並進運動のエネルギー TG によって KCD = RCD + TG と表せることを示
し、RCD が前問の I を使ってRCD =と書けることを示せ。

1I ϕ̇28(3)1-3. 棒 CD の重心 G の位置座標 (xG , yG ) を θ、ϕ を使って表し、これから重心 G の並進運動のエネルギー TG を θ 、ϕ とその時間微分 θ̇ 、ϕ̇ を使って表せ。

1-4. この力学系のラグランジアン L を θ、ϕ、θ̇、ϕ̇ を使って表せ。
次に棒が微小振動する場合を考えよう。

1-5. 微小振動の場合はラグランジアン L において θ、ϕ と θ̇、ϕ̇ の 3 次以上の項を小さいとして無視することができる。L をこのように近似した後、θ と ϕ に対するオイラー・ラグランジュの運動方程式を求めよ。

1-6. 前問の運動方程式の解は次の形に求めることができる。
θ(t) = α cos ( ωt + δ) ,ϕ(t) = β cos ( ωt + δ)

(4)α、β 、δ 、ω は定数である。解が恒等的にゼロでないための条件を使って、基準振動数
ω の異なる値を２つ求めよ。

問題 II

図に示すように、真空中で無限に長い導線に電流 I1 が流れている。導線と同じ平面内に長さ a、幅 b、1 周の抵抗が R である長方形の回路 ABCD が導線と平行に置かれている。回路の辺 CD と導線の距離は L である。このとき、次の問いに答えよ。ただし、真空の透磁率をµ0 とする。
問 1 導線から距離 r における磁束密度の大きさ B を求めよ。ただし、回路 ABCD の影響はないものとする。
問 2 長方形の回路 ABCD に大きさ I2 の電流を時計回りの方向に流した場合、回路に作用する合力を求めよ。
問 3 回路 ABCD を貫く磁束 Φ を求め、回路と導線との相互インダクタンス M を求めよ。
次に、回路 ABCD を同一平面内で導線から垂直方向に一定速度 v で遠ざける場合を考える。
問 4 回路に生じる起電力および回路を等速で動かすのに必要な力を求めよ。
問 5 このときの仕事率をもとめ、この仕事率が回路に発生する単位時間当たりの熱エネルギーに等しいことを示せ。

AaBvbDCLI1

問題 III問 1 図のような障壁の高さが V0 で、幅が a であるような 1 次元のポテンシャル障壁に左から入射するエネルギー E (E > V0 ) を持った質量 m の粒子を考える。

VV00ax1-1. 障壁の外と中で場合分けして、それぞれの領域での粒子の波動関数を求めよ。但し波動関数の規格化はしなくてよい。

1-2. 1-1 で求めた波動関数の係数同士の関係を波動関数が x = 0, a で滑らかにつながらなくてはいけないことから求め、行列を使って係数同士の関係を示せ。

1-3. 左からエネルギー E (E > V0 ) をもって入射する粒子の透過と反射を考える。
(a) この粒子の透過率 T と反射率 R を求めよ。
(b) E > V0 の時、古典的には反射率は 0 であるが、量子論では一般に 0 とはならない。
どのような E ならば反射率が 0 となるか求めよ。

問 2 図のような x = ±a で無限の大きさの障壁をもつ 1 次元井戸型ポテンシャル中での電子系の状態を考える。電子の質量は m とし、i 番目 (i = 1, 2, . . .) の電子の座標を xi 、その電子のスピンを si とする。またその電子の規格化されたスピン波動関数をアップスピンに対しては χ↑ (i) とし、ダウンスピンに関しては、χ↓ (i) とする。以下の問題では電子間クーロン力は無視する。

V-aax

2-1. １個の電子をこのポテンシャルに入れた時に、この電子が取りうるエネルギー固有値とその波動関数の軌道部分を求めよ。但し波動関数は規格化して求めよ。

2-2. 次にこのポテンシャルに 2 個の電子を入れた時、基底状態が実現された。その基底状態のエネルギーとその波動関数をスピン部分を含めて求めよ。

問題 IV

問 1 ほとんど相互作用をしていない同種粒子からなる系が、絶対温度 T の熱源と化学ポテンシャル µ の粒子源に接している。1 粒子状態のエネルギー準位を ϵj (j = 0, 1, 2, · · ·)としたとき、この粒子が Fermi-Dirac (FD)、Bose-Einstein (BE) の各統計に従っている場合について、次の問に答えよ。以下では kB は Boltzmann 定数を表すものとし、β = 1/kB T とする。また、式中の複号は同順に上が FD 統計、下が BE 統計の場合を表す。

1-1. この系の大分配関数 Ξ が次のように与えられることを示せ。
Ξ=∞∏(1 ± e−β(ϵj −µ) )±1

j=0

1-2. エネルギー準位 ϵk にある平均の粒子数 n̄k が次のように与えられることを示せ。
n̄k =1eβ(ϵk −µ) ± 1

1-3. 上の n̄k を用いてこの系のグランドポテンシャル J = −kB T log Ξ を表せ。また、この系のエントロピー S が次のように与えられることを示せ。

S = kB∞∑
j=0{−n̄j log n̄j ∓ (1 ∓ n̄j ) log(1 ∓ n̄j )}問題 V

問 1地 球 の気候 システ ムの長期 的な安定性 につい て以下 の語句 を用 いて説明せ よ.
エ暗 い太陽 のパ ラ ドックス,地 球化学的炭素循環,ス ノー ボール アー ス,プ レ ト運動

問 2以 下の用語 か ら 3つ 選び,そ れぞれ 150宇 程度 で説明せ よ.
ー ー‐ ー(1)プ レノ ラ 粒子 (2)仮 想地磁気極 (3)ク レ タ 年代 (4)消 滅核種ー(5)コンドリュ ル(6)ダ イナモ作用 (7)微暮星(8)ラグランジュ点

問題 V I

問 1以 下の問いに答えよ.解 答には結果だけでなく,導 出過程も記せ.
1口1.υを密の関数 とする。次の微分方程式の一般解を求めよ. ヽ!

′= ‑ 4 7 + S i n 3 ″υ ′.

1‐
2.αyz空間のベクトル場 A=(υ 一″)あたの発散と回転を求めよ。ここで+● 一υ十″)すあ,す,たはそれぞれを,7,z方向の単位ベクトルを表す。
1‐3と次 の条件 を共 に満 たす複素数 zの 範 囲を複兼平面上 に図示せ よ.
R e ( z 2 ) < 0 , I Z I / 2 1 ≦21口
4.次 の行列 の 固有値 と固有 ベ ク トル を求 め よ.
１１０／０００︑ ︲ ′１１ヽ０／ ｆ ｉ ｌ ＼問 2 事 象 A は ラ ンダ ム に繰 り返 し起 こ り, 微 小 時間 △サの 間 に事 象 A の 起 こる確率 は a △サで表 され るもの とす る。 ここで a は 正 の定数 である。以下 の 問 い に答 えよ。
2 ‑ 1 . 時 間 △サの間に事象 A が 一度 も起 こ らない確率 を ぁ, △とを用 いて表 せ .
2 ‑ 2 . 角 を 自然数 とす る。時間 句△サの 間 に事 象 A が 一 度 も起 こ らな い確 率 を 免, a , △サを用いて表 せ .

2‑3.Tを有限の時間幅としハサ=T/れ と置く。このときれ→ ∞ としたときの前問2‐2の=Cを 用いて良い。
m(1+1/″)″
確率の極限値をa,Tを用いて表せ.こ こで公式 上
密→∞

2‐4 . 事 象 A の 起 こる時間間隔 の平均値 を a を 用 いて表せ .