数理解析研究所講究録
931 巻 1995 年 34-36

34Garnier system に関する–つの考察
東大数理科学博\pm 2 年川向洋之(KAWAMU KO,$\mathrm{H}_{1\mathrm{r}\mathrm{o}}\mathrm{y}\mathfrak{U}\mathrm{b}\dot{\mathfrak{l}}$Garnier system とは次の Hamiltonian $If_{i}(i=1, \cdots,n)$ で与えられる lIamiltonian system$\partial q_{i}/\partial t_{j}=\partial H_{j}/\partial p:,$: のことである。

$\partial p_{i}/\partial t_{j}=-\partial H_{j}/\partial q$$II_{i}:=.

\frac{1}{l.(\iota_{i}-1)}[\sum_{j,k=1}^{n}F^{i}\lrcorner jk(t, q)pjpk-\sum_{j=1}F_{j}^{i}(t, q)pj+\kappa q|n.]$,$q;q_{j}q_{k}$$q_{1}.q_{j}(q_{j}-R_{j}i)$,$E_{jk}^{i}’:=\{$$q_{1}.q_{k}(q_{k}-R_{k}|.)$,.
,$q_{i}(q_{i}-1)(q_{1}-^{\iota_{i})}- \sum\iota l\neq=!$$\Lambda q_{i}qj-\theta_{i}Rijqj-\theta_{jj\mathfrak{i}}Rq_{i}$$s_{i\iota q_{1}q_{l}},$if $i\neq j\neq k\neq i$if $i\neq j=k$
if $i=j\neq k$, if $i=j=k$. $-1)+\kappa 1q_{i}(qi-ti)+\theta_{1}.(qi-1)(qi-t|.)$if $i\neq i$$(\kappa_{\mathrm{o}}-1)q_{i}(q_{1}$$\Gamma_{j}^{i},:=\{$.

$+ \sum^{n_{k=}}k\neq!$

if $i=j$$\{\theta_{kq(}iq:-R_{j}k)-\theta_{1}.sikq_{k}\}$$R_{1j}.:=.

\frac{l_{1}(l_{j}-1)}{t_{j}-l_{1}}.$’$S_{1j}.:= \frac{t_{i}(l_{i}-1)}{t_{i}-t_{j}}$$A:=k_{0}+k1+k_{\infty}+( \sum_{1:=}\theta|.)-1$$\kappa:=\frac{1}{4}(A^{2}-\kappa_{\infty^{2}})$

特に $n=1$ として Hamiltonian system から を消去すると ‘VI 型方程式になる。 また次のことが知られている。
$p$

Theorempammeter$t(\in \mathrm{C})$$q$の満たす微分方程式は Painlev\’eの入った 2 階の線形常微分方程式(1)$\frac{d^{2}}{dx^{2}}y+p_{1}(x,t)\frac{d}{dx}y+p2(X, t)y=0$

は Riemann 図式.
$\{$$x=0\kappa_{0}0$$x=\kappa_{1}01$$x=t_{1}\kappa_{1}0$$\rho+\kappa_{\infty}x=\infty\rho$

ただし$\kappa_{0},$$\kappa_{1},$$\kappa_{\infty},$$\theta_{1},$$x=t_{2}\kappa_{2}0$$\cdots,\theta_{\hslash}$...

$x=\lambda_{1}02$$x=t_{N}\kappa_{N}0$は非整数で、$x=\lambda_{\dot{l}}$を持つものとする。 この時、
$I1_{j}^{r}:=-\mathrm{I}10\mathrm{s}x\pm ijp_{2}(X,\iota)$$\mu_{j}:={\rm Res}_{x=\lambda_{j}}p2(X,t)$.

,$x=\lambda_{2}02$は見かけの特異点$x=\lambda_{N}02\}$)

35の関数とすると (1) の解の基本系で、 その monodrorny 群が によらないがを Hamiltonian とする Hamiltonian system
ものが存在するための必要十分条件はとおいて$,\backslash _{j}$, 馬を$l$$l$$\lambda_{j,\mu_{j}}$$I\mathrm{t}_{j}’$,を満たすことである。

.

また この Hamiltonian ystem }ま面高変換で Garnier system$.s$$\text{に}.\otimes \text{すことが出来る}$ 。

この事から Garnier system は (1) の解の基本系でその monodromy 群が$t$.

こよらないものが存在するための条件として得られることがわかる。
以下 monodromy 群が こよらない解の基本系が存在するとき (1) は Isomonodromic defor$t$

mation を許すということにする。
ところで Garnier system は、 一見非常に複雑な形をしている。 この理由は Garnier systemに固定しを与える Fuchs 型方程式の見かけを除いた $n+3$ 個の確定特異点の内、 3 つを $0,1,$$\infty$ているからだと思われる。 この事から次のようなことを考えてみた。

は見かけの特異点であるとして、 Riemann 図式$x=\lambda_{j}(j=1, \cdots, N)$$\{$$\rho+\kappa_{1}x=ip1$$\rho+\kappa_{2}x=l\rho 2$$x=\lambda_{1}02$$\rho+\kappa_{N}x=l\rho N$$x=\lambda_{2}02^{\cdot}$..

$x=\lambda_{N}02\}$を持つ Fuchs 型方程式(2)$\frac{d^{2},}{dx^{2}}y+\tilde{p}_{1}(x,t\rangle\frac{d}{dx}\prime y+\iota^{\sim})2(x, \iota)y=0$の解の基本系で、その monodromy 群が$t$によらないものが存在するための条件を求めよ。

そして結論として次のようなことがわかった。

Theorem$\tilde{K}j:=-{\rm Res}_{jx=t}\mathrm{p}_{2}(X,t)$,$\mu_{j}:={\rm Res}_{jx=\lambda}p2(x,t)$

とおいた時、$\lambda_{j,l^{l}j}$が$. \sum_{1=1}^{N}\tilde{Ic}i=\sum_{=:1}l^{\iota_{i}}N$,(3)$. \sum_{1=1}^{N}t:\tilde{I}1_{1}=\sum_{i1}^{N}’\cdot\lambda=:\mu i-\rho(N .\rho+2)$,(4)$. \sum_{1=1}^{N}\iota_{i}\tilde{I}\mathrm{f}_{i}=\sum^{N}2\lambda_{\dot{|}}^{2}\mu i+2i=1\rho\sum_{=:1}t_{i}(p+\kappa_{1)}N.$(5)$(j, k=1, \cdots, N)$(6)及び$\frac{\partial\lambda_{j}}{\partial t_{k}}=\frac{\partial I\tilde{\mathrm{f}}_{k}}{\partial\mu \mathrm{j}},$$\frac{\partial\mu j}{\partial t_{k}}=-\frac{\partial\tilde{I}1_{k}^{r}}{\partial\lambda_{j}}$36を満たすとき、 (2) は Isomonodrolnic deformation を許す。

IIamiltonian system (6) は完全積分可能であり、 (3), (4), (5) を満たす Hamiltonian system の解も存在する。 また Garnier system の時と同様の正準変換を行うとはHamiltonian$(\lambda,\mu.’\tilde{I\mathrm{t}}^{r}, t)arrow(q,p,\tilde{H}, t)$$I\iota_{j}\sim$$\tilde{H}_{j}:=-..\cdot.\sum_{=,\neq j1}^{N}\frac{1}{t_{j}-t_{i}}[(p_{j}-p:)^{2}qjq_{i}+(pj-pi)(\kappa:q_{j}-\kappa_{j}q_{i})$$+p(2p+\kappa i+\kappa j)]+qjp_{j^{2}}-\kappa_{j}p_{j}$に移る。 さらにき直すと、$q_{j},p_{j}$\dag er よ -つの関数$\tau$

を使って表せ、 この$(t_{lk}-t)\eta k=\tau kD\mathcal{T}\iota-\mathcal{T}_{l}D\tau_{k}$$\kappa_{l^{2}}+2\tau_{ll}D^{2_{T}}-(DT_{l})^{2}=0$$\tau$.

(7)

により Hmamiltonian system を書,$(k,l=1, \cdots, N)$

,

where
$D:=. \sum_{1=1}^{N}\frac{\partial}{\partial l_{1}}.$$\tau_{k}:=\frac{\partial\tau}{\partial t_{k}’}$’$\tau_{kl}:=\frac{\partial^{2}\tau}{\partial t_{k}\partial t_{l}}$となる。
最後に $N=n+3$ の時、 (2) の見かけの特異点は (1) のものに比べ 3 つ多いが、 (1) の解と (2)の解は双有理変換で移り合うので、 (7)system を含むと思われる。

$\xi$

IIamiltonian とする IIamiltonian system は Garnier