数理解析研究所講究録
1118 巻 1999 年 84-95

84transition matrix とその余次元 2 以上のconnection に対する –般化
京都大学大学院理学研究科

国府寛司 (Hiroshi Kokubu)

龍谷大学理工学部数理晴報学科 岡宏枝 (Hiroe Oka)

1

はじめに

Conley $\text{指数_{の}理論の中で},$ . transition matrix は力学系のパラメータの変動に伴う孤立不変集合の Morse 分解の構造の変化を捉えるものである. 例えば図 1 においてパラメータ$\lambda$$\mathrm{M}(31$$\mathrm{M}Q)$$\mathrm{M}\{1)$$\lambda=0$$\lambda=1$

図 1: Change of connecting orbits.
で $M(3)$ から $M(2)$ への構造から 1 まで変化する時に, その間のあるパラメータ値
不安定な (余次元 1 の) connecting orbit が存在するであろうと考えられる. この場合のが$0$transition matrix は$\lambda_{*}$

85

でないことが, あるパラメータ値 $\lambda_{*}\in(0,1)$ での $M(3)$ から $M(2)$ への connecting orbit の存在を導く.
が$0$transition matrix のアイディアはもともと Conley によるが, 正確な定式化はによって初めて与えられた. それ以後, 様々な新しい定式化や–般化が以下に述べるような$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}[9]$

いくつかの仕事においてなされている.
本論文では, 第 2 節で基本的な定義を確認した後, 第 3 節でまずこれらの先行するいくっかの定式化を比較検討し, それに基づいて第 4 節で transition matrix の新しい公理的な定義を与える. これによりこれまでの定式化が統合され, transition matrix がより扱い易いものになったと考えている. またこの公理的な定式化は 2 個以上のパラメータを含む族においてみられる余次元が高い connecting orbit の存在を扱える形に–般化することもできる.
第 5 節では, このような transition matrix の–般化について述べる.

2

準備
この節では Conley 指数理論における基本的な定義を簡潔に述べる. 詳しくは$\mathrm{C}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}1\mathrm{e}\mathrm{y}[1]$,やそこに挙げられた文献を参照されたい.
局所コンパクト距離空間上の位相的な流れ:が与えられた時, その$X$
孤立不変集合とはのコンパクト部分集合であってそのコンパクト近傍内で極大な不変集合であり, かつそのコンパクト近傍の内鼠に含まれるものをいう. またそのコンパクト近傍
を孤立不変集合の孤立近傍と呼ぶ. 孤立不変集合 の孤立近傍 $N$ に対し, その出目 (exitとは $N$ の閉部分集合で以下の 3 つの条件をみたすものをいう :(1)set)
は $N$ の中で正方向に不変である, すなわち $x\in L$ かつ $\varphi(x, [0, t])\in N$ ならば $\varphi(x, t)\in L$ である ;は(2)の孤立近傍である ;(3) $N$ から外に出る軌道は必ずを通る. このとき対$(N, L)$ を index pair という. 実は孤立不変集合
は必ず index pair $(N, L)$ を持ち, ま$-$たそれに対する商空間 $N/L$ のホモトピ 型は index pair のとり方によらず, 孤立不変集合
のみに依存することが知られている. そこでそのホモトピー型 $[N/L]$ を $h(S)$ と書き, 孤の Conley 指数 (正確にはホモトピー Conley 指数) と呼ぶ. 同様にホモロ
立不変集合
ジー群 $H_{*}(N/L, [L])$ を $CH_{*}(S)$ と書き, ホモロジー Conley 指数と呼ぶ. Conley 指数は力学系の位相不変量であり, 従って位相的に異なる力学系を区別するために用いることがで$\mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}[10],$$\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{W}[8]$$X$$\varphi$$X\cross \mathbb{R}arrow X$

$S$

$L$

$L$

$S$

$\overline{N\backslash L}$

$L$

$S$

$S$

$S$

きる.

Morse 分解は孤立不変集合のより精密な構造を捉えるために導入されたものである. それは Morse 成分 (Morse component) と呼ばれる互いに交わらない有限個の $S$ の孤立不変部
分集合 $M(p)$ から成り, それらは有限な半順序集合 $(P, <)$ によって次の条件をみたすように番号付けられている :Up $\epsilon PM(p)$ に含まれない任意の軌道に対し $p<q$ なる $p,$ $q\in P$
が存在して $\alpha(\gamma)\subset M(q)$ および $\omega(\gamma)\subset M(p)$ が成り立つ. このような軌道を $M(q)$ から$\gamma$$M(p)$ へのMorseconnecting orbit といい, その全体を $C(p, q)$ と書く. 従って孤立不変集合

分解 $\mathcal{M}(S)=\{M(p)|p\in(P, <)\}$ が与えられれば,

$S$

の

86

$S=[ \bigcup_{p\in P}M(p)]\cup[_{p<q}\cup C(p, q)]$となっている. 定義より$\mathrm{A}l_{<}(S)=\{M(p)|p\in(P, <)\}$

が $S$ の Morse 分解ならば,$<$の任意の拡張 $<’$ に対し $\lambda 4_{<}’(S)=\{M(p)|p\in(P, <^{J})\}$ もまた $S$ の Morse 分解である. $S$の互いに素な有限個の孤立不変部分集合 $M(p)(p\in P)$ に対し, それを Morse 分解とする$P$ 上の最小の半順序を流れによって定まる半順序 (flow-defined order) といいと表す.
が導入した connection matrix は Morse 分解においてどの Morse 成分同士の$<^{F}$$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}[2]$間に connecting orbit が存在するかを判定するのに大変便利である.
$\{M(p)|p\in(P, <)\}$ に対し, その connection matrix$\triangle$

(2)

(3)

$\triangle$$\mathcal{M}_{<}(S)=$は $\oplus_{pP}\in oH*(M(P))$ からそれ自身への次数 $-1$ の次数付き加平の準同型写像であり, 以下をみたす(1)

Morse 分解:は真に上三角である, すなわち $\triangle(p, q)\neq 0$ ならば $P<q$ が成り立つ ;;$\triangle^{2}=O$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\triangle/{\rm Im}\triangle$

は $CH_{*}(S)$ と同型となる.

一般に任意の Morse 分解に対して connection matrix は必ず存在するが, それは必ずしもを見られたい.
画面は決まらない. 詳しくは$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{S}\mathrm{a}[2]$に関する Morse 分解
もし流れによって定まる半順序から決まる connection
が でないならば, それは $P<^{F}q$ すなわち $p=p_{1},$matrix の $(p, q)$ -成分
をみたすある $p_{i}(i=1, \ldots, k)$ が存在して $C(Pi,pi+1)\neq\emptyset(i=1, \ldots, k-1)$ となること$<^{F}$$\mathcal{M}_{<^{F}}(S)$$0$$\triangle(p, q)$$q=p_{k}arrow$にを意味する. もし半順序 $<$ が流れによって定まるものでなければ, MMMorse 分解
対するすべての connection matrix の $(p, q)-$ 成分が で論い時には同じ結論が成り立つ.
なぜならば $<$ が $<’$ の拡張である時に対する connection matrix 全体の集合にはに対するそれがすべて含まれるから, 特に流れによって定まる半順序に対するconnection matrix も含まれていなければならないからである. connection matrix は多くの場合その代数的な条件を用いて計算されるので, いくつかの成分が connection matrix のとり方によらず でないということを確かめるのはさほど困難ではない.
応用上は単独の流れでなく, パラメータを考え, パラメータ空に依存する流れの族
間 A 内をが動く時の力学系の構造の変化を調べることが多い. このようなパラメータ族に対して Conley 指数やそれに関連する概念を考えるためには, パラメータ空間と相空間の直積空間上にとして自然に定義される parametrized flow :を考えるのが都合が良い. この状況で各 に対する流れの孤立不変集合の族が parametrized flow
がパラメータ空間 A 上に連続するとはの孤立不変集合であることをいう. このときには continuation isomorphism と呼ば$\mathcal{M}_{<}(S)$$0$$\mathcal{M}_{<}(S)$$\mathcal{M}_{<}’(S)$$0$$\lambda$$\varphi_{\lambda}$$\lambda$$\Phi(x, \lambda, t)=(\varphi_{\lambda}(x, t),$$\Phi$$\lambda)$$\Lambda \mathrm{x}\mathbb{R}arrow X\cross\Lambda$

a$\lambda$$\{S_{\lambda}\}$$X\cross$$S_{\Lambda}= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}S\lambda\cross\{\lambda\}$$\Phi$の間の自然な同型が, index pair の間の包含写像から誘導される. 同様にして Morse 分解の連続性についても次のように定式化される 各パラメータ 毎に与えられた Morse 分解
がパラメータ空間 A
上連続するとはが parametrized flowのある半順序れると$CH_{*}(S_{\lambda})$$CH_{*}(S_{\Lambda})$$(N_{\lambda}, L_{\lambda})\subset$$(N_{\Lambda}, L_{\Lambda})$$\mathcal{M}(S_{\lambda})$:$\lambda$$M_{\Lambda}(P)= \bigcup_{\lambda}\in\Lambda M\lambda(p)\mathrm{x}\{\lambda\}(p\in P)$$\lambda 4_{<\text{、}}(s\lambda)$$\Phi$

87

に関する Morse 分解となっていることをいう. このとき明らかにはの拡張となっている. 特にが各 での流れによって定まる半順序のとき, $\{M_{\Lambda}(p)|p\in P\}$ が$<_{\Lambda}$$<_{\Lambda}$$<_{\lambda}$$\lambda$$<_{\lambda}$$\Phi$の Morse 分解となる最小の半順序をA 全体の上で流れによって定まる半順序といい$<_{\Lambda}^{F}$

と表す.

3

transition matrix のいくつかの定式化与えられた Morse 分解に対する connecting orbit の存在を検出する connection matrix に対し, transition matrix は流れの 1 パラメータ族における connecting orbit の変化, すな
わち connecting orbit の余次元 1 の変化についての代数的な情報を与える.

transition maの singular transition matrix,
trix にはこれまでによる topological transition matrix,の algebraic transition matrixという 3 つの異なる定式化が与えられている.
$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}[9]$$\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{c}_{\mathrm{o}\mathrm{r}}\mathrm{d}- \mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{W}[5]$$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}-\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{W}[3]$3.1

singular transition matrix

A を線分 $[0,1]$ , 相空間 $X$ を多様体として singular transition matrix は直積空間上の常微分方程式
で与えられる流れの connection matrix から定義

$X\mathrm{x}\Lambda$$\dot{x}=f(x, \lambda),\dot{\lambda}=g(\lambda)$

される.

ここで

$g(\lambda)$

は $g(\mathrm{O})=g(1)=0$ および $\lambda\in(0,1)$ において $-1\ll g(\lambda)<0$ をみたす関数である. 例えば十分小さい$\epsilon>0$に対して$g(\lambda)=\epsilon\lambda(1-\lambda)$と取ることが多い.

このようにして導入されるパラメータ空間上の人工的なダイナミクスは artificial parameterslow drift と呼ばれる. この直積空間上の拡大された流れはにおける相空間 $X$ 上の Morse 分解から決まる自然な Morse 分解 $\{(M_{i}(p), i)|i=0,1\}$ を持つ. ここで半順序$\lambda=0_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}.1$

は元の $P$ 上の半順序および任意の $p,$ $q\in P$ に対し $(p, 0)<(q, 1)$ をみたすものとして与えられる.

このことから対応する connection matrix

は$\triangle\sim$$\triangle=\sim$

なるブロック上三角行列として与えられる. ここで $\triangle_{i}(i=0,1)$ は $\lambda=i=0,1$ におけるconnection matrix である. connection matrixの代数的性質から行列 $T$ は次数 の同型写像$\tilde{\Delta}$

$0$

$T$

:

$\bigoplus_{p\in P}cH*(M1(p))arrow\bigoplus_{p\in P}CH_{*}(M_{0}(p))$

であり, 上三角でしかも$\triangle_{0}\tau+T\triangle 1=\mathit{0}$をみたす. この最後の性質はから直ちに従う. この $T$ を singular transition
matrix と呼ぶ. 半順序 $<$ が A 上の流れによって定 る半順序の時, $T(p, q)\neq 0$ ならば$\triangle^{2}\sim=0$$.\text{ま}$が存在して, 各 $i=1,$
についての時 $C(Pi,pi+1)\neq\emptyset$ となる. さらに, parameter slow drift が単調であることから$\{\lambda_{i}\}_{i=1,\ldots,k}$$\lambda=\lambda_{i}$と $p=p_{1},$$q=p_{k+1}$

なる$\{p_{i}\}_{i=1,\ldots,k+}1$$k$$\ldots,$

88

は単調減少に選べる. もし半順序 $<$ が流れによって定まる半順序
パラメータ列の拡張であるならば, すべての可能な transition matrix についてその $(p, q)-$ 成分が でな$\{\lambda_{i}\}_{i=1,\ldots,k}$$0$

い場合に同じ結論が得られる.
このように定式化された transition matrix は様々な分岐問題にうまく適用されているが, transition matrix が parameter slow drift の選び方にどのように依存するかわからないという難点を持っている. 特に transition matrix の推移性の問題, すなわち $\lambda=0$ か
ら $\lambda=1$ への transition matrix と $\lambda=1$ から $\lambda=2$ への transition matrix を合成したもの
は $\lambda=0$ から $\lambda=2$ への transition matrix になるか,ということがこのままでは全くわか

singular transition matrix を parameter slow drift にできるだけ依存しないようは可能なすべての parameter slow drift による拡大にするために,らない.

$\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{C}_{\mathrm{o}\mathrm{r}}\mathrm{d}- \mathrm{M}\mathrm{i}_{\mathrm{S}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{W}[6]$

された流れの全体を考え, そのパラメータ上の流れが $\sup$ ノルムで に近付く時の connection matrix のあらゆる極限点全体としてより正確な定義を与えた. この定義に基づいて [6]ではさらに singular transition matrix と次に説明する topological transition matrix の両方が定義される時にはそれらは本質的に同じものであるということも証明した. このことから直ちにその場合には topological transition matrix の推移性が singular transition matrixにも成り立つことがわかる. [4] ではこの同値性がある種のゆっくり変化するハミルトン系
における無限個の connecting orbit の存在を示すために用いられている.
$0$

3.2

topological transition matrixにおいて artificial parameter
topological transition matrix は
slow drift に依存しない形で transition matrix が与えられるように導入された. そのために [5] ではパラメータ空間 $\Lambda=[0,1]$ の端点で Morse 分解に connecting orbit がなく, 従ってとなることを仮定する. この時には $\lambda=i=0,1$ で: $CH_{*}(S_{i})arrow$$\oplus_{p\in P}CH_{*}(Mi(P))$ なる同型が存在する.
-方, これらの不変集合に対して 2 つの continuation isomorphism$(F_{01}(S))_{*}$ : $CH_{*}(S_{1})arrow CH_{*}(S_{0})$$\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}-\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{W}[5]$$Si=\mathrm{u}_{p\in P}M_{i}(p)$$\Psi_{i}$と$\bigoplus_{p\in P}(F_{01}(p))_{*}:$$\bigoplus_{p\in P}cH*(M1(p))arrow\bigoplus_{p\in P}CH_{*}(M_{0}(p))$

が定まる. これらによって得られる図式$\oplus(F_{01})_{*}(p)$$p\in P$

$arrow$$\bigoplus_{p\in \mathcal{P}}CH_{*}(M_{0}(p))$.

$(\Psi_{0})_{*}\uparrow$$\bigoplus_{p\in P}cH*(M1(p))$$(\Psi_{1})_{*}\uparrow$$(F_{01})_{*}arrow(S)$$CH_{*}(So)$$CH_{*}(s_{1})$は–般に可換でなく, その非可換性が connecting orbit の変化の情報を与えるというのがtopological transition matrix の基本的なアイディアである. すなわち topological tran-

89

sition matrix は local continuation$\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{P}\mathrm{h}\mathrm{i}_{\mathrm{S}\mathrm{m}}\oplus_{p\in P}(F_{01}(p))*$を恒等写像にするような基底を選んだ時の行列$\tau_{\mathrm{t}\mathrm{o}_{\mathrm{P}}}=(\Psi_{1})_{*^{\mathrm{O}}}(F01(S))*(\circ\Psi 0)^{-1}*$として与えられる. これは本質的に continuation isomorphism から決まるものなので, そのことから直ちに topological transition matrix は推移性をもつことがわかる. また Ttopは可逆な上三角行列であり, $\lambda=0,1$ では connecting orbit はないと仮定しているので$\triangle_{0}=\Delta_{1}=0$ であることから関係式 $\Delta_{0}T+T\triangle_{1}=0$ は自明に成り立つこともわかる.
さらに singular transition matrix と同様に, もし Ttop の非対角成分が でなければ, それはパラメータが から 1 まで変化する問に対応する Morse component をつなぐ connecting
orbit の列が存在することが示されている.
$0$

$0$

33

algebraic transition matrix

明らかに topological transition matrix の最も大きな欠点は, パラメータ区間の境界でconnecting orbit がないという仮定の下でしか定義されないことである. この欠点を克服
は transition matrix を純粋に代数的に構成しようとするために試みた. これを algebraic transition matrix と呼ぶ. [3] では Morse 分解の半順序に$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{S}\mathrm{a}-\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{W}[3]$ある条件を課すことにより次数 の上三角可逆行列であってパラメータ区間の境界における connection matrix の間の相似変換として algebraic transition matrix を定式化している. この相似変換であるという条件は singular transition matrix の持つ性質の–つである$\Delta_{0^{T+T\triangle}1}=0$ に対応するものである.
ここでは algebraic transition matrix の構成の詳
細には立ち入らないが, 後で述べるように [3] の定義には transition matrix のみたすべき重要な条件が欠落しており, そのために例えば topological transition matrix が定義される
ような状況において, 任意の次数 の上三角可逆行列が algebraic transition matrix の定義の条件をみたすということになってしまっている.
$0$

$0$

transition matrix の公理的定義

4

前節でみたように, これまでに導入された 3 通りの transition matrix の定式化にはいずれも何らかの問題点を抱えており完全に満足できるものであるとはいえない. ここではこれらの問題を解消し, 従来の定式化を統合することを目指して transition matrix の公理的な定義を与える.
とを弧状連結なパラメ一タ空間 A 内のを結ぶ道とする. 各における孤立は Morse 分解
不変集合を持ち, かつそれらは適当な半順序 $<$ に関して
上連
続するとする. $\Delta_{i}(i=0,1)$ をの端点 $\lambda=i=0,1$ における connection matr 億とし,$\lambda_{0}$$\alpha$$S_{\lambda}$$\lambda\in\alpha$$\lambda_{1}$$\mathcal{M}(S_{\lambda})$$\alpha$$\alpha$

また $C\triangle_{i}=\oplus_{p\in P}CH*(Mi(p))$ をそれを境界準同型とする鎖複体とする.

定義 4.1 この状況の下で, transition matrix とは次数$0$の鎖準同型写像$T:C\triangle_{1}arrow C\Delta_{0}$

,

90

すなわち
$arrow$$(C\triangle 0)_{n}+1$$arrow$$T_{n+1}\uparrow$$arrow$$(C\triangle 1)_{n}+1$$(C\triangle_{0})_{n}$$arrow$$(C\triangle_{1})_{n}$$arrow$$T_{n-1}\uparrow$$T_{n}\uparrow$$arrow$$(C\Delta_{0)}n-1$$arrow$$(C\triangle 1)_{n}-1$$arrow$

であって

(1)

$T$

は半順序 $<$ に関して上三角である ;

(2)

$T$

が誘導するホモロジ $-$ 準同型写像$T_{*}:$$H_{*}(C\Delta_{1})\cong CH_{*}(s1)arrow H_{*}(C\Delta_{0})\cong cH*(S_{0})$が global continuation isomorphism と –致するものをいう. このような望洋同型写像全体の集合をでと書き, またそれをの可能なすべての connection matrix 全体について和集合をとったものをと書き表す.
$\partial\alpha$$\mathcal{T}_{\alpha}(\triangle_{0,1}\triangle)$$\mathcal{T}_{\alpha}(\lambda_{0}, \lambda_{1})$

この定義による transition matrix は実際に存在する, すなわち次が成り立つ

定理 42 集合$\mathcal{T}_{\alpha}(\lambda_{0}, \lambda_{1})$:は空でない.

われわれの transition matrix の定義は [3] の algebraic transition matrix と良く似ているが, 次の 2 点においで重要な違いがある: まず algebraic transition matrix ではわれわれの定義にある global continuation isomorphism との関係が明確に述べられていない.

(た[3] における algebraic transition matrix の存在証明を良く見ればそれが実際に使われていることがわかる. ) この条件のおかげでわれわれの transition matrix は topologicaltransition matrix が定義できる状況ではそれと完全に–致することがわかり, われわれのにおいて connecting orbit が存在する状況での topological transitransition matrix がtion matrix の適切な拡張であると言える. 第 2 の重要な違いは singular transition matrixの $\triangle_{0}T+T\Delta_{1}=0$ をが鎖準同型であるための条件と見ることにより, ホモロジー代数の諸概念を有効に利用できるようになったことである. このことは晩節において transition
matrix を余次元が 2 以上の connecting orbit を検出できるように拡張する際に大変役に立だし$\partial\alpha$$T$$\vee\supset$.

transition matrix のこのような定式化がひとたび与えられれば, 上の存在定理の証明はさほど困難ではない. われわれは [6] で与えられた singular transition matrix の精密な定義, 特にそのように定義された singular transition matrix がいわゆる drift partial orderに関して上三角になるという事実を用いる. 流れによって定まる半順序はこの drift partial
order の拡張になっており, 従って singular transition matrix は流れによって定まる半順序についでも上三角になっている. 残りの性質も比較的簡単な議論によって確かめることがで
きる.

91

5

余次元 2 以上の connection に対する transition matrix の–般化transition matrix を connection matrix の定める鎖四体の野州同型と考えるアイディア
はより余次元の高い connecting orbit に対する類似の問題にも自然に拡張される. このこと
を余次元 2 の connecting orbit の場合について見てみる.
パラメータ空間 A は弧状連結かつ単連結とし, その中の 2 点を結ぶ 2 つの道
でそれらが 2-disk $D$ を張るものを考える. 道の端点における connection matrixと道に対し transition matrix
およびが与$\lambda_{0},$$\alpha’$$\lambda_{1}$$\alpha,$$\lambda_{0},$$\triangle 0,$$\alpha’$$\triangle_{1}$$\lambda_{1}$$T\in \mathcal{T}_{\alpha}(\Delta_{01}, \triangle)$$\alpha,$$T’\in \mathcal{T}_{\alpha};(\triangle_{0}, \triangle 1)$

えられているとする. 鎖準同型 $T:C\Delta_{1}arrow C\Delta_{0}$ に対し新しい鎖複体$CT=((c\triangle_{0})*\oplus(c\triangle_{1})*-1, \triangle T)$を, その境界準同型が$(\triangle\tau)_{n}=:(c\triangle_{0)\oplus(C\Delta_{1}}n)n-1arrow(C\Delta 0)_{n-}1\oplus(C\triangle 1)n-2$で与えられるものとする. これを鎖準同型の写像錐という. 簡単な計算によりこれは確かに鎖複体になり, しかもそのホモロジー群 $H_{*}(CT)$ はのホモ$T’$
ロジー Conley 指数に他ならないことがわかる.
についても同様にして鎖複体$T:C\triangle_{1}arrow C\triangle_{0}$$S_{\alpha}= \bigcup_{\lambda\in\alpha}S_{\lambda}$$CH_{*+1}(S_{\alpha})$$CT’=((C\triangle 0)_{*}\oplus(c\Delta_{1})_{*}-1, \Delta\tau’)$が定義される. 今, $A$ :を次数 +1 の次数付き加群の準同型写像で 2 つの鎖準同型 $T,$ $T’$ の鎖ホモトピー, すなわち図式$C\triangle_{1}arrow C\triangle 0$$(\Delta 0)n+1$$arrow$$(C\triangle_{0)}n+1$$arrow$$T_{n+1}\uparrow\uparrow T_{n+1}’$$\nwarrow A_{n}$$(\Delta_{0})_{n}$$(C\triangle_{0})_{n}$$T_{n}\uparrow\uparrow T_{n}’$$(\Delta_{1})_{n+1}$$arrow$$(C\triangle 1)_{n}+1$$arrow$$arrow$$\nwarrow A_{n-1}$$(C\triangle_{0)}n-1$$T_{n-1}\uparrow\uparrow T_{n-1}’$$(\triangle_{1})_{n}$$(C\triangle_{1})_{n}$$arrow$$(C\triangle 1)_{n}-1$

において$T_{n}-\tau’=(n\triangle_{0})n+1An+An-1(\Delta_{1})_{n}$が成り立つものとすると, それは自然に写像錐の問の鎖準同型$\tilde{A}_{n}$:$(CT’)_{n}=(C\Delta_{0})_{n}\oplus(C\Delta_{1})_{n}-1$$arrow$$(CT)_{n}$を導くので, 特にそれがホモロジーに誘導する準同型$\tilde{A}_{*}:$が意味を持つ.

$arrow$$CH_{*+}1(S\alpha’)\cong H_{*}(cT’)arrow CH_{*+1}(S\alpha)\cong H_{*}(cT)$$arrow$

92

定義 51 以上の状況で, 余次元 2 の connecting orbit に対する transition matrix とであって, 次の条件をみたすものを
は次数 1 の次数付き加群の準同型写像 .
いう$A\cdot$$C\triangle_{1}arrow C\Delta_{0}$

:

(1)

$A$

は上三角, すなわち $A(p, q)\neq 0$ ならば $p<q$ である ;

(2)

$A$

は transition matrix $T,$ $T’$ の鎖ホモトピーであり, 従って写像錐 $CT,$ $CT’$ の間の鎖準同型$\tilde{A}$を誘導する ;

(3) 写像錐の鎖準同型 が誘導するホモロジー準同型写像
が global continuation isomorphismに–致する.
$\tilde{A}$$\overline{A}_{*}:$$CH_{*+}1(s\alpha’)arrow CH_{*+1}(S_{\alpha})$$(F_{\alpha\alpha’})_{*}$を結ぶ 2 つの道によって張られる 2-disk をとするとき, 上のような鎖ホモトピー写像全体の集合をと書き, またそれをでの可能なすべての connection matrix およびそれに対して定義される上のすべての transition
matrix 全体について和集合をとったものをと書き表す.
$\lambda_{0},$$\lambda_{1}$$\alpha’$$\alpha,$$A_{D_{\alpha,\alpha}},$$D_{\alpha,\alpha’}$$(\Delta_{0}, \Delta 1;\tau, T’)$$\lambda_{0},$$\lambda_{1}$$\alpha’$$\alpha,$$A_{D_{\alpha,\alpha}},$$(\lambda_{0}, \lambda 1)$

定理 52(1) 集合(2)$A_{D_{\alpha,\alpha}},$$(\lambda_{0}, \lambda_{1})$は空でない.

$A\in A_{D_{\alpha,\alpha}},$ $(\triangle_{0}, \triangle_{1} ; \tau, T’)$列$\{\lambda_{i}\}_{i=1,\ldots,k}$

ついて$\lambda=\lambda_{i}$と $p=p_{1},$の $(p, q)$ -成分が$q=p_{k+1}$$0$

でないならば,$D_{\alpha,\alpha’}$内のパラメータのなる $\{p_{i}\}_{i1,\ldots,k}=+1$ が存在して, 各 $i=1,$$k$$\ldots,$にの時 $C(p_{i},p_{i+1})\neq\emptyset$ となる.

この定理の証明は定理 42 と同様にできる. 定理 42 の証明では singular transition matrix が本質的に用いられたが, ここではパラメータ次元が大きい場合のによる singular transition matrk の拡張を用いる. すなわち singular transition matrix を定義するための parameter .slow drift を高次元化して, パラメータ空間 $\Lambda=[0,1]^{2}$ と相空間との直積空間上の常微分方程式$\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{w}[\tau]$$X\cross\Lambda$$\dot{x}$$\dot{\lambda}^{i}$$=$$f(x, \lambda^{1}, \lambda^{2})$$=$$\epsilon\lambda^{i}(1-\lambda^{i})(i=1,2)$を考える. A 上の流れは 4 つの平衡点$(0,1),$ $(1,0),$ $(1,1)$ を持つので, それに対応してこの拡大された流れの Morse 分解は $\{M_{ij}(P)|i,j=0,1\}$ の形となり, 従ってそれに対する connection matrix は$(\lambda^{1}, \lambda^{2})=(0,0),$$\tilde{\Sigma}=$93の形となる. ここで$\triangle_{ij}$はパラメータ値 $\lambda=(i, j)$ に対応する connection matrix である.

この拡大された流れの connection matrix$\tilde{\Sigma}$に対しても$\overline{\Sigma}^{2}=O$が成り立つので, そのことから$\triangle_{0012}A+A_{12}\Delta_{01}=\mathit{0}$$\triangle_{01}A_{23}+A_{2}3\Delta 10=O$$\triangle_{10}A34+A34\triangle 11=O$(5.1)$\triangle_{00}A13+A_{1}2A23+A_{1}3\triangle 10=O$$\triangle 01A24+A_{233}A4+A_{2}4\triangle 10=O$$\triangle_{00}A_{14}+A12A_{24}+A13A34+A_{14}\Delta 10=^{o}$が導かれる.

[7] ではこのような行列を transition matrix の–般化として定式化し, そのい
くつかの性質や具体例への応用について考察した. 一般にこのようにしてパラメータ次元がの時の singular transition matrix は各パラメータ値での connection matrix のサイズの倍の大きさの行列として定式化されるが, われわれはそれを見直すことにより本質的な情報が次の形で得られることを憎い出した. すなわち余次元 2 の場合には上のパラメータ空間$[0,1]^{2}$ から実際のパラメータ空間内の 2 つの道で張られる 2-diskへの写像を考え, それに
$k$

$k$

よって縦の辺 $\{0,1\}\cross[0,1]$ は道には拡大された流れにおける変化は自明なので, 上の行列$\lambda^{2}$$\tilde{\Sigma}$の共通の端点に写されるようにする. この時$-$
方向 (縦方向) へのパラメ タの変動による Morse 分解の$\alpha’$$\lambda_{0},$$\alpha,$$\lambda_{1}$

において

;

$A_{12}=I,$ $A_{23}=O,$$A_{34}=I$$\Delta_{00=-}\Delta_{01}=\triangle_{0},$$\Delta_{1}0=-\triangle_{11}=\Delta_{1}$;$A_{13}=T,$ $A_{24}=-T’$となる.

これにより (5.1) の最初の 3 式は自明に成り立ち,

型写像であることを表し, 最後の式は$A_{14}$

また続く 2 式は $T,$ $T’$ が鎖準同が $T,$ $T’$ の鎖ホモトピーに他ならないことを示している.

例 53 次の図のような内の流れを考える.
ここで Morse component $M(2)$ の 2 次元不安定多様体は $M(1)$ の 2 次元安定多様体と横断的に交わっている状況を考える.
2 次元のパラメータ空間で 2 点を結ぶある道 に沿っては Morse component $M(3)$は $M(1)$ に決してつながらないが, 端点を共有する別の道に沿っては途中のあるパラメータ値で $M(3)$ から $M(1)$ への connecting orbit が存在するようなものが考えられる.
この時にの囲む領域内に $M(3)$ の 1 次元不安定多様体が $M(2)$ の 1 次元安定多様体につながるような余次元 2 の connecting orbit の存在問題を考える.
での connection matrix は $M(2)$ から $.M(1)$ への横断的な connecting orbit
まず$\mathbb{R}^{3}$$\lambda_{0},$$\lambda_{1}$$\alpha$$\alpha’$$\alpha’$$\alpha,$$\lambda_{0},$$\lambda_{1}$94$\text{図}2$: Codimension 2 connecting orbit.

のみ存在するので$\triangle_{0}=\triangle_{1}=$である. 道に沿う transition matrix は単位行列であるが, 道tion matrix は $M(3)$ から $M(1)$ への connecting orbit を反映して$\alpha$$T=\mathrm{I}\mathrm{d}$$\alpha’$に沿う transi-$T’=$となる. これらより $\tau-\tau’=\triangle_{0^{A}}+A\Delta_{1}$ をみたす上三角行列 $A$ を求めると, その第 $(2, 3)-$
係数で)
成分は (
でないので, 上の定理よりの囲むパラメータ領域内に $M(3)$ か$\mathbb{Z}_{2}$$\text{ら}.M(2)$$0$$\alpha’$$\alpha,$への connecting orbit が存在するようなパラメータ値があるということが結論される.

このような余次元 2 の connecting orbit に対する transition matrix の構成は, より余次元の高い connecting orbit についてもほぼ同様に適用できる. すなわち, パラメータ空間内

95

に2点

を取り, それを結ぶ 2 つの道が 2 つの異なる 2-disk $D,$ $D’$ を張り, それらが 3-disk $B$ を囲むという状況を考える. このとき新しく得られた鎖複体 $CT$ と $CT’$ に対し, 2 つの鎖準同型が得られるが, それらの問の鎖ホモトピー
は,の写
像錐 $CA,$ $CA$’ の間の鎖準同型を導く. これが余次元 3 の connecting orbit に対する transition matrix となることが同様の議論により示せる. この構成は余次元を上げて繰り返せるので, 原理的にはいくらでも余次元の高い connecting orbit についても transition matrixが考えられることになる.
$\lambda_{0},$$\alpha’$$\lambda_{1}$$\alpha,$$\tilde{A},\tilde{A}’$$L$$\tilde{A},\tilde{A}’$参考文献[1] C. Conley, Isolated Invariant Sets and the Morse Index, CBMS Lecture Note, Vol.38,
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