数理解析研究所講究録 1200 巻 2001 年 116-128

116
デデキント和の拡張について
津田塾大学 太田香 (Kaori Ota)

Tsuda College\S 1. Introduction およひ準備
デデキント和は $\log\eta(z)$ の変換公式に現れ、 デデキントによりその相互法則が証明された (cf. [16]) 。その後、 さまざまな人たちによりいろいろな拡張がなされ、 拡張された和についての相互法則も得られている :Apostol, Carlitz, Rademacher, Berndt, Zagier,Halbritter, Solomon 等々。 現在は(1.1)$\sum_{0\leq i_{1},\ldots,i_{r}<a}\overline{B}_{r_{1}}(\frac{i_{1}+\lambda_{1}}{a})\cdots\overline{B}_{r_{\mathfrak{n}}}(\frac{i_{n}+\lambda_{n}}{a})$の形のようなものまで考えられ、 その相互法則については、 江上繁樹さん (富山大学) が cone に付随した多重ゼータ関数を用いた証
明を与え ([9, 1993 年]) Chapman は Solomon の方法を 次元格子に拡張して考えることにより証明した ([8, 2000 年])((1.1) の正確な形については、 それぞれの論文を参照
については下の定義 1 を参照)
して下さい。
$(a\in \mathrm{N}, 0\leq r_{1}, \ldots,r_{n}\in \mathrm{Z}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\in \mathrm{R})$$\mathrm{n}$$\text{、}$$\circ$$\overline{B}_{*}$

ここでは、 Apostol による拡張に注目する。 まず初めに必要な定義を与える。

定義 1. -th Bernouffi 数
は、 次により定義される :$n$$B_{n},$$n$-th Bernoulli 多項式 $B_{n}(x),$$\frac{t}{e^{t}-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{n}}{n!}t^{n}$,$n$-th Bernoulli 関数$\overline{B}_{n}(x)$(1.2),$\frac{te^{xt}}{e^{t}-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{n}(x)}{n!}t^{n}$( $n>1$ のとき)$\overline{B}_{n}(x)$$=B_{n}(\{x\})$$\overline{B}_{1}(x)$$=\{\begin{array}{l}B_{1}(\{x\})(x\not\in \mathrm{Z}\emptyset\ \gtrless)0(x\in \mathrm{Z}\sigma)\mathrm{g}\mathrm{g})\end{array}$$\{$

ここで、 $\{x\}$ は $x$ の小数部分 (つまり、 $0\leq\{x\}<1$ ) を表す。 また、の Dirichlet 指標とした時、$B_{n,\chi}$$\chi$を$\sum_{a=1}^{f}\frac{\chi(a)te^{at}}{e^{ft}-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{n,\chi}}{n!}t^{n}$により定める。
以後、 $k,$$h$

を $(k, h)=1$ である自然数とする。

定理 1. (Apostol, [1, 1950 年])$n\in \mathrm{N}$とする。 デデキント和を$s_{n}(k, h)= \sum_{a=1}^{h-1}\frac{a}{h}\overline{B}_{n}(\frac{ka}{h})$,$s_{n}(h, k)= \sum_{b=1}^{k-1}\frac{b}{k}\overline{B}_{n}(\frac{hb}{k})$を conductor $f$

117により定めると、$\frac{1}{n}${$n$が奇数のとき$k^{n-1}s_{n}(h$, 幻 $+h^{n-1}s_{n}(k,$ $h)$ } $= \frac{(^{1}Bh-2Bk)^{n+1}}{n(n+1)kh}+\frac{B_{n+1}}{(n+1)kh}$

が戒り立つ。 ここで、

(1.3)$(^{1}Bh-2Bk)^{n+1}= \sum_{l=0}^{n+1}(\begin{array}{ll}n +1 l\end{array})B_{l}h^{l}(-1)^{n+1-l}B_{n+1-l}k^{n+1-l}$

である。
この定理は

が奇数の時のみを扱っているが、 が偶数の時はデデキント和の各々が簡単に計算できる。 ここで注目されるのが、右辺の
$n$

$n$

$\frac{(^{1}Bh-2Bk)^{n+1}}{n(n+1)kh}$の項で、 これは Barnes による 2 重ゼータ関数の $s=1-n$ における値と殆ど同じである。
そこで、 2 重ゼータ関数を変形することにより、 上の相互法則が得られないかを考える。

そのために、 Barnes の多重ゼータ関数について必要な部分のみを復習する。

定義 2. (cf. [2, 3])(1)$\alpha,$$a;_{1},$$\omega_{r}\in \mathrm{C}$$\ldots,$,$\omega_{1}\cdots\omega_{r}\neq 0$

重 Bernouffi 多項式の微分$\frac{(-1)^{r}te^{-\alpha t}}{\Pi_{i=1}^{r}(1-e^{-\omega_{j}t})}=$とし、必 $=$.
を、$(\omega_{1}, \ldots,uJ_{r})$とおく。 Barnes の r-

$rS_{n}’(\alpha;\tilde{\omega})$($t$(7) 非 1 幕 OyR)

(1.4)$+ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)_{r}^{n-1}S_{n}’(\alpha,\tilde{\omega})}{n!}.t^{n}$により定義する。 以後、微分しか現れない。

(2)$\alpha,$$\omega_{1},$$\ldots,$$\omega_{r}$の各実部 $>0$ とする。 Barnes の$\zeta_{r}(s;\alpha,\tilde{\omega})$により定義する。

$\zeta_{r}$$\zeta_{r}(s;\alpha,\tilde{\omega})$$= \sum_{m_{1},\ldots,m_{r}=0}^{\infty}\frac{1}{(\alpha+m_{1}\omega_{1}+\cdots+m_{r}\omega_{r})^{s}}$’ およぴ$rS_{n}$$1S_{n}’(\alpha;(\omega))$$\zeta_{1}(s;\alpha, (\omega))$$\zeta(s,\frac{\alpha}{v})$-重ゼータ関数は、 ${\rm Re}(s)>r\}$ こおいて正則な関数である。

Remark 1.(1) $r=1$ のとき、である。 ここで、$r$$\zeta_{r}$はそれぞれ$= \omega^{n-1}B_{n}(\frac{\alpha}{\omega})$$= \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(\alpha+m\omega)^{s}}=\frac{1}{\omega^{\epsilon}}\zeta(s,$は Hurwitz zeta 関数である。

$\frac{\alpha}{\omega})$

を

118
(2)

$\prime S_{n}’(\alpha;\tilde{\omega})$は次の表示を持つ :$rS_{n}’( \alpha;\tilde{\omega})=\frac{(^{1}B\omega_{1}+\cdots+^{r}B\omega_{r}+\alpha)^{n+r-1}n!}{\Pi_{=1}^{r}\omega_{i}\cdot(n+r-1)!}$.

ただし、 $(^{1}B\omega_{1}+\cdots+rB\omega_{r}+\alpha)^{n+r-1}$ は (1.3) と同様に定義される。 この表示は、(1.4) の左辺を Bernoulli 数の母関数 (1.2) の積とみなすことにより得られる。
定理 2. (cf. [2, 3])$\zeta_{r}(s;\alpha,\tilde{\omega})$は次の積分表示を持つ :$\zeta_{r}(Sj\alpha,\tilde{\omega})=\frac{\Gamma(1-s)e^{-\epsilon\pi-}}{2\pi i}$(ここで、$\lambda$

は $0< \lambda<\min(|\frac{2\pi}{\omega_{1}}|,$ $\cdots,$$| \frac{2\pi}{\omega_{r}}|)$I(\lambda , 科科).

$\frac{e^{-\alpha t}t^{\epsilon-1}}{\Pi_{=1}^{\underline{r}}(1-e^{-\omega- t})}dt$

をみたし、$I(\lambda,\infty)$

は実軸上を$+\infty$がら$\lambda$

まできて、 0 の周りを半径 の円周上を時計と反対方向にまわり、 また がら十 に戻る
積分路である。) この右辺はすべての について定義され (極をいくっか持っが) 、これ$\lambda$$\lambda$$\infty$$s$

により$\zeta_{r}$は$\mathrm{C}$に解析接続される。 また、$\forall n\in \mathrm{N}$に対して右辺の積分は留数から得られ、 従って.
$\zeta_{r}(1-n;\alpha,\tilde{\omega})=\frac{(-1)_{r}^{r}S_{n}’(\alpha,\tilde{\omega})}{n}$である。 特 [こ $r=1$ のときは、$\zeta(1-n, \alpha)=-\frac{B_{n}(\alpha)}{n}$

(1.5)

である。

Remark 2. $\alpha=0$ の場合、つまり$\tilde{\zeta}_{r}(s;\tilde{\omega})^{\ f}= \sum_{m_{1},\ldots,m_{r}=0}^{\infty’}\frac{1}{(m_{1}\omega_{1}+\ldots+m_{r}\omega_{r})^{s}}$(和は、各々が $(m_{1},$ $\ldots,m_{r})=(0,$ $\ldots,0)$ 以外で非負整数上をゎたる) は、$m_{1},$ $\ldots,m_{r}$$\tilde{\zeta}_{r}$により帰納的に$\mathrm{C}$( ; 必)$s$$=\zeta_{r}(s;\omega_{1},\tilde{\omega})+\tilde{\zeta}_{r-1}(s;(\omega_{2}, \ldots,\omega_{r}))$へ解析接続され、$\forall n\in \mathrm{N}$に対して$\tilde{\zeta}_{r}(1-n;\tilde{\omega})=\frac{(-1)_{r}^{r}S_{n}’(0,\tilde{\omega})}{n}.-\delta$である。 ここで、$\delta$

は $n=1$ のとき 1 で、 それ以外は 0 である。 特に、$\tilde{\zeta}_{2}(1-n;(k, h))=\frac{2S_{n}’(0\cdot(k,h))}{n},-\delta=\frac{(^{1}Bk+^{2}Bh)*+1}{n(n+1)kh}.-\delta$

で、 これが定理 1 の右辺の第 1 項とほぼ同じである。

(1.6)

119
$<$

定理 1 の$\tilde{\zeta}_{2}$$\tilde{\zeta}_{2}$を用いた証明の概略 $>$を次のように変形する :$\tilde{\zeta}_{2}(s;(k, h))=\sum_{m,n=0}^{\infty’}\frac{1}{(km+hn)^{s}}=\sum_{a=0}^{-}\sum_{b=0}^{-}\sum_{m’,n’=0}^{\infty’}\frac{1}{(ka+hb+kh(m’+n’))^{\epsilon}}h1k1$$= \sum_{a=0}^{h-1}\sum_{b=0}^{k-1}\sum_{N=0}^{\infty’}\frac{N+1}{(ka+hb+khN)^{\epsilon}}$.

この変形は、 $m=a+hm’(0\leq a\leq h-1,0\leq m’\in \mathrm{Z}),$ $n=b+kn’(0\leq b\leq k-1,0\leq$とおきかえ, 次に $N=m’+n’$ とおいて得られる。 そして更に次のように変形される :$n’\in \mathrm{Z})$$\tilde{\zeta}_{2}(s;(k, h))=\frac{1}{(kh)^{\epsilon}}\sum_{a=0}^{h-1}\sum_{t\subset 0}^{k-1}\{\infty\sum_{N=0}’\frac{1}{(\frac{ka+hb}{kh}+N)^{s-1}}+(1-\frac{ka+hb}{kh})\sum_{N=0}^{\infty’}\frac{1}{(_{kh}^{\underline{ka}\pm\underline{hb}}+N)^{l}}\}$$= \frac{1}{(kh)^{\epsilon}}\{\sum_{a=0}^{h-1}\sum_{b=0}^{k-1}\zeta^{*}(s-1,$$\frac{ka+hb}{kh})+\sum_{a=0}^{h-1}\sum_{b=0}^{k-1}\zeta^{*}(s,$ $\frac{ka+hb}{kh})$-$\sum_{a=0}^{h-1}\sum_{\iota\subset 0}^{k-1}(\frac{a}{h}+\frac{b}{k})\zeta^{*}(s,$$\frac{ka+hb}{kh})\}$(1.7).

ここで、$\zeta(s, \alpha)$$\zeta^{*}(s, \alpha)=\{$$\zeta(s)$(のとき)( $\alpha=0$ のとき)${\rm Re}(\alpha)>0$である。

(1.7) ?こおいて $s=1-n$ とおくと, (1.5), (1.6)( $r=1$ のとき) より$\tilde{\zeta}_{2}(1-n;(k, h))=-\frac{(kh)^{n-1}}{n+1}\sum_{a=0}^{h-1}\sum_{b=0}^{k-1}B_{n+1}(\frac{ka+hb}{kh})-\frac{(kh)^{n-1}}{n}\sum_{a=0}^{h-1}\sum_{b=0}^{k-1}B_{n}(\frac{ka+hb}{kh})$$+ \frac{(kh)^{n-1}}{n}\sum_{a=0}^{h-1}\sum_{l\mapsto 0}^{k-1}(\frac{a}{h}+\frac{b}{k})B_{n}(\frac{ka+hb}{kh})-\delta$(1.8)

が得られる。 (1.8) の右辺において、 第 1 項目から
が、 第 2 項月からーが、第 3 項目から $\frac{1}{n}\{h^{n-1}s_{n}(k, h)+k^{n-1}s_{n}(h, k)\}$ が現れる。 この際必要な $B_{n}(x)$ の性質は、
次の 2 つである。
$-^{B_{\mathfrak{n}1}}\hat{(n+1)kh}$(a) 差分式 (the difference equation) :$B_{n}(x+1)=B_{n}(x)+nx^{n-1}$(b) 分配関係 (the distribution relation) :$N\in \mathrm{N}$

.

に対して

$\sum_{=0}^{N-1}B_{n}(x+\frac{i}{N})=\frac{B_{n}(Nx)}{N^{n-1}}$.

$\frac{B}{n}\mathrm{A}$120
これらはともに、 $B_{n}(x)$ の母関数 (12) を用いて簡単に得られるが、 $\zeta(s, x)$ の持っている性質とも考えられる。 例えば、 (a) は$\zeta(s,x+1)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(x+1+m)^{s}}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(x+m)^{\epsilon}}-\frac{1}{x^{l}}=\zeta(s,x)-\frac{1}{x^{\iota}}$

そして、 $s=1-n$ とおけばよい。 従って、 $\zeta’(s, x)(\zeta(s, x)$ の$s$.

[こつぃての微分) も、同様な性質を持っていると考えられ、 それが次のセクションで用いられる。

52. デデキント和の微分について\S 1 では、を変形すること (こより $s_{n}(k, h),$ $s_{n}(h, k)$ が現れ、 更 [こ相互法則が得られた。 そこで今度は、 $\tilde{\zeta}_{2}’(1-n;(k, h))$ (のにつぃての微分) からデデキ
ント和の ” 微分” を定義し、相互法則を導くことを考える (詳細につぃては [14] を参照)$\tilde{\zeta}_{2}(1-n;(k, h))$$\tilde{\zeta}_{2}$$s$$\circ$は、$s_{n}(k, h)$$\sum_{a=1}^{h-1}\frac{a}{h}\zeta^{*}(1-n,$$\Sigma_{a=1}^{h-1}\frac{a}{h}(\zeta^{*})’(1-n,$$\frac{ka+hb}{kh})$$\underline{k}a_{kh}A^{\underline{hb}})$の項から得られたので、 その微分はから定義するのが自然に思われる。

$\zeta(s, z)$の積分表示$\zeta(s,z)=\frac{\Gamma(1-s)e^{-\epsilon\pi}}{2\pi i}.\cdot\int_{t(\lambda,\infty)}\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}- t^{\epsilon-1}dt$

を用いて

$s$

について微分すると、 被積分関数から $\log t$ が現れる。 そこで、 $s=1-n$ とおいた値として次の関数を定義する。
定義 3.

$0\leq n\in \mathrm{Z}$とし、$z\in \mathrm{C},$${\rm Re}(z)>0$とする。 $LG_{n}(z)$ を$LG_{n}(z)= \frac{1}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)}\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\frac{1\mathrm{o}\mathrm{g}t}{t^{n}}dt+\frac{(-1)^{n}}{n!}B_{n}(z)(\gamma-\pi i)$により定義する$(I(\lambda, \infty)$は、 定理 2 における積分路と同じである)。

は, その定義からぐ $(1-n, z)$ の主な部分を与える。 $LG_{n}(z)$ は、 $n=2$ のとき
Shintani により導入され、 Katayama-Ohtsuki により任意の に拡張された (cf. [18,12])。
$LG_{n}(z)$$n$Remark 3. $LG_{n}(z)$ は、性質 (a),(b) を満たす (これは \S 1 の終わりで注意してぃる)。
そこで、 $LG_{n}(z)$ を用いデデキント和の微分を次のように定義する。

定義 4.

$n\in \mathrm{N}$に対してデデキント和の微分をにより定義する。

$s_{n}’(k, h)$$=$$(-1)^{n}n!

$s_{n}’(h, k)$$=$$(-1)^{n}n!

(閏)\sum_{a=1}^{h-1}\frac{a}{h}LG_{n}$\sum_{b=1}^{k-1}\frac{b}{k}$LG。

$( \{\frac{hb}{k}\})$

121
次の相互法則が命題 1.

$\tilde{\zeta}_{2},$$(1-n;(k, h))$ から得られる。

(デデキント和の微分についての相互法則)$\frac{1}{n}\{h^{n-1}s_{n}’(k, h)+k^{n-1}s_{n}’(h, k)\}=\tilde{\zeta}_{2}’(1-n;(k, h))-\zeta’(1-n)-\frac{1}{kh}\zeta’(-n)$$+ \frac{1}{n}${$h^{n}$

ただし、log$h\cdot s_{n}(k,$ $h)+k^{n}$$A_{j}= \Sigma_{m=1}^{j}\frac{1}{m}$log$k\cdot s_{n}(h,$ $k)$}$+ \frac{A_{n-1}}{n}\{h^{n-1}s_{n}(k, h)+k^{n-1}s_{n}(h, k)\}$.

( $j\geq 1$ のとき), $A_{0}=0$ である。

Remark 4. $\zeta_{2}’(1-n;\alpha, (k, h))$ を用いると、る (下の定理 4 を参照)。

$\alpha$だけ shift, した和の相互法則が得られ次に、 相互法則を $n=1$ のときに考えてみる。 $n=1$ のときは
$LG_{1}(z)= \log\Gamma(z)-\frac{1}{2}\log(2\pi)$$\tilde{\zeta}_{2}’(0;(k, h))=-\log\rho_{2}(k, h)$,$\zeta_{2}’(0;\alpha, (k, h))=\log\{\frac{\Gamma_{2}(\alpha,(k,h))}{\rho_{2}(k,h)}.\}$は Barnes I こよる the Stirling modular form と the double gammaである。 ここで、function である (cf. [2, 3,18,19,12])。 これらを用いて相互法則を書き直してみると次が得られる。
$\rho_{2},$$\Gamma_{2}$定理 3.
$T(k, h)= \sum_{a=1}^{h-1}\frac{a}{h}\log\Gamma(\{\frac{ka}{h}\})$$T(h, k)= \sum_{b=1}^{k-1}\frac{b}{k}\log\Gamma($ $\{\frac{hb}{k}\})$とおくと、$T(k, h)+T(h, k)=( \frac{h+k}{4}-1)\log(2\pi)+\frac{1}{kh}\zeta’(-1)-\{s_{1}(h, k)\log k+s_{1}(k, h)\log h\}+\log\hslash(k, h)$

が威り立つ。
この定理の等式を$\rho_{2}(k, h)$について解いて、 次の系を得る。

系 1. $\rho_{2}(1, h/k)$ の有限積表示が次のように得られる :$p_{2}$$(1,$-kh)=(2\pi ) 可 ke--k71$\zeta’(-1)k$nll$( \frac{h}{k})^{s_{1}(k,h)}\prod_{a=1}^{h-1}\Gamma(\{\frac{ka}{h}\})^{\frac{a}{h}}\prod_{b=1}^{k-1}\Gamma($ $\{\frac{hb}{k}\})^{b}\mathrm{r}$

.

定理 4.

(1)

$\alpha\in \mathrm{R}$とし$T( \alpha;k, h)=\sum_{a\neq a^{\mathrm{O}}}^{h-1}\frac{a}{h}\log\Gamma(\{\frac{\alpha+ka}{h}\})$$a=1$$T( \alpha;h, k)=\sum_{b\neq b^{0}}^{k-1}\frac{b}{k}\log\Gamma(\{\frac{\alpha+hb}{k}\})$

$b=1$

122
とおく。 ただし、$1\leq b^{0}\leq k-1,$$\alpha$$a^{0}$(resp.

$b^{0}$) [ま、 $1\leq a^{0}\leq h-1,$$\alpha+hb^{0}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} k))$が、 $0<\alpha<h+k,$$\alpha\in \mathrm{Z}$となる整数$\alpha+ka^{0}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} h)$(resp.

(もし存在するならば) である。

のとき、 次が成り立つ :$T( \alpha;k,h)+T(\alpha;h, k)=(\frac{\alpha}{kh}-1)\log(kh)+\frac{\alpha}{2kh}\log(2\pi)-\{\log h\cdot s_{1}(\alpha;k,h)$$+ \log k\cdot s_{1}(\alpha;h, k)\}+\{\log h\cdot s_{1}(k, h)+\log k\cdot s_{1}(h, k)\}+\frac{a^{0}}{2h}(2\log k+\log h)$$+ \frac{b^{0}}{2k}(2\log h+\log k)+\{T(h, k)+T(k, h)\}-\log\Gamma_{2}(\alpha;(k, h))$

ここで,

は

$s_{1}(\alpha;k, h),$ $s_{1}(\alpha;h, k)$$\alpha$だけ shift$\text{し}$

.

た和

,

$s_{1}( \alpha;h,k)=\sum_{\vdash-1}^{k-1}\frac{b}{k}\overline{B}_{1}(\frac{\alpha+hb}{k})$,$\tilde{T}(\alpha;h,k)=\sum_{b=1}^{k-1}\frac{b}{k}\log\Gamma($ $\frac{\alpha}{k}+\{\frac{hb}{k}\})$$s_{1}( \alpha;k, h)=\sum_{a=1}^{h-1}\frac{a}{h}\overline{B}_{1}(\frac{\alpha+ka}{h})$

である。

(2)

${\rm Re}(\alpha)>0$$\alpha\in \mathrm{C},$とし、$\tilde{T}(\alpha;k, h)=\sum_{a=1}^{h-1}\frac{a}{h}\log\Gamma(\frac{\alpha}{h}+\{\frac{ka}{h}\})$とおくと、 次が成り立つ :$\tilde{T}(\alpha;k,h)+\tilde{T}(\alpha;h,k)=\frac{1}{2kh}B_{2}(\alpha)-\frac{1}{kh}LG_{2}(\alpha)+(1-\frac{\alpha}{kh})\log\Gamma(\alpha)-\frac{1}{kh}\zeta’(-1)$$+ \frac{\alpha}{2kh}\log(2\pi)-\frac{(h-1)\alpha}{2h}\log h-\frac{(k-1)\alpha}{2k}\log k+\{T(k, h)+T(h,k)\}-\log\Gamma_{2}(\alpha;(k, h))$この定理の等式を系 2.

(1)$\alpha$$\Gamma_{2}$$\Gamma_{2}(\alpha;(k, h))$について解いて、 次の系を得る。

の有限積表示が次のように得られる :を $0<\alpha<h+k,$$\alpha\in \mathrm{Z}$とすると、$\Gamma_{2}(\alpha;(k, h))=(2\pi)^{\overline{\mathrm{a}}\tau^{a}\pi}\cdot k^{\epsilon_{1}(h,k)-\epsilon_{1}}$.

(\mbox{\boldmath $\alpha$};h:k) 十蒼-l+\mbox{\boldmath $\tau$}a0+w.
$\Pi_{\iota\subset 1}^{k-1}\Gamma$$h^{S}1(k,h)-\epsilon 1\{\alpha;k,h)+^{a}\pi-1+_{\mathrm{p}+\tau}^{ub}\pi^{\mathrm{o}\mathrm{o}}$$( \{\frac{hb}{k}\})_{b}^{b}\pi\Pi_{a=1}^{h-1}\Gamma(\{\frac{ka}{h}\})^{l}\pi$.

$\prod_{b\neq b^{\mathrm{O}}}^{k1}\Gamma(\{_{k}^{\underline{\alpha}\pm\underline{hb}}\})^{\overline{k}}a\prod_{e\neq \mathrm{n}}^{h-1}\mathrm{o}b=1a=1\Gamma(\{_{h}^{\Phi}-A^{\underline{ka}}\})^{\frac{u}{h}}$(2)$\alpha\in \mathrm{C},$${\rm Re}(\alpha)>0$$\Gamma_{2}(\alpha;(1,$$.(2\pi)$

金

とすると、

$\frac{h}{k}))=\exp\{\frac{1}{2kh}B_{2}(k\alpha)-\frac{1}{kh}LG_{2}(k\alpha)-\frac{1}{kh}\zeta’(-1)\}\Gamma(k\alpha)^{(1^{\alpha})}-r$$h^{-^{h}H_{2}^{-1}} \underline{ka}k^{-\frac{k\alpha}{2}+1+_{\overline{2}\tau^{\alpha-}\pi^{\alpha}\prod_{a=1}^{h-1}}^{k2k}}(\frac{\Gamma(\{\frac{ka}{h}\})}{\Gamma(\frac{k\alpha}{h}+\{\frac{ka}{h}\})})^{\frac{a}{h}}\prod_{b=1}^{k-1}(\frac{\Gamma(\{\frac{hb}{k}\})}{\Gamma(\alpha+\{\frac{hb}{k}\})})^{b}\mathrm{r}$

.

123
(3)

を正の整数とすると、$\alpha$$\Gamma_{2}(\alpha;(k, h))=(2\pi)$念$\prod_{j=1}^{\alpha-1}$.

(j1-晋).

$h^{-1_{\frac{\hslash-}{2h}}^{1}\mathrm{L}^{\alpha}}\cdot k^{-\mathrm{L}\frac{k-1\alpha}{2k}}$$\prod_{a=1}^{h-1}(\frac{\Gamma(\{\frac{ka}{h}\})}{\Gamma(\frac{\alpha}{h}+\{\frac{ka}{h}\})})^{a}\pi\prod_{b=1}^{k-1}(\frac{\Gamma(\{\frac{hb}{k}\})}{\Gamma(\frac{\alpha}{k}+\{\frac{hb}{k}\})})^{b}l$.

Remark 5.
(1)$\rho_{2}(1, z)$

および $\Gamma_{2}(\alpha, (1, z))$ の無限積表示が Shintani により得られていて、それによりそれぞれの関数が$\{z|z\in \mathrm{C}-(-\infty, 0]\}$

およひ$\{(\alpha, z)|z\in \mathrm{C}-(-\infty,0],$に解析接続されている (cf. [19])。 系 1, $2(2)$ は$-(m+nz),$ $m,$ $n=0,1,$
正の有理数点における表示を与えている。
$\ldots\}$$\alpha\neq$

. が

$z$

(2) もともとのデデキント和の相互法則が $\log\eta(z)$ の変換公式から得られたように、 定
理 3, 4(その系) の別証が得られれば面白いと思われる。

\S 3. その他の拡張について (2 つ)
ここではその他の拡張として、 指標つきのデデキント和と多重デデキント和について述べる。 2 つとも Apostol の相互法則 (定理 1) の証明の自然な拡張である。 この 2 種類の相互法則については、津田塾大学院生 (M2) の長坂裕美子さん、 関根千鶴さんとの共同研究である (cf. [13])。

I. 指標つきのデデキント和
指標つきの和については、 Berndt が 1970 年代に既にたくさん研究している。 初め
は、 指標つきの Eisenstein 級数の変換公式に現れてくるものを指標つきの和と定義し、その相互法則を導いた (cf. [4, 5])。 その後、 Poisson の和公式を用いて、 指標つきだけでなく周期的な集合に関する和の 3 項関係 (the three-term relation)、 そして相互法則を証明した (cf. [6])。 また、 Berndt は theta 級数についても調べていて、 theta 級数からは (-1) の幕を含んだ和が現れ、 その相互法則が得られた (cf. [7])。
ここでは、 異なる方法で異なる和 (ただし、 特別な場合に $n=1$ のとき Berndt のと少しずれた和になるが) を定義し、 その相互法則を与える。
定義 5.

$\chi$を$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} l$で定義された Dirichlet 指標とし、 $l|kh$ とする。 指標つきのデデキン

ト和を$s_{n}(\chi;(k, h))$$=$$k^{n-1} \sum_{a=0}^{h-1}\sum_{b=0}^{k-1}\frac{a}{h}\chi(ka+hb)\overline{B}_{n}(\frac{a}{h}+\frac{b}{k})$$s_{n}(\chi;(h, k))$$=$$h^{n-1} \sum_{a=0}^{h-1}\sum_{b=0}^{k-1}\frac{b}{k}\chi(ka+hb)\overline{B}_{n}(\frac{a}{h}+\frac{b}{k})$124により定義する。

$\chi=\chi_{0}$(主指標) のときは、$s_{n}(\chi_{0} ; (k, h))=s_{n}(k, h)$である。

Remark 6. 等式 $B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)$ を用いると、 次のことがわかる。
(1)$\chi$

が$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} k$の自明でない指標のとき、 $\chi(-1)=(-1)^{\lambda}$ とおくとのとき.

$n\equiv\lambda(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2)$$s_{n}(\chi;(h, k))=$$\frac{1}{2}k^{1-n}B_{n,\chi}$$s_{n}(\chi;(k, h))=$$\frac{1}{2}(h^{1-n}-\chi(h))B_{n,\chi}$

$\{$

(2)

$\chi=\chi_{1}\chi_{2},$$\chi_{1},$$\chi_{2}$$\chi(-1)=(-1)^{\lambda}$

はそれぞれ

とおくと

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} k,$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} h$$n\equiv\lambda(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2)$$s_{n}( \chi;(h,k))=\frac{1}{2}k^{1-n}B_{n,\chi}$定理 5. (指標つきの和についての相互法則 ).

で定義された自明でない指標とする。

のとき、

,

$s_{n}( \chi;(k,h))=\frac{1}{2}h^{1-n}B_{n,\chi}$$n\in \mathrm{N},$$\chi\neq\chi_{0}$.

とすると、 次が威り立つ :$\frac{1}{n}\{h^{n-1}s_{n}(\chi;(k, h))+k^{n-1}s_{n}(\chi;(h, k))\}=\sum\sum\frac{\chi(ka+hb)(^{1}Bkh+^{2}Bkh+ka+hb)^{n+1}}{n(n+1)(kh)^{2}}h-1k-1$$a=0\vdash-0$$+ \frac{B_{n+1,\chi}}{hk(n+1)}+\frac{B_{n,\chi}}{n}$特に、$\chi=\chi_{1}\chi_{2}$で、$\chi_{1},$$\chi_{2}$はそれぞれ$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} k,$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} h$(3.1).

で定義された自明でない指標とすると、 $n=1$ のとき$s_{1}( \chi;(k, h))+s_{1}(\chi;(h, k))=\chi_{1}(h)\chi_{2}(k)B_{1,\chi_{1}}B_{1,\chi 2}+\frac{B_{2,\chi}}{2hk}+B_{1,\chi}$が成り立つ。
証明には$\tilde{\zeta}_{2}(s;(k, h),$ $\chi)^{def}=\sum_{m,n=0}^{\infty’}\frac{\chi(km+hn)}{(km+hn)^{s}}$の$s=1-n$ [こおける値を用いる。

Remark 7.

の自明でない指標で $n=1$ のとき、 和の定義は少しずれているが、 (3.1) は Berndt による相互法則と同じになる (cf. [5, 6])。
$\chi$

が$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} k$125
応用として、 次の 3 つがあげられる。 ただし、 (1) (2) は相互法則の証明が考え方に使われている (cf. [151)。
の Kronecker 指標,をの判別式とし、の類数 $h(d)$ [ま次の式で与えられる :を $t>1,$ $(t, d)=1$ とする。

(1) $d(<-4)$ を虚 2 次体$\mathrm{Q}(\sqrt{d})$$\mathrm{Q}(\sqrt{d})$$\chi=\chi_{d}$$\mathrm{Q}(\sqrt{d})$$t\in \mathrm{N}$$h(d)= \frac{1}{t-\chi_{d}(t)}\sum_{j=1}^{[t/2]}(t-2j+1)A_{j}(\chi_{d}, |d|,t)$

.

ここで、

\mbox{\boldmath $\zeta$}4t.A-l\Sigma \leq b<亭(short character sum)$\chi_{d}(b)$$A_{j}(\chi_{d}, |d|, t)=\mathrm{u}d$

である。

(2)

$d$

を (1) の通りとし、 $t>1$ を $(t, d)=1$ で$td$の conductor がnecker 指標の商義される。 conductor についての条件は、$\chi_{2}^{s}=^{et}\chi td/\chi d$の判別式、 2 つの KrOで定はとする (従ってと同じである) 。このとが$t$$\mathrm{Q}(\sqrt{td})$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} t$$\chi_{2}$$t\not\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4)$き、$\mathrm{Q}(\sqrt{td})$の類数$h(td)$

は$h(td)=2 \sum_{j=1}^{[t/2]}(\sum_{l=1}^{j-1}\chi_{2}(l))A_{j}(\chi_{d}, |d|,t)$で与えられる。この式は Lerch-Mordell の類数公式と呼ばれ、また Szmidt-UrbanowiczZagier による 「 Zagier の等式」 を用いた別証明がある (cf. [20], [21, Chap.I, \S 9.7])。

(講演後にこのことを知りました。)(1),(2) を比較して次のような合同式が得られる :$t$

ま$t\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4)$

ると、$h(td)\equiv(1-\chi_{d}(t))h(d)$$h(d)$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4)$

の素数とす

.

が偶数のときはこれ [ま当たり前であるが、 $h(d)$ が奇数の時 (従って $h(td)$ の

2-rank $=1$ )(mod 4)$h(td)\equiv 0$$\chi_{d}(t)=1$$\Leftrightarrow$という、 R\’edei-Reichardt の結果の一部が得られる cf.
$($$[17])_{\text{。}}$(この合同式に関して、Rcidei-Reichardt の結果を含め内藤浩忠さん (香川大学) に講演後いろいろ教えて頂いたので、 ここに感謝(3)$d_{1},$$d_{2},\tilde{d}_{1},\tilde{d}_{2}$$d_{1},$$\llcorner$

ます。

$)$

をそれぞれ虚 2 次体の判別式で、$d_{2},\tilde{d}_{1},\tilde{d}_{2}<-4$,$(d_{1}, d_{2})=(\tilde{d}_{1},\tilde{d}_{2})=1$,$d_{1}d_{2}=\tilde{d}_{1}\tilde{d}_{2}=D$

126
とする。

$\chi_{1},$$\chi_{2},$$\ovalbox{\tt\small REJECT},,$

くと、 次が成り立つ$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2}$をそれぞれの Kronecker 指標として$\chi^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\chi_{1}\chi_{2}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT},\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2}$とお$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$h(d_{1})h(d_{2})-h( \tilde{d}_{1})h(\tilde{d}_{2})=\frac{1}{D}\{\sum_{n\in S(|\tilde{d}_{1}|,|\tilde{d}_{2}|)}n\chi(n)-\sum_{n\in S(|d_{1}|,|d_{2}|)}n\chi(n)\}$.

ここで、 自然数 $u,v$ (こ対して $S(u, v)$ は$S(u, v)=\{n=au+bv|a,b\in \mathrm{Z}, 0\leq a<v, 0\leq b<u, n>uv\}$という集合である。
$\mathrm{I}\mathrm{I}$. 多重デデキント和「多重」という言葉は、既に Halbritter により [11] で用いられてぃて、そこでは (1.1) のタイプのものを指している。 ここでは、 パラメーターが異なるので、 また 「多重」以外に適当な言葉がみつからないので、 やはり多重デデキント和と呼ぶことにする。
$z_{1}\cdots z_{r-1}\neq 0$ とし、 $\tilde{z}=(z_{1}, \ldots, z_{r-1})$
定義 6.
とおく。 $(k, h;\tilde{z})$ (こ関する 重デデキント和を$z_{1},$$\ldots,$$z_{r-1}\in \mathrm{C},$$r$$(\mathrm{S}_{r})_{n}(k, h;\tilde{z})$$(\mathrm{S}_{r})_{n}(h,k;\tilde{z})$$= \sum_{a=1}^{h-1}\frac{a}{h}rS_{n}’(\{\frac{ka}{h}\}$$= \sum_{b=1}^{k-1}\frac{b}{k}rS_{n}’(\{\frac{hb}{k}\}$; $(1,$; $(1,$$\frac{z_{1}}{h},$$\ldots,$$\frac{z_{1}}{k},$$\ldots,$$\frac{z_{r-1}}{h}))$$\frac{z_{r-1}}{k}))$(こより定義する。 $r=1$ のときは $s_{n}(k, h)$ と同じである。

定理 6. ( 重デデキント和の相互法則)$r$$n\in \mathrm{N}$とすると、 次が成り立っ :$h^{n-1}(\mathrm{S}_{f})_{n}(k, h;\tilde{z})+k^{n-1}(\mathrm{S}_{r})_{n}(h, k;\tilde{z})=1S_{n}’r+(0;(k,h,\tilde{z})$$- \frac{1}{kh}t+1S_{n}’(1;(1,1,\tilde{z}))+_{r}S_{n}’(0;(1,\tilde{z}))$

証明には$\tilde{\zeta}_{r+1}(1-n;(k, h,\tilde{z}))$.

を用いる。 この法則の応用はまだ得られてぃない。

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