数理解析研究所講究録
第 1543 巻 2007 年 50-61

50

地衡流ジェットの非線形安定性
神戸大学大学院自然科学研究科 末吉雅和 (Masakazu Sueyoshi)
神戸大学大学院自然科学研究科 岩山隆寛 (Takahiro Iwayama)
Graduate School of Science and Technology, Kobe University
1

はじめにBickley ジェット (sei2 型ジェット. 図 1) は境界層ジェットや大気や海洋のジェットのモデルとして用いられる. 実際に Gulf strcam では Bickley ジェットに似た速度場が観測されている (Rossby &Zhang 2001). 2 次元 Euler 方程式や 2 次元 Navicr-Stokes
方程式での Bicklcy ジェットの安定性は古くから調べられてきた (c.g. Drazin &Rcid
2004). だが, これらの系は大気や海洋とは異なる点がある.
自由表面を持つ浅い流体層における地衝流に近い運動は Charncy-Hasegawa-Mima(CHM) 方程式 (順圧準地衝流渦位方程式) (c.g. Pcdlosky 1987)$\frac{\partial q}{\partial t}+\partial(\psi,q)=0$,$q=\nabla^{2}\psi-\lambda^{2}\psi+\beta y$,(1)は渦位であり,,は Rossby の変形半$\partial(A, B)=A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x},$ $\lambda=L/R_{d},$は現象の水平スケール,の項によりコリオリパラメーターの緯度変化 (球面径である. 領域は平面であるが,は定数である.
効果) を近似的に取り入れている.
によって記述される.

ここで, $\psi(x, y, t)$ は流れ関数,$L$$\nabla^{2}=\partial_{x}^{2}+\partial_{y}^{2}$$q$$R_{d}$$\beta y$$\beta$変形半径 $R_{d}=\sqrt{gH}/2f$ であり, は重力加速度, $H$ は流体層の平均的な深さ, はは系が一回転する間に水面波が伝わる距離を表す. したがっ系の回転角速度である.
て変形半径と同程度の水平スケールの運動では重力と回転の効果が同程度効く. また,
変形半径より大きいスケールの運動では回転の効果が, 変形半径より小さいスケールの運動では重力の効果が卓越する.
2 次元 Euler 方程式 (Navicr-Stokes 方程式でも) では回転をしていない $(f=0)$ た
め変形半径が無限大である. 一方, 地球の大気や海洋では変形半径は有限である. 特に海洋では変形半径より水平スケールの大きい現象が存在する. このため大気や海洋のジェットの安定性の研究では有限の変形半径の影響を調べる必要がある. 2 節では CHM
方程式での Bicklcy ジェットの安定性を調べる. また, 3 節では Bickley ジェットに似た
速度場の線形安定性を調べる.
$f$

$g$

$R_{d}$

2Biddey ジェットの Liapunov 安定性

CHM 方程式の解として $\psi(x, y, t)=\Psi(y)+\tilde{\psi}(x,y, t)$ を考える. ここで$\Psi(y)$は CHM

方程式の定常解であり $Q(y)=\Psi_{yy}-\lambda^{2}\Psi+\beta y$ とすると $\partial(\Psi, Q)=0$ を満たす.

$\tilde{\psi}$

は51

Bickley jet $U(y)=sech^{2}y$$U(y)$

図 1: 速度場 $U(y)=scch^{2}y$ .

とする. 定常解
擾乱の流れ関数であり,が有限振幅の擾乱にたいして Liapunov の意味で安定である条件を得るには Hamilton 形式が役立つ (c.g. Holmal. 1985). そこで 2.1 節では Hamilton 系の短い review を行う.
$\tilde{q}=\nabla^{2}\tilde{\psi}-\lambda^{2}\tilde{\psi}$$\Psi$$et$2. 1

Hamilton 形式
ここでは Hamilton 系の一般論 (e.g. Morrison 1998) を簡単に紹介する. Euler 記述の流体の方程式は余分な変数 (例えば Clebsch potcntials) を導入することなしに正準形式で表すことはできないことが知られている.
$q(x, t)$ を系の従属変数とする. Hamilton 系は形式の$H_{\mathfrak{W}1}ilton$(2)$\frac{\partial q}{\partial t}=J\frac{\delta \mathcal{H}}{\delta q}$という形をとる. ここで \sim は時間, は行列,
は Hamiltonian と呼ばれる保存する汎関数である.
はの汎関数導関数であり,$J$$\mathcal{H}[q]$$\mathcal{H}[q]$$\delta \mathcal{H}/\delta q$(3)$\delta \mathcal{H}[q;\delta q]\equiv\lim_{\epsilonarrow 0}\frac{\partial}{\partial\epsilon}\mathcal{H}[q+\epsilon\delta q]\equiv\int(\frac{\delta \mathcal{H}}{\delta q})^{T}\delta qdx$と定義される.

$\delta \mathcal{H}[q;\delta q]$

は第一変分と呼ばれる. さらに任意の汎関数$\mathcal{F}[q],$$\mathcal{G}[q],$$Q[q]$に対して,(4)$[ \mathcal{F}, \mathcal{G}]\equiv\int(\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta q})^{T}J\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta q}dx$で定義される Poisson 括弧が$[\mathcal{F}, \mathcal{G}]=\dashv \mathcal{G},\mathcal{F}]$$[[\mathcal{F},\mathcal{G}],$

]

$Q$

(5)

,

,

$+[[\mathcal{G}, Q],\mathcal{F}]+[[Q,\triangleleft,\mathcal{G}]=0$

(6)

52

を満たす必要がある. (5), (6) はそれぞれ交代性, Jacobi の恒等式と呼ばれる. が逆行列を持つなら系 (2) は正準形式である. 一方, が逆行列を持たないなら系 (2) は非正準形式と呼ばれる. 非正準形式の Hamilotn 系 (2) には
$J$

$J$

$[\mathcal{F},C]=0$,(7)$\forall \mathcal{F}[q]$で定義される保存量 $C[q]$ が存在する. $C[q]$ を Casimir と呼ぶ. (4) と (7) より, Casimir$C[q]$

は(8)$J\frac{\delta C}{\delta q}=0$を満たすことがわかる.
定数となる.

$J$が逆行列を持つ, つまり系 (2) が正準形式ならば Casimir は

2.2 CHM 方程式の $Hamiltor|$, 構造
CHM 方程式は Hamilton 構造を持つことが知られている (Wcinstcin 1983; Swatcrs
2000). それは$\frac{\partial q}{\partial t}=J\frac{\delta \mathcal{H}}{\delta q}$,$\mathcal{H}[q]=\frac{1}{2}\int\int_{D}\{|\nabla\psi|^{2}+\lambda^{2}\psi^{2}\}dxdy$,(9)$J(*)=-\partial(q,*)$である. ここで $D$ は無限に広がった平面とする (適切な境界条件が課されているとする). CHM 方程式の CasImir は$C[q]= \iint_{D}\{\int^{q}C(\xi)d\xi\}$である. $C(\xi)$ は$\xi$の任意関数である. また

$x$

(10)

dxdy

方向の Impulse$\mathcal{M}[q]=\iint_{D}\{y(q-y)\}$

dxdy

(11)

も保存量である.

2. SLiapunov 関数
流体系での安定性の議論をする前に Liapunov 関数 (c.g. Hirsch &Smalc 1974) について紹介する. 議論を簡単にするため 2 次元の力学系 $x(t)=(x(t), y(t))$ を考え, その定常解を Xo とする (図 2). もし $\dot{V}=dV/dt\leq 0$ であり, かつ $x=x_{()}$ で $V(x)$ が極小値となるような関数 $V(x)$ (Liapunov 関数と呼ばれる) が存在したとすると, 定常解 xoは安定である (c.g. Hirsch &Smale 1974).
とするととというのも,
であるから,がなす角度は 90 度以上となる (図 2). したがって, は $V$ の等値線上で常に内向きから遠ざかることはない (V は
(Xo のほうを向く) となり, $x$ はで極小値なので,$V$はの等値線に直交し, 外向き). ただし, Liapunov 関数を構築する一般論はない.
$\dot{V}=0$
また( $V$ は保存量) ならば $V$ が極大値となる定常解も安定である. というのとも, このときは直交するので, は常に $V$ の等値線に平行となるからである.
$\dot{V}=\nabla V\cdot\dot{x}\leq 0$$\nabla V=(\partial V/\partial x,\partial V/\partial y)$$\dot{x}$$\nabla V$$\dot{x}$$x_{0}$$X_{()}$$\nabla V$$\nabla V$$\dot{x}$$\dot{x}$53

図 2: 2 次元の力学系. $\dot{V}=dV/dt\leq 0$ であり, かつ $x=x_{0}$ で $V(x)$ は極小値となる.

24

CHM 方程式の定常解の安定性
有限の領域で CHM 方程式の定常解が Liapunov の意味で安定である条件は Swatcrs(2000) にあるが, 後の議論のためにここで紹介する (ここでは無限の平面の場合である). 23 節より, Liapunov 関数の自然な候補として Hamiltonian が考えられる. しかし, CHM 系ではを満たす定常解は $\Psi=0$ という自明なものしかなく (非正準形式の Hamilton 系では が逆行列を持たないことが原因. 例えば Salmon 1998;
Morrison 1998), 我々の目的には不適合である. 流体系では Hamiltonian と Casimirを組合せた量を用いて定常解が安定である条件を得られる (Arnold 1966, Holm et al.
1985). ここでは, Impulse と Casimir を用いる (c.g. Shcphcrd 1990). CHM 方程式の定常解が Liapunov の意味で安定である条件を得るために, 以下の量を構築する:$\delta \mathcal{H}[\Psi]=0$$J$$\mathcal{P}[q]=C[q]-\mathcal{M}[q]=\iint_{D}\{\int^{q}C(\xi)d\xi-y(q-y)\}dxdy$

.

(12)

この第一変分は$\delta P[q]=\int\int_{D}\{C(q)-y\}\delta qdxdy$

(13)

である.
とすると $C(Q)=y$ を得る. ここからは Casimir の $C$ を $Y$ に置き換える. $Y$ は $Q(y)$ の逆関数である (すなわち $Y(Q)=y$ ). ここでを計算する:$\delta \mathcal{P}[\Psi]=0$$\mathcal{P}_{N}\equiv \mathcal{P}[q]-\mathcal{P}[Q]$$\mathcal{P}_{N}=\iint_{D}\{\int_{Q}^{q}Y(\xi)d\xi-y\tilde{q}\}dxdy=\iint_{D}\{\int_{\iota)}^{\overline{q}}\{Y(Q+\xi)-Y(Q)\}d\xi\}dxdy$$= \iint_{D}\{\int_{0}^{\tilde{q}}\{\int_{Q}^{Q+\xi}Y’(w)dw\}d\xi\}$

ここで$a_{1},$$a_{2}$

dxdy.

(14)

を実数として$0<a_{1}\leq Y’\leq a_{2}<\infty$

(15)

54

を仮定すると, (14) より$0< \iint_{D}\{\int_{()}^{\overline{q}}\{\int_{Q}^{Q+\xi}a_{1}dw\}d\xi\}dxdy=\iint_{D}\{\int^{\tilde{q}}a_{1}\xi d\xi\}$

dxdy

,

(16)

$= \frac{1}{2}a_{1}||q||^{2}\leq \mathcal{P}_{N}\leq\frac{1}{2}a_{2}||q||^{2}$$||q||^{2} \equiv\iint_{D}\tilde{q}^{2}$

dxdy

(17)

を得る. すなわち(擬運動量と呼ばれる. c.g. Shcphcrd 1990) は正定値である.
が保存量 (Casimir と Impulsc が保存量なので) であることと, (16) より$\mathcal{P}_{N}$$\mathcal{P}_{N}$$0<a_{1}||q(t)||^{2}\leq 2\mathcal{P}_{N}(t)=2\mathcal{P}_{N}(0)\leq a_{2}||q(0)||^{2}$(18)$||q(t)|| \leq(\frac{a_{2}}{a_{1}})^{1/2}||q(0)||$(19)を得る. これよりであるから, (15) が成り立つならば初期の擾乱を小さくすることで, その後の擾乱のノルムをいくらでも小さくすることが可能である. 正確には, 任意のに対して$\epsilon>0$$||q(0)||<\delta\Rightarrow||q(t)||<\epsilon$,$\forall t>0$(20)が成り立つような $\delta>0$ が存在する (ととるとよい). したがって, (15)はノルム (17) について Liapunov の意味で安定である (有が成り立つならば定常解
限振幅の擾乱にたいして成り立つ).
(15) のかわりに$-\infty<b_{1}\leq Y’\leq b_{2}<0$(21)$\delta=\epsilon(a_{1}/a_{2})^{1/2}$$\Psi$

を仮定する (

$b_{1},$$b_{2}$

は実数) と,$||q(t)|| \leq(\frac{b_{1}}{b_{2}})^{1/2}||q(0)||$(22)が成り立つ (
は負定値). したがって (15) または (21) が成り立つならば定常解はノルム (17) について Liapunov の意味で安定である (有限振幅の擾乱にたいして成り立つ).
$\Psi$$\mathcal{P}_{N}$2.5 Bickley ジェットの安定性
これより Bickley ジェット$U(y)=-\Psi_{y}=scch^{2}y$の安定性を議論する. $U(y)$ は定常な

$x$

(23)

方向の速度である. (1) で $\beta=0.20$ とする. (23)55$\beta=0.2$$\beta=()$

$y$

$y$

$\otimes^{\ddot{\wedge}}$

図 3: 左: $\beta=0.2,$ $\lambda=1.2,1.5$ での$Q_{y}$. 右:$\beta=(),$ $\lambda=1.0,2.1$

での$Q_{y}$.

に対応する渦位の勾配は$Q_{y}(y)=sech^{2}y(-4\tanh^{2}y+2scch^{2}y+\lambda^{2})+\beta$である. これより(24)の場合には $Q_{y}>0$ となり (図 3), $Y(Q)$ は $Q$ の一価関数かつ $Y’>0$ である. また, この場合 $\max\{Q_{y}\}<\infty$ (つまり $\max\{Qy\}$ は有限),$\min\{Q_{y}\}>0$ となることと $Q_{y}^{-1}=Y$ ‘ から, $\min\{Y’\}>0,$ $ma\partial c\{Y’\}<\infty$ (つまり (15)で $a_{1}>0$ かつ $a_{2}<\infty$ ) である. したがって
ならば不等式 (15) が満たされるので, 有限振幅の擾乱に対して Bickley ジェットは Liapunov の意味で安定である ((19) の右辺は有限である). 一方 0\leq \mbox{\boldmath $\lambda$}<\mbox{\boldmath $\lambda$}。ならば (15) と (21) のどちらも満たされないので, Bidclcy ジェットは不安定の必要条件を満たす.
は変形半径が小さい場合
は変形半径がより大きい場合,である. この結果について 3 節で物理的解釈を試みる.
が の場合に Bicklcy ジェットについて
ここでひとつ注意を述べる.
$\lambda_{c}\approx 1.345\leq\lambda$$\lambda_{c}\approx 1.345\leq\lambda$$0\leq\lambda<\lambda_{c}$$\lambda_{c}\approx 1.345\leq\lambda$$\beta$$0$$Q_{y}(y)=sech^{2}y(-4\tanh^{2}y+2scch^{2}y+\lambda^{2})$(25)となり, $yarrow\pm\infty$ で $Q_{y}arrow 0$ である (図 3). したがって (19) でとなり右辺が発散するので, この場合は不等式 (19) は有効ではない. したがって無限の平面では,が の場合に擬運動量を利用して安定な解を見つけることはできない (c.g. Shepherd1988).
$a_{2}arrow\infty$$\beta$

$0$

3

線形安定性
25 節の結果は, 変形半径が小さくなると Bickley ジェットが安定となることを示している. この物理的解釈を試みる. この節では $\beta=0$ とする. CHM 方程式は$\frac{\partial\psi}{\partial t}=\frac{1}{2\pi}\iint K_{0}(\lambda|x-x’|)\partial(\psi(x’),q(x’))dx^{j}$(26)

次の第二種変形 Bessel 関数槁 (z)はについて単調減少であり, $zarrow\infty$ で $K_{0}(z)arrow cxp(-z)$ であるから, (26) よりが大きくなる (変形半径が小さくなる) と系の相互作用が局所的になる.
と書きかえることができる (Watanabe et al. 1997).
$z$

$0$

$\lambda$

56

potential vorticity $O(y)$Parallel shear flow $U(y)$$\wedge*$科$- 2- 1.5- 1- 0.500.51$ $t.52$
$y$

$y$

図 4: 左: $\lambda=1.0$ での (27). 右: $\lambda=.1.0$ での (29).

考えやすくするため, Bicklcy ジェットよく似た以下の速度場 (図 4) を取り扱う:$U(y)=\{\begin{array}{ll}0 (-\infty<y\leq-1)-A_{1}\lambda e^{\lambda y}+A_{2}\lambda e^{-\lambda y} (-1\leq y\leq 0)-A_{2}\lambda e^{\lambda y}+A_{1}\lambda e^{-\lambda y} (0\leq y\leq 1)0 (1 \leq y<\infty)\end{array}$

ここで $A_{1}=e^{2\lambda}A_{2},$ $A_{2}=\{\lambda(-e^{2\lambda}+1)\}^{-1}$ である.

(27)

に対してこの速度場は$U(O)=1,$ $U(y)=U(-y)$ であり, $-1\leq y\leq 0$ で $U(y)$ は単調増大である. (27) にともなう流れ関数と渦位は$\lambda>0$$\Psi(y)=\{\begin{array}{ll}-\lambda^{-2}Q_{1} (-\infty<y\leq-1)A_{1}e^{\lambda y}+A_{2}e^{-\lambda y}-\lambda^{-2}Q_{2} (-1\leq y\leq 0)-A_{2}e^{\lambda y}-A_{1}e^{-\lambda y}-\lambda^{-2}Q_{3} (0\leq y\leq 1)-\lambda^{-2}Q_{4} (1\leq y<\infty)\end{array}$

(28)

であり,

$Q(y)=\{\begin{array}{ll}Q_{1} (-\infty<y\leq-1)Q_{2} (-1\leq y\leq 0)Q_{3} (0\leq y\leq 1)Q_{4} (1 \leq y<\infty)\end{array}$

ここで$Q_{1},$ $Q_{2},$ $Q_{3},$ $Q_{4}$(29)は定数 (図 4) である.

この速度場 (27) の線形安定性を調べると, 不安定となることがわかる (後に示す).
が存在する. ここで $y=0$ にのみ渦位勾配にのみ渦位の勾配(27) では $y=0,$$\pm 1$$Q_{y}$

57

Parallel shear fiow $U(y)$$\supset\vee\wedge>$

Parallel shear flow $U(y)$$\wedge\vee\supset\sim$

$y$

$y$

図 5: 左: $\lambda=1.0$ での (30). 右: $\lambda=1.0$ での (31).

が存在する (27) の部分系

$U(y)=\{\begin{array}{ll}-A_{1}\lambda e^{\lambda y}+A_{2}\lambda e^{-\lambda y} (-\infty<y\leq 0)-A_{2}\lambda e^{\lambda y}+A_{1}\lambda e^{-\lambda y} (0\leq y<\infty)\end{array}$(30)と, $y=1$ にのみ渦位勾配が存在する (27) の部分系

$U(y)=\{\begin{array}{ll}-A_{2}\lambda e^{\lambda y}+A_{1}\lambda e^{-\lambda y} (y\leq 1)0 (1 \leq y<\infty)\end{array}$(31)を考える (図 5). (30) と (31) はともに安定である. なぜなら, CHM 方程式に対するRayleigh の定理 ( が符合を変えないなら基本場は normal mode な擾乱に対して線形安定) を満たすからである (実際に計算しても証明できる). (30) と (31) はともに安定$Q_{y}$

であり, (27) が不安定であることから, 渦位の不連続面を伝わる波が相互作用することで不安定が起こると予想できる. 実際, 流体力学的不安定は中立波の共鳴で解釈できる場合がある (Cairns 1979; Hayashi&Young 1987; Sakai 1989; Iga 1993).
変形半径が小さくなると, 波同士が相互作用しにくくなり, 流れが安定になると予想できる. これを詳しく調べるため, 以下では (27) の線形安定性解析を行なう.
擾乱は微少であると仮定する.
を (1) に代入して擾乱の 2 次の項を無
視する:
(32)
.
$\psi=\Psi+\tilde{\psi}$$\tilde{\psi}$$\tilde{q}_{t}-\Psi_{y}\tilde{q}_{x}+\tilde{\psi}_{x}Q_{y}=0$$\tilde{\psi}=\hat{\psi}(y)cxp[ik(x-ct)]$と仮定すると (32) は$(U-c)\{\hat{\psi}_{yy}+(-k^{2}-\lambda^{2})\hat{\psi}\}+Q_{y}\hat{\psi}=0$(33)となる. 基本場 (27) は各領域内で $Q_{y}=0$ なので (33) は$\hat{\psi}_{yy}+(-k^{2}-\lambda^{2})\hat{\psi}=0$

(34)

58

となる. 境界条件を $Zarrow\pm\infty$ で$\hat{\psi}arrow 0$とすると (34) の解は(35)$\hat{\psi}(y)=\{\begin{array}{ll}B_{1}e^{\alpha y} (-\infty<y\leq-1)B_{2}e^{\mathfrak{a}y}+B_{3}e^{-\alpha y} (-1\leq y\leq 0)B_{4}e^{\alpha y}+B_{5}e^{-\alpha y} (0\leq y\leq 1)B_{6}e^{-\alpha y} (1\leq y<\infty)\end{array}$からであり,で連続であるとすると (35) よりとなる. ここで$y=0,$$\pm 1$$\alpha=\sqrt{\lambda^{2}+k^{2}}$$B_{1}e^{-\alpha}=B_{2}e^{-\alpha}+B_{3}e^{\alpha}$が得られる. また, (33) の$y$,$B_{1}$$B_{6}$$B_{2}+B_{3}=B_{4}+B_{5}$は定数である.

,$\hat{\psi}$

が渦位の不連続面(36)$B_{4}e^{\alpha}+B_{5}e^{-\alpha}=B_{6}e^{-\alpha}$

微分を差分でおきかえると$\lim_{earrow 0}(U-c)\{\frac{1}{2\epsilon}[\hat{\psi}_{y}]_{y-\epsilon}^{y+\epsilon}+$( $-k^{2}$$\alpha^{2}$
一)at $y=0,$$\hat{\psi}\}+\hat{\psi}\frac{1}{2\epsilon}[Q]_{y-\epsilon}^{y+\epsilon}=0$(37)$\pm 1$となるから$\lim_{\epsilonarrow 0}(U-c)[\hat{\psi}_{y}]_{y-\epsilon}^{y+\epsilon}+\hat{\psi}[Q]_{y-\epsilon}^{y+e}=0$

at $y=0,$(38)$\pm 1$を得る. これに (35) を代入すると$\alpha(B_{2}e^{-\alpha}-B_{3}e^{\alpha}-B_{1}e^{-\alpha})-\frac{D_{1}B_{1}e^{-\alpha}}{c}=0$

,

,

(39)

$\alpha(B_{4}-B_{5}-B_{2}+B_{3})+\frac{D_{2}(B_{2}+B3)}{U_{()}-c}=0$,$\alpha(-B_{6}e^{-\alpha}-B_{4}e^{\alpha}+B_{5}e^{-\alpha})-\frac{D_{1}B_{6}e^{-\alpha}}{c}=0$となる. ここで $U_{0}=U(O),$ $D_{1}=Q_{2}-Q_{1}=Q_{4}-Q_{3},$ $D_{2}=Q_{\theta}-Q_{2}$ である. (36) と(39) より, 自明でない解が存在する場合は$E_{1}c^{2}+E_{2}c+E_{3}=0$,$E_{1}= \frac{-4\alpha^{2}}{D_{1}}$$E_{2}=2 \alpha(-1-e^{-2\alpha}+\frac{2\alpha U_{0}}{D_{1}}-\frac{D_{2}}{D_{1}})$

,

(40)
(41)

$E_{3}=2\alpha U_{0}(1+e^{-2\alpha})+D_{2}(-1+e^{-2\alpha})$を得る. 固有値 はこの式を解くと得られる. が実数なら流れは中立安定である.
方 $Im\{c\}>0$ なら擾乱は発達する (流れは不安定である).
図 6 は $\lambda=1.0$ の場合の分散曲線と擾乱の成長率である. 不安定が起っていることがわかる. ここで結果を波の共鳴理論 (Cairns 1979) によって解釈する. (27) を例にとって説明すると, 渦位の不連続面である $y=0$ と $y=1$ を伝わる 2 つの波の波長が同程度であり, Doppler shift した波の速度が同程度であれば 2 つの波は共鳴する. 共鳴し
$c$

$c$

一

59

Sambda $=1.0$

$k$

$k$

図 6: 左: $\lambda=1.0$ での分散曲線 (実線). 右: 擾乱の成長率. 破線, 点線はそれぞれ部分

系 (30), (31) の分散曲線.

$\lambda$

図 7: 擾乱の最大成長率 (実線). 丸印は $0.25k_{n}^{2}cxp(-\lambda)$ を表わす. ここでが最大成長するときの波数.

$k_{m}$は擾乱60ているかを調べる具体的な手続きは, $y=0$ にのみ渦位勾配が存在する部分系と, $y=1$にのみ渦位勾配が存在する部分系 (図 5) をつくり, それらの分散曲線を描く. 2 つの分散曲線が交わったところで波は共鳴している.
部分系 (30) と (31) の分散関係式はそれぞれ$c=U_{0}- \frac{D_{2}}{2\alpha}$

,

(42)

$c=- \frac{D_{1}}{2\alpha}$である. 部分系の分散曲線を描くと, 擾乱が最大成長するのは 2 つの中立波が共鳴する (図 6 で 2 つの部分系の分散曲線が交わる) ときであることがわかった. このことは$\lambda=1.0\sim 4.0$ でも同様であった. そこで最大成長率を図 7 に示す.
が大きく (変形半$\lambda$

径が小さく) なると最大成長率は小さくなっている. これは, 擾乱の最大成長は波の共鳴により起こるが, が大きくなると波同士が相互作用しにくくなる (系の相互作用距
離が短くなるため) ので, 成長率が小さくなるのである. また, 図 7 にあるように, 最大成長率は $0.25k_{m}^{2}cxp(-\lambda)$ の曲線 (妬は最大成長する波数) とほぼ一致する.
$\lambda$

4

まとめ

2 節では CHM 方程式での Bickley ジェットの, 有限振幅の擾乱に対する Liapunov 安
定性を調べた. 変形半径が小さくなるとジェットは Liapunov の意味で安定となった.
この結果を物理的に解釈するため, 3 節では Bicklcy ジェットに似た速度場の線形安定性を調べた. 擾乱が最大成長するのは波が共鳴したときであった. その最大成長率はに比例した. この値は が大きく (変形半径が小さく) なると減少する. その理由は変形半径が小さくなると系の相互作用が局所的となり, 波同士が相互作用しにに比例することを説明することは今後くくなるからである. 最大成長率はの課題である.
$k_{m}^{2}cxp(-\lambda)$$\lambda$$k_{m}^{2}cxp(-\lambda)$

謝辞
本研究は文部科学省 21 世紀 COE プログラム「惑星系の起源と進化」 の援助を受け
ている.

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