数理解析研究所講究録922 巻 1995 年 82-98

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力学的自由境界問題に於けるリー. ポアソン構造とリーマン構造
Lie-Poisson and Riemannian Structure
for Dynamic Free Boundary Problems$s$

東京大学理学系研究科

小野俊彦
Department of Physics, Graduate School of Science, University of Tokyo

Toshihiko Ono
Abstract
この報告は、 流体の運動を群論及び微分幾何学的に扱う方法の概要を紹介し、 そのような方法が自由に動く境界をもつ流体の運動にも適用が可能であることを指摘する
方法が不可逆な過程に対しても使えるかを考察する

Contents
section 1

はじめに

Section 2

半直積リー群上の力学の–般論

2-1. 半直積り $-$ 群
2-2. 片側不変性とり一ポアソン構造
2-3. t) 一マン構造
2-4. モーメント写像
2-5. 不安定性の解析
section 3

完全流体の力学

3-1. 微分同相写像群
3-2. 非圧縮性完全流体
3-3. 圧縮性完全流体
3-4. 完全電磁流体
3-5. 自由境界問題
Section 4

不可逆系への挑戦

section 5

おわりにReferences

また、 この

83
Section 1

はじめに

特に完全流体に対する流体力学の方程式のうらにはある対称性が存在します。 よく知られているように、 このような対称性は対応する保存量 (電荷) を持ち、 その力学系の変数の数を減らします。特に、 十分な保存量がある可積分系の場合、 運動
方程式は完全に解くことができますが、 三体問題のように可積分系でない場合でも、対称性は解の振る舞いを知る上で貴重な情報を与えてくれます ( ただし、 今報告では保存量については議論しません)。

流体の運動に対する対称性の $-$ 般的な研究は–部の数学 (幾何学) 者によって進展させられてきましたが、 物理学としてはあまり注目されてこなかったのではないかと思います。 その理由として、

1.

理論の基礎となる無限次元の微分幾何学に馴染みが少ない。

2
3.

具体的な問題に対する理論の実用性があまり認められない。

理論がかなり限定された流体系にしか適用できないと考えられている。

などと幾つか挙げられまが、 今回は 3 について多少の解決の見通しをつけたいと考えます。
ところで、 圧縮性流体は対称性の群として半直積リー群を持っています。 このような半直積群は、 それ以外にも、 剛体やコマの運動、 電磁流体の運動、 多成分
プラズマのブラソフ方程式系、 浅水波の含む古典ヤン$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$

方程式系、 電磁場などの運動をミルズ方程式系など、 数々の重要な物理系の対称性に関わっています。 このような場合、 力学系はモーメント写像によって簡約されることが知られています。 Sec tion 2 では、

この 「簡約」 の代わりにむしろ 「拡大」 を行う試みをします。 この結果、 得られるり一ポアソン方程式は運動方程式を与えます。
また、 Section 2 において、 多くの力学系の運動方程式が測地線方程式としても得られることを示します。 これによって、 有限な変分に対して非線形の不安定性を調べることができることを指摘します。

流体系に対する議論は Section 3 で行い、 不可逆な系への理論の適用の可能性はsection 4 で議論します。
尚、 私をこの分野へと導いて下さった神部勉教授、 ならびに、 電磁流体に関連した問題で有益な助言を与えて下さった服部祐司氏に厚く御礼申しあげます。

84
Section 2

半直積リー駈上の力学の–般論

2-1. 半直積リー群
まず、 リー群

と

$G$

$G$

が左表現 $p:Garrow Aut(V)$ で作用するベクトル空間

直積 S $=G\cross_{p}V$ を定義します。
(2.1)$\Phi_{\rceil}=(\phi_{1},\sigma_{1}),\Phi_{2}=(\phi_{2},\sigma_{2})\in S$

$V$

との半

の積は、

$\Phi_{1}*\Phi_{2}=(\phi_{1}\phi 2’ 1\sigma+\rho(\psi_{1})\sigma_{2})$このリー代数$s$の元$V_{1}=(\mathrm{v}_{1},\omega_{1}),$

のりー括弧積は、 表現$V_{2}=(\mathrm{v}_{2},\omega_{2})\in s$$\rho$

によって誘導されるりー代数表現 $p:sarrow End(V)$ に対して、(2.2)$\mathrm{V}]12’\rho(’)\omega_{-},-1\rho’(2)\omega)1$$[V_{1}, V_{\underline{7}}]=\mathrm{t}\mathrm{v},$となります。 また、 リー代数$s$の相対空間をとします。

$s^{*}$

ここで、 この半直積リー群 S はリー群 $G$ のベクトル空間$V$による一つのリー群の拡大を与えていて、 次のような完全系列をつくります。
(2.3)$\{e\}arrow Garrow Sarrow Varrow\{0\}$ところで、 半直積リー群は多様体であ可接空間$S$

このとき、 $T_{\Phi}S(\Phi\in S)$ の元とけることで、$V$$s\cong T_{(e,0)}S$を考えることができます。
の元とを左または右リー移動によって関係づ$\mathcal{I}S$

伽について次の二種類のベクトルの表現が得られます。
$\underline{d}F(\Phi*e^{\tau\iota}.)=V|_{\Phi}F(\Phi*e)\tau\backslash ^{V}$$d\tau$(24)$\underline{d}F(e^{\tau V}*\Phi)=V|\Phi F(e^{\gamma}\#\Phi)\gamma$$d\tau$$V|_{\Phi},$$V|^{\Phi}\in T_{\Phi}S$をそれぞれ左不変ベクトル、 右不変ベクトルと呼びます。 以下では、一般論では左不変ベクトルを、 流体の運動についても右不変ベクトルを用いますが、逆でも符号を除いて同じ結果を導きます。
つぎに、 余接空間に、 自然な積《, }:$T^{*}S$に対して$S\cross S^{t}arrow R$$T_{\Phi}^{*}S$の元を、 自然な積 (,によって$s^{*}\cong T_{(e,0}^{*}S$):$T_{\Phi}S\cross T_{\Phi}*sarrow R$と共の元と関係づけることで、$J\in s^{*}$$\}|_{\Phi}$

について次のように定義します。
$\{J|_{\Phi}V|_{\Phi}\lambda\Phi=(J, V\}$$(2.5)$$(J|^{\Phi}V|\Phi)|^{\Phi}=\langle J, V\rangle$$J|_{\Phi},$$J|^{\Phi}\in\tau_{\Phi}^{*}S$はそれぞれ左不変コベクトル、 右不変コベクトルです。

852-2. 片側不変性とり一ポアソン構造
さて、 このリー群の接空間 $TS$ 上の曲線 $\hat{C}:I\subset Rarrow ffl$ (
$C$

ル

$I$

:an open interval) の族の作用 $S:Carrow R$ とラグランジュ関数 $L:TSarrow R$ を考えましょう。左不変ベクト$V_{t}|_{\Phi},$$\in T_{\Phi_{t}}S$に対して局所的に(26)$\hat{C}(t)=(\Phi_{t}, V_{\mathrm{r}}|\Phi t)\in IS$と書ける場合、$S( \hat{C})=\int_{t_{1}’}^{l_{L}}dfL\langle\Phi,V_{t}|_{\Phi_{t}}t)$となります。 ここで、 ラグランジュ関数 L が左不変であるとは、存しない場合です。 つまり、
(2.7)$\epsilon\neq_{X}\text{る}$$\hat{C}(t)=(\Phi_{t}, V_{t}|_{\Phi}\mathrm{f})\in 7S$$L$が$\Phi_{t}$

に陽に依

において、

$S( \hat{C})=\int_{t_{1}}^{t_{\backslash }}\sim dtL(V_{\mathrm{t}}|_{\Phi}’)$場合 \tau す。 $$ の右$\rceil l-$

移動による変分をとり、$J_{t}|_{\Phi}$.

$= \frac{dL(V_{t}|_{\Phi_{t}}\rangle}{dV_{t}|_{\Phi_{t}}}\in T_{\Phi_{t}}^{*}S$

とおくと、 次の運動方程式が得られます。
(2.8)$\frac{d}{dt}J_{t}=ad_{\iota}*J_{t}j$

他方、 ハミルトン関数$H(J_{t}|_{\Phi}, )=\langle J_{t}|_{\Phi_{t}}V_{\iota}|_{\Phi},\rangle|_{\Phi_{\ell}}-L(V_{\iota}|_{\Phi}, )$は、 左不変性から.

関数とみなせます。
(29)

このとき、

$H(J_{\iota}|\Phi_{Y}(=HJ)l)$$V_{t}= \frac{dH(\int_{t})}{\theta J_{t}}$(2.10)となり、 運動方程式は、$\frac{d}{dt}J_{\iota}=ad^{*}J_{\iota}\frac{dH(J_{\mathrm{r}^{)}}}{\partial J,}$

具体的には、$-_{t}m_{t}=ad_{\underline{\partial}}m_{t}d^{-}*H-(p’\underline{\partial H})\chi\iota*$(2.11)$\dot{C}m_{t}$,$\partial\chi$$\frac{d}{dt}\chi_{l}=p’(\frac{\theta H}{dm_{t}})^{*}\chi_{t}$これから、 次のようなり一ポアソン方程式が得られます。
(2.12)$\frac{d}{dt}F(J_{t})=\{H,F\}(J)t$$=\langle_{\lfloor^{\frac{\theta H(J_{t})}{\theta J_{t}}\frac{\theta F(\int_{t})}{\theta J_{t}}}\rfloor}J_{t},)\lceil,\rceil$$s^{*}$上の86
2-3. リーマン構造
ところで、 多くの重要な物理現象において、$J_{t}=(m_{t},\chi_{t})\in s^{*}$に対する左不変ハミルトニァンは、(2.13)$H(J_{\iota})= \frac{1}{2}\langle J,g(xt)^{-\mathrm{l}}j_{\ell}f\rangle$という形をしています。 ここで、 $g(\chi_{t}):s\mathrm{x}sarrow R$ は$s$$|_{-}^{-}$に非退化なユークリッド

構造を与えます。
ここで、 注意するのは、 (2.11) の運動方程式の第二式の解が次のように求められることです。
(2.14)$\chi_{r}=p(\Phi)t\chi_{0}\in s*$

このことから、 (2.13) の代わりに$J_{l}\in s^{*}$

について 2 次の形をした次のハミルトニァ

ンを用いても良いことが分かります。
(2.15)

ただし、$H( \Phi_{t},J_{t}|_{\Phi}.\rangle=\frac{1}{2}\langle J_{p},g_{\Phi}J_{t}-1\rangle l$$g_{\Phi}=g(\chi_{\Phi})$

で、 得られたハミルトニアン (2.15) はもはや左不変ではありません。
ハミルトニアン (2.15) は、 このような力学系をリーマン多様体上の測地線とみることを可能にします。 その場合、(2.16)$S-\mathrm{b}_{-}$に内積つまり計量は次のように与えます。

$\{\langle V_{\mathrm{I}}|_{\Phi},V\underline{\mathrm{o}}|_{\Phi}\rangle\rangle|_{\Phi}=\langle g_{\Phi 1}V,V_{\circ}-)$

ただし、 $\Phi\in S_{\text{ }}\chi_{\Phi}=p(\Phi)x_{0}\in S*$ です、

計量 (2.15) の平行移動による不変性と捻れ率がゼロであることから導かれるり一$\wedge$マン (レビチビタ) 接続(2.17)

は次のような共変微分を与えます。

$\hat{\nabla}_{\mathrm{t}_{1}|\Phi}.V_{\gamma}-|_{\Phi}=\frac{1}{2}\mathrm{t}[V_{\iota}, V_{7}]-g_{\Phi}^{-}ad_{\iota 1}^{*}g_{\Phi}V\underline{2}-g_{\Phi}^{1}a-x1.-.\}\mathrm{t}\neg\vee g_{\Phi}V_{\mathrm{I}}|_{\Phi}$$+ \frac{1}{2}\{_{-g_{\Phi}^{-}gV_{\underline{\circ}}V_{\iota^{+\{\}^{*}g_{\Phi}^{- 1}}}}1’- 11\prime Vg_{\Phi\iota}V+\{g\Phi g_{\Phi}V_{\underline{\tau}}\}-1’*g_{\Phi}V\Phi g\Phi g_{\Phi}^{-}g\Phi 21\}|\Phi$

これによって得られる測地線方程式(2.18)$\hat{\nabla}_{V_{t}|_{\Phi_{t}}}V_{t}|\Phi,$$=0$が運動方程式 (2.10) に等しいことが証明されています (文献 [O2] )。

87
2-4. モーメント写像
より -般的には、 粒子が運動する空間は半直積群

する多様体$\Sigma$です。 今、 この多様体$\Sigma$$S$

自身よりも半直積群 S が作用

を $G$ が作用する多様体

$\Pi$

の上の

$V$

の部分

ベクトル空間 A による局所的に自明なファイバー束とします。 ここで、 半直積群の元 $\Phi=(\phi,\sigma)\in S$ は多様体

$T^{*}\Sigma$$S$の元 $X=(x,\alpha|_{x})\in\tau^{*}\Sigma$ に次のように右から作用します。
(2.19)$X\Phi=(x\phi,(\sigma+p(\emptyset)\alpha)|_{\chi\phi})$

ここで、 この力学系のハミルトニアン. :$H_{f\Sigma},$が次のように$T^{*}\Sigmaarrow R$$s^{*}$

上のハミル

トニアン $H:S^{*}’arrow R$ によって書ける場合を考えます。

(2.20)$H_{T\Sigma}.(\alpha_{t}|.\mathrm{x}_{t})=H(\tilde{J}(\alpha 1_{\mathrm{v}}t))t$

ただし、 このハミルトニアンは$X_{t}=X_{0}\Phi_{\iota}\in\Sigma$

依存しています。 ここであらわれた写像に陽に依存せず、$\tilde{J}:T^{*}\Sigmaarrow\Delta\backslash *$$\alpha_{t}|_{\mathrm{X}}i\in T_{X_{t}}^{*}\Sigma$にのみはモーメント写像と呼ばれるものの特別な場合で、 $V\in s$ [こ対応する無限小生成子のベクトル場.
$\in
X(- M)$$\xi_{\mathrm{L}}$に対して次のように定義されます。
(2.21)$\langle\tilde{J}(\alpha|_{X}),$$V\rangle=\langle\alpha|.\mathrm{X}^{\vee}’\xi_{V}(x)\mathrm{X}X$

多くの場合、 このモーメント写像は次の性質を持ちます。
(2.22)$Ad_{\Phi}^{*}\tilde{J}(\alpha|_{\mathrm{x}})=\tilde{J}(p_{\mathrm{r}\Sigma}.(\Phi)\alpha|_{x^{)}}*$

このときモーメント写像

このようにして、$T^{*}\Sigma$$\tilde{J}:T^{*}\Sigmaarrow s^{*}$

上の力学を$s^{*}$

は $Ad^{*}-$ 同値な \check \check \in . 一メント写像と呼ばれます。

上の力学として扱うことが可能になります。

今の場合、 (2.10) の運動方程式は次のようになります。
(2.23)

ここで、$\frac{d}{dt}\tilde{J}(\alpha|_{\mathrm{t}}i-\cdot’\frac{\partial H(J(\alpha,\mathrm{k}^{))}}{d’\overline{J}(\alpha_{t}|_{X_{t}})}\tilde{\int})=ad(\#\alpha|t1^{r}, )\wedge$

もし、 $\Sigma=S$ ならば、 モーメント写像$\tilde{J}_{L}$: $TSarrow S^{*}$

は$S$の単位元への左移動に対応していることに注意しましょう。
さて、 なんらかの方法によって、 今のハミルトニアンが次のように表される場合を考えましょう。

$(2.\underline{?}4)$$H_{T}.( \Sigma\alpha_{t}|_{\iota}\perp_{f}.=)\frac{1}{2}\langle\alpha|_{\mathrm{k}_{\mathrm{r}}\wedge}\iota.\cdot,g\iota.\mathrm{f}^{-1}\alpha|_{\searrow^{\vee}}\mathrm{r}.\mathrm{N}_{\backslash ^{-}}.$,

88
このようなハミルトニアンは、 力学系を 一マン多様体上の測地線とみることを可能にします。 その場合、 上に内積つまり計量は次のように与えます。
$1j$

$S$

$\langle 2.25) (\{V_{1}|_{\Phi},V\underline{\mathrm{o}}|_{\Phi}\rangle)4=\langle g_{\Phi}V_{1},V_{\gamma,\wedge})$

これから得られるリーマン接続(2.26)$\hat{\nabla}$

によって運動方程式は次のようになります。
$\hat{\nabla}_{\uparrow^{r_{\mathrm{f}}}1_{\mathrm{Y}_{t}}}.V_{\iota}|X_{t}=0$2-5. 不安定性の解析
力学系の不安定性を調べる方法としては、
1. )ポアソン方程式で表される余随伴軌道についての変分をとる。
2. 測地線方程式で表される測地線についての変分をとる。
$\uparrow$$-\cdot$という 2 種類の方法があります。勿論、 これらを組み合わせた変分の取り方も可能
かもしれません。
の有限な変分は次式のように得られます。
$(2.2\underline{3})$(2.27)$\frac{d}{dt}\tilde{J}(\alpha|tx’+\epsilon\chi_{t}1\mathrm{x}_{;}.)=aff\mathrm{c}\mathit{1}H\circ J$$\tilde{J}(\alpha_{t}|_{1}.\cdot’+\epsilon\chi\iota|_{\backslash _{t}}.\cdot)$$\overline{\iota\overline{\mathrm{V}}}(\alpha,1_{x^{+}},\epsilon_{X,}|_{\mathrm{Y}}.)l$$\epsilonarrow 0$の極限で線形化された式が得られます。

この方法では線形の範囲での 1 の意味における不安定性の分析しかできず、 非線形の範囲で–般的に意味のある不安定性の分析が得られないことに注意しましょう。
また、 (2.27) 以外にも変分の取り方はありますが、 それらの変分についての議論は

今回は見送ります。
-

方、 (2.26) の有限な変分はリー群の性質を用いて次式のように得られます ( 文献$[\mathrm{O}2])$。

(2.28)$\hat{\nabla}_{\iota_{t}^{\prime\epsilon}\epsilon W,t}$.

$V_{t}^{\epsilon}|_{\mathrm{x}_{0f}}\mathrm{b}(\rho_{e},\Phi e\mathcal{E}\mathrm{w}=0$

ただし、(2.29)$\epsilonarrow 0$$V_{t}^{\epsilon}|_{\backslash \Phi,e^{\psi}}.\cdot 0r.=V_{t}|_{X_{0}}\Phi,e\mathrm{f}Wl[+\epsilon V|xeW_{r}t\mathcal{E}’ W|0^{\Phi}ttX\Phi_{t}0e^{\mathrm{f}W_{f}}]$の極限で次のようなヤコビ方程式が得られます。

89(2.30)$\hat{\nabla}_{\iota_{f}|_{b}\iota’|},.\hat{\nabla}t\mathrm{x}_{r}.W_{t}|_{\mathrm{Y}}t=-\hat{R}(W_{t}|_{x_{f}},V_{\mathrm{r}}|_{x})V_{t}|_{\mathrm{Y}_{r}}t$

.

ここで、

$\hat{R}$は計量 (2.25) による曲率テンソルです。 これより、 次の式が成り立ちます。

(2.31)$\frac{d^{\gamma}\sim}{dt^{\underline{2}}}\{(W_{l}|_{\backslash _{I}t}." W1_{1,}\cdot\rangle_{\lambda}\ =2 \langle$$(\hat{\mathrm{v}}.W\mathrm{t}_{\backslash }1_{t}|_{Xj}t.,\hat{\mathrm{v}}_{\iota\iota}.W_{t}|ti\mathrm{I}.x\mathrm{i}’)\lambda_{\mathrm{Y}_{\mathrm{r}}’}.-\langle$$(W_{t}|.1,\cdot,\hat{R}(Wt|_{\wedge}\iota r’ V_{t}|_{1_{\mathrm{f}}}.\cdot)V_{l}t|_{\wedge}\backslash \cdot l))|_{\kappa_{t}}-$つまり、 次の断面曲率に対する条件が成り立つならば、 この力学系が 2 の意味で、線形の範囲で不安定であることになります。
(2.32)$\{\langle W_{\iota}|_{x,\mathrm{t}},\hat{R}(W|_{\mathrm{x}}.\cdot,’ V_{\mathrm{t}}|\mathrm{x}, )V_{l}|_{1}.,\rangle_{\lambda X,}\leq 0$

しかし、 次の条件が満たされるような変分に対しては、 上のヤコビ方程式は有限な変分についても成り立ち、 断面曲率の計算は有限な変分による非線形不安定性の指標になります。
(2.33)$V|_{\backslash _{1}}|.]=0$$\hat{\nabla}[\iota\iota_{t}.1_{\lambda}\cdot\iota,\cdot 1.iq]t[W_{t}|_{\backslash t}.\cdot,$

このことは今回の報告で始めて指摘されたことで、 例えば、 非圧縮性流体について
文献 [KNH] で調べられた次の条件を満たす変分は、 上の条件より狭い条件$(2.34\rangle$$[W_{t}|_{\backslash _{r}^{\gamma}}.\cdot V_{t}|_{x}t]=0$になっていて、 実は有限な変分についての不安定性の分析をしたことになります$($

ただし、 彼らは異なった方法で変分をとっていますので、 そのままでは有限変分についての安定性を調べたことになりませんが)。

90
Section 3

完全流体の力学

3-1. 微分同相写像群
流体の運動は、 流体が入っている境界を持たない$\mathrm{N}$次元の物理空間 $M$ の各点が運動するとしてラグランジュ的に扱うことができます。 この各点の運動は完全にでたらめではなく、 互いに重なることなく空間全体を占めるような運動でなくてはな
りません。 つまり、 このような $M$ の各点の運動は微分同相写像 (微分可能で連続な写像) によって表されることになります。 特に、 以下では、$C^{\infty}$

微分同相写像に限定

します (より -般的な微分同相写像を用いる場合の注意は文献 [MRW] にあります)。

物理空間 $M$ 上の$c^{\infty}$

微分同相写像のなす集合を $Diff(M.)$ とすると、 $Diff(M)$ は無限次元リー群になっています。 つまり、$\phi_{1}\circ\phi_{2}$$Diff(M)$の元$\phi_{1},$$\phi_{2}\in Diff(M)$

の問の積

は、

(3.1)

$\phi_{1}\circ\phi_{2}(X)=^{\psi(\phi_{-}}17(X))$

で定義され、 $Diff(M)$ の位相は逆極限位相と呼ばれるものになっています。
$Diff(M)$ の表現として有用なのは、 $M$ 上のベクトル場のつくる空間 $X(M)$ 上の作

用への引き戻し (pull-back) です。 この引き戻された $Diff(M)$ の元の無限小生成子であるリー微分のつくる空間は $X(M)$ に等しくなります。 このように、 このリー代数$diff(M)$ の元$\in X(M)$$u_{1},$$u_{2}\in diff(M)$のりー括弧積は、 対応する $X(M)$ の元$u_{1}^{i}(x)\theta_{i},$$u_{\underline{9}}^{i}(x)\theta i$の交換積を用いて表されます。

(3.2)$[\mathcal{U}_{1}, u_{2}]=-[u_{1}^{i}(X)\theta_{i}, u_{2}^{i}(\chi)\theta_{i}]$流体の速度場は丁度このリー代数 $diff(M)$ の元とみなされます。
さて、 リー代数 $diff(M)$ の相対空間を dff*(胡 としましょう。 この相対空間の元を$\mathrm{N}$

形式と 1 形式との直積とみなすことができます。 つまり、 今の表現は、$diff(M)arrow X(M)$(3.3)$diff^{*}(M)arrow\Lambda^{N}(M)[eggx]\Lambda^{1}(M)$です。 例えば、 流体の体積されます。

$\mathrm{N}$

形式と運動量場の 1 形式の直積が dff*(M) の元とみな

91
3-2. 非圧縮性完全流体
非圧縮性流体の場合、 流体の速度場は次のようなダイバージェンス

フリーの条

件を常に満たさなくてはなりません。
(3.4)$\theta^{j}u_{j}(\chi)=0$

良く知られているように、 これは流体の体積測度の保存を意味します。 $Diff(M)$
元の中で上の条件を満たすものの集合
います。 このことは、 条件 ($3.4\rangle$$SDiff_{\mathrm{v}}(M)$のは $Diff(M)$ の部分リー群をなしてを満たす二つベクトル場の交換積をとって得られたベクトル場もまた条件 (3.4) を満たすことから分かります。
(3.5)

SDiffv$(M)glbgo\subset_{ruP}Diff(M)$

前章との比較では、 非圧縮性完全流体の運動の場合、(3.6)$G=\Sigma=SDiff_{\mathrm{V}}(M)$となり、 ハミルトニアンは次のようになります (文献 [MW1)。
(3.7)$H(u)= \frac{1}{2}\int_{1I}v_{X}g_{\ddot{y}}(X)u(tt)ix)u^{j}(X$

これは右不変で、 流体の場合に左不変ではなく右不変のハミルトニァンを考えるのは、 理論が流体粒子自身の運動の代わりに空間の各点または座標の運動を扱っている為です。事実、 このような意味で、 剛体の様々な運動 (これらは左不変のハミル
トニァンをもつ) は流体の運動の特別な場合となります。

また、 非圧縮性完全流体の運動に対応するリーマン構造は次のように与えられます (文献 [Ar 1, 2])。
(3.8)$( \langle \mathcal{U}_{1}|_{\phi},u_{2}|_{\phi}))|\emptyset=\int_{M}v_{X}g_{\ddot{\Psi}}(x\rangle u_{1}(X)iju_{\wedge},(\chi)$以上のように、 非圧縮性完全流体の運動方程式は $sdiff_{v}^{*}(M)$ の上のり一ポアソン方程式のみならず、 SDiffv $(M)$ 上の測地線方程式としても得られます (文献 [Arl, 2]や文献 [EM] と異なった方法は文献 [O1] にあります)。

92
3-3. 圧縮性完全流体
非圧縮性流体の場合とは違って、 圧縮性流体の場合は質量密度の変化やエントロ

ビ一密度の変化も考慮しなくてはなりません。従って、 微分同相写像群 $Diff(M)$ を
2 つの関数の線形空間
へととの半直積群$\Lambda^{0}(M)$$S(M)=Diff(M)\mathrm{x}_{*}\{\Lambda^{0}(M)\oplus\Lambda^{0_{(}}M)\}$

拡大する必要があります ( 古くから知られている拡大しない方法もあります )。つまり、 次の完全系列を得ます。
(3.9)$\{e\}arrow Diff(M)arrow Diff(M)\mathrm{X}_{*}\{\Lambda^{0}(M)\oplus\Lambda(M)\}0arrow\Lambda^{0()}(M)\oplus\wedge(M)arrow\{0\}$この半直積群の元(3.10)$\Phi_{1}=(\phi_{1’ 1}\sigma),$$\Phi_{2}=(\phi_{2},\sigma_{2})\in S(M)$の間の積$\Phi_{1}*\Phi_{2}$は、$\Phi_{\iota^{*}}\Phi_{2}=(\phi 1^{\mathrm{O}}\psi_{\underline{\tau}},\sigma+\psi^{*}11\sigma_{\underline{2}})\in S(M)$となります。 また、 $Diff(M)$ の表現として $M$ 上のベクトル場のつくる空間の作用への引き戻し ( pull-back ) を用いると、 $S(M)$$V_{1}=(u_{1}, U_{1}),$$V_{2}=(u_{2},U_{2})\in S’(M)$(3.12)

のりー代数$X(M)\lrcorner_{-}-$$.\backslash \cdot(M)$の元

のりー括弧積は、 次の交換積を用いて表されます。

$[V_{1}, V_{\tau}]=-(\sim 1i\mathrm{r}\mathcal{U}(X)\theta_{\mathrm{i}},$$u_{-}^{i}\circ(x)\theta_{i}],L_{u}jU1(x)\theta i-.(X)\mathrm{y}_{x}-LU_{\gamma}l\ell_{1\mathrm{t}}^{j}(.\mathrm{r})\partial\wedge(x)v_{\mathrm{v}}.)$

また、 リー代数 $s-(M)$ の相対空間を $s^{*}(M)$ とすると、 今の表現は、’$s(M)arrow X(M)\cross\{\wedge(M)\oplus\Lambda^{0}(M)0\}$(3.13)$s^{*}(M)arrow\{\Lambda 1\backslash \Gamma(M)[eggx]\Lambda^{\downarrow}(M)\}\cross \mathrm{t}\Lambda^{\mathrm{v}\backslash }.(M)\oplus\Lambda^{\cdot}(M)\}r$です。

前章との比較では、 圧縮性完全流体の等エントロピー流の場合、(3.14)$G=s(M),$$\Sigma=Diff(M)\cross_{*}\Lambda^{0_{(}}M)$となり、 右不変ハミルトニアンは次のようになります ( 文献 [HK1, [MRW] )。
(3.15)

ここで、$H= \frac{]}{2}\int_{4\mathit{1}}v_{X}\{p_{\iota}(’\chi_{\mathrm{i}})g\ddot{g}u_{l}(x)u_{t}^{j}(\chi)i+2p_{\iota}(x)U(\rho_{\mathrm{t}}(x),\triangle s(\mathrm{t}x))\}$$p_{t}(\chi),$$S(\iota x)$

はそれぞれ質量密度とエントロピー密度に対応しています。

また、 この圧縮性完全流体の運動に対応するリーマン構造は次のように与えられます (文献$[\mathrm{O}2]$)。

93(3.16)$\{\langle V_{1}|_{\phi-},V,|_{\emptyset})\rangle \mathrm{b}=\int_{\downarrow f}v_{\chi}p\emptyset(X)g_{\ddot{\nu}}(X)u^{i}(\iota\chi)u\wedge(jX)+\int_{\nu}\wedge \mathit{1}\mathrm{y}_{X}\frac{2p_{\phi}(x)}{U(p_{\phi}(X),s_{\emptyset}(x))}U(1)XU_{\circ}-(x)$以上のように、 非圧縮性完全流体の運動方程式は
程式のみならず、$Diff(M)_{\mathrm{X}}$.

$\Lambda^{0}(M)$$s^{\mathcal{V}^{*}}(M)$の上のり一ポアソン方上の測地線方程式としても得られます。

3-4. 完全電磁流体
完全電磁流体への拡張について触れておきます。 非圧縮性電磁流体の運動に対しては、(3.17)$G=\Sigma=SDiff(M)\cross_{*}\mathrm{A}^{1}(M)$となり、 圧縮性電磁流体の運動に対しては、$G=SDiff(M)\cross*\{\Lambda(M)\oplus \mathrm{A}(M)\oplus\Lambda(M)\}001$(3.18)$\Sigma=SDiff(M)\mathrm{X}_{*}\{\Lambda^{0}(M)\oplus \mathrm{A}(M)\}$また、 これらの運動のハミルトニアンは、 (3.7), (3.15) のハミルトニアンにそれぞれ次の項を加えたものになります (文献 [MRW])。
(3.19)

ただし、$\frac{1}{2}\int_{M}\frac{1}{\mu}\{B_{\ddot{\mathrm{y}}}(X\rangle\ ^{i} \wedge d\mathfrak{r}^{j}\}\wedge*\{B_{\ddot{y}}(\chi)d\mathfrak{r}i\wedge\ ^{j} \}$$B_{\ddot{g}}(x)d\mathcal{K}^{i}\wedge dxj=d(4(x)d\mathrm{r}^{i})$は磁束密度 2 形式です。

さらに、 対応するリーマン構造は、 (3.8), (3.16) の内積の定義に次の項を加えたもので与えられます (文献 [Ol, 21)。
(3.20)

ただし、$\frac{1}{2}\int_{tf}\mu*\{H_{i}(\chi)d\mathcal{K}^{i}\}\wedge\{H_{i}(\chi)d\mathcal{K}^{i}\}$$H_{i}(x)d\mathcal{K}^{i}=*\{B_{\ddot{\zeta}}(X)\ ^{i}\wedge d\mathfrak{r}^{j}\}$は磁場 1 形式です ( 計量のとり方については文献 [ZK1 及び [H] は電流密度を用いた別の表現を提唱しており、 ある意味でその方が物理的であると言えます)。

このように、 非圧縮性完全電磁流体の運動方程式もリー・ポアソン方程式としても、 測地線方程式としても得られます。

94
3-5. 自由境界問題
以上は、 流体に境界が無い場合に限定しましたが、 境界が固定されている問題にも拡張されています。 無限次元幾何学の方法をより広い範囲に適用することを目指して、 流体の境界も運動するような場合を考えましょう。

動く境界をもつ連続体の運動は、 微分同相写像群のかわりに埋め込み写像の集合を用います。 この埋め込み写像の集合はもはやリー群ではありませんが、 位相が定義されて無限次元の多様体になります。
物理空間 $M$ の閉領域 $D$ を最初に流体が占めていた領域とすると、 この流体の運動は、. $D$ から

$M$

への

$C^{\infty}$

埋め込み写像のつくる多様体 Embb $(D,M)$ 上の- -点の運動に置き換えることができます (文献 [M21)。しかし、 ここではこの多様体を拡大することによって、 )$\ddagger$$-\cdot$

ポアソン方程式やリーマン接続による測地線方程式として運動方程式を得ることを試みましょう。
次に、 等エントロピー流を考えましょう。 この為には多様体もそれに作用する群も拡大しなくてはなりません。 最初に、 物理空間 $M$ の上の直線をファイバーとするファイバー束 $E(M)$ を考えます。 この $E(M)$ の断面の集合$\Gamma(E\langle M))$は、 質量密度とエントロピ一密度に関係する 2 つの $M$ 上の関数の空間になっています。
(3.21)$\Gamma(E(M))=\Lambda^{0}(M)\cross \mathrm{A})(M)$

このとき、 Embb $(D,M)$ 上に直線をファイバーとするファイバー束 $E(Embb(D,M))$が次のように得られます。
(3.22)$E(E\prime bb(D,M))=\{(\psi,f\mathrm{t}_{\mu})|\psi\in Embb(D\backslash ’ M),$$f(\psi(x))\in E_{\psi(X)}(M)$for all $x\in D|$

ただし、 $E_{\psi(x)}(M)$ は $\psi(x)\in M$ における $E(M)$ の元の集合です。

この多様体 $E(Embb(D,M))$$E(Embb(D,M)),$(3.23)には$\Phi=(\psi_{\sigma},)\in S(M)$$S(M)$が作用します。 つまり、 $\Psi=(\psi,J|_{\eta},)\in$に対して、$\Phi\Psi=(\emptyset,\sigma)(\psi,f|_{\psi})=(\phi\circ\psi,(0+\psi f*)|_{\psi_{0\psi}})$

従って、 前章との対応関係は、(3.24)$c=s(M)$,$\Sigma=E(Embb(M))$

さて、 次のようなハミルトニアンが $T^{*}E(Embb(M))$ 上に$T_{\psi_{t}}^{*}E(Embb(M))$$\alpha_{t}|_{\mathrm{t}}p_{f}=(p_{t}[eggx]_{\mathcal{U}_{t}}\mathrm{t}_{\nu_{\iota}}$に対して定義されている場合を考えましょう。

,$p_{t}|_{\psi_{\mathrm{f}}})\in$

95$H_{\tau E(EnM}..\Lambda I))(\psi_{t},\alpha_{\ell}\mathrm{b},$$)= \frac{1}{2}\int_{D}v_{\psi_{\mathrm{f}}()}p^{\varphi_{r}D}Xt(\psi_{t}(x)\rangle g_{\ddot{J}}u^{i}(\psi t(X))\mathcal{U}^{i}(\psi_{t}(X))$$+ \int_{D}\mathrm{V}_{\psi \mathrm{f}(_{X})}p^{\psi}r(tD(\psi tx))U(pt\psi,D(\psi_{t}(X)),Sp_{t}\psi tD(\psi\iota(X)))$

ここで、 suPP$(p_{\mathrm{r}}^{\psi D}’)=\psi tD\in M$です。 これは丁度、 境界に表面張力や外力などが働かない圧縮完全流体または弾性体の運動を考えることに対応します。
このとき、 モーメント写像 $\tilde{J}:T^{*}E(Embb(M))arrow S(M)$ を$\tilde{J}(\psi,\alpha_{t}|_{\psi_{\mathrm{f}}})=(p_{t}[eggx] u_{t},pD_{\mathrm{f}}D,$$,D\mathrm{I}tr^{l}s$$=(p_{t}^{\psi_{\mathrm{r}}D}[eggx] \mathcal{U},p_{r}^{\psi_{l}D},S\rho^{p_{i}D}tt)\mathrm{t}$とみると、 右不変ハミルトニアンは次のようになります。

$H( \tilde{J}(\psi_{1t},\alpha|_{\psi,}\mathrm{I})=\frac{1}{2}\int_{4\mathit{1}}v_{x}\rho_{\mathrm{r}}f(x)g_{\ddot{Y}}uiDi\chi()u(X)$$+ \int_{1f}v_{x}p_{\mathrm{r}}^{\iota}()(\psi_{t}x))U(\rho_{l}(L\}\psi \mathrm{r}(X)),S_{l}(D\mathrm{f}\psi_{\iota}(X)))$

このようにして、 運動方程式を $s^{*}(M)$ 上のり一ポアソン方程式とみることができます。 ここで、 注意すべきことは、 類似の方法によって $S^{*}(D)$ 上のリー・ポアソン

方程式とみる力学系の簡約ができますが、 今述べた方法は力学系の簡約ではなく、力学系の拡張を与えているのです。
また、 非退化なリーマン構造は次のように与えられます。

$( \langle V_{1}|\psi’ V\underline{7}\iota))[=\int_{\mathrm{t}l}vp_{\psi}X(\mathrm{t}\ell Dx)g_{\ddot{y}}(_{X)}u_{\iota}^{i}(X)\mathcal{U}_{\circ}-i(\chi)$$+ \int_{1\mathit{1}}v_{x}\frac{2p_{\psi}^{\psi D}(x)}{U(p_{\psi}^{\psi D}(x),s(\psi x)\psi D)}U(_{X}1)U_{2}(_{X)}$

ここで、 $p_{\psi}^{\psi D}(\psi(x))v\psi(X)=p_{0}^{D}(\chi)vX$ です。 この計量から得られるリーマン接続によって得られる測地線の方程式が運動方程式を与えるはずです。
以上の方法は、 非圧縮性流体の場合や表面張力がある場合にも適用できます。

3-6. 不安定性の解析
2-5 において述べた方法で、 有限変分に対する非線形不安定性を調べることができます。
また、 無限次元の曲率の計算はフーリエ成分によって多く行われてきましたが、圧縮性流体などの場合は文献とが分かっています。

$[\mathrm{O}2]$にみられる空間座標を用いた方法が有効であるこ96Section 4

不可逆過程への挑戦

自然界の現象論の殆どは時間に対して不可逆な過程です。 しかし、 今まで扱ってきた方法はすべて変分原理に基づいた時間に対して可逆な運動にしかそのままでは適用できません。 そこで、 不可逆過程に対して次のようなアプローチが考えられます。

1. 不可逆過程は可逆過程とは根本的に違うので、 変分原理などの使用に意味はないので、 この方法はあきらめる。

2. 非平衡物理学で知られている局所ポテンシャルの方法をはじめとする
何らかの拡張された変分原理を適用する。

3. 摂動的な外力項として可逆過程の運動方程式に加える。
4. 時間を測地線のパラメータと拡散のパラメータに分離して、 部分的に変分原理を用いる。

ここでは、 3 と 4 の観点で考えてみましょう。

3 の立場では、 散逸項がゼロである場合にもとの可逆過程の運動方程式に戻らなければなりません。 もしこの仮定が満たされていて、 散逸項が線形演算子 $D$

をとおして測地線方程式 (2.26) に加わる次のような場合、(4.1)$\hat{\mathrm{v}}_{\iota_{l}^{7}}V\mathrm{I}_{\mathrm{n}}t|X_{\ell}=DV_{t}|_{x’,}$

ヤコビ方程式は次のようになります。
(4.2)$\hat{\nabla}_{V_{t}|_{X}},\hat{\nabla}_{\mathrm{t}_{t}|X}.W|_{\mathrm{A}’,}tt=-\hat{R}(W_{l}|X_{\mathrm{f}}’|_{\iota}V_{t}.\cdot)\mathfrak{l}V_{t}|\mathrm{A}+\mathrm{q}_{W_{\iota}}|.\mathrm{Y},\cdot,V|_{1}.tt.]$

従って、 不安定性の条件は、(4.3)$\{\langle W_{\iota}|X_{l}’(W\hat{R}|t.\mathrm{Y}_{t}’ 1_{x_{t}}V_{t})V_{t}\mathrm{b}_{t}\rangle_{\lambda x}‘-\langle\langle W_{t}\mathrm{b}_{t}.,\mathrm{t}V_{t}|_{\ovalbox{\tt\small REJECT}},W_{t}|_{X_{t}}\mathrm{D}\lambda_{\mathrm{x}},$$\leq 0$

今報告ではじめて示された不安定性の条件は、 第 1 項の非線形の効果と第 2 項の散逸の効果のバランスを表しています。
このように、 散逸項を摂動として加えることが可能な場合、 時間的に不可逆な多くの物理系も扱い得ることになります。

97
具体的な例として、 境界のない多様体上の非圧縮性流体のナビエストーク$M$

ス方程式が得られます。
(4.4)$\theta_{t}u_{t}+u_{t}\cdot\nabla u_{t}+\mathrm{v}_{p=v}\Delta ul$,$\nabla\cdot u_{t}=0$

散逸項を外力項として方程式に入れる方法は文献 [EM] によってナビエストークス方程式の短時間での解の存在と –意性の証明に用いられましたが、 今報告はこれを不安定性の解析に用いる可能性を指摘しました。
ところで、 散逸項がゼロである場合にもとの可逆過程の運動方程式に戻らないよ

うな場合、 散逸項を摂動として扱うわけにはいきません。例えば、 固定された境界をもつ非圧縮性完全流体の場合がそのような場合になります。 つまり、 粘性がない
場合はスリップ条件が境界に課せられますが、 粘性がある場合にはノンスリップ
条件が課せられ、 状況は–変してしまいます。 このような場合は、 流体の存在している領域を含むような境界を持たない多様体上の流れを考え、 以下に述べる方法のもとにノンスリップ条件を満たすような変分をとります。 しかし、 詳しくは別の機会にゆずります。
それでは、 4 の考え方をみてみましょう。 これは、 時間を散逸に関わる部分とそ

うでない部分に分ける方法です。 まず、$R\mathrm{x}R^{+}$

上の曲線 $(S,T)$ :$I\subset R^{+}$

an$\varphi n$$arrow R\cross R^{+}$

intemllを考えます。 つまり、
(4.5)$(s’(f), \tau(t))\in R\cross R^{+}$

さらに、 速度場がこの曲線に依存して、 次のように書けるとします。
(4.6)$\theta_{\mathrm{s}}.\cdot u_{(s,\tau})+\mathcal{U}_{(S,\mathrm{r})}\mathrm{v}_{u}(_{S}.\mathrm{r})+\nabla p=0$,$\theta_{\mathrm{r}^{\mathcal{U}}(S,\mathrm{r})}.=v\Delta u_{(s,\mathrm{r})}$,$\nabla\cdot u_{(S,\tau)}=0$

この考え方では、. 個々の式を変分するどきに、 境界条件を変えないようにパラメー
ター $(S(f)_{T(t},))$ を ( $s(\gamma)+r(r)_{T(t))}$へとずらすことができます。
,

98
Section 5

おわりに

表題とは裏腹に、 今報告は流体をはじめとする力学系とリー群との関係や、 測地線としてみなした場合の不安定性の解析などの–般的で、 ややピンボケなものになってしまいました。 しかし、 この報告で新しく提起された自由境界問題についてのアイディアや、 不可逆過程の安定性に関するアイディアは今後発農させる価値のあるものではなかろうかと思われます。
今後は、 これらのやや未開発の方法を発展させて、 具体的な問題に応用されることが期待されます。

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