数理解析研究所講究録
第 898 巻 1995 年 44-52

44

Hartree 方程式の解の漸近挙動について
和田健志 (Takeshi Wada)

大阪大理

平成 5 年 9 月 28 日

1

序

本講では, 次の非線形 Schr\"odinger 方程式の解の $tarrow\infty$ における漸近挙動について考える.
$i \frac{\partial}{\partial t}u_{j}(t, x)$$uj(O, x)$$=$$- \frac{1}{2}\triangle\tau\iota_{j}$$=$$\phi_{j}(x)$(ちの$+ \sum_{k=1,k\neq j}^{\wedge t}(V*|\tau\iota_{k}|^{\underline{y}})u_{j}(t, x)$,(1)$(j=1, \cdots, N)$

但し, ちの $\in R\cross R^{n}(n\geq 2),V(x)=$ 回- , $0< \gamma<\min(4, n)$ である. この方程式はHartree 方程式と呼ばれ, 量子力学における $N$ 体問題の近似として現れる.
本講を通じ, 以下の記号を用いる:$U(t)=\exp(it\triangle/2),$ $1t/I(t)=$のノルムをで表す. $(p=2$
exP 刺 $2/2t)$ .
と書く).
を単に
のときは,
.
, 但し,
である. $H^{m}(R^{n})(m=0,1,2, \cdots)$ を通常の Sobolev 空間, すなわち,$\gamma$$($$L^{|J}(R^{n})$$($$\Vert\cdot\Vert_{2}$$\Vert\cdot\Vert$$L^{2},\llcorner q(R^{n})=\{f(x);\Vert f\Vert_{2,.\underline{\sigma}}$$\Vert\cdot\Vert_{7^{J}}$$=\Vert\langle.\iota\cdot\rangle^{s}.f\Vert<\infty\}$$\langle x\}=(1+|x|^{2})^{\frac{1}{\underline{\circ}}}$$C_{0}^{\infty}(R^{n})$の$\Vert f\Vert_{H^{m}}=(\Sigma_{|\alpha|\leq m}\Vert\nabla^{\alpha}f\Vert^{2})^{\frac{1}{\underline{9}}}$による完備化とする. $S(R^{?1})$ を Schwartz の急減
はf(x) ぬであり,は Fourier 変換
少関数族とする.
逆 Fourier 変換である.
$N$ 個の連立方程式を扱うため, 上記の空間の $N$ 個の直和を考えることも多いが, 同じ記号を用い, その元は の様に, 上に矢印をつけて表す.
Hartree 方程式としては, 単独の$\mathcal{F}f$$[ \mathcal{F}f](\xi)=(2\pi)^{-n/2}\int_{R^{n}}e^{-ix\cdot\xi}$$\mathcal{F}^{-1}f$$\tilde{f}$$i \frac{\partial}{\partial t}u(t, x)=-\frac{1}{2}\triangle u(t, x)+(l^{f}*|u|^{2})u(t, .\iota\cdot)$(2)が主に研究されている ([2, 3, 4, 5, 6]). しかし, 解の $tarrow\infty$ における漸近挙動を調べる際には, (1) と (2) の間には, 本質的な違いがある. それは (1) においては非線形項が他粒子との相互作用であるのに対し, (2) においては自己相互作用である点で, このことが問題を難
しくしている. (2) については, 次の結果が知られている ([3, 5]).
[A] $1< \gamma<\min(4, n),$ $u(O$ , の $\in H^{1}\cap L^{2,1}$ とする. このとき,$t\infty\underline{1i_{11}}u\Vert\ovalbox{\tt\small REJECT}\iota(t)-U(t)\psi||=0$

(3)

45

となる $\psi\in L^{2}$ が存在する.

は存在しない.
[B] $0<\gamma<1,$ $u(O, x)\in H^{1}\cap L^{2,1}$ とする. このとき, (3) を満たす
我々は, (1) の場合に, [A], [B] に類似した結果を示したい. しかし, $\gamma=1$ の近くでは, それを示すのは難しい. 我々が得たのは, [A], [B] より弱い次の結果である.
定理 1. 次の (i) または (ii) のいずれかを仮定する.
(i) $n\geq 2$ , V 唇一 $1< \gamma<\min(4, n),$ $\phi_{j}\in H^{1}\cap L^{2,1}(j=1, \cdots, N)$ ,(ii) $n\geq 3,4-2\sqrt{}$ Σ $<\gamma\gamma<V5-1,$ $\phi_{j}\in H^{1}\cap L^{2,2}(j=1, \cdots, N)$ .
このとき,
.
(4)
$\psi\in L^{2}$$\lim_{tarrow\infty}\Vert u_{j}(t)-U(t)\psi_{j}\Vert=0$を満たす $\psi_{j}\in L^{2}(j=1, \cdots, N)$ が存在する.
定理 2. $n\geq 2,$ $\gamma<1$ または $n\geq 3,$とし, $\phi_{j}\in H^{1}\cap L^{2,1}(j=1, \cdots, N)$ であっのうち少なくとも 2 つは恒等的には でない関数とする. このとき, (4) を満たすて,は存在しない.
注意. うえの定理で,のうち少なくとも 2 つは恒等的には でない関数であるという仮定は必要である. なぜなら, たとえばとすると, $u_{1}(t)=$$U(t)\phi_{1},$ $u_{2}=\cdots u_{N}=0$ となるからである.
$\gamma\leq 1$$0$$\{\phi_{j}\}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\in L^{2}(j=1, \cdots, N)$$0$$\{\phi_{j}\}$$\phi_{1}\not\equiv 0,$2$\phi_{2}\equiv\cdots\phi_{N}\equiv 0$

準備

予備定理 2.1(The Gagliardo -Nirenberg inequality).
$0\leq j<m$ とすると,$1\leq p,$ $q,$ $r\leq\infty,$$j,$ $m$

は整数で,

(5)

$\sum_{|\alpha|=j}\Vert\nabla^{\alpha}u\Vert_{p}\leq C(\sum_{|\beta|=nz}\Vert\nabla^{\beta}u\Vert_{r})^{a}\Vert u\Vert_{c}^{1-a}$である. 但し,であって, は次の範囲に属する: $m-j- \frac{n}{r}$ が非負の整数のときは $\perp m\leq a<1$ , それ以外のときは, $Lm\leq a\leq 1$ である.
予備定理 22. $0<\gamma<n,$ $1<p,$ $q<\infty,$とする. このとき,$\frac{1}{p}-n\dot{L}=a(\frac{1}{r}-\frac{\eta l}{n})+(1-a)\frac{1}{q}$$a$$1+ \frac{1}{q}=_{n}\iota+\frac{1}{p}$(6)$\Vert|x|^{-\gamma}*\phi\Vert_{q}\leq C\Vert\phi\Vert_{p}$が成り立つ.
予備定理 23.
$\int_{R^{n}}1_{R^{n}}\frac{|\phi(x)|^{2}|\cdot\psi(x)|^{\underline{9}}}{|x^{\backslash }-y|\gamma}dxdy\leq C\Vert\phi\Vert_{q}^{\supseteq}\Vert\psi\Vert_{q}^{2}$.

但し, $q=4n/(2n-$ のである.
証明. H\"older の不等式と予備定理 22. により,$\int_{R^{\iota}}.\int_{R^{n}}\frac{|\phi(x)|^{2}|\psi(x)|^{2}}{|x-y|\gamma}dxdy$$\leq$$\Vert V*|\phi|^{2}\Vert$$\leq$$C\Vert\phi\Vert_{q}^{2}\Vert\psi\Vert_{c}^{\sim}1^{\cdot}$

肯$\Vert\psi\Vert_{q}^{2}$

(7)

46

予備定理 24.
$\Vert V*|\phi|^{2}\Vert_{\infty}\leq C\Vert\phi\Vert_{r_{1}}\Vert\phi\Vert_{2}$.

(8)

但し, $2<r_{1}<2n/(n-\gamma)<r_{2}<2n/(n-2)(\infty if n=2),$
証明. $l>0$ をひとつ固定しておく. H\"older の不等式により,$\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r\underline{\circ}}=1-\frac{n}{\gamma}$$\int_{R^{n}}V(x-y)|\phi(y)|^{2}dy$である.

$\int_{|x-y|>l}+\int_{|x-y|<l}$$\leq$$( \int_{|x\cdot-y|>l}|x-y|^{-\gamma r_{1}/(r_{1}-2)}dy)^{(r_{1}-2)/r_{1}}\Vert\phi\Vert_{r_{1}}^{-}$$\leq$$+( \int_{|x-y|<l}|x-y|^{-\gamma_{l^{\backslash }\underline{o}}/(\underline{\tau}-2)}dy)^{(\gamma\underline{o}-2)/r_{2}}\Vert\phi\Vert_{r}^{2_{\underline{9}}}$$(l^{-b}\Vert\phi\Vert_{r_{1}}^{2}+l^{b}\Vert\phi\Vert_{r\underline{\circ}}^{2})$$\leq$

ここで, $b>0$ である.

$l^{b}=\Vert\phi\Vert_{r_{1}}/\Vert\phi\Vert_{r_{2}}$

となる様に

$l$

を選べば, (8) を得る.

定理 1 の証明

3

予備定理 3.1. (i) $\vec{\phi}\in H^{l}(l\in N)$ のとき, (1) と同値な積分方程式$(j=1, \cdots, N)$$U(-t)uj(t)= \phi_{j}-i\int_{0}^{t}U(-\tau)\sum_{k=1,k\neq j}^{N}(V*|u_{k}|^{2})uj(\tau)d\tau$は一意な解 $\vec{u}(t)\in C(R;H^{l})\cap C^{1}(R;H^{l-2})$ を持つ. 更に,U( の蕨の $\in C(R;L^{2,m})$ となる.
は次の関係式を満たす.
(ii)$\vec{\phi}\in L^{2.m}(\uparrow n\in N)$

(9)

であれば,

$\underline$$\vec{u}(t)$

但し,

$=$

$\Vert\phi_{j}\Vert$$E(\vec{u}(t))$$=$$\sum_{j=1}^{N}\Vert\nabla n_{j}(t)\Vert^{2}+P(\vec{u}(t))=E(\vec{\phi})$$P( \vec{u}(t))=\sum_{j,k=1j\neq k}^{N}\int_{R^{n}}\int_{R^{\tau\iota}}|u_{j}(x)|^{2}|u_{k}(y)|^{2}/|x-y|^{\gamma}dxdy$(iii) 更に,$\tilde{\phi}\in L^{2,1}$(10)$(j=1, \cdots, N)$ ,$\Vert u_{j}(t)\Vert$

であれば,$\vec{u}(t)$

.

(11)

である.

は

$\sum_{j=1}^{N}\Vert xU(-T)u_{j}(t)\Vert^{2}+t^{2}P(\vec{u}(t))=\sum_{j=1}^{N}\Vert x\phi_{j}\Vert^{2}+\int_{0}^{l}\tau P(\vec{\iota\iota}(\tau))d\tau$

(12)

を満たす.
証明. (2) の場合とほぼ同じである (例えば, [4] を見よ).
これらは, それぞれ-norm, エネルギーの保存則及び pseudo-conformal conservation
law と呼ばれる.
$L^{2}$

47

定理の証明の為に, 次の変換を施す.
(13)

物 $(t)=\mathcal{F}j\backslash I(t)U(-t)u_{j}(t)$ .
$arrow\vee\sigma)k$

き (1) は$,$$i \frac{\partial}{\partial t}vJ(t, x)=-\frac{1}{2t^{2}}\triangle vJ(t, x)+\frac{1}{t^{\gamma}}\sum_{k=1,k\neq j}^{N}(V*|v_{k}|^{2})vj(t, x)$$(j=1, \cdots, N)$ .

(14)と変換される. (10), (12) はそれぞれ$\Vert v_{j}(t)\Vert=constant$

(15)

,

(16)

$\frac{1d}{t^{\underline{9}}dt}\sum_{j=1}^{N}\Vert\nabla v_{j}(t)\Vert^{2}+\frac{1}{t^{\gamma}}\frac{d}{dt}P(\vec{v}(t))=0$と同値である. (16) により, 次の評価が得られる.
$\sum_{j=1}^{N}\Vert\nabla v_{j}(t)\Vert^{2}$$\leq$$\{\begin{array}{ll}Ct^{2-\gamma} (\gamma<2)C (\gamma\geq 2),\end{array}$$P(\vec{v}(t))$$\leq$

$C$

(17)

(18)

.

但し, $t\geq 1$ である. $\gamma>2$ のときは, (18) を直接 (16) から導くことはできない. しかし,(17) と予備定理 2.1., 予備定理 23. を使うことにより, (18) を示すことができる.
まず, 定理 1 を (i) のもとで示す.
が存在すれば$iu_{J_{tarrow\infty}}=s-1in1v_{j}(t)\in L^{2}$$\Vert U(-t)u_{j}(t)-\mathcal{F}^{-1}w$

州

であって, 第一項は明らかに$\leq\Vert \mathcal{F}M(t)U(-t)u_{j}(t)-cv_{j}\Vert+\Vert t\iota_{j}-\mathcal{F}11/I(\dagger)\mathcal{F}^{-1}w_{j}\Vert$$0$に収束する. 第 $=$ 項の$\Vert(1-M(t))\mathcal{F}^{-1}w$

は Lebesgue の収束定理により$0$

州に収束するから,$tarrow\infty 1inu\Vert uJ(t)-U(t)\mathcal{F}^{-1_{tUj}}\Vert=0$である. 従って,$s-\underline{1i}t$

灘 のが存在することを示せば十分である. (14)と (15) により,$j$$\Vert v_{j}(t)-v_{j}(s)\Vert^{2}$$=$$-2Re(v_{j}(t)-v_{j}(s), v_{j}(s))$$=$$-2I_{7?t} \{\int_{s}^{t}\frac{1}{2\tau-}(\nabla v_{j}(\tau), \nabla v_{j}(s))d\tau$$+ \int_{s}^{t}\frac{1}{\tau^{\gamma}}\sum_{k=1,k\cdot\neq j}^{N}((V*|v_{k}|^{2})v_{j}(\tau), v_{j}(s))d\tau\}$

.

(19)

48

$V5-1<\gamma<2$ のとき,(17) によりI$\gamma<2$$\leq$$C \Vert\nabla v_{j}(s)\Vert\int_{s}^{t}\Vert\nabla v_{j}(\tau)\Vert d\tau$$\leq$$Cs^{1-\frac{\gamma}{\underline{o}}} \int_{s}^{t}\tau^{-1-\frac{\gamma}{\underline{\circ}}}d\tau=C(s^{1-\gamma}-s^{1-\frac{\gamma}{2}}t^{-\frac{\gamma}{9\sim}})arrow 0$$(s, tarrow\infty)$.

のとき, H\"older の不等式, 予備定理 24., (17) 及び (18) により,II$\leq$$\int_{s}^{t}\frac{1}{\tau^{\gamma}}\sum_{k=1,k^{\wedge\neq j}}^{N}\Vert((V*|v_{k}|^{2})vj(\tau)\Vert d\tau\Vert vj(s)\Vert$$\leq$$C \int_{s}^{t}\frac{1}{\tau^{\gamma}}$$\sum^{N}$$\Vert(V*|v_{k}|^{2})\Vert^{\frac{1}{\infty 2}}P(\vec{v})^{\frac{1}{\circ\sim}}d\tau$$k=1,k$ 掬$\leq$$Cl^{t} \frac{1}{\tau^{\gamma}}\sum_{k=1}^{N}(\Vert v_{k}\Vert_{r_{1}}\Vert v_{k}\Vert_{r\underline{\circ}})\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\leq$$C \int_{s}^{t}\frac{1}{\tau^{\gamma}}\sum_{k=1}^{N}(\Vert\nabla v_{k}\Vert^{\gamma}\Vert v_{k}\Vert^{2-\gamma})^{\frac{1}{2}}$$\leq$$C \int_{s}^{t}\tau^{\frac{\gamma}{\underline{\circ}}\{1-\frac{\gamma}{\underline{9}})}d\tau$而一 1 $<\gamma<2$ であれば, これは,$s-\lim_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}v_{j}(t)$に収束する.
のときは,の存在を示すのはより簡単である. 実際このとき, 第一項は先程と同じ様に$s,$ $tarrow\infty$

のとき

$0$

$\gamma\geq 2$

評価できるし, 第一–項は$C \int_{s}^{t}\sum_{k=1,k\neq \text{コ}}^{N}\Vert v_{k}(\tau)\Vert_{q}^{2}\Vert v_{j}(\tau)\Vert_{q}d\tau\Vert v_{j}(s)\Vert_{q}$$\leq$$C( s\iota\iota t\geq 11)\Vert\vec{t)}(t)\Vert_{H^{1}})^{4}\int_{s}^{t}\frac{1}{\tau^{\gamma}}d\tauarrow 0$$(s, tarrow\infty)$.

となるからである 予備定理 24. の証明を見よ).
(ii) の場合には, 少し工夫がいる. まず, つぎの予備定理を示す.
予備定理 32.
とする. $t\geq 1$ に対し,$($$\vec{\phi}\in H^{1}\cap L^{2,2}$(20)$\Vert\triangle v_{j}(t)\Vert^{2}\leq Ct^{(\gamma^{\star}-8\gamma+10)/(2-\gamma)}o$が成り立つ.
証明.

$\vec{\phi}\in H^{1}\cap L^{2,2}$$\triangle$

であれば, $\tilde{v}\in C((O, \infty))H^{2})\cap C^{1}((0, \infty);L^{2})$ である. (14) の両辺にを作用させると,$i \frac{\partial}{\partial t}$$\triangle$

これに

vj(ちの
$\triangle\overline{vj}$$=- \frac{1}{2t^{2}}\triangle^{2}v_{j}(t, x)+\frac{1}{t^{\gamma}}\sum_{k=1,k\neq j}^{N}\triangle[V*|v_{k}|^{2})v_{j}(t, x)]$$(j=1, \cdots, N)$ .

をかけて積分し, 虚部をとれば,.

$\frac{1}{2}\frac{d}{clt}\sum_{j=1}^{N}\Vert\triangle v_{j}(t)\Vert^{2}=\frac{1}{t^{\gamma}}I\uparrow n\sum_{k=1,k\neq j}^{N}\int_{R^{n}}\triangle[(V*|v_{k}|^{2})v_{j}]\triangle\overline{\tau_{j}}clx$

(21)

49

予備定理 2.1., 予備定理 22. 及び (17) によ り,$Ct^{-\gamma}( \sum_{j=1}^{N}\Vert\triangle v_{j}(t)\Vert^{2})^{\frac{4-\gamma}{2}}(\sum_{j=1}^{N}\Vert\nabla v_{j}\Vert)^{\gamma}$$\frac{d}{dt}\sum_{j=1}^{N}\Vert\triangle v_{j}(t)\Vert^{2}$$\leq$$\leq$(22)$Ct^{-\gamma+\gamma(1-\frac{\gamma}{2})}( \sum_{j=1}^{N}\Vert\triangle v_{j}(t)\Vert^{2})^{\frac{4-\gamma}{\underline{o}}}$この微分不等式を解けば, (20) を得る.
注意.
を考える為には, $v_{j}\in H^{4}$ が必要であるが, regularizing technique により,
$vj\in H^{2}$ という仮定の下で上の予備定理を示すことができる.
予備定理 33. $1<\gamma<4/3,\vec{\phi}\in H^{1}\cap L^{2,2}$ とする. $t\geq 1$ に対し,$\triangle^{2}v_{i}$(23)$\Vert v_{j}(t)\Vert_{p}\leq C$が成り立つ. 但し,$\frac{1}{2}-\frac{(\gamma-1)(2-\gamma)}{n(6-4\gamma)}<\frac{1}{p}\leq\frac{1}{2}$

証明. (14) の両辺に$|vj|^{p-2}\overline{vj}$とする.

をかけて積分し, 虚部をとると$\frac{d}{dt}\Vert vj\Vert_{p}^{p}$$=$$\frac{-1}{2t^{2}}Im\int_{R^{n}}jjj$$=$$\frac{1}{2t^{2}}Im\int_{R^{n}}\nabla vj\nabla(|vj|^{p-2}\overline{\iota 1j})dx$$\leq$$\frac{C}{t^{2}}\int_{R^{n}}|\nabla v_{j}|^{2}$

團

$p-2$

$\frac{C}{t^{2}}\Vert\nabla v_{j}\Vert^{\frac{}{p},}\Vert v_{j}\Vert_{p}^{p-2}$$\leq$

ぬ.

ここで, H\"older の不等式を用いた. 予備定理 2.1., 予備定理 3.2. により,$\Vert\nabla v_{j}\Vert_{p}$$\leq$$\leq$$C\Vert\triangle v_{j}\Vert^{\frac{n}{\underline{\gamma}}-\frac{n}{p}}\Vert\nabla v_{j}\Vert^{1-\frac{n}{\underline{\circ}}+\frac{n}{p}}$$Ct^{\rho}$が成り立つ. 但し$p=( \frac{n}{2}-\frac{?l}{p})\frac{\gamma^{2}-8\gamma+10}{2(2-\gamma)}+(1-\frac{n}{2}+\frac{n}{p})(1-\frac{\gamma}{2})$.
である. 従って,.

$\frac{d}{dt}\Vert vj(t)\Vert_{p}^{p}\leq Ct^{-2+2\rho}\Vert vj(t)\Vert_{p}^{p-2}$が予備定理の条件を満たしていれば, この微分不等式を解くことにより予備定理の主張を得る.
注意.
号号を意味する.
(it) 号 $M(t)uJ(t,$ のであるから, この結果は(ちの
これは, 自由粒子の場合と同じ減衰評価である.

$p$

$vj$

$=$

$t$

$\Vert v_{\text{ブ}}\Vert_{\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}}\leq Ct^{-}$

50

定理の証明を続けよう.
(ii) の場合の定理 1 の証明. (i) の場合と同じ様に, (19) の右辺を評価していく. 第一項
は先程と同じであるので, 第 $=$ 項だけ考えれば良い. 予備定理 33. により, 1は任意の正数 であるから,を示せば十分. H\"older の不等式, 予備定理 22., と (18) により,
$v_{j}(s)\Vert_{\eta}=O(s^{\nu})$$( \frac{1}{\eta}=\frac{1}{2}-\frac{(\gamma-1)(2-\gamma)}{n(6-4\gamma)},$$\tau^{-\gamma}\Vert V*|v_{k}|^{2}v_{j}(\tau)\Vert_{\eta’}=O(\tau^{-1-\epsilon})(\epsilon>0)$

$)$

$\nu$

$\Vert V*|v_{k}|^{2}v_{j}(\tau)\Vert_{\eta’}$$\leq$$\Vert(V*|v_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}v_{j}\Vert\Vert(V*|v_{k}|^{2})^{\frac{1}{\underline{l}}}\Vert_{\frac{\frac 12\underline{o}_{1}}{\eta-\underline{9}}}$$\leq$$P(\vec{v})^{\frac{1}{2}}\Vert V*|v_{k}|^{2}\Vert_{\frac{\frac{1}{2}\eta}{\eta-0\sim}}$$\leq$$C|$圏$|\mu$$( \frac{1}{\mu}=1-\frac{1}{\uparrow 7}-\frac{\gamma}{2n})$

(24)

.

予備定理 2.1. より,$\Vert$但し$\frac{1}{\mu}=a(\frac{1}{2}-\frac{1}{n})+(1-a)\frac{1}{\eta}$酬$\leq C\Vert\nabla v_{k}\Vert^{a}\Vert v_{k}\Vert_{\eta}^{1-c\iota}$
$\mu$

,

であるから, (24) の右辺は
$C_{\nu}\tau^{a(1-\frac{\gamma}{9\sim})+\nu}$で評価される. 但し$l/$は任意に小さくとれる正数である. 従って$- \gamma+a(1-\frac{\gamma}{2})<-1$.

であればよく, これを整理すると,$2\gamma^{3}-19\gamma^{2}+40\gamma-24>0$となる. $4-2\sqrt{2}<\gamma<$ V ぢ一 1 のとき, この式は成り立っている.

4

定理 2 の証明
証明. 矛盾により示す. $co_{j}=s$ 一趣灘$j(t)\in L^{2}(j=1, \cdots, N)$ が存在すると仮定すると,(15) により$\Vert v_{j}\Vert=\Vert w$

州が成り立つ. まず, $\psi\in S(R^{n})$ に対し,$\lim_{tarrow\infty}(V*|v_{k}|^{2}v_{j}(t), \psi)=(V*|w_{k}|^{2}w_{j}, ’\psi)$.

が成り立つことを示す.
$|(V*|v_{k}|^{2}v_{j}, \psi)-(V*|w_{k}|^{2}w_{j}, \psi)|$$\leq$$|(V*(|v_{k}|^{2}-|w_{k}|^{2})v_{j}, \psi)|+|(V*|w_{k}|^{2}(v_{j}-w_{j}), \psi)|$$=$$A+B$ .

(25)

51

Fubini の定理と H\"older の不等式により,$A$

但し$\alpha$$\leq$$\int_{R^{n}}(\int_{R^{n}}\mathfrak{s}\nearrow(x-y)(|v_{k}(y)|^{2}-|w_{k}(y)|^{2})dy)|v_{j}(x)||\psi(x)|dx$$=$$\int_{R^{n}}(|v_{k}(y)|^{2}-|w_{k}(y)|^{2})(\int_{R^{n}}V(x-y)|v_{j}(x)||\psi(x)|dx)dy$$\leq$$\Vert(|v_{k}|+|w_{k}|)(|v_{k}|-|w_{k}|)\Vert_{1}\Vert V*(|v_{j}||\psi|)\Vert_{\infty}$$\leq$$C(|$

圏$|+\Vert w_{k}\Vert)\Vert v_{k}-w_{k}\Vert(\Vert\psi\Vert_{\alpha+\delta}+\Vert\psi\Vert_{\alpha-\delta})$$=2n/(n-2$ のであって,$\delta$は任意に小さくとれる.

$\Vert v_{j}(t$.

川は保存されるから,$(tarrow\infty)$$A\leq C\Vert v_{k}(t)-w_{k}\Vertarrow 0$である. $B$ についても同様に,$(tarrow\infty)$$B\leq C\Vert w_{k}\Vert^{2}\Vert v_{j}(t)-w_{j}\Vert(\Vert\psi\Vert_{\alpha+\delta}+\Vert\psi\Vert_{\alpha-\delta})arrow 0$

さて,$\{\phi_{j}\}$に関する仮定により ’$\sum_{k=1,k\neq j}^{N}(V*|w_{k}|^{2})w_{j}\not\equiv 0$$Im \sum_{k=1,k\cdot\neq j}^{N}(V*|w_{k}|^{2})wj,$となる様に選ぶことができる. wj–vj $(t)$ と$\psi$となる$\psi)>0$$i$.

が存在し, $\psi\in S(R^{7}$りを

.

(26)

の内積をとれば,$Re(w_{j}-v_{j}(t), \psi)$$=$$Im \{-\int^{\infty}\frac{1}{2\tau}(v_{j}(\tau), \triangle w)d\tau+\int^{\infty})$

.

第一項は,
$\int^{\infty}\frac{1}{2\tau^{2}}\Vert v_{j}(\tau)\Vert d\tau\Vert\triangle w\Vert=\frac{C}{t}arrow 0$となる. (26) により, 第 $=$ 項は, 十分大きな$t$$(tarrow\infty)$に対し,$Im \int^{\infty}\sum_{\text{た}=1,k\neq j}^{N}(V*|v_{k}|^{2}v_{j}(\tau), \psi)d\tau$$\geq$となる.

$\frac{1}{2}Im\sum_{\text{た}=1,k\neq j}^{N}(V*|w_{k}|^{2})w_{j},$$\alpha=\infty$$(tarrow\infty)$

であるが, これは矛盾である.
となってしまう. 従って, 上の証明は適用できない.

$\mathfrak{N}\ovalbox{\tt\small REJECT}\vec{-}1i_{l}nRe(w_{j}-v_{j}(t), \psi)=\infty$

注意. $n=2,$ $\gamma=1$ のときは,$\psi)\int^{\infty}\frac{1}{\tau^{\gamma}}d\tauarrow\infty$

52

参考文献
[1] A. Friedman: Partial Differential Equations. Holt-Rinehart and Winston, New York,1969.
[2] J. Ginibre and G. Velo: On a class of nonlinear Schr\"odinger equations with nonlocal
interaction. Math. Z. 170 (1980), 109-136.
[3] N. Hayashi and T. Ozawa: Scattering theory in the weighted $L^{2}(R^{n})$ spaces for some
Schrodinger equations. Ann. $Ins$ 義 Henri Poincare, Phys 勾 $ue$ Th6or 勾 $ue,$ $48(1988)$ ,17-37.
$[$

4 N Hayashi and T Ozawa: Smoothing effect for some Schrodinger equations 」し魚 $nct$
Anal. 85 (1989), 307-348.
$]$[5] N. Hayashi and Y. Tsutsumi: Scattering theory for Hartree type equations. Ann. Irist.
Henri Poincare, Physique Theorique, 46 (1987), 187-213.
[6] H. Nawa and T.Ozawa: Nonlinear scattering with nonlocal interaction. Commun.
Math. Phys. 146 (1992), 259-275.

[7] E. M. Stein: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton
Univ. Press, princeton math. Series 30, 1970.