数理解析研究所講究録922 巻 1995 年 158-174

158

急峻な水面重力波の波頂不安定$-$

主に不安定な固有モードの数について
岐阜大工-

田中光宏 (TANAKA Mitsuhiro)\S 1. イントロダクショ ン (歴史的背景)
まず本研究の動機を明らかにするために、 本研究の内容と関連すると思われる従来の研究の中から特に重要と思われるものだけをピックアップし、 そこで得られた主な結果を紹介する。

◇ Longuet-Higgins &FOX (1977):
非常に急峻な定常進行重力波のクレス ト (波頂) 近傍において、 自由表面における境界条件 (圧力–定)を満足し、 かっクレス トからの距離$r$が十分大きい所では$120^{\mathrm{O}}$の角を持ついわゆる 「 Stokes の corner flow 」 に漸近するような相似解を見いだした。
重力加速度を$q_{c}$$g_{\text{、}}$

波と–緒に動く座標系から見たときのクレス トにおける粒子速度をと書く時、 相似解の長さスケール 1$|\mathrm{h}l=q_{\mathrm{c}}^{2}/2g$で与えられる。 また大きな$r/l$に対してこの相似解は Stokes の corner flow に振動的に近づく ことが示されたが、 これは自由表面の最大傾斜が$30^{\mathrm{o}}$以上になることを意味している。 時間空間を $g=1$ ,となるように規格化した時のクレス トにおける曲率半径$q=\sqrt{2}$および加速度

$R_{c}$$W_{c}$

が $R$ 。 $=5.15,$ $W_{c}=q_{c}2/R_{\mathrm{c}}=0.388$ となることも示された。 (R。のこの値については以下で数値計算結果と比較する。)◇ Longuet-Higgins & Fox (1978):

LHF(1977) で得られた相似解を「内部解」 として、 それを深水における限界 Stokes 波のクレス

ト近傍で成り立つ展開形と接続することによって、 外部の流れによる相似解(内部解) の補正を考慮した。 接続条件から波の諸量に対して以下のような漸近表現が導かれた。
$C^{2}=(g/k)\{1.1931-1.18\epsilon^{3}\cos(2.143\ln\epsilon+2.22)\}$,(l.la)$V=(g/k^{2})\{0.03457-0.169\epsilon^{3}\cos(2.143\ln\epsilon+1.49)\}$,(l.lb)$T=(g/k^{2})\{0.03829-0.215\epsilon\cos 3(2.143\ln\epsilon+1.66)\}$,$($$ak=0.4432-0.50\epsilon^{2}+0.503\epsilon^{3}\cos(2.143\ln\epsilon-1.54)$

.

1.1

$c)$

(l.ld).
ここで$C$は波速、 $V$ はポテンシャルエネノルギー、 $T$ は運動エネルギー、 $ak$ は波の急

峻度 (steepness) を表わす。 また$\epsilon$

は$\epsilon=q_{\text{。}}/\sqrt{2}C0$で定義される限界波 $(q_{c}=0)$ への近さを表わすパラメタであり、 $c_{\mathit{0}}=\sqrt{g}/k$ は波長 $L=2\pi/k$ の無限小振幅波の波

159

速を表わす。 これらの表式は$q_{c}$

が$0$に近づくにつれて、 波速 $C$ および全エネルギー$E=V+T$ がともに無限回振動すること、 $ak$ は$\epsilon^{2}$の項の存在のために単調関数となることを示している。

◇ Longuet-Higgins (1978):
深水における完全非線形な Stokes 波の 2 次元撹乱に対する線形安定性が解析された。
これは 2 部からなる連作の第 1 部であり、 撹乱は主流である Stokes 波と同– の周期性を持つと仮定されたが、 それが副題「 Superharmonics 」 の由縁である。 $ak=0.42$ まで調べられたが、 この範囲では不安定は発見されなかった。 しかし固有値の$\text{数_{}m}$としての振舞い$($図$\mathrm{l}\mathrm{a},\mathrm{b})_{\text{、}}$$ak$

および波速 $C$ が極値を取る点においては振動数

$0$

の関
の新

たな固有モー ドが出現するはずであるという物理的考察から.「 $C$ の最初の極大に対応
する

$ak$

において

$\mathrm{n}=2$

モードが不安定になるであろう」 との推論がなされた。

WUV り

図1

: (a) 固有モードの振動数(b)$\mathrm{n}=2$$\mathrm{V}\mathrm{S}$

.

$ak$

$\mathrm{u}\cdot\Psi^{||}*\mathrm{u}\mathrm{w}_{1}$

勝縄 5

.

モードの振動数の 2 乗$\mathrm{v}\mathrm{s}$. $ak$ ($\mathrm{L}- \mathrm{H}(1978)$より)◇ Tanaka (1983):

L-H(1978) と同じく完全非線形な深水 Stokes 波の、 2 次元高調波撹乱に対する線形安定性を解析した。 Stokes 波の計算に新たな等角写像を導入することによって収束を格段に加速したこと、 時間反転に対する対称性を利用して線形増幅率$\lambda^{2}$$\lambda$に対する問題をに対する問題に帰着することにより行列サイズを半減したことなどにより、 より大

きな

$ak$

まで高精度の計算を可能にした。 その結果、 L-H(1978) の推論に反して$\mathrm{n}=2$

160

モー

ドは波速 $C$ ではなく全エネルギー$E$を最大にするような振幅 $ak=$ 0.4292において不安定になることを見いだした。 しかしながらこの結果は、 それ以前に Chen-

Saffman(1980) によって得られていた 「水面重力波に対しては高調波分岐は起こらない」 という結果と $-$ 見矛盾している、 また $C$ の最大で何も起こらないのも L-H(1978)のもっともらしい議論と食い違うことなどから、 その数値結果の正当性に疑問をはさむ声もあった。

◇ Tanaka (1985):

Tanaka(1983) で調べられた完全非線形な深水 Stokes 波の 2 次元高調波撹乱に対する線形安定性において、 最初に不安定となる$\mathrm{n}=2$

モードの固有関数の具体的な形の $ak$に伴う変化を調べ、 それが臨界点、 すなわちエネルギー最大の点 $(ak= 0.4292)$ において、 水平方向の位相のずれに対応する固有値$0$の自明なモード$\mathrm{n}=1$のそれと全く同形になることを想い出した。 これによって 「安定性の交換が起こること」 と「高調波分岐が起こらないこと」 の間の矛盾が解消された。

◇ Saffmman (1985):

Zakharov による水の波のハミルトン系としての定式化から出発し、 エネルギー (ハミルトニアン) が $ak$の関数として極値を取るところでは安定性の交換が起こること、 そのときの固有関数が自明な固有関数 (位相のずらし) と–致することを解析的に証明した。 また波速 $C$ の最大で安定性の交換が起こらないことに対しても説明を与えた。

◇ Tanaka (1986):
一定有限水深上を定常伝播する完全に非線形な孤立波の 2 次元撹乱に対する線形安定性を数値的に解析した。 不安定がエネルギー最大に対する波高で出現すること、 またそのときの固有関数が水平方向の位相のずらしに対応する自明な固有関数に $-$ 致することを示し、 Saffman(1985) の理論が深水 Stokes 波のみならず、 浅水孤立波に対しても同様に成り立つことを示唆した。
$\text{◇}$Tanaka, Dold, Lewy and Peregrine (1987):
境界積分法により$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}$aka(1986) で得られた不安定な固有モードの成長の様子を非線形段階に至るまで追跡し、 初期撹乱の重ねかたにより(1) 撹乱の発達が孤立波の砕波に導くケース、 及び (2) 撹乱の発達がほぼ同じエネルギーを持ち、 より低くて安定な孤立波へのおだやかな遷移に導くケ $-$ スの 2 種類の異なる発達が存在することを示した。
$\text{◇}$Zufiria&Saffman (1986):
Saffman(1985) の深水 Stokes 波の高調波不安定性に関する理論が $-$ 定有限水深上のStokes 波および孤立波に対して拡張できること、 また有限水深上の Stokes 波に適用す161

る場合にはハミルトニアンは水平速度の平均が$0$になるような座標系で計算しなければならないことを示した。

◇ Longuet-Higgiris &Cleaver (1994):

LHF(1977) で求められた急峻な定常進行重力波のクレス ト近傍で局所的に成り立つ相似解の線形安定解析を行なった。 不安定な固有モードはたった
線形増幅率$\beta$は$g=1,$$q$$=\sqrt{2}$。

–つだけ存在し、 そのと規格化した場合 $\beta^{2}=$ 0.00296 となることを見いだし、 これを 「クレス ト不安定 (crest instability) 」 と呼んだ。 またこの不安定はTanaka(1983) で見い出された高調波不安定の最初のモードの極限的なものであろうと推論した。
$\text{◇}$Longuet-Higgins, Cleaver&Fox (1994):
LHF(1978) で得られた深水 Stokes 波の限界波と接続することにより修正を受けたクレスト近傍の流れの線形安定性を解析し、 LHC(1994) で解析されたクレス ト不安定が、小さいながらも有限な $\epsilon=q_{c}/\sqrt{2}C0$ に対してどのように修正されるかを求めた。 その結果指数関数的に増大する固有モー ドはやはりただ– つだけ存在すること、 その線形増幅率$\beta$は$\epsilon$の減少関数となること、 また $ak$ の関数として見たときのが Tanaka(1983)

で得られた最低次$(\mathrm{n}=2)$$\beta/\epsilon$のカーブの高調波不安定のそれにうまく漸近するように見えることなどを示した。

\S 2. 本研究の動機
上に紹介したように最近の Longuet-Higgins らの結果によるとほぼ限界の波高を持つ
定常進行重力波はたった–つの不安定固有モードしか持たないことになっている。 しかし「 Stokes 波のエネルギーは限界波高に至るまでに無限回振動すう」 という Longuet-Higgins&FOX(1978) の結果と、「エネルギーが振幅の関数として極値を取るたびに安定性の交換(exchange of stability) が起こる」 という Saffman(1985) の結果を考え合わせると、 限界に近い波高を持つ定常進行重力波は無限個の不安定な固有モードを持つと期待する方がより自然なように患われる。

これら 2 つが矛盾しないためには以下のようないくつかの可能性が考えられる。 まず
第– は、 LHC(1994),LHCF (1994) が安定解析で扱っているのは定常進行波解そのものではなく、 あくまでもそのクレス ト近傍の流れであるという点である。 したがってもし仮に、 定常進行波解自身は無限個の不安定モードを持つものの、 その中でただ– つ最低次の不安定モードだけが主流の振幅の増大に伴って次第にクレス ト近傍に局在化するようにな
り、 残りの無限個の不安定モードは依然として主流全体にわたるような空間スケールを保ち、 したがって Longuet-Higgins らの解析には引っ掛からなかったという可能性がある。

162

しかし出現するであろうと期待される無限個の不安定モー ドはすべて同 $-$ の原理 (すな
わち水平方向へのずれに対応する自明な固有モー ドと他の固有モー ドとのエネルギー極
大点における衝突) によって引き起こされるものであり、 そのうちの最初のモードだけが他のモードと本質的に異なる振舞いをするとは考えにくいように思われる。
第 2 の可能性は、 出現する無限個の不安定モードが主流の振幅の増大に伴って単– のモード、 すなわちLonguet-Higgins らが見出したただ一つの不安定固有モードに収束していくという可能性である。 しかし $ak_{\max}$ $(=$ 0.4432$)$

はエネルギーが極値を取るようなの数列の集積点になっており、 したがってもしこの可能性が本当ならばより$ak_{\max}$

$ak$

に近

くなってから出現する高次の不安定固有モー ドの (Longuet-Higgins 流に無次元化された) 増幅率は$0$から $-$ 瞬のうちにある決められた有限な値$\beta 0$に到達しなければならない

ことになるが、 これはあまりにも不自然な振舞いのように思われる。

第 3 の可能性は、 無限個の 「安定性の交換」 のそれぞれにおいて次々と新たな不安定
モードが出現するのではなく、 それ以前に不安定になったモー ドが逆に安定に戻るというプロセスがあり、 独立な不安定モードの数が増えていかないというもの。 数学的には確かにこのような系の例を作ることもでき、. また Saffman 理論とも矛盾はしない。 しかし図la に示されたような各モー ドの固有値の、 主流の $ak$ の増加にともなう変化の様子から想像するに、 本問題に関する限りこの可能性もほとんどないように思われる。
以下ではこのような状況を踏まえて、 限界に近い振幅を持つような大振幅定常進行重力波の線形安定性を、 なんらの漸近手法を用いることなく純数値的に研究し、 漸近手法に基づいた最近の Longuet-Higgins らの解析の妥当性を検討する。 なお定常進行波解として

ここでは特に深水 Stokes 波と $-$ 定有限水深上の孤立波を取り扱う。

\S 3. 数値結果 (深水 Stokes 波のケース)主流となる深水 Stokes 波の計算法およびその線形安定性問題の、 ある行列の固有値問
題への帰着のさせ方は Tanaka(1983) に詳しく説明されたと同様の手法を用いた。 表 1 は主流を表現するのに使う Fourier モードの数$\mathrm{N}$を増加させた時の Stokes 波の急峻度$ak\text{、}$

波速 $C$ および表面での Bernoulli 数の定数からのずれ (誤差) を示している。 ここで用いる計算スキームでは各 Stokes 波はパラメタ
で$q_{c},$$q\iota$$\omega=1-q_{\text{。}}/q_{t}$によって区別される。 ここはそれぞれ波とともに動く座標系から見たときのクレス トおよびトラフでの水粒子速度を表わす。 $\omega=0$ は無限小振幅波に、 また $\omega=1$ は$120^{\mathrm{O}}$の角を持つ限界波に対応する。 表 la は $\omega=0.80$ の場合、 すなわちここで取り扱う中で最も振幅の小さい場合の、 また表 lb は $\omega=0.96$の場合、 すなわち最も振幅の大きい場合の結果である。 Stokes

波の限界急峻度 akmax $=$ 0.4432 に比べるとそれらはそれぞれ約 963% 及び 998% であ163る。 例えば波速 $C$ を見ると$\omega=0.80$に対しては $\mathrm{N}=128$ においてすでに小数点以下 10桁程度の収束が得られているのに対し、 $\omega=0.96$ においては同程度の収束を得るためには$\mathrm{N}=1024$の項が必要なことが分かる。 主流の収束の速度は固有値問題における解の収束の速度を支配し、$\omega$の増大に伴うこの急速な収束速度の減少は後に安定性計算の限界をもたらすことになる。
表 2 はこれら 2 っのケースにおける最低次$(\mathrm{n}=2)$のモードの固有値

状況を示す。 ここで $Ne$ は固有関数を表現するために使われるり、 固有値問題を解かなければならない行列のサイズは$\omega=0.80$においては$\lambda_{2}$の 2 乗の収束

Fourier モードの数であ$(2\mathrm{N}\mathrm{e}+1)\cross(2\mathrm{N}\mathrm{e}+1)$である。

Ne $=30$ においてすでに小数点以下 5 桁程度の収束が見られるのに対して、 $\omega=0.96$ においては Ne $=400$ 程度、 すなわち行列のサイズを約 800$\mathrm{x}800$

まで増やしてもやっと小数点以下 3 桁程度の収束が得られるにすぎない。 またこの時、 行列の構成からすべての固有値固有ベク トルを求めるまでに要した CPU 時間は、 名古屋大学
大型計算機センターの VP2600 で約 15 秒であった。

表 2a: 固有値の収束 (omega $=0.80$ )表 2b: 固有値の収束 (omega $=0.96$ )164Longuet-Higgins らの解析においては時間、
空間が $g=1,$ $q_{c}=\sqrt{2}$ となるように規格化されており、 $-$ 方我々の計算においては今述べている深水 Stokes 波については$\tilde{g}=1\text{、}$

波長 $\tilde{L}=2\pi$ と、 また次節で述べる孤立波については$\tilde{g}=1\text{、}$

無限遠での水深$\tilde{d}=1$と規格化されているため、 両者を比較する
ためには時間空間の換算が必要となる。 我々の量 (ティルタで表す) を Longuet-Higgins

らの規格化に直すためには長さの次元につき$2/\tilde{q}_{c}^{2}(=1/\epsilon^{2})$$\sqrt{2}/\tilde{q}$$(=1/\epsilon)$。

$\iota \mathrm{a}_{\mathrm{c}^{J\vee}}$を、 また時間の次元にっき

図 2:

$R$

$\mathrm{v}\mathrm{s}$。

.

$q_{c}/C$を掛ける必要がある。 我々がここで扱う範囲 $0.80\leq\omega\leq 0.96$ は Longuet-Higgins らが用いたパラメタ
では

0.189

$\geq\epsilon\geq$

0.038 に対応するが、 このFOX(1978) が $C,$ $ak$ に対して導出した漸近式
結果と完全に–$\epsilon$$\epsilon=q_{c}/\sqrt{2}C\mathit{0}$の範囲においては Longuet-Higgins &$(1.1\mathrm{a}),(1,1\mathrm{d})$は有効数字 4 桁の範囲で数値致する。 また図 2 は数値的に求められたクレス トにおける曲率半径 R。をLonguet-Higgins 流に規格化したものを $q_{c}/C$ の関数としてプロッ トしたものであるが、Longuet-Higgins &FOX(1977) の予言通り限界波 ($q$。

$=0$ )に近づくにつれて約 5.15 に収束する様子がはっきりと見られる。 これらの結果はまた比較のための換算の仕方に間違いがないことも示している。

$\mathrm{L}\mathrm{I}\cup \mathrm{c}^{J}$$\mathrm{v}_{\mathrm{c}^{\prime\circ}}$

図 3:Longuet-Higgins 流に規格化された不安定モードの固有値の 2 乗.
.
(a) 本研究、$(\mathrm{b})\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{c}\mathrm{F}(1994)$

165

図 $3a$ には Longuet-Higgins 流に規格化した固有値の 2 乗をプロットした。 図は $q_{c}/C$の関数として描かれており、 左へ行くほど主流である Stokes 波の $ak$ は大きくなる。 撹乱は $\propto\exp(\lambda t)$ と仮定されており、 したがって

図$3\mathrm{b}$図に$4\mathrm{a}$$\lambda^{2}>0$は不安定を意味する。 比較のために

LHCF(1994) の結果も再プロットしたが、 両者の定量的な不一致は明白である。
は 3 つの異なる$\omega(\omega=0.84,\mathrm{o}.88,0.92)$

関数としてプロッ トしたものである。

$\omega$

における第 1 不安定モードの波形を$x$のが増大し、 Stokes 波が限界波高に近づくにつれて、 固有関数の空間スケールが次第に縮小し、 Stokes 波のクレス

ト近傍に局在していく

ようすが分かる。 なお Stokes 波のクレス トは $x=0$ ある。 図中の矢印は Stokes 波の伝播方向を示す。 また固有関数の振幅は任意であり、 ここでは最大値が 1 になるように規格化してある。 図$4\mathrm{b}$は$4\mathrm{a}$と同じ固有関数を$x/\epsilon^{2}$, すなわちクレス ト近傍の相似流を表わす空間変数の関数としてプロットしたものである。 この程度の$\omega$に対してもすでにかな

りの収束が見られる。

図4 :

図

$3\mathrm{a}$Stokes 波に対する第–不安定モードの波形.
$\omega=0.84,0.88,0.92$ .

に示すようにここでの計算範囲ではかろうじて第 2 の不安定モード捉えられる程度である。前に述べたように、最も限界に近いケース$(\mathrm{n}=3)$の出現が$\omega=0.96(\epsilon=0.03766)$では固有値 (の 2 乗) に対して有効数字 4 桁程度の収束を得るためにはサイズが 800$\mathrm{x}800$以上の行列の固有値問題を解かねばならない。 これ以上の大振幅を扱うためには Stokes
波の計算法などから根本的にやり直す方が得策と考え、\iota 深水 Stokes 波に関してはこれ以上の計算は行なわなかった。 この不十分なデータからでは、 より限界振幅に近づいた時の不安定モー ドの振舞いについてあまり確定的なことは言えないが、 図の振舞いを見る限り少なくとも最初の 2 つの不安定モードは立性を保ったまま存在し続けるように思われる。

$q$。

$arrow 0$$3\mathrm{a}$に示した固有値の極限においても独166\S 4. 数値結果 (孤立波の場合)
我々のスキームでは様々な波高を持つ定常孤立波は
3 は $q_{\text{。}}/C=0.01\text{、}$ すなわちここで扱う中で最小の

$q$

$/C$

。

$q_{c}/C_{\text{、}}$の値によって区別される。 表
したがって最大の波高を持つ

孤立波に対して、 節点数 Ne を増やしたときのフルード数 $Fr(=C/\sqrt{gd})\text{、}$ 波高、 第 1 及び第 2 不安定固有モードの固有値の 2 乗の収束状況を示したものである。 ここでは時間空間は $g=1,$ $d=1$ のように規格化されている。孤立波の限界波高 $h_{\max}$ は 0.83322 である
ことが知られており、 表 3 の孤立波の波高はその約 99.99% に当たる。 また$q$$/C=0.01\text{、}$。

すなわちクレス トでの流速は波の伝播速度のわずか 1% しかなく、 ほぼよどみ点となっている。 ちなみに前節で扱った深水 Stokes 波の場合では、 扱った中での最大振幅の場合でも$q_{c}/C$の値は約 0.05 であった。 このようなほぼ限界波高に近い波に対してすら、においてすでに$Fr$$\mathrm{N}\mathrm{e}=60$

は小数点以下 8 桁まで、 また第 1 不安定固有値も有効数字 4 桁まで収束している。

表 3: 孤立波解及び固有値の収束$(\mathrm{q}_{-}\mathrm{c}/\mathrm{C}=0.0])$

孤立波に対しては深水 Stokes 波の場合と異なりコロケーショ ン的な扱いをしており、したがって Ne は主流である定常孤立波を求めるための節点数であると同時に、 撹乱の固有関数を表現するための節点数でもある。 また固有値問題を解かなけらばならない行列のサイズは$(2\mathrm{N}\mathrm{e}-1)\cross(2\mathrm{N}\mathrm{e}-1)$となる。 表 3 の結果は、「ほぼ限界に近い振幅を有す

る定常進行重力波に対して不安定固有モードの振舞いを調べる」 という我々の目的のためには、 現有の数値コードを使う限りにおいては、 孤立波の方が深水 Stokes 波に比べて格段に有望であることを示唆している。
図 5 は全エネルギーを $q_{c}/C$ の関数としてプロットしたものである。 図によると$0.01$に到達するまでに全エネルギーは 3 度極値を取り、 したがって

$q$

。

$q$

。

$=$

$=0.01$ においては 3 つの不安定固有モードの存在が期待できる。 図 6 はエネルギーの最初の 2 つの極値

167$\mathrm{W}_{\mathrm{C}}/\circ$$\mathrm{q}/\mathrm{b}\mathrm{c}$

図5:

全エネルギー$\mathrm{V}\mathrm{S}$

.

$q$

$/C$

。

.

図 6:

不安定固有値の 2 乗$\mathrm{v}\mathrm{s}$における 「安定性の交換」 の結果出現する 2 っの不安定モー ドの固有値の 2 乗. $q_{c}/C$ .

$\lambda_{1)}^{2}\lambda_{2}^{2}$をプロッ トしたものである。

図 7:

第–不安定モードの波形$q_{c}/C=0.2\mathrm{s}(\mathrm{a}),$

図 7 の a から$\mathrm{d}$$0.20(\mathrm{b}),$は第 $-$ 不安定モードの関数形$\mathrm{V}\mathrm{S}$.

$x$$\mathrm{O}.10(\mathrm{c}),$$\eta_{1}i\backslash >q_{c}/C$$0.02(\mathrm{d})$.

が小さくなるに連れて変化し168ていく様子を示すために 4 っの異なる

$q$

$/C$

。

についてプロッ トしたものである。 図中の点線は主流である定常孤立波の波形を表している。 またこれらの図は主流の空間スケ–ル

すなわち無限遠方での水深を 1 とするような長さスケールに対してプロットされてい$x_{\backslash }$る。 ここでの解析はすべて線形安定論であり、 撹乱の絶対値には意味がない。 したがって

図中の縦座標は孤立波のみに意味があり、 撹乱の振幅は便宜上$0$からの最大変位が 1 になるように規格化をした。 q。が減少して孤立波の波高が限界波高に近づくにつれて、 固有関数の空間スケールが次第に短くなり、 クレス ト近傍に集中していく様子がはっきりと見ることができる。

$\mathrm{r}^{-}$$\mathrm{r}^{-}$

図 8:

第–不安定モー ドの波形$\mathrm{V}\mathrm{S}$.

$x/\epsilon^{2}$.

$q_{c}/C=0.2\mathrm{s}(\mathrm{a}),$$0.20(\mathrm{b}),$

同じ固有関数をク レス ト近傍の相似流を表現する長さスケールロッとトし直したのが図$0.02(\mathrm{d})$

はほぼ同

–

$8\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}$$\mathrm{O}.10(\mathrm{c}),$$0.02(\mathrm{d})$.

の関数としてプ$x/\epsilon^{2}$である。 このスケールでプロッ トした場合、 $q_{c}/C=0.05(\mathrm{C})$の関数形になる。 この事実はこのような小さな

$q$

$/C$

。

に対しては、

第– 不安定モー ドはすでに実質的にはクレス ト近傍の相似流のみに支配される固有モードになっていることを示している。 なお図 $8a(q_{\text{。}}/C=0.25)$ の点線はこの値における主流の空間微分、 すなわち水平方向のずれに対応する固有値$0$の自明な固有関数を示している。 図 5 が示すようにエネルギーを $q_{c}/C$ の関数としてプロッ トした時の最初の極値は$q_{\text{。}}/C\approx$

0.259 で起こり、 これが第 $-$ 不安定モードの臨界点を与える。 Saffman 理論によ169

ると臨界点において安定性を交換するモードの固有関数形は、 水平方向のずれに対応す
る固有値

$0$

の自明な固有関数のそれに等しい。 $q_{c}/C=0.25$ は第– モードにとっては臨界点をわずかに越えた状況になっており、 不安定になったばかりの第– 不安定固有関数はまだ自明な固有関数とかなり似通った関数形を保っているのが分かる。

X

図 9:
図

$9\mathrm{a}$第二不安定モードの波形$\mathrm{v}\mathrm{s}$.

$x$. $q_{c}/C=0.05(\mathrm{a}),$$0.04(\mathrm{b}),$$\mathrm{o}.03(\mathrm{C}),$$0.02(\mathrm{d})$.

,b,c,d は 4 つの異なる $q_{c}/C$ の値において第二不安定モードの固有関数を主流の空間スケール$x$の関数としてプロットしたものであり、 やはり第– モード同様 $q_{c}/C$ の減少に伴い固有関数がクレス ト近傍に局在化していく様子を示している。
図$10\mathrm{a},\mathrm{b}$,c,d は図 9 と同じ固有関数を相似流の空間変数である

トしたものである。 特に最小の q。に対する 2 っの関数形 ($\mathrm{c}$$x/\epsilon^{2}$の関数としてプロッと d) は全く区別が付かない。

小さな q。において見られるこの固有関数の収束は、 この第二不安定モー ドも第 $-$ 不安定

モード同様、 クレス ト近傍の相似流に完全に支配された 「クレス ト不安定」 であり、 した
がって LHC(1994) および LHCF(1994) の解析で検出されるべきタイプの固有モードであることを示唆している。 図 8 と図 10 の比較から、 これら 2 つの不安定モードは明らかに異なった関数形に収束しており、 主流である定常孤立波が限界波へ漸近するにあたって独立な不安定モードとして存在し続ける。 この結果は明らかに、 限界波高に近い波高を有す

る定常進行孤立波は少なくとも 2 つ以上の独立な不安定固有モー ドを有することを示し

/

170

$\sigma^{\aleph}-$$\mathrm{r}^{\aleph}$

図1

$0$

: 第二不安定モー ドの波形$\mathrm{V}\mathrm{S}$.

$x/\epsilon^{2}$. $q_{c}/C=0.05(\mathrm{a}),$$0.04(\mathrm{b}))\mathrm{o}.03(\mathrm{C}),$$0.02(\mathrm{d})$.

ており、 不安定モー ドが– つしかないとする LHC(1994) および LHCF(1994) の結果とは相容れないものである。

\S 5. Stokes 波のケースと孤立波のケースの比較
前 2 節では Stokes 波に対する結果と孤立波に対する結果をそれぞれ別々に示した。 そしてどちらのケースについても、 主流の定常進行波解が限界振幅に近づくにつれて、 不安

定固有モー ドの波形が次第にクレス ト近傍に局在していくこと、とき、 どちらのケースにおいても各固有モー ドは$\epsilonarrow 0$–$\epsilon\lambda$

も$\epsilonarrow 0$において各定値に漸近することが明らかになった。 これらの結果は Stokes

波、 孤立波どちらのケースにおいても、 主流が限界波に近くモーの関数として見たである特定の波形に収束していくこと、 また相似流の時間スケールで見た時の不安定の増幅率

モードごとに異なるある$x/\epsilon^{2}$$\epsilon$

が十分小さくなると不安定

ドは実質的にはクレス ト近傍の流れ場のみに支配されるようになる事を示している。

–方 LHF(1978) はどのようなタイプの定常進行重力波であっても、 その急峻なクレストの近傍では同– の相似流が実現することを示しており、 これは、 上で得られた各モー ドの増幅率や波形などが、 相似流の時間空間スケール$x/\epsilon^{2},$$t/\epsilon$

で見た時には$\epsilonarrow 0$

の極限

171

Stokes 波の場合と孤立波の場合とでで、

図 11 は図
値を$\epsilon$–

致する事を要求する。

に示した Stokes 波に対する固有値と、 図 6 に示した孤立波に対する固有$3\mathrm{a}$の関数として同時にプロットしたものであるが、 確かに$\epsilonarrow 0$の極限において第1 モー ドどう し、. また第 2 モードどうし等しい極限値に漸近する様子が見られる。

,$00025\ovalbox{\tt\small REJECT}-\mapsto \mathrm{x}_{1}\mathrm{z}_{(\mathrm{p}\mathrm{e})}$$0.0020000(5\ovalbox{\tt\small REJECT}\cdot-\cdot\cdot..\cdot\cdot..\cdot..\cdot.\cdot..:-_{:}\sim\cdot\cdot\sim;\neg.--\overline{:::;’.’,’.,,’..,}|_{-}-\ddagger^{\mathrm{t})}(\mathrm{S}\mathrm{o}1)\mathrm{p}\mathrm{e}\Gamma$

)

. .

..

$.\sim\backslash _{\mathrm{b}}--\mathrm{r}^{2}\underline{\propto\lambda
2\mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{I}}$$\sim\underline{\overline{\wedge*\omega’}}0.000.000\mathrm{s}10\ovalbox{\tt\small
REJECT}\cdot-\cdot$$\mathrm{F}$$..$.
$.\backslash$.

$- 000050.00000.000.0\mathrm{s}0.\ovalbox{\tt\small REJECT}^{-}\underline{\sim_{0\backslash }}-\dagger 00.150.20$$\mathrm{x}/\epsilon$$\epsilon$

図1 1: Stokes 波と孤立波の不安定固有値の2乗$\mathrm{V}\mathrm{S}$

.

図 12

: Stokes 波と孤立波の第–不安定モードの波形の比較.

$\epsilon$

図 12 は $\omega=0.84(\epsilon=0.15086)$ の Stokes 波に対する第 1 不安定モードと、 $q_{c}/C=0.16$$(\epsilon=0.14628)$の孤立波に対する第 1 不安定モードの波形をたものである。

$\epsilon$

分はすでにかなり$x/\epsilon^{2}$の関数としてプロッ トしの値はまだ十分小さいとは言えないが、 にもかかわらず両波形の主要部–致しているのが分かる。

2 っの固有モー ドの近さをより定量的に議論するためにここでは以下のような手続きを取る。 まず、 Stokes 波、 孤立波を含めて本研究で扱った中で最も限界波に近いのは$q_{c}/C=0.01(\epsilon=0.00913)$の孤立波のケースなので、 このケースに対する第 1 不安定モードの波形を極限波形と同–視して $f(\xi)$ と書く ことにする。 ここで $\xi=x/\epsilon^{2}$ であり、 また

固有関数の波形は常に最大値が 1 となるように規格化してあるものとする。 そしてある$\epsilon$に対応する Stokes 波または孤立波に対する第 1 不安定モードの波形を $g(\xi)$ とするとき、$D(f, g)= \int_{-60}^{60}\{f(\xi)-g(\xi)\}^{2}d\xi$

で

$f$

と

$g$

の「距離」 を定義する。

図 13 はこのように定義された $D$ を$D_{\mathrm{s}\mathrm{o}1}$$\epsilon$の関数としてプロッ トしたものであり、はそれぞれ Stokes 波、孤立波に対する結果である。

で $0$ になる。

$\epsilon$の減少に伴う$D$の減少は$D\approx 0.01$$D_{\mathrm{s}\mathrm{o}1}$$D_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r})}$はその定義から $\epsilon=0.00913$

程度で止まってしまう。 $f,$

$g$

の大

172

きさがほぼ 1 であること、 $D$ を定義する積分区間の長さが 120 であることを考えると、$D\approx 0.01$

は各点における$f(\xi)$と$g(\xi)$のずれがほぼ 0.01$\text{、}$すなわち1%程度であることを意味している。 有限項の打ち切りにより固有値問題が完全には収束していないこと、固有値の収束に比べて–般に固有関数の収束は悪いこと、 $D$ の定義に含まれる補間や正規化の過程でも誤差が生じることなどを考えると、 この程度の $D$ は$0$, すなわち 2 っの固有関数は完全に–致していると見なすべきであろう。 図 13 の結果は、 主流が Stokes 波か孤立波かにかかわらず、 その第 1 不安定モードの波形は$\epsilon<0.06$

形– これは$\epsilonarrow 0$

においてはある–定の波の極限におけるクレス ト

近傍の相似流に対する第 1 不安定モードの波形のはずであるが– にほぼ完全に

–

致するこ

$\epsilon$

図 13: Stokes 波と孤立波の第–不安定$\text{モ}-$とを示している。

ト ‘ の波形の収束.

\S 6. 議論
前節で得られた結果は$\mathrm{r}$\S 2. 本研究の動機」 で述べたナイーブな予想、 すなわち 「限界波高に近い大振幅定常進行重力波は無限に多くの独立な不安定モー ドを持つ」 が正しいことを強く示唆する。 その $-$ 方でこの予想が最近の Longuet-Higgins らの結果と両立するための様々な可能性をすべて否定するように思われる。 第– の可能性、 すなわち不安定
モードは無限に多く存在するものの、 クレス ト近傍の相似流の領域に局在し、「クレスト不安定」 と呼べるようなモードは一つしかないという可能性は、 そのような不安定が少なくとも 2 っはあるという上の結果と明らかに矛盾する。 また第 2 の可能性、 すべての不安定モードが最終的に単 $-$ のモードに収束するという可能性も、 最初の 2 っの不安定
モードが全く異なる関数形および増幅率に収束するという上述の数値結果とは相容れない。 図 6 に示した最初の 2 っの不安定モードの固有値の振舞い、 及び第三モード以降の振舞いが最初の 2 っのモー ドのそれと本質的に異なることを期待する理由が何もないことから第 3 の可能性も非常に薄いと考えられる。 これらを考え合わせると、 LHC(1994) 及び LHCF(1994) の漸近解析結果の正当性は疑わしいといわざるを得ない。

最後に、 この不安定性の物理的な意味、重要性についてひとこと触れておく。水面波の砕波の仕方には大きく分けて 「 plunging breaker 」 と呼ばれるものと 「 spilling breaker 」と呼ばれるものの 2 種類あることが知られている。 海岸などの浅水域での遡上によって引173

き起こされる砕波については前者が、 また深水域での砕波には後者がより重要と考えられる。 plunging breaker と spilling breaker の間には何ら本質的な差違はなく、 単にクレ

ストから前方に飛び出すジェッ トのサイズの違いだけと考えている研究者が多いが、 その–方で spilling breaker は plunging breaker とは本質的に異なり、 spilling breaker においてはそもそも overturning (水面波形の多価化) や$\backslash j$

エッ

トの放串は必要不可欠な部分ではないと考える研究者もいる (Longuet-Higgins,1994) 。彼らは spilling breaker を特徴付

けるところの波形前面に現れるさざ波 (表面張力波) の原因をなクレス$\backslash i$

エッ

トの突っ込みや急峻

トが作り出す大きな曲率に求める代わりに、本研究で扱ったようなクレス ト近傍に局在する固有関数と大きな増幅率を持つ不安定性に求めている。 すなわちそのような不安定の増幅によってクレス ト近傍の波形のみが局所的に大きな変形を受け、 そうでない領域との境界に表面張力を有効にするような大きな曲率が生み出されるというものである。 この理論によると

spilling breaker のさざ波はクレス トそのものではなく、 そこからやや前方に下がった波形前面の中腹から生じることになるが、 これに対しては実験的なサポートもある (Duncan et al.

1994)

。

spilling breaker は海洋における風波のエネルギー

散逸の最も重要な素過程であり、 それを引き起こす詳細なメカニズムを解明することは、海面における海と大気のエネルギー. 物質の交換に対する信頼できる評価法を確立する上で重要な基礎的課題だと思われる。

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