数理解析研究所講究録
第 47 巻 1968 年 30-37

直交関数系展開による Hopf 方程式の解法

理学部

東大\S 1.

Burgers

物理真二

桑原モデル

我々はこ 1 で流体力学の方程式を簡単化した Burgers モデル :$u \frac{\partial u}{\partial x}=$$\frac{\partial u}{\partial t}+${1. 1)$\overline{\nu}\frac{\partial^{g}u}{\partial x^{2}}$にっいて統計流体力学の初期値問題を論ずることにする。 この方程式は現実の流体の運動を表わしていないが, 一次元の速度$u$$(\alpha.

t)$($x$.

$t$は座標と時間)だけにっいての方程式で三次元乱流を論ずるよりずっと簡単であるが. 数学的特性は十分保存しているものである。

$\overline{\nu}$

は Reynolds

数の逆数で 、上の方程式は無次元形で書かれている。

$u(x, t)$ の Fourier 変換$v(k, t)=\angle_{\infty}^{\infty}e^{-2\pi}ikx\llcorner\iota$

で表わせば

$i$

(1. 1 )$(x, t)$$dx$(1. 2)

は$\partial v(k)$$\overline{\partial t}+2\pi i\int k\prime v$$(k-k’)$$v$$(k’)dk’=-4\pi^{2}\overline{\nu}k^{2}v(k)$(1. 3)となる。

\S 2.

$Hopf$ 方程式

統計流体力学は 、連続無限次元自由度の力学系の統計力学であるから , 位相空間は必然的に関$-30-$

. 統計分布は分布汎函数で表わされる。

数空間となり$P=P$

すなわち $v(k)$ 一空間が位相空間となり(2. 1)$[v(k) ; t]$のような分布汎函数を導入しなければならない o 分布汎関数の Fourier 変換 :$\Phi[z(k) ; t]=\int$.

$. \int ei$( 22 a)$(z, v)P[v(k) ; t]\delta v$(2.2 b)$(z, v)– \int zv^{*}dk$

は特性汎関数とよばれる。 $z(k)$ は$z$$|k|arrow\infty$$(-k)=z*(k)$に対して(2.3 a)(2.8 b)$z(k)=0$を満足しているものとする。
特性汎関数に対していわゆる Hopf$\frac{\partial_{\Phi}}{\partial t}--\int\int kz$

方程式 :$(k+k’) \frac{\partial 2\Phi}{\partial zdk\partial z’dk’}$$dkdk$ ’(2. 4)$-4 \pi^{2}\overline{\nu}\int l.\prime^{\underline{9}}z\frac{\partial_{\Phi}}{\partial zdk}dk$!

が成立することが証明できる。 この方程式は副条件 :(2.5 a)$\Phi[0]=1$$|\Phi \mathfrak{c}_{z}]$$(\nearrow..5b)$$|\leqq|$

および一様性の条件 :$\Phi[e2\pi ika_{Z(k)]}=\Phi[z]$の下に解かれねばならない。 こ$\cross$(2. 6)

u=任意
で $\partial_{\Phi/\partial z}dk$

は汎関数微分である。 すなわち$-31-$.

$z(k)$

を $z(k)+$$\delta z(k)$だけ変えると$\Phi$が $\Phi+\delta\Phi$ だけ変る時.

$\delta\Phi$が(2. 7$\delta\Phi=\int A(k)\delta z(k)dk+O((\delta z)^{g})$$I$で表わされるならば. 汎関数微分は$\frac{\partial_{\Phi}}{\partial zdk}=A(k)$によって定義される。

\S 3. 直交関数展開による解法
今 $z(k)$ を適当な直交関数系$\varphi n$:$\varphi_{n}(k)$(3. 1 a)$(-k)=\varphi n^{(k)}*$(3. 1 b)$\int\varphi_{\ell}^{*}(k)\varphi_{m^{(k)_{\overline{O}}}}k=\delta\ell m$で展開したものとする :(3. 2)$z(k)_{n}=a\varphi_{n}(k)$$\Phi[z]$ が $z$の汎関数ということは無限個の係数$\Phi[z :t]=\Phi$ ($a_{0}$.

$a_{1}$. .. ...
$\cdot$

そうすると. 汎関数微分は無次元個の$a$$n$$a$$n$の関数であるということと同等である

, t)

:

(3. 3)

による微分の和–.

(3. 4)$\frac{\partial}{\partial_{Z}dk}=\varphi_{\ell^{(k)}}^{*}\frac{\partial}{\hat{\theta}ap}$となることが証明される。

$-32-$

(3. 4)$\frac{\partial_{\Psi}}{\partial t}=$方程式 (2. 4) を書きかえるとを用いて Hopfa$\doteqdot A_{\ell^{mn}}$$A_{l^{mn}}$$=$a$-\overline{\nu}A_{l^{m}}$$\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial a_{l^{\partial}}}$$n$a(3. 5)$m \frac{\partial_{\Psi}}{\partial a_{\ell}}$$n$$i \int\int\varphi_{\ell^{(k)k’}}^{*}\varphi_{m}(k^{r})$$\varphi_{n}$$(k+k^{r})$$dkdk’$(3.6 a)(3. 6 b)$A_{l^{m}}$$=$$4 \pi^{2}\int k^{2}\varphi_{\ell}^{*}(k)\varphi_{m}^{(k)d}k$となる。

\S 4. 初期値問題
初期において , 特性汎関数が Gauss 形:$\Phi \mathfrak{v}=$$\Phi[z$であったとする。 こ$\searrow$.

$0_{\lrcorner}^{t}=$(4. 1)$exp\{-\frac{1}{2}\int E(k)zz^{*}dk\}$

で $E(k)$ は初期のエネノレギー.

スペク

トノレであり 1 我々 ま(4.2 a)
1)$E(k)$$=$$\frac{1}{2\sqrt{2}}exp(-k^{2}/2)$

2)$E(k)$$=$$\frac{1}{2\sqrt{2}}k^{2}exp(-k$.

(4. 2 b)$/2 )$(3 がね形である。
はっりがね形 , 第二のスペク トノレは二重っを考える。 第一のスペク トノレ/$i$まず. 初期条件 (4. 1)と副条件 (2. 5) をにらみ合わせて(4. 3)$\Phi=exp\{-Z[z ; t]\}$の形におく。 $Z\cdot[z]$は$z$にっいて Taylor 展開できて$-33-$

(4. 4)$+ \frac{1}{3!}$

一様性の条件 (2. 6) を考慮すると$=0$$\frac{\partial Z}{\partial_{Z}dk}|$$z=0$$\frac{\partial^{z}Z}{\partial_{Z}dk\partial_{Z};dk\prime}|$$(k+k’)$$A(k1k\prime 1t)\delta$$Z=Z’=O=$$(k+k’+k’)$ 等(4. 5)$(k’)$

等(4. 6)

aa $t+\cdots$(4.7)$\frac{\partial 3Z}{\partial zdk\partial zdk’\partial z^{l}dk’}|Z=Z’=^{-B_{o}}Z^{\prime-}--(k, k’ , k’.となる。 こ 1 で $A$$(k. k’ - t)$ 等を直交関数$\varphi_{n}$t)\delta$

で展開して$A(k, k’, t)=c_{l^{m}}(t)\varphi_{l^{(k)}}^{-}\varphi_{m}(k’)$$B$$(k. k’ . k’. t)=c_{l^{mn}}(t)\varphi_{l}(k)\varphi_{m}(k’)\varphi_{n}$$Z=\hat{c}qr$ aa $r+ \bigwedge_{c}qrsa(\oint$ a$q$a$r$$s+ \bigwedge_{c}$qrstaa$q$

$r$

$s$

(4. 8 a)$\alpha_{qr}sl^{mn^{=\int f\varphi}}q^{(k)\varphi_{r}}(k’)\varphi_{s}^{*}(k+k’)\varphi_{l}(k)\varphi_{m}(k’l\varphi_{n^{-}}(k+k’)dkdk^{l}$$-34-$(4.8 b)

$\varphi_{l^{(k)}}\varphi_{m}(k’)\varphi_{n}$$(k’)\varphi_{P}^{*}$$(k+k’+k’)$ $dkdk’dk’$(4. 8 c)とかける。
今$\tilde{c}-P_{z}\ell^{m^{-}}(\bigwedge_{C\ell^{m}})=\hat{c}_{l^{m}}+\bigwedge_{C}m\ell$$\tilde{c}_{l^{mil^{=}}}P_{3}()\bigwedge_{Cl^{mn}}=\bigwedge_{Cl^{mnmn\ell^{+}}+\hat{c}}\hat{c}_{nl^{m}}+_{nm}^{\bigwedge_{C}}p^{+}\hat{c}+\hat{c}m\ell^{n}l^{nm}$(4. 9)

とおく。 こ 1 で $Pn$ は始めの $njr$ のサブスクをして和をとることを示す。

$\frac{\partial\tilde{c}_{\ell^{m}}}{\partial t}=$$\frac{\partial\tilde{c}\ell mn}{\partial t}=$$\tilde{c}t^{-}arrow$$)^{t}$

プト

っいての方程式は$t^{-}arrow$$($っいてのおきかえ (permutation)

3.

$\frac{1}{i}(A_{q}r\ell^{\tilde{C}}qrm+A_{q}rm^{C}qrl)$$5^{-})$

より得られ$-\vec{\nu}(A_{q.qm}+A_{q^{m^{\tilde{C}}}q}p^{\tilde{C}}\ell)$$(4.10a)$$\underline{1_{-}};[A_{q}r\ell^{\tilde{C}}qrmn+Aqrm_{-}^{\tilde{C}}qrn^{-}\ell^{+A_{qrn^{\tilde{C}}}}\varphi r\dot{l}^{m}$$-A_{qr}\ell(\tilde{c}+\tilde{c}ql\hslash^{\tilde{C}}rnqn^{\tilde{C}}rm)-A_{qr}m(\tilde{c}\tilde{c}qrrl^{+\tilde{c}}ql^{\tilde{c}}rm_{-})$

$|$

等となる。

\S 5.

Hermite 多項式による展開(4.2)

を初期値とする初期値問題$\iota_{-}^{\vee}$

おいて, 我々 #2 Hermite 多項式 (二よる直交関数系$-35-$

$\varphi_{0}(k)=$.

$e-k2_{4}/$$\frac{1}{(\angle\pi)^{1}/4}$$\varphi_{1}(k).=\frac{1}{(2\pi)^{1}/4}$$e^{-k^{2}/4}$$\varphi_{2}(k\Leftarrow\frac{1}{\sqrt{}\overline{2}(2\pi})^{1/}4(k2 -1)$をとる。 これらは (3. 1),$\varphi_{0}$すなわち$\varphi_{1}$$\tilde{c}_{00}$$\tilde{c}_{11^{\tilde{C}}\dot{V}01}$%(5. 1)

等の条件を満足している。

だけをのこし, 又,.

$e^{-k}$( $k3-3k\backslash ,$$i$$\varphi_{3}(k)=\frac{1}{\sqrt 3!(2\pi}1)/_{4}$及び. $B(k*k’ , k’)$$A(k\prime k’)$

までをのこす近似において$\tilde{c}_{111}$

2$\frac{\partial_{\tilde{C}_{00}}}{\partial\iota}=\frac{8(}{i3}\frac{2\pi)^{1}/4}{3/_{2}}\tilde{c}_{001}-$$($までをのこす一番簡単な場合.

4.1 $0)$は(5.2 a)$(2\pi)^{2}\overline{\nu}c\sim_{00}$’

6$\frac{\partial\tilde{c}_{11}}{\partial t}=-\frac{8(}{i3}\frac{\sim^{\prime\pi)}}{3/_{2}}1/_{4}\tilde{c}_{001}-$oo ( oo$\frac{\partial_{\tilde{C}_{O01}}}{\partial t}=\frac{8(}{i3}\frac{Z\pi)}{8/2}1/_{4}\tilde{c}$.

初期値はっりがね形 1)

1)$\tilde{c}_{00}=$2)$\tilde{c}_{00}\backslash --$.

$2\pi^{3/}2$$\pi^{\partial}A$,$\tilde{C_{\wedge}}11$$\tilde{c}_{11}$.

)

$-$

$S$

$= \frac{3}{2}\pi^{3_{-}/}\epsilon$,$\tilde{c}_{001}$,$\tilde{c}_{001}$$(2\pi)^{2}\overline{\nu}\tilde{c}_{001}$

$=$

$=$

$\angle$)$\tilde{c}_{111}$$\tilde{c}_{111}$

各々に対して$=$$=$(5.3 a)$0$(5.3 b)$0$である。
又,

coo 等は $A(k. k’)$.

$B(k, k’. k\cdot)$

等の展開係数$-36-$(5.2 c)(5.2 d)$\tilde{c}_{111}$

二重っりがね形$\pi^{s_{2}}/$$=$$\tilde{c}_{11}$$-9(2\pi)^{2}\overline{\nu}$$\frac{\partial\tilde{c}_{111}}{\partial\iota}=$

となり

$-$

$\tilde{c}$(5.2 b)$(2\pi)^{2}\overline{\nu}\tilde{c}_{11}$

$c$

oo 等に

$c_{O}$$= \frac{\sqrt{}\overline{\pi}}{2}(3\dot{c}_{00}’-\angle\tilde{c}_{11})$。

$c_{n}=-\sqrt{\pi}(\tilde{c}_{0t;}-2^{\tilde{c}_{11}})$(5. 4 a)(5.5 b)$c_{\phi 01}=- \frac{\sqrt{}\overline{3\pi}}{17}(15^{\tilde{c}_{O01}}+\tilde{c}_{111})$(5.5 c)$c_{111}=arrow-\frac{3/T\pi}{17}\ulcorner c.01arrow\tilde{c}_{111})$(5.5 d)で関係ずけられる。 これらからエネルギー・スペク トルおよびエネルギー. 伝達関数が計算できる$\circ$今. 上記の数値計算を遂行中である。

$-\llcorner 87-$