数理解析研究所講究録
第 1775 巻 2012 年 108-112

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ラグランジュ交叉と leaf-wise 交叉について
東北大学大学院理学研究科数学専攻博士課程一年
植木聡之

ラグランジュ交叉とは，シンプレクティック多様体における二つのラグランジュ部分多様体の交叉のことである．A. Weinstein は古典的なハミルトンカ学系に関する研究の中で最も重要な問題の一つである周期解の存在の問題について，その周期解をラグランジュ交叉と対応付けることにより，この問題をラグランジュ交叉の存在を調べることに帰着した．ここでは，まず Weinstein によるラグランジュ交叉理論の概要を述べる．
一方，leaf-wise 交叉はラグランジュ交叉のある一般化として J. Moser によって導入された概念である．ここでは，Weinstein の理論を用いることにより，この leaf-wise 交叉に関しても同様の結果が得られることを述べる．

1

定義

定義 1. $P$ を$0\infty$$P$ 上の二次微分形式多様体とする．

$\Omega$がシンプレクティック構造であるとは，次の条件を満たすことをいう．

(1) $d\Omega=0$ .
(2)は非退化である．すなわち，各点 $p\in P$ において$\Omega$

このとき，$(P, \Omega)$$\Omega^{n}\neq 0$である．

をシンプレクティック多様体とよぶ．

非退化性よりシンプレクティック多様体は偶数次元となる．以下，シンプレクティック多様体 $(P, \Omega)$ の次元を $2n$ とする．
定義 2. $P$ の微分同相写像に対して，が成り立つとき， をシンプレクティツク同型写像と呼び，その全体を Symp $(P)$ で表す :$\psi$$\psi^{*}\Omega=\Omega$

Symp $(P)$ $:=\{\psi$ : $P$ の微分同相写像$P$$\psi$$|\psi^{*}\Omega=\Omega\}$の部分多様体 $M$ について，各 $p\in M$ に対して$(T_{p}M)^{\Omega}:=\{v\in T_{p}P|\Omega(v, w)=0(^{\forall}w\in T_{p}M)\}$$\dim T_{p}M+\dim(T_{p}M)^{\Omega}=\dim P$ が成り立つ．
とおく． の非退化性より，$\Omega$

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定義 3. $M$ を $P$ の部分多様体とする．
$M$ をラグランジュ部分多様体と(1) 各 $p\in M$ に対し $(T_{p}M)^{\Omega}=T_{p}M$ が成り立つとき，いう．

(2) 各 $p\in M$ に対し$(T_{p}M)^{\Omega}\subset T_{p}M$$M$ を coisotropic 部分多様体が成り立つとき，という．

ラグランジュ部分多様体の全体をにで表しておく．次のようにして$M$$\dim M=(1/2)\dim P$ なる多様体とする．閉集合 $A\subset M$ 及び，位相を定める．
を，$C^{1}$

位相に関する開集合$\mathcal{L}(P, \Omega)$$\mathcal{A}\subset C^{\infty}(A, P)$に対し，$\mathcal{N}_{A,\mathcal{A}}:=\{L\in \mathcal{L}(P, \Omega)|f(A)\subset L$

とおく．

$\{\mathcal{N}_{A,\mathcal{A}}\}_{A,\mathcal{A}}$が生成する$\mathcal{L}(P, \Omega)$$\mathcal{L}(P, \Omega)$となる上の位相を，$f\in \mathcal{A}$$C^{1}$が存在する$\}$位相と呼ぶ．

Weinstein の定理を述べるために，もう一つ言葉を定義しておく．次の定義において$P$ はシンプレクティック多様体でなくてもよい．
は，定義 4.

$c\infty$$\Sigma:=M\cap N$ が $P$ の部分多様体
多様体 $P$ の部分多様体 $M$ と $N$ について，となり，かつ各$p\in\Sigma$に対し$T_{p}\Sigma=T_{p}M\cap T_{p}N$$M$ と $N$ はクリーンに交わるという．
が成り立つとき，$M$ と $N=M$ はクリーンに交わる．
例 1. (1) $M=N$ のとき，$M$ と $N$ はクリーンに交わる．
(2) $P$ において $M$ と $N$ が横断的に交わるならば，$P$$M$ と $N$ を $P$ の任意の部分ベクトル空間とすると，$M$ と $N$ はク(3)をベクトル空間，リーンに交わる．

(4)$P=\mathbb{R}^{3}$$M:=\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^{3}|y=x^{2}\},$ $N:=\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^{3}|y=0\}$ とすとし，$M$ と $N$ はクリーンに交わらない．
ると，

2 Weinstein のラグランジュ交叉理論
任意の多様体の余接束は自然にシンプレクティック多様体となる．まず，余接束におけるラグランジュ交叉について考える．
$M$ 上の一次閉微分形式
例 2. 多様体 $M$ 上の余接束 $T^{*}M$ において，$\phi$に対して $L=\phi(M)$は $T^{*}M$ のラグランジュ部分多様体となる．このような二つのラグランジュ部分多様体 $L_{1}=\phi_{1}(M),$$L_{2}=\phi_{2}(M)$$M$ 上の一次閉微分形式
に対し，$\Gamma$および埋め込み

110$G:Marrow T^{*}M$ を，$\Gamma:=\phi_{2}-\phi_{1}$$G:= \frac{1}{2}(\phi_{1}+\phi_{2})$$\Gamma(p)=0$ ならば $G(p)\in L_{1}\cap L_{2}$ が成り立つ．
によって定めると，Weinstein はこの例に基づき，次の定理を証明した．
定理 1 (Weinstein [5]).

$(P, \Omega)$をシンプレクティック多様体とし，$L_{1},$ $L_{2}$ンジュ部分多様体でクリーンに交わるとする．

$\Sigma=L_{1}\cap L_{2}$のある$C^{1}$近傍$\mathcal{N}_{1}\cross \mathcal{N}_{2}$が存在し，各$\Gamma\in Z^{1}(\Sigma)$$G$:$\Sigmaarrow P$$(L_{1}’, L_{2}’)\in \mathcal{N}_{1}\cross \mathcal{N}_{2}$:$\Sigma$

をそのラグラとおく．このとき，$(L_{1}, L_{2})$に対して，上の一次閉微分形式: 埋め込み$\Gamma(p)=0$ ならば $G(p)\in L_{1}’\cap L_{2}’$ が成り立つ．
が存在して，定理 1 により，ラグランジュ交叉は一次閉微分形式の零点と対応する．したがってラグランジュ交叉の個数を調べるためには，一次閉微分形式の零点の個数を調べればよいことがわかる．次に一次閉微分形式の零点の評価を考える．
定義 5.

$M$ を可縮な開集合で覆うために必要な開集合の最小数を位相空間とする．
を，Lusternik-Schnirelmann カテゴリー (LS カテゴリー) と呼び，cat $(M)$ で表す．

$M$$M$が有限個の可縮な開集合で被覆できないとき，cat $(M)=+\infty$ と定義する．
この LS カテゴリーに関して次の定理が知られている．

定理 2 (Lusternik, Schnirelmann [1]).

$M$$f\in C^{\infty}(M)$ とをコンパクトな多様体とし，する．このとき， の臨界点は少なくとも cat $(M)$ 個存在する．
$f$

この定理により直ちに次のことがわかる．
系 3 (Weinstein [5]).

$(P, \Omega)$をシンプレクティック多様体とし，$L_{1},$ $L_{2}$をそのラグラン$\Sigma=L_{1}\cap L_{2}$ とおく．さらに， がコンパクジュ部分多様体でクリーンに交わるとする．
$(L_{1}, L_{2})$ のある
トで $H_{DR}^{1}(\Sigma)=0$ と仮定する．このとき，
近傍
人 2 が存在し，各は少なくとも cat個の点を持つ．
に対して，$\Sigma$$C^{1}$$(L_{1}’, L_{2}’)\in N_{1}\cross \mathcal{N}_{2}$$L_{1}’\cap L_{2}^{l}$$(\Sigma)$$\mathcal{N}_{1}\cross$111

3 leaf-wise 交叉
J. Moser は，ラグランジュ交叉の概念を coisotropic 部分多様体の leaf-wise 交叉の概念に拡張した．定理 1 を用いると，leaf-wise 交叉についても同様の結果が成り立つので，このことについて紹介する．
補題 4. $M$ を $P$ の coisotropic 部分多様体とする．このとき $(TM)^{\Omega}\subset TM$ は $M$ 上の完全積分可能な分布である．
この補題により coisotropic 部分多様体上には自然に葉層構造が定まる．そこで，$p\in M$を通る葉を$L_{p}$とおく．

定義 6. $M$ を $P$ の coisotropic 部分多様体とし，$\psi\in$$P\in M$ がSymP $(P)$ とする．

$\psi$の$\psi(p)\in L_{p}$leaf-wise 交叉であるとは，が成り立つことをいう．leaf-wise 交叉の全体を
LWI $M(\psi)$ で表しておく :$LWI_{M}(\psi):=\{p\in M|\psi(p)\in L_{p}\}$$(T_{p}M)^{\Omega}=\{0\},$
例 3. (1) $M=P$ とすると，$L_{p}=\{p\}$である．よって，$p\in LWI_{M}(\psi)\Leftrightarrow\psi(p)=p$$\Leftrightarrow p\in$

すなわち， の leaf-wise 交叉は$\psi$$\psi$Fix$(\psi)$.の固定点である．

$(T_{p}M)^{\Omega}=T_{p}M,$ $L_{p}=M$ であ(2) $M\subset P$ を連結なラグランジュ部分多様体とすると，る．よって，$p\in$

LWI $M(\psi)\Leftrightarrow\psi(p)\in M$$\Leftrightarrow p\in M\cap\psi^{-1}(M)$.

すなわち， の leaf-wise 交叉は二つのラグランジュ部分多様体 $M$ と $\psi^{-1}(M)$ のラ$\psi$

グランジュ交叉を与える．

Moser は leaf-wise 交叉の存在に関して次の定理を証明した．
$F$定理 5 (Moser [3]).

を単連結なシンプレクティック多様体とし， は完全形式で$M\subset P$ をコンパクトな coisotropic 部分多様体とする．このとあると仮定する．また，近傍上のSymp $(P)$ は leaf-wise 交叉を少き， の恒等写像 $id_{P}:Parrow P$ のある$P$$(P, \Omega)$$\Omega$$C^{1}$$\psi\in$なくとも二個持つ．

一方で，Weinstein による定理 1 を用いる事により次の定理が示される．

112$M\subset P$ を定理 6(主定理).
をシンプレクティック多様体とする．また，近傍上のcoisotropic 部分多様体とする．このとき， : $Parrow P$ のある
Symp $(P)$ に対して，$(P, \Omega)$$C^{1}$$id_{P}$$\Gamma\in Z^{1}(M)$$\psi\in$: $M$ 上の一次閉微分形式$G:Marrow P\cross P$: 埋め込み$\Gamma(p)=0$ ならば $pr_{1}\circ G(p)\in LWI_{M}(\psi)$ が成り立つ．ここで $pr_{1}:P\cross Parrow P$が存在して，は第一成分への射影である．さらに， がコンパクトで $H_{DR}^{1}(M)=0$ ならば， は leafwise 交叉を少なくとも cat $(M)$ 個持つ．
$\Sigma$$\psi$$P$ が単連結であると仮定すると
定理 6 において，$\Gamma$が完全形式となることが分かる．

はある
これは，Weinstein による の構成に注意すると，この及び，ある写像 : $Marrow P$ を用いてと書けるためである．そこで $\Gamma=df$ と$\Gamma\in Z^{1}(M)$$\Gamma$$F$$\tilde{\Gamma}\in Z^{1}(P)$$\Gamma=F^{*}\tilde{\Gamma}$表しておく．さらに $M$ のコンパクト性を仮定すれば の臨界点，すなわち の零点は少なくとも二個 (または cat $(M)$ 個) 存在するので， は leaf-wise 交叉を少なくとも二個(または cat $(M)$ 個) 持つ．以上により，定理 6 から Moser による定理 5 が導かれる．
$f$$\Gamma$$\psi$

参考文献[1] L. Lusternik and L. Schnirelmann, M\’ethodes topologiques dans les Probl\‘emes Variationnels, Hermann, Paris, 1934.
[2] D. McDuff and D. Salamon, Introduction to symplectic topology, second edition,
Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press,
New York, 1998.
[3] J. Moser, fixed point theorem in symplectic geometry, Acta. Math. 141 (1978),
$A$

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[4] J. Munkres, Elementary Differential Topology, Ann. Math. Studies 54, Princeton
Univ. Press, 1963.
[5] A. Weinstein, Lagrangian submanifolds and hamiltonian systems, Ann. Math. 98(1973), 377-410.