半導体粒界における局所物性の解析に向けた機械学習型原子間ポテンシャル
横井

達

矢

し計算時間と計算精度の維持が困難な場合が多い．

.

は じめに

上記に対し著者は，近年盛んに研究されている DFT 計算データを学習させた機械学習型原子間ポテンシャル(6)(7)に着多結晶材料は多数の結晶粒から構成されるため，結晶粒ど目し，粒界に対しても精度を維持する原子間ポテンシャルのうしの界面である結晶粒界が存在する．そして粒界から数ナ構築を行ってきた．特に人工ニューラルネットワーク( Ar-ノメートル範囲内での化学組成や原子配列の変化に起因し，tificial Neural Network: ANN)を用いた原子間ポテンシャル多結晶の材料特性は著しく変化する．またバイクリスタルをを構築し，構造緩和や分子動力学法といった分子シミュレー用いた実験や理論計算による先行研究では，結晶粒どうしのションと統合した．その結果，学習データに含まれない粒界結晶方位差や粒界面の格子面といった結晶学的性質に応じ，に対しても精度を維持することを示した．また計算時間は，粒界の原子配列や特性は様々であることが示されている．よ通常の DFT 計算に比べて少なくとも 3 桁程度高速であるこって粒界特性を精緻に制御して高機能な多結晶材料を創成すとを示した．本稿ではシリコン(Si)に対して行った研究(8)にるためには，粒界の結晶学的性質，原子構造，粒界特性の有ついて述べる．

機的な理解が求められる．

. ANN 原子間ポテンシャル

多結晶シリコンをはじめとする半導体多結晶は，太陽電池材料や熱電変換材料として広く研究・開発が行われている．
これらの材料でも，粒界の特異な原子構造は電気伝導性や熱ANN 原子間ポテンシャルの構成と学習条件伝導率に影響を及ぼすことが示されている．半導体の粒界構

図は Behler の構成(9) にもとづき実装した ANN 原子間造とその特性を原子・電子レベルで明らかにするため，先行ポテンシャルの概略図である．この ANN は，入力層，2 層

研究では Density functional theory(DFT)計算により解析がの隠れ層，出力層で構成されるフィードフォワード型ネット行われてきた(1)(3) ．しかし粒界の原子レベルモデリングにワークである．入力は結晶構造データを用いる．しかし原子は，完全結晶に比べて多数の原子を要するため， DFT 計算の座標や格子定数を入力層に直接与えるのではなく，各原子では莫大な計算時間・計算機資源が必要となる．そのため，周りの原子環境を反映し，並進，回転，同種元素の交換に対先行研究では単純な原子構造をもつ低 S 値の傾角粒界に限して不変である記述子を用いて入力値に変換する．本研究で定されており，その知見が実多結晶中の一般粒界に適用できは Behler により提案された対称関数(9) を用いている．原子るかは未だ不明である．他方，経験的原子間ポテンシャルにi に対する二体間，三体間の対称関数 G2i と G3i は，それぞれよる大規模かつ系統的な計算も行われているが(4)(5)，その調以下の関数で与えられる．

整パラメータは一般に粒界の原子環境を考慮せずフィッティ

G2i ＝∑j＝1 e－h2(Rij－Rs) ・fc(Rij)

ングされる．そのため，粒界では計算精度が著しく低下する

G3i ＝21－z

ことが多々ある．このように既存の計算手法では，粒界に対2(1)∑j≠i ∑k≠i, j[{1＋cos(uijk－u)}z・2

22e－h3(Rij＋Rik＋Rjk)・fc(Rij)・fc(Rik)・fc(Rjk)](2)

名古屋大学大学院工学研究科 物質科学専攻助教(〒4648603 名古屋市千種区不老町)
Machinelearning Interatomic Potential for Predicting Grain Boundary Properties in Semiconductors; Tatusya Yokoi(Department ofMaterials Physics, Nagoya University, Nagoya)
Keywords: machinelearning interatomic potential, grain boundary, semiconductor
2021年 3 月 1 日受理[doi:10.2320/materia.60.416]

新 進 気 鋭図1

本研究で実装した ANN 原子間ポテンシャルの構成．

図2

学習データに対する ANN の誤差．( a )系のエネルギー，(b)原子にかかる力．

図3

学習データに対する ANN と経験的原子間ポテンシャルの比較．(a) S3(112)/[1̃10]粒界，(b) S5(210)/[001]．

ここで h2 ， Rs ， z ， u ， h3 は関数形を決めるハイパーパラメータである．これらの値の異なる対称関数を複数用いることで，異なる原子環境を区別することが可能となる．Rij，Rik，Rjk はそれぞれ原子 ij，ik，jk の原子間距離，uijk は原子 ij とjk の結合間の角度である．対称関数の合計の数は入力層のノード数と同じである．Siの場合は，32個の対称関数を用いた．fc はカットオフ関数であり，下記の関数を用いた．

1pRij＋1 (RijRc)
cos
Rc2
f (R )＝cij[ ( ) ]0(3)(Rij＞Rc)

Rc はカットオフ半径であり，本研究では 6 Å ( 0.6 nm )に設定した．
学習データとして， DFT 計算から得られる系のエネルギーと原子にかかる力を使用した．それらの値を ANN の出力値と原子位置に対する出力値の微分にそれぞれ対応させ，教師あり学習を行った．学習アルゴリズムには Levenberg に，ANN 自体がポテンシャルエネルギー表面を近似した解Marquardt 法によるバッチ学習を用いた．多様な原子環境析的な関数となる．よって，ある入力(ここでは結晶構造デを学習データに含めるため，完全結晶だけでなく，点欠陥ータ)に対し，関数の値として直ちに系のエネルギーや原子(Si 空孔や侵入型 Si)，表面も考慮した．さらに[001]およびにかかる力が得られる．結果として ANN を用いた分子シミ[1̃10]回転軸の対称傾角粒界 5 種類も考慮した．学習データ

ュレーションの計算時間は，通常の DFT 計算に比べて数桁は，ある計算セルの原子位置やセル形状をランダムに変化さ高速となることが期待される．

せて，それを一点計算および構造緩和した結果や，MD 計算の結果を用いて作製した．このような操作により系のエネル
ギーは 21440 データ，原子にかかる力は 1030080 データを収集して ANN に学習させた．
DFT 計算は，VASP(10)(11)に実装された平面波基底 PAW

学習データおよびテストデータに対する誤差

まず図に学習データに対する誤差を示す．横軸が DFT計算結果，縦軸が ANN の出力であり，データ点が対角線に近い程， DFT 計算に対する ANN の誤差が小さいことを示法(12)(13)を用いて行った．平面波のエネルギーカットオフはしている．系のエネルギー(図 2(a))と原子にかかる力(図 2500 eV に設定し，ダイヤモンド構造に対する k 点メッシュ( b ))ともに，全ての学習データで致命的な誤差は見られ

数 は 6 × 6 × 6 に 設 定 した ． 交 換 相関 エ ネ ル ギ ーは GGA ず，対角線付近にデータ点が分布していることが分かる．まPBEsol(14)を用いて評価した．また系のエネルギーの収束条た学習データ全体に対する平均絶対誤差(Mean absolute er-

件は10－6 eV に設定した．

ror，MAE)は，系のエネルギーが5.7 meV/atom，原子にか

ここで， ANN 原子間ポテンシャルによる分子シミュレーかる力が111 meV /A であった．この結果より，通常の分子ションの計算速度について， DFT 計算と比較して説明すシミュレーションが可能な程度まで誤差は低下していることる．例えば，構造緩和計算や分子動力学計算を行う際に系のが分かる．

エネルギーや原子にかかる力といった値が必要となる．これ

図は学習データに対し，ANN と経験的原子間ポテンシらの値を得るために， DFT 計算ではある原子配置に対し，ャル(15)(19) の誤差を比較した結果である．図 3 ( a )の学習デ

その都度コーン―シャム方程式を数値的に解く必要がある．

ータは，粒界近傍にダングリングボンドを含む S3 ( 112 )/一方，ANN では，従来の経験的原子間ポテンシャルと同様[1̃10]対称傾角粒界をもとに，一点計算および構造緩和する

ま て り あ 第60巻 第 7 号(2021)
Materia Japanことで作製した．この図より ANN の MAE は学習全体のMAE と同程度であるのに対し，経験的原子間ポテンシャルの MAE は ANN に比べて 4 倍以上大きいことが分かる．一も期待できる．
ANN による分子シミュレーション

番右の図は， Tersoff ポテンシャルと ANN について DFT

前節では， ANN は学習データに含まれない粒界に対して計算との原子にかかる力の誤差を示している．ANN では全もエネルギー的安定性を予測可能であることを示した．しかてのデータ点が対角線付近に分布しているが，Tersoff ポテ

し DFT 計算に先んじて ANN のみで粒界の安定構造を予測

ンシャルでは DFT 計算の値を大きく過大評価している．まするためには，ANN から得られた粒界構造のエネルギーのた図 3 ( b )は， S5 ( 210 )/[ 001 ]対称傾角粒界における DFT 

大小関係が，DFT 計算でも保たれている必要がある．

MD 計算( 1400 K )から作製した学習データの誤差である．

上記を検証するため，学習後の ANN を構造緩和計算に組

ANN の MAE は学習データ全体の値に対してやや大きい値み込んだ．本稿ではテスト計算として選択した S5 ( 310 )/をとるが，このような高温下の MD 計算結果も十分学習可[001]対称傾角粒界の結果を述べる．まず剛体変位を考慮し能であることが分かる．一方，経験的原子間ポテンシャルのて複数の初期構造を作製し，それらを ANN で構造緩和しMAE は ANN よ り 4 倍 以 上 大 き く ， 最 も MAE の 小 さ いて，緩和後の粒界構造をもとに DFT 計算により一点計算とTersoff ポテンシャルでも DFT 計算結果を大きく過大評価

構造緩和計算を行った．その結果を図に示す．この図はしている．以上のように従来の経験的原子間ポテンシャルでANN から得られた S5(310)/[001]の粒界を，粒界エネルギは精度が低下する粒界計算においても，適切な学習データがーが低い順に並べた結果である．これより 4 番目の構造以あれば ANN では学習可能であることがわかる．

外は， ANN と DFT 計算でエネルギーの大小関係が同じで図は，学習後の ANN を用いて評価したテストデータにあり，さらに DFT 計算で構造緩和した結果も ANN と近い対する系のエネルギーの誤差である．テストデータの作製にことが分かる．つまり ANN で予め構造緩和した時点で，は，学習データに含まれていない対称傾角粒界とねじり粒界DFT 計算における緩和構造に近い構造が得られているとい で述べた操作によを用いた．これらの粒界に対し，上記 2える．よって今回構築した ANN を用いることで， DFT 計りデータを収集した．その結果，S11(113)/[1̃10]粒界(図 4算に先んじてエネルギー的に安定な粒界構造を絞り込めるこ( d ))以外の粒界では，全てのデータ点は対角線付近に分布とが示された．

しており，MAE も学習データと同程度である．よって学習一方で， 4 番目の構造は ANN と DFT の誤差は大きく，後の ANN は，学習データに含まれない粒界に対しても高い

また DFT 計算で構造緩和した結果は， ANN の緩和構造と予測能力を維持することが分かる． S11(113)/[1̃10]粒界に異なる原子配列であった．これは ANN では局所解に対応すついても対角線から大きく逸脱した点は見られないが，全体る構造が DFT では局所解とはならないことを示している．

的に過小評価する傾向があり，MAE はテストデータの 2 倍

このような誤差は，学習データを単純に大規模化するだけで程度であった．今回は 5 種類の対称傾角粒界のみを学習デは恐らく回避できないと予想される．なぜなら ANN のエネータに用いたが，より複雑な原子構造をもつ粒界に対してもルギー表面に沿った構造緩和の結果得られた局所解であり，予測能力を維持するためには，学習データの原子環境を更にそのような構造は DFT 計算ベースで収集した学習データに充実させる必要があると予想される．それが実現できれば，は含まれない可能性が高いためである．今回のような誤差を一般粒界の原子構造およびエネルギー的安定性の高精度予測無くし， ANN の予測能力を高めるためには，予め ANN で

図4

テストデータに対する ANN の誤差．( a ) S13 ( 320 )/[ 001 ]，( b ) S25 ( 430 )/[ 001 ]，( c ) S41 ( 540 )/[ 001 ]，(d) S11(113)/[1̃10]，(e) S21(15̃4)/[111]対称傾角粒界，(f) S5 ねじり粒界．

図5S5(310)/[001]対称傾角粒界を対象に， ANN により構造緩和し，得られた構造を DFT 計算で一点計算および構造緩和した結果．

新 進 気 鋭

界物性理論の確立とスマートシリコンインゴットの創製」(グラント番号JPMJCR17J1)の一環として行われた．

文

図6

ANN による MD 計算の計算時間と原子数の関係．

粒界構造を求めて DFT 計算との誤差を評価し，誤差の大きい構造をベースに学習データセットを構築する必要があると予想される．そのような手順を反復して ANN の学習を繰り返すことで，最終的に複雑な粒界構造も高精度で予測できるANN が構築されることが期待される．

最後に，図に ANN による分子動力学(MD)計算の計算時間を示す．MD 計算の計算時間は104 ステップに設定した
この計算には64コアの計算機(Intel Xeon Gold 6130 processors＠2.1 GHz)を使用した．この結果より，約15000原子でも2.7時間程度であった．また1000原子の計算セルを用いて，DFT 計算と計算速度を比較した結果， ANN が 3 桁程度高献( 1 ) B. Ziebarth, M. Mrovec, C. Els äasser and P. Gumbsch: Phys.
Rev. B, 91(2015), 035309.
( 2 ) D. Zhao and Y. Li: J. Alloys Compd., 712(2017), 599604.
( 3 ) D. Zhao and Y. Li: Compt. Mater. Sci., 143(2018), 8086.
( 4 ) J. Zhang, C.Z. Wang and K.M. Ho: Phys. Rev. B, 80(2009),17402.
( 5 ) L. Wang, W. Yu and S. Shen: J. Mater. Res., 34(2019), 1021
1033.
( 6 ) J. Behler and M. Parrinello: Phys. Rev. Lett., 98(2007),146401.
( 7 ) A. P. Bart áok, M.C. Payne, R. Kondor and G. Cs áanyi: Phys.
Rev. Lett., 104(2010), 136403.
( 8 ) T. Yokoi, Y. Noda, A. Nakamura and K. Matsunaga: Phys.
Rev. Mater., 4(2020), 014605.
( 9 ) J. Behler: Int. J. Quantum Chem., 115(2015), 10321050.
(10) G. Kresse and J. Furthm äuller: Comput. Mater. Sci., 6(1996),
1550.
(11) G. Kresse and J. Furthm äuller: Phys. Rev. B, 54(1996), 11169
11186.
(12) P. E. El äochl: Phys. Rev. B, 50(1994), 1795317979.
(13) G. Kresse and D. Joubert: Phys. Rev. B, 59(1999), 17581775.
(14) J. P. Perdew, A. Ruzsinszky, G. I. Csonka, O. A. Vydrov, G. E.
Scuseria, L. A. Constantin, X. Zhou and K. Burke: Phys. Rev.
Lett., 100(2008), 136406.
(15) F. H. Stillinger and T. A. Weber: Phys. Rev. B, 31(1985),
52625271.
(16) J. Tersoff: Phys. Rev. B, 38(1988), 99029905.
(17) M. Z. Bazant and E. Kaxiras: Phys. Rev. B, 56(1997), 8542
8552.
(18) B.J. Lee: Calphad, 31(2007), 95104.
(19) A. C. T. van Duin, S. Dasgupta, F. Lorant and W. A. Goddard
III: J. Phys. Chem. A, 105(2001), 93969409.

速であることが分かった．

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本稿では Si の結果を述べたが，著者は金属や酸化物に対2015年 3 月 大阪大学大学院工学研究科博士課程修了
2015年 4 月2016年 8 月 大阪大学大学院工学研究科特任研究員
2016年 9 月現職
専門分野計算材料科学◎分子シミュレーションや第一原理計算，機械学習による粒界原子構造の特定と粒界特性の解析に従事．

しても粒界特性が予測可能な ANN 原子間ポテンシャルの構築を進めている．これらの原子間ポテンシャルを用いることで，様々な物質に対し一般粒界を想定した大規模計算が，現実的な計算時間・計算機資源で可能になることが期待される．

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本研究は，JSTCREST「多結晶材料情報学による一般粒ま て り あ 第60巻 第 7 号(2021)
Materia Japan横井達矢