今回の問題は【2016 お茶の水女子大学】の入試問 （解答 1）
題から出題しました．毎年のことながら，数学の試(1)

験ではよく考えられた問題が出題されている大学で得点が k（k = 1，2，B，6）となる確率は kによらずすので，この問題も何らかの意図を持って作成されていると思います．もしかしたら，作問された人は1であるから，求める期待値は6

E1 =「期待値」が数学 B に移ってしまったことを，私と1

1 6(1 + 6) 7=
2
2Sk ∑ 6 = 6 ∑6k =1である．

同じように残念に感じているのかもしれません．
それでは，まず問題の確認です．

《解説 1》問題(1) は与えられた定義通りに計算するたけなので，サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とする

問題ないと思います．次に (2) なのですが，(1) とはゲームを行う．ただし，得点が k となる確率を p(k) とルールが変わりましたので，具体的な数を代入してしたとき確認してみましょう．

p(1) + 2p(2) + 3p(3) + 4p(4) + 5p(5) + 6p(6)たとえば，m = 2 のときは，1 回目に 1 が出たとを得点の期待値とよぶ．
(1)

きのみ 2 回目を振り，1 回目に 2，3，4，5，6 が出

サイコロを 1 回だけ振ることができるときの得点た場合はその目を得点とします．よって，得点が 1の期待値 E1 を求めよ．
(2)

サイコロを 2 回まで振ることができるとき，1 回となる確率は．1 回目，2 回目ともに 1 が出るとき目に m 以上の目が出たらそこでやめ．m より小さなのでい目が出たら 2 回目を振ることにする．このときの

1 11∑ =6 6 36

得点の期待値 E2(m) を m を用いて表し，E2(m) が最大となる m を求めよ．
(3)であり，得点が 2，3，4，5，6 になる確率はそれぞれ，n を 2 以上の自然数，m1，B，mn - 1 を 6 以下

1 回目に 1 が出るかどうかで分けて考えるとの自然数とする．n 回までサイコロを振ることがで

1 1 1
7+ ∑ =
6 6 6 36

きるとき，i 回目に mn - i 以上の目が出たらそこでやめ，mn - i より小さい目が出たら i + 1 回目を振るとなります．よって，期待値はという規則でサイコロを振り続ける．ただし，n 回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点

1∑の期待値をEn(m1，B，mn - 1)=とする．以下の問いに答えよ．

次に，m = 5 のときも同様に考えると，得点が 1，m2) が最大となる m1，m2 とそのときの E3(m1，m2)の値を求めよ．
(ii)

4712となります．

E3(m1，m2) を E2(m1)，m2 を用いて表し，E3(m1，(i)177777+ 2∑+ 3∑+ 4∑+ 5∑+6∑363636363636

2，3，4 になる確率は，1 回目に 4 以下が出て，2n ≥ 4 とする．En - 1(m1，B，mn - 2) の最大値

回目に得点となる目が出るときなので，それぞれを en - 1 とすると，En(m1，B，mn - 1) が最大とな

4 1 1
∑ =
6 6 9るのは，En - 1(m1，B，mn - 2) が en - 1 となり，かつ mn - 1 が en - 1 以上の最小の自然数となるときであであり，得点が 5，6 になる確率は，1 回目に 4 以下る．このことを示せ．の目が出るかどうかで分けて，それぞれ
1 4 15+ ∑ =6 6 6 181となります．よって，期待値は=1111551∑ + 2∑ + 3∑ + 4 ∑ + 5 ∑ + 6 ∑9999181875=18となる．
以上より，E2(m) は m = 4 のとき最大値となります．以上のように，m の値を変えると期待す．とりあえず，具体例から見ると，得点が m よ［補足］
解答の (*) の部分については，(3) においてり小さい i 点となる場合は，「1 回目に m より小さ1 回目で得点が決まるときい目を出して，2 回目で i が出たとき」しかなく，2 回目以降で得点が決まるとき得点が m 以上の j 点となる場合は，「1 回目に j がを分けたほうが考えやすいため，本来の期待値の定出たとき」と，「1 回目に m より小さい目を出して義で (*) の 1 行前を立式した後，Σの性質を用いて，2 回目で j が出たとき」の 2 パターンがあることが(*) の形に分けています．

わかりました．このことを踏まえて，文字のままでまた，(**) の左側のΣ計算については，k = 1 か期待値を計算すると，以下のようになります．

ら始まっているとは限らないため，Σ公式ではなく等差数列の和の公式を用いています．

（解答 2 ）
(2)

17をと4る．

値が変わるのですが，その中で最も期待値が大きくなるように m を決めよう，というのが (2) の目的で- (m - 4)2 + 51
12サイコロを計 i 回（i = 1，2）振り，かつ得点が k となる確率を pi(k) とおくと，m = 2，B，6《解説 2》(2) においては，m の値が 6 通りしかないので，のとき文字を使わずに気合で計算しても答えが出ますが，
0 (k = 1 , ºº , m - 1)
p1 (k) =  1
 6 (k = m , ºº , 6)
m -1 1∑p2 (k) =6
6(3) 以降ではサイコロを振れる回数が増えるため，気合で求めるには煩雑になりすぎます．(2) において【最初の 1 回で得点が決まらなかったならば，2 回目以降（の分全体）の期待値は，振れる回数が 1 回少ないときの期待値と同じになる】ことに気づいておくであり，m = 1 のときp1(k) = 1

かつと，(3) に繋げやすくなります．

p2(k) = 0

さて (2) において，2 回目まで振れるのであれであるから，どちらの場合でも期待値はE2 (m) =ば，1 回目は 4 以上ならそこで止めて，3 以下なら

S k{ p (k) + p (k)}61k =1振り直したほうが期待値が大きくなることがわかり

2S kp (k) + S kp (k) ººº(*)

ました．(1) から，1 回だけ振れるときの期待値がm -1 1∑ º(**)
661 (6 - m + 1)( m + 6) m - 1= ∑+∑ E1
626(7 - m)( m + 6) 7( m - 1)(# (1))=+
1212- m 2 + 8 m + 35=
127= 3.5 と分かっているので，その期待値よりも大2==6k= m

61

1k =12S k ∑ 6 + Sk ∑
6k= m

6k =1

きくなる 4 以上のときは，振り直さないほうがよさそうではあります．
では，3 回目まで振れるのであれば，1 回目が終わってあと 2 回だけ振れるときに，1 回目に出た目が (2)2の期待値の1(m2 ≤ k ≤ 6)
6
m -1 1∑(m1 ≤ k ≤ 6)
p2 (k) = 266
m - 1 m1 - 1 1(1 ≤ k ≤ 6)∑∑
p3 (k) = 2666

17= 4.25 より大きくなる 5 以上のとき
4p1 (k) =に振り直さないほうがよいのでしょうか．直感的には合ってそうですが，(3)(i) にて計算で確かめてみましょう．
ちなみに，(3) の問題においてであるから，(2) と同様に考えて“i 回目に mn - i 以上の目が出たらそこでやめ”E3 (m1 , m2 )という文章があります．これは1 回目に mn - 1 以上の目が出たらやめ
2 回目に mn - 2 以上の目が出たらやめ=S k{ p (k) + p (k) + p (k)}=S kp (k) + S kp (k) + S kp (k)61k =126361k = m2k = m1

62ªS

k =131 6m -1 61 6
m -1 1k+ 2k∑ + k∑ 1
∑6 k= m66 k =166k= m(7 - m2 )(m2 + 6) m2 - 1=+E2 (m1 )12
6=︙

S2(n - 1) 回目に m1 以上の目が出たらやめる

1Sºと表される．さらに，(2) よりということを表します．言い換えるとE2 (m1 ) ≤ E2 (4) =あと (n - 1) 回振れるときであることと，

mn - 1 以上の目が出たらやめあと (n - 2) 回振れるとき

174

m2 - 1≥ 0 より6

E3 (m1 , m2 )mn - 2 以上の目が出たらやめ≤ E3 (4 , m2 )︙

(7 - m2 )(m2 + 6) m2 - 1 17+∑126
42- 2 m2 + 19 m2 + 67=
24
19 2 19 2- 2 m2 ++ 67
48=
24=

あと 1 回振れるとき
m1 以上の目が出たらやめるªということです．全体で何回振れる設定になっていても，振り直さないかどうかの基準は（今が何回目ºとなる．ここでの後かということよりも）あと何回振れるかで決めたほうが良いため，残り回数に合わせて添字の番号が振られています．

4<19<545-19
19
< 444

かつお待たせしました．それでは，(3)(i) の解答です．
（解答 3）

であるから，E3(4，m2) は m2 = 5 のとき最大となる．

(3)(i)

以上より，E3(m1，m2) はサイコロを計 i 回（i = 1，2，3）振り，かつ得点(m1，m2) = (4，5)

が k となる確率を pi(k) とおくとのとき最大となり，求める最大値は3

して- 2 ∑ 5 2 + 19 ∑ 5 + 67
24
14=
3

E3 (4 , 5) =- mn-12 + (2en-1 + 1) mn-1 + C
1221 
1 = -  mn- 1 - en-1 +  + C '12 2 ªである．と表される．さらに，en - 1 以上の最小の自然数を N《解説 3》

で表せば実際に計算してみたら，予想通り (2) で求めた期

en - 1 ≤ N < en - 1 + 1

待値を超える 5 以上のときに，振り直さないほうがよいことが示されました！

-……ですが，(i) では具体的に計算しただけなので，もしかしたらもしかす

n- 1

n- 111 a - 2 , a + 2るときがあるのかもしれません．そこで，「そんなことはない！」と一般的に示すのが (ii) ということºにおいては，整数はただ１つのみ含むので，N はになります．具体的な計算で予測したことを一般化

en- 1 +してみましょう．ここでも【最初の 1 回で得点が決まらなかったならば，2 回目以降（の分全体）の期1に最も近い整数である．
2以上より，En(m1，B，mn - 1) が最大となるのは，待値は，振れる回数が 1 回少ないときの期待値と同En - 1(m1，B，mn - 2) = en - 1

じになる】ことが活用できます．

かつmn - 1 = N（解答 4）となるときであることが示された．（証明終）n ≥ 4 のとき，(i) と同様にして《解説 4》En (m1 , ºº , mn- 1 )まず，(***) において

=S k{ p (k) + p (k) + ºº + p (k)}=S kp (k) + S kp (k) + ºº + S kp (k)61k =1n2

661

k = mn - 1ªS

6
mn-1 - 11k ∑ + ºº
66
k= m6
mn- 2 - 1
1ºº + k ∑∑ºº∑
66
k =1
mn-1 - 1=
En- 1 (m1 , º , mn- 2 )66k = mn - 22ªSk =1nn -2

Sm -1
1
1k + n-1k ∑ + ºº
6 k= m66k= m6
mn- 2 - 1
1ºº + k ∑∑ºº∑
66k =1
mn-1 - 1
1 6=k+En- 1 (m1 , º , mn- 2 ) º(***)
6 k= m6S
6=ªe + 12 º- 12 ≤ N < ªe + 12 º + 12 …(****)である．加えて，一般に実数 a に対し区間ると，振れる回数を多くしたときに，規則性が崩れ(ii)º6n -1n-2Sºとなる部分について説明します．(3)(i) において，全S部で 3 回振れるとき，1 回目で得点が決まらなかっn -1と表され，En - 1(m1，B，mn - 2) の最大値を en - 1とすると，mn- 1 - 16たときの期待値を計算する部分に注目すると

S kp (k) + S kp (k)6≥ 0 よりk = m162ªS

k =13

m2 - 1 61 6
m -1 1k∑ + k∑ 1
∑66 k =166k= m
m2 - 1=E2 (m1 )6En (m1 , ºº , mn- 1 )≤º=1(7 - mn-1 )(mn-1 + 6) mn-1 - 1+
en- 1 ºº1126が成り立つ．ここで 1 の右辺は，C，C ' を定数とSºと変形できています．これは，1 回目で得点が決ま4らなかったならば，残り 2 回分の期待値については

今回の (3) から，en - 1 や m1，B，mn - 1 を具体m1 が決まっていれば，全部で 2 回振れるときと同的に求めると，次のようになります．

じように計算できることを表しています．これを一e1 =般的に考えると，全部で n 回振れるとき，1 回目で得点が決まらなかったならば，残り (n - 1) 回分の

7= 3.52

17= 4.25414
e3 = E3 (4 , 5) == 4.66º3
e4 = E4 (4 , 5 , 5)e2 = E2 (4) =期待値については mn - 2，mn - 3，B，m2，m1 が決まっていれば，全部で (n - 1) 回振れるときと同じように計算できるということです．このことから，(7 - 5)(5 + 6) 5 - 1∑ e3+126
89== 4.94º
18
e5 = E5 (4 , 5 , 5 , 5)(***) において，2 回目以降で得点が決まるときの期=待値を（1 回目で得点が決まらない確率）×(7 - 5)(5 + 6) 5 - 1∑ e4+126277== 5.12ºº54（全部で (n - 1) 回振れるときの期待値）=で計算しています．
その後，1 の右辺を平方完成するところまでは問直感的に，振れる回数が多い方が期待値は大きくな題ないと思います．
次に mn - 1 が en - 1（= あと (n - 1) 回振れるときりますから，これ以降，期待値が 5 未満になることの期待値の最大値）以上の最小の自然数のときに，はありません．よって，j ≥ 5 のとき mj = 6 となる

軸に最も近くなることを示す部分を見てみましょわけです．東大や慶応大の過去問でも，3 回目までう．放物線は軸に関して左右対称なので，軸から見の問題は出題されていたのですが，お茶の水女子大て左右のおかげで，振れる回数を何回に設定されても，最1ずつ広げて幅 1 の範囲を考えれば，その中2高の条件で臨むことができそうです……もちろん残に整数を 1 つだけ含むようにできます．

念なことに，実際にこんなゲームを行う機会はないのですが，期待値を上手に使えば「これから行おうとしていることが有利か不利か」の判断を『起こりx = en-1やすいかどうかの確率』だけではなく，『得点』と

x = en-1 + 1いう別のファクター（確率変数といいます）も絡めて判断することができるわけです．
次回以降，できれば条件付き確率の問題で，何か
x = en- 1 +の判断に役立ちそうな問題を探してみたいと思いま

12

す．その際は，また一緒に賢くなりましょう．

今回はそれが解答の中の N であることを示せばよい（数学科ので，(****) の形に変形したわけです．今回は，問題文から
en - 1 ≤ N < en - 1 + 1を得ることができるので，示しやすくなっています．
（最後に）5中西）