場合の数(確率) ランダムウォーク問題 実践例題①
例題１

点Pは初め数直線上の原点Oにあって,必ず１秒毎に右(正の方向)または左の方向(負の方向)に2距離１だけ移動する。右に距離１だけ移動する確率はである。
3(１) 点Pが５秒後に初めて−１に到達する確率を求めよ。
(２) 点Pが６秒後に２にある確率を求めよ。
(３) 点Pが３秒後の位置が１で,かつ６秒後は原点Oにある確率を求めよ。(北里大 改)
解答

余事象より点Pが左に距離１だけ移動する確率は 1 -2 1= である。
3 3

位置
3

(１) 点Pが５秒後に初めて−１に到達するのは,右図より,「右,右,左,左,左」または「右,左,右,左,左」の順に移動するときである。
23

1
右に２進む確率08æ 2ö æ1ö 2……(答え)2 ⋅ç ÷ ç ÷ = 5 =243
è 3ø è 3ø 3
左に３進む確率

経路は２通り2右3123456

左 -1

時刻

-2(２) 右に１だけ移動する回数を x とすると,-3左に１だけ移動する回数は,6 − x 回となる。
条件より,16秒後の点Pの数直線上の位置は,
1 ⋅ x + (−1) ( 6 − x) = 2 x − 6
点Pが６秒後に２にあるのは2x − 6 = 2 ⇔ 2x = 8∴ x=4

よって,６回中,右に４回,左に２回移動する場合なので,求める確率は６回中,右に進む４回を選ぶ

4右に４進む確率2

位置480
æ 2 ö æ 1 ö 15 ´ 2
C==……(答え)ç÷ç÷6463243è 3ø è 3ø
左に２進む確率3(３) 点Pが３秒後の位置が１で,かつ６秒後は原点Oにある
確率は右図より,９通りの移動の仕方がある。
よって,求める確率は経路は９通り

3右8æ 2ö æ1ö
9⋅ ç ÷ ç ÷ =……(答え)
81è 3ø è 3ø

別解

左左に３進む確率10

右に３進む確率312-13

1131

932
162 3

456

時刻

3-2

点Pが３秒後の位置が１で,かつ６秒後は原点Oにあるのは,右に２回,左に１回移動したあと,右に１回,左に２回移動するときであるから,求める確率は
22238
æ 2ö æ1ö
æ 2öæ1ö 3 ´ 2C
´
C==ç÷
ç÷ç÷ç
÷
323163
81 ……(答え)è 3ø è 3ø
è 3ø è 3ø

右に２回,左に１回移動する確率

右に１回,左に２回移動する確率
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確率 ランダムウォーク問題 実践例題②
例題２

数直線上の原点に点Pがある。点Pは,硬貨を投げて表が出れば +1,裏が出れば −1進むとする。
このとき,次の問いに答えよ。
(１) 硬貨を10回投げたとき,点Pが +4 にいる確率を求めよ。
(２) 硬貨を10回投げたとき,点Pが1回目以降原点も負の部分も通らずに+4 にいる確率を求めよ。
(山口大)
解答

硬貨を1回投げるとき，表,裏が出る確率はともに

12

硬貨を10回投げたとき,表が出る回数を x とすると,裏の目が出る回数は10 − x 回となる。
条件より,10回の操作後の点Pの数直線上の位置は,
1 ⋅ x + (−1)(10 − x) = 2 x − 10(１) 硬貨を10回投げたとき,点Pが+4にいるのは
2 x − 10 = 4 ⇔ 2 x = 14
∴ x=7
よって,硬貨を10回投げて点Pが+4にいるのは,10回中,表が７回,裏が３回出る場合なのでよって,求める確率は表が７回出る確率
10回中,表が出る７回を選ぶ

731010 ⋅ 9 ⋅ 8 115
1 1
1
⋅ 10 =……(答え)10 C 7     = 10 C 3   =3 ⋅ 2 ⋅1 2128
2 2
2
裏が３回出る確率(２) 硬貨を10回投げたとき,位置点Pが１回目以降原点も負の部分も7通らずに+4にいる確率は,

6

右図より,48通りの移動の仕方がある。
よって,求める確率は
1
48 ⋅  2=

1
15+1,−1進む確率は3……(答え)64(経路数)×(１つの経路の確率)

1311011235392452014521264141
ともに 2 なので1014828145678910

回数

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確率 ランダムウォーク問題 実践例題③例題３

動点Pは原点( 0,0 )から出発して,座標平面の点( m,n )(m,nは整数)の上を動く。
Pが( m,n )にいるとき,さいころを投げて出た目が1または2なら( m + 1,n )へ,3または4なら( m − 1,n )へ,5なら( m ,n + 1 )へ,6なら( m ,n − 1 )へ進む。次の問いに答えよ。
(１) さいころを2度投げて点( 1,1 )に到達する確率を求めよ。
(２) さいころを4度投げて点( 2,2 )に到達する確率を求めよ。
(３) さいころを4度投げて点( 1,1 )に到達する確率を求めよ。(大阪電気通信大)解答

さいころを1回投げるとき,右に1進む確率は,1または2の目が出る確率より左に1進む確率は,3または4の目が出る確率より

2  1
= 6  32  1
= 6  3

16
1
下に1進む確率は,6の目が出る確率より
6(１) さいころを2度投げて点( 1,1 )に到達するのは,2回中「右に1回,上に1回」進むときなので上に1進む確率は,5の目が出る確率より

2 1 1
求める確率は, 2 C 1     =6 6 9

右に１進む確率

２回中,右に進む１回を選ぶ(２)( m ,n + 1 )( 2,2 )

さいころを4度投げて点( 2,2 )に到達するのは,4回中「右に2回,上に2回」進むときなので
2

右に２進む確率2214⋅3 21
求める確率は, 4 C 2     =⋅ 4 =2 ⋅1 654
6 6
2( 1,1 )( m − 1,n )O

さいころを4度投げて点( 1,1 )に到達するのは,(ⅰ) 4回中「右に1回,上に2回,下に1回」進む場合(ⅱ) 4回中「右に2回,左に1回,上に1回」進む場合 の２通りがある。

( m ,n − 1 )同じものを含む順列(ⅰ)のときの確率は,右,上,上,下を並べる総数は4!
= 12 (通り)2!

右に１進む確率212 1 1
よって,求める確率は,       ⋅ 12 =546 6 6

n 個のもののうち,同じものがそれぞれp 個 , q 個 , r 個 ……あるときそれらを一列に並べる順列の総数はn!
p ! q ! r !…… ( p + q + r …… = n )下に１進む確率(ⅱ)のときの確率は,右,右,左,上の並べ方は( m + 1,n )m

上に２進む確率４回中,右に進む２回を選ぶ(３)

n上に１進む確率上に１進む確率4!
= 12 (通り)2!

右に１進む確率22
2 2 1
よって,求める確率は,       ⋅ 12 =27
6 6 6
215+=……(答え)よって,求める確率は,
54 27 54

上に１進む確率左に１進む確率http://love‑su‑gaku.com/ Manabu Sato(C)2011

確率 ランダムウォーク問題 実践例題④
例題４

さいころを投げて出た目の数だけ数直線上を動く点Pがある。Pは負の数の点にあるときは右に,正の数の点にあるときは左に動くものとする。また,Pははじめ−5の点にあり,原点または5の点に止まったら,それ以上さいころを投げることができないとする。
(１) 2回目にPが5の点に止まる確率を求めよ。
(２) 2回目にPが原点に止まる確率を求めよ。
(センター試験 改)
解答

1回目に出た目の数を x ,2回目に出た目の数を y とする。
(１)

2回目にPが5の点に止まるのはx ≦ 4 かつx が５が出たら原点に止まり終了。
x が６が出たら,次は左に動くので不適。

x + y = 10点P

これを満たすのは−5 −4 −3 −2 −1 0

x=4 ,y=6

1 2ココに移動する確率
3 4 5

よって,１回目に４の目が出て,２回目に６の目が出る確率は
確率は

1 11
⋅=……(答え)
6 636

16

確率は

16

そして(連続操作)は掛け算(２) 2回目にPが原点に止まるのはx ≦ 4 かつx + y =5……①

または, x = 6 , y = 1 ……②点Pのとき。

ココに移動する確率−5 −4 −3 −2 −1 0

1 23 4 5①を満たすのは( x, y )=( 1, 4 ),( 2, 3 ),( 3, 2 ),( 4, 1 )①,②より合計５通りある。
よって,求める確率は
1 1
5 ⋅  ⋅5 =
6 636……(答え)

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確率 ランダムウォーク問題 実践例題⑤
例題５x 軸上に点Pがある。サイコロを投げて,6の約数の目が出たとき,P は x 軸の正の方向に1だけ進み,6の約数でない目が出たとき,P は x 軸の負の方向に1だけ進むことにする。
点P は最初原点にあるものとして,次の問いに答えよ。
(１) サイコロを4回投げたとき,x = 2 の点にある確率を求めよ。
(２) サイコロを4回投げたとき,x = 3 の点にある確率を求めよ。 (関西学院大学 改)
解答

4 2
=6 3

サイコロを１回投げるとき,6の約数の目が出る確率は,1,２,３,６の目が出るときで6の約数の目が出ない確率は,４,５の目が出るときで

2 1
=6 3

余事象で考えてもよい

サイコロを４回投げたとき,6の約数の目が出る回数を a 回とすると,6の約数の目が出ない回数は4 − a 回となり,４回の操作後の点Pのx 軸上の位置は,
1 ⋅ a + (−1)( 4 − a) = 2 a − 4(１) ４回投げたとき,x = 2 の点にある確率は,2a − 4 = 2⇔ 2a = 6∴ a=3
よって,さいころを４回投げたとき,x = 2 の点にある確率は,４回中,６の約数の目が３回,6の約数の目が出ない回数が１回の場合である。
よって,求める確率は４回中,正の方向に進む１回を選ぶ

34

正の方向に３進む確率32
2 1
2C1     = 4 ⋅ 4 =……(答え)813
3 3点Pココに移動する確率

3−3−2−10

123 x

負の方向に１進む確率(２) ４回投げたとき,x = 3 の点にある確率は,2a − 4 = 3⇔ 2a = 7点P

これを満たす正の整数解は存在しない。
よって,求める確率は 0ココに移動する確率−3−2−10123 x……(答え)
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確率 ランダムウォーク問題 実践例題⑥例題６右図のようなます目がある。Aは硬貨を1枚投げて,表が出たら右へ1目盛り,裏が出たら上へ1目盛り進む。Bは別に硬貨を1枚投げて,表が出たら左へ1目盛り,裏が出たら下へ1目盛り進む。A,Bともに,1分ごとに同時にそれぞれ硬貨を投げ,1目盛り進むものとし,6回くり返す。
(１) Aは点O( 0,0 )から,Bは点P( 4,4 )から同時に出発するとき,点( 1,3 )で出合う確率を求めよ。
(２) Aは点O( 0,0 )から,Bは点Q( 4,6 )から同時に出発するとき,AとBが出合う確率を求めよ。
(大阪教育大学)

6Q

4PO

4解答

硬貨を1回投げるとき，表,裏が出る確率はともに12

位置(１) A,Bが点( 1,3 )に達するのは,4分後である。

6Aは,表が1回,裏が3回出る場合であるから,右に１進む確率
左に３進む確率表→31
1 1
1=4C1     = 4 ⋅442
2 2

4
出合う点

右に３進む確率左に１進む確率

これらA,Bは独立試行であるので

裏

裏→

31
1 1
1=4C3     = 4 ⋅424
2 2

( 4,4 )

( 1,3 )

Bは表が3回,裏が1回出る場合であるから,４回中,左に進む３回を選ぶ

B→４回中,右に進む１回を選ぶ

A→

時間

4O 表

1 1
1
⋅ =……(答え)4 4 16

求める確率は(２) OからQへ行くのに10分かかるから,AとBが出合うのは,その半分の5分後となり,出合う点は( 0,5 ),( 1,4 ),( 2,3 ),( 3,2 ),( 4,1 )の5個である。
また,対称性から,( 0,5 )と( 4,1 ),( 1,4 )と( 3,2 )で出合う確率は同じとなる。
(ⅰ) ( 0,5 )と( 4,1 )で出合う確率はAが(0,5 )へ行く確率5551
1
5C0   ×5C4   =
210
2
2

(ⅱ) ( 1,4 )と( 3,2 )で出合う確率はAが( 1,4 )へ行く確率

5

位置

5

( 0,5 )
Bが( 1,4 )へ行く確率

4

Bが( 2,3 )へ行く確率5⋅4 5⋅4 1
1
1
100
⋅
⋅ 10 = 105C2   × 5C2   =2 ⋅1 2 ⋅1 22
22

よって,求める確率は( 1,4 )
( 2,3 )

55B
( 4,6 )

65⋅4 11150⋅ 10 = 105C1   ×5C3   = 5 ⋅2 ⋅1 2222(ⅲ) ( 2,3 )で出合う確率はAが( 2,3 )へ行く確率

Bが(0,5 )へ行く確率( 3,2 )
( 4,1 )AO

105
1 (5 + 50 + 100 + 50 + 5 ) =……(答え)
10512
24

時間

※赤丸は出合う点

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確率 ランダムウォーク問題 実践例題⑦
例題７x 軸上を動く点Aがあり,最初は原点にある.
コインを投げて表が出たら正の方向に1だけ進み,裏が出たら負の方向に1だけ進む。
コインを6回投げて,点Aを動かすとき,次の確率を求めよ。
(１) 6回の移動後に,点Aが原点に戻る確率(２) 点Aが2回目に原点に戻り,かつ6回目に原点に戻る確率(埼玉大 改)解答

コインを1回投げるとき，表,裏が出る確率はともに

12

コインを6回投げたとき,表が出る回数を x とすると,裏の目が出る回数は,6 − x 回となる。
6回の操作後の点Pの数直線上の位置は,
1 ⋅ x + (−1) ( 6 − x) = 2 x − 6(１) 6回の移動後に,点Aが原点に戻るのは
2x − 6 = 0 ⇔2x = 6∴ x=3

よって,コインを６回投げて,原点に戻るのは,６回中,表が３回,裏が３回出る場合なので求める確率は６回中,正の方向に進む３回を選ぶ

3

正の方向に３進む確率
36 ⋅5⋅4 15
1 1
⋅ 6 =6C 3     =3 ⋅ 2 ⋅1 216
2 2

……(答え)
負の方向に３進む確率(２) 点Aが２回目に原点に戻り,かつ6回目に原点に戻る確率は,位置

右図より,12通りの移動の仕方がある。
よって,求める確率は63
1  ⋅ 12 =……(答え)
16
2
別解

正・負の方向に進む確率1はともになので
2

経路は12通り22
1O-1

点Aが2回目に原点に戻り,かつ6回目に原点に戻る場合は,「２回目までで,表が１回,裏が１回出る」かつ「２回から６回までで表が２回,裏が２回出る」
場合なので,求める確率は
23

1
122

1-223244656126

回数

2-32

1 11 1
32 C1     ´ 4 C2     =2 22 2
16
２回目までで,表が１回,裏が１回出る確率

３回から６回までで表が２回,裏が２回出る確率
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確率 ランダムウォーク問題 実践例題⑧
例題８

点Pははじめ数直線上の原点Oにあり,さいころを1回投げるごとに,偶数の目が出たら数直線上を正の方向に3,奇数の目が出たら負の方向に2だけ進む。10回さいころを投げるとき,次の問いに答えよ。
(１) 点Pが原点Oにある確率を求めよ。
(２) 点Pの座標が19以下である確率を求めよ。(北里大・改)
解答

3 1
=6 2

さいころを1回投げるとき,偶数,奇数の目が出る確率はともにさいころを10回投げたとき,偶数の目が出る回数を x とすると,奇数の目が出る回数は10 − x 回となり,10回の操作後の点Pの数直線上の位置は,
3x + (−2)(10 − x) = 5 x − 20(１)

さいころを10回投げて,Pが原点Oにあるのは,∴ x=4

5 x − 20 = 0 ⇔ 5 x = 20

よって,さいころを10回投げて点Pが原点Oの位置にあるのは,10回中,偶数の目が4回,奇数の目が６回出る場合である。
よって,求める確率は偶数の目が４回出る確率
10回中,偶数の目が出る回を４回を選ぶ

4610 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 1 105
1 1
⋅=……(答え)10 C 4     =4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 210 512
2 2
奇数の目が６回出る確率(２)

さいころを10回投げて,Pの座標が４以下になる場合は
5 x − 20 ≦4 ⇔ 5x ≦ 24
∴ x≦

24
5x は,整数で 0≦x≦10より,上記を満たす x は,x = 0,1,2,3,4
よって,求める確率は109283

1
1 11 11 1
10 C 0   + 10 C 1     + 10 C 2     + 10 C 3    2
2 22 22 2
1
= ( 10 C 0 + 10 C 1 + 10 C2 + 10 C3 + 10 C4 )  2
= ( 1 + 10 + 45 + 120 + 210 )1074

1 1
+ 10 C 4    2 2

610

1
  でくくることがポイント！
2

1
193
=……(答え)10512
2
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