数理解析研究所講究録
991 巻 1997 年 44-46

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Sylow numbers of finite groups
熊本大学自然科学千吉良直紀 (Naoki Chigira)を有限群とする. 素数 に対して $G$ が べき零であるとはシロー 部分群 $P$に対しそ $G=NP,$ $N\cap P=1$ となる正規部分群 $N$ が存在するときをいう. この性
質は有限群の構造を調べる上で極めて基本的な概念である.
ここでは $G$ が べき零であることの必要十分条件となる条件ついて述べる. この話題は Zhang [3] に基づいている.
$\pi(G)$ で $G$ の位数を割る素数全体の集合とする. $r\in\pi(G)$ に対して
$G$

$P$

$P$

$P$

$p$

$n_{r}(G)=|Sy\iota_{\mathrm{r}}(G)|$とおきこれをシロー 数という。 シローの定理からを用いて $n_{f}(G)=$$|G:N_{G}(R)|$ とあらわせる.
このシロー数と群の べき零性について次のことが成り立つことが容易にわかる.
$R\in s_{y}\iota \mathrm{r}(G)$

$r$

$P$

補題.
立つ.

有限群 $G$ が$P$べき零ならば任意の素数嫁こ対して $(P, n_{f}(G))=1$ が成り

これに関して Huppert [Huppert 予想. 有限群$2|$は次のような予想をしている.

力 “‘ べき零であるための必要十分条件は任意の素数嫁こ対して $(p, n_{f}(G))=1$ が成り立ち, かつ任意の素数 に対して $R\in Syl_{\Gamma}(G)$ とする
とき $N_{G}(R)$ が べき零であることである.
$G$

$p$

$r$

$P$

この予想に対して Zhang [$3|$は有限単純群の分類定理を用いて次のことを主張して.

いる.

主張. 有限群 $G$ がべき零であるための必要十分条件は任意の素数$(p, n_{f}(G))=1$ が成り立つことである.
$P$

$r$

に対して

しかしながらこの主張には反例がある.
反例. $G=U_{3}(4)$ とすると $|G|=62400=26.3\cdot 52.13\sim$ である. $Q_{r}\in Syl_{\gamma}(G)$ とす
る. Atlas より: 15$N_{G}(Q_{2})$$\simeq$$2^{2+4}$$N_{G}(Q_{3})$$\simeq$$5\cross S_{3}$$N_{G}(Q_{5})$$\simeq$$5^{2}:S_{3}$$N_{G}(Q_{13})$$\simeq$

13: 3

45

これよりどのシロー群の正規化群の位数も 3 で割れる.

$G$の位数は 3 で–回しか割れない. したがってどの $r\in\pi(G)$ に対しても $(3, n_{f}(G))=1$ である. –方 $G$ は位数が 3 で割れる単純群であるからもちろん 3 べき零ではない. したがってZhang の主張の反例になっている.

$U_{3}(4)$は反例は他にもある.
定理 1. $G=U_{3}(q)$ とする. $P\in\pi(G)$ がすべての $r\in\pi(G)$ に対して $(p, n_{f}(G))=1$を満たすならば $P=3$ であり, かつ $q=2^{m}$ で $m$ は偶数かつ 3 で割れない整数である.

これよりさらにいろいろな反例がつくれる.
$\mathcal{U}=${ $U3(q)|q=2^{m},$$m$は偶数で 3 で割れない},で 3 べき零群全体の集合と$\prime \mathrm{p}$する.
系. $G=G_{1}\cross G_{2}\cross\cdots\cross G_{t}$ , ここでとする. このときすべての $r\in\pi(G)$ に対して $(3, n_{f}(G))=1$ が成り立ちかっ $G$ は 3 べき零ではない.
$G_{1}\in \mathcal{U},$$G_{i}\in \mathcal{U}\cup \mathcal{P}(2\leq i\leq t)$

このように Zhang の主張は成り立たない. しかしながら次のことが成り立つ. (証明には有限単純群の分類定理を必要とする)
定理 2. $G$ を有限群,分条件は任意の素数$P$$r$

を 3 と異なる素数とする. $G$ が べき零であるための必要十に対して $(p, n_{f}(G))=1$ が成り立つことである.
$P$

さらにこれを用いて次のことが成り立つことがわかる.
定理 3. Huppert 予想は正しい.

次にシロー数を使ったグラフを考える. シローグラフ$\Gamma_{s}(G)$れる :は次のように定義さ頂点集合 $V(\Gamma_{s}(G))=$ { $p\in\pi(G)|p$ はある素数嫁こ対して $n_{r}(G)$ を割る} とし,$p,$ $q\in V(\Gamma_{s}(G))$ は $pq$ が $n_{f}(G)$ を割るような $r\in\pi(G)$ が存在するときに辺で結ばれるとする.
例. (1) $G=A_{5}$ とする. 素数であるからシローグラフ

$r$

に対して

$Q_{f}$,,$N_{G}(Q_{2})$$\simeq$$A_{4}$$N_{G}(Q_{3})$$\simeq$$S_{3}$$N_{G}(Q_{5})$$\simeq$$D_{10}$$\Gamma_{s}(A_{5})$をシロー$r$群とする.

$n_{2}(G)=5$$n_{3}(G)=2\cdot 5$,$n_{5}(G)=2\cdot 3$

は次のようになる.

46$\Gamma_{s}(A_{5})=\overline{523}$(2) $G=M_{11}$ とする. 同様に素数嫁こ対してをシロー 群とする.
$N_{G}(Q_{2})$$n_{2}(G)=3^{2}\cdot 5\cdot 11$: 2,$N_{G}(Q_{3})$: 2, $n_{3}(G)=5\cdot 11$$Q_{f}$$r$$\simeq 8$$\simeq$$N_{G}(Q_{5})$$N_{G}(Q_{11})$であるからシローグラフ$M_{9}$,: 5,$\simeq 5:4$$\simeq$$\Gamma_{s}(M_{11})$$11$$n_{5}(G)=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 11$.

$n_{5(G)3^{2}}=24$は次のようになる.

単純群の分類定理を用いて次のことがわかる.
定理 4. $G$ が単純群ならば$\Gamma_{s}(G)$は連結である.

注意. Theorem 4 も Zhang [3] に書かれているがその証明は正しくない.

これとシロー数の簡単な性質を用いて次のことがわかる.
系. $G$ を任意め $r\in\pi(G)$ に対して $n_{f}(G)$ が素数べきとなるような有限群とする.のとき $G$ は可解群である.

こREFERENCES
1. N. Chigira, Number of Sylow subgroups and p–nilpotence of finite groups, preprint.
2. B. Huppert, Subnormale Untergruppen und -Sylowgruppen, Acta Sci. Math. 22 (1961) 46-61.
3. J. Zhang, Sylow numbers of finite groups, J. Algebra 176 (1995) 111-123.
$p$