数理解析研究所講究録
第 1775 巻 2012 年 25-3225曲線の空間上の双ハミルトン系
関西学院大学理工学部

黒瀬 俊 (Takashi Kurose)

School of Science and Technology,
Kwansei Gakuin University
ユークリッド平面やアフィン平面、射影平面など「平面」上の曲線に対して、 その幾何的不変量として曲率が定まる。曲線が運動すれば、 それにつれて曲率も変化するが、 運動がある特定の自律的なルールに従うときは、 曲率の時間変化を記述する方程式が可積分系となることがある ([1,2,6])。さらに、そのような運動のい
くつかについては、 曲線の空間上に (前) シンプレクティック構造をうまく定める
ことによって、 ハミルトン系として表わせることが知られている ([3, 4, 5, 7, 8])。
一方、 $KdV$ 方程式や変形 $KdV$ 方程式といった可積分系方程式は、 適当な関数

空間上のボアソン括弧式を用いてハミルトン系として表わされるだけでなく、つのボアソン括弧式を用いた双ハミルトン系として記述できることも多い。 そこで、 対応する曲線の運動においても、 双ハミルトン系に相当する記述があるのではないかと考えるのは自然であろう。 この間に関して、 本講演では、 等積中心アフィン平面曲線の運動 $(KdV$ 方程式 、ユークリッド平面曲線の運動 (変形 $KdV$ 方程式)、複素双曲線内の曲線の運動 (バーガース方程式) の場合 (括弧内はそれぞれの運動で対応する可積分系方程式) に、一橋大学大学院経済学研究科藤岡敦氏との共同研究で得られた結果を述べる。
$)$

なお、 本稿では曲線はすべて $S^{1}=\mathbb{R}/2\pi Z$ からのはめ込み写像、 すなわち正則
閉曲線とし、の座標は で表わす。
$S^{1}$

1$s$

等積中心アフィン平面曲線の運動の曲線 :で、 $\det(\gamma, \gamma_{s})=1$ を満たすものを等積中心を満たす
アフィン曲線という。 このとき $\det(\gamma, \gamma_{ss})=0$ が成り立ち、を上の関数 が定まる。 このの等積中心アフィン曲率と呼ぶ。
$\mathbb{R}^{2}\backslash \{0\}$$\gamma$$S^{1}9arrow \mathbb{R}^{2}\backslash \{0\}$$\gamma_{ss}=-\kappa\gamma$$S^{1}$$\kappa$$\kappa$$\gamma$

を時間パラメータとして、等積中心アフィン曲線の運動 (1-パラメータ族)が与えられたとき、とおくと、 $2\alpha+\beta_{s}=0$ が成り立ち、 その等積は中心アフィン曲率$t$$\gamma(\cdot, t)$$\gamma_{t}=\alpha\gamma+\beta\gamma_{s}$$\kappa(\cdot, t)$$\kappa_{t}=\frac{1}{2}\beta_{sss}+2\kappa\beta_{s}+\kappa_{s}\beta\equiv\Omega\beta_{s}$に従って時間発展する。 ここで$\Omega$は$\Omega=\frac{1}{2}D_{s}^{2}+2\kappa+\kappa_{s}D_{s}^{-1}$$(D_{s}= \frac{\partial}{\partial s})$26で定義される微分-積分作用素であり、 $KdV$ 方程式の再帰作用素と呼ばれている。
を満たしているならば、 は $KdV$ 方程式
特に運動が$\gamma_{t}=(-\kappa_{s}/2)\gamma+\kappa\gamma_{s}$$\kappa$$\kappa_{t}=\Omega\kappa_{s}=\frac{1}{2}\kappa_{sss}+3\kappa\kappa_{s}$に従う。
をに対して、 方程式
一般に $n=1,2,3,$
これらの方程式を総称して $KdV$ 階層という。 運動が$\kappa_{t}=\Omega^{n}\kappa_{s}$$\cdots$$n$

次 $KdV$ 方程式といい、$\gamma_{t}=(-\frac{1}{2}\Omega^{n-1}\kappa_{s})\gamma+(D_{s}^{-1}\Omega^{n-1}\kappa_{s})\gamma_{s}\equiv(X_{n})_{\gamma}$を満たしているとき、 その等積中心アフィン曲率は$n$

次 $KdV$ 方程式に従う。

$KdV$ 階層の各方程式は適当な関数空間上のボアソン括弧式を用いて、ハミルト

ン系として記述される。 これに対して、 対応する曲線の運動は、 曲線の空間上のを等積中心アフィン曲線全体
ハミルトン系として記述することができる。今、を上の $(0,2)-$ テンソル場のなす空間とし、$\mathcal{M}$$\mathcal{M}$$\omega_{0}$$( \omega_{0})_{\gamma}(X, Y)=\int_{S^{1}}\det(X, Y)ds$

で定める (右辺では、.

$\mathbb{R}^{2}\backslash \{0\}$.

$\omega_{0}$$\mathcal{M}$$H_{n},$$X,$ $Y\in T_{\gamma}(\Lambda 4),$$\gamma\in \mathcal{M}$における接ベクトル $X,$ $Y$ をそれぞれ$\gamma$に沿ったのベクトル場と同一視した)。 このとき、は洞上の閉 2 次微分形式、 すなわち前シンプレクティック形式となり、上の関数$X_{n}$$H_{n},$$n=1,2,3,$$\cdots$が存在して、 $dH_{n}=\omega_{0}(X_{n}, \cdot)$ が成り立っ。

上のベ
次 $KdV$ 方程式に従って変化する運動を生成するのハミルトンベクトル場である (ちなみに、に関するは、従って、 曲率がクトル場$\gamma\in \mathcal{M}$,$n=1,2,3,$$\mathcal{M}$$n$$H_{n}$$\omega_{0}$は$\cdots$$H_{1}= \int_{S^{1}}\kappa ds$,$H_{2}= \int_{S^{1}}\frac{1}{2}\kappa^{2}ds$,$H_{3}= \int_{S_{1}}(\frac{1}{2}\kappa^{3}-\frac{1}{4}\kappa_{s}^{2})ds$,$\cdot\cdot\cdot$と具体的に与えることができる)。
の定義および $n=1$ の場合の上記の結果は、 Pinkall
前シンプレクティック形式[8] によって与えられたものであるが、 実は、 $KdV$ 階層に対応する曲線の運動に
これとは異なるハミルトン系としての記述を与えることができる。
$\omega_{0}$定理 1$\mathcal{M}$

上の $(0,2)-$ テンソル場$\omega_{1}$を,$( \omega_{1})_{\gamma}(X, Y)=\int_{S^{1}}\det(X, (D_{s}^{2}+\kappa)Y)ds$$X,$ $Y\in T_{\gamma}(\mathcal{M}),$$\gamma\in \mathcal{M}$27で定めると、は$\omega_{1}$上の前シンプレクティック形式となり、$\mathcal{M}$$dH_{n+1}=\omega_{1}(X_{n}, \cdot)$,$n=1,2,3,$$\cdots$が成り立っ。
すなわち、
は、
に関する
のハミルトンベクトル場であると同時に、に関する $H_{n+1}$ のハミルトン．ベクトル場でもある。 この意味で、 $KdV$ 階層に対応する曲線の運動は、上の双前シンプレクティック構造による双ハミ$\{H_{n}\})$
ルトン系
として記述されると言える。
$X_{n}$$H_{n}$$\omega_{0}$$\omega_{1}$$\Lambda 4$$(\omega_{0},$$(\omega_{0}, \omega_{1})$$\omega_{1},$

注意 ついでではあるが、 この上の双前シンプレクティック構造
いて、 分かっていることがらをいくっか記しておこう。
$\mathcal{M}$(i) 洞には$S^{1}$と$SL(2;\mathbb{R})$$\mathcal{M}\ni\gamma\mapsto A\gamma\in \mathcal{M}$$\omega_{1}$につが次のようにして自然に作用する:$\mathcal{M}\ni\gamma\mapsto\gamma(\cdot+\sigma)\in \mathcal{M}$$\omega_{0},$$(\omega_{0}, \omega_{1})$,$\sigma\in S^{1}$,,$A\in SL(2;\mathbb{R})$.

はこの二つの作用で不変であり、$Ker(\omega_{0})_{\gamma}=T_{\gamma}(S^{1}\cdot\gamma)$,$Ker(\omega_{1})_{\gamma}=T_{\gamma}(SL(2;\mathbb{R})\cdot\gamma)$,$\gamma\in \mathcal{M}$

である。

(ii)

$(\mathcal{M}, \omega_{1})$の$S^{1}$-作用に対する運動量写像$\mu_{1}$$\mu_{1}(\gamma)(\partial/\partial\sigma)=H_{1}(\gamma)$,

は$\gamma\in \mathcal{M}$で与えられる。

2

ユークリッド平面曲線の運動曲率が変形 $KdV$ 方程式に従って時間変化するユークリッド平面曲線の運動は
1970 年代に与えられており、 井ノロ [6] にあげられている曲線の運動の例の中で最も古いものである。 この運動を、 前節と同様の定式化で取り上げよう。
を、 ユークリッド平面のなす空間:$\hat{\mathcal{M}}$$E^{2}$の閉曲線で、 弧長で径数づけられているもの全体$\hat{\mathcal{M}}=\{\hat{\gamma}:S^{1}\subseteq pE^{2};|\hat{\gamma}_{s}|=1\}$

とする。
に対して、
場とすると、 その曲率 は$\hat{\gamma}\in\hat{\mathcal{M}}$$\hat{\kappa}$$T=\hat{\gamma}_{s}$に沿った左向き単位法ベクトルで与えられる。

とし、 $N$ を$T_{s}=\hat{\kappa}N$$\hat{\gamma}$

28
ユークリッド平面曲線の運動
鳶 が成り立ち、 曲率と、$\hat{\alpha}_{s}=$$\beta$$\hat{\gamma}(\cdot, t)$$\hat{\kappa}(\cdot, t)$が与えられたとき、の時間発展は$\hat{\kappa}_{t}=\hat{\beta}_{ss}+\hat{\kappa}\hat{\alpha}_{s}+\hat{\kappa}_{s}\hat{\alpha}\equiv\hat{\Omega}(2\hat{\beta})$

で与えられる ($\hat{\Omega}$,$\hat{\gamma}_{t}=\hat{\alpha}T+\hat{\beta}N$

とおく$\hat{\Omega}=\frac{1}{2}(D_{s}^{2}+\hat{\kappa}^{2}+\hat{\kappa}_{s}D_{s}^{-1}\hat{\kappa})$が変形 $KdV$ 方程式の再帰作用素である)。特に運動がを満たしているとき、 んは変形 $KdV$ 方程式$\hat{\gamma}_{t}=$$(\hat{\kappa}^{2}/4)T+(\hat{\kappa}_{s}/2)N$$\hat{\kappa}_{t}=\hat{\Omega}\hat{\kappa}_{s}=\frac{1}{2}\hat{\kappa}_{sss}+\frac{3}{4}\hat{\kappa}^{2}\hat{\kappa}_{s}$に従う。 一般に $n=1,2,3,$$\cdots$に対して、運動が$\hat{\gamma}_{t}=\frac{1}{2}(D_{s}^{-1}(\hat{\kappa}\hat{\Omega}^{n-1}\hat{\kappa}_{s}))T+\frac{1}{2}(\hat{\Omega}^{n-1}\hat{\kappa}_{s})N\equiv(\hat{X}_{n})_{\gamma}$に従う。 これらの運動もハを満たすとき、 は 次変形 $KdV$ 方程式
ミルトン系として記述できることが知られていた ([5] 参照) が、 1 節の場合と同じ
く、 さらに双ハミルトン系としての記述に拡張することができる。 それらをまと$\hat{\kappa}_{t}=\hat{\Omega}^{n}\hat{\kappa}_{s}$$n$$\hat{\kappa}$

めたのが次の定理である。
定理 2$E^{2}$の内積を$\langle\cdot,$$\cdot\rangle$とし、$( \hat{\omega}_{0})_{\gamma}(X, Y)=\int_{S^{1}}\langle D_{s}X,$$\hat{\mathcal{M}}$$Y\rangle ds$,

上の二つの $(0,2)-$ テンソル場$( \hat{\omega}_{1})_{\gamma}(X, Y)=\frac{1}{2}\int_{S^{1}}\langle D_{s}X,$を$\hat{\omega}_{0},\hat{\omega}_{1}$$D_{s}^{2}Y\rangle ds$,$X,$ $Y\in T_{\hat{\gamma}}(\hat{\mathcal{M}}),\hat{\gamma}\in\hat{\mathcal{M}}$で定める。 このとき、の関数$n=1,2,3,$$\hat{H}_{n},$上の前シンプレクティック形式であり、が存在して、は$\hat{\omega}_{0},\hat{\omega}_{1}$$\cdots$$d\hat{H}_{n}=\hat{\omega}_{0}(\hat{X}_{n}, \cdot)$,$\hat{\mathcal{M}}$$d\hat{H}_{n+1}=\hat{\omega}_{1}(\hat{X}_{n}, \cdot)$,$n=1,2,3,$$\hat{\mathcal{M}}$上$\cdots$が成り立っ。

3

ミウラ変換
等積アフィン中心平面曲線の空間$\mathcal{M}$の「複素化」$\mathcal{M}^{\mathbb{C}}$を$\mathcal{M}^{\mathbb{C}}=\{\gamma:S^{1_{C}}\mapsto \mathbb{C}^{2}\backslash \{0\};\det(\gamma, \gamma_{s})=1\}$

で「曲率」に対しても、の曲線で定める。
とができ、 1 節で述べたことは形式的にはすべて成り立っ。
$\mathbb{C}^{2}$$\gamma\in \mathcal{M}^{\mathbb{C}}$$\gamma_{ss}=-\kappa\gamma$$\kappa$を定義するこ29
前節で扱ったユークリッド平面曲線
よって
わ
とみなし、
:
$S^{1}$$\hat{\gamma}$$\hat{\gamma}\in\hat{\mathcal{M}}$に対して、 自然な同一視$E^{2}\cong \mathbb{C}$に$\mathbb{C}$$\gamma=\Phi(\hat{\gamma})=(-\hat{\gamma}_{s})^{\frac{1}{2}}(\begin{array}{l}\hat{\gamma}1\end{array})$

とおく。 このとき、$\gamma\in \mathcal{M}^{\mathbb{C}}$となり 1)。

$\hat{\gamma}$の $ffi$ 率 を$\hat{\kappa}$とすると、$\gamma$の曲率$\kappa$

は$\kappa=\frac{\sqrt{-1}}{2}\hat{\kappa}_{s}+\frac{1}{4}\hat{\kappa}^{2}$で与えられる。 これは、 変形 $KdV$ 方程式の解と $KdV$ 方程式の解との問の良く知は変形 $KdV$ 階層に対応られたミウラ変換に他ならない。 この対応 :する運動とそのハミルトン系を、 $KdV$ 階層に対応する運動とそのハミルトン系にうつす ([5]) が、 さらに双ハミルトン系の間の対応も与えていることがいえる。
れらをまとめて、 定理の形で書くと、$\Phi$$\hat{\mathcal{M}}arrow \mathcal{M}^{\mathbb{C}}$

こ

定理 3

階層に対応する上の双ハミルトン系とし、を変形 $KdV$ 階層に対応する廻上の双ハミルトン系とするとき、を$(\omega_{0}, \omega_{1}, \{H_{n}\})$$(\hat{\omega}_{0},\hat{\omega}_{1}, \{\hat{H}_{n}\})$$\Phi^{*}\hat{\omega}_{0}=\omega_{0}$

,

$KdV$

$\mathcal{M}^{\mathbb{C}}$$\Phi^{*}\hat{\omega}_{1}=\omega_{1}$,$\Phi^{*}\hat{H}_{n}=H_{n}$$(n=1,2,3, \cdots)$が成り立っ。

4複素双曲線内の曲線の運動

複素双曲線 $C=\{(z, w)\in \mathbb{C}^{2};zw=1\}$ 内の閉曲線全体のなす空間を書く。 $\gamma=(z, w)\in \mathcal{M}_{B}$ に対して、 $\tau=z_{s}/z(=-w_{s}/w)$ とおき、 の曲率$\kappa=-\sqrt{-1}\tau_{s}/\tau$ で定義する。

$\mathcal{M}_{B}$$\gamma$内の曲線の運動
は
し、 曲率
$C$

$\gamma(\cdot, t)$に対して、$\gamma_{t}=\mu\gamma_{s}$を満たす$S^{1}$

上の関数

$\mu$

$\kappa$

と

を

が存在

$\kappa(\cdot, t)$$\kappa_{t}=-\sqrt{-1}\mu_{ss}+\kappa\mu_{s}+\kappa_{s}\mu=\Omega_{B}\mu_{s}$,$\Omega_{B}=-\sqrt{-1}D_{s}+\kappa+\kappa_{s}D_{s}^{-1}$に従って時間発展する (はバーガース方程式の回帰作用素と呼ばれる)。 特にを満たす運動に対しては、 曲率はバーガース方程式$\Omega_{B}$$\gamma_{t}=\kappa\gamma_{s}$$\kappa_{t}=\Omega_{B}\kappa_{s}=-\sqrt{-1}\kappa_{ss}+2\kappa\kappa_{s}$に従う。 一般に $n=1,2,3,$$\cdots$に対して、 運動が$\gamma_{t}=(D_{s}^{-1}\Omega_{B}^{n-1}\kappa_{s})\gamma_{s}$1 厳密には$)$$\gamma$は$(\mathbb{C}^{2}\backslash \{0\})/\{\pm 1\}$の閉曲線であるが、 以下の議論に本質的な影響はない。

30を満たすときは、 曲率は$n$

次バーガース方程式$\kappa_{t}=\Omega_{B}^{n}\kappa_{s}$に従う。

上のハミルトン系として記述すること
バーガース階層に対応する運動も、ができる ([3,4]) が、実はさらに (無限) 多重ハミルトン系としての記述を持つ。以$\mathcal{M}_{B}$下、 その要点を述べる。
をにおける接空間
上の $(0,2)-$ テンソル場に対して、$\gamma\in.\mathcal{M}_{B}$$0,1,2,$$\cdots$と同一視して、 $k=$$\{\mu\gamma_{s};\mu:S^{1}arrow \mathbb{C}\}$$T_{\gamma}(\mathcal{M}_{B})$$\mathcal{M}_{B}$$\omega_{k}$を,$( \omega_{k})_{\gamma}(\mu\gamma_{s},\tilde{\mu}\gamma_{s})={\rm Im}\int_{S^{1}}(-\sqrt{-1})^{k}(D_{s}^{k}(\mu\tau))\cdot\overline{\tilde{\mu}\tau}ds$$\mu\gamma_{s},\tilde{\mu}\gamma_{s}\in T_{\gamma}(\mathcal{M}_{B}),$で定める。 また、$\mathcal{M}_{B}$上の関数$H_{n},$$n=1,2,3,$$\cdots$$\gamma\in \mathcal{M}_{B}$を$H_{n}= \frac{1}{2}{\rm Re}\int_{S^{1}}(-\sqrt{-1})^{n-1}(D_{s}^{n-1}\tau)\overline{\tau}ds$.

で定める。 このとき、 次のことが成り立っ。
定理 4

(i)

$\omega_{k},$$k=0,1,2,$$\cdots$

はすべて、$\mathcal{M}_{B}$上の前シンプレクティック形式

である。

(ii)

$n$

次バーガース方程式に対応する運動は、ハミルトン系$(\omega_{k}, H_{n+k})$で与えられる。 すなわち、$dH_{n+k}=\omega_{k}((D_{s}^{-1}\Omega_{B}^{n-1}\kappa_{s})\gamma_{s},$$\cdot)$,$k=0,1,2,$$\cdots,$$n=1,2,3,$$\cdots$が成り立っ。
上の (無限) 多重前シ
この意味で、バーガース階層に対応する曲線の運動はとしてによる (無限) 多重ハミルトン系
ンプレクティック構造$\mathcal{M}_{B}$$(\{\omega_{k}\}, \{H_{n}\})$$\{\omega_{k}\}$記述される。

1 節で述べた $KdV$ 階層に対応する曲線の運動については双ハミルトン系どまりで、 多重ハミルトン系としての記述を可能にするような前シンプレクティックによる等高面構造は、 もうこれ以上は入らないと思われる。 しかし、 実は$\mathcal{M}_{1}=\{H_{1}=c\}$ (は定数) 上でならば、 第三の前シンプレクティック形式を定義することができ、 曲線の運動は 「三重」 ハミルトン系として記述することができ$H_{1}$$c$

る。 その結果を簡単にまとめて述べておこう。

今、$\sigma$を$\sigma(\alpha\gamma+\beta\gamma_{s})=2\alpha\gamma$,$\alpha\gamma+\beta\gamma_{s}\in T(\mathcal{M})$成分しか持たの接ベクトル $X$ に対して、 $(D_{s}^{2}+\kappa)X$ はとおく。 一般にの像にはいる。 そこで、に接しているときは $X$ はず、 さらに $X$ が等高面$\mathcal{M}$$\gamma$$\mathcal{M}_{1}$$\sigma$31$\gamma\in \mathcal{M}_{1},$に対して、$X,$ $Y\in T_{\gamma}(\mathcal{M}_{1})$$( \omega_{2})_{\gamma}(X, Y)=\int_{S^{1}}\det(X, (D_{s}^{2}+\kappa)\circ\sigma^{-1}o(D_{s}^{2}+\kappa)Y)ds$.

と定義する。 このとき、.

$\omega_{2}$は$\mathcal{M}_{1}$上の前シンプレクティック形式であり、$dH_{n+2}=\omega_{2}(X_{n}, \cdot),$

なお、 上の$\sigma$$n=1,2,3,$を用いると、$\omega_{0},$$\omega_{1}$$\cdots$を満たす。

は$( \omega_{0})_{\gamma}(X, Y)=\int_{S_{1}}\det(X, \sigma(Y))ds$$( \omega_{1})_{\gamma}(X, Y)=\int_{S^{1}}\det(X,$$(D_{s}^{2}+\kappa)\circ\sigma^{-1}(\sigma(Y)))ds$と書きなおす事ができる。従って、 たとえば
$c_{1},$$H_{2}=c_{2}\}$$(H_{1}, H_{2})$による等高面 $\mathcal{M}_{2}=\{H_{1}=$においては、$( \omega_{3})_{\gamma}(X, Y)=\int_{S^{1}}\det(X, (D_{s}^{2}+\kappa)\circ\sigma^{-1}\circ(D_{s}^{2}+\kappa)\circ\sigma^{-1}o(D_{s}^{2}+\kappa)Y)ds$とすれば、 運動の 「四重」 ハミルトン系としての記述が与えられるであろう事などが容易に予想されるが、 一般の場合の証明は今後の課題である。

参考文献[1] K.-S. Chou and C.-Z. Qu, The $KdV$ equation and motion of plane curves, J.
Phys. Soc. Japan, 70(2001), 1912-1916.
[2] K.-S. Chou and C.-Z. Qu, Integrable equations arising from motions of plane
curves, Phys. $D,$ $162$ (2002), 9-33.
[3] A. Fujioka and T. Kurose, Motions of curves in the complex hyperbola andthe Burgers hierarchy, Osaka Journal of Mathematics, 45(2008), 1057-1065.
[4] A. Fujioka and T. Kurose, Geometry of the space of closed curves in thecomplex hyperbola, Kyushu Journal of Mathematics, 63(2009), 161-165.
[5] A. Fujioka and T. Kurose, Hamiltonian formalism for the higher $KdV$ flows
on the space of closed complex equicentroaffine curves, International Journalof Geometric Methods in Modern Physics, 7(2010), 165-175.

32[6] 井ノロ順一，曲線とソリトン (開かれた数学 4), 朝倉書店，2010.
[7] 黒瀬俊，Motion of equiaffine plane curves associated with the Sawada-Kotera
equation, “福岡大学微分幾何研究会 Geometry and Something 2008. 11.21-24,

Fukuoka” 講演録，99-103.
[8] U. Pinkall, Hamiltonian flows on the space of star-shaped curves, Results
Math., 27(1995), 328-332.