数理解析研究所講究録
第 1795 巻 2012 年 59-69

59

KR クリスタルのテンソル積と Demazure クリスタル
直井 克之 (Katsuyuki Naoi)

東京大学大学院数理科学研究科

Graduate School of Mathematical Sciences,
The University of Tokyo
概要

Kirillov-Reshetikhin (KR) クリスタルは重要な有限クリスタルの族であり、 そのテンソ
ル積にはエネルギー関数と呼ばれる Z 関数が組合せ論的に定義される。 このテンソル積を
Demazure クリスタルと呼ばれる最高ウェイトクリスタルの部分集合と関連付けることで、エネルギー関数こみのウェイト和をある種の線形作用素 (Demazure 作用素) を用いて表した、 とい
うのが [Naoa] の結果である。 本稿ではこの結果とその証明に関する概説を行う。 また [Naob]

では、 上の結果を用いて$A_{n}^{(1)\text{、}}D_{n}^{(1)}$型の場合に $X=M$ 予想に証明を与えた。 この結果についても簡単に触れたいと思う。

1 拡大アファイン Weyl 群とクリスタル$\mathfrak{g}$をアファインリー代数とし、 $I=\{0, \ldots, n\}$ でその添え字集合を表す (添え字づけは [Kac90] に従う)。 また$\mathfrak{g}$

、

れ

$90$

$\mathfrak{g}$$\emptyset 0\subseteq \mathfrak{g}$で $I_{0}=I\backslash \{0\}$ に対応する単純部分リー代数を表す。 $P$ およびのウェイト格子を表し、標準的に恥と $90$ の基本ウェイトとし、 $W$$W_{0}$、$\subseteq P$とみなす。 また $\Lambda_{i}(i\in I)$、$P_{0}$

でそれぞれ$\varpi_{l}(i\in I_{0})$をそれぞでそれぞれの Weyl 群を表す。

本節では拡大アファイン Weyl 群の各元 $w$ ごとに、 クリスタルの部分集合に新たなクリスタルの部分集合を対応させる写像几を構成する。 そのためにまず拡大アファイン Weyl 群について復習しておく。りを式で$\mathfrak{g}$$(\alpha_{0}, \alpha_{0})=2$の Cartan 部分代数、となるものとし、$P_{0}$$\alpha_{0},$$\ldots,$から$\alpha_{n}$を単純ルート、

$($

,

$)$

を

$\mathfrak{y}*$上の $W$ 不変双線形形への単射群準同型写像を$GL(\mathfrak{h}^{*})$$\lambda\mapsto t_{\lambda}:t_{\lambda}(\mu)=\mu+\{\mu, K\}\lambda-((\mu, \lambda)+\frac{1}{2}(\lambda, \lambda)\langle\mu, K\rangle)\delta$

により定義する ( $K$ は$\mathfrak{g}$の中心元、な正整数の列 $(a_{0}, \ldots, a_{n})$ と ($a_{\check{0}},$

任意の $i\in I$ に対し$\delta$$\ldots$$\sum_{j\in I}$

は零ルート)。 $A=(a_{ij})_{i,j\in I}$ を$i$のカルタン行列、 互いに素, a\v{n}) をそれぞれ

aijaj $=0$ ,任意の $i\in I$ に対しを満たす唯一つの列とし、 $i\in I_{0}$ に対し $c_{i}= \max\{1, a_{i}/a_{i}^{\vee}\}$ とおく以外の場合、 すべての$\mathfrak{g}$に対し $c_{i}=1$ である)。 また$M= \sum_{w\in W_{O}}Zw(\alpha_{0}/a_{0})$,$P_{0}$$(\mathfrak{g}$$\sum_{i\in I}a_{i}^{\vee}a_{ij}=0$がの部分格子 $M$ と$B_{n\text{、}}^{(1)}C_{n\text{、}}^{(1)}F_{4}^{(1)\text{、}}G_{2}^{(1)}$$\overline{M}$を$\overline{M}=\bigoplus_{i\in I_{O}}Zc_{i}\varpi_{i}$により定義する。 $T(M)=\{t_{\lambda}|\lambda\in M\}$ とおくとき、 $W\cong W_{0}\ltimes T(M)$ となる。 $T(\overline{M})=$$\{t_{\lambda}|\lambda\in\overline{M}\}$とおき、$\overline{W}=W_{0}\ltimes T(\overline{M})$を拡大アファイン Weyl 群と呼ぶ。基本チャンバー

60を不変にする元からなる$C=\{\lambda\in \mathfrak{h}_{R}^{*}=\mathbb{R}\otimes_{Z}P|(\lambda, \alpha_{i})\geq 0(i\in I)\}$

す。 このとき$\overline{W}\cong W_{\aleph}\Sigma$が成り立ち、 またに対し$\tau\in\Sigma$$\tau(\alpha_{i})=\alpha_{\tau(i)}$$\overline{W}$の部分群をとすることで$\Sigma$$\Sigma$はで表$\mathfrak{g}$のDynkin 図形の自己同型群の部分群と同一視できる。
$\mathfrak{g}$の量子展開環を $U_{q}(g)$数を$U_{q}’(\mathfrak{g})$稿では、で表す。 また、$90$$U_{q}’(\mathfrak{g})$の量子展開環を$U_{q}(\mathfrak{g}_{0})$のウェイト格子を$P_{c1}$とし、$U_{q}(\mathfrak{g})$から次数作用素を除いた部分代で表し、 cl: $Parrow P_{c1}$ を標準的な射とする。本クリスタルと $U_{q}’(g)$ クリスタルをまとめてクリスタルと呼ぶことにする。 クリスタ

$U_{q}(\mathfrak{g})$ルの定義については [HK02] を参照していただきたい。
$B$をクリスタルとし、 $\tau\in\Sigma$ とする。 このとき新たなクリスタル

デ (B) $=\{\tilde{\tau}(b)|b\in B\}\cong B$$\tilde{\tau}(B)$を、集合としてはウェイト関数と柏原作用素は、

wt $(\tau(b))=\tau(wt(b))$ ,$\tilde{e}_{i}\tilde{\tau}(b)=\overline{\tau}(\tilde{e}_{\tau^{-1}(i)}b)$,$\overline{f_{i}}\overline{\tau}(b)=\tilde{\tau}(\overline{f_{\tau^{-1}(i)}}b)$により定義する。 また $B$ の部分集合 $S$ と $w\in W$ に対し $w$ の最短表示 $w=s_{i_{k}}\cdots s_{i_{1}}$ を一つ選び、$B$の新たな部分集合為 $(S)$ を$\mathcal{F}_{w}(S)=\{\tilde{f_{i_{k}}}^{j_{k}}\cdots\tilde{f_{i_{1}}}^{j_{1}}(b)|j_{1}, \ldots,j_{k}\in Z_{\geq 0}, b\in S\}\backslash \{0\}$によって定義する。一般には$\mathcal{F}_{w}$は $w$ の最短表示の選び方によるが、 $S$ が特別な部分集合である

場合 (例えば Demazure クリスタルの直和である場合。補足 32 参照) には$\mathcal{F}_{w}(S)$

選び方によらない (本稿で登場するのはすべてこのような場合である)。最後に$(w\in W, \tau\in\Sigma)$$\overline{W}$は最短表示のの元 $w’=w\tau$に対して、$\mathcal{F}_{w’}(S)=\mathcal{F}_{w}(\overline{\tau}(S))\subseteq\overline{\tau}(B)$により2を定義する。

$\mathcal{F}_{w’}(S)$KR クリスタル
本節では KR クリスタル及びエネルギー関数の定義と、後に必要な事実について述べる。

$K$

irillov-Reshetikhin $(KR)$ 加群

れる重要な既約有限次元$U_{q}’(\mathfrak{g})$$W^{r,\ell}$は、$I_{0}$

の元

$r$

と正整数

$\ell$

によってパラメトライズさ加群の族であり、様々な良い性質 $(T-system$ $Q-system$
、

、

フェルミ

型公式など) を持つことが知られている。その中でも以下の性質が本稿では特に重要である。

定理 2.1 ([OS08]).

底$B^{r,\ell}$を持つ。

$B^{r,\ell}$$\mathfrak{g}$が非例外型 (すなわち $90$ が古典型) のとき、 任意の KR 加群$r$ 、$\ell$

以下本稿ではは結晶基

を Kirillov-Reshetkihin (KR) クリスタルと呼ぶ。

補足 22. 上の定理はすべてのろ (一部の$W^{r,\ell}$$\mathfrak{g}$に対し成り立つと期待されているが、 例外型に対しては今のとこを除いて) 証明は与えられていない。
$g$を非例外型と仮定する。

$B^{r,\ell}$はウェイトが$\ell\varpi_{r}$となる元を唯一つ持つ。以下この

元を $u(B^{r,\ell})$ と表す。 また KR クリスタルのテンソル積に対しても$u(B^{r_{1},\ell_{1}}\otimes\cdots\otimes B^{r_{p},\ell_{p}})=u(B^{r_{1},\ell_{1}})\otimes\cdots\otimes u(B^{r_{p},\ell_{p}})$とおく。
以下の KR クリスタルの性質は、 Schilling と Tingley によって示された。

61
命題 23 $([ST])$. 任意の KR クリスタル$\rho_{\tau}:\overline{\tau}(B^{r,\ell})arrow\sim B^{r,\ell}$

この命題により、と $\tau\in\Sigma$ に対し、

$B^{r,\ell}$$U_{q}’(\mathfrak{g})$クリスタルとしての同型が一意に存在する。
$\tau\in\Sigma$に対し$B^{r,\ell}$上の作用素$\tau$: $B^{r,l}arrow B^{r,l}$ を$\tau(b)=\rho_{\tau}(\tilde{\tau}(b))$と定めることで$\Sigma$の $B^{r.l}$ への作用を定義できる。 この作用は$\tau\circ\tilde{e}_{i}=\tilde{e}_{\tau(i)^{0\mathcal{T}}}$,$\tau\circ\overline{f_{i}}=\tilde{f_{\tau(i)}}0\tau$を満たす。
$U_{q}’(\mathfrak{g})$クリスタルには完全性という概念が定義されており、 本稿の主定理 (定理 41) は完全なKR クリスタルに対して定式化されるものである。そこでここで完全クリスタルについて復習しておく。

$U_{q}’(\mathfrak{g})$クリスタル $B$ に対し$\epsilon,$$\varphi:Barrow P_{c1}$$\epsilon(b)=\sum_{i\in I}\epsilon_{i}(b)\Lambda_{i}$

,

をそれぞれ
$\varphi(b)=\sum_{i\in I}\varphi_{i}(b)\Lambda_{i}$と定義する。 このとき wt $(b)=\varphi(b)-\epsilon(b)$ が成り立つ。 また wt $(B)\subseteq P_{c1}^{0}:=\{\lambda\in P_{c1}|\langle\lambda, K\}=$$0\}$となるとき $B$ のレベル lev $(B)$ をlev$(B)= \min_{b\in B}\{\varphi(b),$ $K \rangle=\min_{b\in B}\{\epsilon(b), K\}$で定義し、 また $B$ の部分集合 $B_{\min}$ を$B_{\min}=\{b\in B|\{\varphi(b),$ $K\}=$

lev $(B)\}$$=\{b\in B|\langle\epsilon(b), K\}=$

lev $(B)\}$により定義する。

.

定義 2.4 $([KKM^{+}92])$ 正整数
ル$\ell$$\ell$

に対し$U_{q}’(\mathfrak{g})$クリスタル $B$ が以下の条件を満たすとき、 $B$ はレベの完全クリスタルであるという。

(i) $B$ はある有限次元-加群の結晶基底に同型である。
(ii) $B\otimes B$ は連結である。
(iii) あるが存在して wtを満たし、 またウェイトが$U_{q}’(\mathfrak{g})$$\lambda\in P_{c1}^{0}$$(B) \subseteq\lambda-\sum_{i\in l_{0}}Z_{\geq 0}\alpha_{i}$$\lambda$となるよ

うな $B$ の元がただ一つ存在する。

(iv) $B$ のレベルは である。
(v) 二つの写像 と がともに$p$$\epsilon$$\varphi$$B_{\min}$から$(P_{c1}^{+})^{\ell}:=\{\lambda\in P_{c1}|\{\lambda, K\rangle=\ell, \langle\lambda, \alpha_{i}^{\vee}\rangle\geq 0(\forall i\in I)\}$への全単射を誘導する。
$P^{+}$を$\mathfrak{g}$の支配的整ウェイトの集合とする。 このとき任意のウェイト加群た$\lambda=$cl$(\Lambda)$$V(\Lambda)$は結晶基底を持つ。 これをとおくとき、$B(\lambda)$

で $B(\Lambda)$ を$B(\Lambda)$$U_{q}’(\mathfrak{g})$$\Lambda\in P^{+}$

に対し、$U_{q}(\mathfrak{g})$と表し、その最高ウェイト元を$u_{\Lambda}$の既約最高で表す。 まクリスタルとみなしたものを表す。 このとき完全クリスタルに対して以下の定理が成り立つ。
定理 2.5 $([KKM^{+}92])$.

$B$を完全クリスタルとし $b\in B_{\min}$ とする。 このときして$B(\epsilon(b))\otimes Barrow\sim B(\varphi(b))$$U_{q}’(\mathfrak{g})$クリスタルと

62が成り立ち、 またこの同型は$u_{\epsilon(b)}\otimes b$を$u_{\varphi(b)}$へうつす。

KR クリスタルがいつ完全となるかは、以下の定理によって与えられる。
定理 2.6 ([FOSIO]).

$B^{r,\ell}$

は $\ell/c_{\tau}\in Z$ となる場合のみ完全であり、 そのレベルは$\ell/c_{r}$である$(c_{r}$は 1 節で定義された)。

続いてエネルギー関数の定義にっいて述べる。エネルギー関数の定義は少々煩雑ではあるが、 本
稿の主定理に直接関わる対象であるため詳細な定義を与えておく。

$B_{1\text{、}}B_{2}$をそれぞれ KR クリス

タルのテンソル積とするとき、 普遍的 $R$ 行列の存在から以下が示される。

定理 27. (i)(ii)$U_{q}’(\mathfrak{g})$クリスタルの同型 $\sigma:B_{1}\otimes B_{2}arrow B_{2}\otimes B_{1}$ が存在する。

$b_{1}\in B_{1\text{、}}b_{2}\in B_{2}$に対し$\sigma(b_{1}\otimes b_{2})=\overline{b}_{2}\otimes\tilde{b}_{1}$とおくとき$H(\overline{e}_{i}(b_{1}\otimes b_{2}))$$=\{\begin{array}{ll}H(b_{1}\otimes b_{2})+1 i=0,\tilde{e}_{0}(b_{1}\otimes b_{2})=\tilde{e}_{0}b_{1}\otimes b_{2}, \tilde{e}_{0}(\tilde{b}_{2}\otimes\tilde{b}_{1})=\tilde{e}_{0}\tilde{b}_{2}\otimes\tilde{b}_{1},H(b_{1}\otimes b_{2})-1 i=0,\tilde{e}_{0}(b_{1}\otimes b_{2})=b_{1}\otimes\tilde{e}_{0}b_{2}, \tilde{e}_{0}(\tilde{b}_{2}\otimes\overline{b}_{1})=\tilde{b}_{2}\otimes\tilde{e}_{0}\overline{b}_{1},H(b_{1}\otimes b_{2}) \text{それ以外}\end{array}$を満たし、 また $H(u(B_{1}\otimes B_{2}))=0$ となる関数 $H:B_{1}\otimes B_{2}arrow Z$ が唯一つ存在する。

KR クリスタルのテンソル積$B$に対し、 エネルギー関数 $D:Barrow Z$ は $H$ を用いて以下のように定義される。

(i) $B=B^{r,\ell}$ のとき$D(b)=H(m’(B)\otimes b)-H(m’(B)\otimes u(B))$と定める。 ここで $m’(B)$ は $\varphi(m’(B))=$ lev $(B)$ Ao となる唯一の元であるが完全でない場合$(B^{r,\ell}$にも、 このような元が唯一つ存在することが知られている)。

(ii)$B=B^{r_{p},\ell_{p}}\otimes\cdots\otimes B^{r_{1},\ell_{1}}$のとき、 $b=b_{p}\otimes\cdots\otimes b_{1}\in B$ と $1\leq i\leq j\leq p$ に対し$B^{r_{j}},\otimes\cdots\otimes B^{r_{l+1}},1\otimes B^{r,\ell:}arrow\sim B^{r}:,\otimes B^{r_{j}},\otimes\cdots\otimes B^{r_{*+1}}\cdot$$b_{j}\otimes\cdots\otimes$$b_{i+1}$$arrow\sim$$\otimes$$b_{i}$$b_{i}^{(j)}$$\otimes\tilde{b}_{j}$$b_{i}^{(j)}$を,$\otimes\cdots\otimes\tilde{b}_{i+1}$(2.1)

により定め、$D(b)= \sum_{1\leq i\leq p}D(b_{i}^{(p)})+\sum_{1\leq i<j\leq p}H(b_{j}\otimes b_{i}^{(j-1)})$と定義する。このとき定義から以下が示せる。

補題 2.8. KR クリスタルのテンソル積$1\leq i\leq p\}$

$B=B^{r_{p},\ell_{p}}\otimes\cdots\otimes B^{r_{1},\ell_{1}}$とおく。 このとき $b\in B$ が $\epsilon_{0}(b)>P$ であるならば、$D(\tilde{e}_{0}(b))=D(b)-1$が従う。

に対し、 $P= \max\{$ lev$(B^{r_{*},\ell_{:}})|$

63
3 Demazure クリスタル
本節では Demazure クリスタルの定義及び、 後に必要な事実について述べる。

定義 31([Kas93]).

$\Lambda\in P^{+}$と $w\in W$ に対し、$B(\Lambda)$の部分集合$B_{w}(\Lambda)=\mathcal{F}_{w}(u_{\Lambda})$を Demazure クリスタルと呼ぶ。

補足 32.

$B_{w}(\Lambda)$

は$\mathcal{F}_{w}$の定義における $w$ の最短表示の選び方によらないことが知られている[Kas93]。この事実を用いることで、 より一般に几

は $w$ の最短表示の選び方によらないこ$B_{w’}(\Lambda)$とも示すことができる。

以下の定理は組合せ論的エクセレントフィルトレーション定理と呼ばれる。

.

定理 3.3 [LLM02], $[Jos03])$ 任意の$($と $w\in W$ に対し、$\Lambda’\in P^{+}$$\Lambda$、$u_{\Lambda}\otimes B_{w}(\Lambda’)\subseteq B(\Lambda)\otimes B(\Lambda’)$は Demazure クリスタルの直和となる。

各 $i\in I$ に対し、 $P$ の群環 $Z[P]$ 上の作用素$D_{i}$

を$D_{i}(f)= \frac{f-e^{-\alpha_{i}}\cdot s_{i}(f)}{1-e^{-\alpha_{i}}}$と定義し、 これを Demazure 作用素と呼ぶ。 ただし$s_{i}$

は $Z[P]$ に$e^{\lambda}\mapsto e^{s_{i}(\lambda)}$で作用する。 $W$ の

元 $w$ に対し $w=s_{i_{k}}\cdots s_{i_{1}}$ を最短表示とするとき、$D_{w}=D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}$は最短表示の選び方によらないことが知られており $[Kum02]$、

また Demazure クリスタルのウェイ

ト和は Demazure 作用素を用いて以下のように求めることができる。

定理 3.4 ([Kas93]). 任意の Demazure クリスタル$B_{w}(\Lambda)$

に対し、$\sum_{b\in B_{w}(\Lambda)}e^{wt(b)}=D_{w}(e^{\Lambda})$

が従う。
後のために
$w\in\overline{W}$$D_{w}$

を$w\in\overline{W}$にまで拡張しておく。

が $w=w’\tau(w’\in W, \tau\in\Sigma)$$\tau\in\Sigma$の $Z[P]$ への作用を$e^{\lambda}\mapsto e^{\tau(\lambda)}$と定め、と表されるとき $D_{w}=D_{w’}\tau$ とおく。 このとき定理 34 から以下が示せる。

命題 3.5. 任意の$w\in\overline{W}$と Demazure クリスタル$B_{w’}(\Lambda)$

に対し$\mathcal{F}_{w}B_{w’}(\Lambda)$

クリスタルとなり、$\sum_{b\in \mathcal{F}_{w}B_{w’}(\Lambda)}e^{wt(b)}=D_{w}(\sum_{b\in B_{w’}(\Lambda)}e^{wt(b)})$はやはり Demazure

64
が従う。
の最長元を

$W_{0}$$w_{0}$とする。 また $r\in I_{0}$ に対し $w^{r}\in W$$\tau^{r}\in\Sigma$、を$t_{c_{r}w_{\text{。}}(\varpi_{r})}=w^{r}\tau^{r}$となる元として定義する。 このとき完全 KR クリスタル $B=B^{r,c_{r}\ell}$ に対し $m(B)\in B$ を $\epsilon(m(B))=\ell\Lambda_{0}$ となる唯一の元とすると、 $\varphi(m(B))=\ell\Lambda_{\tau^{r}(0)}$ となることが知られている。 このことと定理 25 から、$U_{q}’(g)$クリスタルとしての同型$B(P\Lambda_{0})\otimes B$

二$B(\ell\Lambda_{\tau^{r}(0)})$が得られる。 このとき完全 KR クリスタルと Demazure クリスタルは、以下の定理により関係づけられる。

定理 3.6 ([ST]). 上の同型において、$u_{\ell\Lambda_{O}}\otimes B$の像は Demazure クリスタル$B_{w^{r}}(\ell\Lambda_{\tau^{r}(0)})$

に一致

する。

4 主定理
以下が [Naoa] の主定理である。

定理 41.

$p$個の完全 KR クリスタル仮定する。 このとき

$U_{q}’(\mathfrak{g})$$B_{j}=B^{r_{g},c_{r_{j}}\ell_{g}}$の列$B_{1},$$\ldots,$$B_{p}$

が $p_{1}\leq\cdots\leq P_{p}$ を満たすとクリスタルの充満部分グラフとしての同型$\Psi:u_{\ell_{p}\Lambda_{O}}\otimes B_{p}\otimes\cdots\otimes B_{1}$$arrow\sim \mathcal{F}_{t_{c_{r_{p^{w}}o(\varpi_{r_{p}})}}}(u_{(\ell_{p}-\ell_{p-1})\Lambda ow(\varpi_{f})}\otimes\cdots\otimes \mathcal{F}_{t_{c_{ro}}}22(u_{(\ell_{2}-\ell_{1})\Lambda_{O}}\otimes \mathcal{F}_{t_{c_{r}w(\varpi_{r_{1}})}}10(u_{\ell_{1}A_{O}}))\cdots)$

で、 各 $b\in B_{p}\otimes\cdots\otimes B_{1}$ に対し$D(b)=-\langle wt\Psi(u_{\ell_{p}}Ao\otimes b),$ $d\rangle+C$となるものが存在する。 ただし$d\in \mathfrak{h}$(41)は次数作用素、 $C$ はある定数とする。

定理 33 と命題 35 より、 定理 4.1 の右辺は Demazure クリスタルの直和となる。 このことと命

題 35 から帰納的に、右辺のウェイト和は$D_{t_{c_{r_{pO}}(\varpi_{r_{p}})}}(e^{(\ell_{p}-\ell_{p-1})\Lambda_{0}}\cdots D_{t_{c_{r\cdot o(\varpi_{f})}}}2^{D}2(e^{(\ell_{2}-\ell_{1})\Lambda_{0}}\cdot D_{t_{c_{r_{1}^{w}o(\varpi_{r_{1}})}}}(e^{\ell_{1}\Lambda_{0}}))\cdots)$と表される。よって系として以下が示せる。
系 4.2. $B=B_{p}\otimes\cdots\otimes B_{1}$ とおくとき、エネルギー関数こみの $B$ のウェイト和は Demazure 作用
素を用いて$\sum_{b\in B}q^{D(b)}e^{wt(b)}$$=q^{C}e^{-\ell_{p}\Lambda_{O}}D_{t_{\circ r_{p^{w}o(\varpi_{r_{p}})}}}(e^{(\ell_{p}-\ell_{p-1})\Lambda_{O}}\cdots D_{t_{c_{roo(\varpi_{r_{1}})}}}(e^{(\ell_{2}-\ell_{1})\Lambda_{O}}\cdot D_{t_{c_{r_{1}}w}}(e^{\ell_{1}\Lambda_{O}}))2^{w(\varpi_{r_{2}})}\ldots)$と表すことができる。ただし wt $(b)\in P_{c1}$ は標準的な埋め込みにより $P$ の元とみなし、 $q=e^{-\delta}$ と
おいた。

65
5 主定理の証明
本節では定理 41 の証明の概略を述べる。 まず充満部分グラフの同型$\Psi$

を帰納的に構成する。

$p=1$ のときは、 定理 36 により同型$u_{\ell_{1}\Lambda_{0}}\otimes B_{1}arrow\sim \mathcal{F}_{t_{r_{r_{1}}w_{0}(\varpi_{r_{1}})}}.(u_{\ell_{1}\Lambda_{O}})=B_{w^{r_{1}}}(\ell_{1}\Lambda_{\tau^{r_{1}}(0)})$が得られる。 よって同型$\Psi’:u_{l_{p-1}\Lambda_{O}}\otimes B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1}$$arrow \mathcal{F}_{t_{c_{r_{p}-1^{w}0(\varpi_{r_{p-1}})}}}\sim(u_{(\ell_{p-1}-\ell_{p-2})\Lambda o(\varpi_{r})}\otimes\cdots\otimes \mathcal{F}_{t_{c_{r_{2^{w}}02}}}(u_{(p_{2}-p_{1})\Lambda_{0}}\otimes \mathcal{F}_{t_{c_{r_{1^{w}}0(\varpi_{r_{1}})}}}(up_{1}\Lambda_{O}))\cdots)$が与えられているという仮定の下で、$\Psi$

を構成すればよい。 まず定理 36 より$u_{p_{p}}\Lambda_{O}\otimes B_{p}\otimes B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1}arrow\sim \mathcal{F}_{w^{r_{p}}}(u_{l_{p}\Lambda_{\tau}r_{p(0)}})\otimes B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1}$が従う。 またテンソル積の定義から$\mathcal{F}_{w^{r_{p}}}(u_{\ell_{p}\Lambda_{\tau}r_{p(0)}})\otimes B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1}=\mathcal{F}_{w^{r_{p}}}(u_{\ell_{p}\Lambda_{\tau^{r_{p}}(0)}}\otimes B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1})$が示せる。 このとき命題 23 より$\mathcal{F}_{w^{r_{p}}}(u_{\ell_{p}\Lambda_{\tau^{r}P(0)}}\otimes B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1})arrow\sim \mathcal{F}_{w^{r_{p}}}(u_{\ell_{p}\Lambda_{\tau^{r_{p}}(0)}}\otimes^{\wedge p}\tau(B_{p-1})\otimes\cdots\otimes$

ぞ p $(B_{1}))$$arrow\sim \mathcal{F}_{w^{r_{P}}}\circ\tilde{\tau}^{r_{p}}(u_{\ell_{p}\Lambda_{0}}\otimes B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1})$$arrow\sim \mathcal{F}_{t_{c_{r_{p^{W}0}}(\varpi_{r_{p}})}}(u_{(p_{p}-\ell_{p-1})\Lambda_{O}}\otimes(u_{\ell_{p-1}\Lambda_{O}}\otimes B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1}))$となる。最後に内側の $()$ に$\Psi’$を施すことで$\Psi:u_{\ell_{p}\Lambda_{0}}\otimes B_{p}\otimes\cdots\otimes B_{1}$$arrow \mathcal{F}_{t_{c_{r_{p}}w_{0}(\varpi_{r_{p}})}}\sim(u_{(p_{p}-\ell_{p-1})\Lambda_{O}}\otimes\cdots\otimes \mathcal{F}_{t_{c_{r_{2^{w_{0}(\varpi_{r}}2}}}})(u_{(\ell_{2}-\ell_{1})\Lambda_{0}}\otimes \mathcal{F}_{t_{c_{r_{1^{w}}o(\varpi_{r_{1}})}}}(u_{\ell_{1}\Lambda_{O}}))\cdots)$が構成できる。上の構成を図式で表すと、$up_{p-1}\Lambda 0^{\otimes B_{p}}$$p-1^{-l_{p-2})\Lambda 0^{\otimes\cdots)}}$$-1\otimes\cdots\otimes B_{1}arrow\cong,$$\mathcal{F}_{t_{c_{p-1}w_{O}(\varpi_{r_{p-1}})}}(u_{(l}\Psi$$\cong\{$ $\psi$$\cong\{$ $\varphi$$\tilde{\tau}^{r_{p}}(u_{(l_{p}-l_{p-1})\Lambda o(\varpi_{r_{p-1}})}\otimes \mathcal{F}_{t}(\cdots))r^{c_{r_{p-1^{w}}o}}$$u_{\ell_{p}\Lambda_{O}}\otimes m(B_{p})\otimes r^{B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1}}$$u_{\ell_{p}\Lambda_{O}}\otimes B_{p}\otimes B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1}arrow\cong \mathcal{F}_{t_{c_{r_{p}}w_{0}(\varpi_{r_{p}})}}(u_{(\ell_{p}-\ell_{p-1})\Lambda_{0}}\otimes \mathcal{F}_{t_{c_{r_{p-1}}w_{0}(\varpi_{r_{p-1}})}}(\cdots))\Psi$となる。 ただし$\varphi$

は $b\in B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1}$ に対し$\varphi(u_{\ell_{p-1}\Lambda_{0}}\otimes b)=u_{\ell_{p}\Lambda_{0}}\otimes m(B_{p})\otimes\tau^{r_{p}}(b)$$\psi$

は$b\in \mathcal{F}_{t_{c_{p}-1^{w}0(\varpi_{r_{p-1}})}}(u_{(\ell_{p-1}-\ell_{p-2})\Lambda_{0}}\otimes\cdots)$に対し$\psi(b)=\tau^{p}\neg(u_{(l_{p}-\ell_{p-1})\Lambda_{0}}\otimes b)$、

66と定義された集合としての同型を表す。
上で構成されたが、 任意の $b\in B_{p}\otimes\cdots\otimes B_{1}$ に対し (4.1) を満たすことを示せば証明が完了$\Psi$する。 ある $i\in I_{0}$ に対し缶 $(b)\neq 0$ であるとき、 (4.1) の両辺は
い。 また

$b$

を亀 $(b)$ に取り替えても変わらなならば、補題 28 から $D(b)=D(\tilde{e}_{0}b)+1$ が従う。同時に$\epsilon_{0}(b)>\ell_{p}$$\Psi$

がクリスタルの同型であることから、$-\langle wt\Psi(u_{\ell\Lambda_{O}}\otimes b),$$d\rangle=-\langle wt\tilde{e}_{0}\Psi(u_{\ell_{p}\Lambda_{0}}\otimes b),$$d\}+1$$=-\langle wt\Psi(u_{\ell_{p}\Lambda_{0}}\otimes\tilde{e}_{0}(b)),$も従う。 よって$\epsilon(b)=\ell_{p}$Ao となる$b\in B_{p}\otimes\cdots\otimes B_{1}$$d\}+1$に対して (4.1) を示せば十分である。特に$p=1$ のときには、 $\{b\in B_{1}|\epsilon(b)=\ell_{1} Ao\}=\{m(B_{1})\}$ であるから定理が従う。以下 $p>1$ とし、$p-1$ に対して (41) を仮定する。 KR クリスタルのテンソル積 $B$ と正整数$\ell$

に対し$hw_{I_{0}}^{\leq\ell}(B)=\{b\in B|\epsilon_{0}(b)\leq\ell, \epsilon_{i}(b)=0(i\in I_{0})\}$と表し、 $B^{p-1}=B_{p-1}\otimes\cdots\otimes B_{1\text{、}}\tau=\tau^{r_{p}}$ とおく。 このとき $\varphi(m(B_{p}))=\ell_{p}\Lambda_{\tau(0)}$ であることから$\{b\in B_{p}\otimes B^{p-1}|\epsilon(b)=\ell_{p}\Lambda_{0}\}=m(B_{p})\otimes\tau(hw\leq\ell_{p}I_{0}(B^{p-1}))$となる。 また$b’\in hw_{I_{0}}^{\leq\ell_{p}}$を任意の元とすると、 上で述べた$\Psi$の構成法と帰納法の仮定からある定

数 $C’$ が存在して

wt

となる (

aff owt $(b’)+\ell_{p}\Lambda_{0}-(D(b’)-C’)\delta)$$\Psi(u_{\ell_{p}\Lambda_{O}}\otimes m(B_{p})\otimes\tau(b’))=\tau($$\varpi_{\tau^{-1}}^{\vee}(0)$$=aff\circ$wt $(\tau(b’))+\ell_{p}\Lambda_{\tau(0)}-(D(b’)-(wt(b’), \varpi_{\tau^{-1}(0)})-C’)\delta$$=aff\circ$wt $(\tau(b’))+\ell_{P}\Lambda_{\tau(0)}-(D(b’)-\langle wt(b’), \varpi_{(0)}^{\vee}\tau^{-1}\rangle-C’)\delta$

は基本余ウェイト)。 よって定理 41 を示すには以下の命題を示せば十分である。

命題 51. ある定数 $C$ が存在して、 任意の$b’=hw_{I_{O}}^{\leq\ell_{p}}(B^{p-1})$

に対し$D(m(B_{\rho})\otimes\tau(b’))=D(b’)-\langle wt(b’),$ $\varpi_{\tau^{-1}(0)}^{\vee}\rangle+C$が従う。

この命題の証明には以下の 3 つの補題が必要である (証明は [Naoa] を参照)。
補題 52.

$B_{1\text{、}}B_{2}$をそれぞれ KR クリスタルのテンソル積とし、 $b_{1}\in B_{1\text{、}}b_{2}\in B_{2}$ に対し$\sigma(b_{1}\otimes b_{2})=\tilde{b}_{2}\otimes\overline{b}_{1}$とおく。 このとき任意の$\tau\in\Sigma$に対し$H(b_{1}\otimes b_{2})-H(\tau(b_{1}\otimes b_{2}))=\{wt(b_{2})-$wt$(\tilde{b}_{2}),$$\varpi_{\tau^{-1}(0)}^{\vee}\rangle$が成り立っ。
補題 53. 二つの完全 KR クリスタル $B_{j}=B^{r_{j},c_{r_{j}}\ell_{j}}(j=1,2)$ が$b_{2}\in hw_{I_{0}}^{\leq\ell_{1}}(B_{2})$に対しある $b_{1}\in B_{1}$ が存在して$\sigma(m(B_{1})\otimes\tau^{r_{1}}(b_{2}))=$

となる。

碗

$\otimes b_{1}$$p_{1}\geq\ell_{2}$であるとき、 任意の67
補題 54. 二つの完全 KR クリスタル $B_{j}=B^{r_{j},c_{r_{j}}i_{g}}(j=1,2)$ が$C$が存在して任意の$b_{2}\in hw_{I_{0}}^{\leq l_{1}}(B_{2})$$p_{1}\geq\ell_{2}$であるとき、 ある定数に対し

$H(m(B_{1})\otimes\tau^{r_{1}}(b_{2}))=-\{wt(b_{2}), \varpi_{(\tau^{r_{1}})^{-1}(0)}^{\vee}\}+C$となる。
命題 51 の証明)て定義する。

$b’=b_{p-1}\otimes\cdots\otimes b_{1}$$\tau=\tau^{r_{p}}$とおくとき、$\tau(b_{j})\otimes\cdots\otimes\tau(b_{i+1})\otimes\tau(b_{i})$$\tau$とおき、 $1\leq i\leq j\leq p-1$ に対し bi(のを (2.1) と同様にしの作用と$\sigma$が可換であることは容易に確かめられる。 よって、の$B_{j}\otimes\cdots\otimes B_{i+1}\otimes B_{i}arrow\sim B_{i}\otimes B_{j}\otimes\cdots\otimes B_{i+1}$による像の左端のテンソル成分は$hw_{I_{0}}^{\leq l_{p}}(B_{j})$$\tau(b_{i}^{(j)})$となる。 また $b’\in hw_{I_{0}}^{\leq\ell_{p}}(B^{p-1})$ であるから $b_{j}^{(p-1)}\in$が成り立つ。 よって補題 53 により、 ある$b_{p}^{i}\in B_{p}$が存在して$\sigma(m(B_{p})\otimes\tau(b_{j}^{(p-1)}))=b_{j}^{(p-1)}\otimes b_{p}$となる。以上よりエネルギー関数は$D(m(B_{p}) \otimes\tau(b’))=D(m(B_{p}))+\sum_{1\leq j\leq p-1}D(b_{j}^{(p-1)})+\sum_{1\leq j\leq p-1}H(m(B_{p})\otimes\tau(b_{j}^{(p-1)}))$(5.1)$+ \sum_{1\leq i<j\leq p-1}H(\tau(b_{j})\otimes\tau(b_{i}^{(j-1)}))$となる。 補題 54 により、 各 $1\leq j\leq p-1$ に対して

$b_{j}^{(p-1)}$に依存しない定数$C_{j}$が存在して$H(m(B_{p})\otimes\tau(b_{j}^{(p-1)}))=-\langle wt(b_{j}^{(p-1)}),$ $\varpi_{\tau^{-1}(0)}^{\vee}\}+C_{j}$となる。 また各 $1\leq i<j\leq p$ に対し補題 52 から$H(\tau(b_{j})\otimes\tau(b_{i}^{(j-1)}))=H(b_{j}\otimes b_{i}^{(j-1)})-\{wt(b_{i}^{(j-1)})- wt(b_{i}^{(j)}), \varpi_{\tau^{-1}}^{\vee}(0)\}$が成り立つ。以上よりある定数 $C$ が存在して$(5.1)= \sum_{1\leq j\leq p-1}D(b_{j}^{(p-1)})+\sum_{1\leq i<j\leq p-1}H(b_{j}\otimes b_{i}^{(j-1)})-\sum_{1\leq j\leq p-1}\langle wt(b_{j}^{(p-1)}),$$- \sum_{1\leq i<j\leq p-1}\langle wt(b_{i}^{(j-1)})-wt(b_{i}^{(j)}),$$\varpi_{\tau^{-1}(0)}^{\vee}\rangle$$\varpi_{\tau^{-1}}^{\vee}(0)\}+C$$=D(b’)- \sum_{1\leq i\leq p-1}\{wt(b_{i}), \varpi_{\tau^{-1}(0)}^{\vee}\}+C$$=D(b’)-\{wt(b’),\varpi_{\mathcal{T}}^{v_{-1}}(0)\rangle+C$となる。

6 $X=M$ 予想$I_{0}\cross Z>0$

また

$P_{0}^{+}$の元の列 $\nu=((r_{1}, \ell_{1}), \ldots, (r_{p}, P_{p}))$ に対し、を $90$ の支配的整ウェイトの集合とし、$\lambda\in$$B^{\nu}=B^{r_{1},c_{r_{1}}\ell_{1}}\otimes\cdots\otimes B^{r_{p},c_{r_{p}}\ell_{p}}$P げとする。 このとき$B^{\nu}$

とおく。

上の 1 次元状態和68$X(B^{\nu}, \lambda, q)\in Z_{\geq 0}[q, q^{-1}]$は$q^{D(b)}$$X(B^{\nu}, \lambda,q)=$$\sum_{b\in B^{\nu}}$$\tilde{e}_{l}b=0(i\in I_{0})wt(b)=\lambda$

により定義される。 ch$V_{90}(\lambda)$

で最高ウェイト$\lambda$の既約$\emptyset 0$加群の指標を表すとき、 定義から$\sum_{b\in B^{\nu}}q^{D(b)}e^{wt(b)}=\sum_{\lambda\in P_{0}^{+}}X(B^{\nu}, \lambda, q)$

ch

(6.1)

$V_{90}(\lambda)$が成り立っ。
一方

$\nu$

と

$\lambda$

からはフェルミ型公式と呼ばれる多項式 $M(\nu, \lambda, q)$ も定義される$HKO^{+}02]$ 参照)。以下は定理 61.

が$\mathfrak{g}$$([HKO^{+}99$ ,[Naob] の主結果である。

$A_{n}^{(1)\text{、}}D_{n\text{、}}^{(1)}E_{n}^{(1)}$のいずれかである時、ある定数 $C$ が存在して$\sum_{\lambda\in P_{0}^{+}}M(\nu, \lambda,q)chV_{90}(\lambda)$$=q^{C}e^{-\ell_{p}\Lambda_{O}}D_{t_{w(\varpi_{r_{p}})}o}(e^{(\ell_{p}-\ell_{p-1})\Lambda_{0}}\cdots D_{t_{v(\varpi_{r_{2}})}},o(e^{(\ell_{2}-\ell_{1})\Lambda_{0}}\cdot D_{t_{\tau v(\varpi_{r_{1}})}o}(e^{\ell_{1}\Lambda_{0}}))\cdots)$となる。 ただし $q=e^{-\delta}$ とおいた。
$\mathfrak{g}$が上の定理の型のとき、全ての $r\in I_{0}$ に対して $c_{r}=1$ が成り立つ。 よって上の定理の右辺は系

42 の右辺と完全に一致している。 このことと ch$V_{\emptyset 0}(\lambda)$の線形独立性、 および簡単な係数比較により以下が示せる。 この等式は $X=M$ 予想と呼ばれており、 $[HKO^{+}99, HKO^{+}02]$ において予想されたものである。

系 62.

$\mathfrak{g}$が$A_{n}^{(1)}$または$D_{n}^{(1)}$である時、任意の$\lambda$に対し$q^{-D(u(B^{\nu}))}X(B^{\nu}, \lambda,q)=M(\nu, \lambda,q)$が成り立つ。

補足 6.3.

$A_{n}^{(1)}$型についてはこの結果の以前から、 [KSS02] によってすでに証明が与えられていた。

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