数理解析研究所講究録920 巻 1995 年 194-201

194

22.
実 2 次有理関数族のモジュライ空間について
日本大学 理工学部 数学科
藤村 雅代 (Masayo FUJIMURA)$\mathrm{J}$. Milnor [Mi192] により、 2 次有理関数族のモジュライ空間の研究がなされている。 これを基に、

実 2 次有理関数の空間から、 モジュライ空間を定める。 また、 2 次有理関数の力学的な性質の違いによって、 モジュライ空間を代数曲線で分類 1 する。
なお、 ここで必要な複素力学系の用語は [Mil] [Bea91] による。

22.1 準備
実 2 次有理関数の空間、 Rat2 (R) は次をみたす有理関数$f$:$\mathrm{R}\mathrm{U}\{\infty\}arrow \mathrm{R}\mathrm{U}\{\infty\}$からなる空間である。
$f(x)= \frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a0x^{z}+a1X+a_{2}}{b_{0}X^{2}+b_{1}X+b_{2}}$ただし、 $p(x)$ と $q(x)$ は、 互いに素な実係数多項式とし、空間 Rat2 (R) に M\"obius 変換群$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}_{1}(\mathrm{R})$

したがって、 Rat2 (R) の 2 つの $fi,$$f_{2}$

gofi $\circ g^{-1}=f_{2}$ となるとき、 $fi$ と$f_{2}$$0$にならないとする。

に対して、$\Rightarrow g\circ f\mathrm{o}g^{-\iota}\in \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}_{2}(\mathrm{R})$$g\in \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}_{1}(\mathrm{R})$が存在して、は holomorphically conjugate であるといい、 $fi\sim f_{2}$と書く。
1 代数曲線の描画には数式処理システムと b。は同時には次のように作用する。

$f\in \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}_{2}$ $(\mathrm{R})$$g\in \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}_{1}(\mathrm{R}),$$a\mathit{0}$$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}/\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}$

を用いた。

195

22.2 実 2 次有理関数のモジュライ空間
22.2.1 モジュライ空間
定義 222.1.

$\mathcal{M}_{2}(\mathrm{R})=$

conjugacy class ($f\rangle$

Rat2$\mathcal{M}_{2}(\mathrm{R})$とするとき、$(\mathrm{R})/\sim$$\mathcal{M}_{2}(\mathrm{R})$を実 2 次有理関数$f$の holomorphicのモジュライ空間 (moduli space) と呼ぶ。

上と同様にして、 Rat2 (C),$\mathcal{M}_{2}(\mathrm{C})$が定義できる。

$\mathcal{M}_{2}(\mathrm{C})$に座標を入れるため、 [Mi192] では次のような手法を用いている。
$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}_{2}$(係数、変数とも、複素数でも実数でもよい) の関数とおき、 それぞれの multiplier (不動点での微分係数) をに対して、 $f\in$ Rat2 の不動点を$f$$\mu_{1},$$z_{1},$$z_{2},$$Z_{3}$とする。 さらに multiplier の基$\mu_{2},$ $\mu s$

本対称式を次のようにおく。
$\sigma_{1}=\mu_{1}+\mu_{2}+\mu_{3}$Rat2 (C) に対し、$\mathcal{M}_{2}(\mathrm{C})$,$\sigma_{2}=\mu_{1}\mu_{2}+\mu_{2\mu 3}+\mu s\mu_{1}$,$\sigma_{3}=\mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}$は次のように決まる。

補題 2222. [Mi192] multiplier$\mu_{1},$ $\mu_{2},$$\mu_{3}$は $(f)$ を決定し、 次の式をみたす。

$\mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}-(\mu_{1}+\mu_{2}+\mu_{3})+2=0(i.e.

したがって、 モジュライ空間$\mathcal{M}_{2}(\mathrm{C})$は座標$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$(1)\sigma_{3}=\sigma_{1}-2)$

によって、ここで Rat2 (R) の関数 $f$ について考える。このとき、不動点$z_{1},$$\mathrm{C}^{2}$$z_{2},$と同形になる。

$z_{3}$と multiplier$\mu 1,$ $\mu 2,$ $\mu 3$

すべて実数、 または、実数 1 つと複素共役なもの 2 つの組合せしかあり得ない。 したがって、$\sigma_{1},$は、$\sigma 2,$$\sigma 3$はいつでも実数値をとることがわかる。
また、 multiplier は、 (1) 式をみたし、ある例外を除いてM\"obius 変換によってただ–つの$\langle$$f)(\neq\langle x^{2}+c\rangle)$$(\sigma\iota, \sigma_{2})\in \mathrm{R}^{2}$を –つ決めると、実係数のが決まる。例外を与えるような点$(\sigma_{1}, \sigma_{2})\in \mathrm{R}$の集合は、 3 次代数曲線になる。
ただし、 直線、 $\sigma_{1}=2$ 上では、 2 次多項式の holomorphic conjugacy class$\langle x^{2}+\underline{\sigma}_{4}Z\rangle$も同時に対応する。
補題 222.3. holomorphic conjugacy class $(f)(\neq\langle x^{2}+c\rangle)$ が唯–つに決まらない
合は、 次のような$\mathrm{R}^{2}$$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$の集上の 3 次代数曲線である。 (図 222.1 参照。)
(2)

$2\sigma_{1}^{3}+\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}-\sigma_{1}^{2}-4\sigma_{2}^{2}-8\sigma_{1}\sigma_{2}+12\sigma_{1}+12\sigma_{2}-36=0$(2) 式で定まる 3 次曲線の上の$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$に対しては、 2 つの conjugacy class が対応する$\circ$196

図1Moduli plane 上の 3 次曲線

補題 22.23
これ以後$2\sigma_{1}^{3}+\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}-\sigma_{1}^{2}-4\sigma_{2}^{2}-8\sigma_{1}\sigma_{2}+12\sigma_{1}+12\sigma\circ\sim-36=0$

は次の小節で示す。
として$\mathcal{M}_{2}(\mathrm{R})$$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$によって座標の入ったをとる。

$\mathrm{R}^{2}$

22.2.2 2 次有理関数族の normal form
ここでは、 実 2 次有理関数族の normal form について述べる。

複素 2 次有理関数族の normal form は [Mi192] にもいくつか挙げられているが、 実係数の場合は、conjugacy として実係数の M\"obius 変換だけしか使えないので、厳密な意味での normal fornl はとれない、 しかし、$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$に$\langle$$f)$が 1 対 1 に対応する場合は、$f$として、 $\frac{\mu x}{ax^{2}+2x+1}$ の形の関数がとれる。
よって、 この意味で次のような 2 パラメータ 2 次有理関数族$f_{a.\mu}(X)= \frac{\mu x}{ax^{2}+2_{X\dagger}1}$$(a, \mu\in \mathrm{R}, a, \mu\neq 0)$

を Rat2 (R) の normal form として考えると便利である。

実際、 次のように$f_{a,\mu}$$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$と$(f_{a,\mu})$は 1 対 1 に対応する。

に対して、 不動点とその multiplier は次のようになる。
エヵ,gmultiplier

$0$

$\mu$

,
,$-1\pm\sqrt{1-a(1-\mu)}$$\frac{1}{\mu}\{2-\frac{2}{a}-\mu\pm\sqrt{1-a(1-\mu)}\}a$(複号同順)(3)

197

したがって、

よって、$(\sigma_{1}, \sigma_{2})\in \mathcal{M}_{2}(\mathrm{R})$$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$と$(a, \mu)$の間には次の関係が成り立つ。

$\sigma_{1}$$=$$\mu+\frac{4}{\mu}(1-\frac{1}{a})-2$$\sigma_{2}$$=$$( \mu+\frac{1}{\mu})\sigma_{1}-(\mu^{2}+\frac{2}{\mu})$が与えられたとき、$\mu^{3}-\sigma_{1}\mu^{2}+\sigma_{2}\mu-\sigma_{1}+2=0$

(4)

$\{$

$a= \frac{4}{\mu-(\sigma_{1}+2)\mu+4}$の実根 $(a, \mu)$ を求めればよい。
(4) が実根を –つだけ持つとき $(a, \mu)$ によって定まった

conjugacy class となる$\langle$$f_{a,\mu})$

が$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$に対応する holomorphic$\circ$(4) が実根を 3 つ持つときそれを$(a_{1}, \mu_{1}),$と置くと、$(a_{2}, \mu_{2}),$ $(a_{3}, \mu_{3})$$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$に対応する normal

form の形の関数が 3 つ存在するが、 実係数 M\"obius 変換によって、 3 つの不動点をそれぞれ他の不動点に移すと、 不動点での multiplier I は M\"obius 変換によって不変なので、$f_{01\mu 1},\sim f_{a_{2},\mu 2}\sim f_{a_{3},\mu 3}$をみたす。よって、 これらのうち 1 つをとって ($f_{a_{1},\mu}\iota\rangle$が$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$に対応する holomorphic conjugacy

class となる。
補題 2223の証明

上で述べたように、 $f\in$ Rat2 (R) に対して、 $a,$$(\sigma_{1}, \sigma_{2})\in \mathrm{R}^{2}$と、 holomorphic conjugacy class ($\mu\in \mathrm{R}$$f\rangle$が存在して $f\sim f_{a,\mu}(x)$ となることと、の間に 1 対 1 の関係がある、 ということは同値である。
よって、 任意の $a,$$\mu\in \mathrm{R}$に対して$f(x) \oint\frac{\mu x}{ax^{2}+2x+1}$が成り立つ場合を考える、 それは、 次のような場合である。

1.

$f$が 2 次多項式と conjugate になり、 ある$c\in \mathrm{R}$によって $f(x)\sim x^{2}+c,$$c\in \mathrm{R}$となる場合。
このとき、 関数族 $\{x^{2}+c\}$ は、 moduli 平面上の直線\mbox{\boldmath $\sigma$}1 $=2$ に対応する。

2.

$f \sim\frac{\mu x}{ax^{2}+1}$となる場合。 このとき、 さらに右辺を変換すると、次のように 1 パラメータ化することができる。
$a>0$のとき$f \sim\frac{\mu x}{x^{2}+1}$(5)$a<0$のとき$f \sim\frac{\mu x}{-x^{2}+1}$(6)(5) 式、 (6) 式の、不動点での multiplier を計算すると、 2 式とも

198$\sigma_{1}=\mu+\frac{2}{\mu}(2-\mu)$をみたす。よって、このとき$\langle\frac{\mu x}{-\sigma^{2}+1}.\rangle$,(7)$\sigma_{2}=2(2-\mu)+\frac{1}{\mu^{2}}(2-\mu)^{2}$に対して、 2 つの holomorphic conjugacy class$(\sigma\iota, \sigma_{2})$$\langle\mp_{x}^{\mathrm{J}1}’\iota\rangle$,が対応する。

したがって holomorphic conjugacu class が 2 つ対応するような$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$の集合は、 (7) 式から$\mu$を消去して、 次のような 3 次代数曲線として得られる。
$2\sigma_{1}^{3}+\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}-\sigma_{1}^{2}-4\sigma_{2}^{2}-8\sigma_{1}\sigma_{2}+12\sigma_{1}+12\sigma_{2}-36=0$I
この 3 次代数曲線は、 唯 $-$ つの特異点として $(\sigma_{1}, \sigma_{2})=(-6,12)$ にカスプを持つ\cup22.2.3 モジュライ空間上の分類
定義 2224.の集合を周期点での、 multiplier が$n$$\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}_{n}(\mu)$$\mu$であるような写像の、 conjugacy class$(f)\in \mathcal{M}_{2}(\mathrm{R})$とする。

補題 222.5. [Mi192]$\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}_{1}(\mu)$は直線であり、$\mu\neq 0$のとき$\sigma_{2}=(\mu+\mu^{-1})\sigma_{1}-(\mu^{2}+2\mu^{-1})$

(8)

$\{$

$\mu=0$ のとき$\sigma_{1}=2$となる。 (図 22.23 参照。 )実 2 次有理関数

1.

2.

$f$

$f$

を次のような 7 つの場合に分類する。の 2 つの critical point が複素共役のとき。

(a)

微分係数が正ならば(b)

微分係数が負ならば degree-2

$f$

(a)

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}+2$の 2 つの critical point が実数のとき。 区間 $I=f(\mathrm{R}\mathrm{U}\{\infty\})$ とおいてが critical point を含まないとき$I$$\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}$$\circ$.

$I$で単調増加ならば.

$I$で単調減少ならば一 monotone$+\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}_{0}\mathrm{n}\mathrm{e}$

(b)

$I$

が critical point を–つだけ含むとき

(c)

$I$

が 2 つの critical points を含むとき、$\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}$.

$(+ - +)\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{l}$.

(-+-)bimodal$\circ \mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{l}$$I$での微分係数の正負の変化により、

199

この分類を $(a, \mu)$ によって座標の入った$\mathrm{t}f_{a,\mu}(x)\}$のパラメータ平面上で行なうとき、次の代数曲線によってなされる。 (図 22.23 参照。 )a $(\mu-2)^{2}-4=0$$a(\mu+2)^{2}-4=0$$\{$$\mu=0$$a=0$

モジュライ空間$\mathcal{M}_{2}(\mathrm{R})$

上でこれらの分類は次の代数曲線によりなされ$\mathcal{M}_{2}(\mathrm{R})$は 7 つの領域に分けられる。 (図 22.23 参照。 )$\sigma_{1}=-6$$\{$$\sigma_{1}=2$$2\sigma_{1}^{3}+\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}-\sigma_{\iota}^{2}-4\sigma^{2}2-8\sigma_{1}\sigma_{2}+12\sigma_{1}+12\sigma_{2}-36=0$

ただし、 $f\in$ Rat2 (R) の 2 つの critical points ををみたす関数族、$\sigma_{1}=2$

は$f(\omega \mathrm{l})=\omega_{1}$$\mathrm{J}_{1},$$\omega_{2}$としたとき、 直線 $\sigma_{1}=-6$ はをみたす関数族に対応する。

$f(\omega \mathrm{l})=\omega_{2}$

200

凶3

Parameter Plane: パラメータ半面内の代数囲線による分類。

凶4

Mod uli plane: モシュライ半面内の代数囲線による分類。

201

参考文献
$[\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{a}91]\mathrm{A}$

[Mil]

.

$.\mathrm{p}$. Beardon. Iteration of Rational Functions. Springer-Verlag, 1991.

J. Milnor. Dynamics in one complex variables: Introductory lectures. Preprint$\#$

1990/5,SUNY Stony Brook,1990.
$[\mathrm{M}\mathrm{i}192]\mathrm{J}$. Milnor. Remarks on quadratic rational maps. Preprint

1992.

$\#$

1992/14, SUNY Stony Brook,