数理解析研究所講究録
1091 巻 1999 年 94-102

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KRONECKER 極限公式の高次元化について II

吉川謙– ($\mathrm{I}\mathrm{c}\mathrm{H}\mathrm{I}$YOSHIKAWA)

名古屋大学多元数理科学研究科

本稿は第–部の続きである。楕円曲線の高次元化として 2-eiemmentary 双曲型格了を偏極に持つ K3 曲面を考える。 このような K3 曲面は Enriques 曲面の普遍被覆
K3 曲面の–般化として自然に現れる。
1. 2-elementary$\mathrm{K}\bm{3}$曲面とそのモジュライ空間

1.1 格子受血 K3 曲面. $X$ をコンパクト複素曲面とする。 $X$ は次の条件を満たす時
K3 画面であると言われる

:

(1.1)

(1)

$H^{1}(X, \mathcal{O}x)=0$,(2)$K_{X}\cong \mathcal{O}_{X}$.

(2) により $X$ 上には至る所消えない正則 2 形式が存在する。 この正則 2 形式をと書く。定義からには非零定数倍の自由度がある。 $X$ は実 4 次元多様体なので$\omega_{X}$$\omega_{X}$に交差形式を付加することによりを格子と見る。 この時、次のことは良く知られている。即ち、等長写像 $\emptyset:H^{2}(x, \mathbb{Z})\cong_{L}K3:=U\oplus 3\oplus E_{8}(-1)^{\oplus 2}$が存在する。 を marking と言い、 (X, ) を marked K3 曲面という。 ここで、$H^{2}(X, \mathbb{Z})$$H^{2}(X, \mathbb{Z})$$\phi$$\phi$$U=$ は 2-次弓ユニモジュラ一双曲尽格子であり、$E_{8}$

は 8-次元正定値ユニモジュラー偶格子である。又、格子 $M$ に対し、 $M(k)$ で $M$ の内積を k-倍した内積を持つ格子を表す。以下、格子とその交差行列をしばしば同 –視する。
K3 曲面は K\"ahler であることが知られており (Siu)、各 K\"ahler 類は唯–の Ricci平坦計量で代表される (Yau)。以降、本稿では K3 曲面の計量と言えば Ricci-平坦な物のみ考える。

我々はモジュライ空間上の関数としての解析的トーションに興味があるが、単にK3 曲面を考えたのでは Abel 多様体の場合と同様、 自明なものしか得られない。
定理 11.

$X$

を K3 曲面、$\kappa$

をその上の Ricci-平坦 K\"ahler 計量とする。
$\tau(X, \kappa)=1$.

口

従って、 K3 曲面全体を考えても面白い保型関数は現れない。そこで K3 曲面の特別な族を考えることにする。 K3 曲面 $X$ に対して、 $Sx$ を Picard 格子、を超越格子とする :$\tau_{x}$(1.2)$S_{X}$$:=\{l\in H^{2}(X, \mathbb{Z});\langle l, \omega_{X}\rangle=0\}$,$T_{X}:=S_{X}^{\perp}\cap H^{2}(X, \mathbb{Z})$.

Typeset by$A_{\mathrm{A}4}S- \mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{X}$95

定義 1.1. $S$ を $L_{K3}$ の双曲面原始的部分格子、 B#ち $L_{K3}/S$ は自由 Z-加群で、符合$(1, k)$ であるとする。 K3 曲面 $X$ が S-K3 曲面であるとは、 marking
が存在して、$\emptyset(Sx)\supset S$ が成り立つことである。 このような marking を S-K3 曲面のmarkingと言う。 口$\phi$

注意. 上の定義は Dolgachev による S-K3 曲面の定義よりも少し弱くなっている
通常は K3 曲面と包含写像: $S\sim\succ S_{X}$ の組の適当な同値類を S-K3 曲面とう (上の定義では同値関係が [D] より強い。) 口$([\mathrm{D}])$$0$$=\mathrm{D}$$\mathrm{o}$Marked S-K3 曲面 $(X, \phi)$ に対して、 その周期を次のように定める。
定義 1.2.
$\pi(X, \emptyset):=[\emptyset \mathbb{C}(\omega X)]\in\Omega s$,$\Omega s:=\{[x]\in \mathrm{P}(T_{\mathbb{C}});\langle x, x\rangle=0, \langle x,\overline{x}\rangle>0\}$

ここで、$\phi_{\mathbb{C}}:=\phi\otimes \mathbb{C},$$T_{\mathbb{C}}:=T\otimes \mathbb{C}$:,$T=S^{\perp}$.

等である。 口は IV 型対称有界領域とは 2 個の連結成分からなり
目 \Omega s-、各双正則である。 Nikulin によれば S-K3 曲面の普遍族が存在する .
$\Omega_{S}$$\Omega_{S}=\Omega_{S}^{+}$$\Omega_{S}^{\pm}$

$:$

(1.3)

$Ps:\mathcal{X}_{S}arrow\tilde{\Omega}_{S}$.

は非 Hausdorff 非特異解析空間であり、周期写像
同型で全射であることが知られている。

:$\tilde{\Omega}_{S}$$\pi_{S}$$\tilde{\Omega}_{S}arrow\Omega_{S}$は至る所局所の原始的部分格子1.22-elementary 格子と反シンプレクティク対合. 我々はの中で、 2-elementary 格子に興味がある。 これらの格子を偏極に持つ K3 曲面は反$L_{K3}$

シンプレクティク対合を持つからである。
定義 1.3. 偶格子 が 2-elementary であるとは、 $S$ の内積による双対格子をする時、 $As:=S^{}/S\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{l(S}),$と書ける時をいう。 口$S$$S^{\vee}$と$l(s)\geq 0_{\text{、}}$の不変量として、 $sgnS=(r_{+}(s), r_{-}(s)),$ $r(S):=rk_{\mathbb{Z}}S,$
As は$\{0,1\}$
自然である。それ以外に-値不変量\mbox{\boldmath $\delta$}s が存在することが知られている ([ , 定は
義 $(2.12)])_{0}$ Nikulin によれば、不定値 2-elementary 格子の不変量$L_{K3}$
その等長類を決定する。
に原始的埋め込みを持つ偶 2-基本的格子は Nikulin にとより分類されている ([N])。又、 $T=S^{\perp}$ に対して、は自然に同型である
ことが知られている。 .
$L_{K3}$に原始的埋め込みを持つ 2-elementary 格子と代数的 K3 曲面の反シンプレ
クティク対合について説明する (\S 6] も参照)。 $L_{K3}$ の部分格子 $L’=S\oplus T$ を
$L’arrow
L’$ が存在する
考えると、 その上には次の対合 Is:$S$$l(S):=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}_{2}$$\mathrm{K}\mathrm{n}$$(r_{+}, r_{-}, \iota, \delta)$$A_{T}$$A_{S}$$[\mathrm{K}\mathrm{n},$

:

(1.4)

$I_{S}(x, y)=(x, -y)$$(x\in S, y\in T)$.

に–意的に拡張される。従って marking
は勝手な marked S-K3 曲面 (X, ) のコホモロジー格子上の対合を定め
がいつ $X$ 上の対合から誘導されるとするる。 これをIs .
のかは次の及び Burns-Rapoport による Torelli 定

Nikulin によれば
により

$I_{S}$$I_{X}$

Piat.
理からわかる。

$I_{S}$

は $L_{K3}$ 上の対合:

$I_{S}$$\phi$$I_{X}:=\phi^{-1}\mathrm{o}$$0\phi$$\mathrm{e}\mathrm{t}_{\mathrm{S}\mathrm{k}}\mathrm{i}\mathrm{i}- \mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{o}- \mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{V}\mathrm{i}_{\mathrm{C}\mathrm{h}}$$I_{X}$

96

定理 1.2. (X, ), $(X’, \kappa’)$ を K\"ahler K3 曲面とする ($\kappa$$H^{2}(X,\mathbb{Z})arrow H^{2}(X’, \mathbb{Z})$を次の条件を満たす等長写像とする :

.
, (2)
が
–
意的に存在して$g:X’arrowX$
この時、 同型写像(1)

は K\"ahler 類)$\kappa’$$\kappa,$。

$\gamma$:$\gamma_{\mathbb{R}}(\kappa)=\kappa’$$\gamma_{\mathbb{C}}(\omega_{X})=\lambda\omega x’(\lambda\in \mathbb{C}^{*})$である。

$g^{*}=\gamma$

口が $X$ の対合から来ていることを見るには定理 12 の (1), (2) を $X=X’$ に対$I_{X}$

して確かめれば良く、次が結論される。
(1.5)$\Delta_{S}=\{d\in S;\langle d, d\rangle=-2\}$,$\Delta_{T}=\{d\in T=S^{\perp};\langle d, d\rangle=-2\}$をそれぞれ $S,$ $T$ のルート全体とする。各 $d\in\Delta_{T}$ に対して、 の鏡映面を, その補集合をの判別式軌跡をる: $H_{d}:=\{x\in\Omega s;\langle x, d\rangle=0\}$ .
$d$$H_{d}.\text{と}$$\Omega_{S}^{0}$$\mathcal{H}_{M}$$\Omega_{S}$

:

める

(1.6)

$\Omega_{SS}^{0}:=\Omega\backslash \mathcal{H}_{M}$$\mathcal{H}_{M}:=\cup H_{d}d\in\Delta T$ ’

この時、$\pi s(X, \emptyset)\in\Omega_{S}^{0}$(1.7)

ならば、 $X$ 上に対合$\iota^{*}=\phi^{-1_{\mathrm{O}I_{S}}}0\phi$,$\iota$すで定.

: $Xarrow X$ が–意的に存在して$\iota^{*}\omega x=-\omega_{X}$が成立する。 (1.7) の 2 番目の条件を満たす対合を反シンプレクティク対合と呼ぶ。
逆に、代数的 K3 曲面 $X$ 上に反シンプレクティク対合 が与えられたとする。 のとする。
, 反不変部分をへの作用に関する不変部分を$\iota^{*}$$\iota$$H_{-}^{2}(X, \mathbb{Z})$$H_{+}^{2}(X, \mathbb{Z})$$H^{2}(X, \mathbb{Z})$に原始的埋め込みを持つ双曲型偶は代数的サイクルから成るので、格子であり、 Nikulin の定理より 2-elementary である。 $X$ の marking を固定しを以下の様に定める :て、の 2-elementary 原始的部分格子$L_{K\mathit{3}}$$H_{+}^{2}(X, \mathbb{Z})$$\phi$$S$$L_{K\mathit{3}}$(1.8)$S:=\phi(H2(+)x, \mathbb{Z})=\{l\in L_{K3;}I_{S}(l)=\iota\}$,$I_{s:=}\emptyset 0\iota^{*}\circ\emptyset^{-1}$.

この様に $L_{K3}$ の 2-elementary 原始的部分格子 (の O(LK3)-作用に関する同値類)と反シンプレクティク対合を持つ K3 曲面の不変格子とは 1 対 1 に対応する。
曲
曲面を 2-elementary
定義 1.4. 反シンプレクティク対合を持つ代数的が存在してmarkingK3曲面であるとは、面と言う。 (X, ) が S-2-e1ementary$\mathrm{K}3$$\mathrm{K}3$$\phi$$\iota$$Is=\phi 0\iota^{*}\circ\phi^{-1}$となることである。

口(1.3) と同様に、 S-2-elementary K3 曲面のモジュライ空間とその上の普遍族が存
在する

:

(1.9)

$\mathrm{p}_{s:\mathcal{X}_{s}}0arrow\tilde{\Omega}_{S}^{0}$,$\iota_{S}:\mathcal{X}_{S}^{0}arrow \mathcal{X}_{S}^{0}$

を定義 14 の対合とする時、はの固定集合として得られるを定める。

$\pi s(\tilde{\Omega}^{0}S)=\Omega_{\mathit{8}}^{0}$$\mathcal{I}s:\tilde{\Omega}s\ni(X, \phi x)arrow(X, Ig\phi x)\in\tilde{\Omega}_{S}$$I_{S}$$\tilde{\Omega}_{S}^{0}$$\mathcal{I}_{S}$K3 曲面のモジュライ空間は以下のように
分群$\Gamma_{S}$$\tilde{\Omega}_{S}$の対合の開集合である。 S-2-e1ementaryの算術商として得られる。 $O(T)$ の部$\tilde{\Omega}_{S}$$\Gamma_{S}=\{g|_{T;}g\in O(L_{K3}), g\mathrm{o}I_{S}=Is\mathrm{O}g\}$に固有不連続に作用し、Borel)。簡単のため、以降は$\Omega_{S}^{0}$はを以下のように定める。

(1.10)$\mathrm{r}_{s}$,$\Omega_{S}$と$\mathcal{H}_{S}$$\Omega_{S}^{0}/\Gamma_{S}$$\mathcal{M}s:=\Omega s/\Gamma_{S},$.

は準射影的代数多様体になる (Baily-$\mathcal{M}^{0}S:=\Omega^{0}s/\mathrm{r}_{s}$

とおく。

97

定理 1.3.

$S- 2- \mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\dot{\mathrm{n}}\mathrm{t}.\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}$K3 曲面のモジュライ空間はである。

$\mathcal{M}_{S}^{0}$

口曲面とする。 の固定集合については次のことが Nikulin
を 2-elementary
定理([N], [Kn,(6.3)]) により知られている。
$(X, \iota)$$\mathrm{K}3$$\iota$

命題 1.1. $X^{\iota}=\{x\in X;\iota(x)=x\}$ を (X, ) の固定集合とすれば、$\iota$(1)$X^{\iota}=\{$$(S=U(2)\oplus E_{8}(-2)\Leftrightarrow(r, t, \delta)=(10,10,0))$$\emptyset$(2)$C_{1}^{(1)}+C_{2}^{(1)}$$(S=U\oplus E_{8}(-2)\Leftrightarrow(r, l, \delta)=(10,8,0))$(3)$C^{(g)}+ \sum^{k}i=1E_{i}$\sum_{i1i}^{k}-E$$o^{(g)}+(上以外)である。 ここで、(3) の場合、 及び$C^{(g)}$

$g$

$k$

,

$(\mathrm{J}:\iota^{\backslash }j.\pi)$

は種数 の非特異曲線を表し、は以下の式で与えられる。
$g$$g(S)=11- \frac{r(S)+l(s)}{2}$ ,(1),$E_{i}$

は非特異有理曲線を表す。

$k(S)= \frac{r(S)-l(s)}{2}$(2) の場合にも便宜上それぞれ $g(S)=0,1$ と定める。

.

口-次元主偏極 Abel 多様体のモジュライ空間とし、をその佐を $M_{S}$ の Baily-Borel コンパクト化とする。
竹コンパクト化とする。 又、$A_{g}=\mathfrak{S}_{g}/\Gamma_{g}$を$g$$A_{g}^{*}$$\mathcal{M}_{S}^{*}$

定理 1.4. 正則写像 is:$\mathcal{M}sarrow A_{g(s)}$を次のように定める:$js:\mathcal{M}S\ni(x, \iota)arrow[Jac(x^{\iota})]\in A_{g(S\rangle}$

ここで、 JJac(X りは$X^{\iota}$.

の Jacobi 多様体を表す。 この時 $is$ は$\mathcal{M}_{S}^{*}$

から$A_{g(S)}^{*}$の有理写像に拡張する。但し命題 1.1 の例外 (2) の場合は、 $is$ は $S^{2}(A_{1})$ (次対称積) に値をとる。 口$A_{1}$

への二を
1.3 モジュライ空間上の–般化された保型形式.
上の重さ 1 の保型形式のなす層とする。以下ではとそれに付随した直線束とを同–視する。
は–般に自明でない指標を持つが、は有限群になるため (Kazhdan)、その値はに必ず入る。
をの直線束をで表す。又、の指標\mbox{\boldmath $\chi$} に付随する上の重さ 1 の Siegel 保型形式の層とする。 (Siegel モジュラー群
の指標は
はそれぞれ
$g>2$ ならば自明である。)
上の豊富直線束と同–視さのれる。定理 14 により $is$ のグラフ内での閉包は射影的代数多様体
であり、 それをと書く。 この時、は双有理正則写像である。
:$c_{s}$$\Omega_{S}$$\mathcal{L}_{S}$$\mathrm{r}_{s}$$\mathrm{r}_{s}/[\Gamma s, \Gamma_{S}]$$U(\mathbb{C})$$\mathcal{M}s$$\mathrm{r}_{s}$$[\chi]$$A_{g}$$\mathcal{L}_{g}$$\Gamma_{g}$$\mathcal{L}s,$$\mathcal{L}_{g}$$\mathcal{M}_{S}^{*},$$\Gamma_{j_{S}}$$\mathcal{M}_{S}^{*}\cross A_{g}^{*}$$\hat{\mathcal{M}}s$$pr_{1}$

定義 1.5.
式と呼ぶ。
注意$\hat{\mathcal{M}}s$上の層$\mathcal{L}_{S}^{k}\otimes \mathcal{L}_{g(S)}^{q}[x]$$A_{g}^{*}$$\hat{\mathcal{M}}sarrow \mathcal{M}s$の正則断面を重さ $(p, q)$ の指標 \mbox{\boldmath $\chi$}-付き保型形

口の正則断面を重さ $(p, q)$ の保型形式と呼ぶのは本稿だけの呼び方である。一般にこのような断面に名前がないので、 ここではそう呼ぶ。以降、簡単$\mathcal{L}_{S}^{k}\otimes \mathcal{L}_{g(S)}^{q}[x]$のため指標は略す。従って、単に保型形式と言えば、それはある指標付のものを意味する。
$c_{s}$口, らはともに Hermite 対称領域上の保型関数の層なので、その Bergman 核から定まる自然な Hermite 計量を持つ (Petersson ノルム) 。以降、にとの Petersson ノルムから定まる計量(Petersson ノルムと呼ぶ)を入れて、 Hermite 直線束と見る。
$\mathcal{L}_{S}^{k}\otimes \mathcal{L}_{g(S)}^{q}[x]$は$\mathcal{L}_{M}$$\mathcal{L}_{g}$$||\cdot||$

98

2. 2-elementary

曲面に対する Kronecker 極限公式$\mathrm{K}3$

本節では 2-elementary K3 曲面の同変解析的トーション (を固定曲線の解析的トーションで補正した量) が、モジュライ空間上の–般化された保型形式で書けることを解説する。従って、本節の結果が本稿の主結果である。
曲面とする。 その K\"ahler 計量とは $X$ の Ricci-平坦
を 2-elementaryK\"ahler 計量であって、 -不変なものを言う。 (X, u) を Ricci-平坦 2-elementary K3曲面とする。 は各 $(0, q)$ -形式の空間く 0q(X) を次のように分解する$(X, \iota)$$\mathrm{K}3$$t$:$\iota$(2.1)$\Pi^{0,q}$$\wedge^{0,q}(X)=\wedge^{0,q}(x)_{+}\oplus\wedge^{0,q}(x)_{-}$,$\wedge^{0,q}(x)_{\pm}=\{f\in\wedge^{\mathit{0},q}(x);\iota^{*}f=\pm f\}$.

を $(X, \kappa)$ のラプラシアンとすると、 が等長変換なことから口 0q は旧 $\wedge^{0,q}(X)\pm$$\iota$:定理 1.1 より、を定義するを保つ。 そこで次のように通常の解析的トーションは K3 曲面に対して自明であるため、群作用に関する同変版を考える。
$\coprod_{\pm}^{0,q}$

定義 2.1. (X, u) の同変解析的 }, 一ション$\square ^{0,q}\pm:=\square ^{0,q}|_{\wedge^{0,q}(x)}\pm\cdot$$\tau(X, \iota, \kappa)$$\tau(X, b, \kappa):=\prod_{q\geq 0}(\det\coprod\dotplus q)^{(}0-1)^{q}q$:は次式で定義される.

$\square$が従う。 この様に、通常の解析
多少の計算の後に、的トーションが K3 曲面に対して自明になるのに、同罪解析的トーションは自明にな
ク因子も Abelらない。 これは Z/2Z-対称性の効用である。第–部で取り挙げたがそうである)。 この(回忌性を持っている$zarrow-Z$多様体から来る自然な
:
といった
関数や
対合に関する同変解析的トーションを考えても、 Jacobi の保型形式が現れる。従って、同変解析的トーションを考えることは第–部の結果を–$\tau(X, \iota, \kappa)=\det\square 0,00-/\det\square \dotplus^{0}$$\overline{\tau}-$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$\iota$$\Delta-$$\Delta_{g}(\tau)$

般化する上で不自然なことではない。
前節の様に、
Ci を (X, ) の固定曲線とする。各曲線に の制限を考
はK\"ahler 多様体である。従って、 その解析的トーションえることにより (Ci,)
曲面 $(X, \iota)$ のを考えることができる。 これらを用いて 2-elementary
不変量を次のように定義できる。
$X^{\iota}= \sum_{i}$$\kappa$$\iota$$\kappa_{C:}$$\mathrm{K}3$$\tau(C_{i}, \kappa c.\cdot)$

定義 2.2. (X,) は Ricci-平坦 S-2-elementary K3 曲面であるとする。又、を次のように定める
Ci を の固定曲線とする。 この時、$\iota,$$\sum_{i=0}^{k}$$\kappa$:$\tau s(X, \iota, \kappa)$$\iota$$\tau_{S}(x, l):=vo\iota(X, \kappa)^{\frac{14-r(S)}{8}}\mathcal{T}(X, \kappa, \iota)\{_{i=\mathit{0}}\prod^{k}vo\iota(C_{i}, \kappa c_{i})\mathcal{T}(C_{i}, \kappa_{C}:)\}^{\frac{1}{2}}$は Ricci-平坦計量に依らない。従って、モジュライ空間
定理 2.1.
関数を定める。 口$\tau_{S}$

上の $\tau s(X, L)$ が$\kappa$$X^{\iota}=$$\mathcal{M}_{S}^{\mathit{0}}$.

$\square$上の$C^{\infty}-$に依存しないことは全く自明なことではない。アノマリー公式(第–部・定理 22) の同変版と Monge-Amp\‘ere 方程式の解を用いて証明される。
次のの変分公式は重要である。
$\tau_{S}$99

定理 2.2.

$d_{S}=\partial_{S}+\overline{\partial}_{S}$を$\Lambda\Lambda_{S}$上の外微分とすれば、$\mathcal{M}_{S}^{0}$

上次の公式が成り立つ$\frac{i}{2\pi}\overline{\partial}_{S}\partial s\log \mathcal{T}_{S}=-\frac{r(S)-6}{8}\omega S-\frac{1}{2}j_{S}^{*}\omega \mathrm{e}_{g(s)}$ここで、$\omega s,$$\omega \mathrm{e}_{g}(\mathrm{s})$はそれぞれ理 14 の写像である。

$\Omega_{S},$$6_{g(}s_{)}$:.

の Bergman K\"ahler 形式であり、 $is$は定口

上に Ricci-平坦 K\"ahler 計量の族を考え、 それに対して曲率定理 22 は
公式 (第–部定理 21) の悪変版と Ricci-平坦 Monge-Amp\‘ere 方程式を使って証明される。
での定理 22 よりの振舞いはおよそわかったと言えるが、に接近する時の挙動は制御しきれていない。実際、に特異性を持つ Fs-不変な多重調和関数は-作用素で消えるので、定理 22 からは捉えることはできない。多くの$S$ に対し、は準アフィン代数多様体であることが知られており、 この場合にはで超越的な振舞いをし、かつ rS-不変な多重調和関数が沢山存在する。以上のような例を考えれば、の境界挙動を調べることはを理解する上で非常に重要である。それに関しては次がわかる。
$T\mathcal{X}_{S}^{0}/\tilde{\Omega}s$$\mathcal{M}_{S}^{0}$$\mathcal{H}_{S}$$\tau_{S}$$\mathcal{H}s$$\partial s\overline{\partial}s$$\mathcal{M}_{S}^{0}$$\mathcal{H}_{S}$$\tau_{S}$$\tau_{S}$

命題 2.2.
を正則曲線で、:時、次の漸近公式が成り立つ$\Deltaarrow\Omega_{S}$$\gamma$:$\gamma(0.)$

で$\mathcal{H}_{S}$$\log^{J}\tau s(\gamma(_{S}))=-\frac{1}{8}\log|S|2+O(1)$定理 2.3. $\log\tau s$ は$\mathcal{M}s$に横断的に交わるとする。 この$(sarrow 0)$.

口

上局所可積分で、次のカレント方程式が成立する :$\frac{i}{2\pi}\overline{\partial}s\partial s\log\tau s=\frac{1}{8}\delta \mathcal{H}S^{-}\frac{r(S)-6}{8}\omega_{S}-\frac{1}{2}j^{*}s\omega \mathrm{e}g(s)$ここで、$\delta_{\mathcal{H}_{S}}$は$\mathcal{H}_{S}$に台を持つ Dirac の\mbox{\boldmath $\delta$}- 関数である。

.

口

命題 21 と定理 23 の証明には、 K3 曲面の I 型退化に対する Ricci-平坦計量の退化の詳しい理解が必要である。又、の発散を標準的な ALE-インスタントンの場(Bott-Chern
合に帰着するために、 アノマリ一類) を評価する必要がある。 これらは第–部定理 22 と Monge-Amp\‘ere 方程式の解の–様-評価と高次の Ck-評価を確かめることにより示される ([Kb] の–般化)。 この様にして問題を ALE- インス
タントンに帰着させ、 その熱核を詳しく解析することにより上の命題が証明される(\S 4--7] を参照)$\tau_{S}$$C^{2}$$[\mathrm{Y},$。

定理 2.4. $r(S)<18$ とする。
(
によるの固有像) にのみ 1 次の零を持つ(1)
さ $(r(S)-6,4)$ の保型形式が存在して、次が成り立つ$\hat{v}_{s}$$pr_{1}^{-1}$$D_{s:}=\mathcal{H}_{S}/\mathrm{r}_{s}$:$\Phi_{S}$$pr_{1s=||\Phi}^{*}\mathcal{T}S||^{-\frac{1}{4}}$

(2)

を
と
に対し、
は $L_{K3}$ の原始的部分格子で、$\delta\in\Delta(T)$$\langle S, \delta\rangle$$\langle S, \delta\rangle$$S$$\hat{\mathcal{M}}_{S}$$\delta$上の重.

を含む最小の 2-elementary 格子とすれば、$\Omega_{(S,\delta\}}=H_{\delta}$である。 この時$\Phi_{\langle S,\delta\}}$は$\Phi_{S}$

の

100

$H_{\delta}$(の–般の点とすれば、上の関数と見なした時) 次が成り立つ

への正規化された制限として与えられる。即ち、$\Phi_{(S,\delta)},$$\Phi_{S}\text{をそれぞれ}\Omega_{\langle s,s}\rangle,$$\Omega s$$z$を$H_{\delta}$:.

$\square$$\sigma_{(S,\delta\rangle}(Z)=\frac{\langle\cdot,l_{S}\rangle_{T}}{\langle\cdot,\delta\rangle_{T}}\Phi_{S}|_{H\iota}(Z)=\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}warrow z,w\in\Omega_{S}0\frac{\langle w,ls\rangle}{\langle w,\delta\rangle}\Phi S(w)$の豊富因子でBaily-Borel によれば、保型形式の零因子はモジュラー多様体ある。従って、モジュラー多様体からその因子を除いた開集合は準アフィン代数多様体 (アフィン多様体の Zariski 開集合) である。結局、定理 24 より次の系を得る。
$\mathcal{M}_{S}^{*}$

系 2.1. S-2-e1ementary K3 曲面のモジュライ空間

フィン代数多様体である。

$\mathcal{M}_{S}^{0}$

は、 $r(S)>6$ ならば準ア

口

3. Enriques 曲面の解析的トーションと Borcherds の$\Phi-$

関数

本節では前節の特別な場合 $S=U(2)\oplus E_{8}$ について、定理 24 の羽州形式がBorcherds の構成した保型形式で与えられることを見る。
のことである
Enriques 曲面とは次の条件を満たすコンパクト複素曲面:$\mathrm{Y}$

(1)

(31)

$H^{1}(\mathrm{Y}, \mathcal{O}_{\mathrm{Y}})=0$,(2)$K_{\mathrm{Y}}\not\cong \mathcal{O}_{Y}$,(3)$K_{\mathrm{Y}}^{2}\cong \mathcal{O}_{\mathrm{Y}}$.

Enriques 曲面は射影代数多様体であることが知られている。又、 Enriques 曲面
位相に関して次が知られている。
命題 3.1.
(1) -面群として$H^{2}(\mathrm{Y}, \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}1\mathit{0}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$である。 ここで、$\mathrm{Y}$のは $c_{1}(K_{Y})$ で生成$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$される。

(2) 等長写像は$H^{2}(\mathrm{Y}, \mathbb{Z})$$\phi_{\mathrm{Y}}$:$H^{2}(\mathrm{Y}, \mathbb{Z})farrow E:=U\oplus E_{8}(-1)$の自由部分を表す。

が存在する。 ここで、$H^{2}(\mathrm{Y}, \mathbb{Z})f$

口を命題 3.1 の Enriques 格子とし、 $L_{K\mathit{3}}=U\oplus E\oplus E$ を K3-格子とする。 $L_{K3}$上で次の対合 を考える
$E$

$I$

(7.2)

$I$

:

: $U\oplus E\oplus E\ni(h, m, m)’arrow(-h, m’, m)\in U\oplus E\oplus E$ .

この時、 $L_{\pm}=\{x\in L_{K3;}Ix=\pm x\}$ は次の格子に等長的である(7.3) $L_{+}=E(2)=U(2)\oplus E_{8}(-2)$ ,:$L_{-}=U(2)\oplus E(2)=U(2)\oplus U(2)\oplus E_{8}(-2)$.

$S=E(2)$ とおけば、前節の様に $E(2)- 2$ -elementary K3 曲面を考えることができる$E(2)- 2$ -elementary K3 曲面と Enriques 曲面との関係は次で与えられる$0$$\circ$

命題 3.2.

$\mathrm{Y}$2-elementary

を Enriques 曲面、$\mathrm{K}3$$\tilde{\mathrm{Y}}$をその普遍被覆空間とする。 この時、曲面であり、その対合を$\iota$:$\tilde{\mathrm{Y}}arrow\tilde{\mathrm{Y}}$とすれば$Y=\tilde{Y}/\iota$$\tilde{\mathrm{Y}}$は $E(2)-$である$\circ$口

命題 32 より、 Enriques 曲面と $E(2)-2$ -elementary K3 曲面とは同–視できる。

101

曲面としての Marking を Enriques 曲面の Marking
定義 3.1.
.entaryと呼ぶ。又、 $E(2)-2$ -elementary K3 曲面としての周期写像を Enriques 曲面の周期写像と呼ぶ。 口$\mathrm{K}3$$E(2)- 2-\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}$と同型定理 1.3 より、 Enriques 曲面のモジュライ空間はである (堀川、 浪川)。
は上のを特徴付ける保型形式を構成した。
さて、 Borcherds$T$ を次で定める
以下でその保型形式を簡単に復習する。 まず格子$\lambda 4_{E(2)}=\Omega^{\mathit{0}}/E(2)E(2)\Gamma$$([\mathrm{B}2])$$\Omega_{E(2)}$$\mathcal{H}_{E(2)}$:$\Lambda,$

(34)
A の光町

$\Lambda=U\oplus E_{8}(-2)$(3.5)$T=L_{-}=U(2)\oplus\Lambda$.

:を次で定める$C_{\Lambda}$,$C_{\Lambda}=\{v\in\Lambda\otimes \mathbb{R};\langle v, v\rangle>0\}$.

は 2 個の連結成分から成る :A が双曲型格子なので、は次の管状領域の表示を持つ。
$C_{\Lambda}$$C_{\Lambda}=C_{\Lambda}^{+}\mathrm{u}c_{\Lambda}-$. この時、$\Omega_{E(2)}$命題 3.3. 管状領域$\Lambda_{\mathbb{R}}+iC_{\Lambda}$は以下の写像により、$\Lambda_{\mathbb{R}}+iC_{\Lambda}\ni varrow((\frac{1}{2}-\frac{\langle v,v\rangle}{2}),$$\Omega_{E(2)}$と双正則である$v)\in\Omega_{E(2)}$.

$\square$Borcherds 関数は上の管状領域の表示を用いて次の様に定義される。
の Wyle-群とする :$\Phi-$(3.6)$W_{\Lambda}=\langle s_{l_{1}}\cdot s_{l}(x)=x+\langle x, l\rangle l, l\in\Delta_{\Lambda}\rangle\subset O(\Lambda)$

A のベクトル(37)
定理 3.1$\rho’$$\rho,$

を次で定義する,.

上の正則関数$\Lambda_{\mathbb{R}}+iC_{\Lambda}^{+}$$W_{\Lambda}$

を A

.

:

$\rho=((0,1),$ $0)$$([\mathrm{B}2])$:$\rho’=((1,0),$ $\mathrm{o})\in\Lambda=U\oplus E_{8}(-2)$$\Phi$

を次で定義する.

:$\Phi(y)=w\in \mathrm{A}\sum_{W}\det(w)e\{\rho,w(y)\}\prod 2\pi in>0(1-e)2\pi i\mathrm{t}n\rho,w(y)\}(-1)^{n_{8}}$.

:この時、次が成立する
上の重さ 4 の保型形式である。
に 1 次の零を持つ(1) は(2) $Imy\gg \mathrm{O}$ の時、 は次の無限積表示を持つ$\Phi$$\Omega_{E(2)}$$\mathcal{H}_{E(2)}$:$\Phi$$\Phi(y)=e^{2i}\prod_{r}\pi\langle\rho,v\rangle\in\Pi+(1-e)^{()(\frac{\langle r,r)}{2})}2\pi i\mathrm{t}^{r,y}\}-1\langle r,\rho-\rho’\rangle_{c}$ここで、$\mathrm{U}^{+}$$\{c(n)\}_{n\geq}-1$:は次で定まる A の部分集合であり$\mathrm{I}\mathrm{I}^{+}=${$l\in\Lambda;\langle l,$ $\rho\rangle>0$,orは次の母関数で定まる数列である$\sum_{n=-1}^{\infty}c(n)q^{n}=\eta(\tau)-8\eta(2\tau)^{8}\eta(4\tau)^{-}8$,.

$l=m\rho(m\in \mathbb{Z}_{+})$},:$\eta(\tau)=q\frac{\iota}{24}n\prod_{=1}^{\infty}(1-q^{n})$,$q.=e^{2\pi i\tau}$.

$\square$

102

注意.

$\Phi$はある generalized Kac-Moody 超代数の分母関数として定義される$([\mathrm{B}1])$。口を定理 61 で構成された保型形式とする。 $E(2)- 2$ -elementary K3 曲
上の重さ $r(E(2))-6=4$ の面の対合は固定集合を持たないから、に–致すに関する保型形式である。定理 24 によれば、の零はる。従って、 Borcherds の定理 (定理 3.1) と定理 2.4 を合わせて次の定理を得る。
さて、$\Phi_{E(2)}$$\Phi_{E(2)}\text{は}\Omega_{E(2)}$$\Phi_{E(2)}$$\Gamma_{E(2)}$定理 3.2. 非零定数 $C_{E(2)}$ が存在して、次が成立する$\Phi=cE(2)\Phi E(2)$

特に、 Ricci-平坦 Enriques 曲面
与えられる$(\mathrm{Y}_{S}, \kappa)$:.

$\mathcal{H}_{E(2)}$:.

に対して、その解析的トーションは次の式で$\tau(Y_{s}, \kappa)=c_{E(2}’\sqrt{vol(\mathrm{Y}S’\kappa)})||\Phi(s)||^{-\frac{1}{4}}$.

ここで、 $s=\pi_{E(2)}(\mathrm{Y}_{s})\in\Omega_{E(2)}$ であり、 $C_{E(2)}’$ は普遍定数である。 口定理 32 は Harvey-Moore ([H-M]) によって既に観察されていたものである。
(Jorgenson-Todorov ([J-T]) は次数 2 の Enriques 曲面の普遍被覆曲面のラプラシ関数であると主張しているが、 これは間違いであアンの行列式が Borcherds の以外の因子でも消える。) 定理 3.1 と 32 によれば、る。実際、 この関数はEnriques 曲面の解析的トーションは Jacobi の\Delta - 関数に類似した無限積表示を持つ。
この意味でも定理 32 は Kronecker 極限公式の 2 次元版と言って良いであろう。 (第も定理 31 と類似の無限積表示を持つことが知られている部のが適当な$E(2)$ 以外の $g(S)=0$ となる格子や命題 11(2) の格子に対して、
generalized Kac-Moody superalgebra の分母関数として得られ、その結果 Borcherdsのに対し関数と同様な無限積表示を持つこと、 $(r, l, \delta)=(16,6,1)$ となる格子てが\tau - $-F$ 関数の積で書けること等、 この他にも書くべきことはあるが紙数の$\Phi-$$\mathcal{H}_{E(2)}$$([\mathrm{G}- \mathrm{N}])_{0})$$\triangle_{2}(\tau)$$\Phi_{S}$$S$$\Phi-$$\Phi_{S}$

都合で省略した。参考文献についてもかなり重要なもの以外は省略した。論文 [Y] を見て頂けると幸いである。

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1
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