数理解析研究所講究録
第 849 巻 1993 年 49-54

49

Generalized Spin Models
Kenichi Kawagoe (川越謙一)
Akihiro Munemasa (宗政昭弘)
Yasuo Watatani (綿谷安男)

1

Introduction

を $X\cross X$ 上の複素数値関数とす
今、 $X$ を 個の元からなる有限集合とし、$W\pm$$w_{\pm}(a,b)$$(a,b)$る。
で与えられる行列をと書き、 は行列の Hadamard 積を成分が意味する。 (X,) が spin model とは(i) $W+$ とは対称行列である。
$n$$w_{+},$ $w_{-}$$0$$w_{+},$ $w_{-}$$W_{-}$(ii) $W_{+}oW_{-}=J$ .
(iii) $W_{+}W_{-}=|X|I$ .
$c\in X$ に対して(iv) 任意の$a,$ $b,$$\sum_{x}w_{+}(a, x)w_{+}(x, b)w_{-}(x, c)=\sqrt{|X|}w_{+}(a, b)w_{-}(b, c)w_{-}(a,c)$が成り立つ。
ただし $J$ は成分がすべて 1 の行列、 $I$ は単位行列である。 グラフの頂点の数、 すなわち黒く塗られた領域の数を $v(L)$ と書く。 Partition function は次で定義される。
$Z(L)= \sqrt{n}^{-v\{L)}\sum_{\sigma}\prod_{\langle\alpha,\beta)}w_{\epsilon(\alpha,\beta)}(\sigma(\alpha), \sigma(\beta))$

,

50.

についてとり、和はグラフの頂点の集合から $X$ただし、積はグラフのすべての辺へのすべての写像 についてとる。 このとき、 $Z(L)$ は type II, III の Reidemeister moveで不変であることがわかる。 さらに $Z(L)$ を normalize することにより、 向きの付いた絡み目の不変量を得ることもできるが、 partition function そのものは絡み目の向きの$(\alpha, \beta)$$\sigma$影響を受けない。絡み目の向きの情報をもっと不変量に伝えるためには向きの付いた符号付きグラフを考えることが自然である。すると辺の向きによって異なった weight を付けることができる。 つまり、辺の向きを絡み目の diagram で上にある segment の向きと合うように定めるのである。

$\ovalbox{\tt\small REJECT}+$(1)$\ovalbox{\tt\small REJECT}-$

すると spin model の概念から対称性の条件 (i) を取り除いた一般化を考える必要が生じる。 このように一般化された spin model の定義は次の節で与える。対称性の条件 (i) を落としたとき、他の条件 $(ii)-(iv)$ の類似をみつけることは自明でない。我々の定義は得られた partition function が向きのある絡み目の diagram の type II, III の Reidemeistermove で不変であるということを示すことによって正当化される。 この結果は宗政 綿谷の論文に対して、 V. F. R. Jones が綿谷に提起した結果得られたものである。
-2

基本的な定義定義. 有限集合 $X$ 上の generalized spin model とは、複素数を成分とする行列の組 $(W_{+}, W_{-})$で、行、列は $X$ で index されていてつぎの条件を満たすものである。

(i) $W_{+}^{T}oW_{-}=J$ .
(ii) $W_{+}W_{-}=|X|I$ .
(iii) 任意の $a,$ $c\in X$ に対して、$b,$$\sum_{x}w_{+}(a, x)w_{+}(x, b)w_{-}(x, c)=\sqrt{|X|}w_{+}(a, b)w_{-}(b, c)w_{-}(a, c)$.

これは先に述べた Jones による spin model の概念の一般化である。 もし $(W_{+}, W_{-})$が generalized spin model ならば、 $(-W+’-W_{-})$ もそうである。

次の式を考える。
$S_{1}^{\pm}(a,b,c)= \sum_{x}w_{\pm}(a,x)w_{\pm}(x, b)w_{\mp}(x,c)-$ろ 7w\pm (a, ) $w_{\mp}(b,c)w_{\mp}(a,c)$ ,$b$,$S_{2}^{\pm}(a,b,c)= \sum_{x}w_{\pm}(x,a)w_{\pm}(x, b)w_{\mp}(c,x)-\sqrt{n}w_{\pm}(a,b)w_{\mp}(b,c)w_{\mp}(c,a)$51,$S_{3}^{\pm}(a, b, c)= \sum_{x}w_{\pm}(a, x)w_{\pm}(x, b)w_{\mp}(c, x)-\sqrt{n}w_{\pm}(a, b)w_{\mp}(c, b)w_{\mp}(c, a)$.

$S_{4}^{\pm}(a, b, c)= \sum_{x}w_{\pm}(a, x)w_{\pm}(b, x)w_{\mp}(x, c)-\sqrt{n}w_{\pm}(a, b)w_{\mp}(b, c)w_{\mp}(c, a)$Proposition 2.1 複素数を成分とする$n\cross n$行列の組 $(W+, W_{-})$ が $W_{+}^{T}oW_{-}=J$ ,$W_{+}W_{-}=nI$ を満たすとする。 このとき、 $(W_{+}, W_{-})$ がgeneralized spin model になるための必要十分条件は次のいずれかが成り立っことである。
(i) $S_{1}^{+}(a, b, c)=0$ for all $a,$ $cEX$ ,$b,$(ii) $S_{1}^{-}(a, b, c)=0$ for all(iii) $S_{2}^{+}(a, b, c)=0$ for all(iv) $S_{2^{-}}(a, b, c)=0$ for all(v) $S_{3}^{+}(a, b, c)=0$ for all(vi) $S_{3^{-}}(a, b, c)=0$ for all(vii) $S_{4}^{+}(a, b, c)=0$ for all(viii) $S_{4}^{-}(a, b, c)=0$ for all$c\in X$

$a,$ $b,$$a,$$a,$ $b,$ $c\in$a,$ $b,$,$c\in X_{f}$

$b,$

X$

$c\in X$,,$a,$ $b,$ $c\in X_{f}$$a,$ $b,$$a,$$c\in X$$b,$,$c\in X$,

証明 条件 (i) は generalized spin model の定義にある条件 (iii) と同値である。 っぎの等式は容易に確かめられる。
$w_{+}(c, a) \sum_{b}w_{-}(b, y)S_{1}^{+}(a, b, c)=$〉$nS_{2}^{-}(y, c, a)$ .

$w_{-}(a, c) \sum_{b}w_{+}(b, y)S_{2}^{-}(a, b, c)=$〉$nS_{2}^{+}(c, y, a)$.

$w_{-}(b, a) \sum_{c}w_{+}(y, c)S_{2}^{+}(a, b, c)=\text{珂^{}(hS}\sim(b, a, y)$.

$w_{-}(u, c) \sum_{b}w_{+}(b, y)S_{3}^{-}(a, b, c)=\sqrt{n}S_{3}^{+}(c, y, a)$.

$w_{+}(b, c) \sum_{a}w_{-}(y, a)S_{3}^{+}(a, b, c)=\sqrt{n}S_{4^{-}}(c, y, b)$.

$w_{-}(c, b) \sum_{a}w_{+}(y, a)S_{4}^{-}(a, b, c)=\sqrt{n}S_{4}^{+}(y, c, b)$.

$w_{-}(b, a) \sum_{c}w_{+}(c, y)S_{4}^{+}(a, b, c)=\sqrt{n}S_{1}^{-}(b, a, y)$.

$w_{-}(c, b) \sum_{a}w_{+}(y, a)S_{1}^{-}(a, b, c)=\sqrt{n}S_{1}^{+}(y, c, b)$.

以上より、 $(i)-(vi\ddot{u})$ のどれも generalized spin model の定義にある条件 (iii) と同値で
口あることがわかる。

Proposition 2.2

もし$(W_{+}, W_{-})$び $(W_{+}^{T}, W_{-}^{T})$ もそうである。

が generalized spin model ならば、 $(W_{-}, W_{+})$ およ52

証明

Proposition2.1 より明らか。

口Examples. $\zeta_{m}=\exp(2\pi i/m)$ とおく。 $W+$ をっぎのいずれかの行列とする。
,$\zeta_{24}(\begin{array}{lll}1 1 \zeta_{24}^{16}\zeta_{24}^{16} 1 11 \zeta_{24}^{16} 1\end{array})$$(\begin{array}{llll}1 \zeta_{8} 1 \zeta_{8}^{6}\zeta_{8}^{5} 1 \zeta_{8} 11 \zeta_{8}^{6} 1 \zeta_{8}\zeta_{8} 1 \zeta_{8}^{5} 1\end{array})$,$\zeta_{1^{0}}^{1}\zeta_{2_{16}^{16}}^{20}\zeta_{20}^{8}$$\zeta_{20}(\zeta_{1^{0}}^{1}\zeta_{2_{8}0}^{16}\zeta_{20}^{2_{16}}$$(\zeta_{20}^{2_{16}^{16}}\zeta_{1_{0}^{8}}^{1}20 \zeta_{2_{16}}^{16}\zeta_{20}^{1^{8^{0}}}\zeta_{20}^{1} \zeta_{1^{0}}^{2_{16}}\zeta_{2_{8}0}^{16}\zeta_{20}^{1})$,また、 $W_{-}$ は条件 $W_{+}^{T}oW_{-}=J$ で定まる行列とする。 このと- き、 $(W_{+}, W_{-})$ は generalized

spin model になる。 チェックするにはv 信を用いよ。

3$\sqrt{3}=2\zeta_{24}^{2}-\zeta_{24}^{6},$$-2 \zeta_{20}^{6}+2\zeta_{20}^{4}+1=4\cos\frac{2\pi}{6}+1=$

向きの付いた絡み目の不変量に対して向きの付いた符号付きグラフを次のように向きの付いた絡み目の diagram構成する。 絡み目の diagram で囲まれた領域を黒と白で塗分ける。 このとき、 非有界な領域を白で塗り、 隣り合った領域は違う色になるようにする。 グラフの頂点としては黒く塗られた領域をとり、辺としては絡み目の交差をとる。辺の符号 $+$ , 一は規則 (1)で表わが辺のとき、 このようにして定義された符号をによって定める。
$arrow L$$(\alpha, \beta)$$\epsilon(\alpha, \beta)$

す。 またグラフの頂点の数を $v(Larrow )$ と書く。 $(W_{+}, W_{-})$ が有限集合 $X$ 上の generalized
spin model のとき、 partition function を次で定義する。

,$Z(L)= \sqrt{n}^{-v(L)}\sum_{\sigma}\prod_{(\alpha,\beta)}w_{\epsilon(\alpha,\beta)}(\sigma(\alpha), \sigma(\beta))arrowarrow$

ただし、 積はグラフのすべての辺$X$へのすべての写像$\sigma$$(\alpha, \beta)$(2)についてとり、 和はグラフの頂点の集合からについてとる。

Theorem 3.1 $(W+, W_{-})$ が有限集合 $X$ 上の generalized spin model ならば、 (2) で定義された partition function は type II, III の Reidemeister move で不変である。

534Skein relations

Generalized spin model (X, $W+,$$W_{-}$) に対して、 skein relation を次のように求めることができる。 $W_{+}$ の最小多項式を $f(x)$ とする。 すなわち、$f(x)= \sum_{i=0}^{r}\frac{a_{1}}{D^{i}}x^{i}$

ただし、 $D^{2}=n,$ $a_{r}=1$ である。 このとき、$\sum_{i=0}^{r}\frac{a_{i}}{D^{i}}W_{+}^{i}=\frac{a_{r}}{D^{r}}W_{+}^{r}+\frac{a_{r-1}}{D^{r-1}}W_{+}^{r-1}+\cdots+\frac{a_{1}}{D}W_{+}+a_{0}I=0$

.

(3)

よって
ア

$a_{i}o^{i}W_{+}^{T}=a_{r}o^{r}W_{+}^{T}+a_{r-1}o^{r-1}W_{+}^{T}+\cdots+a_{1}W_{+}^{T}+a_{0}J=0$;

.

(4)

$0$

(3) と (4) は [1] に現われる duality map で関係付けられる。 また、 非有界な領域の色によらないことも確かめられる。 (3) と (4) から、 skein relation は直ちにわかる。
$\sum_{:=0}^{r}a_{i}Z(L_{i})=0arrow$,

は向きの付いた絡み目用に normalize されているものとする。Section
2 で与えた例について、 skein relation を実際に書き下してみよう。
ただし、$arrow L_{i}=$Examples. (i)$Z$$\zeta_{24}^{8}Z(L_{1})arrow+\zeta_{24}^{-8}Z(L_{-1})-arrow(\zeta_{24^{4}}-\zeta_{24}^{-4})Z(L_{0})arrow=0$

これは Jones 多項式の特殊値である。

(ii)$Z(L_{3})-Z(L_{2})-\zeta_{8^{6}}Z(L_{1})arrowarrowarrow+\zeta_{8}^{6}Z(L_{0})arrow=0$(iii) $Z(L_{3})arrow+(\zeta_{20^{6}}-\zeta_{20^{4}})Z(L_{2})arrow+(\zeta_{20^{6}}-\zeta_{20}^{4})Z(L_{1})arrow+Z(L_{0})arrow=0$
Generalized spin model は絡み目の向きに関する情報を持っているので、invertibility
problem (向きの付いた結び目と、 その向きを逆にしたものが同値かどうか) に役立てばとても面白い。

Lemma 4.1 (X,$W_{+},$ $W_{-}$) を generalized spin model とする。 もし置換行列 $P$ で$W_{+}^{T}=$となるものが存在すれば、 対応する不変量 $Z$ は絡み目の向きを逆にしたときも同じ値を持っ。

$PW_{+}P^{-1}$: $\{1,2, .., n\}arrow\{1,2, ..n\}$ を置換行列 $P$ に対応する置換とする。すると任意の証明と任意の頂点に対して、が成り立っ。 よって、$\tau$$\sigma$$\alpha,$$w_{\pm}(\sigma(\alpha), \sigma(\beta))=w_{\pm}(\tau\sigma(\beta), \tau\sigma(\alpha))$$\beta$$Z(L)arrow$$=$$\sum_{\sigma}\prod_{\alphaarrow\beta in}arrow Lw_{\epsilon(\alpha,\beta)}(\sigma(\alpha), \sigma(\beta))$$=$$\sum_{\sigma}$$\prod_{arrow,\betaarrow\alpha inL^{-1}}w_{\epsilon(\beta,\alpha)}(\sigma(\alpha), \sigma(\beta))$

54

$=$

$\sum_{\sigma}$$\prod_{arrow,\betaarrow\alpha inL^{-1}}w_{\epsilon(\beta,\alpha)}(\tau\sigma(\beta), \tau\sigma(\alpha))$$=$$\sum_{\sigma}\prod_{L^{-1}\betaarrow\alpha in}w_{\epsilon(\beta,\alpha)}(\sigma(\beta), \sigma(\alpha))arrow$$=$$L^{-1}arrow$$Z(L^{-1})arrow$$arrow L$

口の向きを逆にしたものである。
Generalized spin model だけからは、 完全な絡み目の不変量は得られないことが、次の例からわかる。

ただし、

は絡み目

Example. (Pretzel 結び目 $K(P_{1},$)をでを正の奇数とし、,ない異なる奇数とする。 どんな置換 に対しても pretzel 結び目$K_{\tau}=K(P_{\tau(1)}, P_{\tau(2)}, \cdots, P_{\tau(r)})$の適当なグラフは同型となる。 したがって $Z(K)=$$Z(K_{\tau})$ .
が互い
一方 pretzel 結び目の分類 [4] によれば、 二っの pretzel 結び目 $K$ と$P_{2},$$\cdots,$$\tau$$P_{r})$$r$$P_{1},$$P_{2},$$\cdots,$$P_{r}$$\pm 1$$K=K(P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{\ovalbox{\tt\small REJECT}})$$K_{\tau}$ambient isotopic になるのは が巡回置換の場合のみである。 よって、 どんな spinmodel から得られた不変量の値も一致するような同値でない結び目が存在する。に$\tau$

References{1] E. Bannai and E. Bannai, Generalized spin models and association schemes,preprint.

[2] T. Ikuta, Non-existence of spin models correspondings to nonsymmetric association
schemes of class 2 on $4m+3$ vertices if $m\geq 1$ , preprint.

[3] V. F. R. Jones, On knot invariants related to some statistical mechanical models,Pacific. J. Math., $137(1989),311-334$ .

[4] A. Kawauchi, Classification of pretzel knots, Kobe J. Math., $2(1985),11-22$ .
[5] A. Munemasa and Y. Watatani, Paires orthogonales de sous-alg\‘ebres involutives,C. R. Acad. Sci. Paris, S\’erie I, $314(1992),329-331$ .