数理解析研究所講究録 1200 巻 2001 年 179-185

179

実アーベル体の岩澤 不変量について$\lambda$

東京大学大学院数理科学研究科・研究生・都地崇恵 (TSUJI Takae)

Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo.

1序を素数とする. 代数体 に対して,拡大を表す. つまり, k。をで円分に 1 の べき乗根全体を添加した体の部分体で 上の Galois 群がの加法群と同型になる唯一の体とする. 各 $n\geq 0$ に対し, 上次となるの中間体をとする.のイデアル類群の -Sylow 部分群を $A_{n}(k)$ と書き,
$k$

$p$

$k$

$p$

$k_{\infty}/k$$\mathbb{Z}_{p}$$k$$k(\mu_{p^{\infty}})$$\mu_{p^{\infty}}$$k$$\mathbb{Z}_{p}$$k_{n}$$k_{n}$$k_{\infty}/k$$p^{n}$$p$$A_{\infty}(k):=.\mathrm{K}^{\mathrm{m}A_{n}(k)}$とおく. ここで, 射影極限はノルムによるものとする. このとき, 次が予想されている ([6]):Greenberg 予想 $(p, k)$ .

$k$が総実代数体ならば$A_{\infty}(k)$は位数有限であろう.

現在のところ, その正否について一般的なことは殆ど証明されていないが, 予想が成立するための (必要) 十分条件を与え, 実例でそれを確かめるという研究は多く行われている. その中, 市村-隅田 ([7, 8, 9]) は がアーベル体で拡大次数が と素なとき, 予想が成り立つための必要十分条件を円単数や 進 関数などを用いて簡明な形で与えている (Kraft-Schoof [11], 栗原 [12] でも同様の形の判定条件が与えられている). それは実例計算には非常に有効なものであり, 実際それ
$k$$[k : \mathbb{Q}]$

$p$

$p$

$L$を用いることで $p=3,$ $k=\mathbb{Q}(\sqrt{m})(1<m<10^{4})$ に対して予想が正しいことが確認できている. その後, 福田-小松 [4] は,$k$が$p$次巡回体で$p$が分解するとき, 市村-隅田と同様の形の判定条件を与えた.

今回は市村-隅田の結果を拡張し, 拡大次数が で割れる場合も含めたすべての$p$実アーベル体に適用できる判定条件を与えた.

2

主結果
記号は前節の通りとする.

満たす, つまり導手が$p^{2}$$p$は奇素数とし,で害りれないとする.

$k$は実アーベル体で$\triangle:=\mathrm{G}\mathrm{a}1(k/\mathbb{Q})$,$k\cap \mathbb{Q}_{\infty}=\mathbb{Q}$を$\Gamma:=\mathrm{G}\mathrm{a}1(k_{\infty}/k)$と180上の加群は完備群環と分解でき,すれば, Gal(k\infty /Q)は上有限生成かつ torsion であることが知られとなる. さらに,ている. まず, アーベル体 に対する Greenberg 予想はの指標を用いて,加群を分解することにより, 指標ごとの予想に帰着できることを述べる.
を次のように定める:$M$ との指標に対し,$\cong\triangle\cross\Gamma$$A_{\infty}(k)$$A_{\infty}(k)$$\mathbb{Z}_{p}[\triangle][\Gamma \mathrm{I}$$\mathbb{Z}_{p}[\triangle][\Gamma \mathrm{I}$$k$$A_{\infty}(k)$$\triangle$$\mathbb{Z}_{p}[\triangle]$$M^{\chi}$$\chi\in\triangle:=\wedge \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\triangle, \overline{\mathbb{Q}}_{p}^{\mathrm{x}})$$\triangle$.

$M^{\chi}:=\{m\in M\otimes_{\mathbb{Z}_{p}}\mathbb{Z}_{p}[\chi]|\delta m=\chi(\delta)m\forall\delta\in\triangle\}$にをのす
上 の値で生成される環とする. このとき,はただし,べての指標の値を添加した環とすれば, 自然な写像の核と余核は の位数倍で消えることが分かる (とくに の位数が と素ならば上有限生成ならば, それらはともにそれらはともに自明である). よって, $M$ が加はの定理 ([3]) より, 有限生成位数有限になる.
群になることが知られているので, に対する Greenberg 予想は のすべての指を に対応が位数有限であることと同値になる. さらに,標 に対し,の核と余核は有限になするアーベル体とすれば, ノル\Delta 写像の有限性はアーベル体 には依らず, のみにることがわかる. 従って,$\triangle$$\mathrm{D}$$\mathbb{Z}_{p}[\chi]$$\mathbb{Z}_{p}$$\mathbb{Z}_{p}$$\chi$$\oplus_{\chi\in\hat{\Delta}}M^{\chi}\otimes_{\mathbb{Z}_{p}[\chi]}\mathrm{D}arrow M\otimes_{\mathbb{Z}_{p}}\mathfrak{O}$$\triangle$$\triangle$$p$$\mathbb{Z}_{p}$$A_{\infty}(k)$$\mathbb{Z}_{p}$$\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}-\mathrm{W}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}$$k$$\triangle$$A_{\infty}(k)^{\chi}$$\chi$$k_{\chi}$$\chi$$A_{\infty}(k)^{\chi}arrow A_{\infty}(k_{\chi})^{\chi}$$k$$A_{\infty}(k)^{\chi}$依存する.
導手が$\chi$

で割れない even な Dirichlet 指標 を 1 つ固定し,はは単にと書き,Gal(k\chi /Q) とする. また,$p^{2}$$\chi$$A_{\infty}(k_{\chi})^{\chi}$$\mathbb{Z}_{p}[\chi]$$A_{\infty}^{\chi}$$k=k_{\chi},$$\mathcal{O}$で表す.

$\triangle=$

1つ固定した の位相的生成元 に $1+T$ を対応させることにより, 完備群環の加群としを加群と見なす.とべき級数環を同一視し,と書く. このとき, 定義よりての特性多項式, 不変量をそれぞれの加群としての階数に一致する. 上でであり, これはは有限生成 加群であるから, と に対する Greenberg 予も述べたように$\mathcal{O}[\Gamma \mathrm{I}$$\Gamma$$\gamma$$\Lambda:=\mathcal{O}\mathbb{I}T\mathrm{J}$$\Lambda$$A_{\infty}^{\chi}$$\lambda$$A_{\infty}^{\chi}$$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi},$$A_{\infty}^{\chi}$$\lambda_{\chi}=\deg(\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi})$$\Lambda$$\lambda_{\chi}$$\mathcal{O}$$\mathcal{O}$$p$$A_{\infty}^{\chi}$$\chi$

想は次のようになる:.

Greenberg 予想 $(p, \chi)$ 導手力$\mathrm{a}^{\theta}$$p^{2}$

で割れない even$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}=1$

,

すなわち

$\gamma p$

Dirichlet 指標$\lambda_{\chi}=0$$\chi$

に対し,

.

は, 進 $L$ 関数
まず Mazur-Wiles の定理 [13](岩澤主予想) より,によるを使った条件に言い換えられることを述べる. の円分指標に対応する Kubota-Leopoldt の 進 $L$ 関数を $L_{p}(s, \chi)$ で表像を $1+q$ と書く.
が唯 1 つ存在することが知られす. このとき, 次を満たすべき級数$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}=1$$\Gammaarrow 1+p\mathbb{Z}_{p}$$\gamma$$p$$\chi$$p$$g_{\chi}(T)\in \mathcal{O}[T\mathrm{I}$ている$g_{\chi}((1+q)^{s}-1)=L_{p}(1-s, \chi)$181([15, Theorem 7.10] 参照). さらに, FerrerO-Washington の定理と 進 Weierstrassとの単数多項式があって,準備定理より,$p$$u_{\chi}(T)$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$P\ovalbox{\tt\small REJECT}(T)arrow O[T]$$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{d}$$g_{\chi}(T)=u_{\chi}(T)P_{\chi}(T)$と一意的に分解できる. このとき, Mazur-Wiles の定理と類体論より$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}|P_{\chi}(T)$). 従って,のすべての既約因子 $P(T)\in \mathcal{O}[T]$ に対して, $P(T)$が成立することが同値であることがわかる.

が導かれる (とくに,が成立することと$\lambda_{\chi}^{*}=\deg P_{\chi}(T)$とおけば,$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}=1$$\lambda_{\chi}\leq\lambda_{\chi}^{*}$$P_{\chi}(T)$$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}$$\{$

そこで $P(T)|P_{\chi}(T)$ なる多項式 $P(T)\in \mathcal{O}[T]$ を 1 つ固定する. 本稿の目的はが成立するための必要十分条件を与えることである. そこで重要な役割を果たすのは市村-隅田 ([7, 8, 9]) によって導入された多項式 $X_{P,n}(T)$ で,$P(T)$\dag er$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}$

その定義を述べる. $n\geq 0$ に対し,$(1+T)^{p^{n}}-1$( $\chi(p)\neq 1$ のとき)$\frac{(1+T)^{p^{n}}-1}{T}$( $\chi(p)--1$ のとき)$\theta_{n}^{\chi}(T)=\{$

Brumer [1] によって証明されたアーベル体に対する Leopoldt 予想から,のアーベル群としが位数有限であることが導かれる. そこでがとする. このとき, 次を満たす多項式ての exponent をとおく.

$\Lambda/(P, \theta_{n}^{\chi})$$\Lambda/(P, \theta_{n}^{\chi})$$X_{P,n}(T)\in \mathcal{O}[T]$$m_{P,n}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$を法として一意的に定まる:$X_{P,n}(T)P(T)\equiv m_{P,n}$$\mathcal{O}$の$\mathbb{Z}_{p}$上の基底$\{\theta_{1}, \cdots, \theta_{s}\}(s=[\mathcal{O} :\mathbb{Z}_{p}])$,$\mathrm{x}8_{n}^{)}(T)\in \mathbb{Z}_{p}[\triangle][T]$$Y_{P,n}^{(j)}(T)\in \mathbb{Z}[\triangle][T]$$Y_{P,n}^{(j)}\equiv X_{P,n}^{(j)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} m_{P,n}$を選ぶ.

整数 $m\geq 1$ に対し, 1 の原始 $m$ 乗根 \mbox{\boldmath $\zeta$}。を 1 つ固定する.
を次のように定義する:
を $f$ とおく.の円単数$k_{n}$.

を 1 つ固定し,$( \sum_{\delta\in\triangle}\chi(\delta)^{-1}\delta)X_{P,n}(T)=\sum_{j=1}^{s}X_{P,n}^{(j)}(T)\theta,$と表す. さらに, 次を満たすように$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \theta_{n}^{\chi}$$k$の導手の$p$$c_{n}$$N_{\mathbb{Q}(\zeta_{fp^{n+1}})/k_{n}}(1-\zeta_{fp^{n+1}})^{t-1}$$c_{n}=\{$$N_{\mathbb{Q}(\zeta_{\mathrm{p}^{n+1}})/k_{n}}( \frac{1-\zeta_{p^{n+1}}}{1-\zeta_{p^{n+1}}^{b}})^{t-1}$( $f\neq 1$ の$\geq\doteqdot$)( $f=1$ のとき)と素な部分

182
ここで$t$

はの $p$ 上の素イデアルによる剰余体の位数とし,$k$$b$は$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p^{2}$の原始根とする.
主結果は次の通りである:
定理 1. $P(T)|P_{\chi}(T)$ なる多項式 $P(T)\in \mathcal{O}[T]$ に対し, 次の 2 つは同値である:(i)(ii) ある $n\geq 0$ で, 次の条件が成立する:$P(T)\{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}$$\chi$$(1 \leq\exists j\leq s)$$P,n(j)(\gamma-l)\not\in(k_{n}^{\cross})^{m_{P,n}}$$(H_{P,n})$らの位数が$p$.

で割れないとき, この結果は市村-隅田 $[7, 9]$ の主定理に一致する.

注. 条件 $(H_{P,n})$ は $X_{P,n},$$\mathrm{Y}_{P,n}^{(j)}(1\leq j\leq s)$および$\mathcal{O}$の上の基底の選び方には依$\mathbb{Z}_{p}$らない.

以上より,に対する Greenberg 予想, つまりが成立することはのすべての既約因子 $P(T)\in \mathcal{O}[T]$ に対し, ある $n\geq 0$ で条件 $(H_{P,n})$ が成立することと同値になることが得られたので, これを用いて Greenberg 予想の判定が行える.

$\chi$

実際, 多項式$P_{\chi}(T)$$\lambda_{\chi}=0$

および $m_{P,n}$ は計算可能な元であり, 瞥 . 叡($\mathrm{Y}_{P,n}^{(j)}(T)$

, 円単数

$j$

$P$

$c_{n}$

が $m_{P,n}$ 乗元にならないことを確かめるには$k_{n}$)の次数 1 の素イデアル $L$ を使って,$P,n(j)(\gamma-1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mathcal{L}\not\in((\mathbb{Z}/l\mathbb{Z})^{\cross})^{m_{P,n}}$ら$\gamma-1$,$((l)=L\cap \mathbb{Q})$が成立するかを考察することが有効である. ここで, Chebotarev の密度定理を使えば, 上の条件を満たす , が存在することと条件 $(H_{P,n})$ は同値であることも分$\mathrm{C}$かる.のある特別な因子 $P(T)$ に対しては定理における条件 $(H_{P,n})$ を実際に確が成り立つことを証明した. その結果にも触かめるまでもなく, $P(T)$ \dag er
れておく.
を Teichm\"uller 指標とする.
$P_{\chi}(T)$$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}$$\omega$$g_{\chi}(q)=-(1-\chi\omega^{-1}(p))B_{1,\chi\omega^{-1}}$(Bl,\chi 。-l は一般 Bernouffi 数) である. よって,である. このとき, 次を示した:
命題 2.

$\chi\omega^{-1}(p)\in\mu_{p^{\infty}}$,$\chi\omega^{-1}(p)\in\mu_{p^{\infty}}$ならば常にと仮定する. $P(T)|P_{\chi}(T)$ となる多項式 $P(T)\in \mathcal{O}[T]$ に対して,$(*)$$\lambda_{\chi}^{*}\geq 1$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}(Q(q))<\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}(1-\chi\omega^{-1}(p))$$(Q(T)=P_{\chi}(T)/P(T))$

183
ならば,が成り立つ. とくに,$P(T)\{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}$$P_{\chi}(T)$は $(*)$ を満たすので$\lambda_{\chi}\leq\lambda_{\chi}^{*}-1$が成立する.のとき,より, 次が得られる:$\chi\omega^{-1}(p)=1$$q$が $P_{\chi}(T)$ の単根であること ([2, Proposition 2]) と命題 2$T-q|P_{\chi}(T)$,$T-q\{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}$.の位数が で割れないときには, すでに市村-隅田 ([8, Remark 5])
によって証明されている.
かつ $\chi\omega^{-1}(p)\neq 1$ のとき, 命題 2 における条件 $(*)$ は次が成立することと同値であることに注意しておく:

この主張は,$p$$\chi$$\chi\omega^{-1}(p)\in\mu_{p^{\infty}}$$v_{\mathcal{O}}(P(q))>v_{\mathcal{O}}(B_{1,\chi\omega^{-1}})$

3

証明についてk。の整数環を O。で表し,$k_{n}^{\cross}\mathrm{c}arrow(k_{n}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}_{p})^{\cross}$による$(O_{n}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_{p})^{\cross}$$k_{n}$の $p$ 進完備化を$\%_{n}$とおく. 埋め込みの単数群の像を E。とおき, $E_{n}\cap\%_{n}$ の閉包を$\mathscr{E}_{n}$で表す. それぞれのノルムによる射影極限を%と書く. このとき, 7 とる.

$\mathscr{E}$$:=.\mathrm{k}^{\mathrm{m}\%_{n}}$は,$\mathbb{Z}_{p}[\triangle][\Gamma \mathrm{I}$$\mathscr{E}:=.\mu \mathrm{m}\mathscr{E}_{n}$加群であるから,$\Lambda$加群 %\chi と $gx$ が定ま

Mazur-Wiles の定理と類体論より,$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}(\%^{\chi}/\mathscr{E}^{\chi})\cdot \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}=P_{\chi}(T)$の因子としたとき, 条件 $P(T)$はと書き直せることがわかる. この条
件を $gx$ の生成元, つまり $k_{n}(n\geq 0)$ の基本単数を用いて書き直すのでなく, そのが導かれる.

そこで, $P(T)\in \mathcal{O}[T]$ を$P_{\chi}(T)$$\{$$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}(\%^{\chi}/\mathscr{E}^{\chi})\{(P_{\chi}(T)/P(T))$$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\Lambda}A_{\infty}^{\chi}$をで生成される部分加群中の具体的に扱える円単数考察することで, 基本単数には依らない条件 $(H_{P,n})\}$ こ書き換えられることを証明のする.
構造はを用いて表わせることが, の拡大次数が で割$( \prod_{\delta\in\triangle}c_{n}^{\chi(\delta^{-1})\delta})_{n\geq 0}\in \mathscr{E}^{\chi}$$\%^{\chi}/\mathscr{C}^{\chi}$$\Lambda$$P_{\chi}(T)$$\mathscr{C}^{\chi}$

$k$

$p$

れないときには, 岩澤 [10], Gillard [5] によって証明されており, 市村-隅田 $[7, 9]$
ではそれが証明の重要な役割を果たしていた. 市村-隅田の結果において の拡大次数力で割れないと仮定した一番大きな理由はこの岩澤. Gillard の結果がそ$k$$\grave{\grave{[searrow]}}$$p$

184の仮定の下でしか証明されていなかったことである. [14] では次数が で割れる
場合も含めたすべてのアーベル体 に対し, %\chi /C\chi の構造を決定したので, この結果を用いることで市村-隅田の結果の拡張となる定理 1 が得られた. 命題 2 は,ののとき,-torsion 部分が自明でないことを使って証明する.
$p$

$k$

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