数理解析研究所講究録
第 1921 巻 2014 年 108-121

108

Local state, sector theory and measurement
in AQFT
京都大学 数理解析研究所，
名古屋大学 情報科学研究科 岡村和弥 1

導入

1

量子論において，状態概念は物理量代数の双対概念として物理的状況実験設定を指定するために欠かすことのできない役割を果たしている。 状態の違いは物理的状況実験設定の違いであり，そのマクロに見た質的な差をセクターとして様々な測定過程を介して確率論的に捉えるのである。 しかしながら，状態の指定それ自体が非常に難しい作業であり，物理的にも数学的にも理想化が入らざるを得ないのも事実である。 とはいえ，相対論的場の量子論において全時空領域にわたる状態の指定など (理想化せずには) 到底不可能であるし，そもそも，状態変化の記述を物理的に現実的な形で実現できるとは考えづらい。 それ故，本稿では場の量子論の文脈において状態概念をより融通のきく形式で整備し，それをセクター理論および測定理論と結びつけて議論する。 この一環で定義される概念が 「局所状態 local state) 」 であり，有界時空領域では状態の機能を持ちながら全時空領域においては量子操作 (quantum operation) として理解すべき概念である。
本稿の一部の内容は幾つかの報告集の記事 (特に過去の RIMS 講究録) とも重複しているため，重複する内容 (特に次章の準備) については簡潔な記述にとどめる。 尚，小嶋泉氏との共著 [25] (発展的内容は [22] 参照) には本格的かつ体系的に量子論の新しい定式化$($についてまとめられており，本稿に関連する作用素環論の詳細事項については [5, 35, 36]を参照していただきたい。

準備 :量子論の代数的定式化とセクター概念

2上の線型汎関数であって， $\omega(A^{*}A)\geq 0$ および (1 ) $=1$ をで満たすとき
上の状態全体を表す。 状態とは，非上の状態であると呼ばれる。
可換代数上に一般化された期待値を与える汎関数 期待値汎関数 である。 $c*$ -代数 とそを $c*$ -確率空間と呼ぶ。
の上の状態 の組$\mathcal{X}$が $c*$ -代数とする。

$\omega$は$\mathcal{X}$$\omega$$\mathcal{X}$$\mathcal{X}$$E_{\mathcal{X}}$$($$\omega$

公理 1

$($

$(\mathcal{X}, \omega)$

物理量と状態 26,25$[$

物理系の物理量のなす代数はぴ-代数れる。 そして，物理系の実験設定測定状況は
$c*$

-代数

$\mathcal{X}$$\mathcal{X}$

$)$

の状態空間

$E_{\mathcal{X}}$$\mathcal{X}$上の状態$\omega$$\mathcal{X}$によつて与えらを与えるごとに指定される。

には次のような近傍から生成される位相が導入される :任意に対し，の $A_{i}\in \mathcal{X},$ $\epsilon_{i}>0(i=1,2, \cdots, n)$$O_{\omega}(\{A_{i}, \epsilon_{i}\}_{i=1}^{n})=\{\omega’\in E_{\mathcal{X}}||\omega(A_{i})-\omega’(A_{i})|<\epsilon_{i}, i=1, 2, \cdots, n\}.$にこの位相は有限個の量を有限精度で測る状況に対応したものである。 任意の
(
対合を保つ
と
から
への表現
対し，Hilbert 空間, 単位ベクトル$\omega\in E_{\mathcal{X}}$$\mathcal{H}_{\omega}$$\Omega_{\omega}\in \mathcal{H}_{\omega}$

1 連絡先 okamura@math cm is.nagoya-u.ac.jP$\mathcal{X}$$B(\mathcal{H}_{\omega})$109
準同型写像のこと)を満たす 3 つ組のをに伴う GNS 表現と呼ぶ (GNS 表現定理)。 GNS 表現は各状態に対してユニタリー同値を除いて一意に定まる。
に対し，$\{\pi_{\omega}, \mathcal{H}_{\omega}, \Omega_{\omega}\}$$\pi_{\omega}$$\mathcal{X}$で$\omega$(A)$=\langle\Omega_{\omega}|\pi_{\omega}(A)\Omega_{\omega}\rangle$

および$\mathcal{H}\omega$$=\overline{\pi_{\omega}(\mathcal{X})\Omega_{\omega}}$$\omega$$S\subset B(\mathcal{H})$(1)$S’=\{A\in B(\mathcal{H})| AB =BA, B\in S\}$

を $S$ の可換子と呼ぶ。 $S”:=(S’)’$ を $S$ の再可換子と呼ぶ。

$B(\mathcal{H})$を満たすものを ( 上の) von Neumann 代数と呼ぶ。
上の) von Neumann 代数である。
て生成される自然な ($\mathcal{M}"=\mathcal{M}$$\mathcal{H}$

の

$*$

で
-部分代数
は状態 におい$\mathcal{M}$$\pi_{\omega}(\mathcal{X}\rangle"$$\omega$$\mathcal{H}_{\omega}$

定義 1(セクター [19]). 因子状態の準同値類をセクターと呼び，その全体$F_{\mathcal{X}}/\approx$

を$\mathcal{X}$で表す。

セクターはマクロに見て異なる構造の分類指標の一単位である。 一般化された熱力学的

純粋相および確率論での根源事象の統合概念であって，ミクロから創発する動的な背景を持ちながら熱力学的な安定性に支えられており，マクロの基本単位であってミクロな内部構造も持ち合わせている。
以下ではセクターの定義に用いた用語の説明を行う。
は，対応する von Neumann代数の中心が自明，すなわち，のとき，因子状$\omega\in E_{\mathcal{X}}$$\pi_{\omega}(\mathcal{X})"$$\mathfrak{Z}_{\omega}(\mathcal{X})$$:=\pi_{\omega}(\mathcal{X})"\cap\pi_{\omega}(\mathcal{X})’=\mathbb{C}1$

態であると呼ばれる。 上の因子状態全体をはどので表す。
の 2 つの表現-正規状態 2 も -正規であり，その逆も成立するとき準同値であるといい，で表す。 の 2 つの表現
は，どの -正規状態も -正規でなく，その逆も成立すると
き無縁であるといい，で表す。 正値線型汎関数に対しても GNS 表現を用いて同様に定義される。 本稿で与えたセクターの定義の根拠が次の定理にある。
$\mathcal{X}$$\pi_{1}$$\mathcal{X}$$F_{\mathcal{X}}$$\pi_{1},$$\pi_{2}$$\pi_{2}$$\pi_{1}\approx\pi_{2}$$\mathcal{X}$$\pi_{1},$$\pi_{2}$$\pi_{1}$$\pi_{2}$$\pi_{1}d\pi_{2}$定理 2. 2 つの因子状態は準同値であるか，無縁であるかの二者択一である。

セクターの定義から次は容易に了解される :同一のセクターに属する$\Rightarrow$

準同値，異なるセクターに属する$\Rightarrow$

無縁

状態空間
は先ほどの位相でコンパクト局所凸空間である。 それ故，Choquet の積分論が適用可能で，各E に対し， を重心にもつ上の正則 Borel 確率測度が存在する。 無縁性が状態識別の基準であるという立場から状態の積分分解について議論しよう 3 :$E_{\mathcal{X}}$$\omega\in$$(E_{\mathcal{X}}, \mathcal{B}(E_{\mathcal{X}}))$$\omega$$\mathcal{X}$

定義 3(準中心測度 無縁な分解を与える測度).
上の正則 Borel 確率測度が準中心測度であるとは次の性質を満たすときをいう :任意の
に対して，
$=$

$(E_{\mathcal{X}}, \mathcal{B}(E_{\mathcal{X}}))$$\mu$$\triangle\in \mathcal{B}(E_{\mathcal{X}})$$\int_{\triangle}d\mu(\rho)\rho d \int_{E_{\mathcal{X}\backslash \triangle}}d\mu(\rho)\rho$

2 (1) von Neumann 代数(2).

上の状態 は任意の正の有界増大ネット
に対し，
でを満たすとき正規状態という。
上の正規状態全体を表す。
を $c*$ -代数， をが -正規であるとは，(2)の表現とする。
上の正規状態 が存在して， $\omega(X)=\rho(\pi(X))$ ,を満たすことをいう。
3 「直交性」 の概念を出発点とする状態の積分分解については 5 章と比較の上で[5, 24, 25] 等を参照して頂きたい。
$\mathcal{M}$$\mathcal{X}$$\pi$$\mathcal{X}$$X\in \mathcal{X}$$A_{\alpha}\nearrow A$$\omega$$\mathcal{M}_{*,1}$$\lim_{\alpha}\omega(A_{\alpha})=\omega(A)$$\mathcal{M}$$\omega\in E_{\mathcal{X}}$$\pi$$\pi(\mathcal{X})"$$\rho$

110
無縁な分解を与える測度を準中心測度と呼ぶ理由については次の定理が明確な解答を与える :の定理 4(冨田分解定理 [5, Theorem 4.1.25] の系). (1) の準中心測度 と中心にこの対応があるとき， $L^{\infty}(\mu):=$von Neumann 部分代数 は一対一対応する。
と -同型である :によりは次で定義される写像:$\mathfrak{Z}_{\omega}(\mathcal{X})$$\omega$$\mu$$\mathfrak{B}$$\mathfrak{B}$$\mu,$$*$$\mathfrak{B}$$L^{\infty}(\mu)arrow \mathfrak{B}$$L^{\infty}(E_{\mathcal{X}}, \mu)$$\kappa_{\mu}$$\langle\Omega_{\omega}|\kappa_{\mu}(f)\pi_{\omega}(X)\Omega_{\omega}\rangle=\int d\mu(\rho)f(\rho)\rho(X)$に対応する準中心測度
において，中心はに台をもつ。
に準台をもつ。 が可分ならば，(2) 状態$(\mathcal{X}$ $)$$\mathfrak{Z}\omega$$\omega$$\mu_{\omega}$$\mathcal{X}$($\omega$(3).

の中心測度と呼ぶ) は$F_{\mathcal{X}}$$F_{\mathcal{X}}$$\mu_{\omega}$

中心の von Neumann 部分代数の包含関係で大きい代数であればあるほど，対応する準中心測度はより細かい積分分解を与える。 その中でも中心測度は最大であって，各状態に対し一意に存在する。 それ故に，因子状態を状態の基本単位にする。 言い換えれば，中に準台をもち，中心測度は状態をセクターへと分解する唯一の重心測度であ
心測度は$F_{\mathcal{X}}$る。 物理的には，中心測度が中心に対応した状態の積分分解を与える確率測度であるこはあらゆる物理量の元 と可換な物理量のとから了解されるように，中心$\mathfrak{Z}\omega$$(\pi_{\omega}(\mathcal{X})"$$(\mathcal{X}$ $)$$)$極大系であって，これを用いることによりこの状態 (およびその GNS 表現) を用いて指定できる限りの実験 (測定) 状況で共通のパラメータで状態を分解できるということを意味している。 準中心分解とはこの観点から中心測度より 粗い” 分解であり，ある程度セク
ターを 束” にしてまとめて扱う場合に対応している。
““

を系の物理量代数とする。 状態空間のマクロな
公理 2(セクターと確率空間 [26,25にであるときに基本単位はセクターによって与えられ，系の状態が$\mathcal{X}$$\omega\in E_{\mathcal{X}}$

属するセクターが出現する確率は$\mu_{\omega}(\triangle)$$\triangle\in \mathcal{B}(E_{\mathcal{X}})$で与えられる。

この公理を認めることで先の議論を測度論的確率論の現実的な状況 (測定過程等) へと応用可能になる [25, 26]。統計学的な議論の展開については [23, 24, 27] を参照して頂きたい。

3

代数的場の量子論の基本事項
代数的場の量子論 [1, 16] とは端的に言って，「時空自由度に依存した量子系を扱う理論体系」 への代数的アプローチである。 場の量子論の数学的基盤が未だ出来上がっていないため，この手法 (の一般に提示されるような一辺倒なあり方) だけでは限界があるのだが，von Neumann が量子論の数学的基礎の追究という動機を持って作用素環の研究を始めたことから歴史的には自然な研究手法であって (von Neumann 以後の歴史的な経緯は私には荷が重いため省く), そのため，荒木先生と Haag-Kastler による提唱に必然性はあったと思っており，私個人としても有望だと考えている。
の二重錐の集合 $\mathcal{K}=\{\mathcal{O}=(a+$とは，Minkowski 空間
局所ネット$\{\mathcal{A}(\mathcal{O})|\mathcal{O}\in \mathcal{K}\}$$V_{+})\cap(b-V+)|a,$ $b\in M_{4}\}$$M_{4}$$(V+= \{x\in M_{4}|x^{2}=x_{0}^{2}-\sum_{j}^{3_{=1}}x_{i}^{2}>0, x_{0}>0\}$方光錐) から $c*$ -代数への写像 (正しくは圏論における函手)の 3 条件を満たすものである :$\mathcal{O}\mapsto \mathcal{A}(\mathcal{O})$1は$M_{4}$の前であって，以下

111
1)
2)

ならば，

$\mathcal{O}_{1}\subset \mathcal{O}_{2}$$\mathcal{A}(\mathcal{O}_{1})\subset \mathcal{A}(\mathcal{O}_{2})$;が空間的であるとき，の任意の元との任意の元は互いとに可換である。 ここで，2 つの時空領域が空間的であるとは，一方の領域$\mathcal{O}_{1}’=\{x\inM_{4}|(x-y)^{2}<0,y\in\mathcal{O}_{1}\}$の因果的補集合に対しを満たすときをいう ;の元$\mathcal{K}$と$\mathcal{O}_{1}$$\mathcal{O}_{2}$$\mathcal{A}(\mathcal{O}_{1})$$\mathcal{O}_{1}$$\mathcal{A}(\mathcal{O}_{2})$$\mathcal{O}_{2}$$\mathcal{O}_{1}$$\mathcal{O}_{1}’\supset \mathcal{O}_{2}$は全ての局所ネットから生成される最小の $c*$ -代数である。また，自己同型写像全体を表す。

$\mathcal{A}:=\overline{\bigcup_{\mathcal{O}\in \mathcal{K}}\mathcal{A}(\mathcal{O})}$で$\mathcal{A}$

上の

$*$

-

3) Poincar\’e 群$\mathcal{P}_{+}^{\uparrow}$

すなわち，

の作用

$(^{*}$-準同型)$\alpha_{9}(\mathcal{A}(\mathcal{O}))=\mathcal{A}(g\mathcal{O})$$\alpha_{9}$:$\mathcal{P}_{+}^{\uparrow}arrow Aut(\mathcal{A})$が任意の$\mathcal{O}\in \mathcal{K}$と,$g\in \mathcal{P}_{+}^{\uparrow}$$g\in \mathcal{P}_{+}^{\uparrow}$$Aut(\mathcal{A})$, に対して共変である，に対して成り立つ。

この抽象的な定義の物理的動機は有界な時空領域において測定可能な物理量の全体を指定することで物理系を特徴づけることを第一に，因果的制約および相対論的制約を加味したものである。 言い換えるならば，定義からして明示的なのだが，局所ネットは時空自由度に依存しているため，考察対象の物理系と接する (外部) 系と対比が可能となるようなマクロなスケールで自然な条件を課している。 場の量子論とはミクロとマクロの対比から系の動力学を探り記述する物理体系であると言える。
代数的量子論の記述形式に則れば，系の状態を指定する必要がある。 代数的場の量子論
において基準となる状態があり，その代表格が 「真空状態」 である。
が真空状態であはるとは，上の状態であって以下の 3 条件を満たすことを言う :$\omega_{0}$$\mathcal{A}$$\omega_{0}$A)$\omega_{0}$は$\mathcal{P}_{+}^{\uparrow}$-不変状態である，すなわち，任意の$\omega_{0}(\alpha_{9}(A))=\omega_{0}(A)$

この条件からのA$\in \mathcal{A}$$\omega_{0}$およびに対する GNS 表現$g\in \mathcal{P}_{+}^{\uparrow}$$(\pi_{0}, \mathcal{H}_{0}, \Omega_{0})$加えて，このユニタリー表現は述できる :$\mathcal{P}_{+}^{\uparrow}$$g\in \mathcal{P}_{+}^{\uparrow}$

に対して

;

において

(4)
$\alpha_{9}$はユニタリー実現する :任意に対して$\pi_{0}(\alpha_{g}(A))=U_{g}\pi_{0}(A)U_{g}^{*}$B) Poincar\’e 群

および$A\in \mathcal{A}$$U_{g}\Omega=\Omega$の並進部分群$\mathbb{R}^{4}$を満たす。 このに関する

$U_{g}$.

(5)$U_{g}$を用いることで続く条件が記の生成子 $P=(P_{\mu})_{\mu=0,1,2,3}$ のスペクトルは閉前方光錐 $\overline{V_{+}}=\{x\in M_{4}|x^{2}=x_{0}^{2}-\sum_{j}^{3_{=1}}x_{i}^{2}\geq 0, x0\geq 0\}$ に含まれる ;C) 任意の$\mathcal{O}\in \mathcal{K}$に対して，$\Omega_{0}$は$\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}))$に対する巡回分離ベクトルである ;A) は時空に関する一様性，B) は最低エネルギーの存在と粒子的振舞いをする励起の存在に関する条件である。 C) は Reeh-Schlieder 定理から得られる性質で，真空表現における表現空間が局所ネットにより生成および分離されるという特筆すべき特徴である。 物理的状況実験設定の記述には本来全時空にわたる物理量代数 上の状態を指定することなど到底不可能であるが，一種の理想化極限として想定することは可能であり，そのような位置づけの下に採用される状態である。 この状態を基準として，与えられた局所ネット$\mathcal{A}$112
において物理的な励起を記述する状態を考察する理論が DHR(DoplicherHaag-Roberts) 理論である。
上の忠実 $(ker(\pi_{0})=$
本稿では今後，真空状態 に対する GNS 表現は可分な Hilbert 空間$\{0\})$ な既約表現であることを仮定する。 加えて，以下の 2 つ条件を課す :$\{\mathcal{A}(\mathcal{O})|\mathcal{O}\in \mathcal{K}\}$$\mathcal{H}_{0}$$\omega_{0}$1(Haag 双対性). 非有界な時空領域 に対して
任意の 2 重錐に対して，は Haag 双対性を満たすという。
$\tilde{\mathcal{O}}$と定義する。
が成り立つとき，局所ネット$\mathcal{A}(\tilde{\mathcal{O}})=\overline{\bigcup_{\mathcal{O}\subset\tilde{\mathcal{O}},\mathcal{O}\in \mathcal{K}}\mathcal{A}(\mathcal{O})}$$\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}))"=\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}’))’$$\mathcal{O}$$\{\mathcal{A}(\mathcal{O})|\mathcal{O}\in \mathcal{K}\}$

2(性質 B).

$\mathcal{O}_{1}$が$\mathcal{O}$2 の内部に含まれる時空領域とするとき，任意の射影作用素

に対し， $W^{*}W=E,$ $WW^{*}=1$ を満たす

$W\in \mathcal{A}(\mathcal{O}_{2})$$E\in \mathcal{A}(\mathcal{O}_{1})$が存在する。

Haag 双対性は局所ネットが因果的部分順序集合 (causal partially ordered set) として因果的完備 (causally complete) であるという要求であり，性質 は I 型 $w*$ -代数のもつ特$B$

徴を物理的に読み換えたものである。 性質 は Borchers により Poincar\’e 群作用のユニタリー実現可能性，4 元運動量のスペクトルの正値性の仮定から導出された。
ならば 1
に対して，
2 と表す。 以下の集合を導入する :$B$$\mathcal{O}_{1},$$\overline{\mathcal{O}_{1}}\subsetneq \mathcal{O}_{2}$$\mathcal{O}_{2}\in \mathcal{K}$$\mathcal{O}$$\Subset \mathcal{O}$$\mathcal{K}_{\Subset}=\{\Lambda=(\mathcal{O}_{1}^{\Lambda}, \mathcal{O}_{2}^{\Lambda})\in \mathcal{K}\cross \mathcal{K}|\mathcal{O}_{1}\Subset \mathcal{O}_{2}\}$$\mathcal{K}_{\Subset}^{DC}=\{\Lambda=(\mathcal{O}_{1}^{\Lambda}, \mathcal{O}_{2}^{\Lambda})\in \mathcal{K}_{\Subset}|\mathcal{O}_{1}^{\Lambda}$と$\mathcal{O}_{2}^{\Lambda}$

は

$2$

(6)

,

重錐 .

(7)

$\}$

分裂性質と局所状態

4における物理量代数上の正規を考察する限り，各を考察する行為自体は大変自然である。 この考え方の延長上で状態の貼り合わせにより，考察している有界時空領域にのもつ前層構造に着目し，おける状態の指定を行う発想がある [14, 17]。けれども，貼り合わせにおいて同値関係を入れているために局所的に状態を指定しただけでは 上の状態は決まらず，全時空領域
におけるの元を指定しなければならない 4。しかし，を被覆するように各そのこととの局所正規 (locally normal) な元の指定とは物理的にほぼ等価である。 そ局所ネット$\mathcal{O}\in \mathcal{K}$$\{\mathcal{A}(\mathcal{O})|\mathcal{O}\in \mathcal{K}\}$$\mathcal{A}(\mathcal{O})$$\{\mathcal{A}(\mathcal{O})_{*}|\mathcal{O}\in$$\mathcal{A}(\mathcal{O})_{*,1}$$\mathcal{A}(\mathcal{O})_{*}$$\mathcal{K}\}$$\mathcal{A}$$\mathcal{O}\in \mathcal{K}$$\mathcal{A}(\mathcal{O})_{*,1}$$E_{\mathcal{A}}$のもつ前層構造の物理的解釈とも整合的な利用方法を考えなけれれ故，ばならない。 新しい方向性を考えるうえで次の性質に着目したいと思う :$\{\mathcal{A}(\mathcal{O})_{*}|\mathcal{O}\in \mathcal{K}\}$を局所ネットとする。
定義 5(分裂性質).
ででを満たすものに対して I 型因子環が存在するとき分裂性質 (split property) を満たすという。

$\{\mathcal{A}(\mathcal{O})\}_{0\in \mathcal{K}}$$\{\mathcal{A}(\mathcal{O})\}_{0\in \mathcal{K}}$$\overline{\mathcal{O}_{1}}\subsetneq \mathcal{O}_{2}$$\mathcal{N}$は任意の$\mathcal{A}(\mathcal{O}_{1})\subset \mathcal{N}\subset \mathcal{A}(\mathcal{O}_{2})$$\mathcal{O}_{1},$$\mathcal{O}_{2}\in \mathcal{K}$. を満たすもの

4 誤解が生じないよう，コメントをつけておきたい。 本稿では未だ関係が見いだせていないが，前双対のなす前層構造を考察する利点は時空 1 点 $x\in M_{4}$ での状態を芽 (germ) として扱えることにある [17]。[17]で議論されているようにこの観点と演算子積展開 (operator product expansion, OPE) は大変結びつきが強い。 この議論を受けて，Bostelmann[4] では (分裂性質より強い) 核型条件に似た条件と 1 点上で定義された量子場との関係が見出された上で OPE が数学的に厳密に正当化され，Buchholz-Ojima-Roos[3] では (熱的な非平衡状態の定義・特徴づけの目的で) 時空 1 点における物理量が議論された。 したがって，前双対のなす前層構造の利用は大変有益かつ有用であることは間違いないものであり，あくまで直観的なレベルでは正しいことでも修正が必要な場合があることと (当然ではあるが) 万能でない点をここでは指摘しただけにすぎない。 そして，その修正の新たな方向性が本稿の主題である 「局所状態」 なのである。

113

.

既約性等の条件のもとこの性質の重要性をいち早く見抜いたのは [6] である。 性質
で真空表現
において分裂性質を満たすことと等価な条件が知られている :$B$$\pi_{0}$定理 6 (Werner $[38]+D’ Antoni$ -Longo[7]). 次の 3 条件は等価である :(1)(2) 任意のは分裂性質を満たす ;$\{\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}))"\}_{\mathcal{O}\in \mathcal{K}}$$\varphi\in\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}))_{*,1}"$上の単位的完全正値写像 $T$ で $T(X)=$を満たすの表示をもち， $T(X)=\varphi(X)1,$

に対し， o$\pi$$\sum_{j}C_{j}^{*}XC_{j)}C_{j}\in\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}_{2}))"$’/$(\mathcal{A}$ $)$$=$B$(\mathcal{H}$ $)$$X\in\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}_{1}))"$

ものが存在する ;ととが空間的に離れているとき，(3)$\mathcal{O}_{4}$$\mathcal{O}_{3}$$\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}_{3}))"\vee\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}_{4}))"\cong\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}_{3}))"\otimes\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}_{4}))"$

.

(8)

上
上の正規状態が少し広い領域
本稿において特に重要な条件は (2) であり，で内部的な完全正値写像として大域的に拡張されることである。 これはよくよく考えれ$\mathcal{O}_{2}$$\mathcal{A}(\mathcal{O}_{1})$ば自然な発想であり，有界時空領域において状態を指定することも一種の物理操作であるから完全正値写像として定義される量子操作の特殊なクラスとして解釈できるのである。
と因果的な領域においては恒等
各に対し (2) により得られる写像は的な作用をするので，これは所謂 “局所的な (local)” 量子操作である。 以上の考察を受けて，局所状態の概念を次のように定義する :$\mathcal{O}_{2}$$\varphi\in\pi_{0}(\mathcal{A}(\mathcal{O}))_{*,1}"$

定義 7(局所状態). 上の単位的完全正値写像 $T$ は次の条件を満たすとき，を局在領域とする
上の局所状態と呼ばれる :に対して，(1) 任意の$\Lambda=(\mathcal{O}_{1}^{\Lambda}, \mathcal{O}_{2}^{\Lambda})\in$$\mathcal{A}$$\mathcal{A}$$\mathcal{K}_{\Subset}$$A\in \mathcal{A},$$B\in \mathcal{A}((\mathcal{O}_{2}^{\Lambda})’)$$T(AB)=T(A)B$ .

(2)$\varphi\in \mathcal{A}(\mathcal{O}_{1}^{\Lambda})_{*,1}$

で，任意の$X\in \mathcal{A}(\mathcal{O}_{1}^{\Lambda})$

(9)

に対して，

(10)

$T(X)=\varphi(X)1$ ,を満たすものが存在する。
でを局在領域とする$E_{\mathcal{A}}^{L}(A)$$\Lambda$$\mathcal{A}$上の局所状態の集合を表す。

「局所状態」 という名前はあくまで有界時空領域上の状態の指定であって大域的な状態は忠実な (既約) 表現で指定でない点からつけられたものであることに注意されたい。
も分裂性質をもつ。 性質 とあるので，定理 6 の等価な条件を満たすとき，
を局
に対して
は任意の
分裂性質を満たす局所ネット$\pi_{0}$$B$$\{\mathcal{A}(\mathcal{O})\}_{\mathcal{O}\in \mathcal{K}}$

在領域とする$T$を$E_{\mathcal{A}}^{L}(\Lambda)$$\mathcal{A}$$\Lambda=(\mathcal{O}_{1}^{\Lambda}, \mathcal{O}_{2}^{\Lambda})$$\Lambda\in \mathcal{K}_{\Subset}$$\{\mathcal{A}(\mathcal{O})\}_{\mathcal{O}\in \mathcal{K}}$上の局所状態をもつことを示すことができる (定理 6 と同様の証明で)。

の元，

$\pi$

を

$\mathcal{A}$の表現とする。 $\pi oT$ は$\mathcal{A}$から$\pi(\mathcal{A})"$

への単位的完全正値写像である :$(\pi\circ T)(A):=\pi(T(A)) , A\in \mathcal{A}$$\pi\circ T\in CP(\mathcal{A}, \pi(\mathcal{A})")$る。 ただし， $c*$ -代数

(11)

.

に対しては GNS 表現定理および Stinespring 表現定理が適用できに対し， から への完全正値写像の全体をす。 それ故，局所状態を次のように定義しても良いと考えられる :$\mathcal{A},$$\mathcal{B}$$\mathcal{A}$$\mathcal{B}$$CP(\mathcal{A}, \mathcal{B})$

で表

114
定義 8(局所状態の異なる定義).
から域とする(1) 任意の$\mathcal{A}$$A\in \mathcal{A},$(2)$E_{\mathcal{A},\pi(\mathcal{A})’}^{L},(A)$で$B\in \mathcal{A}((\mathcal{O}_{2}^{\Lambda})’)$$\Lambda\in \mathcal{K}_{\Subset}$を局在領に対して， $T(AB)=T(A)\pi(B)$ .

で $T(X)=\varphi(X)1,$$\forall X\in \mathcal{A}(\mathcal{O}_{1}^{\Lambda})$を局在領域とする$\Lambda\in \mathcal{K}\Subset$

は次を満たすときへの局所状態と呼ばれる :$\pi(\mathcal{A})"$$\varphi\in \mathcal{A}(\mathcal{O}_{1}^{\Lambda})_{*,1}$$T\in CP(\mathcal{A}, \pi(\mathcal{A})")$$\mathcal{A}$

から

$\pi$

を満たすものが存在する。
( ) ’/への局所状態の集合を表す。
$\mathcal{A}$

尚，上での GNS 表現定理と Stinespring 表現定理とは，それぞれ Hilbert 加群及び Hilbert
空間とそれらの上の有界線型作用素を用いて完全正値写像を表示する定理である。 以下
上の von Neumann 代数とする。
を Hilbert 空間の 2 つの定理では， を $c*$ -代数，
且 ilbert-加群とは -値内積を持つ完備な右 -加群のことである。
$\mathcal{M}$$\mathcal{A}$$\mathcal{M}$$\mathcal{H}$$\mathcal{M}$$\mathcal{M}$

-加群
-準同型写
定理 9 $(GNS 表現定理 [31,33 T\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$ に対し，Hilbert
は像 T:に (左から) 作用する随伴可能有界作用素のなす$*$$E\tau,$$\mathcal{M}$代数) および T
$\xi$

$\in$

$C^{*}-$$E_{T}$$\mathcal{A}arrow \mathcal{B}^{a}(E_{T})(\mathcal{B}^{a}(E_{T})$

$\pi$

ET で
(12)

$T(A)=\langle\xi_{T}|\pi_{T}(A)\xi_{T}\rangle, A\in \mathcal{A}$とを満たすものが存在する。 3 つ組

$E_{T}=\overline{span}(\pi_{T}(\mathcal{A})\xi_{T}\mathcal{M})$$(\pi_{T}, E_{T}, \xi_{T})$を $T$ の GNS 表

現とよぶ。

-加群 $E$ に対し，E’ で $E$ 上の右 -線型 -値線型汎関数の全体を表し， $E^{*}=$]「 群 $E$ は自己と定める。 $E’=E^{*}$ が成立する Hilbert-加群と解釈できる)。
双対であると呼ばれる (Riesz の定理の一般化が成立する Hilbert$E$
加群
任意の Hilbert
に対し，E’ は自己双対 Hilbert-加群であるような，次を満たす-値内積を持つ．

Hilbert$\mathcal{M}$$\mathcal{M}$$\mathcal{M}$$\mathcal{M}-7$$\{\xi^{*}\in E’|\xi^{*}\eta=\langle\xi|\eta\rangle, \eta\in E\}$$j$$\mathcal{M}$$\mathcal{M}$$\mathcal{M}$$\mathcal{M}$$\eta(\xi)=\langle\eta|\xi^{*}\rangle, \eta\in E’, \xi\in E$

.

(13)

E’ で定める。 自己双対 Hilbert
が $w*$ -代数となることが知られている。 更には，埋め込み $E\ni\xi\mapsto$
加群に対してはの元 $C$ は一意にの元 へと拡張される (この対E’ が存在するように，
E’ への$\mathcal{M}$の作用は $(\eta\cdot M)(\xi):=M^{*}\eta(\xi)$ , $\xi\in E$ ,$\mathcal{M}-$$\eta\in$$\mathcal{B}^{a}(E)$$\tilde{C}$$\xi*\in$$\mathcal{B}^{a}(E’)$$\mathcal{B}^{a}(E)$応は -等長同型)。 これらの事実を用いて， $T$ の GNS 表現から， $\overline{\pi_{T}}(A):=\pi_{T}(A)$ と定め
$*$

ることで

(14)

$T(A)=\langle\xi_{T}^{*}|\overline{\pi_{T}}(A)\xi_{T}^{*}\rangle, A\in \mathcal{A}$を得る。 本稿では以後，てと表し，$\pi_{T},$$E_{T},$$\xi_{T}$$E_{T}^{*}$と$E_{T}$

を同一視することにより，$(\pi_{T}, E_{T}, \xi_{T})=(\overline{\pi_{T}}, E_{T}^{*}, \xi_{T}^{*})$を$T$$\overline{\pi_{T}},$$E_{T}^{*},$$\xi_{T}^{*}$

それぞれを改めの GNS 表現と呼ぶ。

上定理 10 Stinespring $表現定理 [34,2,32 T\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$ に対し，Hilbert 空間
からなる Stinespring 表現と呼ばれる 3 つ組
が存在し
の表現 と
$($

$\pi$

$\mathcal{K},$$(\pi, \mathcal{K}, V)$$V\in B(\mathcal{H}, \mathcal{K})$て次を満たす :$T(A)=V^{*}\pi(A)V, A\in \mathcal{A}$加えて，$\mathcal{K}=\overline{span}(\pi(\mathcal{A})V\mathcal{H})$

極小 Stinespring 表現を

.

(15)

を満たす $T$ の Stinespring 表現は極小であると呼ばれ， $T$ ので表す。 $T$ の極小 Stinespring 表現は必ず存在し，ユ$(\pi_{T)}^{s}\mathcal{K}\tau, V_{T})$ニタリー同値を除いて一意である。

5$\mathcal{K}$

局所状態からのセクター理論

115
DHR(-DR) 理論 [9, 10, 11, 12, 13] とは，真空を基準として，局在励起 $=$ 時空的に局在した励起(16)を基本単位に据える理論である。 時空的に局在している状況とは言い換えれば因果的な領域では励起がなく真空と区別がつかない状況である。 この状況の (標準的な定式化における 数学的な記述は以下のようになる :$)$DHR 選択基準局在励起を表す物理的な因果的補集合$\mathcal{O}’$の表現 (の族) は局在している領域
においては真空表現とユニタリー同値である :$\mathcal{A}$$\mathcal{O}\in \mathcal{K}$の$\pi_{0}$$\pi|_{\mathcal{A}(\mathcal{O}’)}\cong\pi_{0}|_{\mathcal{A}(\mathcal{O}’)}$DHR 選択基準は，性質

(17)

.

の仮定の下，表現のレベルである表現 における -正規状態を同時に扱う場合に対応しているので，この選択基準は物理的にも数学的にも妥当であると
$B$

$\pi$

$\pi$

いえる。 DHR 選択基準を満たす表現に対し次の命題が成立する。

命題 11.
に局在化した DHR 選択基準を満たす表現
準同型 が存在する :$\mathcal{O}$$\pi$に対し，次を満たす$\mathcal{A}$の$*\fbox{Error::0x0000}$己$\rho$(1) $\pi=\pi_{0}0\rho,$(2) $\rho(A)=A,$$A\in \mathcal{A}(\mathcal{O}’)$

これらの条件を満たす$\mathcal{A}$

。

の

$*$

-自己準同型は局在自己準同型と呼ばれる。

この命題の証明は 1(Haag 双対性). を本質的に用いている。 この命題を通して得られる
局在自己準同型の全体$DR(\mathcal{A}):=\{\rho\in End(\mathcal{A})|\exists \mathcal{O}\in \mathcal{K} s.t.

\rho(A)=A, A\in \mathcal{A}(\mathcal{O}’)\}$(18)

が局所ネットは真空からの “ ずで記述される系の局在励起を表す。
れ” として局在励起を集めてきたものであって，の元には演算が入る。 その演算のを “ $c*$ -圏” として扱うことで理解できる。 Doplicher-Roberts の有名な結意味は$DR(\mathcal{A})$$\{\mathcal{A}(\mathcal{O})|\mathcal{O}\in \mathcal{K}\}$$DR(\mathcal{A})$$DR(\mathcal{A})$はあるコンパクト群 $G$ のユニタリー表現のなす圏 Rep (G) と圏とし
果 [12] から，て同値である。 この結果は局在励起を識別するラベルはあるコンパクト群 $G$ の表現 によって供給されることを物理的に意味している。 このラベルは通常 「量子数」 と呼ばれ，内部対称性 (時空以外に関する対称性) を表すコンパクト群 $G$ の既約表現がその最小単位になる。 また，この結果は内部対称性の起源を明らかにするものであり，実験データを
セクター理論的に解析するなかで DHR 選択基準を満たす表現を集めることで内部対称性を抽出できる。
ここでは議論しなかったが，実は (真空表現において)Haag 双対性を満たす局所ネットでは “ 対称性の破れ” は起こらない。Haag 双対性の代わりに本質的双対性 (essential duality)を満たす局所ネットを考察することで “ 対称性の破れ” が起きる場合を扱うことができる。 それ故，上の DHR 理論はあくまで 対称性の破れ” が起こらない系での局在励起とそれに関わる内部対称性の理論であり物理的には非常に限られた状況での量子場の記述に他ならない点を注意しておく。 対称性の破れ” が起きる場合への DHR 理論の拡張は[19, 20] を参照していただきたい。
本稿の主題である局所状態に基づけば DHR 理論はより簡単なものになるうえ，状態概念に基づいたより自然な議論が可能になる。 それについて以下で見ていこう。
$DR(\mathcal{A})$$\gamma$

“

“

116
と射影作用素の表現 は任意の定義 12 $(性質 DHR[10, I, pp.228, (A.4)])$ .
で $WW^{*}=E$ およびに対して，等長作用素$W^{*}W=1$ を満たすものが存在するとき性質 DHR を満たすと呼ばれる。
$\mathcal{A}$$E\in\pi^{d}(\mathcal{O}_{1}^{\Lambda})$$\Lambda\in \mathcal{K}_{\Subset}^{DC}$$\pi$$W\in\pi^{d}(\mathcal{O}_{2}^{\Lambda})$$:=\pi(\mathcal{A}((\mathcal{O}_{1}^{\Lambda})’))’$

命題 13 ([10, I, A.1. Proposition$\omega$を$\mathcal{A}$上の状態であって，ある 2 重錐の増大列$\{\mathcal{O}_{n}\}$

に対して，

(19)

$\lim_{narrow\infty}\Vert(\omega-\omega_{0})|_{\mathcal{A}(\mathcal{O}_{n}’)}\Vert=0$を満たすものとする。 GNS 表現

が性質 DHR を満たすならば，2 重錐$\pi_{\omega}$$\mathcal{O}$

で

(20)

$\pi_{\omega}|_{\mathcal{A}(\mathcal{O}’)}\cong\pi_{0}|_{\mathcal{A}(\mathcal{O}’)}$

を満たすものが存在する。 このとき，のが存在する。
任意のに対して，以下は容易に示される :$T\in E_{\mathcal{A}}^{L}(\Lambda)$$\mathcal{A}$上の局在自己準同型$(\pi_{\tau,0}, \mathcal{K}_{\tau,0}, V_{\tau,0})$で$\pi_{0}\circ T$$\rho$

で$\pi\omega$$=\pi_{0}\circ\rho$を満たすもの極小 Stinespring 表現を表す。

$(\omega_{0}\circ T)(X)=\omega_{0}(T(X))=\langle\Omega|(\pi_{0}\circ T)(X)\Omega\rangle$$=\langle\Omega|V_{T,0}^{*}\pi_{T,0}(X)V_{T,0}\Omega\rangle$$=\langle V_{T,0}\Omega|\pi_{T,0}(X)V_{T,0}\Omega\rangle, X\in \mathcal{A},$

並びに，$\Vert(\omega_{0}\circ T-\omega_{0})|_{\mathcal{A}((\mathcal{O}_{2}^{\Lambda})’)}\Vert$

らば，

0。したがって，次の定理が成立する :を局在領域とする 上の局所状態とする。
でを局在領域とする 上の局在準同型

定理 14. $T$ を$\mathcal{O}_{2}^{\Lambda}$$=$

が性質 DHR を満たすな$\mathcal{A}$$\Lambda$$\pi_{T,0}$$\mathcal{A}$$\rho_{T}$$(\pi_{0}\circ T)(X)=V_{T}^{*}\pi_{0}(\rho_{T}(X))V_{T}, X\in \mathcal{A}$を満たすものが存在する。 ただし，巧は$B(\mathcal{H}_{0})$

(21)

.

の元である。

この定理は性質 DHR が DHR 選択基準の局所状態版であることを示している。
DHR 理論は真空状態 を基準状態とするセクター理論である。 しかしながら，重要な$\beta>0$ などがある [19, 20]。
基準状態は真空状態だけではなく，たとえば， -KMS 状態の表現 と結びつけることでセクター理論を展開す
それ故，一般の局所状態に対してる。 von Neumann 代数に値をとる完全正値写像の積分分解という路線で議論していくことになるが，一般の完全正値写像に物理的意味を与えられるとは限らないけれども，少な
くとも局所状態には状態概念の一般化という重要な物理的意味が与えられている点が肝要である。 局所状態以外でも物理的意味が与えられた完全正値写像に対しても同様の議
論 (数学的には全く同一な議論) でセクターを考察できる事実は今後セクター概念の適用可能性と動的過程創発過程との関係を深めるうえで重要であろう。 これからの議論の先行研究は 2 章での状態の積分分解に関する参考文献と [15, 29] である。 以下， を $c*$ -代
上の von Neumann 代数とする。
を Hilbert 空間
数，に対Paschke[31] による Radon-Nikodym 型定理をまずは眺めよう :を満たすこととして定義する。
して，乃を乃$\omega_{0}$$\beta$$\omega_{\beta},$$\mathcal{A}$$\pi$$\mathcal{A}$$\mathcal{M}$$\mathcal{H}$$T_{1},$$T_{1}\leq$$-T_{1}\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$$T_{2}\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$117
命題 15 (Paschke[31]).

$CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$

このとき，で $0\leq R\leq 1$ および$R\in\pi\tau_{2}(\mathcal{A})’$の 2 つの元$T_{1}$と乃は$T_{1}(A)=\langle\xi_{T_{2}}|R\pi_{T_{2}}(A)\xi_{T_{2}}\rangle, A\in \mathcal{A}$を満たすものが存在する。 ただし， T2 ( ) ’ は T2 ( ) の$\pi$

定理 16 (Paschke[31]).

$T\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$$\mathcal{A}$$\mathcal{A}$$\pi$

乃を満たしているとする。

$T_{1}\leq$

(22)

.

$\mathcal{B}^{a}(E_{T}’)$における可換子である。

とする。 $[0, T]=\{T’\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})|0\leq T’\leq T\}$と $\{R\in\pi_{T}(\mathcal{A})’|0\leq R\leq 1\}$ の間にアファイン順序同型が存在する。

Paschke によるこれらの結果は Arveson の先行研究 [2] を一般化したものである :命題 17 (Arveson[2]). CPの 2 つの元処と乃は( ) ’ で $0\leq R\leq 1$ およびる。 このとき，$(\mathcal{A}, B(\mathcal{H}))$$T_{1}\leq$

乃を満たしているとす$\mathcal{A}$$R\in\pi_{T_{2}}^{s}$$T_{1}(A)=V_{T_{2}}^{*}R\pi_{T_{2}}^{\mathcal{S}}(A)V_{T_{2}}, A\in \mathcal{A}$

(23)

.

を満たすものが存在する。
を $T$ の極小 Stinespring 表現
定理 18 (Arveson[2]). $T\in CP(\mathcal{A}, B(\mathcal{H}))$ とし，とする。 $[0, T]=\{T’\in CP(\mathcal{A}, B(\mathcal{H}))|0\leq T’\leq T\}$ と $\{R\in\pi_{T}^{s}(\mathcal{A})’|0\leq R\leq 1\}$ の間にアファイン順序同型が存在する。
$(\pi_{T}^{s}, \mathcal{K}_{T}, V_{T})$に対であるから，任意の$R\in\{R\in\pi_{T}^{8}(\mathcal{A})’|0\leq$が存在する。 しかしながら，して極小 Stinespring 表現の元ではあっても$R\leq 1\}$ に対応した $T_{R}(A)$ $:=V_{T}^{*}R\pi_{T}^{s}(A)V_{T},$, は CP$\mathcal{M}\subset B(\mathcal{H})$より CP$T\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$$(\mathcal{A}, \mathcal{M})\subset CP(\mathcal{A}, B(\mathcal{H}))$$(\pi_{T}^{s}, \mathcal{K}\tau, V_{T})$$A\in \mathcal{A}$CP$(\mathcal{A}, \mathcal{M})$$(\mathcal{A}, B(\mathcal{H}))$の元になるとは限らない。 そこで，

(24)$\{R\in\pi_{T}^{s}(\mathcal{A})’|0\leq R\leq 1, T_{R}\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})\}$

を考えると，これは定理 16 から $\{R\in\pi_{T}(\mathcal{A})’|0\leq R\leq 1\}$ とアファイン順序同型である。 アファイン順序集合 $\{R\in\pi_{T}^{s}(\mathcal{A})’|0\leq R\leq 1, T_{R}\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})\}$ から生成される von
で表す。
Neumann 代数を$\pi_{T}^{s}(\mathcal{A})^{c}$

命題 19.

$T_{1},$$T_{2}\in CP(\mathcal{A}, B(\mathcal{H}))$の等価な条件を満たすとき(1)(2) 射影作用素 P$T_{1}$

で $T=T_{1}+T_{2}$ とする。 以下の条件は等価であり，以下と乃とは直交するといい$(\pi_{T}^{s}, \mathcal{K}_{T}, V_{T})=(\pi_{T_{1}}^{s}, \mathcal{K}_{T_{1}}, V_{T_{1}})\oplus(\pi_{T_{2}}^{s}, \mathcal{K}_{T_{2}}, V_{T_{2}})$$T_{1}$

乃で表す :;T ( ) ’ が存在して，$\in\pi$$\mathcal{A}$$T_{1}(A)=V_{T}^{*}P\pi_{T}^{s}(A)V_{T}, T_{2}(A)=V_{T}^{*}(1-P)\pi_{T}^{s}(A)V_{T}, A\in \mathcal{A}$(3)$T’\in CP(\mathcal{A}, B(\mathcal{H}))$が$T’\leq T_{1}$および$T’\leq T_{2}$

(25)

;

を満たすならば， $T’=0$ である。

GNS 表現の場合には次の形になる :命題 20.

$T_{1},$$T_{2}\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$で $T=T_{1}+T_{2}$ とする。 以下の条件は等価であり，以下の等価な条件を満たすとき銑と乃とは直交するといい男;(1)(2) 射影作用素 P
T ( ) ’ が存在して，$\perp$

乃で表す :$(\pi_{T}, E_{T}, \xi_{T})=(\pi_{T_{1}}, E_{T_{1}}, \xi_{T_{1}})\oplus(\pi_{T_{2}}, E_{T_{2}}, \xi_{T_{2}})$$\in\pi$$\mathcal{A}$$T_{1}(A)=\langle\xi_{T}|P\pi_{T}(A)\xi_{T}\rangle, T_{2}(A)=\langle\xi_{T}|(1-P)\pi_{T}(A)\xi_{T}\rangle, A\in \mathcal{A}$.

更に，(1) もしくは (2) が成り立つとき，次の性質が成立する :が $T’\leq$ 男および $T’\leq$ 乃を満たすならば， $T’=0$ である。
(3)が自己双対ならば，(3) から (1) および (2) が導かれる。
$T’\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$$E_{T}$(26)

118
定義 21. 3 つ組
測度空間であるという :$(S, \mathcal{B}(S), \mu)$

(1)
(2)

$(S, \mathcal{B}(S))$

$\mu$

は (S,
、と

$\rho\in \mathcal{M}$$\mathcal{B}$は以下の条件を満たすとき

を重心にもつ CP-$T\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$は局所コンパクト Hausdorﬀ 空間 $S$ 上の Borel 空間である ;-値測度であって，の互いに素な部分集合族(S)) 上の$CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$$A\in \mathcal{A}$$\mathcal{B}(S)$$\{\triangle_{i}\}_{i\in N},$

に対し，

(27)

$\rho(\mu(\bigcup_{i}\triangle_{i}, A))=\sum_{i}\rho(\mu(\triangle_{i}, A$を満たし，更に $T(A)=\mu(S, A)$ ,$A\in \mathcal{A}$を満たす。

定義 22. 3 つ組
は，CP-測度空間であって任意のに対してを満たすとき， $T$ を重心にもつ直交 CP-測度空間であるといわれる。
$(S, \mathcal{B}(S), \mu)$$\Delta\in \mathcal{B}(S)$$\mu(\Delta, \cdot)$$\perp\mu(\triangle^{c}, \cdot)$

定義 23. (1)$(S_{1}, \mathcal{B}(S_{1}), \mu_{1})$$(S_{1}, \mathcal{B}(S_{1}), \mu_{1})$がと$(S_{2}, \mathcal{B}(S_{2}), \mu_{2})$$(S_{2}, \mathcal{B}(S_{2}), \mu_{2})$を $T$ を重心にもつ CP-測度空間とする。

に優越される$((S_{1}, \mathcal{B}(S_{1}),$ $\mu_{1})\prec(S_{2}, \mathcal{B}(S_{2}),$$\mu_{2})$

で表す

$)$

とは，
$\{\mu_{1}(\Delta_{1}, \cdot)\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})|\triangle_{1}\in \mathcal{B}(S_{1})\}\subseteq\{\mu_{2}(\triangle_{2}, \cdot)\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})|\triangle_{2}\in \mathcal{B}(S_{2})\}$

および，任意の$\rho\in \mathcal{M}_{*,1}$($\mathcal{M}$

,

(28)

上の正規状態) に対して，射影作用素 $P\in L^{\infty}(S_{2}, \rho\circ\mu_{2})$で$(L^{\infty}(S_{1}, \rho\circ\mu_{1}), L^{2}(S_{1}, \rho\circ\mu_{1}))\cong(PL^{\infty}(S_{2}, \rho 0\mu_{2})P, PL^{2}(S_{2}, \rho\circ\mu_{2}$を満たすものが存在する。 ただし，とが等価である(2)$(\rho\circ\mu_{j})():=\rho(\mu_{j}(\cdot,$$(S_{1}, \mathcal{B}(S_{1}), \mu_{1})$$(S_{2}, \mathcal{B}(S_{2}), \mu_{2})$$j=1,2$ である。

$1$$(S_{1}, \mathcal{B}(S_{1}), \mu_{1})\approx(S_{2}, \mathcal{B}(S_{2}), \mu_{2})$とはが成立することを

および$(S2, \mathcal{B}(S2), \mu_{2})\prec(S_{1}, \mathcal{B}(S_{1}), \mu_{1})$$\frac{\underline{(S}}{\equiv}う_{}0^{\mathcal{B}(S_{1}),\mu_{1})\prec}1(S_{2},\mathcal{B}(S_{2}), \mu_{2})$を重心にもつ直交 CP-測度空間の -同値類のなす圏
を各同値類の代表元の優越
を $w*$ -代数の包含の可換-部分代数のなす圏
関係を射として定義し，関係を射とすることで定義する。 次の定理は本章の主定理である :$T$$\approx$$\mathcal{O}_{T}$$W^{*}$$\pi_{T}^{s}(\mathcal{A})^{c}$$W^{*}(\pi_{T}^{s})$定理 24 (完全正値写像に対する冨田定理).
と各は圏同値である。
に対し，$T\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$$W^{*}(\pi_{T}^{s})$とが圏同値の一対一対応にあるとし，の代表元とする。 このとき， -同型写像
で次で定義さ:$[(S, \mathcal{B}(S),$ $\mu)]\in Ob(\mathcal{O}_{T})$を $[(S,\mathcal{B}(S),$$\mathcal{O}_{T}$と$\mathcal{B}\in Ob(W^{*}(\pi_{T}^{s}))$$(S, \mathcal{B}(S), \mu)$$*$$\mu)]$$\kappa_{\mu}$$L^{\infty}(S, v)arrow \mathcal{B}$れるものが存在する :$V_{T}^{*} \kappa_{\mu}(f)\pi_{T}^{s}(A)V_{T}=\int f(s)d\mu(s, A) , f\in L^{\infty}(S, v) , A\in \mathcal{A}$

ただし，
定義 25.

$\nu$は$T_{1},$$\mu$と同値な正値測度である ( の選び方には依存しない)。
$\nu$$T_{2}\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$とする。

(1) 婿と乃とが準同値男 乃であるとは(2)と乃とが無縁丁 16 乃であるとは，$\approx$$T_{1}$.

$\pi_{T_{1}}$$\pi_{T_{1}}$とと$\pi_{T_{2}}$$\pi_{T_{2}}$とが準同値であるときを言う。
が無縁であるときを言う。

(29)

119
命題 26.

$T_{1},$$T_{2}\in CP(\mathcal{A}, B(\mathcal{H}))$ゐ乃;(1)(2) 射影作用素,$T=T_{1}+T_{2}$とする。 以下の条件は等価である :$T_{1}$$P\in \mathfrak{Z}_{T}^{s}(\mathcal{A})=\pi_{T}^{s}(\mathcal{A})"\cap\pi_{T}^{s}(\mathcal{A})$’ であって，$T_{1}(A)=V_{T}^{*}P\pi_{T}^{s}(A)V_{T}, T_{2}(A)=V_{T}^{*}(1-P)\pi_{T}^{s}(A)V_{T}, A\in \mathcal{A},$を満たすものが存在する。

GNS 表現の場合も同様に成立する :命題 27.

$T_{1},$とし， $T=T_{1}+$ 乃とする。 以下の条件は等価である :$T_{2}\in CP(\mathcal{A}, \mathcal{M})$(1) $T_{1}AT_{2}$ ;(2) 射影作用素 P$\in \mathfrak{Z}$T$(\mathcal{A}$ $)$$=\pi$’/

T$(\mathcal{A}$ $)$$\cap\pi$T($\mathcal{A}$) ’ であって，$T_{1}(A)=\langle\xi_{T}|P\pi_{T}(A)\xi_{T}\rangle, T_{2}(A)=\langle\xi_{T}|(1-P)\pi_{T}(A)\xi_{T}\rangle, A\in \mathcal{A},$を満たすものが存在する。

は対応する可換冊-代数が定義 28.
心 CP-測度空間であると呼ばれる。 特に，であるとき中心 CP-測度空間であると呼ばれる。
$(S, \mathcal{B}(S), \mu)$$\mathfrak{Z}_{T}^{s}(\mathcal{A})$$(S, \mathcal{B}(S), \mu)$の $W^{*}$ -部分代数であるとき準中は対応する可換$W^{*}$-代数が$\mathfrak{Z}_{T}^{s}(\mathcal{A})$

場の量子論における測定過程論

6
$T$

を

$E_{\mathcal{A},\pi(\mathcal{A})"}^{L}(A)$の元とし，の可換 $w*$ -部分代数とし，$(\pi_{T}, E_{T}, \xi_{T})$を $T$ の GNS 表現とする。 そして，

$P:\mathcal{B}(S)arrow \mathcal{B}$$\mathcal{I}_{T}:\mathcal{B}(S)\cross\pi_{T}(\mathcal{A})"arrow\pi(\mathcal{A})"$$\mathcal{B}$を$\mathfrak{Z}_{T}(\mathcal{A})$を PVM とする。 このとき，次で定義されるが思いつくだろう:$\mathcal{I}_{T}(\triangle;A)=\langle P(\triangle)\xi_{T}|A\xi_{T}\rangle, \triangle\in \mathcal{B}(S) , A\in\pi_{T}(\mathcal{A})"$

.

(30)

この写像が完全正値インストウルメント [29, 30] のもつ性質を満たすことは容易に確認できる。 それ故，局所状態と完全正値インストゥルメントは無関係な概念ではなく，場の量子論のような表現の間の移行を基本に据えるべき理論において局所的な状態準備とそれを実行・検証するための測定方法を不可分な形で統一的に記述する方向性を示唆している。

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