数理解析研究所講究録
900 巻 1995 年 47-52

47$x’(t)=-\alpha[1-|X(t)|^{2}]R(\theta)x(t-\tau)$の星形周期解について
大阪府立大学工学部数理教室

惟行

原(Tadayuki Hara)1

はじめにスカラー微分差分方程式(1.1)$x’(t)=-\alpha[1+x(t)]x(t-1)$ ,(12)$x’(t)=-\alpha[1-x^{2}(t)]x(t-1)$に対して次の定理が成立することが知られている.

Theorem A[$1:\mathrm{p}\mathrm{p}.341\sim 348$$\alpha>\frac{\pi}{2}\Rightarrow(1.1)$

このも (1.2) も non-zero periodic solution をもつ.

Theorem A の成立には次の良く知られた定理が深くかかわっている.
$y’(t)=-\alpha y(t-1)$ の零解が漸近安定 $\Leftrightarrow 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ .

Proposition 12, Th.4.2 and Th.5.2]$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\backslash$duction と予想

2 次元微分差分方程式系

(2.1)
を考える.

$x’(t)=-\alpha[1-|x(t)|^{2}]R(\theta)x(t-1)$

ここで$x=$ ,$|X|^{2}=x^{2}+y^{2}$とする.

$\alpha\in R$,$R(\theta)=$(2.1) に対して次の問題を考える.

$(\theta\neq 0)$,

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問題 1
$i.e$.

(2.1) に対して Theorem A のような定理が成立するか ?
(2.1) は non-zero periodic solution をもっか ?

$\alpha>\frac{\pi}{2}-|\theta|>0\Rightarrow$

Proposition 1 に対応するものとして次の結果がある.

Proposition 2 [2]$y’(t)=-\rho R(\theta)y(t-1)$ の零解が漸近安定 $\Leftrightarrow 0<\rho<\frac{\pi}{2}-|\theta|$.

Proposition 2 に関連して次のこともわかっている.

Proposition 3$\rho=\frac{\pi}{2}-|\theta|>0$のとき $y’(t)=-\rho R(\theta)y(t-1)$ は周期解 (円軌道) をもつ.
この Propositions 2 と 3 により(2.1)
は$\alpha>\frac{\pi}{2}-|\theta|>0$の場合$x’(t)=-\alpha[1-|x(t)|^{2}]R(\theta)x(t-1)$$\alpha[1-|x|^{2}]=\frac{\pi}{2}-|\theta|$の時

周期軌道の存在が予想される.

$|x|^{2}=1- \frac{1}{\alpha}(\frac{\pi}{2}-|\theta|)$

(2.1)
実際

$\mathrm{t}\mathrm{h}.\backslash \neq’\not\in\sqrt{1-\frac{1}{\alpha}(\frac{\pi}{2}-|\theta|)}$$\alpha>\frac{\pi}{2}-|\theta|>0$の周

このときだからH 道をもつのではないか ?と考えられる.のとき$r=\sqrt{1-\frac{1}{\alpha}(\frac{\pi}{2}-|\theta|)}$,$\omega=|\theta|-\frac{\pi}{2}$とすると (2.1) は(2.2)$\{$という周期解 (円軌道) をもっことが容易に確かめられる.

Theorem 1$\alpha>\frac{\pi}{2}-|\theta|>0\Rightarrow(2.1)$

故に次の定理が得られる.

は non-zero periodic solution をもつ.

問題 1 は簡単に肯定的に解決されたわけであるが、 それでは次のような問題を考えよう.

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問題 2

$\alpha>\frac{\pi}{2}-|\theta|>0$のとき (2.1) は周期軌道 (2.2) 以外に周期軌道をもつか ?

(2.1) の critical points は $(0,0)$ 及び$\{(x, y) :の融点であることを注意して

x^{2}+y^{2}=1\}$

おく.

$x=$ として (2.1) を成分表示すると(2.1)

であるからとすると初期時刻を $t_{0}=0$ ,$t\in[0,1]$

初期関数を 1$\psi(t)=0\phi(t)=1-\epsilon$$for-l(\epsilon>0 \text{は}+\text{分小})t\leq$

では$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$となり$\alpha$ら$\mathrm{B}$

初期点 $A=(1-\epsilon, 0)$ からの打ち出し角度はまで解が移動するのにかかる時間が 1 秒以内となるように$\mathrm{B}$$\mathrm{B}$まで移動することになる.

$\mathrm{B}$$\mathrm{B}$

点Aかを大きくしておくと解軌

点は $x^{2}+y^{2}=1$ に十分近いか(円 $x^{2}+y^{2}=1$$0$

荒筋を述べることにする.
$\mathrm{B}$$\mathrm{B}$$\alpha$点の近傍に解軌道が近づくと解の速度はほとんど に近くなる.

上の時点は critical point だから様にとなる.

をある程度大きくすると (2.1) の解の速度は大きくなることに注意しよう

道は直線 AB 上を A からら$\theta$

点は円 $x^{2}+y^{2}=1$ の内側にある.)

以下考え方の点に解軌道が 1 秒以上留まっているならば先程の議論と同点からの打ち出し角度はほぼ$\theta$となり解軌道は直線$\mathrm{B}\mathrm{C}$上を$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$まで移動す50

A から出発してることになる$\mathrm{k}$すなわち軌道になるわけである

回はね返って元の A 点に戻ってくれば、 それが周期$\exists_{m}\in N$: $k(\pi-2\theta)=2\pi m$ となる$\mathrm{m}$が存在すれば周期軌道があることになる.の場合を考えると$\theta=\frac{\pi}{n}$$k( \pi-\frac{2\pi}{n})--2\pi m$(2.3)$k= \frac{2nm}{n-2}$という関係式を得る.

$\mathrm{n}$

.

$i.e$

.

.

が有理数ならば、 (2.3) をみたす最小の自然数 $m$ が存在する.

が有理数ならば、 (2.3) をみたす -星形周期軌道の存在が予想される. 実際のターンする解軌道は 点で直線的に折り返すわけではなく、 点の近傍で解軌道は即ち、$\mathrm{k}$$\mathrm{n}$$\mathrm{U}$$\mathrm{B}$$\mathrm{B}$ので上の議論は証明にはなっていないことを注意しておく.
以上をまとめると次の Conjecture が得られる.

Conjecture$\exists_{\alpha_{0}>}\frac{\pi}{2}-|\theta|>0$;(i)$\alpha 0\geq\alpha>\frac{\pi}{2}-|\theta|\Rightarrow(2.2)$(ii)$\alpha>\alpha_{0}\Rightarrow$

1 ま (2.1) の唯–の安定な周期解.

( は有理数) ならば Y (2.2)(2.2) は (2.1) の不安定周 B\exists \Re . さらに\theta(ただし以外の (2.1) の解は (2.3) をみたす -星形周期解に漸近する.
初期関数 $(\phi(t), \psi(t))$ は\mbox{\boldmath $\phi$}2(0)+\psi 2(0) $<1$ をみたすものとする)$=\underline{\pi}$$\mathrm{n}$$\mathrm{k}$以下に Conjecture を illustrate するいくつかの (2.1) の解軌道図を掲げておく.

図 1.

$\alpha=1.13,$$\phi(t)=$$\theta=\frac{\pi}{7}$0.999, $\psi(t)=0$

図 2.

$\alpha=2,$$\theta=\frac{\pi}{7}$$\phi(t)=0.01,$ $\psi(t)=0$

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図 3.

$\alpha=3,$

凶 4.

‘$\theta=\frac{\prime}{7}$$\alpha=\mathrm{b},$.

$\sigma=.\frac{}{7}$$\phi(t)=0.999,$ $\psi(t)=0$$\phi(t)=0.999,$ $\psi(t)=0$$\Leftarrow$

図 5.

$\alpha=5,$$\theta=\frac{\pi}{7}$$\emptyset(t)=0.9-t$$\psi(t)=1.5\sin(20t)$

凶化.

$\alpha=\perp\cup,$$\sigma=\overline{3}$$\phi(t)=0.999,$ $\psi(t)=0$

凶.

$($.

$\alpha=\perp\cup,$$\sigma=.\overline{4}$$\phi(t)=0.999,$ $’\psi(t)=0$

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図 8.

$\alpha=10,$$\phi(t)=$図 10.

$\theta=\frac{\pi}{5}$図 9.

0.999, $\psi(t)=0$$\alpha=10,$$\theta=\frac{\pi}{10}$$\phi(t)=0.999,$ $\psi(t)=0$$\alpha=10,$$\phi(t)=$図 11.

$\theta=\frac{\pi}{6}$0.999, $\psi(t)=0$$\alpha=10,$$\theta=\frac{\pi}{35}$$\phi(t)=0.999,$ $\psi(t)=0$

参考文献[1] J. K. Hale and S. M. V. Lunel, Introduction to Functional Differential $Equations_{J}$

1993, Springer-Verlag.
[2] T. Hara and J. Sugie, Stability region for systems of differential-difference equations,

to appear.