数理解析研究所講究録
900 巻 1995 年 53-5553

積分方程式の漸近周期解
古用哲夫 (Furumochi Tetsuo) 島根大理

これは南イリノイ大学の. Burton 教授との共同研究である。
次の形の積分方程式を考える。
$\mathrm{T}.\mathrm{A}$$x(t)=a(t)-$ $\int_{0}^{t}D(t, s, X(S))dS$(1)

ここで $a:R^{+}(:=[0, \infty))arrow R^{n},D:R^{+}\cross R^{+}\cross Rnarrow R^{n}$ は連続で次を満たすとする。

$a(t)=p(t)+q(t),p(t+T)=p(t)$(2)

ここで $p:Rarrow R^{n},$(3)$q:R^{+}arrow R^{n}$and$q(t)arrow \mathrm{O}$as$tarrow\infty$は連続で $T>0$ は定数である。

and $P(i+T, s+T, x)=P(t, S, x)$$D(t, s, x)=P(t, s, x)+Q(t, s, x)$

ここで $P:R\cross R\cross R^{n}arrow R^{n},$ $Q:R^{+}\cross R^{+}\cross R^{n}arrow R^{n}$ は連続である。 更に、 $\forall J>0$ に対して、連続な$P_{J}$:$R\cross Rarrow R^{+}$と$Q_{J}$:$R^{+_{\mathrm{X}R}+}arrow R^{+}$$P_{J}(t+T, s+T)=P_{J}(t, S)$ ,$|P(t, s, x)|\leq P_{J}(t, S)$

ここで$|\cdot|$$t,$,$t,$ $s,$$s\in R$,$s\in R,$ $|x|\leq J$

は Euclidean norm とする。
$|Q(t, s, x)|\leq Q_{J}(t, s)$(4),$t,$が存在して次を満たすとする。

uniformly for $t\in R$ as$\int_{-\infty}^{t}PJ(t+\tau, s)d_{S}arrow \mathrm{O}$(5),$\in R,$ $|x|\leq J$

as$\int QJ(t, S)dsarrow 0$$tarrow\infty$$\tauarrow\infty$.

が の連続関数であることと同値であることが知られている
条件 (4) は([6])。以下で、 次の Schauder’s first theorem を用いて、 (1) の漸近周期解の存在を示す。
$\int_{-\infty}^{t}P_{J}(t, S)dS$$t$first theorem).
Theorem 1(convex nonempty subset とする。 この時 を$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}’ \mathrm{S}$$S$$(C, ||\cdot||)$$S$をノルム空間、 $S$ を $C$ の compactに写すどの連続写像も不動点をもつ。

54

まず、 次の定理が成り立つ。

(2) (5) を仮定する。 もし、 (1) が初期時刻 $to\in R^{+}$ の漸近 T-周期解をもてば、 その T-周期的拡張はTheorem 2.

(6)$x(t)=p(t)- \int_{-\infty}^{t}P(t, S, x(s))d_{S}$,$t\in R$の T し周期解である。
$\forall t_{\text{。}}\in R^{+}$$C(t_{\text{。}}):=$

に対し

{ .

$\xi\cdot$$R^{+}arrow R^{n},$ $bdd.,$ $\xi(i)$(は t。以外で連続で、 $\xi(t_{0})=\xi(t0+)$} とし、$\forall\xi\in C(t_{\text{。}})$に

対し$|| \xi||_{+}:=\sup\{|\xi(t)| :t\in R^{+}\}$とする。 更に、 $\forall J>0$ に対し、
$C_{J}’$(to) $:=\{\xi\in C(t\mathrm{o}):||\xi||\leq J\}$とする。 Schauder’s first theorem を用いて (1) の漸近 $T$-周期解の存在を示すために、 (2) $-(5)$と $J>0$ に対して、に加えて次の様な仮定をおく。 ある$t_{\text{。}}\in R^{+}$(7)$||a||_{t_{0}}+ \int_{0}^{t}P_{J}(t, S)dS+\int_{0}^{t}Q_{J}(t, s)dS\leq J$

ここで $||a||:= \sup\{|a(t)| :$R^{+}$(8)t\geq t_{0}\}$である。 更に連続関数$L_{J}$:

if$t\geq t_{0}$$R\mathrm{x}Rarrow R^{+},$ $q_{J}$:$[t_{0}, \infty)arrow$が存在して、 $L_{J}(t+T, s+T)=L_{J}(t, S)$ かつ$|P(t, s, x)-P(t, s, y)|\leq L_{J}(t, s)|x-y|$ if $t,$ $s\in R,$ $|x|\leq J$ and $|y|\leq J$ ,(9)$q_{J}(t)arrow 0$

as$tarrow\infty$,(10)if$|q(t)|+ \int_{-\infty}^{t_{0}}PJ(t, S)d_{S}+\int_{0}^{t_{0}}PJ(t, S)d_{S}+\int_{0}^{t}Q_{J}(t, s)dS+\int_{t_{0}}^{t}L_{J}(t, S)ds\leq q_{j(t})$$t\geq t_{0}$.

この時、 次の定理を得る。

Theorem 3. (2) $-(5)$ に加えて、 ある$t_{\text{。}}\in R$と $J>0$ に対して (7) $-(10)$ が成立しているとする。 この時、 $\sup\{|\phi_{0}(S)| : 0\leq s<t_{\text{。}}\}\leq J$ なる任意の連続な初期関数に対して、 (1) は次の通な漸近丁周期解をもつ。
$x(t)=y(\iota)+z(t),$ $X,$ $y\in CJ(t_{0}),$ $y(t+T)=y(t)$$[t_{0}, \infty)$on

上で $x(t)$ は (1) を満たし、$|Z(t)|\leq qj(t)$ .

$R^{-\vdash}$$\phi_{0}$,:$[0, t_{\text{。}})arrow R^{n}$55

更に、 $y(t)$ の $R$ 上への $T$-周期的拡張は (7) の T-周期解である。

最後に、 Theorem 3 の応用例を示す。 次の二つの線形と非線形のスカラー方程式を考える。

(11)$x(t)=p(t)+ \rho e^{-t}-\int_{0}^{t}(e^{-ts}\cos t\mathrm{s}+\mathrm{i}\mathrm{n}s+e^{-t-s}/5)x(S)dS$(12)$x(t)=p(t)+pe^{-t}- \int_{0}^{t}(\sigma e^{-t+s}+\tau e^{-t-S})x^{2}(S)ds$,,

Theorem 3 を用いて、 (11) や (12) がしかるべき条件の下で漸近$t\in R^{+}$$t\in R^{+}$$2\pi-$

周期解をもつことを示すことが出来る。

Theorems 2, 3 の証明等の詳しい内容については、 [3] を参照されたい。

参考文献[1] Burton, T.A., Volterra Integral and Differential Equations, Academic Press, Orlando,

1983.
[2] Burton, T.A., Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional DifferentialEquations, Academic Press, Orlando, 1985.

[3] Burton,. and, Periodic and asymptotically periodic solutions
of Voltera integral equations, to appear in Funkcialaj Ekvacioj.
$\mathrm{T}.\mathrm{A}$$\prime \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{o}$$\mathrm{F}_{\mathfrak{U}\mathrm{r}\mathrm{u}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i},$[4] Corduneanu, C., Integral Equations and Applications, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1991.
[5] Gripenberg, G., Londen, S,-O., and Staffans, O., Volterra Integral and FunctionalEquations, Cambridge U. Press, Cambridge, 1990.
$[,6]$

Hino, Y. and Murakami, S., Periodic solutions of a linear Volterra system, Proc.
. Dafermos, G. Ladas, and G. Papanicolau, Dekker,
Equadiff Conference, ed. by
New York, 1989, 31&326.
$\mathrm{C}.\mathrm{M}$[7] Kato, J. and Yoshizawa, T., Remarks on global properties in limiting equations, Funkcialaj Ekvacioj 24(1981), 363-371.
[8] Smart, D.R., Fixed Point Theorems, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1980.

[9] Yoshizawa, T., Stability Theory and the Existence of Periodic Solutions and Almost
Periodic Solutions, Springer, New York, 1975.