数理解析研究所講究録
1118 巻 1999 年 31-36

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Ratio of ergodic sums for one-dimensional maps
with indifferent fixed points
愛媛大学工学部 井上友喜 (Tomoki Inoue)

1. 状況の設定と以前の結果の説明
まず, 例として次のような写像を考えよう.
$\frac{x}{1-x}$for$x \in[0, \frac{1}{2})$$\frac{2x-1}{x}$for$x \in[\frac{1}{2},1]$$T(x)=\{$

この写像は$0$.と 1 が indifferent fixed points (微分係数が 1 の不動点) で,$\mu(D)=\int_{D}\frac{1}{x(1-X)}\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{b}(dx)$ことが知られている.
$\mu([1-\epsilon, 1])=\infty$

とおくと,$\mu$

したがって, 小さながエルゴード的不変測度となる$\epsilon>0$に対して $\mu([0, \epsilon])=\infty$ ,である.

この写像を少し–般化して, 次のような写像を考える.
化して議論することができる. )(本当はもっと –般$0<c<1$ とし, $T:[0,1]arrow[0,1]$ は次の条件を満たすとする :(i)と$T$$[c, 1)$を区間 $(0, c)$ とへ$C^{2}$$(c, 1)$に制限したものは関数として拡張できる;(ii) $T(0)=0$ , $T(1)=1_{1}$$C^{2}\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{S}\mathrm{S}$で,それぞれ (O, ]$c$32(iii), $T(c, 1)=(0,1)|$$T(\mathrm{O}, c)=(\mathrm{O}, 1)$(iv) $T’(x)>1$ for $x\neq 0,$

$c,$

$1$

.

注意 1. 写像 $T$ はルベーグ測度と絶対連続な \mbox{\boldmath $\sigma$}-有限エルゴード的不変測$.\sim$度$\mu$

意をもち,さらに,$\mu([0,1]\backslash (A\cup B))<\infty$$A$,$B$をそれぞれ$0$である.

(cf.

$[\mathrm{I}3|,$).の小さな近傍, 1 の小さな近傍とし,$T(x)-x=\theta_{0}x^{d_{0}}+\mathrm{o}(x^{d_{0}})$in$\mathrm{A}$,$x-T(x)=\theta_{1}(1-x)^{d_{1}}+\mathrm{o}((1-x)^{d_{1}})$を満たすとする. ただし,$[\mathrm{T}]$$\theta_{0}>0,$$\theta_{1}>0,$

条件 (i)-(iv) を満たす写像 $T$ において$0$$d_{0}\geq 1,$$d_{1}\geq 1$

in$B$は定数である.

または 1 が indifferent 不動点のとき, 軌道 $\{T^{k}(X)\}k\infty=0$ には間欠カオスが見られる.

次のことに注意しておこう.
注意 2.

値である.

$d_{0}\geq 2$と $\mu(A)=\infty$ は同値,

また,

$d_{1}\geq 2$と $\mu(B)=\infty$ は同(cf.[I1], [I2], [I3], [T])この写像 $T$ に対して, 以前次の極限を考えた.
$\lim\underline{\Sigma_{k=0}^{n}1_{A}(Tk(X))}$(1)$narrow\infty\Sigma_{k=0^{1}B}^{n}(T^{k}(x))$

ここで,$1_{A}$

は $A$ の定義関数である.

注意 2 により,$d_{0}$と$d_{1}$が共に 2 以上の場合は, 既存のエルゴード定理から極限 (1) を得ることはできない. このような場合に, 極限 (1) が存在するか, 存在する場合には極限値がどのようになるかを以前研究し, 次の定理 1\sim 3 がわかっている.

33

定理 1

$([\mathrm{I}4])$$\text{て極限}(1)$定理 2定数$\rho$

は$0$.

(Or.

$([\mathrm{I}4])$(Or $2\leq d_{1}<d_{0}$ ) の場合.

$2\leq d_{0}<d_{1}$$\infty$$\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{b}_{-}\mathrm{a}.\mathrm{e}.x$に対し) となる.

$d_{0}=d_{1}=2$の場合.

Leb-aに対して,$\mathrm{e}.x$$\text{極限}(1)$は正ので$\rho=\frac{\theta_{1}M_{1}}{\theta_{0}M_{2}}$となる. ただし,

$M_{1}= \lim T’(x)$

,

定理 3

$([\mathrm{I}5])$

である.

$M_{2}= \lim T’(x)$$x\uparrow c$$x\downarrow c$. $d_{0}=d_{1}>2$ の場合.

$\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{b}-\mathrm{a}.\mathrm{e}.x$に対して,$\text{極限}(1)$は存在せず,,$\lim_{narrow}\sup_{\infty}\frac{\Sigma_{k=0A}^{n}1(T^{k}(x))}{\Sigma_{k=0B}^{n}1(Tk(X))}=\infty$$\lim_{narrow}\inf_{\infty}\frac{\Sigma_{k=0A}^{n}1(T^{k}(x))}{\Sigma_{k=0}^{n}1_{B}(Tk(X))}=0$となる.

2. 今回の問題と結果$\text{前節の条件}(\mathrm{i})-(\mathrm{i}\mathrm{v})$を満たし,$0$の小さな近傍と 1 の小さな近傍において前節のように仮定した写像 $T$ に対して, 今回は次のような問題を考えよう.
問題.

$m_{0)}m_{1}$を非負の定数として,$1_{A},$$1_{B}$に次のように重みをつける:$f_{A}(x)=x^{m_{0}}\cdot 1_{A}(x)$$f_{B}(x)=(1-x)^{m_{1}}\cdot 1_{B}(x)$このとき,$m_{0)}m_{1}$の値によっては,$\text{極限}(1)$.

が存在しない場合でも極限$\lim_{narrow\infty}\frac{\Sigma_{k=^{0}}^{n}fA(T^{k}(x))}{\Sigma_{k=0}^{n}fB(T^{k}(X))}$

(2)

34

が$\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{b}-\mathrm{a}.\mathrm{e}.x$

もし,$f_{A},$に対して存在することがあるだろうか.
であれば, HOPf のエルゴード定理 ([A], [H]) により,$f_{B}\in L^{1}(\mu)$

極限 (2) は a.e.x に対してまず,じない. そこで,定理 4$f_{A}\in L^{1}(\mu)$であることがわかり, 何ら問題を生かどうかを判定する定理を述べておこう.

. $d_{0}-m_{0}<2$ と $f_{A}\in L^{1}(\mu)$ は同値である.

$([\mathrm{I}6])$

当然, 同様のことはのときには,$\int f_{A}d\mu/\int f_{B}d\mu$$f_{B}$についても成り立つ.

$\int f_{A}d\mu=\infty,$ $\int f_{B}d\mu=\infty$$d_{0}-m0\geq 2$ かつ $d_{1}-m_{1}\geq 2$であるので, 既存のエルゴード定理から, 極限 (2) を得ることができない. このような場合に下記の定理を得た.

定理 5合$([\mathrm{I}6])$.

$2\leq d_{0}-m_{0}<d_{1}-m_{1}$Leb-a .e.x に対して極限 (2) は定理 6$([\mathrm{I}6])$.

$0$(Or$\infty$(Or $2\leq d_{1}-m_{1}<d_{0}-m_{0}$ ) の場

) となる.

$d_{0}-m_{0}=d_{1}-m_{1}=2$ の場合.

$\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{b}-\mathrm{a}.\mathrm{e}.X$に対して, 極$|;,\mathrm{p}(2)l\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{E}\text{の}j\mathrm{E}\mathfrak{B}\wedge \mathrm{A}\rho \text{で}$$\rho=\frac{(d_{1}-1)2\theta_{1}M1}{(d_{0-}1)2\theta_{0}M_{2}}$となる. ただし,

$M_{1}= \lim T’(x)$,$M_{2}= \lim T’(x)$$x\uparrow c$$d_{0}=d_{1}>2\text{の}\downarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\text{ロ}}$

,

である.

$x\downarrow c$

極限 (1) は存在しないが 定理 6 により, $m_{0}=m_{1}=d_{0}-2$であれば, 極限 (2) が存在することがわかる.

3. 考えてきた写像の–般化
ここまで考えてきた写像 $T$ を–般化することを考えよう.
写像 $T$ : $[0,1]arrow[0,1]$ は複数の不動点を含み, 次の条件を満たすとする .

35(a) $0=c_{0}<c_{1}<c_{2}<\cdots<c_{r}=1$ (不動点はしておへ$C^{2}$$\langle$$)$に対して $T$ を区間 $(c_{i}, ci+1)$ に制限したものは$C^{2}$に属するように関数で,$[c_{i},, c_{i+1}]$関数として拡張できる. この拡張したものを鶉とする;(b) $T_{i}’(x)>1$ ,$X$

は$(\mathrm{C})T([0,1])=[0,1]$

不変測度$T_{i}$の不動点以外;

Leb-a .

$\mathrm{e}.\text{で},$$T$はルベーグ測度と同値なエルゴード的をもつ.

$\mu$$((\mathrm{a}), (\mathrm{b})$$\mu$$\bigcup_{i=0}^{r}\{c_{i}\}$をみたす $T$ はルベーグ測度について絶対連続な不変測度$\mu$をもち,はエルゴード分解が可能で, 各エルゴード成分が有限個の区間の和であるある

ことが最近の研究でわかっている$([\mathrm{Z}])$.

したがって,$T$がエルゴード的でない

ときは, エルゴード成分をとり, それを $[0,1]$ と思えばよい. )このときにも, 二つの不動点 $p,$
れぞれ $A$ ,$B$

よび定理 6 の合の$\rho$$q$の十分小さな右近傍 (または左近傍) をそとし, 1 節で述べたのと同様のことを仮定すると, 上記の定理 2 お$\rho$の値を除き, 定理 1\sim 6 と同様の結果が成り立つ. なお, この場の値は, 一般には$\mu$にも依存するが, 正定数であることに変りはない.

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