数理解析研究所講究録922 巻 1995 年 17-24

17対称こまの運動に現れる幾何学的位相
名大工

1

福本

康秀

(

Fukumoto)$\mathrm{Y}\mathrm{a}\mathrm{s}\iota \mathrm{l}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}$序

非粘性非圧縮性流体中において, 外部流と釣り合って静止している渦糸の平衡形を局所誘導近似 (LIA) のもとで解析する. まず, 渦糸の平衡形と, 磁場中の荷電粒子の軌跡とが等価であることを示す. 静止流体中を形を変えないで運動する渦糸 (=木田グラス) がその–例になる.
木田クラスは, 重力場中の対称こま ( ラグランジュのこま) の運動と等価である. 後
半では, 対称こまの回転に伴って現れる幾何学的位相について論じる.
$=$

2

流れの中での渦糸の平衡形

細長い紐状の領域に渦度が集中したものが渦糸である. 渦糸の自己誘導運動は BiotSavart の積分により求められるが, 積分領域を着目している (渦糸上の) 点の両側の長さの部分に限るのが局所誘導近似 (LIA) である. 渦糸曲線を でパラメトライズしよう. 外部流 $V(x, t)$ が存在する場合には, 渦糸上の点の発展方程式は次式で与えられる :$I_{\lrcorner}$$\xi$$\dot{X}(\xi, t)$$\frac{\partial X}{\partial t}(\xi_{9}t)=AX_{s}\cross X_{ss}+V(X, t)$

,

(1)
(2)

$A= \frac{\Gamma}{4,\tau}\log(\frac{L}{\sigma})$は曲率,は陪法線ベクトル,は渦核のサイズと同程度の長さを表す. 下付
添字 は長さによる微分を意味する.
さらに, 外部流が定常であるとして, その中で静止している渦糸の形状を求めたい. 渦
ここで,
$s$

$b$

$\kappa$$\sigma$$s$

糸上の点はそれ自身に沿ってのみ動きうる. すなわち, (1) は$AX_{s}\cross X_{ss}+V(X)=\mathrm{T}/^{\mathit{7}}||t$

,

(.3)

18

は–般には と に依存しに置き換わる. ここで, $t=X_{S}$ は単位接線ベクトルである.
てよく, それにより, 直線の伸び縮みを許容する. ベクトル との外積をとると, (3) は$\xi$$l_{||}^{f}.arrow$

$f$

$t$

.

$AX_{ss}=^{x_{s}}\cross V(X)$$(- 1)$$V$
を磁場, $A=77\mathit{1}/q$ と読み換えると, (4) は質量 ,71,を時間と変形される. 長さをもつ荷電粒子の磁場 $V(X)$ 中での運動を記述する式と等価になる 1). すなわち,
電荷
ローレンツカを受けて運動する荷電粒子の軌跡と, 流れの中での渦糸の静止形が等価であ
$t,$

$s$

$q$

る.

荷電粒子の運動の扱いにおいて発展したラグランジュあるいはハミルトン形式を用い
れば, 渦糸の形も容易に求められよう.

3

木田クラス

前節で見出したアナロジーのご利益を示すのに最も適した例は, 静止流体中を形を変えないで運動する渦糸である. 木田 2) は, そのような運動が, ある方向 ( 軸方向としよう)への並進, その方向を軸とする剛体回転 及び渦糸自身に沿うすべりよりなることを洞察し, 以下の式に帰着させた:$AX_{s}\cross X_{ss}=-c_{0}X_{S}+\Omega e_{-},$$\cross X+\mathrm{T}/^{\Gamma}e_{\sim}-$$(^{-}.))$$\cdot$は定数で, それぞれ, すべり速度, 回転角速度, 並進速度を表す.
式 (5) と $t=X_{s}$ との外積をとると, われわれの形式にもちこめる

ここに,$c_{0},$$\Omega,$$V$:$A\ddot{X}=\dot{X}\cross V(X)$

ここに, 外部磁場は$V=-\Omega e_{-}.\cross X-Ve_{-,\vee}$.

$(6\ovalbox{\tt\small REJECT})$.

((). 化)に関する微分を意味する. 剛体的に運動する渦糸の形 ( 木田クラス)
は, 一様磁場と周方向磁場の合成から成る場の中での荷電粒子の軌跡と等価である.
場 (6b) を与えるベクトルポテンシャル $A(V=\nabla\cross A)$ は,で,

ドットは長さ$=$$s$$- \frac{V}{\underline{9}}x_{:}.\frac{\Omega}{\underline{)}}(.\prime r+\uparrow/)2.2)$$A=(. \frac{\mathrm{T}/^{\gamma}}{\underline{)}}y,$$(_{l}^{-})$

である. 荷電粒子の運動に対するラグランジァン $L$’ は–般に$A\cdot 2$(8)$\mathcal{L}=.-_{\underline{\gamma}}X+\dot{X}\cdot A$で与えられ, 今の場合, 極座標$(r, c,)’:\approx)$を使うと,$\mathcal{L}=.\frac{A}{\underline{\supset}}(\dot{r}^{2}+r^{2}(.;^{2}+\sim\sim.)2-(.\frac{1^{r}\prime}{2}\Gamma^{2}\dot{c}‘)-\frac{\Omega}{\underline{\eta}}r^{2}\approx.)$.,$(^{\mathrm{t}}.))$

19となる. 式 (9) より,
れる

と

$z$

:

$\emptyset$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$P_{\varphi}$が循環座標であることが読みとれ, 第 1 積分が直ちに得ら

$=$

$=$

.

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\approx}$.

$=A\approx$$+. \frac{\Omega}{\underline{)}}r^{2}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}‘ \mathrm{S}\mathrm{t}$

.

.

,

$(\rfloor \mathrm{o}_{\mathrm{a})}‘$$\frac{\partial L}{\partial\emptyset}.’=Ar^{2}C\dot{p}$また, 粒子の運動エネルギーの保存は, 渦糸曲線の長さによるパラメータ化によって自動的に実現される:(10c)$|\dot{X}|^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2_{\ddot{Q}^{2}}}+\approx^{2}.=1$方程式系 $(10_{Cl}-c)$ は木田が (5) より直接導き出したものと同じである. ラグランジュ形
式によって,
が容易に得られたことに気づかれたい.
; は, それぞれ, 粒子のもつ運動量の 成分, 角運
第 1 時分
の第 1 項動量の 成分である. 第 2 項は空間 (真空中) に蓄えられた全電磁運動量, 全電磁角運動量の 2 成分と考えるのが自然であろう. 実際 クーロンゲージ条件 $(\nabla\cdot A=0)$のもとでは ((7) はそうなっている), 真空中に単– の荷電粒子 (電荷 ) が存在する場合の全電磁運動量角運動量は次式で与えられることが証明できる 3)$(10\mathrm{a},\mathrm{b})$$A\approx,$$(10\mathrm{a}.,\mathrm{b})$$Ar^{2}\mathrm{c}$$\sim\sim$$z$$P_{\text{。}m}$$M_{\mathrm{e}m}$$q$:$P_{em}$$=$$qA(X)$$M_{\mathrm{e}m}$$=$$qX\cross A(X)$,$(11_{c\gamma},)$.

$(11\rceil))$は粒子の位置で, 無限遠方の境界上の積分からくる寄与は無視できるものとした. 表式 (7) を (11) こ当てはめれば, 上述の解釈が正しいことが納得される.
ただし,

4

$X$

ラグランジュのこま

木田クラスは, 重力場中の対称こま ( ラグランジュのこま) の–点を固定された運動と等価である. このことを簡単にみてみよう.
$=$

正確に言うと,「対称」の意味するところは, 物体の慣性楕円体が軸対称性をもつということであって, 物体自身が軸対称である必要は必ずしもない. 物体の重心は対称軸上にある.
対称軸に沿う単位ベクトルを $t(t)$ , それに垂直で物体に固定された (互いに直交する) 単位ベクトルを $e_{1}(t),$としよう. 物体の回転角速度をとすると, 直交枠 (t. . )は次式に従って発展する$e_{2}(t)$$\omega(\dagger)$$e_{1}$$e_{2}$:$i$$\dot{e}_{1}$$=$$\omega\cross t$$=$$\omega\cross e_{1}$$(12\mathrm{a})$

2

.

(12b)

20

残りの $e_{2}=t\cross e_{1}$ の時間発展は,ととの外積をとると,$t$と$e_{1}$のそれより直ちに得られる. 式$(1 \underline{y}_{\mathrm{a}}.)$と $t,$$(12\mathrm{b})$$e_{1}$$\omega$,(1.3a)$=$$t\cross i+(t\cdot\omega)t$$=$$e_{1}\cross\dot{e}_{1}+(e_{1}\cdot\omega)e_{1}$,$(1.3\mathrm{b})$を得る. 軸対称性より, 固定小まわりの角運動量 $m$ は,$m=A(t\cross i)+C’\omega^{\backslash }3t$(14)は対称軸に垂直な面内での, $C$ は対称軸まわりの慣性モーメン
で与えられる. ここに,のみを用いて得られたのであって,である. この表式はトである. また,あるいは (12b) は不要である. このことは, こまの (対称軸に) 垂直面の回転の自$A$$\omega_{3}=t\cdot\omega$$(13\mathrm{a}.)$$(1.3\mathrm{b})$

由度が落とされたことを意味する.
ニュートン力学の教えるところによれば, 固定点まわりの角運動量の変化率と, その点
まわりのトルクが等しい. すなわち,,$\dot{m}=t\cross(-?7\mathit{1}\mathrm{g}\prime e_{-}.)$$(1_{\mathrm{J}}^{-}.)$

は重力加速度,は物体の質量,は固定点と重心との間の距離である. 新しい変数 $X(t)= \int^{t}tdt$ を導入すれば, (15) は形式的に積分できる. 積分定数を適切に決め, 定義 (14) を思い出せば, 得られた式が (5) と同じ形をしていることがわかる.
である.

ここで,

$m$

$l$

$\mathrm{g}$によって与えられる.
すべり速度はこの段階で, ラグランジュのこまの運動に対する解法を呈示することができる; 式 (垣)を考慮に入れ, (15) を積分して (5) に帰着させる. そこから, (10a,-c.) を導き, それらを積分することによって, $X(t)$ を得る. 時間 \iota こついて微分すれば, こまの軸 の運動が得られる. 本解法の特徴は, 通常の場合と違って, Eulcr 角が登場しないことである.
$c_{0}=c_{\mathit{1}}\omega_{3}$

$t$

$t$

上で, 垂直面の回転の自由度が低減されたことを指摘したが, このことは次の手続きにとの外積をとると,より明確になる. 式 (14) を (15) に代入し, さらに,$t$$At=-m\mathrm{g}l[e_{\mathcal{Z}}-(t\cdot e_{z})t]-A(i\cdot i)t-c\omega 3i\cross t$

,

(16)

上に拘束された (質量 , 電荷 ( をもを得る. これは, 重力場と磁場中で, 単位球面
球面振子) の運動を支配する方程式とみなせる. 質点の位置は で指定されつ) 質点 (
る. 右辺第 1 項と第 2 項を併せたものは, 重力の球面への接成分と考えられる. ただし, 重である. 第 3 項は向心力を表し, 質点が単位球面上に拘束されることを力加速度は保証する. 第 4 項はローレンツカで, 磁場 $B$ は原点 $t=0$ におかれた磁気単極子によっ$S^{2}$

$A$

$f$

$t$

$=$

$\uparrow n\mathrm{g}l/A$て生成される:$(q/A)B=- \frac{C’,\omega_{3}}{\Lambda}\frac{t}{|t|^{3}}$4$(1_{\overline{\mathfrak{l}}})$

21

で決まる.
単極子の強さは, こまの軸まわりの回転角速度
この最後の項がなければ, (16) は通常の球面振子の運動方程式と全く等価である. 球’$\omega_{3}$

面振子とラグランジュのこまの軸の運動は–見して似ているようであるが, 実は大きな違いが存在する. 球面振子の場合, 質点はその運動の少なくとも –部において支点 $(t=0)$, 絶より下側を通過しなければならない. しかるに, まわっているこまの場合
えず重心を上に持ち上げ続けることが可能である. こまらしさは最後の項によって付与さ)によって導かれている. また, 類似のれるのである. 式 (16) はすでに erry&\tau
Veselov6)
やによって得られている.
アナロジーがラグランジュのこまの運動を記述する配位空間は回転群 $so_{(}.3$ ) である. $so_{(}.3$ ) の元をを用いることが多い.
指定するには 3 つのパラメータが必要である. Euler 角を指定するだけでよい. 後者において上の 1 点 ( .
方, 球面振子の運動は単位球面
は, 自由度が 3 から 2 に低減 (reduction) したことになる. この低減の起源はこまの軸対称性に求めることができる. 低減された系の運動においてローレンツカが現れるのは偶然ではない. それについては次節で論じることにする.
$(C_{\omega_{3}}’,\neq 0)$$\dot{\mathrm{B}}$$\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{s}^{4}$$\mathrm{N}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{o}\backslash ^{5)}\cdot\gamma$$(\theta_{:}\varphi, ?\acute{i}-|)$$S^{2}$$\theta_{\backslashr}$$(\cap)\cdot$

上の解低減の逆のプロセスとして, 再構成 (reconstruction) の問題が考えられる.
曲線から $so_{(}.3$ ) の解曲線を求めるのである. 具体的には, こまの垂直面 $(e_{1:}e_{2})$ の回転角を求めることに相当する\check . 回転角の決め方は角度の基準のとり方に依存する. そこで, 話$S^{2}$:を明確にするために, 以下のような問題を設定しよう, 周期 $T\text{の周期運動を行うものとする}$ (一般的には, 準周期運動である).
こまの軸上の閉曲線 $C$ が滑らかであると仮定する.「軸が $C$ をさらに, 軸の先端 t. が描く球面
1 周する間に, こまの垂直面は何度回転するだろうか ? 」
はEuler 角を用いると, 軸のまわりの角速度$t\mathrm{B}^{\grave{\grave{\mathrm{a}}}}$$S^{2}$$\omega_{3}$$\omega_{3}=\uparrow i,$$+\dot{\varphi}\cos\theta$

,

(18)

はもとにもどり, その間の垂直面の回転角は明確に定まる. 具体
的には, 球面上の Stokes の定理を用いて,

1 周期後,と書ける.

$t$$\triangle v^{f})$

$=$

$=$

$=$

$\int_{0}^{\tau_{?\dot{i}’ \mathrm{r}}}.\cdot Jt$$\omega_{3}T-\int_{0}^{T}\cos\theta d\varphi$$\omega_{3}^{\backslash }T+\Omega-2_{J1}^{\sim}k$

,

(19)

と計算される. ここで,$\Omega=\int\int\sin\theta d\theta\wedge d\varphi$(20)によって囲まれる単位球面上の面積, すなわち立体角である. 最後のゐはあがそれを何回まわるかで決まる.
に由来し,る整数で, 球面座標の特異点

は閉軌道

$C$

$\theta=0_{:}\pi$

$C’$

22

は dynamic angle と呼’ には 2 種類の寄与があることがわかる. 第 1 項
回転角は geometric angle と呼ばれる. 後者は,上の閉軌道の幾何学
ばれ, 残りの的形状によってのみ決まり, その上を運動するスピードには依らないのでそのように呼ばれる. 量子力学の波動関数の位相因子に現れる Berry 位相の古典力学版である. 立体角がgeometric angle を与えることは多くの文脈で明らかにされてきたが, 対称物体の回転に対)) やによってすでに指摘されている.
しては,$\omega_{3}T$$\triangle j\uparrow_{\triangleright}^{:}$$S^{2}$$\Omega-2_{\mathcal{T}\mathfrak{l}}k$$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}8$$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{a}.\backslash ’\vee 7$

reduction に伴って現れる磁気単極子と, rcconstruction の結果現れるとの関係について次節で考えよう.

$\mathrm{g}_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}}\mathrm{e}\mathrm{t}_{\Gamma \mathrm{i}\mathrm{c}}$a,nglc

Lagrange reduction

5

上の運動への自由度の低減 (reduction), あるいは, その逆である再構成)
らによって開発された cotangent bundle reduction(reconstruction) の手続きは, Ma,
や Lagrange reduction の枠組みを用いて系統的に記述することができる. 以下では, ラグを採用して, reduction &reconstruction にランジュ形式によく馴染む Lagrange.
ついて概説する.
が, 対称軸 まわりの回転として,上の$so_{(}.3)$ を-束とみなす. 群に右から free に作用する. 作用が右であるのは, 動いている軸のまわりの回転であ$so_{(}3)$

上から$S^{2}$$\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}9$$\mathrm{r}\mathrm{e}(1_{1\iota \mathrm{C}}\mathrm{t}\mathrm{i}_{0}\mathrm{n}$$S^{1}(\cong‘ \mathrm{q}O(2))$$S^{1}$$S^{2}$$t$$‘ \mathrm{q}O(.3)$

ることによる.

ラグランジァン
(2 L)$\mathcal{L}=.\frac{A}{2}(\dot{\theta}^{2}+\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta)+\frac{C^{\mathrm{v}}}{2}(\mathrm{t}_{i}., +l\dot{\varphi}\cos\theta)^{2}-m\mathrm{g}l\cos\theta$の Lie 環は角速度の軸方向成分の右作用のもとで不変である.
である.
の双対は角運動量の軸方向成分視できる. すなわち,である. -般的な処方箋に従えば, $SO(3)$ 上の接続 1 形式は.
がその役割を果たす
られ, よって,は$S^{1}$$S^{1}$$\mathcal{G}-\cong R$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{L}\bigvee_{3\backslash }^{\backslash =}t\cdot\omega$$\mathcal{G}$$\mathcal{G}^{*}$$\mathcal{G}$$\mathit{1}\mathrm{W}_{3}/c*$.

$\omega_{3}(\theta, \varphi_{:}\psi,\dot{\theta},\dot{\varphi}_{:}\uparrow i\cdot..|);\mathit{0}=\cos\dot{\varphi}+\dot{\psi}’$を–つ固定し,さて,定義しよう 9,10)$\dot{i}7/I_{3}=\mu$:$\tau So(.3)arrow \mathcal{G}$:$iV_{3}$$so_{(3)}$上の 1 形式

で与え(22)$\mathit{0}^{\mu}=\alpha_{\theta}d\theta+\alpha_{*}-\wedge d\varphi+c\mathrm{t}_{\dot{\mathfrak{i}}},d\iota i:$, を次式で定義(23)$\alpha_{\theta}\dot{\theta}+\alpha_{\varphi}\dot{\varphi}+0,,’=\mathrm{i}_{A}j\iota^{1^{\dot{\prime}},l^{l}}3$

左辺は $TSo_{(}.3$ ) と $T^{*}SO(.,3)$ の間の自然な対で, 右辺はと同$\mathrm{A}^{-\}!}r_{3(\cong R)}$$\mathcal{G}$と$\mathcal{G}^{*}$の間の対である. 式 (22)を代入すれば,$(\alpha_{\theta}, \alpha_{\ell}, \alpha./)=(0.t1\cos\theta.\mu)$

,

を得る.

,

(24)

23

ラウシアン

$\mathcal{R}^{\mu}$

は $L$ のルジャンドル変換で,$R^{\mu}(\theta, \varphi,\dot{\theta},\dot{\varphi})$をに換える. Marsden による定義は$\}^{\{}$$\equiv$$\mathcal{L}-l^{1\omega_{3}}$$=$$\frac{A}{\underline{9}}(\dot{\theta}^{2}+\dot{\varphi}^{2}\sin \mathit{0}2)-(.\frac{\}l^{2}}{2C_{}’}+m\mathrm{g}l\cos\theta \mathrm{I}$

よく知られたものとは若干異なる.

で,$iAi_{3}$$so_{(}3\rangle$から$S^{2}\cong SO(.3)/S^{1}$の reduced Lagrangian principle によって実現される 9)

:

,

(25)

への reductionは次.

上の解は, 以下の形をしたジャイロ項 (ローレンツカ) をもつを固定したとき,
Eufler-Lagrange 方程式を満たす$S^{2}$$f^{i}$:(26)$\frac{cl}{dt}\frac{\partial \mathcal{P}\mathfrak{r}^{1}\iota}{\partial\dot{q}^{i}}-\frac{\partial \mathcal{R}^{\mu}}{\partial \mathrm{r}_{\mathit{1}^{\dot{7}}}}=(ij,\mathit{9}ij$

ここで,$\partial \mathfrak{a}_{i}/\partial q^{j}$$q^{i}(i=1,\underline{‘?})$は$S^{2}$と書ける. 右辺は

$j$上の座標, 砺は 2 形式
について和をとる.

ジャイロ項が現れるのは, 運動量が$p_{i}=\partial \mathcal{L}/\partial \mathrm{r}ii$$\beta=d\alpha^{\mu}$

から

の成分で,

$\mathit{3}_{ij}=\partial \mathfrak{a}_{j}./\partial q^{i}$$\partial \mathcal{R}^{\mu}/\partial_{C}ii=_{Pi}i-c\mathrm{t}$-にシフトする

ことから理解されよう. 実際, (24) と (25) を (26) に代入すると, 再び (16) を得る.
上に自動的に落ちることが接続 1 形式であることより, $SO(3)$ 上の 2 形式 , がをとると, (22), (23) はに注意しておく. $SO(.3)$ 上の切り口 (section) として,$\theta$$S^{2}$$\omega_{3}$$\mathrm{t}’=\pm\varphi$$o^{\mu}=_{l(\pm 1)d\varphi}‘\cos \mathit{0}$

,

(27)

..

となる. ベクトル解析の表記法を用いると, (27) はベクトルポテンシャル$A^{N}=- \frac{\mu(1-\cos\theta)}{r\mathrm{s}\mathrm{i}11\theta},e_{\tau^{\mathit{0}}}$,$A^{S}= \frac{f^{l}(1+\cos\theta)}{r1\sin\theta}e_{\varphi}$$(28\rangle$上で考えているので, $r=1$ である. 式 (27), (2S) は強さを与える. 今は単位球面の磁気単極子の作る磁場を与えるポテンシャルである 3).
の表式 (22) にそれを生み出す$S^{2}$$-f^{i}$$\omega_{3}$

秘密が隠されている.

上の軌道への再構成 (reconstructionn) も系統的に行える. 式 (12b) の解, あるいは, 軸 に垂直な面の回転を考えるのであるが, 手続きは 2 つのステップに分上の解の $so_{(}.3$ ) への水平持ち上げ horizontal lift) を考える. 次に,けられる. まず,ファイバーの運動 (基本ベクトル場による) を足し合わせればよい. 後上の角速度である. geometric angle は前者によって与えられる.
者からの寄与が dynamic angle
水平持ち上げされた $so_{(}.3$ ) 上の曲線に対する接ベクトルは, 定義により,$S^{2}$

上から$so_{(3\rangle}$$t$$S^{2}$$S^{1}$$\langle$$\omega_{3}$$\omega_{3}T$$\omega_{3}=\cos\theta,$$\dot{\varphi}+\mathrm{t}..\cdot=:_{\mathrm{t}}0$

$

(29)

を満足する. 要は, こまの軸がまわっていない $(\omega_{3}=0)$ にもかかわらず, まわってしまう垂直面の回転を問題にするのである. これは, 垂直面 ( $=S^{2}$ の接平面) が互いに平行で

24

はないことに起因する.
上の解軌道が閉曲線を描くとすると, その $so_{(}3$ ) への水平持
ち上げにおいては, 1 周期後の垂直面の回転角, すなわち, holonomy (の対数) は,の整数倍は別として,$S^{2}$$2\overline{\mathit{1}\mathfrak{l}}$(30)$\triangle\psi=-\oint\cos\theta d\varphi=\iint\sin\theta d0\wedge d\varphi=-\frac{1}{\{l}\iint B\cdot dS$で与えられる. ただし, $B$ は (17) によって定義される. holonomy (の対数) は上の閉曲線がとり囲む領域の面積 (立体角) であり, 磁気単極子の作る磁場 (17) がそこを貫く
磁束と自然に関係づけられた.
$S^{2}$

以上得られた知見を要約すると次のようになる ;ラグランジュのこまの運動と電荷をもつ球面振子の運動はほとんど等価である. 前者から後者への移行において, 対称性に基づく自由度の低減 (reduction) が行われた. rednctionの影響として, 磁気単極子が生ずる. 逆に,上の解曲線から) 上の解曲線の再構
成 (reconstruction) を行うと, ホロノミーの効果として, こまの軸の回転角に geommetric
上の (解軌道が囲む) 領域を貫く磁angle が加わる. geometric angle は単極子磁丁が束と関係づけることができる. こまの軸のまわりの回転角速度 ((18) で与えられる) こそが接続 1 形式であり, 単極子磁場を与えるゲージ場 (ベクトルポテンシャル) である.
$S^{2}$$‘ 9\mathit{0}_{(}3$$S^{2}$

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