数理解析研究所講究録
1193 巻 2001 年 64-78

64

Generalized Ewens’ Sampling Formulas
清水昭信 (Akinobu Shimizu)

名古屋市立大学 (Nagoya City University)

1

Introduction$\{Z(t)\}_{t\geq}0$|ま、$\Lambda(dx)$を L\’evy measure とする subordinator とする。 すなわち、 $\Lambda(dx)$ は$\Lambda((1, +\infty))<+\infty$,$\int_{0}^{1}x\Lambda(dx)<+\infty$

をみたす 1 次元開区間 $(0, +\infty)$ 上の測度であり、 $\{Z(t)\}_{t\geq}0$ は$\varphi_{t}(u):=E[e^{-uZ()}]t=\exp\{b\int_{0}^{\infty}(e^{-}ux-1)\Lambda(dx)\}$

.

(1.1)

をみたす L\’evy 過程である。
ここでは、 更に

(12)$\Lambda((0, \infty))=\infty$を仮定する。 つまり、 複合ポアソン過程は除外する。
$\{Z(\iota)\}_{t\geq 0}$の path は右連続(狭義) 増加であり iumP のみで増加し $P[Z(1)>0]=1$ だから (Sato [8])$W(b)= \frac{Z(t)}{Z(1)}$,$0\leq t\leq 1$

は、 path を固定すると区間 $[0,1]$ 上の分布関数であり、 区間 $[0,1]$ 上のランダムな離散的分布を定める。 この分

布についての sampling formula をあきらかにすることが目的である。

$\Lambda(dx)=\theta_{X^{-1-x_{d_{X}}}}e$の場合、 即ち$\{Z(\iota)\}_{t}\geq 0$が$\Gamma$-process のケースは、 集団遺伝学において Ewens のサンプリング公式として良く知られている。 この公式のある意味での–般化を目的とする。

subordinator から定まる random discrete distributio 鱈こついて議論したものとして、 Perman [5] がある。 彼は、 iump の大きいほうから並べたランダムな点列の有限個の結合分布について議論している。
まず自然数

$n$

の分割の定義をする。 まず、 自然数$\lambda:=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k})\in N^{k}$でない$\lambda_{i}$$\beta_{j}=\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}$を、$\lambda$

が $\sum_{i}\lambda_{i}=n,$$n$の分割の定義を述べよう。 $N$ は非負整数全体とする。 数列$\lambda_{1}\geq\lambda_{2}\geq\cdots\geq\lambda_{k}$の部分という。 2 つの分割が後方のcardinality of$\{i :\lambda_{i}=j\},$$0$$(j=1,2, \cdots, n)$をみたすとき、$\lambda$

を自然数

$n$

の分割という。

$0$の個数のみ異なっているとき、 それらは同 $-$ とみなす。
とおく。 即ち、$\beta_{j}$(は、 $n$ の分割に現われる

$j$

に等しい部

65

分の個数である。
ら、 以後$\beta$$\beta$$\beta_{k}\geq 0,$$\sum_{k}k\beta_{k}=n$が成り立つ。

$\beta:=(\beta_{1}, \beta_{2}\dot{;}\cdots, \beta_{n})$

が自然数

$n$

のーつの分割を定めるか

を自然数の分割という。

を自然数の分割とし、 $[0,1]^{n}$ の上で定義される次の関数$f_{\beta}$を考える。

$f_{\beta}(x_{12,n}, X\cdots, X)=IA_{\beta}(x1, x2, \cdots, xn)$

$B(\pi(1),\pi(2),$ $\cdots,\pi(n))$$\cup$$A_{\beta}=$$\pi$:permutations$B(1,2, \cdots, n)=\{(x_{1}, x2, \cdots, xn)\in[\mathrm{o}, 1]^{n}$$\ldots,x_{\sum_{k^{-}}^{d1}=11}ik+=...$$=x_{\sum_{k=1}^{d}i_{k}}$,: $x_{1}=x_{2}=\cdots x_{i_{1}},$ $X_{i+}11=\cdots=x_{i_{1}i\mathrm{z}}+$ ,$X_{1},$$X_{i+1} \cdot\cdot X\sum_{k=1}d-1i_{k}+1\mathrm{a}\mathrm{r}1’\cdot,\mathrm{e}$distinct},とおく。 ここで $i_{1}+i_{2}+\cdots+i_{d}=n,$ $\#\{k:ik=\iota\}=\beta_{\iota}$ としている。

自然数の分割は Young 図形と対応していることは、 良く知られている。 関数$(\beta_{1}, \beta 2, \cdots\beta n)$$f_{\beta}$

は, 座標$x_{1},$$x$$x_{2,n}\ldots,$

が $\beta=$

で定まる Young 図形をつくる集合の定義関数である。

$d=d( \beta)=\sum_{i}\beta_{i}$を Young 図形の長さということにする。 つまり、 相異なる点 (遺伝学では、 the number ofalleles) の個数である。

$\Pi_{W}(d\mu)$を上の $W(t)$ が導く $P([0,1])$ 上の確率測度とするとき、 次の期待値を計算することがこのノートの第の目的である。

$I_{n,\beta}= \int<f_{\beta},$ $\mu^{n}>\Pi w(d\mu)$ここで、$<f_{\beta,\mu^{n}>=} \int\cdots\int f_{\beta}(x1, X2, \cdots, Xn)\mu(dX1)\mu(d_{X_{2})}\cdots\mu(dx_{n})$つまり、 ランダムな分布$\mu$

を $-$ つ固定して、 $n$ 個独立にサンプルした点が$\beta$.

タイプの自然数の分割 (Young 図形) を形成する確率を考え、 その期待値を問題とする。

結果は次のようになる。

Theorem 1.
$I_{n,\beta}= \frac{n!}{\prod_{j=1}^{n}(j!)^{\beta}j\beta j!}\frac{1}{\Gamma(n)}\cross$$\int_{0}^{\infty}x-1d_{X}\prod_{k}n(\int_{0}\infty\{Ze^{-}\Lambda(d_{Z}))\exp\int_{0}=1nkxz\beta_{k}\infty(e^{-xz} - 1)\Lambda(dZ)\}$(証明は Section 3).

.

66

Remark 11Append 仕の合成関数の高階導関数の結果を用いると、$=$$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}x^{n-1}dx(-1)n_{\frac{d^{n}}{dx^{n}}\exp\{\int(}0\infty e^{-}"-$ $1)\Lambda(dZ)\}$$=$$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}xdxE[z(1)^{n}e^{-xz})(1]n-1$$=$1$\sum_{\beta}I_{n,\beta}$.

となることが分かる。 この計算は、 定理 1 の右辺が有限値であることも示している。

確率変数 $<f\beta,$ $\mu^{n}>$ の高次モーメントを求めることは、 一般に困難であり、 新たなアイディアを必要とすると思われるが、 $\beta_{n}=1$ のときは、 定理 1 と同様の計算で求めることが出来る。 その結果が次の命題である。

Theorem 2.
$\beta=(0;^{\mathrm{o},\cdots,\mathrm{o}}, 1)$

つまり、 $\beta_{1}=\cdots=\beta_{n-\mathrm{i}}=0,$ $\beta_{n}=1$ とする。 このとき、$\int<f\beta,$ $\mu^{n}>^{m_{\Pi}}w(d\mu)=\sum\frac{m!}{\prod_{j=1}^{m}(j!)\beta_{j}’\beta_{j}’!}\frac{1}{\Gamma(nm)}\beta’\cross$$\int^{\infty}0x^{nm-1}dx\prod_{k=1}(\int 00m\infty\{Ze^{-}\Lambda xz(dZ))\beta_{k}’\exp\int nk\infty(e^{-}" - 1)\Lambda(d_{Z)\}}$

ここで、$\beta’$は、 自然数 $m$ の分割であり、$\sum_{\beta’}$はこの分割全体についての和である。

(証明は Section 4.)上の定理 1 において、 特に $\Lambda(dz)=cz^{-\alpha}-1e-\lambda zdZ,$ $0\leq\alpha<1,$ $\lambda>0$ であるとき

Corollary 3.
$I_{n,\beta}= \frac{n!}{\prod_{j=1}^{n}(j!)^{\beta}j\beta j!}\frac{1}{\Gamma(n)}\cross$$\prod_{l=1}\Gamma(\iota-\alpha)^{\beta_{\mathrm{I}}}\mathrm{x}c^{d}\cross$$\mathrm{x}\int_{0}^{\infty}X^{n-1}(\lambda+x)^{\alpha d-n}\exp\{-c\mathrm{r}(1-\alpha)\int_{0}^{x}(\lambda+z)^{\alpha-1}d_{Z\}}dX$

where$d= \sum_{k}\beta_{k}$.

(証明略。 Theorem 1 を用いた簡単な計算により示せる。)

Example 1.
上の系において、 $\alpha=0,$ $\lambda=1,$ $c=\theta$ のとき、 系 3 の右辺の積分は計算できて、$I_{n,\beta}= \frac{n!}{\theta(\theta+1)\cdots(\theta+n-1)}\prod_{j=1}^{n}\frac{\theta^{\beta_{\mathrm{j}}}}{j^{\beta_{j}}\beta_{j}!}$

,

.

67

となる。 これが、 Ewens のサンプリング公式である [2]。

Example 2.
$\lambda=0,c=\frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}$

のとき、

.

$I_{n,\beta}= \frac{n!}{\prod_{jj}^{n}=1(j!)^{\beta}j\beta!}\frac{\alpha^{d-1}\Gamma(d)}{\Gamma(n)}\prod_{1j=}^{n}(\frac{\Gamma(j-\alpha)}{\Gamma(1-\alpha)})^{\beta_{j}}$Example 3.
Example 1 と同様に,subordinator は -process の場合を考える。 集団遺伝学の無限中立対立遺伝子モデルの定常分布の場合である。 この場合に Theorem 2 を適用する。
$\Gamma$$n=2$ の場合のみを考察する。 $\beta=(0,1)$ であり、 関数$f_{\beta}$

は、 2 次元正方形 $[0,1]^{2}$ の対角線の定義関数である。

このとき、 $<f\beta,$ $\mu^{2}>$ はホモ接合頻度を表す確率変数である。 この期待値が$\frac{1}{1+\theta}$

であることは集団遺伝学でよく知られている。 もちろん $1-<f_{\beta,\mu^{2}}>$ はヘテロ接合頻度を表す。 Theorem 2 を適用するとホモ接合頻度の高次モーメントが分かることになる。

$E[<f \beta, \mu^{2}>^{m}]=\sum_{\prime,\beta}\frac{m!}{\prod_{jj}(j!)^{\beta_{\mathrm{j}}}\beta’\prime!}\frac{\Gamma(\theta)}{\Gamma(\theta+2m)}\theta^{1\beta|}’\prod_{k}((2k-1)!)^{\beta_{k}’}$ここで、 さらに $m=2$ とすると、$\beta’$.

は $\beta_{1}’=2,$ $\beta_{2}’=0$ のケースと $\beta_{1}’=0,$ $\beta_{2}’=1$ の 2 通りしかなく$E[<f \beta, \mu^{2}>^{2}]=\frac{\theta+6}{(1+\theta)(2+\theta)(3+\theta)}$となり、 従ってホモ接合頻度の分散は、$V[<f_{\beta,\mu^{2}}>]= \frac{2\theta}{(1+\theta)^{2}(2+\theta)(3+\theta)}$.Stewart(1976) の結果と –致する (Kimura [4] による)。
ホモ接合頻度の分散とヘテロ接合頻度の分散は同じであることに注意すること。
となる。 これは、$(\Omega_{i}, B_{i}, P_{i}),$$\mathrm{F}.\mathrm{M}$$i=1,2$ , を確率空間とし $(\Omega, B, P)$ をこの二つの確率空間の直積とする。

$\omega=(\omega_{1},\omega_{2})\in\Omega,$$\omega_{i}\in\Omega_{i}$とおく。

L\’evy measure$\Lambda(dz)=c\alpha z^{-}e\alpha-1-z_{d_{Z}}$をもつ$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\{z(t)(\omega 1)\}$,と、 分布が$E_{2}[e^{-u\tau}]( \omega_{2})=\exp\{\int_{0}^{\infty}(e-uz-1)\frac{\theta}{\alpha z}e-\mathrm{C}\Gamma(1-\alpha)z_{dZ\}}$で与えられる確率変数$T(\omega_{2})$$Z(tT(\omega 2))(\omega_{1})/Z(T(\omega_{2}))(\omega_{1})$,を考える。 このとき、は、$(\omega_{1}, \omega_{2})$を固定したとき、 区間 $[0,1]$ 上のランダムな分布関数であり、 かつ Y

$E_{1}[e^{-u})z(tT(\omega 2)(\omega 1)]=\exp\{t\tau(\omega 2)I^{\infty}\mathrm{o}\}(e-uz-1)C\alpha z-\alpha-1e-z_{d}z$である。 区間 $[0,1]$ 上のこのランダムな離散分布についての sampling formula を議論する。

Corollary 3 が適用できて次の結果を得る。

68

Theorem 4.
$I_{n,\beta}= \frac{n!}{\prod_{j=1}^{n}(j!)^{\beta}j\beta j!}\cross$$\frac{(\theta+\alpha)(\theta+2\alpha)\cdots(\theta+(d-1)\alpha)\mathrm{r}(\theta+1)}{\Gamma(\theta+n)}\prod_{j=1}^{n}(\frac{\Gamma(j-\alpha)}{\Gamma(1-\alpha)})^{\beta}j$

この定理が

(証明略。

$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}-\mathrm{Y}_{0}\mathrm{r}[6]$.

の Proposition 51 である。

の分布の密度関数が$T(\omega_{2})$$\theta-1$$(c \Gamma(1-\alpha))^{\frac{\theta}{\alpha}}z\frac{\theta}{a}-1-ec\Gamma(1-\alpha)z$$\Gamma()\overline{\alpha}$であることに注意せよ)

Remark 12$Z(tT(\omega 2))(\omega_{1})/Z(T(\omega_{2}))(\omega_{1})$,$0\leq t\leq 1$, の jump を大きい方から順に並べた減少列のランダ

ム列の分布が Pitman-Yor の two-parameter $Poi_{S}son- Di\dot{\mathcal{H}}chlei$ distribution である。

$\mathrm{K}_{n}=\sum_{\beta}In,\beta|\beta|$

とおく。 これは、 Young 図形の長さの平均の期待値である。 これが$n$

近挙動を明らかにしたい。 この問題を考えることが、 このノートの第二の目的である。

Example 1 の場合は良く知られていて$\mathrm{K}_{n}=\theta\sum_{=i1}^{n}\frac{1}{\theta+n-1}\sim\theta\log n$,$narrow\infty$である。 一般の場合について次の命題が成り立つ。

Theorem 5.
(1) ある $0<\alpha<1$ と正数$c_{1}$に対して、$\int_{0}^{\infty}e^{-zu_{Z\Lambda}}(dZ)\sim\frac{c_{1}}{u^{1-\alpha}},$が成り立つならば.

$E[ \frac{1}{Z(1)^{\alpha}}]<\infty$$uarrow\infty$であり、 かっ$\mathrm{K}_{n}\sim c_{1}\frac{1}{\alpha}E[\frac{1}{Z(1)^{\alpha}}]n^{\alpha},$$narrow\infty$が成り立つ。

(2) ある正数$c_{1}$に対して、$\int_{0}^{\infty}e^{-zu}z\Lambda(dz)\sim\frac{c_{1}}{u},$$uarrow\infty$と$\int_{1}^{\infty}\log z\Lambda(dZ)<+\infty$

,

,

,

を大きくするときの漸69が成り立つならば、 $.E[|\log z(1)|]<+\infty$ が成り立ち、 かつ$\mathrm{K}_{n}\sim c_{1}\log n,$$narrow\infty$

.

となる。

(証明は Section 5)

Preliminaries

2$[0,1]^{n}$の部分集合$A_{\beta}^{N}$を次のように定義する。

$A_{\beta}^{N}=$の部分集合$[0,1]^{n}$$C_{N,\beta}${$\mathrm{x}_{N}=(x_{1}^{N},$$\cdots$,$x_{n}^{N}$) ;$Nx_{i}^{N}$を次のように定義し、 関数

is an integer for each$f_{N,\beta}$

は$C_{N,\beta}$$\mathrm{i},$$\mathrm{x}_{N}\in A_{\beta}$}の定義関数とする。

$c_{N,\beta}= \bigcup_{\beta}\mathrm{X}N\in ANi=\square (X^{NN}i, xi+\frac{1}{N}]n1$$fN,\beta(X1, \cdots, Xn)=IcN,\beta(x1, \cdots, X_{n})$.

このとき、 次の補題の成り立つことが分かる。

Lemma 21.
converges to
The sequenceに属する各点では、Proof.
$\{f_{N,\beta}\}$$x_{1},$ $x_{2},$$\cdots$,$x_{n}$$f_{N,\beta}(\mathrm{x})=1$

各$x_{i}$$f_{\beta}$

boudedly, as n-$+\infty .

$\{f_{N,\beta}\}$$A_{\beta}$の極限が 1 であることをいう。 $\mathrm{x}=(X1, X2, \cdots, xn)\in A_{\beta}$ としよう。

のなかの相異なる 2 つの実数の距離の最小値より$2/N$ が小さくなるように $N$

を大きくすればとなる。

に対して、 $x_{i}\geq k_{i}/N$ となるような最大の $k_{i}/N$ を選ぶと、

点 $(k_{1}/N, k_{2}/N, \cdots, k_{n}/N)\in A_{\beta}^{N}$ となることを示す。 上の定め方から、 $x_{i}=$ 賜であれば $k_{i}/N=kj/N$ である

ことは明らか。

$x_{i}\neq x_{j}$であるにもかかわらず、 $k_{i}/N=k_{j}/N$ となったとしよう。

$2/N<|x_{i}-x_{j}|\leq|x_{i}-k_{i}/N|+|k_{i}/N-k_{j}/N|+|k_{j}/N-x_{j}|<2/N$となって矛盾である。

これで十分である。 実際、$\mathrm{x}=(x_{1}, x_{2}, \cdots, X_{n})\not\in A_{\beta}$$f_{N,\beta’}\leq 1,$ $\lim_{Narrow\infty^{f_{N},\prime(\mathrm{X})1}}\beta=$

だから、

としよう。

$\lim_{Narrow\infty^{f_{N,\beta}(\mathrm{X})=0}}$$\mathrm{x}\in A_{\beta’},$$\beta’\neq\beta$

となる

となる。

この補題によって次の命題を得ることが出来る。

Lemma 22.
$I_{n}= \lim_{+Narrow\infty}\int<fN,\beta,$$\mu^{n}>\Pi W(d\mu)$$= \lim_{Narrow+\infty}\frac{n!}{(1!)^{\beta_{1}}(2!)\beta 2\ldots(n!)^{\beta_{n}}}\sum^{*}E^{w}[\prod_{j=1}^{N}(W_{j})(N)mj]$,$\beta’$が存在し、 $f_{N,\beta}+$

70

where $W_{j}^{(N)}=W( \frac{j}{N})-W(\frac{j-1}{N}),j=1,2,$

with nonnegative integers$m_{i}$$\cdots,$$N$. Here,$\sum^{*}$

means the summation on mm $=(m_{1}, m_{2}, \cdot.., m_{N})$such that $\sum_{j=1}^{N}m_{j}=n$ , and $\#\{j : m_{j}=k\}=\beta_{k},$ $k=1,2,$$\cdots,$ $n$.

Proof. 最初の等号は、 有界収束定理による。 二番目の等号を示すには、 次の注意を参照せよ。

Remark. 番号のついた $N$ 個の箱に番号のある$\beta_{j}(j=1,2, \cdots n)$

あらわす。

(

個とする。

$\frac{n!}{(1!)^{\beta_{1}}(2!)\beta_{2}\ldots(n!)^{\beta n}}$$\sum^{*}$

は、

は、

$n$

$N$

$n$

個のボールをいれる。 但し、$j$

個のボールをいれる箱の数は個の各箱にいれるボールの個数を指定するあらゆる方法についての和を個のボールを指定された箱にいれる方法の総数である。

頁を参照せよ。 ここに同じ量があらわれるが、 この量を導く方法は、 ここでは、 Ethier-Kurtz$\mathrm{E}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{e}\Gamma-\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{z}[1]448$の方法と異なる。 )$J_{N}= \frac{n!}{(1!)^{\beta_{1}}(2!)\beta 2\ldots(n!)^{\beta n}}\sum^{*}E^{W}[\prod_{j=1}^{N}(W_{j})(N)mj]$

とおく。

Lemma 23.

$J_{N}$$=$$\frac{n!}{(1!)^{\beta_{1}}(2!)^{\beta}2\cdots(n!)^{\beta n}}\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}udu\sum^{*}\prod_{k=1}(n-1-1)^{m}k\varphi_{\frac{(1}{N}})Nmk(u)$$=$$\frac{n!}{\prod_{j=1}^{n}(j!)^{\beta_{j}}}\frac{N!}{\prod_{j=1}^{n}\beta_{j}!(N-d)!}\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}u^{n}-1du\prod_{j=1}^{n}\{(-1)j\varphi_{\frac{(j1}{N}}()u)\}\beta_{j}\cross\{\varphi_{\frac{1}{N}}(u)\}^{N-d}$

Proof.
ガ$E^{W}[ \prod_{j=1}^{\mathrm{J}}.(W_{j})(N)mj]$$=$$E[ \frac{1}{Z(1)^{n}}(Z(\frac{1}{N})^{m}1\ldots(Z(1)-Z(\frac{N-1}{N}))^{m_{N}}]$$=$$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}u^{n-1}duE[e-z(1)u(Z(\frac{1}{N})^{m_{1}}\cdots(z(1)-Z(\frac{N-1}{N}))^{m_{N}}]$$=$$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}u^{n-1}du\prod E[(z(\frac{k}{N})-Z(\frac{k-1}{N})k=1N)^{m_{k}-}e-(\frac{k-1}{N}))u](Z(\frac{k}{N})Z$$=$$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}u^{n-1}du\prod_{k=1}(-1)mkk(\varphi\frac{m_{1}}{N}u)N$$=$$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}u^{n-1}du\prod_{=j1}^{n}\{(-1)^{j}\varphi_{\frac{(j1}{N}}()u)\}\{\varphi\frac{1}{N}(\beta_{j}u)\}^{N-d}$$\varphi_{t}(u)=\exp\{t\psi(-u)\}$$\varphi(u):=\varphi_{1}(u)=\exp\{\psi(-u)\}$

.

.

71

とおく。 ここで、$\psi(-u)=\int_{0}^{\infty}(e-uz-1)\Lambda(d_{Z)}$である。 このとき、Lemma 24.

$(-1)^{k} \varphi^{(k})(u)=\sum_{P\beta^{k}\in(k)}c(\beta^{(}k))(\psi^{l}(-u))^{\beta_{1}}(\psi\prime\prime(-u))^{\beta_{2}^{()}}\cdot’\cdot(\mathrm{t}k)k\psi(k)(-u))\beta_{k}^{(}\varphi(k)u)$

where $P(k)$ stands for the set of partitions$\beta^{k}$of integer k,and,are positive constants.

$C(\beta^{(k}))$$(-1)^{k} \varphi_{\frac{(k1}{N}}()u)=\sum_{(\beta^{k}\in \mathcal{P}k)}C(\beta(k))(\frac{1}{N})d_{k}(\psi’(-u))^{\beta_{1}}(\psi\prime\prime(-u))^{\beta_{2}}\cdots(\psi(k)(-u))(k)(k)\beta_{k}^{(k})\varphi\frac{1}{N}(u)$$= \frac{1}{N}\psi^{(k)}(-u)\varphi\frac{1}{N}(u)+\frac{1}{N^{2}}hk(u)$

,

where
$h_{k}(u) \leq\sum_{\beta^{(k)}\in p(k)}C(\beta^{(}k))(\psi’(-u))^{\beta_{1}}\cdots(\psi(k)(-u))^{\beta_{k}}\varphi\frac{1}{N}(u)(k)\mathrm{t}k)$and$d_{k}= \sum_{i}\beta_{i}^{(k)}$(Note that,.

$\beta_{k}^{(k)}=1$

implies $C(\beta^{(k)})=1$ , and that$\sum_{j\mathrm{j}}j\beta^{(k)}=k.$)

Proof Appendix 合成関数の高階導関数による。
Lemma 25.

,$\{(-1)^{k}\varphi_{\frac{(k1}{N}}()\beta_{k}u)\}=(\frac{1}{N})^{\beta k}\{\psi(k)(-u)\varphi_{\frac{1}{N}}(u)\}\beta_{k}+\frac{1}{N^{\beta_{k}+1}}H_{k}(u)$where$H_{k}(u) \leq\sum c(1)(\psi’(-u))l1(\psi’l(-u))(\psi)(-u))lk(\varphi\frac{1}{N}(\iota_{2}\ldots(k)u)\beta k$

where$\sum_{j}jl_{j}=k\beta_{k}$

,

, and

$\prod_{k=1}^{n}\{(-1)^{k}\varphi_{\frac{(k1}{N}\frac{1}{N}}(u)\}(\varphi(u))\beta_{k})^{Nd}-=(\frac{1}{N})^{d}\prod_{k=1}^{n}(\psi(k)(-u))^{\beta_{k}}\varphi(u)+(\frac{1}{N})^{d1}+H(u)$

where

,

$H(u) \leq\sum conSt.(\psi^{;}(-u))^{\beta_{1}’}(\psi’’(-u))^{\beta_{2}’}\cdots(\psi^{(n)}(-u))^{\rho_{n}}\varphi(\prime u)$

and$(\beta_{1}’, \beta_{2}’, \cdots, \beta ln)$are partitions of .
$n$

,

,

72

Proof of Theorem 1

3

Lemma 23 と Lemma 25 により、
$J_{N}= \frac{n!}{\prod_{j=1}^{n}(j!)^{\beta}j\beta j!}\frac{N!}{(N-d)!}[(\frac{1}{N})^{d_{\frac{1}{\Gamma(n)}}}\int_{0}\infty(u-1du\prod_{k=1}^{n}\psi^{(k}n)(-u))\beta k(\varphi u)$(3.1)$+( \frac{1}{N})^{d+1_{\frac{1}{\Gamma(n)}}}\int_{0}^{\infty}u^{n-1}duH(u)]$を得る。

この式の右辺第 2 項が有限であることをまず注意しよう。
このためには、 Lemma25 の最後の式によれば$\int_{0}^{\infty}u^{n-1}du(\psi^{;}(-u))^{\beta_{1}}(\psi’’(-u)’)\beta_{2}’\ldots(\psi(n)(-u))\beta_{n}’(\varphi u)<+\infty$

示せば十分である。 Lemma 24 の最初の式を用いて、$\int_{0}^{\infty}u^{n}-1du\prod_{1j=}^{n}(\psi^{(j)}(-u))\beta’j\varphi(u)$$\leq$$c( \beta’)-1\int^{\infty}0)u^{n}-1du(-1)^{n}\varphi^{(}(n)u$$=$$c( \beta’)^{-1}\int_{0}^{\infty}u^{n-1}duE[z(1)^{n}e^{-u}]z(1)$$=$$c( \beta’)^{-}1E[\frac{Z(1)^{n}}{Z(1)^{n}}]$$=$$c(\beta’)-1$

Lemma 22 によって、 $I_{N}= \lim_{Narrow}\infty JN$ であるが、 (3.1) 式の右辺第 2 項は上の議論によって無視できることになり、 従って、$n!$$-$$I_{N}= \frac{n!}{\prod_{j=1}^{n}(j!)^{\beta}\mathrm{j}\beta j!}\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}u^{n-1}du\prod_{k=1}..(\psi^{(}k)(-u))^{\beta k}\varphi(u)$となり、 Theorem 1 の証明は完結する。

4

Proof of Theorem 2.

Theorem 1 の証明と同じように$f_{N,\beta}= \sum_{i=1}^{N}$

IA.N$(x_{1} , x_{2}, \cdots , x_{n})$$\mathrm{X}A^{N}\cdots A^{N}\dot{.}$とおく。 以後、 簡単のために、$A_{i}^{N}$を単に,$A_{i}$

where$A_{i}^{N}=( \frac{i-1}{N}, \frac{i}{N}]$

.

と書く。

$\int<f_{\beta,\mu^{nm_{\Pi_{W}}}}>(d\mu)$$=$$\lim_{Narrow\infty}\int<fN,\beta,$ $\mu^{nm}>\Pi

W(d\mu)$$=$$\lim_{Narrow\infty}\int(\sum^{N}\mu(A_{i})^{n})m_{\Pi_{W}}\mu(d)i=1$

73

であり、

$\int(\sum_{i=1}^{N}\mu(A_{i})n)^{m}\Pi W(d\mu)$$=$$E[( \sum_{i=1}^{N}(\frac{Z(A_{i})}{Z(1)})^{n})^{m}]$$=$$E[ \frac{1}{\Gamma(nm)}.\int_{0}^{\infty}x-1dx(nm\sum_{1i=}^{N}Z(A_{i})^{n})^{m}e^{-Z}](1)x$$=$$\sum_{m_{1},m_{2},\cdot\cdot,mN}.\frac{m!}{\prod_{j=1}^{N}m_{j}!}\frac{1}{\Gamma(nm)}\int_{0}^{\infty}Xn"-1dxE[\prod_{j}N=1z(Aj)^{nm_{j}}e^{-z(1)x}]$$=$$m_{1},m_{2}, \cdot\cdot m\sum_{N}\cdot,\frac{m!}{\prod_{j=1}^{N}m_{j}!}\frac{1}{\Gamma(nm)}\int_{0}\infty)^{nm_{j}}x^{nm}-1dx\prod^{N}E[z(Aje^{-}]j=1z(A_{j})x$$=$$\sum_{m_{1},m_{2},\cdot\cdot,m_{N}}.\frac{m!}{\prod_{j=1}^{N}m_{j}!}\frac{1}{\Gamma(nm)}\int_{0}^{\infty}x^{nm}-1dx(-1)^{n}m\prod^{N}\varphi\frac{1n}{N}.(_{X}(m_{*}))j=1$$\sim$$\cross$$=$$\cross$$\sum_{\mathrm{m}}\frac{m!}{\prod_{j=1}^{N}m_{j}!}\frac{1}{\Gamma(nm)}\int_{0}^{\infty}x^{nm-1}dX$$( \frac{1}{N})^{d}\prod_{j=1}^{N}(\int^{\infty}0)z^{n}m\cdot- e\Lambda xz(dZ)\varphi(_{X})$,$\sum_{\beta’}\frac{m!}{\prod_{j=1}^{m}(j!)^{\beta’\prime}j\beta \mathrm{j}!}\frac{N!}{(N-|\beta|)!N^{d}},\frac{1}{\Gamma(nm)}\int_{0}^{\infty}xnm-1dX$$\prod_{k=1}^{m}(\int_{0}^{\infty}Ze-xz\Lambda(dZ))\beta_{k\exp}’(nk\int_{0}\infty(e-xz - 1)\Lambda(dZ))$

従って、 Theorem 2 の証明は完結する。

5

Kn の漸近挙動

まず次の補題が成り立つことを示そう。

Lemma 51.

.

$\mathrm{K}_{n}=\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}xn-1\int_{0}^{x}(\int_{0}^{\infty}e-zuZ\Lambda(dZ))duE[z(1)^{n}e^{-xz}](1)dX$

Proof.
Remark 11 の説明と同様の考察により$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}xdn-1x(-1)n_{\frac{d^{n}}{dx^{n}}}\exp\{\alpha\int_{0}^{\infty}(e^{-x}-1)\Lambda(dz)\}=1z$が成り立つから、 Theorem 1 により、$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}x^{n-1}dX\sum_{\beta}\frac{n!\alpha^{\beta 1}}{\prod_{j=1}^{n}(j)\beta j\beta_{j}!}!\prod_{k=1}^{n}(\int_{0}\infty)^{\beta k}z^{kxz}e^{-}\Lambda(dZ)\mathrm{x}\exp\{\alpha\int_{0}^{\infty}(e^{-xz}-1)\Lambda(dz)\}=\mathrm{I}$

(5.1)

74

を得る。 この式の両辺を$\alpha$で微分して $\alpha=1$ とおくと$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}x^{n-}1dx\sum\beta\frac{n!|\beta|}{\prod_{j=1}^{n}(j!)^{\beta_{j}}\beta_{j}!}\prod_{k=1}(\int_{0}^{\infty}Zenk-xz\Lambda(dZ))\beta k\cross\exp\{\int_{0}^{\infty}(e^{-}"-1)\Lambda(dz)\}$$+$$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}\infty dX^{n-1}X\sum_{\beta}\frac{n!}{\prod^{n}j=1(j!)\beta j\beta j!}\prod(\int_{0}\infty n\infty k=1\{Z^{k\beta_{k}}e-xz_{\Lambda(}dZ))\exp\int_{0}(e-xz - 1)\Lambda(d_{Z})\}\int^{\infty}0(e-xz - 1)\Lambda(d_{Z)}$

この左辺の第–項は$\mathrm{K}_{n}$に等しいこと、 および左辺第 2 項は$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}x-1dnX\int_{0}^{\infty}(e^{-xz}-1)\Lambda(dz)(-1)^{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\exp\{\int_{0}^{\infty}(e-xz-1)\Lambda(dz)\}$$=- \frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}X^{n-1}d_{X}\int_{0}^{x}(\int_{0}^{\infty}e-zuz\Lambda(dZ))duE1^{z(1)^{n})}e-xz(1]$等しいから結論を得る。
簡単のために$h(x, u)= \frac{1}{\Gamma(n)}x^{n-1}(\int^{\infty}0]e^{-}Z\Lambda zu(dZ))E[z(1)^{n}e-xz(1)$とおく。
$\mathrm{K}_{n}=\int_{0}^{M}(\int_{0}^{x_{h(x,u}})du)dx+\int_{M}^{\infty}\int_{0}^{M}h(x,u)dudx+\int_{M}^{\infty}\int_{M}^{x}h(x, u)dudx$(5.2)$=K_{n}^{1}+K^{2}+K_{n}n3$と 3 っの部分に分ける。 どの部分も非負である。

L\’evy measure$\Lambda(dZ)$がある $0<\alpha<1$ に対して条件$\int_{0}^{\infty}e^{-uz}Z\Lambda(dZ)\sim\frac{c_{1}}{u^{1-\alpha}},$(5.3)$narrow\infty$

をみたす場合を考えよう。
(5.3) により、 任意の正数 にたいして、 ある正数 $M$ が存在し、 $u\geq M$ なら$\epsilon$(5.4)$(1- \epsilon)C_{1}\frac{1}{u^{1-\alpha}}\leq\int_{0}^{\infty}e^{-u}Zz\Lambda(dZ)\leq(1+\in)_{C_{1^{\frac{1}{u^{1-\alpha}}}}}$

が成り立つ。 このとき、$\frac{1}{Z(1)^{\alpha}}$の期待値が有限であることをまず示そう。

Lemma 52.
ある $0<\alpha<1$ に対して (5.3) が成り立つとき、 $E[ \frac{1}{Z(1)^{\alpha}}]<+\infty$ である$\circ$

Proof.
任意の正数分ける。

$\epsilon$$\mathrm{K}_{n}$を固定する。 この$\epsilon$に対して (5.4) がなりたつような $M$ を使って、 上のようには $n$ 以下であるから、 $n$ を固定したとき$K_{\text{れ}^{}3} \frac{\Gamma(n)}{(1-\in)c1}$$\geq$$K_{n}^{3}$はもちろん有限である。 この$\int_{M}^{\infty}x^{n-1}\frac{1}{\alpha}\{X-M\alpha\}\alpha E[z(1)n-xZ(1)]edX$$K_{n}^{3}$$\mathrm{K}_{n}$を 3 個の部分にを下から評価する。

$=$

75

$arrow\vee$の式か$\geq$$\frac{1}{\alpha}\{\int_{M}^{\infty}x^{n}-1E[z(1)n-exz(1)]+\alpha dX-M\alpha\int_{M}^{\infty}X^{n-1}E[z(1)^{n}e^{-xZ()}1]dX\}$$\geq$$\frac{1}{\alpha}\{E[\int_{MZ(1}\infty uu^{n}-1e-u_{d}\frac{1}{Z(1)^{\alpha}})+\alpha]-M\alpha\}$$\geq$$\frac{1}{\alpha}\{E[\int^{\infty}MZ(1)u^{n+-}e\alpha 1-u_{d}u\frac{1}{Z(1)^{\alpha}} :$\geq$$\frac{1}{\alpha}\{\int_{1}^{\infty}u^{n+}-1e-ud\alpha Eu[\frac{1}{Z(1)^{\alpha}} :$6 \backslash E[\frac{1}{Z(1)^{\alpha}}]<+\infty$であることが分かる

Z(1)\leq\frac{1}{M}]-M^{\alpha}\}$Z(1)\leq\frac{1}{M}]-M^{\alpha}\}$$\circ$Lemma 53,

$narrow\infty$$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{M}^{\infty}x^{n+\alpha-1}E[z(1)^{n}e-xz(1)]d_{X}\sim E[\frac{1}{Z(1)^{\alpha}}]n^{\alpha}$

.

(5.5)

Proof.
$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{M}x^{n+\alpha-1}E[z(1)^{n}e^{-x}Z(1)]dx$$\leq$$\frac{1}{\Gamma(n)}M^{\alpha}\int_{0}^{M}X^{n-}E1[z(1)^{n}e^{-x}Z(1)]dx$$\leq$$M^{\alpha} \frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}X^{n-1}E[z(1)ne-xz(1)]d_{X}$$M^{\alpha}$$\leq$であることと$\frac{1}{\Gamma(n)}I_{0}^{\infty}X^{n+1}-E\alpha[z(1)^{n}e-xZ(1)]dX$$=$$\frac{1}{\Gamma(n)}E[\int_{0}\infty un+\alpha-1e-udu\frac{1}{Z(1)^{\alpha}}]$$=$$\frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)}E[\frac{1}{Z(1)^{\alpha}}]$$E[ \frac{1}{Z(1)^{\alpha}}]n^{\alpha}$,$narrow\infty$から、 求める結論を得る。 この議論の最後の段階で、 Stirling の公式を用いている。

(5.2) により、 次の補題を示せば、 Theorem $5,(1)$ の証明が完結する。

Lemma 54
$K_{n}^{1}+K_{n}^{2} \leq\int_{0}^{M}$$( \int_{0}^{\infty}e^{-zu}z\Lambda(dZ))du<+\infty$$K_{n}^{3} \sim\frac{c_{1}}{\alpha}E[\frac{1}{Z(1)^{\alpha}}]n^{\alpha},$$narrow\infty$,.

Proof.
(5.6) の成り立つことはあきらか。
(5.4) を用いて、$(1- \in)_{C\frac{1}{\Gamma(n)}}1I_{M}^{\infty}x(n-1\int_{M}^{x}\frac{1}{u^{1-\alpha}}du)E[Z(1)n(e^{-xz}]1\rangle dX$

(5.6)
(5.7)

76

$K_{n}^{3}$$\leq$$\leq$$(1+ \epsilon)c_{1}\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{M}^{\infty}x^{n-1}(\int_{M}^{x}\frac{1}{u^{1-\alpha}}du)E[z(1)^{n}e-xz(1)]d_{X}$

.

ここで、

$\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{M}^{\infty}x^{n-1}(\int_{M}^{x}\frac{1}{u^{1-\alpha}}du)E-[Z(1)^{n}e^{-}]xz(1)dX$$= \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\Gamma(n)}\{(\int_{M}^{\infty}X^{n}-E+\alpha 1[Z(1)ne-itz(1)]dX)-M^{\alpha} \cross \int_{M}^{\infty}x^{n-}E1[Z(1)^{n}e-xz(1)]dX)\}$$0 \leq\frac{1}{\Gamma(n)}M^{\alpha}\int_{M}^{\infty}x^{n-1}E[z(1)n-exz(1)]dx\leq M^{\alpha}$

だから、 (5.4) によって、 (5.7) の成り立つことが分かる。 証明終わり。

L\’evy measure

が 2 っの条件$\Lambda(d_{Z})$

,

(5.8)

$\int_{0}^{\infty}e^{-uz}Z\Lambda(dZ)\sim\frac{c_{1}}{u},narrow\infty$$1^{\infty}\log Z\Lambda(dZ)<+\infty$

をみたす場合を考える。
(5.8) により、 任意の正数$\epsilon_{\iota}$

,

(5.9)

にたいして、 ある正数 $M$ が存在し、 $u\geq M$ なら(5.10)$(1- \epsilon)c_{1}\frac{1}{u}\leq\int_{0}^{\infty}e^{-uz}z\Lambda(d_{Z})\leq(1+\epsilon)c_{1}\frac{1}{u}$が成り立つ。

次の補題が成り立つことは明らかである。

Lemma 55$\frac{(1-\epsilon)_{C}1}{\Gamma(n)}(\int_{M}^{\infty}x^{n-1}\log xE[Z(1)n(e^{-xz}1)]dx)-(1-\epsilon)C_{1}\log M\leq$$\leq$$K_{n}^{3}$$\leq$.

$\frac{(1+\mathcal{E})_{C}1}{\Gamma(n)}\int_{M}^{\infty}X^{n-1}\log XE[z(1)^{n}e^{-x}Z(1)]dx$(5.11)

Lemma 56(5.8) と (5.9) を仮定するとき、$E[|\log Z(1)|]<+\infty$,が成り立つ。

Proof.
$E[|\log Z(1)| :であるから、$\mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}[8]$($\mathrm{P}\cdot 159$

Z(1)\geq 1]\leq E[\log(eZ(1))]$, Theorem 253) により、 条件 (5.9) より$E[|\log Z(1)| :Z(1)\geq 1]<\infty$(5.12)

77となる。 他方 ‘ Lemma 5.5,(5.11) により、$+ \infty>K_{n}^{3}+(1-\epsilon)C_{1}\log M\geq\frac{(1-\in)C1}{\Gamma(n)}\int_{M}^{\infty}x-1\mathrm{l}n\mathrm{o}\mathrm{g}xE[Z(1)n-xz(1)]edX$,である。 ここで、 $xZ(1)=t$ とおき、 $d_{X=} \frac{1}{Z(1)}dt$ だから、 ( $M>1$ としてよいから)$\int_{M}^{\infty}x^{n-1}\log xE[z(1)^{n}e-xZ(1)]dX$$=$$E[ \int_{MZ(1)}^{\infty}t^{n}-1\log\frac{t}{Z(1)}e-tdt]$$\geq$$E[ \int_{Mz(1}^{\infty}$$tn-1 \log\frac{t}{Z(1)}e^{-}tdt:z(1)<$)となり、 この不等式から、 $E[|\log Z(1)| :$\geq$$E[ \int_{MZ()}^{\infty}1\mathrm{g}tn-1\mathrm{l}\mathrm{o}te-tdt:Z(1)<1]$$+$$\int_{M}^{\infty}t^{n-1}e^{-\iota_{d}}tE[|\log z(1)| :月

Z(1)<1]$

Z(1)<1]<\infty$ を得る。 こうして、 (5.12) を得る。

Lemma 57$\frac{c_{1}}{\Gamma(n)}(\int_{M}^{\infty}x^{n}-1\log_{XE}[z(1)^{n}e^{-x})]Z(1dX\sim C1\log n,narrow\infty$.

(5.13)

Proof.
$x= \frac{(n-\perp J^{u}}{Z(1)}$$\frac{c_{1}}{\Gamma(n)}$と変数変換すると、$( \int_{M}^{\infty}x^{n}-1\log xE[Z(1)nZ(1)]e^{-x}dX = \frac{c_{1}}{\Gamma(n)}(n-1)nE[\int_{z(1}\infty u)M\text{れ}-1\cross$$\{\log(n-1)+\log u-\log Z(1)\}e^{-}-)(n1udu]$$=$$\frac{c_{1}}{\Gamma(n)}(n-1)^{n}\{\log(n-1)E[\int_{Z(1}^{\infty})M]u^{n}-1-e(n-1)udu$$+$$E[ \int_{Z(1}^{\infty})Mu^{n}-1\log u6-(n-1)udu]$$+$$E[ \int_{Z(1}^{\infty})M)u^{n}-1(-\log Z(1)e-(n-1)udu]\}$$\equiv$$\frac{c_{1}}{\Gamma(n)}(n-1)n\{I_{1}+I_{2}+I_{\mathrm{s}}\}$となる。 Saddlepoint method の通常の計算によって、$I_{1} \sim\log(n-1)e-(n-1)\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{n-1’}}$$I_{2} \sim e^{-(}n-1)\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{n-1}}o(1)$$I_{3} \sim e^{-}(n-1)\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{n-1}}E[-\log Z(1)],narrow\infty$,,を得る。 Lemma 5.6 から $E[-\log Z(1)]$ は有限の値であり、 上の 3 つの項の中で,Il が主要項であることが分かる。

78

最後に、 Stirling の公式を使って、 (5.13) を得る。
こうして、 Theorem 5(2) の証明を完結する準備が整った。
$(5.11),(5.12),(5.13)$ によって
$K_{n}^{3}\sim c_{1}\log n,$ $narrow\infty$,であることがわかる。 (5.6) は、 今の場合も成り立っていることに注意すると、$\mathrm{K}_{n}\sim \mathrm{C}_{1}\log n,$ $narrow\infty$を得る。 こうして、 Theorem 5 の証明は完結した。

6

Appendix : 合成関数の高階導関数
1 次元ユークリッド空間$R^{1}$

階導関数を求める。 ここで、の区間で、 十分なめらかな関数 $g(x)$ と指数関数の合成関数 $e^{ag(x)}$ の合成関数の高$a$は定数である。 次の等式,$e^{-ag} \frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{ag}=Y_{n}(ag_{1}, ag2, \cdots, a\mathit{9}n)$$g_{i}=D_{x}^{i}g$,$i=1,2,$$\mathrm{Y}_{n}(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n})=\sum_{\beta}\frac{n!}{\prod_{j=1}^{n}\beta_{j}!}\prod_{i=1}^{n}(\frac{u_{i}}{i!})\beta_{i}$が成り立つことが知られている [7],$[9]_{0}$ここで$\sum_{\beta}$$\cdots,$ $n$.

は、 自然数 $n$ のあらゆる分割(7.1)$\beta$についての和を表す。

References.
[1] S. N. Ethier and T. G. Kurtz, Markov Processes: Characterization and Convergence, John Wily andSons(1986).
[2] W. J. Ewens, Mathematical Population Genetics, Springer Verlag(1980).
[3] S. Feng and F. M. Hoppe, Large deviation principles for some random combinatorial structures in population genetics and Brownian motion, Ann. Applied Probab. 8, 975-994(1998).
[4] M. Kimura, The Neutral Theory of Molecular Evolution(1983).
[5] M. Perman, Order statistics for jumps of normalized subordinators, Stochastic Processes and their Applications vol. 46, 267-281(1993).
[6] J. Pitman and M. Yor, The two-parameter Poisson-Dirichlet distribution derived from a stable subordinator, Ann. Probab. 25, 855-900(1997).
[7] S. Roman, The formula of Fa\‘a di Bruno, American Mathematical Monthly 87, 805-809(1980).
[8] K. Sato, L\’evy Processes and Infinitely Divisible Distributions, Cambridge University Press(1999).
[9] 清水昭信他、 Fa\‘a Bruno の公式とその応用、 preprint.
$\mathrm{d}\mathrm{i}$