数理解析研究所講究録 1200 巻 2001 年 195-209

195

On pro-p extensions of algebraic number fields(Recent topics related to Greenberg’s generalized conjecture)

Yasutaka Ihara, RIMS, Kyoto University(京都大学数理解析研究所 伊原康隆)

この講演の内容は, 岩澤理論に於る “一般 Greenberg 予想” (“generalized conjecture” , 以下 GGC と略記) , 及びそれをめぐる極く最近の話題の紹介
です. R. Greenberg 氏の 1971 年の学位論文に端を発する “従来の Greenberg
予想” に関しては, 日本人による寄与も多く, 又それについては約 3 年前, 尾崎学氏
がここでの同様の研究集会で優れた解説をして下さった ([o] 参照) ので, 多くの方々になじみ深い事と思います. ところで最近, Greenberg 氏は, より一般化した予想を提出されました. (Conjecture 35). この予想 (GGC) をめぐって, LannuzelNguyen Quang Do [LN], McCallum [Mc] 等, 興味深い或果が相次いで得られ,更に 2000 年秋, Sharffi [Sh] は [Mc] の結果を用いて, 私がの prO-p基本群の数論的性質に関して提出した問題 [Ih] の一部の条件っき解決 ( (GGC) 等を仮定) も得ました. これらについて最近学び得たことを簡単に紹介させていただきます. 尚、 岩澤理論や従来の Greenberg 予想についても、 予備知識としては仮定せず、 必要な部分は (簡単にですが) 復習します。
岩澤理論では, 一つ素数 を固定して数体の prO-p アーベル拡大の (そのまた) prOアーベル拡大を考えるのですが, 前者としては “ 拡大” よりも最大拡大を考え, 後者も不分岐なものだけでなく,の外で不分岐なものも考えます
は 進整数環の加法群). しかし, より広く, 与えられた代数体の(の外で不分
岐な prO-p 拡大全体の中で考えるのが自然なので, その枠組の定式化の復習から始め
ます. これは無論, Safarevic, Koch, . . . 等による独立した出発点も持っ古典的枠組$\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}’ \mathrm{s}$$[\mathrm{G}_{1}]$$[\mathrm{G}_{2}]$$\mathrm{P}^{1}-\{0,1, \infty\}$

$p$

$p$

$\mathbb{Z}_{p}$$\mathbb{Z}_{p})$$\mathbb{Z}_{p}$$(\mathbb{Z}_{p}\cross\cdots\cross$

$p$

$p$

$p$

196
1

$k(p)/k$ とそのガロア群

1.1
代数体 と素数 の対 $(k,p)$ を一組取って固定します. 問題にするのは $(k,p)$ で定の上の の素点全体の集合をと書まる, ある種の “大局的対象” の性質です.
の任意の prO-p 拡大に於てきます. 又, 簡単の為, 以下 $p>2$ とします (従って,の無限素点は自動的に不分岐です)
$k$

$p$

$k$

$p$

$S_{p}$$k$$k$

不分岐な の最大 prO-p 拡大とします. そのガロア群$G_{k}(p)=Gal(k(p)/k)$ は無限 prO-p 群ですが, その位相群としての生或元の最小個
数 $h^{1}=h^{1}(G_{k}(p))(=\dim H^{1}(G_{k}(p), \mathbb{Z}/p))$ と関係式の最小個数 $h^{2}=h^{2}(G_{k}(p))$
まず,$k(p)/k$ を$(=\dim H^{2}(G_{k}(p), \mathbb{Z}/p))$は共に有限であり, それらの間に簡単な関係$h^{1}-h^{2}=r_{2}+1$( $r_{2}=r_{2}(k)$ は$k$の虚素点の個数)を与える公式も知られていて (例えば [NSW] Th 873 参照) ,$h^{2}=0$ 即ち $G_{k}(p)$ が自由 prO-p 群 (この場合, 階数は $r_{2}+1$ ) となる為の必が成立ちます.

特に,$k$$S_{p}\underline{\text{の外^{}-}C^{\mathrm{Y}}}$$h^{2}$

要十分条件も知られています (\S 5-1 で復習します).

12
ガロア拡大 $k(p)/k$ の最大アーベル部分体を $k(p)^{ab}$ で表わし, ガロア群 $G_{k}(p)$ のアーベノレ化を $G_{k}(p)^{ab}$ で表わします. 即ち $G_{k}(p)^{ab}=Gal(k(p)^{ab}/k)$ . このとき,$G_{k}(p)^{ab}$の生或元の最小個数は $G_{k}(p)$ のそれと同じ$h^{1}$

であり(Burnside の原理) ,加群と見なせるので,の商です. この $G_{k}(p)^{ab}$ をの商として表わすとき必要な基本関係式は, 元の $G_{k}(p)$ に関する
以個のそれのうち “ アーベル化しても無駄にならないもの” で, 従ってその個数はで torsion 部分群を表すとき, 単因子論により,下です. 従って, 上ツキ
一方,$G_{k}(p)^{ab}$は prO-p アーベル群ゆえ$\mathbb{Z}_{p}^{h^{1}}$$\mathbb{Z}_{p}$$h^{2}$$\mathbb{Z}_{p}^{h^{1}}$$h^{2}$$\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}$(1.2.1)$G_{k}(p)^{ab}\cong \mathbb{Z}_{p}^{r}\cross(G_{k}(p)^{ab})^{tor}$(1.2.2)$r\geq h^{1}-h^{2}=r_{2}+1$,,と分解 します. (1.2.2) に於て等式が成立つだろう, というのがの単数群 (の non-torsion 部分) の 進独立性
Leopoldt 予想です. より正確には,に関する有名な Leopoldt 予想と (類体論によって) 同値です. この予想は が 上
$k$

$p$

$k$

$\mathbb{Q}$197
アーベル, 又は虚 2 次体上アーベルのときには成立することが知られています (A.

Brumer$\text{等}$).

13$\mathbb{Z}_{p}$

を

従って

$p$

進整数環の加法群,$F_{1}^{(p)}$$(F_{d}^{(p)})^{ab}\cong \mathbb{Z}_{p}^{d}$$\cong \mathbb{Z}_{p},$次の命題は,$\mathbb{Z}_{p}$を階数 の自由 Pro-P 群とします.
(上ツキ ab はここでもアーベル化を表わす)$F_{d}^{(p)}(d=1,2, \ldots)$の場合 (岩澤) ,$d$.

$F_{d}^{(p)}$の場合 (山岸 朝田) 等, 順次示されました-が, 証明は非常に簡単です.

命題.

$k$

上のガロア拡大でガロア群が$\cong \mathbb{Z}_{p}^{d}$, 又は$\cong F_{d}^{(p)}$なるものはすべて $k(p)$ に含まれる.
証明. ガロア群の prO-p 性は明らか. 一方, これ力やFd(pゝが ($\infty$$\grave{\grave{\mathrm{a}}}$$S_{p}$の外で不分岐なることは,や $v\{p$ の上の惰性群 (この場合 cyclic)$\mathbb{Z}_{p}^{d}$の生或元やフロベニウス置

換から生ずるところの)$\tau^{2}=1$,$\tau\neq 1$

,

なる元も,
$\sigma\tau\sigma^{-1}=\tau^{l^{f}},$$\tau\neq 1,$

$l$

: 素数

の組も含み得ないことより明らか.
部分群はすべて自由 prO-p 群 !)なる元$\sigma,$$\tau$.

注意. 上の証明より, この命題は,($\neq p,$$\mathbb{Z}_{p}^{d}$$f\geq 1$,

は torsion をもたず,$F_{d}^{(p)}$の閉口$p=2$ でも成立ちます.

1.4$k(p)^{ab}/k$のガロア群 $G_{k}(p)^{ab}$ の torsion 部分群と対応する中間体を $K$ とおくと,(1.2.1) により,$Gal(K/k)\cong \mathbb{Z}_{p}^{r}$. 一方 \S 1.3 の命題によって

$k$

上の

$\mathbb{Z}_{p}^{d}$型拡大はすべて $k(p)$ に含まれ,この場合アーベル拡大なので $k(p)^{ab}$ \iota こも含まれます. 一方

大と拡大の型拡大となるので, 結局, $K$ は 上のすべてのの最大型拡大でもあるわけです. この体 $K$ を後に “基礎体$\mathbb{Z}_{p}^{d’}$拡大の合或も合或に等しく, 又として使います.
尚 $k(p)^{ab}$ と $K$ の差,な問題のようです.
$k$$k$$\mathbb{Z}_{p}^{d’’}$$\mathbb{Z}_{p}^{d}$拡$\mathbb{Z}_{p}$$\mathbb{Z}_{p}^{d}$$(G_{k}(p)^{ab})^{tor}=Gal(k(p)^{ab}/K)$ が (可であるかは,

かなり微妙

198
一方,

$k$

上の F pゝ拡大も研究は $G,(p)$ の少ないですが,2

513 によって $k(p)$ に含まれるので,

$k$

上の

$F\ovalbox{\tt\small REJECT}^{p)}$拡大の自由商の研究と同じです. これについて知られていることもで触れるつもりです.

$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{f}\mathrm{i}5$拡大体 $L/K$ と$\mathbb{Z}_{p}[[t_{1}, \ldots, t_{r}]]$-加群 $X=Gal(L/K)$

21
まず, 一般に $k\subset K\subset L\subset k(p)$ なる中間体 $K,$ $L$ であって,はアーベル拡大,
アーベル群ゆえ)$X=Gal(L/K)$ を (prO-p$L/k$ はガロア拡大となるものを考え,$\mathbb{Z}_{p}$$K/k$ 及び $L/K$

加群と考えます. このとき $\Gamma=Gal(K/k)$ は $X$ に共役によって$X\ni xarrow\gamma(x)=\tilde{\gamma}x\tilde{\gamma}^{-1}\in X$

はのとり方にと作用します. ここで $\tilde{\gamma}\in Gal(L/k)$ は の延長 (とよらない) . これら
線形性と連続性を用いて, 完備群環の作用を,の $X$ への作用に延ぱすことが出来, これによって $X$ を加群と見なします.

$(\gamma\in\Gamma)$$\gamma(x)$$\gamma$$\Gamma$$\tilde{\gamma}$$\mathrm{A}=$$\mathbb{Z}_{p}$$\mathbb{Z}_{p}$$\Lambda-$$\mathbb{Z}_{p}[[\Gamma]]$22
歴史的には,

$K$

として

$k$

の一つの

$\mathbb{Z}_{p}$拡大 (例えぼ円分$\mathbb{Z}_{p}$

拡大) ,

$L$

としては $K$

加群の最大不分岐 prO-p アーベル拡大をとり, $X=Gal(L/K)$ の A
としての性質を研究したのが岩澤理論の発端でした. より正確には, Serre によってこの形で見通しよく捉え直され, その上に発展しました. 1970 年頃, Greenberg は
拡上の
拡大 $K$ を動かしたときの A 加群 $X$ の変化を調べる為, $K$ が 上の上の 変数形式的巾級数環と同型
大 $(d\geq 1)$ の場合も考えました. このとき A は$=\mathbb{Z}_{p}[[\mathbb{Z}_{p}]]-$

$k$

$k$

$\mathbb{Z}_{p}$$\mathbb{Z}_{p}$になります.

より正確には,$\mathbb{Z}_{p}^{d}$の生或元$\mathbb{Z}_{p}^{d}$$d$をとり, $t_{:}=\gamma_{i}-1(1\leq i\leq d)$
これは UFD (一意分解環) でネーター環$\gamma_{1},$$\ldots,$$\gamma_{d}$とおくとき,.
です. 次の定理は $d=1$ のときの岩澤の定理の (その方法を用いての) Greenberg
による拡張です.
$\mathbb{Z}_{p}[[\mathbb{Z}_{p}^{d}]]=\mathbb{Z}_{p}[[t_{1}, \ldots, t_{d}]]$

拡大 $(1 \leq d\leq r)$ , $L/K$ を最大不分定理 (Iwasawa, Greenberg). $K$ を の
岐アーベル prO-p 拡大とする. (従って $L\subset k(p).$ ) このとき, $X=Gal(L/K)$ は$k$$\Lambda=\mathbb{Z}_{p}[[Gal(K/k)]]\cong \mathbb{Z}_{p}[[t_{1}, \ldots, t_{r}]]$$\mathbb{Z}_{p}^{d}$上のカ\coprod 群として有限生或で,しかも torsion199
加群である. 即ち$X=\Lambda\xi_{1}+\cdots+\Lambda\xi_{s}$,$fX=0$ ,なる$\xi_{1},$$\ldots,$$f\in\Lambda,$$\xi_{s}\in X,$$f\neq 0$が存在する.

この証明の数論的なポイントは代数体の類数の有限性 ( $K/k$ の部分拡大に適用)加群についての中山のレンマですが, 結果として示さであり, 代数的ポイントはれたことすべての $X$ を消す
は, 驚くべきことの一の元 $f\neq 0$ が存在する$\Lambda-$$\Lambda$–

つだと思います. 簡単の為,–$K/k$ は不分岐な中間体の拡大を含まないと仮定して,類体論によって $K/k$ の有限次部分ガロア拡大 $k’/k$ のイデアル類群の -Sylow 群
全への群環 $\mathbb{Z}_{p}[Gal(k’/k)]$ の作用の言葉に翻訳すると, これは体を消す元 $f_{k’}\in \mathbb{Z}_{p}[Gal(k’/k)]$ であって, $k’$ に関して compatible でしかも $k’$ が十は com分大きければ $f_{k’}\neq 0$ なるもの, の存在を意味しています. (ノルム$p$$Cl(\mathcal{O}_{k’})^{(p)}$$Cl(\mathcal{O}_{k’})^{(p)}$$\sum_{\sigma}\sigma$

patible にならない. 倍数がどんどんかかる ) 円分体での Stickelberger 作用素のようなものが,$-\backslash \mathrm{R}_{\backslash }^{\mathrm{h}}\mathrm{f}\mathrm{f}\backslash$] に$\text{も}\backslash$

存在することを示しています.

$\backslash$

さて, ではこうい ) D よどの位沢山あるのでしようか ? それに関する基本的予想$\grave{\prime}\backslash$

が (GGC) です.

その記述の前に, 体 $K,$ $L$ を次にように特定します.

23
以下 $K$ としては 1.4 で定めた体, 従って$k\subset K\subset k(p)^{ab}$,$[k(p)^{ab} :K]<\infty$$Gal(K/k)\cong \mathbb{Z}_{p}^{r}$

$L$

としては,

つの $L$ ”

$K$

,

,

の最大不分岐アーベル prO-p 拡大 (従って $L\subset k(p)$ ) 更に “ もう一

として
$M$

:

K の $k(p)$ 内での最大アーベル拡大$=S_{p}$の外で不分岐な $K$ の最大アーベル prO-p 拡大,

を考え,$X=Gal(L/K),$ $\mathrm{Y}=Gal(M/K)$
を共に $\Lambda=Gal(K/k)\cong \mathbb{Z}_{p}[[t_{1}, \ldots, t_{r}]]$ 上の加群と見なします.
$X$

は有限生或 torsion$\Lambda-$

加群です.

(

$\mathrm{Y}$については \S 4.2 参照)\S 2.2 の定理により

200
3$-\Re$

Greenberg 予想 (GGC)

31$K,$ $L$

を \S 2.3 の体とし,

とおき,

$X$

を

$\Lambda-$$\mathrm{A}=\mathbb{Z}_{p}[[Gal(K/k)]]\simeq \mathbb{Z}_{p}[[t_{1}, \ldots, t_{f}]],$

加群と見ます.

$X$$X=Gal(L/K)$の ann 市垣 ator

$Ann_{\Lambda}(X)=\{\lambda\in\Lambda;\lambda x=0\forall x\in X\}$

は A のイデアルで,\S 2.2 の定理により $Ann_{\Lambda}(X)\neq(0)$ ですが,

これはどの位大きいのでしようか ?(GGC) は次の予想です (cf. [G2]Conj. 35).
予想 (GGC).

$\Lambda$のイデアル $Ann_{\Lambda}(X)$ は高さ 2 以上であろう, 即ち A の高さ 1 の素イデアルにはふくまれないであろう.
注意. A は $UFD$ なので, その素イデアル $\neq(0)$ が高さ 1\leftrightarrow 単項. よって, 上の予

想は次のように云いかえられます.
$(*)$$Ann_{\Lambda}(X)$のすべての元を割る A の元は可逆元以外にないであろう.

これは又, 次のようにも云いかえられます.
$(**)$$Ann_{\Lambda}(X)$

ここで $f,$尚,$g\in \mathrm{A}$は互いに素な 2 つの元 $f,$が互いに素とは,$f,$ $g$

$g$

を含む.

双方を割る A の元は可逆元に限ること.

で割れないときは $X=0$ となり, 従ってこの場合(GGC) は自明に成立しています. (その証明は, やはり有限 群 $G$ に関する Burnside の原理. . . $G$ の部分群 のでの像が全体なら $I=G\cdots$ これを $k(p)/k$$|S_{p}|=1$ で $k$ の類数力$\grave{\grave{\mathrm{a}}}$

$p$

$p$

$I$

$G^{ab}$の部分有限次拡大 $k’$ の -Hilbert 類体性群 に適用)$p$$G^{ab}$’$k^{H}$のガロア群 $G=Gal(k^{H}’/k)$ と

$p$

上の惰

$I$

32
$k$

が総実のとき,Leopoldt 予想のもとで $r=r_{2}+1=1,$$\mathrm{A}\simeq \mathbb{Z}_{p}[[t]]$上の予想 $rightarrow\Lambda/Ann_{\Lambda}(X)$ : 有限 \leftrightarrow X: 有限. このとき,201
これが元来の Greeberg 予想であり, これについては日本人の寄与も大きい ([O] 参
照)
ただ, $(k,p)$ についての Greenberg 予想がすべての素数 に対して示されて.

$p$

いる総実代数体 は, 未だに
拡大で $L=K,$ $X=0$ . 一方,$k$$k=\mathbb{Q}$だけのようです.

$k=\mathbb{Q}$

のときは,

$K$

は円分

のときは, Greenberg 予想が非自明である は有限個ではありません. 類数を割る だけでな , $|S_{p}|\geq 2$ , つまりで分解する すべてに対して検証を要しますから, 数値計算だけですべての に対して証明することは出来ません.
に対する $(k,p)$ のとき (Leopoldt 予想は正しいので $r=$1) は, 有名な Vandiver 予想が $X=0$ を予想しており, それは $p<12,000,000$
なるすべての について確かめられています. 従って, この場合 $((k,p)$ に関する)$\mathbb{Z}_{p}$$karrow\supset \mathbb{Q}$$\langle$$p$$k/\mathbb{Q}$

$p$

$p$

$p$

$k= \mathbb{Q}(\mu_{p})^{+}=\mathbb{Q}(\cos\frac{2\pi}{p})$$p$Greenberg 予想は, 単に Vandiver 予想を弱めたものになっています.

33
予想 (GGC) の「哲学的根拠」 はでも少し触れられていますが, 私には十分理の存在) との関連に興解できていません. 私としては, 特に 進 Artin $L$ 関数 (味があります. Greenberg 氏にメールで間合わせ, 彼の考えていた二, 三の根拠を$[\mathrm{G}_{2}]$$\not\equiv 0$$p$

教わりましたが, それについては, 私の理解も不十分だし, ここで書く事はさし控えます. ここでは, 次の “次元論的説明” にとどめたいと思います.

が高さ $\geq 2$ という事は,なる全射準同型 (勿論沢山あ:る) の核(高さ $(r+1)-2=r-1$ ) と合わせるとのイデアル $(Ann_{\Lambda}(X)+$”に対しては) 高さ $2+(r-1)=r+1$ , 即ちは “大抵は” (つまり “一般の$Ann_{\Lambda}(X)$$\psi$$\Lambdaarrow \mathbb{Z}_{p}[[t]]$$\Lambda$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\psi$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\psi)$$\psi$$\Lambda/(Ann_{\Lambda}(X)+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\psi)$が有限になる,ということです. そこで $K/k$ 内のを
拡大 $K_{1}/k$ を一つとり,$Gal(K_{1}/k)\simeq \mathbb{Z}_{p}$ の生或元,$t=\gamma-1$ とおき, 一方 $Gal(K/k)\simeq \mathbb{Z}_{p}^{r}$ の生或元をとり,, 少くも一つは(), $t_{i}=$$\gamma_{1},$$\ldots,$$\mathbb{Z}_{p}$$\gamma_{i}|_{K_{1}}=\gamma^{a_{i}}$$\gamma_{r}$$\ldots,$$a_{r}\in \mathbb{Z}_{p}$$\not\equiv 0$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$

とおくと, 制限射 $Gal(K/k)arrow Gal(K_{1}/k)$ は$\gamma_{i}-1(1\leq i\leq r)$$\psi$$a_{1},$$\gamma$:$\Lambda=\mathbb{Z}_{p}[[t_{1}, \ldots, t_{r}]]arrow \mathbb{Z}_{p}[[t]];t_{i}arrow(1+t)^{a}:-1$なる全射準同型を導く. さては, $Gal(K/K_{1})$ が自$X$明に作用するの最大の商に等しく, 従って $X_{1}=Gal(L/L_{1}’)$ となります. ここで$(1\leq i\leq r)$$L_{1}’$$X_{1}=X/(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\psi)X$

は $L/K_{1}$ 内の $K/K_{1}$ の最大中心拡大体 (それは勿論 $K$ を含む)

.

202

$L_{1}$

は$K_{1}$の最大不分岐 prO-p アーベル拡大

さて制限射 $X_{1}arrow Gal(L_{1}/K_{1})$ は一般には全射とも単射とも限らないので, どちらが他よりも大きくなる理由もありますが, 仮りに (GGC) が成立っとすると, “–
”
般の
に対しては
は有限
加群ゆえ, $|X_{1}|<\infty$ , 従って問題の $Gal(L_{1}/K_{1})$ のうち 上のアーベル拡大から来ない難しい部分 $Gal(L_{1}/K\cap$
が有限, ということを意味します. 逆方向はよくゎかりませんが, 例えば $K$ の上の素点が唯一つ (特に $|S_{p}|=1$ ) で $X=(\Lambda/Ann_{\Lambda}(X))^{s}$ のような場合を想定す
ると, 一つでも $Gal(L_{1}/K_{1})$ が有限なる
拡大 $K_{1}/k$ があると (このときは$K_{1}$$X_{1}$$\Lambda/(Ann_{\Lambda}(X)+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\psi)-$$k$$L_{1})$$p$$\mathbb{Z}_{p}$$L_{1}K=L_{1}’$となるので) ,$\Lambda/(Ann_{\Lambda}(X)+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\psi)$

成立ち, これより $Ann_{\Lambda}(X)$ の高さ$\geq 2$の有限性が (その$\psi$に対して)でなくてはならないことがゎかります
.
.

従って乱暴にまとめれば, (GGC) は,上の “一般の拡大”
対して$Gal(L_{1}/K_{1})$ の “実質部分”が有限になりゃすいという予想だ, と云えると思います.
$k$$\mathbb{Z}_{p}$$K_{1}$$l_{}^{\wedge}$

4(GGC) の別の見方, 帰結, 等 [LN] [Mc]41
従来の Greenberg 予想と同様,と密接に関係しています.
定理$([\mathrm{L}\mathrm{N}]\mathrm{T}\mathrm{h}4.4)$.

$k\supset\mu_{p}$(GGC) も $K/k$ 内でのイデアルの “capitulation”

且っ $K/k$ のすべての有限次部分拡大体 $F$ で $p$ に対する

Leopoldt 予想が成立っと仮定する. このとき$( \mathrm{G}\mathrm{G}\mathrm{C})rightarrow\underline{1}_{\mathrm{B}^{\mathrm{i}Cl},F}(\mathcal{O}_{F}[\frac{1}{p}])^{(p)}=0$

.

203
ここで

$O_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$

は $F$ の整数環,$p$は$\mathcal{O}_{F}[\ovalbox{\tt\small REJECT}]$のイデアル類群 (即ち$\mathcal{O}_{F}$のイの素因子で代表される類で生或される部分群で割った群) , 上っき
或分を表わす.

デアル類群を(p) はその$C\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathcal{O}_{F}[\ovalbox{\tt\small REJECT}])$$p$

42(GGC) を $\mathrm{Y}=Gal(M/K)$ (\S 2.3) の言葉に移すと :

一方,
定理
数

$([\mathrm{M}\mathrm{c}]\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{l}4)$$\geq 3$.

$k\supset\mu_{p}$, 且つ各とする ( $p>3$ なら満される)に対して $K/k$ でのこのとき$\mathfrak{p}\in S_{p}$.

$(\mathrm{G}\mathrm{G}\mathrm{C})rightarrow \mathrm{Y}$$\mathfrak{p}$の分解群の$\mathbb{Z}_{p}$階が A-torsion free.

と $X’=Gal(L’/K)$ の間の Jannsen の双対性などが使ゎれてぃ
この証明には,ます. ここで $L’/K$ はの上の $K$ のすべての素点が完全分解する $L/K$ の最大部分$\mathrm{Y}$$S_{p}$体です. 定理の仮定から $X$ と $X’$ は “近いもの” になります.
注意.

加群として一般に (上の定理の仮定と無関係に) 有限生或です. その証明は, $G_{k}(p)$ が有限生或 prO-p 群であることとの群論的定義だけからでも容易に得られます.
$\mathrm{Y}$は$\Lambda-$$\mathrm{Y}$【4.1 と 4.2 の関係]

とおくと,$|S_{p}|=$$1$のときの一方向の説明.

$N=K(\epsilon^{1/p^{n}}$; $n\geq 1$ ,だが,,$K\subset N\subset M$$k\supset\mu_{p}$$\epsilon\in \mathcal{O}_{K}[\frac{1}{p}]\cross)$(このとき$K\supset\mu_{p\infty}$に注意)-torsion free
. もし旦円 $Cl\{$$M/K$ の Kummer 拡大としての構或を考えばわかるように, $M$ $=N$ .
-torsion free となる.
とき,$Gal(N/K)$ は$\Lambda$$|S_{p}|=1$ の$\mathcal{O}_{F}[\frac{1}{p}])^{(p)}=0$$([\mathrm{M}\mathrm{c}]\mathrm{T}\mathrm{h}3)$

$F$

よって

なら
$\mathrm{Y}$も$\Lambda$

4.3$p$$(\mathbb{Q}(\mu_{p}),p)$が$\mathbb{Q}(\mu_{p})$に対する (GGC) ([Mc]).

の類数を割るとき$p$は regular prime, 割らないとき irregular prime と

いいます.
$p$

$p$

:regular のときは $X=0$ ゆえ (GGC) は自明.
:irregular のとき:

204
定理

$([\mathrm{M}\mathrm{c}]\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{l})$.

$p$: irregular prime で更に次の (1)(2) を満たすとする.

の類数の 或分は T 度 に等しい.
のそれを $U$ , また $E$ の $U$ 内でのの単数群を $E$ ,はのと同型.
とかくとき,
巾 torsion 部分群
このときに対して (GGC) が成り立つ.

(1)
(2)

$\mathbb{Q}(\mu_{p})$

$p$

$p$

$\mathbb{Q}_{p}(\mu_{p})$$\mathbb{Q}(\mu_{p})$$U/\overline{E}$$(U/\overline{E})[p^{\infty}]$

$p$

$p$

進閉包を

$\overline{E}$$\mathbb{Z}/p$$(\mathbb{Q}(\mu_{p}),p)$

McCallum の数値実験によると, $p<400$ と $3600<p\leq 4001$ の範囲の irregularprimes のうち約 3/4 が条件 (1) と (2) を共に満すそうである.
(満たす例) $p=37,59,67,101,103,131,149,$(満たさない例) $p=157,353,$ $\ldots,$ $691,$$\ldots$$\ldots$

注意. $k(p)^{ab}/k$ の最大不分岐部分拡大, 即ち$k$の Hilbert p- 類体を $k^{H}/k$とするとき,(1) (2) はそれぞれ(1)’$Gal(k^{H}/k)\cong \mathbb{Z}/p$(2)’$Gal(k(p)^{ab}/k^{H})^{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}}\cong \mathbb{Z}/p$,(1)’ より $h^{1}(G_{k}(p))=L+\underline{1}2+1,$ $h^{2}(G_{k}(p))=1$ , 従って $G_{k}(p)=Gal(k(p)/k)$群を 1 つの関係式で割った群になっています. 尚この場は階数胆 +1 の自由合, $Gal(k^{H}/k),$ $Gal(k(p)^{ab}/k^{H})$ それぞれが -torsion をもつが, $Gal(k(p)^{ab}/k)$ は
千 $+1$ 個の生或元と 1 つの関係式をもち, 従って (1) (2) と合わせると $Gal(k(p)^{ab}/k)\cong$と同値.

$\mathrm{p}\mathrm{r}+p$$p$$2\pm\underline{1}$$\mathbb{Z}_{p^{2}}$5$\cross \mathbb{Z}/p^{e}$$k$( $e=1$ または 2).

上の自由 prO-p 拡大の階数との関係について

51
一般に階数 $d\geq 1$ の自由 prO-p 群$F_{d}^{(p)}$をガロア群とする$k$のガロア拡大があると,それは $k(p)$ に含まれる (\S 1.3) ので, そういう拡大がある事と $G_{k}(p)$ が$F_{d}^{(p)}$

を商群に

のアー
持つことは同値です. ではこういう の最大値は何でしょうか ?
で K. Wingberg の結果ベル化がですから, 当然 $\rho_{k}(p)\leq r$ です. 山岸氏はを用いて, $\rho_{k}(p)<r=r_{2}+1$ なる実例を与えています.
$d$$\mathbb{Z}_{p}^{d}$$F_{d}^{(p)}$$\rho_{k}(p)$$[\mathrm{Y}]\S 4$205となる為の条の記号でまず $G_{k}(p)$ 自身が自由 prO-p 群, 即ち参照 我々は $p>2$ としていることに注意)
件は (例えば$h^{2}(G_{k}(p))\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$$\mathrm{D}\cdot 1$$[\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{W}]\mathrm{T}\mathrm{h}873$$h^{2}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$(Gk(p))=0\leftrightarrow 次の (i)(ii) が成り立つ.

(i)$\mu_{p}\not\subset k$$\mu_{p}\subset k$なら$(\forall \mathfrak{p}\in S_{p})$$\mu_{p}\not\subset k_{\mathfrak{p}}$,なら $|S_{p}|=1$ .

$\{$

(ii)

$\alpha\in k^{\cross}$

が,

$k$

のすべての有限素点

更 (こ $v\in S_{p}$ (こ対して特 (こ$\mu_{p}\subset k$$(\mathrm{i}\mathrm{i})’$$\alpha\in(k_{v}^{\cross})^{p}$

$v$

に対して

も満すなら

$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{v}(\alpha)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$\alpha\in(k^{\cross})^{p}$

を満し,

.

のとき (ii) は$Cl( \mathcal{O}_{F}[\frac{1}{p}])^{(p)}=0$と同値です.
例えぼ$k=\mathbb{Q}$のとき $h^{1}-h^{2}=1,$ $h^{2}=0$ で$G_{\mathbb{Q}}(p)\cong \mathbb{Z}_{p}=F_{1}^{(p)}$$(p>2)$. また(且つ $p>2$ ) のときは

$k=\mathbb{Q}(\mu_{p})$$h^{1}-h^{2}= \frac{p+1}{2}$: regular のときは

従って,

$p$

です.

(ちなみに,,$h^{2}=0rightarrow p$$G_{\mathbb{Q}(\mu_{p})}(p)\simeq F_{\mathrm{u}+\underline{1},2}^{(p)}$$[\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{W}]\mathrm{T}\mathrm{h}8.7.3$の公式より,で,$h^{2}$: regular.
$p$は: irregular のときは $h^{2}>0$$\mathbb{Q}(\mu_{p})$のイデアル類群の p-Sylow 群の最大 $(p, \cdots,p)$ 型商群の階数と等しい. ) 兎に角,: irregはを商群にもつかどうかが問題の一つとなります.
ular のとき,$k=\mathbb{Q}(\mu_{p}),$$G_{\mathbb{Q}(\mu_{\mathrm{p}})}(p)$$p$$F_{R_{\frac{p)+1}{2}}}^{(}$

52
定理$([\mathrm{M}\mathrm{c}]\mathrm{T}\mathrm{h}2)$$G_{\mathbb{Q}(\mu_{p})}(p)$

は

.

$p$

:irregular p 加 me とする.

$(\mathbb{Q}(\mu_{p}),p)$が (GGC) を満せぼ,

F 県を商群に持ち得ない.

実は, これより少し強く, 同じ条件のもとで,$F=F_{\epsilon\pm,2}^{(p)}\underline{1}$, $F’=(F, F),$ $F”=$$(F’, F’)$とするとき,

ただし,$(, )$ は位相群の交換子群. 今迄の話のつながりを理解する助けになるか$G_{\mathbb{Q}(\mu_{\mathrm{p}})}(p)$は $F/F”$ と同型な商群を持ち得ない事が示せます.

と思いますので, 以下その略証を述べます (上記$[\mathrm{M}\mathrm{c}]\mathrm{T}\mathrm{h}2$の証明とは少々異る)

.

206

とするとき, 仮りに $k(p)/k$ が $(F/F”)-$ 拡大の最大アーベル部分体を含むとする ; $Gal(\Sigma/k)=F/F’’$ . このとき
(略証)

$r=\mathrm{L}+\underline{1}2’ F=F_{r}^{(p)}$$\Sigma^{ab}/k$$\Sigma/k$の部分体であり,の交換子群 $F’/F”$ と対応する$\Sigma^{ab}=K$
ゆえ,. また $Gal(\Sigma/K)$ はアーベル群ゆえ,
とおく.

$F/F^{u}$$\Sigma/k$$\Sigma/k$$\mathbb{Z}_{p}^{r}$は$Gal(\Sigma^{ab}/k)=F/F’\cong$$\Sigma\subset M$.

$\mathrm{Y}_{1}=Gal(M/\Sigma)$$k(p)|$$M|)$$\mathrm{Y}_{1}$$\mathrm{Y}($$\Sigma^{ab}=K)||)F’/F’\prime F)\mathbb{Z}_{p}^{r}/F’’k=\mathbb{Q}(\mu_{p})\Sigma$

さて純 (prO-p) 群論的に $F’/F”(=\mathrm{Y}/\mathrm{Y}_{1})$ を$\mathrm{A}=\mathbb{Z}_{p}[F/F’\mathrm{I}\cong \mathbb{Z}_{p}[t_{\mathrm{b}}\cdots,$$t_{r}\mathrm{J}$加群とみると, 既知の Blachfield-Lyndon 型定理により,$F’/F” \simeq\{(\lambda_{1}\Lambda’\ldots, \lambda_{f})\in\Lambda^{f}; \sum_{i=1}^{f}\lambda_{i}t_{i}=0\}$

従って A の商体を

1 次元. 一方,
定理より,$\mathrm{Y}$

照)

. よって

は

-torsion.

$\Lambda$

ち $M=\Sigma$$\Lambda^{0}$とすると,$(F’/F”) \bigotimes_{\Lambda}\Lambda^{0}$$\mathrm{Y}=Gal(M/K)$ についても,は有限生或$\Lambda$

加群では上のベクトル空間として(例えぼ$\dim_{\Lambda^{0}}(\mathrm{Y}\bigotimes_{\Lambda}\Lambda^{0})=r-1$

かし (GGC) によれば$\mathrm{Y}$.

よっては torsion-free (\S 4.2).

の中での最大アーベル部分体は$Gal(k(p)^{ab}/k)\cong \mathbb{Z}_{p}^{r}$
これはのときに限る.

$\Sigma^{ab}=K$.

$p:\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}$ゆえ,$[\mathrm{M}\mathrm{c}]\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{l}0$$\mathrm{Y}_{1}\bigotimes_{\Lambda}\Lambda^{0}=0$. しかし $M/K$ は $k(p)/K$ の最大アーベル部分体ゆえ,

かし $M=\Sigma$$r$-Jannsen, Nguyen-Quang Do の構造$\dim((\mathrm{Y}/\mathrm{Y}_{1})\bigotimes_{\Lambda}\Lambda^{0})=\dim(\mathrm{Y}\bigotimes_{\Lambda}\Lambda^{0})$$|_{\vee}$$\Lambda^{0}$

.

, 即ち

参
$\mathrm{Y}_{1}$

よって $\mathrm{Y}_{1}=0$ , 即$M\supset k(p)^{ab}$$K=k(p)^{ab}$

. し

. よって

207
6

の prO-p 基本群との関係について [Sh]$\mathrm{P}^{1}-\{0,1, \infty\}$

6.1
以下は極く最近の R. Sharffi [Sh] の研究の簡単な紹介です.

–, 三年前に私が提出した間 [Ih] Lect I\S 5-6 に対して,(GGC) と関係した条件つき解答を与えているものです. 基本的定義について [Ih] も御参照下さい. 以下 は素数 $>2$ ,$k=\mathbb{Q}(\mu_{p})$

$p$

とします.
$\overline{\mathbb{Q}}$上の射影直線をとするとき,$\mathrm{P}\frac{1}{\mathbb{Q}}$prO-p 基本群$\pi_{1}=\pi_{1}^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}- p}(\mathrm{P}\frac{1}{\mathbb{Q}}-\{0,1, \infty\})$の外作用を考え, それをへ制限す
ると, それは $G_{k}(p)=\mathrm{G}\mathrm{a}1(k(p)/k)$ を通して作用します (忠実かどうかは未知)へのさて$\mathbb{Q}$$\pi_{1}$の絶対ガロア群$G_{\mathbb{Q}}$$G_{k}=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}(\mu_{p}))$.

の中心降下列を用いて $G_{k}(p)$ の ffltration 及び graded Lie algebra$\mathfrak{g}_{p}=\oplus m\geq 3gr^{m}\mathfrak{g}_{p}$が定義されます. 各造を持ち,$gr^{m}\mathfrak{g}_{p}$は有限生或自由$\mathbb{Z}_{p}$は上の Lie 環の構加群で, 一方が満されます. 各奇数 $m\geq 3$ に対$\mathbb{Z}_{p}$$\mathfrak{g}_{p}$$[gr^{m}\mathfrak{g}_{p}, gr^{n}\mathfrak{g}_{p}]\subset gr^{m+n}\mathfrak{g}_{p}(m, n\geq 3)$

して Soule’character と 1 乎ぼれる$\mathbb{Z}_{p^{-}}$$\kappa_{m}$線形射 $(\neq 0)$:$gr^{m}\mathfrak{g}_{p}arrow \mathbb{Z}_{p}$を満すを各奇数 $m\geq 3$が定義されています.
に対して一つづつ選んでおきます. 最近, Hain-Matsumoto [HM] により,は上の Lie 環として) 達で生或されることが示されました.
( $m$ : 奇数方, Deligne は (別の定式化でですが) 次の予想を立てています.
$gr^{m}\mathfrak{g}_{p}=\mathbb{Z}_{p}\sigma_{m}+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\kappa_{m})$$\sigma_{m}\in gr^{m}\mathfrak{g}_{p}$$\mathfrak{g}_{p}\otimes \mathbb{Q}_{p}$$\mathbb{Q}_{p}$予想 (D).

$\sigma_{m}$( $m$ : 奇数$\geq 3$–$\geq 3$$\sigma_{m}$) 達は$\mathfrak{g}_{p}\otimes \mathbb{Q}_{p}$の Lie 環としての free generators であろう.
する前のへの作用の数論的性質の研究には,の性質がより重要です. 私は [Ih] で, $p=691,$ $m=12$ (このとき $p|B_{m}$ (ベルヌイ数) ) のととき,のある一次結合が “stable derivation algebra” の 12 次の或が irregular なとき
分
自身はの中で満すある合同式
から,
しかし $G_{k}(p)$ の$[\sigma_{3}, \sigma_{9}]$$gr^{12}D\otimes \mathbb{Z}_{p}$$\otimes \mathbb{Q}_{p}$$\pi_{1}$$\mathfrak{g}_{p}$$[\sigma_{5}, \sigma_{7}]$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$p$$\mathfrak{g}_{p}$\sigma 。達では生或されない可能性が十分あることを指摘しました. Sharffi はこれに関して, 次の事を示しました.

208
定理 (Sharffi[Sh]). 予想 (D) を仮定すると次の (i)(ii) が成立つ.
は(i) :regular のとき,
( $m$ : 奇数 $\geq 3$ ) で生或され, $G_{k}(p)$ の$p$$\mathfrak{g}_{p}$$\sigma_{m}$$\pi_{1}$への外作用は忠実.

(ii) :irregular なとき, 更に に関する Vandiver 予想と $(k,p)$ に関する (GGC) をは仮定すると,( $m$ : 奇数
) 達では生或され得ない.
$p$

$p$

$\geq 3$$\sigma_{m}$$\mathfrak{g}_{p}$(ii) について, 更に定量的研究も進みつつあるようですが, $p=691$ は (GGC) も示されておらず, 微妙なようです.
は $G_{k}(p)$ の部分商なので,証明のアイデアは次の通り. 各を代表する適$gr^{m}\mathfrak{g}_{p}$当な元$(\cong \mathbb{Z}_{p})$$\tilde{\sigma}_{m}\in G_{k}(p)$の生或元のをとるのですが,$G_{k}(p)$$\sigma_{m}$$\tilde{\sigma}_{3},\tilde{\sigma}_{5},$への延長の一つ$\gamma$までとると, それとを用いて, 残りの $\tilde{\sigma}_{m}(m=p+2, \ldots)$$\ldots,\tilde{\sigma}_{p}$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathbb{Q}(\mu_{p}\infty)/k)$

達でよい性質を満すものを群論的に構或できる, というのがーっのポイントです.
(Vandiver 予想はここで使っています. ):regular のときは, $G_{k}(p)$ は, , の上の自由 prO-p 群になり, それを用いて $\mathrm{G}al(k(p)/K)$ が( $m$ : 奇数,) で生或される自由 prO-p 群であることを示し, (D) を仮定して残りの結論を出す.
:irregular のときは, もし が達で生或される free Lie algebra と同型とす
ると, $G_{k}(p)$ のへの外作用の核と対応する体を $k(p)^{*}$ と書くとき, $\mathrm{G}al(k(p)^{*}/k)$$p$$\tilde{\sigma}_{3},$$\ldots$$\gamma$$\geq 3$$\tilde{\sigma}_{m}$$p$$\tilde{\sigma}_{p}$$\mathrm{g}_{p}$$\sigma_{m}$$\pi_{1}$の上で自由 prO-p(階数午) ということになり,
る, という方針です.
は$\sigma_{3},$$\ldots,$$\sigma_{p},$$\gamma$

52 の結果と矛盾す

参考文献$[\mathrm{G}_{1}]$Ralph Greenberg (Thesis, Princeton University)(1971), “On some questions

concerning the Iwasawa invariants”.
[最近の Preprints][G2](2000 年のもの)

R. Greenberg, “Iwasawa theory, Past and Present” preprint 2000; to appear
in Advanced Studies in Pure Math.
washington$\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{p}://\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}.\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}$[LN]$.\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{u}\Gamma \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}/\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}.\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{l}$A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do, “Conjectures de Greenberg et extensions prO-p4ibres d’un corps de nombres” Manuscripta math. 102(2000),

187-209.

209
[Mc]

[Sh]

conjecture and units inextensions”, Algebraic Number Theory Preprint Archives, no 249, July
2000.

$\mathrm{W}$G.

$\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathbb{Z}_{p^{-}}$$\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\ovalbox{\tt\small REJECT}‘ \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}’ \mathrm{s}$R. Sharifi, “Relationships between conjectures on the structure of Galois
groups of number fields”, Preprint December 2000.

[関係引用][O]

尾崎学, “Greenberg 予想についで’, 数理解析研講究録 1026(1998), 20-27.

[HM]

R. Hain and M. Matsumoto, “Weighted completion of Galois groups and, June 2000.
some conjectures of Deligne”, arXiv: math.
$\mathrm{A}\mathrm{G}/0006158$[Ih]

Y. Ihara, “Some arithmetic aspects of Galois actions on the prO-p funda”, Preprint, May 1999, RIMS-1229.
mental group of$\mathrm{P}^{1}-\{0,1, \infty\}$[NSW] J. Neukirch, A. Schmidt and K. Wingberg, “Cohomology of Number
Fields”, Springer GMW 323 (2000).
[Y]

M. Yamagishi, “A note on free prO-p extensions of algebraic number fields” ,J. de th\’eorie des nombres de Bordeaux 5(1993), 165-178.