数理解析研究所講究録 1413 巻 2005 年 45-52

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乾燥亀裂における含水量分布
大阪府立大学大学院工学研究科数理工学分野 水口毅 (Tsuyoshi Mizuguchi) 1
Department of Mathematical Sciences, Osaka Prefecture University
京都大学大学院理学研究科物理学第 専攻 西本明宏 (Akihiro Nishimoto)Department of Physics, Kyoto University
奈良女子大学人間文化研究科 狐崎 創 (So Kitsunezaki)
Department of Physics, Nara Women’s University
早稲田大学理工学部 山崎義弘 (Yoshihiro Yamazaki)
Department of Physics, Waseda University
明治鍼灸大学医療情報学ユニット 青木伊知男 (Ichio Aoki)
Department of Medical Informatics, Meiji University of Oriental Medicine$\text{一}$1

はじめに亀裂によるパターン形成は日常生活においてよく見られる現象であり, 様々な分野で研究されしかしながら, そこで起きている破壊という過程は, 強い非線形性と不可逆性を持っている [1]ており, 十分理解されているとは言いがたい. 様々な破壊現象の中で, 温度や含水量などの外的な場の勾配が, 物質の音速よりゆつくりした速度で, 方向性を持って伝搬していく亀裂をつくり出すことがある. このような破壊過程において, 亀裂はしばしば規則正しい構造を作ることが知られている. たとえば, 準二次元的な系での方向性破壊現象については, ガラス板の冷却過程 [2, 3, 4]や, コロイドサスペンジョンの乾燥過程 [5] などの実験系で, 単独亀裂の運動や複数亀裂の亀裂間間隔選択問題などについての研究がある. 三次元的な系としては, ガラスの急冷実験 [6] や数値モ
デル [7] 以外に, 玄武岩等の火成岩に見られる柱状節理–すなわち, 地上に噴出した溶岩の冷却過程において形成された角柱構造 (図 ) $-$ がもつとも興味を引くものの一つとしてあけられるだろう. 柱状節理に関する多くの研究は, 観測および理論的なモデルを出発点としている [8, 9, 10, 11].
これは, 温度や圧力などの条件が実験室内で再現しにくいという理由だけでなく, 三次元的な物
($1$

図
1

corresponding author. 柱状節理 (京都府玄武洞).

$1_{-}$

46

図 2: 水=デンプン系の薄いサンプルの乾燥亀裂パターン. (a) 反射光. 直径

拡犬図. (c) 透過光. 直径$120\mathrm{m}\mathrm{m}$$160\mathrm{m}\mathrm{m}$. (b) (a) の.

質の内部の亀裂の可視化や外的な要因の制御が困難なためであると思われる. 近年, 柱状節理に酷似した構造が, 水=デンプン混合物の乾燥実験において示された [12, 13, 14]

その形態上の類似性は我々の想像力を大いにかきたてるが, 亀裂パターンの断面構造や時間発展に関する解析が十分になされたとは言えない. 特に, 応力分布や破壊過程の主駆動要因であると思われる含水量分布に関する直接的な測定は行われていない.
本論文は, 水=デンプン系の乾燥過程における亀裂のパターン形成現象での断面可視化と含水量分布の測定に関する報告である. ます最初に, 簡単なレビューを行い, 樹脂固化研磨法と乾燥後の断面画像から得られる亀裂パターンの静的な特徴について述べる. 次に, MRI を用いた実時間含水量測定について述べる. 最後に, 亀裂の排水機能を考慮した理論モデルに関して考察する.

2

静的な特徴一亀裂パターン

実験の典型的な設定は次の通りである. デンプン (コーンスターチ) と同じ質量の水を混合し,容器 (ガラスあるいはアクリル) に注ぎ, 上面を開放したものをサンプルとする. サンプルは温度制御された電気炉やエアコンを効かせた部屋で乾燥させる. 乾燥は局所的な体積変化を引き起こし, それに伴う応力集中は亀裂の生成によって解放される. 水=デンプン系の乾燥過程では,以下のようなことが知られている. サンプルが薄い (たとえばアスペクト比が 10 以上) 場合,
図 2 に示されるような二種類の亀裂が観測される. タイプ I と呼ばれる滑らかな亀裂と, タイプII と呼ばれる入り組んて曲がった亀裂は, 形成過程も形態的にも異なる. 第一に, 形成の時間的な順序はタイプ II に比べてタイプ 気 早い
. 第二に, タイプ I は巨視的には深さ方向に一様な構造を持っている 2 が, タイプ垣は三次元的に変化しており, 後述するように角柱構造をなす[12, 13, 14] 第三はそれぞれの亀裂の形成過程である. タイプ I は, それぞれの亀裂が逐次的に生じる– すなわち, “幹” が走った後に “枝” が形成される [15]それに対して, タイプ Il の形成過程はそれほど詳しくは調べられていないが, 表面から内部に向かって進行すると考えられている. 第四は亀裂生成に必要な応力集中の原因に関してである. タイプ I の場合, 応力集中は混合物と容器との乾燥過程における収縮率の差および両者の間の摩擦によって生じることが知られ一方, タイプ垣では混合物内部での局所収縮率の非一様性によると考ている [16, 17, 18, 19]
えられている. 第五に, タイブ I の亀裂は他の湿潤粉体の乾燥過程や塗料の乾燥過程でも観測さ2 微視的にみるとタイプ

I の側面には細かい羽毛状のバターンが見られる.

47$\ovalbox{\tt\small REJECT}.$.

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ゝ.

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$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}^{\grave{\Gamma}’}’.-\cdot\backslash ..\backslash _{\theta}|^{1}$]$\wedge\backslash \backslash \cdot$

(c)

(b)
$25\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{m}$$6.25\mathrm{m}\mathrm{m}$$40\mathrm{m}\mathrm{m}$$-\backslash \backslash \backslash \backslash \backslash _{\vee}[searrow]$$\mathrm{n}$$..\backslash$

図 3: 樹脂固化研磨法によって可視化された亀裂パターン. (a) 直径のサンプルの水平断面, (b) 表面からの深さ面. 直径のサンプルの垂直断および (c) 11$.60\mathrm{m}\mathrm{m}$

.

(b)

(a)
$\dot{\text{図}}4:(\mathrm{a})$’$\cdot$$:$(a).

$\cdot$$\cdot$$\cdot$

亀裂長の深さ依存性. 直線は深い領域をフイットしたもので, 傾き -0.79((b) 三点交差における亀裂間角廣分布.

れているが, タイプ$\mathrm{I}\mathrm{I}$は水=デンプン系以外では報告がない. 本論文では, このタイプ II に焦点を当てる.
サンプル内部の亀裂構造は, 手による破壊や 線トモグラフイによってもその構造を可視化できるが, ここでは樹脂固化研磨法を用いた. 樹脂固化研磨法とは, サンプルが完全に乾燥した後,可視化のためにインクを入れたエポキシ樹脂 (STYCAST 1266) によってサンプルを固化し, 旋盤によって表面を順次削ることによって断面の亀裂構造を可視化する方法である. 断面画像は, ス$\mathrm{X}$

キャナによって 512 $\cross 512$ ピクセル $\cross 256$ グレイスケールで記録した. 試料にはコーンスターチ(ナカライテスク) を使用し, タイプ I の亀裂の数を減らすために, サンプルのアスペクト比をほぼ 1 に選んだ. これは, タイプ I の亀裂間間隔がサンプルの厚さに線形に比例すること $[16, 17]$を考慮した結果である. 実際, この幾何学的条件では, タイプ I の亀裂は主に容器と混合物の間にてきる. 典型的な断面を図 3 に示す.

表面から内部に行くにしたがって亀裂間). このことは, 水平断面に見られる多角形構

垂直断面では,隔が大きくなっていることが示されている (図$3(\mathrm{a})$48

図 5: MR による含水量の垂直分布. (a) 積算領域の模式図. ステージ 3 開始から, (b) 47 時間
および, (c) 98 時間後のシグナル強度. 領域の大きさは
後.
$(\mathrm{T}=84)$$(\mathrm{T}=4)$$40\mathrm{m}\mathrm{m}\cross 40\mathrm{m}\mathrm{m}$$(\mathrm{d})$の中に描かれている矩形領域について水平方向に平均したシグナル強度の垂直分布. 三つ$56$ 時間後時間後での測定データ.の曲線はそれぞれ 152 時間後$(\mathrm{b})(\mathrm{c})$$(\mathrm{T}=13),$$(\mathrm{T}=48)_{\backslash }97$$(\mathrm{T}=83)$

および (c)). この傾向を定量化するため, 表面か造のセルサイズの変化にも表れている (図ここで, ある断面における亀裂長は, その断面画像を測定した.
における亀裂長ら深さはをを二値化および骨格化 (skeletonization) して残ったピクセルの総数と定義した. 図$L(z)$の関数としてプロットしたものである.
はほぽ単調減少であり [20] 深い領域では, べき則$L(z)\propto z^{-0.79\pm 0.4}$ に乗っているとみることもできる.
多角形セルは同形同サイズであるという幾何学的な関係を仮定すると, 角柱構造の平均的な大さ はに反比例するので, 図は, 角柱が内部に行くにしたがって大くなっていることを表している. なお, 亀裂間角度は $120\circ$ 近辺に単峰である (図) $[21][22]$$3(\mathrm{b})$$L$$z$$L$$4(\mathrm{a})$

$b$

$L$

$L$

$z$$4(\mathrm{a})$$4(\mathrm{b})$3

動的な振舞い–含水量ダイナミクス

亀裂生成の要因を明らかにするために, 応力集中の原因となる含水量分布の実時間測定を行った. 予備的な実験の結果から, 乾燥過程は次の三つ段階を踏むことが分かっている. ステージ 1:含水量はゆっくりと一様に減衰する. ステージ 2: 含水量の突然の変化とともに, タイプ 気竜裂が生成される. 亀裂以外の含水量は一様である. ステージ 3: ゆっくりと含水量が減衰するが,分布は一様ではなく,「フロント」が存在する. このフロントは, 後述するように, サンプルの表面から内部に向かって進行する. タイプ垣の亀裂はこのときに形成されていると考えられる. 以下, このステージ 3 に着目する. サンプルの温度をに固定し, MRI を用いて, 主に水の陽子に応答するシグナルの積算を, 垂直および水平断面についてステージ 3 の開始から 88 セッ$25\pm 1^{\mathrm{o}}C$

49とが示唆される. ただし, 反応強度が表しているのは含水量であり, 応力や歪をあら しているのではない. したがって,$\dagger 0$

亀裂そのものを可視化しているわけではないことに注意しなければならない.

4

図 6: ステージ 3 開始後 97 時間後 $(\mathrm{T}=83)$ での含水量分

右. (a) 垂直分布. 記号については本文参照.
は水平分布.

$(\mathrm{b})(\mathrm{c})(\mathrm{d})$水の輸送過程実験によって得られたデータを解釈し, 亀裂・応力・含水量分布の関係と水分輸送のメカニズおよび駆動要因である含水量分布 の依存関係に着目しと応力ムを考察する. ます, 亀裂$L$$\sigma$$c$

50

図 7: 乾燥破壊の三つの要因.

よう (図 7).

一般の破壊現象と同様に, 亀裂と応力は互いの決定要因であり, それぞれ時問および空間で決まる状態変数 (あるいは境界条件) として解かなければならない. 加えて, ガラス板の冷却実験のように, 外場がよく制御された準二次元系の場合と異なり, 本実験 (あるいは柱状節理) のような三次元的な現象では, 駆動要因である外場も一つの状態変数として解く必要がある.
特に, 図 5 および図 6 から示唆されたように, 亀裂が排水孔としての役割を果たしているならば,応力の主駆動要因である含水量分布が亀裂によって変化させられるわけであるから, 含水量分布を独立に解くことが出来ない.
そこで, 水分輸送について考察しよう. 多孔性物質中の含水量分布の時間発展は, 水・水蒸気.
熱の輸送, 相変化 (蒸発) などの諸過程が複雑に絡み合ったものであり, 標準的な理論は物質に依存した多くの係数を含む [24] ここでは, 水=デンプン混合系が作るバルクな多孔質内の輸送と,亀裂を通っての排水 (drainage) 効果によるものを考えてみよう. 前者は非一様不飽和多孔性物質中の水の移動であり, 一般には温度勾配と含水量勾配に依存するが, ここでは温度一定と考え, 拡張されたダルシー則を当てはめると, 水の体積分率 $c(x, y, z, t)$ は, 拡散係数 $D$ を持つリチャドソンの拡散方程式に従うと考えられる [24] 一方, 後者は各時刻で生成されている亀裂の空間的配置や, 亀裂面での境界条件を決める亀裂外部での水蒸気圧に依存する.の断面画像に見られるセル構造が亀裂を表しているとすれば, 亀裂によって作られた空隙部分の含水量は混合物内よりも少なく, 亀裂からの蒸発は比例係数 (蒸発抵抗と空気密度の積) を , 亀裂の外側の水蒸気圧を c。とすると単位面積あたりで表される.と $z+dz$ の間のスライスで含水量を水平面内で平均した平均含水量分布 $c(z, t)$
ここで, 深さの発展に着目しよう. 深さ での type 垣の亀裂の長さをとすると, スライスの亀裂からの蒸発はと考えられる. したがって, $c(z, t)$ の時間変化は,–$\mathrm{M}\mathrm{R}$$\lambda$$\lambda(c-c_{o})$$z$$L_{II}$$z$$\lambda L_{II}(c-c_{o})$$\frac{\partial c}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial z}(D\frac{\partial c}{\partial z})+\lambda L_{IJ}(c-c_{o})$と書ける. 右辺第一項は水 $=$ デンプン混合物内の水の拡散であり, 右辺第二項は亀裂からの水の排水を表す、 拡散係数 $D$ と亀裂外水蒸気圧は一般に定数ではなく, 前者は含水量 の関数,後者は亀裂先端からの距離と表面からの深さの関数であると考えられる. この水分輸送方程式は,亀裂の時空間パターン $L_{II}(z, t)$ が与えられなければ解けないが, ます二っの極端な場合を考えて$c_{o}$$c$ならば, 右辺第一項が支配的になり, 水分の輸送はバルクな多孔質内の拡散が大に示された含水量部分を受け持つ. したがって, 含水量は拡散方程式に従う. この場合, 図みよう.

$D>>\lambda$$5(\mathrm{d})$ならば, 排水孔としての亀裂分布の凸性は拡散係数 $D(c)$ に起因すると考えられる. 逆にフロントのすぐ背後に外気と同じ環境がが定数であるとすれば,からの蒸発が支配的になる.
あるのだから, 破壊領域がフロントにあるならば, 応力の分布は亀裂の位置に対していつも一定値を保つ様な定常進行解が考えられる. これは自己駆動亀裂 (self driven crack) [25] であり, 亀は深さによらないことが予想される. 実際には, 含水量パターンにセル構造が表れ裂の長さは表面からの距離とともに減衰しているていること (図 6), また観測された亀裂パターンでまたは, 深さに依存した亀裂外水蒸$D(c)-$
から,に依存した拡散係数
含水量
こと (図)$D<<\lambda$$c_{o}$$L_{II}$$L_{II}$$z$$c$$4(\mathrm{a})$あるいはそれらの効果の複合によって含水量分布が時間発展していると予想される.

気圧 $c_{o}(z)$すなわち亀裂の発展則を決との閉じた形で発展則を得るためには、含水量めなければならない. 破壊過程が準静的であれば, グリフイス的な進展条件を用いることができるが, 弾性エネルギーは亀裂の幾何学的な形状や応力分布に依存するので, その見積りには数値$c$と亀裂長$L_{JI}$$L_{II}$

計算との併用が適当と思われる [26]5

おわりに水 $=$ デンプン系の乾燥過程で,三次元的な物質内部を進行する方向性破壊による角柱構造を得た. 樹脂固化研磨法によって乾燥後の亀裂パターンを可視化し, 表面から内部に向かうにしたがって角柱が大くなっていることを示した. また, MRI を用いて含水量分布の実時間測定を行い, 含水量の分布が 2 方向にはフロントを持つこと, フロントの後ろで亀裂と同じセルパターンを持つことを示した. 亀裂の排水孔としての役割を考慮した含水量分布 $c(z, t)$ の発展モデルを提案した.
亀裂 $L_{II}(z, t)$ との閉じた形が得られれば, 角柱の太さの深さ依存性に関して理論的な予言がえられ, 実験との比較も可能になる.

柱状節理の構造に適用することも考えられる.

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046147.
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${\rm Res}.,$

45.

$86$

${\rm Res}$$03(1998)15239j$(1998) 93; G. Miiller, J. Geophys.
. $105$ (2000) 723; G. Miiller, J. Struct. Geol., 23 (2001)${\rm Res}.,$52[13] T. Mizuguchi et al., Bussei Kenkyu (Japanese), 71 (1999) 684; T. Mizuguchi et al., Powder and(2001) 55.
$\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{s}:2001_{\mathrm{I}}$[14] A. Toramaru and T. Matsumoto, to be published in J. Geophysical Research.
[15] 亀裂先端の伝播速度は有限なので, タイプ I の亀裂の生成順序は局所的に定義される. —^本の亀裂が互いにぶつかり合うこともありうる.

[16] A. Groisman and E. Kaplan, Europhysics Letters, 25 (1994) 415.
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[18] K. Leung, Phys. Rev. Lett., 85 (2000) 662.
[19] K. A. Shorlin et al., Phys. Rev., E61 (2000) 6950.
[20] このアスペクト比であれば, タイプ の亀裂が形成される前に, タイプ I の亀裂がー, —箇所 (主に容器と混合物の間) て形成される. 水分は全ての表面から逃けて行くため, タイプ垣の亀裂の内部への進行は, 上面からだけでなく, タイプ 気梁μ未篦賁未 らも起こる. そのため, 角柱構造の大さは底面近くのサンプル内部で最大値を取ることがある.
$\cdot$$\mathrm{I}\mathrm{I}$[21] 亀裂間の “角度’. の定義には注意を要する. これは, 亀裂の断面が必すしも線分で出来ていないことによる. 本論文では, 元データを— 値化および骨格化 (skeletonization) することによって得られた曲線群を亀裂先端が通過した跡とみなしている. 亀裂間角席は次のように定義される. すなわち, 曲線の円を描き, 三点バーテックスから伸びている三本の曲群の中の三点バーテックスの周りに半径線の中の二本の曲線と円とによって囲まれた部分の面積の比率を, その三点バーテックスから伸びる亀裂の間の角度の比と定義する. 角度分布のビークの位置と単峰性は,を適当な範囲で動かしても変わらない. ちなみに, 同様の方法で測定されたタイプ I の亀裂間角度分布は,および $180\circ$ 付
近で極大を取る双峰性を持つ,$r_{0}$$r_{0}$$90\circ$[22] 多角形の辺の数を測定する場合にも慎重さを要する. 他の辺とつながっていない亀裂が多く見られるからである.

[23] 測定方法の詳細: T. Mizuguchi, et$\mathrm{a}1$, submitted to Phys. Rev. E.

[ $24|$ 例えば “Porous Media”, F. A. L. Dullien, Academic Press, (1979).

[25] T. Boeck, H. -A. Bahr, S. Lampenscherf, U. Bahr, Phys. Rev. E59 (1999) 1408; B. IYakobson,Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 1590.

[26] A. Nishimoto, S. Kitunezaki and T. Mizuguchi, in preparation.