数理解析研究所講究録
1075 巻 1999 年 156-171

156
回転一様勢州乱流における渦構造のダイナミックス
田中満(Mitsuru Tanaka)

河原源太(Genta Kawahara)

岡山大 柳瀬眞–郎
核融合研 木田重雄(Shinichiro Yanase)

京都工繊大

愛媛大

(Shigeo Kida)

1. はじめに
回転論断乱流は、地球物理, 宇宙物理の様々な状況において観察されるほか, ターボ機械
内流れのような工学的応用においても見られ, その流れ構造の理解は流体力学の中心課題の$-$ つとなっている.
また, 系の回転は勇断乱流中の渦構造に対して多大な影響を与えることから, そのメカニズムの理解により乱流の制御に向けたヒントが得られるのではないかと期待されている.
強い回転下では, 乱流が 2 次元化することが知られている. これは–見 Taylor-Proudmanの定理より自明であるようにも思われるが, この定理自身は 2 次元化のプロセスを説明できない. ヘリカル分解や EDQNM を用いた解析 (Cambon and Jacquin [6], Cambon et al.

[7], Waleffe [19] により, スペクトル空間におけるエネルギーが非線形の波数間エネルギ一$)$輸送により, 回転軸に垂直な平面内に集中する傾向があることが示されている. しかし, 乱流の純 2 次元状態への変化を明確に示したものは少な (Bartello et al. [3] など), また, 2 次
元化メカニズムの物理的解釈も現段階では不十分であるように思われる.
$\langle$

近年, 系の回転と渦管の回転との関係が回転乱流における秩序構造の発達を決める重要な要素であることがわかってきた. その内部の渦度ベクトルと勢断回転の渦度が同方向を向く渦管はサイクロニッタ渦, 反対方向を向くものはアンチサイクロニッタ渦と呼ばれる. 系の回転が十分には速くない場合, サイクロニッタ渦は 2 次元的な形状を保つが, アン
チサイクロニッタ渦は 3 次元的な構造に崩壊することが知られている (Lesieur et al. [14],Me’tais et al. [16] など). 回転チャネル乱流では, 主流勇断と回転の年度の向きが同方向となる両側 (Suction side) では乱流は減衰し, 反対方向となる壁側 (Pressure side) では活発化す
ることが知られている (Kristoffersen and Andersson [12] など). また, コア領域に絶対七度が(主流勢断と回転の毎度の和が ) となるような線形の平均速度分布が現れることがわ
かっている. サイクロニッタ渦アンチサイクロニッタ渦という概念は, 非回転の壁面勢断乱流においても非常に重要であり, サイクロニッタ渦は勢断との相互作用のため, アンチサ
イクロニッタ渦よりも速く成長することが判明している (Kawahara et $al.[8]$ ). よって, 回転
勢断乱流においては, 系の回転, 一様勢断, 渦管の 3 者の渦度の向きの関係がそのダイナミッ
クスを決める重要な要素であることが予想される.
$0$

$0$

ここで考察する –様回転勢断乱流は, これまでに, Rapid Distortion Theory (RDT)(Bertoglio [4], Salhi and Cambon [18])$\ll\supset$

Large Eddy Simulation (LES) (Bardina [2])により研究されおり, 乱流エネルギーがアンチサイクロニッタ回転 (サイクロニッタ回転) の場合に増加 (減少) することが示された. これは Bradshaw [5] により提唱された判定条件とコンシステントである. しかし, 回転勢断乱流の性質を決定するもう 1 つの重要な要素と157考えられる渦構造については, これまでに調べられてこなかった. そこで本稿では, NavierStokes 方程式の直接数値計算により, 回転一様勇断乱流における渦構造を詳しく調べる.

2. 定式化2.1 基礎方程式
一様勇断流 $U=(Sx_{2},0,0)$ がの速度ゆらぎ$u_{i}$$x_{3}$

軸まわりに回転しているものとする (図 1). 回転系でに対する方程式は,$\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+Sx_{2}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{1}}+u_{k^{\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{k}}=}}-s_{u_{2}\delta_{i}}1+f\epsilon_{ij3}u_{j}-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}+\iota \text{ノ}\nabla^{2}u_{i}$にソレノイダル条件$\partial u_{j}/\partial x_{j}=0$$\Omega$$\rho$(1)

は流体の動粘は圧力,は–定であるので, ここではを加えたものである. ここで,は系の回転角速度である. 流体の密度性係数, $f=2\Omega$ で
1 とおく. 式 (1) の curl をとると

,

$P$

$\nu$

,

(2)

$\frac{\partial\omega_{i}}{\partial t}+Sx_{2^{\frac{\partial\omega_{i}}{\partial x_{1}}}}+u_{k}.\frac{\partial\omega_{i}}{\partial x_{k}}=S\omega 2\delta_{i1}+(f-s)\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{3}}+\omega k\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{k}}+\nu\nabla^{2}\omega_{i}$は渦度ゆらぎである. 式 (2) 左辺第 2の渦度方程式が得られる. ここで,方向に傾け項は–様勢断による渦度の移流を表し, 渦度の向きを変えずに構造を流れ方向から流れ方向への九度の変る役割を果たす. 右辺第 1 項は, -様勢断による鉛直方向渦度
成分 $(i=1,2)$ への変換, もしくは, スパン
換, 第 2 項は–様勇断の渦度のとなる. このとき, 系の回転に対応する渦度の伸長を表す. 右辺第 2 項は $S=f$ のとき$\omega_{i}=\epsilon_{ijk}\partial u_{k}/\partial x_{j}$$(x_{1})$$(x_{2})$$(x_{3})$$x_{i}$$0$$(0,0,2\Omega)$

が–様勇断の直向 $(0,0, -S)$ を打ち消す, つまり, 主流勢断の絶対渦度は

$0$

となっ

$E(t)= \frac{1}{2}\overline{|u|^{2}}(\equiv\frac{1}{2}u’(t)^{2})$

の時間

ている。

22 乱流エネルギー

一様乱流に対しては, 単位質量あたりの乱流エネルギー
発展は$\vee-\overline{\mathrm{d}t}=-s_{\overline{u_{1}u}}2^{-UQ}$(3),のように表される. ここで, $Q(t)=|\omega|^{2}(\equiv\omega’(t)^{2})$ はエンストロフィ一で, は の空間平均を表す. 式 (3) 右辺第 1, 2 項は, それぞれ, レイノルズ勢断応力, 粘性散逸である. 式 (3)には系の回転は陽には現れないが, レイノルズ勢断応力や粘性散逸を変化させることにより,
乱流エネルギーの発達に大きな影響を与えていることに注意する. 式 (3) は乱流速度場の非等方テンソル$\overline{a}$,$b_{ij}=\overline{u_{i}u_{j}}/u^{J2}-(1/3)\delta_{ij}$

$a$

(4)

を用いて
$\frac{1}{E}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=-2sb_{1}2-\mathcal{U}\frac{Q}{E}$.

(5)のように書き直される. 以降, 式 (5) 右辺第 1 項 $(-2Sb_{12})$ , 第 2 項 $(\nu Q/E)$ をそれぞれ, 相対レイノルズ勢断応力, 相対エネルギー散逸率と呼ぶことにする.

158
23 パラメーター
回転一様勢断乱流を特徴づける時間スケールは 4 つある.
$1/|S|$

はそれぞれで与えられる.

$u^{J2}/\nu\omega^{l2},1/\omega’$

回転, 写染に対応する時間スである. また, 乱流中の大きい渦, 小さい渦の時間スケ $-$ ル

ケールはそれぞれ $1/|f|$ と一様回転乱流での大スケールの運動は大スケールロスビー数,(6)$Ro^{(u)}(t)= \frac{\nu\omega^{\prime 2}}{|f|u^{2}}$によって, 小スケールの運動は小スケールロスビ一数$Ro^{(\omega)}(t)= \frac{\dot{(}v’}{|f|}$.

(7)

によって特徴づけられる. 回転に対する –様勢断の相対的な強さは勢断ロスビー数(8)$Ro^{(S)}(t)=-\underline{S}$$f$’で表される. これはサイクロニッタ (アンチサイクロニッタ) のとき正 (負) である. なお, テ
イラーマイクロスケールレイノルズ数 $R_{\lambda}(t)=u’\lambda/\nu$ (ここで $\lambda=u’/\omega’$ ) と勢断率パラメー
ター $S^{*}(t)=Sul2/\nu\omega^{;2}$ (Kida and Tanaka [10]) は式 (6) $-(8)$ のロスビー数を用いると$R_{\lambda}(t)=Ro/(\omega)Ro^{(u}),$のように書き表される. 以降,$R_{\lambda}$$S^{*}(t)=|Ro^{(S})|/Ro(u)$ .

(9). を単にレイノルズ数と呼ぶことにする.

2.4 Bradshaw の判定条件
回転勢断流の線形安定性についての議論が Bradshaw [5] によってなされた. 彼は回転乱流と成層乱流のアナロジーから無次元量$B=f(f-s)/S^{2}=(1+Ro(s))/(Ro^{(s)})^{2}$(10)を導入し, 系の回転は勢断乱流の 3 次元運動を $B>0$ のとき安定化させ, $B<0$ のとき不安定化させるものと結論づけた. この判定条件に従うと, 流れはアンチサイクロニッタだが回転が弱い $(Ro^{(}S)<-1)$ ときには不安定, サイクロニッタ $(Ro^{(}S)>0)$ , もしくは, アンチサ
イクロニッタで回転が強い $(0>Ro^{(S)}>-1)$ ときには安定ということになる. 非回転の場と –様勢断の絶対渦度が の場合
合は中立である.
$(R_{\mathit{0}=\infty})$

ゆらぎ場が

$0$

$x_{1},$$x_{2}$の 2 方向に–様と仮定して得られる方程式 (M\’etais et al. [17])$\frac{\partial u_{1}}{\partial t}=(2\Omega-s)u_{2}$から),$\not\in$$(R_{\mathit{0}=}-1)$,$\frac{\partial u_{2}}{\partial t}=-2\Omega u_{1}$

この判定条件は導かれる. 乱流エネルギー,$\frac{1}{2}(u_{1}^{2}+u1)$$u_{3}=0$,(11)

は $B<0$ のとき $\exp[\sqrt{-B}S^{2}t]$のよっに時間とともに指数的に増大するが, $B>0$ では振動的である. このような式 (11) の159
解の重ね合せにより, その法線が回転軸に垂直であるような渦層 (\S 3.2.2 参照) が構成できることを注意しておく.

25 位相撹絆効果と共鳴相互作用
強い回転下では, 乱流場は慣性波により支配される. 慣性波はヘリカルモードとして表現されるため, 強回転下での乱流場を記述するにはヘリカル分解が最も適切な方法であると考えられる (Cambon and Jacquin [6], Waleffe [19]). 回転系での線形化された渦度方程式は(粘性を無視して)$\partial-$$\overline{\partial^{-}t}^{\nabla u=}\cross 2(\Omega\cdot\nabla)u$.

,

で与えられる. ここで,は回転角速度である. 式 (12) は解をもつ. ここで, $k\cdot h_{S}=0,$,$\Omega$(12)$u=h_{s}\exp(\mathrm{i}k\cdot x+\mathrm{i}\omega_{k}t)$の形の$\mathrm{i}k\cross h_{s}=skh_{s}$(13)$\omega_{k}=2s(k\cdot\Omega)/k=2s\Omega\cos\theta_{k}$であり,は波数ベクトル, $k=|k|,$ $s=\pm 1$ はヘリカルモードの固有値,はに対応する画有ベクトル,は慣性波の周波数,は波数ベクトルと回転軸との間の角度を表す.
速度場のヘリカル分解 $\tilde{u}(k)=a_{+}(k)h_{+}+a_{-}(k)h_{-}$ により,の発展方程式が回転系での$k$$h_{s}$$s$$\theta_{k}$$\omega_{k}$$a_{\pm}$

Navier-Stokes 方程式から$( \frac{\partial}{\partial t}-\mathrm{i}\omega_{s_{k}}+\nu k2\mathrm{I}a_{s}k=\frac{1}{2}\sum_{+kp+q=O}c_{k}s_{k}SS_{q}\mathrm{p}a^{**}apqS_{p}s_{q}$のように得られる.
$s_{k},$$s_{p},$

.

(14)

ここで,
は非線型項に由来する係数であり, $\omega_{s_{k}}=2s_{k}\Omega\cos\theta k$ ,$s_{q}=\pm 1$ である. * は複素共役を表す. 線形項はコリオリ項に由来する.
$C_{k_{\mathrm{P}}}^{S_{k^{S_{p^{S_{q}}}}}}q$$\mathrm{i}\omega_{s_{k}}a_{s_{k}}$式 (6) $-(8)$ で定義されるロスビー数がすべて 1 よりずっと小さくなるほど, 系の回転角速度が十分に大きな場合を想定し, 慣性波に対応する速い振動をる。 このとき$b_{s}$$a_{s}=b_{s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}s$.

$( \frac{\partial}{\partial t}+\nu k^{2}\mathrm{I}b_{s}k=\frac{1}{2}\sum_{ok+_{P^{+}q=}}CS_{k}s_{pq}sb^{*}b^{*}\mathrm{e}kpqs_{p}s_{Q}-\mathrm{i}(\omega_{s}+\omega sp+\omega_{s_{q}})kt$に従う. 式 (15) 右辺の位相$-\mathrm{i}(\omega_{s_{k}}+\omega_{s_{p}}+\omega_{s_{q}})t$

時間とともに激しく変化し, その位相を含む項はよって, 高速回転の極限
共鳴相互作用る.

のように分離すは$\Omegaarrow\infty$(15)

は $|\omega_{s_{k}}+\omega_{s_{p}}+\omega_{s_{q}}|<<1$ の場合を除き,の変動の時間スケで平均すると消えでは, 非線型項は $k+p+q=0$ の triad が近似的に$-[]\mathrm{s}$$b_{s}$(16)$\cos\theta_{k}+\cos\theta_{p}+\cos\theta_{q}=0$を満たすときにのみ活発であると予想される.
ところで, 式 (13) は純 2 次元モード $(k_{3}=0)$ では $k\cdot\Omega=0$ より慣性波が存在しない
ことを示している. この場合を除き, 速度ベクトル
は波数ベクトルに垂直な平面を回転している ( $k\cdot\tilde{u}(k)=0$ に注意). 渦管は波数ベクトルの向きが異なるフーリエモー
ド叙初により構成されていること, さらに、慣性波の振動数が波数ベクトルと回転軸の角度$k$$\overline{u}(k)$

$k$

160

$\theta_{k}$に依存することを考え合わせると, 回転軸と渦管の軸の方向が–致する場合を除き, 回転は渦管をランダムな位相をもった平面波の重ね合わせへと分解してしまうことがわかる.

この位相を撹拝する効果 (phase scrambling effect) は, 線形安定な場合に特に重要になってく
スペクトる (\S 3.2.4). 最後に, 位相がランダムな速度場に対するレイノルズ応力テンソルは,
ル空間において,(17)$\tilde{R}_{ij}(k)\equiv{\rm Re}[\langle\tilde{u}_{i}(k)\tilde{u}^{*}(jk)\rangle]=\frac{1}{2}(\delta_{ij}-\frac{k_{i}k_{j}}{|k^{2}|}\mathrm{I}\langle|\overline{u}(k)|^{2}\rangle,$のように記述されることを付記しておく. ここに, 括弧$\langle\rangle$

はアンサンブル平均を表す.

2.6 Rapid Distortion Theory
式 (1) を線形化した方程式に対する解析である Rapid Distortion Theory (RDT) について考察する. 各フーリエ係数銀 k) に対して, 超幾何関数の形で解析解が得られ (Salhi

and Cambon [18] , 初期の場の位相がランダムであれば, その波数に対するレイノルズ応力$)$の形が決まる (式 (17) 参照). レイノルズ応力の空間平均を求めるには, これをさらにスペクトル空間において積分する必要があるが, その積分を解析的に表すのは–般に難しい.

$\tilde{R}_{ij}(k)$$|f|>>|S|$ の場合には, 位相撹拝の効果により,$b_{ij}=b_{i}^{(e)}j \equiv-\frac{1}{2}y_{ij}$

(18)

,

の関係が近似的に成り立つ (式 (17) 参照). ここで, 陶は, 速度場のフーリエ係数,$–$,$\tilde{u}_{i}(k)$を用$\text{いて}$$y_{ij}= \frac{Y_{ij}}{Y_{kk}}-\frac{1}{3}\delta_{ij}$(19)$Y_{ij}= \int\frac{k_{i}k_{j}}{k^{2}}|\overline{u}(k)|^{2}\mathrm{d}k$で定義される (Kida and Hunt [9], Mansour et al. [15]). 式 (18) と (.19) は速度場の相関がの最短軸) が速度ベクトルの方向と平均的に–致することを示してい
最も長くなる方向 (方向に引き伸ばさる. 同様の関係は渦磁場に対しても成り立つ. 構造は勇断により流れ$Y_{ij}$$(x_{1})$

れているので, 流れ方向成分$u_{1}$(と$\omega_{1}$) が他の成分よりも卓越する.

27 数値計算法(Kida and Tanaka [11]). 空
間微分には擬スペクトル法, 時間積分にはルンゲ・クッタ・ギル法を用いる. 初期の速度場
式 (1) を–様勢門とともに動く座標系において数値的に解$\langle$

は, エネルギースペクトルが$E(k)=ck^{4}\exp(-2k^{2}/k_{0}^{2})$

(20)

,

の形になるようフーリエ係数を与える. また, 位相はランダムに与える. ここに,はエネルギースペクトルが最大となる波数である.

$c$

は定数,

$k_{0}$の多くの異なった組み合わせに対して計算を行った. ここで紹介する計算に用いたパラメーターを表 1 にまとめる. ここに示す計算では,$c,$$k_{0},$$\omega’(0)=1$

$S,$

$f$

と初期のレイノルズ数となるよう$c= \frac{128}{15}\sqrt{\frac{2}{\pi}}k_{0^{7}}^{-}$$R_{\lambda}(\mathrm{O})$

とおいている.

これは時間スケールを$\omega’(0)$

で規格

161

化するのと同等である. 式 (1) を線形化した式を数値的に解くことによって RDT の解析も行った.

3. 結果と考察
3.1 勢断がない場合

3.1.1 統計的性質

まず, 勢断がない場合について考察する. ここでは特に回転による乱流の 2 次元化に注目する。 回転角速度と 2 次元化の関係を調べるため,のいくつかの値に対して, 同じ初期レイノ$\cross
64\cross 128$ 格子数の計算を行った (表 1 のルズ数, 同じ初期条件のもとで 64$f$$R_{\lambda}(\mathrm{O})=16$

group A 参照)。と2
図 2(a) と (b) は, それぞれ, 乱流エネルギーの 3 次元モードの時間発展を $Ro^{(\omega)}(0)=\infty$ (非回転), 4, 2, 1, 0.5, 0.25 に
次元モード
は矢印の方向に小さくなっている.
対して示したものである. 初期ロスビー数の減衰率はロスビー数とともに単調に減少するが (Bardina $et$ al. [1]), 興味深いことににおいて極大値をとる. このことは, 3 次元モードから 2 次元モーの減衰率はにおいて最も活発であることを示している.
ドへのエネルギーの伝達が$E_{3\mathrm{d}}= \frac{1}{2}\Sigma_{k_{3}\neq 0}|\tilde{u}(k)|^{2}$$E_{2\mathrm{d}}= \frac{1}{2}\Sigma_{k=}30|\tilde{u}(k)|^{2}$$Ro^{(\omega)}(0)$$E_{3\mathrm{d}}$$E_{2\mathrm{d}}$$Ro^{(\omega)}(0)\approx 1$$Ro^{(\omega)}(\mathrm{o})\approx 1$

図 3 では (a)$E_{2\mathrm{d}}/E_{3\mathrm{d}},$$(\mathrm{b})Q_{2\mathrm{d}}/Q_{3\mathrm{d}}$の時間発展を初期ロスビー数の様々な値に対して示

ただし, 回転の効果を明確にするため, 非回転の場合の値で規格化を行った. こことと同様に定義されるエンストロフィ $-$ の 3 次元, 2 次
は, それぞれ,で,元成分である. これらは速度場, 渦度場の 2 次元化の指標となっている. 図 3 に示されるよ
ともににおいて最大となっている. これは, 2 次元化
うに,がロスビー数のとき最も効率的に起こること示唆している. 同様の現象は Bartello $et$
している.
$Q_{2\mathrm{d}}$$Q_{3\mathrm{d}}$$E_{2\mathrm{d}}/E_{3\mathrm{d}},$$E_{2\mathrm{d}},$$Q_{2\mathrm{d}}/Q_{3\mathrm{d}}$$\approx 1$$E_{3\mathrm{d}}$$Ro^{(\omega)}(0)\approx 1$

162
al. [3] の hyperviscosity を用いた DNS においても見られた.
との急速な増加は比較的初期にのみ起こっていることに注意する必要がある. これは, 後半には乱流が減衰し, 非線形効果によって起こるからモードへのエネルギー伝達が弱まり, 2 次元化の進行が遅くなるためである.
$E_{2\mathrm{d}}/E_{3\mathrm{d}}$$Q_{2\mathrm{d}}/Q_{3\mathrm{d}}$$3\mathrm{D}$$2\mathrm{D}$

渦構造について詳しく調べるため, 少し高いレイノルズ数の計算 (128$128\cross 256$ 格子数) を行った. 初期ロスビー数としては, 先の結果から 2 次元化が最も強く起こることが期待される $Ro^{(\omega)}(0)=1$ とした。 比較のため, 同じ初期条件, 同じ初期レイノル. ス ‘数の非回転の計算も行った.
$R_{\lambda}(\mathrm{O})=32$$\cross$

3.12 丁度場の構造
図 4 に回転非回転の場合の $t=4,16,28$ における渦構造を示す.

非回転場に対しては, 回転台に対して$|\omega|\geq 2.0\omega’(t)(t=16),$ $|\omega|\geq 1.9\omega’(t)(t=28)$ の高渦度領域
を方向にそれぞれ $T\cross T\cross 2\pi$ ( $64\cross 64\cross 128$ 格子点) の計算領域に描いている.
エンストロフィーは回転している場合には $t=2.8$ , 非回転の場合には $t=3.3$ で最大値をとり, 時刻 $t=4$ では, 回転非回転の場合とも渦構造がはっきりと見られる. 回転している場
合, 細い渦管は主に回転軸の方向を向いており, 時間が経つにつれ, 回転軸方向に引き伸ばさ$|\omega|\geq 2.2\omega’(t)(t=4),$は$|\omega|\geq 2.1\omega’(t)(t=16),$$|\omega|\geq 2.0\omega’(t)(t=28)$$|\omega|\geq 2.1\omega’(t)(t=4),$$x_{1},$$x_{2},$$x_{3}$れた管状層状の大きな渦構造が多数見られるようになる. また, これまでにも報告されているように (Bartello et), 回転場ではアンチサイクロニッタ渦よりもサイクロニッタ渦の方が優勢である. このような回転場非回転場の違いは, 時間発展の後半には–段と顕著$\mathrm{a}l.[3]$になっている.

32 尊断がある場合

32.1 統計的性質
図 5 は勢断乱流 $(Ro^{(}S)=\infty$ (非回転), $-2,$ $-1,$ $-0.5,1;S=1)$ と等方乱流 $(f=S=0)$(表 1 の group参照) における乱流エネルギーの時間発展を示している. アンチサイクロ
ニッタで最も線形不安定な場合 $(R_{\mathit{0}^{(S)}}=-2)$ には, エネルギーは $\exp(\alpha t),$のように急速に増大している. これは, アンチサイクロニッタな渦の 3 次元的な線形不安定のよう$\mathrm{C}$$\alpha\approx 0.4$

なメカニズムが乱流エネルギーの増大につながっていることを示唆するものである. 非回転の場合 $(Ro^{(}S)=\infty,$ $B=0)$ にも, 成長率は大きくはないものの $(\sim 0.15)$ エネルギーは指数的に増大する (Kida and Tanaka [10]). もう $-$ つの中立点 $(R_{\mathit{0}^{(s_{)}}}=-1, B=0)$ では, 乱流
エネルギーはほぼ–定値を保つ. この場合 $(Ro^{(}S)=-1)$ のエネルギーの成長率が非回転の場合のそれよりも小さいこと, 線形安定なアンチサイクロニッタな場合 $(Ro^{()}s=-0.5)$ の減衰率が同じ Bradshaw 数 $(B=2)$ のサイクロニッタな場合 $(Ro^{(s)}=1)$ のそれに比べ大きい
ことは注目に値する. これは式 (10) から予想される $B$ に関する対称性が壊れていることを示している (Salhi and Cambon [18]). これらの結果は, RDT (Bertoglio [4]), LES (Bardina[2] の結果と矛盾しない. また, 線形安定な場合には減衰等方乱流よりもエネルギーが急速に減衰していることは興味深い.
$)$

図 6 は $Ro^{(S)}=1$ を除き, 図 5 と同じ場合に対する (a) 相対レイノルズ勇断応力 $-2Sb_{12}$ ,163(b) 相対エネルギー散逸率 $\nu Q/E$ (式 (5) 参照) の時間発展を示す. 相対レイノルズ勢断応
力はロスビー数をとる. $k_{1}=k_{2}=0$に強く依存し, $Ro^{(s_{)}}=-2$ で最大値のフーリエモードは $|\tilde{u}(k)|^{2}\propto\exp[2(-B)1/2St]$ のように急速に増大すること, および, 対$Ro^{(S)}$$(\approx 0.6)$

応する相対レイノルズ勢呼応カー 2SR\tilde I2$(k)/\langle|\tilde{u}(k)|2\rangle$

は $Ro^{(S)}=-2$ かつ$S=1$ のと() のように発達することに注意する (式 (11) 参照). このことは
for
DNS における相対レイノルズ勢断応力が $k_{1}=k_{2}=0$ のフーリエモードのそれに比べかな
り小さいことを示している. これは後 (\S 3.2.2) に示す渦構造の崩壊と関係しているように思われる. $Ro^{(S)}=-0.5$ に対しては レイノルズ勢断応力は負の値をとっており, 粘性散逸とともにエネルギーの減衰に寄与している. なお,を変化させたときの相対エネルギー
散逸率の変化は相対レイノルズ勢断応力の変化に比べ小さい.
き$\mathrm{t}a\mathrm{n}\mathrm{h}(2t)$$\approx 1$$t\gg 1$

$Ro^{(s_{)}}$

負のレイノルズ応力は乱流場の斜めの構造を反映している. \S 2.6 (式 (18), (19) 参照) で述べたように, 回転による位相撹拝効果が働いている場合, 速度相関が最大となる方向と速度ベクトルの向きが–致する傾向にある. 流れの構造は $S>0$ (もしくは $<0$ ) のとき,方向から正の (もしくは負の)方向に傾いているので,(もしくは $<0$ ) である. よって, レイノルズ勇断応力 $-2Sb_{12}E$ は負となる.
$x_{1^{-}}$$b_{12}\approx b_{1}^{(e_{2})}>0$$x_{2}$

先に述べたように, 乱流エネルギーの時間発展は $B=0$ に関して非対称であるが, この傾向は非線形の効果により促進されている. その様子を見るために, やや高いレイノルズ数$(R_{\lambda}(\mathrm{O})=32)$の数値計算を線形安定で同じ Bradshaw 数 $(B=2)$ のサイクロニッタ$(f=-S=0.5, Ro^{(}s_{)}=1)$ とアンチサイクロニッタ $(f=1, S=0.5, Ro^{(s_{)}}=-0.5)$ な場合に対して行った (表 1 の group$\mathrm{B}$参照).

図 7 ではサイクロニッタ $(Ro^{(}S)=1)$ , アンチサイクロニッタ $(Ro^{(}S)=-0.5)$ な場合のエネルギーの時間発展を実線で示している. 比較のため, 対応する RDT の計算結果を破線$(Ro^{(}S)=1)$ と点線 $(Ro^{(S)}=-0.5)$ で示す. 非線形の効果はアンチサイクロニッタな場合にはエネルギーの減衰を促進し, サイクロニッタな場合には抑制していることがわかる. $-$般に非線形の効果により, エネルギー散逸が促進される. アンチサイクロニッタな場合において RDT に比べ DNS のエネルギーの減少が激しいのはこのためである. サイクロニッ
クな場合にも, 初期には同様の傾向が見られるが, レイノルズ勇断応力の増加のため, 後半には RDT に比べ DNS のエネルギーのほうが大きくなる. . 図 8 は相対レイノルズ勢断応力$-2Sb_{12}$ の時間発展を (a) サイクロニッタな場合, (b) アンチサイクロニッタな場合に対して示したものである. 実線と破線はそれぞれ DNS と RDT の結果を表す. 前に述べたように.
RDT では相対レイノルズ勇断応力は負である. DNS では RDT に比べ, その値は大きくなる傾向であるが, サイクロニッタな場合により顕著である. これが, サイクロニッタ・アンチ
サイクロニッタのエネルギーの時間発展の差違につながっている. このようなふるまいの違いは, 後に述べる渦構造の違いに起因しているように思われる (\S 3.2.4).
次に, 線形不安定, 中立安定 (絶対渦度 ), 線形安定な場合の渦構造について調べる. なお, 非回転の場合については Kida and Tanaka $[12,13]$ において, 渦構造のダイナミックスが詳しく調べられている. 一様勇断乱流には 3 つの典型的な渦構造が存在する ほぼ銑方向$0$を向いた渦管である縦渦,生する$x_{3}$:$x_{3}$

成分の渦度をもった渦層とこの渦層が巻き上がることにより発方向を向いた渦管である.

164
322 線形不安定な場合の渦構造
図 9 は $Ro^{(S)}=-2$ の場合の時刻 (a) $t=4,$$(\mathrm{b})8,$$(\mathrm{c})10$における高渦度領域を示している (表 1 の group C). これは Bradshaw の判定条件で最も不安定な場合に相当する$(B=-0.25)$ .

の全計算領域に描かれた (a) $|\omega|\geq 2.4\omega’(t),$ $(\mathrm{b})|\omega|\geq 2.7\omega’(t),$$|\omega|\geq 3.0\omega’(t)$ の領域を方向から眺めている. $t=4$ では寸寸が優勢であるが, その法線が方向を向くような小さな渦層も見受けられる (例えば, 図 11(a) の A 参照). これらの渦層は, 式 (11) の急速に発達する解に対応し, そのうちのいくつかは大きな渦層へと発達する (例えば, 図 11(b) の参照). しかしながら, 最終的には不安定性のため巻き上がり, 渦管$2\pi^{3}$$(\mathrm{c})$$x_{3}$$x_{3}$$\mathrm{B}$

方向を向くものが数多く含まれていへと変形する. このようにしてできた渦管の中にはる. 興味深いことに, この渦管の向きは式 (11) の解から予想される渦度ベクトルの方向
へ
傾いた方向) や平均渦度の方向 ( 方向) とは異なっている.
方向から$x_{2}$$(x_{1}$$45^{O}$$x_{2}$$x_{3}$

323 絶対渦度がゼロの場合の渦構造
図$10(\mathrm{a}),(\mathrm{b})$は $Ro^{(S)}=-1,$の場合の $t=8$ における高渦度領域
方向から見たものである. ほぼ流れ方向を向いた極めて$(|\omega|\geq$$R_{\lambda}(\mathrm{O})=16$

方向,
コヒーレントな渦構造がはっきりと見える. これらの縦渦はすべて流れ方向から$2.3\omega’(t))$

をそれぞれ$x_{2}$$x_{3}$$x_{2}$方向に

この渦度場の最も際立った特徴は渦度ベクトルの向きと渦度の相関が最大となる方向 (渦構造の向き) が–致していることである. これは渦度方程式において, 渦構造と管内ベクトルの間にずれをもたらす線形項 (式 (2) 右辺第 2 項) が, この場合に$10^{\mathrm{O}}\sim 30^{\mathrm{O}}$

傾いている.

となることに対応していると思われる. この構造は $\tanh$ 型の勇断流に 3 次元的なランダ
ムなノイズを加えてスタートさせた計算 (M\’etais et $al.[16]$ ) や回転平面ボアゾイユ流 (Lamとなる領域における) 渦
ballais $et$ al. [13] において観測された (局所ロスビ $-$ 州がほぼ
$0$

$- 1$

$)$

構造とよく似ている.

324 線形安定な場合の渦構造参照) の時刻 $t=12$, 表 1group方向からそれぞれ見たもので方向,における高感度領域 $(|\omega|\geq 2.7\omega’(t))$ をそれぞれの高聴度領域ある. 同様に, 図 12 にはアンチサイクロニックな場合
方向$2.6\omega’(t))$
を示す. サイクロニックな場合には $S<0$ としており, このため, 主流はに減少することを注意しておく. 等渦度面の黒白は, それぞれ, $\omega_{1}>0.5$ と $\omega_{1}<-0.5$ を表
図 11$(\mathrm{a}),(\mathrm{b})$はサイクロニックな場合 ($R_{\lambda(\mathrm{O})}=32$$x_{2}$$\mathrm{B}$$x_{3}$$(|\omega|\geq$$(R_{\lambda}(\mathrm{O})=32)$$x_{2}$す.
方方向から3 つの典型的な構造が認められる. 1 つは斜めを向いた渦管であり,,方向に薄く,など). 2 つめはパンケーキ状構造であり,向へと傾いている (図 11に非など). 3 つめはリボン状構造であり,両方向に広がった互層である (図 11
常に長い累層で, パンケーキ状構造が主流により引き伸ばされたり, 斜め渦 (縦渦を含む) が主流により圧縮されたりしてできる. サイクロニッタ・アンチサイクロニックな場合とも,方向) を向く傾向があ
斜め渦内部での渦度ベクトルは絶対渦度の方向 (この場合は, 正の成分は同程度の大きさであるが, リボ成分とる. パンケーキ状の渦層では, 渦度の$x_{3}$$x_{1}$$(\mathrm{a},$$(\mathrm{a},$$x_{3}$$x_{1}$$x_{2}$$\mathrm{b})$$x_{1}$$\mathrm{b})$$x_{3}$$x_{1}$ン状の渦層では,

回転軸$(x_{3})$$x_{1}$$x_{3}$

成分がより大きいことがわかった.

方向への渦層の幅 (広がり) や縦渦の傾きは, レイノルズ数が高いほど大きい165
ことがわかった. これは勢断がない場合と同様の 2 次元化メカニズムが働いていることを示唆している. また, 図 11,12 の比較からもわかるように, その傾向はサイクロニッタな場合においてより顕著である. 斜め渦は, 主に位相撹拝効果 (\S 2.5)
時間とともに徐々に減衰していく. サイクロニッタな場合には渦管が回転軸方向により傾いているため位相撹拝効$\text{のため},-$果を受け難く; その減衰はアンチサイクロニッタな場合と比べ緩やかである. このような斜め渦の活発さの違いが, 両者におけるレイノルズせん断応力の違いとして現れているものと思われる (図 8). -方, パンケーキ状構造は比較的長時間生き延びるが, 最後には主流による引き延ばしのためリボン状に変形する。

4. まとめ
回転一様寸断乱流における乱流の統計性質と渦構造を RDT と DNS により調べた. 勢断がない場合, 回転軸方向に引き伸ばされた血管や渦層が現れる. 2 次元化はある有限のロ
スビー数 $(Ro(\omega)(0)\sim \mathrm{O}(1))$ のときに最も活発に起こる. このような 2 次元化には \S 2.5 で述べた共鳴相互作用が大きく寄与しているものと考えられるが, それを明確にするには三角相互作用の綿密な調査が必要と思われる.
勢断がある場合, 勢断ロスビー数 $Ro^{(S)}$ に依って, 様々な渦構造が現れる. 最も線形不安定な場合 $(B=-0.25)$ には, 乱流エネルギーは回転勇断流のすべての場合の中で最も発達する. これは線形不安定のメカニズムがある程度高いレイノルズ数に対しても支配的な役割を果たしていることを示している. この線形のメカニズムにより, その法線が回転軸方向を向いた渦層が発達する. しかしながら, この渦層も不安定であり渦管へと巻き上がる. この過程において, 乱流エネルギーの成長率が減少する. 中立な場合 $(Ro^{(}S)=-1,$ $B=0)$ ,乱流エネルギーはほぼ平衡値を保ち, コヒーレントな比翼構造が現れる. これらの縦渦は流
れ
方向から,
方向へ
傾いており, M\’etais et al. [16] の回転自由勇断流や Lamballais et al. [13] の回転平面ボアゾイユ流の DNS で見つかった局所ロスビー数
が $-1$ の領域に現れる渦構造と似ている. なお, これらの回転勢断流において, どのようなメカニズムで局所ロスビー数が $-1$ (絶対渦度が ) の領域が平均速度分布に現れるかについては依然不明であり, 今後の研究が必要である. 線形安定の場合 $(B>0)$ , 負のレイノル
ズ勢断応力がエネルギーの急速な減衰をもたらしている. 乱流エネルギーの減衰率は, 同じ’Bradshaw 数 $(B=2)$ のサイクロニッタ $(Ro^{(S)}=1)$ とアンチサイクロニッタ $(Ro^{(s_{)}}=$$-0.5)$ の場合を比較するとサイクロニッタのほうが小さい. サイクロニッタな場合には, 非$x_{1}$$10^{\mathrm{o}}\sim 30^{\mathrm{o}}$$x_{2}$$0$

線型効果によりレイノルズ勢断応力が増加しているためである. $B>0$ では,
方向からに傾いた渦管,方向には薄く,,両方向に引き延ばされたパンケーキ状の渦層,方向に非常に長いリボン状の渦層の 3 つの典型的渦構造が確認できた. 傾いた渦管
は, サイクロニッタな場合には比較的活発であり, レイノルズ勇断応力 (乱流エネルギー) の生成に寄与しているものと考えられる.
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of Fluids $A5$

167

図1

回転一様勇断流

図 2(a) 3 次元, (b) 2 次元乱流エネルギーの時間発展.
$–Ro^{(\omega)}(0)=2$,$–$. $-Ro^{(\omega)}(0)=1$ ,

–..

2

非回転,

–

$-Ro^{(\omega)}(0)=0.5$,–.

$\cdot$..

$R_{\mathit{0}^{(^{\omega}l}}(\mathrm{o})=4$. . $-Ro^{(\omega)}(0)=0.25$ .

32$\frac{E_{2\mathrm{d}}}{E_{3\mathrm{d}}}$$\frac{Q_{2\mathrm{d}}}{Q_{3\mathrm{d}}}$

1

1
50

$0$

$0$
$t$

$t_{:}$

図3

図 2 と同じ場合における (a)$E_{2\mathrm{d}}/E_{3\mathrm{d}},$$(\mathrm{b})Q_{2\mathrm{d}}/Q_{3\mathrm{d}}$の時間発展.

50

,

168

図4

回転 (右)

非回転 (左) の場合の $t=4,16,28$ における高渦度領域.

169

乱流エネルギーの時間発展. $-f=s=0,$

図5. $-Ro^{(S)}=-1$ ,–..

$\cdots R_{\mathit{0}^{(\delta)}}=\infty,$$-Ro^{(S)}=-0.5$ , –.

$–Ro(s)=-2$ ,. . $-Ro^{(S)}=1$ .

0.5$.\mathrm{c}\triangleleft \mathrm{c}_{\mathrm{O}}^{\mathfrak{Q}^{\neg}}\sim 1$

$0$

$0$

10

5
$t$

図6

と (b) 相対エネルギー散逸率 $\nu Q/E$ の(a) 相対レイノルズ舅断応カー
時間発展. $Ro^{(s_{)}}=1$ を除き, 図 5 と同じ場合.
$2\mathrm{S}\mathrm{b}_{12}$170

図 8 相対レイノ$\ovalbox{\tt\small REJECT}\triangleright$

ス “勇断応カー 2Sbl2 の時間発展. (a) $Ro^{()}s=1,$
実線は DNS, 破線は RDT の結果を表す.

(a)$(\mathrm{b})R_{\mathit{0}}(l3)=-0.5$

(b)

(c)

図 9 $Ro^{(S)}=-2$ (7) 高渦度領域. (a) $t=4:|\omega|\geq 2.4\omega’(t)=3.97$ ,(b) $t=8:|\omega|\geq 2.7\omega’(t)=9.31,$ $(\mathrm{c})t=10:|\omega|\geq 3.0\omega’(t)=15.6$ .

.

171

図 10

$Ro^{(s_{)}}=-1$(a)$x_{3}$の高渦度領域. $t=8$ . $|\omega|\geq 2.3\omega’(t)=2.92$ .
方向と (b)方向から見ている.
$x_{2}$$x_{1}$$X_{1}$

図 11$Ro^{(S)}=1$(a)$x_{2}$の高渦度領域. $i=12$ . $|\omega|\geq 2.7\omega’(t)=1.97$ .
方向と (b)方向から見ている.
$x_{3}$$x_{1}$

図 12$Ro^{(S)}=-0.5$の高渦度領域. $t=12$ . $|\omega|\geq 2.6\omega’(t)=1.48$ .

”1