土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4

流出モデルの基準面積に関する研究
佐山敬洋1 ・立川康人2 ・寶 馨3
1 正会員 京都大学防災研究所助手 社会防災研究部門 (〒 611-0011 宇治市五ヶ庄)

E-mail: sayama@flood.dpri.kyoto-u.ac.jp
2 正会員 京都大学防災研究所助教授 社会防災研究部門 (〒 611-0011 宇治市五ヶ庄)
3 フェロー会員 京都大学防災研究所教授 社会防災研究部門 (〒 611-0011 宇治市五ヶ庄)

洪水を予測するうえで，降雨の空間分布をどの程度の分解能で流出計算に反映するべきかを検討する．降雨がどこに位置するかを陽に取り扱うことなく，下流端での洪水流出を再現できる最大の流域面積を基準面積と定義し，分布型流出モデルを用いたシミュレーションによりその大きさを決定する．基準面積に影響する要素として，降雨・流域特性の空間分布，河道網の効果に着目し，それらの要素と基準面積との関係を明らかにする．
淀川流域を対象とした分析の結果，流域面積が 150 km2 から 1,500 km2 の範囲では，基準面積は流域面積に関わらず絶対的な大きさで決まり，河道網の効果が主にその大きさを規定していることが分かった．また，ピーク流量の許容誤差を 5 %とすると基準面積は 200 km2 になることが分かった．

Key Words : model building unit, rainfall-runoff model, spatial scale, rainfall variability

1.

Wood ら3),4),5) は，どの程度の流域面積になると流出現象が平均的な挙動を示すかという問題に対して，
Representative Elementary Area (REA) という概念を示すとともに，その大きさを定量化している．17 km2 の流域を対象に，各単位流域からの流出量を TOPMODELで計算し，1 km2 以上の領域で流出量を平均化した場
合に，流出計算結果のばらつきが小さくなることを示した．そして，1 km2 以上では地形効果によるローカ
ルな不均一性を陽に取り扱うことなく，流出量を計算できることから，REA は 1 km2 であると結論付けた．

はじめに

空間的に分布する水文量をどの程度の分解能で流出予測に反映する必要があるのか．この問いに対する明確な答えを得ないまま，分布型流出モデルの開発は進められてきた．一方，実務の場面では，モデルの構築が比較的容易で，計算負荷も小さい集中型流出モデル
を適当な大きさの部分流域に適用して流量を予測することが多い．その際，ひとつの集中型流出モデルを適用する流域の大きさは，雨量データの入手条件や流域の地形条件などに応じて経験的に決定しているのが現

一方，Fan and Bras6) は，平均化のサンプリング数を状である．流出予測に反映する水文量の空間分解能と増やすことによって流出量のばらつきが小さくなるの

予測の不確実性との関係を明らかにしたうえで，要求は大数の法則でも説明できるとして，Wood らが REAする精度に応じた流出モデリングを行うことが重要でを分析した手法を批判した．さらに，流域面積が大きある．

くなれば降雨の空間分布を一様に取り扱うことができ高棹1) は，流出モデルの構成に関して，分布定数シス

なくなるため REA には上限があり，その上限値を知る

テムを集中定数システム群におきなおす際の基準となことの重要性を指摘するとともに，その上限は降雨のる大きさを基準面積と呼び，基準時間とともに，その空間分布に依存することを定性的に説明した．

定量的な評価が重要であると早くから指摘している．
椎葉2) は，流域を基礎的な領域の集合体であると考え，その領域が流域内のどこに位置するかが，流域規模の現象を捉えるうえで重要となるとき，その流域内の水文量の分布を geometrically-distributed と呼んだ．一方，その領域内部では水文量がどこに位置するかが問題でなく，どのように分布しているかが問題となるとき，その領域内部の水文量の分布を probability-distributed と呼んだ．そして，geometrically-distributed と probability-

distributed との境界をなすスケールを見出すことが重要であると指摘した．

92

本論で議論する基準面積は，Fan and Bras がいう
REA の上限と同義である．降雨分布の統計的性質を流出予測に反映する集中型流出モデルが存在するとすれば，基準面積はそうした集中型流出モデルを流域全体に適用して，下流端の流量を再現できる最大の流域面積である．また，流域面積が基準面積より大きい場合
は，基準面積に相当する部分流域にそれぞれ集中型流出モデルを適用し，各部分流域がどこに位置するかということを陽に取り扱えば，流域下流端の流量を再現できる．

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定量的に評価することを試みる．本論で議論する内容

近年，こうした流出モデルのスケールに関する研究
7)

は，分布型流出モデルの有効性評価 という観点から，は以下の４点にまとめられる．

また，降雨の空間分解能が及ぼす流出予測の不確実性

ダで観測された降雨を分布型流出モデルにそのまま入(a) 降雨がどこに位置するかを陽に取り扱うことなく
洪水流出を再現できる流域面積として，基準面積は存在するか．
(b) 基準面積が存在するとすれば，その大きさは流域
面積に関わらず絶対的な大きさで決まるか，あるいは流域面積に応じて相対的な大きさで決まるか．
(c) 降雨の分布，流域特性の分布，河道網の効果が，どのように相互に関連して基準面積を決定付けているか．
(d) 流出モデルの基準面積はどの程度の大きさか．

力した場合と，降雨の位置をあえてランダムに入れ替

本論の構成は次の通りである．2 章で基準面積の考ええて入力した場合のそれぞれのハイドログラフの計算方と検討の方針を明らかにした後，3 章で具体的な分析

結果がほぼ一致することに基づき，降雨がどこに位置方法を示す．4 章では数値シミュレーションの結果にもするかという情報は，211 km2 の対象流域全体からのとづいて基準面積について考察し，5 章で本論の結論を

流出量を予測するうえで，それほど重要でないことを述べる．

評価8),9) という観点から，ますますその重要性を増している．例えば，空間分解能の大きな気象モデルによる
降雨予測値を統計的にダウンスケーリングし，分布型
流出モデルに入力することを考える．その場合の降雨予測の空間分解能はどの程度細かくなければならない
か．流出モデルの基準面積を明らかにすることは，こうした問いに答えることでもある．
例えば，立川ら10) は 211 km2 の流域を対象に，レー示した．同様の結論は，Obled ら11) が 71 km2 の流域を対象に検討した結果や，Bell and Moore12) が 135 km2の流域を対象に検討した結果でも得られている．
分布型流出モデルに入力する降雨の空間分解能を変基準面積の考え方と検討の方針(1)

基準面積の定義

本論では流出モデルの基準面積を「空間分布する降化させて，計算結果の違いを分析した研究はこれまでも
13)

2.

は 1,232

雨がその内部でどこに位置するかを陽に取り扱うこと

km の流域を対象にサクラメントモデルを適用し，流域全体で集中化した場合と，流域を 8 個の部分流域に分割して部分的に集中化した場合の流出ハイドログラ
フの結果を比較し，流域を分割することの有効性を示している．また，Liang ら14) は同じ流域に VIC モデルを適用し，降雨の空間分解能を変えて日流量を計算した．その結果，降雨の空間分解能を 1/8 度以上に (流域を 20 分割より粗く集中化) した場合に計算精度が低くなることを示している．

なく，下流端での洪水流出を再現できる最大の流域面

こうした研究結果は，対象としている流域面積が基ランダムに入れ替えても，もとの観測降雨情報を入力

準面積より大きく，その内部の降雨がどこに位置する

した場合と流出計算結果がほとんど同じであれば，そかを陽に取り扱わなければ流量を再現できないことをの分割域の面積は流出モデルの基準面積以下であると示唆している．ただし，それぞれの研究は通常ひとつ考える．

少なからず行われている．例えば，Zhang ら
2積」と定義する．
流域全体で降雨がどこに位置するかを陽に取り扱っても，降雨の位置をランダムに入れ替えても，両者の流出量の計算結果がほとんど同じであれば，対象とする流域の面積は流出モデルの基準面積以下であると考える．
一方，対象流域の面積は基準面積以上であるが，流域を適当な大きさに分割し，その内部で降雨の位置をの流域を対象に分析しており，基準面積が流域面積に(2)関わらず絶対的な大きさで決まるのか，あるいは，流分析の方針

域面積に対して相対的な大きさで決まるのかは明らか

基準面積の大きさで流域を分割して，流域全体の流でない．また，基準面積に影響を及ぼしている降雨や出モデルを構成するためには，次の二つの条件を満足

流域特性の空間分布，河道の効果を考慮し，それらのする必要がある．

要素の相互関係に基づいて基準面積が決まる実態を明の流域 (156 km2 から 6,558 km2 ) を対象に，分布型流(a) 分割した流域内部の降雨位置を陽に考慮することなく，流域下流端からの洪水流出を再現できる．
(b) 降雨分布がもつ統計的性質を流出予測に反映する
集中型流出モデルがある．

出モデルを用いた数値シミュレーションを行い，基準

本論では (a) を満足する面積を基準面積と定義して議面積の決定方法について議論する．そして，我が国の論の対象とする．(b) を満足するかどうかは流出モデル

流域で洪水を予測する場合の流出モデルの基準面積をの集中化に関する問題であり，(a) が明らかになれば，らかにした研究はいまだない．
こうした背景のもと，本論は流域面積の異なる 7 つ93土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4

モデルの集中化とそれに伴う不確実性の評価15) に議論

降雨イベントとし，それらが代表的な出水時の降雨のは帰着する．つまり，基準面積に集中型流出モデルを

空間分布をカバーするものと考える．

適用して流量を正しく計算できるかどうかはここではd)

降雨の時間分布

対象とせず，理想的な集中型流出モデルを適用した場

降雨量の時間分布は，降雨流出の空間分布と密接に合に，流量を正しく計算できる面積はどのように決ま関連する16),17) ．従って，流出モデルの時間分解能をどるのかを議論の対象とする．

の程度にとるかという基準時間1) は基準面積にも関連

本論の分析には，空間分布する水文量を陽に取り扱する．ただし，基準面積と基準時間をそれぞれ明確にうことができる分布型流出モデルを用いる．分布型流する必要があり，両者が明らかになって初めてその相出モデルを面積の異なる複数の流域に適用し，観測降互関係が明らかになるものと著者らは考える．そこで，

雨を入力した場合と，降雨の分布を流域内で一様にし本論の数値シミュレーションでは，現在の降雨レーダて入力した場合，降雨の位置を流域内でランダムに入が提供する最も細かい時間分解能である 5 分のデータ

れ替えて入力した場合の流出計算結果を比較する．降を利用し，上述の 10 パターンの降雨イベントが代表的

雨の位置をランダムに入れ替えることを本論では，「雨

な出水時の時間分布をカバーするものと考える．

をシャッフルする」と呼ぶことにする．雨をシャッフル
することは，流域内部で降雨の空間分布以外の分布特

3.

分析方法

(1)

分布型流出モデル性を保存しつつ，雨がどこに降ったかという位置情報をあえて失うことを意味する．つぎに，異なる面積に流域を分割し，その分割した内部で降雨の分布を一様

淀川全流域を対象とした広域分布型流出予測システにした場合と，分割した内部で雨をシャッフルした場合

ム18) を用いて数値シミュレーションを行う．この予測の流出計算を行う．細かく流域を分割する場合は，粗システムは，国土数値情報の河道網位置データをもと

く流域を分割する場合よりも，もとの降雨分布の情報にする河道流追跡モデル，全流域を 250 m のグリッドをより詳細に保存していることになる．

セルで覆う落水線型の分布型部分流域モデル，湖沼の水収支を計算する湖沼モデル，およびダムの操作過程(3)を再現するダムモデルで構成される．本論の目的は降前提条件

雨流出予測の空間スケールの問題を議論することであ

基準面積の議論を進めるうえで本論が前提とする条件を以下に示す．

るため，ダムモデルはこの数値シミュレーションではa)考慮しない．広域分布型流出予測システムの構成とそ流出モデルの目的

流出モデルは水・物質循環を計算する手段として様々の再現性については文献18) にその詳細を記述しているな目的で使用される．目的に応じてモデルの評価基準

ので省略し，ここでは本論の数値シミュレーションでは異なり，それに伴って基準面積も変わるはずである．

重要となる河道流追跡モデルと分布型部分流域モデル

本論では流出モデルの使用目的を洪水流出予測とし，以について述べる．

後の議論を進める．

a)b)

河道流追跡モデル

国土数値情報の河道網位置データ (W15-52L) をもと

流量推定の評価基準

観測降雨の空間分布を陽に取り扱う場合と降雨の位に約 3 km の長さをもつ河道区分データを作成する．そ置をランダムに入れ替えた場合との推定流量の比較をれぞれの河道区分内の洪水流出はキネマティックウェー

もとに基準面積を議論する．観測降雨を入力した場合ブモデルで計算する．河道の単位幅流量 q [m2 /s] と水の推定流量を真値と見なし，降雨の位置を入れ替える

深 h [m] の関係は式 (1) で表され，連続式 (2) との組みことによって生じるピーク流量の差異をピーク相対誤合わせで河道内の流量を計算する．

差で評価する．また，ハイドログラフ全体の再現性を

q = αr hm

評価する指標として Nash-Sutcliffe 効率性指標 (以降，目的とし，取り扱う水文量の空間分布は降雨量とする．

∂h
∂q
+
= qL
(2)
∂t
∂x
√
ここに，αr : パラメタ (αr = ir /n，ir : 河床勾配[rad]，n : Manning の粗度係数 [m−1/3 s])，m : 無次元
定数 (= 5/3)，qL : 単位長さあたりの側方流入量 [m/s]である．

数値シミュレーションの条件については 3.(3) でその詳b)Nash 指標と呼ぶ) を用いる．
c)

対象とする水文量
流域水循環に影響を及ぼす水文量には降雨量，蒸発散

量，積雪量などがある．本論では，洪水予測をモデルの(1)

分布型部分流域モデル

細を記述するが，入力降雨は淀川流域において 1987 年

国土数値情報の標高データ (空間分解能 : 250 m) をから 1993 年に観測された降雨量の多い 10 パターンのもとに最急勾配方向で落水方向を決定し，各河道区分に

94

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図–1 数値シミュレーションで対象とする淀川流域内の 7 流域の位置．括弧内は C1 流域から C7 流域までの流域面積 (km2 )
を示す．

c)

流入する部分流域を抽出する19) ．部分流域は勾配，落
水方向，面積の情報をもつ矩形斜面の集合であり，そ

国土数値情報の土地利用データをもとにして流域全

れぞれの矩形斜面に不飽和・飽和中間流・表面流モデ

体を森林域，農地域，都市域に分割し，それぞれ異なル20) を適用する．このモデルは土壌中のマトリクス部

る流出パラメタを使用した．使用したパラメタの値は，を流れる不飽和流，土壌中の空隙部を重力水として流森林域において n = 0.6 m−1/3 s，ds = 0.2 m，dc = 0.1

れる飽和中間流，そして地表を流れる表面流の三種類の流れを流量流積関係式の中で表現している．土壌中の最大水分量に対応する水深高さを ds [m]，マトリク
ス部の最大水分量に対応する水深高さを dc [m] とする．

kc をマトリクス部の飽和透水係数 [m/s]，ka を大空隙での飽和透水係数 [m/s]，斜面勾配を i [rad] とし，vc√= kc i，va = ka i，α = i/n とすれば，単位幅流量 q[m2 /s] と水深 h [m] の関係は以下のように表される．

µ ¶β

h


, (0 ≤ h ≤ dc )
vc dc



dc

vc dc + va (h − dc ), (dc < h ≤ ds )q=vc dc + va (h − dc ) + α(h − ds )m ,(ds < h)モデルパラメタm，ka = 0.015 m/s，β = 8.0，農地域において n = 1.0
m−1/3 s，都市域において n = 0.3 m−1/3 s である．農地
域と都市域は土層を考慮せず式 (3) の dc と ds をゼロとした表面流モデルを用いた．また，河道の n は 0.03
m−1/3 s とした．

(2)

対象流域

数値シミュレーションで対象とする流域は，淀川流域内に位置する 7 つの流域とする．図–1 に各流域の位
置と面積を示す．C1 は淀川流域全域であり，琵琶湖流(3)域を含む．琵琶湖からの放流は瀬田川洗堰で制御されるが，この数値シミュレーションでは，山地流域の自然流況をもとに流出モデルの基準面積を分析しようとしているので，琵琶湖に流入した流量が瞬時に下流の∂h∂q+= r(t)∂t∂x

瀬田川から流出すると仮定した．また，湖沼への降雨(4)は考慮しないものと仮定した．従って C1 流域の面積に

ここに，β はマトリクス部において含水率の減少に伴は琵琶湖の面積を含めない．C2 は淀川流域全体から琵

う透水係数の減少の大きさを表す無次元パラメタであ琶湖と琵琶湖へ流入する地域を除いた流域であり，木る．マトリクス部と大空隙部の流量流積関係の連続性

津川流域，宇治川・瀬田川流域，桂川流域，淀川本川流から β = ka /kc となる．式 (3) と連続式 (4) を組み合域を含む．その他の 5 つの流域は，降雨量が比較的多わせて矩形斜面からの降雨流出を計算する．なお，式い木津川流域を中心に，面積が約 150 km2 から 1,500(4) において r(t) [m/s] は降雨強度である．

km2 の間で選定した．

95

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表–1 10 期間の入力降雨イベント

イベント

年

R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10

1987
1988
1989
1990
1990
1991
1991
1992
1993
1993

∗

(3)

対象期間

7/16 0:00
7/14 0:00
8/26 0:00
9/19 0:00
11/29 0:00
9/18 12:00
11/27 12:00
8/18 0:00
6/19 0:00
9/8 0:00-

7/20 16:00
7/16 0:00
8/28 21:00
9/21 0:00
12/1 12:00
9/20 12:00
11/30 0:00
8/20 22:00
7/2 0:00
9/11 0:00

雨量 ∗ [mm]

台風

108
92
104
140
115
45
80
136
114
91

梅雨前線
台風
台風
台風
台風
低気圧
台風
梅雨前線
台風

C1 流域における期間中の総降雨量．

入力降雨

数値シミュレーションで使用する入力降雨は，1987
年から 1993 年に旧建設省深山レーダで観測された降雨

4.

数値シミュレーションの結果と考察(1)

基準面積に関係する空間分布の三要素

分布型流出モデルを用いて数値シミュレーションをの時空間分布情報とし，淀川流域全域で流域平均雨量

実行し，流出モデルの基準面積について考察する．基の大きいものを 10 降雨イベント選んだ．レーダ雨量は

準面積は「流域特性の空間分布」，「降雨の空間分布」，

そのままではバイアスが大きいので，共変量クリギン「河道網の効果」によって影響を受けると考えられる．

グ型逐次ガウシアンシミュレーション法21) を用いて地一つ目の要素は流域特性の空間分布である．地形や上観測雨量をもとに補正を行った．なお，旧深山レーダ
によって観測された降雨の空間分解能は 3 km であり，補正後の空間分解能は 1.5 km となる．また，降雨の時

土地利用は流域内部で空間的に分布しているので，降雨が空間一様であっても流出量は場所によって異なる．
二つ目の要素は降雨の空間分布である．本論で議論

間分解能は 5 分である．表–1 に本論で用いた降雨イベ
ントの詳細を示す．上記の観測降雨イベントをもとに，
以下の要領で「シャッフル降雨」と「一様降雨」を作成する基準面積は，その内部では降雨の位置を陽に考慮しないが，降雨がどのように分布していたかという統計的な性質は流出計算に反映してもよいことになる．こ

する．

a)

降雨タイプ

こでは降雨の統計的な性質を保存する場合の基準面積

シャッフル降雨について検討するとともに，分割域内で一様降雨を入力する場合の基準面積ついても議論する．

流域の内部で雨のグリッドセルの位置をランダムに入れ替えた降雨分布をシャッフル降雨と呼ぶことにす

三つ目の要素は河川が降雨流出の発生位置を流量にる．ただし，各グリッドセルにおける降雨の時間分布は反映する効果である．流域の特性や降雨が空間的に分維持し，シャッフルした降雨グリッドセルの配置は降雨

布すれば降雨流出の発生位置も空間的に分布する．降雨

イベント中一定とする．なお，降雨の空間分解能 (1.5

流出発生の空間分布が流域下流端の河川流量にどのよkm) は流出モデルのそれ (250 m) より粗いため，上記の方法で雨の位置をシャッフルすると，流域の境界に位置した降雨のグリッドセルと流域内部に位置した降雨のグリッドセルを置き換えたときに流域平均雨量がわずかに変化する．そこで，観測降雨とシャッフル降雨の
流域平均雨量が各時間ステップで完全に一致するように，シャッフル後の降雨場に係数を掛けて調節した．

うに伝播するかは基準面積を考えるうえで重要である．

b)

たとえば，図–2 は C3 流域 (1,469 km2 ) を対象に R10の観測降雨 (Original) を入力した場合と C3 流域全体
で雨の位置をシャッフルした降雨 (Shuffle) を入力した
場合の，C3 流域全体からの斜面流出量 (Runoff) と C3流域の下流端における河川流量 (Discharge) を示している．ここで，斜面流出量とは河川に流入する流量を意
味し，各流域の下流端における河川流量と区別して議一様降雨論する．なおシャッフル降雨については，5 回のシャッフルのパターンで繰り返し計算を行い，その全ての斜観測降雨分布を対象流域内で各時間ステップにおいて平均し，空間的に一様化したものを一様降雨と呼ぶ

面流出量と河川流量を図–2 に示している．斜面流出量ことにする．

に着目すると観測降雨によるものとシャッフル降雨によ96土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4
6C3

Discharge [mm/h]

5

流出量を表している．一様降雨を入力した場合に比べOriginal : Runoff
Shuffle : Runoff
Original : Disc.
Shuffle : Disc.

Runoff and Dischargeて，観測降雨を入力した場合は降雨の空間分布の影響も受けるので，各部分流域からの斜面流出量のばらつ
きはさらに大きくなる．流域面積の小さな C7 流域は，

41C3 流域に比べて，分割域毎の降雨のばらつきが小さい
が，C7 流域においても，最大のピーク流出量は最小のピーク流出量より約 2 倍大きい．これは 156 km2 の流域においても斜面流出の発生位置が空間的にばらついていることを示している．

0

図–5 は C3 流域全体 (1,469 km2 ) を対象に，R10 の

3
2

0

10

20

30

40

50

60

70

観測降雨とシャッフル降雨を入力した場合の流域全体かTime [h]らの斜面流出量である．ここでは河道に入る全ての斜面流出量を足し合わせて表示している．シャッフル降雨

2

図–2 C3 流域 (1,469 km ) を対象に，R10 の観測降雨 (Original) とシャッフル降雨 (Shuffle) を入力した場合の C3流域全体からの斜面流出量 (Runoff) と C3 流域下流端
での河川流量 (Discharge)．

は流域全体で 1.5×1.5 km2 のグリッドセルの位置をランダムに入れ替えた場合の降雨分布であり，シャッフルのパターンを変えて 5 回の繰り返し計算を行いその全ての結果を示している．
図–4 より，C3 流域における斜面流出の発生位置はるものとの差は小さいが，河川流量に着目すると観測

空間的にばらついていることが分かったが，図–5 にお降雨によるものとシャッフル降雨によるものとの差は大ける観測降雨とシャッフル降雨の流出計算結果がほぼ重きくなっている．つまり，降雨がどこに位置するかとなっていることから，降雨の位置をランダムに移動さいう情報を陽に考慮する場合と考慮しない場合とではせても流域全体の斜面流出量に与える影響は小さいこ

流域全体からの斜面流出にはそれほど影響がなくても，とが分かる．つまり，この例では，1,469 km2 の面積を流域下流端での河川流量には影響する場合があることもつ流域全体からの流出量を予測するうえで，降雨がを示唆している．このように河川が流出の位置を流量どこに位置するかという位置の情報はそれほど重要でに反映する効果を河道の流出位置反映効果と呼ぶことないことになる．

にする．ちなみに，観測降雨・シャッフル降雨に関わらこのことは異なる面積を有する流域でも観察するこず Runoff から Discharge に変換される過程でピーク流とができる．図–6 は C1 流域 (6,558 km2 ) から C7 流域

量の生起時刻が遅れてピーク流量が低減している．こる．一様降雨を入力した場合でも 8 つの分割域からの(156 km2 ) の 7 流域を対象に，観測降雨をシャッフルすることによるピーク流量の差異を示している．縦軸は，観測降雨によるピーク流量とシャッフル降雨によるピー
ク流量との差の絶対値を，観測降雨によるピーク流量
で除した値 (以降，この指標をピーク相対誤差と呼ぶことにする) を示す．また，横軸は各流域の面積を示す．
各流域でプロットが 10 個づつあるのは，10 降雨イベン
トでそれぞれの観測降雨とシャッフル降雨の斜面流出量のピーク相対誤差を計算したためである．なお，各流域・各イベントに対し，それぞれ 5 回の異なるシャッフ
ルパターンで繰り返し計算を行い，その平均値を一つのプロットとする．各プロットのピーク相対誤差の標準偏差は平均で 0.008 であり，シャッフルのパターンによる計算結果の違いは小さい．また，C1 流域と C2 流域については，流域の土地利用を森林で一様と仮定して計算した結果を併せて示している．

斜面流出量にばらつきが生じるのは，山腹斜面の勾配

まず，流域面積が 156 km2 (C7) から 1,469 km2 (C3)や土地利用が空間的に分布していることに起因する．

の結果をみると，降雨の位置をシャッフルすることによ

図–4 は C3 流域と C7 流域を対象に，R10 の観測降る流域全体からの斜面流出量推定のピーク相対誤差は

雨を入力した場合のそれぞれ 8 つの分割域からの斜面

約 5 %以下であり，その大きさは流域面積に依存しない

れは河川の洪水低減効果であり，流出位置反映効果と同義ではない．
以降，これらの三要素が基準面積にどのように影響を及ぼしているかを明らかにしつつ基準面積の定量化を試みる．(2) と (3) では河川の影響を考慮せず斜面流出量に着目する．(4) から (7) では河川の効果を考慮し，流域下流端の河川流量に着目して基準面積の定量化を
試みる．

(2)

降雨の空間分布と斜面流出との関連

図–3 は C3 流域 (1,469 km2 ) と C7 流域 (156 km2 )を対象に，R10 の観測降雨をそれぞれの流域内部で一様化した降雨 (Uniform) を入力した場合の，同じ流域面積を持つ 8 つの分割域からの斜面流出量を表してい97

土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4
45

20

Rainfall C3 (Uniform)

Rainfall C7 (Uniform)

40
15

30

Rainfall [mm/h]

Rainfall [mm/h]

35

25
20
15

10

5

10
5
0

0
0

10

20

30

40

50

60

70

0

10

20

30

Time [hr]8
Runoff [mm/h]

3

3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8

Runoff C3 (Uniform)

50

60

70

6

7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
7-6
7-7
7-8

Runoff C7 (Uniform)

2.5

Runoff [mm/h]

1040Time [hr]

4

2

2
1.5
1
0.5

0

0
0

10

20

30
40
Time [hr]

50

60

70

0

10

20

30
40
Time [hr]

(a)

50

60

70

(b)

図–3 (a) C3 流域 (1,469 km2 ) と (b) C7 流域 (156 km2 ) を対象に，R10 の降雨分布をそれぞれの流域で一様化 (上図，Rainfall(Uniform)) して入力した場合の 8 分割域からの斜面流出量 (下図，Runoff)．

35
Rainfall [mm/h]

20

3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8

Rainfall C3 (Original)

40

30
25

7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
7-6
7-7
7-8

Rainfall C7 (Original)

15
Rainfall [mm/h]

45

20
15

10

5

10
5
0
0

10

20

30

40

50

60

0

70

0

10

20

30

Time [hr]8
Runoff [mm/h]

3

3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8

Runoff C3 (Original)

50

60

70

6

7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
7-6
7-7
7-8

Runoff C7 (Original)

2.5

Runoff [mm/h]

1040Time [hr]

4

2

2
1.5
1
0.5

0

0
0

10

20

30

40

50

60

70

0

10

20

30

40

Time [hr]Time [hr]

(a)

(b)

50

60

70

図–4 (a) C3 流域 (1,469 km2 ) と (b) C7 流域 (156 km2 ) を対象に，R10 の観測降雨 (上図，Rainfall(Original)) を入力した
場合の 8 分割域からの斜面流出量 (下図，Runoff)．

98

土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4
6Original
ShuffleRunoff C3

5

5

4

4

Runoff [mm/h]

Runoff [mm/h]

6

3
2
1

Original
Uniform

Runoff C3

3
2
1

0

0
0

10

20

30

40

50

60

70

0

10

20

Time [h]0.2Relative Peak Error

Relative Peak Error

0.1

50

60

70

図–7 C3 流域 (1,469 km2 ) を対象に，R10 の観測降雨 (Original) と一様降雨 (Uniform) を入力した場合の C3 流域
全体からの斜面流出量．

C1 : 6,558 km 2
C2 : 3,527 km 22
C3 : 1,469 km 2
C4 : 1,184 km 2
C5 : 631 km
C6 : 476 km 22
C7 : 156 km
C1 : (Forest)
C2 : (Forest)

0.15

40

Time [h]図–5 C3 流域 (1,469 km2 ) を対象に，R10 の観測降雨 (Original) とシャッフル降雨 (Shuffle) を入力した場合の C3流域全体からの斜面流出量．

0.2

30

0.05

C1 : 6,558 km 2
2
C2 : 3,527 km 2
C3 : 1,469 km 2
C4 : 1,184 km 2
C5 : 631 km
C6 : 476 km 22
C7 : 156 km

0.15

0.1

0.05

0
1

10

100

1000

0

10000

1

2

10

Area [km ]

100

1000

10000

Area [km2]

図–6 C1 流域 (6,558 km2 ) から C7 流域 (156 km2 ) の 7 流域を対象に，観測降雨を入力した場合とシャッフル降
雨を入力した場合の流域全体からの斜面流出量のピー
ク相対誤差．C1，C2 流域では，流域の土地利用を森林で一様と仮定した結果を (Forest) として併記．

図–8 C1 流域 (6,558 km2 ) から C7 流域 (156 km2 ) の 7 流域を対象に，観測降雨を入力した場合と一様降雨を入力した場合の流域全体からの斜面流出量のピーク相対誤差．

ことが分かる．C1 流域と C2 流域については，誤差がで降雨の位置を陽に考慮しなくてもよい可能性を示唆大きくなるケースが見受けられるが，これは，他の流している．ただし，降雨をシャッフルすることと降雨を域がほとんど森林に覆われているのに対し，この二つ流域内で平均化することとは違う．前者は観測降雨分布の流域は都市域と農地域を比較的広く含むためであるの統計的性質は保存しつつ位置を保存していない．一と考えられる．仮に，C1 流域と C2 流域の土地利用を方，後者は観測降雨の流域平均のみを保存し，それ以一様に森林と仮定すれば，ピーク相対誤差は約 5 %以外の統計的性質を保存していない．ここでは，降雨の下となる．つまり，斜面流出量の発生位置は空間的に分布を流域内で平均化することによる流出量推定の誤分布しているが，流域全体の斜面流出量を推定するう差について考察する．
図–7 は C3 流域 (1,469 km2 ) を対象に，R10 の観測

えでは，流域内部で降雨の位置をシャッフルさせても流降雨と流域一様の降雨を入力した場合の C3 流域全体か出量のピーク相対誤差は 5 %以内に収まる．

らの斜面流出量を示している．一様降雨を入力した場合(3)

降雨の分布特性が斜面流出に与える影響

は，観測降雨やシャッフル降雨を入力した場合に比べて(2) の検討結果は，ピーク流量で 5 %の差異を許容す

ピーク流量が低減している．これは，流量流積関係式がるならば，流域全体からの斜面流出量を予測するうえ

下に凸な関数であることに関係しており，その場合は，

99

土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4

8Runoff [mm/h]

3

3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8

Runoff C3 (Uniform)

6

4

2

2
1.5
1
0.5

0

0
0

10

20

30

40

50

60

70

0

10

20

Time [hr]
3

3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8

Discharge C3 (Uniform)

8

6

30
40
Time [hr]

50

4

2

60

70

7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
7-6
7-7
7-8

Discharge C7 (Uniform)

2.5
Discharge [mm/h]

10Discharge [mm/h]

7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
7-6
7-7
7-8

Runoff C7 (Uniform)

2.5
Runoff [mm/h]

10

2
1.5
1
0.5
0

0
0

10

20

30
40
Time [hr]

50

60

0

70

(a)

10

20

30
40
Time [hr]

50

60

70

(b)

図–9 (a) C3 流域 (1,469 km2 ) と (b) C7 流域 (156 km2 ) を対象に，R10 の流域一様降雨 (Uniform) を入力した場合の 8 分
割域からの斜面流出量 (上図，Runoff) とそれぞれの分割域を起源とする C3 流域と C7 流域の下流端における河川流量(下図，Discharge)．

分布降雨の方が一様降雨よりもハイドログラフの立ち域全体からの斜面流出量のピーク相対誤差を示してい上がり部分で流量が大きくなる．このことを簡単に説る．シャッフル降雨の場合とは対照的に，156 km2 か明するために，二つの斜面で構成される流域に，異なる

ら 1,469 km2 にかけて，降雨を一様化することによる強度の雨が降って，流積がそれぞれ h1 と h2 になってピーク相対誤差は流域面積とともに大きくなっている．

いる状況を想定する．このときの流量を f (h1 ) + f (h2 )これは，流域面積が大きくなるほど観測降雨の空間的と仮定する．一方，同じ流域に一様の降雨が降って二つばらつきがより大きくなり，観測降雨を一様化するこの斜面の流積がともに (h1 + h2 )/2 になっている状況をとによる効果がより顕著に現れるためである．

想定する．そのときの流量は 2f ((h1 + h2 )/2) となる．
いま，流量流積関係式の f が下凸関数であることから，

f (h1 ) + f (h2 ) ≥ 2f ((h1 + h2 )/2) の関係がある．つまり，降雨 (流積) が分布している方が，それらが一様の場合よりも，流量が大きくなる．なお，降雨が一様であり，かつ斜面特性が同一である場合はピーク生起時刻が同じとなるため，一様降雨によるピーク流量が分布
降雨によるピーク流量を上回ることがある22) ．しかし，
実流域では斜面形状が異なるため，一様降雨を入力したとしてもピーク生起時刻が同じにはならない．そのため，降雨が空間的に分布している方が，一般にピーク流量が大きくなる．

(4)

降雨流出の発生位置が河川流量に与える影響(2) と (3) の検討結果より，流域全体からの斜面流出量を予測するうえで，降雨分布の統計的性質を反映す
ることは重要であるが，降雨の位置を陽に取り扱う効果はそれと比較して重要度が低いことが分かった．ただし，図–4 の結果は流域内で斜面流出の発生位置が空間的にばらついていることを示しており，流出が河道のどこに流入するかという位置の情報を陽に取り扱わない場合に，河川流量の予測にどの程度誤差が生じるのかを明らかにしておく必要がある．
図–9 は C3 流域 (1,469 km2 ) と C7 流域 (156 km2 )

図–8 は C1 流域から C7 流域の 7 流域を対象に，観を対象にして，R10 の流域一様降雨を入力した場合の測降雨を入力した場合と一様降雨を入力した場合の流それぞれ 8 つの分割域からの斜面流出量と，C3 流域と100

土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4

図–11 C3 流域 (1,469 km2 ) を 2 分割 (Div : 1)，4 分割 (Div : 2)，8 分割 (Div : 3)，16 分割 (Div : 4)，32 分割 (Div : 5)
した例．括弧内は分割域の面積 (km2 )．8 分割 (Div : 3) した例で，3-1 から 3-8 は各部分流域の番号を示している．

Relative Peak Error

0.2に応じて河川流量のピーク生起時刻にずれが生じる．流C1 : 6,558 km 2
C2 : 3,527 km 22
C3 : 1,469 km 2
C4 : 1,184 km 2
C5 : 631 km
C6 : 476 km 22
C7 : 156 km

0.15

域面積が 1,469 km2 の C3 流域では，その傾向がさらに顕著であり，かつ，Runoff から Discharge へのハイ
ドログラフの変化が分割域ごとに大きく異なる．C3 流域においては，斜面流出が河道のどこに流入するかと0.1いうことが，C7 流域よりもさらに顕著に河川流量に影響するといえる．

0.05

図–10 は C1 流域 (6,558 km2 ) から C7 流域 (156 km2 )の 7 流域を対象に，観測降雨を入力した場合とシャッフ

0
1

10

100

1000

ル降雨を入力した場合のそれぞれの流域下流端での河10000

Area [km2]

川流量のピーク相対誤差を示している．図–6 は河道モデルを考慮せず斜面流出量を対象にしているのに対し，

図–10 C1 流域 (6,558 km2 ) から C7 流域 (156 km2 ) の 7 流域を対象に，観測降雨を入力した場合とシャッフル降
雨を入力した場合の流域下流端での河川流量のピー
ク相対誤差．

図–10 は河道モデルを考慮して河川流量を対象としている．各プロットは異なるシャッフルパターンで繰り返
し計算を行った場合の平均値であり，その 5 回のピー
ク相対誤差の標準偏差は平均で 0.0076 と十分に小さい．
図–10 の結果は，C7 流域から C2 流域にかけて，流域

C7 流域の下流端における各分割域を起源とした河川流量を示している．流域下流端での河川流量は通常ひとつのハイドログラフで表現されるが，本論では，ハイドログラフを流水の空間起源に応じて成分分離する手法 (付録を参照) を新たに開発し，これを河道のキネマ
ティックウェーブモデルに適用して，各分割域を起源とする流域下流端での河川流量を計算した．8 つの分割域を起源とする流域下流端での河川流量を足し合わせると，C3 流域または C7 流域の下流端におけるハイドロ
グラフと一致する．

面積が大きくなるほどピーク相対誤差が大きくなる傾向を示している．図–6 で雨をシャッフルすることによる流域全体からの斜面流出量のピーク相対誤差は約 5%で，流域面積に依存しないことを示したが，河川流量を対象にした図–10 の結果は，ピーク相対誤差の大きさは流域面積に依存している．これは，斜面流出が流域内のどこで発生したかということが河川流量に影響し，その効果は流域面積に応じて大きくなることを意味している．なお，C1 流域でピーク相対誤差が小さくなる傾向を示しているが，これについては (6) でその理由を考察する．

流域面積が 156 km2 の C7 流域でも，分割域の場所

101土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4

Relative Peak Error

0.2

2

C1 : 6,558 km 2
C2 : 3,527 km 2
C3 : 1,469 km
C4 : 1,184 km 2
C5 : 631 km 22
C6 : 476 km 2
C7 : 156 km

0.15

0.0055*Area0.41

0.1

0.05

0
1

10

100

1000

10000

2

Area [km ]図–12 分割面積とピーク相対誤差の関係．流域分割した内部で降雨の位置をシャッフルした場合．

(5)

積でもピーク相対誤差にばらつきが生じるのは，観測基準面積の大きさ

流域全体をひとつの要素として取り扱えない場合に，どの程度の大きさで流域を分割すべきかを検討する．こ降雨イベントの時空間分布によるものであり，ある流域でピーク相対誤差を最も大きくする降雨イベントと，他の流域でピーク相対誤差を最も大きくする降雨イベ

こでは，流域を図–11 のように面積が等しくなるようントは必ずしも同じではない．

最大 5 段階まで分割し，その内部で雨をシャッフルした
場合の流出計算結果をもとに議論を進める．まず分割

図–12 より分割面積が小さくなるほどピーク相対誤差

する二つの面積が等しくなるよう，東西方向 (または南が小さくなることがわかる．また，C3 流域 (1,469 km2 )北方向) に区分線を引き流域を分割する．これを Div :では Div : 0 から Div : 5 まで 5 種類のプロットがあ1 と呼ぶことにする．2 段階分割 (Div : 2) は，Div : 1
で分割された二つの領域をさらに面積が等しくなるよう南北方向 (または東西方向) に区分線を引いたものである．このように，東西方向と南北方向で交互に分割を繰り返し，流域を 32 分割する 5 段階分割まで行う．なお，これまでの議論で示してきた流域全体で雨をシャッフルする場合は Div : 0 と呼ぶことにする．

り，その上限値を包絡する線を描ける．同様に，C4 流
域 (1,184 km2 ) から C7 流域 (156 km2 ) に対しても包絡線を描くことができる．そして，それぞれの包絡線
は 2 %以下の幅で重なっている．つまり，流域面積が約 150 km2 から 1,500 km2 の範囲では，流域面積に関わらず，同様の包絡線を用いてピーク相対誤差の上限値を表現することができる．この結果は，ある許容誤差を設定すれば，その内部で降雨の位置情報を陽に取図–12 は Div : 0 から Div : 5 までの分割域の面積り扱う必要がない面積，すなわち基準面積を，対象と(以降，分割面積と呼ぶことにする) とその内部で雨をシャッフルすることによる各流域下流端での河川流量のピーク相対誤差の関係を示す．同じ分割面積に対してそれぞれ 10 個のプロットがあるのは，10 個の降雨イベントを用いて計算を行ったことによる．また，ひとつのプロットは同じ条件でシャッフルのパターンを変えて5 回の繰り返し計算を行い，その平均値を示している．
各プロットでピーク相対誤差の標準偏差を求めてその平均値を計算すると 0.0063 となり，標準偏差は分割域の面積に依存しないことを確認している．同じ分割面

102する流域面積に関わりなく決定できることを意味する．
また，対象とする流域面積がその基準面積よりも小さい場合には，降雨分布の統計的性質を反映する限りにおいて，流域全体で集中化することによって生じるピー
ク流量の相対誤差はその許容誤差を越えないことを意味する．
図–12 のすべてのプロットに対する包絡線の式は

P E = 0.0055 × M BU 0.41

(5)

土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4

0.3

C1 : 6,558 km 2
2
C2 : 3,527 km 2
C3 : 1,469 km
C4 : 1,184 km 2
C5 : 631 km 22
C6 : 476 km 2
C7 : 156 km

Relative Peak Error

0.25
0.2

0.0060 * Area0.50

0.15
0.1
0.05
0
1

10

100

1000

10000

2

Area [km ]図–13 分割面積とピーク相対誤差の関係．流域分割した内部で降雨を一様化した場合．

となり，ピーク相対誤差 (P E) と基準面積 (Modelで表されるすべてのプロットを包絡する線に比べて，縦2

Building Unit : M BU [km ]) の関係を得ることができた．これにより，例えば，ピーク相対誤差の許容誤差
を 5 %とすると基準面積は約 200 km2 ，10 %とすると
約 1,200 km2 となる．

軸の値 (ピーク相対誤差) が約半分に小さくなっている．

図–13 は分割域の内部で雨を平均化することによるはなく，それより大きな面積で分割してもよいことを

ピーク相対誤差と分割面積の関係を示している．図–示唆している．大流域を対象とする場合には，集中化し12 に示したシャッフル降雨を入力する場合に比べてピー
ク相対誤差は全体的に大きくなるが，流域面積が 150
km2 から 1,500 km2 の範囲において，分割面積に応じてピーク相対誤差の上限値をひとつの包絡線で表現できることは共通している．一様降雨を入力する場合の基準面積を M BUU (Model Building Unit for Uniform
Rainfall) とすれば式 (6) を得る．

てもよい面積が流域面積に依存するという結果はこれ

P E = 0.0060 × M BUU0.50

これは，C1 流域 (6,558 km2 ) や C2 流域 (3,527 km2 )のように流域面積が 1,500 km2 を超える場合に，必ずしも式 (5) で計算される基準面積で流域を分割する必要までの研究9) でも得られており，本研究の検討から，流域面積が 1,500 km2 から 3,500 km2 程度の範囲で，基準面積が流域面積に依存するようになることが示唆された．
基準面積が絶対的な大きさで規定できなくなる理由を考察するため，C3 流域 (1,469 km2 ) と C1 流域 (6,558

km2 ) を対象に，シャッフル降雨 (Shuffle Div:0) を入力
した場合の 8 つの分割域からの斜面流出量とそれぞれの分割域を起源とする各流域の下流端での河川流量を
図–14 に示す．また，図–15 には同じ流域を対象に，観測降雨を入力した場合の同様のハイドログラフを示す．

(6)

これにより，例えば，ピーク相対誤差の許容誤差を 5%とすると一様降雨を入力する場合の基準面積は約 70
km2 ，10 %とすると約 300 km2 となり，統計的性質を反映する場合に比べてその面積を小さくとらなければばならないことがわかる．

斜面流出量から河川流量へのハイドログラフの変化傾向に着目する．まず，1,469 km2 の C3 流域においては，シャッフル降雨を入力した場合，ピーク流量の生起(6)基準面積が絶対的な大きさで規定できなくなる

時刻が分割域ごとにずれる (図–14 (a))．一方，観測降

理由

雨を入力した場合には，ピーク流量の生起時刻がより
2

図–12 において横軸の分割面積が 100 km から 1,000

集中している (図–15 (a))．観測降雨を入力した場合に2ピーク生起時刻が集中するか分散するかは，降雨の時

km の範囲に着目すると，C1 流域と C2 流域を対象にした数値シミュレーションの結果を包絡する線は，式 (5)空間分布に依存するが，いずれにしても降雨をシャッフ

103土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4

8Runoff [mm/h]

7

3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8

Runoff C3 (Shuffle, Div : 0)

6

1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-7
1-8

Runoff C1 (Shuffle, Div : 0)

6
5
Runoff [mm/h]

10

4

4
3
2

2
1
0

0
0

10

20

30

40

50

60

70

0

10

20

Time [hr]
7

3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8

Discharge C3 (Shuffle, Div : 0)8Discharge [mm/h]

40

50

60

70

Time [hr]

6

1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-7
1-8

Discharge C1 (Shuffle, Div : 0)6
Discharge [mm/h]

10

30

4

5
4
3
2

2
1
0

0
0

10

20

30
40
Time [hr]

50

60

70

0

10

20

(a)

30
40
Time [hr]

50

60

70

(b)

図–14 (a) C3 流域 (1,469 km2 ) と (b) C1 流域 (6,558 km2 ) を対象に，シャッフル降雨 (Shuffle, Div : 0) を入力した場合の8 つの分割域からの斜面流出量 (上図，Runoff) とそれぞれの分割域を起源とする河川流量 (下図，Discharge)．

8
Runoff [mm/h]

7

3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8

Runoff C3 (Original)

6

1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-7
1-8

Runoff C1 (Original)

6
5
Runoff [mm/h]

10

4

4
3
2

2
1
0

0

10

10

20

30
40
Time [hr]

50

70

0
7

3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8

Discharge C3 (Original)

8
Discharge [mm/h]

60

6

10

20

30
40
Time [hr]

50

4

60

70

1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-7
1-8

Discharge C1 (Original)

6
Discharge [mm/h]

0

5
4
3
2

2
1
0

0
0

10

20

30
40
Time [hr]

50

60

70

0

(a)

10

20

30
40
Time [hr]

50

60

70

(b)

図–15 (a) C3 流域 (1,469 km2 ) と (b) C1 流域 (6,558 km2 ) を対象に，観測降雨 (Original) を入力した場合の 8 つの分割域
からの斜面流出量 (上図，Runoff) とそれぞれの分割域を起源とする河川流量 (下図，Discharge)．

104土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4

5.

1

おわりに

Nash Sutcliffe Efficiency

0.98

空間分布する降雨がその内部でどこに位置するかと0.96いう情報を陽に取り扱うことなく，洪水流出を再現で0.94

きる最大の流域面積として基準面積を定義し，数値シ
ミュレーションによりその大きさを定量化した．以下

0.92
2

C1 : 6,558 km 2
C2 : 3,527 km
C3 : 1,469 km 22
C4 : 1,184 km 2
C5 : 631 km 2
C6 : 476 km 2
C7 : 156 km

0.9
0.88
0.86
1

10

に本論の結論をまとめる．

100

1000

10000

2

Area [km ]図–16 分割面積と Nash 指標の関係．

ルすることにより，ピーク流量が生起する時刻を陽に考慮できなくなるため，河川流量の推定に差異が生じる．
一方，図–14 (b) と図–15 (b) に示す 6,558 km2 の C1流域に着目すると，観測降雨・シャッフル降雨いずれの場合も，ピーク流量が C3 流域の場合に比べてより平滑化されている．そのため，降雨の位置をシャッフルしてピーク流量の生起時刻がずれたとしても，その影響は

C3 の流域に比べると小さい．このことが，C1 流域やC2 流域において集中化してもよい面積を式 (5) で定まる基準面積より大きくてもよい理由である．
(7)

ハイドログラフ全体の再現性について

ここまではピーク相対誤差を指標として基準面積の議論を進めてきた．これは，ピーク流量を精度よく予測することが河川計画や洪水予測にとって最も重要であるからである．ただし，基準面積内で入力情報を集中化した場合に，洪水の立ち上がりや低減部など，ハイドログラフ全体をどの程度の精度で再現できるかを確認しておくことも重要である．
図–16 は，C1 流域から C7 流域の 7 流域を対象に，シャッフル降雨 (Shuffle, Div : 0 〜 Div : 5) を入力した
場合の Nash 指標の値を示している．横軸は分割面積，
縦軸は Nash 指標をとり，10 洪水イベントで計算した結果である．各プロットは 5 回のシャッフルパターンの平均値であり，それぞれの Nash 指標の標準偏差は平均
で 0.0020 であった．流域面積が 1,500 km2 以下の C3(a) 流域面積が 150 km2 から 1,500 km2 の範囲では，流域特性の空間分布，降雨の空間分布，河道網の効果のうち，主に河道網の流出位置反映効果が基
準面積の大きさを規定している．
(b) 河道の効果を考慮せず流域全体からの斜面流出に着目した場合，観測降雨を入力した場合のピーク
流量と観測降雨の位置をシャッフルして入力した場合のピーク流量との差は約 5 %以内に収まる．そして，この大きさは土地利用や土壌特性が同じであれば，流域面積には依存しない．ただし，分割
域内の降雨を一様とする場合には，分割域内で降雨の位置をシャッフルする場合に比べて，この差異は大きくなり，さらに流域面積が大きいほどこの差異は大きくなる．
(c) 河道の効果を考慮して流域下流端の河川流量に着目した場合，降雨分布の統計的な性質を保持して降雨の位置を陽に取り扱わないことによるピーク
流量の差異 (P E) は分割面積 (M BU [km2 ]) の関数として表現することができる．流域面積が 150
km2 から 1,500 km2 の範囲では流域面積に関わりなく P E = 0.0055 × M BU 0.41 の関係がある．
(d) 分割域内の降雨を空間一様に取り扱う場合には，
P E = 0.0060 × M BUU0.50 の関係があり，統計的な性質を保持する (c) の場合より，流域を細かく分割する必要がある．
(e) 流域面積が 1,500 km2 よりも大きい場合で，流域下流端の河川流量のみに着目する場合，上式で表される面積よりも，粗い面積で流域を分割してもよい．これは，流域面積が大きくなると河道網の洪水流量低減効果がより顕著に発現し，基準面積を規定していた降雨流出位置の反映効果を打ち消すためである．

流域から C7 流域の場合，流域全体で雨の位置をシャッ

本論の数値実験によって得た基準面積の式は，洪水フルしても Nash 指標は 0.98 以上を保つことが分かる．

予測の実務の場面で，要求する予測精度に応じてひと2流域面積が 3,500 km 以上の C1 と C2 の場合でも，分つの集中型流出モデルを適用する面積を決めるときに2割面積を 1,500 km 以下にすれば，数値シミュレーショ

利用できる．また，空間分解能の大きな気象モデルによンで用いたすべての降雨パターンで Nash 指標が 0.95

る降雨予測をダウンスケールして流出モデルに入力す2る場合に，降雨の空間分解能と流出予測の不確実性とから 1,500 km の範囲で基準面積が絶対的な大きさでの関係を定量的に評価することができる．ただし，本規定できることを明らかにしたが，その範囲では Nash論で実施した数値実験は，わが国の淀川流域における指標は 0.95 以上となることが分かった．

気象条件と流域条件を前提とするものであり，ここで以上になる．これまでの議論で，流域面積が 150 km
2105土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 4

得た知見の普遍性については理論的な解釈を含めて今後さらなる検討を重ねる必要がある．

付録

流水の空間起源に応じたハイドログラ
フの成分分離法

河川を流れる水がどの部分流域を起源としているのかを分析するため，空間起源に応じたハイドログラフ
図–17 流水の空間履歴追跡手法の成分分離法を新たに開発した．
図–17 は 3 つの河道区分と 3 つの部分流域から構成される単純化した流域を示している．ここでは，ある
時刻 t に河道区分 (3) を流下する水がどの部分流域を起参考文献

源としているかを考える．具体的には，図中のRに示す

1) 高棹琢馬 : 流出機構, 水工学に関する夏期研修会講義集(A 河川コース), 土木学会水理委員会, pp. 3-1 – 3-43,
1967.
これをトレーサとみたてて上流から順に追跡計算を行2) 椎葉充晴 : 分布型流出モデルの現状と課題, 京都大学
う．構成比マトリクスの要素には，起源とする部分流域
防災研究所水資源研究センター研究報告, pp. 31 – 41,
1995.
の占める割合を格納する．例えば図–17 では，時刻 t の
3) Wood, E. F., Sivapalan, M., Beven, K. and Band, L.
貯留水 S3 のうち 3 割は部分流域 (1) を起源とし，6 割: Effects of spatial valiabitity and scale with implicaは部分流域 (2) を起源とし，1 割は部分流域 (3) を起源
tions to hydrologic modeling, J. of Hydrol., Vol. 102,
pp. 29 – 47, 1988.
としている．各河道区分の下流端から流下する水はそ
4) Wood, E. F., Sivapalan, M. and Beven, K. : Simiの貯留水と同じ構成比を持つので，Q3 の構成比を計算
larity and scale in catchment storm response, Rev. ofするためには，R3 を時々刻々計算すればよい．R3 のGeophysics, Vol. 28, No. 1, pp. 1 – 18, 1990.
5) Wood, E. F. : Scaling behaviour of hydrological fluxes
時間変化は，連続の関係から以下のように記述できる．
and variables: empirical studies using a hydrologicald (R3 S3 )model and remote sensing data, Hydrol. Process., Vol.
in
= Q1 R1 + Q2 R2 + q3 R3 − Q3 R39, pp. 331 – 346, 1995.
dt6) Fan, Y. and Bras, R. L. : On the concept of a repこれを書き直すと，resentative elementary area in catchment runoff, Hyµ
¶
1
dS3
dR3
drol. Process., Vol. 9, pp. 821 – 832, 1995.
in=Q1 R1 + Q2 R2 + q3 R3 − Q3 R3 − R37) Reed, S., Koren, V., Smith, M., Zhang, Z., Moreda,
dt
S3
dt
F., Seo, D.-J. and DMIP Participants : Overall dis河道区分 (3) の貯留水の連続関係，
tributed model intercomparison project results, J. of
Hydrol.,Vol. 298, pp. 27 – 60, 2004.
dS3= Q1 + Q2 + q3 − Q38) 市川 温, 立川康人, 堀 智晴, 寶 馨, 椎葉充晴 : 流出計算
dtで考慮すべき降水空間分布スケールに関する基礎的研究,
を上式に代入すると，以下の常微分方程式を得る．
水工学論文集, 第 46 巻, pp. 133 – 138, 2002.
9) Shrestha, R., Tachikawa, Y. and Takara, K. : InputindR3−Q1 − Q2 − q3
Q1 R1 + Q2 R2 + q3 R3
data resolution analysis for distributed hydrological
=
R3 +
dt
S3
S3
modeling, J. of Hydrol., Vol. 319, pp. 36 – 50, 2006.
in10)
立川康人, 永谷 言, 寶 馨 : 分布型洪水流出モデルにおけ
ここで，R3 は部分流域 (3) から河道区分 (3) に流入する空間分布入力情報の有効性の評価, 京都大学防災研究
る水の空間起源構成比マトリクスであり，(3) の河道区
所年報, 第 46 号 B，pp．233 – 248, 2003.
11) Obled, C., Wendling, J. and Beven, K. : The sensitiv分に対応する要素が 1 で，その他の要素はすべてゼロ
ity of hydrological models to spatial rainfall patterns:の値をもつ．各河道区分の流量 Q と各部分流域からのan evaluation using observed data, J. of Hydrol., Vol.
流入量 q は河道モデル，流出モデルでそれぞれ別途計
159, pp. 305 – 333, 1994.
12)
Bell,
V. A. and Moore, R. J. : The sensitivity of catch算するので既知の値であり，河道区分に流入する水のment runoff models to rainfall data at different spatial
構成比マトリクス R1 ，R2 も上流から追跡すれば既知
scales, Hydrol. and Earth System Sci., Vol. 4, No. 4,の値となるので，上式のなかで R3 だけが未知数とな
pp. 653 – 667, 2000.
13)
Zhang,Z., Koren, V., Smith, M., Reed, S. and Wang,り，これを求めることができる．R3 の時系列が求まる
D. : Use of next generation weather radar data andと，図–17 に示すようにハイドログラフを流水の空間
basin disaggregation to improve continuous hydrograph simulations, J. of Hydrol. Eng., Vol. 9, No. 2,
起源に応じて成分分離することが可能となる．

流水の空間起源構成比マトリクスという概念を導入し，

106

土木学会論文集Ｂ Vol.63 No.2, 92-107, 2007. 418) 佐山敬洋, 立川康人, 寶 馨, 市川 温 : 広域分布型流出予測システムの開発とダム群治水効果の評価, 土木学会論文集, No. 803 / II - 73, pp. 13 – 27, 2005.
19) 市川 温, 村上将道, 立川康人, 椎葉充晴 : 流域地形の新
たな数理表現形式に基づく流域流出系シミュレーション
システムの開発, 土木学会論文集, No. 691 / II - 57, pp.
42 – 52, 2001.
20) 立川康人, 永谷 言, 寶 馨 : 飽和・不飽和流れの機構を導入した流量流積関係式の開発, 水工学論文集, 第 48 巻,
pp. 7 – 12, 2004.
21) 佐山敬洋, 立川康人, 寶 馨 : 不確実性を考慮する地上・
レーダ雨量の合成法, 土木学会論文集, No. 803 / II - 73,
pp. 1 – 11, 2005.
22) 椎葉充晴 : 流出系のモデル化と予測に関する基礎的研究, 京都大学博士論文, 1983.

pp. 103 – 115, 2004.
14) Liang, X., Guo, J., and Leung, R. : Assessment of
the effects of spatial resolutions on daily water flux
simulations, J. of Hydrol., Vol. 298, pp. 287 – 310,
2004.
15) 高棹琢馬, 椎葉充晴 : 雨水流モデルの集中化に関する基礎的研究, 京都大学防災研究所年報, 第 28 号 B-2, pp.
213 – 220, 1985.
16) 砂田憲吾, 木村真章 : 水文量評価のための最適空間スケールに関する基礎的研究, 水工学論文集, 第 35 巻, pp.
675 – 678, 1991.
17) Woods, R. and Sivapalan, M. : A synthesis of spacetime variability in storm response: Rainfall, runoff
generation, and routing, Water Resourc. Res., Vol.
35, No. 8, pp. 2469 – 2485, 1999.

(2006. 5. 23 受付)

MODEL BUILDING UNIT FOR RAINFALL-RUNOFF SIMULATION
Takahiro SAYAMA, Yasuto TACHIKAWA and Kaoru TAKARAThis paper investigates the appropriate lumping scale for rainfall-runoff models. Since the location of
rainfall inside the lumping scale cannot be reflected to the simulations, it is important to identify thescale in which the spatial variability of rainfall does not affect significantly to the discharge at the outlet.
It defines Model Building Unit (MBU) as a maximum catchment size in which explicit consideration of
rainfall location is not required for flood predictions. The simulation results in the Yodo River basin showedthat MBU is restricted mainly by river channel effects and quantified as absolute size if the catchment size
is between 150 km2 and 1500 km2 . MBU is 200 km2 for 5 % of allowable relative peak discharge error.

107