数理解析研究所講究録 1422 巻 2005 年 44-55

44

クリスタルから見た箱玉系
東大総合文化 国場 敦夫 (Atsuo Kuniba)

Graduate School of Arts and Sciences, University of Tokyo
阪大基礎工 尾角 正人 (Masato Okado)

Graduate School of Engineering Science, Osaka University
神戸大理 山田 泰彦 (Yasuhiko Yamada)

Department of Mathematics, Kobe University

1

はじめに

高橋・薩摩 [1] によって導入された「箱玉系」は、 まず離散ソリトン方程式を「超離散化」

するという方法によって「可積分系」であるというお墨付が得られた [2]。一方、「可積分系」の由来を無限個の互いに可換な時間発展、あるいは、それに付随する無限個の独立な保存量に求めるやり方もある。 このときに必要となるのはヤン・バクスター方程式の解であり、その解を箱玉系のような超離散系に対し系統的に. . えるのがクリスタルである。本
$t\overline{\overline{\mathrm{J}}}$

稿では、 箱玉系をクリスタルから見るとどうなるかについて「無限系」、「反射系」、「周期系」に分けてなるべく平易な解説を試みる。そして現在どのようなことがわかっているかを整理し、 さらに「こんなことがわかれば面白いだろうなあ」 ということを述べて研究会名にあった「展望」に代えることとしたい。
我々は、「箱玉系」の研究はまだ始まったばかりでまだまだ面白いことが出てくると思っているが、残念ながらもうそう若いとはいえない歳になってしまった。 この講究録を読んだ方の中から「展望」で述べたことをどんどん解決していく元気な若者が出てくることを願ってやまない。そう、 この原稿を読むときの心構えとして、九大の梶原さんの言葉[3] を借りよう。「むしろ、 これさえ読めば研究の最先端であって、納得できないところはすべて研究テーマであり、 なんだこの程度しかわかっていないのか、 と解釈するべきである。 隙あらば論文の一本二本は書いてやる、 といった意気込みで’ 挑む) のがよい。
」

45

2

無限系

2.1

クリスタル流の見方

箱玉系は空間については 1 次元なので無限系とは [左にも右にも境界がない」という意味である。 ここでは色付容量 1 の箱玉系 (「中級箱玉」 とも呼ばれる) を取り扱う。用いらの量子展開環の 次対称テンソル表現
型アフィンリー環
れるクリスタルはから来るもので、である。

$B_{l}$$B_{l}$$l$$(n\geq\underline{?})$$A_{n-1}^{(1\rangle}$

とおく。 クリスタルとは集合に色付有向グラフの構造が入ったものの場合、 集合としては$B_{l}=\{(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})|x_{j}\in \mathbb{Z}_{\geq 0}, x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=l\}$というものであり、特に有限集合である。 はよく横 1 行のヤング盤を用いて表示され個入ったタブロである。
が個、個、 2 力るが (タブロ表示) それは 1 がの 2 元に対し色 $i(\mathrm{i}=0, \ldots, n-1)$ の矢印がこの
$B_{l}$$\grave{\grave{\mathrm{a}}}$$x_{2}$$x_{1}$、$\ldots\text{、}$$n$$x_{n}$$B_{l}$$(x_{1}, \ldots, x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{n})\underline{i}(x_{1}, \ldots, x_{i}-1, x_{i+1}+1, \ldots x_{n}))$のルールで引かれる。 ただし、 $i=0$ のとき $x_{i}=x_{n}$ とみなし、 座標のうちに負の整数が現れればその矢印はないものと規約する。
さて、 2 つのクリスタル

る。集合としては直積集合
リスタルに特徴的なのは$B_{l},$$B_{l}\rangle\langle$$B_{m}$にはテンソル積$B_{m}$$B_{l}\otimes B_{m}$$B_{l}\otimes B_{m}$といわれるものが定義されで、 それに色付有向グラフの構造が入る [4]。今のクと $B_{m},\otimes B;$. のグラフ構造が同じになることである。 これは対応する量子展開環の表現が同型であることからの帰結である。 よって次のような
bijection \hslash ’; あり.
$R$:$B_{l}\otimes B_{m}$$arrow$$B_{m}\otimes B_{l}$$x\otimes y$$\mapsto$$y’\otimes x’$

これを組合せ $R$ と呼ぶ。 この関係を Figure 1 のように図示することにする。本稿では詳しく述べないが、 この図の状態に対しエネルギー$H(x\otimes y)\in \mathbb{Z}$を対応させることができ、これが冷評系の時間発展に関する保存量を構成するときに用いられる。
箱玉壷の状態とは$B_{1}^{\infty}$

つまりある十分大きな

...

$L$

の元であって、有限個を除き成分が 1 であるものと定義される。

があって、$\otimes 1\otimes 1\otimes 1\otimes \mathrm{i}_{1}\otimes i_{2}\otimes\cdots\otimes \mathrm{i}_{L}\otimes 1\otimes 1\otimes 1\otimes\cdots$

box I この元であり、 1となるような B 鉾の元である。 1 あるいは はタブロ表示の数字が書かれるだけなので box は省略した。 1 は箱玉系の言葉では空箱に相当し、有限個$i_{a}$$B_{1}$$\mathrm{x}1$を除き成分が 1 というのは玉の数が有限個であることに相当する。次に時聞発展を定義し48

Figure 1: 組合せ

$R$

$y$

よう。 Figure 2 を見てもらいたい。 左のる。 また、上の$\mathrm{i}_{1}$, i2,$i_{3},$$\ldots$$1^{l}$

は$B_{l}$の元で、 1 が横に 個並んだタブロであ$l$は状態で左右の 1(空箱) が無限に続いているところは無視

し有限化して書いている。左の方から見ていき Figure 1 のような十字があれば組合せ $R$
により南と東の元が定まると見ると、 上の状態に対し下の状態質,$i_{2}’,$$i_{3}’,$$\ldots$が一意的に定まる。 この状態に対する作用を $T_{l}(l\geq 1)$ と定義する。

Figure 2: 時間発展$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$T_{l}$$B_{l}\ni$無限個の時間発展$\{T_{l}\}_{l\geq 1}$があるわけだが、 実はこれらは可換である。
$T_{l’}T_{l}$$=T_{l}T_{l’}$Figure 3: ヤン・バクスター方程式

証明はヤン・バクスター方程式 (Figure 3) を使う。図は次のように解釈する。

$B_{l}\otimes B_{l’}\otimes B_{l’’}$

上に組合せ

$R$

を三回非自明に作用させようとすると $(R\otimes 1)(1\otimes R)(R\otimes 1)$ (左辺) と47$(1\otimes R)(R\otimes 1)(1\otimes R)$(右辺) の二通りが考えられるがそれらの結果は等しい。 このヤ

ン・バクスター方程式を認めれば、
りである

$($

ただし、 $l”=1$ とおく$T_{l}$と$T_{l’}$の可換性の証明は図 (Figure 4) を書けば終わ$)_{0}$

Figure 4:$T_{l}$との可換性の証明$T_{l’}$$1^{l’}$$1^{l}$

さらにエネルギー関数 If を用いて

$T_{l}$に対応して時間発展に関し不変な保存量$E_{l}$

を定義することができる。

for$E_{l}(T_{l’}(p))=E_{l}(p)$$\forall l’,$$\forall$状態$p$

詳しくは例えば [5] を参照されたい。
ソリトン状態についてもまとめておこう。

11$\cdots 1\mathrm{i}_{1}i_{2}\cdots \mathrm{i}_{k}1\cdots 1$という状態は、時間発展$T_{l}$$(i_{1}\geq \mathrm{i}_{2}\geq\cdots\geq \mathrm{i}_{k}\geq 2)$

に関し速さ $\min(l, k)$ で右へ移動するためソリトンということをそのソリトンの長きという。昭 $k-1\ldots$ il と並べ替えると横一列タブロと見の元と同一視できる。 ただし、 中の数字は 2 から になってし ることに注なせるのでのソリトンが左に
意 (ランクが一 1 となる) 今度はこのようなソリトンが 2 つ、 長さ

ができる。

$k$

$\mathrm{a}$$n$$B_{k}$$k_{1}$$\circ$。

のソリトンが右 $(k_{1}>k_{2})$ にあった場合、時間発展によってソリトンが衝突し、そのソリトンを追い越したかのように運動する。 この際 2のソリトンが長さの後長さ

長さ$k_{2}$$k_{2}$$k_{1}$

つのソリトンの内部自由度に変化が生じる。 これをソリトンを
写像
$S$

:

$B_{k_{1}}\otimes B_{k_{2}}$$arrow$$B_{k_{2}}\otimes B_{k_{1}}$$x_{1}\otimes x_{2}$$\mapsto$$x_{2}’\otimes x_{1}’$$B_{k_{1}},$$E_{k_{2}}$の元と同一視してで表すことにすると$S=R$が成立する。 ただし、右辺の $R$ はランクが -1 となっている。 もヤン・バクスター方程式を満たすので、 ソリトンが 3 つある場合 2 体散乱が 3 回起こるが結果はその順序によらないことがわかる。組合せ $R$ が時間発展の定義、 ソリトンの散乱則の 2 所に現れるこ$S$$i\mathfrak{h}$とがポイントである。

例をいくつか挙げよう。最初のものは第 1 行の状態をである。 . は空箱 1 を意味している。

$T_{4}$

で次々に時間発展させたもの

48. . 44322 $\ldots..32\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$. . . . . . 44322 $\ldots 32\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ .
. . . . . . . . . . 44322. 32 $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.$ .
. . . . . . . . . . . . . . 442. 3322 $\ldots\ldots\ldots\ldots$ .
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 42. . 43322.
. . . . . . . . . . . . . . . . . 42. . . . 43322. . . . . . . . . . . . . . , . . . . . 42 $\ldots\ldots 43322$ .
$\ldots.$,,$\ldots$$\ldots.$,

タブロ表示でこの散乱よ $22344\otimes 23arrow 24\otimes 22334$ と表され、確かに組合せ $R$ に一致している。次は 3 つの ) トンの散乱である。結果が 2 体散乱の順序によらないことが見て$\backslash J\mathfrak{j}$取れるだろう。

. 4422. . 32. . . . . . 3 $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.$ .
. . . . . 442. 3 ?. 2 $\ldots.3\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ .
. . . . . . . . 42. . 4322. 3 $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$. . . . . . . . . . 42. . . . 42332 $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$. . . . . . . . . . . . 42 $\ldots.2$ . . $4332\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.$ .
. . . . . . . . . . . . . . 42. . . 2. . . . . 4332 $\ldots\ldots\ldots\ldots$ .
. . . . . . . . . . . . . . . . 42. . 2 $\ldots\ldots..4332\ldots\ldots\ldots$. . . . . . . . . . . . . . , . . . 42. 2 $\ldots\ldots\ldots..4332\ldots.$ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 22. . . . . . . . . . . . . 4332.
,. 4422 $\ldots\ldots\ldots\ldots..32.3\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ .

. . . . . 4422 $\ldots\ldots\ldots\ldots 323\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$. . . . . . . . . 4422 $\ldots\ldots\ldots.233\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ .
. . . . . . . . . . . . . 4422 $\ldots\ldots.2.33\ldots\ldots\ldots\ldots.$ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 4422 $\ldots.2$ . . $33\ldots\ldots\ldots\ldots$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4422. 2 $\ldots 33\ldots\ldots\ldots$ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 4222. 33 $\ldots\ldots.$ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . 422332.
$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots 4\ldots\ldots 22.4332$ .
$\ldots.$

2.2

現状と課題

1. 一般のアフィンリー環 を考える。そのディンキン図の頂点は通常 0, 1, . . . , でラベル
$n$

$g$

される。 0 を除く頂点

でクリスタル基底 (の$B_{l}$$k$$B^{k,l}$はこの記法では

および正整数 に対しアフィン量子展開環び$l$の有限次元表現と表される) をもつものが存在すると予想されている [6]。前述$\mathrm{B}=A_{n-1}^{(1)}$のときの$B^{1,l}$

び組合せ $R$ の具体形がわかっているのは(i) g=A ユ l-)l$q(\mathrm{g})$$\{B^{k,l}\}_{l\geq 1}$

for $1\leq k\leq n-1$である。他にもこのように系列で存在およ

49

(i1)

$\mathfrak{g}$: 非{列外型$\{B^{1,l}\}_{l\geq 1}$である。それぞれに対しては全く同様に (一般化された) 箱玉系が定義され、 ソリトンの散乱則についても調べられている ((i)\Rightarrow [7],(ii)\Rightarrow [8])。課題はもうおわかりだろう。「クリスタルの存在を示し、 それから定義される箱玉系を調べる」 ことである。
2. ここで詳しく述べる余裕はないが、 可解格子模型を解く 2 つの手法、ベーテ仮説、

角転送行列法に由来する 2 つの多項式が等しいという予想 ( $X=M$ 予想) [6] がある。右辺 $M$ (フェルミ公式) は箱玉系の分配関数ととらえることもでき、 更なる研究の広がりが期待される。詳しくは [9] を参照されたい。

3

反射系

3.1

クリスタル流の見方

今度は右側に端点がある系を考えよう。 このような場合、可解格子模型ではヤン・バクス
ター方程式とともに反射方程式を考える。 まず Figure 5 はクリスタル元 が左からやってきて壁にぶつかり $K(x)$ という元に変化して右へ進むことを表している。 もし 2 つの元が左からやってきた場合、壁との反射、元同士の散乱の順序として Figure 6 の 2 通り
$x$が考えられるが、そのどちらの場合が起きても結果は変わらないというのが反射方程式である。

Figure 5: 組合せ $K$

Figure 6: 反射方程式$B_{m}$$B_{l}$$=$$B_{l}$

50

我々は K(組合せ $K$ と呼ぶ) を自身への写像と思って反射方程式の解を探しをの双対 (グラフですべ
たが、 あまりおもしろいものが得られなかった。そこで$B_{l}$

から$B_{t}$$B_{l}^{\vee}$$B_{l}$ての矢印を反転したもの) とし $K$ を $K$ : $Bparrow B_{l}^{\vee}$ となる写像として反射方程式を考える。 式で書くと$B\iota\otimes B_{m}$

上の等式

(1)

$K_{2}R^{\vee}K_{2}R=R^{\mathrm{v}\mathrm{v}}R_{2}’R^{\vee}K_{2}$となる。 ただし、 $R,$

$R^{\vee},$は組合せ $R$$R^{\mathrm{v}\mathrm{v}}$$R$:$B_{l}\otimes B_{m}arrow B_{m}\otimes B_{l}$$R^{\vee}:$$B_{m}\otimes B_{l}^{\vee}arrow B_{l}^{\vee}\otimes B_{m}$$R^{\vee\vee}:$で$K_{2}$$B_{m}^{\vee}\otimes B_{l}^{\vee}arrow B_{l}^{\vee}\otimes B_{m}^{\vee}$

は $K$ がテンソル積の第 2 成分に作用することを表す。 $R,$

を未知として (1) の解を探す。 $K$ が座標$(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$$R^{\vee}\rangle$

R7ゝは既知であり、 $K$の置換で与えられるものを計算機で探したら次の 3 つの解が見つかった。
$\bullet$.
$\bullet$

Rotateleft$K(x)=(x_{2}, \ldots, x_{n}, x_{1})$$Switch_{12}$$K(x)=(x_{2}, x_{1}, x_{4}, x_{3}, \ldots)$$Switch_{1n}$$K(x)=(x_{n}, x_{3}, x_{2)}\ldots, x_{1})$もちろん $Switch_{12},$ $Switch_{1n}$ では$n$は偶数でなければならない。以下 $K=Rotateleft$ として説明する。無限系の場合と同様、状態、時間発展を定義しよう。まず状態はの元であることを表す) となっているものと定は空箱に相当するわけである。時間発展 の定義は Figure 7の元で有限個を除き成分が l\otimes -n(一は義する。つまり、 この$1\otimes\overline{n}$を見てもらいたい。左端の$(B_{1}\otimes B_{1}^{\vee})^{\otimes\infty}$$B_{1}^{\vee}$$T_{l}$

が右へ走って壁に反射し、 また左端へ行って時間が
1 ステップ進む。 この場合も 2 章の無限系の場合同様、 時間発展の可換性を示すことがで$B_{l}$の元$1^{l}$

きる。 この際、ヤン・バクスター方程式とともに反射方程式も用いられる。詳しくは [10]を参照されたい。

さてこの系のソリトンには時間発展によって右へ進むもの (右ソリトン) と左へ進む
もの (左ソリトン) があり、 それぞれ次のような形をしている。

右ソリトン:
左ソリトン:

右ソリトンは
ただし、 1 と$(n-1\geq i_{1}\geq i_{2}\geq\cdots\geq i_{k}\geq 2)$$1\overline{j_{1}}\otimes 1\overline{j_{2}}\otimes\cdots\otimes 1\overline{j_{k}}$$(2\leq j_{1}\leq j_{2}\leq\cdots\leq j_{k}\leq n-1)$の元と左ソリトンはの元と一対一に対応していることに注意しよう。
が欠けているのでランクは -2 となっている。 この反射系の場合に知られ$B_{k}$$n$$i_{1}\overline{n}\otimes i_{2}\overline{n}\otimes\cdots\otimes i_{k}\overline{n}$$B_{k}^{\vee}$ている主な結果をまとめると次のようになる。

51

Figure 7: 時間発展(反射系)

$T_{l}$

1. 右ソリトンの反射は $K$ で与えられる

2. 右ソリトン同士の散乱は
3. 左ソリトン同士の散乱は$R$で与えられる$R^{\mathrm{v}\mathrm{v}}$で与えられる4. 右ソリトンと左ソリトンの散乱は$R^{\vee}$で与えられる

よって、 これらの系として多体ソリトンの反射、散乱は 1 体の反射および 2 体の散乱の順序によらないということがいえる。

例を挙げてこの節を終える。いずれの例でも $n=6$ であり.. は本来$4\overline{6}$$1\overline{6}$を表す。 また 46 はと書かれるべきものである。最初の例はソリトンの反射である。 $2445arrow 3345$ と変化しており 1 と 6 を除いて Rotateleft である。

.. .. .. ., .. ..
..
.. .. .. .. ..
.. .. .. 56464626.. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. 56464626.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. ,. ,. .. .. ..
.. .. .. 56464626.. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. ..
..
56464626.. .. .. .. .. .. ..
..
..
..
..
.. .. ., .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 56464626.. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 564641.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 13131415.. .. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . . . . .. .. . . . 13131415. . .. ..
.. .. .. .. .. ., .. .. .. .. . .. .. .. .. . 13131415.. . . . . . . ..
. . .. .. . ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 13 i31415. . . . .
.. .. .. .. .. .. . . 13131415.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.. ..

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.,

,.

,.

.,

,.

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,.

.,

.,

.,

.,

It

.,

52

次の 2 つの例は 2 ソリトンの反射、散乱である。結果はそれらが起きる順序に依らない。

.. .. .. .. 5646363626., .. .. .. 564626.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. 5646363626.. .. 564626.. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 56463636,. 56462626.. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 564636.. .. 5646362626.. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 564636.. .. .. .. 564131.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. 56463213141515.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1212131415.. 463626..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. 1212131415.. . .. .. .. .. . . 1142
. . . . . 121315..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1212131415.. .. .. .. .
.. .. .. .. .. .. 1212131415.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 121315.. .. .. ..
.. 1212131415. . . .. .. .. .. .. .. .. . . . . . 121315.
. . . . ..
,.

,

,

.. .. .. .. 5646363626.. .. .. .. ..
.. .. ..
.. .. .. 564626.. .. .. ..
..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. 5646363626.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 564626.. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5646363626.. .. .. .. .. .. .. .. .. 564626.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . 5646363626. . . .. . .. 1364.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5646322425.. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . . . .. 121314.. .. 114132.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 121314.. .. 1212131515..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 12121314. 12131515. . .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1212131415. . 121315. . . . . . . . . ..
.. .. .. .. .. .. 1212131415. . . . 121315.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.. 1212131415. . . . . .. . 121315. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.,

,.

,.

,

3.2

現状と課題

反射系の場合に現在わかっている結果は [10] のみである。課題はいろいろあると思うが次の 3 つを挙げておく。

1. 上述の反射系は右ソリトンの様子が同じであるという意味で 2.1 章の高承系を含んでいると考えることができる。同様に 22 章 1 の (i) または (ii) を含んでいる反射系を作りなさい。

2. 2 章の無限箱玉系は離散ソリトン方程式から導出できることが知られている [2]。同様に 3.1 章の反射系を適当な境界付離散ソリトン方程式から導出しなさい。 あるいは壁が無限の右にあると考えて境界がない場合でも構わない。
3. この章で紹介したのは片側でのみ反射する半無限系であるが、両側で反射できるおもしろい有限系を作りなさい。一見簡単そうであるが、時間発展の定義 (Figure 7) で左からいつも$1^{l}$を入れることができなくなる。 同様のことは次章の周期系でも起こるのでそこも参照されたい。 ある試みについては 「$\mathrm{t}^{10]}$の Discussion を参照。

53

4

周期系

周期的箱家系については時弘氏らによる先駆的研究 [11] があるが、 クリスタル流の見方からの研究はまだほとんど進んでいない。 よって、 この章では予想と課題を記すにとど
める。

4.1

予想と課題
Figure 8: 周期的箱玉系

$b$

$b$

$B_{l}\ni b$

無限系の時間発展の定義では (Figure 2) 左から$1^{l}$を入れれば右からまた$1^{f}$が出て行ったわけだが、定まった長さの有限系になるとこれが保証されなくなる。周期系では Figure
8 のように周期的境界条件を課すので、右の図のように切り開いて見てみれば、左から入れて組合せ $R$ で右に運んでも等しい元が$B_{l}$に存在すれば時間発展$T_{f}$

が定義できることになる。実際、計算機で調べてみると確かにこのような元は存在し、複数個ある場合でもはそれらに依存しないようだ。 また$T_{l}$と$T_{l’}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$の可換性も成り立っているようだ。 まとめると次の予想となる。

予想 1. すべての状態$p\in B_{1}^{\otimes L}$と $l=1,2,$$B_{l}\otimes B_{1}^{\otimes L}$$b\otimes p$となる。 $p’$ はこのような$b$$\ldots$に対し、 ある $b\in B_{l}$ が存在して$arrow$$B_{1}^{\otimes L}\otimes B_{l}$–$p’\otimes b$に依らない。

これにより $T_{t}(p)$ $(=p’)$ が定義される。 また、上のような

予想 2.
$b_{1}^{l}\otimes b_{2}’$$b$の集合を $Thr_{l}(p)$ と書くと、に対し、 $R;B_{f’}\otimes B_{l}arrow B_{l}\otimes B_{l’}$ によりとなっているならば、 $b_{2}^{l}\in Thr_{l’}.(p),$ $b_{1}’\in Thr\iota(T_{l’}(p))$ である o$b_{[perp]}\dashv\in Tf\iota r_{l}(p),$$b_{2}\in Thr_{l’}(Ti(p))$$b_{2}\otimes b_{1}\mapsto$

予想 2 が成立しているならば、無限系の Figure 4 での論法と同様に時間発展の可換性を示すことができる。次の例は $l=3$ のときに計算機で予想 1 のような を求めながら、
$b$

時間発展

$T_{3}$を施していったものである。

544332. . 32. 42 $\ldots.3\ldots\ldots$ .
. . . 4332. 32. 42. . . 3 $\ldots\ldots$.
. . . . . . 432. 33. 422. 3. . . . . . . . 42. 33. 43232. . .
. . . . . . . . . . . 42. 33. . 24332
332 $\ldots\ldots.,$ . . $42$ . 33. 2. . 4. 4332. . . . . . . . . 42. 3. 32.
2. . . 4332. . . . . . . . 423. . 3. 32. . . . . 4332. . . . . . . 243.
3. . 32. . . . . . 4332. . . . . 2. 4
. . . . 4332. . . 2.
. 43. . 32.
. . . 43. 32. . . . . . . . 4332. 2
322. . 43. . 32 $\ldots\ldots\ldots 43$ .
$\ldots.$

,

,

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,

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課題はおわかりだろう。「予想を証明せよ」である。一見簡単な組合せ論の問題のようであるが筆者らは ( $l=1$ や が十分大のときの予想 1 を除き) まだ証明をもっていない。
予想が証明されたら、「無限系で既に知られている箱玉系 (2.2 章 (i) (ii) ) へ拡張せよ」 と$l$いう課題が続く。
謝辞 : 関連する話題で共同研究を続けている高木太—丁丁に感謝します。

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