数理解析研究所講究録1075 巻 1999 年 143-153

143

低レイノルズ数域での二次元回転チャネル乱流の速度分布と乱れ性
名古屋工業大学

鬼頭修己 (OSarrti KitOh)

名古屋工業大学

中林功– ($\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}$$\mathrm{N}$a a a a$\mathrm{k}$$\mathrm{b}$$\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}$$\mathrm{y}$1 。はじめに回転チャネル乱流の研究は、 1960 年代に始まったターボ機械の内部流れに及ぼすコリオリの力の研究から本格的に始まった。 平均せん断成分がない–様乱流と異なり、 チャネル流では壁の存在により平均速度のせん断成分が存在する。 このせん断成分とコリオリの力との相互作用により、 回転チャネル特有の流れが現れる。 その一っは、 低アスペクト比のチャネル流で、 せん断成分による丁度が回転ベクトル$\Omega$する場合に現れる二次流れである。 他の–つは、 二次元チャネル流で、 渦度がと直交$\Omega$と平行な場合に現れる乱れの促進及び抑制効果である。 いずれも流体機械の特性に関連があるが、 ここでは後者のみについて平均速度分布と乱れ特性について述べる。

2 。管摩擦係数および速度分布則2。

$\langle$1)

1 。次元解析による速度分布の相似則

図 1 に示すような回転二次元チャネル乱流を考える。 流れは、 完全に発達しているとする。 このとき、 速度 U は$\mathrm{y}$のみの関数となり、 次式のように与えられる。

$U=f_{1}(D,y, u_{*}, \nu,\Omega)$

ここで u*は摩擦速度である。

$\mathrm{u}_{*}$と$v$,(1)を用いて式 (1) を無次元化すると、(2).

$U/u_{*}=f_{2}(yu_{*}/\nu, \mathcal{U}_{*}^{\underline{9}}/\Omega\nu, u_{*}D/\nu)$

粘性長さスケールと式 (2) は、$\delta_{\mathrm{v}}=v/\mathrm{u}_{*}$とコリオリ長さスケール$\delta_{\mathrm{c}}.=$$\mathrm{u}^{*}/\Omega$を用いる)

144$U^{+}=U/u_{*}=f_{2}(y/\delta_{v}, \pm\delta_{c}/\delta_{v},D/\delta_{v})$(3),と表現される。 式 (3) より、 速度分布を規定するパラメータは 3 つの長さスケール$\delta_{\mathrm{v}^{\text{、}}}$$\mathrm{u}_{*}/v$$\delta_{\mathrm{c}^{\text{、}}}\mathrm{D}$の比として作られるコリオリパラメータ$\Omega \mathcal{V}/\mathrm{U}_{*}^{2}$とレイノルズ数$\mathrm{D}$である。 ここで現れる 3 つの長さスケールはそれぞれ流路の中の特定の領域で乱れに対して影響を持っている。

$\mathrm{K}1,$$\mathrm{K}2_{\text{、}}\mathrm{K}3$を定数とすると、 その影響領域は、 次式で表される。

$y<K_{1}\delta_{v}$(viscous length scale$\vee v>K_{2}\delta_{c}$(Coriolis length scale$\vee v>K_{3}D$(outer length scale $D$ ),$\delta_{v}$),$\delta_{c}$),$(’4)$

図 2 はこれを概念的に示したものである。 この図より、 長さスケールの影響の現れ方により種々の領域が存在することがわかる。 長さスケールの大小関係は、 式 (3) で示したように流れのパラメータに依存するので、 図 2 に示した境界線の位置もパラメ-タにより上下に変化する。 この様子をパラメータ平面上で表したのが図 3 の流れ領域線図である。 座標軸 a,b には、 それぞれコリオリパラメータとレイノルズ数が対数目盛でとってある。 座標$/\delta_{\mathrm{v}}=\mathrm{K}1\text{、}$$\mathrm{C}$は、$\mathrm{y}/\delta_{\mathrm{c}}=\mathrm{K}2$境界線に対応している。

1$\mathrm{n}$$\langle \mathrm{y}//\mathrm{D}\grave{)}$である。 図中には、$\mathrm{y}/’\mathrm{D}=\mathrm{K}3_{\text{、}}$$\mathrm{y}$の三つの面が描かれている。 それぞれの面は、 図 2 の各$\mathrm{y}/\delta_{\mathrm{c}}=\mathrm{K}2$の面をとくにの領域でコリオリの影響が現れることを示す。

$\mathrm{K}2$$\mathrm{K}2$

平面と呼び、 この面より上平面の式は次式で与えられる。

$\ln(y/D)+\ln(\delta_{v}/\delta_{c})=\ln(K_{2})-\ln(Re^{*})$.

(5)

図 3 より、 コリオリの力が影響する領域がパラメータによりどのように変化するかを知ることができる。 例えば、 コリオリパラメータ$\Omega v/\mathrm{u}_{*}^{2}$を–定にしたまま Re*

145を増加させてもコリオリ影響領域の下限の yl は–定である。 逆に、ち$\Omega v/\mathrm{u}_{*}^{2}$を大きくすると、 コリオリの効果は$\mathrm{y}^{+}$${\rm Re}^{*}$を–定に保の小さい領域に侵入することが知られる。

図 2 の各境界線で区切られた領域には、 それぞれ特有の長さスケールがあるので、それらを用いて速度分布の相似則を求める。 始めに図 2 で、
$3\mathrm{D}$$\mathrm{K}1\delta_{\mathrm{v}}$より上かつ$\mathrm{K}$より下の領域を考える。 回転していないチャネルでは、 この領域で代表長さスケ)\iota /が無いので通常の対数則$\mathrm{d}(U/u_{*})/\mathrm{d}(y/\delta_{v})=1/(\kappa y/\delta_{v})$$U^{+}=(1/\kappa)\ln y^{+}+c1$が成立する。 回転チャネルで、$\mathrm{K}3\mathrm{D}>\mathrm{K}2\delta_{\mathrm{c}}$(6).の条件下では、 コリオリ長さスケ\leftarrow -j\downarrow /のみが現れる領域が存在することになる。 よって、 ここをコリオリ領域を呼ぶことにする。 この領域では次式が成立する。

(7)$\frac{\mathrm{d}U^{+}}{\mathrm{d}y^{+}}=\frac{1}{\kappa y^{+}}-2\beta\frac{\Omega\nu}{\mathcal{U}_{*}^{2}}$ここで$\beta$は定数で Monin-Oboukov 係数である。 これを y+で積分すれば、$U^{+}= \frac{1}{\kappa}\ln \mathcal{Y}-+2\beta\frac{\Omega\nu}{u_{*}^{2}}y++C_{2}$(8),通常の対数則との差をとると、(9)$\Delta U^{+}=-2\beta\frac{\Omega\nu}{u_{*}^{2}}y^{+}+(c_{2^{-}}c)1^{\cdot}$

ここでの相似則をコリオリ長さスケールを用いて別の形で表現すれば、 以下のように書ける。
$\mathrm{d}U^{+}/\mathrm{d}y_{C}^{*}=f_{\mathrm{s}}(y/\delta_{c})$

(10)

.

つぎにコア領域の速度分布則を考察する。 式 (1) を$\mathrm{D}$と u* を用いて無次元化する

146と、$\mathrm{d}(U/\mathcal{U}_{*})/\mathrm{d}(_{\mathcal{Y}}/D)=f6(_{\mathcal{Y}}/D, \nu/\mathrm{t}\ell_{*/}D, \Omega Du_{*})$

コリオリのパラメータは$\Omega \mathrm{D}/\mathfrak{U}_{*}$(11).となる。 回転が速く$\Omega \mathrm{D}/\mathfrak{U}_{*}$が著しく大きい場合、 乱れ運動は壁面摩擦よりもコリオリカに強く依存するようになるため、 速度スケールとして u8 を用いるのは不適当である。 ゆえに上式で、$v$と u. が入らない関数形を求めると、$=*(. \frac{\Omega \mathrm{D}}{t\Lambda*})$$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{U}/_{\iota\lambda k})}{4(\mathrm{t}/\mathrm{D})}$

よって、$\mathrm{d}U/\mathrm{d}y=A\Omega$

すなわち、
(2)

や$\mathrm{U}$は直線分布となる。 係数 A の値は、 相似則からは求まらないが、 実験(3)の結果より$\mathrm{D}\mathrm{N}\mathrm{S}$

央部)

(12).

$\mathrm{A}=2$となることが分かっている。 これは、 コア部 (流路中において絶対渦度が零であることに対応している。

$\Omega \mathrm{D}/\mathrm{u}_{*}$の値が、 式(12) が成立するほど大きくない場合には、 速度分布式として式 (12) からのずれを考え$\mathrm{d}U/\mathrm{d}y-2\Omega=ll/*Df,-(y/D, \Omega D/\mathcal{U}_{*})$

を導入する。 これを$\mathrm{y}$.

(13)

で積分して

,

$(U_{C}-U-2\Omega\zeta)/u_{*}=f\overline,(y/D,\Omega d/ll_{*})$..

$-$を得る。

2。

2$\vee$$\mathrm{z}$$\sigma=$$\mathrm{D}-3J$(14)).

$\mathrm{U}_{\text{。}}=\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{D}$

管摩擦係数

ここでは実験により得られた管摩擦係数の結果を示す。 図 4 は、 管路長る圧力降下$\Delta \mathrm{p}$から求められる管摩擦係数$\lambda$の Re に対する関係を示す。

$\Delta \mathrm{x}$

で生じ

147

畠中のル流の$\mathrm{R}_{\Omega}$は回転レイノルズ数で、$\mathrm{R}_{\Omega}=4\mathrm{D}^{2}\Omega/v$である。 層流域では、 回転チャネは、 コリオリカの影響により \Omega =0 の場合に比べ増大する。 しかし乱流域で$\lambda$$-$は、 回転による$\lambda$の増加はほとんどない。 これは、 乱流域において流路の圧力側と負圧側で壁面摩擦がそれぞれ増大、 減少するため全体として変化がないようにみえるためである。

図 5 は、 圧力側と負圧側の摩擦速度比を Johnston ら ($/\mathrm{U}\mathrm{m}$$2\rangle$にならい、$\mathrm{R}\mathrm{o}=$$2\Omega \mathrm{D}$に対してまとめたものである。 回転による摩擦速度の増減は、 –本の曲線上に乗らず、 流れのレイノルズ数ごとに異なった変化をする。 式 (2) で導いたように、 壁面摩擦に関係するような壁近傍流れに対する回転の効果は、 コリオリパラメー
タ$\Omega \mathrm{v}/\mathrm{u}_{*}^{2}$で表現される。 よって、 これを用いて図 5 のデータを整理しなおすと

図 6 になる。 レイノルズ数によるバラツキは小さくなり、 すべての条件のデータがうまくまとまるようになる。

2。

3速度分布

図 7 は、 測定した速度分布の例である。 流れは全体的に圧力側に寄り、 圧力側での壁近くでの速度勾配は大きく、 負圧側で小さく (層流化の方向) なる。 壁変数を用いて速度分布を表示すると、 図 8 のようになる。 回転の効果により圧力側で通常の壁法則より下へ、 負圧側で上へずれる。 その程度は、 コリオリパラメータ$\Omega v/\mathrm{u}_{*}^{2}$依存している。 これを確かめるため、 通常の壁法則より \triangle U が l%ずれる
求め、 これを$\mathrm{y}^{+}1\%$$\mathrm{y}^{+}$にの位置をとし、 種々の条件でこの量がどのように変化するかを調べた。 図9 がその結果である。

$\mathrm{y}^{+}1\%$は、 コリオリの効果が現れる下限とみなせるので、平面に対応する。 図より、 V
-$+$

$1\%$

まレイノルズ数によらず、$\Omega\nu/\mathrm{u}_{*}^{2}$$\mathrm{K}2$のみに依存しており、 傾きが-1 の直線上に分布している。 これより、 式 (4) のコリオリ影

響領域が$\mathrm{y}>\mathrm{K}2$であることが実験的に証明された。 係数 K 2 は o 008\sim 0015 である。 コリオリ領域の速度分布則を確かめるため、 式より$\triangle \mathrm{U}^{+}$る。 定数はコリオリ領域で$\beta$$\mathrm{y}^{+}$$\backslash /9$) の関係を調べた。 図 10に対し直線関係となり、 式 (9) の正しさが示されは、 4\sim 6 の値となる。 なお負圧側のデータで直線分布に乗らないものは再婚溶化が起こっている場合のものである。

148
コア領域の速度分布を式 (14) に従って整理すると、 図 11 のようになる。
$\Omega \mathrm{D}/\mathrm{u}_{*}$

が小さい場合、 コリオリの効果は小さく通常の速度欠損則に–致する。 このパラメータが大きくなる従いしだいにこの欠損則から下にずれ、縦軸の値が零となる$\Omega$

D/ u*>1.6 で。これは、 絶対渦度が零となる式 (12) の速$(1-\delta/\mathrm{D}>0.1)$度分布に対応している。

.3。

乱れ特性

(4)

コリオリカの作用により、 乱れは圧力側で促進され、 負圧側で抑制されることが知られている。 ここではこれをレイノルズ応力輸送方程式を用いて調べる。 壁変数を用いるとこれらの式は以下のようになる。

$\frac{D}{Dt^{+}}(\frac{u^{2}}{u_{*}^{2}})=-2\overline{\frac{u’v’}{u_{*}^{2}}}\frac{dU^{+}}{dy^{+}}+4\overline{\frac{u’v’}{--- u_{*-}^{2}--}}\frac{\Omega\nu}{--- u_{*--}^{2}}-$

コリオリの項

生成項$+ \Phi_{u^{\mathrm{z}}}^{+}+D_{u^{2^{-}}}^{+}\frac{2}{3}\epsilon^{+}$$\frac{D}{Dt^{+}}(\frac{v^{2}}{u_{*}^{2}})=-4\overline{\frac{u’v’}{------- u_{*}2}}-$

暑+\Phi ;2

コリオリの項$+D_{v^{2}}^{+}- \frac{2}{3}\epsilon^{+}$$\frac{D}{Dt^{+}}(-\overline{\frac{u’v’}{u_{*}^{2}}})=\frac{v^{2}}{u^{2}*}\frac{dU^{+}}{dy^{+}}+- 2^{\frac{\Omega_{1\text{ノ}}{-- u_{*-}^{2}--}}\frac{u^{2}-v^{2}}{----u^{2}----*--}}$,

生成項

コリオリの項$+\Phi_{-uv}^{+}+D_{-uv}+$

ここで用は、$\Phi_{\text{、}}\mathrm{D}_{\text{、}}$$\overline{\mathrm{u}^{2}}$と$\epsilon$$\overline{\mathrm{V}^{2}}$はそれぞれ圧力・歪相関、 拡散、 散逸の各項である。 コリオリの作の間のエネルギの交換とレイノルズせん断応カー–uv の生成に寄与する。 図 12 に上忌中の乱れ生成項、 コリオリの項、 さらに Launder らによる圧力・歪相関項の分布を示す。
他の項と比べ非常に小さい。 –方、$\overline{\mathrm{u}^{2}}$$-\overline{\mathrm{u}\mathrm{v}}$,$\mathrm{V}^{2}-$$(\overline{5})$のモデル

へのコリオリの項の直接的な寄与はへのコリオリの項の寄与は比較的大きい。

149
以上の結果より、 コリオリの力は、$-\overline{\mathrm{u}\mathrm{v}}$に直接働きかけレイノルズせん断応力を変化させ、 その結果速度分布 U+(y+) や乱れ強さ分布に間接的に影響しているといえる。

4 。おわりに
ここでは、 回転チャネル乱流の平均速度分布則について次元解析に基づいて速度の相似則を導いた。 回転チャネル乱流の理解の現状は、 数少ない実験と$\mathrm{D}\mathrm{N}\mathrm{S}$で得られた結果をもとに平均量や乱れ統計量に関するものにとどまっている段階である。 静止

チャネル乱流研究で行なわれているようなストリークや乱れ渦の詳細な構造がコリオリの力によりどのように影響を受けるかについては、 今後おもに$\mathrm{D}\mathrm{N}\mathrm{S}$のデータを基に調べられるだろう。 回転場の均質乱流で確認されている乱れの二次元化 (テーラープラウドマンの定理) が、 三次元構造 (ストリーク構造) が本質的に重要である壁乱流にどのように現れるか流体力学的にみて興味ある問題である。

文献(1) Nakabayashi, K., &Kitoh, O., 1996 Low Reynolds number fuly$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{o}_{\mathrm{P}}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{W}o^{-}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}1$turbulent channel flow with system

rotation, J. Fluid Mech., 315, 1-29.
(2) Johnston, J.P., Halleen,$\mathrm{R}.\mathrm{M}$. &Ixzius, D.K., 1972 Effects of$\mathrm{s}\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{e}$rotation on the structure os two-dimensional fully develoPeturbulent channel flow, J. Fluid Mech., 56,(3) Kristofferesen, R. &Andersson H.I., 1993$\mathrm{p}\mathrm{t}.3$, 533-557.

Direct simulation of low-Reynolds number turbulent flow in a rotating channel, J. Fluid Mech.,
256, 163-197.
(4) 中林鬼頭/J\西、$1994_{\text{、}}$

完全に発達した回転チャネル内乱流の乱れ特性、 機論、 $\mathrm{B}_{\text{、}}60-571,849^{-}856$ .
(5)Launder, B.E., TselePidakis,$\mathrm{D}.\mathrm{P}$.

$\ \mathrm{Y}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{i}\dot{\mathrm{l}}\mathrm{S},$$\mathrm{B}.\mathrm{A}.$, 1987 A second

moment closure sstudy of rotating channel flow, J. Fluid Mech., 183,63-75.

150

FIGURE 1. Flow geometry and coordlnate system. Pressure and suctlon sides in the figure are for$\Omega>0$.

FIGURE 2. Ranges of each length scale.

FIGURE 3. Flow regime diagram.

151

FIGURE 5 Friction velocity ratio versus rotation number. Johnston et al. (1972): –, $Re=$ 10000;$Re=1700;\triangle$ ,Present:
ロ, 25700;
100 Kristoffersen&Andersson (DNS, $Re=5800$ )2500; , 3700; , 4500; , 5500; , 8000; , 10000.
$\mathrm{S},$$33$$\square$$\mathrm{r}$IGURE

6$\mathrm{O},$$:\cross$$\bullet$$\mathrm{s}\kappa\ln$$\mathrm{A}$$\blacksquare$$\mathrm{O}$

Irlcuon coemclent rauo agalnst$\mathrm{s}z\nu/u-*\cdot$

data from Johnston et al. (1972):

ror symools see llgurc 5$\Pi,$$Re=$

11400.

Auuluuual152$\mathrm{F}i\S \mathrm{U}\mathrm{r}\mathrm{e}7$

PIGUREFIGURE

Solid lines show $U^{+}=y^{+}$ .

.

$\mathrm{g}\mathrm{v}\mathrm{e}\downarrow \mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{L}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{r}011\mathrm{l}\mathrm{c}1\cup 11\cup\iota 4\iota 11\circ‘ 1a1\mathrm{w}5111\mathrm{v}\mathrm{W}$$\mathrm{q}$Coriolis force penetrating distance.

153

$y$

FIGURE Sb

Velocity deviation from$\mathrm{c}\mathrm{o}\Pi \mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\cap \mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\iota \mathrm{n}\sigma-19\mathrm{w}$A$rr^{+}$FIGURE 1$ Velocity defect law. See table 1 for symbols. $(a)$ Pressure side. Kristoffersen&Andersson:$*$ ,$0.55$ ;$\Omega D/u_{*}=0.95$ ;–,1.57.
3.16. Johnston et al. : $+,$ $\Omega D/u_{*}=0$ ;—,$\cross,$$u^{2}/u_{5}^{2}$

輸送方程式各項の大きさ$Vu/u*\sim$ 糊送$7\mathrm{i}$程式谷狽の大きさ$\mathrm{F}_{1\mathrm{J}\mathrm{w}\mathrm{r}}.\mathrm{e}12$$v^{\mathrm{z}}/u_{*}^{\mathrm{z}}$輸送方程式各項の大きさ.