数理解析研究所講究録 1213 巻 2001 年 6-18

6Zariski 幾何の fiber の次元について
鹿児島国際大学国際文化学部
福崎賢治 (Kenji Fukuzaki)

Faculty of Intercultural Studies
The International University of Kagoshima1

定義と次元計算定義 1.1 ある集合 $D$ の上の$Za\dot{m}$ki 幾何とは、次の公理を満たす $D,$

-F の Noethenian topologies の family のことである.

$\text{。}$これより、$D^{2},$$D_{:}^{3}$$C\subseteq E\cross \mathrm{Y}$で $a\in E$ のとき、 $C(a)=\{y\in \mathrm{Y}:\mathrm{P}(a,y)\in C\}$ とする。

関数 $f$ : $D^{n}arrow D^{m}$ が $f(x)=(f_{1}(x), \cdots, f_{m}(x))$ で与えられていて各の対角線が constant か座標射影のとき、 $f$ は連続である。 さらに、

$Z\mathrm{O})$$f_{i}$$D^{n}$

は閉集合である$Zl)C\subseteq D^{n}$ が既約な閉集合で集合$x_{\dot{\iota}}=x_{j}$$F\subset\overline{\pi(C)}$

があって

$\pi$

: $D^{n}arrow D^{m}$ が射影のとき、 ある閉集合$\pi(C)\supseteq\overline{\pi(C)}\backslash F$である。

は既約である。 さらに閉集合 $C\subseteq D^{n+1}$ に対してある自然数 $N$ が存在して、任意の $a\in D^{n}$ に対して $C(a)=D$ または $|C(a)|<N$ である。
を$Z\mathit{3})dim(D^{n})\leq n$ .
が closed であって既約とし、さらに$Z\mathit{2})D$$C\subseteq D^{n}$$T_{i,j}$の対角線集合としたとき全ての空でない
第 座標と第 座標が等しい$C\cap T_{i,j}$ の或分の次元は $\geq dim(C)-1$ である。
$i$

.

ここで

$D^{n}$$j$$\overline{\pi(C)}$は $\pi(C)$ の閉包のことであり、 次元は Noethe 加 an topology

としての次元である。

は全ての射影が閉写像のとき、 complete であると言われる。 このとき公理 Zl)&よ自動的に満たされる。
$D$

まず $C\subseteq D^{n}\cross D^{m}$ で $a\in D^{n}$ のとき、 関数 $f$ : $xarrow(a, x)(x\in D^{m})$ が連続であることより $C$ が closed ならぼ $C(a)$ も closed である。

7
補題 1.2 L\mbox{\boldmath $\alpha$}集 AD-. (singleton) は閉集合である。

補題 L3 閉集合 $X$, Y が既約ならば、集合

1.4

系$D^{n}$$X\cross \mathrm{Y}$も既約な閉集合である。

は既約である。

: $D^{n}arrow D^{k}$ を射影として、 $C\subseteq D^{n}$ を閉集合とする。
補題 1.5 今$F=\overline{\pi(C)}$ とおく。 もし $C$ が既約ならぼ $F$ も既約である。
$F=\overline{\pi(C’)}$ である。
もし $F$ が既約ならぼある $C$ の既約或分 $C’$ に対して
$\pi$

もしある
補題 1.6 $E\subseteq D^{n}$ として、 $C\subseteq E\cross D$ が閉集合だとする$F\subseteq E$ があって全ての$a\in E$ に対して $C(a)$ が有限ならぼ、 ある閉集合$a\in E\backslash F$ に対して $C(a)$ は有限である。

定理 1.7(次元定理)とすると、を$C_{1}\cap C_{2}$$d_{1},$ $d_{2}$を既約な閉集合としそれぞれの次元の空でない或分の次元は少なくとも $d_{1}+d_{2}-1$$C_{1},$ $C_{2}\subseteq D^{n}$以上である。

補題 1.8$\pi$: $D^{n}arrow D^{k}$ を射影として、$C\subseteq D^{n}$を既約な閉集合とする。

ならぼ $dim(C)\geq k$ である。
1.
2. もしある $a\in D^{k}$ に対して $\pi^{-1}(a)\cap C$ が有限ならぼ $dim(C)\leq k$ で$\overline{\pi(C)}=D^{k}$ある。

系

1.9 $dim(D^{n})=n$ .

系

1.10 全ての閉集合は有限次元である。

を閉集合とする。 $f$ 力\sigma
定義 1J1 $f$ : $D^{n}arrow D^{k}$ を写像として、
力ゞ
$C$ 上 genericallyfinite to one であるとは、 ある固有な閉集合あって全ての $a\in f(C)\backslash F$ に対して $f^{-1}(a)\cap C$ が有限となることである。
$C\subseteq D^{n}$$F\subset\overline{f(C)}$を既約な閉集合とし、 :補題 1J2
もしある $a\in\pi(C)$ (こ対して $\pi^{-1}(a)\cap C$ が有限ならぼ
finite to one である。
$\pi$

$C\subseteq D^{n}$$D^{n}arrow D^{n-1}$

補題 1.13 $C\subseteq D^{n}$ を既約な閉集合とする。

finite to one な射影$\pi$: $D^{n}arrow D^{n-1}$ がある$\text{。}$$\pi$を射影とする。

は $C$ 上 generically

すると $C$ 上 generically

8
補題 1.14$C\ovalbox{\tt\small REJECT} D^{n}$を既約な閉集合でgenetically finite to one な射影
系 1.15$C\subseteq D^{n},$ $C’\subseteq D^{m}$$dim(C)\ovalbox{\tt\small REJECT} k$$\pi\ovalbox{\tt\small REJECT} D^{7}arrow D^{k}$

とする

があって

すると $C$ 上$\pi(C)\ovalbox{\tt\small REJECT} D^{1}$である。

を既約な閉集合とする。

1. $dim(C\cross C’)=dim(C)+dim(C’)$ .
2」}影 : $D^{n}arrow D^{n-1}$ が 上 genetically finite to one ならぼ $dim(C)=$$C$$\overline{\backslash }$$\pi$$dim(\overline{\pi(C)})$

3.

$\pi$

である。

: $D^{n}arrow D^{m}$ を射影とし、$C\subseteq D^{n}$を閉集合とする。すると $dim(\pi(C))\leq$$dim(C)$ である。

を補題 1.16合とする するとの既約な閉集合として、 $E$ をの既約な閉集の固有な既約閉集合があって、任意の $a\in D_{1}-F_{1}$に対して $E(a)$ のすべての或分の次元は $dim(E)-dim(D_{1})$ 以上である$D_{1}$$D^{k}$$D_{1}\cross D^{m}$$D_{1}$$F_{1}$

以上の事実は、補題 1.12、系 1J5 の 3 を除いて [Mar] ないしは [H-Z] にあるものである。補題 1J2 は補題 16([H-Z] の Lemma24) から、系 1.15の 3 は系 1J5 の 1,2 からでる。

2

モデル論的な事実

この節では Zariski 幾何のいくつかの大切なモデル論的性質を述べる。
証明は前節と同様に [Mar] ないしは [H-Z] を参照すること。
が constructible とは、 $A$ が閉集合の boolean com定義 2.1 集合bination であるときに言う。
$A\subseteq D^{n}$

補題 2.2 全ての空でない comtmctible set は. は閉集合であり、る。 ここでは既約での形をしていである。

$\bigcup_{i=1}^{m}F.\cdot\backslash E_{i}$$F_{i},$ $E_{1}$$F_{\dot{\iota}}$$E_{i}\subset F_{i}$定理 2.3(Quantifier Elimination) $A\subseteq D^{n+1}$ を constructible set とし、 $\pi:D^{n+1}arrow D^{n}$ を射影とすると、 $\pi(A)$ は constmctible set である。
命題 2.4(Strong minimality) $A\subseteq D^{n+1}$ を constructible set とすると、 ある自然数 $N$ があり全ての $a\in D^{n}$ に対して $|C(a)|<N$ または$|D\backslash C(a)|<N$ である。

9
今から $D$ を次のようにしてモデル論で言う first order structure と見ることにする まず universe として $D$ をとり、 全ての閉集合 $C\subseteq D^{n}(n=$に対して -arry relation symbol を付けカ えその interpretation$1,2,3,$$\text{。}$$\mathrm{I}$$n$$\cdots)$

を $C$ とする。簡単のため同じ文字 $C$ を用いることにする。

quantifier elimination !こより、この structure の definable set !よ全て constructible set である また $D$ は strongly minimal structure である 従って constructible set に対して Morley rank を考えることができるの閉包の次元を表すこが constructible set のとき $dim(A)$ で
以下$\text{。}$$\text{。}$$\text{。}$

$A$

$A$

と (こする。つまり $dim(A)=dim(\overline{A})$ である。

補題 2.5 $A$ が constmctible で空でな$\mathrm{A}\mathrm{a}$とすると、 $dim(\overline{A}\backslash A)<dim(A)$である。

定理 2.6 全ての constmctible set $A$ (こ対して $RM(A)=dim(A)$ である。 ここで $RM(A)$ は $A$ の Morley rank を表す–

以下次元と同様に constructible set $A$ が既約であるとはその閉包 $A$ がが$A$– の既約或分のとき、 各 $F_{i}\cap A$ が既約であることとする。
$A$ の既約或分である。
$F_{1},$$\cdots,$$F_{m}$

補題 2.7 constructible set $A$ の Morley degree は $A$ の既約或分の{固数である。

このように Zariski 幾何においても代数幾何と同様なモデル論的性質が成り立っている。
さら (こ first order structure $D$ の elementary extension

定義 2.8

1.

$D^{*}$

を $D$ の elementary extension とする$D^{*}$

を考える。

$\text{。}$(こ対しの閉集合 (従って relation symbol) とする。の部分集合である。 この形の集合を 0-closed set とて $C(D^{*})$ は$C$を$C\subseteq D^{n}$$D^{n}$$D^{*n}$呼ぶ。

2.

の $A$ -closed set とは $C(a)$ の形のの部分集合としたとき、集合のこととする ここで $C$ は $D^{*m+n}$ の 0-closed set であり $a\in A^{m}$$A$を$D^{*n}$$D^{*}$$\text{。}$である。

定理 2.9 D*(こ上の定義の集合を basic closed set とする位相を入れたとは Zariski 幾何となる。$D$ を部分位相空間として含む。$D$ が complete
き、もそうである。
なら$D^{*}$$D^{*}$

10
3fiber の次元: $D^{n}arrow D^{m}$ を射影とし、を既約な閉集合とする。 これより十分 saturate ている $D$ の elementary extensionの中で考える$c\in C(D^{*})$ を $c\in C$ と略記する。
で $C$ が 0-closed であることを意味することにする。
$\pi$$C\subseteq D^{n}$$\text{し}$$D^{*}$$\text{。}$$C\subseteq D^{n}$$c\in C$ に対し集合 $C_{c}^{\pi}=\{a\in C:\pi(c)=\pi(a)\}$

を

$\pi$

の

$c$

を通る $C$ 上のfiber という。
まず $D$ が strongly minimal で Morley rank の sum formula が或, り立っことより次の補題が成り立っ。 これより $c\in C$ が generic over 0 のことを
単に generic という。勿論 は
に存在する
$c$

$D^{*n}$補題 3.1 (Generic Fibers Lemma) $c\in C$ を generic とすると、 genericfiber の次元は
$C_{c}^{\pi}$$dim(C_{c}^{\pi})=dim(C)$ -diyn $(\pi(C))$

で与えられる。

Morley rank の sum formula を使った証明は [Mar] 参照のこと。 [Mar]では別に Morley rank を使わない別証明も与えているがここではそれと違った Morley rank を使わない証明を与える。
まず容易な補題として、 次を用意する。証明は省略する。
補題 3.2$\sigma$:$D^{n}arrow D_{\text{、}^{}n-1}\tau$: $D^{n-1}arrow D^{m}$ を射影とし、$C\subseteq D^{n}$を既約な閉集合とする。すると、$\overline{\tau(\overline{\sigma(C)})}=\overline{\tau\sigma(C)}$.

proof of Generic Fibers Lemma:case 1: $m=n-1$
今 $F=$ { $x\in D^{n-1}$ : $\pi^{-1}(x)\cap C$ infinite} とおくと、 $F$ は閉集合である。 もし $F=\pi(C)$ ならぼ $C=D\cross F$ であり、全ての fiber の次元は 1 となり、 しかも $dim(C)=dim(F)+1$ となるからよい。
もし $F=\pi(C)$ でないならば generic fiberは有限となり次元は 0 で$C_{c}^{\pi}$ある。一方系 1J5 より $dim(C)=dim(\pi(C))$ である。

case 2: $m<n-1$11に関する帰納法で示す。今 を \pi =\mbox{\boldmath $\tau$}\sigma 、ここで : $D^{n}arrow D^{n-1},$ :Dn-l\rightarrow Dm、 と分解する。 $F=$ { $x\in D^{n-1}$ :infinite} とおく。 $F$ は閉集合であるが既約な閉集合であ
1) $F=\sigma(C)$ とする。 $C=D\cross F$ である。
で generic なことより帰納法の仮定を使って、
が
り、
$\pi$

$n$

$\tau$$\sigma$$\sigma^{-1}(x)\cap\cdot C$$\sigma(C)$$\sigma(C)$$\sigma(c)$$dim((\sigma(C))_{\sigma(c)}^{\tau})=dim(\sigma(C))-dim(\tau\sigma(C))$.

よって$dim((\sigma(C))_{\sigma(c)}^{\tau})=dim(C)-1-dim(\pi(C))$.

だから結論が出る
が既約な閉
は有限である。
より
2) $F\subset\sigma(C)$ とする。
で generic なことより帰納法の仮定を使って、
が
集合で、
一方

$C_{c}^{\pi}=D\cross(\sigma(C))_{\sigma(c)}^{\tau}$$\sigma(c)\not\in F$$\sigma(c)$$\text{。}$$\overline{\sigma(C)}$$C_{c}^{\sigma}$$\sigma(C)$$dim((\overline{\sigma(C)})_{\sigma(c)}^{\tau})=dim(\overline{\sigma(C)})-dim(\tau(\overline{\sigma(C)})$である。前と同様に $dim(C)=dim(\overline{\sigma(C)})$ であり、前の補題によりであるから上式の右辺は $dim(C)-dim(\pi(C))$ に等しい。 閉集合によってはに移る。 ( $dim(C_{c}^{\pi})\geq dim(C)-dim(\pi(C))$ で$\overline{\tau(\overline{\sigma(C)})}$$\overline{\tau\sigma(C)}$$C_{c}^{\pi}$$(\sigma(C))_{\sigma(c)}^{\tau}$$\sigma$

ある。)

の或分で有
と
が次元が等しいことを示す。今次にの fiber を持たないものがあったとして、 その一つを $E$ とする。
限な
$E=D\cross\sigma(E)$ であり、-closedは閉集合で $\sigma(E)\subseteq F$ であり、がの次元を与えるもの或分となっている。
なである。)のではないことを示す。 (明らかに$C_{c}^{\pi}$$C_{c}^{\pi}$$(\sigma(C))_{\sigma(c)}^{\tau}$$\sigma$$\sigma(c)$$\sigma(E)$$\sigma(E)$$(\sigma(C))_{\sigma(c)}^{\tau}$$(\sigma(C))_{\sigma(c)}^{\tau}$$\overline{(\sigma(C))_{\sigma(c)}^{\tau}}=(\overline{\sigma(C)})_{\sigma(c)}^{\tau}$とする。
を含むものを一つとり、み、 $\pi(c)$ は既約な $\pi(C)$ の generic point であることより、
$F$

の或分で

$\sigma(E)$$\tau(F_{0})$$F_{0}$である。 $d\in F_{0}$ をdense、つまり、となるようにとる。帰納法の仮定より、$\overline{\pi(C)}=\overline{\tau(F_{0})}$$F_{0}$

で$\tau(F_{0})$$\sigma(E)\subseteq(F_{0})_{d}^{\tau}$

は $\pi(C)$ で$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}_{\text{、}}\tau(d)=\pi(c)$diyyr $((F_{0})_{d}^{\tau})=clim(F_{0})-dim(\pi(C))$ .
ここで、は $\pi(c)$ を含であり、$dim(F_{0})\leq dim(F)<dim(\sigma(C))$ $\leq dim(C)$より、$dim(\sigma(E))<dim(C)-dim(\pi(C))$ .

12
よって $\sigma(E)$ が$(\sigma(C))\ovalbox{\tt\small REJECT}$の次元を与えるものではない。従ってと (\sigma (C))
の或分の像である。従って$\sigma(C))\ovalbox{\tt\small REJECT}$は有限な fiber を持つ元が等しい。 よって結論が出る。
$C\ovalbox{\tt\small REJECT}$c、は次$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

さらに、

補題 3.3 generic fiber の全ての或分は、 同じ次元 $dim(C)-dim(\pi(C))$
を持つ。

Proof. 証明は [Mar] による。 $l=dim(\pi(C))$ とおくと、 補題 1.14 より、$\cdot$$\overline{\pi(C)}$上 generically finite to one な射影$\tau$: $D^{m}arrow D^{l}$ がある

generic な
は の fiber$\text{。}$は有限であり、従って $(\tau\pi)^{-1}(b)$の或分の有限個の和である。次元定理 17 により、全ての $(\tau\pi)^{-1}(b)$ の或分の次元は少なくとも $dim(C)+dim(\{b\}\cross D^{n-l})-n=dim(C)-dim(\pi(C))$
以上であるからいえた。

$b\in\tau\pi(C)$

に対して、

$\pi$

$\tau^{-1}(b)$さて generic fiber の次元はしつかりと確定したが、 -\Re の点の fiber の次元はどうであろうか ? 代数幾何では $C$ を variety としたとき任意の $c\in C$に対して$dim(C_{c}^{\pi})\geq dim(C)-dim(\pi(C))$

である。 つまり genenc fiber の次元が最小である。

現在のところ一般の Zariski 幾何に対しては未解決である。 わかるのは次の命題である。

$’\supset$

てい

命題 3.4 ある固有な $F\subset C$ があって任意の $c\in C\backslash F$ に対して$dim(C_{c}^{\pi})\geq dim(C)-dim(\pi(C))$

Proof. 補題 1.16 を使う。今$\cdot$$D_{1}=\overline{\pi(C)}\subseteq D^{m}$.

とおく。 $C$ は $D_{1}\cross D^{n-m}$の既約な閉集合である。 よって補題 1J6 よりある固有な閉集合に対して $dim(C(a))\geq dim(C)-dim(D_{1})$ でがあって任意のが空でなある。 $F=\pi^{-1}(F_{1})\cap C$ とすると $F$ は閉集合である。
いことより $F\subset C$. 任意の $c\in C\backslash F$ に対して $a=\pi(c)\in D_{1}\backslash F_{1}$ であ$F_{1}\subset D_{1}$$a\in D_{1}\backslash F_{1}$$\pi(C)\backslash F_{1}$

り、 $dim(C(a))=dim(C_{c}^{\pi})$ である。
一方 ample を Zariski 幾何に対しては成り立つことがわかつている。 しを用いるものであり、 残念ながら
かし証明は [H-Z] の大定理 Theorem$\mathrm{B}$

直接証明は得られていない。
他方 complete を Zariski 幾何に対しては成り立つことがわかつている。
証明は [Mar] にある。ここでは [Mar] と違うより簡単な直接証明を与える。

13
命題 3.5 $D$ を complete な
幾何とする。
し、を既約な閉集合とする。すると任意の

を射影と
に対して

$\pi\ovalbox{\tt\small REJECT} D^{n}arrow D^{m}$$Za\ovalbox{\tt\small REJECT} ski$$C\ovalbox{\tt\small REJECT} D^{n}$$c\mathrm{C}C$$dim(C_{c}^{\pi})\geq dim(C)-dim(\pi(C))$.

Proof.

$\cdot$case 1: $m=n-1$
Generic Fibers Lemma のときと同じである
case 2: $m<n-1$$\text{。}$に関する帰納法で示す。今 を \pi =\mbox{\boldmath $\tau$}\sigma 、ここで : $D^{n}arrow D^{n-1},$ :$D^{n-1}arrow D^{m}$ 、と分解する。
は既約な閉集合である。帰納法の仮定を使って、complete より
$n$

$\pi$

$\sigma$$\tau$$\sigma(C)$$dim((\sigma(C))_{\sigma(c)}^{\tau})\geq dim(\sigma(C))-dim(\tau\sigma(C))$

である。 明らかに \sigma (Cc\pi )=(\sigma (C))\mbox{\boldmath $\tau$}\sigma (。だがら$dim(\sigma(C_{c}^{\pi}))\geq dim(\sigma(C))-dim(\pi(C))$

である。

が有限な fiber を持たないとき、 $dim(C)=dim(\sigma(C))+1$ である。
同様に $dim(C_{c}^{\pi})=dim(\sigma(C_{c}^{\pi}))+1$ である。 従って結論が出る。
が有限な fiber を持つとき、 $dim(C)=dim(\sigma(C))$ である。 一般に
2)

1)$\sigma|C$$\sigma|C$$dim(\sigma(C_{c}^{\pi}))\leq dim(C_{c}^{\pi})$であるから結論が出る。

[Mar] はまず、 complete ならぼ任意の自然数 に対して { $c\in C$ :
$k$

$k\}$

$dim(C_{c}^{\pi})\geq$が閉集合であることを示している。 このことより次の節の命題 42 を使って上の命題が導かれる。

4

い$\langle$

つかの事実

この節では fiber の次元に関する事実を幾つか与える。
有限な fiber を持つ射影に関しては容易に、
命題 4.1: $D^{n}arrow D^{m}$ を射影とし、 $C\subseteq D^{n}$ を (必ずしも既約でない) 閉集合とする。 $\pi|C$ が有限な fiber を持つならぼ、 ある固有な閉集合$\pi$$F\subset C$があって任意の $c\in C\backslash F$ に対して

$C_{c}^{\pi}$は有限である。

14
既約な閉集合 $C$ に対して示せぼ十分である
約な閉集合とする
乃

よって今、 $C$ は既$oof.\cdot$

case 1: $m=n-1$
補題 1J2 からある固有な閉集合があって、全ての$F’$ に対して $\sigma^{-1}(a)\cap C$ が有限である $F=\sigma^{-1}(F’)\cap C$ とおけぼよい。
$F’\subset\overline{\sigma(C)}$$a\in\sigma(C)\backslash$case2: $m<n-1$に関する帰納法で示す。今
Dn-l\rightarrow Dm、と分解する。
$n$

$\pi$

を \pi =\mbox{\boldmath $\tau$}\sigma 、ここで$\sigma$: $D^{n}arrow D^{n-1},$$\tau$:

が有限であるとする。
が有限であることは明らか。 よっては有限な fiber を持つ。今 $b=\pi(c)$ とすると、 $\tau^{-1}(b)\cap\sigma(C)$ は有と限だから閉集合である。
は閉集合だから、 これは等しい。 よっても有限な fiber を持つ。
帰納法の仮定より、にある固有な閉集合 $G$ があって任意の $d\in$に対しては有限である。 また補題 1.12 からある固有な閉集合があって、全ての $a\in\sigma(C)\backslash H$ に対して $\sigma^{-1}(a)\cap C$ が有限である。
$F’=G\cup H$ とおくとは閉集合である。
が既約なことより $F’$ は固有な部分閉集合である。 $F=\sigma^{-1}(F’)$ とおけぼよい。
$c\in C$ で

$C_{c}^{\sigma}$$C_{\mathrm{c}}^{\pi}$$\sigma|C$$\tau^{-1}(b)\cap\overline{\sigma(C)}$$\tau^{-1}(b)$$\tau|\overline{\sigma(C)}$$\overline{\sigma(C)}$$\overline{\sigma(C)}\backslash G$$(\overline{\sigma(C)})_{d}^{\tau}$$H\subset\overline{\sigma(C)}$$F’\subset\overline{\sigma(C)}$$\overline{\sigma(C)}$

今 : $D^{n}arrow D^{m}$ を射影とし、を既約な閉集合とする。 自然数
に対して集合 $C_{k}=\{a\in C:dim(C_{a}^{\pi})\geq k\}$ を考えたとき、代数幾何では全ての自然数 に対してが閉集合である。 (Shafarevich [Sh,]参照のこと。) 実は一般の Zariski 幾何では次のことが成り立つ。
$C\subseteq D^{n}$

$\pi$

$k$

$k$

$C_{k}$

命題 4.2 全ての自然数 に対して元が (fiber の中で) 最小である。
$k$$\mathrm{p}61$$C_{k}$

が閉集合ならば generic fiber の次

Proof. $c\in C$ を generic とする。 Generic Fibers Lemma により$\cdot$$dim(C_{c}^{\pi})=$$dim(C)-dim(\pi(C))$ である。 $l=dim(C)-dim(\pi(C))$ とおく。今あるとする。仮定より、 $C_{k+1}=\{c\in C$ :$dim(C_{c}^{\pi})\geq k+1\}\subset C$ は固有な閉集合である。一方次の補題により、$C_{k+1}$ は0-definable である。 しかし $C_{k+1}$ は generic を を含むこれは矛盾である。
$a\in C$ に対して $dim(C_{a}^{\pi})=k<l$$c$

補題 4.3 $C\supseteq D^{n+m}$ は閉集合とすると、全ての自然数: $dim(C(a))\leq k\}$ は 0-definable である。

$D^{m}$$k$に対して $\{a\in$15
Proof.

より、 $k<n$ なるに対して示せばよい。
まず $dim(C(a))\leq k$ であることと、 ある射影 : $D^{n}arrow D^{k}$ が存在して$\pi|C(a)$ が有限な fiber を持つことと同値である。
今 $dim(C(a))=r\leq k$ とすると、補題 1J4 よりある $C(a)$ 上有限な fiberを持つ射影 : $D^{n}arrow D^{r}$ が存在する。 を : $D^{n}arrow D^{k}$ と : $D^{k}arrow D^{r}$に分解すれぼ は有限な fiber を持つ逆は補題 18 から明らがである。
次に、 ある定まった自然数 $N$ があって任意の $a\in D^{m}$ に対して、 もし$\pi|C(a)$ が有限な fiber を持つならばその fiber の濃度は $N$ 以下であることを示す。
今 を $(x_{1}, \cdots, x_{n})arrow(x_{1}, \cdots, x_{k})$ であるとし、 $C(a)=\{b\in D^{n}$ :$\cdot$$C(a)\subseteq D^{n}$

$k$

$\pi$

$\sigma$$\sigma$$\pi$$\tau$

$\pi$

$\pi$

としても差し支えない。 $\pi|C(a)$ が有限な fiber を持ったとする。つまり、 ある $d\in D^{k}$ があって、 $C(ad)\subseteq D^{n-k}$ が有限である。 $C(ad)$の中の座標 $(k+1\leq i\leq n)$ に注目すると、 公理 $Z1$ ) より、 どんな$ade\in D^{n+m-1}$ (ここで $e\in D^{n-k-1}$ ) に対しても $C(ade)$ が有限ならばその濃度はある自然数 $N$ より小さい。 ( $N$ は $C$ によってのみ決まる。) よって $ad$ が何であっても、 もし $C(ad)$ が有限ならぼその濃度は $N^{n-k}$ より小$(a, b)\in C\}$$x_{i}$

さい。

以上より 0-definable であることがわかる。
$C_{a}^{\pi}=\{(b, \pi(a))\in D^{n} :b\in C(\pi(a))\}$

だから、 当然$C_{k}$

も 0-definable となる。

命題 42 の逆、 つまり generic fiber が fiber の中で最小ならぼ任意のに対しては閉集合であるかどうかはわかっていない。強めた形、全ての既約閉集合で generic fiber が fiber の中で最小ならぼ、 任意の既約閉集
合 $C$ と任意の に対しては閉集合であるかどうかもわかっていない。
$k$$C_{k}$$k$$C_{k}$

しかし $D$ が complete ならば (必ずしも既約でない) 閉集合 $C$ に対して
$C_{k}$

が閉集合である。 [Mar] では complete だけを使った証明を与えているが、 ここでは complete Zariski 幾何では generic fiber が fiber の中で最小の次元であることを使った証明を与える。
命題 4.4 $D$ を compete を Zariski 幾 (可とし、 $C\subseteq D^{n}$ を閉集合、:$D^{n}arrow D^{m}$ を射影とする。
このとき任意の自然数 に対して
は閉集合
である。
$\pi$

$k$

Proof.

$C_{k}$の次元に関する帰納法で示す。
$dim(C)=0$ のとき、 $C$ は有限個の singleton である。 よって明らか。
$\cdot$$C$

16$dim(C)>0$ として、 $dim(C)$ より小さい次元の閉集合に対して言えた
(ここで
と仮定する
は閉集合) とすると、は次と同値である。
$C\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{U}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\backslash }$$a\in\pi^{-1}(\pi(\{b\in F_{1} :$F_{\mathit{1}_{\rangle}}^{1}F2$$dim(C\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} k$dim((F_{1})_{b}^{\pi}\geq k\})\cup\pi(\{b\in F_{2} :dim((F_{2})_{b}^{\pi}\geq k\}))$.

ここで各 $\{b\in F_{i} : dim((F_{i})_{b}^{\pi}\geq k\}$ が閉集合であると仮定すると、
completeness よりそれらの の像も閉集合である。 よって $C_{k}=\{a\in C$ :$dim(C_{a}^{\pi})\geq k\}$ も閉集合となる。 $C$ の或分への分解を考えることにより、
今 $C$ を既約であるとしてよい。
$l=dim(C)-dim(\pi(C))$ とおくと、 が fiber の次元の中での最小値で
$\pi$

$l$

あるよって $k\geq l+1$ なる$A=C_{l+1}$

とおく$\text{。}A$$k$[こ対して示せぼよい。

は 0-definable であるから constructible であり、 $C$の generic point を含まないことより、て帰納法の仮定より任意の$\overline{A}$は $C$ の固有な閉集合である。よっに対しては閉集合である。
ここで明らかに $k\geq l+1$ なる に対しては
である。
$k$

$(\overline{A})_{k}$$k$$(\overline{A})_{k}=C_{k}$上の命題より Shafarevich [Sh,
Theorem 7] に相当するものとして、
complete の場合に次の系が成り立つ。
$\mathrm{p}61$

系 4.5 $D$ を complete を Za 加 ski 幾何とする。
で: $D^{n}arrow D^{m}$ を射影とするとき、$C\subseteq D^{n}$を既約な閉集合$\pi$

1. 全ての $a\in\pi(C)$ に対して $dim(\pi^{-1}(a)\cap C)\geq dim(C)-dim(\pi(C))$ .

2. $\pi(C)$ の中に空でない開集合$U$があり、 全ての $a\in U$ に対して$dim(\pi^{-1}(a)\cap C)=dim(C)-dim(\pi(C))$ .

Proof. 1. は$\cdot$$C_{a}^{\pi}=\pi^{-1}(\pi(a))\cap C$

であることからでる。

2. 前の命題より、 $\{a\in C : dim(\pi^{-1}(\pi(a))\cap C)>dim(C)-dim(\pi(C))\}$
は $C$ の閉集合である。 completeness より、 { $b\in\pi(C)$ : $dim(\pi^{-1}(b)\cap C)>$$dim(C)-dim(\pi(C))\}$ は $\pi(C)$ の閉集合である。

また Shafarevich [Sh,$\mathrm{p}61$

Theorem 8] では projective variety の既約性の判定条件を与えている。 これに相当するものとしては次の定理がある。

(projective なら complete である。)
定理 4.6 $D$ を complete を $Za\dot{m}ki$ 幾何とする。
を閉集合、 :
$D^{n}arrow D^{m}$ を射影とし、 $\pi(C)$が既約だったとして任意の $a\in\pi(C)$ に対し$C\subseteq D^{n}$$\pi$て $\pi^{-1}(a)\cap C$ が既約でありすべて同じ次元を持つと仮定する。 このとき
$C$は既約である。

17
Proof. 仮定より、任意の $a\in\pi(C)$ に対して $dim(\pi^{-1}(a)\cap C)=k$ とお$\cdot$ける。
$D$$C= \bigcup_{1\leq i\leq t}C_{i}$を $C$ の (最小の) 或分分解とする。

が complete なことより、全ての $\pi(C_{i})$ は閉集合である。 $\pi(C)$ が既約に対して $\pi(C)=\pi(C_{i})$ である。今 $C=C_{1}\cup\cdots\cup C_{s}\cup$$C_{s+1}\cup\cdots\cup C_{t}$ で $1\leq i\leq s$ に対して $\pi(C)=\pi(C_{i})$ であり、 $s+1\leq j\leq t$に対して $\pi(C)\subset\pi(C_{j})$ とする。とし、 $C’=\pi^{-1}(\mathrm{Y}’)\cap C$ とす$\mathrm{Y}=\pi(C)$ とおき、だから、 ある$i$$\mathrm{Y}’=\mathrm{Y}\backslash \bigcup_{s+1\leq j\leq t}\pi(C_{j})$る。 $C’$ は $C$ の部分開集合である。さらに $1\leq i\leq s$ に対し $C_{i}’=C_{i}\cap\pi^{-1}(\mathrm{Y}’)$の部分開集合である。 まずよりは明らか。 $a\in C’$ とすると、がでる。) また明らかに、 $1\leq i\leq s$ に対してとすると、

$C_{i}’$

は$C’= \bigcup_{1\leq i\leq s}$$C_{i}$$a\in\pi^{-1}(\mathrm{Y}’)$C(である。

$a \in\bigcup_{1\leq i\leq s}C_{i}$$\pi(C_{i}’)=\mathrm{Y}’$、よって$(\supseteq$$\supseteq$

である。

今 $m_{i}= \min\{dim(\pi^{-1}(a)\cap C_{i}’ : a\in \mathrm{Y}’\}=\min\{dim(\pi^{-1}(a)\cap C_{i}$ : $a\in$とする。 $m_{i}=dim(C_{i})-dim(\pi(C))$ である。上の系より最小値で実現される。 $U=\cap U_{i}$ とおく。の空でない部分開集合$\mathrm{Y}’\}$$\mathrm{Y}’$$m_{i}$

は$U_{i}$

に対して、 $\pi^{-1}(b)\cap C’=\bigcup_{1\leq i\leq s}\pi^{-1}(b)\cap C_{i}’$ で、 $\pi^{-1}(b)\cap C’$ は次で既約であることより、 $k= \max_{1\leq i\leq s}m_{i}$ で、 ある $1\leq i_{0}\leq s$ があっ$b\in \mathrm{Y}’$元$k$て $m_{i_{0}}=k$ で任意の $b\in U$ に対して $dim(\pi^{-1}(b)\cap C_{i_{0}}’)=k$ である。

すると実は、 全ての$b\in \mathrm{Y}$(こ対して $dim(\pi^{-1}(b)\cap C_{i_{0}}’)=k$ である。

( $Z=\{b\in \mathrm{Y} : dim(\pi^{-1}(b)\cap C_{i_{\mathrm{O}}}’)\geq k\}$ とおくと $Z$ は閉集合であり仮定より $Z=\{b\in \mathrm{Y} : dim(\pi^{-1}(b)\cap C_{i_{0}}’)=k\}$ となる。 これは $U$ を含み$\overline{U}=\mathrm{Y}$である。)

従って次元を比べることにより、全ての$\bigcup_{1\leq i\leq s}\pi^{-1}(b)\cap C_{i}$$b\in \mathrm{Y}$に対して、 $\pi^{-1}(b)\cap C=$

で、 $dim(\pi^{-1}(b)\cap C_{i})\leq k_{\text{、}}dim(\pi^{-1}(b)\cap C_{i_{0}})=k$ であることがわかる。 よって $\pi^{-1}(b)\cap C$ の既約性より全てのて $\pi^{-1}(b)\cap C=\pi^{-1}(b)\cap C_{i_{0}}$ 、これは $C=C_{i_{0}}$$b\in \mathrm{Y}$に対しを意味する。

参考文献[Bous]

E. Bouscaren (Ed.), Model Theory and Algebraic Geometry,
Lecture Notes in Mathematics 1696, Springer, 1998.

[Buec]S. Buechler, Essential Stability Theory, Springer, 1996.

[H-Z]

E. Hrushovski and B. Zil’ber, Zariski Geometries, Journal of
AMS 9(1996), 1-56.

18$[{\rm Max}]$

D. Marker, Zariski Geometries, lecture notes.

[Sh]

I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer, 1977.