数理解析研究所講究録
第 1784 巻 2012 年 17-20

17Fusion system と Scott 加群の Brauer 直既約性
東京理科大学理学部1

功刀 直子

はじめに有限群のモジュラー表現における重要な問題の一つに，Broue の可換不足群予想がある。 か局所構造が等しく可換なシローか部分群をもつ 2 つの有限群の主ブロックは，導来同値になるのではないかという予想である。 2 つの有限群のブロック間の森田同値，あるいは，導来同値を考える際，か部分群の中心化群のブロック間での森田同値や導来同値を張り合わせることで，もとのブロック間の安定同値を構成する方法がある。 このとき 「張り合わせ」 がうまくぃくために，か置換加群Brauer 直既約性という性質が必要となる。 本稿ではまず，可換な vertex をもつ Scott 加群のBrauer 直既約性に関する結果を紹介する。 また，2 つのブロック間の森田同値や導来同値は，非の可換不足群をもつブロック間でも期待される場合がある。 そのため，非可換な vertex をもつ Scott加群の Brauer 直既約性に関しても考察した結果を紹介する。

2

記号と定義
まず，記号を設定し，いくつかの基本事項について説明する。
$G$を有限群， を素数とし， を標数
$k$

$p$

$p$の代数的閉体とする。 $B_{0}(G)$ を $kG$ の主ブロック (自明な加群を零化しない $kG$ の両側イデアルとしての直既約因子) とする。 $H\leq G,$ $G$ の -部分群 $Q,$ kG$p$:(トレーに対し，$U^{G}:=\{u\in U|ug=g, \forall g\in G\},$の Brauer construction を $U(Q)=U^{Q}/ \sum_{R<Q}$ Trス写像) とし，さらに， に関する加群$U$$Tr_{H}^{G}$$U^{H} arrow U^{G};u\mapsto\sum_{t\in H\backslash G}ut$$U$$Q$$QR(U^{Q})$と定める。 $U(Q)$ は $kN_{G}(Q)$ -加群である。

Brauer construction は一般の $kG$-加群に対して定義されるが，とくに置換加群の直和因子に対して良い性質をもつ。

Proposition 2.1([8] 参照)$U$$P$ を $U$ のを置換 $kG$ -加群の直既約因子，vertex とする。 $G$ の p-部分群 $Q$ に対し，
$U(Q)\neq 0\Leftrightarrow x^{-1}Qx\leq P(\exists x\in G)$が成立する。

とくに，置換加群の直既約因子の vertex は，Brauer construction が non-zero となる極大の$p-$18部分群であるということができる。

次に，置換加群の直既約因子のなかで，特別な加群を定義する。
(Alperin, Scott [6] 参照) $H\leq G$ とする。 誘導加群

Definition 2.2$S/rad(S)$ の既約因子に自明な加群$k_{H^{\uparrow G}}$の直既約因子 $S$ でをもつ唯一のものを $H$ に関する $G$ の Scott 加群といい，$k_{G}$

Scott $(G, H)$ で表す。
Scott 加群に対しては，次が成立する。
Proposition 2.3 ([6] 参照) $H,$ $H’\leq G,$ $P\in Sy1_{p}(H),$ $P’\in Sy1_{p}(H’)$ とする。
(1) Scott $(G, H)$ は vertex $P$ をもつ$\circ$(2) 次が成立する。

Scott $(G, H)\cong$ Scott $(G, H’)\Leftrightarrow P=x^{-1}P’x(\exists x\in G)$

とくに，Scott $(G, H)\cong$ Scott $(G, P)$ である。

したがって， の銑部分群に関する Scott 加群のみを考えればよい。
$G$

次に fusion system に関する定義などを述べる。のか部分群 $P$ 上の fusion system $F_{P}(G)$ とは $P$ の部分群を object として$Hom(Q, R)=\{c_{x} :Qarrow R;u\mapsto u^{x}|x\in G\}$ を $Q$ から $R$ の morphism の集合とする
もち，Definition 2.4$G$category である。
$G$における $P$ 上の fusion system について，次のことはよく知られている。

Lemma 2.5

$P\leq H\leq G$とする。 $P$ は $G$ の I 部分群とする。 次は同値である。
$\succ$(1)$F_{P}(G)=F_{P}(H)$(2)$t\in G$ が $Q^{t}\leq P$$t\in C_{G}(Q)H$
任意の $P$ の部分群 $Q$ に対し，を満たすなら，(3)$N_{G}(Q)=C_{G}(Q)N_{H}(Q)$ が成立する。
任意の $P$ の部分群 $Q$ に対し，Fusion system の中で重要なものに，saturated fusion system というものがある。 Sylow の定理をまねた 2 つの公理 (extension axiom と Sylow axiom) を満たす fusion system である。 詳し$F_{P}(G)$ は saturated fusionの Sylow
くは述べないが，例えば， が部分群であるときは，
$P$

$G$

$P$ が abeliansystem である。 また，Lemma 2.6

$P$

$P$部分群であれば，次のように言い換えられる。

が $G$ の abelian $p$ 部分群のとき，次は同値である。

が saturated fusion system である。

(1)

$F_{P}(G)$(2)

次の 2 条件が成立する。

(S)

$p$

$N_{G}(P)/C_{G}(P)$が$p$’-群

19(E)$F_{P}(G)=F_{P}(N_{G}(P))$

3 Scott 加群の Brauer 直既約性
この節では，Scott 加群の Brauer 直既約性について，Kessar-K-Mitsuhashi [4] の結果，および外山 [9] の結果を紹介する。

Definition 3.1([4]) $M$ を $kG$ -加群とする。 すべてのか部分群

加群として直既約 (または$0$)$Q$に対して，$M(Q)$ が $k[QC_{G}(Q)]-$$M$ を Brauer 直既約という。となるとき，まず，置換加群の Brauer 直既約性に関しては，次の定理が得られている。

Theorem 3.2 ([4, Theorem 1.1])

を有限群とし， を の -部分群とする。 $M$ を vertexの直既約な置換加群の直和因子とする。 $M$ が Brauer 直既約なら，$F_{P}(G)$ は saturated fusion
$G$

$P$

$G$

$P$

$p$

system である。
$P$ を可換群とするとき，次の定理が$M$ を Scott 加群，この定理の逆は一般には成立しないが，成立する。

Theorem 3.3 ([4, Theorem 1.2])
を有限群とし， を の可換な銑部分群とする。 $F_{P}(G)$が saturated fusion system であるとき，$M=$ Scott $(G, P)$ は Brauer 直既約である。
$G$

$P$

$G$

したがって， が可換なら $F_{P}(G)$ が saturated fusion system であることと Scott 加群が$P$Brauer 直既約であることが同値であることがわかる。
2 つの有限群が共通の Sylow $p$ 部分群 $P$$F_{P}(G_{1})=F_{P}(G_{2})$ のとき，をもち，$F_{\Delta(P)}(G_{1}\cross G_{2})=F_{P}(G_{1})=F_{P}(G_{2})$は saturated となとなり，とくに$G_{1},$$G_{2}$$F_{\triangle(P)}(G_{1}\cross G_{2})$るから，次の定理を得ることができる。

Theorem 3.4 ([4, Corollary 1.3])を有限群とし，共通の可換な Sylow$F_{P}(G_{1})=F_{P}(G_{2})$ であるとする。 このとき，$M=$ Scott
つとし，$G_{1},$$G_{2}$$p$

部分群 $P$ をも$(G_{1}\cross G_{2}, \Delta(P))$

は Brauer 直既約である。

この定理は例えば，共通の Sylow7 部分群$+$$P$が可換となるとき (すなわち Brou\’e 予想の設定となるとき), 主ブロック $B_{0}(G_{1})$ と $B_{0}(G_{2})$ の安定同値の構成に役に立つ。 まず，もととなる次の定理を紹介する。

Theorem 3.5 (Brou\’e [3]) $M=$ Scott
約因子とする$B_{0}(C_{G\text{、}}(Q))$$\circ$と$1\neq\forall Q\leq P$$B_{0}(C_{G_{2}}(Q))$

型の安定同値を誘導する。

$(G_{1}\cross G_{2}, \triangle(P))$とする。 $M$ を誘導加群$k_{\Delta(P)}^{G_{1}\cross G_{2}}$に関する Brauer constructionに対し， の$M$ はとの間の森田同値を誘導するなら，$M$$\triangle(Q)$$B_{0}(G_{1})$の直既$M(\triangle(Q))$$B_{0}(G_{2})$

がの森田

20
これまでも，各$Q$に対して，中心化群$C_{G_{1}}(Q)$と $C_{G_{2}}(Q)$ の主ブロック問の森田同値が Scott 加群で与えられること確認できることはあり，その Scott 加群が $M(\Delta(Q)$ の形で与えられているかを個別に確認することで，$B_{0}(G_{1})$$k[C_{G_{1}}(Q)\cross C_{G_{2}}(Q)]$$M(\Delta(Q))$ はと $B_{0}(G_{2})$ の安定同値を得ていた。 しかし一般に，-加群として Scott 加群を直和因子にもつことは容易にわかるので，Theorem

34 を使えば，安定同値が得られることになる。

これで，可換な vertex をもつ Scott 加群の Brauer 直既約性と fusion system の関係が明らかになったが，一方，非可換な vertex をもつ Scott 加群ではどうなのかという問題が生じる。 可換の場合に比べて，状況が複雑になり，まったく同じようにはいかないようである。特別な場合のみであるが，[9] において次のことが示されている。
$M$ をのに関を有限群， を のと同型な 2-部分群，に対し，$F_{P}(G)$ は saturated であるとする．また， の位数 4 の各部分群
する Scott 加群，Theorem 3.6([9, 主定理 2])

$G$

$P$

$G$

$G$

$D_{8}$$P$$\text{ョ_{}H_{Q}}\leq N_{G}(Q)$s.t.

$Sy1_{2}(H_{Q})\ni P$

$P$

$Q$

,

$|N_{G}(Q):H_{Q}|=2^{a},$ $a\in Z$$M$ は Brauer 直既約である。
が成り立つとすると，

参考文献[1] C. Brote, R. Levi, R. Oliver, The homotopy theory of fusion systems, J. Amer. Math.

Soc 16 (2003) 779-856, Asterisque 181-182[2] M. Brou\’e, Isom\’etries parfaites, types de blocs, cat\’egories(1990), 61-92.
[3] M. Brou\’e, Equivalences of blocks of group algebras, in Finite Dimensional Algebras andRelated Topics, (edited by V. Dlab and L.L. Scott) Kluwer Acad. Pub., Dordrecht, 1994,$d\acute{e}riv\mathfrak{X}s$

pp. 1-26.
[4] R.Kessar, N. Kunugi, N. Mitsuhashi, On saturated fusion systems and Brauer indecomposability of Scott modules, J. Algebra 340 (2011), 90-103[5] M. Linckelmann, An introduction to fusion systems, Group representation theory 79113, EPFL Press, Lausanne, 2007
[6] 永尾汎-津島行男，有限群の表現，裳華房，1987[7] R. Rouquier, Block theory via stable and Rickard equivalences, Modular representation
theory of finite groups (Charlottesville, VA, 1998), 101-146, de Gruyter, Berlin, 2001[8] J. Th\’evenaz, G-algebras and modular representation theory. Oxford MathematicalMonographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University
Press, New York, 1995
[9] 外山菜保子，非可換群を vertex にもつ Scott 加群の Brauer 直規約性，平成 22 年度東京理科大学修士論文