数理解析研究所講究録922 巻 1995 年 192-194

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垂直ダクト中の自然対流
広島大・理

八幡英雄 (Hideo YAHATA)

長方形領域 { $(x,$ $y)$ : $0<x<L,$ $0<y<$ H}(ここで重力は y 軸の負の向きにとる) 内に閉じこめられた 2 次元流体を、-方の垂直境界壁で– 様に加熱した場合、 すなわち、

温度場 $T(x, y)$ を境界条件$T(0, y)=T_{1},$ $T(L, y)=T_{2}$$\partial_{y}T(x, \mathrm{o})=\partial_{y}T(X, H)=0$$(0<y<H, T_{1}>T_{2})$(1)$(0<x<L)$(2)に保つとき発生する対流の場の時空間パターンを考察する。 を動粘性率、$l\ovalbox{\tt\small REJECT}$率、 を重力加速度として、 座標 $x,$$g$

る: $xarrow Lx,$ $yarrow Hy,$$\mathrm{v}arrow U\mathrm{v},$$y_{\text{、}}$

時間$t_{\text{、}}$

速度$\mathrm{V}_{\text{、}}$$Tarrow T_{2}+(T_{1^{-T}2})T\text{、}$$\alpha$を熱膨張

温度 $T$ を次のように無次元化す
ここで、 $U=g\alpha(T_{1^{-\tau}2})L^{2}/\nu$は粘性項と浮力項のつりあい $\nu U/L^{2}\sim g\alpha(T_{1}-T_{2})$ を特徴づける速度である。 これらの変数をもちいると無次元化された運動方程式は Boussinesq 近似で、$\partial_{t}\mathrm{v}+G\mathrm{v}\cdot\nabla \mathrm{v}=-\nabla\square +\nabla^{2}\mathrm{v}+T\mathrm{e}_{y}$(3)$\partial_{t}T+G\mathrm{v}\cdot\nabla T=\frac{1}{Pr}\nabla^{2}T$(4)$\nabla\cdot \mathrm{v}=0$(5)の形をとる。 ここで、 $\nabla=(\partial_{x}, (1/A)\partial_{y}),$ $\mathrm{e}_{y}=(0,1)$ で、 方程式は 3 個の無次元数:ア

スペク ト比 $A=H/L$ , Prandtl 数 $Pr=\nu/\kappa$ , Grashof 数 $G=UL/\nu$ によって特徴づけられている、 ただし界条件$\kappa$$\mathrm{v}=\partial_{n^{\mathrm{V}=}}0$は温度伝導率を表す。 速度場にたいしては、 各側壁で滑りなしの境を課す。

この問題は、 寒冷地の二重窓をはじめとして実用上も重要なため、 多くの実験的.

理論的研究がなされてきた 1-4) 。水平方向の温度差を特徴づける無次元パラメータである Grashof 数 $G$ が小さい間は、 流れは時計まわりの $-$ 様な回転で、 温度は水平方向に

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一様な勾配で定常分布しその等温線は$y$軸方向の平行直線をなす。 $G$ を増加させていくと、 垂直壁に沿って境界層が発達し垂直方向の流れは垂直壁近傍に強い shear をもつようになり、 この部分では垂直方向の等温線が密に分布する。 $-$ 方、 中心部分の温度は垂直方向に勾配をもって分布するようになり、 等温線は水平方向の平行直線群をなす。

Mizushima &Gotoh, Bergholz はこのような状態を模型化し、 $H$.
系の線形安定性解析をおこなった$5_{1}6$)$=\infty$の場合に方程式。その結果、 中心部の温度の垂直勾配がある値以上に大きくなると、 境界層の不安定性は定常形ではなく伝播波動形 (T-S 波) になることを示した。 したがって、 いま考えている長方形中の流体でも $G$ をさらに増加させると、流れが振動伝播流に遷移することが予想され、実際に方程式の直接$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{0}\mathrm{n}7-10$)と線形安定性解析 11) によってこれが示された。 以上は境界層の不安定化による振動流の発生であるが、 この他に中心部の水平等温線群の示す密度の安定成層で起こる内部重力波による振動モー ドがある。 垂直壁に沿った垂直流が水平壁に衝突して水平流になる際に、その部分での Froude 数の大小に応じて水平方向に向きを変えた流れ (成層流) の垂直成分の大小が決る。 これがある値より大きいと hydraulic jump とよばれる現象が起こり、内部重力波の振動を引起こすとされる 12,13)。

Paolucci &Chenoweth は $Pr=0.71$ の場

合に、 実際にこのような 2 種類の振動モードが存在することを、 方程式系の simulationによって示し、 $0.5<A<3$ の場合には $G$ を増加させたとき、 内部重力波の方が T-S 波よりも前に出現すること、 さらに $G$ を増加させるとこれら 2 個のモードの非線形相互作用により流れがカオス化することを報告している 8)。
ここでは $A>3$ の場合の流れのカオス化の機構を明らかにする目的で筆者が行なった計算結果の $-$ 例を示す 14)。速度の成分を $\mathrm{v}=(u, v)$ として、 方程式系 (3) $-(5)$ を、 流
れ関数 $\psi(u=-(1/A)\partial_{y}\psi, v=\partial_{x}\psi)_{\text{、}}$ 渦度 $\omega=\partial_{x}v-(1/A)\partial_{y}u$ を用いて表すと、$\partial_{t}\omega=\overline{\frac{\mathrm{L}7}{A}}\frac{\partial^{\wedge}(\omega,\psi_{)}\backslash }{\partial(x,y)}+\nabla^{2}\omega+$

(6)

紘丁

$\partial_{t}T=\frac{G}{A}\frac{\partial(T,\psi)}{\partial(x,y)}+\frac{1}{Pr}\nabla^{2}T$(7)$\nabla^{2}\psi=\omega$(8)となる。 ここで、 ヤコビァンは Arakawa 法、 ラフ ラシアンは$\circ$$\mathrm{D}\mathrm{u}\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}_{- \mathrm{F}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{e}1$法によって差分化した。 得られた差分方程式をアスペク ト比 $A=6$ , Prandtl 数 $Pr=1$ の場合

194に、 $G$ を増加させながら各 $G$ の値に対して数値 simulation を行なった。 ただし、 (8) はSOR 法によって解いた。差分格子分割は$x$方向に 40,$y$方向に 80 とした。 $G=4.9\cross 10^{5}$で、定常流から振動流に遷移し、$G=9\cross 10^{5}$ では 2 個の振動数成分をもつ準周期的振動流が出現した。 さらに $G$ を徐々に ( $5\cross 10^{4}$ 程度) 増加させていくと、 $G=15\cross 10^{5}$ では時系列のパワースペク トル密度で noise 成分が顕著になり流れはカオス状態になった。
これに対し、 $G=12\cross 10^{5}$ の準周期的状態から、 $G=16\cross 10^{5}$ に急激に変化させると単純周期状態が再現し、 この状態から $G$ を徐々に増加させていくと、 周期倍分岐を経て$G=19\cross 10^{5}$ では流れはカオス状態になる。 以上の結果は$G$の増加の仕方により系は多重状態 multiple states(同じ $G$ の値に対して複数個の時空間パターンが存在する) をとることを示している。 これが物理的にどのような状態に対応しているのか今のところ不明である。 また、 差分格子幅の変化に対して同じ現象が再現されるか否か確認する必要がある。

参考文献. Tritton, Physical Fluid Dynamics, 2nd ed. (Clarendon Press,1988), p.37.

1)$\mathrm{D}.\mathrm{J}$2)$\mathrm{J}.\mathrm{W}$. Elder, J. Fluid Mech. 23(1965), 77.

3) Y. Lee and$\mathrm{S}.\mathrm{A}$. Korpela, J. Fluid Mech. 126(1983), 91.

4) J. Patterson and J. Imberger, J. Fluid Mech 100(1980), 65.
5) J. Mizushima and K. Gotoh, J. Fluid Mech. 73(1976), 65.

6)$\mathrm{R}.\mathrm{F}$. Bergholz, J. Fluid Mech. 84(1978), 743.

. Chenoweth and S. Paolucci, J. Fluid Mech. 169(1986), 173.
. Chenoweth, J. Fluid Mech. 201 (1989), 379.
8) S. Paolucci and. Hoogendoorn, Appl. Sci. Res. 47(1990), 195.
9) R. Henkes and7)$\mathrm{D}.\mathrm{R}$$\mathrm{D}.\mathrm{R}$$\mathrm{C}.\mathrm{J}$$\mathrm{r}\perp 0)$

P. Le Quere and T. Aiziary de Roquefort, J. Comp Phys. 57(1985), 210.

11) A.Yu. Gelfgat and I.Tanasawa, Num. Heat Transfer $\mathrm{A}25(1994),627$ .
12) J. Lighthill, Waves in Fluids (Cambridge University Press, 1978), p.175.
13)$\mathrm{J}.\mathrm{S}$. Turner, Buoyancy Effects in Fluids (Cambridge University Press, 1973), p.64.

14) これは土居良臣: 卒業論文 (広島大学・理、 19953) の内容の継続研究である。