数理解析研究所講究録
1091 巻 1999 年 76-84

76

More sign patterns of$\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{y}$-Strauss’ type

浅井哲也 (Tetsuya Asai)

静岡大学理学部

無限積の展開$\prod$$=$$(1-\prime\prime q^{m_{\grave{J}}R}’.\vee$$\vec{\perp}-\hat{0}q+\hat{9}q..’+\overline{\perp}\overline{\cup}q\hat{\mathrm{u}}\epsilon_{-3}\bigwedge_{L}q$$n>0,5\mu$$+6q^{5}-25q^{6}+96q^{7}+60q^{8}-250q^{9}+\cdots$

を観察して, 符号のパターン $(+-++-)$ の繰り返しに気付かないとすれば, 注
意深さが (私同様に) 足りないのである. 実際, 同様のことは $\prod_{n>0,7\mu^{(1)^{4}}}-qn$$(1-q^{n})^{2}$の展開にも観察できる. これらの場合, それぞれ, やがや$\prod_{n>0}$,13 ゆて係数の符号は周期 7 のパターン $(+-++—)$ あるいは周期 13 のパターン
を繰り返す.
McKay&Strauss [MS] は Moonshine に現れる沢山の Thompson series について, このような現象を観察して報告している. ひとつの証明は, 既に多くの人が指摘してるようだが, 解析数論では標準的な手法である circle method と呼ばれるものを使えば直ちにできるのである.
例えば,$(+–+++—-+–)$$f(z)=q^{-1}$$\prod$$(1-q^{n})6 \sum=a(n)q^{n}$ ,$q=e^{2}\pi iz$$n>0,5\psi\iota$とおけば,$f(z)=(\eta(z)/\eta(5z))^{6}$は$\Gamma_{0}(5)\text{の}$.

(上半平面で) 正則な modular 関数

cusps の同値類は 2 つであるが, $f(-1/5z)=5^{3}(\eta(5Z)/\eta(z))^{6}=$$5^{3}q+5^{3}\cdot 6q^{2}+\cdots$
であるから,と同値な cusp では cusp form のように値が消える. したがって, circle method で Fourier 係数 $a(n)$ を評価するとき, 大きなと同値な cusp すなわち, 分母が 5 の倍数であるような既約分数で起こ
寄与は
である.

$\Gamma_{0}(5)$の$0$$\infty$る. なかでも最大の寄与は$h/5,$$(5, h)=1$ で生じる.

$a(n) \sim A_{5}(n)\cdot\frac{e^{4\pi\sqrt{n}/5}}{\sqrt{10}n^{3/4}}$

こんなわけで, 結果として$(narrow\infty)$と評価される. ここで, $A_{5}(n)$ は Kloostermann 和 (最初の節で定義を述べる) と呼ばれるものである. 実際, $A_{5}(-1)=0.381>0,$ $A_{5}(0)=-1<0,$ $A_{5}(1)=$$2.618>0,$ $A_{5}(2)=1.236>0,$ $A_{5}(3)=-3.236<0$ となって, 符号パターン$(+-++-)$ とよく符合する. すなわち, 係数 $a(n)$ の符号は Kloosterman 和の符号であったのである. 数論では Kloosterman 和はしばしば登場するが, このよ

うに素朴なままその顔をはっきりと見せてることのはおもしろいと思う.

,

ところでこのような周期的符号パターンの現象は, 証明自体が示唆するように,
何も Thompson series に特有なことではない. はるかに–般な modular 関数につ\vee |77て同様の現象が見られる. 特に, 無限積を持つ (したがって上半平面では正則かつ零点を持たない) modular 関数の Fourier 係数の符号は (一般化された) Kloosterman
和で説明できるものと期待される. ただし, 一般化された Kloosterman 和では値がしばしば零となり, さらに特別な場合には, ある系列の Fourier 係数自身が–斉が混じる) など, かなに vanish することが起きる (すなわち, 符号パターンにり微妙で興味深い問題が生じる.
ところで, 楕円 modular 関数 の逆数 $1/j(z)$ は交代型 (周期 2) の Fourier 展
$0$

$i$

開を持つが, これは modular 群の level や Kloostermann 和とは関係がない.

こ

れは McKay&Strauss の符号パターンとは似て非なる現象というべきかも知れな

は上半平面に極を持つことに注意すれば, この場合も留数計算に基づく証明も可能であるが, Asai-Kaneko-Ninomiya [AKN] で与えられた証明は全くい.

$1/j(z)$

別の原理によるものであることにも注意されたい.
この報告では, まず McKay&Strauss の観察例のうち the simplest case について, 証明を解説的に述べる. それは citcle method の–つの演習問題に過ぎない.
同様の方法が他の Thompson series の場合にも有効であるだろうが, 全ての場合
を check したわけではない. 最後に, 中間報告的なものであるが, さらに広汎な実例ないし現象について若干の注意を補足したい.
さんご自身から [MS] の事実のご教示を享けるという幸せに私は恵偶々 Prof.
まれ, 長すぎるほどに楽しませていただいた. 心から感謝申し上げたい.
$\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{y}$1.

は 2, 3, 5, 7, 13 のいずれかを表すものとして, 以下これを固定する.
いずれの場合も $N$ は素数であり, $N-1$ は 12 の約数である.
$N$$f(.z.)=e-2 \pi iz\prod_{)n>0,(n,N=1}(1-e^{2iz})^{24}\pi n/(N-1)=\sum_{=n-1}^{\infty}a(n)e^{2\pi inz}$と定義する. つぎのことを証明しよう
定理$narrow\infty$:のとき$a(n)=A_{N}(n) \cdot\frac{2\pi}{N\sqrt{n}}\cdot I_{1(\frac{4\pi\sqrt{n}}{N})}+O(e^{2\pi\sqrt{n}/N})$系$narrow\infty$のとき$a(n) \sim A_{N}(n)\cdot\frac{1}{\sqrt{2N}n^{3/4}}\cdot e^{4\pi\sqrt{n}/N}$

ここで $A_{N}(n)$ は Kloostermann 和$(hh’\equiv-1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N))$

$I_{1}(t)$は変形 Bessel 関数:$A_{N}(.n)= \sum_{=h(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N),(h,N)1}\cdot e-\frac{2\pi}{N}(nh+h’)$

であり,

:

$I_{1}(t)= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(t/2)^{2}k+1}{k!(k+1)!}$

である.

78

さて, 無限積が絶対収束することから,

上の正則関数である.

$f(z)$ の$f(z)$

および $1/f(z)$ は複素上半 z-平面

Fourier 係数に周期 $N$ の符号パターンが現れること

は, $f(z)$ が level $N$ の modular 関数であることに起因する,ということができる.

すなわち,$\Gamma_{0}(N)=\{\in SL_{2}(\mathrm{Z})|c\equiv 0$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N)\}$,$W_{N}=$とするとき、 つぎの $.$ とが成立つ
補題 1$f(\sigma z)=f(Z)$$f(\sigma Z)=N^{1}2/(N-1)$.

$(\forall\sigma\in\Gamma_{0}(N))$$(\forall\sigma\in W_{N0}\Gamma(N))$$\frac{1}{f(z)}$は Fricke
によって上半平面に作用するのであった.
に落として考えればinvolution と呼ばれることがある.
は部分群になっている. 補題 1 はよく知られたことである. modular 関数のコン
パクトな入門的事項と合わせて, 例えば [Ogg] などを参照されたい.
とで代表される 2 つの cusp がの基本領域には. 上半平面における現れる. またこれに閉 Riemann 面の構造を入れるとき, われわれの場合は, その$W_{N}$$GL_{2}^{+}(\mathrm{R})\text{は}-\text{次分数変}\mathrm{a}\mathrm{c}$$\mathrm{r}_{0}(N)\cup W_{N}\Gamma 0(N)$$PGL_{2}(\mathrm{R})$$\Gamma_{0}(N)$genus は$0$$\infty$$0$となる. したがって modular 関数体は有理関数体となるが, 実は $f(z)$がその生成元となっている. 定義式および補題 1 で見られる通り $f(z)$ は \infty (と同値な cusp) で 1 位の極 0(と同値な cusp) で 1 位の零点である他は非零かつ正則な関数であるからである.
さて Fourier 展開$f(z)= \sum n=-1a(n)e^{2inz}\pi$

の係数は

(1)

$a(n)= \int_{L}f(_{Z})e^{-2\pi iz}dnZ$

とする
は始点を
と表すことができる. $f(z)$ は上半平面で正則な関数だからとき, 終点が $z_{0}+1$ でありさえすれば, どんな経路でもよい. まず単純に
$L$

$L$

: $z=x+i\epsilon$ ,$z_{0}$$0\leq x\leq 1$

が十分小さければ, 積分路は実軸の近くを平行に進むこに同値な有理点) と零点 ( に同値な有理点) がとになるが, 実軸には $f(z)$ の極 (それぞれ密集している. 当然, 積分への寄与は, 極の近くで大きいと期待される. いに同値になるのは, $N$ の倍数を分母とまの場合, 有理点を既約分数で表すとき,としてみる. ここで$\epsilon>0$$0$$\infty$$\infty$するときである. そのうちでも, 分母の大きさが小さいほど, 積分への寄与がより大79であることが, 少しの予備計算で分かる. そこで各有理点ん/N $(h=1,2, \cdots, N-1)$の近くで,の部分区間となるように小区間をつぎのように定める :$L$$L_{h}$$L_{h}$

ここで $\epsilon>0$ と$\delta>0$: $z=x+i\epsilon$ ,$|x-h/N|\leq\delta$の値をどのように取るかについては, 若干の予備計算と試行錯誤が必要である. いまの場合, われわれの目的のためには$\delta=\sqrt{3}\epsilon=\frac{\sqrt{3}}{2N\sqrt{n}}$$\epsilon=\frac{1}{2N\sqrt{n}}$とすれば十分である. ただし $n\geq 4$ としておく. このとき, 各は disjoint となる.
を主区間 (major arc),
を副区間 (minor arc) と呼ぶことがある.
主区間上の積分から積分値 $(=a(n))$ の主要項を取りだし, 副区間上の積分は誤差項に押し込めよう, というのが Hard.y-Ramanujan [HR] らに始まる circle methodの考え方である. (Rademacher [R] も参照されたい.).
$L_{h}$$\cup L_{h}$2.

$L\backslash \cup L_{h}$最初に副区間上の積分を評価しよう. そのために$z=x+i\epsilon\in L\backslash \cup L_{h}$を示す. そうすれば$|f(z)|=O(e^{\pi\sqrt{n}/N})$.

$\Rightarrow$$|e^{-2\pi in}|z=e=e^{\pi}2\pi \mathrm{g}n\sqrt{n}/N$

と合わせて

(2)

$\int_{L\backslash \cup L_{h}}f(_{Z})e-2\pi inzdZ=^{o}(e\frac{2\pi\sqrt{n}}{N})$が得られる. . したがって, 後に見るように、この分は誤差項に含まれることになる.
補題 2

上半平面上の任意の点選んで, つぎのようにできる :

$z$

に対して,

$z_{1}=\sigma z=x_{1}+iy_{1}$,$\sigma\in\Gamma \mathrm{o}(N)\cup W_{N}\Gamma_{0}(N)$を適当に$y_{1} \geq y_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2N}$

この補題は, 例えば $y_{1}={\rm Min}\{{\rm Im}\sigma Z|\sigma\in\Gamma_{0}(N)\cup W_{N}\mathrm{r}_{0}(N)\}$ として, これが満たすべき条件を書き表すことによって容易に示すことができる. いまは $N$ が素数であることにも注意されたい.
さて $z=x+i\epsilon\in L\backslash \cup L_{h}$ に対して, 補題 2 のように$\sigma\in W_{N}\Gamma_{0}(N)$$\sigma$ならば$f(z)=N^{\frac{12}{N-1}} \cdot\frac{1}{f(z_{1})}=N^{\frac{12}{N-1}}\cdot e^{2\pi}iz_{1}+$$|e^{2\pi iz_{1}}|\leq e^{-2\pi y0}$を選んだとする.

だから $|f(z)|=O(1)$ である.

$\cdot$..

80$\sigma\in \mathrm{r}_{0}(N)$のときは$f(z)=f(z_{1})=e^{-2\pi iz\iota}+O(1)$であるから,$y_{1}\leq\sqrt{n}/2N$$\sigma=\in\Gamma_{0}(N)$を示すことができれば $|f(z)|=O(e^{\pi\sqrt{n}/N})$ が従う.

とするとき
.

.

$y_{1}={\rm Im} z_{1}=|_{CZ+}.\overline{d|^{2}}e$$c=0$$c\equiv 0$とすると $d=\pm 1,$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N)$

だから $c>0$ としてよい.

$y_{1}=\epsilon\not\simeq\sqrt{3}/2N$にも注意して,.
$\overline{y_{1}}\underline{\rceil}=\frac{(_{\cap 7\mathrm{w}}\cdot\perp_{1}d\backslash 2\backslash \cdot \text{ノ}{\epsilon}}"+c$$\cdot\cdot$

もしも $c\geq 2N$ ならは..
$\cdot$$\frac{1}{y_{1}}\geq \mathrm{c}^{2}\epsilon\geq\frac{2N}{\sqrt{n}}$残るは $c=N$ の場合.

$y_{1}>\sqrt{n}/2N(.\cdot.

$\frac{1}{y_{1}}=\frac{1}{\epsilon}(N_{X}+d)2N2\epsilon+<\frac{2N}{\sqrt{n}}$..

$y_{1} \leq\frac{\sqrt{n}}{2N}$

1/y\iota<2N/\sqrt{n})$として矛盾を導く :$2N \sqrt{n}(NX+d)^{2}<\frac{2N}{\sqrt{n}}-N^{2}\epsilon=\frac{3N}{2\sqrt{n}}$

したがって

..

$(Nx+d)2< \frac{3}{4n}$..

$(< \frac{1}{2N})$$|x+ \frac{d}{N}|<\frac{\sqrt{3}}{2N\sqrt{n}}=\sqrt{3}\epsilon$

ここで $0\leq x\leq 1$ だから $d=-h(1\leq\exists h\leq N-1)$ のはず.

なるが,これは $z\in L\backslash \mathrm{U}L_{h}\text{に矛盾する}.$ .

つぎに, 各主区間$z\in L_{h}$すなわち$L_{h}$

すなわち $z\in L_{h}$ と
これで (1) が示された.

上の積分から主要項を取り出そう.

$z=x+i\epsilon,$$\epsilon=\frac{1}{2N\sqrt{n}},$$|x- \frac{h}{N}|\leq\sqrt{3}\epsilon$$\sigma=\in\Gamma_{0}(N)(hh’\equiv-1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N))$${\rm Im} z_{1}=y_{1}\geq\sqrt{n}/2N$となる. 実際,$(h=1,2, \cdots, N-1)$$z_{1}=\sigma z$とせよ. このときはをとれば \vee ) つでもだから$\frac{1}{y_{1}}=\frac{1}{\epsilon}(N_{X}-h)^{2}+N2\epsilon=N2\epsilon(\frac{1}{\epsilon^{2}}|x-\frac{h}{N}|2+1)\leq 4N^{2}\epsilon=\frac{2N}{\sqrt{n}}$

したがって

合わせて

$f(z)=f(z_{1}\mathrm{I}=e-2\pi iz_{1}+O(1)$となり, 再び$|e^{-\mathrm{z}inz}|\pi=e^{\pi\sqrt{n}/N}$$-$$\int_{L_{\mathrm{b}}}f(z)e-2\pi inzdz=\int_{L_{h}}e^{-2}d_{Z}\pi inz-2\pi iz_{1}+O(e^{\frac{\pi\sqrt{n}}{N}})$あとは右辺の積分 (初等関数の積分!) から主要部を取り出せばよ$\mathrm{A}^{\mathrm{a}}$

.

と

81

だから $v=-i.\sqrt{n}(Nz-h)$$z_{1}= \frac{\text{ん_{}Z+}’\ell}{Nz-h}=\frac{h’}{N}-\frac{1}{N(N_{Z-}\text{ん})}$$-2 \pi inz=-2\pi i\frac{nh}{N}+2\pi\frac{\sqrt{n}}{N}v$

そして$z=x+i\epsilon$

だから

,

とおけば

$-2 \pi iz_{1}=-2\pi i\frac{h’}{N}+2\pi\frac{\sqrt{n}}{N}\frac{1}{v}$$x- \frac{h}{N}=Z-\frac{h}{N}-\frac{i}{2N\sqrt{n}}=\frac{i}{N\sqrt{n}}(v-\frac{1}{2})$$- \sqrt{3}\epsilon\leq x-\frac{h}{N}\leq\sqrt{3}\epsilon$. すなわち$- \frac{\sqrt{3}}{2}\leq i(v-\frac{1}{2})\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$$\Leftrightarrow$

したがって$\int_{L_{h}}e^{-2\pi\dot{j}}-2\pi iz1dnz\frac{i}{N\sqrt{n}}=e^{-}\frac{2\pi}{N}Z^{\cdot}.(hn+h’)\int_{M}e^{\frac{2\pi\sqrt{n}}{N}}(v+1/v)dv$

ただし $M$ は $v_{1}=(1+i\sqrt{3})/2$ から $v_{2}=(1-i\sqrt{3})/2$ へ向かう直線路である.

さて, これをつぎの直線路たちと合わせて 平面上の原点 を回る閉積分路にして考えよう. $J$ は $-1$ から $v_{0}=i\sqrt{3}/2$ へ向かう直線路, $K$ は v。から
へ向
$v$

$0$

$v_{1}$

かう直線路, $K’$ はから $v_{3}=-i\sqrt{3}/2$ へ向かう直線路, 最後に $J’$ は$-1$ へ戻る直線路とするとき, 積分路 $J\cup K\cup M\cup K’\cup J’$ は閉じている.
$v_{2}$

被積分関数$v_{3}$から) は原点以外で正則だから$e^{\frac{2\pi\sqrt{n}}{N}(/}v+1v$$\int_{J}+\int_{K}+\int_{M}+\int_{K’}+\int_{J’}=-\int_{C}$を中心として $-1$ を始点および終点とする正方向の単位円周である.
. ところが $v\in J\cup J’$ のときは ${\rm Re} v\leq 0,$ ${\rm Re} 1/v\leq 0$ だからであるし, また $v\in K\cup K’$ のときは簡単な計算で $0\leq{\rm Re}(v+1/v)\leq 1$ であとなり, これらの積分は誤差項に含まることが分かるのでれてしまう. こうして
ただし $C$ は$0$$|e^{\frac{2n\sqrt{n}}{N}(v+/v)}1|\leq 1$$|e^{\frac{2\pi\sqrt{n}}{N}(/v)}|v+1\leq e^{\frac{2\pi\sqrt{n}}{N}}$.

$\int_{M}\mathrm{e}^{\frac{2\pi\sqrt{n}}{N}(v+\iota/}dv)v=-\int_{C}e^{\frac{2\pi\sqrt{n}}{N}(}dvv+1/v)+O(e^{\frac{2n\prime n}{N}})$と評価できた. さらに右辺の積分は Bessel 関数を用いて$\frac{1}{2\pi i}\int_{C}e^{\frac{2*\Gamma n}{N}(v+1/)}dvv=(-i)\cdot\frac{1}{2\pi i}\int_{C}e^{\frac{2\pi\sqrt{n}}{N}i(-})i1/tdt$$=(-i) \cdot J_{-1}(-\frac{4\pi\sqrt{n}i}{N})=-i\cdot J1(i\frac{4\pi\sqrt{n}}{N})=I1(\frac{4\pi\sqrt{n}}{N})$と表される. ([W] などで母関数公式$e^{\frac{z}{2}(t-} \frac{1}{\ell}$)$= \sum_{-\infty}^{\infty}J_{n}(Z)t^{n}$を参照されたい.

)82

これで, 主区間の積分から主要項を取り出すことができた :$+h^{J}$$\int_{L_{h}}f(Z)e^{-2\pi in}Zz_{d}=\frac{2\pi}{N\sqrt{n}}\cdot e^{-_{\pi^{(nh}}^{\underline{2}\pi}}\underline{\dot{.}}$

これが主要項であることは, 公式

)

$.$

Il

$( \frac{4\pi\sqrt{n}}{N})+O(e^{\frac{2\pi\sqrt{n}}{N}})$($I_{1}(t) \sim\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{t}(tarrow\infty)$.

.

$e^{\frac{4\pi\sqrt{n}}{N}}2\pi+$$\cdot e^{-\dot{\tau}^{(nhh’)}}.$$JL_{h}[f(Z)e-2 \pi inzdZ\sim\frac{1}{\mathrm{v}^{\overline{\mathrm{R}}}\angle \mathrm{A}n\cdot/\prime},,$$[\mathrm{W}]$(3), p.203) により$(narrow\infty)$という漸近公式が成り立つからである. (1), (2), (3) によって, 定理およびその丞の証明, したがって, $f(z)$ の示す符号パターンの解明がひとまずおわった.

3.

もう少し広汎な無限積に現れる符号パターンの実例を挙げよう.
$N\geq 3,$ $(\mu, N)=1$とする. このとき$b( \mu, N)=\frac{N}{2}\cdot \mathrm{B}_{2}(\frac{\mu}{N})$,$\mathrm{B}_{2}(x)=(x-[x])^{2}-(x-[x])+\frac{1}{6}$$H_{N}^{\mu}(z)=q^{b(\mu,N)}n\equiv\pm\mu(N)n>\square ,(01-q)n$と定義すれば,$H_{N}^{\mu}(z)\#\mathrm{h}$,$q=e^{2}\pi iz$

level $N$ の modular 関数である. 詳しくいえば$H_{N}^{\mu}(z)=x(\sigma)H_{N}(d\mu\sigma z)$$(\forall\sigma=\in\Gamma_{0}(N))$の指は$N$ で定まる 1 のべ*根.
特にとはが成り立つ.
.
標付きの modular 関数. ただし関数をも用いてつぎのよ
一般にはこの関数を 積で表すことはできないが,うに表示される :$\chi(\sigma)$$\sigma$$H_{N}^{\mu}(z)$$\mu,$$\Gamma_{1}(N)$$\mathrm{r}_{1}(N)=\{\sigma\in\Gamma_{0}(N)|d\equiv\pm 1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N)\}$$\theta$$\eta$$H_{N}^{\mu}(z)= \frac{-ie^{\pi i\nu^{2}}/N\theta_{1}z(\nu z|Nz)}{\eta(Nz)}$すなわち,この関数は Kronecker 第二極限公式に現れる関数そのものでもある :$N \cdot y\sum_{m,n}’\frac{e^{2\pi im\mu/N}}{|m+nNz|^{2}}=-2\pi\log|H_{N}^{\mu}(_{Z})|^{2}$$\theta$関数,$\eta$

関数 :$\theta_{1}(v|z)=2q\sin\pi 1/\epsilon.\prod_{n}v\cdot(1-q^{n})(1-e^{2\pi}q)ivn(1-e^{-2:}q)>0\pi vn,$$\eta(z)=q^{1}/24\prod_{n>0}(1-q^{n})$のよく知られた変換公式 (cf. [R]) を用いることにより, あるいは, 各 cusp での展開を計算することができる.

$H_{N}^{\mu}(z)$$\chi(\sigma)$の変換公式, 因子

83

具体例を見るために, $N=5$ としよう. したがって$H_{5}^{1}(z)=q^{1} \prod_{n\equiv\pm \mathrm{t}6}/\epsilon 0n>01)(1-q^{n})$,$H_{\mathrm{S}}^{2}(Z)=q^{-} \prod_{n\equiv\pm \mathrm{a}(}11/60n>0\delta)(1-q^{n})$これらのべ*積も同時に考えることにして.

$\sum^{\infty}k$$P(k, l)=H_{5}^{1}(_{Z})^{k2}H(5Z)^{\ell}\backslash \cdot=q^{(\ell)}-11/60$)$q^{n}n=0C(n$とおく. 先に詳しく考察した $f(z)(N=5)$ は $P(6,6)$ に相当する.

$P(k, \ell)$はすべに関する指標付きの modular 関数であり, cusp 以外で正則かつ非零である. ただし 4 つの非同値な cusp がある.
さて, $P(k$ , のの 展開係数の符号を観察すると, 大概は周期 5 のパターンを繰り返す. 符号パターンに が現れる 11 通りの特別な場合を除き, 一般的状況
はつぎのようにまとめられる. 以下の表は, 主に計算機実験に基づいて作成した.
部について未証明な部分があり, ことによると修正が必要となるかも知れない.
指標付きの Kloosterman 和は, しばしばとなり, 状況は単純ではない. (主要項ではないが, Kloosterman 和がとなる例は, 既に [HR] でも観察されていた !) $P(5,5)$ の周期が 25 であることは, このことから大略説明できる. 符号パターンに現れるもやはり Kloosterman 和の消えるごとと深い関係があるようだ
が, 現時点では未解明のままである. あるいは, twisting operator といったもの
で, 説明が可能となるのであろうか.
て$\Gamma_{1}(5)$

$q$

$0$

$0$

$0$

$0$

いつれも $narrow\infty$ のときの現象であること, すなわち十分大きな $n\equiv 0,1,2,3,4$(mod 5) についての $c(n)$ の符号パターンであること, またの–方は負でもよい (ともに負であれば符号パターンは自明) が, そのときは他方は十分大きな
正数でなけれほならない, などのことにも注意されたい.
例 (表の見方)$k,$$\ell$$P(22, -3)$ を展開すると, 第 5 項目から, $c(5)=-29900,$ $c(6)=$87972, $c(7)=-199343,$ $c(8)=318134,$ $c(9)=-199304$ となって, 符合パターン$(-+-+-)$ の繰り返しが始まる. これは, $22-(-3)=25\equiv 90+35$ (modで, 表のパターンI$\alpha(9)$$\bullet P(1,1)$$\bullet P(\mathrm{O}, 5)$$\bullet P(5,5)$$0$が現れる場合$P(4, -1),$ $P(5,0),$ $P(6,1)$: $(+–00)$ ,: $(+\mathrm{o}--+)$ ,)と –致すべきだが, 確かにそうである.

$P(k, l)$ の符号パターンに$\bullet P(3, -2),$$10^{2}$: $(+-+-0)$$\bullet P(3,3)$: $(+-0+0)$ ,$\bullet P(1,6)$$\bullet P(-1,4)$: $(++–0)$ ,$\bullet P(-2,3)$: $(+–0+)$: $(++0–)$: $(+-++—++—++-0-++-0-++-)$

84

II

$P(k, \ell)$の符号パターン. 一般の場合

k>\ell のとき$\bullet$$0\leq \mathrm{i}\leq 9$を条件$k-\ell\equiv 10i+j$$j=0,$ $\pm 1,$ $\pm 32,$ $\pm 33,$ $\pm 34,$

とするとき

$P(k$

(mod

$10^{2}$) を満たすもの, ただし,, or$+35(\mathrm{w}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\iota\leq 0)$$-35(\mathrm{W}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\iota\geq 1)$, のの符号パターンは$\alpha(i)$(下表) で与えられる.

k<\ell のとき$\bullet$$0\leq\dot{f}\leq 9$を条件$9k+l\equiv 10i+j$(mod$j=0,$ $\pm 1,$とするとき $P(k$ , のの符号パターンは$\pm 2,$ $\pm 3,$ $\pm 4,$$\bullet$$+5(\mathrm{w}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}k\geq 0)$$10^{2}$, or$\beta(i)$) を満たすもの, ただし$-5(\mathrm{w}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}k\leq-1)$,

で与えられる.

k=\ell のとき$0\leq i\leq 9$

ターンはを $k\equiv i$$\gamma(i)$(mod 10) となるものとするとき,$P(k, k)$ の符号パで与えられる.

参考文献[MS] J.McKay &H.Strauss, The -series of monstrous moonshine, Comm. Algebra,$\mathrm{q}$18(1), 253-278 (1990).Hardy&S.Ramanujan, Asymptotic formulae in combinatory analysis, Proc.
London Math. Soc., (2) 17, 75-115 (1927)[AKN] T.Asai, M.Kaneko&H.Ninomiya, Zeros of certain modular functions, Comm.
Math. Univ. Sancti Pauli, 46, 93-101 (1997)[HR]$\mathrm{G}.\mathrm{H}$[O] A.Ogg, Survey of modular functions,[W]$\mathrm{G}.\mathrm{N}$$\mathrm{L}.\mathrm{N}$.Math. 320, 1-36, Springer (1973).Watson, Theory of Bessel functions, Cambridge Univ. Pess (1966)[R] H.Rademacher, Topics in Analytic Number Theory, Springer (1973)