数理解析研究所講究録 1200 巻 2001 年 13-25

13
合同 zeta 函数に関する Artin-Tate 公式について
中央大学理工学部

諏訪紀幸

研究集会では (Some remarks on the Artin-Tate formula for diagonal hypersurfaces) と題して講演したが, 実際にはより一般の代数多様体に対する Artin-Tate 公式について解説
した. 本稿では第 3 節で Artin-Tate 公式の導出の粗筋を, 特に de Rham-Witt complex に関する結果がどこに利いているかを主眼に説明する. 第 1 節では合同 zeta 函数の理論の中での Artin-Tate 公式の位置について, 第 2 節では Artin-Tate 公式を記述し証明するための道具立てについて手短かに復習する. 第 4 節で diagonml hypersurface に関する幾つかの結果を述べる. 第 4 節の詳細については [12] を参照されたい.
記号.

scheme の上の層はすべて \’etale 位相で考える. したがって, 層の cohomology はすべて\’etale cohomology を意味する.
$M$ を可換群とする. $M$ の torsion subgroup をでで, 剰余群 M/Mto、を$M/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}$$M_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}$

表わす.
$v$

を $v(q)=1$ によって正規化されたよって正規化された$\overline{\mathbb{Q}}_{l}$の$l$$\overline{\mathbb{Q}}_{p}$の $p$ 進加法付値とする.

また,$||_{l}$を$|l|_{l}= \frac{1}{l}$に進乗法付値とする.

1. 歴史
1.1. (We 垣予想) $X$ を有限体

$k=\mathrm{F}_{q}$の上の代数多様体とする. $X$ の合同 zeta 函数 $Z(X/k, t)$は$Z(X/k, t)= \exp[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\# X(\mathrm{F}_{q^{n}})}{n}t^{n}]$によって定義された. 変数変換 $t=q^{-s}$ によって $Z(X/k, t)$ から Hass\leftarrow We 垣の zeta 函数$\zeta(X, s)=\prod_{x\in X_{0}}\frac{1}{1-\# k(x)^{-\epsilon}}$($X_{0}$

は $X$ の閉点全体)

を得る.
Riemann-We 垣仮説は $\zeta(X, s)$ の極と零点の分布に関する定理であるが, 振り返ってみると, $X$ が非特異射影的で $\dim X=N$ であるとき,(1) $Z(X/k, t)$ は の有理函数 ;$t$(2) $Z(X/k,t)$ は$Z(X/k, t)= \frac{P_{1}(t)\ldots P_{2N-1}(t)}{P_{0}(t)\ldots P_{2N}(t)},$と因数分解される. さらに,

$P_{i}(X;t)$は$|\alpha_{1j}.|=q^{\frac{}{2}}\dot{.}$$P_{\dot{l}}(t)=P_{i}(X;t)= \prod_{j}(1-\alpha_{1j}.t),$$t$の整係数多項式,

14が We 垣の研究を端緒として Grothendieck, Deligne によって示さた. 周知のように,を $X$ の の上の相対 hobenius 写像,
は線型代数の言葉で記述される. 実際,を 進群とすれば,$k$$\Phi$$l$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(X\ovalbox{\tt\small REJECT} t)$$H^{*}(\ovalbox{\tt\small REJECT}, \mathbb{Q},)$$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{t}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\log_{\mathcal{Y}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}$[$P_{1}.(X;t)=\det$ $1-\Phi^{*}t;H^{:}(X_{\overline{k}}$が成立する. また,$H^{*}(X/W)_{K}$,Qz)]

を crystaUine cohomoloy 群とすれば,$P_{1}.(X;t)=\det[1-\Phi^{*}t;H^{:}(X/W)_{K}]$が成立する.

1.2. (Tate 予想)$\rho_{r}$を $\zeta(X, s)$ の $s=r$ における極の位数とすれば,$\rho_{r}$は$q$の $P_{2},(X;t)=0$の逆根としての重複度に等しい. Tate [13] は次のように , を algebraic cycle と関連付けて議論した.
をそれぞれ $X$ あるいは
$Z^{r}(X),$の余次元 の mlgebraic cycle の群とする. このとき, cycle 写像とよばれる準同型が定義される. 明らかの $Z^{r}(X)$ による像はにに含まれる. Tate 予想は逆が成立するこのは $Z^{r}(X)$ のとを主張する :の上への作用は半単純で,よる像によって生成されるの部分空間の次元に等しい.
今の所, Tate 予想は主立った所では(1) $X$ が Abel 多様体, $r=1$ (Tate [14]) ;が finite height, $r=1$ (Nygaard, Ogus);(2) $X$ が K3 曲面で$X$が次元と次数に関する幾つかの条件をみたす Fermat 多様体で $r=N/2$ (塩田, 桂,(3)
青木 [8,9, 10, 1]の場合に示されている.
$\rho$$Z^{r}(X_{\overline{k}})$$X_{\overline{k}}$$r$$\gamma:Z^{r}(X_{\overline{k}})arrow H^{2r}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Q}_{l}(r))$$H^{2r}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Q}_{l}(r))^{\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{k}/k)}$$\gamma$$\Phi^{*}$$H^{2r}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Q}_{l}(r))$$\rho_{r}$$\gamma$$H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Q}_{l})$$\overline{\mathrm{B}\mathrm{r}}_{X/k}$$)$の $s=r$ こおける特殊値が問題になるが, 最初,
1.3. (Artin-Tate 公式) 次に,$N=2,$ $r=1$ の場合に Artin と Tate によって特殊値の公式が予想され, Tate [15] によってと素な部分に対して 進 \’etale cohomolo 釘を用いて証明された.
部分に対しては進 \’etale cohomology の代わりに 進 flat cohomology を用いることによって Mflne [6] によって証明された. 一般次元の場合は, Mflne [7] が IUusie によって定義された logarithmic
Hodge-Witt cohomology を用いて Artin-Tate 公式を一般化した. 第 3 節で Milne の結果を$\zeta(X, s)$

$l$

$p$

$p$

$p$

改良した形で示す.

2. 道具と準備
$k$

を体,

$X$

を

$k$

の上の非特異射影多様体とする.

2.1. (\’etale cohomolod 戸を$k$の標数と異なる素数とする.

$H^{:}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))=\lim_{n}H^{:}(arrow X,\mu_{l}^{\bigotimes_{*}r}.)$と定義した.

$l$

15
$k$

が代数的閉体なら,$H^{i}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))$

は有限型$\mathbb{Z}_{l}$加群.

$H^{i}(X, \mathbb{Q}\iota(r))=H^{i}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))\otimes_{\mathbb{Z}_{l}}\mathbb{Q}_{l}$と定義した. また, 殆ど全ての素数 に対して $H^{i}(X$ , Z,(\oplus to、 $=0$ となる (Gabber の定理).
$l$の hypercohomoloy として de m 迅 m2.2. (de Rham cohomolo 訂) 正則微分形式の複体
cohomology $H_{DR}^{*}(X/k)$ を定義した. 定義から spectral sequence$\Omega_{X/k}^{*}$$E_{1}^{ij}=H^{j}(X, \Omega_{X}^{i})\Rightarrow H_{DR}^{i+j}(X/k)$(Hodge spectral sequence) が存在する.
よび, $h^{ij}(X)$ で表わす.
以下,

$k$

$\dim_{k}H^{j}(X, \Omega_{X/k}^{i})$を $X$ の $(i,j)$ Hodge number とは標数 $p>0$ の完全体であると仮定する.

2.3. (crystalline cohomology と de Rahm-Witt complex [4, 5]) $H^{*}(X/W)$ [こよって $X$ のは -crystal の構造をもつ. また, prOcrystalline cohomology を表わす.
sheaf の複体...
:$H^{*}(X/W)/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}$$W\Omega_{X}^{*}$$F$$W\mathcal{O}_{X}arrow W\Omega_{X}^{1}arrow W\Omega_{X}^{2}arrow ddd$の hepercohomology に同型とな(de Rham-Witt complex) が存在して $H^{*}(X/W)$ はる (Deli 訓 e-Illusie).
の上の hobenius 写像 $F$ , Verschiebung 写像 $V$ はの上に延長され, $FV–VF=p,$ $FdV=d$ が成立する. spectral sequence$W\Omega_{X}^{*}$$W\mathcal{O}_{X}$$W\Omega_{X}^{*}$$E_{1}^{ij}=H^{j}(X, W\Omega_{X}^{i})\Rightarrow H^{*}(X/W)$(slope spectral sequence) は$E_{1}$.

で退化する. 特に, 直和分解

$H^{n}(X/W)_{K}= \bigoplus_{i+j=n}H^{j}(X, W\Omega_{X}^{i})_{K}$を得る. さらに,$H^{j}(X, W\Omega_{X}^{i})$K=Hi+j(X/W)K[i,l. 刈次に,$Z^{i}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}[d:H^{j}(X, W\Omega_{X}^{i})arrow H^{j}(X, W\Omega_{X}^{\dot{\iota}+1})]$,$B^{i}={\rm Im}[d:H^{j}(X, W\Omega_{X}^{\dot{\iota}-1})arrow H^{j}(X, W\Omega_{X}^{\dot{l}})]$

とおく.

また,
$V^{-\infty}Z^{i}=\cap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}[dV^{n} :H^{j}(X, W\Omega_{X}^{i})n=0\inftyarrow H^{j}(X, W\Omega_{X}^{\iota+1})]$$F^{\infty}B^{i}=\cup{\rm Im}[F^{n}d:H^{j}(X, W\Omega_{X}^{i-1})n=0\inftyarrow H^{j}(X, W\Omega_{X}^{\dot{l}})]$

,

16
とおく.

このとき,

$V^{-\infty}Z^{:},$$F^{\infty}B^{:}$

は $F,$ $V$ で安定な $H^{j}(X, W\Omega_{X}^{1}. )$ の部分 $W$ 加群で,.
$\subset V^{-\infty}Z^{:}\subset Z^{:}$$B^{:}\subset F^{\infty}B^{\cdot}$

さらに,$V^{-\infty}Z^{:}/F^{\infty}B^{:}$が存在して$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}^{:}$

は有限型 $W$ 加群. また, 有限次元の unipotent formal groupの Cartier 加群に同型となる.
はを$\Psi^{j}.\cdot$$H^{j}(X, W\Omega_{X}\dot{.})/V^{-\infty}Z\dot{.}$で,$H^{j}(X, W\Omega_{X}^{*})$$d$:$\Psi^{j}\dot{.}$$V^{-\infty}Z^{:}/F^{\infty}B^{:}$$H^{j}(X, W\Omega_{X}^{1})/V^{-\infty}Z^{:}arrow F^{\infty}B^{:+1}$

を$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}\dot{\mathrm{m}}0^{1}.H^{j}(X, W\Omega_{X}^{*})$で表わす.

架 j(X).
$=\dim \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}\dot{\mathrm{m}}0^{1}.H^{j}(X, W\Omega_{X}^{*})=\mathrm{d}\dot{\mathrm{m}}\Psi^{\mathrm{j}1}$と定義した (Illusie-Raynaud). また,$h_{W}^{\dot{l}j}(X)=\mathrm{d}\dot{\mathrm{m}}_{k}H^{j}(X, W\Omega_{X}^{\dot{l}})/(\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}+V)+\dim_{k}H^{j+1}(X, W\Omega_{X}^{1-1})/(\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}+F)$$+$と定義した (Ekedahl).

$h_{W}^{j}.\cdot(X)$

架.$j(X)-2$ 架 $-1,j+1$ (X) 十架 $-2,j+2(X)$

を $X$ の (的) Hodge-Witt number とよぶ.

補註 2.4. (1) $H^{*}(X/W)$ が torision-free で, (2) Hodge spectral sequence が
で退化す
$X$
$X$
は
が
るとき,
Mazur-Ogus 型であるという.
Mazur-Ogus 型なら, 各 (的) に対して.
$h_{W}^{1j}.=h^{1j}$ が成立する(Ekedahl の定理). 例えば, Abel 多様体, 射影空間の中の smoothcomplete intersection は Mazur-Ogus 型.
$E_{1}$

2.5. (logarithmic Hodge-Witt cohomology [5], [3]) 対数微分形式によって生成される
の部分層を

.

$W_{n}\Omega_{X,\log}^{1}$

で表わす.

.

$H^{:}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))=\lim_{*}arrow$と表わすことにする.

$W_{n}\Omega_{X}^{1}$$k$$H^{:-r}(X,W_{n}\Omega_{X,\log}^{r})$の上の prO-lgebraic group$\underline{H}^{1}.(X, \mathbb{Z}_{p}(r))$

が存在して,$H^{:}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{p}(r))=\underline{H}\cdot.(X, h(r))(\overline{k})$となる.

$\underline{H}\cdot.(X, \mathbb{Z}_{p}(r))$の unipotent part を$\underline{U}\cdot.(X,\mathbb{Z}_{p}(r))$

で,\’etale part を$\underline{D}\cdot.(X,\mathbb{Z}_{p}(r))$

表わせば, prO-dgebraic goup の完全列
$0arrow\underline{U}^{1}.(\mathrm{x}, u(r))arrow\underline{\dot{H}}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))arrow\underline{D}^{1}.(X,\mathbb{Z}_{p}(r))arrow 0$

を得る.
$\dim\underline{U}^{1}.(X, \mathbb{Z}_{p}(r))=\dim \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}\dot{\mathrm{m}}\mathrm{o}^{r-1}H^{:-f}(X, W\Omega_{X}^{*})$

が成立する. また,$k$が代数的閉体なら$\underline{D}\cdot.(X,\mathbb{Z}_{p}(r))(k)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}$

したがって,$\underline{D}\cdot.(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(k)$[ $F-1$ : Heffi: $H^{j}(X,$
は有限型

4 加群.

$W\Omega_{X}^{*})arrow \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}^{:}H^{j}(X,$ $W\Omega_{X}^{*}$

)]

で

17
とし,
を標数 の有限体,$X$ をの上の非特異射影多様体とする.

以下,写像とする.

$k=\mathrm{F}_{q}$$\Gamma$$\Gamma=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{k}/k)$$p$$\varphi\in\Gamma$

を$k=\mathrm{F}_{q}$の上の Robenius$k$

加群 $M$ に対して

$M^{\Gamma}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}[1-\varphi :Marrow M],$

$M_{\Gamma}=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}[1-\varphi:Marrow M]$と記す.

補題 2.6. $P_{i}(X;t)= \prod_{\alpha}(1-\alpha t)$ とおく. このとき,$\prod_{\alpha}(1-\frac{q^{r}}{\alpha})$$(l\neq p)$$\det[1-\varphi t;H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Q}_{l}(r))]=\{$$\prod_{v(\alpha)=r}(1-\frac{q^{r}}{\alpha})$

補題 27. $i\neq 2r$ と仮定する. このとき,はに同型. さらに,$H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma},$$H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}$$(l=p)$$H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}$は有限群. 特に,$H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}$,$|H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{p}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|=q^{\tau^{r-1,:-r}(X)}|\underline{D}^{i}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|$$|H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{p}(r))_{\Gamma}|=|\underline{D}\dot{\cdot}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\Gamma}|$が成立する.
証. Riemann-We 垣仮説から,$1-\varphi$

は$H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}$の上で単射. したがって, 完全列$0arrow H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}arrow H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))arrow H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}arrow \mathrm{O}$に $1-\varphi$ をほどこすことによって同型$H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}\simarrow H:(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}$

および完全列$0arrow H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s},\Gamma}arrow H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}arrow(H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s})_{\Gamma}arrow \mathrm{O}$を得る. また,$l=p$ の場合.

$(H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s})_{\Gamma}$は有限群.

$H^{1}(\Gamma, \underline{U}^{i}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k}))=0$$l\neq p$

なので,

の場合,

これで結論を得る.

prO-lgebraic group の完全列

$0arrow\underline{U}^{i}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))arrow\underline{H}^{i}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))arrow\underline{D}^{\dot{\iota}}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))arrow 0$から, 完全列$0arrow\underline{U}^{i}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(k)arrow H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{p}(r))^{\Gamma}arrow\underline{D}^{\dot{l}}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})^{\Gamma}arrow 0$

および同型$H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{p}(r))_{\Gamma}\simarrow\underline{D}^{1}.(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\Gamma}$

を得る.

$\dim\underline{U}^{i}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))=T^{r-1,i-r}$なので,$|\underline{U}^{i}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(k)|=q^{T^{r-1,:-r}}$18が成立する.
さらに,が torsion group なので, 完全列$\underline{U}\dot{\cdot}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})$$0arrow\underline{U}^{1}.(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(k)arrow H^{\cdot}.(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{p}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}arrow\underline{D}\cdot.(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}arrow 0$を得る. これから上記と併せて結論を得る.

補題 2.8. $i\neq 2r,$ $2r+1$ と仮定する.

$H^{:}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))$

は有限群で,$|H^{:}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))|=|H^{:-1}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}||H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|$$\text{証}$. Hochschild-Serre ) spectral sequence$\sigma$$\dot{H}_{2}^{j}=H^{1}.(\Gamma, H^{j}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r)))\Rightarrow H^{:+j}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))$

から得られる完全列$0arrow H^{j-1}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}arrow H^{j}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))arrow H^{j}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}arrow 0$に注意すればよい.

補題 2.9.

$H^{2r}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}},$$H^{2r+1}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}$は有限群. 特に,$|H^{2r}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|=|H^{2r-1}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}||H^{2r}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|$さらに,$|H^{2r}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{p}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|=q^{T^{r-1,:-f}(X)}|\underline{D}^{2r}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{O}\mathrm{I}8}^{\Gamma}|$証. Hochschild-Serre の spectral sequenoe から得られる完全列$0arrow H^{j-1}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}arrow H^{j}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))arrow H^{j}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}arrow 0$を考えて,$H^{2r}(X, \mathbb{Z}_{l}(r)),$$H^{2r-1}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}$$H^{2r+1}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))$

が有限型が有限群なので,4 加群であることが従う. さらに,

$0arrow H^{2r-1}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}arrow H^{2r}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}arrow H^{2r}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}arrow 0$

は完全列.

3. Artin-Rte 公式$k=\mathrm{F}_{q}$

を標数

$p$

の有限体,

$\Gamma=\mathrm{G}\mathrm{d}(\overline{k}/k)$

とし,

$X$

を

$k$

の上の次元 $N$ の非特異射影多様体とする
補題 3.1. $P \dot{.}(X;t)=\prod_{\alpha}(1-\alpha t)$ とおく. このとき,$\sum_{v(\alpha)<r}(r-v(\alpha))=\sum_{j=0}^{r-1}(r-j)h_{W}^{\mathrm{j},1-j}.(X)-T^{r-1,:-r+1}(X)$

.

19
証.

$F- \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{c}\gamma \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}H\ovalbox{\tt\small REJECT} X/W)_{K}$の slope は {v(\mbox{\boldmath $\alpha$})}。で与えられる (Manin の定理).

$H^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}(X, W\Omega\zeta)_{K}\ovalbox{\tt\small REJECT} H^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}(X/W)9$

ここで

なので,

$\dim_{k}H^{i-j}(X, W\Omega_{X}^{j})/(\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}+V)=\sum_{j\leq v(\alpha)<j+1}(j+1-v(\alpha))$,$\dim_{k}H^{i-j}(X, W\Omega_{X}^{j})/(\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}+F)=\sum_{j\leq v(\alpha)<j+1}(v(\alpha)-j)$

したがって,$\sum_{j=0}^{r-1}(r-j)h_{W}^{j,i-j}(X)-T^{r-1,i-r+1}(X)$$= \sum_{j=0}^{r-1}\{(r-j)\dim_{k}H^{i-j}(X, W\Omega_{X}^{j})/(\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}+V)+(r-j-1)\dim_{k}H^{i-j}(X, W\Omega_{X}^{j})/(\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}+F)\}$$= \sum_{j=0}^{r-1}\{(r-j)\sum_{\dot{g}\leq v(\alpha)<j+1}(j+1-v(\alpha))+(r-j-1)\sum_{j\leq v(\alpha)<j+1}(v(\alpha)-j)\}$$= \sum_{v(\alpha)<r}(r-v(\alpha))$.

定理 32. (Artin-Tate 公式 I) $i\neq 2r$ と仮定する.

このとき,$|P_{i}(X;q^{-r})|_{l}^{-1}=$$\frac{|H^{i+1}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|}{|H^{i}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}||H^{i+1}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|}$$(l\neq p)$$q^{-\Sigma_{j=0}^{r-1}(r-j)h_{\acute{W}}^{j\dot{\cdot}-j}(X)_{\frac{|H^{i+1}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|}{|\underline{D}^{i}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}||\underline{D}^{i+1}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|}}}$$(l=p)$$\{$

が成立する.
証. $l\neq p$ のとき,$|P_{i}(X;q^{-r})|_{l}^{-1}=| \prod_{\alpha}(1-\frac{q^{r}}{\alpha})|-1l =| \det[1-\varphi;H^{\dot{l}}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Q}_{l}(r))]|_{l}^{-1}$

ここで,$|\det[1-\varphi;H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Q}\iota(r))]|_{l}^{-1}=|(H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s})\tau|$

さらに,$H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}$が有限群なので,$\frac{1}{|(H^{i}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s})_{\Gamma}|}=\frac{|H^{i}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}|}{|H^{i}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}|}$

したがって, 補題 27 と補題 28 あるいは補題 29 から結論を得る.

20$l=p$ のとき,$| \prod_{v(\alpha)=r}(1-\frac{q^{r}}{\alpha})|\begin{array}{ll}-1 p =\end{array}| \det[1-\varphi;H^{:}(X_{\overline{k}},\mathbb{Q}_{p}(r))]|_{p}^{-1}$

ここで,$|\det[1-\varphi;\dot{H}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Q}_{p}(r))]|_{p}^{-1}=|(H^{:}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s})_{\Gamma}|=|(\underline{D}^{1}.(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s})_{\Gamma}|$さらに,.( $X$ , Zp(r))(k-) い、が有限群なので,$\underline{D}^{1}$$. \frac{1}{|(\underline{D}^{1}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s})_{\Gamma}|}=.\cdot.\frac{|\underline{D}^{1}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})^{\Gamma}|}{|\underline{D}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\Gamma}|}$また,$v(\alpha)<r$ なら$v(\alpha)>r$$v(1- \frac{\alpha}{q^{r}})=v(\alpha)-r,$なら$v(\begin{array}{l}1-\underline{\alpha}q^{f}\end{array})=0$なので,$|P. \cdot(X;q^{-r})|_{p}^{-1}=|\prod_{v(\alpha)<r}(1-\frac{q^{r}}{\alpha})|\begin{array}{l}-\mathrm{l}p\end{array}|\prod_{v(\alpha)=r}(1-\frac{q^{r}}{\alpha})|\begin{array}{l}-1p\end{array}|\prod_{v(\alpha)>r}(1-\frac{q^{r}}{\alpha})|_{p}^{-1}$$=q^{-\Sigma_{v(\alpha)<r}(r-v(\alpha))}| \prod_{v(\alpha)=r}(1-\frac{q^{r}}{\alpha})|_{p}^{-1}$

したがって, 補題 27, 補題 28 あるいは補題 29 に補題 3.1 を併せて結論を得る.

3.3. $i=2r$ の場合, Tate[15] の工夫に従って議論を進める.
$\epsilon_{l}^{2r}$:$H^{2r}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))arrow H^{2r+1}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))$

れる写像とする.

このとき,

$f$

:

を

$1\in \mathbb{Z}_{l}=H^{1}(k,\mathbb{Z}_{l})$との cup 積によって定義さ$H^{2r}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}arrow H^{2r}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}$

を合成

1$H^{2r}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}arrow H^{2r}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))arrow H^{2r}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}$によって定義される準同型とすれば図式$H^{2r}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))$$arrow e_{l}^{2r}H^{2r+1}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))$$\uparrow j$$H^{2r}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}j\downarrow$$\vec{f}H^{2r}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}$

は可換.
可換群の準同型: $Marrow N$ に対してと定義する.
$\beta$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\beta,$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\beta$

が有限群であるとき,$z(\beta)=$$|\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\beta|/|\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\beta|$

定理 3.4.(Artin-Tate 公式$\mathrm{I}\mathrm{I}$

) 各

$l$

}こ対して

$\Phi^{*}$の$H^{2r}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Q}_{l}(r))$

上への作用が半単純で21あると仮定する.

このとき,$| \prod_{\alpha\neq q^{r}}(1-\frac{\alpha}{q^{r}})|_{l}^{-1}=$$(l\neq p)$$| \det(\epsilon_{l}^{2r})|_{l}^{-1}\frac{|H^{2r+1}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|}{|H^{2r}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}||H^{2r+1}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|}$$\{$$q^{-\Sigma_{\mathrm{j}=0}^{r-1}(r-j)h_{W}^{\mathrm{j},.-j}(X)}.|\det(\epsilon_{p}^{2r})|_{p}^{-1_{\frac{|H^{2r+1}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|}{|\underline{D}^{2r}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}||\underline{D}^{2r+1}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|}}}$$(l=p)$

が成立する.
証.

$\Phi^{*}$の$H^{2r}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Q}_{l}(r))$

上への作用が半単純なので,$z(f)$が定義され,$z(\epsilon_{l}^{2r})=z(i)z(f)z(j)$が成立する. ここで,$z( \epsilon_{l}^{2r})=|\det(\epsilon_{l}^{2r})|_{l}^{-1}\frac{|H^{2r}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|}{|H^{2r+1}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|}$$z(j)=|H^{2r-1}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}[$,$z(i)= \frac{1}{|H^{2r+1}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}|}$

したがって,$z(f)^{-1}=z( \epsilon_{l}^{2r})^{-1}z(i)z(j)=|\det(\epsilon_{l}^{2r})|_{l}^{-1}\frac{|H^{2r+1}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|}{|H^{2r}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|}\frac{|H^{2r-1}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\Gamma}|}{|H^{2r+1}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}|}$

ここで, 補題 27, 補題 28 から$|H^{2r+1}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}|=|H^{2r+1}$$|H^{2r}$($X_{\overline{k}}$, Zl’(r))to 闇($X_{\overline{k}},$$\mathbb{Z}_{l}$(r))t\Gamma o、l,$= \frac{|H^{2r-1}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|}{|H^{2r}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|}$

したがって,$z(f)^{-1}=| \det(\epsilon_{l}^{2r})|_{l}^{-1}\frac{|H^{2r+1}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|}{|H^{2r}(X,\mathbb{Z}_{\mathrm{t}}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{I}\mathrm{B}}^{\Gamma}||H^{2r+1}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))^{\Gamma}|}$$l\neq p$のとき,$z(f)=| \prod_{\alpha\neq q^{r}}(\begin{array}{l}\mathrm{l}-\underline{\alpha}q^{r}\end{array})|_{l}$に注意して結論を得る. $l=p$ のとき,
$z(f)=| \underline{U}^{2r}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(k)||\prod_{\alpha\neq q^{r}}(1-\frac{\alpha}{q^{r}})|_{p}=q^{T^{r-1,r}(X)}||\prod_{\alpha\neq q^{r}}(1-\frac{\alpha}{q^{r}})|_{p}v(\alpha)_{-}^{-f}v(\alpha)_{-}^{-f}$22なので, 補題 3.1 と併せて結論を得る.

例 3.5. $X$ が Abel 多様体あるいは射影空間における smooth complete intersection なら, 各 $l\neq p$ に対して
また,
たがって,
また,
これから, Artin-Tate 公式
はそれぞれ$H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}=0$$\underline{D}^{\dot{l}}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}=0$.

$h\text{り}=h_{W}^{j}\dot{.}$$|H^{:+1}$.

.

$H^{:}(X/W)_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}=0.$$\text{し}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathrm{I},$( $X$ ,Zl(r))to へ l$(l\neq p)$$|P.\cdot(X;q^{-r})|_{l}^{-1}=\{$$q^{-\Sigma_{j=0}^{r-1}(t-j)h^{\mathrm{j},:-\mathrm{j}}(X)}|H^{1+1}.(X, \mathbb{Z}_{p}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|$$(l=p)$

あるいは$(l\neq p)$$|\det(\epsilon_{l}^{2\mathrm{r}})|_{l}^{-1}|H^{2t+1}(X, \mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|$$| \prod_{\alpha\neq q^{r}}(1-\frac{\alpha}{q^{r}})|_{l}^{-1}=\{$

q-\Sigma ; 二 (y-j)hj*:-j$(X)|\det(\epsilon_{p}^{2\tau})|_{p}^{-1}|H^{2r+1}$( $X,$$\mathbb{Z}_{p}$(r))to、l$(l=p)$となる.

補註 3.6. $N=2r$ と仮定する. Poincare’ の双対定理から$|H^{2r}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|=|H^{2r+1}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}_{\mathrm{O}\mathbb{R},\mathrm{r}|=|H^{2r+1}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|}}}(l\neq p)$を,

logarithmic Hodge-Witt cohomology に対する双対定理から$|\underline{D}^{2r}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{e}}^{\Gamma}|=|\underline{D}^{2r+1}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s},\Gamma}|=|\underline{D}^{2r+1}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|$を得る. したがって, 公式は$(l\neq p)$$| \det(\epsilon_{l}^{2r})|_{l}1\frac{|H^{2\tau+1}(X,\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{O}\mathrm{I}\mathrm{B}}|}{|H^{2r}(X_{\overline{k}},\mathbb{Z}_{l}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}s}^{\Gamma}|^{2}}$$| \prod_{\alpha\neq q^{r}}(1-\frac{\alpha}{q^{r}})|_{l}^{-1}=\{$$q^{-\Sigma_{\mathrm{j}=0}^{r-1}(r-j)h_{\dot{W}}^{\mathrm{j}\cdot-j}(X)}.|\det(\epsilon_{p}^{2r})|_{p}^{-1_{\frac{|H^{2r+1}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|}{|\underline{D}^{2r}(X,\mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\Gamma}|^{2}}}}$と書き直せる. さらに, Tate 予想が成立すれば,section form の判別式の 部分を与える.

$\epsilon_{l}^{2r}$

は余次元

$r$

$(l=p)$のへ gebraic cycle の inter-$l$

例 3.7. $N=2,$ $r=1$ とする. このとき, 同型$\mathrm{N}\mathrm{S}(X_{\overline{k}})_{l-\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}\simarrow H^{2}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{l}(1))_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}$および$H^{2}(X,\mathrm{G}_{m})_{l-\infty \mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}arrow H^{2}(\sim X,\mathbb{Q}_{\mathrm{t}}/\mathbb{Z}_{l}(1))_{\infty \mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}\simarrow H^{3}(X, \mathbb{Z}_{l}(1))_{\mathrm{t}\mathrm{O}\mathrm{I}\mathrm{B}}$が存在する. また,$h_{W}^{02}(X)=\dim \mathrm{A}1\mathrm{b}_{X/k}-h^{01}(X)+h^{02}(X)$23
Tate 予想力城立するなら,さらに,$H^{2}(X,$$\mathbb{G}\ovalbox{\tt\small REJECT}$は有限群で,$\det(\epsilon D\ovalbox{\tt\small REJECT}\det[\mathrm{N}\mathrm{S}(X)\otimes_{\mathbb{Z}}$以上をまとめて本来の Artin-Tate 公式

Z小$\prod_{\alpha\neq q}(1-\frac{\alpha}{q})=\pm\frac{1}{q^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{A}1\mathrm{b}_{X/k}-h^{01}(X)+h^{02}(X)}}\frac{\det \mathrm{N}\mathrm{S}(X)|H^{2}(X,\mathrm{G}_{m})|}{|NS(X)_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}|^{2}}$を得る.
註記 3.8. 講演では Milne [7] が$e^{i}(r)=T^{r-1,i-r}- \sum_{v(\alpha)<r}(r-v(\alpha))$,$\alpha^{r}(X)=T^{r-1,r+1}-2T^{t-1,r}+\sum_{v(\alpha)<r}(r-v(\alpha))$によって定義した不変量 $e^{i}(r),$が$\alpha^{r}(X)$$e^{i}(r)--T^{r-1,i-r}(X)+T^{r-1,i-r+1}(X)- \sum_{j=0}^{r-1}(r-j)h_{W}^{j,i-j}(X)$,$\alpha^{r}(X)=-2T^{r-1,r}(X)+\sum_{j=0}^{r-1}(r-j)h_{W}^{j,2r-j}(X)$と表わせることを注意して, Milne の一般化した Artin-Tate 公式をそのまま引用したが, こ
こではをで置き換えて幾分簡略な形にした.
$\underline{D}^{i}(X, \mathbb{Z}_{p}(r))(\overline{k})$$H^{i}(X_{\overline{k}}, \mathbb{Z}_{p}(r))$

註 己 3.9.
合に示している.
$\overline{\mathrm{Q}}\frac{\Leftrightarrow}{}$$[2](\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}.8.4)$

では 35 を,

4. Diagonal hypersurfacesとする.
4.1. $N,$ $m$ を整数$\geq 1$

Q看0

$k$

$X$

が diagonal hypersurface of Hodge-Witt tyPe の場

を体とし,$+c_{1}$$X$を

可 $+\cdots+c_{N+1}7_{N+1}^{m}=0$の diagonml hypersurfaoe とする.
によって定義される$X$のは次元 , 次数 $m$$c_{1}=\ldots=$ ら+1 $=1$ なら,
Fermat 多様体に他ならない.
$(c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{N+1})\in k^{\cross}$$\mathrm{P}_{k}^{N+1}$

へ $=$

$n$

以下,
によって

$k$

$k$

はすべての 1 の $m$ 乗根を含み,が標数 $p>0$ なら $(m,p)=1$ と仮定する.
の 1 の $m$ 乗根の群を表わす. 群
は $X$ の上に
$k$

$G=(\mu_{m})^{n+2}/(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}1)$.

$(\zeta_{0}, \zeta_{1}, \ldots, \zeta_{N+1})(t_{0}, t_{1}, \ldots,t_{N+1})=(\zeta_{0}t_{0}, \zeta_{1}t_{1}, \ldots, \zeta_{N+1}t_{N+1})$

によって作用する.

$G$

の指標群

$\hat{G}$は$\{a=(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{N+1});a_{i}\in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\sum_{i=0}^{N+1}a_{i}=0\}$;$\mu_{n}$24に同一視できる.

の$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\mathrm{x}}$$\hat{G}$の上への作用を$ta=(ta_{0}, \ldots,ta_{N+1})\in\hat{G}$で定義する.

における 1 の $m$ 乗根を一つ固定する.
$A$$G$をの作用による軌道 に対して の指標$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\mathrm{x}}$$\overline{\mathbb{Q}}$$\zeta_{m}$$\mathbb{Q}$$a=(a_{0}, \ldots, a_{N+1})\in\hat{G}$の$\chi_{A}$$\chi_{A}(g)=\frac{1}{m^{n+1}}\sum_{g\in G}\mathrm{R}_{\mathrm{Q}(\zeta_{m}^{d})/\mathrm{Q}}(a(g)^{-1})$

によって定義する. ここで,$d=\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(m, a_{0}, \ldots, a_{n+1})$. 指標$\chi_{A}$は$\mathbb{Q}$

既約.

の上の余次元 の mlgebraic cycle の numerical ui ence を法とする群とする.
は有限階数の自由 加群. さらに, intersection number によって定義されるの上の対称双一次形式は非退化. $N^{r}(X)$ によっての像を表わす. $X(N, m)$ によって次元 $N$ , 次数 $m$ の Fermat 多様体を表わす. このとき,

4.2.

を

$N^{r}(X_{\overline{k}})$$r$$X_{\overline{k}}$$\alpha$$\mathbb{Z}$$N^{r}(X_{\overline{k}})$$Z^{r}(X)arrow Z^{r}(X_{\overline{k}})arrow N^{r}(X_{\overline{k}})$$N^{r}(X_{\overline{k}})$$(t_{0},t_{1}, \ldots, t_{n+1})arrow(\sqrt[m]{\mathrm{q}_{\mathrm{I}}}t_{0},\sqrt[m]{c_{1}}t_{1}, \ldots,\sqrt[m]{c_{n+1}}t_{n+1})$

は $X$ から $X(N, m)$ への,$G$の $X$ あるいは $X(N, m)$ の上への作用と同変な,$\overline{k}$同型を定義する. これから特に同型$[N^{r}(X(N,m)_{\overline{k}}) \otimes_{\mathrm{Z}}\mathbb{Z}[\frac{1}{m}]]^{(\chi_{A})}\simarrow[N^{r}(X_{\overline{k}})\otimes_{\mathrm{Z}}\mathbb{Z}[\frac{1}{m}]]^{(\chi_{A})}$を得る.

命題 4.3.

を体,

$k$

$X$

を

$\mathrm{P}_{k}^{2r+1}$の次数 $m$ の diagonml hypersuface とする. 同一視$[N^{r}(X_{\overline{k}}) \otimes_{\mathrm{Z}}\mathbb{Z}[\frac{1}{m}]]^{(\chi_{A})}=[N^{r}(X(N,m)_{\overline{k}})\otimes_{\mathrm{Z}}\mathbb{Z}[\frac{1}{m}]]^{(\chi_{A})}$の下で$[N^{r}(X) \otimes \mathrm{z}\mathbb{Z}[\frac{1}{m}]]^{\mathrm{t}xA})=[N^{r}(X(N, m))\otimes_{\mathrm{Z}}\mathbb{Z}[\frac{1}{m}]]^{(\chi_{A})}$または$[N^{r}(X) \otimes_{\mathrm{Z}}\mathbb{Z}[\frac{1}{m}]]^{(\chi_{A})}=0$が成立する.
証. 実際,
よい.

$X$

が $m$ の巾を割る

を体,

$k$

の拡大の上で $X(N, m)$ に同型であることに注意すればの次数 $m$ の diagonml hypersuface とする.
$B_{n}(X)-\mathrm{r}\mathrm{k}N^{r}(X)$ は $m-1$ で割り切れる.
系 4.4.

命題 4.5.

$k$

$k$

$X$

を

$\mathrm{P}_{k}^{2r+1}$

を標数 $p\geq 0$ の完全体,$X$を$\mathrm{P}_{k}^{2r+1}$$m$が素数なら,の次数 $m$ の diagonml hypersuface とする.

25$([perp])n=-\angle$,(2) $n\geq 4$ で $m$ は $n+2$ より小さい素数で割り切れない, あるいは,(3) $n\geq 4$ で $m$ は素数または 4,と仮定する. $p=0$ または$p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} m$なら,$\det N^{r}(X)$は $m$ のある巾を割る.

証. Fermat 多様体の場合については [12] で示してあるが, 一般の diagoanal hypersurfaceについては 43 から Fermat 多様体の場合に帰着される.

補註 4.6. 命題 45 の仮定の下では numerical equivalence と homological equi
致する.
註 己 4.7.
$m$ が素数で$\overline{-}$$[2](\mathrm{p}.8)$$k$は $n=2r\geq 4$ に対して,

Lichtenbaum complex$\mathbb{Z}(r)$ence は一の存在を仮定してが有限体の場合に 45 を示している.

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