数理解析研究所講究録
1077 巻 1999 年 22-29

22

Smooth structure of noncommutative tori
都立大学大学院理学研究科 Dl

樋口仁巳

Intoruduction1を無理数として、 $U,$ $V$ を交換関係 $UV=e^{2\pi i\theta}VU$ を満たす unitary とと呼を無理数回転環したとき、 $U$ と $V$ が生成する$\theta$$A_{\theta}$$C^{*}- \mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}c*(U, V)$ぶ。

$A_{\theta}$は次のような性質を持つ canonical な derivation$\delta_{1},$$\delta_{2}$を持って$\mathrm{A}\mathrm{a}$る:$\delta_{1}(U)=2_{T}iU\delta_{1}(V)=0$$\delta_{2}(V)=2\pi iV$$\delta_{2}(U)=0$(canonical の意味については [T] を参照。 ) この二つの derivation の smoothpart A 審を
algebra になっている。

$A_{\theta}^{\infty}=\mathrm{n}_{p,q=0^{\mathrm{D}()}}^{\infty}\mathrm{o}\mathrm{m}\delta_{1}^{p}0\delta^{q}2$$A_{\theta}$

は$C(\mathrm{T}^{2})$と定義すると、 これは Fr\’echet $*-$

を非可換環に deform したものとみなせるので 「非可換トーラス」 と呼ばれるが、 同様に A 審はるため、 A 審を$A_{\theta}$の「$C^{\infty}- \mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}$」$C^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$を deform したものとみなせと考えることができる。 このため AConnes

により創始された Noncommutative Geometry においても重要な example
等を参照。 )
についての詳細はとなっている。 ($[\mathrm{W}\mathrm{O}],[\mathrm{D}]$$A_{\theta}$

さて、 1993 年に G.Elliott と D.Evans によって、$A_{\theta}$

が circle algebra の帰納極限になっていることが次の形で証明された。

Theorem$([\mathrm{E}\mathrm{E}])$$(M_{q_{n}}\oplus M_{q_{n}’})\otimes C(\mathrm{T})$$\iota_{n,n+1}$に同型な: $A_{n}arrow A_{n+1}$ が存在し、$A_{\theta}$$A_{\theta}$の $c*$-subalgebra$A_{n}$と、 embeddingは $(A_{n}, \iota_{n,n+1})$ の $c*$ -inductive limit になっている。

の連分数展開に付随する自然数列である。 ([EE]も与えられている。 )の元,の中では、 $U,$ $V$ を近似するの generator
後でもコメントするように、
Un’ は全て
ただし、$\{q_{n}\},$ $\{q_{n}’\}$は$\theta$$A_{n}$$U_{(n)}$$V_{(n)}$$A_{n}$$\mathcal{A}_{\theta}^{\infty}$の元として選ぶことができる。 そこで、は$A_{n}\mathit{0}$$*$$A_{n}^{\infty}$$A_{n}$$(f_{k,l}^{n}),$$V_{n}$

上の unbounded derivationsmooth part として-algebra になっている。 本報告では、の Fr\’echet -inductive limit になることを示す。

を定義して、 これによりを定義すれば、 これは Fr\’echet$\delta_{(n)}$$(e_{i,j}^{n}),$$*$)$A_{n}^{\infty}= \bigcap_{p}^{\infty}0\mathrm{D}_{0}=\mathrm{m}(\delta^{p})(n)$$A_{\theta}^{\infty}$

23

Construction of2$A_{n}$の連分数展開によって、 次の整数列$\theta$

実数列$\{\beta_{n}\}$$\{p_{n}\},$

自然数列$\{p_{n}’\}\text{、}$$\{q_{n}\},$$\{q_{n}’\}_{\text{、}}$, {\beta 訂を得る。 実際、

1$\theta=\lim_{narrow 0}[\alpha_{0}, \alpha_{1}, , .

.

, \alpha_{n}]=\lim_{narrow 0}\alpha_{0}+$1$\alpha_{1}$

十

.

–

$..+ \frac{1}{\alpha_{n}}$であり、$\alpha_{0}$は整数、 $\alpha_{n}(n\geq 1)$ は自然数となる。 そこで、$=$
$R_{\frac{n}{n}}q$$\frac{p_{n}’}{q_{n}’}$$=[\alpha_{0}, \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{2}]n$$=[\alpha_{0,1}\alpha, \cdots, \alpha_{21}n+]$とする。 このとき、

さらに、

を満たす。
すると、

$\beta_{n},$$\beta_{n}’$は$\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}<\frac{p_{n}}{q_{n}}<\theta<\frac{p_{n}’}{q_{n}},$$\beta_{n}=q_{n}’(\frac{p_{n}’}{q_{n}}, -\theta),$$\beta_{n}\in \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}\theta$

jection
角成分$[0, \frac{1}{q_{n}}]$を support にもつ連続関数

を用いて trace 値が$\beta_{n}$である Rieffel Pro-を作ることができる。

$e_{\beta_{n}}$これとと定義する。

$\beta^{;}n=qn(\theta-\frac{p_{n}}{q_{n}})$であるので、$f1,$ $g_{1}\in C([\mathrm{o}, 1]/\sim)\cong C(\mathrm{T})$$<, \frac{p_{n-1}’}{q_{n-1}}$$A_{\theta}$のcanonical automorphism$e_{i,i}^{n}=\alpha_{\chi 1}^{i-1},(e_{\beta_{n}})(1\leq i\leq q_{n})$$\alpha_{z,1}(U)=zU,$ $\alpha_{z,1}(V)=V$$\alpha_{z,1}$を用いて、 matrix unit の対を得る。 ただし、$z=e^{2\pi i} \frac{pn}{qn}$であり、を満たす。 この時、 $\alpha_{z,1}(fi(U))=f1(zU)$ であるが、 $f1$ は、$f_{1}(ze^{2\pi})it=f_{1}(e^{2}) \pi i(t+\frac{pn}{qn}=f1(t+\frac{p_{n}}{q_{n}})$

(ただし

$t$

は実数。 ) というように定義されているため、$a_{z,1}$

は $f1$ の$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}1^{\mathrm{o},\frac{1}{q_{n}}}$(modl) へ平行移動させる map とみなせる。
唐突にが出てきたのは、 unitary の spectral resolution $U= \int \mathrm{T}^{Z}dE(z)$の spectral projectionをで近似することにある。 この時、がに対応し、 「近似式」(modl) はを]$[- \frac{p_{n}}{q_{n}}, -\frac{p_{n}}{q_{n}}+\frac{1}{q_{n}}]$$U$$e_{i,i}^{n}$$E([0, \frac{1}{q_{n}}])$$\frac{1}{q_{n}}])$$\alpha_{z,1}(e_{\beta_{n}})=e_{2,2}^{n}$$E([- \frac{p_{n}}{q_{n}},$$e_{\beta_{n}}$$U\approx\Sigma_{i=}^{qi-1}n_{1i,i}\overline{Z}e^{n}$$-p_{\frac{n}{n}+}q$24

期待される。 これを行列の形で書くとつぎのようになる。

$U\approx$
次に$e_{2,1}^{n}$を$e_{2,2}^{n}Ve_{1,1}n$の polardecomposition の partial isometry として定義する。 つまり、 $e_{2,2}^{n}Ve_{1,1}n=e_{2,1}^{n}|e_{2},Vn_{21}e,|n1$ 。さらに、$(1\leq i\leq q_{n}-1)$とする。 これらより matrix unitに可換な unitary$U_{n}$$e_{i+1,i}^{n}=\alpha_{z,1}^{i-1}(e^{n}2,1)$$(e_{i,j}^{n})_{1\leq i,j\leq q_{n}}$と、 これらを得て、$C^{*}((e_{i,j}n))\otimes c^{*}(U_{n})\cong M\otimes qnc(\mathrm{T})$となっている。
同様の議論から、 mmatrix unuttor

$V_{n}$$(f_{k}^{n_{l}})_{1})\leq k,\iota\leq q\prime n$と center の unitary genera-を得て、$C^{*}((f^{n}k,l))\otimes c*(V_{n})\cong M\otimes c(q_{n}’\mathrm{T})$となる。
そこで、 $c*$ -subalgebra$A_{n}$

を$A_{n}=(C^{*}((e_{i},)n)\otimes c*(Ujn))\oplus(C^{*}((f_{k,l}^{n}))\otimes C^{*}(V_{n}))$と定義し、 ここでも $V\approx\Sigma_{k=}^{q_{n}’k-1}1fwk,kn$ という 「近似式」 が期待できる。
ただし、$w=e^{2\pi i} \frac{p_{n}^{l}}{q_{n}’}$としている。

実際は $U,$ $V$ が可換ではないため、$U_{(n)}= \sum_{i=1}^{q_{n}}\overline{z}e_{i},+i-1n_{i}k=\sum’\alpha,(q_{n}11^{-}k\overline{w}1f_{2,1}^{n})$$V_{(n)}= \sum_{=i1}^{q}\alpha^{i-}(n1,z1e_{2},)n\sum_{k=1}^{q_{n}}1+\prime wk-1f_{k,k}n$という$A_{n}$の元で近似されている。 これを行列の形で書くと$U_{(n)}=(,$

$)$

25

(1 . ),$t$$|\nearrow(n)=($

$w$

$(1$

.

1

と書かれる。 ただし、
次に embedding$A_{n}$は$t$$\iota_{n,n+1}$の$C(\mathrm{T})$: $A_{n}arrow A_{n+1}$ について説明する。

$=$$a_{n},$ $b_{n},$ $c_{n},$$d_{n}$$w^{q_{n}’-1}))$

unitary generator である。

の行列の部分の次元を表す自然数列

であり、

.

は

$\{q_{n}\},$ $\{q_{n}’\}$

ただし $\in SL(2, \mathrm{Z})$は自然数となる。

$\iota_{n,n+1}$は行列の形で書くと、 次のような形で書ける。 まず直和の第 1 成分については、$x\in \mathbb{J}I_{q_{n}},$$f\in C(\mathrm{T})$として、$\iota_{n,n+1}(x\otimes f, \mathrm{o})$$=(\otimes f,$ $(00$というように$x$$C(\mathrm{T})$$0$.

$x)\otimes f)$個と。n 個対角線上に並べた形をしていて、$g\in$としている。 直和の第 2 成分については、.

をそれぞれ

それ以外の成分は

$.0.$
$x$

$a_{n}$$y\in M_{q_{n}’},$

として、.

$\iota_{n,n+1}(0, y\otimes g)$$.0.$$=((00$というように

$y$

$y$

をそれぞれ

それ以外の成分を$0$.

$b_{n}$$y)\otimes g,$個と$d_{n}$$\otimes g)$

個対角線上に並べた形をしていて、としている。 これらを generator$e_{i,j’ k,l}^{n}f^{n}$,$U_{n},$ $V_{n}$て示すと$\iota_{n,n+1}(e_{i,j}.)n=\sum_{k=0}e_{i}^{n+1}+\sum_{\iota_{=}0}^{C}+kq_{n},j+kq_{n}f_{d^{+}+i}^{n}q_{n}’+^{\iota}q_{n},d_{n}q’+j+lq\prime an-1n-1n1.\cdot nn$$\iota_{n,n+1}(f^{n}k,l)=\sum_{i=}^{b}n^{-1}0e\prime a_{n}qn+n+1k+iqn’ a_{n}qn+\iota\dotplus iq_{n}’+\sum^{d_{n}-1}j=0f_{k^{+}q_{n},+}^{n}+j1’\iota jq_{n}$

’

を用い

26

$\iota_{n,n+1}(U_{n})=\sum^{n}u^{n}.+\sum_{1}^{c}ai=1qni+1k=nq’nv_{d_{n}}\prime n+1q_{n}+k$$\iota_{n,n+1}(V_{n})=\sum_{i=1}u_{a_{n}}^{n+1}bnq_{n}^{l}q.\iota+i^{+\sum_{=}v_{k}^{n}}d_{n}kq_{n}’1+1$

となる。

3

Main theorem
一般に上の closable derivation$M_{n}\otimes C(\mathrm{T})$は$\delta$$\delta=AdW^{*}\mathrm{o}(Id_{n}\otimes f\frac{d}{dt}+adx\otimes Id)\mathrm{o}AdW$と書ける。 但し、 $W$ は$Id_{n},$$Id$ (は $M_{n},$ $C(\mathrm{T})$$M_{n}\otimes C^{\infty}(\mathrm{T})$の$\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}_{\text{、}}$$f\in C^{\infty}(\mathrm{T})_{\text{、}}$$x\in M_{n\text{、}}$の identity operator とする。

は $W$ とによらずに全て同値
graph normになっていて、 さらに が invertible のときは にもよらない。 つまり、これらの graph norm 系による completion をとって得た Fr\’echet space は同型になる。 だから、 による smooth partを考えるときは、という derivation を考えることで$W=1,$ $x=0,$ $f=1$ とした

実は、 derivation$\delta$の$||\cdot||_{\delta^{p}}$

$x$

$f$

$f$

$\delta$$\bigcap_{p=0}^{\infty}\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(\delta^{p})$$\delta=Id\otimes\frac{d}{di}$十分であることがわかる。
そこで、 先程の$A_{n}$の unbounded derivation$\delta_{(n)}$を$\delta_{(n)}=Id_{n^{\otimes}}^{1}\frac{d}{dt_{1}}\otimes Id2\otimes\frac{d}{dt_{2}}n$として定義する。 但し、$Id_{n’ n}^{1}Id^{2}$は $C^{*}((e_{i}^{n},)j),$ $c*((f_{k}n,)l)$ の Identity oper-をは、と同–視したときの通常
ator であり、の smoothの意味での derivation とする。 また、 この意味でのと書くことにする。
part をそれぞれに smooth partを
これにより、$\frac{d}{dt_{1}},$$\frac{d}{dl_{2}}$$C^{*}(U_{n}),$ $C^{*}(V_{n})$$C(\mathrm{T})$$C^{*}(U_{n}),$ $C^{*}(V_{n})$$C^{*}(U_{n})^{\infty,c*}(V_{n})^{\infty}$$A_{n}$$A_{n}^{\infty}$

$=$

$=$

$A_{n}^{\infty}$$\bigcap_{p=0}^{\infty}\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(\delta p)(n)$$(C^{*}((e_{i,j})n)\otimes C^{*}(U_{n})^{\infty})\oplus(C^{*}((f_{k}n_{l},))\otimes C^{*}(V_{n})^{\infty})$と定義することができて、$A_{n}^{\infty}\cong(l|I_{q_{n}}\otimes C^{\infty}(\mathrm{T}))\oplus(M_{q_{n}’}\otimes C^{\infty}(\mathrm{T})\mathrm{I}$27である。 もちろん

さて、$\delta_{(n)}$$A_{n}^{\infty}$は$\mathrm{F}\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}*$は embbedding-algebra となっている。
と可換であるので (さらに derivation に$\iota_{n,n+1}$の alが付いたとしても可換になることに注意。 )unitary $W$ やをの inductive limit derivation
上でのgebraic inductive limit$x,$ $f$$.\text{、}A_{n}^{\infty}$$\tilde{\delta}$$A_{\infty}$$\{\delta_{(n)}\}$

得る。
また、

$e_{1,1}^{n}$などの Rieffel projection を構成する連続関数 $f1,$

数から選ぶことによって、$A_{n}^{\infty}$の元としてとれる。 このため、のgenerator$A_{n}^{\infty}\subset \mathcal{A}_{\theta}^{\infty}$$(e_{i,j}^{n}),$$(f_{k,l}^{n}),$

であり、

Un’

を

$g_{1}$$C^{\infty}$

は全て

$Vn$

関

$A_{\theta}^{\infty}$$\iota_{n,n+1}(A_{n}^{\infty})\subset A_{n+1}^{\infty}$になっていることに注意する。
このとき次の Lemma が言える。

Lemma 1
任意の $p,$と$||\cdot||_{\delta^{p}\delta^{q}}1^{\mathrm{O}}2$$q$に対し、 ある自然数 $N$ があって、 $n\geq N$ に対しては$C^{*}(U_{n})^{\infty}$上同値であり、$||\cdot||_{(\frac{d}{dt_{2}})^{p+}}q$と$1\mathrm{I}|_{\delta_{12}^{\mathrm{p}}}\circ\delta^{q}$$||\cdot||_{(\frac{d}{dt_{1}})^{p+q}}$は$C^{*}(V_{n})^{\infty}$上同値である。
$\delta_{1}(V)=\delta_{2}(U)=0$であるため、 奇妙に見えるかもしれない。 これらは、や $V$ の spectral
が、 Cantor set を作るときのように、embeddingの projectionをの対角成分の中に,
projection を近似する$U$$\iota_{n,n+1}$$A_{n}^{\infty}$$e_{i,i}^{n}$$A_{n+1}^{\infty}$$f_{k,k}^{n}$「均等」 にちらばしていくということにあると思われる。
この Lemma 1 から、

Lemma 2$||\cdot||_{\tilde{\delta}^{p+q}}$と$||\cdot 11\delta\{0\delta_{2}q$は$A_{\infty}$上同値である。

という Lemma が導かれ、 graph norIn 系$\{||\cdot||_{\tilde{\delta}^{p}+}q\}$による completion

をとることによって次の結論を得る。

Theorem 1

A 審は$A_{n}^{\infty}$の Fr\’echet$*$-inductive limit である。

Applications

4

に関するデータ、 例えば cyclic cohomolを極限の形で書や、 A 審の diffeomorphism group

この定理を Lemma にしてogy$H_{\lambda}^{*}(A_{\theta}^{\infty})$$A_{\theta}^{\infty}$$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(A_{\theta}^{\infty})$28

いていくことが考えられる。 但し、$\varphi\in \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(A_{\theta}^{\infty})$とは$\varphi\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A_{\theta})$

で=A 湧を満たす、 という意味である。
cyclic cohomogy の S-map による剰余を考えて periodic cyclic cohomology を得るが、 これは de Rham cohomology の非可換版とみなせる。 (cyclic
cohomogy についての詳細はを参照。 )
あって、$\varphi(\mathcal{A}_{\theta}^{\infty})$$[\mathrm{C}1][\mathrm{C}2]$:. まず、$A_{n}^{\infty}$を$(M_{q_{n}}\otimes C^{\infty}(\mathrm{T}))\oplus(M_{q’n}\otimes C^{\infty}(\mathrm{T}))$上の tracial state を$\mathcal{T}_{n}^{1},$とし、$\tau_{n}^{2}$$H_{PR}(C^{\infty}(\mathrm{T}))$$H_{PR}^{even}(c^{\infty}(\mathrm{T}))=\mathrm{C}[\sigma 0]$と同–視する。

の generator$\sigma_{0},$$\sigma_{1}$$M_{q_{n}},$$M_{q_{n}’}$を$H_{P}^{odd}(Rc^{\infty}(\mathrm{T}))=\mathrm{C}1\sigma_{1}]$とする。 これらは$\sigma_{0}(f_{1})=\int_{\mathrm{T}}f_{1}dt$$(fi, f_{2}\in C^{\infty}(\mathrm{T}))$$\sigma_{1}(f_{1}, f_{2})=\int_{\mathrm{T}}f_{1}df_{2}$であって、 ただし $\sigma_{0}(1)=1$ を満たすように適当に Lebesgue

measure を normarize しておくとする。
このとき,$A_{n}^{\infty}$の periodic cyclic

cohomology$H_{PR}(A_{n}^{\infty})$は$H_{PR}^{even}(A_{n}\infty)=\mathrm{C}[\tau\# n1\sigma_{0}]\oplus \mathrm{c}[\tau_{n}\# 2\sigma_{0}]$$H_{P}^{odd}(R)A_{n}\infty=\mathrm{c}[\mathcal{T}\# n1\sigma_{1}]\oplus \mathrm{c}[_{\mathcal{T}_{n}^{2}}\#\sigma_{1}]$

となる。

この時、

$\iota_{n,n+1}$

が induce する$\iota_{n,n+1}^{*}$

は$M_{2}(\mathrm{C})$:$\mathrm{C}$-linear map$H_{PR}(A^{\infty}n+1)arrow H_{PR}(A_{n}^{\infty})$の元として、$b_{n,n+1}^{*}=(c_{n} \frac{\frac{q_{n}}{q_{n+1q_{n}}}}{q_{n+1}’}a_{n}$と書かれる。 特に$\iota_{n,n+1}^{*}$$d_{n}b_{n} \frac{q’}{\frac{q_{n_{\uparrow 1}q_{n}}}{q_{n+1}}},)$

は isomorphism である。 そこで次の定理を得る。

Theorem 2$A_{\theta}^{\infty}$の periodic cyclic

COhomology$H_{PR}(A_{\theta}^{\infty})$

prOjective limit になっている。
現在 ‘ 特に$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(A_{\theta}^{\infty})$について考察中である。

は、$(H_{PR}(A_{n}\infty), \iota_{n,n+1})*$

の

29

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