数理解析研究所講究録
991 巻 1997 年 68-79

68

Shintani Descent for Special Linear Groups

東京理科大理工庄司俊明 (Toshiaki SHOJI)\S 0. 序$G$を有限体$\mathrm{F}_{q}$上定義された reductive な連結代数群, $F$ : $Garrow G$ を

Frobenius 写像とする.

$G$の F- 固定点全体のなす有限群,$\mathrm{F}_{q^{-}}$

構造に付随する

即ち有限 reductive 群$G^{F}$の既約指標を統–的に計算するために, 1980 年代中頃に Lusztig は指標層の理論を構築し, 指標層の特性関数として得られるの類関数と$G^{F}$

Lusztig の予想が示されると,とになる.

Lusztig の予想は

$G^{F}$$.G$$G^{F}$の既約指標との問の関係を予想として提出した.

の既約指標を決定する統–的なアルゴリズムが得られるこの中心が連結な場合には [S3] により解決されたが, その際の Shintani descent の理論が重要な役割を演じた.
$m$

に対して,

れている
$G$

$G^{F^{m}}$$G^{F}$

実際 $G$ の中心が連結の場合, 十分大きなの F- 直変な既約指標の Shintani descent $Sh_{F^{m}/F}$ による像は既に決定さ$([\mathrm{S}1], [\mathrm{S}2])$.
また, Shintani de-の中心が不連結の場合には, Lusztig 予想はまだ解決されていない.

scent も決定されていない. ここでは, その最も典型的な例である特殊線形群
その Shintani descent を決定する.

$G$$SL_{n}$の場合に,の中心が連結な場合と同様に, Shintani descent の決定

は $SL_{n}$ の Lusztig 予想の解決に大きな力になることが期待される.

Shintani descent の決定には,$G=SL_{n}$ に対しては,$GL_{n}$$G^{F}$の既約指標の精密なパラメトリゼーションが必要になる.

の既約指標を $SL_{n}$ に制限することにより既約指標の分類がなされているが, それでは十分ではない.

ここでは浅井 [A] のアイディアにならって, 川中により導入, 発展された–般 Gelfand-Graev 表現を利用することによりションを与える.

のパラメトリゼー$SL_{n}(\mathrm{F}_{q})$

これにはまた, 一般 Gelfand-Graevh 表現が誘導表現ということで Shintani

descent とは相性が良いという利点もある.

$SL_{n}(\mathrm{F}_{q})$の Shintani descentを決定するには, 先ず–般 Geffand-Graev 指標の Shintani descent を決定し, それを利用して$SL_{n}(\mathrm{F}_{q})$

の場合を

69

考えることになる.

$P$を体$\mathrm{F}_{q}$の標数とすると,に関する本稿の結果は全ての$SL_{n}(\mathrm{F}_{q})$

$P$

につ

いて成立する. なお, 詳しい議論については [S4] を参照されたい.

\S 1. 代数群の Shintani descent
3 節以降は $G=SL_{n}$ の場合に話を限るが, この節では–般の代数群について考える.
を$\mathrm{F}_{q}$上定義された連結代数群とし, $F$ : $Garrow G$ を対応する Frobenius 写像とする.

Shintani descent の定義を与えておく. 正の整数 $m$ に対し,共役類の集合, また $G^{F}/\sim$ を$G^{F}$$G^{F^{m}}/\sim_{F}$を$G^{F^{m}}$

$G$

先ず

の $F$ -twisted なの共役軸の集合とする. ( $x,$ $y\in G^{F^{m}}$ が $F$-twisted 共役とは, $y=z^{-1}xF(z)$ となる $z\in G^{F^{m}}$ が存在することをいう) 対応 $x=\alpha^{-1}F(\alpha)\in G^{F^{m}}arrow$$x’=F^{m}(\alpha)\alpha-1\in G^{F}$ ,間の同型写像から$\sigma$$G^{F}$$\overline{\mathrm{Q}}\iota^{-}$

は適当な $G$ の元) により Norm map と呼ばれる全単射 $N_{F^{m}/F}$ :$\alpha$が定義される.

$G^{F^{m}}/\sim_{F}arrow G^{F}/\sim$

数全体のなす(ベクトル空間とする.

$N_{F^{m}/F}^{*}$への Shintani descent という.

の coset$G^{F^{m}}\sigma$の F- 不変な既約指標$C(G^{F^{m}}\sigma/\sim)$

るが,$G^{F^{m}}$$\overline{\rho}|_{G\sigma}pm$$\rho$

上のは$\langle\sigma\rangle$

値関今$\sigma$を $F$ の

$Sh_{F^{m}/F}=N_{F^{m}/F}^{*-1}$

への制限とし,$G^{F^{m}}$を$G^{F^{m}}(\sigma\rangle$

を$G^{F^{m}}$$G^{F^{m}}$と,との半直積とする. ベクトル空間 $C(G^{F^{m}}/\sim_{F})$ は自然に

$G^{F^{m}}\langle\sigma\rangle-$$G^{F^{m}}\langle\sigma\rangle$$\overline{\mathrm{Q}}_{l^{-}}$

写像 $N_{F^{m}/F}$ の転置を取ることにより, ベクトル空: $C(G^{F}/\sim)arrow C(G^{F^{m}}/\sim_{F})$ が導かれる.

で生成された位数 $m$ の巡回群

$G^{F^{m}}\langle\sigma\rangle$

ここで, 有限集合 $X$ に対して, $C(X)$ を $X$ 上の共役類の空間 $C(G^{F^{m}}\sigma/\sim)$ と同–視される. –方,の既約指標の元とみなすことが出来る.

$\overline{\rho}$に拡張され,

与えられたの F- 不変な既約指標を全て動くとき,

それらの$\rho$の$G^{F^{m}}\sigma$への制限に対して $m$ 通りの拡張$\rho$

は 1 の $m$ 乗根によるスカラー倍を除いて$\overline{\rho}$

により –意的に定まる.

$\overline{\rho}|_{G^{F^{m}}\sigma}$$G^{F^{m}}$$\overline{\rho}|_{G^{F^{m}}\sigma}$$\overline{\rho}$

は

が存在す

また,

$\rho$

がが $C(G^{F^{m}}\sigma/\sim)$ の基底を与える

ことが知られている.
さて Shintani descent を巡る基本的な問題は, F- 五変な$\rho$

に対して$ShF^{m}/F(\overline{\rho}|cFm)\sigma$

を記述することにある. また, 指標層の理論との関連で重要になるのは $m$ が十分大きい場合 (つまり, $m$ がある $m_{0}>>0$ の倍数になる場合) である. 後に, 一般 Gelfand-Graev 指標の Shintani

descent に適用するために, ここでは次の様な特別な状況を考える.
仮定 1.

$H=L\ltimes U$ をり, $U$ の Lie 環を

全単射 $f$ :$Uarrow \mathrm{u}$$\mathrm{u}$$\mathrm{F}_{q}$上定義された連結代数群とするとき $U$ から$\mathrm{u}$

への

$L$

と $U$ の半直積とする.

(共役の作用に関して)が存在する. また, F- 不変な線形写像

変な群の準同型を与えるものが存在する. (ここで,$k$は$\lambda$$\mathrm{F}_{q}$:$\mathrm{u}arrow k$で$U$は巾単群であL- 同変かっ F- 不変な$\lambda \mathrm{o}f$: $Uarrow k$ が F- 不の代数的閉包とする).

70以上の性質を仮定しておく. ここで, 自明でない additive character
固定する. すると,

により$\Lambda=\psi\circ\lambda\circ f$$U^{F}$の線形指標$\Lambda$:$\psi$:をひとつ$\mathrm{F}_{q}arrow\overline{\mathrm{Q}}_{l}^{*}$が定義される. 今,$U^{F}arrow\overline{\mathrm{Q}}_{l}^{*}$$Z_{L}(\lambda)$

は F- 不変な代数群になり, $A=Z_{L}(\lambda)/Z_{L}^{0}(\lambda)$ とおくと, 有限群 $A$ に $F$ が自然に作用する. 各に対し, 代表元$c\in A$写像$=\lambda\circ$$\lambda$。

Ad$\dot{c}\in Z_{L}(\lambda)$$\alpha_{c}^{-1}$

:

を取り,

$\alpha_{c}^{-1}F(\alpha_{c})=\dot{c}$となる$\alpha_{c}\in L$

を選ぶ. そのとき, 線形

は F- 不変になり, これから $U^{F}$ の線形指標$\mathrm{u}arrow k$

定義される. このとき $Z_{L}(\lambda)pzL^{F}(=\Lambda_{c})$ が成り立つ. \Lambda 。は半直積
拡張できる. 今その中で, 自明な拡張を$\tilde{\Lambda}_{c}$$\Lambda_{c}$:$Z_{L}(\lambda_{c})^{F}U^{F}$$U^{F}arrow\overline{\mathrm{Q}}_{l}^{*}$

がの線形指標にとする. -方, 自然な同型$Z_{L}(\lambda\text{。})^{F}/z_{L}^{0}(\lambda_{c})^{F}\simeq Z_{L}(\lambda)^{\dot{c}}F/Z_{L}^{0}(\lambda)\dot{c}F\simeq A^{cF}$により,$c\in A$

$A^{\text{。}F}$

と

の既約指標

$\xi.\in\hat{A}^{\text{。}F}$

$\xi$

から

$Z_{L}(\lambda_{\text{。}})^{p}$の組に対して,の既約指標が得られる. それをの誘導指標$H^{F}$$\theta_{(c,\xi)}$と表すことにする.

$\xi^{\mathfrak{h}}$を$\theta(\text{。},\xi)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}^{H}ZL(\lambda_{c})FUF(\xi\#\otimes\overline{\Lambda}_{c}F)$(により定義する.

$\hat{A}^{\text{。}F}$は $A^{cF}$ の既約指標の集合を表す) ここで, パラメーター集合$\overline{\mathcal{M}}=\{(c, \xi)|c\in A/\sim_{F}, \xi\in\hat{A}\text{。}F\}$

に対し,

次に,
$\psi_{m}$:$\theta_{(c,\xi)}$$H^{F^{m}}$により定める. このとき, 容易にわかる様に各$\overline{\mathcal{M}}$を$(c, \xi)\in\overline{\mathcal{M}}$は相異なる $H^{F}$ の既約指標を与える.
の F- 不変な既約指標について考える.

$\mathrm{F}_{q^{m}}arrow\overline{\mathrm{Q}}_{l}^{*}$$\beta_{c}^{-1}F^{m}(\beta_{C})=\dot{c}$を$\psi_{m}=\psi \mathrm{o}$となるり定め, 線形指標$\Lambda_{\text{。}^{}(m)}$$\beta$。

:$\in L$Tr$\mathrm{F}_{q^{m}}/\mathrm{F}_{q}$により定める. 各 $c\in A$ に対しを選ぶ. 前と同様に,$U^{F^{m}}arrow\overline{\mathrm{Q}}_{l}^{*}$

を正の整数 $m$ に対し, additive character$\lambda_{c}^{(m)}$:$\mathrm{u}arrow k$$\Lambda_{\text{。}^{}(m)}=\psi_{m^{\circ}c}\lambda^{(m)}\circ f$

を$\dot{C}\in Z_{L}(\lambda)$$\lambda_{c}^{(m)}=\lambda\circ$

Ad

を取り,

$\beta_{\text{。}^{}-1}$によにより定義する. ここで, 次の仮

定をおく.
仮定 2.

整数 $m$ は,$F^{m}$

が $A$ に自明に作用する様に十分大きいものとする.

仮定より先程の ($F^{m}$

に関する)となり, 各$(c, \xi)\in\overline{\mathcal{M}}^{(m)}$$\text{パラメ^{ー}タ^{ー}集合は}\overline{\mathcal{M}}(m)=\{(c, \xi)|c\in A/\sim, \xi\in\hat{A}^{\text{。}}\}$に対して$H^{F^{m}}$中で F- 不変なものを取りだそう. 今

各 $c\in A^{F}$ に対し,$\hat{A}_{\mathrm{e}\mathrm{x}}^{c}$

を$A^{c}$$A^{F}/\approx$$\theta_{(\text{。},\xi}^{(m)}$)

が構成される.

を写像 $Aarrow A/\sim$ によるの F- 不変な既約指標の全体とする.

$\mathcal{M}=\{(c, \xi)|c\in A^{F}/\approx, \xi\in\hat{A}_{\mathrm{e}\mathrm{x}}^{c}\}$$\theta_{(\mathrm{c},\xi)}^{()}m$

の既約指標

これらの
$A^{F}$$\overline{\mathcal{M}}^{(m)}$$\theta_{(\text{。},\xi}^{(m)}$)のの像とし, またの部分集合$\mathcal{M}$をとして定義する. そのとき, 各 $(c, \xi)\in \mathcal{M}$ に対応するが F- 不変な既約指標を与える.

次にこれらの既約指標の$H^{F^{m}}\langle\sigma\rangle$

への拡張を構成する. $C\in A^{F}$ に対し, 代表元$\dot{c}$を$Z_{L}(\lambda^{(m}))^{F}\text{。}$

71

から取り,
は

$\hat{c}F-$

とおく.

$\hat{C}=\beta_{\text{。}}F(\beta^{-1}\text{。})$

不変になる. ここでの部分群の自明な拡張を持つ.

$\tilde{\Lambda}_{\text{。}^{}(m)}$への $m$ 通りの拡張を持つ.

を

の

$\xi$

る.

$\beta$。

は前出のもの)$\in L$$A^{\text{。}}\langle F\rangle$を$A$

へのひとつの拡張とする.

$A^{\text{。}}\langle F\rangle$$\xi\in\hat{A}_{\mathrm{e}\mathrm{x}}^{C}$は$\hat{C}\in L^{pm}$

であり,

このとき

$\xi^{\mathfrak{h}}$$\xi^{\mathfrak{h}}\in M_{\text{。}^{}\wedge}$の拡張

は$\Lambda_{\text{。}^{}(m_{)}}$。と, 位数 $m$ の巡回群であり,で生成される$M_{\text{。}}U^{F^{m}}$$M_{\text{。}}U^{F^{m}}\langle\hat{c}\sigma\rangle=M\text{。}\langle\hat{c}\sigma\rangle\ltimes U^{F^{m}}$-方, 前述の様に
今,. すると,

とおき, 加と$M_{C}=Z_{L}(\lambda_{\text{。}^{}(m}))^{F^{m}}$を考える.

$M_{\text{。}}U^{F^{m}}\langle\hat{c}\sigma\rangle$

(

を定め,

$\xi^{\mathfrak{h}}$$\langle\hat{c}\sigma\rangle$との半直積とし,$\langle F\rangle$で作用する.

となり, 拡張$\xi^{\#}(\hat{c}0\sigma)\sim=\mu_{(\text{。},\xi})\overline{\xi}(F)$を$\mu(\text{。},\xi)$$\xi\sim$は次の様に特徴付けられ$\xi^{\overline{\mathfrak{h}}}$$\xi^{\mathfrak{h}}(\hat{C}_{0})/\xi(1)$へは $M$。

。とおく. 妬の A。への像は A。の中心に含まれ, 従って両は$\xi^{\mathfrak{h}}(\hat{C}_{0})/\xi(1)$$H^{F^{m}}\langle\sigma\rangle$$M_{C}U^{F^{m}}\langle\hat{c}\sigma\rangle$$\hat{c}_{0}=(\hat{c}\sigma)^{m}\in M$

現空間にスカラー倍$\Lambda_{\mathrm{C}}^{(m)}$の $m$ 乗根とする.

の表$\xi^{\mathfrak{y}}$すると,$\sim$$\xi^{\mathfrak{h}}\sim$は$\mu(\text{。},\xi)$(及び ) により定まる.

$\xi^{\mathfrak{h}}\sim$

$\xi$

は

$M_{\text{。}}U^{F^{m}}$\langle め\rangle の既約指標に自然に拡張出来る. これを同じ記号で表す. ここで,$\overline{\theta}_{(_{\text{。}},\xi}^{(m)})U=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{M_{c}}Fm\langle\hat{\text{。}}\sigma\rangle(^{\gamma_{\otimes\overline{\Lambda}_{\text{。}^{}(m)}}}HF^{m}(\sigma\rangle\xi)$により,$\theta_{(\text{。},\xi}^{(m)}$)の制限は$\mathcal{M}$の$(c, \xi)\sim$$H^{F^{m}}\langle\sigma\rangle$

への拡 Eが得られる. 作り方より,$\mu_{(\text{。}^{}-1},\xi$)の coset $H^{F^{m}}\sigma$ ヘ$\theta_{(\text{。}}(m,)\xi)$のみによって定まる.

の各元 $(c, \xi)$ に対して$\mathcal{M}\cross\overline{\mathcal{M}}arrow\overline{\mathrm{Q}}\iota$$\theta_{(\text{。},\xi)}^{()}\sim$$\xi\in\hat{A}_{\mathrm{e}\mathrm{x}}^{\text{。}}$

を次の式で定義する.
$\{(c, \xi), (c\xi’’,)\}=|A$

の

$A$ 。

$\langle F\rangle$$(c, \xi)\in \mathcal{M},$への拡張$\overline{\xi}$$(c’, \xi’)\in\overline{\mathcal{M}}$を固定する.

pairing

$\{$

,

$\}$

:

に対し

.

。

$|^{-1}|A^{\text{。}}F|’-1gcg-1 \in A\mathrm{c}’FgA\sum_{\in}\xi\sim(g-1c’Fg)\xi(gcg^{-}1)$

この pairing は Lusztig の非可換 Fourier 変換に使われる pairing の類似ではあるが, 同じではない. pairing $\{(c^{-1}, \xi), (d, \xi’)\}$ が Lusztig の意味での $(c, \xi)$ と $(d, \xi’)$ の pairing になる.

さて,$(d, \xi’)\in\overline{\mathcal{M}}$まれ, 従ってを$\lambda_{(\text{。^{}l},\xi}^{()}’$)

に対し, 1 の島根’$\xi’\in\hat{A}^{\text{。}F}$, を次の様に定める.

$\lambda_{(\text{。^{}\prime},\xi)}^{(m)}$$(dF)^{-m}$とおく. 次の定理は $(c, \xi)\in \mathcal{M}$ に対し$m$$A^{\text{。^{}\prime}F}$の中心に含の表現空間にスカラー倍で作用する. このスカラー $=\xi’((dF)-m)/\xi’(1)$$\theta_{(_{\text{。}},\xi}^{(m)}\in\overline{H}^{F^{m}}$)の Shintani descent が Lusztigの概指標と似たものを与えることを示している.
定理 1.

は

は仮定 2 を満たすとする. このとき,$x\in \mathcal{M}$に対し,$sh_{F^{m}/F}( \mu_{xx}-1^{\sim}\theta^{(m)}|_{H^{F}}m\sigma)=\sum_{y\in\overline{\mathcal{M}}}\{X, y\}\lambda^{(m})\theta_{y}y$.

72\S 2. 一般 Gelfand-Graev 指標
この節では $G$ を reductive な (連結) 代数群とし,nius 写像を $F$ で表す. 巾零元

Graev 指標られる$\Gamma_{N}$が構成された. 更に川中は [K3] で,$SL_{n}(\mathrm{F}_{q})$を $G$ の巾単多様体,$G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}$:が小さくないとき 同型 $f$$SL_{n}$ここでは 1 節との関連で,を$\emptyset \mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{l}$の巾零多様体とする. Springer により$\mathrm{g}$が存在することが知られている.

$G_{\mathrm{u}\mathrm{n}}:\simarrow \mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{i}1$$P$に対して定義できる). また–般には

通常の指数写像の逆写像として取ることができる.

G- 不変になる. 以下ではこの様な

$f$

$P$

$\Pi$

とする.

論により
れる.

$\mathbb{Z}-$

線形写像

$h$

:

$\mathbb{Z}\Sigmaarrow \mathbb{Z}$Dynkin 図形の各頂点

Dynkin 図形という. 関数が得られる. ここに,て砺$=\oplus_{j\geq i}\mathrm{g}j$

はが十分大きいという仮定のもとに,$f$を

いずれの場合も, $f$ は F- 不変であり, か分群になる.

$\text{く}$$h$の G- 軌道F- 不変な極大 torusの$G$$\mathcal{O}_{N}\subset$.

$\iota \mathrm{h}$に数$h(\alpha)$

は F- 不変であり,は$\mathrm{g}$を付け加えたものを$h$により$\mathrm{g}$:$\langle, \rangle$$\mathrm{g}\cross \mathrm{g}arrow k$

F- 不変な線形写像$\lambda$:

を$\mathrm{g}$$\mathrm{g}_{1}$を$\mathrm{g}_{\alpha}$$U_{1.5}arrow k$$\mathrm{g}=\oplus_{i\in \mathbb{Z}\mathrm{g}i}$の直和である. 各 $i\geq 1$ に対しを$\mathrm{g}$の opposition$\mathrm{F}_{q^{-}}$$\mathcal{O}_{N}$

ここで, $L$ は $T$ をの代表元 $N$ は$\mathrm{g}_{2}^{F}$に含同型による $N$ の像とする. こ$\lambda(x)=\langle N^{*}, x\rangle$$\mathrm{u}_{1.5}=5+\mathrm{u}_{2}$$U_{1.5}$

とおく. このとき,は$\mathrm{u}_{1}$このとき [K1],により定義する.

上に非退化な交代形式を与える.

であり, $U_{1.5}=f^{-1}(\mathrm{u}_{1.5})$ とおくと,:に付随した weightedの山面 Lie 環であり, $f^{-1}(*)=U_{i}$ は $G$ の F- 不変な巾単部$N^{*}\in \mathrm{g}_{-2}^{F}$$\iota\iota_{1}arrow k$subspace 5 をひとつ選び,, 単純ルート

上の G- 不変かっ F- 不変な, 結合的, 非退化な双線形形式とする.

り, 写像 $(x, y)rightarrow\lambda([x, y])$ は$\lambda\circ f$$\mathcal{O}_{N}$の F- 不変な次数付け

含む $P$ の Levi 部分群であり, Lie $L=\emptyset 0,$ $U_{P}=U_{1}$ である. 今,

こで,とに対し, Dynkin-Kostant 理$P=LU_{P}$ を $N$ に付随した $G$ の F- 不変な放物部分群とする.

まれる様に取ることができる.

$\Sigma$$T$で, 各 $\alpha\in\Pi$ に対し $h(\alpha)\in\{0,1,2\}$ を満たすものが取は $h(\alpha)=i$ となる様なルート空間$\emptyset i$とお$\alpha\in\Pi$

$N$

$P$

$f$

を固定して考える.

を巾零話とする.

$N\in \mathrm{g}^{F}$

の標数

(この場合

それを含む F- 不変な Borel 部分群 $B$ の組を定め, それに関するルート系を系を$\mathrm{F}_{q}$$G=GL_{n}$ またはで, $F$ が標準的な Frobenius 写像の場合, $f$ : $xarrow x-1$ として良い.

全ての素数

り,

の–般 Gelfand-の Shintani descent の決定に役立つのはこ(これも–般 Gelfand-Graev 指標と呼ぶ) の方である.

$\Gamma_{N}$の Frobe-の変形 (あるいは精密化) として得$\Gamma_{N}$$\cdot$$G^{F}$$\mathrm{g}$とその変形を以下の様に定義する.

今つを $G$ の Lie 環とする. $G$ とに対して, 川中 [K1], [K2] により$N\in \mathrm{g}^{F}$の誘導表現を構成している.

$G^{F}$の変形$\Gamma_{N}$$\mathrm{g}$$\mathrm{u}_{1.5}$$\mathrm{g}_{1}$はの F- 不変な Lagrangian$\mathrm{u}_{1}$の F- 不変な部分 Lie 環の F- 不変な閉部分群となる.

は群の準同型になることが分かる. 従って,

[K2] によさらに, [K1] によ$\Lambda_{N}=\psi\circ\lambda\circ f$

は$U_{1.5}^{F}$

の線形

73

指標を与える.

とおいて得られる$\tau_{N}=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{U^{F\Lambda}1.5}^{G^{F}}N$

付随する–般 Gelfand-Graev 指標である. 指標
次に [K3] に従って群に対して変形$\Gamma_{N}$$\Gamma_{N}$$\Gamma_{N}$$G^{F}$の誘導指標が [K1] で構成された $N$ にはの取り方に依らない.

$\mathfrak{s}$(精密化) を定義しよう. 実は [K3] では, 一般の reductiveの変形が構成されているが, ここでは 1 節の結果を使う必要上, より限定された (計算しやすい) 状況で考える.

$\Gamma_{N}$の定義に使われる部分群$U_{1.5}$は 5 の取り方に依存し,は必ずしも $L$ の作用で不変にはならないことに注意して, 次の仮定をする.

$U_{1.5}$

F- 不変かっ L- 不変な Lagrangian subspace

仮定 3.

この仮定のもとで,$\mathrm{u}_{1.5}arrow k$$\mathfrak{s}$

力 jl に存在する.

は L- 不変になり, 半直積 $H=L\ltimes U_{1.5}$ と $f$ :$U_{1.5}$$U_{1.5}arrow \mathrm{u}_{1.5},$$\lambda$:に関して仮定 1 の条件が全て満たされる. またそのとき,$A=Z_{L}(\lambda)/Z_{L}^{0}(\lambda)\simeq Z_{G}(N)/z_{G}^{0}(N)$となっていることにも注意しておく.
$\overline{\mathcal{M}}$に対し, $H^{F}$ の既約指標$\theta_{(\text{。},\xi)}$$\overline{\mathcal{M}}$を 1 節で定義したパラメーター集合とする. $(c, \xi)\in$が定義される.

$\Gamma_{(\text{。},\xi})=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}G^{F}FH\theta(\text{。},\xi)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}c^{F}Fz_{L(\lambda_{\mathrm{C}}})U_{1}^{F}.(5\xi^{\mathfrak{h}}\otimes\overline{\Lambda}_{\text{。}})$

を, 組 $(c, \xi)$ により定まる (変形) 一般 Gelfand-Graev 指標という. V

応する巾零元とすると,$\Gamma_{(\text{。},\xi)}$

はを $c\in A$ に対$\in \mathcal{O}_{N}^{F}$の直和成分であり, その意味で–般 gelfand-Graev 指標の$\Gamma_{N_{\mathrm{c}}}$

精密化になっている.
注意.

$G$

が $GL_{n}$ または $SL_{n}$ で, $F$ が標準的 Frobenius 写像の場合, 関数

べることにより, 仮定 3 を満たす$\mathfrak{s}$$h$:$\mathbb{Z}\Sigmaarrow \mathbb{Z}$を調の存在が確かめられる. また, $N$ の weighted Dynkin 図

形が $\{0,2\}$ のみからなる場合には, $\epsilon=\{0\}$ なので, 仮定は自動的に成立する. 例外群の場合,

最も興味のある巾零類は,$n$$G_{2},$ $F_{4},$ $E_{8}$の場合に, それぞれ $Z_{G}(N)/Z_{G}^{0}(N)\simeq S_{3},$$S_{4},$$S_{5}(S_{n}$は次の対称群) となる類であるが, これらは全て前記の例であり, 従って仮定 3 を満たす.
さて, $m>0$ を仮定 2 を満たす整数とすると, $x=(c, \xi)\in \mathcal{M}$ に対して不変であり,$\overline{\Gamma}_{x}^{(m)}$は$H^{F^{m}}\langle\sigma\rangle$$G^{F^{m}}$への拡張の F- 不変な–般$\theta_{x}^{(m)}\sim$が得られる.

このとき,Gelfand-Graev 指標

結果は定理 1 の系として容易に得られる.

$\Gamma_{x}^{(m)}$の$\theta_{x}^{(m)}\in H^{F^{m}}$$\tilde{\Gamma}_{x}^{(m)}=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}^{c_{F}^{F}}mH(\sigma)xm(\sigma)^{\sim}\theta^{(}m)$$G^{F^{m}}\langle\sigma\rangle$

は F-

とおくと

への拡張を与える. 次の

74

系 1.

に対し,

$x\in \mathcal{M}$$Sh_{F^{m}/F}(\mu_{x}-1\tilde{\tau}_{x}(m)|_{c\sigma}Fm)=yy\in \text{ス}\{x, y\}\lambda_{y}^{(}m)\tau_{y}$

\S 3.

.

の–般 Gelfand-Graev 指標$SL_{n}(\mathrm{F}_{q})$この節以降, $G=SL_{n},$ $F$ は標準的 Frobenius 写像と仮定する. 従って $G^{F}=SL_{n}(\mathrm{F}_{q})$ である.

$G^{F}$の既約指標をパラメトライズするために, $Garrow\overline{G}=GL_{n}$ としての既約指標と比較して考える.
$W=N_{\tilde{G}}(\tilde{\tau})/\tilde{T}$

であり,
による

$\tilde{G}$をの Weyl 群とする.

の極大 torus$\tilde{G}^{*}$$\tilde{G}^{F}$を$\tilde{B}\supset\tilde{T}$$\tilde{\tau}*$, Weyl 群$\tilde{G}$の F- 不変な Borel 部分群と極大 torus の組とし,

また,$W^{*}$. の既約指標の分類を説明する.

$\tilde{G}^{F}=GL_{n}(\mathrm{F}_{q})$を$\tilde{G}^{*}$

はそれぞれ$(\overline{G}^{F})^{\wedge}$をの双対群とする. GL\sim 場合,$\tilde{G}$$\tilde{T},$$W$$\overline{G}^{*}\simeq\overline{G}$と同–視できる. ここで, Lusztigの既約指標全体の集合とすると,$\tilde{G}^{F}$$( \tilde{G}^{F})^{\wedge}=\prod \mathcal{E}(\tilde{c}^{F}, \{s\})$$\{s\}$と分割できる. ここで, $\{s\}$ は半単純類とし, 代表元$s\in\tilde{\tau}*$$\tilde{G}^{*}$の $F- \text{不変な半単純共役類を全_{て動く}}$ .

を取る.

今

体とする. そのとき$\gamma$:$W_{s}arrow W_{s}$$\mathcal{E}(\tilde{G}^{F}, \{s\})$はを F- 不変な

このとき, $Z_{s}=\{w\in W|wF(s)=s\}\neq\emptyset$ であり,

$W_{s}=\{w\in W|w(s)=s\}$ とおくと, $Z_{s}=W_{s}w_{1}(w_{1}\in W)$ と表される.

にし, それより同型$\{s\}$

が導かれる.
$(W_{s})\mathrm{e}\mathrm{x}\wedge$$(W_{s})_{\mathrm{e}}^{\bigwedge_{\mathrm{X}}}$を$W_{s}$$w_{1}F$の既約指標で$\gamma$は$W_{s}$

を不変

で不変なもの全によってパラメトライズされ,$\mathcal{E}(\tilde{G}^{F}, \{s\})=\{\rho_{s,E}|E\in(W_{S})^{\wedge}\mathrm{e}\mathrm{x}\}$と表される.

今,$\tilde{\mathrm{g}}$

を

標とする.
$\overline{G}^{F}$の Lie 環とする.

$\tilde{G}$$GL_{n}$の場合,の既約指標の分類と$Z_{\tilde{G}}(N)$$\overline{\Gamma}_{N}$$\mathrm{g}^{F}\sim$の巾零元 $N$ に対しては連結であり, 従ってを$\tilde{\Gamma}_{N}$$\tilde{\Gamma}_{N}$$\tilde{G}^{F}$は丁零類の–般 Gelfand-Graev 指$\mathcal{O}_{N}$により唯–つ定まる.

との密接な関係を与える川中 [K3] の結果を述べるために, 少し準備をする. Lusztig により, 中心が連結な reductive 群 $H$ に対して, $H^{F}$ の既約指標の集合か
ら Lie $H$ の F- 門変な酔興類全体への自然な写像が構成されている. 特に $GL_{n}$ の場合には次の様になる.
く.

$\rho_{s,E}\in \mathcal{E}(\overline{G}^{F}, \{s\})$$\hat{E}\in W^{\wedge}$を$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{W_{\epsilon}}^{W}E’$とする.

$W_{s}$の符合表現をとして, $E’=E\otimes\epsilon\in W_{s}^{\wedge}$ とお$\epsilon$の分解に現れる $W$ の既約指標で$b_{\hat{E}}=b_{E’}$とする. (ここに, $W$ の鏡映表現を $Warrow GL(V)$ とするとき,の symmetric power に$E_{1}$が表れる様な最小の$i$を$b_{E_{1}}$を満たす唯–つのもの$E_{1}\in W^{\wedge}$に対して $V$ の

$i$

番目

とする). そこで, Springer 対応によ

75

り$\hat{E}$に対応する$W\simeq S_{n}$

なので,

の巾零類を

$\overline{\mathrm{g}}$は $n$ の分割$\hat{E}$とする.

$\mathcal{O}_{\rho}$

により

$\mu$

$\rhoarrow \mathcal{O}_{\rho}$$\hat{E}=\chi_{\mu}$が求める写像を与える. $H=GL_{n}$ の場合,

と表され,

に対応する

$\mu$

の巾零類が

$\overline{\mathrm{g}}$$\mathcal{O}_{\rho}$となる. このとき次が成立する.

定理 2(川中 [K3]).

$\overline{\Gamma}_{N}$を $N$ に対応する$\tilde{G}^{F}$の–般 Gelfand-Graev 指標とする.

に対して,$\rho\in(\overline{G}^{F})^{\wedge}$$\langle\overline{\Gamma}_{N}, \rho\rangle_{\tilde{G}}F=\{$ $01$

ここで,$\langle, \rangle_{\overline{G}^{F}}$は,$\tilde{G}^{F}$$\mathrm{i}\mathrm{f}\mathcal{O}N\not\subset \mathrm{i}\mathrm{f}\mathcal{O}_{\beta}=\frac{\mathcal{O}}{\mathcal{O}}N\beta’$の指標の内積を表し, また$\overline{\mathcal{O}}_{\rho}$

次に $G^{F}=SL_{n}(\mathrm{F}_{q})$ の既約指標について考える.

tiphicity free であり,
これで–応$\hat{G}^{F}$$G^{F}$の既約指標は全て$\rho|_{G^{F}}$は巾零類$\rho\in\overline{G}^{F}$の$\mathcal{O}_{\rho}$$\tilde{\mathrm{g}}$$N\in \mathrm{g}^{F}$を巾嘉元とし, 2 節に従って義する.

$G=SL_{n}$$G^{F}$

での閉包を表す.

の $G^{F}$ への制限$\rho|_{G^{F}}$を分解することにより得られる.

$(\tilde{G}^{F})^{\wedge}$は mul-

従って,の分解をしかるべ$\rho|_{G^{F}}$の g\mbox{\boldmath $\pi$}-\hslash ‘’--般 Gelfand-Graev 指標によって, ある意味で分離できることを示しているが, 類似の現象が$G^{F}$

についても成立する.

の–般 Gelfand-Graev 指標及。,\xi )$((c, \xi)\in\overline{\mathcal{M}})$今,を定の場合, $A\simeq Z_{G}(N)/z_{G}^{0}(N)$ は Abel 群になることに注意する. このとき,の $F$ -twisted 共役類の集合 $A/\sim_{F}$ は $A$ の商群 $A_{F}$ ( $F$ が自明に作用する様な最大の商群)

同–視できる. 従って,

さて,$G^{*}$と同–視でき,$s\in\overline{G}^{*}$$W_{\overline{s}}=W_{s}\Omega_{s}$$G^{*}\simeq PGL_{n}$であり, 埋め込みに対し, $\overline{s}=\pi(s)\in G^{*}$ とおく.

は巡回群になる. 今,とするとき,$\Omega_{s}$る) の上に推移的に作用する. また,

と

と表せる.

$W_{\overline{s}}=\{w\in W|w(\overline{s})=\overline{s}\}$$\Omega_{s}\simeq z_{c}*(\overline{s})/z_{c*}^{0}(\overline{s})$仮定 4.

$\overline{\mathcal{M}}=A_{F}\cross\hat{A}^{F}$

を $G$ の双対群とする.

を誘導する. 半単純元
$W$.

の分類ができるが, Shintani descent を扱うときには,くパラメトライズする必要がある. 定理 2 は

$A$

このとき

は

とすると,

$G^{*}$の各因子 ($E\in W_{S}^{\wedge}$

は$\Omega_{s^{-}}$$W_{s}$

は全射の Weyl 群は$W_{\overline{s}}=W_{S}\lambda\Omega_{s}$$\rho=\rho_{s,E}\in \mathcal{E}(\tilde{G}^{F}, \{s\})$$W_{s}$$Garrow\overline{G}$$\pi$$\tilde{G}^{*}$:$\overline{G}^{*}arrow G^{*}$の Weyl 群と表される. ここに,に対し, 次を仮定する.

は対称群亀達の直積になってい不変である.

次の定理が $G^{F}=sL_{n}(\mathrm{F}_{q})$ に対する定理 2 の類似を与える.

定理 3.

$\rho=\rho_{s,E}\in(\overline{G}^{F})^{\wedge}$$(c, \xi)\in\overline{\mathcal{M}}$(i)に対し, 組 $(s, E)$ は仮定 3 を満たすとする.

に対して次が成立する.

$\mathcal{O}_{N}\not\subset\overline{\mathcal{O}}_{\rho}$

ならば$\langle\tau_{(\text{。},\xi),\rho}|cF\rangle cF=0$.

このとき, 各元

76

(ii)

$\mathcal{O}_{N}=\mathcal{O}_{\rho}$とする. このとき,

1

if
if

$\langle\Gamma_{(\text{。}},\xi), \rho|cF\rangle_{c^{F}}=\{$

$0$

となる

$\xi 0\in\hat{A}^{F}$$\xi=\xi_{0}$$\xi\neq\xi_{0}$,,が唯–つ存在する.

注意. 仮定 4 を外すと定理 3 は–般に成立しない.

Gelfand-Graev 指標であり, (ii) の条件は$\rho$

が$\tilde{G}^{F}$$N\in \mathrm{g}^{F}$

が正則巾零元の場合$\Gamma_{(\text{。},\xi)}$はの正則な既約指標であることを意味する.

この場合, 定理の結果は浅井 [A] により既に得られていた.
定理 3 により$\mathcal{O}_{\rho}=\mathcal{O}_{N}$とが分かる. これを$\rho(c,\xi_{0})$の場合に,$\Gamma_{(\text{。},\xi_{0)}}$と表す. すると,$c$と$\rho|_{G^{F}}$が$A_{F}$

は共通なつ:$A_{F}arrow\overline{A}_{F}$

さて,$\overline{s}\in T^{*}$

不変になる.

による $c\in A_{F}$ の像をの $G^{*}-$ 共役類$\{\overline{s}\}$$F’=w_{1}F$ とおくとされる. 各 $x\in(\Omega_{s})_{F’}$ に対して

対して$\{s_{x}\}$$x\in(\Omega_{s})_{F}$$\overline{c}$$G^{F}$$c,$$d\in A_{F}$

とすると,

が同じ

$\mathcal{T}_{\overline{s},E}$$\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},N}=\overline{A}_{F}\mathrm{x}(\overline{A}^{F})^{\wedge}$$A_{F}arrow\overline{A}_{F}$が$\varphi$:$\overline{A}_{F}\simeq$

巧を与える.

の $G^{*F_{-}}$ 共役類は $\Omega_{S}/\sim_{F’}\simeq(\Omega_{s})_{F’}$となる$\pi(s_{x})=\overline{s}$$s_{x}\in(\overline{T}^{*})^{xF’}$$\rho_{x}=\rho_{s_{x},E}$

とおき,$\mathcal{T}_{\rho_{x}}$$T_{\overline{s},E}$$\overline{s}$でパラメトライズを選ぶ. 各 $x\in(\Omega_{s})_{F}$ , に$W_{s_{x}}$は$W_{s}$と同型にな

を巧と同様に定義する.
をは $w_{1}F-$$\mathcal{T}_{\rho_{x}}(x\in(\Omega_{s})_{F^{\prime)}}$$\mathcal{T}_{\rho_{x}}$は各の和集合としは次の様に–般 Gelfand-Graev 指標を使ってパラメトライズされる.

とお$\text{く}$. ここで,

は全射になる.

れば, 自然な全射の既約指標を与$G^{F}$

は F- 不変になる. また, ある $w_{1}\in W$ に対して$\{\overline{s}\}^{F}$の既約成分と全単射になる. 即ち, 自然$\overline{A}_{F}$$(\overline{c}, \xi_{0})\mapsto\rho_{(\text{。},\xi 0})$

, に対して互いに共通部分を持たない. 今,て定義する. すると$\rho|_{G^{F}}$の既約指標の全体とすると, 次が成り立に対して, 巧は$\overline{A}$は$\rho(\text{。},\xi 0)$は互いに異なる F- 計変な共役類を与える. またこのときり, 組 $(s_{x}, E)$ は仮定 4 を満たす.

た,の分解に表れるのある F- 不変な部分群による商群

$A$

な全射

$\rho|_{G^{F}}$の既約指標を唯–つ持つこの元を動くときの全てを尽くすことが確かめられる. しかし, 異なったえることも起こる. 今, 巧を$G^{F}$$(\overline{A}^{F})^{\wedge}$$\overline{\mathcal{M}}=A_{F}\cross\hat{A}^{F}$$\overline{\mathcal{M}}0arrow\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},N}$は$(A^{F})^{\wedge}$の部分集合とみなすことができる. まの部分集合$\overline{\mathcal{M}}_{0}$を$\overline{\mathcal{M}}_{0}=A_{F}\mathrm{x}(\overline{A}^{F})^{\wedge}$

で定義すが得られる. このとき, 定理 3 の系として次の結果が得ら

れる.

系 2.

$\mathcal{O}_{\rho}=\mathcal{O}_{N}$$T_{\overline{s},E}rightarrow\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},N}$き, 任意のとする.

が存在する.

$(d, \xi’)\in\overline{\mathcal{M}}0$$\pi(s)=\overline{s}$$(c, \xi)\in\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},N}$

とおく

このとき以下の性質を満たす様な全単射に対し, 対応する$\mathcal{T}_{\overline{s},E}$

の元を

に対して

$\langle\Gamma_{(\text{。^{}\prime}},\xi’), \rho_{(\text{。}},\xi)\rangle_{G^{F}}=\{$

1if
if

$0$

$\varphi((_{C’}, \xi’))=(C, \xi)$,$\varphi((d, \xi’))\neq(c, \xi)$.

$\rho(\text{。},\xi)$と表す. このと

77

更に,

\S 4.

$(d, \xi’)\in\overline{\mathcal{M}}-\overline{\mathcal{M}}_{0}$に対しては, 任意の$\rho_{1}\in T_{\overline{s},E}$$\langle\Gamma_{(\text{。}}\prime,\epsilon’), \rho 1\rangle G^{F}=0$となる.

の Shintani descent$SL_{n}(\mathrm{F}_{q})$3 節でも少し述べたが, ここで Lusztig [L] による一般論により$\hat{G}^{F}=\mathrm{I}\mathrm{I}_{\{\overline{s}\}}\mathcal{E}(G^{F}, \{\overline{s}\})$

類を全て動く. 今,$s\in\tilde{\tau}*$

に対して

を

$\{\overline{s}\}$$G^{*}$と分割できる.

各 $x\in(\Omega_{s})_{F}$ , に対して

$s_{x}\in(\overline{T}^{*})^{xF’}$

における,

を取り,

$\mathcal{T}_{x,E}$

を$\Omega_{s}^{\gamma_{x}}=\Omega_{s}^{p_{-}^{l}}$$(W_{s}^{\wedge})^{\gamma_{x}}/\Omega_{s}^{F’}$$G^{F}$

は F- 不変なとし,$\overline{s}\in\tau*$$\overline{s}$$G^{*}$を$\gamma_{x^{-}}$の半単純$\pi(s)=\overline{s}$となる

は $F’=w_{1}F-$ 不変になり,

このとき, $W_{s_{x}}=W_{x}$ であり, 各軌道の全体とする. 各の分解に表れる$\rho_{s_{x},E}|_{G}F$$\{\overline{s}\}$3 節で述べた様に,が選べる.

て, 同型物 $=xF’$ : $W_{s}arrow W_{s}$ が定まる.
$(W_{s}^{\wedge})^{\gamma_{x}}$ここにの F- 不変な半単純類とする.

で $\{s\}$ が F- 不変になるものを選ぶ.

の既約指標の分類を説明する.

$SL_{n}(\mathrm{F}_{q})$不変な$E\in(W_{s}^{\wedge})\gamma_{x}/\Omega_{S}^{F}l$$W_{s}$$x$に対しの既約指標の集合に対し,$\rho_{s_{x},E}\in(\overline{G}^{F})^{\wedge}$の既約指標全体の集合とする. このとき, [L] により$\mathcal{E}(c^{F}, \{\overline{S}\})=\prod \mathcal{T}_{x,E}$$(x,E)$と表される. ここに $(x, E)$ は, $x\in(\Omega_{s})_{F’},$$E\in(W_{s}^{\wedge})^{\gamma_{x}}/\Omega_{s}^{F’}$と全単射になることも分かる.

$\Omega_{S}^{xF’}(E)\wedge=\Omega_{s}^{F’}(E)^{\wedge}$(

を全て動く. 更に, 集合$\Omega_{s}^{F’}(E)$は$\Omega_{S}^{F’}$$\mathcal{T}_{x,E}$はにおける $E$ の固定化群を表す). しかし canonical な対応は与えられていないことに注意する. ここで次の様な自然な全単射 $f$ が存在する.

$f$

ただし,
に対し,

$(W_{s}^{\wedge}/\Omega_{s})^{F}$$\mathcal{T}_{\overline{s},E}$

は $f$ による’は:$\prod_{(E\in W/s^{\wedge}s)\Omega F’}\Omega_{s}(E)F’arrow\sim\prod_{\Omega x\in(s)_{F};}(W)S^{\wedge}/\gamma_{x}\Omega^{F}S’$$W_{s}^{\wedge}$における F- 不変なを下記の様な (X, $E’$ ) に対応する$\Omega_{s}(E)_{F’}$$\Omega_{s^{-}}$$T_{x,E’}$.

軌道の集合を表す. 今,$E\in(W_{s}^{\wedge}/\Omega_{s})F’$の和集合として定義する. ここに $(x, E’)$の像に含まれる組 (X, $E’$ ) を全て動く. すると, 前記のことから$\mathcal{E}(G^{F}, \{\overline{S}\})=\prod_{l\delta}\mathcal{T}_{\overline{s},E}E\in(W\wedge/\Omega)^{F}l$と表される.
ここで, パラメーター集合

上に述べたことから,$\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},E}$$\mathcal{T}_{\overline{s},E}\text{は}\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},E}$

れていない). 次の結果は$\hat{G}^{F}$を$\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},E}=\Omega_{s}^{F’}(E)^{\wedge}\cross\Omega_{S}(E)_{F’}$として定義する. するとと全単射に対応する. (しかし, canonical な対応は与えらの自然なパラメトリゼーションを与える.

78

命題 1. 各に対し, 自然な対応$E\in(W_{S}^{\wedge}/\Omega_{s})^{p’}$$\mathcal{T}_{\overline{s},E}rightarrow\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},E}$が存在し,$\mathcal{E}(G^{F}, \{\overline{S}\})\simeq\prod_{)E\in(W_{S}^{\wedge/}\Omega_{s}F’}\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s}},E$となる.

実際, $(s, E)$ が仮定 4 を満すときは,$\mathcal{O}_{\rho}=\mathcal{O}_{N}$を満す巾零類$\mathcal{O}_{N}$に対して,$\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},N}=\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},E}$となり, 命題 1 の対応は系 2 より得られる. 一般の場合は. 系 2 の結果を $G$ の Levi 部分群に対して拡張し, Lusztig の twisted induction を使って, 仮定 3 を満す場合に帰着させることに
より示される.

次に十分大きい $m$ に対して
$G^{*}$の F- 不変な半単純類$\{\overline{s}\}$$G^{F^{m}}$の F- 不変な既約指標をパラメトライズする.

を考え,としておく.

$\overline{s}\in T^{*F’}$$\pi(s)=\overline{s}$となるが F- 不変なものを取る. 今, $m$ を十分大きく取って, $s\in T^{*F^{m}}$ , かつ $F^{m}$ はする様にしておく. 各より)$\tau_{\overline{s},E}^{()}m$$\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},E},$$\mathcal{T}_{\overline{s},E}$$E\in W_{s}^{\wedge}$に対して$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{E}^{m)}$,と同様に定義する. するとと$T_{\overline{s},E}(m)$は$\overline{\mathcal{M}}_{\frac{(}{s},E}^{m)}$のいくつかの和集合として表される. $m$ の取り方からことに注意する$\Omega_{S}(E)_{\mathrm{e}\mathrm{X}}\wedge$

は$\overline{\mathcal{M}}_{\frac{(}{s},E}^{m)}$$\Omega_{s}(E)$の部分集合$\mathcal{M}_{\overline{s},E}$をと全単射になり,$\Omega_{s}$で $\{s\}$に自明に作用$\mathcal{E}(G^{F^{m}}, \{\overline{s}\})$$\overline{\mathcal{M}}_{\frac{(}{s},E}^{m)}=\Omega_{s}(E)^{\wedge}\mathrm{x}\Omega_{S}(E)$$\mathcal{M}_{\overline{s},E}=\Omega_{S}(E)\mathrm{e}\mathrm{x}\Omega_{S}\wedge(\cross E)^{F}l$の $F’-$ 不変な既約指標の集合を表す.

$s\in\tilde{\tau}*$( $F’$ を $F^{m}$ で置き換えることにを$\mathcal{T}_{\overline{s},E}^{()}m$

前の様に

は

となる

で定義する. ただし,以上の設定のもとに,$\mathcal{E}(G^{F^{m}}, \{\overline{s}\})$に含まれる F- 不変な既約指標は次の様にパラメトライズされる.

$\mathcal{E}(G^{F^{m}}, \{\overline{s}\})p\simeq\prod_{\Omega_{s}E\in(W_{s^{\wedge}}/)^{F}}\prime \mathcal{M}_{\overline{s},E}$

ここで,$\mathcal{M}_{\overline{s},E}$上の対応で,$\mathcal{M}_{\overline{s},E}$は$(\tau_{\overline{s},E}^{(m)})F$$y\in\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},E}$に対応する

ここで, pairing$\mathcal{T}_{\overline{s},E}^{(m)}$

$\{$

,

$\}$

と全単射に対応している.
に対応する

に属する

:

.

$G^{F^{m}}$$\mathcal{T}_{\overline{s},E}$に属する$G^{F}$の既約指標をの F- 調変な既約指標を$\mathcal{M}_{\overline{s},E}\cross\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s}},Earrow\overline{\mathrm{Q}}\iota$$\rho_{x}^{(m)}$$\rho_{y}$と表し, また $x\in$と表す.

を $x=(\eta, z)\in \mathcal{M}_{\overline{s},E},$$y=(\eta’’, z)\in\overline{\mathcal{M}}_{\overline{s},E}$に対して,$\{x, y\}=|\Omega s(E)F’|-1\eta(z’)\eta’(Z)$により定義する.
$x\in \mathcal{M}_{\overline{s},E}$(ここで,$\eta\in\Omega_{s}(E)\mathrm{e}\mathrm{x}\wedge$

は自然に$\Omega_{S}(E)_{F’}$に対し, $R_{x}\in C(G^{F}/\sim)$ を$R_{x}= \sum_{y\in\overline{\Lambda 4}\overline{\epsilon}E},\{x, y\}\rho_{y}$上の指標とみなせる).

また各

79

により定義する. 次の定理が
定理 4

既約指標

組

$(\overline{s}, E)$$G^{F^{m}}$の F- 不変な既約指標の Shintani descentは上の通りとし, $m$ は十分大きいとする. 各$\rho_{x}^{(m)}\in \mathcal{T}_{\overline{s},E}^{(m)}$の$G^{F^{m}}\langle\sigma\rangle$

への拡張を$\tilde{\rho}_{x}^{(m)}$$x\in \mathcal{M}_{\overline{s},E}$を記述する.

に対し, F- 不変なとする. このとき$sh_{F/p}m(^{\triangleleft_{x})}\rho^{m}|cFm_{\sigma})=\mu xRx$となる. ただし,$\mu_{x}$定理 4 の証明はは拡張$\tilde{\rho}_{x}^{(m)}$$SL_{n}(\mathrm{F}_{q})$twisted induction と$G^{F^{m}}$の取り方に依存して定まる 1 の $m$ 乗根である.

に関する Shintani descent 等式 (Shintani descent により,の Harish-Chandra induction を結び付ける等式)$G^{F}$

を適用すること

により, $(s, E)$ が仮定 4 を満す場合に帰着される. そしてその場合には系 1 と系 2 を使い,の余次元に関する帰納法により, 更に$\mathcal{O}_{\rho}$の$\mathcal{O}_{\rho}$が正則巾零細の場合に帰着されて定理が示される.

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