数理解析研究所講究録
900 巻 1995 年 148-158

148

バナッハ空間上の周期線形関数微分方程式の周期解の存在について
朝鮮大学理学部

申正善(Jong Son Shin)

電気通信大学内藤敏機(Toshiki Naito)\S 1 はじめに次の無限遅れの線形関数微分方程式を考える :$\frac{dx(t)}{dt}=A.x(t)+L(t, Xt)+F(t)$

$(E)$

.

は実数の集合 $R$ のある無限区間 $(-\infty, a)$ で定義されバナッハ空間 $E$ の値を, で定義される $(-\infty, 0]$ 上の関数とする.
は $x_{t}(\theta)=x(t+\theta)$ ,とる関数, また

ここで $x(t)$$\theta\leq 0$$x_{t}$$B$

は関数$\phi$:$(-\infty, \mathrm{O}]arrow E$のある族からなるバナッノ\ 空間で次節で定義される公理系をみたすとし, 方程式 $(E)$ は次の仮定を常にみたすとする :(H-1) 線形作用素$A$

は $E$ 上の$c_{\mathit{0}^{-}}$(H-2) $L:R\cross Barrow E$ は連続で,コンパクト半群の生成作用素である.

$L(t, \cdot)$: $Barrow E$ は線形写像である.

(H-3) $F:Rarrow E$ は連続である.
特に$L(t, \varphi’),$$F(t)$ が周期関数の場合は $(E)$

を $(PE)$ とあらわし, $F\equiv 0$ の場合は $(E),$ $(PE)$を各々 $(E_{0}),$ $(PE_{0})$ とあらわす.

本論文の目的は $(PE)$ の周期解の存在を示すことにある.

\S 2

相空間 $B$ と解の評価

バナッハ空間 $E$ のノルムは$|\cdot|_{E},$

$B$

のノルムは

$|\cdot|_{B}$であらわす. 添え字は省略することもある. 前節で述べた $B$ の公理系を掲げる.

(B-1) 関数$x$

: $(-\infty, \sigma+a)arrow E,$ $a>0$ , が区間

ば, 各 $t\in[\sigma, \sigma+a)$ において次のことが成り立つ :

(i)
(ii)

$x_{t}\in B$.

$|x(t)|_{E}\leq H|x_{t}|_{B}$.

$[\sigma, \sigma+a)$で連続で,$x_{\sigma}\in B$

であれ

149

(iii)

$|x_{t}|_{B} \leq K(t-\sigma)\sup\{|x(s)|E : \sigma\leq s\leq t\}+M(t-\sigma)|x|\sigma B$

ここで

は定数,

$H$

り, これらは

$x$

に対して

$x$

$x_{t}$$c_{00}$は $t\in[\sigma, \sigma+a)$ に関する B-値連続関数である.

であらわし, 有界連続関数の集合を $BC$ で表す. 明らかに

C00\subset BC であり, また上記 (B-1) により(C) 一様有界な関数列$\phi\in B$

は局所有界であは本論文全体で仮定する. 区間 $(-\infty, 0]$ から $E$ への連続でコンパ$(\mathrm{B}- 1),(\mathrm{B}- 2)$

クト台をもつ関数の族をらば,$M(t)$に依存しない.

(B-2) 上記 (B-1) の中の公理: $[0, \infty)arrow[0, \infty)$ で, If $(t)$ は連続,$K,$ $M$.

が $(-\infty, 0]$ において関数$\{\phi^{n}\}\subset c_{00}$でかつ $B$ において次の公理はしばしば仮定する.

$c_{00}\subset B.${’} は$\phi$に局所一様収束するなに収束する.

$\phi$

公理 (C) の下では $BC\subset B$ となる. $BC$ の関数$\phi$に対して $| \phi|_{\infty}=\sup\{|\phi(\theta)| : \theta\leq 0\}$とおく.

補題 21. [3] 相空間 $B$ が公理 (C) をみたすならば, ある定数(2.1)$|\phi|_{B}\leq L|\phi|_{\infty}$,$\forall\phi\in BC$

に対して

$L$

.

作用素 $S(t)$ : $Barrow B,$ $t\geq 0$ , を$\phi(0)$$[S(t)\phi](\theta)=\{$,$-t\leq\theta\leq 0$$\phi(t+\theta)$

と定める.
$x$

$B_{0}=\{\phi\in B : \phi(0)=0\}$: $(-\infty, \infty)arrow E$ が$[\sigma, \infty)$(2.2)と分解される.

とおき,

で連続で,

,

$\theta\leq-t$$S(t)$ の$x_{\sigma}\in B$$B_{0}$

,
,

への制限を

$S_{0}(t)$ならば, 公理 (C) により$x_{t}=y_{t}+s_{0}(t-\sigma)[x-\sigma\overline{x(\sigma)}]$.

ここで$y(s)=x(s)$ ,$s\geq\sigma$,$y(s)=X(\sigma)$$[\overline{x(\sigma)}](\theta)=x(\sigma)$$(2.1),(2,2)$ により次の不等式を得る.

,$\theta\leq 0$.

,$s\leq\sigma$,とする. 関数

150

(2.3)

$|x_{t}| \leq L\sup\{|X(_{S})| :\sigma\leq s\leq t\}+|S_{0}(t-\sigma)[x_{\sigma}-\overline{x(\sigma)}]|$.

次に–般的な半線形関数微分方程式の初期値問題を考える :$\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+F(t, x_{t})$

(SE)

,

$t>\sigma$

,

$\{$

$x_{\sigma}=\phi\in B$

ここで $A$は第 1 節と同じ,$F$.

: $R\cross Barrow E$ は連続で局所リプシッツ条件をみたし,

さらにある連続関数 $n,$ $f$ : $Rarrow[0, \infty)$ が存在して$|F(t, \psi)|\leq n(t)|\psi|_{B}+f(t)$り立っているとする. 関数$\text{が}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

程式を満たすとき,

$x$

$x$

,

$(t, \psi)\in R\cross B$: $(-\infty, \sigma+a)arrow E$ が,,で連続で次の積分方$[\sigma, \sigma+a)$

を (SE) の mild solution といい, 今後単に (SE) の解といえばこの意味の解とする :$x_{S}ds$,$\sigma\leq t\leq\sigma+a$,$(x(tx_{\sigma}=)=T \emptyset.(t-\sigma)\emptyset(0)+\int_{\sigma}t)\tau(t-s)F(_{S},$命題 22. (SE) の解は$[\sigma, \infty)$

において–意的に存在する.

命題 23. $|T(t)|\leq M_{w}e^{wt}$ とする. このとき (SE) の解$x(t, \sigma, \phi)$に対して$|_{Xt}(\sigma, \phi-)|_{B}$$\leq|\phi|_{B}\{\hat{M}(t-\sigma)+K(t-\sigma)[HN(t, \sigma, \sigma)+\int_{\sigma}^{t}N(t, s, \sigma)n(S)\hat{M}(s-\sigma)ds]\}$$+K(t- \sigma)\int_{\sigma}^{t}N(t, S, \sigma)f(s)ds$,$\hat{M}(t)=$ただし $\hat{M}(t)$ は $M(t)\leq\hat{M}(t)$ であるような局所可積分な任意の関数 (たとえば$\sup\{M(s) :0\leq s\leq t\})$とし, また,$N(t, s, \sigma)=M_{w}\exp\int_{s}^{t}(\max\{w, 0\}+M_{w}n(r)K(\Gamma-\sigma))dr$

特に$\mathrm{f}(t)\equiv 0$であれば, ある局所可積分な関数$m(\cdot, \sigma)$$|x_{t}(\sigma, \phi)|_{B}\leq 7n(t, \sigma)|\phi|_{B}$:.

$\sigma\leq s\leq t$$[\sigma, \infty)arrow[0, \infty)$

.

が存在して

151

\S 3. 解の分解とその性質$x(t, \sigma, \phi)$は$[\sigma, \infty)$で定義された (SE) の解とする.

$B$$t\geq 0;U(t, \sigma),\hat{K}(t, \sigma),$$\hat{T}(t),$上の作用素$t\geq\sigma$,を次のように定める :$U(t, \sigma)\phi=Xt(\sigma, \emptyset)$$T(t+\theta)\emptyset(0)$$[\hat{T}(t)\phi](\theta)=\{$$\emptyset(t+\theta)$,,$t+\theta\leq 0$ ,,$t+\theta\geq 0$,$\int_{\sigma}^{t+\theta}T(t+\theta-s)F(s, X_{S}(\sigma, \phi))ds$$[\hat{I}\acute{\mathrm{t}}(t, \sigma)\phi](\theta)=\{$$0$$U(t, \sigma)$

また,を (SE) の解作用素という. 明らかに,: $Barrow B,$$\hat{T}(t)$$t\geq 0$,$t+\theta\geq\sigma$,$t+\theta\leq\sigma$.

$U(t, \sigma)=\hat{T}(t-\sigma)+\hat{\mathrm{A}}^{r}(t, \sigma)$, は Co-半群となる.

解作用素 $U(t, \sigma)$ の性質を調べる. その準備として, あるバナッハ空間

分集合

$G$

の有界な部

のクラトウスキー測度を$\Omega$$\alpha_{G}(\Omega)=\inf\{d>0:\exists U_{1,2,k}U\cdots,$$U\subset G,$と定め,と表される.

$\alpha$$\alpha(\Omega)=0$-測度とよぶ. 添え字と同値である.

$G$$\alpha(T)=\inf$$G$$\Omega\subset\bigcup_{i=1}U_{i}k,$は普通省略する.

上の連続線形写像$T$$\Omega$$U_{i}$の直径 $\leq d\}$が相対コンパクトであることはに対し, その \alpha -測度を

{ $k:\alpha(TM)\leq k\alpha(M),$$M$

は有界部分集合}

と定める.

関数

$x$

: $(-\infty, \infty)arrow E$ のある族 $X$ があるとき,$X(t)=\{x(t)\in E : x\in X\}$ ,$C$$x|[\sigma, t]$

とおく.

は

$x$

の

$[\sigma, t]$への制限である.

に対して$X_{t}=\{x_{t}\in B$$X|[\sigma, t]=\{x|[\sigma, t] :とおく.

$t\geq\sigma$: $x\in X\}$ ,x\in X\}$$(-\infty, \infty)$

から $E$ への連続関数全体の族を

152

補題 31.
空間$C[\sigma, t]$(1)$t\geq\sigma$とし,は $B$ の有界集合,$\wedge \mathrm{X}_{\sigma}^{-}$$X|[\sigma, t]$は上限ノルムつきのバナッノの有界集合とする. このとき次の関係式が成り立つ.
$(1/H)\alpha_{E}(x(t))\leq\alpha B(\lrcorner\lambda_{t}^{\Gamma})\leq K(d-\sigma)\alpha C(x|[\sigma, t])+M(t-\sigma)\alpha B(x\sigma)$(2) 相空間 $B$ に公理 (C) を付加し,(i)$\alpha_{B}(x_{t})\leq L$(ii)
ここで $L$ は

nmax$X_{\sigma}$

が $BC$ の有界部分集合とする.

$\{\alpha_{B}c(\backslash x_{\sigma}), \alpha C(x|[\sigma,t])\}$

.

このとき

.

$\alpha_{B}(X_{t})\leq L\alpha_{C}(x|[\sigma, t])+(1+LH)\alpha(so(t-\sigma))\alpha_{B}(x_{\sigma})$.

(2.1) で定めた定数である.

証明. (1) は [5] で証明され, そこでの議論と補題 21 により (2) の (i) が示される.

(2) の (ii) を示す. 分解 (2.2) により (2) の (i) と (1) を用いて$\alpha(X_{\})$$T(t)$$\leq$$\alpha(\{y_{t}\in B_{:X\in X\}})+\alpha(\{S_{\mathrm{O}}(t-\sigma)[x_{\sigma}-\overline{x(\sigma)}]$$\leq$$L\alpha(X|[\sigma, t])+\alpha(S_{\mathit{0}}(t-\sigma))\alpha(\{x_{\sigma}-\overline{x(\sigma)}$$\leq$$L\alpha(X|[\sigma, t])+\alpha(s_{\mathrm{o}(\sigma)}t-)[\alpha(x_{\sigma})+L\alpha(X(\sigma))]$$\leq$$L\alpha(x|[\sigma, t])+(1+LH)\alpha(S0(t-\sigma))\alpha(X\sigma)$

は E 上の Co-半群とし,:: $x\in X\})$$X\in X\}\mathrm{I}$.

関数 $f\in C[a, b]$ に対して $C[a, b]$ の関数$G_{f}(t)= \int_{a}^{t}\tau(t-S)f(s)ds$,$t\in[a, b]$$G_{f}$

を,で定義する.

補題 32. [6] $M$ は $C[a, b]$ の有界部分集合,$\alpha(K|[a, t])\leq\gamma_{T}\sup\{\alpha(K(\tau))$

ただし$\gamma\tau=\lim\sup_{\delta}arrow \mathit{0}+|\tau(\delta)|$

補題 3.3. $a>0$ で$\Omega\subset E$$K=\{G_{f} :とおく.

f\in M\}$: $a\leq\tau\leq t\}$ ,$t\in[a, b]$.
は有界とする.

(1) $T(t)$ が $E$ 上の Co-半群であれば$\alpha(\{T(\cdot)\Omega|[0, a]\})\leq\sup\{|T(S)| :0\leq s\leq a\}\alpha(\Omega)$

.

,

このとき

153

(2) $T(t)$ が $E$ 上の(i) 任意の(ii)$\epsilon>0$$C_{0}-$

コンパクト半群であればに対して $\alpha(\{T(\cdot)\Omega|[\epsilon, a]\})=0$ .

$\alpha(\{T(\cdot)\Omega|[0, a]\})\leq\max\{1, \gamma\tau\}\alpha(\Omega)$.

与えられた局所有界な関数 $g;[0, \infty)arrow[0, \infty)$ に対して, 関数$\lim\sup_{Sarrow t-0}g(s)$,$\tilde{g}$:$[0, \infty)arrow[0, \infty)$

を$t>0$ ,$\tilde{g}(t)=\{$$\max\{g(\mathrm{O}),$ $\lim\sup_{S0}arrow+g(s)\}$,$t=0$ ,

と定める.

補題 34

上記の局所有界な$g$が$g(t+S)\leq g(t)g(_{S})$を満たせば,$\tilde{g}$

,

$t,$

$s\in[0, \infty)$,も局所有界で同じ不等式をみたす.

これらの結果を用いて次の関係式を得る.
命題 35. $T(t)$ は(1)$c_{0^{-}}$$\alpha(\hat{T}(t))\leq C_{1}\tilde{M}(t)$,コンパクト半群とする. このとき
$t\geq 0$.

(2) 相空間 $B$ に公理 (C) を付加するならば$\alpha(\hat{T}(t))\leq C_{2}\tilde{\alpha}(S_{0}(t))$

ここで $C_{1}=HK( \mathrm{O})\max\{1, \gamma_{T}\}+\tilde{M}(0)$ ,,$t\geq 0$.

$C_{2}=(1+LH)C_{1}$ .

証明. (1) $t=0$ の場合は明かである. $t>0$ とする. このとき任意の有界集合と$0<\epsilon<t$に対して補題 31 と 3.3 により$\alpha(\hat{T}(t)\Omega)$$\leq$$=$$I\mathrm{t}’(t-\epsilon)\alpha(\{T(\cdot)\Omega(0)|[\epsilon, t]\})+M(t-\epsilon)\alpha(\hat{\tau}(\epsilon)\Omega)$$M(t-\epsilon)\alpha(\hat{\tau}(\epsilon)\Omega)$$\leq$$M(t-\epsilon)[K(\epsilon)\alpha(\{\tau(\cdot)\Omega(0)|[0, \epsilon]\})+M(\epsilon)\alpha(\Omega)]$$\leq$$M(t- \epsilon)[HK(\epsilon)\max\{1, \gamma\tau\}\alpha(\Omega)+M(\epsilon)\alpha(\Omega)]$.

$\Omega\subset B$

154

上極限をとると. これは (1) を示す.

$\alpha(\hat{T}(t)\Omega)\leq C_{1}\tilde{M}(t)\alpha(\Omega)$(2) (1) と同様に$\alpha(\hat{T}(t)\Omega)$$L\alpha(\{T(\cdot)\Omega(0)|[\epsilon, t]\})+(1+LH)\alpha(S_{0}(t-\epsilon))\alpha(\hat{T}(\epsilon)\Omega)$$\leq$$(1+LH)\alpha(S0(t-\epsilon))\alpha(\hat{\tau}(\epsilon)\Omega)$$=$$(1+LH)\alpha(s_{\mathit{0}}(t-\epsilon))[HK(\epsilon)\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{X}\mathrm{t}\mathrm{l},\gamma_{T}\}+M(\epsilon)]\alpha(\Omega)$$\leq$となり (2) の不等式を得る.

命題 3.6.
$\alpha(\hat{I}\acute{\mathrm{t}}(t, \sigma))=0$のときは明か.

証明.

$t=\sigma$$\phi\in\Omega$

をパラメタとする関数$t>\sigma$とする.

$x_{s}(\sigma, \emptyset)$.

$t\geq\sigma$.

が $B$ の有界集合ならば,$\Omega$

の族は

,

$s$

の区間

$[\sigma, t]$

命題 2.3 により上で有界である. よって補題

3.1 と 32 により$\alpha(\hat{I}\mathrm{f}(t, \sigma)\Omega)$$\epsilon$:$\emptyset\in\Omega\})$$\leq$$K(t- \sigma)\alpha(\{\int_{\sigma}.T(\cdot-s)F(S, x_{s}(\sigma, \emptyset))ds|[\sigma, t]$$\leq$$\gamma_{T}K(t-\sigma)\sup_{\mathcal{T}\sigma\leq\leq t}\alpha(\{\int_{\sigma}^{7}.T(_{\mathcal{T}}-S)F(s, Xs(\sigma, \emptyset))ds:\phi\in\Omega\})$を $0<\epsilon<\tau-\sigma$ ととり, 右辺の積分項の積分区間をと$[\sigma, \tau-\epsilon]$$[\tau-\epsilon, \tau]$.

に分割する.

最初の区間上の積分は$\int_{\sigma}^{\tau-\epsilon_{T(-S)F}}\mathcal{T}(S, X_{S}(\sigma, \phi))d_{S=}T(\epsilon)\int_{\sigma}^{\tau-\epsilon}T(\tau-\epsilon-S^{\cdot})F(S, X_{S}(\sigma, \phi))ds$$T(\epsilon)$はコンパクト作用素であるから,

ト集合に含まれ, その$\alpha$

-測度は

$0$

$\phi\in\Omega$.

をパラメタとするこの集合は $E$ のコンパクである. 他方残りの区間上で$| \int_{\Gamma-\epsilon}^{7}.\tau(\tau-S)F(_{S,x_{s}}(\sigma, \phi))ds|\leq\epsilon\sup_{0\leq u\leq t-\sigma}|T(u)|\sup_{t\leq}(\sigma\leq Sn(S)|_{X}s(\sigma, \phi)|_{B}+f(S))$

したがってそのれるから,$\alpha$-測度は右辺の量の 2 倍で上から押さえられる.

$\alpha(\hat{I}C(t, \sigma))=0$$\epsilon$

は幾らでも小さくと.

命題 3.5 と 3.6 を合わせて次の結果を得る。
命題 3.7.

(1)$\alpha(U(t, \sigma))=\alpha(\hat{T}(t-\cdot\sigma))\leq C_{1}\tilde{M}(t-\sigma)$,$t\geq\sigma$

.

.

155

(2) 相空間 $B$ に公理 (C) を付加すれば$\alpha(U(t, \sigma))=\alpha(\hat{T}(t-\sigma))\leq C_{2}\tilde{\alpha}$(so $(t-\sigma)$ ),$t\geq\sigma$.

\S 4. 周期解の存在$T$があるバナッハ空間からそれ自身への有界線形作用素であるとき, その真性スペク

トル半径

$r$

$(T)$

。

について,

Nussbaum による次の公式がなりたつ [3] :$r_{\mathrm{e}}(T)= \lim_{narrow\infty}\alpha(Tn)^{1/}n$.

ここでは第 1 節で述べた線形方程式 (Eo) の解作用素を考える. (SE) において $F(t, \psi)=$$L(t, \psi)$とおけば,$(\mathrm{E}_{0})$に対して前節の結果を用いることができる.

いま,$\hat{\beta}=\lim_{\infty tarrow}\frac{\log\alpha(\hat{T}(t))}{t}=\inf_{t>}\frac{\log\alpha(\hat{T}(t))}{t}$$\tilde{\beta}_{0}=\lim_{tarrow\infty}\frac{\log\tilde{\alpha}(S_{0}(t))}{t}$とおくと, 補題 34 により一\infty,$\tilde{\mu}_{0}=\lim_{tarrow\infty}\frac{\log\tilde{M}(t)}{t}$$\leq\hat{\beta},\tilde{\beta}0,\tilde{\mu}\mathit{0}<\infty$である.

命題 3.7 より次のことがなりたつ.

定理 41.

(1) 公理 (B-1) のなかの関数$\Lambda l(t)$が $M(t+s)\leq M(t)M(s)$ ,$t,$$s\geq 0$, をみたすな

らば,$t>s$ .

$r_{\mathrm{e}}(U(t, S))=r_{e}(\hat{\tau}(t-S))=\exp(\hat{\beta}(t-s))\leq\exp(\tilde{\beta}_{0}(t-S)\mathrm{I},$$t>s$ .

$r_{\mathrm{e}}(U(t, s))=\Gamma_{e}(\hat{T}(t-S))=\exp(\hat{\beta}(t-S))\leq\exp(\tilde{\mu}o(t-S))$(2) 相空間 $B$ が公理 (C) をみたすならば

上記 (1) の結果は [4] の結果の改良となっている. つついて真性スペクトルの定義から次のことがなりたつ.
定理 42. $T$ があるバナッノ\ 空間 $X$ 上の有界線形作用素とする. このとき囚ならば, 値域 $R(\lambda I-^{\tau)}$ は $X$ における閉集合である.

$>r_{\text{。}}(T)$156

に対して囚 $>\alpha(T)$ ならば系 43. [1] 上の定理の

$T$

証明.

から明かである.

$\alpha(T^{n})\leq\alpha(T)^{n}$

周期線形方程式$R(\lambda I-^{\tau)}$は閉集合である.

の周期解の存在を Chow and Hale による次の不動点定理を用い$(\mathrm{P}\mathrm{E})$

て示す.
$L$

がバナッハ空間 $X$ 上の有界線形写像,$z$が $X$ の定点であるとき,$T_{X}=LX+z$ ,で定義される $X$ 上のアファイン線形写像$T$$x\in X$,を考える.

定理 44. [2] 写像 $I-L$ の値域 $R(I-L)$ が閉集合で,あるような$x_{0}$

定理 45.

が存在するならば$(\mathrm{P}\mathrm{E})$は$\omega$$T$$\{x_{0}, Tx_{0}, \tau 2x_{0}, \cdots\}$が有界では不動点をもつ.

-周期系とする.

$\hat{\beta}<0$と仮定する. このとき$(\mathrm{P}\mathrm{E})$が B-有界な解をもてば \mbox{\boldmath $\omega$}-周期解をもつ.

証明.

$U(t, s)$は$(\mathrm{P}\mathrm{E}_{0})$の解作用素とし, $P=U(\omega, 0)$ とおく.

まず定理 4.1 から $r_{e}(P)=r_{e}(\hat{\tau}(\omega)),=\exp(\hat{\beta}\omega).\hat{\beta}<0$ であるから $r_{e}(P)<1$ .

したがって定理 42 により $R(I-P)$ は閉集合である.
$x(t, \sigma, \psi, F)$を方程式$(\mathrm{P}\mathrm{E})$の初期条件$x_{\sigma}=\psi$をみたす mild solution とする. 解の意性より$x(t, \rho, x_{\rho}(\sigma, \psi, F), F)=X(t, \sigma, ’\psi, F)$,$\cdot$$\sigma\leq\rho\leq t$.

解の–意性と \mbox{\boldmath $\omega$}-周期性より$X(t+\omega, \sigma+\omega, \psi, F)=X(t, \sigma, \psi, F)$,$\sigma\leq t$.

解の–意性と線形方程式であることより$x(t, \sigma, \psi_{1}+\psi_{2}, F_{1}+F_{2})=x(t, \sigma, \psi 1, F_{1})+x(t, \sigma, \psi_{2}, F_{2})$

次に $x(t)=X(t, 0, \phi, F)$ は $(0, \phi)\in R\mathrm{x}B$ を通る$\sup\{|x_{t}|_{B} :t\geq 0\}<\infty$

とする.

$B$

$(\mathrm{P}\mathrm{E})$の解で上のアファイン線形写像 $V$ を$V\psi=P\psi+x_{\omega}(0,0, F)$,$\forall\psi\in B$,$x_{t}$.

が $B$ で有界, 即ち

157

と定める.

$P$

の定義より
$V\psi=x_{\omega}(0, \psi, 0)+X\alpha)(0,0, F)=x_{\omega}(0, \psi, F)$.

したがって $V^{2}\psi_{=X}\omega(0, X_{\omega}(0, \psi,.F), F)$ . 上の注意より$x_{\omega}(0, X\omega(0, \psi, F), F)=x_{\omega+\omega}(\omega, x\omega(0, \psi, F), F)--X_{2}\omega(0, \psi, F)$

すなわち $V^{2}\psi=x_{2\omega}(0, \psi, F)$ .-般に $V^{k}\psi=x_{k\omega}(0, \psi, F)$ ,$k=1,2,$$\cdots$.

.
とくに$V^{k}\phi=$, で仮定よりこれは $B$ の有界列である.
以上により Chow and Hale の定理 44 を適用して定理 45 を得る.

$x_{k\omega}(0, \phi, F)$, $k=1,2,$

公理 (B-1) における

系 46
$K(t)$ は$\cdots$

で有界とする.

$[0, \infty)$

をもつならば$(\mathrm{P}\mathrm{E})$$M(t)$ は$M(t+s)\leq M(t)M(s)$ ,$M(t)arrow 0(tarrow\infty)$

かつ$\omega$

-周期系

$t,$

$(\mathrm{P}\mathrm{E})$$s\geq 0$

が E-有界な解は\mbox{\boldmath $\omega$}-周期解をもつ.

証明. $M(t)arrow 0(tarrow\infty)$ であるか $t_{2\tilde{M}}(t)arrow 0(tarrow\infty)$ がでる. よってて$\hat{\beta}<0$, をみたし. 他方 $K(t)$ は$[0, \infty)$$\tilde{\mu}<0$,

従っ

で有界であるから, 公理 (B-1) によって E-有界な解はB 有界な解となる. よって定理 45 が適用できる.
任意の $\phi\in B_{0}$ に対して化 0(t)\mbox{\boldmath $\phi$}| が $[0, \infty)$ で有界であることと注意 47

が $[0, \infty)$ で有界であることとは同値である.

$|S_{0}(t)|$よって $B$ が fading Inemory 空間 [3] であれ

ば $|So(t)|$ は $[0, \infty)$ で有界である.

相空間 $B$ は公理 (C) をみたしているとする. $\alpha(S_{0}(t))arrow$
.

命題 48

が $[0, \infty)$ で有界であると仮定する.

$|S_{0}(t)|$もてば$\omega-$

証明.

このとき

$\omega-$

周期系$(\mathrm{P}\mathrm{E})$$\mathrm{O}(tarrow\infty)$

かつは E-有界な解を

周期解をもつ.

$\beta_{0}=\lim_{tarrow\infty}[\log\alpha(s0(t))]/t$

定理 4.1 により$\hat{\beta}<0$とおけば仮定より$\beta 0<0$

.

したがって

$\tilde{\beta}\mathit{0}<0$. である. (2.3) と仮定から E-有界な解は B-有界な解になる.

.

よって定理 45 が適用できる.
系 49$(\mathrm{P}\mathrm{E})$

相空間 $B$ は uniform fading mernory 空間 [3] とする. このとき \mbox{\boldmath $\omega$}-周期系

が $E$ -有界な解をもてば \mbox{\boldmath $\omega$}-周期解をもつ.

158

参考文献

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31-38.
[3] Hino Y., Murakami S. and Naito T., ”Functional Differential Equations with Infinite

Delay”, Springer-Vlg, 1991.
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