数理解析研究所講究録
1091 巻 1999 年 112-118

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Integer Solutions of Resultant Inequalitiesa brief survey around results of Evertse

Noriko HIRATA-KOHNO

Department of Mathematics
College of Science and Technology
Nihon University
Suruga-dai, Kanda
Chiyoda, Tokyo 101-8308

JAPAN
本稿では、 Resultant equations もしくは Resultant inequality と呼ばれるディオファントス不定方程式 (不等式) についての、最近の . H. Evertseなどによる結果の、簡単な Survey を試みたいと思う。 関連する自身の結果およびその周辺については、 津田塾大学第 4 回整数論シンポジウム報告集にも述べたので、 ここでは重複を避け、 Resultant equations というものの–般論と、 その整数解を求めることが Roth 型のディオファント$\mathrm{J}$ス近似に帰着される理由について述べたい。

Definition$f(X),$ $g(X)$ を$\mathrm{Z}[X]$の元とする。

$f(X)=a0X^{r}+a1xr-1+\cdot.$.

$+a_{r}=a_{0} \prod_{i=1}(rX-\alpha_{i})$オ$g(X)=b_{0}X^{t}+b_{1}x^{t-1}+ \cdots+bt=b0\prod_{j=1}(X-\xi j)$,113

(ただし $a_{0}\neq 0,$$b_{0}.\neq 0$) と書くとき、 $f$ と$g$の Resultant とは、サイズ$r+t$ の次の行列式である。

$R(f,g)=\det$
ここで $R(f,g)=a00tb^{r_{\Pi^{r}\prod_{j}^{t}(-}}i=1=1|\alpha i\xi j)$ であるので、 $f$ とが共通根を持つときに限り $R(f,g)=0$ となる。 $R(f,g)$ をさらに書き換えると$g$$R(f,g)=a_{0}^{t} \prod^{r}i=1(b_{0}\prod_{j=1}^{t}.(X-\xi j)|x=\alpha:)=a_{0}^{t_{\prod_{i=1}^{r}\alpha_{i})}}g($であることに注意する。

Mahler measure を定義する。

$\mathrm{C}$上の多項式 $f(X)=a_{0\Pi^{r}}i=1(X-\alpha_{i})$に対し$M(f):=|a0| \prod_{i=1}\max(1, |\mathit{0}_{i}|)$とおく。 代数的数\beta に対してはその$\mathrm{Z}$上の最小多項式の Mahler measureを\beta の Mahler measure と定め、 $M(\beta)$ と書く。
$h(\beta)$

を通常の logarithmic projective height とするとき、$h( \beta)=\frac{1}{[\mathrm{Q}(\beta).\mathrm{Q}]}.\log M(\beta)$が知られているので、 $H(\beta):=\exp(h(\beta))$ に対しては、 あるいはクラシカ
ルな高さ (\beta の最小多項式の係数の絶対値の最大値) に対しては、$H(\beta)\gamma M(\beta)\text{、}$$d=[\mathrm{Q}(\beta)$

を degree:Ql となっている。の多項式とし、 固定する。 正整数 も固定する。 $f(X)$ は与えられた多項式、 $g(X)$ を未知多項式、 すなわち、 $g(X)$の係数を未知整数とみなす。
$f(X)\in \mathrm{Z}[X]$$b_{0,b_{1},\cdots,b_{t}}$

$r$

$t$

114$\kappa$を正実数とする。 次のディオファントス不定不等式を Resultant in-equality と呼ぶ。
(1)$0<|R(f,g)|<M(g)^{r-\hslash}$

E. Wirsing [Wi] は、 f が重根を持たないとき、 仮定$\kappa>\hat{\vee\Delta}i_{(’}1+\frac{1}{3}’\frac{1}{2t-1}\backslash +\cdots+)$のもとで、 (1) の解 $g(X)$ は有限個であることを示した。 W. M. Schmidt[S1] は、 f が重根を持たず、 さらに次数 以下の irreducible factor をに持たないならば、 仮定\mbox{\boldmath $\kap a$} $>2t$ のもとで、 (1) の解 $g(X)$ は有限個であることを証明した。 さらに、 f が重根を持たないとき、 仮定\mbox{\boldmath $\kap a$} $>2t$ のもとで、 (1) の解 $g(X)$ が有限個であることは、 Schmidt の部分空間定理の応用により得られる M. Ru-P. M. Wong の定理から次のようにして示されることが [E1] に述べられている。
$t$

Ru-Wong の定理$\mathrm{Z}[X]$$[\mathrm{R}- \mathrm{W}_{0}]$係数の 変数 1 次形式で、 一般の位置にあるものとする。 このとき\epsilon $>0$ に対し、 次の不定不等式をみたは有限個である :す、の零点以外の整数解$q\geq 2n-1$$L_{1},$$\cdots,$とする。

$L_{1},$$\cdots,$$L_{q}\text{を}\overline{\mathrm{Q}}$$n$$\mathrm{x}\in \mathrm{Z}^{n}$$L_{q}$$\prod_{i=1}^{q}\frac{|L_{i}(\mathrm{x})|}{|\mathrm{x}|}<\frac{1}{|\mathrm{x}|^{2n}-2+\epsilon}$

ただし$\mathrm{x}=(x_{1}, \cdots, x_{n})\in \mathrm{Z}^{n}$.

に対し、 $|\mathrm{x}|=(|x_{1}|^{2}+\cdots+|x_{n}|^{2})^{\frac{1}{2}}$とする。

Ru-Wongから (1) の有限性を導く証明[E1] にも言及されており、 もともと [Sl の議論を用いているのだが、$r<2t+1$ のときについては、 筆者は [E2] に注意された。の未知係数からなるベクトルとおき、 $L_{i}(B)=\alpha_{i}^{t}b_{0}+\alpha_{i}^{t-1}b_{1}+\cdots+b_{t}(1\leq i\leq r)$ とする。 つまり、
. たちは、 与えられた の係数であると見なす。 $q=r$ とす$B=(b_{0}, b_{1}, \cdots, b_{t})\in \mathrm{Z}^{t+1}$$\alpha_{i}^{t},$$\alpha_{i}^{t-},\cdot 11.$$g(X)$を$L_{i}$115る。 このとき、 $L_{i}(1\leq i\leq r)$ が–般の位置にあることは、 f が重根を持たないので、 Van der Monde 行列式$\det$(.

. $)\neq 0$$11$$\alpha_{1}\alpha_{t}$よりわかる [E21。
$R(f,g)=a^{t}01L(B)\cdots L_{r}(B)$ であるから、 $q=r\geq 2(t+1)-1$$(n=$$t+1)$ のとき、 つまり $r\geq 2t+1$ のときには、 Ru-Wong の上述の定理の不等式において\epsilon のかわりに\epsilon ’ をとりなおした$\prod_{i=1}^{r}\frac{|L_{i}(\mathrm{x})|}{|L_{i}||_{\mathrm{X}|}}<\frac{1}{|\mathrm{x}|^{2n}-2+\epsilon’}$(ここで、 $|L_{i}|$ は、$L_{i}$の係数ベクトルのユークリッドノルムとする)を考えることによっても有限性は同じであることから、 (1 垣は有限個の解を持つことが確かめられる。
$\frac{|L_{i}(\mathrm{x})|}{|L_{i}||_{\mathrm{X}|}}\leq 1$であることに注意すると、 $r<2t+1$ に対しては、 不等式$\prod_{i=1}^{r}\frac{|L_{i}(\mathrm{x})|}{|L_{i}||_{\mathrm{X}|}}<\frac{1}{|\mathrm{x}|^{2n}-2+\epsilon l}$の解は、$i= \prod_{1}^{2\mathrm{r}+}\frac{|L_{i}(\mathrm{x})|}{|L_{i}||_{\mathrm{X}|}}<1\frac{1}{|\mathrm{x}|^{2n-2+\epsilon}\prime}$の解の部分集合であるから、 有限個となり、 解の個数は同じ、 もしくは少なくなる [E2]。

(1) についての quantitative result としては、 J. -H. Evertse の結果[E1] があるが、 Gap Principle の確立のために、 $g(X)$ には、 より強い条
件 irreducible であることを課し、 また、仮定\mbox{\boldmath $\kappa$} $>2t(1+ \frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2t-1})$ でRu-Wongあるときのみに限っている。 したがって\mbox{\boldmath $\kappa$} については$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{t}_{\text{、}}$の条件よりも強い。

116

Roth 型の拡張のディオファントス近似から、 (1) の有限性を導く
さて、 ここで Roth 型の拡張ともいえる次のディオファントス近似 (2)を考えて、 以下に (1) の有限性が (2) から導かれることを示そう。
$|x,$ $y|= \max(|x|, |y|)$,という記号を定める。 ある正実数\mbox{\boldmath $\varphi$}1,とは限ら,と\alpha 1,(これは、 Resultant Inequality に出てくるない\rangle および、 未知数として上 次の代数的数\xi (このをと書く) に対してディオファントス近似不等式$\varphi_{t}$$\alpha_{t}\in\overline{\mathrm{Q}}$$\alpha_{i}$$\mathrm{Q}$$\xi^{(1)},$$\cdots,$$t$$\mathrm{C}^{\cap \mathrm{Y}\mathrm{t}}.*\perp \mathrm{J}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{a}+_{\mathrm{d}}\mathrm{e}\mathrm{s}$$\xi^{(t)}$(2)$| \alpha_{i}-\xi^{(i)}|<\frac{1}{M(\xi)^{\varphi i}}(1\leq.i\leq t)$を考える。

Wirsing [Wi] は、 (2) が、(3)$\max_{I}(\neq I)^{2}>2t(_{i\in I}\sum\varphi_{i}-1)$( $\max$ は、 $\{i\in\{1\cdots t\}$ :$\varphi_{i}\neq 0\}$のすべての non-empty subsets を走る)を満たすときに、 代数的数の解\xi は有限個であることを示した。 Evertse
この (2) の不等式の解の有限性から、は、 この定量的結果を与えた(1) の解の有限性が出ることを説明したい [E1]。
$[\mathrm{E}1]_{0}$(4)$\frac{|R(f,g)|}{M(f)^{t}M(_{\mathit{9})^{r}}}=\prod_{i=1}^{t}\prod_{j=1}^{r}\frac{|\alpha_{j}-\xi^{()}i|}{|1,\alpha_{j}||1,\xi^{(}i)|}$である。 次数$\xi^{(1)}\cdots\xi^{(t)}$$t$のalgebraic number

$\xi$

に対し、

$\mathrm{Q}$が順序$\min_{1\leq j\leq r}\frac{|\alpha_{j}-\xi^{(1})|}{|1,\alpha_{j}|}\leq\cdots\leq\min_{r\leq j\leq}\frac{|\alpha_{j}-\xi^{(}t)|}{|1,\alpha_{j}|}1$を満たすとする。
を各 $1\leq i\leq$ 垣こ対し$\alpha_{j_{i}}$$. \frac{|\alpha_{j}.-\xi^{(}i)|}{|1,\alpha_{j_{i}}|}=\min_{1\leq j\leq r}\frac{|\alpha_{j}-\xi^{(}i)|}{|1,\alpha_{j}|}$

上の conjugates

117となる f の根とする (ここで\alpha j. たちは、 個になった)$t$$\cdot$。

三角不等式より $i\neq$ あにおいて$\frac{|\alpha_{j}-\xi^{()}i|}{|1,\alpha_{j}||1,\xi^{(i)}|}\geq\frac{|\alpha_{j_{i}}-\alpha_{j}|}{2|1,\alpha_{j_{i}}||1,\alpha j|}$が成り立つことと、 discriminant の定義(f は重根なし) に注意すると、$D(f)=a_{\mathit{0}}^{2r-2}\Pi_{1\leq}p<q\leq r(\alpha_{p}$-$\alpha_{q})^{2}\in \mathrm{Z}-\{0\}$$\prod_{j\neq j}.\cdot\frac{|\alpha_{j_{i}}-\alpha_{j}|}{2|1,\alpha_{j_{i}}||1,\alpha j|}\geq 1\leq \mathrm{P}<\prod\frac{|\alpha_{\mathrm{P}^{-\alpha_{q}|}}}{2|1,\alpha_{p}||1,\alpha_{q}|}q\leq r$$|D(f)|2\mathrm{A}$.
$2^{\frac{\backslash \cdot-r}{2}M(f)^{r-1}}$

だから、 $D(f)_{\text{ }}M(f)_{\text{ }}r$ と、、$t$で書ける定数 $C$ に対して.

$\frac{|R(f,g)|}{M(f)^{t}M(g)^{r}}\geq c^{-1}\prod_{i=1}^{t}\frac{|\alpha_{j}.-\xi^{(i)}|}{2|1,\alpha_{j_{i}}||1,\xi^{(}i\rangle|}$となる。 $M(g)=M(\xi)$ なので、 (4) の 1 からまでの積の中の各分数は 2 以下であることに注意すると、 (1)(2) より、 ときたい不等式は、定数$C’$$r$に対して$\prod_{i=1}^{t}\frac{|\alpha_{j}..-\xi^{(}i)|}{2|1,\alpha_{j}.||1,\xi^{(i)}|}.<\frac{C’}{M(\xi)^{\kappa}}$となるが、 Evertse の combinatorical lemma [E1] を用いると$\frac{|\alpha_{j_{i}}.-\xi^{(}i)|}{2|1,\alpha_{j}.||1,\xi^{(i)}|}\leq\frac{1}{M(\xi)^{\varphi_{i}}}$に分けられる正実数\mbox{\boldmath $\varphi$}i で、諸条件をみたすものが存在することがわかる。
より少このことから、 (1) の解は、 (2) (の左辺を変形したものだが、し小さい\mbox{\boldmath $\varphi$}( を取り直せばよい) の解に含まれる。
$\varphi_{i}$References[E1] J. -H. Evertse, The number of algebraic numbers of given degree
approximating a given algebraic number, London Math. Soc. Lecture
Notes Series 247, ed. Y. Motohash (1997), Cambridge, pp 53-83.

118[E2]-, personal communication, December, 1998.
\’{n}yperplanes[R-Wo] M. Ru-P. M. Wong, Integral points ofin general position}, Invent. Math. 106 (1991), 195-216.
[S1] W. M. Schmidt, Inequalities for Resultants and for DecomposableForms, Proceedings of the Conference: Diophantine Approximation andits Applications, ed. C. Osgood, Academic Press (1973), pp 235-253.
[S2] W. M. Schmidt, Diophantine Approximation, Lecture Notes inMath. 785 (1980), Springer.
[Wi] E. Wirsing On approximations of algebraic numbers by algebraic
numbers of bounded degree, Proc. Symp. Pure Math. 20, ed. D. J. Lewis,
AMS (1971),
213-248.
$\mathrm{P}^{n}\backslash \{2n+1$$\mathrm{p}\mathrm{p}$