数理解析研究所講究録 1420 巻 2005 年 94-105

94

Cartesian authentication codes from diagonal forms
法政大学工学研究科

斎藤正顕 (Seiken SAITO) *Graduate School of Engineering, Hosei University
東京理科大学理学研究科 佐藤宏樹 (Hiroki SATO) \dag er
Graduate School of Science, Tokyo University of Science

2004 年 11 月 9 日れる.

概要
Chanson et al.
の集合を$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{n}$[2] において平文の集合と鍵はとし, 認証写像を$n$元二次対角形とする認証符号を構成し,場合のなりすましの成功確率の最大値
式$\sum_{i=1}^{m}x_{i}^{2}$

んの成功確率の最大値$P_{d}$

証写像が$P_{d_{1}}$が$x_{1}^{k}$のとき (定理 7, 8) の$P_{d_{0}}$$\tau\iota$

が偶数,

.

$+ \sum_{i=2}^{n}x_{i}^{2}$$p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2k)$

鍵の集合,
認証子 (authenticator) の集合,
から
への写像.

$f$

:
:

$.\mathscr{S}\mathrm{x}g$$\mathscr{F}$は認証写像 (authentication nlap) とよばれる,れを使って送信者$\mathrm{A}$, 受信者$\mathrm{B}$

, 第三者

こ

がやりと

$\mathrm{C}$

りを行う.

と

Gauss sum と Jacobi sum を使って

の評価を
.

,

のとき (定理 5, 6), 及び $n$ が奇数で認$x_{1}^{k}+ \sum_{i=2}^{n.2}x_{\tilde{i}}^{1}$

得た. さらに$\sum_{i=1}^{m}a_{i}x_{i^{2}}(n\in \mathrm{N}$

平文の集合,

:

$f$

と改ざ

, を評価した (定理 3 参照). 今回我々は, 認証写像が$a_{i}\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q))$$P_{d_{0}}$:$g$$\mathscr{F}$

が偶数の

$n$

$\mathscr{S}$

手順 1(送受信・認証)を使って与えた (定理 10, 11).

$e\in \mathscr{E}$を$\mathrm{A},$$\mathrm{B}$の問で決めておく.

, 認証写像のときの Id。を Jacobsthal sums

1. 秘密鍵2. A は平文と認証子の組であるメッセージ$77\iota=(s, t)=(S_{\}}f(s, e))$1

Introduction

1J

認証符号

を

3.

認証符号 (authentication code) は 1974 年にGilbert, MacWilliams, Sloane[3] によって考案され, 一般的な認証の理論は Simmons $[7, 8]$ により発展させられた. Simmons のモデルは次のようなものである:

認証符号は次からなる 4 組$(\mathscr{S}_{i}g.

il :i04r9601@k hosci. c.jP
-mail:j1100703@cd .
.ac.jp$*\mathrm{E}- \mathrm{m}.\mathrm{a}$\mathscr{F}.f)$で表わさ$\mathrm{B}$に送信する.

は秘密鍵 $e\in g$ を使いを計算し, もしがであれぼ
$m$$t=f(s, e)$
A 本人から送られた$\mathrm{B}$$f(\mathrm{S}_{\}}e)$

ものであると判断する.

さて, 第三者$\mathrm{C}$が受信者$\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{g}.\mathrm{u}_{\backslash }\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{s}$を欺く方法として次のなりすまし攻撃 (irnpersonation attack) と改ざん攻撃(substitution attack) が考えられる.
手順 2(なりすまし)1.

$\mathrm{C}$は$s’\in \mathscr{S}$と$t’\in \mathscr{T}$をランダムにとって別のメッセージ $m’=(s’, t’)$$\cdot \mathrm{a}$$\dagger_{\mathrm{E}-}$$\mathrm{B}$を$\mathrm{B}$

に送る.

95

2, 偶然 $t’=f(s^{t}, c)$ だった場合,

定理 1([2] Theorem 2)

は $m’$ が A から$\mathrm{B}$

送られてきたものだという誤った判断を下す.

数 $v,$

なりすましが成功する確率の最大値を Pd。で表わす.
手順 3(改ざん)

セージ

1.

は A が

$\mathrm{C}$を傍受し$m=(_{\iota}\mathrm{s}, t)$$\mathrm{B}$(とする. このとき認証符号を$\mathscr{S}$$(\mathscr{T}, \neg-)|$から$\mathscr{F}$$(\mathscr{S}, g, \mathscr{F}, f)$

を各々位
への写像

を上のよう

に定義するとに送信したメッ$.\mathrm{s}’\neq s$

なる $s’$ と置き換えたメッセージ $m’=(s’, t’,)$ を$\mathrm{B}$$\frac{|F^{--1}(t’)|}{v}$$=$$P_{d\mathrm{o}}$$t’ \mathrm{m}$

\in ご

に送る.

はランダムにとってよい )$f’.\in \mathscr{F}$のアーベル群とし$u$$(\mathscr{S}, +),$

$F$$\frac{|(F^{-1}(t)-s)\cap(F^{-1}(t’)-s’)|}{|F^{-1}(t)|}$$=$$P_{d_{1}}$,$\max_{s\in \mathscr{L}}$,$t\in.F(\mathscr{L})s’\neq s,t’$.

’

2. 偶然 $f(s’, e)=t’$ だった場合, は $m’$ が A から送られてきたものだという誤った判断を下す.
$\mathrm{B}$

改ざんが成功する確率の最大値を Pd、で表わす. 定
義より次が従う :$P_{d_{0}}= \max_{s(,\mathrm{t})\in\swarrow \mathscr{H}}‘\frac{|\{e\in \mathscr{F}.t=f(s,e)\}|}{|g^{\theta}|}..$

Perfect nonlinear mapping

1.3$(A, +)$

群とする.

,と $(B, +)$ をそれぞれ位数 $n,$ $m$ のアーベル$f$: $Aarrow B$ を写像とし,$f$の測度を次で定義する,.

$P_{d_{1}}= \mathrm{n}1\mathrm{a}.\cdot \mathrm{x},\cdot\frac{|\{_{C\in}\prime \mathscr{F}.t=f(s,e)\ t’=f(s’,e)\}|}{|\{e\in\zeta \mathscr{F}.t=f(S_{\backslash \prime}e)\}|}s \neq\ovalbox{\tt\small REJECT}_{S}.\cdot$$P_{f}=1 \mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}\max \mathrm{P}\mathrm{r}(f(x0\neq a\in Ab\in B+a)-f(x)=b)$$P_{dt}$, の式で $\max$ は$s\neq s’$

なる$(s.t))(\mathrm{s}_{1}’t’)\in.\ovalbox{\tt\small REJECT}$

を

わたる

ここで

$\mathrm{P}\mathrm{r}(E)$は事象 $E$ が起こる確率である.

補題 2([2] Lemma 3).

$f$

を $(A, +)$ から ( $B\}$ 十) への写像とする. このとき

1.2

認証符号の構成$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

さて認証符号$(\mathscr{T}, +)$$(\mathscr{S}.

g, \mathcal{J}^{J}.f.)$を定める.

$(\mathscr{S}, +)$を有限アーベル群とその演算の組としとする, $F$ を$\mathscr{S}$から$\mathscr{T}$.

$0 \neq a\in Ab\in B\mathrm{n}1\mathrm{a}\mathrm{x}\max(\frac{\sum_{y\in B}|c_{/_{\tau/}}\cap(C_{y+b}-a)|}{|A|})$,,$\mathscr{S}=g$への写像とする. このとき,認証写像 $f(s, e)$ を

ここで、$C_{y}/:=f^{-\cdot 1}.(y)=\{x\in A : f(x)=y\}$ である.
$\sum_{b\in B}\sum_{iy\in B}|C_{?\mathrm{J}}$

口 ( $C_{y+b}$ -a)|=|潤と\vdash . の補題より$f(s, e)=F(s+e)$
で定める,

に,

$|.F|=u$ とする.

$|\mathscr{S}|=v,$$\mathscr{S}=g=\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{7\ddagger},$$\mathscr{T}=\mathrm{G}\mathrm{F}(q),$

$F$ 二

ここでは特

$>\underline{1}$

$n$

$q$

補題 1([2] Lemma 1) メッセージ空聞は諺$\mathrm{x}F(\mathscr{S})\subseteq \mathscr{S}\mathrm{x}.\mathscr{F}$は唄 F$= \max 0\neq a\in Ab\in B(\frac{\sum_{y\in B}|C_{y}\cap(C_{y+b}-a)|}{\sum_{b’\in B}\sum_{y\in B}|C_{y}\cap(C_{y+b},-a)|})$$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{n}arrow$( は自然数, は奇素数幕) の場合の認証符
号について議論する.
$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$乃$(\mathscr{S})|$ゆえ, とりうるメッセージの個数である, メッセージが使われる確率$\mathrm{P}\mathrm{r}((s, t))$$(s,t)\in \mathscr{S}\mathrm{x}F(\mathscr{S})$は次である.

$\mathrm{P}_{1}\cdot((s_{\backslash }.t))=\frac{F^{-1}(t)}{v^{2}}$

ここに $F^{-1}$ は$t$$=\mathscr{S}$,の前像 (preimage) の集合である.

$-|B|$.

これは $A$ から $B$ への写像の非線形性の下界を示し. が小さいほど $f$ の非線形性は高い. 符ている.
$P_{J}$

号・暗号理論では乃が小さい写像を使いたい (つまり $f(x\text{十}a)-f(\prime x)=b$ の解 $x\in A$ の個数が少ない写像 $f$ を使いたい). $P_{f}=1/m$ のとき, は完全非線形性 (perfect nonlinearity) を持つという. $f$ が完全$f$

非線形性を持つとき定義より 0 でない任意の固定さ( ( 十 $a)-f(x)=b$ ) $=1/7r\iota$
れた $a\in A$ に対して$\mathrm{P}\mathrm{r}$

$f$

$x$

$\mathrm{a}\mathrm{e}$. $+a)-f(x)=b$ は 0 でないである. すなわち,$f(.\cdot\iota$2

任意の固定された に対する balanced fulzctioll である. 以上のことから次が従う.

認証写像が二次形式のとき

$a$

認証符号を

(

定理 2 以下の三つの条件は同値である:
1,

$f$

, 夕、

$\mathscr{S}$$\mathscr{F},$$f(s,$ $e)$ )$=(\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{n}, \mathrm{G}\mathrm{F}(q)_{:}^{11}.\mathrm{G}\mathrm{F}(q),$: $Aarrow B$ が完全非線形である.

とし, $F$ :られているとする:$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{n}arrow \mathrm{G}\mathrm{F}(q)$

2,

$F$

(

$s\cdot$

十 $e$ )

が次の二次形式で与え.

$F(x_{1\backslash }\ldots, /.\sigma_{n})=x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}$$\mathrm{U}\neq a\in A1\mathrm{I}1\mathrm{a}\mathrm{x}|\{x\in A : f(x+a)-f(x)=b\}|=b\in B\frac{|_{\sim}4|}{|B|}$$)$.
次の補題が必要である.

3. 各 $0\neq Cl\in A,$ $b\in B$ に対し方程式 $f(x+a)-$$f(x)=b$ は$\ ^{J\mathrm{J}}$$x\in A$ を

$TF^{L}x^{\overline{r}}$$\frac{|A|}{|B\}}$

熱しかもたない.

補題 5([2] Lemma 9, 10) $n$ を自然数とし,$g(\tau_{11}, \ldots, g_{n}^{\backslash },)$

$p$が奇数のとき$x^{8}$:$\mathrm{G}\mathrm{F}(p^{m})arrow \mathrm{G}\mathrm{F}(q_{\mathit{3}^{m}})$なる完全非線形写像のクラスとして次の三つが得られている.
補題 3([2] Lemma 4)ら$\mathrm{G}\mathrm{F}(p^{m})$

.

への幕関数

$x^{\delta}$$L1\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{n}1\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{a}\iota^{\mathrm{s}}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}P_{]}\cdot=1/p^{\uparrow n}$

.
.

$p$

が奇数のとき GF(p\pi うか$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{n}$における解の個数を $N$ とすると, 次の不等$+\epsilon(r\iota)\mu((-1)^{n/2}\triangle)\delta(a)q^{(n-2)/2}$を持つ.

$m/\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(n_{\overline{\mathrm{A}}}, k)$

$\mu$

は奇数

は

$b^{\backslash }:$.

上の二次指標とし, は の行列$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)arrow\{-1, q-1\}$ を次のような写像

ら$\mathrm{G}\mathrm{F}(p^{h})$

$g$

-1,

$x\neq 0$$q-1$ ,

$x=0\mathit{0}\supset[succeq]\yen$のとき、$\mathit{5}(x.)=\{$$k$が奇数のとき GF(P\pi うか$\triangle$$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$gc.d(m, ) $=1$ .
$p$

.

とする:

+1)/9$ かっ $p=3$ かつんは奇数かつ補題 4([2] Lemma 5).の$g(x_{1}, \ldots x1)\hslash_{J}=\mathit{0}$$N-q^{n-1}=(1-\epsilon(7\iota))\mu((-1)^{\langle n-1\}/2}\triangle a)q^{(n-- 1)/2}$

式とし,$s=(3^{k}.

上の非退化な二次形式とする.

式が成り立つ.

ここにかつ$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$は次の場合対しては perfect$s=2$ ,$\mathrm{b}^{\neg=p^{k}}+1$をに対し, 不定方程式$a\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)$また$\epsilon$:$\mathbb{Z}arrow\{[perp], 0\}$への写像 $f(x)$ をトレース$\epsilon(x)=\{$.

を次のような写像とする:

1,
0,

$x$

が偶数のとき、$x$が奇数のとき.

$f(x)=\mathrm{R}_{\mathrm{G}\mathrm{F}(p^{\mathfrak{n}\mathrm{c}})/\mathrm{G}\mathrm{F}(\mathrm{p}^{\hslash})}.(x^{s})$$n$で定める. ここに $m$ , んは届 $m$ なる整数とし $f(x)$ は次の場合に対しては perfect nonlinearity $P_{f}=1/p^{m}$
を持つ.

.
.
.

と

が偶数のとき, Chanson らは上の補題を使って$P_{\mathrm{r}l_{1}}$の次の評価を得た.

定理 3([2] Theorem 11)$\mathscr{S}=\epsilon \mathscr{F}=\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{n},$$s=2$ ,$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$を$\tau\iota$

を偶数とする.

$\mathscr{S}=\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$F(x_{\mathrm{I}}, \cdots\backslash x_{n})=x_{1}^{2}$とし, $F$ :$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{n}arrow$

十. . . 十 .

$x_{\mathrm{n}^{2}}$としたとき, 次が成り立つ :$s=p^{k}+1$ かつ$\gamma\gamma p./\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(m\backslash k)$は奇数$\frac{1}{q}$$s=(3^{k}+1)/2$ かつ $p=3$ かつ$\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(m, k)=1$

.

$k$

は奇数かつ

$P_{d_{\text{。}}}$$P_{d_{0}}=\{$

十,$n\equiv 0$\neq 荻,$n\equiv 2$,$q\equiv 1$(4),$n\equiv 2$,$q\equiv 3$(4).

$\neg_{q^{(n+2/\underline{\mathrm{Q}}}}q-1$$\frac{1}{q}+\frac{1}{q^{\langle n+)/2}\sim},)$

(4)

$)$

97

$+$

$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{9}+1q^{(n+)/arrow-q}\sim 0$’+\sim T 而丁]’$P_{d_{1}}\leq\{$$n$,$q\equiv 1$(4),$n\equiv 2_{1}$$q\equiv 3$(4).

$n\equiv 2$$\frac{1}{q}+n+\cdot\sim)/\mapsto_{q}\supset-(q-1)q2\underline{q_{q}}-1$

,

3

(4)

$7l\equiv 0$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$が奇数のときも同様の方法で次の評価が導ける [4]:$7l$をを自然数とし,$2<k<q-1$ なる $q-1$ の約数とする. 認証写像がとする.

$q=p^{r}$$F(x_{1,\ldots:}x_{\mathrm{n}})=x_{1}$

}

$?$

た

$k\in \mathbb{Z}$$\geq 3$$+x_{2^{2}}+\cdots+x_{n}^{2}\backslash$が奇数のとき, 次が成り立つ.

$P_{d_{0}}= \frac{1}{q}+\frac{1}{q^{(n+1)/2}}$

.

31

$n$

が奇数のときの Pd。と

$P_{d_{1}}\leq\overline{q}\overline{q^{(n-1)/2}-1}\urcorner^{-}|$.

定理 7([5])$\mathscr{F}=\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$r\iota>2$とする,

を奇数とし,$k$$F(x_{1)}\ldots,$ $x_{n}.1= \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i^{2}}$$\mathscr{S}=(\mathscr{F}=\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{r\iota}$

定理 5([5])$\mathscr{F}=\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$o_{i},\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)$

$n$

$q$

$P_{d}$なる整数とし, 認証写像をとする. このとき次が成り立つ:, の評価は次のようになる:を奇素数霧とし,とする.

$F(x_{1)} \ldots :x_{n})=.\cdot\iota_{1}^{k},\cdot+$$\sum_{i=2}^{n}.x_{i^{2}}$$\mathscr{S}=\prime \mathscr{F}=\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{n}$.

\sim.f_{l_{\Pi}}.)=\sum_{\dot{x}=1}^{n}\mathit{0}_{(i}.\cdot r_{i^{2}}$,をかつ $a_{1}\cdots a_{n}\neq 0$ なる認証写像とする.

が奇数のとき,$P_{d_{1}}‘= \frac{1}{q}+\frac{1}{q^{(n-\vdash 1)/2}}$,

を $2<k<q-1,$ $k|(q-1)$$F(a:_{1)}\ldots :

と

, の評価

なる:

認証写像 $F$ がより一般の対角二次形式$P_{d_{\text{。}}}$$P_{d}$

Pd。と Pl、の評価は次のように71 が奇数のとき,

11

のときの

のと \doteqdot F’ よ

一般には perfect nonlinear ではない.

定理 4 ([4] Theorem 13) 認証符号の構成は定理 3 と同じとする.

認証写像がある対角形式のとき$\frac{1}{q}+\frac{k^{\sim-}1}{q^{\langle n+1)\prime}}\underline,$,$n\equiv q\equiv 3$$P_{d_{\mathrm{O}}}=\{$(4),

それ以外のとき 4$\frac{1}{q}+\infty_{\sim}^{\ulcorner}q^{(n+1\rangle/\}}1$

定理 8([5]) 定理 7 と同じ条件の下で次が成り立つ.
$n\equiv q\equiv 3$

.

(4),

$P_{d_{1}}\leq\{\begin{array}{l}\frac{k-\mathrm{l}}{q}+\mathrm{q}^{\overline{\{r+\mathrm{l}}\mapsto/-(\mathrm{k}-1)\mathrm{q}}‘ \mathrm{k}^{\wedge}(\mathrm{A}-1)\underline{9}\frac{l_{\cup}-\mathrm{l}}{q}\text{十}\frac{\mathrm{k}-\mathrm{l}}{\mathrm{q}^{(\mathrm{n}-\mathrm{l}\rangle/\underline{)}}-1}.\end{array}$

それ以外のとき
$n$

.

が偶数かつ

$a_{1}\cdots a_{n}$が平方元のとき》$\frac{1}{q}+\neg_{q}(r\iota+\rangle\underline’)1.\underline,$$n\equiv 2,$ $q\equiv 3$$P_{d_{\cup}}=\{$$\frac{1}{q}+,\neg_{q^{(}}1\cdot\vdash 2\rangle\urcorner\sim q-1$

$n$

が偶数かつ

$a_{1}\cdots a_{?l}$

される,

それ以外のとき.

,が非平方元のとき,’$P_{d_{0}}=\{$

定理 5, 6, 7, 8 は Gauss 和と Jacobi 和を使って証明(4),$n\equiv 2_{7}$$\frac{1}{\frac{1q}{q}}++\frac{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\frac{-1}{+1/21}}q^{(\prime 1}}{q^{(\eta.+2)/\mathrm{Q}}\sim}\underline{.,})$

q\equiv 3 と

(4)

32

$)$

が奇数のとき,$P_{d_{1}} \leq\frac{1}{cf}+\frac{1}{\mathrm{r}_{\mathit{1}^{\langle n-- 1\}/2}}-1}$が偶数のときの$P_{d_{0}}$の評価 I(–

般論)

それ以外のとき.

定理 6([5]) 定理 5 と同じ条件の下で次が成り立つ
$n$

$n$

が偶数の場合の Fd。の評価を考える. その際に必要な不定方程式の解の個数の評価 (後述の命題 1)$n$のために, まず $q=p^{r}$ のときの Jacobstllal sums の.

定義を述べる [6].
$n$

が偶数かっ

$a_{1}\cdots a_{n}$が平方元のとき,

定義 1 鳶を正整数とし,数とする.
$a\in \mathrm{G}\mathrm{F}\langle q$

$\mu$

を有限体

) に対

$\mathfrak{j}_{\mu}$$p$を$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2k)$

Jacobsthal sums$\phi_{k_{:}r}.(a),$を次で定義する:$\frac{1}{\mathrm{q}}+\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\tau}+1q^{(n+\cdot)/2}-q$$P_{d_{1}}\leq\{$$\frac{1}{q}$十$.\ovalbox{\tt\small REJECT} 2-1q^{(\mathrm{n}\star’)/2}-(q-1)q$$q\equiv 3_{:}n\equiv 2$(4),

それ以外のとき.

$\acute{\varphi}_{k,r}(a):=\sum_{x\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)}$なる素\rightarrow の二次の指標とする.

\mu (x 鳶+l $+ax$ ),$\psi_{k,r}(a)$98$?l_{k_{:}r}’.(a):=$$\sum_{\mathrm{x},x\in \mathrm{G}\mathrm{F}(r\mathit{1})}$$\phi_{k_{:}1}.=\phi_{k},$$\psi_{k,1}=\mathrm{s}f_{Jk}$ゆえに,\mu (のた $+a$ ).

$B=\{a^{k}.

-

とかく.

$a \neq^{J}\sum_{0_{}1}\mu(1$:のa\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{*}\}$$\sum_{j=1}^{k^{\wedge}-1}\lambda^{j}$とすると(ta)=k $\sum_{b\in B}\mu(1-t^{-1}b)+1$ .

注意 1 実際は文献 [6] には \psi &,r(のの定義はない. また$cb_{k_{\backslash }\cdot r}(a)$も GF ゆ) の元$a$に対してのみ定義され

これと

ている.
$\sum_{b\in B}\mu(t-b)=\mu(-1)\psi_{k,r}.(-t)$

を偶数,次指標とし, $N_{k,r}.(t)$ を数とすると次の式が成り立つ :命題 1$0\neq t\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q),$

$?L$

$\mu$

を

$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$x_{1}^{k}+ \sum_{k=2}^{\tau \mathrm{z}}x_{i}^{2}.=t$$N_{k,r}(t)-q^{n-1}$

上の 2

の解の個

$\mu(-\cdot 1)^{(n-2)/2}q^{(n-2)/2}$$=$$\mathrm{x}(\mu(t)+k\mu(-1)\cdot\psi_{k,r}.(-t))$

まず

証明

Gauss sum$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$\tau(\lambda’)$の乗法的指標, Jacobi sum$\chi,$$\chi_{1}$.

$J(\chi_{1}, ,\{\underline{\circ})$

.

に対し,

$\chi_{2}$より主張が従う.

$\blacksquare$[1] Propositiou 617 の拡張として次の命題が成り立つことが容易にわかる (証明も全く同じやり方でできる) :
命題 2

を

$\mu$

をそれぞれ

次で定義する:の 2 次指標とするとき,$\mathrm{G}\mathrm{F}(p^{r}..)$$\mu(a)\varphi_{h^{n},\mathrm{r}}^{l}(a^{-1})\backslash$

if

$k$

is even,$\oint l(a)’\sqrt\}k,r(a^{-1})_{:}$

if$k\cdot.$

is odd.

$\phi_{k^{n},r}(a)=\{$,$\tau(_{\{},):=\sum_{a\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)}\chi(a)\mathrm{e}\mathrm{x}^{-}\mathrm{p}(2\pi i\cdot \mathrm{t}\mathrm{r}(a)/p)$.
$J(. \chi_{1:}’\chi_{2})=J,7(_{X17\lambda’2}):=\sum_{7a_{1}+a_{\vee}=1}\chi_{1}(a_{1}).\chi_{2}(a_{2})$以下 $p=2kf+1$ とし, 次を仮定する: $q=p^{r}$ との乗法的指標とし, ある固し.
は位数 2 んの$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$\hat{\chi}$

定された$\lambda$

を$\mathrm{G}\mathrm{F}(c\mathit{1})$上の位数 の指標とすると
$k$

$7t$

は偶数より,

し,る$N_{k_{1},\prime}.(t)-q^{n-1}=.

\sum_{j=1}^{k-1}\lambda^{j}\mu(t)\frac{\tau(\lambda^{j})\tau(_{\mathrm{A}^{f}})^{71-1}}{\tau(\lambda^{j}/x^{r\iota-- 1}\grave{)}}$$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$\hat{\chi}(\gamma)=\zeta$$\mathrm{G}\mathrm{F}(p)$限を$\chi$の原始根$\gamma$と (=exp(2\pi i/2 紛に対が成り立つとする. また

の原始根を

$g$

とし:

$\hat{\chi}$の$g=\gamma^{p^{r-1}}$$\mathrm{G}\mathrm{F}(p)$

な

における制

とかく. 以上の仮定から $.\chi(g)=\zeta$ となることに洋意実際$\chi(g)=\hat{\chi}(g)=\hat{\chi}.(\gamma\cdot)^{p^{r-1}}=($$= \mu(t)\tau(/4)^{r.-2}.\sum_{j=1}^{k-1}\lambda^{j}(t.).7(\lambda^{j}, \mu’)$である 6$= \mu(t)\tau(\mu)^{r\iota-2}.\sum_{j=1}^{k^{\eta}-1}\lambda^{j}(t)\sum_{a\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q\rangle}\lambda^{j}(a)\mu(1-a)$

注意 2$= \mu(t)\tau(\mu)^{?\mathrm{z}-2}\sum_{a\neq 0,1}\mu(1-a)\sum_{ja\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)=1}^{k-1}.\lambda^{j}$(ta)$a\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q),$と, 上の仮定ととする$a=\gamma^{e}’(1\leq e\leq p^{T}-1)$$a^{p^{\prime-1}}=\gamma^{e\cdot p^{r-- 1}}=g^{e}$より以下がなりたつ 9$e=\mathrm{i}_{11}\mathrm{d}_{\gamma}a=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{g}a^{p^{r-1}}$$\lambda$

は$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$\sum_{j=\mathrm{J}}^{k^{\wedge}-1}$

.

上の

$k$

$\lambda^{j}(a)=\{$

次の指標よりもし

幕のとき,$k-1$ ,$a$-1,

それ以外のとき-が$t_{\hat{u}}$$a\in \mathrm{G}\mathrm{F}(p)$のときは $P\equiv 1$ (lnod$k$) より以下がなりたつ.
$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a=p^{r-1}\cdot \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathit{9}}a\equiv \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathit{9}}$a (Inod ).
$k$

89

さて

$\phi\kappa.(a)(a\in \mathrm{G}\mathrm{F}(p))$

とおくと,に対して成り立つ [1] The-$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a\equiv j$orem 6114 の拡張として次の定理がある:
定理 9([6] Theorem 3.1) $p$ をある正整数
してなる素数とする.

$p\equiv[perp](111\mathrm{o}\mathrm{d}2k)$$t_{v}^{\Lambda}$に対(lnod ) のとき,$k$$\phi_{k^{n},\tau}(a)$と$\Phi_{\mathrm{A}-,r}(j)$$.\psi_{k,r}.(a)$と$\Psi_{k^{\wedge}.\tau}.(j)$$a\in \mathrm{G}\mathrm{F}(p^{r})$はそれぞれ符号を除いて等しい.

に対し, 次が成り立つ.

.
: even, $q=p^{7}$ のときの$=p^{r},$を偶数とし,
1
定理 10 ($\phi_{k,r}(a)=(-1)^{r-1}\hat{\chi}(-1)\hat{\chi}^{L+1}.\cdot(a)$

$n$

$p$

$q$

$\rangle\langle\sum_{j=0}^{k^{n}-1}\hat{\chi}^{2j}(a)K(\chi^{2j+1})^{r}.$.

$\mathscr{S}=g=\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{n},$

を

ここで指標
る,

$\chi$

に対し,$I\iota_{7}^{r}.(\chi):=\chi(4)J_{7}.(\chi, \chi)$

特に $r=1$ のときは,$I\iota_{1}^{-}(\chi)$きの主張であるが, その証明は$a\in \mathrm{G}\mathrm{F}(p)$

)

2
とする.

$n$

$>$

とし, 認証写像とする. このと$ff=\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$F(.x_{1}, \ldots, x_{n})=x_{1}^{k}+\sum_{i=2}^{?\mathrm{t}}x_{i^{2}}$

.

.

のと

としても

$a\in \mathrm{G}\mathrm{F}(p^{T})$証明$t\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)$(mod ),$k$

注意 4 Davenport-Hasse rela.tion [1] より

をとり,

個数

が成り立つことに注意.

$N_{k,r}$$t_{k}\in \mathbb{Z}$を.

$\mathrm{i}_{11}\mathrm{d}_{\gamma}(-t)\equiv t_{\mathrm{A}}.$. $\leq k-1$ とする. 命題 1 から $F=$

$0\leq t_{L}$: even のときの $F=t$ の解のは次のように計算される :$x_{1}^{k^{n}}+x_{\underline{7}}^{9}.arrow+\cdots+x_{n}^{2},$$K_{r}(\chi)=(-1)^{r-1}K_{1}(\chi)^{r}$が奇数のときは$P_{d_{\text{。}}}$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} k)$$P_{d_{0}}=+ \underline{1}\frac{\max_{0\leq j\leq k^{h}-1}\{|1+k(-1)^{j}\Psi_{kr}(j)|_{\int}^{1}}{-(_{\eta}.[perp] 9.\backslash /9_{-}}.$$\frac{1}{q}+\frac{\max_{0\leq j\leq k^{h}-1}\{|1+k(-1)^{j}\Psi_{kr}(j)|_{\int}^{1}}{q^{(n+^{\underline{\mathrm{o}}})/2}}$成り立つので上の定理の主張を得る.

$k$$\equiv$

き次が成り立つ :とす

を $K(\chi)$ とかく.

注意 3 実際には [6] Theorem 31 は,$n$$\frac{N_{k^{\sim},r}-q^{n-1}}{\mu(-1)^{(r\iota-2)/2}\mu(t)q^{\langle_{7l}-2)/2}}..=1+k/x(-t^{-1})\psi_{k.\mathrm{r}}.(-t)$

であるか$\psi_{\mathrm{A}_{:}7}.(a)=\mu(a)\phi_{k^{4},r}(a^{-1})$

ら次が従う:.

$=1+k\mu(-t^{-1})(-1)^{(\mathrm{i}\mathrm{n}c\mathrm{I}_{-/}(-t))-t_{k}}\Psi_{k,\mathrm{z}}$$(t_{k}..)$$=1+k(-1)^{\mathrm{i}_{\Omega}\mathrm{d}_{\urcorner}(-t)^{-1}}(-1)^{(\mathrm{i}_{11}\mathrm{d}_{\gamma}(-t))-t}{}^{\mathrm{t}}\Psi_{\mathit{1}_{u},r}.(t_{f_{\dot{\llcorner}}})$

系 1 仮定を前の定理 9 と同じとし, さらに

$k$

が奇数

のときは次が成り立つ :$\psi_{\lambda\cdot.r}(a)$$=$$=1$ 十 $k.(-1)^{t_{k}}.\Psi_{k,r}(t_{k}.)$よって$\mu(a)(-1)^{r--1},\mathrm{j}(-1)\hat{\chi}$

喬 $+1$.

$\mathrm{n}1\mathfrak{N}\mathrm{Y}_{t\in \mathrm{G}\mathrm{I}^{\mathrm{p}}(q)}^{r}|F^{-1}(t)|$の値は次に等しい:(u)$q^{n-1}+q^{(n-2)/2}\mathrm{r}11\mathrm{a}\mathrm{x}’\{|1+k.(-1)^{j}\Psi_{k_{:}\uparrow}..,(j)|\}0\leq j\leq k^{\wedge}-1^{\cdot}$$\mathrm{x}\sum_{j=0}^{\mathrm{A}^{u}-1}\hat{\lambda}^{2_{f}}(a)K(.\chi^{2j+1})^{r}$$\gamma\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)$をの生成元とする.

$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)..\wedge\cdot$.

$7r\iota,j\in \mathbb{Z}$

に

ゆえに

対し

$P_{d_{0}}$$:=$$\max$$\frac{|F^{-1}(t)|}{q^{n}}$$t\in \mathrm{G}\mathrm{F}(c])$$\phi_{k_{\mathrm{t}}r}.(\gamma^{km+j})$$=$$\psi_{k_{7}r}.(\gamma^{km+j})$$=$(-1) 頭ん 11)$\phi_{k^{\pi},r}(\gamma^{j}’)$,$= \frac{1}{q}+\frac{1\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}_{0\leq j\leq k-1\{J}’|1+\lambda^{\wedge}(-1)^{j}\Psi_{h^{\mathrm{r}},r}(j)|_{\int}^{T}}{q^{(n+)/2}\underline{)}}.\cdot$.

$(-1)^{?1\tau k}\psi_{k,r}.(\gamma^{j})$$\bullet$が成り立つので,$|’\phi_{k_{:}r}(a)|$

$a$

の値は指数

$\in$

$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{-/}a$に対し$|\phi_{k,r}(a)|$,(fnod ) により決まる.
$k$

$k$

が奇数のとき命題 2 より

よって $0\leq j\leq k-1$ に対し$\Phi_{k^{4},r}(0)_{?}$$j=0$ のとき,$\Psi_{k_{:}r}(j)=\{$$\Phi_{k,7}.(.j)$$:=$$\acute{\varphi}_{k\cdot,r}(_{l}\cap\dot{s})$$\Psi_{k,r}.(j)$$:=$$\psi_{k_{:}r}(\gamma^{\mathrm{j}})$,$(-1)^{j}\Phi_{k,r}(k-j)i$$j\neq 0$

のとき,

100

が成り立つことから, 定理 10 の系として次の定理が

33

$n$

従う:

$3$

)
: odd, $q=p^{r}\sigma$) ときのが奇数のとき次
じ仮定の下, さらに定理 11( $n$ : even,

定理 10$\text{と_{}1}\prod\overline{3}$$k$$P_{d_{\text{。}}}$$P_{d_{0}}= \frac{1}{q}$

補題 6

$k$

$\sum_{i=2}$

十$\frac{\max_{0\leq j\underline{\backslash }\lambda\cdot-1}\nearrow.\{|1+k\Phi_{k,r}(j)|\}}{q^{(n+2)/2}}$を奇数とし, $q=p^{r},$$\Phi_{k,\}^{\sim}}(0)\neq 0$$P$: 奇素数, $p\equiv 1$$F=x_{1}^{\mathrm{A}}\acute{.}+$の明示的な式を特に $k=3,5$

定理 12([1] Thm 31.1 &312) $k=3$ のとき,,

$J( \chi.\chi^{2})=(\frac{-1}{p})I\acute{\mathrm{c}}(\chi)=K(\chi^{2})=a_{3}+ib_{3}\sqrt{3}$も従うことに注意.

なる整数

定義より

$b_{3}$

があり, これらは次をみたす:

より $p^{r}\equiv 1$ (nlod.

$X^{k}$$k$.

{固が 0 で残り $p-1-k$である. んは奇数より列

$A$

の中に

$\pm 1$が奇数個あるのでそれらを足し合わせても 0 にはならなゆえに$’\psi_{k,1}.(-1)\neq 0$$|b_{3}|=1$$b_{3}=1$である.

ここで以下の定理のために Iverson 記号を定義しておく.

定義 2 命題 $A$ に対し, $[A]$ を以下で定義する:$[A]:=\{$

1:$\mathrm{O}_{\backslash }$$\phi_{L^{\wedge},1}(1)=dyk,1((-1)^{-1})=\mu(-1)’‘\beta_{k,1}(-1)\neq 0$.

(2)である. 式 (2) より, $3b_{3}\equiv 3$ (ITIOd 7) ゆえ.

鳶は奇数ゆえ, 命題 2 より.

$p=7,$ $g=3$ のときを考える. 式 (1) より, $a_{3}=2$ ,の根をもつ. したがって列 $A:=\{\mu(1^{k}..-1)_{\gamma}\mu(2^{L}$ $-$
$k$

(.1)

例 1([1], P.127) 上の定理 12 を説明するために$k\text{個}$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)\mathrm{F}\mathrm{h},\mathrm{E}_{\backslash }$のうち$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$3b_{3}$$1\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)[X]$$1)_{:}\cdots.\mu((p-1)^{k}-1)\}$(lnod 3),$a_{3}\equiv-1$. $\equiv(2g^{(p-1)/3}+1)a_{3}$\mu (m た –l).

$-$
) ゆえ,
は一次式の積に分解される. またなる(1), $k)=1$ ゆえ, 結局 X ん一 1

$p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} k)$$a_{3},$$a^{\frac{9}{3}}+b_{3}^{?}arrow=p_{\mathrm{I}}$$\psi_{k,r}(-1)=\prime n^{--}1\sum_{-}^{p-1}$

い,$P_{d_{\mathit{0}}}$

まず次の定理が必要である:$k=3$ のときである. 定義より

個はが偶数で, 認証写像がx 紗ときの.

$\varphi/_{k_{:}^{-}\prime}.(1)\neq 0$$\pm 1$$n$のときにそれぞれ与える (定理 14, 17).

(mod 紛とすると,

証明

ここでは,

$k$

が成り立つ:

が偶数のときの Pd。の評価皿 $(k=$, 5 の場合)$A\hslash\backslash \backslash -\#\backslash \mathit{0}\supset\wedge^{\wedge}\geq\not\leq$,.

$Af_{\mathrm{J}^{\backslash }}\backslash \backslash \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}_{\mathrm{t}\backslash \backslash }\emptyset g\mathrm{g}$注意 6 以降簡単のために, 数

$a$

に対して

Gauss 記号による像とし, 命題$A$に対して $[A]$ は

$[a]$

は

fverson 記号による像とする.
匿

注意 5 上の補題より $q=p^{r}$ $p\equiv 1$ (nlod
)

数,

$n$

が偶数のとき認証写像

$k$

),

$k$

が奇

$F=x_{1}^{k}.+?_{2}^{2}..+\cdots+x_{n}^{2}$に対する Fd。は定理 11 と補題 6 より次の不等式をみたす.
$P_{d_{0}}= \frac{1}{q}+\frac{1}{q^{(n+^{\underline{\mathrm{o}}})/2}}\cdot \mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq j\leq k-1\{|1+k\Phi_{k,1}(j)|\}$

定理 13 ([1] Theorem 622 の拡張) $p\equiv 1(3)$ とし,$a_{3_{\}}b_{3}$を定理 12 の通りとすると$\phi_{3,r}(a)$の値は次の通りに与えられる :1.

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a\equiv 0$(nlOd 3) のとき,.

$\frac{\phi_{3,r}(a)}{\mu^{r--1}\dot{(}-1)}=-1+2’(\begin{array}{l}r2j\end{array})(-3)^{j}a_{3}^{r-2j}b_{3}^{2j}j=0\mathfrak{t}\frac{\backslash }{\sum^{2}}\mathrm{J}$$> \frac{1}{q}+\frac{k-1}{q^{(n\dashv 2)/2}-}$

.

101

2.

のとき,

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a\equiv[perp](\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3)$$-\hat{\lambda}^{\mathit{1}}(a)$$\mathrm{i}_{11}\mathrm{d}_{\gamma}$(lnod 3)

$a$

0
1
2

1
$(-1-i\sqrt{3})/2$.

$\frac{\mathrm{e}b_{3_{\backslash }r}.(a)}{\mu^{r-1}(-1)}=-1-\cdot(\begin{array}{l}r2j\end{array})(-3)^{j}a_{3}^{r-2\mathrm{j}}b_{3}^{2_{J}^{-}}j_{--}^{-0}\mathfrak{l}\frac{\mathrm{r}}{\sum^{\mathrm{o}}}\mathrm{J}$$(-1+i\sqrt{3})/2$

十 3

よって一りたつ.

.

$\sum_{j=0}^{\mathrm{f}\frac{t}{2}\mathrm{J}-[2|r)}(\begin{array}{l}r2j+1\end{array})(-3)^{j}a_{3}^{r-\underline{7}}j-1b_{3}2j+1$.

3,

定理 14( $k=3,$ $q=p^{r}$ のときののとき,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3)$

数とし,
{ff
$=$

$\mathfrak{l}\frac{r}{9}]$.
$p$$q=p^{r},$$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{n}$,$P_{d_{0}}$$\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3)$$=$$\mathscr{F}$$\mathscr{S}=$とし, 認証写像を$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$

とする.

.

$F(x_{1}, \ldots\dot, x_{?\mathrm{z}})=x_{1}^{3}+\sum_{i=2}^{n}x_{j^{2}}$$\frac{(b_{3\urcorner r}(a)}{\mu^{r-1}(-1)}=-1-\tilde{\sum_{j=0}}(\begin{array}{l}r2j\end{array})(-3)^{j}a_{3}^{r-2j}b_{3}^{2j}$) $n>2$ を偶

とする.

このと

き次が成り立つ :.

$-3, \sum_{-,\prime=0}^{[\frac{r}{2}\mathrm{J}-\mathrm{I}^{\underline{9}}|r\rfloor}\{\begin{array}{ll} r\mathit{2}j \text{十}1\end{array}\}(-3)^{j}a_{3}^{\tau-2j-1}b_{3}^{2j+1}$

よって $\phi_{3,r}(a)$ はで,$\phi \mathrm{s}_{:}\cdot,$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3)$$P_{d_{0}}= \frac{1}{q}+\frac{1}{q^{(n+2)/2}}\cdot \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}_{\underline{9}}\{|1+3\Phi_{3,\gamma}.(j)|\}j=0,1,\cdot$

1 このみ依存するの. のとりうる 3 つの値を順に$\Phi_{3_{:}r}(0),$証明$k=3$ のとき,$\Phi_{3_{:}r}(1)7$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}$$\phi_{3_{1}r}.$

証明$\alpha$とする. すなわち$q_{1}3.r(2)$$\chi$:.

$\chi^{3}=\overline{\chi^{3}}$は位数 2 の指標であるから [1] Theorem 2.11(c) より(mod 3)$a^{-[perp]}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{-_{f}}$

0
2
1

0
1
2

$\mathrm{G}\mathrm{F}(p^{7}.)arrow\{\Phi_{3.r}(0).\Phi_{3,r}(1\rangle, \Phi_{3},\cdot,.(2)\}$

は位数 6 の指標より(nlod 3)

よって定理 13 より、$F^{J}=x_{1}^{3}+\cdot Ij\dot{2}\mathrm{Q}+\cdots$

数のときの $F=t$ の解の個数を十$x^{\frac{7}{n}}.$

,

, が偶

$7\mathfrak{l}$. とし, $q=.p^{r}$$N_{3},\cdot,$

とおくと$K(_{\lambda’}^{3}):=\chi^{3}(4)J_{1}(\chi^{3}.\chi^{3}.)=-\chi^{3}(-1)$と [1] Theoremn 216 (2.1.2) より

2)/2=\mu (f/)+3\mu (-l)\psi 3,\uparrow (-む)$\frac{N_{3,r}-q^{(7\iota-1)}}{\mu(-1)^{()/\underline{\mathrm{Q}}}n-\underline{9}q^{(\eta-}}$$\mu(-1)K_{1}(\chi^{k-1})=K_{1}(\chi)$$=\mu(t)(1+3\dot{\phi}_{3,r}((-t)^{-1}).)$.

に注意するとよって$(-\mathrm{l})^{}$$1\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}_{t\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)}|F^{-1}(t)|$は次の値に等しい:$\phi_{3,7}\cdot(a)=\hat{\chi}(-1)\hat{\chi}^{4}.(a)\sum_{j=0}^{2}\hat{\chi}^{\underline{\eta}}(ja)K(_{\lambda’}^{2j+1})^{\gamma}$$q^{r\iota-1}+q^{(n-2)/2} \max_{=j0_{\backslash }1,2}.\{|1+3\Phi_{3_{:}r}(j)|\}$$=(-\mu(-1))^{r-1}(-1+2\Re\{-\hat{\chi}^{2}(a)K(\chi^{2}\rangle^{r}\})$

.

.
ゆえに

よって定理 12 より$\underline{|F^{-1}(t)|}$(aj/,)r-十 l$P_{d_{0}}$$\underline{\phi_{3,r}}$$\mu^{\prime r-l}(\angle-1)(-1)=2\Re\{\overline{\hat{\chi}^{2}.}(a)(a_{3}+\mathrm{i}b_{3^{\sqrt{3})^{r}\}}}$

$:=$

.

$\max$$t\in \mathrm{G}\mathrm{P}^{\urcorner}(q)$

$=$

-1 十
$q$

$\hat{\chi}(g)=\exp(2\pi \mathrm{i}/6)=$

(

$1$

十

$\mathrm{i}\sqrt{3}$) $/2$ であるから$q^{n}$$\underline{1}$$q^{(n+2)/2}$. lnax$j=0,1,2$$\{|1+3\Phi_{3,r}(j)|\}$.
$\bullet$102$k=3$ のときの定理 12 に相当する次$k=5$ のとき

この場合の合同式 (6), (7) はの定理が必要である.
$o_{5}.+4h_{5}+8c_{\Gamma}\delta+5d_{5}\equiv 0$定理 15([1] Thm 37.2 &373) $k=5$ のとき,$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 11)$$\{$$5b_{5}^{2}-a_{5}^{2}\equiv 4(c_{r}^{2}-Od_{5}^{2}-4c_{5}d_{5})$,(Inod 11).

$( \frac{-1}{p})K(\chi)=K(\chi^{4})$$-T^{\backslash ^{\backslash }}$なる整数 .

$a_{5}$$b_{5},$$c_{5},$$d_{5}$$,$

これらを満たすのは $(a_{5}, b_{5,D_{l}}c.r.d_{5})=(-1,1,1,0)$のみである.

,$=a_{5}+b_{5}\sqrt{\mathrm{D}^{\ulcorner}}+\mathrm{i}c\mathrm{s}\sqrt{5+2\sqrt{\mathit{0}^{r}}}\text{十}\mathrm{i}d_{5}\sqrt{5-2\sqrt{5}}$があり, これらは次をみたす:
定理 16 ([1] Theorem 6.2.4 の拡張) $p\equiv 1(5)$ と$a_{5}\equiv-1$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 5)$$a_{r}^{2}+5b_{r}^{2}+5c^{2}+55d_{r}^{2}=pvvc$

,

(3)

’

(4)

$a_{5}b_{5}=d_{5}^{2}-c_{5}^{2},-c_{5}d_{5}$.

を定理 15 の通りとするとし,の値は次の通りに与えられる :$b_{5},$$a_{5},$$c_{5},$$\phi_{5,r}(a)$$d_{5}$(5)$\frac{\phi_{5,r}(a)+\mu^{r-1}(-1)}{2\mu^{\tau\cdot-1}(-1)}$

注意として, 上の三つの条件をみたす $\pm(a, b_{:}c.d)$ は次の意味で 「本質的に唯–」 である. すなわち上$=r_{\hat{\chi}}(a).

の三条件をみたす他の整数の組は $\pm(a, b, -c, -d)$ ,$\pm(a, -b, -d, c),$ $\pm(a_{:}-b\backslash d, -c)$ 以外にはない
さらに $a_{5)}b_{5},$$c\mathrm{s},$$d_{\acute{0}}$は次の合同条件をみたし, 唯(\begin{array}{l}7\cdot 2j\end{array})(-1)^{j}j=0\mathrm{I}\frac{?}{\sum^{\underline{9}}}\mathrm{J}(\alpha_{+}^{\gamma-\underline{7}}/’- \mathrm{I}-+\alpha_{-}^{7^{\cdot}}-2j/j2\mathrm{j}d_{-)}2j$$- \mathrm{i}_{\acute{\chi}}(a)\sum_{j=0}^{[\frac{r}{2}]-\mathrm{i}^{2}|r_{1}^{1}}\{\begin{array}{ll} \tau\cdot 2_{J}^{-} \text{十}1\end{array}\}(-1)^{j}$一に決定される:$\mathrm{x}(\alpha_{+}^{r-\cdot 2j-1}\beta_{+}^{2j\dashv- 1}+c\nu_{-}^{r-2j-1}\beta_{-}^{\underline{9}}j+[perp])$$a_{\delta}\prime \text{十}b_{5}(2h^{\underline{9}}-2h^{3}.

+1)+C_{\mathrm{d}}^{r}$(ん十(lnod )$+d_{5}(/\iota^{2}+h^{3}-h-f\iota^{\lrcorner\prime})\equiv 0$ん$h^{\underline{\mathrm{J}}}.+$$3+\mathrm{h}^{4}$

)

(6)

$p$

$\dot{J}$$\vec{}\vec{\mathrm{c}}^{-}T^{\backslash }.o\mathrm{i}+)\alpha_{-},$

5b52-a52\equiv (2 ん 2-2h3+l).

$(c_{5}^{2}-d^{\frac{9}{5}}-4\mathrm{r}_{J}5d5)(p)$(7)
さら t\llcorner \rightarrow \acute \X が成り立つ [1] 式 (3.7.14):$\beta_{+},$$\beta_{-}\text{を}$.
$\alpha_{+}$$=$$\alpha_{-}$$=$$\beta_{+}$$=$$\beta_{-}$$=$$a_{5}+b_{5^{\sqrt{5}}}$,$a_{5}-b_{5}\sqrt{5}$,,$c_{5}\sqrt{5+2\sqrt{\mathit{0}^{r}}}+d_{5}\sqrt{5-2\sqrt{5}}$$( \frac{-1}{\mathit{1}})JK(\chi^{3})=K(\chi^{2})$$-d_{5}\sqrt{5+2\sqrt{5}}+c_{5}\sqrt{5-2\sqrt{5}}$,.

$=a_{5}-b_{5}\sqrt{5}-\mathrm{i}d_{5}\sqrt{5+\underline{9}\sqrt{5}}+ic_{5}^{\prime\sqrt{5-2\sqrt{5}}}$例 2([1], P.127) 上の Thm 15 を説明するために$p=11,$ $g=2$ のときを考える.
$a\mathrm{g}\equiv-1(5)$(4) より$b_{r}^{2}\circ$$h=g^{(\mathrm{p}-1)/10}=2$と $a_{5}^{2}\equiv 1(5)$ より $a_{\mathrm{d}}r=-1$ .

十 $c_{5}^{2}.+d_{5}^{2}=2$ .

$(|b_{5}|_{\dagger}|c_{5}.|.

話, 虚部とし,$r_{\lambda^{\overline{\prime}}}(a)$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a$$r_{\overline{\chi}}(a)$$:=$$i_{\hat{\chi}}(a.)$

はそれぞれ$-\hat{\chi}^{2}(a)$の実(rnod5) により次の値をとる:$\Re(-\hat{\chi}^{2}(a.))$$(1,0,1)$ or (0, 1, 1).
$=$

式 (5) より,$(b_{5_{j}}c_{5}, d_{5})=(1_{?}\pm 1_{:}0)_{?}(-1,0, \pm 1)$

と

よって式

従って,

|d_{\mathfrak{d}}\ulcorner|)=(1,1,0),$.

とする また

.

$\{$

1,

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma^{l}}a\equiv 0(5)$$(\sqrt{5}-1)/4\backslash$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a\equiv 1(5)\tilde{.}$$-(\sqrt{5}+1)/4$.

.

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a\equiv 2(5)_{:}$$-(\sqrt{5}+1)/4$ ,$\mathrm{i}_{11}\mathrm{d}_{\gamma}a\equiv 3(5)_{:}$$(\sqrt{5}-1)/4_{\grave{l}}$$\mathrm{i}_{1\urcorner}\mathrm{d}_{\gamma}a\equiv 4(5\rangle$

.

103

$:=$

$\mathrm{i}_{\hat{\chi}}(a)$ゆえ$s^{\theta}(\hat{\chi}^{2}(a))-$$\mathrm{i}_{11}\mathrm{d}_{g}a\equiv 0(5)$,$-\sqrt{10+2\sqrt{5}}/4’$$\tilde{1}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a\equiv 1(5)$,$-\sqrt{10-2\sqrt{5}}/4_{:}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a\equiv 2(5)$,$\sqrt{10-2\sqrt{5}}/4_{:}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a.=-3(5)$,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}a\equiv 4(5)$.

$0\grave{.}$

.

$=$

$\{$

$\sqrt{10+2\sqrt{5}}/4$

,

-1

$($

$)^{r-1}\phi_{5,r}(a)$$=\chi^{6}\langle-1)\hat{\chi}^{6}(a)\{\chi^{5}(-1)\}^{r-1}K(.\chi^{4}\grave{)}^{r}$$+\chi^{6}(-1)\hat{\chi}^{8}(a)\{\chi^{5}(-1)\}^{r-1}K(\chi^{2})^{r}$$+\chi(-1)\{-\chi^{5}(-1)\}^{r}$$+_{\lambda’}^{6}(-1)\hat{\chi}^{2}(a)\{\chi^{5}(-1)\}^{r-1}K(\chi^{\mathrm{S}})^{r}$(nuod 5) にのみ依存する 0),(0)のとりうる 5 つの値を順によって \phi 5-r(のはで,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\wedge/}a$$\Phi_{5,r}(2),$$\Phi_{5_{:}r}(3),$$\Phi_{5,r}(4)$十 $\chi^{6}(-1)\acute{\chi}4(a)\{\chi^{5}(-1)\}^{r-1}K(\chi^{6}.)^{T}$.

$\Phi_{5,r}.(1)$$\Phi_{v_{:}r}$「$\phi_{5,r}$とする. すなわち
これと$\phi_{5,r}$:$\mathrm{G}\mathrm{F}(_{I^{\mathrm{J}^{r}}})arrow\{\begin{array}{ll}\Phi_{5,r}(0) \Phi_{5,r}.(1)..\Phi_{5,r}(2)\Phi_{5,r}(3) \Phi_{5,r}(4)\end{array}\}$.
$\chi(-1)\{-\chi^{5}(-1)\}^{r}$証明$\chi$

は位数 10 の指標より$\chi^{5}=\overline{\lambda^{\prime^{5}}}$

は位数 2 の指標であるから [1] Theorem 211(c) より$=$$-\chi^{6}(-1)\{-\chi^{O}(-1)\}^{7^{\backslash }}r-1$$=$$-\{-\chi^{5}(-1)\}^{r-1}$ .

より, 次式が成り立つ :$K(\chi^{5}):=\chi^{5}(4)J_{1}(\chi_{:}^{5}\chi^{5})=-\chi^{5}(-1)$$\mu(-1)^{r-\rfloor}\phi_{5,r}(a)$$=$$-1+2^{\downarrow}\mathrm{R}\{\overline{\hat{\chi}}^{2}\dot{(}a)K(_{\lambda’)^{r}\}}^{2\backslash }$$+2\Re\{\vec{\hat{\chi}}(a)K(.\chi^{4})^{\mathfrak{l}}.\}$と [1] Theorem 216 (2.1.2) より.

Thm 15 より$/\iota(-1)K_{1}(\chi^{4})=I\zeta_{1}(\chi)$$I\check{\iota}(\chi^{4}/)=0_{+}’+?,\mathit{1}\mathit{3}_{+}$.

$K(\chi^{2})=\alpha_{-}+\mathrm{i}\beta_{-}$.

に注意すると式 (3.7.14) より$(-1)^{r-1} \phi_{\mathrm{d},T}r(a)=\hat{\chi}(-1)\hat{\chi}^{6}(a)\sum_{j=0}^{4}\hat{\chi}^{2j}\langle a)K(\chi^{2j+1})^{r}$$=\hat{\chi}(-1)_{\acute{\lambda}^{6}}’(a)K(\chi)^{r}$

よって$+\hat{\}}’(-1)\hat{\chi}^{6}(a)\hat{\chi}^{2}(a)K(\chi^{3})^{r}$

十 $\hat{\lambda}’(-1)\hat{\chi}^{6}.(a)\hat{\chi}^{4}(a)K(\chi^{5})^{r}$$K( \chi^{4})^{t^{\backslash }}=(\begin{array}{l}r\underline{9}j\end{array})(-1)^{j}\alpha_{+}^{r-2j}lj=0\mathrm{f}\frac{r}{\sum\underline{\mathrm{Q}}}\mathrm{J}\partial_{+}^{2j}$$+\hat{\lambda}’(-1)\hat{\chi}^{6}(a)\hat{\chi}^{6}(a)K(\chi^{7})^{r}$.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}]\dashv 2$$+\tilde{\chi}(-1)\hat{\chi}^{6}(a)\acute{\chi}^{8}(a)I\acute{\iota}(\chi^{9})’$回$(\begin{array}{ll} r2j +1\end{array})(-1)^{jj-1}\alpha_{+}^{r-\underline{9}}l^{9_{+}^{2j+1}}$$+\mathrm{i}$,$\sum_{j=0}$$=\hat{\chi}(-1)\grave{\chi}^{6}(a)\{\mu(-1)I\mathrm{i}(\chi^{4})\}^{r}$$+\hat{\chi}(-1)_{\hat{\lambda’}}^{8}(a)\{\mu(-1)K(_{\lambda’}^{2})\}^{r}$$+\hat{\chi}(-1)K(\chi^{5})^{r}$$K( \chi^{2})^{r}=(\begin{array}{l}r2j\end{array})(-1)^{j}\alpha_{-}^{r-27}\beta_{-}^{2j}j=01\frac{r}{\sumarrow 9}\mathrm{J}$

十 $\hat{\chi}(-1)\hat{\chi}^{2}(a)\{\mu(-1)K(\chi^{8})\}^{r}$$+\hat{\lambda}^{J}(-1)\hat{\chi}^{4}(a)\{\mu(-1)K(\chi^{6})\}^{r}$$+ \overline{\iota}\sum_{j=0}^{[\frac{r}{2}]-[^{\underline{q}}|r|}(\begin{array}{ll} T2j +]\end{array})(-1)^{j} \alpha_{-}^{r-2j-1}\beta_{-}^{2j+1}$$\chi^{5}=\mu$

より, $K(\chi^{5})=-\chi^{5}(-1)$ (Thmn2.2.1 (c))

104と表わされる. これと

$g$

$=$

$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{n}$,$\mathscr{F}$$=$とし, 認証写像を
ユザ とする. このと$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$F(.x_{1}, \ldots.x_{n})=x_{1}^{5}+\sum_{i=}^{n}\underline{9}$$\varphi_{\mathit{0},r}/_{r}(a)=-\mu^{r-1}(-1)$

き次が成り立つ :$+\mu^{r\cdot-1}(-1)\cdot 2\Re\{^{-2}\hat{\chi}(a)K(\lambda^{4}/)^{r}\}$$P_{d\mathrm{o}}= \frac{1}{q}+\frac{1}{q^{(n+^{\underline{\mathrm{Q}}})/2}}\cdot\max\{|1+\Phi_{5,r}(j)|\}0\leq j\leq 4^{\cdot}$$+\mu^{r-1}(-1)\cdot 2\Re\{-\hat{\chi}^{2}(a)K(\chi^{2})^{r}\}$$k=5,$ $n$ : even,

証明

より
$a$

$\mathrm{i}_{11}\mathrm{d}_{\gamma}$(mod 5)$p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 5)$$\mathrm{i}\mathrm{n}\sigma 1_{\gamma}$$\phi_{5,r}(a^{-1})$

0
4
3
2
1

$0$

1

2
3
4

$- \mathrm{i}_{\hat{\chi}}(a)\cdot\sum_{j=0}^{[_{\rfloor}-[2|r]}\frac{t}{2}\}(\begin{array}{ll} r2j +1\end{array})(-1)^{jr-2j-1} \mathrm{r}\gamma+/\mathit{3}_{+}^{2j+1}$(mod 5)$a^{-1}$$\frac{\phi_{5,r}(a)+\mu^{r-- 1}(-1)}{2\mu^{r-1}(-1)}$$=r_{\hat{\chi}}(a) \cdot(\begin{array}{l}7\cdot 2j\end{array})(-1)^{j}\alpha_{+}^{r-2j}/j=01\frac{\gamma}{\sum\underline{\circ}}]\beta_{\dashv-}^{2j}$のとき.

$\Phi_{5,r}(0)$$\Phi_{5}$,$r(\prime 4)$$\Phi_{5,\tau}(3)$$\Phi_{5}$$\Phi_{5}$,$7^{\cdot}$(2), $r(1)$

ただし, $\phi_{5_{:}r}(j)(j=0,1,2,3,4)$ は Thm 15 の通りとする. よって $F=x_{1}^{5}+x_{2}^{2}+\cdots+$)$x^{\frac{9}{n}}.’

n$

:even

$\mathit{0}\supset$

ときの $F=t$ の解の個数を N5,、とすると,$+r_{\overline{\chi}}(a) \cdot(\begin{array}{l}r2j\end{array})(-1)^{j}\alpha_{-\beta_{-}^{\underline{9}}}^{r-\underline{?}jj}j=01\frac{\prime}{\sum\underline{\nabla}}!$$\frac{N_{\mathrm{d},r}\prime-q^{n-1}}{\mu(-1)^{(n-2)/2_{Q}\langle n-2)/}}.\underline’$=\mu (f)+5/t(-l)\psi 5, r(一り$\cdot$$-i_{\hat{\chi}}(a) \cdot.,\sum_{j=0}^{1_{-}^{\underline{r}}\mathrm{J}-[2|r]}(\begin{array}{l}72j+1\end{array})(-1)^{j}\alpha_{-}^{r-2j-1}\beta_{-}^{2\mathrm{j}+1}$$=\mu(t)(1+5\acute{\varphi}_{\lrcorner r}\mathrm{r},((-t)^{-1}))$

仮定より$.q\in \mathrm{G}\mathrm{F}(p)$だから $\hat{\chi}(.q)=\chi(g)$ ゆえ,$\hat{\chi}.(g\dot{)}=\mathrm{e}\mathrm{x}_{\mathrm{I}^{\mathrm{J}}}\mathrm{t}\frac{2\pi i}{10})=\frac{(\sqrt{5}+1)+\mathrm{i}\sqrt{10-\underline{9}\sqrt{5}}}{4}$.

$\frac{N_{5_{}r}^{\mathrm{v}}-q^{n-1}}{\mu(-1)^{(_{\mathcal{R}}*)/2}-?;\ell(t)q^{(n-2)/2}}.$if$1+5\Phi \mathrm{S}_{\}}7^{\cdot}(0)\dot,$

if
if
if
if

$1+5\Phi_{o,r}r(4)_{:}$$=\{$$1+5\Phi_{5_{:}r}(3)_{:}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}(-t)\equiv 0(5)$,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}(-t)\equiv 1(5)$,$\mathrm{i}_{11}\mathrm{d}_{\gamma}.(-f.)\equiv 2(5)$,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\gamma}(-t)\equiv 3(5)$,$\mathrm{i}_{11}\mathrm{d}_{\gamma}(-t)\equiv 4\dot{(}_{\mathrm{t}2}^{\ulcorner})$.

$\cdot$$1+5\Phi_{5,r}(2)_{:}$

下のようになる,$\overline{\hat{\chi}}$$1+5\Phi_{5_{1}r}(1).$,$(a)$$\mathrm{i}_{Y1}\mathrm{d}_{\gamma}$$a$(mod 5)よって

01

1$((\sqrt{\mathrm{d}^{\ulcorner}}-1)-i 10+2\sqrt{5})/4$$(-(\sqrt{5}+1)-i\sqrt{10-2\sqrt{5}})/4$$q^{n-1}+q^{(n-2)/2} \max\{|1+5\Phi_{5,r}(j)|\}0\leq j\leq 4^{\cdot}$$\underline{9}$34$(-(\sqrt{5}+1)+i \sqrt{10-2\sqrt{5}})/4$$((\sqrt{5}-1)+i 10+2\sqrt{5})/4$

ゆえに$\max\underline{|F^{-1}(t)|}$$P_{d_{\mathrm{O}}}$$:=$

よって主張がなりたつ.

$t\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$=$定理 17(A$=\mathrm{L}\ulcorner\},$$q=p^{r}$のときのの値は次に等しい:$1\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}_{t\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q)}|F^{-1}(t)|$$P_{d_{0}}$) $n>2$ を偶数とし, $q=.p^{r},$ $p\equiv 1$ (mod 5) とする.

$\mathscr{S}=$$q^{n}$$\underline{1}\underline{1}+\cdot$$q$$q^{(n+2)/2}$$\max\{|1+5\Phi_{5,r}(j)|\}$.

$0\leq j\leq 4$$\blacksquare$

105

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