数理解析研究所講究録1080 巻 1999 年 71-82

71

非可換

$\mathrm{C}^{*}-$

環の Serre-Swan 定理

京大数理研川村勝紀 (Katsunori Kawamura)1

1Introduction.
この論説ではいわゆる Serre-Swan 定理 (compact Hausdorff 空間 上のベクの有限生成射影加群の対応)
トル束と 上の連続な複素数値関数の作る環環に拡張する。 ここで非可換とは–般に可換な場合も含を–般の非可換なむとする。 もうすこし厳密に述べると、
加群 $X$ に対
環 $A$ の Hilbert
があって $X$ を Hilbert
し、 $A$ に付随する–様 K\"ahler 東上のある Hilbert 束
上の切断のつくる $A$ の加群に埋めこめることを述べる。第隅群として環の関数環表現を説明する。第 3 節では
2 節では–様 K\"ahler 束と非可換
Hilbert 束とその上の力学系を説明する。第 4 節で主定理とその証明を与える。
その前に問題の背景を説明する。
をを ilbert 空間、上の有界線形作用素のなす環とする。すると、作用素にその共役作用素を対応させる演算を $*-$ 演算とし、作用素ノルム環の例になる。 -方、可換なは非可換なを環のノルムとして、空間上の複素数値連続関数の作る環として環はある局所 compact
表現) 。特に単位元を持つ可換な(Gelfand
環はある
いつでも表現できる$\Omega$$C(\Omega)$$\Omega$$.\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\epsilon_{x}$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathcal{E}_{X}$$\mathrm{C}^{*}-$$\grave{\mathrm{H}}$$\mathcal{H}$$\mathcal{L}(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathcal{L}(\mathcal{H})$$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{d}_{\circ}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{f}$$\mathrm{C}^{*}-$

compact Hausdorff 空間上の複素数値連続関数の作る環としていつでも表現で環に環と compact Hausdorff 空間の対応を–般の非可換なきる。 この$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$.

等をある仮想的な空間の関数環としてとらえるのがいわゆ対して考え、
る非可換幾何の立場である ([3])。非可換幾何的に述べると、作用素不等式は関数不等式である。
.’.
.
.
$\mathcal{L}(\mathcal{H})$$\cdot$$A\geq B$(作用素不等式)$1r$$\cdot$$\Leftrightarrow$$f_{A}\geq f_{B}$(関数不等式).

(Eq.l.l)

Cirelli, Mani\‘a, Pizzocchero 等 [2] は実際に単位元非可換幾何とは異なり環を–様 K\"ahler 東上の関数環として忠実に表現した。 こを持つ非可換な$\text{、}$$\mathrm{C}^{*}-$

le-mail : kawamura@kurims kyoto-u ac jp.

72

こで、 関数の積には各点での積に関数の微分に関する頁を加えた $*-$ 積を導入

する (本論説第 2 節 Eq.2.2 参照) 。従って、作用素不等式は–様 K\"ahler 東上の微分不等式 (等号の時は微分方程式) と同値である。 この意味で Eq.1.1 の対応は意味を持つ。
このように強引に作用素不等式と関係させたうえで、本題のイントロダク
ションを始める。 (以後の話は作用素不等式とは直接関係は無い。)
一般に Serre-Swan 定理はいくつかの異なる形で述べられるが、 その中から今回関係する形のものを述べると以下のようになる。

Theorem 1.1 (Serre-Swan)

を連結な compact Hausdorff 空間とする。
をの加群とする。
上の連続な複素数値関数のなす環とし、 $X$ を
このとき、 $X$ は有限生成射影加群である必要十分条件は 上のベクトル束 $E$とのがあって、 $X$ は $E$ 上の連続な切断たちのなすの加齢.
山群として同型となることである。
$C(\Omega)$$\Omega$$C(\Omega)$$\Omega$$\Omega$$C(\Omega)$$X\cong\Gamma_{c}(E)$$C(\Omega)$$\Gamma_{\mathrm{c}}(E)$.

証明。 [7]。
I上のベクトル束は 1 対 1
上の有限生成射影加群とこの定蓮より、環のに対応することがわかる。非可換幾何では、定理 1. 1 より非可換な環に対応する仮想
環の (蟻密には、環のある種の加撃を場合にも的な空間の) ベクトル束と思うことがある $([10|)$ 。そこで\tau Cirelli, Mani\‘a,Pizzocchero の結果を使って、 一様 K\"ahler 東上のベク トル束 (Hilbert 束) と加群の関係を考える。
Hilbert$\Omega$$C(\Omega)$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$

2$\mathrm{C}^{*}-$

幾何

一般にある代数系 (代数方程式、又は Noether 環等) に関する幾何という意味
環に対する代数幾何をで素朴な代数幾何という概念を解釈した上で、環の情報を全て持つ (環を再構成できる)幾何と呼ぶことにしよう。実際、幾何学的対象が [ で述べられている。通常の代数幾何における環 の$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$

$A$

$2|$

は可換

$\mathrm{C}^{*}-$

環においては環の純粋状態の全体のつくる局所 compact空間である。一般に非可換なの空間 (純粋状態の全体、環においては環の$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{s}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{C}}A$$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{m}_{\text{、}、}\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{s}_{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{C}}A$$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{d}_{\circ}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{f}$に対応するものは 3 つ
環の primitive$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{m}_{i}\backslash$にわかれ、 それらの中で大きいほうの 2 つの空間とそれらの間の写豫により元73の環は記述される。
(可換) 代数幾何

A

可換$\mathrm{C}^{*}-$

環非可換

$A$

$\downarrow$$\mathcal{P}_{A}$環$A$$\swarrow$$\downarrow$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$$\mathrm{C}^{*}-$$\searrow$$\downarrow$$P_{A}arrow$$B\equiv \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$$arrow \mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}A$(上の図の中の矢印は上と下の対象が対応しているという意味である。)’. 本題の準備として、非可換環の関数環表現 [ の復習をする。 まず、天下り的に環の元を表現する関数を定義する空間、一様 K\"ahler 束を定義する。
$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}- \mathrm{t}\mathrm{i}_{\circ}\mathrm{n}2.1(\mu, E, M)$$2|$が-様 K\"ahler 束とは、以下の条件を満たす 3 つ組のことである。

(i).

$\mu$
$..$

は位相空間 $E$ から $M$ への連続な全射。

(ii). $E$ の位相は–様位相 (I1])

。

(iii). 各ファイバー $E_{m}---\mu^{-1}(m)_{\text{、}}m\in M$ は

$Ic_{\ddot{a}}hler$

多様体 ([8]) で、からの相対位相は K\"ahler 位相と同値。

$..E$

.

直観的には $M$ という空間の各点の上に各点ごとに–般に異なる多様体(例えば複素射影空間) が貼りついているものをイメージすると良い。 ここでは局所自明性は仮定していない。
$\mathrm{K}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{h}_{-}1\mathrm{e}\mathrm{r}$Theorem 2.1 $A$ を単位元を持つぴ- 環とし、 を $A$ の純粋状態の全体の集合、 $B$ を $A$ の spectrum ( $=A$ の既約表現の unitary 同値類の全体)$\prime \mathrm{p}$、$p:Parrow B$

を状態にその $GNS$ 表現の同値類を対応させる写像とする。 ここで、
には弱
$B$
には
位相、
Jacobson 位相 ([9 のをいれて位相空間の構造を付加しておく。
このとき、 $(p, P, B)$ は–様 K\"ahler 束になる。
$\mathcal{P}$

$*,-$

を
今後、定理 2.1 の
環 $A$ に付随する–様 K\"ahler 束と呼ぶことにする。具体例は後で述べることにして、 $A$ に付随する–様 K\"ahler 束より $A$ を再構成する。 上の関数を考えると、各ファイバー
は K\"ahler 多様体なのでその上では関数の微分や、 K\"ahler 計量を考えることが$(p, \mathcal{P}, B)$$\prime p$$\mathrm{C}^{*}-$$\prime p_{bp^{-}(b)\subset}\equiv 1\mathcal{P}\text{、}b\in B$

74

をファイバーごとに滑らかな値関数の全体とする。 $C^{\infty}(P)$ 上にいわゆる $*-$ 積できる。 そこで$C^{\infty}(\mathcal{P})$$p_{=\bigcup_{b}\epsilon}B\mathcal{P}_{b}$

上め複素数
.

$\cdot$.

(Eq 22)$m*l\equiv m\cdot l+\partial m(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\iota)$と、 関数の複素共役による $*-$ 演算を定義すると、は K\"ahler 計量には–般に非結合的な単位元を持つ $*-$ 環になる。 ここでをの各ファイバ一よる関数 の勾配 (gradient) の正則部分である。

$(C^{\infty}(\mathcal{P}), *)$$m,$ $l\in C^{\infty}(.\mathcal{P})$$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}l$$l$$\{\cdot, \cdot\}$$\mathcal{P}$上に定義された K\"ahler 形式により導入される K\"ahler 括弧とすると、関係式(Eq 23)$m*l-l*m=\sqrt{-1}\{m, \iota\}$が成り立つ。

Theorem 2.2(非可換$C^{*}-$

環の関数環表現) 一般に非可換ぴ- 環 $A$ の Gelfand

表現$f_{A}(\rho)\equiv\rho(A)$,$A\in A_{\text{、}}\rho\in P$

は、 単位的 *- 環の単射準同型$f$:$Aarrow C^{\infty}(^{\mathrm{p})}$を与える。 ここで $C^{\infty}(P)$ には Eq.2.3 定義された $*-$ 積による環の積の構造を.
.
いれてある。写豫 $f$ の像 $f(A)$ の中の関数 に対し$l$$||l|| \equiv\sup_{\rho\epsilon^{p}}|(\overline{\iota}*l)(p)|\frac{1}{2}$は $*-$ 環 $f(A)$ のノルムを定める。 このノルムにより部分環 $(f(A), *)$ は $A$ と同形なぴ- 環になる。

さらに $f(A)$ は次の関数空間$\mathcal{K}_{u}(P)\equiv\{l\in C^{\infty}(\mathrm{p})$ここで$D_{f}\overline{D}$:$\mathcal{K}_{u}(\mathcal{P})\subset C^{\infty}(P)$$(C^{\infty}(\mathcal{P}), *)$と –致する:$D^{2}l=l*\overline{\iota},l0,\overline{D}\text{は}P\text{上}-\mathrm{C}^{*}-\text{様}2\iota=0\text{連続}$$\overline{l}*l,$の結合的な $*-$.

$(\mathrm{E}\mathrm{q}.2.4)$

は K\"ahler 多様体上の共学微分の正則部分と、反正則部分であ

る。

従って、
$A\cong \mathcal{K}_{u}(^{p})$.

75環の非可換性が K\"ahler 括弧の歪対称性) からきていることがわかる。. .

Eq.2.3 より$\mathrm{C}^{*}-$$\ovalbox{\tt\small REJECT} A,B]=\sqrt{-1}\{f_{A}, f_{B}\}$$\{\cdot, \cdot\}$の歪対称性 (,$\cong$K\"ahler 形式$A,$ $B\inA$.

この式は、 いわゆる非可換幾何の非可換性 (環の元の交換子) が既知の幾何. (K\"ahler 多様体) に境れる非可換性による説明が与えられたことを意味する。

実際には$\mathrm{C}^{*}-$

環に付随する–様 K\"ahler 束のファイバーはすべて射影空間である。

を compact Hausdorff 空間とし $A\equiv C(\Omega)$ とすると、$\Omega\cong B,$ $p:P\cong B$ .
ここでの各ファイバー $p^{-1}(b)=\{b\}$ は 次元 K\"ahler 多Example 2.1$\mathcal{P}\cong$$\Omega$$0$$\Omega$様体とみなす。 従って$\mathcal{K}_{u}(\Omega)\cong C.(\Omega)=A$.

例 2.1 の意味で、定理$\Omega$の各回での微分構造は潰れているので、 $m*l=m\cdot l$ ,..

$2.1_{\text{、}}2.2$は可換$\mathrm{C}^{*}-$

環の Gelfand 表現の自然な–般化である。

Example 2.2$A\equiv M_{n}(\mathrm{C})$。このとき$\mathcal{P}\cong \mathrm{C}P^{n-1}\equiv(\mathrm{C}^{n}\backslash \{0\})/\mathrm{C}^{\mathrm{x}_{\text{、}}}B$

は点のみの集合。 従って、一様 K\"ahler 束はファイバーを–つのみ持つ。 この$||h||=1$ に対しの点 [時、行列 $A,$ $B\in M_{n}(\mathrm{C})$ と射影空間
. .
(. 等式
$\mathrm{C}P^{n-1}$$\partial_{[h]}fA(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}_{[]}hfB)$$=$$\equiv$$h|,$$h\in \mathrm{C}^{n},$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}_{h}(A^{*}., B)$$<(A^{*}h-<h|A^{*}h>h)|(Bh-<h|Bh>h)>$と $B$ のベクトル での共分散 [5]). ($h$$A^{*}$

が成り立つ o これより
$f_{A}*f_{B}=fAB$がすぐにわかる。

同様に、有限次元間の和集合である。

$\mathrm{C}^{*}-$

Example 2.3環の–様 K\"ahler 束は単に有限個の有限次元複素射影空と仮定する。 すると、 $P\cong$のベク トル状態の全体のは。ここで上の compact 作用素の全てのは集合のなす無限次元射影 Hilbert 空間、が–点に射影された点
上の純粋状態の全体。 $B$ は
上で になるに対応する spectrum の集合の和集合になる。
と、$A\equiv \mathcal{L}(\mathcal{H})_{\text{、}}$

ここで $\dim \mathcal{H}=\infty$$\mathcal{P}(\mathcal{H})\equiv(\mathcal{H}\backslash \{0\})/\mathrm{C}^{\mathrm{x}}$$\mathcal{P}(\mathcal{H})\cup P_{-}$$P_{-}$$0$$- P_{-}$$\mathcal{L}(\mathcal{H})$$\mathcal{L}(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$$P(\mathcal{H})$76

Hilbert- 束

3Hilbert$\mathrm{C}^{*}-$

加群を幾何学的に記述するたあの準備として、 Hilbert- 束を定義する。

を微分可能 Hilbert- 多様体とする。勿論、有限次元のときは $N$ は通常の微分可能多様体である。
$N$

Definition 3.1$(q, \mathcal{E}, N)$

が $N$ 上の Hilbert- 束とは$q:\mathcal{E}arrow N$

が $N$ 上の局所自明なベクトル束で、各ファイバーが Hilbert 空間であるものである。

環の serre-Swan 定理 (定理 1.1) は連続なクラスの (有限階数の) ベ
可換
クトル束でこと足りている。 しかし、第 2 節で説明したように、 一般に非可換環の積は K\"ahler 多様体上の微分構造により記述されているので、一様
K\"ahler 束の上のベクトル束にも spectrum のファイバ一ごとに微分構造を導入
環の場合する必要があるであろうことが自然に推測される。 さらに、可換の Serre-Swan 定理の証明の通りに非可換環の場合にベク トル束を構成す
漏出の場合でさえ各ファイ
ると、後で説明するように有限階数の Hilbert
バーのベクトル空間が–般に無限次元になることがわかる。 ファイバーの Hilbert
空間の構造と局所自明性は Hilbert 加群の定義より導かれる。 このような理由により、我々は微分可能なクラスの–般に無限次元のファイバーをもつ Hilbert束を考える。
次に加害としての構造を記述する 1 つの手段として、 Hilbert- 東上の力学系を考える。
$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$

Definition 3.2$(\phi, \alpha)$

が Hilbert- 束 $(q, \mathcal{E}, N)$ の自己同型とは、$\phi,$$\alpha$は $k$ れそを満たし、 は $N$ の微分自己同型写像、は各ファイバー上で unitary 写像となるものである。

れ$\mathcal{E},$$N$上の変換で、$q\mathrm{o}\phi=\alpha \mathrm{o}q$$\alpha$$\phi$$\cong\phi$$\mathcal{E}$$\mathcal{E}$$\downarrow$$\downarrow$$N$

Definition 3.3$(q, \mathcal{E}, N, G)$$\cong\alpha$.

$N$

が Hilbert- 束 $(q, \mathcal{E}, N)$ 上の群 $G$ による力学系とは、 $G$ から $(q, \mathcal{E}, N, c)$ の自己同型群への準同型存在するときをいう。つまり、

77

任意の $g\in G$ に対し$(q, \mathcal{E}, N)$の自己同型$(\phi_{g}, \alpha_{g})$が存在して、$\phi_{g^{\circ}}.\phi_{g’}=$$c\alpha’=\alpha\in$,.

$\emptyset_{gg^{\prime\alpha \mathrm{o}}}2g\mathit{9}g\mathit{9}’$ところで、幾何学的対象は Hilbert- 束上の力学系であるが、実際に$\mathrm{C}^{*}-$

環の加群に対応するのはベクトル東上の切断のなす関数環の加群である。
を Hilbert- 束上の力学系の形式的切断の全体の集合とする。つま$\Gamma(\mathcal{E})$$(q, \mathcal{E}, N, c)$り、$\Gamma(\mathcal{E})$

の元は

$q$

の右逆写像である。

$\Gamma(\mathcal{E})$に $N$ の各点での像ごとのベク ト

ル空間の和とスカラー倍によりベクトル空間の構造を入れる。 さらに部分空.

間$\Gamma_{b}(\mathcal{E})\equiv\{_{S}\in\Gamma(\mathcal{E}) :||s||<\infty\}$,$||s|| \equiv\sup_{x\in N}||s(X)||$はを定義する。 ここでのファイバー
での内積によるノは Banach 空間になり、各ファイバーの Banach 空ルムである。すると、に同型である。
間としての直和.
群 $G$ のベクトル空間への作用$|\models(x)||$$\mathcal{E}_{x}\equiv q^{-1}(x)$$\mathcal{E}$$\Gamma_{b}(\mathcal{E})$$\oplus_{x\in N}\mathcal{E}_{x}$$\cdot$$\backslash .$,$\Gamma_{b}(\mathcal{E})$$\psi$:$Garrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\Gamma_{b}(\mathcal{E}))$を切断の平行移動の引き戻し$\psi_{g}(_{S})(_{X)}\equiv\phi_{g}\{S(\alpha_{g^{-}}1(X))\}$$s\in\Gamma_{b}(\mathcal{E}),$$x\in N,g\in G$ により定義する。すると、意の $g\in G$ に対し、うにして,$\psi_{g}$は Banach 空間$\Gamma_{b}(\mathcal{E})$は群の準同型になり任上の等長作用素になる。 このよ$\psi$. .

Proposition 3.1 Hilbert- 東上の群 の力学系への Eq.3.5 を満たす (等長) 表現
nach 空間$G$に対し、 $G$ の Baが存在する。

$(q, \mathcal{E}, N, G)$$\Gamma_{b}(\mathcal{E})$これより$(\mathrm{E}\mathrm{q}.3.\cdot 5)$$\psi$

は群 $G$ の群環 $A(G)$ の加群になる。
上記のような Hilbert- 束上の力学系が環の Hilbert 加群より自然に現$\Gamma_{b}(\mathcal{E})$$\mathrm{C}^{*}-$

れることを次の節で示す。

4

主定理

この節では
環 $A$ の加担と $A$ に付随する–様 K\"ahler 束 (定理 2.1) の Hilbert束との対応を考える。特に
環 $A$ の加群としてよく研究されてぃる Hilbert
覧群 ([6]) についてどのような Hilbert- 束が現れるかを考える。 その前にHilbert
加群を復習しておく。 $A$ を環とする。
$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$

78
Definition 4.1 $X$ が $A$ の Hdbert
性質を満たす A- 値内積$C^{*}-$加群とは $X$ は $A$ の右加群で、以下の$<\cdot|\cdot>:X\cross Xarrow A$を持つものである:(i). $(<\xi|\eta>)*=<.\eta|\xi>$ ,$\eta,\xi\in X$(ii). $||\xi||^{2}\equiv<\xi|\xi>\geq 0$ ,$\xi\in X$

かつ$||\xi||=0$(iii). $<\xi|\eta a>=<\xi|\eta>\cdot a_{J}$$\xi,$.

ならば $\xi=0$ .
$\eta\in X,$$a\in A$.

(iv). ノルム $||\xi||x\equiv||||\xi||||=||<\xi|\xi->|,|^{1/2}f\xi\in X$ により、 $X$ は Banach
空間になる。

Definition 4.2 Hdbert A- 加群 $X,$$\mathrm{Y}$に対し、 $X$ と$\mathrm{Y}$が同型とは A- 加群としての同型写像$T:Xarrow Y$が存在して任意の$\xi,$$\eta\in X$

に対し、$<T\xi|T\eta>=<\xi|\eta>$を満たすときをいう。

Example 4.1(有限生成自由加群)$< \{a_{i}\}|\{b_{i}\}>\equiv\sum_{i}a_{i}^{*}b_{i}$,$\{a_{i}\},$ $\mathrm{t}b_{i}\}\in A^{n}$を A- 値内積とする Hilbert A- 加群になる。

環の閉右イデアルは Hilbert

Example 4.2$\mathrm{C}^{*}-$

Example 4.3$B\supset C$

可換子)$\phi\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}C$、環とその部分
に対し、
の部分集合
を

$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$加群になる。

環とする。 $A\equiv C’\cap\beta$$B$$X_{\phi}\equiv\{x\in B:\phi(C)_{X}=xc, c\in C\}$は Hilbert A- 加群になる。

(相対

79

加群 $.X$ より
以下の構或法により、 Hilbertを定義する。 .
束 上の Hilbert 束$A$ の純粋状態
に対し$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$:\breve$\mathcal{P}$$\mathcal{E}_{X}$環に付随する–様$..\cdot \mathrm{K}.\cdot$\"ahler$\rho\in \mathcal{P}$$N_{\rho}\equiv\{\xi\in X. :と定義すると、

p(||\xi||2)=0\}$

は $X|$ の閉部分ベクトル空間になる。商空間$\dot{N}_{\rho}$$\mathcal{E}_{X,\rho}^{O}\equiv x/N_{\rho}$

上に内積$<\cdot|\cdot>:\mathcal{E}^{o}\mathrm{x}\rho X,\rho \mathrm{x},\rho \mathcal{E}^{O}arrow \mathrm{C}$,$<[\xi]_{\rho}|[\eta]\rho>_{\rho}\equiv p(<\xi|\eta>)$を定義する。 ここで$||\cdot||_{\rho}$で$\mathcal{E}_{X,\rho}^{o}$$[\eta|_{p}\in \mathcal{E}_{X,\rho}^{o}, [\xi]_{\rho}\equiv\xi+N_{\rho}$$[\xi]_{\rho},$を完備化した Hilbert 空間を.

和集合をとり、$\equiv\bigcup_{\rho\in \mathcal{P}}\epsilon x_{\rho},$.

この内積によるノルムとおく。 これらを$\mathcal{E}_{X,\rho}$$\mathcal{E}_{X}$.

$p\in \mathcal{P}$により,$\mathcal{E}_{X}^{b}\equiv\bigcup_{\rho\in P_{b}}\mathcal{E}X,\rho$

とおく。 ここで$P_{b}\equiv_{\mathrm{P}^{-}}(1b)\subset P,$$b\in B$

Lemma 4.1 自然な射影$\Pi_{b}$により$(\Pi b, \mathcal{E}^{b}X’ \mathcal{P}b)$

従って ‘

:

は Kdhler 多様体$(\square , \mathcal{E}X, p)$.

$\mathcal{E}_{X}^{b}arrow P_{b}$$\mathcal{P}_{b}$上の局所自明な正則 Hilbert 束になる。

は Hilbert 束をファイバ- に持つ spectrum $B$ 上の束$(\bm{\mathrm{E}}\mathrm{q}.4.6)$$(\square , \mathcal{E}x, p)=b\epsilon\cup(\square _{b}B’ \mathcal{E}^{b}P_{b}x’)$になる。 $(p, P, B)$ は-般に局所自明でないので

明とは限らないことに注意する。
上の力学系を定義する。 $G$ を
次に$(\Pi, \mathcal{E}_{X}, p)$作る群とずる。群$G$は$\mathcal{P}$$(\square , \mathcal{E}_{X}, \mathcal{P})$$\mathrm{c}.*$そのものも局所自-. 環 $A$ の unitary 元全体のに以下のように作用する。

$\alpha_{g}(\rho)\equiv p\mathrm{o}\mathrm{A}\mathrm{d}g*$,$p\in P,$ $g.\in c$

.

80

すると

$\alpha$$\text{、}$は $G$ の–様 K\"ahler 束としての各 $b\in B$ でのファイバーを保つ同型写豫になる。 さらに $G$ のへの作用を$\mathcal{E}_{X}$$\phi_{\mathit{9}}([\xi]\rho)\equiv[\xi\cdot g^{*}]\alpha_{g()}\rho$$[\xi]_{\rho}\in \mathcal{E}X,$$g\in G$と定義すると、はら X の各ファイバーの dense な部分集合
上で welldefined かつ、有界な等長写像になるので上に–意に拡張できる。 また、.
.
が成り立つので、.
$\phi_{g}$$\cup \mathcal{E}^{o}p\in PX,\rho$$\Pi_{0}$$\mathcal{E}_{X}$$\phi_{g}=\alpha_{g}\mathrm{O}\Pi$

Lemma 4.2$(\phi, \alpha)$

により $(\Pi, \mathcal{E}_{X}, p, G)$ は群 $G$ の力学系になる。正確にはが群 $G$ の定義 3.3 の意味での力学系でかつ、$(\Pi_{b}, \mathcal{E}_{X’ b}^{b\prime p}, G)$$(\phi, \alpha)$

は Eq.4.6 の分解を保つ。
これと命題 3.1 より、上の切断の作る $G$ の表現が定義されが $G$ により生成される環 $A$ の加群になる。 ここで、る。従って、$\mathcal{E}_{X}$$(\psi, \mathrm{r}_{b(\mathcal{E})}X)$$\Gamma_{b}(\mathcal{E}x)$$s\cdot a\equiv\psi_{a^{*}}(S)$,$s\in\Gamma_{b}(\mathcal{E}_{X}),$$a\in A$とおくと、
は $A$ の右加群で、 Banach 空間、 かっ、 $A$ の作用が連続なものになる。 ここで Hilbert 束
上に Hermite 計量 $H$ を以下のように定義す$\Gamma_{b}(\mathcal{E}x)$$\mathcal{E}_{X}$

る。
$H$

:

,

$\mathrm{r}_{b}(\mathcal{E}_{X})\cross\Gamma_{b}(\mathcal{E}X)arrow \mathcal{F}^{\cdot}(\mathcal{P})$$H_{\rho}\equiv<s(\rho)|S(\rho)l>_{\rho}$

ここで$F(\mathcal{P})$

,

$s,$

は $P$ 上の (特に条件をつけていない)$s^{J}\in\Gamma_{b}(\mathcal{E}X),$$\rho\in \mathcal{P}$.

複素数値関数の集合とする。

Theorem 4.1(非可換ぴ- 環の Serre-Swan 定理) 写像$\sigma:Xarrow\Gamma_{b}(\mathcal{E}x)$を$\sigma(\xi)(\rho)\equiv[\xi]_{\rho}$,$\xi\in X,$ $\rho\in P$

にて定義する。すると、写豫 の像は加群として $X$ と同型である。 さらに Hermite 計量 $H$ は$\sigma$$\Gamma_{u}(\mathcal{E}_{X})\equiv\sigma(X)$$\Gamma_{b}(\mathcal{E}x)$$\Gamma_{u}(\mathcal{E}_{X})$$\mathcal{K}_{u}(\mathcal{P})\cong A(Eq.\mathit{2}.\mathit{4})$$\rho(<.

により、 $X$ とで、 $A$ とA- 右部分

上での値を

にとり、

\xi|\eta>)=H\rho(\sigma(\xi), \sigma(\eta))$$\Gamma_{u}(\mathcal{E}x)\subset\Gamma_{b}(\mathcal{E}_{X})$$\mathcal{K}_{u}(P)$の,$\xi,$$\eta\in X,$ $\rho\in P$

は Hilbert A- 加群として同型になる。 ここは定理 2.2 の Gelfand 表現により同–視している。

81(証明の概略)
それぞれの定義と定理 22 より$=<\sigma(\xi)(\rho)|\sigma(\eta)(\rho)>_{\rho}$$H_{\rho}(\sigma(\xi), \sigma(\eta))$$=<[\xi]_{\rho}|[\eta]\rho>=p\rho(<\xi|\eta>)=f<\epsilon|\eta>(\rho)$

従って、$H(\sigma(\xi), \sigma(\eta))\in \mathcal{K}u(\mathcal{P})$

:

$H$

.

.

$\Gamma_{u}(\mathcal{E}_{X})\mathrm{X}\Gamma u(\mathcal{E}x)arrow \mathcal{K}_{u}(P)$の上でHermite 計量 $H$ は$g\in G=$ {A の unitary 元} に対し、$\mathcal{K}_{u}(\mathcal{P})\cong A$$\Gamma_{u}(\mathcal{E}x)$.

に値を持つ。

$(\sigma(\xi)\cdot \mathit{9})(\rho)=(\psi_{g}\cdot(\sigma(\xi))(\rho)=\phi g*\{\sigma(\xi)(\alpha g(p))\}=[\xi\cdot g]_{\rho}=\sigma(\xi\cdot g)(\rho)$

よって、 $\sigma(\xi)\cdot g=\sigma(\xi\cdot g)$ . 従って、らに$\sigma$.

は A- 加群の準同型に拡張できる。 さ$H(\sigma(\xi), \sigma(\eta))*f_{A^{-f_{<}}}-\xi|\eta>*fA=f<\xi|\eta>\cdot A=f_{<}\xi \mathrm{I}^{\eta}\cdot A>=H(\sigma(\xi), \sigma(\eta\cdot A))$

$A\in A.$これらのことより$\Gamma_{u}$$(\mathcal{E}_{X}$

.

.

$)$

,

が $X$ と同型な Hilbert A- 加群になること’.

$\mathrm{B}_{:\mathrm{i}}\text{わ}\mathrm{B}_{\mathrm{a}\text{る_{}0}}$1の各ファイバーは $A$ の純粋状態でのExample 4.4 $X=A.$ このときGNS- 表現になる。 ここで $A$ が可換の場合と –般に非可換の場合にどうなるか$\mathcal{E}_{X}$を順に考える。
( $A$ が可換のとき)$G\cong${ :$f$$\epsilon_{x}$のファイバーは全て 1 次元になる。 さらに$\mathcal{P}arrow \mathrm{C};f$は連続, $|f|=1$ }$\cong${ :$f$$\mathcal{P}arrow U(1);f$は連続}となることより、補題 4.2 の は自明な作用 ( $=B\cong P$ の点を変えない写像)
は各ファイバーの上の点を単にフェイズを回転させる作用になる $(U(1)-$ゲージ変換) 。従って、 $A$ のの切断への作用は各ファイバー上での積にな$\alpha$$\phi$$\mathcal{E}_{X}$る。 さらに$\mathcal{E}_{X}\cong P\mathrm{x}\mathrm{c}$.

の純粋状態 に対応するファイバー(一般に非可換のとき)による GNS- 表現の次元になる。従って、一般にはのの次元は $A$
さらに局
所自明性も期待できない。 さらに $A$ が無限次元のときには、 階数有限の自由は無限次元 Hilbert 空間をファイバーに持つ Hilbert 束に対応して加群でもいる。 この点で可換な環の時の結果とは–般に異なる。
$\mathcal{E}_{X}$$p$$\mathcal{E}_{X,\rho}$$\mathcal{E}_{X}\not\cong \mathcal{P}\cross \mathrm{C}$$\rho$$\mathcal{E}_{X}$$\mathrm{C}^{*}-$

82

References[1] N.Bourbaki, Elements of Mathematics, General topology part
Addison-Wesley Publishing company 1966.

,$I$[2] R.Cirelli, A.Mani\‘a and L.Pizzocchero, A functional representation of
noncommutative -algebras Rev.Math.Phys. Vol. 6, No.5 (1994) 675$C^{*}$

697.
[3] A. Connes, Non commutative differential geometry , Publ.Math. IHES
62 (1986), 257-360.
[4] A. Connes, Non commutative geometry, Academic Press, Orlando, 1993.

[5] M.Fujii, T.Furuta, R.Nakamoto and S.Takahasi, Operator inequalities
and covariance in noncommutative probability, Math.Japonica 16, No.2
(1997), 317-320.
[6] Kjeld Knudsen Jensen and Klaus Thomsen, Elements of KK-Theory,
Birkh\"auser (1991).
[7]

Karoubi, $K$ -Theory An introduction, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, (1978).

${\rm Max}$[8] S.Kobayashi and K.Nomizu, Foundations of differential geometry, $vol$, Interscience Publishers (1969).
$I$

[9]

.Pedersen,
Press (1979).
$\mathrm{G}.\mathrm{K}$$C^{*}$-algebras and their automorphism groups, Academic[10] Joseph C. V\’arilly and Jos\’e M. Gracia-Bond\’ia, Connes’noncommutative
differential geometry and the Standard Model, J.Geometry and Physics
12 (1993) 223-301.