数理解析研究所講究録 1213 巻 2001 年 1-5

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安定群と可換性論理式の ladder index
田中克己 (Katsumi TANAKA)

岡山大学・理・数学

Dept. of Mathematics, Faculty of Science, Okayama Univ.

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安定性1969 年に Shelah が [S] において安定と不安定な理論を区別しました. これはあるに対し, 濃度 の非同形なモデルがいくつ存在するかを調理論について非可算なべるために導入された概念です.
$T$ を第1 階述語言語 $L$ の安定な理論とします. $T$ が不安定とは,のある論理式と $T$ のモデル $A$ とがあって,$\kappa$$\kappa$$L$$\overline{a}_{-}\in A$$\varphi(\overline{x},\overline{y})$$\forall i,j<\omega,$ $A\models\varphi(\overline{a}_{i},\overline{a}_{j})\Leftrightarrow i<j$をみたすこととします. $T$ が安定とは, それが不安定でないこととします. また, 構
造 $A$ が安定とか不安定とかは Th(A) が各々安定とか不安定のこととします.
定義から分かるとおり, 有限な構造はすべて安定となります. ですから, 以下では, $T$ は第 1 階述語言語 $L$ の完全な理論で, $T$ のすべてのモデルは無限と仮定します.
定理 1 $A$ を安定とする.
に対し,(a)$\overline{a}\in A$(b) 構造$B$も安定.の中に解釈可能ならば,$(A,\overline{a})$が$A$$B$は安定.

を無限基数とする. $T$ が 安定とは, $T$ の任意のモデル $A$ と濃度の任意の集合 $X\subset A$ に対し, $|S_{1}(X;A)|\leq\kappa$ をみたすこととする. ここで $S_{1}(X;A)$ は$X$ 上の $A$ における complete 1-type の全体の集合とする.
構造 $A$ が 安定とは,Th(A) が 安定のこととする. このとき, 次が成り立つ.
$\kappa$$\leq\kappa$$\kappa$$\kappa$$\kappa$

定理 2 次は同値になる.
(a) $T$ は安定.
(b) 少なくとも 1 つの無限基数$\kappa$について,$T$は$\kappa$安定.

補題 3 $A$ を -構造,を無限基数, $X\subset A$ を濃度の集合とする. ある自然数$A$はに対し, $|S_{n}(X;A)|>|X|$ となるとき,安定ではない.
$L$$n$$\kappa$$\kappa$$\kappa$22ladder index
ここでは $T$ を言語 $L$ の完全な理論とします.の論理式$\varphi(\overline{x},\underline{\overline{y}})$を考えます.

$(\overline{a}_{0}, \cdots,\overline{a}_{n-1}; b_{0}, \cdots, \overline{b}_{n-1})$$\varphi$の $n$

自由変数として 達と 達を含む
-ladder とは, $T$ のあるモデル $A$ の元対の列$L$$\overline{x}$$\overline{y}$で$\forall i,j<n,$$A\models\varphi(\overline{o}_{\dot{\tau}},\overline{b}_{j})\Leftrightarrow i\leq j$.

があって,が安定な論理式とは, ある自然数をみたすものとします.
ladder が存在しないこととし, そうでないとき不安定とよぶことにします.
$n$$\varphi$$\varphi$の n-補題 4 理論 $T$ が不安定 \Leftrightarrow T について $L$ の不安定な論理式が存在する.

すべての加群が安定であることは知られています. ここでは, 安定な群はある種の極小条件をみたすことを示します. まず, 構造 が group-like とは $A$ のある制限が群になることとします. その制限のことを考えて, $A$ の群とよぶことにします.
安定群とは, 安定な group-like な構造のこととします. 後には, この定義もより一般化されることと思いますが.
$A$を言語, $A$ を安定群である $L$ -構造とする. $G$ を $A$ の群
補題 5(Baldwin-Saxl).の形の $G$ の定義可能をのとき,の論理式とする.とする.
を $S$ の群の任意個の共通部分達すべてと表すことにする.
部分群の全体をの集合とする. このとき,の中の任意の群は のうち高々 個の共通部分(a) ある自然数 があって,として表せる.の中に $m$ より長い包含関係による下降列は存(b) ある自然数 $m$ があって,在しない.
$L$$\overline{b}\in A$$L$$\varphi(x,\overline{y})$$S$$\varphi(A,\overline{b})$$\cap \mathrm{S}$$S$$\cap S$$n$$n$$\cap S$

定義 6 モデノレに対しとよぶ.

$\varphi$

が $n$ -ladder をもたないような最小の $n$ を

ladder index

このノートでは, 主に可換性の論理式 $xy=yx$ についての ladder index を考える. 群 $G$ の可換性論理式についての ladder index を $\ell(G)$ で表わすことにする.

注意 7 群 $G$ の ladder (勾,) において, 勾と心の元で (もちろん 1 で) 置き換えたものも ladder になっている.
$a_{1},$$\cdots,$$a_{n};b_{0},$$b_{1},$$\cdots,$$b_{n}$$b_{n}$

は $G$ の中

群 $G$ における部分集合 $X$ の中心化群 $C_{G}(X)$ は $X$ の任意の元と可換な元 $g\in G$全体のなす群です. つまり, $C_{G}(X)= \bigcap_{g\in X}C_{G}(g)$ です. ここで, $C_{G}(g)=\varphi(A, g)$はの論理式 $x\cdot y=y\cdot x$ で表されます. Baldwin-Saxl lemma より, 安で,定群は中心化群の極小条件をみたします. また, 中心化群の極小条件をみたす群は$\varphi(x, y)$$L$

ル c-群とよばれます.

中心化群については, 次のことが成り立ちます.

補題 8 群 $G$ とその部分集合 $A$ について,$C_{G}(C_{G}(C_{G}(A)))=C_{G}(A)$

補題 9 中心化群について極大条件と極小条件は同値.

.

33finite gap number
このセクションでは, (可換性論理式についての) ladder index について述べます.
群論では文献, 例えば [LR] によると, 次のような概念が定義されています.

定義 10 群 $G$ が finifte central gap number または単に finite gap number をもつとは, $G$ に対しある自然数 が存在して, $G$ のどんな部分群,をとっても, その中心化群の列$H_{1},$$g$$H_{2},$$\cdots,$$H_{n}$$\ldots$(1)$C_{G}(H_{1})\leq C_{G}(H_{2})\leq\cdots\leq C_{G}(H_{n})\leq\cdots$

において, 狭義の包含関係が高々$g$個となることとする.

finite gap number と ladder index の関係を調べるために次のことを準備しておきます.
補題 11 群 $G$ に対しその finite gap number$n$を与える列を$\mathrm{Q}(H_{0})>C_{G}(H_{1})>\cdots>C_{G}(H_{n})$とするとき, $G$ のある元の , $a_{i}(0\leq i\leq n)$ が存在して, $C_{G}(H\dot{.})=C_{G}$ (と表わせる. 以後, $C_{G}(\{a_{0}, \cdots, a:\})$ を $C_{G}(a_{0},$,a班修錣垢海箸砲垢.
$\{a_{0},$$\mathrm{F}|\mathrm{J}$$\cdots$, 果})$\cdots$

Proof. $G=C_{G}(H_{0})$ より, 鞠 $=1$ ととる.の番までできたと仮定する.
ある元 が存在して, $C_{G}(H_{1}.)>C_{G}(H_{-}\cup\{b\})$ となる. このとき, 定義がら, $C_{G}(H_{-})$と $C_{G}(H_{i+1})$ の間には中心化群ははさまれないから, $C_{G}(H_{-+1})=C_{G}(H_{1}$. $\cup\{b\})=$$i$$H_{\dot{l}+1}\backslash H_{-}$$b$$C_{G}(a_{1}, \cdots, a_{i}, b)$. ここで, $a:+1=b$ ととればよ . 口$\mathrm{A}\mathrm{a}$定理 12 $\ell=g+2$

Proof. ladder index $n+2$ の群の最長の ladder を (勾, . . ,$\cdot$$a_{n};b_{0},$ $\cdots,$ $b_{n}$) とする

とき,$C_{G}(a_{0})>C_{G}(a_{0}, a_{1})>\cdots>C_{G}$($a_{1},$$\cdots$, a、)という下降列ができる. また, 下降列 $C_{G}(a_{0})>C_{G}(a_{0}, a_{1})>\cdots>C_{G}(a_{1}, \cdots, a_{n})$が与えられたとする. この列は狭義の減少列だから, 各 に対し,$C_{G}(a_{1}, \cdots, a_{i})$ からをとる. これで出来る $(a_{0}, \cdots, a_{n};b_{0}, \cdots, b_{n})$ が ladder になっているとは限らない. そこで,はそのままでよい.
達の取り直しを行う.
がと非可換のときは, そのままでよい. 可換のときは, $b_{n-2}b_{n-1}$ を新たにと取り直す.
力 $a:+1$ と非可換ならそのままで, 可いま,まで上から構或できたとする.
がを換のときは,と取り直す. 次に,と非可換ならそのまま$b_{i-1:+1}b$
これをで, 可換ならまで続けると,と取り直す.
が取り直せる.
口
以上より, 新しく取った達により ladder が完或する.
$i$$C_{G}(a_{1}, \cdots,a_{+1}\dot{.})\backslash$$b_{i}$$b_{n},$$b_{:}$$b_{n-2}$$b_{n-1}$$a_{n}$$b_{n-2}$$\check{\mathrm{a}}$$b_{:-1}$$b_{i}$$b_{i-1}$$b_{:-1}$$b_{:-1}b_{i}$$a_{n}$$b_{\dot{\iota}}$$a_{i+2}$$b_{-1}\dot{.}$44ladder index の小さい群
すべての有限群は ladder index 有限です. また, アーベル群, 線形群 [W], 有限
生或の abelian-by-nilpotent groups [LR], polycyclic-by-finite groups [LR] は ladderindex 有限であることが知られています.
ここでは ladder index が 2, 3, 4, 5 の群の考察を行います.

定理 13 $\ell(G)=2\Leftrightarrow G$ はアーベル群
この証明は ladder index の定義から明らかです. つぎは少し驚きの (?) 結果です.

定理 14 $\ell(G)=3$ となる群 $G$ は存在しない.

Proof. $\ell(G)>2$ とすると, 上の定理から,可換な元 $a,$$\ell(G)\geq 4$$b$. 口はアーベル群でない. よって, 非が存在する. このとき, (1, , ab; $a,$) は ladder となる. よって,
$G$

$b$

$b,$$1$次に ladder index 4 の群についてですが, 有限群, 無限群を問わず多くの例があります. その構造は以外と単純です (単純群という訳ではありません).
例 15 対称群$S_{3}$, 二面体群 D、は ladder index 4.

例 16 特殊線形群 $SL(2, F)$ ( $F$ は体) の ladder index は 4.

定理 17 $\ell(G)=4\Leftrightarrow G\backslash Z(G)$ の任意の元
ば, $C_{G}(a)\cap C_{G}(b)=Z(G)$.

Proof.

$(\Leftarrow)$$a$とに対し,$b$$C_{G}(a)\neq C_{G}(b)$ならは明らか.の ladder indexを 4 とする. いまを上の前提をみたすようにとる.
とおく. このとき, $G>C_{G}(a)>C_{G}(a, b)\geq Z(G)$ となる. $G$ の
finite gap number は 2 だから, $C_{G}(a, b)=Z(G)$ となる. 口$(\Rightarrow)G$と

$a$

$b$

$C_{G}(a)\backslash C_{G}(b)\neq\emptyset$

定理 18 $\ell(G)=5$ となる群 $G$ は存在しない.

Proof.
る元$a_{1}$$G$, a2 が存在して,1t.

Caseの ladder index を 4 より大きいとする.

$a_{1}a_{2}=.a_{2}a_{1}$$C_{G}(a_{1}).\neq C_{G}(a_{2})$$C_{G}(a_{1})\neq C_{G}(a_{2})$上の定理から,$G\backslash Z(G)$のとき.

より$C_{G}(,a_{1}.

)\backslash C_{G}(a_{2})\neq\emptyset$と仮定しておく.

$b$をその集合の元とする.
’$a_{1}\in C_{G}(b)\wedge a_{2}\not\in C_{G}(b)$また,$a_{1}\not\in.Z(G)$のあ

かつ $\dot{C}_{G}(a_{1})\cap C_{G}(a_{2})\geq Z(G)$ をみたす.

より,$\exists c\in G\backslash C_{G}(a_{1}),$$G>C_{G}(a_{1})>C_{G}$ ($a_{1}$, a2) $>C_{G}$ ($a_{1}\in C_{G}(c)$$a_{1}$. これらから,, a2, ) $>C_{G}$ ( , a2,$b$$a_{1}$$b,$ $c$)

5
これより,

Case 2.

$\ell(G)\geq 6$.

$a_{1}a_{2}\neq a_{2}a_{1}$のとき.

$\exists b_{3}\in C_{G}(a_{1},a_{2})\backslash Z(G)$. いま,$b_{3}\not\in Z(G)$$G>C_{G}(b_{3})>C_{G}(b_{3}, a_{1})>C_{G}$よって,$\ell(G)\geq 6$

列 19 対称群$S_{4}$($b_{3},$より,$a_{1}$, a2)$\exists b_{1}\in G\backslash C_{G}(b_{3})$. このとき,$>C_{G}(b_{3}, a_{1}, a_{2}, b_{1})$. 口のladder index は 6.

Conjecture 20 特殊線形群 $SL(3, F)$ の ladder index は 6 か ?

References[BS] J.Baldwin and J.Saxl Logical stability in group theory, J. Austral. Math. Soc.
21(1976)267-276.
[H] Wilfrid Hodges Model Iheory. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
[LR] J.C.Lennox and J.E.Roseblade Centrality in Finitely Generated SolubleGroups, Journal of Algebra 16(1970)399-435[S][W]S.Shelah Stable theories, Israel J. of Math. $7(1969)187- 202$ .
F. Wehrfritz Remarks on Centrality and Cyclicity in Linear Groups, Jourof Algebra 18(1971)229-236.

$\mathrm{B}.\mathrm{A}$$\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}$