数理解析研究所講究録
第 1784 巻 2012 年 104-112

104

On Hochschild Cohomology Rings ofQuaternion Algebras( 四元数環のホッホシルト・コホモロジー環について )速水 孝夫 (Takao Hayami)
Faculty of Engineering, Hokkai-Gakuen University
北海学園大学工学部

はじめに
$a,$

$b$

を

$0$

でない整数とし，$\Gamma:=Z\oplus Zi\oplus Zj\oplus Zij$$(i^{2}=a, j^{2}=b, ij=-ji)$$Z$ 上のを $Z$ 上の一般四元数環とする．
(通常の) 四元数環のホッ$a=-1,$ $b=-1$ のとき，

ホシルト・コホモロジー環については，その構造が [8] によって得られている．
Theorem 1 (Sanada [8]). 次が成立する :$HH^{*}(\Gamma)=Z[\lambda, \mu, \nu]/(2\lambda, 2\mu, 2\nu, \lambda^{2}+\mu^{2}+\nu^{2})$.

$\deg\lambda=\deg\mu=\deg\nu=1$ とする．
ただし，

そして，この結果の別証明と別の方向での一般化は Hayami(2008) によって与えること
2007 年のこの研究集会でもその結果を発表させて頂いた．ここで，いくつができ ([3]),か疑問に思ったことがある．

Question 1. $a=-1,$ $b=-1$ のとき， を$\Lambda$$\mathbb{Q}$

上の (通常の) 四元数環の極大整環とする．

このとき， のホッホシルトコホモロジー環$\Lambda$

Question 2.
$HH^{*}(\Gamma)$$HH^{*}(\Lambda)$の構造はどうなるのか ?

でない任意の整数とするとき， のホッホシルトコホモロジー環の構造はどうなるのか ?
$a,$

$b$

を

$0$

$\Gamma$

今回はこれらのホッホシルトコホモロジー環について，その構造を決定することができたので，その結果について，それぞれ以下の \S 2, \S 3 で報告したい．

\S 1. Preliminaries
多元環のホッホシルト・コホモロジー (Hochschild cohomology) は，Hochschild [6], Cartan

and Eilenberg [2], MacLane [71 らによって体系化され，現在までに様々な多元環のホッホ
シルトコホモロジーが計算されている．
$M$ を両側を (単位元をもつ) 可換環， を有限生成で射影的な 上の多元環とする．
加群，すなわち加群とするとき， の $M$ を係数加群とする 次ホッホ
シルトコホモロジー群が次のように定義される:$R$$\Lambda$$R$$\Lambda$$\Lambda^{e}=\Lambda\otimes_{R}\Lambda^{op}$$\Lambda$$H^{n}(\Lambda, M):=Ext_{\Lambda^{e}}^{n}(\Lambda, M)$

$n$

.

105
特に $M=\Lambda$ としたときのホッホシルトコホモロジーを $HH^{n}(\Lambda)=H^{n}(\Lambda, \Lambda)$ とかく．
$HH^{*}( \Lambda):=\bigoplus_{n\geq 0}HH^{n}(\Lambda)$

は Yoneda 積によって，次数つき環としての構造を導入することがで
とおくと，
の
が
き，これを のホッホシルト・コホモロジー環という．
$HH^{*}(\Lambda)$$1\in Z\Lambda\simeq HH^{0}(\Lambda)$$\Lambda$

単位元である．ここで，
ち，$Z\Lambda$

はの中心を表す．
に対して，$HH^{*}(\Lambda)$$\Lambda$$HH^{*}(\Lambda)$

は graded-commutative, すなわが成立する．
ホッホシルトコホモロジーは多元環の重要な不変量であるが，たとえ小さな多元環の場合でもその計算は非常に複雑である．
$\alpha\in HH^{p}(\Lambda),$ $\beta\in HH^{q}(\Lambda)$$\alpha\beta=(-1)^{pq}\beta\alpha$\S 2. Hochschild cohomology ring of a maximal order of the ordinary quaternion
algebra$A$を$\mathbb{Q}$

上の (通常の) 四元数環とする．つまり，$(i^{2}=-1, j^{2}=-1, ij=-ji)$$A:=\mathbb{Q}\oplus \mathbb{Q}i\oplus \mathbb{Q}j\oplus \mathbb{Q}ij$とする．
$\alpha=(1+i+j+ij)/2$とおくと，$\Lambda:=Z\oplus Zi\oplus Zj\oplus Z\alpha$は $A$ の極大整環となる (なお，この$\Lambda$は四元数環ではない).

このとき，次の関係式が成立する．
$i\alpha=\alpha-1-j=i-1-\alpha i$ ,したがって，1,$i,$$\alpha,$$i\alpha$$j\alpha+\alpha j=j-1$ ,$\alpha^{2}=\alpha-1$

は $Z$ 上線型独立であり， の $Z$ 上の基底として，.

$\{1, i, \alpha, i\alpha\}$$\Lambda$を取ることができる．

ここで，古い結果ではあるが，次のことが知られている．

Lemma 2 (F.R. Bobovich, 1969 [1]). 代数体上の中心的単純多元環の極大整環のホッホ
シルトコホモロジーの加群の周期は 2 である．
したがって， のホッホシルトコホモロジーの加群の周期が 2 であることが分かるが，環構造までは明らかではない．以下では，この の両側 加群としての射影分解を構成し，これを用いて のホッホシルトコホモロジー群を計算し，さらに生成元の間の積をのYoneda 積を用いて計算することにより， のホッホシルトコホモロジー環
構造を決定する ([4]).
$\Lambda$$\Lambda$$\Lambda$$\Lambda$$\Lambda$$HH^{*}(\Lambda)$

106
以下では，整数$q\geq 0$に対して，$Z_{q}=(\Lambda\otimes\Lambda)^{q+1}$個のコピーの直和を表す．また，第 成分が$k$$Z_{q}$の元を$c_{q}^{k}$$1\otimes 1$

とおく．ここで，右辺はで，それ以外の成分が$0$$\Lambda\otimes\Lambda$の $q+1$であるようなとおく:$c_{q}^{k}=\{\begin{array}{ll}(0, \ldots, 0,1\bigotimes_{\check{k}}1,0, \ldots, 0) (if 1\leq k\leq q+1),0 (otherwise).\end{array}$

ここで，$1<k$ または $k>q+1$ のときは，$c_{q}^{k}=0$とする．このとき，$Z_{q}=\oplus_{k=1}^{q+1}\Lambda c_{q}^{k}\Lambda$

である．

Theorem 3. 以下で与えられる$(Z, \partial)$:. . .

$\Lambda$の両側$\Lambda$

加群としての射影分解$arrow Z_{3}arrow^{\partial_{3}}Z_{2}arrow^{\partial_{2}}Z_{1}arrow^{\partial_{1}}Z_{0}arrow^{\partial_{0}}\Lambdaarrow 0$が存在する．ただし， :$(q>0)$ はし，$\partial_{0}$$Z_{0}arrow\Lambda;\lambda_{1}c_{0}^{1}\lambda_{2}=\lambda_{1}\otimes\lambda_{2}\lambda_{1}\lambda_{2}$(multiplication maP) と$\partial_{q}:Z_{q}arrow Z_{q-1}$$\partial_{q}(c_{q}^{s})=\{\begin{array}{ll}ic_{q-1}^{s}+c_{q-1}^{s}i+\alpha c_{q-1}^{s-1}+c_{q-1}^{s-1}\alpha-c_{q-1}^{s-1} for q even,ic_{q-1}^{s}-c_{q-1}^{s}i+\alpha c_{q-1}^{s-1}-c_{q-1}^{s-1}\alpha for q odd\end{array}$

で与えられる両側$\Lambda$

加群としての準同型である．

証明の概略: 直接計算により，であることが分かる．また，右$Z_{q}arrow
Z_{q+1}(q\geq-1)$を次のように定義する:群としての準同型:$\partial_{q}\cdot\partial_{q+1}=0(q\geq 0)$$\Lambda$加$T_{q}$$q=-1$ のとき，

$T_{-1}$$q\geq 0$:$Z_{-1}=\Lambdaarrow z_{0;\lambda}\mapsto c_{0}^{1}\lambda$$(\forall\lambda\in\Lambda)$

.

のとき，

$T_{q}(i^{m}c_{q}^{s})=\{\begin{array}{ll}mc_{q+1}^{1} (s=1),0 (s\geq 2),\end{array}$$T_{q}(i^{m}\alpha c_{q}^{s})=\{\begin{array}{ll}mc_{q+1}^{1}-mc_{q+1}^{1}\alpha+i^{m}c_{q+1}^{2} ( s=1 and q odd),mc_{q+1}^{1}\alpha+i^{m}c_{q+1}^{2} ( s=1 and q even),i^{m}c_{q+1}^{s+1} (s\geq 2).\end{array}$$T_{q}:Z_{q}arrow Z_{q+1}(q\geq-1)$ は contracting homotopy$m=0,1$ とする．このとき，
ただし，であること，すなわち，$\partial_{q+1}T_{q}+T_{q-1}\partial_{q}=id_{Z_{q}}$$(q\geq 0)$が成立することが直接計算により示される． したがって，ての射影分解である．口$(Z, \partial)$

は$\Lambda$の両側$\Lambda$

加群とし

107
$M$ の
個のコピーの直和を
以下では，加群 $M$ と自然数 に対して，
$q$

第

$k$

$q$

成分が 1 で，それ以外の成分が であるような$0$$\Lambda^{q+1}$$M^{q}$

で表す．また，の元を，k とおく:$\iota_{q}^{k}=\{\begin{array}{ll}(0, \ldots, 0,\check{1}, 0, \ldots, 0)k (if 1\leq k\leq q+1),0 (otherwise).\end{array}$

ここで，1 $<k$ または $k>q+1$ のときは，とする．射影分解に，関手を施すことにより，次のコホモロジーを計算するための complex が得られる．
$(Z, \partial)$$\iota_{q}^{k}=0$$Hom_{\Lambda^{e}}(-, \Lambda)$$(Hom_{\Lambda^{e}}(Z, \Lambda), \partial^{\#}):0arrow\Lambdaarrow^{\partial_{1}^{\#}}\Lambda^{2}arrow\Lambda^{3}\partial_{2}^{\#}arrow\Lambda^{4}\partial_{3}^{\#}arrow\Lambda^{5}\partial_{4}^{\#}arrow\ldots$,$\partial_{q+1}^{\#}(\lambda\iota_{q}^{s})=\{\begin{array}{ll}(i\lambda-\lambda i)\iota_{q+1}^{s}+(\alpha\lambda-\lambda\alpha)\iota_{q}^{s}\ddagger_{1}^{1} for q odd,(i\lambda+\lambda i)\iota_{q+1}^{s}+(\alpha\lambda+\lambda\alpha-\lambda)\iota_{q}^{s}\ddagger_{1}^{1} for q even.\end{array}$

この complex を用いて，少し複雑な計算ではあるが，コホモロジーを計算すると，$HH^{n}(\Lambda)=\{\begin{array}{ll}Z (n=0),0 ( n odd),Z/2Z ( n(\neq 0) even)\end{array}$$n(>0)$ が偶数のとき，$HH^{n}(\Lambda)=Z/2Z$ の加群の生成元として，晶をが得られる．なお，

取ることができる．

次に，コホモロジーの加群の生成元の間の Yoneda 積を計算する．
の加群の生成元をとおくと， は両側 加群としての準同型$HH^{2}(\Lambda)$$\sigma=\iota_{2}^{1}$$\Lambda$$\sigma$へ$\sigma:Z_{2}arrow\Lambda;c_{2}^{1}\mapsto 1,$ $c_{2}^{2}\mapsto 0,$$c_{2}^{3}\mapsto 0$

によって代表されている．へ の lifting を計算すると，次の通りである．
$\sigma$Lemma 4.

a の lifling$f_{n}$: $Z_{n+2}arrow Z_{n}$ は$f_{n}(c_{n+2}^{k})=c_{n}^{k}$$n\geq 0$ とで与えられる．ただし，

する．
この

へ
$\sigma$$\sigma^{m}=\iota_{2m}^{1}\in HH^{2m}(\Lambda)$の lifting を用いて，Yoneda 積を計算すると，が示される．したがって，次の定理を得る．

Theorem 5.

$\Lambda$のホッホシルトコホモロジー環は次の通り :$HH^{*}(\Lambda)=Z[\sigma]/(2\sigma)$$\deg\sigma=2$ である．
ただし，.

$(m\geq 1)$

108\S 3. Hochschild cohomology ring of a generalized quaternion algebra
$a,$

$b$

を

$0$

でない整数とするとき， 上の一般四元数環$Z$$(i^{2}=a, j^{2}=b, ij=-ji)$$\Gamma:=Z\oplus Zi\oplus Zj\oplus Zij$

を考える．以下では，この一般四元数環 の両側 加群としての射影分解を与え，これを用いて のホッホシルトコホモロジー群を計算し，加群の生成元の間の Yoneda 積をの構造を決定する ([5]).
計算することにより，ホッホシルト・コホモロジー環の $q+1$ 個のコピーの直和) とお(
まず，整数 $q\geq 0$ に対して，
く．また，\S 2 と同様な記号を用いるが，第 成分がで，それ以外の成分が であるようなの元をとおく．ただし，$1<k$ または $k>q+1$ のときは，とする．こ$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$HH^{*}(\Gamma)$$Y_{q}=(\Gamma\otimes\Gamma)^{q+1}$$\Gamma\otimes\Gamma$$k$$Y_{q}$$0$$1\otimes 1$$c_{q}^{k}=0$$c_{q}^{k}$のとき，$Y_{q}=\oplus_{k=1}^{q+1}\Gamma c_{q}^{k}\Gamma$

である．

Theorem 6. 以下で与えられる$(Y, \delta)$が存在する．ただし， :$\delta_{0}$:. .

$\Gamma$の両側$\Gamma$加群としての射影分解$arrow Y_{3}arrow^{\delta_{3}}Y_{2}arrow^{\delta_{2}}Y_{1}arrow^{\delta_{1}}Y_{0}arrow^{\delta_{0}}\Gammaarrow 0$$Y_{0}arrow\Gamma;\gamma_{1}c_{0}^{1}\gamma_{2}=\gamma_{1}\otimes\gamma_{2}\mapsto\gamma_{1}\gamma_{2}$(multiplication map) とし，

各 $\delta_{q}:Y_{q}arrow Y_{q-1}$ $(q>0)$ は，$\delta_{q}(c_{q}^{s})=\{\begin{array}{ll}ic_{q-1}^{s}-c_{q-1}^{s}i+jc_{q-1}^{s-1}-c_{q-1}^{s-1}j for q odd,ic_{q-1}^{s}+c_{q-1}^{s}i+jc_{q-1}^{s-1}+c_{q-1}^{s-1}j for q even\end{array}$

で与えられる両側$\Gamma$加群としての準同型である．

$a=-1,$ $b=-1$ のとき， の両側
なお，$\Gamma$$\Gamma$加群としての射影分解は，[3] でも与えられているが，今回の方が differential を少し簡単な形で求めることができた．
$\delta_{q}\cdot\delta_{q+1}=0(q\geq 0)$
証明の概略: 直接計算により，が示される．また，右$(q\geq-1)$ を次のように定義する:の準同型:$T_{q}$$\Gamma$加群として$Y_{q}arrow Y_{q+1}$$q=-1$ のとき，
$q\geq 0$ のとき，

$T_{-1}$:$Y_{-1}=\Gammaarrow Y_{0;\gamma}\mapsto c_{0}^{1}\gamma(\forall\gamma\in\Gamma)$.

$T_{q}(i^{m}j^{n}c_{q}^{s})=\{\begin{array}{ll}mc_{q+1}^{1} (s=1, m=0,1, n=0),(-1)^{q}mc_{q+1}^{1}j+i^{m}c_{q+1}^{2} (s=1, m=0,1, n=1),0 (s\geq 2, m=0,1, n=0),i^{m}c_{q}^{s}\ddagger_{1}^{1} (s\geq 2, m=0,1, n=1).\end{array}$$m=0$ ,1. とする．このとき， : $Y_{q}arrow Y_{q+1}(q\geq-1)$ は contracting homotopy
ただし，$T_{q}$であること，すなわち，$\delta_{q+1}T_{q}+T_{q-1}\delta_{q}=id_{Y_{q}}$$(q\geq 0)$109が示される．口$M$ の個のコピーの直和を\S 2 と同様に，加群 $M$ と自然数 に対して，
$q$

た，第

$k$

$q$

成分が 1 で，それ以外の成分が$0$であるような$\Gamma^{q+1}$の元を$M^{q}$で表す．まとおく．ただし，$\iota_{q}^{k}$$1<k$ または $k>q+1$ のときは，

とする．

射影分解
に，関手
ジーを計算するための complex

を施すことにより， のホッホシルトコホモロ$\iota_{q}^{k}=0$$(Y, \delta)$$Hom_{\Gamma^{e}}$$(-, \Gamma)$$\Gamma$,$(Hom_{\Gamma^{e}}(Y, \Gamma), \delta^{\#}):0arrow\Gammaarrow^{\delta_{1}^{\#}}\Gamma^{2}arrow^{\delta_{2}^{\#}}\Gamma^{3}arrow^{\delta_{3}^{\#}}\Gamma^{4}arrow^{\delta_{4}^{\#}}\Gamma^{5}arrow\cdots$$\delta_{q+1}^{\#}(\gamma\iota_{q}^{s})=\{\begin{array}{ll}(i\gamma-\gamma i)\iota_{q+1}^{s}+(j\gamma-\gamma j)\iota_{q}^{s}\ddagger_{1}^{1} for q odd,(i\gamma+\gamma i)\iota_{q+1}^{s}+(j\gamma+\gamma j)\iota_{q}^{s}\ddagger_{1}^{1} for q even\end{array}$が得られる．この complex を用いてコホモロジーを計算すると，次を得る．
Theorem 7.

$\Gamma$のホッホシルトコホモロジーの加群構造は次の通り :$HH^{n}(\Gamma)=\{\begin{array}{ll}Z (n=0),(Z/2dZ)^{n}\oplus(Z/2Z)^{n+1} ( n odd),Z/2aZ\oplus(Z/2dZ)^{n-1}\oplus Z/2bZ\oplus(Z/2Z)^{n} ( n(\neq 0) even).\end{array}$$d=gcd(a, b)$ (
ただし，

$a,$

$b$

の最大公約数) とする．

$a=\pm 1,$ $b=\pm 1$ のときは，
Remark. 特に，$HH^{n}(\Gamma)=\{\begin{array}{ll}Z (n=0),(Z/2Z)^{2n+1} (n\geq 1)\end{array}$

である．

次に，

$HH^{n}(\Gamma)$$HH^{*}(\Gamma)$ の環の加群の生成元の間の Yoneda 積を計算することにより，構造を決定する．以下では，$d=gcd(a, b),$ $a’= \frac{a}{d},$ $b’= \frac{b}{d}$

とおく．

まず，

$HH^{1}(\Gamma)$の加群構造を生成元を用いて表示すると，次の通りである:$HH^{1}(\Gamma)=Z/2Z(ij, 0)\oplus Z/2Z(0, ij)\oplus Z/2dZ(a’j, -b’i)$$HH^{1}(\Gamma)$の加群の生成元を次のように置く．
$\lambda_{1}=(ij, 0),$$\mu_{1}=(0, ij),$$\nu_{1}=(a’j, -b’i)$

.

.

110
$2\lambda_{1}=2\mu_{1}=2d\nu_{1}=0$ であり，
このとき，$\lambda_{1},$$\mu_{1},$$\nu_{1}$はそれぞれ以下で与えられる両側加群としての準同型$\hat{\lambda}_{1}:Y_{1}arrow\Gamma;c_{1}^{1}\mapsto ij,c_{1}^{2}\mapsto 0$,$\hat{\mu}_{1}:Y_{1}arrow\Gamma;c_{1}^{1}\mapsto 0,$ $c_{1}^{2}\mapsto ij$,

へ$\nu_{1}:Y_{1}arrow\Gamma;c_{1}^{1}\mapsto a’j,$ $c_{1}^{2}\mapsto-b’i$

によって代表される．
へ

Lemma 8. (i)の lifting$\lambda_{1}$:$u_{n}$$u_{0}(c_{1}^{1})=ijc_{0}^{1},$$u_{0}(c_{1}^{2})=0$$u_{1}(c_{2}^{1})=-ijc_{1}^{1},$

(ii)

(iii)

へ
$\mu_{1}$へ$\nu_{1}$の liftingの lifting$w_{n}$$u_{1}(c_{2}^{2})=-ijc_{1}^{2},$$u_{1}(c_{2}^{3})=0$

.

:

;

$v_{0}(c_{1}^{1})=0,$$v_{0}(c_{1}^{2})=ijc_{0}^{1}$$v_{1}(c_{2}^{1})=0,$$v_{1}(c_{2}^{2})=-ijc_{1}^{1},$$Y_{n+1}arrow Y_{n}$$w_{0}(c_{1}^{1})=a’jc_{0}^{1},$$v_{1}(c_{2}^{3})=-ijc_{1}^{2}$.

の initial pad は次の通り :$w_{0}(c_{1}^{2})=-b’ic_{0}^{1}$$w_{1}(c_{2}^{1})=-a’jc_{1}^{1},$$HH^{2}(\Gamma)$;: $Y_{n+1}arrow Y_{n}$ の initial part は次の通り :$v_{n}$

さて，の initial pad は次の通り :$Y_{n+1}arrow Y_{n}$;$w_{1}(c_{2}^{2})=b’ic_{1}^{1}-a’jc_{1}^{2},$$w_{1}(c_{2}^{3})=b’ic_{1}^{2}$.

の加群構造を生成元を用いて表示すると，$HH^{2}(\Gamma)=Z/2aZ(1,0,0)\oplus Z/2bZ(0,0,1)\oplus Z/2dZ(0,1,0)$$\oplus Z/2Z(i,j, 0)\oplus Z/2Z(0, i,j)$である．

$HH^{1}(\Gamma)$

Proposition 9.

の加群の生成元の間の Yoneda 積を計算すると，次が得られる．

$HH^{2}(\Gamma)$

において次が成立する :$\lambda_{1}^{2}=ab(1,0,0),$$\lambda_{1}\nu_{1}=a’b(i,j, 0),$$\mu_{1}^{2}=ab(0,0,1),$$a’\lambda_{1}^{2}+b’\mu_{1}^{2}+d\nu_{1}^{2}=0$

はの積で生成される．

$HH^{2}(\Gamma)$$HH^{2}(\Gamma)$,$\mu_{1}\nu_{1}=a’b(0, i,j),$$a=\pm 1,$ $b=\pm 1$ のとき，
特に，

以下，

$\lambda_{1}\mu_{1}=ab(0,1,0)$$\lambda_{1,\mu_{1},\nu_{1}}$の生成元を次のようにとる．
$\tau_{2}=(1,0,0),$$\lambda_{2}=(i, j, 0),$$\xi_{2}=(0,0,1)$$\mu_{2}=(0, i, j),$,$\nu_{2}=(0,1,0)$.

.

$\Gamma$

111
このとき，

$\tau_{2},$$\xi_{2},$$\lambda_{2},$$\mu_{2},$$\nu_{2}$は，それぞれ次のような両側$\hat{\tau}_{2}:Y_{2}arrow\Gamma;c_{2}^{1}\mapsto 1,$$\hat{\xi_{2}}$:$Y_{2}arrow\Gamma;c_{2}^{1}\mapsto 0,$$\Gamma$加群としての準同型$c_{2}^{2}\mapsto 0,$$c_{2}^{3}\mapsto 0$;$c_{2}^{2}\mapsto 0,$$c_{2}^{3}\mapsto 1$;へ$c_{2}^{2}\mapsto j,$$c_{2}^{3}\mapsto 0$;$:Y_{2}arrow\Gamma;c_{2}^{1}\mapsto 0,$$c_{2}^{2}\mapsto i,$$c_{2}^{3}\mapsto j$;$\nu_{2}:Y_{2}arrow\Gamma;c_{2}^{1}\mapsto 0,$$c_{2}^{2}\mapsto 1,$$c_{2}^{3}\mapsto 0$$\lambda_{2}:Y_{2}arrow\Gamma;c_{2}^{1}\mapsto i,$へ$\mu_{2}$へ

によって代表され，次の関係式$2a\tau_{2}=2b\xi_{2}=2\lambda_{2}=2\mu_{2}=2d\nu_{2}=0$$\lambda_{1}^{2}=ab\tau_{2},$$\mu_{1}^{2}=ab\xi_{2},$$\lambda_{1}\mu_{1}=ab\nu_{2},$,$\mu_{1}\nu_{1}=a’b\mu_{2}$$\lambda_{1}\nu_{1}=a’b\lambda_{2},$を満たす．

Lemma 10. (i)(ii)

へ$\xi_{2}$の liftingの liftingへ$\tau_{2}$$f_{n}$: $Y_{n+2}arrow Y_{n}(n\geq 0)$ は: $Y_{n+2}arrow Y_{n}(n\geq 0)$ は$g_{n}$$f_{n}(c_{n+2}^{k})=c_{n}^{k}$$g_{n}(c_{n+2}^{k})=c_{n}^{k-2}$

で与えられる．

で与えられる．

$h_{n}$:$s_{n}$$s_{n}(c_{n+2}^{k})=jc_{n}^{k-1}+ic_{n}^{k}$ ,: $Y_{n+2}arrow Y_{n}$ の initial part は，$(n=0,1,2)$$t_{n}(c_{n+2}^{k})=jc_{n}^{k-2}+ic_{n}^{k-1}$ ,の lifting $t_{n}:Y_{n+2}arrow Y_{n}$ の initial part は，(v)で与えられる．

$(n=0,1,2)$

(iii)

(iv)

へ
$\nu_{2}$$\lambda_{2}$の liftingの lifting$Y_{n+2}arrow Y_{n}$は $h_{n}(c_{n+2}^{k})=c_{n}^{k-1}$ で与えられる．

で与えられる．
へ$\mu_{2}$

これらの lifting を用いて，Yoneda 積を計算すると，次が得られる．

Proposition 11.
$HH^{3}(\Gamma)$$HH^{3}(\Gamma)$

は$\lambda_{1},$$\mu_{1},$$\nu_{1},$$\tau_{2},$$\xi_{2},$$\lambda_{2,\mu_{2}},$$\nu_{2}$の積によって生成される．また，において，次の関係式が成立する :$\mu_{1}\tau_{2}=\lambda_{1}\nu_{2},$$\lambda_{1}\xi_{2}=\mu_{1}\nu_{2},$$\mu_{1}\mu_{2}=d\nu_{1}\xi_{2},$$\lambda_{1}\mu_{2}=\mu_{1}\lambda_{2}=d\nu_{1}\nu_{2},$$\nu_{1}\lambda_{2}=a’\lambda_{1}\tau_{2}+b’\lambda_{1}\xi_{2},$Proposition 12. $HH^{4}(\Gamma)$ は
おいて，次の関係式が成立する:$\tau_{2},$$\xi_{2},$$\lambda_{2,\mu_{2}},$$\tau_{2}\mu_{2}=\lambda_{2}\nu_{2},$$\lambda_{2}^{2}=a\tau_{2}^{2}+b\tau_{2}\xi_{2},$$\nu_{2}$$\lambda_{1}\lambda_{2}=d\nu_{1}\tau_{2}$$\nu_{1}\mu_{2}=a’\mu_{1}\tau_{2}+b’\mu_{1}\xi_{2}$.

の積によって生成される．また，$\lambda_{2}\xi_{2}=\mu_{2}\nu_{2},$$HH^{4}(\Gamma)$$\tau_{2}\xi_{2}=\nu_{2}^{2}$$\lambda_{2}\mu_{2}=a\tau_{2}\nu_{2}+b\nu_{2}\xi_{2},$に,$\mu_{2}^{2}=a\tau_{2}\xi_{2}+b\xi_{2}^{2}$$HH^{n}(\Gamma)(n\geq 5)$ も同様に，
以下，同様に Yoneda 積を計算すると，$\lambda_{1},$$\nu_{2}$,.

$\mu_{1},$$\nu_{1},$$\tau_{2},$$\xi_{2},$$\lambda_{2,\mu_{2}}$の積によって生成されていることが示される．また，環構造を記述するために必要な関係式が，これまで出てきたもので十分であることも示すことができる．
$a=-1,$ $b=-1$ のときの $HH^{*}(\Gamma)$ の環構造
以上をまとめると，次の定理が得られる．
よりも，複雑であることが分かる．

,

112
Theorem 13.

のホッホシルト・コホモロジー環
環として，次の元$\Gamma$$\lambda_{1},$$\nu_{1}\in HH^{1}(\Gamma),$$\mu_{1},$$\tau_{2},\xi_{2},$$HH^{*}(\Gamma)$$\nu_{2},$$\lambda_{2},$は可換環であり， 上の多元$Z$$\mu_{2}\in HH^{2}(\Gamma)$

で生成され，以下の関係式を満たす．
(i) degree-l relations$2\lambda_{1}=2\mu_{1}=2d\nu_{1}=0$.

(ii) degree-2 relations$2a\tau_{2}=2b\xi_{2}=2\lambda_{2}=2\mu_{2}=2d\nu_{2}=0,$$\lambda_{1}^{2}=ab\tau_{2},$$\mu_{1}^{2}=ab\xi_{2},$$\lambda_{1}\mu_{1}=ab\nu_{2},$,$a’\lambda_{1}^{2}+b’\mu_{1}^{2}+d\nu_{1}^{2}=0$$\mu_{1}\nu_{1}=a’b\mu_{2}$$\lambda_{1}\nu_{1}=a’b\lambda_{2},$.

(iii) degree-3 relations$\mu_{1}\tau_{2}=\lambda_{1}\nu_{2},$$\lambda_{1}\xi_{2}=\mu_{1}\nu_{2},$$\mu_{1}\mu_{2}=d\nu_{1}\xi_{2},$$\lambda_{1}\mu_{2}=\mu_{1}\lambda_{2}=d\nu_{1}\nu_{2},$$\nu_{1}\lambda_{2}=a’\lambda_{1}\tau_{2}+b’\lambda_{1}\xi_{2},$$\lambda_{1}\lambda_{2}=d\nu_{1}\tau_{2}$$\nu_{1}\mu_{2}=a’\mu_{1}\tau_{2}+b’\mu_{1}\xi_{2}$,.

(iv) degree-4 relations$\tau_{2}\mu_{2}=\lambda_{2}\nu_{2},$$\lambda_{2}^{2}=a\tau_{2}^{2}+b\tau_{2}\xi_{2},$$\lambda_{2}\xi_{2}=\mu_{2}\nu_{2},$$\tau_{2}\xi_{2}=\nu_{2}^{2}$$\lambda_{2}\mu_{2}=a\tau_{2}\nu_{2}+b\nu_{2}\xi_{2},$,$\mu_{2}^{2}=a\tau_{2}\xi_{2}+b\xi_{2}^{2}$.

謝辞

今回の発表の機会を与えて頂いた佐々木洋城先生には大変にお世話になりました．改めまして，心よりお礼申し上げます．
参考文献[1] F. R. Bobovich, Cohomologies of maximal orders of simple central algebras, Math. Notes 6 (1969),
589-592; Engl. transl., Mat. Zametki 6 (1969), 225-231.
[2] H. Cartan and S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, Princeton NJ,

1956.
[3] T. Hayami, Hochschild cohomology ring of an order of a simple component of the mtional groupring of the generalized quatemion group, Comm. Algebra 36 (2008) 2785-2803.
[4] T. Hayami, Hochschild cohomology ring of a maximal order of the quaternion algebra, to appear.

[5] T. Hayami, Hochschild cohomology ring of the genemlized quatemion algebras, preprint.
[6] G. Hochschild, On the Cohomology Groups of an Associative Algebm, Ann. of Math. 46 (1945),

58-67.

[7] S. MacLane, Homology, Springer-Verlag, New York, 1975.
[8] K. Sanada, On the Hochschild cohomology of crossed products, Comm. Algebra 21 (1993), 2727-

2748.