数理解析研究所講究録982 巻 1997 年 12-20

12

ガオス的少数自由度系におけるデフェイジング
早大理工佐々木貴 (Takashi Sasaki)
早大理工並木美喜雄 (Mikio Namiki)

1

多ヒルベルト空間理論を用いた観測理論
町田・並木による多ヒルベルト空間理論 (Many Hilbert Space theory) を用いた観測理論について説明する。 つぎのような 2 スリットの干渉実験を考える。

このとき量子力学的粒子の波動性によりスクリーン上で干渉縞が観測される。つまりスクリーン上のある点に粒子を見出す確率は$P$$=$$|\psi_{1}+\psi_{2}|2$$=$$|\psi_{1}|2+|\psi 2|2+2Re(\psi 1*\psi_{2})$(1)である。

しかし例えば–方の経路に測定器を置いたときには干渉縞が消えてスクリーン上では経路 I を通った確率と経路 II を通った確率の和があらわれる。 (下図参照)

13

このときスクリーン上のある点に粒子を見出す確率は(2)$P=|\psi_{1}|^{2}+|\psi 2|^{2}$

これを波動関数の収縮とよび、 この現象を説明するのが観測理論である。

町田並木の多ヒルベルト空間理論による説明では測定器の状態はマクロ的には同じでも測定器内部の局所系は実験試行毎に変化していると考える。
いま簡単のため分波 2 に対する測定器の影響を次のように考える。

(3)$\psi_{2}arrow T\psi_{2}$

試行毎のゆらぎがあることから$Tarrow T_{j}$$j=1,2,$$\ldots,$(4)$N$とおける。 この場合スクリーン上のある点で粒子を見出す確率は$\overline{P}$

$=$

$=$

$\overline{|T|^{2}}$$=$$\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}P^{(j)}$$\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}|T_{j}|^{2}$,$|\overline{T}|^{2}=\overline{|T|2}(1-\epsilon)$(6)$\overline{\tau}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}\tau_{j}$となる。 ここで次のようなデコヒーレンスパラメータ$\overline{T}=|\overline{T}|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta}$(5)$|\psi_{1}|2+\overline{|T|^{2}}|\psi 2|^{2}+2Re(\psi_{1}*\overline{\tau}\psi 2)$$\epsilon$を導入する。

(7)$0\leq\epsilon\leq 1$として (5) 式を を用いて書き直すと$\epsilon$(8)$\overline{P}=|\psi_{1}|^{2}+\overline{|T|^{2}}|\psi_{2}|^{2}+2\sqrt{\overline{|T|^{2}}}\sqrt{1-\epsilon}Re(\psi_{1}*\mathrm{i}\beta\psi 2)\mathrm{e}$と表せる。
この\epsilon を用いると分波間の位相相関の消失を定量的に記述することができる。 $\epsilon=1$ のときは完全に位相相関が切れた状態で (8) 式で干渉項は完全におちる。のときは完全に$0<\epsilon<1$
位相相関が保存されている場合でのときが不完全測定に対応している。
$\epsilon=0$

142モデルの設定
本研究室ではこれまで多数の自由度をもつ測定器モデルを設定し解析を行ってきたが今回は少数自由度系のモデルを設定し、測定器となりうるか考察する。
そのモデルとして今回は時間に依存して中心位置が変化するようなポテンシャルを考える。
(9)$V(\mathrm{r}, t)=V(\mathrm{r}-\mathrm{r}_{j(}t))$

このポテンシャルに対する Schr\"odinger 方程式$[- \frac{\hslash^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\mathrm{r}-\mathrm{r}_{j(}t))]\psi j(\mathrm{r}, t)=i\hslash\frac{\partial}{\partial t}\psi_{j}(\mathrm{r}, t)$

(10)

ここで

$\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{h}}\mathrm{P}^{\Gamma_{\mathrm{j}}}}.\mathrm{r}(\mathrm{t})-\mathrm{e}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{h}}\mathrm{p}\cdot \mathrm{r}_{\mathrm{j}(}\mathrm{t})=\mathrm{r}+\mathrm{r}_{\mathrm{j}}(\mathrm{t})$(11)であることを用いて$\overline{\psi_{j}}(\mathrm{r}, t)=\mathrm{e}^{\frac{i}{\hslash}\mathrm{P}^{\mathrm{r}_{j}}(t)}.\psi j(\mathrm{r}, t)$(12)

なるユニタリー変換を考える。
に関する Schr\"odinger 方程式は$\text{このとき}\overline{\psi_{j}}(\mathrm{r}, t)$$[- \frac{\hslash^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\mathrm{r})]\overline{\psi_{j}}(\mathrm{r}, t)$$\mathrm{v}_{j}$となる。
今回は断熱近似として$\mathrm{v}_{j}=0$

$=$

$=$

$i \hslash[\frac{\partial}{\partial t}-\mathrm{v}_{j}\cdot\nabla]\overline{\psi_{j}}(\mathrm{r}, t)$$\frac{d\mathrm{r}_{j}(t)}{dt}$

(13)
(14)

球場合を考える。

$[_{-\frac{\hslash^{2}}{2m}\nabla^{2}+}V(\mathrm{r})]\overline{\psi_{j}}(\mathrm{r}, t)$$=$$i \hslash\frac{\partial}{\partial t}\overline{\psi_{j}}(\mathrm{r}, t)$(15)

いま入射波として平面波に極めて近い波束を考えれば$\psi_{j}(\mathrm{r}, t)$$\simeq$$\overline{\psi_{j}}(\mathrm{r}, t)$$\simeq$$E_{k}$$=$$u_{\mathrm{k})}^{(+)}((j\mathrm{r})$$=$$\mathrm{e}^{(-\frac{i}{\hslash}Ei)}u_{\mathrm{k})}(k(+(j)\mathrm{r})$$\mathrm{e}^{(-\frac{i}{\hslash}E_{k}t})_{\overline{u}^{(+)}}\mathrm{k}(\mathrm{r})$$\frac{\hslash^{2}k^{2}}{2m}$$\mathrm{e}^{\mathrm{t}\cdot \mathrm{r}_{j})}-\cdot.{}_{\overline{\hslash}}\mathrm{P}\overline{u}_{\mathrm{k}}(+)(\mathrm{r})$

(16)

(17)
(18)

(19)
(20)

15

$[- \frac{\hslash^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\mathrm{r}-\mathrm{r}_{j})]u^{(+}\mathrm{k}(j)()\mathrm{r})$$[- \frac{\hslash^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\mathrm{r})]\overline{u}_{\mathrm{k}}(\mathrm{t}+))\mathrm{r}$$=$$E_{k}u_{\mathrm{k}}^{(+)}(\mathrm{r})$

(21)

$=$

$E_{k}\overline{u}_{\mathrm{k}}^{(+)}(\mathrm{r})$

(22)

(23)
このとき散乱振幅は$=$$*\langle u_{\mathrm{k}’}^{(0)}|U(\hat{\mathrm{r}}-\mathrm{r}j)|u\rangle(\mathrm{k}(j)+\rangle$$=$$*\mathrm{e}^{[-i(}-\mathrm{k})\cdot \mathrm{r}_{j}]\langle \mathrm{k}^{;}u_{\mathrm{k}’}^{(0)}|U(\hat{\mathrm{r}})|\overline{u}_{\mathrm{k}^{+}}()\rangle$(24)$[- \frac{\hslash^{2}}{2m}\nabla^{2}]u(\mathrm{k}0)(\mathrm{r})$$=$$E_{k}u_{\mathrm{k}}^{(0)}(\mathrm{r})$

(25)

$U$

$=$

$\frac{2m}{\hslash^{2}}V$(26)$F_{j}(\mathrm{k}^{l}, \mathrm{k})$となる。

いま短距離力による低エネルギー散乱を考えると$\mathrm{S}$波近似より$F_{j}(\mathrm{k}’, \mathrm{k})=\mathrm{e}^{[-i()}-\mathrm{k}\cdot \mathrm{r}_{j}]k\mathrm{k}’bj$となる$(b_{j}$は scattering(27)$1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{O}-)_{\circ}$

このときデコヒーレンスパラメータ を次のように定義する。
$\epsilon$$\epsilon$

$=$

$=$

旧こ

$\mathrm{j}$$1-\overline{\overline{|F|^{2}}}|\overline{F}|2$$1- \overline{\mathrm{e}^{[-}i(\mathrm{k}’}.-\mathrm{k})\cdot \mathrm{r}j1\frac{|\overline{b}|^{2}}{\overline{|b|^{2}}}$(28)

依存性がないとすると$\epsilon=1-\overline{\mathrm{e}^{[-i}(\mathrm{k}\prime-\mathrm{k})\cdot \mathrm{r}j]}$$\mathcal{T}_{j}=\mathrm{e}^{[(\mathrm{k}’}-i-\mathrm{k}\rangle\cdot \mathrm{r}_{j}]$

(29)

として
$\mathcal{T}_{j}=\mathrm{e}^{-i}\Delta KR\theta_{\mathrm{j}}$$\Delta K=|\mathrm{k}^{l}-\mathrm{k}|$(30)(31)と変数をかえて\theta , にランダムネスをいれて数値シミュレーションを行う。 ( $\Delta KR=\alpha$ とする。 )163kicked rotator$\theta_{j}$にいれるランダムネスとしてカオスをしめす力学系である kicked rotator を用いる。

kicked rotator は回転振矛に周期的にパルス状の力が加わる系で次のようなハミルトニアンで表される。
$\mathrm{H}$$p$$\omega_{0}^{2}$

$I$

$=$

$=$

$=$

$=$

$\frac{p^{2}}{2Mr^{2}}+Mr^{2}\omega_{0}^{2}\cos\theta\sum_{\mathrm{n}=-\infty}^{\infty}\delta(\frac{t}{\mathrm{T}}-\mathrm{n})$

(32)
(33)

$Mr^{2}\dot{\theta}$(34)$\frac{fr}{I}$(35)$Mr^{2}$正準方程式を離散的な時間について積分することで次のような漸化式が得られる。
$P_{n+1}$$=$$P_{n}+K\sin\theta_{n}$$\theta_{n+1}$$=$$\theta_{n}+P_{n}$$P_{n}$$=$$\frac{p_{n}\mathrm{T}}{Mr^{2}}$

$K$

$=$

$(\omega_{0}\mathrm{T})^{2}$$(-\pi\leq\theta_{n}\leq\pi)$

(36)
(37)
(38)

(39)

ここで $K$ はキックの強さとよばれる力学系の様子を決定するパラメータである。 この関係

式から得られた\theta n を前節で求めた\epsilon にいれる。

4結果

4.1

kicked rotator の初期値依存性

カオスの特徴である初期値依存性が現れるか、 みてみる。

17$\mathrm{K}=1.0$$\mathrm{P}_{0}=\frac{\pi}{40}$$\alpha=1$$\theta_{\cap}=0$$\epsilon=0.833$$\epsilon=0.903$$\in=0.716$

上段がそれぞれの初期値\theta o に対する位相空間図、 中段が\theta n の度数分布、 下段が巧の複素平面図である。 の分布が–様な初期値ほど\epsilon が 1 にちかい (つまりデコヒーレンスがおこっている) ことがわかる。
$\theta_{n}$

18

4.2

キックの強さに対する依存性

今度は初期値を同じにしてキックの強さ $K$ を変えていった時の様子をみてみる。
$\mathrm{P}_{0}=\frac{\pi}{40}$$\Theta_{0}=-\pi$$\epsilon=0.0041$$\alpha=1$$\epsilon=0.061$$\in=0.413$

19$\mathrm{P}_{0}=\frac{\pi}{40}$$\alpha=1$$\Theta_{0}=-\pi$$\mathrm{K}=451$$\mathrm{K}=4.53$$\in=0.413$$\epsilon=0.798$$\mathrm{K}=5.0$$\epsilon=0.973$

キックの強さを大きくしていくとある値に局在していた\theta n の分布が広がり、 それによって\epsilon が 1 に近付いていく様子がわかる。

4.3$\alpha$に対する依存性に対する依存性をみてみる。 ここで\alpha はポテンシャルの移動する領域の大きさを示す量である。
さいごにパラメータ$\alpha$20$\mathrm{K}=1.0$$\mathrm{P}_{0}=\frac{\pi}{40}$$\alpha=1.0$$..\in=0.903$$\alpha=1$のとき$\epsilon\sim 1$$\mathrm{e}_{0}=\frac{\pi}{5}$$\alpha=0.5$$\alpha=01$$\epsilon=0.419$$\epsilon=0.210$であるようなパラメータに対してでもオーダーが 1 ケタさがるとデコヒーレンズしなくなってしまう。 このことからポテンシャルのゆらぎは大きくなければならないことがわかる。

5

まとめ

カオスを示すようなパラメータに対してはデコヒーレンスをおこすようなモデルを設定することができた。 またその際にはゆらぎの大きさは、 ある程度大きくなければならないことがわかった。