数理解析研究所講究録
1091 巻 1999 年 211-217

211

平面内におけるある領域の格子点問題について
名古屋大学多元数理

古屋淳 (JUN FURUYA)

1. 序
を 2 以上の実数としたとき、 $x\geq 0$ に対して, $R_{k}(x)$ を領域上の格子点の総数とおく. すなわち,$k$$R_{k}(X)=\#\{(m, n)\in \mathbb{Z}^{2}||m|^{k}+|n|^{k}\leq x\}$の内部及び周$|\xi|^{k}+|\eta|^{k}\leq x$.

さらに, $P_{k}(x)$ を次で定義する:$P_{k}(x)=R_{k}(_{X})- \frac{2\Gamma^{2}(1/k)}{k\Gamma(2/k)}x^{2/}k$.

ここでは, 格子点問題の定義として, この関数 $P_{k}(x)$ の最良評価 (すなわち -評価と評価を –致させる) を求めるものとする. この問題は $k=2$ のときが Circle problem と呼ばれる円内の格子点の総数に対する問題であり, 上からの評価に対しては Gauss が最初に$P_{2}(x)=O(x^{1/2})$ を証明した. その後この評価は改良が進み, 現在得られている最良の評価は$P_{2}(x)=O(X/73(23\log x)315/146)$ であり, これは Huxley [2] によって証明された.
方, \Omega -評価に対しては Hardy [1] が $P_{2}(x)=\Omega\pm(x^{1/4})$ を示している. (現在,評価も改良されているが, ここでは省略する.)$\Omega-$$\mathit{0}$$\Omega-$

一般の $k(k\geq 2)$ . に対しては, Kr\"atzel $[3][4]$ が次の漸近公式を導いた.
$P_{k}(x)=Hk(_{X})+\Delta k(x)$,ここで, 関数 $H_{k}(x)$ は次で定義されるものである:

(1.1)
また,

$H_{k}(x)= \frac{8\Gamma(1/k)}{\pi k}x^{1/k-1/}\sum_{=}k^{2}n1\infty\frac{1}{n}(\frac{k}{2\pi n})^{1/k}\cos 2\pi(nx^{1/k}-\frac{1}{4}(1+\frac{1}{k}))$$\Delta_{k}(x)$.

は誤差項で, 次で評価される.
$\Delta_{k}(x)=\mathrm{o}(x)\mathit{2}\chi_{\mathit{3}}k$.の評価はその後、 Kr\"atzel [5] によって $\Delta_{k}(x)\ll X^{2}7/41k$ によって改良されているが,現在の最良の評価は$\Delta_{k}(x)$(1.2)$\triangle_{k}(x)\leq<x^{46}(/\tau 3k\log_{X})315/146$であり, これは Kuba [7] によってあたえられた.

212に対して $\alpha_{k}<1/k-1/k^{\mathit{2}}$ となるなる] では,ここで, [3, Theorem 3.
$O$においては $P_{k}(x)$ の -評価と -評価は–致することが示されている. よって, (1.1) および (1.2) を用いることによって $k>73/27$ において $R_{k}(x)$ に対する 「面積で近似するという意$\Delta_{k}(x)\ll x^{\alpha_{k}}$$17\mathrm{A}$$\alpha_{k}$$\Omega$$k$味での」格子点問題は解決を見ていることになる.
] によると, $R_{k}(x)$ の格子点問題をみるにはまた, [3, Theorem 3.
$17\mathrm{A}$$\Delta_{k}(x)$の下限を求めること, に帰着できる. よって, 次にめること, すなわちついてみる. これに対しては, Schnabel [10] が $k\geq 3$ の整数に対して明し, Kr\"atzel がこの改良として$\alpha_{k}$の最良評価を求の評価にを証$\Omega-$$\triangle_{k}(x)$$\Delta_{k}(x)=\Omega(x^{1/k})\mathrm{s}$$\Delta_{k}(x)=\Omega_{\pm}(x\perp./^{\hat{z}k}’)$を証明している [3] [6].
ここで, 上記の格子点問題の–般化として次の領域に対する問題を考える. $1\leq b\leq a$ であに対して $R_{k}(a, b)$ を次のように定義する:
る 2 つのパラメ一ター $a,$$b$$R_{k}(a, b)= \#\{(x, y)\in \mathbb{Z}^{2}||\frac{x}{a}\frac{y}{b}|^{k}\leq 1\}$,

さらに, 誤差項 $P_{k}(a, b)$ を次で定義する:(1.3)$P_{k}(a, b)=R_{k}(a, b)- \frac{2\Gamma^{2}(1/k)}{k\Gamma(2/k)}ab$.

ここで, $k=2$ の場合が, 平面内の楕円に対する格子点問題である. この場合, $P_{2}(a, b)$ の評価の, Huxley の評価に対応するものは Kuba [8] によって得られている.

また, 関数$\Delta_{k}(a, b)$(14)を次で定義する.

$\Delta_{k}(a.b)=P_{k}(a, b)-Hk(a, b)-H_{k}(b, a)$

ここで, 関数$H_{k}(\alpha, \beta)$,はつぎのものである.

$H_{k}( \alpha, \beta)=\frac{4\Gamma(1/k)}{\pi k}\alpha^{-1/k}\beta\sum_{n=1}\frac{1}{n}\infty(\frac{k}{2\pi n})^{1/k}\cos 2\pi(n\alpha-\frac{1}{4}(1+\frac{1}{k}))$.

まず, 関数 $P_{k}(a, b)$ の評価をまとめると次の通りである.
を $k\geq 2$ である実数とし, $a,b$ を $1\leq b\leq a$ であるパラメーター とする.
Theorem 1.のとき(1) $k>73/27$ に対して,$k$$barrow\infty$$O(ab^{-1/k})$$P_{k}(a, b)=$$\{$$\Omega(ab^{-1/k})$のときはつぎの 2 つの場合に分かれる:(2) $2\leq k\leq 73/27,$(i) $a>>b^{\mathit{2}3/50+73}/50k(\log ab)^{63}/20$ のとき$barrow\infty$$O(ab^{-1/}k)$$P_{k}(a, b)=$$\{$$\Omega(ab^{-1/k})$213(\"u)のとき$b \ll a\ll b^{23/3/50k}50+\cdot 7.(\log ab)^{63}\oint 20$$P_{k}(a, b)\ll(ab)^{23/}73(\log ab)^{315}/146$.

従って Theorem 1 より, $R_{k}(a, b)$ に対する格子点問題は $k\succ 73/27$ においては $1\leq$ $b\leq a$ ,.のもとで解決を見ていることになる.

$barrow\infty$

次に, 関数について考える. 上からの評価に対しては, 後述の Proposition 1 と 2を用いることによって次が示される.
$\Delta_{k}(a, b)$$ab^{-1}$$\Delta_{k}(a, b)\ll\{$$(ab)^{1/3}$$(ab)^{23/}73(\log ab)^{315}/146$

さらに,評価に対しては, Kr\"atzel 3,て, 次の定理を導くことが出来る.
$\Omega-$$[$Theorem 2. を固定された実数でとする. このとき,に対して$\ell$$\ell\geq 1$

if
ifif$b^{2}\ll a$,$b^{13/10}<<a\ll b^{\mathit{2}}$$b\ll a\ll b^{1}3/1.0$.

,. 153-156 および, [6] の手法を用いることによっ$]$$\mathrm{p}\mathrm{p}$とする. さらに $a,$$b$

を $a=\ell b$ の関係を満たすもの$barrow\infty$$\Delta_{k}(a, b)=\Omega\pm(b^{1}/2)$,

すなわち$\Delta_{k}(a, b)=\Omega\pm((ab)^{1/}4)$となる.

この定理ではいる.

. ついて, 非常に強い条件である $a=\ell b$ という比例の関係が用いられてこのような条件が付随する理由としては, まず第– に, 証明の中でについて, あ$a,$$bt^{arrow}$$\Delta_{k}(a, b)$

る種の重みつきの積分を用いる箇所がありこの積分を実行するため, -変数化を行なう必要がある, ということがあげられる. また, この–変数化において $a=\ell b$ である条件にすることはこの方法において本質的なことであるように思われる.
しかし, この条件は無理のない仮定となっている. なぜならば, この条件のもとでは領域$|\xi/a|^{k}+|\eta/b|^{k}\leq x$ は相似に拡大していくからである.

2. 証明の概略

Theorem 1 を示すためには, 次の 2 つの Proposition と (1.-4) を用いればよい.
Proposition 1. $k\geq 2,1\leq b\leq a$ に対して,$\Delta_{k}(a, b)=O((ab)1/3)+O(ab^{-1})$

.

214

Proposition 2. $k\geq 2,1\leq b\leq a\ll b^{\mathit{2}3/1}0$ に対して,$\Delta_{k}(a, b)=O((ab)^{\mathit{2}3/}73(\log ab)315/146)+O(ab^{-1})$.

この 2 つの Proposition は次のようにして証明される.

まず, $R_{k}(a, b)$ は次のように表示されることに注意をしておく.
$\overline{\mathit{1}}\iota k((7\neg/A,$$\mathit{0}_{\mathit{1}}\iota\backslash --\frac{\Gamma^{\mathit{2}}(1/k)}{2k\Gamma(2/k)}\overline{u}b_{\mathrm{t}\mathit{1}^{\mathcal{T}}}’ k(1\hat{\lambda},$ $b_{)} \backslash \mathcal{T}/_{\hat{\mathrm{o}}}’ 1^{-}\mathrm{t}^{\lrcorner}k(,r’)\urcorner’-^{7}\backslash \mathrm{T}\Psi\prime k\backslash (/\overline{\chi}, U^{\backslash }1)^{\urcorner^{-}}’\Psi k(/\mathrm{t},\backslash |\prime \mathrm{t}J\hat{\alpha})\mathrm{t}\overline{\dot{\Psi}}(\frac{a}{2^{1/k}})^{\psi}\backslash \backslash (\frac{b}{2^{1/k}})\backslash$

ここで, $\psi(x)=x-[x]-1/2$ であり, 関数$I_{k}(\alpha,\beta),$$\Psi_{k}(\alpha,\beta)$$((\alpha,\beta)=(a, b)$.

または $(b, a))$は次で定義される.

,$I_{k}( \alpha,\beta)=-\frac{4\beta}{\alpha^{k}}\int_{\alpha\cdot 2^{-1}/k}^{\alpha}(1-(\frac{t}{\alpha})^{k})1/k-1k-1t\psi(t)dt$(2.1)$\Psi_{k}(\alpha,\beta)=-4\alpha\cdot \mathit{2}^{-1/k}\sum_{\leq<n\alpha}.\psi(\beta(1-(\frac{n}{\alpha})^{k})1/k\mathrm{I}\cdot$(この表示は, 具体的にこの領域内の格子点の総数を数えあげた後, Euler-Maclaurin の和公式を用いることによって得られる.)

次に $I_{k}(a, b)$ において, この関数を次の 2 つの部分に分ける.
$I_{k}(\alpha,\beta)$$=$$- \frac{4\beta}{\alpha^{k}}\{\int_{0}^{\alpha}-\int_{0}^{\alpha}\cdot \mathit{2}-1/k\}(1-(\frac{t}{\alpha})^{k})^{1/}-1(kt^{k}-1\psi t)dt$$=$$- \frac{4\beta}{\alpha^{k}}\int_{0}^{\alpha}(1-(\frac{t}{\alpha})^{k})^{1/}k-1(t^{k}-1\psi t)dl+O(\alpha^{-1}\beta)$.

ここで, 上式の変形において後半部分には部分積分を用いた. 前半部分について, generalized
Bessel function で表示したのち, この関数の漸近展開を代入すると ( generalized Bessel functionの定義と漸近展開は [3, pp. 145-147] 参照)$I_{k}(\alpha,\beta)$$=$$\frac{4\Gamma(1/k)}{\pi k}\alpha^{-1/k}\beta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\frac{k}{2\pi n})^{1/k}\mathrm{c}\mathrm{o}_{9}2\pi(n\alpha-\frac{1}{4}(1+\frac{1}{k}))$$+O(\alpha^{-1}\beta)$

,

すなわち,
$\Delta_{k}(a, b)=\Psi_{k}(a, b)+$

重 k $(b, a)+O(ab^{-1})$の評価に帰着された. まず, Proposition 1 は van der Corputの評価式 ([3, Theorem 23] 参照) を用いれば証明される (詳細は省略させて頂く).
また, Proposition 2 はつぎの Huxley によって示された結果 [2, Theorems 3, 4] を使って証明される. (ここでは Huxley の結果を Kuba がまとめ直した形 ([7, Lemma] または [8,となる. そこで, 問題は$\Psi_{k}(\alpha,\beta)$

215

Lemma 1]) で Lemma をとりあげる.)
Lemma [Huxley]. $M,$ $M’$ および($T$を, $M\leq M’<2M$ かつ $M\leq C_{1}T^{83/-}146(\log\tau)63/292$はある定数) である正のパラメーターとする. さらに, $F(t)$ を $1\leq t\leq 2$ において 4 回連$\Gamma_{1}z$

続微分可能で次の条件を満たす関数とする:$F’(t)$,$F”(t)$,$F^{(3)}(t)$,$F’(t)F^{(3)}(t)-3(F^{u}(t))^{2}$,$F”(t)F^{(}4)(t)-3(F^{(3)}(t))^{2}\neq 0$.

このとき次の評価が成り立つ :$\sum_{M\leq m\leq M’}\psi(\frac{T}{M}F(\frac{m}{M}))\ll T\mathit{2}3/73(\log\tau)315/146$

ここで, O-constant は$C_{1}$,および $F$ の 4 回までの微分がとる値の範囲に依存する.

Proposition 2 の証明に移る (証明の方法は [7] および [8] に従っていることに注意しておく) . まず (2.1) より$\Psi_{k}(\alpha,\beta)=-4\alpha\cdot 2^{-1/k}.<n\sum_{\alpha\leq-\alpha_{1}}\psi(f(n))+o(\alpha 1)$となる ($\alpha_{1}$は後で選ぶ). ここで, 簡略化のため$t\in[\alpha\cdot 2^{-1/k}, \alpha-\alpha_{1}]$に対して$f(t)= \beta(1-(\frac{t}{\alpha})^{k})^{1/k}$

とおいた. まず, $f(t)$ の微分について考えると, $t\in[\alpha\cdot 2^{-1/k}, \alpha-\alpha_{1}],$ $r=1,2,3,4$ に対し,.

$|f^{(r)}(t)| \wedge\cdot\frac{\beta}{\alpha^{k}}t^{k-r}(1-(\frac{t}{\alpha})^{k})^{1/1/k-r}k-r_{\wedge}$$\frac{\beta}{\alpha^{r}}(1-\frac{t}{\alpha})$であり, さらに,$f’(i)$ ,$f”(t)$ ,$f^{(3)}(t)\neq 0$,$f’(t)f^{(3})(.t)-3(f^{\prime l}(t))2=(k-1) \frac{\beta^{2}}{\alpha^{2k}}(1-(\frac{t}{\alpha})^{k})^{2/-4}kt2k-4((\frac{t}{\alpha})^{k}(k+1)-2k+1)$$\neq 0$

かつ$f”(t)f^{(4})(t)-3(f^{(3)}(t))^{2}=-(k-1)^{2} \frac{\beta^{2}}{\alpha^{2k}}(1-(\frac{t}{\alpha})^{k})^{\mathit{2}/k-}6t^{2k6}-\{(2k+1)(k+.

$+(k+1)(2k-5)( \frac{t}{\alpha})^{k}+(2k-3)(k-2)\}$$\neq 0$1)(\frac{t}{\alpha})^{2k}$216となることが確かめられる.
における和をとおき,として選ぶ) と分割する. すなわち, つぎの形になる.

$\tau=1-(1/2)^{1/k},$ $g(t)=f([\alpha]-t),$$2^{j-1}\alpha_{1}.,$($j=1,2\cdots J$

$J$

(2.2)
ここで

は $M_{J}=\tau\alpha$$\alpha_{1}\wedge\vee(\alpha\beta)^{23/}73$$\Psi_{k}(\alpha.,\beta)=\sum_{=j1}^{-}S_{j}+J1O((\alpha\beta)^{23}/73)$$S_{j}$$\Psi_{k}(\alpha,\beta)$$\alpha_{j}=$,は(.2.3)$S_{\dot{r}}= \psi(\alpha_{j}\leq 2\alpha_{j}\frac{\Gamma_{/}}{m<}g(m))$

で定義する.

あとは Lemma において $M=\alpha_{j},$ $M’-[=2M]-1,$ $T=\alpha-k\beta M1+1/k$ かつ $F(u)= \frac{M}{T}g(Mu)$とおけば $F(u)$ についての条件はすべて満たされる.

また, $M\leq C_{1}T8\mathit{3}/146(\log\tau)^{-}63/292$ については条件を(2.4)$M\leq c_{2}\tau 13/\mathit{2}3$に置き換えて考えると, $M\leq\alpha \text{ _{}\alpha}\ll\beta^{13/10}$ の仮定のもとで, (2.4) が満たされることが確かめちれる.のもと Lemma が適用出来てよって,なので$\alpha\ll\beta^{13/10}$$S_{j}(\alpha,\beta)\ll(\alpha^{-k}\beta M1+1/k)23/73(\log(\alpha-k\beta M1+1/k))315/146$となり, この評価と (2.2), (2.3) より Proposition 2 を示せすことができる.
つぎに, 定理 2 の証明の概略について述べる. 証明は [3, pp. 153-156] に従っておこなう.
$\Re s>0$ に対し, 関数 $G(s)$ を次で定義する.
$G(s)$

ここで, 記号$\Sigma_{m=0’}^{\infty}$$=$$\sum_{m=-\infty=}^{+\infty}\sum_{\infty n-}^{+\infty}\exp(-S(|\frac{n}{\ell}|^{k}+|m|^{k)^{1/}}k\mathrm{I}$$=$$4 \sum_{m=0}^{\infty}/\sum_{n=0}^{\infty}/$$\exp(-S((\frac{n}{\ell})^{k}+m^{k})^{1/}k\mathrm{I}$,は $m=0$ のとき項を 1/2 倍することを意味するものとする.

Poisson の和公式 ([3, pp. 22-23] 参照) を 2 回適用することによって次の式が得られる :,$G(s)=4m+ \infty\sum_{=-\infty n}\sum^{+}*=-\infty\infty*\int^{\infty}0\int 0\infty\exp(2\pi i(nt+m\mathcal{T})-s((\frac{t}{\ell})^{k}+\tau^{k}\mathrm{I}^{1/}k\mathrm{I}dtd\tau$

ここで, 単純化のため$\sum_{m=-\infty}^{+\infty}*=Marrow\infty\lim$ $\sum_{-,m=M}^{M}+$とおいた.

217(1.3), (1.4) および (2.5) を用いると$\int_{0}^{\infty}\Delta_{k}(\ell b, b)e-Sbdb=\frac{1}{s}G_{1}(s)$となる. ここで,
$G_{1}(s)$$=$$4 \sum_{nm}*\sum_{\neq 0}*\int_{0}^{\infty}\exp(2\pi i(nt+m\tau)-s((\frac{t}{\ell})^{k}+\tau^{k})^{1/k})dtd\tau$である. 定理の証明に必要なことは, 関数 $G_{1}(s)$ のに対する虚軸への極限の情報である. これに対しては,は全平面に解析接続可能であり虚軸上に位数 3/2 の分岐点をもつ多価関で $G_{1}(s)=O(s)$ もあわせて示される.
数であることが示される. また,
すなわち, [3, Lemma 3.16] と比較すると $l\text{倍の違いはあるが}\cdot,$ . 本質的には $\ell=1$ の場合と同様な結果に対応していることになる.
あとは, [3, Theorem 3.19] に対して
$s$$G_{1}(s)$$sarrow \mathrm{O}$$\Delta_{k}(\ell b, b)\leq K_{1}b^{1/\mathit{2}}$($K_{1},$ $K_{2}$または$\Delta_{k}(\ell b, b)\geq-K_{2}b^{1[2}$はある正定数) とおき直して同様の議論を行なえば, Theorem 2 は証明することが出来る.

REFERENCES
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Nat.
$\ddot{\mathrm{U}}$$\mathrm{R},$