数理解析研究所講究録 1213 巻 2001 年 34-38

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理論の融合について(On Amalgamation of Theories)
坪井明人

2000 年 11 月 14 日

1

序章

本論文で,の融合性とは の二つの元の共通拡大がの中にあるという性質である. あるクラスが融合を許すという条件はモデル理論の中で形を変え重要な場面で出てくる. 重要な役割を果たすいくつかの場面を見てみょう.
$\mathcal{K}$$\mathcal{K}$$\mathcal{K}$$\mathcal{K}$1.

が構造のクラスの時,に対して,$\mathcal{K}$$A$$\bullet$$A$$\mathcal{K}$が融合を許すとは, 次の事柄をさすに共通に含まれるならば, 適当な上のコピーを含むものが存在する.
が$B_{1},$ $B_{2}$

融合を許す$\mathcal{K}$$A$の拡大.

$A,$ $B_{1},$ $B_{2}\in K$$D\in \mathcal{K}$で各$B_{i}$のはそれらを張り合わせて “generic” な構造を作ることができるという重要な性質を持つ.

2. また単純理論において がタイプの集合の時,が融合を許すという性質は,Independence Theorem として知られる. これは次の事実である .に対$\mathcal{K}$$\mathcal{K}$$\cdot$$p,$ $q\in \mathcal{K}$

して,$\bullet$のタイプの共通の非分岐拡大で, なおが上独立ならば, $p(x)\cup q(x)$ の共通拡大で $M$ 上の非分岐拡大になっているものが存在する.

$p\in \mathrm{S}(Ma),$

つ $a$ と$b$$q\in S(Mb)$ が$\mathrm{S}(M)$が $M$これは単純理論を特徴付けるひとつの性質になっている.
本論分では理論の融合について述べる.

35
2

基礎事項.

理論とはモデルを持つ閉論理式の集合である. 本論文においては, 完全な理論を単にはこの意理論とよぶことにする. L 構造 $M$ で成立する L 閉論理式全体味で理論になっている.
さて次の抽象的な問題を考える$T=\mathrm{T}\mathrm{h}(M)$がともにある性質を持つときの性質を持つものはあるか二つの理論$(^{*})$$T_{1}$と$T_{2}$の拡大となる理論を融合と呼ぶことにする.
れている場合は融合が存在するためには (すなわち$T_{1}=T_{2}$ でなければならない.

$T_{1}\cup T_{2}$$T_{1}\cup T_{2}$と$T_{1}$の拡大となる理論でそが同一の言語 $L$ で書かが矛盾しないためには)$T_{2}$$T_{1}\cup T_{2}$上の問題をもう少し正確な形で書くと次のようになる .

$\cdot$で書かを二つの言語として, $L=L_{1}\cap L_{2}$ とする. $T_{2}(i=1,2)$ をとに属し, $T_{1}|L=T_{2}|L$ をがともにある理論のクラスれた理論とする.に属すものはあるかの融合となる理論で f. ラス満たすとき,$(^{**})L_{1}$と$L_{:}$$L_{2}$$T_{1}$$\mathcal{K}$$T_{2}$$T_{1}\cup T_{2}$$\mathcal{K}$と書くことができる. もちろん, この問題の答えはどのようなクラスは融合を許すということにしよう.
で答えが異なる. 肯定的なときに$\mathcal{K}$を考えるか$\mathcal{K}$1.

$\omega$-stable な理論のクラスは融合を許さない. 次のなる.

$T_{1}=Th(\mathbb{Q}, 0, +)$として$T_{2}$$T_{1},$$T_{2}$が融合を許さない例とを次の $\{U(*), V(*), R(*, *)\}-$ 理論とする.

(a) 1 項述語 $U$ と $V$ はユニバースを二つの無限集合に分割する ;(b) 2 項述語 $R$ は$U$と $V$ の間の一対一対応を与える.

それぞれが -stable なことは自明である. $T\supset T_{1}\cup T_{2}$ が -stable とする. $U$ と$V$ は $R$ によって一対一に対応しているから,
Morley degree は 2 以上 (有限) とが有の部分群 $G$ でなる. したがって, stabilizer を使った議論により,限アーベル群となるものが存在する. しかし, これは が divisible なことに矛$\omega$$\omega$$\mathbb{Q}/G$$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}$

盾する.

2.

$\aleph_{0}$.

-categorical な理論のクラスは融合を許さない. $i=1,2$ に対して,$\{E_{i}(*, *)\}$とする.

は次の主張
・理論
T 度 2 個の元を持つ;$T_{1}$$E_{1}$$L_{i}=$

は無限個の同値類を持つ同値関係で, 各同値類は

36
・理論
は次の主張 昂は無限個の同値類を持つ同値関係で, T 度 1 個の元を持つ同値類が 1 つだけあり, 他の同値類はすべて T 度 2 個の元を持っ.
$\eta$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$とこのとき,の融合 $T$ のモデルにおいては,が無限になってしまうので,-categorical にはならない. 実際, 1 点だけからなる E2- クラスを含むクラスがあり, それらの差を含むクラスもある. 以下同様にして, 代数閉包が無限に伸びて行く.
$T_{2}$$T_{1}$$\mathrm{a}\mathrm{c}1_{T}(\emptyset)$$\aleph_{0}$$E_{1^{-}}$$E_{1^{-}}$

3. 融合においてという条件を加え, さらに少なくとも一方, 例えばにおける代数閉包が自明になるという仮定を付け加えれば,-categorical(Schmerl).
な理論は融合を許す$L_{1}\cap L_{2}=\emptyset$$T_{1}$$\mathrm{a}\mathrm{c}1_{T_{1}}(*)$

4.

$L_{1}\cap L_{2}$5.

$L_{1}\cap L_{2}=\emptyset$

6.

$\exists^{\infty}$$\aleph_{0}$が空でない場合でも, いくつの条件を加えれば,は融合を許す (Pillay-Tsuboi).

$\aleph_{0}$-categorical な理論のとき, 強極小集合 (の理論) はを満たせば融合を許す(Hrushovski). この融合は Zilber 予想 (強極小集合は (i) 全く構造を持たないか (ii) Module 的であるか (iii) 体のようなものであるかのいずれかという予想)の反例になっている.
$\mathrm{D}\mathrm{M}\mathrm{P}$を消去する単純理論のクラスは$(SU_{T_{1}}(x=x)=1, \mathrm{a}\mathrm{c}1_{T_{1}}(A)=A(\forall A))$

3Low theory につい以下では,$T_{1}$と$T_{2}$の条件との構造が複雑でないという条件の元に融合を許す (Tsuboi).

$L_{1}\cap L_{2}=\emptyset$$T_{1}$$\tau$を disjoint な言語で表現された単純理論とする. 前章で紹介したように単純理論は条件を付け加えると融合を許す. 正確に述べると次のようになる.

Theorem 1$\mathrm{a}\mathrm{c}1_{T_{2}}(*)$$T_{1}$と$T_{2}$がともに$\exists^{\infty}$を消去して,さらに次の意味でが自明とする.

$T_{2}$の代数閉包

1. $SU(x=x)=1$ ;2.

$\mathrm{a}\mathrm{c}1_{T_{2}}(A)=A$

このとき,$T_{1},T_{2}$, for any set$A$.の融合で単純になるものが存在する.

上と同じ条件でもしが超単純ならば, 融合も超単純でとれる. そこで, それぞれの理論が low ならば融合も low でとれるかという疑問が自然に出てくる.
それに答えるのが次の結果である .
$T_{1},$$T_{2}$$\cdot$37
Theorem 2の融合で$\ovalbox{\tt\small REJECT} w$

を定理 1 の条件を満たすになるものが存在する.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$と$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

最初に復習をしておく.

.

$\ovalbox{\tt\small REJECT} w$な理論とする. このとき,$\ovalbox{\tt\small REJECT},$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$とは,Definition 31. $\varphi(xa)k$ -forks over上の適当な無限 indiscernible se$I\nia$$\{\varphi(x,b):b\inI\}$が k-inconsistent.
に対して,quence2.

$T$力$[searrow]\backslash ^{\backslash }$

$A$

$A$

low とは次のことを意味する 各が同値になる-forks over$A\rfloor$$\lceil_{\varphi(xa)}k_{\varphi}$$\varphi(xy)$に対して 「$k_{\varphi}\in\omega$$\varphi(xa)$forks over

$A$」 とが存在する.

から始まる $\psi(x, y)$ による forking 分岐樹形図の高さの $\sup$ と定義する. $T$ が low という条件は $D$ が有限になるという条件と同等である.
$D(\varphi(x), \psi(x, y))$を$\varphi(x)$定理の証明: 定理 1 によって保証されるのモデルとの融合 $T$ は, random にがのモデルを融合させたモデルの理論として作られる. 特にの nonalgebraic
な formula とすれば,は解を持つように作られた model complete な単純理論である. したがって, $L(T)=L_{1}\cup L_{2}$ の論理式 $\psi(x, y)$ は$T_{1},$$T_{2}$$T_{1}$$\varphi_{i}(x)$$T_{2}$$L_{1}$$\varphi_{1}(x)\Lambda\varphi_{2}(x)$$\exists z[\varphi_{1}(x, y, z)\Lambda\varphi_{2}(x, y, z)]$はの形をしていると仮定できる. ただし,-論理式である. $T$ の論理式 $\psi(x, y)$ がlow を壊す原因になっているとする. $\psi(x, y)$ は上の形をしていると仮定できる. このとき, 十分大きな $n\in\omega$ に対しも, 高さが 以上の $\psi(x, y)$ による分岐の樹形図が存在する. すなわち $a_{i}(i\leq n)$ で$L_{i}$$\varphi_{i}$$n$forks over $A_{i}=\{a_{j} : j<i\}$ ;$\bullet$$\psi(x, a_{i})$$\bullet$$\Psi(x)=\{\psi(x, a_{i}) :i\leq n\}$は consistent

を $\Psi(x)$ の解とする. $b_{i}(i\leq n)$ をを満たすものがある.
,bと成り立つ元とする.のそれぞれは low であるから, $k_{m}=k_{\varphi_{m}}\in\omega(m=1,2)$とすれぼ,
forks over $A_{i}=\{a_{j} : j<i\}$ が成立する は高々 個しかない.
が十分大きいことから, $i^{*}\leq n$ を選んで $m=1,2$ の両方に対して,が$A=A_{i}*$ 上 forkないようにできる. $I=(a^{j}b^{1}.)_{j\in\omega}(a^{0}b^{0}=a_{i}*b_{i}*)$ を $A$ 上の Morleysequence とする. $m=1,2$ に対して,$d$$T_{1}$$\varphi_{1}(d, a_{i}, b_{i})\Lambda\varphi_{2}(d,$$a_{i}$$T_{2}$$\varphi_{m}(x, a_{i})$

$i$

$n$

$k_{m}$$\varphi_{m}(x, a_{i}*, b_{i^{\mathrm{r}}})$$|_{\vee}$$\Phi_{m}(x)=\{\varphi_{m}(x, a_{i}^{j}, b_{i}^{j}) :は consistent となる.

したがって,$T$j\in\omega\}$

さらにこのタイプ $\Phi_{m}(x)$ は $A$ 上 non-algebraic になっている.の作り方から,$\Phi_{1}(x)\cup\Phi_{2}(x)$38が consistent になる. すなわち,なる.

よって,$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{n}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\{\varphi_{1}(x, a_{i}, b_{i})\triangle\varphi_{2}(x, a^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}, b^{\ovalbox{\tt\small REJECT}})\ovalbox{\tt\small REJECT} i\in\omega\}$が consistent になる.
このことはが $A$ 上 fork$\{\psi(x, a^{\ovalbox{\tt\small REJECT}})\ovalbox{\tt\small REJECT} i\mathrm{C}\omega\}$であるから,$\psi(x\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\cdot)$$J\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{L}$が consistent に(a )jE 。は$A$上の Morleyないことを意味する. 矛盾.

$\blacksquare$

参考文献[1] S. Buechler, Lascar strong types in some simple theories, preprint.
[2] B. Kim, Forking in simple unstable theories, The Journal of the London Mathematical Society, vol. 57 (1998), pp.257-267.
[3] U. Hrushovski, Strongly minimal expansions of algebraically closed fields, Israel
Journal of Mathematics, vol. 79 (1992), pp.129-151.
[4] A. Pillay and A. Tsuboi, The Journal of Symbolic Logic, vol. 62 no. 4(1997),
1070-1074, joint work with Anand Pillay.
[5] J. H. Schmerl, Decidability and -categoricity of theories of partially orderedsets, Math.
. Quart. 45 (1980), pp. 585-611.
[6] A. Tsuboi, Random Amalgamation of Simple Theories, Math.
. Quart. 47(2001) 1, 45-50$\aleph_{0}$$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}$$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}$