数理解析研究所講究録
第 1996 巻 2016 年 66-82

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Conditions for separability of matrices
in$\mathbb{M}_{2}\otimes \mathbb{M}_{n}$北海道大学 (名誉教授)

安藤毅

Tsuyoshi Ando
Hokkaido University (Emeritus)
Email: ando@es.hokudai.ac.jp

1. Introduction.

$\mathbb{M}_{k}$は $k\cross k$ 複素行列の空間とする．

$(\mathbb{M}_{n,m}$体である．) これは Trace を使った自然な内積対応する (Hilbert-Schmit) norm を$\Vert\cdot\Vert_{2}$$\langle S|T\rangle$

は $n\cross m$ 行列の全$:=Tr(S^{*}T)$ で Hilbert 空間になる．

で表す．(普通の operator norm は$\Vert\cdot\Vert$

で表わ

そう．)

で表すが， $A$ が positive semiの positive semi-definite matrix のなす cone を
definite なることを，通例により， $A\geq 0$ で表す．また $A,$ $C$ が selfadjoint で $A-C\geq 0$$\mathbb{M}_{k}^{+}$$\mathbb{M}_{k}$のとき $A\geq C$ と書く．

テンソル積$\mathbb{M}_{m}\otimes \mathbb{M}_{n}$$A=[\alpha_{j_{\backslash }k}]\in \mathbb{M}_{m},$は，幾つかの自然な方法で，他の行列の空間と同一視される．

$B=[\beta_{p,q}]\in \mathbb{M}_{n}$に対して$\mathbb{M}_{m}\otimes \mathbb{M}_{n}\sim \mathbb{M}_{m}(\mathbb{M}_{n})\sim \mathbb{M}_{mn}$$A\otimes B \sim [\alpha_{j,k}B]_{j,k}\sim[\alpha_{j,k}\beta_{p,q}]_{j,p;k,q}.$

ここでは $n\cross n$ 行列を entry にもつ $m\cross m$ block-matrix の空間である．

$\mathbb{M}_{m}(\mathbb{M}_{n})$重要なのは，この同一視の下で$A\in \mathbb{M}_{m}^{+}, B\in \mathbb{M}_{n}^{+} \Rightarrow A\otimes B\in M_{m}(\mathbb{M}_{n})^{+}\sim \mathbb{M}_{mn}^{+}$

なる事実である．この事実の下に，$\mathbb{M}_{m}\otimes \mathbb{M}_{n}\sim \mathbb{M}_{m}(\mathbb{M}_{n})$$\mathfrak{P}_{+}:=Conv(\mathbb{M}_{m}^{+}\otimes \mathbb{M}_{n}^{+})$$\mathfrak{P}_{0}:=\mathbb{M}_{mn}^{+},$,に 3 つの cone を導入しよう．

$\mathfrak{P}_{-}:=$

dual cone of$\mathfrak{P}_{+}.$

すなわち$S\in \mathfrak{P}_{+} \Leftrightarrow S=\sum_{p}A_{p}\otimes C_{p} \exists A_{p}\in \mathbb{M}_{m}^{+}, C_{p}\in \mathbb{M}_{n}^{+}$

(1)

であり
$S\in \mathfrak{P}_{-} \Leftrightarrow^{def} S=S^{*}, \langle T|S\rangle\geq 0 \forall T\in \mathfrak{P}_{+}$

.

(2)

明らかに
$\mathfrak{P}_{+}\subset \mathfrak{P}_{0}\subseteq \mathfrak{P}_{-}$

が有限次元であることからは selfdual である．になっている．
cone
である．

$\mathbb{M}_{rn}(\mathbb{M}_{n})$$\mathfrak{P}0$$\mathfrak{P}_{+}$

は closed になり，その結果撃- の dual

67
が$S\in M_{m}(M_{n})$$\mathfrak{P}+$に属するときは separable であると書う．([2] 参照)$S$

この講演は，もっとも簡単な $m=2$ の場合に暇定して，$0\leq S=\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}$欧$\mathbb{M}_{2}(\mathbb{M}_{n})$の間の幾つかの条件を求めることを霞標としており，解説的な性格で，知られている事も多い．

が separable になるための， $A,$ $B,$と以下ではは row -vector であり，product2. Conesて$x^{*}$$C$$\mathbb{C}^{n}$$\mathfrak{P}-\cdot$$\mathfrak{P}0$$n$$xy^{*}\in M_{n}$と理解する．

$\Vert x\Vert$$x$

は column$n$-vector で表す．したがっや $y^{*}x$ は matrix product と考えてで$y^{*}x=\langle y|x\rangle$の通常の norm である．の vector が product vector であるとはは vector$\mathbb{C}^{2}(\mathbb{C}^{n})\sim \mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{n}$の元$xy^{*}$$x$$\xi\otimes x:=\{\begin{array}{l}\xi_{1}x\xi_{2}x\end{array}\}$$\exists$$\exists\xi=\{\begin{array}{l}\xi_{1}\xi_{2}\end{array}\}$$x\in \mathbb{C}$篇(3)の形のときのことである．
$M_{2}^{+}$の元は$\sum_{j}\xi_{j}\xi_{j}^{*}$$\sum_{k}X_{k}X_{k}^{*}\exists x_{k}\in \mathbb{C}^{n}$$\mathbb{M}_{n}^{+}$の元はの形であるから

separable$S$の形であり，また$\exists\xi_{j}\in \mathbb{C}^{2}$$rightarrow$$S=\sum_{k}(\xi_{k}\xi_{k}^{*})\otimes(x_{k}x_{k}^{*})$(4)$= \sum_{k}(\xi_{k}\otimes x_{k})(\xi_{k}\otimes x_{k})^{*} \exists\xi_{k}\in \mathbb{C}^{2}, \exists x_{k}\in \mathbb{C}^{n}$

が判る．

Cone

$\mathfrak{P}-$の dual の形の定義 (2)と (4) から$\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}\in \mathfrak{P}-\Leftrightarrow \langle\{\begin{array}{l}\alpha x\beta x\end{array}\}|S\{\begin{array}{l}\alpha x\beta x\end{array}\}\rangle\geq 0 \forall\alpha, \beta\in \mathbb{C}, \forall x, y\in \mathbb{C}^{n}$$\Leftrightarrow A, C\geq 0, \langle x|Ax\rangle\cdot\langle x|Cx\rangle\geq|\langle x|Bx\rangle|^{2} \forall x\in \mathbb{C}^{n}$,(5)となっている．
また Coneself-duality$\mathfrak{P}_{0}$の元は$\sum_{k}x_{k}x_{k}^{*}\exists x$

ん$\in \mathbb{C}^{n}$の形であるから，$\mathfrak{P}_{0}$の$ck^{1}9$$\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}\in \mathfrak{P}0\prec\Rightarrow \langle\{\begin{array}{l}xy\end{array}\}|S\{\begin{array}{l}xy\end{array}\}\rangle\geq 0 \forall x, y\in \mathbb{C}^{n}$$\Leftrightarrow A, C\geq 0, \langle x|Ax\rangle\cdot\langle y|Cy\rangle\geq|\langle x|By\rangle|^{2} \forall x, y\in \mathbb{C}^{n}$

(6)

68

が判る．しかし撃- の一般元の表示が知られていないので，$[_{B^{*}}^{A}$$cB]\in \mathfrak{P}+$を (5) や (6)に対応した形で求めることは出来ない．これが separability の判定が困難な原因のひとつである．

3. 幾つかの operations.

$\mathbb{M}_{2}\ni X\mapsto X^{T}$(transpose) なる linear map を考えよう．この linear map は$X\otimes Y \mapsto X^{T}\otimes Y \forall X\in \mathbb{M}_{2}, Y\in \mathbb{M}_{r\iota}$を通じて$\mathbb{M}_{2}\otimes \mathbb{M}_{n}$の linear map に一意的に拡張されるが，それは$\mathbb{M}_{2}(\mathbb{M}_{n})$

での表示を

使えば
$\{\begin{array}{ll}X_{l1} X_{l2}X_{2l} X_{22}\end{array}\} \mapsto \{\begin{array}{ll}X_{l1} X_{21}X_{12} X_{22}\end{array}\}$すなわち-entry と $(2,1)$ -entry を交換したものになっている．この linear map をで書くと， が selfadjoint のとき
partial transpose map といい$(1,2)$$S$$(\cdot)^{\tau}$$S=\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\} \Rightarrow S^{\tau}=\{\begin{array}{ll}A B^{*}B C\end{array}\}$となっている． $X\geq 0\Rightarrow X^{T}\geq 0$ なので，この linear map は coneを invariant に$\mathfrak{P}+$するので，separability のための一つの重要な必要条件を与える :$S=\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}\geq 0$

seDarable$\Rightarrow$$S^{\tau}=\{\begin{array}{ll}A B^{*}B C\end{array}\}\geq 0$.

(7)

このことを $S$ は (PPT) (positive partial transpose) を持つという．([2], [3], [4] 参照)

上の実函数 $f(t)\geq 0$ から， $S\geq 0$ に対して $f(S)$ が functional calculus を通じが non-linear map $S\mapsto f(S)$ に関して invariant なことは明らて定義されるが，cone$[0, \infty)$$\mathcal{P}_{0}$かである．しかし separability cone$[0, \infty)$$\mathfrak{P}_{+}$

はこの functional calculus に適合しない．

上の身近な関数$f(t)=t^{\lambda}( \lambda>0) , =\frac{t}{t+\lambda} (\lambda>0) , =\log(\lambdat+1)$の中では， $f(t)=t$ の場合を除いて，cone$\mathfrak{P}+$を invariant にしないと思われる．

完全な証明ではないが，次ぎのような方針で行けばよいと思われる．
で考えよう．

$\{\begin{array}{l}1/21/21/2-1/2\end{array}\} \{\begin{array}{l}1/21/21/2-1/2\end{array}\}$$\mathbb{M}_{4}\equiv \mathbb{M}_{2}\otimes M_{2}$69とすると，これは のスペクト) 表示になっている．すはわち
は 3 と 1 で，対応する unit eigenvector は$S$$\triangleright$と$S$の positive eigenvalue$\{\begin{array}{l}1/21/21/2-1/2\end{array}\}$である．次ぎはすぐ検証できる$S=2P+2Q$
ここで$P:=\frac{1}{4}\{\begin{array}{llll}1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1\end{array}\}= ([_{1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}] [_{1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}]^{ホ}) \otimes([_{1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}] [_{1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}]^{*})$

および$Q:=\{\begin{array}{llll}0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 l\end{array}\}= (\{\begin{array}{l}0l\end{array}\} \{\begin{array}{l}01\end{array}\})\otimes(\{\begin{array}{l}01\end{array}\} \{\begin{array}{l}0l\end{array}\})$

であるから， $P,$ $Q$ は sep と able であり，したがっては separable である．
関数 $f(t)$ が与えられて， $\alpha:=f(3)$ および $\beta:=f(1)$ とすると，functional calculus の
$S$

性質から

$f( S)=\frac{\alpha}{12}\{\begin{array}{llll}1 l l 3l 1 1 31 1 1 33 3 3 9\end{array}\} + \frac{\beta}{4}.

\{\begin{array}{lll}11 1 -11l l -11l 1 -1-l-1-1 l\end{array}\}$となるので$\gamma:=\frac{3\alpha-3\beta}{\alpha+3\beta}$

および$\delta:=\frac{9\alpha+3\beta}{\alpha+3\beta}$

として$f( S)=\frac{\alpha+3\beta}{12}\{\begin{array}{llll}1 1 1 \gammal 1 1 \gamma 1 1 l \gamma\gamma \gamma \gamma \delta\end{array}\}$となる．もし $f(S)$ が separable であれば partial transpose も$\frac{12}{\alpha+3\beta}f(S)^{\tau}=\{\begin{array}{llll}1 1 l l1 1 \gamma \gamma 1 \gamma 1 \gamma 1 \gamma \gamma \delta\end{array}\} \geq 0$$\geq 0$になる．すなわち70
でなければならない．したがって，その左上部のでなければならない．すなわち
minant$3\cross 3$の principal submatrix の deter-$\geq 0$$\det(\{\begin{array}{lll}1 1 1l 1 \gamma 1 \gamma l\end{array}\})=-(\gamma-1)^{2}\geq 0$となるが，これは $\gamma=1$ のときのみ可能である．すなわち $f(3)=\alpha=3\beta=3f(1)$ のと
きのみとなる．
$\square$$S$

が separable のとき，(4) の表示$S=\sum_{k}(\xi_{k}\xi_{k}^{*})\otimes(x_{k}x_{k}^{*})=\sum_{k}(\xi_{k}\otimes x_{k})(\xi_{k}\otimes x_{k})^{*} \exists\xi_{k}\in \mathbb{C}^{2}, x_{k}\in \mathbb{C}^{n}.$

で特に

(8)

$\langle\xi_{j}\otimes x_{j}|\xi_{k}\otimes x_{k}\rangle=0 \forall j\neq k$のように選ぶことができるとき， は totally separable であると言おう．
が totally separable なことは， $S\geq 0$ で，そのどの positive eigenvalue に対する
eigenspace にも product vectors からなる (CONS) ( complete orthonormal system) が
$S$

$S$

$=$

存在することである．
ここで がの eigenvalue のとき，すなわち $ker(S)\neq\{O\}$ のとき，$ker(S)$ にも product
$0$

$S$

vectors からなる (CONS) がある事は後で示す．

4. Separability.
$0\leq X,$ $Y\in \mathbb{M}_{n}$先ず明らかなことは$\Rightarrow$$\{\begin{array}{ll}X 00 Y\end{array}\}=\{\begin{array}{ll}1 00 0\end{array}\}\otimes X+\{\begin{array}{ll}0 00 l\end{array}\}\otimes Y$

separable.

(9)

次ぎに (4) の表示を考えれば$T\in \mathbb{M}_{2}\otimes \mathbb{M}_{m}$separable$\Rightarrow$$(X\otimes Z)\cdot T\cdot(X\otimes Z)^{*}\in \mathbb{M}_{2}\otimes \mathbb{M}_{n}$separable(10)$\forall X\in \mathbb{M}_{2},$$Z\in \mathbb{M}_{n,m}$な事が判る．特に$\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}$separable$\Rightarrow$$\{\begin{array}{ll}XAX^{*} XBX^{*}XB^{*}X^{*} XCX^{*}\end{array}\}$separable$\forall X\in \mathbb{M}_{m}$

.

(11)

Theorem 4.1.
$S=\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}\in \mathfrak{P}-$で $A,$ $B,$ $B^{*},$ $C$ が commuting$\Rightarrow S$

totally separable.

(Proof.) 可換な normal matrices に対する同時 sepectral 表示より orthonormal vector$x_{1}$, .. . ,$x_{n}\in \mathbb{C}^{n}$があり$A= \sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}x_{j}x_{j\rangle}^{*} B=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}x_{j}x_{j}^{*}, B^{*}=\sum_{j=1}^{n}\overline{\lambda_{j}}x_{j}x_{j}^{*}, C=\sum_{j=1}^{n}\beta_{j}x_{j}x_{j}^{*}$

71となる．したがって$S=\sum_{j=1}^{n}[\frac{\alpha_{j}}{\lambda_{j}}\beta_{j}\lambda_{j]}\otimes x_{j}x_{J}^{*}$となる．ここで$S\in \mathfrak{P}-$より$[ \frac{\alpha_{j}}{\lambda_{j}}\beta_{j}\lambda_{j]}\geq 0$となる事が判る．この $2\cross 2$ 行列に対する

spectral 表示より$[ \frac{\alpha_{j}}{\lambda_{j}}\beta_{j}\lambda_{I]=\xi_{j}\xi_{j}^{*}+\zeta_{j}\zeta_{j}^{*}}, \langle\xi_{j}|\zeta_{j}\rangle=0 \exists\xi_{j}, \eta_{j}\in \mathbb{C}^{2}$と書かれ．したがって$S=\sum_{j=1}^{n}(\xi_{j}\xi_{j}^{*})\otimes x_{j}x_{j}^{*}+\sum_{j=1}^{n}(\zeta_{j}\zeta_{j}^{*})\otimes x_{j}x_{j}^{*}$となり，orthogonality condition (8) も満たされる．口Theorem 4.2.

$S$

separable$\Rightarrow$$S = (I_{2}\otimes Z)\cdot\{\begin{array}{ll}I N^{*}N NN^{*}\end{array}\}\cdot(I_{2}\otimes Z)^{*}+\{\begin{array}{ll}0 00 Y\end{array}\}$$\exists$(Proof)$S$

normal $N\in M_{m},$ $Z\in MI_{n,m},$にたいする (4) の表示の前者に対しては $Xj$ の代わりに$\xi_{j}=\{\begin{array}{l}\xi_{j,1}\xi_{j,2}\end{array}\}$で，$0\leq Y\in \mathbb{M}_{n}.$$\xi_{j,1}\neq 0$

とも $1=$ ( のものに別け)

j, 動を考えることにより$\xi$$S=\sum_{j---1}^{m}\{\begin{array}{l}x_{j}\xi_{j}x_{j}\end{array}\} \{\begin{array}{l}x_{j}\xi_{j}x_{j}\end{array}\}+\sum_{k}\{\begin{array}{l}0y_{k}\end{array}\} \{\begin{array}{l}0y_{k}\end{array}\}$の形になる．まず $0\leq Y$$:= \sum_{k}y_{k}y_{k}^{*}$

欧$Z:=[x_{1}, .

そして$M_{7n}$.

$\mathbb{M}_{n}$.

とする．つぎに, x_{m}]\in \mathbb{M}_{\eta,m}$の normal matrix $N$ を$N:=diag(\xi_{1}, \ldots, \xi_{m})$で定義すると$S=\{\begin{array}{l}ZZN\end{array}\} \{\begin{array}{l}ZZN\end{array}\}+\{\begin{array}{ll}0 00 Y\end{array}\}$となるが，これは$S=(I_{2}\otimes Z)\cdot\{\begin{array}{ll}I N^{*}N NN^{*}\end{array}\}\cdot(I_{2}\otimes Z)^{*}+\{\begin{array}{ll}0 00 Y\end{array}\}$

72
となる．口
$S\geq 0$

および$S^{\tau}\geq 0$

generalized inverse
は ran (A) ではら，$A^{-1}$$(A^{1/2})^{-1}=(A^{1/2})^{-1}$の条件を使い易い形に書いておこう．その前に $A\geq 0$ のについて述べておこう． $\mathbb{C}^{n}=ran(A)\oplus ker(A)$ と書かれるか$A^{-1}$$A$の inverse で， $ker(A)$ では$0$として定義される．明らかにとなる．

次ぎの事実は，linear algebra の演習問題である．

Lemma 4.1. $0\leq A,$(i)$C\in \mathbb{M}_{n}$とする．

$\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}\geq 0 \Leftrightarrow B=A^{1/2}WC^{1/2} \exists\Vert W\Vert\leq 1$$\Leftrightarrow$ran $(B)\subset ran(A)$ ,$ker(B)\supset ker(C)$and$B^{*}A^{-1}B\leq C.$(ii)$\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}\geq 0$$\hslash\searrow$つ

ran $(N)\subset ran(A)$ ,$\{\begin{array}{ll}A B^{*}B C\end{array}\}\geq 0$$ker(N)\supset ker(A)$$\Leftrightarrow B=A^{1/2}NA^{1/2}$$\hslash\rangle$つ$\exists^{1}N$$A^{1/2}N^{*}NA^{1/2}\leq C,$

SuCh that$A^{1/2}NN^{*}A^{1/2}\leq C.$

次ぎの結果は non-trivial である．

Theorem 4.3. (Woronowicz [6])$1\leq n\leq 3$$0\leq S\in \mathbb{M}_{2}\otimes \mathbb{M}_{n}$Theorem 4.4.

$S=\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}$(i)rank(S) $=rank(A)$(ii)

rank(S)(Proof) (i) ):$\leq 4$または$\Rightarrow$

のときは，

(PPT)

,

かつ

$\geq 0$$\Rightarrow$separable.

$S^{\tau}=\{\begin{array}{ll}A B^{*}B C\end{array}\}$$\geq 0$とする．

separable.

$S$rank $(A)\leq 3$$\Rightarrow$$S$

separable.

Lemma 4.1 (i) を使うと$S=\{\begin{array}{ll}I 0B^{*}A^{-1} I\end{array}\} \{\begin{array}{ll}A 00 C-B^{*}A^{-1}B\end{array}\} \{\begin{array}{ll}I A^{-1}B0 I\end{array}\}$と書くことができる．

$\{\begin{array}{ll}I 0B^{*}A^{-l} I\end{array}\}$と$\{\begin{array}{ll}I A^{-1}B0 I\end{array}\}$はともに invertible であるから，rank(S) $=rank(A)+rank(C-B^{*}A^{-1}B)$となり，仮定 rank(S) $=rank(A)$ より，

rank $(C-B^{*}A^{-1}B)=0$ ,すなわち$C-B^{*}A^{-1}B=0$73となる．これは Lemma 4.1(ii) の表示を使うと$A^{1/2}N^{*}NA^{1/2}=B^{*}A^{-1}B=C\geq A^{1/2}NN^{*}A^{1/2}$となる． $N$ の range と kernel を考えると，これは$N^{*}N\geq NN^{*}$となるが，trace を考えて $N^{*}N=NN^{*}$ すなわち $N$ は normal となり$S=(I_{2}\otimes A^{1/2})\cdot\{\begin{array}{ll}I NN^{*} N^{*}N\end{array}\}\cdot(I_{2}\otimes A^{1/2})^{*}$と書くことができ，Theorem 4.1 により separable になる．口rank(S) $=4$ のとき．もし rank $(A)=4$ なら上の (i) により(Proof) (ii):は separable

$S$

になる．

次ぎに rank(A)$\leq 3$

としよう。

ran

$(A^{1/2}NA^{\iota/2})$, ran $(A^{1/2}N^{*}A^{1/2})\subset$ ran(A)で$\{\begin{array}{ll}A A^{1/2}N\mathcal{A}^{1/2}A^{1/2}N^{*}A^{1/2} A^{1/2}N^{*}NA^{1/2}\end{array}\}\geq 0$

そして$C\geq A^{1/2}N^{*}NA^{1/2}$

そして$C\geq A^{1/2}NN^{*}A^{1/2}$

(12)

,

および
$\{\begin{array}{ll}A A^{1/2}N^{*}A^{1/2}A^{1/2}NA^{1/2} A^{1/2}NN^{*}A^{1/2}\end{array}\}\geq 0$(13)となっている．

以下の Lemma 4.2 を使うと，Theorem 4.3 (Woronewicz) により

Lemma 4.2. $0\leq C\in M_{n}$ と subspace$\max\{X;C\geq X\geq 0$ ,が成り立つ．ここでran$C=\{\begin{array}{ll}C_{11} C_{12}C_{2l} C_{22}\end{array}\}$$\mathcal{M}\subset \mathbb{C}^{n}$は空間$\{\begin{array}{ll}C_{11}-C_{12}C_{22}^{-1}C_{21} 00 0\end{array}\}$の直交分解$\mathbb{C}^{n}$$\mathbb{C}^{n}=\mathcal{M}\otimes \mathcal{M}^{\lrcorner_{-}}$

る $C$ の block-matrix 表示である．

(Continuation of the proof.) $\mathcal{M}:=ran(A)$ にとり$C_{0}:= \max\{X,$ $C\geq X\geq 0$を使って，$S_{0}\in \mathbb{M}_{2}(M[_{n}$は separable になる．

が与えられたとしよう．このとき$=$$(X)\subseteq \mathcal{M}\}$$S$, ran $(X)\subset ran(A)\}$) を$S_{0}:=\{\begin{array}{ll}A A^{1/2}NA^{1/2}A^{1/2}N^{*}\mathcal{A}]/2 C_{0}\end{array}\}$

に対応す

74
さらに
とすると，(12) と (13) より Soとなる．また So の各 entry の range
は ran (A) に含まれており，dim(ran(A))と考えてよい．
であるから，So
したがって Theorem 4.3 (Woronowicz) . よりは separable になる．最後に$\geq 0$

$S_{0}^{\tau}\geq 0$$\leq 3$$\}^{\vee}$$\in \mathbb{M}_{2}(\mathbb{M}_{3})$$S_{0}$$S=S_{0}+\{\begin{array}{ll}0 00 C-C_{0}\end{array}\} C-C_{0}\geq 0$であるから，(9) より

Theorem 4.5.
$A,$ $B,$ $B^{*},$ $C$$S$

も separable になる
かつ$S=\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}\geq 0$の中のどれか 3 個が commuting(Proof) (i):$A,$ $B,$ $C$

口$S^{\tau}=\{\begin{array}{ll}A B^{*}B C\end{array}\}\geq 0$$\Rightarrow$が commuting としよう．

$\mathfrak{P}+$えると，最初から $A>0$ として仮定してよい． $A,$ $B,$$(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{*},$$B,$ $C$$A^{-1/2}CA^{-1/2}$

commuting,$\geq 0$separable.

が closed であるから，$B^{*},$$C$$A+\epsilon I$を考の代わりに $I,$ $A^{-1/2}BA^{-1/2},$を考えると，最初から $A=I$ として，$\{\begin{array}{ll}I BB^{*} C\end{array}\}\geq 0$を示せばよい．この 2 つの

$S$

とする．

かつ

$\{\begin{array}{ll}I B^{*}B C\end{array}\}\geq 0$$\Rightarrow$separable$\{\begin{array}{ll}I BB^{*} C\end{array}\}$の条件は，Lemma 4.1 (i) により， $C\geq B^{*}B,$ $BB^{*}$ と同じである．
$N:=\{\begin{array}{ll}B (C-BB^{*})^{1/2}(C-B^{*}B)^{1/2} -B^{*}\end{array}\}$とすると， $B$ と $C$ の commuting なことから $N$ は normal となる事が判る．
$V=[I, 0]\in \mathbb{M}_{n,2n}$とすると$\{\begin{array}{ll}I BB^{*} C\end{array}\}=(I_{2}\otimes V)\cdot\{\begin{array}{ll}I NN^{*} N^{*}N\end{array}\}\cdot(I_{2}\otimes V)^{*}$となり，Theorem 4.1 により真ん中の項は separable なので，(10) により$\{\begin{array}{ll}I BB^{*} C\end{array}\}$もseprable になる．
(ii): $A,$ $B,$

$B^{*}$

が commuting としよう．
$S= \{\begin{array}{ll}A BB^{*} B^{*}A^{-1}B\end{array}\}+\{\begin{array}{ll}0 00 C-B^{*}A^{-1}B\end{array}\}$と書かれ，どの項もとなる．仮定と Theorem 4.1 より第 1 項は separable で，$C\geq B^{*}A^{-1}B$ より，(9) より第 2 項も separable であるのでは separable になる．
$\geq 0$$S$

ロ

Theorem 4.6.

$S=\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}\geq 0$

とする．

75
(i)

$S$

が Toeplitz 型: i.e., $A=C$

(ii)

$S$

が Hankel 型，i.e., $B=B^{*}$$=\Rightarrow$

$=$

$S$

separable.

$S$

separable.

(Proof.) どちらの場合も (PPT) は自然に満たされる．
(i) は$\{\begin{array}{ll}I BB^{*} I\end{array}\}$の場合に還元さるし．

$(ii\rangle$は$\{\begin{array}{ll}I BB C\end{array}\}$の場合に還元されて，それらのseparability はともに Theorem 4.4 から出る．口最後に容易に検証可能な separability のための条件を挙げよう．I は最も安定した separable 行列であるが，その近傍にあるものはどうかという摂動問題である．

Theorem 4.7. (Gurvitz-Barnum [1])rank 1 の ortho-projection は$\Vert$$S$$\Vert_{2}=1$

selfadjoint,$\Vert K-S\Vert_{2}\leq 1$$\Rightarrow$$S$

separable.

であるから，次の不思議な結果が出る．

Theorem 4.8. co-rank 1 の orhto-projection はすべて separable である．
S. Total separability.

$S$の total separablity の定義を思い出そう．すなわち$S$$\exists\xi_{j}$$= \sum_{j}(\xi_{j}\otimes x_{j})(\xi_{j}\otimes x_{j})^{*}$蔓$\mathbb{C}^{2},$$x_{j}\in \mathbb{C}^{n}$$\langle\xi_{j}\otimes x_{j}|\xi_{k}\otimes x_{k}\rangle=\langle\xi_{j}|\xi_{k}\rangle\cdot\langle x_{j}|x_{j}\rangle=0 \forall j\neq k$のように選べることである．

rank 1 の ortho-projection に関しては，separability と total separability は岡じことになる．separable でない rank 1 の orhto-projection もあるから，Theorem 4.8 の系として$P$

separable ortho-projection$\neq\Rightarrow$

I–P

separableが結論される、 ここで当然 total separablity の場合はどうかが問題になる．

Theorem 5.1.
$P\in M_{2}\otimes \mathbb{M}_{n}$totally separable ortho-projection$\Rightarrow$

I–P totally separable.

これは orthogonalization の手続きを考えれば，次ぎの事から出ることは明らかである．

Theorem 5.2.
$\Rightarrow$$\zeta_{j}\otimes x_{j}\in \mathbb{C}^{2}\otimes \mathbb{C}^{n}(j=1,2, \ldots, N<2n)$$\langle\zeta_{j}\otimes x_{j}|\eta\otimes x\rangle=0$$(j=1,2, . . . , N)$(ONS)$\exists\eta\otimes x\neq 0.$

読明のために Lemma を用意しよう．

Lemma 5.1.

$P_{j},$$Q_{j}$$(j=I, 2, \ldots , m)$は$M_{n}$の ortho-p rojection で$P_{j}P_{k}=Q_{j}Q_{k}=P_{j}Q_{k}=0 \forall j\neq k.$

76
で

または

$\sum_{j=1}^{m}P_{j}\neq I$を満たすとする．このとき

で，次の性質を持つものがある :$\Vert x\Vert=1$$x\in \mathbb{C}^{n},$$\exists k,$$\sum_{j=1}^{m}Q_{j}\neq I$$P_{j}x=0$$\forall j\neq k$

かつ$Q_{j}x=0$$\forall j$$Q_{j}x=0$$\forall j\neq k$

かつ$P_{j}x=0$$\forall j.$

か，または(Proof.)$P_{j}=Q_{j}\forall i$

ならば，仮定より$\sum_{\prime}^{m}P_{j}= \sum_{\prime,J^{=1}J^{=1}}Q_{j}\neq I$であるから， $( \sum_{j=1}^{m}P_{j})x=(\sum_{j=1}^{m}Q_{j})x=0$ である $\Vert x\Vert=1$ のものをとり

$k$

は任意に定

めてよい．

次ぎに，例えば，もしran$P_{1}\neq Q_{1}$$(P_{1})$, ran

であれば，仮定から$(Q_{1}) \subset ker(\sum_{j=2}^{m}P_{j})\cap ker(\sum_{j=2}^{m}Q_{j})$であるから，$0 \neq x\in ker\{\sum_{j=2}^{m}P_{j})\cap ker(\sum_{j=2}^{m}Q_{j})$で $P_{1}x=0$ または $Q_{1}x=0$ のものがある．口Theorem 5.2 の証明に入る前に，記号を用意しよう．
$\mathbb{C}^{2}$vectorの unit vector$\xi=\{\begin{array}{l}\xi_{1}\xi_{2}\end{array}\}$に対して (unimodular な常数を除いて) 一意的に unitが以下の条件で決まる :$\xi^{\perp}\in \mathbb{C}^{2}$$\langle\xi|\xi^{\perp}\rangle=0$,

実際

そして (unimodular な常数を除いての equivalence$(\xi^{\perp})^{\perp}\equiv\xi,$

重要なのは$\xi,$$\zeta$が$\mathbb{C}^{2}$$\langle\xi|\zeta\rangle\equiv\langle\xi^{\perp}|\zeta^{\perp}\rangle$の unit vector で $x,$$\langle\xi\otimes x|\zeta\otimes y\rangle=0$(Proof of Theoem 5.2).

$y$$\Leftrightarrow$$\zeta_{j}(j=1,2, \ldots, N)$

が

(14)

$\xi^{\perp}=\{\begin{array}{l}\overline{\xi_{2}}-\overline{\xi_{1}}\end{array}\}$$\forall$$\mathbb{C}^{n}$$\equiv$の意味で)unit vector$\xi,$$\zeta\in \mathbb{C}^{2}$

.

(15)

の unit vector のとき$\zeta\equiv\xi^{\perp}$$or$$\langle x|y\rangle=0$

(16)

.

を書き換え，そして並べ変えて$q_{1}
q_{2}Pm$q_{m}$$p_{1}
p_{2}.. . ,$\tilde{\xi_{1},}$$\xi_{1},$$\tilde{\xi_{1)}^{\perp}\ldots,\xi_{1}^{\perp}},$$\hat{\xi_{2},\ldots,\xi_{2}},$$\hat{\xi_{2}^{\perp},\ldots,\xi_{2}^{\perp}}$,...

$\tilde{\xi_{m},\ldots,\xi_{m}},$$\tilde{\xi_{m}^{\perp},\ldots,\xi_{m}^{\perp}}$77の形であるとしてよい ($q_{J}’$は$0$の場合もある．) ここで$\xi_{j}\not\equiv\xi_{k} \xi_{j}\not\equiv\xi_{k}^{\perp} \forall j\neq k$

.

(17)

対応して product vector の (ONS) を$\xi_{1}\otimes x_{1,1}$, . .. ,$\xi_{1}\otimes x_{1}$$\xi_{2}\otimes x_{2,1}$, ...,$\xi_{2}\otimes x_{2_{2}p_{2}},$$\xi_{m}\otimes x_{m,1\}}$

...,

逐 1,

$\xi_{1}^{\perp}\otimes y_{1,1}$, .. .,$\xi_{1}^{\perp}\otimes y_{1,q_{1\rangle}}$$\xi_{2}^{\lrcorner_{-}}\otimes y_{2,1}$, .. . ,$\xi_{2}^{\perp}\otimes y_{2,q_{2}},$$\xi_{m}^{\perp}\otimes y_{m,1}$$\xi_{2}\otimes x_{m,p_{m\rangle}}$, ...,$\xi_{m}^{\perp}\otimes y_{m,q_{m}}.$と書こう．(17) から$\langle\xi_{j}^{\perp}|\xi_{k}^{\perp}\rangle\neq 0$

and$\langle\xi_{j}|\xi_{k}^{\perp}\rangle\neq 0$$\langle y_{j,s}|y_{k,t}\rangle=\delta_{j,k}\delta_{s,t}$and$\langle x_{j,s}|y_{k,t}\rangle=0$$\langle\xi_{j}|\xi_{k}\rangle\neq 0,$$(j\neq k\rangle,$となるので，(16) から$\langle x_{j,s}|x_{k,t}\rangle=\delta_{j,k}\delta_{s,t},$$\forall j\neq k,$となる．ここで ortho-projections$P_{1}:= \sum_{s=1}^{p_{1}}x_{1,s}x_{1,s}^{*}$

and$Q_{1}:= \sum_{s=1}^{q_{1}}y_{1,s}y_{1,s}^{*}$$P_{m}:= \sum_{s=1}^{p_{m}}x_{m,s}x_{m,s}^{*}$

and$Q_{m}:= \sum_{s=1}^{q_{m}}y_{m,s}y_{m,s}^{*}.$

で定義しよう．(17) と (18) から$Q_{j}(j=1,2, \ldots, m)$$P_{j},$

は$P_{j}P_{k}=Q_{j}Q_{k}=P_{j}Q_{k}=0 \forall j\neq k$

を満たす．
さらに

$N<2n$ より
Lemma 5.1 を使って unit vector$\sum_{j=1}^{rn}P_{j}\neq I$$P_{j}x=0$

$x$

or

$\sum_{j=1}^{m}Q_{j}\neq I$があり，ある$\forall j\neq k$

and

$k$

となる．

にたいして (例えば)$Q_{j}x=0$

これから$\langle xj,t|x\rangle=0$となるので，$\eta:=\xi_{k}^{\perp}$$\forall j\neq k$and$\forall t$とすると (14) から.

$\langle\xi_{j)}\otimes x_{jt}|\eta\otimes x\rangle=0$$\forall j,$となる．さらに $Q_{j}x=0\forall j$ であるから$\langle y_{j,t}|x\rangle=0 \forall j, \forall t.$$\forall t$$\forall j.$$\forall s,$

$t$

.

(i8)

78
が判り，再び (16) から$\langle\xi_{j}^{\perp}\otimes y_{j,t}|\eta\otimes x\rangle=0 \forall j, \forallt$

判る．結局$\langle\zeta_{j}\otimes w_{j}|\eta\otimes x\rangle=0 (j=1,2, \ldots, N)$となる．口Corollary 5.1. (i)totally separable

$P$

(ii)

$S$

の ortho-projection $P$ に関しては$M_{2}(\mathbb{M}_{n})$$P^{\perp}:=I-P$$\Leftrightarrow$totally separable.

が totally separable なら，ran(S) も $ker(S)$ も，product vector からなる (CONS)を許容する．

(iii)$0\leq S\leq I$

のとき
$S$

totally separable

Theorem 4.1 に関連して，

I–S totally separable.

$\Leftarrow\Rightarrow$$S=\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}$が totally separable となるのは $A,$ $B,$

$B^{*},$$C$

が commuting な場合に限るのではないかという疑問が湧く．

Theorem 5 3.

$\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}$$\cdot$$B$が totally separabke$\Rightarrow$は normal, i.e., $B^{*}B=BB^{*}$ であるが， $A,$ $B,$ $C$ は必ずしも commuting でない．

(Proof.)$\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}=\sum_{k=1}^{N}(\xi_{k}\xi_{k}^{*})\otimes(x_{k}x_{k}^{*})$

with$\xi_{k}=\{\begin{array}{l}\xi_{k,1}\xi_{k,2}\end{array}\}$で$\langle\xi_{j}|\xi_{k}\rangle\cdot\langle x_{j}|x_{k}\rangle=(\overline{\xi_{j,1}}\xi_{k,1}+\overline{\xi_{j,2}}\xi_{k,2})\cdot\langle x_{j}|x_{k}\rangle=0 \forall j\neq k$となっていると，この orthogonality 条件と (14) の関係から$B= \sum_{j=1}^{N}\xi_{j,1}\overline{\xi_{j,2}}x_{j}x_{j}^{*}$

commute with$B^{*}= \sum_{k=1}^{N}\overline{\xi_{k,1}}\xi_{k,2}x_{k}x_{k}^{*}$が結論される．しかし $N=2$ の場合でも， $A,$ $B,$ $C$ の commuting は結論できない．口6.

$\mathfrak{P}-$再考．

transpose map$\mathfrak{P}+$の dual

$S\mapsto S^{\tau}$はとして定義された撃- も，本質はよく判らない．partial$\mathbb{M}_{2}(\mathbb{M}_{n})$の involution で$\mathfrak{P}_{+}^{\tau}=\mathfrak{P}+$および$\mathfrak{P}_{-}^{\tau}=\mathfrak{P}-$79である．この map は$\mathfrak{P}_{0}$を invariant にしないが$\mathfrak{P}+c\mathfrak{P}0\cap \mathfrak{P}_{0}^{\tau}$および$\mathfrak{P}-\supset \mathfrak{P}_{0}+\mathfrak{P}_{0}^{r}$となっている．Theorem 4.3 (Woronowicz) は$\mathfrak{P}_{0}$口$\mathfrak{P}_{0}^{\tau}=\mathfrak{P}+$$(n\leq 3)$を述べているが，これの dual な関係は$\mathfrak{P}-=\mathfrak{P}_{0}+\mathfrak{P}_{0}^{\tau} (n\leq 3)$

である．すなわち $n\leq 3$ のとき$S\in \mathfrak{P}- S=T_{1}+T_{2}^{\tau} 3T_{1_{\rangle}}T_{2}\in \mathfrak{P}_{0}$(19)を述べている．

以下では， $n\geq 3$ の場合でも，$S\in \mathfrak{P}-$が Hankel 型や Toeplitz 型である場合は (19)の関係がずっと改善できることを示そう．

Theorem 6.1.

$S=\{\begin{array}{ll}A B\mathcal{B}^{*} C\end{array}\}\in \mathfrak{P}-$に対して以下の条件は同値である．

(i)

Hankel 型，(ii)$B= \frac{1}{2}\{A^{1/2}WC^{1/2}+c^{1/2}W^{*}A^{1/2}\}$(iii)$S=\frac{1}{2}\{\prime r+T^{\tau}\}$$B=B^{*},$$\grave{x}.e.,$

Theorem 6.2.

$\exists$

unitary $W,$$\exists T\in \mathfrak{P}_{0}.$$S=\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}\in \mathfrak{P}$(i)Toeplitz 型，i.e., $A=C,$(\"u)$B=2D^{1/2}W(A-D)^{1/2}$(iii)$S=T+(JTJ)^{\tau}$-t\v{c}対して以下の条件は同値である．

$A\geq\exists D\geq 0$$\exists T\in \mathfrak{P}0$. ここで, unitary$J$$:=\{\begin{array}{ll}0 II 0\end{array}\}=\{\begin{array}{ll}0 11 0\end{array}\}\otimes I.$

これ等の証明には，行列値多項式の分解に関する次ぎの Fejcr-Riesz の結果 ([5] 参照)
が有用である．

Theorem 6.3. (Fejer-Riesz) $F(t)$ は(i)$F(t)(t\in \mathbb{R})$$F(t)\geq 0$が$\mathbb{M}$$\infty[_{n}$-値の関数とする．

n-値の多項式のとき$\forall t\in \mathbb{R}$$\Rightarrow$$F(t)=G(t)^{*}G(t)\forall t\in \mathbb{R}$$\exists$

多項式 $G(t)$ .

80
(ii)

$F(e^{it})(t\in \mathbb{R})$$F(e^{it})$$0$$\geq$

が$\mathbb{M}_{n}$-値の trigonometric 多項式のとき$=$$\forall t\in \mathbb{R}$’$F(e^{it}t)=G(e^{it})^{*}G(e^{it})\forall t\in \mathbb{R}$

ここで $G(e^{it})$ が analytic とは$\exists \mathbb{M}_{n}-$値 analytic trigonometirc 多項式$G(e^{it})= \sum_{k\geq 0}e^{ikt}X_{k}\exists X_{k}\in M_{n}$$G(e^{it})$の形のときである．

以下の議論では$X=WA^{1/2}\exists$$A=X^{*}X\exists X\in M_{n}$unitary $W$というよく知られた事実を使おう．

(Proof of Theorem 6.1.)$(i)\Rightarrow(ii)$:$B=B^{*}$のとき，(5) の$s\in \mathfrak{P}-$の条件は$F(t):=A+2tB+t^{2}C\geq 0 \forall t\in \mathbb{R}$の事となる．Theorem 6.3(Fejer-Riesz)(i) により$F(t)=(X_{0}+tX_{1})^{*}(X_{0}+tX_{1}) \forall t\in \mathbb{R}, \exists X_{0}, X_{1}\in \mathbb{M}_{n}$と分解できるが，これは$A=x_{0^{X_{0}}\rangle}^{*}$$C=X_{1}^{*}X_{1}$

そして$B={\rm Re}(X_{0}^{*}X_{1})$となる．これから (19) により$B={\rm Re}(A^{1/2}WC^{1/2})\exists$$(ii)\Rightarrow(iii)$

unitary $W.$:
$T:=\{\begin{array}{ll}A A^{1/2}WC^{1/2}C^{1/2}W^{*}A^{1/2} C\end{array}\}$

とすると，

(iii)

$\Rightarrow(i)$$T\in \mathfrak{P}_{0}$で $S=\frac{1}{2}\{T+T^{\tau}\}$ となっている．

は明らかであろう(Proof of Theorem 6.2.) (i)口$\Rightarrow(ii):A=C$のときは (5) の$s\in \mathfrak{P}-$の条件は$\langle x|\mathcal{A}x\rangle^{2}\geq|\langle x|Bx\rangle|^{2} \forall x\in \mathbb{C}^{n}.$となるが，これは$F(e^{it}) :=2A+e^{it}B+e^{-it}B^{*}\geq 0 \forall t\in\pi$の事と理解できる．Theorem 6.3 (Fejer-Riesz)(ii) により$F(e^{it})=(X_{0}+e^{it}X_{1})^{*}(X_{0}+e^{it}X_{1})\forall t\in \mathbb{R}, \exists X_{1}, X_{2}\in \mathbb{M}_{n}$

(20)

.

81
と分解できる．これは$2A=2C=X_{0}^{*}X_{0}+X_{1}^{*}X_{1}$そして$B=X_{0}^{*}X_{1}$のことである．
$D= \frac{1}{2}X_{0}^{*}X_{0}$とすると，(18) により$\frac{1}{2}X_{1}^{*}X_{1}=A-D$

で$B=2D^{1/2}W(A-D)^{1/2}\exists$ unitary $W.$となる．

(ii) $=*(iii)$ .
$T=\{\begin{array}{ll}D D^{1/2}W(A-D)^{1/2}(A-D)^{1/2}W^{*}D^{1/2} A-D\end{array}\}$とすると，$T\in \mathfrak{P}_{0}$であり，$T+(JTJ)^{\tau}=\{\begin{array}{ll}D+(A-D) 2D^{1/2}W(A-D)^{1/2}2(A-D)^{1/2}W^{*}D (A-D)+D\end{array}\}=S$

(iii)
$S$

欧

$\Rightarrow(i)$$\mathfrak{P}-$は明らかであろう

口の条件だけでは，Toeplitz 型からも Hankel 型からも，$S=\{\begin{array}{ll}A BB^{*} C\end{array}\}\in \mathfrak{P}-$$s\in \mathfrak{P}0$は導出されない．

で， $A=I$ のときは， $S$ が Teoplitz 型であるのは$\max\{|\langle x|Bx\rangle|;\Vert x\Vert\leq 1\}\leq 1$のとき，すなわち $B$ の numerical radiusが Hankel 型であるのは$E={\rm Re}(X)$で$\leq 1$のことを言っている．また $A=I$ で$C=X^{*}X$$3X$ 欧$S$$\mathbb{M}_{n}$のことを示している．
最後に考えるのは $S=[_{B^{*}}^{A}$$CB1\in \mathfrak{P}-$で Toeplitz 型でありさらに Hankel 型の場合，

すなわち$S=\{\begin{array}{ll}A BB A\end{array}\}\in \mathfrak{P}-$の場合である．このときは$A\geq B\geq-A$となるので，$B=A^{1/2}WA^{1/2} I\geq\exists W\geq-I$となり，結局 $S\geq 0$ で，最後に$S$が separable である事が結論される．

82
参考文献
[1] L. Gurvitz and H. Barnum, Largest separable ball around the maximially mixed bipartite quantumlO system, arXiv. quant-ph. $021150v2$ , 10 Dec. 2002.

[2] M. Horodecki, P. Horodecki and R. Horodecki, Separability of mixed states; necessary
and suﬃcient conditions, Physics Letters, A223(1996), 1-8.
[3] S.-J. Kye, Facial structures for various notions of positivity and applications to thetheory of entanglement, Rev. Math. Phys. 25(2013), no. 2, 133002.

[4] A. Peres, Separability criterion for density matrices, Phys. Rev. Lett., 77(1996),

1413-1415.
[5] M. Rosenblum and J. Rovnyak, Hardy classes and operator theory, Oxford Univ.
Press, New York, 1977.
[6] S.L. Woronowicz, Positive maps of low dimensional matrix algebras, Rep. Math.
Phys. 10(1976), 165-183.