数理解析研究所講究録980 巻 1997 年 1-11

1

Scaling limit of a model of quantum electrodynamics
北大理 広島文生 (Fumio Hiroshima)

Welton は [1] で電磁場と, Potential V をもった 1 個の電子との相互作用系に対」 を定義した. AArai は [2] においてそのしてその相互作用の影響による「 Effective potential
Effective potenti 訂が, その系の相互作用ハミルトニアン (Pauli-Fiertz モデル) のレゾルベントの,ある漸近極限として現れることを示した.
今回の報告は, [2] で扱われた Pauh-Fiertz モデルよりも, もっと物理的に厳密なモデルに対してEffective potential を求め, [2] のそれと比較するというものである. ([3]).
1948 年,$\mathrm{T}.\mathrm{A}$$V_{eff}$

自己共役作用素の漸近極限

1$\mathcal{H}$と$\mathcal{K}$をそれぞれ$\mathbb{C}$上の可分なヒルベルト空間とし$\mathcal{X}=\mathcal{H}\otimes \mathcal{K}$とおく. A と素の族,$F_{j},$$\mathrm{B}$をそれぞれ$i=1,2$ を$\mathbb{R}+$$\mathcal{H}$と$\mathcal{K}$上の非負自己共役作用素とする.

$\{C_{\hslash}\}\kappa>0$を$\mathcal{X}$上の対称作用

上の実数値関数として, 次の条件 A を仮定する.

条件 A$\mathcal{X}$(1) 全ての \mbox{\boldmath $\kappa$}>0. に対して, $D(A\otimes I)\subset D(c_{\hslash})$ かっ全ての上の有界線形作用素で$:.\lambda.>$に対して$..C_{\kappa}(A’.\otimes I+\lambda)^{-1}.|.$

は.

$\lim_{\lambdaarrow\infty}||C_{\kappa}(A\otimes I+\lambda)^{-1}||=0$

に関して–様である.
を満たす. ただし, この収束は, ある $\kappa_{0}>0$ が存在して\mbox{\boldmath $\kappa$}$C$$D(A\otimesI)\subset
D(C)$
, かっ
が存在して
上のある対称作用素(2)$>\kappa_{\mathrm{Q}}$$\mathcal{X}$$s- \lim_{\kappaarrow\infty}C_{\kappa}(A\otimes I+\lambda)^{-1}=C(A\otimes I+\lambda)^{-1}$(3) 全ての $\kappa>0$ に対して,ヒルベルト空間$\mathcal{X}$$F_{1}(\kappa)\geq 0$

上に線形作用素$H_{0,\kappa}$$fj_{\kappa}$. また $j=1,2$ に対して

$H_{0,\kappa}$と$H_{\kappa}$$H_{0,\kappa}’+c_{\kappa}$.

$\lim_{\kappa\infty}arrow Fj(\kappa)=^{\tau_{j}}<\infty.$

をを次のように定義する.

$=:\backslash F_{1}(\kappa)\prime A\otimes I+\kappa I\otimes-’$

$=$

.

..

$B+’\dot{F}_{2}(\kappa)i$

’

:

: ロ

2

定理 11 ([2]) 作用素

己共役作用素

$H_{\kappa}$

は $D(\mathrm{A}\otimes I)\cap D(I\otimes \mathrm{B})$ 上で自己共役かっ下から有界である. さらに 自の任意のコア上で本質的に自己共役である.

$H_{0,\kappa}$

ロ

ヒルベルト空間$\mathcal{X}$稠密な 2 っの部分集合上稠密に定義された線形作用素$S\text{が「}S\in \mathrm{E}(\mathcal{X})$」 とは$\mathcal{H}$と$\mathcal{K}$でそれぞれと $D\kappa(S)$ が存在して$D_{\mathcal{H}}(S)$$D_{\mathcal{H}}(S)\otimes\wedge D\kappa(S)\subset D(S)$を満たすことである.
$\mathcal{H}$

ここで$\otimes\wedge$は代数的テンソル積を表す.

$f\in \mathcal{K},$$g\in D\kappa(S)$に対して上稠密に定義された線形作用素 $E_{f,g}(S)$ を次で定義する.
$D(E_{fg},(S))=D_{\mathcal{H}(}s)$.

$(u, E_{f,g}.(S)v)_{\mathcal{H}}$定理 12 ([2])$Ker\mathrm{B}=\{\alpha f|\alpha\in \mathbb{C}\}$

称作用素 $C$ は$C\in \mathrm{E}(\chi)$

で$S\in \mathrm{E}(\mathcal{X}),$,$=(u\otimes f, S(v\otimes g))_{\mathcal{X}},$とし, $P0$ をで $D_{\mathcal{K}}(C)\supset KerB$

I が十分大きいものに対して.

$\mathcal{K}$$u\in \mathcal{H},$$H_{\mathrm{e}ff}$.

から $Ker\mathrm{B}\text{への射影作用素とする}$ . $..\text{さらに}$ , 対と仮定する. このとき,..

$s- \lim_{\kappaarrow\infty}(H_{\kappa}-z)^{-}1=(H_{\text{。}ff^{-}}z)^{-}1\otimes P_{0}$ただし, A 上の作用素$v\in D_{\mathcal{H}}(S)$$z\in \mathbb{C}.\text{で}$,$s^{\infty}z\neq$

.

$0.$

.

または $z<0$.

は $E_{f,f}(c)=E_{\mathrm{e}ff}(C)$ とおいて
$H_{\text{。}ff}=F_{1}A+E_{\mathrm{e}f}f(c)+p_{2}$.
口

ここで, 自己共役作用素$H_{\mathrm{e}ff}$

は$H_{\kappa}$の$\kappa\approx\infty$での Effective 作用素とよばれている ([2]).

Boson Fock 空間と Bogoliubov 変換

2$F(\mathcal{H})$$a(f)$をとおく.

$\mathcal{H}$

上の Boson-Fock 空間とする.

$\Omega\in \mathcal{F}(\mathcal{H})$$f\in \mathcal{H}$を Fock 真空として$\mathcal{F}_{0}(\mathcal{H})=^{c\{a}\dagger(f1)\ldots.a(\mathrm{t}f\hslash)\Omega,$

とおく. よく知られているように$\mathcal{F}_{0}(\mathcal{H})$はに対して生成・消滅演算子をそれぞれ.

$\Omega|f_{j}\in \mathcal{H},j=1,$$\mathcal{F}(\mathcal{H})$$\ldots n,$$a^{\uparrow}(f)$,$n\geq 1\}$で稠密であり, $a\#(f)$ は$\mathcal{F}_{0}(\mathcal{H})$上で$[\mathrm{a}^{\#}(f), a(\#)g]=0$$[a(f), a^{\uparrow\overline{f}}(g)]=(, g)$を満たす$(\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{R})$. ここで, $[A, B]=AB-BA$ . さらに.

$\mathcal{F}(\mathcal{H})$$||a^{\#}(f) \Phi||\leq||f||||(\mathrm{N}+1)\frac{1}{2}\Phi||,$上の個数演算子を$\Phi\in D(\mathrm{N}^{\frac{1}{2}})$$[a^{\#}(f), \mathrm{N}]\Psi=\pm a(\# f)\Psi,$ $\Psi\in D(\mathrm{N}^{\frac{3}{2}})$を満たす $([4],[5])$ . 次に我々は,ルト空間$\mathcal{H}$

上の Sympletic 群$a^{\int}$の 1 次結合で$\Sigma(\mathcal{H})$$\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{R}$を定義する.

$\mathrm{N}$

とおくと

,

,

を満たすものを考えたい. そのために,

(2.1)
(22)
ヒルベ

3

定義 21 ([6], [7])$\mathcal{H}$

上の 2 つの有界線形作用素の族と$\{T_{\kappa}\}$に対して$\{S_{\kappa}\}$$\mathcal{H}\oplus \mathcal{H}$上の作用素の族$– \kappa-=(\frac{S}{T_{\kappa}}\kappa\frac{T}{S_{\kappa}}\kappa)$

が「 Symp letic 群$\Sigma(\mathcal{H})$に含まれる」 とは次の関係を満たすことである.

,$–\kappa-_{\hslash}=-_{\kappa\cup^{*}}---\kappa-*\mathrm{J}_{\cup}^{-}\cup \mathrm{J}=\mathrm{J}$$\kappa>0$

.

ここで,

$\mathrm{J}=$ ,$–\kappa-*=($$\overline{\frac{T_{\kappa}^{*}}{S_{\kappa}^{*}}}$$T_{\kappa}^{*}S_{\kappa}^{*}$).
口

2 つの有界線形作用素の族
を
作用素の族 B\mbox{\boldmath $\kappa$}(のと$\{T_{\kappa}\}$と$\{S_{\kappa}\}$, さらに, ベクトルの族$\{L_{\kappa}\}\subset \mathcal{H}$によって$\mathcal{F}(\mathcal{H})$上の$B_{\kappa}^{\mathrm{t}}(f)$,$B_{\kappa}\dagger(f)=a(\uparrow\overline{S\kappa}f)+a(\overline{T\kappa}f)+(\overline{L,\sigma}’ f)$$B_{\kappa}(f)=a^{\uparrow_{(T_{\kappa}}f)}+a(S_{\kappa}f)+(L_{\kappa}, f)$と定義する. このとき, この対応$a^{\#}(f)arrow B_{\kappa}\#(f)$を Bogoliubov 変換とよぶ. 次の事実はよく知られている.

定理 22 ([7], [8]) 全ての $\kappa>0$ に対して三\mbox{\boldmath $\kappa$}と仮定する. このとき, 各 $\kappa>0$ に対して$\in\Sigma(\mathcal{H})$が HHbert-Schmidt 作用素であることは, 各 $\kappa>0$ ごとに$\mathcal{F}(\mathcal{H})$上のユニタリー作用素$\mathcal{U}_{\kappa}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$で次を満たすものが存在するための必要十分条件である.

,$u_{\kappa}^{-1.\#_{\sigma}\mathrm{v}}B(\prime f)u_{\kappa}=a(f)$さらに, このとき,$\mathcal{U}_{\kappa}\Omega\in v_{\infty}$

注意 23 具体的に$\mathcal{U}_{\kappa}$

である. ここで,は $a(\# f),$$S_{\kappa},$

我々は, ここでユニタリー作用素

条件$\mathrm{B}$(1)$\mathcal{U}_{\kappa}$$L_{\kappa}$.

$v_{\infty}= \bigcap_{n=1}^{\infty}D(\mathrm{N}^{n})$.

によって構成することができる. ([3], [7], [81).

の $\kappaarrow\infty \text{での強収束性を問題にする}$.

そめために, 次のを導入する.

条件$\mathcal{H}$$T_{\kappa},$$f\in \mathcal{H}$$\mathrm{B}$

上の Hilbert-Schmidt 作用素 $T$ と有界線形作用素 $S$ , そしてベクトル$s- \lim_{\kappaarrow\infty}\tau_{\kappa}=T$を満たす.

ここで (4),(2)$u- \lim_{\kappaarrow\infty}S_{\kappa}=S,$$L\in \mathcal{H}$が存在して,$’(3)s- \lim_{\kappaarrow\infty}L_{\kappa}=L$

はトレースノルムの位相による収束である

口

4

このとき明らかに,$\cup--=(\frac{S}{T}\frac{T}{S})$とおくとであり, 定理 22 より Bogoliubov 変換を引き起こすユニタリ一作用素$\cup--\in\Sigma(\mathcal{H})$$\mathcal{U}-1B\#(f)u=a\#(f)$,$\mathcal{U}$$f\in \mathcal{H}$が存在することが分かる.
定理 2.4 ([3]) 条件$\mathrm{B}$を仮定する. このとき, 任意の $m\in \mathrm{N}\cup\{0\}$ に対して, 次が成り立つ.
$s- \lim_{\kappaarrow\infty}\mathrm{N}m\mathcal{U}_{\kappa}\Omega=\mathrm{N}^{m}\mathcal{U}\Omega$

.

(2.3)

証明: $m=0$ のときだけを示す. このとき, 次の評価式が成立する ([3], [10])$||\mathcal{U}_{\kappa}\Omega-\mathcal{U}\Omega||\leq||T_{\sigma},S_{\kappa}^{-}1-Ts^{-}1||_{1}\cross\exp(||(T_{\kappa}S,-1)\sigma T*s_{\kappa}\kappa-1||_{1}+||(Ts^{-}1)^{*}\tau s-1||1+1)$

ここで

$||$

定理 25

. lh はトレースノルムを表す. 故に条件$\langle$$[3])$

条件$\mathrm{B}$$\mathrm{B}(2)(4)$証明:$\mathcal{U}_{\kappa}$

より結果をえる.

を仮定する. このときユニタリー作用素$s- \lim_{\kappaarrow\infty}\mathcal{U}_{\kappa}=\mathcal{U}$の強連続性及び強収束性は$\mathcal{F}_{0}(\mathcal{H})$$\mathcal{U}_{\kappa}$

は$\kappa$

口について強連続でかっ.

の稠密性により,で示せば十分である. これはを示すためには,.

$\mathcal{U}_{\kappa}\Omega\in D_{\infty}$$\Phi=a^{\uparrow}(f1)\ldots.a\uparrow(f_{n})\Omega$

なるベクトルの上及び (2.1), (2.2), 条件 $\mathrm{B}(1)(2)$ より (2.3)

を示せば十分であることが分かる. これは, 定理 2.4 より従う. .

,.口

3QED の双極子近似モデル
これから$\mathrm{d}$次元空間$\mathbb{R}^{d}(d\geq 3)$の中で, 電磁場と 1 個の電子が相互作用しているという状況を考える. モデルの定義から始める.
$. \frac{L^{2}.(\mathrm{R}^{d.2})\oplus\ldots\oplus L(.\mathbb{R}^{d})}{d-1}..\equiv \mathcal{W}$とおく,$\mathcal{W}$

上の Boson Fock 空間を$\mathcal{F}^{EM}(\mathcal{W})$とおいて, それ上の生成・消域演算子を$a^{\uparrow}(f),$$a(f)$とそれぞれおく. 簡単のために$a^{\#}$($...\oplus 0$$0\oplus\ldots$) $\equiv a(\#(r)f)$ ,$f\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$,$1\leq r\leq d-1$

漏とかく. 偏極ベクトル $e^{(r)}(1\leq r\leq d-1)$ とは可測関数(1) $k\cdot e^{(r)}(k)=0$ ,$e^{(r)}$:$\mathbb{R}^{d}arrow \mathbb{R}^{d}$(2) $e^{(r)}(k)\cdot e((S)k)=\delta_{rs}$で次ぎをみたすものである.

$(a .e.k\in \mathbb{R}^{d})$.

5偏極ベクトルた「時刻$0$$e^{(r)}$

の第

成分を

$\mu$

とかくことにする. このとき, Colomb ゲージにより量子化され$e_{\mu}^{(r)}$の場の演算子 $A_{\mu}(x, f)$ 」 とは

$A_{\mu}(x, f)= \frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{1r}d=-1\{a^{\uparrow()}r(\frac{\sqrt{\hslash}}{\sqrt{c\omega}}e_{\mu}^{(r)\cdot)}e^{-ix}\hat{f}+a^{(r)}(\frac{\sqrt{\hslash}}{\sqrt{c\omega}}e_{\mu}^{(r)}exi\cdot\hat{f})\sim\}$で定義される. ここで “ はフーリエ変換, $\tilde{f}(k)=f(-k),$である. もちろん, 生成・消滅演算子の定義より

$c$

は光速,

$\hat{f}/\sqrt{\omega}\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$$\hslash$はプランク定数/2\mbox{\boldmath $\pi$}, $\omega(k)=|k|$である.

$..\backslash$

無限個の光子 (電磁場) と 1 つの電子が相互作用している状態ベク トルの空間を$F\equiv L^{2}(\mathbb{R}^{d})\otimes f^{E}.M(\mathcal{W})$で定義する. $F$ 上に双極子近似を施した「光子と電子の相互作用$\mathrm{I}\mathrm{o}$ミルトニアン」を$\mathrm{H}(V)$$\mathrm{H}(V)=\frac{1}{2m}\sum_{\mu}(-i\hslash\partial_{\mu.\mu}\otimes I+eI\otimes A(\rho))^{2}+I\otimes\hslash cd\mathrm{r}(\hat{\omega})+V\otimes I$と定義する. ここで, $A_{\mu}(\rho)=A_{\mu}(0, \rho),$ $V$ は電子のポテンシャル,

質量,
らに$\partial_{\mu}$$\hat{\rho}$

は–般化された$\mu$方向の微分作用素,$e$は電子の電荷, $m>0$ は電子の$d\Gamma(\hat{\omega})$$\hat{\omega}=\omega\oplus..\vee^{\oplus}d-\cdot 1\omega,$

はのの第 2 量子化演算子, さ.

は回転不変な正値無限階微分可能急減少関数で:.

$\cdot$.

:$\cdot$$\int_{\mathrm{R}^{d}}\frac{\hat{\rho}^{2}(k)}{\omega^{3}(k)}dk<\infty$と仮定する.

この$\rho$

は紫外線切断とよばれている. 双極子近似とは相互作用ハミルトニアンを定義するときに, 時刻$0$の場の演算子を $A_{\mu}(x, \rho)arrow A_{\mu}(0, \rho)$ とおきかえた操作のことである.

$V=0$ とした相互作用ハミルトニアン

電子の部分と展開される. ここで,$\mathrm{H}(V)$は$C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}d)\wedge\otimes \mathcal{F}_{0}^{EM}(\mathcal{W})$上で$\triangle=\hslash^{22}\sum_{\mu}\partial_{\mu}$

とおいて場\emptyset 部分部分
相互作用の部分相作用$\sum_{\mu}I\otimes A_{\mu}(\rho)^{2}$の項を省いたものが Pauli-Fiertz モデルである.

定理 31 ([9]) 相互作用ハミルトニアン
であり, さらに自己共役作用素$\mathrm{H}(0)$$\mathrm{H}(0)$は $D(-\triangle\otimes I)\cap D(I\otimes\hslash cd\Gamma(\hat{\omega}))$ 上の自己共役作用素$-\triangle\otimes I+I\otimes\hslash cd\Gamma(\hat{\omega})$の任意のコア上で本質的に自己共役である.
口双極子近似を施しているためにカップリングが現れない. 故に,の中の「相互作用の部分」 に微分演算子とかけ算演算子のを Constant Fiber Direct Integral 表示 $([9],[10])$ することでき$\mathrm{H}(0)$$\mathrm{H}(0)$

る. 即ち

.

$\mathrm{H}(0)\cong\int_{\mathrm{R}^{d}}^{\oplus}\mathrm{H}_{b\mathrm{o}s}on(p)dp$

6

ここで

$\cong$はユニタリー同値を表し,$\mathrm{H}(p)$は$\mathrm{H}_{b\mathrm{o}son}(p)=\frac{1}{2m}\sum_{\mu}p_{\mu}^{2}+\sum_{\mu}\frac{e}{m}p_{\mu}A\mu(\rho)+\sum_{\mu}\frac{e^{2}}{2m}.A_{\mu}(\rho)^{2}+\hslash cd\Gamma(\hat{\omega})$となる$\mathcal{F}^{EM}(\mathcal{W})$上の柞用素である.

定理 3.2 ([9]) 各点

らに自己共役作用素$p\in \mathbb{R}^{d}$$d\Gamma(\hat{\omega})$

上の自己共役作用素であり,.
の任意のコア上で本質的に自己共役である.
ごとに$\mathrm{H}_{b\mathrm{o}s\circ n}(p)(p\in \mathbb{R}^{d})$は$D(d\mathrm{r}(\hat{\omega}))$

さ

口

4

相互作用ハミルトニアン
この章の目的は,$\mathrm{H}(0)$$\mathrm{H}(0)$の対角化をユニタリー変換することにより$\vee \mathrm{A}\otimes I+\vee I\otimes \mathrm{B}$

電子の部分

場の部分

という形に移すことである (我々はこれを「対角化」 とよんでいる).

即ち, 相互作用の部分をユニ
タリー作用素の中に押し込めてしまい, ハミルトニアン自身を, 見かけ上全く自由なもの (相互作用していない) にしてしまおうというわけである. そのための準備をする $([9],[11],[12])$ .
$D(s)=m- \frac{e^{2}}{c^{2}}\frac{d-1}{d}\lim_{\epsilonarrow 0}\int_{\mathrm{R}^{d}}\frac{\hat{\rho}(k)^{2}}{s+i\epsilon-k}dk$,$s\in[0, \infty)$と定義する. ここで, 上の収束は意味をもち, 任意の $s\in[0, \infty)$ に対して $|D(s)|>\delta>0$ となる, 正数.
が存在することが知られている. このことより, 我々は,$\delta$$Q(k)= \frac{\hat{\rho}(k)}{D(k^{2})},$$k\in \mathbb{R}^{d}$を各点ごとに定義することができる. さらに $G$ を$(Gf)(k)= \lim_{harrow 0}\int\alpha d\frac{f(k’)}{(k^{2}-k^{\prime 2}+ih)(kk\prime)\frac{d}{2}-1}dk/$で定義する. $G$ は$L^{2}(\mathbb{R}^{d})$および$L^{2}( \mathbb{R}^{d}, \omega^{1-}\frac{d}{2}dk)$.

上の有界線形作用素になることが知られている.

$\tau_{\mu\nu}f=\delta_{\mu\nu}f+\frac{e^{2}}{c^{2}}Q\omega\frac{d}{2}-1G\omega^{\frac{d}{2}}-1d\nu\mu\hat{\rho}f$,$(1 \leq\mu, \nu\leq d)$

とおいて, $W_{\pm}^{(r,S)}(1\leq r, s\leq d-1)$ を次で定義する.
$W_{+}^{(r,s)}f$$W_{-}^{(r,S}f)$

$=$

$=$

$\frac{1}{2}\sum_{\mu,\nu}(\frac{1}{\sqrt{\omega}}e_{\mu\mu\nu}^{r_{Te\sqrt{\omega}+}}*\nu\nu s\sqrt{\omega}e_{\mu}r_{T_{\mu}^{*}}e^{S}\nu^{\frac{1}{\sqrt{\omega}}})f$,.

$\frac{1}{2}\sum_{\mu,\nu}(\frac{1}{\sqrt{\omega}}e_{\mu}^{r}T_{\mu}*\sqrt{\omega}\nu\nu\nu\frac{1}{\sqrt{\omega}}\tilde{e}_{\nu^{\sqrt{\omega}-}}^{s}e_{\mu}T_{\mu}r*s)\tilde{e}\tilde{f}$7

ここで $d_{\mu\nu}= \sum_{r}e_{\mu\nu}^{(r)(}er$ ).

簡単のために$\mathrm{W}_{\pm}=(W_{\pm}r,))(s1\leq r,s\leq d-1$,

とおく. ここで後のために $m,$ $c,$$e$

}こ対するスケーリングを次のように定義する.

$m(\kappa)=m\kappa^{-2}$

以後, $m,$

$c,$

$e$

$1\leq r\leq d-1=$$\mathrm{L}=(L_{\mu}^{(r)})_{1}\leq\mu\leq d,$,$e(\kappa)=e\kappa^{-\frac{1}{2}}$,$c(\kappa)=c\kappa$

.

(41)

をパラメターとして含むような対象 A に対して, (4.1) によってスケーリングされたものを断りなしに$A_{\kappa}$とかくことにする.

補題 41 ([3], [9]) 有界線形作用素の族$\mathrm{W}_{\kappa\pm}$:$\mathcal{W}arrow \mathcal{W}$$L_{\kappa}\in \mathcal{W}$は次を満たす.

は Hilbert–Schmidt 作用素である.

(1)

全ての\mbox{\boldmath $\kappa$} $>0$ に対して,(2)$\Xi(\mathrm{W}_{\kappa\pm})\equiv(\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{W}_{\kappa-}}\kappa+\frac{\mathrm{W}-}{\mathrm{W}_{\kappa+}}\kappa)$$\mathrm{W}_{\kappa-}$とベクトルの族

とおく.

このとき, 全ての\mbox{\boldmath $\kappa$} $>0$ に対して$–(-\mathrm{w}_{\kappa\pm})\in\Sigma(w)$

(3)

全ての

$\mathrm{f}\in \mathcal{W}$.

, 全ての $\kappa>0$ に対して

$B_{\kappa}(\mathrm{f},p)\equiv a(\uparrow \mathrm{W}_{\kappa-}\mathrm{f})+a(\mathrm{W}_{\kappa+^{\mathrm{f})}}+(\mathrm{L}_{\kappa}\cdot p,\mathrm{f})$$B_{\kappa}^{\uparrow}(\mathrm{f},p)\equiv a^{\uparrow}(\overline{\mathrm{w}_{\kappa+^{\mathrm{f}}}})+a(\overline{\mathrm{W}_{\kappa-}}\mathrm{f})+(\overline{\mathrm{L}_{\hslash}}\cdot p,\mathrm{f})$とおく. このとき,$\exp(it\mathrm{H}_{b\circ}S\circ n,\kappa(p))B_{\kappa}\#(\mathrm{f},p)\exp(-it\mathrm{H}b\circ S\mathrm{o}n,\kappa(p))=B_{\kappa}^{\#}(e^{-i\hslash_{C^{\wedge}}}\mathrm{f}t\omega,)p$.
口

補題 41 (1) $(2)$ より, 全ての$p\in \mathbb{R}^{d}$に対してユニタリー作用素$\mathcal{U}_{\kappa}(p)$

で

(4.2)

$\mathcal{U}_{\kappa}^{-1}(p)B_{\kappa}^{\#}(\mathrm{f},p)\mathcal{U}_{\kappa}(p)=a^{\#}(\mathrm{f})$となるものが存在することが分かる. また (4.2) と定理 4.1 (3) より$E_{\kappa}(p)\in \mathbb{R}^{d}$で$\exp(-it\mathrm{H}_{bos\circ}(n,\hslash p))\mathcal{U}_{\kappa}(p)\Omega=\exp(-itE_{\kappa}(p))\mathcal{U}_{\kappa}(p)\Omega$となるものが存在することが分かる. 具体的に, この$E_{\kappa}(p)$は$E(p)= \frac{1}{2m}\hslash^{2}p^{2}(1-2\Lambda+\Lambda^{2})-\eta$で与えられることが分かっている $([3],[9])$ . ここで, 実数$\Lambda,$$\eta$$\Lambda=\frac{e^{2}}{2\mathrm{c}^{2}}(\frac{Qe_{\mu}^{r}}{\sqrt{\omega^{3}}},$ $( \mathrm{W}_{+}^{-1})^{())}r,s\frac{\hat{\rho}e_{\mu}^{s}}{\sqrt{\omega}},$ $\eta=\frac{e^{2}}{8mc}(\frac{\hat{\rho}e_{\mu}^{r}}{\sqrt{\omega}},$,は次で与えられる.
$(\mathrm{w}_{-}\mathrm{w}_{+}-1)^{(s}r,)_{\frac{\hat{\rho}e_{\mu}^{s}}{\sqrt{\omega}}})$.

8

さらに, $m’,$$m00$$m_{0},$

を次で定義する.

,$\frac{1}{2m’}=\frac{1}{2m}-\frac{2\Lambda}{2m}+\frac{\Lambda^{2}}{2m}$補題 4.2 全ての $\kappa>0$ , 全ての$p\in \mathbb{R}^{d}$$\frac{1}{m_{0}}=\frac{2\Lambda}{m}$,$\frac{1}{m_{00}}=\frac{\Lambda^{2}}{m}$に対して, ユニタリー作用素.
は$\mathcal{U}_{\kappa}(p)$$D(d\mathrm{r}(\hat{\omega}))$をそれ自身の上に移して$\mathcal{U}_{\kappa}^{-1}(p)\mathrm{H}_{b\kappa}(oSon,p)u_{\kappa}(p)=\frac{1}{2m_{\kappa}’}\hslash^{2}\sum_{\mu}p_{\mu}+\kappa\hslash Cd\Gamma 2(\hat{\omega})-\eta_{\kappa}$

.

(4.3)

証明: 補題 $4.1(3)$ によってろ (H) 上で(4.4)$\exp(i\frac{t}{\hslash}\mathrm{H}_{bo\mathrm{s}}(p)\mathrm{o}n,\kappa)=\mathcal{U}_{\kappa}(p)\exp\{i_{Ct}d\mathrm{r}(\hat{\omega})+i\frac{t}{\hslash}E_{\kappa}(p)\}u_{\kappa}^{-}1(p)$となることが分かる. (4.4) の両辺はともに$\mathrm{t}$に関する 1 パラメターユニタリー群なので, Stone の定理によって (4.3) をえる$\mathcal{F}^{EM}(\mathcal{W})$口

上のユニタリー作用素

ユニタリー作用素$\mathcal{U}_{\kappa}$$\mathcal{U}(p)$から Constant Fiber Direct Integral をによって上のを次で定義する.
$\mathcal{U}_{\kappa}=\int_{\mathrm{R}^{d}}^{\oplus}u\kappa(p)dp$.

定理 4.3 ([3]) 全ての $\kappa>0$ に対して, ユニタリー作用素
れ自身の上に移して$\mathcal{F}$$\mathrm{H}_{\kappa}(0)$は $D(-.\triangle\otimes I)\cap D(I\otimes\hslash cd\Gamma(\hat{\omega}))$ をそ$\mathcal{U}_{\kappa}$を次のように対角化する.

$\mathcal{U}_{\kappa\kappa}^{-1}\mathrm{H}(0)\mathcal{U}_{\kappa}=-\frac{1}{2m_{\kappa}’}\triangle\otimes I+\kappa I\otimes\hslash_{Cd\mathrm{r}}(\hat{\omega})-\eta_{\kappa}$.

証明: (4.3) 及び Constant Fiber Direct Integral の定義より容易に分かる

5

相互作用ハミルトニアン$\mathrm{H}_{\kappa}(V)$

口

の漸近挙動

この章では, スケ一リングされた相互作用ハミルトニアン$\mathrm{H}_{\kappa}(V)$の $\kappaarrow\infty$

での, そのレゾル

ベントの挙動およびその Effective potenntial を調べる. そのために, Potential V に対して次の条件を仮定する.

条件$\mathrm{C}$$\mathrm{C}$(1) $D(-\triangle)\subset D(V)$ かっ, 全ての $\lambda>0$ に対して $V(-\triangle+\lambda)-1$ は有界線形作用素で$\lim_{\lambdaarrow\infty}||V(-\triangle+\lambda)^{-1}||=0$.

(2) 全ての $t>0$ , 全ての $x\in$ 睡に対して,$\int_{\mathrm{R}^{d}}e^{-t|x}-y|2|V(y)|dy<\infty$

.
口

9

注意 5.1 Colomb Potential は条件
次に$\mathrm{H}_{\kappa}(V)$$\mathrm{C}$を満たしている$(l^{\mathit{2}}J)$.

に対して,「質量のくりこまれたハミルトニァン$\mathrm{H}_{\kappa}^{REN}(V)=(-\frac{1}{2m_{0\kappa}}\triangle+V)\otimes I$

$+$

$+$

で定義する. このとき定理 4.3 より$\mathcal{U}_{\kappa}^{-1}\mathrm{H}\kappa(V)u\kappa$$\mathrm{H}_{\kappa}^{REN}(V)$」を$\kappa\sum_{\mu}\frac{e}{m}(-i\hslash\partial_{\mu})\otimes A(\mu\rho)$$\sum_{\mu}\frac{e^{2}}{2m}I\otimes A(\mu\rho)^{2}+\kappa I\otimes\hslash_{C}d\Gamma(\hat{\omega})$$D(-\triangle\otimes I)\cap D(I\otimes\hslash cd\Gamma(\hat{\omega}))$上で, 有用な関係式$=$$- \frac{1}{2m_{\kappa}’}\triangle\otimes I+\kappa I\otimes\hslash cd\Gamma(\hat{\omega})+C_{\kappa}(V)-\eta_{\kappa}\equiv\overline{\mathrm{H}_{\kappa}}(V)$$=$$- \frac{1}{2m_{00\kappa}}\triangle\otimes I+\kappa I\otimes hcd\Gamma(\hat{\omega})+C_{\kappa}(V)-\eta_{\kappa}\equiv \mathrm{H}_{\hslash}^{\overline{RE}N}(V)$

(5.1)

.

$\mathcal{U}_{\kappa}^{-1}\mathrm{H}_{\kappa}^{RE}N(V)\mathcal{U}_{\kappa}$(5.2)

をえる. ここで $C_{\kappa}(V)=u_{\kappa}-1$ (V\otimes I)u、とおいた. 後でみるように (補題 5.4) $C_{\kappa}(V)$ は上でうまく定義されている.

$D(-\triangle\otimes I)\cap D(I\otimes hCd\mathrm{r}(\hat{\omega}))$補題 5.2 ([3]) 次の (1) $\sim(4)$ が成立する.

(1)
(4)

$u- \lim_{\kappaarrow\infty}\mathrm{w}\kappa+=I$, (2)$\lim \mathrm{W}_{\kappa-\kappa-}^{*}\mathrm{W}=0$,$s- \lim_{\kappaarrow\infty}\mathrm{w}_{\kappa}-=0$, (3)$S- \lim_{\kappaarrow\infty}L_{\mu,\kappa}^{()}r=\frac{e}{m}\frac{e_{\mu^{\sqrt{h}}}^{r}}{\sqrt{2c^{3}\omega^{3}}}\hat{\rho}\equiv L_{\mu,\infty}^{(r)}$,(トレースノルム位相).

$\kappaarrow\infty$

口

定理 53 ([3])$\mathcal{F}$上のあるユニタリー作用素$\mathcal{U}_{\infty}$が存在して$s-\mathrm{h}\mathrm{m}u_{\kappa\infty}\kappaarrow\infty=u$.

証明: 第 2 章との対応関係$T_{\kappa}=\mathrm{W}\kappa-,$$S_{\kappa}=\mathrm{W}\kappa+,$$L_{\kappa}= \bigoplus_{r}\sum_{\mu}p_{\mu}L_{\mu,\kappa}^{()}r,$によって, 補題 5.2 はまさしく 条件

補題 5.4 ([3])$\mathrm{B}$$T=0,$ $S=I,$$L= \bigoplus_{r}\sum p\mu L\mu\mu,\infty(r)$に対応していることが分かる. 故に定理 2.5 より従う.

$\mathcal{U}_{\infty}^{-1}(V\otimes I)\mathcal{U}_{\infty}=C_{\infty}(V)$とおく. このとき, (1) $\sim(3)$ が成立する.

(1) 全ての $\kappa>0$ に対して, $D(C_{\kappa}(V))\supset D(-\triangle\otimes I)$ さらに全てのは有界線形作用素で $\kappa>0$ について–様に$C_{\kappa}(V)(-\triangle\otimes I+\lambda)^{-1}$$\lim_{\lambdaarrow\infty}||C_{\kappa}(V)(-\triangle\otimes I+\lambda)^{-1}||=0$.

$\lambda>0$

に対して)

口

10

(2) $D(C_{\infty}(V))\supset D(-\triangle\otimes I)$ , さらに, 全てのに対して$\lambda>0$$s- \lim_{arrow\kappa\infty}c_{\hslash}(V)(\triangle\otimes I+\lambda)^{-1}=c_{\infty}(V)(\triangle\otimes I+\lambda)^{-1}$.

(3) 全ての $\kappa>0$ に対して $m00_{\kappa}>0$ で次の $(i)(ii)$ が成り立つ.
(i)
証明:$\text{侑}$, (ii)$s- \lim_{\kappaarrow\infty}\frac{1}{2m_{00\kappa}}=\frac{1}{2m}(\frac{e^{2}}{2mc^{2}})^{2}||\frac{\hat{\rho}}{\omega}||^{4}\equiv\frac{1}{2m_{\infty}}$と一$\triangle\otimes I$の可換性と定理 5.3 および条件$s- \lim_{\kappaarrow\infty}\eta\kappa=0$.

より容易に導くことができる$\mathrm{C}$口

定理 5.5 ([3])(1) 全ての $\kappa>0$ に対して H\mbox{\boldmath $\kappa$}(V),はそれぞれ $D(-\triangle\otimes I)\cap D(I\otimes\hslash cd\Gamma(\hat{\omega}))$ 上自己共役$\mathrm{H}_{\kappa}^{\overline{RE}N}(V)$かっ下から有界である. さら自己共役作用素-\triangle \otimes I+I\otimes hcdr(D) の任意のコア上で本質的に自己共役である.

(2)$L^{2}(\mathbb{R}^{d}),$$F^{EM}(\mathcal{W})$でそれぞれ稠密な 2 つの集合を$D_{L^{2}(\mathrm{p}^{d}}()C\infty(V))=D(-\triangle)$,$D_{\mathcal{F}^{BM}}(C_{\infty}(V))=D(d\mathrm{r}(\hat{\omega}))$として $C_{\infty}(V)\in \mathrm{E}(\tau)$ である. さらにこのときたは $z<0$ で $|z|$

とおくと,$E_{\Omega}(C_{\infty}(V))=V_{\mathrm{e}f}f$$z\in \mathbb{C}$で,$\propto sz\neq 0$

ま十分大きいものに対して$s- \lim_{\kappaarrow\infty}(H_{\kappa}^{\overline{RE}N}(V)-z)^{-}1=(-\frac{1}{2m_{\infty}}\triangle+V_{\mathrm{e}ff^{-z}}\mathrm{I}^{-1}\otimes P_{0}$

ここで,$P_{0}$は$\mathcal{F}^{EM}$から$\{\alpha\Omega|\alpha\in \mathbb{C}\}$への射影作用素である.

証明: 第 1 章との対応関係$\mathcal{H}=L^{2}(\mathbb{R}^{d}),$$\mathcal{K}=\mathcal{W},$$C_{\kappa}=C_{\kappa}(V),$ $C=C_{\infty}(V),$ $A=-\triangle,$ $B=\hslash cd\Gamma(\hat{\omega})$$F_{1}( \kappa)=\frac{1}{2m_{00\kappa}}$, または$F_{1}( \kappa)=\frac{1}{2m_{\kappa}’},$ $F_{2}(\kappa)=\eta_{\kappa}$,.

によって, 補題 5.4 はまさしく 条件 A にほかならない. 故に定理 1.1, 1.2 より従う.

注意 56 定理 1.1の自己共役性は,$V_{\mathrm{e}ff}$$[]\mathrm{h}$, 条件$m_{\kappa}’arrow 0$$\mathrm{A}(1)$及び (3) の$F_{1}(\kappa)\geq$となるが問題はない.

.

$0$を仮定するだけで成立する. 故に,は Effectiv Potential とよばれ, その具体的な形は$V_{\mathrm{e}ff}(x)$$=$$(2TC( \rho))-\frac{d}{2}\int dye^{-|x-y|^{2}}/2C(\rho)V(y)$$C(\rho)$$=$$\frac{d-1}{2d}(\frac{\hslash}{mc})^{2}\frac{e^{2}}{\hslash c}\int dk\frac{|\hat{\rho}(k)|^{2}}{\omega(k)^{3}}$.

となることが知られている $([2],[3])$ . これらのことより, 我々は次の主定理をえる.

口$\overline{\mathrm{H}_{\kappa}}(V)$11.

定理 5.7 ([3])

はそれぞれ(1) 全ての $\kappa>0$ に対して役で下から有界である.
または $z<0$ で I が十分大きいとする. このとき
(2)で,$\mathrm{H}_{\kappa}(V),$$z\in \mathbb{C}$$\mathrm{H}_{\kappa}^{REN}(V)$$D(-\triangle\otimes I)\cap D(I\otimes\hslash cd\Gamma(\hat{\omega}))$上自己共$\propto sz\neq 0$,$s- \lim_{\kappaarrow\infty}(HREN(\kappa)V-z)-1=\mathcal{U}_{\infty}\{(-\frac{1}{2m_{\infty}}\triangle+Vff-\mathrm{e}z\mathrm{I}-1\otimes P0\}u\infty-1$

証明: (1) は定理 $5.5(1)$ 及び $(5.1)(5.2)$ より従う. (2) は定理 5.3 $5.5(2)$ 及び (5.1) より従う.

注意 5.8 我々の求めた$Effect\dot{\iota}ve$

口potential は [2] のそれと –致している.

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12 A.Arai, “Rigorous theory of spectra and radiation for a model in a quantum electrodynamics”,

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