数理解析研究所講究録
第 1775 巻 2012 年 1-24

1

ラグランジュ部分多様体と等径超曲面の幾何学 (解説と展望)

大阪市立大学・大学院理学研究科 大仁田 義裕 (Yoshihiro Ohnita)
Department of Mathematics,

Graduate School of Science,
Osaka City University

序

この論説では，シンプレクティック幾何におけるラグランジュ部分多様体論とりー
マン幾何学における等径超曲面論の間の関係に焦点を当てる．
シンプレクティック幾何学においてここ 20 年間 K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta
and K. Ono, (FOOO [15], etc.) によるラグランジュ部分多様体の交差のフレアー

コホモロジー理論のような注目すべき大きな進歩をみている．シンプレクティック幾
何学におけるそのような進歩によって鼓舞されて，最近，複素ユークリッド空間，複素射影空間，複素空間形，エルミート対称空間，一般化された旗多様体，トーリック多様体などのような特化したケーラー多様体のラグランジュ部分多様体の研究において，微分幾何学者らにより一層の発展がいくつものなされている．

部分多様体理論は，リーマン幾何学において最も長い歴史の学問領域であり，ラグランジュ部分多様体のそのような研究に対する種々の技巧や多くの例を提供し得る．
等径超曲面は，部分多様体論における最も基本的で魅力的な研究対象のーつである．
リーマン多様体 $M$ の等径超曲面 (isoparametric hypersurface) は，偏微分方程式$\{\begin{array}{l}\overline{\Delta}f=S(f),\Vert\overline{\nabla}f\Vert^{2}=T(f).\end{array}$(0.1)

を満たす $M$ 上の-関数 $f$ の正則値に対する等位超曲面として定義される．
そのような関数 $f$ は，等径関数 (isopammetric function) と呼ばれる．It is wellknown that an isoparametric hypersurface of 実空間 $M$ (定断面曲率のリーマン多$c\infty$様体)の等径超曲面は，主曲率一定の超曲面に他ならない．今日，等径超曲面論は，良い可微分多様体の大変興味深い 1 つのクラスとして，よく発達した研究領域である．G. Thorbergsson [56] や T. E. Cecil [7] は，等径超曲面に関する優れたサーベイ論文である．

この論説では，最初に，一般のシンプレクティック多様体やケーラー多様体におけるラグランジュ部分多様体に関するいくつかの基礎的な概念，不変量および結果を呼び出す．次に，我々は標準球面における等径超曲面の理論を概観し，我々の研究に適用されるいくつかの大切な結果を準備する．

今，我々は等径超曲面に関わるラグランジュ部分多様体の構成に注意すべきである．とくに，標準球面内の等径超曲面から得られる複素 2 次超曲面内のラグランジュ
部分多様体に注目しよう．
次元複素 2 次超曲面 $Q_{n}(C)$ とは，同次 2 次代数方程式 $(z_{0})^{2}+(z_{1})^{2}+\cdots+$$(z_{n+1})^{2}=0$ によって定義された複素射影空間 $CP^{n+1}$ の滑らかなコンパクト複素代$n+2$ 次元ユークリッド空間 $R^{n+2}$ の向き付けられた 2 次元数超曲面である．これは，ベクトル部分空間全体のなす実グラスマン多様体と標準的に等長同型で$n$$\tilde{G}r_{2}(R^{n+2})$

2010 Mathematics Subject Classification. Primary: $53C40$ ; Secondary: $53D12,53C42$ .
Partially supported by JSPS Grant-in-Aid for Scientific Research (S) No. 23224002.

2ある．それは，等質空間表示 $Q_{n}(C)\cong\tilde{G}r_{2}(R^{n+2})\cong SO(n+2)/(SO(2)\cross SO(n))$
をもち，正のアインシュタイン定数の標準的アインシュタインーケーラー計量が付与$Q_{1}(C)\cong S^{2},$ $Q_{2}(C)\cong S^{2}\cross S^{2}$
されたコンパクト階数 2 エルミート対称空間である．

$Q_{n}(C)$ は既約である．複素 2 次超曲面 $Q_{n}(C)$ は，標準球で，もし $n\geq 3$ ならば，

面 $S^{n}(1)$ の接ベクトル束の一つのコンパクト化とみなせることには注意する．

単位標準球面の向き付けられた超曲面のガウス写像は，は，複素 2 次超曲面にはめ込まれたラグランジュ部分多様体を与える (参照 Subsection 4.2). 球面内の等径超曲面のガウス像 (ガウス写像の像) は，Hui Ha 副教授 (北京，清華大学) との私の最近の共同研究の主な研究対象である．我々は，単位標準球面 $S^{n+1}(1)$ 内に埋め個の相異なる一定の主曲率をもつコンパクトな向き付けられた等径超曲面のガウス像は，複素 2 次超曲面に埋め込まれたコンパクト極小ラグランジュ部分多様体で， によって被覆変換群 をもって被覆される，ことが得られる (参照Theorem 4.1). さらに，ガウス像
は，コンパクト，単調で巡回的なラグラン
ジュ部分多様体で，極小マスロフ数が自然数 $2n/g$ に等しい (参照 Theorem 4.3)
が向き付け可能 (resp. 向き$2n/g$ が偶数 (resp. 奇数) であることとさらに，付け不可能), であるとは同値である (参照 Theorem 4.2). そのあと，関連の話題や
込まれた

$g$

$N^{n}$$N^{n}$$Z_{g}$$\mathcal{G}(N^{n})$$\mathcal{G}(N^{n})$未解決問題について言及する．
この論説は次のように構成される: 第 1 節において，シンプレクティック多様体のラグランジュ部分多様体のハミルトン変形，ハミルトン群作用の運動量写像とラグ
ランジュ軌道，マスロフ指数と極小マスロフ指数，ラグランジュ部分多様体の単調性
や巡回性，などの概念および初等的結果を復習する．第 2 節において，ケーラー多様体，とくにアインシュタインーケーラー多様体，のラグランジュ部分多様体を扱う．
平均曲率形式，ハミルトン極小性，ハミルトン安定性，マスロフ指数に対する積分公式を記述する．第 3 節において，標準球面の等径超曲面に関する基本的構造および既知の結果の要点を述べる．第 4 節において，標準球面の等径超曲面のガウス像として得られるコンパクトなラグランジュ部分多様体の基礎的な構造および性質を議論する．第 5 節において，標準球面の等径超曲面からの標準球面の接ベクトル束における特殊ラグランジュ部分多様体の構成の問題について言及する．
この論説は，RIMS 研究集会「部分多様体の微分幾何学的研究」 (2011 年 6 月 27
日-29 日) における著者の講演に基づき，[43] の内容に修正，改訂を加え解説したものである．著者は，この研究集会に講演の機会を与えてくださったこととこの RIMS
研究集会の優れた組織に対して岡山大学藤森祥一准教授には感謝の意を表わします．

1. シンプレクティック多様体のラグランジュ部分多様体とそのハミルトン変形

11. ラグランジュ部分多様体とハミルトン変形．

$(M^{2n},\omega)$をシンプレクティック形式

をもつ $2n$ 次元シンプレクティック多様体とする．定義によって，ラグランジュはめ-多を満たす (極大) $n$ 次元
込み (Lagrangian immersion) とは，条件$LarrowM^{2n}$
のみをはめ込み :様体から $M$ へののことである．条件$\omega$$C^{\infty}$$\varphi^{*}\omega=0$$C^{\infty}-$$\varphi^{*}\omega=0$$\varphi$満たす部分多様体は，等方的な部分多様体 (isotropic submanifold) と呼ばれる．も: $Larrow M^{2n}$ がラグランジュはめ込みならば， の非退化性によって，自然な線型束準同型し$\omega$$\varphi$$\varphi^{-1}TM/\varphi_{*}TL\ni v\mapsto\alpha_{v}$$:=\omega(v, \varphi_{*}(\cdot))\in T^{*}L$は，線型束同型になり， -断面のベクトル空間の間の線型同型$C^{\infty}$$C^{\infty}(\varphi^{-1}TM/\varphi_{*}TL)arrow\Omega^{1}(L)$が誘導される．

3
次に，ラグランジュはめ込みの「変形」 を考えよう．

$\varphi_{t}:Larrow(M^{2n}, \omega)$

なる

はめ込みの 1-パラメータ$C^{\infty}-$$c\infty$

く．このとき，を$\varphi_{0}=\varphi$-族とする．

$V_{t}:= \frac{\partial\varphi_{t}}{\partial t}\in C^{\infty}(\varphi_{t}^{-1}TM)$とお

定義 1.1.
$\{\varphi_{t}\}$: ラグランジュ変形 (Lagmngian deformation)$\varphi_{t}$

def

が各

$t$

に対してラグランジュはめ込みであるは各$\Leftrightarrow\alpha_{V_{t}}\in Z^{1}(L)$$\{\varphi_{t}\}$$t$に対して閉 1 次微分形式．

: ハミルトン変形 (Hamiltonian deformation)は各$\alpha_{V_{t}}\in B^{1}(L)$

$def$

$t$

に対して完全 1 次微分形式．

ハミルトン変形は，ラングランジュ変形である．ラングランジュ変形とハミルト$b_{1}(L)=0$ ならば，
ン変形の間の差は，$H^{1}(L;R)\cong Z^{1}(L)/B^{1}(L)$ である．とくに，の任意のラングランジュ変形はハミルトン変形である．

$L$

次のように，アイソモノドロミー変形によるハミルトン変形の特徴付けがある．
は，integral class と仮定する (そのようなシンプレクティック多様体は，前量子化可能 (prequantizable) と呼ばれる．参照小節 1.3). このとき，$\cdot$$\frac{1}{2\pi}[\omega]\in H^{2}(M, R)$$M$$\nabla$上の複素直線束が存在する．

る$L$とその曲率形式が$\mathcal{L}$$\varphi_{t}$: $Larrow M$$\{\varphi_{t}^{-1}\nabla\}$となるようなにおける $U(1)$ -接続$\mathcal{L}$をラングランジュ変形とする．各 に対する靴によ$t$

上の引き戻しの複素直線束

坦 $U(1)$ -接続$\sqrt{-1}\omega$$\varphi_{t}^{-1}\mathcal{L}$の引き戻しの $U(1)$ -接続$\varphi_{t}^{-1}\nabla$の族を与える．このとき，は， 上の平$L$

補題 1.1 (参照 [26], [42]).
がハミルトン変形であるための必要十分条件は，平坦接続の族が同じホロノミー準同型: $\pi_{1}(L)arrow U(1)$ をもつことである．
$\{\varphi_{t}\}$$\{\varphi_{t}^{-1}\nabla\}$$\rho_{t}$12. ラグランジュ軌道と運動量写像．
命題 1.1. 運動量写像 :をもつシンプレクティック多様体 $(M, \omega)$ の上への連結リー群 $G$ のハミルトン群作用のすべてのラグランジュ軌道は，ある$G$ のリー代数
に対する等位部分集合の成分として現れる．ここで， は，の双対ベクトル空間を表わし，$\mu$$Marrow \mathfrak{g}^{*}$$\alpha\in 3(\mathfrak{g}^{*})$$\mu^{-1}(\alpha)$$\mathfrak{g}^{*}$$\mathfrak{g}$3と定める．もし $M$ と$(\mathfrak{g}^{*}):=\{\alpha\in \mathfrak{g}^{*}|$$\partial(9^{*})\cong c(\mathfrak{g})$

を表わす．

$G$

すべての $a\in G$ に対して Ad $*(a)\alpha=\alpha\}$がコンパクトならば，各ラグランジュ軌道は，あるに対して，等位部分集合$\mu^{-1}(\alpha)$と一致する．ここで，$c(\mathfrak{g})$は$\mathfrak{g}$$\alpha\in$の中心

13. 単調で巡回的なラグランジュ部分多様体のマスロフ指数．この小節では，シンプ
レクティック多様体のラグランジュ部分多様体のいくっかの基本的な概念と不変量について思い出そう (参照．[36], [38], [47], [48])
ラグランジュ交差のフレアーコホモ[37],
さらなる大きな発展については[39],
ロジー理論は，[36],FOOO([15]), において研究された．小節 22 において，アインシュタインーケーラー多様体におけるラグランジュ部分多様体に対するそれらの不変量に関するいくつかの有用な結果について言及する．
$(M, \omega)$$w$

をシンプレクティック多様体， を $M$ のラグランジュ部分多様体とする．
$L$: $(D^{2}, \partial D^{2})arrow(M, L)$ を対の間の滑らかな写像とする．ここで，$D^{2}$

開円板，$\partial D^{2}$

とる．

は$D^{2}$

は$R^{2}$の単位の境界としての単位円とする．同一視 $w^{-1}(TM)\cong D^{2}\cross R^{2n}$ を

Lagr $(R^{2n})$ $:=$ {$R^{2n}$のラグランジュベクトル部分空間} $=O(2n)/U(n)$4
とおく．
$\tilde{w}$(1.1): $\partial D^{2}\ni p\mapsto T_{w(p)}L\in$ Lagr $(R^{2n})$によって Lagr $(R^{2n})$ の一つ)$\triangleright$–プ$\tilde{w}$を定める．

$L$ のマスロフ指数は，マスロフ類 $\mu\in H^{1}(O(2n)/U(n);R)$ を使って，$I_{\mu,L}([w]):=\mu(\tilde{w})\in$によって定義された群準同型写像$I_{\mu,L}$: $\pi_{2}(M, L)arrow Z$ である．

$I_{\mu,L}$

ジュ変形のもとで不変である． の最小マスロフ数$L$によって定義される．
もう 1 つの準同型写像:$\Sigma_{L}$$(D^{2}, \partial D^{2})arrow(M, L)$は，ラグランは，(1.3)$:= \min\{I_{\mu,L}(A)|A\in\pi_{2}(M, L), I_{\mu,L}(A)>0\}$$\Sigma_{L}$

$w$

(1.2)

Z.

: $\pi_{2}(M, L)arrow R$ が，対の間の任意の滑らかな写像$I_{\omega}$に対して，$I_{\omega}([w]):= \int_{D^{2}}w^{*}\omega\in$

(1.4)

R.

によって定義される． は，ハミルトン変形のもとで不変だが，ラグランジュ変形$I_{\omega}$では不変でない．
シンプレクティック多様体 $(M,\omega)$ のラグランジュ部分多様体 $L$ は，ある正の定数$\lambda>0$ が存在して，(1.5).
が成り立つとき，単調 (monotone) であると言う．
$(M, \omega)$をシンプレクティック多様体とする．$(M, \omega)$ の周期群 (period group) は，$I_{\mu,L}=\lambda I_{\omega}$(1.6)$\Gamma_{\omega}:=\{[\omega](A)|A\in H_{2}(M;Z)\}\subset R$

によって定義された加法群である．もし $M$ が単連結ならば，: $S^{2}arrow M$ なめらか$\Gamma_{\omega}=\{[\omega](u)|u$$\}\subset$

(1.7)

R.

が成り立っ．
シンプレクティック多様体 $(M, \omega)$ が次の条件を満たすとき，前量子化可能 (preが $R$ において離散的，あるいは同値に，ある零でない定
quantizable) と呼ばれる :$\Gamma_{\omega}$が存在して，
即ち，である．ここで，は，包含関係
integral classを表わす． 上の複素直線束が存在することと同値である．
であることは，曲率形式が数$[ \frac{\omega}{\gamma}]$$\gamma$$Z\subset R$$[ \frac{\omega}{\gamma}]$

接続$\nabla$は integral class,$[ \frac{\omega}{\gamma}]\in i(H^{2}(M;Z))$$i$によって誘導された自然な準同型写像 : $H^{2}(M;Z)arrow H^{2}(M;R)$$i$が$2 \pi\sqrt{-1}\frac{\omega}{\gamma}$をもつ $M$$M$

ならば，$\Gamma_{\omega}=\gamma_{\omega}$

である $U(1)-$が前量子化可能(1.8)

Z.

を選ぶことができる．
となるような非負実数$M$ のラグランジュ
シンプレクティック多様体 $(M, \omega)$ は前量子化可能と仮定する．
部分多様体
は，もし
$\gamma=\gamma_{\omega}$$L$$\Gamma_{\omega,L}$$:=\{[\omega](B)|B\in H_{2}(M, L;Z)\}\subset R$

が離散的ならば，巡回的 (cyclic) であると呼ばれる．もし実数$\gamma_{\omega,L}$

$L$

(1.9)

が巡回的ならば，非負を，$\Gamma_{\omega,L}=\gamma_{\omega,L}$となるように選ぶことができ，整数

$k$

Z.

(1.10)があって，$\gamma_{\omega}=k\gamma_{\omega,L}$.

(1.11)

5となり，さらに，が自明になるような正の整数 が存在する．
は単連結であると仮定する．このとき， が巡回的であるための必要十分条件
が自明なることである．
は，ある整数 が存在して，$\otimes^{k}(i^{-1}E, i^{-1}\nabla)$

$k$

$M$

$L$

$k$

$\otimes^{k}(i^{-1}E, i^{-1}\nabla)$は自明$n_{L}:= \min\{k\in Z|k\geq 1,$ $\otimes^{k}(i^{-1}E,$ $i^{-1}\nabla)$$\}=\frac{\gamma_{\omega}}{\gamma_{\omega,L}}\in$Z.

(1.12)と定める．

2. ケーラー多様体のラグランジュ部分多様体$(M, \omega, J, g)$ を，ケーラー形式
21. ハミルトン極小およびハミルトン安定性．

$\omega$複素構造」，ケーラー計量 をもつケーラー多様体とする． : $Larrow M$ をラグランジュ
はめ込みとする． で $(M, g)$ における部分多様体 の第 2 基本形式を表わす．
$g$$\varphi$

$B$

$L$

定義 2.1.
$H$:$\varphi$の平均曲率ベクトル場$\downarrow$$\alpha_{H}$:$\varphi$の平均曲率形式

ケーラー多様体へのラグランジュはめ込みの平均曲率形式は，常に恒等式(2.1)$d\alpha_{H}=\varphi^{*}\rho_{M}$を満たすことが知られている ([12]). ここで， は $\rho_{M}(X, Y)=Ric^{M}(JX, Y)$ に$Ric^{M}$ は $(M, \omega, J, g)$よって定義された $M$ のリッチ形式を表わす．
のリッチテンソ
ル場を表わす．従って，もし $M$ がアインシュタイン- ケーラーならば，平均曲率形式
は閉 1 次微分形式である．
$\rho_{M}$$\alpha_{H}$ハミルトン極小およびハミルトン安定の概念が Y. G. Oh(1990) によって最初に導入され研究された ([33])単純のために，この論説を通じて我々は， はコンパクトで境界のない多様体と
仮定する．
$L$

定義 22.
$\varphi$: ハミルトン極小 (Hamiltonian minimal or H-minimal)$\varphi_{0}=\varphi$$\Leftrightarrow^{def}$なる任意のハミルトン変形靴: $Larrow M$ に対して，$\frac{d}{dt}Vol(L, \varphi_{t}^{*}g)|_{t=0}=0$$\delta\alpha_{H}=0$$\Leftrightarrow$.

$L$ は通常
即ち $, H=0)$ のときは，もちろんハミルトン極小であるが，$L$ を極小ラグランジュ部の意味の極小部分多様体 (minimal subman が old) であり，分多様体 (minimal Lagmngian submanifold) と呼ぶ．

$\alpha_{H}=0$$($

さらに， はハミルトン極小であると仮定する．このとき，$\varphi_{0}=\varphi$$\varphi$

トン変形$\{\varphi_{t}\}$に対して，$\frac{d^{2}}{dt^{2}}Vol(L, \varphi_{t}^{*}g)|_{t=0}\geq 0$$\varphi$はハミルトン安定 (Hamiltonian stable).

と呼ばれる．

なる各ハミル

6
補題 21(第 2 変分公式のハミルトン版 ([35])).
$\frac{d^{2}}{dt^{2}}Vol(L, \varphi_{t}^{*}g)|_{t=0}$$= \int_{L}(\{\triangle_{L}^{1}\alpha, \alpha\}-\langle\overline{R}(\alpha),$ $\alpha\}-2\langle\alpha\otimes\alpha\otimes\alpha_{H},$$S\rangle+\{\alpha_{H},$ $\alpha\rangle^{2})dv$

ここで，は $L$ 上の滑らかな 1 次微分形式全体のなすベクトル空間

するのラプラス作用素を表わす．

$\triangle_{L}^{1}$$(L, \varphi^{*}g)$$\bullet\alpha:=\alpha_{V}\in B^{1}(L)$$\bullet$$\{\overline{R}(\alpha),$. ここで，$V= \frac{\partial\varphi_{t}}{\partial t}|_{t=0}\in C^{\infty}(\varphi^{-1}TM)$$\alpha\rangle:=\sum_{i,j=1}^{n}Ric^{M}(e_{i}, ej)\alpha(e_{i})\alpha(e_{j})$. ここで，$\{e_{i}\}$$\Omega^{1}(L)$に作用.

は $T_{p}L$ の正規直交基底である．
$\bullet$$S(X, Y, Z):=\omega(B(X, Y), Z)$

は， 上の 3 次の対称テンソル場である．
$L$$X$ は $M$ 上の正則キリングベクトル場 (即ち，そのフローが計量と複素構造
今，$M$ 上の対応する 1 次微分形式
を保存するベクトル場) であるとする．このとき，$\alpha x:=\omega(X, \cdot)$は常に閉形式である，もし $H^{1}(M, R)=\{0\}$ ならば，$\alpha x=\omega(X, \cdot)$は完全形式，即ち$X$$M$ が単は $M$ 上のハミルトンベクトル場である．従って，$M$ 上の各正則キリングベクトル場は，$H^{1}(M, R)=\{0\}$ , ならば，
連結より一般に，$\varphi$の体積を保つハミルトン変形を生成する．

定義 23. このような全空間 $M$ の正則キリングベクトル場から誘導される
ルトン変形は，自明 (trivial) であるという．

$\varphi$のハミはハミルトン極小であると仮定する．このとき， は，次の 2 条件を満たすとき，強ハミルトン安定 (stri ctly Hamiltonian stable) であると呼ばれる :定義 24.

$\varphi$$\varphi$はハミルトン安定である．
(i)(ii) ハミルトン変形上の第 2 変分の零 (退化) 部分空間が， の自明なハミルトン変形によって誘導される無限小変形からなるベクトル空間と一致する．
$\varphi$$\varphi$$L$ は任意のハミルトン変形に沿って体積極小
もし $L$ が強ハミルトン安定ならば，である，ことに注意する．

定義 2.5. ケーラー多様体 $(M, \omega, J, g)$ に埋め込まれたラグランジュ部分多様体は，ケーラー構造の自己同型群 Aut $(M, \omega, J, g)$ の解析的部分群 (連結りー部分群) のラグ$M$ の等質ラグランジュ部分多様体 (homogeneous
ランジュ軌道として得られるとき，
Lagmngian submanifold) と呼ばれる．
命題 2.1. ケーラー多様体の任意のコンパクトな等質ラグランジュ部分多様体は，ハミルトン極小である．

証明． はリーマン等質空間 上の不変 1 次微分形式であるから，定数関数である． はコンパクトであるから，発散定理によって$L$$\alpha_{H}$$L$$\delta\alpha_{H}$$\delta\alpha_{H}=0$

は $L$ 上の

が得られ
口

る

定理 2.1 ([57], [40]). $M=\tilde{M}(c)$ を複素空間形，即ち正則断面曲率一定 のケーラー$L$ を $M$ にはめ込まれたコンパクトなラグランジュ部分多様体とする．
多様体，とし，$c$$L$ は平行な第 2 基本形式ももし $L$ がハミルトン極小で非負断面曲率をもつならば，つ，即ち $\nabla S=0$ . 逆もまた成立する．

7
1 より大きい階数のエルミート対称空間内のコンパクトなラグランジュ部分多様体に対しては，この主張は一般に成立しない (注意 6 を見よ).
特定のケーラー多様体のコンパクト等質ラグランジュ部分多様体の分類は，りーマンーシンプレクティック幾何学の意味において興味深く重要な問題である．

問題．複素射影空間，複素ユークリッド空間，複素双曲空間，エルミート対称空間，
不変ケーラー構造をもつ一般化された旗多様体，トーリック多様体などのような特定なケーラー多様体のコンパクト等質ラグランジュ部分多様体を分類せよ．

22. アインシュタインーケーラー多様体の巡回的なラグランジュ部分多様体の極小マ
スロフ数．
をアインシュタインーケーラー多様体 $(M, \omega, J, g)$ のラグランジュ
定理 22([38]).
$H^{1}(L;R)$ における部分多様体 とする．このとき，の平均曲率形式の実コホモロジー類
は， のあらゆるハミルトン変形のもとで (大域的に) 不変である．
$L$

$L$

$L$

$L$

$[\alpha_{H}]$の次小野肇は，ケーラー多様体のラグランジュ部分多様体のマスロフ指数のいくつもの結果を改良するこOh([38])G.
の積分公式を示した．その公式は，Y.
とを可能ならしめる．
$I_{\mu,L}$定理 23([47]). ケーラー多様体 $(M, \omega, J, g)$ のラグランジュ部分多様体とする．対の間の任意の滑らかな写像: $(D^{2}, \partial D^{2})arrow(M, L)$ に対して，$w$$I_{\mu,L}([w])= \frac{1}{\pi}\int_{D^{2}}w^{*}\rho_{M}+\frac{1}{\pi}\int_{\partial D^{2}}(w|_{\partial D^{2}})^{*}\alpha_{H}$

.

(2.2)

が成立する．

次の 2 つの定理は，彼の積分公式の応用である．

定理 24([47]). $(M, \omega, J, g)$ は，正のアインシュタイン定数をもつ単連結なアイン$M$ のコンパクトなラグランジュ
シュタインーケーラー多様体と仮定する．このとき，
部分多様体

$L$

が，単調であることと $H^{1}(L;R)$ において$[\alpha_{H}]=0$であることは同値である．

系 2.1. 正のアインシュタイン定数をもつ単連結なアインシュタインーケーラー多様体のコンパクトで単調なハミルトン極小ラグランジュ部分多様体 $L$ は，極小である．

$M$

系 22. 正のアインシュタイン定数をもつ単連結なアインシュタインーケーラー多様体 $M$ のコンパクトな極小ラグランジュ部分多様体 $L$ は，単調である．

今，$\gamma_{c_{1}}$$:= \min\{c_{1}(M)(A)|A\in H_{2}(M;Z), c_{1}(M)(A)>0\}\in Z$ ,$\gamma_{c_{1},L}$$:= \min\{c_{1}(M)(B)|B\in H_{2}(M, L;Z), c_{1}(M)(B)>0\}\in$ Z.

と定める．次の公式 (23) は，定理 43 の証明において本質的に利用される．
定理 2.5 ([47]).

$(M, \omega, J, g)$は，正のアインシュタイン定数をもつ単連結なアインシュタインーケーラー多様体と仮定する．もし部分多様体ならば， は巡回的で，公式$L$がコンパクトで単調なラグランジュ$L$$n_{L}\Sigma_{L}=2\gamma_{c_{1}}$が成り立っ．

.

(2.3)

8
注意．コンパクト型エルミート対称空間 $M$ に対するは次のように与えられる ([5,$\gamma_{c_{1}}$$\gamma_{c_{1}}=p+q$ . $M=SO(2p)/U(p)$p.521] : $M=SU(p+q)/S(U(p)\cross U(q))$ ならば，$)$$\gamma_{c_{1}}=p+1$ .
$M=SO(p+$ならば， $=2p-2$ . $M=Sp(p)/U(p)$ ならば，
. $M=E_{6}/(T^{1}\cdot S\dot{\mu}n(10))$ ならば，ならば，.
. $M=E_{7}/(T^{1}\cdot E_{6})$ ならば，$\gamma$。1$2)/(SO(2)\cross SO(p))(p\geq 2)$$\gamma_{c_{1}}=p$$\gamma_{c_{1}}=18$$\gamma_{c_{1}}=12$

23. アインシュタイン-ケーラー多様体の極小ラグランジュ部分多様体の第 1 固有値.

アインシュタインーケーラー多様体 $(M,\omega, J,g)$ のコンパクト極小ラグランジュ部分
多様体 の場合は，第 2 変分公式のハミルトン版 2.1 から，ハミルトン安定性の条
件は次のように単純化される:$L$

系 2.3 (B. Y. Chen T. Nagano P. F. Leung [9], Y. G. Oh [33]). $M$ をアインシュ
タイン定数 をもつアインシュタイン-ケーラー多様体， を $M$ にはめ込まれたコ$L$ がハミルトン安定でンパクトな極小ラグランジュ部分多様体とする．このとき，$\Omega^{0}(L)=C^{\infty}(L)$ に作あるための必要十分条件は，である．ここで， は，用するラプラス作用素の (正の) 第 1 固有値を表わす．
-

-

$L$

$\kappa$$\lambda_{1}\geq\kappa$$\lambda_{1}$一方，次のように，極小ラグランジュ部分多様体の第 1 固有値に対する上からの評価が知られている．

定理 26([45], [46], [3]). $M$ をアインシュタイン定数 $\kappa>0$ をもつコンパクト等質
アインシュタインーケーラー多様体と仮定する． を $M$ にはめ込まれたコンパクトな$L$

極小ラグランジュ部分多様体とする．このとき，$\lambda_{1}\leq\kappa$が成り立つ．

問題．アインシュタイン定数 $\kappa>0$ をもつコンパクト等質アインシュタインーケーラーの多様体において，どんなコンパクト極小ラグランジュ部分多様体が不等式「
はハミルトン安定」 なる意味がある．
等号を達成するか?
$\lambda_{1}\leq\kappa$$\lambda_{1}=\kappa$$\Leftrightarrow$$L$

複素ユークリッド空間，複素射影空間，複素空間形内のハミルトン安定なラグラ
ンジュ部分多様体やコンパクトエルミート対称空間の全測地的ラグランジュ部分多様体のハミルトン安定性など既知の例，結果，問題については，例えば，最近のサーベ
イ [44] を参照．

3. 標準球面内の等径超曲面
nzner, による単位標準球
3.1. 構造理論．この小節では，Elie Cartan, そして H. F.
面内の等径超曲面の基本構造を手短に説明しよう．([31], [32], 参照 G. Thorbergsson[56], T. E. Cecil [7] .
$M\ddot{u}$$)$$N^{n}$...

を単位標準球面内 $S^{n+1}(1)$ に埋め込まれた$>k_{g}$$g$個の一定の主曲率 $k_{1}>k_{2}>$をもつ連結な向き付けられた超曲面とする．各主曲率に対応する重複度をで表わす．
$n(p)$ で $N$ の点の点 の原点 $O$ からの位置ベクトルを表わし，$m_{\alpha}(\alpha=1, \cdots,g)$$x(p)$$S^{n+1}(1)$

で

$N$

$p$

$p$

での

における単位法ベクトルを表わす． は， の点の位置ベクトル， は$N^{n}$$x$$n$$N^{n}$の向きと適合した $S^{n+1}(1)$ における単位法ベクトル場である．
$0<\theta_{1}<\cdots<\theta_{g}<\pi$ .
定理 3.1 ([31]). $k_{\alpha}=\cot\theta_{\alpha}(\alpha=1, \cdots,g)$ とおく．ここで，このとき，次の性質が成り立つ:$\theta_{\alpha}=\theta_{1}+(\alpha-1)\frac{\pi}{g}$$m_{\alpha}=m_{\alpha+2}$$(\alpha=1, \cdots, g)$

添え字は

$g$

,

(3.1)

を法とする，(3.2)$n=\{\begin{array}{ll}\frac{(m_{1}+m_{2})g}{2} (g\geq 2),m_{1} (g=1).\end{array}$

(3.3)

9
このようにして， が奇数ならば，$m_{1}=m_{2}=\cdots=m_{g}$ .
$g$

だから，

$0< \theta_{1}<\frac{(g-\alpha+1)\pi}{g}$$\theta_{1}+(\alpha-1)\frac{\pi}{g}<\pi=\frac{g\pi}{g}$が成り立ち，とくに，$0< \theta_{1}<\frac{\pi}{g}$.

各 $q\in A$ に対して$V(q):=\cos(gt(q))$

によって， の管状近傍$N^{n}$

は $S^{n+1}(1)$ における点

$q$

$A$

$\theta_{1}-t(q)$における滑らかな関数 $V$ を定義する．ここで，
$q\in
A$ に対
および各
$r>0$
への距離に等しい．各から$N^{n}$

して，$\overline{F}(rq)$$:=r^{g}\cos(gt(q))=r^{g}V(q)$と定める．
開錐 $\bigcup_{r>0}rA\subset R^{n+2}$ の上の関数
は，次同次多項式 $F:R^{n+2}arrow R$ , に拡張$Cartan-M\ddot{u}n$ zner 多項式，と呼ばれ，微分方程式:する． 次同次多項式 $F$ は，$\overline{F}$

$g$

$g$

(3.4)

$\{\begin{array}{l}\Delta F=cr^{g-2},\Vert gradF\Vert^{2}=g^{2}r^{2g-2},\end{array}$$m_{2}-m_{1}$2$r=\Vert x\Vert^{2}=(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}+(x_{3})^{2}+\cdots+(x_{n+2})^{2}$を満たす．ここで，$c:=g\overline{2}$$S^{n+1}(1)$ における等径関数方程式:$V=F|_{S^{n+1}(1)}$ は，である．さらに，’(3.5)$\{\begin{array}{l}\triangle V=-g(g+n)V-+c=S(V),\Vert\nabla V\Vert^{2}-=g^{2}(1-V^{2})=T(V),\end{array}$を満たす．ここで， および$\overline{\nabla}$$\triangle-$

は，それぞれ $S^{n+1}(1)$ のレビチビタ接続およびラ$S^{n+1}(1)$ の等径関
プラスベルトラミ作用素を表わす．とくに，$V=F|_{S^{n+1}(1)}$ は，数と呼ばれる．

$0< \theta_{1}<\frac{\pi}{g}$なので，$\cos(g\theta_{1})\neq\pm 1$が成り立ち，よって$\cos(g\theta_{1})$は$S^{n+1}(1)$ に埋めの正則値である．等位超曲面
は，は込まれたコンパクト連結向き付け可能で等径超曲面と呼ばれ，$S^{n+1}(1)$ において少なくとの開部分多様体である．それぞれの $N\pm;=V^{-1}(\pm 1)$ は，$S^{n+1}(1)$

上の関数

$V$

$V^{-1}(\cos(g\theta_{1}))$$N^{n}$$V^{-1}(\cos(g\theta_{1}))$も余次元 2 で埋め込まれたコンパクト連結極小部分多様体で，等径超曲面
部分多様体と呼ばれる．

$N^{n}$の焦$S^{n+1}(1)$ に埋め込まれたコンパクト連結向き付けられた等径超曲面であるは，と仮定する．上の議論から，我々は $N^{n}=V^{-1}(\cos(g\theta_{1}))$ で，各 $p\in N^{n}$ に対して
$N^{n}$$n(p)=\frac{(gradV)_{x(p)}}{\Vert(gradV)_{x(p)}\Vert}$と仮定することができる．このとき，次が成り立つ :補題 31. 各 $p\in N^{n}$ について，$\cos\theta x(p)+\sin\theta n(p)\in V^{-1}(\cos(g\theta_{1}))=N^{n}$となるための必要十分条件は，ある $\alpha=1,$$\theta=\frac{2\pi(\alpha-1)}{g}$$\cdots,$ $g$

またはが存在して，$2 \theta_{1}+\frac{2\pi(\alpha-1)}{g}$となることである．

次は，M\"unzner と Abresch による有名かつ重要な結果である :定理 32([32]).
(1) は，1, 2, 3, 4 または 6 でなければならない．
(2) もし $g=6$ ならば，
$m_{1}=m_{2}$ である．
$g$定理 33([1]). もし $g=6$ ならば，
$m_{1}=m_{2}=1$ または 2 である．

10$S^{n+1}(1)$ の等径超曲面族の中に唯一つ極小等径超32. 標準球面内の極小等径超曲面．
曲面が存在することが知られている．[31] から容易にその主曲率を次のように計算することができる (参照 [41, p.265]):$N^{n}$

命題 31.
$k_{1}=0$ .
(1) $g=1$ ならば，

(2) $g=2$ならば，$k_{1}=\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}$$k_{1}=\sqrt{3}$ ,(3) $g=3$ ならば，

(4) $g=4$

かつ$k_{2}=0$$k_{2}=\sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}}$

かつ

ならば，

$k_{3}=$$\kappa_{1}=\frac{\sqrt{m_{1}+m_{2}}+\sqrt{m_{2}}}{\sqrt{m_{1}}},$$- \frac{\sqrt{m_{1}+m_{2}}-\sqrt{m_{2}}}{\sqrt{m_{1}}},$

$3$
.
-〉

$\kappa_{2}=\frac{\sqrt{m_{1}+m_{2}}-\sqrt{m_{1}}}{\sqrt{m_{2}}},$ $\kappa_{3}=$$\kappa_{4}=-\frac{\sqrt{m_{1}+m_{2}}+\sqrt{m_{1}}}{\sqrt{m_{2}}}$$\kappa_{1}=2+\sqrt{3},$(5) $g=6$ ならば，$-1,$ $\kappa_{6}=-(2+\sqrt{3})$.

$\kappa_{2}=1,$$\kappa_{3}=2$.

$3,$ $\kappa_{4}=-(2$ -〉$3),$ $\kappa_{5}=$-〉.

3.3. 標準球面内の等質等径超曲面．W.-Y. Hsiang, H. B. Lawson, Jr. ([21]) と高木亮
高橋恒郎 ([54]) により，標準球面内の任意の等質等径超曲面は，階数 2 のりー

マン対称対の線型等方表現の主軌道として得られるという事実が知られている (この事実は，標準球面上に作用する余等質性 1 のコンパクトりー変換群の分類から知られ，直接的幾何学的な証明を与えることは未解決問題である).

TABLE 1. 標準球面内の等質等径超曲面

113.4. OT-FKM 型等径超曲面．標準球面内の非等質等径超曲面のクリフォード構成は，尾関英樹，竹内勝 [49], [50] によって最初に発見され，D. Ferus, H. Karcher, H.

F. M\"unzner[14] によって一般化された．それは，単位標準球面内の等径超曲面のもう一つ重要なクラスで，OT-FKM 型等径超曲面と呼ばれる．
$Cl(R^{m-1})$ をユークリッドベクトル空間 $(R^{m-1}$ , {,上のクリフォード代数と$\rangle)$

する．
次数

$l$

の

$R^{l}$

上の $Cl(R^{m-1})$ の表現とは，代数準同型$Cl(R^{m-1})arrow M(l;R)$である．
$Cl(R^{m-1})\cong Cl_{0}(R^{m})\supset Spin(m)$に注意する．このとき，$E_{1},$$\cdots,$$E_{m-1}\in O(l)$を，$E_{i}^{2}=-I,$ $E_{i}E_{j}=-E_{j}E_{i},$ $i\neq j$となるように選ぶことができる．

$R^{2l}$

ル空間を，$\mathfrak{h}(R^{2l})$$P_{0}(u, v)$上の対称な線型自己準同型写像全体からベクト$P_{m}\in$
り $(R^{2l})$ を，によって表わす．

$P_{0},$ $P_{1},$$\cdots,$$:=(u, -v),$ $P_{1}(u, v)$ $:=(v, u),$ $P_{1+i}(u, v)$ $:=(E_{i}v, -E_{i}u)$によって定める．
$Cl(R^{m-1})$$l=\delta(m)$ が次のは，次数 の既約表現をもつための必要十分条件は，$l$表のように与えられことである:$k>1$ なる $l=k\delta(m)$ に対して $Cl(R^{m-1})$ の次数 の任意の可約表現は，上の $Cl(R^{m-1})$ の 個の既約表現の直和である．
系 $(P_{1}, \cdots , P_{m})$ は， のクリフォード系と呼ばれる．

$R^{\delta(m)}$

$l$

$k$

$R^{2l}$$m_{1}:=m$ ,$m_{2}:=l-m-1=k\delta(m)-m-1$ .

(3.6)

とおく．このとき，$F(x):= \{x, x\}^{2}-2\sum_{i=0}^{m}\{P_{i}x,$$x\rangle^{2}$(3.7)

によって定義された多項式関数 $F:R^{2l}arrow R$ は，Cartan-M\"unzner 多項式である，$F$ は$g=4$ に対して Cartan-M\"unzner 微分方程式 (3.4) を満たす．従って，
即ち，$F$ は単位標準球面 $S^{2l-1}(1)\subset R^{2l}=R^{l}\oplus R^{l}$ 内の 4 個の相異なる主曲率と重複度$(m_{1}, m_{2})=(m, l-m-1)$ をもつ等径超曲面を与える．これは，OTFKM 型等径超曲面と呼ばれる．

注意．標準球面内の等質等径超曲面が OT-FKM 型であるための必要十分条件は，
AIII2, BDI2, CII2 あるいは EIII 型であることである．

12
TABLE 2. OT-FKM 型等径超曲面の主曲率と重複度

35. 標準球面内の等径超曲面の分類問題．目下，標準球面内の等径超曲面の知られているすべての例は，等質等径超曲面と OT-FKM 型等径超曲面である．それらは，標準球面内のすべての等径超曲面を尽くであろうことが予想されている．
$N^{n}\subset S^{n+1}(1)$質である (E.

$C$

標準球面内の等径超曲面としよう．$g=1,2$ or 3 ならば，は等は等質である (Dorfmeister$N^{n}$

artan). $g=6$ かつ $m=1$ ならば，$N^{n}$and Neher [13], R. Miyaoka [29] . $g=6$ かつ $m=2$ の場合の等質性は，R. Miyaoka$)$([30]) による．

$g=4$ ならば，重複度 $(m_{1}, m_{2})$ は，等質なものまたは OT-FKM 型の例の重複度と同$(m_{1}, m_{2})=(4,5),$ $(3,4),$ $(6,9),$ $(7,8)$
じでなければならない (Stolz [53]). さらに， は，の場合を除いて等質であるかまたは OT-FKM 型でなければならない (Cecil, Chi andJensen [8], Immervoll [22] . 残された場合の研究は，Q.-S. Chi によって現在進展中$N^{n}$$)$である ([10], [11]).

4. 等径超曲面から得られる複素 2 次超曲面のラグランジュ部分多様体

41. 複素 2 次超曲面．複素 2 次超曲面
$Q_{n}(C)\cong\overline{Gr}_{2}(R^{n+2})\cong SO(n+2)/(SO(2)\cross SO(n))$

は，階数 2 コンパクトエルミート対称空間である．ここで，,$Q_{n}(C):=\{[z]\in CP^{n+1}|z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+ \cdot\cdot\cdot+z_{n+1}^{2}=0\}$$\overline{Gr}_{2}(R^{n+2}):=$$Q_{n}(C)$ とである．

{ $W|R^{n+2}$ の向き付けられた 2 次元ベクトル部分空間}.

$\overline{Gr}_{2}(R^{n+2})$の間の同一視は，$CP^{n+1}\supset Q_{n}(C)\ni[a+\sqrt{-1}b] W=a\wedge b\in\overline{Gr}_{2}(R^{n+2})\subset\wedge^{2}R^{n+2}$

によって与えられる．ここで，{a, b} は向きと適合した $W$ の正規直交基底とする．
$Q_{2}(C)\cong S^{2}\cross S^{2}$$n\geq 3$ ならば，
$Q_{n}(C)$ は既約である．
$n=2$ のとき，である．

$R^{n+2}$$g_{Q_{n}(C)}^{std}$の標準内積から誘導された $Q_{n}(C)\cong\overline{Gr}_{2}(R^{n+2})$ 上の標準ケーラー計量

は，エルミート対称空間で$n$に等しいアイシュタイン定数$\kappa$をもつアイシュタインーケーラー計量である．
$N^{n}arrow S^{n+1}(1)\subset R^{n+2}$ を
42. 標準球面内の向き付けられた超曲面のガウス写像．

$n+1$ 次元単位標準球面にはめ込まれた，または埋め込まれた，向き付けられた超曲

面とする．
$x$

$n$ で $S^{n+1}(1)$ における $N^{n}$ の単位法ベクトル場をで $N^{n}$ の点の位置ベクトル，

表わす．

13
$\mathcal{G}$: $N^{n}\ni p\mapsto[x(p)+\sqrt{-l}n(p)]=x(p)\wedge n(p)\in Q_{n}(C)\cong\overline{Gr}_{2}(R^{n+2})$によって定義されたガウス写像は，常にラグランジュはめ込みである．
命題 41([26], [27]).
$N_{2}\subset S^{n+1}(1)$ を単位標準球面の向き付けられた超曲面とする．このと(1)$N_{1},$

き，$N_{1}$$N_{2}$

は $S^{n+1}(1)$ における同じ平行超曲面族に属することと $\mathcal{G}(N_{1})=$

は同値である．

$\mathcal{G}(N_{2})$(2)とを $S^{n+1}(1)$ における向き付けられた超曲面とする．

の変形に対する
ガウス写像は、 ガウス写像 のハミルトン変形を与える．逆は， のガウ$S^{n+1}(1)$ における超曲面
ス写像 の十分小さなハミルトン変形は，のある変形に対応する．

$N^{n}$$N^{n}$$N^{n}$$\mathcal{G}$$N^{n}$$\mathcal{G}$$\kappa_{i}(i=1, \cdots, n)$$\kappa_{i}=\cot\theta_{i}(i=1, \cdots, n)$
で $N^{n}\subset S^{n+1}(1)$ の主曲率を表わす．

とおく，ここで，$0<\theta_{i}<\pi$$S^{n+1}(1)$ におけるを，

$n$

化されるように選ぶ．
上の誘導計量上の正規直交枠の局所場の第 2 基本形式 がと対角$N^{n}\subset S^{n+1}(1)$に関する$\{\theta^{i}\}$$N^{n}$とする．
$N^{n}$$\{e_{i}\}$$h$$h(e_{i}, e_{j})=\kappa_{i}\delta_{ij}$をその双対余枠とする．このとき，ガウス写像$\mathcal{G}^{*}g_{Q_{n}(C)}^{std}$$\mathcal{G}$

による

は，

$\mathcal{G}^{*}g_{Q_{n}(C)}^{std}=\sum_{i=1}^{n}(1+\kappa_{i}^{2})\theta^{i}\otimes\theta^{i}$

.

(4.1)

のように表示される．
$\mathcal{G}$$\mathcal{G}$: $N^{n}arrow Q_{n}(C)$ の平均曲率ベクトル場を， で表わす．このとき，ガウス写像$H$の平均曲率形式は，$N^{n}$の主曲率を用いて次のように表わされる:

補題 4.1 (Palmer [51]).
$\alpha_{H}=d({\rm Im}(\log\prod_{i=1}^{n}(1+\sqrt{-1}\kappa_{i})))=-d(\sum_{i=1}^{n}\theta_{i})$特に，もしらば，ガウス写像$N^{n}\subset S^{n+1}(1)$$\mathcal{G}$.

が $S^{n+1}(1)$ 内の主曲率一定の向き付けられた超曲面な: $N^{n}arrow Q_{n}(C)$ は極小ラグランジュはめ込みである．

$N^{n}arrow S^{n+1}(1)\subset R^{n+2}$ は，
43. 等径超曲面のガウス像．
$n+1$ 次元単位標準球面

内に埋め込まれたコンパクト連結向き付けられた等径著曲面とする．この小節では，我々は小節 3.1 におけるものと同じ記号を使う．

補題 3.1 によって，各 $p\in N^{n}$ に対して
$x_{\theta}(p):=\cos\theta x(p)+\sin\theta n(p)$によって定義された正規測地線(大円)$\gamma=\gamma(\theta)$

わりをもつ :$\gamma\cap N^{n}=\{x_{\theta}(p)|\theta=\frac{2\pi(\alpha-1)}{g}$

各 $x_{\theta}(p)\in\gamma\cap N^{n}$ に対して，$p_{\theta}\in N^{n}$点とする．もしまたはは， 個の点において，$2g$$2 \theta_{1}+\frac{2\pi(\alpha-1)}{g}($$N^{n}$

ョ$\alpha=1,$ $\cdots,$ $g)\}$を位置ベクトル $x_{\theta}(p)=x(p_{\theta})$ をもつ$\theta=\frac{2\pi(\alpha-1)}{g}(\alpha=1, \cdots, g)$ならば，$\mathcal{G}(p_{\theta})=x(p_{\theta})\wedge n(p_{\theta})=x(p)\wedge n(p)=\mathcal{G}(p)$と交$N^{n}$の14である．もし$\theta=2\theta_{1}+\frac{2\pi(\alpha-1)}{g}(\alpha=1, \cdots, g)$ならば，$\mathcal{G}(p_{\theta})=x(p_{\theta})\wedge n(p_{\theta})=x(p)\wedge(-n(p))=-x(p)\wedge n(p)\neq \mathcal{G}(p)$

である．

逆に，もし
$1,$

$\cdots,g)$$p,$ $q\in N^{n}$

があって

について

$\mathcal{G}(p)=\mathcal{G}(q)$ならば，ある$\theta=\frac{2\pi(\alpha-1)}{g}(\alpha=$$x(p)\wedge n(p)=x(q)\wedge n(q)$ だから，あが成り立つ．実際，$q=p_{\theta}$

る $0\leq\psi<2\pi$ があって，$x(q)=\cos\psi x(p)+\sin\psi n(p)$ ,$n(q)=-\sin\psi x(p)+\cos\psi n(p)$のように表わすことができ，ある $\alpha=1,$$2 \theta_{1}+\frac{2\pi(\alpha-1)}{g}$$\cdots,$ $g$$\psi=\frac{2\pi(\alpha-1)}{g}$
があって，

または

となることが分かる . もし $\psi=2\theta_{1}+\frac{2\pi(\alpha-1)}{g}$ ならば，$\mathcal{G}(P)\neq \mathcal{G}(q)$であり，矛盾．したがって，ある $\alpha=1,$ $\cdots,g$ があって，$\psi=\frac{2\pi(\alpha-1)}{g}$

が成り

立つ．

これらの考察から，$N^{n}$

上の位数$g$の有限巡回群の自由な群作用を定義することができる．写像
$\nu$

(4.2)

: $N^{n} \ni p\cos(\frac{2\pi}{g})x(p)+\sin(\frac{2\pi}{g})n(p)\in N^{n}$は， からそれ自身の上への位数 の微分同相写像である．
は，位数 の有限巡回群で， 上に自由に群作用する．$Z_{g}:=\{Id_{N^{n}}=\nu^{0}, \nu, \cdots, \nu^{g-1}\}$$N^{n}$$\{Id_{N^{n}}=\nu^{0}, \nu, \cdots, \nu^{g-1}\}$

$g$

$g$

$N^{n}$

とおく．

命題 42. $p,$ $q\in N^{n}$ とする．このとき，があって $q=v(p)$ となることと同値である．

$\mathcal{G}(p)=\mathcal{G}(q)$となることは，ある$v\in Z_{g}$それゆえ，次が得られる．
定理 41 ([26]). ガウス写像 : $N^{n}arrow Q_{n}(C)$ の像
は， の自由な群作$\mathcal{G}(N^{n})\cong N^{n}/Z_{g}$用による商多様体 $N^{n}/Z_{g}$ に微分同相である．即ち，である．従っ$\mathcal{G}(N^{n})$$\mathcal{G}$て，$\mathcal{G}(N^{n})$$Z_{g}$$Q_{n}(C)$ に埋め込まれたコンパクト連結極小ラグランジュ部分多様体
は，

である．

問題．標準球面内の等径超曲面のガウス像として得られる複素 2 次超曲面に埋め込まれたコンパクト極小ラグランジュ部分多様体の性質を研究せよ．
$\{e_{i}|i=1, \cdots, n\}$微分同相写像 $\nu\in Z_{g}$ の $p\in N^{n}$ における微分を計算せよ．

を $A(e_{i})=k_{\alpha}e_{i}$ なる $T_{p}N^{n}$ の正規直交基底とし，$k_{\alpha}=\cot\theta_{\alpha}$$0< \theta_{\alpha}<\frac{\pi}{g}$とする．このとき，次が成り立つ :とおく．ここで，$(d \nu)_{p}(e_{i})=\partial_{e_{i}}x_{\frac{2\pi}{9}}=(\cos(\frac{2\pi}{g})-\sin(\frac{2\pi}{g})\cot\theta_{\alpha})e_{i}$$(d\nu)_{p}(e_{i})=e_{i}(i=1, \cdots, n)$ である．
もし $g=1$ ならば，$(d\nu)_{p}(e_{i})=-e_{i}(i=1, \cdots, n)$ である．
もし $g=2$ ならば，.

15$g\geq 3$と仮定する．このとき，$\cos(\frac{2\pi}{g})-\sin(\frac{2\pi}{g})\cot\theta_{\alpha}<0$$\Leftrightarrow$$\cot(\frac{2\pi}{g})<\cot\theta_{\alpha}$$\Leftrightarrow$$\frac{2\pi}{g}>\theta_{\alpha}=\theta_{1}+(\alpha-1)\frac{\pi}{g}$$\Leftrightarrow$$\frac{(3-\alpha)\pi}{g}>\theta_{1}$$(\alpha=1, \cdots, g)$$(\alpha=1, \cdots, g)$かつ$\frac{2\pi}{g}(\alpha=1)>\frac{\pi}{g}(\alpha=2)>\theta_{1}>0(\alpha=3)\geq\cdots\geq-\frac{(g-3)\pi}{g}(\alpha=g)$が成り立つ．従って，$(d\nu)_{p}:T_{x}Narrow T_{x_{\theta}}N$$m_{1}+m_{2}$ に等の負の固有値の個数は，しい．

補題 42. $g\geq 2$ と仮定する．このとき，微分同相写像 : $Narrow N$ が $N$ の向きを保$m_{1}+m_{2}$ が偶数であることである．
つための必要十分条件は，$\nu$$g\geq 3$ ならば，注意．
$Q_{n}(C)$ から導計量を保存しない．

$N^{n}\subset S^{n+1}(1)$の上へのこの$Z_{g}$$S^{n+1}(1)$ からの誘-群作用は，

上の計量 (4.1) は，によって誘導された群作用によって保存される．それは直接計算によっても検証することが可能である．
$N^{n}$$\mathcal{G}$$Z_{g^{-}}$

補題 3.1 から次がわかる:$\frac{2n}{g}=\{\begin{array}{ll}m_{1}+m_{2} ( g \text{が偶数のとき}),2 m_{1} ( g \text{力埼数のとき}).\end{array}$

ゆえに，補題 4.2 によって，$\mathcal{G}(N^{n})$の向き付け可能性は，次のように特徴付けられる．

定理 42.

(1) もし

$2n$
–

$g$

(2) もしが偶数ならば，は向き付け可能である．

が奇数ならば，は向き付け可能でない．

$L=\mathcal{G}(N^{n})\cong N^{n}/Z_{g}$

$2n$
–

$g$

$L=\mathcal{G}(N^{n})\cong N^{n}/Z_{g}$今，標準球面の等径超曲面のガウス像の極小マスロフ数は，次のように決定される．
$Q_{n}(C)$ に埋め込まれたコンパクトな単調で巡回的定理 43([27]). $L=\mathcal{G}(N^{n})$ は，は，なラグランジュ部分多様体で，その極小マスロフ数$\Sigma_{L}$$\Sigma_{L}=\frac{2n}{g}=\{\begin{array}{ll}m_{1}+m_{2} ( g \text{が偶数のとき}),2 m_{1} ( g \text{が奇数のとき}), .\end{array}$

によって与えられる．
$Q_{n}(C)$ の単調なラグランジュ
証明．定理 24 との極小性によって，
は，は $Q_{n}(C)$ の巡回的なラグラ部分多様体である．さらに，定理 25 によって，$n\geq 2$ の
$M=Q_{n}(C)$ の場合において，ンジュ部分多様体で，公式 (2.3) を満たす．
とき 1 $=n,$ $n=1$ のときを決定しよう．
が成り立つ．定数$\mathcal{G}(N^{n})$$\mathcal{G}(N^{n})$$\mathcal{G}(N^{n})$$\gamma$$\tilde{N}^{n}$。

$\gamma_{c_{1}}=2$$n_{L}$$S^{n+1}(1)$ 上の単位接球面束 $US^{n+1}(1)=V_{2}(R^{n+2})$ へのを，レリフトとする:$N^{n}arrow \mathcal{G}(N^{n})=N^{n}/Z_{g}$.

$N^{n}$のルジュンド16$arrow V_{2}(R^{n+2})|_{L}-V_{2}(R^{n+2})$$\tilde{N}^{n}$$\pi\downarrow SO(2)\cong U(1)\cong S^{1}$$\pi\downarrow SO(2)$$\downarrow Z_{g}$$=$$\mathcal{G}(N^{n})$$arrow \mathcal{G}(N^{n})=L^{n}\subset Q_{n}(C)$

Lagr.
このとき，
$\pi:V_{2}(R^{n+2})|_{L}arrow L=\mathcal{G}(N^{n})$は，構造群 $SO(2)$ をもつ平坦主束で，被覆群$Z_{g}$をもつ被覆写像$\pi:\tilde{N}^{n}arrow \mathcal{G}(N^{n})$は，ホロノミー群$Z_{g}$をもつホロノミー束と一致する:$Z_{g}=\{(\begin{array}{ll}cost -sintsint cost\end{array})|t=0,2 \pi\frac{1}{g},$$\cdots,$$= \{e^{\sqrt{-1}t}|t=0,2\pi\frac{1}{g},$ $\cdots,$ $2 \pi\frac{g-1}{g}\}$$C$$2 \pi\frac{g-1}{g}\}$.

上への $SO(2)\cong U(1)$ の標準的群作用によって主ファイバー束$\pi:V_{2}(R^{n+2})|_{L}arrow \mathcal{G}(N^{n})$) 上の平坦な複素直線束を $E$ で表わす．
$Q_{n}(C)=Gr_{2}(R^{n+2})$ 上のトートロジカル複素直線束に付随した$\mathcal{G}\underline{(N}^{n}$$\mathcal{W}$

は，各 x

$=$

[a

$+\sqrt{}[$了 $b]\in$に対して，$Q_{n}(C)$$\mathcal{W}_{x}$

:

$=$

C(a

$+$

V ⊂了 b)によって定義される．このとき，もし $n\geq 2$ ならば $E=\mathcal{W}$ であり，もし $n=1$
ならば$\otimes^{2}E=\mathcal{W}$. 実際，もし $n\geq 2$ ならば，

$c_{1}(\mathcal{W})(CP^{1})=1$である．ここで，次元複素ベクトル部分空間} で， は $C^{n+2}$ の複素 2-次元等{である．
方的ベクトル部分空間，即ち，$CP^{1}:=$$U$$W\subset U|1$

$U\perp\overline{U}$$k=1,2,$
上への$\cdots,$ $g$$e^{\sqrt{-1}\frac{2\pi k}{9}}$に対して，$E|_{L}$上のホロノミー群$Z_{g}$の生成元による積を誘導する．このようにして，$\otimes^{k}E|_{L}$$e^{\sqrt{-1}\frac{2\pi}{g}}$は，$\otimes^{k}E|_{L}$のホロノミー群は，によって生成される．よって，は自明なホロノミー群をもの元$\cdots,g-1$$k=1,2,$ち，に対して，は非自明なホロノミー群をもつ．それゆえ，$n\geq 2$ ならば $n_{L}=g$ で，$n=1$ ならば $n_{L}=2$ である．さらに，$e^{\sqrt{-1}\frac{2\pi k}{9}}$$Z_{g}$$\otimes^{g}E|_{L}$$\otimes^{k}E|_{L}$$\Sigma_{L}=\frac{2n}{g}=\{\begin{array}{l}\frac{2}{g}\frac{(m_{1}+m_{2})g}{2}=m_{1}+m_{2} ( g \text{が偶数のとき}),\frac{2}{g}gm_{1}=2m_{1} ( g \text{が奇数のとき}).\end{array}$口

注意．定理 4.1 および 43 は，[26], [27] で証明の詳細なしに述べられている．

17
5. 複素 2 次超曲面のコンパクト等質ラグランジュ部分多様体の分類[26] では，我々は，複素 2 次超曲面内のコンパクト等質ラグランジュ部分多様体の分類を与えた．ここでは，手短に我々の分類理論を説明する．
最初に，我々は，$N^{n}\subset S^{n+1}(1)$ が等質 (即ち，コンパクトリー群 $K\subset SO(n+2)$の軌道) であることと，ガウス像
が $Q_{n}(C)$ において等質であることは同値であることを考察した ([26, p.759, Proposition 3.1]). 前述のように，すべての等質
等径超曲面 $N^{n}\subset S^{n+1}(1)$ は，階数 2 リーマン対称空間の線型等方表現の主軌道と$\mathcal{G}(N^{n})$$(U, K)$ の $K$ による $S^{n+1}(1)$ 上して得られることが知られている．さらに，我々は，への群作用は，標準球面上への余等質性 1 の極大な群作用であることに注意すべきである([21]) .

$\mathfrak{g}=t+\mathfrak{p}$を $(U, K)$ の対称リー代数の標準分解， を$a$$\mathfrak{p}$の極大可換部分ベクトル$a\cap S^{n+1}(1)$ の各正則元 $H$ に対して，単位標準球面内の等質等径超曲空間とする．
面 $N^{n}:=$ (Ad $K$ )を得る．そのガウス像は，$H\subset S^{n+1}(1)\subset R^{n+2}\cong \mathfrak{p}$$\mathcal{G}(N^{n})=$$(AdK)[\alpha]\subset Gr_{2}(\mathfrak{p})\cong Q_{n}(C)$である．このとき， 上への の線型等方群作用から誘導された $Q_{n}(C)$ の上への $K$ の群作用に関する標準的運動量写像 は，次のように与えられる:$K$$\mathfrak{p}$$\tilde{\mu}$: $Q_{n}(C)\cong\overline{Gr}_{2}(\mathfrak{p})\ni[a+\sqrt{-1}b]=[W]-[a, b]\in f\cong t^{*}$$\tilde{\mu}$

ここで，{a, b} は，$W\subset \mathfrak{p}$の向きと適合した正規直交基底である．このようにして，.
$\mathcal{G}(N^{n})=\tilde{\mu}^{-1}(0)$を得る．
$Q_{n}(C)$ におけるコンパクト等質ラグランジュ部分多様体であると仮
さて， は，$L=K’\cdot[V_{0}]$$SO(n+2)$ のあるコンパクト連結りー部分群 があって，定する．即ち，$N^{n}=K’\cdot v\subset S^{n+1}(1)$ は$v\in S^{n+1}(1)$ があって，として与えられる．このとき，$S^{n+1}(1)$ の等質等径超曲面となることを示すことができる．よって，連結コンパクト
$L$

$G$

な $K$ と対称リー代数 $u=f+\mathfrak{p}$ をもつ階数 2 のコンパクトリーマン対称対 $(U, K)$があって，$\mathfrak{p}=R^{n+2},$$K’\subset Ad_{p}(K),$$N^{n}=$

Ad$\mathfrak{p}(K)v$となる．運動量写像の議論と麻生透 [4] による球面上の余等質性 1 コンパクト群作用の完全な分類からいくつかの$L=K’\cdot[V_{0}]=K\cdot[V_{0}]$ を示した．ある $\eta\in c(f)$ が存在して，結果を使って，我々は，$K\cdot[V_{0}]=\tilde{\mu}^{-1}(\eta)$となることに注意する．従って，ラグランジュ軌道に対する平均曲によって，まず次が得られる:率形式と運動量写像の関係公式 (参照 [44] 補題 3.1)

定理 51([26]). $Q_{n}(C)$ 内のすべてのコンパクト極小等質ラグランジュ部分多様体$L^{n}$$S^{n+1}(1)$ 内のコンパクト等質等径超曲面は，$N^{n}$のガウス像$\mathcal{G}(N^{n})$である．

さらに，リー代数と運動量写像の議論によって，我々は次を示した．
補題 5.1 $(([26]))$.

(1) もし $(U, K)$ が，(i) $(S^{1}\cross SO(3), SO(2)),$ $(ii)(SO(3)\cross$$SO(3),$ $SO(2)\cross SO(2)),$ $(iii)(SO(3)\cross SO(n+1), SO(2)\cross SO(n))$ または (iv)$(SO(m+2), SO(2)\cross SO(m))(n=2m-2)$ ならば，ある$\{0\}$が存在して，$L=\mu^{-1}(\xi)\subset Q_{n}(C)$$\xi\in \mathfrak{c}(e)\cap{\rm Im}(\mu)\neq$$Q_{n}(C)$ においとなる．この場合，て，ラグランジュ軌道の非自明族がある．
$c(f)\cap{\rm Im}(\mu)=\{0\}$ かつ $L=\mathcal{G}(N^{n})=\mu^{-1}(0)\subset Q_{n}(C)$(2) もしそうでなければ，

で，それは $Q_{n}(C)$ の極小ラグランジュ部分多様体である．
(1) のそれぞれの場合における $Q_{n}(C)$ のラグランジュ軌道の非自明族は，次のよ

うに具体的に記述される:(i) もし $(U, K)$ が $(S^{1}\cross SO(3), SO(2))$ ならば， は $Q_{1}(C)\cong S^{2}$ の大円または$L$

小円である．

18$Q_{2}(C)\cong S^{2}\cross S^{2}$(ii) もし $(U, K)$ が $(SO(3)\cross SO(3), SO(2)\cross SO(2))$ ならば，において， は
$L$

(iii)の大円または小円の直積である．

$S^{2}$

もし $(U, K)$ が $(SO(3)\cross SO(n+1), SO(2)\cross SO(n))(n\geq 3)$$\lambda\in S^{1}\backslash \{\pm\sqrt{-1}\}$

ならば，あるが存在して，$L=K\cdot[W_{\lambda}]\subset Q_{n}(C)$となる．ここで，$K\cdot[W_{\lambda}|(\lambda\in S^{1})$は，次を満たすラグランジュまたは等方的な軌道の -族である :$Q_{n}(C)$ の全測地的ラグランジュ部(a) $K\cdot[W_{1}]=K\cdot[W_{-1}|=\mathcal{G}(N^{n})$ は，分多様体である．
に対して，
(b) 各
$S^{1}$$\lambda\in S^{1}\backslash \{\pm\sqrt{-1}\}$$K\cdot[W_{\lambda}]\cong(S^{1}\cross S^{n-1})/Z_{2}\cong Q_{2,n}(R)$$\nabla S=0$ を満$Q_{n}(C)$ のハミルトン極小ラグランジュ部分多様体で，は，$\nabla\alpha H=0$ .
たす．とくに，$Q_{n}(C)$ の等方的な部分多様体で $\dim K\cdot[W_{\pm\sqrt{-1}}]=0$(c) $K\cdot[W_{\pm\sqrt{-1}}]$ は，!).
(1 点(iv) もし $(U, K)$ が $(SO(m+2), SO(2)\cross SO(m))(n=2m-2)$ ならば，あるが存在して，$\lambda\in S^{1}\backslash \{\pm\sqrt{-1}\}$$L=K\cdot[W_{\lambda}]\subset Q_{n}(C)$となる．ここで，$K\cdot[W_{\lambda}|(\lambda\in S^{1})$は次を満たすラグランジュまたは等方的-族である :
$Q_{n}(C)$ の極小 (全測地的でない) ラ(a) $K\cdot[W_{1}]=K\cdot[W_{-1}]=\mathcal{G}(N^{n})$ は，グランジュ部分多様体である．
に対して，
(b) 各

な軌道の

$S^{1}$$\lambda\in S^{1}\backslash \{\pm\sqrt{-1}\}$$K$. $[W_{\lambda}]\cong(SO(2)\cross SO(m))/(Z_{2}\cross Z_{4}\cross SO(m-2))$$Q_{n}(C)$ のハミルトン極小ラグランジュ部分多様体で，は，$\nabla S\neq 0$$\nabla\alpha_{H}=0$

かつ

である．

$Q_{n}(C)$ の(c) $K\cdot[W_{\pm\sqrt{-1}}]\cong SO(m)/S(O(1)\cross O(m-1))\cong RP^{m-1}$ は，等方的な部分多様体で，$\dim K\cdot[W_{\pm\sqrt{-1}}]=m-1$ である．
6. 等質等径超曲面のガウス像のハミルトン安定性$N^{n}$$S^{n+1}(1)$ に埋め込まれたコンパクト等径超曲面と仮定する．Palmer ([51])は，は，ガウス写像$\mathcal{G}$$N^{n}=S^{n}\subset$: $N^{n}arrow Q_{n}(C)$ がハミルトン安定であるのは，$S^{n+1}(1)(g=1)$ のときであり，そのときに限ることを示した．

問題．コンパクト極小ラグランジュ部分多様体として $Q_{n}(C)$ に埋め込まれたそのガウス像 $L=\mathcal{G}(N^{n})\cong N^{n}/Z_{g}$ のハミルトン安定性を研究せよ．
$\mathcal{G}(N^{n})\cong S^{n}$ は強ハミルト$N^{n}=S^{n}$ は，大球または小球であり，$g=1$ の場合，

ン安定である．より強く，それは極小部分多様体として安定である ([55]).

$n$

とき，それは実ホモロジー類で体積最小である．なぜならば，それは不変

$n$

が偶数の
次微分形

式によってキャリブレイトされた部分多様体である (Gluck, Morgan and Ziller [16]).

が奇数のときは，それはキャリブレイトされることは不可能である．なぜならば，$H^{n}(Q_{n}(C), R)\cong R$ である． が奇数のと. が偶数のとき，
き，
かつ，任意の係数環 に対して $H_{n}(Q_{n}(C), F)\cong\{0\}$ である．

$n$

$H^{n}(Q_{n}(C);R)=\{0\}$$\pi_{n}(Q_{n}(C))\cong Z_{2}$

$n$

$n$

$F$

19
一般の

$n$

に対して，全測地的ラグランジュ部分多様体$S^{n}\subset Q_{n}(C)\cong\overline{Gr}_{2}(R^{n+2})$は，ハミルトン変形で体積最小であることを証明した．[23, p.18-19] も見よ．
$L$
$m_{2}-m_{1}\geq 3$ のときであり，その$g=2$ の場合は，がハミルトン安定でないのは，$m_{2}-m_{1}=2$ときに限る． がハミルトン安定だが強ハミルトン安定ではないのは，のときでが強ハミルトン安定であるのは$m_{2}-m_{1}<2$のとき，そのときに限る．
$L$

$L$

あり，そのときに限る．
ガウス像 $L=\mathcal{G}(N^{n})$ が全測地的なラグランジュ部分多様体，即ち，$Q_{n}(C)$ の実形 $Q_{m_{1}+1,m_{2}+1}(R)$ , であるのは，$g=1$ または $g=2$ のときであり，そのときに限る．
$L=\mathcal{G}(N^{n})$ は強ハミルトン安定である$g=3$ の場合には，([26]) .

$Q_{n}(C)$ から誘導された$g=3$ のとき，注意．
上の不変計量は，正規等質計量であり ([26]), よっては，非負断面曲率をもつコンパクト極小ラグランジュ
である (定理 2. 1 と比較).
部分多様体だが，$\mathcal{G}(N^{n})$$\mathcal{G}(N^{n})$$\nabla S\neq 0$

定理 61([28]). $g=6$ で，等質 $L=SO(4)/(Z_{2}+Z_{2})\cdot Z_{6}(m_{1}=m_{2}=1)$ または$L=G_{2}/T^{2}\cdot Z_{6}(m_{1}=m_{2}=2)$と仮定する．このとき， は強ハミルトン安定で
$L$

ある．

$g=4$ の場合，すでに述べたように，等質なものと非等質なものがある (Ozeki-

Takeuchi, Ferus-Karcher-M\"unzner, Cecil-Chi-Jensen, Immervoll).

定理 62([28]). $g=4$ では等質と仮定する．このとき，.
$L=SO(5)/T^{2}$$(m_{1}=m_{2}=2)$(1)は，強ハミルトン安定である．
Z4(2) $L=U(5)/(SU(2)\cross SU(2)\cross U(1))$ . Z4 $(m_{1}=4, m_{2}=5)$ は，強ハミルト$L=\mathcal{G}(N^{n})$ン安定である．

(3) $L=(SO(2)\cross SO(m))/(Z_{2}\cross SO(m-2))$ . $Z_{4}(m_{1}=1,$ $m_{2}=m-2,$ $m\geq$

3 とする．もし $m_{2}-m_{1}\geq 3$ ならば， はハミルトン安定でない．もし
$L$

$)$

$L$
$m_{2}-m_{1}=2$ ならば，はハミルトン安定だが，強ハミルトン安定でない．

もし $m_{2}-m_{1}=1$ または $0,$ $L$ は強ハミルトン安定である．

(4) $L=S(U(2)\cross U(m))/S(U(1)\cross U(1)\cross U(m-2)))$ . Z4 $(m_{1}=2,$ $m_{2}=$$L$ はハミルトン安定でな$2m-3,$ $m\geq 2)$ とする．もし $m_{2}-m_{1}\geq 3$ ならば，$L$またはは強ハミルトン安定である．
一 1,
い．もし $m_{2}-m_{1}=1$(5) $L=Sp(2)\cross Sp(m)/(Sp(1)\cross Sp(1)\cross Sp(m-2)))$ . Z4 $(m_{1}=4,$ $m_{2}=$$4m-5,$ $m\geq 2)$ とする．もし $m_{2}-m_{1}\geq 3$ ならば， はハミルトン安定でない．もし $m_{2}-m_{1}=-1$ ならば， は強ハミルトン安定である．
(6) $L=U(1)\cdot Spin(10)/(S^{1}\cdot Spin(6))\cdot Z_{4}(m_{1}=6,$ $m_{2}=9$ , thus $m_{2}-m_{1}=3$ !
は，強ハミルトン安定である !
$L$

$L$

$)$

定理 6.3 ([28]). $(U, K)$ は，EIII 型，即ち $(U, K)\neq(E_{6}, U(1)\cdot Spin(10))$ , でないと仮$|m_{2}-m_{1}|\geq 3$ のとき，そ定する．このとき，がハミルトン安定でないのは，$(U,K)\neq(E_{6},
U(1)\cdot Spin(10))$$(U,
K)$のときに限る．さらに，もしは，EIII 型，即ち
$L=\mathcal{G}(N)$$(m_{1}, m_{2})=(6,9)$ だが，ならば，$L=\mathcal{G}(N)$は，強ハミルトン安定である．

7. 標準球面の余接ベクトル東内の余等質性 1 特殊ラグランジュ部分多様体

を，それぞれ $(n+1)$ 次元単位標準球面 $S^{n+1}(1)$ の接ベクトル束および余接ベクトル束とする．特殊直交群 $SO(n+2)$ は，等長変換群$TS^{n+1}(1)$の単位元成分として $S^{n+1}(1)\subset R^{n+2}$ 上に効果的かつ推移的に群作用し，$TS^{n+1}(1)$ および $T^{*}S^{n+1}(1)$20$S^{n+1}(1)$ の標準計量に関および $T^{*}S^{n+1}(1)$ 上にも自然な仕方で群作用を誘導する．
$T^{*}S^{n+1}(1)$$TS^{n+1}(1)$をと同一視する．
して，$N^{m}$ は $S^{n+1}(1)$ にはめ込まれた $m$ 次元部分多様体であると仮定す
より一般に，$S^{n+1}(1)$ における $N^{m}$ の余法ベクトル束 (conormal vector bundle) は，る．

$\nu_{N}^{*}:=\prod_{p\in N^{m}}\{\alpha\in T_{p}^{*}S^{n+1}(1)|\alpha(T_{p}N^{m})=0\}$と定義され，その単位余法ベクトル束 (unit conormal bundle) を，$U(\nu_{N}^{*}):=\{\xi\in\nu_{N}^{*}|\Vert\xi\Vert=1\}$$S^{n+1}(1)$ の余法ベクトル束と定める．余法ベクトル東崎は，$T^{*}S^{n+1}(1)$におけるラグランジュ部分多様体であることは古典的によく知られた事実である．単位余法ベ
クトル束 $U(T^{*}S^{n+1}(1))$ は，スティーフェル多様体$V_{2}(R^{n+2}):=\{(a, b)| a, b \in R^{n+2}, \Vert a\Vert=\Vert b\Vert=1, \langle a, b\rangle=0\}$$\cong SO(n+2)/SO(n)$(2.1)に微分同相である．さらに，単位余法ベクトル束 $U(T^{*}S^{n+1}(1))$ は，$Q_{n}(C)$ 上の-主束である．ここで，$U(T^{*}S^{n+1}(1))$ は，標準的な接触構造をもち，$U(T^{*}S^{n+1}(1))$ のルジャンドレ部分多様体であの単位余法ベクトル束
は，$Q_{n}(C)$ にはめ込まれたラグランジュ部分
によるる．このとき，の射影は，$N^{m}=N^{n+1}$$S^{n+1}(1)$がにおける向き付けられた超曲面である場多様体を与える．
$\overline{Gr}_{2}(R^{n+2})\cong$$S^{1}$$N$$U(\nu_{N}^{*})$$U(\nu_{N}^{*})$$p_{2}$の連結成分をとるならば),
合(る．次のダイアグラムが成り立つ:$U(\nu_{N}^{*})$$\nu_{N}^{*}$$arrow$
Lag.

この構成は，前出のガウス写像構成と一致す$T^{*}S^{n+1}(1)$$\downarrow$$\downarrow$

U(T Sn$*$$U(\nu_{N}^{*})$$\div$

一一一一

$+$

l

(1)) $\cong V_{2}(R^{n+2})$Leg.
$p_{2}\downarrow S^{1}$$\downarrow$$p_{2}(U(\nu_{N}^{*}))arrow^{Lag.}$$Q_{n}(C)$$p_{1}\downarrow S^{n}$$S^{n+1}(1)\supset N^{m}$imm. submfd.
$\overline{Gr}_{2}(R^{n+2})\cong Q_{n}(C)$ 上
単位余接ベクトル束 $U(T^{*}S^{n+1}(1))\cong V_{2}(R^{n+2})$ は，の標準的な等質 $(SO(n+2)$ -不変な アインシュタインー佐々木多様体構造をもち，$(0, \infty)\cross V_{2}(R^{n+2})=CV_{2}(R^{n+2})\cross CU(T^{*}S^{n+1}(1))\cong TS^{n+1}(1)\backslash \{0\}$ 上の対応
する錐リーマン計量は，リッチ平坦ケーラー計量である (参照 [6]). さらに，錐$CU(T^{*}S^{n+1}(1))$ over $U(T^{*}S^{n+1}(1))$ は，ケーラー錐計量に関して $CV_{2}(R^{n+2})$ にお$)$けるラグランジュ部分多様体である．このとき，次の 3 条件は互いに同値であることはよく知られている:

(1)
(2)

$p_{2}(U(\nu_{N}^{*}))$

は，標準エルミート対称アインシュタインーケーラー計量に関して$Q_{n}(C)$の極小ラグランジュ部分多様体である．

$U(\nu_{N}^{*})$

は，標準的な等質アインシュタインー佐々木計量に関して $U(T^{*}S^{n+1}(1))\cong$$V_{2}(R^{n+2})$の極小レジュンドレ部分多様体である．

21
(3)

$CU(\nu_{N}^{*})$

は，リッチ平坦ケーラー錐計量に関して $CV_{2}(R^{n+2})$ における極小ラグランジュ部分多様体である．よって，ある位相に対する特殊ラグランジュ
部分多様体である．
$S^{n+1}(1)$ における各等径超曲面
それゆえ，$N^{n}$

は，リッチ平坦ケーラー錐計量を備えた $CV_{2}(R^{n+2})$ における特殊ラグランジュ部分多様体を与える．とくに，もし $N^{n}$ が$S^{n+1}(1)$の等質等径超曲面であるならば，錐$CU(\nu_{N}^{*})$

は，リッチ平坦ケーラー錐計量をもつ $CV_{2}(R^{n+2})$ における余等質性 1 特殊ラグランジュ部分多様体である．
Stenzel ([52]) は，コンパクト階数 1 対称空間 $G/K$ の (余) 接ベクトル東上に$G$ の誘導群作用で不変な(よって，余等質性 1 の) 完備なリッチ平坦なケーラー計量を構成した．その計量は，シュテンツェル計量 (Stenzel meteric) と呼ばれる．
$T^{*}S^{n+1}(1)\cong TS^{n+1}(1)$ 上のシュテンツェル計量は，$SO(n+2)$ の標準群作用で不変な完備リッチ平坦なケーラー計量である．

S. Karigiannis と M. Min-Oo ([25]) は，$N^{m}$

体であることと，その余法ベクトル束$TS^{n+1}(1)$$\nu_{N}^{*}$

が $S^{n+1}(1)$ のおける austere 部分多様がシュテンツェル計量に関して $T^{*}S^{n+1}(1)\cong$

における特殊ラグランジュ部分多様体であることが，同値であることを示した．ここで，リーマン多様体の極小部分多様体が，各法ベクトル に対して，形
作用素の固有値の集合が $(-1)$ 倍で不変であるとき，austere であると呼ばれる$\nu$$A_{l\ovalbox{\tt\small REJECT}}$([19, p.102]).

$S^{n+1}(1)$ における austere 部分多様体であが，$m_{1}=m_{2}$ であることに注意する (命題 3.1 を見よ).
るための必要十分条件は，$S^{n+1}(1)$内の極小等径超曲面$N^{n}$

一方，補題 4.1 によって，もし $S^{n+1}(1)$ 内の向き付けられた極小超曲面

がaustere ならば，ガウス写像 : $N^{n}arrow Q_{n}(C)$ が極小ラグランジュはめ込みである．
このようにして，は，リッチ平坦ケーラー錐計量をもつ $CV_{2}(R^{n+2})$ におけ$N^{n}$$\mathcal{G}$$CU(\nu_{N^{n}}^{*})$る特殊ラグランジュ部分多様体であり，同時に，その余法ベクトル束$\nu_{N^{n}}^{*}$

は，シュテ

ンツェル計量に関して $T^{*}S^{n+1}(1)\cong TS^{n+1}(1)$ の特殊ラグランジュ部分多様体である．
$CU(v_{N^{n}})$が $S^{n+1}(1)$ の austere ではない等径超曲面ならば，
しかしながら，もし$N^{n}$

は，リッチ平坦ケーラー錐計量をもつ $CV_{2}(R^{n+2})$ の特殊ラグランジュ部分多様体であるが， arlglannls と Min-Oo の結果によって，その余法ベクトル束
は，シュ
$K$

$\nu_{N^{n}}^{*}$

テンツェル計量に関して $T^{*}S^{n+1}(1)\cong TS^{n+1}(1)$ における特殊ラグランジュ部分多が $S^{n+1}(1)$様体ではない，ということには注意すべきである．そしてまた，もしの austere 等質等径超曲面ならば，その余法ベクトル束
は，シュテンツェル計量$N^{n}$$\nu_{N^{n}}^{*}$

に関して $T^{*}S^{n+1}(1)\cong TS^{n+1}(1)$ の余等質性 1 の特殊ラグランジュ部分多様体である，ということもわかる．

$T^{*}S^{n+1}(1)\cong TS^{n+1}(1)$ 内の余等質性 1 特殊ラグランジュ部分多様体を分類
問題．

せよ．

最近，橋本要 (大阪市立大学，D3) と酒井高司 (首都大学東京/OCAMI) ([20]) は，が $S^{n+1}(1)$ 内の $g=1,2$ の等径超曲面の場合に，リッチ平坦ケーラー錐計量をも$N^{n}$

つ $CV_{2}(R^{n+2})$ 内の特殊ラグランジュ錐 $CU(\nu_{N^{n}}^{*})$ から変形されたシュテンツェル計

量に関する $T^{*}S^{n+1}(1)\cong TS^{n+1}(1)$ 内の余等質性 1 特殊ラグランジュ部分多様体の分類問題を詳細に研究している．彼等の研究は，目下進展中である．

$g=3,4,6$ の場合に，そのような余等質性 1 特殊ラグランジュ部分多様体を研問題．
究せよ．
$T^{*}S^{n+1}(1)\cong TS^{n+1}$ 内の余等質性 1 特殊ラグランジュ部分多様体を分類するためには，そのようなコンパクトリー群の作用を決定することがまず必要である．これに関しては，次を示すことができる．
定理 71. $K\subset SO(n+1)$ を連結コンパクトなりー部分群とする．シュテンツェル
計量のケーラー形式に関する $K$ の $TS^{n+1}$ 上への群作用に対する標準的な運動量写

22
像を

$\mu$

$K\subset SO(n+1)$ の群作用が，: $TS^{n+1}arrow t$ によって表わす．今，$L\subset\mu^{-1}(0)$なる余等質性 1 ラグランジュ部分多様体 $L\subset TS^{n+1}$ をもつと仮定する．このとき，$S^{n}(1)$

上への $K$ の群作用は，余等質性 1 をもつ．

8. 擬リーマンの場合への拡張
問題．実双曲空間形や擬リーマン空間形内の向き付けられた超曲面の場合に同様な理論を研究せよ．我々のガウス写像構成の実双曲空間形や擬リーマンの場合への拡張を研究することも興味ある問題である．

私の新しい博士課程大学院学生，櫻井基晴 (大阪市立大学，Dl) は，実双曲空間形
や擬リーマン空間形内の向き付けられた擬リーマン超曲面に対するガウス写像のラグランジュ性や平均曲率形式公式の拡張を研究している．つい最近，そのいくつかの結果が Anciaux [2] によっても得られていることを知った．

J. Hahn’s work ([17], [18]) の研究から，擬リーマンの向き付けられた 2 次元ベク
トル部分空間の実グラスマン多様体の極小ラグランジュ部分多様体の等質な例や非等質な例など多くの興味深い例を得ることができる．

REFERENCES[1] U. Abresch, Isoparametmc hypersurfaces unth four and six pnncipal curvatures. Math.
Ann. 264 (1983), 283-302.
[2] H. Anciaux, Spaces of geodesics of pseudo-Riemannian space forms and normal congruences of hypersurfaces. arXiv: 1112. $1758v2$ [math.DG] 9 Dec 2011.
[3] A. Amarzaya and Y. Ohnita, Hamiltonian stability of certain minimal Lagrangian submanifolds in complex projective spaces, Tohoku Math. J. 55 (2003), 583-610. (a list of
misprints : http: //mathOl.sci.osaka-cu.ac.jp/ ohnita $/paper/$ ListOfCorrect.pdf)-cohomology spheres with orbits of codi[4] T. Asoh, Compact transformation groups on
mension 1, Hiroshima Math. J. 11, 571-616 (1981). Supplement to ”Compact transforma-cohomology spheres wzth orbits of codimension 1 ‘’. Hiroshima Math. J.
tion groups on
13, 647-652 (1983)[5] A. Borel and F. Hirzebruch, Characterzstic classes and homogeneous spaces, I. Amer. J.
Math. 80 (1958), 458-538.
[6] C. Boyer and K. Galicki, Sasakian Geometry. Oxford Mathematical Monographs, Oxford
University Press, Oxford, 2008.
[7] T. E. Cecil, Isopammetric and Dupin hypersurfaces. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 4 (2008), 062, 1-28.
[8] T. E. Cecil, Q.-S. Chi and G. R. Jensen, Isoparametrec hypersurfaces
four prencipal
curvatures. Ann. of Math. 166 (2007), 1-76.
[9] B. Y. Chen, Geometry of Submanifolds and its Applications, Science University of Tokyo,$\sim$$Z_{2}$$Z_{2}$$w^{J}ith$

1981.
II.
Isoparametrec hypersurfaces with four pmncipal curvatures,[10] Q.-S. Chi,
arXiv: 1002. $1345v2$ [math.DG] $3Jun$ 2010.
Isoparametrec hypersurfaces with four przncipal curvatures, III.
[11] Q.-S. Chi,
arXiv: 1104. $3249v2$ [math.DG] 19 May 2011.
[12] P. Dazord, Sur la geometne des sous-fibres et des feuilletages lagrangiens, (French) [Onthe geometry of subbundles and Lagrange foliations]. Ann. Sci. \’Ecole Norm. Sup. (4) 14(1981), no. 4, 465-480.
[13] J. Dorfmeister and E. Neher, Isoparametric hypersurfaces, case $g=6,$ $m=1$ . Comm.
Algebra 13 (1985), 2299-2368.
[14] D. Ferus, H. Karcher and H. F. M\"unzner, Cliffordalgebren und neue isoparametrzsche
Hyperflachen. Math. Z. 177 (1981), 479-502.

23[15] K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta and K. Ono, Lagrangian Intersection Floer Theory- anomaly
and obstruction. AMS/IP Studies in Advanced Math. 46, International Press/Amer. Math.
Soc. (2009).
[16] H. Gluck, F. Morgan and W. Ziller, Calibrated geometries in Gmssmann manifolds. Comment. Math. Helv. 69 (1989), 256-268.
[17] J. Hahn, Isoparametric hypersurfaces in the pseudo-Riemannian space forms. Math. Z.
187 (1984), 195-208.
[18] J. Hahn, Isotropy representations of semisimple symmetric spaces and homogeneous hypersurfaces. J. Math. Soc. Japan 40 (1988), 271-288.
[19] R. Harvey and H. B. Lawson, Jr., Calibrated geometries. Acta Mathematica 148 (1982),

47-157.
[20] K. Hashimoto and T. Sakai, Cohomogeneity one special Lagrangian submanifolds in the
cotangent bundle of the sphere. To appear in Tohoku Math. J.
[21] W.-Y. Hsiang and H. B. Lawson, Jr., Minimal submanifolds of low cohomogeneity. J.
Differential Geom. 5 (1971), 1-38.
[22] S. Immervoll, On the classification of isoparametric hypersurfaces with four distinct principal curvatures in spheres. Ann. of Math. 168 (2008), 1011-1024.
[23] 入江 博，コンパクト型 Hermite 対称空間の実形の対の Floer ホモロジーとその応用．第 58 回
$pp9-21$ .
幾何学シンポジウム予稿集，2011 年 8 月 27 日 $-30$ 日，山口大学，[24] H. Iriyeh, H. Ono and T. Sakai, Lagrangian Floer homology of a pair of real forms in
Hermitian symmetric spaces of compact type. Tokyo Metropolitan University Mathematics
and Information Sciences Preprint Series, 2011: No. 2. Received on February 8, 2011.
[25] S. Karigiannis and M. Min-Oo, Calibrated subbundles in non-compact manifolds of special
holonomy, An. Global Anal. Geom. 28 (2005), 371-394.
[26] H. Ma and Y. Ohnita, On Lagrangian submanifolds in complex hyperquadrics and isoparametric hypersurfaces in spheres. Math. Z. 261 (2009), 749-785.
[27] H. Ma and Y. Ohnita, Di. が erential Geometry of Lagrangian Submanifolds and Hamiltonian Variational Problems. in Harmonic Maps and Differential Geometry, Contemporary
Mathematics vol. 542, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, pp. 115-134.
[28] H. Ma and Y. Ohnita, Hamiltonian stability of the Gauss images of homogeneous isopammetn hypersurfaces. a preprint (2010).
[29] R. Miyaoka, The Dorfmeister-Neher theorem on isoparametrzc hypersurfaces. Osaka
J. Math. 46 (2009), no. 3, 695-715.
[30] R. Miyaoka, Isoparametric hypersurfaces with $(g, m)=(6,2)$ . a preprint, 2009.
[31] H. F. M\"unzner, Isopammetrische Hyperfl\"ache in Spharen. Math. Ann. 251 (1980), 57-71.
[32] H. F. M\"unzner, Isoparametrische Hyperfiache in Spharen, II. Math. Ann. 256 (1981),$c$

215-232.
[33] Y. G. Oh, Second variation and stabilities of minimal Lagrangian submanifolds in Kahler
manifolds. Invent. math. 101 (1990), 501-519.
[34] Y. G. Oh, Tight Lagrangian submanifolds in $CP^{n}$ . Math. Z. 207 (1991), 409-416.
[35] Y. G. Oh, Volume minimization of Lagrangian submanifolds under Hamiltonian deformations. Math. Z. 212 (1993), 175-192.
[36] Y. G. Oh, Floer cohomology of Lagmngian intersections and pseudo-holomorphic disks,I. Comm. Pure. Appl. Math. 46 (1993), 949-993. Appendum to “Floer cohomology of
Lagrangian intersections and pseudo-holomorphic disks, I“. Comm. Pure. Appl. Math. 48(1995), 1299-1302.
[37] Y. G. Oh, Floer cohomology of Lagrangian intersections and pseudo-holomorphic disks, II:. Comm. Pure. Appl. Math. 46 (1993), 949-994.
[38] Y. G. Oh, Mean curvature vector and symplectic topology of Lagrangian submanifolds in
Einstein-Kihler manifolds. Math. Z. 216 (1994), 471-482.
[39] Y. G. Oh, Floer cohomology of Lagrangian intersections and pseudo-holomorphic disks,
III: Arnold-Givental Conjecture. The Floer Memorial Volume, H. Hofer, C. H. Taubes,
A. Weinsitein, E. Zehnder ed., Progress in Mathematics 33 (1995), 555-573, Birkh\"auser
Verlag, asel, Boston, Berlin.
[40] Y. Ohnita, Totally real submanifolds with nonnegative sectional curvature, Proc. Amer.
Math. Soc. 97 (1986), 474-478.
[41] Y. Ohnita, Stability of harmonic maPs and standard minimal immersions. Tohoku Math.
J. 38 (1986), 259-267.
$(\mathbb{C}P^{n}, \mathbb{R}P^{n})$

$B$

24

OSAKA CITY UNIVERSITY ADVANCED MATHEMATICAL INSTITUTE & DEPARTMENT OF MATHEMATlCS, OSAKA CITY UNIVERSITY, 558-8585, JAPANE-mail address: ohnita@sci.osaka-cu.ac.jp