数理解析研究所講究録
931 巻 1995 年 45-69

45Painlev\’e 系の初期値空間について

高野恭

神戸大学

(TTAKANO,$\mathrm{K}_{}o|\mathrm{C}\mathrm{h}|$\S 1. 序式

もう 20 年階前のことになるが、 岡本和夫さんが各 Painleve 方程に対して、解の舞台ともいうべき良い性質を持つ fiber 空間 $P_{J}=$$P_{J}$$(E_{J}, \pi_{J}, B_{J})$を構成した ([7])。各 fiber $E_{J}(t)=\pi_{J^{-1}}(t)(t\in B_{J})$ はの解全体を過不足なく parametrize するので、 岡本さんはそれを初期空間 (espaces des conditions initiales) と呼んだ $([7],[9])_{\circ}$ ここで$P_{J}$$B_{J}$

から有限個の動かない特異点を除いた領域を表す。当が多項式型の Hamilton 系 $(H_{J})$ と同値であることが認識さは複素射影直線
時はまだ$P_{J}$$\mathrm{P}$れていなかったので、 岡本さんは、$P_{J}$と同値な定数倍を窪いて $(H_{J})$ と同じである 1 階 2 連立微分方程式を求めておいてから、 fiber 空間$P_{J}$を構成したのであった。少し後に見つけられた Hamilton 系 $(H_{J})$ は第には適当は名前の全空間
Painlev\’e 系と呼ばれている。 fiber 空間
がついていないので、 こごでは Painleve 系 $(H_{J})$ の定義空間とでも呼んでおく。 また初期空間も、私の耳には初期値空間と聞こえていてそれに$J$$\mathcal{P}_{J}$$E_{J}$

慣れてしまったので、 ここでは初期値空間ということにする。 (木村弘信さんが数学の論説 [4] で Garnier 系の初期値空間といっていたからかもしれない。 かつて木村俊房先生は相空間 (phase space) がよいと言っておられた。) 名前が定まっていないのは不便なので、 岡本さんか誰か$E_{J}$

をこめて適当な命名をしてくれると有り難い。

Painleve 方程式$P_{J}$.

あるいは Painleve 系 $(H_{J})$ についてはその後多くの注目すべき研究があった。 この研究集会で連続講演が行なわれている、竹井さんや河合さん達による漸近解析のように現在進行中のものもある。誰かが新しい切り口を見いだして流行の波を作り、 しばらくしてその波が引くという過程を繰り返すとしても、 Painleve 方程式の研究は21 世紀になってもずっと続くと思われる。 この魅力ある対象にはだ知られていない深い性質が沢山あるように思われるからである。

$\sqrt$ま)46

私は、 P. Painlev\’e が今日 Painleve\’e 方程式と言われるものを見い出す大変な計算をした動機が新しい超越関数を求めることにあったのだから、 Painlev\’e 方程式の研究は Painlev\’e 関数 (Painlev\’e 方程式の解) の関数としての研究でなければならないという狭い考えにとらわれつつ、
Painlev\’e 関数の動かない特異点の研究をしばらくしていた $([11],[12])_{\circ}$
もちろん岡本さんが見つけた Painlev\’e 系 $(H_{J})$ の持つうまい性質を利用してである。 かなりうまくいったとは思っているが、方程式が非線形であるので線形の場合とは異なり、 このような局所的な問題にも完全な解答は与えられなかった。 これは始めから分かっていることで、局所的な問題にさらに局所的な解答しか与えられない。動く極の存在が問題なのである。 Painlev\’e 系 $(H_{J})$ の解 $(x(t), y(t))$ に対して関数 $x(t)$ や $y(t)$ は極を持ちうるので、 $(H_{J})$ をそれが定義されている空間$\mathrm{C}^{2}\cross B_{J}\ni(x, y, t)$においてのみ考えていては不十分なのである。 岡本さんが構成したここでいうところの定義空間$E_{J}$

において考えなければならない。我々は解の振る舞いを見ようというのだから、を適当な開集合で覆い、各開集合に適当な座標を導入し、 その座標を用いて Painlev\’e 系 $(H_{J})$ をきち$E_{J}$

んと書き表す必要がある。 しかし連立微分方程式の座標変換を具体的に実行するのは大変であるし、 ただ複雑な式を書き下してもみても意味がない。 出発点である $(H_{J})$ が簡単な形をした Hamilton 系であるのだか

ら、座標変換が symplectic になるように、 そして各座標近傍で $(H_{J})$ が
簡単な Hamilton 系になるようにしたい。 こういう訳で岡本さんの論文[7] を読み返すことにした。始めにも述べたように [7] が書かれた当時は
まだ Painlev\’e 系 $(H_{J})$ が知られていなかったので、 $(H_{J})$ に合わせて [7]と同様な計算をしてみた。 この話をするとよく聞かれるのであらかじめ注意しておくが、定義空間

は微分方程式の変換を丹念に計算しなが$E_{J}$

ら構成するのである。
定義空間のをどう構成するかをごく簡単に述べておこう。 まず

minimal compactification

し、$B_{J}$$E_{J}$$\epsilon$は$(H_{J})$の各 fiber$\overline{\Sigma}_{\epsilon}$をとる。 これは parameter$\epsilon$に依存に含まれる定数に依存する。次に、 自明な fiber 空間$\overline{\Sigma}_{\epsilon}$$\mathrm{C}^{2}$$\overline{\Sigma}_{\epsilon}\chi$

対 $(t\in B_{J})$ ごとに有限回モノイダル変換を繰り返してコンパクトな 2 次元複素多様体$\overline{E_{J}(t)}$を得る。 そして$\overline{E}_{J}=\bigcup_{t}\in B_{J}\cross t$47と定義する。 ここが本質的な部分である。 Hamilton 系 $(H_{J})$ を変数 ,
$x$

$t$

$y,$

に対する Pfaff 系とみて、 これが定める foliation を注意深く観察しながら、$\text{モ}$ノイダル変換を行なっていくのである。最後に各$\overline{E_{J}(t)}$からvertical leaves (ある fiber に含まれる leaf を vertical leaf という) と foliation の特異点を除いて非コンパクトな 2 次元複素多様体 $E_{J}(t)$ を得て、
$E_{J}= \bigcup_{t\in B_{J}}E_{J}(t)\cross t$と定義する。

第 VI Painlev\’e 系の定義空間 $E_{VI}$ の計算は比較的簡単で、 $E_{VI}$ は$\mathrm{C}^{2}\cross BvI$の 6 個のコピーを簡単な birational かつ symplectic な関係式

で貼り合わせたものであることが分かる。 しかも各チャート$V(*)\cross B_{VI}\ni(x(*\mathrm{I}, y(*),$ $t)$$\mathrm{C}^{2}\cross B_{VI}=$

において、 Hamiltonian が $x(*)$ と $y(*)$の多項式となる。 これが数年前のことであった。 しめしめと思って第 $V$の考察に進んだところ、 なかなか座標
Painleve 系 $(Hv)$ の定義空間
変換が symplectic にならない。 しばらく諦めて放っておいたのであるが、昨年 Strasbourg の Gerard 氏のところに行く機会を得て、やはりそこに$E_{V}$

滞在していた岩崎克則さんと久しぶりに数学的な時を過ごした折、単に逆数をとるという変換を途中に挟めば symplectic になることに、 しかもとすると)Hamiltonian が $x(*)$
各チャ $-$ トで (その座標を $(x(*),$ $y(*),$$t)$と $y(*)$ の多項式になることに気付いた。他の $E_{J}$ については帰国してから神戸大学の院生 (俣野君と松宮君) にしてもらった ([6])。ただし$E_{I}$

はまだ出来ていない。 これが第 1 の主張である。
第 2 の主張に移ろう。 岡本さんの論文 [7] の解説でもある

”

数学

”

の論説 [9] の最後の方に (また木村さんの論説 [4] にも命題 6.1 として引用されているが) 細かい条件を抜きにしかも大雑把にいうと上で定義される微分方程式は Painlev\’e 方程式$P_{J}$$\text{、}$

各$E_{J}$のに限る、 ということがにおけるある条件を仮定する。) 我々
述べられている。. (正確にはの簡単な記述を得たのであるから、 この主張も容易に確は定義空間$\overline{E}_{J}$$E_{J}$

かめられそうである。 そこでやはり神戸大学院生の塩田君と、手始めに、.

$E_{VI}$

上で正則な Hamilton 系がどのような条件の下で Painleve 系 $(H_{VI})$から決まる Hamilton 系と –致するかを調べることにした。

空間 $E_{VI}$ は 6 個のあるが、$V(\mathrm{O}\mathrm{O})\cross B_{VI}$$\mathrm{C}^{2}\cross BvI$のコピー $V(*)\cross B_{VI}$ の貼り合わせでを $(H_{VI})$ が定義されている座標近傍とし、座標48$(x(00), y(\mathrm{o}\mathrm{O}),$ $t)$を簡単のために $(x, y, t)$ と書く。理由はないが試みに、上で定義される正則な Hamiltonian $K(x, y, t)$ が$V(00)\cross B_{V}I$

$x$

と

$y$

の

多項式でその係数は単に $B_{VI}$ 上の正則関数とする。 これが他のチャート$V(*)\cross BvI$

においても正則であるという条件は

$x$

と

$y$

の多項式 $K$ の係数に対する連立 1 次方程式として表される。 これを解いて $K=H_{VI}$ を言いたい。 Hamiltonian $H_{VI}$ が については 2 次以下、 については
$y$

$x$

3 次以下であるので、 まずこの条件の下で連立 1 次方程式を塩田君に解いてもらうことにした。上に述べたように私は Painleve 系の動かない特異点の研究をしたことがあり、 その場面では動かない特異点が方程式の1 位の極であるか 2 位以上の極であるかは大違いであったので、動かない特異点 $t=0,1,$
に関する何らかの条件なしには、連立 1 次方程式$\infty$の解は唯–つに定まらないと予想していた。 どのような条件を付けるかは塩田君の計算結果を見てから考える積もりだった。 しかし予期に反して彼は解が唯–つに決まるという結果を持って来た。連立 1 次方程式が意的に解けて $K=H_{VI}$ になるのである。 これは我々の $E_{VI}$ の表し方になかったことも意味する。昨年の秋のことであった。 それではという訳で、多項式の次数に関する条件なしで $K=H_{VI}$ を共同で
$5\mathrm{B}5\ovalbox{\tt\small REJECT}_{_{3}\dot{\mathrm{B}}\grave{\grave{\mathrm{x}}}}:.\cdot\sim$示すことにした。 2 項係数を成分にもつ行列の行列式の計算に苦労したが、昨年の暮れに、多項式という範囲では正しいことを確かめた。連立
1 次方程式を解きさえすればよいというのは、. ある意味で感動的であった。 ここまで来ると多項式などという条件は除きたくなる。空間
上$E_{VI}$

で正則な Hamilton 系は $(H_{VI})$ から決まるものに限るということを示し
たくなる$\circ$

これが言えれば、 Painleve 系 $(H_{VI})$ はその定義空間 $E_{VI}$ に

よって完全に規定されるということになり、 $(H_{VI})$ の大域解析は定義空
間 $E_{VI}$ の本質的には各 Pber $E_{VI}(t)$ の幾何学に帰着すると言えることになる。現在はそこまでは言えていなくて、 $E_{VI}$ 上で正則でまで有理的に拡張されるならばということまでは確かめた。 この$\overline{E}_{VI}$$\dot{I}\acute{\mathrm{t}}=H_{VI}$

有理的に拡張されるという仮走は、 各 $t\in B_{VI}$ に対して、 $E_{VI}(t)$ 上の正則関数は必ず$\overline{E}_{VI}(t)$上にまで有理的に拡張されるという命題が正しければ、除くことが出来る。
なおここに述べた $(H_{VI})$ の特徴付は、他の $J=V,$ $IV,$ $III,$ $II$ に

49

対しても成り立つことが、松宮君によって確かめられた。
以下、上に述べた 2 つの話を具体的に展開しよう。第 2 の主張の $J=$

VI の場合の証明も与える。

\S 2. Painlev\’e 系の定義空間の記述と Painlev\’e 系の特徴付け
Painleve 系 $(H_{J})$ とは次で与えられる
Hamilton 系 (Hamilton の正準方程式)$dx/dt=\partial H_{J}/\partial y$$(H_{J})$,を$H_{J}$$\mathrm{H}$amiltonian とする$dy/dt=-\partial H_{J}/\partial x$のことをいう :$H_{VI}(x, y, t)= \frac{1}{t(t-1)}[x(x-1)(x-t)y^{2}-\{\kappa_{0}(x-1)(x-t)$$+\kappa_{1}X(x-t)+(\kappa_{t}-1)x(x-1.)\}y+\kappa(x-t)]$ ,$\kappa=\frac{1}{4}\{(\kappa_{0}+\kappa_{1}+\kappa_{t}-1)^{2}-\kappa_{\infty}^{2}\}$;$H_{V}(x, y, t)= \frac{1}{t}[x(x-1)^{22}y-\{\kappa_{0}(x-1)^{2}$$+\kappa_{t}x(x-1)-\eta tX\}y+\kappa(x-1)]$ ,$\kappa=\frac{1}{4}\{(\kappa_{0}+\kappa_{t})^{2}-\kappa_{\infty}^{2}\}$;$H_{IV}(x, y, t)=2xy^{2}-\{x^{2}+2tx+2\kappa_{0}\}y+\kappa_{\infty}^{\prime x;}$$H_{III}(x, y, t)= \frac{1}{t}[2_{X^{2}}y^{2}-\{2\eta_{\infty}tx^{2}$$+(2\kappa_{0}+1)x-2\eta 0t\}y+\eta_{\infty}(\kappa_{0}+\kappa_{\infty})tx]$$H_{II}(x, y, t)= \frac{1}{2}y^{2}-(x^{2}+\frac{t}{2})y-(\alpha+\frac{1}{2})x$;.

は複素変数、 その他の文字は複素定数を表す ([2] を参照)。
力 1“ の 2 次式であるので消去は
各 $(H_{J})$ から変数 を消去すると (ここで $x,$ $y,$$t$

$H_{J}$$y$

簡単に出来る) 、変数$x$についての 2

それがまさに Painlev\’e の微分方程式$y$$\text{階非線形微分方程式が得}\ovalbox{\tt\small REJECT}\iota\ovalbox{\tt\small REJECT}$$P_{\dot{J}}$なのである。

られる。

.

第 1 の主張を定理の形で述べる。 5 っの定理に分けないでひとつの定理としたので 3 ページにわたる。

50

定理 1.

Painlev\’e 系 $(H_{J})$ の定義空間$E_{J}$

は次のように記述される $(J=VI, V, IV, III, II)$ 。

(i)

定義空間 $E_{VI}$ は 6 個ののコピー$\mathrm{C}^{2}\cross B_{VI}$$V(\mathrm{O}\mathrm{O})\cross B_{VI}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{VI}\ni(x, y, t)=(x(\mathrm{O}\mathrm{o}), y(\mathrm{o}\mathrm{o}),$$V(\mathrm{O}\infty)\cross B_{VI}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{VI}\ni(x(\mathrm{o}_{\infty}), y(\mathrm{o}_{\infty}),$ $t)$,$V(1\infty)\mathrm{x}B_{VI}=\mathrm{C}^{2}\mathrm{x}B_{V1}\ni(x(1\infty), y(1\infty),$ $t)$,$V(t\infty)\cross B_{VI}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{VI}\ni(x(t\infty), y(t\infty),$ $t)$

$t)$

,

,

$V(\infty \mathrm{O}+)\cross B_{VI}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{VI}F\ni(x(\infty \mathrm{o}+), y(\infty \mathrm{o}+),$ $t)$$V(\infty \mathrm{O}-)\cross B_{V}I=\mathrm{C}^{2}\cross B_{V1}\ni(x(\infty 0-), y(\infty \mathrm{O}-),$

$t)$

,

,

を次の symplectic な関係式により貼り合わせたものである :$x(00)=y(\mathrm{o}\infty)(\kappa 0-X(\mathrm{o}_{\infty})y(\mathrm{o}_{\infty}))$,$y(00)=1/y(0\infty)$ ,$x(00)=1+y(1\infty)(\kappa_{1}-x(1\infty)y(1\infty))$$x(00)=t+y(t\infty)(\kappa_{t}-X(t\infty)y(t\infty))$$x(\mathrm{O}\mathrm{O})=1/x(\infty \mathrm{O}+),$,,$y(00)=1/y(1\infty)$ ,$y(\mathrm{O}\mathrm{O})=1/y(t\infty)$$y(00)=x(\infty 0+)(\epsilon(+)-X(\infty \mathrm{o}+)y(\infty \mathrm{o}+))$$x(\infty 0+)=y(\infty 0-)(\kappa\infty-x(\infty 0-)y(\infty \mathrm{o}-)),$$B_{VI}=\mathrm{C}-\{\mathrm{o}, 1\}$,$\epsilon(\pm)=(\kappa 0+\kappa 1+\kappa_{t}-1\pm\kappa_{\infty})/\underline{9}$

定義空間$E_{V}$

は 5 個の$\mathrm{C}^{2}\cross B_{V}$,$y(\infty 0+)=1/y(\infty 0-)$

ここで

(ii)

,

.

のコピ一

$V(\mathrm{O}\mathrm{O})\cross B_{V}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{V}\ni(x, y, t)=(x(\mathrm{O}\mathrm{O}), y(\mathrm{o}\mathrm{O}),$$t)$$V(\mathrm{O}\infty)\cross B_{V}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{V}\ni(x(\mathrm{o}_{\infty}), y(\mathrm{o}_{\infty}),$ $t)$,$V(1\infty)\cross B_{V}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{V}\ni(x(1\infty), y(1\infty),$ $t)$,$V(\infty 0+)\cross B_{V}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{V}\ni(x(\infty 0+), y(\infty \mathrm{o}+),$ $t)$,$V(\infty 0-)\cross B_{V}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{V}\ni(x(\infty 0-), y(\infty \mathrm{O}-),$ $t)$

,

,

.

51

を次の symplectic な関係式により貼り合わせたものである :$x(00)=y(\mathrm{o}_{\infty})(\kappa 0-x(\mathrm{o}\infty)y(\mathrm{O}\infty))$$x(00)=1+x(1\infty)$ ,$x(\mathrm{O}\mathrm{O})=1/x(\infty \mathrm{O}+)$

,

,

.

,

$y(\mathrm{O}\mathrm{O})=1/y(\mathrm{O}\infty)$$y(00)=- \frac{\eta t}{x(1\infty)^{2}}+\frac{\kappa_{t}+1}{x(1\infty)}+y(1\infty)$,$y(\mathrm{O}\mathrm{O})=x(\infty \mathrm{O}+)(\epsilon(+)-X(\infty \mathrm{O}+)y(\infty \mathrm{o}+))$$x(\infty \mathrm{O}+)=y(\infty \mathrm{o}-)(\kappa_{\infty}-X(\infty \mathrm{o}-)y(\infty \mathrm{O}-))$,,$y(\infty 0+)=1/y(\infty 0-)$.

ここで
$B_{V}=\mathrm{C}-\{0\}$,$\epsilon(\pm)=(\kappa_{0}+\mathcal{K}t\pm\kappa_{\infty})/2$(iii)

定義空間 $E_{IV}$ は 4 個の$\mathrm{C}^{2}\cross B_{IV}$

.

のコピー

$V(\mathrm{O}\mathrm{O})\cross B_{IV}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{IV}\ni(x, y_{:}t)=(x(0.0), y(00),$ $t)$

$t)$

,

$V(\infty \mathrm{O})\cross B_{IV}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{IV}\ni(x(\infty 0),.y(\infty \mathrm{o}),$ $t)$,

$V(\mathrm{O}\infty)\cross B_{IV}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{IV}\ni(x(\mathrm{o}\infty), y(\mathrm{o}_{\infty}),$$V(\infty\infty)\cross B_{IV}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{IV}\ni(X(\infty\infty), y(\infty\infty),$ $t)$,,

を次の symplectic な関係式により貼り合わせたものである :$x(\mathrm{O}\mathrm{O})=x(\mathrm{O}\infty)$$x(00)=1/x(\infty 0)$ ,$x(\infty 0)=x(\infty\infty),$,$y( \mathrm{O}\mathrm{O})=\frac{\kappa_{0}}{x(0\infty)}+y(0\infty)$,$y(\mathrm{O}\mathrm{O})=x(\infty \mathrm{O})(\kappa_{\infty}-x(\infty \mathrm{O})y(\infty \mathrm{o}))$,.

$y( \infty 0)=\frac{-1/2}{x(\infty\infty)^{3}}+\frac{-t}{x(\infty\infty)^{2}}+\frac{2\kappa_{\infty}-\kappa 0+1}{x(\infty\infty)}.+y(\infty\infty)$

ここで$B_{IV}=\mathrm{C}$(iv)

定義空間 EIII は 4 個の.

$\mathrm{C}^{2}\mathrm{x}$BIII のコピー$V(00)\cross B_{III}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{III}\ni(x, y, t)=(x(00), y(\mathrm{O}\mathrm{O}),$ $t)$$V(0\infty)\cross B_{III}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{III}\ni(x(\mathrm{o}_{\infty}), y(\mathrm{O}\infty),$ $t)$,$V(\infty 0)\cross B_{III}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{111}\ni(x(\infty \mathrm{O}), y(\infty \mathrm{o}),$ $t)$,$V(\infty\eta_{\infty^{t}})\cross BIII=\mathrm{c}^{2}\mathrm{x}B_{III}\ni(x(\infty\eta_{\infty^{t),y}}(\infty\eta_{\infty}t), t)$

,

,

52

を次の symplectic な関係式により貼り合わせたものである :$x(\mathrm{O}\mathrm{O})=x(\mathrm{O}\infty)$,$x(\mathrm{O}\mathrm{O})=1/x(\infty \mathrm{O})$$x(\infty 0)=x(\infty\eta\infty t)$,,$y( \mathrm{O}\mathrm{O})=\frac{-\eta_{0}t}{x(\mathrm{o}_{\infty})^{2}}+\frac{\kappa_{0}+1}{x(0\infty)}+y(0\infty)$,$y(\mathrm{O}\mathrm{O})=x(\infty \mathrm{O})(\epsilon-X(\infty \mathrm{o})y(\infty \mathrm{O}))$,.

$y( \infty 0)=\frac{-\eta_{\infty}t}{X(\infty\eta_{\infty^{t}})2}+\frac{\kappa_{\infty}}{x(\infty\eta_{\infty}t)}+y(\infty\eta_{\infty}t)$

ここで

(v)

定義空間

$E_{II}$$B_{III}=\mathrm{c}-\{0\}$,$\epsilon=(\kappa 0+\kappa_{\infty})/2$.

は 3 個の$\mathrm{C}^{2}\cross B_{II}$のコピー$V(\mathrm{O}\mathrm{O})\cross B_{I1}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{II}\ni(x, y, t)=(x(\mathrm{O}\mathrm{O}), y(00),$ $t)$$V(\infty \mathrm{O})\cross B_{I1}=\mathrm{C}^{2}\mathrm{x}.B_{II}\ni(x(\infty 0), y(\infty \mathrm{O}),$ $t)$,,$V(\infty\infty)\cross B_{II}=\mathrm{C}^{2}\cross B_{II}\ni(x(\infty\infty), y(\infty\infty),$ $t)$,

を次の symplectic な関係式により貼り合わせたものである :$x(\mathrm{O}\mathrm{o})=1/x(\infty \mathrm{O})$$x(\infty 0)=x(\infty\infty),$.

$\text{・}$,$y(\mathrm{O}\mathrm{O})=x(\infty \mathrm{O})(\epsilon-x(\infty \mathrm{o})y(\infty \mathrm{o}))$,$y( \infty 0)--\frac{-2}{x(\infty\infty)^{4}}+\frac{-t}{x(\infty\infty)^{2}}+\frac{-\underline{\eta}_{\alpha}}{x(\infty\infty)}+y(\infty\infty)$

ここで$B_{II}=\mathrm{C}$,$\epsilon=-\alpha-\frac{1}{2}$.

定理の意味するところを税明しておこう。 まず symplectic 変換の復習からする。複素空間$\mathrm{C}^{3}\ni(X, \mathrm{Y}, t)$内の領域から $\mathrm{C}^{3}\ni(x, y, t)$ の中への biholomorphic な写豫 $x=x(X, \mathrm{Y}, t),$ $y=y(X, \mathrm{Y}, t),$ $t=t$ は$dy\wedge dx=dY\wedge dX$ ;.

53を満たすとき symplectic であるといわれる。 ここでラメ$-\ovalbox{\tt\small REJECT}$$t$は定数あるいはパと考える。 このとき任意の Hamilton 系$dx/dt=\partial H/\partial y$,$dy/dt=-\partial H/\partial x$$dX/dt=\partial I\iota^{r}/\partial Y$,$d\mathrm{Y}/dt=-\partial K/\partial X$

は Hamilton 系に変換されるが、$Ii^{\Gamma}$は$dy\wedge dx-dH\wedge dt=dY\wedge dX-dK\wedge.dt$

によって定まる。 ここでは$t$は変数と考える。 Hamiltonian $K$ は

$t$

のみ

の関数を加えるという不定性を除いて–意に決まる。
以下しばらく $J=VI$ とし、添字 VI は省略する。 6 個のラベルの
集合を

$I$

で表す :
$I=$

{ $00,0\infty,$$1\infty$, too,$\infty 0+,$$\infty 0$-}.

各 $V(*)\cross B,$ $B=B_{VI}$ を $E=E_{VI}$ の座標近傍と考える。貼り合

わせを調べると分かるように、 $E$ の各 fiber $E(t)$ は集合としては複素平面$V(\mathrm{O}\mathrm{O})=\mathrm{C}^{2}$と 5 本の複素直線 $\{y(*)--0\},$disjoint union である
座標近傍 $V(00)\cross B$ における Hamilton 系 $(H_{VI})$ は座標近傍 $V(*)\cross$$*\in I$ においても Hamilton 系で書けるが、 Hamiltonian $H(*)=$$\{x(\infty 0+)=0\}$ の$B_{\text{、}}$$*\neq 00,$ $\infty 0+$ と$H(*;x(*), y(*),$ $t)$ は $B$ で正則な$\circ$$t$の有理関数を係数とする $x(*)$ と $y(*)$の多項式であることが計算によって確かめられる。 この事実は重要である。例えば次のようなことが分かる。 座標近傍

$V(\mathrm{O}\infty)\cross B$

におけるHamilton 系$dx(\mathrm{o}\infty)/dt=\partial H(\mathrm{o}_{\infty)}/\partial y(\mathrm{O}\infty), dy(\mathrm{O}\infty)/dt=-\partial H(\mathrm{O}\infty)/\partial x(\mathrm{O}\infty)$の初期値問題$X(\mathrm{o}\infty)(t0)=h\in \mathrm{C}$,$y(0\infty)(t_{0})=0$54を考える。関数$H(\mathrm{O}\infty)$

が $x(0\infty)$ と$y(\mathrm{O}\infty)$の多項式でその係数が $B$ で正則であるので、 この初期値問題は–意に解ける。 この解を$V(\mathrm{O}\mathrm{O})\cross B$

における座標でみて $(x(h;t), y(h;t))$ と書くと、 これは$\lim_{tarrow t_{0}}X(h;t)=0,\lim_{tarrow t0}y(h;t)=\infty$を満たす $(H_{VI})$ の解である$(H_{VI})$$\circ$

このようにして点 $(x, y)=(0, \infty)$ を通るの無限個の解 $\{(x(h;t), y(h;t))|h\in \mathrm{C}\}$ が存在することが分かる。 ラベル$0\infty$

は点 $(x, y)=(0, \infty)$ を通る解を分離するのに都合のよい座標あるいはその座標近傍であることを示すものである。
次のような関係式も成り立つ。
$x(00)y(00)=\kappa_{0}-X(0\infty)y(0\infty)$,$(x(00)-1)y(\mathrm{o}\mathrm{o})=\kappa 1-x(1\infty)y(1\infty)$,$(x(00)-t)y(00)=\kappa_{t}-x(t\infty)y(t\infty)$ ,$x(00)y(00)=\epsilon(+)-X(\infty 0+)y(\infty \mathrm{o}+)$$=\epsilon(-)-X(\infty \mathrm{o}-)y(\infty 0-)$$x(\infty 0+)y(\infty 0+)=\kappa_{\infty}-x(\infty 0-)y(\infty 0-)$,.

定理 1 の注釈としての最後に次のことにも触れておこう。定義空間$E_{J}$

は岡本さんが構成した fiber 空間$P_{J}$の全空間であるので、 岡本さん

が [7] のなかで証明しているように次が成り立つ :” 任意の点 $P_{0}\in E_{J}$$(\pi_{J}(P0)=t_{0}\in B_{J})$$P_{0}$

に対して\tau Hamilton 系 $(H_{J})$ の$E_{J}$

への拡張はを通る局所解 $P=P(t)(\pi_{J}(P(t))=t)$ を–意に定めるが、 これは、を始点とする内の任意の曲線の上で延長される。
これは Painlev\’e 関数の動く特異点は高々極という所謂 Painleve\’e property を用いて示される。実はこの逆も正しい。すなわち、 もし Hamil$t_{0}$$B_{J}$

ton 系 $(H_{J})$ の上への拡張に対して上のことが言えれば ‘ Painlev\’eproperty の別証明が得られたことになる。
$E_{J}$

さて次に空間

$E_{J}$

上には $(H_{J})$ の拡張以外に Hamilton 系があるだ

ろうかという問題を考えよう。空間の座標近傍を区別するラベルの集合をで表す。各 $*\in I_{J}$ に対して $V(*)\mathrm{x}B_{J}$ で正則な関数$E_{J}$$I_{J}$$I\mathrm{t}^{r}(*)=$

55があって、 $I\iota’(*)$ が $(x(*), y(*),$ $t)$ と $(x(00), y(00),$ $t)$

$I\mathrm{s}^{\nearrow}(*;x(*), y(*),$ $t)$の間の symplectic 変換による$y(*),$ $t)\}*\in I_{j}$注意。
$E_{J}$

を$E_{J}$$E_{J}$$K(\mathrm{O}\mathrm{O})$の変換であるとき族$\{I\iota^{\nearrow}(*;x(*)$,

で正則な Hamilton 系ということにする。

上の Hamilton 系は$E_{J}$

上の関数を定義しない。 しかし上の 2 つの Hamilton 系 $\{K(*)\}_{*}$ と $\{K’(*)\}_{*}$ の差 $\{K(*)-K^{;}(*)\}*$

は関数を定義する。 ただし必要ならば のみの関数を加えることによっ
$t$

て。

空間

$E_{J}$$V(*)\cross B_{J}$上の正則な Hamilton 系のにおける閉包$\overline{E}_{J}$とき、 . この Hamilton 系は$\overline{E}_{J}$$\{I\backslash ^{r}(*)\}_{*}$$\overline{V(*)}\cross B_{J}$に対して、 各$I\mathrm{t}^{r}(*)$

がにまで有理的に拡張出来るにまで有理的に拡張出来るということにする。我々の第 2 の主張は次のように述べられる。
定理 2.

空間

$E_{J}$

上で正則かっ$\overline{E}_{J}$にまで有理的に拡張される Hamil-

ton 系は $(H_{J})$ が定めるものに限る。 ただし $J=VI,$$V,$ $IV,$$III,$ $II$ 。

\S 3. 定理 1 の証明の概略
定理 1 の $J=VI$ の場合の証明の概略を述べる。 そのために岡本さんの論文 [7] にある空間 $E=E_{VI}$ の構成法を我々の記号に合わせて述べる。 これをきちんとやればあとは簡単である。

3.1. 空間$\overline{\Sigma}_{\epsilon}$

.

複素平面

$\mathrm{C}^{2}$の minimal compactffication として

4 枚の $W_{i}=\mathrm{C}^{2}\ni(x_{i}, yi),$ $i=0,1,2,3$ を次の関係式$x_{0}=x_{1}$,$x_{0}=1/x_{2}$$x_{2}=x_{3}$$y_{0}=1/y_{1}$

,

,

,

$y_{0}=x_{2}(\epsilon-x_{2}y_{2})$$y_{2}=1/y_{3}$,,をとる。 この空間は良く知られたものである ([5]で貼り合わせた空間
としてはの Example 2.16) 。我々の場合は$\overline{\Sigma}_{\epsilon}$$\epsilon$$\epsilon=\epsilon(+)=(\kappa 0+\kappa 1+\kappa_{t}-1+\kappa\infty)/\underline{9}$とする。

$W_{1}$

内の $y_{1}=0$ と$W_{3}$

内の $y_{3}=0$ が対応していることに注意する。 Hamilton 系 $(H_{VI})$ を変数 $x,y,t$ に関する

Pfaff 系と考え、 それ56

を$\overline{\Sigma}_{\epsilon}\cross B$

全体にまで拡張し、 それが定める foliation を観察する。 まず、 $W_{i}\cross B,$ $i=0,2$ においては foliation は nonsingular ですべてのleaf が fiber に transversal である。 ところが

$W_{i}\cross B,$$i=1,3$ においては、各 $t\in B$ に対して$D^{(0)}(t)=(W_{1}(y_{1}=0)\cross t)\cup(W_{3}(y_{3}=0)\cross t)\cong \mathrm{P}^{1}$$a_{\nu}^{()}(0t)=\{(x_{1}, y_{1}, t)|x_{1}=\nu, y_{1}=0\}$$a_{\mathcal{U}}^{()}0(t)=\{(_{X_{3}}, y3, t)|x_{3}=y_{3}=0\}$,$\nu=0,1,$,$\nu=\infty$とおくと、 $D^{(0)}(t)- \bigcup_{\nu}\{a_{\nu}^{(}0)(t)\}$ が vertical leaf で 4 点$0,1,$ $t,$$\infty$各,,$a_{\nu}^{(0)}(t\mathrm{I},$$\nu=$

が foliation の特異点であることが確かめられる。

3.2. 点$t$$t$.

$a_{\nu}^{(0)}(t),$を中心とするモノイダル変換.
をを中心とするモノイダル変換$t\in B,$ $\nu=^{0},1,$ $t,$に対して–斉に、点$a_{\nu}^{(0)}(t)$$\infty$$Q_{a_{\nu}^{(0)}()}t$行なう。 $\nu=0,1,$ のときは$t$$x_{1}=\nu+\mathcal{Z}_{\nu}w_{\nu}$$x_{1}=\nu+z_{\mathcal{U}}’$$\nu=\infty$,$y_{1}=w_{\nu}$$y_{1}=z_{\nu}’w_{\nu}’$,$y_{3}=w_{\infty}$

,

,

のときは
$x_{3}=z_{\infty^{w}\infty}$$x_{3}=z_{\infty}’$によって定まる、
座標系,$Q_{a_{\nu}^{(0)}}(t)(W_{1}\cross t)$$(z_{\nu}, w_{\nu})\in \mathrm{C}^{2}$$D_{\nu}^{(1)}(t)$,,$y_{3}=z_{\infty^{w}\infty}’’$

または

,
の標準的な

$Q_{a_{\infty}^{(0)}}(t)(\nu V_{3}\mathrm{x}t)$と $(z_{\nu’\nu}’’w)\in \mathrm{C}^{2}$ をとる。

$:=Q_{a_{\nu}^{(0}})(t)(a_{\nu}^{(}0)(t))$$=\{(z_{\nu}, w_{\nu})\in \mathrm{C}^{2}|w_{\nu}=0\}\cup\{(z_{\nu}, w)\prime\prime\nu\in \mathrm{C}^{2}|z_{\nu}’=0\}$に注意して因子$D_{\nu}^{(1)}(t)$の近傍で Pfaff 系がどう書かれるかを見る。

$a_{\nu}^{(1)}(t)=\{(\mathcal{Z}_{\mathcal{U}}, w_{\nu})|z_{\nu}=\kappa_{\nu}, w_{\nu}=0\}\in D_{\nu}^{(1)}(t)$$b_{\nu}^{(1)}(t)=\{(\mathcal{Z}_{\mathcal{U}}’’, w)\nu|z_{\nu}’=w_{\nu}’=0\}\in D_{\nu}^{()}1(t)$,57とすると、 $D_{\nu}^{(1)}(t)-\{a_{\nu}^{(1)}(t), b_{\nu}((1)t)\}$ が vertical leaf で、点$a_{\nu}^{(1)}(t)$とを通る $(H_{VI})$ の解 (の延foliation の特異点、 特に点長) はないことが Painlev\’e propeerty などから分かる。
$b_{\nu}^{(1)}(t)$$b_{\nu}^{(1)}(t)$が3.3. 点換
換$a_{\nu}^{(1)}(t),$さらに各$Q_{a_{\nu}^{(1)}(t}$)$t$$t\in B,$ $\nu=0,1,$ $t,$$\infty$を中心とするモノイダル変に対して–斉に、点 $a_{\nu^{1}}^{()}(\text{のを中心とす_{る^{モ}ノ}イダル変}$変換を行なう。標準的な関係式$z_{\nu}=\kappa_{\nu}+u_{\nu}v_{\nu}$$z_{\nu}=\kappa_{\nu}+u_{\nu}’$,,$w_{\nu}=u_{\nu}’v_{\nu}’$によって定められる、 $\nu=0,1,$ のときは$t$)の、 $\nu=\infty$ のときは $Q_{a_{\infty}^{(1}()(}$$(u_{\nu’\nu}^{;}v’)\in \mathrm{c}^{2}$$D_{\nu}^{(2)}(t)$.

$Q_{a_{\nu}^{(1)}(}t$$t(Qa_{\infty}^{(0})t)(\mathrm{W}^{r_{3}}\mathrm{x}t))$と,$w_{\nu}=v_{\nu}$)$(Q_{a^{(}\mathcal{V}}\mathrm{o})(t)(w_{1}^{r}\cross t))$の座標系$(u_{\nu}, v_{\nu})\in \mathrm{C}^{2}$をとる。 このとき$:=Q(1)a(\nu)t(a_{\nu})(1(t))$$=\{(u_{\nu}, v_{\nu})\in \mathrm{C}^{2}|v_{\nu}=0\}\cup\{(u_{\nu}^{;\prime}, v_{\nu})\in \mathrm{C}^{2}|u_{\nu}’=0\}$である。 ここに来て Pfaff 系が座標系

式$P_{\nu},$$Q_{\nu}$$(u_{\nu}, v_{\nu}, t)$では$u_{\nu},$$v_{\nu}$

と

$t$

の多項

を用いて

$t(t-1)du\nu-P\nu(u\nu’ v\nu’ t)dt=0,$ $t(t-1)dv_{\nu}-Q\nu(u_{\nu}, v_{\nu}, t)dt=0$と表されることが分かる。 これは$(u_{\nu}, v_{\nu}, t)-$空間$\mathrm{C}^{2}\cross B$

においては fo-liation がもはや特異点を持たないこと、 すべての lear はファイバ– に空間においては、transversal であることを意味する。他方$(u_{\nu}, v_{\nu}, t;’)-$$b_{\nu}^{(2)}(t)=\{(u_{\nu}^{;\prime}, v_{\nu})|u_{\nu}’=v_{\nu}’=0\}$とすると、 $D_{\nu}^{(1)}(t)-\{b_{\nu}((1))t, b(2)\nu(t)\}$ が vertical$1\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{f}_{\text{、}}$

点$b_{\nu}^{(2)}(t)$はこの点を通る $(H_{VI})$ の解は存在しないような特異点であることが確かめられる。 ただし記号が煩雑になるのを避けるため$D_{\nu}^{(1)}(t)$や$b_{\nu}^{(1}()t)$のモノイダル変換による proper image を同じ記号で表している。

3.4. 空間 $E$ の構成.
ダル変換の合成を$\Phi_{t}$各$t$に対して、上で与えたすべてのモノイとする、すなわち$\Phi_{t}=$$\prod$$\nu=0,1,t,\infty$$Q_{a_{\nu}^{(1)}}(t)(t)\mathrm{o}Q_{a_{\nu}^{(0)}}$

.

58

そして

$\overline{E(t)}$と$\overline{E}$を$\overline{E(t)}=\Phi_{t}(\Sigma_{\in}\mathrm{x}t)$により定義する。空間$\overline{E}$,$\overline{E}=\cup\overline{E(t)}t\in B\cross t$は$\{(_{X_{0y0}},, t)\in \mathrm{C}^{2}\cross B\}$,$\{(_{X_{2y2}},, t)\in \mathrm{C}^{2}\mathrm{x}B\}$,$\{(x_{1}, y_{1}, t)\in \mathrm{C}^{2}\cross B|(x_{1}, y_{1})\neq(0,0), (1,0), (t, 0)\}$,$\{(x_{3}, y3, t)\in \mathrm{C}^{2}\cross B|(x_{3}, y_{3})\neq(0,0), (1,0), (1/t, \mathrm{o})\}$$\{(z_{\nu}, w_{\mathcal{U}}, t)\in \mathrm{C}^{2}\mathrm{x}B|(z_{\mathcal{U}}, w_{\nu})\neq(\kappa\nu’ 0)\}$,,$\{(z_{\nu}’, w_{\nu}’, t)\in \mathrm{C}^{2}\cross B|(z_{\nu}’, w_{\nu})’\neq(\mathrm{o}, 1/\kappa_{\nu})\}$$\{(u_{\nu}, v_{\nu}, t)\in \mathrm{C}^{2}\mathrm{x}B\}$,,$\{(u_{\nu}’’, v_{\nu}, t)\in \mathrm{C}^{2}\cross B\},$$\nu=0,1,$ $t,$$\infty$,の貼り合わせであることが分かる。
さらに、 $D^{(0)}(t),$$D_{\nu}^{(1)}(t),$$b_{\nu}^{(1)}(t),$$\nu=0,1,$ $t,$による proper image を同じ記号であらわすと、$\infty$$\overline{E}$のモノイダル変換

上にまで拡張された

Pfaff 系が定める foliation は次の性質を持つ :(i) 任意の $t\in B$ と

$\nu$

に対して、

$b_{\nu}^{(0)}(t)$とは、 その点を通る $(H_{VI})$$b_{\nu}^{(1)}(t)$の解が存在しないような特異点である、(ii)$\overline{E}-\bigcup_{t}\in B,\nu,i=0,1\{b^{(}i)(t)\}$は互いに交わらない 1 次元 leaves で覆われる、(iii) 任意の $t\in B$ と$\nu$$\bigcup_{\nu}\{b_{\nu}^{(0)}(t), b_{\nu}((1)t)\}$に対して、 $D^{(0)}(t)- \bigcup_{\nu}\{b_{\nu}^{()}(t)1\}$ と$D_{\nu}^{(1)}(t)-$は vertical leaves である、の外のすべての leaf は $(H_{VI})$ が定め$( \mathrm{i}\mathrm{v})\bigcup_{t\in B}(D(0)(t)\cup(\bigcup_{\nu}D^{(}\mathcal{U}(1)t)))$る leaf またはそれの延長である。

そこで、$E(t)= \overline{E(t)}-D^{(}0)(t)\cup\bigcup_{\infty\nu=0,1,t},D^{()}1(t)\nu$ ’$E=\cup E(t)t\in B\cross t$と定義することにより空間 $E$ が得られる。

3.5. 定理 1 の証明.

空間 $E$ は$\{(_{X_{0,y0}}, t)\in \mathrm{C}^{2}\cross B\}$,$\{(X_{2,y_{2},)}t\in \mathrm{C}^{2}\mathrm{x}B\}$$\{(u_{\nu}, v_{\nu}, t)\in \mathrm{C}^{2}\cross B\}$,$\nu=0,1,$ $t,$$\infty$

,

,

59

の貼り合わせである。 まずA$dy_{0}\wedge dx_{0}=dy_{2}$$dx_{2}$.

であるので$(x(00), y(00))=(x0, y0)$ ,とする。次に $\nu=0,1,$$t$$(x(\infty 0+), y(\infty 0+))=(X2, y_{2})$に対しては、$x_{0}=\nu+v_{\nu}(\kappa\nu+u_{\mathcal{U}}v_{\nu})$$y_{0}=1/v_{\nu}$,$y_{2}=1/v_{\infty}$,,

また $\nu=\infty$ に対しては$x_{2}=v_{\infty}(_{\mathcal{K}}\infty+u_{\infty^{v_{\infty})}},$

よって$dy_{0}$A $dx_{0}=-dv_{\nu}\Lambda du_{\nu}$ ,$dy_{2}$A $dx_{2}=-dv_{\infty}$ A$du_{\infty}$.

従って$(x(1\infty), y(1\infty))=(-u_{1,1}v)$,$(x(t\infty), y(t\infty))=(-u_{t,t}v)$$(x(\infty 0^{-}), y(\infty 0^{-}))=(-u_{\infty’\infty}v)$,,のように座標を選べばよい。

\S 4. 定理 2 の証明$J=VI$ の場合の証明を与える。添字 VI は省略する。
$\{I\iota^{\nearrow}(*;x(*), y(*), t)\}_{*}$ を $E$ で正則でにまで有理的に拡張できる$\overline{E}$

Hamilton 系とする。簡単のため、とその上の Hamiltonian$V(\mathrm{O}\mathrm{O})\cross B$$K(\mathrm{O}\mathrm{o};x(00), y(00),$ $t)$の座標$(x(00), y(\mathrm{o}\mathrm{O}),$ $t)$

を $(x, y, t),$ $K(x, y, t)$ と表す。言いたいことは $K(x, y, t)=HvI(x, y, t)$ である。
$Ii^{\Gamma}= \sum a_{ij}x^{i}y^{j}$$i,j\geq 0$

60

を $Ii’$ の Taylor 展開とする。 ただし

4.1. $K$ の多項式への簡約.
$\mathrm{C}^{2}\cross B|y_{1}=0,$ $x_{1}\neq 0,1,$ $t\}$

は $B$ 上の正則関数である。

$a_{ij}$空間$\overline{V(00)}\cross B$

は因子 $\{(x_{1} , y_{1} , t)\in$を含む。 ただし $x=x_{1},$ $y=1/y_{1}$ 。よって $Ii^{r}(X_{1},1/y_{1}, i)$ は $y_{1}=0,$ $x_{1}\neq 0,1,$の上で有理的、従ってある非負$t$

整数 $M$ が存在して(4.1)$a_{ij}=0$$V(\infty \mathrm{o}+)\cross B$の座標$j>M$ .

,$(x(\infty \mathrm{O}+), y(\infty \mathrm{o}+),$ $t)$

を (X, $Y,$$t$

) と表すと、$K( \infty \mathrm{o}+)=\sum_{0i,,j\geq}aijX-(i-j)(\epsilon-x\mathrm{Y})j$$\equiv\sum_{\mu\geq 1}\sum_{k=0}^{-1}(-1)^{k_{\frac{Y^{k}}{X^{\mu-k}}\sum_{k}}}\mu j\geq\epsilon^{j-k}aj+\mu,j$

ここで

とする

$\epsilon$は定理 1 で与えられた$X,$$\mathrm{Y}$$0_{\text{、}}$$\equiv$

はのべき級数という意味である。

則でなければならないので、は$\epsilon(+),$$\mathrm{Y}^{k}/X^{\mu-k},$

すなわちすべての $\mu=1,2,$$\ldots$$\sum_{j\geq 0}a_{j+j}\mu,\epsilon^{j-k}=0$,$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} B$.

上の正則関数を係数$K(\infty \mathrm{o}+)$が $X=0$ 上で正$\mu\geq 1,0\leq k\leq\mu-1$ の係数に対して、$k=0,1,$$\ldots,$

$\mu$

$-$

$1$

を得る。 これを(4.2)$(a_{\mu,0}, a_{1+\mu,1}, \cdots)(\epsilon^{p^{-}q})_{p\geq 0}0,\leq q\leq\mu-1=(0,0, \cdots, 0)$と書く。 ここで$\det(\epsilon^{p-q})_{0}\leq p,q\leq\mu-1=1$と (4.1) に注意すれば、任意の $\mu>M$ に対する (4.2) から $a_{ij}=0$ が$i-j>M$ を満たすすべての$i,\dot{y}$の多項式でなければならない。

に対して成り立つ。 よって $K$ は

$x$

と

$y$

61

4.2.
て

$I\mathrm{t}’$の係数に対する条件.

すべての座標近傍 $V(*)\cross B$ においが正則であるための条件を求めておこう。

$I\mathrm{t}’$まず$V(\infty \mathrm{o}_{-})\mathrm{x}B$

上の Hamiltonian $Ii^{r}(\infty 0^{-})$ を調べる

$x= \frac{1}{Y(\kappa_{\infty}-XY)}$$\kappa_{\infty}\neq 0$$(X, Y, t)=$と書く と$(x(\infty 0-), y(\infty 0-),$ $t)$

であるので$\circ$,.

$y=\mathrm{Y}(\kappa_{\infty}-X\mathrm{Y})(\epsilon-(_{\mathcal{K}}\infty-X\mathrm{Y}))$のときは$I \mathrm{t}^{\Gamma}(\infty \mathrm{o}-)=\sum_{0i,,j\geq}aij\mathrm{Y}-(i-j)(\kappa\infty-x\mathrm{Y})^{-}(i-j)(\epsilon-(\kappa_{\infty}-xY))j$$= \sum_{\mu}\sum_{j\geq 0}\sum_{k\geq 0}\frac{(-)^{k}(^{j}k)\epsilon^{j^{-}}k(\kappa\infty-x\mathrm{Y})^{k}}{\mathrm{Y}^{\mu}(\kappa_{\infty}-x\mathrm{Y})^{\mu}}a_{j\mu}+,j$$\equiv\sum_{\mu\geq 1k}\sum_{=0}^{\mu^{-1}}\frac{(-1)^{k}}{Y^{\mu}(\kappa_{\infty}-X\mathrm{Y})^{\mu-k}}j\sum_{\geq k}\epsilon^{j}-kja+\mu,j$$+ \sum_{\mu\geq 1}\sum_{h=0}^{\mu}\frac{(-1)^{\mu}xh}{\mathrm{Y}^{\mu-h}}-1\sum_{j\geq 0}\phi^{j}h(\mu)aj+\mu,j$を得る。 ここで$\phi_{h}^{j}(\mu)=\sum_{jh+\mu\leq k\leq}(-1)h+k-\mu\epsilon^{j-k}\kappa\infty k-h-\mu$であるので$j<h+\mu$ ,

,
1,

$0$

(4.3)

$\phi_{h}^{j}(\mu)=\{$$j=h+\mu$ ,$(h+\mu+1)\epsilon-(h+1)\kappa\infty$’$j=h+\mu+1$ ,に注意する。 これより (4.2) と$\sum_{j\geq 0}\mathit{0}_{j+\mu,j}\emptyset_{h}j(\mu)=0$,$h=0,1,$$\ldots,$$\mu-1$62を得る。 よって$\kappa_{\infty}\neq 0$のときは次の$2\mu$-system(4.4)$(a_{\mu,0}, a_{1+1}, \cdots)\mu,((\epsilon^{p-}q)_{p\geq 0},0\leq q\leq\mu-1$,$(\emptyset^{p}-\mu(q\mu))0,\mu\mu 1)p\geq\leq q\leq 2-$$=(0,0, \cdots, \mathrm{o})$を得る。

$\kappa_{\infty}=0$のときは$I \acute{\mathrm{s}}(\infty \mathrm{o}_{-})\equiv\mu\sum_{1\geq}\sum_{k}^{21}\mu-=0\frac{(-1)^{\mu}}{X\mu-kY^{2\mu-}k}\sum_{j\geq k}aj+\mu,j\epsilon kj^{-}$

より次の

(4.5)

$2\mu$-system を得る :$(_{o_{\mu,0}a_{1}},+\mu,1, \cdots)(\epsilon^{p-q})_{p\geq 0\leq}0,q\leq 2\mu-1=(0,0, \cdots, \mathrm{o})$

次に Hamiltonian $K(0\infty)$ を調べる。 (X,とすると、 $x=\mathrm{Y}(\kappa_{0^{-X}}Y),$$y=1/\mathrm{Y}$$\mathrm{Y},$

$t$

)

.

$=(x(\mathrm{O}\infty), y(\mathrm{O}\infty),$ $t)$

より

$K(0 \infty)=\sum_{ji,\geq 0}a_{ij}\mathrm{Y}^{-(}j-i)(\kappa_{0}-X\mathrm{Y})^{i}$$\equiv\sum_{\mu\geq 1}\sum_{k=0}^{\mu-1}(-1)^{k}\frac{X^{k}}{\mathrm{Y}^{\mu-k}}\sum_{i\geq k}\kappa_{0}i-ka_{i,i+\mu}$

よってすべての $\mu=1,2,$(4.6)$\ldots$

に対して、

$\mu$

.

-system$(_{oa_{1}}0,\mu" 1+\mu’.’\cdot)(\kappa 0^{p-q})p\geq 0,0\leq q\leq\mu^{-}1=(0, \mathrm{o}, \cdot\cdot-, 0)$を得る。次の等式にも注意しよう :$\det(\kappa_{0^{p}}-q)_{0\leq\leq-}p,q\mu 1=1$

最後に Hamiltonians$I\mathrm{t}^{\nearrow}(1\infty)$.

と $K(t\infty)$ を調べる。 (X, $Y,$とすると $x=1+\mathrm{Y}(\kappa_{1}-X\mathrm{Y}),$ $y=1/Y$ であるので、$I \acute{\backslash }(1\infty)=\sum_{0i,,j\geq}a_{ij}\frac{((1+\mathcal{K}_{1}\mathrm{Y})-xY^{2})i}{\mathrm{Y}^{j}}$$– \sum_{i,j\geq 0}\sum_{k\geq 0}(-1)^{k}\frac{X^{k}}{Y^{j-2k}}(1+\kappa_{1}\mathrm{Y})^{i-k}a_{ij}$.

$t$) $=(x(1\infty), y(1\infty),$

$t)$

63

従って、 もし、 ある 2 以上の $M$ に対して、(4.7)$a_{ij}=0$ならば、 $X^{k}/\mathrm{Y}^{M-2k},$ $k=0,1,$

$j>M$

,
$\ldots,$$[(M+1)/2]-1$ (

$]$

$[$

は Gauss 記号) の係数を見ることにより、(4.8)$\sum_{i\geq 0}a_{iM}=0$,$k=0,1,$が得られる。 ここで記号 $\nu(*)$ を導入してお$\nu(M)=[(M+.

$\ldots,$$\langle$$[(M+1)/2]-1$:1)/2]$ .

さらに、 やや面倒であるが $X^{k}/\mathrm{Y}^{M-12k}-,$ $k=0,1,$の係数を見ることにより、 $k=0,1,$(4.9)$\ldots,$$\nu(M-1)-1$$\nu(M-1)-1$ に対する方程式$\sum_{i\geq 0}ai,M-1+(k+1)\kappa 1\sum_{0i\geq}a_{iM}=0$を得る。 さて $(X, \mathrm{Y}, t)=(x(t\infty), y(t\infty),$$X\mathrm{Y}),$$\ldots,$$y=1/\mathrm{Y}$$t)$とすると $x=t+\mathrm{Y}(\kappa_{t}-$である。 この symplectic 変換には変数$t$が explicit に現われていることに注意する。 この場合は、$K(t\infty)=K(t+Y(\kappa t-X\mathrm{Y}), 1/Y, t)-1/\mathrm{Y}$である。 よって、仮定 (4.7) の下で、 $X^{k}/\mathrm{Y}^{M-2k},$ $k=0,1,$$1$

および $X^{k}/\mathrm{Y}^{M-12}-k,$ $k=0,1,$$\ldots,$$\ldots,$$U(M)-$$\nu(M-1)-1$ の係数を観察する

ことにより、(4.10)$\sum_{i\geq 0}t^{i-k}a_{i}M=0$,$k=0,1,$$\ldots,$$\nu(M)-1$と、 $k=0,1,$ $\ldots,$ $\nu(M-1)-1$ に対する

(4.11)$\sum_{i\geq 0}a_{i,M1}-t^{i-k}+(k+1)\kappa t\sum ai\geq 0iMt^{i-()}k+1=\delta_{M-1,1}$64を得る。 (4.8) と (4.10) をまとめた(4.12)と表せる$(\mathit{0}_{0M}, a_{1}M, , .

$\circ$$2\nu(M)-\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}$は.)F(\infty, 2U(M\mathrm{I})=(0,0, \cdots, \mathrm{o})$ここで $F(\infty, 2n)$ は $\infty\cross 2n$ 行列 $(f_{j}^{i})_{i\geq\leq}0,0j\leq 2n-1$ で、各成分が次で与えられるものである$f_{q}^{p}=$ ,$p\geq 0,0\leq q\leq n-1$ ,$f_{q+n}^{p}=t^{p-q}$ ,4.3. 多項式(4.13)$I\mathrm{i}^{r}$$p\geq 0,0\leq q\leq n-1$ .

の次数の低減化.
$a_{ij}=0$

,

ここでは

$i>3$

or $j>2$を示す。 そのためには次を示せばよい。

命題 4.1. $m\geq 2$ とする。 もし $a_{ij}=0$ が$i$または $j>3m$ を満たすすべての $i,j$ について成り立つならば、 $a_{ij}=0$ が $i>3m-3$ または$j>2m-2$ を満たすすべての $i,j$ について成り立つ。
そこで以下、 2 以上の固定された $m$ に対して、次を仮定する :(4.14)$a_{ij}=0$,$i$or $j>3m$ .

まず$a_{ij}=0$$i-j>m$,に注意する。 これは仮定 (4.14) と方程式 (4.4) または (4.5) と関係式 (4.3)などから言える。

証明を簡潔にするために、道具を準備する。 ある $(k, l)$ に対して
$a_{ij}=0$

,

$j>l$

であるとき多項式 Hamiltonian
ると言おう。

or$j-i>l-k$$I \mathrm{t}^{r}=\sum a_{ij}x^{i}y^{j}$は” 状態 ” $S(k, l)$ にあ65Hamiltonian$Ii^{r}$が状態 $S(k, l)$ にあるとする。 もし $l-k\geq k+1$ な

らば (これは未知数の数より方程式の数の方が大きいという条件) 、す

なわち $l\geq 2k+1$ ならば、方程式 (4.6) より、 $K$ は状態 $S(k+1, l)$ に簡約されることが分かる。 この操作を Reduction A と言う。 同様にもは状態 $S((k-$し $2\nu(l)\geq 3m-k+1$ ならば、方程式 (4.12) より、$I\iota’$$1)^{+},$$l-1)( \alpha^{+}=\max\{\alpha, \mathrm{o}\})$と言う。 ただし行列式が$0$に簡約される。 この操作を Reduction$\mathrm{B}$でないことをいうために次の命題が必要である。

命題 42.

$F_{k}(\infty, 2n)$$(f_{j}^{i})_{k\leq}i\leq k+2n-1,0\leq j\leq 2n-1$(4.15)

を行列 $F(\infty, 2n)$ の–部からなる正方行列とすると$\text{、}$$\det F_{k(\infty,2}n)=t^{nk}(t-1)^{n^{2}}$

命題 42 の証明。

.

すべての $k\geq 1$ に対して、

を用いて、

$=+$

$\det F_{k(\infty,2}n)=t^{n}\det F_{k-1}(\infty, 2n)$がいえる。 よって $k=0$ の場合をいえばよい。 $I(t)=\det F_{0}(\infty, 2n)$と置くと $I(t)$ は高々$1$に対して $I(t)$ の$i$$\uparrow\tau^{2}$

次の

$t$

の多項式えあること、 $i=0,1,$$n^{2}-$$\ldots,$次微分は $t=1$ で消えること、 さらに $I(\mathrm{O})=(-1)^{n^{2}}$なることが確かめられる。 これより $k=0$ の場合が、 よってすべての場合が示された。
まず示したいことは、 $(_{-}4.14).\text{のもとで_{、}}$ Reduction A と$\mathrm{B}$を適当に行なうことによって状態 $S(m, 2_{7\eta})$ にまで簡約できることである。

少し言葉を用意する。状態 $S(k, l)$ が reducible とは Reduction A またも不可能
はが可能であるとき、 irreducible とは Reduction A もなときとする。 とすると、状態 $S(k, l)$ が reducible であるための必要十$\mathrm{B}$$\mathrm{B}$

分条件は $l\geq 2k+1$ または $2\nu(l)\geq 3\uparrow??-k+1$ である o よっては$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\text{、}S(m, 2m.)$

集合$\Sigma$$S(\mathrm{O}, 3m)$

は irreducible である。

を次の条件を満たす $(k, l)$ に対応する状態 $S(k, l)$ 全体とする:
$0\leq k\leq 3m$,$2m\leq l\leq 3\uparrow n$,$l\geq 2k-1$ ,$l\geq 3m-k-2$ .

66

このとき $\sum-\{S(m, 2m)\}$ に属する状態はすべて reducible

状態に Reduction A を行なっても Reduction
る状態は$\Sigma$に属することが分かる。 さらに$\Sigma$

かっこの$\text{、}$を行なっても、得られに全順序 を” $l>l’$ ま$\mathrm{B}$$\succ$

たは $l=l’$ かつ $l-k>l’-k’$ のとき $S(k, l)\succ S(k’, l‘)$ ” により定義す
ると、 $S(\mathrm{O}, 3m)$ が最高状態で $S(m, 2m)$ が最低状態であること、 また Re-

duction A または Reduction

をほどこすと必ずもとより低い状態に落ちることが分かる。以上によって状態から状態に落$\mathrm{B}$$S(\mathrm{O}, 3m)$としていReduction A と Reduction$\langle$$\mathrm{B}$$S(m,\underline{9}m)$からなる列が存在することが示される。

最後に $4m+2$ 個の未知数 $a_{i,2m-1}$ , m-l $\leq i\leq 3m-1$ と $a_{i,2m},$ $m\leq$$i\leq 3m$に関する $4m+2$ 個の方程式を取り出しそれを解いて命題 4.1 の証明を完結させる。 まず $\mu=m$ に対する (4.4) または (4.5) と (4.6) のそれぞれの最後の式より$a_{3m-1,2}m-1+m(\kappa 0+\kappa_{1}+\kappa_{t}-1)a_{3}m,2m=0$ ,$a_{m-1,2m-1}+m\kappa_{0}a_{m,2m}=0$を得る。次に $M=2m$ に対する (4.8) と (4.9) より$\sum a_{i,2m}3m=0$ ,$k=0,1,$$\ldots,$$m-1$ ,

$k=0,1,$$\ldots,$$m-2$ ,

$i=m$$\sum_{i=m-1}^{3m}a-1i,2m-1=0$,$\sum_{i=m-1}^{3m}a-1i,2m-1+m\kappa_{1}\sum_{i=m}^{3}a_{i}m,2m=0$,

を、 $M=2m$ に対する (4.10) と (4.11) より$\sum_{i=m}^{3m}a_{i},2mt^{i-k}=0$,$k=0,1,$$\ldots,$$m-1$ ,

$3m-=m- \sum_{i1}^{1}ai,2m-1t^{i-k}=0$,$k=0,1,$$\ldots,$$m-2$ ,

$3m \sum_{i=m-1}^{-}a1i,2m-1t^{i-()}m-1+m\kappa_{t}\sum_{i=m}^{3}a_{i}m,2mt^{i-m}=0$ ,67を得る。 これらをとしてまとめると$(4m+2)-\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}$$(a_{m-1,2m-}1, \ldots, a3m-1,2m-1, am,2m’\ldots, a_{3}m,2m)G_{m}$$=(0, \ldots, 0)$,となる。 ここで正方行列 $G_{n}=(g_{j}^{i}(n))_{0}\leq i,j\leq 4m+1$ は次で与えられる :$g_{0}^{0}(n)=1$,$g_{0}^{2m+1}(n)=m\kappa 0$$g_{q+1}^{p}(n)=$ ,$g_{m}^{p+1}(+2mn)=m\mathcal{K}_{1}$,$0\leq p\leq 2m$,,$0\leq q\leq m-1$ ,$0\leq p\leq 2m$$g_{q+m+1}^{p}(n)=t^{p+(1}n-)-q$ ,,$0\leq p\leq 2m,$$g_{2m}^{p++1}(2mn)=m\kappa_{t}t^{p+n-m}$ ,$0\leq p\leq 2m$$g_{q+m}^{p+2m+}2+11(n)=$ ,,$0\leq p\leq 2m$$g_{q+3m}^{p1}+1(+2m+n)=t^{p+n-q}$ ,$g_{4m+}^{2m}1(n)=1$$g_{j}^{i}(n)=0$,,$0\leq q\leq m-1$ ,,$0\leq q\leq m-1$ ,$0\leq p\leq 2m$,$0\leq q\leq m-1$ ,$g_{4m}^{4m+1}+1(n)=m(\kappa 0+\kappa 1+\kappa_{t}-1)$,

for other $i,j$ .

従って次の命題がいえれば $a_{i,2m-1}=0,$ $m-1\leq i\leq 3m-1$ と$a_{i,2m}=0,$ $m\leq i\leq 3m$ がいえ、 この小節の目的が達せられる。

命題 4.3.

(4.16)$\det G_{n}=-mt^{2mn}(t-1)^{2m}2$

命題 4.3 の証明。

.

まず任意の $n\geq 0$ に対して$\det G_{n}=t^{2m}\det G_{n-}1$が確かめられる。 よって $n=0$ の場合を示せばよい。 そこで $J(t)=\det G_{0}$と置く。パラメータ$\kappa_{\nu},$$\nu=0,1,$$t$に関する $J(t)$ のすべての 2 階偏導68

関数が恒等的に$0$$0$であること、すべての 1 階偏導関数が $\kappa 0=\kappa_{1}=\kappa_{t}=$において消えることが確かめられて、 $J(t)$ はこれらのパラメータに依存しないことが分かる。 $J(t)|_{\kappa=\kappa=\kappa=0}01t=-m(t-1)^{2m^{2}}$ であること
は、命題 4.2 などを用いて示される。

4.4. 定理 2 の証明の完成.

以上より (4.13) を仮定してよいことが分かった。 $\mu=3,2,1$ に対する (4.4) または (4.5) より$a_{30}=a_{20}=a_{31}=0$ ,$a_{10+}\epsilon a_{21}+\epsilon a_{3}22=0$,$a_{21}+(2\epsilon-\kappa\infty)a_{3}2=0$,を得る。 また $\mu=2,1$ に対する (4.6) から次を得る :$a_{02}=0$ ,$a_{01}+\kappa_{0^{O_{1}}}2=0$.

さらに $M=2$ に対する $(4.8),(4.9),(4.10)$ と (4.11) から$a_{12}+a_{22}+a_{32}=0$ ,$a_{01}+a_{11}+a21+\kappa_{1}a_{12}+2\kappa_{1}a22+3\mathcal{K}1a_{32}=0$$ta_{12}+t^{2}a_{22}+t^{3}a_{32}=0$,,$a_{01}+ta_{11}+t^{2}a_{21}+\kappa_{t}a_{12}+2\kappa_{t22}ta+3\kappa_{t32}t^{2}a=1$

が得られる

$0$
$\circ$以外の係数$a_{32},$ $a_{22},$ $a_{1}2,$$a21,$ all, $a01$と$a_{10}$,に関する 7-system は簡単に解けて$a_{32}= \frac{1}{t(t-1)}$,$a_{22}= \frac{-(t+1)}{t(t-1)}$$a_{21}= \frac{-(\kappa_{0}+\kappa_{1}+\kappa_{t}-1)}{t(t-1)}$$a_{01}= \frac{-\kappa_{0}t}{t(t-1)}$が得られる。

,,,$a_{12}= \frac{t}{t(t-1)}$,$a_{11}= \frac{(\kappa_{0}+\kappa_{1})t+(\kappa 0+\kappa_{t}-1)}{t(t-1)}$$a_{10}= \frac{\kappa}{t(t-1)}$

,

,

69

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$\mathcal{H}_{n}$$\mathrm{P}a\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\text{ノ}$