数理解析研究所講究録
1077 巻 1999 年 13-21

13

Invariant subspaces and representations ofcertain von Neumann algebras
新潟大学自然科学 大和田智義 (Tomoyoshi Ohwada)
中国図画師範大学 吉国興(Guoxing )新潟大学理学部
斎藤吉助 (Kichi-Suke Saito)$\mathrm{J}\mathrm{i}$1. Introduction
ヒルベルト空間上の有界線形作用素が作る環を作用素環といい, 作用素の *-演算に関して閉じていない環を特に, 自己共役でない作用素環という. 自己共役でない作用素環の研究は, 1960 年の Kadison-Singer [2] による triangular 環の研究以後, reflexive
環, nest 環, subdiagonal 環等多 \langle の概念が導入され, 不変部分空間の問題や正規でない作用素の構造等の研究とも関連して現在も盛んに行われ, 多くの結果が得られている. 自己共役でない作用素子の-つに接合積の部分環として解析的接合積の概念があり, subdiagonal 環等の重要な例を与えると共に, 分解定理や極大性の研究, その環に関する不変部分空間の構造など, 多くの研究がなされている (cf. [4-17]). 自己共役でない作用素環の研究において, その不変部分空間の構造理論は重要な役割を果たしているが,我々は Lax-Phillips [3] に書かれている不変部分空間 (outgoing subspace) の表現定理
が, ある von Neumann 環の解析的接合積への表現として考察されることに着目して,その理論を非可換版へ発展させることにより得られた幾つかの結果を報告する.
上のユニを上の有界線形作用素全体とする.
をヒルベルト空間とし,の閉部分空間飢が outgoing であるとは, 次の条件を満た
タリ作用素 に対して,$B(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$$\mathcal{H}$$\mathcal{H}$$\mathcal{H}$$v$

すときをいう.

,[3] では, ユニタリ作用曝 に対する outgoing subspace 飢が存在するとき, ヒルベルのト空間への表現を与えているが, そのユニタリ作用素を$w$ とおくとによって生成される von Neumann 環とその -弱閉部分環
は次のように表現されることがわかる.
(i)$v\mathfrak{U}\mathrm{t}\subset \mathfrak{M}$

,

(ii)

$\bigcap_{k>0}v^{k}\mathfrak{M}--\{0\}$$( \mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})\bigcup_{k<0}v^{k}\mathfrak{M}=\mathcal{H}$$v$$\mathcal{H}$$\ell^{2}(\mathbb{Z}, \mathcal{K})(\mathcal{K}=\mathfrak{M}\ominus v\mathfrak{M})$$v$$\overline{\mathrm{A}\{v\}}\sigma-w$$\sigma$$W\{v\}’’W^{*}=\mathbb{C}I_{\mathcal{K}}\otimes L^{\infty}(\mathrm{T})$,$W\overline{\mathrm{A}\{v\}}^{\sigma}W^{*}-w=\mathbb{C}I_{\mathcal{K}}\otimes H^{\infty}(\mathbb{T})$

我々はこのことに注意して, より -般的な設定で von Neumann 環の表現と, その不上の von Neumann変部分空間の関係について考察する. すなわち, ヒルベルト空間$\mathcal{H}$

環 $M$ を, 条件 $vNv^{*}=N$ をみたす von Neumann 環 $N$ とユニタリ作用素生成される von Neumann 環とし, $N$ ととする. このとき,$\mathfrak{U}$$v$

によって生成される $M$ のに関して outgoing subspace として,$\mathcal{H}$$\sigma$

$v$

によって

-弱閉部分環をの pure, full,$\mathfrak{U}$$\mathfrak{U}$-invariant

Typeset by$Au_{-\tau}\mathrm{r}\mathrm{X}$14

subspace を考え,の中に pure, full,-invariant subspace が存在するとき, $M$ およびの表現定理についての結果を \S 2 で述べる.
\S 3 では, ユニタリ作用素 の代わりに–係数ユユタリ群で置き換えて, $N$とによって生成された von Neumann 渦と, $N$ とによって生成される -弱閉部分環の表現を考察するとともに, 離散的な場合と連続的な場合の関$\mathcal{H}$$\mathfrak{U}$$\mathfrak{U}$$v$$\{u_{t}\}_{t\in \mathbb{R}}$$\{u_{t}\}_{t\in \mathbb{R}}$$M_{0}$$\{u_{t}\}_{t\geqq 0}$$\mathfrak{B}$$\sigma$

係を考察する.

2. The discrete caseをヒルベルト空間

$M$

タリ作用素
生成される
$\mathfrak{U}$$v$$\sigma$$\mathcal{H}\text{上の}$, 条件 $vNv^{*}=N$ をみたす von Neumann 環 $N$ とユニにより生成される von Neumann 環として,を $M$ の $N$ と$\mathfrak{U}$によって-弱閉部分環とする. 我々は, outgoing subspace の概念として pure, full,-invariant subspace を考え, それが存在するとき, $M$ および定義 2.1. 飢を(1) 飢が$v$$\mathcal{H}$$\mathfrak{U}$の表現を考察する.

の閉部分空間とする. このとき

-invariant であるとは,飢が成り立つときをいう.
(2) 飢が reducing $\text{であるとは}$ ,飢をみたすときをいう.
(3) 飢が pure であるとは, 飢が自明でない reducing subspace を含まないときを$\mathfrak{U}$$\mathfrak{U}\mathfrak{M}\subset$$M\mathfrak{M}\subset$

いう.

(4) 飢が full であるとは, 飢を含む最小の reducing subspa Ce が$\mathcal{H}$であるときをいう.

実際には$\sim(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$$\mathcal{H}$の閉部分空間飢が pure, full,$\mathfrak{U}$-invariant であることと, 次の条件 (i)は同値であることがわかる.

(i)$\mathfrak{U}\mathfrak{M}\subset \mathfrak{M}$

,

(ii)

$\bigcap_{k>0}vk\mathfrak{M}=\{\mathrm{o}\}$

,

(iii)

$\bigcup_{k<0}v^{k}\mathfrak{M}=\mathcal{H}$.

従って, $N=\mathbb{C}I$ のとき, pure, full, -invariant subspace であることはoutgoing subspace になることと同値である.
$\mathfrak{U}$の pure, full,

$v$

に関して

が存在すると仮定する. 害-invariant subspace
を飢における v 飢の直交補空間, すなわち言 =M\ominus v 飢とおく. このとき作用素論
ヒルベルト空間$\mathcal{H}$$\mathfrak{U}$$\mathfrak{M}$でよく知られているように, ヒルベルト空間
解できる;$\mathcal{H}$と, その閉部分空間飢は次のように分$\infty$$\mathcal{H}=\sum_{\infty k=-}\oplus v^{k}\mathfrak{F}$$\infty$,$\mathfrak{M}=\sum_{0k=}\oplus v^{k}\mathfrak{F}$.

より, すべてのに対して, 言は $(v^{n}Nv^{*n})-$invariant であることが分かるので, 任意の $x\in N$ に対してヒルベルト空間
上いま$N\mathfrak{M}\subset$

飢かつ $vNv^{*}=N$$n\in \mathbb{Z}$$\ell^{2}(\mathbb{Z}, \mathfrak{F})$の作用素 $\pi(x)$ と両側シフト作用素 $S$ を次の式により定めることが出来る.
$\{\pi(x)\xi\}(n)^{\mathrm{d}\mathrm{e}}=^{\mathrm{f}}v-nxv\xi n(n)$$(S\xi)(n)\mathrm{d}=^{\mathrm{e}\mathrm{f}}\xi(n-1)$($\forall\xi\in\ell^{2}$( , 達)$\mathbb{Z}$$(\forall\xi\in\ell^{2}(\mathbb{Z}, s),$$\forall n\in \mathbb{Z}$$\forall n\in \mathbb{Z})$

.

)

15

$\pi(N)=\{\pi(x.
$\ell^{2}(\mathbb{Z}, s)$環を)|x\in N\}$

とおく. このとき上の von Neumann 環とし, $\pi(N)$ と$\Re_{9\mathfrak{n}}^{(+)}$$\Re_{\mathfrak{M}}$$S$を $\pi(N)$ と$S$

によって生成されるにより生成きれる$\Re_{\mathfrak{M}}$の \mbox{\boldmath $\sigma$}-室閉部分とする.

我々はまず次の定理を得た.

-invariant subspace 飢が存在するならば, $M$ からはへ移される.
の上への $spatia\iota*$ -isomorphism が存在して,定理 2.2.

$\mathcal{H}$の pure, full,$\mathfrak{U}$$\Re_{\mathfrak{M}}$$\text{この写}.\text{像_{に}より}$

証明. F=M\ominus v 飢とおくと, ヒルベルト空間$\mathcal{H}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}$と分解できるので$\mathcal{H}$の任意の元$\zeta$$\mathcal{H}$$\mathfrak{U}$$\Re_{\mathfrak{M}^{+)}}^{(}$

は\oplus vn 害は次のように-意に分解される;$(\zeta_{n}\in S, \forall n\in \mathbb{Z})$$\zeta=\sum_{\infty n=-}^{\infty}\oplus v\zeta_{n}n$.

よって$W\zeta^{\mathrm{d}}=^{\mathrm{e}\mathrm{f}}\{\zeta n\}_{n}^{\infty}=-\infty$

とおくと, $W$ は明らかに$\mathcal{H}$から$\ell^{2}(\mathbb{Z}, s)$へのユニタリ作用素になる.

$\forall x\in N$に対して,$WxW^{*} \{\zeta n\}_{n}^{\infty}=-\infty W=x\sum_{n=}^{\infty}\oplus v\zeta_{n}-\infty n$$=W \sum_{n=-\infty}^{\infty}\oplus v^{n}(v^{*}v)n_{X}n\zeta n$($=\{v^{-n_{X}n}v\zeta n\}_{n=-\infty}\infty$$\forall\{(_{n}\}_{n=-\infty}\infty\in\ell^{2}$( , 害)$\mathbb{Z}$$)$が成立するので,$WxW^{*}=\pi(x)$$(\forall x\in N)$.

また 同様の計算により$WvW^{*}=S$も成立するので, $WMW^{*}=\{\pi(N), s\}’’=\Re_{\mathfrak{M}}$ となり $M$ は $\Re m$ と spatially $*-$もまた畷) へ移される.
isomorphic になる. さらに, この同型写像により
I$\mathfrak{U}$いま, 仮定より $N$ と$vxv^{*}$

とおくと,

ト空間

$\ell^{2}(\mathbb{Z}, \mathcal{H})$$\alpha$$v$

は条件 $vNv^{*}=N$ をみたすので,$\forall x\in N$に対して$\alpha(x)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}$は $N$ 上の自己同型写像になる. そこで, $\forall x\in N$ に対して, ヒルベル上の作用素$\pi_{\alpha}(x)$および両側シフト作用素$\{\pi_{\alpha}(x)\xi\}(n)^{\mathrm{d}}=^{\mathrm{e}}\alpha \mathrm{f}-n(x)\xi(n)$$(\tilde{S}\xi)(n)\mathrm{d}\mathrm{e}=^{\mathrm{f}}\xi(n-1)$$\overline{S}$$(\forall\xi\in\ell^{2}(\mathbb{Z}, \mathcal{H}),$$(\forall\xi\in\ell^{2}(\mathbb{Z}, \mathcal{H}),$を次のように定義する.
$\forall n\in Z)$$\forall n\in \mathbb{Z})$

.

16

と

により生成される von Neumann 環を $N$ とその $*-$ 自己同型群

このとき$\pi_{\alpha}(N)$$\{\alpha^{n}\}_{n\in \mathbb{Z}}$による接合積といい$N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}$の$\sigma$

命題 2.3.
を$\ell^{2}(\mathbb{Z}, \mathcal{H})$$N\mathrm{x}_{\alpha}\mathbb{Z}$-弱閉部分環を $N$ との pure, full,$\mathcal{H}$から$E\in(N\mathrm{x}_{\alpha}\mathbb{Z})’$.

$\Re_{\mathfrak{M}^{+)}}^{(}$$\Re_{\mathfrak{M}}$$\mathfrak{U}$$\alpha$とかく. また,と$\pi_{\alpha}(N)$$\overline{S}$により生成されるにより決まる解析的接合積といい,$N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}_{+}$

とかく.

-invariant subspace 皿が存在するとする. このとき, $E$の上への射影作用素とすれば次が成り立つ.

$\ell^{2}(\mathbb{Z}, \mathfrak{F})(\mathfrak{F}=\mathfrak{M}\ominus v\mathfrak{M})$

(i)
(ii)
(resp.
(iii) $C(E)$ を $E$ のて,$\overline{S}$) ?は$N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}$$\Phi(\mathfrak{U})=N\lambda_{\alpha}\mathbb{Z}_{+}$(resp.

) の ( , 害) への制限である.
における central support とすれば $C(E)=I$ である. 従っ$N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}$$\ell^{2}$$N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}_{+}$

をみたす $M$ から$\mathbb{Z}$の上への$N\lambda_{\alpha}\mathbb{Z}$$*$-isomorphism$\Phi$が存在する.

証明. $\forall x\in N$ に対して,$\{\pi_{\alpha}(x)\xi\}(n)=\alpha^{-}n(x)\xi(n)$$=v^{-n}xv\xi n(n)$($=\{\pi(x)\xi\}(n)$$\forall\xi\in\ell 2$( , 達),$\forall n\in \mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$)が成り立ち , 更に$(\overline{S}\xi)(n)=\xi(n-1)$$=(S\xi)(n)$であるので,
これよりと$\ell^{2}$( , 言) は$\mathbb{Z}$$\pi_{\alpha}(x)|_{\ell^{2}(\mathbb{Z},S})=\pi(x)$$(N\mathrm{x}_{\alpha+}\mathbb{Z})|_{\ell}2$

次に$(N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z})$$\ell^{2}(\mathbb{Z}, \mathcal{H})$$(\forall\xi\in\ell^{2}(\mathbb{Z}, s),$-invariant であるので

かつ$\overline{S}|_{\ell^{2}}(\mathbb{Z},s)=S$$\forall n\in \mathbb{Z})$$E\in(N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z})’$であるから,

である. よって,$(N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z})|_{\ell^{2}}(\mathbb{Z},\mathfrak{F})=\Re_{\mathfrak{M}}$(Z,s)=\Re 鼓) が示される.
上のユニタリ作用素 $U$ を次のように定義する.
$(U\xi)(n)=^{\mathrm{e}}v\mathrm{d}\mathrm{f}\xi(n+1)$$(\forall\xi\in\ell^{2}(\mathbb{Z}, \mathcal{H}),$$\forall n\in \mathbb{Z})$.

このとき , $\forall x\in N$ に対して,$(U\pi_{\alpha}(x)\xi)(n)=v(\pi_{\alpha}(x)\xi)(n+1)$$=v\alpha^{-(1)}(_{X)\xi(}n+n+1)$$=\alpha^{-n}(x)v\xi(n+1)$$=\alpha^{-n}(x)(U\xi)(n)$$=(\pi_{\alpha}(X)U\xi)(n)$$(\forall\xi\in\ell^{2}(\mathbb{Z}, \mathcal{H}),$$\forall n\in \mathbb{Z})$となり, $U\pi_{\alpha}(x)=\pi_{\alpha}(x)U$ をみたす. 同様に $US=SU$ が成り立つことも示されるのの central projectionを得る. いま $P$ を $P\geqq E$ をみたすで,からとすれば, $P\geqq U^{k}EU^{*k}(\forall k\in \mathbb{Z})$ が成り立つ. $U^{k}EU^{*k}$ は$U\in(N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z})’$$N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}$$\ell^{2}(\mathbb{Z}, ?t)$$\ell^{2}(\mathbb{Z}, v^{k}s)$17の上への射影作用素であり, \Sigma 二-\infty (UkEU*k) $=I$ をみたすので, $C(E)=I$ が示される.

1
命題 23 の (iii) から, もしらば,$\Re_{\mathfrak{M}}$$\Re_{9\pi}$例 2.4.

$\mathfrak{U}$-invariant subspace 飢が存在するな-isomorphic であることが分かる. しかし, 必ずしも
-isomorphic ではないことが, 次の例によって示される.

は接合積

は接合積と

の pure, full,$\mathcal{H}$$N>\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}$と$*$$\mathrm{s}_{\mathrm{P}^{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}11\mathrm{y}}}\mathrm{a}*$$\mathcal{H}=l^{2}(\mathbb{Z})\text{として}$,を$\{e_{n}\}_{n\in \mathbb{Z}}$の canonical$\{e_{n}\}_{n\in \mathbb{Z}}$$e_{n}=\{\cdots, 0,1,0, \cdots\}n\vee$$(\forall n\in \mathbb{Z})$とおく. $N$ を$\{e_{n}\}_{n\in \mathbb{Z}}$

$v$

方,

,

.
$v$

を

と $N$ は条件 $vNv^{*}=N$ をみたし, $N$

によって生成される von Neumann 環 $M$ は$v$$\text{すなわち}$に関して対角作用素全体からなる von Neumann 環として,両側シフト作用素とする. このとき, 明らかにとONB とする.

$B(\mathcal{H})$になる.

は-顧閉部分環とすれば,の pure, full,-invariant subspace になる. しかしながら,はどんな接合積とも spatially -isomorphic にはならないので, 定理 22 からは接合積と spatially$\mathfrak{U}$を $N$ と$v$により生成される $M$ の$\mathfrak{M}=\ell^{2}(\mathbb{Z}_{+})$$\sigma$$\mathfrak{U}$$\mathcal{H}$$B(\mathcal{H})$

$*$

$*$

$\Re_{\mathfrak{M}}$-isomorphic でないことが示される.
$N=\mathbb{C}I$

で,の定義より,
は接合積$\mathcal{H}$$\Re_{\mathfrak{M}}$の pure, full,は$\mathbb{C}I|_{\mathrm{i}\zeta}\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}$$\mathbb{C}I|_{\mathfrak{F}}$と-invariant subspace 飢が存在するとするならば,の自明な自己同型写像による接合積であり, $M$-isomorphic である. この–般化として, 我々は次の$\mathfrak{U}$$\Re_{\mathfrak{M}}$$\alpha=\mathrm{a}\mathrm{d}v$$*-$$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{y}*$結果を得る.
系 2.5. 定理 22 の条件のもとで, もし $N$ が factor $\text{であるならば}$ , ある von Neumann環$\overline{N}$と$\{\tilde{\alpha}^{n}\}_{n\in \mathbb{Z}}$と上の $*-$ 自己同型群
はが存在して,
による接合積になる. さらに, この同–視により \Re 詰) は解析的接合積$\overline{N}$

上の $*-$ 自己同型写像$\overline{N}$$\tilde{\alpha}$$\overline{N}$$\Re_{\mathfrak{M}}$$\overline{N}\rangle\triangleleft_{\overline{\alpha}}\mathbb{Z}_{+}$になる.

3. The continuous case
この節では $N$ をヒルベルト空間の–係数ユニタリ群とする. $N$ と環を$M_{0}$をして,$\mathfrak{B}$を $N$ と$\mathcal{H}$

上の von Neumann 環として,$\{u_{t}\}_{t\in \mathbb{R}}$$\{u_{t}\}_{t\geq 0}$

このとき \S 2 と同様に pure, full,

定義 3.1. 飢を$\mathcal{H}$$\mathfrak{B}$によって四成されるによって生成される$M_{0}$$\mathcal{H}$$\{u_{t}\}_{t\in \mathbb{R}}$を$\mathcal{H}$上上の von Neumannの \mbox{\boldmath $\sigma$}-弱閉部分環とする.

-invariant subspace を次のように定義する.

の閉部分空間とする. このとき飢をみたすときをいう.
-invariant であるとは,をみたすときをいう.
(2) 皿が reducing であるとは,(3) 飢が pure であるとは, 頒が自明でない reducing subspace を含まないときを(1) 飢が$\mathfrak{B}$$\mathfrak{B}\mathfrak{M}\subset$$M_{0}\mathfrak{M}\subset \mathfrak{M}$いう.

(4) 飢が full であるとは, 飢を含む最小の redu cing subspa ce がいう.

$\mathcal{H}$であるときを

18

このとき$\sim(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$$\mathcal{H}$の閉部分空間飢が pure, full,$\mathfrak{B}$-invariant であることと, 次の条件 (i)をみたすことは同値である.
$(\mathrm{i})\mathfrak{B}\mathfrak{M}\subset \mathfrak{M}$いま, $A$ を

,

(ii)

,

$\bigcap_{>t0}ut\mathfrak{M}=\{\mathrm{o}\}$$( \mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})\bigcup_{0t<}u_{t}\mathfrak{M}=\mathcal{H}$.

による無限小生成作用素とする. すなわち,$\{u_{t}\}_{t\in \mathbb{R}_{+}}$$( \forall\xi\in D(A)=\{\xi\in \mathcal{H}|\exists\lim_{tarrow 0+}\frac{u_{t}\xi-\xi}{t}\})$$A \xi^{\mathrm{d}\mathrm{e}}=^{\mathrm{f}}arrow\lim_{t0+}\frac{u_{t}\xi-\xi}{t}$

.

このとき,
$v^{\mathrm{d}}=^{\mathrm{e}\mathrm{f}}(I+A)(I-A)^{-1}$

とおくと,

$v$

は

$\mathcal{H}$上のユニタリ作用素になる. そこで, \S 2 と同様にこのユニタリ作用素

von Neumann 環 $N$ によって生成される von Neumann 環を $M,$ と $N$ によっの invariant subspaceて生成されるその -弱閉部分環をととする. このとき

$v$

と

$v$

$\mathfrak{U}$$\sigma$$\mathfrak{U}$$\mathfrak{B}$の構造に関して, 次の基本的な関係が得られる.
命題 3.2. 飢を$\mathfrak{M}$が証明.

$\mathfrak{B}$の閉部分空間とする. このとき頒が$\mathcal{H}$-invariant であることと$\mathfrak{U}$-invariant であることは同値である.

$\forall\lambda\in \mathbb{C}$に対して $R(\lambda, A)=(\lambda I-A)-1$ とおくと

$v=(I+A)(I-A)-1=2R(1, A)-I$. . .. ..

$(*)$$\text{より}v\ovalbox{\tt\small REJECT}\mathrm{h}$$v \xi=2\int_{\mathrm{n}}^{\infty}e^{-t}u_{t}\xi dt-\xi$と表すことができる. よって飢が$(\forall\xi\in \mathcal{H})$-invariant のときは明らかに-invariant であると仮定する. このときを満たすが成り立つので,
に対して,
次に刎が

$1$

$\mathfrak{B}$,$\forall\lambda_{0}>0$$\mathfrak{U}$$|\lambda-\lambda_{0}|<\lambda_{0}$$\mathfrak{U}$-invariant である.

に対して $||R(\lambda_{0}, A)||\leqq$$\forall\lambda\in \mathbb{R}$$R( \lambda, A)=\sum_{n=0}^{\infty}(\lambda 0-\lambda)^{n}[R(\lambda 0, A)]^{n+1}$

が成り立つ.
$\forall\lambda\in \mathbb{R}$

り

$(*)$

これより 飢が $R(\lambda_{0}, A)$ -invariant であれば,に対して,$\mathfrak{M}$はまた $R(\lambda, A)$ -invariant でもある. よって,から $R(1, A)$ -invariant であるのですことにより$\forall\lambda>0$$|\lambda-\lambda_{0}|<\lambda_{0}$$R( \frac{3}{2}, A)$$\mathfrak{M}$

{は

を満たす

-invariant よ$\mathfrak{U}$-invariant となる. この操作を繰り返に対して,$R(\lambda, A)\mathfrak{M}\subset \mathfrak{M}$が成立する. よって$\forall\xi\in \mathfrak{M},$$\forall\eta\in \mathfrak{M}^{\perp}$

に対して,$0= \langle R(\lambda, A)\xi, \eta\rangle=\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda t}\langle ut\xi, \eta\rangle dt$となり Laplace 変換の –意性の定理より
に対して$u_{t}\mathfrak{M}\subset$

皿となり飢が

命題 32 より, $M$ と$M_{0}$$\mathfrak{B}$, および$\langle u_{t}\xi, \eta\rangle=0$$(\forall\lambda>0)$$(\forall\lambda>0)$をえる. よって $\forall t>0$

-invariant であることが示される.
$\mathfrak{U}$と$\mathfrak{B}$の関係を得る.

1

19

命題 3.3.

(i)$\mathcal{H}$の閉部分空間が pure, full,$\mathfrak{U}$-inva 加 ant であることとpure, full,$\mathfrak{B}$-invariant であることは同値である.
は–致する.
(ii) $M$ とが separating vector を持つならば,(iii)$M_{0}$$\mathfrak{U}$$M_{0}$とは–致する.

$\mathfrak{B}$は命題 32 より明らかであるので, ここでは (iii) だけを証明する. そのたの射影作用素からの部分環として, をめに幾つかの記号を定義する. を証明.

$(\mathrm{i})(\mathrm{i}\mathrm{i})$$M_{0}$$\mathrm{c}$$\mathcal{L}$$B(\mathcal{H})$なる閉束とする. このとき,$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\not\subset^{\mathrm{d}\mathrm{e}}=^{\mathrm{f}}\{P\in B(H)_{p}|(I-P)TP=0, \forall T\in C\}$$=\{P\in B(\mathcal{H})\mathrm{P}|T(P\mathcal{H})\subseteqq(P\mathcal{H}), \forall T\in C\}$,$\mathrm{A}\mathcal{L}^{\mathrm{d}}=^{\mathrm{e}\mathrm{f}}\{T\in B(\mathcal{H})|(I-P)TP=0, \forall P\in L\}$$=\{T\in B(\mathcal{H})|T(P\mathcal{H})\subseteqq(P\mathcal{H}), \forall P\in\Sigma\}$はとする. (ここでであるので$B(\mathcal{H})_{p}$の射影作用素全体とする) このとき命題 32 より$B(\mathcal{H})$$\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathfrak{U}=\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathfrak{B}$$\mathfrak{U}\subseteqq \mathfrak{B}\subseteqq \mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathfrak{B}\subseteqq \mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathfrak{U}$が成立する. よって

とすれば,
かっ

$\mathfrak{U}=\mathfrak{B}$の元でない$\mathfrak{U}$$\phi|_{\mathfrak{U}}=0$を示すには$\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathfrak{U}$$\mathfrak{U}=\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathfrak{U}$の元 $x\neq 0$ が存在するので$\xi,$$M_{*}$の元$\mathfrak{U}_{\neq}^{\subset}\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathfrak{U}$$\phi$

で $\phi(X)=1$を満たすものが存在する. $M$ は separating vector を持つので,$\phi(y)=\langle y\xi, \eta\rangle$

をみたすを示せばよい. 仮に,$\eta\in H(\xi\neq 0, \eta\neq 0)$$(\forall y\in M)$が存在する. 従って,$\forall y\in \mathfrak{U}$に対して,$\langle y\xi, \eta\rangle=\phi(y)=0$であるから$[\mathfrak{U}\xi]\perp\eta$する) また, [を得る. (ここで$\mathfrak{U}\xi|\in \mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathfrak{U}$かつ$[\mathfrak{U}\xi]$

は$x\in \mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathfrak{U}$における簸の closed linear span とである. 従って,
より,$\mathcal{H}$$x\xi\in[\mathfrak{U}\xi]$$\phi(x)=\langle X\xi, \eta\rangle=0$

これは $\phi(x)=1$ に矛盾する. よって

次に \S 2 と同様に,$M_{0}$

及び条件 $u_{t}Nu_{t^{*}}=N(\forall t\in \mathbb{R})$$\mathfrak{U}=- \mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathfrak{U}$.
となり, 命題が示される.

1と $N$ がの接合積への表現を考察する. まず,
を満たすと仮定する. このとき, $\forall x\in N$ に対して,$\mathfrak{B}$$u_{t}$

20と定義すると,$\beta_{t}(x)^{\mathrm{d}\mathrm{e}}=^{\mathrm{f}}utxu_{t}^{*}(\forall t\in \mathbb{R})$なる. このとき, $N$ と $N$ 上の$\{\beta_{t}\}_{t\in \mathbb{R}}$$\{\beta_{t}\}_{t\in \mathbb{R}}$による接合積$\{\pi_{\beta}(x)\xi\}(t)=\beta_{-t}(x)\xi(t)$$\{\lambda(t)\xi\}(S)=\xi(S-t)$によって定義される$L^{2}(\mathbb{R}, \mathcal{H})$と$\{\lambda(t)\}t\geq 0$

命題 3.4. もしら$N\rangle\triangleleft_{\beta}\mathbb{R}$へのは$N\rangle\triangleleft_{\beta}\mathbb{R}$$(\forall\xi\in L^{2}(\mathbb{R}, \mathcal{H}),$$\forall t\in \mathbb{R})$$\forall s,$$t\in \mathbb{R})$上の作用素 $\pi_{\beta}(x)(\forall x\in N)$ とによって生成されるの$\{\beta_{t}\}_{t\in \mathbb{R}}$$N\rangle\triangleleft_{\beta}\mathbb{R}$.
から生成$\lambda(t)(\forall t\in \mathbb{R})$による解析的接合積$N\rangle\triangleleft_{\beta}.\mathbb{R}_{+}$

はの \mbox{\boldmath $\sigma$}-弱閉部分環である.

$\mathfrak{B}$$M_{0}$$\Phi$

命題 33 の (i) より 皿がが pure, full,-弱連続な $*-$ 自己同型群に

pure, full, -invariant subspace 飢が存在するならば,か-isomorphism で条件をみたすものが存在する.

$\mathcal{H}$$*$$\sigma$$(\forall\xi\in L^{2}(\mathbb{R}, \mathcal{H}),$される von Neumann 環である. また, $N$ と$\pi_{\beta}(N)$は $N$ 上の$\Phi(\mathfrak{B})=N\rangle\triangleleft_{\beta+}\mathrm{R}$の pure, full,$\mathcal{H}$$\mathfrak{B}$-invariant subspace であることと 飢-invariant subspace であることは同値であった. よって命題 23 より,$N$ とが条件 $vNv^{*}=N$ をみたすならば,は離散接合積と -isomorphic になる
ので, 離散接合積と連続接合積の -isomorphism が存在する. そこで, いつ $N$ とが$\mathfrak{U}$$M_{0}$

$v$

$*$

$*$

$v$

条件 $vNv^{*}=N$ をみたすかを考察する.
いま , ユニタリ作用素$v$

は$v \xi=2\int_{0}^{\infty}e^{-t}ut\xi d\iota-\xi$と表されるので, すべての

$t$

に対して

$u_{t}$$\forall\xi\in \mathcal{H}$が $N$ の可換良臣 $N’$ の元であるならば, $v\in N’$より条件 $vNv^{*}=N$ をみたす. しかしながら次の例から, 必ずしもこの条件は成立しないことが示される.
例 3.5. $N$ をヒルベルト空間
対してと$\beta_{t_{\text{。}}が}$$\{\lambda(t)\}_{t\in \mathbb{R}}$対して,$\mathcal{H}$

上の von Neumann 環として,outer になる $N$ 上の$*-$自己同型群とする. 連続接合積$\pi_{\beta}(\beta_{t}(x))=\lambda(t)\pi\beta(x)\lambda(t)*$が成立する. また,$\{\lambda(t)\}_{t\in \mathbb{R}}$$N_{\lambda_{\beta}}\mathbb{R}$$L^{2}(\mathbb{R}+, \mathcal{H})$は pure, full,に対して, 1 出タリ作用素

により与えれば, 命題 33 よりを–致する. よって,に–致する. 命題 23 より, もし$v$$\pi_{\beta}(N)$

と

と

$v$

$\pi_{\beta}(N)$は$t_{0}$に$\pi_{\beta}(N)$$\forall t\in \mathbb{R}$にを得る. よって,$\pi_{\beta}(N)$と$(\forall t\in \mathbb{R})$$(N\rangle\triangleleft_{\beta+}\mathbb{R})$.

-invariant subspace であるか..

を

$v \xi=2\int_{0}^{\infty}e^{-t}\lambda(t)\xi dt-\xi$$N\cross_{\beta}\mathbb{R}$を, あるによって生成される von Neumann 環であるから, $\forall x\in N$ と$\pi_{\beta}(N)=\lambda(t)\pi\beta(N)\lambda(t)*$ら,$\{\beta_{t}\}_{t\in \mathbb{R}}$$v$$(\forall\xi\in L^{2}(\mathbb{R}, \mathcal{H}))$によって生成される von Neumann 環はにより生成される$v$.

$\sigma$-弱閉部分環は$N\chi_{\beta}\mathbb{R}_{+}$

が条件 $v\pi_{\beta}(N)v^{*}--\pi_{\beta}(N)$ をみたすなら

21

ば, $N$ 上のある
条件

$*-$

自己同型写像$\Phi(N\rangle\triangleleft_{\beta}\mathbb{R}_{+})=N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}_{+}$と$\alpha$$N\rangle\triangleleft_{\beta}\mathbb{R}$から$N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}$をみたすものが存在する.

の上への $*-$ 同型写像

$N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}$から$\pi_{\alpha}(N)$$\Phi$

で,の上への

faithful normal canonical conditional expectation はいつでも存在するので,への faithful normal conditional expectation も存在することになる. しからが outer であるから,から, ある t。に対して
かし, [1, Theorem 35]の上への normal conditional expectation は存在しないことが知られているのを満たさないことが示される.
とは条件で矛盾となり,$N\rangle\triangleleft_{\beta}\mathbb{R}$$\pi_{\beta}(N)$$\text{より}$$N\rangle\triangleleft_{\beta}\mathbb{R}$$\beta_{t_{0}}$$\pi_{\beta}(N)$$\pi_{\beta}(N)$$v\pi_{\beta}(N)v^{*}--\pi_{\beta}(N)$$v$

最後に, 離散接合積と連続接合積に関する次の関係がある.
定理 3.6. 次の条件は同値である.

(i) $N$ 上のある $*-$ 自己同型写像
条件

(ii)

$\Phi(N\chi_{\beta}\mathrm{K}_{\vdash})=N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}_{+}$$\forall t\in \mathbb{R}$対して$\beta_{t}$$\alpha$と$N\mathrm{x}_{\beta}\mathbb{R}$から$N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathbb{Z}$

の上への

$*$

-同型写像

$\Phi$

でを満たすものが存在する.

は $N$ 上の $inner*-$ 自己同型写像である.

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