数理解析研究所講究録
第 1563 巻 2007 年 141-147

141

On the reaction-diffusion system for some asymmetricsynthesis

東京理科大学理学部 加藤圭一 (Keiichi Kato)
Department of Mathematics,
Tokyo University of Science1. 不斉合成 (ASYMMETRIC SYNTHESIS)
不斉合成とは, 2 つある光学異性体のうちの片方のみを合成することをいう. 次の化学反応を考える.

$A+Barrow cC+D$ ,$A+Barrow C’+Dc’$

ここで, $A,B,C,C’,D$ は化合物で, $C$ と $C’$ は光学異性体であるとする.
反応速度は $A$ や $B$ の量ばかりでなく, $C$ や $C’$ 自身の量に依存するとする.(Autocatalyst(自己触媒)). この状況のもと, 次の常微分方程式が導かれる.

$\frac{dX}{dt}=k(a-X-Y)(b-X-Y)X^{2}+k’(a-X-Y)(b-X-Y)XY$$\frac{dY}{dt}=k(a-X-Y)(b-X-Y)X^{2}+k’(a-X-Y)(b-X-Y)XY$$X(O)=X_{0},$ $Y(O)=Y_{0}$,は, それぞれ化合物 $A$ と $B$ の初期時刻での量を表わし,$X$ と $Y$ はそれぞれ化合物 $C$ と $C’$ の量を表わす.
$R=X/Y,S=X+Y$
ここで,$a$と$b$

とおくと, 簡単な考察から$(R+1)^{2\alpha-1}(R-1)=C_{0}S^{2\alpha-1}R^{\alpha}$.

$c_{0}=$が成立することがわかる. ただし, ここで, $\alpha=k/(k+k’)$である.
このことから, もし $x_{0>Y_{0}}$ かつ $k>k^{j}$ ならば, $\alpha>1/2$ かつ $C_{0}>0$であるから, $tarrow\infty$ のとき, $S(t) \nearrow\min(a, b)$ となる. ゆえに, $tarrow\infty$のとき, $R(t)$ は増加する.
したがって, もし $X_{0}>Y_{0}$ なら, 化合物 $C$ と $C’$ の比 $X(t)/Y(t)$ は,$tarrow\infty$ のとき増加する.
これを, 異性体率の増加 (Amplification ofenantiomer excess) と呼ぶ ([1]).
この系に拡散項を付加することを考える.
を滑かな境界をもつ有$W$
$Y,$
$C,$
$Z,$
$C’,$ $A,$ $B$ の時刻 位置$X,$
界なを化合物内の領域とする.
$(X_{0}-Y_{0})/(X_{0}^{\alpha}Y_{0}^{\alpha})$$\Omega$$R^{2}$$t$

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$x$

における密度とすると, 次の偏微分方程式系が導かれる.

(1)$\frac{\partial X}{\partial t}=\triangle X+kZWX^{2}+k’ZWXY$)$\cross\Omega$,(2)$–=\triangle Y+kZWX^{2}+k’ZWXY$ in $[0, \infty$ )$\cross\Omega$,in$[0, \infty$$\partial Y$$\partial t$

(3)
(4)

$\frac{\partial Z}{\partial t}=\triangle Z-kZW(X^{2}+Y^{2})-2$

k’ZWXY in$\frac{\partial W}{\partial t}=\triangle W-kZW(X^{2}+Y^{2})-2k’ZWXY$$[0, \infty$in)$[0, \infty$$\cross\Omega$),$x\Omega$.

実際には, 拡散係数は化合物により変えるべきであるが, ここでは簡単のため同じとした.

この方程式系の初期境界値問題を考える. 境界条件は境界で化合物が出入りしない状況を想定し, Neumann 境界条件を与える.
(5)$\frac{\partial X}{\partial n}=\frac{\partial Y}{\partial n}=\frac{\partial Z}{\partial n}=\frac{\partial W}{\partial n}=0$on$(0, \infty)\cross\partial\Omega$

また, 初期時刻 $t=0$ で初期条件(6)$X(0, x)=X_{0}(x),$ $Y(O,x)=Y_{0}(x),$ $Z(0,x)=Z_{0}(x),$ $W(O, x)=W_{0}(x)$ in$\Omega$を与える.

2. 問題の設定
次の問題を考えよう.
問題: 化合物 $C$ と $C’$ の初期時間での量が同じであるとき, $C$ と $C’$の分布の仕方が違いから, 異性体率の増加 (Amplification of enantiomerexcess) が起こるだろうか ?
これを数学的に言い換えると,ノルムが同じであってと5のノとのも, その分布の仕方が違えば, 時間が経過したのちのルムに違いがでるかという問題となる.
簡単のため, $k’=0$ かつ化合物 $Z$ と $W$ の量が同じであるとすると,方程式系は次の形となる.
$x_{0}$$L^{1}$$X_{0}$(7)$\frac{\partial X}{\partial t}=\triangle X+kZ^{2}X^{2}$(8)$\frac{\partial Y}{\partial t}=\triangle Y.+kZ^{2}X^{2}$$\partial Z$(9)$\ =\triangle Z-kZ^{2}(X^{2}+Y^{2})$$Y_{0}$$L^{1}$.

この講演では, 空間次元が 1 次元で. $\Omega=(0,1)$ であって $X_{0}(x),$ $Y_{0}(x),$ $Z_{0}(x)$に属しているとする. $X+Y+Z$ が. 熱方程式
は正値関数で$L^{\infty}$$\triangle u=0$$\frac{\theta u}{\partial t}-$を満たすことに注意しよう.

Theorem 1. $X(0),$ $Y(O),$ $Z(O)\in L^{\infty}(O, 1)$ と仮定する. このとき, ある $T>0$ と $C([0,T];L^{\infty})$ に属する一意解 $X(t,x),Y(t, x),$ $Z(t,x)$ が存143
在する. そして, $X_{0}(x),$ $Y_{0}(x),$ $Z_{0}(x)$ は,に属する正値関数とすると,に対し $X(t,x),$ $Y(t, x),$ $Z(t, x)\geq 0$ となる.
$L^{\infty}$$\forall t\in \mathbb{R}$

注意: $T$ は,. のみに依存する.
このことの証明は容易である. 初期値問題を積分方程式に変換する.
$\Vert X_{0}(x)||_{\infty},$$\Vert Y_{0}(x)\Vert_{\infty},$$\Vert Z_{0}(x)\Vert_{\infty}$$X(t)=U(t)X_{0}+ \int_{0}^{t}U(t-s)(nonlinearterm)(s)ds$

ここで,$U(t)X_{0}= \int_{0}^{1}k(t, x, y)X_{0}(y)dy$

であり,$k(t,x,y)= \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(e^{-(x-y+2\mathfrak{n})^{2}/4t}-e^{-(x+y+2\mathfrak{n})^{2}/4t})$.

である. 局所解の存在は,$X_{\rho}=${ $u\in C([0,T];L^{\infty})$ ;$sup\Vert u(t,)||\iota\infty\leq\rho$}$t\in[0,T]$

において, 初期値に応じて と $T$ を適切にとった上で, 縮小写像の原理により示すことができる. 正値性は, 最大値の原理からわかる.
$\rho$

3. 大域解の存在
初期関数 $X_{0}(x),$ $Y_{0}(x),$ $Z_{0}(x)$ は正値関数であることを仮定する. $X+$を満たすから,$Y+Z$ は, 熱方程式$\frac{\theta u}{\partial t}-\triangle u=0$$||(X+ Y+Z)(t, \cdot)\Vert_{\infty}\leq||\int_{0}^{1}k(t,x,y)(X_{0}+Y_{0}+Z_{0})(y)dy||_{\infty}$$\leq||(X_{0}+Y_{0}+Z_{0})\Vert_{\infty}$となる.

$X,$$Y,$ $Z$.の正値性から$||X(t, \cdot)||_{\infty}\leq||(X_{0}+Y_{0}+Z_{0})(\cdot)\cdot\Vert_{\infty}$がわかる. それ故, 前節で構成した局所解は大域解となる.

4. 簡単な系$\cdot$さらに単純化した系として. 次のものを考えよう.

(10)$\frac{\partial X}{\partial t}=\triangle X+kZX$(11)$\frac{\partial Y}{\partial t}=\triangle Y+kZX$(12)$\frac{\partial Z}{\partial t}=\triangle Z-kZ(X+Y)$.

144$\psi_{0}(x)$$=$$1$)$\psi_{n}(x)$$=$ $\sqrt{2}\cos(n\pi x)$$(n$$\geq$$1)$とする.

科,$u(t,$ $x)$ $=$ $\sum a_{n}(t)\psi_{n}(x)$
$n=0$
科科

$v(t)x)$$=$ $\sum b_{n}(t)\psi_{n}(x)$,$n=0$科科$w(t,$ $x)$ $=$ $\sum c_{n}(t)\psi_{\mathfrak{n}}(x)$$n=0$とおく. ただし.
$a_{n}(t)$$b_{\mathfrak{n}}(t)$$y)\psi_{n}(y)dy$,$=$ $\int_{-\infty}^{\infty}Y(t)y)\psi_{n}(y)dy$,$=$$\int_{-\infty}^{\infty}X(t,$$a_{n}(t)$ $=$である. 形式的な計算により,満たす.

$\int_{-\infty}^{\infty}Z(t,$$y)\psi_{n}(y)dy$$X,Y,$ $Z$ の係数は,$a_{0}’(t)=kc_{0}(t)a_{0}(t)+k \sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(t)a_{n}(t)$次の常微分方程式を,$a_{n}’(t)=-(n\pi)^{2}a_{n}(t)+kc_{0}(t)a_{n}(t)+kc_{n}(t)a_{0}(t)$$+ \frac{k}{\sqrt{2}}\sum_{m=1}^{\infty}\{a_{m}(t)c_{m+\mathfrak{n}}(t)+a_{m+n}(t)c_{m}(t)\}$$+ \frac{k}{\sqrt{2}}\sum_{m=1}^{n-1}\{a_{m}(t)c_{n-m}(t)\}$$b_{0}’(t)=kc_{0}(t)b_{0}(t)+k \sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(t)b_{n}(t)$,$c_{0}’(t)=-kc_{0}(t)b_{0}(t)-k \sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(t)b_{n}(t)$,$c_{\mathfrak{n}}’(t)=-(n\pi)^{2}c_{n}(t)-k(a_{0}(t)+b_{0}(t))c_{n}(t)-k(a_{0}(t)+b_{0}(t))c_{n}(t)$$- \frac{k}{\sqrt{2}}\sum_{m=1}^{\infty}\{c_{m}(t)(a_{m+n}(t)+b=mm +n(t))+c_{m+\mathfrak{n}}(t)(\%(t)+b_{m}(t))\}$$- \frac{k}{\sqrt{2}}\sum_{m=1}^{\mathfrak{n}-1}\{c_{m}(t)a_{n-m}(t)\}$

.

145
$A$

$a_{0}(0)=1,$ $a_{n}(O)=0(n\geq 1)$,$b_{0}(0)=1,$ $b_{1}(0)=1,$ $b_{n}(0)=0(n\geq 2)$,$c_{0}(0)>>1,$ $c_{n}(0)=0(n\geq 1)$ ,として,$0<t<<1$ のときのの情報を粗く考察してみよう.
初期値が でないのは,, 偽であり, 残りは $0<t<<1$ では小さいと考えられる. したがって,
$0$

(13)
(14)
(15)

$a_{0}(t),$ $b_{0}(t)$$a_{0},$ $b_{0},$$a_{0}(t)\sim\simeq kc_{0}(t)a_{0}(t)$$b_{1}$,$b_{0}(t)\sim\simeq kc_{0}(t)b_{0}(t)+kc_{1}(t)b_{1}(t)$,$c_{0}(t)\sim\simeq-kc_{0}(t)(a_{0}(t)+b_{0}(t))-kc_{1}(t)b_{1}(t)$

(16)

,

$c_{1}(t)\sim\simeq-\pi^{2}c_{1}(t)-kc_{0}(t)(a_{1}(t)+b_{1}(t))-kc_{1}(t)b_{1}(t)$,と考えてよい. $0<t<<1$ のとき, $|c_{1}(t)|/Ja,$ $-k(a_{1}(t)+b_{1}(t))c_{0}(t)<0$ ,小だから, $d_{1}(t)<0$ となる. $c_{1}(0)=0$ だから, $c_{1}(t)<0$ .
(13) $-(14)$ から,$|b_{0}(t)c_{1}(t)|$$\frac{d}{dt}(a_{0}(t)-b_{0}(t))\simeq\sim kc_{0}(t)(a_{0}(t)-b_{0}(t))+kc_{1}(t)(a_{1}(t)-b_{1}(t))$,を得る. $0<t’<<1$ のとき, $a_{1}(t)-b_{1}(t)<0,$ $c_{1}(t)<0,$ $|a_{0}(t)-b_{0}(t)|$小だから, $(a_{0}(t)-b_{0}(t))’<0$ 即ち, $b_{0}(t)<a_{0}(t)$ を得る.
$b_{1}(0)=1>0$ としたが, $b_{1}(0)<0$ のときも同様である. 簡単のため, $b_{1}(0)=-1$ とする.
同様の議論から, $d_{1}(t)>0$ となるので,$c_{1}(t)>0$ を得るが, $b_{1}(t)<0$ なので,.

$P$$\frac{d}{dt}(a_{0}(t)-b_{0}(t))\sim\simeq-kc_{1}(t)b_{1}(t)>0$となる.

以上のことから, 簡単な系 (10) $-(12)$ の場合, 初期値に偏りがあるほうが, 有利であるといえる.

5. 漸近展開の問題
今考えている方程式系の正値解は定数に漸近する力\nwarrow 興味ある問題は,とその比である. つまり, 定数が存在して, $tarrow\infty$のとき一様に$\exists A_{0}>0$$X(t,x)\nearrow A_{0},$$\exists B_{0}>0$$Y(t,x)\nearrow B_{0}$とするとき,のもとで比 $A_{0}/B_{0}$ がどうなるかを調べることである. 前節の議論から, 簡単な系 (10) $-(12)$ の場合, $0<t<<1$のとき, 初期値に偏りがないほうを $X$ とすると, この比は増大する.
$0<t$ でこの比は増大し続けることが推察されるが, それを次節で数値計算により調べてみる.
$\Vert X_{0}\Vert_{1}=\Vert Y_{0}\Vert_{1}$146
6. 数値計算
ここでは, 数値実験の結果を報告する. Figure 1 は, 方程式系 (7) $-(9)$を, $\Omega=[0,1]$ とし, Neumann 境界条件の下, $X(0, x)\equiv 1$ ,$Y(0,x)=\{\begin{array}{ll}2 x\in(0,1/2]0 x\in(1/2,1)\end{array}$計算した結果である. グラフは, 横軸が時間, 縦ノルムを表わしている. 破線がであり, 実線がである. Figure 2 は, 方程式系 (10) $-(12)$ を, $\Omega=[0,1]$ とし.

$Z(0,x)\equiv 5$ として,軸が解の$L^{1}$$\Vert Y(t, \cdot)||_{L^{1}}$$\Vert X(t, \cdot)\Vert_{L^{1}}$FIGURE 1. 方程式系 (7) $-(9)$ に対する数値計算結果

Neumaam 境界条件の下, $X(0, x)\equiv 3,$ .
$Y(0,x)=\{\begin{array}{ll}6 x\in(0,1/2]0 x\in(1/2,1)\end{array}$$Z(O, x)\equiv 20$として, 計算した結果である. グラフは, 横軸が時間, 縦であり, 実線がノルムを表わしている. 破線が$-(9)$は, 初期値にこの数値計算から,元々の系 (7)である.
偏りがあるほうが有利であり, 簡単な系 (10) $-(12)$ は初期値に偏りがないほうが有利であると推察される.

軸が解の$L^{1}$$\Vert X(t, \cdot)\Vert_{L^{1}}$$||Y(t, \cdot)||_{L^{1}}$REFERENCES[1] I. Sato, D. Omiya, H. Igarashi, K. Kato, Y. Ogi, K. Tsukiyama and K. Soai,
Rdationship between the time, yield, and enantiometric excess of asymmetric-pyrimidyl alkanol with amplification of enanau tocatalysis of chiraltionmeric excess, Tetrahedron: Asymmetry, 14 $(2003)975-979$ .
$2-\ovalbox{\tt\small REJECT} nyl- 5$

147

FIGURE 2. 簡単な系 (10) $-(12)$ に対する数値計算結果