数理解析研究所講究録
1091 巻 1999 年 64-7564

有理数体上で定義される楕円曲線のcanonical system とその応用
山本芳彦 (大阪大学理学研究科)

Canonical system

1$\mathrm{C}$を有理数至上で定義される楕円曲線とする. $C$ は minimal Weierstrassmodel$\mathrm{C}:Y^{2}+a_{1}X\mathrm{Y}+a_{3}\mathrm{Y}=X^{3}+a_{2}X^{2}+a_{4}X+a_{6}$$(a_{i}\in \mathbb{Z})$とで与えられているとし, その判別式と導手をおく.
には無限遠点を零元とする 1 次元多様体の構造が入る.
$X,$
を $C$ 上の関数体の元と考えるとき $X,$
はにおいて, それぞれ$-$が のにおける つの局所変数で, $X,$
2 位, 3 位の極を持つ. をべき級数として有理整数係数で$\Delta=\Delta(\mathrm{C}),$$\mathrm{O}$$\mathrm{C}$$\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{I}$$\mathrm{Y}$$\mathrm{O}$$\mathrm{Y}$$t$$\mathrm{O}$$\mathrm{Y}$$X=t^{-2}+x_{-1}t^{-1}+x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+$$\cdot$..

$Y=t^{-3}+y-2^{t}+-2y_{-}1t-1+y0+y_{1}t+$の形に展開されるとき,$t$$N=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}(\mathrm{C})$$\cdot$$t$(1)$(x_{i}\in \mathbb{Z})$

..

(2)

$(y_{j}\in \mathbb{Z})$を integral parameter と呼ぶ.

例 1.1 $t=X/Y$ とおくと,$t$は integral parameter である. 実際,$a_{1},$$\cdot,$.

$,$$a_{6}$の整係数多項式を係数として次のように表される.
$X=t^{-2}+a_{1}t^{-1}-a_{2}+a_{3}t-(a_{1}a_{3}+a_{4})t^{2}+\cdots$$Y=t^{arrow 3}+a_{1}t^{-2}-a2t^{-1}+a_{3}-(a_{1}a_{3}+a_{4})t+\cdots$

また,

$t$

をひとつの integral parmeter とするとき,$t’=t+r_{2}t^{2}+r_{3}t^{3}+$

とおくと,

$t’$

$\cdot$..

$(r_{k}\in \mathbb{Z})$も integral pammter である. よって,

parameter が存在する.

$\mathrm{C}$には無数の integral

65

$t$

$t$

を

$\mathrm{O}$における local parame.t er とする.

$\mathrm{C}$の Neron differential$\omega$の展開を$\omega=\frac{\sim dX}{2\mathrm{Y}+a_{1}x+as}=f(t)\frac{dt}{t}$$f(t)= \frac{-t\frac{dX}{dt}}{2Y+a_{1}x+as}=t+b_{2}t^{2}+b_{3}t^{3}+$(3)とおくとき, 次が成り立つ.

Proposition 1.1
楕円曲線$\mathrm{C}$’integral$t\delta\backslash$の zeta function$\Rightarrow$$b_{k}\in \mathbb{Z}(k=1,2,3, \cdots)$

を$L \mathrm{c}(S)=n\sum_{=1}C\infty nnarrow\theta$とすると, 次の事実が知られている.

Proposition 1.2
別式$t$

を integral Parameter とする. 素数$P$が$\mathrm{C}$の判を割り切らないとき次が成り立つ.

$\Delta$$b_{p}\equiv c_{\mathrm{P}}$(mod )$p$上の命題と, 合同 zeta 関数に対して Riemann 予想の類似$|c_{p}|\leq 2\sqrt{p}$が成立することを用いると,$p \geq 17\Rightarrow 2\sqrt{p}\leq\frac{p}{2}$だから, 各 $p\geq 17$ に対して, $f(t)$ の係数がわかると, zeta 関数の係数を個別に求めることが出来る. しかし, 合同であるということに由来すの性質を調べる不定性のために, $X,$のべき級数展開より, 直接$Y$
から $X,$の性質を導くことは出来ない.
たり, 逆に,実は, 次に定義するような特別な性質を持つ都合のよい local parameterが存在することがわかる.
$b_{p}$$c_{\mathrm{P}}$$\mathrm{Y}$$L_{\mathrm{C}}(s)$$L_{\mathrm{C}}(s)$のにおける local pammeter が次の 2 条件をみた
Defnition 1.1
すとき を canonical parameter とよぶ.
$C$

$t$

$\mathrm{O}$

$t$

66

は integral parameter である.
(1)
(2) すべての自然数 に対して $b_{n}=c_{n}$ が成り立つ.
$t$

$n$

このとき, 次が成り立つ (Theorem 1.1$t\mathrm{a}\mathrm{e}^{\llcorner}\mathrm{C}$$\prec\S 2$, Theorem 2.2)

Canonical parameter は存在し F -意に定まる.

の canonicai parameterとするとき, $X,$ $Y$ の$f$

に関するべき級

数展開$X=X(t)=t^{-2}+x_{arrow 1}t^{-1}+x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+$$\cdot$$Y=Y(t)=t^{-3}+y_{-2}t^{-2}+y_{-1}t^{-1}+y_{0}+y_{1}t+$$\mathrm{g}\mathrm{C}\text{の}$$\not\subset \mathrm{k}s_{\mathrm{a}}^{\backslash }\backslash$.

canonical series ,Canonical parameter$t$$\{t, X(t),\mathrm{Y}(t)\}\text{を}\mathrm{C}\text{の}$によりNeron differential..
$\cdot$(4)$(x_{i}\in \mathbb{Z})$..

$(y_{j}\in \mathbb{Z})$.

(5)canonical system &$\omega$を$\omega=\frac{-dX}{2\mathrm{Y}+a_{1}\mathrm{x}+a3}=f(t)\frac{dt}{t}$$-t^{\underline{dX}}$$f(t)=\ovalbox{\tt\small REJECT}=t+b_{2}t+b_{3}t^{3}2Y+a1X+a_{3}2+$とべき級数展開するとき,$\mathrm{C}$の$\cdot$..

(6)

zeta 関数は$L_{\mathrm{C}}(s)=n \sum_{\simeq 1}b_{n}n\infty\sim \mathrm{g}$で与えられる.
の minimal Weierstrass model のとり方
注意. Canonical system はに depend するが, それらを結ぶ同型写像により互いに移り合う.
$\mathrm{C}$

例 1.2

楕円曲線
$\mathrm{C}_{1}$$\mathrm{C}_{1}$$\mathrm{Y}$: $\mathrm{Y}^{2}+\mathrm{Y}=X^{3}-X^{2}-10x-20(\Delta=-11^{5}, N=11)$に対応する modular cune Xo(ll) と同型で $X$ ,は合同部分群をに関する modular function と考えて, cusp $z=i\infty$ におけ$\Gamma_{0}(11)$$\Gamma_{0}(11)$67

るlocal parameter$q\simeq\exp(2\pi \mathrm{i}z)$に関する展開は有理整数係数で次のよ

うになる.
$X_{1}=X(q)=q^{-}+2q+4+5q+8q+q+7q^{4\mathrm{s}_{+}6}-11q102-123q$$-12q^{7}+18q^{\epsilon_{-}}22q^{9}+26q^{10}-11q^{11}+41q^{12}+$$\cdot$..

$Y_{1}=\mathrm{Y}(q)=q^{-3}+3q^{-2}+7q^{-1}+12+17q+26q^{2}+19q^{3}+37q^{4}$$-15q^{5}-16q-67q-6q^{8}67$ – 144 $q^{9}+92q^{10}-66q^{11}+$$\cdot$..

Xo(ll) は genus 1 の modular curve であるから, その第 1 種微分はdiffferential の定数倍となる. 展開の係数を比べると.Neron$q$$f=q-2q-q^{3}+2q^{4}+q^{5}+2q^{6}-2q^{7}-2q-2q910+q^{11}$$-2q^{12}+4q^{13}+4q^{\iota}-4q+15$. ..

に関する weight 2 の cusp form である. これが$X_{0}(11)$ の zeta 関数を与える (Eichlar–Shimura).
よって,の canonical system である.
はとなり, $f(q)$ は$\Gamma_{0}(11)$$\{q, x_{1}, \mathrm{Y}1\}$$\mathrm{C}_{1}$2Canonical system の存在と構成

2.1

Formal group structures

楕円曲線
する.

$\mathrm{C}$が次の minimal Weierstrass model で与えられていると$Y^{2}+a_{1}X\mathrm{Y}+a_{3}Y=X^{3}+a_{2}X^{2}+a_{4}X+a_{6}$における local parameter とし, $X,$ $Y,$
また, を零元
級数展開を (1), (2), (6) とおいて,$t$$(a_{i}\in \mathbb{Z})$$\mathrm{O}$$\omega$

の

$t$

によるべき

$h(t)= \int f(t)\frac{dt}{t}=t+\frac{b_{2}}{2}t^{2}+\frac{b_{3}}{3}t^{3}+\cdots$

により, $h(t)$ を定める. このとき,$\omega=h^{l}(t)dt=d(h(t))$と表される. ここで, $u,$$v$

に関する形式的べき級数 $F_{t}(u, v)$ を$F_{t}(u,v)=h^{\sim 1}(h(u)+h(v))$$.=u+v+$ (higher terms onにより定めると,

$u$

and

$v$

)

$\in \mathbb{Z}[[u,v]]$

68

Proposition 2.1$F_{t}(u, v)$は$\mathbb{Z}$

上 (可換な)

formal group を与える.

すなわち, 次をみたす.
$F_{t}(^{p_{t}}(u,v),w)=Ft(u, Ft(v,w))$$F_{t}(u, v)=Ft(v,u)$$\prod_{\mathrm{A}i}(^{\cap,\backslash }.,.’

これは,$\mathbb{Z}$\text{ノ}..-..\eta.’$

上の formal group $F_{l(u,v)}$ が $h(t)$ により formal additive group$G_{a}(u,v)=u+v$と上同型であること意味している.
に対しての zeta 関数
次に,$\mathbb{Q}$$L_{\mathrm{C}}(s)$$\mathrm{C}$$g(t)= \sum_{k=1}\infty\frac{c_{k}}{k}t^{k}$

とおいて,$G_{L}(u,v)=g^{-1}(g(u)+g(v))$と定義すると, $G_{L}(u, v)$ も$\mathbb{Z}$上の formal group となる.

このとき, 次の定理が成り立つ.

Theorem 2.1 (Honda)$\mathbb{Z}$上のformal groups$F_{t}(u, v)$と$G_{L}(u, v)$

は強同型である. それらの間の強同型写像は–意に定まる,

一般に, 上の二つの formal groups $F(u, v)$ と $F’(u, v)$ が与えられた
とき, 次の形の 上のべき級数$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$$\phi(t)=t+r_{2}t^{2}+r_{3}t^{3}+$$\cdot$..

$\in \mathbb{Z}[[t]]$で$\phi(F(u,v))=F’(\phi(u\rangle,\psi(v))$

を満たすものが存在するとき, この二つの formal grpups は強同型であるという.

Theorem 2.2$\mathrm{C}$上に canonical parameter が存在して,$-\text{意}$

に定まる.

69

$\mathrm{C}$

実際, 上の $h(t),$ $g(t)$ を用いて, $t=\phi.(t’)=h^{-1}(g(t))$ とおくと,の canonical parameter を与える.
.
の canonical system とすると,
いま, $\{t,X(t),Y(t)\}$ を

$t’$

は

$\mathrm{C}$$h(t)=g(t)$ ,$F_{t}(u,v)=G_{L}(u,v)$における加法と, formal group における加法に関し, 次の対応が成で,り立つ.
$\mathrm{C}$$F_{f}=G_{L}$$\mathrm{C}$$\mathrm{P}$$\mathrm{Q}$$\mathrm{P}+\mathrm{Q}$2.2$=(X(u),Y(u))$$=(X(v),Y(v))$$=(X(w),\mathrm{Y}(w))$$G_{a}$$\Leftrightarrow$$u$$rightarrow$$h(u)$$\mapsto$$v$$\aleph$$h(v\rangle$$\Leftrightarrow$$w=F_{l}(u, v)$$\Leftrightarrow$$h(u)+h(v)$Canonical system の構成

Honda の定理により canonical system が存在し–意的に定まることは示された. ここでは, ctonical system を構成するアルゴリズムについて考察する.
の零元 $0$ における local paremeter に関する $X,$ $Y$ のべき級数展が Weisrstrass の方程式をみたすことよ
開を (1), (2) とおくとき, $X,$の間には次のような関係式が成り立つ.
り, 各係数$t$$\mathrm{C}$$\mathrm{Y}$$x_{k},$$y_{k}$$3_{X_{-1^{-}}}2y-2=a1$$3x_{0}-2y_{-1}=-a_{2}+a_{1}x_{-1}-3x^{2}-1+a_{1}y-2+y_{-2}^{2}$$3x_{1}-2y_{0}=a_{3}-2a_{2}x_{-1^{-}1}x_{-}^{3}+$$3x_{2}-2y1=-a4+$$\cdot$..

$\cdot$..

一般に, 次のような関係式が成り立つ.

$3x_{n}-2y_{n-}1=A_{n}$$(n\geq-1)$$A_{n}\in \mathbb{Z}[a_{1}, \cdots,a_{6}, x_{-1}, \cdots,x_{n-1},y_{-2}, \cdots, y_{n-\mathit{2}}]$は
すなわち,$x_{n-1},y-2,$ $\cdots,yn-2$ に関する係数の多項式として表される.
また, Neron differential の定義式より$A_{n}$$a_{1},$$\cdots,a_{6},$ $x_{-1},$ $\cdots,$$-t \frac{dX}{dt}=f(t)(2\mathrm{Y}+a_{1}X+a_{3})$$\mathbb{Z}$70である. この両辺のべき級数展開を比較することにより, 次が成り立つ.

$nx_{n}+2yn-1+2b_{n+3}=B_{n}$$(n\geq-1)$

where$B_{n}\in \mathbb{Z}1a_{1},$$\cdots,$ $a_{6},$ $x_{\wedge 1},$ $\cdots,$ $x_{n}\wedge\iota$,$y-x,$ $\cdots,$ $y_{n-2},b_{1},$ $\cdots,$ $b_{n-2}]$は
ここでは,係数の多項式である.
に関する$B_{n}$$a_{1},$$\cdots,a\epsilon,$$x_{\wedge 1},$$\cdots,x_{n}\wedge 1,$$y_{\wedge}2,$$\cdots,y_{n}\wedge 2,b_{1},$$\cdots,$ $b_{n-2}$$\mathbb{Z}$がすでにわかっている場合を考えよう.
1. 先ず, の zeta 関数
この場合には, $c_{n}(n\geq 1)$ がすべて既知だから, $b_{n}=c_{n}$ とおいて, 次$L\mathrm{c}(s)$$\mathrm{C}$の連立方程式$3x_{n}-2y_{n\wedge 1}=A_{n}$$\{$$nx_{n}+2y_{n}\wedge 1=B_{n}-2c_{n}+3$が順に定まと順に解けば, 整数解がてゆく. このとき, (1), (2) で与えられる. $X=X(t),$の canonical system を与える.
がわかっていない場合を考えよう. この場合に2. 次に, zeta 関数
も, 次の定理により, caninical system を, 同時に zeta 関数も, 求めるを $n=-1,0,1,2,$$(x_{n}, y_{n}\wedge 1)$$\cdots$$\mathrm{Y}=\mathrm{Y}(t)$$L\mathrm{c}(s)$ことが出来る.

Theorem 2.3

連立方程式$3x_{n}-2y_{n}-1=A_{n}$
$(*)$

$\{$

$nx_{n}+2y_{n\wedge}1+2b_{n+3}=B$ 。

は次の条件 (i) and (ii) の下に, ただ–つの整数解$\{x_{i},y_{j,k}b :i\geq-2,j\geq-3,k\geq 1\}$をもつ.

(i) $(m, n)=1$ のとき, $b_{mn}=b_{m}b_{n}$ .
が素数のとき, 次をみたす.
(ii)
$p$

$’\supset$$\mathrm{C}$

71

(a1)
(a2)
(b1)
(b2)

$|b_{p}|\leq 2\sqrt{p}$(mod 2) のとき, $b_{2}=0$ .
のとき, $b_{p^{k}}=b_{p}b_{p^{k1}}--pb_{p^{k}}-2(k\geq 2)$ .
のとき,.

$a_{1}\equiv a_{3}\equiv 0$$P\{\Delta$$p|\Delta$$b_{p^{\mathrm{k}}}=b_{p}k(k\geq 2)$

実際, 連立不定方程式 $(*)$ を定理の条件 (i), (劾の下に, $n=-1$ から始めて $n=0,1,2,$と再帰的に解けばよい. その際, $n+3$ が13 以下の素数 となるときには, 条件 $(a1)$ をみたすは–意ではないが, それらの中でただ一つのみが, すべての条件を満たすことが$\cdots$$P$$b_{p}$

出来る.

注意. 定理の条件 $(a1.)$ は次の条件 $(a1’)$ で置き換えることが出来る.

1$(\mathrm{a}1’)$$\}b_{p}|\leq\{$$-p2$$2\sqrt{p}$$ifp\succeq 17$

if $p<17$

例 2.1

悪手 11 の楕円曲線(a): $Y^{2}+\mathrm{Y}=X3-x^{2}-7820x-263580$$\mathrm{C}_{2}$$\mathrm{C}_{2}$,$\mathrm{C}_{3}$のcanoni $cal$ system$(\Delta=-11, N=11)$

Canonical system$\{q, X_{2}, \mathrm{Y}_{2}\}$$X_{2}=q^{-2}+2q^{-1}+4+5q+1\mathrm{b}70q^{2}-3123q^{3}+38551q^{4}$-$149501q5+992122q\epsilon-4816670_{q^{7}}+26533203q^{8}$ –..

.

$\mathrm{Y}_{2}=q^{-3}+3q\wedge 2+7q\wedge 1+12-1545q+1588q-275507q3$$+2273\mathfrak{g}6q^{4}$ –(b)2598721q\S +l2040848q–$85035369q\tau+\cdots$$\mathrm{C}\mathrm{a}:\mathrm{Y}^{2}+\mathrm{Y}=X^{\epsilon}-X2$$(\Delta=-11, N=11)$

Canonical system$\{q, X_{3}, Y_{\theta}\}$$X_{3}=.q^{-}2+2q-1+4+5q+6q2+5q+3q^{4}-35-6qq^{\epsilon}$$-10q^{7}-11q^{8}-8q^{\theta}+11q^{11}+22q^{12}+\cdots$$Y_{3}=q^{-3}+3q\wedge 2+7q\wedge 1+12+19q+24q^{2}+25q^{3}+18q^{4}$$+3q^{\mathrm{s}_{-2}}\mathrm{o}q-645q7-62q8-60q9-31q10+26q^{11}+\cdots$

72

と同型であ
に対応する modular curveとることが知られている. 楕円曲線 C2 と C3 はともに例 12 のは modular 群$\mathrm{C}_{3}$$\mathrm{X}_{1}(11)$$\Gamma_{1}(11)$$\mathrm{C}_{1}$isogeneous である. よって, zeta 関数に対応する $f(q)$ はすべて–致する.
に関す
このとき f $q=e^{2l}riz$ とおくと, $f(e^{2rt}iz)$ は の関数としてる weight 2 の cusp form であることより,$\Gamma_{0}(11)$$z$$X_{i}(e)2\pi iz,$は modular$(i=2,3)$$\mathrm{Y}_{i}(e^{2\pi i})z$functions of level 11 であることがわかる.

Modular Parametrizatlon

3$\mathbb{Q}$上の楕円曲線$\not\supset>\text{ら}\mathrm{c}\sim \text{の}$$\mathrm{C}$に対して, ある Modular curve Xl

non-constant morphism$(N)=\mathrm{r}_{1(N})\backslash H^{*}$$\pi$$\pi:\mathrm{X}_{1}(N)arrow \mathrm{C}$Neron differential の による pull-backof level $N$ の定数 $c(\pi)(\neq 0)$に関する normalized new form

で $\pi(i\infty)=0$ かつが$\Gamma_{1}(N)$$\mathrm{C}$の$\omega$$\pi^{*}\omega$$\pi$$\beta(q)$倍として$(q=e^{2\pi iz})$$\pi^{*}\omega=C(\pi)\beta(q)\frac{dq}{q}$と表されるものが存在するとき,$\pi$$\mathrm{C}$は modular curve of level $N$ といい,

modular parametrization という (cf. [S]).
Modular curve に対応する newform $f(q)$ の cusp
を$\mathrm{C}$の$\mathrm{C}$$i\infty$

における q-展

開を$\beta(q)=\sum c_{n}qn\infty=1n$とするとき,$\mathrm{C}$の zeta 関数は$L_{C}(s \rangle=\sum_{n=}\infty 1c_{n}n^{-}s$. よって,の零元 $0$ における canonicalparameter とすると, $\omega=\beta(t)dt/t$ が成り立つことより, $\pi^{*}t=q$ , すなわ
で与えられる$(\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{a}[\mathrm{S}\mathrm{h}])$$t$を$\mathrm{C}$において不分岐でち, modular parametrization rr は Xl $(N)$ の cusp
$q=e^{2iz}\pi$のべき級数ある. よって, $c(\pi)=1$ が成り立つ. このとき,$i\infty$$\infty$$X(q)= \sum_{n=-2}$

xnqn,$\mathrm{Y}\langle q)=n\sum_{=\wedge 3}^{\infty}y_{n}q^{n}$は modular 部分群 $\Gamma_{1}(N)$ に関する modular 関数である.

73を上定義される modular curve oflevel $N,$
Theorem 3.1
をその canonical system とするとき, $X(q),$ $Y(q)(q=e^{2\pi iz})$ は moduに関する保型関数である. このとき,
kr 部分群の関数体よりmadular 関数体への inclusion map$\mathrm{C}$$\{t, X(t), \mathrm{Y}(t)\}$$\mathbb{Q}$$\Gamma_{1}(N)$$\mathrm{C}$$\mathbb{Q}(X,Y)arrow \mathbb{Q}(X(e^{2\pi}iz), Y(e^{2})niz)\subset \mathbb{Q}(\mathrm{X}_{1(N)})$によって定まる modular parametization$\pi:\mathrm{X}_{1}(N)arrow \mathrm{C}$に対して, $c(\pi)=1$ が成り立つ.

例 3.1$\mathbb{Q}$

上定義された楕円曲線

modular である$(\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{S}[\mathrm{w}])$. よって,

はの関数体
により,体と同–視することが出来る.
$\mathbb{Q}(X, Y)$$\mathrm{C}$$\mathrm{C}$の導手 $N$ が square free ならば,$\mathrm{C}$はの canonical system $\{t, X(t), \mathrm{Y}(t)\}$$\mathrm{C}$に関する modular 関数体の部分$\Gamma_{1}(N)$Isogeny &canonical system

4$\mathbb{Q}$

上定義された 2 つの楕円曲線$\mathrm{C}$との間に degree$\mathrm{C}’$$d$の-isogeny$\mathbb{Q}$$\lambda:\mathrm{C}arrow \mathrm{C}’$があるとする.

$\{t,X(t),Y(t)\},$ $\{t’,X^{;}(t’),Y’(t’)\}$

canonical sytem とするとき,$\lambda$によ像は$\mathrm{C}’$$\mathrm{C}$の $\mathbb{Q}((t))$ -有理点 $P’(t)=(X’(t), Y’(’ t))$$d\mathrm{i}\mathrm{d}_{\mathrm{C}},$$m_{\lambda}$を定める.

$\lambda\lambda^{*}=d\mathrm{i}\mathrm{d}_{\mathrm{C}’}$$\lambda^{*}$$\mathrm{C},$$\mathrm{C}’$のの Q((t))-有理点 $P(t)=(X(t),Y(t))$ の$\lambda(P(t))=m_{\lambda}p’(t)$により, 整数をそれぞれを$\lambda$の整数倍となる.

$(m_{\lambda}\epsilon \mathbb{Z})$のdual isogeny とすると,$\lambda^{*}\lambda=$

より, 次が成り立つ.
$m_{\lambda}m_{\lambda^{*}}=d$

または $m_{\lambda}=\pm p$ の
いま, $d=\deg\lambda=_{P}$ ( は素数) とすると,のいずれ力\vdash 方のみが成り立つ. そこで, ある素数 に対して
ときに, 両者の大小関係をと定義して, 記号で$m_{\lambda}=\pm 1$

$p$

$P$

$\mathrm{C}>\mathrm{C}’$$\mathrm{C}\underline{p_{\mathrm{t}}},\mathrm{C}$’$m_{\lambda}=\pm 1$

74の-isogeny class の集合より Q-同型類を頂点とする有向と表すと,グラフが定義される. これは, Stevens [St] の定義したものと同じものに$\mathrm{C}$$\mathbb{Q}$なる.

注以下の有向グラフではが自明な場合

$P$

$P$

を略して

$\mathrm{C}arrow \mathrm{C}’$と記す.

例 4.1 導手 $N=11$ の楕円曲線.
よ上の楕円曲線は唯 1 つの例 21 より, 導手 11 をもつりなり, それらは Ci $(i=1,2,3)$ により代表される 3 つの同型類よりなる. このとき, 次の有向グラフを得る.
$v\dot{.}s^{\wedge}.genycla^{a}.s$$\mathbb{Q}$$\mathrm{C}_{3}arrow \mathrm{C}1arrow 56\mathrm{c}_{2}$

Ci の

倍写像

による像を
うな $5\cdot isogeny$ の diagram ができる.
$m$$<p>=m\mathrm{i}\mathrm{d}_{\mathrm{C}}.\cdot$$\mathrm{C}_{i}^{(m)}$とかくとき, 次のよ$\mathrm{C}_{3}$$\searrow$$\mathrm{C}_{1}$$\downarrow$$\swarrow$$\searrow$$\mathrm{C}_{3}^{(6)}$$\mathrm{C}_{2}$$\downarrow$$\swarrow$$\searrow$$\mathrm{C}_{1}^{(\mathrm{S})}$$\downarrow$$\downarrow$$\searrow$$\swarrow$$\mathrm{c}_{1}^{(26)}$$\mathrm{C}_{2}^{(5)}$$\downarrow$

ここで, 斜めの矢印は 5-isog$\mathrm{e}ny$を縦の矢印は 5 倍写像 $<5>$ を表している.

Ci の canonical system を$\{X_{1}(t),Y_{i}(t)\}$とし,$m(X_{i}(t), Y_{i}(t))=(X_{i’ i}^{(m)}Y^{(m)})$で与えられる.
の関数体はとおくとき,
に関する保型関数体と $-$の関数体は, それぞれ,に関する致する. たとえば, 上の diagram よりの関数体は,の関数体と同型な体, である保型関数体の index 5 の部分体で, かつにより与えられるの定義方程ことがわかる. このとき,倍になって式は minimal ではなく, minimal model の判別式 11 の$\mathrm{C}_{i}^{(m)}$$\mathrm{C}_{1},$$\mathrm{C}_{3}$$\mathbb{Q}(X_{i’ i}^{(m)}\mathrm{Y}^{(m)})$$\Gamma_{\mathrm{Q}}(11),$$\mathrm{r}1(\iota 1)$$\mathrm{C}_{3}^{(5)}$$\Gamma_{0}(11)$$\mathrm{C}_{3}$$X_{3’ s}^{(5)()}Y\epsilon$$\mathrm{C}_{3}^{(5)}$$5^{12}$いる.

また, C2 に対応する保型関数体を含まない.
体$\mathbb{Q}(J(z))$$\mathbb{Q}(X_{2}(q), Y_{2}(q)\rangle$

は楕円 modular 関数

75

例 4.2 導手 $N=14$ の楕円曲線.
唯 1 つの isogeny clus よりなり, 6 つの同型類よりなる. Cremona のtable [C] の記号を用いて記すと次のような有向グラフが出来る.
$A_{4}$

3$\downarrow$$A_{6}$$A_{1}$$arrow^{3}$$\downarrow$$\downarrow$3$A_{2}$$A_{3}$$arrow^{3}$$A_{5}$

ここで; $A_{4}=\mathrm{x}_{1}(14),$ $A_{1}=\mathrm{x}_{0}(14)$ で与えられる.

References[Sh] Shimura, G. : On the zeta-functions of the algebraic curves uniformized by certain automorphic functions, J. Math. Soc. of Japan,
13(1961), 175-331.
[H] Honda, T. : On the thoery of commutative formal groups, J.
Math. Soc. Japan 22(1970),213-246.
[C] Cremona,J.E. : Algorithms for modular eliptic curves, Cambridge 1992.
[W] Wiles, A. : Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem,
Annals of Math. 142(1995), 443-551
Stevens, D. : Stickelberger elements and modular parametrization of elliptic curves, Inv. Math., 98(1989), 75-106$[\mathrm{S}\mathrm{t}.]$