数理解析研究所講究録 1413 巻 2005 年 103-111

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同心二重円筒内の定常流による砂漣の形成
Formation of sand ripples due to steady viscous flow between
two concentric cylinders
東京農工大学大学院工学教育部物理システム工学専攻
堀七菜子 ( Nanako Hori)
佐野 理 (Osamu Sano)1

背景砂漠や海岸などの表面には、 さまさまな波状の縞模様が見られる。 これらの砂面形状は、 たとえば砂漠、砂丘、海底、 さらに地球以外の惑星の表面形状などどこであっても、砂の移動が起こる環境にさえあれば類似のパターンが生じる可能性があり、 それが形成された環境を反映したものである。

図 1: sand ripple の形成機構

Bagnold l こよれば、 砂の移動機構には、 砂面を這う (surface croep, 這行)、 飛ひ跳ねる (saltation, 跳躍)、空中を漂う (suspension, 浮遊) の 3 種類に分類される [11。
図 2 は砂浜にできる砂漣 (風紋) の例であり、砂が砂に衝突してはじきとばす “ 跳躍”が重要である。他方、 引潮後に砂浜にできた砂漣 (sand ripple) の例を図 3 に、火星地表面の形状の例を図 4 に示す。 海底や引潮時に砂浜に残される砂漣 (sand ripple)
這行 がは、水の流れによって砂が運ばれることが原因で生じると考えられ [重要と考えられる。 Bagnold は野外実験と風洞実験により、砂の移動形態、砂面上$2_{1_{\text{、}}}$“”の風の分布と摩擦応力、 saltation の砂の跳ぶ軌道、砂の移動量、砂漣の水平スケー
ル、砂のえり分け作用などに数多くの知見を得ている。 Bagnold に続いて日本では
河村龍馬が砂漣の廃生に関する不安定論、 砂輸送理論を研究し高く評価されて東京農工大学の佐野研究室では飯寺亮介により、. 直線水路を用いた砂漣る [31。
(sand ripple) の形或実験が行われた (1997 年度)。 この実験装置では水路の長さが$\iota\backslash$有限であるため、 ripple の形成は観測されたがその移動と共に粒状体も下流へ移動してしまい、長時間の観測はできなかった [41。

104

図 2: sand ripple 写真提供:鳥取県商工労働部観光課

図 3; 与論島百合$\Psi$

浜$\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{p}://\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}.\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{c}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{a}.\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{v}/\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{l}9/$i1Z2

本実験ではテストセクションが有限な長さに制限されていた旧実験装置を同心二重円筒水槽に改良し、 砂漣 (sand ripple) の発生から戒長の過程を長時間にわたり観測することを目的とする。

3実験

3.1

装置図

本実験で用いた装置の主要部分の写真を図 5 に、概略図を図 6 に示す。 水槽は同心二重円筒部分とその上面に沿って回転する円環から構成されている。
実験条件は下記の通りである。
・粒状体 : ガラスビーズ (直径$\text{・}$

水路の水深

・水路の幅

$:0.05\mathrm{c}\mathrm{m}$$H=10.0\pm 0.5\mathrm{c}\mathrm{m}$$W=11.0\pm 0.3\mathrm{c}\mathrm{m}$, 層の厚さ$2\mathrm{c}\mathrm{m}$)105

図 5: 実験水槽

図 6: 装置概略図

・円環回転数$V=18.0,17.5,17.0,16.5,16.0\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$(水路中央の上壁面速度はそれぞれ 63.6,61.9,60.1,58.3,56.5,3.2$\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

である)

実験方法

1. 水路内に水とガラスビーズを入れ、 ガラスビーズ層の表面上の 1 個所に小さなくぼみをつくる (初期位置制御)。
2. 円環を回転させて水流をつくり、 粒状体表面の形状を上方から撮影する (1 時間)
3. 砂漣 (sand ripple) の波長 と幅 を画像から測定する。 ここで、 rippleを図 7 のように定義した。 ripple の番号は、 それが発生した、波長 \lambda 、幅$\circ$$\lambda$$L^{*}$順を表す。

$L$$\mathrm{o}_{1}\sim$

106

図 7: 実験画像および波長 \lambda 、 幅4

結果と考察

4.1

ripple の様子$L^{*}$の定義

観測した砂面形状の一例を図 8、 図 9 に示す。 水路が曲率を持っていることにより、 砂面付近では図 10 のように内向きの 2 次流 [5] が発生している。

図 8: 上から見た図 (, 実験開$V=17.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$

図 9: 斜め上から見た図始から 50 分後)

図 10: 2 次流

107
4.2

ripple Ol\sim

い寮 長の様子のときの、 砂漣の先端の座標の時間変化を図 11、 図 12 に示す。
$V$ 力 大きなお、 初期に設定したくぼみの位置を座標の原点とした。 円環回転数$V=18.0,16.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$$\grave{\grave{1}}$$\mathrm{V}\backslash$

ほど ripple \copyright \sim

い 発生する時間は短くなっている。

砂漣の先端の座標の時間変化

2 np\’ela$16.0\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$.

60A$\mathrm{K}^{*\prime}\mathrm{F}_{50}^{60}$$\mathrm{K}^{*\prime}\mathrm{F}_{50}$$\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{d}|\mathrm{e}\otimes$$\mathrm{o}\mathrm{o}^{\mathrm{I}}||||\mathrm{I}||\mathrm{O}\mathrm{r}|\mathrm{p}\mathrm{d}|\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{d}|\mathrm{e}\otimes \mathrm{X}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{d}\mathrm{e}\emptyset$$|$$|||||1||\mathrm{t}|$$\mathrm{O}\mathrm{r}|\mathrm{p}\mathrm{d}|\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{o}\mathrm{o}$$\{\mathrm{g}_{40}$◇$|\mathrm{A}|$$\mathrm{t}|\mathrm{t}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\exists\{\mathrm{g}\mathrm{e}_{30}^{40}$$\mathrm{t}|||\iota_{\mathrm{I}}|||$:

AA $l$ A$::$$\mathrm{o}_{|,|\mathrm{A}|}\mathrm{x}\downarrow:||$$|$$\mathrm{x}\downarrow||\mathrm{x}$$\mathrm{x}\mathrm{X}|||\mathrm{x}$$\mathrm{t}1$$e\mathrm{t}2$

伽 20
$|1|$

$\mathrm{r}_{\rho\backslash },\neg\backslash \# 10$$|’|||$$|$$||1||$

00000

$2W0$

$3\infty 0$$\text{時}\mathrm{r}\mathrm{B}]\mathfrak{t}(?_{J}^{1\backslash })$

図 11:

4.3

$V=18.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$

図 12:の場合$V=16.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$の場合

ripple の波長 の時間変化$\lambda$の時間変化を図 13、 図 14 に示す。 これらよV)[よど波長 1 ま短くなる。
り、 時間が経つと波長は一定値に近づき、 回転数が小さ$V=18.0,16.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$のときの、 波長$\lambda$$\lambda$$\text{図}14:V=16.0\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$$\text{図}13:V=18.0\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$次に$V=18.0,16.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$ての波長 の時間変化の両対数グラフを図 15、図 16 [こ示す。
$\lambda$

08

図 15:

$V=18.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$図 16:の場合$V=16.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$の場合

ripple 形或における波長と時間の関係を$\ln\lambda=a\ln(t-t_{n})+b_{n}$$\Leftrightarrow$(1)$\lambda\propto t^{a}$の関数形で近似すると$V=18.0\sim 16.5\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$$V=16.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$の結果を得た。 指数大きくなっている。

4.4$a$

はでは $a=0.14\sim 0.18$

では $a=0.14\sim 0.23$$V=18.0\sim 16.5\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$のときより 16 Orpm の方がばらつきがripple の形成過程流速の条件を固定し、次々に形成される ripple についてその波長 と幅 $L=2L^{*}$の比の時間変化を図 17 に示す。 どの ripple についてもこの比はほぼ一定値 (こ$\lambda$$\lambda/L$の場合には$\lambda/L-arrow$

図 17:$\lambda/L$の時間変化$(V=18.0\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m})$109$V=17.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$のときの、 波長

図 18:$V=17.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$$\lambda$の時間変化を図 18、 その両対数グラフを図 19 に

図 19:の場合$V=17.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$の場合

V=17.0 印 m では $a=0.14\sim 0.15$の時間変化と、 $t=900$ 秒のときとなる。 砂漣が形成された領域の先端の座標
これらより、$s’$の幅と形成領域の関係を図 20 に示す。

印$\mathrm{F}_{\overline{\mathrm{f}B}}^{\triangleleft 0}\mathrm{b}$$130$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{20}\circ\overline{\mathrm{e}}$$\mathrm{i}0$0

図 20: i の時間変化、

前節より$\lambda/L$$L^{*}$と領域$s’$の関係$(V=17.\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m})$が一定であることと、 図 20 より以下の関係式が導き出せる。

110$s’=1.1t^{0.62}$$L^{*}=1.9s^{\prime 0.20}$$L^{*}=1.9t^{0.12}$.

$\cdot\cdot$(2)$L^{*}\propto\lambda\propto t^{0.12}$

上記より a=0.12\pm 0.03、画像からの直接測定は $a=0.14\sim 0.15$ となっている。
いずれにしても、 このパターンの或長はフラクタルな次元になっている。

5結論のガラスビーズを粒状体として用い、 円環回転速度
本実験装置で直径$V=18.0,17.5,17.0,16.5,16.0$ rpm で実験と解析を行った結論を以下に挙ける。
$0.05\mathrm{c}\mathrm{m}$・円環を回転させてから十分時間が経つと、 波長$\lambda$は一定値に近づく。

・円環回転数 $V$ が大きいほど新たな ripple が形戒される時間は短く、波長 は大きくなる。 これは、 円環回転数 $V$ が大きければ流速も大きくなり、 単位時$\lambda$間当たりに流れによって供給される粒状体の量が増加するためと考えられる。
・波長と幅の比

6$\lambda/L$はほぼ一定値を取った ( $V=18.0$ rpm では珂

$L\fallingdotseq 1.5$)

。

今後の課題
本実験結果を踏まえ、今後この研究をさらに発展させるための方策について挙けてお$\langle$。

・初期条件をそろえる。
$\bullet$$\bullet$ripple の波長 の測定方法を、 上方からだけでなく横からも同時にビデオ撮影をする、 など工夫をして精度を上ける。
$\lambda$

ripple の高さを測定し、 波長や幅との関係を調べる。

・テストセクション内の流速分布を調べる。
・テストセクション内の水の流れに対して、 外壁による影響を少なくする工夫をする。
$\bullet$(2) 式を説明できる形態形戒モデルを考える。

・テストセクションの高さ H、粒状体の種類や大きさ、 円環回転数 $V$ などの条件を変えて砂面形状の形戒過程を調べる。

・観測をさらに長時間 ($2\sim 3$ 時間) 行う。

111
参考文献
[1]

$\mathrm{R}.\mathrm{A}$Bagnold (金崎 肇, 訳):飛砂と砂丘の理論, 創造社 (1963)[2] 佐野 理 (高木$42\sim 43$.

隆司, 編): かたちの事典, 丸善 (2003) 670.

[3] 長島 秀樹: 砂漠における砂丘の形状と砂の移動, 日本流体力学会誌 「ながれ」10 (1991) 167.
[4] 飯寺亮介: 風紋水紋の実験的研究, 東京農工大学卒業論文, (1998).

[5] 佐野 理: 連続体の力学, 裳華房 (2000) 163-165.