数学科の西村です．今回の問題はいかがだったでしょう(3)

zn の実部を求める方針で進めることもできますが，少々計算が面倒になります．そこで，k を整数としてか．今回は 2016 年度広島大学の入試問題から出題しました（1 問小問をカットしています）．先週の問題編でも書Re( zn ) > Re( w)

いた通り，この分野は昨年度から本格的に出題されており- Re(zn - w) > 0

ますので，今後の理系入試において頻出分野になると思わ- -れます．特有の計算に慣れていないと辛い分野ですので，とすれば，極形式で考えていけますので，解答がシンしっかり対策をしておきましょう．

プルになります．

さて，それでは本題．まずは解答です．
問《解答》

複素数平面上を，点 P が次のように移動する．

(1)

時刻 0 では P は原点にいる．時刻 1 まで，P は実軸1.

原点を Q0(z0) とすると，n ≥ 0 においてを Q1(z1) とする．
時刻 1 に P は Q1(z1) において進行方向をp回転し，4zn + 1 - zn = (z1 - z0 ) • a n= anであり，これより n ≥ 1 においての P の位置を Q2(z2) とする．

n- 1

以下同様に，時刻 n に P は Qn(zn) において，進行方向をz n = z0 + ∑ a kk= 0p回転し，時刻 n + 1 までその方向に速さ
41- an=1- aª 12 º で移動する．移動後の P の位置を Q (z )nn+1である．

n+1とする．ただし，n は自然数である．
(2)1+ia=として，次の問いに答えよ．
2an = an=ª 12 º より lim a = 0 である．よっzn を a，n を用いて表せ．

(2)

P が Q1(z1)，Q2(z2)，ºº と移動するとき，P はあ

zn はる点 Q(w) に近づく．w を求めよ．
(3) zn の実部が (2) で求めた w の実部より大きくなる(3)

ようなすべての n を求めよ．

(1)，(2) より《考え方》= - a n (1 + i)

ません．同じ操作の繰り返しですから，漸化式作成の方= - 2a n + 1

向で考えましょう．回転は複素数の得意技ですよね．

である．条件より，k を整数としてRe(zn - w) > 0

lim a n をどう考えるかが問われた問題です．a が実- -n →•数なら，- 1 < a < 1 のとき lim a n = 0 とできますが，n →•n

1 - an- (1 + i)
1- a= (1 + i)(1 - a n ) - (1 + i)

点列 Qn を表す複素数列 {zn} の一般項は直接求められa が複素数のときは同じようにはできません． ann →•1= 1 + i に近づく．よって，w = 1 + i である．
1- azn - w =(2)nて，n を限りなく大きくすると，an は 0 に近づくので，(1)(1)ºが成り立つ．よって

1時刻 2 までその方向に速さで移動する．移動後
2

3.

ª

1
pp
cos + i sin ( zn+ 1 - zn )4
42- zn+ 2 - zn+ 1 = a( zn+ 1 - zn )zn+ 2 - zn+ 1 =の正の方向に速さ 1 で移動する．移動後の P の位置2.

pp+ 2 kp < arg(zn - w) < + 2 kp22pp+ 2 kp < arg(zn - w) < + 2 kp
22を満たす n を考えればよい．ここで， arg a =の極限値に着目するのがポイントとなります．

1pである4

から， arg(zn - w) =p
5p + ( n - 1) ⋅ となり，zn - w の44(1)される重要テーマです．xy 平面で考える

偏角は 8 を法として次図のようになる．

（zn = xn + yni とおいて考える）こともできますが，解答が少々面倒になります．やはり回転には複素数が強いyです．

56点列の移動問題は，「数列の極限」の分野からも出題

4(1) で出てきた漸化式は 3 項間漸化式なので，次のように解くこともできます．

O73x（別解 1）
zn + 2 - zn + 1 = a(zn + 1 - zn) ºº (*)

20

より

1zn + 2 - azn + 1 = zn + 1 - azn

よって，求める n の条件はと変形できる．よってn ≡ 2 , 3 , 4 (mod.8)

zn + 1 - azn = z1 - az0を満たす自然数である．

= 1 ºº ①である．ここで
x - ax = 1 - x =《解説》
複素数の問題を解くにあたり，大きく次の 4 つの方針が1(Q a ≠ 1)
1- aなので考えられます．
! a + bi の形で計算する

zn + 1 -z = z • z など複素数の計算の根源となる公式の証明
2ª1
1= a zn 1- a1- aºとなる．よってや，軌跡の問題などで xy 座標系に置き換えて考えたいとzn -きに用います．計算量が多くなるケースが多いので，最終ª手段という位置付けとしておきましょう．

=- zn =@ 極形式で計算する
回転や冪乗計算に向いています．三角関数の処理能力が

º11
• an
= z0 1- a1- aan
1- a

1 - an1- aである．

求められますので，身につけておきましょう．

3 項間漸化式 (*) の特性解が# z と z のみで処理する

x2 - x = a(1 - x)実数，純虚数となる条件や，絶対値が絡む計算で利用し- x = 1，aます．となることから，①を導くことができました．また，特性解が 2 つありますので，次のように解くこともできま$ 図形的意味を考える

す．

この方針で解決すれば，最もシンプルです．常に念頭に置いておきましょう．

（別解 2）(*) より問題によってどの方針が最適かが異なりますので，そのzn + 1 - zn = (z1 - z0) ∑ an選択が問題解決の 1 つの鍵となります．今回は回転がテー= an ºº ②マの問題ですので，@ だろうと考えて進めると良いでしょであり，① - ②を計算するとう．

2

1p倍で回転ですから，直角二等辺三角形が張り24(1 - a)zn = 1 - a n- zn =

1- a
1- an

付いていく感じですね．

である．
《おわりに》

今回は本解答のように，立式した時点で (*) の形になっているので，その形を利用して解くのが最もシンプルでこの夏は充実したものになりましたでしょうか．夏に頑すが，基本的には 3 項間漸化式は①，②のように 2 項間張った人は必ず実りの秋を迎えられるはずです．体調には漸化式を 2 式作成して解くのが楽ですね．

気をつけて勉学に励んでください．あと半年，頑張れ受験生！！

(2)

（西村）

複素数では実数範囲で普段当たり前に使っている公式でも使えなくなるものがいろいろあります．
例えば，z，a が実数のとき
2• z = z2• z2 = a - z = ± aなどとできますが，z，a が虚数であれば，これらは成り立たなくなります．複素数はこれら以外にも特有の変形がありますので，正しく理解し，計算できるようになってください．今回の場合だと，(1) で行った等比数列の和の公式は a ≠ 1 であれば複素数範囲で使えます．
しかし，(2) での極限計算は実数範囲でしか行えませんので注意してください．
また，点 P の極限点 Q については，図形的考察により，その収束の様子がわかります．
zn - w = - a n (1 + i)
= - 2a n + 1a =p1, arg a =42により，Qn(zn) は Q(w) を中心として，縮みながら回転していきます（下図）．
yz5z4z6z7z3z8 z9z2

p4
O z0

z1

x3