数理解析研究所講究録
第 1777 巻 2012 年 88-102

88

On the cokernel of the Johnson homomorphism of
the mapping class group of a surface(榎本直也氏 (京都大学大学院理学研究科) との共同研究
佐藤 隆夫 (Satoh, Takao)
東京理科大学理学部第二部数学科
Department of Mathematics, Faculty of Science Division II,
Tokyo University of Science
Abstract
種数が $g\geq 2$ で，境界成分の個数が 1 であるような向きづけられたコンパクトな曲面をとし，その写像類群をとする．筆者は榎本直也氏との共同研究の余核に関する表現論的な研究を行により， の有理 Johnson 準同型写像
なる $Sp$-既の余数 $k\geq 3\theta^{f}k\equiv 1(mod 4)$ を iff たす D
を 4 トするの J
する
ffg
を $g$ た．
れると t) う
ものである．
$\mathcal{M}_{g,1}$$\Sigma_{g,1}$$\tau_{k,\mathbb{Q}}^{\mathcal{M}}$$\mathcal{M}_{g,1}$$\grave$$\mathfrak{H}\hat$$V),f_{\grave{J}\backslash }$$l^{\vee}\cdot,$$\vee$$\phi\Re$$\Re\delta$ ]$\mathscr{C}g$$*\mathscr{X}_{\text{ロ}}^{A}\ovalbox{\tt\small REJECT}\#J,$$\backslash \mathscr{C}\ovalbox{\tt\small REJECT}-[1]_{Sp}^{k}$$\tau_{kQ}^{\mathcal{M}}$$\Re\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\}\check\acute \mathscr{X}$$\mathfrak{M}F$$\mathscr{X}$$\iota$Contents2
1 自由群の自己同型群と Johnson 準同型写像
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．2
11 $H$ が生成する自由リー代数．
自己同型群．
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3
12 IA3
1.3 Andreadakis-Johnson filtration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 $GL(n, Z)\cong$ Aut
の作用．
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．4
1.5 Johnson 準同型写像．
5の降中心列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
1.7 縮約写豫と Tkace map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
の18
GL-既約分解．
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．7
$F_{n}/IA_{n}$$IA_{n}$$C_{n}^{Q}(k)$2曲面の写像類群と Johnson 準同型写像
2.1 Dehn-Nielsen 埋め込み . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
の降中心列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3 Johnson 像とり g,l(k). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
$\mathcal{I}_{g,1}$

8

8
10
11

3 主定理

12

4 謝辞

13

89

1

自由群の自己同型群と Johnson 準同型写像

以下，特に断らない限り曲面といえば，種数がうな向きづけられたコンパクトな曲面$\Sigma_{g,1}$$g\geq 2$

で，境界成分の個数が 1 であるよを意味するものとする．

1980 年代に Dennis Johnson によって端を発した，曲面の写像類群の Johnson
や[19]
Richard Hain [9] らをはじめとした多くの研究者に準同型の研究は，森田茂之
よって受け継がれ，四半世紀を経て急速な進展を遂げている．近年の Johnson 準同型の$\mathcal{M}_{91}$

研究は，組み合わせ群論や位相幾何学のみならず，群のコホモロジー論や群の表現論などとも結び付き，愈々その複雑さを増す一方で，その構造が持つ本来の豊かさが，徐々にかつ着実に明らかになってきている．

抑々，Johnson 準同型とは，Johnson filtration とよばれる，曲面の写像類群の正規部分群による降下列の，各次数商を研究する際に用いられる 1 つの道具なのであるが，群論的な意味合いで Johnson filtration なる概念を最初に導入したのは Johnson ではなく，
1960 年代に Andreadakis [1] が自由群の自己同型群に対して行った研究が嗜矢とされている．Andreadakis による研究を念頭に置くとき，曲面の写像類群の Johnson filtration

や Johnson 準同型は，自由群の自己同型群のそれらの写像類群への制限とみなすことができる．

本報告書では，筆者がこれまでに行ってきた自由群の自己同型群の Johnson 準同型
に関する研究を踏襲する形で議論を進める関係上，自由群の自己同型群に関する先行結果をまず最初に纏めておく．
記号について本稿では群 $G$ と $G$ の元 $x,$に対して， と の交換子積を $[x, y]=xyx^{-1}y^{-1}$ と表す．の自己同型群 Aut $G$ の，群 $G$ への作用は右作用とし， Aut $G$ の $x\in G$$Z$ 加群への作用をと表す．
に対して，係数環を有理数体 に拡大した -ベクト
ル空間
をなどと添え字をつけて表し，同様に 加群の間の線形写像$f$ : $Aarrow B$ を上で考えたものなどと表す．
idq を
また，群

$x$

$y$

$\sigma\in$$A$$x^{\sigma}$$A\otimes_{Z}\mathbb{Q}$$H$$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}$$A^{\mathbb{Q}}$$A_{\mathbb{Q}},$$\mathbb{Z}$$f\otimes$$\mathbb{Q}$

1.1

$y$

$G$

$f_{\mathbb{Q}},$$f^{\mathbb{Q}}$が生成する自由リー代数が生成する階数 の自由群とし， のアーベル化をに対して， をとおく．以下， の基底
及び，これらが誘導する $H$ の自由アーベル群としての基底を固定し，標準的に Aut $(H)=$ GL $(n, Z)$ とみなす．各 $k\geq 1$$n\geq 2$$F_{n}$$x_{1},$

に対して$F_{n}$$F_{n}$の降中心列$\Gamma_{n}(k)$$\Gamma_{n}(1):=F_{n}$$x_{1},$$\ldots,$$\mathcal{L}_{n}:=\oplus_{k>1}\mathcal{L}_{n}(k)$$x_{n}$を,$\Gamma_{n}(k):=[\Gamma_{n}(k-1), F_{n}]$により帰納的に定義する．これらの各次数商をとおく． にはの次数和を$F_{n}$$n$$x_{n}$$\ldots,$$H=H_{1}(F_{n}, Z)$$\mathcal{L}_{n}$リー代数としての括弧積が自然に定義され，,$(k\geq 2)$$\mathcal{L}_{n}(k):=\Gamma_{n}(k)/\Gamma_{n}(k+1)$とおき，その交換子積から誘導される次数つき$H$ が生成は次数つきリー代数として，$F_{n}$$\mathcal{L}_{n}$する自由リー代数と同型であることが知られている．

元来， の構造については，1930 年代頃から Magnus, Witt, 及び Hall らによっては GL $(n, Z)$ 洞変な自由アーベル群であり，先駆的に研究されはじめ，各斉次成分$\mathcal{L}_{n}$$\mathcal{L}_{n}(k)$その階数や基底も具体的に明示されている．(例えば [16], [27] などを参照．)

90
1.2

IA- 自己同型群

自由群の自己同型群 Aut

は $H$ に自然に作用し，従って，準同型写像$F_{n}$$\rho$:Aut$F_{n}arrow$

Aut $(H)=$ GL $(n, Z)$を誘導する．Nielsen [24] により Aut は有限表示群であることが知られているが，そと書いの生成元の像を調べることで が全射となることが分かる．いま， の核を$F_{n}$$IA_{n}$$\rho$$\rho$て自由群の IA- 自己同型群と呼ぶ．

Nielsen [23] により $IA$ 2 は の内部自己同型群 Inn に一致することが知られていは Inn 瓦よりはるかに大きい．実際，互いに相異なる添え字 $i,j,$ $k\in$
るが，一般に$F_{2}$$F_{2}$$IA_{n}$$\{1,2, \ldots, n\}$に対して，
$x_{i}$$\mapsto x_{j}^{-\iota_{X_{i}X_{j}}}$$K_{ij}:\{$$x_{l}$$\mapsto x_{l}$,,$(l\neq i)$’$x_{i}$$\mapsto x_{i}x_{j}x_{k}x_{J^{-1}}x_{k}^{-1}$$x_{l}$$\mapsto x_{l}$$K_{ijk}:\{$,,$(l\neq i)$

なる自己同型が定まるが，Magnus [16] により，はこれら有限個の元で生成されることが知られている．さらに，Cohen-Pakianathan [4, 5], Farb [8], 及び河澄響矢 [12]の最近の独立した仕事により， のアーベル化の構造も完全に決定されており，$IA_{n}$$IA_{n}$$H_{1}(IA_{n}, Z)\cong H^{*}\otimes_{Z}A^{2}H$となることが知られている．ここで，$H^{*}$$:=$$n\geq 3$ に対しHomz $(H, Z)$ である．一方，て $IA_{n}$ の群の表示はまだ未解明であり，特に $n=3$ の場合は $Krsti\acute{c}$ -McCool[15] によっ$n\geq 4$ の場合は有限表示可能かて有限表示不可能であることが知られている．さらに，
どうかさえも解っておらず， は組み合わせ群論的にも非常に複雑な群である．
$IA_{n}$1.3

Andreadakis-Johnson filtration

各 $k\geq 0$ に対して Aut$F_{n}$の， の幕零商$F_{n}$

Aut$F_{n}arrow$$F_{n}/\Gamma_{n}(k+1)$への自然な作用は準同型写像

Aut $(F_{n}/\Gamma_{n}(k+1))$を誘導するが，この核をん (k) とおく．すると，これらは Aut
Aut$F_{n}$に正規部分群の降下列$F_{n}=\mathcal{A}_{n}(0)\supset A_{n}(1)\supset A_{n}(2)\supset\cdots$の Andreadakis-Johnsonを定める．特にん (1) $=IA_{n}$ である．この降下列を Aut
filtration と呼ぶ．Andreadakis [1] により以下の基本的な結果が知られている．
$F_{n}$

定理 1.1 (Andreadakis, [1]).

(1) 各

$k,$

$l\geq 1$

(2) 各

$k,$

$l\geq 1$

(3)

,

及び，

$\sigma\in A_{m}(k),$に対して，$\cap \mathcal{A}_{m}(k)=1$$k\geq 1$$x\in\Gamma_{n}(l)$に対して，$[\mathcal{A}_{n}(k), \mathcal{A}_{m}(l)]\subset A_{\eta}(k+l)$.

$x^{-1}x^{\sigma}\in\Gamma_{n}(k+l)$

.

.

91
(4) 各 $k\geq 1$ に対して，gr$k(\mathcal{A}_{m}):=$ん (k)/ん $(k+l)$ は有限生成自由アーベル群．

Andreadakis は [1] において，任意の $k\geq 1$ に対して rankz gr$k(\mathcal{A}_{2})$及び，$rank_{zg}r^{2}(\mathcal{A}_{3})$を計算している．一方，Pettet [26] の最近の仕事により各 $n\geq 3$ に対して $rank_{Z}gr^{2}(A_{\eta})=$であることが知られている．また，筆者の先行研究 [28] により，$\frac{1}{3}n^{2}(n^{2}-4)+\frac{1}{2}n(n-1)$$n\geq 3$

に対して$rank_{zg}r^{3}(\mathcal{A}_{m})$が計算されているが，一般に，$gr^{k}(\mathcal{A}_{n}):=A_{\eta}(k)/\mathcal{A}_{n}(k+1)$の階数を決定する問題は極めて難しい．

1.4

GL $(n, Z)\cong$ Aut$F_{n}/$

IA の作用$n$, 及びが自然に GL $(n, Z)$ 加群とみなせることを示す．
この節では，各各はにに対して，の特性部分群であるから，Aut は自然に
(右から) 作用する．従って，Aut は各次数商にも作用する．定理 11 の (1) より，Aut のへ作用の， への制限は自明であることがのへの作用が定義される．
分かる．ゆえに，剰余群 GL $(n, Z)\cong$ Aut
一方，各ん (k) は Aut の正規部分群であるから，Aut は共役により，$gr^{k}(A_{\eta})$$\mathcal{L}_{n}(k)$$k\geq 1$$\Gamma_{n}(k)$$G$$F_{n}$$G$$F_{n}$$IA_{n}$$\mathcal{L}_{n}(k)$$F_{n}/IA_{n}$$\mathcal{L}_{n}(k)$$F_{n}$に (右から)$\Gamma_{n}(k)$$\mathcal{L}_{n}(k)=\Gamma_{n}(k)/\Gamma_{n}(k+l)$$F_{n}$

作用する．従って，Aut$F_{n}$$\mathcal{A}_{m}(k)$は Andreadakis-Johnson filtration の各次数商にも作用している．すると，定理 11 の (2) より，Aut のの， への制限は自明であることが分かる．ゆえに，剰余群 GL$gr^{k}(A_{\eta})$$F_{n}$$IA_{n}$$gr^{k}(\mathcal{A}_{n})$への作用$(n, \mathbb{Z})\cong AutF_{n}/IA_{n}$の gr $k(A_{\eta})$ への作用が定義される．

以下，特に断らない限り，これらの GL $(n,Z)$ の作用を固定する．
1. 5

Johnson 準同型写像

各 $k\geq 1$ に対して準同型写像ん (k)$arrow$

Homz$(H, \mathcal{L}_{n}(k+1))$$\sigma\mapsto([x]\mapsto[x^{-1}x^{\sigma}])$,を$x\in F_{n}$で定義する．ここで， は剰余類を表す記号である．すると，定義より直ちに，この写l) であることが分かり，従って，単射準同型写像$[]$

像の核がん (k$+$$\tau_{k}:gr^{k}(A_{n})\mapsto H^{*}\otimes_{Z}\mathcal{L}_{n}(k+1)$が得られる．この を Aut
同変である．ゆえに，次数商$\tau_{k}$$F_{n}$の第 k-Johnson 準同型写像という．特に)$gr^{k}(A_{\iota\eta})$の GL $(n, Z)$

下は基本的かつ重要な問題となる．
問題 1.2.

$\tau_{k}$の像${\rm Im}(\tau_{k})$, もしくは余核 Coker$\tau_{k}$は GL$(n,\mathbb{Z})-$-加群としての構造を研究する際に，以$(\tau_{k})$の GL $(n, Z)$加群としての構造を決定せよ．
第 l-Johnson 準同型に関しては，Andreadakis [1] がことで$\tau_{1}$$gr^{1}(A_{\eta})$の生成元の像を調べる$n\geq 3$ に対してが全射となることを示している．即ち，$\tau_{1}:gr^{1}(\mathcal{A}_{n})arrow H^{*}\otimes_{Z}\Lambda^{2}H$は同型写像である．さらに， が$\tau_{1}$$IA_{n}$のアーベル化を与えていることも分かる．

92$k\geq 2$ に対しては
一方，

Coker

$\tau_{k}$は全射ではない．実際，筆者の先行研究 [28] により，$(\tau_{2})\cong S^{2}H$

Coker

,

$(\tau_{3,\mathbb{Q}})\cong S^{3}H_{Q}\oplus\Lambda^{3}H_{Q}$となることが知られている．また，森田茂之による Trace 写像を用いた最近の研究によ-既約表現としの余核には GLり，各 $k\geq 2$ に対して有理 Johnson 準同型写像$(n, \mathbb{Q})$$\tau_{k,Q}$

が現れることが知られている．各て $H_{Q}=H\otimes_{Z}\mathbb{Q}$ の $k$ 次の対称テンソル $S^{k}H_{Q}$$S^{k}H_{Q}$は，(Johnson 準同型の全射性に関する障害という意味で) 森田障害と呼ばれている．しかしながら，一般に，Coker$(\tau_{k,Q})$の GL $(n, \mathbb{Q})$-構造を決定することは，$gr^{k}(\mathcal{A}_{m})$の階数を求める問題と同様に極めて難しい問題である．

1.6$IA_{n}$の降中心列

この節では，IA- 自己同型群の降中心列$\mathcal{A}_{n}’(k)$:$IA_{n}=\mathcal{A}_{n}’(1)\supset \mathcal{A}_{n}’(2)\supset\cdots$

について考える．一般に，Andreadakis-Johnson filtration ん $(k)$ は中心列であるから，
定義より直ちに，各 $k\geq 1$ に対して
欧丸 (k)$A_{m}’(k)$$n=2$ の場合にこれらが一致すること，
であることが分かる．Andredakis [1] によって，及びであることが知られており，彼によって両者は一致するのではないかという予想が立てられている．現在，Bachmuth [3] によって，紘 $(2)=$ 傷 (2),はん (3) において有限指数であること
であること，及び，Pettet [26] によって，$\mathcal{A}_{3}(3)=\mathcal{A}_{3}(3)$$k\geq 1$$\mathcal{A}_{n}’(3)$が知られているが，それら以外についてこの両者の差について言及している結果は得られていない．

さて，各 $k\geq 1$ に対して，次数商 $gr^{k}(\mathcal{A}_{n}’):=A_{n}’(k)/A_{n}’(k+1)$ を考える．すると，Johnson 準同型と同様にして準同型写像$\tau_{k}’:gr^{k}(\mathcal{A}_{n}’)arrow H^{*}\otimes_{Z}\mathcal{L}_{n}(k+1)$が定義される．すると，一般に， は$\tau_{k}’$$\tau_{k}$を経由するので，${\rm Im}(\tau_{k}’)\subset{\rm Im}(\tau_{k})$となることが分かる．ここで，GL$(n, \mathbb{Q})$Coker$\check$$\delta$$\delta\}$$\mathfrak{F}-\mathbb{H}$

$g\#$

]

$\delta$$(\tau_{k,Q})\subset$

Cokerとみなすこと できる． ち，上 らすること ]’ できる．

$L^{\backslash }\lambda^{-}7$の表現論を考えることで，GL$(\tau_{k,Q}’)$, ($ffl_{u\text{ロ}}^{a}$k-Johnson 準同型写像と呼ぶことにする．

Coker-加群として$(\tau_{k,Q}’)$を表を 研究 することで Coker
つ $)$ ても，Autの ffiffl こより)$(\tau_{k,Q})$$\iota$このような観点の下，筆者はこれまでに Coker
い，以下のような結果を得た．

$(n, \mathbb{Q})$$\tau_{k}’\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\vee}^{\vee}$$(\tau_{k,Q}’)$.

$\text{現^{}\underline{-}}\ovalbox{\tt\small REJECT}\# 0\backslash 1’$$F_{n}$の $ae$

についての研究を重点的に行93
定理 1.3 (佐藤，[30]). $k\geq 2$ , 及び $n\geq k+2$ に対して，GL

Coker$(n, \mathbb{Q})$功 況欧箸靴$(\tau_{k,\mathbb{Q}}’)\cong C_{n}^{\mathbb{Q}}(k)$が成り立っ．

ここで，$C_{n}(k)$は，位数 の巡回群 Cyc の$k$$H^{\otimes k}$$k$

への成分の置換作用による剰余加群であり，具体的には，$C_{n}(k)\cong H^{\otimes k}/\{a_{1}\otimes a_{2}\otimes\cdots\otimes a_{k}-a_{2}\otimes a_{3}\otimes\cdots\otimes a_{k}\otimes a_{1}|a_{i}\in H\rangle$と記述される．
これによって，[30] において，安定的な場合 (Johnson 準同型の次数 に対して，自由群の階数 が十分大きい場合) のの余核が決定できたことになる．この結果を写像類群の Johnson 準同型の研究に応用’ させたいというのが本研究の主な目的である．
$k$

$n$

1.7

$\tau_{k\mathbb{Q}}’$

縮約写像と Trace map

この節では，有理 Johnson 準同型像について復習する．

$\tau_{k,\mathbb{Q}}’$の安定余核に$C_{n}^{\mathbb{Q}}(k)$が現れることを検出する写$H$ が生成する自由リー代数
Poincare-Birkoff-Witt の定理により，$\mathcal{L}_{n}$数 ( $H$ が生成するテンソル代数)

はその包絡代$T(H):=H\oplus H^{\otimes 2}\oplus H^{\otimes 3}\oplus\cdots$に自然に埋め込める．この埋め込みの次数

$k$

部分を

$\iota_{k}$Johnson 準同型の値域からの自然な写像:$\mathcal{L}_{n}(k)arrow H^{\otimes k}$

とおく．すると，$id_{H^{*}}\otimes\iota_{k+1}:H^{*}\otimes_{Z}\mathcal{L}_{n}(k+1)arrow H^{*}\otimes_{Z}H^{\otimes(k+1)}$が得られる．

次に，各に対して，とおく．即ち， は$k\geq 1$$H^{\otimes k}$$H^{*}\otimes_{Z}H^{\otimes(k+1)}$

における第 1 成分の縮約写像を$\varphi^{k}$:$H^{*}\otimes_{Z}H^{\otimes(k+1)}arrow$$\varphi^{k}$$x_{i}^{*}\otimes x_{j_{1}}\otimes\cdots\otimes x_{j_{k+1}}\mapsto x_{i}^{*}(x_{j_{1}})\cdot x_{j_{2}}\otimes\cdots\otimes\cdots\otimes x_{j_{k+1}}$で定義される写像である．いま，この両者を合成することにより，GL$(n, Z)$ -同変な準同型写像.

$\Phi^{k}=\varphi^{k}\circ(id_{H^{r}}\otimes\iota_{k+1}):H^{*}\otimes_{Z}gr^{k+1}(\mathcal{L}_{n})arrow H^{\otimes k}$が得られる．用語の乱用により，このさて，この縮約写像$\Phi^{k}$

同変な準同型写像$\Phi^{k}$に，自然な全射

も縮約写像と呼ぶことにする．

$H^{\otimes k}arrow C_{n}(k)$を合成することにより，GL $(n, Z)-$

Tr $k:H^{*}\otimes_{Z}\mathcal{L}_{n}(k+1)arrow C_{n}(k)$$k\geq 2$ ,が得られる．これを単に，Race map と呼ぶことにする．論文 [30] において，及び $n\geq k+2$ のとき，

(1) Tr は全射である．
$k$(2) $Ker($ Tr$k,\mathbb{Q})={\rm Im}(\tau_{k,\mathbb{Q}}’)$となることを示した．これによって，定理 13 が得られる．

94
1.8

$C_{n}^{\mathbb{Q}}(k)$の GL-既約分解の GL-既約分解についての研究を行い，組み合わせ論
筆者は榎本直也氏と共同で的な記述を与えることができた．具体的には以下の定理を得た．
$C_{n}^{Q}(k)$定理 14(榎本-佐藤，[6]). $n\geq k+2$ のとき，

$C_{n}^{Q}(k)$既約表現$L_{GL}^{\lambda}$の重複度における，最高ウェイト$\lambda$の GL-

を Cyc に
-既約表現
$Cyc_{k}$ の自明表現 $triv_{k}$ の重複度 [: triv ] に一$[C_{n}^{Q}(k):L_{GL}^{\lambda}]$は，分割$\lambda$に対応する$S^{\lambda}$$\mathfrak{S}_{k}$$k$制限して得られる表現における，${\rm Res}_{Cy}^{6^{k}}$

。
$k$

$k$

致する．

の GL 既約分
この定理を用いることで，次数 を 1 つ取って固定するとき，$1\leq k\leq 7$ のとき，の GL-既約分解は以下の表で与え解を具体的に計算できる．
$k$$C_{n}^{Q}(k)$$C_{n}^{Q}(k)$られる．

上の表において，$(\lambda)$$L^{(\lambda)}$は Young tableau$\lambda$に付随する，既約な GL$(n, \mathbb{Q})$-多項式表現を表す．

-加群として，は，Cyc のなす部分加群に同型である．即ち，Johnson 余核 Coker

注意 15. GLへの作用による固定点全体の-加群として，は，GL$Kon$ お evich による $a_{n}(k)$ に同型である．詳細は，$[13J$ と [14] を参照されたい．
$(n, \mathbb{Q})$$C_{n}^{Q}(k)$$H_{Q}^{\otimes k}$$k$

一方，上の結果を利用することで，Johnson 像

情報も得られる．特に，$1\leq k\leq 7$$(\tau_{k,Q}’)$${\rm Im}(\tau_{k,\mathbb{Q}}’)$$(n, \mathbb{Q})$の GL 既約分解についてののときは次のようになる．

95

は Young tableau
ここで，上の表において，polynomial part におけるする既約な GL
-多項式表現であり，non-polynomial part における約な GL
-非多項式表現を表す．
$(\lambda)$$L^{(\lambda)}$$(n, \mathbb{Q})$$\lambda$$(\mu)$に付随は，既$L^{\{\mu;(1)\}}$$(n, \mathbb{Q})$に現れる
さらに，[6] において我々は，の対称テンソル，及び交代テンソ
ルの重複度がどのようになるかを考察し，以下のような結果を得た．
$C_{n}^{\mathbb{Q}}(k)$$H_{\mathbb{Q}}$$n\geq k+2$ に対して，
定理 16(榎本-佐藤，[6]). $k\geq 2$ 及び，(1)$[Coker(\tau_{k,\mathbb{Q}}’):S^{k}H_{\mathbb{Q}}]=1$

(2)

$k$

.

が奇数であれば，$[Coker(\tau_{k,\mathbb{Q}}’):\Lambda^{k}H_{\mathbb{Q}}]=1$.

これによって，Johnson 余核に現れる森田障害や，我々の先行研究で得られているの重複度が丁度 1 であることがわかる．

障害$\Lambda^{k}H_{\mathbb{Q}}$2曲面の写像類群と Johnson 準同型写像

2.1

Dehn-Nielsen 埋め込み

一般に，与えられた (未知の) 群の構造を調べようとするとき，その群が作用するような幾何学的対象を用意して，作用の様子を考察することは極めて自然なことであり，云わば常套手段である．このことは曲面の写像類群とて例外ではない．

96
写像類群

$\mathcal{M}_{g,1}$は定義より，曲面, 従ってその基本群$\Sigma_{g,1}$$\pi_{1}(\Sigma_{g,1})\cong F_{2g}$

に自然に作

を
用する．ここで， の基点は境界上に取るものとし，標準的な同型[7]
1 つ固定する．詳細は を参照されたい．すると，この作用によって群準同型写像$\pi_{1}(\Sigma_{g,1})\cong F_{2g}$$\Sigma_{g,1}$$\varphi:\mathcal{M}_{g,1}arrow$Aut$F_{2g}$が得られる．Dehn-Nielsen の古典的な結果により，この$\varphi$は単射であることが知られている．より正確には以下のことが成り立っ．
定理 2.1 (Dehn and Nielsen). 各 $g\geq 1$ に対して，

Aut$\varphi(\mathcal{M}_{g,1})=\{\sigma\in$$F_{2g}|\zeta^{\sigma}=\zeta\}\subset$

Autとなる．ここで，$\zeta=[x_{1}, x_{2g}][x_{2}, x_{2g-1}]\cdots[x_{g}, x_{g+1}]\in F_{2g}$$F_{2g}$である．即ち，幾何学的に

は，は曲面の境界に平行な単純閉曲線のホモトピー類を表す語である．
$\zeta$を自由群の自己同型群 Aut
この定理によって，写像類群と $IA$ 2 の共通部分
ことができる．このような状況の下，$\mathcal{M}_{g,1}$$F_{2g}$の部分群とみなす$\mathcal{M}_{g,1}$$g$$\mathcal{I}_{g,1}:=\mathcal{M}_{g,1}\cap IA_{2g}$の Torelli 群と呼ばれる．即ち，を考える． は曲面
は，基本群のアーベル
化 $\pi_{1}(\Sigma_{g,1})^{ab}=H_{1}(\Sigma_{g,1}, Z)$ に自明に作用するような写像類たちのなす部分群のことである．よく知られているように，自然な写像 :Aut $F_{2g}arrow$ GL $(2g,Z)$ による写像類群の像はシンプレクティック群 Sp $(2g, Z)$ であり，以下の可換図式 (2 つの群の拡大を含む) が成り立っ．
$\Sigma_{g,1}$$\mathcal{I}_{g,1}$$\mathcal{I}_{g,1}$$\rho$$\mathcal{M}_{g,1}$$1arrow$IAAut$arrow$$\varphi|\tau_{g,1}\uparrow$

GL $(2g, Z)arrow 1$$\varphi\uparrow$$\uparrow$$\underline{\rho|_{\Lambda 4_{g,arrow^{1}}}}Sp(2g, Z)arrow 1$$1arrow \mathcal{I}_{g,1}arrow$$\mathcal{M}_{g,1}$

さて，自由群の自己同型群 Aut$\mathcal{M}_{g,1}$$F_{2g} \frac{\rho\backslash }{}$

$F_{2g}$の Andreadakis-Johnson

filtration と写像類群の共通部分$\mathcal{M}_{g,1}(k):=\mathcal{M}_{g,1}\cap \mathcal{A}_{2g}(k)$を考えることにより，Torelli 群の中心的降下列$\mathcal{I}_{g,1}=\mathcal{M}_{g,1}(1)\supset \mathcal{M}_{g,1}(2)\supset\cdots$が得られる．これを写像類群$\mathcal{M}_{g,1}$の Johnson filtration と呼ぶ．

Andreadakis-Johnson filtration のときと同様に，各次数商を$gr^{k}(\mathcal{M}_{g,1}):=\mathcal{M}_{g,1}(k)/\mathcal{M}_{g,1}(k+1)$-加群の構造を持つことは自然に Sp
とおく．すると，各がわかる．自由群の自己同型群の Johnson 準同型の写像類群への制限を考えることによ$Sp(2g, Z)$ -同変な単射準同型写像
り，$gr^{k}(\mathcal{M}_{g,1})$$\tau_{k}^{\Lambda 4}$$(2g, Z)=\mathcal{M}_{g,l}/\mathcal{I}_{g,l}$: $gr^{k}(\mathcal{M}_{g,1})arrow Hom_{Z}(H, \mathcal{L}_{2g}(k+1))=H^{*}\otimes_{Z}\mathcal{L}_{2g}(k+1)$97が得られる．これを写像類群の第 k-Johnson 準同型写像という．一般に，曲面の Poincare
双対性を考えることにより，Sp $(2g, Z)$ -加群としての自然な同型が得られる．
$H^{*}\cong H$

このような状況の下，写像類群の Johnson 準同型の値域$H^{*}\otimes_{Z}\mathcal{L}_{2g}(k+1)$

を自然に，と同一視して考えることにする．目下の課題は，各 Johnson 準同型
がの像，及び余核の Sp $(2g, Z)$ -加群としての構造を明らかにすることである．現在，$1\leq k\leq 4$ に対してのの Sp-既約分解は次のようになることが知られて$H\otimes_{Z}\mathcal{L}_{2g}(k+1)$$\tau$${\rm Im}(\tau_{k,\mathbb{Q}}^{\lambda 4})$$(2g, \mathbb{Q})$

いる．

2.2

$\mathcal{I}_{g,1}$の降中心列

IA- 自己同型群のときと同様にして，Torelli 群$\mathcal{I}_{g,1}$の降中心列$\mathcal{I}_{g,1}=\mathcal{M}_{g,1}’(1)\subset \mathcal{M}_{g,1}’(2)\subset\cdots$

に対してを考える．すると，Johnson filtration は中心列であるから，各であることが分かるが，一般にこれらは一致しない．実際 Johnson #こよる
$k\geq 1$$\mathcal{M}_{1}’(k)\subset$$\mathcal{M}_{g,1}(k)$$\mathcal{I}_{g,1}$のアーベル化を決定した仕事からも分かるように，$\mathcal{M}_{g,1}’(2)\neq \mathcal{M}_{g,1}(2)$

である．

さて，各

$k\geq 1$に対して，$\mathcal{I}_{g,1}$を考える．自然な包含写像の降中心列の次& 商 gr $k(\mathcal{M}_{g,1}’):=\mathcal{M}_{g,1}’(k)/M_{g,1}’(k+1)$写像$\mathcal{M}_{g_{)}1}’(k)\mapsto \mathcal{M}_{g,1}(k)lf\text{準_{}\overline{\mathfrak{o}}}^{\backslash }n\ovalbox{\tt\small REJECT}^{1J}$$\eta_{k}:gr^{k}(\mathcal{M}_{g,1}’)arrow gr^{k}(\mathcal{M}_{g,1})$を誘導するが，これは同型写像からどれだけ離れているだろうか．今のところ，これについて正確に記述している文献は見当たらないが，Hain [9] による，以下の強力な定理が知られている．
定理 2.2$(H\mathfrak{X}n, [9])$.各$k\geq 1$に対して，$\eta_{k,\mathbb{Q}}$:$gr_{\mathbb{Q}}^{k}(\mathcal{M}_{g,1}’)arrow gr_{\mathbb{Q}}^{k}(\mathcal{M}_{g,1})$

は全射である．

厳密にいえば，Hain が示したことは，写像類群の Johnson ffltration の次数和$gr_{\mathbb{Q}}(\mathcal{M}_{g,1}):=\bigoplus_{k\geq 1}gr_{\mathbb{Q}}^{k}(\mathcal{M}_{g,1})$がリー代数として，次数 1 部分
$gr_{\mathbb{Q}}^{1}(\mathcal{M}_{g,1})$$gr_{\mathbb{Q}}^{1}(\mathcal{M}_{g,1})$で生成されることである．これに，なる事実を組み合わせると上記の結果が得られる．

$gr_{\mathbb{Q}}^{1}(\mathcal{M}_{g,1}’)\cong$

98
いま，$\tau_{k}^{\prime \mathcal{M}}:=\tau_{k}^{\lambda 4}\circ\eta_{k}:gr_{Q}^{k}(\mathcal{M}_{g,1}’)arrow H\otimes_{Z}\mathcal{L}_{2g}(k+1)$

についても写像類群の Johnson 準同型写像と呼ぶことにする．上の Hain の結果により，各 $k\geq 1$ に対して，なる準同型写像を考える．用語の乱用により，$\tau_{k}^{\prime \mathcal{M}}$${\rm Im}(\tau_{k,Q}^{\prime\Lambda 4})={\rm Im}(\tau_{k,Q}^{\lambda 4})$であることが分かる．この事実は，定理 13 の写像類群への応用を考える上で非常に重
要である．

2.3

Johnson 像とり g,l(k)森田茂之氏は，写像類群の Johnson 準同型の一連の研究の中で，Johnson 準同型の像が値域よりも真に小さい部分加群に含まれることを示した．この小節ではこのことについて復習する．

自然な括弧積写像 $H\otimes_{Z}\mathcal{L}_{2g}(k+1)arrow \mathcal{L}_{2g}(k+2)$ ;$X\otimes Y\mapsto[X, Y]$の核をり g,l $(k)$ とおく．写像類群の Johnson 像に関する，より鋭い評価を明示的に与えているという点で以下の定理は意義深いものである．

定理 23(森田，[19]). 各 $k\geq 2$ に対して，${\rm Im}(\tau_{k}^{\mathcal{M}})\subset$

り g,l $(k)$が成り立っ．
上述の Hain の結果と合わせると，${\rm Im}(\tau_{k,Q}^{\prime \mathcal{M}})={\rm Im}(\tau_{k,\mathbb{Q}}^{\mathcal{M}})\subset \text{り_{}g,1}^{Q}(k)$が成り立つことが分かる．従って，Johnson 像が峨 1

からどれだけずれて準同型
いるかを調べることが重要になってくる．以下，有理 Johnson
総の余核といえば，${\rm Im}(\tau_{k,\mathbb{Q}}^{\Lambda 4})$$(k)$$\tau$

Coker$(\tau_{k,Q}^{\Lambda t}):=\text{り_{}g,1}^{Q}(k)/{\rm Im}(\tau_{k,Q}^{\lambda 4})$を意味するもとする．

これまでに，Coker$(\tau_{k,Q}^{\lambda 4})$

以下のようになっている．

$k\leq 4$ のときのみであり，が完全に決定されているのは，

99
これ以外について，一般的な次数に関して得られている結果は，以下に示す森田障

害のみである．
定理

24(森田，[19] (- 中村博昭) ). $k\geq 3$ を奇数とするとき， -既約表現
$Sp$

Coker

$(\tau_{k,\mathbb{Q}}^{\mathcal{M}})$

$[k]$

の

における重複度は 1 である．

正確には，森田氏は Race 写像を用いた研究にょり，$k\geq 3$

力埼数のとき，Coker$(\tau_{k,\mathbb{Q}}^{J\vee t})$少なくとも 1 つ現れることを示し，中村氏が重複度が 1 であることを示した．

に $[k]$

さて，についてであるが，その定義により，自由リー代数の GL 既約分解則と Pieri の公式，及ひ，GL 既約表現の Sp-分解則を用いれば，理論上，の Sp-既$\text{り_{}g,1}^{\mathbb{Q}}(k)$$\text{り^{}\mathbb{Q}_{1}}(k)$約分解を与えることは可能ではある．しかしながら，一般に，各既約成分の重複度に関する明示的な公式を与えることは甚だ難しい．一方，中村-角皆 [22] は，計算機を用い$1\leq k\leq 14$ に対して，の Sp-既約分解の表を与えている．筆者
た計算により，$\text{り_{}g,1}^{\mathbb{Q}}(k)$は，2004 年の秋に，中村氏の御厚意によりその表を提供して頂き，閲覧させて頂く機$k=5,6,9,10,13,14$ に対して，会に恵まれた．その表によると，に$\text{り_{}g,1}^{\mathbb{Q}}(k)$$[1^{k}]$が重複度 1 で現れていることが分かる．

の Sp-既約分解

元々，中村氏は 1996 年に森田氏へ宛てた私信の中で，$k\equiv 1(mod 4),$に有理 Johnson 余核 Coker$(\tau_{k,\mathbb{Q}}^{\Lambda\not\in})$に$[1^{k}]$$k\geq 5$の場合が重複度 1 で現れるだろうという予想を述べており，筆者にもその可能性について 2004 年の秋に言及して頂いた．本稿は，この予想に関する肯定的解決を報告するものである．

3

主定理

以下が本稿の主定理である．
定理 3.1 (榎本-佐藤，[7]). $k\geq 5,$

Coker$(\tau_{k,\mathbb{Q}}^{\Lambda t})$$k\equiv 1(mod 4)$ なる $k$

における重複度は 1 である．

に対して， -既約表現$Sp$$[1^{k}]$のこの定理の証明は以下の 2 つのことを示すことで完結する．
(1)$[1^{k}]$の(2) $k\geq 5,$$\text{り_{}g,1}^{\mathbb{Q}}(k)$における重複度が丁度 1 であること．

$k\equiv 1(mod 4)$のとき，$[1^{k}]$は Johnson 像に含まれない．

(1) についてはの自由リー代数の GL-既約分解を組合せ論的に記述する公式，及び(GL, Sp)-表現分岐則を用いて証明できる．(2) はにおけるの極大ベクトル$\text{り_{}g,1}^{\mathbb{Q}}(k)$$[1^{k}]$を具体的に構成し，それが合成準同型写像$\text{り_{}g,1}^{\mathbb{Q}}(k)=+H_{\mathbb{Q}}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathcal{L}_{2g}^{\mathbb{Q}}(k+1)arrow H_{\mathbb{Q}}^{*}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathcal{L}_{2g}^{\mathbb{Q}}(k+1)\underline{\approx}arrow^{k}C_{n}^{\mathbb{Q}}(k)Tr^{Q}$

で消えないことを直接証明する．ここで，2 つめの同型写像は Poincar\’e 双対性による同型写像である．

定理 1.3 と定理 22 により，写像類群の Johnson 像は，上の合成写像により消えることが分かるので上記の 2 つの結果から主定理の主張が得られる．

100

4

謝辞

本文中にも述べたように，筆者の元指導教官である中村博昭先生には，$\text{り_{}g}^{o_{1}}(k)$の Sp-既約分解表を快く提供して頂き，それが本研究を行う 1 つのきっかけとなったのは紛れもない事実である．ここにお礼を申し上げる．また，本研究を遂行するにあたり，森田茂
之先生，逆井卓也氏には，休日であるにもかかわらずセミナーを行って頂き，写像類群の Johnson 準同型に関して数々の有益なご助言を頂くことができた．これについても是
非感謝の意を表したい．

筆者が 2004 年の夏に，Trace 写像についての研究を行い，$\tau_{k,Q}’$の余核に$\Lambda^{k}H_{Q}$という新しい障害が現れることを示してから既に 7 年が経過している．当時，Johnson 余核の研究に GL 表現論を積極的に導入すれば，もう少し踏み込んだ，深い結果が得られるのではないかという淡い期待を抱きつつも，表現論に関する知識の乏しい筆者の怠慢によりこの問題は放置状態となっていた．偶々，京都大学で特定助教 (グローバル COE)として同僚となった榎本直也氏にこの話を持ちかけたところ，貴重なご自身の研究の時間を割いてまで熱心に取り組んで頂き，自由群の自己同型群のみならず，曲面の写像類
群への応用にまで及ぶ結果を出せたことは非常に嬉しく思っている．筆者が長年悩まされ続けてきた得体の知れない加群を，次々と縦横無尽に既約分解しその構造を明らかにしていく姿は実に鮮やかであり清々しかった．この場を借りて榎本直也氏に心から謝意を表する次第である．

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