高エネルギー加速器セミナー
次世代大型加速器

OHO’21

国際リニアコライダー -ILC-

電子陽電子入射器

著者
栗木雅夫（広島大学先進理工系科学）

2021 年 8 月 17 日
目次
はじめに

1

1

第 I 部 電子入射器

32

ILC 電子入射器の基本コンセプト

33電子発生の基礎と GaAs 光電陰極電子銃

53.1

物質内の電子分布と熱電子放出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53.2

光電子放出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.3

NEA GaAs 陰極からのスピン偏極電子の発生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.4

空間電荷制限流. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.5

光陰極 DC 電子銃 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

バンチング

25

4.1

線形ビーム力学と行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4.2

輸送行列によるバンチングの表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

ブースター

27

4

5

スピンの制御

28

6.1

量子化軸の回転と減偏極 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

6.2

Spin Rotation in Solenoid Magnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

6.3

Spin Rotation in Bending Magnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

6.4

Wien ﬁlter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

6.5

ILC 電子入射器における Spin manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Energy Compressor Section

33

6

7

第 II 部 陽電子入射器

34

陽電子の生成35

8.1

ガンマ線の生成と陽電子生成方式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

8.2

電子ドライブ方式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

8.3

アンジュレーター方式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

8.4

レーザーコンプトン方式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

横方向運動量の抑制

449.1

Quarter Wave Transformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

9.2

Adiabatic Matching Device . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

10

陽電子の RF 補足

49

11

ビームローディングの補償

50

8

9

11.1 補足ライナックにおける補償 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

11.2 ブースターライナックにおける補償 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

12

ILC 陽電子源

6312.1 電子ドライブ方式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

12.2 アンジュレーター方式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

連続変形しても保たれる性質に注目した概念で

1 はじめにある. すなわちトポロジーにおいて連続変形に物理学を学ぶ者であれば Leonhard Euler のより同じ形となるふたつのものは区別しない.

偉大さを感じたことの無い者はいない. 18 世紀

ドーナツと取っ手のついたコーヒーカップはにおける偉大な数学者であるとともに, その後同じであるが, コーヒーカップとソーサーは別の数学の抽象化を先取りした膨大な業績は, 現のものである. CP 対称性とは CP 対称性で結代物理においてもそこかしこに見出すことがでばれる粒子を区別しないことであるが, それときる. 彼は旧プロイセン領のケーニッヒスベル同じである. トポロジーとは連続変形対称性のグ（現在のロシア領カリーニングラード）の有ことである.

名な橋の問題について, いわゆる一筆書きが不図 1 は線形加速器と円形加速器加速器のトポ

この一筆書き問題はロジーを示す. 線形加速器ではビームを生成し,ノード（節点）とエッジ（枝）で構成されるグ

加速して, 利用して, 廃棄する. これを始点とラフについての数学理論として整理されている.

終点をもつ線分で表してある. 直線で結ばれてグラフ理論を使えば, 都市圏の JR で初乗り運いるということは本質的ではなく, 始点と終点

賃でどれくらいの経路を乗車可能か（大回り乗があり, それがひとつの経路で結ばれていると車）*1 , あるいは最も長い経路の片道切符*2 , というのが本質的である. 他方, 円形加速器においう複雑な問題も解くことができるだろう. こいては, ビームは生成され, 加速され, リングにの橋の問題がグラフ理論をはじめ位相幾何学の入射される. リングに入射してからさらに加速

萌芽のひとつとなったことは有名な話である.

する場合とフルエネルギーで入射する場合があ

可能なことを証明した.

リニアコライダーにとって電子入射器と陽電子入射器はとても重要である. どんな加速器にるが, トポロジー的には一緒である.

リングにビームの出口というのは無い.

とっても入射器は重要なのだが, リニアコライ

このようなトポロジーの違いが加速器に与えダーにとっては特に重要なのである. その違い

る最大の違いが, 利用されるビームの量と入射は加速器のトポロジーにある. トポロジーとは器から供給されるビームの量である. 加速器はエネルギーの高い大量の粒子を供給する装置で*1 JR 都市近郊区間においては, 実際の乗車経路に関わらず, 発駅から着駅までの最短経路で料金を計算するというルールがある. 例えば, 前橋駅から乗車し, 上
毛線, 水戸線で友部駅, 常磐線で上野駅, 上野駅から高崎線に乗り, 高崎駅に行き下車した場合, 必要なのは前橋駅から高崎駅の 4 駅分の料金である. ただし, 経路が重複した場合はその駅で下車したとみなされる. 従って間違っても水戸線で水戸駅まで行っては行けない. 友部駅と水戸駅の間は常磐線との重複区間となるので, そこで切符は打ち切りとなり, 前
橋ー水戸, そして水戸ー高崎という二枚の切符を購入する必要がでてくる.
*2 通常の片道切符も同様に経路の重複が許されない.
そのため, 折返しなどの経路の重複が発生した段階で切符は打ち切りとなる. 重複をしない最も長い経路
はどこか, というのが最長片道切符問題である. これは宮脇俊三氏の発案と言われている.

あるから, その能力は時間あたりの利用されうる粒子数で評価することができる. 加速器で扱う粒子は荷電粒子だから時間あたりの電荷, すなわち電流で評価しよう.
線形加速器では次式が成り立つ.

Iinj = Iu(1)

ここで Iinj は入射器から供給される電流, Iu は終点で利用される電流である. すなわち, 供給される電流と利用される電流は等しい.
一方, 円形加速器の場合はすこし複雑である.
円形加速器の入射にはいろいろな方式があるのLinear Accelerator

ティ L は反応断面積 σ(m2 ) あたりのイベント
レート N (rm1/s) である.

N = σL(5)となる. すなわち, ルミノシティが高ければ高Ring
Accelerator

いほど, 有用な事象の観測レートが上昇する. よく知られているように, コライダーにおけるル

図1

線形加速器 (Linear Accelerator) と円形加速器 (Ring Accelerator) のトポロジー.

ミノシティはビーム電流にほぼ比例する.

つまりリングコライダーとリニアコライダーで同線形加速器は始点と終点を持つが, 円形加速器

等のルミノシティを実現しようとすれば, リニには始点だけあり, 終点がなく, 無限に続く軌

アコライダーの入射器はリングコライダーの入道を持つ.

射器の数千倍のビーム電流を供給しなければならない. いかにリニアコライダーの入射器へのだが, ここでは注ぎたされると仮定しよう. 円形加速器ではビームが周回するがビーム電流要求が高いかわかるだろう.

ILC は超伝導加速器による線形加速器のコライダーである. 超伝導加速器では一つの RF パ

Iring を決める微分方程式はルスでなるべく多くのバンチを加速するほうがdIring= −αIring + Iinj
dt

(2)とあたえられる. ここで α はビームの損失を決める定数で, 確率的にビームの一部が失われる過程を表している. また右辺二項目は入射器から一定の割合でビームが供給されることをしめす. この解は t = 0 で Iring = 0 とすると

Iring

=


Iinj
1 − e−αtαt→∞=2600 個) のバンチを一つの RF パルスで加速す
る. 一つのバンチには 3.2 nC の電荷の電子あ
るいは陽電子が含まれているが, 入射器では少し余裕をもってその 50% 増しの 4.8 nC をつくることになっている. ILC はこのパルスを 5Hzで運転するので, 一秒あたり 6500 個（あるいは(3)

13000 個）のバンチをつくることになる. 電荷
としては 31.2 µC である.

となる. 時間が充分にたてば

lim Iring

有利となる. ILC の場合は 1300 個 (あるいはこれは従来のリン

グ型コライダーに比べて桁違いの量である.

Iinj
α

(4)

この 0.2 秒ごとに必要となる 1300 バンチのビームは, 主加速器に送り込む前に Dampingに漸近する. α はいろいろな条件で決まる定数

Ring(DR) と呼ばれるビーム周回軌道に蓄積しだが, 例えば Super KEKB の場合は数千分の一なければいけない. ルミノシティは衝突点におくらいの数である. すなわち Iring は Iinj の数

けるビームサイズに反比例する. リニアコライ

千倍に漸近する. リングでは Iring = Iu である

ダーの基本設計は, 実のところビーム電流は小から, 利用可能な電流は Iinj の場合の 1/α 倍とさく抑え, ビームサイズを小さくすることでルなる.

ミノシティを最大化しているのだ. ビームサイ

コライダーにおいて重心系エネルギーと並んズを小さくするにはビームエミッタンスと呼ばで重要な指標はルミノシティである. ルミノシ

れる位相空間上の面積（粒子の散らばり具合と思って良い）を小さくする必要がある. DR の場に起因する現象で, 負荷を含んだ消費電力と中でビームは冷却され, 小さくまとまってくれ

供給電力のバランスが崩れると加速電場の変動

るが, そのためには 0.1 秒程度は必要である. すなどやっかいな問題となる. DR を空にしてかなわちパルス間隔の 0.2 秒のうち, 入射器が稼ら新しい電子バンチを入射するとそのままでは働できるのはその半分となる.

加速電場が変動してしまうので, それをうまく入射器として重要となるのは,0.2 秒ごとの調整してやる手間が生じる. 同時に入射と出射0.1 秒間の間にこの 1300 バンチをどのようにつを行えば, その必要はない. 赤い領域のバンチ

くるのか, である. そのような視点をもって, 読は 199.3 ms DR に蓄積された後, 取り出されみ進めてもらうと見通しがよくなるだろう.

て主加速器に送られる. この時同時に新しい陽電子（マゼンタの領域）が DR に入射される.
以上のことから, 電子入射器の時間構造が厳密

第I部

200

電子入射器

0.7

199.3

0.7

電子入射器 (Electron injector) は電子ビーム

MLを生成し, それを主加速器へと送り込むのが役DR割である. このような定義によれば, ダンピン

EI
ms

グリングも電子入射器の一部と考えることもできるが, ここではダンピングリングを含まな

図2

いことにする. すでに説明したが, ILC のパル加速器を, DR はダンピングリングを, EI は電

ス構造は 0.2 秒ごとに 1300 バンチを含む長さ

0.7ms のパルスである. じつは詳細な時間構造

電子加速器側のダイアグラム. ML は主子入射器を表す. 異なる色の網掛けは異なる
パルスを表す. DR において異なる色が斜めで示されているのは, DR で蓄積されているバンは電子と陽電子で異なっている*3 . まずそれをチを取り出しながら, 新しいバンチを入射して説明しよう. 図 2 は電子側のダイヤグラムで,いることを示す.

ML は主加速器を, DR はダンピングリングを,異なる色の網掛けは,に定義される. 電荷量なども含めて表にまとめ各々異なるパルスを表す. 横軸は時間で, 電子入る. バンチ長, エネルギー広がり, 横方向エミッ

射器は 0.7ms かけて 1300 バンチを生成し, DR

タンスに対する要求は DR のダイナミックア

へと入射する (赤の領域）. この時, ほぼ同時にパーチャーからの要請で, これから外れる粒子

主加速器は電子バンチを DR から取り出し, 加は DR に安定的に蓄積されないため, このアク速する（青い領域）.

セプタンス内に必要な量のビームを生成しない

EI は電子入射器を表す.

このように DR への入射と DR からの取り出しを同時に行うのは, ビー
ム負荷の変動をおこさないためである. ビーム
負荷とは, ビームが加速空洞内で生成する減速といけない.

2 ILC 電子入射器の基本コンセプト
ILC は線形加速器による電子・陽電子コライ*3 陽電子の場合, 入射器と主加速器のパルス構造は大きく異なる.

ダーである. ILC では電子ビームはスピン偏極（TDR[1] においては 80% 以上）していること

表1

偏極度 100% はすべての電子が左巻となる. ま電子入射器に必要なパラメーター

た, 右巻きと左巻きが同数ならば偏極度はゼロ

Parameter

numberunit

Bunch charge

4.8

nC

Spin Pol.

> 80%

Bunches in a pulse

1326

Bunch sep.

6.15

ns

• 高偏極電子ビームをつくる技術が存在する.

Pulse rep.

5Hz

• 偏極電子ビームが実験精度と効率を高める

Bunch length

<35

mm

Energy spread

<0.75

%

Trans. emittance< 0.035

m.rad

である.

ILC がスピン偏極電子ビームを採用しているのは次の理由からである.

上で有効.
スピン偏極電子ビームは一般的なものではないが, ILC ではこの利用が事実上前提となっている. まったくの躊躇なく ILC がスピン偏極電子が条件となっている. 電子はスピン 1/2 のフェビームを採用しているには, 90 年台に稼働したルミ粒子であるから, ±1/2 のふたつの固有状

世界初のリニアコライダーである SLC(SLAC

態が存在する. 量子化軸として運動量の方向をLinear Collider)[2] の存在が大きい. SLC はス

とった場合, 運動量と同じ方向にスピンが向いタンフォード線形加速器センターにあった S-ている状態を右巻き, 反対向きの状態を左巻きband 常伝導加速器を利用した施設で, 重心系エと慣習的に呼んでいる.

ネルギー 90GeV で Z0 ファクトリーマシンとスピンの異なる電子あるいは陽電子は, 古典

して利用された. 同時期に稼働した CERN の的には単に同じ粒子が逆向きに回っているだ

LEP(Large Electron and Positron collider, 円

けであるが, 量子電磁力学 (Quantum Electro

形の電子・陽電子コライダー) と競合関係にあDynamics, QED) と弱い相互作用 (Weak In-り, SLC はルミノシティで大きく LEP に劣っ

teraction) の統一理論である電弱理論においてたが, スピン偏極を利用した測定（LEP は無偏は異なる粒子である. 左巻きの電子（あるいは極）により大きな成果を残した. スピン偏極は右巻きの陽電子）は弱い相互作用を行うが, 右

物理測定上パワフルである.

巻きの電子（あるいは左巻きの陽電子）は弱い

スピン偏極した電子ビームを生成する技術は相互作用をしない. カメラは電磁相互作用を利

いくつかあるが, 80% 以上という高い偏極度を用して物質を検出する装置であるが, 弱い相互作れる技術は現在のところ超格子 GaAs 結晶に作用を利用したカメラで電子を見れば, そこによる光陰極だけである. 光陰極とは光を照射し見えるのは左巻きの電子のみである. 相互作用て電子ビームを発生させるデバイスのことで,をしない粒子は不要だから, 左巻きの電子のみ

要するに光電効果で電子を発生させる. GaAs

を含むビームが理想である. 右巻き電子を加速

光陰極は RF 電場と相性が悪く, 電子銃は静電するのにわざわざエネルギーを使うのは無駄で場にせざるを得ない. 偏極度は励起に使用するあり, また雑音が増えるだけである. 偏極度はレーザーの波長に強く依存するため, 波長可変

次式で定義するな Ti:Sapphire レーザーを使わなくてはいけな

NL − NRP ≡NL + NRい. 静電場による電子銃の電圧は高くできない(6)ため, ビーム電流は低くなり, 4.8nC という大• 熱電子放出:熱エネルギー

電荷のバンチを作るにはバンチ長が 1ns 程度と• 電界電子放出:電場のポテンシャル

大きくなってしまう. この長さは ILC で利用• 光電子放出:光子のエネルギーするメインの加速高周波である 1.3GHz の周期• 二次電子放出:荷電粒子のエネルギー

770ps よりも大きいため, このバンチを短く圧縮する必要がある.
図 3 に ILC 電子入射器のレイアウトを示
す. 電子は静電型の光電陰極電子銃で生成され,ブースターで 5GeV まで加速されてから, DRへと入射される. 以下, 各コンポーネントの背景となっている物理過程についての説明を織り交ぜながら, その構成を見ていこう.

3 電子発生の基礎と GaAs 光電陰極電
子銃
ILC ではスピン偏極電子ビームが生成可能な
GaAs 光電陰極を利用した電子銃を用いる. まず電子発生の基礎からはじめ, GaAs によるス
ピン偏極電子ビーム生成と実際の電子銃を設計するのに関連する物理過程を説明する.
物質は分子あるいは原子の集まりである. 原子は原子核と電子からなる. その電子を物質から引き剥がし, 真空中へ取り出す装置が電子銃である. ここで真空といっているのは物質の外

このうち電子銃の動作原理としてよく利用されるのは熱電子放出, 電界電子放出, そして光電子放出である. 二次電子放出は光電子増倍管における信号の増幅などに利用されている.
いずれの場合も電子を発生するデバイスとして物質を考える場合, その物質を陰極 (Cath-ode) という. これは二枚の金属電極に正と負の電圧をかけたときに, 負の電圧をかけた極, すな
わち「陰極」から電子が放出されるのが理由である.

3.1 物質内の電子分布と熱電子放出
物質を高温に熱すると物質中の電子が熱エネルギーを得て表面障壁を越えて真空中に放出されるようになる. この現象を熱電子放出(thermionic emission) という. 熱電子放出はILC ではクライストロンの電子銃ぐらいにしか利用しないが, 熱電子放出は電子放出を理解す
るうえで格好の教材なので, ここで取り上げる.
物質の中の電子の分布はという意味であり, 何もない空間という意味の真空ではない. 例えばネオン管の中の放電現象
はネオンガス雰囲気中への電子の放出現象であり, その電子と気体分子との衝突による発光がネオンサインとなる.
原子核と電子がバラバラにならずに物質が安定に存在しているということは, そのように保つ物理的なポテンシャルが存在しているということである. 従ってそこから電子を外に連れ出すにはエネルギーが必要である. そのエネル
ギーの供給源や電子の放出過程などの違いにより, 電子発生の機構には次の四つがある.

N (E) = D(E)f (E),(7)

と表される. ここで D(E) は状態密度であり,電子がとりうるエネルギー状態数をあらわしている. すなわち, 物質中で電子がエネルギー(E, E + dE) の区間にある状態数は D(E)dE で表される.

電子はフェルミ粒子であるから, 一つの状態には一つの電子しか入ることはできな
い. 自由フェルミ気体モデルという, 金属をもっとも単純化したモデルではD(E) =

2m3
,
h3

(8)

と与えられる. ここで m/ℏ は速度空間を波数空図3

電子入射器の全体レイアウト. 静電型の光電陰極電子銃から出たビームは 325MHz のサブ

ハーモニックバンチャーが二台, L-band の前置加速器, シケインをはさんで超伝導加速器によるブースターで 5GeV まで加速され, スピンローテーター, エネルギーコンプレッサーを経て, DRに入射される.

E間に変換する因子であり, 三乗は三次元空間をあらわしている. 因子 2 は電子がスピン自由度

eE0

をもっており, ひとつのエネルギー準位にはス
φ

ピンの異なる電子が入れる 2 つの部屋があることを表している.

Ef

f (E) は Fermi-Dirac 分布関数であり, 特定のエネルギー状態に電子が存在する確率を表している. フェルミ分布は電子の統計性, すなわ
ち電子がフェルミ粒子である（同じ状態にはひとつの電子しか入ることができない）を反映している. フェルミ分布は具体的には

h E−EFi−1
f (E) = e kT + 1
,

N(E)

(9)

図4

z

カソードの電子分布と熱電子放出の様

ここで E は電子のエネルギー, EF はフェル子. 縦軸はエネルギー準位, 横軸の右半分は陰ミ エ ネ ル ギ ー, k は ボ ル ツ マ ン 定 数 (1.38 ×

極からの距離, 左半分は物質内での電子の存在

10−23 J/K), T は温度 (T ) である.

確率を表している.

図 4 は熱電子放出の様子を模式的に表したものである. 縦軸はエネルギー準位, 横軸の右半分は陰極からの距離, 左半分は物質内での電子のK(Kelvin) のときには, ちょうど井戸の中に状態密度およびそこでの存在確率を表している.

溜まった水のように, 内殻からフェルミエネ

金 属 中 の 電 子 は フ ェ ル ミ 統 計 に 従 い, 0

ルギーまでの準位を満たしている. すなわち

E < EF で f = 1.0 すなわちフェルミエネル

今, 図 5 で表されている領域から放出されるギー以下の準位は全て電子で満たされた状態で電子の量を考えよう. dx − dy 面が真空との界あり, E > EF で f = 0 すなわちフェルミエ面である. z 方向の運動を考えると, 時間 dt のネルギー以上の準位は全て空いている. 図では間に表面に到達する電子は, 速度を vz として

Ef を上辺とする円弧と直線で囲まれた範囲がvz dt の深さにいる電子までであり, それより深

T = 0 での電子の分布に相当する. 真空準位

い場所にいる電子は表面まででてくることはで

E0 との間にはエネルギー差 ϕ の障壁があり,きない. また, 図 4 に示しているように, 界面に

これを金属の仕事関数 (work function) という.

は真空障壁が存在し, ある程度エネルギーの高フェルミ準位にある電子は仕事関数 (もしくはい電子しか真空中へとでることはできない. こそれ以上) に相当するエネルギーを得ることでのふたつの条件から, z 方向の運動について

真空中に放出される. 仕事関数は 0 K の金属か
ら電子を取り出すのに必要な最小のエネルギーdz + vz dt > 0,
r

である.

vz >

有限温度 T (K) では電子はフェルミエネル(10)2(µ + ϕ)≡ vz0 ,
m

(11)

ギー EF を越える準位にも分布するようになる.

という条件がつく. 以上をまとめると, 今速度がフェルミエネルギー準位では常に f = 0.5 とな(vx , vy , vz ) から (vx + dvx , vy + dvy , vz + dvz ),り, 準位のうち半数が電子で, 半数が正孔で満た位置が (x, y, z) から (x + dx, y + dy, z + dz),

された状態となる. 図では黒く塗られた雲型の時間が t から t + dt の間に放出される電子数は部分が電子の分布状態をあらわしてる. 高温によりも高いエネルギー準位に分布するようにな

2m3
1dxdydzdvx dvy dvz ,3
h 1 + e E−µkT(12)る. そうすると電子は確率的に真空中に放出さと与えられる. ここで dz = vz dt と置くと, 時れる. これが熱電子放出現象である.

間についての因子が顕になる. 両辺を dxdydt

なると少なくない電子が真空準位 E0 = EF + ϕ

dN (E) =でわると
material

vacuumdN (E)
2m3vz= 3
dvx dvy dvz ,dxdydth 1 + e E−µ
kT

(13)

単位面積あたり, 単位時間あたりに放出される
電子数が得られる. 上式を速度について積分してやれば, ある温度における単位時間あたりのdx

放出電子数が求められる. 積分を実行する前に,dy

フェルミ分布を近似する. 一般的に金属の仕事関数は数 eV 程度であるから, 温度に換算する

dz=vzdtと数万 K にもなる. カソードの温度はせいぜい界面から放出される電子の様子. 深さ方

数千 K 程度であるから, E − µ ≫ kT が成り立向は vz dt より浅い領域の電子のみが表めに到

つ. これより e kT = 1/x ととると, 1/x ≪ 1

図5

達できる.

E−µ

であるので, この x について Taylor 展開して,と与えられる. ここで A は一次までで近似すると,

f (E) =

1x=∼x
1 + 1/x
x+1

A=
E−µ

= e− kT(14)

を Richardson-Dushman の式という.

3

2m µ
e kT
3
h
Z
Z Z
∞

×

dvz

陰極表面から放出された熱電子は熱運動を行っており, 位相空間でみると空間方向のみ

∞

−∞

vz0

dvx dvy vz e

E
− kT

, (15)

ならず, 運動量方向にもあるひろがりをもっている.

となる. ここでいうエネルギー E は運動エネル
ギーに他ならないからE=と表記され, 熱電子放出定数 (thermionic emis-

sion constant) と呼ばれるものである. 式 (20)となる. この近似を用いて積分を表すとN=

4πemk 2
= 1.20 × 106 [A/m2 K 2 ], (21)h3

この熱運動によるエミッタンスを熱エ

ミッタンスと呼んでいる. これを求めておこう.
熱エミッタンスをもとめるために, 横方向の1
m(vx2 + vy2 + vz2 ),2(16)

運動エネルギーの平均値をもとめよう. そのため, まず放出される粒子の横方向の運動エネルとおけ, 積分の中身を直接計算できる. vx , vy にギーの合計 ET t を式 (15) をもとに求める. こ関する積分は r2 = vx2 + vy2 とおいて, 平面極座の式の被積分関数に Ex + Ey を掛け合わせるこ

標上の積分に変換するととで, この値が求められる. 書き表すと

Z ∞

Z ∞

Ixy =

dvx

−∞
Z 2π

=

−∞
Z ∞

mr 2

rdre− 2kT =

dθ
0

2
mvx,y

2m3 µ
ET t = 3 e kThdvy e− 2kT

02πkT. (17)
m

Z Z ∞
dvz

vz0

−∞

dvx dvy× vz (Ex + Ey )e− kT , (22)Eとなる. vz についての積分はすでに式 (18) でまた vz に関する積分は行ったように直接計算可能で,

Z ∞
Iz =

Z ∞

dvz vz e

mv 2− 2kTz

Z ∞

vz0

=

kT
e
m

2
mvz0
− 2kT

=

kT − ϕ+µe kT , (18)m

2となる. ここで式 11 より vz0= 2(ϕ + µ)/m を用いた. すべてをまとめると, 単位時間あたり単位面積から放出される電子数 n は
2

2
mvz

dvz vz e− 2kT =

vz0

(19)

と求められる.

平面を平面極座標に変換して r 2 = vx2 + vy2 とお
くと,

It =

−∞
Z 2π

=

放出電流密度 J は式 (19) に素電荷 e をかkT − ϕ+µe kT , (23)mである. vx および vy についての積分は vx − vyZ ∞24πmk T −ϕn=e kT ,
h3

Iz =

Z ∞
dvx

−∞
Z ∞

dθ
0

dvy (Ex + Ey )edr0

mr3 − mr2
e 2kT ,
2−

2 +v 2 )
m(vx
y
2kT

,

(24)

となる. この積分は部分積分を利用して計算す

けてJ = en = AT 2 e

ϕ
kT

,

(20)

ることができる. まず θ についての積分を実行

し, 続いて部分積分を行う.

m
It = 2π2Z ∞2を用いて求めると,

p2
E¯x = x ,
2m0

2

− mr
2kT

drr re,0 ∞kT − mr222kT= mπ r −em0
Z ∞kT − mr2+ mπ
dr2r
e 2kT ,
m
0
#∞
" 
2
mr 2
kT
= 2mπ −
e− 2kT
,
m
0

2
kT
= 2mπ
. (25)m

無次元運動量は ps = γm0 βc を式 (29) に代入
して

s
x′ =

2m0 E¯x
1=2222γ β m0 c
γβ

r

kT
,
m0 c2

(31)

と求められる. 位相空間におけるビームの分布に相関がないとすると, ビームの横方向エミッタンス εx は

以上をまとめると, 放出される電子が持つ横方R 1
εx = σx x =
2 γβ

r

′

向エネルギーの総量 Et−total が次のように求め
られる.

(30)

kT
,
m0 c2

(32)

となる. ここで σx はビームの x 軸への射影の
Et−total = 4πm

kT
m

3

ϕ

e− kT .

標準偏差であり, 半径 R の一様分布を仮定した(26)

この式を式 (19) で示されている放出電子数でわれば, 電子ひとつあたりの平均横方向運動エ
ネルギー Ēt が求められる.

Ēt =Et−total= kT,
N場合, 式で示したように R/2 となる. このエ
ミッタンスの定義はビームが位相空間で占める面積に相当し, 保存場における運動においては保存量となるなど, 物理的に非常に明確なものである. しかしビーム全体の加減速を考えると,(27)

γβ に依存性にみられるように, 保存量とはならない. 加減速を含めて保存量となるのは次に定

この値は電子ひとつが持つ横方向エネルギーの義する規格化エミッタンスである.

合計である. デカルト座標系で考えると, x 方向R
εnx = γβεx =2あるいは y 方向のエネルギーはこの半分となり,kTE¯x,y =
,
2

(28)

3.2

r

kT
,
m0 c2

(33)

光電子放出

物質が光子を吸収して電子を放出する現象はである. ここでビームは x と y に対して対称に光電効果としてしられている. この現象は物質分布していると仮定している.

内の電子が光子のエネルギー (hν) を受け取り,

ビーム力学では, 通常の運動量の定義に替え

物質内から真空障壁を越えて飛び出してくる現て無次元運動量を用いる. x 方向の無次元運動

象として理解できる. この場合, 光電子を発生′

量 x は次のように定義される.

x′ =

px
,
ps

させる物質を特に光電陰極 (Photo-cathode) と

(29)

呼ぶ.
真空障壁を越えるためのエネルギー源が熱エ

ここで px および ps は x 軸方向および s 軸方向

ネルギーか光子のエネルギーかという違いはあの運動量である. px と E¯x の関係を古典的近似

るが, 電子の放出機構としては熱電子放出とほ

E

説明する.

e

3.2.1

金属における光電子放出

今金属表面に波長 ν の光を照射したときに発φ

生する電流を熱電子放出と同様に自由フェルミ
気体モデルで考える. 電流が発生するためには
Ef

Photonもともと電子がもっていたエネルギー E と光のエネルギー ℏω の和が真空準位 E0 よりも高い必要がある. すなわち

E + ℏω > E0 .
N(E)

z

(34)

低温の極限で, 電子の持つエネルギー E の最
大値はフェルミエネルギー µ に等しいので,

図6

光電子放出機構. 光子により励起された電子が真空中へ放出される. 定義等は図 4 とE ∼ µ とすると, 式 (34) はℏω > E0 − µ = ϕ

同様.

(35)

である. この値は光電効果が生じる光の波長のぼ同じである. しかし実際に光電子放出を利用

閾値を与える. ここで, ϕ は仕事関数である.

した電子銃 (光電陰極型 RF 電子銃など) を製作

今, ℏω の光による光電効果を考える. 式 (34)する場合, 陰極物質の選ぶ際の基準は熱電子銃

より, 電子の z 方向の運動エネルギーは Ez >の場合と全く異なる.

E0 − ℏω の条件を満たさなければならない. こ

熱電子銃の場合は電子放出に用いられるエネ

れを速度に置き換えると

r

ルギーは供給される熱エネルギーに比べて無視できるような量であり, 陰極物質としては高温に耐えられるという条件が最も重要な性質である. 一方, 光電陰極の場合は光としてレーザー
光のような操作性の高い光源を用いるのがふつうである. そのような操作性の高い光源を用いることで, 例えば小スポットから大電流の短パ
ルス電子ビームを生成することが可能となり,
光電効果によるビーム生成の大きな利点である.
そのためにはレーザー光にたいして効率良く電vz0 =2(E0 − ℏω)
,
m

(36)

となる. すなわち, 電子の z 方向の速度は vz0よりも大きくなければならない. これを考慮す
ると, 光電効果による光電流は

Z ∞J = Pe

Z ∞
dvz

vz0

−∞

×

Z ∞
dvx

−∞

dvy

vz
2m3
, (37)
3
h 1 + e E−µkT子を発生させるような物質が望ましい. すなわと表される. ここで P は物質中の電子が光子に

ち光子あたりに発生する電子数を量子効率としより励起される確率である. 現実的ではないが,て定義し, この量子効率が高い物質が光電陰極

仮にすべての電子が一斉にある波長の光子を吸として適当な物質である.

収して励起状態に遷移したとすると, P = 1 で

以下, 金属および直接遷移型半導体を例にとあるから, 放出電流は熱電子放出と一致する. たり, 光電子発生およびそのビーム品質について

だし熱運動のエネルギーに加えて, 光子がエネ

ルギーを電子に与えるので, 積分範囲の下限がこの式に x = eσ−y とおいたものを式 (44) に代

E0 ではなく, E0 − hν となり, 同じ温度で比べ入すると

れば放出電流は大幅に増加する. vz0 が速度におけるその下限値. 式 (37) において, まず vx,yf (σ) ≡

1

1+e

dx =
−(ax+b)1
log 1 + eax+b dx
a
(38)

i
h
µ−Ez
dvz vz ln 1 + e kT ,

vz0

(39)

f (σ) =Z ∞E0 −ℏω

dye−ny ,0∞X(−1)n+1

0

i
h
µ−Ez
dEz ln 1 + e kT ,
(40)

n2

enσ

(σ < 0)(47)

σ > 0 の場合は次のように積分を分割する.
Z σ Z ∞ f (σ) =+
dy ln 1 + eσ−y , (48)となる. 積分変数を Ez に変更すると

4πemP kT
J=
h3

Z ∞

項別積分を行うと, 次式を得る.

n=1

Z ∞

e

nσ

(46)

を使用すると4πem2 P kT
J=
h3

n

0

n=1

についての積分を実施する. 積分の公式

Z

∞ Z ∞
X
(−1)n−1σここで, 第一項目の積分については, σ − y = wと変数変換をおこない,

Z σ

Z σ
σ−y

dy ln(1 + e)=
dw ln(1 + ew ),
0
Z σ
 w

=
dw ln e (1 + e−w ) ,
Z0 σ


=
dw w + ln(1 + e−w ) , (49)

ここで0

Ez + ℏω − E0kTℏω − ϕ
σ=
,
kT
y=

(41)
(42)

0

と変数変換すると, 式 (40) は4πemP k 2 T 2
J=
h3

Z ∞

積分中の第一項は直接積分が可能である. またdy ln 1 + eσ−y ,0(43)となる. この式の積分は σ の関数と考えられる

第二項目は e−w ≪ 1 として式 (45) と同様に展開してやると,Z σ0ので, 次のように f (σ) とおこう. 我々の関心は
この f (σ) を求めることにある.

f (σ) ≡

Z ∞

0



dy ln 1 + eσ−y .

2

(44)

=

0

まず σ < 0 の場合, すなわち光子のエネル
ギーが仕事関数よりも小さい場合について考え
よう. この時 eσ−y << 1 となるので, 関数を次のように Taylor 展開する.

ln(1 + x) =

∞
X
n=1

dy ln(1 + eσ−y )#σ 2 σ " X∞w(−1)n −nw
=
+
e
2
2 0
n
n=1

(−1)

ついては σ − y = −x として変数変換をおこな
うと

dy ln 1 + e
,

(45)

(50)

と求めることができる. 次に第二項目の積分に

n

n

n

π
(−1) −nσσ++e2
12 n=1 n2

Z ∞
n−1 x

∞
X

2

σ

σ−y



Z ∞
=

dx ln(1 + e−x ),

0

(51)

ここでも, 式 (45) と同様に展開してやると, 積数表示したものである. これより仕事関数に相分結果は当する σ = 0 で関数の様子が変化しているのがZ ∞dy ln 1 + e


σ−y

∞
X
(−1)n+1

=

σ

2n

n=1

π2
=
,
12
(52)

わかる.

Fowler の式 (55) の σ = 0 付近での振舞を見てみよう. 仕事関数以下の領域, すなわち σ < 0では級数となる. この式 (50) と (52) の合計をとり,∞
σ2
π 2 X (−1)n −nσf (σ) =++e(σ > 0),
2
2
6
n
n=1
(53)

f (σ) =

∞
X
1
n=1

n2

enσ , σ < 0(57)となっている. この級数の値は σ = 0 で π 2 /12と f (σ) をもとめることができた. これまでをに収束し, σ < 0 では図で示されているようにまとめると急激に減少するが, ゼロにはならない. 他方,J=

4πem 2 2
P k T f (σ)
h3

(54)

∞
π 2 σ 2 X 1 −nσ
f (σ) =+ −e,6
2 n=1 n2

ここで(f (σ) =eσ − 212 e2σ + 312 e3σ . . .
1 2
π2
−σ
...
6 + 2σ − e

σ < 0,
σ > 0,(55)

である. σ を再掲しておくと,σ=σ > 0 (58)となっている. 級数は σ = 0 で −π 2 /12 に収束するから, σ = 0 での値はこの式でも π 2 /12 へと収束し, σ < 0 と連続であることがわかる. つ
いでに微分係数を比較してみても連続となってℏω − ϕ,kT(56)

いることがわかり, Fowler の式は σ = 0 でちゃんと解析接続している. ところで, σ = 0 近傍の

σ > 0 の領域での振舞は, 級数が −π 2 /12 に収である. 式 (55) を Fowler の式という.

束していることから

FowlerI/(PAk^2T^2)

σ > 0 の領域では

f (σ) ∼

102

π2
σ2
+
,
12
2

σ > 0,(59)となる. 論文等で量子効率が η ∝ (ℏω − ϕ)210と示している例がある. 光の波長に対する量子1

効率は上記のように二乗の依存性をもっているが、定数項があり、完全な比例関係にあるわけ

10-1

ではない. 量子効率が二乗に比例しているとい

10-2
-10

-5

図7

光電流を P Aek 2 T 2 で規格化し対数表

0

5

10

15

20

25

30

35
40
sigma

示した, Fowler プロット.

うのは, 定数項を無視した近似的な関係式であることを注意しておく.

3.2.2

金属光電陰極のエミッタンス

光陰極から放出された電子ビームは, レー
図 7 に Fowler の式の値を示す. 横軸は σ で,
縦軸は光電流を P Ak 2 T 2 で規格化した値を対ザーなど光電効果に使用した光源の大きさと等しい実空間広がりを持つ.

また, 運動量空間においても一定の広がりを持ち, それゆえ固と求められる. この結果は T = 0 として求めた有のエミッタンスを有する. ビームが発生時もので, 熱による寄与は含まれていない. 一般

点で持っている固有のエミッタンスという意

的に光電陰極は 300 K 程度の室温で使用され味では熱陰極における εT h , すなわち熱エミッ

るので, 熱エネルギーは 2.6 × 10−2 eV となる.

タンスと同じであり, 陰極から放出された電子

一方多くの光電陰極では有限の量子効率を確保が有している熱的な運動により生じるものであするためレーザーのエネルギーを仕事関数にたる. 陰極から光電効果により放出された電子は,

いして 0.1 − 0.5eV 程度高くとるのが普通であ熱エネルギーに加えて, レーザーによるエネル

り, レーザーのエネルギーの寄与の方が約十倍

ギーも運動エネルギーとして持っている.

以上は大きい. 従って T = 0 と仮定して求めた

光陰極における横方向空間のエミッタンスを式 (64) は近似として充分有効である.

評価する. 熱電子の場合と同様に分布関数から

熱エネルギーだけの場合の横方向エネルギー求めよう. ϵz を z 方向のエネルギー, 横方向への寄与は式 (28) で表されているので, これをのエネルギー (x 方向と y 方向の和) を ϵr とお式 (64) に含めると次のようになる.

くと,

4πm
ϵ¯r =
N h3

Z ∞

Z ∞
dϵz

W −hν

dϵr
0

ϵ¯r =

ϵr

,
ϵ−µ
e kT + 1(60)

ここで ϵ = ϵz + ϵr である. ここで W = µ + ϕ

ためまず T = 0 とおくと式 (60) は

ϵ¯r =

4πm
N h3

Z µ

Z µ−ϵzW −hνdϵz和である. いずれかの方向の射影エミッタン
スはR
εx,y =
2dϵr · ϵr(61)0

分は簡単に実行可能で, 結果は次のようになる.

4πm (hν − ϕ)
N h3
6

3

(62)

また放出電子数 N は同様の積分より

W −hν

Z µ−ϵz
dϵz

r

(67)

だけ実質的に減少するので, 電場が無い状態での仕事関数 ϕ0 を用いると√(68)
ϕ = ϕ0 − Cs E,
pとなる. ここで Cs = e/4πϵ0 = 3.79 × 10−5s

04πm (hν − ϕ)
,
h3
2

eE
,
4πϵ0

である. 式 (68) を式 (67) に代入すると

dϵr

2

=

(66)

ると Schottky 効果によりには分布していないことを示している. この積Z µ(hν − ϕ)
kT
+
,
2
3mc
mc2

トサイズである. 仕事関数 ϕ は表面電場 E があ

は T = 0 では電子はフェルミ準位をこえる範囲

4πm
N= 3
h

r

とあらわされる. ここで R はレーザーのスポッとなる. ϵz の積分範囲が µ までとなっているの

ϵ¯r =

(65)

この値は, x 方向と y 方向の運動エネルギーのは真空準位に相当するエネルギー, hν はレー
ザー光子のエネルギーである. 積分を実行するhν − ϕ
+ kT
3

(63)

R
εr =
2

√
(hν − ϕ0 + Cs E)
kT+, (69)
23mc
mc2と求められるので, これを式 (62) に代入するととなる. すなわち Schottky 効果により横方向

結局 ϵ̄r は

エミッタンスへのレーザーエネルギーの寄与はhν − ϕ
,
ϵ¯r =
3

(64)

更に増大する.

3.2.3

量子効率

E

光電陰極の性能を表す実用的なパラメーターである量子効率 η というものを定義しよう. 量
子効率とは光子が物質に入射したときに, 物質C

表面から光電子が放出される確率である. 量子
効率を用いて, 放出電流は
EBG

J = eηNph ,

(70)

k

とあらわされる. ここで Nph は入射光子数であhh

る. 量子効率は理論的に予測するのは一般的にlhは困難であり, 実際の測定値から求められる.
空間電荷制限領域に達していない場合, 光電効
so

果により得られるビーム電荷 Q はQ=

ηePl λL,hc

図 8 GaAs のバンド構造を模式的に表したも(71)と与えられる. ここで η は物質の量子効率, e はの. 縦の線は光子による直接遷移の例として,
価電子帯から伝導帯にへ電子が励起されることを表している.

素電荷, Pl はレーザーの出力, λL はレーザーの波長, h はプランク定数である. 物理定数を代入
し, 実用的な単位で表示すると

Q[nC] = 8.08×10−3 η[%]Pl [µJ]λL [nm], (72)では縦軸は準位のエネルギーで基準は荷電子帯の上端にとっている. 横軸は電子の波数 k である. 原点より下のバンドは各々 heavy hole,

となる.

3.2.4

構造は図 8 に示すような形をしている. この図

直接遷移型半導体からの光電放出

最後に GaAs に相当する直接遷移型半導体か

light hole, そして spin orbit と呼ばれるバンド構造を表している.

以下, バンド構造を有効

らの光電放出を扱う. 金属ではフェルミ面付近

質量により表す有効質量近似を用いて議論を進をふくむ全てのエネルギー領域で準位が連続しめる.

て存在している. それに対して半導体および絶光電効果の場合, 価電子帯にある電子が伝導縁体ではフェルミ準位付近にエネルギー準位が帯へと励起され, その電子が真空準位よりもエ存在しない領域, すなわちバンドギャップがあ

ネルギーが高い場合に電子放出が生じる. 価電り, その上下で電子のエネルギーバンド構造が子帯から伝導帯への励起確率は行列要素, 状態

大きく変化している. 物質内の電子は低い準位

密度, そして分布関数の積として表すことがでからフェルミ準位までを満たしているので, 光きる.

電子放出に寄与するのは主にフェルミ準位付近移確率は, Fermi の黄金律により次のように与の電子であり, フェルミ面付近の構造が重要と

えられる.

なる.
典型的な例として, 直接遷移型半導体の光電子放出を考える. このタイプの半導体のバンド

より一般的に状態 i から状態 f への遷

Wi→f =

2π|M |2 D(ℏω)f (E),ℏ(73)

ここで M は行列要素であり, 始状態と終状態および反応を表すハミルトニアンから求められる.

えられる.

D が状態密度と呼ばれる量であり, 反応に寄与する状態数を表している. そして f (E) はフェEc (k) = EBG +ルミ分布関数で, ある温度でその状態に電子が存在する確率を表す.
まず一般的に状態密度 D について考察する.
ある波数の大きさ（スカラー量）k をもつ状態
数は, 三次元波数空間を考えると,D(k)dk = 2

1
4πk 2 dk,
(2π)3

(74)

ℏ2 k 2
,
2m∗e

(78)

Ehh = −

ℏ2 k 2
,
2m∗hh

(79)

Elh = −

ℏ2 k 2
,
2m∗lh

(80)

Eso = −∆ − ℏ2 k 2 2m∗so ,(81)

ここでは便宜的に有効質量を正にとり, 分散関係に負号を付けている.

光電子放出についてと求められる. 右辺の頭の 2 はスピン自由度を考えるため, エネルギー ℏω の光子による価電子

考慮したものである. エネルギー E と波数 k と帯から伝導帯への遷移について考える. 電子のの関係は, 非相対論的電子を仮定すると波数を変化させない遷移を直接遷移, 波数を変化させる遷移を間接遷移という. バンドダイア

ℏ k
,
2m∗
2 2

E=

(75)

グラでみると, 直接遷移は垂直方向の遷移, 間接
遷移は斜め方向の遷移である. 光子の波数は電である. ここで m∗ は物質中での電子の有効質

子の波数に比べて桁違いに小さいことから, 波量を表す. 自由空間においては電子の質量その数が変化する遷移は光子の吸収に加えて, 格子

ものに等しいが, 結晶などの周期構造の中ではや他の電子との散乱などの複数の反応を経なけ

電子の質量とは異なる. 逆に, この電子の有効ればならず, その反応確率は小さくなる. 結果

質量そのものが結晶の中における電子の波数 kとして, 光子による遷移は多くの場合, 直接遷移とエネルギー E との間の関係, すなわち分散関が支配的となる. ある種の半導体では伝導帯の係を与える. 微分係数を求めると底と価電子帯の天井が異なる波数に相当し, バ
ンドギャップ相当の光による遷移はエネルギー

dE
ℏ k
= ∗,
dk
m
2

(76)

的に間接遷移しかゆるされないため, 間接遷移のみが生じる場合もある. 文献 [3] よると GaAsとなる. これを用いて状態密度の変数を波数か内における電子の有効質量は表 2 のように与えらエネルギーに変換するとられる.
直接遷移を仮定すると, 光子のエネルギーと2

D(E) = D(k)

∗

k m
dk
= 2 2
dE
π ℏ k
 ∗ 3/2
√
1
2m
=
E,
2π 2
ℏ2

波数との関係は次のようになる.

(77)

となる.
さて, 図 8 に示されている各々のバンド構造の分散関係は有効質量を用いて以下のように与ℏω = EBG +ℏ2 k 2ℏ2 k 2
+
,
2m∗c
2m∗h

(82)

ここで, 換算質量 µ∗ を

1
1
1
= ∗ + ∗,
∗
µ
mc
mh

(83)

表 2 GaAs 内の電子の有効質量. 各々のバンが一定の球殻に相当する. 電子の出射方向, すドにおける値を自由空間での電子の質量を単なわち界面の法線ベクトルを z 方向にとり, ポ

位として示してある.

テンシャル障壁の高さを伝導帯の底を基準にし

質量

理論値

測定値

て χ とする. ポテンシャル障壁における反射な

m∗c

0.078

0.067

どの量子効果を無視すると, 電子が真空中に飛

m∗hh

0.73

0.53

び出す確率は Ez > χ で 1, Ez < χ で 0 とな

m∗lh

0.08

0.08

る. ここで Ez とは, 運動エネルギーのうちの z成分である. その閾値は Ez = χ として,

√
kz0 =

と定義すると, 分散関係はℏω − EBG =ℏ2 k 2,2µ∗(84)2m∗c χ
,
ℏ

(88)

である.
今, 考えている波数空間において, kz > kz0と与えられる. この分散関係から導かれる状態の領域の電子のみが真空中へと放出されるので,密度を結合状態密度という. この状態密度は, 通

その数を求めよう. 三次元波数空間において, 電常の物質内部での電子状態を表す状態密度とは

子は次のように球殻上に分布している.

異なり, 始状態と終状態間の遷移の状態数をあらわしたもので, 結合状態密度と呼ばれる. エ2m∗c Ee= kx2 + ky2 + kz2 ,ℏ2

ネルギー ℏω の光子による, 価電子帯と伝導帯

このうち, kz > kz0 である領域は, 次の積分でとの間の結合状態密度はもとめられる.

1
D(ℏω) =
2π 2



2µ∗
ℏ2

3/2 pℏω − EBG , (85)Z 2πS(kz > kz0 ) =

(89)

Z α
dϕ

0

dθ sin θ
02m∗c Eeℏ2の有効質量から決まる量で, 式 (83) で与えられ2m∗c Ee= 2π(1 − cos α) , (90)
ℏ2
q
χ
−1
ここで, α = cos
Ee であり, kz = kz0 とな

る. EBG はバンドギャップのエネルギー幅である頂角に相当する. これを代入するとと導かれる. ここで, µ∗ は結合状態密度における有効質量で, 価電子帯および伝導帯での電子pる. この時, 励起された電子のエネルギーは光S(kz > kz0 ) = 2π子の波長により一意に決まり

2m∗c Ee
ℏ



r
1−

χ
Ee


,
(91)

ℏ2 k 2µ∗Ee = Ec − EBG == (ℏω − EBG ) ∗ ,
2m∗c
mc
(86)

となる. 全体では電子の占める波数空間面積はとなる. ここで電子のエネルギー Ee は伝導帯帯に励起された電子の放出確率 P (ℏω) が求めの底を基準に表している. これを波数で表すとられる.

(ℏky )2(ℏkz )2(ℏkx )2
+
+
,
Ee =
2m∗c
2m∗c
2m∗c

(87)

4π2m∗c Ee /ℏ2 なので, これで規格化すると伝導1
P (ℏω) =
2



r
1−

χ
Ee


,

(92)

となる. 今, Ee は光子のエネルギーに対して一式 (85) の結合状態密度 D(ℏω) と, この伝導帯意に決まるから, 波数空間での電子分布は半径から真空への脱出確率 P (ℏω) の積に, 入射光子

数, 光遷移確率, 行列要素, を掛け合わせると光と与えられる. Exy は kz = |k| cos θ より電流が得られる. 量子効率 η は入射光子数で規格化した光電流なので, 単独のバンドからの遷

Exy = Ee −Ez = Ee −移だけが生じる場合には量子効率は D(ℏω) と(ℏkz )2= Ee (1−cos2 θ),
2
2mc
(96)

P (ℏω) の積に比例する. すなわちを代入すると次式を得る.

2m∗c Ee2
Inum = 2π
ℏ

3
∗ 2

1
2µ
η(ℏω) ∝
2
4π
ℏ2
r

p
m∗c
×
ℏω − EBG − χ ∗ . (93)µ
実際の量子効率は温度による分布関数の影響,
不純物による状態密度の変化とそれによるフェルミ準位の変化, 複数のバンドからの遷移, 真
空ポテンシャルでの量子力学的な反射等の効果,などにより複雑な振舞をみせるが, 定性的な性

0

積分を実行するために, t = cos θ と置換すると,結果として次式を得る.

2m∗c Ee2
Inum = 2π"  ℏ#
 1/2
3/2
1 χ
χ
2
−
+
. (98)
×3 Ee
Ee
3
これらの結果より

半導体陰極における初期エミッタンス

半導体における光電子放出に続いて, 予想さdθ sin θ(1 − cos2 θ).
(97)

質はおおよそ上式で記述される.

3.2.5

Z α

Et = Ee

1
3



χ
Ee

3/2

れる平均横方向エネルギーおよびそれによるエ−q
1 − Eχe
χ
Ee

1/2

+ 23

,

(99)

ミッタンスについて考察しよう. 伝導帯への励を得る.

起までは前節においてすでに議論しているので,ので, 一軸あたりの平均のエネルギー Ex,y はこ

横方向エネルギーの平均値 Et はすぐに求めるの半分でありことができる. 横方向エネルギーはREt =dk 3 ExyR,
dk 3

Ex,y =(94)

ここで積分は考えている波数空間全体について積分をとることを表している. 今, 電子は波数空間において半径 |k| =分布している.

Et は横方向運動エネルギーの合計な

1
Ee 3



χ
Ee

2

3/2



−
q
1 − Eχe
χ
Ee

1/2

+ 23

, (100)である. この値から予測される横方向規格化エ
ミッタンスはsp2m∗c Ee /ℏ の球殻上にR
εx,y =
2

また真空中へ放出される電子

2Ex,y
,
m0 c2

(101)

は, 式 (88) で与えられる kz0 を用いて kz > kz0となる.

という条件を満たすものであるので, これに相χ = 0 としてみると, エネルギーとエミッタン

当する波数空間で積分をとり Et を求めてやれ

スはばよい. 分母となる規格化因子の積分は既に式(91) でおこなっている. 分子となる積分は
Z α

Z 2π

dθ

dϕ

Inum =
002m∗c Eesin θExy , (95)ℏ

およその大きさを評価するために

µ∗
1
(102)
(ℏω − EBG ) ∗ ,3
mcs
R 2(ℏω − EBG ) µ∗εx,y (0) =, (103)2
3m0 c2m∗c

Ex,y (0) =のように求められる. この式から, エミッタン

ルギーはその前後で保存しなくてはならない.

スはおよそ ℏω − EBG の二乗根に比例するといこの原理から以下のように放出時における屈折う金属カソードと同様の振舞をすることが予想

法則が導かれる.

される. 図 9 に横方向運動エネルギー Exy をχ/Ee の関数として示してある.χ が増加するに伝導帯でのエネルギー Ec は波数 kc や有効
質量 m∗c を用いてしたがって Exy が減少することが予想される.

Ec =Exy/Ee0.6

222ℏ2 kycℏ2 kzcµℏ2 kxc++= (ℏω−EBG ) ∗ ,
∗
∗
∗
2mc
2mc
2mc
mc
(104)

と記述される. 同様に自由空間においてエネル

0.5

ギー Ef は

0.4

2
22
ℏ2 kxfℏ2 kyfℏ2 kzf
+
+
(105)
2m
2m
2m
と記述される. 横方向運動量の保存より

Ef =

0.3
0.2
0.1
0
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

X/Ee

図9

Ee で規格化した平均横方向エネルギーを χ/Ee の関数として表したもの.

ℏkxc = ℏkxf

(106)

ℏkyc = ℏkyf ,(107)

またエネルギー保存より

Ec = Ef ,(108)が成り立たなくてはならない. これらの条件よ

3.2.6

表面屈折の効果り, 自由空間での z 方向のエネルギー Ezf は半導体のバンド構造等は結晶構造, すなわち構成原子が規則的に配列していることから生じ2ℏ2 kzf
2m
2 2
ℏ kzc
1
1
=
+( ∗ −)(ℏ2 kx2 + ℏ2 ky2 ),
∗
2mc
2mc
2m
(109)

Ezf =

るものである. 結晶構造は回転対称性や並進対称性を持っており, それらの性質から特徴的なバンド構造がつくり出される. 一方, 光電陰極の電子発生面は物質と真空という異なる空間がとなり, 物質中での z 方向のエネルギー Ezc よ接しており, このような面を界面といい, 結晶

りも増大する. 電子放出の閾値として Ezc と構造の中に存在するような対称性は崩れている.

Ezf のどちらを用いるべきかは明らかではない界面をもつ物質の性質はそれだけでひとつの大が, 仮に Ezf が電子親和性 χ よりもおおきけれ

きな学問分野となるため, それを包括的に扱う

ば真空中への放出が生じると考えることにしよには筆者の手に余るが, ここでは電子の有効質

う. 伝導帯での波数空間での z 軸からの角度を

量の変化のみに着目して, 放出電子における影θ と定義し, 伝導帯での波数の大きさを kc とす

響を考察する.

ると

有効質量は物質内部において電子の分散関係を定義する値であり, 真空中での電子の質量とは異なる値をとる. 電子が物質中から真空中へ放出される場合でも, 横方向運動量およびエネ

2ℏ2 kzfℏ2 2ℏ2 kc2−=(k + ky2 )
2m
2m∗c
2m x
ℏ2 kc2 1
1=( ∗−sin2 θ) (110)2 mc
2m

という条件が成り立つ. 電子が放出されるためとなる. ここで比較のために χ = 0 とおくとに θ の満たすべき条件は

α = π/2 なので,sin2 θ ≤m2mχ
− 2 2,
∗
mc
ℏ kc

(111)

となる. χ の値が小さければ, m/m∗c > 1 より,

s

s
2Ex,y
R
=
2
mc
2

R
ε=
2

2µ
(ℏω − EBG ),3m20 c2(117)波数空間のうち kzc が正の値を持つ半球, すなという結果を得る. この値は式 (103) と比べる

わち 0 < θπ/2 において電子放出が生じる. ことの臨界角を α とすると伝導帯電子の放出確率は果として表れる.

1
η=
4π

Z 2π

Z α
dϕ

0

0

1
dθsinθ = (1 − cos α),
2(112)

アルファは次のように与えられる.

sin α =

3.3

NEA GaAs 陰極からのスピン偏極電子の発生

1970 年代より SLAC において偏極電子源の開発研究が行われ, 1970 年代には半導体陰極

s
m
2mχ
−
.
m∗c
ℏ2 kc2pm∗c /m0 だけエミッタンスを減少させる効を用いた偏極電子銃が実用化 [4] された. 偏極(113)

電子は核子のスピン構造の実験的解明 [5][6] や素粒子の標準模型の実験的検証のハイライトで

この時, 横方向エネルギーは次のように与えらある SLAC Linear Collider, SLC[2] におけるれる.

Weinberg 角の精密測定 [7] など素粒子物理学にℏ2 ky2ℏ2 kc2ℏ2 kx2+=sin2 θ
Exy =
2m
2m
2m
µ
= (ℏω − EBG ) sin2 θ.
m

大きな役割を演じてきた. また, ILC においても, 電子ビームのスピン偏極は重要な自由度で

(114)

ある.
スピン偏極電子は GaAs という半導体結晶

この値は x と y についての和である. 放出電子に円偏光したレーザー光 (Ti:Sa 波長 700 ∼の平均をとると

800nm) を照射することで得られる. GaAs 陰

1
Exy =
4πη

Z 2π

Z α

µ
dϕ
dθ (ℏω−EBG ) sin3 θm
0
01
cos3 α − cos α + 23µ= (ℏω − EBG ) 3,m
1 − cos α(115)

極からのスピン偏極電子発生には, 角運動量保存が大きな役割を果たしている.

mj=-1/2+1/2となる. x あるいは y の平均はこの半分となる
ので, 一自由度あたりの横方向エミッタンスは3
1s
R 2Ex,y
ε=
2
mc2
s
1
2
3
R
µ
3 cos α − cos α + 3
=
(ℏω
−
E
)
,
BG
2 m2 c2
1 − cos α(116)

mj=-3/2
図 10

Eg=1.43eV

3

-1/2

1
+1/2

3/2

通常のバルク状態の GaAs のバンド構

造と伝導帯への光子による励起の様子.

mj=-1/2+1/2

50% を越える偏極度は GaAs 結晶の対称性を破り, J = 23 状態の縮退を解くことによって得られる. SLAC[8] と名古屋大学 [9][10] に

3

Eg=1.43eV3よって歪み薄膜と超格子薄膜という二つの方法
が縮退を解くための方法として開発された. 縮1

退が解けた状態の GaAs 結晶のバンド構造が図1

mj=-3/2

3/2-1/2∆E=.05eV+1/2

図 11 歪み超格子などにより縮退が解けた

GaAs 結晶のバンド構造と伝導帯への光子による励起の様子. 価電子帯の m = ±1/2 の状
態のエネルギーが 0.05 eV ほど引き下げられる. ±3/2 のみからの価電子帯への遷移がおこる波長で光電効果を起こすことにより, 50%を超える偏極度が実現される.

11(b) に示されている. 縮退が解けたことにより J = 32 の m = ± 23 と m = ± 21 との間にエネ
ルギーギャップが生じ, 光子のエネルギーをあわせこむことにより m = ± 12 状態からの遷移を抑制できることがわかる. 原理的には 100%の偏極度が可能であり, 現実のビームにおいても 90% 前後の偏極度が得られている [9].

図 10 の GaAs 結晶のエネルギー準位を角運動量について示す. GaAs 結晶の価電子帯は角運動量 3/2 を持つ. 一方, 伝導帯は角運動量 1/2をもつ. 円偏光した光子は角運動量 ±1 を持つため, これらの準位間の可能な遷移は図に矢印で示された遷移のみである. 青線が右巻き光子,
赤線が左巻き光子である.
これらの遷移間の行列要素は Clebsh-Gordon
係数として求めることができる. その値は m =± 23 からの遷移は√

3/2, m = ±1/2 からの遷移は 1/2 となる. フェルミの黄金率より, 行列要

図 12 歪み補償型 GaAs/GaAsP 歪み超格子

GaAs カソード結晶の構造. GaP 基盤の上に
AlGaAsP のバッファー層をはさみ GaAs と
GaAsP が層状に形成されている.

素の二乗が遷移確率を与えるから, それらの遷移が起こる確率は• m = ±3/2 → ±1/2 : 3/2.
• m = ±1/2 → ∓1/2 : 1/2

そ の 後, 歪 み 補 償 型 超 格 子 [11], DBR 型

GaAs 超格子 [12] が開発された. 歪み超格子は図 12 に示されているように格子定数の少し異なる GaAs と GaAsP という 2 つの結晶を積となる. 例えば +1 の光子による遷移なら m =層形成した一次元結晶である.

−1/2 の電子が m = +1/2 の電子の三倍多く得なるため界面には強いストレスがかかり, 準位られる. この場合, ビームの偏極度は 50% となの縮退が解かれる. 量子効率は光子の吸収確率

る.

に比例するため, 高い量子効率とするためには

図 10 の矢印に振られた数字は相対的な遷移確率を表している.

格子定数が異層の数を増やすのが有効であるが, 歪み超格子

で層を増やすと歪みが積算され, 結晶品質が劣

重層がつくりだすものである. 光電陰極物質化するという問題があった. 金 [11] は歪みの方の表面状態は, 物質中の伝導帯の準位と真空の向を制御する技術を確立し, 歪みがかかる方向

準位との大小関係により正および負の電子親を互い違いにすることで, 界面に局所的にかか和度に大別される. 負の電子親和度 (Negative

るストレスは維持しつつ, 歪みの積算が起きな

Electron Aﬃnity, NEA) は, 伝導帯の最低準位

い歪み補償型超格子構造を作成した. 図 13 に歪が真空の準位よりもエネルギーが高い状態でみ補償型超格子カソードの偏極度と量子効率のある. それに対して正の電子親和度 (Positive

波長依存性を示す. 量子効率 1.5%, 偏極度 90%

Electron Aﬃnity, PEA) は伝導帯の最低準位よを実現している. また GaAs カソードに DBR

り真空準位のほうがエネルギーが高い状態のこ(Distributed Bragg Reﬂector) という光を多重とである.

反射させ, 実効的に光子の吸収確率を高める技
術により 6% という高い量子効率 [12] を実現している. 偏極度は 80% である.

Conduction band
electron

Vacuumthermalization
emission

0.13eV
1.43eV

Negative
electron affinity
surfacehole
Laser
Valence band

図 13 歪み補償超格子カソードの偏極度 (左縦軸, 赤丸) と量子効率 (右縦軸, 青四角) の波

図 14 NEA GaAs 表面における光電効果による電子の励起と真空への放出の様子.

長依存性. 780nm にて 90% の偏極度, 1.5%の量子効率が実現されている.

図 14 は NEA GaAs 陰極の電子準位と光電効果による電子放出の様子を表している. レー

GaAs 陰極の表面は NEA(Negative Electron

ザーにより伝導帯に励起された電子は熱的にエAﬃnity) という特殊な表面構造を形成しておネルギーを失いながら伝導帯のを伝搬していく.

り, 伝導帯よりも真空の準位が低くなっている

NEA 表面では伝導帯が真空よりも準位が高いのである. そのため伝導帯に励起された電子

ので, これらの電子でも真空中へと放出され, 比の多くが真空中へとでてくることができるので

較的高い量子効率が得られる. スピン偏極電子

ある. この NEA 表面という性質は GaAs がもの場合, エネルギー選択を利用しているため, 電ともと有しているものではなく, バルク GaAs

子はすべて伝導帯の底を這うようにして真空中結晶に Cs と酸素を吸着させたある種の電気二に放出される. 従って, スピン偏極電子ビームの生成には NEA 表面は本質的に重要である. ま動いているが, 次々と電子は陰極から発生してた, このように放出される電子は余分な運動量いるために, ある部分には常に同量の電子が空をほとんど持たないため極小エミッタンスビー

間内に存在しているとみなせる場合について考ムが得られる.

えよう. 空間電位 V と空間電荷密度 ρ をと

3.4

空間電荷制限流

り, これらが z のみの関数であるとする. z 軸

電子銃では陰極から電子が放出され, かけられている電場によりビームとして取り出される.

は陰極と陽極の法線方向にとり, 陰極を z = 0,

V (0) = 0 とする. ポワソンの方程式はその様子を図 15 に示す. (a) 空間電荷の存在しρ(z)d2 V (z)
.
=−
2
dz
ϵ0

ない場合陽極から出た電気力線は全て陰極へと到達し, 電場は至るところで一定である. (b) 電(118)

電流は電子の速度 v を用いて子が増えてくると, 電気力線の一部は電荷で終端され, 陰極へと到達せず陰極近傍の電場は低

J = −ρv,

下する. (c) さらに電子を増やしていくと, やがと表される. いま, 電流が一定の準静的状態を仮てすべての電気力線は電子で吸収され, 陰極に定しているため, 電流 J は一定である. 陰極か到達するものは無くなってしまう. 電気力線のら出た電子は初速度を有していないとして, エ密度が電場を与えるから, 陰極近傍の電場は消ネルギー保存により失しており, これ以上電子ビームを引き出すこ(119)とはできなくなる. このような状態を空間電荷1
mv 2 = eV,
2

制限, その時の電流の状態を空間電荷制限流とである. 式 (118) , (119) , そして (120) から v

いう.

と ρ を消去するとCathode

Anode

-

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

(a) no space charge

図 15

CathodeAnode-(b) space charge

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

Cathode

Anode

-

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

(c) space charge limited

空間電荷による電場の低減の様子. (a)

d2 V
J
=
2
dz
ϵ0

r

(120)

m −1
V 2,
2e

(121)

を得る. 両辺に 2(dV/dz) をかけるとdV d2 V
2J
=
2
2
dz dz
ϵ0

r

m − 1 dV
V 2
.
2e
dz

(122)

空間電荷の存在しない場合陽極から出た電気d
左辺は dz(dV /dz · dV /dz) に等しいため, 式

力線は全て陰極へと到達し, 電場は至るところ(122) を両辺 z で積分すると,で一定である. (b) 空間電荷が存在すると, 電
気力線の一部は電荷で終端され, 陰極へと到達
せず陰極近傍の電場は低下する. (c) 空間電荷
制限電流では全ての電気力線は空間電荷で終端し, 陰極へ到達せず, 陰極表面での電場は消
失する.



dV
dz

2

4J
=
ϵ0

r

m 1
V 2 + C1 ,
2e

(123)

となる. C1 は積分定数であるが, z = 0, V = 0
で dV /dz = 0, すなわち陰極表面で電場はゼロと仮定すると C1 = 0 となるため, 以降これを無3.4.1

長いバンチの場合視する. 式 (123) の二乗根をとり, 変形すると

s

まず, 電子ビームのバンチが, 電子銃の構造に比べて長い場合, すなわち個々の電子は常に

V

− 14

dV
=
dz

4J
ϵ0

r

m
,
2e

(124)

を得る. 両辺を再び z について積分すると

s
4 3
V4 =
3

4J
ϵ0

r

発生しており, 引き出し電場 Ebias がかけらているとする. 簡単のため電子の電荷をここでは

m
z,
2e

(125)

正としよう. バンチの面積を S, 電荷量を Q とする. パンケーキの厚みは重要な指標ではないとなる. ここで陰極表面で V = 0 とした. 式が, 充分に小さいとしておく. カソード表面で(125) を J について解くと, 空間電荷制限電流の電場 E は, ガウスの法則よりが次のように求められる.

4ϵ
J=
9

r

E = Ebias −

3
2

2e V
.
m z2

(126)

両極間の距離 d, 陽極の電位 VA を式 (126) に

Q
ε0 S

(130)

となる. E = 0 となるのが制限状態であるから,この時の電荷密度 σsc は代入すると, その電子銃における空間電荷制限

σsc = ε0 Ebias(131)

流の値が得られる.

J = 2.33 × 10−6となる. すなわち発生できる電荷密度の上限が

3
2

VA(A/m2 ).
2
d

(127)

この式を二分の三乗則 (three-halves law) あるいはチャイルド・ラングミュアの法則 (Child-

Q, S

Langmuir law) という.
二分の三乗則における比例係数

P =

J
3
2

(A · V −3/2 ),

(128)

VA

Ebias

をパービアンスとよび, 電子銃の性質を表す量として用いる. パービアンスの高い電子銃は低い極間電圧で大きなビーム電流を得ることができる.
陰極面積を S とおくと, 平行ビームのパービ
アンスは式 (127) を変形しS
P = 2.33 × 10−6 2 (A · V −3/2 ),d

ソードで発生している様子.

(129)のように表される. つまりパービアンスは陰極面積に比例し, かつ陰極・陽極間隔の二乗に反
比例する.

3.4.2

図 16 パンケーキ状の短い電子バンチがカ

短いいバンチの場合存在し, その値は電場に比例する.

3.4.3

光電圧効果

空間電荷効果とは別に, NEA GaAs 陰極の開発過程において, 表面電荷制限という別の抑制現象が観測された. この現象は陰極からの電流

次に電子ビームのバンチが電子銃の構造に対密度を高くしてゆくと, 充分なパワーの光子をして短い場合を考えよう. 図 16 のように, カ

照射しても放出電流が飽和してしまう, というソード表面に短い電子バンチがパンケーキ状にものであった. この現象は単独のバンチを出力する場合は問題とならないが, ILC のように短り消滅する. したがって再結合の確率を高める

いバンチ間隔で連続してマルチバンチ発生を行ことにより, その寿命を短くして制限を克服し,う場合などは, 二番目以降のバンチ出力の低下

飽和電流の向上がみこめる. そのため, 陰極表および飽和という問題を引き起こす.

面付近の GaAs には Zn を大量に添加し, 正孔密度を向上させることで, 表面電荷制限値を大幅に向上させることに成功している [13][14].

Conduction Band
Vacuum level
electron

3.5

光陰極 DC 電子銃

陰極に NEA GaAs (GaAs-GaAsP 歪み超格子) を使用するとして, 次に電子銃本体の構造を
NEA surface

決定しなければならない. ビーム引き出し方式
として DC 型と RF 型があるが, 現在のところ,

1.43eV
Recombination

NEA GaAs 陰極を RF 電子銃内で安定的に動作させた実績は存在しない. 唯一, ロシアにおいて NEA 陰極を RF 空洞内に装着し, ビー

hole
Laser
Valence Band

ム発生を試みた例が存在するが, 数発の RF パ
ルスを印加した段階でビーム放出が失われてしまった [15]. おそらく理由は真空の急激な悪化

図 17 表面電荷制限現象の概念図. バンドベであろうと思われる. RF 電子銃は RF 空洞をンディングによるギャップに捉えられた電子

構成しなければならないため, その設計の自由により実効的な真空準位は上昇し, 電子放出は度が小さく, 真空を改善するために真空のコン抑制される. 捉えられた電子は正孔と再結合

ダクタンスを大きくすることは困難である. ますることにより消滅する.

た, RF 空洞内では表面電場が高いために, 壁からのガス放出も大きい.

この現象は最終的に光電効果により伝導帯に現在の設計では引き出し電圧は 200kV, バン

励起された電子の一部が表面に捕獲され, ポテ

チ電荷は 4.8nC である. エミッタンスに対するンシャルを形成する光電圧効果 (Photovoltage

制限は殆どないので, カソード径を 1 cm, 陰極

eﬀect) が原因であることがあきらかとなった.

陽極間距離を 5 cm とすると, Child-Langmuir

ギャップに電子が捕獲されると真空準位が上昇

法則から決まるピーク電流はし, 電子が真空へとでて行きづらくなるのであるが, 電流密度が大きくなると, 電子の正孔と(2.0 × 105 )3/2
π0.0052 ∼ 6.6
0.052
(132)

の再結合よりも捕獲される電子の数が上回るよと, 6.6A となる. 4.8 nC のバンチ電荷を引き出うになり, 真空準位が徐々に上昇する. 真空準

すには, 730 ps という時間がかかる. 加速に用位が上昇すると電子はより捕獲されやすくなり,いる 1.3 GHz の周期は 770 ps であるから, お

やがて電流密度が飽和するまで低下してしまう.

よそ RF の周期に等しい時間であり, このまま

表面電荷制限をひきおこす捕獲された電子はでは RF 加速を行うことは困難である. より低正孔との再結合によりある寿命で, 再結合によ

週波の空洞をサブハーモニックバンチャーとしる. 捕獲された電子は正孔と再結合して消滅す

I = 2.33 × 10−6

て利用してバンチの長さを縮小する必要がある.

ことになる. 粒子の位置は位相空間で表す. 位相空間とは位置と運動量で構成される空間のこ

4 バンチングとで, 例えば (x, px ) の組のことである. 加速器

光陰極からの発生した電子バンチはおよそ

では運動量 px のかわりに

730 ps 程度と長い. このバンチを高周波加速器

x′ ≡で加速するには, この長さを高周波の周期にくらべて充分に小さくする必要がある. この操作
をバンチングという. 以下、線形ビーム光学のについて簡単に説明し, バンチングについて説
明する.

4.1

px
γβmc

(134)

という値を用いる. γ はローレンツのガンマ因子で, β はローレンツのベータ因子, m は粒子の質量, c は真空中の光速で, 特殊相対論の因子たちである. しかしここで尻込みする必要はまっ

線形ビーム力学と行列加速器ではビームの輸送を行列で表す. 行列

たくない.

この値は書き換えると

x′ =は線形演算を表す方法であるから, 行列による表現はビーム力学を線形に扱うことと同値であ

px
px
∼
γβmc
pz

(135)

る. 他の物理現象と同様に, 本質的にはビームと, 進行方向の運動量と横方向運動量の比であ

力学も非線形であるが, ほとんどの場合は線形

る. なんのことはない, 単なる進行方向に対すであると近似できる. 線形であると物事はとてる傾きを表しているだけである. (x, x′ ) は, 粒も単純になり, 理解しやすくなる. 例えば, 体重子のいる場所と, 基準の方向からどれくらい傾の重い人は食べる量も多そうだが, 「一日の摂取いた方向を向いているか, を表している.

カロリーは体重に比例する」という法則が成りの運動が線形力学に従う場合は, 次のように行立っていれば, 日本の全国民が年あたり摂取す

列であらわされる.

るカロリー GDC(Gross Domestic Calories) は

GDC = kP W × 365.25(133)と簡単に求まる. k は比例定数, P は人口, Wは平均体重, 365.25 は一年の日数である. これが「一日の摂取カロリーは体重の二乗根に比例

 

x2
a11
=
′
x2 s
a21
2

a12
a22



x1
x′1

粒子


(136)
s1

加速器が複数のセクションで成り立っている場
合, 全体の輸送行列は個々のセクションの行列の積となる.

M=する」となるとこうはいかない. 線形モデルで

Y

Mi

(137)

は, 体重 200kg の相撲が 10 人と, 体重 20kg の

これにより, 加速器全体の見通しがよくなり, ま

小学生 100 人では全く同じ値となるが, 非線形

たその振る舞いも格段に理解しやすくなる.

モデルでは異なる値となってしまうからだ.
日本の食料事情にとって GDC は重要指標だが, 加速器にとってはどうでもいい. しかし線形力学はとても重要, かつ便利である. ある地点

s1 で位相空間の任意の場所に居た粒子が, 別のバンチングで扱う位相空間は縦方向に相当するもので, 次のように定義される.



z
δ




=

s − s̄
E−Ē
Ē


,

(138)

地点 s2 に移動したときどこに移動したのかが

ここで s̄ と Ē は基準粒子の s 方向の位置とエ

わかれば, 加速器の中の粒子の運動を理解した

ネルギーである. 以上のように定義された空間

における粒子の輸送は, 横方向位相空間と同様

子に対して



に線形近似のもとで∆zvel = tc
r2 = M r1 ,(139)と行列で表示できる. ここで ri は二次元ベク
トル, M は 2 × 2 行列である. この行列はビー

∂β
δγ
∂γ


=

L
γ2β2

δ,

(141)

だけずれが生じる. ここで粒子の運動を基準粒子とともに移動する座標系でみる. すなわち基準粒子を z = 0 として, バンチ内での進行方向

ム輸送行列とよばれ, 設計により決まるものでの相対位置を z であらわすことにする. , s = s1

ある.

において基準粒子に対して z = z1 にあった粒4.2

子が δ の変調を受けたとすると, s = s2 (= L)

輸送行列によるバンチングの表現

バンチングをおこなうためには, バンチの長では

手方向位置 (z) に依存したエネルギー変調をかけ, ビーム内に相対運動を生じさせる必要がある.

速度 β が光速に比べて充分小さい領域では, 速度 β はエネルギー変調により変化する
ので, ビームにエネルギー変調をかけることで相対運動を生じさせることができる. これを速度バンチング (velocity bunching, あるいは

ballistic bunching) という. それにたいして, βが光速に近い領域では速度変調が生じないので,
速度バンチングを用いることはできない. それに代る方法として, magnetic bunching があ

子は速度が大きいので, 同じ時間内により遠くまで移動し, バンチ内での相対位置でみると前方に移動することを表している.
速度差以外にも粒子の進行方向位置を変化させるものが dispersion である. 単純な周回軌道の場合, エネルギーの大きい粒子は軌道半径が大きく, 大回りをすることで長い距離を走ることになる. それだけ粒子は遅れることになる.
この距離はZ∆z = −

dispersion(粒子のエネルギーにより生じる行路に相対運動を生じさせる. 以上のように粒子のエネルギーにより異なる方法が用いられる. こ
こでは進行方向のビーム輸送の一般論を論じた

η
dsδ,
ρ

と表される. ここで η が dispersion で,

(143)
ρは

軌道半径である. disperson は相対的な運動量のずれによる軌道のずれを表す係数で

η ≡=後, バンチングについて論ずる.

s1 から s2 までのビーム輸送を考える. この時, 基準粒子 (β, γ) がたどる道のりを L とする.

(142)に移動する. すなわち, エネルギーの大きい粒る. この方法ではエネルギー変調をかけた後,差) を有する経路を通過させることで, ビーム内

L
δ,
β2γ2

z2 = z1 +

x
,
∆p

(144)

と定義される. 以上ふたつの効果をまとめると,エネルギ−変調 δ により生じる粒子の進行方向

必要な時間 t は

の移動量は

t=

L
,
βc

(140)



Z
1
η
∆z = L 2 2 −
ds δ,
β γ
ρ

(145)

である. 基準粒子からエネルギーが δ ≡ ∆γ/γ

右辺第一項が速度変調による寄与で, 第二項がだけずれた粒子では, この時間 t の間に基準粒

dispersion による寄与である.

これを行列で表すと



z2
δ2





1
0

=

L
β2 γ2 −

R η

ρ ds



1


z1
δ1
(146)

となる. ここで R56 = L/(β 2 γ 2 ) −R(η/ρ)ds,

R65 = −eV0 ω/(Ēβc) である. この時, 初期状
態として (z1 , δ1 ) 分布に相関が無いと仮定すると, 輸送後の z2 の値を最小化する条件はとなる. この表記から, エネルギーの基準粒子からのズレによって, 粒子の位置が変化するのがよくわかる.

1 + R56 R65 = 0,(152)である. 今 η = 0 として純粋な速度バンチング

順序が逆になったが, 振幅が次のように表さを仮定する. 式 (150)(152) を代入すると,

れる RF 加速空洞を考えよう.

V = V0 sin ωt,

(147)

1−

L eV0 ω= 0,2
β γ 2 Eβc

(153)

ここで加速空洞の長さは無限小として近似しを得る. これがバンチングのための条件となる.

ている. また, 基準粒子が t = 0 で空洞を通過

ILC の電子入射器においては, 電子銃からのするものとしよう. すると, 基準粒子に対してバンチ長が 730 ps 程度となるから, バンチングz = z1 にある粒子は t = −z1 /(βc) に空洞を通が必要となる. TDR[1] の設計においては, 325

過するのでMHz のサブハーモニックバンチャー二台を利ωz∆E = eV0 sin −
,
βc

(148)

用し 200ps 程度まで圧縮し, さらに β ∼ 0.75 のというエネルギー変調をうける. 位相が小さいで圧縮をおこなう. さらに下流に β = 1 の 8.5としてテイラー展開して一次のみとると

MV/m という加速勾配を持つ常伝導 L-band 進∆E = −

eV0 ω
z,
βc

(149)

進行波型 L-band バンチャーにより 20ps 程度ま行波型加速管を二台配置し, その出口でエネル
ギーは 76 MeV となる. このエネルギーのローとなる. δ = ∆E/Ē なので, これを行列で表

レンツガンマはおよそ 150 となり, クーロン発

すと散力は静止時に比べて 50 万分の１程度となる



z2
δ2




=

1
0ω
− eV
Ēβc

0
1



z1
δ1



ので, 再びクーロン力によりバンチ長が伸びて

(150)

となる.

5 ブースター

Velocity bunching においては, 加速空洞により z に依存したエネルギー変調をかけ, そのビームをドリフトさせることによりバンチ圧縮をおこなう. これを行列で表すと, エネルギー変調を表す行列 (150) と (146) をかければいい
から



z2
δ2

しまう心配もない.




=

=

1
0

R56
1



1 + R56 R65
R65



0
z1
1
δ1


R56
z1
(151)
,
1
δ1

1
R65

ブースターは入射部で作られた電子バンチ
を 5GeV まで加速する. 用いられる加速器は基本的に主加速器と同じ 1.3GHz 超伝導加速器
で, 24 台のクライオモジュールからなる. エネルギーにして 1.7 GeV までのセクションは,一つのクライオモジュールに 8 台の超伝導加速器を収納し, ビームを収束させるためのひと
つの Quadrupole 磁石を設置する. 後半のセク
ションではクライオモジュール 2 台に一台のQuadrupole 磁石を設置している.

断熱減衰効

量子力学でもっとも重要な概念は観測である.

果によりエネルギーの二乗根でビームサイズが古典力学では粒子は決まった物理量を有してお減少していくから, エネルギーが低い場所ではり, 観測はただそれを正確に測ることであるが,収束を強くしている.

量子力学では観測とは状態＝粒子の射影演算である. 観測量は観測した結果として得られるも6 スピンの制御6.1のであり, 一般的には統計的に分布しており, 必

量子化軸の回転と減偏極

ずしも状態＝粒子が固有の値を持っているわけ

量子力学においては, スピンは粒子に固有のではない. 観測するとかならず決まった値が得

磁気モーメントである. 電子の場合, スピンのられる場合があり, これを固有状態という. +z

大きさは ℏ/2 であり, スピン量子化軸に対して,方向に偏極した電子の z 方向のスピンを観測す

全ての電子は +ℏ/2 あるいは −ℏ/2 どちらかのると必ず +ℏ/2 という値が得られるが, これは状態をとる. 多数の電子を考えた時, ある量子固有状態である. 試しに同じ電子の y 方向のス化軸に対して各々 +ℏ/2 あるいは −ℏ/2 の状態

ピンを観測すると, 観測するたびに +ℏ/2 あるにある電子数を N+ および N− とすると, 偏極

いは −ℏ/2 という値のスピンが同じ確率で得ら度P はれる. この電子は z のスピンの固有状態にあると 定 義 さ れ る.

N+ − N−P =,N+ + N−(154)

が, y のスピンの固有状態にはない.
古典的には個々の電子が歳差運動をおこなう

すなわち全ての電子が量子という理解でよいが, 量子力学的には量子化軸

化軸と平行なスピンを持つ状態を偏極度 1.0

が歳差運動を起こすと考えたほうがわかりやす(100%), 反平行な場合を -1.0 (-100%) とする.

い.

偏極に偏りがない状態, すなわち半数の電子ス通過させ, 量子化軸が y 方向を向いたとしよう.

ピンが平行, 残りの電子が反平行な場合, 偏極度

この時, 電子は y の固有状態にあるので、y 方はゼロとなる.

向のスピンを測定するとある決まった値が得ら

量子化軸はスピンを理解する上で重要な概念であるのでここで説明する. 量子化軸を z 軸に

例えば z の固有状態にある電子を磁場をれるが, z のスピンを測定しても ±ℏ/2 という２つの状態が等確率で現れる.

とったとする. 個々の電子はスピンが +z 方向

また減偏極という問題がある. 減偏極とは,か, −z 方向の値をとり, 中間の値をとることは偏極度が減少してしまう現象のことであり量子できない.

化軸のズレによってもおこるが, 歳差運動の周

一方で, スピンは磁気モーメントの一種であ期が γ に依存していることから, ビームのエネ

るから, 磁場中を運動すると歳差運動を起こす.

ルギーの広がりによって生じる. いったんこの

離散的な２つの値しかとれないスピンというような形で減偏極が起こってしまうと, エネル

物理量が, 歳差運動, すなわち連続的なすりこぎ

ギーをより分けて, エネルギーに依存したスピ運動をするとはどういうことか？ この問題には, アインシュタインをも悩ませた量子力学特有の概念が潜んでいる.

*4*4 アインシュタインは最後まで量子力学においても観測される値は粒子特有の値として事前に決まっており, 観測はそれを知るための操作に過ぎないと主張していた. アインシュタインのこのような主張は 1990
年台に行われた量子もつれの実験において否定されている.

ンの歳差運動を起こして, 合わせこむような操

ここで Ω はベクトルを偏極ベクトル (Polarization Vecotr)


Ze
Ω=−
GγB⊥ + (1 + G) B∥
mγ



γ
E×β
+ Gγ − 2, (161)γ −1cと定義して, その運動を考える. 偏極ベクトルである. すなわち粒子の進行方向を基準としてP の運動は Thomas-BMT equation により記

偏極ベクトルの運動は式 (160, 161) により記述述されることが知られている.

される. 容易にわかるように, 偏極ベクトルは作をしないと偏極度は回復しない.

減偏極を起こさないことである.
偏極度の値を持ち, 量子化軸の方向を向いたdP= Ω0 × P ,
dt

(155)

ここで Ω0 は電磁場により定義されるベクトル
であり,

磁場, あるいは進行方向に対する横電場成分により歳差運動を行う.

6.2

Spin Rotation in Solenoid Magnet

まず, 磁場が粒子の進行方向に対して平行なZeΩ0 = −(1 + Gγ) B⊥ + (1 + G) B∥
mγ



γ
E×β
+ Gγ +(156)
γ+1cである. G は異常磁気能率 (anomarous mag-

場合を考えよう. これは調度ソレノイド磁場内での運動に相当し, 式 (160) は次式のように
なる.

dPβ
Ze
=−
(1 + G) B∥ × Pβ .
dt
mγ

(162)

netic moment) で あ り, 磁 気 能 率 比 (gyro-

角運動量の変位方向は常に偏極ベクトルおよび

magnetic ratio)g によって次のように表される.

磁場ベクトルと垂直だから, それらの相対角度

G=

g−2
.
2

(157)

電子の場合の異常磁気能率は 0.00116 である.

θ は不変であり, 回転は磁場 B∥ のまわりに図18 のように生じる. B∥ と偏極ベクトルのなす角を θ とすると, 歳差運動の回転角 ϕ はZ

電磁場による加速が無い場合, 速度ベクトル βϕ≡の運動は次のように記述される.

dβ= Ωc × β,
dt

1 Pβ
dt =
Pβ dt

Z

1 Pβ 1ds,
Pβ dt βc
(163)

(158)

となる. あらわに書き下すと,

ここで Ωc は電磁場により次のように記述さZe
ϕ=−(1 + G) sin θ
mγβc

れる.

Ωc = −

Ze
γ2 E × β(B⊥ ) + 2.
mγ
γ −1 c(159)

ZB∥ ds,(164)となる. すなわち回転角の大きさは磁場の軌道に沿った積分値 (T m) および sin θ に比例する.

式 (155) は実験室系における偏極ベクトル P

これより, B∥ により偏極ベクトルを回転させるの運動を表している. また式 (158) は速度ベク

場合, 最も回転角が大きくなるのは磁場に対し

トル β の運動を表している. 両者の差をとるこて偏極ベクトルが直角になっている場合である.

とにより, β を基準とした偏極ベクトルの運動

偏極ベクトルが磁場に対して直角で, 磁場が一を表すことができる. これを Pβ と表示すると,定の場合, 偏極ベクトルの回転角度は

dPβ= Ω × Pβ ,
dt

(160)

ϕ=−

Ze
(1 + G)B∥ L
mγβc

(165)

となる.

x

B
z

B

図 19 二重極磁場中のスピン量子化軸の運動.
粒子は運動方向を変えながら, そのスピン量子yx

化軸は磁場周りに歳差運動を行う. 図では曲線となる軌道を直線として表し, 運動方向に対zする相対的なスピン量子化軸の回転を表して

図 18 Solenoid 磁場中のスピン量子化軸の運いる.

動. 磁場方向を中心として歳差運動を行う.

となる. 回転角が最大となるのはやはり偏極ベ

6.3 Spin Rotation in Bending Magnet
次に Bending magnet に相当する, 粒子の進行方向に対して垂直な磁場 B⊥ での偏極ベクトルの運動を考えよう. この場合, 偏極ベクトル

クトルと磁場が垂直な場合である. そのような場合で, かつ磁場が区間 L で一定の場合, 回転角は次のように表される.

とともに, 粒子の運動方向も変化する. 例えば,

ϕ=−

実験室系からみれば, 周回軌道を回転する粒子
は, 一周ごとにその進行方向を 2π 変化させるが, およそ等しい回転速度で偏極ベクトルも回転する. しかしその回転速度が少しずれており,
我々はそのずれがどの程度なのかに興味がある.
そこで粒子の運動方向を基準とした系からみた偏極ベクトルの運動を調べよう. そのためには式 (160, 161) において, B⊥ 以外の電磁場の成分をゼロと置く. すると次式を得る.

dPβZe= − GB⊥ × Pβ .
dtmZe
GB⊥ L,
mβc(168)

図 19 に二重極磁場中のスピン量子化軸の運動の様子を示す. 粒子は運動方向を変えながら, そのスピン量子化軸は磁場周りに歳差運動を行う.
図では曲線となる軌道を直線として表し, 運動方向に対する相対的なスピン量子化軸の回転を表している.

6.4

Wien ﬁlter

Wien ﬁlter は粒子の進行方向に対して互いに(166)直交する電場と磁場を設け, ローレンツ力がゼロとなる条件を利用して速度分析を行う機器でよく知られているように, 粒子の運動方向のある. ローレンツ力は回転とスピン量子化軸の回転に差が生じるのは
異常磁気能率 G の存在による. 逆に, この角度

F = q (E + βc × B)

(169)

を精密に測定してやれば以上磁気能率の値を知ることができる. 磁場と偏極ベクトルがなす角度を θ とすると, 式 (166) から偏極ベクトルの行方向を z として, Ex = −βcBy のとき, ロー
レンツ力はゼロとなる. すなわち

回転角度 ϕ はZe
G sin θϕ=−mβcである. 電場を x 方向, 磁場を y 方向, 粒子の進ZB⊥ ds,(167)

βc = −

Ex
By

(170)

を満たすようにすれば, 粒子は直進する. この時, スピン量子化軸は

このような量子化軸のランダム化が問題となるのは蓄積リングである. 蓄積リングの滞在時
間は 200ms 弱であり, 電子はカソードで生成さ

Ze
GγBy
mγ



γ
Ex × β, (171)+ Gγ − 2
γ −1c

れてから衝突点にいたるその人生の 99% 以上

により歳差運動を行う. Ex × β は By 方向を持っているから, 量子化軸がリング中で回転す向いているから歳差運動の回転軸は y 軸となる.

ると, かならずランダム化, すなわち減偏極が生すなわち軌道は変わらず, y 軸まわりの量子化

じる. 式 (168) で示されているように, 回転軸は軸の回転だけが生じる. Wien ﬁlter は磁場と電磁場方向, すなわち鉛直方向である. 式 (168) に場による打ち消しを用いるため, β が大きくな

は β が含まれているので, ビームが γ において

ると必要な電場が大きくなり実用上困難となる.

エネルギー広がり ∆γ を有している場合, 生じ

ILC 電子入射器における Spin manipula-

る偏極ベクトルの角度広がり（ばらけ具合）は,

Ω=−

6.5

をを Damping Ring 中で過ごす. 蓄積リングにおける量子化軸の運動を考えよう. 結論を先にいうと, ビームはエネルギー広がりをかならず

tion
これまでに見たように磁場や電場の中を運動すると, スピンの量子化軸はその方向を変えて

∆ϕ =

eG
nBL∆γ,
mγ 3 β 3 c(172)

いく. 発生時点では量子化軸は z 方向であるとなる. ここで n は周回数, BL は一周あたりが,きちんとした量子化軸への考慮をせずにの磁場の積分値である. このように偏極ベクト加速器を設計した場合, 衝突点に至った時に量ルの広がりは周回数にしたがって増加し, π に子化軸がどちら向きなのかは明らかではない.

なると, ほぼ等方的となり, 偏極度がゼロとなる

仮にそれが y 方向だったとすると, z 方向のスから, 偏極ベクトルは意味をなさなくなる.

ピンを測定すると完全な無偏極という結果を得

このような減偏極の効果を無くすには, 磁場る. 望む方向に量子化軸を制御する設計が必要に対して偏極ベクトルを平行にし, 歳差運動のとなる.

振幅をゼロにしてやればよい. 式 (167) に示さ

また, エントロピー的に偏極度が減少してしれているように, 偏極ベクトルの回転速度は磁まう現象も生じる. この原因となるのはビーム

場と偏極ベクトルのなす角の正弦 sin θ に依存のエネルギー広がりである. 偏極ベクトルの回するので, 平行ならば偏極ベクトルの回転速度

転角は式 (165) あるいは (168) で示されているはゼロとなり, 減偏極も生じない. そのため, 電ように磁場のみならず γ や β など個々の粒子の子蓄積リングへの入射時にはスピンはビーム周エネルギーや速度に依存する. すなわちビーム

回軌道に対して鉛直方向, すなわち偏向磁場とに含まれる粒子がエネルギー広がりをもってい平行な方向にしてやればよい.

ると, 偏極ベクトルの回転角度も広がりをもち,

また電子陽電子コライダーのような物理実験

最初は個々の粒子でそろっていた偏極方向がずにおいては, 衝突現象を生じさせるさい, 偏極度れてくる. この効果は量子化軸を粒子ごとにラおよび偏極方向が初期状態を決める重要なパラ

ンダム化してしまうので, その回復は原理的にメーターのひとつとなる. そのため, 衝突点には可能だが現実には不可能だ.

おいて任意の偏極状態を作れるように, 偏極ベクトルの方向をやはり操作してやる必要がある.
以上のように, 減偏極の抑制と物理実験上の必要性から, 偏極ベクトルの方向を操作してや
Gun

Bending

Solenoid

DRる必要が生じる. 偏極ベクトルの回転などの操作を意図したビーム輸送ラインをスピンロー
テーター (Spin rotator) という. Spin rotatorにはソレノイド磁場を用いたもの, 偏向磁場を用いたもの, また電場と磁場の組み合わせによ

図 20 電子銃から DR までのスピン輸送の模式図. 電子銃で z 方向の量子化軸を bend とsolenoid により y 方向に向けて, DR に入射する. DR 蓄積中の歳差運動の振幅はゼロとなる.

るもの（Wien Filter) などがある. 偏向磁場を用いた Spin rotator は偏極ベクトルとともに粒子軌道も変化させてしまうため実用上制限が大いが, Spin manipulation を理解するため, ここではソレノイド磁場と偏向磁場を仮定しよう.

らどうしたらいいだろうか. このような場合は,途中に反転するスピンローテーターをはさみ,bending による回転角を調整する. 他に Wien

原理的に三つのソレノイド磁場と偏向磁場によるスピンローテーターを用意することで, 任意の方向を向いた偏極ベクトルを, 任意の方向

B

S

B

S

に回転させることができる. 二つでも充分であDRるように見えるが, 最初の偏極ベクトルの方向

図 21 電子銃から DR までのスピン輸送の模が磁場と平行な場合, スピンローテーターのう式図. Bending による回転角が π/ からずれ

ちのひとつは偏極ベクトル回転にまったく使用ていた場合, 途中 solenoid rotator をはさみ,できないことになり, 実質的にひとつのスピン

回転角を調整する.

ローテーターしか使えないことになる. 初期状
態として任意の方向を仮定すると必要なスピン
ローテーターは三つとなるのである.

ﬁlter を用いる方法がある.
ILC の電子入射器においては, ブースターまスピンのランダム化を防ぐために, DR へはでは量子化軸は進行方向を向いている. 5GeV

スピン量子化軸を立てて y 方向（DR の軌道面の電子はベンディング磁石において軌道が 7.9◦の法線ベクトル）にしなくてならない. ビーム

曲がる時にその方向を 90◦ 回転させるため, 量の発生時点での量子化軸は z 方向なので, これ子化軸を ±x の方向に向けるには 7.9◦ の奇数

を y 方向に向ける必要がある. そのために最倍の角度曲げれば良い. 当初は 23.7◦ (n=3) と低限必要なのは図 20 のように Bending Spin

していたが, TDR[1] の設計は 7.9◦ (n=1) であ

rotator とソレノイド rotator である. Bending

る. 図 3 のブースター下流に示されたアーク部

spin rotator はスピンとともに軌道もつくっての角度は 7.9◦ となっており, ここで量子化軸はしまうので設計自由度が限られている.

進行方向から 90◦ 回転し, +x 方向を向く. その加速器の設計軌道により bend の配置は基本

後 solenoid スピンローテーターを用いて, 量子

的に決まっていしまう. この時, 量子化軸の回転化軸を z 軸方向に 90◦ 回転して, +y 方向に直角が π/2 であればいいが, そこからずれていた立させる. ソレノイドスピンローテーターの必
要な磁場積分は 26.2 T-m である.

δ

7 Energy Compressor Section

BC
ブースターで 5GeV まで加速された電子はDR へと入射される. DR ではおよそ 0.2 秒

EC間蓄積された後に主加速器に送られるが, DRに安定的に蓄積されるためには次の力学口径z（Dynamic Aperture, 安定的に蓄積される位相
区間領域）内に電子バンチが収まっている必要がある.[1]γAX + γAy < 0.07 [m.rad]

2 
2
z
δ
+
< 1 (173)
35 [mm]0.75 [%]

図 22 BC と ECS における位相空間におけるバンチの回転. BC では横長のバンチを縦長

ここで γ はローレンツ因子で Ax,y は x,y 位相に, EC では縦長のバンチを横長に回転する.

空間におけるアクションと呼ばれる原点からのいずれの場合も, 面積は変わらない.

距離に相当するエミッタンスに比例する量である. z および δ は進行方向位相区間を表し, 実空

ンチのまま RF 加速を行うと, RF の曲率由来

間で全幅で 70 mm 以内, 相対的なエネルギー全のエネルギー広がりが大きくなるためである.

幅で 1.5% 以内に入っている必要がある. ECS

図 23 は 電子銃 (E-Gun), Buncher(BC) およびはエネルギーを DR の力学口径に入るように圧縮するのが役目である.

E-Gun

BC

Booster

ECS は Energy Compressor System の略で,エネルギー幅を圧縮することができる. ECS は
ちょうど Bunch Compressor の逆過程である.
その様子を図 22 に示す. 縦軸は δ で相対的なエネルギー, 横軸は z である. BC の場合, 横長の分布を 90 度回転し, 縦長の分布へと変換している. EC はその逆で, 縦長の分布を横長に変換

図 23 電子銃 (E-Gun), Buncher(BC) およびブースター出口における縦方向位相空間分する. いずれの場合も, 分布を線形変換により

布のイメージ. 電子銃から出てきたバンチは回転しているだけであるから, 面積は変わらな

空間電荷制限により長いが, 一方エネルギー広い. EC の場合も, エネルギー分布は圧縮される

がりは小さい. そこで 90 度回転し BC によが, そのぶん長さは伸びるのである.
電子銃の下流の EC で 90 度回転して, 縦長にしておきながら, ブースターの出口でまた横りバンチ長を短くする. ブースター (Booster)
出口では, 加速により相対的にエネルギー広がりは圧縮されるが, RF の曲率に由来するエネ
ルギー広がりが新たに発生する.

長に戻すのは不思議に思うかもしれないが, その理由は途中にビーム加速が含まれているから

ブースター出口における縦方向位相空間分布のである. 電子銃下流で BC を行うのは, 長いバ

イメージを表している. 電子銃から出てきたバンチは空間電荷制限により長いが, 一方エネル

δ
R56

ギー広がりは小さい. そこで 90 度回転し BCによりバンチ長を短くする. この時のローレン
ツガンマを γ1 , エネルギー広がりを δ1 , バンチ
長を ∆z とする. ブースター出口でローレンツ

R65

ガンマは γ2 まで加速された時のエネルギー広z

がり δ2 はδ22 =

δ 1 γ1γ2

2

+ (γ2 − γ1 )2

ω 2 ∆z 2
4 c2 β 2

2
(174)

となる.

右辺の第一項目はバンチがもともと持っていたエネルギー広がりの成分で加速に

図 24 ECS での位相空間におけるバンチのよって大幅に抑制される. 第二項目は RF の曲

回転. 縦長のバンチをアークやシケインな率に由来するエネルギー広がりで二次まで展開した半分の値を広がりとしている.

第一項目はほとんど無視できるので

δ2 ∼ (γ2 − γ1 )どの R56 成分により傾け, つづいて RF 加速
空洞のゼロクロス位相を通過させ, バンチ位
置による加減速を行い横長分布に変換する.

R56 R65 = −1 の時に回転角は 90 度となる.

ω 2 ∆z 2
4 c2 β 2(175)
ILC の電子入射器 3 では, ブースターからとなり, δ2 は δ1 にほとんど依存せず, ∆z で決DR への輸送路を見るとアーク部で軌道を曲げ

まる. これが BC で ∆z を圧縮した理由でもられ, その下流にスピンローテーター, そしてある.

Energy Compressor のための RF 空洞が置かブースター入り口でのバンチ長は FWHM に◦れている. このうち, アーク部では dispersion

して, 1.3GHz の周波数の 9 に相当する [1]. こが発生するので, この部分で R56 成分が発生すの時, 粒子の 99% が含まれる 3σ の領域を考える. アーク部での R56 の値は −0.75 ± 0.40 m

るとエネルギー広がりは全幅で 2.1% となり,の範囲で調整可能となっている. また下流に設DR の力学口径の 1.5% を上回っている. また置された RF 空洞は 9 台の超伝導加速器からな

バンチ長さは 7.5mm であり, DR の要求値のり, 全長は 12.3m で加速電圧は 225 MV で, ゼ1/10 程度である. このバンチ長さにおける余裕

ロクロスにビームを乗せることで R65 成分に相を利用して, ECS でエネルギー幅を圧縮するこ

当するエネルギー変調が与えられる. R65 はとで, DR の力学口径にバンチ全体を収めることが可能だ.
エネルギー圧縮は BC の逆過程であるから,

ω eV
cβ E0

(176)

図 24 のようにまず R56 で表されるシケインやアークでエネルギーに依存した行路差をつけてと与えられるが, 225 MV のフルパワーで運転

やり, その後 R65 で表されるエネルギー変調をした場合には 1.22 1/m という値となる.

おこなう. 整合条件は R56 R65 = −1 である.

第 II 部

そしてニュートリノに崩壊する反応である. 放

陽電子入射器射性物質は陽子シンクロトロンからの陽子ビームを標的に衝突させるなどして人工的に生成す陽電子は電子の反粒子 (半物質) であり, 電荷以外はほとんどの性質が電子と同じである. 陽
電子は電子と違い不安定で有限の寿命であるという誤解があるが, 陽電子の寿命は無限大で, 安定な粒子である. 陽電子が不安定で寿命の短い粒子と思われれているのは, 電子と出会うと次の反応により消滅し, ２つのガンマ線になってしまうからである.

e+ + e− → 2γ

ることができる. 現在, 先進的な医療診断装置として普及が進んでいる PET(Positron Emission

Tomography) では, そのような方法で人工的に生成した β+ 崩壊を行う少量の物質を体内に送り込み, その物質が体内でどのように移動するかを観測することにより, 診断を行う. 体内でβ+ 崩壊が生じると, 発生した陽電子は電子と対消滅し, 特性ガンマ線を放射する. このガンマ線を観測することにより, 体内での物質の分(177)

布の密度をしることができる. この密度から例
えば癌細胞の存在などをしることができるのでこの反応では陽電子とともに電子も消滅しておある.

り, 陽電子と電子が同じ性質を持つペアである
ことがよくわかる. 電子と出会わなければ, 陽n電子は永遠に生き続ける.
陽電子入射器の機能は基本的に電子入射器と同じであり, 陽電子を生成し, バンチングなどpを行い, 加速し, DR に入射することである. 物W+

理法則はほぼ対称だが, この世界は物質（電子）e+と半物質（陽電子）についての対称性は大きく破れている. 電子は物質内にたくさんあるので,

ν

そこから取り出すだけでよいが, 半物質は天然には存在しないため, 陽電子は何らかの方法で生成する必要がある. この事実が陽電子入射器
を複雑なものにする. 以下, 陽電子生成の基礎
過程から陽電子入射器の基本コンセプト,

各

コンポーネントを説明していく.

8 陽電子の生成

図 25 ベータ＋崩壊のダイアグラム. 放射性原子核中で陽子が弱い相互作用を通じて陽電子とニュートリノを放出し, 中性子へと変化する.

しかしこの方法はバンチ化された陽電子ビー

陽電子は天然には存在しないので, 何らかのムを得るという目的には適してはいない. なぜ

方法で生成する必要がある. それには大きくわ

なら原子核崩壊は純粋に確率的反応であり, そけて二つの方法がある.

の反応を制御することは原理的に不可能であり,一つめは β+ 崩壊を利用するものである. β+

時間的に連続して陽電子が発生するからである.

崩壊は放射性原子核中で陽子が中性子, 陽電子,

また崩壊が進行するにつれてその強度は指数関数的に減少するため, ビーム密度を一定にたもつことが困難である.

図 27 は光子と物質との相互作用の断面積をエネルギーの関数として示したものである. 低

陽電子ビームを得るには二つめの方法は, 図いエネルギーでは光電効果 σp.e. やレイリー散26 で示されている高エネルギーガンマ線によ乱 σRayleigh が, 1MeV 付近ではコンプトン散乱

る対生成反応である. 電子と陽電子の静止質

σCompton が支配的である. 対生成反応 κnuc お量は 0.51MeV/c2 であるから, 対生成を生じ

よび κe は１ MeV 近辺から立ち上がり, 10MeVるためには少なくとも静止質量の二倍であるを超えると支配的となる. σg.d.r は原子核の巨

2

1.02MeV/c の質量相当のエネルギーが必要で大共鳴である. これより効率的に対生成反応をある. また, 運動量保存から原子核などなんらかおこすためには 10MeV 以上のエネルギーのガの外場との相互作用が必要となるため, なにもンマ線が必要となることがわかる.

無い真空中では対生成反応は生じない. 対生成反応を起こすには高エネルギーのガンマ線を物
質内に入射する必要がある. ヘリシティ保存から高エネルギーガンマ線が偏極（円偏光）していると, 発生した電子と陽電子も偏極するため,偏極した陽電子の生成も原理的に可能となる.

electrongamma

図 27 横軸に光子のエネルギー, 縦軸に物質との相互作用の断面積を表したもの. 低い
エネルギーでは光電効果 σp.e. やレイリー散
乱 σRayleigh が, 1MeV 付近ではコンプトン
散乱 σCompton が支配的である. 対生成反応Zκnuc および κe は１ MeV 近辺から立ち上がり, 10MeV を超えると支配的となる. σg.d.rは原子核の巨大共鳴である.[16]positron
8.1

ガンマ線の生成と陽電子生成方式

図 26 対生成反応のダイアグラム. 高エネル

さて, 高エネルギーのガンマ線の物質内でのギーのガンマ線は原子核などの外場との相互対生成により陽電子ビームが得られる, という作用を得て, 電子と陽電子を発生する. 外場との相互作用は四元運動量の保存から必要とことがわかった. しかし高エネルギーのガンマなる. 従って真空中では対生成反応は生じな線をつくるのは容易ではない. 高エネルギーのい. この反応ではヘリシティ保存から高エネガンマ線の生成方式により, 次のように陽電子

ルギーガンマ線が偏極（円偏光）していると,の生成方式として次の３つの方式が提案されて発生した電子と陽電子も偏極している.

いる.

8.2

電子ドライブ方式

加速された電子を物質に入射すると, 物質内の電磁場により制動を受ける. 荷電粒子が加減速されるとかならず輻射が発生するので, 物質による制動力でも輻射が発生する. この現象を制動輻射 (Bremsstrahlung) という. 発生したガンマ線は対生成反応を起こすので, 電子を物質に入射すると

e− +Ze+ → e− +Ze+ +γ → e− +Ze+ +e− +e+(178)

図 28 電磁シャワーのモデル. 制動輻射や対という一連の反応が生じる. 発生した電子およ生成などの反応のたびにエネルギーが等分さ

び陽電子は, エネルギーが高ければ再び制動放れると考える.

射を起こしてガンマ線を発生する. その他にもガンマ線が物質中の軌道電子をコンプトン散乱
により叩き出すなどの反応が生じる. 以上のよ
うに電子ビームを物質中に入射する, 様々な反応が連鎖的に生じ, 大量の電子, 陽電子, ガンマ線が発生する. このような一連の反応のことを電磁シャワーと呼ぶ.
電磁シャワーの生成について, 単純なモデルを仮定して考察しよう. あるエネルギーの電子が物質に入射し, 制動輻射や発生したガンマ線の対生成などの反応を起こすたびにエネルギーが等分されるとしよう. その様子を図 28 に示す. 反応をが起こるたびに電子やガンマ線のエ
ネルギーは半減していく. このときの各ステッ
プにおける粒子数を求めてみよう. 各ステップ
における荷電粒子とガンマ線の数を N ei , N γiと対生成は原理的におこならない. また荷電粒子の制動輻射がどこまで続くのかを知るには,
電子の物質内での反応を知る必要がある. 鉛を例にとり電子の物質内での反応をエネルギー損
失として表したのが図 29 である. この図から,
ある臨界エネルギー EC より高いエネルギー
では制動輻射が支配的であり, 低いエネルギーではイオン化 (Ionization) が支配的であることがわかる. これより, 荷電粒子のエネルギー

Ee < EC となるまで, この反応が続くことがわかる. このエネルギーは 10MeV 程度であるから, ガンマ線の対生成のしきい値よりも大きく, 電磁シャワーの発達は制動輻射の臨界エネ
ルギーで制限されることがわかる. 臨界エネル
ギーは実験的にとしよう. すると次の漸化式が成り立つ.

Ec =N ei+1 = N ei + 2N γi
N γi+1 = N ei + N γi

(179)

この漸化式を解くと式 (180) を得る. これよりn ステップ後の粒子の増倍率は 2n−1 ∼ 2n の範囲にあることがわかる.

800[M eV ]
Z + 1.2(181)

であることがしられている. 各ステップでエネ
ルギーは半減するから

En =

E0
2n

(182)

この反応はどこまでつづくのであろうか. γ

一方, 放射長 X0 はエネルギーが 1/e となる長線のエネルギーが低減し, 1.02 MeV を下回るさとして定義される. n ステップは長さとして



N en
N γn



1
= √
2 2

√

√
√
√
2(1 + √2)n + 2(1√− 2)n(1 + 2)n + (1 − 2)n

図 29 横軸に電子のエネルギーをとり, 鉛中における各反応による放射長あたりの規格化されたエネルギー損失を表したもの. 高いエ√ n√ n 

2(1
+
2)
−
2(1
−
2)
N
e
0
√
√
√
√
(180)
N γ0
2(1 + 2)n + 2(1 − 2)n

図 30

横軸に標的厚さを放射長であらわした

陽電子生成数. 異なる入射エネルギーの曲線を描いている. KEK 紙谷氏より提供.

ネルギーでは制動輻射 (Bremsstrahlung) が支配的であるが, 臨界エネルギーを境としてイり, 縦軸に入射電子数あたり生成される陽電子

オン化 (ionization) が支配的となる.

数を表したものである. 異なる電子ビームエネ
ルギーのデータを比較するために, 各々の値はは n ln 2X0 となる. エネルギーが EC となるまでシャワーが発達するとそのステップ数 nmax
は
nmax = ln

E0
EC



xmax = X0 ln

E0EC

ある. エネルギー 6 GeV において nmax はおよ
そ 5X0 , 2GeV では 4X0 , そして 1 GeV におい/ ln 2.

(183)て 3X0 付近となっている. nmax の入射エネル
ギー依存性がゆるやかなものであることがわか

またその時の長さ xmax は電子ビームのエネルギー (GeV) で規格化してる. またある決まったエネルギーにおいて, 陽/ ln 2.

(184)

となる.

電子の収量の放射長依存性も緩やかなものである. 一方, 入射エネルギーによる電子あたりの陽電子の収量はエネルギーにより大きく変化しビームが物質に入射してから xmax までは陽ている. その依存性はほぼ線型であることが知

電子数は増えていくが, これ以降はイオン化がられている [17]. 図 30 で規格化された陽電子数

支配的となるので, 陽電子数は増えず, さらに生が低エネルギーほど大きいのは, 放射長が短い成された陽電子のエネルギーはイオン化によりほうが散乱の回数が小さいため位相空間分布が減少し, 停止すると対消滅してしまう. 得られ狭くなり陽電子が補足されやすいからである.

る陽電子の数を最大にするには, 標的物質の長さを xmax にするのが最適である.
図 30 は横軸に放射長を単位とした長さをと標的としては原子番号が大きく, 密度が高く,かつ融点の高い物質としてタングステンがよく用いられる. タングステンは原子番号 74 の常温で固体の金属で, 密度 19.3g/cm3 , 放射長はら, トーラス状の電気双極子放射は, 電子の運動6.76g/cm2 , 融点は 3695K であるので, 一放射方向, すなわち加速軸に対して垂直方向に大き長は 0.35cm となる. したがって数 GeV のドラ

くブーストされることになる. 実験室系におい

イブ電子ビームを, 例えば 4X0 ∼ 1.4cm 厚のタてこの放射を観測すると, その放射強度はングステン標的に入射することで効率的に陽電子を生成することができる. 実際の陽電子生成
は陽電子捕獲にもよるが, ドライブ電子ビーム

3 GeV において 4 放射長のタングステン標的を用い, 陽電子捕獲に AMD を採用したばあい,
入射電子あたり 1.2 の陽電子が得られる [18].

8.3

アンジュレーター方式

Undulator 方式の基本構成は図 31 に示されているように, 高エネルギーの電子ビームを通過させガンマ線を生成するためのアンジュレー
ター, ガンマ線を対生成過程を通じて陽電子に変換する生成標的, 発生した陽電子を加速許容領域に捕獲するための陽電子捕獲セクションか
らなる.

sinθ′
,
γ(cos θ′ − β)(185)となる. θ は実験室系において, ブースト軸からの角度である. この式で, θ ′ = π/2 とおいてみると, tan θ ∼ θ ∼ 1/γ となる. すなわち実験室
系でみると, 放射場のほとんどはブースト軸から 1/γ 程度の角度広がりの中にはいっていることになる. これから, 高エネルギーで移動する
電子が磁場により加速される場合に放射される双極子場は電子の移動方向に極めて集中した指向性のよい放射場となることがわかる. この放射現象をシンクロトロン放射という.
シンクロトロン放射は当初は電子シンクロト
ロンの副産物として偏向磁場において観測されElectronbeam
NSNSNSNSNSNS

SNSNSNSNSNSN

tanθ =Gamma
Beam

Conversion
TargetTo Positron
Linac

たが, その後この現象を光源として積極的に利用する立場から周期磁場によるデバイスが開発され使用されている. 周期磁場としてCaptureSystem

図 31 Undulator 方式の概念図. 高エネル
ギー電子ビームがアンジュレーターを通過す
By (s) = −B0 sin

2πs
λu


,

(186)

ることでシンクロトロン放射によりガンマ線を仮定する. B0 は最大磁場, s は長手方向の座が発生する. そのガンマ線が生成標的中で対生標, λu は磁場の周期長, そして y 成分以外の磁成により陽電子, 電子対に変換され, 陽電子捕場はゼロとする. すると電子のジグザグ運動は獲セクションによりビームとして形成される.

電子などの荷電粒子が加速運動を行うと必ず双極電磁場が放射される. 電子の静止系からみると, 加速ベクトルで定義される平面からの角度を θ ′ とすれば, その強度分布は cos2 θ ′ と

x 方向のみに生じ, その角度変化は [19]Kcosẋ(s) =
γ



2πs
λu


,

(187)

K = 93.4B0 [T ]λu [cm].

(188)となる. K は強度パラメーターでトーラス状になる. これを磁場中を運動する電シンクロトロン放射は電子の進行方向, すなわ

子に当てはめてみると, 磁場中での運動においち式 187 で示される方向に 1/γ の広がりで放ては, 常に運動方向と加速方向は垂直であるか射されるから, 得られる光の特性は K によっ

て大きく異る. なぜなら式 187 から角度広がり

波面のずれの長さを波長で量子化した値, θ はが K/γ であるから, K < 1 であれば異なる位放射光が観測される角度である. これより, ア相から放射された光の干渉が観測される. それンジュレーターから得られるガンマ線のエネルにたいして K >> 1 の場合, 異なる位相から

ギー Eph [eV ] は次のように表される.

出て来た光は重ならないので, 各々の位相で放射された光がその放射角度に応じて観測される.

nE 2 [GeV ],Eph [eV ] = 950
λu [cm](1 + 21 K + θ2 γ 2 )(190)

K >> 1 の場合をウイグラー磁場, K ≤ 1 をアンジュレーター磁場と呼ぶ.
β

ここで E は電子エネルギー (GeV), λu はアンα

ジュレーターの周期長を cm で表したもの, B0
は最高磁場 [T] である.

λu/βs

アンジュレーターによりガンマ線を生成し,そこから陽電子を得るためには, ガンマ線のエ

θ
A

λu

ネルギーが対生成のしきい値は勿論のこと, 物

B

質中での断面積において対生成が支配的となる

electron
S

エネルギーである必要がある. 10MeV を下回るエネルギーにおいてはコンプトン散乱が支配的であるから, ガンマ線のエネルギーは 10MeV

図 32 アンジュレータ-内の電子軌道と放射.

あるいはそれ以上でなければならない. 電子

電子は三角関数の軌道を通るので, となりの同

ビームのエネルギーを 150GeV, 磁場の特性パ

位相の地点（A と B）から各々放射された光

ラメーター K = 1, 最高磁場 B0 = 1.0T, 周の波面は一致しない. B に電子が到達しそこ期長を λu = 1.0cm とすると, 得られるガンマで光が放射される時点で, A で放射された光の波面はすでに α まで到達している.

MeV となる. すなわちアンジュレーターからアンジュレーター内で電子はジグザグ運動を行うので, その s 方向の移動速度は相対論的な電子であっても光速よりも遅くなる. その様子
が図 32 に示されている. 磁場の周期長だけ異なる地点からの放射場の波面はこの効果によりずれることになるが, このずれの大きさが波長の整数倍になっていれば, 干渉によりその波長の放射は強められる. したがってアンジュレー
ターからの光の波長は以下の条件を満す [19].
2

λ=

λu
K
(1 +
+ θ2 γ 2 ),22nγ2線のエネルギーは一次調和周波数でおよそ 10(189)

ここで λ は放射光の波長, n は調和数であり,のガンマ線で陽電子を生成するにはドライバー
電子ビームのエネルギーは 150GeV 以上である
必要がある.
今までの実現された電子ビームの最高エネ
ルギーは CERN-LEP のおよそ 100 GeV である. またリニアックによる最高エネルギーはSLAC-SLC のおよそ 50 GeV である. つまりいままで陽電子生成に必要な高エネルギー電子
ドライバービームが存在しなかったのが, アン
ジュレーター方式により陽電子生成が行われなかった理由である.
電子ビーム駆動方式の入射電子ビームのエネ
ルギーは数 GeV であるから, アンジュレーター

方式でドライブビームとなるガンマ線のエネル

ことができたならば, 偏極陽電子ビームの生成

ギーは三桁近く低い. この事は生成標的内におが可能となる.

ける物質との反応において著しい違いを生ずる.

またシャワーの成長がなく, 反応に寄与しな

電子ビーム駆動方式においては, 入射電子は電かったガンマ線はそのまま通過してしまうため,

磁シャワーを成長させ, 入射電子数で規格化し電子ビーム駆動方式とくらべて陽電子生成数あた陽電子生成数はおよそ 0.1 - 1.0 のオーダーでたりの標的での熱の発生量が大幅に低下するとある. 一方, 10MeV 程度のガンマ線の入射ではいうメリットもある. 一方で, ほとんどのガン

対生成により発生した電子と陽電子はせいぜい

マ線は使われずに通過してしまうため, 放射線数 MeV 程度のエネルギーしかもたないので, 制防護などの安全管理の面から下流に専用の光子

動放射によるガンマ線は発生せず電磁シャワー

ダンプを設置する必要がある. この光子ダンプ

はほとんど成長しない.

1 放射長程度の標的というのが実はかなりやっかいなものであるこを用いると発生した電子や陽電子がイオン化なとは後述するが, その理由はガンマ線を制御す

どによりエネルギーを失い, 物質に捕獲されてるのが困難であることに起因する. ガンマ線にしまう確率が増える. 従って MeV レベルのガは光学素子が存在しないので, 曲げたり, 収束・ンマ線の入射によるアンジュレーター方式にお発散させることができない. ダンプでは適切ないては, 電子ビーム駆動方式よりもかなり薄い

材料にガンマ線を照射しそのエネルギーを吸収標的が用いられる.

して熱に変換するがパワーは数 10kW 程度と大

このことは「副産物」として, 対生成反応に寄きくは無いが, 高エネルギーの非常に絞られた

与するガンマ線は入射したもののうちほんの一

ガンマ線をダンプに照射すると, その負荷が小部であるという低生成効率と, 複雑なシャワー

さい領域に集中することとなり, 溶融・破壊・の成長という過程を経ないために陽電子が直放射線損傷などが容易におこる.

接に入射ガンマ線による対生成反応からできる

広がりは 1/γ に比例するが, 150GeV のドライという反応の単純さ, という二つの特性をもたブビームだと γ ∼ 3 × 105 となり角度広がりはらす.

3 × 10−6 と極めて小さい. 例えば電子ビームダ

ガンマ線の一つめの低生成効率のため, 入射するガンマ

ンプでは加圧水を容器に閉じ込め, そこに電子線は必要な陽電子に比べて二桁ほど多くする必ビームを打ち込むが電子ビームをスイープさせ要がある. そのためにはアンジュレーターを通ることで容器の窓への負荷を分散する. 当初は過する電子数を増やすか, アンジュレーターの

光子ダンプも同様の方式を検討していたが, パ

長さを伸ばし, 一つの電子から放射されるガンワーは桁違いに低いもののスイープできずに極マ線数を増やさなくてはならない.

小スポットに負荷が集中するために, 放射線損

二つめの特性は, 入射するガンマ線の特性により生成される陽電子を制御できることを表す.

傷のため窓材の寿命は２日程度となり,課題が指摘された.

例えばガンマ線が円偏光（ヘリシティ ±1）の状

以上, アンジュレータ-方式についてまとめる

態にあればヘリシティの保存により生成されると以下のようになろう. アンジュレータ-方式で電子と陽電子ともに偏極することになる. この

陽電子生成に必要な高エネルギーのガンマ線をため何らかの方法により偏極ガンマ線をつくる

生成するには強い磁場と短い周期長のアンジュレータ- に 150 GeV 以上という高エネルギーの図 33 にその基本構成が示されている. 電子

電子を使用する必要がある. また薄い標的を用ビームとレーザーのコンプトン散乱により高エいるためにガンマ線の陽電子への変換効率が低ネルギーのガンマ線が生成される. そのガンマ

いため, 陽電子あたりのガンマ線数は多くしな線を生成標的で対生成過程を通じて陽電子に変ければならない. そのためアンジュレータ-を長換し, 捕獲セクションでビームとして取り込む.

くしてガンマ線の収量を上げる必要がある. まコンプトン散乱によるガンマ線生成の有利なたシャワーが成長しないために, 偏極ガンマ線

点は, 高エネルギーのガンマ線を得やすいといにより偏極陽電子の生成が可能であり, かつ陽う点にある. アンジュレーター方式においては電子生成数あたりの標的での熱の発生量が低くドライブのための電子ビームに 100GeV 以上と抑えられるというメリットがある. 一方で, 光いう極めて高いビームエネルギーが要求された

子ダンプは負荷の分散が困難であり, 電子ビー

が, コンプトン方式ではせいぜい数 GeV という

ムダンプとは異なる設計思想が必要である.

エネルギーで充分である. この違いは電磁場の8.4

レーザーコンプトン方式

周期長の違いにある. アンジュレータ-の場合はCompton 方式とはレーザー光と電子ビーム

周期長を磁極の並びでつくるので, 大きな磁場のコンプトン散乱により生じるガンマ線を用いを作るという制限もあり, せいぜい 1cm 前後がて陽電子生成を行う方法である. 日本が中心と限界かと思われる. それに比べてレーザーの場

なり推進されてきた GLC 計画などおいて検討

合は波長がアンジュレータ-の場合の周期長に相がなされてきた [20]. そのスタディをベースと当し, 典型的な値は 1µm であり, 桁にして四桁して, 2005 年の米国, スノーマスにおける ILC

ほど小さい. 周期長が小さいということは, それWS においてこの方式をベースとした ILC のに比例して発生する光子の波長も短くなり, 高

陽電子源が提案された. さらに, 1TeV を超えるいエネルギーのガンマ線を得やすいということ

重心系エネルギーにおける電子陽電子衝突によである. コンプトン散乱の位置関係をを図 34 のる高エネルギー実験をめざす CLIC(Compact

ように定義すると レーザーコンプトン散乱から

LInear Collider) 計画における偏極陽電子源として, コンプトン方式をベースとすることが検討, 提案されている [23].

EL

EeConversion
TargetPhotonElectron
Beam

Laser
Cavity

図 33

To Positron
Linac

CaptureSystemコンプトン方式による陽電子生成の原φθEγ

図 34 コンプトン散乱の位置関係の定義. 軸上を進行する電子ビームに対してレーザー光
は角度 ϕ で入射し, 角度 θ 方向に散乱される.

理をしめしたもの. 電子ビームとレーザー光の散乱により発生したガンマ線を標的に入射し, 対生成反応により陽電子を生成する.

発生するガンマ線のエネルギー Eγ は式 (191)のように与えられる. ここで γ と β は電子ビー

Eγ =γ 2 mc2 (1 + β cos ϕ)(1 − β 2 )EL,
mc2 (1 − β cos θ) + (1 − β)(1 + cos β)(1 + β cos ϕ)γEL(191)

ムのローレンツ因子と光速で規格化した速度,と表される. Ne と NL は各々電子とレーザー

ϵL はレーザー光子のエネルギー, ϕ は衝突角, θ

光子の個数, σ が反応断面積, L が反応領域の有は散乱角, mc2 は電子の静止エネルギーである.

効長, A はビームの横方向広がり, τ はビーム

ここで ϕ と θ をゼロと仮定し, β ∼ 1 とおくと,の長手方向広がり,C は光速である. この式から

Eγ ∼4γ 2 mc2 EL,
mc2 + 4γELガンマ線の収量を上げるには電子の個数および(192)

レーザー光子の個数を増やすとともに, 反応領と近似できる. レーザーの波長は 1µm 付近で域（レーザーと電子ビームの幾何的な重なり）あるから, およそ 1eV となる. 電子ビームとしを大きくすること, さらにビームを自身の大きて 1GeV 付近を考えると γ ∼ 2000 となるから,さは長手方向および横方向とも絞り込むことが分母は電子の静止質量の項が支配的となるので,重要となる.
そのための一つの方法として近年レーザー蓄

結局

Eγ ∼ 4γ EL
2

(193)

と近似できる. すなわちレーザー光子が電子と衝突することによりそのエネルギーを 4γ 2 倍とするのである. γ ∼ 2000, EL ∼ 1eV とすれば

16MeV のガンマ線が得られることになる. この値は陽電子生成には充分なものである.
またレーザコンプトン散乱では, レーザーを円偏光にしておけば発生するガンマ線も円偏光

積空洞を用いたレーザー光子の高密度化という技術が注目されている. これはファブリペローなどの光学空洞内に固有モードに合致したレー
ザー光を導入し, 蓄積することで光子密度を向上させようとというものである. 最も単純な系を考えよう. 一往復する間の光の損失割合を

Rloss とおく. これには反射ミラーでの損失などとならび, 外部との結合なども含んだものである. このとき外部からパワー Pdrive を導入すするので, 偏極陽電子が得られる [21][22].
その一方で, アンジュレーター方式ではアンジュレーター長を長くすることでガンマ線の生成数を増やすことができるのに対して, レー

ると, 空洞内部でのパワー Pcav はPcav =

Pdrive
,
Rloss

(195)

ザーコンプトンにおいては同様の方法をとることなる. 例えば Rloss を 0.1% とした場合, 空洞とは困難である. なぜならレーザー場は光速で内でのパワーは 1000 倍とすることができる.

移動してしまうから, 電子との「接触時間」を増

コンプトン方式による陽電子生成についてまやすことができない. したがってレーザーコン

とめると以下のようになる. ガンマ線生成におプトン方式においてはガンマ線数をいかに稼ぐ

いてはアンジュレーターの周期長に比べてレーか, ということが課題となる. コンプトン散乱

ザーの波長は極めて小さいため, 電子ビームのの断面積は Klein-Nishina の式から求めることエネルギーが低くても陽電子生成に充分な高エができる. またこのときガンマ線の収量 Y は近ネルギーのガンマ線を容易に生成することがで似的にきる. しかしアンジュレーターがユニット数を

2Ne NL σL
Y =
,
Aτ c

(194)

増やすことによりそのガンマ線の生成数をその長さに比例して増加させることができるのに対

9.1

Quarter Wave Transformer

して, レーザーコンプトンに関してはそれが難QWT(Quarter Wave Transformer) は陽電

しい. 電子ビームやレーザー光の絶対数を増や子生成標的出口から下流における強いソレノイ

すとともに衝突点で収束させることによりそのド磁場領域 (磁場 Bi ) と, それに続く弱いソレ

密度を高め, さらに光学空洞による蓄積や, 後述

ノイド磁場領域 (磁場 Bf ) からなる. ソレノイするモードロックレーザーと同期したパルス蓄

ド磁場の方向はビーム軸に対して平行である.

積技術などを使ってガンマ線の生成数を充分に

図 35 はビーム進行方向を z 軸, 生成標的出口を確保することが必要となる.

z = 0 にとり, 軸方向の磁場プロファイルを表

9 横方向運動量の抑制
陽電子ビームはガンマ線による対生成から生じるが, 発生した陽電子の運動方向および運動したものである. QWT という名称は, 位相空間

Bz

エネルギーは広く分布している. 生成ドライ
バーである電子ビームおよびガンマ線のビーム径は典型的には数 mm2 程度であるから, 生成された陽電子は大きい横方向運動量およびエネBi

ルギー広がりをもつ一方, ビーム径は数 mm 以下となっている. 横軸に実空間, 縦軸に横方向運動量を取り, 位相空間でみると, 縦長に細く分布している. この分布のままビームをドリフトさせると, 横方向運動量の大きい広がりは実空

Bf
Li

z

間へと伝播し, ビーム径が発散してしまい, 加速が困難となる. 従ってビームを速やかに収束し,横方向運動量を抑える必要がある. つまり実空

図 35 QWT の磁場プロファイル. 横軸は生成標的からの距離, 縦軸はビーム軸中心における平行磁場成分の値を表す.

間分布を加速が可能なサイズ, 現実的には加速管のアイリス径程度まで拡大させる一方, 横方
向運動量分布を抑制する. すなわち, 位相空間

において, 縦長の分布を横長に変換する, というで横長の分布へ変換しなくてはならない.

ことから来ている. この変換はちょうど位相空このような変換を行うデバイスとし間における 90 度回転だから, 波長にすると 1/4て, QWT(Quarter Wave Transformer) と波長 (Quarter Wave) の回転に相当するというAMD(Adiabatic Matching Device) という二わけである.

種類が考案されている. 双方ともビーム進行方

QWT における陽電子の捕捉（横方向運動量

向に平行な軸に沿ったソレノイド磁場を用いるの抑制）を理解するために z = 0 において, 長

点は共通しているが, 進行方向の磁場プロファ

手方向運動量 pz = pz0 および横方向運動量

イルに特徴がある. 以下その概要と動作原理に(px , py ) = (0, pt ) を持つ陽電子の運動を考える.

ついて説明する.

陽電子の初期位置は (x, y) = (0, 0), すなわちターゲット中心と仮定する. 電磁場中で荷電粒

⃗ を次のように受ける.
子はローレンツ力 F⃗ + q⃗v × B,⃗
F⃗ = eEyOrbit in Bi(196)⃗ は電場, q は電荷, ⃗v は粒子の速度ベ
ここで E⃗ は磁束密度である. ここではクトル, そして B⃗ = 0 とおける. また, 磁束
電場がないので, E

ρ

O

x

密度が z 軸に平行とすると, 横方向運動量のみがローレンツ力に奇与するので, 以下のようになる.

⃗iep⃗t × BF⃗ =,γmOrbit in Bf(197)

ここで e は素電荷, m は陽電子質量, γ は相対論
におけるガンマ因子である. 力の方向は xy 面

図 36 QWT における陽電子の xy 平面内での軌道の例. 初期運動量を y 軸に平行としている. 半周した時に調度 Bi → Bf の磁場境界内にあり, かつ横方向運動量に垂直となる. よに到達した陽電子は横方向運動量を抑制するく知られたように, このような力をうけた粒子

力をうけるが, その大きさは磁場の変化にちょは xy 面内において円運動を行う. 円運動の曲

うどスケールしており, 軌道半径を変えずに円率半径 ρ と向心力 F は F = p2 /(γmρ) の関係

運動を継続する.

にあるから, 曲率半径 ρ は

ρ=

pt
,
eBi

(198)
か. 図では z = Li において不連続的に磁場がと与えられる. 初期位置は標的中心であるから,変化しているが, 現実には変化は連続的である.

円軌道は (x, y) = (0, 0) を通る. その陽電子は磁荷というものは存在しないから, 磁束密度が横方向運動量によって決る曲率半径で円運動を変化するということは磁束の一部がある領域か行うが, (x, y) = (0, 0) における接線は初期の横ら出ていったり, 入ってきたりしている, という方向運動量 (px , py ) = (0, pt ) に等しい. ソレノ

ことである. z = Li 付近でソレノイド磁場は弱イド磁場の方向を z の負の方向とした時の xy

くなるのであるから, 磁束はラッパ状に外に広平面内での運動の様子を図 36 にしめす.

がってゆく. ソレノイドは中心対称であるから,

z 軸方向に粒子は力をうけないから, 陽電子

その方向は常に中心から外に向かっている. すは等速 pz /m で運動を行う. ここで陽電子がなわちソレノイドの端部では径方向の磁場成分

z = Li , すなわち磁場境界に到達した時点で調が発生するのである.

度軌道が円を半周描いたと仮定する. 図 36 で原簡単のため, 単独の磁束密度 B のソレノイド

点以外の x 軸との交点に陽電子があると仮定し磁石を考えよう. 無限円からソレノイド中心まよう. その時, 以下の条件が満足される.

で粒子を移動したとする. ソレノイド中心にお

Li
πρ
=
.
pz0
pt

(199)

いて距離 r の円内にある磁束は面積に比例するから, Bπr 2 である. 無限遠では磁束は存在しな

さて, 以上の条件のもとに磁場境界にさしかいから, 無限遠からソレノイド中心に移動する

かった陽電子はどのような力をうけるであろう

間に磁束は半径 r の円を通過してゆく. 即ち粒子が横切る磁束はらなくてはならない. 加速管の開口径はアイリ

Br (r) =

Bπr2
r B
=
,
2πr
2 dL

ス部のサイズで決るから, これを直径 2a とす

(200)

ると,

a > 2ρ = 2となる. 一般的にはこのような一次の項だけではなく, 高次の奇与も考える必要があるが, 近似としては充分であろう. dL の因子は上のような

et0
,
eBi

(205)

でなくてはならない. これは陽電子の横方向運動量に制限を与える.

磁束が距離 dL にわたり分布していることを示している.

QWT の場合は二つのソレノイド磁石が近接して置かれているが, 線型性のために二つの寄

α3
y

α2

与を単に足し合わせればよい. 符号も考慮する

α1

Aと陽電子が横切る磁束はBr (r) =r Bi − Bf
,
2 dL

(201)

となる. この時に陽電子が受ける運動量変化はO

xr = 2ρ として

β3

epz0 2ρ Bi − Bf
Bi − Bf
dp =
= pt
ds,
m 2
dL
Bi
(202)
となる.
さて, z = Li において粒子が (x, y) = (2ρ, 0)にある場合, 磁束は x 軸の負の方向を向いている. したがって受ける運動量変化の方向は y 軸の正の向きとなる. 従って横方向運動量はBi − Bf
Bf
pt = pt0− pt0 = −pt0
,
Bi
Bi

B

図 37

条件式 199 からずれた陽電子の軌道はどのよ
うになるのだろうか. まず磁場境界にきたとき,円運動の位相が 180 度よりも小さい場合を考え(203)

よう. 図 37 における A 点に陽電子がきた場合である. その場合でも, 運動量変化は式 200 でとなり, その大きさは Bf /Bi だけ小くなるのである. Bf 領域にはいってからの陽電子の円運動の曲率半径はρ = pt0β1β2表されるので, 動径方向に垂直である. A 点における pt はベクトル α1 , 磁場による運動量変化はベクトル α2 のようになる. 従って陽電子

Bf 1
pt0
=
,
Bi eBfeBi(204)の運動方向は α1 から α3 に変化する. つまり運動方向は外向きになり, 円運動の回転中心は外とちょうど Bi 領域と同じになる. つまり図側に移動する. また磁場が Bf に弱まることに

36 で示されているように条件を満す陽電子はより回転半径が大きくなるので, より外側を大QWT 内で同じ曲率の円運動を続けるのである.

きく回転することになる. したがって加速管壁

この陽電子がビームとして捕獲されるためには, この円運動が後段の加速管の開口径に収まなどに衝突し, 捕獲することは困難である.
図 37 の B 点に陽電子がきた場合を考えよう.

その場合は運動方向は β1 より β3 のように変化Bz

するが, この場合も回転中心は外側に移動する.
また回転半径も磁場が弱まることで大きくなる
ので, 外側をより大きな回転半径で運動するよ
うになり, 前の例と同様に捕獲は困難となる. つまり条件式 199 からずれた陽電子は, いずれの方向でもより捕獲が困難となるのである.

Bi

QWT は実際には二つの磁場のことなるソレ
ノイド磁石をならべて配置することにより実装される. 電流制限などの技術的制約から, 上流のBf

強い磁場は口径の小さいソレノイド磁石を, 下z流の弱い磁場は口径の大きいソレノイド磁石を使用する. 下流の弱い磁場の領域には加速管が図 38設置され, 陽電子の軌道を加速管のアイリス径以内に保ちつつ加速を行い, 相対的な横運動量を小さくするとともに, 相対論のガンマ因子をで与えられる. µ は磁場の変化を表すパラメー

大きくすることで空間電荷効果による発散力をターで /m の次元を持つ. 変化領域の長さを Li抑制し, 陽電子をビームとして捕獲する.

とすれば,

KEKB の陽電子源には陽電子収束デバイス
Bf ≡ B(Li ) =として QWT が採用されている. 初段の強磁場領域は長さ 45mm, コイル長は 42.5mm で, 内
径 20mm で, 磁場は 2.3T である. 8 ターンのコ
イルに 10kA の電流を流すことで上記の磁場をBi,
1 + µLi

(207)

となる.
低磁場領域には加速管が設置され, 捕獲され実現している.

た陽電子を加速することでその相対的な運動量9.2

広がりを徐々に低減しつつ, 空間電荷効果を抑Adiabatic Matching Device

AMD(Adiabatic Matching Device) は生成

制しビームを「硬く」する.

標的出口に磁場のピークがあり, それが徐々にAMD においては軸方向磁場が徐々に低減す低磁場へと減少していくようなビーム軸方向にるために, QWT で磁場境界でのみ出現した動

平行なソレノイド磁場からなる. 図 38 に磁場プ径方向の磁場が常に存在する. QWT の場合とロファイルを示す. z = 0 では Bz = Bi である

同様に陽電子は回転運動を行うが, この動径方が, それが Bf まで図で示されているように低向の磁場により, xy 平面内において常に動径方減し, その後一定に保たれる. 変化領域での磁向に垂直な運動量キックを受け続けることにな

場プロファイルはる. QWT において, 同期条件から外れた場合の陽電子の運動を考えた場合と同様に, AMD の場合は「同期条件」からはずれているので, 回BiB(z) =
1 + µz転中心は徐々に外に移動する. また磁場による(206)

キックにより横方向運動量は徐々に低減していく. この運動には断熱不変量が存在し [17],

Z X
i

πp2t
pi dpi =,eBると, 長手方向の運動量が(208)pz < 0.5は運動の不変量となる. これにより

pt (z)2
p2= t0 ,B(z)Biてもエネルギーの上限値は存在する. 解析によ

eBi
,
µ

(214)

以下である必要がある.

(209)
φ1

φ2

という関係が成り立つことがわかる. 横方向運動量はs
pt (z) =

B(z)
Pt0 ,
Bi

(210)

左側が横断面, 右側は下流方向から上流方向を見た様子.

のように変化する. 軌道半径は1
ρ(z) = ppt0 ,e B(z)Bi

図 39 一導体 Flux Concenterator の断面図.
内部は円錐状にくり抜かれており, ϕ1 から ϕ2 まで内径が変化している. 導体
全体が螺旋状にスリットが入っており, 電流を(211)流すことで内部に軸上に磁場が発生する. 磁束は保存されるので内径が細い場所では磁場はのように徐々に増大するが, 横方向運動量が減

強く, 内径が広がるにつれて磁場は低減する.

少していくため, その増大は抑制されている. 陽
電子が Bf 領域に入ると回転半径は一定となり,AMD の磁場分布をは Flux Concentoratorと呼ばれるデバイスにより実現される. Flux

その大きさは1
ρf = ppt0 ,e Bi Bf

concentrator にはいくつかのタイプがある. ひ(212)とつめは 39 に示されているように螺旋状のコ
イルに大電流を流すことで内部にソレノイド磁となる. QWT と同様にこの曲率半径の二倍が場をつくるものである. コイルの内径を巻き加速管の開口径よりも小くなくてはならないの貝のように徐々に細くすることで, 一方の端部

で, 陽電子捕獲の条件としてで極めて高い軸上磁場を実現する. このタイ

a > 2ρf ,(213)が満されてなくてはならない.

プの Flux Concentorator は SLAC (Stanford

Linear Accelerator Center) で使用されている.
SLAC のものは長さ 100mm, ターン数 12, 最AMD は QWT にあったような, 長手方向と小内径 3.5mm, 最大内径 26mm で 16kA の電

横方向の運動量に関する条件は存在しない. ど流を流すことで最高磁場 5.8T を実現している.

のようなエネルギーであっても断熱不変量に従Super-KEKB でもこのタイプの FC が導入さい横方向運動量は低減され, ある程度の円運動れている. ピーク磁場は 4.5 T である [24].

として取り込まれる. しかしあまりにも縦方向

図 40 は二導体 Flux Concenterator の断面運動量が大きいと xy 平面内の回転運動に比し図を示したものである. 左側が横断面, 右側はて, 磁場変化が急激となり, もはや断熱運動とは下流方向から上流方向を見た様子である.

みなせなくなってしまう. 従って AMD におい部の第一導体は螺旋状の導体となっている. 第下れる領域のことである.
φ1

φ2

例えば進行波加速管の電場はE(s, t) = Ez cos(ωt − ks)(215)のように表される. ϕ(s, t) = ωt − ks とすると,
図 40 二導体 Flux Concenterator の断面図.

ϕ = 0 がクレスト（最大電場）の条件である. こ

左側が横断面, 右側は下流方向から上流方向のクレストは時間とともに移動していく. そのを見た様子.

移動速度は位相を時間で微分し下部の第一導体は螺旋状の導体となっている. 第二導体には円錐および円筒状にくり抜かれており, ２つの穴はの間にはス
リットが入っている. 下側の円筒状の空間には第一導体が置かれており, 第一導体にパルス電流を流すことで内部に磁場が発生し, それに伴い第二導体に赤矢印で描かれているように誘導電流が発生する. 誘導電流は円錐の空洞部をまわるように流れ, 内径が細い場所では磁束が集中し強い磁場が発生する.

ds
dϕ(s, t)
=ω−k
=0
dt
dt

(216)

よりよく知られているように vp = ω/k となる.
時間微分がゼロとなるのは, クレストは ϕ = 0の位置だからである.
素行の良い通常のビームであれば, 電子・陽電子の速度は光速 c であるから, vp = c という条件を満たせば粒子は加速され続ける. しかし発生した陽電子の素行はあまりよろしくない.

二導体には円錐および円筒状にくり抜かれており, ２つの穴はの間にはスリットが入っている. 下側の円筒状の空間には第一導体が挿入• 横方向運動量が大きい.
• エネルギー広がりが大きい.

される. 第一導体にパルス電流を流すことでこのようなビームを安定して加速するためには,内部に磁場が発生し, それに伴い第二導体に赤

まずこの素行の良くない陽電子を手なづける必矢印で描かれているように誘導電流が発生す

要がある. 横方向運動量の抑制はその最初である. 誘導電流は円錐の空洞部をまわるように流るが, その仕上げが RF 補足である.

れ, 内径が細い場所では磁束が集中し強い磁場

横方向運動量が大きい粒子の運動を考える.

が発生する. このタイプのものは BINP(Budker

粒子の進行方向と横方向の速度を各々 βs c とInstitute for Nuclear Physics, ノボシビルスク,

βt c とおく. 簡単のため粒子の速度の大きさをロシア) において使用されている [25].

∼ c としよう. 今,10 陽電子の RF 補足
標的で発生した電子と陽電子は FC により横方向運動量を抑制された後, 補足ライナックと呼ばれる線形加速器に入射される. この補足ライナックは陽電子を RF バケツの中に押し込め

ツ因子が γ → γ + ∆γ と増加したとする. 加速
は s 方向になされるから, 横方向運動量は不変である. すなわち

γβt mc = (γ + ∆γ)βt′ mc(217)が成り立つ. これより加速後の βt′ はるのがその役割である. RF バケツとは, 一言で言えば加速器中の高周波電場で安定して加速さ加速により粒子のローレン

βt′ =

γ
βt ,
γ + ∆γ(218)

となり, 減少する. すなわち, 進行方向に加速さされたあと加速位相に入ることになる. このれると, βt は減少する. するとような位相が最適となる場合は, 陽電子のエネqβs =ルギー広がりが大きい場合である. これを理解

1 − βt2(219)という関係にあるから, βs は 1 に近づいていく.
発生した陽電子は横方向運動量が大きい状態だから, βt > 0 である. この時 βs < 1 であるかするために, 陽電子を次の 2 つのグループに分ける.

(a) βs < 1 の陽電子,(b) βs ∼ 1 かつ βt ∼ 0 の陽電子

ら, この陽電子は RF に対してどんどん遅れていく. 図 41 の赤い点のように, 陽電子をクレストに乗せて加速すると波に乗り遅れて, 加速電場はさらに減少し, 位相の遅れに歯止めがきかない状態となり, うまく加速されない. 一方で,青点のような場所に陽電子を乗せると, 位相を遅らせながらも加速され続け, βs は 1 に漸近し,時間あたりの位相遅れ量も減少し, 最終的にはある位相で安定的に加速されるようになる. この状態が RF に陽電子が補足された状態である.

(a) の陽電子は位相滑りを起こすので速やかに加速位相領域に入る. そうすると位相滑り速度は減少していくので, ある位相に補足される. (b) の陽電子は βs ∼ 1 なので位相滑りを生じず減速位相にとどまり続けるが, そのうち

βs < 1 となり位相滑りを生じ, 加速位相へ移動していく. もちろんすべての陽電子が RF 補
足されるわけではないが, 陽電子を減速位相に乗せることで RF 補足される陽電子数が最大化されることがわかっている. この方式を減速補足方式 (Deceleation capture method) といい,

βs<1

KEK の紙谷教授の発明方式 [17] である.

11 ビームローディングの補償
11.1

vp/c=1

補足ライナックにおける補償

アンジュレーター方式では, 補足ライナック
は常伝導加速空洞が用いられる. 0.7ms 程度と

図 41 RF 補足の概念図. 粒子の速度が βs <長いパルスで加速されるので, 常伝導空洞を長1 の場合, RF の位相速度 vp = c より遅いため, 粒子はどんどんおくれていく. これを位相滑りという. 粒子が赤丸の位置にあると, 遅れた粒子は位相滑りに歯止めが効かない. 一方,

いパルスで安定に運転するという技術的な困難

青丸の位置にある粒子は位相滑り速度が減少

難は無い.

はあるが, ビーム電流は 0.02A 程度であり, ビー
ム負荷電圧はほぼゼロでビーム負荷の補償に困していくので, あるい決まった位相で安定して電子ドライブ方式では, 補足ライナックには加速される. エネルギー広がりが大きい場合

定在波型加速管が使用される. 使用される空洞には, 緑丸の点が最適となる.

は APS(Alwternate Periodic Structure) である. APS 空洞は π/2 モード空洞であり, これ

実際には陽電子はさらに深い位相, 図 41 のを定在波空洞として使用する.π/2 モードは郡速緑丸でしめされたような減速位相に乗せられる.

度が最大となるためセル間のパワーの移動がス

この位相に陽電子が乗せられるといったん減速ムーズであり, モード安定性が良いという特徴がある. 一方で, π/2 モードを定在波として動作させると, 図 42 に示すように隣り合うセルにより誘起されるモードが逆相となるため,

電場の立つセルと電場の立たないセルが交互に現れる. 電場の立つセルのセル長を長くとり電場の立たないセルを短くし, 加速効率をたかめたものが賠周期構造 (Alternate Periodic Strucure)である.

図では中央のセルにパワーが投入される. 群速度が有限であるから, 内部には左右に伝搬する２つの進行波が発生し, 端部で反射し定在波を形成する. 従って郡速度ゼロの一般的な π モードの定在波と異なり, 内部のパワーの伝搬がスムーズで, モードの安定性がよい. 電

空洞とみなす. 空洞のエネルギー W の収支はdW
= −IV − P0 + Pin − Pr
dt

(220)

と与えられる. I はビーム負荷電流, V は空洞の電圧, P0 は空洞内のジュールロスによる電力損失, Pin は外部からの入力パワー, Pr はカプ
ラーで反射されるパワーで, Pin − Pr はある瞬間の正味の入力パワーである.
これらの変数を電圧表示に直し, 電圧 V に関する微分方程式に書き換えよう.

Q0
Q0 V 2
P0 =
ω
ω rL
V2
P0 =
rL
2
βVin
Pin =
rL
βVr2
Pr =
,
rL
W =

(221)
(222)
(223)
(224)

ここで Q0 は空洞の Q 値, ω は空洞の角周波数,r は長さあたりのインピーダンス, L は空洞長,π/2 モードの定在波. 隣り合うセルか

β は結合度で, 空洞と外部回路のインピーダン

らの寄与は逆相となるため電場の立つセルとスの比として定義される. ローレンツ因子では立たないセルが交互に現れる. 電場の立つセないので注意してほしい.Vin は外部回路に発生

図 42ルのセル長を長くとり電場の立たないセルを短くし, 加速効率をたかめたものが賠周期構造(Alternate Periodic Strucure) である. この構造では中央のセルに外部からパワーが投入される.

子ビームドライブ方式では補足ライナックにおする入力パワーによる電場, Vr は反射パワーによる電場である.
反射パワー Pr は, 結合セルにおける境界条件を満たすように決定される. その条件とはV = Vin − Vr

(225)

けるビーム負荷電流は電子も含めて 1.5A 程度

である. すなわち空洞内の電場は, 入射 RF がとなる. ビーム負荷電圧は 10 MV 程度となり,つくる電場 Vin と反射 RF の作る電場 Vr の合

RF による加速電圧 22MV の半分近くとなる.

計と一致する必要がある. この条件から, V = 0

そのため, パルス内のバンチを均一に加速するからパワーを投入していく場合,にはビーム負荷を補償しなくてはならない. 以

Vin = Vr となり, すべてのパワーは反射されて下, それについて議論する.

空洞には入らない. これを全反射という. 一方,

ここでは空洞を単セルモデルにより表すことにする. このモデルでは加速管を大きな一つのt = 0 では空洞に充分にパワーが充填されると V = Vin となり Vr = 0 となり反射は消失する.

これらの条件を式 220 に代入すると電場の上昇とビームによる減速場の成長が相殺

dV(1 + β)ω
ωrLI
ωp
=−
V −
+
βrLPin
dt
2Q
2Q
Q
(226)

できる. その条件はとなる. この式の解を求めよう. 初期値としてである. t = tb における空洞電圧と RF による

V = 0 として, t = 0 から Pin を投入したとす

漸近値との差がちょうど VB と等しくなっている. またビーム負荷はゼロとして I = 0 とする.

る条件である. この場合, 両者の微分係数は逆

この時の解は符号で大きさが全く等しくなるため, 変動がゼ

VRF 1 − e−tb /τ − VRF = VB ,ロとなる. tb はV (t) = VRF 1 − e−t/τ ,

s

(227)
tb = −τ ln

ここで√2 βP rL
VRF =
.
1+β
τ=

(228)

と求められる.

rL
βPin

I
2

(232)

!
(233)

すなわち, このタイミングで加速を始めると電圧 V は一定となる.
実際には, このようなきれいな打ち消しは RF

2Q.
(1 + β)ω

(229)

予想した通り電圧 V は徐々に上昇し, VRF へと
時定数 τ で漸近する. ここで求めた電圧 V は振幅であるから, 実際は V cos ωt のように振動している.
次にビームによる電圧を求めよう. 今度は

Pin = 0 として I = I0 u(t − tb ) とする. ここでu(t) は階段関数で t < 0 でゼロ, t ≥ 0 で 1 であとビームの相対的な位相がゼロのときにだけ成立する. 位相がゼロとは, RF のクレスト（電場が最大となる位相）にビームが乗っている時だけである. ビームが RF に対して相対位相 θ を持っている時の電場は



−t/τ



V (t) = VRF 1 − e+ VB 1 − e−(t−tb )/τ eıθ , (234)

る. すなわち t = tb から加速を開始するとしよとなる. この時, いくら条件を合わせこんでもう. この解は電圧の振幅を一定にすることはできない.

V (t) = VB 1 − e−(t−tb )/τ

ここでビームの位相という概念を明確にする


,

(230)

ために, 一つの粒子が発生させるビーム負荷電圧をもとめよう. これによりいい加減に扱って

ここでVB = −IrL
1+β

きたビーム負荷電流という概念も明確に定義で(231)である. ビームを加速している時は, 両者の和が実際に空洞に発生する電圧となる. 適当な条件で運転すると, 両者の和が時間的一定とならないので, 振幅が時間的に変動し, バンチによって加速電圧が変動する. 幸い, RF とビームによる振幅はともに同じ時定数で漸近する性質をもっているから, 条件を合わせれば RF によるきる. 単粒子の電流は I = βL cqδ(βL ct) と表すことができる. βL はローレンツ因子, δ はDirac のデルタ関数である. この電流による空洞電圧の変動は

dV
rLω
1
=−
βL cqδ(βL ct) − V
dt
2Q
τ

(235)

という方程式の解として得られる.

η≡

rLω
2Q

(236)

と置くと方程式はdV1= −ηβL cqδ(βL ct) − Vdtτ

に書くことができる. ここでは簡単のため, 階段関数を省略してすべての粒子が通過し終わっ(237)

た後の電圧を表す.

となる. よくやるように両辺を ±ϵ という微小区間で積分し, ϵ → 0 の極限をとるとV (t = +0) − V (t = −0) = −ηqと V (t = −0) = 0 だからX−ηqi e−(t−ti )/τ e−ıωti ) = −VBT e−t/τ eıθ

i

(246)
となる. この電圧を与える電流がビーム負荷電

(239)

流である.

である. 一方, 式 (237) は t > 0 では

dV
1
=− V
dt
τ

(245)

この電圧は式 (244) と等しいから(238)を得る. 今, 粒子の通過前は電場が無いとする

V (t) = −ηqu(t)V (t) = VBT e−t/τ eı(ωt+θ)VBT = rLIB /(1 + β) から,
IB =

(240)

Xq
τ

eti /τ eı(ωt−θ) ,(247)となる. θ が重心位相として, ωt − θ = ϕ として再定義すると, ϕ は粒子の重心位相に対する位だから一般解は相である. ti /τ ∼ 0 とすると, ビームローディ

V (t) = Ce−t/τ(241)

ング電流とはIB =となる. C は任意定数であるが, 式 (239) より

X qi
i

解は

V (t) = −ηqu(t)e−t/τ(242)である. これは振幅であるから実際の振動を含めるとと 表 さ れ る.

τ

eıϕ ,

(248)

す な わ ち 重 心 位 相 に 対 し て,

qi ephi の重みで重ね合わせたものが IB である. IB の観測量はその実部であるが, 量そのものは複素数である.

V (t) = −ηqu(t)e−t/τ eıωt(243)

ビ ー ム が 時 間 的 に 分 布 を も っ て い よ う が,各々の粒子の電荷が異なろうが,が得られる.

すなわち, 粒子が通過した瞬間に電圧が誘起され, その電圧の振幅は τ で減少していくとともに, 角周波数 ω で振動する. 粒子
が複数ある場合にはV (t) =

Xビーム負荷は式 (248) によりひとつの IB という複素数で代表することができる. これは三角関数の和はかならず三角関数で表されるという定理の帰結である.

−ηqi u(t − ti )e−(t−ti )/τ eıω(t−ti )

i

(244)
となる. 粒子が通過した時間 ti に電圧が立ち上がり, そこから減衰振動する波の重ね合わせとなる. 階段関数 u(t − ti ) は粒子が通過した瞬間
電圧が発生することを表す. 三角関数の重ね合
わせは三角関数で必ず表されるから, 次のようビーム負荷電流の性質として, 以下のようなものが導かれる. 各々簡単に証明できるが, こ
こでは割愛する.

• 位相が π 異なる異符号の粒子は同じ向きのビーム負荷電流を与える.

• 位相が π 異なる同符号の粒子は逆向きのビーム負荷電流を与える.

• 周期 ω あるはその逓倍で周期的に一定の点各々の電圧は漸近値に向けて成長していくから,状電荷が通過する際のビーム負荷電流はそビームと位相変調後の VRF の漸近値の和が Vc0の電荷を周期あるいはその逓倍で除した値に等しければ電圧は一定に保たれる. 式ではである.

VRF eıϕ + VB eıθ = Vc0

IB の正体が判明したところで, 位相を考慮したビーム負荷について考えよう. 空洞には RF(249)となる. これらの条件を図 44 に示す. VRF はによる電場とビームによる電場が誘起されるが,Imそれを図 43 にしめす. RF を実軸方向にとり,RFビームがそれに対して θ だけ位相がずれているとする. ビーム負荷電圧は負の方向に発生するので, 図の赤矢印のようになる. 網掛けの矢印が漸近値でビーム加速を始めると時定数 τ で網

θφ

掛けの部分まで成長していく. RF も同様に青い網掛けの矢印にむけて成長していく. 空洞電圧はマゼンタ色の矢印で示してあり, 赤と青のRe

CavityBeam

濃い矢印の和であるから, 時間とともに位相が

図 44 RF とビームに位相差があり, 入力 RF

動いていき一定とならない.

に対する位相変調をかけた場合の位相図.

入力 RF の振幅は一定で, ビーム加速と同時に位相を ϕ だけずらす.

Im

パワーを変えないので, 原点を中心とした位相変調後も同心円状の点にくる. この時, その虚RF

数成分がちょうど VB の虚数成分と大きさが等θRe
CavityBeam

しく, 逆向きになる点が求める変調である. この時, 式 (249) から Vc0 が決まる. 位相変調量は

ϕ = sin

図 43 RF とビームに位相差がある場合の空洞に誘起される電圧の位相図.

位相差がある場合, かならずビームが虚数成分をつくるので, これを打ち消す必要があるので, 入力 RF にも虚数成分を導入する. この時の位相の変調を ϕ とする. 入力 RF のパワーは変えないとすると振幅は同じになる. ビーム加速を開始した瞬間の空洞電圧を Vc0 とする. Vc0
は実数成分しか持たない. ビーム加速開始後は,

−1




VB
sin θ ,
−
VRF

(250)

である. また, Vc0 はq
2 − V 2 sin θ 2 + V cos θ
Vc0 = VRF
B
B

(251)

となる. 加速開始すべきタイミングは, 空洞電圧が Vc0 となったときであるから,


Vc0
tb = −τ ln 1 −VRFとすればよい.

(252)

−π/2 < θ < π/2 の範囲にあれば, 上記の方

電子ドライブ陽電子源では, 陽電子はマルチ法により完全にビーム負荷の補償が可能である.

バンチパルスで生成されるが, そのパルス構造

一方 π/2 < θ などビーム負荷が図 43 においては図 46 にしめすように, 間にギャップを有す

第一象限あるいは第四象限にある場合は, 条件

る. 上で導入した位相変調によるビーム負荷補の修正が必要である. この場合, ビーム負荷は

償はビーム電流が一定の場合に有効であるが,加速場を与えるので, 変調においてパワーを不そのままではビーム電流が変動したりパルスに変とすると Vc0 > VRF となり, 空洞に漸近値よギャップがある場合には対応できない.

りも大きな電圧を加速開始時点に作って置かな
197ns

ければいけなくなるがこれは不可能である.

197ns

そこで加速開始時点でパワーも変調することに

80ns
33 bunches

する. 条件は Vc0 = VRF とする. すなわち空洞

33 bunchesには最大電場がたった状態とする. 加速開始後この電圧を不変に保つ条件は474 nsVRF 1 eıϕ + VB eıθ = Vc0 = VRF

図 46 電子ドライブ陽電子源のパルス構造.

(253)

間にギャップを有するマルチバンチ構造となっている.

である. 加速開始後の RF の振幅と位相は

VRF 1 =q
2 + V 2 − 2V V cos θ
Vc0
B c0
B

ϕ = sin

−1



VB
−
sin θ
VRF 1

(254)



図 47 と 48 はこのようなギャップによって加
速電場がどのように変動するのかを求めたもの(255)となる. tb は計算上無限大となるが, tb = 3τ あたりとするのが妥当だろう. その時の Vc0 の値である. 空洞電圧は式 (226) をもとに数値計算した. 図 47 は入力したビーム負荷電流で値は一定だがギャップを含んでいる.

Ib (A)

を用いて条件を計算すればきちんと補償される.
2
1.8
1.6

Power
Red.

Im

1.4
1.2
1

φ

0.8

RF

0.6
0.4
0.2

θ

Re

0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2
t(μs)

CavityBeam

図 47 空洞に与えたビーム負荷電流. 電流は1.5A で一定とし, ギャップを含む.
図 45 ビーム負荷が加速を与える場合は, 加
速開始後 RF のパワーを下げることで加速電場を一定にできる.

図 48 は式 (252) で決まる tb で加速を開始し,
式 (250) できまる位相変調を与えたときの空洞電圧を求めたものである. 最初のミニパルスでIm

電場は一定となっているが, ギャップでは電圧VRF1の上昇が見られる. また同時に点線で示されている虚数成分が現れている. 次のミニパルスでは電場はゆっくりと減少しているが, ギャップ
で再び上昇する. このようにギャップがあると

θ

V (MV)

電圧が一定とならない.
20

φ

Re

Vc0

Beam

15

図 49

ギャップがある場合の RF 変調による補償の概念図. ビームがある時は VRF 1 に,

10

Re(V)
Im(V)

ギャップでは Vc0 に変調すれば, 空洞電圧は一
定となる.

5

−5
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2
t (us)V (MV)

020

15

図 48 位相変調を与え, ギャップのあるパルスを加速した場合の電圧の変化. ギャップに相当する場所で電圧が上昇する.

また虚数成

10

Re(V)
Im(V)
5

分が発生している.
0

ギャップではビーム負荷による入力が消失す

−5
0

0.2

0.4

0.6

0.8

るから, そこでは空洞に立っている電圧を漸近

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2
t(μs)

値とするような入力に RF に変調を加えれば

図 50 位相変調に加え, ギャップ制御を行っ

電圧上昇を起こさない. その様子を図 49 に示た場合の空洞の電圧. 加速開始後, ギャップ部

す. ビーム加速を開始した後には VRF 1 へと入力 RF を変調する. そしてギャップに入ったら,も含めて電圧は一定となっており, また虚数成分も発生していない.

入力 RF を Vc0 へと変調する. すなわち位相は振幅を空洞電圧 Vc0 と等しくな

図 51 と 52 は実数成分および虚数成分を RFるように変調する. そうすると空洞電圧は全く（赤線）ビーム電流（青線）で表示したものであ

変動しない. ふたたびビーム加速が開始された

る. 各々についてビームと RF の入力の変化がら VRF 1 へと変調する. パルスとギャップを繰相殺し, 空洞電圧が一定に保たれていることがり返すたびにこのような変調の切り替えを行え

わかる.

ばいよい.

11.2

ゼロに戻し,

ブースターライナックにおける補償

図 50 はそのような制御を行った場合の空洞ブースターライナックは陽電子のエネルギー

電圧である. 電圧は一定に保たれており, またを DR 入射に必要な５ GeV まで高めるのが役

虚数成分も全く発生していない.

割である. 電子ドライブ方式の場合, 常伝導のと大きいためビーム負荷による減速場の発生はRe(V) [MV]20

ほとんど起きず, 加速電圧の変動は問題となら

15

ない.
10

この節では, 電子ドライブ方式のブースター
5

ライナックにおけるビームローディング補償に0ついて考える. 定勾配型の進行波型加速管にお−5ける RF パワー P の軸上位置についての変化は

−10
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2





dP
dP
dP
=
+
, (256)dz
dz walldz beam= −2α(z)P (z, t) − I0 E(z, t),

2.2
t[μs]

図 51 ギャップのあるパルスの加速のため,
位相変調とギャップ変調を行った場合の電圧の実数成分. 赤線が RF による波形. 青線がビームによる波形.

と空洞壁による消費と, ビーム加速による消費により表される. 加速管中のビーム進行方向にIm(V) [MV]z をとり, α は減衰パラメーター, I0 はビーム電流, E は加速電場である. 左辺の全微分を展開

5
4

して

3

dP
∂P
∂P dt
=
+
,
dz
∂z
∂t dz

2
1
0

なので, まとめて

−1
−2
−3
−4
−5
0

(257)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2
t[μs]

図 52 ギャップのあるパルスの加速のため,

∂P
1 ∂P
+
+2α(z)P (z, t)+I0 E(z, t) = 0,∂z vg (z) ∂t(258)を得る. vg は加速管中での RF の群速度である. これを電場で表すと位相変調とギャップ変調を行った場合の電圧の虚数成分. 赤線が RF による波形, 青線がビームによる波形.

∂E
E dα
1 ∂E
−
+
+ α(z)E(z, t) + I0 αr0 ,
∂z
2α dz
vg ∂t
(259)
となる. ここでL-band および S-band の進行波型加速管が使用される. 電子ドライブ方式のビーム電流はお
よそ 0.8A であるから, ビームローディングによる加速電場の低減が顕著におこるため, その補償を行う必要がある.
一方, アンジュレーター方式の場合はブース
ターは主ライナックとほぼ同様の L-band 超伝

E2
P =
,
2αr0

(260)

E ∂E
∂P
=
,
∂z
2αr0 ∂z(261)

より等を用いた. r0 は単位長さあたりのシャントイ
ンピーダンスである. また定加速勾配の条件

導加速器が使用されるる. ビーム電流はおよそ0.01A であり, カップリングベータが 1000 程度

dα= −2α(z)
dz

(262)

より,

のように定義する. u(t) は階段関数である. す1 dαα(z) −= 0,
2α(z) dz

(263)

なわち t = 0 で RF 入力を開始し, t = ti でビー
ム加速を開始する. 各々のラプラス変換はとなるので, 式 (259) の第二項と第四項はキャ

E0
,
s
I0
I(s) = e−sti ,sE(s) =

ンセルしてゼロとなる.
式 (259) の両辺をラプラス変換すると∂E(z, s)s
+ E(z, s) + αr0 I(s) = 0, (264)∂zvg
ここで変数 s はラプラス変換での変数である.

(265)

0

加速管全体での加速電圧は [26]ωL1
ω E(s)−2τ
Q(1 − e
)s+ Q


ω
ωr0 L
× 1 − e−(s+ Q )tf −I(s)2Q(1 − e−2τ )s"#−stf −2τ
ω
ω(1
−
e
)
× 1 − e− Q tf −. (266)ωQ(s + Q)V (s) =

ここで τ は加速管内での RF の減衰を表すパラ
メーターで

Z L
τ≡

α(z)dz,(267)0で定義される. また充填時間 tf は RF が加速管を通過する時間で

Z L
tf =
0

1
dz,
vg

V (s) =

ω
tf ,
Q

ωL
1
E0
−2τ
Q(1 − e) s + ω/Q s
× 1 − e−(s+ω/Q)tf

ωr0 L
I0 −stie−2τ2Q(1 − e) s2ωω(1 − e−stf −2τ )
−Q
tf
−
× 1−e
, (274)Q(s + ω/Q)−となる. これを時間ドメインにラプラス逆変換
すると



ω
E0 L
−Q
t
1−e
u(t)
V (t) =
1 − e−2τω(t−tf )−Q−2τ−eu(t − tf )
1−e


ω
r0 LI0ω −2τ
−Q(t−ti )(t − ti ) + 1 − e−− e
2(1 − e−2τ )Q
r0 LI0× u(t − ti ) +2(1 − e−2τ )ω− e−2τ (t − ti − tf )Qhiω(t−ti −tf )
−Q
−2τ
+e
1−e
u(t − ti − tf ),
(275)

(268)
となる.

として求められる. CG 加速管の場合は

2τ =

(273)

となるので, 代入すると両辺を z について積分するとE(z, s) = E(0, s)estz − e−stz r0 I
Z z
×estz α(z)dz,(272)

ここで, t < tf とすると, 次式を得る. これは(269)

RF を入力し始めてから, RF が加速器内に充填されるまでの過渡的状態をあらわす.

である. ここで, 入力 RF により発生する電場

V (t)およびビーム電流を=ω
E0 L 
−Qt1−e, (276)1 − e−2τ

E(t) = E0 u(t),(270)

RF 入力後, ビーム加速を行わなければ加速電圧

I(t) = I0 u(t − ti ),(271)

は一定となる. この時の加速電圧の時間変化をダンス r0 = 5.7 × 107 Ω/m, 加速管長は 3.0m,
群速度平均で 0.015c の定勾配型を仮定してい6

V (eV)

図 (53) にしめす. この例ではシャントインピー

90 ×10RF with Beam

80
70
60

る. 以下, 同様のパラメーターを利用する.
式 (275) において, ti = tf , tf < t < 2tf と

50
40
30

すると, 次式を得る.

2010r0 LI0V (t) = E0 L −
2(1 − e−2τ )


ω
ω −2τ
−Q
(t−tf )× − e(t − tf ) + 1 − e
.
Q
(277)
この式は, RF 充填が完了すると同時に, ビーム加速を開始した場合の加速電圧の変動を示している. 式からわかるように, 時間とともに加速

0

0

0.5

1

1.5

2
micro sec

図 54 矩形波の RF パルスを印可し, 充填時
間後に矩形波のビームを入力した場合の加速管一本あたりの加速エネルギー.
り

ビームによ

加速電場は減衰するが, ビームによる消費電力を含めてバランスがとれた段階で一定となる.

電圧は変化し, 一定とならない. これがいわゆるビームローディングと呼ばれる現象である.
ビーム加速を開始してから, 充填時間が経過す

11.2.1 振幅変調によるビーム負荷補償
ビーム加速を開始してから充填時間が経過する間の電圧変化を打ち消すような RF の制御をると電圧は一定となり, その値は考える. 以下, RF 入力開始後, 充填時間が経過

V (t) = E0 L−

r0 LI0(1−e−2τ −2τ e−2τ ),2(1 − e−2τ )(278)

した後にビーム加速を開始するものとする.
ビーム加速を開始すると, 加速管壁での消費である. 図 54 にその時の加速電圧の時間変化を電力に加え, ビームが持ち去る電力だけ消費電示す. ここではビーム電流は 3.2/6.15 × 1.5 =力が増えるから, それを補うように入力 RF パ

0.78A としている.

ワーを増大させなくてはならない. そこで RF
入力を電圧にして次のように変化させる.

E(t) = E0 u(t) + E1 u(t − tf ),

E(eV)

6

90 ×10(279)80すなわち, 加速電場は t = tf で不連続的に E17060だけ増加させる. この時, E1 の値は, ビーム加50速する直前に生じていた加速エネルギー, すな

40

わち E0 L をビームローディングのある状態で30
20再現するような値に設定する.

10
0

0

0.5

1

1.5

2
micro sec

この時, 前節と同様に加速電圧を求める. 電圧のラプラス変換は

図 53 矩形波の RF パルスを印可した場合の加速管一本あたりの加速エネルギー.

E(s) =E0
E1 −stf
+
e
,
s
s

(280)

となる. これを式に代入すると式 (281) を得る.

に戻して, 式 (282) を得る. ここで tf < t < 2tfとすると式 (283) となる.

Step RF Mod
6

Pin (W)

式 (281) をラプラス逆変換により時間ドメイン

120 ×10100を得る. この時,80

ビームが無い状態と加速電圧を同じにするために, 次の条件を満足するように E1 を決定する.

r0 I0
E1 =
2




2τ e−2τ−1 ,1 − e−2τ

60

40

(284)

この時の結果を図 55 にしめす. 破線がビーム加速しない場合に発生する加速電圧, 破線がビー
ムによる電圧降下（ビームローディング）, そし

20

0

0

0.5

1

1.5

2
micro sec

図 56 RF パワー入力変調の様子. ビーム加速と同時にパワーを階段関数的に増大させる.

て実線がビーム加速した場合の加速電圧を表す.
また, その時の入力 RF の変調の様子を図 56 に示す.

ワーが食われることにより電場は減少する. し120 ×10

かし振幅を増大させた RF の充填が進むにつれ

100て, 電場はビーム加速前の値に戻っていく.

V (eV)

680

この過渡的なビームローディングを抑制し,

60

完全にビーム加速電圧を一定にするには, 上で40行ったビームと同期したような矩形波の振幅変20調に加え, 振幅を増大させた RF が充填される

0までの過渡的状態を補償する波形を加えなくて

-20
0

0.5

1

1.5

2
micro secはならない. 加える波形は, ビーム加速開始から充填時間が経過した後にはゼロとなる必要が

図 55

ビーム入射と同時に, RF の振幅を増大させた場合の加速エネルギーの変化. ビーム
加速を開始してから充填時間が経過した後は,ある. 式 283 をよく見ると, ビームによる電圧変動成分は, 指数関数項と線形項からなる. こ

加速開始直前の加速電圧に回復しているが, 一れに対して, 矩形波の変調項は指数関数項のみ

時的な電圧低下が生じる.

を含むため, 補償が不完全であることがわかる.
ビームローディング由来の二つの項を補償する

この結果から明らかなように, ビーム加速をために, 矩形波に加えて, 線形の振幅変調が必要

開始してから充填時間が経過した後は, RF パ

である. 具体的には RF 入力を電圧にして次のワーを増大させたことにより, ビームによる消ように変化させる.

費電力を補い, 加速電圧が一定となっている. しかしビーム加速を開始してから充填時間が経過する間, 過渡的な加速電圧の変動が見られる. こ
れはビーム加速を開始した時点では加速管に充E(t) = E0 u(t) + E1 u(t − tf )+E2 (t−tf )u(t−tf )+E2 (t−2tf )u(t−2tf ),(285)

填されているパワーは, ビームが無い状態で所

すなわち, 加速電場は t = tf で不連続的に E1定の電場を維持する値であり, ビーム加速でパだけ増加させ, さらに時間の一時関数で振幅 E2



 

E0
E1 −stf+e× 1 − e−(s+ω/Q)tf
s
s


ω
ωr0 L
I0 −stfω(1 − e−stf −2τ )
tf
−Q
−
e
−
, (281)1−e2Q(1 − e−2τ ) s2
Q(s + ω/Q)

ωL
1
V (s) =−2τQ(1 − e) s + ω/Q

V (t) =




i
ω
ω
E0 L h−Qt−Q(t−tf )
−2τ
1
−
e
u(t)
−
e
1
−
e
u(t
−
t
)
f
1 − e−2τ
h



i
ω
ω
E1 L
−Q
(t−tf )
−Q
(t−2tf )−2τ
+1−eu(t − tf ) − e
1−eu(t − 2tf )1 − e−2τω
r0 LI0
ω −2τ
−Q(t−tf )
−
−
e
(t
−
t
)
+
1
−
e
u(t − tf )f2(1 − e−2τ )Qωr0 LI0ω −2τ
−Q(t−2tf )−2τ
+− e(t − 2tf ) + e(1 − e) u(t − 2tf ), (282)2(1 − e−2τ )
Q




ω
ω
LE1 
r0 LI0
ω −2τ
(t−tf )
(t−tf )−Q
−Q
V (t) = E0 L +
−
,
1−e
− e
(t − tf ) + 1 − e
1 − e−2τ
2(1 − e−2τ )Q(283)の次元は電場/時間である. これらのラプラス変
換は

6

V (eV)

でランプさせる. 図 57 にその様子をしめす. E2

120 ×10
100
80
60
40

Step RF Mod
Pin (W)6

120 ×10

20

100

0
-20

80
0

0.5

1

1.5

2
micro sec

60

図 58

40

追加波形を加えた振幅変調による加速

電圧の変化. 過渡的ビームローディングを完200

全に抑制して, 均一な加速を実現している.
0

図 57

0.5

1

1.5

2
micro sec

追加波形を加えた振幅変調の様子を入力パワーで表した. ステップ状の矩形波変調に加えて, 線形の項を加えている.

E(s) =E0
E1 −stf
E2+e+ 2 e−stf ,
s
s
s

(286)

となる. 計算が煩雑となるので, 最後の項はとりあえず無視する. これを式に代入すると式

り時間ドメインに戻すと, 式 (288) となる. をStep RF Mod
6

Pin (W)(287) となる. 式 (287) をラプラス逆変換によ120 ×10100

得る. ここで tf < t < 2tf とすると, を得る. こ
80の時, 次の条件を満足するように E1 および E2を決定すると, 式 (289) における時間変化は打6040

ち消される.

20

r0 I0
E1 =
(1 − e−2τ ),2E2 = −

0

r0 I0 ω −2τe, (290)
2 Q

0

0.5

図 60

1

1.5

2

2.5

3

3.5
micro sec

マルチパルスの場合の振幅変調による入力 RF パルス. パルス間隔が充填時間よりすると, 加速電圧は





L
Q
E1 − E2−2τ
1−eω
r0 LI0−= E0 L, (291)2(1 − e−2τ )V (t) = E0 L +短い場合は, 次のパルス開始時点では加速管の出口付近は変調された大パワーの RF が残っているので, 最初のビーム開始時点での変調よりも小さい変調で均一加速ができる.

となり, 時間に依存しない. 図 58 にその結果

ビームパルスが終了し, ビーム負荷が無くなを示す. 破線がビーム加速しない場合の加速電

ると加速電圧は上昇を始めるので, ビームパル

圧, 点線がビームによる電圧降下, そして実線がス終了の時点で入力 RF を P0 に戻す必要があ

ビーム加速した場合の電圧である. 図 57 に示しる. しかしその場合でも, 加速電圧が E0 L にもたような振幅変調をかけることで, 過渡的ビー

どるには充填時間が必要で, その間はやはり過ムローディングを完全に抑制できていることが渡的な電圧変動が見られる. 次のパルスが開始

わかる.

されるまでのパルス間隔が充填時間以上あれば問題ないが, 次のパルスまでの間隔が充填時間

Step RF Mod
Pin (W)6

120 ×10

より短い場合は, 加速エネルギーを均一化する

100

ためにはこの過渡的変動を補償しなければなら80

ない. この場合, ビーム加速開始の場合に生じる過渡的変動とは符号が逆となるので,

60

40

E(t) = E0 u(t) + E2 (t − te )u(t − te )200

− E2 (t − te − tf )u(t − te − tf ), (292)
0

図 59

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5
micro sec

マルチパルスの場合の振幅変調による入力 RF パルス. パルス間隔が充填時間よりという変調をかければよい. ここで te はビーム
パルスが終わる時間である.

長い場合は, 次のパルス開始時点での加速管内

このような変調をかけておけば, 次のパルスの状況は最初のビーム加速開始時点と同じでの開始時点で加速管に生じている電場の積分値,あるので, 振幅変調は単なる繰り返しである.

すなわち加速電圧は最初のパルス開始前の状態と同じであるから, あとは同じ RF 変調を繰り
E0
E1 −stf
E2 −stf +e+ 2e
1 − e−(s+ω/Q)tf
s
s
s


ω
ωr0 L
I0 −stfω(1 − e−stf −2τ )
tf
−Q
−
e
−
, (287)1−e2Q(1 − e−2τ ) s2
Q(s + ω/Q)

ωL
1
V (s) =−2τQ(1 − e) s + ω/Q

V (t) =






i
ω
ω
E0 L h−Qt−Q(t−tf )
−2τ
1
−
e
u(t)
−
e
1
−
e
u(t
−
t
)
f
1 − e−2τ
h



i
ω
ω
E1 L
−Q
(t−tf )
−Q
(t−2tf )−2τ
+1−eu(t − tf ) − e
1−eu(t − 2tf )1 − e−2τ



ω
E2 L
Q
−Q
(t−tf )
+
(t
−
t
)
−
1
−
e
f
1 − e−2τωωE2 Le−2τQ
−Q(t−2tf )−(t − 2tf ) −1−eu(t − 2tf )1 − e−2τ
ω


ω
ω −2τ
r0 LI0−Q(t−tf )−
− e(t − tf ) + 1 − eu(t − tf )2(1 − e−2τ )
Q

h
i
ω
r0 LI0
ω −2τ
(t−2tf )−Q−2τ
u(t − 2tf ), (288)+− e(t − 2tf ) + e
1−e2(1 − e−2τ )Q

L
V (t) = E0 L +1 − e−2τ





ω
L
Q
(t−tf )
−Q+
E1 − E21−e
E2 (t − tf )
ω
1 − e−2τ


ω
ω −2τ
r0 LI0−Q(t−tf )
− e(t − tf ) + 1 − e−, (289)2(1 − e−2τ )Q

返せばよい. マルチパルスでの加速の場合の変調の様子を図 59 および 60 に示す. 各々パルス

12 ILC 陽電子源

間隔が充填時間より長い場合, および短い場合

ILC 陽電子源には, 電子ドライブ陽電子源, アの RF 入力波形である. パルス間隔が充填時間

ンジュレーター陽電子源, そしてレーザーコン

より長い場合は, 次のパルスが開始されるまで

プトン陽電子源という 3 方式が提案されてきに加速管内の状態は最初のビーム加速開始時点

た. 電子ドライブ方式は 3GeV の電子ビームをとまったく同じであるので, 変調の波形も全く用いることで陽電子を生成する方式であり, こ

同じ波形の繰り返しである. 一方, 次のパルスれまで多くの加速器施設で用いられてきた方式

が充填時間を待たずにして開始される場合, 加である. アンジュレーター方式はアンジュレー

速管内の末端にはまだ変調された RF パワーがター輻射から得られる高エネルギーガンマ線を充填されているので, 変調量はその分小さくて利用する方法で, これまでに用いられたことがよい.

ない新方式である. レーザーコンプトン方式は,レーザーコンプトンから得られるγ線を利用するもので,

一部では利用されているが, アンと, 直列システムの場合の復旧時間は並列シス

ジュレーターと同様に本格的に利用された実績

テムの三倍となる. 直列のシステムは並列のシはない.

ステムに比べて, 稼働率が低下しやすいという

アンジュレーター方式では偏極陽電子が得ら性質がある.

れることが利点であるが, 陽電子の生成のため

システムエンジニアリングの視点から ILC をに高エネルギーの電子ビームが必要なことが大眺めると（加速器はだいたいそうだが）, 電子側

きな制約となる. 専用の電子ビームを用意すると陽電子側が各々独立な直列システムとなってことはできないから, 主加速器の電子ビームをいることがわかる. 図 61 は電子ドライブ方式

利用する. 陽電子入射器が電子加速器全体に依を採用した場合の ILC のシステムダイアグラム

存することとなり, システム上の大きな制約とで, 電子側, 陽電子側が各々独立したシステムとなる. 加速器の稼働率は実効的なルミノシティ

なり, ２つの直列システムが並列に並んでいるを決める重要な指標であるが, 下に示すようにことがわかる. 一方で, 図 62 に示すように, ア

サブシステム間の依存性は低稼働率につながる.

ンジュレーター陽電子源を採用した場合は陽電加速器全体の稼働率 R は, 次の式で表される.

子生成に電子ビームが必要となるので, 電子主

M T BFM T BF + M T T R

加速器が陽電子側と結合し, 一つの巨大な直列

R=

(293)

システムとなっている. 詳しい分析を行う余裕

こ こ で M T BF は 平 均 連 続 稼 働 時 間 (MeanTime Between Failure) で, 故障やトラブルなくe- Inj

e- DR

e- ML
IP

連続的に運転できる平均時間ある. また MTTRは故障やトラブルから復旧に必要な平均時間である. 実際には定期メンテナンスなどを行うが,ここでは稼働率の計算に含めない.

e+ Inj

図 61

e+ DR

e+ ML

電子ドライブ陽電子源を採用した場合の ILC のシステムダイアグラム. 2 つの直列

MTTR はトラブルの深刻さなどにより時間システムが並列している.

が大きく変化するが, ここでは復旧後の加速器立ち上げ時間に着目する. MTTR はシステムが並列か直列かによって大きく異なる. 例えば

e- Inj

e- DR

e- ML

Und.
IP

システムが A, B, C という３つのサブシステム
からなり各々の復旧立ち上げに tA , tB , tC が必

e+ Inj

e+ DR

e+ ML

要とする. この３つのシステムが直列システム

図 62の場合の復旧時間 M T T RS は

場合の ILC のシステムダイアグラム. 全体がM T T RS = tA + tB + tC

一つの直列システムからなっている.

(294)となる. 一方, 並列システムの場 M T T RP は

M T T RP = max(tA , tB , tC )となる.

アンジュレーター陽電子源を採用した

(295)

は無いが,

アンジュレーター陽電子源を採用した場合の ILC の稼働率は電子ドライブ方式を採用した場合に比べて大幅に下がる可能性があmax() は最大の値をとる関数である.

る. したがってアンジュレーター陽電子源を採

各々のサブシステムの復旧時間が等しいとする用する場合には, 電子ドライブ方式に比べて, 各

サブシステムに対する MTBF は充分に低く抑図 46 に示されているパルス構造は DR に陽電える必要があることを述べておく.

子ビームが蓄積される際のパターンと同一であ

レーザーコンプトン方式では 4.8 nC というる. 従ってバンチ間隔の 6.15ns は加速 RF であ

ILC の大電荷バンチを実現するのが課題である.

る 1.3GHz のちょうど 8 分の 1 となっている.

コンプトン散乱の断面積が小さいため, 現在の陽電子源で使用する加速 RF もこの周期と同ところ 4.8 nC というバンチ電荷を実現する充期する必要がある. 電子ドライバーは 2.6GHz

分なガンマ線強度を得る見通しが立っていない.

の S-band, 陽電子補足ライナックは 1.3GHz の現在の提案では光学空洞の蓄積された 1µm のL-band, 陽電子ブースターは 1.3 GHz と 2.6波長のレーザー光を電子蓄積リングを周回する

GHz を併用する.

電子ビームとの散乱によりガンマ線を繰り返し

DR にバンチを蓄積するパターンが図 46 と作成するが, 一回あたりの散乱から生成できるなる理由が面白いのでここで説明しておく. DR

陽電子数は 24 pC 程度である [27]. 4.8nC のには 1300 バンチが蓄積される. 主加速器で加バンチ電荷を得るためには生成された陽電子は速されるさいのバンチ間隔は 552ns （1.3 GHz

200 回にわたり重畳する必要があり, 実現のたの 704 周期）であるこの間隔のまま DR を設めには緻密な設計が必要となる.

計すると DR の周長は 220km と長大なものと

以下, 電子ドライブ方式とアンジュレーター
方式の ILC の２つの陽電子源について概説する.

12.1 電子ドライブ方式なるため, 蓄積のさいはバンチ間隔を 1/90 の6.15ns (1.3GHz の周期の８倍) で蓄積する.
DR の RF 周波数は 650MHz で, そのハーモニック数は 7044 である. そこに主加速器での図 63 は電子ドライブ用電子源の概要図を示

バンチ間隔である 542ns を入れていくことにししている. ドライブ電子用の電子ライナック, 陽

よう. 出射は入射の反対だからどちらでかんが電子生成部, 陽電子補足部, 陽電子ブースター,

えても同じである. 542ns は 650MHz で数える

ECS から構成される.

と 352 周期である. とりあえず 100 番目のバケ

図 64 は電子ビームドライブ陽電子源の時間

ツに陽電子を入れる. 次は 452 番目, 次は 804

ダイアグラムを示す. 1300 バンチの陽電子を番目と入れていくと, 20 バンチ目で 96 番目の60ms の時間をかけて生成し DR へとためていバケツに行き当たる. 次は 448, 次は 800 と, 前

く. すべてのバンチが入射された時点で DR でに入れたバンチの四つ前のバケツに入れていく

140ms 放射減衰のため蓄積し, その後 0.7ms かことなる. このように 1300 バンチを入れてい

けて ML を経由し衝突点に送られる. 1300 バン

くと, 33 バンチ（あるいは 32 バンチ）が４バケ

チのビームは 20 パルスにわけて生成する. 各々

ツごと（6.15ns）に並んだパターンが出来上がのパルスは 66 バンチを含むマルチバンチ構造

る. このようなパターンが出来上がった状態で,であるが, 図 46 のように間にギャップを含んで同様に取り出していくと, 主加速器で等間隔のいる. この 20 パルスは 3.3ms 毎に 300Hz で繰

552ns というパルスが出現する.

り返される. これに必要な時間が 60ms となる.

ポイントは（共通の約数を除いて）取り出し

各々のパルスは長さにして 0.5µs 程度である

間隔と DR のハーモニック数が互いに素の関係から, 常伝導加速器を使うほうが効率がよい.

にあることである. そのような関係にないと, 全図 63

電子ドライブ陽電子源の概念図. ドライブ電子用の電子ライナック, 陽電子生成部, 陽電子

補足部, 陽電子ブースター, ECS から構成される.

部のバンチを取り出すことはできない. ハーモ

Bremsstrahlung によりガンマ線を生成し, 同時

ニック数と取り出し間隔を決めれば自動的にパに対生成反応により電子・陽電子対を生成する.

ターンは決まってしまう. 電子ドライブ方式は陽電子の収束光学系としては, 二導体の Flux

加速に常伝導加速器を使うので, バンチ間隔をconcentrator を使用する. RF 補足は 1.3GHz

広くとってスカスカのパルスで加速するというの定在波型空洞を使用し, ビームサイズを抑えことができない. そのため, DR のパターンの一るために全体が 0.5 T のソレノイド場に入れら部を切り取ったものをそのままパルス構造としれている.

て生成する.

図 46 に示されたパルスを 20 個並べると 1300
バンチとなり, DR が満杯となる. この陽電子
200

0.7

199.3

入射器はこのパルスを 3.3 ms (300 Hz) ごとに0.7生成して DR へと入射する. これに必要な時

60間がおよそ 63 ms である. 図 64 は陽電子入射ML

器の時間ダイアグラムを示す. 陽電子入射前にDR

DR 内に貯められている陽電子はすべて主ライPIms

図 64 電子ビームドライブ陽電子源の時間

ナックへと取り出されて空となるが, それは陽電子の出射と入射のパターンが異なるからであダイアグラム. 1300 バンチの陽電子を 60ms

る. 63 ms かけて陽電子を DR に貯めて, そのの時間をかけて生成し DR へとためていく.

後 130 ms かけて陽電子を放射減衰させてさらDR で 140ms 放射減衰のため蓄積し, その後
0.7ms かけて ML を経由し衝突点に送られる.

に飼いならし, 主加速器へと送る.
以下, 陽電子生成について順を追って説明する. 詳しい設計については文献 [18] にまとめら

このように決まったパルス構造の 3 GeV の電子ビームを生成し, W-Re 標的に打ち込み,れている.

12.1.1 電子ドライバー

12.1.2 陽電子生成標的

電子ドライバーは図 46 のパルス構造を有し陽電子生成標的は 16mm 厚の W-Re 合金をた 3 GeV の電子ビームを生成する. バンチ電荷利用する. W-Re 合金は SLC[2] の陽電子源では陽電子生成率を 1.2 とすると 4.0 nC となる.

使用されたもので,バンチ間隔が 6.15 ns であるから, ビーム負荷

陽電子生成に利用された実績をもつ. 事前のテ

電流は 0.65 A となる. これは大きな値とは言えストで 70 J/g[31] という破壊限界を持つとさないが, ビーム負荷の補償が必要である.

れ, SLC ではその半分の 35 J/g で運転され, 数

電子は 2.6 GHz の S-band RF 電子銃により今までに最も高い負荷で年間使用されている.

生成される. カソードとしては CsTe[28] ある

図 65 は標的の断面の概念図 [32] である. 標

いは CsKSb[29] を用いる. CsTe の場合, 励起

的は 5 m/s の接線速度で回転する. 標的直径は

レーザーは UV 領域, CsKSb ならば可視光領域

50cm で,となる. レーザーシステムを考えると CsKSb

およそ 200rpm で回転する. リムは銅の円盤にのほうが優れているが, 運転寿命などを総合的固定されており銅は水冷されている. 回転軸中に勘案して選択する. RF 電子銃は定在波型空心は水路となっており, 外部から水を流し冷却洞であるから, ビーム負荷は 11.1 で説明した方する. 真空封止は回転軸と容器の隙間を磁性流法で補償可能である.

体で塞ぐことで行う. 回転させるのはビームのW-Re のリム型の標的が真空中で加速には 3m の S-band 2.6GHz の進行波型

負荷を分散させるためである. 陽電子は 3.3ms

加速管を利用する. KEK-ATF で開発されたごとに 66 バンチがやってくるが, 標的の速度を2856MHz の 2π/3 モード空洞 [30] を, 周波数考えると 66 バンチは一箇所に集中し, 次のパルスケールして利用する. ここでもビーム負荷のスの陽電子は 16.5mm ほどずれた場所に移動す補償が必要であるから, 11.2 で説明した方法でる. ビームパワーは 70kW であるが, およそそ補償する. これらの方法では２つのクライスト
ロンからの出力を合成して利用するが,一つの加速管に二台のクライストロンは贅沢である
ので, 二台のクライストロンの合成をさらに四分割して加速管へと入力する. S-band の高出
力管は 80MW 程度を出力可能であるので, 加
速管一本あたりのパワーは 10% のパワーロスを考慮して 36 MW となる. 0.65 A のビーム負荷がある場合の加速管一本あたりの加速電圧
は 26.6MV となるから, 全部で 113 本の加速管が必要となる. 仮に 30RF ユニットを仮定す

図 65 標的の断面図. W-Re のリム型の標的

ると, 必要なクライストロンは 60 本, 加速管はが真空中で回転する. リムは銅の円盤に固定

120 本, 加速エネルギーはおよそ 3.2 GeV となされており銅は水冷されている. 回転軸中心

る. Lattice はライナック前半は 4Q+2S, 後半

は水路となっており冷却水を循環させる. 真を 4Q+4S とする.

空は回転軸と容器の隙間を磁性流体で塞ぐことで行う.

の半分の 36kW が標的の熱負荷となる. 図 66
は運転中の標的の温度分布をみたもので, 冷却水 25◦ を 60 l/min を流している.

瞬間最大温度は 360◦ 程度である. 赤や黄色のスポットは温度の高い部分を示し, 各パルスがそこに入射し温度が上昇していることをしめす. このように負荷としては 66 バンチの効果が重畳すると考えて良い. 瞬間最大応力は 470 MPa となっ
図 67 標的の PEDD の深さ方向の分布説明する. 磁性流体シールとは一言で言えば鉄の粉を有機溶媒に混ぜたコロイドの液体で,磁石にまとわりつく性質を利用して真空シールとして利用する. 回転軸と容器のすき間に磁性流体を流し込み, シール部を囲むように磁石を環状に並べると円周を隙間なく磁性流体が覆う.
回転軸と容器は接触していないから, 自由に回転できる.
有機溶媒を真空中に持ち込むことに, 真空の
図 66 20 パルスの電子ビームがターゲットに専門家ほどアレルギー反応を起こすようである.

照射された直後の温度分布.

磁性流体による真空シールは長い実績をもつデバイスで, 回転機構を持つ真空機器にはよく使ており, 疲労限界 520 MPa を下回っている. こ

われているデバイスだ. 民生用の X 線生成用のれらの推計にはパルスあたり 2600 バンチを仮

回転標的の回転軸の真空封止に使われている.

定しており, 1300 バンチの運転には余裕がある

そこで回転軸のプロトタイプを利用し, 真空が, 2600 バンチの場合は疲労限界が近い条件と封止試験が行われた. その試験では 225rpm のなる.

回転速度で軸を回転した状態で, 真空圧力, ガ

図 67 はビームが標的に与えるエネルギー密ス放出係数などが測定された. 真空封止ユニッ

度 (Peak Enery Deposition Density, PEDD)

トは流体が蒸発してしまうため真空焼き出しがの深さ方向の分布である. この値は 66 バンチ

できないが, その状態で 100 l/s のイオンポンが重畳した場合である. シャワーが発達するにプの排気により 5.0 × 10−7 Pa を実現している.

つれて密度があがり, ピーク値は 33.6 J/g であ

磁性流体シールからのガス放出係数を求める

る. ターゲット厚みは 16mm であるが, 出口のと 5 × 10−8 P a.m3 /s となるので, この値を仮密度が少し下がっているのは, 最下流では後方定し, 実際の標的直下に設置される第一加速管

散乱が無いことによる.

における真空圧力をもとめたものが図 68 にし真空封止に利用する磁性流体シールについてめしてある. 標的の真空ポンプや, 各部のコンダクタンスを考慮すると加速管における圧力は流すことで磁場を生成し, 第二導体に誘導電流

7 × 10−8 ∼ 4 × 10−9 P a となった. 加速管の運を作り出す. 図 40 に示されているように, 誘導

転には支障がないことがわかる. ここで求めら

電流は第二導体の内壁に沿って流れる. 図 69

れたガス放出率は系全体の値であり, 実際にはの中央部の台形の部分はスリットになっており,

シール本体からはその一部であることを注意し絶縁されている.

ておく.

図 68

測定されたシールからのガス放出係数をもとに推測した各部の真空圧力.

磁性流体シールの放射線損傷による劣化試験が, 量研機構高崎のコバルト 60 照射施設で行わ

図 69 FC の断面図. 下部のコイル状の第一導体にパルス電流を流すことで磁場を生成し,れた. そこではシールユニット全体に 4.7 MGy

第二導体に誘導電流を作り出す.

の放射線量が照射された. この値は ILC の 6 年

内壁にそって誘導電流が流れ, 円錐形の空間に間の運転に相当する量である. このユニットを第二導体の磁場が誘起される.

用いて, 通常の三倍である 600rpm までの回転テストを実施したがシール性能の変化は確認されなかった.

シール材は充分な放射線耐性を

図 70 はモデル化された軸上の磁場分布を表したものである. z = 0 が FC の入り口断面

持っている [18].

の位置を示しており, 漏れ磁場の影響で z = 5

12.1.3の場所が最大磁場 5T となっている. 標的下流

Flux Concentrator

図 69 は Flux Concentrator の断面図を表す.

部断面の位置は入り口から-1 mm あるいは-2採用する FC は二導体タイプである. ビームはmm に置かれるため, 標的上の磁場は 1T 程度

右から左に向けて飛来し, 標的に照射され, そのである.

下流に FC が配置される. 標的の左側にある円FC には 14kW のジュール損失と 6.4kW の錐形の空間がビームが通過する空間であり, 軸ビームからの負荷が熱として加わる. 図 71 は冷

上磁場が誘起される. 磁束の保存則により, ア

却についてのシミュレーション結果である [33].

パーチャーの小さい場所では磁場は強くなり,

ビーム負荷が集中する最上流部の温度が最も高大きい場所では磁場は弱くなる. 下部が第一導

くなっており, そこが 75/ circ となっており, 充体であり, このコイル状の導体にパルス電流を分に通常の水冷構造で冷却可能であることがわ波型空洞からなる. 図 72 に Superﬁsh[34] で求めた電場分布を示す. 実際の構造はこれが 11個あり大きな加速セルと小さいアイドルセルが交互にならんでいる. π/2 モードの周波数が1.3GHz となるように合わせている. π/2 モードは郡速度が最大で, π もーどと異なり, 定在波
でもモード安定性がよいのが特徴だがセル間のモードの打ち消しが起こり, 実際に電場が立つ
図 70 FC の軸上の磁場分布を表したものでセルが一つおきとなる. そこで電場の立たないある. z = 0 が FC の入り口断面, 標的下流

セルをたんにパワーを伝搬するためとしてセル部の断面は入り口から-1 mm あるいは-2 mmの位置におかれる.

長を短くとり, 電場の立つセルのセル長を大きくとり, 加速効率を高めている. R/Q は 146Ω,

Q 値は 25000, 実効シャントインピーダンスはかる.

31.5MΩ/m である.
1.3−GHz TM010 APS Cavity F = 1300.0154 MHz

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0
0

2

4

6
8
10
12
C:\USERS\MASAO KURIKI\DROPBOX\APSCAVITY\SUPERFISHA=30NEW\APS2.AF 9−30−2020 11:42:40

図 72 設計した APS 空洞の Superﬁsh[34] による計算結果.

FC と同様に加速管における温度分布を求めた. RF による負荷は小さくビームによる負荷が支配的である. その値は第一加速管で 17kW
図 71 FC の熱解析. 導体に設置したチャンネル部に 25◦ の冷却水を流し, ジュールロスとビームの負荷を仮定した場合の温度分布を求となる. 図 73 にその結果を示す [33]. ビーム軸と平行に複数の冷却チャンネルを通した構造で,めたもの. 最大の温度上昇は最小アパーチャー最大となる温度上昇はアイリス部の 40◦ であっ部で 50◦ 程度.

た. 冷却そのものはなんの問題もないが, この温度上昇による RF 特性の変化は慎重に検討する

12.1.4 補足線形加速器必要がある.

補 足 線 形 加 速 器 は 41 台 の 1.3 GHz

陽電子には減速キャプチャーが適用される.

APS(Alternate Periodic Structure) 型の定在

その様子を横軸に z, 縦軸に相対的なエネル

速され始めているのがわかる. 図 76 は後半部に

図 73 第一加速管の冷却シミュレーション.
ビームにる 17kW の負荷が支配的である.

ギーの δ をとり表示する. 図 74 は標的から出た直後の陽電子の分布でピークは z = 0 の低エ
ネルギー部にあるものの, 高エネルギーに長いテールを引いているのがわかる. 図 75 は補足線

図 75

補足線形加速器初段部における陽電子分布.

おける陽電子分布で, 陽電子のほとんどはすでに減速位相を抜けて, 加速位相に移動しているのがわかる.

加速位相に移動した時間に従いエネルギーと位置が変化しており, RF による加速を表す三角関数の曲線がみてとれる. 図 77

図 74

標的直後の陽電子の分布

形加速器の初段部における陽電子分布で, 高エネルギーに広がっていたテール部分の陽電子が減速され, エネルギーが低減しているのがわか

図 76

補足線形加速器後半部における陽電子分布.

る. また陽電子のメインの部分は位相スリップにより後ろに移動し, 加速位相の裾に乗って加は補足線形加速器出口における陽電子分布である. 加速が進み, 陽電子が RF 曲線にそって分布しているのがわかる.

図 78 APS 空洞における過渡的状態を等価回廊モデルにより表したもの. ビーム加速開始と同時に位相変調を適用している.

負荷電流をダイナミックに取り込んだシミュ
図 77

補足線形加速器後出口における陽電子分布.

レーションをおこなう必要がある. 一方で大量の粒子の作る電場をダイナミックに再現するシ

図 78 は, APS 空洞を等価回路モデル [35] にミュレーションの負荷は大きい. そこである値より再現し, ビーム負荷を含めた加速電圧の時のビーム負荷電流を仮定してシミュレーション

間変化を求めたものである [36]. ビーム負荷とを行い, その結果をもとにビーム負荷電流に摂しては 1A を仮定し, 11.1 で議論した位相変調

動をかけながら繰り返しシミュレーションを行による補償を適用した結果である. 入力パワー

い, ビーム負荷電流の見積もりとそれを伴ったは 22.5 MW で, ビームと RF の位相は π/6 とシミュレーションをおこなった. 図 79 にその結している. この結果,

加速電場のパルス内での果を示す. 横軸は空洞のインデックスで 1 が最変動は RMS で 0.05 MV 程度となり, ほとんど

上流, 36 が最下流である. 各線は各々の摂動後無視できることがわかる. ちなみにこのビームに求めたビーム負荷電流の値で, 三回目以降は変動は発生しているビート波によるもので, 加

よく収束していることがわかる.

速開始と同時に条件がかわることにより加速管

12.1.5 シケイン

内の電場のモードが変化し, その移行にともない発生していると思われる.

陽電子補足ライナックをでた後, 陽電子はシケイン軌道を通り, ブースターへと送られる.

図 79 は補足線形加速器にわたるビーム負荷

シケインの第一の目的は不要な電子を取り除き,電流である. ビーム負荷電流はビームの電荷量

ビームロスなどによる無用な放射化を防止するだけでなく, 粒子の進行方向の分布によって決こと, 加速器への負荷電流を低減することにあまるため, 加速管内の電場によって大きく影響るが, ここでは R56 , すなわち有限のモーメンタ

される. 一方, 加速管内の電場は入力 RF だけでムコンパクションが発生し, エネルギーによるなくビーム負荷電流と RF との位相関係によっ

長手方向の運動が発生する. 図 80 にシケインをてきまるため,

通過した後の陽電子の進行方向位相空間分布を

その正確な見積もりはビーム電子はブースターにより 5 GeV まで加速されるが, この時の z 方向の広がりがブースター出
口でのエネルギー広がりをほぼ決めている. 図

81 はブースター出口での陽電子分布を示したもので, 陽電子の主要な部分は頂点に来ており, そ
こから裾が左側に広がっている. シケインにより z 分布を改善することでエネルギー幅は大きく改善しているが, それでも ±2% 程度は広がっており, DR のアクセプタンスの ±0.75% には
図 79 補足線形加速器におけるビーム負荷電流.

収まっていない.

示す. 図 77 と比較すると明瞭であるが, エネル
ギーの低い粒子が遅れることで, 全体的に分布δ

が右回りに回転したように変化している. 図 77

0.3

70

0.2
60
0.1
50

0
−0.1

40

−0.2
30

−0.3
−0.4

20

図 81 ブースター出口における陽電子分布.

−0.5
10

−0.6
−0.7
−0.06 −0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0z (m)0.01 0.02 0.03 0.040図 80 シケイン出口での陽電子分布. モーメ

主要部分は頂点にあり, そこから裾が左にながれている.

12.1.6 陽電子ブースター

ンタムコンパクションの効果により分布が回陽電子ブースターは L-band および S-band

転し, 陽電子の z 分布の幅が狭くなっている.

の進行波型加速管からなる. ブースター前半はL-band 後半が S-band となる. これらの進行波
では陽電子の主要な部分は RF カーブの右側の型加速管のパラメーターを表 3 4 に示す. ブー

肩の部分に乗っており, シケインを通過するこ

スター全体は L-band の加速管 148 本, S-bandとでこの斜めの分布が直立している. 実はシケの加速管 108 本からなる.

インの設計は意図的にこの分布を立たせるようブースターライナックではビーム負荷補償のに調整されており, シケインによって陽電子のため振幅変調を行う. そのため補足線形加速器

z 方向分布は小さくまとめられている. この陽と同様に 2 つのクライストロンの出力を合成

Parameter

Numberunitに合わせると平均の加速勾配が低減するという

Frequency

1298

MHz

問題がある. このトンガリをすこし丸めて上部

Shunt Impedance

47.2

MΩ/m

を平らにし,

Aperture (2a)39.4 - 35.0mm

合わせ込むことで平均の加速エネルギーを上げGroup velocity

0.61 - 0.39

% of c

ることが可能だ. 図 82 でしめされたエネルギー

Filling time

1.32

µs

のバンチ依存性は, この次善的的なビームロー

Attenuation

0.261

Q value

20000

Length2.0

その値を RF のピークパワーにディング補償により発生したものである.

m

表 3 Parameters of L-band traveling wave

structure[37].

Parameter

Numberunit

Frequency

2856

MHz

Shunt Impedance

57.8

MΩ/m

Aperture (2a)24.28 - 20.3mmGroup velocity

1.24 (av)% of c

Filling time

0.507

µs

Attenuation

0.333

Length

1.959

図 82

ブースター出口におけるバンチの平均

エネルギーの依存性. 横軸はバンチの先頭からの位置を時間でしめしたもの.

m

表 4 Parameters of the S-band TW struc-ture (C-type)[38].

図 83 と 84 は各々ブースターの L-band お
よび S-band 加速管における加速電圧の時間変化で,次善的なビーム負荷補償を行った場合

し, それを四分割して一本の加速管に入力する.

の結果である. 各々 RF による電圧,

ビーム

L-band クライストロンは 50MW 出力, S-bandによる電圧, その空洞電圧が描かれている. 0.5

クライストロンは 80MW 出力であるから, 10%µs のパルスの平均加速エネルギーを求めるとの導波管による損失を見込み, 一本あたりの RF

L-band 加速管は 17.38 ± 0.17MV, S-band 加

パワーは L-band で 22.5 MW, S-band で 36

速管は 25.39 ± 0.24MV となる.

MW となる.

12.1.7ECS

図 82 はバンチ毎の平均エネルギーの依存性

ECS は 3 つのシケイン軌道と 4 つの 3m L-である. 11.2 ではビーム負荷による電圧変動はband 進行波型加速管からなる. ひとつのシケAM により完全に補正できることを説明したが,インは 18.6m で,この方法にはひとつ問題がある. 図 59 に必要なる. L-band 加速管は 4 つの Q を含む FODO

AM の波形を示しているがこの方法ではビーム

ラティスを形成し, 22.4m の長さである. 2 つ

加速開始のタイミングに一瞬だけ高いパワーののクライストロンが四台の加速管へとパワーをRF の入力が必要になり, 最大 RF パワーをここ供給する. ビームはゼロ位相に乗るので, 減速全体で長さは 55.8 m とな

V (MV)

25

0.015
45

20

40

0.01
15

35
0.005
30
δ

10

5

25

0

20
0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3
micro sec

図 83 L-band 進行波型加速管の加速電圧の−0.005

15
10

−0.01

5

過渡的変化. 0.78A のビーム負荷を仮定し, 次
善的なビーム負荷補償を行っている. バンチ−0.015−0.06毎の加速電圧は 17.38 ± 0.17MV.

−0.04

−0.02

0
z (m)

0.02

0.04

0.06

0

V (eV)

図 85 ECS 出口における陽電子分布. 点線は
30×10

DR のアクセプタンス.

625

12.1.820

Positron Yield

15

ECS 出口に到達した陽電子のうち, DR のア

10

クセプタンス内に入ったものが生成された陽電5子である. DR のダイナミックアパーチャー（ア0クセプタンス）は式 (173) に示されている. 陽
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2
micro sec

電子生成率は生成された陽電子数を入射電子数

図 84 S-band 進行波型加速管の加速電圧ので規格化した値である. 図 86 は横軸に標的の過渡的変化. 0.78A のビーム負荷を仮定し, 次

下流端面から FC の上流側端面までの距離をと善的なビーム負荷補償を行っている. バンチ

り, 縦軸に陽電子生成率をしめしたものである.

毎の加速電圧は 25.39 ± 0.24MV.

これから, 標的から FC までの距離が増えるに従いほぼ単調に生成率は減少していることがわは起きないがビームが生成する電磁場により位

かる. 1mm ではおよそ 1.3 という値が得られて相がずれていき, EC の線形性が損なわれ精度いる.

が悪化する. それを抑制するためにクライスト

図 87 はバンチ毎の生成率を示したもので, 図

ロンを一台追加し, ビームの電磁場と逆位相の82 の影響でどの程度生成率に影響するのかを示

RF を入力してビーム負荷の効果を打ち消す.

したものである. バンチ毎のエネルギー変動に

図 85 は ECS の出口における陽電子分布であより生成率が数 % 程度変動していることがわ

る. 点線で描かれているのが DR のダイナミッ

かる. 陽電子のバンチ電荷が揺らいだ場合, 主クアパーチャーで定義されるアクセプタンスで加速器での加速, そして IP におけるルミノシ

ある. ECS により陽電子の主要部分はアクセプ

ティへの影響が懸念される. 主加速器におけるタンス内に入っていることがわかる.

加速勾配への影響はこの程度の密度変動であれ

た電子ビーム (125 GeV - 250 GeV) が超伝導
ヘリカルアンジュレーターを通過する. そこで発生した 10MeV 以上のガンマ線が標的にあたり, そこで対生成反応を生じ電子・陽電 子を生成する. L-band の常伝導定在波および進行波
加速空洞からなる Capture RF により 125MeV
まで陽電子は加速され, その過程で RF 補足される. 下流にはシケイン軌道が設置され, シケイン部にやはり L-band 常伝導加速空洞からな
図 86

陽電子生成率を標的から FC までのすき間の大きさの関数として表したもの.

る前置加速器が設置されている. シケイン軌
道で空いた超前方の空間にはフォトンダンプが設置され, 標的からすり抜けたガンマ線をそこばほぼ無視できるようだ. 一方で, ルミノシティ

で吸収する. 光子は光学的に曲げることができへの影響はまだきちんと評価されておらず, こ

ないため, このような配置を取らざるを得ない.

れからの課題である. 場合によっては, ブース

シケインでは電子は逆向きに曲げられるため,ターにおけるビーム負荷補償の精度をあげる必

逆側には電子用のダンプが設置される. 陽電子

要がある.

ブースターは主線形加速器とほぼ同等な超伝導加速空洞からなり, 5GeV まで陽電子を加速する. ブースター出口のアークと DR 入射前のRF セクションで ECS を形成し, エネルギー幅を圧縮して, DR のアクセプタンスへと陽電子を収める. 電子と同様に, アーク部とソレノイ
ドローテーターによりスピン量子化軸を直立させてから DR へと入射するが, 後述するように
アンジュレーターからの光子は偏極方向を変えることができない. そのため, この部分は二重化されており, 回転角が 90 度と 270 度の 2 つ
図 87 バンチ毎の生成率を示したもの. 標的のソレノイドローテーターが並んでいる. 高速

から FC までのすき間は 1mm としている.

スイッチ可能な二重極磁石により, パルスごとに通過するスピンローテーターを変えることで,12.2 アンジュレーター方式
アンジュレーター方式は, 100GeV を超える

パルスごとの偏極方向 (上, あるいは下) を切り替える.

高エネルギー電子ビームによるアンジュレー

図 89 にアンジュレーター陽電子源のタイミ

ター輻射を利用してガンマ線を生成し, 対生成

ングダイアグラムを示す. 青色で示された DRにより陽電子を得る. ILC 陽電子源では, 衝突に溜まっている電子が ML に入り, 陽電子を生用の電子ビームを利用する. 図 88 に概念図を示成する様子を矢印で表している. その陽電子はす.

主ライナックで高エネルギーに加速され図 88 ILC アンジュレーター陽電子源の概念図

下側と同じものであるから, この図は 筒状につ互いに逆向きの電流を流すことでヘリカル磁場

ながっていると考えてほしい. 生成された陽電子は DR に貯められ, ML に送られると（実際には衝突相手となる電子ビーム）が新しい陽電子を生成する. アンジュレーター方式のオペレー
ションはこのように複雑なものとなる. 詳しい
同期条件などは 12.2.9 で説明する.

図 90 ILC 陽電子源で用いられるヘリカルア
ンジュレーター. 2 つのヘリカル型の導線がパイプに巻きつけられており, 互いに逆向きの電流を流して磁場をつくる.

200
0.7

199.3

軸方向成分の磁場は互いに打ち消し合い, 横方向成分の磁場が現
0.7

れる.
PI

（回転する磁場）を図 91 のように形成する. 2 つ

ML
DR
PI
ms

図 89 ILC アンジュレーター陽電子源のタイ
ミングダイアグラム. 衝突と同時に新しい陽電子が生成されるので, このダイアグラムは上辺と下辺がつながった筒状となっている.

以下, 個々のコンポーネントについて概説
する.

図 91

12.2.1 アンジュレーター

る磁場. 三角錘は磁場の方向を示す. 赤い管はアンジュレーターは超伝導のヘリカルアン

ヘリカルアンジュレーター内に発生す導線を表す.

ジュレーターである. 放射光用のアンジュレー
ターとは大きく異なり, 図 90 のように 2 つのの導線は各々軸にほぼ平行な磁場を作るが, そヘリカル型の導線が交互に巻きつけられており,の軸方向成分は電流が逆向きなため打ち消し合表5

アンジュレーターの主なパラメーター.

アンジュレーターと標的の距離はアンジューレターセクションの中間点からの距離である.

Parameter

numberunit

Beam energy

126.5

GeV

Undulator Length

231mUndulator period

11.5

mm

K parameter

0.92

Peak ﬁeld

0.86

T

1st harmonic energy

7.7

MeV

Average beam power

62.6

kW

Distance to target

401

m

図 92

アンジュレーターからの輻射のスペク

トラム. 横軸は光子のエネルギー. 黒, マゼン
タ, 赤, 青, 紫は各々電子のエネルギーが 50,

100, 150, 200, 250 GeV の場合のスペクト
ラム

う. 各々の導線は位相を 180 度ずらした形で巻きつけられているので, 横方向の磁場成分は残存し, 図 91 のような磁場が現れる.
電子ビームのエネルギーは 126.5GeV から

256GeV で, 重心系エネルギーの約半分となる.
正確に半分でないのは, アンジュレーターにおける輻射によりエネルギーが低減するからで,必要なビームエネルギーよりも輻射量の分だけ高くしておく必要がある.
表 5 に 250GeVILC におけるアンジュレー
ターのパラメーターをまとめる.

のはヘリカルアンジュレーターからの高次モードであり, 主要コンポーネントである基本モードはほとんど陽電子生成に寄与していない. ア
ンジュレーターによる陽電子生成が本来の性能を発揮できるのは, 200 GeV 以上の高いビーム
エネルギーであると言える.
ヘリカルアンジュレーターから得られる光子数はモードあたりの積分値で [39]dN
4 πα K 2=dL
3 λu 1 + K 2(296)

図 92 は異なる電子ビームエネルギーによとなる. すなわちパワーではなく光子数でみるアンジュレーターからの輻射スペクトラム

ると, そのフラックスは周期長と K 値のみにである. アンジュレーター輻射の光子エネル

より決定される. これはアンジュレーターの

ギーは電子のエネルギーの二乗に比例するため,長さあたりの放射パワーは電子ビームの二乗に150GeV を下回ると基本モードのカットオフエ

スケールして変化するのに対して, 放出されるネルギーが 10MeV を下回ってしまうので, 陽

光子あたりのエネルギーも電子エネルギーの二電子生成には適していないことを表している.

乗に比例するため, 光子数でみるとそれらの依250 GeV ILC のドライブ電子ビームのエネル

存性が打ち消し合いエネルギーに依存しないとギーである 125 GeV では, カットオフエネル

いう事実を表している. この式に K = 0.85,

ギーは 7.8 MeV 程度であり, 10MeV に届いて

λu = 11.5mm を代入すると, 光子数は 1.1/m

いない. 実際のところ, 陽電子を生成しているとなる. アンジュレーター長を 230m とすると,

電子一個あたりの光子数は 260 個となる. したEnergy Deposition Densyt, PEDD) はおよそがって, 2.0 × 1010 electron/bunch のバンチあ

60 J/g であり, Ti 合金の破壊限界よりも小さい

たり光子数は 5.2 × 10個となる. 実際には高値となっている. 図 93 は標的周りの配置を模式

次のハーモニクスによる寄与が加わるので, こ的に表したものである. 標的の冷却は放射によの値の数倍となる. 実際に補足される陽電子のりなされる. 熱輻射による放熱パワーは

12

数は電子あたり 1 のオーダーなので, ガンマ線
あたり補足される陽電子数は 10

−3

のオーダー

である. いかに陽電子生成が困難であるかがわ
かる.

P = 1

σ

A1
ϵ1 + A2 (1/ϵ2 − 1)

A1 (T14 − T24 ) (297)σ はステファンボルツマン定数, ϵ1 と ϵ2 は熱源と壁面の放射率, A1 と A2 は熱源と壁面の面積,

12.2.2 陽電子生成標的
生成標的において重要なことは陽電子生成効

T1 と T2 は熱源と壁面の温度である.

率を高めること, そして集中する熱負荷に対して耐えられることである. アンジュレーター方式の場合, 電子シャワーの成長がほとんど起らないので, 標的が厚くなるに従い距離あたりの陽電子生成数は指数関数的に減少する. また,発生した陽電子は標的中を進む間に捕獲されてしまうので, 得られる陽電子数は厚さあたりの陽電子生成数にほぼ近い値となる. 従って比較的薄い標的を用いるのが効率的である. 陽電子
生成標的には Ti-6% Al-4% V 合金を用いる.
この合金は平均の原子番号は小さいので陽電子生成の効率は若干下るが, 熱伝導特性が W 等に比べて良く, 熱負荷によるダメージに対して強いことが予測される. 厚さ 7mm, 0.2X0 相当である. これを接線速度 100 m/s で回転させ

図 93 回転する Ti 合金ターゲット周囲を冷ることにより熱負荷を低減し, 金属疲労等のダ却壁面が囲んでおり, 輻射により標的は冷却さメージを抑制する. 標的の大きさは半径 0.5m.

れる. 標的は半径 0.5m で, 2000rpm で真空中接線速度 100m/s を実現するため, この標的をを高速回転し, 接線速度は 100 m/s にもなる.

1000rpm で回転させる.
250 GeV ILC において, ガンマ線の標的におけるパワーはおよそ 70kW である.

ガンマ線

図 94 は運転中の Ti 標的の温度分布を回転
中 心か ら の 距離 r の関 数として示したもの.

のスポット径はおよそ 1.5mm, 実際に標的におr = 500mm がビーム照射位置である.

最も高

ちるパワーはそのうち 2.2 kW 程度であり, ほとい場合, 平均温度は 560 度を超すが, 同様の条んどは使用されること無く光子ダンプで吸収さ件でのビームテストをドイツのマインツ大学のれる. 標的のエネルギー付与のピーク値 (Peak

加速器 MAMI で実施し, その耐久性が確認されている [40]. このリムホイールデザインにおいて, 最大の平均温度上昇が 460K の場合, 発生すを多く含み, 時間が立つにつれて基本周波成分

る応力は 350M P a となり, 485K での降伏応力が支配的となる. この効果により, 表皮深さが500 MPa に対して尤度がある. 一方, 平均最大

時間的に変化し, 導体のインピーダンスが時間

温度上昇が 560 度の場合, 予測される最大応力的に変動するという問題を生じる. この効果に

430 MPa に対して, 降伏応力は 400MPa あた

より, Flux Concentrator に発生する磁場が時りであるからダメージが危惧される. 輻射率の間的に変動してしまい, 陽電子捕捉率もそれに正確な把握が重要である.

よって変動するという問題が明らかとなった.
現在の標準設計はピーク磁場 1T の QWT である. QWT を収束光学系に使用した場合, 電子
あたりの補足陽電子数は 0.8 程度と見積もられている [41]. ILC の要求仕様としてバンチあたりの陽電子数は 4.8nC と定められている. 本来のバンチ電荷は 3.2nC であるが設計指針として
すべのパラメーターで 50% の余裕をとるとされているので, 陽電子のバンチも 4.8nC まで生成可能としなくてはならない. 電子のバンチを

3.2 nC とすると生成される陽電子は 2.6 nC となり, 余裕を含んだ仕様である 4.8 nC はおろか
図 94 Ti 標的における温度分布を回転中心か設計の仕様である 3.2nC にも及ばない. 電子バらの距離 r の関数として示したもの.

ンチを 4.8 nC とすると 陽電子は 3.8nC となるから, 設計仕様は満たすが, 余裕を含んだ仕様は満たさない. この困難は 125 GeV へのビーム

12.2.3 陽電子収集光学系
アンジュレーター方式では, 陽電子収集光学系に技術的困難がある. 例えば Eddy current

エネルギーの低減, FC における磁場のパルス変動という２つを原因とする困難である.

を利用した Flux Concentrator に磁場を誘起す

現在, FC と同等の磁場を図 95 に示すようなるにはパルス電流を流せばよいが, 0.7ms とい

パルスソレノイドで実現することで課題を解決

う長いパルスに対応したパルス磁場を作ろうとすることが模索されている [42]. FC が時間変すると, その少なくとも数倍は長いパルスを印化する電流（磁場）が励起する誘導起電力を用加する必要がある. 導体に電流を流した場合, 電いていたのに対して, パルスソレノイドは電流

流のほとんどは表皮効果により表面のごく薄いをパルス的に印加するものの, 定常状態として領域のみを流れるが, その深さは発生した磁場を使用するもので, 時間的な磁場rd=

変動は大きく抑制されると思われる. 一方で,

2ρ
ωµ

(298)

0.7ms よりもかなり長い時間電流を流す必要があり, 時間あたりの稼働率が高くなり, アンペー

で与えられる. ρ は抵抗率, ω は角周波数, µ はル力（ローレンツ力）による破壊が懸念される.

透磁率である. パルス状の電流を流した場合,

また陽電子捕獲率を上げるには, 高速回転標

電流が流れ始めた瞬間の波形は高い周波数成分

流へ通過してしまう. そのまま加速器のコン
ポーネントを並べるとその部分は強く放射化されてしまうため, 標的を突き抜けた光子は速やかに吸収させなくてはならない. 一方, 光子は
角度広がりが極めて小さく, 光学素子で広げることができないため, ダンプへのダメージを防ぐためにには光子を 2km ほど走らせて, スポッ
ト径を広げる必要がある. 2km 下流でスポット
径はようやく 5mm(rms) 程度となる.
パルスソレノイドにより発生する磁場

光子ダンプには２つの提案があるが, 実現性のシミュレーション. 内径を変化させることが高いと思われるものはグラファイトをもちいで AMD としての磁場を生成する.

たものである [43]. 図 96 に断面図を示す. ダン

図 95

プに用いるグラファイトは厚み 10mm で, 冷却のために銅板に取り付けられている. 光子のエ的を磁場中におく必要があるが,標的は高い

ネルギー密度を低減するため, 光子軸に対して磁場に長時間さらされることとなり, 発熱によ

10 mrad 傾いている. 散乱成分を閉じ込めるた

る熱負荷の増大が発生し, 現在は放射冷却方式

め, 上側にもグラファイトを配置している.

で検討されている標的の設計を根本的にやり直す必要が出てくる可能性もある.

12.2.4 補足線形加速器
補足線形加速器として, L-band の常伝導加速器が使用される. 0.7ms という長いパルス構造を考えれば, 超伝導加速器が適しているが, こ
こでは陽電子の広がりを抑えるために全体にわたりソレノイド磁場がかけられる. 超伝導加速

図 96 グラファイトによる photon dump の構造. 各々のグラファイトの厚みは 10mm, 冷器は磁場と共存できないため, ここでは常伝導却のため銅の板と接している. 光子の軸に対加速管がつかわれる. 初段は 12MV/m 程度のしてグラファイト板は 10 mrad 傾いており,

L-band 定在波型加速管が使用される. 後段はエネルギー密度を減少させるようにしている

15MV/m 程度の L-band 進行波型加速管が使[43].

用される. 開口径の大きい L-Band 加速管を用
い, 陽電子の捕獲率をあげている. 常伝導加速管

図 97 は PEDD を示したもので, ピーク値はの安定した高勾配長パルス運転は課題であるが,83 J/cm3 である. 温度シミュレーションによ

ビーム負荷は小さいため補償の必要はない.

ると, ピーク値は 887K である. いずれもピー

12.2.5

ク値は光子が直接入射する部分で生じる. グラ

Photon Dump

アンジュレーターからの光子はパワーにしてファイトは放射線損傷により熱伝導度が劣化す

70kW であるが, 陽電子標的で対生成などを生ることが知られており, その効果を正確に見積じるのはほんの一部で, そのほとんど全ては下もる必要ある. 一方, 放射線損傷は一年間の運転により DPA(Displacement Per Atom)=0.3 と空洞と 1 台の四重極磁石が含まれる. 四重極磁見積もられている.

石の密度をエネルギーがあがるにつれて下げてDPA とは放射線の影響により弾き出し損傷をあらわす度合いで, DPA=1

いる.

はすべての原子が平均して一回の損傷を受けた

12.2.7 ECSことを意味する. DPA=0.5 が劣化の目安と考えると, 1 年程度で交換する必要がある.

ブースター下流のアーク部と RF セクション
により ECS が形成される. アーク部の偏向角は 23.787◦ に設定され, R56 は -0.75m である.

RF として 9 台の超伝導加速空洞が設置されその電圧は 225 MV である.

12.2.8Spin Rotator

ヘリカルアンジュレーターは円偏光したガン
図 97

グ ラ フ ァ イ ト に よ る photon dumpに お け る エ ネ ル ギ ー 付 与 密 度.

PEDD は

マ線を生成するので, その角運動量（運動量の方向に量子化したものをヘリシティという）は±1 である. このヘリシティを決めるものはヘ

83 J/cm3 である. [43]

リカルアンジュレーター内で回転する磁場の方向である. この回転方向が下流から見て右回り

12.2.6 陽電子ブースター
陽電子ブースターは主加速器とほぼ同様のであれば右偏光（スピン +1）, 左回りであれば

L-band 超伝導加速器が使用されるが, ビーム光

左偏光 (スピン-1) となる. この回転方向を決め

学的には 3 つのセクションからなる. ビームのているのは図 90 に示された導線の巻き方であ

幾何学的な大きさ σx,y はる.

s
σx,y =

この図のように巻いた場合, 電子が左から右に向けて通過するとすると, 磁場は下流からβ(s)ϵn(x,y)γ L βL(299)

見て左回りに回転して見えるので, 電子の運動
も左回り, 発生するガンマ線も左偏光となる. 電とエネルギーに依存して変換するから, エネル

流を流す向きを逆にしても, 発生する光子のヘギーが低い部分ではベータ関数 β(s) を小さくし

リシティは変わらない. 電流を逆にすることは,て, ビーム損失を防止している. ここで ϵn(x,y)

アンジュレーターの位置を半周期分ずらしていは規格化エミッタンス, γL と βL はローレンツ

ることと等価である.

因子である.

右偏光のガンマ線を発生させるには, 電子を

最初の 1083MeV までの部分は, 4 つのクラ

右から左にむけて通過させればよい. すなわち,

イオモジュールを含む. ひとつのクライオモ

通過方向を固定させた場合, アンジュレーター

ジュールには 6 台の超伝導加速空洞と 6 台のの巻き方によりヘリシティが自動的に決まるこ

四重極磁石が含まれる. 2507MeV までのセクとになる. これはスピンをもちいた測定に大きションは 6 台のクライオモジュールからなる.

な不都合となる. スピンを用いた測定では, ス

一つのクライオモジュールは 8 台の超伝導空洞

ピンを高速で反転させながら物理量のスピンのと 2 台の四重極磁石からなる. 最後のセクショ依存性を測定する. 一般的にその量は極めて小ンは 12 台のクライオモジュールからなる. 一

さいため, スピン以外の条件は変えずにスピン

つのクライオモジュールには 8 台の超伝導加速

の方向のみを変えて行わなければならない. ス

12.2.9Global Synchronization

ピンを固定し, その他の系を逆転することで同アンジュレーター方式では電子ビームによる

じ測定は原理的には可能だが, そのような場合,

陽電子生成を行うため, 電子側と陽電子側のタ系の逆転は大きな系統誤差を生じ, スピンの逆

イミング同期が必要となる. 電子側と陽電子側転による信号は誤差に埋もれてしまう.

のタイミングは, 加速器をビームが移動する時発生する陽電子のヘリシティは変えられない間で成約されるため, 加速器長がある条件を満ので, スピンの回転角を制御することで衝突点たしている必要がある. 図 99 に各加速器のセクにおけるスピン反転を行う. 偏向磁石の回転角

ション長を概念的に示す. 左側が電子, 右側がは軌道も変化させてしまうので, 回転角の制御陽電子で, L1 と L2 の境目にアンジュレーター

はソレノイドでおこなう. ソレノイドの磁場をがある. L4 はアンジュレーターから陽電子 DR

高速で切り替えるのは困難なので, 回転角が 90◦への長大輸送路である.

◦と 270 の 2 つのスピンローテーターを準備し,陽電子は電子により生成される. 衝突点で出軌道を振り分ける. 図 98 にスピン制御の概要を

会う特定の電子と陽電子のバンチを考える. こ

示す. ブースター出口のアークは 23.787◦ に設れを電子 1 と陽電子 1 としよう. 電子 1 と陽電定されている. 5GeV の陽電子のスピンは軌道

子 1 は衝突点 IP で衝突する必要があるから, 次が 7.929◦ 曲がる毎に進行方向に対して 90◦ 回の式が成り立つ.

◦◦転するので, 23.787 では 270 回転する. その◦陽電子を軌道を振り分け回転角が 90 と 270◦の 2 つのスピンローテーターを通過させると図のようにちょうど上向きと下向きのスピンが得

L1 + L2 = ∆1 + ∆2 + L3(300)

左辺は電子 1 が DR の出射点から IP まで走る
距離, 右辺は陽電子 1 が IP まで走る距離である. ∆1 は DR の出射点から入射点までの距離.

られる.

∆2 は入射点から陽電子 1 の初期位置までの距
離である.

陽電子 1 の初期位置は, 電子が DRの出射点にある時間で定義される. ∆2 は電子

23.787o側と陽電子側の相対的なタイミングにより調整できる値であるから, 式 (300) に従って ∆2 を調整する. 一方, 電子 1 は L1 と L2 の境界で陽270deg.

電子 2 をつくる. 陽電子 2 は L4 を通り, DR に
90deg.

入射されるが, 衝突と陽電子生成は同時に生じるから, DR にはまだたくさんの陽電子が入っている. 陽電子 2 が無事に DR に収容されるための条件が, 陽電子 1 がいた場所に入ることで

図 98

回転角が 90◦ と 270◦ の 2 つのスピンある. なぜなら, 陽電子 2 が生成され DR に到

ローテーターを用意し, 軌道を振り分けること着した時には陽電子 1 はすでに IP むけて出発

でスピン反転を実現する.

した後なので, その場所はすでに空いている. この条件は

L1 + L4 = ∆2 + nCDR

(301)

[2] SLC Design Handbook, SLC Report(1984).
[3] P. Yu and M. Cardona, “Fundamentals
of Semiconductors”, Springer (2001)
図 99

電子ビームによる陽電子生成を行うため, 電子側と陽電子側のタイミング同期が必要となる. 電子側と陽電子側のタイミングは, 加速器をビームが移動する時間で成約されるため, 加速器長がある条件を満たしている必要がある. 左側が電子, 右側が陽電子で, L1 と L2の境目にアンジュレーターがある. L4 はアン
ジュレーターから陽電子 DR への長大輸送路
である.

[4] M. J. Alguard et al., Phys. Rev. Lett.37,
pp1261(1976).
[5] K. Abe et al., Phys. Rev. Lett.74,
pp346(1995).
[6] K. Abe et al., Phys. Rev. Lett.75,
pp25(1995).
[7] K. Abe et al., Phys. Rev. Lett.73,
pp25(1994)[8] D. Shultz et al., ”The Polarized Electronである. 電子 1 が DR を出射した時には陽電子

Gun for the SLC”, Proceeding of EPAC

1 は入射点から ∆2 の位置にある. 電子 1 が L1

92, 1029-1031, 1992

を通り, 生成された陽電子 2 が L4 を通る間に,[9] T. Nakanishi et al.,”Polarized electron

陽電子 1 がいたバケツの位置が ∆2 + nCDR だsource for a linear collider in Japan”,

け動いていれば, ちょうど陽電子 2 は陽電子 1

NIMA 455, p109-112, 2000
[10] T. Nishitani et al., J. Appl. Phys. 97,

がいた場所に入ることができる.
式 (300, 301) がともに満たされる条件は094907, 2005[11] X. Jin et al.,Applied Physics Letters,

L3 + L4 ∆1 = L2 + nCDR

(302)

105, 203509(2014).
[12] W. Liu, et al., Appied Physics Letters,となる. 注意すべきはこの式はすべて物理的な109, 252104(2016).

距離（加速器セクションの長さ）で決まる量だ[13] K. Togawa et al., “Surface charge limit

けを含むことである. すなわち, この条件は物in NEA superlattice photocathodes of

理的な加速器長の調整によりなされなければな

polarized electron source”, NIMA 414,

らない. 実際には数 10km にもなる加速器のpp431-445, 1998

長さを 1mm を切るような精密な調整は不可能[14] G. Mulhollan et al., “Photovoltage ef-であるので, 大まなか長さ調整は設置時に行い,

fects in photoemission from thin GaAs

1mm を切るような精密な調整は調整用のシケ

layers”, Phys. Lett. A282, pp309-318,

イン軌道などビームの軌道長の微調整で行う.

2001

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