ネズミ算って知ってる？
— 等比数列と指数関数 —（2011 年 10 月 26 日

藤岡おもしろ数学教室）

東京大学大学院数理科学研究科

宮岡洋一

1. 等比数列とべき乗
ネズミ算は『塵劫記』（1627 年）という昔の数学書に載っている問題です．

問題 正月に父ネズミと母ネズミが出て，子供を１２匹（オスが６匹，メスを６匹）生みます．親と子と合わせて７つがい，１４匹になります．二月になると，親も子供も１つがいにつき１２匹ずつ生むので，全部で９８匹になります．このように，月に１度ずつ，親，子，孫，ひ孫，とみな１つがいにつき１２匹ずつ生むとき，翌年の正月には全部で何匹になるでしょう．
解答27, 682, 574, 402 = 2 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 匹

どうしてこのような解答になるのでしょうか？
次の月のネズミの数は，前の月の数の７倍になります．１月：2，２月 2 × 7，３月 2 × 7 × 7，... ですね．
（次の数字が，前の数字の一定倍となっているよ
うな数字の列を，等比数列といいいます．１ヶ月ごとに増えていくネズミの数は，等比数列です）．だから，１２ヶ月経ったときの数は，最初の数２に,７を１２回かけたものになるのです．
ところで，同じ数をたくさんかけあわせるとき，たとえば ２を 100 回かけるとき，２を 100 個，乗法の記号 × を 99 個書くのは面倒です．そこで2100のように表し，「２の 100 乗」のように読みます（英語では two to the hundredと言います）．一般に n という数を何度もかけた数，n, n2 , n3 , . . . を n のべき乗といいます．

たとえば 10 の１乗，２乗，. . .

（10 のべき乗）を調べてみると，101102103= 10= 10 × 10 = 100= 10 × 10 × 10 = 10001012···= 1, 000, 000, 000, 000ですね．また２のべき乗は，212223102=2=2×2=4=2×2×2=8···= 1024となります．この書き方を使うと，さきほどのネズミ算の答は 2 × 712ですね．等比数列は，べき乗を使うと，a, aq, aq 2 , . . . のように書き表すことができます．さっきのネズミ算だったら，2, 2 × 7, 2 × 72 , . . . となるわけですね．

10 のべき乗は，物理などで，大きな数字を表すときによくつかわれます．
• １リットルの水は，約 3 × 1025 個の分子
• 地球の質量： 約 7 × 1021 t• 光が１年間に進む距離 １光年：約 1013 km• 宇宙の大きさは約 500 億光年 = 5 × 1023 km
２のべき乗は，コンピュータや情報理論でよく使われています．
ところで先に見たように，210 = 1024 はほぼ 1000 = 103 です．この事実
は，たとえば地震のマグニチュード（正確にはリヒター・スケール）を決めるときに用いられています．実際，マグニチュードは次のように定められています．

• マグニチュードが 0.2 あがると，地震のエネルギーは２倍になる．マ
グニチュードが２あがると，エネルギーは 210 倍, つまり約 1000 倍になる．
そこで練習問題です．
問題

東日本大震災 (M 9.0) のエネルギーは，関東大震災 (M 7.9) のエネル

ギーの約何倍でしょうか？また想定されていた最大規模 M 8.4 の何倍でしょうか？

べき乗の性質は，なれないとちょっとつかみにくいところがあります．わかりにくさを逆手に取って，権力者にぎゃふんといわせた話が伝わっています．
昔，豊臣秀吉に仕えた御伽衆に，曽呂利新左衛門という人がいました．面
白いことを言って主人を喜ばせるのが仕事です．ある日新左衛門の言葉にすっ
かり機嫌がよくなった秀吉は，望むものを何でもやろう，と言い出しました．
そこで新左衛門は，褒美として最初の日は米１粒，２日目は２倍の２粒，３日目はさらに２倍の４粒，と日ごとに２倍の量の米粒を，１００日間もらうことを望みました．秀吉はなんだそんなことか，と簡単に承知したのですが，さてじっさいに計算してみると，
１日目

1粒（約 0.02g)

２日目

2

３日目

2 × 2 = 22 = 4

４日目

2 × 2 × 2 = 23 = 8···
１１日目

210 = 1, 024

２１日目

220 = 1, 048, 576

３１日目

230 = 1, 073, 643, 872 （約 22t)

４１日目

240 （約 22,000 t)（約 20g)（約 21kg)と，とんでもないことになることに家来が気づき，あわてて願いを取り消してもらったそうです．この調子で最終日まで計算を続けたとすると，100 日目には，米は 299 粒．重さに換算すると，約 1022 t で，地球全体よりも重くなってしまうのです．
日常生活で等比数列やべき乗が出てくるのは，利息計算です．
お金を借りたり，貸したりして，そのままにしおくと，利息にもまた利息がかかります（複利）．毎年利息分を払っていれば，２年間，３年間と借りても払う利息は１年の利息の２倍，３倍ですが，借りっ放しだと，利息分にも利息がつくので，返さなければならない金額は，もっと大きくなるわけです．
年利 １０ % で１０万円借金すると，７年後の借金は，(1.1)7 = 1.9487...
倍になり，８年後では (1.1)8 = 2.1435... 倍となる．払う利息は，7 年間で約 95%，８年間で約 114% ですね．１年あたりの平均利息では，それぞれ約12%，14% です．
問題 ７年半で１万円の借金が２倍の２万円になるとして，３０年後，７５年後には借金はいくらになるか？１年あたりの平均利息はいくらになるか．

平均利息は，それぞれ 50%, 1364% です．すごい金額ですね．

2. 負のべき正の整数 n = 1, 2, 3, ... に対して 2n を定義しましたが，０や負の整数に対しては，どうなるでしょうか．まずは下の表をよくながめてください．

5224···= 32= 162322=8=42120
2−1=2=?
=?

2−22−3=?
=?
···? のところには，どんな数字がはいるべきか，考えてください．べき指数が１減ると半分になっていくことを考えると，次のようにするのが自然な感
じがします．

···
322221=8=4=220=1= 12

2−12−2= 14 = 212···

一般的には，a を正の数，n を正の自然数としたとき

a0 = 1,a−n =1anと約束するということですね．
単なる約束とはいえ，こういうふうに決めておくと，とてもいいことがあります．べき乗の積に関してよい規則がなりたつことです．詳しく言うと，m, nを整数としたとき，

am × an = am+n(am )n = amn

が m や n が正であろうと，負であろうと，０であろうと必ず成り立つということです．この等式を，べき指数法則，と言います．
この法則を計算で確かめてみましょう（ホワイトボードに，m, n がともに正，ともに負，正と負の場合を書かせて確かめてもらう）．
負のべきを使うと，極端に小さい数字を簡単にあらわすことができます．

• 細菌の大きさ：約 1µ = 10−3 mm = 10−6 m
0.1 mµ = 10−10 m = 0.0000000001 m• 原子の大きさ（半径）：約• 水素の原子核（陽子）の大きさ：約 10−15 m• 水素原子１個の質量：約1.6 × 10−24 g• 金の原子一個の質量：約 3 × 10−22 g• 電子の質量：約 10−27 g• 光が窓ガラスを透過する時間：約 2 × 10−11 秒
１０のべき乗（正べき，負べき）に関しては，いろいろな単位では，次のような用語が使われています．キロやミリは小学校以来おなじみですが，最近はメガ，ギガ，テラ，ナノなどもよく耳にしますね．

• 10

デカ10−1デシ• 102

ヘクト

10−2センチ• 103

キロ10−3ミリ

• 106

メガ

10−6マイクロ

• 109

ギガ

10−9ナノ• 1012テラ

10−12ピコ• 1015

ペタ

10−15

フェムト

負のべきが使われている例としては，放射性物質の量があります．
放射性物質の原子は不安定で，崩壊するときに放射線を出し，より安定な原子に変わっていきます．一定の期間内に崩壊する原子の割合は，同じ種類の放射性物質なら一定です．一回の崩壊で安定な原子に変わり，もう放射線を出さないと仮定すると，放射線量は，一定の期間内に一定の割合で減っていきます．もと１ g あった放射性物質が１年後に b g まで減ったとすると，２年後には b2 g, ３年後には b3 g, ..., n 年後には bn g になります．

実際には，１年あたりの減少率 b を考える代わりに，もとの半分に減るまでに要する時間（半減期）を使うのがふつうです．セシウム１３７の半減期は約３０年なので，３０年たつと放射能は最初の 2−1 倍（1/2 ），６０年で 2−2 倍 （1/4），３００ = （半減期）× 10 年たつと，2−10倍，つま−20

り 約 1/1000 になります．６００ ＝ (半減期）× 20 年たつと，2倍，約1/1000000 です．

3. 分数べき１年で１０ % の利息がつく銀行預金を半年（ 1/2 年）で解約したとき利息をいくらにしたらよいか，また，半減期３０年のセシウム１３７が，１０年後（半減期の 1/3） にどのくらい減っているか，考えてみましょう．
利息の場合1/2 年を１単位と考えてみましょう．この単位期間の利息がx ならば，2１年間は２単位期間にあたるので，１年間の利息は (1 + x) となるはずです．
これが 1.1 なのですから，(1 + x)2 = 1.1 の答を求めればよい．同じようにして 1/n 年を１単位と思うと，1/n 年の利息 x は (1 + x)n = 1.1 を解けばよいのです．

√bn = a となる b を n a と書き，a の n 乗根といいます．すると，１年の√利息が p であるとき，1/n 年間の利息は n 1 + p − 1 とすればよろしい．
√
それでは，m/n 年間の利息はどうなるでしょうか．答えは n (1 + p)m − 1です．
放射線の場合√1/3 の期間では，放射性物質は 1/ 3 2 となります．半減期の√m/n 倍の期間では，1/ n 2m です．
√na の近似値は，次のようにして求まります．
x0 を xn0 > a となるようにとります．たとえば， a > 1 なら x0 = a とす
半減期のれば大丈夫です．

x1 =(n − 1)xn0 + a
nxn−10x2 =(n − 1)xn1 + a
nxn−11√
以下同様に x3 , x4 , x5 , .... を求めていくと，これはどんどん n a に近づきます．その理由は次の図からわかります（ホワイトボードに y = xn のグラフと (x, xn ) における接線，接線と x 軸との交点を書いてみせる）．このように，グラフとその接線を使って近似値を求める方法をニュートン法といいます．
例として，n = 2, a = 2，x0 = 2 としてみましょう．

x1 =x2 =x3 =問題x20 + 23= = 1.52x02x21 + 217== 1.416 . . .
2x112x22 + 2577== 1.414215 . . .
2x2408x4 を計算して，教科書にある√2 の値 1.4142135623. . . と比べてみましょう．

x2 , x3 , x4 は，小数点以下 ２桁，５桁，１０桁まで合っています．x5 は小数点以下 ２０桁くらいまで，x6 は４０桁くらいまで正しい値と合います．
ニュートン法は，非常に能率的な近似計算です．y = xn などのように簡単√なグラフから出発した場合，コンピュータを使えば，１兆桁くらいまで n mを求めることは簡単にできます．π の近似計算はそこまでやさしくはありません．

√
正の数 a の n 乗根 n a には，次の性質があります．
•

√
n1=1√
√
• 0 < a < b なら n a < n b√√
• n am = ( n a)m√√
• n 1/a = 1/ n a√√
• a > 1, m > n なら m a < n a√√√• n m a = mn a√√√
とくに n an = a ですね．ここで，a1/n = n a = a1/n , am/n = n am であると約束すると，a の有理数べき aq （q = m/n) が決まります．有理数べきに対しても，べき指数法則

ap × aq
apq= ap+q= (ap )q

はなりたちます（ホワイトボードに書いてみせる）．
これまでにやったことをまとめてみましょう．a を正の数とします．

• 有理数 q = m/n に対して aq が決まる．
• ap × aq = ap+q
• (ap )q = apq• a0 = 1, a−p = 1/ap
• a > 1, p > q なら ap > aq .
4. 指数関数a > 0 のとき，有理数 x をいろいろ動かして y = ax のグラフを書いてみましょう．a = 2 のときは，こんな具合になります（ホワイトボード）滑らかにつながったグラフですね．y = ax を指数関数といいます．

a > 1 ，たとえば a = 2 としてみます．x = 0 のときは y = 1 ですが， xを大きくしていくと，y = ax はどんどん大きくなっていきます．逆に x を小さくしていくと y = ax はだんだん小さくなって，０に近づいていきます．

x を少しだけふやして x + h にしてみると，ax+h = ax × ah ですから，もとの ax よりも，ax × (ah − 1) だけ増えたことになります．
つまり，x を h だけ増やしたとき，指数関数 ax の増え方は，ax に比例しています．
グラフでいえば，(x, ax ) と (x + h, ax+h ) を結ぶ直線の傾きが，y 座標 axに比例している，ということです．

0 < a < 1 でも ax は決まりますが，この場合， x が増加すると，ax は減少し，x を x + h に増やしたときの ax の減少分が ax に比例する，ということになります．

a = 1/b とおくと， b > 1 で， ax = 1/bx だからです．
a = 1 ならば，ax は常に１です．
さて，利息を受け取る場合，複利で計算したほうが，単利で計算するより得です．利息にも利子がつくからです．
１年間の利率が 10 % で１年間預金するより，半年の利率が 5 % の預金を半年２回，１年間預金したほうが有利ですね．
１年間の利率が b で１年預金すると 1 + b 倍になりますが，半年の利率をb/2 として，１年間複利で運用すると，()2bb21+>1+b=1+b+24倍になります．1/4 年間の利率を b/4 として１年後の預金を計算すると，さらに有利になります．期間を 1/n 年のときの利息を b/n と設定した場合，nを大きくしていくと，１年後の複利の利息は次第に増えていきます．限度はあるのでしょうか．

年利 b で x 年後の預金が元の金額の何倍になっているか，考えてみましょう．
答えは a = 1 + b > 1 として， ax でした．x 年後から x + h 年後まで，h年間でお金がいくら増えたかを考えると，ax × (ah − 1) ですね．増えた速さは，増加分を期間 h で割って，ax ×

ah − 1hです．つまり，h を一定にとると，増える速さ，つまりグラフの傾きは，axに比例するのでした（ホワイトボード）
要するに，利息額は元金に比例するということですね．そこで，利息を元金でわったのが h 年間あたりの利率で， ah − 1 と表されます．これを h で割ると，期間 h 年内の年換算利回りで，ah − 1hと表されます．

a = 1 + b > 1, h = 1/n としてみましょう．すると，h = 1/n 年あたりの利率 ah − 1 で１年間複利で運用すれば，当然 a − 1 = b の利率になりますが，単利で１年間運用した場合の利率である年換算利回り n(a1/n − 1) は，当然b より小さくなります．実は，b< n(a1/n − 1) < baが成り立ちます．最初の項は，１年前から今までの利息です．これは，グラフを見ることによってわかります（ホワイトボードに y = ax のグラフを書き，凸な関数であることを指摘する）．
さらに h = 1/mn とすると，1/mn 年あたり利率で 1/n 年間単利運用した場合の利率は，1/n 年の利率よりも小さいことから，1/mn 年間の年換算利
回りは，n(a1/n − 1)a−1/n よりも大きく，n(a1/n − 1) よりも小さいということになります（ホワイトボード）．
結局，h をどんどん小さくしていくと，h 年あたりの年換算利回り（(0, 1)と (h, ah ) を結ぶ直線の傾き）は，a を固定すると，一定の値，つまり瞬間の年換算利回り（(0, 1) におけるグラフの傾き）に近づきます．
利息 b を増やして a を大きくしていくと，瞬間の年換算利回りも大きくなります．
瞬間の年換算利回り（グラフ y = ax の x = 0 での傾き）が，ちょうど１になるような a, つまり，h を０に近づけていったとき

ah − 1hが１に近づくような a を，自然対数の底といい， e と書きます．

瞬間の年換算利回りが１だとすると，非常に大きな n に対して，ほとんど瞬間に近い，1/n 年間の利子は，ほぼ 1/n と考えられますから，１年後の元利合計 a は()n11+nとなっているはずなので，(e = lim1+n→∞1n)nと書くことができます．

(e = limn→∞

11+n)nでした．しかしこの方法で e を求めるのは大変で，もっと効率的に e を計算する方法があります．
正の整数 n に対して，n! = 1 × 2 × · · · × n を n の階乗といいます．

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, 8! = 40320,
9! = 362880, 10! = 3628800 です．
e は階乗を使って，次のように表されます．
1
11
1
1+ + + + + · · · = 2.71828....
1! 2! 3! 4! 5!
階乗 n! は n が大きくなるにしたがって急激に大きくなるので，近似計算
e=1+は楽です．

1 + ··· +110!と e との誤差は，3 × 10−9 程度です．
問題

1
電卓で，1 + · · · + 8!
を計算しましょう．

瞬間の年換算利回りが１であるときの，１年間の元利合計が e，利率が e−1でした．
元の問題にもどって，実際の年間利率が b であるとき，瞬間の年換算利回りはいくらでしょうか．

a = 1 + b = ec となるような c をとります．
このような c を a の自然対数といい， loge a と書きます．すると，1/n 年間の年換算利回りはn(a1/n − 1) = n(ec/n − 1) = c(n/c)(ec/n − 1)です．ここで，h = c/n とおくと，右辺はc×eh − 1hで，これは h が 0 に近づくとき c に近づきましたから，結局瞬間の年換算利回りは，c = loge (1 + b) ということになります．
利息の問題と同じ考え方で，放射性物質の減少率を計算することができます．
半減期が H 年であるとき，時間 h 年経ったら，放射線がもとの何倍になっているかを計算すると，2−h/Hでした．2 = ec となるような c = 0.693 . . . が loge 2 でしたから，2−h/H = e−ch/H
で，減少分を１年間に換算すると，

1 − e−ch/H
cech/H − 1= e−ch/H ×hHch/Hです．ch/H をどんどん０に近づけると，右辺は c/H に近づきますので，結局，瞬間における減少率は年間換算で，cloge 2
0.693 . . .
==H
HHということになります．
つまり放射性物質の崩壊する速さ（本質的には放射線の強さ）は，半減期に反比例する，ということがわかります．
たとえば１グラムのセシウム 137 が，１秒間に崩壊する量は，半減期が30 × 365 × 24 × 60 × 60 秒であることに注意すると，
0.693
グラム
30 × 365 × 24 × 60 × 60
概算で約 7 × 10−10 グラム，原子の個数でいうと，3 × 1012 個程度になります．
セシウム 137 の原子は，１回の崩壊で安定状態に達する（正確には１回ベータ線を出した直後に１回ガンマ線を出す）ので，セシウム 137 のガンマ線の強度は，1g あたり 3 × 1012 ベクレル（3 テラベクレル）程度ということが，計算できます．