数理解析研究所講究録
第 1780 巻 2012 年 196-212

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統計ソフトウエア Fathom を用いた統計教育-統計教育用の開発された数学ソフトウエアの検討-

東京理科大学大学・理学部

清水克彦 (Simizu katuhiko)Department of Science,
Tokyo University of Science
東京理科大学大学院・科学教育研究科 兼子 航 (Wataru Kaneko)
Graduate School of Mathmatics & Science Education,
Tokyo University of Science1

はじめに高等学校における新学習指導要領が来年から本格的に実施されることとなり，特に数学におけるデータ分析の指導をどのように行うかという議論が活発に行われている．

今回の改定では，グラフをまとめたり，代表値を求めるという記述統計の色合いが濃かった統計教育のみだけでなく，データからその集団の傾向を読み取ったり考察を行う所までが含まれている．本稿においては，これらを短時間で行える可能性のある統計教育用ソフトウェア Fathom を紹介し，またそれを利用した教材化について述べていく．

2

これからの統計教育と統計ソフトウエア

急速に発展しつつある情報化社会において、 あらゆる場面で氾濫するデータのなかから、 必要なデータを選択し、 データを正しく読み取ったり、 整理したりする能力はこれまで以上に、 学生にとってますます必要になってきている。 統計教育の重要性は，これまで以上に高くなってきている時代に入っていると言える。 その現れの 1 っが次期学習指導要領の数学 における 「資料の活用」 の単元の導入であろう。 これからの統計教育においては，統計的な見方考え方、 統計的な数値に対する感覚やセンスがいっそう大切になってくる。

それに対して，日本の算数数学科における統計教育はかならずしもうまくいっていたとはいえない。 これまでの算数・数学科における統計教育の反省点問題点を挙げると，(1) 理論重視の指導 : まず、 統計の数学的理論を教えることを目的としてしまい。
児童生徒の統計的な見方考え方を育てることができなかったこと，(2) 技術先行の指導 : グラフの描き方や平均の求め方などの技能を優先し、 統計的な見方考え方を軽視したことを指摘することができる。 同じく，確率の指導においても数学的確率を優先し、 統計的な確率を軽視してきており，平均の指導でもその意味よりも計算方法が指導されてきていた。
先進的な試みを見てみると，NCTM(全米数学教師協議会) では統計の分野を DataAnalysis と呼んでおり、 そのスタンダードでは，「データの分析がいろいろな面、 たとえ197
ばビジネス政治 (世論調査). 経済 (消費者調査). 研究などで使われている。 最近はデータの分析に、 有力で身近になってきたテクノロジーが使われており、 この影響により我々の能力に大きな変化が起こっている。」 と指摘している。 さらに，NCTM では、「データの分析」という分野を「変化」や「不確実さ」を知的に扱うことができる能カを育成するための分野と位置づけ，「もし、 カリキュラムにこの分野が入らなければ、 このような能力は発達しなくなってしまうだろう。」 と数学教育で統計教育を行うことを主張している。

このような背景には，統計の知識や能力の育成は、 Literacy つまり基礎能力として位置を持っていると捉えるようになっている点を挙げることができる。 それを現在では、Quantitative Literacy (数量的なリテラシー) と呼び，現代における読み・書き・そろばんとして、 統計的な見方・考え方の育成が位置づけられている。 このような目的のもと，児童生徒の統計的なプロセスでは、 データを大切にして、 理論や技術だけを優先しないこととし，「実際のデータは、統計の学習にその正当性と刺激の両方の面を与えてくれる」 という立場にこれからの統計教育は立っている。すなわり，データを前にして、児童・生徒がこれから取る統計的なプロセスについて議論や評価をして、様々な角度から見ることができるようにし，統計的な見方・考え方の基礎をなすことを目指しているのである。

そのとき，統計教育における統計ソフトウエアの活用は次のような利点を持っている。
すばやく統計的な処理ができる
調べる資料を検索できる (Web など)
統計データを集める場となる (Web など)

多様な統計表現を可能にする
数の遊び場を提供する (シミュレーション)

手順を代行するだけの使用ではなく、 理解を支援するために使用をすることが効果的にできる

そのための統計教育用ソフトウエアとして全米科学財団の資金援助を受けて開発されたものが本稿で紹介する Fathom である。

3

統計教育用ソフトウエア Fathom
この Fathomは高度なデータグラフ化ソフトウェアであり，データ分析を行い，数学と統計学的な概念を分析し，学習するための詳細な機能を学生に提供するものである．
開発したのは，Key Curriculum Press 社 (以下 KCP 社) で，この会社は 1971 年に設立，数学や理科教育における書籍や教材の開発、 教員に対する指導支援を行っている．
windows や Machintosh 版を販売しており，つい最近では，TI-nspire CX のカラーグラ
フ電卓にも搭載されている．

KCP 社によれば，Fathom は具体的に以下のような分野の内容で使うことが考えられている．([1])

198
代数学 1

グラフのデータ，傾きの意味を 2 変量データを使用して理解させる．
代数学 2

データを変換したり，関数あてはめ (回帰分析), 対数の使用や予測を行う．
幾何学
幾何学的確率の学習．
微分積分学の前学習と微積分の学習

複雑な機能を持つデータモデリングや微分係数，定積分の計算方法を学ぶ．
本格的な統計と APl
計
データの探索、確率とサンプリングシミュレーション、 統計的推測の実行 (カイニ乗、 検定、 一元配置分散分析 (ANOVA の方法)、 および複数の線形回帰を含む)を行うことができる．
$t$

自然科学や社会科学

データを扱う自然科学や社会科学，その他の科目でも Fathom を使うことができる．
またこれらの考えをもとに，Fathom には標準で 300 以上ものサンプルファイルが含まれており，教師もすぐに具体例を用いて Fathom の操作に慣れることができる．
sectionFathom の特徴 Fathom はドラッグ& ドロップを中心とした直観的な操作が基本となっている．難しいプログラミングも必要なく，扱うことができる．また様々なところに表れるアニメーションがより生徒の理解をうながしている．(例としてはデータからサンプルをとる場面など)
以下の図のように Fathom は表やグラフ，データの集合などを自由に配置でき，1 つの枠のなかで複数のものを表示することができる．

3.1

データの取得Fathom のデータ取得は複数ある．用途に応じて様々な形でデータを集めることができるのもこの Fathom の特徴である．データを Fathom に取り込むには主に以下の 4 つの方法があるが，ここでは 2 つ目のインターネット特に米国国勢調査のデータを取り込んでみる．

1. 直接テーブルに入力する．

2. インターネット上のから取り込む (URL を指定したり，ファイルを指定，米国国勢調査によるデータをダウンロードできる．)
1 アメリカには、 アドバンストプレイスメント(AP) と呼ばれる、 ハイスクールの特に学力優秀な生徒を対象に、 在学中に大学レベルの学習機会を与え、 所定の試験に合格すれば大学の単位として認定する取組がある (指導は、 ハイスクールの教員が行う) (文部科学省)

199

図 1: Fathom ドキュメントウインドウ
3, エクセルやテキストデータから読み込む

4. バーニアセンサー 2 から直接 Fathom ヘデータを取り込む．
[手順]
1. Fathom ドキュメントウインドウを開き，左上の File をクリックする．
2. $importarrow U.S$ . Census Data を選ぶ．
$;_{1}l$$\mathfrak{B}*$$\Phi iw$$\text{鏑^{}11\infty\dot{M}}$一趣め$-u$ )$\alpha\nu\kappa$$\triangleright$$tr$$\Phi n$$\propto W$

$QU$

$OtW$

$s\infty$$Gi\aleph S$$R$ か–
図 2: U.S. Census Data の場所

3. Choosing cases から欲しいデータの年や州，都市，人口か世帯か，サンプルサイズを決める．

4.

$A$

ttributes データの性質 (人々のデータから年齢や性別，人種や収入，など) の一部を取り出すことも可能

2 溶存酸素濃度計， センサ , ステンレス温度計，伝導計，気圧計と湿度計他さまざまな機能を備え$pH$$-$た測定器 (\copyright 2011 Vernier Sofiware &Technology, LLC)

200
5. 選択し終わったら，右下の Download Data をクリック．

図 3: データをダウンロードする画面

成功すると下の図 3 のように，箱に黄色い球 (データを表している) が入っているようになる．

図 4: Fathom ドキュメントウインドウ

3.2

グラフ描画

Fathom のグラフ描画の特徴は以下 3 つある．

1. 最大 3 次元データまで扱えるが，空間表示にせず，色の違いでその 3 次元を表すことである．

2. ヒストグラム棒グラフ箱ひげ図ドットプロット散布図パーセンタイルドッ
トといった豊富なグラフ表示である．しかも複数の異なるグラフを同時に同一データから表示させることができ，簡単に個々のグラフの特徴を利用してデータ分析を扱うことができる．

3. 動的ソフトウェアの所以ともいえるが，グラフを動かしたり，データの所在を判明させることができる点である．

[手順]

201
1. Table を選択して，ドラッグ& ドロップして，中にデータを入れておく．今回は以下のようなデータを入力しておいた 3

図 5: グラフの作成 1

2!.. Graph をドラッグ& ドロップで下に持ってくる．データの value という名前の部分にマウスを当てると手の形になるので，そのままそれをグラフの$x$軸の部分にドラッグ& ドロップでもって送る．

図 6: グラフの作成 2

3 実際はデーる．

タを 1 つ 1 つ入力し，度数で入力はしていないがデータの数が多いので度数で表示してい202$-$

これでグラフをつくることができる．デフォルト表示が Dot Plot なので下の図のように表示されている．
・$\frac{\infty^{=}}{--\ovalbox{\tt\small REJECT}..S}\frac{\frac{Y=\cdot}{\underline{r\simeq}^{--}-}--}{\infty_{\sim\sim}\cdot--arrow-}\frac{\gamma\frac{\dot v_{\vee-}\alpha^{\underline{\alpha}}}{-}}{\wedge\cdots\vee}$

図 7: グラフの作成 3

3.3

データの分析

Fathom に内臓されているプログラムを用いて，標本分布の作成や無作為抽出によるデータの取り出しが容易にできたり，100 以上の定義された関数を用いてさまざまなデータ抽出をすることが可能である．ここでは，サンプリングを実際に行う．
[手順]

1. データのある Collection を右クリックすると，Sample Cases があるのでそれを選択する．これだけでサンプリングが可能．成功すると今度は箱の中に青い球が入っているのがみえる．
$\alpha$飾鋤$\infty\aleph$$\infty m$

勤」論’$-\partial$

A:..

雛膨

4

Cm $\{W*c)CWr$ {$-4\backslash$$\dot{b}K$.

$\dot{\psi}\ddot{\omega}\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\cdot:..\cdot:+\cdot:....\cdot\cdot+..+u\iota mu\infty l\infty.*wr\ldots\ldots.|$

図 8: Sample Cases を選択$-\infty-\backslash$

図 9: サンプリング成功

2. このデータの Table を作成すると，先ほどの Collection の一部のデータが入っているのがわかる．

203
磁 $\epsilon(.w\Re*\aleph$w$\aleph$愉$n\omega*\nu$.

$\alpha$$A$耀$\prime_{\phi}m\Re mm\nu_{l},,$,$|$$m\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash$

図 10: サンプリングデータ

2. また，このサンプ) レをダブルクリックすると，Inspect Sample of Collection のウインドウが出てくる．ここではサンプリングに関する設定を行うことができ，サンプノレ数の調整もここで行うことができる．Sample more Cases ボタンを押せば設定した条件でサンプリングを行うことができる．

図 11: サンプリングの設定

4Fathom の実践例

4.1

相関係数の考察

以下のようなデータ集合を用意する．

表 1: データ集合

このデータを Fathom でグラフ化する．グラフは相関係数を調べたいので，ScatterPlotを使用．以下がその図．

204

図 12: データと相関図

ここで，Graph の右隣りにある，Summary を使用．Summary をドラッグしてくると，空の表がある．ここの上に , 左に のデータ集合 (逆でもよい) をドラッグで，持ってくると，自動的に 2 つのデータの相関係数が計算される．
$x$

$y$

図 13: 相関係数を表示

Fathom はグラフ上のデータを動かせるので，グラフ上のドット (データ) を動かして，グラフの分布と相関係数の関係を動的にみることができる．(下図はさきほどのデータから右上がりにデータを移した時のグラフと相関係数の値)$\infty--$.

$Q-$$\nu^{-}$$\cong$$\overline{\overline{t\infty\infty}}t\infty m$’$\infty--$の■、騨

図 14: 相関係数を変化させる

205
4.2

スライダーを用いたサンプリングの例

今回は Sample Documents

Learning Guide Starters
利用．このファイルには太陽系のデータが含まれている．
$arrow$$arrow$

Planets.ftm のファイルを

図 15: 惑星のデータ

このデータから，$or\ t_{-}AU^{4}$を横軸，year を縦軸としたグラフ (SoetterPlot) で作成．

図 16: グラフ化

ここで，上部から Slider をドラッグし，Slider の数値の変数名を exponention とすと記入する．
る．また，グラフで右クリック Plotfundim で$arrow$

4 軌道 (単位: 天文単位)$orb\dot{\eta}t_{-}AU^{exponention}$

206.

$\aleph\alpha r*\infty\cdot u*\alpha r$$s$.

瞬$-\alpha 1$

$A$

.

–
図 17: 関数をあてはめる

データの規則を既存の関数を用いて探すことができる．

4.3

検定の例 -データの平均値の検定-

異なる二つの母集団の平均値の検定を行うには，普通 検定を用いる．ここでは，Fathom内のサンプルファイルを用いて，検定がどう可視化されているのかをみていく．下のデー
タはすでに Fathom で用意されていたものである．
$t$.

$tt\epsilon\sim\Re\infty t\alpha\#*\infty u*x\infty*s$$Ixp\ddagger 0 wo\mathfrak{n}\theta O ot,om\sim \mathfrak{n}\infty$$tm\mathfrak{g} w\alpha\cdot\*\alpha$.

.

$\epsilon$

鋼.

$f^{r\cdot P-}.$

図 18: データ集合

上の Test をドラッグしてくる．そして右上の欄を，今回は” 平均値の検定” なのでCompareMeans を選択する そして，FirstAttribute には Value を，SecondAttributeには Group をそれぞれグラフからドラッグしてくる．
これで検定結果がでてくる．

207
表 2: 検定の結果

図 19: 検定結果その 1

右クリックで，Verbose を選択すると，検定結果が見やすい形で現れる，ここには$p$

値もでてくる．

図 20: 検定結果その 2

さらに右クリックで，ShowTestStahsticDistrihtim を選択すると，検定結果を目で確認することができる．さらにこのとき，グラフの値を変化させると， 値がかわり，グ$p$ラフの青色の領域も変化させることができる．

図 21: 検定結果その 3

208
5

Fathom を使った教材例

5.1

教材化の必要性

高校の内容で新たに必修となった統計内容，数学 のデータの分析であるが，今まで統計が教えられてこなかった経緯もあり，参考となる教材が他の分野よりも少ない．また，来年から新学習指導要領が高校生は実施され，検定教科書も作られてきたが，紙の上のみでデータをいじる，というのは生徒の理解を得るという点ではなかなか難しい．身近なデータ (気温や身長など) を利用して，要約統計量や箱ひげ図の概念を理解させようと工夫がなされているものの，やはり計算量やグラフをかくということに時間を多く割いてしまい，本来の目標である” データを分析してそこからデータの傾向を読み取る” という所までいくのは，時間数も限られていることから難しい．そこで，新学習指導要領やその解説に 「適度にコンピュータを用いて 」 と書いてあるように，今回紹介した Fathomを利用して，主にヒストグラムと箱ひげ図のグラフの読み取りを行わせていく．ただし，ここでは具体的なデータを用いた読み取りではなく，ある程度の代表的な分布になるよ
う操作されたデータを用いて，分布の読み取り (要約統計量を調べたり，それらと分布の傾向，箱ひげ図との関係など) を行う．教材例の条件としては，コンピュータや Fathomの特徴を生かし，「紙ではできな , しかも時間をかけない内容」 を挙げた．
$5$$1\backslash$

5.2

教材の目的と準備以下のデータ集合を与えておく．
表 3: モデルデータ (各データを度数で表示)

5 中学校: 第 1 学年，D 資料の活用 (1)(学習指導要領) 高等学校: 第 1 部数学第 2 章各科目第 1 節
3. 内容と内容の取扱い (4) データの分析 (学習指導要領解説)

数学

209
53

教材例 1: ヒストグラムと要約統計量の特徴

1. 各データを Fathom に入力し，ヒストグラムをかかせる．
2. Graph ウインドウ上で，右クリックして，Plot value を選択． のあとに関数を入カ$=$

して平均値，中央値，第 1 四分位数，第 3 四分位数をグラフ上に表示させる．

表 4: 関数とその意味$Q*kY\}x*$

よX- $*$ t’ ’

–
$\Re$

$w\#*\*b\langle$

$*$

$i$

$[$．
$u$ そ．

$c$.
. . ..
$”\}$$.

$4_{8\forall m ,-\sim}^{m\infty\hslash\{\vee 21}$

$*$

$X$

$\overline{\frac{\triangleright^{\backslash }}{\backslash \S r}x_{\wedge};_{2}^{S1_{\wedge^{:}}}\aleph\prime}t$$\mathfrak{R}$$\infty$$\iota$

$–$
$\}$

a

ゆ

$\alpha$

.

$\#$

X

さ$*$

$\sim$

8 $\varpi*-\infty$
ぬ1$\infty^{\wedge}$$($$*$$\ddagger$

$*$

$*$

$*$

$\infty$$P\infty$$\infty$$*$–$c\infty$ のぢ $*$ ほの $\infty n\infty$ “ ひ wm
$W8R\hslash\cdot\vee\infty$–$-\cdot$$\Psi W$$\sim$

1 –$\mathfrak{k}\sim$$p..$$\backslash \cdot\backslash *$図 22: グラフに平均値を表示させる

3. 「中央値や平均値はどういったグラフの分布のときに重なる傾向にあるか」(グラフが対称なとき中央値と平均値は重なることを理解させたい)

4. 「重ならない場合はどういった場所にでてくるか．各々のデータに 9 というデータを追加して増やしていったときに平均値や中央値がどう変化しているかに着目して述べなさい」(グラフが対称でない場合，最頻値のあたりに平均値や中央値がでてくること．またデータ数が極端に多くなると，中央値よりも平均値がそれにひきずられて移動しやすいということを理解させたい)

5.4

教材例 2: 同じデータの散ばりと箱ひげ図，ヒストグラム

1. 中央値，最小値，最大値，第 1 四分位数，第 3 四分位数から箱ひげ図をかく．
2. 各 Graph をコピーして，右上のグラフの種類を Box Plot にかえて箱ひげ図にし，自分たちの書いた箱ひげ図と一致しているか確認する．

210

図 23: グラフの変更

3. 「データの散ばりを箱ひげ図の箱の端を動かしながら，どういうときに散ばりが大きくなるか，小さくなるか述べよ．
」(箱ひげ図の第 1 四分位数や第 3 四分位数を動かすと，ヒストグラムではデータの移動が起こる．データがあつまっているほど箱が小さくなり，データが散ばると箱が大きくなることを理解させたい)

図 24: 箱ひげ図の幅を変えてみる

4. 先ほどのデータを少し変えて，以下のようにする．(太字がデータを増やしたところ)

211表 5: モデルデータ 2(各データを度数で表示)

5.

Vl,V3 の箱ひげ図の箱の幅はどうなったか 」(最頻値が 2 つあり，しかもそれらが離れていると，箱の幅は大きく広がる．このよ「 $V4$ に比べて，$?$

うに，大きいデータの山が二つあるような分布では 1 つのデータ集合で箱ひげ図を描くと，散ばりがわかりにくくなる．)
6. 「V2 と V3 のデータの散ばりについてヒストグラムと比較して述べよ．
」(異なるヒストグラムがあっても，箱ひげ図がほぼ一致してしまうデータ集合が存在してしまう．散ばりをしめす箱ひげ図もよく吟味する必要がある．)

参考文献[1] Key Curriculum Press
http: $//www$ .keypress.com $1x5656$ .xml (2011 年 8 月 8 日確認).

[2] Vernier
http: $//www$ .verni er. $com/$ (2011 年 8 月 9 日確認).

[3] 首都大学東京産学公連携センター
http: $//www$ . tokyo-sangaku. jP/reSearCh/researchs/tresearch-view. php3?

index $=264$ (2011 年 8 月 9 日確認)

[4] 阿部大輔『講演会 「統計教育における高大連携-米国および UCLA における事例から」参加レポート』
http: $//www$ .cret.or. $jp/j/$ about $/bumon/bumonl/report$ .html (2011 年 8 月 9 日確認)

[5] 総務省統計局『中学校学習指導要領解説数学統計関係部分抜粋』
http $://www$ . stat. go. $jp/t$ eacher $/dl/pdf/c3$ index $/guidel$ ine $/middle/math$ .
pdf (2011 年/8 月 14 日確認)

212
[6] 総務省統計局『高等学校学習指導要領解説数学統計関係部分抜粋』
http: $//www$ . stat. go. jp/teacher/dl/pdf/c3index/guideline/high/math. pdf(2011 年/8 月 14 日確認)
[7] 第一学習社 (2011) F 高等学校数学』