数理解析研究所講究録922 巻 1995 年 55-69

55

熱対流におけるピッチフォーク分岐の構造安定性
同志社大工
同志社大工

1

水島
足立

–郎
高弘

(Jiro MIZUSHIMA)(Takahiro ADACHI)

はじめに

これまでのレイリ – ベナール対流の研究は, 流体層は無限に広いという仮定のもとで行われてきた. ), ) しかし, 実際には熱対流は有限な大きさの容器に満たされた流体中で発生する. 3 次
元的に有限な領域での熱対流の発生は Davis3) により調べられた.
$1$

$2$

有限領域中の熱対流の 2 次元運動を仮定した研究は, 容器が水平に置かれている場合については, 側壁が完全熱伝導あるいは完全断熱の場合に対してその安定性が調べられた. ), ) 最近
では Mizushima6) が容器のアスペクト比の広い範囲にわたって臨界レイリ一数を求め, モファッ
$4$

$5$

ト渦の存在を 2 つまで確認した. これらの研究の共通の結果は, 容器が水平に置かれていると
きは臨界点でピッチフォーク分岐が生じるということである.
容器が水平面から傾いたときには, 状況は全く異なる. 容器が傾いて置かれたときの影響
は Cliffe and Winters7) によって調べられた. そこでは容器のアスペクト比 $A=1$ に対する分岐
ダイアグラムが得られ, ピッチフォーク分岐が容器の傾きに対して構造不安定であることが示された.
分岐構造を明らかにするためには, 振幅方程式を導く局所分岐理論が用いられるが, この問題の分岐構造はまだ十分に調べられていない. 例えば, Hall and Walton8) は側壁が不完全断熱であるときの解の分岐構造を調べるために振幅方程式を導いている.
ここでは, 2 次元性を仮定し静止状態における不安定性の結果として生じるピッチフォーク
分岐の構造安定性について調べる. 増幅率展開に基づく弱非線形理論を用いて振幅方程式を導き, 代表的な場合として容器のアスペクト比 $A=1$ および $A=2$ について, その係数を評価す
る. 得られた振幅方程式から平衡振幅を求め,
トン. ラフソン法によって基礎方程式から直接求めた結果と比較検討を行う. ここでは, 境界はすべて固体壁で完全熱伝導であると仮定
し, プラントル数が 7(水) の場合を詳しく取り扱う.
$–\epsilon \mathrm{L}-$562

基礎方程式と境界条件

水平面から角度 傾いた, 熱伝導性の良い固体壁でできた高さ および幅 の容器の中に満たされた流体を考える. 流れは 2 次元的であると仮定する. 容器の下面を–定の温度,$T_{0}-\delta
T/2$
上面をそれよりも低い温度に保つ. 座標系は図 1 に示すように容器の中心を通り,容器の加熱面に平行に 軸, それと垂直に 軸をとる. このとき, 浮力項を除いては流体の物
質的な性質は変わらないとするブジネスク近似を用いると, 流れ関数 と, 熱伝導状態からの温度の差 を支配する方程式は, 無次元形で次のように書くことができる.
$L$

$d$

$\phi$$\tau_{0}+\delta T/2$

$x$

$z$

$\psi$$\theta$,$\frac{\partial\Delta\psi}{\partial t}-P\Delta^{2}\psi+PRa\sin\phi-PRa(\frac{\partial\theta}{\partial z}\sin\phi-\frac{\partial\theta}{\partial x}\cos\phi)=J(\psi, \triangle\psi)$$\frac{\partial\theta}{\partial t}-\triangle\theta+\frac{\partial\psi}{\partial x}=J(\psi, \theta)$

ここで, $J(f,g)$ および

.

(1)
(2)

はそれぞれ次式で定義されるヤコビアンおよび $(x, z)$ 平面における二次元ラプラシアンである.
$\triangle$$J(f,g)= \frac{\partial(f,g)}{\partial(x,z)},$$\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$.

(3)

流れの場を特徴づける無次元パラメータは, 次式で定義されるレイリー数 $Ra$ およびプラントル
数 P である.
$Ra= \frac{\gamma g\delta\theta d^{3}}{\nu\kappa},$$P= \frac{\nu}{\kappa}$.

(4)

は流体の熱拡散係数,は動粘性係数,は熱膨張係数,は重力加速度であり,は上面と下面の温度差である. さらに, もう –つの無次元パラメータとして容器のアスペ
クト比 $A(\equiv L/d)$ を定義する. 速度およびおよび温度 $T$ は,を用いて $\mathrm{u}=(u, w)=$
および $T=-Z+\theta$ と表せる.
境界はすべて固体壁で完全熱伝導であると仮定する. したがって, 境界条件は次のように
なる.
ここで,

$\nu$

$\kappa$$g$$\gamma$$\delta T$$\psi$$\mathrm{u}$$\theta$$(\partial\psi/\partial z, -\partial\psi/\partial x)$

3$\psi=\frac{\partial\psi}{\partial z}=0$,$\theta=0$at$z=\pm 1/2$ ,$\psi=\frac{\partial\psi}{\partial x}=0$,$\theta=0$

at$x=\pm A/2$ .

(5)

静止状態の線形安定性

容器が水平に置かれている場合, レイリー数が小さいあいだは流体は静止状態にある. その場
合の線形安定性を調べる. 静止状態は, 臨界レイリー数 Ra。で不安定となり熱対流が発生する.
このとき, 安定性交替の原理が成立することを考慮すると, 静止状態の安定性を支配する方程
式は, (1),(2) 式をおよび に関して線形化することにより次のようになる.
$\psi$$\theta$$\Delta^{2}\psi=Ra\frac{\partial\theta}{\partial x}$$\Delta\theta=\frac{\partial\psi}{\partial x}$

.

,

(6)

(7)

57

方程式 (6), (7) を (5) の境界条件の下で解くことにより臨界レイリー数 Rac が求められる. このは および 方向に関して対称性を持つので, 次のように流れ場の対称性にとき, 撹乱$(\psi, \theta)$

$x$

$z$

より分類する.
モード:(sa) モード:(as) モード:
モード:$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$(\mathrm{s}\mathrm{s})$$(\psi(e, e),$ $\theta(\mathit{0}, e))$$(\psi(\mathit{0}, e),$$\theta(e, e))$$(\psi(e, \mathit{0}),$$\theta(_{\mathit{0}},\mathit{0}))$$(\psi(_{\mathit{0}},\mathit{0}),$$\theta(e, \mathit{0}))$

,
,
,
.

モー
方向および z 方向にそれぞれ偶関数であることを表す.
ドの流れ場は,方向および 方向に関して反対称であり, それぞれの方向に奇数個の渦が存在する. 図 2 に例として, $A=1$ に対するそれぞれのモードの臨界状態における流れ場を示す.

ここで,

例えば\psi (e, ) は\psi が
$e$

$x$

$x$

$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$z$図 2. 臨界状態での流れ場 $(A=1)$ . (a):(b): (sa) モード, (c): (as) モード, (d):$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$(\mathrm{s}\mathrm{s})$

モード,

モード.

58

数値計算においては, 流れ関数
以下のように展開する. すなわち,$\psi(X, \mathcal{Z})$および温度$\theta(x, z)$

をチエビシ I フ多項式を用いて,,$\psi=m=\sum_{0}^{2M+1}2n\sum_{=0}^{N+1}amn\overline{\overline{\tau}}m(2x/A)\overline{\overline{T}}_{n}(2_{Z})$$\theta=m=\sum_{0}^{2M+1}2n\sum_{=0}^{N+1}bmn\overline{\tau}m(2x/A)\overline{T}_{n}(2_{\mathcal{Z}})$

.

(8)

ここで,
$\overline{\overline{T}}_{m}(x)=(1-x^{2})^{2}\tau_{m}(x)$,$\overline{T}_{m}(x)=(1-X^{2})T_{m}(x)$は $m$ 次の\neq ^x ビシ x フ多項式 $T_{m}(x)$ を用い, 境界条件を満たすように作られた変形\neq -\supset i ビシフ多項式を表す. M および N は, それぞれ 方向および z 方向に関する展開の打ち切りパラメー
タである. 展開係数 amn およびの総数は $2\cross(2M+2)\cross(2N+2)$ であるが, 上述の対称$x$$b_{mn}$性を考慮に入れると $2\cross(M+1)\mathrm{x}(N+1)$ に減らすことができる. これらの展開式を, 方程式 (6) $,(7)$ に代入しガラーキン法あるいはコロケーション法を用いることにより, 展開係数およびに対する代数方程式が得られる. ガラーキン法における積分には, 96 点のガウスル
ジャンドル積分を用いる. コロケーション法におけるコロケーションポイントは次式で定義される点を用いる.
.
$a_{mn}$$b_{mn}$$x_{i}= \frac{A}{2}\cos(\frac{i+1}{2M+3}\pi)$$z_{i}= \frac{1}{2}\cos(\frac{i+1}{2N+3}\pi)$,,$(i=0,1, \cdots, 2M+1)$ ,$(i=0,1, \cdots, 2N+1)$ .

$\overline{(}9$)

得られた代数方程式は次式で表されるような行列の固有値問題に帰着される.

Aa $=Ra$ Bb,

Cb
ここで,
および

$\mathrm{a}=(ta_{2M1,2}a_{00}, a01, \ldots,+N+1)$$=\mathrm{D}\mathrm{a}$.

および $\mathrm{b}={}^{\mathrm{t}}(b00, b01, \ldots, b_{2M1,2}+N+1)$ であり,$\mathrm{A},$$\mathrm{B},$$\mathrm{C}$は $\{(2M+2)\cross(2N+2)\}\cross\{(2M+2)\cross(2N+2)\}$ の行列を表す. 数値計算は 2 倍精度で行うが, 計算の精度の確認には 4 倍精度を用いる.
$A=1$ の場合について, 数値計算の精度を確かめる. この場合にはモードが最も不安
定で, 臨界レイリ一数 Ra。を与える. 臨界レイリー数は, 打ち切りパラメータ $M,N$ を増加させ
モー
るにつれて, 速やかに収束し, その収束値は $Ra_{c}=5011.7$ である. また, (sa), (as),ドに対する臨界値はそれぞれ, $Ra_{c}=7972.4,$ $Ra$ $=28830,$ $Ra$ $=27933$ である.
$\mathrm{D}$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$(\mathrm{s}\mathrm{s})$。

。

対称性の異なる 4 つのモードについて数値計算の結果得られた臨界レイリー数を図 3 に示す. 図 3 ではアスペクト比 $\mathrm{O}.1<A<10$ について, 第二不安定モードまでの臨界レイリ =数をグラフにした. 図中の数字は 方向の渦の個数を表している. アスペクト比が小さいときはモードが臨界レイリー数を与え,の値が 157 よりも大きくなると臨界モードは (sa)
モードとなる. さらにモードと (sa) モードが交互に臨界モードの値を大きくすると
モードはとなる. (as) モードとのどの値においても臨界モードとなることはない.
モードと (sa) モードの中立曲線は互いに交わるが, 同じ対称性を持った曲線は決して交わらない. 例えば,モードの第–および第二不安定モードは互いに交わることはない.
$A$

$x$

$A$

$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$A$$(\mathrm{s}\mathrm{s})$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$A$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$59

モードと (sa) モードが交替する臨界アスペクト比 $A_{\text{。}i}(i=1,2, \ldots)$ を, そのときの臨界レ$10$ に対して表 1 に示す.
イリー数とともに, $A=1,2,3,$
表 1 から Ac’ の間隔はほぼ–定で,であることがわかる. これは,方向の渦の大きさが 1 であり, $A$ が 1 増加すると$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$\ldots,$$\Delta A_{\text{。}i}\simeq 1.0$

$x$

$x$

方向の渦の数が 1 増加することを示している.
の場合には無限に広い流体層における臨界レイリー数 $Ra_{c}=1707.8$ に近づく. $A\ll 1$ の場合には縦艮の容器になるが, 臨界モードはモードであるので縦には細長い–つの渦ができており, 二つ以上の渦ができることはない.
$Aarrow\infty$$(i\mathrm{i}\mathrm{a})$4非線形平衡解容器が水平に置かれている場合には, 熱伝導状態の不安定性の結果として, Ra=Rac でピッチ
フォーク分岐が起こり対流が発生する. –方, 容器が傾いている場合には, $Ra$ がどんなに小さ
くても対流が発生する. 発生した対流は, 時間が十分に経過した後には平衡状態に達すると考えられる. 平衡状態においては (1), (2) 式において /m $=0$ とおくことができ, 平衡解が満たす方程式は次のようになる.
$(\overline{\psi},\overline{\theta})$$-P \triangle^{2}\overline{\psi}+PRa\sin\phi-PRa(\frac{\partial\overline{\theta}}{\partial z}\sin\emptyset-\frac{\partial\overline{\theta}}{\partial x}\cos\phi)=J(\overline{\psi}, \triangle\overline{\psi})$$- \triangle\overline{\theta}+\frac{\partial\overline{\psi}}{\partial x}=J(\overline{\psi},\overline{\theta})$

.

,

(10)

(11)

が求められる.
(10),(11) 式を, (5) 式の境界条件のもとで解くことにより平衡解
線形安定性解析に見られるように, 静止状態に対する臨界モードは容器のアスペクト比に依存して,あるいは (sa) モードで与えられる. どちらのモードが臨界状態を与えるかによって, 非線形平衡解には 2 通りの流れのタイプが存在する.
モードが不安定となるとき,$(\overline{\psi},\overline{\theta})$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$60

モードが自分自身との非線形相互作用によりモードを励起するので, ピッチフォークモードと分岐の結果として生じる熱対流は(sa) モードの線形結合で表され, 次式で表さ対称性を持つモードとなる.
れるように容器の中心に関する$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$(\mathrm{s}\mathrm{s})$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$Z_{2}$$\overline{\psi}(-x, -z)=\overline{\psi}(X, z)$,$\overline{\theta}(-x, -z)=-\overline{\theta}(X, z)$.

方, (sa) モードが不安定となるとき, (sa) モードが自分自身との非線形相互作用により, 残モードをすべて励起する. したがって, この場合には流れ場に対称性は(as),存在しない. 容器が傾いた場合にも, $\phi=0$ の場合と同じ対称性を持つ熱対流が発生するものと考えられる.
を (7) 式の平衡解を計算するために,と同様に展開する. (10), (11) 式にそれらの展開式を代入しコロケーション法を用いることにより, 展開係数 $a_{mn},$に対する代数方
程式が得られる. ここで, コロケーションポイントは (8) 式で定義された点を用いる. それらの代数方程式を $–=-$ トン. ラフソン法を用いて数値的に解く. 打ち切りパラメータ $M,$ $N$ は,対称性を持つ流れの場合には $M=N=6,$対称性を持たない流れの場合には $M=N=5$を用いる.
以下では平衡解の振幅を特徴づける量として, 点 $(x, z)=(A/2-1/4,0)$ における 方向の速度と熱伝導状態から測った熱の伝達効率を表す Nu–l を用いることにする.
りの$(\mathrm{a}\mathrm{a}),$$(\mathrm{s}\mathrm{s})$$(\psi, \theta)$$(\overline{\psi},\overline{\theta})$$b_{mn}$$Z_{2}$$Z_{2}$$z$$w_{1}$$w_{1}=- \frac{\partial\overline{\psi}}{\partial x}$

at$(x, z)=( \frac{A}{2}-\frac{1}{4}, \mathrm{o})$

.

(12)

.

(13)

$Nu– l=- \frac{1}{A}\int_{-}^{A/2}A/2\frac{\partial\overline{\theta}}{\partial z}|_{z=\pm\frac{1}{2}}\mathrm{d}X$

ここでは,モードあるいは (sa) モードが最も不安定である場合の代表例として, $A=1$
および $A=2$ を取り上げる. $A=1$ および $A=2$ のそれぞれの場合について,および$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$\phi=0^{\mathrm{o}}$に対する非線形平衡解を求める.
に $A=1$ の場合について,
図および\mbox{\boldmath $\phi$}のときの平衡振幅 の $Ra$ 依存性を示す. この図で, 安定な解は+1, 不安定な解は-1 で表されている.
の場合,で表される静止状態は CP で不安定になり, そこから 2 つの新しい解が分岐する. 2 つの分岐解およびは安定で, 互いに対称である. この対称性は, 時計回りと反時計回りの対流が互いに同等であることを示している. –方,の場合には, どんなに小さな $Ra$ に対しても静止状態は存在しない. なめらかな遷移分枝は常に安定で, 有限な平衡振幅を持っている. 不安定な分枝がつながる Tp では, サドルノード分岐が起っている.
と安定な分枝サドルノード分岐の臨界値はのとき $Ra_{SN}=5858.3$ であり, RaSN はの増加とともに増加する. このように, 容器を傾けたときに分岐の構造が変化するが, これは物理的には次のように考えられる. 容器が水平に置かれているとき, $Ra$ が小さいとき右回りと左回りの対流を起こそうとする力が互いにバランスして流体は静止状態にあり, 臨界点に達するとそれぞ$\phi=1^{\mathrm{o}}$$4(\mathrm{a})$$\phi=0^{\mathrm{O}}$$=1^{\mathrm{o}}$$w_{1}$$\mathrm{O}\mathrm{P}$$\emptyset--0^{\mathrm{o}}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}}\mathrm{Q}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}}\mathrm{R}$$\phi=1^{\mathrm{o}}$$\mathrm{O}\mathrm{S}$$w_{1}$$\mathrm{T}_{\mathrm{p}}\mathrm{U}$$\mathrm{T}_{\mathrm{p}}\mathrm{T}$$\phi=1^{\mathrm{o}}$$\phi$

れ異なる方向の対流を起こそうとする力のバランスが破れて対流が発生するものと考えられる.

したがって, 対流の回転方向は–意的に決定されず, 偶然に支配される. 容器が傾いているときには, $Ra>0$ でつりあいが破れどんなに小さな $Ra$ に対しても常に対流が発生する. この場
合には, 対流は容器の傾きの方向に回転しやすい. 容器の傾きと反対の回転方向を持つ対流は,

容器の傾きと同じ方向に回転しようとする傾向に打ち勝つ刺激を加えれば実現可能である.

61

図 4. 平衡解 $(A=1)$に $A=1$ の場合について,. (a): 平衡振幅, (b): Nu–l.

のときのヌセルト数 $Nu$ の $Ra$ 依
および\mbox{\boldmath $\phi$}$Nu$の値は $A=1$ の場合には同じである. これは,存性を示す. 上面および下面で評価された対称性を持つ流れの場合には対流の回転方向の反転に関して $Nu$ が不変であることを示している. また, この図からも\mbox{\boldmath $\phi$}に対しては不完全ピッに対するピッチフォーク分岐が\mbox{\boldmath $\phi$}
チフォーク分岐に変化していることがわかる. 下面から上面への熱移動は, $Ra$ の増加のみならず\mbox{\boldmath $\phi$}の増加にも依存する. ここで, この図の中で Nu-l の値はすべて正の値を取っていることを注意しておく.
および次に, 代表的な場合の流れ場と温度場を見てみよう. 図に, $Ra=4000$ お
これは,中のにおける平衡状態での流れ場と温度場を示す.
図 4(a)
よび\mbox{\boldmath $\phi$}
A で示された点においては, 流れ場の中心に–つの大きな渦が見られる.
のパラメータに相当する.
Mizushima6)でによって示されたように無限個のモファット渦が存在するが, 図四隅には,はそれぞれ–つ目のモファット渦だけを描き, 後の図では省略した. 流れ場は, 水平方向に関に示す. この図では–対の同心円が見られる
して反対称性を持つ. 対応する温度場を図が, 対流が反時計回りのとき, 右側の同心円の中心が温度の極大値を, 左側の中心が極小値をに持つ. 図
に対する流れ場を示す. この場合も, 流れ場は水平および\mbox{\boldmath $\phi$}および
およ方向に関して反対称性を持つ. 他の分枝における流れ場も図におけるのと同じく水平方向に同じ対称性を持つ. 次節の弱非線形解析でわかるよう
び図
あるいは上での平衡解の対称性の–致が, ピッチフォーク分岐が不に, 分枝 OS と完全ピッチフォーク分岐に変わるために不可欠である.
に対する温度および\mbox{\boldmath $\phi$}
に示す.
場は図
図

$4(\mathrm{b})$$=1^{\mathrm{O}}$$\phi=0^{\circ}$$Z_{2}$$=1^{\mathrm{O}}$$=0^{\mathrm{o}}$$5(\mathrm{a})$$5(\mathrm{b})$$=1^{\mathrm{o}}$$Ra=40\mathrm{o}\mathrm{o}$$5(\mathrm{a})$$5(\mathrm{b})$$5(\mathrm{c})$$Ra=60\mathrm{o}\mathrm{o}$$=0^{\mathrm{O}}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}}\mathrm{R},$$\mathrm{T}_{\mathrm{p}}\mathrm{U}$$5(\mathrm{a})$$\mathrm{T}_{\mathrm{p}}\mathrm{T}$$5(\mathrm{c})$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}}\mathrm{Q}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}}\mathrm{R}$$Ra=60\mathrm{o}\mathrm{o}$$5(\mathrm{d})$$=0^{\mathrm{o}}$62

図 5. 平衡解 $(A=1)$ .
$(\mathrm{a}),(\mathrm{b}):Ra=4000,$$(\mathrm{a}),(\mathrm{C})$$\phi=1^{\mathrm{o}}$.

: 流れ場.

$(\mathrm{b}),(\mathrm{d})$: 温度場.

$(\mathrm{c}),(\mathrm{d}):Ra=6000,$$\phi=0^{\mathrm{o}}$.

$A=2$ の場合について平衡振幅
を $Ra$ に対して描いた分岐ダイアグラムを図に示す.
では, 分岐は $A=1$ の場合と同じくピッチフォーク分岐である. 静止状態
が,で不安定になり, そこから 2 つの分枝およびが分岐している. この場合には, 傾$6(\mathrm{a})$$w_{1}$$\phi=0^{\mathrm{O}}$$\mathrm{O}\mathrm{P}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{Q}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{R}$に変化しても分岐の構造は不変である. 大きな 1 つ渦を持つ分枝
きが\mbox{\boldmath $\phi$}が,で不安定になり, そこから 2 つの渦を持つ分枝およびが分岐する. このような分岐構造の不変性は, 大きな渦を持つ分枝 OS と 2 つの分枝および上の平衡解の流れ場における対称性が–致しないことに帰因する. 分岐構造の不変性は, 図
おける Nu–l の $Ra$
依存性からも見ることができる. 容器の上面および下面で評価された $Nu$ の値は, 図における
分枝上では同じであり, 対流の回転方向の反転に対して不変であるが,,$=1^{\mathrm{O}}$$\mathrm{O}\mathrm{S}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}2}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}2}\mathrm{T}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}2}\mathrm{U}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{Q}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{R}$$6(\mathrm{b})$$6(\mathrm{a})$$\mathrm{O}\mathrm{S}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{Q},$$\mathrm{C}_{\mathrm{P}^{1}}\mathrm{R}$

分枝上では異なる値を持ち, 対流の回転方向が変わると上下面の Nu-l のは,値が交替する. 図のときの臨界状態付近における Nu–l の $Ra$ 依存性を拡大して描いた図である.
$\mathrm{C}_{\mathrm{p}2}\mathrm{T}$および$\mathrm{C}_{\mathrm{p}2}\mathrm{U}$$6(\mathrm{c})$$\phi=0^{\mathrm{o}}$63に示されているように分枝上の解は, 図
分枝上の解は,対流の回転方向が容器の容器の中心で下降する対流に相当する. –方,で対流の回転方向が反対の場合の下中心で上昇する. 容器の上面での Nu–l の値は, 図$Nu$のこのような特性は, 変換 $xarrow-X,$ $zarrow-z$ , \psi \rightarrow +\psi および面における値と –致する.
に関する方程式 (9), (10) の不変性から生じる. 容器の上面で評価された $Nu$ は, 対流が容器の中心で下降するとき, 下面で評価された値よりも小さ , 臨界状態付近では熱伝導状
ここでは,$Nu$ は容器の下面で評価した.

$6(\mathrm{c})$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{Q}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{R}$$6(\mathrm{c})$$\thetaarrow-\theta$$\langle$

態よりも小さくなる.

図 6. 平衡解 $(A=2)$ . (a): 平衡振幅, (b): Nu–l, (c): (b) の拡大図.

64

1 つの大きな渦を持つ分枝 OS の流れ場を図に示す. ここでは, $Ra=1000$ およびに対する流れ場を示すが, これは, 図においてで表された点に相当する. 流れ場
は,方向に関して反対称性を持っ. 図には対応する温度場を示す. 分岐した後の分枝上の流れ場は, 図に見られるように 方向に関してほとんど対称である. この流れ場
は $Ra=2500$ および\mbox{\boldmath $\phi$}に対するものである. 対応する温度場を図
に示す.
お
よび
分枝上で, 臨界点の近傍においては流れ場はほとんど完全に対称である. ピッ$7(\mathrm{a})$$\phi=1^{\mathrm{O}}$$6(\mathrm{c})$$x$$\mathrm{C}$$7(\mathrm{b})$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{Q}$$7(\mathrm{c})$$x$$=0^{\mathrm{o}}$$7(\mathrm{d})$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{R}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{Q}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}$

チフォ– ク分岐が不変であるためには次節で示されるように,分枝上の解の対称性の不–致が不可欠である.

図 7. 平衡解 $(A=2)$$(\mathrm{a}),(\mathrm{b}):Ra=$

1000,

.

$(\mathrm{a}),(\mathrm{c})$$\phi=1^{\mathrm{O}}$.

: 流れ場.

$\mathrm{O}\mathrm{S}$

分枝と$(\mathrm{b}),(\mathrm{d})$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{Q}$: 温度場.

$(\mathrm{c}),(\mathrm{d}):Ra=25\mathrm{o}\mathrm{o},$$\phi=0^{\circ}$

.

あるいは

$\mathrm{C}_{\mathrm{p}1}\mathrm{R}$655

弱非線形解析

ピッチフォーク分岐は, $A=1$ のときには容器の傾きに対して構造不安定であるが, $A=2$ のときには構造安定であることがわかった. そこで, 局所分岐構造を調べるために, 増幅率展開に対する振幅方程式を導く. 振幅方程式は, ピッチフォ–に基づいた弱非線形理論を用いて
ク分岐が不完全ピッチフォ$-p$ 分岐に変化する構造を理解するのに非常に有益である.
方程式 (1) および (2) は, $\phi<<1$ のとき次のように書ける.
$w_{1}$$\frac{\partial\Delta\psi}{\partial t}=P\triangle^{2}\psi-PRa\phi+PRa\phi\frac{\partial\theta}{\partial z}-PRa(1-\frac{1}{2}\emptyset^{2})\frac{\partial\theta}{\partial x}+J(\psi, \Delta\psi)$$\frac{\partial\theta}{\partial t}=-\frac{\partial\theta}{\partial x}+\triangle\psi+J(\psi, \theta)$(14) および (15) 式は,できる.

$f={}^{t}(\psi, \theta)$,$M,$ $L,$ $K,$ $F,$ $E,$ $G,$ $N$

(14)
(15)

と定義すれば, ベクトル形式で簡単に次のように書くことが$\frac{\partial}{\partial t}Mf=Lf+RaKf+Ra\phi F+Ra\phi Ef+Ra\phi^{2}Gf+N(f, f)$

ここで,

,

,

(16)

は次式で定義される.

$M=$ , $L=$ ,$K=,$ $E=$

,

$N=$

.

$F=$ , $G=$ ,微少パラメータとして臨界状態からのずれ\epsilon 2 $=Ra-Ra_{c}$ をとる. \mbox{\boldmath $\phi$}は,とおく. $f$ を\epsilon のべき級数で展開する.

$\psi=\epsilon^{3}\phi_{\iota}$$f= \sum_{k=0}\epsilon^{k1}f+k,$

ここで, 時間について多重尺度法$t_{k},$$f_{k}=(\psi_{k}, \theta_{k})$$(k=0,1,2, \cdots)$$t_{k}=\epsilon^{2k}t$

そみとき, 時間微分$\partial/\partial t$(17)$O(\epsilon^{3})$.

であるとして(18)を導入する. すなわち,

.

(19)

は次のように書ける.
$\frac{\partial}{\partial t}=\sum_{k=0}\epsilon\frac{\partial}{\partial b_{k}}2k$

.

(20)

方程式 (18), (19) および $Ra=$ Rac+\epsilon 2 を (16) 式に代入し,で次式を得る.

$\epsilon^{k}$の各べきを等しいとおくと,$O(\epsilon^{1})$$Lf\mathrm{o}+Ra_{c}Kf0=0$

,

(21)

66

ここで, \partial /\partial t。の項は, 臨界状態で安定性交替の原理が成立することから省略できる. 方程式 (21)は, $\phi=0$ に対する線形安定性を支配する式と同じ形である. その解んは, $f_{\mathit{0}=}A(t_{1})g\mathrm{o}(x, z)$と書ける. ここで, g0 $(x, Z)$ は方程式 (6) および (7) の固有関数であり, 係数 $A(t_{1})$ はゆっくりとした時間スケ–ノ tl の関数である. 固有関数 $g_{0}(x, Z)$ は, $g_{0}(A/2-1/4,0)=1$ を用いて規格化する.
$O(\epsilon^{2})$では, 次式が得られる.
$Lf_{1}+Ra_{\text{。}}Kf1=N(f_{0}, f\mathrm{o})$

.

(22)

方程式 (22) の解は, $f_{1}=A2(t_{1})g1(X, Z)$ と書ける.
では, 次のようになる.
$O(\epsilon^{3})$$Lf_{2}+RaCKf_{2}+Kf_{0}+Ra\text{。}\emptyset 1F+N(f\mathrm{o}, f1)+N(f1, f\mathrm{o})$$\frac{\partial}{\partial t_{1}}Mf_{0}$方程式 (23) に対する可解条件から,$A(t_{1})$

.

(23)

に対する振幅方程式が次式のように得られる.

$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t_{1}}=\lambda_{0}A+\lambda 1A^{3}+Ra_{\text{。}}\phi 1\lambda_{2}$ここで,$\lambda_{0}=\frac{\int\int\tilde{g}_{0}Kg_{0}}{\int\int\tilde{g}0Mg\mathrm{o}}$$\lambda_{1}=\frac{\int\int\tilde{g}_{0}\{N(g0,g_{1})+N(g_{1,g}\mathrm{o})\}}{\int\int\tilde{g}_{0}Mg_{0}}$

,

(25)
(26)

$\lambda_{2}=\frac{\int\int\tilde{g}_{0}F}{\int\int\tilde{g}_{0^{M}}g0}$である. また, (21) 式に対する随伴方程式を満足する随伴関擲\mbox{\boldmath $\phi$}o は次式のように定義される.
$\tilde{L}\tilde{g}_{0}+Ra\text{。}\tilde{K}\tilde{g}0=0$$\tilde{L}=($$P\triangle^{2}0$$\partial/\partial x\triangle$), $\tilde{K}=$ .

に対する振幅方程式は, $A(t_{1})$ に対する式をを用いて, もとの変数で書き直すことにより,$w_{1}$$\epsilon^{\mathit{2}}$,$w_{1}=\epsilon A,$$t=t_{1}/\epsilon^{\mathit{2}},$$\phi=\epsilon^{3}\phi 1$$\frac{\mathrm{d}w_{1}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=(Ra-Ra_{C})\lambda_{0^{w}}1+\lambda_{1}w_{1}^{3}+Ra_{C}\phi\lambda_{2}$(27)
および $Ra-Ra$。

(28)となる. 係数 $(Ra-Ra_{\text{ }})\lambda 0$ は線形増幅率を表し,
は第– ランダウ係数である. 方程式 (28)は, 右辺の最後の項がなければランダウ方程式であり, ピッチフォーク分岐を表すことは明らかである. 最後の項がランダウ方程式に対する撹乱であり, ピッチフォーク分岐を不完全ピッと F が直交していれば消滅するので, ピッチフォーク分
チフォーク分岐にする. この項は,
岐に影響を及ぼさない. 関数 F は定数であり,方向に対称である. も $)_{0}$ が反対称であれば,
すなわち, 流れ場が 方向に対称であれば, (26) 式の積分はゼロとなる. したがって, もし分岐した後の流れが 方向に関して対称であれば, ピッチフォーク分岐は, 容器の傾きに対して。

$\lambda_{1}$$\tilde{g}0$

$x$

$x$

$x$

構造安定となる.

67

方程式 (28) の係数を数値計算で評価する. 関数 $g_{0}(x, Z)$ および $g_{1}(x, z)$ を, (7) 式と同様に展開しガラーキン法を用いて計算する. 積分は, 96 点のガウスルジャンドル法を用いて数値的に計算する. $A=1$ および $A=2$ に対する臨界状態 $Ra$ $=5011.7$ および 2384.9 でそれぞれ評
は $A=1$ に対しては有限の値を価した係数を表 2 に示す. 上述の議論で予想されたように,
取り, $A=2$ ではゼロとなる.
を, $Ra$ に対しておよび $A=1$ のとき, 振幅方程式 (28) より得られた平衡振幅
ラフソン法を用いて直接計算した値も
図 8(a) に点線で示す. ここで, 基礎方程式を—=. 一トン.
ま
同時に実線で示す. この図では, それぞれが区別できないほど接近している. つまり,
–f一トンラで示されている範囲において,が,
図 8(a)
での振幅方程式で近似した平衡振幅
フソン法を用いて計算した正確な値と非常によく -致している. このように, 振幅方程式が妥のおよび (sa) モードの線形安定性から理解できる. 図
当である領域が大きい理由はモードが分岐し (sa) モードを励起する. 弱非線平衡解は, はじめ臨界状態 $Ra_{C}=5011.7$ で形理論では, (sa) モードは従属モードであると仮定している. (sa) モードに対する臨界レイリ一79724 であり, (sa) モードが従属モードであるという仮定は $Ra<Ra$ $–79724$
数は $Ra$で示されるような $Ra$
に対して成り立つと考えられる. したがって, 振幅方程式 (28) は図。

$\lambda_{2}$$w_{1}$$\phi=0^{\mathrm{O}}$$O(\epsilon^{3})$$w_{1}$$8(\mathrm{a})$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$

。

$=$

。

$8(\mathrm{a})$の比較的広い範囲において平衡振幅を表すことができる.
に見られるように, w, ほど正までの弱非線形理論を用いたとき, 図
ヌセルト数は,
点線は弱非線形理論から得られた結果であり, $Nu-1\propto Ra-Ra$
ここでも,確に表されていない.
であることがわかる. –方, 実線は— -一トン. ラフソン法により計算した結果であるが, 臨界点から遠ざかるにつれて点線から離れていくことがわかる.
$8(\mathrm{b})$$O(\epsilon^{3})$。

$=$表 2. 振幅方程式の係数$\overline{A=1A=2}$$\lambda_{0}$$\lambda_{1}$$\lambda_{9}$8.7619$\cross 10^{-3}$9.3697$\mathrm{x}10$$- 0.17879$$- 0.29998$-0.17365$0$

図 8. 平衡解 $(A=1)$ . (a): 平衡振幅. (b):
Nu–l.

68

図 9. 平衡解 $(A=1)$ . (a): 平衡振幅. (b): Nu–l.

図 10. 平衡解 $(A=2)$ . (a): 平衡振幅. (b): Nu–l.

および $A=1$ に対する平衡振幅を図に示す. 点線は (28) 式から得られた値であり, 実線は—
トン. ラフソン法により得られた値である. 水平面からの容器の傾きが, $\phi=0.001^{\circ}$ と非常に小さいにもかかわらず, 図に見られるように分岐の構造に影響を与えていることは注目に値する. さらに, 弱非線形理論と $–=.-$ トン. ラフソン法による二本の曲線の差が, 増幅率展開の開始する臨界点近傍で最も大き なっているめは奇妙に思われるかもしれないが, これは図で二本の曲線が臨界点近傍で–致していることから,の極限でこの差はゼロとなる. $\phi=0.001^{\circ}$ および $A=1$ のときのヌセルト数の $Ra$ 依存性を図に示す. ここでも, ピッチフォーク分岐の構造不安定を見ることができる.
$\phi=0.001^{\mathrm{O}}$$w_{1}$$9(\mathrm{a})$$=\mathrm{L}^{-}$$9(\mathrm{a})$$\text{く}$$8(\mathrm{a})$$\phiarrow 0^{\mathrm{O}}$$9(\mathrm{b})$およびヌセルト数を\mbox{\boldmath $\phi$}の場合について図およびに示す. ここで, 点線は振幅方程式 (28) により得られた結果を示し, 実線は—t– トン. ラフ
ソン法による正確な値を表す. これより, 弱非線形理論を用いてさらに正確にを近似したい$A=2$ のときの平衡振幅$w_{1}$$=0^{\mathrm{O}}$$10(\mathrm{a})$$w_{1}$$10(\mathrm{b})$69場合には, についてさらに高次の項まで考慮に入れねばならないことが示唆されている. こ
モードの線形安定性から容易に理解できる. 平衡解は, 臨界点の不一致は, (sa) モードとモードが従属モードである$Ra_{c}=2384.9$ で (sa) モードから分岐する. 弱非線形理論は,モードが臨界点に達する以前 $Ra<Ra_{c}=2607.0$ においと仮定しているが, この仮定は$\epsilon$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$$(\mathrm{a}\mathrm{a})$て成り立つ. $A=2$ の場合には$(\mathrm{a}\mathrm{a})$モードの不安定性が (28) 式の妥当な範囲を左右し, $A=1$の場合と比較して第–モードと第二モードの臨界レイリー数の差が小さくなっているので, 弱非線形理論の有効範囲は狭くなる.
における Nu–l の値は, 前節で述べたように上面と下面では異なる. 対流の回転
図$10(\mathrm{b})$方向が容器の中心で下降しているとき, 上面での Nu–l は下面での値よりも小さく, 臨界点近傍では熱伝導状態よりも小さくなる. これは, 側壁が完全熱伝導であるためで, そこから熱の移動が行われているためである. 容器の傾き\mbox{\boldmath $\phi$}は分岐の構造に影響を及ぼさないので, ここに対する図は省略する.
では\mbox{\boldmath $\phi$}$=0.001^{\mathrm{O}}$6

議論と今後の展望と非常に小さい場合にも, 分岐の構造に影響を及ぼすことが示された. 実験において, $\phi<0.001^{\circ}$ の精度の範囲内で, 容器を水平に置くというに見られる分岐ダイアグラムをことは, かなり困難であろうと思われる. したがって, 図に見られるような不完全ピッチフォ–ク分岐が実実験で忠実に再現することは難しく, 図の分岐ダイアグと図臨界点近傍を無視すれば図現されるであろう. しかしながら,ラムはよく. –致しており, $4900<Ra<51\mathrm{o}\mathrm{o}.\text{の範囲を除けば}$, 実験における結果との比較も可能である.
ピッチフォ–ク分岐は, 素に撹乱が加えられたとき構造不安定となることはよく知られている. 本報告では, 撹乱として容器の傾きを考え系の構造安定性について調べた. その結果, ピッ
チフォーク分岐は加えられた撹乱に対して常に構造不安定となるのではなく, パラメータの値に依存して安定性が変わることがわかった. さらに, 流れ場の安定性のみならず, 分岐ダイア$A=1$ に対しては, 容器の傾きが\mbox{\boldmath $\phi$}$=0.001^{\mathrm{o}}$$8(\mathrm{a})$$9(\mathrm{a})$$8(\mathrm{a})$$9(\mathrm{a})$グラムのトポロジカルな構造さえも流れのパターンに依存していることがわかった.
今後の課題としては, 例えば図$4(\mathrm{a})$における$\mathrm{O}\mathrm{S}$$\mathrm{C}_{\mathrm{p}}\mathrm{Q},$$\mathrm{c}_{\mathrm{p}}\mathrm{R},$および$\mathrm{T}_{\mathrm{p}}\mathrm{T}$分枝上の解は, 本

報告で考えているレイリー数に対しては安定であるが, さらに $Ra$ が増加すると不安定となる
ことが予想される. その場合の臨界点を求めることがあげられる. そこでは, ピッチフォ– ク

分岐あるいはホップ分岐が生じ, これらの解のうち実際に実現されるのはどの解となるの力\searrow
そしてその判定基準は何かなどさまざまな問題があるが, 詳細は次の機会に論じることにする.

References[1 R. M. Clever and F. H. Busse 1974 J. Fluid Mech. 65, 625.
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$\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}$