数理解析研究所講究録
第 1795 巻 2012 年 88-99

88

factorial Schur function に対する Tokuyama-type formula
中筋 麻貴 (Maki Nakasuji)
北里大学一般教育部
College of Liberal Arts and Sciences,
Kitasato University

Tokuyama([6]) によって得られた Tokuyama formula は，ワイル指標公式の t-deformation
を組合せ論の言葉で表示したものであり，表現論，組合せ論の両分野において応用範囲の広い公式である．本稿ではこれを factorial Schur 関数を用いて拡張したものを可解格子模型を用いて表す．なお，ここで得られた結果はアメリカ，Stanford 大学の Daniel Bump 氏および同大学の Peter J. McNamara 氏との共同研究 ([3]) で得られたものである．

1

Tokuyama formula$W$ を $G$ のを連結な古典群， を に含まれる対角行列からなる極大トーラス，
関するワイル群， を正ルート系とする．このとき，次の指標公式が成り立つ．
$G$

$T$

$G$

$T$

に

$\Phi^{+}$$\lambda=\in X^{*}(T)$ を最高ウエイトとTheorem 1.1 (ワィルの指標公式) 指標群を $X\sim T$ ) とする．

する既約有理表現$L_{\lambda}$の指標を$\chi_{\lambda}$とすると，$(t\in T)$$\chi_{\lambda}(t)=\frac{\sum_{w\in W}\epsilon(w)t^{w(\lambda+\rho)}}{\sum_{w\in W}\epsilon(w)t^{w\rho}}$

ここで，$p= \frac{1}{2}\sum_{\alpha\in\Phi+}\alpha$$G$.

であり， : $Warrow\{\pm 1\}$ は群準同型写像である．
$\epsilon$

が $GL(r+1, \mathbb{C})$ の場合，有限次元既約表現は，(1.1)$\lambda_{1}\geq\lambda_{2}\geq\cdots\geq\lambda_{r+1}$を満たす列 (partition)
は $g\in G$ の固有値にのみ依存し，これを標$\lambda=(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r+1})\in Z^{r+1}$$\chi_{\lambda}$$z_{1},$

でパラメトライズされる．対応する既約指とすると，次が成り立っ．
$\cdots,$ $z_{r+1}$$\chi_{\lambda}(g)=s_{\lambda}(z_{1}, \cdots, z_{r+1})$

ここで， は Schur 関数を表し，$s_{\lambda}$$GL(r+1, \mathbb{C})$$z_{1},$$\cdots,$ $z_{r+1}$.

についての対称多項式である．これより，$G=$

における Weyl 指標公式は次のように書き換えられる．

89
Theorem 1.2$s_{\lambda}(z_{1}, \cdots, z_{r+1})=\frac{\det(z_{i}^{\lambda_{j}+r-j})}{\det(z_{i}^{r-j})}$

.

(1.2)

とおく．(1.2) 式右辺の分母は Vandermonde 行列式であり，定理の主張は以下と書くこともできる．
$z=$$(z_{1}, \cdots , z_{r+1})$$\prod_{i<j}(z_{i}-z_{j})s_{\lambda}(z)=\det(z_{i}^{\lambda_{j}+r-j})$

.

(1.3)

これに対し Tokuyama は，(1.3) 式の t-deformation を Gelfand-Tsetlin pattern を用いて表した (Gelfand-Tsetlin pattern の具体的な表示は 4 節 (4.1) を参照).

Theorem 1.3 (Tbkuyama $f_{07}nula$) $[6](1.1)$ を満たす partition を $\rho=(r, r-1, \cdots, 0)$ とを top row がの strict な Gelfand-Tsetlin pattem とする．に対する．
, right-leaning の個数をの尾列目の数の和をして，left-leaning の個数を$\lambda,$$\lambda+\rho$$GT_{\lambda+\rho}$$\mathcal{T}\in GT_{\lambda+\rho}$$l(\mathcal{T})$$s(\mathcal{T}),$$\mathcal{T}$$d_{k}(\mathcal{T})$とする．このとき次が成り立っ．
$\prod_{i<j}(z_{j}+tz_{i})s_{\lambda}(z)=\sum_{\mathcal{T}\in GT_{\lambda+\rho}}t^{l(\mathcal{T})}(t+1)^{s(\mathcal{T})}(\prod_{k=1}^{r+1}z_{k}^{d_{k}(\mathcal{T})-d_{k+1}(\mathcal{T})})$

.

(1.4)

Tokuyama formula (14) からは表現論や組合せ論における色々な公式を導くことができ$t=-1$ とすると，明らかに $G=GL(r+1, \mathbb{C})$ におけるワイル指標公式 (13)る．例えば，とすると Schur 関数の組合せ論的定義が得られる．また，$t=0$$t=1$ とすると，が得られ，$t=-q^{-1}$ とすると，Casselman-Shalika formula ([4]) に対する組合せ論的
Stanley の公式，表示が得られる．また，Tokuyama formula については，組合せ論だけでなく，量子群などの対象物を用いた表示も報告されている．その一部を紹介する．
に対する Tokuyama formula の alternating sign matrix
1 Okada(1993) [7] によって，$B,$ $C,$ $D$ 型の表示も報を用いた以下の定理が示された．なお，[7] では， 型のみではなく，$\lambda=0$

$)$

$A$

告されている．

Theorem 1.4

を $n\cross n$ の altern ating sign matrix とする．
$A=(a_{ij})\in$ 人に対し，$i(A)= \sum_{i<k,j>l}a_{ij}a_{kl},$ $s(A)$ を $A$ における $-1$とおの数，$[7J\mathcal{A}_{n}$$\delta(\mathcal{A}_{n-1})=^{t}(\frac{n-1}{2} , \frac{n-3}{2}, \cdots , -\frac{n-1}{2})$く．このとき，次が成り立っ．

.

$\prod_{i\triangleleft}(z_{i}+tz_{j})=\sum_{A\in A_{n}}t^{i(A)}(t+1)^{s(A)_{Z}\delta(A_{n-1})-A\delta(A_{n-1})}$

2 Hamel-King (2007) により可解格子模型，特に six vertex model を用いた以下の定理が示された．なお，six vertex model の詳しい定義および状態については次節参照のこと．
$)$

90Theorem 1.5$\ovalbox{\tt\small REJECT}$SE$(\epsilon)$を$\mathfrak{S}_{\lambda}$

を$\lambda$

によって決まる six vertex model の system とする．

$5\in \mathfrak{S}_{\lambda}$の個数，$NS(\epsilon)$が成り立っ．

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

をの個数，NE$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$(\epsilon)$

を

に対し，

の個数とする．このとき，次$\prod_{\dot{|}\triangleleft}(z_{i}+tz_{j})s_{\lambda}(z)=\sum_{\epsilon\in 6_{\lambda}}t^{SE(\epsilon)}(t+1)(NS(\epsilon))z^{NE(\epsilon)}$.

本定理 (Theorem 1.5) については，Brubaker-Bump-Friedberg(2010) により，量子群の特徴である Yang-Baxter 方程式を用いた別証明が報告されている ([1]).
$t=-q^{-1}$ の場合について結晶基底を用いた以下の定理
3 Bump-Nakasuj (2010) により，が示された ([2]).
$i$

$)$

Theorem 1.6の crystal,
をウエイトが $-\lambda-\rho$ であるを最高ウエイトが元 1 つのみで生成される crystal とする．また， を Tokuyama 関数とする．このとき，次が成り立っ．
$\lambda+\rho$$\mathcal{B}_{\lambda+\rho}$$\mathcal{T}_{-\lambda-\rho}$$G_{\Omega}$$\prod_{i<j}(z_{i}-q^{-1}z_{j})s_{\lambda}(z)=\sum_{v\in B_{\lambda+\rho}\otimes \mathcal{T}_{-\lambda-\rho}}G_{\Omega}(v)q^{-\langle wo(wt(v)),\rho\rangle_{Z}wo(wt(v))}$.

を factorial Schur 関数に置き換えることにより，
本報告集では，Schur 関数
Tokuyama formula を拡張し，これを Brubaker-Bump-Friedberg([l]) の手法にそって 2) と同$s_{\lambda}(z|\alpha)$$s_{\lambda}(z)$様に可解格子模型を用いて表示する．

2

Tokuyama formula の拡張によって Schur 関数を shift しfactorial Schur 関数は，任意の複素数列$(\alpha_{n}=1-n$とによって特別な場合て定義される対称関数であり，もともと Biedenharn Louckの場合) について，Gelfand-Tsetlin pattern の言葉を用いて定義された．その後，Macdonald
および Goulden-Greene 等によって独立に任意の に拡張された．詳しい定義は以下となる．
に対し，を複素数の列としたとき，$\alpha=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n})$$\alpha$$\alpha_{1},$$\alpha_{2},$$\alpha_{3},$$z\in \mathbb{C}$$\cdots$$(z|\alpha)^{m}=(z+\alpha_{1})\cdots(z+\alpha_{m})$と定義する．

$\mu=(\mu_{1}, \cdots, \mu_{n})\in Z^{n}$が effective, すなわち，すべての $\mu_{i}\geq 0$ であると仮定す

る．このとき，スペクトルパラメータ$z_{1},$$\cdots,$$z_{n}$

に対し，$A_{\mu}(z|\alpha)=\det((z_{i}|\alpha)^{\mu_{j}})_{i,j}$91と定義する．factorial Schur 関数は，このを用いて，partition
び $p=(r, r-1, \cdots, 0)$ に対して次のように定義される :$A_{\mu}$$s_{\lambda}( z|\alpha)=\frac{A_{\lambda+\rho}(z|\alpha)}{A_{\rho}(z|\alpha)}$$\lambda=$$(\lambda_{1}, \cdots , \lambda_{r+1})$

, およ

.

$\alpha=(0, \cdots, 0)$ のとき，(1.2) と一致することから，factorial Schur 関数は Schur 関数
なお，の拡張とみなすことができる．
次に可解格子模型 (six vertex model) について復習する．まず，格子点には酸素原子 ,各辺に水素イオン H をおいた 2 次元の結晶格子に次の条件を付加した格子模型を考える．水素イオン は各 原子に対し 2 個 (多くも少なくもなく) っくため，Figurel 上段に示した 6 通りの状態が考えられる．この状態を酸素原子 O が配置される格子点は , 各辺に配置
$O$

$H$

$O$

$\bullet$

された水素原子が上もしくは左の酸素原子についている場合はにつく場合は$\ominus$$\oplus$, 下もしくは右の酸素原子を用いて表す (Figurel, 下段).

Figurel. 2 次元の結晶格子模型

格子上にこのような酸素原子と水素原子の状態を条件にそって並べたものを「配置 (state)」に対し，という．各配置 5 に対する頂点 v(酸素原子) のボルツマン．ウエイト$\beta(v, \epsilon)$$Z= \sum_{5}\prod_{v}\beta(v,\epsilon)$と定義される関数を分配関数と呼ぶ．

に対し，とする．ここで partition
を1列の長方形の格子を考える．各行には上から順に 1 から $r+1$ まで通常の順序で，各列には左から順にから逆順序で番号をっけ$\rho=(r, r-1, \cdots, 0)=(\rho_{1}, \rho_{2}, \cdots, \rho_{r+1})$$\lambda=(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r+1})$$r+1$ 行つ定め，$\rho_{i}^{*}=\rho_{i}+1$$(\lambda_{1}+\rho_{1}^{*})$$\lambda_{1}+\rho_{1}^{*}$

る．この長方形の格子に次の境界条件を課す．

境界条件．長方形格子の左端の列と一番下の行の各辺は , 右端の列の各辺には$\oplus$

一番上の行の各辺に$(\lambda_{i}+\rho_{i}^{*})$

番の列の辺に$\ominus$, それ以外の列の辺には$\oplus$をおく．

$\ominus$

をおく．

92
を
,
に依存する境界条件のもとで，構成可能な配置 (state) を考えていく．
スペクトルパラメータ，
を別の複素数の列，を別のパラメータとする．このとき，長方形格子の 行 列成分，および行に関する頂点に対し，Figure2 で表したボルツマ
この$\lambda$$z_{1},$$\alpha_{1},$$i$$\alpha_{2},$$\cdots$$Z_{r+1}$$t$$\cdots$$i,$ $k$$j$

ンウエイトを与える．なお，状態には 2 段目で表した「ねじれの状態」も含める．配置の集合 (system) は と に依存するため，これをと表す．このとき，主定理となる以下のが得られる．
関数に対する
Tokuyama
formulafactorial Schur$\lambda$$t$$\mathfrak{S}_{\lambda,t}$

Theorem 2.1$\prod_{i\triangleleft}(z_{i}+tz_{j})s_{\lambda}(z|\alpha)=Z(\mathfrak{S}_{\lambda,t})$

.

(2.1)

Figure2. 各状態におけるボルツマンウエイト

3Yang-Baxter 方程式と主定理の証明

主定理 (Theorem 2.1) の証明には，six vertex model の特長である Yang-Baxter 方程式が鍵となる．

Figurel で表した 6 種類の状態において，頂点 (酸素原子) にボルツマンウエイトを，そにおいて，れぞれ $a_{1}(v),$ $a_{2}(v),$ $b_{1}(v),$ $b_{2}(v),$ $c_{1}(v),$ $c_{2}(v)$ を与える．このとき，各頂点$v$$a_{1}(v)a_{2}(v)+b_{1}(v)b_{2}(v)-c_{1}(v)c_{2}(v)=0$を満たすとき，この頂点をか ee-fermionic と呼ぶ．
Theorem 3.1 (Yang-Boxter equation, [と異なる頂点 に対し，
する．

$1J,$

$v,$

$w$

$[3$

, Theorem $4J$)$v$と $w$ をか ee-femonic な頂点と

$u$,$b_{1}(u)=b_{1}(v)a_{2}(w)-a_{2}(v)b_{1}(w)$ ,$c_{1}(u)=c_{1}(v)c_{2}(w)$ ,$a_{1}(u)=a_{1}(v)a_{2}(w)+b_{2}(v)b_{1}(w)$$a_{2}(u)=b_{1}(v)b_{2}(w)+a_{2}(v)a_{1}(w)$,$b_{2}(u)=-a_{1}(v)b_{2}(w)+b_{2}(v)a_{1}(w)$ ,$c_{2}(u)=c_{2}(v)c_{1}(w)$93を満たすとき，任意の符号 $\epsilon_{i}\in\{\pm\}(i=1,2,3,4,5,6)$ に対して次が成り立っ :(3.1)

前節 Figure2. で与えた状態 vrr $(i, k, t)$ および$u=$ vrr $(i, k, t),$ $v=$に対して，
$w=v_{\Gamma}(k,j, t)$ とすると，Theorem 3.1 の条件が成立することは簡単な計算から確かめられる．これを用いることにより，次の命題が得られる．
$v_{\Gamma}(i, k, t)$$v_{\Gamma}(i,j, t),$Proposition 3.2 Figure2. で与えた$\dagger\grave\grave$J) レツマンウエイトをもつ任意の system$\mathfrak{S}$(3.2)$[ \prod_{i>J}(tz_{j}+z_{i})]Z(\mathfrak{S})$

は

$t$

および

$z_{i}$の多項式である．また$z_{i}$

に対し，に関して対称である．

Proof. partition function の定義より，(3.2) はおよび の多項式である．このため，これを交換について不変であることを示せば十分である．すなわち，行目と $i+1$ 行
目のウエイトを入れ替えた system
に対し，が$z_{i}$と$t$$z_{i}$$i$$z_{i+1}$$\mathfrak{S}’$$(tz_{i}+z_{i+1})Z(\mathfrak{S})=(tz_{i+1}+z_{i})Z(\mathfrak{S}’)$$i+1$ 行目の左側に vrr $(i, i+1, t)$ を作用させる．これ行目，となる．
により，新しく得られた system のボルツマンウエイトの積は，方，Figure2 で述べたボルツマンウエイトは Theorem 3. 1 の条件を満たしていることから，の 行目，
この新 system に (3. 1) を繰り返し用いると，これが system$i+1$ 行目の右側にの成立を示す．system$\mathfrak{S}$の$i$$(tz_{i}+z_{i+1})Z(\mathfrak{S})$$\mathfrak{S}’$$i$vrr $(i, i+1, t)$ を作用させたものと等しいことがわかる．すなわち，Yang-Baxter 方程式を繰り返し用いた最終の system におけるボルツマンウエイトの積は $(tz_{i+1}+z_{i})Z(\mathfrak{S}’)$ であり，定理の主張が示せた．

Gelfand-Tsetlin pattern の $ij$ 成分に six vertex model の system の 行の列成分を対応させる$i$

ことにより，次の補題が得られる．

Lemma 3.3 を dominant とする．すなわちと top row が
six vertex model の system$\lambda$$\mathfrak{S}_{\lambda,t}$成り立っ．

$\lambda_{1}>\lambda_{2}>\cdots$$\lambda+\rho$の. このとき， によって決まる$\lambda$

Gelfand-Tsetlin pattern は bijection が

94
Lemma 3.4
(3.3)$\frac{Z(\mathfrak{S}_{\lambda,t})}{\prod_{i\triangleleft}(tz_{j}+z_{i})}$は$t$によらない多項式である．

Proof. Proposition 3.2 より，(3.2) は因数分解の一意性の成り立つ多項式環$\mathbb{C}[z_{1}, \cdots, z_{r+1}, t]$の元である．明らかに，(3.2) は $tz_{j}+z_{i}(i>j)$ で割り切れ， に対する対称性からすべてのにおいて割り切れる．それらが互いに素であることから，(3.3) が多項式であ$z_{i}$$tz_{j}+z_{i}(i\neq j)$

ることは明らかである．

一方，に依存しないことにっいては，分母と分子の degree が一致することを示せばよい．分母の に対する degree はである．分子については，Lemma 33 より Gelfandの strict な
Tsetlin pattern を対応させると，分子の に対する degree は，top row がである．
Gelfand-Tsetlin pattern の整数の個数に一致することがわかる．すなわち，
$t$

$t$

$\frac{1}{2}r(r+1)$$t$$\lambda+\rho$$\frac{1}{2}r(r+1)$

分母と分子の degree が一致することから，(3.3) が によらない多項式であることがわかる．
$t$Lemma 34 より，(3.3) について，任意の について議論することができる．以下，$t=-1$$t=-1$ の system に対応する Gelfand-Tsetlinとおき，主定理を導く．Lemma 33 の対応より，$i+1$ 行目の整数列から一つ除いた整数列が 行目にpattern は，任意の $1\leq i\leq r+1$ に対し，
$i+1$ 行目の 番目の列の数対応する．
をそれとする．このとき，Gelfand-Tsetlin patternに対応する system において，
$t$

$i$

$k$

$\mu_{k}$は起こらない．一方，次の 2 つは同じウエイト $(z_{i}+\alpha_{j+1})$ をもつ．これより，system におけるはじまる行については，$\prod_{j=0}^{\mu_{k}-1}(z_{i}+\alpha_{j+1})=(z_{i}|\alpha)^{\mu_{k}}$$j=\mu_{l}(l<k)$ 番目については，が成り立つ．また，

$i$

行目の

$\mu_{k}$番目より右から

95が対応する．これよりボルツマンウエイトは $(-1)$ の積となる．以上を総合すると，行目にが成立する．
ついては，
を
1,
3,
2,
$r+1\}$ の permutation とし，行目から 1 行目の
を除いた
ここで，
$i$

$(-1)^{k-1}(z_{i}|\alpha)^{\mu_{k}}$$\{$$\sigma$

ものが$\lambda_{i+1}$$i$$\cdots,$とする．すなわち，$\mu_{k}=(\lambda+\rho)_{\sigma(i)}$$\sigma(i)$と表す．これにより，次が成り立っ．

$Z( \mathfrak{S}_{\lambda,-1})=\pm\sum_{\sigma\in S_{r+1}}(-1)^{l(\sigma)}\prod_{i}(z_{i}|\alpha)^{(\lambda+\rho)_{\sigma(i)}}=\pm A_{\lambda+\rho}(z)$(3.4) および factorial Schur 関数の定義から，(3.3) が

.

(3.4)

と等しいことがわかる．最$t=0,$ $z_{i}=1$ とすると符号が正と定まり，主定理が導かれる．
後に符号の決定のため，

4$\pm s_{\lambda}(z|\alpha)$

応用

Theorem2.1 の応用として，の選び方によって factorial Schur 関数の様々な表示を得ることができる．特に $t=0,$ $t=\infty$ の場合についてここでとりあげる．
$1\leq i\leq i\leq r$ に対し，
Gelfand-Tsetlin pattern は，$p_{i,j}\geq pi+1,j\geq pi,j+1$ で$t$$p_{i,j}\geq p_{i,j+1},$

順序付けされた整数列$\{p_{ij}\}$を用いて $n=r+1$ とすると，次のように表すことができる．

(4.1)$\mathfrak{T}=\{\begin{array}{llllll}p_{11} p_{12} \cdots p_{1n} p_{22} p_{2n} \ddots p_{nn} \end{array}\}$$p_{ii}>p_{i,i+1}>\cdots>p_{in}$ を満たすとき，strict な pattern と呼ぶ．また，すべてのとくに，に対して $p_{i-1,j-1}>p_{i,j}$ が成り立つ場合，これを special な Gelfand-Tsetlin pattern と呼ぶ．

$p_{i,j}$Gelfand-Tsetlin pattern$\mathfrak{T}_{\lambda+\rho}$

に対し，各行 ( -行とする) から $\rho_{n-i+1}=(n-i+1,$ $n-$$i$を引いてできる新しい Gelfand-Tsetlin pattern(top row は となる) を$\lambda=(4,2,0),$ $n=3$ とすると，Gelfand-Tsetlin pattern として，
例えば，
$i,$

$\cdots,$$1)$$\lambda$$\mathfrak{T}_{\lambda+\rho}=\{7 5 44 3 1\}$をとることができる．これに対応する$\mathfrak{T}_{\lambda}$$\mathfrak{T}_{\lambda}$とする．

は $\mathfrak{T}_{\lambda}=\{4 3 23 2 0\}$とである．こうして得られた に対する shape の semi-standard Young tableau をの$T^{*}(i,j)=T(i, j)+j-i$ を -行，-列する．
-行，-列の成分を $T(i,j)$ としたとき，$\mathfrak{T}_{\lambda}$$T(\mathfrak{T}_{\lambda})$

$i$

$i$

$\lambda$$T(\mathfrak{T}_{\lambda})$

$i$

$i$

96
の成分とする semi-standard Young tableau を$T^{*}(\mathfrak{T}_{\lambda})$とし，$( z|\alpha)^{T}=\prod_{(i,j)}(z_{T(\iota,j)}+\alpha_{T(i,j)})$と定義する．例えば，上の瓢の例では，(4.2)$T^{*}(\mathfrak{T}_{\lambda})=$$T(\mathfrak{T}_{\lambda})=$となり，$(z|\alpha)^{T}=(z_{1}+\alpha_{1})(z_{1}+\alpha_{2})(z_{1}+\alpha_{3})(z_{3}+\alpha_{6})(z_{2}+\alpha_{1})(z_{2}+\alpha_{2})$と表される．Macdonald([6]) は，factorial Schur 関数に$(z|\alpha)^{T}$を用いた組合せ論的表示を与えた．

Theorem 4.1$([6J)\lambda$

を partition とする．このとき，次が成り立っ．
$s_{\lambda}( z|\alpha)=\sum_{T}(z|\alpha)^{T}$.

本節では，Theorem 2.1 を $t=0$ として応用することにより，この別証明を与える．

とすると，Figure2 より，状態$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{i}$に対するボルツマンウエイトが となる．
すなわちに対応する Gelfand-Tsetlin pattern$pi-1,j-1=p_{i,j}$ が成り立たないは，を special な Gelfandpattern (special Gelfand-Tsetlin pattern) の集合となる．
に対応する six vertex model の state とすると，Tsetlin pattern$t=0$$6_{\lambda,0}$$0$$\mathfrak{T}_{\lambda+\rho}$$\mathfrak{s}=\mathfrak{s}(\mathfrak{T}_{\lambda+\rho})$$\mathfrak{T}_{\lambda+\rho}$$w_{0}( \prod_{v\in 5}\beta(v,s))=z^{w_{0}(\rho)}(z|\alpha)^{T}$が成り立つ．両辺をすべての state にわたり和をとると，$Z( \mathfrak{S}_{\lambda,0}(w_{0}(z), \alpha))=z^{w_{0}(\rho)}\sum_{T}(z|\alpha)^{T}$が得られる． (zl )$s_{\lambda}$$\alpha$$=s_{\lambda}(w_{0}(z)|\alpha)$

なので，Theorem 2.1 から$s_{\lambda}( z|\alpha)=\frac{Z(\mathfrak{S}_{\lambda,0}(w_{0}(z,\alpha))}{\prod_{i\triangleleft}w_{0}(z)_{i}}=\frac{z^{wo(\rho)}\Sigma_{T}(z|\alpha)^{T}}{z^{wo(\rho)}}=\sum_{T}(z|\alpha)^{T}$

97となり，Mcdonald の定理が導かれる．
$t=\infty$ として得られる結果について述べる．
次に，$x_{1},$$\cdots,$$x_{n+m}$および$y_{1},$$\cdots,$$y_{n+m}$$x_{i}(1\leq i<n+m)$ の関数
をパラメータとする．

$f$に対し，divided difference operator を次で定義する．

$\partial_{i}f(x_{1}, \cdots, x_{n+m})=\frac{f-s_{i}f}{x_{i}-x_{i+1}}$

なお，がは
$s$

$x_{i}$.

と $x_{i+1}$ を入れ替えることによって得られる関数とする．
$w\in S_{n+m}$ とし，$w$

が simple reflection の積 (reduced expression) $w=s_{i_{1}}$ . . .

$s_{i_{k}}$で表されたとする．このとき，

例1long element とするとき，double Schubert polynomial は次で定義される ([5]):$\partial_{w}=$$\partial_{i_{k}}$は， が braid relation を満たすことから well-defined である． を $S_{n+m}$ の$\partial_{i}$$w_{0}$$\mathfrak{S}_{w}(x, y)=\partial_{w^{-1}w_{0}}(\prod_{i+j\leq n+m}(x_{i}-y_{j}))$Theorem 4.2 [3, Theorem
すなわち，次が成り立っ:

$6J$

.

factorial Schur 関数は double Schubert polynomial に等しい．
$\mathfrak{S}_{w_{\lambda}}(x, y)=s_{\lambda}(x|-y)$.

次に，組合せ論的表現である staircase の定義を述べる．partition
conjugate partition とする．staircase は，shape$\lambda$

に対し， をそので，box を$\lambda’$$(\lambda_{1}+n, \lambda_{1}+n-1, \cdots, \lambda_{1})’$$\{1, 2, \cdots, \lambda_{1}+n\}$で埋めた semi-standard Young tableau で，対角成分が南東方向に従って$\lambda=(5,4,1)$ の staircase として，次の例が考えら
弱減少していくものと定義する．例えば，れる．

Lemma 4.3 [3, Proposition 17 を dominant とする．すなわちによって決まる six vertex model の systemと一番右側の列の box に$\lambda_{1}>\lambda_{2}>\cdots$$\lambda$$\lambda$$\mathfrak{S}_{\lambda,t}$分を含まない 1 から$\lambda_{1}+n$. このとき，$\lambda+\rho+(1)^{n}$の間の数が入る staircase には bijection が成り立つ．

の成98[5, Theorem 1] において，Lascoux は，double Schuber polynomial を staircase を用いて表した．これを Lemma 43 の bijection を用いると，次のように表す事ができる．
のボルツマンウエイトを左から順に 1, 1,
Theorem 4.4 Figurel において，とした system をとする．このとき，次が成り立つ．
$v_{\Gamma}(i,j, t)$$1,$ $z_{i}/\alpha j+1,1$$1,$ $-z_{i}/\alpha_{j+1}-$$\mathfrak{S}_{\lambda,\infty}’$$Z( \mathfrak{S}_{\lambda,\infty}’(z,\alpha))=\frac{z^{\rho}}{(-\alpha)^{(\lambda+\rho)’}}s_{\lambda}(z|\alpha)$.

ここでは，Lascoux の定理と同値であるこの定理を Theorem 2.1 を用いて証明する．

Proof. Theorem 2.1 で与えられた Tokuyama-type formula の両辺を垣$( \frac{z_{i}}{t}+z_{j})s_{\lambda}(z|\alpha)=\frac{Z(\mathfrak{S}_{\lambda,t})}{t}$

$t$

で割る:

.

右辺は，Figurel においてボルツマンウエイトを左から順に 1, $z_{i}/t-\alpha_{j+1},1,$$1/t),$$1$とした system$\mathfrak{S}_{\lambda,t}^{*}$$z_{i}+\alpha_{j+1},$$z_{i}(1+$と同値であり，次で書ける．
$\prod_{i\triangleleft}(\frac{z_{i}}{t}+z_{j})s_{\lambda}(z|\alpha)=Z(\mathfrak{S}_{\lambda,t}^{*})$

.

(4.3)

(4.3) の両辺について $tarrow\infty$ とすると
$z^{\rho}s_{\lambda}(z|\alpha)=Z(\mathfrak{S}_{\lambda,\infty}^{*})$.

で割る．すなわち，右辺については，Figurel においてボルツマンウととった system
エイトを左から順に 1, 1, $-z_{i}/\alpha_{j+1}-1,$と同値であり，定これをさらに両辺をー$\alpha$$1,$$z_{i}/\alpha_{j+1},1$$6_{\lambda,\infty}’$

理を導くことができる．

謝辞

本研究の一部は科学研究費 (研究活動スタート支援，課題番号 23840035) の助成を受けた．また，津田塾大学数学・計算機科学研究所から研究所員として援助を受けた．ここに記して謝意を表す．

References
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