数理解析研究所講究録 1433 巻 2005 年 27-64

27

高階線型常微分方程式の変形におけるvirtual turning point の役割について
京都大学数理解析研究所 佐々木 俊介 (Shunsuke SASAKI)

RIMS, Kyoto University1

序文

本論文では、 Painleve’hierarchy の一種である野海- 山田方程式系の Stokes geometry の研究を通じて、 高階線型常微分方程式の完全 WKB 解析における$\mathrm{v}\mathrm{i}_{\mathrm{I}}\cdot \mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}1$turning point の重要性を具体的に示すことを目的とする.
野海- 山田方程式系の WKB 解析に関しては, [T] において, tuming point の近傍
でその Stokes geometry が付随する線型方程式系 (Lax pair と呼ばれる) の Stokes
geometry と密接に関係していることが示された. 本論文ではそれをうけて, 野海-hierarchy と考えられる系列の 1 番目および 2 番目
山田方程式系の中でも特にの方程式について, それに付随する Lax pair の Stokes geometry を計算機を用いてより大域的に調べる.
および-hierarchy に対しては, すでに [N][KKNTI][KKNT2] に
この問題は,-hierarchy
おいて詳しい解析がなされている. 野海- 山田方程式系とこれらのとの大きな違いは, 付随する Lax pair のサイズが 3 以上であるという点である. 高
階線型方程式においては, 通常の Stokes curve 上以外の点で Stokes 現象が起き ([N]において発見された西川現象はその非線型版である), その Stokes geometry の大域的な構造を記述するためには new Stokes curve や virtual turning point を導入しなければならないことが知られている ([AKTI]} 本論文の \S 2 も参照). 本論文では, これらの概念が線型方程式系の変形や, その両立条件として現れる (高階)Painlev\’e 方
程式の解析にどのように関わってくるかということを主題に, 議論を行っていく.
$P_{\mathrm{I}\mathrm{V}}$$P_{\mathrm{I}}$$P_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$$P_{\mathrm{I}},$$P_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$28

本論文で扱う方程式は以下のものである:$(NY)_{2m} \cdot\frac{du_{j}}{dt}=\eta[u_{j}(u_{j+1}-u_{j+2}+\cdots-u_{j+2m})+\alpha_{j}](j=0,1, \cdots, 2m)$$\alpha_{0}+\cdots+\alpha_{2m}=\eta^{-1},$

,

(1)
(2)

$u_{0}+\cdots+u_{2m}=t$( $?n=1,2,$, ただし $u_{j+2m+1}=u_{j}$ ). ここで は WKB 解析を行うために導入された large parameter であり, $\eta=1$ とおいたものが元の方程式である. この方程式はPainlev\’e 方程式のアフィン Weyl 群対称性の研究に関連して Noum -Yamada によっ$\cdots$$\eta$$1\mathrm{i}$て導入された ([NY]. $l=2m$ が奇数の場合も同様の系列があるが, ここでは扱わな$1_{/^{1})}$.

これらの方程式は, Lax pair と呼ばれる次の線型方程式系の両立条件として導かれる:$(L)_{2m}$$(D)_{2m}$::$\frac{\partial}{\partial x}\psi$$=$$\eta A\psi$$\frac{\partial}{\partial t}\psi$$=$$\eta B\psi$

,

(3)

(4)

ただし

$A=- \frac{1}{x}(\begin{array}{l}\epsilon_{1}u_{1}1\backslash ......\epsilon_{2m-1}u_{227\iota-1}1x\epsilon_{2m}u_{2m}xu_{0}x\epsilon_{2m+1}/\end{array}$$q_{1}$. . .

-1$\cdot$$B=\{$$\epsilon_{j},$$q_{j}$

は$\alpha_{j},$$u_{j}$$\backslash$

(6)

-1

$q_{2m}$ここで-1$q_{2m+1}/$とそれぞれ次のような関係にある (詳しくは [T] 参照):$\alpha_{j}=\epsilon_{j}-\epsilon_{j+1}+\eta^{-1}\delta_{j,0},$(5)$\cdot$$q_{2m-1}$

$-x$

,

$q_{j+2}-q_{j}=u_{j}-u_{j+1}$

.

28

すなわち
$[ \frac{\partial}{\partial x}-\eta A,$

で定まる

$t$

(7)

$\frac{\partial}{\partial t}-\eta B||=0$

に関する微分方程式が $(NY)_{2m}$ (と同値) になるのである.

Remark. $m=1$ の場合, すなわち $(NY)_{2}$ は Painleve 第 4 方程式
り,$P_{\mathrm{I}\mathrm{V}}$と同値であ$P_{\mathrm{I}\mathrm{V}}$の対称形式として知られている.

最初に $(NY)_{2m}$ の零パラメータ解, すなわち次のような$\eta^{-1}$に関する形式罧級数解を構成する:a$\hat{u}_{j}$ここで$\eta^{-1}$

$=$

$=$

${}^{t}(\hat{u}_{0},\hat{u}_{1}, \cdots,\hat{u}_{2m})$(8),$\hat{u}_{j}(t, \eta)=\hat{u}_{j,0}(t)+\eta^{-1}\hat{u}_{j_{1}1}(t)+\cdots(j=0,1, \cdots, 2?n)$に関する top term \^u$(t)={}^{t}(\hat{u}0,0,\hat{u}_{1,0}, \cdots,\hat{u}_{2m_{1}0})$.

は代数方程式$V_{j}(u_{0}, \cdots, u_{2m})=0(j=0,1, \cdots, 2m),$ $u_{0}+\cdots+u_{2m}=t_{7}$(9)$=u_{j}(u_{j+1}-u_{j+2}+\cdots-u_{j+2n\tau})+\alpha_{j}(j=0,1, \cdots, 2m)$

(10)

ただし
$\chi r_{j}$は帰を解いて得られる の多価函数であり, \^ui,\iota -(t), 0 $\leq j\leq 2m,$ $k=1,2,$
納的に, \^u (t) の Riemann 面上一意に定まる (\^u (t) の Riemann 面については Appendix 参照).
以下, $(L)_{2m}$ および $(D)_{2m}$ の係数には $(NY)_{2m}$ の零パラメータ解 \^u を代入し,$t$$\ldots$$A=A(x, t, \eta)=A_{0}(x, t)+\eta^{-1}A_{1}(x, t)+\cdots$$B=B(x,t, \eta)=B_{0}(x, t)+\eta^{-1}B_{1}(x, t)+\cdots$のように展開しておく,
さて, 計算機を用いて $(L)_{2}(m=1)$ の Stokes curve を描くと, Fig. 1.1(1) $,(2)$ のよ
うな configuration が観察される. これらの図は, $(NY)_{2}$ のある 1 本の Stokes curveの Stokes curve の configuration である.
上の異なる 2 点における$\Gamma$$(L)_{2}$30

Figure 1.1.の始点である turning pointにより近い方の点では Fig. 1.1(1) が得られ, [T] で示されているように, 通常の Painleve’ 方程式 (cf. [KT]) と同様, double turning pointと simple turning point が Stokes
curve で結ばれている. ところが, 同じ Stokes curve$\Gamma$

上でありながら$\tau$からより遠い方の点でのの Stokes curve の configuration はFig. 1.1 (2) のようになっており, turning point が Stokes curve で結ばれるという意$\Gamma$$\tau$$(L)_{2}$味の退化は観察されない.
(高階)方程式に対する Stokes 現象の反映として, その Stokes curve の上$\mathrm{P}\mathrm{a}^{1}1\mathrm{n}1\mathrm{e}\mathrm{v}\acute{\mathrm{e}}$では付随する線型方程式系の Stokes geollletry に退化が起こるだろうという一般的な期待を思い起こせば, これは一見矛盾が生じているように見える, この “矛盾” を,turning point や new Stokes curve という概念を用いてうまく説明することが, 本論文の主要な目標である.

$\mathrm{v}\prime \mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$本論文の構成は次の通りである.
まず \S 2 において, いくつかの準備を行う. \S 2.1 で以下で必要となる, 高階方程式特有の概念である virtual turning point や new Stokes curve について, 定義と簡単な性質を述べた後, \S 2.2 では [T] に従って,
海山田方程式系の WKB 解析に関する諸定義や局所理論について復習し, 以下の議論のための設定を行う.
\S 3 以降が本論である. Q3 で “Stokes geometry の切り替え” の最も単純な場合を説明し, それを用いて \S 4 で $(NY)_{2}$ の Stokes curv 上での Lax pairの Stokes geometry を調べる. いくつかの替えの様子を調べることにより, virtuai turning
point および new Stokes curve を導入することによって変化が自然に説明される様子を観察する. さらに \S 5 では, $m=2$ の場合の Lax pair の Stokes geometry につい$r\mathrm{e}$$\mathrm{k}\mathrm{J}\mathrm{J}$$\text{り}$$(L)_{2}$31て述べ, より複雑な, virtual turning point の必要性や役割がより明確になる例を紹介する. その後 \S 6 でそれらの変化を積分関係式を通した定量的な視点から見直し, 最後に \S 7 でまとめを行う.
この論文を書くにあたり, 丁寧にご指導下さった河合隆裕先生, 竹井義次先生に心からの感謝を捧げたい 9

2

準備

2.1

Virtual turning point$\text{と}$new Stokes curve

ここでは [AKKSST] に従い, 以下で必要となる高階方程式特有の概念について, 定義といくつかの性質を簡単に復習しておく. ただし, [AKKSST] では単独高階の方程式を扱っているのに対し, 本論文では 1 階の system$\psi:m$(11)

次元ベクトル,$\frac{d}{dx}\psi$$=$$\eta A\psi,$$A=A(X, ?7)$$=$

$A_{0}(x)+\eta^{-1}A_{1}(x)+\cdots$:$m\mathrm{x}n\tau$

行列の形の方程式を扱うので, ここではそれに合わせた形で定義を行う.
とおき, に関する方程式 $p(x, \xi)=0$ を (11) の特性方程式
を特性方程式 $p(x, \xi)=0$ の根とする. まず次の定
と呼ぶ,
$\xi$

$p(x, \xi)=\det(\xi-A_{0}(\begin{array}{l}x|\end{array}))$$\xi_{\mathrm{i}}=\xi_{j}(t)(j=^{\mathrm{I}}1, \cdots, m)$

義から始める:定義 2.1. (i) 特性方程式 $p(x, \xi)=0$ が重根を持つ点 $x=a$ を, 方程式 (11) の turning
point という. 特に, が特性方程式の判別式の 1 位の零点であるとき simple turning
point, 2 位の零点であるとき double turning point と呼ぶ. また, $\xi_{j}(a)=\xi_{k-}(a)$ とな
る turning point を type $(j, k)$ の turning point と呼ぶ.
$a$(ii) $x=a$ を type $(j, k)$ の turning point とするとき,$\mathrm{I}\ln(\xi_{j}-\xi_{k^{\wedge}})dx=0$(12)の解曲線で $x=a$ から出るものを, (type $(j,$ $k)$ の) Stokes curve という. より詳しく,
その曲線上 ${\rm Re} f_{a}^{x}( \xi_{i}-\xi_{L^{\wedge}})dx>0({\rm Re}\int_{a}^{x}(\xi_{j}-\xi_{k^{\wedge}})dx<0)$ であるとき, type $j>k$(type $j<k$ ) の Stokes curve という.

32

高階方程式 (あるいはサイズが 3 以上の system) においては, Stokes curve どうしが交わることがしばしば起こる.

このとき, Stokes curv の type によって様子が異なってくる. 交わる 2 本の Stokes curve の type が $j<k,$ $k<l$ のようになっている
とき, その交点を ordered crossing point といい, そうでないとき non-ordered crosspoint という.
Ordered crossing point の近傍では, 元々の Stokes curve 上の点以外にも, Stokes
現象を起こす点が存在する. それらは交点から片側にのびる曲線をなすことがわかる. 一方 non-ordered crossing point の近傍ではそのようなことは起こらない.
[AKTI] で論じられたように, この曲線は実は, 次のように定義される virtual turning point を始点とする Stokes curve である.
$r\mathrm{e}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$$\tilde{p}(x, \xi, \eta)=\eta^{m}p(x, \xi/\eta)=\det(\xi-\eta A_{0}(x))$

とおき, Hamilton 系$\frac{\frac{dx}{dydt}}{\Delta d\frac d\xi dtd1}=\frac{\partial^{\frac{\xi}{p}}\overline{\partial}\partial_{\overline{l}}}{-\mathit{8}\eta}dt=\frac{\partial\tilde{p}}{\frac{\partial x\mathit{8}\overline{p}}{\partial y}}=-=$

(13)

$\{$

$\tilde{p}(x(t), \xi(t),$の$\hslash^{\pi}+\text{と}$して得られる$T^{*}\mathbb{C}_{(x,y)}^{2}$内の$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}_{7^{\mathit{4}}}h\mathrm{R}$$\eta(t))=0$を bicharacteristic strip, その$\mathbb{C}_{(x,y)}^{2}$への射影

を bicharacteristic curve という.

この観点から見れば, 通常の turning point は bicharacteristic curve の cuspidal singularity (の x- 成分) に当たる. そこで, それ以外の特異点である bicharacteristic
curve の self-intersection point を, virtual turning point と定義する. . また, virtual
turning point から出る Stokes curve を, (特に区別する場合には) new Stokes curveと呼ぶ.

New Stokes curve 上では必ずしも Stokes 現象が起こるわけではない. Stokes 現象が起こる部分を実線, 起こらない部分を点線で表せば, 実線・点線の区別は次の規則によって定められる;

1. virtual turning point の近傍では点線とする.
2. type $j<t$ の点線の new Stokes curve が type $j<k,$ $k<l$ め Stokes curve が交わる ordered crossing point を通るときは, 通過後を実線とする.

33

3. 点線の new Stokes curve が non-ordered crossing point を通るときは, 点線のままとする,

実線になった new Stokes curve が再び別の交点を通る場合は, 複雑になるのでここでは述べない (cf.[AKTl],[AKoT]).

2. で実線になった部分が, 上で述べた ordinary

Stokes curv 上以外で Stokes 現象が起こる点のなす曲線に他ならないのである.
$r\mathrm{e}$上の定義は非常に一般的であるが, (13) の解曲線の self-intersection point を求める
ことは一般に極めて難しく, 計算機を用いて計算を行う際には実用的でない. それゆえ実際には以下のように各 Stokes curve の交点に対して virtual turning point を計算する方法を用いる (詳しくは [AKKSST] 参照).

(2)

(1)

$1<3$

Figure 2.1.
から出る Stokes curv
Fig. 2.1(1) のような type をもつ, 2 つの turning point
が交わっている場合を考 t える. この場合交点 は ordered crossing point である. Bicharacteristic curve の具体的な表示を用いることにより,$a_{1},$$a_{2}$$r\mathrm{e}$$c$$\oint_{a_{1}}^{v}\xi_{1}dx=\oint_{a_{1}}^{a_{2}}\xi_{2}dx+\int_{a_{2}}^{v}\xi_{3}dx$

を満たす

$v$

を求めればよいことがわかる. これは

$c$

を用いて

$\int_{v}^{c}(\xi_{3}-\xi_{1})dx=\oint_{a_{1}}^{\mathrm{c}}(\xi_{2}-\xi_{1})dx+\int_{a_{2}}^{c}(\xi_{3}-\xi_{2})dx$と書き換えられることに注意しておく.

(14)

(15)

34

1. まず,$c$

を通り type $(1, 3)$ の, すなわち${\rm Im} \int_{c}^{x}(\xi_{3}-\xi_{1})dx=0$

で定義される Stokes curve2,

次に, 1. で描いた$\hat{\gamma}$$\hat{\gamma}$

を描く.

上で積分
$\rho(x):=-\oint_{c}^{x}(\xi_{3}-\xi_{1})dx$を考える. これは$\cdot$$\hat{\gamma}$

壷実数値かつ単調である. したがって, 一般に$\rho(x_{0})=\int_{a_{1}}^{c}(\xi_{2}-\xi_{1})dx+\int_{a_{2}}^{\mathrm{c}}(\xi_{3}-\xi_{2})dx$となる点 x。を見つけることができる (Stokes curve の定義より右辺は実数であることに注意). (15) よりこの$x_{0}$

が求めたい virtual turning point

$v$

(の 1

$\vee\supset$)であることがわかる.

Non-ordered crossing point の場合も同様に求められる, あとは上述の規則にしたがって実線・点線の区別を定めればよい. この場合であれば Fig. 2.1(2) のようなる.

2.2

野海

-

山田方程式系の WKB 解析[T] では野海山田方程式系 $(NY)_{l}$ の完全 WKB 解析に関する一般論が展開されている. ここではその内容を, $l=2m$ すなわち本論文で扱う場合に限定して, 以下の議論で必要となる部分を中心に簡単にまとめておく,
まず, $u=$ 愈における $(N3’)_{2m}$ の線型化方程式, すなわちに代入し,に関する 1 次 9 項をとった方程式を考える.

$u_{j}=\hat{u}_{j}+\triangle u_{j}$$\{\triangle u_{j}\}$$(\triangle NY)_{2m}$を $(NY)_{2m}$この線型方程式系をで表し, その係数行列を $C=C(t, \eta)$ とする:$\frac{d}{dt}\triangle u=77^{C\triangle u},$$C(t, \eta)=C_{0}(t)+\eta^{-1}C_{1}(t)+\cdots$

.

(16)

非線型方程式 $(NY)_{2}$ の turning point および Stokes curve を, 線型化方程式 $(\triangle NY)_{2m}$の turning point およびStokes curve として定義する.

35

.

の

$A,$ $B,$ $C$$\eta^{-1}$に関する top degree part$A_{0},$ $B_{0},$ $C_{0}$に関して, 以下の命題が成り立つ.

命題 2.1.

, DB。をそれぞれ特性方程式 $\det(\lambda-A_{0}(x, t))=0,$ $\det(\mu-B_{0}(x, t))=0$ の判に対して $D(x, t)= \prod_{1\leq n<n’\leq 2m+1}(\mu_{n}+\mu_{n’})$ とお
別式とし, $B_{0}(x, t)$ の固有値
く. このとき $D(x, t)$ は の $m$ 次多項式であり, 次の関係式が成り立つ:$D_{A_{0}}$$\{\mu_{n}\}$$x$$D_{A\mathrm{o}}(x, t)=x^{-2m(2m+1)}D(x, t)^{2}D_{B_{0}}(x, t)$(17)

従って, generic には $D(x, t)$ の零点が (3) の double turning point を, $D_{B_{0}}(x, t)$ の零点 (すなわち (4) の turning point) が (3) の simple turning point を与える.

命題 22.
特性根$\lambda_{n}(x, t),$$\mu_{n}(x, t)$に適当に番号を付ければ,$1- \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\ln\omega_{n}=\lambda_{n}dx+\mu_{n}dt$はclosed, すなわち

(18)$\frac{\partial}{\partial t}\lambda_{n}=\frac{\partial}{\partial x}\mu_{n}$が成り立つ.
命題 23,
godd $(\mu, t)=(\det(\mu-B_{0}(x, t))-\det(-\mu-B_{0}(x, t)))/2$ を$B_{0}$の特性方程式の odd

degree part とするとき,$\det(\nu-C_{0}(t))=2^{2m+1}g_{\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}}$が成り立つ. 特に, ある$z$( , t)|p ニ\mbox{\boldmath $\nu$}/2
$\mu$

(19)

の $m$ 次多項式 $f(z, t)$ を用いて $\det(\nu-C_{0}(t))=\nu f(\nu^{2}, t)$と書ける.

$\cdot$

命題 23 より, $(NY)_{2m}$ の turning point には 2 種類あることがわかる. すなわち
1 つは $f(0, t)$ の零点, もう 1 つは $f(z, t)$ の に関する判別式の零点である. 前者をう. 特に, $m=1$ の場合には
第 1 種 turning point, 後者を第 2 種 turning point とtur ning point はすべて第 1 種である. ただし本論文では第 2 種 turning point は扱わないので, 誤解の恐れがなければ第 1 種 turning point を単に turning point という.
$z$

$1_{\sqrt}\backslash$

第 1 種 turning point に関して次の定理が成り立つ.

36

定理 24. ($t=t_{0}$$f\mathrm{T}$, Theorem 2.1])

を $(NY)_{2m}$ の第 1 種 turning point とする.

(i) $t=t_{0}$ において, $(L)_{2m}$ のある double turning point $d(t)$ とある simple turning
point $s(t)$ が合流する. さらに, $x=s(t)$ で重なるの固有値は $x=d(t)$ でも$A_{0}(\underline{\prime r}, t)$

重なる.

(ii)
$C_{0}(t)$$\lambda_{+}$および \lambda - を $x=s(t),$ $d(t)$ で$\ovalbox{\tt\small REJECT}-$$r_{tl}$る $A_{0}(t)$ の固有値とし,$\nu_{+}$および \mbox{\boldmath $\nu$}- をの固有値で $\nu_{+}(t_{0})=\nu_{-}(t_{0})=0,$ $\nu_{-}=-\nu_{+}$ を満たすものとする. このとき$(t_{0}$のある近傍において)(20)$\oint_{d(t)}^{s(t)}(\lambda_{+}-\lambda_{-})dx=\frac{1}{2}\oint_{t_{0}}^{1}(\nu_{+}-\nu_{-})dt$が成り立つ. 特に,十分近いならば$(L)_{2m}$の$t$が t=t。から出る $(NY)_{2m}$ の Stokes curve 上の点であってt。にdouble turning point $x=d(t)$ と simple turning point $x=s(t)$ がStokes curve で結ばれる.

第 2 種 turning point に関しても同様の定理が成り立つが, ここでは省略する.

3

Stokes geometry の切り替え

パラメータォを変化させて $(L)_{2}$ の Stokes geometry を追跡していくと, しばしば
simple turning point が別の turning point から出た Stokes curve を横切るという現象が起こる. これは [N]で議論された-hierarchy の場合に$[\mathrm{I}\{\mathrm{K}\mathrm{N}\mathrm{T}1][\mathrm{K}\mathrm{K}\mathrm{N}\mathrm{T}2]$$P_{\mathrm{I}},$$P_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$は見られなかった. なぜならこれらの hierarchy に付随する Lax pair のサイズは 2 であり, Stokes curve を定めるベクトル場は 1 種類しかないからである.

こうした “simple turning point が別の turning point から出た Stokes curve を横切る” という現象は, 高階線型方程式 (あるいはサイズが 3 以上の system) の変形, すなわちパラメータ依存性を論じる際には頻繁に観察される. さらに, 数理物理における quantized H\’enon map の問題においても,同様の現象が起こることが知られている ([SI]).

そこで本節では, この現象のうち基本的と考えられる場合を, 高階方程式の変形という一般的な枠組みのなかで考察し, その後塵節において, 序文で見た$(L)_{2}$のStokesgeometry の解釈を行う. これらの現象のうちのいくつかは [AKSST] でも紹介されて
いる.

37

以下, 次のような状況を考える (Fig. 3.1):(C): simple turning point$s$から出る Stokes curveから出る 1 本の Stokes curve が, 別の turning point$a$と交わっていて, が に近づいていく.
ある点 $t=t_{C}$ において が 上に乗り, それを過ぎた後は から出る 2 本の$s$$\gamma$$s$

Stokes curve が$\gamma$$\gamma$$s$$\gamma$と交わる configuration になる.

$\Rightarrow$

Figure 3,1.
を逆向
最初 2 本の Stokes curve が と交わっていて, 通過後 1 本になる場合は,きに横切ったと考える. このとき現象 (C) は, および の type によって 3 通りの場$\gamma$$\gamma$$s$$\gamma$合に分けられる :(i) ordered 型. 横切る前の交点が ordered crossing point.
(ii) non-ordered 型. と の type に共通する番号があるが, 横切る前の交点は nonordered crossing point.
$s$(iii) disjoint 型.

$s$と$\gamma$$\gamma$の type に共通する番号がない.

これは 4 階以上の方程式に対してのみ起こりうる.
を定める vector field が で非特異であるため, 特に変わったことは起こらないと考えられるので, 以下の議論では除外する. なお, 以下特に断らない限り, 図は -plane(線型方程式) の Stokes 図形を表し, -plane(非線型方程
このうち (iii) の場合は,$\gamma$$x$式) の図に対してはその都度明示する.

$s$

$t$

38

3.1

Ordered 型の場合

[AKSST] で述べられている場合がこれに相当する. この場合, 戸過前の Stokes curveの type は Fig. 3.2(1) のようになっているとしてよい,
不等号の向きがすべて逆の場
合も同様である. また,の branch を定めるための cut を図のように入れておく.
$(1’)$
(1)
(2)
..(3)
$\lambda_{j}$$1<2$Figure 32.
この図に virtual turning point$\prime u$

および new Stokes curveのようになる (cf. [AKKST]).
$s$が$\gamma$にぶつかると, Fig. 3.2(2) の configuration になる.

$\hat{\gamma}$

を書き加えると Fig. 3.2.(1 ’)
このとき$\gamma$と$\hat{\gamma}$

は 3/2

次の接触をしている ([AKSST]).
通過後の configuration は Fig. 3.2(3) のようになる

pointから出た Stokes curve

この図では ordinary turningが図の上方で右側に,. virtual turningからが左側にのびていることがわかる. 図 1 では右側が new Stokes curve, 左側が ordinary Stokes curve であった すなわち ordinary
Stokes curve と new Stokes
curve の役割が入れ替わっていることがわかる.
ここで, Stokes curve が cut を越え, それにより type が変化していることに注意しておく. すなわち cut より下方では type $1<2$ であったのが, 上方では type $1<3$となっている.
についても同様である. ところが, 図の上方での configuration に注
目してみると, それら 2 本のうち左側が type $1<2$ , 右側が type $1<3$ という点は変わっておらず, この切り替えは十分遠方 (この図で言えば上方) での configuration
出た$a$$\hat{\gamma}$$\gamma$$\hat{\gamma}$$\gamma$$\mathrm{l}\mathrm{J}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$

$v$

38

には影響を与えていないと考えられる. なお, 通過後交点が 2 つできるが, それら 2つの交点から定まる new Stokes curve および virtual turning point は (generic には)一致することが示される ([AKKST]).
から左側に cut を入れたが, 他の入れ方をしても同様である.
から右上に cut を入れると, type は Fig. 3.3 のようになる. この場合, 通過

Remark. 図 2 では

$s$

例えば

$s$

前に

が cut を越え, 上方での$\gamma$$\mathrm{t}\}’13\mathrm{e}$が変わることになるが, 上と同様通過の前後で十分遠方での type は変化していない. この事実を踏まえて, 今後必要に応じてこのよ
うな cut の入れ方も用いることがある.
$1<3$

$1<2$

$\mathrm{I}<3$$\Rightarrow$

1

Figure 3.3.
3.2

Non-ordered 型の場合

通過前の交点が non-ordered の場合) type は Fig. 3.4(1) のように定められる. この場合の new Stokes curve は Fig. 3.4( 1) のように交点を通っており, 交点の前後でいずれも点線である.

40

(1)

$(1’)$(3)$(3’)$$(2’)$$1<3$

Figure 34.
この場合, 通過後の configuration は Fig. 3.4(3) のようになる ([AKKST]). (i) の場合と同様, 図の上方で ordinary Stokes curve と new Stokes curve の役割は入れ替わったが, 左側が type $1<3$ , 右側が type $1<2$ という点は変わっていない. しかし, この 2 つの図において type $1<3$ の Stokes curve の実線点線の区別が変化していることに気づく. ところが,と同様の 齢を用いた次の命題により,$[\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{T}2][\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{T}]$$\gamma$の$c_{2}$$\equiv\overline{\mathrm{Q}}$より上方の部分は点線になっている (Stokes 現象を起こさない) ことがわかる(Fig. $3.4(3^{l})$ ) .

$s$が$\gamma$にぶつかったところも同様である (Fig. $3.4(2’)$ ).

命題 3.1.

高階でも本質的には 3 階の場合と同じであるので, 簡単のため 3 階として述べる.

Fig. 3.5 のように type $1<2,2<3,3<2$ の Stokes curve および type $1<3$ の
new Stokes curv が交わっているとする. さらに, 各 Stolces curve の type およびその上での (turning point から見て正の向きに回ったとき O)
Stokes 係数が Fig 35 の$\prime \mathrm{e}$41ように表されているとする. すなわち

$I\mathrm{f}_{23}$$=$$(\begin{array}{lll}1 1 i 1\end{array})$$I\mathrm{f}_{12}$

$=$

$(1$

,

$\beta 1$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$,

1$I\{_{13}$$=$$(\begin{array}{lll}1 \kappa 1 1\end{array})$,$I\mathrm{f}_{32}$$=$$(\begin{array}{lll}1 1 i 1\end{array})$,$=$$(\begin{array}{lll}1 \overline{\beta} \mathrm{l} 1\end{array})$$\overline{I}\mathrm{f}_{12}$とおいたとき, WKB 解の基本系重
$(2,3),$ $(3,2),$ $(1,3))$ の Stokes$=(\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3})$Figure 3.5.の Borel 和が type $(j<k)((j, k)=$curve を越えるとき
重$\Rightarrow\Psi I\mathrm{f}_{jk}$の下側では重のように, また type $(1<2)$ の Stokes curve を越えるとき交点の上側では, のように変化するとする. ここで, から出, 交点を規格化し, また [AKT2] にる Stol es curve 上での Stokes 係数が此なるように
く ん, $k<t$
基づき, type $j<k,$ $k\leq l,$ $j<l$ の Stokes curve が交わるとき,の Stokes curve に関しては交点の前後で Stokes 係数が変化しないと仮定した. このから上の部分では Stokes 現象は起こらない.
とき, すなわち のうち交点$\Rightarrow$$c_{2}$$\Psi K_{12}$$\Psi\Rightarrow\Psi\tilde{I}\mathrm{f}_{12}$$s$$c_{2}$$\Psi$$\mathrm{t}\}^{\gamma}\mathrm{p}\mathrm{e}j$$\overline{\beta}=0$$c_{2}$$\gamma$

証明. 交点ちのまわりで解力 1 価であることからが得られ, これより$\grave{\grave{\mathrm{Y}}}$$c_{1}$$I\{_{13}’=I\mathrm{f}_{12}^{-1}I\mathrm{f}_{23}I\mathrm{f}_{12}IC_{23}^{-1}$$I\mathrm{f}_{12}I\mathrm{f}_{23}^{-1}=I\mathrm{f}_{23}^{-1}I\mathrm{f}_{12}I\iota_{13}^{\nearrow}$$\kappa=-\mathrm{i}\beta$となる.

$c_{2}$

すなわのまわりで同様の

42

議論を用いると$\overline{I}\mathrm{f}_{12}=I\mathrm{f}_{13}^{-1}I\mathrm{f}_{32}I\mathrm{f}_{12}I\mathrm{f}_{13}I\mathrm{f}_{32}^{-1}$となるが,の計算で確かめられるので, 1 そ 12 $=I$ すなわち$\overline{\beta}=0$$I\mathrm{f}_{32}I\mathrm{f}_{12}I\mathrm{f}_{13}I\mathrm{f}_{32}^{-1}=K_{13}$

.

が直接
口

例 3.1.

Fig. 36 は $(NY)_{2}$ のパラメータを $a_{0}’=1-0.4\mathrm{i},$ $\alpha_{1}=0.4-0.7\mathrm{i}$ とおき, $t_{1}=$$-0.86+1.285i(\hat{u}_{0,0}=-\mathrm{O}.6723-0.1426\mathrm{i},\hat{u}_{1,0}=0.5574+0.2782\mathrm{i})$ から $t_{2}=$を経て $t_{3}=-0.87+1.275\mathrm{i}$ まで動くときの,の Stokes 図形の変化を表したものである.
(Fig. 3.6(1)) から(Fig. 3.6(2)) へ動くときに ordered 型, から (Fig. 3.6(3)) へ動くときに non-ordered 型の切り替えがそれぞれ$-0.\mathrm{S}637+1.281i$$(L)_{2}$$t_{1}$$t_{2}$$t_{2}$$t_{3}$

起こっており, その過程で図の上方での Stokes curve の type および実線・点線の区別は変わっていないことがわかる.

43

Figure 36444$(NY)_{2}$の Stokes

curve 上での切り替え

本節では前節の議論をもとに, $m=1$ の場合, すなわち $(NY)_{2}$ およびの Stokesgeometry について考察する.
は 2 つの simple turning points および 1 つの double turning point を持つ.
序文で見たように, $(NY)_{2}$ の turning point $\tau=-1.6276-0$から出る Stokes
curve 上の点 (Fig. 4.1(0)) においての Stokes geometry は Fig. 4.1(1) のよ
うになっており, 確かに定理 24 の主張する通り, double turning point と simple
turning point が Stokes curve で結ばれている, 一方, 同じ Stokes curve 上であるが turning point から離れた点においては, Fig. 4.1(2) のようになっている. この図においては 3 本の Stokes curveが 1 点で交わるという特徴的な configuration になっているが, どの 2 つの (ordinary) turning point も結ばれておらず, 定理
24 の主張する形にはなっていない.
それでは, どこで, どのようにして, 今までにない Fig. 4.1(2)のような configuration が出現したのであろうか ?
なお, 本節で用いる図は, $(NY)_{2}$ のパラメータを $a_{0}’=1+0.6i$ ,$(L)_{2}$$(L)_{2}$$.0986\mathrm{i}$$\Gamma$$(L)_{2}$$t_{1}$$d$$s_{1}$$t_{3}$$\gamma_{d},$$\alpha_{1}^{l}=0.2-\mathrm{O}.1\mathrm{i}$$\gamma_{1},$$\gamma_{2}$

とおいたものである. $(NY)_{2}$ の零パラメータ解が定める Riemann 面の構造等, $(NY)_{2}$ の Stokes geometry の
詳細については Appendix にまとめておいた.

Figure 4.1(0)(t-plane)45

Figure 4.1.
前節の議論から, この場合にも Stokes curve の type を specify して議論を行うことはからが有効であると考えられる. ところが Fig. 4.1.1 における Stokes curveから出る Stokes curve が重なったものであるから, tyPe が一出る Stokes curve と$d$$\gamma_{0}$$s_{1}$

意に定義されておらず, 前節の議論をそのまま適用することができない.
そこで, いったん $(NY)_{2}$ の Stokes curve から外したところで考え, その後 Stokes curve 上に戻るという方法をとる. Fig. $4.2(1_{\pm}),$ $\cdots,$の $t_{1\pm},$$\cdots$,$t_{3\pm}$$(3_{\pm})$はそれぞれ Fig. 4.2(0)における $(L)_{2}$ の Stokes curve を描いたものである. なお, 以下簡単のため, virtual turning

point や new Stokes curve は注目している部分にある
実線の Stokes curve どうしの交点から定まるもののみを描き, それ以外は省略することにする.

Figure 4.2(0)$(t-1\supset \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e})$から下に cut を入れるものとし, cut を入れたから右上,
以下本節では, 常に-piane 上で特性根の番号付けを次のように定める. $t_{1}=-1.6104-0.2268i(\hat{u}_{0,0}=$$-0.7986-0.7894\mathrm{i},\hat{u}_{1,0}=0.0986+0.1583i)$ において, 一般点 $x_{0}=0.23+0.25\mathrm{i}$ をと$s_{1}$$s_{2}$$x$

り$\lambda_{1}(x_{0})=0.4079-0.1092\mathrm{i},$ $\lambda_{2}(x_{0})=-0.1154+0.8617\mathrm{i},$ $\lambda_{3}(x_{0})=-0.2926$$0.7525\mathrm{i}$46となるように番号をつける. このとき, $x=s_{1}$ ででが成り立ち,$\lambda_{1}=\lambda_{2},$$x=s_{2}$で$\lambda_{2}=\lambda_{3},$$x=d$$\lambda_{1}=\lambda_{3}$$0.3444-0.3952i+(0.6704+1.4280i)(x-s_{1})^{1/2}$$\lambda_{1}(x)$$\{$$\lambda_{2}(x)$$0.3444-0.3952\mathrm{i}-(0.6704+1.4280\mathrm{i})(x-s_{1})^{1/2}$$(xarrow s_{1}.=0.2765+0.1929\mathrm{i})$$-0.3698-0.0\mathrm{G}19i+(2.3408+2.9013i)(x-s_{2})^{1/2}$$\lambda_{2}(x)$$\{$-0.3698– $0.0019\mathrm{i}-(2.3408+2.9013\mathrm{i})(x-s_{2})^{1/2}$$\lambda_{3}(x)$$(xarrow s_{2}=0.2172+0.1923\mathrm{i})$$\lambda_{1}(x)$$\{$$\lambda_{3}(x)$$0.4279-1.4444i+(8.2642+7.2276i)(x-d)$$0.4279-1.4444i+(2.5376+7.5122i)(x-d)$$(xarrow d=0..\cdot.0405\backslash +0.2046i)$となっている (ただし平方根は $x-s_{j}>0$ のとき $(x. -s_{j})^{1/2}>0$ となるようにとる $(j=1_{\}}2))$ . 他のに対しては, cut を上で定めた通りに入れた上で, これを連続的に動かしたものを用いる. なお, とを結ぶ Stokes curve を cut が横切っているたとの type が異なっていることに注意しておく.
め,
$t$

$d$

$d$

$s_{1}$$s_{1}$

47$(1_{+})$$(1_{-})$$2<1$

Figure 42のように
Fig. 4.2 ではやはり変化が不連続的に見えるが, Fig. $4.3.(1_{\pm}),$virtual turning point および new Stokes curve を書き加えると, 実は前節で見た切り$\cdots,$$(3_{\pm})$

48

Fの t,’‘fl\mbox{\boldmath $\delta$}A 合わせにすぎないことがわかる. すなわち, $t_{1+}arrow t_{2+}arrow t_{3+}$ と動いていくと, (横切る向きは前 節と逆であるが) ordered 型の切り替えが 2 度起こっている$X_{-}^{1}$$/\rfloor\backslash$

ことがわかる.

でも同様である.
ただし, Fig $4.3(1_{+})$ と Fig $4.3(1_{-})$ に現れるが同じ点 (の\beta Jn+T.\pi 接続) であることは自明ではない.
を定める交点を作っている Stokes curve が異なるからである. こ$t_{l-}arrow t_{\mathit{2}-}arrow t_{3-}$$v_{3}$$v_{3}$のことについては \S 6 で証明する.

$\iota_{1t}\}3<2$$\backslash \backslash \backslash$1$\sim-arrow---------\sim\sim\backslash$’1$1<2v_{2x’}$

Figure 4.3.

$\backslash \backslash 3<1$$v_{1}$

49$(2_{-})$$(2_{+})$$3<2,//$$1<3$$|3||<2$

’

$2<1$

$||$

$//$

$\iota_{1}\backslash$$\backslash \backslash \sim$$v_{2}$$\sim\sim\wedge--$$arrowarrow–$$1<2v_{2}\wedge’\sim$$\backslash \backslash \backslash ^{v_{1}}3<1$$\sim\backslash \backslash$$\backslash \backslash v_{1}\backslash$Figure 43.
これらの “極限” として Fig. 4.1(1) $(2)$ を考えると, Fig. 4.4(1)(3) のように virtual

turning point (および new Stokes curve) が導入されるべきであると考えられる. こは 2 本の Stokes curve を分けて考えて, また 3 本交わっているところは 2 本
れはずつの各ペアに対して, 交点から Stokes curve を描き, virtual turning point を求め$\gamma_{0}$たものに他ならない.

50

(1)

(3)

(2)

Figure 4.4.
なお, Stokes curve が 2 本重なっている場合, 重なっている 2 本のうちの少なくとも 1 本が実線のときは実線で, 2 本とも点線の時は点線で描くものとする,

実際 が
$t$

$t_{1}$

から$t_{3}$

まで $(NY)_{2}$ の Stokes curve 上を動いていくと, 途中のある点$t_{2}$にぶつかり, これを横切ることがわかる (Fig. 4.4(2)).
からまでそれぞれ動く問に 2 度切り替えが起こるが, Stokes curve 上ではそれらの点は一致し 7
それがに相当している.
で$s_{2}$

が$\gamma_{0}$$t_{1\pm}$$t_{3\pm}$$t_{2}$

ここで最も注目すべき点は, Fig. 4.4(3) において と および と が, それぞれ結ばれている点である. すなわち, (simple または double の) ordinary turning
point どうしは結ばれていないが、 その代わりに ordinary turning point と virtual turning point が Stokes curve で結ばれているという意味で, Stokes geometry の退化が起こっているといえる. 同様に, Fig. 4.4(1) においてもとが結ばれていることがわかる. これらは Stokes curveの交点に注目すれば図から容易に読み取れるが, \S 6 で$d$$v_{1}$$v_{1}$$v_{2}$$s_{1}$$v_{2}$

51

この点についてもう少し詳しく調べる.
Ordinary turning point と virtual turning point, ordinary Stokes curve と new
Stokes curve をそれぞれ区別しなければ, この切り替えは単に結ばれる turning pointの組合わせが変化, しただけであり,$t_{2}$の前後で Stokes curve の configuration の変化

は連続的に起こっていることがわかる. virtual turning point および new Stokes curveを導入したことによって, このような自然な説明が可能になったのである.

5$(NY)_{4}\ (L)_{4}$ の場合

次に本節では, $?n=2$ の場合に見られた現象について述べる. $(L)_{4}$ には simple
turning point が 4\not\in 同, double turning point が 2 個存在する. 以下本節で用いる図は, $(NY)_{4}$ のパラメータを $\alpha_{0}=1-0.35i,$ $a_{1}’=0.45-0.7\mathrm{i},$ $\alpha_{2}=-0.5-0.2\mathrm{i},$$-1.05+0.25\mathrm{i}$ とおいたものである.

Fig. 5.1 は $(NY)_{4}$ の turning point $\tau=-2.4873-$$1.0085\mathrm{i}$$\alpha_{3}=$から出る Stokes curve

上の点 $t=t_{1}=-2.9171-0.7313\mathrm{i}(\hat{u}_{0,0}=-0.6561-0.0149\mathrm{i},\hat{u}_{1,0}=0.0959-$$0.9711i,\hat{u}_{2,0}=0.3069-0.1701\mathrm{i},\hat{u}_{3,0}=-0.4708+0$ $.3290i,\hat{u}_{4,0}=-2.1930+0$$.0958\mathrm{i})$における $(L)_{4}$ の Stokes curve を描いたものである. ここで以下の議論に関係ない部
分の new Stokes curve および virtual tur ning point は省略して る.
$1_{\sqrt}\mathrm{a}$

この図において, \S 4 で見られたのと同じく, 3 本の Stokes curve が 1 点で交わるとまでいう configuration が現れていることがわかる (Fig. $5.1’$ ). これは が から$t$$\tau$$t_{1}$

動ぐ間に, \S 4 で見たような切り替えを経て生じたものと考えられる. ただし変化の起こる箇所が非常に細かいため, この間の変化を詳細に追跡することは現時点ではまだできていない.

52

Figure 5.1.

Figure 5.1’.
ここで $(L)_{2}$ では見られなかった現象を見るため,

Figure 52. (t-plane)$t$

を $(NY)_{4}$ の Stokes curve に沿って,を越えてさらに遠くへ動かすことを考える.
すると $t=t_{2}$ においては, 2 つの virtual turning point$t_{1}$

で結ばれている configuration が観察される (Fig. 53).

$v_{1}$と$v_{4}$が new Stokes curve

53

Figure 53.

Figure$5.1^{\prime l}$

Figure $5.3’$ .

.

との間のある点において, simple turningを比較すると,から出とを結ぶ) Stokes curve を横切り, その結果から出る (
がとそれぞれ結ば ているこから出た Stokes curve がと,た Stokes curve が

Fig.
point

$5.1^{JJ}$$s_{3}$と Fig.

$5.3^{l}$$t_{1}$$s_{1}$$s_{1}$$t_{2}$$s_{1}$$v_{1}$$d^{l}\iota$$v_{1}$$v_{5}$$v_{4}$とがわかる.

の問ですでに一度切り替えが起こっていると考えられる
ため, ここでは から出る Stokes curve 上で二度目の Stokes geometry の切り替えが起こったことになる. そのために 2 つの virtual turning point が実線の new Stokes
先に述べたように$\tau$$\tau$と$t_{1}$

54

curve で結ばれるという現象が起こったのである. この現象は 4 つの ordinary tur$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$point が関与しているため, ordinary turning point ir 計 3 個しかない$(L)_{2}$-の場

合には見られなかったものである. もし new Stokes curve を導入しなければ, やはり
前節と同様, 不連続的, 不自 4 . な変化が生じることになる. この configuration を説明するためには, virtual turning point および new Stokes curves の概念を導入するこ$,\succ_{\grave{\mathrm{c}}_{\backslash }}$$,.$とが不可欠である.
このとき, virtual turning point$v_{1}$

が \S 4 における double turning point

$d$

と同様の

役割を果たしていることにも注意しておく. この事実は WKB 解析において virtual
turning point が通常の turning point と同等の役割を果たすという事実を示すものである (cf. [AKSST, Assertion$\mathrm{A}]$).

なお, ここで起こった切り替えは横切られる Stokes curve と交わっている,

出る Stokes curve の本数が \S 4 で扱ったものと異なることから,$s_{3}$

から

configuration も多少異なっている. この場合も本来退化をほどいて (非線型方程式のStokes curve から外して) 議論すべきであるが,との問で S3 から左にのびる Stokes curve がを横$t_{1}$$t_{2}$$s_{2}$

切っているなど図が非常に煩雑になっているため, ここでは省略する.
6

積分関係式

前節までは計算機による結果をもとに議論を進めてきたが, 本節ではそれらを積分
関係式の観点から見直す.
ここでは Fig. 6.1 に示す通り,\S 4 で観察した状況を考えるが (図の番号と との対
応は \S 4 と同様とする), \S 5 で見た virtual turning pointが絡む場合などでも議論は全く同様であるため, ここでは両端の turning pointの種類は区別しないものとす
$t$

$a,$

る.

$b$

すなわち

2 つの turning point
を結んでいる Stokes curve
が, 別の simple
turning point から出る 2 本の Stokes curve と交わっている. その後が にぶつかり, 通過後はから出る Stokes curve とから出る Stokes
curve がそれぞれ ordered crossing point を作る.
$a,$

$b$

$\gamma_{0}$$s_{2}$$s_{2}$$\gamma$$s_{2}$$a,$$b$

ただし cut の入れ方を必要に応じて変更するため, それに伴いtype が変わることがある. ここでは$t_{1}$の近傍においては,$s_{2}$

から右上に cut を入れるものとする.

55$(1_{-})$$(1_{+})$’$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{L}}\mathit{0}_{{}^{\mathrm{t}}\iota}2\sigma$)$13\sigma_{1}\mathrm{x}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}L\mathrm{c}3\mathrm{t}1^{\mathrm{C}}\backslash 2<\mathit{3}^{\backslash }3<2_{-3<\mathrm{t}}\backslash 1|\backslash r_{\mathit{3}-}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\iota<3\prime}^{\mathrm{Z}}\mathrm{t}\lambda \mathrm{C}_{1}[searrow]_{-}/\nearrow\backslash \backslash 2<1\backslash <\mathrm{z}<3^{\mathrm{C}_{\mathit{1}}}\mathrm{J}\sigma z_{3}^{\backslash }\grave{\mathrm{e}}_{<1}\mathrm{c}_{3\star l}^{2_{-^{\mathrm{C}}}3t3\sigma L},k\mathrm{v}_{1}$

-

.

(1)

$\mathrm{V}_{3}$.

$\mathit{0}\backslash$$A_{\mathit{1}}$$\mathit{4}\sim$$\{V_{\dot{\mathrm{L}}}$$’\iota r_{1}$$(3_{-})$(3)

Figure 61.

56

命題 6.1.

(i)$t_{1}$の近傍において,$\oint_{a(t)}^{b(\mathrm{t})}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx=f_{v_{1}(t)}^{v_{2}(t)}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx=\int_{s_{2}(t)}^{v_{3}(t)}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx$(21)が成り立つ.

(ii)$t_{3}$の近傍において,$\oint_{a(t)}^{v_{1}(t)}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx=\oint_{b(t)}^{v_{2}(t)}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx=\oint_{s_{2}(t)}^{v_{3}(t)}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx$(22)が成り立つ.

証明. (i)(15) より$\oint_{v_{1}}^{c_{1}}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx$$=$$\int_{b}^{\mathrm{c}_{1}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx+\oint_{s_{2}}^{c_{1}}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx$$\int_{v_{2}}^{c_{2}}(\lambda_{1}-\lambda_{3})dx$$=$$l^{c_{2}}( \lambda_{1}-\lambda_{2})dx+\oint_{s_{2}}^{\mathrm{c}_{2}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx$が成り立ち (積分路は下端の turning point が$\sigma_{2\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}}$る Stokes curve をとる.

以下同様),

これを変形して

,

(23)

.

(24)

$\oint_{b}^{v_{1}}\lambda_{1}dx$$=$$\int_{b}^{s_{2}}\lambda_{2}dx+\oint_{s_{2}}^{v_{1}}\lambda_{3}dx$$\int_{a}^{v_{2}}\lambda_{1}dx$$=$$l^{s_{2}} \lambda_{2}dx+\oint_{s_{2}}^{v_{2}}\lambda_{3}dx$

これら 2 式の差をとって変形すれば左辺 $=$ 中辺が得られる.

右辺は branch の問題が絡んできてやや複雑であるため, 非線型方程式のから外した図をもとに考える. $t_{1+}(t_{1-})$ 側の図に現れるにすると,側では上と同様にして示される. すなわち

$v_{3}$$t_{1+}$$\int_{v_{3+}}^{\mathrm{c}_{3+}}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx=\int_{a}^{\mathrm{c}_{3+}}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx+\int_{v_{1}}^{c_{3+}}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx$

を変形して$- \int_{a}^{v_{1}}\lambda_{1}dx=$-$\oint$v3+\lambda 2d エヤ

2v +\lambda 3dエ$\circ$$\int_{v_{1}}^{s_{2}}$$\lambda_{3}$

dx

$+$

$\oint$

Stokes curve

を $v_{3+}(v_{3-})$ と書くこと

57が成り立っているので, (23) と辺々加えれば$\int_{a}^{b}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx=\int_{s_{2}}^{v_{3+}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx$が得られる.

から出る cut が Stokes curve を横切っているので, 一旦 Fig. 6.2のように cut を左上方向に入れ直す. このとき

一方, tl- 側では$s_{2}$$\int_{v_{3-}}^{c_{3-}}(\lambda_{2}-\lambda_{3_{/}}1dx$$=$$\oint_{b}^{\mathrm{c}_{3-}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$

および (24) から,$t_{1+}$

十$\mathit{1}_{v_{2}}^{c_{3-}}.(\lambda_{1}-\lambda_{3})dx$

側と同様にして$\int_{a}^{b}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx=\int_{s_{2}}^{v3-}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx$

Figure 62.
simple turning point であることから$\lambda_{2}=(x-s_{2})^{1/2}$(正則函数) という形に書けるので, cut を右上方向に戻せば右辺
式の Stokes curv 上の点に等しい. したがって, が非線型はから出る Stokes curve 上の点に収束し, しかも積分がそれぞれに近づくときここで,がいえる$s_{2}$が type$(2,3)$ の$\lambda_{3}$-$\cross$$t$$\text{方}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{D}}$$r\mathrm{e}$$I_{s_{2}}^{v_{3-}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx$$s_{2}$$v_{3\pm}$$\int_{s_{2}}^{x}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx$

が$s_{2}$から出る Stokes curve に沿って実$\text{数}\sqrt \mathscr{E}\llcorner$

かつ$\not\in\backslash \backslash --n_{\mathrm{Q}}^{\mathrm{f}}\overline{\overline{\mathrm{p}}}$であることに注と v3- は同じ点の解析接続であることがわかり, 命題も示された.
意すれば,(ii) x。を cut plane 上の任意の点として$v_{3+}$$J(x_{0}):= \int_{a}^{x_{0}}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx+l^{x0}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx+\oint_{s_{2}}^{x\mathrm{o}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx$とすれば,と $\gamma_{j}(i, j=0,1,2)$ の交点をを考えると, これは x。によらない.
(15) より $J(c_{12}),$ $J(c_{02}),$ $J(c_{01})$ がそれぞれ (22) の左辺, 中辺, 右辺に等しいことがわか$\gamma_{i}$$c_{ij}$る. 例えば$J(c_{01})$$=$$l^{c\mathrm{r}\mathit{1}1}( \lambda_{1}-\lambda_{2})dx+\oint_{b}^{c_{01}}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx+f_{s_{2}}^{c_{01}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx$$=$$\int_{v3}^{c_{01}}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx+\oint_{s_{2}}^{c_{01}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx$$=$$\int_{s_{2}}^{v_{3}}\cdot$.

(\lambda 2--\lambda 3)d エ58が成り立つ. 他も同様である.

特に,

$a,$

$b$

口

が ordinary turning point

状況が実現されている, すなわち

$d$と$d,$ $s_{1}$$s_{1}$

で,$s_{2}$

が横切る前は定理 24 の主張するが Stokes curve で結ばれ,(25)$\oint_{d(\mathrm{t})}^{s_{1}(t)}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx=I(t)$が成り立っている場合を考える. ただし(26)$I(t):= \frac{1}{2}\int_{\tau}^{t}(\iota/-+\nu_{-})dt$の branch は考えている Stokes curve
であり,
このとき命題 6.1 から以下の系が従う:$\nu_{\pm}$$\Gamma$

上で $I(t)>0$ となるようにとる.

系 62.

(i)
の近傍において, (21) の物納はすべて $I(t)$ に等しい. 特に, が 上にあるな
つの
らば, 2
と
virtual turning point
および, simple tur ning pointと virtual
turning point がそれぞれの Stokes curve で結ばれており,(ii)の近傍において, (22) の各辺はすべて $I(t)$ に等しい. 特に, が 上にあるな
と
と
らば.
がそれぞれ
の Stol es curve で結ばれている.
S3 と$t_{1}$$t$$v_{\underline{1}}$$v_{2}$$s_{3}$$(L)_{2}$$v_{3}$$t_{3}$$d$$t$$v_{1},$$s_{1}$$\Gamma$$v_{2;}$$\Gamma$$(L)_{2}$$v_{3}$

証明. (i) は命題 6.1 と (25) から明らか.

(ii) はら$t_{3}$$s_{2}(t)$と $v_{3}(t)$ が$t$に関して解析的であり, それらを結ぶ積分路が$t_{1}$の近傍かの近傍まで連続的に変形されることに注意すればわかる.

口\S 5 で見たような, 切り替えが複数回起こる場合は, これらの命題を組み合わせて用いることにより同様の関係式を導くことができる.

Rernark. $I(t)$ および各 (ordinary or virtual) lurning point の位置は (非線型方程式の turning point 以外では) の解析函数であるから, 解析接続により (25) や系
62$t$で示された関係式はもっと広い領域で成り立っているはずである. 例えば (25) は近傍でも成り立っているはずである. にもかかわらず
が S2 から出る cut を越えてしまい,
含む連結成分にが乗らなくなったためである.

$d$と$\int_{d}^{x}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx=0$$s_{1}$$s_{1}$$t_{3}$のが結ばれていないのは,をみたす点の集合の, を$s_{1}$$d$$5\theta$

3 本の Stokes curve が 1 点で交わるというconfiguration がしばしば現れる. 上のような order relation を仮定すれば容易にわかるように, 3 本が 1 点で交わることと, 1 本の Stokes curve 上に残り 2 本の Stokes
curv の交点から定まる virtual turning point が乗ることは同値であるので, “2 つの turning point が Stokes curve で結ばれる” という意味で, これは (非線型方程式の Stokes curve 上で) 起こると期待される “Stokes geometry の退化” の 1 つの形態であるといえる. 同時に多くの (ordinary or virtual) turning point のペアが Stokes
turning point を定義する積分関係式に由来す
curve で結ばれるため (これはこのように,$(L)_{2}$や $(L)_{4}$ においては,$\prime \mathrm{e}$$\mathrm{v}^{\gamma}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}1$る), 退化の様子は非常に複雑になるが, このような configuration l ま高階線型方程式(Lax pair) だけでなく, $I(t)$ との関係を通じて高階 Painleve 方程式の Stokes geometry を理解するための 1 つの鍵となると期待される. 実際 [S] で議論される予定の$(NY)_{4}$のnew Stokes curve の理論においては, この種の関係式が有効に用$1_{\mathit{1}}\tau$られる,

積分関係式の観点からも, virtual turning point が ordinary turning point と同じ形の関係式を満たし, turning point が横切ることによる Stokes geometry の変化はそのペアの組み合わせの変化としてとらえられることがわかった. このことは virtual
turning point が ordinary turning point と 同等” のものであるという見 を強く支持しているといえよう.
“

7$\mathfrak{F}$まとめの Stokes geometry を具体的に調べ, いくつかの ‘Stokes
および
本論文では
geometry の切り替え” の具体例を観察した. そこでは, virtual tum ning point および$\mathrm{t}$$(L)_{4}$$(L)_{2}$new Stokes curve を導入することによってこれらの切り替えがうまく説明でき, しかもこれらを通常の turning point や Stokes curve と同等のものこみなすことにより,
変形パラメータ が非線型方程式の Stokes curv 上を動くときに観察される, 線型方$t$$\mathrm{e}$程式の Stokes 図形の configuration がいずれもある種の退化として理解されることがわかった.

今後の課題としては,

1. 非線型方程式の okes curv 上において, 線型方程式 $(L)_{2m}$ に現れうる virtual
turning point を含めた Stokes geometry のパターンを列挙する (位相的には許されるパターンであっても, order relation によっては実際には現れないものが存在するのではないかと予想している)$\mathrm{S}\dot{\mathrm{t}}$$\prime \mathrm{e}$60

2. $(NY)_{4}$ が高階方程式であることにょ, り現れると期待される, -plane での new
Stokes curve について, 線型方程式の Stokes geometry の変化という観点から調べる (cf. [N][KKNTI] [KKNT2])$t$$(L)_{4}$3. $(L)_{2m}$ の new Stokes curve 上での Stokes 係数を求め, Stokes geometry の切り替えが, そのモノドロミー, さらには $(NY)_{2m}$ の Siokes 現象に与える影響を明らかにするなどが考えられる. このうち 2. については続編 [S] で議論する予定である.

A

零パラメータ解の定める Riemann 面について

において, 零パラメータ解の top term \^u は代数方程式 (9) によって定まる の多価函数であり, (generic には) 第 1 種 turning point を分岐点としてもつ.
\^u の定める Riemann 面をとする. すなわち$(NY)_{2m}$$t$$\mathcal{R}${$\mathcal{R}=$$(t,$$u)\in \mathbb{C}\mathrm{x}\mathbb{C}^{2m+1}$; 1 ろ (u) $=0(j=0,1,$$\cdots,$$2m),$ $u_{0}+\cdots+u_{2m}=t$

付随する Lax pair の係数に零パラメータ解を代入するということは} . (27)の各点に対して線型方程式系 $(L)_{2m}$ および $(D)_{2m}$ を考えることであり, $(NY)_{2m}$ の turning point
や Stokes curve は正確には上の点および曲線としてとらえなければならない.
$\mathcal{R}$$\prime \mathcal{R}$における Riemann 面の構造については [NT] で議論されるが, こ
こでは特に $(NY)_{2}$ の Stokes geometry およびの構造について, いくつかの事実を$P_{\mathrm{I}},$$P_{\mathrm{I}\mathrm{I}^{-}}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}$$\mathcal{R}$述べる.

の場合, \^uの 4 価函数であり,8 個の (第 1 種)turlling point で分岐しの種数は 1, すなわち位相的にはトーラスであることもわかる.
はFig.
structure を考慮せずに描いた (すなわち -piane に射影した)の Stokes curve の図である. 多くの点で Stokes curveが交わっていて非常に複雑であるが, これを に持ち上げればこれらの交わりはすべ$(NY)_{2}$ている. また$\mathrm{A}.1$

は$t$$\prime \mathcal{R}$$\mathrm{s}1_{1}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{t}$$t$$(N\mathrm{I}’’)_{2}$$(\alpha_{0}=1-0.4\mathrm{i}, \alpha_{1}^{J}=0.4-0.7\mathrm{i})$$\prime \mathcal{R}$て解消される (Fig. A2).

実際, $(NY)_{2}$ は 2 階の方程式であるから Stokes curve を定めるベクトル場は (符号を除いて) ただ 1 種類であり, (特異点である turning point 以外で) Stokes curve が交
わることは, ベクトル場の解曲線の一意性に反するからである.

Bl

Figure A.1(t-plane)

62

1st sheet

3rd sheet

4th sheet

Figure A.2 ( -plane)$t$$\dot{}^{}|$

63

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