数理解析研究所講究録
900 巻 1995 年 130-147130

差分微分方程式に対する Chebyshev 近似解法

山梨大工栗原光信 (Mitsunobu Kurihara)
山梨大工油井誠志 (seishi Ytli)

序文

$0$

A. $Halanay[1]$ は, 次のような線形差分微分方程式の境界値問題を研究し1966 年,た.

$\frac{d}{dt}x\cdot.(t)=A(f.).?\cdot,(\dagger‘)+B(t’).\cdot 1\backslash .(\dagger, -?’)+f(\dagger)$$’.\mathrm{t}^{\backslash },(\theta)=\Lambda/I\cdot lJ(l+\theta)$,$\leq l$$.-7^{\cdot}\leq\theta\leq 0$$.\cdot l’.(l+\theta)=N\cdot\psi|(\theta)$

は, 閉空間 $[0, l]$ で連続な.

$0<\dagger$

行列,

ここで,

$A(t.),$ $B(\dagger,)$

列,は, 閉空間 $[0, l]$ で連続な ?1 次元ベクトル関数である.

$f(\dagger.)$$??\cdot\cross 7?$,$\Lambda I,$

$N$

(は,

$\cdot t\mathit{1}$.

$\cross 7l$. 定数行

Fredhollll の交代定理に相彼は, この境界値問題をある種の積分方程式に変換し,当する結果を導いている.

上記の結果を線形関数微分方程式に拡張した.
Cheby方, 1966 年, M. $Urabe[31[4]$ が, 常微分方程式に対する多点境界値問題への.

1976 年,$J.K$ $Ha\iota_{e}[2]$は,shev 近似解法の応用を発表した. ここでは, 直交多項式系であり, 一様ノルムにつそれらを基底関数とす
いて, 準最良近似多項式でもある Chebyshev 多項式を用い,る Galerkin 法により近似解を求めている.

本研究は,

M. Urabe の開発した手法を, 差分微分方程式の境界値問題に応用しようというものである. 本研究においては, 次のような差分微分方程式の境界値問題を考察する.
$\frac{d}{dt}X(t,)=P(t.)X(\dagger.)+Q(t)\mathrm{x}(t, -7^{\cdot})+F(t)$$X(\theta)=M\Psi(\iota+\theta)$

ここで,$P(t),$ $Q(t.),$$\Lambda I$

は,$X(l+\theta)=\Psi(\theta)$$?l\mathrm{X}??$. の正方行列であり,$\mathrm{o}$.

.

$\leq t$$\leq l$$-\uparrow’\leq\theta\leq 0$$X(t),$$F(t.\mathrm{I}, \Psi(\theta)$(は,tt 次のべ131

クトルである. 更に, 非線形差分微分方程式の境界値問題も考察する.

1

Chebyshev 多項式の諸性質

1.1

Chebyshev 多項式

Chebyshev 多項式雪 (r) $(-1\leq.l\cdot\leq 1)$ を, 関係式$:c=\cos\theta$$T_{?l}(_{X)=\mathrm{c}}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta,$,’ $\iota=0,1,$$\ldots$で定義する. 例えば,$\tau_{\mathrm{o}(.1)}.\equiv 1$となる. 多項式1.

$T_{1\mathit{1}}(.\tau)$2.

$T_{n}(x)$は,,$T_{1}(x)=.\tau$$T_{2}.(_{T)}.=2.\iota’.-\underline{)}1, T_{3}.(.\iota\cdot)=4:\iota^{3}..-3.I^{\cdot}$...

,

は, 次の性質を満たす.

$T_{\gamma \mathrm{t}}(.\Gamma \mathrm{I}$$?$,? 次の多項式で,$x^{\mathfrak{l}?}$

の係数は,

’
$2^{?-1}$$(”\geq 1)$である.

は, 次の直交性を持つ.

”}$1\theta|\cos\dagger?.\theta$\int_{-1}^{1}\tau_{1\gamma\prime}(.\tau’)T(_{\Gamma}|?.)\frac{1}{\sqrt{1-\iota^{\mathit{2}}}}\mathrm{d}.T=\int_{0}^{\pi}\mathrm{C}\mathrm{O}^{\sigma}|$\mathrm{d}\theta=\{$$0$$(”?\neq\cdot’?.)$$\pi$$(\uparrow\}l=n=0)$$. \frac{\pi}{\mathit{2}}$3. 閉空間 [-1, 1] で連続な関数 $f(x)$ に対し, 直交多項式系$T_{l?}(\mathrm{J}^{\cdot})$$(?\mathrm{I}l=?l\geq 1)$

による Fourier 展開が可能である.

.

$(-1\leq.\cdot r\leq 1)$$f(x) \sim,\sum_{?=0}\iota p’\iota T([] l\gamma l|\mathit{1})\infty.\iota$

ただし,$a_{1\mathit{1}}= \frac{2}{\pi}\int_{-1}^{1}f(x)\tau tl$$=\{$$\mathrm{I}\frac{1}{\sqrt{1-\tau^{\underline{y}}}}\mathrm{d}_{1}.\cdot=\frac{2}{\pi}\cdot\int^{7\ulcorner}0‘ \mathrm{s}^{?}\int(\mathrm{c}\mathrm{o}\theta)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}’?\theta \mathrm{d}\theta$$(?l<0)$$0$$?l,,$(I$(n=0)$$\underline{.\frac{1}{)}}$

1. $(??>0)$
また, この展開に対する Parseval の等式が成立する.
$\frac{1}{2}\sum_{=1l()}^{\infty}\iota p.|7\prime a,|^{2}$?

$=$$\frac{1}{\mathcal{T}\iota}\int_{-1}^{1}\frac{|.f(.\mathit{1})|^{\underline{y}}}{\sqrt{1-\iota^{\underline{)}}}}.\cdot \mathrm{d}.\mathrm{t}$

.

.
$=$

$\frac{1}{\tau\downarrow}\int_{\mathrm{U}}^{7\mathrm{i}}$$1.\mathrm{f}(\cos\theta \mathrm{I}|\underline{.)}\mathrm{d}\theta$

132

4.

$T_{n}(.\cdot\iota\cdot)$, 嫁固の相異なる実数の零点を持つ. 即ち,は,$\tau_{11}(.\mathrm{t}’)=\mathrm{e}\cdot \mathit{0},\mathrm{s}’\prime l\theta=0$

より,$\theta_{j}=\frac{(2j-1)}{211}/\mathrm{T}$$.\cdot r_{j}=\cos\theta_{j},$5. 正整数 $N$ をとる$T_{\mathit{1}\backslash \Gamma}(.\iota\cdot)$$x_{j}.=\cos\theta_{j}$,.

$(j=1.2, \ldots, ’\downarrow)$の零点$(.\dot{/}=1,2, \ldots, N)$$\theta_{j}:=\frac{2j-1}{2_{I}\backslash ^{\tau}}r\mathrm{I}$Fourier 係数

を標本点とする.

$a_{?1}= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\int(\cos\theta)\mathrm{c}o\mathrm{s}’?\theta \mathrm{d}\theta$$(\prime 1\leq_{arrow\backslash ^{\tau}-1})$の Gauss-Chebyshev 数値積分は$a_{n}=.

\cdot\frac{2}{N}\sum_{j=1}^{N}\int(\cos\theta_{j}$I$(?l=0,1, \ldots, N-1)$$\cos n\theta_{j}$と表される.

12導関数の Chebyshev 多項式関数$\int(\dagger)$を, 区間 [-1, 1] 上で$t$に関して連続微分可能であると仮定する. そのとき, 関数 $f(t)$ の $-$ 階導関数は,$\dot{f}(t.)\sim\sum_{7\iota=0}^{\infty}’\iota lo’\tau(n\cdot’\iota??t)$と置くことができる.

$= \frac{d}{di}$

である.

このとき,

$a_{n}’= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\dot{f}(\cos\theta)\cos t\iota.\theta \mathrm{d}\theta$となる. それゆえ,’$a_{n-1}’-C\iota_{\eta+1}$.

$\mathit{7}?$$\geq 1$

に対して,

$=$

$\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\dot{f}(\cos\theta)[\cos(_{?}’$$=$$\frac{47l}{\pi}\int_{0}^{\pi}\int(\cos\theta$を得, これは,,$o_{?1}’,-1-c\iota_{l}’,1+1=2na,$I. $-1)\theta-\cos(\iota?+1)\theta]\mathrm{d}\theta$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}’?\theta \mathrm{d}\theta$

133を導く. この式から,$cl_{1\mathit{1}^{-Cl_{1\iota}’}}’+\underline{.)}=2(\uparrow?+1)_{C\iota},,+\iota$$Cl_{\iota+}’,\underline{.)}$,$\prime l\geq 0$$-$ $(l_{11+l}’4=2(?l+3)\mathrm{r}l’,+\cdot.3’$$o_{l?}’\underline{.)}\iota J-2-+|\mathrm{t}+\underline{\cdot)}IJC\iota=\mathit{2};(??+2p-1)\gamma\iota_{?}\underline{\cdot)}1+p-1$

を得, ゆえに,$a_{\mathrm{t}}’\iota$$=$$2[(\uparrow \mathrm{z}+1)c\iota_{\iota+},1+(??+3)a_{\gamma+3},+\cdots$$+(7?+2p-1)Cl_{1\mathit{1}+}2p-1]+c\iota_{??}.’+\mathit{2}p$を得る.

$\mathrm{p}_{\mathrm{a}1^{\backslash }\mathrm{S}}\mathrm{e}\mathrm{V}\mathrm{a}1$$Cl_{1\iota}’=2 \sum_{p=1}^{\infty}(’|$の等式より,$Parrow\infty$. $+2p - 1)_{\Gamma l_{\}}},+2p-1$ ,で$\Gamma l_{1}’\mathit{1}+-,Parrow 0$となることから,$l\mathit{1}\geq 0$を得, この式は, 次のように書き換えることができる.
$a_{n}’=.

\sum_{09=}^{\infty}\mathrm{t}l_{\mathit{8}}-’?1_{\mathrm{c}},’ 9-\}7as$

ここで,$\iota_{r}’=1-(-1)^{r}$

である.

13

有限 Chebyshev 級数

Chebyshev 級数の $(t?l+1)$ 次以降を打ち切ったものを呼ぶ. 関数 $f(t)$ を,$\uparrow?\mathrm{Z}$$(1.1) \int(t)=\sum_{n=0}!\mu_{1\mathrm{t}}on\tau n(t)$公式(1.2) $(_{-\eta}.=c\iota_{n}+2C_{n}+1t-C_{n}+2$(1.3) $c_{m+1}=c_{nl}+2=0$

次有限 Chebyshev 級数と次までの有限 Chebyshev 級数とすると, 関数ように表される.

より,$\uparrow n$$f(\dagger)$

は, 次の

134

から始めて, 逐次的に.

$c_{n}$

を計算をすることで, 次の,$\int(f)$の値を得ることができる.

$f( \dagger)=\frac{1}{2}(c_{\mathrm{U}}-c_{2}.)$[証明](1.2) を, 以下のように再表記する.

$c\downarrow.\}?=c_{n}-2_{C_{1+1}},t+C_{n+}2$(1.1) に代入する. そのとき,

この式を,$f(t.)=.\mathrm{f}(\cos\theta)$$=$$\frac{1}{2}(c0-2C1\cos\theta+c_{2})$$+($ $C_{1}-2c_{2}$ COS $\theta+\nearrow 3$) COS$\theta$$+(c\cdot\underline{\cdot)}^{-}\prime 2_{C\cos}3\theta+c4)\cos 2\theta$

/

.

.

$\cdot$$+((,?$$+($$c_{\eta\iota-1}-\ovalbox{\tt\small REJECT} c_{n\iota}$$+$A$\cross\cos?$ }COS$\theta$

) COS

$(7$

} $’-1)\theta$$\iota\theta$となり, 恒等式.

$\cos(\uparrow l$$-2)\theta-2\cos\theta \mathrm{t}\cdot \mathrm{o}\mathrm{S}(\cdot’?-1)\theta+\cos\eta\theta=0$を先の式の斜線部に適用し,(1.3) を使うことで,. $f(t.)= \frac{1}{2}(c0-C_{2})$を得る.

2差分微分方程式

2.1

線形差分微分方程式の近似解法

次の線形差分微分方程式の境界値問題に対する Chebyshev 近似解法を考える.
$-\cdot\dot{\lambda}’(t\mathrm{I}$(2.1)=P(t)X.(わ十 $Q(t)\mathrm{x}(f-\gamma)+F(t)$$X(\theta)=_{\mathit{1}}lI\Psi(\theta)$,$x(l+\theta)=\Psi(\theta)$$(0\leq t\leq l)$$(-r\leq\theta\leq 0)$

135$X(t),$ $\Psi(t),$ $F(t)$ は,7 次のベク

ここで,

は,

M=(八 Iij) の,l$\mathrm{C}^{\mathrm{t}}11\mathrm{e}]\supset \mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{e}\iota^{r}$多項式$\mathrm{X}?l$トルであり,$P(t),$ $Q(t)$ は,l X” 行列,$\Lambda I$の定数行列である.

$\tau_{l\mathit{1}}(.\iota\cdot)$の定義域 $-1\leq.l\cdot\leq 1$ に適合させるため, 境界値問題の定義域を変換する. そのため, 区間を $-1^{\cdot}\leq\theta\leq 0$ と $0\leq t\leq l$ の:つの区間に分け, それぞれを $-1\leq 7\uparrow\leq 1$ と $-1\leq\xi\leq 1$ に $-$ 次変換し, 近似解法を適用する.

まず,

$t$

を

$\xi$

を用いて変換する.

$t\in[0, l]$を $\xi\in[-1,1]$ に変換するため,

$t$

と

$\xi$

の問には, 次の関係が成立する.
$t= \frac{\mathit{2}}{l}(\xi+1)$

そのため,$\frac{\mathrm{d}_{\wedge}1^{\vee}}{\mathrm{d}\dagger}.==\underline{\mathrm{c}1\wedge\cdot 1^{arrow}*}\underline{\mathrm{d}\xi}\underline{2}\underline{\mathrm{d}_{-}.\mathrm{X}^{\vee}*}$$l\mathrm{d}\xi$$\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\mathrm{f}$となり, 与えられた境界値問題 (2.1) の微分方程式は,2$\mathrm{d}X^{*}$$\overline{l}\overline{\mathrm{c}1\xi}=A^{*}(\xi)\mathrm{x}^{*}(\xi)+B^{*}(\xi)X^{*}(\xi-R)+F(\xi)$

となる.

次に,

ここで,

$R=2\cdot|^{\tau}/l$$\theta\in[-1^{\cdot}, 0]$である.

を $\eta\in[-1,1]$ に変換する. そのとき, 関係式$\theta=.\frac{\uparrow\backslash }{\mathit{2}}(\eta+1)-r$が成立し, 境界条件は, 以下のようになる.
$X^{*}(-1)=\mathrm{i}1I\Psi^{*}(1)$$X^{*}(\xi-R)=\Lambda.I\Psi*(?7)$$X^{*}(\xi.)=\Psi^{*}(\uparrow 7)$,$(_{7}\mathit{1}=1\underline{l}.(\xi+1)-1)$,$(\eta=.1\underline{l}.(\xi-1)+1)$

以上をまとめると, 与えられた境界値問題 (2.1) は,

$\xi$

と

$\uparrow 7$を用いて次のように書き換えられる.

(2.2)$\wedge\cdot \mathrm{i}^{-*}(\xi)$$=$$(-1\leq\xi\leq 1)$$P^{\star}(\xi)X^{*}(\xi)+Q^{*}(\xi)\Phi^{*}(\xi)+F^{*}(\xi)$$P^{*}( \xi)=.\frac{l}{\mathit{2}}P(t)$,$Q^{*}( \xi)=.\frac{l}{2}Q(t)$,$t=. \frac{l}{\mathit{2}}(\xi+1)$$\mathit{1}’\mathrm{t}I\Psi^{*}(\prime 7)$$;-1\leq\xi\leq R-1$

$X^{*}(\xi-R)$$\backslash \cdot R-1<\xi\leq 1$$\Phi^{*}(\xi)=\{$$F^{*}( \xi)=.\frac{l}{2}F(t)$136$\eta=-,(\xi|^{\backslash }l+1)-1$$X^{*}(-1)=_{A}\mathrm{t}I\Psi^{*}(1)$:$X^{*}(\xi)=\Psi^{*}(_{l}’)$$1-R\leq\xi\leq 1$$\prime l=\frac{l}{l}.(\xi-1)+1$(2.2) を用いて, 解を求める. また, 今後, 表記の簡単化のために,(2.1) の代わりに,それぞれの項の$*$は, 省略して表記する.

求める解 $X(\xi)$ を$X( \xi)=\sum_{11=0}\iota l_{1},:\mathit{1}^{\cdot},T?\mathit{7}\iota(\xi)$とし, 未知関数$\Psi(\uparrow 7)$

を$\Psi(\eta)=.\sum_{1?=0}^{1}\cdot\iota n\iota t\mathit{1}\psi nTn(\eta)$とし,$x0,$ $\ldots,$ $.?.,?ln$” $0,$ $\ldots,$$\cdot\psi$”$?$’ を導く.

$.I_{0},$”$\ldots,$$.P^{\cdot},,1’ \mathrm{t}^{:_{0}}$$\cdots$,’$\psi_{7\}?}$

は,

$’$

? 次のベクトルである.
を Chebyshev 展開する.

$P(\xi),$ $Q(\xi),$ $F(\xi)$$P( \xi)=.\sum_{0t\iota=}\mathrm{t}\{.p_{n}\tau_{n}\infty\prime \mathit{1}(\xi)$$Q( \xi)=\sum_{\infty}\mathrm{t}\{n=0\infty.?\iota c_{\mathit{1}_{7\iota}}T_{7}(?\xi)$$F( \xi)=\sum_{01\iota=}?_{\eta}‘.\int_{nn}T(\xi)$$p_{ll},$$q.,,$, 几は, 行列になる.

係数を用いる.
さらに,$???\dagger+1$$\Phi(\xi)$

ここでは, 計算上以降の係数は$0$$?$} . 次までの項で打ち切った$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{l}\supset \mathrm{y}\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}$$\iota$行列とする.

の Chebyshev 展開した式を,$\Phi(\xi)=\sum_{07\mathit{1}=}^{\infty}\mathrm{t}\iota_{n}\emptyset nn\tau(\xi)$とする. 先の場合と同様に,は,$\Psi(?7)$$\cdot,?l$

次までの項で打ち切ったものを計算に用いる.

と $X(\xi)$ を合成した関数であるから,は, 未知係数賜,’$’\psi_{n}$の–次結合で表すことができる.

(2.2) から次の決定方程式を得る.
(2.3)

Chebyshev 係数$\sum_{n=0}^{m}\mathrm{t}lx\mathfrak{n}?’(-1)^{\eta}-\Lambda I\sum_{=n0}^{m}\cdot\iota l_{n}.\psi_{n}’=0$$\phi_{l},,$$\Phi(\xi)$. $=0,1, \ldots, ’\gamma l)$$(?\iota$

137

(2.4)

(2.5)

$(\mathit{2}.6)$

まず,$\sum_{n=0}^{nl}\mathrm{t}l_{1},.\iota_{l}.,\tau_{\mathrm{t}},(\xi \mathrm{I}-\sum_{1?=0}^{1}\iota \mathit{4}\iota\prime l’\prime l|(_{1}l)=\gamma\iota/T,0$$P( \xi)X(\xi)+Q(\xi)\Phi(\xi)+F(\xi)=\sum_{01\iota=}\mathfrak{l}’\iota-1)\{l_{\iota\cdot|},\iota_{\iota}’,\tau(1\xi(.)$$\wedge\cdot \mathrm{i}^{\vee}(\xi)=’\sum_{\mathrm{t}\iota=0}^{r1}u,?\iota^{\mathrm{t}’T_{l}(}1’\xi)-1.\cdot$$P(\xi)X(\xi)$(2.7) $P(\xi)X(\xi)$

$=$

を考える.
$\sum_{\Gamma=0}^{m}u_{r}p_{7r}.T.(\xi)\sum^{n}ux\tau(sSS\xi s=0\iota)$$=$$\sum_{1S}..1l_{\gamma^{\iota}S}.l\tau_{r}(\xi)T_{\mathrm{e}\mathrm{L}}(\xi)p_{\uparrow^{l’}\mathrm{L}}..\mathrm{s}$.

$=$$\sum_{7_{\mathrm{c}}\mathrm{s}}^{1?\mathit{1}}.,\iota l_{1},\iota l_{s}\cdot\frac{1}{\mathit{2}}[T_{r+}s(\xi)+T_{1},.-.\backslash \cdot|(\xi)]p_{\mathrm{t}R}..\mathrm{t}$$=$$\frac{1}{\mathit{2}}\sum_{\mathrm{L}}’’u,1l\cdot p_{\mathrm{r}}:\iota_{s1}T.+.\mathrm{q}(s\xi)\gamma^{\backslash }.\mathrm{s}\iota.\cdot$.

$+ \frac{1}{2}\sum_{\llcorner}^{m}.,\uparrow l_{1},\iota \mathrm{t}_{\mathrm{L}}\mathrm{Q}p_{1s1}..\Gamma\tau-\llcorner\sigma|’..(\xi)\prime 9$$=$$\frac{1}{\mathit{2}}\sum_{n=0}^{\infty}(_{9=}‘\sum_{0}^{\}}’\iota\iota_{?},-\mathrm{s}\mathrm{t}l\backslash \llcorner \mathit{1})-.9\cdot\Gamma.\underline{\sigma})\iota.\cdot.\tau_{n}(t?\xi)$$+ \frac{1}{\mathit{2}}.\cdot\sum_{\sigma=0}^{nl}\iota l..lj_{S}.1_{S0(\gamma}’\tau)\llcorner\backslash \underline{)}$$+ \frac{1}{2}\sum_{?1=1}^{\infty}(_{\backslash }\sum_{\mathrm{s}=0}^{\mathrm{t}1\iota}\iota\iota_{?}\mathit{1}+_{\mathrm{c}}\mathrm{s}^{\mathfrak{j}\iota.p_{\iota})}\underline{\mathrm{s}},+.-\sigma Cl_{\sim}8T_{1},$$(\xi)$$(\cdot’\cdot-s\cdot=\prime 1)$$+ \frac{1}{\mathit{2}}\sum_{1?}\infty=1(_{\mathrm{L}}\sum_{\mathrm{s}=0}^{?\eta}\mathrm{t}\iota_{S-\iota^{1(}s},pS-\uparrow l.\mathrm{t}_{\mathrm{L}\backslash }.,)\tau|l(\xi)$$=$$(s-?\cdot=l?)$$. \frac{1}{\mathit{2}}[_{1l_{0}^{2}},p0\cdot\Gamma 0+ \sum_{=,\llcorner \mathrm{Q}0}^{7}1\downarrow_{S}^{2}|\iota ps^{l}.\cdot \mathrm{c}\mathrm{e}]T()(\xi)$$+ \frac{1}{\mathit{2}}\sum_{n=1}^{m}[\sum_{B0}^{1}7|=(\cdot[l,]’-s.1l_{s}.p,\mathit{1}-S$$+?l.+\mathrm{S}\mathrm{t}l\cdot pn.S’?+S+\iota\iota_{s-}.,1^{\cdot}\mathrm{t}(_{S}.p\mathit{8}-\mathfrak{l}1)_{1_{\mathit{8}}]}.\cdot T|1(\xi)$$k\uparrow_{\yen}^{\mathrm{B}}\text{る}$. (2.7) と同様の展開を$Q(\xi)\Phi(\xi)$に対して実行する.

(2.5) より,

いて,
$=$

$=$

$\int_{0}+\sum_{s=0}?ppSs^{I_{S}+}-=\sum_{\epsilon 0}u_{\mathit{8}}c_{\mathit{1}}.\mathrm{q}\phi_{s}$.

$f_{1\mathit{1}}$.

$+. \frac{1}{\mathit{2}}\sum_{=S0}^{n\prime}(u_{n-sS}\tau‘ p_{n}-S+uu_{S}p\eta+s+ll_{9-|}?\iota \mathrm{t}p_{\iota}s\mathrm{q}-’\iota)\prime r_{\mathrm{s}}n+s$(2.7) を用

138$+ \frac{1}{\mathit{2}}\sum_{s=0}^{m}(un-s^{1}+\iota\downarrow_{7\iota+_{\mathrm{c}}}\mathfrak{l}\sigma \mathrm{t}l:_{S}q,\iota+s+\mathrm{t}ls-\iota\mu.s\Gamma \mathit{1}\mathrm{s}-)\mathrm{t})l_{s}c_{\mathit{1}?\iota-s}.,\cdot.\phi S$$(?l\geq 1)$

この$x_{0}’$

が,$=$$.7i_{n}$$.x_{?\mathit{1}}’$$(n\geq 1)$に含まれるように,,}/|? を変形すると,.

$\frac{1}{2}\sum_{\mathrm{s}=0\llcorner}^{7}(u-Sp_{7\iota}’|)\iota-s+\cdot ll+Sup,7?s’+S+u-|\iota\iota l_{S}sp.9-|1+\cdot u_{-1l}\mathrm{t}l-sp_{S}x_{S}’?l_{S}\cdot$$+ \frac{1}{2}\sum_{=S0}^{7n}(u_{n}-Ssq_{l}-S+u,u_{n+}u_{s}q,s?+s+\cdot u_{S-?},,uc\mathit{1}SS-n+u-n1l,-sc\mathit{1}s)\emptyset s$$(?l=0,1, \ldots, m-1)$$+ \int_{1?}$(2.6) から,

となる.

(2.8)

$\frac{1}{2}\sum_{s=0}^{\eta\tau}(uss-s+\tau l_{n+}.lpn+S+u\mathrm{t}l_{s}p_{\mathit{8}-}n-up_{n}s\iota ss-n\eta+u_{-?\mathit{1}}.u_{-S}pS^{-2}g-?)_{S}?l\cdot,\iota-\prime ls):C.s$$+ \frac{1}{2}\sum_{=S0}^{n}(\mathrm{t}\iota_{n}-Su_{S}qn-\mathrm{L}^{+uu}n+s’ sq\mathrm{q}\}\iota+S+\prime \mathrm{t}l.9^{\cdot}\lfloor l\cdot r\mathit{1}\mathrm{s}-?l+v_{-}\gamma \mathit{1}^{\cdot}1l-s\mathit{1}1)\mathrm{L}^{-t1s}\Gamma\sim 9\phi_{s}=-f_{n}$$(\uparrow\chi=0,1, \ldots, ??\mathrm{t}-1)$を得る.
(2.4) について考える. 両式の左辺の各項は,次に,しかし, 次の式をを用いて,

ている

$\xi$

と

$?\uparrow$の異なった多項式となっ多項式展開を行ない整理することが可能である.

$\xi=\frac{\uparrow}{l}.(?]-1)+1$を用い, 例えば,(2.4) の初項に対して,$7?1=3$ の場合,

ヨ

(2.9)

$\sum_{n=0}\tau\iota n.xT_{1}(\eta’\xi)$$=$$\frac{1}{2}x_{0}(1)+X_{1(}\xi)+b2(2\xi^{2}-1)+.r3(4\xi^{3}-3\xi)$$=$$\frac{1}{2}x_{0}+(\frac{r}{l}(\eta-1)+1)_{X_{1}}+(2(\frac{?}{l}, (\prime 7-1)+1)^{2}).r\cdot)\sim$.

$+(4( \frac{r}{l}(\gamma 7-1)+1)3-3(\frac{r}{l}(\eta-1)+1)).l_{3}$$=$$\frac{7^{3}}{l^{3}}.\mathrm{t}\Gamma_{0}(4\eta^{3}-3\eta)$$+( \frac{r^{2}}{l^{2}}.x_{2}+\cdot\frac{6\iota_{7+}26r3}{l^{3}}X_{3}\mathrm{I}(2\gamma l^{-}’-1)$$+( \frac{r}{l}x_{1}+\frac{4\uparrow\cdot l-4r^{2}}{l^{2}}I_{\mathit{2}}+\frac{9l^{2}r-\mathit{2}4\iota\uparrow^{2}+1_{0}^{r_{?}.3}}{l^{3}}.X3)(\uparrow l)$

139$+( \frac{1}{2}\mathrm{L}\iota_{0}.+\frac{l-\uparrow}{l}.x1+\frac{l^{2}-4\iota\uparrow\cdot+3\prime^{2}}{l\underline{)}}.\cdot.1^{\cdot}\underline{\cdot)}+\cdot.\frac{l3-9l\underline{)}17’+.8ll2-10\uparrow\backslash s}{l^{3}}.I_{3})(1)$$=$$\sum_{?\mathit{1}=0}\iota\iota P3?\iota n(\mathfrak{a})T_{n}(?7)$

を, 得ることができる. ここで,
$l-\uparrow$ ’$P_{0}(\alpha)$$=$$P_{1}(\alpha)$$=$$P_{2}.(.\alpha)$$=$$P_{3}(\alpha)$

$=$

であり,

$-$

.

$\frac{\gamma^{2}}{l^{2}},x_{2}.+\frac{6lr+6?’3}{l^{3}}\underline’ X_{3}$$\frac{\gamma^{3}}{l^{3}},x_{0}$$(X_{0}., X_{1}, \ldots, x_{m})$固定することによって, 変数を$\uparrow 7$である.

の定義域と –致するためである.

このように, 式 (2.9) に関しては,に統–することが可能である.

$\xi\in[1-R, 1]$ に対して,$-$ するのは,$4l_{7}\cdot+3r^{2}$$\frac{7’}{l}x_{1}+\frac{4\uparrow\cdot l-4_{7}\cdot \mathit{2}}{l^{\mathit{2}}}x.2+\cdot\frac{9l^{\underline{)}}\uparrow\cdot-24l1+12\mathrm{o}r\ulcorner 3}{l^{3}}..\tau_{3}$col$\alpha=$$l^{2}$$\frac{1}{2}x_{0}+.\iota_{1}.+.r\underline{\cdot)}\overline{l}\overline{\iota\underline{\cdot)}}+\cdot\frac{l^{3}-9l2_{l}\backslash +18l\uparrow\underline{\cdot)}-107^{\backslash }3}{l^{3}}.\cdot.L^{\cdot}3$$\xi$$?’ l$をではなく 77 に統[-1, 1] の範囲が, Chebyshev 多項式$\uparrow l\in$(2.4) に (2.9) の様な変形を適用すると,$(2.10) \sum_{?7=0}^{1}\mathrm{t}nPx\}l(\alpha n.)T(n\eta)-\sum_{=\gamma l0}^{n}u_{n\mathrm{t}’}l/_{\mathrm{a}n}\tau\backslash |l(t7)=0$

となる.

ここで,

$\alpha=\mathrm{c}\mathrm{o}1(.\mathrm{T}_{0}, x_{1}, \ldots, x_{m}.)$

である.

以上から,

から,7 個,$2\uparrow l(\uparrow n+1)$個の未知数(2.8) より $nm$ 個,$(x_{0}, .r1, \ldots, .r_{m}., \iota l_{0}"\psi_{1}, \ldots, \psi_{m})$(2.10) より,?1に対して, 式 (2.3). $+1)$ 個の関係式を導き出す. 従っ$(\cdot t\}|$て,$4+3 \sum_{s=0}^{\eta 1}$

A-CnsS$=B_{n}$$(?\mathrm{t}=0,1, \ldots 47?l+3)$と表すことができる. ここで,
$c_{S}.=X_{1}$ ,”$c_{9}.= \uparrow\int_{1}$;$(s=0,1, \ldots??(_{\mathit{7}?\mathrm{t}+}1)-1)$;$(\uparrow\cdot=0,1, \ldots, 7??)$;$(s=??.(m$. $+1), \uparrow \mathit{1}(??\mathit{1}\cdot+1)+1,$;$(\uparrow\cdot=0,1, \ldots, 17t)$である. すなわち,

Gauss の消去法等を用いて,り, 解 $X(\xi)$ と境界関数$\Psi(\uparrow l)$$\ldots,$$2?\mathrm{t}(’\}\iota l+1)-1)$$\psi_{\uparrow}’\iota$$.\tau_{\uparrow \mathit{1}},$

を導くことができる.

’ を計算することは可能であ140

非線形差分微分方程式の近似解法

22

次の非線形連立差分微分方程式の境界値問題についての近似解法を考える.
$(0\leq t\leq l\mathrm{I}$$\wedge\cdot \mathrm{i}^{\vee}(t)=F[t, X(t), \mathrm{x}(t-?\cdot)]$$X(\theta)=\mathit{1}\mathrm{t}\prime I\Psi(\theta)$

ここで,$(-,$ . $\leq\theta\leq 0)$$X(l+\theta)=\Psi(\theta)$

,

である.

$F[t, X(t), x(t-\uparrow\cdot)]$$X(t),$$\Psi(\dagger)$については, 線形の場合と同様である.
. の範囲が Chebyshev 多項式の定義域と異なるので,

やはり,

$t$

線形の場合と同様の–次変換を行なうことで, 次の方程式を得る.
$\wedge\cdot \mathrm{i}^{\vee}(\xi)$$=$$(-1\leq\xi\leq 1)$$F[\xi, X(\xi), \Phi(\xi)]$$\Lambda I\Psi(_{7}.l)$$\vee,$$\Phi(\xi)=\{$$X(\xi-R)$$-1\leq\xi\leq R-1$

; $R-1<\xi\leq 1$$?_{7}=7\underline{1}.(\xi+1)-1$$X(-1)=\Lambda I\Psi(1)$$X(\xi)=\Psi(\eta)$; $1-R\leq\xi\leq 1$$\prime 7=\frac{1}{r}(\xi-1)+1$

ここで,$R=2-t^{\mathrm{B}}/\iota$

であり,$\Phi(\xi)$は,線形の場合と同様に定義する.

やはり線形の場合と同様に, 求める解を$X( \xi)=.\sum_{1’=^{0}}^{n}u_{\eta}\iota X_{l\mathit{1}}\tau n(\xi)$とし, 未知関数$\Psi(\eta)$

を$\Psi(\uparrow l)=\sum_{n=0}8\iota\psi_{\tau l}\eta|?(|T\eta)$

として, 未知係数$x_{0},$$x_{1,\ldots,\mathit{1}}:\mathrm{r}\eta’?f’ 0,$”$l_{1}$$\mathrm{V}’$$\cdots,$”,$\iota$を導く.

未定係数法により,$(2.11)|$$. \prime \mathrm{r}_{l\mathrm{t}\mathit{1}}’-.\frac{2}{\pi}.\int_{\mathrm{C}}\eta.[\xi,arrow.\mathrm{x}^{-}(\xi),\Phi,\cdot|..(.\xi),]T?(t\xi)\frac{1}{\sqrt{1-\xi^{\underline{7}}}}\frac{\sum_{n_{2}=}}{\pi}\int-1..\cdot-\iota(\frac{\prime}{l}(\uparrow 7-1)+1,)T\gamma l(\iota 7^{/)})\frac{=01}{\sqrt{1-||^{\underline{J}}},\mathrm{t}?1_{l})}|1?7\mathrm{v}|10u_{1}\mathit{1}|’\cdot.\cdot n(.-1)^{1\iota}-\Lambda I-11F(l\mathit{1}=01\sum_{\ddagger l0}|?=\gamma\tau l_{1\iota}\mathrm{t}n.\cdot\xi \mathrm{c}\mathrm{t}|=0=0$

141

となる.

ここで,

$. \iota_{t\ddagger}’.=\sum_{S0}^{\mathit{1}}|?=\mathrm{t}l-n\iota_{\mathrm{L}\backslash ^{\backslash }-}’ \mathrm{t}Sn\cdot.\mathcal{B}$である.

ぎを十分大にとり, 次のような$\theta_{i}$$:= \pi-\frac{\mathit{2}i-1}{2_{\mathit{1}}\mathrm{V}}T\mathit{1}^{-}$

これにより,$\theta_{1}arrow\theta_{N}$を定義する.

$\theta_{\mathrm{i}}$$(i=1,2, \ldots, \wedge^{\tau})$に対して,$\cos\theta_{i}$

は,

$-1$

から,

1 の値をとる. 先の式を用いて変形すると,$F_{?1}[\alpha, /\mathit{3}]$$:=$$\sum_{s=0}^{m}u_{\mathrm{c}}\sigma-r\iota’ \mathrm{s}\iota_{\mathrm{c}}-ns.T_{s}-\frac{\mathit{2}}{\wedge\prime\backslash l7}\sum Jj=\perp)\backslash \tau.[\cos\theta_{\mathrm{i}}, x((.\mathrm{o}\mathrm{S}\theta \mathrm{i}), \Phi(\cos\theta_{i})](.\mathrm{o}\mathrm{s}??\theta\dot{7}$$(7? =0,1, \ldots, 7’?$. $-1)$$F_{1’?}[0^{\mathit{1}(}, ,\mathit{3}]$$:=$$\sum_{1l=0}^{m}\cdot \mathrm{t}\{j\eta.n(-1)n-_{\mathrm{A}}\lambda.I\sum_{01\iota}\prime n=\iota\iota,)\sqrt,\}l=0$$C_{7},?[\mathfrak{a}, /\mathit{3}]$$;=$$\frac{\mathit{2}}{i\mathrm{V}}\sum_{i=1}x(\frac{\gamma}{l}(\cos\theta_{i}-1)+N1\mathrm{I}^{\mathrm{c}}\mathrm{o}\mathrm{s}’?\theta_{i^{-}}\mathrm{t}^{\prime^{\mathrm{t}}}$”$’$. $=0,1, \ldots, ’??)$

$(?l$

となる.

$c\downarrow$$/\mathit{3}$

である.

ここで,
$=$

$=$

co1

$(_{\mathrm{I}_{0,1}}.\cdot \mathrm{a}\cdot, \ldots..1,\cdot,)\text{ノ}l$$\mathrm{c}\mathrm{o}1(\cdot\#’’ 0, \psi_{1}, \ldots, \iota_{\eta\iota}./,)$

さらに,$F[a, \beta]=$と置くことにより,$\Phi[\alpha, /\mathit{3}]$となる.

$G[\alpha, /\mathit{3}]=$

Chebyshev 係数$\beta$$\mathfrak{a}’,$を決定する方程式は,$:==0$

ここで,

Newton-Raphson 法により,$J[\mathfrak{a}_{p}, /\mathit{3}]p\prime \mathit{1}+p\Phi[\alpha_{p}, \beta p]=0$

142

となる.

ここで,

$J[\alpha, /\mathit{3}]$は,$\Phi[\alpha, -/\mathit{3}]$の Jacobian 行列である.

$J[ \alpha, \beta]=[\frac{\partial\Phi[\alpha,]\mathit{3}]\prime}{\partial(\alpha,/\mathit{3})}]=$$l\iota_{p}=-$
この Jacobian 行列の各要素を考える.

関数$\varphi’(\xi)$

2 つの関数から成り立っておは,り, すなわち,$\sum_{i=1}^{N}F[\cos\theta_{i}, X(\cos\theta i), \Phi(\cos\theta_{i})]\cos\uparrow?,\theta_{i}$$\sum_{i=1}^{N_{R}}F[\cos\theta i, X(\cos\theta_{i}), M\Psi(\frac{l}{7}.(\cos\theta_{i}+1)-1)]\cos 7?.\theta_{i}$$=$$+ \sum_{N_{R}+1}^{N}F[\cos\theta i, X(\cos\theta_{i}), X(\cos\theta_{i}-R)]\cos\uparrow\downarrow\theta_{i}$

となる.

ここで,

$\cos\theta_{N_{R}}<R-1<\cos\theta_{N_{R}+1}$である. 以上から, 行列の要素は,以下のように定まる.
$\frac{\partial F_{n}}{\partial \mathfrak{r}_{k}}.$.

$=$?l-k-n$\iota_{k}’-[]\iota k$$- \frac{2}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial F}{\partial x_{k}}.[\cos\theta_{\mathrm{i}}, X(\cos\theta i), \Phi(\cos\theta i)]\mathrm{t}\downarrow k.\cos k\theta_{i}\mathrm{c}o\mathrm{s}’?\theta i$$- \frac{2}{\mathit{1}\eta^{\mathcal{T}}}\sum_{N_{R+}1}^{N}\frac{\partial F}{\partial\psi_{\mathrm{t}}1}‘,$$\frac{\partial F_{7l}}{\partial\psi_{k}1}$.

$=$$[\cos\theta_{i}, X(\cos\theta_{i}), X(\cos\theta i^{-R})]u.k\tau_{k}.(\cos\theta\dot{|}-R)\cos l?\theta_{i}$$- \frac{2}{N}\sum_{i=1}^{N_{R}}\frac{\partial F}{\partial\prime\psi\iota}.[\cos\theta_{i}, x(\cos\theta_{i}), \mathrm{n}I\Psi(,\cos\theta_{i}+1-1]?\underline{\iota}_{())}$$\cross l|\mathit{1}Il\iota,\iota.\tau k.(.\underline{\iota}_{(\cos+)- ,\backslash },\theta i11)_{\mathrm{C}\mathrm{o}^{\sigma}}1’ 7|l\theta_{?}$( $n=0,1,$$\frac{\partial F_{n\iota}}{\partial_{\perp}r_{k}}.$.
$\frac{\partial F_{n\iota}}{\partial\psi_{\lambda}}$.
$\frac{\partial C_{7_{?}}}{\partial^{J}\mathfrak{r}_{k}}.’$.
$\frac{\partial C\tau^{\vee}n}{\mathrm{t}_{k}’,1},$.

$=$$\ldots,$.

$”??-1$ ; A $=0,1,$ $\ldots,$$u_{k}(-1)^{k}$.

$(k=0,1, \ldots, \prime 7l)$$=$$-\mathrm{i}1Iu_{k}$$=$$\frac{2}{N}\sum_{i=1}^{N}u\iota.\cdot Tk.(\frac{?}{l}.(\cos\theta_{i^{-}}1)+1)\cos?l\theta_{?}$$=$$-\delta_{\tau\iota k}$.

,$(7\mathrm{i}=0,1, \ldots, l7\mathit{1}\backslash \cdot k=0.1, \ldots, \cdot\prime \mathrm{i}’.)$$\mathrm{t}’ l.$

)

143

ここで,

は,

$\delta_{7\mathit{1}k}$の$\mathrm{I}^{\vee}\backslash \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}1^{\cdot}$

1$.7?=\lambda$’$0$$;\uparrow?\neq k$$\delta$関数で,$\delta_{\uparrow?k}=\{$

これにより, この反復法を, コンピューターにおいて, 計算することができ

である.
る.

2.3

解の存在定理と誤差評価

次の非線形差分微分方程式の境界値問題に対する解の存在定理を表す.
. $-r)]$$(2.1\mathit{2}).\dot{\tau}(t.)$$=$$F[t., X(t), X(\dagger$$(2.13)x(\theta)$$=$$\Lambda IX(\iota+\theta)$$(0<t\leq l)$$(-r\leq\theta\leq 0)$

今後, 以下のように表記する.
$D(\dagger)$:$-r\leq t\leq l$

において開領域,$\subset R^{N}$$D:=\{(t, .\mathrm{r}.)|-r\leq t\leq\iota, x\in D(t.)\}$$\Omega:=\{(t., I, y)|0\leq t, \leq l, .\tau\in D(t.), y\in D(t-\uparrow\cdot)\}$$t$$F(t, x, y)$ : \Omega で

について

$x$

$\Phi(t.’,.x,\tau\Psi(t\tau,y)/)\}$:$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}_{\mathrm{L}}^{\pm}$

$\{$

$x,$

, y \sim \rightarrow .\supset \iota .,)-CJ‘ ffi\pm \beta ##-T 能$y\#_{\sim}arrow$

$[]$

関す 6

。

$\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}$$F(t., \cdot r, \cdot\iota/\backslash )$滑らかな関数 $F(t, x, y)$ に対して,$\Phi(t,:\iota\cdot., y)$の.T と $y$ に関しての Jacobian 行列とする.

と (2.13) の領域 $D$ に存在する任意の解と])$\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}$$\Psi(\dagger,:\iota\cdot, .\mathrm{t}/)$そのグラフ$\mathrm{L}^{\cdot}r=.\prime \mathrm{t}(\wedge.\dagger)$

行列
は, それぞれ, 関数 $F(t., x, y)$$(t, .\iota’(\wedge t))$が境界値問題 (2.12)

に対して, 行列$\Phi(t, .\iota\cdot, y),$$\Psi(t, \alpha:, y)$: [ $-r$ , O]\rightarrow C\vdash ち ] を定義することができ, . と を線形作用素 $\hat{L}=I-A$ の指標を意味するものとすることができる. ここで, 垣よ,と$\Lambda l$に関して $H-$ 写像$\hat{H}$$C$

Banach 空間 $C[-?” 0]$ における恒等作用素である.
は, 先の指標が在する解$x=.\hat{\tau}(\dagger)$

ばれる.

「孤立」 という言葉は, 解$.r=_{\mathrm{t}}|’(\wedge)t$$\hat{\nu}$$0$$l^{l}\wedge=\hat{l}\ovalbox{\tt\small REJECT}=0$$x=.\iota(\wedge.t)$$\mathit{1}^{\mathit{1}}\wedge$

そのグラフ$(t, .’\hat{\epsilon}(\dagger.))$が領域 $D$ に存を満足するならば, 孤立していると呼の十分に小さい近傍において, 孤立解の他に解が存在していないという事実から来ている.

存在定理.

$.l\cdot=\mathrm{L}\overline{\tau}’(t.)$

を微分可能な関数とし, そのグラフ(2.12) と (2.13) の領域 $D$ に存在するものとする. それは,$F[t, .\overline{\iota’}(t), .\overline{l\cdot}(t--’\cdot)]\leq\epsilon$を, そして$-\uparrow’\leq\theta\leq 0$に対して$(t, \backslash \overline{\tau}(t))$.

$0\leq t$が境界値問題. に対して$\leq l$$|\overline{x}.(t)-$$|.\overline{\iota\cdot}(\theta)-M.\overline{t}\cdot(l+\theta)|\leq\epsilon$

を満

144

足する正定数$\overline{\mathrm{c}}$を持つ. 区間 $0\leq t\leq l$ で,次の条件を満足する定数1. 指標 { と
$l$

で,

2.

$H$

$\nu$

$\delta\succ 0$の連続な行列 $-4(t)$ と $B(t)$ が, そしてと $0\leq t\mathrm{i}<1$ が, 存在すると仮定する.

は, 線形演算子 $L=I-H$ に対して $l^{l}=\nu=0$ を満足する.

ここは, 行列 $A(t),$ $B(t)$ そして」 に関する $H$ 写像である.
$!\mathrm{t}I$$D[\delta]=\{(t, X) : -r\leq t\leq l, |.\iota\cdot-.\overline{\iota’}(t)|\leq\delta\}\subset D$

3. 領域$\Omega[\delta]=\{(t, x, y) :0\leq t\underline{<}l, |.\iota\cdot-.\cdot\overline{\gamma}(t)|\leq\delta, |y-.\overline{l\cdot}(\dagger-?\cdot)|\leq\delta\}\subset\Omega$

おいて, 任意の $(t, .\tau, y)$ に対して,$B(t)|\leq\kappa/\sigma_{1}$

4.

$t$

と $|\Psi(t, .r, y)$$|\Phi(t, .\iota\cdot, y)-A(\dagger)|\leq\kappa/\sigma_{1}$

に
-

となる.

$\cdot\frac{\llcornerarrow\sigma_{2}}{(1-P\mathfrak{i},)}\leq\delta$

ここで,$\gamma=||(I-H)^{-1}||_{c},$ $b=\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{x}\{|B(t)| : 0\leq t\leq l\},$ $77l=|\Lambda I|$ ,であり, そして,$X(t, .s)$ が同次線形方程式力 (t) $=A(t).r(t)+B(t).l^{-(-\tau)}t$ の基本行列であるなら

ば,$I_{1=1}’\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}\{|X(t, .S)| :’(t, s)\in[0, l]\cross[0, l]\}$を表す. さらにまた,$-\sigma_{1}$$=$$\mathit{2}Kl\gamma \mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\uparrow?l(1+\uparrow\cdot b)+\gamma^{-1}, ???-, 1\}$$\sigma_{2}$$=$$\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{X}\{_{l}\gamma I\mathfrak{i}^{\prime 2}(1+rb)(1+\uparrow\cdot b+l)+^{\iota}+1, ’?\tau\gamma I\iota’(1+\cdot’\cdot b+l)+1\}$を表す.
そのとき, そのグラフ$(t., .\iota(\wedge.t))$が境界値問題 (2.12) と (2.13) の $D[\delta]\subset D$ に存在が存在する. さらに, それは孤立解であり,する唯– の解$.1^{\cdot}=\hat{x}(t.)$

する誤差境界$|.\iota\cdot(\wedge t)-\overline{x}(t)|\leq\epsilon\sigma_{2}/(1-h)$

この定理の証明は,

3

数値実験例

31

数値実験例 1

. に対$-\uparrow\leq t\leq l$を満足する.

[6] に, 詳しく述べられている.

次の線形差分微分方程式の境界値問題を解く.

$.\dot{y}(\dot{I}:(t)t))=++$$=$$(0<t\leq l)$$.x(\theta)y(\theta))=$ ,$(-\uparrow’\leq\theta\leq 0)$

145

ここで,

$l=\pi,$ $’\cdot=1$

である.

$,,,$

$=10$ とおく.

近似解
$X( \xi)=\sum_{||=0}\tau\iota,.t;\tau_{1?}(10l\eta\xi)$と未知関数$\Psi(\eta \mathrm{I}=\sum_{0^{1}n=}^{1}u?l\uparrow?’n|(T,?7)0$を求める.
以下に, 真の解から求めた $X(t),$$\Lambda I\Psi(\theta)$のグラフ, 近似多項式のグラフ,

さらに重ね合わせたグラフを提示する. 左から順に, 真の解のグラフ, 近似解のグラフ,
重ね合わせたグラフである.

$=$$=$ $=$

真の解は,$.l\cdot(\dagger)=\cos t,$$y(t.)=\sin t$. である.

また, 同じ問題を次のように再定義し, 非線形問題として計算した.

$(0<t\leq l)$,$l,$ $r,$$\cdot m,$$X(\xi),$ $\Psi(?_{l)}$の定義は, 線形の場合と同様である. この時の計算結果のグラフ

を, 以下に表示する. 左から順に, 真の解のグラフ, 近似解のグラフ, 二つを重ね合わせたグラフである.

146

32

数値実験例 2

.

$=$
$++$
$=$ $=$

次の線形差分微分方程式の境界値問題を解$\langle$$(0<t\leq l)$

,

$(-,$

ここで,

$l=T,$ $l\cdot=1$ である.

近似解
$X( \xi)=\eta=\sum_{0}^{1}ll0.n^{T}.\eta\tau_{\iota},(\xi)$と未知関数$\Psi(\eta)=|\mathrm{t}=\sum_{0}^{10}\cdot 1\mathrm{t},\cdot\psi\iota nT|.(?|l7)$$\uparrow?l=10$

とおく.

.

$\leq\theta\leq 0)$

147

を求める.
以下に, 真の解から求めた $X(t),$$-’\iota I\Psi(\theta)$のグラフ, 近似多項式のグラフ,

さらに重ね合わせたグラフを提示する. 左から順に, 真の解のグラフ, 近似解のグラフ,
重ね合わせたグラフである.

真の解は,$x(t)=\sin^{\underline{)}}(t),$$y(t)=\cos^{2}(t),$$\approx(t.)=\mathrm{s}\mathrm{i}_{1}1t\cos \mathrm{f}$

である.

参考文献
[1] A. Halanay, “A boundary-value problem for linear systelns with tilne lag”, .
$J$

Diff Eqs., 2(1966), pp. 47-56.
[2] J.

$\mathrm{I}\backslash -$. Hale, “Theory of functional differenfial equations”

Springer-Verlag.,(1976), Chapter 6.

[3] Urabe M., unpublished paper.

[4] Urabe M., “Numerical Solution of Multi-Point Bonndaly Value Problems in
Chebyshev Series Theory of the”$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{f}_{(}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{d}$, Ntzltl.

$\perp \mathrm{h}\text{ノ}I_{\dot{C}}1rl\mathit{1}.$, $9(1967)$ , pp.341-366.

[5] Kurihara M., “An Existence Theorem of a Bollndary Value Problenl for Differ-ential Difference Equation”,$F\lceil_{\vee}^{\tau}Nc‘\tau IO_{\mathit{1}}\backslash 7AL$

DIFFERE.VTIAL EQUATIONS,(1991), pp. 191-195[6] 雨宮廣和,“関数微分方程式の境界値問題の Chebyshev 近似解法 “, 山梨大学計算機科学科修士論文,(1992).