数理解析研究所講究録1080 巻 1999 年 140-148140

正作用素の determinant に関する不等式

大阪教育大学藤井淳–(Jun Ichi Fujii)

まずこの議論は $[5,6]$ のサーベイで、泉野先生及び瀬尾先生との共同研究であることをお断りしておく。

Fuglede-Kadison $[2,3]$ は、$\mathrm{I}\mathrm{I}_{1}$factor において determinant を次のように定義した :$\triangle(A)=\exp \mathrm{T}\mathrm{r}(\log|A|)$.

通常の行列式と同様の性質を持つことが示されているが、 この定式化は 「トレースの正規化・作用素の正定値化」 という点で、 行列の場合の拡張にはなっていない。 特に、 正作用素でない場合はずいぶん違う概念になっているように思われる。 そこで、 ここでは話を正作用素に限って、 別の方向への拡張について考察する。
比較のために Tr を通常の行列のトレースとし、 $A$ を$n$次正定値行列とすれば、 $\sigma(A)=\{t_{1}, \cdots, t_{n}\}$ に対し、れ$\det(A)=\exp \mathrm{T}\mathrm{r}(\log A)=\prod_{i=1}t_{n}$であるが、 上記の determinant では、$\prod t_{n}^{1/n}n$即ち幾何平均であると解釈

む=1できる。 作用素の determinant を考える方向としては、 行列の場合をそのまま拡張して発散しない場合を扱うものと、 上記のように正規化によって、141発散の議論を避けるものとに分けられるが、 ここでは、後者の場合に絞る.
ことにより、 固有値の幾何平均として determinant を捉え直してみたい。
そこで、 単位ベクトル$X$と正可逆作用素 $A$ について determinant を$\triangle_{x}(A)=\exp\langle(\log A)_{X}, X\rangle$と定義しよう (もちろん VeCtOr State でなく、通常の State や同様の議論が可能であるが、後者は$\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}- \mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}$可逆性は、 determinant の意味からしても、$0$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$でもに含まれてしまう)。にならない場合を考えたいので仮定としては自然だろう。
するとすぐに分かることは、 $t>0$ について$\triangle_{x}(tA)=t\triangle_{x}(A)$,$\triangle_{x}(t)=t$.という言わば affine 性である。 さらに、定理 ].

写像$A\vdasharrow\triangle_{x}(A)$は連続で単調:$A\leq B\Rightarrow\triangle_{x}(A)\leq\triangle_{x}(B)$がわかる。 もちろん、 写像$X\mapsto\triangle_{x}(A)$

特に行列の場合を含めて、.

も連続である (ノルム位相)$\sum_{i=}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}1E_{i}=1$となる射影$E_{i}$。

について$\triangle_{x}(_{i=1}\sum^{n}tiE_{i)}=\prod_{i=1}^{\text{れ}}t_{i}\langle E_{i}x,x\rangle$となることがすぐに分かるので、 定理 1 で近似すれば、 この determinantはスペクトルに対する 「 (連続版) 加重幾何平均」 であるといえるだろう。

この視点から見れば、 当然 「調和幾何-算術平均不等式」 は次のようになる :

142
定理 2.
系.

$\langle A^{-1_{X}}, x\rangle^{-1}\leq\triangle_{x}(\mathrm{A})\leq\langle \mathrm{A}x, x\rangle$$||A^{-1}||^{-1}\leq\triangle_{x}(A)\leq r(\mathrm{A})=||A||$.

.

上記の平均は、 さらに power (arithmetic) mean と呼ばれる次の平均によって結ばれている$(-1\leq r\leq 1)$:$M[r](_{X_{1\cdots,n}},X)=( \frac{x_{1^{+\cdots+}n}^{r}x^{r}}{n})^{1/r}$

実際、 $r=-1$ のとき調和平均 $r=1$ のとき算術平均で $r=0$ (厳密には$rarrow \mathrm{O})$のとき幾何平均になり、単調に増加する平均になっている。 こうみ

れば、 当然定理 2 を–般化した次の公式が得られる :

定理

$3$

$M[t]_{X}(A)\equiv\langle A^{t}x, x\rangle 1/\mathrm{f}\downarrow\triangle_{X}(A)^{-}$$(t\downarrow \mathrm{O})$$M[t]_{x}(A)\equiv\langle A^{t}X, X\rangle 1/t\uparrow\triangle_{x}(A)$$(t\uparrow \mathrm{O})$.

方、作用素平均の久保安藤理論 [10] において 「双対」 の概念があった :$Am^{*}B=(A^{-11}mB-)^{-1}$

この概念を、 $M[r^{]_{x}^{*}}(A)=\langle A^{-r_{X}}, x\rangle^{-}1/r$ と準用すれば、$M[r]_{x}^{*}=M[-r]_{x}$であることがわかり、 特に幾何平均の自己双対性より、自己双対性 :$\triangle_{x}(A^{-1})=\triangle_{x}(A)^{-1}$が分かる。 さらに determinant 周辺の不等式を見ていくと、

143$\mathrm{K}\mathrm{y}$Fan 型不等式$\alpha,$$\beta>0^{\cdot},$$\alpha+\beta=\dot{1}$$\triangle_{x}(\alpha.A+\beta B)\geq\triangle_{x}(A)^{\alpha_{\triangle}}x(B^{)^{\beta}}\cdot$が成立するが、 これも幾何-算術平均の不等式の混合型不等式といえる。

Arveson$[2]$

も Fuglede-Kadison のラインで determinant を考察し、 不等式を示しているが、 トレース内部の作用素の可換性を使っているため、伺様のアプローチでは可換性が必要である。 $A,$ $B$ 可換のときは、 $\triangle_{x^{(AB)}}=$$\triangle_{x}(A)\triangle_{x}(B)$となるので、 次の補題がいえる。

Arveson 型補題$\triangle_{x}(A)=\inf\{\langle ABx,x\rangle|\triangle_{x}(B)\geq 1, B\in\{A\}’\}$.

実際、$\triangle_{x^{(AB)}}=\triangle_{x}(A)\triangle x^{(B)}\geq\triangle_{x}(A)$となって、 逆に、$B=\triangle x(_{\dot{A}}4^{)}A-1$ならば $\triangle_{x}(B)=1$ で$\langle ABx,x\rangle=\triangle x(A^{)}\langle AA^{-}1x,x\rangle=\triangle_{x}(A)$となることより、この公式が分かる。便宜上可換子環$\{A\}^{/}$を使ってあるが、この証明で分かるように $tA^{-1}$ を含む集合であれば十分である。 すると、

Arveson 型不等式

$A$, B:可換のとき、$\triangle_{x}(A+B)\geq\triangle_{x}(A)+\triangle x^{(B^{)}}$.

は、 infimum の和の分解による不等式にすぎない。 この不等式自体は可換性を仮定しなくても成り立つ可能性が高いが、 まだ未解決である。

144
最後に determinant と、 算術平均$\langle Ax, x\rangle$の間の評価を考える。 差の評

価と比率の評価であるが、基本的には同じアプローチで、 -連の Jensen やKantorovich の逆向きの不等式と呼ばれている物を示すときに使われている方法である ( $[7,8,11]$ 参照)。

まず、 差を評価するために次の補題を確認

する :

補題.

$f:[m, M]$ 上凹単調増加微分可能ならば、$h(t)\equiv t-f^{-1}(at+b)\leq$$\frac{f.(\mu)}{(M-m)+f(m^{)M}-f(M)m}f(M)-f(m)-\mu$

ただし、実際、 $\exists t_{0}\in[m, M];f(\mu)=at_{0}+b\cdot h$ の凹性より$h’(t0)=1- \frac{a}{f^{/}(f^{-}1(at0+b))}=1-\frac{a}{f^{/}(\mu)}.=0$.となるので、 すぐに分かる。 特に、 $f=\log$ なら、 対数平均

$L$を使って、$\frac{1}{a}=L(M, m)=\frac{M-m}{1_{0_{\epsilon}^{\sigma}},M-10_{\epsilon}\sigma m}$,となることに注意しよう。 すると、

定理 4.

$0<m\leq A\leq M$ ならば$\langle A_{X}, x\rangle-\triangle_{x}(A)\leq L(M, m)(\log L(M, m)+\frac{M\log m-m1\mathrm{o}_{\Leftrightarrow}^{\sigma}M}{M-m}-1)$となることがわかる。 比率についても同様に評価すると、

.

145

$?\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\Xi}R^{\mathrm{g}}-$.

$m\leq A\leq M,$ $a=L(m, M),$$b= \frac{m\log M-M10\sigma m\epsilon)}{11\Gamma 1}$$\frac{--\circ-\cdot-\wedge\nuarrow\sim\vee\circ\cdot\cdot\vee}{10_{\mathrm{t}\supset}^{\sigma}\Lambda/I-10^{\mathrm{g}m}}$のとき$\langle Ax,x\rangle\leq ae^{\frac{b-a}{a}}\triangle x(A)$等号条件 :$x=\alpha e_{m}+\beta e_{M}$$\langle(\mathrm{l}\mathrm{o}^{\mathrm{g}}A)_{Xx^{\rangle}},=\frac{a-b}{a},$.となる。 これは、 $[\log m, \log M]$ 上で$e^{t}\leq at+b\leq ae^{\frac{b-a}{a}}e^{t}$となることを使って、として$S=1\mathrm{o}^{\mathrm{g}}A$$\langle e^{S}x,$$x^{\rangle}\leq\langle(aS+b)x, x\rangle$$=a\langle Sx, x\rangle+b\leq ae^{\frac{b-a}{a}}e^{\langle,x\rangle}Sx$

さらに $e^{t}<at+b$$(t\in(\mathrm{l}\mathrm{o}^{\mathrm{g}}m, \iota \mathrm{o}\mathrm{g}M))$より,$\text{、}$$\langle e^{S}X,X\rangle=\langle(aS+b)x,x\rangle\Leftrightarrow x=\alpha e_{m}+\beta e_{M}$$a\langle Sx,X\rangle+b=ae^{\frac{b-a}{a}}e\langle sx,x\rangle\Leftrightarrow\langle Sx,x\rangle=(a-- b)/a$となることで等号条件もいえる。
ところで、 比率の評価の方であるが、.

$.\mathrm{W}$.

$\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{t}^{[1}2$] が 1960 年に既に算術平均と幾何平均の比を考察しており、 $\kappa=M/m$ について、Specht’s ratio:$S( \kappa)=\frac{(\kappa-1)\kappa)1/(\kappa-1}{e1_{0_{\epsilon}^{\sigma}\hslash}}$,という定数を計算している。 このとき、 $0<m\leq x_{i}\leq M$ となる正数の組について、$A(x_{1}, \ldots, x_{n})\leq S(\kappa)G(x1, \ldots, xn)$

146
(ここで、 $A,$ $G$ は算術平均と幾何平均をそれぞれ表す)となるのであるこの定数はそのままここでの比の評価として採用でき、 しかも実は上記の補題と同じ物なのである :型定理$\mathrm{s}_{\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{C}}\mathrm{h}\mathrm{t}$$mm\leq A\leq M,$ $\kappa=M/m$ .

$\langle Ax, x\rangle\leq\frac{(\kappa-1)_{\hslash}1/(\kappa-1)}{e1_{0_{\mathrm{t}\supset}^{\sigma}}\kappa}\triangle_{x}(A)$

等号条件 :,

で$m,$ $M\in\sigma_{p}(A)$,$x=\sqrt{\frac{\kappa}{\kappa-1}-\frac{1}{10_{\mathrm{o}}^{\sigma}\kappa}}e_{m}+\cdot\sqrt{\frac{1}{10_{\mathrm{b}}^{\sigma}\kappa}-\frac{1}{\kappa-1}}e_{M}$

この Specht の比の–般化は Mond-Pe\v{c}ari\v{c} [10] が得ているが、 彼ら自身は一般化であることはあまり意識していないようである :Mond-Pecaric の定理$st\neq 0,$$S<t$ のとき$\frac{\langle A^{t_{XX}},\rangle 1/t}{\langle A^{S}X’ x\rangle 1/S}\leq(\frac{S}{\kappa^{s}-1})^{1/t}(\frac{\kappa^{t}-1}{t})^{1/S}(\frac{\kappa^{t}-\kappa^{S}}{t-s})^{1/t-1}/S$

実際、 $t=1,$
さて、$S\downarrow \mathrm{O}$$\mathrm{s}_{\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{C}}\mathrm{h}\mathrm{t}$とすれば$\mathrm{s}_{\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{C}}\mathrm{h}\mathrm{t}$.

型定理となり、 実質上一般化である。

型定理にもどるが、 乗を考えることで、 すぐに次の系が$t$得られる :系. すべての実数$t$について$\langle A^{t}x, x\rangle\leq\frac{(\kappa^{t}-1)\kappa^{t/}(\mathrm{K}-t1)}{e1_{0_{\mathrm{b}}^{\circ}}\cdot\kappa^{t}}\triangle_{x}(A^{t})$

.

147

実際 が正なら明らかであるが、 負の場合にも複数回不等号が反転して$t$同じ形の不等式になることが確かめられる。
方、古田による Kantorovich 不等式について考察 $[7,8]$ の中で、一般的.

$-$. :.

な定理から次が導けることが指摘されている :古田定理の系.

$0<\ell\leq B\leq L,$ $\ell>0,$$L>0,$ $t\neq 0$ のとき、.

$\langle e^{tB}x, X\rangle\leq\frac{e^{tLt\ell}-e}{te(L-\ell)}\exp(\frac{t(Le^{t\ell tL}-\ell e)}{e^{tL}-e^{tl}})\exp(t\langle BX, X\rangle)$

実は、 これも本質的には上記の系と同じである。

以上のように結果としては既に分かっていることかもしれないが、 determinant を平均として見詰め直すことによって、 また違った側面が見えてくるのではないだろうか。
なお、 この発表によって古田先生が chaotic order の特徴づけの証明を簡略化できることに気づかれたことを最後に付記しておく ($[4]$参照)

。

参考文献
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148
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