数理解析研究所講究録 1233 巻 2001 年 111-121111
自己交叉類と折り目写像の非存在

近畿大学・理工学部数学物理学科

佐久間

一浩

(Kazuhiro Sakuma)
Dept. of Math. and Phys., Kinki Univ.

本稿は, 大本亨氏と佐伯修氏との共同研究を中心に述べるつもりである. (しかし, 本稿にもし誤りが含まれていれば, それはすべて著者一人の責任である.)\S 0. 序論$M^{n},$ $N^{p}$$C^{\infty}$

をそれぞれ

$n$

次元,

$p$

次元の

$C^{\infty}$

級多様体,

$f$

: $M^{n}arrow N^{p}$ をその間の級写像とする.

次元の関係が $n<p$ で, 特に「与えられた$M^{n}$$N^{p}=\mathrm{R}^{p}$のときに,に対して, 埋め込み写像やはめ込み写像 $f$ :$M^{n}arrow \mathrm{R}^{p}$がいつ存在するか (あるいは存在しないか) ? 」

1930 年代に多様体の定義を Whitney が正確に定式化して以来, 活発に研究されてきた ([1] 参照). これは微分トポロジーに属する問題である.
という問題は,

例えば,として, 実あるいは複素射影空間を
この種の問題で典型的なのが選んで, それらが 「最低何次元のユークリッド空間に埋め込んだり, はめ込んだ$M^{n}$

りできるか ? 」 を考察することであろう.

Chern や Thom の研究に始まり, 1950, 60 年代に流行った 「射影空間の埋め込
み・はめ込み問題」 である. 主な道具立ては, 特性類の理論とその精密化である.
もちろん, 射影空間のみならずグラスマン多様体や旗多様体あるいはレンズ空間に置き換えて, 同様の考察が可能である. 実際, そうしたアプローチによる研究も多く見られる.

[雑感] これらの研究について参考文献を挙げればよいのかもしれないが, 不勉強のため適切な文献を網羅できそうもないので省略する. 岩波数学事典 (第 3 版) の巻末の公式(p. 1370) で, 実及び複素射影空間が何次元のユークリツド空間に埋め込み・はめ込$6\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}$

み可能であるかの次元の表が掲載されている. これを見ると, まだ埋め込み・はめ込みの最低次元が完全に決定されている場合は, それほど多く無いようである. 未解決な場合の研究に, 現在も人知れず取り組んでいるトポロジストはいないのだろうか. 私は, こうした目標が明確で解けたら定理の主張として判りやすい問題は個人的に好みである.

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埋め込みやはめ込みは, 取りあえすは多様体をユークリッド空間に実現させる,という意味で「良い写像」 であるといえる. (「良い写像」の数学的に厳密な定義は与えない. 感覚的あるいは便宜的に解釈してぃただきたい.)
一方, 次元の大小関係を逆にした場合, すなわち $n>p$ のときの類似の問題の考察は, $p=1$ のときのモース関数の存在を除けば, (私にとっては不思議にも) ほ

とんど或されてきていない. っまり,“として 「良い写像」 がいっ存在するか ?

$f$

存在しないならば, 何が障害になるのか ?”という問題の考察である. この問題に対する先行結果が極めて少ないのは, おそらく $n<p$ の場合は典型的に 「良い写像」 である埋め込み・はめ込み写像があるのに較べて, $n\geq p$ の場合の方が 「良い写像」の選ひ方が難しいことに起因してぃるのであろう (と思われる). 実際,を級閉多様体,とすると任意の級写像 $f$ :?ま必す特異点 (写像 $f$ の微分の階数が退化する点)が現れることがただちにわかるが, 一般に現れる特異点のタイプは分類するだけでも複雑極まりない. そこで, 特異点は必ず現れるのだがら, 取りあえず一番簡
単な特異点しか持たない級写像を 「良い写像」 と考えて, その (非) 存在を考察しよう 1, というのが本稿の内容である.
$M^{n}$$C^{\infty}$$C^{\infty}$$N^{p}=\mathrm{R}^{p}$$M^{n}arrow \mathrm{R}^{p}$$C^{\infty}$\S 1. 折り目写像$n\geq p$とする.

$C^{\infty}$級写像 $f$ :$M^{n}arrow \mathrm{R}^{p}$[こ対して,$S(f)=$ { $x\in M^{n}$ ;rank $df_{x}<p$ }

とおいて,

$f$

の特異点集合とよぶ.

する局所座樟,$(y_{1}, \ldots, y_{p})$$x\in S(f)$ に対して,をを中心とを $f(x)$ を中心とする局所座標とする. このとき,$y_{i}\mathrm{o}f=x:(1\leq i\leq p-1),$$(x_{1}, \ldots, x_{n})$$x$$y_{p}\mathrm{o}f=\pm x_{p}^{2}\pm\cdots\pm x_{n}^{2}$という標準型をもっ特異点のことを折り目特具点とよぶ. 写像 が特異点として折り目特異点しかもたないとき, 折り目写像とよぶことにする. 折り目特異
点は, 任意の級写像 :に必ず現れる. ($p=1$ ならば, 折り目写像$f$は,$C^{\infty}$$f$$M^{n}arrow \mathrm{R}^{p}$

は, モース関数に他ならない.

これを 「良い写像」 に選ぶのはそれほど悪いセン

スではなかろう) そこでっぎの問題を考える :

【問題】
するか ?

が与えられたとき, いっ折り目写像 $f$ :あるいは存在しないか ?

$M^{n}$

1 ここで述べている$M^{n}arrow \mathrm{R}^{p}$が存在「埋め込み・はめ込み問題」 の counterpart としての「良い写像の存在問題」を論じるという観点は佐伯氏による.

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行き先の次元$p$が高い場合と同様に, 最低何次元の折り目写像が存在するのかを問うのは意味が無い. 任意の多様体上にはモース関数が存在するからである. したがって, 上の問題は $p\geq 2$ で論じるのが筋である. 簡単な場合で, 球面や球面の直積上には, 行き先の次元 を問わす折り目写像がいつでも存在することがすぐにわかる. また, 問題の $p=2$ の場合は, つぎのように完全に解決している.
$p$【定理 11 (R. Thom, H. Levine)
折り目写像 $f$ :$M^{n}arrow\cdot \mathrm{R}^{2}$$M^{n}$のオイラー標数が偶数ならば, いつでもが存在するが, 奇数ならば存在しない.

定理の主張の前半部分が Levine による (ただし, $n\geq 3$ が必要で $n=2$ の場合はすぐ下で述べる) 結果であり, 後半は Thom はり詳しくは後述するが,の stratffication の strata の配置を特性類で表す特異点集合の Thom 多項式の概念)による. この場合の折り目写像の存在の障害は, オイラー標数の偶 すなわち, 最であることがわかる. したがって, 問高次の Stiefel-Whitney 類
題の考察の対象は, $p\geq 3$ の場合となる. さらに付け加えて言えば, 「埋め込み・は
め込み問題」 の場合行き先の次元を下げるにつれ, 難しさが増すのであった. こ
れとは反対に, $n\geq p$ の場合に良い写像の存在問題を論じる際には, 行き先の次元を高くすればするほど, 難しくなるのである.
さて, 一般次元で最初に折り目写像の存在問題を論じたのは, Y. Eliashberg であっがが stably parallelizable ならば, いつでも折り目写像 $f$ :た. 彼は, 「存在する」 ことを証明した ([2] を参照). しかし, この十分条件 (安定平行性) を満たす多様体のクラスは一般には少ない. また, stably parallelizable ではない多様体
で折り目写像を許容するものはかなりある (詳しくは, [3] を参照). -\acute \supset だけ述べれ上には, 折り目写像 $f$ :ば,上の自明でない
束の全空間, から,が存在する (第 2Stiefel-Whitney 類が消えな$M^{n}$$\Rightarrow-$$w_{n}\in H^{n}(M^{n}; \mathrm{Z}_{2})$$p$$M^{n}arrow \mathrm{R}^{p}$$M^{n}$$S^{2}$$S^{2}\cross S^{2}\simarrow \mathrm{R}^{3}$$S^{2}\cross S^{2}\sim$$S^{2}$$\mathrm{A}\mathrm{a},$(ま stably parallelizable ではな$\mathrm{A}\mathrm{a}$$S^{2}\cross S^{2}\sim$$w_{2}(S^{2}\cross S^{2})\sim\neq 0$).

一方でつぎのような制限もある :をオイラー標数が奇数の【定理 2] (Kikuchi-Saeki[4], Saeki-Sakuma[5])は 1,3, 7 のが存在するならば,
次元閉多様体とする. 折り目写像 $f$ :いずれかでなくてはならない.
$M^{n}$$M^{n}arrow \mathrm{R}^{p}$

$n$

$p$

$p=1$ のときは自明な結果であるが, $p=3,7$ の場合はある意味で特殊なのである.

というのは, ある向き付け不可能な多様体

でオイラー標数が奇数のもの
から $\mathrm{R}^{p}(p=3,7)$ への折り目写像は存在する. しかし, $p=3,7$ で向き付け可能からの折り目写像が存在するかどうかの考察は, 格段に難しくなるな多様体のである. 尚, [5] の証明を見てもらえればわかるように, この制限は直接ホップ$M^{n}$$M^{n}$

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不変量 1 の元の (非) 存在定理 (有名な J. F. Adams による解) に由来する. この結果を見て, 「写像の問題を扱っているのだから, 写像のホモトピー不変量が顔を出すのは当然」 と解釈してもよいし, 「こんなところにも球面のホモトピー群の情報が関係するのか」, と感動してもよい. (私は断然後者であるが... 2) こうしが向き付け可能な場合に折り目写像の (非)て, オイラー標数が奇数の多様体
存在を $p=3,7$ で論じるには, ホップ不変量よりも更に深い “障害” を見いださな
くてはならないことになる.
ところで, (定理 2 が得られるより以前に) その一端を最初に発見したのは, 佐$M^{n}$

伯修氏であった.
のホモロジー群と同型な群をもを複素射影平面【定理 3] (Saeki [6])つ 4 次元閉多様体とする. (したがって, 向き付け可能である.) このとき, 折り目
写像 :は決して存在しない.
$M^{4}$$f$$\mathrm{C}P^{2}$$M^{4}arrow \mathrm{R}^{3}$

この結果はいろいろな意味で重要である. その重要性を強調するために, 多少
横道に逸れるかもしれないが, その背景に少し言及しておこう.
最初に, ジェネリックな写像について説明する. ホイットニー位相で位相空間に属と見なした写像空間, N りの中で稠密な部分集合を $S$ とするとき,$S$$C^{\infty}(M^{n}$

する元 (すなわち写像) をジエネリックな写像 3 という.
さて, $f$ :をジェネリックな写像とする. このとき, 一般に現れる特異点型はつぎの三つである :$M^{4}arrow \mathrm{R}^{3}$

(1)
(2)
(3)

,
$y_{i}\mathrm{o}f=x.\cdot(i=1,2)$ ,$y:\mathrm{o}f=x_{i}(i=1,2)$ ,$y:\mathrm{o}f=x.\cdot(i=1,2)$$y_{3}\mathrm{o}f=x_{3}^{2}\pm x_{4}^{2}$$y_{3}\mathrm{o}f=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}\pm x_{4}^{2}$$y_{3}\mathrm{o}f=x_{3}^{4}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{3}\pm x_{4}^{2}$(1) の型はすでに説明した折り目特異点, (2) の型は尖点 (cusp), (3) の型はツバメの尾 (swallow tail) 特異点とそれぞれよばれる. ヤコビアンの計算から, 簡単に(1) は 2 次元部分多様体, (2) は 1 次元部分多様体, (3) は離散点であることがわかる (詳しくは, [1] 参照.) . 折り目特異点集合を $A_{1}(f)$ , 尖点の集合を A2(f), ツバ
メの尾特異点集合を $A_{3}(f)$ と表すことが多い. このとき,$S(f)=\overline{A_{1}(f)}=A_{1}(f)\cup A_{2}(f)$ $\cup A_{3}(f)$,A2(f) $=A_{2}(f)$ $\cup A_{3}(f)$のが成り立っている. ( は $X$ の位相的閉包を表す.) したがって, それぞれをホモロジー類として実現して, そのポアンカレ双対を取ることにより, あ$\overline{X}$$M^{4}$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2$

2 この定理は,たしか東北大での学会の折り, 学会をサボって青葉城あたりを散策しているときに二人で議論しているときにできた (と記憶している).
3 これよりやや弱い安定写像という概念 ([1] 参照) もある. 安定写像はジェネリックな写像である. 逆は, 必ずしも成り立たない. 特異点集合を中心にして幾何学的考察をする場合は, 安定写像の方が扱いやすい.

115
るコホモロジー類が得られるはずである. これを与えられた特異点型の Thom 多
項式 4 という. その結果は$[S(f)]_{2}^{*}=w_{2}\in H^{2}(M^{4};\mathrm{Z}_{2}),$ $[\overline{A_{1}(f)}]_{2}^{*}=0,$ $[A_{3}(f)]_{2}^{*}=0$であることが知られている. (上付きの$*$はポアンカレ双対をあらわす.)

最初の結果は, Thom により, 残りは上の標準型から容易にわかる. 0 まり, この結果が意味するところは, 向き付け可能な 4 次元閉多様体
上で, (いっでも存在する) ジェリックな写像を考えると, 特異点集合全体は, 一般にのスピン$M^{4}$$M^{4}$

構造の障害になっている 5 のである.
山口大学の安藤良文氏は, 80 年代半ばに “偶 個あるツバメの尾特異点はが向き付け可能ならば対で消去できる” ことを証明した 6. しかし一方で, 定理 3 の主張するところは, そのアナロジーはもはや一般には成り立たないこと, すなわ
ち尖点の Thom 多項式は消えているがの選び方によっては, “尖点は消去不可
能” であることを示している.
このような問い 「ある特異点型の Thom 多項式は消えているとき, その特異点集合は, いつでも消去可能か ? 」 は, 当然本稿の内容とも密接に関連するものである. 実際筋のいい問題で,$M^{4}$$\Re\backslash$$M^{4}$

Arnol’d, Vassiliev, Goryunov and Lyashko, Singularities: Local and Global the, Dynamical System , Encyclopeadia Math. vol. 6, Springer-Verlag, 1993.
$\mathrm{I}\mathrm{V}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{y}$の Chapter 4,\S 5 において (おそら$\text{く}$Vassiliev の記述によるものと推測されるが) ,明確な問題意識のもとで述べられている. しかし, この問いに対する肯定的場合の結果の引用はあるが, 否定的な場合があることにはまったく言及がない. ひょっとすると著者らは, 楽観的にこの問いはいっでも肯定的であろうぐらいに考えていたのかもしれない. その意味でも, 佐伯の定理は最初の否定的解答であると言ってもいいかもしれない.
実は, 佐伯氏の証明では, 私の院生時代にやった (証明の単純な)合同式が本質的に用いられた.
$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4$4 一般に, Thom 多項式の概念は, 次元の大小関係に依らずに適当なジェット横断性を満たす
級写像 $f$ : $M^{n}arrow N^{p}$ t こ対して定義される. ニ e 場合, Stiefel-Whitney 類 $w_{1}.(M^{n})$ と $f^{*}wj(TN^{p})$の多項式で表されるが, 多様体の選ひ方には依らない普遍的なものである. 複素解析的カテゴリー
では, 多項式は Chern 類で表される. Thom 多項式の形を決定することは, 特異点の分類よりも更に格段に難しい. しかし, 最近ハンガリーの若手トポロジスト Rim\’anyi が $n<p$ の場合の Thom 多項式を, 驚いたことに (複素解析的カテゴリーも含めて) ほぼ完全に決定した. Richard Rim\’anyi,
Invent. math. 143 (2001), 499-521 を参照. 彼の方法論では, $n\geq p$ の場合に Thom 多項式を決定することはできない. やはり, $n\geq p$ の場合の考察はもっと難しい.
5 最近の研究では, もっと詳しく, ある種の折り目特異点集合は, 4 次元多様体上の (標準的な)微分構造の障害になっていることがわかってきている. 詳しくは, [1] の第 5 章参照.
$C^{\infty}$$6\mathrm{Y}.\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}$$=\mathrm{n}D$, On the elimination of Morin singularities, J. Math. Soc. Japan 37 (1985),$471\triangleleft 87$

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を【命題 4]
る. 任意のジェネリックな写像$M^{4}$$H,(M^{4};\mathrm{Z})\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$を満たす向き付けられた 4 次元閉多様体とす
に対して,$f\ovalbox{\tt\small REJECT} M^{4}arrow \mathrm{R}^{3}$$\sigma(M^{4})\equiv-S(f)\cdot S(f)$(1.1)$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4)$はが成り立つ. ここでの符号数 (signature) であり, $S(f)\cdot S(f)$ は特異点集合 (余次元 2 の部分多様体) のにおける自己交点数を表す.
$M^{4}$$\sigma(M^{4})$$M^{4}$

ここでは単なる技術的理由から,

1 次元ホモロジー群に関する条件が必要となってしまった.
ところで, 有名な 「ロホリンの定理」 をご存じの 4 次元トポロジーの専門家ならば, 一目上の合同式のマイナスの符号が不自然に感ぜられることであろう. しかし, これは不自然ではないのである. (1.1) 式の自然な見方を得るために, ちょっと細工をしてみよう.
$S(f)\cdot S(f)\equiv-\sigma(M^{4})\equiv 3\sigma(M^{4})(=p_{1}[M^{4}])$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4)$(1.2)と考えればよいのである. ここで, 最後の等式は Hirzebruch の符号数公式で, $p_{1}[M^{4}]$は $M^{4}$ の Pontrjagin 数を表す.

最近大本亨氏のおかげで再ひ驚くべき事実に出会うことができた. 実は命題 4
では, 1 次元ホモロジー群に関する仮定は不要で, しかも (1.2) 式は合同式としてではなく等式$p_{1}[M^{4}]=S(f)\cdot S(f)$(1.3)

として成り立つ (!) というのである. これについては, 次節で述べよう.

\S 2. 自己交叉類次元多様体,:

をその特異点集合 $S(f)$ がの部分多様体になるような ‘適度に良い’ 写像とする. すると $S(f)$ は, (必すしも連結とは限らない) $(p-1)$ 次元の部分多様体であることが容易にわかる. しかも, 一般には向き付け不可能な連結成分をもちえる. 例えば, Mn. をオイラー
標数が奇数 (したがって, 必然的に は偶数である) の多様体で, $f$ を折り目写像とすると, $S(f)$ は必す向き付け不可能な連結成分をもつことが証明できる
ところで, $S(f)$ をの中で自分自身と横断的に交わるようにジエネリックにの $2(p-1)-n=2p-n-2$ 次元の部分多摂動するとその交わりの部分 は,様体で, しかも向き付け可能であるとしてよい. そこで, 部分多様体として実現される の 係数ホモロジー類を $[\tilde{S}]\in H_{2p-n-2}(M^{n};\mathrm{Z})$ で表すことにする. そして, そのポアンカレ双対 $[\tilde{S}]^{*}\in H^{2(n-p+1)}$ (; Z) を $I(S(f))$ で表し, 与えられた
写像 $f$ の特異点集合の自己交叉類 (self-intersection class) とよぶことにする.
$M^{n}$

を向き付けられた$n$$f$$M^{n}arrow \mathrm{R}^{p}$$M^{n}$$S(\cdot f)$$n$$M^{n}$$\tilde{S}$$M^{n}$$\tilde{S}$$\mathrm{Z}$$M^{n}$$C^{\infty}$117
この定義に至る動機付けは, 前節で述べた (12) 式, すなゎち特異点集合の自己交
点数がのポントリャーギン数に深く関わるという結果にある, と思えばゎがりやすい. 実際, 自己交叉類は自己交点数の素直な一般化になってぃる.
$M^{4}$

こうして定義された自己交叉類の評価が以下の議論の目的である.
さて, 得られた結果を述べる前に, 折り目写像の一般化であるモラン写像について述べておく.

: $M^{n}arrow N^{p}$ を次元多様体への級写像とする. ただ
し, $n\geq p$ である. $x\in S(f)$ [こ対して, (を を中心とする局所座標,を $f(x)$ を中心とする局所座標とする. このとき,
$f$

$n$

次元多様体から$C^{\infty}$$p$$x_{n}\rangle$$x_{1},$$\ldots,$$x$$(y_{1}, \ldots, y_{p})$$y_{i}\circ f=x_{i}(1\leq i\leq p-1),$$y_{p} \mathrm{o}f=x_{p}^{l+1}+\sum_{i=1}^{l-1}x_{i}x_{p}^{l-:}\pm x_{p+1}^{2}\pm\cdots\pm x_{n}^{2}$という標準型をもっ特異点のことを A、型のモラン特異点とよぶ. 例えば, $l=1$ な
らば折り目特異点, $l=2$ ならば尖点, $l=3$ ならばツバメの尾特異点である.
級写像 $f$ が特異点としては, モラン特異点しか持たないとき, 写像 $f$ をモラン写像とよぶ ([5] 参照). モラン写像の特異点集合 $S(f)$ は, 部分多様体になるという良い性質がある. $(n,p)=(4,3)$ の場合には, モラン写像は前節で述べたジェネリッ
ク写像である.
$C^{\infty}$【定理 5]
する. ただし,$p\geq 1,$ $k\geq 1)$

$n$

(2 偶

とする.

とする.

‘

$f$

:

$M^{n}arrow \mathrm{R}^{p}$を向き付けられた次元閉多様体とをモラン写像で, $n-p+1=2k(n\geq$$(\mathrm{O}\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}+\mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{i}- \mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{a}[7])^{7}M^{n}$$n$

このとき, 等式$I(S(f))=p_{k}(TM^{n})\in H^{4k}(M^{n};\mathrm{Z})$が modulo 4-torsion で成り立つ. ここで $p_{k}(TM^{n})$ は $M^{n}$ の接束の$k$次ポントリャ–ギン類である.
$n=4,$ $p=3$ とする. 向き付けられた 4 次元多様体では最高次のコホモロジー
群で, torsion を気にする必要が無いので, この定理から前節で述べた (1.2) 式のintegral version が直ちに得られるのである. (その integral formula がら定理 3 は直ちに再証明されることに注意する.)

この公式の強力さを示す更なる例にーっ言及しておこう.
【例】折り目写像 $f$ :7 実際に得られた結果$\mathrm{C}P^{2}\#\mathrm{C}P^{2}arrow \mathrm{R}^{3}$$|\mathrm{h}\yen 7\grave{J}rightarrow$

記述の簡明さを優先した.

は決して存在しない.

\Xi 像 \d ag er りは少し広い写像に対して, 証明できてぃるが, ここでは

118
証明. 折り目写像$f\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{C}P^{2}\#\mathrm{C}P^{2}arrow \mathrm{R}^{3}$が存在したと仮定しよう. 折り目特異点の局所座標で表した標準型の第 3 成分が$y_{3}\mathrm{o}f=x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$のとき, 定値折り目特異点$of=x_{3}^{2}-x_{4}^{2}$のとき, 不定値折り目特異点$y_{3}$とよぶ. それぞれの特異点集合を $S^{+}(f),$ $S^{-}(f)$ と表すことにする ; $S(f)=S^{+}(f)\cup$$S^{-}(f)$

(i)
(ii)

. このとき, Saeki[6] により$S^{+}(f)$$M^{4}$

は向き付け可能閉曲面から成り,

における不定値折り目特異点集合の自己交点数はゼロである,

ことが証明されている.
とすれば, (i) より $S^{+}(f)$ {まいま, 標準基底を
整係数ホモロジー類を代表するとしてよい. それを $[S^{+}(f)]=p\alpha+q\beta(p, q\in \mathrm{Z})$だから, integral formula を使って,とおく.
$\alpha,$$\beta\in H_{2}(\mathrm{C}P^{2}\#\mathrm{C}P^{2}; \mathrm{Z})\cong \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$$\sigma(\mathrm{C}P^{2}\#\mathrm{C}P^{2})=2$$6=p_{1}[\mathrm{C}P^{2}\#\mathrm{C}P^{2}]=S(f)\cdot S(f)=S^{+}(f)\cdot S^{+}(f)+S^{-}(f)\cdot S^{-}(f)$を得るが, (ii) I こより $S^{-}(f)\cdot S^{-}(f)=0$ であるから,$6=[S^{+}(f)]\cdot[S^{+}(f)]=(p\alpha+q\beta)^{2}=p^{2}+q^{2}$

これは明らかに整数解をもたないので矛盾が生じた. したがって, 折り目写像は存在し得ない.
は折り目写像を許容する. すなわち,
ところで, 前節で紹介したようには存在するのである. このことから, 折り目写
折り目写像 $f$ :像の存在を論する際には, 多様体の向きの入れ方は本質的であるということがでとなるが,$S^{2}\cross S^{2}\sim$$\mathrm{C}P^{2}\#\overline{\mathrm{C}P^{2}}arrow \mathrm{R}^{3}$

きる.
がへの折り目写像[注] つい最近佐伯氏は向き付けられた 4 次元閉多様体を許容するための必要十分条件を完全に決定した. 当然上の例もその議論からわかる. 定理 3 や上の例は実は例外的で, ほとんどすべての向き付けられた 4 次元多への折り目写像を許容するようである. しかしこの結果はまだ preprint
様体はもできていないようなので, これ以上詳しく述べることはしない.
$M^{4}$$\mathrm{R}^{3}$$\mathrm{R}^{3}$

さて, 定理 5 からただちにつぎの系が得られる :[系 6] ([7]) $f$ :$x\in H^{2k}(M^{n};\mathrm{Z})$ が存在して,$M^{n}arrow \mathrm{R}^{p}$$n-p+1=2k$ ならば,が折り目写像で,$x\cup x=p_{k}(TM^{n})$ がある

modulo 8-torision で成り立つ.

さらにこの系の応用として, ポントリャーギン類が容易に計算できる, 例えば
4 次元複素射影空間や 2 次元四元数射影空間 (とそれらの連結和からなる) などの

8 次元多様体から$\mathrm{R}^{7}$への折り目写像は存在しな$\mathrm{A}\mathrm{a}$,ということがわかる.

119$M^{8}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{C}P^{4}$あるいは$\mathrm{H}P^{2}$とする. そこで, 折り目写像

すると仮定する. このとき, 生成元であり, 生成元
る. 一方, 系 6 よりある

$5\alpha^{2}\neq 0$$\alpha^{2}\in H^{4}(\mathrm{C}P^{4}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{Z})\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{Z}$$u\in H^{4}(\mathrm{H}P^{2}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{Z})\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{Z}$$x\mathrm{C}H^{2}(\mathrm{H}P^{2};\mathrm{Z})$に対して,$f\ovalbox{\tt\small REJECT} M^{8}arrow \mathrm{R}^{7}$

に対して,

が存在

$p’(\mathrm{C}P^{4})\ovalbox{\tt\small REJECT}$$p_{1}(\mathrm{H}P^{2})\ovalbox{\tt\small REJECT} 2u\neq 0$

であが存在して,$x\cup x=p_{1}(\mathrm{H}P^{2})=2u\neq 0$となるが,これは $H^{2}(\mathrm{H}P^{2}; \mathrm{Z})=0$ である事実に反する. 同じく, 系 6 よりある

$y\in H^{2}(\mathrm{C}P^{4};\mathrm{Z})$が存在して,$y\cup y=p_{1}(\mathrm{C}P^{4})=5\alpha^{2}\neq 0$とすれば, ある整数だから生成元をが存在して, $y=k\alpha$ とおけて, 上の等式より $k^{2}=5$ となり, やはり矛盾である.
となる.

このとき,

$H^{2}(\mathrm{C}P^{4};\mathrm{Z})\cong \mathrm{Z}$$k\in \mathrm{Z}$$\alpha$のコホモロジー環の構造のみによるものであり, これらと同じコホモロジー環をもつ 8 次元閉多様体についても同様の折り目
あるいは写像の非存在が示せる. 更に, 全く類似の議論でについても折り目写像の非存在が示せる. ただし, ここで $k,$ }ま$k+l\geq 1$ を満たす非負整数であり, 上付きのバーは逆の向きをもつ多様体を表す.
についても同様の結果が得られる.
この議論は

あるいは

$\mathrm{C}P^{4}$$\mathrm{H}P^{2}$$M^{8}=\#{}_{k}\mathrm{C}P^{4}\#\iota\overline{\mathrm{C}P^{4}}$$l$$\#{}_{k}\mathrm{H}P^{2}\#\iota\overline{\mathrm{H}P^{2}}$$M^{8}=\mathrm{C}P^{2}\cross \mathrm{C}P^{2}$

ここでの議論と直接関係のあることではないかもしれないが,$\mathrm{C}P^{2}\cross \mathrm{C}P^{2}$

は,8 次元の oriented cobordism group

ちなみに$\Omega^{8}\cong \mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}$$\mathrm{C}P^{4}$との生成元であることに注意する.

\S 3. 定理 5 の証明の概要
本節で, 定理 5 の証明の概要を述べて終わりにしよう.

証明のアイデア [ま, desingularization method を用いること {こある. 証明 [ま, $p=$$n-1$ (つまり, $k=1$ の場合) のみについて述べる. 一般の場合の証明も適切な置き換えをすることによって, おおよそ同じ議論で行われる.
における向き付けられた
任意の $x\in M^{n}$ に対して, ファイバーが接空間
2 次元平面全体から成るグラスマン束を : $Garrow M^{n}$ とし, $G$ 上の tautologicalにより, $G$ 上の準同型束
2-plane bundle を とする. 自明束を考える. このとき, このベクトル束は自然な切断 をもち, 写像$TM_{x}^{n}$$\pi$$\pi^{*}f^{*}T\mathrm{R}^{n-1}=\epsilon^{n-1}$$\gamma$$s$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\gamma, \epsilon^{n-1})$

に関する仮定から,を$\tilde{S}(f)$とおいて,まゼロ切断に横断的としてよい. そこで, preimage $s^{-1}(0)$を包含写像,: $\tilde{S}(f)arrow S(f)$ を射影とする.
:

$s$

$j$

$\tilde{S}(f)\mapsto G$$\tilde{\pi}${ま orientation double cover I こなって ゝる.
$\mathrm{A}$

また,

$\nu$

を埋め込み

$\iota$:$S(f)\mathrm{c}arrow M^{n}$$\iota_{!}$:の法束とする. このとき, Gysin 準同型$H^{*}(S(f);\mathcal{Z})arrow H^{*+2}(M^{n};\mathrm{Z})$$\tilde{\pi}$120が定義できる. ただしここで,は一般に nonorietable になり得るので, 局
所係数 を用いていることに注意せよ. さらに,を法束 の)twisted Euler 類とする.
$S(\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathcal{Z}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\nu$$\in H^{2}(S(\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} Z)$

$\nu$

【定義】
$I(S(f))=$ 句 $(e(\nu))\in H^{4}(M^{n}; \mathrm{Z})$ と定めて, 特異点集合 $S(f)$ の自己交叉類 (selfintersection class) とよぶこと [こする.

\S 2 で述べた幾何学的な定義と一致することが容易にわかる.
さて, 証明の概要に戻ろう. まずは,$j_{*}[\tilde{S}(f)]^{*}=e(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\gamma,\epsilon^{p}))=(e(\gamma))^{p}$が成り立つことがすぐにわかる. そこで、 $S(f)$ 上で定義されたベクトル束を $K=$
とおく. このとき,に注意する. また,
上では,$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}df,$$\tilde{S}(f)$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(K, Q)\cong\nu$$Q=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}df$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(j^{*}\gamma, \epsilon^{p}/{\rm Im} df)\cong\tilde{\pi}^{*}\nu$が成り立つ.

したがって,$e(j^{*}\gamma)=e(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(j^{*}\gamma,\epsilon^{p}/{\rm Im} df))=e(\tilde{\pi}^{*}\nu)$である.

【補題】 $\pi_{!}((e(\gamma))^{n-2})=2$ が成り立つ.
証明は省略する. さて, \pi *TM=\gamma \oplus \gamma$k \leq N=[\frac{n-2}{2}]$ に対して,，畔 解することにしよう. このとき,$\pi^{*}p_{k+1}(TM)-p_{k+1}(\phi^{[perp]})=p_{1}(\phi)p_{k}(\phi^{[perp]})$が modulo 2-torsion で成り立つ.
$j_{!}(e(j^{*}\phi))$が得られるが,さらに,$=$$e(\phi)j_{!}(1)=e(\phi)^{n}=p_{1}(\phi)e(\phi)^{n-2}$$=$$(\pi^{*}p_{1}(TM)-p_{1}(\phi^{[perp]}))e(\phi)^{n-2}$$=$$\pi^{*}p_{1}(TM)e(\phi)^{n-2}-p_{1}(\phi^{[perp]})p_{1}(\phi)e(\phi)^{n-4}$$=$$\pi^{*}p_{1}(TM)e(\phi)^{n-2}-(\pi^{*}p_{2}(TM)-p_{2}(\phi^{[perp]}))e(\phi)^{n-4}$$=$$\pi^{*}p_{1}(TM)e(\phi)^{n-2}-\cdots\pm\pi^{*}p_{N+1}(TM)e(\phi)^{n-2N}$

ここへ adjunction formula$\pi_{!}j_{!}(e(j^{*}\phi))$

このことを利用して.

と上の補題を適用して$=p_{1}(TM)\pi_{!}(e(\phi)^{n-2})-p_{2}(TM)\pi_{!}(e(\phi)^{n-4})+\cdots$$=$$2p_{1}(TM)$

121
となる.

$-\text{方}$,$i_{!}\tilde{\pi}_{!}(e(j^{*}\phi))=i_{!}\tilde{\pi}’.(e(\tilde{\pi}^{*}\nu))=i_{!}((e(\nu)\tilde{\pi}_{!}(1))=i_{!}(2e(\nu))=2i_{!}(e(\nu))$を得る.

さらに, 可環性$i_{!}\tilde{\pi}_{!}$. から$=\pi’.j’$$2i_{!}((e(\nu))=2p_{1}(TM)$を得るので, 証明が終わった.
一般の場合の証明は, 証明の出だしのグラスマン束が $2k$ 次元平面からなるのと,

tautological bundle が $2k$ 平面束になるのに伴$\mathrm{a}$$\mathrm{A}$, 適当な箇所で,2 を $2k$ に置き換えて計算すればよい.

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立出版) ,$\mathrm{J}$$\mathrm{M}$$\mathrm{h}.\mathrm{a}\check{\mathrm{s}}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}$$ir$$\mathrm{R}^{3}$$nt$$m$