数理解析研究所講究録
第 47 巻 1968 年 20-29

等方的相関のある複数の乱れの場の同時スペク トル表現

京大

き

まえが
こ

1 では 27 の乱れの場の同時表現を取扱うが 3(random

場

小倉久直

工

field)

以上の場合も同様である。 以下では乱れの$i7$

を単に乱場と書く ことにする。 物理工学的に興味があるのは. 2種2 種のスカラ , およびベク トルとスカラの場合の 3 っである。 これらを統一して扱のベク トル,

うためにご 1 では一般的に 2 種の$\ellarrow$

トル場を考える。

ベク$\ellarrow$

ベク トルとは,

3 次元回転群の重み\ell の既約表現空間 $D\ell$ に属する $(2 \ell+1)$ 次元ベク トルを意味し, したがって空間回転にさいし既約表現行列によ, $\ell=1$ はベク トルに対応する。 また共変量を–\ell $-$ ベク トル等とる変換をうける o$\ell=O$ はスカラ記す。

トル函数に関する必要な公式は附録に与えた。

$\ell$\S 1$-\ovalbox{\tt\small REJECT}$

は,

一ベク

一様な

$\ell$

次元乱場(hommogeneous) な$\ell i^{\tau}$の$\ell$$\ell jr$の成分をもっ乱場は, スペク トル密度が絶対連続な場合に次元直交彷裡測度による移動平均の形に書く ことができる .

I $i^{(x)=\int}fi$ $(x-x’)$ $dB(x’, \omega)=$

.

$i=1$
$m$

$\beta,$2$\cdots$,$\ell$( $A_{1}\cap$ A2)

$=0$

.

$\Sigma\ell$$\int fai(x-x’)$(1. 1)$dB^{\alpha}(\lambda i’\omega)$$\alpha=1$。直交彷徨測度 $B\#Q$ は, $E<B\alpha(A)>r=O$ ,等の性質をもっ$\alpha\neq\beta,$$\omega$$\circ$( $E<>$ は期待値

は確率パラメタ)$A$$arrow 20-$,$m\emptyset$$E<B(A_{1})B\overline{\alpha}\beta$

は集合 A の測度 ,(A2)$>=\delta\alpha\beta$$\delta\alpha\beta^{=}1$,$\alpha=$$p$

次元移動平均は次のようにスペク トル表現ができる

1 $t^{(x)=\int}e^{2\pi}i$ $(x y)dM_{j}$$E<\overline{M_{i}(S)}Mj(S’, )>\int_{S}$,$(y. \omega)$$i_{=1}$:, $2\ldots.,$(1. 2)$p$(1.3)$S^{r}Fi/^{(\gamma)dy}$$\ell$$\overline{a}$(L4)$Fi_{j}^{(\gamma)F^{\alpha}(\gamma)}$$Fij^{(\gamma)=}\sim\Sigma$$\alpha=1$

こ$\cross$に $Mi^{(S)}$ -っ の$F_{i}^{\alpha_{(y)}}$は$f\alpha_{i^{(x)}}$の$\ell$

次元直交彷径測度 ,$Fij^{(y)}$はスペク

トル密度行列で非負定値エル ミツト,

Fourier 変換である。 相関函数行列 R.$ij$ (蛸$-2\pi i$$(\alpha.

$Ri1^{(x)=fF_{\dot{\iota}}}j^{(\gamma)e}$のスペク トル表現はy)dy$(1. 5)

で与えられ、又逆変換が成立する。

$Fi;^{(y)=fR}ij^{(x)e^{2}}\pi i$$(x . y)dx$(1. 6)\S 2

等方的相関のある 2 っの等方乱場

2 っの$\ell_{1}-$ベク

トル乱場 If $\ell_{1}(x)$ と$l_{2}-$

および $(2 \ell_{1}+1)$ および$(2 \ell_{2} +1)$の中の $(2 p_{1} +1)$$(2 \ell_{2}+1)$$D_{\ell_{2}}$$+$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

ベク

トル乱場 $\Pi\ell_{2}(x)$ はそれぞれ$(2 \ell_{1}+1)$の成分をもっが 1 これらはまた直和空閲 $D_{\ell_{1}}+$次元ベク トルである。 この相関函数は , 直積空間$[D_{\ell_{1}}+D_{\ell_{-}}]\cross\lceil\backslash D_{\ell_{1}}+D_{\ell_{2}}]--\overline{D}_{\Delta}XD_{\ell_{2}}+\overline{D}_{\ell_{2}}\cross D_{\ell_{1}}+\overline{D}_{\ell_{1}}\cross D_{\ell_{2}}+\overline{D}_{\ell_{2}}\cross D_{\ell_{2}}$の中のテンソルである。 I$\ell^{(x)}$t の或分は\rightarrow x のまわりの微小回転に関する$D_{\ell}$の,(2. 1)$(2 \ell+1)$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$のカノニカル基底に関してとることにし , これをカノニカル成分とよぶことにする。 (2. 1) の右辺の各部分空間$D_{\lambda}\cross D_{\mu}$$\lambda\mu$$R_{\dot{m}n}(x)=E<I_{(\lambda)m}$$(\lambda ’ \mu-p_{2})$$(x+x’)$ I$(m=-\lambda , , \lambda , n=-\mu.

, \mu)$

における相関テンソルの成分を$(_{t}\iota\ell)n$$(x’)>$

で定義する。 但し$arrow 21arrow$(2. 2)$\dot{m}$は共変成分をあらわす。 相互相関

テンソルが等方テンソル場 (空間回転に関し不変) であるとき. 2 っの乱場の閉に等方的相関があるとよぶ。 以下では等方的相関のある 2 っの等方乱場を取扱う。 したがってその相関テンソル

は直積空間 (2. 1)$r$における等方テンソル場である。 等方テンソル場の一般形およびその(1.5)

ierll 変換を考察し.

(1.6)に適用すれば次の結果がえられる。

定理 1. (相関テンソルのスペク トル分解) 等方相関のある等方な場の相関テンソルならびにスペク トル密度テンソルは ,な$\overline{\lambda}\cross g\ell-$$\lambda,$(2. 1),$\ell_{2}$の各部分直積空間における等方.

$\lambda\mu$$R^{\lambda\mu}(r)$$(x)=\delta$

$mn$

$mn$

$n$

.

$r=|x|$ ,(2.3)$m=-\lambda\ldots.\lambda$$\lambda\mu$F.

および $\ell_{2}-$ ベク トル乱$p_{1}$テンソル場であって, カノニカル成分であらわせば対角行列の形に書かれる :$\mu=\ell_{1}$R.

$T_{O}^{\backslash }u-$$mr$}

但し $Fn\lambda\mu$ は添字
更に $Rm\lambda\mu_{(r)=}$$t=|y$$F\lambda\mu_{(t)}$$(y)=\delta$$mn$$\lambda\mu$$n$, $n=-\mu$ 1$|$

に関して非負エルミ ツ トであり ,$(-1)\lambda-\mu R\mu-m\lambda_{(r)}$現ができ , また逆変換が成立するの関係がある$\circ$

$\mu$

.

(2.4)

$F\lambda n\lambda(t)\geq 0$.

$Fn\lambda\mu_{(t)}\overline{\mu\lambda}-n\iota$

相関テンソルは次のようにスペク トル表:

く\infty \infty$R_{m}^{\lambda}\mu_{(r)=}4\pi$$j_{mn}^{\overline{\mu\lambda}}(2\pi tr)F_{n}^{\lambda}\mu_{(t)’t}2dt$$\sum^{L}$.

$0$$m=-L$$L$$F^{\lambda\mu_{=}}4\pi$$\Sigma$$n_{(t)}$,$f$$n=-L$$\cdots L$.

$L=min$(2. 5)$[\lambda ’ \mu]$$\infty$$f$$l_{mn}^{\mu\lambda}(2\pi tr)R_{m}^{\lambda\mu}(r)r^{2}dr$

.

(2.6)

$m=-L0$$n=-L$.

$\cdots$

L.

乱場自憂は次のように表現される。 導出は \S 4 でのべる。
定理 2. (乱場のスペク トル分解) 上記の 2 っの乱場の同時スペク トル表現は$R_{(\lambda\}}(r.

\theta.

\varphi)--\sqrt{}\overline{4\pi}\lambda 2$$p_{\Sigma}$$\Sigma^{\infty}$$f_{0}^{\infty}l_{(f)n}S(2\pi tr.

\theta.

\varphi)$$dNt_{\lambda)n}^{f^{J}S}(\iota$$n=arrow\lambda_{r-}^{\prime as--p}$$\lambda=l_{1}$$arrow 22arrow$.

$p_{2}$.

$\omega$

}

$.$

(2.7)

.

$\ell S$で与えられる。 こ 1 に関係をもっ。 ($\triangle$$\eta_{\lambda)n}$

(

は半直線

$\Delta$$T$$0\leqq t<\infty$

上の彷径スペク トル測度であり(2.8)$E<M^{\overline{\ell s_{(\Delta M^{\ell’S’}(\triangle)}}}’>=\delta$$\lambda\mu$$nn’ \delta_{\ell\ell’}\delta_{SS’}4\pi\int$$(u)n’$

相関テンソルは (2. 2)$\underline{\dagger}i_{n}$(2. 7)( $-$を用いて計算できる。 (2. 8) ならびにテンソル型加法定. 8) を用いれば (2. 5) が再現される。

\S 3

2. 3 の等方的相関のある乱れの場

はじめにのべた物理工学的に興味のある 3 っの場合は, 上の結果でえられる。 その時はベク トル$J_{(1)n}^{\ell S}\equiv J_{n}^{l}S$

関のある 2 っのベク トル乱場ある。 この時 ,$(t)t^{2}dt$$\triangle$

(A

理

次の

は $T$ 上の区膚)$E<M_{(\lambda)n}\Delta\ell S_{(}>--0$$(\lambda)n$1$2=\nabla\cross I[1$している。 2 っのスカラ乱場$\overline{w}\circ-arrowarrow i\exists\exists$

和函数 1$(\ell_{1}=p2^{=1})$の形であるが ,$(\ell_{1}=\ell_{2}=O)$る。 こ 1 ではベク トル $=$ スカラ$J_{(0)0}^{\ell S}\equiv J\ell S$$\ell 1$

, $\ell_{2}=01$ を入れればはスカラ調和函数である$0\mathfrak{B}$の例は黒体輻射の場における電場と磁場の場合で$detF\dot{\iota}j^{=0}$であって 6 次元乱場 I1 $+I2$ は退化の例には, 大気中の温度場と密度場の場合等があ$(p_{1^{=}}1 , \ell_{2}=0)$の場合のみをいく らか具体的に書下してお

く。

:

I

$\Sigma^{1}$$fI_{n}^{ps}(2^{\pi}tr \theta.

$\Sigma^{\ell}$$\infty\Sigma$$(r, \theta 1\varphi)--\sqrt 4\pi$–1$l=0S=-\ell$$dM^{\ell S}n(t \omega)$\varphi)$(3. 1)

}
$0$

$t$

1

$(r1\theta’\varphi)=\sqrt 4\pi$$\infty\Sigma$$\Sigma^{\ell}$$\int^{\infty}J(2\pi lStr, \theta.

\varphi)$$dM^{\ell S}(t, \omega)$(3.2)$\ell=0S=-\ell_{0}$$E<\overline{M_{n}pq_{\Delta}}M^{\ell_{n^{l}}’S_{(\triangle}’}’)>=\delta_{nn\prime}\delta_{pp\prime}\delta SS’4\pi f$$\triangle\cap\triangle’|F_{n}(t)|^{2}t^{2}dt$$E<M_{n\alpha^{v\iota^{\ell’}}}^{\overline{\ell S}}S_{(\triangle}’’)>--\delta_{j_{\vee}^{:p\prime\delta}}SS’4\pi f_{\triangle\cap\triangle}$$arrow 23arrow$$|F(t)|^{2}t^{2}d\ell$

(3.3)

(3.4)

$*$

$E<\overline{M_{n}^{\ell S}}(\Delta Mp\prime s’(\triangle’)>=\delta_{no}\delta lp’\delta SS’4r_{\vee}!_{\triangle}$$\triangle$

この時 , 相関テンソルは (3. 9) の形をしており$\infty-$1$(r)=4\pi$$R$$\Sigma$$(\angle\pi tr)$$f_{o}J_{mn}^{1}$’$F^{12}(t)t^{2}dt$(3.5). 各成分は$|F_{n}(t)|^{2}$(3.6)$t^{2}dt$$\cdot$$n=-1$$m$$j_{0}$$R(r)=4\pi f_{0}$$(2\pi tr)$$j_{1}(’\angle\pi\iota r)$(3.7)$|F(t)|^{2}t^{2}dt$(3.8)$F^{12}(t)t^{2}dt$$M(r)=4_{-}\pi f_{o}$(19)[ $Rmn\lambda\mu_{3}=$のように表現される。 相関のあるベク トル $=$ スカラの例としては 、大気中の速度場と温度場などがある。 退化した 4 次元乱場の例には. I $1=\nabla 12$ または $12^{=\nabla}$ I1 がある。 それらのスペク ト

ル密度行列はそれぞれ次の形を有している。

$[ \frac{|F_{-1}|^{2}|F_{0}|^{2}2|-2\pi t|F_{0}|^{2}}{-2\pi t|F_{0}|^{2}||2\pi tF_{0}|^{2},|}I’\backslash$\S 4(3.10)

トル表現の導出スペク

乱場のスペク トル表現 (2. 7)

は $p\cong(2l_{1}+1)$$+$$(2 \ell 2+1)$

次元移動平均より導ぐこ$t$とができる。 紙面の都合上要点のみをのべる。 添字
関するそれを V$p^{\lambda}\mu_{(\gamma)=}$

$mn$

$R$

と記す。 その時 (1. 4)$\Sigma^{\wedge 0}$)(2. 4)$\alpha$

に関する

$P$

次元ベク トル空間を V$\Omega^{\cdot}ml^{\vee}arrow$から$F_{m}^{\lambda\alpha_{(\gamma)F_{n}^{\mu}}\alpha_{(\gamma=}\lambda\mu_{(t)}}$$\delta_{mn}F_{n}$$\alpha=1$$-24arrow$(4.1)

$\lambda\alpha$を満足する $pJ$ の$p$次元ベク トル函数 $\{F_{m}$$\alpha=1\ldots p\}$$(\gamma),$は V $R^{\cross v_{\Omega^{=}}-}-(Dp_{1}+D_{f_{2}})$$\cross$

における等方テンソル場$(D_{\ell_{1}}+Dp_{2})$$\lambda a_{(y)}\equiv G^{/^{\backslash }}\mu_{(y)=\delta}$$F_{m}$$m\alpha$ma$G^{/^{\backslash }.\mu}(t),$$\mu=\ell_{1}$$m$とみなすことにより定まる。 この時の不定性は,.

$\ell_{2}$$\omega$$\alpha=-\mu$.

$\ldots,$(4. 2)$\mu$の保測変換に吸収されるので移動平均の形は変$\overline{\lambda\nu}$

えない。 この時,(4.2)( $\iota C_{n}^{\mu}\nu_{(t)_{1}}\lambda’\mu=1.2$ となる。

$F_{n}\lambda\mu_{(t)=\sum_{1}G_{n}}\nu=,$のFnurier$\angle$変換$p_{2}$.

も亦$f_{m\alpha^{(x)}}^{\lambda\mu}$$\lambda\cross\overline{\mu}$一テンソル場であって,$f.=\lambda\mu_{(x)j\delta_{m\alpha^{f_{m}^{\lambda\mu_{(r)}}}}}$$\lambda’\mu=1$

, 2

又は

$\ell_{1}$,$m\alpha$とお ( $e$ ば$L$$f_{m}^{\lambda\mu_{(r)}}=4\pi i\lambda-\mu$(4.3)$i_{mn}^{\mu\lambda}(2\pi tr)c_{n}^{\lambda\mu_{(t)t^{2}}}dt$$f$$\Sigma$$n=-L$$0$$\dot{\iota}\lambda-\mu$

以下, 因子$\overline{2rr^{t}\infty s\copyright}$

えぱ(2. 7)

は$G\lambda\mu$

とおいて加法定理$F^{\lambda\mu}$$(A$の中に吸収する。 移動平均を求める $\rho=\backslash ’\overline{r^{2}+(r’)-}$

. 8

$)$

を適用し ,$p$

次元彷径測度$(E_{(1)n}^{\ell S}\infty f^{1}\lambda_{+-}E_{(\supseteq)n}^{\ell S}\infty f^{2}\lambda)$$E_{(\mu)n}^{\ell S}\infty f^{\lambda\mu}\equiv(4\tau)^{\frac{3}{2}}$

$(A$

. 7

$)$

$\gamma_{\triangle^{1_{\triangleright)n}}}p_{l}s_{(2r}$.

ベク(2. 3)$\sim$

四による積分を項別に行

t- $r’\theta’\varphi$ )の関係を用いれば (4. 4)

$()$

と記せば

(4.4)

$\lambda=1,2$(4.5).

$c_{n}^{\lambda\mu_{(t)t^{2}d}}t$(4. 5) から(2. 8)の性質をもっことが容/易に示される。

\S 5$B$をうる。 但し , 彷筐スペク トル測度.‘-I 四は, B\sim (二よる積分を 1$M_{(\lambda)n}^{\ell S_{\otimes=}}1$

で与えられ.

とトル乱場(2. 8)

において$\ell_{2}$を考慮しなければ, 単独の 11 $-$ ベク トル乱場のスペク トル

表現が与えられていることになる。 こ$\backslash$では $p_{1}=1$

する。

$arrow 25arrow$のベク

トルの場合の結果のあらましを考察相関テンソ $fs$ のスペク トル表現は ,分は$R_{\dot{m}n^{(x)}}$=\‘o$R_{n}(r)$とおく とき ,$O$

でないカノニカル成$(m=-1 . 0 ’ 1)$$R_{m}(r)=47_{\vee}’$$f$$\Sigma$$n-1$.

$\propto\overline{.1}$$(2\pi tr)$$J_{mn}$$|F_{n}(t)|^{2}t;- dt$$(5_{-}1)$$0$

またスペク トル密度テンソルは,$\Sigma^{1}$$F_{\dot{m}n}(y)=\delta_{mn}|F_{n}(\ell)|^{2}$$f^{\infty}1_{mn}^{1}$$|Fn^{(t)1}z_{=4}\pi$$m=-1$

として(5.2)$Rm^{(r)rz}dr1n=arrow 1,0,1$$(2\pi tr)$$0$で与えられる。 もし縦 , 横および歪の 3 っの相関函数 $R_{\ell^{=}}R_{r}r$ , $Rt^{=R}\theta\theta$

を用$R_{S}=R_{\varphi\theta}$

いれば.’ $R_{\pm}1^{=R}t^{\pm}iR_{S}1Ro^{=R}p$ であって

$R_{\ell}(r\vdash-4\pi f^{\infty}1_{p}’|F_{0}(t)|^{2}t^{2}dt+2\int^{\infty_{j}}\underline{p}r\backslash |F_{1}(t)|^{2}+|F_{-1}(t)|^{2}]$
$0$

$0$

$r$

$[|F_{1}(t)|^{2}+|F_{-1}(t)|^{2}]$$Rt^{(r\Leftarrow 2\int_{0^{\infty}}}\frac{j_{l}}{r}|F_{0}(t)|^{2}tdt+\frac{2\pi}{3}f_{o}^{co}[2j_{0}-j_{2}]$$R_{S}(r$}$=2 \pi\int_{0}jp(2\pi tr)[|F_{-1}(t)|^{2}-|F_{1}(t)|^{2}-|F_{1}(t)|^{2}]$の形に書直される。 こ 1 で球 Besse1 函数$|F_{-1}|^{2}=|F_{1}|^{2}$ っまり $R_{S}=O$

ベク

の場合

$t_{-}^{-}$$j_{\ell}$$t^{2}dt$(5.3)$t^{2}dt$の引数は $2\pi tr$ である。 この表現は特には Yagl $om$ の求めたものと一致する。

トル乱場自身のスペク トル表現は (3. 1)

り, n-ol:六 ir[otational な部分,

$tdt$

(3. 3)$n=-1$.

$1$はで与えられる。

$(A$. 10 の関係によ$)$solenoidal な部分であり , 且っ(8.3)

によってそれらの問の相関は存在しないことがわかる (Obkhov) 。したがって.

(5. 1)

妻たは(5. 3)

における $n=0,$ $\pm 1$.

の項はそれぞれの部分の相関テンソルの表現を与

えている。
(3.1)

$\#$

に

(A. 10) を項別に遍用すれば直ちに$\nabla\cross$

I のスペク トル表現がえられるが. これととの相関テンソルは再び等方テンソルであって $E<\nabla\cross\#$ , If $>=Nl\dot{m}n^{(r)=\delta}mn^{M}n^{(r)}$ とお$-26-$

けば$\Sigma^{1}$$M_{m^{(r)}}=4\pi$$nf_{0^{\infty}}\overline{J_{(2\pi tr)mn}^{1}}$(5.4)$2\pi t\{F_{n}(t)|^{2}t^{2}dt$$n=-1$

あるいは (5. 3)に対応して$Mp^{(r)=}4\backslash F_{1}(t)|^{2}-|F_{-1}(t)|^{2}]$$0$4$\pi^{2}$$t^{2}dt$$r$$\infty$$M_{t}(r)=\overline{3}\int_{0}$(5. 5)$[2 j_{0}-j_{2}][|F_{1}(t)|^{2}-|F_{-1}(t)|^{2}]t^{S}dl$$M_{S}(r)=-4\pi^{2}\int_{0}1_{\ell}(2\pi tr)$$[|F_{1}(t)|^{2}+|F_{-1}(t)|^{2}]$$t^{s}dt$の表現が与えられる。 直ちに明らかなように $Rs^{=0}$ , っまり I の相関テンソルが反転不変の場
合には,$\nabla\cross I$

ベク トル $=$ ベクと I との相関は歪相関しか存在しない。 尚. この$\nabla\cross I$とI の例は \S 3 でふれた

トルの場合の特別な例になっている。

等方ベク トル乱場は, 以下の様に球面上に一護分布するランダム位相
簡単な形に表現できる。 カノニカル成分$(m=-1.0.1)$$\backslash ’,\nearrow$を導入することによりであらわせばI $m(r. \theta_{1}\varphi)=\sum_{n=-1\ell^{\infty}}^{1}\sum_{=0}\sqrt{}\overline{4\pi(2\ell+1})Y^{m}l(\Theta-\psi)\int_{0^{\infty}}j_{mn}^{\ell}(\sigma 1\pi tr)$ $d_{M_{n}}(t.\omega_{(})5.6)$$E<M_{n}(\triangle)M_{n’}\Delta’)>=\delta nn\prime 4\pi\int$(5.7)$|F_{n}(t)|^{2}t^{2}dt$$\triangle\cap\triangle$

’

ノ

こ1

$j$

こ $\copyright-\psi$ は $\Theta=(\theta,$$\varphi$

禾と $\Psi=$$(\alpha.

\beta)$との角度差を表わし, $M_{n}$$(\triangle)$と$\Psi$は統$\circ-==\dagger^{t}$

的に独立である。 全く同様な表現が等方スカラ乱場に対しても成立するが, こ》では省略する。

附録$\ell-$

ベク

トル函数の諸公式

一般球 Bessel 函数 ( $(\ell-m\ell^{l}m|p\ell’LO)$ 等は $CIebsch-Gord\subset!n$係数)$p-\ell’$$j_{m^{\ell^{J}}}^{p_{n^{\{r)=}}}$$\sum$$i^{L-\ell+\ell_{(-}’}1$) $m+n(p-arrow n\ell’m|\ell l’L0)(p_{-n\ell’n}|\ell\ell^{r}LO)J_{L^{(r)}}$$L=|\ell-\ell’|$$-27-$(A. 1)

$\ell l’=(-1)^{\ell\ell’}$$j_{mn}^{\mathcal{L}\ell’}=J_{nm}p\ell’=J_{-m-n}$$\overline{\ell p\prime}$$\ell\ell’$$j_{mn}$(A. 2)$=J_{m-n}$

一般 Hanke1 変換, 逆変換$L$$f_{m}(r)=4\pi$$\infty$$n=-L$

ベク,

L.

$m=-L$ ,(A. 3)$\infty$$f_{m}(tIj_{mn}p\ell’(2\pi tr)r^{2}$$\int$$\Sigma$$m=-L$$\ell-$$t^{2}dt$

$0$

$L$

$F_{n}(t)=4\pi$$F_{n}(t)J_{mn}p\ell’(\angle\pi tr)$$\int$$\Sigma$dr. $n=-L,$(A. 4)$L$$0$

トル球面調和函数 (カノニカル成分,$\tau_{sm}^{\ell}(g)$$p_{(\beta’n}^{\ell}s_{(\theta_{1}\varphi)}=\{\sqrt{\frac{2\ell’+1}{4:\zeta}}\delta_{nm^{T}sm^{(\not\in),m=-l}}p’, \cdot..

は既約表現行列要素)\ell\}$$p’=0.1.21$$=-l’$ $l’$(A. 5)$s$$=-l\cdots l$$n$$l-$ ベク トル立体調和函数$p$$J_{(p\gamma_{n}}^{\ell’}s_{(r.\theta.\varphi)}=$$\Sigma$$l^{l_{r\iota}’}t\ell(r)p_{(}\ell_{\ovalbox{\tt\small REJECT} t}’S_{(\theta},$$\varphi$(A. 6))$\ell=-p$$(. t\pi)^{2}\int_{0}\int_{S_{3}}7T(\phi’(l)n’t’r)?))d\omega r^{2}dr$(A. 7)$= \delta_{n’n’}’\delta_{l’}\ell*\delta_{SS’}\frac{\delta(t’-t^{l})}{(t)2}$テンソル型加法定理 ($\ell_{1}\cross\overline{\ell}_{2}-$テンソノレ)($t’l\}t$$\Sigma^{L}$$j^{\ell z\ell_{1}}(r)ent$

$(r)$

$e$

$\infty\Sigma$($\ell_{1}$:r. まわりのカノニカルベク トノン)$\Sigma^{p}$$t^{(r)}\overline{e(4)t^{(\Gamma)}}--4\pi$I$\underline{;}=-L$$J_{(l_{1}}^{\ell S}$)$n(r_{1} .g_{1})$$J_{(\ell)n^{(r_{2}}}p_{2}s\wp_{2}$$\ell=0\neg\backslash .=_{c^{\Gamma/}}-$(A. 8)$r=r_{1}-r_{2}$ペクトル謡種函数, $r_{1}=(r_{1} ’ P_{1})$$\iota p=\iota$, $r_{2}=(r_{2}.

ff_{2})$.

$n_{-}^{--}=-L\cdots L$.

$g$: ロ ae)($J(1)n\ell s_{(kr,\theta\varphi)}\overline{\simarrow}Jp_{\downarrow}s_{kr}’$.

$\theta$c).

$J_{m\iota}arrow i_{mr\downarrow}\ell 1_{(r_{(}=(r)}\ell(m .

$arrow 28arrow$n=-1 .

0.1)$.

(A. 9))

$\nabla J=kJ_{0}$スカラ調和函数.

$\nabla\cdot l_{n}=arrow\delta_{on}\dot{k}$J.

$\nabla\cross J_{\hslash}=nkJ_{n}$$(\ell=0)$$J_{(0)0}\varphiarrow\ell s_{(kr.\theta.)_{-}^{arrow}}J\ell s_{(kr,\theta,\varphi)}=Yp^{(\theta}S$$Y(\theta pS, \varphi)$(A. 10))$\varphi$)$jp(kr)$(A. 11)は球面上で規格化したスカラ球面調和函数

ノ$arrow 29arrow$