数理解析研究所講究録1080 巻 1999 年 56-66

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Simultaneous Unitarizability and Similarity Problem

木更津高専

1. 序和田州平)(Shuhei Wada

ヒルベルト空間上の有界線形作用素$x$に対し, 可逆な作用素 S が存在して $s_{X}s-1$ がユニタリとなるとき,$x$はユニタリ化可能と言う. ユニタリ化可能作用素は以下のように特徴付けできる [7].
$x$がユニタリ化可能 $\Leftrightarrow\sup\{||X^{n}|| : n\in \mathbb{Z}\}<\infty$ .

上の結果は J.Dixmier [5] によって, 以下のように拡張された.

命題 1.

$\varphi$

を (局所コンパクト) アメナブル群 $G$ の上の連続表現とする.
$)$$\varphi$$\mathcal{H}$が–様有界 (i.e. $\sup_{g\in G}||\varphi(g)||<\infty$

ならば, 可逆な作用素 S が存在して,$S\varphi(\cdot)s^{-1}$はユニタリ表現になる.

ユニタリ化可能な作用素の集合
作用素 $S\in B(\mathcal{H})$ が存在して,$\mathcal{F}\subset B(\mathcal{H})$$S\mathcal{F}S^{-1}$に対し, 可逆なの全要素がユニタリ作57用素になるとき, F は同時ユニタリ化可能と言うことにする.
本稿では, まず上述の結果を用いて同時ユニタリ化可能な作用素の集合を考察する. さらに, この考察で得られた結果を,$\mathrm{C}^{*}$

環の Similarity Problem に応用する.て,2. 同時ユニタリ化可能性単位元を持つ C*環 $A$ に対しのユニタリ元全体をと書く. 次の定理は群の表現$A$$\mathcal{U}(A)$と C*環の表現が性質の良い表現へと” 同時 (ご’ 変形できるための条件を与える.

定理 2.

$\varphi$

を (局所コンパクト) アメナブル群 $G$ の上の–様有界連続表現とする.

有界表現とする.

$\varphi$と$\psi$$\psi$

をユニタル C*環 $A$ の H 上のが次の条件を満たすとする.

$\varphi(g)\psi(\mathcal{U}(A))\varphi(g^{-1})\subset \mathcal{U}(B(\mathcal{H}))$

このとき可逆な作用素 S が存在してに,$S\psi(\cdot)s^{-1}$証明.

$\mathcal{H}$for all $g\in G$ .

$S\varphi(\cdot)s^{-1}$はユニタリ表現は *-表現になる.

ヒルベルト空間$\mathcal{H}$の冗$\xi,$$\eta$にたいし, $G$ 上の連続58

関数$f_{\xi,\eta}$

を以下のように定義する:$f_{\xi,\eta}(g)=(\dot{\varphi}(g^{-}\dot{1})\xi|\varphi(g-1)\eta)$

ここで$(\cdot|.\cdot)$は$\mathcal{H}$,の内積を表す. 関数 $f$ を用いて$\mathcal{H}$

上の新しい内積を以下のように定義する:$<\xi|\eta>=m(f_{\xi,\eta})$,

ただし $m$ は, アメナブル群 $G$ の invariant mean とする. $M=$$\sup_{g\in G}||\varphi(g)||$とすれば仮定から, 全ての$\xi\in \mathcal{H}$$\frac{1}{M^{2}}(\xi|\xi)\leq<\xi|\xi>\leq M^{2}(\xi|\xi)$

に対して

.

上記内積 $<\cdot|\cdot>$ に対して可逆な正作用素 T が存在して, 任
意の$\xi,$$\eta\in \mathcal{H}$に関して$<\xi|\eta>=(\tau\xi|\eta)$,と書ける. 従って $S=T^{1/2}$ とすれば $S\varphi(g)s-1$ はユニタリ表現になる.

任意のユニタリ元 $u\in A$ に対して, $U_{g}=\varphi(g^{-1})\psi(u)\varphi(g)$とすると, 仮定より

$U_{g}$はユニタリ作用素になり,$f_{\psi(}u)\xi,\psi(u)\eta(g)=(\varphi(g-1)\psi(u)\xi|\varphi(g^{-}1)\psi(u)\eta)$$=(U_{g}\varphi(g-1)\xi|U_{g}\varphi(g^{-})1\eta)$$=f_{\xi,\eta}(g)$59が得られる. 故に$S\psi(\mathcal{U}(A))s^{-}1\subset \mathcal{U}(B(\mathcal{H}))$となる. この議論から表現 $S\psi(\cdot)s^{-1}$ の有界性が分かる. 従って,$\psi$

に関する以下の性質を示せば証明は完了する:$S\psi(x^{*})s-1=(S\psi(X)s-1)$

任意の $x\in A$ に対して, スカラー$\alpha$, for all $x\in A$ .とユニタリ元 $u,$

$v$が在って$x=\alpha(u+u^{-1}+iv+iv^{-1})$と書けるから, 以下の等式が成立する:$S\psi(x^{*})s-1=\alpha(S\psi(u^{-})1S^{-}1+S\psi(u)S^{-1}$$-iS\psi(v-1)s^{-}1-is\psi(v)s-1)$$=\alpha(s_{\psi}(u)S^{-1}+S\psi(u-1)s^{-1}$$+iS\psi(v)S^{-1}+iS\psi(v-1)S^{-1})^{*}$$=(s_{\psi(X))^{*}}s^{-}1$.
(証明終り)

60

この定理を用いて, 同時ユニタリ化可能性に関する結果が得られる.

補題 3.

$G_{1},$$G_{2,\ldots n}c$$((G_{1}\lambda G2)\lambda\cdots)\mathrm{x}G_{n}$逆な作用素 S が存在して証明.

が存在して,$G$をアメナブル群,の H 上の連続表現とする.
$S\varphi(\cdot)s^{-1}$の任意の元$g$$g=g_{1}g_{2g_{n}}\ldots$$\varphi$

を群 $G=$

このとき$\ovalbox{\tt\small REJECT}$はユニタリ表現になる.

に対し,$g_{i}\in G_{i}(i=1,2, \cdots, n)$と書ける. この事実から$\sup_{g\in G}||\varphi(g)||\leq\sup_{g1\in G1}||\varphi(g1)||g2\in c\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}2||\varphi(g2)||\cdots\sup_{Ggn\in n}||\varphi(gn)||$,が分かる. アメナブル群の半直積は再びアメナブルになるから,$\varphi$はアメナブル群の–様有界連続表現である. 従って命題 1 より,$\varphi$はユニタリ表現と similar になる.
(証明終り)

上記補題と定理 2 から以下の命題が得られる.

61
命題 4.
用素,$A$$a_{1},$ $a_{2},$$\cdots a_{n}$をユニタリ化可能で互いに–D.J 換な作

を $\{a_{i}, a_{i}^{-1}|i=1,2, \cdots, n\}$ . が生成する$B(\mathcal{H})$の閉部分環とする. 局所コンパクトアメナブル群 $G$ の H 上の–様有界連続表現$\varphi$が条件$\varphi(g)A\varphi(g)^{-1}\subset A$を満たすとき,

for all $g\in G$ ,$\{a_{i}, \varphi(g)|i=1,2, \cdots, n, g\in G\}$

は同時ユニタリ化可能である.

証明.

群$\mathbb{Z}$のアメナブル性と補題 3 から,$\mathcal{H}$な作用素 $S$ が存在して $Sa_{i}S^{-1}$ はユニタリになる.
換ユニタル C*環 $SAS^{-1}$ のユニタリ元$u$上の可逆ここでに対して, 仮定から以下の事実が分かる:$S\varphi(g)S-1Su\varphi(g-1)s^{-1}\in S\varphi(g)A\varphi(g^{-}1)s^{-1}\subset SAS^{-1}$$SAS^{-1}$は可換だから,$S\varphi(g)s-1su\varphi(g^{-1}).S^{-1}$.

は正規作用素で, スペクトルは $u$ のそれと同じである. 従って, 任意の $g\in G$に対し作用素 $S\varphi(g)s-1su\varphi(g^{-1})S^{-1}$ はユニタリ作用素となる.

ここで定理 2 を使えば, 求める結果が得られる.
(証明終り)

62
命題 4 を応用すると以下の具体例に対して, 同時ユニタリ化可能性が保証される.

例 1.

$a,$$b$をユニタリ化可能な作用素,

子 $aba^{-1}b^{-1}$ とする. 作用素$c$が $a,$$b$$c$を積に関する交換双方と可換ならば,$\{a, b\}$は同時ユニタリ化可能である.

例 2.

$a,$

$b$をユニタリ化可能な作用素,$f$: $Sp(a)arrow Sp(a)$を連続関数で以下の条件を満たすとする$bab^{-1}=f(a)$ ,このとき $\{a, b\}$ は同時ユニタリ化可能となる.

3. Similarity Problem for$\mathrm{C}^{*}$

た C*環 $A$ にたいし, 任意の有界表現

ilar となるとき,う.

$\mathrm{J}.\mathrm{W}$$A$-algebras$\varphi$が常に$*$与えられ-表現と sim-に対して similarity problem が解けるとい.Bunce [1] と E.Christensen [2] は, 核型 C*環に対してsimilarity problem が解ける事を示した. ’ また, E.Christensen[3] は, similarity problem が解ける核型でない C*環の例とし

63て property$-\Gamma$を持つ$II_{1}$-factor を挙げた. これらの結果に関連して定理 5 を得た. 証明は定理 2 を使う.

定理 5.
する.

$A$の接合積

証明.

リ表現

$u$

$G$

をアメナブル離散群,$u$$A\mathrm{x}_{\alpha}G$$t$

をユニタル C*環と$\varphi$を,に対しても similarity problem が解ける.

$A\mathrm{x}_{\alpha}G$が存在しての有界表現とする. 群 $G$ のユニタ

$A_{\lambda_{\alpha}}G$

は $\{x, u_{g}|x\in A, g\in G.\}$ で生成$\alpha$: $Garrow Aut(A)$ と表との問には, 以下の関係式が成立する:$u_{g^{Xu_{g}^{-1}}g}=\alpha(x)$$A$:.:.

に対して similarity problem が解けるならば $A$ と $G$された C*環と見なせる. ここで準同型

現$A$1に関する仮定から,可逆な作用素.

$S_{1}\in B(\mathcal{H})$が存在して$x\in Aarrow S_{1}\varphi(X)S1-1\in B(\mathcal{H})$は, *-表現になる.

$\varphi_{1}(\cdot)=s_{1\varphi}(\cdot)s_{1}^{-1}$

とおき,

$J$

を$\varphi_{1}$は $Ax_{\alpha}G$ の閉じた両側イデアルだからの零空間とする.
$J$

$J$

は *-不変である.

64$A_{\lambda_{\alpha}}G$から$(A\lambda_{\alpha}c)/J$

すると,$\tilde{\pi}$を使えば,$(Ax_{\alpha}G)/J$への標準的 -献同型を$*$の任意の元 $\pi(x)$ に対して,は単射になる. さらに,$\tilde{\pi}|_{\pi(A)}l\mathrm{h}\pi(A)$から$\varphi_{1}$$\varphi_{1}(A)$$\pi$とする.

$\tilde{\pi}(\pi(x)):=\varphi_{1}(x)$とが *準同型である事実への $*-$ 同型写像になる.

次に,$\varphi_{1}(u_{g})\mathcal{U}(\varphi 1(A))\varphi 1(u_{\mathit{9}})^{-}1\subset \mathcal{U}(\varphi_{1}(A))$

を示す. まず,$\varphi_{1}(x)$がユニタリ作用素になるような要素

C*環 $A$ から任意に選ぶ. 上で示した通り像だから,$\pi(x)$$\tilde{\pi}|_{\pi(A)}$$x$をは $*-$ 同型写もユニタリである. 従って$\pi(\alpha_{g}(X))=\pi(u_{g}xu_{g}-1)=\pi(u)g\pi(X)\pi(u_{\mathit{9}})^{-}1$

もユニタリで,$\text{さ}$ら$\#_{\sim}^{arrow}\tilde{\pi}(\pi(\alpha_{g}(x)))=\varphi_{1}(\alpha_{g}(x))$

もユニタリである. 故に$\varphi_{1}(u_{g})\varphi_{1}(X)\varphi_{1}(u_{g})-1=\varphi_{1}(u_{g}Xu_{g}-1)=\varphi_{1}(\alpha_{\mathit{9}}(X))$

もユニタリで, 目的の関係式が成立する. ここで定理 2 を使え

ば, 可逆な作用素$S_{2}\in B(\mathcal{H})$が存在して,$x\in Aarrow S_{2}\varphi_{1}(x)S_{2}-1\in B(\mathcal{H})$65は *表現になり,$g\in Garrow S_{2}\varphi 1(u)gS^{-1}2\in B(\mathcal{H})$はユニタリ表現になる.
(証明終り)

参考文献[1]$\mathrm{C}^{*}$$\mathrm{J}.\mathrm{W}$.Bunce, The similarity problem for representations of-algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 81(1981), 409-414.

[2] E.Christensen, On non self adjoint representations of op-erator algebras, Amer. J. Math. 103(1981), 817-834.
[3] E. Christensen, Similarityies of$\Gamma$$II_{1}$

factors with property, J. Operator Theory 15(1986), 281-288.

[4] K. R. Davidson,$\mathrm{C}^{*}$-Algebras by Example, Fields InstituteMonographs 6, Amer. Math. Soc., 1996.
[5] J. Dixmier, Les moyennes invariantes dans les semi-groupes

et leurs applications, Acta Sci. Math. Szeged $12(1.950),$ $213-$$227$.

[6] F. Greenleaf, Invariant means on topological groups, VanNostrand, New York, 1969.

66[7] B.Sz.-Nagy, On uniformly bounded linear transformationsin Hllbert space, Acta. Sci. Math. Szeged 11(1947), 152-157.
[8] G. Pisier, Similarity Problems and$\mathrm{C}_{\mathrm{o}\mathrm{m}}.\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{y}$BoundedMaps, Lecture Notes in Math. 1618, Springer-Verlag, 1996.