ビーム衝突点超伝導電磁石のビームサイズを小さくする役割を持つ電磁石システムである. 呼び方は他にも最終集束磁石システム (Final Focus System), 低ベータ挿入磁石(Low Beta Insertions) 等がある. これは通常, 4 極

1

はじめに
ここでは SuperKEKB に設置された衝突点超電磁石をダブレットもしくはトリプレットに配置したものとなっている.

伝導電磁石について述べる. 超伝導, 超伝導電磁SuperKEKB ではルミノシティを高めるために石の一般論については過去の OHO のテキスト

ナノビームスキームと呼ばれる方法を採用してを参照してして下さい [1–4].

いる. ナノビームスキームでは, 衝突点での交差

SuperKEKB は 7 GeV の電子と 4 GeV の陽電角を大きくすることにより, 砂時計効果の制限

子を正面衝突させる周長 3 km の衝突型加速器

を受けることなくルミノシティを高めることが(コライダー) である. 衝突によって生じる素粒出来る. 衝突点でのビーム交差角を 2φ とする子反応を Belle II と呼ばれる大型素粒子検出器とルミノシティは簡略化のため衝突点におけるを使って調べることを目的としている. 図 1 にビーム間のクーロン力による集束効果 (ビームSuperKEKB の全体図を示す. Linac で加速され· ビーム効果) を無視すると, 以下の式で表わさた電子ビーム, 陽電子ビームは各々 HER(Highれる [5, 6].

Energy Ring), LER(Low Energy Ring) と呼ばれる
メインリングに入射されて, 周回し, ビーム衝突
点 (Interaction Point: IP) にて衝突する. 尚, 各メイ

N+ N− fRL
4πσz sin φ σy∗q
σy∗ = βy∗ εy
L =

(1)
(2)

ンリングではビームエネルギーは変化しない.
ここで, N+ , N− , f はそれぞれ 1 バンチに含まれる陽電子, 電子数, バンチが 1 秒間に衝突する回数である. また, εy , βy∗ , σy∗ , σz はそれぞれ, 鉛直方
向エミッタンス, IP における鉛直方向の β 関数,
ガウシアンビームを仮定した時の IP における鉛直方向のビームサイズ, バンチ長である. ここでは電子・陽電子は同じビームサイズと仮定している. RL は有限交差角による減少等を補正する
幾何学的補正係数である.
この式から β ∗ を小さく絞ることでルミノシ
ティを高めることが出来ることがわかる. この役割を担うのがビーム衝突点電磁石である.
SuperKEKB では低エミッタンス, 低 βy∗ ラティス
設計により σy∗ を KEKB の 1/20 とし、この部分
図 1: SuperKEKB 衝突点 (Interaction point) の位置(図右上)のルミノシティゲインを 20 倍にしている.
SuperKEKB の衝突点に関するメインパラメー
ターを表 1 に示す. ここで上付きの ∗ は IP での値を意味している. εx ,y は x, y 方向のビームエ

ビーム衝突点超伝導電磁石とは, ビーム衝突

ミッタンス, σx∗ ,y は衝突点でのビームサイズ, σz

点領域 (Interaction Region:IR) に設置され，IP ではバンチ長を表わす. 衝突点でのビームサイズ

は水平方向に, 10 µm, 鉛直方向に 50 nm となる.

ファイルを元に戻しビームを周回させるために,
IP 下流側にも IP に対して対称なダブレットが

表 1: SuperKEKB メインパラメーター [7]. ∗ は IP設置される. このため, HER, LER の各リングにでの値を示す. εx ,y は x, y 方向のビームエミッタ

それぞれ 4 台の 4 極電磁石が必要となる. 即ち,ンス, σx∗ ,y は衝突点でのビームサイズ, σz はバンQCS では合計 8 台の 4 極電磁石が用いられる.

チ長を表わす.

QCS の 4 極電磁石は以下のように名前が付けらParameter

LER

HER

れている.

βx∗ [mm]βy∗ [mm]32

25■LER QC1LP, QC2LP, QC1RP, QC2RP

0.27

0.30

■HER QC1LE, QC2LE, QC1RE, QC2RE

εx [nm]3.2

4.6

ここで QC は QCS の QC であり, 数字の 1, 2 はεy [pm]

8.64

11.5

それぞれ鉛直, 水平方向の集束を意味している.

σx∗ [nm]σy∗ [µm]

48

59

数字の次の文字, L/R はリング中心から見て衝突

1011点の左側，右側に設置されるものをそれぞれ L,

σz [mm]6

5

R として区別している. また最後の文字 P/E は電磁石が設置されるリング, Positron ring (LER) ,衝突点電磁石 (QCS) 概略

22.1

QCS 全体構成

Electron ring (HER) を意味している.
2.1.2

超伝導補償ソレノイド

QCS は Belle II 検出器内に設置される. Belle II

SuperKEKB の衝突点電磁石は図 2 に示される内には発生粒子の運動量を分析するため, 超伝

ように, 超伝導四極電磁石, 超伝導補償ソレノイ

導ソレノイドによる 1.5 T の磁場が印加されてド, 超伝導補正/キャンセル電磁石から構成されいる. この磁場はビームにとっては望ましくなる超伝導電磁石の複合体である. 以下では各電い水平方向と鉛直方向の運動が結合する (x − y

磁石の概略について述べる.

カップリング) 現象の要因となる. この磁場を打

2.1.1

超伝導四極電磁石

ち消すため, Belle II ソレノイド磁場とは逆向き

衝突点の β を絞るには高い磁場勾配の 4 極の磁場を発生する超伝導ソレノイド (補償ソレ

電磁石を IP 近傍に設置する必要がある. IP でノイド) が 4 台設置される. ビーム軸に沿って積は Belle II 検出器から空間的な制限を受ける

分された (Belle II ソレノイドと補償ソレノイド(図 2) ので SuperKEKB では衝突点電磁石としを合わせた) ソレノイド磁場が零になるようにて超伝導電磁石が採用された. SuperKEKB では

補償ソレノイドは設計された.

この衝突点電磁石を”QCS” と呼んでいる. これ

2.1.3

超伝導補正/キャンセル電磁石

は SuperKEKB のラティス設計において本電磁各 4 極電磁石には 4 極磁場による誤差成分を石を識別する名称であり, 各アルファベットは補正するための 4 極電磁石 1 台に対し 4∼5 台のQuadupole, Colliding section, Superconducting を意

超伝導補正電磁石が組込まれている.

味している. 以降では QCS と呼ぶ.

また, 衝突点に最も近い 4 極電磁石 (QC1LP,

QCS は 2 台の 4 極電磁石を使って, IP 上で鉛

QC1RP) は陽電子リング (LER) に設置されるが,直, 水平方向にビームを集束する. このような 4

この位置は対向する電子リング (HER) に近接

極電磁石の配置は一般的にダブレットと呼ばれしており, 4 極電磁石が発生する漏れ磁場の電ている. また 3 台で集束する場合はトリプレッ

子ビームへの影響は無視出来ない. 補償ソレノトと呼ばれる. LHC の衝突点電磁石はトリプ

イドによる磁場が 2 Tesla を越えるため, 磁性体

レットを採用している. IP 通過後, ビームプロ

による磁気シールドは使用出来ない. この漏れ

Belle Superconducting Solenoid

BBelleSolenoide

QC2LP

QC2LE

QC1LP

QC1LE

BCS
SolenoideIP

Cancel coil

QC2RE

QC1RE

QC1RP

QC2RP

図 2: 衝突点領域 (IR). 図の左下か右上へ進む矢印が電子ビームライン (HER), 図の右下から左上に進む矢印が陽電子ビームライン (LER) を表わす.

磁場に対し, 逆方向の磁場を発生し, 打ち消すた台の容器に格納されている. QCS-R のヘリウム

めの超伝導キャンセル電磁石が HER に設置さ容器も同様の構成である.

れる.
補正電磁石/キャンセル電磁石の台数は計 43

各ヘリウム容器は室温からの熱侵入を小さくするために, 8 本の支持ロッドで真空容器から支台である.

えられている. また, 補償ソレノイド磁場と Belle

2.2 クライオスタット

II ソレノイドとの間には 52.6 kN/35.7 kN(QCS-

QCS を構成する超伝導電磁石は IP をはさんで 2 台のクライオスタット内に格納される.
クライオスタットは超伝導電磁石を格納し,L/-R) の電磁力が働く. この電磁力に耐えられる
ようにロッドの材料はチタン合金 (Ti-6Al-4V) となっている.

その超伝導状態を保持するための低温容器であ

ヘリウム容器を含む各電磁石の断面図をり, 一番外側は真空容器となっており, その内側

図 5, 6 に示す. 各断面図の最外層がヘリウムにヘリウム容器が格納されている. ヘリウム容容器を表わしている. QC1E, QC2P には磁石本体

器は冷凍機から送られてくる液体ヘリウムで超のヨーク以外にも対向ビームラインに磁気シー

伝導電磁石を浸漬し、超伝導状態に保つものでルドが, QC2LP, QC2RE には鉄製支持構造 (Ironある. 図 3, 4 に QCS-L, QCS-R のヘリウム容器

support frame) が組込まれている. また, IR ではの平面図を示す. QCS-L クライオスタット内にビーム起因による不要な (測定のバックグラウ

はヘリウム容器は 2 台設置されており, そのう

ンドとなる) 放射線が発生し (Radiative BhaBha

ちの 1 台に QC2LE が単独でヘリウム容器に格

散乱 によって発生する γ 線等)，放射線損傷によ納されている. 他の 3 台の四極電磁石はもう 1

り Belle II 内の検出器の寿命が短くなってしま

QC2LP

Permendur

QC1LP

Positron ringElectron ring
Iron

QC1LE

Iron

QC2LE

Helium vessel

Tangsten radiation shield
Compensation solenoid01000 mm

図 3: QCS-L のヘリウム容器内の四極電磁石 (平面図)

QC1RE

Compensation solenoid

Permendur

QC2RE

Helium vessel

Iron
Electron ring

QC1RP

Positron ring
Permendur
Tangsten radiation shield

QC2RP

Compensation solenoidIron01000 mm

図 4: QCS-R のヘリウム容器内の四極電磁石 (平面図)0500  mmIron  support  frame

Compensation  solenoid
Tungsten  radiation  shield
Helium  vessel
Iron  yoke
CollarConductors  forquadrupole  magnet

Permendur  yoke
SUS  support  frame

QC2LE

Liquid  Helium  pipe

QC1LE

QC2LP

QC1LP

図 5: QCS-L 各主四極電磁石中心での断面図
Helium  vessel
Compensation  solenoid
Permendur  yoke

Tungsten  radiation  shield
Iron  support  frame
Iron  yoke

0500  mm

CollarSUS  support  frame
Liquid  helium  pipe

Conductors  ofquadrupole  magnet

QC2RE

QC1RE

QC1RP
QC2RP

図 6: QCS-R 各主四極電磁石中心での断面図

う. この放射線から検出器を保護するため, IP 側が設置されている.

の四極電磁石はタングステン遮蔽ブロックで覆• 各 4 極電磁石には 4∼5 台の補正電磁石が組われている.

み込まれている.

KEKB と SuperKEKB の QCS の違い

2.3• IP に最も近い LER の 4 極電磁石の隣の HERには漏れ磁場キャンセル電磁石が設置され

e-

e+

S-L

ている.

S-R

• Belle II ソレノイド磁場をビーム経路の積分として打ち消するための補償ソレノイドが
QCS-L 22 mrad QCS-R

4 台設置されている.

図 7: KEKB の衝突点電磁石システム

e+

QC2LP

ESR 1

ESL
QC1LP

ESR 2

QC1RE

イオスタットに格納されている.

e-• KEKB の QCS と比較すると, SuperKEKB で

QC2RE

Leak fieldcancel magnet

QC2LE• QCS を構成する超伝導電磁石は 2 台のクラは四極電磁石の台数は 4 倍, 補償ソレノイド

83 mrad

QC1LEの台数は 2 倍となっている.

QC2RP

Leak fieldcancel magnet

QC1RP

3

四極電磁石

ESR 3

加速器において用いられる四極磁石 (図 8: SuperKEKB の衝突点電磁石システム

Quadrupole magnet ) は主にビーム集束 · 発散の
図 7 に示すように KEKB ではビームの交差
角は 22 mrad で、1 台の集束電磁石で電子、陽電子の 2 つのビームを集束させていた. また水役割を持つ. 四極磁石はビーム軸を基準とした
x(水平) 軸/y(鉛直) 軸上に以下の磁場勾配を生成する (付録 B 参照).

平方向の収束には常伝導電磁石を用いていたた

By (x) = Gx

(3)め、超伝導 4 極電磁石の台数は 2 台であった.

Bx (y) = Gy

(4)

また補償ソレノイドの台数も 2 台であった. 一

ここで G を磁場勾配と呼ぶ.

方, SuperKEKB では, ナノビームスキームを採用

常伝導電磁石は鉄芯形状によって磁場勾配をしたことによって衝突点の電子ビームと陽電子形成するのに対し, 超伝導電磁石はビーム軸にビームの交差角は 22 mrad から 83 mrad に拡大

対して垂直な平面で切った断面上の導体の配置された. このため HER と LER のビーム間距離によって磁場勾配を形成する. この時の基本的が大きくなったので 1 台の 4 極電磁石で 2 つのなコイルの配置は 4 つのコイルをビームパイプ

ビームを集束することが出来なくなった. このを取り囲むように円筒形に組み合わせたものとため電子・陽電子ビームに対して独立の 4 極電なる (図 9). この時, 四極電磁石の磁力線は断面磁石が用いられることになり, 4 極電磁石の台数で見ると図 10 のようになる.

は KEKB の 4 倍の 8 台となった (図 8). また補償
ソレノイドの台数も KEKB の 2 倍の 4 台である.
2.4 章のまとめ• SuperKEKB の衝突点電磁石は超伝導電磁石で構成されており, QCS と呼ぶ.
• QCS の 4 極電磁石はダブレットに配置されており, HER, LER 各々に 2 組のダブレット

4

QCS 主四極電磁石
ここから QCS の 4 極電磁石本体の具体的な製作工程を見ながらその構造について述べる.
補正電磁石のスキュー 4 極電磁石と区別するため, 集束の役割を担うものを主四極電磁石と
呼ぶ.

−

−

+

+

+

+
−

−

図 10: 四極電磁石磁力線組立に必要な機器は、KEK 側が支給した. 製作
途中に必要な磁場測定は、工場にハーモニック
コイル測定システムを持ち込んで実施した.
各四極電磁石が完成した後, 単体での性能を確認するため, 縦型クライオスタットを用いて液体ヘリウムに浸漬し，定格励磁試験, 遮断試
験, ハーモニックコイルによる磁場測定を実施
した.
QCS の四極電磁石の定格励磁試験においてはクエンチトレーニング*1 の必要はなかった.
QCS 四極電磁石の主なパラメーターを表 2 に
図 9: 4 極電磁石の簡略モデル. 4 つの鞍型コイ
ルをビーム軸に沿って組み合わせて組立られる.
上: 4 コイル組立前. 下: 4 コイル組立後. 灰色のパイプが加速器のビームが通過する真空パイプ.

示す.
4.1

超伝導線材料

発生磁場が 1 Tesla を越えるような加速器用超伝導電磁石には通常 Rutherford cable と呼ばれる
超伝導ケーブルが用いられることが多い. QCSの主四極電磁石に用いられている超伝導ケーブ

QCS の主四極電磁石の基本的な構造は前節で述べたものと同じである.

ルも Rutherford cable である.
これは 5∼13µm の NbTi のフィラメントをを

実際には必要な導体位置精度, 電磁力に対す

1000∼3000 本入れ複合多芯超伝導線 (ストラン

る機械的強度, 超伝導状態の保持等のために工ド)(外形 ∼1 mm 以下) を 10∼30 本撚り合わせ,

学設計, 加工方法には工夫が施されている.
我々は 8 台ある主四極電磁石の内、QC1P とQC1E についてはまず実機と同じものをプロトタイプ機として KEK において製作し, 性能試験
(磁場測定) を実施した上で実機の製作に入った.
実機の製作はメーカーが行なったが, 製作用の巻線機, カラーリングプレス機等、主な巻線,*1 超伝導電磁石の完成後, 最初に定格励磁する際, 途中でクエンチが発生することがある. クエンチ → 励
磁 → クエンチ . . . を繰り返すことで徐々にクエンチ時の電流値が上昇し, 定格励磁に到達する. このような現象をトレーニングと言う. これは励磁の際に超伝導ケーブルが電磁力により変位することで内部でジュール発熱が生じて, 超伝導状態が破れるためで
ある.

2.5

表 2: 四 極 電 磁 石 の メ イ ン パ ラ メ ー タ ー [8].

0.89

磁場勾配. GL : 磁場勾配の軸方向の線積分. I: 設

1.66°

I.D.(O.D.) : 電磁石導体部の内 ( 外 ) 直径. G :計電流. Rref : 参照半径. Perm. (ヨーク材): パーメ

図 11: QC1E 用 Rutherford cable 断面模式図.

ンジュール.
QC1P

QC1E

QC2P

QC2LE/RE

I.D. [mm]

25.0

33.0

53.8

59.3

O.D. [mm]

35.5

70.0

93.0

115.0

G [T/m]

76.4

91.6

32.0

36.4/40.9

GL [T]

25.5

34.2

13.1

19.5/16.5

Ides. [A]

1800

2000

1000

1250/1350

Rref [mm]

10

15

30

35

ヨーク材

-

Perm.

Perm.

鉄

QC1E
Polyimide tape (25 µm)
with 15 µm epoxy
Polyimide tape (25 µm) withoverlap for insulation

10 cabled composites

それを成型し矩形にしたものである ([1, 3, 4]).

図 12: QCS4 極電磁石に用いられている Ruther-

絶縁はポリイミドテープ等を用いてなされる.

ford cable.

ケーブル断面形状は主に, 長方形と楔形 (キーストン) があるが, QCS に用いられているものは断面が楔形のものである. パラメーターを表 3

超伝導電磁石ケーブルは臨界電流, 磁場, 温度に示す [9]. フィラメント径は 8 µm, フィラメン

を越えると超伝導状態が破れる. 従って励磁電

ト数は 2113 本, ストランド径は 0.492 mm, スト流はケーブルが感じる最大磁場, 温度においてランド数は 10 本, QC1P, QC1E それぞれのキー

臨界電流値以下となるように設計される.

ストン開き角は 2.1◦ , 1.7◦ , ケーブル幅は 2.5 mm

図 13 に QC1P と QC1E コ イ ル の 負 荷 曲 線である. QC1E 用の Rutherford cable の断面模式(ロードライン) と, これに用いられる NbTi 製

図を図 11 に示す. また, QCS に用いられている

Rutherford ケーブルの臨界電流磁場曲線を示す.

Rutherford cable の模式図を図 12 に示す.

横軸, 縦軸はそれぞれケーブルに流れる電流, 磁場強度である. ここでロードラインはケーブル

表 3: QCS に用いられた NbTi 製ラザフォードの最大経験磁場を関数として, その時の電流値

ケーブルのパラメーター [9]をプロットしたものである. 臨界電流磁場曲線
QC1P/1Eは使用される超伝導ケーブルの臨界電流 (Ic ) を
臨界磁場の関数としてプロットしたものである.

フィラメント径8 µm

プロットのうち右上がりの曲線がロードライ

フィラメント数

2113

ンで, 点線及び一点鎖線はそれぞれ QC1E, QC1P

スランド径0.498 mmの Rutherford Cable 上の最大磁場を励磁電流を

スランド数

10

キーストン角2.1◦ / 1.7◦

グラフ中の右下がりの直線のうち、細い実

ケーブル幅

2.5 mm

線 (赤), 太い実線 (青) はそれぞれ, 温度が 4.2 K,

臨界電流 (Ic ) at 5 T, 4.22 K

316/308

4.7 K での QC1 に用いられている NbTi Ruther-関数としてプロットしている.

ford cable の臨界電流磁場曲線である.

QC1P についてはソレノイド磁場中に設置さ10Cable I c (T=4.2 K)

れているので, ソレノイド磁場と自身の発生す

Cable I c (T=4.7K)

8

る磁場を重ね合わせたものである. そのため, 電B max on QC1P
B max on QC1E

流値が零でも磁場は零になっていない.
ドラインが臨界電流曲線を越えると超伝導状

B (T)

6

超伝導線の電流もしくは磁場が増加し, ロー

4態が破れる. この交差点の電流値と実際の運転

I (QC1E)c2

電流値との割合は超伝導状態を保持するためのI (QC1E)
op

I c (QC1P)

I op (QC1P)

マージンを表わす (ロードライン比と呼ばれる).

0ケーブルの経験磁場の計算誤差や多少の入熱

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

I (A)

に対してクエンチが発生しないように, 電磁石

図 13: QC1P と QC1E のラザフォードケーブルのの運転電流 Iop は Ic よりも低い値に設定される.

臨界電流とコイル上の最大磁場, 細い実線 (赤),(超伝導状態から常伝導状態に転移し常伝導領

太い実線 (青) はそれぞれ, 温度が 4.2 K, 4.7 K で域が拡大する現象をクエンチと言う.) QC1P 及の NbTi ケーブルの臨界電流磁場曲線. また実線

び QC1E のロードライン比を表 4 に示す. QC1Eと一点鎖線はそれぞれ, QC1E と QC1P のコイルで約 20% の電流マージンがあるように設計さ上の最大磁場である. QC1E は自身が発生する磁れている. ここで運転電流は衝突エネルギーが場によるもので, QC1P は自身の発生する磁場と12 GeV の時を想定している*2 .

QC1P が設置される位置でのソレノイド磁場を表 4: QCS 四極電磁石のロードライン比 (Iop /Ic ).
Iop は衝突エネルギーが 12 GeV の時の運転電

重ね合わせた時の強度である. Iop は衝突エネル
ギー 12 GeV の時の QCS の運転電流値である.

流値
MagnetIop (12GeV) [A]

Ic [A]

Iop /Ic [%]Multipole である 12 極 (b6 ) 及び 20 極 (b10 ) 成分が

QC1P

1773

2800

64

小さくなるように調整されている (図 14). QC1P

QC1E

1950

2500

78

と QC1E の設計上の多極成分の大きさを表 5 に示す [9]. いずれも 1 unit (四極磁場成分に対して

4.2 導体配置

1 × 10−4 ) 以下と非常に小さな値となっている.

以下では加速器電磁石に特有の表現が出てく

コイルリード端部は 4 回対称が破れ, 3 次元計る. 初めて見る方は付録 A、付録 B を参照して算では 8 極成分が発生しているが, 積分磁場で欲しい.

1 unit 以下になるよう設計されている.

QCS の四極電磁石は純粋な 4 極磁場を発生

4.3

カラー

するため、2 次元断面内で cos 2θ の電流分布を電磁力による導体の動きを抑えるための部品持つように導体が配置される. 楔形の Rutherford

であり, コイルの外周部に組込まれる. カラー

cable は 2 次元断面内で積み重ねて扇形になるよ

でコイルにあらかじめ圧縮応力を加えることにうに巻線した. コイル層数は 2 層でそれぞれ 3 ブ

よって, 導体に働く電磁力により、コイルが変位

ロックの領域に分割されて、4 極磁石の Allowed

することを防ぐ.
カラー材として YUS130S(新日本製鐵社製) が*2 SuperKEKB の通常運転での衝突エネルギーは 11 GeVであるが, 12 GeV での運転も考えられている. QCS
では 12 GeV での運転電流値を定格電流に設定している.

用いられている. これは低温 (4.2 K) での機械的強度, 熱膨張率, 透磁率等の特性が加速器用超伝導カラーに最適化されたステンレス材である.

表 5: 主四極電磁石の設計多極磁場成分

2 次元計算3 次元計算鉄 (S10C) が用いられている.

QC1P

QC1E

b6

0.10

-0.06

先にも述べたように QCS の電磁石は導体の

b10

-0.21

-0.34

配置で 4 極磁場を発生する. このため導体の位

b4

0.24

-0.02

置は精度良く配置される必要がある. 熱収縮,

b6

0.54

-0.04

ローレンツ力によりコイルが変形しないように

b8

0.01

0.05

製作されなければならない. 1 unit の精度を求

b10

-0.21

-0.43

める場合, 電磁石断面内でのコイルの変形量は

磁場参考半径: QC1P 10 mm, QC1E 15 mm
Collar

Wedge
Rutherford
cable

R33

磁場が減衰している位置に設置されているため,
4.5

製作工程

20∼30 µm 以下である必要がある [4].
このような電磁石の製作方法は Fermilab で確立されており, QCS の主四極電磁石もこの方法に基づいて製作された. その工程の概略は以下の通りである.
1. コイル巻線
2. キュアリング

R35.7
R38.

4

図 14: QC1E 導体断面. 赤色で塗りつぶされている部分が Rutherford cable の断面である. 台形がRutherford cable 1 本分を表わしている. 斜線部は

3. カラーリング
4. スプライス処理
5. コレクターの組込み
4.5.1

巻線

ウェッジであり, スペーサーの役割りを果している.

例えば透磁率は SUS316L が 4.2 K で 1.013 に対し, YUS130S は 1.0021 と常温での透磁率となっている [10]. また, 低温収縮によりプリストレ
スが減少しないように, 熱収縮は NbTi よりも大きい.
4.4 ヨーク
主四極電磁石からの対向ビームラインへの漏れ磁場の低減と発生磁場の増強のため、QC1P

図 15: 巻線風景

以外の電磁石にはカラー外周部に磁性体ヨークが組み込まれている.

コイルは 2 層でダブルパンケーキ巻と呼ばれQC1E, QC2P は対向ビームラインとの距離がる方法で巻線される. これは 2 層目と 1 層目の短く, 漏れ磁場を小さくする目的で飽和磁束密層間渡り部から 1 層目を巻き始め, 1 層目が巻度が鉄よりも高い (2 Tesla 以上) パーメンジュー

終わると 2 層目を巻く方法である. ケーブルのルが使用されている. これは鉄とコバルトを 1

リード端部が 1 層目と 2 層目の同じ位置に来対 1 の割合で混ぜた合金である. QC2E は Belle II

るのでリード端部による漏れ磁場の影響が小さ

し, 上部から加圧して加温成形を行なう. 加温することでケーブルの絶縁テープの表面に塗布されたエポキシ接着材を溶かす. この時の温度は約 130◦ C である. 加温中は約 20 MPa でコイル成形型枠を加圧し, コイルを成形する (図 17). コイ
ルエンド部は治具を用いてコイルの軸中心方向に設計寸法分を押し込む.
A

L

100 N 程度とし, 巻線のターン数ごとに張力は緩められて最終的には最初の半分程度の張力となるようにした. 巻線時にコイルの間隔を決める
ガラスエポキシ材 (G10) で作られたスペーサー

View A-A

0.01
0.005
0

QC2LE

QC2RE

QC2LP

QC2RP

QC1LE

QC1RE

-0.015
-0.02

QC1LP

-0.005
-0.01

QC1RP

dt (mm)
QC2LE

QC2RE

QC2LP

QC2RP

QC1LE

-0.1
-0.15

QC1RE

0
-0.05

QC1LP

行なう (図 15). 各層の巻線時のテンションは約

0.15
0.1
0.05

QC1RP

型成形治具 (マンドレル) の上に載せて巻線をdL (mm)にて製作)

く出来る. また鞍型に巻線するためコイルは鞍tA

図 16: QC2LP の G10 製エンドスペーサー (KEK

図 18: キュアリング後のコイル寸法. 左図: コイ
ル長手方向の長さの設計値からのずれ. 右図: コ
イルの厚みの設計値からのずれ. エラーバーは製作されたコイル 4 極分の標準偏差.

(図 16)、ウェッジが設計された位置に挿入される. スペーサー, ウェッジは 25 µm の公差で製作
された.
4.5.2

図 18 にキュアリング後のコイル寸法を示す。
左側のプロットは、各電磁石の 4 極分のコイル

キュアリング

長 L の平均値の、設計値からのずれであり, エラーバーはコイル 4 極の標準偏差である。ここ
で QC1LP/RP、QC1LE/RE、QC2LP/RP、QC2LE、
QC2RE の長さ L の設計値はそれぞれ、384、430、470、593、535 mm である。ずれはほぼ ±0.1 mm
以下に抑えられている。また, 図 18 の右側のプロットはコイルの動径方向の厚み t の 設計
値 (5.425 mm) からのずれであり、許容値 (±0.025mm) 以下であった。L と t の定義は図 18 の上段の図に示す。
キュアリング後の QC1E 用コイルの写真を
図 19 に示す.

図 17: キュアリング

4.5.3

カラーリング

カラーリングではカラーを用いて完成した 4
マンドレルに巻線されたコイルをコイル凸面を下にし, 成形型枠にの凹面に合うように設置個のコイルを円筒状に組み立てる. 図 20 にカラーリング工程を示す.

応力 (プリストレス) を加える. これにより各段のカラーのキー溝が一致するようになるので,本キーをカラー外周に加工されたキー溝にはめ込む. その後, 油圧シリンダーの圧力をゆるめる.
この工程で用いられたカラーリングプレスの写
真を図 21 に示す.
コイルはカラーを押し広げる向きにストレスを持っているが, カラーに嵌め込まれたキーによってカラーは広がらない. この状態でコイルの残留予備応力が 30 MPa となるように設計されている. 図 22 はカラーリング後の QCS-L の
主 4 極電磁石である.
4.5.4

スプライス

組み合わされた 4 つのコイルのリードをリー
ドエンド部ではんだ溶接により, 直列に繋ぎ合わせる. このときクエンチ電圧検出用のリード
線 (電圧タップ) も溶接する.
4.5.5

ヨーキング

QC1P 以外のカラー外周部にヨーク (パーメン
ジュールもしくは鉄) を組込む (図 20-(4)).
図 19: キュアーリング後の QC1E コイル, 下図はリードエンド部の拡大写真.

4.5.6

コレクターの組み込みBrookheaven National Laboratory にて製作されたコレクター/キャンセル電磁石を主 4 極電磁石の内側に挿入する. 主 4 極電磁石と補正/キャン

カラーは厚み 3 mm のリング上の板を半割り

セル電磁石の磁場面の位相角の関係は巻線されにしたもので, 外周側にキー溝が切られている.

た補正/キャンセル電磁石のサポートボビン上のカラーは絶縁シートを含めたコイル外周の半径

キーと主四極電磁石端板のキー溝によって精度に合わせた内半径で製作されている.

良く決められる [11].

最初に, 製作された 4 つのコイルを円筒形のカラーリングマンドレルの周囲に取り付けて円図 23 に組み立てられた QCS4 極電磁石の構造を示す.

筒形に組み立て, カラーを 1 段ごとに分割面の

図 24 は完成後の QC1LE の外観写真を示す.

角度を 90 度変えて積み上げていく. 始めはカ

図 24 において, 写真左側が IP 側となる. IP 側

ラーは最後まではまっていないので, キー溝のには QC1LP からの漏れ磁場を打ち消すための位置が段ごとにずれている (図 20-(1),-(2)). 油圧

キャンセル電磁石が設置されている. 反 IP 側にシリンダーを使ってまずカラーを四方から加圧見えているのは QC1LE 主 4 極電磁石のパーメ

しキー溝よりも 1 mm 細い仮キーを差し込む.

ンジュールヨークである. この内側にキャンセ

仮キー挿入後にカラーリングマンドレルを引きル電磁石と同じボビンに巻線された 4 台の補正

抜く.

電磁石が挿入されている.

この状態から図 20-(3) のようにカラーに 4 方

図 25 は完成後の QC1LP の外観写真である.

向から油圧シリンダーを使って 60 MPa の予備

QC1LP の内側に補正電磁石が 3 台挿入されてい

(1)

(2)

Collars

Key Grooves

Co

il
#1

Collaring
Mandrel

3

il
#

#
il

Co

Co

4

Co

il
#

2

Coils

(3)

(4)

Keys

F
図 20: カラーの組込み方法. (1),(2) リングが 2 分割されたカラーを電磁石の外周部に組み込んでいく.
厚みは 3 mm で 1 つの電磁石あたり 128(QC1P), 143(QC1E) 段積み上げる. 一段ごとに分割部が 90 度
回転するようにする. (3) 油圧シリンダーにより 4 方向からカラーにプリストレスを与える. プリス
トレスを保持するためにカラーキー溝にキーを挿入する. (4) ヨークを組み込む.

る. 写真に見える QC1LP 外側の円筒は 8 極補正
電磁石である.

QC1LE

QC1LP

図 21: カラーリングプレス機

QC2LE

QC2LP

図 22: カラーリング後の QCS-L 主四極電磁石

Key
Permendur yoke

QC1LE

CollarCancel magnet

Polyimide film
Coil

Wedge

図 24: 完成した QC1LE. 図左側が IP 側である.
IP 側にキャンセル電磁石が設置されている.
図 23: QC1LE の内部構造の模式図

4.6 章のまとめ• QCS 主四極電磁石は NbTi 製 Rutherford cableが cos 2θ 巻きされた構造によって四極磁場を生成する.
• 各主四極電磁石の運転電流に対する電流マージンは 20% 以上である.
• 主四極電磁石の多極磁場成分は 3 次元モデルにおいて 1 units 以下で設計されている.
• 電磁力によるケーブルの変位を抑えるた
めカラーによって予備応力を与えた構造となっている.

図 25: 完成した QC1LP. 右上が IP 側, 左下が反IP 側である. 反 IP 側に QC1LP の外側取り付けられているのは補正 8 極電磁石である.

• 対向ビームラインへの漏れ磁場を小さくするため QC1P 以外の電磁石には磁性体ヨークが設置されている.

5

補償ソレノイド
Belle II 検出器内には粒子の運動量分析のために, 1.5 T のソレノイド磁場が生成されている. そQC1RP, QC1RE, QC2RP を覆う位置に設置される. ESR2 と, ESR3 はそれぞれ QC2RE とその対向ビームラインに設置される. ESL と ESR1 のソレノイド軸は Belle II ソレノイド軸と同じ軸上に設置される. 一方, ESR2, ESR3 はそれぞれ
HER, LER の軸に合うように設置される.

こで, 衝突点から ±4 m の距離で積分したソレノ

既に述べたように, HER-LER ビームラインは

イド磁場成分が零となるような補償ソレノイド

IP において 83 mrad の交差角を持ち, IP から離れが QCS に設置される.

るとビームライン間の距離が大きくなる. 従っ

補償ソレノイドは ESL, ESR1, ESR2, ESR3 のて両ビームラインが通過する ESL, ESR1 の内径4 台から構成されている. ESL は QCS-L 側には IP からの距離によって拡大させる必要があ設置される. また ESR1 は QCS-R に設置され,る. また, 軸方向の位置によって磁場強度を変化させなければならない. このためソレノイド
は軸方向に分割された構造となっている. また

6

ソレノイドは自身のローレンツ力によりフープ

超伝導補正電磁石 (コレクター), 超伝導漏れ磁場キャンセル電磁石

力以外に軸方向の圧縮応力が発生するが、分割

ここでは補正電磁石と漏れ磁場キャンセル電

によってこの応力を分散させることが出来る.

磁石について述べる. 補正電磁石は主 4 極電磁ESL, ESR1 のソレノイドの分割数はそれぞれ 12,石もしくは QC1RE/1RP と QC2RE/QC2RP の間

15 である. 図 26 に IR 上での補償ソレノイドとに設置される. 主 4 極電磁石で発生した高次の

QCS のヨークを表示する.

多極成分と 4 極磁場の位置ずれ等を補正し, ビー

HER 軸に沿って IP からの距離を関数とした

ム運転の微調整に用いられる.

ソレノイド磁場分布の計算値を図 27 に示す. 実

これらの電磁石は米国の Brookhaven 国立研

線が QCS ヨーク, 補償ソレノイド, Belle II ソレ

究所 (BNL) との共同研究によって開発された.

ノイドが有る場合の磁場分布, 点線は QCS ヨー

BNL が持つ特殊技術である Direct Winding 法にク, 補償ソレノイドが無い場合 (Belle II ソレノ

よって製作された. これは接着材を表面に塗イドのみ) の磁場分布を表わしている. 横軸の原布した超伝導線を超音波で加熱し, ボビン表面

点は IP である. IP では 1.5 T の磁場が発生してに巻かれた絶縁シートに接着するものであり,いるが, QC1LP 及び RP の位置でそれぞれ ESL,CAD 上のデータに基づいて導体を様々な形状に

ESR1 によって, 磁場を反転させている. QC1LE,

設置することが出来る (図 28).

QC1RE, QC2RP の位置では補償ソレノイドによ補正電磁石, キャンセル電磁石に使用されてり Belle II ソレノイドの磁場は打ち消されてほいる超伝導線の線径は 0.351 mm, Cu/NbTi 比はぼ零になっている. これらの位置での補償ソレ

1.0, NbTi フィラメント径は 5.5 µm, NbTi フィラ

ノイドは主四極電磁石のヨークが飽和しないよ

メント数は 2113, 温度 4.2 K, 磁場強度 4 T にお

うに Belle II ソレノイド磁場をアクティブにシー

ける臨界電流値は 156 A である.

ルドする役割を持っている.

漏れ磁場キャンセル電磁石は LER に設置されソレノイドコイルの超伝導線材は，断面サイる QC1LP と QC1RP が発生する HER への漏れ

ズ 0.932 mm×1.384 mm の NbTi モノリスケーブ

磁場を打ち消すための電磁石で, HER に設置さルである. 補償ソレノイドのパラメーターを表 6

れる (図 29). キャンセル電磁石は B3 , B4 , B5 , B6 成に示す.

分を発生する電磁石 4 台から構成される. HER
軸への漏れ磁場の 6 極成分のプロファイルとキャンセル電磁石を励磁した時のプロファイル

表 6: 補償ソレノイドパラメーターを図 30 に示す.

ESL

ESR1

ESR2, 3

キャンセル電磁石は QC1E の IP 側に設置さコイルブロック数

12

15

1

れる. このため, QC1E とキャンセル電磁石は同運転電流 [A]

390

450

151

じボビンに巻線される. このように製作された

蓄積エネルギー [kJ]

106

244

1.6

キャンセル電磁石と QC1LE 補正電磁石を図 31

インダクタンス [H]

2.5

8.8

0.14

に示す.

コイル内最大磁場 [T]

3.5

3.2

0.48

ロードライン比

0.53

0.51

0.11

コイル総ターン数

4610

6237

1356

7

主 4 極電磁石の磁場性能製作された 4 極電磁石の磁場性能評価はハーモニックコイルを用いて行なった [12, 13]. 磁場
性能評価は縦型クライオスタットを使った 4 極

ESR3

ESR1

QC2LE yoke

ESL

IP

QC2LP yoke

QC2RE yokeESR2

図 26: 補償ソレノイド (赤色) と QCS ヨーク (青色) の IR での位置. 四極電磁石は表示されていない.
軸の単位は cm.

3
Belle II
Belle II + QCS

2HER
B z (T)

1

-1

0

1

2

QC2LE

QC2LP

-2

QC1RE

QC2RP

-2
-4

QC1RP

QC2RE

-3

-1

ESL
QC1LP

ESR1

ESR23

QC1LE

0

3

4

z (m)

図 27: IR のソレノイド磁場分布 (HER 軸上). 実
線: QCS 補償ソレノイド有り, 点線: QCS ヨーク
および QCS 補償ソレノイド無し. ソレノイド磁

図 28: Direct winding 法によるコレクター電磁場のビーム軸方向成分. 磁場プロファイルの下

石の巻線の様子 (於 Brookhaven National Labora-に書かれている水平線は補償ソレノイドの z 方tory).

向の位置, 4 極電磁石の z 方向の位置を示している. (QC1P, QC2P は LER 軸上)測定した. 測定点ごとに電流値を固定してハーモニックコイル (ロングコイル) の波形を測定し電磁石単体での評価 [14] と, IR にインストール

た. Belle II ソレノイド及び QCS の補償ソレノイ

された状態で評価を行なった. ここでは IR でのドは表 7 の電流値に設定した. 図 32 に 2 サイク磁場測定結果について述べる.

ル分の Transfer function の測定値を励磁電流の関数としてプロットした. 上段、下段のプロット

表 7: 磁場測定時のソレノイド励磁電流
Solenoid

Belle II

ESL

ESR1

ESR2,3Current [A]

4096

404

450

151

はそれぞれ QC1P, QC1E の測定結果である. プ
ロット内の矢印は電流変化の方向である. ここで Transfer function は以下の式で定義される.
T=

7.1 磁場の電流依存性

Z z2

G(z)dz/I(5)z1

四極電磁石のヒステリシス, ヨークの磁気的z1 , z2 はハーモニックコイルのビーム軸方向の飽和の 4 極及び多極磁場に対する影響を見るた

IP 側と反 IP 側端部の位置である. G, I はそれぞめに磁場の電流依存性の測定を行った. 使用す

れ 4 極磁場勾配, 励磁電流である.

る電源はユニポーラ電源 [15] であるため 0 A→

QC1P は運転電流 (1625 A) 付近において 0.2%,

定格電流 →0 A というサイクル (2 サイクル) で

QC1E は (運転電流：1577 A)0.04% 程度の up ramp

HER

LER

QC2 については QC2RE を除いて多極磁場成分は 5 units 以下となっている. QC2RE につい
QC1LPては n = 3, 4 において大きな誤差磁場が発生している. ソレノイド電流をすべて切った時のQC2RE の多極磁場成分を下段右端に示した. ソ
レノイドを切るとこの誤差磁場が 2 units のレベ
ルまで減少していることがわかる.
7.3

軸方向プロファイル

ビーム軸方向に沿って測定した磁場プロファ
Cancel magnet

イルを図 34 に示す. 図 34-a),b),c),d) はそれぞれ,
次数 n =2, 3, 4, 6 各成分のビーム軸 (HER) に沿っ

図 29: 漏れ磁場キャンセル電磁石と QC1LP

たプロファイルである. 十字, 丸及び一点鎖線はそれぞれ, 測定値のスキュー成分, ノーマル成分,
そして計算値のノーマル成分である. 計算はソ(電流を変化させる時に低い電流値から高い電レノイド磁場なし, QC1LE ヨーク有りの 3D モ流値に設置) と down ramp (高い電流値から低い

デルの計算値 (OPERA3D/TOSCA) である.

電流値に設定) に違いが見られた. QC1E は外側

4 極成分のプロファイルは測定値と計算値はにヨークが取り付けられているので電流値が良く合っている. 磁石端部において 6 極, 8 極,

1600 A を越えるとヨークの磁気飽和の影響が見

12 極成分の誤差磁場 (いずれも 10 units 程度) がられるが, 問題のない大きさである. ヒステリシ

発生している. ビームへの影響はビーム光学シスの原因は超伝導電磁石特有の Persistent Eddy

ミュレーションによって調べる必要がある.

Current によるものである.

7.4

磁場性能評価のまとめ

多極磁場成分は QC2RE を除き数ユニット以

実際の運転ではヒステリシスの影響を考慮して, up ramp の電流で磁場設定を行なっている.

下であり, 良好な結果が得られた. QC2RE に発

7.2 誤差多極磁場成分

生した大きな誤差磁場は軸方向のスキャンの結測定された各電磁石の多極磁場成分を図 33

果から鉄ヨークの入口出口の形状に起因するもに示す. 各プロットの横軸は多極磁場成分の次のと考えられる [13]. ここで発生しているノー数, 縦軸は多極磁場の大きさである. 対応する電

マルの 6 極成分は補正電磁石で対応可能である.

磁石, 測定電流値, 参照半径は各プロット内に表

QC1LE の軸方向プロファイルはエンド部で 6 極示されている. 上段のプロットが QCS-L, 下段が成分が発生していたが, 全体として設計値から

QCS-R クライオスタットに格納されている四極の大きなずれは見られなかった.

電磁石である.
QC1 電磁石について n ≤ 10 の多極磁場成分は

8

おわりに

(QC1LP を除き) 1 unit 以下となっている. QC1LP

SuperKEKB の QCS の超伝導電磁石についてについては n = 3 のみが 1 unit を少し越える程度紹介した. 時間の都合により, クライオスタット

でその他の成分は 1 unit 以下となっている. このの設計, 室温側から低温側へ電磁石に電流を供給

n = 3 の誤差磁場は補正電磁石によって十分補するための電流リード, クエンチ検出器, Single

正可能な大きさである. ビーム光学から要請さStretched Wire 法による QCS4 極電磁石の位置測れる誤差磁場の大きさは QC1 については 1 unit

定, ソレノイド磁場の測定等については割愛し以下であり, この要請は満たされている.

た. また, 励磁用電源については本セミナーの大Cancel B3 off

Cancel B3 on

200

200
Normal

100
50
0
− 50
− 100
− 150
− 200
60

Normal150

Skew

B3, A3 (Gauss)

B3, A3 (Gauss)

150

Skew

100
50
0
− 50
− 100
− 150

70

80

90

100

110

120

− 200
60

70

z (cm)

80

90

100

110

120

z (cm)

図 30: B3 キャンセル電磁石による漏れ磁場のキャンセル (計算値). 横軸は IP からの距離. 左図: HER
軸上の QC1P による漏れ磁場の 6 極成分のプロファイル. 右図: B3 キャンセルコイルを励磁した時のプロファイル.

木氏によるテキストが参考になると思う.
QCS の実機の製作は 2013 年 6 月に開始され,
QC1LE corrector

Cancel magnet

2016 年の 2 月に QCS が完成し, IR に設置された(図 35). IR での磁場測定を経て, 2017 年 5 月に

図 31: キャンセル電磁石と QC1LE 補正電磁石

Belle II が衝突点にインストールされて, QCS がTransfer function (T ⋅ kA-1)

Belle II にインストールされた (図 36).
製作時に発生したトラブルとしてにクライ
QC1LP
14.5

QC1RP

14.45

タットを組立後の耐電圧試験時に発生したもの

14.4

である. 放電が発生した場所はクライオスタッ

14.35

ト内であったので, クライオスタットを分解し14.3て修理を行なった. この作業に 2 ヶ月を要した.

0

200

400

600

800

1000 1200 1400 1600 1800 2000

I (A)Transfer function (T ⋅ kA-1)

オスタット内の放電がある. これはクライオス

17.2

ことによるものであった. また, IR インストー
QC1LE

17.15

原因は組立時に補償ソレノイドの絶縁が破れた

QC1RE

ル後の耐電圧試験でも電流リード部で絶縁不良17.1が発生した. 1 週間程の遅れとなった. 放電トラ

17.05

ブルは放電箇所によっては時間のロスとなるの17で, 絶縁処理は注意深くなされなければならな

16.95

い. また, QCS の建設では大事な工程の区切りで

16.9
0は絶縁・耐電圧試験を実施しており, その過程で
200

400

600

800

1000 1200 1400 1600 1800 2000

I (A)

今回発見されたもので, 実際の運転で問題が発

図 32: 測定された 4 極磁場成分の Transfer func-

生するのを防ぐためにはこのようなチェックは

tion. 上図: QC1LP (実線) and QC1RP ( 破線 ). 下

重要である.

図: QC1LE (実線) and QC1RE ( 破線 ).

本テキスト作成時点 (2019 年 7 月) で QCS
は Phase-2(2018/3∼7) と Phase-3(2019/3∼7) の運転期間を経験した. QCS 電磁石システムとして

図 33: 測定された主四極電磁石の高次磁場成分. 一番右下のプロットを除き, Belle II と補償ソレノイ
ドは励磁されている. 塗りつぶしは skew 成分, 白抜きは normal 成分である.

A 6, B6 (units)

A 4, B4 (units)

A 3, B3 (units)

A 2, B2 (units)

qc1le
0

a)
A n meas-5000

B n meas
B n calc-10000
10

b)

0
-10
10

c)

0
-10
10

d)

z (mm)

0

図 35: Belle II (写真右上) のインストール前に IR

-10
1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

z (mm)に設置された QCS-L(写真右) と QCS-R(写真左).

図 34: ビーム軸に沿った QC1LE 主四極電磁石のプロファイル. 十字と丸印はそれぞれ測定されたスキューとノーマル成分である. 一点鎖線は計算で得られたノーマル成分である. a) 4 極成分, b) 6 極成分, c) 8 極成分, d) 12 極成分

は大きな問題はなく順調に運転された. QCS の役割は βy∗ を小さくすることであるが, Phase-3
までに 2 mm まで順調に絞ることが出来た.
そのような状況で, ビームによるクエンチが予想以上に多発した. クエンチ事象の回数は

図 36: Belle II のインストール後に IR に設置された QCS-L と QCS-R.

Phase-2, Phase-3 の各々の期間に 27 回, 6 回であった. これに伴い、Belle II による Fast abort の導入、リング内に設置されているコリメーターの調整を実施することにより, 頻度は初期に比べて半分以下に減らすことが出来たが, 完全に防ぐことは出来ていない. ビームが QCS 電磁石付近でロスし, そこで発生した粒子が超伝導電磁石の導体にエネルギーを落とすことによって,クエンチすると考えられているが, 詳細な原因については不明である. 今後はこのクエンチの原因を突き止めて改良していく必要がある.

とすると W (~z) は z の解析関数となる. この量は付録 A 磁場の表現方法

加速器では使いにくいので, 磁束密度で表わす.

ここでは磁場がどのように表現されているのかを示す. 加速器に用いられる磁石はビーム軸垂直な平面上の 2 次元磁場分布が与えられ, そdW (~z) = −

∂A
∂φ
+i
∂x
∂x



∂A
∂φ
+i
∂x
∂x



れを満たすように 2 次元で設計される. 実際は
必ずしもビーム軸と電磁石の中心軸は一致して=−いない (設計上のビーム軸にオフセットがあったり斜めに通過したりする) が, ここではビーム標系を図のように原点を通過してビーム軸に水る. また y 軸は原点を通る鉛直方向の直線とし
x,y 平面に平行な磁場を H(x, y) と定義する. ス

∂φ
∂x
∂φ
Hy (x, y) = − .
∂yHx (x, y) = −


dy

(14)


∂φ
∂A
dx + − −
+i
dy
∂x
∂x
(15)
(16)
(17)

即ち

て定義する.
カラーポテンシャルを φ (x, y) と置くと

∂A
∂φ
+i
∂y
∂y



∂A
∂φ
= −
−i
d~z
∂x
∂x
= (By (x, y) + iBx (x, y))d~z軸と電磁石の軸は一致すると考える. ここで座平面内で垂直に交わる直線として x 軸を定義す
dx −dW (~z)= By (x, y) + iBx (x, y)
d~z

(18)

~B(~z) ≡ By (x, y) + iBx (x, y).

(19)

であり,
(6)
(7)

とすると, ~B(x, y) は W の z に対する導関数であるから, これも ~z の解析関数となる. ちなみに,またベクトルポテンシャルを A(x, y) とすると (2z = x + iy の類推から Bx + iBy としたいかもしれ次元の場合ベクトルポテンシャルは x − y 平面

ないが, これは解析関数にはならない.
ここで, ~B(~z) が解析関数であることが示されに垂直な成分のみとなる),

たので, これを以下のように展開することが出∂A
Bx = µ Hx =∂y∂A
By = µ Hy = − .
∂x

(8)
(9)

(20)

(11)

場合は 2 極磁場, 例えば n = 2 の場合は 4 極磁場を表わしている. また Rref は定数であり, 参照半径と呼ばれている.r = Rref~z = r exp(iθ ) とすると,

(12)

∞



Bx (r, θ ) = ∑ C(n)
n=1

r
Rref

n−1

r
Rref

n−1

sin [(n − 1)θ − nαn )](21)とすると式 (10), (11) はコーシー · リーマンの方∞

程式となり, また,By (r, θ ) = ∑ C(n)n=1

W (~z) = −(A + iφ ) + const

n−1

ここで 2n は磁極の数となる. 例えば n = 1 の(10)と書ける. 複素座標系での位置座標を~z = x + iy



∞

~z
B(z) = ∑ [C(n) exp(−inαn ))]
Rref
n=1

ここで µ = 1 とすると,

∂A ∂φ
=
∂x
∂y
∂A
∂φ
=−
∂y
∂x

来る.

(13)



cos [(n − 1)θ − nαn )](22)と書ける.

となる. 従って 4 極磁場というのはメディアン

上式の展開係数を実数と虚数の項に分ける.
C(n) exp(−inαn ) = Bn + iAn(23)

Bn をノーマル項, An をスキュー項と呼ぶ. Bn

プレーン上では, 電磁石中心からの距離に比例して強くなる磁場である.G のことを磁場勾配と呼ぶ. また, y 軸上 (θ = π /2rad, r = y) では

は y = 0 で鉛直成分のみとなる. An は水平成分

Bx (y) = Gy

(34)

のみとなる. スキュー項があると, x 方向と y 方

By (y) = 0(35)

向の運動の結合が発生するので, 通常ゼロとなとなる. Bn , An は式を見るとわかるように, r =るように設計される. この式を式 (21), (22) に代入すると以下の式が得られる.

∞ 
r n−1
Bx (r, θ ) = ∑n=1 RrefRre f における磁束密度の大きさであるので, 単
位は SI 単位系では T(テスラ), cgs 単位系では
Gauss となる.
実際の電磁石では工作誤差や, コイル端部の[Bn sin(n − 1)θ + An cos(n + 1)θ ]

∞ 
r n−1
By (r, θ ) = ∑n=1 Rref(24)[Bn cos(n + 1)θ − An sin(n − 1)θ ](25)

巻線非対称性等から, メインの磁場成分以外の成分が発生する. 2n 極の誤差磁場成分にはメインの磁場成分で規格化した以下のような量が用いられる.

Br , Bθ で表わすと,∞ 

Br (r, θ ) = ∑

n=1

r
Rref

n−1

r
Rref

n−1

An
× 104
C(m)
Bn
bn =
× 104
C(m)
q
C(m) = A2m + B2man =[Bn sin(nθ ) + An cos(nθ )]
(26)

∞ 

Bθ (r, θ ) = ∑

n=1

(36)
(37)
(38)

[Bn cos(nθ ) − An sin(nθ )]an , bn の単位は”units” と呼ばれる無次元量であ(27)

る. 104 のファクターがかかっているのは, 通となる. ここでピュアな 4 極磁石 (Bn = An =0, n 6= 2) の発生する磁場は以下となる.
r
Br (r, θ ) =[B2 sin(2θ ) + A2 cos(2θ )] (28)
Rref


r
Bθ (r, θ ) =[B2 cos(2θ ) − A2 sin(2θ )] (29)Rref
x 軸 (メディアンプレーン) 上 (θ = 0, r = x)
では,x
Bx (x) =A2
Rrefx
By (x) =B2
Rref

常, 加速器用の超伝導電磁石では誤差多極磁場成分の許容範囲はメイン磁極成分に対し 10−4のオーダーであるからである. また大文字と小文字は使い分けられていることに注意が必要で
ある.
A.1

章のまとめ

• 2 次元近似では z = x + iy の解析関数が By +iBz であり, z で級数展開することが出来る.
• 級数展開の係数の実数部をノーマル, 虚数部

(30)
(31)

A2 = 0, G = B2 /Rref とすると,をスキューと呼ぶ.
• 4 極磁場は電磁石中心からの距離に比例して強くなる磁場である.
• 誤差磁場を表わすのに”units” というメイン
磁場強度で規格化された値が用いられる.

Bx (x) = 0(32)

By (x) = Gx

(33)

付録 B

4 極磁場の発生

先にも述べた様に加速器用の 4 極電磁石は純粋な 4 極成分のみの磁場を発生することが求められる. その他の多極磁場成分は誤差磁場となり, 加速器の性能を悪化させる.
超伝導電磁石では基本的にはコイル形状のみで磁場を発生するので, 最適なコイル形状がどのようなものかここで紹介する.
B.1

楕円導体による 4 極磁場の発生

ここで, 理想的な 4 極電磁石の電流分布を求めてみる [16].
y

+J
zin

-J

b
-J

x

+J
a
図 37: 純粋なノーマル 4 極磁場の発生
電流密度が J で断面が楕円の導体を流れる電流による磁場は [17] によると,µ0 J[bx − iay]
a+b
"
#
µ0 J
2ab
p
Bout (~z) =.
2 ~z + ~z2 − (a2 − b2 ))Bin (~z) =

(39)
(40)

ここで a, b はそれぞれ x,y 軸に沿った楕円半径である (図 37). この楕円を軸回りに 90 度回転し, 電流の向きを反転させたものを重ね合わせると,

µ0 J
µ0 J
[bx − iay] −[ax − iby]
a+b
a+b
µ0 J
=
[−(a − b)x − i(a − b)y]a+b
µ0 J(a − b)=(x + iy)a+bµ0 J(a − b)
=
~zin
a+b

Bin (~zin ) =となり, 1 次のみの関数で表わされるので, 純粋な 4 極磁場である. ここで磁場勾配は

 

∂ By
∂ By
µ0 J(a − b)
G=
=
=
∂x
∂x
a+b

(41)
(42)
(43)
(44)

(45)

となる. これを見ると電流密度 J を一定にして, アパーチャー (b = const) を確保しつつ磁場勾配を上げるためには a を大きくすれば良い. ただし, これにより総電流量は増える.

B.2

フィラメント電流による磁場

次にフィラメント電流 (断面が十分細い導体を流れる電流) を考えてみる. フィラメント電流が円柱座標系で半径 a の位置にあるとすると, r < a での磁場について考える. 複素磁場は以下のようになる.

µ0 I 1
B~in (~z) =2π ~z −~a

h
r
i−1
µ0 I
=−
1−
exp(i(θ − φ ))2π a exp(iφ )
a

(46)
(47)

ここで,
~z = r exp(iθ )(48)~a = a exp(iφ ).

(49)である. 数学公式∞(1 − x) = ∑ xn−1

(50)

n=1

を用いて,
 ∞  µ0 I
r n−1
exp(i(n − 1)(θ − φ ))∑ a
2π a exp(iφ ) n=1

 ∞

 

µ0 I
Rref n−1 ~z n−1=−∑ exp(−inφ ) a
2π a n=1
Rref~B(~z) = −

ここで, 参照半径 (Rref ) を導入した. 式 (20) より,µ0 I
Rref n−1
C(n) =
2π aaπαn = φ +nαn = φ

(51)
(52)

(53)
(I > 0の場合)(54)(I > 0の場合)(55)となる. 式 (23) より, ノーマルとスキュー成分は以下のように書ける.

µ0 I Rref n−1
Bn = −
cos(nφ )2π aaµ0 I Rref n−1
An =sin(nφ ).
2π a
a

(56)
(57)

これが複素平面上の点 a exp(iφ ) にある線電流 I が参照半径上に生成する多極磁場成分である.
B.3

磁性体の影響ここでは内部が空芯となっている円筒状の強磁性体の内部に線電流がある場合について考える.
鏡像法を用いると鏡像電流は
a0 = R2yoke /aµr − 10I =Iµr + 1
φ0 = φ

(58)
(59)
(60)

と表わせる. フィラメント実電流と鏡像電流を合わせた磁場の振幅と位相は式 (23) より"# µ  I  R n−1 I 0  R n−1
0
ref
ref
C(n) exp(−inαn ) = −+ 0
exp(−inφ )
2π
a
a
a
a0


 "


2n #
µ0 I
Rref n−1µr − 1a=−1+exp(−inφ )2π aaµr + 1
Ryoke

(61)
(62)

となる. µr  1 と考えると, (a/Ryoke )2n の割合で磁場は強くなる.
QCS の QC1E と呼ばれる 4 極電磁石はパーメンジュールと呼ばれる磁性体がヨークとして外周部に組み込まれている. ここで a = 36 mm, Ryoke = 47 mm であるので, 磁性体による 4 極成分 (n = 2) 磁場の振幅の増加分はヨークなしの場合を 1 とすると (a/Ryoke )4 = 0.35 となる.
純粋な 2m 極磁場の発生

B.4

2m 極の磁場を発生するにはどのような電流分布が必要なのかここで見てみる. 前節で考えたフィ
ラメント電流が方位角方向 (r = a の円周上) に分布しているとする. ここでは電流が方位角方向に分布を持っていると考える. この時の生成される多極磁場成分は式 (62) より,
Z 2π
0

"


2n # Z 2π
 µ   R n−1
µr − 1a0ref
C(n) exp(−inαn )d φ = −1+
I(φ ) exp(−inφ )d φ (63)2π aaµr + 1
Ryoke
0となる. 上式右辺の積分はI(φ ) = I0 cos(mφ )(64)とすると, 三角関数の直交性より cos(mφ ) の項のみがゼロではない. この場合,
µ0 I0
C(m) exp(−imαm ) = −2aC(n) = 0(n 6= m)



Rref
a

Rref
a

m−1 "

2m #µr − 1a1+µr + 1
Ryoke

(65)
(66)

となる.
即ち式 (23) より

Bm = −

µ0 I0
2a

Bn =0

(n 6= m)m−1 "

2m #µr − 1a1+µr + 1
Ryoke

(67)
(68)

An =0

(69)

となる. n = m のスキュー成分のみ発生させたい場合は I(φ ) = I0 sin(mφ ) とすれば良い. 理想的な 4 極
磁場を得るための, 電流分布は I(φ ) = I0 cos(2φ ) となるので,
µ0 I0B2 = −
2a




Rref
U2
a

が得られる. このような電流分布を cos 2θ (コサイン 2 シータ) 分布と呼んでいる.

(70)

y

Ryoke

μr

r2
J

r1

θ2

θ1

x

図 38: 扇形導体断面図

B.5

導体断面が扇形の場合

超伝導線は臨界電流密度, 機械的性質等から加速器電磁石に用いられる断面形状にはそれ程自由度はない. QCS の 4 極電磁石に用いられている導体の断面は台形であり, 断面が近似的に扇形になるよ
うに巻線されている. ここでは断面形状が扇形の場合について調べる. 図 38 に断面図を示す. 式 (62)において a = r, I = Jrdrd φ とすると,

 "


2n #
Z θ2 Z r 2 µ0 J
Rref n−1µr − 1r
C(n) exp(−inαn ) = −1+
exp(−inφ )rdrd φ
(71)
2π r
r
µr + 1
Ryoke
θ1 r1


µ0 J
=−
2π
(Z Z 
)n−1Z θ Z r  
2nθ2 r 2 R22µr − 1
Rref n−1rrefexp(−inφ )drd φ +exp(−inφ )drd φrµ r + 1 θ1 r 1r
Ryokeθ1 r 1(72)
ここでまず上式の積分中を第 1 項目と第 2 項を分けて計算する.
n 6= 2 の場合
θ2
1
Rn−1
(r22−n − r12−n )exp(−inφ )d φ
ref
2−n
θ1
"


 #
Rref
r2 2−nr1 2−n i=−[exp(−inθ2 ) − exp(−inθ1 )]
2−n
Rref
Rref
n

Z

(1st term) =

(73)
(74)

n = 2 の場合

(1st term) = Rref ln (r2 /r1 )Z θ2

exp(−inφ )d φ

(75)

θ1

i
= Rref ln (r2 /r1 ) [exp(−inθ2 ) − exp(−inθ1 )]n(76)

次に第 2 項を計算する.
 Z θ2
1 Rn−1
n+2
n+2
ref
r
−
r
exp(−inφ )d φ2
2
n + 2 R2n
θ1
yoke



 "


 #
µr − 1 Rref
Rref 2nr2 n+2
r1 n+2 i=−[exp(−inθ2 ) − exp(−inθ1 )]µr + 1 n + 2 Ryoke
Rref
Rref
n


(2nd term) =µr − 1µr + 1



(77)
(78)

ここで, 第 1 項と 2 項をまとめると,
n 6= 2 の時,µ0 JRrefC(n) exp(−inαn ) = −
2π n

(

1
2−n

"

1
2−n

"

1
2−n

"

r2
Rref

2−n

r2
Rref

2−n

r2
Rref

2−n

r1
−
Rref

2−n #

r1Rref

2−n #

r1−
Rref

2−n #)+ Sn i [exp(−inθ2 ) − exp(−inθ1 )](79)µ0 JRref2π n

(µ0 JRrefAn = −
2π n(Bn = −
−)+ Sn [sin(nθ2 ) − sin(nθ1 )](80))+ Sn [cos(−inθ2 ) − cos(−inθ1 )]
(81)

ここで

Sn =

µr − 1µr + 1



1
n+2



Rref
Ryoke

2n "

r2
Rref

n+2



r1
−
Rref

n+2 #(82)とした.
n = 2 の時,
µ0 JRref[ln (r2 /r1 ) + S2 ] i [exp(−2iθ2 ) − exp(−2iθ1 )]4π
µ0 JRrefB2 = −[ln (r2 /r1 ) + S2 ] [sin(2θ2 ) − sin(2θ1 )]4π
µ0 JRrefA2 = −[ln (r2 /r1 ) + S2 ] [cos(2θ2 ) − cos(2θ1 )]4π

C(n) exp(−inα2 ) = −

B.6

(83)
(84)
(85)

4 極電磁石の場合

4 極電磁石の場合, θ = π /4 の軸に対し対称な位置にリターン導体が置かれる. また, 2 つ目のコイ
ルは y 軸に対して対称, これら 2 つのコイルはメディアンプレーンに対し対称な位置に 3 つ目と 4 つ目のコイルが設置される (図 39)．
これらの 8 つの扇形の電流ブロックを足し合わせると,
n 6= 2 の場合,


µ0 JRrefBn = −πn
An = 0

(

1
2−n

"

r2
Rref

2−n



r1
−
Rref

2−n #

)"
+ Sn

4
k−1

∑ (−1)
k=1#n(k − 1)cos
π [sin(nθ2 ) − sin(nθ1 )]
2
(86)
(87)

y

θ2
Ryoke

μr

-J

-J
θ1

r2
+J

+J

r1

θ2

θ1

x
+J

+J

-J

-J

図 39: 4 極扇形導体断面図

n = 2 の場合,

B2 = −

4µ0 JRrefπ[ln (r2 /r1 ) + S2 ] [sin(2θ2 ) − sin(2θ1 )]A2 = 0(88)(89)となる. 式の導出は読者にまかせる. また n = 2(2k + 1), k ∈ Z 以外は zero となる. この時の n をAllowed Multipole と呼ばれている. コイルが完全に対称に作られている場合, Allowed Multipole のみが発生する. 従ってコイル設計では 4 極以外の Allowed Multipole を小さくするように設計される. 4
極電磁石の Allowed multipole は 12 極 (n = 6),20 極 (n = 10),28 極 (n = 14),.. である. ここで，コイル形状で θ1 = 0 とする. 12 極成分をゼロにするには θ2 = π /6 となるようにする.
さらに高次の磁場を消去するためには扇形ブロックの数を増やす. これにより自由度が増えより高次の項を小さくすることが出来る.

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