数理解析研究所講究録
第 47 巻 1968 年 6-10

Random Field の確率論的定義

\S 1.

準備

Differentiable manifold

1.

space.

Hausdorf$v_{p}$

$U$卓爾

小野山

津田塾大

次元 $m$$-$ (l)Locally$M^{m}$. (2) C\infty structure. 即ち$v_{a\in M^{r\iota\iota}}$compact.

$U(a$ } は $a$の近傍。

(のに対して $U(a)$ の 2 点を分離する $m$ 個の実数値連続函数の組( $u_{1}(p)a\ldots$が存在する (局所座標).

$u_{m}^{a}(p)$}$U(a)$$w_{P}$。

$U$(b) に対し $Ut^{a)},$ $U(b)$ での局所座標をそれぞれとすると$*u_{m}^{a}(P\})$$u_{i}(p\mapsto F_{i}b(u^{a_{1}}(P^{)}\cdot$

但し $F_{i}$ は2.

$c_{f}^{\infty}$$C^{\infty}$$i=1$ ,$\cdot$.. ,$m$.

unction となっている。

写像 $f-(1)f$ は$M^{m}$から $M^{n}$ への写像。 (2)

ち $U(a)\supset U\ni p$ となるある $U$ があって $f(U)C\nabla(f(a))$

傍。又, $f(p)$ の局所座標が$(tr_{1}(f\wp))$. .
$\cdots$$v_{n}(f(p)))$の時, 各 $vi(f(p))$ は $p=a$ で$C_{Q}^{\infty}$$-6arrow$$\forall_{a}\in M^{m}$。ここで $V$に対し $f$ は$(f(a))$$a$で連続。 即は $M^{n}$ の $f$ (a) 近3.
$j^{f}\overline{7}7$

Tangent, また

で $p(0)=a$ としstarting at$a$とspaCe$\mathfrak{B}0\wedge^{\vee}$, $a\in M^{m}$$T_{a}^{m}$$[\alpha 1\beta]arrow M^{m}$

その 4 $iX$ を $m_{a}$ とする(1) $p=p(t)$ ,の $E\mathscr{C}$ として $c^{\infty}s\mathscr{C}$ とする(2)2 っの motinn の ft$\circ$$\#fM^{m}$ の$(\alpha<t<\beta)$$-|_{i}$の$p(t)$ を $c^{\infty_{mnfion}}$$\circ$$\ovalbox{\tt\small REJECT} p(t)\sim q(t)$と V&$p(0)=q(0)=a$$\frac{d}{d\iota}u_{i}^{a}$$(p(\iota))$$t= 0=\frac{d}{dt}$$|$$ua_{i}$$(q(t))$

$i=1$

$|$

$t=o$

を

$\ovalbox{\tt\small REJECT}\Re$する$\circ$っま $J\sim は $2*$ の$T_{\sigma}^{m}\equiv m_{a}/\sim_{0}$る $\circ(4)P(t)t_{-}^{-}$

4.

$\tau_{a}^{m}$は$a$$\mathscr{U}\prime J\backslash \ovalbox{\tt\small REJECT}$$\iota_{arrow}^{-2S(\neq}$をua$V\backslash$

る $3f^{m}$ の$t$tEi tS な $motion4iK$ の Xb す

Tangentspace$Fi(t)\equiv(\underline{0}’...の.ての $-g$ を

ang en$\tau_{a}^{m}$

$t$

$s$

$\ovalbox{\tt\small REJECT}\#$pac

す$e\circ$$6\circ$

こ(3)$f\iota$$m_{a\backslash }$はを ft (

$m7_{j}R\overline{\pi}$$i\geqq$ee.

$ff_{\backslash }\sim- C_{\circ}\Supset|$

ベク ト 1$m$$\cdots$$1/9tP\Rightarrow\in^{I}\exists$

るO

であの,\ddagger .i を $\{P(t)\}$ と te す.

(1) $pi(t)$ を$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathscr{E}_{\circ}$

0, t 0 , \cdots 0)$$i$

で$\not\in$

め $6\circ$$m$$p(t)\sim$てある $i>$ ら.

できて

$d$
$u^{a_{i}}$$i-1 \sum_{-}$$\{pi(t)\}\equiv e$$t=opi^{(t)}$$|$$i(a)$,$i_{=}1$,$\cdot$$m$

なる$g\Gamma\iota_{arrow}^{-}$

より$\tau_{\sigma}^{m}t_{-}^{-}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathscr{E}$を$\ovalbox{\tt\small REJECT} A$

する$\llcornerarrow$と$\emptyset$}.
$\{p(t\}\}=i-1\sum_{-}^{m}$(2)$(p(t))$$\overline{d\iota}$$M_{\hslash\}}^{m}$$\frac{d}{dt}$$ua_{i}(p(t))$

ら $M^{n}\sim$ の $C_{E\mathscr{C}s}^{\infty}1S$

$a$

$=b$

.

$|_{t}=oei^{(a)}$$t_{-}^{-}$

よ $|JT_{a}^{rn}ib>$ ら $T_{b}^{n}\sim$ の$E\mathscr{C}\hat{\text{\^{o}}}S$:$\partial S\{p(t)\}=\{Sp(\iota)\}$$b$

を$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\not\in\ovalbox{\tt\small REJECT}$

する $\circ(3)M^{n}$ の$b$での$N\mathfrak{F}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

Si を $vj$ とし ,$\tau_{b}^{n}$すo$arrow 7-$

での $g;g$ を$ej^{(b)}$$;=1$ ,,$n$.と$\{p(t)\}\equiv x=\Sigma xiei(a)$.
.

$\{q(t)\}\equiv\{Sp(t)\}\equiv y=\Sigma y$. $(b)$$e$]$j$と :ld $(\neqFf\cdot$

. ..

$b$

$vj(Sp)=F_{j}$である

ら$p_{1}$$;\Xi$rr$\partial S\hslash^{i}\grave{c}K$\S 2.

$\not\in$. $j=1$ , .. .

$n$$\cdot$

:

される

$xi$

eman nia$c^{\infty_{\Phi \mathscr{Z}}}$ma ni fold$n$$*)^{t}--7$ ンとなり($T_{a}^{m}$$p\exists\dagger\ovalbox{\tt\small REJECT}$が$\hslash$es をもった Zli Fdi) -r れを 4 えると$F f(e\bigwedge_{l}^{(a\rangle}1$$\circ$$\Leftrightarrow$vectorRandom1.
$r_{J^{i}}r$$\exists\not\equiv\not\in\ovalbox{\tt\small REJECT}$$u_{m}^{a}(p))$$p=a$は$gij$$eI^{(a))}\equiv$

ilSI,$\cdot$$\Sigma\partial F_{j}/\partial u^{a_{i}}|$$y_{j}=$(4) $k\iota_{-}^{-M^{m}p>R}i$て$(u^{a_{1}}(p)$a nd om el em e nt$\omega(--RE$ すmanif old

Riemannianfi eld$M^{rt}$$x(P,$6 とき eのit$x$$\omega$} $-\downarrow$ で$(P, \omega)$$M^{n}\cross\Omega\downarrow(--\not\in\Leftrightarrow$は$g\ovalbox{\tt\small REJECT}$ee

した

$x$

$(P)$

, $P\in M^{n}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{R}^{\sigma tr}\ovalbox{\tt\small REJECT}(\Omega =B. P)$

81ri,, た $Tn$ valuedとrandomvariable.

2.
$\omega)i^{i}$$T$ra ee \yen \d ag er ae
し3,emp or a 1$h_{n}$$\eta\doteqdot B|J$

な$B^{1}J\iota^{\vee}arrow\alpha\supset-$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

omo $gen_{-}$ eity (こと$T$${}_{h}P=(u_{1}$. .

$(T_{h}P)i\equiv ui(T_{h}P)\Leftarrow ui$$x$( $P,$$\exists\S\not\in\Leftrightarrow$$u_{n})$$\omega$)$’=$$(P, \omega)$ク

ソ ト ‘ $g$ Pdi)$\sum_{i}xi$(P.

$(P)+hi$$\omega$)$)^{I}$

ts ら.

} を
(P.

$-x$

$(n|\mathcal{R}\overline{\pi}^{\text{ュ}-}$$\omega^{\backslash }$$x$tlii)と$\partial S_{X}$$(S^{-1}P$$\circ$A $(ffi\not\in\Leftrightarrow)o(1)M^{n}=R^{n}$shift)$h$$ei(P)$とすれ $tf$$-8-$$i=1$ ,$\cdot$

..

. .
$n$

$\circ s_{Ff^{h}}$$(h_{1}$.

( $T_{h}^{-1}$$\partial T_{h^{X}}$P.

$\omega$),$= \partial T_{h}\sum_{i}xi^{((u_{1}-h_{1}}$[$= \sum_{i}xi$

そこで if$g\Leftrightarrow\not\in$$M^{n}=R^{n}$.

$S$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$と$(\tau_{h}^{-1p} , \omega)$は $xi$

が$(u_{1}arrow h_{1} ...

$(Th-1_{P} \omega)$$= \sum_{i}xi$

fi5 のまわ$tj$のロ D

ae$ei$$\alpha i$の$s_{g}$,$u_{n}-h_{n}$ ).

)$\omega$,u_{n}-h_{n})$$ei$$\omega$)$(T_{h}^{-1}P)$$\partial T_{h}eih(T^{-1}P)$

$(P)$

(P.

$\omega$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{D}^{A}\cdot$

)

$i$

fil し

$\not\in\Phi\not\in\xi\ddagger i|\rfloor_{tarrow 1}^{-\prime}i\mathbb{E}\supset\vee$$Q=S_{g}(P)$ とすれ}f$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

ことを$\ovalbox{\tt\small REJECT}\Re$

する $\circ(2)$x\dagger fipJ $\{gij\}_{iarrow}\vee$より$ui(Q)=\Sigma g_{i}jj^{u}j(P)$と$\ovalbox{\tt\small REJECT} t$}る$\circ$

そこで( $S_{g}^{-1}$$\partial S_{g}x$P.

$\omega$)$= \partial S_{g}\sum_{i}xi$(Q.

)$\omega$$ei(Q)$$= \sum_{i}xi(s_{g}^{-\iota_{P}}, \omega)\Sigma gij^{e}j(P)$$j$$\acute{\{}\not\subset$って $\not\in F$

4.

tlk

, す $6\circ$g(た$\tau$$\partial\tau$$\partial\sigma$と Sb$\langle$と $x_{j}$$\sum_{i}xi(Q, \omega)5_{i}j$$M^{n}=R\Pi$ と し.

$\ovalbox{\tt\small REJECT} j\cong E\not\in|i$$C_{u}$

$-$

.

$Ff$

$a=\{u+at\},$$T_{u}$$arrow$;$T_{u}$$arrow T_{\sigma u}$$\tau_{\tau u}$$\omega$)とは $R^{n}arrow T_{u}$$i^{i}$

ft$\not\in E$

RU と$t\backslash \supset-$

こと$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{arrow}^{-}$

なるで$a\in R^{7\iota}$

は $trT11$ slation,;$C_{u}$(P.

$\sigma$はrotat ionとし,.

$\circ g=$$R_{x}(u$.

$v$$a,$$b$}$\cong E$$[(C_{u}^{-1}x(u \omega 1 .

$arrow 9-$a) (Carrow]vx(v, \omega)$$\vdash b$}]$\circ$に関して$R_{x}$が成り立っ時.

($x$

$u$

. .
$v$

$a$, b) $=$$R_{x}$

を弱定常と呼べば.

( $u-v$$R_{x}$,$a$, b)

に対する標準スペク トル表現ができる。

$-10arrow$