微分方程式によるパラメトリック推定.
高山信毅.

2012.05.26

図, 資料など.

高山信毅

微分方程式によるパラメトリック推定

Figure: 札幌上空約 1 万メートル地点における午前９時の風向きの 13 日間のデータ (２０１１年１月１日から１４日 (11 日は欠損): 気象庁の気象統計情報から)(cos t, sin t) 達を上の 13 件のデータとする. HGD により
A=test1(); isFit(A);高山信毅

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θ = (θ1 , θ2 ) = (−0.1286, −1.5963).

Figure: 推定したパラメータによる風向分布

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Fisher-Bingham 分布∫exp(t T xt + yt)|dt|

F (x, y , r ) =(1)S n (r )|dt| は球面上の Haar 測度. x は対称行列. y はベクトル.
TheoremFisher-Bingham 積分 F (x, y , r ) は x, y , r の holonomic 関数.
Theorem
付随する holonomic 系の holonomic rank (number of the. standardmonomials) は 2n + 2.
初期値計算を除く HGD が要する計算量は.

O((2n + 2)3 ) × (steps of the convergence of the gradient descent)高山信毅

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n = 2.
∂x11 − ∂y21 , ∂x12 − ∂y1 ∂y2 , ∂x13 − ∂y1 ∂y3 ,∂x22 − ∂y22 , ∂x23 − ∂y2 ∂y3 , ∂x33 − ∂y23 ,∂x11 + ∂x22 + ∂x33 − r 2 ,x12 ∂x11 + 2(x22 − x11 )∂x12 − x12 ∂x22 + x23 ∂x13 − x13 ∂x23 + y2 ∂y1 − y1 ∂x13 ∂x11 + 2(x33 − x11 )∂x13 − x13 ∂x33 + x23 ∂x12 − x12 ∂x23 + y3 ∂y1 − y1 ∂x23 ∂x22 + 2(x33 − x22 )∂x23 − x23 ∂x33 + x13 ∂x12 − x12 ∂x13 + y3 ∂y2 − y2 ∂r ∂r − 2(x11 ∂x11 + x12 ∂x12 + x13 ∂x13 + x22 ∂x22 + x23 ∂x23 + x33 ∂x33 )−(y1 ∂y1 + y2 ∂y2 + y3 ∂y3 ) − 2.

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Astronomical data
The astronomical data consist of the locations of 188 stars ofmagnitude brighter than or equal to 3.0.
Minimize∑∑
F (x, y , 1) exp −
Sij xij −S i yi 1≤i≤j≤3ion(x11 , x12 , x13 , x22 , x23 , x33 , y1 , y2 , y3 )∈ [−30, 10] × [−30, 10] × [−30, 10] × [−30, 10] × [−30, 20] × [−30, −×[−30, −0.01] × [−30, −0.001] × [−30, 10]

where (S11 , S12 , S13 , S22 , S23 , S33 , S1 , S2 , S3 ) =(0.3119, 0.0292, 0.0707, 0.3605, 0.0462, 0.3276, −0.0063, −0.0054, −0.076
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The 
result is that the minimum 11.68573121328159669
is taken at
−0.161 0.3377/2 1.1104/2
x = 0.3377/2 0.2538 0.6424/2,1.1104/2 0.6424/2 −0.0928
y = (−0.019, −0.0162, −0.2286)

11.695
11.694
11.693
11.692
11.691
11.69
11.68911.68811.687
11.686
11.685
1.22
1.2
1.18
1.16
1.14
1.12
0.22 0.24
1.1
0.26 0.28
1.08
0.3 0.32
1.06
0.34 0.36
1.04
0.38 0.4
1.02
0.42 0.441

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Estimated distribution

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本格的な勉強のためのガイド

積分アルゴリズム, Pfaﬃan の導出, gradient の計算.

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.

1

高山信毅, D 加群の積分アルゴリズムと推定理論, 数学セミナー 2012.02, 41–46.

2D.Cox, J.Little, D.O’Shea, Ideals, Varieties and Algorithms,Springer, 1992. 日本語訳あり. グレブナー基底の基礎 1,2 章.

3JST CREST 日比チーム (編), グレブナー道場. 共立出版. 第1 章. Dojo multimedia. グレブナー基底の基礎

4

道場, 第 6 章. 微分作用素環のグレブナー基底. 6.1–6.5.

5

大阿久俊則. D 加群と計算数学, 朝倉書店. 道場 6.6–6.10. 積分アルゴリズム

6道場, 6.5 HGD.

.

高山信毅微分方程式によるパラメトリック推定.

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Fisher-Bingham 分布の研究
1

Hiromasa Nakayama, Kenta Nishiyama, Masayuki Noro, Katsuyoshi
Ohara, Tomonari Sei, Nobuki Takayama, Akimichi Takemura,Holonomic Gradient Descent and its Application to theFisher-Bingham Integral, arxiv:1005.5273, Advances in Applied
Mathematics 47 (2011), 639–658 HGD の方法論の提案も2

T. Koyama, A Holonomic Ideal Annihilating the Fisher-Bingham
Integral, http://arxiv.org/abs/1104.1411

3

T. Koyama, H. Nakayama, K. Nishiyama, N. Takayama, Holonomic
Gradient Descent for the Fisher-Bingham Distribution on then-dimensional Sphere, http://arxiv.org/abs/1201.3239

4T. Koyama, H. Nakayama, K. Nishiyama, N. Takayama, The
Holonomic Rank of the Fisher-Bingham System of DiﬀerentialEquations, http://arxiv.org/abs/??

.

高次元 で HGD でないもの.
1

K. Kume, A. T. A. Wood, Saddlepoint Approximations for theBingham and Fisher-Bingham Normalising Constants, Biometrika
92 (2005), 465–476.
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Fisher 分布 (HGD), Wishart 分布 (HGM).
1Tomonari Sei, Hiroki Shibata, Akimichi Takemura, Katsuyoshi
Ohara, Nobuki Takayama, Properties and applications ofFisher distribution on the rotation group,
http://arxiv.org/abs/1110.0721

2Hiroki Hashiguchi, Yasuhide Numata, Nobuki Takayama,Akimichi Takemura, Holonomic gradient method for thedistribution function of the largest root of a Wishart matrix,
http://arxiv.org/abs/1201.0472.

HGD でないもの.
1R.Butler, W.Ronald, A.T.A.Wood, Laplace approximations for
hypergeometric functions with matrix argument, The Annals ofStatistics (2002), 1155–1177.

2Wishart 分布については, 基本問題のため, その他多数あり. 上記論文の Reference を参照.
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