数理解析研究所講究録 1200 巻 2001 年 173-178

173

Stark- 新谷の単数とイデアル類群について
伊藤剛司 (早稲田大学大学院理工学研究科博士課程)

1

導入を の円分的を実アーベル体、 を奇素数とし、拡大 $(k$に全ての 1 の 幕乗根を添加した体に含まれる唯一の拡大) とする。
をそれぞれ(Sinnot の意味での) 円単数群とする。 さらに、の全単数群, Bユをそれぞれ k。のイデアル類群の -Sylow 部分群、の -Sylow 部分群とする。との間には、良く知られているように解析的類数公式や Iwasawa mainconjecture といった密接な関係が存在することが知られているが、 そこでこれらがGalois 加群として同型であるか ? という問いが自然に考えられる。
これに関して、 島根大の尾崎氏は次のような結果を得られている。
$k$$I \acute{\mathrm{t}}=\bigcup_{n=0}^{\infty}k_{n}$

$p$

$p$

$k$

$\mathbb{Z}_{p}$$E_{n},$$\mathbb{Z}_{p}$$k_{n}$$\Phi_{n}$$A_{n}$$\text{、}$$E_{n}/\Phi_{n}$

$p$

$p$

$B_{n}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$定理 1 (cf. [7])ががで不分解、 かつ拡大次数と互いに素である$n\mapsto\infty$とする。の位数がに関して有界 (すなわち $K/k$ の岩澤 不変量が 0)であるならば、十分大きい全ての に対して Galois 加群としての同型$p$$[k : \mathbb{Q}]$$k/\mathbb{Q}$$A_{n}$$p$$\lambda$$n$$A_{n}\cong B_{n}$が存在する。

口

今回報告する主結果は、上記の結果の実 2 次体のある種のアーベル拡大の円分的拡大と、 ”Stark- 新谷の単数” に対する類似である。
$\mathbb{Z}_{p}$2Stark- 新谷予想

ここでは、新谷先生の論文 [8] に沿って「実 2 次体のアーベル拡大の単数が 2 重ガンマ関数の特殊値で得られるであろう」 という Stark- 新谷の予想につぃて述べる
一般の Stark 予想については [10], [垣] 等を参照の事。 $[4],[9]$ 等にも日本語による詳しい解説が述べられている。
代数体は全て複素数体 内に埋め込まれているものとする。 $F$ を実 2 次体とし、$F$の整イデアル に対しを $F$ の を法とする narrow ray class group とする。
以下、 は self conjugate であり、 かつ次の性質を満たすと仮定する。
$\text{。}$$\mathbb{C}$$\mathrm{f}$$\mathrm{f}$$H_{F}(\mathrm{f})$$\mathrm{f}$174$F$の任意の総正な単数

このとき、される$u$に対し、 $u+1$ はに含まれない。

を $F$ の総正な整数で $a+1\in \mathrm{f}$ を満たすものとし、$a$の類とすると、上記の仮定から$H_{F}(\mathrm{f})$$\mathrm{f}$$\nu$は$H_{F}(\mathrm{f})$$\nu$

を (a) で代表においてちょうど位数が 2となる。

に対し $z’$ で の共役を表すことにする。
をの代表元とし、 を $F$ の総正基本単数とするとき、に対して次の集合を定める。
以下 $F$ の元$\alpha_{1},$$\ldots,$$z$$z$$H_{F}(\mathrm{f})$$\alpha_{h}$$\epsilon$$R(\epsilon, c)=\{z=x+y\epsilon\in(a_{\mathrm{j}}\mathrm{f})^{-1}|x,$

このとき、$X_{\mathrm{f}}$$R(\epsilon, c)$(。)と置く。但し、$X_{\mathrm{f}}(c)$$0<x\leq 1,0\leq y<1,$ $(z)a_{j}\mathrm{f}=c\}$は有限集合となる。そこで、$= \prod_{z\in R(\epsilon,c)}\{\frac{\Gamma_{2}(z,(1,\epsilon))}{\Gamma_{2}(1+\epsilon-z,(1,\acute{\circ}))}\cdot\frac{\Gamma_{2}(z’,(1,\epsilon’))}{\Gamma_{2}(1+\epsilon’-z’,(1,\epsilon’))}\}$$\Gamma_{2}(z, \cdot)$が ray class

定理 2 (cf. [8])き、$y\in \mathbb{Q},$$c\in H_{F}(\mathrm{f})$$c$は 2 重ガンマ関数 (詳しい定義は [9] 等を参照) である。

のみに依存することは、次の解析的表示が保証している。

$c\in H_{F}(\mathrm{f})$に対し、 $\zeta_{F}(s, c)=\Sigma_{a\in c}N(a)^{-s}$ と定義する$\text{。}$このと$\zeta_{F}’(0, c)-\zeta_{F}’(0, c\nu)=\log X_{\mathrm{f}}(c)$

口が成立する。

に対して次のような仮定を追加する。 「 $F$ の単数 で、 $u>0,$ $u’<$0 かつ $u-1\in \mathrm{f}$ を満たすものは存在しない」。 この仮定のもとで、 を $F$ の整数を (b) で代表されるの類とする。
で、 $b>0,$ $b’<0$ を満たすものとし、$G$ ををの部分群で、 を含み を含まないものとする。 さらに、$F$ のに対応する部分体とする。
を法とする narrow ray class field とし、 $M$ を」 と以上の準備のもとで、 [8] において「modified version of Stark呼ばれている予想を述べる。
さらに、

$u$

$\mathrm{f}$$b$$H_{F}(\mathrm{f})$$\mu$$H_{F}(\mathrm{f})$$\nu$$I\acute{\iota}_{F}(\mathrm{f})$

$\mu$

$G$

$\mathrm{f}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}$ある正の整数 $m$ が存在して写像としたとき、
予想$X_{\mathrm{f}}(c, G)^{m}$

は $M$ に属する単数であり、$\{X\mathrm{f}(c, G)^{m}\}^{\sigma(c\mathrm{o})}=X\mathrm{f}(cc_{\mathrm{O}}, G)^{m}$を満たす$\text{。}$$\sigma$

を Artin口

この予想はまだ一般的には解決されていないが、特別な場合にはすでに新谷先生自身によってこの予想が提出された論文 [8] で証明されている。
定理 3 $M$ がその 上最大アーベル部分体上 2 次拡大で、 かつ $F$ の 2 つある無限への埋め込みに対応しているもののみが分解しているならば、予想素点のうち、$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$

口は正しい。

この場合は、 $M$ の Galois 閉包がある虚 2 次体のアーベル拡大になることがわを構或することができるのである。
かり、楕円単数を用いて$X_{\mathrm{f}}(c, G)^{m}$

175
3円分的

$\mathbb{Z}_{p}$拡大

我々の興味は (予想が成立している場合の) 円分的拡大における Stark- 新を 1 の原始に含まれる谷の単数群の挙動である。
乗根とし、 Q。を
$M$を唯一のの円分的次巡回拡大体とする。 このとき、拡大と呼ぶ。
も明らかに定理 1 の条件
もし、 $M$ が定理 1 の条件を満たしている場合は、を満たすので、各に関して予想が成立していることがわかる。
以下、簡単の為に $M$ は $F$ 上 2 次拡大とする。 この場合は次の結果が知られて$\mathbb{Z}_{p}$$\mathbb{Q}(\zeta_{p^{n}})$$p^{n}$$\zeta_{p^{n}}$$p^{n}$$\mathit{1}M_{\infty}=\bigcup_{n\geq 0}M\mathbb{Q}_{n}$$\mathbb{Z}_{p}$$M_{n}$$M_{n}$いる。

定理 4 (cf. [5] )$\alpha$を $F$ の整数で、 $\alpha>0,$ $\alpha’<0$($\alpha’$は$\alpha$の共役) を満たすものを奇素数とし、 の上にある $F$ の全ての素点は $M$に対応するにおいて不分解であるとする。 $M_{n}/F$ の導手をの部分.
は群をの単数となとすると、任意のに対してとし、 $M=F(\sqrt{\alpha})$ とする。

$p$

$p$

$H_{F}(\mathrm{f}_{n})$$\mathrm{f}_{n\text{、}}M_{n}$$G_{n}$$c$$\in H_{F}(\mathrm{f}n)/G_{n}$$X_{\mathrm{f}_{n}}(c, G_{n})$$M_{n}$口る。

さて、 そこで$C_{n}=\langle\pm 1, X_{\mathrm{f}n}(c, G_{n})|c\in H_{F}(\mathrm{f}n)/G_{n}\rangle$をと定義し、 これをにおける Stark- 新谷の単数群と呼ぷことにする。
はの全単数群とすると、の部分群となるが、有限指数ではない。 そこで、
$M_{n}$$E_{n}$$C_{n}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$E_{n}$

単数群の「マイナス部分」すなわち、$E_{n}^{-}=$を考える ($M_{n}${$u\in E_{n}|$^^珂 n/FQn(u) $=1$ }は CM 体ではないので、一般にマイナス部分と言われているものとは違うものなので注意)がわかる。の定義と、定理 1 からの類数とする。 このとき、次のような相対類数$C_{n}\subseteq E_{n}^{-}$$\text{。}X_{\mathrm{f}_{n}}(c, G_{n})$代数体に対して、 $h(K)$ をに関する解析的類数公式が知られている。
$K$$I\acute{\mathrm{t}}$定理 5(cf. [1],[6])$h(M_{n})/h(F\mathbb{Q}_{n})=[E_{n}^{-} :C_{n}]\cross$(a power of 2)が成立する。

口

即ち、 Stark- 新谷の単数群は円単数や楕円単数と同様にイデアル類群と何かしらの関係があるのではないかという期待ができる。
これに関して、今 得られた主結果は次のようなものである。
$\fbox \mathfrak{o}$主定理( はを奇素数、 $F$ を実 2 次体とする。 を $F$ の整数で、 $\alpha>0,$ $\alpha’<0$の共役) を満たすものとし、 $M=F(\sqrt{\alpha})$ とする。
を上記
$p$$\alpha’$$\alpha$$\alpha$$M_{n},$$E_{n}^{-},$$C_{n}$176をの通りとし、部分群とする。 さらに、
$B_{n}$$E_{n}^{-}/C_{n}$の $p$ -Sylow 部分群、 $A_{n}$ を $M_{n}$ のイデアル類群の $p$ -Sylow$A_{n}^{-}=\{c\in A_{n}|N_{M_{n}/F\mathbb{Q}_{n}}(c)=1\}$と定義する。の位数が に関しの上にある素点が $M$ において不分解かつて有界であるならば、十分大きい全ての に対して Galois 加群としての同型
もし、 $F$ の$n$

$A_{n}^{-}$

$p$

$n$

$A_{n}^{-}\cong B_{n}$口が存在する。

主定理は実際は $F$ 上の 2 次拡大に限らなくとも、 もう少し広い範囲でも成立する。 また、定理 3 の下にある注意より、上記の場合は Stark- 新谷の単数は楕の性質のみを用いて示される。
円単数から得られるが、 この定理の証明は注意 1$X_{\mathrm{f}}(c, G)$

注意 2
上記の結果の虚 2 次体版 (modular unit による類似) も最近証明されている (cf. [3])を虚 2 次体、 を で分解する 5 以上の素数、 を の上にあ$\text{。}k$

$k$

$p$

$\mathfrak{p}$$p$を の拡を法とする ray class field としたとき、の素イデアル、大に関して、 modular 関数の特殊値で構或される単数群で同様の定理が成り立つ。
る$k$$k(\mathfrak{p}^{n})$$k$$\mathbb{Z}_{p}$$\mathfrak{p}^{n}$$k(\mathfrak{p}^{\infty})/k(\mathfrak{p})$以下、主定理の証明の概略を述べる。方針としては冒頭に挙げた円単数の場合の結果の場合と同様、 Stark- 新谷の単数とイデアル類群の Galois コホモロジー群を調べるのが主要部分である。
からを記号の準備を行なう。 $m>n$ に対し$\Gamma_{m,n}=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathcal{M}_{m}/M_{n})_{\text{、}}i_{m,n}$への自然な持ち上げ写像とする。
このとき、 $C_{m}/\pm 1$ は自由
意の に対して Tate コホモロジー群$A_{n}^{-}$$A_{m}^{-}$$\mathbb{Z}[\Gamma_{m,n}]$$i$加群であることがわかるので (cf. [6])は自明である。 そこで、$\text{、}$任$\hat{H}^{i}(\Gamma_{m},, {}_{n}C_{m})$$0arrow C_{m}arrow E_{m}^{-}arrow E_{m}^{-}/C_{m}arrow 0$の完全系列から$\hat{H}^{1}(\Gamma_{m,n}, E_{m}^{-})\cong\hat{H}^{1}(\Gamma_{m,n}, B_{m})$を得る。
一方、 (マイナス部分を扱うので少し議論は複雑になるが) 比較的容易に$\mathrm{k}\mathrm{e}1^{\backslash }(i_{m,n})\cong\hat{H}^{1}(\Gamma_{m,n}, E_{m}^{-})$の位数が有界であるという仮定から、 ある整数 n。が存在して、全ての $n>n0$ に対して $|A_{n}|=|A_{n_{0}}|$ となる。 さらに定理 3 より $|B_{n}|=|B_{n_{0}}|$ も得がわかる。 また$A_{n}^{-}$

177.

この事から、任意の $n>n_{0}$ に対して充分大きい $m$ を取れば、, がわかるので、以上を組み合わせて主定理が証明される。

$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(i_{\ovalbox{\tt\small REJECT},n})\ovalbox{\tt\small REJECT} A_{7}$$H^{1}(\mathrm{F}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}},, B_{772})\ovalbox{\tt\small REJECT} B$

注意 4

冒頭に述べた実アーベル体の場合と違い、主定理が適用される体 $M$ は総実ではない、 よってこの体は「総実代数体の円分的拡大の不変量はそれぞれ 0 であろう」 という Greenberg の予想 (cf. [2]) の範囲外である。実際、 が拡大の 不変量は必ず正になる。
で完全分解している場合は、 $M$ の円分的そこで、主定理の仮定が成立しているような非自明な体の例を見つけることは重要である。筆者は、 KASH を用いた類数の計算により $p=3$ で任意の に対して $|A_{n}^{-}|=3$ となっている例をいくつか発見した ( $|A_{0}^{-}|=|A_{1}^{-}|=3$ であれば全てのについての結果が従う)
このような総実でも CM でもない体において、 どういっ拡大のた場合に円分的不変量が消えているかを調べるのは興味深い問題で$\lambda,$$\mathbb{Z}_{p}$

$\mu$

$p$

$M/\mathbb{Q}$$\lambda$$\mathbb{Z}_{p}$

$n$

$n$

$\text{。}$$\mathbb{Z}_{p}$$\lambda,$$\mu$あると思われます。

参考文献[1]T.Arakawa: On the Stark-Shintani conjecture and certain relative class numbers., Advanced Studies in Pure Mathematics, 7(1985),1-6.
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Amer. J.

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[4] 内藤浩忠 :Stark- 新谷予想の紹介, 第 5 回津田塾大学整数論シンポジウム報告集, (1999),1-13.

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$\mathbb{Z}_{p}$$\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n},36$588.

[6] J.Nakagawa :On the Stark-Shintani conjecture and cyclotomic -extensions(1984), 439of class fields over real quadratic fields $II.,$ T\^ohoku Math.
452.
$\mathbb{Z}_{p}$$\mathrm{J}.,36$[7] M.Ozaki :the cyclotomic unit group $a7ld$ the ideal class group of a realabelian number field., J. Nulllber(1997), 211-222.
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(1978), 139-167.
$\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n},30$

178[9] 新谷卓郎: 代数体の L- 関数の特殊値について, 数学 29 (1977), 204-216.

[10]$\mathrm{H}.\mathrm{M}$. Stark :$\mathrm{I}\mathrm{I}17$$L$-functions at $S=1.$ , Advances in Math. I7(1971),301-343;(1975), 60-92; III 22 (1976), 64-84;$\mathrm{I}\mathrm{V}35$(1980) 197-235.

[11] J. Tate: Les Conjectures de Stark sur les fonction $Ld$ ’artin en $s=0$ ,Progress in Math. 47, Birkhiuser, 1984.

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