数理解析研究所講究録922 巻 1995 年 147-157

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Lie -Poisson 系としての渦運動
東京大学大学院理学系研究科物理学専攻(Katsuhiro Suzuki)(Tsutomu Kambe)

鈴木 勝博
神部 勉

1. イントロダクション

非圧縮性完全流体の支配方程式の微分幾何的な定式化としてはいくつかのものがあり、 代表的な物としては Marsden らによる渦度方程式の Poisson 方程式としての定式化や (Marsden et al. (1983) ), Arnold らが行った Euler 方程式の測地線方程式としての定式化などがある (Arnold (1966)) 。これらの方法は元来剛体運動の記述において導入されたのであるが、 流体力学には、 流体粒子の運動を微分同相写像として Lie 群のようにみなし適用されたのである。本稿ではこれらの方法を渦糸に適用しいくつかの具体的な計算を行う。

2. 準備
まずはじめに、 微分幾何的な記述をする上で考える空間について簡単にまとめておく。

領域\Omega における非圧縮かつ非粘性の流体運動を記述する配位空間としては、体積を保存する微分同相写像群、$\mathrm{D}_{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}}$を採用する。 \Omega 上の微分同相写像というのは、 \Omega から\Omega への微分可能な全単射で、 その逆も微分可能なものである。

は流体粒子の写像をあたえるので、 イメージとしては、 ラベリングをした全ての流体粒子の座標をあたえていると考えて良いだろう。 (従っては無限次元である。) そして、
「体積保存」 であることが非圧縮性をあらわしている。
を考える。余接バンドルとい次に位相空間としては Dvol の余接バンドル
うのは、 簡単に言ってしまうとの各点に 1-形式、 (すなわち、 ベクトルの線形関数) の空間をのせたものである。剛体運動を表す場合には、 接空間が速度の空間を、 1-形式の空間が運動量空間をあたえるので、 イメージとしてはの各誌$\mathrm{D}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$$\mathrm{D}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$$T^{*}\mathrm{D}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$$\mathrm{D}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$$T^{*}\mathrm{D}_{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}}$で座標と運動量の組をあたえていることになる。
次に\Omega 上の発散が の速度場はであたえられる。 ここで儀 ol は Lie 群の Lie 代数である。 Lie 群はもともと右または左作用をもっており、 それは
自然に Lie 群の接空間に対しても対応する作用を引き起こす。
は Lie 群の接べ$0$$x_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$$\mathrm{D}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$148

クトル場に、 右作用により自然に決まる同値関係をいれたときの商空間に対応する。
最後に、 渦度場であるが、 これは銑。1 に相対な空間$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{*}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}$を、 exact な 1-形式

についての同値関係を入れたときの商空間で与えられる。 亀。1 の元は右不変なベクトル場でありの元はそれらの線形関数の場である。 さて exac な 1-形式というのは、 ある関数 $f$ に対して、げをみたし、 その結果、 $d\alpha=0$ を満たすような 1- 形式である。 (ここでは外微分をあらわす。 ) このようなexact な 1-形式は非圧縮性の速度場を考えるときは重要な寄与をしない。実際、 その値は任意の発散 0 の速度場
に対し、$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{*}\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}$$\mathrm{t}$$\alpha$$\alpha=$

$d$

$v$

$\int d\alpha(v)d\Omega=0$’ において、 exact な 1-形式についてのをとってやれば、 その同値類の代表元は結局 2-形式 であを満たすからである。 したがって、

同値関係$\beta\sim\beta+\alpha$$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{*}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}$

らわせることになるのである。 これが実際渦度を表していることを見るには、 例え

ば具体的にとおいてやり、外微分をとってやれば十分であろう。

$\beta=v_{i}(\mathrm{x})(x^{i}$3-1. 渦度方程式の Lie-Poisson 方程式としての定式化
まずはじめに、 Marsden らによる渦度方程式の Lie-Poisson方程式としての定(exact な 1-形式) を用いる。
式化を簡単にながめてみる。 空間としては
Hamiltonian を使った記述をするに当たって、 まず必要になるのは渦度場の関数の空間に Lie-Poisson 構造を導入することである。 そのために、 まず汎関数微分の拡張を考える。
$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{*}\mathrm{V}\mathrm{o}\iota/$

今、$\mathrm{F}$を$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{*}\mathrm{v}\text{。}\mathrm{l}$から$(\alpha\in\ovalbox{\tt\small REJECT}^{*}\mathrm{V}\text{。}1)_{\text{、}}\sigma\in\ovalbox{\tt\small REJECT}^{*}\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}$$\mathrm{R}$への関数であると仮定する。 またとする$\circ$

このとき、$\frac{\delta F}{\delta\omega}\in X_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$$DF(\omega)\cdot\sigma=\mathrm{f}\Omega$

ここで、

る。

$f \frac{fl}{\delta\omega}\cdot\sigma$$\omega=d\alpha$を次のように j^E$\frac{\delta F}{\delta\omega}\cdot\sigma$

する

ぬ

$0$

(1)

はベクトルと 1-形式により自然に決まるスカラー関数を表してい(これはベクトルと 1-形式の natutal pairingと呼ばれる。) また、$DF( \omega)\cdot\sigma\equiv\frac{d}{d\epsilon}F(\alpha+\mathcal{E}\sigma)|_{\epsilon=0}$

(2)

149

は

$\mathrm{F}$のderivat ive と呼ばれるものである。 この

ffl–を使って Poisson 括弧は次励のように定義される。

$\{F, G\}(\omega)=\int_{\Omega}\langle\omega,$

ここで、 $[, ]$ は Lie 代数$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{v}\text{。}1}$$[ \frac{\delta F}{\delta\omega},$(3)$\frac{\mathfrak{B}}{\delta\omega}]\rangle dx$のもつ Lie 括弧である。 また$\langle$,$\rangle$

は 2-形式とベクトルによりつくられるスカラー関数で、定義は($\langle\omega, v\rangle=\langle d\alpha, v\rangle\equiv\alpha\cdot v$である。 銑。1 が自然にもつ Lie 括弧の構造を$f\underline{fl}$をに$\alpha\in\ovalbox{\tt\small REJECT}^{*}vol’ v\in$$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{*}\mathrm{v}\text{。}\downarrow$

鶏。z)

(4)

上の関数の空間にもちこむため看。1 の元として導入したのである。

$\delta\varpi$

さて、 以上で Poisson 構造を導入することができたので、 H 訓 iltonian を次のように定義してやる。

$H( \omega)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\langle\langle\Delta^{-\iota_{\omega}},$

ここで、$\Delta$は Laplace 演算子、$\langle\langle$,$\rangle\rangle$$\omega\rangle\rangle dx$(5)は 2-形式の間の内積で、 成分で書けば$\langle\langle A_{ij}d_{Xd}ij\iotam\rangle X,$ \sum A_{ij}B_{ij}$$B_{\iota_{m}}d_{X}dX)=のように定義されるものである。

この定義により、 Lie-Poisson 方程式、$\frac{d}{dt}F(\omega)=\{F, c\}(\omega)$(6)が渦度の Lie 移動の方程式$\frac{\partial\omega}{\partial t}+L_{v}\omega=0$

(7)

150

に等しいことが簡単な計算により分かる。 (ここで、$L_{v}$

は 2-形式の Lie 微分である。 ) さらにこの方程式の成分を露に書いてやれば、 完全流体の渦度方程式と同値であることが確かめられるのである。

3-2. 渦糸への応用
さて、 上記のフォ一マリズムを渦糸の運動に適用しよう。記述に当たっては

Frenet の座標系を採用する。
Frenet の方程式は$\mathrm{s}$を周長、$\mathrm{R}(\mathrm{s})$を渦糸の位置ベクトルとすると、$\frac{d}{ds}=$のように書ける。 ここで、は渦糸の接ベクトル、$\mathrm{T}$$\mathrm{N}$(8)は法線ベクトル、$\mathrm{B}$は陪法

は曲率、 そして\tau は戻率である。今、 渦糸が充分細く、 またその曲率が充分小さいものと仮定する。 このとき、 もしこの両者が同じオーダーの微小量だとすると、 角糸のもつ渦度が自分自身に引き起こす運動は、 そのリーディング
オーダーで
lament equat on,

線ベクトル、$\kappa$$\mathrm{f}\mathrm{i}$$\mathrm{i}$(9)$\frac{d\mathrm{R}}{dt}=-\frac{\Gamma\log a}{4\pi}\kappa \mathrm{B}\text{、}$により記述される。 ここで、 は渦糸の強さ、 a は渦糸のコアの半径を表す。
さて、 微分幾何的定式化では四度 は 2-形式で表さなければならないが、 それは次のように与えてやればよい。
$\Gamma$$\omega$(10)$\omega=\Gamma\delta(n)\delta(b)\mathrm{i}_{\mathrm{T}}dx\wedge dy\wedge dz$

ここで$\mathrm{b}$$\mathrm{n},$は法線及び陪法線方向の座標であり、 また、$\mathrm{i}_{\mathrm{T}}dX\wedge d\mathcal{Y}^{\wedge}dz$

は 3-との内積をとることにより作られる 2-形式を表している。 したがって、 Poisson 括弧は次のようになる。

形式$dx\wedge d_{\mathcal{Y}}\wedge dZ$と接ベクトル$\mathrm{T}$151$\{F, G\}(\omega)$$= \int_{\Omega}\langle\omega,$$[ \frac{\delta F}{\delta\omega},$$= \int\alpha\cdot L_{\frac{\delta G}{\ }},$$\frac{\mathfrak{B}}{\delta\omega}])dx=\int\alpha\cdot[\frac{\delta F}{\delta\omega},$$\frac{\mathfrak{B}}{\delta\omega}]d\mathrm{x}$$\frac{\delta F}{\delta\omega}d\mathrm{x}=-\int L_{\frac{\mathfrak{B}}{\ \mathrm{r}}} \alpha\cdot\frac{\delta F}{\delta\omega}d_{\mathrm{X}}$$=- \int(_{\text{あ}}\mathrm{i}d+d\mathrm{i}_{\frac{\mathfrak{B}}{s_{\omega}})\alpha\cdot\frac{\delta F}{\delta\omega}}d\mathrm{x}$$=- \int \mathrm{i}\omega\ovalbox{\tt\small REJECT}\cdot f\frac{fl}{\delta\omega}d\mathrm{x}+\int \mathrm{i}\alpha\ovalbox{\tt\small REJECT}(div\frac{\delta F}{\delta\omega})d\mathrm{X}$$= \int\omega(\frac{\delta F}{\delta\omega},$$\frac{\mathfrak{B}}{\delta\omega})d\mathrm{x}$$= \Gamma\int(T\cross f\frac{fl}{\delta\omega}1\cdot\frac{\mathfrak{B}}{\ )}d_{S}$(11)
結局、 Poisson 括弧は 2-形式 0) に 2 つのベクトル$\delta F/\delta\omega,$$\mathfrak{B}/\delta\omega$を代入し、 渦糸上で積分したものになる。
また、 Hamitonian は以下のように計算できる。

$H( \omega)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\langle\langle\Delta^{-\iota_{\omega}},$$\omega\rangle\rangle d\kappa$$= \frac{1}{8\pi}\int\int\frac{\omega(\mathrm{x})\cdot\omega(_{\mathrm{X}^{1})}}{|\mathrm{x}-\mathrm{x}^{1}|}d\mathrm{x}d\mathrm{x}|$$= \frac{\Gamma^{2}}{8\pi}\prod\frac{\mathrm{T}(s)\cdot \mathrm{T}(S^{1})}{|\mathrm{R}(_{S})-\mathrm{R}(s)||}dsds|$$\equiv\frac{\Gamma^{2}}{8\pi}\int ds\int_{a1_{Q-}\epsilon 1>}.\frac{\mathrm{T}(s)\cdot[\mathrm{T}(S)+\kappa \mathrm{N}(S)(S^{1}-S)+O((s-1S)^{2})]}{|(s-S\mathrm{t})+o(_{S-s}|)^{2}|}dS$$\cong\frac{\Gamma^{2}}{4\pi}\log a\int d_{S}$

’

(12)

152

第 4 式の評価のところで、 a とが同じオーダーの微小量であるという仮定を用いており、 また、積分の発散を抑えるためのカットオフを入れている (Saffmann$\kappa$(1992) 。最終式は微小量 a 及びについての展開のリーディングオーダーを取っており、 得られるハミルトニアンは弧長の定数倍となる。
ここで導出したハミルトニアンは (12) 式の途中を見ても分かるように、 通常の渦度を使って記述したハミルトニアンに、 ilament equat ion を導出する際の仮定を用いて導かれたものになっている。 これに (11) 式の Poisson 括弧を使って LIePoisson 方程式を書いて出てくるのは、 あくまで渦糸が存在する場合の渦度方程式
であり、 ilament equat ion を導き出すにはもう少し工夫が必要である。
$)$$\kappa$$\mathrm{f}$$\mathrm{f}$4-1 Euler 方程式の測地線方程式としての定式化
次に、 Arnold らが行った、 Euler 方程式の測地線方程式としての定式化について簡単にまとめておく。 Marsden らの方法では考える空間として今度は$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$を用いる。今、 流体の運動がらわされるものとすると、$X_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$$\mathrm{D}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$上で$\mathrm{g}(\mathrm{t})$$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{*}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}$を用いていたが、という曲線によってあの元である速度場は、$v(t)=T_{e}R_{g^{-1}}\dot{g}(t)\in$(13)$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\downarrow}$のように表される。
の接ベクトルを右移動で原点の接空間に引き戻しているである。 このとき、 測地線方程式は$\mathrm{g}(\mathrm{t})$(14)$\frac{d}{dt}v(t)=-B(v, v)$と表される。 ここで、 $B$ は、 ベクトル間の内積$\langle u, u\rangle=\int_{\Omega}uvdx$とLie 括弧 $[, ]$を使って$\langle[a, b], C\rangle=\langle B(c, a), b\rangle$,$a,$ $b,$$c\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{v}\text{。}1}$(15)のように定義される。特に、考えている領域が 2 または 3 次元のときには$B(v, v)=rotv\cross v+gradP$

(16)

153

と書くことができ、 結果として、 Euler 方程式が得られるのである。
さて、 一般の測地線の理論から得られる重要な結果として、 Jacobi 場の理論がある。 Jacobi 場というのは、 ある与えられた測地線の変分をとったときの、 変分ベク

トル場のことである。すなわち、 変分パラメーターを
地線は$\mathrm{g}(\mathrm{t}, \alpha)$$\alpha$とすると、 変分を受けた測と記述され、 Jacobi 場は$\xi(t)=\frac{d}{d\alpha}|_{\alpha=}0(gt, \alpha)$

であらわされる。 Jacobi 場の$v$$\in T\mathrm{D}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$に垂直な成分を改めて

$\xi$

,

(17)

と書き直してやると、 その支配方程式は、$\frac{D^{2}\xi}{Dt^{2}}=-gradU$,$U( \xi)=\frac{1}{2}\langle R(v, \xi)_{U}, \xi\rangle=\frac{1}{2}K\langle\xi, \xi\rangle\langle v, v\rangle\text{、}$と表される。 ここで、 $K$ は 2 つのベクトル
ある。

$\xi$

と

$v$

(18)

(19)

で張られる 2 次元面の断面曲率で重要なのは、 $K$ が負であれば、 の方向に変分を受けた測地線ともとの測地線は指数関数的に離れてゆくが、 $K$ が正であれば、 いずれそれらは再び交わると言うことである。 言いかえると、が流体粒子の写像を与えているのでこの $K$ を調べる
ことにより、 系の–種の Lagrange 的な安定性を調べることが可能になるのである。
流体の場合には、 この断面曲率が具体的に計算された例がいくつかあり、 値が負になる場合が多いことが知られている。 この方法は非線形項をそのまま取り入れた、
かなり広い意味での’ 安定性’ を調べられるという長所がある反面、 メトリックとして運動エネルギーを採用しているので、. これの差が開いてゆくと対応する 2 つの測地線間の距離も離れてゆくことになり、 かなり trivial な例も’ 不安定’ と判定されてしまう可能性があるので、 注意する必要がある。
具体的には、 断面曲率は$\xi$$\mathrm{D}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$$K= \frac{\langle R(\mathrm{X},\mathrm{Y})\mathrm{X},\mathrm{Y}\rangle}{\langle \mathrm{X},\mathrm{X}\rangle\langle \mathrm{Y},\mathrm{Y}\rangle-\langle \mathrm{x},\mathrm{Y}\rangle^{2}}$

(20)

154

という形で表される。 ここで$R(X, \mathrm{Y})z_{=}-\mathrm{v}_{\mathrm{x}}\mathrm{v}z_{+}\nabla \mathrm{v}_{\mathrm{x}^{Z+\mathrm{v}_{[}}}\mathrm{Y}\mathrm{Y}X$ $\mathrm{Y}]Z$

,

(21)

は曲率テンソルで、$\nabla_{\mathrm{x}}\mathrm{Y}=\frac{1}{2}(-[\mathrm{X}, \mathrm{Y}]+B(\mathrm{X}, \mathrm{Y})+B(\mathrm{Y}, \mathrm{X}))$(22)
はベクトル X の$\mathrm{Y}$に関する共変微分である。

4-2. 渦輪への応用
本節では渦輪の場合に具体的な断面曲率の計算を行ってみる。 実際の計算は当たっては Fourier 変換して行う方が便利である。今、 速度場を$(e_{\mathrm{k}}\equiv\exp(i\mathrm{k}\cdot \mathrm{x}))$$u(t, \mathrm{x})=\sum_{\mathrm{k}}u_{\mathrm{k}}(t)e_{\mathrm{k}},$,(23)$(\mathrm{k}\cdot u_{\mathrm{k}}=0$,$u_{-\mathrm{k}}=u_{\mathrm{k}}^{*})$のように展開すると、 曲率テンソルは$R_{\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{n}}\equiv\langle R(u_{\mathrm{k}}e_{\mathrm{k}}, v_{1}e_{1})w_{\mathrm{m}}eZ_{\mathrm{n}}\mathrm{m}’ e_{\mathrm{n}}\rangle$.

.
$=(2\pi)^{3}$ $[$$\frac{(u_{\mathrm{k}}\cdot \mathrm{m})(w_{\mathrm{m}}}{|\mathrm{k}+\mathrm{m}|}$$1)_{\frac{(u_{\mathrm{k}}\cdot \mathrm{n})(z_{\mathrm{n}}\cdot \mathrm{k})}{|\mathrm{n}+\mathrm{k}|}]}$$\mathrm{k})_{\frac{(v_{1}\cdot \mathrm{n})(z_{\mathrm{n}}\cdot])}{|\mathrm{l}+\mathrm{n}|}}-\frac{(v_{1}\cdot \mathrm{m})(w_{\mathrm{m}}}{|1+\mathrm{m}|}$($R_{\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{n}}\neq 0$

only forと成分表示される。
さて、 渦糸によって誘導される速度場は$\mathrm{k}+]+\mathrm{m}+\mathrm{n}=0$

)

(24)

155

(25)
$= \frac{-\Gamma}{4\pi}\int\frac{(\mathrm{x}-\mathrm{R}(_{S}))\cross \mathrm{T}(s)}{|\mathrm{x}-\mathrm{R}(s)|^{3}}ds$のようにかけるので、 これを Fourier 変換してやると$\mathrm{v}(\mathrm{k})=\frac{1}{(2\pi)^{3}}\int \mathrm{v}(\mathrm{X})e^{i\mathrm{k}\cdot \mathrm{x}}d\mathrm{X}$$= \frac{1}{(2\pi)^{3}}(\frac{-\Gamma}{4\pi})\int dS\int d\mathrm{X}\frac{(\mathrm{x}-\mathrm{R}(s))\mathrm{x}\mathrm{T}(S)}{|\mathrm{x}-\mathrm{R}(s)|^{3}}e^{i\mathrm{k}\cdot \mathrm{x}}$

(26)

.

$=$

$\frac{-\Gamma}{4\pi(2\pi)^{3}}\int dsei\mathrm{k}\cdot \mathrm{R}(s)\int\frac{\mathrm{X}\cross \mathrm{T}(s)}{|\mathrm{X}|^{3}}d\mathrm{X}$$=iC_{0} \int\frac{-\mathrm{k}}{|\mathrm{k}|}\cross \mathrm{T}(s)e^{i\mathrm{k}}\mathrm{R}(s)ds$,を得る。 ここで$C_{0}= \frac{\Gamma}{(2\pi)^{3}}\{-\frac{1}{k^{2}}\frac{e^{-ka}}{a}+\frac{2}{k}\log a+\frac{2}{k}(\log k+\gamma)+O(a)\}$

.

(27)

$(k=|\mathrm{k}|)$は定数で、 a は渦糸のコアの半径を表す。 この定数はやはり本質的に singular で、有限値を得るために Hamiltonian の計算の場合と同じくカットオフを入れている。
右辺の第–項が渦糸の周りを回転する速度場の特異性、 そして第二項が Filament
equation の場合と同じく、 $\log$ 型の特異性をあらわしている。
さて、 簡単な例として真円状の渦輪の場合を考えよう。渦輪の位置ベクトルを$\mathrm{R}=$$(r\cos\theta, r\sin\theta, 0),$$(r=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.)$156と与えてやると、弧長 及び接ベクトル$\mathrm{T}$$\mathrm{s}$$s=r\theta$と与えられる。 このとき波数

,

はそれぞれ

(28)

$\mathrm{T}=(-\sin\theta, \cos\theta, \mathrm{o})$$\mathrm{k}=(k_{1}$$\text{、}$,$k_{2}$,$k_{3}$) に対する Fourier 成分は$\mathrm{v}(\mathrm{k})=ic_{0}\mathrm{f}\frac{-\mathrm{k}}{|\mathrm{k}|}\cross \mathrm{T}(s)ei\mathrm{k}\cdot \mathrm{R}(s)ds$$=.C_{0} \int 0\frac{1}{|\mathrm{k}|}2\pi e^{i}1d(kr\cos\theta+h_{2}r\sin\theta)_{\Gamma}\theta$(29)$= \frac{\pi C_{0}r^{2}}{|\mathrm{k}|}$となる。変分ベクトルを、 例えば、 波数ベクトルが$\mathrm{U}(\mathrm{x})=\mathrm{u}(\mathrm{k})e_{\mathrm{k}}+\mathrm{u}(-\mathrm{k})e_{-\mathrm{k}}$,$\mathrm{x}_{3}$方向のシングルモード、$\mathrm{k}=(\mathrm{O}, 0, h_{3})$$(\mathrm{u}(\mathrm{k})\cdot \mathrm{k})=0$

,

,

(30)

$\mathrm{u}(-\mathrm{k})=\mathrm{u}(\mathrm{k})^{*}$のようにとってやれば、結局断面曲率は$\langle R(\mathrm{v}(\mathrm{x}), \mathrm{u}(\mathrm{X}))\mathrm{V}(\mathrm{x}), \mathrm{u}(\mathrm{x})\rangle$$=- \frac{4}{(2\pi)^{3}}(\pi \mathrm{c}_{0}r)22|\mathrm{k}|^{2}$$\cross\sum_{1}\frac{(l_{1}^{2}+l_{2}^{2})^{2}}{|1||]+\mathrm{k}|2}\{\frac{(\mathrm{u}(\mathrm{k})\cdot 1)^{2}+(\mathrm{u}(\mathrm{k})\cdot])^{2}*}{|1+2\mathrm{k}|}-2\frac{(\mathrm{u}(\mathrm{k})\cdot 1)(\mathrm{u}^{*}(\mathrm{k})\cdot 1)}{|1|}\}$(31)となる。 この値は負になることが数値的に確かめられた。

157

この例では計算をできるだけ解析的に行ってしまうために変分ベクトルの与え方を単純にしたが、 現実的にはより複雑な与え方を考えてゆく必要がある。 また、 この計算で得られるのは、 あくまで渦輪によって誘導される速度場の安定性であり、渦輪自身のそれを見るには、 ilament equaiton 自身を測地線方程式として定式化$\mathrm{f}$する必要がある。
これの–つの簡単な例としては、 渦糸が運動していくときに描く軌跡 (則ち、 ある瞬間に渦糸上にあった全ての流体粒子の流跡線の集まり) を多様体として考えてやると、 3 次元の簡単な幾何学から、 渦糸の形状がこの多様体の測地線になっていること、 およびに各流体粒子の軌跡もまた、 この多様体の測地線になっていることが分かる。 ただし、 この方法では変分を与えたとき、 考えている多様体自身が変化してしまうので、 Jacobi 場の理論をそのまま適用して渦糸の安定性を出すことができない。 これらの点について、 さらに改良してゆく余地がある。

References
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