数理解析研究所講究録 1422 巻 2005 年 99-10599
相関関数の代数的表示 (非斉次 XXX 模型の場合)

東大数理科学研究科
神保 道夫

本稿では可積分模型の相関関数の表示に関する一つの話題について述べる。
1. BKS Ansatz
可積分スピン鎖の典型例である XXX モデルを考えよう。
$H:=- \sum_{j=1}^{L}(\sigma_{j}^{x}\sigma_{j+1}^{x}+\sigma_{j}^{y}\sigma_{j+1}^{y}+\sigma_{j}^{z}\sigma_{j+1}^{z})$ここで$\sigma_{j}^{\alpha}(\alpha=x_{7}y, z, \sigma_{L+1}^{\alpha}=\sigma_{1}^{\alpha})$

はサイト

$j$

に働くパウリ行列をあらわす。 この J‘

ミルトニアンは $R$ 行列$R( \lambda):=\rho(\lambda)\frac{\lambda+P}{\lambda+1}$$\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V\otimes V)$

から転送行列を経由して周知の原理で作られるものである。 ここで$v)=v\otimes u$, また規格化因子$\rho(\lambda)$$V=\mathbb{C}^{2},$$P(u\otimes$

は

(0.1)

$\rho(\lambda):=-\frac{\Gamma(\frac{\lambda}{2})\Gamma(\frac{1-\lambda}{2})}{\Gamma(-\frac{\lambda}{2})\Gamma(\frac{1+\lambda}{2})}$で与えられる$1\text{。}$XXX モデルの可積分性は Yang-Baxter 方程式に基づいており、 各格子点 に独を導入した非斉次モデルでも可積分性は保たれる。
立にスペクトル. パラメータ
以下では、 サイト に働く
このような一般化は理論的考察に重要である$j$$\lambda_{j}$$(\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{x}\cdot)_{\text{。}}$$j$

行列単位 E\epsilon ,\epsilon -=(\mbox{\boldmath $\delta$}c,o\mbox{\boldmath $\delta$}\epsilon -,b)a,b=+,- の積の相関関数$h_{n}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})_{\epsilon_{1},,\epsilon_{n}}^{\overline{\epsilon}_{1)}.\cdot\cdot,\overline{\epsilon}_{n}}...=\langle(E_{\epsilon_{1\prime}\overline{\epsilon}_{1}})_{1}\cdots(E_{\epsilon_{n\}}\overline{\epsilon}_{n}})_{n}\rangle$の関数と考えて考察する。ただしを、非斉次パラメータに関する平均値をあらわす。
は $H$ の基底状態$\lambda_{1},$$\cdots,$$\lambda_{n}$$|\psi\rangle$

1 対応する古典統計モデルの分配関数を 1 と規格化している。

$(’ \mathcal{O}\rangle=\lim_{Larrow\varpi}\langle\psi|\mathcal{O}|\psi\rangle$

100
物理的に興味のある斉次鎖 (=\lambda のの場合, $n=1,2$ の答は古くから計算
はり一マンゼータ) で表わされることが知られていた
は
また
$n=3$
され,
((3)(
$\lambda_{1}=\cdots$$\zeta(s)$$[10]_{\text{。}}$

一般に$h_{n}$は、 ある$\mathrm{q}\mathrm{K}\mathrm{Z}$

方程式の解$g_{2n}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{2n})$から変数の特殊化$h_{n}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})=g_{2n}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}, \lambda_{n}+1, \cdots, \lambda_{1}+1)$

によって得られ、 初等関数の多重積分による表示を持つことがわかっている$[6, 9]_{\text{。}}$

しかし最近まで個々の積分の詳しい解析は行われていなかった。
の場合に実行し、 答が一般に $\log 2$ とBoos-Korepin[2] はこの積分を $n=3,4,$の有理数係数の多項式になるであろうと予想した。 一般に方程式の解の積分表示は本質的に多重積分であり、 form factor 理論に現われる 「レベル 」 の場合以外は 1 重積分に帰着することは期待できない。 Boos-Korepin の計算では常に 1 重積分に帰着する点が不思議であった。 Boos-Korepin-Smirnov
方程方程式の解が 「レベル 」 のは、相関関数を記述する 「レベルー 4」 の式の基本行列解の逆行列を用いて得られることに基づいて、 この現象に説明を与えた。 [4] はさらに非斉次パラメタの関数として関数 h。が次の表示を持つと予想した :$\cdots$$\zeta(3),$ $\zeta(5)_{7}\zeta(7),$$\cdots$$\mathrm{q}\mathrm{K}\mathrm{Z}$$0$$[3]-[\acute{\mathfrak{o}}]$$0$$\mathrm{q}\mathrm{K}\mathrm{Z}$$\mathrm{q}\mathrm{K}\mathrm{Z}$$h_{n}( \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})=\sum_{i_{1}<j_{1}}^{[n/2]},\cdots\sum_{i_{m}<j_{m}},\prod_{pm=\mathrm{Q}i_{1}<\cdots<i_{m}=1}^{m}\omega(\lambda_{i_{p}}-\lambda_{j_{\mathrm{p}}})$$\cross p_{n,(i_{1\prime}j_{1}),\cdots(i_{m},j_{m})}’(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})$ここで$\omega(\lambda)$

は $R$ 行列の規格化因子 (0.1) の対数微分$\omega(\lambda):=\frac{d}{d\lambda}\log\rho(\lambda)+\frac{1}{2(\lambda^{2}-1)}$

また

(0.2)

.

$pn,(i_{1},j_{1}),\cdots\rangle$

偏 Jm)$(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})$,は有理関数である。 本稿では (0.2) の形の公式を

BKS Ansatz と呼ぶことにする。
BKS Ansatz と本来の Boos-Korepin の予想との関係は次のとおりである。 相関関数は斉次極限で正則であることがわかっている。 Ansatz に現われる有理$\lambda_{j}arrow\lambda$

関数
は対角線集合に極を持つが, それらは互いにキャンセルしなければならない。 これから斉次極限はの高次のテーラー係数を用いて表わされることになり、$p_{n}$$\lambda_{i}=\lambda_{j}$$\omega(\lambda)$.

$\omega(\lambda)-\frac{1}{2(\lambda^{2}-1)}=\sum_{k=0}^{\infty}\zeta_{a}(2k$ $+1)\lambda^{2k}$$(\zeta_{a}(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s))$

関数が現われる。
BKS Ansatz の係数の有理関数は非常に複雑で 2、 斉次極限をとることが困難という深刻な欠陥を持っている。 しかし、 (特殊化された)方程式の解が積分なしにただ一つの超越関数を用いて表示できる点は興味深い。 $[4, 5]$ では
方程式の解から変数を特殊化する際に、有理関数の挙動にある仮定をおいて Ansatz を導から$\zeta$$\mathrm{q}\mathrm{K}\mathrm{Z}$$\omega(\lambda)$

2 一種の部分分数分解である$\mathrm{q}\mathrm{K}\mathrm{Z}$101の記述は [1]
いているが, 証明は不完全であった。 BKS Ansatz の証明と有理関数で得られた。 本稿ではその概要を紹介する。 (ただし [1] の記号を若干変更する。)$p_{n}$

2. 相関関数の性質
今後は$h_{n}( \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})=\sum h_{n}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})_{\epsilon_{1},\cdots,c_{n}}^{\overline{\epsilon}_{1,}\cdots,\overline{\epsilon}_{n}}E_{\epsilon_{1},\overline{c}_{1}}\otimes\cdots\otimes E_{\epsilon_{n},\overline{\epsilon}_{n}}$とおいてこれを行列値関数と見なす。 h。について知られている主要な性質は次の 3
つである。

乃

$j+1R_{jj+1}(\lambda_{jj+1})h_{n}(\cdots, \lambda_{j}, \lambda_{j+1}, \cdots)$$=h_{n}(\cdots, \lambda_{j}, \lambda_{j+1}, \cdots)P_{jj+1}R_{jj+1}(\lambda_{jj+1})$

(0.3)

,

$h_{n}(\lambda_{1}-1, \cdots, \lambda_{n})=(-1)^{n-1}C_{1}(R_{1n}(\lambda_{1n})\cdots R_{12}(\lambda_{12})h_{n}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}))^{t_{1}}C_{1}^{-1}$$\cross$(O.4)

Rln(\lambda l ユー 1) $\cdots R_{12}(\lambda_{12}-1)$ ,$\mathrm{t}\mathrm{r}_{1}h_{n}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})=\frac{1}{2}h_{n-1}(\lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n})$

(0.5)

.

などの添え字はテンソル積の成分をあらわし, は第 1 成分につ て$C=i\sigma^{y}$ とおいた。 (0.3) と (0.4) は方程式のの転置を示す。 また
特殊化に当たる。 さらに積分表示から、 次の解析性がわかる :ここで$R_{ij}$,$\mathrm{t}/\backslash$$t_{1}$$C_{1}$$\mathrm{q}\mathrm{K}\mathrm{Z}$$\lambda_{ij}=\lambda_{\dot{\mathrm{t}}}-\lambda_{j},$$h_{n}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})$$h_{n}(\lambda_{1)}\cdots$

は,$\lambda_{i}-\lambda_{j}\in \mathbb{Z}\backslash \{0, \pm 1\}$にたかだか simple pole, 他で正貝$\lambda_{n})=\frac{1}{2}\otimes h_{n-1}(\lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n})$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$.

$\lambda_{1}\lim_{\lambda_{1}\in s_{\delta}^{\infty}}$.

ただし $S_{\delta}:=\{\lambda\in \mathbb{C}|\delta<|\arg\lambda|<\pi-\delta\}$ . 以下の解析の結果として$h_{n}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})$はこれらの性質から一意的に定まることがわかる。

なお $P_{12}^{-}=(1-P_{12})/2$ とおくとき, (0.4) (0.5) から次の式が従う$)$$P_{12}^{-}h_{n}(\lambda_{2}-1, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \cdots\dot{!}\lambda_{n})=P_{12}^{-}\otimes h_{n-2}(\lambda_{3}, \cdots, \lambda_{n})$

:
(0.6)

.

3. 留数の計算

BKS Ansatz が成り立つものとすると、 有理関数の部分はどのように決めればよいであろうか。 この節ではその計算のあらすじを述べる。
いま (0.4) の両辺で $\lambda_{1}=\lambda_{2}-1$ の留数をとると、 (0.6) より大雑把に言って$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{\lambda_{1}=\lambda_{2}-2}h_{n}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})=R\cdots R\cdot h_{n-2}(\lambda_{32}\cdots, \lambda_{n})\cdot R\cdots R$という形の式が得られる。 (0.4) を繰り返し適用することにより一般に$\lambda_{1}=\lambda_{2}-k-1$に沢山の $R$ 行列を両側から掛けた形で得られる。 詳しく見ると、 実
は $R$ 行列の積の部分は $R$ 行列を 回 fusion したもののトレースで書くことができる。

での留数は$h_{n-2}$

$k$

102
いま $E,$ $F,$ $H$ を$\mathrm{B}\{_{2}$の標準基として$L$

行列を$L( \lambda):=\lambda+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}H\otimes\sigma^{z}+E\otimes\sigma^{-}+F\otimes\sigma^{+}$$\in U(\epsilon \mathfrak{l}_{2})\otimes \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V)$を $k+1$ 次元の既約表現とする。 このとで定めよう。
:
は次元 $k+1=\mathrm{t}\mathrm{r}(1)$ について多項式
に対して
き任意の
であらわす。 この記号を用いであることが容易にわかる。 この多項式を
を次の式で定めに値を持つ有理関数て、 End$\pi^{(k)}$$U(\epsilon \mathfrak{l}_{2})arrow \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V^{(k)})$$\mathrm{t}\mathrm{r}_{V}(k)\pi^{(k)}(a)$$a\in U(\mathit{5}\mathrm{C}_{2})$$\mathrm{T}\mathrm{r}_{k+1}(a)$$X_{n}^{[12]}$$(V_{1}\otimes V_{2}\otimes \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V_{3}\otimes\cdots\otimes V_{n}))$る:$A\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V_{3}\otimes\cdots\otimes V_{n})$に対して$X_{n}^{[12]}( \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})(A):=\frac{1}{\lambda_{12}}\frac{1}{\prod_{p=3}^{n}\lambda_{1p}\lambda_{2p}}\cross \mathrm{T}\mathrm{r}_{\lambda_{12}}(L_{n}(\frac{\lambda_{1n}+\lambda_{2n}}{2})\cdots L_{2}(\frac{\lambda_{12}}{2})$$\cross P_{12}AL_{2}(\frac{\lambda_{21}}{2})\cdots L_{n}(\frac{\lambda_{n1}+\lambda_{n2}}{2}))$とおく。

このとき留数の計算は次のようにまとめられる。
$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{\lambda_{1}=\lambda_{2}-k-1}h_{n}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})$$=(-1)^{k}X_{n}^{[12]}(\lambda_{2}-k-1, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n})(h_{n-2}(\lambda_{3}, \cdots, \lambda_{n}))$$\omega(\lambda_{12})X_{n}^{[12]}(\lambda_{2}-k-1, \lambda_{2)}\cdots, \lambda_{n})$$=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}_{\lambda_{1}=\lambda_{2}-k-1}\{$

Ansatz において $\lambda_{1}=\lambda_{2}-k-1$ に極を持つのは$\lambda_{1}$(h ユー 2$(\lambda_{3}, \cdots, \lambda_{n})))$.

のみである。 その係数はについては有理的だから十分多くの値がわかれば決定される。 これから、 右辺のが求めるものであることがわかる。
$\omega(\lambda_{12})$$X^{[12\mathrm{j}}$4. 結果
前節の計算を実行すると次の表示に到達する。 一般に$\mathrm{i}<j$$\Omega_{n}^{[ij]}(\lambda_{1}, \cdots\}\lambda_{n})(A):=\omega(\lambda_{ij})\mathrm{x}X_{n}^{[ij]}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})(A)$

に対して

,
,

$X_{n}^{[ij]}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})(A):=\mathrm{R}^{[ij]}X_{n}^{[12]}(\lambda_{i}, \lambda_{j}, \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})(A)(\mathrm{R}^{[ij]})^{-1}$\^i$\mathrm{R}^{[ij]}:=h_{i-1}.(\lambda_{ii-1})\cdots R_{i1}(\lambda_{i1})R_{jj-1}(\lambda_{jj-1})$ $\cdots$ $R_{j1}(\lambda_{j1})$

とおく。

定理

上の記号のもとに$h_{n}(\lambda_{1},$$\cdot$.. ,$\lambda_{n})=\sum[n/2]$$(\lambda_{1},$$\cdot$..

$\lambda_{n}$$)$),$m=01i_{1}<j_{1}, \cdots,i_{m}<\mathrm{j}_{m}\sum_{\dot{\tau}<\cdots<i_{m}}f_{n,(i_{1}j_{1}),\cdots,(i_{m}j_{m})}$$f_{n,(i_{1}j_{1}),\cdots,(i_{m}j_{m})}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})$$= \frac{1}{2^{n-2m}}\Omega_{n}^{[i_{1}j_{1}]}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})\circ\cdots 0\Omega_{n-2m+2}^{[\dot{\tau}_{m}j_{m}]}(\lambda_{1,)}...\lambda_{n})(1)i_{1},\cdot\cdot.’

j_{m-1}$

.

(0.7)

103
におけ
の関数として両辺の留数は一致している。 そこで構成から、る漸近挙動が一致することを確かめ, Phragmen-Linde16f の定理を適用することにより定理が従う。
$\lambda_{1}arrow\infty$$\lambda_{1}$5. XXZ 模型 (予想)
最後に XXZ モデル$H_{XXZ}:=- \sum_{j=1}^{L}(\sigma_{j}^{x}\sigma_{j+1}^{x}+\sigma_{j}^{y}\sigma_{j+1}^{y}+\Delta\sigma_{j}^{z}\sigma_{j+1}^{z})$の相関関数について触れる。 $\Delta=\cos\pi\nu$ は実のパラメタで$\bullet$$\bullet$$\nu\in \mathrm{i}\mathbb{R}_{>0}$(massive regime)$0<\nu<1$ (massless regime)のいずれかを考える。 斉次鎖の相関関数の積分は [7, 8, 11] などで研究されている。
XXX モデルの場合と同様に、 相関関数の留数はトレースを用いて計算できる。
が
に対し
として
今の場合, 架$=e^{\pi i\iota/}$$\mathrm{T}\mathrm{r}_{x}a$$a\in U_{q}(\epsilon \mathrm{t}_{2})$$\mathrm{T}\mathrm{r}_{k+1}a=\mathrm{t}\mathrm{r}_{V^{(k)}}\pi^{(k)}(a)$で定義される. 今度は$(k\in \mathbb{Z}_{\geq 0})$の多項式ではなく、$x$$\mathrm{T}\mathrm{r}_{x}(a)=-xF(x)+G(x)$( $F,$$G$は$q^{x}$の多項式)の形になることがわかる。 このことに対応して、 Ansatz には 2 っの超越関数が必要になる。

次のように定めよう。
$\omega_{1}(\lambda):=\frac{d}{d\lambda}\log\overline{\rho}(\lambda)+\frac{1}{4}\frac{[2\lambda]}{[\lambda+1][\lambda-1]}$,$\omega_{2}(\lambda):=\frac{d}{d\lambda}\log\rho(\lambda)+\frac{1}{4}\frac{[2]}{[\lambda+1][\lambda-1]}$,

ただし $[\lambda]:=\sin\pi\nu\lambda/\sin\pi\nu_{7}$ また$\rho(\lambda),\overline{\rho}(\lambda)$は次の式で定める。

massive regim :$\mathrm{e}$$\rho(\lambda)=-\zeta\frac{(\zeta^{-2})_{\infty}(q^{2}\zeta^{2})_{\infty}}{(\zeta^{2})_{\infty}(q^{2}\zeta^{-2})_{\infty}}$,$\{q^{2}\zeta^{2}\}\{q^{6}\zeta^{2}\}\{q^{2}\zeta^{-2}\}\{q^{6}\zeta^{-2}\}$$\tilde{\rho}(\lambda)=\overline{\{q^{4}\zeta^{2}\}^{2}}\overline{\{q^{4}\zeta^{-2}\}^{2}}$’

ただし$(z)_{\infty}=(z,\cdot q^{4})_{\infty},$$\zeta=e^{\pi i\nu\lambda},$$\{z\}=(z;q^{4}, q^{4})\infty$.

104
massless regime:$\rho(\lambda)=-\frac{S_{2}(-\lambda)S_{2}(1+\lambda)}{S_{2}(\lambda)S_{2}(1-\lambda)}$,.

$\tilde{\rho}(\lambda)=\frac{S_{3}(1-\lambda)S_{3}(1+\lambda)S_{3}(3-\lambda)S_{3}(3+\lambda)}{S_{3}(2-\lambda)^{2}S_{3}(2+\lambda)^{2}}$

ただし $S_{2}(\lambda)=S_{2}(\lambda|2,1/l\nearrow)$ は double sine 関数, $S_{3}(\lambda)=S_{2}(\lambda|2,2,1/\nu)$ は triple sine関数
このとき次の予想がある:
予想$X_{n}^{\lfloor ij]}$を (0.7) と同様に定義して$X_{n}^{[\dot{\mathrm{z}}j]}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})$と表わし、$\Omega_{n}$:=-\lambda ijp:刀$(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})+G_{n}^{[ij]}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})$の定義を$\Omega_{n}^{[ij]}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}).--\omega_{1}(\lambda_{ij})F_{n}^{[ij]}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})+\omega_{2}(\lambda_{ij})G_{n}^{[ij]}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n})$でおきかえれば、 XXZ の場合にも BKS Ansatz が成り立つ。
追記 : 講演の後、 BKS Ansatz の式が確認された。

$\mathrm{q}\mathrm{K}\mathrm{Z}$ロ

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