数理解析研究所講究録
第 898 巻 1995 年 127-131

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EXISTENCE OF NODAL SOLUTIONS FOR SEMILINEAR ELLIPTIC EQUATIONS(Ryuji Kajikiya)

梶木屋龍治

宮崎大学工学部\S 1 序.
本講演では、次の半線形楕円型偏微分方程式の零点を持つ球対称解の存在にっいて報告する。

,

$0$

,

$x\in\Omega$$0$,$x\in\partial\Omega$$\{\begin{array}{l}\triangle \text{賜十} f(u) =u(x) =\end{array}$

ここで$\Omega$

は球の外部領域、又は全空間$R^{n},$.とする。 球対称解 $u=u(r),$ $r=|x|$$n\geq 2$の満たすべき方程式は、(1)$u^{n}+ \frac{n-1}{r}u’+f(u)=0$であり、 境界条件は $\Omega=\{x$ : $|x|>R\}$$\Omega=R^{n}$、、,のときそれぞれ次の条件となる。

(2)$u(R)=0$ ,$\lim_{rarrow\infty}u(r)=0$;(3)$u’(0)=0$ ,$\lim_{rarrow\infty}u(r)=0$.

今後、 方程式 (1) と境界条件 (2) を組にしたもの又は、 (1) と境界条件 (3) を組にしたものを考える。 次の仮定 $(f0)\sim(f4)$ を考える。
$(f0)$

関数 $f(u)$ は連続であり、 $f(0)=0$ を満たす。 さらに方程式 (1) の初期値問題に対する解の一意性を仮定する。

(fl)

十分小さな $|s|>0$ に対して、 $sf(s)<0$ .

$(f2)$$(f3)$$\lim_{sarrow\pm\infty}\frac{f(s)}{s}=+\infty$.

次の条件を満たす正定数 $c_{0}>0$、$\delta_{0}>0$$0<F(s)\leq c_{0}sf(s)$ ,

ただし

(4)

$a,$

$b,$

$F($が存在する。

$s\in(-b-\delta_{0}, -b)\cup(a, a+\delta_{0})$のは、 次のように定義する。
$b=- \max\{s<0:F(s)=0\}>0$ ,$a= \min\{s>0:F(s)=0\}>0$ ,$F(u)= \int_{0}^{u}f(s)ds$

(f4)

,

$\lim_{sarrow\pm}\sup_{\infty}\frac{sf(s)}{F(s)}<\infty$$(n=2$ のとき$)$,.

$\lim_{sarrow\pm}\sup_{\infty}\frac{sf(s)}{F(s)}<\frac{2n}{n-2}$$(n\geq 3$のとき$)$.

解の存在を示すときに、 shooting method を使うので $(f0)$ を必要とする。 もし $f(s)$ が局所 Lipschitz 連続で、 $f(0)=0$ を満たすならば $(f0)$ は成り立っ。 しかし、 $f(s)$ が局所

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Lipschitz 連続でないときにも興味ある方程式 (例 1 参照) があるので、仮定 $(f0)$ の形にし$-b$ は $(f1),(f2)$ により well-defined である。仮定 $(f2),(f4)$ は、ておく。仮定 $(f3)$ の定数(のが $u=\pm\infty$ でそれぞれ superlinear, subcritical の増大度を持つことを意味する。 $(f4)$$a,$$f$

は$\Omega$が球の外部領域のときは必要でない。

以下の結果が得られた。

: $|x|>R\}$ の場合
境界値問題 (1) $-(2)$ を考える。 $(f0),$ $(f1),$ $(f2)$ ,$(f3)$ を仮定する。 このとき (1) $-(2)$ の解の列
で次の性質を持つものが存定理 1.

$(\Omega=\{x$$)$$\{u_{k}\}_{k=0^{\text{、}}}^{\infty}\{v_{k}\}_{k=0}^{\infty}$在する。各$u_{k},$$v_{k}$

は区間 $(R, \infty)$ にちょうどた個の零点を持ち、 かっ $u_{k}’(R)>0>v_{k}’(R)$

を満たす。
定理 2.

$(\Omega=R^{n}$の場合$)$の条件を仮定する。 このとき存在する。 各$u_{k},$$v_{k}$

境界値問題 (1) $-(3)$ を考える。 $(f0)$ から (f4) までのすべて(1) $-(3)$ の解の列$\{u_{k}\}_{k=0^{\text{、}}}^{\infty}\{v_{k}\}_{k=0}^{\infty}$

で次の性質を持つものがは区間 $(0, \infty)$ にちょうどた個の零点を持ち、 かつ $u_{k}(0)>0>v_{k}(0)$

を満たす。
定理 3.

$sf(s)>0$ ,$(f3’)$

ここで

定理 1 及び 2 の仮定において $(f3)$ を次の条件 $(f3’)$ に置き換える。

$a,$$s\in(-\infty, -b]\cup[a, \infty)$.

は (4) によって定義される。 このとき$b$$\dot{\text{定}}$理 1,2 で得られた解の列$\{u_{k}\},$$\{v$

尋は次を満たす。 定理 1 において
$0<u_{0}’(R)<u_{1}’(R)<\cdots\uparrow\infty$,$0>v_{0}’(R)>v_{1}’(R)>\cdots\downarrow-\infty$,$0>v_{0}(0)>v_{1}(0)>\cdots 1-\infty$.

定理 2 において$0<u_{0}(0)<u_{1}(0)<\cdots\uparrow\infty$$\Omega=R^{n}$のとき定理 2 に関連した次の結果が知られている $([$ 2, 3,$5])_{\text{。}}f$.

(のが仮定 $(f0)$ ,(fl), $(f2)$ 及び$(f3_{*})$$(f4_{*})$$f(a)\neq 0B^{a\prime}of(-b)\neq 0$ある,

$1<p<(n+2)/(n-2)$ が存在して$uarrow\pm\infty$のとき $f(u)\sim|u|p-1u$ .

を満たせば、 定理 2 と同じ結論が成り立っ。

定理 1,2 の仮定 $(f3),$ $(f4)$ がそれぞれ $(f3_{*}),$ $(f4_{*})$ より弱い仮定であることは容易に確かめられる。 すなわち定理 2 は従来の結果を拡張し、 より広いタイプの方程式についても球対称解の存在を保証してくれる。 定理 3 に関連した結果は、 ほとんど知られていないように思われる。

例 1.

次のような方程式に定理 1,2,3 が適用できる。
$\triangle u$

十 $u\log|u|=0$ ,$\Delta u+|u|^{p-1}u$

一$|u|^{q-1}u=0$,129

ここで $\Omega=\{x$ : $|x|>R\}$ 又は, $\Omega=R^{2}$ のときは、 $1\leq q<p<\infty$ を仮定し、$\Omega=R^{n},$ $n\geq 3$のときは、 $1\leq q<p<(n+2)/(n-2)$ を仮定する。

例 2.
$\triangle u$

十 $f(u)=0$ ,$f(u)=\{\begin{array}{ll}(u-2\pi)^{p} (u>2\pi)-|u \text{十} 2_{71}\cdot|p (u<-2\pi)-\sin u (|u|\leq 2\pi),\end{array}$

ここで、 $p$ については定理 1 と同じ仮定をおく。 この $f(u)$ に対して $a=b=2\pi,$ $f(a)=$$f(-b)=0$ となるので$(f3_{*})$

は成り立たないが、 $(f3)$ は成り立っので定理 1,2 が適用できる。

\S 2 定理の証明.
定理$2$$1$、は shooting method を使って同じ手法で証明できる。以下、定理 2 の証明の概略を説明する。 次の初期値問題(5)$u”+ \frac{n-1}{r}u’+f(.u)$$u’(0)=0$ ,(6)$u(O)$$=$$0$$=$$\lambda$,$r>0$ ,の解を $u(r, \lambda)$ と表すと、 これは $r\in[0, \infty)$ 上で定義される。 これを示す。 まず energy 関数 ( $=$ Lyapunov 関数) を次式により定義する。

今畷

$r)$

$E(r)$$=$$E(r, \lambda)\equiv\frac{1}{2}u’(r, \lambda)^{2}+F(u(r, \lambda))$$F(u)$$=$$\int_{0}^{u}f(u)d$肱

,が (5) の解だから$E’(r)=- \frac{n-1}{r}u’(r)^{2}\leq 0$,が成り立ち、 $E(r)$ は単調減少関数である。 ゆえに、$\frac{1}{2}u’(r)^{2}+F(u(r))=E(r)\leq E(0)$となる。 一方、 仮定 $(f2)$ より$C$,$F(u)arrow+\infty(uarrow\pm\infty)$$(r\geq 0)$,であるから上式より、 ある正定数が存在して、‘$|u(r)|+|u$ $(r)|\leq C$$(r\geq 0)$

が成り立っ。 よって $u(r)$ は有界な大域解であることがわかる。次の記号を導入する。
万 $[\lambda]=u(r, \lambda)$ が区間 $[0, \infty)$ に持つ零点の個数.
$\underline{u}(\lambda)=\lim\inf u(r, \lambda)rarrow\infty$’$\overline{u}(\lambda)=\lim_{rarrow}\sup_{\infty}u(r, \lambda)$.

130

定理 2 の結論のうちで解の列$\{u_{k}\}_{k=0}^{\infty}$の存在についてのみ説明する。 そのため、 $k\geq 0$ に対して次の集合を定義する。
$=$$\{\lambda\in(a, \infty):N[\lambda]=2k, 0<\underline{u}(\lambda)\leq\overline{u}(\lambda)<a\}$$U_{2k+1}$$=$$\{\lambda\in(a, \infty):N[\lambda]=2$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$=$$U_{2k} \cup\{\lambda\in(a, \infty):N[\lambda]=2k, \lim_{rarrow\infty}u(r, \lambda)=a\}$$V_{2k+1}$$=$$U_{2k+1}\cup\{\lambda\in(a, \infty):N[\lambda|=2$ た$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$=$$\{\lambda\in(a, \infty):N[\lambda]=k, \lim_{rarrow\infty}u(r, \lambda)=0\}$$V_{k},$$W_{k}$

これらの集合に対して

補題 1.

,

$U_{2k}$$U_{k},$$W_{k}\neq\emptyset$

ん十 $1, -b<\underline{u}(\lambda)\leq\overline{u}(\lambda)<0\}$ ,,$+1$,$\lim_{rarrow\infty}u(r, \lambda)=-b\}$,,は空集合かも知れない。定理 2 を得るためには、 すべてのん $\geq 0$を示せばよい。 そのために次の四つの補題を準備する。

$\lim_{\lambdaarrow\pm\infty}N[\lambda]=+\infty$が成り立っ。 ゆえにた $\geq 0$ を固定するとき$U_{k},$

は・$W_{k}$$V_{k},$それぞれ有界集合である。

補題 2.

(ii)

もし

補題 3.

(i) もし琉$W_{k}\neq\emptyset$$\neq\emptyset$

ならば、 $\sup V_{k}\in\bigcup_{j=0}^{k}W_{j}$ .

ならば、 $\sup W_{k}\in\bigcup_{j=0}^{k}W_{j}$ .

$W_{k}\neq\emptyset$

かつ$\sup W_{k}\in W_{k}$$( \sup W_{k}, \sup W_{k}+\epsilon_{k})\subset U_{k}\cup U_{k+1}$

補題 4.

を仮定する。 このとき、 ある娠 $>0$ が存在して.

ある $\epsilon>0$ が存在して $(a, a+\epsilon)\subset V_{0}$ が成り立っ。

定理 2 の証明.

数学的帰納法により示す。 まず補題 4 より有界集合なので $\lambda_{0}=\sup V_{0}$ が定義できて、補題 2 (i) よりり補題 2 (ii) より$\mu_{0}=\sup W_{0}\in W_{0}$.

$V_{0}\neq\emptyset$$\text{補^{}B}\not\in 1$。

$\lambda_{0}\in W_{0}$.

よって

より

$V_{0}$$W_{0}\neq\emptyset$

このとき補題 3 の仮定が満足されて、 あるはとな$\epsilon_{0}>0$

に対して

(7)

$(\mu_{0}, \mu_{0}+\epsilon_{0})\subset U_{0}\cup U_{1}$が成り立っ。 今、(8)$(\mu_{0}, \mu_{0}+\epsilon_{0})\cap U_{0}=\emptyset$を示そう。 この集合が空集合でないと仮定して、 ここから一点であり、 $\mu_{0}=\sup W_{0}$ なので$\lambda_{0}\leq\mu_{0}$となる。ゆえにている。 最後の包含関係 $U_{0}\subset V_{0}$ は、$\lambda\in V_{0}$より$U_{0},$$V_{0}$$\lambda$$\lambda_{0}\leq\mu_{0}<\lambda$の論法を繰り返して防となり巧$V_{k}\neq\emptyset,$$\neq\emptyset$$W_{k}\neq\emptyset(k\geq 0)$$\lambda_{0},$$\mu_{0}\in W_{0}$かっ $\lambda\in U_{0}\subset V_{0}$ となっの定義より明らかである。結局となるが、 これは $\lambda_{0}=\sup V_{0}$ に反する。 この矛盾により$(\mu_{0}, \mu_{0}+\epsilon_{0})\subset U_{1}\subset$をとる。一方、$\lambda_{0}<\lambda$

かっ(8) を得る。 (7) と (8) にとなる。 よって $\lambda_{1}=\sup$ 防が定義できる。 こを得る。

(証明終)定理 3 の証明.

$(f3’)$の仮定のもとで、すべての$\lambda\neq 0$に対して解 $u(r, \lambda)$ は、区間 $[0, \infty)$に高々有限個の零点しか持たないことが証明できる。 もし、定理 2 の$\{u_{k}(0)\}_{k=0}^{\infty}$が有界で131あれば、 適当な部分列がある極限$\Lambda$に収束する。 このとき 各 $u_{k}(r)$ が $[0, \infty)$ にた個の零点を持つことを使って、 $u(r, \Lambda)$ が $[0, \infty)$ に無限に多くの零点を持つことが証明できる。 これは、 先に示した事実に反している。結局 $\{u_{k}(0)\}$ は非有界でなければならない。

(証明終)各補題及び定理の詳細な証明については、 4] を参照されたい。
$[$References[1] H. Berestycki and P.-L. Lions, Nonlinear scalar field equations, II. Existence of infinitely many solutions, Arch. Rational Mech. Anal. 82 (1983), 347-375.
[2] M. Grillakis, Existence of nodal solutions of semilinear equations inEquations 85 (1990), 367-400.

$R^{n}$, J. Differential[3] C. Jones and T. K\"upper, On the infinitely many solutions of a semilinear elliptic
equation, SIAM J. Math. Anal. 17 (1986), 803-835.

[4] R. Kajikiya, Nodal solutions of superlinear elliptic equations in symmetric domains,
To appear in Adv. Math. Sci. Appl.
[5] K. McLeod, W. C. Troy and F. B. Weissler, Radial solutions of $\triangle u+f(u)=0$ withprescribed numbers of zeros, J. Differential Equations 83 (1990), 368-378.

[6] W. A. Strauss, Existence of solitary waves in higher dimensions, Comm. Math. Phys.
55 (1977), 149-162.