数理解析研究所講究録980 巻 1997 年 35-43

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C*力学系におけるある種のエントロピー函数について

山口大学工学部
あらまし 非可換力学系 ($C^{*}$

力学系)

村木尚文 (Naofumi Muraki)の定常状態およびその間の定常チャンネルに対して、ある種のエントロピー型函数 8 と 7 を定義することを試みる。 これらは情報理論におけるentropy rate および information rate のアナロジーのつもりである。 函数$\tilde{S}$と$\tilde{I}$に対してKolmogorov-Sinai 型の収束定理が成立することが示される。

1. はじめに
非可換力学系 ($C^{*}$

力学系) の時間発展の複雑さを測る量として A. Connes, H. Narnhofer

and W. Thirring の dynamical entropy が知られている [CNT]$[\mathrm{O}\mathrm{h}\mathrm{P}]$。これは可換力学系に対する Kolmogorov-Sinai entropy の非可換拡張になっている。 Kolmogorov-Sinai entropyの非可換拡張の試みはいくつか成されているが、それらのうち、 Connes-Narnhofer-Thirring[Emc]の dynamical entropy がもっともよく知られたものである

は、$II_{1}$型 von Neumann 代数の自己同型に対して定義されたを–般の$C^{*}$

力学系に対して拡張したものである。

$[\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{S}]$[Con] [CNT]。これ$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}-\mathrm{s}\mathrm{t}\phi \mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$の entropy-Thirring の dynamical$\mathrm{c}_{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}}\mathrm{e}\mathrm{S}-\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{h}_{0}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}$entropy の定義はやや複雑でその直感的意味が解りづらいが、基本的には、同時エントロピー(joint entropy) およびアーベリアンモデル (Abehan model) という方法でエントロピーを定義している。 同時エントロピーの方法というのは、代数 $A$ の有限次元部分代数の組$A_{2},$$\cdots,$$A_{N}\subset A$(古典論では標本空間の有限分割の組$\tilde{B}_{1}$,$\tilde{B}_{2},$(古典論では生成される有限分割する代数 $A=<A_{1},$ $A_{2,N}\ldots,$
$A>$
に相当)

$\Omega$$\cdots,\overline{B}_{N}$$A_{1},$ $A_{2},$$((A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N})\mapsto A-, H(A))$$\cdots,$$A_{N}$,に相当) が生成$\tilde{B}=\tilde{B}_{1}\vee\tilde{B}_{2}\cdots\vee\tilde{B}_{N}$が–般には有限次元とはならないため、古典論なら、本来、生成された代数を用いて有限次元部分代数の組$A_{1}$$A\subset A$の同時エントロピーを定義すべきところを、 直接、 組 $(A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N})$ に対して同時エントロ

ピーを定義してしまおう、 $((A_{1}, A_{2,N}\ldots, A)\mapsto H(A, A_{2}, \cdots, A_{N})!)$ というアイデアである$[\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{S}][\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}]$。また、 アーベリアンモデルとは、 ラフにいうと、 非可換な状況を可換な状況に射影して考えよう、 というものである [CNT]。
方、 M. Ohya は、 量子情報理論の展開のために、 合成状態 (compound state) と相互
エントロピー (mutual information $=mutua\iota ent_{\Gamma \mathit{0}}py$ ) を導入している [状態という考えでは、入力状態$\phi$とそれをチャンネル

の相関状況を入力系の代数 $A$ と出力系の代数
態$\Phi$(状態

成状態$\Phi$と状態$\psi$

は入力状態$\phi$$\phi$の合成状態)の端点分解$\mathcal{B}$$\Lambda^{*}$$\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{y}1|_{\circ}$を通して送った出力状態のテンソル積$A\otimes \mathcal{B}$この合成$\psi=\Lambda^{*}\phi$

上の (非自明な) 状として表そうというものである。 この (非自明な) 合$\phi=\int\omega d\mu(\omega)$を通して実現される。 ($\Phi=\Phi_{\mu}$, つまり、

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端点分解の仕方
積代数$A\otimes \mathcal{B}$$\mu$に依存。) ラフにいうと 2 つのシステム $A$ と上で (状態$\phi$の端点分解

うものである。 特に、 テンソル積代数$\Phi_{0}=\emptyset\otimes\psi$

解

$\mu$

$\mu$

に関する $\sup$ ) を, 状態$\phi$

をいろいろと動かすことにより) 見よう、 とい$A\otimes \mathcal{B}$との差異を相対エントロピーから状態上で非自明な合成状態$S(\cdot|\cdot)$$\psi$の相関状況をテンソル$\mathcal{B}$によって測ったもの$\Phi_{\mu}$と自明な合成状態$S(\Phi_{\mu}|\Phi 0)$(の端点分に伝わった情報量と考えようというのが、 Ohyaの相互エントロピーの考えである。
力学系の理論の立場では、 個々の$C^{*}$

力学系の時間発展の様子に興味があるが、 情報理論の立場では入力系と出力系の 2 つの$C^{*}$

力学系の間の情報論的相関に興味がある。 情報理論では、 入力系の Kolmogorov-Sinai entropy を情報源エントロピー (source entropy) も

しくは情報生成速度 (entropy rate) といい、 入力系から出力系へ伝わる単位時間当たりの情報量を情報伝送速度 (information rate) という。 よって量子情報理論の展開という立場からは、 2 つの$\Lambda$:$\mathcal{B}arrow A$$C^{*}$

力学系

であって、

と

$(A, \theta_{A})$$(B, \theta g)$の間の定常チャンネル $\Lambda^{*}(=$ 完全正単位写像

を満たすような A の双対$\theta_{A}\circ\Lambda=\Lambda\circ\theta_{B}$$\Lambda^{*}$) を通して伝送される

information rate というものを論じるのは自然な問題であろう。 (ここで$C^{*}$$\theta_{A},$$\theta_{\beta}$

はそれぞれ

代数 $A,$ $B$ の自己同型である。)

本稿では、$C^{*}$

定常チャンネルと定常入力状態$\Lambda^{*}$$\phi$

に対して, entropy rate のアナロジーである函数 8 と information rate のアナロジーである函数
函数$\tilde{I}$の構成は、$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}- \mathrm{S}\mathrm{t}\beta \mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\tilde{I}$を定義する。 函数 8 との同時エントロピーの考えと, Ohya の合成状態および相互エントロピーの考えに基づいて行う。 後で述べるようにこの函数 8 と$\tilde{I}$に対してはKolmogorov-Sinai 型の定理が成立することがわかる。
尚、 本稿の内容は大矢雅則教授との共同研究である。 (詳しくは2. 完全正単位写像の組に対する函数$\mathrm{C}_{0}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}-\mathrm{S}\mathrm{t}\emptyset \mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$$C^{*}$

部分代数の組$S$と函数のアイデアに従って、 まず、$A_{1},$ $A_{2},$$\cdots A_{M}\subset A$のおよび、 有限次元 $c*$ 部分代数の組 2 つ$C^{*}$$[\mathrm{M}\mathrm{u}\mathrm{O}]$

を参照。)

$I$

代数 $A$ の状態$\phi$

に関する、 有限次元

(ある種の) 同時エントロピー $S_{\phi}(A1, A2, \cdots A_{M})_{\text{ }}$、$A_{1},$ $A_{2},$$\cdots A_{M}\subset A$と$B_{1},$ $B_{2},$$\cdots B_{N}\subset A$の間の(ある種の) 同時相互エントロピー $I_{\phi}((A_{1}, A2, \cdots A_{M}), (B_{1}, B_{2,N}\ldots B))$ を定義することを考えよう。 しかし、 実際には

$C^{*}$

代数は von Neumann 代数と違って十分に多くの有限次元部分代数を持つとは限らない。極端な場合として自明な有限次元部分代数しか持たない$C^{*}$

代数も存在する。 しかしそのような場合でも、有限次元部分代数は持たずとも、 有限次元代数からの完全正写像を十分に多く持つ場合がある。 それは核型場合である [CNT]。よって、核型“$C^{*}$

同時相互情報量’U を、 (有限次元$C^{*}$

代数とよばれるクラスの代数の場合を念頭において、 “ 同時エントロピー” $S$ と$C^{*}$

部分代数の組に対してではなく) 有限次元 $c*$ 代数からの完全正写像の組に対して定義しよう。 もちろん、 定義は–般の$C^{*}$

代数に対して成され37

るが、 念頭にあるのは核型ぴ代数ということである。 2 つの函数 $S$ と$I$を実際に定義する過程において、 アーベリアンモデルの代わりに Ohya のアイデアである合成状態と相互

エントロピーを用いようというわけである。 (テンソル積$\mathcal{B}$$A\otimes \mathcal{B}$において、 代数 $A$ と代数は互いに可換となるから、 Ohya の合成状態の考え方においても、 非可換な状況をある種の可換性を持った状況にマップしていることになる。)
を $c*$ 代数 $(\ni I)$ とし、

$A$

有限次元

$C^{*}$

を $A$ 上の状態とする。各 $m=1,2,$$\phi$

代数 $(\ni I)$ とし、$\alpha_{m}$とする。 (以下、 単位元を持つ$C^{*}$$\cdots,$

$M$

に対して、

を

$A_{m}$: $A_{m}arrow A$ を完全正写像で単位元を保つもの $(\alpha_{m}(I)=I)$
代数を単位的 $c*$ 代数 (unital C’-algebra) といい、 単位元を保つ完全正写像を完全正単位写像 (completely positive unital map) という。) また、 各$n=1,2,$写像$\cdots,$

$N$

に対して、

$B_{n}$

を有限次元とする。 単位的$(\beta_{n}(I)=I)$$C^{*}$$C^{*}$

代数 $A$ の状態空間のうち、 Choquet 順序で極大、 かつ、 状態の全体をとおく。 このような測度$M_{+}^{1}(\emptyset)$

代数 $(\ni I)$ とし、$\phi$

$\mu$

積代数

上の状態

$\otimes_{m=1}^{M}A_{m}$$\Phi_{\mu}(\alpha^{M})$

.

$(A)$

を状態
$C^{*}$$\phi$$\Phi_{\mu}(\alpha^{M})$$\mu$$( \int_{\mathfrak{S}(A)}\omega d\mu(\omega)=\phi)$の極大分解測度という。 Choquet の

代数 $A$ の状態の極大分解測度$\phi$$\alpha^{M}=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{M})$

$\mu$

と、

とを用いて、 テンソルを次のように定める :$\Phi_{\mu}(\alpha^{M})=\int_{\mathfrak{S}(A)}\otimes_{m=}1m(M\omega\alpha^{*}\omega d\mu)$

この状態上の正則 Borel 確率測度を重心としてもつもの

定理より、極大分解測度は常に存在する。 単位的
有限次元代数達からの完全正単位写像の組$\mathfrak{S}$: $B_{n}arrow A$ を完全正単位$\beta_{n}$は、 [Ohyl] の意味で、状態$\alpha_{1}^{*}\phi,$$\alpha_{2}^{*}\phi,$.

$\cdots,.\alpha^{*}M\emptyset$.

の合成状態である。即ち,任意の $x\in A_{m}$ および単位元 $I\in\otimes_{m’\neq mm’}A$ に対して$\Phi_{\mu}(\alpha^{M})(x\otimes I)=\alpha_{m}\phi*(x)$更に、$\alpha^{M}\cup\beta^{N}\equiv(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{M}, \beta_{1}, \beta 2, \cdots,\beta_{N})$$\Phi_{\mu}(\alpha^{M})$と状態$I\in\otimes_{n=1}^{N}Bn$$\Phi_{\mu}(\beta^{N})$.

とおくと、 状態$\Phi_{\mu}(\alpha^{M}\cup\beta^{N})$は状態の合成状態である。 即ち、 任意の $x\in\otimes_{m=1}^{M}Am$ および単位元に対して$\Phi_{\mu}(\alpha^{M}\cup\beta^{N})(X\otimes I)=\Phi_{\mu}(\alpha)M(x)$であり、 かつ、 単位元 $I\in\otimes_{m=1}^{M}Am$ と任意の $y\in\otimes_{n=1}^{N}Bn$ に対して$\Phi_{\mu(\alpha^{M}\cup\beta^{N}})(I\otimes y)=\Phi_{\mu}(\beta^{N})(y)$

である。

有限次元
$\beta_{n}$$C^{*}$

代数達からの完全正単位写像: $B_{n}arrow A,$ $n=1,2,$$(\beta 1, \cdots, \beta_{N})$

とし、

$\mu$

$\cdots,$$N$$\alpha_{m}$: $A_{m}arrow A,$ $m=1,2,$, から作った有限列をそれぞれ

を $A$ 上の状態$\phi$$\cdot,$

$.,$

$M$

, および,$\alpha^{M}=(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{M})\text{、}\beta^{N}=$の極大分解測度とする。 このとき函数$S_{\mu}(\cdot)$

および

-

38

函数

$I_{\mu}(\cdot, \cdot)$を次のように定める :,$S_{\mu}( \alpha^{M})=\int_{\mathfrak{S}(A)}S(\otimes^{M}=1\omega|\Phi(\alpha^{M})m\mu)\alpha_{m}d*(\mu\omega)$$I_{\mu}(\alpha^{M}, \beta^{N})=S(\Phi_{\mu}(\alpha\cup\beta MN)|\Phi_{\mu}(\alpha^{MN})\otimes\Phi_{\mu}(\beta))$

ここで、$S(\cdot|\cdot)$.

は H. Umegaki の相対エントロピーを表す [Ume]。即ち、 ある有限次元

代数 $A(\ni I)$ 上の状態$\omega_{1},$に対し、 そのトレース Tr に関する密度作用素を$\omega_{2}$$\rho_{\omega_{1}},$$C^{*}$と$\rho_{(v_{2}}$したとき$S(\omega_{1}|\omega 2)=\mathrm{n}\{\rho(v_{1}(\log\rho\omega_{1}-\log\rho_{\omega_{2}})\}$である。 相対エントロピー

今定めた函数
命題 21.

と$S_{\mu}$$I_{\mu}$$S(\rho_{\omega_{1}}|\rho_{\omega_{2}})$は $A$ 上のトレース Tr の選び方によらずに決まる。

に対し次の関係式が成立する。

.

$s_{\mu}(\alpha^{M})+S_{\mu(\beta^{N})=S}\mu(\alpha^{M}\cup\beta^{N})+I_{\mu(\alpha,\beta}MN)$

これは、情報理論における、確率空間
および、 2 つの有限分割盃と$\tilde{B}$$(\Omega, \mathcal{F}, P)$の有限分割の間の相互エントロピー$\tilde{A}$のエントロピー$I_{P}(\tilde{A},\tilde{B})$$H_{P}(\tilde{A})_{\text{、}}$との間の基本関係式$H_{P}(\overline{A})+H_{P}(\overline{B})=H_{P}(\overline{A}\overline{B})+I_{P}(\overline{A},\overline{B})$に類似している。 ([Bil] を参照。)
ここで $c*$ 代数 $A,$ $A_{m},$ $B_{n}(m=1, \cdots, M;n=1, \cdots, N)$ が、皆、可換であり、更に、完

全正単位写像$\alpha_{m}$: $A_{m}arrow A,$: $B_{n}arrow A$ が、 皆、 部分代数としての埋め込み$\beta_{n}$$\alpha_{m}=j_{A_{m})}$$\beta_{n}=jB_{n}$である場合を考えてみる。 このとき、 可換ぴ代数 $A(\ni I)$ 上の任意の状態対しての極大分解測度$\phi$$\mathrm{t}$ドルフ空間

代数 $A_{m},$$\Omega=\mathrm{S}_{\mathrm{P}}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)$$B_{n}$

は$\Omega$$\mu$$\phi$には–意に決まる。 $A$ は純粋状態全体のなすコンパクトハウス

上の複素数値連続関数の空間の有限分割$A_{m}^{\sim},\tilde{B}_{n}$$C(\Omega)$と同型となり、 有限次元部分を導く。 そして、 本節で定義した函数$S_{\mu}(\alpha^{M})$は情報理論での有限分割のエントロピーと –致すること :$S_{\mu}(\alpha^{M})=H(\mu m=1m\overline{A})\vee^{M}\text{、}$および、 函数$I_{\mu}(\alpha^{M}, \beta^{N})$は有限分割の相互エントロピーと –致すること :$I_{\mu}(\alpha^{M}, \beta^{N})=I_{\mu}(\vee m=1M\overline{A}m’ \mathrm{v}_{n}=1\overline{B}n)N$

,

がわかる。
再び、 非可換な場合の–般論に戻ることにする。 有限次元の単位的 $c*$ 代数 $A_{m}(m=$$1,2,$ $\cdots,$ $M),$ $B_{n}(n=1,2, \cdots, N)$$(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{M}),$$\beta^{N}=(\beta_{1}, \cdots, \beta_{N})$から単位的$C^{*}$

代数 $A$ への完全正単位写像の組 $\alpha^{M}=$に対し$S_{\phi}(\alpha)M=$$S_{\mu}(\alpha^{M})$$\sup$,$\mu\in M_{+}^{1}(\emptyset)$$I_{\phi}(\alpha^{M}, \beta^{N})=$$\sup$$\mu\in M_{+}^{1}(\emptyset)$$I_{\mu}(\alpha^{M}, \beta^{N})$39

とおく。 函数

は $M$ 個の完全正単位写像$S_{\phi}(\alpha^{M})$間の同時エントロピーに相当する量であり、 函数$\alpha^{M}=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{M})$$I_{\phi}(\alpha^{M}, \beta N)$$I_{\phi}(\alpha^{MN}, \beta)$$\cdots,$$M$のは完全正単位写像の $M$ 組

は、 以下の様に、 Ohya の相互エントロピー

を多数の完全正単位写像が関与している状況に–般化したものと見なすことができる。 Ohya は、 $c*$ 代数 $A$ から $c*$ 代数

ら状態: $A_{m}arrow A,$ $m=1,2,$と $N$ 組 $\beta^{N}=(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{N})$ の間の同時相互エントロピーに相当する量である。 そして、 函数$I(\phi)\Lambda^{*})$$\alpha_{m}$$\psi=\Lambda^{*}\phi$$\mathcal{B}$へのチャンネル$\Lambda^{*}$: $A^{*}arrow e*$ を通して状態$\phi$

かへ伝わった相互エントロピーを$I(\phi;\Lambda^{*})=$$\sup$$I_{\mu}(\phi;\Lambda^{*})$$\mu\in M_{+}^{1}(\emptyset)$と定めている。 但し、$I_{\mu}( \phi;\Lambda*)=s(\Phi_{\mu}|\Phi 0)\text{、}\Phi_{\mu}=\int_{\mathfrak{S}(A)}\omega\otimes\Lambda^{*}\omega d\mu(\omega)_{\text{、}},\Phi_{0}=\phi\otimes\Lambda^{*}\phi$である。 ぴ代数 $A$ と $c*$ 代数$\mathcal{B}$は–般に無限次元であるのでエントロピーである [Ara] [Uhl]。先ほどのを落として、 $A_{m},$$B_{n}$と$\alpha_{1}=\mathrm{i}\mathrm{d}A:Aarrow A$$I_{\phi}(\alpha^{M}, \beta N)$$S(\cdot|\cdot)$

は–般化された相対の定義において有限次元性の仮定

が無限次元のときにも同様に定義するならば、 2 つの完全正単位写像$\beta_{1}=\Lambda$:$\mathcal{B}arrow A$

に対して$I_{\phi}(\mathrm{i}\mathrm{d}_{A}, \Lambda)=I(\phi;\Lambda^{*})$となるので、確かに、 函数$I_{\phi}(\alpha, \beta MN)$

は Ohya の相互エントロピー$I(\phi;\Lambda^{*})$の拡張になっている。

相対エントロピー$S(\cdot|\cdot)$の基本性質 (同時凸性、 単調性、 スケール性等) を用いると次が容易に得られる。
命題 22.
$\gamma_{m}$:$A_{m}’arrow A_{m}$$A_{m}’,$と$m=1,$$\delta_{n}$:$\cdots,$$M$$B_{n}’arrow B_{n}$と$B_{n}’,$$n=1,$$\cdots,$$N$を有限次元 $c*$ 代数 $(\ni I)$ とし、を完全正単位写像とする。 また、$\theta$: $Aarrow A$ を$\phi\circ\theta=\emptyset$

なる完全正単位写像とする。 このとき次が成立する。

(1) 基本不等式:$I_{\phi}( \alpha^{M}, \beta N)\leq\min\{S_{\phi}(\alpha^{M}), s\emptyset(\beta^{N})\}$(2) 完全正単位写像の有限列$\alpha^{M’}=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{L})$と.

$\alpha^{M}"=(\alpha_{L+1}, \alpha_{L}+2, \cdots, \alpha_{M})$

とに対して
”

$\max\{S_{\phi}(\alpha^{M’M’}), s_{\phi}(\alpha’)\}$(3) 完全正単位写像の有限列$(\beta_{1^{\circ\delta_{1}}}, \beta 20\delta 2, \cdots, \beta_{NN}\circ\delta)$$\leq S_{\phi}(\alpha^{M})\leq S_{\phi}(\alpha^{M’})+S_{\phi}(\alpha^{M}$$)$.

$\alpha^{M}\circ\gamma^{M}\equiv(\alpha_{1}\circ\gamma_{1,2}\alpha 0\gamma 2, \cdots, \alpha M\mathrm{O}\gamma M)$

に対し$\vee C$

$S_{\phi}(\alpha M_{\circ}\gamma)M\leq s_{\phi}(\alpha)M$,$I_{\phi}(\alpha^{M}\circ\gamma, \beta MN_{\circ}\delta N)\leq I_{\phi}(\alpha, \beta MN)$.

と$\beta^{N}0\delta^{N}\equiv$

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更に、 もし全ての $m,$

$n$

に対し

$\gamma$(4) 完全正単位写像の有限列$\beta_{2},$$\cdots,$$\theta 0\beta N)$と$\delta$が条件付期待値であれば等号が成立。
と$\theta\circ\beta^{N}\equiv(\theta 0\beta 1,$ $\theta\circ$$Aarrow \mathbb{C}$に対して、 2 つの函$\theta 0\alpha^{M}\equiv(\theta 0\alpha_{1}, \theta\circ\alpha_{2}, \cdots, \theta\circ\alpha_{M})$に対して$S_{\phi}(\theta 0\alpha M)\leq s_{\emptyset}(\alpha^{M})$,$I_{\phi}(\theta 0\alpha^{MNMN}, \theta 0\beta)\leq I(\emptyset\alpha, \beta)$

更に、 もし$\theta$が自己同型であれば等号が成立する。

3. 定常状態と定常チャンネルに対する函数
この節では、 定常チャンネル数$\tilde{S}(\phi)$とた$\Lambda$$\theta_{\beta}$:: $Barrow A$ を完全正単位写像で、 かつ、に関して定常な状態

限次元$C^{*}$と定常状態$A^{*}arrow\beta^{*}$

を単位的 C*代数 $A$ とその自己同型する。 完全正単位写像 A の双対を$\Lambda^{*}$と函数$\tilde{S}$$\tilde{I}$$\phi$:

を定義し、 それらに対し、 Kolmogorov-Sinai 型の定理を示す。

$\tilde{I}(\phi, \Lambda^{*})$$(A, \theta_{A})$.

$\Lambda^{*}:$$\theta_{A},$$\theta_{\mathcal{B}}$は$A^{*}arrow g*$$\psi=\Lambda^{*}\phi(\psi\circ\theta\beta=\psi)$

代数 $A(\ni I)$ からの完全正単位写像

らの完全正単位写像$\beta$$\theta_{A}$$\alpha$との対とし、に関して定常$\theta_{A}$$(\mathcal{B}, \theta_{\beta})$$(\theta_{A}\circ\Lambda=\Lambda 0\theta \mathcal{B})$に関して定常な状態$(\phi\circ\theta_{A}=\emptyset)$: $Aarrow A$ と有限次元ぴ代数 $B(\ni I)$ か$\mathrm{n}$$\beta^{n}$$\phi$なものとに写し、 定常チャンネルと呼ばれる。 有: $Barrow B$ に対して、 完全正単位写像の 組$\alpha^{n}$も同様とする。 ま$=$$(.\alpha, \theta_{A^{\mathrm{O}\alpha}}, \cdots, \theta^{n}1_{\circ\alpha})A^{-}$$=$$(\beta, \theta_{B}0\beta, \cdots, \theta^{n-}10\beta B)$$\alpha^{n}$と$\beta^{n}$を’と定め、 更に$\tilde{S}_{\phi}(\alpha)=\lim_{narrow}\sup_{\infty}\frac{1}{n}s_{\emptyset}(\alpha)n$,$\tilde{I}_{\phi,\Lambda^{*}}(\alpha, \beta)=\lim\sup I\underline{1}\phi(\alpha^{n}, \beta n)$$narrow\infty n$

とおく。 函数$\tilde{S}_{\phi}(\alpha)$と函数$\tilde{I}_{\phi,\Lambda}*(\alpha, \beta)$(もちろん有限次元代数 $A,$ $B$ も動かす)の、 完全正単位写像$\alpha,$$\beta$全体に渡る $\sup$ をとり、$\tilde{S}(\phi)=\sup\tilde{S}\phi(\alpha)\alpha$’$\tilde{I}(\phi, \Lambda^{*})=\sup\tilde{I}_{\phi},\Lambda*(\alpha, \beta)$$\alpha,\beta$

とおく。 函数$\tilde{S}(\cdot)$

は情報理論における entropy rate のアナロジーとして、 函数$\tilde{I}(\cdot)$はinformation rate のアナロジーとして構成したものである。 このとき、 情報理論的に自然な次の基本関係式を得る。

命題 8.1.

$\tilde{I}(\phi, \Lambda^{*})\leq\min\{\tilde{S}(\emptyset),\tilde{s}(\Lambda^{*}\emptyset)\}$.

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さて、 可換系のエルゴード理論や情報理論では、 Kolmogorov-Sinai entropy に対して

Kolmogorov-Sinai の定理と呼ばれる基本定理がある。 これは抽象力学系
いて、標本空間$\Omega$の有限分割且 $=\{A_{i}\},$$A_{i}\cap A_{j}=\emptyset(i\neq j),$$\mathrm{U}_{i}A_{i}=\Omega$$(\Omega,\mathcal{F}, \mu, T)$にお, のエントロピー$h_{\mu,T}( \tilde{A})=\lim\sup H(\tilde{A}\underline{1}T^{-1}\tilde{A}\cdots\vee T^{-(n}-1)\tilde{A})$$narrow\infty n$(但し、 $T$.

$\sup_{\overline{A}}h_{\mu},\tau(\tilde{A})$

ピー

は確率空間

$\Omegaarrow\Omega$$h_{\mu},\tau(\tilde{A})$$(\Omega,$$\mathcal{F},$$\mu)$の保子変換、

は不変測度) の上限 $h_{\mu}(T)=$$\mu$として定義される Kolmogorov-Sinai entropy $h_{\mu}(T)$ を、有限分割のエントロで効果的に近似できることを保証する定理である。 Kolmogorov-Sinai, の定理のおかげで、 Kolmogorov-Sinai の entropy は具体的な個々の例にたいしてその値を計算することが可能となる。

$\mathrm{c}_{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{e}}\mathrm{S}-\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}$-Thirring の dynamical entropy においても非可換

Kohnogorov-Sinai 定理が成立することが知られている。

先ほど定義した函数 8 と函数
かもその証明は、$\tilde{I}$に対しても Kolmogorov-Sinai 型の定理を証明できる。 し-Thirring の dynamical entropy に対する Kolmogorov-$\mathrm{C}_{0}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{S}-\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}$Sinai 定理の証明と本質的に同じものである。 というのも、 その証明はどちらも次の不等式に基づいているからである。

命題 32[CNT]. $A$ を単位的即ち、危$(A)\omega d\mu(\omega)=\emptyset$

このとき$||\alpha-\alpha’||\leq\epsilon$$C^{*}$

代数とし、$\phi$

を $A$ の状態とする。

$\mu$

を

の分解測度、$\phi$とし、 $B$ を有限次元の単位的 C*代数 $(\dim B=d<\infty)$ とする。

なる任意の完全正単位写像$\alpha$: $Barrow A$ と$\alpha’$:$\dot{B}arrow A$に対して$| \int_{\mathfrak{S}(A)}s(\alpha\omega|\alpha**\emptyset)d\mu(\omega)-\int \mathfrak{S}(A)ds(\overline{\alpha}^{**}\omega|\overline{\alpha}\phi)\mu(\omega)|\leq 6\in(\frac{1}{2}+\log(1+\frac{d}{\epsilon}))$

この補題より、函数$S_{\phi}(\alpha^{M})$

命題 33. $A$ を単位的限次元の単位的$d$$C^{*}$$C^{*}$と函数$I_{\phi}(\alpha^{M}, \beta N)$

代数とし、

代数とし、

$\alpha_{m}$$\phi$に対する次の評価式が直ちに得られる。

を $A$ 上の状態とする。 $A_{m},$ $m=1,$: $A_{n}arrow A$ と$\overline{\alpha}_{m}$.

$\cdots,$$M$

を有: $A_{n}arrow A$ を完全正単位写像とする。

を $d= \max_{1\leq m\leq M}\dim A_{m}$ とする。 このとき $\max_{1\leq m\leq M}||\alpha_{m}-\overline{\alpha}_{m}||\leq\epsilon$ であれば、$\alpha^{M}=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{M})$と$\overline{\alpha}^{M}=(\overline{\alpha}_{1},\overline{\alpha}_{2}, \cdots,\overline{\alpha}_{M})_{\text{、}}$

に対して$|S_{\phi}( \alpha^{M})-S\phi(\overline{\alpha})M|\leq 6M\epsilon(\frac{1}{2}+\log(1+\frac{d}{\epsilon}))$

命題 34.
$B_{n},$$n=1,$$\beta_{m}$:$\cdots,$$N$$B_{n}arrow A_{\text{、}}$$1,2,$ $\cdots,$ $M)$

を単位的ぴ代数とし、$A$$\phi$

を $A$ 上の状態とする。 $A_{m},$ $m=1,$

を有限次元の単位的 C*代数とし、

および、$\overline{\beta}_{m}$.

$\alpha_{m}$:$A_{n}arrow A_{\text{、}}\overline{\alpha}_{m}$: $B_{n}arrow A$ を完全正単位写像とする。

$d$:$\cdots,$$M$と$A_{n}arrow A_{\text{、}}$

を $\dim A_{m}(m=$および $\dim B_{n}(n=1,2, \cdots, N)$ の最大値とする。 このとき、 完全正単位写像の組 $a^{M}=(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{M})$ と $\beta^{N}=(\beta_{1,\cdots,\beta_{N})}$ が$\max\{||\alpha_{mm}-\overline{\alpha}||, ||\beta_{n}-\overline{\beta}_{n}|||m=1, \cdots, M;n=1, \cdots, N\}\leq\epsilon$

42を満たせば、$|I_{\phi}( \alpha, \beta MN)-I\phi(\overline{\alpha},\overline{\beta}MN)|\leq 12(M+N)\epsilon(\frac{1}{2}+\log(1+\frac{d}{\epsilon}))$

命題 33 と命題 34 は、 それぞれ函数 $S$ と函数.

の完全正単位写像のノルムに関する$I$

連続性を表している。 これを用いて次の Kolmogorov-Sinai 型の定理 (定理定理 36)$3.5_{\text{、}}$

を得る。
定理 35. 完全正写像の列が存在して各点収束$\alpha_{m}$: $A_{m}arrow A$ に対してある完全正写像の列$\alpha_{m}0\alpha_{m}’arrow \mathrm{i}\mathrm{d}_{A}(marrow\infty)$の列$\alpha_{m}’$: $Aarrow A_{m}$ と$\beta_{m}’$:$\alpha_{m}$: $A_{m}arrow A$ と慇:$\mathcal{B}arrow B_{m}$: $Aarrow A_{m}$しているとする。 このとき$\tilde{S}(\phi)=m\lim_{arrow\infty}\tilde{s}\phi(\alpha_{m})$定理 36. 完全正写像の列$\alpha_{m}’$.
に対して、 ある完全正写像$B_{m}arrow \mathcal{B}$が存在して各点収束\alpha m$0\alpha_{m}’arrow \mathrm{i}\mathrm{d}_{A^{\text{、}}}\beta m$。$\beta_{m}’arrow \mathrm{i}\mathrm{d}_{B}$

しているとする。 このとき$\tilde{I}(\phi, \Lambda^{*})=\lim_{marrow\infty}\tilde{I}_{\emptyset},\Lambda\star(\alpha m’\beta m)$$c*$

代数 $A,$$\mathcal{B}$.

が核型であるなら定理 35 と 36 における仮定は自動的に満たされる。

れら 2 つの定理を$\mathrm{A}\mathrm{F}$

代数 (有限次元部分代数の増大列$\{A_{n}\}$の合併のノルム閉包$\overline{\cup A_{n}}$ことして表すことのできるぴ代数) に適用して次を得る。

系 37.

の定常状態

$A=\overline{\cup A_{n}}$$\phi$を$\mathrm{A}\mathrm{F}$代数とし、$\theta_{A}$を $A$ の自己同型とする。 このとき $A$ 上の任意に対し$\tilde{S}_{\phi}(\theta)=\lim_{narrow\infty}\overline{S}_{\phi},\theta(A_{n})$系 8.8.

$A=\overline{\cup A_{n}}$と$\mathcal{B}=\overline{\cup B_{m}}$を AF 代数とし、同型とする。 このとき、 任意の定常チャンネル$\Lambda^{*}$:.

$\theta_{A}$とをそれぞれ $A$ と$\theta_{B}$$A^{*}arrow \mathcal{B}^{*}$$\mathcal{B}$の自己と $A$ 上の任意の定常状態$\phi$

に対して$\tilde{I}(\phi, \Lambda^{*})=\lim_{narrow\infty}\tilde{I}\phi,\Lambda^{*}(A_{m}, B_{n})$ここで、 部分代数 $A_{n}\subset A$ はそれに自然に伴う包含写像とする。

.
$j_{A_{n}}$: $A_{n}arrow A$ をも表している

43

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FACULTY OF ENGINEERING,YAMAGUCHI UNIVERSITY,UBE CITY, YAMAGUCHI 755, JAPAN
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