数理解析研究所講究録 1213 巻 2001 年 28-33

28

ANote on Hrushovski’s Pseudoplanes
池田宏一郎 (Koichiro Ikeda)
豊田工業高等専門学校

安定な理論 (stable theory) の可算モデルに関ずる有名な予想として Lachlan 予想が知られているが、 安定な理論を単純な理論 (simple theory) に置き換えた次の予想がある :拡張された Lachlan 予想 可算モデルの数が有限個となる様な単純な理論は存在しない。
この予想は解かれてないが、 もし可算モデルの数が有限個となる単純理論が存在ずるならば、 その理論は無限の weight をもつ small な理論でなければならない。 ここでは Hrushovski[2], Herwig[l] の方法を用いて、 以下の定理を証明することを目標とする :定理 無限の weight をもつ、安定でないが単純かつ small な理論が存在する 1’
更にこの理論の 1-type はひとつしかない 3’1関数 $f$ の定義$\bullet$

二傳関係
1. 各.i$<\omega$(こ対して

2. 各 .

$<\omega$

(こ対して

$i$

3.
$\bullet$$\bullet$$R_{i}(*, *)(i<\omega)$$i,$$\models\forall?,\cdot\forall./\iota(R_{i}(\backslash \tau\cdot., y)arrow R_{i}(y, \backslash \cdot\iota\cdot))$$\models\forall x\forall y(R_{i}(x, y)arrow\backslash \cdot\iota\cdot\neq y)$$\neq jarrow\models\forall x\forall y(\neg(R_{i}(\backslash \cdot r,y)\wedge R_{i}.(x, y)))$

言語 $L=\{R_{i} : i$.
$A,$ $B$

は次の条件を満たしているものとする :$<\omega\}$, C.\acute ... は有限$L$.

構造を表す。

;;

29
・自然数の増加列を次の様に構威する$(” \mathrm{n})\mathrm{i}\subset \mathrm{u}’(k\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{0}$$(,\ovalbox{\tt\small REJECT}),6$

および自然数から実数への関数の列$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

1. $s_{0}=2$ ;

2. .

3.
4.

‘

$\cdot$$f_{0}.(.

\cdot x,)=..,\frac{1}{\mathrm{e}_{0}}1()\mathrm{g}x$;. $<\omega:.f_{()}.(k)>2\}$ ;$hj0=1\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\{f_{\backslash }’\cdot$を次の条件を満たすようにとる :$s_{71.+1}$$-\llcorner\sigma_{i+1}.\underline{\prime}2>s_{i;}$任意の $A$ に刻.

-

.
’5. .

$f_{7l}.(| \lrcorner 4|)+.\frac{4k_{n}}{\backslash \mathrm{s}_{\gamma 1.+1}}$.

関数$\bullet\delta$\sum_{j=0}^{r\iota}.\frac{1}{\mathrm{q},-.j}|R_{1}^{\mathrm{z}4}.\cdot|$);$1_{0)}.

$.f$:$\mathrm{N}arrow \mathrm{R}$

$B$

を有限

$L$

\mathrm{g}\frac{\mathrm{t}8’,}{f_{i_{ll}}’}.+f_{l1}\backslash \cdot(k_{n})$$(k_{n}\leq i\iota\cdot.)$.
$<\omega:.f_{n}.(k.)>\uparrow\iota+2\}$を次の様に定義する :$f\cdot(\backslash \cdot\iota:)=\{$.
.

$f_{0}.(.\cdot\iota:)$$(0\leq\backslash ’\iota:\leq k_{0}’.)$$f_{1}.\cdot(.\cdot\iota\cdot)$$(k_{0}<x\leq k_{1})$$\backslash f_{2}.(x)$$(k_{1}<x\leq k_{2}.)$構造とする。 このとき$\bullet\delta_{i}(A)=_{r1\mathrm{e}\mathrm{f}}.|.\prime 4|-.\sum_{j=0\prime}^{i}|R_{j}^{44},.|{}^{\mathrm{t}}i_{j}\underline{1}$$\bullet\delta(.44.

$=|A|-.

$(x\leq k_{n})$$\frac{1}{\sim^{\mathrm{q}}r}.,$.

A.

. ((旦し、 \mbox{\boldmath $\delta$}7、(A)$f_{71.+1}(’\iota\backslash \cdot)=\{$.

定義て、 $|A|\leq 2k_{n},$ $\delta_{f\iota}(A)>.f_{71}.(|A|)\Rightarrow\delta_{\tau\iota}(A)>$$f_{n}(\backslash \tau")$$()..f_{\dot{\acute{\tau}}j_{7\prime+1}}.=111\mathrm{i}\mathrm{n}\{k$定義$\text{し}$.

)=_{\epsilon \mathrm{I}\epsilon 1}..\cdot 1\mathrm{i}_{1}\mathrm{r},1\delta_{i}(A)iarrow\backslash _{\mathrm{C}^{1}}\cdot$( . /B)=,l。f $(\mathfrak{f}(AB)-\delta(B)$ .
$A\prime \mathrm{A}$

特に $A\subset B$ のとき$\iota \mathcal{A}\leq B$$\delta$

(

$A$

の定義より

は $B$ で閉)$\leq$$\Leftrightarrow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}X\subset B-A$に

$x\urcorner\backslash \cdot$に関ずる以下の性質はあきらか 6’$\text{し}$て\mbox{\boldmath $\delta$}(X/A) $>0$ .

30
かつ性質 1(i)(ii) すべての $Aarrow K$ に対してとずる。 このとき(iii)$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{C}B\mathrm{C}\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow K$$A\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\emptyset$

関数$.f\cdot$$A\ovalbox{\tt\small REJECT} B$.

$\ovalbox{\tt\small REJECT} A$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{)}B(Carrow K$

注意 2

ならば

$A\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

ならば$\ovalbox{\tt\small REJECT}\cap B\ovalbox{\tt\small REJECT} C$.

?h 次の性質を満たず:.

1. . は上 [こ凸
$f$

$j$

2. $k_{n}<x\leq k_{n+1}$ ならば.

3. $|A.|\leq 2k_{n}$ かつ

2

$K$

定義

.;

$f’. \cdot(\alpha,\cdot)=\frac{1}{\mathrm{L}\mathrm{q}_{n^{\mathrm{A}}}}..$$(A)>.f_{l}.,(|A|)$$\delta_{7}$ならば\mbox{\boldmath $\delta$}(A) $>.f(|A|)$ .

-generic な構造

有限構造のクラス

$L$$I.\acute{\mathrm{i}}=_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}$

{

$J4$

$I\acute{\iota}$

を以下のように定義ずる :: 任意の $B\subset A$ に対して\mbox{\boldmath $\delta$}(B) $>.f\cdot(|B|)$ }.

.

を $A=B\cap C$ を満たず有限 構造とずる. このとき $B$ と$A$ 上のとかく ) とは次の様な 構造である :free amalgam (定義$A,$ $B,$ $C$

$L$

(ii)

$|B\hat{\mathrm{c}..\triangleleft}_{A}G,’|’..=B\cup C$.

$3(\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l})$$B\leq D,$ $C\leq D,$ $D\in K$$\mathit{4}^{J\{}\leq \mathcal{B}\in I\acute{\mathrm{i}},$$A\leq(’,.\cdot\in l\mathrm{i}’,$$D=B\theta_{-}^{-}l_{A}(^{-r}.’$$B\leq D,$ $C\leq D$$\frac{\delta_{n}(B)-\delta_{n}(J4)}{|B-A|}\geq\frac{1}{\iota \mathrm{s}_{n}|B|}$

注意 22 上ならば.

はほぼあきらか。 $D\in K$ を示す.
. てもよい. $k_{n}<|B|\leq k_{n+\mathrm{l}}$. とする。 $A\leq B$ より
証明

の

;

$R^{B{}_{A}C}\{\overline{\cross})=\vee R^{B}.\cup R^{C}$

補題

,

$L$

$B \bigotimes_{-}.{}_{A}C$(i)$(^{\tau},$.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\frac{\delta_{n}(B)-(\mathfrak{f}_{n}(A)}{|B-\mathit{1}4|}\geq.f’.(|B|)$よって注意 2. . より$\cdot$$\mathrm{J}$$\delta_{n}(D)>.f_{n}.(|D|)$.

.

$|\mathrm{C}^{\mathrm{Y}},||\leq|B|$

と仮定し

31
明らかに |D|\leq 2k7’ であるので注意 23 より$\delta(D)>.f_{r\iota}.(|O|)\geq.f\cdot(|D|)$

故に$D\in I\acute{\mathrm{i}}$.

$\blacksquare$

次の条件を満たずような定義.

.1. A,fi ま可算
2. A(有限)$L$

構造$\Lambda/\mathit{1}$を$I.\mathrm{i}- \mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}^{-}\mathrm{e}1^{\cdot}\mathrm{i}\mathrm{c}$

という :

$i$

ならば $A\in K$ ;$\subset M$

3. $A\leq_{-}B\in K$ かつ $A\leq M$ ならば $B\cong B’\leq M$ を満たすような B’ が存在ずる。
注意 4 「4 旧 t 閉」は定義可能 : ずなわち を解にもつ論理式
ならば A’(閉), を満たすものがある 2’$.\prime 4$

で、$\cong A$$\phi(.\cdot- \mathrm{i}’)$$M$$\phi(_{\sim}.\overline{\iota^{\tau}\backslash _{.}})\in L$

を

補題 5

$l\dot{\acute{\mathrm{i}}}$$\lambda I$-generic な構造とする (性質 1 よりその様な $M$ は存在する)。

は飽和モデル。

有限集合 $A(\subset M)$ 上のタイプ が [ で解をもつことを示す。 ここでの飽和性よ$\leq M$ と仮定して構わない. . $N$ を\mbox{\boldmath $\omega$}飽和なモデルとする。
.
(: を満たすを満たす (:が存在ずるので,\sigma (A)の中に取の飽和性よりの解はllla].J \sigma が存在する。 再びと仮定して わない 1’ このときれるので、 その解を $D$ とする。

証明

$fi/$

$p$

$l\mathrm{V}$$.- \mathfrak{l}’$$\backslash$$=$$\subset l\mathrm{V}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{t}1^{\mathrm{J}}((’.\cdot)=\mathrm{t}1)(.\cdot 4)$、$\sigma(p)$$l\mathrm{V}$$\mathrm{f}^{s}.1C^{\Delta},.111\mathrm{e}_{-}1.1\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}$$C,.D\leq l\mathrm{V}$が$\mathrm{t}\supset\circ\cdot \mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}$$l\mathrm{V}$$\lambda,I$$.\uparrow.\mathrm{g}.-$であることより、AB く $M,$$\mathit{4}^{-}.\cdot 1\prime B\cong \mathrm{C}’,\backslash D$’$z^{\backslash }$が存在する。
を満たす
主張 : $\tau(AB)=(’,..\cdot.D$ となる elementary rnap
証明 : . 論理式を並べたものを {.cpl-forth で次の条件を満たず
(i)
.
(ii)
.
$B\subset i1^{J},f$$L$$(l\mathrm{i}_{i}’)_{i<\omega}..,$$M=\cup f_{ij}^{r^{\urcorner}}.$: $Marrow N$ が存在する。

$i(^{--}$$.\cdot\overline{\iota}\backslash \iota\cdot,/i):.i<\omega^{1}$$\dot{\epsilon}\mathrm{t}.1\iota \mathrm{e}.1$$\wedge\cdot 4B=\Gamma_{0}\sqrt\lrcorner\leq]_{-\acute{/}1}^{-\prime}$$\tau$$\leq E_{\sim}^{1}.,$$\leq\ldots\leq fi/\mathit{1}_{\mathrm{i}}$$(F_{i}^{\prime^{1}}.)j.<\omega$} とする . このとき$\backslash ^{\backslash }\cdot$

を構成ずる :

$1\overline{\mathit{3}}\mathrm{a}.\mathrm{c}.\mathrm{k}^{r}-$32(iii) $CD=F_{0}^{\urcorner}\leq F_{1}\leq F_{2}\leq\ldots\leq N$ ;(iv) $E_{i}E_{i+1}\cong F_{i}F_{i+1}$ ;(v)が無矛盾であるならば奇数のとき、 各 $j\leq.i$. に対しての中に解をもつ.,[ を並べたものをとする。
に入っていない $M$ の元で–番イシデックスが小さいもの
が偶数のとき :もをとりとの閉包をとする。 このとき$i\mathrm{B}_{\grave{\grave{1}}}$$\phi j(.\cdot\overline{\lambda\cdot.}, \overline{d})\in L(l_{i}^{\urcorner}’)$$F_{i+1}$$(a_{i})_{i<\omega}$$\lambda’$$.i$$E_{i}$$E_{i+1}$$E_{i}$$XF_{i}^{\urcorner}\cong E_{i+1}E_{i,\prime}\lambda’\leq I/\mathit{1}$は論理式で表現できる (注意 4) 。よって $N$ の中にその解があるので、 それを. .
とすればよい。
が無矛盾ならば 1V の中に解が奇数のとき: 各 j\leq H こ対して\phi j ‘\acute -\iota .,と閉包をとったものをがとれる。それら (有限個) をすべて集めてきてが generic. であることより、とする。 このとき
.
$M$
が
を満たす
の中に取れる。
とすると、. よって\mbox{\boldmath $\tau$}(’.1B) $=(lD$ を満たす [ か$F_{i+l}$

$.i$

$($

$\overline{d})\in L(\Gamma_{i}\sqrt)$$F_{i+1}$$F_{i}^{1}$$\mathrm{A}l$$E_{i+1}.\leq\Lambda \mathit{4}^{\cdot},$$E_{i+1}^{l}E_{j}$$\cong F_{i+1}^{r}.F_{i}^{\urcorner}$$E_{i+1}$$M\cong \mathrm{A}f’\prec l\mathrm{V}$$\mathrm{f}\mathrm{l}I’=\bigcup_{:}\Gamma_{i}\sqrt$$i1/$

ら $N$ への elementary Inap\mbox{\boldmath $\tau$}が存在する。
したがって はの中に解 $B$ をもつので $M$ は saturated.
$\mathrm{A}\prime f$$\blacksquare$$p$

系 6Th(M) は small.

単純性と weight3) $= \inf$ {定義$d_{M(}J4$

定義$A\downarrow cB$$\delta(B)$:$A\subset B$

C。

$\lambda I$}を次の様に定義する :(i) $\mathit{1}(A/BC)=d(A/C)$ ;($(\mathrm{i}\dot{\iota}.)\mathrm{c}1(AC)\cap \mathrm{c}1(BC)\subset \mathrm{c}1(’C\grave{)}$.

定義. 三項関係が以下の性質を満たずとき独立概念であるという :(i) 不変性(ii) 対称性.
. $B$ ならばならば(iii) 推移性 :.
. $B,$
拡張性:任意の , $A,$ $B$ に対して、($*\downarrow_{*}^{0}*$$B\downarrow^{0_{C^{1}}}A$$:.\cdot 4\downarrow_{C}^{l\mathrm{J}}$$J4\downarrow^{0_{C}}$$\overline{C\mathit{1}}$$\mathrm{i}\mathrm{v}\underline{)}\backslash \sim$$A\downarrow^{0_{CB}}D$$A\downarrow^{0_{\mathrm{C}’}}BD$$\overline{c\iota}’\downarrow^{0},1$

33$A$ を満たす
な $B\subset A$ が存在する。
( ) 局所性 : 任意の , $A$ に対して
B\Leftrightarrow 任意の-b\in B に対して.
(vi) 有限性 :{こ対して:あるモデノレ
el.lclence(vii)Ql-) を満たすの解 が存在であるとする。 このとき$\dot{1}\mathrm{J}\mathrm{i}\mathrm{T}’\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\downarrow^{0}B$$\overline{c\iota}$$\overline{(J},$$\downarrow_{A}^{()}\overline{b}$$\overline{a}\downarrow^{0}A$$\lambda f$$\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}_{-}.()\mathrm{r}\mathrm{e}1^{\cdot}1.1$$\overline{c.}\overline{\iota}\downarrow^{0}M$$\overline{b},\overline{x}.\downarrow^{0_{M}}\overline{a},\overline{\mathrm{c}/}\downarrow^{0_{M}}\overline{b}$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}.1.\supset$$\mathrm{t}\mathrm{p}(\backslash \cdot\overline{\iota.}/\mathrm{A}I\dot{\overline{a}})\cup \mathrm{t}\mathrm{p}(\mathrm{t}/\mathrm{M}\overline{b})$$\overline{z}$$\sim\sim-’\downarrow^{0}M$ずる.

このとき次の補題が導かれる (詳しくは [3])
補題 7

(ii)

$T^{1}$。

は独立概念.
は単純 (かつ非安定)$(.\mathrm{i})*\downarrow_{*}*$

。

補題 8
証明

$\mathrm{w}\mathrm{t}(T.)=\infty$

次の様な $a,$.
. $<\omega)$ が $M$ の中に取れる$\mathrm{r}\iota_{i}(.j$$\bullet\{c\iota\}\cup\{a_{()}, a_{1}, \ldots\}\leq M$$\bullet R_{i}(.\cdot.\cdot\iota^{\mathrm{v}}., y)$Ν{ y}=$.\cdot x,$:;$\{a, a_{i}.\}$.

$\delta(.a/a_{0}, a_{1}, \ldots)=1-\sum_{j=0}^{\prime \mathrm{x}\prime}\frac{1}{\backslash \dot{.}\mathrm{h}j}.\geq 1-.\sum_{j=\mathrm{t})}^{1}\frac{1}{2^{j}}>0’\lambda’$

よって。。al... $\leq aa_{0}a_{1}\ldots\leq M$ であるので\downarrow {ai}i$<\iota v$.

よって$\mathrm{w}\mathrm{t}(a)=\infty$.

$\blacksquare$

参考文献$[1]\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{r}11\mathrm{h}\mathrm{a}1^{\backslash }\mathrm{d}$$.\mathrm{J}\mathrm{e})1\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{l}\cdot \mathrm{l}.\mathrm{d},1()\{-$.

I-Ierwig,$\mathrm{S}\mathrm{y}_{111\mathrm{b}\mathrm{t})}1\mathrm{i}\mathrm{c}$$1N’ \mathrm{e}.\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}$Logic,

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$()$

.

$1\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{n}(_{-}^{-\backslash }.1^{\cdot}$$1^{\cdot}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t},$$\mathrm{a}\mathrm{S}\mathrm{C}^{\cdot}\mathrm{d}\cdot \mathrm{r}\mathrm{g}_{1\mathrm{t})1_{\sim}\mathrm{t}}.1^{)}\dot{\prime}1^{)\mathrm{r}\mathrm{e}}1$$1.9^{(\mathrm{J}7}$