数理解析研究所講究録982 巻 1997 年 21-2921測定による波動関数の位相相関の喪失
数値実験と解析
早大理工

早大理工河野尚幸 (Naoyuki KONO)
中里弘道 (Hiromichi NAKAZATO)

早大理工

並木美喜雄 (Mikio NAMIKI)

Bari Univ.

Saverio Pascazio日立1

町田顕 (Ken MACHIDA)

はじめに

Machida-Namiki による多ヒルベルト空間理論 [1] では、いわゆる量子力学的観測問題 [2]を測定による波動関数の位相相関の消滅 (デコヒーレンス) として捉え、 巨視的な測定器の局所系 (開放系) と微視的な測定対象系との量子力学的相互作用によってこれを実現するものと定式化している。数学的には開放系としての性格を取り込むために多くのヒルベ
ルト空間が必要となるわけであるが、物理的にはこの理論は次のような量子力学的測定過程の実際を反映している。 まず、量子力学の予言は “ 同じ条件下” で多数回繰り返された実験 (試行) 結果とのみ比較され得るものであったことを思い起こそう。測定器局所系は多数の構城粒子から成る量子開放系であるから、巨視的に “同じ条件下” といってもその微視的な状態 (考慮すべき構成粒子の数や配置など) は試行毎にゆらいでいると考えるのが自然である。 この結果、相互作用後の対象系波動関数には試行毎に異なった位相因子が付与されることになる。 ゆらぎが十分であれば、対象系波動関数の持っていた位相情報は、多数回繰り返された試行の重ね焼き (これが量子力学の予言に相当) によって完全に失われるだろう。 こうして位相相関の喪失が実現されるわけである。
近年、 Namiki-Pascazio [3] は、測定過程におけるゆらぎの効果を考慮して位相相関の喪失の度合を定量的に示すデコヒーレンスパラメータ を導入した。本小論では、測定過程に現れると考えられる特徴的なゆらぎとこのデコヒーレンスパラメータとの関連についての最近の研究成果を報告する。
本来量子力学的測定過程は複雑な量子多体問題でありその取り扱いは極めて難しいが、ここでは特にゆらぎの効果にのみ着目し、 1 次元デルタ関数型ポテンシャル列 (測定器局
所系のモデル) による非相対論的粒子 (測定対象粒子) の散乱問題として定式化し数値的に解析した。測定器局所系のゆらぎはポテンシャルの数や配置の試行毎の変化として取り込むことになるが, このような簡単なモデルでもゆらぎの–般的性格は十分反映されているものと考えられる。 さてゆらぎの影響は、 具体的には粒子の透過係数とパラメータ に$\epsilon$$\epsilon$

22

現われることになるが、 これらの量は考えているモデルが測定器として有効に作動するかどうかを特徴付ける量でもある。 この事実は、 どの様な測定器系を設定すればより効率良く位相相関を消滅できるかという議論をも可能にし、将来的には「測定器の設計理論」 につながる可能性を示唆している。 この観点からしても、 透過係数やパラメータ$\epsilon$の近似式

を簡単なモデルに基づいて導出しておくことは重要である。今回我々が導出した近似式は数値実験の結果を良く再現しており、 この方向への第–歩と見なすことができよう。

2

デコヒーレンスパラメータ

ここでは、典型的な測定過程として Stern-Gerlach 型の透過型実験を考える。 このタイプの実験では、 まず測定量 (例えばスピンなどの量子数) に応じたスペクトル分解が行われ、投入された対象粒子は二つの経路 1 と 2 に導かれる。 -方の経路 (経路 2 とする) には測定器が設置されており、経路 2 を通る分波は測定器の局所系との相互作用の結果となる。 $T$ は透過係数である。測定器通過後の全波動関数
は、 分波
と経路 1
からの分波
の重ね合わせで表される。
$\psi_{2}$$T\psi_{2}$$T\psi_{2}$$\psi$$\psi_{1}$$\psi=\psi 1+T\psi 2$.

(1)波動関数の位相相関を見るためには、 同じ条件のもとで粒子を繰り返し送り込み、例えばYoung 型二重スリット実験でのスクリーン上の干渉縞のように、 その重ね焼きを調べることになる。前節で述べたように、測定による位相相関の喪失を議論する際には測定器局所系の性格をきちんと取り込むことが極めて重要である。すなわち、 試行毎に異なる測定器
局所系の微視的状態を反映しそ透過係数も毎回異なった値を取ると考えるべきであり、 番
目の試行 ( $j=1,$$\ldots,$$N_{p},$$N_{p}$

は試行総数を表す) における透過係数を$T_{j}$と表す。実験結果と比較すべぎ検出確率は、 多数向試行を繰り返した際の試行平均$\overline{P}\equiv$$=$$\frac{1}{N_{p}}\sum_{j=1}^{N}pP^{(}j)\frac{1}{N_{p}}=j=1\sum Np|\psi_{1}+Tj\psi_{2}|2$$|\psi_{1}|2+\overline{|T|^{2}}|\psi 2|22{\rm Re}(+\psi 1\overline{\tau}*\psi 2)$

によって表される。上付きのバーは$N_{p}$(2)

回試行したときの試行平均を表す。

第三項がいわゆる干渉項であり位相相関の有無を表している。 そこでデコヒーレンスパ
ラメータ
を次のように定義しよう。
$\epsilon$$\epsilon=1-\frac{|\overline{T}|^{2}}{\overline{|T|^{2}}}$

これを用いると式 (2) は、$\overline{T}\equiv|\overline{T}|e^{i\beta}$,$0\leq\epsilon\leq 1$

.

とおいて

$\overline{P}=|\psi_{1}|^{2}+\overline{|T|^{2}}|\psi_{2}|2+2\sqrt{\overline{|T|^{2}}}\sqrt{1-\epsilon}{\rm Re}(\psi_{1}^{*i\beta}e\psi_{2})$

となる。

(3)

(4)

23

この式をみると、 パラメータ は位相相関の喪失の度合を定量的に表す指標であることのときには干渉項が完全に消滅し検出確率は排他的な確率事が分かる。すなわち、$\epsilon$$\epsilon=1$

象の和で表されている。位相相関の喪失である。逆に、$\epsilon=0$のときには干渉項は完全に残り、分波どうしの相関は完全に保持されている。興味深いのはこの中間的な場合 $0<\epsilon<1$であり、 これは部分的な位相相関の消滅に対応している。 ゆらぎの効果は位相相関の消滅
ものと期待される。次に寄与すると考えられるから、 パラメータを増大させる$(\epsilonarrow 1)$$\epsilon$

節では、 具体的なモデルを設定して両者の関係の解析を行なう。

3

数値実験

3.1

デルタ関数型ポテンシャル列

既に述べたように、 ゆらぎの効果に着目する限り、測定器の局所系を $N$ 個のポテンシャ

ルから成る 1 次元デルタ関数型ポテンシャル列ガ$V(x)= \sum l=1$A

(5)$\delta(x-b_{\ell})$で近似したとしてもその本質は失われないだろう。 ポテンシャル $V(x)$ による波数は容易に求めることができて.
子の透過係数 および反射係数

$k$

の粒

$R$

$T$

(6)

$=e^{-ikb}ZN \prod^{N}el=1-1ikd\ell\tau_{3}z$となる [4]。ここで、 $d_{l}=b_{\ell+}1-b\ell$ は隣り合うポテンシャル間距離、乃はパウリ行列であり、 -個のポテンシャルに対する伝達行列 $Z$ は次のように与えられている。

$Z=$

ただし、 \Omega =A/\hslash 嫁よ--個のポテンシャルによる散乱の強さを表すパラメータ、

(7)
$v$

は入射粒

子の速さである。
さて、 開放系としての測定器局所系の性格を、 ポテンシャル $V$ を規定するパラメータがお試行回数 毎に異なっているとして取り込もう。具体的には、 ポテンシャルの間隔$d_{\ell}$$j$

よび粒子が経験するポテンシャルの総数 $N$ が試行毎に変化しているものと仮定する。このを計算し、平均の透過係数および設定のもとで、多数の入射粒子 (試行) 毎の透過係数$T_{j}$

透過確率を求め$\epsilon$

パラメータを計算するわけである。
$\langle T\rangle=\overline{T}=\frac{1}{N_{p}}j\sum^{N_{p}}T_{j}=1$$\langle|T|^{2}\rangle=t\equiv\overline{|\tau|^{2}}=\frac{1}{N_{p}}\sum_{=j1}^{\mathrm{p}}|T_{j}\text{ガ}|^{2}$

(8)

(9)

24

さらにここで–種のエルゴード仮説を認め、試行平均 .. –. をアンサンブル平均で置き換えてよいものとする。数値計算では試行回数1000 とし、 と $N$ に関してはガウス$\langle\cdots\rangle$$N_{p}\text{は}$$d_{\ell}$

分布を仮定する。

3.2

各パラメータの設定

平均のポテンシャル間隔$\langle d\rangle$を決める際に反射確率がほぼ 1 になってしまうような共鳴散乱は透過波を調べるために避ける必要がある。共鳴散乱は入射中性子の波数$k$と$\langle d\rangle$を掛けたものが\mbox{\boldmath $\pi$} の整数倍になるときに起こることがわかっているので、(10)$k\langle d\rangle=4.\bm{5}\pi$とおく。熱中性子が原子と相互作用する状況を想定しているので、波長\mbox{\boldmath $\lambda$} と$\lambda=\frac{2\pi}{k}=2A^{\mathrm{O}}$,$\langle d\rangle$

は、

(11)

$\langle d\rangle=4.5[mathring]_{A}$である。ポテンシャル間隔とポテンシャル数はそれぞれ平均$\langle d\rangle_{\text{、}}\langle N\rangle$のガウス分布に従うとし、標準偏差は、$\Delta d\equiv\underline{\delta d}$(12)$\delta d\equiv\sqrt{\langle(d-\langle d\rangle)^{2}\rangle}$’$\langle d\rangle$$\Delta N\equiv\frac{\delta N}{\sqrt{\langle N\rangle}}$

,

(13)

$\delta N\equiv\sqrt{\langle(N-\langle N\rangle)^{2}\rangle}$である。今回の数値実験では二つのパラメータを次の範囲にとる。
$0\leq\Delta d\leq 0.5$

,

(14)

$0\leq\Delta N\leq 1$

ポテンシャルからの散乱の強さを表すパラメータ は、$\Omega$(15)$\Omega=10^{-1}$とおく。
以上のようにタは\Delta N$\langle d\rangle$

および\Omega の値を設定したので、透過確率およびデコヒーレンスパラメー$\Delta d\cdot\langle N\rangle$の関数と考えることができる。

の値を変えたときにどのように波動関数の位相相関の喪失
現するかを調べることが我々のすべきことである。 このために、を固定し$\Delta N\cdot\Delta d\cdot\langle N\rangle$$\Delta d$

変化させる場合.

$\Delta N$

を固定し$\langle N\rangle$と$\Delta d$を変化させる場合.

$\langle N\rangle$$(\epsilonarrow 1)$$\langle N\rangle$を固定し\Delta d ととが実$\Delta N$$\Delta N$をを変化させる場合の三つの場合を考え数値実験を行う。

3.3
1.

数値実験
$\langle N\rangle\cdot\Delta N$を変化させる場合

をいくつかの値に固定したときの および
の
および
依存性を
をみたのが図および図である。 これをみて以下のことがわかる。

$\Delta d$$\epsilon$$1(\mathrm{a})$$1(\mathrm{b})$$t\equiv\langle|T|^{2}\rangle$$\langle N\rangle$$\Delta N$

25

(a)

(b)

が大きくなるほど、 また\Delta N が大きくなるほど位相相関の喪失が起きやすいことがわかる。

$\epsilon$$\epsilon$のグラフから$\langle N\rangle$のグラフにおいて\Delta d $=0$ の場合をみると、位相相関が保たれている状態 $(\epsilon=0)$から位相相関の喪失が実現した状態 $(\epsilon=1)$ への遷移はかなり急激であり、
N \Delta N2=一定の線に沿って起こっていることがわかる。
$\rangle$$\langle$

(c)

$t$

のグラフをみると、 $\Delta d=0$ のときは透過確率がほぼ 1 でありきは$\langle N\rangle$$\text{、}\Delta d>0$のとが大きくなると透過確率\rightarrow 0 であることがわかる。いずれのときも透過確率は\Delta N にほとんど依存していない。

$\Delta \mathrm{d}=0.0$$\Delta \mathrm{d}=0.0$$\Delta \mathrm{d}=_{0.0}5$$\Delta \mathrm{d}=0.05$$\Delta \mathrm{d}=0.5$

Fig 1(a)図 1:

確率$\Delta d=0.\mathrm{O},$$t$の$\langle N\rangle$$\mathrm{o}.05,$$\mathrm{o}.5$, \Delta N 依存性

Fig$1(\mathrm{b})$としたときの (a) デコヒーレンスパラメータ$\epsilon$

および (b) 透過

26

2.

$\langle N\rangle\cdot\Delta d$を変化させる場合

をいくつかの値に固定したときの および t
の
が図
および図
である。 これから次のことがわかる。

$\Delta N$$\epsilon$$2(\mathrm{a})$(a)$\equiv\langle|T|^{\mathit{2}}\rangle$のグラフから

(b)

$t$

(c)

$\epsilon\cdot t$

依存性をみたの$2(\mathrm{b})$が大きくなるほど、 また失が起きやすいことがわかる。
$\epsilon$$\langle N\rangle\cdot\Delta d$$\langle N\rangle$$\Delta d$

が大きくなるほど位相相関の喪が大きくなるほど透過確率\rightarrow 0となる。 1(c) 同様透過確率には\Delta N 依存性がほとんどみられない。
のグラフから$\langle N\rangle$

が大きくなるほど、 また$\Delta d$

とも $\Delta d>0.1$ の領域で ‘飽和 ’ 現象がみられる。すなわちこの領域で お
よび は\Delta d に依存しなくなっている。
$\epsilon$$t$$\Delta \mathrm{N}=0.0$$\Delta \mathrm{N}=0.1$

Fig

図 2:

確率

$2(\mathrm{a})$$\Delta N=0.\mathrm{o},$ $\mathrm{o}.1,1.0$$t$の$\langle N\rangle,$$\Delta d$依存性$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}2(\mathrm{b})$としたときの (a) デコヒーレンスパラメ一$p\epsilon$

および (b) 透過

27

3.

$\Delta d$と$\Delta N$を変化させる場合のをいくつかの値に固定したときの および性をみたのが図 3 である。 これをみると次のことがわかる。
$\langle N\rangle$$\epsilon$(a)$\epsilon$のグラフから、$\langle N\rangle>10^{3}$であれば$t\equiv\langle|T|^{2}\rangle$$\langle N\rangle\Delta N^{2}$. N \Delta d2 依存$\langle N\rangle\Delta d^{2}>1\cdot\langle N\rangle\Delta N^{2}>10^{3}$$\langle$$\rangle$の領域で位相相関の喪失が実現している。

(b) 1
(c)

$t$

$\cdot 2$でも指摘したように のグラフをみると透過確率は$t$のグラフから$\langle N\rangle\triangle d^{\mathit{2}}>1$$<\mathrm{N}>=1000$

図 3:$\langle N\rangle=100,$の範囲で急速に透過確率の値が小さくなる。

$<\mathrm{N}>=1000$$<\mathrm{N}>=10000$–lo00oFigに依存していない。

$<\mathrm{N}>=100$$<\mathrm{N}>=\iota 00$$<\mathrm{N}>$$\Delta N$

Fig$3(\mathrm{a})$$3(\mathrm{b})$lo.o , 10000 としたときの (a) デコヒ $-$ レンスパラメータ$\mathrm{o}$$\epsilon$

および (b)透過確率 の, N (\Delta d)2 依存性。実線は近似式 (18), (14) を表しており、数値実験の結果は点で示されている。
$t$$\langle N\rangle(\Delta N)\mathit{2}$$\langle$$\rangle$

28

4

近似式
数値実験で得られた内容を理解するため、 また前述したように「測定器の設計理論」 を確立する際、デコヒーレンスパラメータと透過確率のゆらぎ依存性を解析的な油壷で簡単なモデルで把握しておくことが必要と考え近似式を導出することを試みる。基本的に、を反射の次数で展開し 2 回の反射までで近似して得た結果である
はそれぞれ

$T$

$[4]_{\text{。}}\prime \mathcal{R}\cdot \mathcal{T}$個のデルタ関数型ポテンシャルの反射係数および透過係数である。
まず入射粒子が実効的に相互作用するポテンシャル数としてを導入する。
$N_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}$(16)$N_{\mathrm{e}\#} \equiv\langle N\rangle+2{\rm Re}\{\frac{s(s^{\langle^{\text{ガ}}}\rangle-\langle N\rangle s+\langle N\rangle-1)}{\mathcal{T}^{2}(s-1)^{2}}\}$

ここで$s\equiv \mathcal{T}^{2}\langle \mathrm{e}^{2}\rangle ikd=-\tau 2-\mathrm{e}\mathit{2}(k\langle d\rangle)^{2}\Delta d2$であるから$N_{\mathrm{e}\#}$である。 $\Omega\ll 1$ であれば$(|\mathcal{T}|^{2})^{\text{ガ_{}\simeq \mathrm{p}}}\mathrm{e}\mathrm{x}(-N|\mathcal{R}|^{2})$は入射粒子が実効的に相互作用するポテンシャル数とみなせる。

これを用いると次の近似式を得る。
$|\langle T\rangle|^{\mathit{2}}$$\simeq$$\exp(-\langle N\rangle\triangle N2\Omega 2)\exp(-N_{\mathrm{e}i\mathrm{r}}|\mathcal{R}|\mathit{2})$(17)$\langle|T|^{2}\rangle$$\simeq$$\exp(-N_{\mathrm{e}\#}|\mathcal{R}|2)\exp(|\mathcal{R}|^{4}s_{N\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{(4)})$(18)$\simeq$

l–exp

(19)

$\epsilon$$(-\langle N\rangle\Delta N^{\mathit{2}}\Omega^{2})\exp(-|R|^{4}S_{\text{ガ})}^{()}4\mathrm{e}\{\mathrm{r}$

ただし、

(20)

$S_{N}^{(4)} \equiv\frac{|\mathcal{T}|^{4\text{ガ}}-N|\mathcal{T}|^{4}+N-1}{(|\mathcal{T}|^{4}-1)\mathit{2}}$である。
式 (18) は数値実験のところで述べた透過確率が\Delta N に依らないという結果を考慮して得たものである。従ってに依らない形になっている。
$\triangle N$

今考えている状況$(\triangle d\neq 0, \Delta N\neq 0)$は入射中性子の経験する散乱体 (原子) の総数と散乱体の間隔が試行ごとにゆらいでいる状況であり、物理的には最も興味深くかつ–般的な状況である。気体や液体物質と入射中性子が相互作用するような場合と考えられる。
図 3(a)
でみることができるように近似式と数値実験の結果はよく -致している。
さて、式 (16) から $\Delta d=0$ のときはからデコヒーレとなり、式 (19)ンスパラメータはほぼに依存することがわかる。
の値がある程度大きくなると指数関数的に 1 に近づくことから数値実験 1(b) の内容の説明がつく。
$\Delta d=0$ という状況は物理的にもおもしろい。
というのは、結晶のような巨視系と入射中$\cdot(\mathrm{b})$$0\leq N_{\mathrm{e}\mathrm{f}}\leq 1$$\langle N\rangle(\triangle N)2$$\cdot(20)$$\langle N\rangle(\Delta N)2$性子が相互作用する状況に近いからである。 このとき原子どうしの間隔はほぼ–定であるが、入射中性子により入射角に微妙な違いがあるため、経験する結晶の部分が異なる。 よって、 相互作用する散乱体 (原子) の総数が入射中性子によって異なる状況と考えられる。
さらに、式 (16) から $\Delta d>0.1$ のときであるからとなり、式 (18)$s\simeq 0$から透過確率デコヒーレンスパラメータ共にに数値実験 2(c) の内容である。

$N_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}\simeq\langle N\rangle$$\Delta d$$\cdot(19)$

依存性がなくなってしまう。 これはまさ

29

5

結論

) から、 -種の相転移のようにパラメータの変化に伴い相関を保持した状態 $(\epsilon=0)$ から相関を喪失した状態 $(\epsilon=1)$ に移ることがわかっ
ポテンシャル数のた。 また今回考慮した 2 種類のゆらぎ (ポテンシャル間隔のゆらぎ

今回の数値実験の結果 (図 1$\cdot 2\cdot 3$$\Delta d$

ゆらぎ$\Delta N$.

) は位相相関喪失の異なったメカニズムを与えることもわかった。

ポテンシャル列 $V$ による入射粒子の散乱を反射の次数により展開することで得られた我々の近似式 (18) $\cdot(19)$ は数値実験の再現性に優れていることがわかり、 さらに–般的な場合への拡張の可能性を期待させるものである。

参考文献[1] S. Machida and M. Namiki, Prog. Theor. Phys. 63 (1980) 1457; 1833; M. Namiki,Found. Phys. 18 (1988) 29.

. Zurek (Prince. Wheeler and[2] Quantum Theory and Measurement, edited by
ton University Press, 1983); B. d’Espagnat, Conceptual Foundations of Quantum Me. Lahti and P. Mittelstaedt, The quantum
chanics (Benjamin, 1971); P. Busch,
theory of measurement (Springer-Verlag, Berlin, 1991); M. Namiki and S. Pascazio,
Physics Reports 232 (1993) 301.
$\mathrm{J}.\mathrm{A}$$\mathrm{W}.\mathrm{H}$$\mathrm{P}.\mathrm{J}$[3] M. Namiki and S. Pascazio, Physics Reports 232 (1993) 301; M. Namiki, S. Pascazio
and C. Schiller, Phys. Lett. A182 (1994) 17.
[4] N. Kono, K. Machida, M. Namiki and S. Pascazio, preprint BA-TH/95-202, WU-HEP-

95-2.