数理解析研究所講究録1086 巻 1999 年 26-36

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Threefold and Higgs Ransitions in Calabi-Yau models

富山大理

細野

忍 (Shinobu Hosono)

1. M を 3 次元 Calabi-Yau 多様体とし、 $W$ をそれのミラー多様体とする。 ミラー対称性によると、 M の K\"ahler 構造変形のモジ $=$ ライ空間
空間$\mathcal{M}(W)$対し、$\mathcal{K}(M)$と W の複素構造変形のモジ z- ライ

が同-であることが予言される。正確に述べると、前者の複素化$\mathcal{M}(W)$のコンパクト化$\overline{\mathcal{M}}(W)$が存在し、 前者を同–になるという予言である [GY]。ここで、$\mathcal{K}(M)$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(M)$$\overline{\mathcal{K}}(M)\otimes \mathrm{C}$にの作用で割るとき 2 つがは $M$ の K\"ahler cone で、$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(M)$はM の複素構造を不変にする自己同型である。
について、 これが cubic cone $\{D\in H^{2}(M, \mathrm{R})|D^{3}=0\}$ の内部 $(D^{3}\geq 0)$ にあ$\overline{\mathcal{K}}(M)$り、 cubic cone から離れた所では局所的に有理多面体的であることが知られている。

$\overline{\mathcal{K}}(M)$の余次元 1 の面の上では、 contraction $\phi:Marrow M’$ が起こる。 特に、 この場合 Picard 数について $\rho(M’)=\rho(M)-1$ の関係が成り立つので、 primitive contractionと呼ばれている。

primitive contraction について、 次の様な分類がなされている [Wil] ;1. 有限個の有理曲線$(\cong \mathrm{P}^{1})$がそれぞれ点につぶれる.

II. 既約な曲面が点につぶれる.
III. 既約な曲面が曲線につぶれる.
さて、 これらの-K(M) の境界は、 ミラー対称性によって洞 $(W)$ の境界に対応すると期待されるが、$\mathcal{M}(W)$は、 K\"ahler coneのコンパクト化に於てその境界はどの様に現われるだろうか ? ここで$\mathcal{K}(M)$及び$\mathcal{M}(W)$のコンパクト化が容易に解析できるトーリック多様体

を ambient 空間とする Calabi-Yau 超曲面について、 そのモジ $=$ ライ空間の様子を調べる。

上述の contraction には、次のような物理的描像が描かれている。 3 次元 Calabi-Yau 多様体は、 超弦理論のコンパクト化に用いられるが、 多様体の K\"ahler モジ
変形のモジ$\supset-$

ライは、 それぞれ $II_{A},$ $II_{B}$ 型のモジ$\supset-$$\supset-$

ライと複素構造

ライと呼ばれ、 超弦理論の (marginal)

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変形を実現する。超弦理論の変形は零質量粒子によって引き起こされ、 $II_{A},$$II_{B}$

それぞれに応じて、零質量粒子 (超対称多重項) は、 vectormultiplet, hypermultiplet と呼ばれている。
ここで、 vectormultiplet はゲージ場、 hypermultiplet は物質場を表し、その役割が異なるば

かりでなく量子的な (輻射補正に関する) 性質も大きく異なる。 零質量粒子の個数と多様体のホッジ数は次の関係にあることが知られている、$h^{1,1}(M)=$ (#vectormultiplet)+1 ,$h^{2,1}(M)=$ (#hypermultiplet).

(1)ゲージ理論では、一般にポテンシャル関数の様子によって基底状態の転移が起こり、 その転移機構は Higgs 機構と呼ばれている。 この機構によって、ゲージ対称性 (ゲージ群) はそれの部分群に縮小するが、 (1) 式の対応とあわせて見ると、 Higgs 機構は幾何学的には contraction$Marrow M’$と見える。 実は、 hypermultiplet の数も Higgs 機構のもとで変化 (増大) することが分かり、 これは、 contraction $Marrow M’$ に引き続く smoothing $M’arrow M”$ と理解されている。 最近このような、 Higgs 機構と smoothing が可能な contraction との間の対応が明らかにされつつある [BIKMSV]。

以上の様な、 背景から smoothing が存在する contraction で、 I,$\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathrm{I}\mathrm{I},$のタイプの典型的なトーリックモデルを順に調べることにする。

2. 記号を整理するために Batyrev によるミラー対称性とトーリック幾何学におけるいくつかの結果を簡単にまとめる。
る。 このとき、$\triangle,$$\triangle^{*}$$\Delta$

を原点を点点に含む

考え、 所謂完備扇\Sigma (\Delta ),$\mathrm{p}_{\Sigma(\Delta^{*})}$$\Sigma(\triangle^{*})$$\triangle^{*}$を作る。 そこで、格子$f(a)=$の零点集合 (の閉包) を考える。 一般の$\mathrm{p}_{\Sigma(\triangle)}*$$\triangle^{*}$

をそれの双対とすについて、それぞれ原点から各々の面に向かって錐をを構成する。 トーラスの座標をリック多様体の多面体とし、ともにその頂点が全て整数点からなる場合、 これらは reflexive であると言われる。 reflexive な多面体\Delta ,体$\mathrm{R}^{4}$$X_{1},$$\cdots,$$X_{4}$に基づいてトーリック多様と書くとき、 定義式$\sum_{4,\nu\in\Delta\cap \mathrm{z}}a_{\nu}x^{\mathit{1}\text{ノ}}$$a_{\nu}$$\mathrm{Z}^{4}\subset \mathrm{R}^{4}$,の値に対して、 この超平面は非退化であり(2)$\text{、}$-トーの特異点の解消を通して超平面の (crepant な) 特異点解消が存在する

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ことが示される。 こうして得られる超曲面は Calabi-Yau 多様体であることが分かり、 これを$X_{\Delta}\subset \mathrm{p}_{\Sigma}(\triangle*)$して構成する、と書く。 全く同様にして、 Calabi-Yau 多様体$X_{\triangle},$$X_{\Delta^{*}}$$X_{\Delta^{*}}\subset \mathrm{P}_{\Sigma(\triangle)}$を得る。 こうは互いにミラー対称であることが示される [Bat]。以下では、について $II_{A}$ モジ= ライ (K\"ahler モジ= ライ) を考え、

$X_{\Delta^{*}}$$x_{\triangle}$については IIB モジ $=$ ライ (複素構造変形モジ\supset ^ ライ) を考える。 これらは、 前述の意味でミラー対称のもとで同–である。

このことは、$X_{\Delta}$の K\"ahker

で決まり、 同時に二次扇

cone が多面体\triangle w ら作る二次扇$\mathrm{a}$$S\Sigma(\triangle^{*})$に基づいて$X_{\Delta^{*}}$$S\Sigma(\triangle^{*})$に含まれる–部の錐の $II_{B}$ モジ= ライ空間のコンパクト化が定義されることからも自然である。

そこで、詳しい記述は文献を挙げるに止めて、$x_{\triangle}$の K\"ahker

cone の構成についてその概略を整理する。 それにあたって、 簡単のため次の性質を仮定する:

1) 完備扇\Sigma (\triangle *) の最大次元の錐はすべて regular である。 すなわち、 単体的であって、境界に位置する 1 次元錐の (integral な) 生成元は–次独立で格子

2) 超曲面の Picard 群は ambient 空間
1) の性質は$\mathrm{P}\Sigma(\triangle*)$$\mathrm{p}_{\Sigma(\Delta^{*})}$$\mathrm{Z}^{4}$を生成する。

のそれに–致する。

が非特異であることに同値である。 2) は twisted sector と物理で呼ばれるものが存在しないことを言う。以下に考えるモデルは全てこの二っの性質を満たしている。
さて、 これらの仮定のもとで、 超曲面$X_{\Delta}$の Picard 群は(3)$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(x_{\triangle})=\oplus_{i1}^{p}\mathrm{Z}\cdot D_{i}=/R$と書かれる [Ful] [Oda]。ここで、$\triangle^{*}$に含まれる原点以外の整数点を\nu 1*7の点を通る 1 次元錐が定義するトーリック因子を
理関係を表す–次関係式で、$D_{1},$$\sum_{i}\langle u, \nu_{i^{*}}\rangle D_{i}(u\in \mathrm{Z}^{4})$$\cdots,$ $D_{p}$によってもとで商は torsion を持たないことが示される。 なお.

$\ldots,$.

弔とし、 これらと表した。 また、 R は因子の有$\mathrm{Z}$上生成される。 1) の仮定の$\mathrm{r}\mathrm{k}(\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{C}(x_{\Delta}))=p-4$である。 二次扇

は\Delta * の単体分割 T を全て考えることによって作られる扇で$S\Sigma(\triangle^{*})=${$\sigma_{T}|T$: regular triangulation}

めような最高次元の錐\mbox{\boldmath $\sigma$}T(とそれの面) の集まりで、$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(X_{\Delta})\otimes \mathrm{R}$(4)の完備扇である。 特に、完備扇\Sigma (\Delta *) に対して単体分割乃が–つ定まるが、 これに対する錐\mbox{\boldmath $\sigma$}5 が K\"ahler cone で
ある。

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$\mathrm{Z}$

加群
ア

(5)

$L= \{(l_{1}, \cdots, \iota_{p})\in.\mathrm{Z}^{p}|\sum_{i=1}l_{i}\nu_{i}^{*\mathrm{o}}=\}$

を考えるとこれが、$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(X_{\Delta})$の双対を与えることが分かる。 加群$L$は、 ミラー多様体$X_{\Delta^{*}}$の周期の満たす微分方程式 (GKZ 方程式系 [GKZ]) を決める。 二次扇はこの微分方程式系の変数空間の自然なコンパクト化を定義するので、 これをもって$.X_{\triangle}.$ $*$.

の HB モジ\supset - ライ空間のコンパクト化とすることができる [HLY]。
ここで明らかなように、 単体分割乃に対する錐\mbox{\boldmath $\sigma$}5 が二つの役割を果たすことになる。
つは、 $II_{A}$ モジ

ライ空間の K\"ahler cone を決めるもので、 もう –つは、 $II_{B}$ モジ– ライ$=-$

空間の–つのアフィン座標を決めるものである。 実はこの対応によって、$II_{A}\dot{\text{モ}^{}\backslash }\sqrt[\backslash ]{}=_{\wedge}\backslash ^{\backslash }$ライ空

間の large volume limit と呼ばれる K\"ahler cone の” 深い” 位置に向かう極限と、 $II_{B}$ モジ$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

ライ空間の–つのアフィン座標の原点, large complex structure limit, とが自然に対応する。
これらの極限は、 量子コホモロジー環を決めるときに重要な役割を果たすもので詳しく調べられている$[\mathrm{H}\mathrm{K}\mathrm{T}\mathrm{Y}][\mathrm{H}\mathrm{L}\mathrm{Y}]$。

3. 以上の準備のもとで、 I,II,III のタイプの primitive contraction を示す 3 つの具体的なモデルを順に挙げる。 これらは、 どれも contraction の後 smoothing によって (5 次式)\subset P4 に結びつくモデルである。

example (.quintic):$0$$\mathrm{P}^{4}\backslash$の–般 5 次超曲面は Calabi-Yau 多様体である。 これに対する$\text{、}$re-flexive 多面体は$\triangle_{0}^{*}=\mathrm{c}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}\mathrm{V}$で与えられる。

. $(\{(1, \mathrm{o}, 0.’ \mathrm{o}), (0,1,0,0), (0,0,1, \mathrm{o}), (0,0,0,1), (-1, -1, -1, -1)\})$$\mathrm{p}_{\Sigma(\triangle_{0})}*=\mathrm{P}^{4}$であることは容易に分かる。 また.

その双対は $L=\mathrm{Z}(1,1,1,1,1)$ と表される。
$S\Sigma(\triangle_{0}^{*})=\mathrm{R}\geq 0^{\cdot}1\cup \mathrm{R}\geq 0^{\cdot}(-1)$

で与えられる。 ここで錐$\triangle_{0}^{*}$$\mathrm{r}\mathrm{k}(\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{C}(X\triangle\text{。}))=1$

は$x_{\triangle\text{。}の}$で、の単体分割は 2 つ存在し従って二次扇はとなり、 IIB モジ\iota ライ空間のコンパクト化は$\mathrm{R}_{\geq 0}\cdot 1$(6)$\mathrm{P}s\Sigma(\triangle_{0}*)=\mathrm{P}^{1}$

K\"ahler cone を決めると同時に、 larege complex

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structum limit を決める。 この錐が決めるアフィン座標を

$x$

とすると、

$X_{\triangle_{0}^{*}}$の–つの周期は(7)$w_{0}(X)= \sum_{n\geq 0}\frac{(5n)!}{(n!)^{5}}X^{n}$で与えられる。 この周期は、 量子コホモロジー環を記述する際に基本的な役割を果たすもの
で、 primitive form の理論でも同様に基本的な役割をする [Saito]。

example 1: quintic の多面体\triangle 0* を少し修正し$\triangle_{1}^{*}=\mathrm{c}_{0}\mathrm{n}\mathrm{V}$を考える。定義から、$\triangle_{1}^{*}$.

(8)$(\triangle^{*}\{0^{\cup}(-1, -1, -1, \mathrm{o})\})$

は\triangle 0* に比べ少し大きくなっているが、双対\Delta 1 は小さくなっている。

このことは、 一般 5 次式に制限を加えたことなっており、 超曲面は
これを blow uP することによって滑らかな Calabi-Yau 多様体て、 contraction$X_{\Delta_{1}}arrow x_{\Delta_{1}}’$$\mathrm{P}^{4}$で generic に退化し$X_{\Delta_{1}}\subset \mathrm{P}_{\Sigma(}\triangle*$$1$) を得る。従っは例外集合がつぶれるもので、 この場合有限個のる I 型であることが分かる。 この様子を見るために、 ambient 空間$\mathrm{p}_{\Sigma(\Delta_{1})}*$$\mathrm{P}^{1}$がつぶれを Cox による斉次座標 [Cox] によって表す:(9)$\mathrm{p}_{\Sigma(\triangle_{1}^{*})}=\mathrm{C}^{6}\backslash \{(z_{1}=z_{2}=z3=\mathcal{Z}6=0), (z_{4}=Z_{5}=0)\}/\sim$

ここで、$z_{5},$$\sim$は$(\mathrm{C}^{*})^{2}$の作用のもとでの同–視で、斉次座標に次のように作用する$z_{6})\sim(\lambda z_{1}, \lambda_{Z}2, \lambda_{\mathcal{Z}}3, Z4, Z_{5,6}\lambda z)\sim(z1, z2, z3, \mu_{Z_{4}}, \mu \mathcal{Z}5, \mu-1\mathcal{Z}_{6})(\lambda, \mu\in \mathrm{C}^{*})$

標では、 因子多様体$x_{\triangle_{1}}$$D_{1},$$\cdots,$$D_{6}$

は順に $z_{1}=0,$$\cdots,$$z_{6}=0$$(z_{1},$ $z_{2,3,4}z\mathcal{Z}$. COX の斉次座によって簡単に表現される。 Calabi-Yau

は (9) を ambient 空間として、 斉次方程式(10)$z_{4}f_{4}(\mathcal{Z}_{1}, z2, Z3)+z5g_{4}(_{Z}1, Z_{2}, Z_{3})+h_{5}(Z4, Z5)Z_{6}^{4}=0$

によって与えられる。
$X_{\Delta_{1}}$$z_{6}\neq 0$

では、 ambient 空間は (9) 式より、$\mathrm{P}^{4}\backslash (\mathcal{Z}_{4}=z_{5}=0)$はそこで非退化である。 -方 $z_{6}=0$ で決まる、 ambient 空間の因子は、に等しく. (10) 式との交点は、 4 $\cdot 4=16$ 個の
る因子は、

,

$D_{1}$と$D_{4}$$\mathrm{P}^{1}$

であることが分かる。

に同型で、$D_{6}=\mathrm{P}^{2}\cross \mathrm{P}^{1}$$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(X_{\Delta_{1}})$を生成すであることは、 因子の線形関係を直接調べることによって分かる。

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さて、二次扇によって$II_{A}$

モジ= ライ空間 (K\"ahler cone) を記述しよう。

4 っの異なる正則な単体分割が存在することが分かり、 このことから$\Delta_{1}^{*}$

については、$\mathrm{P}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}(X_{\triangle_{1}})\otimes \mathrm{R}$

の完備

扇として
$S\Sigma(\triangle^{*})101\cup=\sigma\tau\cup\sigma\tau\sigma T_{2}\cup\sigma\tau_{3}$(11)$=(\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(1,0)+\mathrm{R}\geq 0(0,1))\cup(\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(\mathrm{o}, 1)+\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(-2, -1))$

火 $(\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(-2, -1)+\mathrm{R}\geq 0(1, -1))\cup(\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(1, -1)+\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(1,0))$を得る。 ここで、$\mathrm{T}_{0}\text{は}\Sigma(\triangle*)1$から自然に従う単体分割で、従って\mbox{\boldmath $\sigma$}T0 は K\"ahler cone を表す。

( (11) 式では成分表示で錐を表しているが、 例えば\mbox{\boldmath $\sigma$}T0 は、$D_{6}$

は例外因子であったので、 contraction
方、 ミラー

えられ、$D_{l},D_{\mathit{6}}$$\iota^{(1)},$$\mathrm{R}_{\geq 0}D_{1}$で起こることが分かる。

(, 重み付き射彰空間の–点 blow uP,) となることが分かる。

と書くとき、$\iota(2)$である。 アフィン空間

は、壁の意味である)の $II_{B}$ モジ= ライ空間のコンパクト化も同じ二次扇 (11) によって与$X_{\Delta_{1}^{*}}$$\overline{\mathcal{M}}(X_{\triangle_{1}^{*)}}=\mathrm{P}^{2}\overline{(2,1},1)$の双対を$X_{\Delta_{1}}arrow X_{\Delta_{1}}’$$\mathrm{R}_{\geq 0}D_{1}+\mathrm{R}\geq 0D_{6}$$\sigma\tau_{\mathrm{o}\tau_{0}}^{\text{の双対_{}\sigma}}\mathrm{v}$はこれらによって生成される$U_{\sigma_{T_{0}}}=H\sigma m_{s.g}.(\sigma_{\check{T}_{0}}\cap L, \mathrm{C})$$L\otimes \mathrm{R}$の錐の局所座標を、 $x=u(l(1)),$ $y=u(\iota^{()}2)$と書く。 $x=y=0$ は rarge complex structure limit である。 なお、$\iota^{(1)},$$\iota(2)$の具体的な表示は $l^{(1)}=(1,1,1,0, \mathrm{o}, 1),$ $l^{()}2=(0,0, \mathrm{o}, 1,1, -1.)$ で与えられる。

さて、 contraction$X_{\Delta_{1}}arrow X_{\Delta_{1}}’$は$X_{\Delta_{1}^{*}}$の $II_{B}$ モジ\supset . ライ空間でどのように見えているだろうか。 これは、 次の様に周期 $w_{0}(x, y)$ の振る舞いから推察することができる:$w_{0}(x, y)= \sum_{0n_{)}m\geq}.\frac{(4n+m)!}{(n!)^{3}(m!)2(n-m)!}x^{n}ym$(12)$= \sum_{0n,m\geq}\frac{(4n+m)!}{(n!)^{3}(m!)^{2}}(_{X}y)^{n_{\frac{(\frac{1}{y})^{n-m}}{(n-m)!}}}$$arrow\sum_{n\geq 0}\frac{(5n)!}{(n!)^{5}}(_{X}y)^{n}$

この様に、 quintic$X_{\Delta \mathrm{O}}^{1,101}$

モジ $f$$X_{\Delta_{0}^{*}}$を持つ–方で、の周期が得られるのは contraction が smoothig$\overline{\mathcal{M}}(X_{\Delta_{1}^{*)}}$$\text{ライ空間}\overline{\mathcal{M}}(x_{\Delta_{0}^{*}})$

contraction$( \frac{1}{y}arrow 0)$$X_{\Delta_{1}}arrow X_{\Delta_{1}}’$$x_{\Delta_{1}}^{2,86}arrow X_{\Delta_{1}}^{1_{)}8\mathit{6}}’arrow$の}$\sim-|J$ ック $\text{因子}\frac{1}{y}=0(D_{(1,-1)})$ が、 quinticに同定されるからである。すなわち、$II_{A}$$X_{\Delta_{0}^{*}}$の $II_{B}$での smoothing 可能なに対し、 $II_{B}$ では境界のトーリック因子が対応している。

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example 2: 前述の例と同様に quintic に contraction を持つモデルで、 III 型の例を構成する。 事情は例 1 と全く同様なので詳細は省きまとめる。 モデルを決める .reflexive 多面体を.

$\triangle_{2}^{*}=\mathrm{C}_{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{V}}$(13)$(\triangle_{0}^{*}\cup\{(-1, -1,0, \mathrm{o})\})$

で与える。 多面体の包含関係から、 (13) のモデルは quintic の blow uP であることが分かる。 実際、 contraction

によって、 conic bundle が、低空間につぶれること.
が分かる。 その様子を見るために、 Cox 座標によって ambient 空間を表示する。
$\mathrm{P}^{1}$$x_{\triangle_{2}}arrow X_{\Delta_{2}}’$(14)$\mathrm{p}_{\Sigma(\Delta_{2})}*=\mathrm{C}^{6}\backslash \{(z_{1}=z_{2}=Z_{6}=0), (z3=z_{4}=z5=0)\}/\sim$

ここで、$(z_{1}, z_{2}, z_{3,4,5}\mathcal{Z}Z, z_{6})\sim(.\lambda z_{1}, \lambda z_{2}, z_{3}, z4, Z5, \lambda z_{6})\sim(_{\mathcal{Z}_{1},z_{2},\mu z_{3}}, \mu_{\mathcal{Z}}4, \mu z_{5}, \mu^{-}z_{6})1$である。 超曲面$(\lambda, \mu\in \mathrm{C}^{*})$$x_{\triangle_{2}}$の定義式は、 斉次牢(15)$z_{1}^{3}f_{2}(_{Z}3, \mathcal{Z}4, Z5)+\mathcal{Z}_{2}g23(Z3, z4, \mathcal{Z}_{5})+z^{3}h(_{Z_{3},ZZ)=0}654,5$

によって与えられる。 特に、 $z_{6}=0$ で決まるトーリック因子はこで、定義式 (15) は$(z_{1}, z_{2})\in \mathrm{P}^{1}$に対して$\mathrm{P}^{2}$$D_{6}=\mathrm{P}^{1}\cross \mathrm{P}^{2}$

であるが、

こ

の 2 次式を決め conic bunble になっていることが分かる。 この–般 2 次式は、 9 個の点で (–次式)2 になることが判別式から容易に確かめられる。 超曲面

$X_{\Delta_{2}}$は$X_{\triangle_{2}}\cap D_{6}$を除く所で、 (15) の形をしたある (特異点集合は $\mathrm{P}^{1}=(z_{3}=z_{4}=$

さて、$\triangle_{2}^{*}$$\mathrm{z}_{5}=0$)) 。なお、$\mathrm{P}^{4}$の特異 5 次式に同型で$\mathrm{P}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}(X_{\triangle})2=^{\mathrm{z}\cdot D}1\oplus \mathrm{Z}\cdot D_{3}$である。

の単体分割は 4 通りあることが分かり、 二次扇は$s\Sigma(\triangle_{2}*)=\sigma\tau_{01^{\cup\sigma\cup\sigma}}\cup\sigma TT2T3$(16)$=(\mathrm{R}\geq 0(1, \mathrm{O})+\mathrm{R}_{\geq 0}(0,1))\cup(\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(0,1)+\mathrm{R}_{\geq 0}(-1, -1))$$\cup(\mathrm{R}\geq 0(-1, -1)+\mathrm{R}\geq 0(1, -1))\cup(\mathrm{R}\geq 0(1, -1)+\mathrm{R}\geq 0(1,0))$と求められる。
ミラ一$X_{\Delta_{2}}$$\sigma_{T_{0}}=\mathrm{z}_{\geq 0}D_{1}+\mathrm{z}_{\geq 0^{D_{3}}}$が$X_{\Delta_{2}}$の K\"ahler

cone を決める。 同時に二次扇はの $II_{B}$ モジ=L ライ空間のコンパクト化を決め、

点 blow up,) であることが分かる。 双対\mbox{\boldmath $\sigma$}義は、$l^{(1)}=(1,1,0,0, \mathrm{o}, 1),$ $l^{()}2=(0,0,1,1,1,$U_{\sigma\tau_{0}}$$\overline{\mathcal{M}}(X_{\Delta}*)2=\overline{\mathrm{P}^{2}}$(, 射影空間のを決めるが、 具体的に,-1)$ で生成される。

$D_{1},D_{3}$

の双対,

33

さて、 example 1 と全く同様に、 contraction$x_{\triangle_{2}}arrow X_{\triangle_{2}}’$に対して、$II_{B}\text{での極限_{}\frac{1}{y}}arrow 0$を考えると (基本) 周期について$w_{0}(x, y)= \sum_{0n,m\geq}\frac{(3n+2m)!}{(n!)^{2}(m!)3(n-m)!}X\backslash nmy$

(17)$= \sum_{0n,m\geq}\frac{(3n+2m)!}{(n!)^{2}(m!)^{3}}(_{X}y)^{n_{\frac{(\frac{1}{y})^{n-m}}{(n-m)!}}}$$arrow\sum_{n\geq 0}\frac{(5n)!}{(n!)^{5}}(_{X}y)^{n}$$( \frac{1}{y}arrow 0)$が確かめられる。 この場合も前の例と同様に、 contraction に引き続
$X_{\triangle_{2}}^{1,86}’arrow x_{\Delta 0}^{1,101}$$\frac{1}{y}=0(D(1,-1))$$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{m}_{-}\mathrm{D}\mathrm{l}\mathrm{e}3$$\text{く}$smoothingが存在することが分かり、 IIB モジ Il ライ空間ではこれが$\uparrow\backslash -$$X_{\Delta_{2}}^{2,86}arrow$

リック因子

によって現れていることが分かる。

: 最後に、 II 型の contraction を持つモデルを構成する。 多面体として$\triangle_{3}^{*}=\mathrm{c}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}\mathrm{V}$を考える。 このとき、 contaction

.

(18)

$(\triangle_{0}^{*}\cup\{(-1,0,0,0)\})$$X_{\Delta_{3}}arrow x_{\triangle_{3}}^{J}$によって$\mathrm{D}\mathrm{e}1$

Pezzo 曲面

$B_{6}$がつぶれることが分かる。 また、 この contraction (は smoothing によって、 quintic につながる。 これまでの例と同様にして、 Cox の斉次座標を用いて超曲面を書く。 まず、(18)$\mathrm{p}_{\Sigma(\triangle_{3}^{*})}=\mathrm{C}^{6}\backslash \{(z_{1}=z_{6}=0), (Z_{2}=z_{3}=z_{45}=z=0)\}/\sim$ここで、 $(z_{1}, z_{2}, z3, z4, z_{5,6}z)\sim(\lambda z1, \mathcal{Z}2, z3, z4, Z5, \lambda z\mathit{6})\sim(z_{1}, \mu z2, \mu z_{3}, \mu z_{4,\mu}z_{5}, \mu-16z)$$(\lambda, \mu\in \mathrm{C}^{*})$. 超曲面の定義式は$x_{\triangle_{3}}$で与えられる。 $z_{6}=0$ で与えられるトーリック因子$D_{\mathit{6}}$は、$\mathrm{P}^{3}$に等しいことが分かる。 そして、 この因子との交点で超曲面は、 一般 3 次式になることから、 Del Pezzo 曲面

ることが分かる。

(19): $z_{1}^{2}f_{3}(Z_{2}, z3, z_{4,5}Z)+z6g_{5}2(z_{2,3}z, \mathcal{Z}4, Z5)=0$$B_{6}$であ34

他の例と同様に、$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(X_{\triangle \mathrm{s}})=\mathrm{z}\cdot D1\oplus \mathrm{Z}\cdot D_{2}$であることが分かり、 また、 二次扇は$S\Sigma(\triangle_{2}^{*})=\sigma_{T_{0}}\cup\sigma T_{1}\cup\sigma_{T_{2}}\cup\sigma_{T_{3}}$(20)$=(\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(1, \mathrm{o})+\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(0,1))\cup(\mathrm{R}\geq 0(\mathrm{o}, 1)+\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(-2, -3))$$\cup(\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(-2, -3)+\mathrm{R}\geq 0(1, -1))\cup(\mathrm{R}\geq 0(1, -1)+\mathrm{R}\geq \mathrm{o}(1, \mathrm{o}))$と求められる。
$x_{\triangle_{3}^{*}}$$\sigma_{T_{0}}=\mathrm{R}\geq 0D_{1}+\mathrm{R}\geq 0D_{2}$のコンパクト壁を決め、点が残る,) となる。
され、 またこれらが$\text{双対}\sigma_{\tau 0}^{\vee}$$\mathrm{Z}$

加州

が$x_{\triangle_{3}}$の K\"ahler$\overline{\mathcal{M}}(X_{\Delta_{3}^{*}})=\mathrm{P}^{2}\overline{(3,2},1)$cone をきめる。 また、 (20) は(, -点 blow up で、 まだ$U_{\sigma_{T_{1}}}$に特異は、 $l^{(1)}=(1,0, \mathrm{o}, \mathrm{o}, 0,1),$ $l^{(2)}=(0,1,1,1,1, -1)$ t こよって生成$L$を生成することも確かめられる。 以上の data から、 基本周期を決め境界での振舞いを見ると$w_{0}(x, y)= \sum_{mn,\geq 0}\frac{(2n+3m)!}{n!(m!)4(n-m)!}x^{n}y^{m}$(21)$= \sum_{0n,m\geq}\frac{(2n+3m)!}{n!(m!)^{4}}(_{X}y)^{n_{\frac{(\frac{1}{y})^{n-m}}{(n-m)!}}}$$arrow\sum_{n\geq 0}\frac{(5n)!}{(n!)^{5}}(Xy)^{n}$が確かめられる。他の例と同様に、 contraction
ing 可能で、 このことは、 ミラー$0(D_{(1,-1)})$が、$\overline{\mathcal{M}}(X_{\Delta_{0}^{*}})$$X_{\Delta_{3}^{*}}$$( \frac{1}{y}arrow 0)$’$X_{\Delta_{3}}^{2,90}arrow X_{\Delta_{3}}^{1,90}$

は、 quinticの $II_{B}$ モジ\iota ライ空間で見ると、$X_{\Delta 0}^{1,101}$に smooth-

トーリック因子$\frac{1}{y}=$と同定できることとして現れている。

4. Higgs 機構は場の理論における基底状態の非摂動的転移機構で、 同じ理論の異なる相 (基底状態) を結び付ける。下弦理論もまた多くの基底状態を持ち、それらは Higgs 機構によって移りあう。 個々の Calabi-Yau 多様体は$\mathrm{I}\mathrm{I}$型下弦理論を定義しその基底状態を決めるが、 基底状態から離れた非摂動効果を取り入れて考える時、 多くの異なった基底状態 (Calabi-Yau多様体) は一つの超弦理論の異なる相 (基底状態) として一つにまとまることが期待される。
2 つの Calabi-Yau 多様体 (基底状態) が Higgs 転移可能かどうかは、 そこにsmoothing を持つ contraction が存在するかどうかということに言い換えるのが自然である。 また、 ミ

ラー対称性を用いるとき、 smoothing を持つ contraction は、 対応する

$II_{B}$

モジ=L ライ空間

35のコンパクト化とそこでの境界因子によって特徴付けられるべきである。 この様な観点からトーリック多様体の超曲面を調べるとき、 example1,2,3 は、 易しいが、 Calabi-Yau モデルの contraction に典型的に現れるパターンである。 これらの例に共通する性質は多面体の包含関係\triangle ’*$\supset\triangle^{*}$である。 包含関係から自然にれ、 このため contraction$X_{\Delta’}arrow x_{\triangle}$$\mathrm{p}_{\Sigma(\triangle)}’*$

は blow up によって$\mathrm{p}_{\Sigma(\triangle)}*$から得らを常に考えることが出来る。二次扇の解析から、 こうして得られる contraction は常に smoothing 可能であると思われる。
一般に smoothing 可能な primitive contraction

含めて、 次の 3 つのタイプが観察される:$x_{\triangle}arrow X_{\Delta}’$$\overline{\mathcal{K}}(X_{\Delta})\otimes \mathrm{C}$について、 これまでの例をの余次元 1 の境界は、 ミラー対称性のもとで、 以下のような $II_{B}$ モジ\supset ^ ライ空間の境界に写される.

A) 二次扇を用いたコンパクトイ [#(X\Delta *) のあるトーリック因子. これは、包含関係\triangle ’*$\triangle^{*}$$\supset$がある場合一般に起こる。

B) ミラー$(\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{y})x_{\triangle}^{*}$の discriminant で、 その一つの既約成分.

例えば、 contrction$+$smoothing $\mathrm{P}(6,2,2,1,1)[12]2,128arrow \mathrm{P}(3,1,1,1,1,1)[6,2]1,129$ では、 genus 2 の曲線上の ruled surface が曲線につぶれ、 これが smoothing される。 $II_{B}$ モジ\supset \tilde ライ空間は、そのコンパクト化が P2$\overline{(2,1},1$) で行わる。 そこには $x=0,$ $y=0$ の他に、 二つ discriminantの成分, $(1-x)^{2}-xy=02,1-y=0$ を見ることができる。 基本周期の振舞いをみると、 $w_{0}(x, y)arrow w_{0}(x)(yarrow 1)$ が確かめられる。

C) $\text{二次扇を用いた^{コ}ンパ_{ク}ト化苅}(x_{\Delta}.)^{\circ}$ の、 non-toric 因子. 例えば、 contractionsmoothing $\mathrm{P}(3,1,1,1,1)[7]^{2,122}arrow \mathrm{P}(4,1,1,1,1)[8]^{1,149}$では、 28 個の$\mathrm{P}^{1}$$+$がそれぞれ点につぶれる。 $II_{B}$ モジ= ライ空間を見ると、 そのコンパクト化は P2(2, 1, 1) で行われる。
二つの discriminant が接する点が見出され、 これを normal crossing にするために blow

up を行う。 このときの no-toric 因子がup する座標を\xi$= \frac{x^{3}y}{2(1-4x)4}$$II_{B}$での境界となる。 このことは具体的に、 blowとし基本周期について $(1-4x)^{1}/2w_{0}(x, y)arrow w_{0}(\xi)(xarrow$

1/4, $yarrow 0$ ) であることから確かめられる。

以上、例証することを手がかりに解析を行なった結果に過ぎないが、 一般性を持った定式化を期待している。

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