数理解析研究所講究録 1411 巻 2005 年 25-36

25

局所エネルギー可積分性評価の証明と非線形問題への応用

北海道工業大学

横山 和義 (Kazuyoshi Yokoyama)

Hokkaido Institute of Technology

1$\text{序}$.

線形波動方程式の初期値問題$\square u(t, x)=0$,$t\in \mathrm{R},$$u(0, x)=f(x),$$x\in Bn$ ,$\partial_{t}u(0,x)=g(x)$,$x\in \mathrm{R}^{n}$,てあり, :の解に対して成立する有用な評価を紹介する. ここで口であるとする. 初期値問題 $(1)-(2)$ の解 に対して次の時空 L2-評価が成り立つ.
$=\partial_{t}^{2}-\Delta$$u$$\mathrm{R}\cross \mathrm{R}^{n}arrow \mathrm{R}$$u$$||\langle r\rangle^{-}$$||\langle$

1/20lr)-1/2$u||$

L2((O,1xR )$n$u L2(IO,1x$-\delta\partial$$||$

ここで $r=|x|,$ $\langle r\rangle=\sqrt{1+r^{2}},$る. また,$\partial u$$\leqq C\sqrt{\log(2+T)}$$\delta$$\mathrm{R}^{n}$)$\leqq C$>0 であり,($C$($||\nabla f||_{L^{2}}+||$$||\nabla f||_{L^{2}}+||$g L2),$||$g L2).
$||$

は $u,$ $f,$ $g$ およひ $T$ に無関係な定数てあは $u$ の時空変数に関する導関数である.

右辺がエネルギー評価に現れるものと同じであることが大きな利点である. この評価は最初 Keel-Smith-So 邸 e[5] により $n=3$ の場合に示された. その後 Metcalfe [8] により(本質的には) 一般次元で証明された. さらに HidanO-Yokoyama $[2, 3]$ により一般化が論じられている.

Keel-Smith-So 邸 e [5] が最初に上述時空評価の有効性を示した外部領域ての初期・境界値問題に関してはその後もいくつかの優れた結果が得られている (例えば $[6, 9]$ など, もちろん Duhamel の原理により非同次の場合に一般化して用いる) . また, 原点に特異性を持つ波動方程式の初期値問題 (Hidano [1]) や正則性の低い解の構成 (HidanO-Yokoyama[4] に応用されるなどの新しい展開も見られ, 今後も様々な場面て活用されることが期待
$)$

される.

本稿では上の時空評価の証明法を 2 つ紹介する. 2 節ては Fourier 変換を用いる証明, 3
節ては Multiplier Method による証明を与える. さらに 4 節では (3), (4) に関連する時空評価を紹介する. 最後に 5 節では非線形問題への応用例として HidanO-Yokoyama [4] で論じられた正則性の低い球対称解を得るための評価法を説明する.

なお, 本稿の内容は肥田野久二男・三重大学助教授との共同研究に基く

28
2 Fourier 変換を使う証明.
この節では初期値問題 $(1)-(2)$ の解に対する Fourier 変換を用いた時空評価の証明を述べる. 証明のアイディアは Metcalfe [8] による. また, HidanO-Yokoyama [2] の Appendix
も参照のこと.
を初期値問題 $(1)-(2)$ の解
補題 1 $f,$ は急減少関数で, 原点の近傍で $\hat{g}=0$ とする.
に対しにおける急減少関数とする. このとき, 任意の
$u$

$g$

$\beta(x)$$\mathrm{R}^{n}$$\overline{\beta\partial_{t}u}(\tau,\xi)$

$=$

(r )

$\frac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\hat{\beta}(\xi-|\tau|\omega)\hat{g}$$|\omega$$|$$| \tau|^{n-1}\ \int$$+ \frac{i}{2}\int_{S^{\mathrm{n}-1}}\hat{\beta}(\xi-|\tau|\omega)\tau\hat{f}(|\tau|\omega)|\tau|^{n-1}$$\overline{\beta\partial_{j}u}(\tau,\xi)$$=$$\frac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\hat{\beta}(\xi-|\tau|\omega)|\tau|$

’

(5)

d,

$j^{\frac{\hat{g}(|\tau|\omega)}{\tau}|\tau|^{n-1}}$d(6)$+ \frac{i}{2}\int_{S^{n-1}}\hat{\beta}(\xi-|\tau|\omega)|\tau|\omega_{j}\hat{f}(|\tau|\omega)|\tau|^{n-1}\$が成り立つ. ただし,- と$\sim$

はそれそれ空間変数, 時空変数に関する Fourier 変換を表す-

証明.

\^u(t, )$\eta$

cos$t|\eta|\hat{f}(\eta)$$=$$\frac{\sin t|\eta|}{|\eta|}\hat{g}(\eta)+$$=$$\frac{1}{2i}(e^{it|\eta|}-e^{-*t|\eta|}.)\frac{\hat g(\eta)}{|\eta|}+\frac{1}{2}(e^{it|\eta|}+e^{-\dot{l}t|\eta|})\hat{f}(\eta)$

であるから$\tilde{u}(\tau, \eta)=\frac{1}{2i}\{\delta(\tau-|\eta|)-\delta(\tau+|\eta|)\}\frac{\hat g(\eta)}{|\eta|}+\frac{1}{2}\{\delta(\tau-|\eta|)+\delta(\tau+|\eta|)\}\hat{f}(\eta)$.

よって$\overline{\beta\partial_{j}u}(\tau, \xi)$$=$$\int_{\mathrm{R}^{n}}\hat{\beta}(\xi-\eta)\overline{\partial_{j}u}(\tau, \eta)d\eta$$=$$\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\tau\cdot\frac{1}{2}\int_{|\eta|=|\tau|}\hat{\beta}(\xi-\eta)\eta_{j}\frac{\hat g(\eta)}{|\eta|}dS_{\eta}+\frac{i}{2}\int_{|\eta|=|\tau|}\hat{\beta}(\xi-\eta)\eta_{j}\hat{f}(\eta)d\mathit{5}_{\eta}$$=$$\frac{1}{2}$8、-1$\hat{\beta}(\xi-|\tau|\omega)|\tau|\omega_{j}\wedge$$g(|\tau|\omega)\tau|\tau$–ln-l 必$+ \frac{i}{2}\int_{S^{n-1}}\hat{\beta}(\xi-|\tau|\omega)|\tau|\omega_{j}\hat{f}(|\tau|\omega)|\tau|^{n-1}Av$$\overline{\beta \mathrm{a}u}(\tau,\xi)$についても同様.

.
口

27
補題 2 $f\in H^{1}$ (Rn)
意のにおける急減少関数とし,$\rangle g\in L^{2}(\mathrm{R}^{n})$$\mathrm{R}^{n}$$\beta(X)$u$||\beta\partial$$||L2$($u$を初期値問題 $(1)-(2)$ の解とする. このとき, 任に対し$\mathrm{R}\cross$

R )
$n$

$\leq C_{\beta}$($||\nabla f||_{L^{2}}+||$g L2).

(7)$||$を急減少関数とする. さらに, 原点の近傍で $\hat{g}=0$ であるとする. このとき補題 1 と H\"older の不等式により,証明. $f,$$g$$|\overline{\beta\partial u}(\tau, \xi)|^{2}$$\leq$$C| \int_{S^{n-1}}\hat{\beta}(\xi-|\tau|\omega)\hat{g}(|\tau|\omega)|\tau|^{n-1}h|^{2}$$+C| \int_{S^{n-1}}\hat{\beta}(\xi-|\tau|\omega)|\tau|\hat{f}(|\tau|\omega)|\tau|^{n-1}$$\leq$\sim$|^{2}$$C \int_{S^{n-1}}|\hat{\beta}(\xi-|\tau|\omega)||\tau|^{n-1}d\omega$$\mathrm{x}\int_{S^{n-1}}|\hat{\beta}(\xi-|\tau|\omega)|\{|\hat{g}(|\tau|\omega)|^{2}+|\tau|^{2}|\hat{f}(|\tau|\omega)|^{2}\}|\tau|^{n-1}h$.

ここで, $|\tau|\geq 1$ とするとトレース定理により$||\hat{\beta}(\xi-|\tau|\omega)|\tau|^{n-1}||_{L^{1}(S^{n-1})}.\leq C||\hat{\beta}(\xi-|\tau|z)|\tau|^{n-1}||_{W_{z}^{1,1}(B_{1})}\leq C||\hat{\beta}||_{W^{1,1}(\mathrm{R}^{n})}$であることが分かるので,$\int_{S^{n-1}}|\hat{\beta}$( $\xi-|\tau$ l\mbox{\boldmath $\omega$})l \mbox{\boldmath $\tau$}ln-l ぬ$\leq C(||\hat{\beta}||_{W^{1,1}}+||\hat{\beta}||_{L}\infty)$.

従って,$||\beta\partial u||_{L^{2}(\mathrm{R}\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})}^{2}$$=$$||\overline{\beta\partial v}||_{L^{2}(\mathrm{R}\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})}^{2}$$\leq$$C_{\beta} \int_{\mathrm{R}}\int_{S^{n-1}}\{|\hat{g}(|\tau|\omega)|^{2}+|\tau|^{2}|\hat{f}(|\tau|\omega)|^{2}\}|\tau|^{n-1}ddd\tau$$=C_{\beta}(||\neg g|_{L^{2}}^{2}+|||\xi|\hat{f|}|_{L^{2}}^{2})$$=C_{\beta}(||g||_{L^{2}}^{2}+||\nabla f||_{L^{2}}^{2})$さらに稠密性の議論により$f\in H^{1}(\mathrm{R}^{n}),$$g$.

\in L2(Rn) に対しても (7) が成り立つことが分かる.

口

命題 1 $f\in H^{1}$ (Rn),$g\in L^{2}(\mathrm{R}^{n})$|| r -l/2 u||$\langle$$\rangle$

とし,

$u$

を初期値問題 $(1)-(2)$ の解とする. このとき

$L^{2}([0ffl\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})\leq C\sqrt{\log(2+T)}(||\nabla f||_{L^{2}}+||g||_{L^{2}})$(8)が成り立つ. ここて $r=|x|$ てある. また, $\delta>0$ とすると,$||\langle r\rangle^{-}1/2-$,u$\partial$$||$

L2([0,7lxR ) $\leq C(||\nabla f||_{L^{2}}+||g||_{L^{2}})$
$n$

.

(9)

28
証明.

$\beta\in C_{0}^{\infty}(\mathrm{R}_{x}^{n}),$upp $\beta\subset\{1/2\leq r\leq 4\},$ =lon $\{1 \leq r\leq 2\}$ とする.
(
x) と置 . まず補題 2[こより,$\beta$$\mathrm{s}$対して $u_{\lambda}(t, x)=\lambda^{1/2}u$$\lambda t,$$\lambda$$\lambda>0$に$\langle$$||\partial u_{\lambda}||_{L^{2}(\mathrm{R}\mathrm{x}\{1<r<2\})}\leq C||\partial u_{\lambda}(0, \cdot)||_{L^{2}}$(10)$||\partial u_{\lambda}(0, \cdot)||_{L^{2}}=||\partial u(0, \cdot)||_{L^{2}}$(11)が成り立つ. また,であることが積分の変数変換により確かめられる. さらに,$|$F}$\lambda||$L2(RX $\{1<r<2\}$ )$=\lambda^{-1/2}||\partial u||_{\iota^{2}(\mathrm{R}\mathrm{x}\{\lambda<r<2\lambda\})}$てあるから||r-1/2||L2(Rx$\{\lambda<r<2\lambda\}$) $\leq C||$$u_{\lambda}||_{L^{\mathit{2}}}(\mathrm{R}\mathrm{x}\{1<r<2\})$

.

(12)

よって (10), (11), (12) により||r-1/2 u||L2(Rx{A$<r<2\lambda\}$)$\leq$$C||\partial u_{\lambda}||_{L^{2}(\mathrm{R}\mathrm{x}\{1<r<2\})}$$\leq$$C||\partial u_{\lambda}(0, \cdot)||_{L^{2}}\leq C||\partial u(0, \cdot)||_{L^{2}}$(13)が得られる.
ここで, $2^{N-1}\leq T\leq 2^{N}$ なる自然数 $N$ をとる. $N-1\leq\log T/\log 2\leq N$ であるので,(13) により,$||\langle$r)-1/2)\sim l$||_{L^{2}}^{2}$(Rx{r $<T\}$ )r-1/2)\sim L L2(Rx{2j $-1<r<2j\}$ )$\leq$$||) \sim||\mathrm{j}_{2}(\mathrm{R}\mathrm{x}\{r<1\})+\sum_{j=1}^{N}||$$\leq$$C(N+1)||\partial u(0, \cdot)||_{L^{2}}^{2}$$\leq$$C\log(2+T)||\partial u(0, \cdot)||_{L^{2}}^{2}$

$||$

.

一方, よく知られたエネルギー評価により$||$r-1/2 u$\partial$$||_{L^{2}}^{2}$([0,Tlx{r $>7\}$ )$\leq$$\leq$$T^{-1} \int_{0}^{T}||\partial u(t, \cdot)||_{L^{2}}^{2}dt$$||\partial$u(0, )$\cdot$$||$i2.

が従う. これらを合わせて (8) が得られる. (9) も同様にして示される.

口

命題 1 と Duhamel の原理により次が得られる.
系 1$f\in H^{1}(\mathrm{R}^{n}),$$g\in L^{2}(\mathrm{R}^{n}),$$F\in C([0, \infty);L^{2}(\mathrm{R}^{n}))$口 $u(t, x)=F(t, x)$$u(0, x)=f$ ( x),,$t>0,$とする. 初期値問題$x\in \mathrm{R}^{n}$

au$(0, x)=g(x)$ ,(14),$x\in \mathrm{R}^{n}$

,

(15)

28
の解に対して$||\langle$$r)-1/2\partial$

u L
$||$

$2([0,T]\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})$$\leq C\sqrt{\log(2+T)}$($||\nabla f||_{L^{2}}+||$

g L $2+70T||$ F$||$$(\tau, \cdot)||_{L^{2}}d\tau$

)

(16)

が成り立つ. また, $\delta>0$ とすると
$||$

(r

$\rangle^{-1/2-\delta}\partial$$\leq C$

(

u L2
$||$

$([0,T]\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})$$||\nabla f||_{L^{2}}+||$

g L $2+70T||$ F$||$$(\tau, \cdot)||_{L^{2}}d\tau$

).

(17)

3 Multiplier Method による証明.
本節ては Mochizuki [10, 第 7 章] の方針で Multiplier Method による時空評価 (4) の証明法を与える. この方法ては時空評価 (3) の方は困難であると思われるし, $n=2$ の場合が扱えないという難点があるが, Fourier 変換が使えないような状況で役に立つ可能性がある.

補題 3 $r^{(n-1)/2}u=v$ と置くと,
$r$

ただし

$\partial_{r}=\omega\cdot\nabla$(n-1)72 $\square u=\square v+\frac{n-1}{r}\partial_{r}v+\frac{(n-1)(n-3)}{4r^{2}}v$, $\omega=x/r,$

$r$

.

(18)

=|x|.

証明. 直接計算により,$\partial_{r}v=r$

2 $v=r$$\partial$

,

(19)

(n-1)/2 $( \partial_{r}^{2}u+\frac{n-1}{r}\partial_{r}u+\frac{(n-1)(n-3)}{4r^{2}}u)$(20)(n-0/2 $( \partial_{r}u+\frac{n-1}{2r}u)$てあることが分かるから,$\Delta v-\frac{n-1}{r}\partial_{r}v$$= \partial_{r}^{2}v+\frac{1}{r^{2}}\Delta_{S}v$$=r$(n-1)/2 $( \Delta u+\frac{(n-1)(n-3)}{4r^{2}}u)$.

上のラプラシアンであり, $\Delta=\partial_{r}^{2}+(n-1)r^{-1}\partial_{r}+r^{-2}\Delta s$ に注意する.
口
よって (18) が示された.

ここて$\Delta_{S}$は$S^{n}$

30
補題 4$r^{(n-1)/2}\square u\cdot r^{-n+1}(\partial_{t}v+\psi(r)\partial_{r}v)=\partial_{t}X-\nabla\cdot \mathrm{Y}+Z_{1}-Z_{2}$

.

(21)

ただし,

,

$=$

$\frac{1}{2}\{(\partial_{t}u)^{2}+|\theta|^{2}\}+\psi\partial_{t}u(\omega\cdot\theta)+\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}u^{2}$$\mathrm{Y}$$=$$\theta\partial_{t}u+\psi(\omega\cdot\theta)\theta+\frac{1}{2}\psi\omega(\partial_{t}u)^{2}-\frac{1}{2}\psi\omega|\theta|^{2}-\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}\psi\omega u^{2}$$Z_{1}$$=$$\frac{1}{2}\psi’\{(\ u)^{2}+| \theta|^{2}\}+(\frac{\psi}{r}-\psi’)\{|\theta|^{2}-(\omega\cdot\theta)^{2}\}+\frac{(n-1)(n-3)}{4r^{3}}\psi u^{2}$$Z_{2}$$=$$\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}\psi’u^{2}$

$=$

( そ

$X$

$\theta$$\frac{n-1}{2r}\omega$

,

,

,

) .
$u$

証明. ます以下の計算に用いられる主な公式を準備しておこう

r-(n-l)/2\nabla v=\mbox{\boldmath $\theta$}》

1

,

(22)

$r^{-(n-1)/2}\partial_{r}v=\omega\cdot\theta$

,

(23)

. $(r^{-n+1}\omega fg)=r^{-n+1}f\partial_{r}g+r^{-n+1}g\partial_{r}f$(24)$\varphi=\varphi(r)$

とするとき

v.

$\nabla\varphi=\partial_{r}v\partial_{r}\varphi$である. これらは簡単に確かめられる. 以下の計算てこれらを断りなく用いる.

ます$r^{(n-1)/2}\square u\cdot r^{-n+1}\partial_{t}v$から計算しよう$\partial_{t}^{2}v\cdot r^{-n+1}\partial_{t}v=\partial_{t}\{\frac{1}{2}r^{-n+1}(\partial_{t}v)^{2}\}=$$\Delta v\cdot r^{-n+1}\mathrm{a}v$$=\nabla$. (\nabla v.

$r^{-n+1}\mathrm{a}v$)a$t \{\frac{1}{2}(\partial_{t}u)^{2}\}$,$-\partial_{r}v\cdot\partial_{r}r^{-n+1}3\partial_{t}v-\nabla v\cdot r^{-n+1}\mathrm{a}\nabla v$$= \nabla\cdot(\theta\partial_{t}u)+\frac{n-1}{r}\partial_{r}v\cdot r^{-n+1}\mathrm{a}v-\partial_{t}(\frac{1}{2}|\theta|^{2})$,$\frac{(n-1)(n-3)}{4r^{2}}v\cdot r^{-n+1}\partial_{t}v=\partial_{t}\{\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}r^{-n+1}v^{2}\}=\partial_{t}\{\mathrm{I}\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}u^{2}\}$と補題 3 により$r^{(n-1)}$/2$\mathrm{B}_{1}^{*}\acute{\{}\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{られる}$

次に$\square$u.

$r^{-n+1} \partial_{t}v=\partial_{t}\{\frac{1}{2}(\ovalbox{\tt\small REJECT} u)^{2}+\mathrm{g}|\theta|^{2}+\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}u^{2}\}-\nabla\cdot(\theta\partial_{t}u)$

(25)

.

$r^{(n-1)/2}\square u\cdot r^{-n+1}\psi(r)\partial_{r}v$の方を計算する.

$\partial_{t}^{2}v\cdot r^{-n+1}\psi\partial_{r}v=\mathrm{d}(\partial_{t}v\cdot r^{-n+1}\psi\partial_{r}v)-\partial_{t}v\cdot r^{-n+1}\psi \mathrm{a}\partial_{r}v$$= \partial_{t}(\psi\partial_{t}u(\omega\cdot\theta))-\{\nabla((\frac{1}{2}r^{-n+1}\omega\psi(\mathrm{d}v)^{2})-\frac{1}{2}r^{-n+1}\partial_{r}\psi(\mathrm{a}v)^{2}\}$$= \partial_{t}(\psi\partial_{t}u(\omega\cdot\theta))-\nabla\cdot(\frac{1}{2}\psi\omega(\partial_{t}u)^{2})+\frac{1}{2}\partial_{r}\psi(\partial_{t}u)^{2}$,

31$\Delta v\cdot r^{-n+1}\psi\partial_{r}v$$=\nabla 1$(\nabla v.

$r^{-n+1}\psi\partial_{r}v$$=\nabla(\{\psi\theta(\omega\cdot\theta)\}-${)$-\nabla v\cdot\nabla(r^{-n+1}\psi\partial_{r}v)$$\partial_{r}v\cdot\partial_{r}(r^{-n+1}\psi)\partial_{r}v+r^{-n+1}\psi\nabla v\cdot$

き,

$v$

}

$= \nabla\cdot\{\psi\theta(\omega\cdot\theta)\}+\frac{n-1}{r}\partial_{r}v\cdot r^{-n+1}\psi\partial_{r}v-\partial_{r}\psi(\omega\cdot\theta)^{2}$$-r^{-n+1}\psi\nabla v\cdot\nabla\partial_{r}v$である. さらにt$r^{-n+1}\psi\nabla v\cdot\nabla$$rv$$=r^{-n+1}\psi\nabla$$=\nabla$.

となる. ここで$v\cdot$$[$\nabla ,$\nabla$.

$\partial_{r}\nabla v+r^{-n+1}\psi\nabla v\cdot[\nabla, \partial_{r}]v$$( \frac{1}{2}r^{-n+1}\omega\psi|\nabla v|^{2})-\frac{1}{2}r^{-n+1}\partial_{r}\psi|\nabla v|^{2}$$+r-n+1\psi$

$=$

v.

r-1

$(|\nabla v|^{2}-(\partial_{r}v)^{2})$$( \frac{1}{2}\omega\psi|\theta|^{2})-\frac{1}{2}\partial_{r}\psi|\theta|^{2}+\psi r^{-1}(|\theta|^{2}-(\omega\cdot\theta)^{2})$$\partial_{r}]v=\sum_{i_{\tilde{J}}=1}^{n},(\partial_{j}\omega_{i})\partial_{i}v\partial_{\mathrm{j}}v=r^{-1}(|\nabla v|^{2}-(\partial_{r}v)^{2})$$\frac{(n-1)(n-3)}{4r^{2}}v\cdot r^{-n+1}\psi$

0,

$v$

$=$

$\nabla$.

に注意. 最後に$\{\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}r^{-n+1}\omega\psi v^{2}\}$$- \frac{(n-1)(n-3)}{8}r^{-n+1}\partial_{r}(r^{-2}\psi)v^{2}$$=$$\nabla\cdot\{\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}\omega\psi$$- \frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}$, u$r\psi$u$2$}$2+ \frac{(n-1)(n-3)}{4r^{3}}\psi$u2.

これらと補題 3 により$r^{(n-1)/2}\square u\cdot r^{-n+1}\psi\partial_{f}v$$=$

A$( \psi\partial_{t}u(\omega\cdot\theta))-\nabla \mathrm{l}\{\frac{1}{2}\psi\omega(\partial_{t}u)^{2}+\psi\theta(\omega\cdot\theta)$.

$- \frac{1}{2}\omega\psi|\theta|^{2}-\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}\omega\psi u^{2}\}+Z_{1}-Z_{2}$

よって (25), (26) により (21) を得る.

(26)
口

参考 (Morawetz’s radial identity).
口 $u$

.

$( \partial_{r}u+\frac{n-1}{2r}u)$$=\partial_{t}\{\partial_{t}u(\partial_{r}u$

十 $\frac{n-1}{2r}u)\}-\nabla\cdot\{\frac{\mathrm{I}}{2}\omega((\partial_{t}u)^{2}-|\nabla u|^{2})$$+( \partial_{r}u+\frac{n-1}{2r}u)\nabla u+\frac{n-1}{2r^{2}}\omega u^{2}\}$$+ \frac{1}{r}(|\nabla u|^{2}-(\partial_{r}u)^{2})+\frac{(n-1)(n-3)}{4r^{3}}u^{2}$$n\geq 4,$$\square u=0$のとき, (27) を$[0, T]\cross \mathrm{R}^{n}$

.

(27)

で積分してエネルギー評価と Hardy の不等式

を使うと,$\int_{0}^{T}\int_{\mathrm{R}^{n}}\frac{u^{2}}{r^{3}}dxdt\leq C(||\nabla f||_{L^{2}}^{2}+||g||_{L^{2}}^{2})$

.

(28)

32
命題 2 $n\neq 2$ とする.

$f\in H^{1}(\mathrm{R}^{n}),$$g$\in L2(Rn) とし,$u$を $(1)-(2)$ の解とすると, $\delta>0$に対し$||\langle r\rangle^{-1/2-\delta}\partial u||_{L^{2}([0,T]\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})}\leq C(||\nabla f||_{L^{2}}+||g||_{L^{2}})$

証明. $f,$.

(29)

に対して証明すればよい. 補題 4 の恒等式を $[0, t]$$g\in C_{0}^{\infty}(\mathrm{R}^{n})$$\cross \mathrm{R}^{n}$

で積分

すると,
$7_{n}X(t, x)dx+ \int_{0}^{t}\int_{\mathrm{R}^{n}}Z_{1}(s,x)dxds=7$ $n.X(0, x)dx+I_{0}^{t} \int_{\mathrm{R}^{n}}Z_{2}(s, x)dxds$.

ことで$\psi(r)=\gamma\{1-\frac{(1+r)^{-2\delta}}{1+2\delta}\}$,$0<\gamma<1$と置く$\frac{2\delta\gamma}{1+2\delta}\leq\psi\leq\gamma$,$\psi’=\frac{2\delta\gamma}{1+2\delta}(1+r)^{-1-2\delta}\leq\frac{\psi}{r}$

なので,

,

$X$

$\leq$$( \partial_{t}u)+|\theta|^{2}+\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}u^{2}$$X$$\geq$$\frac{1-\gamma}{2}\{(\partial_{t}u)+|\theta|^{2}\}+\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}u^{2}$$Z_{1}$$\geq$$\frac{2\delta\gamma}{1+2\delta}[(1+r)^{-1-2\delta}\{(\partial_{t}u)^{2}+|\theta|^{2}\}+\frac{(n-1)(n-3)}{4r^{3}}u^{2}]$$Z_{2}$$\leq$$\frac{(n-1)(n-3)}{8r^{2}}(1+r)^{-1-2\delta}u^{2}$

,
,

.

また
$|\theta|^{2}$

Tu

$=$

$|\nabla$u$|^{2}+$$=$$|\nabla$u$|^{2}+\nabla$$(1+r)^{-1-2\delta}|\theta|^{2}$.($\partial,u+(\frac{n-1}{2r})^{2}u^{2}$u ) $- \frac{(n-1)(n-3)}{4r^{2}}u^{2}$ ,$2$$\frac{n-1}{2r}\omega$

u)
$2$

$=$

$(1+r)^{-1-2\delta}| \nabla u|^{2}+\nabla \mathbb{C}(\frac{n-1}{2r(1+r)^{1+2\delta}}\omega$$+ \frac{(n-1)(1+2\delta)}{2r(1+r)^{2+2\delta}}u^{2}-\frac{(n-1)(n-3)}{4r^{2}(1+r)^{1+2\delta}}u^{2}$なので,$\frac{1-\gamma}{2}||\partial u(t, \cdot)||_{L^{2}}^{2}\leq$

jC、$-,$ $X(t,x)dx\leq||$$u(t,$ $\cdot\ovalbox{\tt\small REJECT}|\lambda \mathit{2}+\frac{(n-1)(n-3)}{8}||\frac{u(t,\cdot)}{r}||_{L^{2}}^{2}$$Z_{1}(t,x)dx \geq\frac{2\delta\gamma}{1+2\delta}||(1+r)^{-1/2-\delta}\partial u(t, \cdot)||_{L^{2}}^{2}$

.

,

33
以上上り

u(t, ) $||L2+$ i$||\partial$$\cdot$$(1+r)^{-1/2-\delta}\partial$u L2([0,t1xR )
$||$

$n$

$\leq C\{||\partial u(0, \cdot)||_{L^{2}}+||\frac{u(0,\cdot)}{r}||_{L^{2}}+(n -1)(n-3)||\frac{u}{r^{3/2}}||_{L^{2}([0,t]\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})}\}$.

あとは Hardy の不等式と Morawetz の不等式 (28) により結論を得る.

口

4 関連する評価.
$u$を $(1)-(2)$ の解とする. $n=3$ のときには Morawetz’s radial identity (27) から$\int_{0}^{T}u(t, 0)^{2}dt\leq C(||\nabla f||_{L^{2}}^{2}+||g||_{L^{2}}^{2})$が導かれる. 従ってこれを平行移動した(30)$\int_{0}^{T}u(t, x)^{2}dt\leq C(||\nabla f||_{L^{2}}^{2}+||g||_{\mathrm{L}^{2}}^{2})$も成り立つ (Morawetz [11] も参照のこと)||r-3/2u||i2([0, 刀$\mathrm{x}\{\lambda<f<2\lambda\}$

)

これより

$=$

$\int_{\{\lambda<r<2\lambda\}}r^{-3}(\int_{0}^{T}u(t,x)^{2}dt)dx$$\leq$$C(||\nabla f||_{L^{2}}^{2}+||g||_{L^{2}}^{2})$が得られるので, 命題 1 の証明と同様にして次の評価が従う

命題 3 $n=3$ とする.

$f\in H^{1}(\mathrm{R}^{3}),$$g$\in L2(R3) とし,$u$

1を初期値問題 $(1)-(2)$ の解とする. このとき$||$ar$\rangle^{-}3/2u||$

L

(31)

$2([0,\tau]\mathrm{x}\mathrm{R}^{\mathrm{s}_{)}\leq C\sqrt{\log(2+T)}(||\nabla f||_{L^{2}}+||g||_{L^{2}})}$

が成り立つ. ここて $r=|x|$ である. また, $\delta>0$ とすると,$||\langle$r)-3/2$-\delta u||_{L^{2}([0,T]\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})}\leq C(||\nabla f||_{L^{2}}+||g||_{L^{2}})$

.

(32)

注意. (1) $n\geq 4$ の場合は (28) が成立.
(2) 2 節のように Fourier 変換を使う方法でも証明出来る. 詳しくは Hidano-Yokoyama [2]を参照のこと.

命題 1 と命題 3 はさらに次のように拡張される$(\mathrm{H}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\triangleright \mathrm{Y}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{y}\Re \mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{a} [2])$.

34
命題 4 $f\in H^{1}$ (Rn),$g\in L^{2}(\mathrm{R}^{n}),$とする. 初期値問題$F\in C([0, \infty);L^{2}(\mathrm{R}^{n}))$口 $u(t, x)=F$ (t, $x$ ),$u(0, x)=f(x),$$\partial_{t}$$t>0,$$x\in \mathrm{R}^{n}$u $(0, x)=g(x)$ ,(33),$x\in \mathrm{R}^{n}$

(34)

,

の解に対して$\{\log(2+T)\}^{-1/2}||\langle r\rangle^{-\delta}r^{-1/2+\delta}\partial u||_{L^{2}((0,T)\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})}+||$$\leq C$が成り立つ.

($||\nabla f||_{L^{2}}+||$

ここで$\delta,$g$||L2+ \int_{0}^{T}||F(\tau, \cdot)||_{L^{2}}d\tau$$\delta’>0$($||\nabla f||_{L^{2}}+||$)$u||$ L$\rangle^{-\delta-}6’ r^{-}1/2+\mathit{6},$$2((0,T)\mathrm{x}\mathrm{R}^{n})$

)

(35)

である. また $n=3$ とすると$\{\log(2+T)\}^{-1/2}||$ $(r)-\delta$$\leq C$

(r

r-3/2

g L2
$||$

$+\delta$

u L2
$||$

$((0,T)\mathrm{x}\mathrm{R}3)+||$ $(r)-\delta-$$+ \int_{0}^{T}||F(\tau,$$\cdot)||_{L^{2}}d\tau$5’r-3/2 Ju L2
$+$

$||$

$((0,T)\mathrm{x}\mathrm{R}^{3})$).

$(36)$

5z 用 : 正則性の低い解.
$f\in H^{2}(\mathrm{R}^{3}),$ $g\in H^{1}(\mathrm{R}^{3})$とする. さらに $f,$$g$

は球対称てあるとする. HidanO-Yokoyama[4] では初期値問題
口 $u=Q(\partial u)$f,$u(0)=\epsilon$,$t>0,$$\partial_{t}u(0)=\epsilon$に対する $H^{2}\cross H^{1}-$ クラスの解について, life-span$x\in \mathrm{R}^{3}$

g,

(37)

,

$x\in \mathrm{R}^{3}$

,

(38)

の下からの評価を与えた. ただし非について 2 次斉次かつ空間回転について不変 (\Rightarrow 解も空間変数についは線型項て球対称) であるとする. この-球対称クラスについては Klainerman-Machedon
クラスでは[7] によって時間局所適切性が示されている. 非球対称解も含めると不適切であることも分かつているという点で興味深いクラスであることに注意する.
$Q(\partial u)$$T_{\epsilon}$$u$$H^{2}\cross H^{1}$$H^{2}\cross H^{1}-$

命題 5([4]) $f$ \in H2(R3),とする. さらに $f,$ は球対称であるとする. このと $2+T_{\epsilon}=\exp[A/\epsilon]$ で定められる
とき正数 , $A$ を適当にとれば, 任意の$g\in H^{1}(\mathrm{R}^{3})$$0<\epsilon\leq\epsilon_{0}$$\epsilon_{0}$$T_{\epsilon}$

$g$

に対し
$u\in j=0\cap^{2}C^{j}([0, T_{\epsilon}]$ $;H^{2-j}(\mathrm{R}^{3}))$なる (37)-(38) の解が唯一つ存在する.

証明は次に定める完備距離空間 $(X_{R,T}, \rho)$ において縮小写像の原理に持ち込むことによりなされる.
$X_{R,T}=${$u\in C([0,T];\dot{H}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}^{1}(\mathrm{R}^{3}))$:$\partial^{\alpha}u\in C([0,T];L^{2}(\mathrm{R}^{3}))(1\leq|\alpha|\leq 2),$

$M_{T}(u)\leq R\}$,

35
$7\mathrm{V}_{T}(u)$

$=$

log(2
,

$+ \sum_{|\alpha|=1}||r^{-5/4}\partial^{\alpha}u||_{L^{2}((0,T)\mathrm{x}\{r<4\})}$$\rho(u, v)$

写像$\Phi$$+7))^{-1/2}||r^{-1/4}\langle r\rangle^{-1/4}\partial^{\alpha}u||_{L^{2}((0,T)\cross \mathrm{R}^{3})}\}$$\sum_{1\leq|\alpha|\leq 2}\{||\partial^{\alpha}u||_{L^{\infty}(0,T;L^{2}(\mathrm{R}^{3}))}+($$=M_{T}(u-v)$ .

を$u_{0}$,(39)(cos u#) $f+\overline{\omega}g$ ,(40)$= \int_{0}^{t}\frac{\sin\omega(t-\tau)}{\omega}F(\tau)d\tau$(41)$=\epsilon u_{0}(t)+I[Q(\theta\iota\iota)]$$\Phi[u](t)$$\sin\omega t$

(t)

$=$

$I[F](t)$(ただし $\omega=\sqrt{-\Delta}$ ) により定めると, 適当な $R,$ $T$ をとれば $X_{R,T}$ から $X_{R.T}$ の中への縮小写像となることが示される. その不動点が求める解であることは言うまでもない. 主な

手順は以下の通り

1.
2.
3.

:
を示す

$M_{T}(\epsilon u_{0})\leq C_{0}\epsilon(||\nabla f||_{H^{1}}+||g||_{H^{1}})$$M_{T}(I[F]) \leq C(||F(0)||_{L^{2}}+\sum_{|\alpha|\leq 1}\int_{0}^{T}||\partial^{\alpha}F(\tau)||_{L^{2}}d$|\Sigma\mbox{\boldmath$\alpha$}|\leq1|$Q( \partial u)(t)||_{L^{2}}\leq C(\sum_{|\beta|\leq 1}||r^{-1/4}$\mbox{\ ldmath$\au})を示す(r)-l’4 \mbox{\boldmath $\alpha$}u(t)||L2+||r-5’4 u(t)||L2(r$<4\rangle$)$\alpha \mathrm{I}<1$$\cross\sum_{|\beta|\leq 1}||r^{-1/4}\langle r\rangle^{-1/4}\partial\partial^{\beta}u$(t)||L2 を示す( u)2 を示す

4.

$M_{T}(I[Q(\partial u)])\leq C_{1}\log(2+T)M_{T}$5.

$\rho(\Phi[u],$$\Phi[v])\leq C_{2}\log(2+T)(M_{T}(u)+M_{T}$(v) $)p(u, v)$ を示す

あとは,A$R_{\epsilon}$$\log(2+T_{\epsilon})$$=$$||7f||_{H^{1}}+||g||_{H^{1}}$$=2C_{0}\Lambda\epsilon$

,

(42)
(43)

,

$= \dot{\mathrm{m}}\mathrm{n}\{\frac{1}{8C_{0}C_{1}\Lambda\epsilon},$(44)$\frac{1}{8C_{0}C_{2}\Lambda\epsilon}\}$からへの縮小写像であることが容易に確かめられる. たと置けば写像 がe
だし (44) においては右辺が lOg2 より大きくなるように を十分小さくとる必要がある.
(u) のうち,さて, 前節まてに説明してきた時空評価は上の 1 と 2 て用いられている.
には通常のエネルギー評価を使い, 残りに命題 4 を適用すればよい. 4
は 2, 3 と Schwarz の不等式を使えば容易に得られる. 5 は 4 を導いた方法に従って得られる. 右辺がエネルギー評価と共通だから時空ノルムを使うことによる不自由は全く無く,利用できるノルムが増えたこと よる利益が大きいことを注意しておく$\Phi$$X_{R_{e},T}$$X_{R.,T_{\epsilon}}$$\epsilon$$M_{T}$$||\partial^{\alpha}u||L\infty(0,T_{j}L^{2}(\mathrm{R}^{3}))$$\backslash -\prime\prime$36
最後に上の 3 を導出する方法についての要点を述べる. 球対称性を仮定したことによりSobolev 型評価/2D7(x),$r^{1}$$|\leq C||v||_{H^{1}(\mathrm{R}^{3})}$$r|v(x)|\leq C||v||_{H^{1}(\mathrm{R}^{3})}$が成り立つ. 右辺に 1 階微分しか要しないことが利点である. また, ウエイトを適当に分配するために空間変数に関する局所化 (2 進分解) を行ってから Sobolev 型評価を使うことがポイントである. 詳しくは文献 [4] を参照されたい.

参考文献.
[1] K. Hidano, Space-tirne-estimates and global solutions to wave equations with singularnonlinear terms, preprint.
$L^{2}$[2] K. Hidano, K. Yokoyaana, A $remark\cdot on$ the almost global existenoe theorems of Keel, Smithand Sogge, Hokkaido University Preprint Series in Math. $\# 659$ .

[3] K. Hidano, K. Yokoyama, A new prvof of the global nistenoe theorem of Klainerman,
Hokkaido University Preprint Series in Math. 4660.

-estimates and life-span of the Klainerman[4] K. Hidano, K. Yokoyama, Space-time
Machedon radial solutions to some semi-linear rnave equations, Hokkaido University
Preprint Series in Math. $\# 655$ .
$L^{2}$[5] M. Keel, H. Smith, C. D. Sogge, Almost global nistence for sorne semilinear wave equations,J. Anal. Math. 87 (2002), 265-279.
[6] M. Keel, H. Smith, C. D. Sogge, Alrnost global enistence for quasilinear wave equations inthree space dimensions, J. Amer. Math. Soc. 17 (2004), 109-153.
[7] S. Klainerman, M. Machedon, Space-time estimates for null forms and the local
iheorem Comm. Pure Appl. Math 46 (1993), 1221-1268.

$e\dot{m}$tence[8] J. Metcalfe, Global
for smih.near wave equations ederior to nontrapping obstacles,
Houston J. Math. 30 (2004), 259-281.
$exi_{\mathit{8}}tenoe$[9] J. Metcalfe, M. Nakamura, C. D. Sogge, Global existence of solutions to rnultiple speeds systems of quasilinear wave equations in derior domains, to appear in Forum Mathematicum.
[10] K. Mochizuki, 波動方程式の散乱理論, 紀伊國屋書店.

[11] C. S. Morawetz, Tirne decay for the Klein-Gordon equation, Proc. Roy. Soc. A 306 (1968),

291-296.