数理解析研究所講究録 1460 巻 2005 年 53-71

53

ユークリッド空間内の周期的極小曲面について
庄田

敏宏

Toshihiro Shoda

九州大学大学院数理学研究院
Faculty of Mathematics, Kyushu University
日本学術振興会特別研究員 (PD)Research Fellow of
the Japan Society for the Promotiori of Science

Introduction

1

本講演は 次元平坦 }$\backslash -$$n$

ラス内の年数 コンパクト極小曲面, 即ち,
$g$

次
主に
$n$

元ユークリッド空間内の 方向に周期的な極小曲面についてを論じ,$n=3,4$ の場合を考察する. 水中の脂質や界面活性剤などの膜は Schoen’s$n$Gyroid や Schwarz \oplus
れる事から,などの 3 方向に周期的 fx\Phi 小曲面によって形作ら周期的な極小曲面は数学に限らず化学をはじめとした他分

野にとっても興味ある研究対象である.

コンパクト極小曲面には Weierstrass 表
現公式と云う式表示が知られていて, \Phi 小曲面は ( (\nearrow T-移動\exists iffid‘‘‘視して)$n$次元平坦 }$\backslash -$ラス内の種数$g$$\text{平}\backslash$

正則微分$\omega_{1},$$\cdots,$$\omega_{n}$を定点 $p0$ から線積分した三部として表される :$\Re\int_{p0}^{p}(\omega_{1}, \cdots, \omega_{n})$54

この積分が道の取り方によらず well-defined に定義される事が重要な問題で, 周期問題と云われている. この極小曲面に対して
ただし,$\Re\int_{p0}^{\mathrm{p}}e^{i\theta}(\omega_{1}, \cdots, \omega_{n})$, 特に $\theta=\pi/2$ の随随伴極小曲面の存在は極 曲面論でが well-defined になるときこれを随伴極小曲面と云

伴極小曲面を共役極小曲面と云う.

$|_{\sqrt}\mathrm{a}$$\prime \mathrm{J}\backslash$は主要な研究であり, $n=3$ の場合には長野-Smyth [4] による判定法が知に対して存在するられている. また, 随伴極小曲面が可算稠密な$\theta\in S^{1}$

ラス内の極小曲面を Property を満たす極小曲面と云ような 3 次元る,
うが, Meeks [2] はこうした概念を導入し様々な結果を与えて t
ラス内の trigonal 極小曲面 (球面の筆者は [7] において 4 次元平坦
分岐 重被覆の構造をもつ) 全体のモジュライ空問を発見し, さらに種$\mathrm{P}$$\mathrm{t}\backslash -$$\backslash$$\vdash-$3

数が 4 の場合の具体例を与えたのであるがその後, 高種数の場合の (病数が 10) 具体例を構成できたので本稿ではその具体例を紹介する. このに対trigonal 極小曲面は共役極小曲面をもち, 可算稠密な角度
して随伴極小曲面をもち, さらに 4 次元平坦トーラス内にお ‘て 0 にホ
モローグになる (section 52). そのような極小曲面は Nagano-Smyth[5]によって与えられているのであるが, ここで Nagano-Smyth の議論を復の自己同型群の部分群とする. が対称群)を習する.の適当なアフィン変換に拡張されが によってをもっとはに対応するアフィン変換の線形部分がるときを云う. 対称群をもっと云う.
ラスにおける既約表現になるとき Ci 既約対称群
をまた, これの複素化が既約表現になるとき l&絶対既約対称群
もっと云う. このような既約性を仮定して Nagano-Smyth では上記のような性質をもつ極小曲面の存在性を示している. ところが今回構成した
具体例は可約表現はもつが既約性はない具体例である (section 5.3). この事から Nagano-Smyth による仮定はベストな仮定ではない, つまり, 既
約性は可約性に改善される可能性が示唆される.
最後に今述べた結果を定理として述べる.
$e^{i\theta}\subseteq S^{1}$$\mathrm{A}$$s_{f}\langle M_{g}$$S_{f}(M_{g})$$f$$M_{g}$$f$$S_{f}(M_{g})$$\mathrm{R}^{n}/\Lambda$$\vdash-$$S_{f}(M_{g})$$S_{f}(M_{g})$

$f$

$f$

$S_{f}(M_{g})$Main Theorem.
4 次元平坦トーラス内の 0 にホモローグな種数 10 の trigond 極小曲面
で以下を満たすものが存在する :度$e^{i\theta}\subset S^{1}$

共役極小曲面をもち, 可算稠密な角に対して随伴極小曲面をもつ, (ii) 可約対称群をもつ (すなわ$(\iota)$

ち Nagano-Smyth の仮定はベストではない).

55

Minimal surfaces in -dimensional flat tori

2$n$

このセクションでは$n$次元平坦トーラス$\mathrm{R}^{n}/\Lambda$

内のコンパクトな極小曲面についての結果を紹介する. はじめに次の極小曲面論における基本定理を述べる.

Theorem 2.1. (Weierstrass 表現公式)$f$:$M_{\mathit{9}}arrow R^{n}/\Lambda$

を種数

$g$

のコ

への共形極小はめ込みとする. このとき, 平行移動は無視して $f$ は次のように表される :ンパクト鰯 emann 面(1)$M_{g}$

ラス$R^{n}/\Lambda$

Mod

$T$

は転置行列の意味であり,$\Lambda$,$\{\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{n}\}$lま上の正則微分で次をみたすものである.

(2)$\omega_{1},$

(3)
(4)

$\text{ト}-$$f(p)= \Re\int_{p_{0}}^{p}(\omega_{1},\omega_{2}, \ldots, \omega_{n})^{T}$

ここで $p_{0}\in M$ は定点,
$M$

の平坦

$\omega_{2},$$\ldots,$$\omega_{n}$は共通ゼロ点がない$\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\cdots+\omega_{n}^{2}=0$,$\{\Re\int_{\gamma}(\omega_{1},\omega_{2}, \ldots, \omega_{n})^{T}|\gamma\in H_{1}(M_{\mathit{9}}$扮}は A の部分格子になるを用 V‘た線積
逆に上の 3 つの条件 (2) $\sim(4)$ をみたすようなラス二一の共形極小はめ込みを定される $f$ は平坦 }分 (1h こよって義する.
$\{\omega_{1}, \cdots, \omega_{n}\}$$\text{定義}$$\backslash -$上記の (4) は周期条件と云われており, 線積分 (1) の well-definedを考える :
保証している. ここで次の $f$ の随伴はめ込み性を$f_{\theta}$$f_{\theta}(p):= \Re\int_{p_{\mathrm{f}J}}^{p}e^{i\theta}(\omega_{1},\omega_{2}, \ldots, \omega_{n})^{T}$$f_{\theta}$

が well-defined であるとき, これを $f$ の随伴極小曲面と云う. 特に随伴

極小曲面

$f_{\pi/2}$の事を $f$ の共役極小曲面と云う.

Theorem 21 における共形極小はめ込み (1 戸こ対して Gauss 写像
次の正則写像として与えられた [1], [6]:$M_{g}arrow Q_{n-2}\subset \mathrm{C}P^{n-1}$$p-(\omega_{1},\omega_{2}, \cdots, \omega_{n})_{p}$$G$

力\sigma56

ただし$Q_{n-2}:= \{[w]\in \mathrm{C}P^{n-1}|w\prime w=\sum_{i}(w^{i})^{2}=0\}$(”$\cdot$

”

は複素双線

形内積)

とは同じ対象である. しかし (1) ではその線積分の三部をとる事から, これらは極小曲面とを定義する. この事から極小曲面におしては異なる対象である とてはその” 実のカテゴリー” と 5’ 複素のカテゴリー” とのギャップを考察す$\mathrm{C}P^{n-1}$

内ではと$(\omega_{1},\omega_{2}, \cdots,\omega_{n})$$e^{i\theta}(\omega_{1}, \omega_{2}, \cdots,\omega_{n})$$\mathrm{t}\backslash$$f$

る事が重要であり,

随伴極小曲面の存在の研究はその一環である. 実際に対して随伴極小曲面 が存在するとをみたすと云うのであるが, 以下の結果が知られて$n=3$ において可算稠密なき$fl\mathrm{h}$Property$\mathrm{P}$$f_{\theta}$$\theta\in S^{1}$$f_{\theta}$

いる :Theorem 2.2 (Corollary 5.1 in [2]).

$f$:$M_{g}arrow R^{3}/\Lambda\mathrm{B}_{\grave{\grave{1}}}$

Property $P$を満たすとき$C/\Lambda_{1}\mathrm{x}C/\Lambda_{1}\mathrm{x}C/\Lambda_{1}\mathrm{x}ffl^{-3}/\Lambda_{2}arrow Jac(M_{g})$が有限被覆になる.

この結果は随伴極小曲面の存在が Jacobi 多様体の構造にある種の制限を与えている事を主張している. Jacobi 多様体は複素の対象であるので,この結果は随伴極小曲面の存在性が複素のカテゴリーに何らかの影響を与えている事を示唆している, ちなみに随伴極小曲面の存在に対する判定法は長野-Smyth [4], [5] によって与えられている.

3

Triply periodic minimal surfaces
このセクションでは 3 次元ユークリッド空間$\mathrm{R}^{3}$

内の 3 方向に周期的な極小曲面, つまり 3 次元平坦トーラス内のコンパクト極小曲面を古典的な曲面論の観点から考察し, 代表的な結果を紹介する事を目標とする.
前セクションで与えた Gauss 写像 $G$ は古典的なものに一致する :$G:M_{\mathit{9}}arrow S^{2}\cong \mathrm{C}P^{1}$$p-n_{\mathrm{p}}$(unit normal vector)

このとき Gauss 写像の像 $G(M_{g})$ の面積を全曲率や写像度を用いて表すと

57(以下の等式の詳細は [2], [6] などを参照されたい)

Area $(M_{g})=- \int_{\mathrm{A}f_{g}}Kdv=4\pi(g-1)$$=\deg(G)\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}(S^{2})=4\pi\deg(G)$この事から Gauss 写像 $G$ の写像度は $g-1$ となる事が判る. 次に見られるようにこれを用いると種数の低い極小曲面は完全に分類される.
をとる. このときTheorem 3.1. 共形極小はめ込み :(1) 種数が 0 の極小曲面は正則微分が存在しないため存在しない.
(2} 種数力 1 の極小曲面は Gauss 写像が定値になる事から適当な全測地的
2 次元部分トーラス内に横たわり, は正則はめ込みになる.
への写像度 1 の正剛写像, つ(3) 二二が 2 の極小曲面は Gauss 写像が$M_{g}arrow R^{3}/\Lambda$$f$$\grave{\grave{1}}$$f$$S^{2}$

まり正則同型になるので矛盾, よって存在しない.
への分岐 2 重被覆を与えるの(4) 種数が 3 の極小曲面は Gauss 写像が$S^{2}$

で超楕円型曲線になる.
(4) 種数が 4 の極小曲面は Gauss 写像がで trigond 曲線になる.

$S^{2}$

への分岐 3 重被覆を与えるの

超楕円型極小曲面の具体例としては Schwarz 曲面, Schwarz 曲面,
Schoen’s Gyroid などが知られており, それぞれ Property を満たす (実際は上記の 3 つは互いに随伴極小曲面になっている). では trigonal 極小を満たすような具体例はどうかと云う事であるが, 次曲面の Propertyのセクションにてそれを紹介する.
$\mathrm{D}$$\mathrm{P}$$\mathrm{P}$$\mathrm{P}$

Examples4

前作の trigonal 極小曲面 $w^{3}=z^{6}\neg 1[7]$ の一般形を考える.

(5)$M_{g}$$w^{3}=z^{3k+3}-1(g=3k+1, k=1,2,3, \cdot ‘ \cdot)$で定義された種数$g$の trigonal 曲線とする,$H^{0}(M, K)=< \frac{dz}{w^{2}},$ $z \frac{dz}{w^{2}},$$z^{2k} \frac{dz}{w^{2}},$$\cdots,$

このとき$\frac{dz}{w},$$z \frac{dz}{w},$$z^{k-1} \frac{dz}{w}>$$\cdot’\cdot,$を

58

今, 以下の$f$:$\mathrm{R}^{3}$への極小はめ込みを考える :$M\sim \mathrm{R}^{3}$

$p-$
ここで次の

$\varphi$を考える :$\varphi(z, w):=(e^{\frac{2\pi}{3(k+1)}i}z, w)$

このとき\mbox{\boldmath $\varphi$}*重$-\mathrm{s}i\mathrm{n}\cos($$\frac{(_{2}\frac{2\pi}{\pi 3}}{3}-\frac{\frac{2\pi}{3(k+12\pi\ovalbox{\tt\small REJECT}}}{3(k+1)}-)0$$=e^{\frac{2\pi}{3}i}(_{\sin}^{\cos}\xi_{\frac-\frac{\frac{2\pi}{3(k+1)2\pi}}{3(k+1)}\exists}^{\frac{2\pi}{2\pi 33}-}0$

Remark 4.1.
$\cos(\frac{2\mathrm{n}}{3}-\frac{2\pi}{3(k+1)})$の値$00)1\Psi$

確に求まるのは $k=1,3,7,9$ のときで ,$\frac{1}{2}$$\delta\grave{\grave{\backslash }}\mathrm{H}fl$$0_{f}$.
の値はこれより explicit に具体例を求めるのは $k=1,3$ のときが最善である事が,を用いるのであるが,予想される. 実際, 周期を計算するときに$-2\mathrm{L}3_{\frac{-1}{\sqrt 2}-\frac{\sqrt{\mathrm{B}}-1}{4}},$. このとき$L_{\mathrm{z}^{3}\prime}1,$$\mathrm{s}i\mathrm{n}(\frac{2\pi}{3}-\frac{2\pi}{3(k+1\}})$$E_{\sqrt{2}^{-}}3 \pm_{2}12\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}$$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}$$\varphi^{*}$$\cos$の型が複雑だと周期を解く事ができないからである.

1-cycle として以下の ciosed curve をとり, 周期を計算する.
$A_{1}=\{(z, w)=(e^{il}, w(t))|t\in[0,$$\frac{2\pi}{3(k+1)}\ovalbox{\tt\small REJECT},$$w( \frac{\pi}{3(k+1)})<0\}$$\cup\{(z, w)=(e^{-it}, e^{\frac{2\pi}{3}i}w(t))|t\in\ovalbox{\tt\small REJECT}-\frac{2\pi}{3(k+1)},$$A_{2}=\{(z, w)=(e^{i6}, w(t))|t\in\ovalbox{\tt\small REJECT}^{0},$ $\frac{2\pi}{3(k+1)}],$$0\ovalbox{\tt\small REJECT},$$w( \frac{\pi}{3(k+1)})l<0\}$$\cup\{(z, w)=(e^{-i8}, (e^{\frac{2\pi}{3}})^{2}w(t))|t\in\ovalbox{\tt\small REJECT}-\frac{2\pi}{3(k+1)},$

以下$\varphi$$w(- \frac{\pi}{3(k+1)})<0\}$$0\ovalbox{\tt\small REJECT},$$w(- \frac{\pi}{3(k+1)})<0\}$を用いれば 1-cycle を与える事ができる.

Example 4.1.
(1) $k=1$ のとき, これは前作の trigonal 極小曲面の具体例となる.
(2) $k=3$ のとき, これは A. Schoen の I- $WP$ 曲面となる.
上記の 2 つの具体例は Property $P$ を満たす.

59

An example of trigonal minimal surfaces5

in 4-tori
このセクションでは以下の 4 次元平坦トーラス内の極小曲面の具体例を紹介する :

(6)

$f$

:

$M_{10}arrow \mathrm{R}^{4}/\Lambda$$p \mapsto\Re\int_{p0}^{p}(\frac{1-z^{6}}{w^{2}},$$\frac{i(1+z^{6})}{w^{2}},$$\frac{z^{5}+z}{w^{2}},$$\frac{i(z^{5}-z)}{w^{2}})^{T}dz$$(w^{3}=z^{12}-1)$

ここで A はベータ関数$\mathrm{B}(\mathrm{a},\mathrm{b})$を用いて以下で与えられる:$\frac\alpha\frac{3\S}{2}\alpha 00$$\mathrm{A}=\ovalbox{\tt\small REJECT}^{3\alpha}000$$ft\mathrm{h}$$3\gamma 000$,$\frac{\mathrm{v}\overline{3}\frac{3}{2}0}{2}\gamma 0\gamma\ovalbox{\tt\small REJECT}$,$\{\alpha=\frac{1}{\frac B6\sqrt[3]{2},121}B(2/3,1/6)\gamma=(1/3,1/6)$

well-defined であるし, 共役極小曲面をもち, さらに可算稠密な角度$e^{i\theta}\in S^{1}$に対して随伴極小曲面をもつ事が直接計算で判る. 以下ではこれの性質を考える.

$5.\mathrm{I}$General type拙著論文 [7] において筆者は $w^{3}=z^{6}-1$ 型の極小曲面を考えた.

これを以下の cyclic covering of aline(p.73[3])の高種数化を考える.
定義される trigonal 曲線とする :$M_{g}$$w^{3}=z^{3\{k+1)}-1(g=3k+1, k=1,23, \cdots)\}$.

このとき正則微分全体の空間 $H^{0}(M_{g}, K)$ は以下で与えられる :$H^{0}(M, K)= \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{\frac{dz}{w^{2}},$$z \frac{dz}{w^{2}},$$\cdots,z^{2k}\frac{dz}{w^{2}},$$\frac{dz}{w},$$z \frac{dz}{w},$$\cdots,$$z^{k-1} \frac{dz}{w}\}$

.

で

BO

による Moduli 空間
u 覆 $(z, w)\mapsto z$ によってこの極小曲面がの連結成分の元である事が示される (詳細は [7] を参照された ) . $[s_{1}, s_{2}]=$

分岐 3$\ovalbox{\tt\small REJECT} g$$\backslash$$\mathrm{A}$$[1, z],$$f$$[t_{1}, t_{2}]=[1, z^{2k-1}]$とおくと以下の極小はめ込みを得る

: $M$
$p$

今,

$\varphi(z, w):=^{-}(e^{3\langle k+1}\neg^{i}z, w)2\pi$で定義される自己同型$\varphi$を考えると, これのGauss 写像に対する作用は以下で与えられる$\varphi^{*}\Psi=e^{\frac{2\pi}{3}i}$($R( \frac{4\pi 0}{3(k+1)}-\frac{2\pi}{3})$)$\Psi$,

ここで$R(\theta):=(:_{i\mathrm{n}\theta}^{\mathrm{o}\mathrm{s}\theta}$$-\sin\theta\cos\theta)$

Remark 5.1.
$krightarrow-1,3,7,9$

うになる:$\{\frac{\sqrt{3}}{2},1,$のとき,$\{1/2,0,$$\cos(\frac{2\pi}{\mathrm{a}}-\frac{2\pi}{3(k+1)})$$-2 \mathrm{E}3\sqrt{}^{\frac{-1}{2}}’-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\}$,の値は explicit に判って次のよ. また, このとき$\mathrm{s}i\mathrm{n}(\frac{2\pi}{3}-\frac{2\pi}{3(k+1)})$となる. この事から具体例を explicit に求めたは$\mathrm{t}_{\mathit{1}}\backslash$場合, 上の型では $k=1,3$ がベストである事が示唆される.

Remark 5.1 より, $k=3$ つまり $g=10$ の場合を考える事にする.
とき$M_{10}$$f$:

は $w^{3}=z^{12}-1$ によって定義され,$M_{10}arrow \mathrm{R}^{4}$$p\mapsto$$f$は以下で与えられる

この

61

そして

$\varphi$

は $\varphi(z, w)=(e^{\frac{\pi}{6}i}z, w)$$\varphi^{*}\Psi=e^{\frac{2\pi}{3}i}$(. となり, Gauss 写像への作用は$R(- \frac{\pi}{3})0$$0$)$\Psi=e^{\frac{2\pi}{3}i}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{0}100-1000$$\frac{\sqrt{3}00}{})\frac{21}{2}\Psi$$- \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{001}{2}$となる.

Homologically triviality

5.2

ここでは $f$ の位相的性質を考え,$f(M_{10})$が$\mathrm{R}^{4}/\Lambda$

内で 0 にホモローグ

である事を示す.
$(x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4})= \Re\int_{p0}^{p}(\frac{1-z^{6}}{w^{2}},$$\frac{i(1+z^{6})}{w^{2}},$$\frac{z^{5}+z}{w^{2}},$$\frac{i(z^{5}-z)}{w^{2}})^{T}dz$

,

とおくと

$(\begin{array}{l}dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}\end{array})=\frac{1}{2}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\frac{\frac{i(1\frac{1-z^{6}}{+^{w_{Z^{6}}^{2}})}}{i(z\frac{z+z\mathcal{H}^{2}}{5w^{2}-z)}}}{w^{2}}dz-d\overline{z}}^{dz+\frac{1-\overline{z}^{6}}{\frac{i(1+\overline{z}^{6})\overline{w}^{2}d\overline{z}}{\frac{\overline{z}^{5}+\overline{w}_{\frac{2}{z}}}{\frac{i(_{\overline{Z}}^{\overline{w}_{5}^{2}}-\overline{z})d\overline{z}}{\overline{w}^{2}}}}}}dz-d\overline{z}\ovalbox{\tt\small REJECT} dz+$となる.
$dx^{1}$A

この事から$dx^{2}= \frac{1}{4}(\frac{1-z^{6}}{w^{2}}dz+\frac{1-\overline{z}^{6}}{\overline{w}^{2}}d\overline{z})$$=- \frac{i}{2}\frac{1-|z|^{12}}{|w|^{4}}dz\Lambda d\overline{z}$A$($$\frac{i(\bm{1}+z^{6})}{w^{2}}dz-\frac{i(1+\overline{z}^{6})}{\overline{w}^{2}}d\overline{z})$,$dx^{1} \Lambda dx^{3}=\frac{1}{4}(\frac{1-z^{6}}{w^{2}}dz+\frac{1-\overline{z}^{6}}{\overline{w}^{2}}d\overline{z})$く $($$\frac{z^{5}+z}{w^{2}}dz+\frac{\overline{z}^{5}+\overline{z}}{\overline{w}^{2}}d\overline{z})$,$= \frac{1}{4}\frac{-(z-\overline{z})(1+|z|^{10})-(z^{5}-\overline{z}^{5})(1+|z|^{2})}{|w|^{4}}dz\Lambda d\overline{z}$$dx^{1} \mathrm{A}dx^{4}=\frac{1}{4}$($\frac{1-z^{6}}{w^{2}}dz$

十$\frac{1-\overline{z}^{6}}{\overline{w}^{2}}d\overline{z}$)$\Lambda($$\frac{i(z^{5}-z)}{w^{2}}dz-\frac{i(\overline{z}^{5}-\overline{z})}{\overline{w}^{2}}d\overline{z})$62$=- \frac{i}{4}\frac{-(z+\overline{z})(1+|z|^{10})+(z^{5}+\overline{z}^{5})(1+|z|^{2})}{|w|^{4}}dz$$dx^{2}$A$\frac{z^{5}+z}{w^{2}}$$dx^{3}= \frac{1}{4}(\frac{i(1+z^{6})}{w^{2}}dz-\frac{i(1+\overline{z}^{6})}{\overline{w}^{2}}d\overline{z})\Lambda($$= \frac{i}{4}\frac{(z+\overline{z})(1+|z|^{10})+(z^{5}+\overline{z}^{5})(1+|z|^{2})}{|w|^{4}}dz$$dx^{2}$

A$d\overline{z}$,$dz+ \frac{\overline{z}^{5}+\overline{z}}{\overline{w}^{2}}d\overline{z})$.

A$d\overline{z}$,$\frac{i(z^{5}-z)}{w^{2}}dz-\frac{i(\overline{z}^{5}-\overline{z})}{\overline{w}^{2}}d\overline{z})$$dx^{4}= \frac{1}{4}(\frac{i(1+z^{6})}{w^{2}}dz-\frac{i(1+\overline{z}^{6})}{\overline{w}^{2}}d\overline{z})\Lambda($$= \frac{1}{4}\frac{(z-\overline{z})(1+|z|^{\mathrm{I}0})-(z^{5}-\overline{z}^{5})(1+|z|^{2})}{|w|^{4}}dz$$dx^{3} \Lambda dx^{4}=\frac{1}{4}(\frac{z^{5}+z}{w^{2}}dz+\frac{\overline{z}^{5}+\overline{z}}{\overline{w}^{2}}d\overline{z})$$=- \frac{i}{2}\frac{-|z|^{2}+|z|^{10}}{|w|^{4}}dz\Lambda d\overline{z}$$z=re^{i\theta}(0\leq r\leq\infty, 0\leq\theta\leq 2\pi)$

る.

A

A

$($

A

$d\overline{z}$,$\frac{i(z^{5}-z)}{w^{2}}dz-\frac{i(\overline{z}^{5}-\overline{z})}{\overline{w}^{2}}d\overline{z})$.

とおくと $dz\Lambda d\overline{z}=-2irdr\wedge d\theta$ とな

まず$\int_{M_{10}}dx^{1}\Lambda dx^{2}$

$=0$

同様に

$\int_{M_{10}}dx^{3}$.

A $dx^{4}=0$ を得る. 次に$\int_{M_{1\theta}}dx^{1}\Lambda dx^{3}=$

$=0$

.

同様に $\int_{M_{10}}dx^{1}\Lambda dx^{4}=\int_{M_{10}}dx^{2}\Lambda dx^{3}=\int_{M_{10}}dx^{2}\Lambda dx^{4}=0$ を得る. 以
上より $[f(M_{10})]arrow-0$ が成り立つ.

83

5.3

Symmetry$f$
このセクションでは $f$ が可約対称群しかもたない事を示す, しかもの極大対称群は 2 面体群$S_{f}(M_{g})$

式が成り

:

を $f$ の対
つ$M” \mathrm{r}\frac{\backslash }{}L$$M_{g}$$g$$M_{\mathit{9}}$$\mathfrak{F}^{\wedge}\backslash \text{群}$$D_{12}$のみである事も判る.

とする.

$\mathrm{f}\mathrm{f}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}^{\mathrm{B}}$の $g\in s_{f}(M_{g})$ に対して次の$\urcorner \mathrm{p}$\Phi 図$\underline{.\cdot f}\bm{\mathrm{R}}^{4}/\Lambda$–$\mathrm{I}\mathrm{t}/l1$$1\exists \mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}A\in GL(4\mathrm{R})\oplus \mathrm{t}\in \mathrm{R}^{4}$$\mathrm{C}\mathit{3}$$\overline{f}\mathrm{R}^{4}/\Lambda$

Gauss 写像を考えると, この作用は球面間の自己同型

$g’$

:

を導く

$G$

$M_{g}$–$Q_{2}\subseteq \mathrm{C}P^{3}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} A$$g\ovalbox{\tt\small REJECT}$$M_{g}$$\overline{G}Q_{2}\subseteq \mathrm{C}P^{3}$の自己同型

を $M_{g}/j\cong S^{2}$ 間の自己同型を誘導するようなの分岐, 侭を群全体とする. このとき $S_{f}(M_{g})\subseteq S_{f}^{t}(M_{g})$ となる. 今,はとすると, $M_{g}/j\cong S^{2}$ 闘の$p_{\alpha}=(e^{\frac{\pi}{6}\alpha i}, 0)(1\leq\alpha\leq 12)$
{ま $w^{3}=z^{12}-1$ (こ型から導かれる.
問の自$M_{g}$$S_{f}’(M_{g})$$j$$\text{自己_{}\overline{\mathrm{P}}arrow}\mathrm{n}\#\{\mathrm{J}$$S^{2}-\{p_{\alpha}\}_{\alpha=1}^{12}\subset S^{2}$$\text{己}\Pi\overline{\mathrm{p}}$$M_{g}$

よって定義されているので, 簡単な関数論の議論によっての自己嗣型群は$D_{12}$となる.

$S^{2}-\{p_{\alpha}\}_{\alpha=1}^{12}$と $zrightarrow 1/z$ によって生成される 2 面体群
一ラス間のアブィン変換を誘導しない事に , ‘すると

$z\mapsto e^{\frac{\pi}{6}i}z$$t^{\backslash }\mathrm{f}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$j1\mathrm{h}\mathrm{b}$$S_{f}’(M_{g})=D_{12}$となる. ここで$\phi:=\varphi\circ j^{2},$$\phi^{l}(z, w)=(x, y)=(1/z, w/z^{4})$

64

とおくと

$R( \frac{\pi}{2})0$$\phi^{*}f=\{$$R(- \frac{\pi}{3})0)f$,$\phi^{l*}f=(\begin{array}{llll}\mathrm{l} 0 0 00 -1 0 00 0 -1 00 0 0 1\end{array})f$の対称群
は可約表現になっており,と成する. 以上より $S_{f}(M_{g})$ は可約表現となり, 極大対称群はとなる.
て生成されるsection 5 における議論により Main Theorem が従う.となる. 明らかに$\phi$と$f$$\phi^{l}$$\phi$$D_{12}$$\phi’$を生によっ$D_{12}$

6

Appendix

この節では Example 41(1) の訂正版を与える. これは神戸大博士課程の学生である藤森祥一氏との共同研究に端を発する. 当初はこの具体例のグラフィックを通してその構造を解読する事を目標としていたのであるが, 研究していくうちに [7] における格子がベストの形でな ‘事が判明$\mathrm{I}_{\sqrt}$

したのでその報告をしたい.
まず,考える極小はめ込みは以下で与えられた :$f$:$M_{4}arrow \mathrm{R}^{3}$$p rightarrow\Re\int_{p\mathrm{o}}^{p}(\frac{1-z^{2}}{w^{2}},$$\frac{i(1+z^{2})}{w^{2}},$$(M_{4} :さらに$\varphi$$\frac{2z}{w^{2}})^{T}dz$w^{3}=z^{6}-1)$の Gauss 写像への作用は次で与えられる$- \frac{\sqrt{3}}{0\frac 122}$$\varphi^{*}(\frac{i2)\frac{1-z^{2}}{(1+zw^{2}}}{\frac{\Psi_{Z}^{2}}{w^{2}}})dz=e^{\frac{2\pi}{3}i}(\frac{\frac{1}{\sqrt{3}2}}{02}$:$00)1( \frac{i2)\frac{1-z^{2}}{(1^{w^{2}}+\sim}}{\frac{\Psi_{Z}^{2}}{w^{2}’}})dz$

65$1-z^{2}$dz-case.

$\overline{w^{2}}$$\eta=\frac{z^{2}+1}{z}=2\cos t$$z^{2}-1$$\overline{z^{2}}dz$: $2rightarrow 1$ or $1\mapsto 2$ とおく. このとき $d\eta=$.
$\frac{1-z^{2}}{w^{2}}dz=-\frac{z^{2}}{w^{2}}d\eta$$( \frac{z^{2}}{w^{2}})^{3}=\frac{z^{6}}{(z^{6}-1)^{2}}=\frac{1}{z^{6}+\frac{1}{z^{6}}-2}$

ここで$z+ \frac{1}{z}=\eta$,$z^{2}+ \frac{1}{z^{2}}=\eta^{2}-2,$ $z^{4}+ \frac{1}{z^{4}}=\eta^{4}-4\eta^{2}+2$より$z^{6}+ \frac{1}{z^{6}}=(z^{2}+\frac{1}{z^{2}})(z^{4}-1+\frac{1}{z^{4}})=(\eta^{2}-2)(\eta^{4}-4\eta^{2}+1)$$( \frac{z^{2}}{w^{2}})^{3}=\frac{-1}{(\eta^{2}-1)^{2}(4-\eta^{2})}<0$$\frac{z^{2}}{w^{2}}(\frac{\pi}{6})=\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{4^{\frac{1}{3}}}$

よって$\frac{z^{2}}{w^{2}}=\frac{e^{\frac{n}{3}i}}{((4-\eta^{2})(\eta^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{\mathrm{a}}}}$$\frac{1-z^{2}}{w^{2}}dz=-\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{((4-\eta^{2})(\eta^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta$

これより$l_{A_{1}} \frac{1-z^{2}}{w^{2}}dz=\int_{2}^{1}-\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{((4-\eta^{2})(\eta^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta+f_{1}^{2}-\frac{e^{\frac{\pi}{\mathrm{a}}\overline{l}}}{e^{\frac{4\pi}{3}i}((4-\eta^{2})(\eta^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{8}}}d\eta$$=(1+e^{\frac{\pi}{3}i})l_{1}^{2} \frac{dt}{((4-t^{2})(t^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{3}}}$

B6$A_{2}$-cose も同様に

$I_{A_{2}} \frac{1-z^{2}}{w^{2}}dz=\int_{2}^{1}-\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{((4-\eta^{2})(\eta^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{\mathrm{a}}}}d\eta+l^{2}-\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{e^{\frac{8\pi}{3}i}((4-\eta^{2})(\eta^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta$$=(e^{\frac{2\pi}{3}i}+e^{\frac{\pi}{s}i})l^{2} \frac{dt}{((4-t^{2})(t^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{s}}}$$\frac{i(1+z^{2})}{w^{2}}$dz-case.

$\eta=-i\frac{z^{2}-1}{z}=2\sin t$$d\eta=-\dot{\iota}$$\frac{z^{2}+1}{z^{2}}dz$:$0\mapsto\sqrt{3}$or$\sqrt{3}\vdash-\prec 0$

とおく.

このとき

.
$\frac{i(1+z^{2})}{w^{2}}dz=-\frac{z^{2}}{w^{2}}d\eta$$( \frac{z^{2}}{w^{2}})^{3}=\frac{z^{6}}{(z^{6}-1)^{2}}=\frac{1}{z^{6}+\frac{1}{z^{6}}-2}$

ここで$z- \frac{1}{z}=i\eta$,$z^{2}+ \frac{1}{z^{2}}.=2-\eta^{2},$ $z^{4}+ \frac{1}{z^{4}}=\eta^{4}-4\eta^{2}+2$より$z^{6}+ \frac{1}{z^{6}}=(z^{2}+\frac{1}{z^{2}}\}(z^{4}-1+\frac{1}{z^{4}})=(2-\eta^{2})(\eta^{4}-4\eta^{2}+1)$$( \frac{z^{2}}{w^{2}})^{3}=\frac{-1}{(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})}<0$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\frac{\pi}{6})=\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{4^{\frac{1}{3}}}$

よって$\frac{z^{2}}{w^{2}}=\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{\mathrm{a}}}}$$\frac{i(1+z^{2})}{w^{2}}dz=-\frac{e^{\frac{n}{3}\iota}}{(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{\mathrm{a}}}}d\eta$

67

以上より
$\oint_{A_{1}}\frac{i(1+z^{2})}{w^{2}}dz=\int_{0}^{\sqrt{3}}-\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta+\int_{\sqrt{3}}^{0}$$- \frac{e^{\frac{r}{\mathrm{a}}i}}{e^{\frac{4\pi}{3}i}(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{\mathrm{a}}}},d\eta$$=-(1+e^{\frac{n}{3}i})I_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dt}{(t^{2}(3-t^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}$$(s=t/\sqrt{3})$$=-(1+e^{\frac{n}{3}\overline{l}}) \frac{1}{\sqrt{3}}I_{0}^{1}\frac{ds}{\sqrt{\mathrm{a}s^{2}(1-s^{2})^{2}}}$$=-(1+e^{\frac{\pi}{3}i}) \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{2}I_{0}^{1}\frac{dx}{x^{5/6}(1-x)^{2/3}}$$=-(1+e^{\frac{\pi}{3}i}) \frac{1}{2\sqrt{3}}B(1/3,1/6)$$A_{2}$$(x=s^{2})$: Beta function)$(B(a, b)$-case も同様に$\oint_{A_{2}}\frac{i(1+z^{2})}{w^{2}}dz=\int_{0}^{\sqrt{3}}-\frac{e^{\frac{n}{3}i}}{(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta+\int_{\sqrt{3}}^{0}$$- \frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{e^{\frac{8\pi}{\mathrm{a}}i}(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{1}\vec{3}}d\eta$$=-(e^{\frac{2\pi}{3}i}+e^{\frac{\pi}{3}i})I_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dt}{(t^{2}(3-t^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}$$=-(e^{\frac{2\pi}{3}i}+e^{\frac{\pi}{3}i}) \frac{1}{\sqrt{3}}I_{0}^{1}\frac{ds}{\sqrt{s^{2}(1-s^{2})^{2}}3}$$(s=t/\sqrt{3})$$=-(e^{\frac{2\pi}{3}i}+e^{\frac{\pi}{\mathrm{a}}i}) \frac{1}{2\sqrt{3}}B(1/3,1/6)$$\frac{2z}{w^{2}}dz-\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}$.

$\eta=-\cdot\frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}=-\dot{x}\frac{e^{2it}-1}{e^{2it}+1}=\tan t$:$0\mapsto\sqrt{3}$or$\sqrt{3}\mapsto 0$

このとき $d \eta=-i\frac{4z}{(z^{2}+1)^{2}}dz$$\frac{2z}{w^{2}}dz=2\frac{z}{w^{2}}\frac{(z^{2}+1)^{2}}{-4iz}d\eta=2i\frac{z^{2}}{w^{2}}\frac{(z^{2}+1)^{2}}{4z^{2}}d\eta$$1+ \eta^{2}=1-(\frac{z^{2}-1}{z^{2}+1})^{2}=\frac{4z^{2}}{(z^{2}+1)^{2}}$B8$\frac{2z}{w^{2}}dz=2i\frac{z^{2}}{w^{2}}\frac{d\eta}{1+\eta^{2}}$$( \frac{z^{2}}{w^{2}})^{3}=\frac{z^{6}}{(z^{6}-1)^{2}}=\frac{1}{z^{6}+\frac{1}{z^{6}}-2}=-\frac{(1+\eta^{2})^{3}}{4\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2}}$ここで$\frac{z^{2}}{w^{2}}(\frac{\pi}{6})=\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{(-2^{\frac{1}{3}})^{2}}$よって$\frac{z^{2}}{w^{2}}=\frac{1+\eta^{2}}{4^{\frac{1}{3}}(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}e^{\frac{\pi}{3}i}$故に$\frac{2z}{w^{2}}dz=2^{\frac{1}{\mathrm{a}}}i\frac{e^{\frac{\pi}{\mathrm{a}}i}}{(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta$

以上より$I_{A_{1}} \frac{2z}{w^{2}}dz=\int_{0}^{\sqrt{3}}2^{\frac{1}{3}}i\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{\mathrm{a}}}}d\eta+\int_{\sqrt{3}}^{0}2^{1}\vec{\theta}\mathrm{i}\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{e^{\frac{4\not\in \mathrm{r}}{3}i}(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta$$=\mathrm{i}$( $1+e$ 架)$\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{2^{\frac{1}{3}}}{(t^{2}(3-t^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}dt$$(s=t/\sqrt{3}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$=i(1+e^{\frac{\pi}{3}i}) \frac{\sqrt[\mathrm{a}]{2}}{\sqrt{3}}I_{0}^{1}\frac{ds}{\sqrt[3]{s^{2}(1-s^{2})^{2}}}$$=i(1+e^{\frac{n}{3}i}) \frac{1}{\sqrt[3]{4}\sqrt{3}}B(1/3,1/6)$$A_{2}$-case も同様に$\int_{A_{2}}\frac{2z}{w^{2}}dz=\int_{0}^{\sqrt{3}}2^{\frac{1}{3}}i\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta+\int_{\sqrt{3}}^{0}2^{\frac{1}{3}}i\frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{e^{\frac{8\pi}{\mathrm{a}}i}(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta$$=i(e^{\frac{2\pi}{3}i}+e^{\frac{n}{3}i}) \int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{2^{\frac{1}{\mathrm{a}}}}{(t^{2}(3-t^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}dt$$=i(e^{\frac{2\pi}{3}i}+e^{\frac{\pi}{3}i}) \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{3}}\mathit{1}_{0}^{1}$$=i(e^{\frac{2\pi}{\mathrm{a}}i}+e^{\frac{\pi}{3}i}) \frac{1}{\sqrt[3]{4}\sqrt{3}}B(1/3,1/6)$$(s=t/.\sqrt{3})$B9Remark 6.1.
$l_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta=\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{2^{\frac{1}{3}}dt}{(t^{2}(3-t^{2})^{2})^{\frac{1}{3}\sqrt{1+t^{2}}}}$$\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{2^{\frac{1}{3}}}{(\eta^{2}(3-\eta^{2})^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta=\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{2dt}{(t^{2}(3-t^{2})^{2})^{\frac{1}{3}\sqrt{4-t^{2}}}}$$( \eta=\frac{2t}{\sqrt{1+t^{2}}})$$( \eta=\frac{t}{\sqrt{4-t^{2}}})$となるので上記の計算結果は [7] の計算結果と一致する.
ゴ》$A= \int_{1}^{2}\frac{dt}{((4-t^{2})(t^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{3}}},$

とおき,

$A$

$B= \frac{1}{2\sqrt{3}}B(1/3,1/6)$と $B$ の関係を求める. その\gamma -\rightarrow X)l こ $t: \frac{2\pi}{3}-\pi$ の場合 (つまりA3) を考える. このとき $\eta:-1\sim-2$ or $\eta:-2--1$$\frac{z^{2}}{w^{2}}(\frac{5\pi}{6})=\frac{e^{\frac{6n}{3}i}}{4^{\frac{1}{3}}}=-\frac{e^{\frac{2\pi}{3}i}}{4^{\frac{1}{3}}}$より$\frac{z^{2}}{w^{2}}=-\frac{e^{\frac{2\pi}{3}i}}{((4-\eta^{2})(\eta^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{3}}}$$\frac{1-z^{2}}{w^{2}}dz=\frac{e^{\frac{2\pi}{3}i}}{((4-\eta^{2})(\eta^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta$$\text{よ}\prime\supset C\vee$$\int_{A_{S}}\frac{1-z^{2}}{w^{2}}dz=\int_{-1}^{-2}\frac{e^{\frac{2\pi}{3}i}}{((4-\eta^{2})(\eta^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta+\int_{-2}^{-1}\frac{e^{\frac{2\pi}{3}i}}{e^{\frac{4\pi}{3}i}((4-\eta^{2})(\eta^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{3}}}d\eta$$\ovalbox{\tt\small REJECT}-$

一方,$\varphi$(2+e 百 )$i$$e^{\frac{2\pi}{3}}$$\int_{1}^{2}\frac{dt}{((4-t^{2})(t^{2}-1)^{2})^{\frac{1}{3}}}=-$(

i+e 寡 )$i$$e^{\frac{2\pi}{3}}$を用いると$\int_{A_{3}}\frac{1-z^{2}}{w^{2}}dz=(\varphi^{*})^{2}\int_{A_{1}}\frac{1-z^{2}}{w^{2}}dz$$- \frac{\sqrt{3}}{0\frac{21}{2}}-$$00)1(1+e^{\frac{\pi}{3}i})(\begin{array}{lll} A -B i\cdot 2^{\frac{1}{3}} B\end{array}))_{\langle 1,1\}}$$=(e^{\frac{4\pi}{3}i}(_{\frac{3}{20}}^{\frac{1}{\overline{f}}}$$=-(e^{\frac{2\pi}{3}i}+e^{\frac{\pi}{3}}.)\frac{-A+\sqrt{3}B}{2}$

$A$

70

故に
$\sqrt{3}A=B$

また Remark 6.1 より$C=2^{1/3}B$

この極小曲面の周期行列$\Omega_{4}$は$\Omega_{4}=\Re(X, Y)$

0-3$- \frac{3}{2}A$

3

$A$

$A$

0

0

$-\sqrt{3}C0$$-\sqrt{3}C0$$\frac{3}{2}A$$- \frac{3}{32}B)2\frac{3}{L2}AC$$=\Re\{$$-\sqrt{3}C0$$+i($$c_{2}30_{C}$$\frac{\frac{3}{\sqrt{3}2}}{2}CB$$\mathcal{L}320_{C}$$\frac{\frac{3}{\sqrt{3}2}}{2}CB$$-B arrow\frac{\sqrt{3}}{\frac 3C}A$$-\sqrt{3}B\sqrt{3}A0$$-c_{2}3 \frac{\sqrt{3}}{-2}\cdot B\frac{3}{2}CA$$-A- \frac{\sqrt{3}03}{2}C$$\sqrt{3}B\sqrt{3}A0$$-\sqrt{3}A\sqrt{3}B0$$-^{3}B)- \frac{c_{2}3}{2}Cc_{2}3A$$- \sqrt{3}A\frac{3}{2}C0$

ここで$X=((\omega^{2}-\omega)(\begin{array}{l}-AB-iC\end{array})$$Y=((\omega-1)(\begin{array}{l}-A-B-iC\end{array})$$(1-\omega^{2})(\begin{array}{l}-AB-iC\end{array})$$(\omega^{2}-\omega)(\begin{array}{l}-A-B-iC\end{array})$$(1-\omega^{2})(\begin{array}{l}-2A\mathrm{o}-iC\end{array})$$(\omega^{2}-\omega)(\begin{array}{l}A-B-iC\end{array})$$(\omega-1)(\begin{array}{l}-2A0-iC\end{array}))$$(1-\omega^{2})(\begin{array}{l}A-B-iC\end{array}))$簡単な基本変形によって$\frac{\sqrt{3}}{\frac{32}{2}}B0B$$\Omega_{4}\cong\Lambda_{4}=(\begin{array}{llll}3A \frac{3}{2}A 0 0 \frac{3}{2}B \mathrm{O} 0 0 \mathcal{L}32 C\end{array})=(_{0}^{\sqrt{3}B}0$$\frac{\sqrt{3}00}{2^{2/3}}B)$

以上より以下の共形極小はめ込みを得る :$f$:$M_{4}arrow \mathrm{R}^{3}/\Lambda_{4}$$p- \Re\int_{p0}^{p}(\frac{1-z^{2}}{w^{2}},$$\frac{i(1+z^{2})}{w^{2}},$$\frac{2z}{w^{2}})^{T}dz$

参考文献[1] D. A. Hoffman and R. Osserman, The geometry of the generalizei
Gauss map Mem. Amer. Math. Soc. vo1.28, No.236 (1980).

71[2] W. H. Meeks III, The theory of triply periodic minimal surfaces, In$877-935$ .
diana Univ Math Journal 39$\mathrm{N}\mathrm{o}3(1990),$[3] R. Miranda, Argebraic Curves and Riemann Surfaces, Graduate Stud.
ies in Mathematics$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}5,$$\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{S}(1995)$[4] T. Nagano and B. Smyth, Periodic rnirtimal surfaces,
Math. Helv 35 (1978), 29-55.

Comment,[5] –, Periodic minimal surfaces and WeyI groups, Acta. Math 145(1980), 1-27.
[6] R. Osserman, A survey of Minimal surfaces, Dover Publications, New
York, 2nd edition, 1986.

[7] T. Shoda, New components of the moduli space of minimal surfaces in
4-dimensional flat tori, J. London. Math. Soc (2) 70, no. 3, 797-816(2004).