追検査受検番号 第

令 和 5 年 度 学 力 検 査 問 題

数時 25 分）学 （10 時 35〈 分～1150 分間〉

注1

意

解答用紙について⑴

解答用紙は 1 枚で，問題用紙にはさんであります。

⑵

係の先生の指示に従って，所定の欄 2 か所に受検番号を書きなさい。

⑶

答えはすべて解答用紙のきめられたところに，はっきりと書きなさい。

⑷

解答用紙は切りはなしてはいけません。

⑸

解答用紙の ※ 印は集計のためのもので，解答には関係ありません。

2

問題用紙について⑴

表紙の所定の欄に受検番号を書きなさい。

⑵

問題は全部で 4 問あり，表紙を除いて 10 ページです。

⑶

問題用紙の余白を利用して，計算したり，図をかいたりしてもかまいません。

3

解答について⑴

答えに根号を含む場合は，根号をつけたままで答えなさい。

⑵

答えに円周率を含む場合は，πを用いて答えなさい。

〇

印刷のはっきりしないところは，手をあげて係の先生に聞きなさい。

番1 次の各問に答えなさい。（ 65 点）⑴ （－ ３ a ）╳ ２を計算しなさい。（ ４ 点）⑵

３ ＋（－ ４ ）╳（－ ２ ） を計算しなさい。（ ４ 点）⑶

４ x ３ y ２ ÷５ x ２ y ╳ ３ x

⑷

方程式

⑸

12－    12    を計算しなさい。（ ４ 点）
  3  

⑹

x ２ ＋ ２ x － 35を計算しなさい。（ ４ 点）

２ x － 12 ＝ ７ x ＋ ３を解きなさい。（ ４ 点）を因数分解しなさい。（ ４ 点）1

x＝ 2 ＋ yを解きなさい。（ ４ 点）

⑺

連立方程式

⑻

２ 次方程式⑼次のア～エの中から，y が x の関数ではないものを一つ選び，その記号を書きなさい。（ ４ 点）

ア9 x － 5 y＝ 2

２ x２ － ５ x－ １＝０を解きなさい。（ ４ 点）

水が 30 Ｌ入っている容器から毎分 x Ｌずつ水を抜くとき，すべての水を抜くためにかかる時間は y 分である。

イ

１ 辺の長さが x cm の正方形の周の長さは y cm である。

ウ

面積が x cm ２ の長方形の周の長さは y cm である。

エ火をつけると １ 分間に 0. 5 cm ずつ短くなる線香がある。火をつける前の線香の長さが14 cm のとき，火をつけてから x 分後の線香の長さは y cm である。

⑽

8のグラフ上に x 座標が正であxる 点 Ａ が あ り，y 軸 上 に 点 Ｂ（ ０，６ ），x 軸 上 に関数

yy＝点Ｃ（ 12，０ ）があります。原点をＯとするとき，△OAB と△OAC の面積が等しくなるような点ＡBの座標を求めなさい。（ ４ 点）

AO2Cx⑾右の表は，あるクラスのハンドボール投げの記録を，度数分布表に表したものです。このクラスのハンドボール投げの記録の平均値を，度数分布表から求めなさい。
（ ４ 点）

記録（ｍ）
以上

未満

0～

10310～201020～30

1130～40

540～50

1

合計⑿

度数（人）

30

１ から ６ までの目が出る大小 ２ つのさいころを投げて，大きいさいころの出た目の数を x，小さいさいころの出た目の数を y とします。このとき，２ x ＋ y が素数になる確率を求めなさい。
ただし，どの目が出ることも同様に確からしいものとします。（ ４ 点）

3⒀A

右の図において，四角形 ABCD は平行四辺形で，＝辺 BC，CD 上に点Ｅ，Ｆを BD

DEF となるようにとります。このとき，図の中で，△ABE と面積が等しい三角形を，すべて答えなさい。（ ４ 点）

FB

⒁

CEP

右の図は，高さが ４ cm，母線の長さが ５ cm の円錐を，頂点Ｐと底面の円の中心Ｏを通る ２ つの平面で切ったときにできる立体のうちの １ つで す。 底 面 の お う ぎ 形 の 中 心 角 が 60 °の と き，5 cm4 cm

この立体の体積を求めなさい。（ ４ 点）O60°

4

右の図において，△ABC は正三角形で，辺 AB 上に⒂A

点Ｄ，Ｅを BD ＝ DE ＝ ２ cm となるようにとります。
また，点Ｄ，Ｅからそれぞれ辺 BC に平行な線をひき，辺 AC との交点を点Ｆ，Ｇとします。

△ADF の面積が 9   3   cm ２ のとき，台形 EBCG の面E積を求めなさい。（ ４ 点）

DB

⒃

GF
C次のア，イの標本調査のうち，標本の選び方として適切でないものを一つ選び，その記号を書きなさい。また，それが適切でない理由を説明しなさい。（ ５ 点）
ア 「日本に住んでいる人はどんなスポーツが好きか」を調査するために，あるサッカーの試合の全観客の中から，1000 人を無作為に抽出してアンケートをおこなった。
イ 「ある市におけるゴミの減量化に関する意識」を調査するために，その市の中から，1000 世帯を無作為に抽出してアンケートをおこなった。

5

2 次の各問に答えなさい。（ 12 点）⑴

下の図のように，円周上に ２ 点Ａ，Ｃがあり，この円周上に ２ 点Ｂ，Ｄをとって四角形 ABCDをつくります。４ つの頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがこの順に反時計回りに四角形の周上に並ぶとき，四角形 ABCD の面積が最も大きくなるような頂点Ｂ，Ｄをコンパスと定規を使って作図しなさい。
ただし，作図するためにかいた線は，消さないでおきなさい。（ ６ 点）AC⑵

下の図のような長方形 ABCD において，点Ｅは線分 CD 上の点で，CE：ED ＝ １：２ とし，点Ｆは線分 AD の中点とします。また，線分 AC と，線分 BE，BF との交点をそれぞれ点Ｇ，Ｈとします。
このとき，△BGH の面積は長方形 ABCD の面積の何倍か，途中の説明も書いて求めなさい。
（ ６ 点）
A

F

D

H

G

BE

C6

3 次は，先生とＸさん，Ｙさん，Ｚさんの会話です。これを読んで，あとの各問に答えなさい。
（ 10 点）

Ｘさん「図 １ のように，円の中心Ｏが∠APB の内部にあるように円周上に点Ｐをとるとき，同じ弧に対する円周角の大きさは，中心角の大きさの半分になるという関係を，次のように証明したよ。」

証明
P

点Ｐ，Ｏを通る直径 PK をひき，∠OPA ＝ a，∠OPB ＝ b とする。
OP ＝ OA なので，∠OAP ＝ aO

∠AOK は△OPA の外角なので，∠AOK ＝ ∠OPA ＋∠OAP ＝ ２ a
OP ＝ OB なので，同様にして，∠BOK ＝ ２ b

A

したがって，∠AOB ＝ ２（ a ＋ b ）B
K∠APB ＝ a ＋ b なので，1∠APB ＝∠AOB
2

図1

Ｙさん「これで，同じ弧に対する円周角の大きさは，中心角の大きさの半分になることが証明されたね。」

P

Ｚさん「こ の証明の結論から，１ つの弧に対する円周角はOいつでも一定になるということも言えそうだね。」
Ｘさん「でも，点Ｐの位置が変わっても同じことが言えるのかな。」
先A

生「例えばどのような位置のときですか。」

B
図2

Ｘさん「例えば，円周上の点Ｐが図 ２ や図 ３ のような位置にある場合です。」
Ｙさん「もし，点Ｐが図 ２ や図 ３ のような位置にある場合についても同じことが証明できれば，１ つの弧にO対する円周角はいつでも一定になるということが言えるのではないでしょうか。」
先生「そうですね。それでは，点Ｐの位置が変わっても，同じ弧に対する円周角の大きさは，中心角の大きさの半分になるか，確かめてみましょう。」

7APB

図3

⑴

1
∠AOB であることを次のように証明します。①に証明の続き2を書いて，証明を完成させなさい。（ ６ 点）
下線部について，∠APB ＝証明
点Ｐ，Ｏを通る直径 PK をひき，∠OPA ＝ a，∠OPB ＝ b とする。
OKP

①A
∠APB ＝⑵

B

1
∠AOB
2

右の図のように，円Ｏの円周上に ４ 点Ａ，Ｂ，Ｃ，ＤDがあり，線分 AC は円Ｏの直径です。
∠ADB ＝ 72°，∠OBD ＝ 40°のとき，∠ACD の大きさ x を求めなさい。（ ４ 点）

72°AO

x40°
B8C

4 縦 40 cm，横 30 cm，高さ 40 cm の直方体の形をした ２ つの水そうＡ，Ｂがあります。これらの水そうに，次の【条件】で同時に水を入れ始めたところ，どちらも 60 分で満水になったため，水を止めました。
【条件】
水そうＡ

水そうＢ

・図 １ の よ う に， 高 さ a cm（ ０ ＜ a ＜40 ）・図 ２ のように，仕切り板はなく，底面かの仕切り板で区切られている。仕切り板

ら 10 cm の高さまで水が入っている。
・毎分 b cm 3 の割合で水を入れる。

は底面に垂直で，正方形の側面には平行である。
・水は入っていない。
・区 切られた底面のうち広いほうの真上から毎分 800 cm³ の割合で水を入れる。

40 cm

40 cm
10cm

a cm

10 cm

40 cm

40 cm
30 cm

20 cm 10 cm

図2図1
水そうAの一番高い水面の高さ

右の【グラフ】は，水そうＡに水を入れ始め（cm）てからの時間と，水そうＡの一番高い水面の高さとの関係をグラフに表したものです。このとき，あとの各問に答えなさい。
ただし，水そうの厚さおよび仕切り板の厚さは考えないものとし，水そうＡについて
は，水面が仕切り板の高さまで上昇すると，水があふれ出て仕切り板の反対側に入るもの

4030

030c60 （分）

水を入れ始めてからの時間とします。（ 13 点）

【グラフ】

9⑴

水そうＡについて，仕切り板の高さ a の値と，【グラフ】中の時間 c の値を，それぞれ求めなさい。（ ４ 点）⑵

水そうＢについて，b の値を求めなさい。また，水を入れ始めてから x 分後の水そうＢの水面の高さを y cm とするとき，y を x の式で表しなさい。
ただし，０ ≦ x ≦ 60 とします。（ ４ 点）⑶

水そうＡの一番高い水面の高さと，水そうＢの水面の高さが等しくなるのは，水を入れ始めてから何分後か，すべて求めなさい。
ただし，満水時は除くものとします。（ ５ 点）

（以上で問題は終わりです。）
10

学

1

解

答

用

紙

追検査

⑴

⑴ ※

⑵ ※

⑶ ※

⑷ ※

⑸ ※

⑹ ※

⑺ ※

⑻ ※

⑼ ※

⑾ ※

⑿ ※

x＝

x＝，y＝，数

学

解

2答

A用

紙

追検査

⑵

⑴ ※

C

x＝⑽ ※
（︵ 切 り は な し て は い け ま せ ん ︒︶

数）

⑵ ※
（説明）

m⒀ ※

⒁ ※
cm3⒂ ※
cm2⒃ ※
（記号）
（説明）

答え

3倍

⑴ ※
（証明）点Ｐ，Ｏを通る直径 PK をひき，∠OPA ＝ ，∠OPB ＝ とする。
①

︵ こ こ に は 何 も 書 い て は い け ま せ ん ︒︶

∠APB＝⑵ ※
度

4

⑴ ※

＝番

＝y＝⑶ ※

得点

※

受検番号

第番

解答用紙

第⑵ ※

＝

1 の得点

受検番号

1
∠AOB
2