数理解析研究所講究録
第 47 巻 1968 年 11-19

確率過程の統計力学的基礎

西川

京大理

恭治

統計力学は. ミクロな世界とマクロな世界を橋渡しする学問だと云われる。 ミクロな世界は.

粒子系の力学の方程式で記述され、その方程式は時間反転動を, 与えられた初期条件の下では完全$\iota^{-}arrow$$t^{-}arrow$関して不変であり. かっ粒子系の運記述している。 一方マクロな世界は, しばしば確率過程として記述され. またそれを支配する方程式は時間反転に関して不変ではない。 ここで問題にするのは. この二っの異なる記述の間の橋渡しがどのように行われて来ているかである。

粒子系の力学過程を記述する仕方は二通りある。 -っは. $P$ 空間で定義された確率密度関数$\rho$

N$N$$(P , q \prime t)\fallingdotseqarrow\beta(\ell)t^{-}arrow$

対する Linuvilleの方程式(1)$\frac{\partial_{\beta}(t)}{\partial c}=-\{H, \rho(t)\}\simeq\sim-iL_{\beta}(t)$であり.

今一っは. 物理量 $A(p^{N_{(\ell)}}, q^{N_{(C))\equiv}}A(t)$ に対する Hamilton の方程式(2)$\frac{dA(t)}{dt}=\{H, \Lambda_{\backslash }1t)\}=iLA(t)$である。 ここに $H$ は系のハミルトニヤン,$\{\Lambda.

B\}=j1N\sum_{=}$($\frac{\partial A}{\partial p_{j}}$$\{\Lambda.

B\}$ はボアツソ$\frac{\partial B}{\partial q_{j}}-\frac{\partial A}{\partial q_{j}}\frac{\partial B}{\partial p_{j}}$で.

$-11arrow$]$y$の括弧(3)(4)$iL=j1 \sum_{=}\{N\frac{\partial H}{\partial_{P_{j}}}\frac{\partial}{\partial qi} -\frac{\partial H}{\partial qj}\frac{\partial}{\partial q_{j}}\}$

は Liouville

operatorと呼ばれる。

一方確率過程も. 上 ( -対応した二っの記述が可能である。 前者でよく出て来る形は. 系が状態$\vee$$\alpha$にある確率分布関数 $l^{Q(a_{l}}t$ ) に対する Master

Equation$\frac{\partial}{\partial\iota}\rho(\alpha_{\iota}t)=fd\alpha’\{V_{\alpha\prime}\alpha^{\rho}(\alpha\prime t)-\Psi_{\alpha\alpha\prime}\rho(\alpha.

(5)\iota)\}$$\frac{dAt)}{dt}=-\gamma A(t)+f(t)$である。 (5) で研\alpha ’
は. 夫々,$a$は. 単位時間$\alpha$$i6$ )$-arrow$

状態 $a$ ’ から

’ から $a$ へ入って来る頃 (gain$term)$ を表わす。 (6) の右辺第一項は、物理量運動をひき起す random
この’ 非可逆姓,ると, (5) の解は,

$w_{\alpha_{\sim}\alpha^{\rho_{eq}}}$$t$$\alpha$へ遷移する確率を表わし. 右辺の二っの項term)$A_{(arrow}-$と$\alpha$から$\alpha^{r}$へ出て行く項 (loss働く系統的な摩擦力を表わし. 第二項は $A$ のforce を表わす。 明らか$\iota^{-\prime}arrow(5)$も (6) も時間反転$–$関して対称でない。

よ. $t5$) の場合は、通常 $H$ -定理と呼ばれるもので表わされている。それによを増すと共に, 詳細均衡の条件(7)$(a’)=W_{\alpha\alpha\prime}^{r}p_{eq}(\alpha)$をみたす解 $\rho_{eq}$ 傾へ単謂に接近する。一方 (6) の方では. 例えば次のような表わし方がある。すなわち、今 random

force の時間相関を$<f(t)f(t’)>=2^{D}\delta[t-t^{r}]$(8)$arrow 12arrow$

と仮定すると, $A$ の時間相関は$<A(0)A(t)>=\exp[-\gamma t]<A^{2}(0)>$という形で単調$t_{arrow}^{-}$(9)

消え失せて行く。 ところで (8) の仮定は, random force の相関時間が $A$ の相関時間 $1/\gamma$ に比べて充分短かいという意味であり. 実はこれは, $\gamma=C\circ nst$

むしろ要請される条件であることが示されている。1) 実際
Dissipation

theorem$\gamma$と $D$ との間$t-arrow$は. という仮定から$Fluctuation-$として知られている一定の関係があることが直ち -証明でき$\iota^{\vee}$る。

2 $D=r<A^{g}>$(1 0)。

(5) 及び (6) は. ある種の Markoff

randomprocess を記述しており, 特に Gaussiana ndom process に対しては, これらは Fnkker-Planck 方程式に還元される。
$\sim\infty-$$r$

次の (5). (6) のような方程式が, どのような物理的条件のもとで ($1\rangle$.

(2) から導かれるかを考察する。

力学から統計力学への移行は , 精密な記述から粗な記述への移行に対応するが, これは数学的には、力学系を記述する関数空間での適当な射影で表わされるであろっ$\circ a$

そこで, 次の性質をみたす射影演算子 $P$ を導入する。

$P^{2}=P$$P^{\partial}/\partial\iota$.

$P(1-\prime P)=0$$P[f_{1}+f_{2}]=Pf_{1}+Pf_{2}$$= \frac{\partial}{\partial t}P$

このような射影演算子を用いて, まず (1)-から (5) への移行の条件を考察してみよう。

$\rho(\iota)=p^{(1)}(t)+\rho^{(2)}(t)$(1 2)$\rho^{(1)}(t)=P\rho(t),$ $\rho(2)_{(t)=}(1-P)\rho(t)$(1 3)$arrow 13-$

と表わすと , 簡単な計算から直ち$(_{arrow}^{-}$

次の式がえられる。

$\frac{\partial}{\partial t}\rho^{(1)}(t)=-iPL\rho(1)_{(\iota)}$(1 4)$+ \int_{o^{t}}d_{s}K(S)\rho^{(1)}(\iota-s)+I(t)$$\rho^{(2)}(t)=U(t)\rho^{(2)}(0)-i\int_{o}^{t}d_{S}U(t-s)$

ここ$(1 -P)$$L_{\beta}(1)_{(s)}$(1 5)$F_{arrow}^{-}$$U(t)=\exp(-it(1-P)L]$(1 6)$K(t)=-PL/r(t)(1-P)L$(17)$I(t)=-iPLU(c)p_{-}$

(2)

(0)

(1 8)

$\circ$

ここまでは全く形式的な (1) の書きかえにすぎない。 我々が問題にするのは. 当然(14) 式は, 通常の Master(1)の時間変化がその時刻でのあり 、今一つは,$\rho$$(t)$の方だが.

Equation と異る二っの特徴を備えている。 $-$ っは.の値のみならず, 過去の値

(1)$\rho$(1)$\rho$(1)$\rho$(1)$\rho$$(t)$$(t-s)$ にもよっていることで(2)と直交する部分$\rho$の初期値に依存する項を含むことである。 この二っの性質は , non-Markoff process(二特徴的なものと考えられる。
このような $n\circ n- A_{1}Iark\circ f$ fian equa tion が Ma rkn ffian
されるためには、通常, 二っの明瞭に区別される time

mas ter equa tion (5) の形に還元$\backslash \underline{\infty}-$$sca\cdot les$$\tau_{1}$と$\tau_{2}$$(\tau_{2}\gg\tau_{1})$が存在し, かつ適当な初期条件が選定されればよいと考えられている。 実際この場合には, $P$ として

slow processと.

(17)

.

を拾い出し,$(1 -P)$(18) から明らかなよう ((2)る。 従って適当な初期条件$\frac{\partial}{\partial_{t}}\rho(1)_{(t)}\doteqdot${ $-i$ P-$\rho$$arrow-$

としては fast$Kt^{t)}$.

$I(t)$ は$f$prncessのみを拾い出すように選ぶ

ast process で支配されるようにな(0) が選べれば. $I(t)$ は無視することができて.

$L+ \int_{o}^{t}d_{s}K(s)$}$\rho(1)_{(t\}}$と近似することができる。 これは, 多少一般化されてはいるが. ($rightarrow 14\sim$(14) は(1 9)$5I$と似た形のマルコフ型の方程(19) は (1 4) から,式である。 数学的には ,$\tau_{1}$$/\tau_{2}Y$

こっいての展開の最低次として求めることができる. ただし勿論, 初期条件に対する要請を別々に加えなけれはならない。
二つの distincttimescales が存在するということは , その力学系の運勃を記述するのに適当な展開パラメターが存在するということに関係している。 例えは Weakly interacting system では , 相互作用エネルギーの運勤のエネルギーに対する比$/\tau_{2}=o$$\tau_{1}$の$r$

a nge$n$$(\lambda 2)$となるよ うな二っの timeにある粒子数

電子一 7 あたりの体積とデバイ球の体積の比$g$が展開パラメーターとなり ,scales が存在する。 稀薄気体では 、粒子間力が展開パラメーターとなり$c$$\lambda$, $\tau_{1}/\tau_{2}=O(c)$ とえらぶことができる。

が展開パラメーターとなり ,$\tau_{1}/\tau_{2}=o(g)$ と.

とることができる。 このように力学系に小さい展開パラメ ーターが存在すると. それを使って二t ime

っの distinct$s$cal es が作られ, そのうちの lo $ng$$t$

ime$s$

ca 1$e$での現象に着目することによって一種の coarse-graining が行なわれる。 しかし, 完全に粗な記述へ移行するためにはこれだけでは不完全で例外的な初期条件を排除するという確率的考察が今一っ必要と(19) への移行が可能になるわけである。

なる。 こうして (14) から

3)

例として 、弱く相互作用する系を考えてみよう。 今、力学系のハミルトニヤンが.

$H$$=$$H_{0}$(2 0)$(\lambda\ll 1)$$\lambda V$$+$という形に書かれたとしよう。 ここに $H$ 。は$N$$H_{0}=$$\Sigma$$i=1$という形をしておりい。

$\nabla$.

(2 1)

$Hi$

これだけでは$N_{\mathcal{F}}$がそれらをっなぐ相互作用で,な系は、適当に定義された作用変数$\int_{\sim}$$\sim\alpha$$=$$\{J_{1}$$=$$\{\alpha_{1}$,$J_{2}$,$\alpha_{2}$,$\sim J$$\cdot$$\cdot$はそのカップリ ング$\lambda$. パラメーターを表わす。 このようとそれに共役な角変数毫

.. ,..の互いに独立な部分系の集まりを記述しているにすぎな.

$I_{N}\}$(2 2)$\alpha N\}$$arrow 15-$

.

を用いて表わされる。 このような変数を用いると

$Hi$

$Hi$

$=$

(2 3)

$(J)\sim$$e$$V= \sum_{n}’\nabla_{n,\sim}(J)\sim$

xp $[i\sim n$.

(2$\sim\alpha]$

4$I$と書かれる。 ここに..

.

ope a orは.

$\sim n=\{n_{1}$すると Li ouvi 1 le,$n_{2}$$\cdot$$t$$r$$\}$$n_{N}$.

($n\dot{J}$$=$(25)整数)

$A$

$iL$

$iL_{0}$$=$$iL_{o}$$=$$\sim\omega(J)\sim$$iL’=$.

(2 6}$\lambda iL^{r}$$+$.

$\frac{\partial}{\partial\alpha,\sim}$$\sim\omega$((2 8)$\{\frac{\partial\gamma^{\Gamma}}{\partial J,\sim}n\sim\frac{\partial}{\partial\alpha,\sim}-i\nabla_{n\sim^{n} ,\sim}-\frac{\partial}{\partial\int_{\sim}}\}$$\sum_{n,\sim}’exp[in\sim.

\alpha_{\sim}]$と書かれる。 この系の運動は, 確率分布関数t)(2 7)$J \sim^{)\equiv}\frac{\partial F_{-0}}{\partial_{\vee}J}$で記述されるが. このうち.

scale で起るのに対して ,$\rho$$t_{\sim^{J}}$$\rho$($J\sim$,($\rho$$I\sim’\sim\alpha$$\sim n\neq o$, $\sim n=o$ ,t),$\iota$),t)

或はそのフーリエ変換$(J\sim i\sim n,$の方の時間変化は $\omega-1$ の程度の timeの分は ,$(\lambda 2 \omega)$$-1$の程度でしか起らないことが示される。 そこで, 射影演算子としては $\sim n=0$ の状態を拾い出す演算子$d\alpha$(2 9)$P= \int\overline{(2\pi)}N$をもって定義しよう。 すると(1)$P\rho$$(I\sim’\sim n.

t)$$=\rho$( $J\sim’$t)$-16-$

の方程式は. 適当な近似の下に ((1 9) を見よ)

(1)

$t$

$- \lambda^{2}\int odsPL$$\frac{\partial}{\partial t}\rho^{(I)}(J\prime t)$$\frac{\partial}{\partial I,\sim}$$\doteqdot$.

.

$D\sim\sim(I)\sim$$exp(-iL_{0}s$ ]

’$L$

’

$\rho$(.

$J\sim$t)(1)$\partial$$(I\sim.

(3 0)t)$$\overline{\partial I\sim}^{\rho}$と書かれることが示される。 ここに$D(T)\sim$$=\pi\lambda 2\Sigma|\nabla_{n,\sim}|^{2}\sim\sim^{\delta}nn$.

$[n\sim$(3 1)$\sim\omega]$$n$$\sim\sim$である。

(30) は Fokker-Planck 方程式の特殊型に他ならない。

(30) 式をきちんと導くにはいくっかの仮定が必要だがInfiniteLsystem:

これは$,$$\sim n$.

$\sim\omega$. それらを列挙すると ,をほゾ連続とみなすために必要である。 また\rightarrow.

2の仮定にとっても必要である。
2.

Di agonal$\sum_{n_{1},\sim}\sum_{n}\sum_{n,\sim}$$s$ingul a r $ity$ : 例えば$\nabla_{n-n_{1} ,\sim\sim}\nabla_{n_{1} ,\sim}-n\sim^{z}\nabla_{n_{2} ,\sim}-n\sim^{s}\nabla_{n,\sim^{a}}-n\sim$aという量を計算するのに.

$\sim^{z}\sim n=n$とレ) う部分の寄与が, 全体と $N$ の $()r$ de$r$で同じ程度となる。 という仮定である。
$c_{oarse\yen^{raining}}$

intime:

$-1$

$-1$

$f$

3.

$t\sim$$\gg\omega$$(\lambda^{2}\omega)$と$b^{a}$うtime

scale で考える。

4

Coarse-graining

5.

InitialinCondition:$\sim J$:$\rho^{(1)}(J\sim;t)$$l^{-}\propto$)$* \int_{\vee}$の関数としてゆつくり変花するとする。

(14) の $I(t)$ の項が考えてレ る $ti$ me$sc^{:}-$$a$ale で$fh$

ffi\acute ‘.\Re できるとする。

以上 5’ っの仮定は , 必ずしもすべてが必要かどう$l\dot{f}$$i$ }$-17-$

分らな:Ma$Aa\dot{i}i\backslash$

$st$

er

Equa io$t$$n$を導く時にはほとんどといっも使われている仮定である。
以上, 分布関数に対する Master考察が, (2) から ($6\rangle$

Equation が導かれる条件を考察して来たが. 全く同様なの形の Langevi n 方程式を導く場合$t_{-}^{-}$も行われている。4) 以下それを簡単に示そう。
文献 4)$\veearrow$

ならって 、射影演算子 $P$ を次のように定義しよう。

P $F\equiv<FA>/<A^{2}>A$

定義から明らかなように,$P$(32)は、力学変数のはる空間において 、物理量 $A$ の方向への射影を表わす演算子である。 $A(t)$ を、相互作用表示$\hat{A}(t)=e-i\omega t_{i}4(t)$(3 3)$\omega=<APLA>/<A2>$(3- 4)に移して計算を行うと 、次式がえられる。

$\frac{d\hat{A}(t)}{d\iota}=-\int otds\hat{\varphi}(s)$A$(t-s)$(3 5)$+’\hat{f}(t)$ここに$arrow i\omega t$$\varphi(t)=e\Lambda$

A$<AK$ $(-t)$ $A>/<A^{2}>$$(t)=\prime^{-i\omega}tiU(-t)$

で, $U(t)$ 及び $K$ (のは夫々 (16)$k$$(1 -P)$

(3 6)

$LA$

(37)

, (17) で定義される。 ここまでは全く形式的な計算で導かれる。

(35) は. (6) の Langevin 方程式と非常に似た形をしているが.

次の二っの点で異っている。

–っは,A(t) がその時刻での A/\の値のみにょらず. 過去の値 A $(t-s)$ によることであり 、今-っは.

randnmfnrce(二対応する f(-t) が有限な相関時間をもっことである。 実際.

$arrow 18arrow$$f(t)\Lambda$の相関関数を計算すると
八$\wedge$$<f(0)f(t)>=\varphi(t)<A^{2}>$(10) と比較してみれば分るように. これと書かれることが分る。 (38) を (8).
$ti$Theo emon –Di ss ipa $ti$ on

$r$

(3 S)

をえらぶことによって.

slow(35) はt ime

sc a 1 es で特徴づけられると , 適当な(6) の形に還元することができる。 すなわち $A$ への射影がprocess を拾い出すことに対応し, それに直交する部分はすべて fastを表わすとすると ,$\varphi(t)$$\varphi(s)\sim 2\gamma\delta$

Fluctua\rightarrowに他ならない。

前と同様 、力学系の運動が二っの distincf$A$$\#h$process のみ

process となり ,や $f(t)$ は fast

(3 9)$[s]$と近似できるようになる。 (39) を (35)(38)に代入すれば$*$直ちに (6). (8).

(10) がえられる。

献文1)

R. Kubo, Rep.. on Prog. in Phys. XXIX (1966) 255; Tokyo Summer Institute on
Theoretical Physics. (1965) Part I, Many-Body Theory, 1.

2)

R. Zwanzig, Journ. Chem. Phys. 33 (1960) 1338; Lectures in Theoretical Physics$t$

III (Boulder, 1960) 106.
3)

I. Prigogine, Non-Equilibrium Statistical Mechanics (lnterscience. 1963): R. Brout andI.
4)$Pri\vee\sim\circ ogine$. Phvsica 22 ($1956\rangle$

$62$

I.

H. Mori, Prog. Theor. Phys. 33 (1965) 423.

$arrow 19arrow$