数理解析研究所講究録 1200 巻 2001 年 71-81

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Differential operators and structures of vector
valued Siegel modular forms
伊吹山知義 (Tomoyoshi lbAyama) 大阪大学理学研究科
概要

正則線形偏微分作用素をジーゲル保型形式の構成に応用し、 2 次対称テン
ソル表現と行列式のべきの積をウェイトに持つベクトル値ジーゲル保型形式の空間を決定する。 これらに必要な微分作用素の理論などもあわせて述べる。

1

序
筆者が保型形式に作用する微分作用素に興味をもったのは 1990 年ごろが初めてで、 Zagier の九州大学滞在の折りの、代数曲線 3 個の積の算術交点理論に使えるはずだ、 という彼の強い意見に触発されて、 一般論を与えた。 しかし実はこのような微分作用素を現実のジーゲル保型形式に適用して何か有用なことが起きるとは全く思っていなかった。 ところが昨年ちょっとしたことを発見してに関見方が変わった。 井草の定理でよく知られているように、 2 次の6,
10,
つのウエイトが4,という4するジーゲル保型形式は、
12 の代数的独立な保型形式と、 ウェイト 35 の保型形式℃ 5 で生成される。今は齋藤・黒川リフトで 1 変数の保型形式から全となっては、のテータ定数による表示などは、 い
く容易に構成される。 しかしたとえばかにも複雑である。 しかし、 実は次のような単純な構成が存在する。 今、$\mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{Z})$$\phi 4\cdot\phi\epsilon,$$\phi_{4},$$\phi\epsilon,$$\mathrm{X}10,$$\mathrm{X}10,$$\mathrm{X}12$$\mathrm{X}12$$\mathrm{X}35$$\mathrm{H}_{\tau\iota}=\{\mathrm{Z}=\mathrm{X}+i\mathrm{Y}\cdot,\mathrm{X}=\mathrm{t}\chi, \mathrm{Y}={}^{\mathrm{t}}\mathrm{Y}\in \mathrm{M}_{\mathfrak{n}}(\mathrm{R})\cdot, \mathrm{Y}>0\}$を$\mathfrak{n}$次のジーゲル上半空間として、$\mathfrak{n}=2$のときに、 その変数

分を$\mathrm{Z}=(\begin{array}{ll}\tau zz \tau’\end{array})$.

$\mathrm{Z}\in \mathrm{H}_{2}$

の成

72

.

$k\ovalbox{\tt\small REJECT}-\circarrowarrow T\sim-$$4\phi_{4}$$6\phi_{6}$$10\chi_{10}$$12\chi_{12}$簀脊簀$\neq_{\tau^{4}}^{\mathrm{a}}$$n_{5}=$

轡$*_{\mathrm{z}}^{0}$輿$\frac{0}{\mathrm{a}}*\tau$讐$w^{\mathrm{a}_{0\tau}}$$*_{\mathrm{z}}^{0}$$A\mathrm{a}_{\partial’\mathrm{r}}1\neq$がわかるのである。 この観察はきわめて単純で、いったんこう気がつぃたら証明の方法は山ほどある。にもかかわらず、私が調べたり聞いたりした限りでは、 この公式に気がついていた人はいなかったようである。 これは後で述べる RankinCohen 微分作用素の一般化である。 ここに至って、 なかなか微分作用素は役に立つと納得するに至ったのである。たとえば、一般次数のに対応する$\mathrm{S}\mathrm{p}(\mathfrak{n},\mathbb{Z})$ジーゲルモジュラー多様体は がおおきければ general type なので複雑だというのがふつうの考え方であろう。 しかし、 これは必ずしも保型形式環が極端に複雑であることを意味しないのではないか。 いや、複雑というのは単なる思
いこみではないのか。最近の Ikeda ffl.などの事情を考慮に入れると、 一般$\mathfrak{n}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$次数でももしかしたら意外に単純な操作で生成元がすべて得られるということもあり得ると考える方が夢があると思うのである。 現実問題として、 このような観点から露峰氏の次数 3 のジーゲル保型形式環に関する結果 (最小の関係式を書ききってはいないという点では完成してない点もある結果) を見直すというのはこの方向の問題として意味のあることに違いないと考える。

2記号の準備と問題$\mathrm{G}\mathrm{L}(2)$の$\gamma$次対称テンソル表現を Sym(\gamma ) と書くことにする。
の有の形をしてぃる。 , の表現空間を$\mathrm{G}\mathrm{L}(2)$

理表現
はすべて
, と書こう。
$\mathrm{p}$$\mathrm{p}_{\mathrm{k}\mathrm{v}},=\det^{\mathrm{k}}\mathrm{S}y\mathrm{m}(\gamma)$$\mathrm{p}_{\mathrm{k}\gamma}$$\mathrm{V}_{\mathrm{k}\mathrm{v}}$

定義 1$\mathrm{H}_{2}$上の,$\mathrm{V}_{\mathrm{k}\gamma}$に値をとるベクトル値正則関数$\mathrm{F}$は$\mathrm{F}(\gamma \mathrm{Z})=\mathrm{p}(\mathrm{C}\mathrm{Z}+\mathrm{D})\mathrm{F}(\mathrm{Z})$がすべての$\gamma=(\begin{array}{ll}\mathrm{A} \mathrm{B}\mathrm{C} \mathrm{D}\end{array})\in \mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{Z})$について成り立つとき、 ウェイト
このような保型形式全体の空間をのために $\gamma=0$ のときは$\mathrm{P}\mathrm{k}.\gamma$のベクトル値ジーゲル保型形式という。

$\mathrm{M}_{\mathrm{k}\gamma},(\mathrm{S}\mathrm{p}(2, \mathrm{Z}))=\mathrm{M}_{\mathrm{k},\mathrm{v}}$$\mathrm{M}_{\mathrm{k}}=\mathrm{M}_{\mathrm{k},0}$と書くことにする。

と書く。 また、簡単

73とが奇数ならば、すべての に対しが問の構造はすでに述べた。次は、なる。
の構造は佐藤孝和氏により題になるが、 $\det$ のべきが偶数の場合はが奇数の時に、1986 年頃からわかつている。今回の新結果は、の-module としての構造を与えることである。 そのポイントは、偶数ウエイ

対称テンソル表現の次数$\mathrm{k}$$\gamma$$\mathrm{M}_{\mathrm{k},\gamma}=0$$\oplus_{\mathrm{k}=0}^{\infty}\mathrm{M}_{\mathrm{k},2}$$\mathrm{M}:=\oplus_{\mathrm{k}=0}^{\infty}\mathrm{M}_{\mathrm{k}}(\mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{Z}))$$\oplus_{\mathrm{k}=0}^{\infty}\mathrm{M}_{2\mathrm{k},2}$$\mathrm{k}$$\oplus_{\mathrm{k}=0,\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}}\infty \mathrm{M}_{\mathrm{k},2}$$\mathrm{M}$トの保型形式から奇数ウエイトの保型形式を構成できるという新しい観察にある。 さて、 このように次数の小さいところから順番に空間の構造を決めることにどのような意義があるかということについての感想を述べてみたい。 次のような加群\oplus f い’$\mathrm{M}_{\mathrm{k},\mathrm{v}}(\mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{Z}))$を考えると、表現のテンソル積の分解が重複度 1 であることより、 これはテンソル積を積と見なすことにより環と見なすことができる。 これはもちろん非常に大きな環であって、 この環が有限生成というのはちょっと望めないが、 その事情は若干 Jacobi 形式の無限生成の事情に似ている。 Eichler-Zagier では、すべてのウェイトとインデツクスにわたるヤコービ形式の空間の和は無限生成だが、 weak Jacobi というものを考えるとこれは有限生成で構造も単純という結果を出している。 最終的にはベクトル値ジーゲル保型形式でも似たことがあるのではないかという気がするのである。 すなわち、意外に単純な部分が切り出にわたる次元公式の母関数がそれでよく説明できるととせて、 トータルな$\mathrm{k}$$\gamma$

いったことを夢見ても良いように思う。

3Rankin-Cohen 微分作用素の一般化とその特徴付け
古典的な Rankin-Cohen 微分作用素というのは次のように述べられる。
の保型形式としよう。 これらから新しい保に関するウエイトがを型形式を作るには f9 をとるのが一番簡単だが、 たとえば$\mathrm{f},$$\mathrm{g}$$\mathrm{k},$$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathbb{Z})$$1$$\{\mathrm{f}, 9\}_{1}=1\mathrm{f}_{9}^{r}-\mathrm{k}\mathrm{f}_{9}’$とおくと、$\{\mathrm{f}, 9\}_{2}$はウェイトが $\mathrm{k}+1+2$ の$\mathrm{s}\iota_{2}(\mathbb{Z})$の保型形式になる。 同様に$\{\mathrm{f}, 9\}_{\gamma}=\sum_{\mu=0}^{\gamma}(-1)^{\mu}(\begin{array}{ll}\mathrm{k}+\gamma -1\mu \end{array}) (\begin{array}{ll}\mathrm{l}+ -\rceil\gamma \gamma-\mu\end{array})\mathrm{f}^{(\mu)}\mathrm{g}^{\{\mathrm{v}-|1)}$とおけばウェイト

$\mathrm{k}+1+2^{\gamma}$の保型形式を得る。 これらを証明する方法はいろいろある。保型性から単純に組み合わせ的な計算を行うだけでも証明できるし、
もともとそのようにして証明されたものと思われる。
さて、 なるほど証明は単純かもしれないが、 以上の説明はこのままではいろいろ納得のいかないところがある。 まず第 1 にこの作用素は線 とは言い難$W_{/}’-$

74
い。 そこでます、 変数を$\mathrm{z}_{2}$$\mathrm{z}\iota,$と 2 っ用意することにして.

$D_{\gamma}= \sum_{\mu-\sim}^{\gamma}(-1)^{\mu}(\begin{array}{ll}\mathrm{k}+\gamma -\mathrm{l}\mu \end{array}) (\begin{array}{ll}\mathrm{l}+ \gamma-\uparrow\gamma-\mu \end{array})\frac{\mathrm{O}^{\mu}\mathrm{O}^{\mathrm{v}-\mu}}{\mathrm{O}\mathrm{z}_{1}^{\mu}\mathrm{O}\mathrm{z}_{2}^{\mathrm{v}-\mu}}$

とおく。するととおくとき、$\mathrm{F}(\mathrm{z}_{1},\mathrm{z}_{2})=\mathrm{f}(\mathrm{z}_{1})9(\mathrm{z}_{2})$$\mathrm{D}$に制限することを考えると、
価$\{$で微分してから対角成分$9\}_{\gamma}={\rm Res}_{f=\mathrm{z}\uparrow=\mathrm{z}_{2}}(D_{\gamma}(\mathrm{F}))$$\rangle$と書けるのである。 この結果、 もともとの作用のかゎりに定数係数正則線形偏微分作用素と考えればよいことになって、 ゎがりゃすい。 もうひとっ気に入らない点は、 離散群を指定して話をしてぃるところである。 このような理論$\mathrm{D}_{\gamma}$

は全く形式的な話なので、離散群が関係するような話ではない。 実際、$\mathrm{f},$$9$が保型形式という条件を忘れて、 ともに単なる上半平面上の正則関数として、任意のこのような関数と任意のにつぃて次の関係式$\mathrm{f},$$9$$(\begin{array}{l}\alpha \mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{c}\end{array})\in \mathrm{s}\iota_{2}(\mathrm{R})$${\rm Res}_{\mathrm{z}=\mathrm{z}_{1}=\mathrm{z}_{2}}(D_{\mathrm{Y}}($$\mathrm{F}(\frac{\mathrm{a}\mathrm{z}_{1}+\mathrm{b}}{\mathrm{c}\mathrm{z}_{1}+\mathrm{d}},$$=$$\frac{\mathrm{a}\mathrm{z}_{2}+\mathrm{b}}{\mathrm{c}\mathrm{z}_{2}+\mathrm{d}})(\mathrm{c}\mathrm{z}_{1}+\mathrm{d})^{-\mathrm{k}}(\mathrm{c}\mathrm{z}_{2}+\mathrm{d})^{-1))}$$(({\rm Res}_{\mathrm{z}=\mathrm{z}_{1}=\mathrm{z}_{2}}(D_{\gamma} \mathrm{F}))(\frac{\mathrm{a}\mathrm{z}+\mathrm{b}}{\mathrm{c}\mathrm{z}+\mathrm{d}}))(\mathrm{c}\mathrm{z}+\mathrm{d})^{-1-\mathrm{k}-2\mathrm{v}}$を満たすような
これはすなわち、$\mathrm{D}_{\gamma}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{w}\dot{\min}\mathrm{g}$,が Ranh.n-Cohen operator だとする方が筋が通ってぃる。
はの無限次元表現のテンソル積の既約分解への$\mathrm{D}_{\gamma}$$\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{R})$operator を与えてぃるということになる。 以上のような発想にょ

れば Rankin-Cohen の高次元版を定式化するのは容易である。

以下、一般化を述べる。 一般次数では定義の定式化以外にさらには RankinCohen operator が具体的にどのような作用素になるのかという問題が別にある
わけだが、 これについても不変調和多項式にょる特徴付けを与えることができる。
のれらについて次に述べる。
個の積と、 その対角成分を考えよう。
$\check{}$$\mathrm{H}_{\mathfrak{n}}$$\mathrm{D}$$\Delta$$\mathrm{D}$上の関数$9=(_{\mathrm{C}\mathrm{D}}^{\mathrm{A}\mathrm{B}})\in \mathrm{S}\mathrm{p}(\mathfrak{n}.\mathrm{R})$$\Delta\cong \mathrm{H}_{\tau\iota}$,$=$$\mathrm{H}_{\mathfrak{n}}\mathrm{x}\mathrm{H}_{\mathfrak{n}}$$=$$(\mathrm{Z}, \ldots,\mathrm{Z})\subset \mathrm{H}_{\mathfrak{n}}$

と整数
に対して

$\mathrm{F}(\mathrm{Z}_{1}, \ldots, \mathrm{Z}_{\tau})$$\mathrm{D}$$\tau$$\mathrm{k}\mathfrak{s},$$\mathrm{k}z,$$\ldots$.

, へ, およひ$\mathrm{F}|_{\mathrm{k}_{\mathfrak{l}\prime}\ldots,\mathrm{k}_{7}}[9](\mathrm{Z}_{\mathrm{I}}, \ldots, \mathrm{Z}_{\tau})=\mathrm{F}(9^{\mathrm{Z}_{1}},$$\ldots,$

とおく。一方、な関数と$\mathrm{G}\mathrm{L}_{\mathfrak{n}}(\mathbb{C})$$\mathrm{G}(\mathrm{Z})$の有限次元表現$9\in \mathrm{S}\mathrm{p}(\mathfrak{n},\mathbb{R})$$(\mathrm{p}, \mathrm{V})$$9^{\mathrm{Z}_{\gamma})\prod_{i=\mathrm{I}}^{\tau}\det(\mathrm{C}\mathrm{Z}_{i}+\mathrm{D})^{-\mathrm{k}_{1}}}$

に対して、

に対して、

$\mathrm{G}|_{p}[9]=\mathrm{p}(\mathrm{C}\mathrm{Z}+\mathrm{D})^{-1}\mathrm{G}(\mathrm{Z})$$\mathrm{H}_{\mathfrak{n}}$上の関数 V-valued

75を上の通りとする。 また $D$ を上の関数に対する
値定数係数同次正則線形偏微分作用素とする。 ここで 値というのはすなわち、 $D$ は の次元分だけの成分を持つ微分作用素のベクトルということである。 よって、値関数 について、は関数を成分にもつベクトルであるが、ベクトル値関$(\mathrm{p},\mathrm{V})$$\mathrm{V}$$\mathrm{D}$$\mathrm{V}$$\mathrm{V}$$\mathbb{C}$$D\mathrm{F}$$\mathrm{F}$数と言っても同じ事である。 $D$ について、 次の交換関係を考える。
交換関係 1 領域$\mathrm{D}$上の任意の正則関数$\mathrm{F}$と自然数$\mathrm{k}\iota,$$\mathrm{k}_{\mathrm{r}}$$\ldots,$${\rm Res}_{\Delta}(D\mathrm{F}|_{\mathrm{k}_{\mathfrak{j}},\ldots,\mathrm{k}_{7}}[9])=({\rm Res}_{\Delta}(D\mathrm{F}))|_{\det^{\mathrm{I}\mathrm{c}_{\mathfrak{j}}+\cdots+\mathrm{k}_{7}}\rho}[9]$

ただし、
している。

${\rm Res}$は$\mathrm{D}$から$\Delta$への制限をあらわし、右辺では$\Delta$

について

.

と

$\mathrm{H}_{\mathfrak{n}}$を同一視

ここで、 $D$ を同次定数係数線形と仮定したことによって、 $D$ を多項式を用いて表すことができる。すなわち、を成分が変数の 次対称行列として、を変数の ^の同次多項式、 す
なわち成分がの次元個の多項式ベクトルとする。 ジーゲル上半空間の変数
に対して、
Z=(旬)
${}^{\mathrm{t}}\mathrm{R}_{\mathrm{i}}=\mathrm{R}_{i}(1\leq i\leq\tau)$$\mathrm{m}(\mathfrak{n}+1)/2$$\mathrm{Q}(\mathrm{R}_{1}, \ldots, \mathrm{R}_{\tau})$$\mathfrak{n}$$\mathrm{V}$$\mathrm{V}$$\in \mathrm{H}_{\mathfrak{n}}$$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{O}\mathrm{Z}}=(\frac{\mathrm{a}}{\partial z_{i-}})$とおけば、 $D$ は適当な$\mathrm{Q}$に対して$D= \mathrm{Q}(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{O}\mathrm{Z}_{1}},$$\frac{\mathrm{O}}{0\mathrm{Z}_{\tau}})$$\cdots,$と書ける。 このとき
定理 1(cf. [5]) すべての $i(1\leq i\leq\tau)$ に対して、と仮定する。 $D$ が上の交換関係を満たすための必要十分条件は が次の 2 っの条件を満たすことである。
$2\mathrm{k}_{1}\geq \mathfrak{n}$$\mathrm{Q}$(1)$\mathrm{Q}(\mathrm{A}\mathrm{R}1{}^{\mathrm{t}}\mathrm{A}, \ldots,\mathrm{A}\mathrm{R}_{\tau}{}^{\mathrm{t}}\mathrm{A})=\mathrm{p}(\mathrm{A})\mathrm{Q}(\mathrm{R}_{1}, \ldots, \mathrm{R}_{\tau})$(2)$\mathrm{X}_{i}(1\leq i\leq\tau)$

を独立な変数を成分とするとおく。ベクトル値多項式 をと定めるとき、 は pluri-hamonic である。

$(\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots, \mathrm{X}_{\tau})$$\mathrm{P}$$\mathfrak{n}$行$2\mathrm{k}_{i}$列の行列とし、$\mathrm{X}=$$\mathrm{p}(\cross)=\mathrm{Q}(\chi_{1}\mathrm{t}_{\mathrm{X}_{1}}, \ldots, \mathrm{X}_{\tau}^{\mathrm{t}}\mathrm{X}_{\tau})$$\mathrm{P}$

ここで pluri harmonic (多重調和と呼ぼう)に対して、$\mathrm{P}(\mathrm{A}\mathrm{X})$(の成分) がというのは、任意の変数の多項式として$\mathrm{A}\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{\mathfrak{n}}(\mathbb{C})$$\mathrm{d}:=2\mathfrak{n}(\mathrm{k}\uparrow+\cdots+\mathrm{k}_{\mathrm{r}})$harmonic と言う意味である。あるいは同じことだが、任意のについて$\Delta_{i}=(\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{O}\mathrm{x}_{1\mathrm{k}}0\mathrm{x}_{\mathfrak{j}\mathrm{k}}})$$i,$ $i,$$(1\leq i,\mathrm{i}\leq \mathfrak{n})$76とおくとき、ということである。
さて、 以上の定理は微分作用素の存在をある種の多項式の存在に帰着はし$\Delta\iota \mathrm{j}(\mathrm{P})=0$

たが、多項式の存在自身を保証するものではない。 いつこのような多項式が存在する力\searrow ないしはそれがどのようなものになるのかというのはは別の問題である。 しかしこれについては、古典群による次のような解釈が可能である。 ます、 行 次の行列禾
の成分を変数とする多重調和多項式全体がの空間を H、, と書くことにする。 H、, には$\mathrm{d}$$\mathfrak{n}$$\mathrm{P}(\mathrm{X})$$\in \mathrm{M}_{\mathfrak{n},\mathrm{d}}$$\mathrm{G}\mathrm{L}_{\mathfrak{n}}\mathrm{x}\mathrm{O}(\mathrm{d})$$\mathrm{d}$$\mathrm{d}$$\mathrm{P}(\mathrm{X})arrow \mathrm{P}(^{\mathrm{t}}\mathrm{A}\mathrm{x}_{9})$$(\mathrm{A}, 9)\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{\mathfrak{n}}\mathrm{x}\mathrm{O}(\mathrm{d})$により作用している。 ここで科 (d) は次直交群である (複素でも実でもよしかし H、d の既約分解は Kashiw
and Vergne によりわかっている。
すなわち、の既約表現 とが H、 , 上の既約表現 について、$\mathrm{d}$い。)$\mathrm{a}$$\mathrm{G}\mathrm{L}_{\mathfrak{n}}$$\lambda$$\mathrm{O}(\mathrm{d})$$\tau$$\tau\otimes\lambda$$\tau$

での既約成分として現れるならば、少なくともわれわれの仮定下では、まず重複
度が 1 であり、 さらに とは互いに 1 対 1 である。すなわち、 はのみに
よって決まる。 もし、
とおいて、 の表現空間をとし、我々の定理のよう [こ、 -valued polynomial map を考えてとおくならば、 まず第 1 に
ここで
であり、
なる作
用を与える が一意的に決まる。 さらに、)に対して、である。 逆に、
値上の任意の多重調和多項式写像をとり、 さらに任意のの元$\lambda$$\tau$$\lambda$$\tau$$\mathrm{V}$$\tau=\mathrm{p}$$\mathrm{p}$$\mathrm{V}$$\mathrm{P}(\mathrm{X})=\mathrm{Q}(\mathrm{X}_{1}^{\mathrm{t}}\mathrm{X}_{1}, \ldots, \mathrm{X}_{\tau}^{\mathrm{t}}\mathrm{X}_{\tau})$$\mathrm{P}(\mathrm{A}\mathrm{X})=\mathrm{p}(\mathrm{A})\mathrm{P}(\mathrm{X})$$\lambda$$\mathrm{P}(\mathrm{X})arrow \mathrm{P}(\mathrm{x}_{9})$$\mathrm{t}_{9\mathrm{t},\ldots,9\tau}$$\mathrm{P}(\mathrm{x}_{9\mathrm{t}}, \ldots,\mathrm{x}_{9\tau})=\mathrm{P}(\mathrm{X})$$\in \mathrm{O}(2\mathrm{k}\uparrow)\mathrm{x}\cdots \mathrm{x}\mathrm{O}(2\mathrm{k}_{\mathrm{r}})$$\mathrm{V}$$\mathrm{X}\in \mathrm{M}_{\mathfrak{n},\tau}$$\mathrm{P}(\mathrm{X})$$\mathrm{O}(2\mathrm{k}\iota)\mathrm{x}\cdots \mathrm{x}\mathrm{O}(2\mathrm{k}_{r})$について、$\mathrm{P}(\mathrm{X}_{19\mathrm{t}}, \ldots,\mathrm{X}_{\tau 9\tau})=\mathrm{P}(\mathrm{X})$を仮定すると、 われわれのという仮定と古典的な不変式論 (たとえば H. Weyl) から、 定理の条件を満たす多項式が存在して、はを科となる。すなわち、?こ
制限した表現を既約分解した時に、 単位表現からなる成分に含まれる。 言い換えると 「不変調和多項式」 の次元は の制限の既約分解に含まれる単位表現の重複度に等しい。 これは原理的には指標の計算で計算可能である。 もちろん実際の計算はやさしくないし、 具体的にを記述するのはさらに別の問題となる。 これらについては、 [1], [3], [11] などを参照されたい。
$2\mathrm{h}\geq \mathfrak{n}$$\mathrm{P}(\mathrm{X})=$$\mathrm{Q}$$\mathrm{Q}(\mathrm{X}_{1}^{\mathrm{t}}\chi_{1)}\ldots, \chi:\mathrm{X}_{\tau})$$\mathrm{P}(\mathrm{X})$$\lambda$$(2\mathrm{k}\iota)$$\mathrm{x}\cdots \mathrm{x}\mathrm{O}(2\mathrm{k}_{\tau})$$\lambda$$\mathrm{P}(\mathrm{X})$表現
が行列式のべきである時の実例
がベクトルではない多項式である実例をひとつ述べておとおく。
(I $\leq 1\leq\tau$ ) を次対称行列として、 成分をく。
を自然数として、変数の多項式$\mathrm{p}$$\text{く_{。}}\tau=1+\mathfrak{n}(\mathfrak{n}+\mathrm{I})/2$$\mathrm{Q}$$\mathrm{R}\iota$$\mathrm{k}\iota,$$\ldots,\mathrm{k}_{7}$$\mathfrak{n}$$\mathrm{m}(\mathfrak{n}+\mathrm{I})/2$$\mathrm{R}\iota=(\tau_{i}^{(1)})$$\mathrm{Q}(\mathrm{R}\iota, \ldots, \mathrm{R}_{\tau})$

と書
を、

77
$\rceil+\mathfrak{n}(\mathfrak{n}+1)/2\ ^{\backslash }\sigma \mathit{3}’\cap^{-}P^{1}\mathrm{I}\mathrm{R}k$ffl$\mathrm{V}^{\backslash }\vee C$$\mathrm{k}_{\tau}$$\mathrm{k}_{1}$$\tau_{1\mathrm{I}}^{(1)}$$\tau_{11}^{\{\tau)}$$\mathrm{Q}(\mathrm{R}_{1}, \ldots, \mathrm{R}_{\tau})=\tau_{12}^{(1)}$$\tau_{12}^{(\tau)}$..

..
$\cdot$$\cdot$$(\tau)$$\tau_{\mathfrak{n}\mathfrak{n}}^{\tau}$と定義する。ここで成分の$\tau_{i}^{\{\underline{\mathrm{t}})}$$\tau_{\mathfrak{n}\mathfrak{n}}$は $i\leq j$ の部分だけをとった。

$\mathrm{Z}_{i}\in \mathrm{H}_{\mathfrak{n}}(1\leq i\leq\tau)$

として、$D= \mathrm{Q}(\frac{\delta}{6\mathrm{Z}_{1}},$$\ldots\frac{0}{0\mathrm{Z}_{\tau}})$とおく。 前の定理によれば、 次の事実が成り立つ。

系 1 上と同様、 $\tau=1+\mathfrak{n}(\mathfrak{n}+1)/2$ として、に関するウエイトがそれぞれ当な離散群$\Gamma$

上の適の保型形式であるとす$\mathrm{F}_{\tau}(\mathrm{Z})$$\mathrm{F}_{1}(\mathrm{Z}),$$\mathrm{k}\iota,$$\ldots,$$\ldots \mathrm{k}_{\tau}$を$\mathrm{H}_{\mathfrak{n}}$る。 このとき、${\rm Res}(D(\mathrm{p}_{1}(\mathrm{z}_{1})\cdots \mathrm{F}_{\tau}(\mathrm{Z}_{\tau})))$(${\rm Res}$は$\mathrm{H}_{\mathfrak{n}}\mathrm{x}\cdots \mathrm{x}\mathrm{H}_{\mathfrak{n}}$の対角成分への制限) は、$\mathrm{H}_{\mathfrak{n}}$上のの保型形式である。 特に独立ならばこの保型形式もゼロではない。
トが$\mathrm{k}1+\cdots+\mathrm{k}_{\tau}+\mathfrak{n}(\mathfrak{n}+1)/2$$\mathrm{F}\uparrow,$$\Gamma$に関するウエイが代数的$\mathrm{F}_{\tau}$$\ldots,$が上半空間の複素次元であること
最後の事実は証明が必要だが、を思えば、 さして難しくはない。特にこの系により、最初に述べたとおり、代数からが作れることになる。すなわち、最初に述的独立な元
べた微分作用素は、我々の言う Rankin-Cohen operator の一般化の一例であって、一般には次数 2 のジーゲル保型形式 4 つからウエイトがの保型形式を作る方法を与えている。 これを用いれば同じ方法で次数 2 レベルの最小の奇数ウェイト 19 の保型形式を偶数ウエイトか
2 の合同部分群になるとこれほど単純ではなくなる。
ら構成できる。
$\mathfrak{n}(\mathfrak{n}+1)/2$$\phi 4,$$\phi\epsilon,$$\mathrm{X}\iota 0,$$\mathrm{X}12$$\chi_{35}$$\mathrm{k}1+\mathrm{k}2+\mathrm{k}_{3}+\mathrm{k}4+3$$\Gamma_{0}(2)$$\ulcorner_{0}(3)$4Dual case についての注意
前述の定式化の一種の dual として、領域を取り替えて$\mathrm{D}$$=$$\mathrm{H}_{\mathfrak{n}}$$\Delta$$=$$\mathrm{H}_{\mathfrak{n}_{1}}\mathrm{x}\cdots \mathrm{x}\mathrm{H}_{\mathfrak{n}_{\tau}}$$\mathfrak{n}=\mathfrak{n}_{1}+\cdots+\mathfrak{n}_{\mathrm{r}}$78として、 同じような微分作用素を考えることもできる。 実はこの場合の$\mathfrak{n}=1$,のときが算術交点理論との関係で Gross-Zagier にょり使ゎれた場合であ$\tau=3$ の場合も Boecherer,
る。 また、Schulze-Pillot などにょり使用されている。 また表現論的にも特殊関数論的にもこの場合の方が面白い。 たとえば Legendre or Gegenbauer polynomial の一般化などが得られるし、 ホロノ
ミー系なども出てきて大変興味深い (cf. [8])。 実際に open problems の面白さ
から言えばむしろこちらの方が美しい数学のように見える。 このような点がら、
著者自身 Rankin-Cohen という方向にはあまり興味を感じてぃながった。 しが$\tau=2$$\mathfrak{n}=1,$

し、保型形式を構成するという観点から言えば、 この dual case は、 ジーゲル
保型形式をその対角線に制限するといった方向であり、 少なくとも易しいものから難しいものを構成しているとは言いにくぃと言う難点がある。 よって、 少

なくともこのような観点からは Rankin-Cohen operators の方が使いやすいということは言えるであろう。 また、 Vertex operator algebra と Rankin-Cohen
mlgebra の親近性が最近言われているが、 このあたりのことはジーゲルではまだよくわからないので何とも言えない。

5

ベクトル値ジーゲル保型形式
具体的な記述をするために、 2 次対称テンソル表現を基底を固定して成分で正確に定義しておく。
$\mathrm{A}=(\begin{array}{ll}a \mathrm{b}\mathrm{c} \mathrm{d}\end{array})$に対して、$\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}$の$\mathbb{C}^{3}$

Sgm(2)(A)への表現 Sym(2) を$=\mathrm{S}\mathrm{g}\mathrm{m}(2)$$(\begin{array}{ll}a \mathrm{b}\mathrm{c} \mathrm{d}\end{array})=(\begin{array}{lll}a^{2} 2a\mathrm{b} \mathrm{b}^{2}a\mathrm{c} a\mathrm{d}+\mathrm{b}\mathrm{c} \mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{c}^{2} 2\mathrm{c}\mathrm{d} \mathrm{d}^{2}\end{array})$.

と定義する。 以下、
valued のウェイトがのジーゲル保型形式というのは、 この具体的にこの基底に関するものと考える。 次に、 天下り式にSgm(2) valued の Rankin-Cohen operator を与える。 ( の説明はあとで与えられる。) 2 次の対称行列の成分を$\mathbb{C}^{3}$$\mathrm{P}\mathrm{k}p=\det^{\mathrm{k}}\mathrm{S}v\mathrm{m}(2)$$\det \mathrm{k}$$\mathrm{k}$$\mathrm{R},$$\mathrm{R}=(\begin{array}{ll}\tau_{11} \tau_{\mathrm{l}2}\tau_{12} \tau_{22}\end{array})$と書く。

$\mathrm{k}\iota,$$\mathrm{k}_{2},$$\mathrm{k}_{3}$$\mathrm{S},$$\mathrm{S}=(\begin{array}{ll}\mathrm{s}_{||} \mathrm{s}_{\mathrm{l}2}\mathrm{s}_{|2} \mathrm{s}_{22}\end{array})$$\mathrm{T}$$\mathrm{T}=(\begin{array}{ll}\mathrm{t}_{1\mathrm{l}} \mathrm{t}_{\mathrm{l}2}\mathrm{t}_{12} \mathrm{t}_{22}\end{array})$を自然数として、 これらにょって決まる 9 変数の多項式がらなる 3 次ベクト J レ$\mathrm{Q}(\mathrm{R}, \mathrm{S},\mathrm{T})$を79$\mathrm{Q}(\mathrm{R},\mathrm{S},\mathrm{T})=\{\begin{array}{l}||-||||\end{array}\}$で定義する。 ウェイト$\mathrm{k}\iota,$$\mathrm{k}2,$$\mathrm{k}_{3}$の2 次ジーゲル保型形式$\{\mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H}\}_{1,2}(\mathrm{Z})={\rm Res}_{\mathrm{Z}=\mathrm{Z}_{1}=\mathrm{Z}_{2}=\mathrm{Z}_{3}}(\mathrm{Q}(\frac{0}{\delta \mathrm{Z}_{1}},$ $\frac{\mathrm{O}}{\delta \mathrm{Z}_{2}},$$\mathrm{F},$$\mathrm{G},$$\mathrm{H}$に対して、$\frac{\mathrm{O}}{\partial \mathrm{Z}_{3}})(\mathrm{F}(\mathrm{Z}_{1})\mathrm{G}(\mathrm{Z}_{2})\mathrm{H}(\mathrm{Z}_{3})))$とおく。
系 2 記号を上の通りとして、$\{\mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H}\}_{1,2}$

はウェイトが$\mathrm{p}\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}+\mathrm{k}_{3}+1,2=\det^{\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}+\mathrm{k}_{3}+1}\mathrm{S}v\mathrm{m}(2)$のベクトル値ジーゲル保型形式になる。
念のため、$\mathrm{Z}\in \mathrm{H}_{2}$の成分$\tau^{l}$$\tau,$$\mathrm{z},$を前に定めたようにとって、 書き下すと$\{\mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H}\}_{12}(\mathrm{Z})=$となる。 ただしここで右辺ではれを適用して、 たとえぱ、$\mathrm{F},$$\mathrm{G},$$\mathrm{H}$は$\mathrm{Z}$の関数と思って微分してぃる。 こ$\{\phi_{4}, \phi_{6},\chi_{10}\}_{1,2}\in \mathrm{M}_{21,2}$$\{\phi_{4}, \phi_{6},\chi_{12}\}_{1,2}\in \mathrm{M}_{23,2}$$\{\phi_{4},\chi_{\mathrm{I}0},\chi_{12}\}_{1,2}\in \mathrm{M}_{27,2}$$\{\phi_{6\prime}\chi_{10},\chi_{12}\}_{1,2}\in \mathrm{M}_{2?,2}$を得る。 また、$\mathrm{M}^{\mathrm{e}ve\mathfrak{n}}=\oplus_{\mathrm{k}=0}^{\infty}\mathrm{M}_{2\mathrm{k}}(\mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{Z}))=\mathbb{C}[\phi_{4}, \phi_{6},\chi_{10},\chi_{12}]$80とおくと、 これらは$\mathrm{M}^{\mathrm{g}\mathrm{y}\mathrm{g}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\mathrm{t}\mathrm{t}}$上独立ではなく次の関係式が成り立つことが示される。
$12\chi_{12}\{\phi_{4},\phi_{6\prime}\chi_{10}\rangle_{12}-10\mathrm{x}\iota 0\{\phi_{4\prime}\phi_{6\prime}\chi_{12}\rangle_{12}$,$+^{\epsilon\phi_{6}\{\phi_{4},\chi\iota 0\mathrm{X}121\iota\rho-4\phi_{4}\{\phi_{6},\chi_{10},\chi_{12}\}\iota\rho=0}$

定理 2 次の結果が成立する。

\oplus =あ,$=$$\mathrm{k}.\alpha 1\mathrm{d}\mathrm{M}_{\mathrm{k}}\rho(\mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{Z}))$$\mathrm{M}^{\mathrm{e}v\epsilon \mathfrak{n}}\{\phi_{4}, \phi_{6\prime}\chi_{10}\}_{1}p\oplus \mathrm{M}^{\mathrm{e}\mathrm{v}e\mathfrak{n}}\{\phi_{4\prime}\phi_{6},\chi\iota \mathrm{z}\mathrm{l}\mathrm{t}$ユ$\oplus \mathrm{M}^{\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}}\{\phi_{4\prime}\mathrm{x}_{1}\mathrm{o},\mathrm{X}121\iota\rho\oplus \mathbb{C}[\phi\xi,\chi\iota 0,\chi_{12}]\{\phi\epsilon,\chi_{10\prime}\chi_{12}\}_{1\mathit{2}}$ここで$\oplus$は加群としての直和をあらわす。

が奇数ならばもともとカスプ形式しか存在しないので、 これら
はカスプ形式でもある。
の次元公式などを用いる。 (cf. [13]) その他の証明には対馬氏による証明の細部ほ [6] を論文を参照されたい。
ちなみに$\mathrm{k}$$\mathrm{M}_{\mathrm{k}}\rho$

参考文献-J. Choie and W. Eholzer, RaMn-Cohen Operators for Jacobi andSiegel Forms, J. Number Theory 68(1998), 160-177.
[2] M. Eichler and D. Zagier, Th.e Theory of Jacobi Forms, Birkh\"auser, 1985,
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[1]$\mathrm{Y}$[3] W. Eholzer and T. Ibffiiyma, Rankin-Cohen type differential operators
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175-200; , ibid. 86(1964), 392-412.
$\mathrm{I}\mathrm{I}$[10] J. Igusa, Modular forms and projective invariants, Amer. J. Math. 89(1967), 817-855.

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[12] Takakazu Satoh, On certain vector valued Siegel modular forms of degree
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[13] R. Tsushima, An explicit dimension formula for the spaces of generalized, Proc. Japan Acad. Ser. A
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$\mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{Z})$

Department of Mathematics
Graduate School of Science
Osaka University
Machikaneyama 1-16
Toyonaka, Osaka, 560-0043Japanibukiyam@math .wani.osaka-u. ac.j$\mathrm{p}$