数理解析研究所講究録
第 1784 巻 2012 年 135-139

135

On a perfect isometry between principal blocks of nite groups

熊本大学大学院自然科学研究科 (理学系) 渡邉 アツミ (Atumi WATANABE)
Department of Mathematics, Faculty of Science, Kumamoto University

1問題

でを十分大きなかモジュラー系， を有限群とする． の -正則元の全体の Sylow -部分群とする． の生成されるの正規部分群は $O^{p}(G)$ に一致する． を$G$$G$$(K, \mathcal{O}, k)$

$G$

$P$

$G$

$G_{p’}$

$P$

$P$

$P$

部分群
$Q:=\langle[T, O^{p}(N_{G}(T))]|T$

は $G$ の$P$

$P\rangle$-超焦点部分群と呼ばれる．
$Q=P\cap O^{p}(G)$が成り立つ (Puig [7], 証明は [3], 定理 133 参照).

Rouquier 予想 (主ブロックの場合) ([8], A.2)
$b(G)$$Q$が可換であるならば $G$ の主ブロックと $b(N_{G}(Q))$ は導来同値である．

一般のブロックに対する Rouquier 予想については [12] を参照されたい．[11], \S 2 より，$Q$$Z(P)$

ならば $b(G)$ と $b(N_{G}(P))$ は導来同値であることが予想される．故に次が予想される．

問題 $Q$$Z(P)$ならば $b(G)$ と $b(N_{G}(P))$ の間に perfect isomety が存在する．

定理 ([11], 定理 3) $Q$$Z(P)$ かつ $Q$ が巡回群であるならば $b(G)$ と $b(N_{G}(P))$の間にisotypy が存在する．
$Z_{p}$-定理を用いると，$b(G)$ と $b(N_{G}(P))$ は Rickard equivalent が示される．上の定理はこの事実を使わずに証明する．
$P$ が可換である場合は既に証明されている([10]).
上の定理の証明では Puig-Usami の方法 [6], \S 3 を用いる．

2

Perfect isometry と isotypy[2] で導入されたブロックの perfect isometry と isotypy の定義を述べる．なおブロックの理論に関する用語と記号は [5], [9] に従う． を有限群のブロック， を有限群 $H$ のブ
$e$

$G$

$f$

136$(KHf)^{o}$ を $KHf$ の反対ロックとする．ブロックは 上の群環のブロック幕等元を指す．
$KGe$$K(KHf)^{o}$ の一般指標
は次の 2 条件を満たすとする :環とする．
(1) 任意の $(g, h)\in G$ $H$ に対して.
$\mathcal{O}$$\mu$$\frac{\mu(g,h)}{|C_{H}(h)|}\in \mathcal{O}$$\frac{\mu(g,h)}{|C_{G}(g)|},$(2) $\mu(g, h)\neq 0$ ならばと

$g$

$h$

$\mu=$

は共に銑正則であるかか非正則である．
$J(\zeta)$$\sum$$(\in$Irr$\zeta,$ZIrr $(e)$$I(\zeta)\in$$(f)$と書くとき， -線形写像
$Z$

$I$

: $R_{K}(H, f):=$ ZIrr $(f)arrow R_{K}(G, e)(\zeta\mapsto I(\zeta))$が全単射の isometry であるならば， をIrr $(f)$ に対していう．このとき任意の$I$$\mu$が与える$f$から$e$への perfect isometry と$\zeta\in$$\exists_{1}\chi\in$

Irr $(e)s$ . .
$t$$I(\zeta)=$$\chi$.

$(P, e_{P})$ を極大卜 Brauer pair, $(P, f_{P})$ を極は共通の不足群 $P$ をもつとする．
大 $f$ -Brauer とする．各 $u\in P$ に対して e- Brauer 元 $(u, e_{u})\in(P, e_{P})$ , f-Brauer 元$e$と$f$とする．ここで次の 2 条件を仮定する．

$(u, f_{u})\in(P, f_{P})$と $f$ の Brauer 圏は等しい，つまり $\mathcal{F}_{(P,e)}P(G, e)=\mathcal{F}_{(P,f)}P(H, f)$ .

(1)(2) $P$ の各元
$e$

に対して

$u$

$I^{(u\rangle}$$I^{(1)}$$d_{H}^{(u,j_{u})}=d_{G}^{(u,e_{u})}$を満たす perfect isometry$I^{\langle u\rangle}$が存在する．但しいる．また$d_{G}^{(u,e_{u})}$system とする

3$I^{\langle u\rangle}$

$f$

は $K$

: $R_{K}(C_{H}(u), f_{u})arrow R_{K}(Cc(u), e_{u})$$zR_{K}(C_{H}(u), f_{u})$は分解写像 (cf. [2])

から

$e$

から $K$である．このとき$zR_{K}(Cc(u), e_{u})$ への写像と見て$I=I^{\langle 1\rangle}$への isotypy という．

定理の証明の流れ[11], \S 4 に従って定理の証明の流れをたどる．
$b:=b(G),$仮定から $Q$$b_{0}:=b(N_{G}(P)),$$H:=O^{p}(G)$$Z(P)$ で $Q$ は $H$ の巡回 Sylow $p$ 部分群である．

$E=(N_{H}(P)Cc(P))/C_{G}(P)$とおく． は $N_{G}(P)/C_{G}(P)$ における正規 -補群である．
$E$

$P$.

を

$\{I^{\langle u\rangle}\}_{\langle u\rangle}P$を local

137と $N_{G}(P)$ の Frobenius 圏は同じ，つまり1 ([11], 定理 1)
2 ([11], 命題 2) $P=Q$ $R,$ $R=C_{P}(E)$ .
3 ([11], 命題 3) $E=N_{H}(Q)/C_{H}(Q)$ .
$G$$)$$\mathcal{F}_{P}(G)=\mathcal{F}_{P}(N_{G}(P))$

.

$)$

$)$

$e:=|E|,$$m:= \frac{|Q|1}{e}$.

を $Q$ の非自明な 1 次指標の $E$ -軌道の完全代表系とする．

$\Lambda\Lambda$$:= \sum_{x\in E}\mu^{x}(\mu\in \mathcal{M})$.

[4] よりIrr $(b(H))=\{\chi_{1}=1_{H}, \chi_{2}, , \chi_{e};\chi (\mu\in \mathcal{M})\}$と記述される，但し$\{\begin{array}{ll}\chi_{j}(\rho)=\epsilon_{j}, \chi(\rho)=\epsilon (), (((\neq 1)\in Q, \rho\in(C_{H}())_{p’});\epsilon_{1}=1, \epsilon_{j}= 1 (j 2),\epsilon= 1)\end{array}$

なお $m=1$ のときは$\chi$$\chi_{i}$と区別しない．

4 ([11], 命題 3) $b(H)$ のすべての既約指標は$)$$G$へ拡張可能である．

を $P$ の指標と見るとき，$N_{G}(P)$ -安定である，故に $G$-安定である．指標のtion ([1])$=$$1_{G}$

を満たす $xj$ の拡張

5

construc-は次を満たす．

$1_{G}$$\hat{x}j$と$\chi$$(e 1)1_{G}$の拡張$\hat{\chi}$$\sum_{j=2}^{e}\epsilon_{j}\hat{\chi}_{j}+\epsilon\hat{\chi}$$(\mu\in_{\nu}\mathcal{M})$が存在する ([11], (7)). 以上から$)$$Irr(b)=\{\hat{\chi}_{j}\lambda,\hat{\chi}\lambda’|1 j e;\mu\in Jt\Lambda;\lambda, \lambda^{l}\in Irr(R)\}$$L:=N_{G}(P)/O_{p’}(C_{G}(P))=(Q\rangle\triangleleft E)$

とおく．

$\mathcal{O}N_{G}(P)b_{0}=\mathcal{O}L$.

$R$である． と $b(L)$ の間に isotypy が存在することを示せば
$b$

よい．

$Irr(b(L))=\{\hat{\zeta}_{j}\lambda,\hat{\zeta}\lambda’|1 j e;\mu\in\Lambda t;\lambda, \lambda’\in Irr(R)\}$$=$$1_{L}$$(e 1)1_{L}$

6 ([11], 命題 5)のときは,,$)$$P$$\chi_{e},$$\chi_{2}$$\hat{I}$:$\sum_{j=2}^{e}\hat{\zeta}_{j}+\hat{\zeta}$$(\mu\in \mathcal{M})$$\hat{\zeta}_{j},\hat{\zeta}$はを満たす．

を適当に並べ替えることにより $(m=1$,を適当に並べ替えることにより) bijective isometryは可換と仮定する． ,$\chi_{2}$$\chi$, 但し$\chi_{e}$$\mathcal{R}_{K}(L, b(L))arrow \mathcal{R}_{K}(G, b)(\hat{I}(\hat{\zeta}_{j}\lambda)=\epsilon_{j}\hat{\chi}_{j}\lambda, \hat{I}(\hat{\zeta}\lambda)=\epsilon\hat{\chi}\lambda)$

138
は isotypy である ([6] を用いる).

$b_{v}:=b(C_{G}(v))(v\in P)$.

$C_{G}()$ は Sylow
を $R$ の任意の元とする．仮定から $C_{G}()=C_{H}()C_{R}()$ で，$C_{P}()$とか超焦点部分群$Q$を持つことが示せる．従って

Irr $(b)$

$p$

部分群

は

$Irr(b)=\{\hat{\chi}_{j}\lambda|1 j e, \lambda\in Irr(C_{G}()/C_{H}())\}$

俺但し

$\in$

$\hat{\chi}_{j},\hat{\chi}$

Irr $(b)$ はそれぞれ$\chi_{j},$を満たす．

$G=\langle O^{p}(G)$,$\rangle=\langle H$,$\}$$\sum_{j=2}^{e}\epsilon_{j}\hat{\chi}_{j}+\epsilon\hat{\chi},$$\epsilon_{j},$1$\epsilon=$

とおく．

$\hat{\chi}_{j}|c_{G_{\sigma}(\sigma)},\hat{x}|c_{\dot{c}_{\sigma}}()$$=(e 1)1_{C_{G_{\sigma}}(})$$1_{C_{G_{\sigma}}(})$,

Irr $(b(C_{H}()))$ の $C_{G}()$ への拡張で$\chi\in$$=(e 1)1_{C_{G}(})$$1_{C_{G}(})$

は既約で$\sum_{j=2}^{e}\epsilon_{j}\hat{\chi}_{j}|_{C_{G_{\sigma}}(})+\epsilon\hat{\chi}|_{C_{G_{\sigma}}(})$.に 6) とその証明を適用して次を得る．

$G$

7 ([11], 系 2)$\chi_{2}$,,$\chi_{e},$$\chi$とする． ,,を適当に並べ替えることにより $(m=1$ のときを適当に並べ替えることにより) 次が成り立つ．
$\in R$$)$は$\{\hat{\chi}\lambda|\mu\in \mathcal{M}, \lambda\in Irr(C_{G}()/C_{H}())\}$$\chi_{2}$$\hat{\chi}_{j}( \rho)=\epsilon_{j},\hat{\chi}( \rho)=\epsilon$$\hat{\chi}_{j}(\rho)=\epsilon_{j}\epsilon_{j}\hat{\chi}_{j}(\rho)$,$\chi_{e}$$()(\forall(\neq 1)\in Q;\forall\rho\in C_{G}( )_{p’})$,.

$\hat{\chi}(\rho)=\epsilon\epsilon\hat{\chi}(\rho)(\forall\rho\in C_{G}()_{p’})$8 ([11], 命題 6) 定理の仮定と以上の記号の下，bijective isometry$)$$\hat{I}$:$\mathcal{R}_{K}(L, b(L))arrow \mathcal{R}_{K}(G, b)$$(\hat{I}(\hat{\zeta}_{j}\lambda)=\epsilon_{j}\hat{\chi}_{j}\lambda, \hat{I}(\hat{\zeta}\lambda)=\epsilon\hat{\chi}\lambda)$は perfect isometry である．
$\in R$に対して，perfect isometry$\hat{I}_{\langle}\rangle$: $\mathcal{R}_{K}(C_{L}( ), b(C_{L}()))arrow \mathcal{R}_{K}(C_{G}( ), b)$ を,$\hat{I}_{\langle}\rangle(\hat{\zeta}_{j}\lambda)=\epsilon_{j}\hat{\chi}_{j}\lambda$$\hat{I}_{\langle}\rangle(\hat{\zeta}\lambda)=\epsilon\hat{\chi}\lambda$の番号付けは 7) に従う．一方とする．このとき $C_{L}()=C_{P}()$ ,$c_{c}()=C_{H}()C_{R}()$ . 仮定から $C_{G}()$ は -幕零である．とする．但し$\in P\backslash R$$\chi_{j}$$p$$\hat{I}:\mathcal{R}_{K}(C_{L}(), b(C_{L}()))arrow \mathcal{R}_{K}(C_{G}(), b)$を自明な perfect isometry とする．

9$\hat{I}$$)$は$\{\hat{I}_{\langle v\rangle}\}_{\langle v\rangle}P$を local system とする isotypy である．

139
参考文献
[1] M. Broue and L. Puig, Characters and local structure in G-algebras, J. Algebra,
63(1980), 306-317.

[2] M. Broue, Isometries parfaites, types de blocs, categories derivees, Asterisque, 181182 (1990), 61-92.
[3] D. A. Craven, “ The theory of fusion systems, “ Cambridge studies in Advanced mathematics, 131, 2011.

[4] E. C. Dade, Blocks with cyclic defect groups, Ann. Math. 84(1966), 20-48.
[5] H. Nagao and Y. Tsushima, “ Representation theory of nite groups“, AcademicPress, 1989.
[6] L. Puig and Y. Usami, Perfect isometries for blocks with abelian defect groups andKlein four inertial quotients, J. Algebra 160 (1993), 192-225.
[7] L. Puig, The hyperfocal subalgebra of a block, Invent. math., 141(2000), 365-397.
[8] R. Rouquier, Block theory via stable and Rickard equivalences, Modular representation theory of nite groups (Charlottesville, VA, 1998), 101-146, de Gruyter, Berlin,
2001.
[9] J. Thevenaz, “G-algebras and modular representation theory“, Clarendon Press, Oxford, 1955.

[10] A. Watanabe, On perfect isometries for blocks with abelian defect groups and withcyclic hyperfocal subgroups, Kumamoto J. Math., 18(2005), 85-92.
[11] A. Watanabe, On blocks of nite groups with central hyperfocal subgroups, 2011.
[12] 渡邉アツミ，有限群のブロックの超焦点部分群と超焦点部分代数，代数学シンポジウム(岡山，2011) 報告．