数理解析研究所講究録 1433 巻 2005 年 65-10965-

高階線型常微分方程式の変形におけるvirtual turning point の役割について, II
野海 山田方程式系の new Stokes curve について--

京都大学数理解析研究所 佐々木俊介 (Shunsuke SASAKI)

RIMS, Kyoto University
1

序文
西川 [N] によるある高階 Painleve 方程式の完全$\backslash h\dagger \mathrm{I}<\mathrm{B}$

解析の研究において, 次の事

実が発見された:

非線型方程式の Stokes curvが非線型方程式の Stokesの交点の近傍において, 変形パラメータ上にないにもかかわらず, 付随する Lax, 2 つの turning point が Stokes curve で結ば$t$$\prime \mathrm{e}$$\mathrm{c}\iota 11^{\cdot}\mathrm{v}\mathrm{e}$pair の Stol es geometry$\mathrm{t}\ovalbox{\tt\small REJECT}$れるという意味での退化が生じる.
この現象は西川現象と呼ばれ, その後 [KKNTI] [KKNT2] において理論的解明が行われてきた. このような現象が他の {‘高階 Painleve 方程式” でも起こるのではないかと考えることは自然である.
そこで, 本論文ではその 1 つである, 野海-

山田方程式系の中の 1 つの方程式$(NY_{)4}^{\backslash }$を題材に, 計算機による具体的な計算結果をもとに同様の現象が起こる様子について観察を行う.

66

本論文で扱う方程式は次のものである:$\frac{du_{0}}{dt}=\eta[u_{0}(u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4})+a_{0}’]$$arrow du=\eta[u_{1}(u_{2}-u_{3}+u_{4}-u_{0})+\alpha_{1}]$$(NY)_{4}$

:

$\{$

$\frac{du_{2}dt}{dt}=\eta[u_{2}(u_{3}-u_{4}+u_{0}-u_{1})+\alpha_{2}]$(1)$\frac{du}{dt}\mathrm{a}=\eta[u_{3}(u_{4}-u_{0}+u_{1}-u_{2})+\alpha_{3}\mathrm{j}$$\frac{d}{d}uA_{=\eta[u_{4}(u_{0}-u_{1}+u_{2}-u_{3})+\alpha_{\text{\’{e}}}]}t$$\mathrm{C}\mathrm{t}_{0}’+\cdots+\alpha_{4}=\eta^{-1},$$u_{0}+\cdots+u_{4}=t,$; large parameter.

$\eta$(2)

これは次の Lax pair の両立条件として導かれる:$(L)_{4}$$(D)_{4}$::$\frac{\partial}{\partial x}\psi$$=$$\eta A\psi$$\frac{\partial}{\partial t}\psi$$=$$\eta B\psi$

,

(31,
(4)

ただし

$\mathrm{c}\iota_{2}\epsilon_{3}1$$A=- \frac{1}{x}(x^{\backslash }u_{0}\epsilon_{1}x’$$u_{1}\epsilon_{2}x$$u_{3}\epsilon_{4}1$,$u_{4}\epsilon_{\overline{\mathfrak{O}}}1\ovalbox{\tt\small REJECT}$(5)$-1q_{2}$$-1q_{3}$$B=\ovalbox{\tt\small REJECT}-xq_{1}$$-1q_{5}\ovalbox{\tt\small REJECT}$.

(6)$-1q_{4}$ここで$\epsilon_{j},$$q_{j}$は$\mathit{0}_{j}’,$$u_{j}$とそれぞれ次のような関係にある .
$|$$\alpha_{j}=\epsilon_{j}-\epsilon_{j?7^{-1}}+\iota+\delta_{j,0},$$q_{j+2}-q_{j}=\mathrm{c}\iota_{j}-u_{j+1}$.

この方程式を含む野海 山田方程式系の WKB 解析に関する (局所的な) 一般論は
[T] で議論されたが, その大きな特徴は,-hierarchy の場合と異なり, 付随する-

$P_{\mathrm{I}},$$P_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$87

Lax pair のサイズが 3 以上であるという点である. そのため線型方程式の Stokes geometry に new Stokes curv や virtual turning point が現れ, それらを含めて Stokes
geometry の変化を考えなければならないことが [S] において示された. そこで本論文では [S] の続編として, その結果を用いて非線型方程式 $(NY)_{4}$ の Stokes geometry に$r\mathrm{e}$ついて議論$\llcorner$ていく.

西川現象と非線型方程式の new Stokes curve

2および-hierarchy の場合の Stol es geometry について簡単に
本節ではまず,
復習しておく. これらの方程式は付随する Lax pair のサイズが 2 であり, 線型方程式の Stokes geometry が比較的容易にわかるため, それをもとに非線型方程式の Stokes$P_{\mathrm{I}}$$P_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$geometry が研究されてきた.
序文で述べた西川現象は [KKNTI] において詳しく調べられ, 以下のように説明された.
つのの交点では線型方程式の Stokes geometry
turning point が Stokes curve で結ばれるという退化が 2 所で同時に起こることにを共有し, かつ から出て他の turnなる. この 2 組のペアが 1 つの turning pointと結ばれている 2 本の Stokes curv が隣り合っているとき, その交点
point
は Lax-adjascent であるといい, そうでないとき non-Lax-adjascent であるという.
が Stokes curv で結ばれる点が存在し,とLax-adjascent な交点の近傍では,そのような点の全体は交点から片側に伸びる曲線 (curved ray) を成す. この曲線は線型の場合からの類推により new Stokes curve と呼ばれ, その満たすべき条件が線型

非線型方程式の Stokes eu$l\mathrm{h}2$$\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}$$r\gamma$

$a$

$a$

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$$b_{1},$$\prime \mathrm{e}$$b_{2}$$b_{2}$$b_{1}$$r\mathrm{e}$方程式の Stokes geometry との関係を用いて明らかにされた.
一方, non-Lax-adjascent な交点の近傍ではそのような現象は観察されない.
ここで, Lax-adjascent な交点の近傍でも, (実線の) new Stokes curv の現れる領域とは反対側の領域 (“virtual tur ning point” に近い領域) では, 次のような mechanism
によって線型方程式の Stokes geometry に退化が起こらない (new Stokes curve が点$\prime \mathrm{e}$線である) ことがわかる ([KKNTI, Remark 4.1]).
とが から出る Stokes curv によって区切ら点線の部分では, turning point
れる異なる領域に存在しており, それらから出る Stokes curve はそれぞれの領域からとを結ぶ (Stokes curve の定義に現れる形
外に出ることができない. そのための) 積分の虚部が消えているにもかかわらず, Stokes curve で結ばれないのである.
$a$$b_{2}$$b_{1}$$b_{1}$$b_{\underline{?}}$$\prime \mathrm{e}$B8さらに [KKNT2] では非線型方程式の virtual turning point が一般的な形で定義

され, 上の new Stokes curve は線型の場合と同様,$\backslash r\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$turning point から出る

Stokes curve (の一部分) に他ならないことが示された. この概念を用いて (点線のnew Stokes curve を含めた) 非線型方程式の Stokes geometry が詳しく論じられ,
plete Stakes geometry の具体例が示されているが, ここではこれ以上深入りしないこ$\mathrm{c}^{\mathfrak{l}}\mathrm{o}\mathrm{m}-$

とにする.

3

2 本の第 1 種 Stokes curve の交点

本節以降では, $(NY)_{4}$ の Stokes curve どうしのいくつかの交点に注目し, そのまわりでのの Stokes geometry の変化を観察する. 以下で用いる図は論文の末尾に$(L)_{4}$

まとめておいた.

Fig. 1 に示すように, 2 つの第 1 種 turning point $\tau^{(1)}=-0.0347$ $+0.1545i$ および$\tau^{(2)}=0.3094+0.4662\mathrm{i}$がら出る Stokes curve
が $t=t_{0}=0.3101+0.2789\mathrm{i}$において交わっている. 本節ではこの交点 t。に注目し, そのまわりでの Stokes 図形の変化について調べる. なお, 本節で扱う図は方程式のパラメータを $\alpha_{0}=1-0135i$ ,$\Gamma^{(2)}$$\Gamma^{(1)},$$\alpha_{1}=0.45-0.\overline{(}i,$ $\alpha_{2}=-0.5-0.2i,$ $\alpha_{3}=-1.05+0.25i$

のちにおけるの$(L)_{4}$Stokes curv$\mathrm{e}$の図が Fig. 2,

とおいたものである. Fig, 1$5$$\cdots$)

それぞれの (j) に対応している,

Fig. $2(0)$ は交点 におけるの Stokes curv の図である.
がpointからかなり離れているため, [S] で見たような切り替えを経て多くの
turning point が退化に関与している,
この図で simple turning poznt
が virtual tum ning pointと Stokes curve で結ばれ, 一方で別の virtual turning pointとも結ばれていることに気づく. この
うちととりが結ばれているという退化が, それぞれ が上にあることによるものである.
の場合に, 非線型方程式の 2 本の Stokes curve に対応する退化にともに関与している turning point (“hinging turning”) が線型方程式の Stok esgeometry の変化を調べる上で中心的であったことを思い起こせば, この simple
ing pointがこの場合中心的な役割を果たすのではないかと考えられる,$(L)_{4}$$t_{0}$$\tau^{(1)},$$t_{0}$$\prime \mathrm{e}$$\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{l}\cdot \mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$$\tau^{(2)}$$\mathrm{v};\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$$s_{1}^{(0)}$$v_{1}^{(1)}$$v_{1}^{(2)}$$s_{1}^{(0)}$$v_{1}^{(1)},$$s_{1}^{(0)}$$1(2)$$t$$P_{\mathrm{I}},$$\Gamma^{(1)},$$\Gamma^{(2)}$$P_{\mathrm{I}\mathrm{I}^{-}}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{I}^{\cdot}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}$$1\supset \mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$$\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{l}\cdot \mathrm{n}-$$s_{1}^{(0)}$B9次に, この場合にすべての virtual turning$13\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$あるいはすべての ordered cross-point を考えるのはあまりに数が多く複雑すぎるので, 考察の対象とする turning
point の範囲を明確にしておく必要がある.
[S] で見たように, “3 本の Stokes curv が 1 点で交わる” という configuration が典それぞれに対して 3 組の型的な退化のパターンであることに注意すると,上にあることにturning point のペアを考えるのが妥当であろう. すなわち, がの 6 つの turning point を pickよる退化に関係する turning point として Fig.
上にあることによる退化に関係する t.urning point として Fig. 2(0.2)
up し, が. が共通なので) ひとまずこれら 11 個のの 6 つの turning point を pick up する. (turning point を “relevant な’) lurning point と考えることにする. Fig. 2 ではすべての ordinary turning point と relevant なすべての virtual turning point, およびそれらから出る Stokes curve を描いているが, 非常に複雑なので, 以下 Fig. 3, 4, 5 にその$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$$\prime \mathrm{e}$$\Gamma^{(1)},$$\Gamma^{(2)}$$t$$\Gamma^{(1)}$$2(\mathrm{O}.1)$$\Gamma^{(2)}$$t$$s^{(0)}$

注目すべき部分のみを描いた図を示しておく.
まず$v_{1}^{(1)},$$s_{1}^{(0)},,$$v_{1}^{(2)}$が結ばれている部分が$t$

によってどのように変化するかを調べてに対して対応する部分のみを描いたものが Fig. 3 である. この状況は真から出る隣り合った 2 本の Stokes curve がそれぞれん中の silnple turning pointと他の turning point を結んでいるという意味で, [KKNTI] でいう Lax-adjascentの場合と同様の configuration であると考えられる.
.
の Stokes curve で区切られる同力と領域 I では (J)(3) に示すよ に,

みる.

各

$t$

$s_{1}^{(0)}$$s_{1}^{(0)}$$\grave{\grave{1}}$$v_{1}^{(1)}$$v_{1}^{(2)}$$s_{1}^{(0)}$と-hierarchy に対する経験に照らせば,.
が Stakes curve で結ばれる点が存在することが期待される.
わっての位置関係が入
と
から出る
curve
では
と
Stokes(3)
実際, (1)とが結ばれていることがわかる.
ではおり, その間の点から出る) においては,一方, それとは反対側の領域 III (Fig.
の右下方向へ進み, 特に変わったことは起こっていない.
Stokes curve はいずれも一の領域に存在する.

従って$v_{1}^{(1)}$$t_{2}$$v_{1}^{(1)}$$v_{1}^{(1)}$$P_{\mathrm{I}},$$v_{1}^{()}\underline{7}$$P_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$$i1^{i_{\Xi}^{\mathrm{E}\mathrm{f}}\mathrm{i}}$$v_{1}^{(2)}$$v_{1}^{(2)}$$v_{1}^{(1)},$$3(7)(\mathrm{S})(9)$$v_{1}^{(2)}$$s_{1}^{(0)}$-hierarchy . 場合に, 非線型方程式の new Stokes curv のうち交点から
virtual turning point に近い部分では線型方程式の Stokes geolnetry の退化が観察されなかったのと同様の状況である.
これは$\prime \mathrm{e}$$\text{の}$$P_{\mathrm{I}},$$P_{\mathrm{I}1}$

このように, virtual turning point が絡む場合でも非線型方程式の Stokes curve 上が Stokes curv で結ばれる” という現象が起こではない点で “両端の turning”“のStokes
ることが確認された. このような現象は Fig. 1(3) に示した
$1^{0\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}$$\prime \mathrm{e}$$\hat{\Gamma}$$\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{W}^{\lambda}f$$\mathrm{c}\iota \mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}$70

うち実線部分 (交点 t。から右下部分) で観察されるが, この曲線については次節でよ
りくわしく議論する.
しかし, この場合は両側が virtual turning point なので, (特定の方向に向かう)Stokes
CllYVe の本数の変化はこの部分では見られず, 非線型方程式の Stokes 現象を調べる上で線型方程式の Stokes curv の本数の変化が鍵になっていたことを思い起こせば. こ
れだけでは
の前後で
に Stokes 現象が起こるとは判断できない (実際, 後で紹介する non-adjascent の場合などを踏まえると, この部分の Stokes 係数は変化して$r\mathrm{e}$$t_{2}$$(\Lambda^{\mathrm{T}}Y)_{4}$

いないと考える方が自然なのではないかと考えている).
そこで次に, このときに他の tum ning point が Stokes curve で結ばれる様子を観察する, まずは$\Gamma^{(1)}$

上で結ばれているペア$s_{2}^{(1)}$と$v_{2}^{(0)}$に注目する (Fig. 4).

Fig. $4(1)(2)(3)$ を見ると, Fig. $4(0)$ には描かれていない virtual turning pointが現れていることがわかる.
はからから出る Stokes
Stokes curv とcurve の交点から定まるである (Fig. 4 にはturningは描かれていない. Fig. 2 参, ).
がから出る Stokes curve とから出る Stokes curve の交点から定めら.
れていることに注意すれば,とむが Stokesにおいてそれらの交点が一致し,$\hat{v}_{2}^{(2\}}$$\hat{v}_{2}^{(2)}$$v_{1}^{(2)}$$v_{3}^{(1)}$)$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\not\in$$\prime \mathrm{e}$$\backslash r\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$$v_{3}^{(1)}$$1\supset \mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$$\mathrm{B}_{1\mathrm{t}}\mathrm{S}_{\backslash }$$v_{1}^{\langle 1)}$$s_{2}^{(1)}$$v_{3}^{(1)}$$2(2)$$s_{2}^{(1)}$$t_{2}$

curve で結ばれることがわかる. その前後 (1) (3) を比較するとの左上および右上方向に伸びている Stokes curve の本数が変化しており,の無限遠点 (もしくは原$s_{2}^{(1)}$$(L)_{4}$点) での$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\subset \mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{y}$data に真に変化をもたらしていると期待される

ところが Fig. 4 では, この virtual turning point

でしか図に現れていない.

これは領域 III,$\mathrm{I}\mathrm{V}$では$\hat{v}_{2}^{(2)}$$v_{1}^{(2)}$に関係した turning point であった) から出る Stokes

は$\acute{1}\overline’ \mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{f}1\underline{\emptyset}^{\dot{A}}$$\mathrm{I}$

, II

4

$(t=t_{1}, \cdots , t_{5})$(これは元々
上での退化がの右下方向へ伸び$\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{v}\prime \mathrm{e}$$\Gamma^{(2)}$$s_{1}^{(0)}$から出る Stokes curve とは (少なくともこの図の範囲では) 交わらているため,
ず,を定める交点がなくなってしまうためである. この ,でむは “相手側の’i$v_{1}^{(2)}$$\hat{v}_{2}^{(2)}$$\mathrm{g}_{\backslash }-\backslash \#\mathit{3}^{\hat{\mathrm{r}}}\backslash$Stokes curve$\Gamma^{(2)}$$2(2)$の影響をうけた turning point であるといえる.

したがって, 交点から new Stokes curve を描き,turning point を求めるという方法では, 領域 , II という t。の “半近傍” でしか virtual turningを見$\backslash r\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$$\mathrm{I}$$1^{3\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\hat{v}_{2}^{(2)}}$

つけられないことがわかる,$\Gamma^{(2)}$上の点隠れた’) 状態になっている.

$t_{0j}t_{6},$ $t_{12}$はその境界にあたり, いわば “半分

計算の都合上図には描かれていないが, 領域 1, からの極限として考えればわかるように,から出る Stokes curve 上,より下方にあ$\mathrm{I}\bm{\mathrm{I}}$$v_{2}^{(0)}$ると考えられる .

$v_{2}^{(0)}$71のように, (考えている点の近傍において) ある一部分の領域でのみ実線のnew Stokes curv を定める virtual turning point として現れるような virtual turningを, 以下 napping virtual turning point と呼び, hat をつけて表すことにする.
またそれが現れる領域, 現れない領域をそれぞれ の awake region, sleeping regionと呼ぶ.
この$\hat{v}_{2}^{(2)}$$\prime \mathrm{e}$$13\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}v$$v$$Re7nark$ . 定義に戻ればわかるように virtual turning point の位置は (適当な領域で)の解析函数であるから, sleep ing region であっても napping virtual turning point
を の解析函数として考えれば,自体がなくなってしまうわけではない. 例えば.
から出る Stokes curve の問, “Stokesではから下に伸びる Stokes curve と”ではそれらから出る Stokes curve 上にあり,
上の点 $t=t_{8}$ ではの左側にあると考えられる. 切言の定理 2, 系 3 も参照.
ただしそこから出た Stokes curve が (ordered) crossing point がなくなったため実$t$$\hat{v}_{2}^{(2)}$$v_{2}^{(0)}$$s_{2}^{(1)}$$t_{7}$$t$$\mathrm{n}\mathrm{e}\iota\wedge^{\gamma}$$s_{2}^{(1)}$$t_{9},$$\mathrm{c}\iota \mathrm{l}\mathrm{r}\backslash r\mathrm{e}$$t_{10},$ $t_{11}$線にならず, ずっと点線のままであるから交点からたどる方法では見つけられないの
である.
だけでな
の前後での変化を観察するためには, 元々考えていたペアを加えた “turning point の三つ組’) (あturning point, それに na.l]ping
本のるいはそれらから出る
curve の束’}) として変化を追跡することが必要$s_{2}^{(1)},$$t=t_{2}$$\wedge(2)2$$\backslash ;\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$$\langle$$v_{2}^{(0)}$($\zeta 3$$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{o}1_{\mathrm{L}}^{r}.\mathrm{e}\mathrm{s}$なのである.

が図に現れないため, 実線の Stokes curve に関しては con一方, (7)(8) $(9)$ では
figuration の変化は観察されていない.
$\hat{v}_{2}^{(2)}$次に$s_{4\rangle}^{(2)}v_{4}^{(0)}$のペァ

右方へ出る Stokes curv

$l_{\sim}^{\sim!}\lambda\backslash -f$と$r\mathrm{e}$ping virtu al turning pomt
る.

$\hat{v}_{4}^{(1)}$の点$t_{0},$

に関しては$t_{4},$$t_{10}$では$\Gamma^{(1)}$$\hat{v}_{4}^{(1)}$

して上と同様の観察を行う (Fig. 5). この場合も$v_{1}^{(1)}$$\hat{v}_{4}^{(1)}$から出る Stokes curv$\prime \mathrm{e}$が存在し, $t=t_{2}$ でが awake region と sleep

は$3\mathrm{i}\mathrm{l}\urcorner[perp] \mathrm{g}$$v_{4}^{(0)}$$d_{5}^{(1)}$からとの交点から定められる napと結ばれていることがわか$s_{4}^{(2)}$region の境界に相当し, その上から出る Stokes curve 上$v_{4}^{(0)}$より左側に位置していると考えられる.
と
実は上で見た場合と同様, Fig .2(0.1)(0.2) に示されている他のペアが存
turning pointとに対しても, それぞれ対応する napping
在し, $t=t_{2}$ ではそれらがペアの片方の turn ing point と結ばれていることがわかる$v_{3}^{(1)}$$v_{5}^{(0)}$$\backslash \prime \mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$$v_{3}^{(0)},$$\hat{v}_{37}^{(2)}\hat{v}_{5}^{(1)}$$d_{5}^{(2)}$72(Fig. 2 参照. ただしは図の右方およそ $0.26-0.26\mathrm{i}$ の位置にあるため, 図には描かれていない).
以上, napping
turning point が 4 個見つけられ, これらをあわせるとing point の三つ組が 5個の turning point が退化に関係していることがわ$\hat{v}_{5}^{(1)}$$\mathrm{v}^{l}1\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}1$$\mathrm{t}\mathrm{U}\mathrm{l}\cdot \mathrm{n}-$$’\supset,\overline{\hat{\frac{\overline}{\mathrm{p}}}}\{\cdot 15$

かった.

このように, 非線型方程式の new Stokes curve を考える際には, 一方の Stokes curve上での退化に関係する turning point のペアだけではなく, それに相手側の Stokes cul..veとの “相互作用” から作り出される napping virtual
point を加えた ‘三つ組”
として変化を考えなければならない.
$\mathrm{f}$$\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{l}\cdot 1\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$

また napping virtual turning point

出る Stokes curv$\hat{?J}_{2}(2)$および$\hat{v}_{3}^{(2)}$の sleeping region は$v_{1}^{(2)}$がらの右下方向へ伸びている領域すなわち領域 III,
でありおよび(Fig. $6(1)$ ),の sleeping region はか ffl る Stokes curve がの右下方向へ伸びている領域すなわち領域 , III である (Fig. $6(2)$ ). いずれの napping
virtual turning point についても領域 III はその steeping region に含まれていることから, Fig. 2 に示した範囲でやはり実線の Stokes curv の configuration は変化して$r\mathrm{e}$が$\hat{v}_{4}^{(1)}$$s_{1}^{\langle 0)}$$\mathrm{I}\mathrm{V}$$\hat{v}_{5}^{(1)}$$v_{1}^{(1\}}$$t_{\mathit{2}}^{\mathrm{Y}}$$s_{1}^{(0)}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\prime \mathrm{e}$いないことがわかる.

Rema . 各 turning point の下付き添字は三つ組の番号を表し, 上付き添字は次の規則で g-\Gamma l づけられている (i) $\Gamma^{(j)}(j=1,2)$ 上で各三つ組の (0) と $(,j)$ が結ばれる;(ii) 上で (1) と (2) が結ぱれる. 乱立の定理 2, 系 3 も参照.
$rk$

$=7$

$\hat{\Gamma}$

特に $(NY)_{4}$ の Stokes curve の交点 t。では, (curve 上に並ぶことになる,$s_{1}^{(0)}$を含まない) 各三つ組が 1 本の Stokes

これまでに見てきた場合との大きな違いは, 真ん中のhinging turning point が virtual turning point であるという点である.
のように ordinary turning point が他の 2 つの turning point を
hinge している場合は, その近くを通る Stokes curv の進む方向が変わることによって, 非線型方程式の new Stol es curve 上 (virtual turning point から見て) 交点より
遠方では線型方程式の Stokes geometry に退化が起こり, 近くでは退化が起こらないという違いが生じていた ‘ これに対して virtual turning point が hinge している場合$P_{\mathrm{I}},$$P_{\mathrm{I}1^{-}}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}$$r\mathrm{e}$は, Stakes curve の進む方向が変わることはないが, その代わりここで調べたように

napping virtual turning point の存在によって, 書い換えればある領域で実線として現れていた Stokes curv が点線になることによって, 同様の違いが作り出されているのである. (ここでは ordinary
point が hinge しそいる箇所に注目してその近$\prime \mathrm{e}$$\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{l}\cdot \mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\dot{\mathrm{g}}$73

くでの退化の様子を観察したが) そこから遠く離れたところでの様子など, このような mechanism がここで調べた以外の場合にもすべて同様に働くかどうかはまだ確かめられていないが, 驚くべき mechanism と言えよう.
を ordinary turning point と同じように扱った
Remark. 例えば上の議論ではから出る Stokes curve と右下にあが, これはその左上にある double turning pointから出る Stokes curve の交点から定められたものでありる simple turning point
はそれぞれある vurtual turn上では(Fig. 7), (図には描かれていないが)ing point と結ばれている. これらのペアに対しても napping virtual turning pointが存在して三つ組が形成されていると予想されるが, 現時点ではまだ確認されて な$v_{3}^{(1)}$$d_{6}$$s_{7}$$\Gamma^{(1)}$$d_{6},$$s_{7}$$1_{\mathit{1}}.\mathrm{a}$い,の近傍で ( , Theorem 2.1] の状況で) simpie turning point とは元々また,結ばれていた double turning point であり, $(NY)_{4}$ の new Stokes curve の理論にお$t^{(1)}$$d_{6}$$[\mathrm{T}$いて何らかの役割を持っている可能性もある.

4$(NY)_{4}$ の

new Stokes curve

次に本節では, 前節で観察したような退化が起こる点が満たすべき条件について考察する. $l/+(j),(j)l/-(j=1,2)$ をそれぞれ T(ので重なる特性根とし,$I^{(j)}(t):= \frac{1}{2}l_{(j)}^{t}(\nu_{+}^{(j)(j)}-\mathrm{t}/-)dt$$(j=1,2)$ とおく ($\Gamma^{\langle j)}(j=1,2)$$\nu_{\pm}^{(j)}$のbranch はそれぞれ$\Gamma^{(j)}$(7)

上で $I^{(j)}(t)>0$ となるようにとる).

はそれぞれ ${\rm Im} I^{(j)}(t)=0$ で定められている.

詳しい証明はここでは省略するが, \mbox{\boldmath $\tau$}(のの近傍から Stokes geometry の変化を追跡の議論を繰り返し用いることにより,し$[\mathrm{S}, \S 6]$$I^{(1)}(t)$$=$$I^{(2)}(t)$$=$$\int_{s_{1}^{\langle 0)}}^{v_{1}^{(1)}}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx=\int_{s_{2}^{(1)}}^{v_{2}^{(0)}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx=\oint_{v_{3}^{\langle 1\rangle}}^{v_{3}^{(0)}}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx$(8)$\int_{s_{1}^{(0)}}^{v_{1}^{(2)}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx=\int_{s_{4}^{(2)}}^{v_{4}^{\langle 0)}}(\lambda_{4}-\lambda_{2})dx=\oint_{d_{5}^{(2)}}^{v_{5}^{(0)}}(\lambda_{1}-\lambda_{4})dx$(9)という関係式が成り立っていることがわかる. ただし 平面の cut は積分路にひっかからないように適当に入れ, 特性根の番号を定めておく.
$x$ -

74

このとき, ordinary Stokes curve 上にないけれども化が生じる点すなわち new Stokes curve 上の点は${\rm Im} I^{(3)}(t)=0,$$(L)_{4}$の Stokes geometry に退(10)$I^{(3)}.(t):=I^{(1)}(t)+I^{(2)}(t)= \oint_{v_{1}^{(1)}}^{v_{1}^{(2)}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$を満たすと考えられる. これは [KKNTI] における非線型方程式の new Stokes curveの定義の自然な拡張になっており (下の Remark 参照), 実際, Fig. 1(3) に示した はこの関係式を用いて描いたものである. New Stokes curve 上にありながら交点より$\hat{\Gamma}$

turning point

ではに近い領域にある点の Stokes geometry の退化は観察されないが, これも [KKNTI] [KKNT2] で議論された場合と同様である.
$Remarf_{\acute{\mathrm{u}}}$$\tau_{7}^{(1)}\tau^{(2)}$$t_{8}$. $I^{(3)}(\omega)=0$ となる点

$t=\omega$$(L)_{4}$が存在すれば, (10) は(1.1)$I^{(3)}(t)= \oint_{\omega}^{t}(l/-(+\iota/1)\{2)-)dt=f_{(d}^{t}(\nu_{+}^{(2)}-\nu_{-}^{(1)})dt$と書き換えられる ( $\nu_{+}^{(j)}+\nu_{-}^{(j)}=0,$$j=1,2$ に注意).

実際に線型方程式の場合([AKKSST]) と同様の方法でこのような を求めることができ, この場合は $\omega=0.0169+$となる. これは が “virtual turning point” にあたる点であることを示して
おり, [KKNT2] の定義の拡張と考えられる.
$\omega$$0.4211\mathrm{i}$$\omega$

次に線型方程式

6.1$(|1\mathrm{i})]$$(L)_{4}$のStokes geometry との関係を考える. 鍵となるのは [ , 命題$\mathrm{S}$を一般化した次の補題である:

補題 1,

3 つの turning point$a_{1}$, a2’$a_{3}$から出てそれぞれ $\mathrm{t}\}’\mathrm{p}\mathrm{e}2<3,3<1,1<2$ をもつ 3 本の Stokes

curve が右図のように交わり (不等号の向きがすべて逆の場合も同様である), それらが作る orderedcrossing point
は互いに十分近いとする.
$\mathrm{C}j(j=1,2,3)$交点から定まる virtual turning
point をとするとき,$c_{1},$$c_{2},$$c_{3}$$v_{j}$$\oint_{a_{1}}^{v_{1}}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx=\oint_{a_{2}}^{v_{2}}(\lambda_{1}-\lambda_{3\backslash })dx=\int_{a_{3}}^{v_{3}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$

(12)

75

が成り立つ.
証明.

$x_{0}$

を $c_{j}(j=1,2,3)$ の近傍の任意の点として$J(x_{0}):= \int_{a_{1}}^{x0}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx+\oint_{a\circ,\sim}^{x\mathrm{o}}(\lambda_{1}-\lambda_{3})dx^{1}+J_{\mathit{0}_{3}}^{x0}.(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$を考えると, $J(x_{0})$ l よ$J(c_{1})$$x_{\mathrm{Q}}$(13)によらないことがわかる. 一方$=$$\int_{a_{1}}^{\mathrm{c}_{1}}...(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx+J_{a_{2}}^{c_{1}}.(\lambda_{1}-\lambda_{3})dx+\oint_{a_{3}}^{c_{1}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$$=$$\int_{a_{1}}^{c_{1}}.(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx+\oint_{v_{1}}^{c_{1}}.(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx$$=$$l_{1}^{v_{1}}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx$(14)が成り立つ. 同様にして$J(c_{2})$$=$$\int_{a_{2}}^{c}.\underline{‘’}(\lambda_{1}-\lambda_{3})dx$$J(c_{3})$$=$$f_{a_{3}}^{1}c_{3}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$

(15)
(16)

もいえる. 以上により主張は示された.
補題 1 は一般の線型方程式に対して成り立つ有用な命題である.

$[\supset$$-\lambda^{r_{\mathrm{L}}}\not\in:\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}^{1_{\sqrt}1}\vee \mathrm{C}1_{\lrcorner}^{\backslash }\downarrow \text{下}$の定理を証明する.
定理 2.

t=t。の近傍において次の関係式が成り立つ;$I^{(3)}(t)$$=$$\oint_{v_{1}^{(1)}}^{v_{1}^{(^{\underline{9}})}}.(\lambda_{2}-/\backslash _{1})dx$(17)$\int_{s_{2}^{(\mathrm{z})}}^{\hat{v}_{)}^{(2)}}..(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx=f_{v_{3}^{(1)}}^{\overline{v}_{3}^{(2\rangle}}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx$(18)$\mathit{1}_{s_{4}^{(2)}}^{\dot{v}_{4}^{(1)}}.(\lambda_{4}-\lambda_{2})dx=\oint_{d_{r}^{(2)}}^{\dot{v}_{5}^{(1\rangle}}(\lambda_{1}-\lambda_{4})dxO^{\cdot}$

(19)

$=$

,

$=$

76

特に

$t$

が

$\hat{\Gamma}$

上にあるならば,$v_{1}^{(1)}$と$v_{1}^{(2)},$$s_{2}^{(1)}$と$\hat{v}_{2}^{(2)},$と$v_{3}^{(1)}$$\hat{v}_{3}^{(2)},$$s_{4}^{(2)}$と$\hat{v}_{4}^{(1)},$$d_{5}^{(2)}$と$\hat{v}_{5}^{(1)}$がそれぞれ $(L)_{4}$ の Stokes curve で結ばれている.

ただし各 napping turning point
は, その sleeping region では awal{e region から解析接続によって得られたものと解
釈する.
証明.

$v_{1}^{(2)},$$s_{2}^{(1)},$られている (Fig.
わかる.

同様に,

$v_{1}^{(1)},$

められている$v_{3}^{(1)}$$\mathrm{S}(1)$$s_{4}^{(2)},$(Fig.

から出る Stokes curve が作る各交点から$v_{1}^{(1)},\hat{v}_{2}^{(2)},\hat{v}_{3}^{(2)}$が定め) と考えて補題 1 を適用すると (17), (18) の各辺が等しいことが$d_{5}^{(2)}$力l$c_{\mathit{2}}$$8(2);d_{5}^{(2)}$$\mathrm{d}^{\lrcorner}|$る Stokes

curve が作る各$y_{\grave{\vee}}t\iota_{\backslash }$点から$v_{1}^{(2)},\hat{v}_{4}^{([perp])},\hat{v}_{5}^{(1)}$が定の右側にある交点に注目す 6) と考えて補題 1 を適用す

ると (17), (19) の各辺が等しいことがわかる.

口系 3.
$t=$ あの近傍において以下の(i)(ii) が成り立つ:

(i)

.

(20)

$I^{\{2)}(t)= \oint_{v_{2}^{(0)}}^{\hat{v}_{2}^{(_{\vee}^{\triangleleft}\}}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx=\oint_{v_{3}^{(0)}}^{\dot{v}_{3}^{(2)}}(/\backslash _{3}-\lambda_{1})dx$

上にあるならば,で結ばれている.
(ii)

特に

$t$

が

$\Gamma^{(2)}$$v_{2}^{(0)}$と.

$2(2)$,$v_{3}^{(0)}$と$” 3(2)$がそれぞれ $(L)_{4}$ の Stokes curve

.

(21)

$I^{(1)}(t)= \int_{v_{4}^{(0)}}^{\prime\theta_{4}^{(1)}}(\lambda_{4}-\lambda_{2})dx=\oint_{v_{6}^{(0)}}^{\dot{v}_{6}^{\{1)}}(\lambda_{1}-\lambda_{4})dx$

特に

$t$

が

$\Gamma^{(1)}$

上にあるならば,$v_{4}^{(0)}$と$\hat{v}_{4}^{(1)},$$v_{5}^{(0)}$と$” 5(1$} がそれぞれ $(L)_{4}$ ので結ばれている.
証明. $I^{(3)}(t)=I^{(1)}(t)+I^{\zeta 2)}(t)$ にら (21) が得られる$\backslash \grave{l}\grave{\mathrm{f}}r\cdot\backslash \mathrm{g}_{\backslash }^{\wedge}$

すると, (8) (17)$(1.\mathrm{S})$,Stakes$\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\backslash ;\mathrm{e}$から (20) が, (9) (17) $(19)$ か口

定理 2 および系 3 の関係式は, 前節での観察を正当化し, napping

virtualpoint が解析的には通常の (virtual) turning point と同様の確かな実在であることを示しているだけでな$\langle$,$\Gamma^{(1)}$と$\Gamma^{(2)}$の交点 $t=t_{0}$ の近傍での$(L)_{4}$$\mathrm{t}\iota \mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$の Stakes geometry

77

がそれらの Stokes curve を定める積分 $I^{(1)}(t),$ $I^{(2)}(t)$ およびこれらを加えた$I^{\langle 3\rangle}(t)$(これは new Stokes curve を定める積分である) という量によって統制されて るの Stokes geomeことを示すものでもある. 非線型方程式 $(NY)_{4}$ と線型方程式
try の関係を論じる上で非常に重要な, しかも非常に美しい関係式といえよう.
$1_{\sqrt}\backslash$$\hat{\Gamma}$$(L)_{4}$(11) から new Stokes curve は第 2 種であると考えられるが, 何らかの意味で “double turning point どうしが結ばれる” という解釈ができるかどうかはよturning上での退化を利用して ‘double 相当の”くわかっていない.
力とpcint のような概念を考えれば, {(double 相当の)’ virtual turning point
結ばれる, というのが自然のようにも思えるが, そのような概念が一般に定義できる$Remark’$ .

$\hat{\Gamma}$$\mathrm{f}$$\backslash \prime \mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$$\Gamma^{(1)}\Gamma^{(2)}$}$\grave{\grave{\mathrm{a}}}$$v_{1}^{\langle 2)}$$v_{1}^{(1)}$の力 ,$\mathrm{a}$$s_{2}^{(1)}$と$\hat{v}_{2}^{(1)}$のような組み合わせの場合はどう解釈するのか等問題は多い.

の場合は Lax-adjascent な交点をもう 1
また, [KKNT2] で議論された本の new Stokes curve が点線のまま通っているが, それに対応する new Stokes curve$P_{\mathrm{I}}- \mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}]^{\gamma}$がこの場合に存在するか, 存在するとしてどのような意味を持っているかもわかっていない.

第 1 種 Stokes curve と第 2 種 Stokes curve の交点 (1)5

次に第 1 種 Stokes curve と第 2 種 Stokes curve の交点について調べる. Lax pairのサイズが 2 のときは hinging turning point が double であるため, Lax-adjacent の場合とそうでない場合が存在した.
まず本節では Lax-adjascent と考えられる場合について考察する.
から出た Stokes curve
Fig. 9 は第 1 種 turning point$\tau^{\mathrm{I}}=-0.5791+\mathrm{O}.7330\mathrm{i}$と第 2 種 turning point$\tau^{\mathrm{I}\mathrm{I}}=-1.493\mathrm{S}+2.6774\mathrm{i}$から出た Stokes curve

点 $t=t_{0}=-0.5\mathrm{S}14+0.5081\mathrm{i}$ の近傍の図である.
$\alpha_{0}=1-0.39i,$ $\alpha_{1}=0.4-0.7\mathrm{i},$ $\alpha_{2}=-0.52-0.12\mathrm{i},$$\Gamma^{(2)}$$\Gamma^{(1)}$の交

ここで方程式のパラメータ (ま$\alpha_{3}=-1.05+0.25\mathrm{i}$ととって$\uparrow\vee\backslash$る.

ここでは doubleの Stokes curve の図である,
Fig. 10(0) は交点 t。におけると結ば ており, それらをおよびが virtual turning point
turning pomt
結んでいる 2 本の Stokes curve は隣り合っている (Fig. 11(0)). 従ってこれまでに見てきた Lax-adjascent の場合と同様, 実線の new Stokes curv が伸びる場合ではない$(L)_{4}$$d_{1}^{(0)}$$v_{1}^{(1)}$$v_{1}^{(2)}$$\lambda’\llcorner$$\mathrm{e}$かと予想される.

78

そこで前節と同様, まず領域 I におけるの$(L)_{4}$る.

Stokes geollletry の変化を調べてみFig. 11 (1) (3) ではがらがら fficurve とStokes curve の位置関係が入れ替わっており, 実際その間の点 ではとが結ばれている、
また, Fig. 12 には他のいくつかの turning point も含めた退化の様子を示しているが ( $-0.4-0.2\mathrm{i}$ 付近にある double turning pointから出た Stokes curve も図に描かれている), 前節と同様, いくつかの napping virtual turning ppint が現れてそれらがで他の turning point と結ばれていることがわがる. 例えばから出る
Stokes curve とから出る Stokes curve の交点からがってぃるが, これが$t=t_{2}$ でと結ばれている.
はから出る Stokes curv がから左に伸
びる Stokes curve の上方にある領域すなわち領域],
でのみ図に現れ (awake region), 領域 , III では現れていない (sleeping region). その境界となる Stokes curv
上ではからStolees curve 上より左側に 1 立置している.
から出る Stokes curve と同様に,から出る Stokes curve の交点から
na13virtual tu rning pointが 」まり, $t=t_{2}$ でと結ばれている.
の awakeregion, sleeping region はそれぞれ領域, 領域 III,である
なお,と三つ組をなしている napping virtual turning point
および
,
と三つ組
をなしている
turning point
は, それぞれおよそ$-0.25+0.\mathrm{S}1i$の位置にあるため図には描かれていない.
$v_{1}^{(1)}$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\nearrow\circ \mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}$$v_{1}^{(2)}$$7_{\partial}$$v_{1}^{(1\rangle}$$t_{2}$$v_{1}^{(2)}$$d_{4}^{(2)}$$t_{2}$$v_{1}^{(2)}$$s_{3}^{(1)}$$\hat{v}_{2}^{(2)}$$s_{2}^{(1)}$$\hat{v}_{2}^{(2)}$$\text{定ま}$$v_{1}^{(2)}$$d_{1}^{\{0)}$$\prime \mathrm{e}$$\mathrm{I}\mathrm{V}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathrm{e}$$\Gamma^{(2)}$$v_{2}^{(0)}$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}^{\lrcorner}\nearrow \mathrm{a}$$v_{2}^{(0)}$$v_{1}^{\langle 1)}$$s_{6}^{(2)}$$\hat{v}_{4}^{(1)}$$\mathrm{p}’ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$$\acute{\hat{\pi}}$$d_{4}^{(2)}$$\mathrm{I},$$\hat{\{J}_{4}(1)$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\hat{v}_{3}^{(2)}$$\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{i}_{1\mathrm{l}}\mathrm{g}\backslash \prime \mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$$s_{3}^{(1)}.,$$\mathrm{I}\mathrm{V}$$s_{5}^{(2)}$$\hat{v}_{5}^{(1)}$$v_{3}^{(0)}$$v_{5}^{(0)}$$2_{4}37+0.7\mathrm{S}\mathrm{i}$}この場合, $\Gamma^{(j)}(j=1,2)$ がそれぞれ ${\rm Im} I^{(j)}(t)=0$ ,$I^{(1)}(t)$$=$$\frac{1}{2}\int_{\tau^{1}}^{t}(\iota_{+}^{(1)(1)}/-\iota/-)dt$$I^{(2)}(t)$$=$$\alpha \mathit{1}_{\tau^{\mathrm{I}\mathrm{I}}}^{t}(\nu_{+}-(2)l/+)(1)dt=-\oint_{\tau^{1}}^{t},$(22)$(ly^{(1)}--\nu_{-}^{(2)})dt$(23)で定められているとすれば,$I^{(1)}(t)$$=$$\int_{d_{1}^{\{0\}}}^{v_{1}^{(1)}}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx$$I^{(2)}(t)$$=$$\oint_{d_{1}^{\{0)}}^{v_{1}^{(2)}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})clx$‘

(24)
(25)

7\S

などが成り立つので,InlI$(t)=0,$(26)$I^{(3)}(t):=I^{(1)}(t)+I^{(2)}(t)= \oint_{v_{1}^{\langle 1)}}^{v_{1}^{(2)}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$を定める式となる. 前小節と同様, $I^{(3)}(\omega)=0$ となる点
tual turning 13Oillt”) を導入すればが new Stokes curv$\omega$$\mathrm{e}$(“$\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}-$(27)$I^{(3)}(t)= \frac{1}{2}.(_{lJ}^{(2)}+-\nu_{-}^{(2)})dtd\acute{\omega}t$と表すことができ, この場合は $\omega\sim-0.91+1.22\mathrm{i}$ となる.
またこの場合も, 前節と同様の napping virtual turning point が関係した積分関係

式を導くことができる.
定理 4.
$t=t_{0}$の近傍において次の関係式が成り立つ:$I^{(3)}(t)$

$=$

(28)

$J_{v_{1}^{(1)}}^{v_{1}^{\langle 2)}}.(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$

)
$=$

$=$

$\mathit{1}_{d_{4}^{(2)}}^{(\lambda_{4}-\lambda_{2})dx=\oint_{s_{r}^{\langle_{\sim})}}^{\dot{v}_{5}^{(1)}}(\lambda_{1}-\lambda_{4})dx}.\dot{v}_{4}^{(1)}\delta’$とと特に が 上にあるならば,の Stokes curve で結ばれている.
がそれぞれ$v_{1}^{(1)}$$\hat{\Gamma}$$v_{1}^{(2)},$$s_{2}^{(1)}$$\hat{v}_{2}^{(2)},$$t$$(L)_{4}$は, その sleeping region
釈する.

(29)

$\int_{s_{2}^{(_{\tilde{1}}\}}}^{\hat{v}_{2}^{(2\rangle}}.(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx=\oint_{s_{3}^{(1)}}^{\hat{U}_{3}}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx\{2$$\tilde{\iota^{\backslash }\backslash }t\mathrm{h}\mathrm{a}\backslash \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{e}$$s_{3}^{(1)}$と$\hat{v}_{3}^{(2)},$と$d_{4}^{(2)}$

(30)

.

$\hat{v}_{4}^{(1)},$$s_{5}^{(^{\underline{\mathrm{Q}}})}$と$\hat{v}_{5}^{(1)}$ただし各 napping turning point

region から解析接続によって得られたものと解系 5.
$t=t_{0}$の近傍において以下の (i)(ii) が成り立つ:(i)$I^{(2)}(t)= \int_{v_{)}^{(0)}}^{\dot{v}_{2}^{\langle 2)}}.(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx=\oint_{v_{3}^{(0\}}}^{\overline{\tau}^{(2)}}J_{3}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx\sim$

.

(31)

80

特に

$t$

が

上にあるならば,$\Gamma^{(2)}$$v_{2}^{(0)}$と$\hat{v}_{21}^{(2)},$$v_{3}^{(0)}$と$\hat{v}_{3}^{(2)}$.

$-C^{\backslash \backslash },\^{\pm}\grave{\tau}[]l’\mathrm{h}^{\backslash }\backslash \mathit{4}1\text{て}\mathrm{A}\tau \text{る}$がそれぞれ $(L)_{4}$ の Stokes curve(ii)$I^{(1)}(t)= \oint_{v_{4}^{\langle 0)}}^{\dot{v}_{4}^{(1)}}(\lambda_{4}-\lambda_{2})dx=\oint_{v_{6}^{(0)}}^{\hat{v}_{6}^{(1)}}(\lambda_{1}-\lambda_{4})dx$

特に

$t$

が

$\Gamma^{(1)}$

上にあるならば,$v_{4}^{(0)}$と$\hat{v}_{4}^{(1)},$$v_{5}^{(0)}$

と

.

(32)

がそれぞれ $(L)_{4}$ の Stokes curve$\hat{v}_{5}^{(1)}$で結ばれている.
証明は定理 2, 系 3 と全く同様なので省略する.

6

第 1 種 Stokes ciirve と第 2 種 Stokes curve の交点 (2)
最後に non-Lax-adjascent の場合について簡単に述べておく,[よ前小節と同じものとし, 本節で扱う 平面上の点などには tilde をつけて表す. Fig. 13 のように,の隣の” Stokes curveが-0.9776+$\tau^{\mathrm{I}},$$\tau^{1\mathrm{I}}$$t$ -“ $\Gamma^{(1)}$$1.3343i$ で$\Gamma^{(2)}$らは Fig.

$\tilde{\Gamma}^{(1)}$$t=\tilde{t}_{0}=$(これは前節で扱ったものと同じ曲線である) と交わっているが, こち

151 こ示すように non-Lax-adjascent と考えられる (ただしから上ヘ (申びる Stokes curve とがら右下へ伸びる Stokes curve’ の交点がら定まり fJ。でと結ばれる virtual turning point
は, 右方非常に遠く, およそ 179+0 $.64i$ の位置$s_{2}^{(1)}$$\mathrm{s}_{3}^{1\rangle}$$cl_{1}^{(0)}$$v_{1}^{(1)}$にあるため図には描かれていない).

前節と整合するように特性根の番号付けを定めると,$\tilde{\Gamma}^{(1)}$

は

(3.3)

$\mathrm{I}_{\mathrm{l}}\mathrm{n}\tilde{I}^{(1)}(t)=0,\tilde{I}^{(1)}(t)=\frac{1}{2}\oint_{\tau^{\mathrm{I}}}^{t}(\iota_{-}^{(1)}/-\nu_{+}^{(1)})dt$

で定められる. このとき

(34)$\mathrm{I}_{\mathrm{l}}\mathrm{n}\tilde{I}^{(3)}(t)=0,\tilde{I}^{(3)}(t)|.=\tilde{I}^{(1)}(t)-I^{(2)}(t)$で定められる曲線$\tilde{\Gamma}\wedge$はnew Stokes curve の 1 つの ( 」{ となる輿 ,$|\not\equiv$$.\cdot \mathfrak{F}$$\beta_{\vec{\mathcal{T}}\backslash }^{\prime\{}$$\tilde{I}^{(3)}(\tilde{\omega})=0\text{て^{}\backslash }\backslash \tilde{\omega}$を定義すると$\tilde{I}^{(3)}(t)=\frac{1}{2}\int_{\tilde{\omega}}^{t}(\nu_{-}^{(2)}-\nu_{+}^{(_{\sim}^{\eta})})dt$

(35)

81

と一致しているは前小節のとなり, 数値計算によればこの (自然に求められる)ようである (Fig. 16).
この場合はの近傍に注目すれば, [KKNTI] で議論された場合と同様, “new Stokes$\tilde{\omega}$$\omega$$d_{1}^{(0)}$$\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}’’.\backslash \tilde{\Gamma}\wedge$

上でも特に変わったことは起こっていない.

しかし) 実は Fig. 17 に示した部分にいくつか ordered crossing point が存在し, (1)と (3) で (図には描かれていないが) new Stokes curve の位置関係が入れ替わる箇所
このため (2) の前後で Stokes 係数に不連続な変化が生じていがあると考えられる.
る (従って$t_{2}$

で $(NY)_{4}$ に Stokes 現象が起こっている) 可能性がある.

ここで $(NY)_{4}$に Stokes 現象が起きるかどうかを明らかにするためには $(L)_{4}$ の各 Stokes
での Stokes 係数,

curv

特にそれらが実線であるか点線であるかの区別をより詳し$\langle$$r\mathrm{e}$上調べる必要があり, 現時点ではよくわかっていない,

参考文献[AKKSST] T. Aoki, T. Kaw , T. Koike, S. Sasaki, A. Shudo and Y. Takei, A
background story and some know-how of virtual turning points, RIMS
Preprint No.1486, 2005.
$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{i}$[KKNTI]

T. Kaw , T. Koike, Y. Nishikawa and Y. Takei, On the Stakes geometry of higher order Painleve equations, RIMS Preprint No.1443,$\mathrm{a}\mathrm{i}$2004.
[I く I く[N]$\mathrm{N}\mathrm{T}2$]

T. Kawai, T. Koike, Y. Nishikawa and Y. Takei, On the complete
description of the Stokes geometry for the first Painleve hierarchy, 数理解析研究所講究録 1397 “Microlical Analysis and Asymptotic Analysis”,
京都大学数理解析研究所, 2004, 74-101.
hierarchy の tWKB 解析, 数理解析研究所講究録 1316西川享宏,
「高階 Painleve 方程式の Stokes 図形の西川現象」, 京都大学数理解析研$P_{\mathrm{I}\mathrm{I}}-P_{\mathrm{I}\mathrm{V}}$究所, 2003, 19-103.

[S]

佐々木俊介, 高階線型常微分方程式の変形における virtual turning pointの役割について, Master thesis, 2005.

82

[T]

Y. Takei, Toward the Exact
Analysis for Higher-Order Painleve’Equations The Case of Noumi-Yamacia Systems -, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 40(2004), 709-730.
$\mathrm{W}\mathrm{K}\mathrm{B}$

-

83

(1)

(2)

(3)

Figure 1 (t-plane)

84

(0.2)

Figure $2(0)$Figure $3(0)$Figure $4(0)$85Figure 2

86

Figure 2

87(3)$\backslash$

$(4)$

’

$\}||$}$|!||$「$4532|$$-0-0-0-0.\cdot.\cdot$$-0.4-0.3-02-0,5-06\ovalbox{\tt\small REJECT}$$|$$-\ovalbox{\tt\small REJECT}_{-}^{-0.2}-0.6-0.50.4-0.3-0.2-0.1-0.\cdot 4-0.5-0.3\ovalbox{\tt\small REJECT}-06$-0. 6-0. 6 -0. 5 -0. 4 -0. 3 -0. 2 -0. 1

Figure 3

88

Figure 3

88

Figure 4

90

Figure 4

91

Figure 5

92

Figure 5

83

Figure 5$\Lambda$

(1)

(

蛸

$V_{2_{-}}$

,

へ (9

占

(2)

Figure 6 (t-plane)$\wp_{\zeta}^{\mathrm{t}\prime)}\mathrm{A}\}f\mathrm{V}_{\mathit{9}}^{11)}\wedge$

94

Figure 7

Figure 8

85

(2)

(3)

Figure 9 (t-plane)

86

Figure 10(0)Figure 11(0)Figure 12(0)97Figure 10

98

(8)

(11)

(12)

Figure 10

99

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Figure 11

100

(7)

(8)

(9)

Figure 11

101

(1)

(2)

(3)

(4)

(6)

Figure 12

102

(7)

(8)

(9)

Figure 12

103

(2)

(3)

Figure 13 (t-plane)

104

Figure 14(0)(1)

Figure 15(0)(2)

Figure 14

105

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Figure 14

106

(9)

Figure 14(1)

Figure 15

107

(3)

(4)

(5)

(7)

(8)

Figure 15

108

(9)

Figure 15

Figure 16 (t-plane)

109

(1)

(2)

(3)

Figure 17