数理解析研究所講究録1095 巻 1999 年 52-63

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BASIC FORCING NOTIONS IN$P_{\kappa}\lambda$

YOSHIHIRO ABE$(7^{\dot{v}\overline{\mathrm{J}}}\star_{\mathrm{b}\prime 1^{\mathrm{y}}}^{7}..

\dot{\mathrm{p}}_{\kappa\not\supset} \prime F\wedge)$($f_{\Gamma^{1\partial\xi|}},\backslash l\{$処工)に non-reflecting stationary set をABSTRACT. この講演ではweakly normla イデアルの [1]
金森によるする可能性を探る.
force
への–般化についても触れる.
よりも自然だと思われる$P_{\kappa}\lambda$$P_{\kappa}\lambda$

1. 用語と基本的な事項
全体を通して は正則な非可算基数で は 以上の基数とする. こを表す.
で集合の組みに対して,のような$P_{\kappa_{x}}x=\{s\subset x:|s|<\kappa_{x}\}$ とする.
各について,の部分集合 $X$ が全ての
を表す.
で
また,
を満たすとき, $X$ は unbounded であるとに対して $X$ 口: $X$ は unbounded でない} と定義する.
言い,{の拡大であると仮定す
上のイデアルはすべて伽 e, つまり,
る.
上のフィルター $F$ とイデアル は $I=\{P_{\kappa}\lambda-X : X\in F\}$で表と dual なフィルターをのとき, 互いに dual であると言う.
を表す.
で集合
し,
$y\precz$ と略記することがある.
であることを時々,$\lambda$$\kappa$$\kappa$$\{x \subset\lambda :$P_{\kappa}\lambda$$(\kappa, \lambda)$|x|<\kappa\}$$\kappa_{x}=|x\cap\kappa|,$$x\in P_{\kappa}\lambda$$\{y\in P_{\kappa}\lambda :$\hat{x,}$x\subset y\}$$P_{\kappa}\lambda$$\hat{x}\neq\emptyset$$x\in P_{\kappa}\lambda$$I_{\kappa’,\lambda}=$$X\subset P\hslash\lambda$$I_{\kappa,\lambda}$$P_{\kappa}\lambda$$I$$P_{\kappa}\lambda$$I^{*}$$I$$I^{+}$$\{X\subset P_{\kappa}\lambda :X\not\in I\}$$y\in P_{\kappa}.z$について定義されてきた概念は全て、 が正則で非可が unboundedにも自然に定められる. 例えば,
算ならば
$z\in
X$
なものが存在することで
で
に対し
とは任意の
で unbounded でない} を表
は
は集合 {
あり,
なイデアルである.
上の-complete
し, これは
ここまで$P_{\kappa}\lambda$$\kappa_{x}$$X\subset P_{\kappa oe}x$$P_{\kappa_{x}}x$$y\subset z$$y\in P_{\kappa_{x}}x$$X\subset P_{\kappa_{x}}x|X$$I_{\kappa_{x},x}$$P_{\kappa_{x}}x$$P_{\kappa_{x}}x$$\kappa_{x}$2. FORCING A NONREFLECTING STATIONARY SET
Nonreflecting stationary set を正則な非可算基数に付け加えるのは,基本的かつ容易なテクニックでありながら, supercompactness を壊すなどの重要な応用がある. 例えば [2] を見て下さい. このテクニックをに–般化しようとすると, shooting club forcing に見られるように,完全な–般化を得るには, ある種の困難は避けられない. ここでは [4]での Gitik のアイディアを使う.

$P_{\kappa}\lambda$

Date: November 26, 1998.

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YOSHIHIRO ABE

定理 2.1. $V\subset W$ を同じ順序数を持つ 2 つの $ZFC$ のモデルとし,$(\kappa^{+})^{V}--(\kappa^{+})^{W}fC\in W$ は
V-inacces3ibles からなる の cZ 励 set で,は $W$ で伽 accsessible, $T=\{x\in P_{\kappa}\kappa^{+}$ : $V\models"|x|$ は伽 acce3sible
でない “} とする. このとき, 基数を保存するでnotion”$S\cap$で $x\in T$ ならばst 襯。na 瑠な
履 x は stationary でな$\kappa$$\kappa$$\mathrm{P}\in W$$f_{\text{。}rci}ng$$S\subset\kappa$$|\vdash_{\mathrm{P}}$い “ が成り立つようなものが存在する.

証明. $W$ において forcing notion$\mathrm{P}=\{p\subset P_{\kappa}\kappa^{+}:$$|p|<\kappa$$\mathrm{P}$を次のように定義する ;で, どんな $x\in T$ に対しても p\cap 」曳 x は

stationary ではない}.
$p\leq_{\mathrm{P}}ql\mathrm{h}$$P\supset q$

で, $x\in p-q$ かっ $y\in q$ ならば$x\not\subset y$であることとする.
は. を満たし-distributive であり, したがって cardinalを保存することを示していく.
最初に凶は濃度の anti chain として矛盾を導く. 全ての $p\in A$
に対し $|\cup p|<\kappa$ では inaccessible だから, {UP : $p\in A$} はをであるとしてよい. $|P(r)|<\kappa$ だから, $p,$ $q\in A$
root とする
で $P\cap P(r)=q\cap P(r)$ であるものが見つかる. $s=p\cup q$ と置く.
オ $\in s-p,$ $u\in p$ でである. 従と仮定すると, $t\in q$ かつって $t\subset\cup p\cap\cup q=r$ であるが, これは雄に矛盾する. そこで, このような とは存在しないことになる. $x\in T$ を選ぶ.と q\cap P 窟は両方とも stationary でないから, s\cap P\mbox{\boldmath $\kappa$}xx=(p\cap 」曳の \cup (q\cap Pkx のも stationary ではない. 従って,のはとより強い conditionである. これは $A$ が anti chaill であることに反するから,
は.
を満たすことが示された.
次にの open dense な部分集合
は
に対し
で, 各
だとする. 任意の condition をとる.
でより強いものを見つければ-distributive であることが言える.
十分大きな
を選び
$\kappa^{+}-\mathrm{c}.\mathrm{C}$$\mathrm{P}$$<\kappa$$\kappa^{+}$$\kappa$$r$$\Delta_{-\mathrm{S}}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}$$t\subset u\subset\cup p$$t\underline{\subset}u$

$P$

$t$

$u$

$p\cap P_{\kappa_{x}}x$$\mathrm{P}$

$s$

$P$

$q$

$\kappa^{+}-\mathrm{C}.\mathrm{c}$$\mathrm{P}$$\delta<\kappa$$\alpha<\delta$$D_{\alpha}$$\mathrm{P}$$q \in\bigcap_{\alpha<\delta}D_{\alpha}$

$P$

$P$

$<\kappa$$\lambda$$\mathcal{B}=\langle H(\lambda), \in, \kappa, \kappa^{+}, P_{\hslash}\kappa C, \delta,\mathrm{p}|\vdash, \langle+,,D_{\alpha}|\alpha<\delta\rangle,p\rangle$とする.

$\mathcal{M}\prec B$

ものが存在する.

で |洞| $=\kappa,$$\kappa$から廻

elementary submodel$\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{の}$$\mathcal{M}\cap\kappa^{+}\in\kappa^{+},$$\cap\kappa^{+}$$<\kappa(\mathcal{M}\cap\kappa^{+})\subset$

珂であるへの全単射 $g\in V$ を固定する.

increasing continuous chain$\mathcal{M}$の$\langle \mathcal{M}_{\xi}|\xi<\kappa\rangle \text{て^{}\mathrm{e}}$かっ, 全ての $\xi<\kappa$ について,が成り立つようなものを構成できる.
$C$ のclosedな部分集合 $E$ で, 各 $\xi\in E$ に対し $g^{J/}\xi=$$|\xi|=\xi,$ $g”\xi\cap\kappa=\xi=\mathcal{M}\xi\cap\kappa$ となるものが存在する.
ここで, 各 $\xi\in E$ についてとなっていることに注意する. もし $\xi\in E$ でく ” であるならば,$\alpha+1\subset \mathcal{M}0$$|\mathcal{M}_{\xi}|<\kappa,$$\xi \mathcal{M}_{\xi}\subset \mathcal{M}_{\xi+1}$$g”\xi\subset \mathcal{M}_{\xi}$$\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{b}_{\mathrm{o}\mathrm{t}}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{d}$$\mathcal{M}_{\xi}\cap\kappa^{+},$$\mathcal{M}_{\xi}\cap\kappa^{+}\in P_{\kappa}\kappa^{+}\cap \mathcal{M}\xi+1$$q\in \mathrm{P}\cap \mathcal{M}_{\xi}$$\mathcal{M}_{\xi}\models//|q|$$\kappa$

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BASIC FORCING NOTIONS IN$P_{\kappa}\lambda$となる $\eta<\xi$ が存在し,から,である. 従ってとなる. 同様にしてであることも示される. 実際, 全ての $x\in q$ に対しである..
を $E$ の increasing
enumeration とする.
上で述べた注意を使って condition 達の decreasing sequence
と全ての
を, 各
に対し
となってい
るように, 帰納的に定義して行く.
より
で
だから,
なものがある.
と定義する. $V\models"$は”だから, $p0$ は condition である. 前の注意から$q=f^{;/_{\eta}}$$f\in \mathcal{M}_{\xi}$$q\subset \mathcal{M}_{\xi}$$q\subset P(\mathcal{M}_{\xi^{\cap}}\kappa^{+})$$x\subseteq \mathcal{M}_{\xi}\cap\kappa^{+}$$\langle\xi_{\alpha}|\alpha\leq\delta\rangle$$\langle p_{\xi_{\alpha}}|\alpha\leq$$\alpha<\delta$$\delta\rangle$$\beta<\alpha$$P$。

$\alpha+1\subset \mathcal{M}_{0}\subset \mathcal{M}_{\xi_{0}}$$\in \mathcal{M}_{\xi_{\alpha}+1}\cap D_{\beta}$$D_{0}\in \mathcal{M}_{\xi_{0}}$$q_{0}\leq p$$q_{0}\in \mathcal{M}_{\xi_{0^{\cap D}}0}$$P\mathrm{o}=q0\cup\{\mathcal{M}_{\xi\text{。}}\cap\kappa^{+}\}$$|\mathcal{M}_{\xi_{0}}|=\xi 0$$\mathrm{i}_{\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{c}\mathrm{e}}\mathrm{s}\mathrm{S}^{\tau}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$$P\mathrm{o}\in \mathcal{M}_{\xi_{\text{。}}}+1$である.

$\alpha=\beta+1$で$p_{\beta}$$\beta\in\xi_{\alpha}=\mathcal{M}\xi\alpha^{\cap}\kappa$が定義されたとする.

より

で,$p_{\beta}\in \mathcal{M}_{\xi_{\beta}+1}\subset \mathcal{M}_{\xi_{\alpha}}$D\beta \in M\xi 。である, 従って$q_{\alpha}\in \mathcal{M}_{\xi_{\alpha^{\cap}}}D\rho$

でであるものを見つけることができる.
と定義すると, まえと同じく, 目的にかなった condition になっている.
今度はは 以下の limit ordinal で全てのに対してが定義されたと仮定する.
と定義する.
各
について
かつ
だから,
$q_{\alpha}\leq p\rho$$p_{\alpha}=q_{\alpha}\cup\{\mathcal{M}_{\xi_{\alpha}}\cap\kappa^{+}\}$$\alpha$$\delta$$\beta<\alpha$$p\rho$$p_{\alpha}= \bigcup_{\beta<\alpha}p_{\beta}$$\beta<\alpha$$\{p_{\beta} :る.

$\mathcal{M}_{\xi_{\beta}+1}\cap\kappa^{+}$。

は $P\beta+1$の最大元だから,$x\in T$ で $p_{\alpha}\cap P\kappa_{x}x$

だから

いる.

ここで

$V\models$

”

従って

。

(

$\mathcal{M}_{\xi_{\beta}}$

口$\kappa^{+}$)$=$

は $V$ で inaccessible であが stationary であると仮定してみる. 明らかに”であり, $(|x|)^{V}<\xi_{\alpha}$ になってである. $V\models$ ”
は$|x|\leq|\mathcal{M}_{\xi}$$\cap\kappa^{+}|$。

$x \subset \mathcal{M}_{\alpha}\cap\kappa^{+}=g’’\xi_{a}=\bigcup_{\zeta<\xi_{\alpha}}g^{\prime J}\zeta$

正則” だから, あるとな$p_{\alpha}\in \mathcal{M}_{\xi_{\alpha}+1}$$\cup p_{\alpha}=\bigcup_{\beta<\alpha}$$\cap\kappa^{+}|=\xi_{\alpha}$$|\mathcal{M}_{\xi}$

ることを思い出そう.
$x\subset\cup p_{\alpha}$である.

$\subset \mathcal{M}_{\xi_{\alpha}+1}$である. ここで$\cap\kappa^{+}$$\mathcal{M}_{\xi}$$\xi_{\beta}+1\leq\xi_{\beta+1}<\xi_{\alpha}$$P\rho\in \mathcal{M}_{\xi_{\beta}+1}$\beta<\alpha\}\in^{\alpha}\mathcal{M}_{\xi_{\alpha}}$$\zeta<\xi_{\alpha}$$x\subseteq g^{\prime/}\xi_{\gamma}=\mathcal{M}_{\xi_{\gamma}}\cap\kappa^{+}\in p_{\gamma}$

に対して
を満たす

をとると,

$x\subset g’’\zeta$$\gamma<\alpha$$\xi_{\alpha}$になっている. 従って,が存在する.

かっ, あるに対して $y\in p_{\mu}$ である.
が分かる.
より,
従って
であることから 。
は
で,
ではない
.
stationa-Iy
ゆえに, p。は condition での元である.
は nonreflecting stationary set を force することを示す。
最後に$G$’ を $W$ 上
IP-generic, $S=\cup G$ とする. 簡単な density argument により $S$ はで unbounded なことが示される. $W[G]$ において $S$ はの stationary な部分集合で, どの $T$ の元においても reflect ,$y\in p_{\alpha}\cap P_{\kappa_{x}^{X}}$$y\subset x\subseteq \mathcal{M}_{\xi_{\gamma}}\cap\kappa^{+}\in p_{\gamma}$$\mu\in(\gamma, \alpha)$$p_{\mu}\leq p_{\gamma}$$p_{\alpha}\cap P_{\kappa_{x}P\gamma}x=\cap P_{\hslash}Xx$$y\in p_{\gamma}$$p_{\gamma}\in \mathrm{P}$$P$$\mathrm{n}P_{\kappa^{X}}x$$\bigcap_{\beta<\alpha}D_{\beta}$$\mathrm{P}$$P_{\kappa}\kappa^{+}$$P_{\kappa}\kappa^{+}$$x$ないことを示そう.

$\mathrm{L}$であることに注意する.
”
はその name とする.
はの closed unbounded な部分集合である” と仮定する.
十分大きな
をとり,
で
, かっ $<\kappa(N\cap\kappa^{+})\subset N$ であるものを選ぶ.
からへの全単射 $h\in V$ と $N$ の elementary submodel 達の$D\subset P_{\kappa}\kappa^{+}$$P_{\kappa\kappa}\kappa^{++}\cap W=P\kappa\cap W[G]$

を $W[G’]$ における club,$\dot{D}$$p^{1}\vdash$$\dot{D}$$P_{\kappa}\kappa^{+}$$\lambda$$|\wedge’|=\kappa,$$N\prec\langle H(\lambda), \in, \kappa, \kappa^{+}, P\kappa\kappa, c+, \mathrm{p}, |\vdash,\dot{D},P\rangle$$N\cap\kappa^{+}\in\kappa^{+}$$\kappa$$N\cap\kappa^{+}$

55

YOSHIHIRO ABE

increasing continuous chain

で, 各$\langle N_{\nu_{\alpha}}|\alpha<\kappa\rangle$について$\alpha<\kappa$

人\nu \alpha +1,
は基数で,が成り立つものを選ぶ. (これらの条件から
人\nu .
は increasing continuous である)
次のように, condition 達の descending sequence
的に定義する.

$\kappa,$$\nu_{\alpha}N_{\nu}$$h^{\prime/}\nu_{\alpha}\cap\kappa=\nu_{\alpha}\in C$$\subset$$h”\nu_{\alpha}=$。

$h”\nu_{\alpha}=$$|N_{\nu_{\alpha}}|<$

人る\alpha \alpha \cap \mbox{\boldmath $\kap a$}+であり,$\cap\kappa$$\langle\nu_{\alpha}|\alpha<\kappa\rangle$

を帰納$\langle p_{n}|n\in\omega\rangle$”
Elementarity から $p’\in$ 人島と $x_{0}\in N_{m}$ で $p’\leq p$ かつを満たすものが存在する.
口() と定義する. 前と同様
$p”|\vdash$$p_{\mathit{0}}=P’\cup$に$p\mathrm{o}\in \mathrm{P}$口人$p_{n}\in N_{\nu_{n}+1}$と$p_{n}|\vdash$”$D$$\nu_{0}+1\subset \mathrm{Q}_{1}$である.

が定義されていると仮定する.

は club” が成り立つ.

” $x_{n+}1\in\dot{D}$ ”である. 従って$p_{n+1}=pn^{\cup\{}/\text{人_{}\nu_{n+}\text{、}}$$\cap\kappa^{+}\}$$p_{n}$

よりも強い.

口人=+1 だから,

$N_{\nu_{n}}\cap\kappa^{+}\subset x_{n+1}$

, かつ

である.

$x_{n+1}\subset N_{\nu_{n}+1}\cap\kappa^{+}\subset \text{人_{}\nu_{n+1}}$と置く.

$q=( \bigcup_{n\in\omega}p_{n})\cup\{N_{\nu_{\omega}}\cap\kappa^{+}\}$ての$\cup p_{n}=N\nu_{n^{\cap\in}}\kappa^{+}N_{\nu+1}n$$N_{\nu_{n}}\cap\kappa^{+}\in P_{\kappa}\kappa^{+}$

で $p_{n}’\leq p_{n},$$p_{n}’\in N_{l^{\text{ノ_{}\gamma}}+1}‘ kx_{n+1}\in N_{\nu_{n}+1}$$p_{n}’|\vdash$$N_{\nu_{0}}$” $x_{0}\in\dot{D}$$\kappa^{+}$とすると, 以前と同様に,$q\in \mathrm{P}$で$q$$N_{\nu_{n}}\cap\kappa^{+}\subset x_{n+1}\subset N_{\nu_{n}+1}\cap\kappa^{+}\subset N_{\nu_{n+1}}\cap\kappa^{+}$

は全
だか

”
”
である. 全てのら,に対して”が成り立つ. 従って,全ての $n\in\omega$ に対して
は
で,
”
”
である
”
$q\leq
p$
かつ
が成り立つ
.
closedゆえに,$S$である. 従ってが stationary であることが示された.
$S$ があるに reflect してしまったとする.
の順序の定義から, ある condition $P\in G$ が に reflect していることになり,であることに反してしまう.
以上で定理の証明が終わった口$n\in\omega$$N_{\nu_{\omega}} \cap\kappa^{+}=\bigcup_{n\in\omega}x_{n}$$p_{n}|\vdash$$x_{n}\in\dot{D}$$x_{n}\in\dot{D}$$q\mathrm{I}\vdash$$q^{1\vdash}$$x\in P_{\kappa}\kappa^{+}$$\dot{D}$$N_{\nu_{\omega}}\cap\kappa^{+}\in D\cap\cup G$$\mathrm{P}$$x$$P\in \mathrm{P}$

3. 金森の WEAK NORMALITY の–般化
金森 [5] は weakly normal フィルターを正則な非可算基数に対し次のように定義した.
定義 3.1.

上のフィルター $F$ が weaklyとは, どんな 上定義
された regressive function も $F$ のある元の上で有界であることを言う.
$n\text{。}rmal$$\kappa$$\kappa$

この概念の講演者によるへの–般化 [1] は, strong compactness
を弱くしたものと見なせる. (その論文では, 同じく weakly normal と$P_{\kappa}\lambda$

呼ばれている)定義 3.2. $F$ を

上のフィルターとする. どんな上で定義された regressive function も, ある $F$ の元の上で有界なとき AN $(F)$ と書
くことにする.
$P_{\kappa}\lambda$$P_{k}\lambda$

上の strongly normal フィルターは [3] で supercompact 極
方大フィルターを弱くしたものとして導入された.
$P_{\kappa}\lambda$

56BASIC FORCING NOTIONS IN

定義 3.3.

$P_{\kappa}\lambda$

からについてへの関数 $f$ は, 全てのであるとき set regressive であると言う.
上のフィルター $F$ が strongly normd であるとは, 任意の F$x\in P_{\kappa}\lambda$$P_{k}\lambda$$P_{\kappa}\lambda$$f(\prime x)\in P_{\kappa_{x}}x$$P_{\kappa}\lambda$

positive な集合 $X$ 上で定義された任意の set regressive function が, $X$のある positive な部分集合上で constant なことである.
これは次のことと同値である: どんなに対しても,{ : ある $s\prec x$ に対して $x\in X_{s}$ } $\in I$ である.
明らかに、 全ての strongly normal イデアルは normal である.
$\{X_{s} :$\nabla\prec x\mathrm{Y}=s$s\in P_{\kappa}\lambda\}\subset I$$x$

金森のアイディアに従って, 次の $WN-$ フィルターの概念を導入する.
定義 3.4. $F$ を
上のフィルターとする.
意の set regressive function $f$ に対して, ある$P_{\kappa}\lambda$$P_{\kappa}\lambda$

上で定義された任が存在してを満たすとき, $F$ を WN- フィルターと呼び, $WN(F)$ と書く. WN- フィルターに関しては、 completeness の条
件はなにも要求されていないことに注意する必要がある.
$\{x\in P_{\kappa}\lambda :$a\in P_{\kappa}\lambda$

f(x)\subset a\}\in F$

以下で $WN-$ フィルターの存在から、 そのフィルターの completenessに対応する範囲の stationary set の reflection が導かれることが明らか. になる. オリジナルの weak normality は weakly inaccessible 基数のstationary な部分集合の reflection を導いたのだから, WN- フィルター
は AN- フィルターよりも自然な金森の概念の–般化と言えるかもしれない.
最初に WN- フィルターの基本的な性質を述べる. まず $WN$ という性質は $AN$ よりも強いものであることが分かる.

補題 3.5. もし$cf(\lambda)\geq\kappa$

で $WN(F)$ならば, AN $(F)$ である.

上の regressive な $f$ に対して, $g(x)=\{f(x)\}$ で定義される
証明.
関数を考えると, はある $F$ の元の上で set regressive でる. ゆえに, あるが存在し, $X=\{x\in P_{\kappa}\lambda : g(x)\subset a\}$ $\in F$ が成り立つ. $cf(\lambda)\geq\kappa$ だから, $\sup(a)<\lambda$ であり, 全ての $x\in X$ について
$f(x) \leq\sup(a)$ になっている.
口$P_{\kappa}\lambda$

$g$

$g$

$a\in P_{\kappa}\lambda$

上に AN- フィルターが存在すれば,に対してはweakly inaccessible であることに注意しよう. 次は直ちに分かることである.

ある$\lambda\geq\kappa$$P_{\kappa}\lambda$$\kappa$

補題 3.6. (1) WN- フィルターの拡大フィルターもまた $WN$ である.
上の $WN$ -フィルターならば, 任意の(2) $F$ がに対して $F[\delta$ は上の WN- フィルターである. (ここで
とする)
ある
上に
に対して
(3)
WN- フィルターが存在すれば,は weakly inaccessible である.
$P_{\kappa}\lambda$$\delta\in[\kappa, \lambda)$$F\mathrm{r}\delta=\{X\subset$$P_{\kappa}\delta$$P_{\kappa}\delta:\{x\in P_{\kappa}\lambda:x\cap\delta\in X\}\in F\}$$\lambda\geq\kappa$$P_{\kappa}\lambda$$\kappa$

57

YOSHIHIRO ABE

AN $(F)$ であったとしても AN$(F\mathrm{r}\delta)$を要する.

補題 3.7. $Reg=$ {:の $WN-$ フイルターは全て$x\in P_{\kappa}\lambda$は正則} と置く. このとき

$x\cap\kappa$$CF_{\kappa,\lambda}$とは限らないことには, 注意$P_{\kappa}\lambda$

r&g の拡大である.

上

証明. $X=\{x\in P_{\kappa}\lambda : x\cap\kappa\not\in\kappa\}\in F^{+}$ と仮定する. 各 $x\in X$ にで対し,であるものがとれる. あると$X’\in P(X)\cap F^{+}$ が存在し, 全ての $x\in X’$ に対しになる.
ここでとしてもよい. $\alpha=\sup(a)$ と置くとであるが,どんな $x\in X’$ についてもとなってしまい矛盾する. ゆえに$\{x:x\cap\kappa’\in X\}\in F$ である.
次に :を全単射とする. $Y=\{X:j’’(X\mathrm{x}x)\not\subset x\}\in F^{+}$$f$$f(x)\inx\mathrm{x}x$ で $j(f(x))\not\in x$ であるように定める.
をと仮定して,と $Y’\in P(Y)\cap F^{+}$ が存在して, どんな $x\in Y’$ に対しても$f(x)\subset b$ になっている. 従って, どんな $x\in Y$ についてもとなるが, これは矛盾である. ゆえに $\{x : i^{//}(x\mathrm{x}X)\subset x\}\in F$ であり,$\alpha_{x}\in x\cap\kappa$$\alpha_{x}\not\subset x$$a\in P_{\kappa}\lambda$$\alpha_{x}\in a$$a\subset\kappa$$\alpha<\kappa$$\alpha\not\subset x$$\lambda\cross\lambdaarrow\lambda$$i$$b\in P_{\kappa}\lambda$$b\not\subset x$

であることが分かる.

$CF_{\kappa,\lambda}\subset F${

だと仮定する.
は weaklyは正則ではない}は stationary だから, 全ての $x\in Z$ に対して
inaccessible では基数であると仮定してよい.
を cofinal で order type$Z=$

$x:X\cap\kappa$$\in F^{+}$$\kappa$$Z$$x\cap\kappa$$c_{x},$

だとする.

$<X\cap\kappa$$\subset x$と $Z’\in F^{+}$ で, 全ての $x\in Z’$ に対してであるようなものが存在する. ここで
$x\in
Z’$
どんな
としてよいが,$c\in P_{\kappa}\lambda$$c_{x}\subset c$$c\subset\kappa$に対しても $x\cap\kappa\subset\cup c<\kappa$ となって, 矛盾する.
系 3.8.

WN-フィルターが存在すれば,で$WCF_{\kappa,\lambda}$$WCF_{\kappa,\lambda}$$P_{\kappa}\lambda$$\kappa$

口は weakly Mahlo である.

上の最小の strongly normal フィルターを表す.

が自明でないフィルターであるための必要十分条件は,Mahlo か$\kappa=\nu^{+}$

で$\nu^{<\nu}=\nu$であることが知られている.

がさら$\kappa$に, $X\in WCF_{\kappa,\lambda}$ であるための必要十分条件は, $f$ :でとなるものが存在することである.
$P_{\kappa}\lambdaarrow P_{\kappa}\lambda$$\{x\in P_{\kappa}\lambda :f^{\prime/_{P_{\kappa_{x}}}}x\subset P(‘ x)\}\subset X$

が Mahlo ならば, {$x\in P_{\kappa}\lambda$

が成り立つ.

:$\kappa$$\kappa_{x}=x\cap\kappa$

は inaccessible}$\in WCF_{\kappa,\lambda}$

Strong normality と性質 $WN$ の関係には次のようなものがある.
命題 3.9. (1)が自明でないならば,上の全ての WN-フィの拡大である.
上の(2) $F$ がongly nonnal -saturated フィルターならば,が成り立つ.
(3) WN- フィルター $F$ がならば, $F$ は normal -saturatedである. 従ってやのいかなる restriction も $WN$ では
ない.
(4) が Mahlo のとき,上の任意のフィルターに対して, 以下のルターは$WcF_{\kappa,\lambda}$$P_{\kappa}\lambda$$WCF_{\kappa,\lambda}$$P_{\kappa}\lambda$$1\mathrm{f}^{\gamma}N(F)$st.r$\kappa$$\kappa- c\text{。}mplete$$WCF_{\kappa,\lambda}$$\kappa$

条件は同値である:$CF_{\kappa,\lambda}$$P_{\kappa}\lambda$$\kappa$

58

BASIC FORCING NOTIONS IN

1.

$F$

2.

IS -comple$\Gamma\prec$

Ig strongly normal$\kappa$$\mathrm{t}e\text{で^{}\backslash }WN$$\kappa$$P_{\kappa}\lambda$.

-saturated.

証明, (1) $X\in F^{+}$ で, 全ての $x\in X$ に対して $f(x)\in P_{\kappa_{x}}x$ であは Mahlo である. ある
るとする. 仮定によりに対して$Y=$ $x\in X$ : $x\cap\kappa\in\kappa$ and $f(x)\subset a$ は stationary になる. 全てのに対して $f(x)\subset a$ かつ $|P(a)|<\kappa$ である. 従って $f$ は $Y$ のunbounded な部分集合の上で constant になる. ゆえに$a\in P_{\kappa}\lambda$$\kappa${}$x\in \mathrm{Y}$$X\in WCF_{\hslash_{)}\lambda}^{+}$であることが分かった.
(2) 全てのに対して $g(x)\in P_{\kappa_{x}}x$ とし, $A=\{g^{-1}(\{y\})$ :と置く. $F$ は -saturated だから, |凶|である.
$\cup A\in F$ , かっ全ての$b=\cup\{y : g^{-1}(\{y\})\in A\}$ と置くと,$x\in\cup A$ に対して $g(x)\subset b$ となる.
(3) は $Z\in F^{+}$ 上 regressive だとする.
で $Z’=\{x\in Z$ :$x\in P_{\kappa}\lambda$$y\in P_{\kappa}\lambda\}\cap F^{+}$$<\kappa$$\kappa$$b\in P_{\kappa}\lambda,$$h$$c\in P_{\kappa}\lambda$となるものが存在する. -completeness によりはあの元の上で constant になるから, $F$ は normal であることが示$h(x)\in c\}\in F+$

る$F^{+}$$h$$\kappa$

された.

の
は
次に,
-positive な集合達による互いに素な分割とする.
と置き, $x\in W_{\xi}’$ に対しては $k(x)=\xi$
で $W=\{x\in P_{\kappa}\lambda : k(x)\subset d\}\in F$ をと定義する. このとき満たすものが存在する. の元でない を何でもよいから 1 つ選ぶと,
口となるが, これは矛盾である.
(4) は (2) と (3) から導かれる.
口$\{W_{\xi} :\xi<\kappa’\}$$\mathrm{F}$$P_{\kappa}\lambda$$W_{\xi}’=W_{\xi}\cap\overline{\{\xi\}}$$d\in P_{\kappa}\lambda$

$d$

$\xi$

$W=\emptyset$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

上の WN- フィルターとする.
補題 3.10. $F$ は(1) 全てのに対して $X_{s}\in F^{+}$ であり,ならばであるとする. このとき,: 全ての$P_{\kappa}\lambda$$t\supset u$$s\in P_{\kappa}\lambda$$X_{t}\subset X_{u}$

に対
である
.
}
(2) どんなに対しても $\{x\in P_{\kappa}\lambda:f(x)\not\subset s\}\in F^{+}$ ならば,
$X\in F^{+}$ で全てのについて $f^{-1}(\{s\})\cap X\in I_{\kappa,\lambda}$ が成り立つ$\triangle\prec sX=S\Delta\{x\in P_{\kappa}\lambda$

し $x\in X_{S}$$s\in P_{\kappa_{x}}x$$\in F^{+}$$s\in P_{\kappa}\lambda$$s\in P_{\kappa}\lambda$

ようなものが存在する.

証明. (1) 各ペア $s,$に対して $X_{s\cup\ell}\subset X_{s}\cap X_{t}\in F^{+}$ である. $F’$
を $F$ と $\{X, :s\in P_{\kappa}\lambda\}$ から生成されるフィルターとする. $F\subset F’$
だから $WN(F’)$ である. もしならば, $Y=\{x\in P_{\kappa}\lambda$ :$s\in
P_{\kappa_{x}}x$
$\in
F’$
ある
に対して $x\not\in X_{s}$ }である. 従って
で$t\in P_{\kappa}\lambda$$\triangle_{\prec s}X_{s}\not\in F^{+}$$b\in P_{\kappa}\lambda${ $x\in Y$ : ある

ゆえに,
(2)

る.

$s\subset b$$f^{-1}(\{s\})\in I_{\kappa,\lambda}$定理 3.11.

$x\not\in X_{\mathit{8}}$}$\in G$$Y’\cap X_{b}=\emptyset$$\lambda_{s}^{7}=\{x\in P_{\kappa}\lambda :$F^{+}$に対してとなるものが存在すとなるが, これは矛盾である.
と置くと, (1) によりを得る. $x\in Z\cap f^{-1}(\{s\})$ ならば $s\not\in P_{\ }x$ であるから, $Z\cap$$\mathrm{Y}’=$$\kappa$f(x)\not\subset s\}$

$Z=\triangle\prec SX_{s}\in$

である.

は Mahlo で $F$ はき, 次のことは同値である:

口$P_{\kappa}\lambda$

上のフィルターとする. このと

59

YOSHIHIRO ABE

(1)
(2)

は $WN$ .

$F$かつ, $f$ :$WcF_{\kappa,\lambda}\subset F$$P_{\kappa}\lambdaarrow P_{\kappa}\lambda$

が任意の$a\in P_{\kappa}\lambda$

を満たすならば,に対し成り立つような $X\in F^{+}$ が存在する,$\{x:f(X)\not\subset a\}\in F^{+}$$a\in P_{\kappa}\lambda$$X\cap f^{-1}(\{a\})\in I_{\kappa,\lambda}$

について

が任意の

証明, 命題 39 と補題 3.10 から, (1) が (2) を導くことが分かる. そ
こで, (2) が成り立つと仮定する. もし $F$ が $WN$ でないならば, setregressive function $f$ でどんなに対しても $X=\{x\in P_{\kappa}\lambda$ :$f(x)\not\subset s\}\in\Gamma^{i}+$であるものが存在する. $X\in F^{+}$ だから, 任意のに対して $f^{-1}(\{a\})\cap X\in I_{\kappa,\lambda}$ となる. –方, $F$ はの拡大だから, $f$ は $X$ のある unbounded な部分集合上で constant でなければならない. これは矛盾である
口$s\in P_{\kappa}\lambda$$a\in P_{\kappa}\lambda$$WCF_{\kappa,\lambda}$

次に, inaccessible でない基数に対しても $WN-$ フィルターが存在しうることを示す.
補題 3.12. $V$ において $F$ は上の $WN-$ フイルタ一, $\mu<\kappa$ では $\mu- c.c$ . を満たすとする. このとき,において $F$ は WN-フィル
ターを生成する.
$P_{\kappa}\lambda$$\mathrm{P}$$V^{\mathrm{P}}$

証明. $G$ を $V$ 上 P-generic とし, $V[G]$ において $F’$ を次のように定

める;

$F’=$
$V[G]\models$

”

$f$

:

{

$X\subset P_{\kappa}\lambda$$P_{k}\lambdaarrow P_{\kappa}\lambda$: $Y\in F$ でで, 全ての$Y\subset X$

なものがある}.

$x\in P_{\kappa}\lambda$

に対して $f(x)\in P_{\kappa_{x}}x$ である” とする.
を $f$ の name とし, $X=\{x\in P_{\kappa}\lambda\cap V:\mu<x\mathrm{n}\kappa$ は$X\in
F$ である. $V$ において, $x\in X$ に対して
正則} と置くとを$\dot{f}$$\mathit{9}(x)$次のように定める.
んを極大な anti chain

: ある

に対して
は
の increasing
enumeration”} とする.
$P\in$ 凶 x とに対してを極大な antiとする.
$\subset\{p\in \mathrm{P}$$\gamma_{P}$$p^{1\vdash}$”{$\alpha_{\xi}$: $\xi<$$\dot{f}(x)$$\gamma_{p}\}$$\xi<\gamma_{P}$$g(x)=\{\beta$:$B_{\xi}^{p}$$q\in\cup\{B_{\xi}^{p} :る} と置く.
$\mu- \mathrm{c}.\mathrm{c}$. により,だから,らば, と$|\text{凶_{}x}|$

$q$

$\xi$

で

$q|\vdash$,\xi<\gamma_{P},p\in A_{x}\}$で$q^{1}\vdash$”$\dot{\alpha}_{\xi}=\beta$

{

”

”

$\beta=\dot{\alpha}_{\xi}$なものがあである. 各 $p\in$ 人に対し
凶 x’\xi} $|<x\cap\kappa$ である. $\beta\in g(x)$ な$|B_{\xi}^{p}|<\mu$$B_{\xi}^{p}:_{P}\in$$|g(x)|\leq|\cup$$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\subset\{q\leq p:q||\dot{\alpha}_{\xi}\}$$\gamma_{\mathrm{P}}<x\cap\kappa$$<\gamma_{p}$を満たすものが存在するが,$q|\vdash$”$\beta\in x$”

従って $\beta\in x$ である. ゆえに, 全ての $x\in X$ に対して $g(x)\in P_{\kappa_{x}}x$ である. $F$ は $WN$ だから,
で $Y=\{x\in P_{\kappa}\lambda : g(x)\subset a\}\in F$ と$a\in P_{\kappa}\lambda$

なるものが存在する.
” $f(’ x)\subset g(x)$ ”
なので, $V[G]\models$ ” 全てのに対して $f(x)\subset a$”である.
従って $V[G]\models$ ” $\{x\in P\lambda\hslash : f(x)\subset a\}\in F’$” である.
口$|\vdash_{\mathrm{P}}$$x\in \mathrm{Y}$60

BASIC FORCING NOTIONS IN$P_{\kappa}\lambda$

定理 3.13. ある種の巨大基数の仮定のもとで, $Con(\kappa$ は $inaCCessible$ でないが上に WN-フィルターが存在する) が言える. 実際, 「&\mbox{\boldmath $\lambda$}
上に normal だが strongly normal でない -saturated フィルターが存$P_{\kappa}\lambda$$\kappa$

在する」 という主張は無矛盾である.
証明.

上に strongly normal (従って-complete) -saturated フィ
ルタ一が存在するモデルから出発して、単純に 個の Cohen reals を付
け加える. Addは c.c.c. を満たすから, ground model の strongly
normal -saturated フィルターは -complete WN- フィルターを生成$P_{\kappa}\lambda$$\kappa$$\hslash$$\kappa$$(\omega, \kappa)$$\kappa$$\kappa$

する口

今度は, ある程度の completenes をもった WN- フィルターの存在の下での stationary reflection を考察する.
定義 3.14. $\omega<\mu\leq\kappa$ に対し,
長さの
う.

て,

’

$C\Gamma_{\kappa,\lambda}^{i^{\hslash}}.=CF\kappa,\lambda$$<\mu$

が$CF_{\kappa,\lambda}^{\mu}$

命題 3.15. (1) 基数
フィルターである.

$S\in(CF_{\kappa}^{\mu},\lambda)^{+}$

に対して,

$\mu$

(2) $\mu<\mu’$ ならば(3) $|\mu|<\mu$ ならば ,(4) が極限基数ならば,$CF_{\kappa_{1}\lambda}^{\mu}=cF\kappa,\lambda\mu^{+}$

$\mu$

$\mu$

が特異基数ならば,は$CF_{\kappa,\lambda}^{\mu}$$CF_{\kappa,\lambda}^{\mu}\supseteq CF_{\kappa,\lambda}^{\mu’}-C^{\backslash }$

(5)

$\mu$

未満の

である.

-stationary とは, つまり,
club と空でない共通部分をもつことである.

$S\subset P_{\kappa}\lambda$のは, unbounded で,

chain にっ \vee |て閉じているとき $<\mu$ club であると
で $<\mu$ club 達により生成されるフィルターを表す. 従っ$CF_{\kappa,\lambda}^{\mu}$$\underline{=}$$X\subset P_{\kappa}.\lambda$$\subset- \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\Gamma \mathrm{e}\mathrm{a}s\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$$P_{\kappa}\lambda$

上の$\kappa$$S$

が全て-complete normal

ある.

である.

$CF_{\kappa,\lambda}^{\mu}= \bigcap_{s<}\mu CF_{\kappa}\delta,\lambda$$CF_{\kappa,\lambda}^{\mu}=oF\kappa,\lambda\mu^{+}$

である.

である

証明. (1) だけを示す. 他は自明である.
をとる.
に対しは $<\mu$ club とし,と置く.
は $C$ の元達の increasing chain で $\gamma<\mu$ とする.
は $<\mu$ club だから,である. ゆえにとなり,$C$ は$<\mu$ -closed である.
C し達は unbounded で $\delta<h’$ であるから, 与えられたに対を $y_{0}^{0}=x,$
し,
, かつ
がすべ
$\delta<\kappa$$\alpha<\delta$$C_{\alpha}$$C= \bigcap_{\alpha<\delta}C_{\alpha}$$\langle x_{\xi}|\xi<\gamma\rangle$$C_{\alpha}$$\bigcup_{\xi<\gamma}x_{\xi}\in C_{\alpha}$$\bigcup_{\xi<\gamma^{X_{\xi}}}\in C$$x\in P_{\kappa}\lambda$$\langle y_{\alpha}^{0}|\alpha<\delta\rangle$ての極限順序数$y_{\alpha}^{0}\subset y_{\alpha+1}^{0}\in C_{\alpha}$$\alpha<\delta$とができる .
これを繰り返して {$y_{\alpha}^{0}= \bigcup_{\beta<\alpha}y_{\beta}^{0}$に対して成り立つように, 帰納的に定義するこ

と置く.
を定める.
が定義されたとき,, 極限順序数に対してとし,$x_{1}= \bigcup_{\alpha<\delta}y_{\alpha}^{0}$$x_{n},$$y_{\alpha}^{n}\subset y_{\alpha+1}^{n}\in C_{\alpha}$$x_{n+1}= \bigcup_{\alpha<\delta}y_{\alpha}^{n}$

最後に
で

$x$

。

$x_{n}|n\in\omega\rangle$$y_{a}^{n}= \bigcup_{\beta<\alpha}y_{\alpha}^{n}$とすればよい.

$= \bigcup_{n\in\omega}x_{n}$$\langle y_{\alpha}^{n+1}|n\in\omega\rangle$$y_{0}^{n}=$$x_{n}$$\alpha<\delta$は$C_{\alpha}$

と置くと,

は明らか.
の下達の increasing chain だから,$x\subset x_{\omega}$$x_{\omega}= \bigcup_{n\in\omega}y_{\alpha}^{n+1}$$x_{\omega}\in C_{\alpha}$で

61

YOSHIHIRO ABE

ある. 従って $x\subset x_{\omega}\in C$ となり,れた.

Normality を示すために,$CF_{\kappa,\lambda}^{\mu}$が$*\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}e\mathrm{t}\mathrm{e}$なことが示さに対し $D\text{。は}<\mu$ club とし, $D=$$\eta<\mu$ として, 勝手な $D$ の元達のincreasing chain
をとり,
と置く.
に対し,
で任意の
らについて
であるものが存在する ここで, 全てのに対してはの元達の increasing
である .
chain だから,である. よって $z\in D$ であり, $D$ は$<\mu$-closed である.
が与えられたとする. $w_{0}=w$ と置く.
が定義されたとき, 各
で
に対し,
を満たすも
のをとる.
と置く. 最後にとすると, $vJ_{\omega}\supset w_{0}=w$ である. 任意のに対し, $m\in\omega$ で全ての $n\geq m$ についてであるものが存在する. 全ての $n\geq m$に対してが定義されていてとなっているから,である. 従って
であるが, これは $D$ が$\alpha<\lambda$と置く.

$\triangle_{\alpha<\lambda}D_{\alpha}$$\langle z_{\zeta}|\zeta<\eta\rangle$$\alpha\in z$$z= \bigcup_{\zeta<\eta}z_{\zeta}$$\zeta_{\alpha}<\eta$.

$\zeta\geq$$\alpha\in z_{\zeta}$$z_{\zeta}\in D_{\alpha}$$\langle z_{\zeta}|\zeta_{\alpha}\leq\zeta<\eta\rangle$$\zeta\geq\zeta_{\alpha}$$D_{\alpha}$$z= \bigcup_{\zeta_{\alpha}\leq\zeta}z_{\zeta}\in D_{\alpha}$$w\in P_{\kappa}\lambda$$w_{n}\in P_{\kappa}\lambda$$\alpha\in w_{n}$$w_{\alpha}^{n}\in D_{\alpha}$$w_{n+1}=\cup\alpha\in w_{n}w^{n}\alpha$$w_{n}\subset w_{\alpha}^{n}$$w_{\omega}= \bigcup_{n\in\omega}w_{n}$$\alpha\in w_{\omega}$$\alpha\in w_{n}$$w_{\alpha}^{n}$$w_{n}\subset w_{\alpha}^{n}\subset w_{n+1}$$w_{\omega}= \bigcup_{n\geq m}W_{\alpha}^{n}\in D_{\alpha}$$w_{\omega}\in D$

unbounded なことを示している
定義 3.16.

口に対し, $cf(P_{\kappa_{x}^{X)}}= \min\{|X|$ : $X$ はunbounded な部分集合} とする.
$x\in P_{\kappa}\lambda$

補題 3.17.

$P_{\kappa}\lambda$

上の任意の$\mu^{+}$$P_{\kappa_{x}}x$の-complete IWN- フィルター $F$ に対し,$\{x:cf(P\kappa_{x}X)>\mu\}\in F$ が成り立っ.

証明. 結論を否定すると, $X=\{x : cf(P_{\kappa_{x}}x)\leq\mu\}\in F^{+}$ である.
$F’=F\mathrm{r}X=$ {: ある $B\in F$ に対し $B\cap X\subset A$ } と置
$x\in
X$
く.
に対し,
は unbounded でをそのenumeration とする. $\alpha<\mu$ に対し,
を
:
で定
義する.
は set regressive だから,とで, すべての$A\subset P_{\kappa}\lambda$$\{s_{\alpha}^{x} :$B_{x}\subset P_{\kappa_{x}}x$$f_{\alpha}$$Xarrow P_{\kappa}\lambda$$f_{\alpha}$$a_{\alpha}\in P_{\kappa}\lambda$\alpha<\mu\}$$f_{\alpha}(x)=S_{\alpha}^{x}$$Y_{\alpha}\in F’$が成り立っものが存在する.
,
かっ $Y\in F’$ であるが,ての $x\in Y$ に対し $x=\cup B_{x}\subset a$ であることになり, 矛盾する.
口注意 3.18. 上の補題では, 「全ての set regressive function } こ対して,$X\in F$ でになるものが存在する」 ということだけで十分$x\in Y_{\alpha}$に対して几

$Y= \bigcap_{\alpha<\mu}Y_{\alpha}$$(x)\subset a_{\alpha}$$a= \bigcup_{\alpha<\mu}a_{\alpha}$と置く. このとき$a\in P_{\kappa}\lambda$$g-\text{べ}$$f$$f”X\in I_{\kappa,\lambda}$である.

定理 3.19.

$\omega\leq\mu<\kappa$

ターとする,$P_{\kappa_{x}}x$$S$がで $stati\text{。}nary$

証明. $S$ はは$\mu$$C_{x}\cap S=\emptyset$$P_{\kappa}\lambda$$CF_{\kappa,\lambda}^{/r}+-Stati_{\mathit{0}}nary$}$\in F$である.

$cF_{\kappa,\lambda^{\mathrm{S}}}^{\mu^{+}}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}}\mathrm{r}\mathrm{y}$上の $\mu^{+}- c\text{ }mplete$ な WN-フィル。

ならば, {$x\in P_{\kappa}\lambda$:$S\cap P_{\kappa_{x}}x$はだが, $X=\{x\in P_{\kappa}\lambda$ :はと仮定する. 全ての $x\in X$ に対して
$s\mathrm{n}P_{\kappa_{x}}X$

で stationary でない}
$x\cap\kappa$

で $F$ は

$P_{\kappa_{x}}x$$\in F^{+}$

より大きい正則な基数で,, かっであるような club とする. $F’=F\mathrm{r}x$ と置く.
$cf(P_{\kappa_{x}}X)>\mu$$C_{x}\subset P_{\kappa ae}x$は

62BASIC FORCING NOTIONS IN$P_{\kappa}\lambda$$C=\{y\in\ \lambda :\{x\in X:y\in C_{x}\}\in F’\}$ は $<\mu^{+}$

示す.
勝手な

$z\in P_{\kappa}\lambda$

をとる.

club であることを$\{x\in X : z\in P_{\kappa_{x}}x\}\in F’$

意する. $f_{0}(x)\in C_{x}$ を, もし存在するならのとし, そのようなものがないならば$X_{0}\in F’$ で, 任意の $x\in X_{0}$ に対しであることに留であるようなもととする.
であるものが存在$z\subset f\mathrm{o}(x)$$f\mathrm{o}(x)=\emptyset$$a_{0}\in P_{\kappa}\lambda$$z\subset f_{0}(x)\subset a_{0}$する.

が, 全ての $x\in X_{n}$ について $f_{n}(x)\subset a_{n}$であるように定まったとする. $\{x\in X : a_{n}\subset-P_{\kappa ae}x\}\in F’$ だから, set$a_{n}\in P_{\kappa}\lambda,$と$X_{n}\in F’$$f_{n}$

regressive な几+1 で $\{x:a_{n}\subset f_{n+1}(x)\in C_{x}\}\in F’$ であるものを定義とすることができ,に対で, 任意の$a_{n+1}\in P_{\kappa}\lambda$

し $a_{n}\subset f_{n+1}(x)\subset a_{n+1}$$y= \bigcup_{n\in\omega}a_{n},$$X_{\mathrm{n}+1}\in F’$$x\in X_{\mathrm{n}+1}$となるものを見つけることができる.
で $Y\in F’$ である.と置くと,

$Y= \bigcap_{n\in\omega}X_{n}$$a\in P_{\kappa}\lambda$

全ての $x\in Y$ に対し$z\subset f_{0}(X)\subset a\mathit{0}\subset\cdots\subset an\subset fn+1(_{X})\subset a_{n+1}\subset\cdots\subset y$が成り立ち, 全てのである.
は closed でに対し几 $(x)$
だから,
を得る.
従って $z\subseteq y\in C$ となるから, $C$ は unbounded である.
$C$ がclosed なことを示すために,を $C$ の元達の increasing
chain とし,とする. 明らかにである. 全ての$\alpha<\mu$ について $\{x\in X : y_{\alpha}\in C_{x}\}\in F’$ だから, 全ての $x\in Z$と$\alpha<\mu$ に対し
$Z\in
F’$
であるようなはが存在する.
の club で,はより大きい正則な基数だから, 全ての $x\in Z$ に対して $w\in C_{x}$ が成り立つ. 従って $w\in C$ であり, $C$ が $<\mu^{+}$-closed
なことが分かった.
は以上から,である. $y\in S\cap C$-club だから,$n\in\omega$$cf(P_{\kappa_{x}}X)>\mu\geq\omega$$\in C_{x}$$\langle$$y$$|\alpha<\mu\rangle$。

$w\in P_{\kappa}\lambda$$w= \bigcup_{\alpha<\mu}y_{\alpha}$$y$。

$\in C_{x}$$x\cap\kappa$$C_{x}$$P_{\kappa_{x}}x$$\mu$$C\subset P_{\kappa}\lambda$$<\mu^{+}$

をとなとるりと矛’となり, 矛盾が出る$\{x_{\text{が出る}}y\in C_{x}\}\in F’$

系 3.20.

$C_{x}$$y= \bigcup_{n\in\omega}f_{n}(x)\in C_{x}$$S\cap C\neq\emptyset$となるから$\{x\in X:s_{\cap}c_{x}\neq\emptyset\}\neq\emptyset\square$

上に strongly normal -saturated フィルター $F$ が存在の stationary な部分集合は $F$ のある元のするならば, あらゆる
$P_{\kappa}\lambda$$\kappa$$P_{\kappa}\lambda$

上に oeflect する.

最後に WN- フィルターの nonregularity に触れる.
ターとしてはの拡大だけを考えているので, 必然的にになる.

$P_{\kappa}\lambda$$I_{\kappa,\lambda}^{*}$

命題 3.21. $F$ を
上の $WN$ -フィルターとし,次のことが成り立つ.
(1) $\{x:cf(\sup(_{X}))\geq x\cap\kappa\}\in F$ .
上の $F$ の拡大フィルターは全て, どんな(2)-regular ではな .
$P_{\kappa}\lambda$$P_{\kappa}\lambda$$(\mu, \lambda)$$\mathrm{A}^{1}$上のフィル$(\kappa, \lambda)$$cf(\lambda)\geq\kappa$$\mu<\kappa$-regular

とすると,

に対しても

63

YOSHIHIRO ABEだから, { $x:\text{。}.t.(x)$ は極限順序数} $\in F$ である.
$X= \{x\in P_{\kappa}\lambda:cf(\sup(x))<x\cap\kappa\}\in F^{+}$ と仮定する. 各 $x\in X$ に対を の cofinall な部分集合で $|a_{x}|<x\cap\hslash$ を満たすものとすし,る. このとき, あるに対して, $Y=\{x\in P_{\kappa}\lambda : a_{x}\subset a\}\in F^{+}$となる. 全ての $x\in Y$ に対して $x \subset\sup(a)<\lambda$ となるが, これは矛盾証明. (1)$F\supset CF_{\kappa,\lambda}$$x$$a_{x}\subset x$$a\in P_{\kappa}\lambda$

である.

(2)

$\mathcal{U}$を$P_{\kappa}\lambda$

上の $F$ の拡大極大フィルターとする.

$[ \langle\sup(x)|x\in P\hslash\lambda\rangle]_{u}$(1) より {:$x$である. ANはだから,において cofinal になっている. そこで, 次の主張

$cf( \sup(x))>\mu\}\in \mathcal{U}$$\{[c_{\gamma}]_{\mathcal{U}} :$(\mathcal{U})$\gamma<\lambda\}$を証明すればよい.
が $(\mu, \lambda)- reg?dar$ な
上の極大フィルターで, $f$ :が $\{x:cf(f(x))\geq\mu\}\in \mathcal{U}$ を満たすならば, VP\mbox{\boldmath $\kappa$}\mbox{\boldmath $\lambda$}/U\models ‘‘cf([f] の主張 3.22.
$P_{\kappa}\lambdaarrow\lambda$$\lambda^{+}"$$\mathcal{U}$$P_{\kappa}\lambda$

が成り立つ.

証明. (主張) 全ての $x$ に対して, $cf(f(x))\geq\mu$ と仮定してよい.
はについて:で, 全ての$\alpha<\lambda\}$$g_{\alpha}$が成り立っているとする.
としてよい.

$\alpha<\lambda$$P_{\kappa}\lambdaarrow\lambda$$\{_{A}\mathrm{Y}_{\alpha} :さらに, 任意のを\alpha<\lambda\}$$g(x)= \sup\{_{arrow \mathit{0}}\alpha(X) : x\in X_{\alpha}\}$$(\mu, \lambda)$$x${$g_{\alpha}$:$[g_{\alpha}]_{\mathcal{U}}<[f]_{\mathcal{U}}$に対して $g_{\alpha}(x)<f(x)$-regularity を保証する族とし,とする.

全ての $x$ に対し, $|\{\alpha : x\in X_{\alpha}\}|</\mathrm{J}$ 従って $g(x)<f(x)$ が成り立つ.

全ての$\alpha<\lambda$に対して$[g_{\alpha}]_{\mathcal{U}}\leq[g]_{\mathcal{U}}$であることは, 明らかである.

口

口

REFERENCES[1] Y. Abe, $Weakll/$ normal ideals on
and the singular cardinal hypothesis,
Fund. Math. 143 (1993), 97-106.
[2] A. Apter and S. Sheiah, Menas f result is best possible, Rans. Amer. Math.
Soc. 349 (1997), 2007-2034.
[3] D. M. Carr, J. P. Levinski and D. H. Pelletier, On the existence of strongly
nombal ideals on
Arch. Math. Logic 30 (1990), 59-72.
[4] M. Giu Nonspliuing, J. Symbolic Logic 50 (1985),
subsets$P_{\kappa}\lambda$$P_{\kappa}\lambda_{f}$$stationa\mathit{7}^{\sim}y$881-894.

$ofP_{\kappa}\kappa^{+}$[5] A. Kanamori, Weakly normal filters and irregular ultmfilters, bans. Amer.
Math. Soc. 220 (1976), 393-399.
[6] T. Jecli, Some combinato rial problems conceming uncountable cardinals, Ann.
$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}1_{1,}$Log\’ic 5 (1973),$16\theta 198$.

$\geq$