数理解析研究所講究録980 巻 1997 年 112-119

112

粒子系における非可逆な定常状態について
中大理工(Makoto Katori)

香取眞理

本講演では、 Durrett and Gfiffeath (1983) によって導入された、 1 次元 contact process

family に関する我々の研究について報告する (最近 contact process について、 日
1 次元 contact process は本物理学会誌に解説を書いたので参照のこと: 香取 (1994)
上の連続時間 Markov 過程である。 これは $-$ 種の格子ガスモデルであり、 各格子点は
のある

$)$

。

$\mathrm{Z}$粒子に占有されているか、 空孔であるかのいずれかであるとする。 各時刻

そのときに粒子に占有されている格子点の集合$\eta_{t}\subset \mathrm{Z}$$t$での状態は、で表される。 系は次のような確率的なルールによって時間発展する。

(i) 格子点(ii) 格子点$x$が $x\in\eta_{t^{-}}$ ならば、

$x$が$x\not\in\eta_{t^{-}}$

rate 1 で$x\not\in\eta_{\mathrm{f}}$となる。

ならば、 最近接格子点 $\{x-1, x+1\}$ のうちで時刻$t^{-}$に粒子に占有されている数(1)$N_{x}=|\eta_{t}-\cap\{X-1, X+1\}|$に依存して rate $f(N_{x})$ で $x\in\eta_{t}$ となる ( $|A|$ は集合 $A$ に含まれる格子点の数を表す)。

関数 $f(N)$ は次のように与えられるものとする。

$f(N)=$

$0$

$N=0$

の場合

$\lambda$

$N=1$

の場合

$\theta\lambda$

$N=2$

の場合.

$\tau$

ただしここで、$\lambda,$$\theta$(2)は非負の値をとるパラメーターである。

このプロセスは、 各格子点上に生物個体が棲んでいて $x\in\eta_{t}$ なる格子点上の個体は伝染病に感染しており、 他方$x\not\in\eta_{t}$なる格子点上の個体は健康な状態にあると思うと、 伝

染病の伝播を表す簡単な数理モデルと見なせる。 パラメーター$\lambda$

は左右の隣人のうち $-$方だけが感染しているときに伝染する感染率を表している。 左右の両隣人とも感染しているときの伝染率は $-$ 方だけの時と $-$ 般には異なっているであろう。 パラメーター

この 2 つの場合の感染率の比を表すものである。 特にbasic contact process と呼ばれ (以下 BCP と略称)、$\theta=2$$\theta$はの場合は、 このプロセスは

最初に Harris (1974) によって導入され研究が始められた。 $\theta=1$ の場合には $N=0$ のときに $f(N)=0$ であり、 $N\geq 1$ では$f(N)=\lambda$

である。 このときプロセスは threshold contact process (TCP) と呼ばれる。

BCP はかつて高エネルギー物理学の分野で研究された Reggeon quantum spin model
また、 TCPと実は等価である (Brower et al. 1978, Grassberger and de la Torre 1979)
はまた別のコンテキス トで研究されている。 Dickman and Burschka (1988) は触媒表面の化学反応系に対して Ziff et al. (1986) によって提案されたモデルの簡略化されものと
$0$

113

してある非平衡格子モデルを導入した。 彼らのモデルは A モデルと呼ばれているが、 その粒子を空孔に、 空叉を粒子と考え直せば TCP と等しくなるのである。 ここでは、 パラ
メーター$\theta$が(3)$1\leq\theta.\leq 2$である場合を包括的に扱うことにする。 このcontact process の family をここでは$\theta-$と略称) と呼ぶことにする。
contact process (は interacting particle systems に関する Liggett (1985) の教科書にある標準的$\theta- \mathrm{C}\mathrm{P}$$\theta- \mathrm{C}\mathrm{P}\eta_{t}$な方法によって以下のように定義される。 まず、 $x\in\eta$ のとき$\eta(x)=0$$\eta(x)=1_{\text{、}}x\not\in\eta$のときと書くことにする。 state space は $X=\{0,1\}^{\mathrm{Z}}$ で与えられ、 $X$ 上の連続関数全体を $C(X)$ と書くことにする。 この $C(X)$ に含まれる $f(\eta)$ に対して、 次のように formal

generator$\Omega$を定義する。
$\Omega f(\eta)=\sum_{x\epsilon \mathrm{z}}C(X, \eta)[f(\eta^{x})-f(\eta)]$

.

(4)

ここで

$c(x, \eta)=.\eta(x).+\lambda(1-\eta(X).)\{\eta.(x-1)+\eta(x+1)-(2-\theta)\eta(x-1).\eta(X+1)\}$

(5)

であり、
$1-\eta(x)$

$u=x$

の場合

$\eta(u)$$u\neq x$の場合$\eta^{x}(u)=\{$(6)である。すなわち、各遷移に際しては、 ランダムに選ばれたどこか 1 っの spin $\eta(x)$ だけがrate $c(x, \eta)$ で flip する ( $\eta_{t}(x)=0arrow 1$ あるいは $\eta_{t}(x)=1arrow 0$ ) プロセスを考えるのであ
この場合 Markov semigroup $S(t)$ が $s(t)f= \limarrow\infty(nI-$
る (single spin flip dynamics)に対) 。各から定義される (I は identity(t/n)\Omega )-珂によっては (3. ) の場合にはして . $(t)$ に対応する Markov process が唯 $-$ 存在する。 なお、graphical representation と呼ばれる方法に依っても構成できる (Griffeath 1979, Durrett
and Griffeath 198.3) 。この方法については Katori and Konno (1993a), 香取 (1994) に解。

$\Omega$$\lambda\geq 0,$ $\theta\geq 0$$\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}_{\mathrm{o}\mathrm{r}}$$S$$\theta- \mathrm{C}\mathrm{P}$$\cdot$

説した。
$\theta\geq 1$

れるのときには、 ある格子点に粒子を付け加えるとその結果別の回避に粒子が生成さrate は変わらないか増えるかのいずれかであり、 減ることはない。 またこのとき、どこかの粒子の消滅率が増えることはありえない (消滅率は 1 に固定されているので)。

attractive であるので、 upper invariant measure と呼ばれる次のような invariant measure が存在するここのような性質は attractiveness と呼ばれる。

$\theta- \mathrm{C}\mathrm{P}$は$\theta\geq 1$のときにはとが証明できる。
$\nu_{\lambda,\theta}=\lim_{tarrow\infty}\delta 1S(t)$ここで$\nu_{\lambda,\theta}$$\delta_{1}$は$\eta\equiv 1$のときにだけ.

(7)

1 となる point-mass distribution である。 すなわち、はすべての格子点が粒子で占有されている (すべての個体が感染している) という初

114

期状態

$(\eta_{0}=\mathrm{z})$からスタートしたときの定常状態である。 この定常状態における粒子の:密度を考える$\rho(\lambda, \theta)=\mathcal{U}\lambda,\theta\{\eta:\eta(x)=1\}$$\nu_{\lambda,\theta}$は並進対称なので、 この量は実際には.

(8)には依存しない。

$x\in \mathrm{Z}$parameter と見なすことができて、 これを用いて各$\theta\geq 1$$\rho(\lambda, \theta)$は– 種のに対して次のように臨界値

order$\lambda_{\mathrm{c}}(\theta)$を定義することができる。
$\equiv$$\lambda_{\mathrm{c}}(\theta)$$\inf\{\lambda\geq 0:\rho(\lambda, \theta)>0\}$

{
{

$=$

$\inf$$=$$\sup$

すなわち、 もしも$\lambda\geq 0:P(\eta_{t}\neq\emptyset\forall t\geq 0)>0$$\lambda\geq 0:P$$\lambda<\lambda_{c}(\theta)$($\eta_{t}=\emptyset$

for any non-empty initial state}

for some $t\geq 0)=1$ for any initial state}.

(9)

ならばすべてのプロセスは確率 1 で extinct してしまうが、non-empty な状態からスタートしたプロセスが永遠に存続する確率が正となる (ここで empty な状態とはなる状態を意味する)
もしも$\lambda>\lambda_{c}(\theta)$

ならば$\eta(x)=0\forall_{X}\in \mathrm{Z}$$\theta- \mathrm{C}\mathrm{P}$。

を伝染病伝播のモデルと見なすと、 前者は伝染病が撲滅された状態を、 また後者は伝染病が蔓延して感染者と非感染者とが共存している状態をそれぞれ表すものと解釈さ

extinction state は触媒表面がある種の分子で完全に覆われてしまい反応が停止した poisoned state に、 また survival state は反応が持続する active steady-state に対応すると考えられる。 Durrett and Griffeath (1983) はは $1\leq\theta\leq 2$ のときにはの単調減少関数であることを証明している。 , \theta -平は extinction phase
面 $(0\leq\lambda<\infty, 1\leq\theta\leq\infty)$ を考えると、とsurvival phaseとを区切る相境界を与えることになる。
Durrett and Griffeath (1983) によって
long-term behavior は詳しく調べられれる。 化学反応系のモデルとしてみると,$\theta$$\lambda_{c}(\theta)$$(\lambda$$)$$(\lambda<\lambda_{c}(\theta))$$\lambda=\lambda_{c}(\theta)$$(\lambda>\lambda_{c}(\theta))$$\theta- \mathrm{C}\mathrm{P}\text{の}$ているが、 結果は定性的なものであり、 臨界値$\lambda_{c}(\theta)$の値など定量的なことは未だ分かっ

BCP $(\theta=2)$ に対しても臨界値の厳密解はない。 ただし、の厳密な上限を与える理論はいくつかあり、 その中で最も優れた Holley and
Liggett (1978) の議論により、が証明されているていない。 最もよく調べられている$\lambda_{c}(2)$$\lambda_{c}(2)\leq 2$$\circ$Holley-Liggett の議論では、 次のような関係が合に対して成り立つような renewal measureて、 survival を証明する。
$A$$\nu_{\lambda,\theta}${ : $\eta(x)=1$ for some $x\in A$ }$\eta$$\geq\mu$$\mathrm{Z}$$\mu$の空集合ではない任意の有限な部分集が存在することを証明することに依っ{ $\eta:\eta(X)=1$

for some $x\in A$ }.

(10)(詳しくは Liggett 1985, PP.268-275 を見よ。) ここでいう renewal measure とは、 $\{0,1,2, \ldots\}$

上の、 有限の平均を持つ確率密度関数 $f(n)$ に対応して次のように定義される。 すなわち、任意の $A=\{x_{1}, X_{2,\ldots,n}x\},$ $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}$ なる集合に対して
$\mu$

{

$\eta:\eta(X_{i})=1$

for $1\leq i\leq n$ and$= \frac{\Pi_{i1}^{n-1}=f(_{X}i+1^{-}xi)}{\Sigma_{k=1}^{\infty}kf(k)}$.

$\eta(x)=0^{\forall}x\not\in A\mathrm{s}.\mathrm{t}$. $x_{1}<x<x_{n}$ }
(11)

115

すなわち、

当然、
れは

$\theta- \mathrm{C}\mathrm{P}$$\nu_{\lambda,\theta}$

の

を

の有限集合

は粒子の間隔が独立同分布 $f(n)$ に従うというきわめて簡単なものである。

$\mu$

$\mu$

$A$

upper invariant measure$\nu_{\lambda,\theta}$

ではこのような独立性は成立しないので、 こで近似する操作と考えられる。 不等式 (10) がの空集合ではない任意$\mathrm{Z}$に対して成立するための条件の 1 つとして、 $f(n)$ は$n$のlogarithmicallyconvex function であることが課せられる。 すなわち、(12)$\frac{f(n)}{f(n+1)}\geq\frac{f(n+1)}{f(n+2)}$

が、 任意の$(\theta=2)$$n\geq 1$に対して、に対して成立しなければならない。 Holley and Liggett (1978) は BCP$\lambda\geq 2$のときには望ましい $f(n)$ を陽に与えることに成功した。 彼らの与えた $f(n)$ を用いると、のときには$\lambda\geq 2$$\Sigma_{k=1}^{\infty}kf(k)<\infty$である。 また(11) において特に $A=\{x\}$ とした場合には、(13)$\mu\{\eta:\eta(x)=1\}=\frac{1}{\Sigma_{k=1}^{\infty}kf(k)}$では $\rho(\lambda, 2)>0$ であること(10) から、を意味する。
が帰結されることが分かる。 これは、 定義 (9) よりとは異なる contact process の 2 つの family に対
最近 Liggett はここで考えている
して、 臨界点の上限を新たに与えている。 この 2 つはそれぞれ、 spatially inhomogeneous) &)( periodic threshold contact process (Liggett
contact process (Liggett$\theta=1$の場合を含んでいる。
呼ばれているが、 この後者は特別な場合として TCP すなわち

であることに注意すると、 (8) の定義より$\lambda\geq 2$$\lambda_{c}(2)\leq 2$$\theta- \mathrm{C}\mathrm{P}$$1991\mathrm{a}$$1991\mathrm{b}$$\succeq$

彼の結果は、 $\lambda^{3}-\lambda^{2}-3\lambda+1=0$ の最大実根を$\lambda_{1}$と書くと$(\lambda_{1}=2.170\cdots.)\lambda_{c}(1)\leq\lambda_{1}$Holley-Liggett の議論 (1978)に基づくが、 今回は $f(n)$ は陽に求めることはせずに、 望ましい renewal measure が存在の方法をの場することだけを証明している。 残念ながら、 Liggett
であるというものである。 これを証明する方法は、 やはり$(1991\mathrm{a}, 1991\mathrm{b})$$\theta\neq 1$

合に拡張するのは難しく見える。
今回我々は、 Holley-Liggett (1978)$\text{の}$original の証明方法を拡張して、 $1\leq\theta\leq 2$ の全ての場合に望ましい $f(n)$ を陽に求めることに依って、 次のような結果を得ることがで
きた。

定理 1

(Katori and Konno$1993\mathrm{b}$)$1\leq\theta\leq 2$を仮定する。

$\lambda_{U}(\theta)$

を 3 次方程式$\theta\lambda^{3}-(3\theta-2)\lambda^{2}-3(2-\theta)\lambda+(2-\theta)=0$(14)の最大実根とする。 すると(15)$\lambda_{c}(\theta)\leq\lambda_{U}(\theta)$が成立する。
$$ の結果は、$\lambda_{1}$Holley-Liggett (1978) の結果$\lambda_{c}(2)\leq 2$とLiggett (1991b) の結果$\dot{\lambda}_{c}(1)\leq$

を特別な場合として含むことは明かである。 この定理の証明に当たって、 我々はまず

116

望むべき $f(n)$ は次のような条件を満たすべきであることを導いた。
$2\lambda f(3)+f(1)2-(2+\theta\lambda)f(2)=0$$2 \lambda f(n+1)+k1\sum_{=}^{n-}f(1k)f(n-k)-2(1+\lambda)f(n)=0$$n\geq 3$(16)$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)=1$$\sum_{n=1}^{\infty}nf(n)<\infty$$0<f(n)<1$$\forall_{n\geq}1$

.

(17)

我々は、 (16) の解は $x=(2-\theta)/\lambda+(\theta-1),$ $y=(2-\theta)+\theta\lambda$ と変数変換した後$f(n)=F(n)-F(n-1)$ ,(18)$F(n)= \frac{1}{y^{n-1}}w(n, X)$とおけて、 ここに現れる関数 $w(n, x)$ は次の漸丹那の解で与えられることを導いた。

$(n+2)w(n+2, x)-(2n+1)(1+x)w(n+1, x)-(n-1)(1-X^{2})w(n, X)=0$$w(1, x)=w(2, x)=1$ .

(19)

この解は、 Gauss の超幾何級数 $F(a, b, c;z)$ を用いて次のように与えられる。
$w(n, x)=( \frac{1+x}{2})^{n/2-}1\exp(\mathrm{i}(n-2)\varphi)v(n, \exp(-2\mathrm{i}\varphi))$,$n\geq 2$

.

(20)

ただし、
$\exp(\mathrm{i}\varphi)=\sqrt{\frac{1+x}{2}}+\mathrm{i}\sqrt{\frac{1-x}{2}}$,$v(n, Z)=F(-(n-2), -(n-1),$ $2;z)$
この解が$\lambda\geq\lambda_{U}(\theta)$$n\geq 2$.

(21)のときに限って条件 (17) を満たすことは比較的容易に証明できる。

定理 1 を証明するには、 これだけでは不十分であり、 同時にこのように与えられた $f(n)$が logarithmically convex であること、 つまり(12) が成立することも示さなければならない。 我々は、 (19) の漸化式を利用してこれを証明することができた。 なお、限では、 (20) の $v(n, \exp(-2\mathrm{i}\varphi))$ の 2 番目の引き数$\exp(-2\mathrm{i}\varphi)$は$\thetaarrow 2$の極1 になり、 このときはGauss の超幾何級数 $F(a, b, c;1)$ は Gamma 関数 (すなわち階乗) の比で表される。 このため、 解 $f(n)$ はかなり簡単な形となるが、 これが Holley-Liggett (1978) が求めたものである。
$1\leq\theta\leq 2$

に対する

のときに

$\lambda_{c}(\theta)$

Griffeath (1975)$\text{の}$の下限を与えるのは、 比較的簡単である。 次の結果は
結果 : $\lambda_{c}(2)\geq(1+\sqrt{37})/6=1.180\cdot\cdot$. の拡張である。

BCP

117

定理 2

(Katori and Konno$1993\mathrm{b}$)$\lambda_{L}(\theta)$

を次のように定義する。

$\lambda_{L}(\theta)=\frac{\theta-1+\sqrt{\theta^{2}+10\theta+13}}{2(\theta+1)}$

.

(22)

すると、 $1\leq\theta\leq 2$ のときには(23)$\lambda_{L}(\theta)\leq\lambda_{\mathrm{c}}(\theta)$が成立する。
以上の 2 っの定理は、 相図における相境界$\lambda=\lambda_{c}(\theta)$に対して厳密な上限と下限を与えることになる。

computer simulation や (厳密ではない) 数値的な方法によると BCP と TCP の臨界
1.649 (Brower et al. 1978, Konno and Katori
値は次のように評価されている。
(Dickman and Burschka 1988, Dickman and Jensen 1991, Ferreira
1990)
and Mendiratta 1993) (Brower et al. (1978) $\text{の}D=1$ Reggeon quantum spin model$\text{の}T_{\mathrm{c}}=0.60628\pm 0.00004$ の逆数がに相当し、 また Dickman and Jensen (1991) のに相当することに注意せよ。)
A モデルの $=0.574141(2)$ の逆数がここでのと等価なモデルを調
ごく最近、 Jensen and Dickman (1993) は級数展開の方法で$\lambda_{c}(2)\simeq$$\text{、}\lambda_{c}(1)\simeq 1.742$$0$$\lambda_{c}(2)$$\lambda_{c}(1)$$\lambda$。

$\theta- \mathrm{C}\mathrm{P}$

べた結果を報告している。 彼らの方法は厳密なものではないが、 臨界値をかなりの精度で評価することができる。 彼らは、 この方法をその結果を見ると、 確かに$1\leq\theta\leq 2$$10^{-2}\leq\theta\leq 10^{3}$のときに彼らの評価した値は我々の上限と下限の間にあることが分かるが、 そればかりか、 我々が与えたの値に対してもに対して適応している。
と$\lambda_{U}(\theta)$$\lambda_{L}(\theta)$

はそれ以外の$\theta$の上限・下限になっていることが示唆されている。 上で述べた定理$\lambda_{c}(\theta)$

coalescing dual process の性質を使っている (coalescingという制限を除を参照) 故に、
duality については Katori and Konno
くには、 もっと $-$ 般的な duality を用いることが必須である。 Katori (1993) では、 Gray
(1986) の duality を用いると定理 2 が次のように拡張できることを証明した。
1 と定理 2 の証明では、$\theta- \mathrm{C}\mathrm{P}$の$1993\mathrm{a}$定理 3(Katori 1993)$\lambda_{L}(\theta)$。

$1\leq\theta\leq 2$

を定理 2 の (22) で定義する。 このとき

(24)$\lambda_{L}(\theta)\leq\lambda_{c}(\theta)$

は$\theta\geq 1$で成立する。

定理 1 を $\theta>2$ に対して拡張することは、 かなり難しいと思われる。 また、 $\theta<1$ については、 この領域では attractive ではないたあ、 そもそも$\lambda_{c}(\theta)$が定義されるか否かも疑問でありよく分からないというのが現状である。

謝辞

この研究の大部分は、 室蘭工大共通群数理科学系の今野紀雄氏との共同研究による。 また、 本研究を発表するにあたり中央大学理工学研究所より研究助成を受けた。

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