数理解析研究所講究録
第 1775 巻 2012 年 45-51

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ケーラー・アインシュタイン計量の存在への障害的因子について(Obstructive divisors to the existence ofK\"ahler-Einstein metrics)
佐野友二

Yuji SANO(熊本大学大学院自然科学研究科) \star 1(Kumamoto University)

本稿の目的は，トーリックファノ多様体においてケーラーリッチフローから得られる乗数イデアル層の性質について紹介することである．

1. Introduction
$X$

を

$n$

次元ファノ多様体，つまりコンパクトケーラー多様体で第一チャーン$c_{1}(X)$ をケーラー類としたとき，ケーラー形式
類 $c_{1}(X)$ が正と仮定する．

$\omega$がケーラーアインシュタイン計量 (以下，KE 計量) であるとは $Ric(\omega)=\omega$ が$Ric(\omega)$ を$c_{1}(X)$ が負ま成り立つときをいう．ただし，のリッチ形式とする．
たは零の場合と異なり，正の場合には必ずしも KE 計量が存在するとは限らない(松島の障害 [7], 二木不変量の消滅 [3]). よって，KE 計量がいかなる条件のもとで存在するかという問題は解決すべき問題の一つである．
KE 計量を求める方法には 2 つある．モンジェアンペール方程式に対して連続法を用いる方法と次の (正規化された) ケーラーリッチフロー (以下，KRフロー) を用いる方法である．
$\omega$$\frac{d}{dt}\omega_{t}=-Ric(\omega_{t})+\omega_{t}$$\omega_{t}=\omega+\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\partial\overline{\partial}\varphi_{t}$と表すと (1) は$\varphi_{t}$,$\omega_{0}=\omega$,$t\in \mathbb{R}_{\geq 0}$.

に関する方程式に帰着される．

$\frac{d}{dt}\varphi_{t}=\log(\frac{\det(g_{i\overline{j}}+\varphi_{i\overline{j}})}{\det(g_{i\overline{j}})})+\varphi_{t}-h_{\omega_{0}}$,$\varphi_{0}=$constant.

(1)

ただし h 。は$\omega$$Ric(\omega_{0})-\omega_{0}=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\partial\overline{\partial}h_{\omega 0}$,(2)$\int_{X}e^{h_{\omega_{0}}}\omega_{0}^{n}=\int_{X}\omega_{0}^{n}$の意味で収を満たす関数とする．(1) は大域解を持つ．もしで靴が束するならば極限は KE 計量 (のポテンシャル関数) となる．しかし，上で述べで発散する
た通り一般には収束するとは限らない．そこで (1) の解晩が$tarrow\infty$$C^{\infty}$$tarrow\infty$と仮定する．このとき適当な部分列$\{t_{i}\}$をとることで$\varphi_{t_{i}}-\sup\varphi_{t_{i}}$

本研究は科研費 (若手 B, 課題番号:22740041) の助成を受けたものである．
-mail: sano@sci. kumamoto-u. ac. jp$\star 1_{e}$

は特異性を

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$\gamma\in(0,1)$
持った概多重劣調和関数に収束する．その特異性を調べるために，はとに対して乗数イデアル層をを考える．
$\varphi_{\infty}$$\mathcal{I}(\gamma\varphi_{\infty})$$\varphi_{\infty}$$\mathcal{I}(\gamma\varphi_{\infty})$(3)$\Gamma(U,\mathcal{I}(\gamma\varphi_{\infty}))=\{f\in \mathcal{O}_{U}|\int_{U}|f|^{2}e^{-\gamma\varphi_{\infty}}<+\infty\}$が切り取る $X$ の部分概形をを前層に持つ連接イデアル層である．
とする．
について，次のことが知られている 1.
$\mathcal{I}(\gamma\varphi_{\infty})$$V(\gamma\varphi_{\infty})$$\mathcal{V}(\gamma\varphi_{\infty})$

事実 1([9]) $X$ を

次元ファノ多様体とする． を正則自己同型群 Aut(X) のを固定する．
コンパクト部分群とする． -不変なケーラー形式として$X$ が KE
計量を持たないとすると，任意の $\gamma\in(n/(n+1), 1)$ に対して
は-不変かつ固有である．ただし， は の複素
$G$

$n$

$G$

$\omega_{0}\in c_{1}(X)$$V(\gamma\varphi_{\infty})$$G^{c}$$G^{\mathbb{C}}$$(i.e., V(\gamma\varphi_{\infty})\neq 0, \mathcal{O}_{X})$

$G$

化とする．

上の事実は

の存在が KE 計量の存在への障害になっていることを意$\mathcal{V}(\gamma\varphi_{\infty})$

味している．一方で，事実 1 を代数幾何的に言い換えた結果が次である．
事実 2([4]) 事実 1 と同じ仮定とする．任意の $\epsilon>0$ に対して，十分大きい$m\in Z_{>0}$ と $G$ -不変な線形系 $\Sigma\subset|-mK_{X}|$ が存在して次を満たす ; ある有効因
子 $D\in\Sigma$ が存在して，対$(X, \frac{n+\epsilon}{(n+1)m}D)$

は KLT (川又ログ端末的) ではない．

とその上の有効 -因子 $D$ の対と呼ばれ，KLT という条件は対 $(X, D)$ の特異性が mild であることを意味している．特に $X$ が滑
らかな場合には因子 $D$ の特異性の mildness を表す．事実 2 は特異性が高い因子$D$ の存在が KE 計量の存在への障害になっていることを意味している．次の結果は事実 2 と事実 1 を結びつける ; $D= \sum a_{i}D_{i},$ $D_{i}=\{g_{i}=0\}$ (ただし g、は局所的に定義された正則関数) とすると，$(X, D)$ が KLT であることは多重劣調がと等しいことと同値で和関数 $\varphi_{D}=\sum a_{i}\log|g_{i}|$ の乗数イデアル層$(X, D)$ は正規代数多様体 $X$$\mathbb{Q}$$\mathcal{I}(\varphi_{D})$ある．事実 2 は事実 1 の$\varphi_{\infty}$

を$\varphi_{D}$$\mathcal{O}_{X}$で近似することで得られる．本稿では事実1,2 を比較して，次の問題を考える．
問題 1(A) 事実 1 の$V(\gamma\varphi_{\infty})$は因子だろうか ?

(B) もし (A) の答えが肯定的ならば，$V(\gamma\varphi_{\infty})$と事実 2 の因子 $D$ との共通点

相違点を調べよ．

(C)$V(\gamma\varphi_{\infty})$または $D$ は $X$ の安定性への障害になりうるか ?

本稿では上記の問題をトーリックファノ多様体の場合で考え，部分解を与える．

2. 動機
主結果を述べる前に問題 1 の動機について説明する．現在では KE 計量 (より一
般に偏極多様体上の定スカラー曲率計量) の存在性は幾何学的不変式論の意味での多様体の安定性と同値であると予想されている．問題 1 もこの予想を動機とし
1 同様の結果は連続法の場合に Demailly-Koll\’ar [1] により知られていた．

47ている．多様体の安定性にはいくっかの候補があるが，計量との対応が最も期待されるものとして Tian [12], Donaldson [2] により導入された -安定性がある．
$K$

予想 3 偏極多様体 $(X, L)$ が定スカラー曲率計量が K-poly 安定であることは同値である．

$\omega$$SC\in c_{1}(L)$。

を持つことと $(X, L)$

一方で $K$ -安定性をより判定しやすくするために Ross-Thomas [8] はベクトル束の安定性の類似として多様体の部分概形に対してスロープを導入しスロープ安定性を定義した．ベクトル束の小林-Hitchin 対応の類似を KE 計量の場合にもがスロープ安定性 (よって期待するならば，乗数イデアル層の部分概形の-安定性) を崩すことが期待される．このことを確かめるためには
幾何学的性質を調べる必要があり，問題 1 はその一環である．
$V(\gamma\varphi_{\infty})$$K$$\mathcal{V}(\gamma\varphi_{\infty})$

3. 主結果$X$をに関する Aut(X) のワイと $W(X)$ から生成される Aut(X) のコン

次元トーリックファノ多様体とする．

$n$$(\mathbb{C}^{\cross})^{n}$ル群を $W(X)$ とする 2.

を$G$$(S^{1})^{n}$

パクト部分群とする．

定理 4([11]) $X$ が KE 計量を持たないとする．このとき任意の $\gamma\in(1/2,1)$ にのサポート 以下 $, Supp(V(\gamma\varphi_{\infty})))$ に集合論的な意味で含まれ対してる-不変な因子が存在する．
$($$V(\gamma\varphi_{\infty})$$(S^{1})^{n}$

これはトーリック・ファノ多様体の場合において問題 1 の (A) へ肯定的な部分解を与えている．以下，証明の流れを説明する．
Step 1. ケーラーリッチソリトン (以下，KR ソリトン) が存在するときにはKR フローの漸近的挙動は捉えやすくなる．ケーラー形式
に対してとは，ある正則ベクトル場

が KR ソリトン$\omega_{RS}$$v_{RS}$(4)$Ric(\omega_{RS})-\omega_{RS}=\mathcal{L}_{v_{RS}}\omega_{RS}$のりー微分とすに沿ったが成り立つことである．ただし (4) の右辺はは KRる．KR ソリトンが存在するとき， の引き戻し$X$ がトーリックファノ多様体の場合には [13] によフローの方程式を満たす．
$v_{RS}$$\omega_{RS}$$\exp(-tv_{RS})^{*}\omega_{RS}$$\omega_{RS}$$\omega_{RS}$り常に KR ソリトンが存在することが知られている．さらに [14] により，KR ソ
リトンが存在しているときの KR フローの漸近的挙動は $\exp(-tv_{RS})^{*}\omega_{0}$ とほぼ同じになることが分かるの乗数イデアル層れる関数である;$($$V(\gamma\psi_{\infty})$の代わりに. これよりを求めれば良いことになる．ここでcf.

$[10]^{3})$$\psi_{\infty}:=\lim_{tarrow\infty}\psi_{t}$$\varphi_{\infty}$,$\exp(-tv_{RS})^{*}\omega_{0}=\omega_{0}+\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\partial\overline{\partial}\psi_{t}$$\sup\psi_{t}=0$$\psi_{t}$は次で定義さ.

2 $W(X)$ はモーメント多面体を保つような GL $(n.Z)$ の有限群と等しい
3 [10] では $X$ のモーメン多面体の対称性に関する技術的な仮定がなされているが本質的ではな

い．一般のトーリックファノ多様体の場合でも成り立つ．

48
Step 2.
を求めるために，概多重劣調和関数の複素特異指数 (complex
singularity exponent) を用いる．概多重劣調和関数 とコンパクト部分集合$V(\gamma\psi_{\infty})$$Y\subset$$\psi$$X$に対して， の$\psi$$Y$に沿った複素特異指数

は$c_{Y}(\psi)$around$c_{Y}( \psi)=\sup\{c\in \mathbb{R}_{>0}|e^{-c\psi}\in L^{1}$$Y\}$で定義される．定義より $Supp(V(\gamma\psi))=\{p\in X|c_{p}(\psi)<\gamma\}$ である．トーリッ
が一定であるこの内点 に対して-不変ならば
クの場合， が$D$$(S^{1})^{n}$$\psi$$C_{\{p\}(\psi)}$$p$をと書くことにする．
とに注意する．よって の内点 に対するは多面体の情報から具体的に計算できる．ここでは結果のみ述べる． を$D$$c_{D}(\psi)$$c_{\{p\}}(\psi)$

$p$

$K$

$c_{D}(\psi_{\infty})$$K$ の複素化のリー環をAut(X) の極大コンパクト部分群とする．
$v_{RS}\in t$ となる．よってを $K$ -不変になるようにとれば，$v_{B\mathfrak{Z}}$

は

$e$

とする．

$\omega_{RS}$$N_{\mathbb{R}}=Jt_{\mathbb{R}}\simeq \mathbb{R}^{n}$をAut(X) ののベクトルを定める．それを とおく．ただし
実トーラスとし， を乃の複素構造とする． に対して，(境界を含めた) $X$ のを次のように定義する ;に含まれる整数点全体の部分集合
モーメント多面体$\beta$$T_{\mathbb{C}}=(\mathbb{C}^{\cross})^{n}\subset$$t_{\mathbb{R}}$$J$$\beta$

$A$

$P$

$P$

の整数点

$P$

が $A$ に含まれるとは次の条件を満たすときを言う ;$\{p,$

ただし (5) の右辺においてらに$(S^{l})^{n}$

多面体)$-\beta\rangle$.

(5)は $P$ に含まれる整数点全体を走るものとする．さ-不変な因子 $D$ は $X$ のモーメント多面体 $P$ の双対多面体 $Q$ (ファノの頂点に対応しているので，それを $q_{D}\in N_{R}$ とする．

補題 5([10])(i)$p_{i}$$- \beta\rangle=\max_{Pi}\{p_{i},$$(S^{1})^{n}$-不変な因子 $D$ に対して，次のいずれかが成り立っ．

を満たす $p\in A$ が存在するならばである．特に $D$
は任意の $\gamma\in(0,1)$ に対して $Supp(V(\gamma\psi_{\infty}))$ に含まれない．

$\langle p,$$c_{D}(\psi_{\infty})\geq 1$$q_{D}\rangle\geq 0$(ii) すべての $p\in A$ に対して $\{p, q_{D}\}<0$ とする． の元で$A$$\langle p,$$q_{D}\rangle$の最大値を与えるものを po とする．このとき(6)$c_{D}( \psi_{\infty})=\frac{1}{1-\{p_{0},q_{D}\rangle}\leq\frac{1}{2}$が成り立つ．特に$D$は任意の $\gamma\in(1/2,1)$ に対して $Supp(V(\gamma\psi_{\infty}))$ に含まれる．

が-不変な因子を含ま
Step 3. ある $\gamma\in(1/2,1)$ に対してないとする．補題 5 より，ファノ多面体 の任意の頂点 に対して，ある $p\in A$
が存在し，p, q}を満たす．ここでモーメント多面体 $P$ の重心を $b(P)$ とお$Supp(V(\gamma\psi_{\infty}))$$Q$$\langle$$(S^{l})^{n}$$q$$\geq 0$く．このとき次のことが成り立つ．

補題 6([11]) 各記号は上で説明したものと同じとする． の任意の頂点$Q$て，ある $p\in A$ が存在し，p, q$\langle$が成り立つ．

$\rangle\geq 0$を満たすと仮定する．このとき

$q$

に対し

$\{b(P),$ $\beta\rangle\geq 0$

49モーメント多面体の重心 $b(P)$ は二木不変量 $F:$ り$(X)arrow \mathbb{C}$([3])$F(v):= \int_{X}vh_{\omega}\omega^{n}$に対応していることが知られている ([6]). ただし，り (X) は $X$ の正則ベクト

ル場全体がなすリー環， は (2) で定義される関数とする．特には $F(v_{RS})\geq 0$ を意味している．しかし，KR ソリトンの定義 (4) より，(i.e., KR ソリトンが非自明なとき) ならば $F(v_{RS})<0$ である．よって，背理法
により補題 6 の仮定は成り立たない．以上のことより，任意の $\gamma\in(1/2,1)$ に対$\langle b(P),$ $\beta\}\geq 0$$h_{\omega}$$v_{RS}\neq 0$

して $Supp(V(\gamma\psi_{\infty}))$$($つまり $Supp(V(\gamma\varphi_{\infty})))$ に含まれる$(S^{l})^{n}$-不変な因子の存在が示された．

4. 障害的因子
定理 4 より，任意のはに対して-不変な因子をそのものを計算することはまだ出来てい含むことがわかった．しかし，$\gamma\in(1/2,1)$に対してに含まれる因子を用ない．そこで，任意の$\gamma\in(1/2,1)$$(S^{l})^{n}$$Supp(\mathcal{V}(\gamma\varphi_{\infty}))$$\mathcal{V}(\gamma\varphi_{\infty})$$Supp(V(\gamma\varphi_{\infty}))$いて KE 計量の存在性への障害となる因子する．

をすべての $\gamma\in(1/2,1)$ に関する$\{D_{i}\}_{i}$を以下のように定義することにに含まれる$D_{\infty}$$Supp(V(\gamma\varphi_{\infty}))$$(S^{1})^{n_{-}}$

不変な因子全体の集合とする．つまり{$D_{i}:(S^{1})^{n}$とする．各$D_{i}$-inv divisor$|D_{i}\subset Supp(V(\gamma\varphi_{\infty}))$に関して，複素特異指数$c_{D_{i}}(\psi_{\infty})$を

for any $\gamma\in(1/2,1)$ }$d_{i}^{-1}$とおく．(6) より$d_{i}^{-1}= \frac{1}{1-\langle p_{i},q_{D_{i}}\rangle}$はである．ただしは負の整数なので{Pi,が最大になる $A$ の元である．(6) の仮定より$\{p_{i}, q_{D_{i}}\}$$p_{i}$$q_{D_{i}}\rangle$$d_{i}\geq 2$

かつ $d_{i}\in Z$ となる．そこで，(7)$D_{\infty}= \sum_{i}d_{i}D_{i}$と定義する．この因子はなすことが出来る．

$\varphi_{\infty}$$V(\gamma\varphi_{\infty})$から得られる KE 計量の存在性への障害的因子とみははから一に依存しているのに対して$D_{\infty}$$\gamma$$\varphi_{\infty}$の余
意的に定まる．誤解を恐れずに述べると， は が 1 に十分近いはKE 計量への障害として次元 1 の部分を抽出したものと言える．
よりも扱い
よりも情報量は少なくなっているが，因子であるという点で$D_{\infty}$$V(\gamma\varphi_{\infty})$$\gamma$$D_{\infty}$$\mathcal{V}(\gamma\varphi_{\infty})$$V(\gamma\varphi_{\infty})$

やすい．

以下
子

$\frac{1}{m}D$の代わりにの性質を調べていく．まずを比較する (問題 1 (B) ). 任意の $\epsilon>0$ に対して$V(\gamma\varphi_{\infty})$$(X, \frac{n+\epsilon}{(n+1)}D_{\infty})$

が常に一
ない．

$K_{X}$

も KLT$D_{\infty}$$D_{\infty}$と事実 2 の因$(X, \frac{n+\epsilon}{(n+1)m}D)$ではないという点では同じである．しかし，前者ではと数値的同値であるのに対して$D_{\infty}$も$\frac{1}{m}D$は一般に同値であるとは限ら

50
例 7 $X$ を$\mathbb{C}\mathbb{P}^{2}$

方，事実 2 のの 1 点ブローアップとする．

$\frac{1}{m}D$$D_{\infty}$

は $2E$ である (cf.

[10]).

一の一つとして $2E+ \frac{3}{2}(F_{1}+F_{2})$ がとれる 4. ただし $E$ をブローアップの例外因子とし，$F_{1},$$F_{2}$

を $E$ と交わる自己交点数$0$の曲線とする．

5. 安定性との関係
最後に安定性との関係について触れる (問題 1

$(C)$

) .

まず Ross-Thomas のス

ロープ安定性の観点から考える．一般に Ross-Thomas のスロープは，対応すると偏極を与える直線束が定める因部分概形が因子 $D$ の場合， , 標準因子子に関する交点数を用いて表される．よって数値的同値な二つの因子に関す$D$$K_{X}$$D_{L}$$X$ がファノ多様体で偏極が反標準束で与えられている場
るスロープは等しい．
$-K_{X}$ と数値的同値の因子は $X$ を脱スロープ安定化しないことが知られて合，いる．これは事実 2 に現れる因子

はスロープ安定性への障害にはならないことを意味している．実際に例 7 において $2E+ \frac{3}{2}(F_{1}+F_{2})$ は脱スロープ安定化しないが $2E$ は脱スロープ安定化する．よってスロープ安定性に対しては $D$の方が障害になりうると期待できる．しかし，次の事実はその期待が成り立たな$\frac{1}{m}D$。

いことを示している．

事実 8 $(X, K_{X}^{-1})$ を反標準束で偏極された曲面とする．

$\mathbb{C}\mathbb{P}^{2}$の 2 点ブローアップで得られる$X$ の任意の部分概形は $(X, K_{X}^{-1})$(i) $(X, K_{X}^{-1})$ はスロープ安定である．つまり，を脱スロープ安定化しない ([5]).

(ii) $X$ は KE 計量を持たない ([7, 3]).
(iii) $(X, K_{X}^{-1})$ は$K$-不安定である．

上の (i) より一般には$D_{\infty}$

もスロープ安定性の障害にはなり得ない．しかし (ii)より，問題はよりもスロープ安定性の定義にあると言える．つまりスロー
プ安定性は KE 計量の障害にはなっていない．上の (iii) や予想 3 との関連も含$D_{\infty}$

めると，考えるべき安定性はスロープ安定性ではなく -安定性であると言える．
この場合の新たな問題は -安定性はスロープ安定性のように部分概形と直接結びついていない点である．この点について簡単に説明する． -安定性は，テスト
$K$

$K$

$K$

配位と呼ばれる偏極多様体 $(X, L)$ の変形と，その極限である退化した偏の上での Donaldson-二木不変量の符号により定義される (cf. 正
極概形
確な定義については原論文 [2] 参照). 部分概形 $Y\subset X$ に関する $(X, L)$ のス$(\mathcal{X}, \mathcal{L})$$(\mathcal{X}_{0}, \mathcal{L}_{0})$に沿ったブロー
アップという非常に特殊なテスト配位に関する -安定性と同値である．事実 8
はのブローアップから得られる特別なテスト配位だけでは任意のテスト
配位に関する -安定性を確かめるには不十分であることを示唆している．よっロープ安定性は，テスト配位$(\mathcal{X}, \mathcal{L})$として$X\cross \mathbb{C}$の $Y\cross\{0\}$$K$$X\cross \mathbb{C}$

$K$

て，

$D_{\infty}$

が $K$ -安定性への障害になりうるかどうかを調べるためには，より精密

4 このとき $m=2$ である．また$D$の取り方は一意ではない．

51
なテスト配位の構成が必要となる．この点についてはトーリック・ファノ多様体の場合でもまだ分かっていない．部分的な結果として Ross-Thomas の手法の拡
張 5 を考えることで，具体的に計算できる例 (例えばの 2 点ブローアップ$\mathbb{C}\mathbb{P}^{2}$など) では$D_{\infty}$

から $K$ -安定性を崩す脱 $K$ -安定化テスト配位を構成することが

できる．

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$d$

$d$

$arXiv:math$ .DG/0703486 (2007).

5

Ross-Thomas の手法は尾高悠志氏により$K$-安定性の場合に拡張され，現在も発展している．