数理解析研究所講究録1080 巻 1999 年 105-121

105

Log-hyponormal operator について
東北薬科大学棚橋浩太郎[1. はじめに]ヒルベルト空間 $H$ 上の有界作用素全体を $B(H)$ とかく。 $T\in B(H)$ が normal
operator $(TT^{*}=T^{*}T)$ ならば $T$ はスペクトル分解ができる、 よって $T$ の性質

はよく分かっていると考えて良い。 また、 より –般の作用素である hyponormal
operator $(TT^{*}\leq T^{*}T)$ , semihyponormal operatorの性質もXia [12] らによって調べられている。 これらの作用素の–般化として p-hyponormal
operator $((TT^{*})^{p} \leq(T^{*}T)^{p}, 0<p<\frac{1}{2})i$ が Aluthge [.1] によって定義され、 いく$((TT^{*})^{\frac{1}{2}}\leq(T^{*}T)^{\frac{1}{2})}$

つかの興味深い性質が明らかになって以来、 Ch\={o}, Itoh $[3, 4]$ , Furuya [10], Yoshino[13] らがさらにoperator のいろんな性質を明らかにしてきた
こ $$ では、 さら #-\acute 、より –般化されたと考えられる-hyponormal operator とい..
う作用素を定義し、pyhyponormal operator でない-hyponormal operator の例を示す。 また、-hyponormal operator の Aluthge transform, Putnam’s inequality,
Angular cutting に関する性質を紹介する。

.normal$P^{- \mathrm{h}}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}$$\circ$$\log$$\log$$\log$[定義 1.1]$T\in B(H)$ が可逆で次を満たすとき $\log$-hyponormal$\log(TT^{*})\leq\log(\tau*\tau)$

という。

.

関数 $\log x$ : $(0, \infty)arrow(-\infty-, \infty)$ は operator monotone である。 よって、 可逆
な $r$ hyponormal operator は $\log$ -hyponormal である。 このような作用素を考えたのは Ando [2] が最初であろう。

Ando [2] はの値域の閉包への $T^{*}T,$ $TT^{*}$の compression を $A,$ $B$ とおくとき、 $\log B\leq\log A$ で、ならば $T$$T$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*}$は paranormal $(||TX||2\leq||T^{2}x||||x||)$ であることを示した。 $\log$ -hyponormal oper-

ator はこの条件を満たすので、 よって、 Ando [2] から log-hyponormal operator
は paranormal であることがわかる。
次の例は-hyponormal であるが、 どの $0<p$ をとっても -hyponormal operator でない作用素の例である。
$\log$[例 121$P$$H= \bigoplus_{n=-\infty}\mathbb{C}^{2}\infty$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}||x_{j}||^{2}<\infty$とする。 また $x=(\cdots,x_{-1},x_{\mathit{0}}, x_{1}, \cdots)\in H,$ $||x||^{2}=$とおく。 ここで $A,$ $B$ を

106となる行列とする。 また $P\in B(H)$ を$Bx_{n}$$n\leq 0$$Ax_{n}$$1\underline{<}n$$(Px)_{n}=\{$

とおく。

$\text{ま}.\text{た},U$,

を $(Ux)n.=x_{n-}1$ で定まる unitary shift とし $T=UP$ とおく。 すると$0$$n\neq 1$$(A^{2p}-B^{2p})_{X_{1}}$$n=1$ ,$(((T^{*}T)^{p}-(TT^{*})p)_{X})_{n}=\{$$0$$n\neq 1$$(2\log A-2\log B)x_{1}$$n=1$$((\log(\tau*\tau)-\log(\tau\tau*))_{X})_{n}=\{$となる。 ここで [6] より $\log B\leq\log A$ であるが $B^{2p}\leq A^{2p}$ となる $0<p$ は存在しな
は log-hyponormal operator だが銑 hyponormal
いことが示されている。 よってoperator にならない。
$T$

107

[2. Aluthge transform]

Aluthge [1] は p-hyponormal operator $T \in B(H)(0<p<\frac{1}{2})$ が $T=U|T|,$はunitary operator と表されるとき、 Aluthge transformhyponormal であることを示し、 この Aluthge transform を用いての性質を調べた。 この結果は Furuta, Yanagida $[8, 9]$ によって拡張され、 最終的に Yoshino[13], Furuya [10] によって次のように拡張されている。
$U$$\tilde{T}=|T|^{\frac{1}{2}U|}T|\frac{1}{2}$$(p+ \frac{1}{2})-$$T$[命題 21 ( Yoshino [13], -Furuya [10] )] $T\in B(H)$ は p-hyponormalの極分解を $T=U|T|$ として Aluthge transform
operator $(0<p<1)$ とする。
$T(s, t)=|T|^{s}U|T|^{t}(0<s, t)$ を考える。
$T$

$=.$

このとき $\max(s, t)\leq p$ ならば:..

$\cdot$.

$T(s, t)T(-s, t)^{*}\leq|T|^{2}(s+t)\leq T(s, t)^{*}T(s,t)$となる。 よって Aluthge transform $T(s, t)$ は hyponormal operator である。
また、 $p< \max(s, t)$ ならば$\{T(s, t)\tau(s, t)*\}^{\frac{p+\min(_{\mathit{8},t})}{s+t}}\leq|T|^{2(\min}p+(S,t))\leq\{T(S, t)*\tau(S, t)\}^{\frac{p+\min(s,t)}{s+t}}$となる。 よって Aluthge transform $T(s, t)$ はある。
..

$\frac{\mathrm{p}+\min(_{S},t)}{s+t}- \mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\iota$

operator で’次の結果は $\log$ -hyponormal operator はある意味で $p=0$ に対応する p-hyponormal

operator であると考えられることを示している。

[定理 2.2] $T\in B(H)$ は log-hyponormal operator とする。の極分解を
$T=U|T|$ として Aluthge transform$T.(.s, t)=|T|^{s}U|\tau|^{t}(0<S, t)$ を考える。
$T$

このとき
$\{T(s,t)\tau(S, t)^{*}\}^{\frac{\min(\epsilon,t)}{s+t}}\leq|T|^{2\min}(S,t)\leq\{T(s,t)*\tau(S, t)\}^{\frac{\min(s,t)}{\epsilon+t}}$となる。 よって Aluthge transform $T(s,t)$ は$\frac{\min(s,t)}{s+t}$

hyponormal operator である。

以下、 定理 22 の証明を述べる。 次は古田不等式と呼ばれ、 証明の鍵になる。

[命題 23(古田 [7] )] 正数 $0<p,$と作用素 $A,$ $B\in B(H)$ は$0\leq B\leq A$ を満たすとする。 このとき $p+2r\leq(1+2r)q$ かつ $1\leq q$ ならば$q,$$r\in \mathbb{R}$$B^{R_{\frac{+2r}{q}}}\leq(B^{r}A^{p}Br)^{\frac{1}{q}}$$(A^{r}B \mathrm{P}A^{r})\frac{1}{q}\leq A^{L_{\frac{+2\mathrm{r}}{q}}}$が成立する。 (Figure 参照)

,

(1)
(2)

108

[命題 2.4 (Fujii, Jiang, Kamei [5] )] 可逆な正作用素 $A,$ $B\in B(H)$ が$\log B\leq\log A$

を満たすとする。 このとき、 任意の $\delta\in(0,1)$ に対して$B^{\alpha}.\leq(e^{\delta}A)^{\alpha}$を満たす $\alpha\in(0,1)$ が存在する。
は可逆[定理 22 の証明] $T\in B(H)$ は log-hyponormal operator とする。
だから $T=U|T|$ と極分解したときは unitary operator である。 仮定から
$T$

$U$

$\log(\tau*\tau)=\log|T|^{2}\geq(TT^{*})=\log|T^{*}|^{2}$なので$\log|T|\geq\log|\tau^{*}|=U(\log|\tau|)U^{*}$となる。 よって、 命題 24 より、 任意の $\delta\in(0,1)$ に対して$(e|\delta T|)\alpha\geq|T^{*}|^{\alpha}=U|T|^{\alpha_{U}}*$を満たす $\alpha\in(0,1)$ が存在する。よって$|T|^{\alpha}$$e^{\alpha\delta}|T|^{\alpha}\geq U|T|^{\alpha}U*$となるので$e^{\alpha\delta}U*|\tau|^{\alpha}U\geq$が成立する。 よって$e^{2\alpha s_{U^{*}|\tau}}|^{\alpha}U\geq e^{\alpha s_{1}}T|^{\alpha}\geq U|T|^{\alpha_{U}}*$となる。 ここで$A=e^{2\alpha\delta}U^{*}|\tau|^{\alpha_{U}},$ $B=e^{\alpha\delta}|T|\alpha,$とおまず。s さての (s 合) を\near ow T-‘|T9-|。U,$|T|^{t}$$\circ$$s,$$t$$c=U|T|^{\alpha_{U}}*$) とおく。

) とき$arrow\sigma$$\{T(s, t)^{*}\tau(S, t)\}^{\frac{s}{s+t}}=(|T|tU^{*}|\tau|^{2S}U|\tau|^{t})\frac{s}{s+t}$$=\{(e^{-\alpha\delta}B)^{\frac{t}{\alpha}}(e^{-2\alpha s}A)$$=e^{-\frac{2s\delta(2s+\mathrm{t})}{s+t}}(B^{\frac{t}{a}}$A登誓$(e^{-\alpha\delta}B) \frac{\mathrm{t}}{a}\}^{\frac{s}{s+t}}$$B^{\frac{t}{\alpha}})^{\frac{\epsilon}{s+t}}$109となる。 ここで$p= \frac{2s}{\alpha},$$q= \frac{s+t}{s},$ $r= \frac{t}{\alpha}$

とおくと$\frac{2(s+t)}{\alpha}=p+2r\leq(1+2r)q=\frac{(\alpha+2t)(_{S+}t)}{\alpha s}$となるので、 古田不等式から$\{T(s, t)*\tau(S, t)\}^{\frac{s}{s+t}}\geq e^{-\frac{2\epsilon\delta(2S+l)}{s+t}}(B^{\frac{t}{\alpha}}B^{\frac{2s}{\alpha}}B\frac{t}{\alpha})^{\frac{\epsilon}{s+t}}$$=e^{-\frac{2s\delta(2\epsilon+t)}{s+t}}B^{\frac{2s}{\alpha}}$

となる。
同様に
$\{T(s, t)\tau(s, t)*\}^{\frac{s}{s+t}}=(|T|^{s}U|\tau|^{2}tU*|\tau|S)^{\frac{s}{s+t}}$$=\{(e^{-\alpha s}B)^{\frac{s}{\mathrm{o}}}C^{\frac{2t}{\alpha}}(e^{-}B\alpha s)^{\frac{s}{\alpha}\}^{\frac{s}{s+t}}}$$-=e^{-\frac{2s^{2}\delta}{s+t}}(B^{\frac{s}{\alpha}}C^{\frac{2t}{a}}B^{\frac{s}{\alpha}})^{\frac{s}{s+t}}$が成立する。 ここで$p= \frac{2t}{\alpha},$$q= \frac{s+t}{s},$ $r= \frac{s}{\alpha}$

とおくと$\frac{2(s+t)}{\alpha}=p+2r\leq(1+2r)q=\frac{(\alpha+2s)(_{S}+t)}{\alpha s}$となるので、 古田不等式より$\{T(s, t)T(s, t)^{*}\}^{\frac{s}{s+t}}\leq e^{-\frac{2s^{2}\delta}{s+t}}(B^{\frac{\mathrm{s}}{\alpha}}B^{\frac{2t}{\alpha}}B\frac{s}{\alpha})^{\frac{s}{s+t}}$$=e^{-\frac{2\mathrm{s}^{2}\delta}{s+t}}B^{\frac{2s}{\alpha}}$となる。 よって$\{T(_{S}, t)*\tau(S, t)\}^{\frac{s}{s+t}}\geq e^{-\frac{2s(2\mathit{8}+t)\delta}{s+t}}B^{\frac{2s}{\alpha}}=e^{-\frac{2s(2\epsilon+t)\delta}{\epsilon+t}}e^{2S}|\mathit{5}\tau|^{2}s$$\geq e^{-\frac{2s\{2*+t)\delta}{s+t}}e^{\frac{2\epsilon^{2}\delta}{\epsilon+t}}\{T(s, t)\tau(s, t)^{*}\}\frac{s}{s+t}$が成立する。 ここで $\delta\in(0,1)$ は任意だったので$\{T(s,t)*\tau(S, t)\}\frac{s}{s+t}\geq|T|^{2s}\geq\{T(s, t)\tau(s, t)^{*}\}\frac{s}{s+t}$

となる。

[証明終]

$t<s$ の場合も同様である。

[定義 25] $T\in B(H)$ のスペクトル全体を, 点スペクトル全体をの joint point spectrum であるとはがとおく。 また、 複素数$\sigma(T)$$z\in \mathbb{C}$$T$$(T-z)x=0$ かつ$(T^{*}-\overline{\mathcal{Z}})x=0$$\sigma_{p}(T)$110を満たす non-zero vector $x\in H$ が存在するときをいい、
全体を
とかく。

$T$

の joint point spectrum$\sigma_{jp}(T)$[定理 26] $T\in B(H)$ が log-hyponormal operator ならば$\sigma_{p}(T)=\sigma_{j}(pT)$である。
はは可逆なので[証明] $T\in B(H)$ を $T=U|T|$ と極分解する。 このとき
さてunitary operator である。とする。 このとき、 $Tx=U|\tau|X=$$zx$ となる non-zero vector $x\in H$ が存在する。
の Aluthge transformはを考える。 定理 22 より
hyponormal operator である よって [12, Theorem 123] より
$T$

$U$

$z=\rho e^{i\theta}\in\sigma_{P}(T)$$T$$\tilde{T}=|T|^{\frac{1}{2}}U|\tau|^{\frac{1}{2}}$$\tilde{T}$$\frac{1}{2}-$$\sigma_{p}(\tilde{T})=\sigma_{jp}(\tilde{T})$$\circ$である。 ここで$\tilde{T}|\tau|^{\frac{1}{2}}X=|T|^{\frac{1}{2}U}|\tau|x=|T|^{\frac{1}{2}}\mathcal{Z}X=\rho e^{i\theta}|T|^{\frac{1}{2}}x$となるが、 [12, Theorem 123] の証明より、 実は$\tilde{T}^{*}|T|\frac{1}{2}x=\rho e^{-i\theta}|T|^{\frac{1}{2}}x$が成立する。 よってとなるが、 $|T|$ は可逆なので $U^{*}|T|x=$である。 また、 $U|T|x=\rho e^{i\theta}x$ なので $|T|x=U^{*}U|T|x=\rho e^{i\theta}U^{*}x$ となる。
$|T|^{\frac{1}{2}}U*|T|X=\rho e^{-i\theta}|T|^{\frac{1}{2}}x$$\rho e^{-i\theta_{X}}$

よって $\rho e^{i\theta}(U*)^{2}x=U^{*}|T|x=\rho e^{-i\theta}x$ となるから $(U^{*})^{2}x=e^{-2i\theta}x$ が示された。
よって$U^{*}(U^{*}+e^{-i\theta})x=(U^{*})^{2}x+e^{-i\theta}U^{*}x=e^{-2i\theta}x+e^{-i\theta}U^{*}x$$=e^{-i\theta}(U^{*}+e^{-i\theta})x$,$U^{*}(U^{*}-e-i\theta)x=(U^{*})^{2}x-e^{-i}\theta U^{*}x=e^{-2i\theta_{X}}-e^{-i}\theta U*X$$=-e^{-i\theta}(U*-e-i\theta)x$となる。
さて $|\mu|=1,$ $M_{\mu}=\{f\in H|U^{*}.f=\mu f\}$ とおく。 このとき $f\in M_{\mu}$ ならば$|T|f\in M_{\mu}$$T$となることを示そう。

は log-hyponormal operator なので$\log|T|\geq\log|\tau*|=U(\log|\tau|)U^{*}$となる。 ここで $Q=\log|T|-U(\log|T|)U^{*}\geq 0$ とおくと、$0\leq<Qf,$ $f>=<\log|T|f,$ $f>-<U(\log|\tau|)U*f,$ $f>$$Uf>$$=<\log|\tau|f,$ $f>-<(\log|\tau|)U^{**}f,$$=<\log|\tau|f,$ $f>-<(\log|\tau|)\mu f,$ $\mu f>=0$111となるので、 $Qf=0$ となる。 つまり$(\log|T|)f=U(\log|\tau|)U*f=U(\log|T|)\mu f$となる。 よって $U^{*}(\log|T|)f=\mu(\log|T|)f$ であるから $(\log|T|)f\in M_{\mu}$ である。
よって、任意の多項式 $g(\cdot)$ に対して $g(\log|T|)f\in M_{\mu}$ となる。 よって $|T|f\in$
である。
$-$

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

よって,$U^{*}|T|(U^{*}+e^{-i\theta})x=e^{-i\theta}|T|(U^{*}+e^{-i\theta})x$(3)$U^{*}|T|(U*-e-i\theta)_{X=}-e-i\theta\{T|(U*-e-i\theta)x$(4)となる。 ここで (4) から (3) を引くと$U^{*}|T|x=|T|U^{*}x$となる。 従って.

である。

:.. $T^{*}x=|T|U^{*}x=U^{*}|T|x=\rho e^{-i\theta}x=\overline{z}x$
[証明終]

112
[3. Putnam’s inequality]

Putnam [11] は hyponormal operatorに対して次の不等式を示した。

$T$[命題 3.1 (Putnam [11])] $T\in B(H)$ は hyponormal operator とする。 この.

とき$||T^{**} \tau-TT||\leq \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\sigma(\tau)=\frac{1}{\pi}\int\int_{\sigma \mathrm{t}^{T}})\theta rdrd$が成立する。
この結果は Xia [12], Cho, Itoh [4] によって次のように拡張された。

[命題 32 (Xia [12], Ch\={o}, Itoh [4] )] $T\in B(H)$ は $r$ hyponormal operator$(0<p<1)$ とする。 このとき$|| \frac{(T^{*}T)p-(T\tau*)^{p}}{p}||\leq\frac{1}{\pi}\int\int_{\sigma(\tau)}r-p1d2rd\theta$が成立する。
$T$が log-hyponormal operator の場合は $parrow+0$ として予想される次式が成立する。

[定理 33] $T\in B(H)$ は$\log$-hyponormal operator とする。 このとき$|| \log(\tau*T)-\log(\tau T^{*})||\leq\frac{1}{\pi}\int\int_{\sigma(\tau)}r^{-}d1\Gamma d\theta$が成立する。

[注意 34] $T\in B(H)$ が可逆な p-hyponormal operator の場合は次のようにして示すことができる。

L\"owner-Heinz’s inequality$0\leq B\leq A,$ $0<p<1\Rightarrow B^{p}\leq A^{p}$

より

$T$

は任意の $0<q<p$ について q-hyponormal operator でもあるから、 命題

32 より$\frac{(T^{*}T)q-I}{q}-\frac{(T\tau*)^{q}-I}{q}||\leq\frac{1}{\pi}\int\int_{\sigma(T})r^{21}q-drd\theta$が成立している。 (左辺の変形は、 藤井さんの指摘による。) よって、 $qarrow+0$ として$|| \log(T*T)-\log(\tau T^{*})||\leq\frac{1}{\pi}\int\int_{\sigma(T)}r-1drd\theta$が成立する。
以下、 定理 33 を証明する。

113[定義 35] $T\in B(H)$ の approximate point spectrum 全体を.residual
spectrum 全体をとかく。 また、複素数の joint approximate
がpoint spectrum であるとは$\sigma_{a}(T),$$\sigma_{r}(T)$$T$$z\in \mathbb{C}$$||(T-Z)f_{n}||arrow 0,$ $||(T^{*}-\overline{Z})f_{n}||arrow 0(narrow\infty)$となる unit vector の列几 $\in H$ が存在するときをいい、 $T$ の joint approximate

point spectrum 全体を$\sigma_{ja}(T)$とかく。

[定理 36] 作用素 $T\in B(H)$ が$\log$-hyponormal operator ならば$\sigma_{a}(T)=\sigma_{j}(aT)$である。

[証明] $T\in B(H)\text{を_{}\dot{T}=}U|\tau|$ と極分淫する。 さて
このとき、$z=\rho e^{i\theta}\in\sigma_{a}(T)$とする。

$.\backslash$$(T-z)fn=(U|T|-\rho e^{i})\theta fnarrow 0(narrow\infty)$となる non-zero vector の列几 $\in H$ が存在する。 ここで$(T^{*}-\overline{Z})fnarrow 0(narrow\infty)$

を示せばよい。
さて、は可逆なので $U$ は unitary operator であり、$T$

こで $T$ の Aluthge transform$\tilde{T}=|T|^{\frac{1}{2}}U|\tau|^{\frac{1}{2}}$’も可逆である。 こを考える。 定理 22 よりは$|T|$$\tilde{T}$$\frac{1}{2}-$.

hyponormal operator であり、$||( \tilde{T}-Z)|\tau|\frac{1}{2}f_{n}||=|||T|\frac{1}{2}U|T|f_{n}-z|\tau|^{\frac{1}{2}}f_{n}||$$\leq|||\tau|^{\frac{1}{2}1}|||(\tau-Z)f_{n}||arrow 0$となっている。 よってoperator だから [12, Theorem 125] より$(\tilde{T}-z)|T|^{\frac{1}{2}}fnarrow 0$である。 ここで$\sigma_{a}(\tilde{T})=\sigma_{j}(a\tilde{T})$$\tilde{T}$となっている。 よって$(U^{*}|T|-\rho e-i\theta)f_{n}arrow 0$である。 また、 $(U|T|-\rho e^{i})\theta fnarrow 0$ であるから$(|T|-pe^{i\theta*}U)fn=U^{*}(U|T|-\rho e)i\theta f_{n}arrow 0$$(U^{*}|T|-\rho e^{i}(\theta U*)2)fnarrow 0$$\frac{1}{2}-\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{P}^{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}}\mathrm{m}\mathrm{a}1$となり、 その証明から$(\tilde{T}^{*}-\overline{z})|\tau|^{\frac{1}{2}f_{n}}=|T|^{\frac{1}{2}}(U^{*}|\tau|-\rho e-i\theta)f_{n}arrow 0$となる。 よっては114となる。 従って$((U^{*})^{2}-e^{-2i})\theta f_{n}arrow 0$である。 よって$U^{*}(U^{*}+e-i\theta)\beta n-e-i\theta(U^{*}+e^{-i\theta})f_{n}$$=(U^{*})^{2}f_{n}+e^{-i\theta}U^{*}fn-e-i\theta U*f_{n}-e^{-}f_{n}2i\thetaarrow 0$$U^{*}(U^{*}-.

,e^{-i\theta})f_{n}+e^{-i\theta}(U^{*}-e^{-i\theta})f_{n}$$=(U^{*})^{2-i\theta}f_{n}-eU^{*}f_{n}+e^{-i\theta}U^{*}f_{n}-e^{-}f_{n}2i\thetaarrow 0$

となる。
$T$

は log-hyponormal operator だから$\log|T|\geq\log|T*|.=U(\log|\tau|)-U^{*}$となる。 ここで $Q=\log|T|-U(\log|T|)U^{*}\geq 0,$ $g_{n}=(U^{*}+e^{-i\theta})f_{n},\mu=e^{-}i\theta$ ま
たは $g_{n}=(U^{*}-e^{-})i\theta f_{n},$ $\mu=-e^{-}i\theta$ とおく。すると$U^{*}g_{n}-\mu g_{n}arrow 0$

かつ$Ug_{n}-\overline{\mu}g_{n}arrow 0$である。 よって$0\leq<Qg_{n},g_{n}>=<(\log|\tau|)gn’ g_{n}>-<(\log|\tau|)U*g_{n},$ $U^{*}g_{n}>$$=<(\log|\tau|)g_{n},gn>-<(\log|T|)(U^{*}-\mu)gn’>U*gn$$-<(\log|\tau|)\mu gn’(U^{*}-\mu)gn>-<(\log|T|)\mu gn’\mu gn>arrow 0$より、$||Q^{\frac{1}{2}}g_{n}||arrow 0$, 従って $Qg_{n}arrow 0$ である。 よって$(\log|T|)gn-U(\log|\tau|)U^{*}gnarrow 0$となるから$(\log|\tau|)g_{n}-U(\log|T|)\mu g_{n}arrow 0$となる。 よって$U(\log|\tau|)gn-\overline{\mu}(\log|\tau|)gnarrow 0$,$U^{*}(\log|\tau|)gn-\mu(\log|\tau|)g_{n}arrow 0$

である。
さて、 $h_{n}=(\log|T|)g_{n}$ とおく。 すると、 同様の議論から、$U(\log|T|)h_{n}-\overline{\mu}(\log|T|)h_{n}arrow 0$$U^{*}(\log|T|)h_{n}-\mu(\log|T|)h_{n}arrow 0$

,

115

となり、 よって$U(\log|T|)2g_{n}-\overline{\mu}(\log|\tau|)^{2}gnarrow 0$,$U^{*}(\log|T|)2g_{n}-\mu(\log|\tau|)^{2}gnarrow 0$となる。 従って、 この議論を繰り返すと、 任意の多項式 $f$ に対して$\tau Uf(\log|\tau|)gn-\overline{\mu}f(\log|\tau|)g_{n}arrow 0$,$U^{*}f(\log|\tau|)gn-\mu f(\log|\tau|)g_{n}arrow 0$が成立する。 よって$U|T|g_{n}-\overline{\mu}|T|gnarrow 0$,$U^{*}|T|gn-\mu|T|gnarrow 0$となる。 よって$U^{*}|T|(U^{*}+e^{-i\theta})f_{n}-e^{-}|i\theta T|(U^{*}+e^{-i\theta})f_{n}arrow 0$(5)$U^{*}|T|(U^{*}-e^{-})i\theta fn+e^{-i\theta}|T|(U*-e-i\theta)fnarrow 0$(6)である。 ここで (6) から (5) を引くと$U^{*}|T|f_{n}-|\tau|U^{*}fnarrow 0$となるから、$(.T^{*}-\rho.e-i\theta)f_{n}=|T|U^{*}fn-.U^{*}.|\tau|f_{n}+.U^{*}!T|f_{n}-.\rho e^{-}f_{n}i\thetaarrow 0$

[証明終]

となる。

[定理 38] $T\in B(H)$ は可逆とし、 その極分解を $T=U|T|$ とおく。 $t\in[0,1]$とし、 $\phi(\rho)=\rho e^{t\rho}1-t$ とおく。 また、
である。
このとき

$\tilde{\phi}(\rho e^{i\theta})$$=ei\theta\phi(\rho),\tilde{\phi}(T)=U\emptyset(|\tau|)$

とおく。

.

$\sigma_{ja}(\tilde{\phi}(T))=\tilde{\emptyset}(\sigma_{j}(a\tau))$[証明]$\rho e^{i\theta}\in\sigma_{ja}(T)$とする。 $T$ は可逆だから $0<\rho$ で $U$ は unitary operatorである。 よって [12, Lemma 12.4] から$(U-e^{i\theta})x_{n}arrow 0$

かつ$(|T|-\rho)xnarrow 0$となる unit vector の列 $x_{n}\in H$ が存在する。 よって$U^{*}(U-e^{i\theta})X_{n}=(I - e^{i\theta}U^{*})x_{n}arrow 0$

よって $(e^{-i\theta}-U^{*})X_{n}arrow 0$ となる。

,

116

さて $0<\epsilon$ を任意にとる。 すると$\max\{|\phi(\rho)-P_{\epsilon}(p)| :\rho\in\sigma(|T|)\}\leq\epsilon$を満たす多項式瓦が存在する。 よって $||\phi(|T|)-P\epsilon(|T|)||\leq\epsilon$ である。 ここで$||(P_{\zeta}(|T|)-P(\epsilon\rho))x|n|arrow 0$だから.
$||(\emptyset(|T|)-\emptyset(\rho))X_{n}||arrow 0$となる。 よって$(U\phi(|T|)-e^{i}\theta\phi(\rho))x_{n}=U(\phi(|T|)-\emptyset(\rho))x_{n}+\phi(\rho)(U-e)i\theta X_{n}arrow 0$である。 従って$(\phi(|T|)U*-e-i\theta\phi(\rho))x_{n}$$=\phi(|T|)(U^{*-i\theta}-e)x_{n}+e^{-i\theta}(\phi(|T|)-\emptyset(\rho))x_{n}arrow 0$となる。 よって$e^{i\theta}\phi(\rho)=\tilde{\phi}(pe^{i\theta})\in\sigma ja(U\phi(|\tau|))=\sigma ja(\tilde{\emptyset}(\tau))$となるので$\tilde{\phi}(\sigma_{ja}(T))\subset\sigma ja(\tilde{\phi}(\tau))$が示された。
次に$\tilde{\rho}e^{i\tilde{\theta}}\in\sigma_{ja}(\tilde{\phi}(\tau))$とする。 すると [12, Lemma 12.4] より$(U-e)i\tilde{\theta}x_{n}arrow 0,$$(\phi(|\tau|)-\tilde{\rho})xn=(|T|1-tt\tau|-\tilde{\rho})e^{1}xnarrow 0$となる unit vector の列 $x_{n}\in B(H)$ が存在する。 さて$\rho^{1-tt\rho}e=\tilde{\rho}$の逆関数とする。 このとき、 任意の$\max\{|\phi^{-1}(\tilde{\rho})-P_{\epsilon}(\tilde{\rho})| :$0<\epsilon$$\rho=\phi^{-1}(\tilde{\rho})$に対して\tilde{\rho}\in\sigma(\phi(|T|))\}<\epsilon$となる多項式瓦が存在する。 よって$||\phi^{-1}(\emptyset(|\tau|))-P_{\epsilon}(\emptyset(|\tau|))||=|||T|-P_{\epsilon}(\emptyset(|\tau|,))||<\epsilon$となる。 ここで$||P_{\epsilon}(\emptyset(|\tau|))xn-P_{\epsilon}(\tilde{\rho})xn||arrow 0$だから$||(|T|-\emptyset^{-}1(\tilde{\rho}))X_{n}||arrow 0$となって、 前の議論と同じようにして$e^{i\overline{\theta}}\phi^{-1}(\tilde{\rho})\in\sigma ja(U|\tau|)=\sigma ja(T)$を $\phi(\rho)=$117が示される。従って[証明終]$\sigma_{ja}(\tilde{\phi}(\tau))\subset\tilde{\phi}(\sigma_{ja}(T).)$だから.

$\sigma_{ja}.(\tilde{\phi}(\tau))=\tilde{\emptyset}(\sigma_{j}(a\tau.).).\cdot$.:.. .

....,

である。

.

$\cdot$[定理 39] 作用素 $T\in B(H)$ は可逆な -hyponormal operator とする。 また、$\frac{1}{2}$$\mathrm{S}\subset \mathbb{C},$$0\leq t\leq 1,0\leq r,$ $0\leq\theta<2\pi$とする。 ここで$T(t)=U|\tau|1-tte^{|\tau}|$,$\tau_{t}(\rho ei\theta)=ei\theta-tt\rho\rho^{1}C$とおく。 このとき、 もし、$\sigma_{ja}(T(t))\cap\tau_{t}(\mathrm{s})=\sigma_{a}(T(t))\mathrm{n}\tau_{t}(\mathrm{s})$$\forall t\in[0,1]$ならば$\sigma_{a}(T(t))\cap\tau_{t}(\mathrm{s})=\tau_{t}(\sigma a(\tau)\cap \mathrm{S})$$\forall t\in[0,1]$$\sigma_{r}(\tau(t))\cap\tau_{t}(\mathrm{S})=\tau_{t}(\sigma(\Gamma T)\cap \mathrm{S})$$\forall t\in[0,1]$$\sigma(T(t))\cap\tau_{t}(\mathrm{S})=\mathcal{T}t(\sigma(\tau)\cap \mathrm{S})$$\forall t\in[0,1]$,,

が成立する。

[証明]$\rho e^{i\theta}\in \mathrm{S}$の連続関数でとする。 このとき $[0,1]\ni tarrow\tau_{t}(\rho e^{i\theta})=e\rho-tei\theta 1t\rho$ は $t\in[0,1]$$\tau_{0}(\rho’)$$=\rho e^{i\theta}$$\tau_{t}$

:

ここで
を満たす。
. . .

..

$\mathrm{S}\ni\rho ei\thetaarrow e^{i\theta}\rho^{1-tt\rho}e\in\tau t(\mathrm{s})$は全単射である。 また$\log\{(T(t))*(\tau(t))\}-\log\{(T(t))(T(t))*\}$$=2(1-t)\{\log|T|-U(\log|T|)U^{*}\}+2t(|T|-U|T|U^{*})\geq 0$

なので $T(t)$ は log-hyponormal operator である。 よって定理 3.7, 3.8 より$\sigma_{a}(T(t))=\sigma_{ja}(T(t))=\tau_{t}$($\sigma_{j}$

$(T)$

。

)

となる。 よって$\sigma_{a}(T(t))\cap\tau_{t}(\mathrm{S})=\sigma_{ja}(\tau(t))\cap \mathcal{T}_{t(}\mathrm{s})=\mathcal{T}t(\sigma_{ja}(\tau))\cap \mathcal{T}_{t(\mathrm{S}})$$=\tau_{t}(\sigma_{j}a(\tau)\cap \mathrm{S})=\mathcal{T}t(\sigma a(T)\cap \mathrm{S})$である。 よって$\sigma_{a}(T(t))\cap\tau t(\mathrm{S})=\mathcal{T}t(\sigma_{a}(T(0))\cap \mathrm{s})=\tau_{t}(\sigma a(\tau)\cap \mathrm{S})$となる。 よって [12, Lemma 13.1] より$\sigma_{r}(T(t))\cap\tau t(\mathrm{S})=\tau_{t}(\sigma_{r}(T(0^{\cdot}))\cap \mathrm{S})=\tau_{t}(\sigma_{r}(\tau)\cap \mathrm{S})$$\sigma(T(t))\mathrm{n}_{\mathcal{T}}t(\mathrm{S})=\tau_{t}(\sigma(\tau(0))\mathrm{n}\mathrm{s})=\tau_{t((\tau}\sigma)\cap \mathrm{S})$

,

118

[証明終]

である。

-hyponormal operator として、 その極分解をが-hyponormal operator-ならば$T=U|T|$ とおく。 このとき、 もし、[定理 310] $T\in B(H)$ は$\frac{1}{2}$$Ue^{|T|}$$\sigma_{a}(Ue^{||})T=\{e^{\rho}e^{i\theta} :$\log$\rho e^{i\theta}\in\sigma_{a}(T)\}$$\sigma_{r}(Ue)|\tau|=$$\{ e^{\rho}e^{i\theta} :\rho e^{i\theta}\in\sigma_{r}(T)\}$$\sigma(Ue^{1}T|)=$$\{ e^{\rho}e^{i\theta} :\rho e^{i\theta}\in\sigma(T)\}$,,が成立する。

[証明] $0\leq t\leq 1$ として$T(t)=U|T|^{1}-tt|\tau e|$,$\tau_{t}(\rho e)i\theta=e^{i\theta}\rho^{1-}e^{t}t\rho$

とおく。 ここで $T(t)$ は $\log$-hyponormal operator なので定理 36 より$\sigma_{j}$$(T(t))\mathrm{n}\tau\iota(\mathbb{C})=\sigma(a\tau(i))\cap\tau_{t}(\mathbb{C})$。

となる。 よって定理 39 より$\sigma_{a}(T(t))\cap\tau_{t}(\mathbb{C})=\tau_{t}(\sigma_{a}(T)\cap \mathbb{C})$$\forall t\in[0,1]$,$\sigma_{r}(T(t))\cap\tau_{t}(\mathbb{C})=’\tau_{t}(\sigma_{r}(T)\cap \mathbb{C})$$\forall t\in[0,1]$,$\sigma(T(t))\cap\tau_{t}(\mathbb{C})=\tau_{t}(\sigma(T)\cap \mathbb{C})$$\forall t\in[0,1]$となる。 また、 定理 36 より

the boundary of $\sigma(T(1))\subset\sigma_{a}(T(1))=\sigma_{ja}(T(1))$$\subset\tau_{1}(\mathbb{C})=\{z\in \mathbb{C} :|z|\geq 1\}$となる。 ここで $T(1)=Ue^{|T|}$ は可逆なので$\sigma(T(1))=\sigma(Ue^{||})\tau\subset \mathcal{T}_{1}(\mathbb{C})$である。 よって$\sigma$$(Ue^{|T})|=\tau_{1}(\sigma_{a}(\tau))=\{e^{\rho}e^{i\theta} :\rho e^{i\theta}\in\sigma_{a}(T)\}$,\rho e^{i\theta}\in\sigma_{r}(T)\}$,。

$\sigma_{r}(Ue^{||})T=\tau_{1}(\sigma_{r}(\tau))=\{e^{\rho}e^{i\theta} :$\sigma(Ue^{1}T|)=\tau_{1}(\sigma(T))=\{e^{\rho}e^{i\theta} :\rho e^{i\theta}\in\sigma(T)\}$

[証明終]

となる。

[定理 32 の証明] まず $\log(\tau*\tau)=\log|T|^{2}\geq 0$ の場合を示す。 このときは$\sigma(|T|)\subset[1, \infty)$である。 ここで $S=U\log|T|$ とおく。 すると $|S|=\log|T|$ になり、$(S^{*}S)^{\frac{1}{2}}-(SS^{*})^{\frac{1}{2}}=\log|T|-U(\log|T|)U^{*}$$= \frac{1}{2}(\log(\tau*T)-\log(T\tau*))\geq 0$

119が成立する。 よって$S \ovalbox{\tt\small REJECT}\dot{\mathrm{h}}\frac{1}{2}- \mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}$operator である。 よって命題 3.1 より.

(7)$||(s*S) \frac{1}{2}-(ss^{*})^{\frac{1}{2}}||\leq\frac{1}{2\pi}\int\int_{\sigma}(s)d_{\Gamma d}\theta$となる。 ここで $Ue^{|S|}=U|T|=T$ だから定理 3.10 より$\sigma(T)=\sigma(Ue^{1})s|=\{eei\theta r|re^{i\theta}\in\sigma(S)\}$となる。 ここで $r=\log\rho$ とおくと

$dr– \frac{1}{\rho}d\rho$なので (7) より$|| \log(\tau*\tau)-\log(T\tau^{*})||\leq\frac{1}{\pi}\int\int_{\sigma()}\tau d\frac{1}{\rho}\rho d\theta$

である。

次に $\log(\tau*\tau)<0$ の場合を示す。 $0<c$ とすると$\log\{(cT)^{*}(CT)\}=2\log c+\log(\tau*\tau)$となるので、 適当な $0<c$ に対して $\log\{(cT)^{*}(cT)\}\geq 0$ である。 よって、 前半の議論から$|| \log\{(CT)*(_{C}\tau)\}-\log\{(C\tau)(c\tau)^{*}\}||\leq\frac{1}{\pi}\int\int_{\sigma(\mathrm{C}\tau})\frac{1}{\rho}d\rho d\theta$となる。 ここで $\sigma(cT)=C\sigma(T)$ だから、$\tilde{\rho}=\frac{1}{c}\rho$

とおくと$|| \log(\tau*\tau)-\log(T\tau^{*})||\leq\frac{1}{\pi}\int\int_{\sigma(T)}\cdot\frac{1}{c\tilde{\rho}}Cd\tilde{\rho}d\theta=\frac{1}{\pi}\int\int_{\sigma(T)}\frac{1}{\tilde{\rho}}d\tilde{\rho}d\theta$が成立する。

[証明終]120[4. Angular cutting]$T\in B(H)$ が normal operator ならば $T=U|T|$ となる unitary operator $U$ が存在する。 このとき
$E_{\lambda},$$U= \int_{\mathrm{t}\mathrm{f}}\lambda dE_{\lambda},$$|T|= \int_{0}^{\infty}\mu dF_{\mu}$とスペクトル分解すると $T$ とは可換になる。 ここで $\gamma=\{e^{i\theta} : a<\theta<b\}$ という arc に対して

$F_{\mu}$$E(\gamma)H=H_{\gamma},$とおくと$H_{\gamma}$$T_{\gamma}=T|_{H_{\gamma}}$は $D_{\gamma}=\{re^{i\theta} : 0\leq r, \theta\in\gamma\}$ にあるスペクトラムに対応する$T$の等が成立する。
spectral subspace であり、が hyponormal ならばこのようなスペクトル分解は望めないが、特に $T=U|T|$となる unitary operatorが存在する場合には同様の結果が成立することを Xia[12] が証明した。 この結果は Cho, Itoh [3] によって次のように拡張されている。
$\sigma(T_{\gamma})\subset\overline{D_{\gamma}}$

$T$

$U$

[命題 4.1 (Ch\={o}, Itoh [3] )] $T\in B(H)$ は -hyponormal operator $(0<p<1$
$P$

$)$

で $T=U|T|$ となる unitary$\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\dot{\mathrm{a}}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}U=\int_{\mathrm{T}}\lambda dE_{\lambda}$$H_{\gamma}=E(\gamma)H,$が存在するとする。 ここで$T_{\gamma}=U|_{H_{\gamma}}(E(\gamma)|T|^{2\mathrm{p}}E(\gamma))^{\frac{1}{2p}}|_{H_{\gamma}}$

とおくとき$\sigma_{p}(\tau_{\gamma})\backslash \{0\}=\sigma_{p}(T)\cap D_{\gamma},$$\sigma_{a}(T_{\gamma})\cap D_{\gamma}=\sigma$$(T)\cap D_{\gamma},$$\sigma(T_{\gamma})\subset\overline{D_{\gamma}}$,$\sigma_{f}(T_{\gamma})\cap D=\sigma_{r}(\gamma\tau)\cap D_{\gamma},$$\sigma(T_{\gamma})\cap D=\sigma(\gamma T)\cap D$。

。

が成立する。
$T$が $\log$ -hyponormal operator の場合は $T$ は可逆なので $U$ は unitary operatorである。 この場合の angular cutting は次のようになる。 (証明略)[定理 42] $T\in B(H)$ は$\log$-hyponormal operator とする。 ここで$U= \int_{\mathbb{F}}\lambda dE_{\lambda}$

として$H_{\gamma}=E(\gamma)H,$ $T_{\gamma}=U|_{H_{\gamma}}(e^{E(\gamma)(\mathrm{l}})\mathrm{o}\mathrm{g}|T|)E(\gamma)|_{H_{\gamma}}$

とおくとき$\sigma_{p}(T_{\gamma})=\sigma(p\tau)\cap D_{\gamma},$$\sigma$$(T_{\gamma})\cap D=\sigma_{a}(\gamma\tau)\cap D_{\gamma},$。

が成立する。

$\sigma(T_{\gamma})\subset\overline{D_{\gamma}}$$\sigma_{f}(\tau_{\gamma})\cap D$,。

$=\sigma_{f}(T)\cap D_{\gamma},$$\sigma(T_{\gamma})\cap D_{\gamma}=\sigma(\tau)\cap D_{\gamma}$

121

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$p$