数理解析研究所講究録
1075 巻 1999 年 7-21

7

回転球殻における熱対流砂柱の形成機構
地球フロンティア研究システム
文部省核融合科学研究所

北内英章
木田重雄

(Hideaki Kitauchi)(Shigeo Kida)

概要
同 $-$ 角速度で回転する 2 つの同心球に挟まれた Boussinesq 流体の熱対流運動によって生成される定常な Taylor-Proudman 渦柱の構造を, 忌辰の回転が速い場合 (自転周期が熱拡散時間よりも十分小さい場合) について, 数値解析により調べた. 回転軸方向に伸ばされたコラム型のサイクロン渦柱 (球殻の回転角速度と同じ方向の渦度成分をもつ渦柱) とアンチサイクロン渦柱が回転軸のまゎりに交互に 6 組生成され, それらは相対的な位置を $-$ 定に保ちながら球殻よりも速く回転している.

アンチサイクロン渦柱の赤道面上の渦度の大きさの極大値

は, サイクロン渦柱のそれよりも大きいが, 前者の外球近傍の極大値は, 後者のそれよりも小さい. サイクロン渦柱とアンチサイクロン面面の渦度の大きさの極大値の非対称性は, 熱対流渦柱の形成機構で理解できる.

keywords: 回転割殻, Boussinesq 流体, 熱対流運動 Taylor-Proudman 門柱

1

はじめに回転する球 (殻) 内の熱対流運動は, 太陽や地球などの自転する球状天体の大気や内部流体の運動, および磁気ダイナモなどに関連して, 古くから興味ある問題である.

Chan-drasekhar [1] は, 回転する球の内部に–様な熱源が分布し, 球の中心方向に自己重力が作用している場合を詳細に調べた. 回転軸に関して対称な撹乱に対する静止熱伝導状態の線形安定性解析より, その臨界値を求めた. Roberts [2] は, この研究を非軸対称撹乱にまで拡張し,軸対称撹乱よりも非軸対称撹乱の方がより不安定であることを示した. 更に, 球の回転が速い場合の漸近展開解析より, その臨界モードが回転軸を軸とする半径が球半径の約$\frac{1}{2}$の円筒面付近に局在することを示した. しかし, 非軸対称撹乱は, 速度場と温度場が赤道面に関して反対称な場合だけに限られていた. これに対して Busse [3] は, 速度場と温度場が赤道面に関して対称な撹乱に対する臨界値を求め, 反対称撹乱よりも対称撹乱の方がより不安定であることを示した. そして, その臨界モードが, 回転軸のまわりに交互に並ぶ, 回転軸方向に伸ば8されたサイクロン渦柱とアンチサイクロン渦柱で表されるということを, 初めて模式的に示した. その後も, 回転する球 (殻) 内の熱対流運動の線形安定性解析と漸近展開解析は, 異なる境界条件, 熱源分布, 重力分布および種々のパラメタ $-$ (半径比, Prandtl 数, Rayleigh 数,Taylor 数) に対して精力的に行われているが, ここではその詳細は省略する (例えば, Takehiro and Hayashi [4] 参照) .
これまでに我々は, 球殻の回転が遅い場合 (自転周期と熱拡散時間が同じオーダー)について, Navier-Stokes 方程式の直接数値シミュレーションより, 流れ場の 3 次元立体構造を調べた$[5],[6]$ .

球殻に沿うように曲げられたバナナ型のサイクロン渦柱とアンチサイクロン渦柱が回転軸のまわりに交互に 5 組形成され, それらは相対位置を $-$ 定に保ちながら球殻よりも遅く回転している. アンチサイクロン渦柱の赤道面上の渦度の大きさの極大値は, サイ

クロン渦柱のそれよりも大きい. この渦度の大きさの相違は, 両渦柱内の上下流によってもたらされる渦柱の伸縮で理解できた [7]. 更に, 我々は, この問題を磁気流体に拡張し, その数値解析より, 3 次元磁場構造 [8], 磁場生成メカニズム [9], および磁場反転 $[10],[11]$ を調べた
ところ, これらが渦構造と非常に密接な関係にあることがわかった.

そこで.\acute 本研究では, 地球の外核のように, 自転周期が熱拡散時間 (外核の場合, 約 1 年 [12])よりも十分小さい場合, すなわち, 旧殻の回転が速い場合について, 渦構造と渦形成メカニズムを調べる.

2$\cdot$

基礎方程式系
同 $-$ 角速度$\Omega$で回転する半径対流運動を考える (図 2).

$r_{1},$

密度$\rho$$r_{2}(=\gamma 1+$のの同心球に挟まれた Boussinesq 流体の熱の流体要素には単位体積あたり $g=-\rho\gamma r(\gamma$ は比例定数) の重力が作用しているとする. ただし I は球の中心を始点とする位置ベクトルである.
内球と外球はそれぞれ–様な–定温度に保たれ, 内球の方が剛球よりも$\triangle T$だけ高温であるとする. この温度差によって熱対流運動が駆動される. Boussinesq 近似のもとで, 球とともに回転する系から見た流体の速度 $u$ と温度$T$の発展方程式は,$\frac{\partial u}{\partial t}=-\nabla P+P_{r}R_{a}Tr+u\cross(\nabla\cross u)+P_{r}T_{a}^{\frac{1}{2}}u\cross\hat{z}+P_{r}\nabla^{2}u$$\frac{\partial T}{\partial t}=-\nabla\cdot(uT)+\nabla^{2}\tau$$\nabla\cdot u=0$,,(1)(2)(3)

9である. ただし,

$P=p/ \rho+\frac{1}{2}|u|^{2}+\frac{1}{2}\gamma|r|^{2}-\frac{1}{2}|\Omega\cross r|^{2}$は修正圧力 (は真の圧力),$p$は回転軸方向の単位ベクトルである. すべての変数は, 球殻の厚みは熱伝導率) と両境界の温度差$\triangle T$$d$$\hat{z}=\Omega/|\Omega|$と熱拡散時間$d^{2}/\kappa(\kappa$で無次元化してある. そのため 3 つ子無次元のパラメー

タ,$R_{a}= \frac{}\alpha\gamma\triangle Td^{4}}{\kappa l\text{ノ}$$P_{r}= \frac{l^{\text{ノ}}{\kappa}}$,(4)$T_{a}=( \frac{}2|\Omega|d^{2}}{l^{\text{ノ}})^{2}$

現れる. それぞれ Prandtl 数, Rayleigh 数, Taylor 数と呼ぶ. ただし,$\nu$は動粘性率,$\alpha$は熱膨張率である. 両球面上で速度に粘着条件を課す. したがって, 境界条件は,$u=\mathit{0}$,$u=\mathit{0}$

$T=1$

,

$T=0$$(r=r_{1}( \equiv\frac{\eta}{1-\eta})\text{で})$,$( \gamma=\gamma_{2}(\equiv\frac{1}{1-\eta})\text{て^{}\backslash })$

(5)

(6)

である. ただし $\eta=r_{1}/r_{2}$ は半径比である. 境界条件 (5) と (6) のもとで, 方程式 (1) $-(1)$ を,スペクトル法を用いて数値的に解く$u=\mathit{0}$,([5] 参照) . 初期条件は, 静止熱伝導解(7)$T=/( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{\gamma_{2}})^{-1}$に速度と温度の–様微小撹乱を加えたものとする. 無次元パラメータは, 球殻の回転が速い

場合, すなわち, 自転周期が熱拡散時間よりも十分小さい場合として,$P_{r}=1.0$,$R_{a}=1.6\cross 10^{4}$,$T_{a}=1.6\cross 10^{6}$,$\eta=0.5$(8)に設定した. この時, 基本場 (7) は, 微小撹乱に対して不安定となる.

3流れ場の構造

3.1渦構造図 3.H 沖流れ場が定常状態 (運動エネルギー$\mathcal{E}_{K}=293$) に達したときの渦度の大きさの等値面 $| \omega|=40(\max_{1.1}5r1\leq r\leq 0.91r2|\omega|=82)$ を, 北半球低緯度から眺めた図である. 黒色がサイクロン渦柱, 灰色がアンチサイクロン渦柱である. 球殻の回転軸方向に伸ばされたコラム型の両渦柱が, 回転軸のまわりに交互に 6 組形成され, それらは相対位置を不変に保ちながら角速度 2.16 で球殻よりも速く回転している (球殻の回転角速度は, 632). Taylor-Proudman の定理が, よく成立している様子がわかる. Takehiro and Hayashi [4] は, この球10殻の回転が速い場合の渦柱の球に対する東方移動と, はじめに述べた回転が遅い場合の渦柱の西方移動を, コラム型とバナナ型という渦構造の相違に着目し, 渦柱の伸縮で説明している.

この図では, 内球面近傍 $(r_{1}\leq\gamma\leq 1.15r_{1})$ と外球面近傍 $(0.91\gamma_{2}\leq\gamma\leq r_{2})$ に形成される境界層内の高渦度領域 $( \max_{r_{1}\leq r\leq}1.15r_{1}|\omega|=200, \max_{0.91}r_{2}\leq r\leq r_{2}|\omega|=338)$ は, 球殻内部にある渦柱がよく見えるように取り除いてある (図 3.1 参照). 次節でわかるように, この高卓度の境界層は, Coriolis 力と粘性力が釣り合う Ekman 境界層である. 速度場は, 赤道面に関して対称, 回転軸に関して 6 回対称である. また, ヘリシティー密度$|u\cdot\omega|$の大きい領域

は, 北半球で負, 南半球で正である.

渦構造をより詳細に理解するために, 北半球の経度が$(\mathrm{P}1\sim \mathrm{P}13)$を図 3.1 に, 極大値$|\omega|$, 球座標成分$\frac{2}{3}\pi$$(\omega_{r}, \omega_{\theta}, \omega_{\varphi})$領域内の零度の大きさの極大点, および直角座標成分$(\omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z})$を表 3.1 に示した. 渦度場は, 赤道面に関して反対称, 回転軸に関して 6 回対称であるので,極大点$\mathrm{P}1\sim^{\mathrm{p}}13$に着目すれば十分である. Pl と P2 は, 赤道面上にあり, それぞれサイクロン渦柱とアンチサイクロン渦柱の内部にある. 軽度成分は, 回転軸方向しかもたない. はじめに述べた球殻の回転が遅い場合と同じように, アンチサイクロン渦柱 (P2) の赤道面上の封度の大きさの極大値 (71.2) は, サイクロン渦柱 (P1) のそれ (61.9) よりも大きい. P3 と P4は, 外球面近傍にあり, それぞれサイクロン脚柱とアンチサイクロン耳順の内部にある. 実際, 渦度成分は, 回転軸方向に卓越している. アンチサイクロン渦柱 (P4) の外球面近傍の極大値 (79.0) は, サイクロン渦柱 (P3) のそれ (81.9) よりも小さい. この外球面近傍の両渦柱の渦度の大きさの極大点は, 回転が遅い場合には見られなかった構造である. しかも, その極大値の大小関係が, 赤道面上の極大値とは逆になっている. 曲節で明らかになるように, これらの渦柱の強さの相違は, 渦の伸縮で理解できる. P5 と P6 は, 内球面の赤道上にあり, それぞれサイクロン渦柱とアンチサイグロン渦柱の内側にある. 越度成分は, 回転軸方向しかもたない.

この極大点付近は, 内球面近傍に形成される境界層内の高遠度領域を構成している(極大値参照). P7 と P8 は, 血球面上にあり, それぞれサイクロン渦柱とその壁隣のアンチサイクロン渦柱の問, サイクロン脚柱とその東隣のアンチサイクロン電柱の間にある.

この極大点付近は, 外球面近傍に形成される境界層内の高塩瀬領域を構成している (極大値参照). P9 と$\mathrm{P}10\sim \mathrm{p}13$

は, 中緯度付近にあり, それぞれサイクロン渦柱とアンチサイクロン渦柱の内部にある. 実際, 弧度成分は, 回転軸方向に卓越している. これらの極大値は, それらが含まれる渦柱の外球近傍の極大値 (P3 と P4) よりも小さい. そこで, 両渦柱の構造を特11徴づける渦度の大きさの極大点として, Pl,$\mathrm{P}2,\mathrm{P}3$,P4 を選び (図 3.1 参照) , 次節で, 両門柱の強さの相違の原因とその形成機構を調べる.

表 1: 渦度の大きさの極大点
直角座標成分.

$\mathrm{P}1\sim^{\mathrm{p}}13$における極大値$|\omega|$, 球座標成分$(\omega_{r}, \omega_{\theta}, \omega_{\varphi})$, および$(\omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z})$3.2

渦形成メカニズム

両渦柱の強さの相違の原因とその形成機構を究明するために, サイクロン渦柱の極大点

Pl,P3 を通る直線 PI-P3 とアンチサイクロン渦柱の極大点て(図 32 参照)$\mathrm{P}2,\mathrm{P}4$を通る直線 P2-P4 に沿っ, 渦度方程式 (運動方程式 (1) の回転)$\frac{\partial\omega}{\partial t}=P_{r}R_{a}\nabla T\cross r+\underline{s}\cdot\omega-(u\cdot\nabla)\omega+P_{r}T_{a}^{\frac{1}{2}}\hat{Z}\cdot\nabla u+P_{r}\nabla^{2}\omega$の右辺各項の相対的な大きさを比較する. ただし,$\underline{s}=\{s_{ij}\})$$\underline{s}$(9)は, ひずみ速度テンソル$s_{ij}= \frac{1}{2}(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})$$(i, j=x, y, Z)$(10)である. 渦度方程式 (9) の右辺第 1 項を浮力項 $B$ , 第 2 項を伸張項 $S$ , 第 3 項を移流項 $A$ , 第4 項を Coriolis 項 $C$, 第 5 項を粘性項 $V$ と呼ぶ.

図 32 と図 32 は, それぞれ直線 PI-P3 と直線 P2-P4 に沿って, 渦度の大きさ, 球座標成分, および直角座標成分をプロットしたグラフである. 各グラフの左端が赤道面, 右端が外球12面である. 外球面付近の薄い (Ekman) 境界層を除いて, 渦度の回転軸方向の成分$\omega_{z}$が, 他の成分よりも –様に卓越している. そこで, 丁度方程式 (9) の右辺各項の渦柱形成への寄与を評価するためには, それらの回転軸方向成分の相対的な大きさを比較するのが適当である.

直線 PI-P3 と直線 P2-P4 に沿って, 渦度と各項の回転軸方向成分を, 図 32 にプロットした. 比較しやすいように, アンチサイクロン渦柱 $(\omega_{z}<0)$ に沿う物理量には, $-1$ をかけてある. 赤道面上の極大点では, アンチサイクロン渦柱の方がサイクロン男柱よりも強いが,外球面近傍の極大点では, 逆にサイクロン渦柱の方が強い (図$3.2(\mathrm{a})$). これらの極大点で,浮力項, Coriolis 項, および粘性項は, 両渦柱で同符号となっている (図$3.2(\mathrm{b}),(\mathrm{d})$). すな

わち, 赤道面上の極大点では, 浮力項は渦度の増加に, Coriolis 項と粘性項は渦度の減少に寄与している.

$-$

方, 外球面近傍の極大点では, 浮力項と Coriolis 項が管下の増加に, 粘性項が渦度の減少に寄与している. 伸張項は, 赤道面上 (外球面近傍) では, アンチサイクロン渦柱で渦度の増加 (減少) に, サイクロン渦柱で渦度の減少 (増加) に寄与している. これは, ア

ンチサイクロン渦柱では上昇流のため, 赤道面 (外球面) 近傍では渦の伸張 (収縮) が生じ,逆に, サイクロン渦柱では下降流のため, 渦の収縮 (伸張) が生じるためである. 移流項は,他の 4 つ項と比べて十分小さい. これは, 今考えている点が, 渦度の極大点であることから明らかである.

サイクロン渦柱とアンチサイクロン渦柱のこれらの極大点における, 渦度と渦度方程式各項の値を表 32 に示した. 伸張項が, 赤道面上 (外球面近傍) の極大点で, サイクロン渦柱では負 (正) , アンチサイクロン渦柱では正 (負) となっている. この違いが, 赤道面上のアンチサイクロン渦柱の強度をサイクロン渦柱より大きくし, 外球面近傍のサイクロン渦潮の強度をアンチサイクロン渦柱より大きくしているのである.
渦柱形成の主要因は, 両渦柱で, 赤道面付近では浮力項, 外球面近傍では Coriolis 項である.

前者は, Rayleigh-B\’enard 対流で理解できる. すなわち, 両渦柱の回転による対流運動は, 各渦柱問に高温部と低温部を交互につくる. そのため, サイクロン渦柱とアンチサイクロン渦柱を横切って温度勾配が生じ, いずれも門柱の回転を助長する方向にトルクを発生するからである. 後者は, Ekman パンピングで理解できる. 図$3.2(\mathrm{d})$より, 外球面付近では,Coriolis 項と粘性項がほぼ釣り合っているので, 前節で述べたように Ekman 境界層が形成されている.

そのため, Ekman パンピングによって, サイクロン渦柱では, 柱の外から中心に向かう流れが, アンチサイクロン渦柱では, 柱の中心から外に向かう流れが生じている. こ13
れらの流れは, Coriolis 力によって i 球殻の回転とは反対の方向に曲げられるので, 両画配の回転を助長する方向にトルクを与えることがわかる. 最後に, 粘性項は, いずれの極大点でも負である. これは, 渦柱の成長を抑えて, 定常状態に保つ役割を果たしている.

$\cross 10^{3}$と浮力項,, 伸張項 , 移流項$-1$をかけ, および粘性項鷲の値. アンチサイクロン渦柱内部の物理量には,

表 2: 渦度の大きさの極大点

Coriolis 項$C_{z}$$\mathrm{P}1\sim \mathrm{P}4$における渦度$\omega_{z}$$B_{z}$$S_{\text{。}}$$A_{z}$てある.

4

結論
本研究では, 回転球殻における熱対流渦柱を運動方程式の直接数値シミュレーションで実現し, その形成機構を渦度方程式各項の相対的な大きさを比較することによって調べた.
これは, Kitauchi and Kida [7] で, 球殻の回転をより速くした場合に相当している.

回転軸方向に伸ばされたコラム型のサイクロン渦柱とアンチサイクロン渦柱が, 回転軸のまわりに交互に 6 組形成された.

このような渦柱形成の, 赤道面付近での主要因は, 回転が遅い場合と同様, 浮力によるトルクであることを確認した.

, 回転が遅い場合には弱$-$ 方

かった, 外球面近傍の渦柱形成の主要因は, Ekman パンピングによって生じる流れ (Ekmanらせん) に働$\langle$, Coriolis 力によるトルクであることがわかった. この Ekman パンピングによって, サイクロン渦柱では外球面から赤道面に向かう下降流が生じ, アンチサイクロン渦柱では赤道面から外球面に向かう上昇流が生じている. この上下流は渦柱の伸縮を伴い, 赤道面付近では, アンチサイクロン渦柱の渦度がサイクロン渦柱より大きくなり, 外球面近傍では, サイクロン渦柱の渦度がアンチサイクロン渦柱より大きくなる.

謝辞
使用計算機は, 文部省核融合科学研究所理論シミュレーション研究センターの NEC SX3である.

14
参考文献
[1] S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability (Dover, New York,1968).
[2] P. H. Roberts, “On the thermal instability of a rotating-fluid sphere containing heatsources,” Phil. Trans. A263, 93 (1968).

[3] F. H. Busse,($‘ \mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}$instability in rapidly rotating systems,” J. Fluid Mech. 44,441 (1970).
[4] S. Takehiro and Y. Hayashi, “Mean zonal flows excited by critical thermal convection

in rotating spherical shells,” J. Fluid Mech. (1998).

[5] H. Kitauchi, K. Araki, and S. Kida, “Flow structure of thermal convection in arotating spherical shell,” Nonlinearity 10, 885 (1997).
[6] S. Kida and H. Kitauchi, ‘Thermally driven MHD dynamo in a rotating spherical$\zeta$shell,” Prog. Theor. Phys. Suppl. 130, 121 (1998).

[7] H. Kitauchi and S. Kida, ‘(回転球環熱対流”, 京都大学数理解析研究所講究録 892, 263(1995).

[8] H. Kitauchi,

structure of magnetic flux lines generated by thermal con-$‘(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}$vection in a rotating spherical shell,” J. Phys. Soc. Jpn. 67, 1243 (1998).
[9] H. Kitauchi and S. Kida,$‘(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$of magnetic field by concentrate-and-sCretchof magnetic flux lines,” Phys. Fluids 10, 457 (1998).
[10] S. Kida, K. Araki, and H. Kitauchi,$‘\langle \mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{C}$reversals of magnetic field generated bythermal convection in a rotating spherical shell,” J. Phys. Soc. Jpn. 66, 2194 (1997).
[11] S. Kida and H. Kitauchi,$‘(\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{C}$reversals of dipole moment of thermally driven

magnetic field in a rotating spherical shell,” J. Phys. Soc. Jpn. 67, 2950 (1998).

15[12] R. Jeanloz, ”The nature of the Earth’s(1990).

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e},’ i$Annu. Rev. Earth Planet. Sci. 18, 357

16

図 1: シミュレーションモデル.

図 2: 渦度の大きさの等値面 $|\omega|=40$ を北半球低緯度から眺めた図. 黒色が渦度の回転軸方向成分 $\omega_{z}>0$ , 灰色が $\omega_{z}<0$ を表す. この図では, 内球面近傍と外球面近傍に形成される境界層内の高渦度領域は, 取り除いてある $(1.15\gamma_{1}\leq\gamma\leq 0.91\gamma_{2})$ .

17

図 3:

(a) 内球面近傍 $(r_{1}\leq r\leq 1.15r_{1})$ と (b) 外球面近傍 $(0.91r_{2}\leq\gamma\leq r_{2})$ の渦度の大きさの等値面 $|\omega|=40$ を北半球低緯度から眺めた図.

図 4: 北半球の経度が$\frac{2}{3}7\Gamma$

領域内の渦度の大きさの極大点$(\mathrm{P}1\sim \mathrm{P}13)$と等値面 $|\omega|=40$ .

18

図 5: 渦度の大きさの代表点 Pl,$\mathrm{P}2,\mathrm{P}3,\mathrm{p}4$と等値面 $|\omega|=40$ .

図 6: サイクロン渦柱の極大点 Pl,P3 を通る直線 PI-P3 とアンチサイクロン渦柱の極大点$\mathrm{P}2,\mathrm{P}4$を通る直線 P2-P4.

19

図 7: 直線 PI-P3 に沿った, 渦度の大きさ$(\omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z})$$|\omega|$, 球座標成分$(\omega_{r}, \omega_{\theta}, \omega_{\varphi})$の変化. グラフの左端が赤道面, 右端が外球面を表す.

, および直角座標成分

20

図 8: 直線 P2-P4 に沿った, 渦度の大きさ$(\omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z})$$|\omega|$, 球座標成分$(\omega_{r}, \omega_{\theta}, \omega_{\varphi})$の変化. グラフの左端が赤道面, 右端が外球面を表す.

, および直角座標成分

21

図 9: 直線 PI-P3 と直線 P2-P4 に沿った, (a) 渦度

項$A_{z}$$-1$, (d)Coriolis 項をかけてある.

$C_{z}$と (b) 浮力項

伸張項 , 移流, および粘性項砿の変化. アンチサイクロン渦柱に沿う物理量には,$\omega_{z}$$B_{z},$$(\mathrm{c})$$S_{z}$