数理解析研究所講究録 1200 巻 2001 年 39-47

39Weight-monodromy conjecture over positive
characteristic local fields
東大数理・修士課程

伊藤哲史 (Tetsushi Ito)

Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo

1. INTRODUCTION
本稿ではウェイ \mapsto ・ モノドロミー予想について, 筆者が修士論文 [It] で得た結果を紹介する. ウェイト・モノドロミー予想は, 局所体上の固有かつ滑らかな代数多様体の進コホモロジーに定まるウェイト・フィルトレーションとモノドロミー. フィルトレー
ションが, 次数のずれを除いて一致するという予想であり, 一般には未解決の難問である. [It] の主定理は, ウェイト・モノドロミー予想が正標数の局所体上で成り立つ, とい$l$

うことである.
細かな定義は後で述べることにして, まずはウェイト・モノドロミー予想の定式化を

を局所体 (本稿では局所体とは完備離散付値体を意味するものとする), $F$を剰余体, を $F$ の標数と異なる素数とする. $X$ を $K$ 上の固有かつ滑らかな代数多様体とする. このとき, 進コホモロジー $V=H^{w}(X\otimes_{K}\overline{K}$, Q
砲魯皀離疋蹈漾. フィノレ
トレーション $M$ (定義 22) と, ウェイ \mapsto フィルトレーション $W$ (定義 34, 定義 37)という 2 つのフィルトレーションが定まる. このとき, ウェイト・モノドロミー予想と

与えよう.

$K$

$l$

$l$

はこれらの 2 つのフィルトレーションが次数のずれを除いて一致するという予想である.

予想 Ll (ウエイト. \yenン,

$W$$\text{ノ}$ドロミー予想, [De2]). $M$ をモノドロミー. フィルトレーショ

をウェイト・フィルトレーションとする. このとき $M_{i}V=W_{w+i}V$ が全ての で
$i$

成り立つ.
さて, 主結果を述べよう.

定理 12([It]). $K$ が正標数ならばウエイト・モノドロミー予想は正しい.
系として, モデルをとって標数 $p$ に還元することで,$K,$ $F$

が両方とも標数 0 の場合も正しいことも分かる.
系 L3. $K$ と $F$ の標数が等しければウェイト・モノドロミー予想は正しい.

40
ウェイト・モノドロミー予想は,したがって,

が混標数の場合が残されたことになる. Langlands 対応などへの応用上は, 残された混標数の場合が重要であると考えら
れる.

$K$

この場合は, 様々な部分的な結果はあるものの, 一般には未解決である

しかし,$([\mathrm{I}\mathrm{I}],[\mathrm{R}\mathrm{Z}],[\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{A}7- \mathrm{I}])$.

なお, エタールコホモロジーの比較定理を用いることで, 系 13 から$\mathbb{C}$上の Hodge 理論

におけるウェイト・モノドロミー予想の対応物が得られる. すなわち, 複素単位円板上の代数的な Hodge 構造の退化に対して, Schmid のフィルトレーション ([Sc]) と Steenbrinkのフィルトレーション ([St]) の一致を示すことができる. これはすでに Steenbrink, 斎藤

盛彦氏らによる証明があるが ([St], 510, [Sal], 425), [It] により有限体上に帰着する別証明が与えられたことになる.
記号. 以下, 本稿では, $K$ を局所体, $F$ を剰余体,$l$を $F$ の標数と異なる素数とする.

$K$の素元とする. $X$ を $K$ 上の固有かつ滑らかな代数多様体とする.

を$l$

進コホモロジーとする.

用する.

この作用を

このとき,

$\rho:G_{K}arrow \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$K$の絶対 Galois 群

$\pi$

を

$V=H^{w}(X\otimes_{K}\overline{K}, \mathbb{Q}_{l})$が $V$ に作

$G_{K}=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{K}/K)$と書く.

2. モノドロミー. フィルトレーション
ここでは $V$ のモノドロミー. フィルトレーション $M$ の定義を与える.

まず,

$K$

の絶対 Galois 群

自明に作用するもの全体を$G_{K}$$I_{K}$の構造を復習しよう ([Se]).

で表し,

$K$

$G_{K}$の元のうち, 剰余体にの惰性群という. このとき, 群としての完全系列$1arrow I_{K}arrow G_{K}arrow G_{F}arrow 1$ .
がある.

$G_{F}$

は$I_{K}$に共役で作用する$t_{l}$

によって,$l^{n}$$I_{K}$:の prO-l-部分は,の捻りを,$\mathbb{Z}_{l}(1)$$n\geq 1$\sigma\vdasharrow\tau\sigma\tau^{-1}, \tau\in G_{F}, \sigma\in I_{K})$. 写像$I_{K} \ni\sigma\vdasharrow(\frac{\sigma(\pi^{1/l^{n}})}{\pi^{1/l^{n}}})_{n}\in.\oplus\mu_{l^{n}}=\mathbb{Z}_{l}(1)$乗根全体のなす群である.
ここで,$(\tau :$t_{l}$$G_{F}$

は

$\pi$

加群として
の

$l^{n}$

乗根$\mathbb{Z}_{l}(1)$$\pi^{1/l^{n}}$と同形になる.

ここで,\mu 1、は 1 のの取り方によらずに定まる.

は Tate の捻りと呼ばれているものである. 一般に$l$

進表現 $V$ の Tate

[こ対して,$\mathbb{Q}_{l}(n)$$\mathbb{Q}_{l}(-n)=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathbb{Q}_{l}(n), \mathbb{Q}_{l})$およひ, 整数 $n$ に対して $V(n)=V\otimes \mathbb{Q}_{l}\mathbb{Q}\iota(n)$ として定義する. 任意の $n,$ $m$ に対して
$V(n)\otimes_{\mathbb{Q}_{l}}\mathbb{Q}_{l}(m)\cong V(n+m)$などが確かめられる.

41
Grothendieck のモノドロミー定理によって,さて,すなわち, ある正整数 $N,$ $M$ が存在して,いる ([ST], [SGA7-I]). 従って,
$t_{l}$:$I_{K}arrow \mathbb{Z}_{l}(1)$$t_{l}$

を経由し,の $\log$ をとることで,の $V$ への作用は準巾単である.

$(\rho(\sigma)^{N}-1)^{M}=0$が成り立つことが知られてを適当に有限次拡大することで,$I_{K}$の $V$ への作用はさらに巾単であると仮定してよい.
モノドロミー作用素が定まる.

の作用と可換な巾零写像 $N$ : $V(1)arrow V$ であって, 任意のに対して $\rho(\sigma)=\exp(t_{l}(\sigma)N)$ をみたすものが一意的に存在する. $N$ をモノドロ

定義 2.1. このとき,$\sigma\in I_{K}$$K$$I_{K}$$G_{K}$

は自然に写像ミー作用素という. (巾零写像とは, 正確に言えぱ,: $V(r)arrow V$ を定めるが, この写像が十分大きな H こ対して 0 になる, ということである)$N^{r}$$N^{r}$$1.6.1$ ) 上記の仮定の下で, $V$ のモノドロミー. フイルトレーション
定義 22. ([De2],$M$ が以下の条件をみたすように一意的に定まる.
$\mathrm{I},$1. $M$ は$G_{K}$加群の増大フィルトレーションである. すなわち$\ldots\subset M_{\dot{l}}-1V\subset M_{i}V\subset M_{i+1}V\subset\cdots$

である. さらに, 十分小さな に対して $M_{i}V=0$ が, 十分大きな H こ対して $M_{\dot{l}}V=V$$i$が成り立つ.

2. $N(M_{i}V(1))\subset M_{i-2}V$ が全ての で成り立つ.
とおけば, $N$ :3. 上の条件から,が, このとき任意の $r\geq 0$ に対して:
$i$$\mathrm{G}\mathrm{r}_{i}^{M}V=M_{i}V/M_{i-1}V$$N^{r}$$\mathrm{G}\mathrm{r}_{i}^{M}V(1)arrow \mathrm{G}\mathrm{r}_{i-2}^{M}V$$\mathrm{G}\mathrm{r}_{r}^{M}V(r)arrow \mathrm{G}\mathrm{r}_{-r}^{M}V$が定まるは同形である.

注意 23. 定義から分かるように, モノドロミー作用素は $K$ を有限次拡大しても変わらない. 従って, モノドロミー. フィルトレーションも $K$ を有限次拡大しても変わらない

ことが分かる.

注意 24. 実は,の $V$ への作用が準巾単であるという仮定だけでモノドロミー. フィ$I_{K}$

ルトレーションが構成できる. そのためには, まず $K$ を有限次拡大して構成し, 一意性から$G_{K}$の作用がモノドロミー. フィルトレーションを保つことを示せばよい.

注意 25. ここではモノドロミー. フィルトレーションを局所体上で構成したが, 幾何学的な場合にも構成できる. すなわち, 滑らかな代数多様体 $X$ , 滑らかな因子 $D,$ $U=X-D$
上の滑らかな 進層の組 $(X, D, \mathcal{F})$ に対して, それらがある条件をみたせば, モノド$l$$\mathcal{F}$

ロミー. フィルトレーション $M$ が幾何学的に構成され,進層になる ([De2],$\mathrm{I},$$1.7.8$ ).

各$\mathrm{G}\mathrm{r}_{i}^{M}\mathcal{F}$は $D$ 上の滑らかな$l$構成には Abhyankar の補題と Zariski-Nagata の純性定理を用いる. 定理 12 の証明では,

この幾何学的な構成が重要となる.

42
3. ウェイト・フィルトレーションのウェイト・フィルトレーションの定義を述べる. ウェイト・フィルトレーションは古典的な場合, すなわち $F$ が有限体の場合は, Frobenius の作用から定まる. 剰余体が一般の場合には, 直接 Frobenius を使うことはできないので, de Jong のオルタレーショ$V$

Rapoport-Zink のウェイト. スペクトル系列を用いてウェイト・フィルトレーションを定義する. なお, 両方とも定義されるときは, これらのフィルトレーションは等しいことが, Weil 予想から分かることに注意しておこう (注意 38).
ンと,$([\mathrm{d}\mathrm{J}],[\mathrm{R}\mathrm{Z}])$

31.

$F$

が有限体の場合. まず, 有限体の Galois 表現に対する重みを復習しょう

定義 3.1.

を$\mathrm{F}_{q}$$q$個の元からなる有限体とする.

(すなわち $F$ は体同形とは, $F$ の全ての固有値$F\in G_{\mathrm{F}_{q}}$の逆元である).
と, 全ての体の埋め込み :となることをいう.

を幾何学的 Frobenius とするの$\overline{\mathrm{F}_{q}}\ni x\llcorner*x^{q}\in\overline{\mathrm{F}_{q}}$対値が$q^{w/2}$$\alpha$$\iota$$([\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{l}],[\mathrm{D}\mathrm{e}2])$$G_{\mathrm{F}_{q}}$$\mathbb{Q}(\alpha)$\llcorner -,$l$

進表現が重み $w$ を持っ$\mathbb{C}$に対して,$\alpha$の複素絶例 32. 自明な表現 Q、は重み 0 を持っ. また, Q,(1 戸ま重み -2 を持っ. 一般に,
重み $w$ を持てば, Tate の捻り $V(n)$ は重み $w-2n$ を持っ.

例 33.
$\overline{\mathrm{F}_{q}},$$\mathbb{Q}_{l})$上の固有かっ滑らかな代数多様体とすれば, Weil 予想にょり,
は重み を持っことが分かる ([Del],[De2]).
$\mathrm{Y}$

を

$V$

が

$\mathrm{F}_{q}$$H^{w}(\mathrm{Y}\otimes_{\mathrm{F}_{q}}$$w$

定義 34. $F$ を有限体とする. このとき,$V$のウェイト・フィルトレーションとは, 次の条件を満たすフィルトレーション $W$ のことである.

1. $W$ は$G_{K}$加群の増大フィルトレーションである. すなわち...

$\subset W_{\dot{l}}-1V\subset W_{\dot{l}}V\subset W_{\dot{\iota}+1}V\subset\cdots$

である. さらに, 十分小さな H こ対して $W_{\dot{l}}V=0$ が, 十分大きな H こ対して $W_{i}V=V$が成り立つ.
は各
2. 惰性群に有限商を経由して作用する.
3. 上の条件により,の有限次拡大 $F’$ と適当にとれば,はの表現となる.
これが定義 3.1 の意味で重み を持つ.
$I_{K}$$\mathrm{G}\mathrm{r}_{i}^{W}V=W_{i}V/W_{1-1}.V$$F$$\mathrm{G}\mathrm{r}_{i}^{W}V$$G_{F’}$$i$

注意 35.

ウェイト・フィルトレーションが存在するがどぅがは定義がらは自明ではな
いが, 存在したとしたら一意的であることは分かる. また, ウェイト・フィルトレーションの存在は, 例えば, 後述する 2 っ目の定義と Weil 予想から分がる.

注意 36. 一般に $F$ が有限体上有限生成な体の場合も,の幾何学的なモデルを取ることで, ウェイト・フィルトレーションを定義することができる. この一般化は, 定理 12の証明に必要なのだが, 詳細は省略する. 詳しくは [It] を参照してぃただきたい.
$F$

.

43
32.

が一般の場合. $X$ が固有な半安定モデルを持つ場合は, ウェイト・フィルトレー
ションを, Rapoport-Zink のウェイト. スペクトル系列を用いて定義する. 一般の場合$F$

de Jong のオルタレーションを使って, 固有な半安定モデルを持つ場合に帰着して
定義する.
は,

今まで通り $K$ を局所体,
元,$\mathcal{O}_{K}$

$F$

を剰余体,

を $K$ の整数環とする.

$X$

$l$

を $F$ の標数と異なる素数とする.

$\pi$

を $K$ の素を固有かつ滑らかな $K$ 上の代数多様体で, $\dim X=n$とする.

上の固有なスキーム $x$ は, 特殊ファイバー$\mathcal{O}_{K}$あり,$X_{s}$の全ての既約成分が $F$ 上滑らかで

さらにエタール局所的に$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathcal{O}_{K}[X_{0}, \ldots, X_{n}]/(X_{1}\cdots X_{r}-\pi)$と同形であるとき,

まず,$X_{1},$$\ldots$$X$の固有な半安定モデルであるという.

ウェイト・スペクトル系列について述べる.

, X。を$X_{s}$$x$を固有な半安定モデルとする.

の既約成分とし,$X^{(j)}=\cup X_{i_{1}}\cap\cdots\cap X_{i_{j}}1\leq i_{1}\leq\cdots\leq i_{\mathrm{j}}\leq m$

とおく.. このとき,&k‘$X^{(j)}$Rapoport-Zink

Steenbrink の仕事を踏まえて,$arrow \text{のとき},$$\text{く}$$l\mathrm{h}$,は $F$ 上の固有かつ滑らかな次元 $n-j+1$ の代数多様体である.

の作用するウエイト・スペクトル$G_{K}$

系列$E_{1}^{-r,q+r}=\oplus H^{q-r-2k}(X^{(2k+r+1)}\otimes_{F}\overline{F}, \mathbb{Q}_{l}(-r-k))k\geq 0,-r\Rightarrow H^{q}(X\otimes_{K}\overline{K}, \mathbb{Q}_{l})$を構成した ([St],[RZ]).

$E_{1}$の写像$d_{1}^{i,j}$:$E_{1}^{i,j}arrow E_{1}^{i+1,j}$は, エタールコホモロジーの制限写像と Gysin 写像によって具体的に書くことができる. 惰性群
は各に自明に作用し, モノドロミー作用素 $N$ はある自然な写像 $N$ : $E_{1}^{i,j}(1)arrow E_{1}^{i+1,j-1}$ から誘導される.
$I_{K}$

このとき,$N^{r}$$E_{1}^{i,j}$は恒等写像$N^{r}$: $E_{1}^{-r,q+r}(r)arrow\simeq E_{1}^{r,q-r}$を引き起こすことが知られている ([RZ], 2.10).
次に,de Jong のオルタレーションについて述べる. 代数多様体の間の射がオルタレーションであるとは,

$f$

$f$

:

$\mathrm{Y}arrow X$

が固有かつ全射で, 関数体の間に有限次拡大を引き起こすものをいう. de Jong の定理により, 適当な $K$ の有限次拡大 $K’$ と, オルタレーショ
ン $f$ : $\mathrm{Y}arrow X\otimes_{K}K’$ をとれば,は上固有な半安定モデルを持つ. このと$\mathrm{Y}$$\mathcal{O}_{K’}$き, エタールコホモロジーの跡写像を使うことで,が$H^{w}(\mathrm{Y}\otimes_{K’}\overline{K}, \mathbb{Q}_{l})$$([\mathrm{d}\mathrm{J}])$$G_{K’}$の直和因子であることが分かる.

の表現として,$H^{w}(X\otimes_{K}\overline{K}, \mathbb{Q}\iota)$44
・フイルトレーションを定義に次のようにしてウエイ
定義 37.
する. $X$ が固有な半安定モデルを持つ場合は, ウェイト・スペクトル系列の定めるフィル$V=H^{w}(X\otimes_{K}\overline{K}, \mathbb{Q}_{l})$トレーションを,$\text{ト}$ウェイト・フィルトレーションの定義とする. 一般の場合は, de Jongのオルタレーションによって,$V$

はそのようなものの直和因子となるから, フィルトレー

ションを制限することでウェイト・フィルトレーションを定義する.
注意 38. 定義 3.4 と定義 37 の関係を述べる. $F$ が有限体で,ルを持つとする. このとき, Weil 予想によって,$X$が固有な半安定モデ$H^{w-r-2k}(X^{(2k+r+\mathfrak{h}}\otimes_{F}\overline{F}, \mathbb{Q}_{l}(-r-k))$は重み $(w-r-2k)-2(-r-k)=w+r$ を持つ. よって,
み $j$ を持つ.

これより,

’

$E\mathrm{i}^{j}$は, 定義 3.1 の意味で重2 つのウェイト・フィルトレーションが一致していることが分かる.

注意 39. $F$ が有限体 (上り一般には有限体上有限生成な体) のときには, 重みを用いた議論でウェイト. スペクトル系列が E2 で退化することが分かる.
注意 3.10. 中山能力氏は,が$E_{2}$$\log$

幾何を用いることで, 一般にウェイ$\text{ト}$・スペクトル系列

退化することを示している ([Na]).

4. 定理 12 の証明
ここでは定理 12 の証明を述べる.

4.1. 幾何学的な場合. Deligne は Weil 予想の証明の中で, ウェイト・モノドロミー予想
を, 有限体上の幾何学的な場合に証明した ([De2]).

ここでは,Deligne による幾何学的な場合を述べる.
上の滑らかな代数多様体, $D$ を滑らかな因子とする. $f$ :を有限体
上の代数多様体の族であって, $U=\mathrm{Y}-D$ の上では滑らかなものとする. $K$ を$\mathrm{Y}$

数体の$xarrow \mathrm{Y}$$\mathrm{F}_{q}$$D$で定まる付値に沿った完備化とする. 剰余体$X=X\cross_{\mathrm{Y}}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K,$$V=H^{w}(X\otimes_{K}\overline{K}, \mathbb{Q}_{\mathrm{t}})$とおく.

めには, 幾何学的なレベルで示せば十分である.
$\mathcal{F}=(R^{w}f_{*}\mathbb{Q}_{l})|_{U}$から来る. 適当にトレーション $M$ を構成でき,$D$$\mathrm{Y}$$F$

はGalois 表現

上の滑らかな 進層$\mathrm{Y}$の関の関数体である.

これらに対して定理 12 を示すたを取り替えることで,
$l$

$D$

$\mathrm{Y}$を$\mathrm{G}\mathrm{r}_{\dot{l}}^{M}\mathcal{F}$$V$$\mathcal{F}$は $U$ 上の滑らかな 進層$l$のモノドロミー. フィルが得られる (注意 25).

.
は $D$ 上の重み $w$ 仙を持つ滑らかな 進層定理 4.1([De2], $1.8.3$ ). このとき,はである. すなわち, 各閉点 $p\in D$ に対し, 幾何学的な茎の表現としては における剰余体である (は有限体であることに
重み $w$ 仙を持つ. ここで$l$$\mathrm{G}\mathrm{r}_{1}^{M}$ $\mathcal{F}$$\mathrm{I},$$(\mathrm{G}\mathrm{r}_{i}^{M}\mathcal{F})_{\overline{p}}$$\kappa(p)$$p$$\kappa(p)$$G_{\kappa(p)}$45
Deligne の定理の証明の概略は次の通りである. まず, 底空間を $D$ と横断的に交わるの場合に帰着させる. 次に, モノドロミー. フイ
に対して, 順像の幾を考えることで,ルトレーションの構造やの双対:の重みを, ある不等式で抑えることに帰着させる. この不等式は直接何学的な茎関数の収束半径を用いた議論で, 弱い不等式でならば抑えることは証明できないが,に適用し, $karrow\infty$ として最終的ができる. その弱い不等式を,のテンソル積に求める不等式を得る. Deligne の議論について, 詳しくは [Del] や [De2] を参照のこと.
曲線で切って,$\mathrm{Y}$

が曲線で,

$D$

が一点

$p$

$j$

$\mathcal{F}^{*}$$\mathcal{F}$$U\mathrm{c}arrow \mathrm{Y}$$(j_{*}\mathcal{F})_{\overline{p}}$$L$$\otimes^{k}\mathcal{F}$$\mathcal{F}$4.2. 剰余体が有限体上有限生成な体の場合. $K$ が正標数であるとする. $K$ の剰余体が有限体 (より一般には有限体上有限生成な体) のときには, $K$ の幾何学的なモデルをとることで, 定理 12 を定理 4.1 に帰着して示すことができる.
具体的には, N\’eron の爆発を用いて,スキーム $x$ であって,

$K$

の滑らかな

$X=X\otimes_{A}K$ となるものをとる$\mathrm{F}_{q}[\pi]$-部分代数. そして,

$A$

と,

$A$

$\mathrm{Y}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A,$上の固有な$D=(\pi=0)$に対して定理 4.1 を適用すれぱよい.

43. 一般の場合. ウェイト・フィルトレーションの定義により, 定理 12 は $X$ が固有な
半安定モデル $X$ をもつ場合に示せぱ十分である. もし $F$ が有限体 (上り一般には有限体上有限生成な体) のときには, 定理 12 が成り立つことはすでに分かっている. 一般の場
合は,この場合に帰着して示すのだが, 帰着の方法はそれほど自明ではない. 局所体のモデルをうまくとり,

ウェイト・スペクトル系列を注意深く見比べる必要がある.

まず, N\’eron の爆発を用いて,キーム$\mathfrak{Y}$であって,$\mathcal{O}_{K}$$X=\mathfrak{Y}\otimes_{A}\mathcal{O}_{K}$

の滑らかな

となり,

$\mathrm{F}_{q}[\pi]$さらに$\mathfrak{Y}$部分代数 $A$ と,$A$上の固有なスがエタール局所的に$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A[X_{0}, \ldots, X_{n}]/(X_{1}\cdots X_{r}-\pi)$と同形なものをとる. すなわち, 単に $K$ 上の代数多様体としてモデルをとるのではな
く, その半安定モデルのエタール・チャート込みでモデルをとるのである.

の閉点の像とする.
$(A_{s},m_{s})$
数なので, 局所化
は正則局所環であり, $\pi\in m_{s},$$s$を射$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathcal{O}_{K}arrow \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$による$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathcal{O}_{K}$$A$$\pi\not\in m_{s}$は滑らかな$\mathrm{F}_{p}[\pi]$である. 従って,

代$\pi$を含む $(A_{s}, m_{s})$ の正則パラメータ系 $\{\pi, x_{1}, \ldots, x_{r}\}$ がとれる. $R$ を $A_{s}/(x_{1}, \ldots, x_{r})$ の完
備化とし,とおく. すると, $R$ は完備離散付値環で,の像が素元となる.
$X’=\mathfrak{Y}\otimes_{A}R$

また,

$R$

の剰余体は有限体上有限生成な体である.

以上の状況をまとめよう.

$\pi$

46
1. 以下のファイバー積の可換図式がある.
$\mathfrak{Y}$

$X’$

$\{$

$\{$

$x\downarrow$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathcal{O}_{K}arrow \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A-\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}R$2.

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}O_{K},$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}R$の閉点の$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$における像は同じ点$s$である. 従って,$X,$ $X’$の特殊ファイバーは同じ代数多様体の底変換で得られる.
$R$ における像はともに素元である.
3. $\pi\in A$ の
4. $X,$ $X’$ は同じ形のエタール・チャートを持っている. 特に $X,$ $X’$ は, それぞれ, その生成ファイバーの固有な半安定モデルである.
5. $R$ の剰余体は有限体上有限生成な体であり, $X’$ に対して定理 12 は成り立っ.
6. $X,$ $X’$ の生成ファイバーは, 一般には同形ではないが, 底変換定理にょり, そのエ$\mathcal{O}_{K},$タールコホモロジーの次元は等しい.
これらを使って,$x$に対して定理 12 を示したい. そのために, 定理 12 をウェイ$\text{ト}$.

スペクトル系列の言葉で言い換えよう.

命題 42. ウェイト・スペクトル系列が E2 で退化しているとする. このとき, 定理 12 が成り立つことと,の恒等写像: $E_{1}^{-r,q+r}(r)\cong F_{1}^{r,q-r}$ が E2 の同形: $E_{2}^{-r,q+r}(r)\cong$
を導くことは同値である.
$E_{1}$$N^{r}$$N^{r}$」$E_{2}^{r,q-r}$は同じ形の幾何学的特殊ファイバーを持っから, ウェイト. スペクトル系列のE2 は同形であることに注意しよう. $X’$ に対しては定理 12 は成り立っから, 命題 42 により, $x$ に対する定理 12 を示すためには, $x$ のウェイト・スペクトル系列がで退化することを示せばよい. これは中山氏の結果を使ってもよいが, 次のようにして直接示すことができる.
$X,$ $X’$$E_{2}$

まず,$R$の剰余体は有限体上有限生成だから,$X’$のウェイト・スペクトル系列は$E_{2}$

で退化することに注意する (注意 39). 一般に, スペクトル系列 E}.j\Rightarrow E 雨がで退化することと, $\dim E^{k}=\sum_{i+j=k}\dim E_{2}^{i,j}$ は同値である. $X,$ $X’$ のウェイト. スペクトル$E_{2}$

系列の E2 および収束先は同じ次元を持つから,

トル系列も$E_{2}$$X’$

のみならず,$x$のウェイト・スペクで退化することが分かる.

よって定理 12 は示された.

REFERENCES
M. Artin, Algebraic appmximation of structures over complete locd rings, Inst. Hautes \’Etudes
Sci. Publ. Math. No. 36, (1969), 23-58.
[Del] P. Deligne, La conjecture de Weil , Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. No. 43, (1974), 273-307.
[Ar]

$I$

47
[De2] P. Deligne, La conjecture de Weil $II,$ Inst. Hautes \’Etudes Sci. Publ. Math. No. 52, (1980), 137-252.
[I1]
L. Illusie, Autour du th\’eor\‘eme de monodromie locale, P\’eriodes p-adiques (Bures-sur-Yvette, 1988),
Ast\’erisque No. 223, (1994), 9-57.
[It]
T.
Weight-monodromy conjecture over positive $characte\sqrt.stic$ local fields, master’s thesis,$\mathrm{I}\mathrm{t}\mathrm{o},$2001.

A. J. de Jong, Smoothness, semi-stability and alterations, Inst. Hautes \’Etudes Sci. Publ. Math.
No. 83, (1996), 51-93.
[Na] C. Nakayama, $Degenerat_{\dot{i}}on$ of -adic weight spectral sequences, Amer. J. Math. 122 (2000), no. 4,$[\mathrm{d}\mathrm{J}]$$l$721-733.

[RZ] M. Rapoport, T. Zink, \"Uber die lokale Zetafunktion von Shimurava .et\"aten. $Monodromiefiltmt_{\dot{l}}on$und verschwindende Zyklen in ungleicher Chamkteristik, Invent. Math. 68 (1982), no. 1, 21-101.
[Sal] M. Saito, Modules de Hodge polarisables, Publ.
Inst. Math. Sci. 24 (1988), no. 6, 849-995$\sqrt$${\rm Res}.$(1989).

[Sa2] M. Saito, Monodromy filtration and positivity,.
[Sc] W. Schmid, Variation of Hodge structure: the singularities of the period mapping, Invent. Math.
22 (1973), 211-319.
[Se] J.-P. Serre, Corps
Deuxieme edition, Hermann, Paris, 1968.
[ST] J.-P. Serre, J. Tate, Good reduction of abelian varieties, Ann. of Math. (2) 88 (1968), 492-517.
[St] J. Steenbrink, Limits of Hodge stmctures, Invent. Math. 31 (1975/76), no. 3, 229-257.
[Te] T. Terasoma, Monodromy weight filtration is independent of.
[EGA4] \’El\’ements de g\’eom\’etrie alg\’ebrique. $IV.$ \’Etude locale des sch\’emas et des morphismes de sch\’emas$I,II,III,IV,$ Inst. Hautes \’Etudes Sci. Publ. Math. No. 20, (1964), No. 24, (1965), No. 28, (1966),
No. 32, (1967).
[SGA2] Cohomologie locale des faisceaux coh\’erents et th\’eor\‘emes de Lefschetz locaux et globam,.
Stud. Pure Math., 2, North-Holland, Amsterdam, 1968.
[SGA4-III] Th\’eorie des topos et cohomologie \’etale des sch\’emas. Tome 3, Lecture Notes in Math., 305,
Springer, Berlin, 1973.
[SGA7-I] Groupes de monodromie en g\’eom\’et
alg\’ebrique.
Lecture Notes in Math., 288, Springer,
Berlin, 1972.
$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}.\mathrm{A}\mathrm{G}/0006162,2000$$loca’\llcorner \mathrm{A}x,$$l,$$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}.\mathrm{A}\mathrm{G}/9802051,1998$$\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{v}$.e$\sqrt$GRADUATE$\mathrm{s}_{\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{L}\mathrm{O}\mathrm{F}}$

MATHEMATICAL SCIENCES, UNIVERSITY OF TOKYO-mail address: itote2@ms.

$E$

$I,$

$\mathrm{u}-\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{y}\mathrm{o}.\mathrm{a}\mathrm{c}.$jP