数理解析研究所講究録
1075 巻 1999 年 154-155

154
Rotational form の打切り誤差と回転チャネル流
Uuncation error of Rotational foml and rotating channel flow
潔 (東工大工)堀内伊丹隆夫 (東工大院)

Kiyosi HORIUTI and Takao ITAMI
Dept. of Mechano-Aerospace Eng., Tokyo Institute of Technology, -okayama, Meguro-ku, Tokyo 152, Japan$\mathrm{O}$

Rotational and conservative (Skew-symmetnc) forms for the nonhnear terms in the Ascretized Navier-Stokes
the direct numerical slmulation (DNS) of turbulent channel and mixmg layer flows.
equatlon are compareddifferences were found in these two form results, i.e. , a relaminanzation of turbulence occurred in themethod, whereas thechannel flow when the Rotahonal form was used combmed with a lower-order fmite
is shown that a large truncation error arising in the
turbulence was sustained in the Skew-symmetric form.
Rotational form behaves slnularly as the Conohs force term in the budget of the turbulent shear stress on theside of the rotahng channel. It is further shown that tlus large truncation error can be ehminated by using theconsistent scheme.4,5) In the mlxmg layer, the diffrence in the two form results was not signlficant.
$\mathrm{m}$$\mathrm{N}\mathrm{o}\mathrm{t}_{1}\mathrm{C}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$$\mathrm{d}_{1}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$$1)_{\mathrm{I}\mathrm{t}}$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}}$

1. 緒

論論

方向の境界条件は free
点数は 1 $92\cross 127\cross 128$ とした.
slip とした.
非線形項の離散近似型には, 運動量および全運動エネルギーを保存する近似型として, Skew ymmetri 型 $((4)$
式) および Rotai nal 型 ((5) 式) を考慮した.
$\mathrm{y}$Navi er-Stokes 方程式は, 運動量, 運動エネルギーといった保存量をもつが, 離散近似をする際にもこの性質を保持することが望ましい. こうした保存型スキームとしては, Skewymmetri 型と Rotat ion 型が良く知られている. Horiuti 1) は, チャネル流の LES 計算において,Rotati nal 型を用いた場合, 乱流の層流化現象が発生することを示した. しかしながら, LES での検証では SGSモデルとの相互作用も影響している可能性も否めない.
そこで, 本研究の目的は, さらに混合層も含めた DNS 計算において両者の型の比較を行い, より詳細な解析を行$\mathrm{a}1$$\mathrm{s}$$\mathrm{c}$$\mathrm{o}$$\mathrm{s}$$\mathrm{c}$$\mathrm{o}$$\frac{1}{2}\frac{\delta(u_{i}u_{j})}{\delta x_{j}}+\frac{1}{2}u_{j}\frac{\delta u_{i}}{\mathrm{a}_{j}}$(4)$u_{j}( \frac{\delta u_{i}}{\delta x_{j}}-\frac{\delta u_{j}}{\ _{i}})+ \frac{1^{\delta(u_{j}u_{j}})}{2\ _{i}}$(5)う点にある,

2. 基礎方程式および計算方法

計算結果の型依存性を明示するために, チャネル流でymmetri 型を, -下半分に(以下Mixed form) を行っ
Rotation 型を用いた計算
た. 混合層では 2 つの近似型を用いた計算を別々に行っは, 上半分に Skew

基礎方程式は, 以下に示す Nav er-Sto
連続の式 (2) である.
$\mathrm{i}$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{s}$方程式 (1) と$\mathrm{c}$$\mathrm{s}$$\mathrm{a}1$

た.
$\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+\frac{\partial(u_{i}u_{j})}{\partial x_{j}}=\frac{\partial p}{\partial \mathfrak{r}_{i}}+\frac{\mathit{1}}{Re}\frac{\partial^{\mathit{2}}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}$(1)3. 計算結果および考察
図 1 は, CASEI における壁面
3. 1 チャネル流(2)

摩擦速度の時間発展を示すが, 下側の壁で減少しており層流化が起きているのに対し, 上側の壁では乱流が維持されている. 層流化に伴い, チャネル下半分では, 乱流強度が減少するが, この傾向は, 図 2 の垂直成分で顕著$’>$ の収支式中のであった. 図 3 はせん断応力項の 分布であるが,velocity-pres ure gradientymmetric 型と定性的に全く異な
Rot at on 型は Skew
る分布を示す. 図 2 に見るとおり, CASE2 の結果は,CASEI とほぼ同 $-$ であった.

$\frac{\partial u_{i}}{\partial \mathfrak{r}_{i}}=\mathit{0}$計算における離散化手法としてはチャネル流, 混合層いずれにおいても, 流れ方向 (x) とスパン方向 $(Z)$ に方向にはaliasin 誤差を除去する擬スペク トル法を,
3 次精度不等間隔差分法 (CASE1, 式 (3)) ,$\mathrm{y}$$\mathrm{g}$$<\mathrm{u}’ \mathrm{v}$$(\mathrm{v}\mathrm{p}\mathrm{g})$$\mathrm{s}$$\mathrm{y}$$\mathrm{i}$$\mathrm{a}1$$\mathrm{s}$$\frac{\delta \mathrm{u}}{\delta \mathrm{y}}=K\frac{\mathrm{h}_{K}}{(\mathrm{h}_{K+\mathit{1}^{+}}\mathrm{h}_{K})\mathrm{h}_{K}+l}\mathrm{u}_{K+\mathit{1}^{+}}\frac{\mathrm{h}_{K+\mathit{1}}-\mathrm{h}_{K}}{\mathrm{h}_{K+\mathit{1}}\mathrm{h}_{K}}\mathrm{u}_{K}-\frac{\mathrm{h}_{K+1}}{(\mathrm{h}_{K+\mathit{1}}+\mathrm{h})K\mathrm{h}_{K}}\mathrm{u}_{K-}\mathit{1}$(3)2 次精度不等間隔差分法 ( AS E2) および後述のを用いる. ここでは差分法によ
si tent
る 方向の離散化を表す. また時間前進には非線形項と圧力項に 2 次精度 Adams-B ashforth 法を, 粘性項には 2次精度 Crank-Nicolson 法を用いた. チャネル流では,$\mathrm{C}$$\delta/\delta y$$\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{s}$$\mathrm{y}$解析の結果このチャネル流での近似形による結果の相型の壁の近くでの差分法による打ち切り誤差に原因していることが分かった. 同型の打ち切り
誤差中の主要項は, (5) 式の(y) 成分中に生ずる項違は, Rotatio$\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}$$\mathrm{i}=2$$- \mathrm{u}\frac{\delta \mathrm{u}}{\delta \mathrm{y}}+\frac{1}{2}\frac{\delta \mathrm{u}^{2}}{\delta \mathrm{y}}\overline{\sim}\frac{\mathrm{h}_{K}\mathrm{h}_{K+1}}{3’}.\{3\frac{\partial}{i\forall}(\frac{\partial \mathrm{u}}{i\nu})2\}$完全に発達した乱流状態での壁面摩擦速度馬 o とチャネ

ル半値幅\mbox{\boldmath $\delta$} にもとつくレイノルズ数を 180 とし, 格子点数は x,方向に各々 128, 129,128 と頃た. また初期条
方件は完全に発達した乱流状態とした. 境界条件は向には周期境界条件を,方向には壁での粘着条件を適用した. 混合層では, 層の上端と下端における速度差と初期運動量厚さにもとつくレイノルズ数を 200, 格子$\mathrm{y},z$$\mathrm{x},z$$\mathrm{y}$(6)である. この誤差が s ource 項となり, 図 3 で見るような圧力分布に大きな差異が生じた. この誤差項のせん断応力<u’
収支式中での分布を図 4 (erro r) に示すが, 壁近傍で大きな値をとり, 図 3 中の g 項に対応する項となっている.
ti 1) で指摘されたように,$\mathrm{v}^{\uparrow}>$$\mathrm{v}\mathrm{p}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{u}$$\mathrm{S}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{w}$155$\mathrm{s}$ymmetric 型では, こうした大きな打ち切り誤差は発生しない. さらに, 式 (6) が乱流強度の非等方表現モデルの 2 次項 2) に相当することを考慮し, 回転チャネル流で.のコリオリ項.
$-2\Omega\langle u^{2}’-U^{2}.\rangle$

3. 2. 混合層の計算においては,混合層Sk ew
ymmetri 型と Ro ataio型の計算結果に有為な差は見出されなかった. これは, 混合層における Shear rate がチャネル流に比べかなり小さいため, 打ち切り誤差の影響が小さいためと考えられる.
$\mathrm{n}\mathrm{a}1$$\mathrm{s}$(7)(図 4) , 両者は定性的に –致している (こ従って, Ro tation 型で見出された層流化現象は, 回転チャネルの uctio 側での層流化現象 3) と相似であることが示された. 実際, 図 1 中にと比較すると

こで $\Omega=0.45$ とした).

$\overline{\mathrm{Q})}$$\mathrm{a}1$$\mathrm{s}$$.\alpha 0$$\mathrm{n}$$\overline{\mathfrak{d}}\mathrm{D}$

含めた回転チャネルでの壁面摩擦速度の変化は, 下の壁において, Mixed form の結果とほぼ–致している.
(6) の大きな打ち切り誤差は, 離散近似をした場合,$\frac{}{\infty}\underline{\omega}$.

$. \frac{\mathrm{Q})\infty}{\mathrm{a}}$$\rho\triangleright^{1}$

微分演算の互換性が必ずしも成立しないことに原因して$\overline{\circ\circ}$いる.

この欠点を解消する近似塑とし ’Rotatio$\dot{\text{て}}.$の第 1 項に$((6)\text{式})$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}$si ten$\mathrm{t}$$\mathrm{s}$$\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{m}.\mathrm{e}\prime 45$$\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}$型$\succ\neg\omega$)((8) 式) を適用した.

Fig.3$\frac{\delta u}{\Phi})_{K}=\frac{1}{2}((u\frac{\delta u}{\Phi}\mathrm{I}K+\frac{1}{2}+(u\frac{\delta u}{\Phi}\mathrm{I}_{K}-\frac{1}{2}$-dis tri utio
eloci
gradi ent terms$\mathrm{b}$$\mathrm{y}$$\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{v}$$\mathrm{t}\mathrm{y}$-pres ur e$\mathrm{s}$$= \frac{1}{2}(\frac{u_{K+1}+uKu_{K+1}-u_{K}}{2h_{K+1}}+\frac{u_{K}+u_{K\neg 1}u_{K^{-}}u_{K-1}}{2h_{K}})$(8)

図 3 には,この場合の型で生じた負の$\mathrm{v}\mathrm{p}\mathrm{g}$Rotati
発生も防げることが分かった.
$\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}$項の分布も含めたが,は解消され, 層流化の$\}_{[mathring]_{\zeta}}-p$.

.

$\frac{\frac{\frac{\aleph}{\mathrm{o}}\circ \mathit{0}}{}}{w}\cdot$$‘\Phi\llcorner\circ \mathrm{k}$$\mathcal{Y}’v$

Fig.4

4. 結

$0$

$\mathrm{o}\mathrm{f}$the wall fri ction velocity$\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}$error and Coriolis erms$\mathrm{t}$論論

r-S方程式の非線形項の近似型にRotational 型を低次精度の差分法と併用することにより生じるチャネル乱流での層流化現象は, 打ち切り誤差が原因であり, その物理的な効果は回転チャネルでのコリオリカの効果と定性的に相似であることを, その誤差解析により示した. さらに, Rot atio型におけるこの大きな打ち切り誤差は, 微分演算の互換性を保証する
si tenを用いることにより, 消去できるこは Horiuti et al. 6) を参照されたい.とを示した.
$\mathrm{N}$Fig. 1 Time dev el pment

a-dis tri ut$\mathrm{b}$$\mathrm{y}$$\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{e}$$\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{s}$$\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{t}$$\mathrm{s}$$\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\yen-\{\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}$引用文献
1) K. Horiuti: J. Comput. Phys. 2 (1987) 343.

$”\backslash ^{3}$2) K. Horiuti: Phys.Fluids A 2 (1990) 1708.
3) R.

$-” \vee\bigwedge_{\Im}$

Kristoffersen &H. I. Andersson : J. Fluid Mech. 256(1993) 163.

4) 梶島二流項の差分形式とその保存性田本機械学会論文集編 60-574(1994) 2058.
5) 鈴木、河村、乱流の数値シミュレーションのおける差分式の整合性日本機械学会論文集 編 60-578(1994) 3280.
6) K. Horiuti andItami: submitted to J. Comput Phys.
$\mathrm{B}$$\mathrm{B}$$\prime \mathrm{r}$Fig 2 Normal turbul en ce nten$\mathrm{i}$$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}$es(1997).