数理解析研究所講究録
1091 巻 1999 年 45-5545

極限公式に現れる特殊函数と相互法則について
吉田敬之 (京大理)\S 0. 序
筆者は 1995 年 11 月及び 1998 年 1 月の数理研での研究集会で “On absolute CMperiods ” と題する講演を行った. この内容は [Y3], [Y4] と [Y5] に対応する. 講演の後に専門家から Stark-Shintani 予想との関係は? という質問を受けることが何度かあった. 筆者は京都大学における大学院生向きの講義でこの事情は詳しく説明したこともあり, また [Y4], \S 4 でもある程度論じているのだが, 専門家にもこの関係は自明ではないことを思い知らされた. そこで本稿
では, 簡単な歴史的説明とともに, Stark–Shintani 予想と Absolute CM-periods についての予想の関係を解説することを試みた.
大雑把にいえば, 両者はほぼ補完的な関係にある. たとえば を素数として $\Gamma(n/l),$ $1\leq n\leq l$の性格について考えると, これは のべきを無視すれば, すべて円単数と CM-period によって説明できるのである (cf. [Y3], \S 2). しかし, 本稿の Conjectures
はこれよりもやや深い
$l$

$\pi$

$\mathrm{A},$$\mathrm{B}$level にある.

記号は通常用いられているものに従ったが少し説明しておく. $B_{n}(x)$ は 次の Bernoulli 多$R_{K},$
項式を表す. 代数体 $K$ に対して , $E_{K},$はそれぞれ $K$ の単数群, 類数, regulator,$IC$ にふくまれる 1はのべき根の数を表す. $K$ の integral ideal についてと If のある
archimedean primes の積をかけたものを法として得られる $K$ の ideal class group を表す.
$n$$h_{K},$$w_{K}$$\mathrm{f}$$C_{\mathrm{f}}$$\mathrm{f}$archmedean primes のどういう積を取っているかが重要であるが, それは文脈から明らかになるように注意 た.
は classに対しての partial zeta function を.
ここで$1_{\wedge}.$$c\in C_{\mathrm{f}}$$\zeta_{K}(s, c)$

$c$

表す.

\S 1. 歴史
代数体 $F$ の野 $-ff$ 函数 ($F(s)$ についての公式(1)$\lim_{sarrow 1}(s-1)\zeta p(S)=\frac{2^{r_{1}+r_{2}}\pi^{r}h_{F}2RF}{wp|D_{F}|1/2}$

は Dirichlet が発見して以来 (一般の場合は Dedekind), 整数論における基本公式であった.
$K$

が $F$ のアーベル拡大とすると, (1) により相対類数 $h_{K}/h_{F}$ は、 $\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/F)$ の指標に$\chi$

ついて, $L(1, \chi)$ がわかれば計算できるため, $L(1, \chi)$ の研究が次の課題として捉えられるようになった. 19 世紀には、 Kummer が $F=\mathrm{Q}$ の場合に $L(1, \chi)$ の公式を求め, 類数と単数の間の関係, Fermat の問題への応用等を見出した. また Kronecker I は $F$ が虚 2 次体、$\zeta_{F}$

( C)
$s,$

-

を $F$ の ideal 類に属する部分ゼータ函数とするとき, $\zeta_{F}(S, c)$ の $s=1$ での Laurent 展開(2)$\zeta_{F}(_{S}, c)=\frac{2\pi}{wp|D_{F}|1/2}\frac{1}{s-1}+O_{c}+\cdots$

46

の第二項
を

$a_{c}$

が Dedekind の $\eta-$ 函数で表されることを発見している. 即ち$a=\mathrm{Z}\omega_{1}+\mathrm{Z}\omega_{2},$$w=\omega_{1}/\omega_{2}\in$$c$を代表する ideal

めとするとき,.

(3)$a_{c}= \log\frac{1}{2|D_{F}|1/2}+2\gamma-\log S(\propto w)-\log|\eta(w)|^{4}$

この極限公式は, Hecke の連の研究のインスピレーションの源であったと思われる. Hecke は 2 変数の Hilbert modular函数の虚数乗法を考察し, 古典的な虚数乗法論を, 基礎体が実 2 次体の総虚 2 次拡大体の場合に拡張した (全集 1, 4). 関連した, しかし別の研究方向として彼は Hilbert の第 12 問題との関係で (2) の型の Laurent 展開の第 2 項に現れる解析函数に興味を持ち, これを種々の観点から研究した (全集 3, 10, 15, 17, 20, 21).
Hecke の虚数乗法の仕事は, 1950 年代の志村-谷山- Weil の研究により高次元化がなされたが,1 1960 年代から 1980 年代に至る志村の研究により, 虚数乗法をもつアーベル多様体のゼータ函数, 周期, モジュラー函数との関連について, 高い立場からの眺望が得られるようになった.
志村 [ShlO] を参照されたい.
極限公式についての Hecke の研究の内発表されたものは 1920 年代で終わっている. その後
1961 年に Siegel の講義録 ([Si]) が現れ, 1970 年には (2), (3) の拡張を与える浅井氏の論文([As]) が現れた. また 1970 年に Stark は $L(1, \chi)$ の-般的性格についての予想を発表してい(所謂 Kronecker の極限公式). ここに$\gamma$は Euler の定数である.

その後 1970 年代における Stark と新谷の研究により $L(1, \chi)$ の性格が更に明確にされるようになった.

る.

\S 2. Stark-新谷の予想
Stark-新谷の研究を現時点で明らかになっている見方から説明しよう. まず $L(1, \chi)$ を考えるよりも $L(s, \chi)$ を $s=0$ で考察するほうがより基本的 (単に簡明という以上の意味) であることが明らかになった.

(1)$\zeta_{F}(s)$の函数等式により公式 (1) は$\zeta_{F}(S)\sim-\frac{h_{F}R_{F}}{w_{F}}s^{r_{1}}+r_{2}-1$,$sarrow 0$と同値になる. $K$ を $F$ の有限次 Galois 拡大体, $G=\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/F)$ としよう.

(4)$\zeta_{K}(s)=\square Lx\in^{\hat{c}}(S, x, K/F)^{\mathrm{d}\mathrm{i}\chi}\mathrm{m}$であるから, $(1’)$ の左辺が (4) に従って分解すると考えると

CONJECTURE 1(STARK, [ST], II,$\mathrm{P}$. $61$ ) .

とする.

$F=\mathrm{Q}$$\chi$

は trivial 表現を含まないと仮定する.
$L(s, \chi)\sim cS^{r(}\chi)$,$sarrow 0$,$c\neq 0$

とおくと, $c=R(\chi)$ は, $K$ の unit の絶対値の対数の代数的数を係数とする 1 次結合のなす$r(\chi)\cross r(\chi)$ 行列の determinan
である.
$t$

この予想により, $r(\chi)=1$ の場合に $L’(0, \chi)$ を研究すれば, 非常に面白い結果が得られ,るであろうと考えられる. 以下 $F$ は総実代数体を表すとしよう. $[F : \mathrm{Q}]=n$ とおき,$\infty_{1}$1 これは必ずしも正確な表現ではない.

[ShlO] の序文参照.

47

archimedean primes 全体を表す. $K$ は $F$ の有限次アーベルのみが分解しているとする. 従って、prime は拡大体であって, $K/F$ では
$F$
の
となる.
上の類体としての conductor は,の整 ideal によってIfを法とする $F$ の ideal 類 に対して$\infty_{2},$により$\infty_{n}$$\cdot\cdot.\cdot,$$F$の$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}\dot{\mathrm{i}}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}$$\infty_{1}$$F$$\mathrm{f}\infty_{2}\infty \mathrm{s}\cdots\infty n$$\mathrm{f}$$\mathrm{f}\infty_{2}\infty_{3}\cdots\infty_{n}$$c$$\zeta_{F}(_{S}, C)=\sum_{a\in C}N(a)^{-s}$

を類

$c$

の

partial zeta function としよう.

.-SHINTANI, CF. TATE [T], . $89,$ . $93$ ) . $n\geq 2$ , またはとする. If の unit
があってCONJECTURE 2($n=1,$$\mathrm{s}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{K}$$\mathrm{P}$$\epsilon\in E_{K}$$\mathrm{f}\neq(1)$$\epsilon^{\sigma}=\exp(-2\zeta_{F}’(0, c))$が成-”‘Lっ.

$\mathrm{P}$$arrow.\#_{}\vee\sigma=(\frac{I\mathrm{f}/F}{c})$,$\forall\sigma\in G\mathrm{a}l(K/F)$.

この予想は-種の explicit reciprocity law を与えているとみなせる.
$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/F)$のconductor が$\mathrm{f}\infty_{2}\infty_{3}\cdots\infty n$$\chi\in\hat{G},$

$G=$

のとき

$L(s, \chi)=\sum x(C)\zeta p(s, C)c$

であるから
$L’(0, \chi)=-\frac{1}{2}\sum\sigma x(\sigma)\log\epsilon^{\sigma}$となり Conjecture 1 が精密化される.

新谷氏は,$\mathrm{f}\infty_{1}\infty_{2}\cdots\infty_{n}$を法とする $F$ の ideal class$c$に対して $(F(0, C)$ の初等的表のときにこの公式を書き下し
示, 及び: $\cdot\cdot,\text{を}F$ の狭義 ideal
を $F$ の総評単数群の generator とする.
てみよう.
と
を
が同じ狭義 ideal 類に属するようにとり類を代表する整 ideal とする. とおく.
$\zeta_{F}’(0, C)$の多重ガンマ函数を用いる表示を与えた $.2_{n=2}$$\epsilon>1$$\alpha_{1},$$\alpha_{\mu}\mathrm{f}$$\alpha_{\mu}$$a_{2},a_{h_{\text{。}}}$$c$$R(\epsilon, c)=\{z=x+y\epsilon\in(\alpha_{\mu}\mathrm{f})-1|x, y\in \mathrm{Q}, 0<x\leq 1,0\leq y<1, (z)a_{\mu}\mathrm{f}\equiv C\}$

とおく. ここに$\equiv$

は$C_{\mathrm{f}}$で同じ類に属することを表す.

THEOREM 3(SHINTANI, [SHI4], [SHI5]).
$\zeta_{F}(0, C)=\sum_{z\in R(\epsilon c)},\{\frac{\epsilon+\epsilon’}{4}(B_{2()}x+B_{2}(y))+B_{1}(x)B_{1}(y)\}$,$\zeta’p(\mathrm{o}, C)=z\in R(\sum_{\epsilon C)},\{\log\frac{\Gamma_{2}(z,(1,\epsilon))\Gamma 2(Z^{;},(1,\epsilon\prime))}{\rho_{2}((1,\epsilon))\rho 2((1,\epsilon))},+\frac{\epsilon’-\epsilon}{2}\log\epsilon B2(X)\}$$-\log N(\alpha \mathrm{f}\mu)\zeta F(0, C)$.

2 ここで archimedean primes による類別の違いに注意

48\S 3. 志村の周期記号$p_{K}$

次に, 志村の研究について説明しよう. $K$ を $F$ の総虚 2 次拡大体とする. CM 体と呼ぶ.
$J_{K}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(K, \mathrm{c}),$$I_{K}$

を $J_{K}$ によって生成される free abelian group とする.

が, $\Phi|F=J_{F}$ をみたすとき

THEOREM 4((1)(2)$b\in \mathrm{C}$$a,$に対して, $b\neq 0$ ,であるとき $a\sim b$ とかく.

$a/b\in\overline{\mathrm{Q}}$$\mathrm{C}^{\cross}$

を $K$ の CM-type と呼ぶ.

$\Phi$$\Phi\subset J_{K}$$\mathrm{s}_{\mathrm{H}\mathrm{l}\mathrm{M}}\mathrm{u}\mathrm{R}\mathrm{A},$$\mathrm{C}\mathrm{p}$. [SH10], THEOREM 32.5). 周期記号

$p_{K}$:$I_{K}\cross I_{R’}arrow$

があって

mod

は

$p_{K}$$\overline{\mathrm{Q}}^{\mathrm{x}}$でみるとbilinear.

はに対して上に定義された CM-type(If, ) の abel 多様体とする.
$a\in K\cap E\mathrm{n}d(A)$ の作用で倍で変換する holomorphic 1-form とする. このとき$A$は$\sigma\in\Phi$$\Phi$$\overline{\mathrm{Q}}$$\omega_{\sigma}$$a^{\sigma}$.

$\int_{z}\omega_{\sigma}\sim\pi pK(\sigma, \Phi)$

が任意の 1-cyde $z\in H_{1}(A, \mathrm{Z})$ に対して成立つ.

(3)

$f$

\dag er a weight $(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n})\text{の}$ merom orphic Hilbert modular form,$f(Z)= \sum_{F\alpha\in}a(\alpha)\exp(2\pi\sqrt{-1}\tau_{r(}F/\mathrm{Q}\alpha z))$を Fourier 展開とする. すべての Fourier 係数 $a(\alpha)$ はと$\tau_{1},$$\cdots,$$\tau_{n}\in J_{K}$,$z\in\emptyset^{n}$に属すると仮定する.

$\overline{\mathrm{Q}}$$z\in K$が $\propto S(Z^{r_{\mathfrak{i}}})>0,1\leq i\leq n$ を充たせば$f.(z^{\tau_{1}}, \cdots, z^{\tau_{n}})\sim pI\sigma.(i=1\sum nki\tau_{i}, \tau_{1}+\cdots+\tau_{n})$が左辺が五 nite ならば成立つ.
は他にも重要な functorial properties を持つがそれは省略する. Theorem 4, (3) をEisenstein 級数に適用することによって, つぎの定理が得られる. 以下 により複素共役写像を表す.
$p_{K}$$\rho$

は If のは $CM$ 体,
THEOREM 5(SHIMURA, CF. [SH10], THEOREM 32.12).
$K$のは型の量指標では非負整数, は If の整 ideal とする.
CM-type,$IC$$t_{\sigma},$$\Phi$$A_{0}$$\lambda$$\sigma\in\Phi$$\mathrm{q}$$\lambda((\alpha))=\prod_{\sigma\in\Phi}(\frac{\alpha^{\sigma\rho}}{|\alpha^{\sigma}|})^{t}\sigma$をみたすとする. このとき整数 $m$ が$m\equiv t_{\sigma}$,$\alpha\equiv 1$

mod 2,

mod$-t_{\sigma}<m\leq t_{\sigma}$.

して充たせば$L(m/.2, \lambda)\sim\pi pe/2K(\sigma\in\sum t\sigma.

ここに $e=mn+ \sum_{\sigma\in\Phi}t_{\sigma}$$\mathrm{x}_{\mathrm{q}}$\sigma, \Phi)\Phi$

をすべての$t_{\sigma}$

にたい

.

.

Theorem 5 において の conductor は要はない. Theorem 5 の量指標を typeを primitive と仮定する必を割り切るが,であると呼ぼう.
$\lambda$$\lambda$$\mathrm{q}$$( \Phi, \sum_{\sigma\in\Phi\sigma}t\cdot\sigma)$

49

$IC$

は判別式 $-d$ の虚 2 次体とする.

$\chi$

は 2 次拡大$IC/\mathrm{Q}$に対応する Dirichlet 指標とする. このとき$d-1$(5)$\pi_{PK}(\mathrm{i}\mathrm{d}, \mathrm{i}\mathrm{d})^{2}\sim\prod\Gamma(\frac{a}{d})w_{K}\chi(a)/2hK$$a=1$が成立つ (Chowla-Selberg, 1949, cf.

[SC], \S 12). 例えば,のときは$I\acute{\mathrm{t}}=\mathrm{Q}(\sqrt{-1})$$\cdot$$\pi pK(\mathrm{i}\mathrm{d},\mathrm{i}\mathrm{d})\sim\int_{0}1\frac{dx}{\sqrt{1-x^{4}}}=\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}$

からわかるが, 一般の虚 2 次体については, 楕円積分の直接計算からは得られない. $L’(0, \chi)$ を. によって計算し,を Hurwitz の公式によりガンマ(2), (3),函数で表示して比較すると得られる. ほかにも幾何学的な証明法がある. (たとえば [G], [An],$|\eta(w)|^{4}\sim p_{K}(\mathrm{i}\mathrm{d}, \mathrm{i}\mathrm{d})^{2}$$\zeta_{\mathrm{Q}}^{l}(0, c)$[Y3], \S 2.)\S 4. CM-period についての予想
CONJECTURE 6(COLMEZ [C], [Y3], [Y4]).
$G=G\mathrm{a}l(L/\mathrm{Q})$

とおく.

の共役類

$G$

$c$

$L$

は

$\mathrm{Q}$

上 normal なを表す.

$\hat{G}_{-}$

は $G$ の既約表現$\mu(c)$$\eta$

で $\eta(\rho)=-id$.

をみたすものの同値類の集合,

は $c=\{1\}$ のとき 1, $c=\{\rho\}$ のとき $-1$ , それ以外の場合は

REMARK 7. $K$ は$\exp(L’(0, \chi))$ mod
根拠を説明しよう.

$\mathrm{Q}$の有限次 Galois 拡大体,$\overline{\mathrm{Q}}^{\mathrm{x}}$$\chi$

体とする.

に対して

$\prod_{\sigma\in c}p_{L}(id, \sigma)\sim\pi^{-}\mu(c)\eta\in\prod_{-}\exp(\frac{|c|\chi_{\eta}(C)}{|G|}\cdot\frac{L’(0,\eta)}{L(0,\eta)})\hat{G}$

ここに

$CM$

$\chi$

は$Gal(K/\mathrm{Q})$$0$$\chi_{\eta}$

は$\eta$の指標とする.

の表現とする. このときは Conjectures 1, 6 によって予想可能である.
は faithful, irreducible で $\chi\neq 1$と仮定してよい.

$L(s, \chi)$のGamma factor を $\Gamma(s/2)^{a}\Gamma((s+1)/2)^{b}$ とする. $a\geq 2$ ならば $L’(0, \chi)=0$ であるから問題ない. $a=1$ のときは $r(\chi)=1$ であり Conjecture 1 によりわかる. $a=0$ としよう.
このときの center に-id である. は faithful であるから は$K$入っている. よ ては CM 体であり,である. このときは Conjecture 6 によっ$\chi(\rho)=$$\chi$$\rho$$G=\mathrm{G}\mathrm{a}1(L/\mathrm{Q})$$\chi\in\hat{G}_{-}$$’\supset$て予想できる.

Conjecture 6 の特別の場合として次のことがわかる$([\mathrm{Y}4], \S 2)$の最大実部分体とし, を 2 次拡大 $K/F$ に対応する $F$ の idele 群とする. このとき, Conjecture 6 を仮定すれば$\chi$(6)$L_{F}’(\mathrm{o}, x)$$\overline{L_{F}(0,\chi)}\sim\pi^{[F\mathrm{Q}]}\prod_{J}:(PK\sigma, \sigma\sigma\in K)$

Chowla-Selberg 公式 (5) は (6) においてConjecture 6 は次のように変形できる.

$F=\mathrm{Q}$.

の場合である.

.

$K$$F_{A}^{\cross}$

を CM 体, $F$ を $IC$のHecke character

50

PROPOSITION 8. $K$ は $CM$ 体で次の総実代数体 $F$ のアーベル拡大になっているとする.
のにとおきへの任意の拡張を同じ文字$n$$G=G\mathrm{a}l(K/F),$ $Jp=\{\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n}\}$$J_{\mathrm{A}’}$$\sigma_{i}$$\sigma_{i}$Conjecture 6 を仮定する.

よって表す.

(7)$\tau\sigma i\sim\pi-n\mu(\mathcal{T})\chi\hat{G}\mathrm{x}\mathrm{p}(\frac{\chi(\tau)}{|G|}\frac{L’(0,\chi)}{L(0,\chi)}$$\prod_{i=1}^{n}p_{K()\prod_{\in-}\mathrm{e}}\sigma
i,$

が任意の,
$p_{K}$$\in G$に対して成立つ.

についての志村の定理 (Theorem 4, [ShlO] 参照) により$p_{K}(\sigma_{i}, \mathcal{T}\sigma_{1}.)\sim pK\sigma:(\mathrm{i}\mathrm{d}, \sigma^{-1}i\mathcal{T}\sigma_{i})$であることを注意しておこう.
Proposition 8 において,$\chi\in\hat{G}_{-}$のconductor を$\mathrm{f}\infty_{1}\infty_{2}\cdots\infty_{n}$$L(s, \chi)=\sum x(_{C)}C\in c_{\mathrm{f}}\zeta p(S, C)$とする. このとき,$L’(0, \chi)=\sum_{c\in C_{\uparrow}}x(C)\zeta’F(0, C)$を新谷のを法とする $F$ の ideal 類群を表す.
公式で多重ガンマ函数により表す. このとき (7) の左辺の分解に伴って右辺も自然に分解していを多重ガンマ函数によって定義して (7) の右辺
ることがわかる.
となる. ここに$C_{\mathrm{f}}$は$\zeta_{F}’(0, C)$$\mathrm{f}\infty_{1}\infty 2\ldots\infty_{n}$$gK(\mathrm{i}\mathrm{d}, \mathcal{T}),$$=\Pi_{i=1}^{n}g_{K}\sigma\cdot(|\mathrm{i}\mathrm{d}, \sigma_{i}-1\mathcal{T}\sigma_{i})$$\tau\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(K/F)$とできる.

CONJECTURE A (CF. [Y5]). $\tau\in Gal(K/F)$ に対して $pK(id, \tau)\sim g_{K}(id, \tau)$ .
の定義が canonical . なるように, 細心の注意を払わねばならない.
$[F:\mathrm{Q}]=2,$ $[IC : F]=2$ の場合のの定義を書いておこう. $K$ の $F$ 上の類体との指標とする.
を $K/F$ に対応するとする.
しての conductor を
ここで,$t^{}$$gK(\mathrm{i}\mathrm{d}, \tau)$$gK(\mathrm{i}\mathrm{d}, \mathrm{i}\mathrm{d})$$\mathrm{f}\infty_{1}\infty_{2}$$C_{\mathrm{f}}$$\chi$$gK( \mathrm{i}\mathrm{d}, \mathrm{i}\mathrm{d})=\pi^{-1/2}\exp(\frac{1}{2L(0,x)}C\in^{c}\sum_{\mathrm{f}z\in}\sum_{cR(\epsilon)},[\log\frac{\Gamma_{2}(Z,(1,\epsilon))}{\rho_{2}((1,\epsilon))}+\frac{\epsilon’-\epsilon}{4}\log\epsilon B2(X)$$- \frac{1}{4}\log N(\alpha_{\mu}\mathrm{f})\cross\{\epsilon’B2(X)+\epsilon B2(y)+2B1(x)B_{1}(y)\}]$

このとき

(8)

$a$

を

$b\sqrt{d}$の形の数として $(F=\mathrm{Q}(\sqrt{d}))$Conjecture A は$\pi p_{K}(\mathrm{i}\mathrm{d}, \mathrm{i}\mathrm{d})^{2}\sim\epsilon^{a}\prod_{c\in cf}\{\prod_{cz\in R(\epsilon,)}\frac{\Gamma_{2}(Z,(1,\epsilon))}{\rho_{2}((1,\epsilon))}\}^{\chi()}c/L(0,\chi)$となるから Chowla-Selberg 公式との類似は明らかである.

.

51

CONJECTURE(CF. [Y5]).

$\mathrm{B}$を $K$ の$\lambda_{\dot{8}}$$A_{0}$型量指標として志村の定理 (Theorem 5)から,$\prod_{i=1}^{q}L(m/2, \lambda i)\epsilon_{i}\sim\pi^{A}p_{K(\mathcal{T})^{e}}id$が得られたとする. ここに $A,$ $e,$のべき根 があってであるとする. このとき$\epsilon_{i}\in \mathrm{Z}$$\sigma\in G\mathrm{a}l(\overline{\mathrm{Q}}/\mathrm{Q})$に対して, 1$\zeta$$( \frac{\Pi_{i^{--}1}^{q}L(m/2,\lambda i)\epsilon_{i}}{\pi^{A}g_{K}(id,\mathcal{T})^{e}})^{\sigma}=\zeta\cdot\frac{\Pi_{i=1}^{q}L(m/2,\lambda_{i}\sigma)^{\epsilon}i}{\pi^{A}g_{K^{\sigma}}(id,\sigma-1_{\mathcal{T}}\sigma)e}$が成立つ.

ここで対応 $\sigmaarrow\zeta=\zeta(\sigma)$ は-種の reciprocity map であると考えられる. If が虚 2次体のとき, 志村の相互法則 ([Sh3], Main Theorem III) によっての場合にも$\zeta(\sigma)$は決定できる. 一般の形は motive 理論によってある程度予想できる.

$\zeta(\sigma)$\S 5. Examples$F=\mathrm{Q}(\sqrt{5}),$$K\text{の}F_{-}\llcorner \text{の}$$IC=\mathrm{Q}(\sqrt{\frac{13+\sqrt{5}}{2}}i)$conductor Ga$\mathrm{f}\infty_{1}\infty_{2},$ととる. このとき$\mathrm{f}=(^{\underline{13+\sqrt{5}}},),$$\epsilon=\frac{3+\sqrt{5}}{2},$$N(\mathrm{f})=41$.

$h_{F}=h_{K}=1$ である.

$\sigma\in J_{K}\text{を}$$(\sqrt{\frac{13+\sqrt{5}}{2}}i)^{\sigma}=\sqrt{\frac{13-\sqrt{5}}{2}}i$で定める. $0\leq a,$$A_{0}$型の量指標,$b\in \mathrm{Z}$$\lambda_{a,b}^{(2)}$に対して$\lambda_{a,b}^{(1)}$は conductor (1), type $(\{1, \sigma\}, a+b\sigma)$ の $K$ のは conductor (1), type $(\{1, \sigma\rho\}, a+b\sigma\rho)$ の $K$ の$A_{0}$型の量指標とする.

,$Q_{1}= \frac{L(1,\lambda_{4,2}^{(}1))L(1,\lambda_{4,2}(2))L(1,\lambda_{2,2}(1))^{-}1L(1,\lambda_{2}(2))2-1}{\pi^{2}g_{K}(\mathrm{i}\mathrm{d},\mathrm{i}\mathrm{d})^{2}}$とおく. Theorem 5 によって分子は代数的数になるはずである.
二つをまとめて計算することにより$Q_{1}$となるので, Conjecture A が成立てば,は Conjecture
によってわかるので, この$\sim\pi^{2}pK(\mathrm{i}\mathrm{d}, \mathrm{i}\mathrm{d})^{2}$$Q_{1}$の “共役”$\mathrm{B}$$Q_{1}= \epsilon^{22/41}\cdot\frac{245+60\sqrt{5}}{3\cdot 41}$が得られる. ここに両辺は 45 桁まで–致する. 精度をあげて二回目の計算を行うことにより 112
桁まで–致することを確かめた. ここで (8) におい.\check C $a=-8\sqrt{5}/41$ であり, $22-8\sqrt{5}\equiv 0$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} (\frac{13-\sqrt{5}}{2})=\mathrm{f}’$が成立している.

上の normal closure に迄拡大すると, Conjecture
考察を著しい相互関係が生じる. 実例について詳しくは [Y5] を参照されたい.
$K$の$\mathrm{Q}$$\mathrm{B}$に現れる数の間に52\S 6. 浅井の極限公式との関係
筆者は 1983 年に Conjecture A に相当するものの存在を想像していたが, はっきりした形に定式化することはできなかった. 以下に浅井氏による極限公式との関係について述べるが, これはこの頃のノートに記していたものを展開したものである.
$[K : F]=2,$ $F$ の類数は 1 としよう. 後の仮定は必ずしも必要ではない. を If の idealをとりclass とする.
$c$$\mathfrak{U}^{-1}\in c$$\mathfrak{U}=.\mathrm{O}p\omega_{1}\oplus \mathrm{O}F\omega_{2}$とおく. CM-type$\Phi$,$w=\omega_{1}/\omega_{2}$をとって, $w$ をがの点とみる. このとき$\zeta_{K}(s, c)=\frac{2^{2.n-2}\pi^{n}R_{F}}{[E_{K}.Ep]|D_{K}|^{1/}2}\cross[\frac{1}{s-1}-n\log 2-\log\prod_{\sigma\in\Phi}\alpha(Sw^{\sigma})$(9)$+ \log(\frac{|D_{F}|}{|D_{K}|^{1/2}})+\frac{|D_{F}|^{1/2}\gamma p}{2^{n-2}Rp}+h(w)]+0(s-1)$となる

Laplacianである. また$\gamma p$

Laurent 展開の定数項をあらわす.

$\mathfrak{H}^{n}$$sarrow 1$

上の$C^{\infty}$函数で,で消えている. 詳しい定義は省くが, $F=\mathrm{Q}$ のとき,$\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y_{i}^{2}},1\leq i\leq n$$h(z)=-\log|\eta(z)|^{4}$

るは浅井氏 ([As]) によって導入された函数で,ここに $h(w)$,$h$は $F$ の Dedekind zeta function の $s=1$ におけの正則微分を考えると Hecke が全集, 20 で考察している函数と関係がつく. 興味深い事実として指摘しておく.

PROPOSITION 9 Conjecture 6 を仮定する. このとき$\exp(-\frac{1}{h_{K}}\sum^{\zeta}h(wii=h_{t}1))\sim\exp(\frac{|D_{F}|^{1/}2\gamma F}{2^{n-1}Rp}-n\gamma)\prod_{K\sigma\in J}p_{K(}\sigma,$ $\sigma)$

ここに $K$ の各 ideal 類$c_{i}$

に対して, CM-type$\Phi_{i}$.

と $w_{i}\in$ がを上述のようにとったとする.

を用いる Conjecture 6 の証明 (可能かどうかわからないが) の困難を分析してみよう. まず Proposition 9 の証明であるが (9) を用いて
$h(w)$$\frac{L_{F}’(\mathrm{o},x)}{L_{F}(\mathrm{o},x)}=n\gamma+n\log 4\pi-\log|D_{K}|1/2-\frac{|D_{F}|^{1/2}\gamma F}{2^{n-1}Rp}$(10)$- \frac{1}{h_{K}}(\sum_{i=1}hK(h(w_{i})-\log\prod\sigma\in\Phi.\cdot\propto S(w_{i})\sigma))$はを CM-point とみなすためにとった $K$ の CM-type である.
を得る. ここにと (6) により Proposition 9 がわかる.
$\Phi_{i}$$w_{i}$

さらに$h(w)- \log N(_{S}^{\mathrm{G}}(w))=\frac{w_{K}}{R_{K}h_{K}}\sum\omega\neq 1\omega(\mathfrak{U})R(\omega-1)+n\gamma+n\log 4\pi$(11)$- \frac{1}{2}\log|DK|-\frac{L_{F}’(0,x)}{L_{F}(0,x)}-\frac{|D_{F}|^{1/2}\gamma p}{2^{n-1}Rp}$

(10)

53

は If の ideal class group のは注意深く計算すれば比較的容易に示すことができる. ここに$L(s,\omega)$
は
の
での
$s=0$
character の上を走り,
Taylor 展開の先頭項の係数である.
$K$
が虚
2
次体ならば
$n=1,$
Stark 予想によって,$\omega$$R(\omega)$$R( \omega^{-1})=c\sum_{\mathcal{T}\in c}\omega(\tau)-1\log|\epsilon^{r}|$,$c\in \mathrm{Q}$の形である. ここに $H$ を $IC$ の Hilbert 類体として, $G=\mathrm{G}\mathrm{a}1(H/K),$
たがって (11) の右辺の$\epsilon\in E_{H}$である. しについての和は simplify され, これは $\exp(-h(Z))=|\eta(z)|^{4}$ のCM-point での値が単純に記述できることに対応する. -方 $n\geq 2$ のとき $R(\omega)$ は単数の対数の $n$ 次式になっている. (実例を持っている) そのうえである. これは非常な困難 (あ$\omega$$\gamma p\neq\gamma$

るいは面白さ) を暗示していると言えよう. ともかく高度に非正則な函数$h$のCM-point における値の性格がある程度予見できるようになったのは, -つの進歩であるとも言えよう.

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