数理解析研究所講究録 1413 巻 2005 年 142-149

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粉体上における転がり

Rolling on the Granular Material
辰己創一 *, 佐野雅己
Soichi Tatsumi,Masaki Sano

東大・理 (Tokyo University)
概要
摩擦現象において$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{k}\cdot \mathrm{S}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{p}$と呼ばれる周期運動が観察されることが一般に知られている。

Stick-Slip 運動は厚紙同士や、粉体–ガラス間のすベリ運動において詳しく調べられている $[1,2]$
本研究では粉体上の転がりを観察することによっても Stick-Slip を見いだした。更に、 その StickSlip の周期性が接触面の粉体粒子の大きさに強く依存することも明らかになったので、 その点。

について報告する。
A cyclic motion, which is called.‘Stick-Slip” phenomena, is widely observed in frictional motions.
Dynamics of Stick-Slip motion has been extensively studied for sliding motion usingor
granular-glass interfaces.
this repon, we found that the stick-slip motion arises in rolling motion
on the granular material. Furthermore, the periodicity in stick-slip motion strOngly depends on the
diameter of granular materials in a contact area.
$\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\cdot \mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\ln$

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はじめに巨視的な物体が動くときには必す摩擦と呼ばれる抵抗力が働く。そしてその機構が果たしてどのように説明されるのかは古くより研究の対象になってきた。そのような研究の過程で、近年、 Stick-Slipと呼ばれる周期運動に注目が集まっている。 このような厚紙同士の摩擦や粉体上における摩擦なと$[1, 2]$. 様々な摩擦において観察されており、 このような現象の本質が何であるのがは未だ明らかではない。
本研究においては、 そのような Stick-Slip の重要な要素として接触面における相互作用のスケールに着目した。 摩擦というのは微視的なスケールにおける事象と、 巨視的なスヶ-) における事象が直接的に結びついたような現象と考えることが出来る。 本研究では、 接触面における相互作用をつかさどるスケールを変えることで、 実際に観察される Stick-Slip の性質がとのように変わるのかについて、 調べる事を試みた。
’tatsumi@daisy.phys.s.u-tokyo.ac.jp

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このような目的を実現するために系の条件として、 二つの特徴を持たせた。 1 つは接触面にガラスビーズに代表されるような粉体を使用したこと。 もう 1 つは転がりを観察したことである。
まず粉体を使用することのメリットは、 微視的な相互作用のスケールの大きさを、 粉体粒子の大きさ、 という明確な物理量で表現できる点にある。 本研究では粉体粒子の大きさを変えることによって、 微視的な相互作用の大きさというものを効果的にコントロールし、 その結果として系が示す Stick-Slip の様相を比較している。

図 1: 転がりにおける釣合

次に転がりを使用することのメリットは、 接触面における巨視的な相互作用のスケールというものを、 運動方程式のバランスから明確に書き下すことが出来る点にある。 後で定義する摩擦長$\lambda$という、接触面における力の分布を表すような量を通して運動を見ることで、 微視的な相互作用のスケールというものをより良く見ることが出来、 これと系のコントロールパラメータとして用いた粒径と比較することで、 系の運動がとのように遷移するのかを評価できるのである。
ここで、 摩擦長 の定義を述べておく, 転がりの際の運動方程式というのは、 図 1 のように、 接$\lambda$

触面における力の分布を考えることにより、$m \frac{d\mathrm{t})}{dt}$$J \frac{d\mathfrak{c}0}{dt}$

$=$

$F-f$

(1)

$=$

$fR-mg\lambda$(2)のように書き下すことが出来る。 ここで (1) 式は並進運動の釣合から書き下されており、 (2) 式は回転運動の釣合から書き下している。 ここで は加えた外力、 $f$ は下面での摩擦力、 は円盤の半径、
$R$

$F$

$m$

は円盤の重さ、 は円盤の慣性モーメント、 ) は並進速度、$I$$\backslash$$\omega$は角速度、 は重力加速度、 そして$g$

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最後には摩擦長を表している。 ここでは下面における力の分布の中心軸からのずれを表し、 この量が即ち転がりにおける散逸を決定するような量に対応している。 この事をもって,を摩擦長$\lambda$$\lambda$$\lambda$と呼ぶのである。

2 実験系
本実験は図 2 のように、 作業粉体の上に置かれた対象円盤と板バネを鋼線によって結び、 板バネをステッピングモーターによって一定速度で引っ張ることにより転がり運動を実現している。 力の測定は、 あらかじめ較正された板バネの変位から計算することが出来る。 また、 各時刻における位置、 円盤の速度についても、 板バネの変位の測定から得ている。 板バネはリン青銅製のものを使用し、 その変位の測定についてはレーザー変位系を用いている。 一方、 実験によって得られたデータは$\mathrm{A}\mathrm{D}$変換して LabView(National Instruments 社) を用いて、時系列データとして$\mathrm{P}\mathrm{C}$に取りこみ、 このデータをもとに全ての解析を行なった。本論文においては引っ張り速度は全て 0. $1mm/sec$ で引っ張ったときのデータを使用して議論を行い、 粒径を変化させた時に観察される Stick-Slip の様相がとのように遷移するかを調べている。 粉体の準備については事前に電気炉で熱を通して水分を飛ばすことで、 湿気の影響を防いでいる。

3 実験結果と解析
3.1 基礁データ
図 4 左図は引っ張った時間 に対し、 各時刻での引っ張り力を示す図で、 粒径が $0.025mm$ の時の$t$図である。 この図からもわかるように、 全体としてはゆっくり増えて一定値に漸近するように振舞

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図 4: 基礎データ$i$

右図は左図点線部の振動データ

い、 なおかつ、 その平均値のまわりで振動するような、 即ち、 Stick-Slip するような振舞いを示すことがわかる。本論文においては、 Stick-Slip の振舞いに着目した議論を行うので、 このデータを解析するためにそれぞれのデータ点のまわりで平均化したときの値との差に着目した。 そのように解析したときの平均値を示したものが図 4 左図の大線であり、 平均値を差し引いた振動部分のデータが、右図に対応している。 なお、 本論文における解析のほとんどは左図の一定値に漸近しているとみな}$sec$ から $600sec$ でせる領域のデータを使用しているが、 唯一、 周波数 Spectrum のみは典型的に$2\alpha$の前述のようにして求めた平均値からのすれを使用して求めている。

3.2 不規則転移
前節のようにした得たデータを元にして粒径を変えてその時の Stick-Slip の様相がとのように移l.Omm の時の Stick-Slip
り変わるのかを示したのが図 5 である。 上から粒径がの様相を示している。 これからもわかるように粒径を大きくしていくに従い、 急速に Stick-Slip の$0.025mm_{\text{、}}0.2mm_{\backslash }$規則性が失われていることがわかる。 そこで、 このような規則性がとのように失われているかについて 2 つの点から調べた。 1 つは周波数 Spectrum の粒径による遷移であり、 1 つは Stick-Slip の時間間隔のゆらぎである。

第一に周波数 Spectrum の観点からの解析を行ったのが、 図 6 である。 この図からもわかるように、 粒径が小さいときにははっきりとしたピークを持つような構造を持っているのが、 粒径力吠きくなるに従って、 ピークを持たない、 即ち、 不規則になっているようすがは , きりとわかる。 またに従うような傾向を示しているこ
それと同時に、 粒径力状きな領域では、 周波数 Spectrum が$0.4mm$程度のところで切り替わっているようとがわかる。 以上で述べたような 2 つの機構は粒径が$f^{-1}$に見える。

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図 5: Stick-Slip の遷移

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図 6: 周波数 Spectrum の粒径による違い$\mathfrak{i}.2$$\sim^{\overline{\triangleleft}^{\mathit{0}.\partial}}\zeta^{f}$$o\overline{e}\mathrm{r}_{\mathit{0}.4}^{8_{\mathit{0}.\theta}}$0.200

図 7: 周波数$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}a\mathrm{u}\mathrm{m}$$f$$\mathit{0}.eo.4\mathrm{D}1\mathrm{a}\mathrm{m}\epsilon \mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}^{\mathit{0}}.(\begin{array}{l}\mathit{6}\mathrm{m}\mathrm{m}\end{array})$の粒径による違い

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さて次に Stick-Slip の時間間隔のゆらきの観点からの解析を行った。 具体的には一つ一つの Stick-Slip の事象の間隔をとおいた時に、 その平均値を、その標準偏差を. とおいて両者の比をプロットすることによって解析を行った。 それを実際に示したのが図 7 である 1。 この図からも先$\Delta t$$\Delta t_{ma}$$\Delta t_{\backslash \mathrm{v}d}$ほどと同様に粒径が大きくなるに従って非周期性が増していっている様子がはっきりとわかる。

図 8: 周波数 Spectrum の粒径による違い

最後にそういった転移を示している明確な図として、 摩擦長$\lambda$の観点で見たときに Stick-Slip がとのように起こっているのかを示した図が、 図 8 である。 この図は$\lambda$の平均値からの変位がその時の円盤の速度に従ってとのように変わるかを示した図であるが、 この図からも粒径が $0.4mm$ のところで転移が起きている様子がうかがえる。

4 考察
以上のような不規則的な構造への転移は Spectrum による考察から、 粒径が$0.4\mathrm{m}\mathrm{m}$程度の所を境に起きていることがわかった。 この事は粉体上の転がりにおいて何らかの特別なスケールが存在することを示している。 この事を第] 節で述べたような$\lambda$

ると、 粒径が小さい範囲 (0.025mm-0.2mm) において、$\lambda$の観点から考えてみたい。 図 8 を子細に見の変位の典型的な値はゆっくりと減少、 もしくはほとんと一定の値をとっていることがわかる。 それが粒径力吠きくなり (-l.Omm) 非$0.4\mathrm{m}\mathrm{m}$周期転移を起こすにいたって$\lambda$の変位が大きく、 不規則なものへと変わっていっている。 この事は系に固有の、 例えば粉体には特有の Stress Chain に代表されるような力の伝わるメカニズムがあるが、 そういったものに由来する粒径にはほとんどよらないような長さのスケール、 即ち巨視的な意

味での相互作用を司る長さのスケールが、 微視的な意味での相互作用の長さのスケール、 粒径と競1 この図に限っては引っ張り速度によおけるデータもプロットした。

$\sim$てかなり違う傾向を示したので、 引っ張り速度が 0. $1mm/sec$ 以外のところに149合するような領域において、 非周期転移が起きているということを示しているのではないかと考えられる。

5 結論と展望
粉体上の転がりに関する研究を通じて、 微視的なスケールと巨視的なスケールの競合が系全体の振舞いに対し直接的に影響を与えるような状況について考察することが出来た。 そしてまた、 ここで導いたような結論は決して今回おこなったような転がりに限ったものでは無いと考えられる。 文
献 [21 中において那須野氏らは粉体上のすベリにおいて粉体粒子を粗くした結果、 Stick-Slip の周期が非周期的になることを報告している。 だがしかし, 彼らの実験においてその粗い粒子というのは規則的な Stick-Slip を得た実験に比して大きな粒子を使用したものだった。 このことと、 本研究から示唆されるのは、 すベリにおいても同様に微視的スケールと、 巨視的スケールの競合、 という観点からの理解が欠かせないのではないか、 ということである。結局、 本研究で導入した という量は、 対象物体の “形” を象徴するような量である。 この事は今まで “形” というものをほとんと考察$\lambda$してこなかった摩擦研究の従来の在り方に対しても重要な示唆となりうるだろう。

参考文献[1] F. Heslot, T. Baumberger, and B. Perrin. Creep, stick-slip, and dry-friction dynamics: Experiments

and aheuristic model. Phys. Rev.
[21$E$, pp. 4973-4988,1994.

S. Nasuno, A. Kudrolli, A. Bak, and J. P. Gollub. Time-resolved studies of stick-slip Riction in. $58,$ . $2161$ -2171, August 1998.
sheared granular layers. Phys. Rev. $E,$$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{I}$$\mathrm{p}\mathrm{p}$