数理解析研究所講究録
1091 巻 1999 年 85-93

85

KRONECKER 極限公式の高次元化について I

吉川謙– (KEN-ICHI YOSHIKAWA)

名古屋大学多元数理科学研究科

本稿は研究集会「解析数論と数論諸分野の交流」での筆者の講演に加筆したものである。 97 年に開催された研究集会「多変数関数論にあらわれる解析と幾何」 と「特ク因子に対す異点と複素解析幾何」でも類似の内容の講演をした。第–部ではる Kronecker 極限公式を扱うが、 当時と比べて本質的な進歩はない。従って、本稿の内容も上記研究集会の講究録と (幾つかの改善点を除けば) 大きく違わないこと$\check{\tau}-$を最初に断っておく。 (第二部は全く新しい話題である。)

1. Kronecker 極限公式

Jacobi の$\Delta-$(1.1)

関数とは次の無限積で定義される重さ 12 の尖点形式である :$\Delta(\tau)=q\cdot\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})24$,$q=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}$$(2\pi i\mathcal{T})$,$\tau\in \mathbb{H}$.

.

Kronecker 極限公式はの幾何学的解釈を与えるものと理解できるが最初にそれを思い出しておこう。
のの楕円曲線、 $g_{\tau}=(Im\mathcal{T})^{-1}|dz|^{2}$ をを周期
をのラプラシアン、
Ricci-平坦 K\"ahler 計量とする。
$\sigma(\Pi_{\tau})=\{0<\lambda_{1}(\tau)\leq\lambda_{2}(\tau)\leq\cdots\}$
をその固有値とし、 ラプラシアンのゼータ関は次のようには簡単に計算でき、数をで定義する。
Eisenstein 級数で書ける :$E_{\tau}:=\mathbb{C}/\Lambda_{\tau},$$\Delta(\tau)$$([\mathrm{R}- \mathrm{S}])\text{、}$$\Lambda_{\tau}=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\tau$$E_{\tau}$$\tau$$\Pi_{\eta}\cdot=(Im\tau)^{2}(\partial^{2}l+\partial_{y}^{2})$$\zeta_{\tau}(s):=\sum\lambda i(\mathcal{T})^{-s}$(1.2)

定理 1.1.

$(E_{\tau}, g_{\tau})$$\zeta_{\tau}(s)$$\lambda_{i}(\tau)$$\zeta_{\tau}(s)=(2\pi)^{-2}s(Im\tau)s\sum_{)\{m,n)\neq(0,0}|m\mathcal{T}+n|^{-}2S$$(E_{\tau}, g_{\tau})$の解析的トーション\tau (E\tau )$=\exp(\zeta_{\tau}^{i}(\mathrm{o}))$$\prime r(E_{\tau})=(2\pi)^{2}||\Delta(_{\mathcal{T})||}-\frac{1}{6}$ここで、 $||\Delta(\tau)||2:=(Im\tau)^{1}2|\Delta(\tau)|^{2}$ は$\Delta(\tau)$

は.

$\Delta(\tau)$と同–視できる:.

の Petersson ノルムである。 口

次の問題は第–部第二部を通して本稿の主題である。
Typeset by$A_{M}S-\mathrm{I}ffl$

86

問題 1.1. Kronecker 極限公式の自然な高次元化を見つけよ。

口

候補となる幾何学的対象として $c_{1}(x)=0$ となる射影的代数多様体を考える
$g=1$

$g=2$

:

$g\geq 3$

Abel 曲面$arrow$$K3$ 曲面$arrow$Abel 多様体$\nearrow$

楕円曲線$\searrow$

Enriques 曲面

多様体
hyper –Kahler 多様体$Calabi-\mathrm{Y}au$

本稿では Abel 多様体の系列で Kronecker 極限公式を–般化する。
曲面や Enriques
曲面については本稿の第 2 部を参照して頂きたい。また、 Abel 多様体の場合について
は Jorgenson-Kramer ([J-K1) が Green- カレントを用いて筆者と類似した内容を扱っ$\mathrm{K}3$ている。

2. コホモロジーの行列式と Quillen 計量
2.1 解析的トーション. $(M, g)$ をコンパクト K\"ahler 多様体、 , を $M$ 上の $(0, q)arrow$
形式に作用するラプラシアン、 $\sigma(\square 0_{q},)=\{0\leq\cdots\leq 0\leq\lambda_{0,q}(1)\leq\lambda_{0,q}(2)\leq\cdots\}$
をのスペクトル, $\zeta_{0,q}(s):=\sum_{k>1}\lambda_{0},(qk)^{-}s$ を $(M, g)$ のスペクトル 関数とは全平面上有理型で、 $s=0$ で正則である。
する。 この時、$\square 0_{q}$$\zeta-$$\square _{0,q}$$\zeta 0_{q},(S)$定義 2.1. 解析的トーションとは次式で定義される実数である$\tau(M, g):=\prod_{0q\geq}(\det\square _{0,q})^{()^{q}}-1q$,:$\det\square 0_{q},:=\exp(-\frac{d}{ds}|_{s=0}\zeta_{0},q(s))$.

口

2.2 コホモロジーの行列式. $\pi:Xarrow S$ を複素多様体問の固有平滑 K\"ahler 射とする。
定義 2.2. コホモロジーの行列式とは以下で定義される$\lambda(X/S):=\otimes(\mathrm{d}\mathrm{e}q\geq 0\mathrm{x}\mathrm{t}Rq)^{(1}\pi_{*}\mathcal{O}-)^{q}$$S$.

上の直線束である:$\square$には次の様にして Hermite 計量が入る。$gx/s$ を相対接束
上の K\"ahler 計量、をファイバ一上の調和 ( , q)-形式の空間とする。
Hodge の定理より、 $\lambda(X/S)$ のファイバーは調和形式の空間の行列式と見なせる$\lambda(X/S)$$TX/S:=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\pi_{*}$$\mathcal{H}^{0,q}(X_{t},)$(2.1)$X_{t}$$0$:$\lambda_{X_{t}}=\bigotimes_{q\geq 0}(\det Hq(x_{t}, \mathcal{O}_{X}))1(-1)^{q}\cong\bigotimes_{q\geq 0}(\det \mathcal{H}0,q(Xt))(-1)^{q}$

調和形式の積分を通じて $\lambda(X/S)$ に Hermite 直線束の構造が入り (L2-計量と呼ばれる) それをと書く。
、$||\cdot||_{L^{2}}$87

定義 2.3. $\lambda(X/S)$ の $gx/s$ に関する Quillen 計量とは以下で定義される Hermite 計
量のことである. 口:$||\cdot||_{Q}^{2}(t):=\mathcal{T}(X_{t})\cdot||\cdot||_{L^{2}}^{2}(t)$次の 2 定理は Quillen 計量に関して最も基本的である。
定理 2.1とすれば、$([\mathrm{B}-\mathrm{G}-\mathrm{S}])$.

$c_{1}(\lambda(X/S)_{Q})$を $\lambda(X/S)_{Q}:=(\lambda(X/S), ||\cdot||_{Q})$ の Chern 形式$c_{1}(\lambda(X/S)_{Q})=\pi*(Td(Tx/s_{gx},/S))^{(1}’ 1)$.

定理 2.2$g_{X}’/S$ を K\"ahler 計量の族、に関する $\lambda(X/S)$ の Quillen 計量とすれば、$([\mathrm{B}-\mathrm{G}-\mathrm{S}])$$g\mathrm{x}/s,$.

$||\cdot||Q,$口$||\cdot||_{Q}’$’を $gx/s,$ $g_{X/s}$.

$\log(\frac{||\cdot||_{Q}’}{||\cdot||_{Q}})^{2}=\pi_{*}(\overline{\tau d}(\tau X/s;g_{X}/S,g_{X/}s)/)(0,0)$

但し. $\overline{Td}(TX/s;gx/S, g_{X/}\prime s)$ は Bott-Chern 類である。

口定理 2.1, 22 ともにスムース射にしか適用できない難点があり、次節以降でモジュライ空間上の普遍族に適用して大域的な結論を得ようとする場合この点が問題になる。

$\overline{\tau}-$

タ因子の普遍族に対しては、次の結果で十分である。

定義 2.4.

: $Xarrow S$ を複素多様体間の射影的固有正則射、を単位円盤とする。
が孤立特異点の平滑化であるとは、 (1) $\Sigma(\pi):=\{x\in X;d\pi(x)=0\}\subset X_{0}$ ,(2) $\neq\Sigma(\pi)<\infty$ が成立する場合を言う。 この時、特異ファイバー
は超曲面孤立特異点のみを特異点として許容する。 口
$\pi$

$S$

$(\pi, X, S)$$X_{0}$$g_{X}$$gx/s$

を $X$ の K\"ahler 計量、 $gx/s$ を$g_{X}$

から入る $TX/S$ の K\"ahler 計量、$||\cdot||_{Q}$をに関する $\lambda(X/S)$ の Quillen 計量とする。

定理
与えられる

$2.\bm{3}([\mathrm{Y}1])$:.

$||\cdot||_{Q}$は $\lambda(X/S)$ の特異 Hermite 計量で、 曲率カレントは次式で$c_{1}( \lambda(x/s)_{Q})=\pi*(Td(TX/S, gX/S))(1,1)+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+2)!}\mu(x_{0})\delta 0$

は特異ファイバーの全 Milnor 数、
つ Dirac のデルタ関数である。 口
ここで、 $n=\dim X/S,$$\mu(X\mathrm{o})$$\delta_{0}$.

は原点に台をもこのような定式化の元で、定理 11 がどのように記述できるかを示して本節を終える。
を上の楕円曲線の普遍族とする ((\tau )=E\tau )。相対接束には K\"ahler 計量を入れる。 コホモロジーの行列式は断面で生成される(
ここでは.
Serre の双対律を用いている。)の Quillenに関する計量をとすれば、定理 11 は次のように言い替えられる。
$p:\mathrm{E}arrow \mathbb{H}$$p^{-1}$$\mathbb{H}$$T\mathrm{E}/\mathbb{H}$$g_{\mathrm{E}/\mathbb{H}}:=\{g_{\tau}\}_{\tau\in \mathbb{H}}$:$\sigma_{\bm{\mathrm{E}}}:=1\otimes dz$$\lambda(\mathrm{E}/\mathbb{H})$$\lambda(\mathrm{E}/\mathbb{H})=\mathcal{O}_{\mathbb{H}}\cdot\sigma_{\mathrm{E}}$$H^{1}(E_{\tau}, \mathcal{O}_{E_{\tau}})=H^{0}(E_{\tau’ E_{\tau}}\Omega^{1})^{\vee}$$\lambda(\mathrm{E}/\mathbb{H})$$g\mathrm{E}/\mathbb{H}$$||\cdot||_{Q}$定理 2.4.
$|| \sigma_{\mathrm{E}}||2Q(\mathcal{T})=(2\pi)^{2}|\Delta(\mathcal{T})|^{-}\frac{1}{6}$

.

口

88

3. Abel 多様体と$\overline{7}\cdot-$

タ因子の判別式

3.1 Abel 多様体の判別式. 第一節で楕円曲線について考えたことを Abel 多様体に対して考える。
を次 Siegel 上半空間、を$\Lambda_{\tau}:=\mathbb{Z}e_{1}\oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}e_{g}\oplus \mathbb{Z}\tau_{1}\oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}\tau_{g}(\tau\in \mathfrak{S}_{g})$$g$$\mathfrak{S}_{g}$の格子、$\mathbb{C}^{g}$を周期上の主偏極 Abel 多様体の普遍族の相対接束には K\"ahler 計量とする。
を Siegel モジュラー群とする。
を入れる。

$A_{\tau}:=\mathbb{C}^{g}/\Lambda_{\tau}$の Abel 多様体とする。

$(1_{g}, \tau)$$(p^{-1}(\tau)=A\tau)$$( 1_{g}=(e_{1}, \cdots, e_{g}), \tau=(\tau_{1}, \cdots, \tau_{g})\in \mathfrak{S}_{g})$$p:\mathrm{A}arrow \mathfrak{S}_{g}$を$\mathit{9}\mathrm{A}/6_{g}=\{g_{\tau}\}_{\mathcal{T}\in}\mathfrak{S}_{g}$$(\mathrm{p}, \mathrm{A}, \mathfrak{S}_{g})$$\perp_{g}.-71\circ^{\mathrm{v}}\zeta/p(2\hat{g},$$\backslash \mathit{9}\tau/.={}^{t}dz_{(}I\prime\prime\Gamma’\iota’\backslash -)1\backslash \overline{\dot{u}}\overline{z}/$は次のように A に作用し、計量 gA/銑を保つ(3.1)$\mathfrak{S}_{g}$:$\Gamma_{g}$$\mathbb{Z}_{)}\backslash$$\forall\gamma=\in\Gamma_{g}$$\gamma\cdot(z, \tau)=(^{t}(CT+D)^{-1}z, (A\tau+B)(C_{\mathcal{T}}+D)^{-1})$,,$\forall$

( 「)
$z,$

$’$

$\gamma^{*}g_{\mathrm{A}/\mathrm{e}_{g}}=g_{\mathrm{A}/6_{g}}$$\in \mathrm{A}$

,

.

上のどのよ
定理 1.1 の素朴な類似として Abel 多様体の解析的トーションがうな関数で書けるのか問題であるが、 それは Ray-Singer により既に知られていた。
$6_{g}$

定理 3.1 ([R-S]).

$(g>1)$ .

$\tau(A_{\tau}, g_{\tau})\equiv 1$

口

即ち、 Abel 多様体の普遍族に対して解析的トーションは何ら非自明な保型形式をのコホモロジーの行列式を見てみ生み出さない。この理由を考えるためにのコホモロジーのがる。定義より、は次の A への作用はファイバーをファイバーに移すので、行列式である。
ファイバーがにも作用する。又、Abelに作用する。従って結像が言える。 (
は rg-層の同型を意味する。)
多様体なのでく q
は $F$ の階数か q の場合方、勝手なベクトル束 $F$ に対して、に、 それ以外の場合は自然に自明束になる。 これらのことから$(p, \mathrm{A}, 6_{g})$$\lambda(\mathrm{A}/\mathfrak{S}_{g})=\otimes_{q>0}(\det R^{q}p*\mathcal{O}\mathrm{A})(-1)q$$(p, \mathrm{A}, \mathfrak{S}_{g})$$\Gamma_{g}$$\Gamma_{g}$$q$$\lambda(\mathrm{A}/\mathfrak{S}_{g})$$R^{q}p_{*}\mathcal{O}_{\mathrm{A}}$$R^{1}p*\mathcal{O}\mathrm{A}\cong_{\Gamma_{\mathit{9}}}R^{q}p_{*}\mathcal{O}_{\mathrm{A}}$$\cong_{\Gamma_{g}}$$F^{\vee}$$\otimes_{q\geq 0}(\wedge^{q}F)(-1)q$$p_{*}\omega_{\mathrm{A}/\mathfrak{S}g}$(3.2)$(g=1)$$\lambda(\mathrm{A}/\mathfrak{S}_{g})\cong_{\Gamma ff}\{$$\mathcal{O}_{\mathfrak{S}_{g}}\cdot 1_{\mathrm{A}}$が従う。 ここで$\omega_{\mathrm{A}/\mathfrak{S}_{g}}$は命題 3.1. $g>1$ ならばして、$||1_{\mathrm{A}}||_{Q}(\mathcal{T})\equiv 1$の相対標準束である。

$(p, \mathrm{A}, \mathfrak{S}_{g})$$\lambda(\mathrm{A}/\mathfrak{S}_{g})$が成立する$(g>1)$の$\Gamma_{g}$-不変な断面$1_{\mathrm{A}}\in H^{0}(\mathfrak{S}_{g}, \lambda(\mathcal{O}\mathrm{A}))^{\Gamma}\mathit{9}$が存在口$\circ$

この様に、 $g=1$ と $g>1$ ではコホモロジーの行列式の構造が全く異なり、 これが定理 1.1 と 31 を分けている本質的な違いであると推測される。 ではこの観点か
ら楕円曲線の普遍族を –般化する族は何かということが自然と問題になる。 そこで登場するのが\tau - $-$ ク因子の普遍族である。

3.2$\overline{\tau}-$(3.3)

タ因子の判別式.

$\overline{\tau}-F$関数を次式で定義する :$\theta(z, T):=\sum_{m\in \mathbb{Z}^{g}}\exp\pi i(t_{m}2t)\tau m+mz$

:

.

タ因子の普
を
の指数有限な部
遍族(この軌跡はを軌跡とする。
分群、
Andreotti-Mayer
Torelli 問題や Schottky 問題に関連して Andreotti-Mayer により導入された。)$\Theta_{\tau}:=\{z\in A_{\tau};\theta(z, \tau)=0\}$を$A_{\tau}$の$\overline{\tau}-p$

因子、

$P$

$\Thetaarrow \mathfrak{S}_{g}$$(p^{-1}(\tau)=\Theta_{\tau})\text{、}\Gamma_{g}(1,2):=\{\gamma\in\Gamma_{g};\gamma\cdot\ominus=\Theta\}\subset\Gamma_{g}$$N_{g}:=\{\tau\in \mathfrak{S}_{g};Sing\ominus_{\tau}\neq\emptyset\}$を$\Gamma_{\mathit{9}}$$\overline{\tau}-$

89

命題 3.2.

A 上の$N_{g}$は$\mathrm{r}_{g}$$\Gamma_{g}(1, 2)$-不変な$\mathfrak{S}_{g}$上の因子である。

口層の完全列 :

(3.4)

$0arrow \mathcal{O}_{\mathrm{A}}(-\ominus)arrow \mathcal{O}_{\mathrm{A}}arrow \mathcal{O}_{\Theta}arrow 0$に小平消滅定理 (の相対化) を組み合わせることにより、次の同型が得られる(3.5)$\lambda(\Theta/\mathfrak{S}_{g})\cong\Gamma_{a}(1,2)\lambda(\mathrm{A}/\mathfrak{S}_{g})\otimes(p_{*}\omega \mathrm{A}/\mathrm{e}_{\mathit{9}})(-1)^{g}$

従って、 $g>1$ で$\lambda(\ominus/\mathfrak{S}_{g})$

(3.6)

:

.

は次の楕円曲線の場合に類似した標準的断面を持つ :$\sigma_{\Theta}(\mathcal{T}):=1_{\mathrm{A}(}\mathcal{T})\otimes(dZ1\wedge\cdots\wedge dz_{g})_{\tau}^{(}-1)^{\mathit{9}}$.

3.3 一般の豊富因子の判別式. Abel 多様体の因子は因子以外にも豊富に存在する。それらについてコホモロジーの行列式がどうなっているかここで見ておく。以
下簡単のため主偏極因子の整数倍に限って説明する。 (一般の場合でも同様である。)
を豊富因子 の定める直線束、
の基底を
その座標を
関数の基本定理より、次(Bm=(m-lZ/Z) の とする。の同型が存在する$\overline{\tau}-p$$V_{mm}:=\mathbb{C}^{m^{g}}\text{、}V$$\Theta$$L:=\mathcal{O}_{\mathrm{A}}([\Theta])$$\{\delta_{a}\}_{a\in B}m^{\text{、}}$$\overline{\tau}-p$$(u_{a})_{a\in B_{m}}$

:

(3.7)
$\pi$

:

$\psi:\mathcal{O}_{6_{g}}\otimes V_{m}\cong p*\mathcal{O}\mathrm{A}(m[\Theta])=p_{*}L^{m}$$\Theta_{m}arrow \mathrm{P}(V_{m})\cross \mathfrak{S}_{g}$(3.8)

を完備線形系$|L^{m}|$,$\psi(\delta_{a})=\theta a,0(mZ, mT)$に属する因子族とする.

:$\Theta_{m}$$:=.. \{(u, Z,\mathcal{T})\in \mathrm{P}(Vm)\cross \mathrm{A};\sum_{a\in B_{m}}u_{a}\theta_{a},0(mz,m\tau)=0\}$.

; Sing} を判別式軌跡とする。
はを射影とすれば、 そのファイバーの射影双対:に他ならない。
関数の変換公式より、準同型: $\Gamma_{g}(1,2)arrow U(V_{m})$ が存在$D_{g,m}:=$$p_{2}${$(u,$ $\tau)\in \mathrm{P}(V_{m})\cross \mathrm{e}_{g}$$\Theta_{m,(u,\tau)}\neq\emptyset$$D_{g,m,\tau}$$D_{g,m}arrow \mathfrak{S}_{g}$$\overline{\tau}-F$$(A_{\tau’\tau}L^{m})$$\rho_{m}$

して、 $\Gamma_{g}(1,2)$ はを保ち、 ファイバーをに作用する。 この作用は$-$ファイバ に移すので $D_{g,m}$ にも作用する。
(3.5) と同様にして次がわかる。
$\Theta_{m}$$\mathrm{P}(V_{m})\cross \mathfrak{S}_{g}$$(3.4)_{\text{、}}$

命題 3.3. 次の$\Gamma_{g}(1,2)$-層の同型が成立する:$\lambda(\Theta_{m}/\mathrm{p}(V_{m})\mathrm{X}\mathfrak{S}_{g})(-1)^{g}\cong_{\Gamma_{g}(1,2)}\lambda(\mathrm{A}/\mathfrak{S}_{g})^{(-}1\rangle g\mathrm{e}\otimes \mathrm{d}\mathrm{t}\pi*\omega \mathrm{A}/\mathrm{e}(g)\Theta_{m}$$\sigma_{J}\in H^{0}(\mathrm{P}(V_{m})\cross \mathfrak{S}_{g’*}\det\pi\omega \mathrm{A}/\mathfrak{S}_{g}(\Theta m))(|J|=m^{g})$を次で定義すれば$\sigma_{J}(u, \tau):=u\cdot\wedge Ja\in Bm\frac{\theta_{a}}{\sum_{b\in B}u_{b},m\theta_{b}}dz_{1}\wedge\cdots\wedge dzg$$\{\sigma_{j}\}_{1^{J}}|=m^{g}$$\det\pi_{*}\omega_{\mathrm{A}/6_{\mathit{9}}}$は $\det\pi*\omega \mathrm{A}/6_{a}(\Theta m)$ を生成する。即ち、自然な写像(\ominus のは全射である。

口

:

’

$\oplus_{a\in B_{m}}\mathcal{O}_{P}(V_{m})\cross \mathfrak{S}\sigma Jgarrow$

90

4.

$\overline{\tau}-$

タ因子に対する Kronecker 極限公式

タ因子の解析的トーション. $g_{\tau}={}^{t}dz(Im\tau)-1d\overline{Z}$ を 3.1 節で導入したの K\"ahler 計量、をの誘導計量とする。

41$\overline{\tau}-$$g_{\Theta_{\tau}}:=g_{T}|_{\Theta_{7}}$定理 4.1([Y2, Main Theorem]).
形式\Delta g(\tau ) が存在して、次が成立する

を零因子に持つ重さ$N_{g}$:$\tau(\Theta_{\tau}.\mathit{0}\backslash \vee^{-}\cap- 1=4’||\Delta_{o\prime}p_{\backslash }(_{T})||\frac{(-1)^{g+}1_{2}}{(g+1)!}$

ここで、$||\triangle(\mathcal{T})||^{2}=(\det Im\tau)^{\frac{(g+\S)\cdot g!}{2}}|\Delta(\tau)|^{2}$$\Delta_{g}(\tau)$は$\triangle(\tau)$$\theta_{a,b}(\tau)(a, b\in \mathrm{F}_{2}^{g})$命題 4.1. Siegel 六型形式

これより $g<5$ の時、$\overline{\tau}-$

が$\Delta_{g}(\tau)$を定数$J_{4}(\tau)\in \mathbb{Z}[\theta_{a,b}(\mathcal{T})]a,b\in \mathrm{F}_{2}g\#\mathrm{h}$よれば, Theorem
は$||\cdot||_{Q}$を$g\ominus_{m}/\mathrm{P}(vm)\mathrm{x}\mathfrak{S}_{g}$を$\mathit{9}\mathrm{A}/6_{g}$の$[\mathrm{Y}2$$g_{\Theta_{m}/\mathrm{p}(v_{m}}$, Theorem 5.1]).

(1)$\triangle_{g,m}$と $\Gamma_{g}(1,2)$ の$C_{2}=2^{-}22\pi^{-}141e2\zeta’(-1)$:

を 33 節で定義$T\Theta_{m}/\mathrm{P}(V_{m})\cross \mathfrak{S}g$の K\"ahler 計量、). 関する Quillen 計量とする。 この$\mathrm{x}\mathfrak{S}_{a}l^{arrow}$-係数の次数 $(g+1)!m^{g}$ の多項式\Delta g,m(u, )が存在して次が成立する-値乗法的指標,:$\tau$$\chi_{g,m}$を命題 33 の断面とすれば、任意のm(g,)gu, \tau$$(\tau, u)\in \mathrm{P}(V_{m})\cross \mathfrak{S}_{g}$$\mathrm{P}(V_{m})\cross \mathfrak{S}g$上の因子の意味で $(\Delta_{g,m})0=Dg,m$ .

上で、 $j(\tau, \gamma)=\det(C_{\mathcal{T}}+D)$

,

に対して、

$|| \sigma_{J}||_{Q}^{2}(u, \tau)=(\det Im\tau)^{\frac{(g-1)m^{g}}{2(g+1)}}|\frac{u^{I}}{\Delta_{g,m}(u,\mathcal{T})^{\frac{1}{(g+1)!}}}|^{2}$

(3)

:

$\in$

$\forall\gamma\in\Gamma_{g}(1,2)$.

$\sigma_{J}$がわかる$\Theta_{m}arrow \mathrm{P}(V_{m})\cross \mathfrak{S}_{g}$$\Delta_{g,m}(\gamma\cdot u, \gamma\cdot\tau)=\chi g,m(\gamma)\cdot j(\mathcal{T}, \gamma)^{\frac{1}{2}}(g+3)\cdot g!m$ $\Delta(2).

$\mathcal{O}(\mathfrak{S}_{g})$$U(\mathbb{C})$は次の保型性を持つ

$\pi$

から定まる

時、定理 41 は次のように–般化される。
$\mathcal{O}(\mathfrak{S}_{g})[u_{a}]a\in B_{m}$口$C_{4}$$\lambda(\Theta_{m}/\mathrm{P}(V_{m})\cross \mathfrak{S}_{g})$定理 4.2(.

について、筆者は何も知らない。 Beauville、井草にの中で下弓 4 の曲線の Jacobian 軌跡を特徴付ける。

$7.2])_{\text{、}}C_{3},$$\mathfrak{S}_{4}$:Schottky により発見された保型形式である。

4.2 一般の豊富因子に付随した保型多項式.
した因子族、

タ定数とし、 $\chi_{g}(\tau):=$$\Delta_{4}(\tau)=c_{4\chi}4(\tau)J4(\mathcal{T})2$

タ定数によるみの表示は–意的ではない。)$J_{4}(\tau)$$7^{\overline{\wedge}-}$口を除いて決定できる。

$C_{g}$$(g=2,3)$ ,$\Delta_{g}(\tau)=c_{g}\chi_{g}(\tau)$$([\mathrm{Y}2$をが存在して、次が成立する$J_{g}(\tau)$$\Delta_{g}(\tau)=\chi g(\mathcal{T})J_{g}(\mathcal{T})2$(.

$\overline{\tau}-$$\prod_{(a,b)\equiv}0\theta a,b(\tau)$

ここで、の Siegel 保型$\frac{(g+3)\cdot g!}{2}$の Petersson ノルムである。

の構造について次がわかる。
を土偶
ク定数の積とする。

(4.1)$A_{\tau}$$\Theta_{\tau}$,

口$(\tau\in \mathfrak{S}_{g}, \gamma=\in\Gamma_{g})$式の保型因子である。例としてもっとも簡単な場合である
書けるか以下で見てみる。

は Siegel 保型形$\Delta_{2,2}(u,\tau)$がどのように

91

を周期 の Abel 曲面、 $K_{\tau}=A_{\tau}/\pm 1$ をその Kummer 曲面とする。
4 次曲面として表せる :$A_{\tau}$$\tau$(4.2)$K_{\tau}=\{(u_{0} :u_{1} :

u_{2} :

u_{3})\in \mathrm{P}^{3}; F(u, \tau)=0\}$

ここで、 $F(u, \tau)$ は Kummer の 4 次式で、次式で与えられる$K_{\tau}$

は

.

:

$F(u, \mathcal{T})=A(\mathcal{T})(u^{4}+0u_{1}4+u42+u_{3}^{4})+B(\mathcal{T})(u_{0}u_{3^{+u^{2})}}^{2}2u^{2}12$

(4.3)

.

$+c(\tau)(u_{13^{+}}^{2}uu_{2}u)222+0(D\mathcal{T})(u_{2}^{2}u_{3^{+)}}^{2}u^{2}0u_{1}^{2}+2E(\tau)u0u_{1}u2u_{3}$ここで、 $A(\tau),$ $B(\tau),$ $C(\tau),$ $D(\tau),$ $E(\tau)$ は次式で定まる声調形式である(4.4)$A(\tau)$$:=(\alpha^{2}\delta^{2}-\beta 22)\gamma(\beta 2\delta 2-\gamma^{22}\alpha)(\gamma^{22}\delta-\alpha^{2}\beta^{2})$(4.5)$B(\tau)$$:=(\beta^{4}+\gamma-\alpha^{4}-4\delta 4)(\beta^{2}\delta^{2}-\gamma^{2}\alpha^{2})(\gamma^{2}\delta^{2}-\alpha^{2}\beta^{2})$(4.6)$C(\tau)$ $:=(\gamma^{4}+\alpha-4\beta^{4}-\delta 4)(\alpha^{2}\delta^{2}-\beta 22)\gamma(\gamma^{2}\delta 2-\alpha^{2}\beta^{2})$

,

(4.7)

$D(\tau)$

,

:

,

,

$:=(\alpha 4+\beta 4-\gamma^{4}-\delta^{4})(\alpha^{22}\delta-\beta^{2}\gamma^{2})(\beta^{2}\delta^{2}-\gamma^{2}\alpha^{2})$$E(\tau)$ $:=\alpha\beta\gamma\delta(\delta^{2}+\alpha^{2}-\beta 2-\gamma^{2})(\delta 2+\beta^{2}-\gamma^{2}-\alpha^{2})$(4.8)$\cross(\delta^{2}+\gamma^{2}-\alpha^{2}-\beta 2)(\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma 2-\delta^{2})$$\alpha(\tau):=\theta\frac{1}{2}000(0,2_{\mathcal{T}})$,$\gamma(\tau):=\theta_{000}\frac{1}{2}(0,2\mathcal{T})$

,

(4.9)

$H_{2,2}\cong(Z/2Z)^{4}\subset Aut(K_{\mathcal{T}})\cap PGL(4;\mathbb{C})$$H_{2,2}$

は次の 4 元で生成される(4.10)(4.11)(4.12)(4.13)$\sigma_{1}$$\sigma_{2}$$\sigma_{3}$$\sigma_{4}$$\sigma\in H_{2,2}$

に対して、

:

$\beta(\tau):=\theta\frac{1}{2}\frac{1}{2}00(0,2_{\mathcal{T}})$$\delta(\tau):=\theta_{0}000(0,2T)$$G(u, \tau)$(4.15)を Sing$K_{\tau}$

.

,

:
,
:
,
: $(u_{0}, u_{1}, u2, u3)arrow(u_{0}, u_{1}, -u_{2}, -u_{3})$ ,: $(u0, u_{1}, u_{2}, u_{3})arrow(u_{0}, -u1, u_{2}, -u_{3})$ .
$(u_{0}, u_{1}, u2, u_{3})arrow(u_{2}, u_{3}, u_{0}, u_{1})$$(u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3})arrow(u_{1}, u_{0}, u_{3}, u_{2})$$(u_{0}^{\sigma}, u_{1}^{\sigma}, u_{2}^{\sigma}, u^{\sigma})3:=\sigma\cdot(u_{0}, u_{1}, u_{2,3}u)$

Sing

,

を Heisenberg 群とする。

$H_{2,2}=\langle\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}, \sigma_{4}\rangle$

異点は次で与えられる :(4.14),と書く。 この時、$K_{\tau}=\{(\alpha(\tau)^{\sigma}, \beta(\mathcal{T})\sigma, \gamma(T)\sigma, \delta(T)^{\sigma})\}\sigma\in H_{2,2}$$K_{\tau}$の特.

の射影双対の定義方程式とする :$G(u, \tau):=\sigma\in H_{2}\prod,(\alpha(\tau)^{\sigma}u0+\beta(\tau)^{\sigma}u1+\gamma(\mathcal{T}2)\sigma\delta(u_{2}+\tau)^{\sigma}u_{3})$.

定理 4.2 と Kummer 曲面の射影双対に関する自己双対性により、次の定理を得る。

92

定理 4.3($[\mathrm{Y}2$, Theroem 7.1, Corollary 7.1]).
$\Delta_{2,2}(u, \tau)=2^{-}80-\pi\epsilon 648\zeta’(-1)Fe(u, \tau)2G(u,\mathcal{T})$.

口

以下では、 定理 42 を解析的トーションの言葉に翻訳する。 $\Theta_{m,(u,\tau)}:=\{z\in$$A_{\tau}; \sum_{a}u_{aa}\theta,\mathrm{o}(mz,m\tau)=0\}$のためを\mbox{\boldmath $\pi$} :$\theta_{a,0}:=\theta_{a,0}(mz,m\tau)\in H0(A_{\tau}, L\otimes m)\mathcal{T}$とき、 Poincar\’e の留数系列からることがわかるのファイバーとする。簡単と置く。今、 $u_{a}\neq 0$ を仮定する。 こので生成されていは次の$\Theta_{m}arrow \mathrm{P}(V_{m})\cross \mathfrak{S}_{g}$$\omega_{\alpha}(u, \tau)$$H^{0-1}(\Theta_{m,()}u,\mathcal{T}’\Omega^{g})$(4.16)$\Omega^{g}-1)=m^{g}-1+\oplus g\mathbb{C}\omega_{\alpha}(u, \mathcal{T})$$H^{0}(\Theta_{m,(}u,\mathcal{T}),$$=$$\mathbb{C}{\rm Res}\Theta_{m,(u,\tau)}\frac{u_{a}\theta_{b,0}}{\sum_{c}u_{c}\theta_{c},0}d.Z1\wedge\cdots\wedge d_{Z\oplus}\oplus g1\wedge i=g1\mathbb{C}d_{Z}\cdots\hat{d}z_{i}\cdots\wedge dZ_{g}$$\oplus$.

$b\in B_{m}\backslash \{a\}$$\gamma j$

を $H_{g-1}(\Theta_{m},(u,\mathcal{T}), z)$ の整基底とする:$H_{g-1}(\Theta_{m,(}u,\mathcal{T}))z)=\oplus_{j=1}^{r}\mathbb{Z}\gamma_{j}$底に関する交差行列を $M$ とする :に関する周期行列をと整ホモロジーの基底$M:=(\langle\gamma i, \gamma j\rangle)1\leq i,j\leq r\in GL(r, \mathbb{Z})$. 周期の基底$P(u, \tau):=(\int_{\gamma j}\omega_{\alpha}(u, \mathcal{T}))$$\gamma_{j}$$\omega_{\alpha}$$L^{2}$. この整基とする。

-計量の主要な部分は正則形式の積分であるが、それは周期積分に還元できる。結局、定理 42 は次のように言い替えられる。
定理 4.4.

$\Delta_{g,m}(u, T)$を定理 42 の砂型多項式とすれば、$\tau(\Theta_{m,(u,\tau}),$ $\mathit{9}\Theta_{m},(u,\tau))(-1)g$$=( \det Im\mathcal{T})\frac{(g-1)m^{g}}{2(g+1)}-g|\frac{u_{a}^{m^{g}}}{\Delta_{\mathit{9}^{m}},(u,\tau)^{\frac{1}{(g+1)!}}}|^{2}\det(^{t}P(u, \mathcal{T})M\overline{P(u,\mathcal{T})})$.

$\square$の解析的トーションを知ることは、その正則標準形式の周期を知ることに還元される。その具体的な形について筆者は何も知らないが、興味あの具体的な表示を求めることとあわせて、今後の課題
る問題であると思う。
これより、$\Theta_{m,(u,\tau)}$$\Delta_{g}(\tau)$である。

とは無関係ではない。定理 42 によれば $\Delta_{g,m}(u, T)$ は次のように書ける : $\Delta_{g,m}(u, \tau)=\sum_{J}f_{J}(\tau)u^{J}$ . ここで、和は $|J|=m^{g}$ となる指数$\Delta_{g}(\tau)$と$\Delta_{g,m}(u, T)$

全体を走る。

が存在する。 $u=(u_{0}, u_{a})$と書くとき、指数 $J0$ を $J_{0}=(u_{0}^{m}, 0g, \cdots, 0)$ で定める。 この時、次$B_{m}= \frac{1}{m}\mathbb{Z}^{g}/\mathbb{Z}^{g}$$(a\in B_{m}\backslash \{0\})$より、$B_{m}$には特別な元$0$が成り立つ。

定理 4.5($[\mathrm{Y}2$, Theorem 6.1]).
$f_{J_{0}}(_{\mathcal{T}})=m^{\frac{g\cdot g!m^{g}}{2}}\Delta(gm\tau)m^{g}$$\triangle_{g,m}(u, \tau)\sim:=\Delta_{g,m}(u, \tau)/fJ_{\text{。}}(\mathcal{T})$と置け$\#\mathrm{f}_{\text{、}^{}\backslash }u_{0}^{m^{g}}$.

口の係数は 1 になる。体$k_{m}$をはが示され、で定義すれば、(
変数に関してmonic な) 定義
線形系 $|mL|$ で定まる Abel 多様体の射影双対の, Theorem 6.3])。
方程式を与えていることが示される ($\tilde{\Delta}_{g,m}(u, \tau)\in k_{m}[u]$$k_{m}:=\mathbb{Q}(\theta_{a},0(0, m\tau))_{a\in}Bm$$u_{0}$$[\mathrm{Y}2$$\Delta_{g,m}$93

5. 定理 5.1 の証明の概略
この節では定理 51 を定理 21-3 を用いてどのように示すのか、 その概要を説明する。定理 52 についても基本的には同様である。
の Euclid 計量、ををから定まる相対接束(1)の K\"ahler 計量、をの Quillen 計量とす関するをる。 Gauss-Codazzi の方程式 ([Yl, Proposition 21])、及び Debbare の定理
定理 21, 23 と組み合わせて、次が従う :$g_{E}:={}^{t}dz\cdot d\overline{Z}$$T\mathrm{A}/\mathfrak{S}_{g}$$g_{E}$$\mathit{9}E,\Theta/\mathrm{e}g$$T\Theta/\mathfrak{S}_{g}$$||\cdot||_{Q}’$$\lambda(\Theta/\mathfrak{S}_{g})$$gE,\Theta/\mathfrak{S}_{g}\iota_{\sim}^{arrow}$$([\mathrm{D}])$(5.1)$c_{1}( \lambda_{\Theta}, ||\cdot||_{Q}’)=\frac{(-1)^{g+1}}{(g+1)!}\delta_{N_{g}}$

これより、$\triangle_{g}(\tau)\in \mathcal{O}(\mathfrak{S}_{g})$(5.2)

が存在して次が成立する$(\Delta_{g})_{0}=N_{g}$

,

.

:
.

$||\sigma_{\Theta}||_{Q}^{2}(\tau)’=|\Delta_{g}(\mathcal{T})|^{\frac{2(-1)^{g}+\iota}{(g+1)!}}$(2) 定理 22 と多少の計算の後 ([Y2, Proposition 51])、次がわかる :

.

(5.3)
即ち、
質から

$\forall\gamma\in\Gamma_{g}(1,2)\text{、}$$\log(\frac{\gamma^{*}||.\cdot||_{Q}’}{||||_{Q}’}(\tau))^{2}=\frac{(-1)^{g}(g-1)}{g+1}\log|j(\tau, \gamma)|$$\Delta_{g}(\tau)$

は $U(1)$ -指標付きの $\Gamma_{g}(1,2)$ に関する保型形式である。

$\Delta_{g}(\tau)\text{は}\Gamma_{g}$(3) 再び定理 22($\Gamma_{g}$と$N_{g}$の性に関する保型形式で指標は自明である。
, Proposition 5.1]) より次がわかる:$[\mathrm{Y}2$

.

(5.4)

$\log(\frac{||\cdot||_{Q}’}{||\cdot||_{Q}})^{2}=\frac{(-1)^{g}(g+1)}{2(g+1)}\log\det Im\tau$(5.2) と (5.4) より(5.5)$|| \sigma_{\Theta}||2Q(\mathcal{T})=(\det ImT)\frac{(-1)^{g}(g-1)}{2(g+1)}|\Delta_{g}(\mathcal{T})|\frac{2(-1)^{g+1}}{(g+1)!}$となるので、(5.6)$\log||\sigma_{\Theta}||_{L^{2}}^{2}(\tau)=(-1)^{g}\log(2\pi)^{g}\det Im\tau$と組み合わせて定理を得る。

口

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$I,$$\mathrm{u}x$