2019年度
環論

授業題⽬

申請コード71115
授業種別
講義
履修期間
第２学期
区分等
平成29年度以降⼊学⽣
専⾨教育）専⾨科⽬
ナンバリングコード1
31-2153-11
ナンバリングコード3

2
2
⾦2

単位数
履修開始年次時間割

ナンバリングコード2
ナンバリングコード4

ナンバリングコード5

ナンバリングコード6

ナンバリングコード7

ナンバリングコード8

地域関連科⽬区分

COC+Phase

履修における注意点
平成28年度以前⼊学⽣は専⾨科⽬「代数学ⅠB」に読み替える。
資格等
副題【テーマ(⽇本語)】【テーマ(英語)】
担当教員
担当教員名
⼟基 善⽂
オフィスアワー
⾦曜1限。
学⽣相談場所
理学部２号棟5階513室
履修希望学⽣に求めるもの
群論を履修していることが望ましい。
教員相互参観授業公開⽇程【公開できる週】
全て公開する【コメント】
備考
キーワード
環、イデアル、剰余環、準同型写像、所属
理⼯学部

電話番号

E-Maildocky@kochiu.ac.jp

カリキュラムチェックリスト【授業科⽬の主題(箇条書)】
1.受講⽣が環の定義や性質を正しく理解すること。
2.受講⽣が環論を通して論理的なものの考え⽅について学ぶ。
【授業科⽬の到達⽬標とカリキュラムチェックリスト】
授業科⽬の到達⽬標
環の定義を正しく理解する。
環のイデアルに関する性質を正しく理解し、応⽤できるようにする。
剰余環の構成を正しく理解し、応⽤できるようにする。
準同型写像の意味を理解し、応⽤できるようにする。

知識‧理解◎◎◎◎

思考‧判断◎◎◎◎

関⼼‧意欲◎
◎◎
◎

態度等
△△
△
△

技能(技法)‧表現◎◎◎◎

授業全体の概要
授業時間外の学習
代数学の本をよみ、環の基礎事項を確認すること。
講義の途中で「やってみよう問題」を出すので解いてみるとよい。
授業計画
環の定義、部分環の定義について述べる。
授業概要 準同型定理のステートメントを述べ、講義前半の⽬標を提⽰する。
なお、以下の概要は学⽣諸君の理解の様⼦によって変化する場合がある。
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第1回 スケジュール
今回は部分環であるかないかの判定の予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。
学習
授業概要 「⽣成される部分環」について定義と存在の証明を述べ、どういうことかの説明をする。
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第2回 スケジュール
今回は⽣成される部分環に何が⼊っているかの問題の予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
授業概要 イデアルとそれによる剰余環の定義と例を述べる。
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第3回 スケジュール
今回はイデアルに⼊る元の問題の予定
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
授業概要 イデアルとそれによる剰余環の定義と例を前回に続いて、さらに詳しく述べる。
とくに「九去法」のような具体的な算法との関連から説明する。
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第4回 スケジュール
今回はイデアルによるクラス分けの理解の問題にする予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習第5回
授業概要 素イデアルと極⼤イデアル。
評価の 各回やってみよう問題を課す。
スケジュール 今回は剰余環における逆元の存在、⾮存在や零因⼦の存在についての問題の予定。

授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
授業概要 準同型と準同型定理について、ステートメントと、その基本的な考え⽅について述べる。
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第6回 スケジュール
今回は準同型定理の基本例に関する問題の予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
授業概要 準同型定理のさらなる説明と、利⽤法などについて述べる。
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第7回 スケジュール
今回は準同型定理の応⽤例に関する問題の予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
準同型定理補⾜
授業概要 例年準同型定理については理解に時間が必要なのでここで時間を取って補⾜する。
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第8回 スケジュール
今回は準同型定理の補⾜の問題の予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
授業概要 余りのある割り算のできる環(ユークリッド環)
単項イデアル環
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第9回 スケジュール
今回は互除法の結果をどのように活⽤するかの問題の予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
授業概要 素元分解環の概念の理解に必要な、環における整除の問題について解説する。
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第10回 スケジュール
今回はPIDでないような環での整除に関する問題の予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
授業概要 PID は素元分解環であることの証明と、その意味の説明
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第11回 スケジュール
今回は素元、既約元に関する問題の予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習第12回

授業概要 PID は素元分解環であることの証明とその仕組みの解説(2)評価の 各回やってみよう問題を課す。
スケジュール 今回はPID の剰余環に関する問題の予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
授業概要 環の直積の定義と直積分解の概念を解説し、とくにその例としてPID の剰余環のいくつかについて解説する。
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第13回 スケジュール
今回は105減算のような問題の予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
授業概要 多項式環は素元分解環であることをガウスの補題を⽤いて証明する。
評価の 各回やってみよう問題を課す。
第14回 スケジュール
今回は環の世界での多項式の積の性質などについての予定。
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
授業概要 今までのまとめと補⾜
評価の 今回は補⾜的な回である。
第15回 スケジュール
授業時間外 授業時にわからなかったことを時間をかけて考えること。また知らない⽤語が出てきた場合は必ずその都度調べておくこと。授業の復習としてレポート問題を考えること。
学習
授業概要
評価の 期末試験を⾏う。
第16回 スケジュール
授業時間外 期末試験で出た問題について復習すること。
学習関連科⽬名、関連科⽬コード番号
時間割コード
教科書‧参考書
群論で使⽤するものと同じものを使⽤する。
Webテキスト（URL）
http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/
Webテキスト（説明）
講義中の配布物を載せる。
成績評価の⽅法

科⽬名
代数学演習

⼩テストと期末試験により判断する。
⼩テストは毎回課され、その平均成績が⼀定以上であれば合格。
それ以上のことについては試験で判断する。
パソコン必要度
必ずしも必要ないが推奨
授業中の活⽤を推奨【コメント】
ユークリッド環の性質など、計算機を活⽤することにより分かりやすくなる場合がある。講義では多くを指⽰しないが折に触れて題材は提供する予定である。