数理解析研究所講究録920 巻 1995 年 236-246

236

26.
On the Weights of Simple K3
Singularities
神戸大学教育学研究科
井林憲– (-ichi Ibayashi)e-mail:ibayashi@kobe-u.ac.jp
神戸大学発達科学部
高橋正 (Tadashi Takahashi)$\mathrm{I}<\mathrm{e}\mathrm{n}$$\mathrm{e}$-mail:takahasi@kobe-u.ac.jp

Let X be a normal 2-dimensional analytic space. Then the singular points of X are discrete.

There are rational singularities, quotient singularities, elliptic singularities, cusp singularities andso on. In the theory of two-dimensional singularities, simple elliptic singularities and cusp singularities are regarded as the next most reasonable class of singularities after rational singularities.
What are natural generalizations in three-dimensional case of those singularities. They are purely

elliptic singularities. When X is a two-dimensional analytic space, purely elliptic singularities are

quasi-Gorenstein singularities. In higher dimensions, however, purely elliptic singularities are
not always quasi-Gorenstein. Simple elliptic singularities and cusp singularities are characterizcd

as two-dimensional purely elliptic singularities of $(0,1)$ -type and of $(0,0)$ -type, respectively The

notion of a simple K3 singularity is defined as a three-dimensional isolated Gorenstein purely
elliptic singularity of $(0,2)$ -type.

Example. Let
and suppose$\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y}_{\mathrm{Z}},,\mathrm{w})$be a quas -homogeneous polynomial of type$\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y}_{\mathrm{Z}},,\mathrm{w})=0$$\mathrm{i}$$(\mathrm{p},\mathrm{q},\mathrm{r},\mathrm{s}:\mathrm{h})$with$\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}+\mathrm{s}=\mathrm{h}$defines an isolated singularity at the origin. Then the origin is a simple

K3 singularity.
Yonemura calculate the weights of hypersurface simple K3 singularities by nondegenerate polynomials and obtained examples such that the polynomial$\mathrm{f}$is quasi-homogeneous and that$\mathrm{f}=0$

,

237

has a simple K3 singularity at the origin.The minimum number of parameters in the polynomialis less than or equal to 19 and is associated with the moduli of the K3 surface with singularities.
We try to impose Mathematica programs to construct the weights of simple K3 singularities.
$f=\mathrm{z}^{2}+y^{5}+x^{6}+\mathrm{w}^{6}y+zyxw$

The follwing vector means$\{\mathrm{z},\mathrm{y}_{\mathrm{X}},,\mathrm{w}\}$

12,

$0,$

$\mathrm{o},$$\mathrm{o}$}, $\{0,5,0,0\},$$\mathrm{t}0,0,6,$$\mathrm{o}\},$$\{0,1,0,6\}$;$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}\mathrm{l}=\mathrm{a}\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=5;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=6;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=1;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=6;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$[$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}$$\mathrm{T}/$

.

;

;

$\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\mathrm{I}==\{\mathrm{o},\mathrm{o},0,\mathrm{o}\}${Part$\mathrm{T}=$;$[\mathrm{S}[[1]][[1]],2]$, {a,b,c,d} ];, Part $[\mathrm{S}[[1]][[4]],2]$ , Part $[\mathrm{S}[[1]][[2]],2]$ , Part $[\mathrm{S}[[1]][[3]],2]$ };LCM[2,5,6,15] $*(- 1)$$\mathrm{e}arrow${15, 6, 5, 4}$\{2, 0, \mathrm{o}, 0\},$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\{0,5,0,0\},$ $\mathrm{t}0,0,6,0\},$ $\{0,0,2,5\}$;$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\tau--5;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=\mathrm{a}\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=6;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\Gamma-- 0;\mathrm{x}=2;\mathrm{w}=5;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$[$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}$;;$\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\mathrm{I}==\{0,0,0,0\}$, {a,b,c,d}];$\mathrm{T}=\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[1]][[1]],2],\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{S}[[1]][[2]],2],$$\mathrm{T}/$.

$\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}1[1]][[4]],2],\mathrm{p}_{\mathrm{a}}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[3]],2]\}$;

LCM [2,5,6,15] $*(- 1)$$\mathrm{e}arrow${15, 6, 5, 4}$\{2, 0,0,0\},$ $\{0,5,0,0\},$ $\{0,1,0,7\},$ $\{0,0,2,5\}$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\tau=5;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=1;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=7;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=2;\mathrm{w}=5;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}1_{\mathrm{V}}\mathrm{e}$$\mathrm{T}=$

{

[

;
;

;

$\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{\mathrm{o},\mathrm{o},\mathrm{o},0\}$$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[1]],2]$;, {a,b,c,d} ];, Part $[\mathrm{S}[[1]][[311,2],$$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[11]][[2]],2],\mathrm{p}_{\mathrm{a}}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][\mathrm{t}4]],2]$

};

238

$\mathrm{T}/$.

$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,5,14,35]*(- 1)$$\{35,14,15,8\}$$\mathrm{t}2,0,0,0\},$ $1^{\mathrm{o},5,0,0}\},$$\{0,0,6,0\},$ $\{1,1,1,1\}$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=5;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=6;\mathrm{w}=0,$$\mathrm{f}3=$$\mathrm{z}=1;\tau-1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$;$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}[\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\mathrm{t}0,0,0,\mathrm{o}\mathrm{I},\{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}\}]$$\mathrm{T}=${Part$[\mathrm{S}[[1]][[2]],21,\mathrm{P}\mathrm{a}I\mathrm{t}[\mathrm{s}\mathrm{l}[1]][[31],2],$$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[1]][[411,2]^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{t}},\mathrm{a}[\mathrm{s}[[1]][[1]1^{2]},$}$;\mathrm{T}/$$*(- 1)${15, 6, 5, 4}$\{2, 0, \mathrm{o}, 0\},$$\{0,5, \mathrm{o}, 0\},$$\{0,1,0,7\},$ $\{1,1,1,1\}$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{C}\mathrm{X}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=5;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{C}\mathrm{X}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=7;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{C}\mathrm{X}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=1;\mathrm{y}=1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;.

$\mathrm{z}=0;\tau--1_{1}$$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}1_{\mathrm{V}}\mathrm{e}1\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}41==\{0,0,\mathrm{o},\mathrm{o}\mathrm{I},\{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{C},\mathrm{d}\}1$;$\mathrm{T}=\{\mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[2]],2],\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[4]),2], \mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[1]],2],\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[3]],2)\}$$\mathrm{T}/$.

;$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,5,70,35]*(\prime 1)${35, 14, 13, 8}$\{2, 0, \mathrm{o}, 0\},$$\{0,0,6,0\},$ $\{0,1,0,7\},$ $\{1,1,1,1\}$;$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\Gamma--0;\mathrm{x}=6;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\Gamma-- 1;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=7;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{C}\mathrm{X}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=1;\tau--1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{C}\mathrm{X}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;[$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{V}\mathrm{e}$;$\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\mathrm{I}==\{0,0,0,0\mathrm{I}$, {a,b,c,d}];$\mathrm{T}=\{\mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[1]],2],\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\cdot \mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[2]],2], \mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[3]],2],\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[4]],2]\}$$\mathrm{T}/$.

$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,9,6,9]*(- 1)${9, 4, 3, 2};.

$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}|2,5,6,15$

]

239

$\{0,5, \mathrm{o}, 0\},$$\mathrm{t}0,0,6,0\},$$\{0,1,0,7\},$ $\{1,1,1,1\}$$\mathrm{z}=0;\Gamma--5;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{C}\mathrm{X}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=6;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{C}\mathrm{X}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\tau--1;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=7;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{C}\mathrm{X}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=1;\mathrm{y}=1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$

;

;

;

;

$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}[\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{0,0,0,\mathrm{o}\},\{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}\}1${$\mathrm{T}=$$\mathrm{T}/$.

$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[11][[1]],2]$, Part $[\mathrm{S}[11]][[4]])2],$;$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[2]],2]$, Part $[\mathrm{S}[[1]][[31],2]$ };$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[210,5,6,35]*(- 1)${109, 42, 35, 24}$f=\mathrm{z}^{2s7}+y+x+\mathrm{w}^{4}2+zyxw$

The follwing vector means$\{\mathrm{z},\mathrm{y},\mathrm{x},\mathrm{w}\}$$\{2, 0,0,0\},$$1^{\mathrm{o},3,0,0}\}$, $\{0,0,7,0\},$ $\{0,0,0,42\}$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=3;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{C}\mathrm{X}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\tau--0;\mathrm{x}=7;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;r--0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=42;\mathrm{f}4=$[$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}$

;

;

;

a

;

$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{0,\mathrm{o},\mathrm{o},0\}$, {a,b,c,d}];;$\mathrm{T}=\{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[1]],2],\mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[1]][[2]],2], \mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[3]],2]^{\mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}\iota}},[\mathrm{s}[[1]][[4]],2]\}$$\mathrm{T}/$.

$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,3,7,42]*(- 1)${21, 14, 6, 1}$\{2, 0,0,0\},$ $\{0,3,0,0\},$ $\mathrm{t}0,0,7,0\},$ $\{0,0,6,6\}$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a;$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\Gamma--3;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=\mathrm{a}\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{C}\mathrm{X}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\tau--0;\mathrm{x}=7;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}3=$

a

;

;

$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=6;\mathrm{w}=6;\mathrm{f}4=\mathrm{a}\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{C}\mathrm{X}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;;$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l}1^{\mathrm{f}1,\mathrm{f}2},\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{0,0,\mathrm{o},0\mathrm{I},\mathrm{t}\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}\}1$$\mathrm{T}=\{\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[1]],2],\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[2]],2],$$\mathrm{T}/$.

$\mathrm{e}rightarrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,3,7,42]*(- 1)${21, 14, 6, 1}$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[4]],2]$, Part$[\mathrm{S}[[1]][[3]],2]\mathrm{I}$

;

240

$\{2, 0,0,0\},$ $\{0,3, \mathrm{o}, 0\},$ $\{0,0,0,43\},$ $\{0,0,6,6\}$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=3;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;a$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=43|\mathrm{f}3=$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=6;\mathrm{w}=6;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}1_{\mathrm{V}\mathrm{e}[}\mathrm{t}\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{0,0,0,\mathrm{o}\},\mathrm{t}\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}\}]${Part$\mathrm{T}=$$\mathrm{T}/$.

;$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$[\mathrm{S}[[1]][[1]],2],\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\iota[\mathrm{s}[[1]][[2]],2],$;;$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[1]][[3]],2]^{\mathrm{p}_{\mathrm{a}}\mathrm{r}\mathrm{t}},[\mathrm{S}[[1]][[4]],2]$};$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,3,258,43]*(- 1)${129, 86, 37, 6}$\{2, 0,0,0\},$ $\{0,3,0,0\mathrm{I},$ $\{0,0,7,0\mathrm{I},$ $\{1,1,1,1\}$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=0;\tau--3;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=0;\tau--0;\mathrm{x}=7;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=1;\mathrm{y}=1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{V}\mathrm{e}[\{\mathrm{f}\mathrm{I},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{0,0,0,0\},\{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}\}]${Part$\mathrm{T}=$$\mathrm{T}/$.

$[\mathrm{S}[[1]][[2]],2],\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[3]],2],$;$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[1]][[4]],2]^{\mathrm{p}\mathrm{a}},\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[1]],2]$};$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,3,7,42]*(- 1)${21, 14, 6, 1}$\{2, 0, \mathrm{o}, 0\},$$\{0,3,0,0\},$ $\{0,0,0,43\},$ $\{1,1,1,1\}$$\mathrm{z}=2;\Gamma--0_{1}\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0_{1}\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=0;r=3;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;a$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=43;\mathrm{f}3=$$\mathrm{z}=1;\Gamma--1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}[\mathrm{t}\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{\mathrm{o},0,\mathrm{o},\mathrm{o}\},\{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}\}]$

;

;

;

;

$\mathrm{T}=\{\mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]1[[2]],2]^{\mathrm{p}[\mathrm{s}[[1},\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}]1113]],21, \mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[1]][[11],2],\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{s}[[1]][141],2]\}$$\mathrm{T}/$.

$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,3,258,43]*(- 1)${129, 86, 37, 6}

241$\{2, 0,0, \mathrm{o}\},$$\mathrm{t}0,0,7,0\}$, $\{\mathrm{o}, 0,0,43\},$ $\{1,1,1,1\}$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=7;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;a$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=43;\mathrm{f}3=$$\mathrm{z}=1_{1}r=1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$

;

a

;

$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}[\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{0,0,\mathrm{o},01,\{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}\}]${Part$\mathrm{T}=$$\mathrm{T}/$.

$[\mathrm{s}[[1]][[2]],2],\mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[111,2],$;$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{S}\mathrm{l}[1]][[3]],2],\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{S}[[1]][[4]],2]$};$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,602,7,43]*(- 1)${301, 201, 86, 14}$\{0,3,0,0\},$ $\{0,0,7,0\},$ $\{0,0,0,43\},$ $\{1,1,1,1\}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=3;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=7;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;a$\mathrm{z}=0;\tau_{-}^{-}0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=43;\mathrm{f}3=$$\mathrm{z}=1;\mathrm{y}=1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$

;

a

;

$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{V}\mathrm{e}[\mathrm{t}\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{\mathrm{o},\mathrm{o},0,\mathrm{o}\mathrm{I},\mathrm{l}\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{C},\mathrm{d}\}]${$\mathrm{T}=$$\mathrm{T}/$.

$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{S}\mathrm{l}[111[[1]],2],$Part lS $[[1]]112]1,2],$$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\iota 1^{\mathrm{s}}[11]][[31],2],\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[11][[4]],2]$};$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[903,3,7,43]*(- 1)${452, 301, 129, 21}$f=\mathrm{z}^{2}+xy^{4}+wx^{5}+\mathrm{w}^{7}x+Zyxw$

The follwing vector means$\{\mathrm{z},\mathrm{y},\mathrm{x},\mathrm{w}\}$$\{2, 0,0,0\},${$\mathrm{o},$$4,1,0\mathrm{I},$tO,$\mathrm{o},$$5,1$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=4;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=5;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\Gamma-- 0;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=7;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$}, $\{0,0,1,7\}$

;
;
;
;

;

$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{V}\mathrm{e}[\mathrm{t}\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{0,0,\mathrm{o},0\},(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}\}]${Part$\mathrm{T}=$$\mathrm{T}/$.

$[\mathrm{s}[[1]][[1]],2],\mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[2]],2],$$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}${17, 7, 6, 4}[2,34,17, 17] $*(- 1)$$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[4]],2],\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[3]],2]$

};

242

$\{2, 0,0,0\},$$\{\mathrm{o},$$4,1,0\mathrm{I},$$\{0,0,5,1\},$ $\{0,0,3,4\}$$\mathrm{z}=2;r--0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=4;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=5;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;r=0;\mathrm{x}=3;\mathrm{w}=4;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{S}=$Solvel{$\mathrm{T}=$$\mathrm{T}/$

.

;
;
;

;

$\{\mathrm{f}1,\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\mathrm{t}0,0,\mathrm{o},0\},\{\mathrm{a},\mathrm{b}_{\mathrm{C}},,\mathrm{d}\}1$$\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[1]],2],\mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[2]1,2],$;$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathfrak{l}\mathrm{S}[[1]][[4]],2]$, Part $[\mathrm{S}[[1]][[3]],2]$ };$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,34,17,17]*(- 1)${17, 7, 6, 4}$\mathrm{t}2,0,0,0\},$$\{0,4,1,0\},$ $\{0,0,1,8\},$ $\{0,0,3,4\}$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0_{1}\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0_{\mathrm{i}}\mathrm{y}=4;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=8;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;r=0;\mathrm{x}=3;\mathrm{w}=4;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$

;

;
;
;

;

$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}1_{\mathrm{V}\mathrm{e}[}\mathrm{t}\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\mathrm{I}==\{\mathrm{o},0,\mathrm{o},0\mathrm{I},\{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{C},\mathrm{d}\}1$$\mathrm{T}=\{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\iota[\mathrm{s}[[1]][[1]],2]^{\mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}}},\iota[\mathrm{s}[[1]][[2]1,2], \mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}1^{\mathrm{s}}[[1]][[4]],2],\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\iota[\mathrm{S}[[11][[3]],2]\}$$\mathrm{T}/$.

;$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,5,5,10]*(- 1)${5, 2, 2, 1}$\{2, 0,0,0\},$ $\{0,4,1,0\},$tO, $0,5,1$ }, $\{1,1,1,1\}$$\mathrm{z}=2_{1}\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=4;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\tau--0;\mathrm{x}=5;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=1;\mathrm{y}=1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$[$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{V}\mathrm{e}$

;

;

;
;

, {a,b,c,d}];$\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\mathrm{I}==\{\mathrm{o},\mathrm{o},\mathrm{o},0\}$;$\mathrm{T}=\{\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[1]],2],\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[1]][[2]],2], \mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[4]],2],\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[3]],2]\}$$\mathrm{T}/$.

$\mathrm{e}arrow$

LCM [2,34,17,17| $*(- 1)${17, 7, 6, 4}

243{2, $0,0,01,$ $\{0,4,1,0\},$ $\{0,0,1,8\},$ $\{1,1,1,1\}$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=4;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}2=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=8;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=1;\mathrm{y}=1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0,$

Solver$\mathrm{S}=${$\mathrm{T}=$.

$\mathrm{T}/$$\mathrm{t}\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4$

}

;
;

;

;

;

$==\{0,\mathrm{o},\mathrm{o},\mathrm{o}\},\mathrm{t}\mathrm{a},\mathrm{b}_{\mathrm{C},\mathrm{d}\}},1$$\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}\iota 1^{1]}][[111,21,$Part$\iota \mathrm{S}1[1]11[2]1,2],$

Partl$[[1111141],21,\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[111]1131],21$};$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,5,5,1\mathrm{o}1*(- 1)${5, 2, 2, 1}$\{2, 0,0,0\},$ $\{0,0,5,1\},$ $\{0,0,1,8\},$ $\{1,1,1,1\}$$\mathrm{z}=2;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=0;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}1=$a;$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=5;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}2=\mathrm{a}\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=8_{\mathrm{i}}\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=1;\mathrm{y}=1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$Solvel$\mathrm{S}=${$\mathrm{T}=$$\mathrm{T}/$

.

;

;

$\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{\mathrm{o},0,0,0\}$$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[1]][[2]],2]$, {a,b,c,d} ;$]$, Part $[\mathrm{S}[[1]][[1]],2],$$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[1])[[3]],2],\mathrm{p}_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[4]],2]$};$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[2,78,39,391*(- 1)${39, 17, 14, 8}$\{0,4,1,0\mathrm{I},$$\{0,0,5,1\},$ $\{0,0,1,8\},$ $\{1,1,1,1\}$;$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=4;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=0;\mathrm{f}\mathrm{l}=\mathrm{a}\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$;$\mathrm{z}=0;\pi-0;\mathrm{x}=5;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}2=\mathrm{a}\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=0;\mathrm{y}=0;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=8;\mathrm{f}3=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$$\mathrm{z}=1;\mathrm{y}=1;\mathrm{x}=1;\mathrm{w}=1;\mathrm{f}4=$a$\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{w}+\mathrm{e}$[$\mathrm{S}=\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}${$\mathrm{T}=$$\mathrm{T}/$

.

;

;

, {a,b,c,d}];$\{\mathrm{f}\mathrm{l},\mathrm{f}2,\mathrm{f}3,\mathrm{f}4\}==\{\mathrm{o},\mathrm{o},\mathrm{o},\mathrm{o}\}$$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[1]][[1]],2]$, Part $[\mathrm{S}[[1]][[2]])2],$$\mathrm{e}arrow \mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}[39,39,39,39]*(- 1)${20, 8, 7, 4}$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{s}[[1]][[4]],2]^{\mathrm{p}},\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}[\mathrm{S}[[1]][[3]),2]$

};

244

$f=\mathrm{z}^{2}+y^{3}+\ldots+zyxw$

The number in following vector shows {z,y,x,w} Define the weight ofand$\mathrm{x}$$xx[hxx_{-}]$$:=$$1/(hxx+3)$$xy[h_{X}y_{-}]$$:=$$(1-(1/3))*(1/(hxy+2))$$xz[hx\mathrm{z}_{-}]$$:=$$(1-(1/2))*(1/(hxz+2))$$\mathrm{w}w[iww-]$$:=$$\mathrm{w}y[iwy-]$$:=$$(1-(1/3))*(1/(iwy+2))$$\mathrm{w}z[iw\mathrm{z}_{-1}$$:=$$(1-(1/2))*(1/(iwz+2))$$xww[hXw\mathrm{w}_{-}1$$:=$$(1-ww[iww1)*(1/(hxww+2))$$xwy[hxwy_{-}1$$:=$$(1-wy[iwy])*(1/(hxwy+2))$$xwz[h_{X}w\mathrm{z}_{-1}$$:=$$(1-wz[iwZ])*(1/(hxwz+2))$$\mathrm{w}xx[iwXx-]$$:=$$(1-Xx[hxX])*(1/(iwxx+2))$$\mathrm{w}xy[iwxy_{-}]$$:=$$(1 -xy[hxy])*(1/(iwxy+2))$$\mathrm{w}xz1^{i}wX\mathrm{z}_{-}]$$:=$$(1 -xz[h_{X}Z])*(1/(lwXZ+2))$$1/(i\dot{\mathrm{w}}\mathrm{w}+3)$

calculation
Do [If [xx.

Print [ $\{1/2,1/3$ xx$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]${1/2, 1/3,

1/7 ,

{1/2 ,

1/10, 1/15}

1/3 ,Do [If [xx1/42}$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]+\mathrm{w}\mathrm{x}\mathrm{x}$

, ww

1/7 ,

{1/2, 1/3,

1/11 , 5/66}

1/42}

{1/2.

$]$

,

1/3 ,

xx

$\{\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}, 1.9,1\}$

1/24}$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]>=\mathrm{w}\mathrm{X}\mathrm{X}${1/2 , 1/3, 1/8,$]$,$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]$,$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]\rangle=$$\mathrm{w}\mathrm{y}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}]\}$,$\{\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{w}, 1 , 39 , 1\}]$

{1/2,

1/3 ,

1/9 ,

;

1/18}

]

$]$

,

[iwxx] ,$\{\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}.

1/24}{1/2, 1/3, 1/12,

&& xx

,

1/12, 1/12}, wxx [iwxx]}]$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]+\mathrm{w}\mathrm{y}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}]--=1/6$

Print [ $\{1/2,1/3$ , xx]

{1/2 , 1/3. 1/8,$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]${1/2, 1/3.

$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]>--\mathrm{w}\mathrm{w}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{w}]$$[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{w}]\}$[iwxx] $==1/6$ &&Print [ $\{1/2,1/3$ , xx

Do [If [xx&& xx$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]+_{\mathrm{W}\mathrm{W}}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{w}]----1/6$

1 , 9, 1\}$

1/42}

{1/2 , 1/3, 1/8,

{1/2, 1/3, 1/10.

1/15}{1/2, 1/3, 1/12,$]${1/2, 1/3. 1/9.

1/18}

1/12}

wy

$[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}]$,$\{\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}, 1 , 9, 1\}$

{1/2, 1/3, 1/7.

, {iwxx. 1 , 34, 1} ;

1/24}

,

{1/2,

1/12}

$\{\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}, 1 , 26, 1\}]$

1/3 ,

1/9 ,

;

1/18}

$\mathrm{w}$245

Do [If [xxPrint [ $\{1/2$ , 1/3, xx

{1/2,
1/3 ,

1/7 ,

1/3 ,

1/42}

{1/2, 1/3, 2/15,{1/2 , 1/3,$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}]+\mathrm{W}\mathrm{X}\mathrm{y}$1/3 , 2/15,

Do [If [xy [$\{\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}, 1 , 9 , 1\}$

1/24}

1/8 ,

&&

, {iwz , 1 , 19 , 1} ;
$]$

{1/2,

, ww

$\mathrm{x}\mathrm{y}[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}]>=\mathrm{w}\mathrm{w}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{w}]$$[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{w}]\}$

]

$]$

,

1/9 ,

1/3 ,

1/18}

{1/2 ,.

$\{\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}, 1 , 8, 1\}$

{1/2, 1/3, 1/9,

[iwxy] $=–1/6$ && xy$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}]$

1/30}

,

$\{\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{w}, 1 , 27 , 1\}]${1/2, 1/3,

1/18}

1/3 ,

2/21 ,

;
1/14}

{1/2.

{1/2 , 1/3,

2/15 ,

1/12 ,

1/12},$\{\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}, 1 , 8, 1\}$$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}]>=\mathrm{w}\mathrm{y}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}^{]}$$[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}]\}$]$].\{\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}, 1 , 8.

{1/2, 1/3, 1/9,$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}]$

1/30}

&& xy

, wy

$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}]+\mathrm{w}\mathrm{z}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{z}]--=1/6$

Print [ $\{1/2,1/3$ , xy$]$

[iwxy] ,, {iwxy, 1.24, 1} ;$]$

{1/2, 1/3, 1/9. 1/18} {1/2, 1/3, 1/12,$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}]$2/15, 1/30}$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}]\rangle=\mathrm{w}\mathrm{x}\mathrm{y}$, wxy [iwxy]}]$\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}^{]\star_{\mathrm{W}}}\mathrm{y}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}]==1/6$

Print [ $\{1/2,1/3$ , xy

Do [If [xy$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}]$1/30}Print [ $\{1/2,1/3$ , xy

1/3 ,

] ,

$[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{z}^{]}\}]$

,

1/12}

1/12,

Do [If [xy{1/2 ,, wz$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}]\star \mathrm{w}\mathrm{w}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{w}]==1/6$

Print [ $\{1/2,1/3$ , xy

{1/2,$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]$$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]>=\mathrm{w}\mathrm{Z}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{z}]$1/12, 1/12}

Do [If [xy

1/3 ,

&& xx

$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}]+\mathrm{W}\mathrm{Z}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{z}]=--1/6$

&& xy

. wz

1/18}

$[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{z}]\}$

]

$]$

,

.
1\}$

1/18}

$\{\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}, 1 , 18, 1\}]$

;
1/12}

,

$\{\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}, 1 , 8, 1\}$

{1/2, 1/3, 1/9,,

{1/2, 1/3, 1/12,$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{y}]>--\mathrm{W}\mathrm{Z}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{z}^{]}$

1/12}

,

$\{\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{z}.1 , 13, 1\}]$;

1/3, 2/21 , 1/14} {1/2,{1/2.

Except the case of xz included in the case of xx
Do [If [xww$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{w}\mathrm{w}]+\mathrm{W}\mathrm{W}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{W}]==1/6$&& xww [hxww]

Print [ $\{1/2.1/3$ , xww [hxww] , ww

{1/2, 1/3, 5/36,
1/3 ,

1/12,

Do [If [xwy

1/30}

{1/2.

{1/2, 1/3, 5/36,

Do [If [xwz$]$,, {hxww, 1 , 12, 1},$\{\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{w}, 1 , 33, 1\}]${1/2, 1/3, 5/48,

;

1/16}

{1/2 ,

1/12}$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{w}\mathrm{y}]+\mathrm{W}\mathrm{y}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}]==_{1}/6$

1/12,

]

1/3, 5/42. 1/21}&& xwy [hxwy]

Print [ $\{1/2,1/3$ , xwy [hxwy] , wy

1/3 ,$[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{w}]\}$$>=\mathrm{w}\mathrm{w}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{w}]$1/30}$[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}]\}$]$]$$>=\mathrm{w}\mathrm{y}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}]$,, {hxwy, 1 , 12. 1} ,$\{\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{y}, 1,22,1\}]$;{1/2, 1/3, 5/42, 1/21} {1/2 , 1/3, 5/54, 2/27} {1/2 ,

1/12}$[\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{w}\mathrm{z}]+\mathrm{W}\mathrm{z}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{z}]--=1/6$&& xwz [hxwz]$>=\mathrm{w}\mathrm{z}[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{z}]$

.

246

Print [ $\{1/2,1/3$ , xwz [hxwz] , wz

{1/2, 1/3. 5/36.

1/36}$[\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{z}^{]}\}]$]. {hxwz, 1 , 12, 1},{1/2, 1/3, 5/48.

The case of xz is now constructing

1/16}

{1/2.

$\{\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{z}, 1 , 16.

1/3, 1/12.

1\}]$

;

1/12}