SPC-11-179
MD-11-040

非接触給電の最大効率の結合係数 k とコイルの Q による表現
遠井敬大＊

金子裕良

阿部茂(埼玉大学)

Maximum Efficiency of Contactless Power Transfer Systems using k and Q
Takahiro Tohi*, Yasuyoshi Kaneko, Shigeru Abe (Saitama University)
This paper presents a simple theoretical equation of maximum efficiency for contactless power transfer systems. Conventional
theoretical equations are composed of many factors such as transformer's resistances and inductances. The proposed equation iscomposed only of coupling factor k and Q factors. This shows ideas to improve efficiency of contactless power transfer systems.
キーワード：非接触給電，電気自動車，効率，結合係数，Q(contactless power transfer system, electric vehicle, efficiency, coupling factor, Q factor)

1.

はじめに近年，電気自動車やプラグインハイブリット自動車への関心が高まっている。これらの充電方式として利便性・安全性・保守性に優れた非接触給電が有望視されている。また，携帯電話や電動髭剃りなどは非接触給電による充電がすでに実用化され，今後応用分野の拡大が期待されている。
非接触給電は，電磁誘導方式と磁気共鳴方式があるが，図 1 一次直列二次並列コンデンサ方式詳細等価回路どちらも共振回路を備えた等価回路で特性を評価できる。

Fig. 1.

Detailed equivalent circuit for method of SP.

電磁誘導方式では一次直列二次並列コンデンサ方式（SP 方式）が多く用いられ，磁気共鳴方式は一次直列二次直列コンデンサ方式（SS 方式）の等価回路で表現可能である(1)。
非接触給電では給電効率の高いトランスを設計する必要がある。筆者らは電磁誘導方式を用いて，SP 方式の理想変圧器特性を利用して，鉄損を無視した場合の最大効率 ηmaxとそのときの抵抗負荷の値 RLmax がトランス定数を用いた簡(a) Simplified equivalent circuit.

(b) Ideal transformer.

単な式で表せることを示した(2)。本稿では ηmax と RLmax が，

図 2 簡略等価回路と理想変圧器特性結合係数 k と一次コイルの Q1 と二次コイルの Q2 を用いて，Fig. 2. Simplified equivalent circuit and ideal transformer.

さらに簡単な式で表現できることを示す。
さらに同じ手法を SS 方式や一次並列二次並列コンデンサ方式(PP 方式)にも適用し，k が小さい範囲（例えば k<0.3）で鉄損を無視した場合には，SP 方式，SS 方式，PP 方式のいずれも，最大効率 ηmax が同じ理論式となることを示す。
なお，その時の抵抗負荷の値 RLmax は異なる式となる。
この最大効率の理論式から，(1) 給電効率 η を上げるにはk を上げ，Q1, Q2 を大きくすれば良いこと，(2) RLmax が二次コイルの抵抗値 r2 と関係が深いことが分かる。また， (3) Q1,ているが(3)(4)，本稿の理論式はより簡単でコンデンサ方式によらず ηmax を同じ理論式で表現できる特長がある。
以下，２章で SP 方式とその双対である PS 方式，３章でSS 方式，４章で PP 方式について，最大効率 ηmax とそのときの抵抗負荷の値 RLmax の理論式を導出する。５章では SP方式と SS 方式について，非接触給電トランスを用いた1.5kW 給電実験を行い，理論式の正しさを検証する。

一次直列二次並列コンデンサ方式(SP 方式)

Q2 は LCR メータだけで簡単に測定できるため，給電効率2.

を上げるための方針が立てやすい利点もある。

非接触給電トランスの一次側に直列コンデンサ CS を二次松木と小紫も，k，Q1，Q2 による ηmax，RLmax の式を発表し側に並列コンデンサ CP を設置する方式（SP 方式）である。
1/6

〈2･1〉 等価回路

CS と CP と抵抗負荷 RL を含むトランス部の詳細等価回路を図 1 に示す。一次側諸量は巻数比 a＝N1/N2 で二次側の値に換算しダッシュをつけて表す。
二次側の CP の値は，電源周波数 f0 (=ω0 / 2π)において二次自己インダクタンス L2 と共振するように，一次側の C’S の値は一次側電源力率が 1 となるように，(1)式の値に決める。
1
  0 L2  x p  x0  x 2
0CP...................................... (1)x x1
 x   0 2  x1
s x0  x 2
 0 CSフェライトコアとリッツ線を用いると鉄損を表わす r0'と巻線抵抗 r1'，r2 は，電源周波数 f0 においてトランスのリアクタンス x0'(=ω0 M/a )，x1'，x2 に比べ十分小さい。従って r0'と r1'，r2 を省略した図 2 (a)の簡略等価回路で解析を進める。

図 3 一次側二次側を入れ替えた場合
Fig. 3.

Detailed equivalent circuit for method of PS.

ここで，(1)，(2)式より xP と b は(8)式に変形できる。
M a ............................................... (8)xP  r2 Q2， b L2(6)式の根号内の式を変形すると，(9)式となる。

2

なお，M は相互インダクタンス，L1(=a (x'1+x'0)/ω0)は一次側自己インダクタンスである。
ここで，V'IN と V2，I'IN と IL の関係を求めると，(2)式が成り立ち巻数比 b の理想変圧器と等価となる。なお(2)式よりb は結合係数 k に近い値となることが分かる。
  VIN / a  b V2 , I IN  IL b
VINx0
................................ (2)b
x0  x2〈2･2〉 給 電 効 率 の 最 大 値

図 1 で鉄損を無視し（r0=0）銅損のみを考慮すると，トランス効率 ηSP は(3)式のLL Q
1 r1 a 2 L2 Q2 L11 Q
 1 22 2  2 2222b r2
M a Q1 L2
M Q1 k Q1 ................... (9)2 k

ML1 L2

従って，(10)式が成り立てば(11)式に近似できる。
1 Q2
 1 ................................................................. (10)k 2 Q1

 max SP 11

ように定義できる。

SP 

2L L
21 1R I......................................... (3)RL I L2  r I   r2 I 22

ここで，図 1 より各部電流は(4)式で表すことができる。
2I '1  I ' IN ,I2  ILR 
1   L  ........................... (4) xP 

従って，(2)，(4)式より(3)式は(5)式に変形できる。
2L L
21 1R I
SP 
RL I L2  r I   r2 I 22

RL2r' R   .. (5)
RL  21  r2 1   L  xb  P  (5)式より，トランス効率の最大値 ηmaxSP とそのときの抵抗負荷の値 RLmaxSP を求めると(6)式となる(1)。

 max SP 

12r
1 2xp

RL max SP  x p

1 r1
1.................................. (6)b 2 r21 r1
1b 2 r2〈2･3〉最大効率の k と Q による表現

コイルの Q と結Q1 0 L1r1,Q2 0 L2r2, krQRLmaxSP  2 2k

M ..................... (7)L1 L2.................................................. (11)Q2Q1

非接触給電では Q1 と Q2 は一般に数百程度でほぼ値が等しいので，k がおよそ 0.3 以下であれば(10)式は十分成り立つ。(11)式より最大効率は k と Q だけで表され，効率を上げるには k と Q を大きくするだけでよいことが分かる。
〈2･4〉 一 次 並 列 二 次 直 列 コ ン デ ン サ 方 式 (PS 方 式 )SP 方式の一次側と二次側のコンデンサの接続方式を入れ替えた PS 方式でも理想変圧器特性が成り立つ(5)。双方向の非接触給電を想定し，PS 方式について給電効率の最大値 ηmaxPSとその時の抵抗負荷の値 RLmaxPS も求めておこう。
図 3 に示した PS 方式の詳細等価回路において各コンデンサの値を(12)式のように決めると，(13)式の理想変圧器特性が成り立つ。

1
 0 L'1  x'p1  x'0  x'1
0C 'P1........................... (12)x0 x'1
1
 xS2  x20CS2x0  x'1
  VIN / a  b' V2 ,VINb' 合係数 k を(7)式で定義する。

2k Q1Q21 x'0  x'1
bx '0  IL b 'I IN..................... (13)SP 方式と同様に銅損だけを考えトランス効率を(3)式で定義する。各部電流は(14)式となることから効率式は(15)式に2/6変形できる。
2I2  IL ,
 PS I '1  I L

R b   L  ........................... (14)
 x '0 
2RL I L2
R I  r1I 1 2  r2 I 22
2L LRL2
R  .. (15)r '1 b 2   L    r2  RLx' 0  (15)式より，トランス効率の最大値 ηmaxPS とそのときの抵抗

図 4 一次直列二次直列コンデンサ方式詳細等価回路
Fig. 4.

負荷の値 RLmaxPS を求めると(16)式となる。
1
 max PS 2r '1 1 r21
1....................................... (16)x'P1 b 2 r '1

RL max PS  x'0

Detailed equivalent circuit for method of SS.

r2
 b2r '1

さらに，k と Q の式に変形を行う。
〈2･3〉と同様に変形を行うと(16)式は(10)式の条件下で(17)式となる。
1
 max PS 21
k Q1Q2..................... (17)RLmaxPS  kr2 Q1Q2  k  kr2 Q1Q22

図 5 一次並列二次並列コンデンサ方式詳細等価回路
Fig. 5.

SS 

Detailed equivalent circuit for method of PP.

RL I L2
RL I L2  r1I1 2  r2 I 22(17)式の ηmax は一次側と二次側を入れ替える前の(11)式と一致する。しかし，RLmax は異なる式となるので注意が必要である。また，Q はそれぞれ数百程度で，k は 1 以下であるた
め，Q1Q2>> k2 となり(17)式のように近似できる。

3.

一次直列二次直列コンデンサ方式(SS 方式)(6)RL2

 R  ............ (21)
RL  r2  r '1  L  x'0 

その最大値 ηmaxSS とそのときの抵抗負荷の値 RLmaxSS は，(22)式で表される。
1 maxSS 2r2 r1
1x0 r2

電磁誘導方式で SS 方式を採用することも可能であるが，.................................................. (22)rRLmaxSS  x0 2r1

磁気共鳴方式では等価回路が SS 方式となることから(1)，磁気共鳴方式の特性を知る上でも SS 方式を調べることは重要〈3･3〉 最大効率の k と Q による表現である。と ηmaxSS を(7)式の Q1, Q2, k と x0'(=ω0 M/a )を用いて表すと〈3･1〉 等価回路

一次側直列コンデンサ C’S1 と二次側直列コンデンサ CS2 と抵抗負荷 RL を含む詳細等価回路を
図 4 に示す。C’S1 と CS2 の値は，電源周波数 f0 で一次コイル(22)式の RLmaxSS(23)式となる。

 max SS と二次コイルの自己インダクタンスと共振するように(18)112k Q1Q2 .................................................. (23)RLmaxSS  kr2 Q1Q2式の値に決める。このとき，一次側と二次側の電圧電流間に(19)式の関係が成り立つ。これはイミタンス変換特性と呼SP 方式は電磁誘導方式で，SS 方式は磁気共鳴方式で一般

ばれ，一次側を定電圧(あるいは定電流)で駆動すると，二次的であるが，どちらの方式でも最大効率を表す式は等しく側が定電流(定電圧)になる特性である。

なることがわかる。

xS1 1
 x0  x1
0CS1xS2 1
 x0  x2 ......... (18)
0CS2

4.

一次並列二次並列コンデンサ方式(PP 方式)〈4･1〉 等価回路

VIN   jx0 I L ,

 j
I IN

1VL ................................... (19)x0〈3･2〉 給電効率の最大値SP 方式と同様にトランス効率を(3)式で定義すると，図 4 から各部電流値は(20)式のように表され，(19)，(20)式を用いると(3)式は(21)式となる。

I '1  I 'IN , I 2  I L....................................................... (20)一次側並列コンデンサ CP1 と二次側並列コンデンサ CP2 と抵抗負荷 RL を含む詳細等価回路を
図 5 に示す。
PP 方式のコンデンサの値の決め方について述べる。CP2を電源周波数 f0 において二次側自己インダクタンス L2 と共振するよう(24)式の値にすると，C’P1 以降のインピーダンスZ’は(25)式となる。

xP 2 1

0 C P 2 x0  x2 ............................................. (24)3/6

表 1 最大効率 ηmax とその抵抗負荷の値 RLmax

2 x' 0 x' x'  x' x  x 2 x' 0 RL  j 0 1 1 2Z '  
 R' jX ' ..... (25)x' 0  x 2
 x' 0  x 2 

Table 1.
Resonantcapacitor

ここで，C’P1 は Z’の虚数部を無くし電源力率を 1 とするηmax and RLmax.
ηmaxRLmax

SP(26)式の値とする。
1R' 2xP 1  X ' ............................................... (26)
0 CP 1 X 'PSSS

PP 方式では，(26)式から明らかなように，並列コンデン
サの値 C’P1 は負荷抵抗 RL に依存し，RL を変えると C’P1 の値PPも変える必要がある。また，Z’は SP 方式と同じ値となる。
〈4･2〉 給電効率とその最大値

SP 方式と同様にトランス効率を(3)式で定義すると，各部電流は(27)式で示される。Z’が SP 方式と同じであるため回路中の電流値も同様である。
2I '1  I L / b,b

R I 2  I L 1   L 
 xP2  .............................. (27)x'0x'0  x2

図 6 非接触給電トランス
Fig. 6. Transformer

従って，その最大値 ηmaxPP とそのときの抵抗負荷の値

表 2 トランス仕様

RLmaxPP は(28)式で表される。
1 max PP 
2r2 1 r11
1xP2 b 2 r2.......................................... (28)
RL max PP  xP2

Table 2.

Transformer

1 r1
1b 2 r2

〈4･3〉 最大効率の k と Q による表現(28)式の ηmaxPP
unit:mmPowerFrequency
Gapと RLmaxPP を(7)式の Q1, Q2, k を用いて表すと，(10)式が成り立てば(29)式で近似できる。
1 max PP 21
k Q1Q2 ................................................ (29)rQ
RLmaxPP  2 2
kTransformer specification.

CorePrimary
SecondaryLitz wire
Aluminum-plate shield

Q2
Q1

これらの計算から SP，PS (SP 方式で一次二次を入れ替え

1.5kW
30 and 50 kHz
30mm
FDK 6H40 BS=0.53T
μi=2400(at 0.1MHz)
18 turns (2)*
9 turns (4)*0.1mmφ×800
200×200×1.0mm*( )内は巻線の並列数た場合)，SS，PP コンデンサ方式において (11)，(17)，(23)，(29) 式より，すべて ηmax は同じ式で表される。k と Q1, Q2の値が同じであれば，銅損だけを考慮し鉄損を無視した場合は，これらすべての方式で効率の最大値はほぼ一致する。

C’P1 に(30)式に示す C’P1A を挿入した場合を考える。
1 xP1A
 x'0  x'1 .............................................. (30)0CP1A

また，紹介したすべての方式で効率を上げるには，k と Q を

この場合においても Z’が変化しないことから ηmaxPP と大きくするだけで良いことが分かる。

RLmaxPP は(29)式で表すことができる。また，RLmaxPP を用い

表 1 に各コンデンサ方式の最大効率 ηmax とその時の抵抗負荷の値 RLmax の比較を示す。表 1 から，各方式の RLmax の値は二次側コンデンサ配置やコイルに関係が深い。また，Q1=Q2 とするならば SP，PP 方式に比べ PS，SS 方式の RLmaxは k2 倍となり極めて小さくなることが分かる。て算出した CP1 と(30)式の CP1A の値を比較するとほぼ一致する。実際の値の比較は５章で行う。

5.

定数測定と給電実験による検証

４章までで述べた最大効率 ηmax の妥当性をトランス定数

前項までで紹測定と給電実験で検証する。給電実験は SP 方式と SS 方式介した PP 方式では CP1 の値を一次側から見た力率が 1 となで行いトランス効率を比較する。また，Q の変化によるト〈4･4〉一次並列コンデンサの考え方るよう決めているが，二次側と同様に自己インダクタンス

ランス効率の変化を周波数 f0 を変更することで確認する。

L1 に共振するように挿入する場合もあるので考察を行う。

給電実験に用いる標準ギャップ長を 30mm で設計した非4/6

表 3 トランス定数
Table 3.

Transformer parameters.

Frequency[kHz]Gap[mm]N1
N2k
r1[mΩ]
r2[mΩ]
L1[µH]
L2[µH]Q1
Q2
RLmaxSP[Ω]RLmaxPS[Ω]*RLmaxSS[Ω]RLmaxPP[Ω]ηmax[%]

30

5030
1890.34
108.4
27.2
84.8
21.6
147.5
149.7
12.1
1.4(5.5)*
1.4
12.1
96.2

0.34
139.8
34.0
84.7
21.4
190.4
197.9
20.2
2.2(9.2)*
2.2
20.297.0

図 7 コイル Q・トランス効率周波数特性
Fig. 7.

Q and efficiency vs. Frequency.

* SP 方式の二次側から一次側に送電する場合

接触給電トランス(図 6)の仕様を表 2 に示す。トランスのコ
アにはフェライト，巻線にはリッツ線，トランス背面には電磁遮蔽用アルミ板を用いた。
〈5･1〉 周波数による k と Q と最大効率の変化

LCR

メータを用いて，周波数 f0 を 10kHz~200kHz の範囲で変化さ

図 8 実験回路 (SP コンデンサ方式)
Fig. 8.

Experimental circuit

せた時のトランス定数を測定し，周波数による Q と最大効
表 4 実験結果率 ηmax の変化を調べた。結果を表 3，図 7 に示す。表 3 には30kHz と 50kHz のトランス定数と，各コンデンサ方式によTable 4.

る RLmax の値を(11)，(17)，(23)，(29)式から算出した結果をResonant
capacitor
Frequency [kHz]RL [Ω]
VIN [V]IIN [A]
V2 [V]
ID [A]VL [V]
P1 [W]
P2 [W]
POUT [W]η[%]示す。表 3 からも分かるように周波数によって自己インダ
クタンス L と結合係数 k の値は変化しない。また，<4.4>での PP 方式における一次側並列コンデンサ CP1 と CP1A は，CP1=0.34µF，CP1A=0.33µF となり値がほぼ一致する。
図 7 から，周波数を上昇させると Q が上昇するため ηmaxが上昇する。しかし，周波数が 100kHz を超すと Q と ηmaxが飽和することがわかる。表皮効果や近接効果により巻線抵抗が増加するためと考えられる。また実際の給電効率では，周波数と共に増える鉄損も考慮する必要がある。
〈5･2〉

給電実験

Experimental results.
SP
30
25
115.8
16.2
142.7
16.1
193.4
1636
1553
1501
95.0

SS
5040
161.7
12.7
182
12.5
245.0
1623
1556
1503
95.9

30
1.5
109.9
18.1
51.6
35.2
47.5
1717
1624
1509
94.6

50
3.3135.915.273.323.870.216471571150195.4

SP 方式と SS 方式について給電実験を行った。図 8 に実験回路（SP 方式）を示す。高周波電源にフルブリッジインバータ，出力には蓄電池への充電を考慮しダイオード全波整流器を用いた。負荷への給電電力を 1.5kW とし，電源周波数を 30kHz と 50kHz とした。接続するコンデンサの値はそれぞれ(1),(18)式から算出した。
各部電圧電流・給電電力を表 4 に，電圧電流波形を図 9に，給電効率を表 4 と図 7 に示す。なお，負荷抵抗 RL の値はトランス効率が最大となるようにし、給電出力が 1.5kWとなるように V’IN を調整した。図 7 から SP 方式と SS 方式の給電効率がほぼ等しく，周波数を 30kHz から 50kHz に上げ Q を大きくすると給電効率が上がることが確認できた。
これらは最大効率 ηmax の式の妥当性を示すものである。なお，理論効率と実験効率の差は鉄損が主因と考えられる。

(a) resonant capacitor SP (f0=50kHz)(b) resonant capacitor SS (f0=50kHz)

図 9 電流電圧波形
Fig. 9.

Experimental results.

5/6

6.

むすび

銅損だけを考慮した場合，非接触給電の給電効率の最大値とその時の抵抗負荷の値は，結合係数 k とコイルの Q1, Q2の簡単な式で表現できること，紹介したすべてのコンデンサ方式において最大効率 ηmax は同じ式で表されることを示した。この理論式から給電効率を上げるには k と Q1, Q2 の値を大きくすればよいという明快な結論が得られる。また，各方式の RLmax の値は二次側コンデンサ配置やコイルに関係が深く，Q1=Q2 とするならば SP，PP 方式に比べ PS，SS 方式の RLmax は k2 倍となり極めて小さくなることを示した。
給電実験による検証において，効率の最大値は SP 方式とSS 方式でほぼ同じ値となり，周波数を上げ Q を上げることで効率が上昇した。
今後は鉄損による給電効率の低下を予想する手法を検討し，より高効率な非接触給電の実現をめざしたい。

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