数理解析研究所講究録986 巻 1997 年 127-135127

近似根とその応用について
筑波大学数学系北本卓也 (Takuya Kitamoto)kita@math.tsukuba.ac jp
1. 序論
多変数多項式の組が与えられたとき、 この根全体のなす代数的多様体 ( 次元とは限らない) の性質 (根、次元、種数等) を調べるにはグレブチ一基底を求めればよいことが知られているが、 グレブナー基底の計算はしばしば非常に重くなり、計算結果も複雑になることで知られている。 そこでここではグレブナー基底の代わりに近似根を用いて、準素分解の計算ができることを示す。 まず、始めに近似根について述べ、次にグレブナー基底を用い$0$た従来の準素分解アルゴリズムについて述べたあと、近似根を用いた準素分解アルゴリズムを述べる。

2. 近似根
近似根とは多項式イデアルが与えられたとき、その零点を自由変数でべき級数展開したものである。 変数多項式系
アルゴリズムは次のようである。
$f_{1},$$n$$f_{2},$$\ldots,$$f_{m}(n\geq m)$が与えられたときに、 近似根を求める

2.1. 基本的アルゴルズム
に対し $m$ 個の多項式があるので、 自由変数の数は $n-m$ 個であ個の変数る。 よってここでは–般性を失うことなく、近似根は
$n$

(ただし、

$x_{1},$$g_{i}(x_{n+1},$$\ldots,$$x_{n}$$x_{7\gamma\iota})$$\ldots,$$x_{1}$$=$$g_{1}(x_{n+1}, \ldots, X_{m})$$x_{n}$$=$$g_{n}(_{X_{n+}}1, \ldots, x_{m})$は $x_{n+1},$$\ldots,$$x_{m}$のべき級数) の形で表されるとする。

アルゴリズムは 2 つのステップからなる。
次元である$f_{m}=0$ を解き (根の次元はStep 1 $x_{n+1}=0,$ $x_{m}=0$ と置き、 $f_{1}=0,$と置く。
,ので何らかの数値的算法を用いる)、 その数値根を$0$$\ldots,$$\ldots,$$x_{1}^{(0)},$$x_{n}^{(0)}$$..$Step 2 次の行列 $H$’$0)(0)\ldots,.0n$$\ldots,$$\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(x_{1},..X()0,$$H=$..
$\cdot$$\frac{\partial f\prime\iota}{\partial x_{1}}(x_{1’ n}^{(0)\ldots,0}X(), 0, \ldots, 0)$$\frac{\partial f1}{\partial x_{n}}(_{X_{1},x0,\ldots,0}(0)\ldots,.\cdot.(0),\cdots,)\frac{\partial fn}{\partial x_{n}}(x_{1},X_{n},0)0)(0)\ldots,(0n’]$(1)128の逆行列 $H^{-1}$ を計算する ( $H$ は数値行列であるので数値的算法により$H^{-1}$が求まる)。

Step 3 次式より、近似根を漸化的に求める。

$arrow-H^{-1}$(mod $(X_{n+1},$$arrow$$X_{m})k+’1$$\ldots,$).

(2)

22. 数値例$f1,$ $f_{2}$を以下の様に置く。
$f_{1}=x^{2}+xy-y+XZ+- 1$$f_{2}=-2x+y+z-1$
Step 1 $z=0$ と置き、 $f1=0,$ $f_{2}=0$ を解いて (X, ) $=(0,1)$ , (0.3333, 16667) を得る。
$y$$x^{(0)}=0,$ $y^{(0)}=1$SteP 2$H$と置く。

を次のように計算する。

$H=[ \frac{\partial f_{1}}{\perp\partial,\partial x\partial x_{2}}(_{X_{1}}(0),y,0(0))(x_{1}^{()},y^{(0)},0)0$$H^{-1}$$\frac{\partial f_{1}}{\perp\partial,\partial y\partial y_{2}}(x_{1}^{(0)},y,0(0))(x_{1}^{(0)},y^{(0)},0)]=$は$H^{-1}=$である。

Step 3$arrow-H^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} z^{2})$$=$$arrow+$(3)$=[1+zz\rceil$(4)129より、 $x^{(1)}=z,$ $y(1)=1+z$$arrow-H^{-1}$ (mod )$z^{3}$$=$$arrow+$(5)(6)$=[1+zZ+3z^{2}+6z^{2}]$より、 $X^{(2)}=\mathcal{Z}+3Z^{2},$ $y^{(2)}=1+z+6z2$ を得る。

3. グレブナー基底を用いた準率分解アルゴリズム ($0$次元の場合)

31. 準素分解アルゴルズム
今、変数の多項式 $f1,$ , 几のなす
まず、 Generic position を定義する。

$I$を考える。

$x_{1},$$\ldots,$$x_{n}$$0$$\ldots$次元イデアル定義 1 (Generic position) rad $(I)$ の零点を $(X_{1}, \ldots, X_{n})=(\alpha 1_{:}i, \ldots, \alpha i)n,(i=1, \ldots, l)$ とする。
全ての $j\neq k(1\leq j, k\leq l.)$ に対しが成り立つ時、 は で generic position であるという。 口$I$$\alpha_{i,j}\neq.\alpha_{i,k}$$i$

で generic
言でいうと、重根でない根に置いて番目の要素が全て異なる時、 #よposition である 以後、一般性を失う事無く、$i=1$ で口るとし、単に は generic positionであるという。 が generic position で無い時は、 適当にを線形変換する事によを generic position
り常に.
.
このとき、 グレブナ一基底を用いた心素分解アルゴリズムは以下の様に与えられる。
-$I$

$i$

$i$

$I$

$\circ$$I$$x_{1},$:
出力 :$x_{n}$$\text{にできる_{。}}$

$I$

入力

$\ldots,$

次元イデアル $(f1, \ldots, f_{n})$ (ただしゐは) の多項式)$(f1, \ldots, f_{n})$ の準素分解と各伍の素イデアル$0$$x_{1},$$\ldots,$$x_{n}$$g_{1}\cap\cdots\cap g_{m}$Step 1 $(f1, \ldots, f_{n})$ の radical を求め、

$h_{i}$$(\overline{f}_{1}, \ldots,\overline{f}_{n})arrow \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(f1, \ldots, f_{n})$を generic position にする

Step 2$(\overline{f}_{1}, \ldots,\tilde{f_{7l}})$Step 3$(\overline{f}_{1}, \ldots,\tilde{f}_{n})\cap K[x1]$Step 4$f$の既約因子をStep 5 十分大きな整数$u_{i}$$q$を求め、$f$と置く。

$\circ$と置く。とした時、 $h_{i}=(f1, \ldots, fn’ iu)$ とする。

に対し、 $g_{i}=(f1, \ldots, f_{n}, h_{i^{q}})$ とする。

32. 数値例
今、 $f1,$$f_{2}$

として$f_{1}=x_{1}^{2}-2,$$f_{2}=X_{2^{-2}}^{2}$(7)130と取り、 $(f1, f_{2})$ の準素分解を計算する。すぐ分かるように $(f1, f_{2})$ の零点は$(\sqrt{2}, \sqrt{2}),$ $(\sqrt{2}, -\sqrt{2}),$ $(-\sqrt{2}, \sqrt{\sim 2}),$(8)$(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$である。

Step 1 $(f1, f_{2})$ は重根を持たないので、 これそのものが radical である。 よって$(x_{1}^{2}-2, X_{2}-22)$$(\overline{f}_{1},\overline{f}_{2})=$

とおく。

Step2(8) よりわかるように、は generic$(f_{1}, f_{2})$$\mathrm{p}_{\mathrm{o}\mathrm{S}\mathrm{i}}\mathrm{t}\mathrm{i}_{0}\mathrm{n}$ではない。よって $\tilde{x}_{1}=x_{1}+2x_{2}$とし、 $x_{1}=2x2-\overline{x}1$ より、$(\overline{f_{1}},\overline{f}_{2})=((2x_{2}-\overline{X}_{1})^{2}-2, x_{2}^{2}-2)$

Step 3$x_{2}>\overline{x}_{1}$の項順序を用いてを得る。

$(\overline{f}_{1},\overline{f}_{2})$の$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}$order のグレブナー基底を求めると(9)$(\overline{f}_{1},\overline{f}_{2})=(\tilde{x}_{1}^{4}-20\overline{x}_{1}2+36,\overline{x}_{1}^{3}-26_{\overline{X}_{1}}+24x_{2})$となるので、Step 4$f$$f=\overline{x}_{1}^{4}-20\tilde{x}_{1}2+36$

とおく。

は、 次のように因数分解されるので.
$f$$=(_{\overline{X}_{1^{-2}}^{2}})(\overline{x}_{1}-218)$$h_{1}=(\overline{X}_{1^{-20}}^{42}\tilde{X}_{1}+36,\tilde{x}_{1}^{3}-26\overline{x}_{1}+24x_{2},\overline{x}_{1}-22)$$=(\overline{x}_{1}^{2}-2, -\overline{X}_{1}+X_{2})$$h_{2}=(\overline{X}_{1^{-20}}^{42}\tilde{X}_{1}+36,\overline{x}_{1}^{3}-26\overline{x}_{1}+24_{X_{2}},\tilde{X}_{1^{-}}^{2}18)^{-}$$=(_{\overline{X}_{1^{-}}^{2}}18, -\overline{X}_{1}+3x_{2})$ここで、 $\tilde{x}_{1}=x_{1}+2x_{2}$ を$h_{1},$$h_{2}$に代入し、 $x_{1}<x_{2}$ の項順序で$h_{1},$$h_{2}$のグレブナー

基底を求めると$h_{1}=(_{X_{1^{-2,X}}^{2}}x_{1}+2)$$h_{2}=(x_{1}^{2}-2, -X1+x2)$を得る。

Step 5 始めに述べたように、 $(f1, f_{2})$ は radical なので $g_{1}=h_{1},$ $g_{2}=h_{2}$ である。

33. Shape lemma
先ほどの数値例において、 (9) のグレブナー基底が(ただし、は有理数係数の多項式) の形になっているが、 これは偶然ではない。次の lemma が成り立つ。
$(w_{1}(\tilde{x}_{1}), x_{2}-w_{2}(\overline{X}_{1}))$$w_{i}(\overline{x}_{1})$131
補題 1 (Shape lemma)$I=$ $(f1, \ldots, f_{n})$ が.の蒔、 $X_{1}<X_{2},$$0$

次元イデアルであり、 radical かつ generic position であるとする。の項順序で計算された
order のグレブナー基底は$\ldots,$$(g_{1}(_{X_{1}}), x_{2^{-}}g2(x_{1}),$$\ldots,$の形に書ける。 ただし、
$g_{i}(i=2, \ldots, n)$こ$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}$$X_{n}$Iよ$g_{i}(x_{1})$$x_{n}-gn(x_{1}))$は有理数係数の多項式、を満たす。口

$g_{1}$

はモニックかつ無平方であり、$d\mathrm{e}\mathrm{g}(g_{\dot{i}})<\deg(g1)$

よって $I=(g_{1}(X_{1}), X_{2}-g2(X1),$$\ldots,$と書ける事になる。先ほどの準素分解ア. $-gn(X_{1}))$$x_{n}$

ルゴリズムの Step 4 において

(ただし、

$h_{i}=(g_{1}(x_{1}), X_{2}-g_{2}(X_{1}),$ $\ldots,$ $xn-g_{n}(X1),$ $u_{i}(X_{1}))$$u_{i}$

は $g_{1}(x_{1})$ の既約因子)である事に注意すると、$h_{i}=(u_{i}(x_{1}), X2-\overline{g}2(x_{1}),$$X_{n}-\overline{g}\gamma l(x_{1}))$$\ldots,$(

は $g_{i}(x_{1})$ を $u_{i}(x_{1})$ で簡約化したもの)$\overline{g}_{i}(x_{1})$(10)である事が分かり、結局、 素イデアル$h_{i}$は (10) の形で求まる事が分かる。

4. 数値根を用いた墨引分解
41. アルコルスム
まず、 次の事実に注意する。代数的閉体 $K$ 上で、 次元イデアル $I=(f1, \ldots, f_{n})$ の準のは素分解を求めると、 その素イデアルは常に $(x_{1}-\alpha_{1,\ldots,n}x-\alpha)n$ (ただし、に関して線形になる。先ほどの数値例零点) と簡単な形になる。つまり、素イデアルはで何故この様にならなかったかというと、係数が整数であり、代数的閉体でなかったからである。 この場合には、先ほどの数値例の計算結果にあるようにの最の所へは小多項式が入る。 この事実は (10) からも見て取れる (既約多項式とはその根の最小多項式である)。故に数値根からその最小多項式を格子算法を用いて構成すれば、グレブナー基底を用いること無く素イデアルの始めの部分を求めることが出来る。素イデアルの残りの部分は (10) の形をしている事が分かっているので、 これも格子算法で整数係数を決めてやる
事により求まる。 アルゴリズムを簡単に述べると以下のようになる。
$0$

$I$

$\alpha_{i}\in K$$x_{i}$$x-\alpha_{1}$

入力
出力:
:

$0$

次元イデアル $(f1, \ldots, f_{n})$ (ただしゐはの準素分解 $w_{1}\cap\cdots\cap w_{m}$ と各$x_{1},$$(f_{1}, \ldots, f_{n})$$\ldots$$w_{i}$, x のの多項式)の素イデアル

Step 1$(f1, \ldots, f_{n})$の全ての零点を求め (重複度を含む)、

Step 2$(f1, \ldots, f_{n})$を generic position に変換し、 それに応じて $S$ を$S$

$h_{i}$とおく。
$\tilde{S}$より零点を つ取り出し (零点の重複度を $m$ とする)1
Step 3を格子算法により求める。最小多項式の次数をの最小多項式から除く。
以外の根に対応する零点を$\overline{S}$に変換する。

–$\alpha_{1},$$g_{1}(x)$$\tilde{S}$$\alpha_{1}$$\alpha_{1}$$\cdots,$と置き、と置き、 その$\alpha_{n}$$e$$\alpha_{1}$132
Step 4 次式を満たす整数$k_{i}$

を$\alpha_{i}=k_{0}.+k1\alpha 1+\cdot.\cdot \mathrm{A}+k_{e-11}\alpha e-1$

格子算法により求め、$g_{i}(x)=k_{0}+k_{1}x+\cdots+k_{e-1}x^{e^{-}}1$とおく。
$s_{te_{P}}5h_{i}$を次のように置き、$h_{i}=(g_{1}(x_{1}), X_{2^{-g_{2}(X_{1}),\ldots,(x_{1})}}x-ngn)$を$w_{i}$$w_{i}=h_{i}^{m}$とおく。

Step 6が空で無ければ Step 3 へ行く。 そうでなければ、 7) レゴリズムを終了する。

$\overline{S}$42. 数値例$f_{1},$$f_{2}$を (7) とする。

Step 1$S.arrow\{$(1.414, 1.414), (1.414, -1.414), (-1.414, 1.414),$(-1.\mathit{4}14,$-1.414)$\}$とする。
$s_{te_{P}}2$

前の数値例同様に $\tilde{x}_{1}=x_{1}+2x_{2}$ とする。 この時、$\overline{S}arrow\{(4.242, 1.414), (-1.414,$$-1.414), (1.414, 1.414), (-4.2\mathit{4}2,$ $-1.414)\}$となり、 generic POSition となる。

Step 3$\overline{S}$より、$(\alpha_{1}, \alpha_{2})=(\mathit{4}.2\mathit{4}2,1.414)$を取り出す ( $m=1$ と置く)。

$,$ $,$に格子算法を適用することにより、 $[0$1を得るのでの最小多項式
は $g_{1}(x)=x^{2}-18$ である。 よって $e=2$ と置き、 $\overline{x}=-\mathit{4}.24264(=-\sqrt{18})$ に対応す
る零点 $(-4.2\mathit{4}264,- 1.41421)$ をから除く。
$\overline{S}$$-18$$0$$]^{T}$$\alpha_{1}$133
Step 4 格子算法を$,$ $,$上の格子に適用すると、 $[0$$0$$-1$3$]^{T}$を得るので、$g_{1}(_{X})=3X$とおく。

Step 5を$h_{1}$$h_{1}=(\overline{x}_{1}^{2}-18,\overline{X}_{1}-3x_{2})$と置き、

Step6$\tilde{S}$$w_{1}$を $w_{1}=h_{1}$ と置く。

が空でないので Step 3 へ行く。

ここから先ほどと同様にして、$h_{2}=(\tilde{x}_{1^{-}}^{2}2,\overline{x}_{1^{-}}X_{2})$,$w_{2}=h_{1}$を得る。以上より、 グレブナー基底を用いた算法と同じ計算結果を得た。

5. グレブナー基底を用いた準素分解アルゴリズム (一般の場合)のなす$I$とは限らない。グレブナー基底を用いたアルゴリズムでは

$I$

変数

$x_{1},$$\ldots,$$x_{m}$の多項式 $f1,$$f_{n}\in K[x_{1}, \ldots, x_{m}]$$\ldots,$を考える。月よ 次元であるの準素分解は を 次元のイ
$0$

$I$

$0$デアルに変換して行なわれる。
$f,$ $\in K[x_{1}, \ldots, x_{m}]$ を $f1,$とする。$f1,$のうち自由変数を今、$K(X\iota+1, \ldots, x)7n[x_{1,\ldots,\iota}X]$ であると考えたとき、 これを $K[x_{1}, \ldots, x_{m}]$ から$x_{1},$$\ldots,$$x_{l+1},$$x_{m}$$K(x_{l+1}, \ldots, x)m[x_{1,\ldots,\iota}X]$への extension$\ldots,$$X_{m}$$\ldots,$といい、この時$\ldots,$$f_{n}\in$$f_{n}\in K(x_{\iota 1}+’\ldots, x_{m})1^{x_{1,\ldots,l}}x]$$f_{1}.’\ldots,$$f_{n}\in K(x_{l+1}, \ldots, x)m[x1, \ldots, x\iota]$ に係数部の有と書く。また、逆にがなすイデアルを$f_{n}h_{n}\in K[x_{1}$ , ...,をかけ、分母を全てはらって理関数の分母の LCM$f_{n}\in K(x_{l}+1, \ldots, x_{m})[x_{1,\ldots,\iota}X]$の時、 $J^{c}=$とすることを contraction といい、 $J=f1,$$(f_{1}h_{1}, \ldots, fnh_{n})$と書く oは次元であるのでのうち自由変数をは体であり、で準素分解イデアルである。よってイデアル を extraction し、$f_{1},$$I^{e}$$\ldots,$$x_{m}]$$f_{1^{h_{1}}},$$h_{n}$$h_{1},$$\ldots,$$\ldots,$$\ldots,$$K(x_{1}, \ldots, x_{l})$$x_{1},$$\ldots,$$x_{1},$$x_{m}$$I^{e}$$\ldots,$$x_{i}$$K(X_{l+1}, \ldots, x_{m}.

$I$

$0$

)[x_{1,\ldots,.\iota}X]$次元の場合のアルゴリズムを用いて行ない、その結果を contraction しては常に成り立つが $I=I^{ec}$ は–に戻せば良いように思える。 しかしながら、実は般には成り立たない。例えば、 $I=(xy)$ とし、 の $K(x)[y|$ への extraction を考えるとを$K[x_{1}, \ldots, x_{m}]$$0$$I\supset I^{ec}$$I$$\frac{1}{x}xy=.y=\in I-e\cap K[_{X}, y]=I^{ec}$であるが、 明らかに$y\not\in I$である。

しかしながら次の定理が成り立つ。

134
定理 1(I との関係)の要素ゐを義 $\in K(X_{l+1}, \ldots, x_{m}.)[x1,$ $xl1$ の要素と考えて、 extention し、 それをまたとする。 $x_{1,\ldots,l}x>\sim x_{l}+1,$
contraction したイデアルを$Xm$ を満たす項順序で求めたのグレブナー基底をとする。 を次式のように置く。
$I^{ec}$$I$$\ldots,$$I^{ec}$$\ldots,$

$I$

$G$

$f$

$f=LCM\{HC(g)|g\in G\}$

ただし、 $HC(g)\in K[Xl+1, \ldots, X]m$ は $g\in G$ をficient を表わす。 この時、 十分大きな自然数$x_{1},$$s$$\ldots,$$x_{l}$(11)の多項式と見たときの Head Coef-に対して$I=I^{ec_{\cap(f)}}I,s$が成り立つ。
今 の最大独立変数をルとみなせる。 よって$I$$x_{1},$$x_{l}$$\ldots,$とすると垣よ係数を $K(x_{l+1}, \ldots, x_{m})$ とする

$0$

次元イデア

次元イデアルの準素イデアル分解アルゴリズムを用いて、準素分解をおこない、結果を contraction すれば 次元以外のイデアルの準素分解が行える。 ただし、 この場合は途中でイデアルを extension した後 contraction しているのでを準素分解したことになり、先に述べたように必ずしも の準素分解の結果と –致するとは限らない。 そこで、上の定理を用いて再帰的に準素分解を行う。 つまり、
$0$

$0$

$I^{ec}$$I$の準素分解 $=I^{ec}$ の$I$$0$

次元準素分解 $\cap(I, f^{s})$ の準素分解を用いて計算を行う。 ここでイデアル (I, ) の次元はイデアル の次元より常に小さいので、 いっかは右辺の (I,) が 次元になり、計算が終了する。以上をアルゴリズムに$I$$f^{s}$$0$$f^{s}$.

まとめると、次のようになる。

: イデアル
出力 :入力(ただしゐは$(f1, \ldots, f_{n})$Step 1 もし、 $1\in(f1, \ldots, f_{n})$ ならば
Step 2 最大独立変数$f_{i}$$\ldots,$$x_{m}$の準素分解 $w_{1}\cap\cdots\cap w_{k}$ と各$(f1, \ldots, f_{n})$Step 3$x_{1},$$x_{l+1},$$\ldots,$$x_{m}$$\phi$) の多項式)$w_{i}$の素イデアル$h_{i}$を返す。

を求める。

を $f_{i}\in K(x_{l+1}, \ldots, x_{m})[x_{1}, \ldots, x\iota]$ に extension し、$0$

次元準素分解アルゴリズ

ムを用いて $(f1, \ldots, f_{n})$ の準素分解を行う。その結果を contraction し、準素イデアル.

を嘱、 その素イデアルを馬と置く。

Step 4 定理 1 のStep 5 入力をを求める。

$(f, f_{1}, \ldots, f_{n})$素イデアルを

Step 6F 素イ$f$$\overline{\mathcal{T}}^{\grave{\backslash }}$ア$\hat{w}_{i^{\text{、}}}$$[]\mathrm{s}$をとして Step 1 へ行き、 $(f, f1, \ldots, f_{n})$ の準素分解を求め、準その素イデアルを$\hat{h}_{i}$と置く。

$\{w_{1}, \ldots, w_{k}\}=\{\tilde{w}_{1}, \ldots,\overline{w}_{k}’\hat{w}_{1}1’\ldots,\hat{w}_{k_{2}}\}$$=\{\overline{h}_{1}, \ldots,\overline{h}_{k_{1}},\hat{h}1, \ldots,\hat{h}_{k_{2}}\}$とし、帰る$0$

その素イデアルを$\{h_{1}, \ldots, h_{k}\}$1356. 近似根を用いたアルゴリズム
次元の場合は、 Grobner 基底の代わりに数値根と格子算法を用いて primary component が計算できるごとを示した。 イデアルの次元が正の場合も、近似根と格子算法を用いで primary component が計算できる (ただし Grobner 基底の計算が与えられたイデアルが$0$全くいらないというわけではない)。

具体的には、先ほどのアルゴリズムの Step 3 で extension したイデアルの準素分解を行う場合に近似根と格子算法を用いて primary component を計算する 基本的なアイデア
次元のイデアルの勾画分解を数値根と格子算法を用いて行ったときと同じである。
は、Shape lemma を用いて Grobner 基底の形を決め、格子算法で係数を決めていく。
次元の場合の Grobner 基底$\nearrow-$

$0$

$0$

$0$

$(a_{1,0}+a_{1},1X_{1}+\cdots+a_{1,q}X_{1}q$,$a_{2,q}x_{2^{-}}(a_{2.0}+a_{2_{\mathcal{G}}1}.X_{1}+\cdots+a_{2,q-1}xq1^{-1})$,...,$a_{l_{J}q}.x_{l}-(a_{l.0}+a_{l,1}x_{1}+\cdot-\cdot\cdot+a_{\iota_{q-}1},X_{1^{-1}}^{q}))$では a 昭は整数であるが、今回は $K$ は有理数を係数とする 自由変数 $x_{l+1,\ldots,m}x$ の有理を近似根と式からなる体であるので a りは $x_{l+1,\ldots,m}x$ の多項式になる。 よってのべき級数で展開し、上式が になるように係数を決めればよい。
して”$x_{1},$$X_{l+1},$$\ldots,$$\ldots$$x_{l}$$0$$x_{m}$

7. 結論
近似根の選挙分解への応用の基本的なアイデアを示した。近似根を用いれば、グレブナー
基底の計算の–部を格子算法で置き換えることができ、効率的な計算が可能になる. (格子算法は多項式時間アルゴリズムである) と思われる。 いくつか計算した数値例ではうまく計算が行えるようであるが、 今回はあくまでも基本的なアイデアであり、計算結果の正当性を保証する近似根の精度等についてはまだ結果が得られていない。 これらが今後の課題である。

参考文献[BW 93] T. Becker and V. Weispfenning: Grobner Basis, Springer-Verlag, 1993.
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