数理解析研究所講究録
第 47 巻 1968 年 38-45

不規則格子の統計物理学

京大81.

基研

松田博嗣

固体論は結晶の周期性を足掛りとして , 発展してきた。 周期性よりのずれは.

通常摂動として考慮される。 しかし自然界には. 合金. 混晶 , 無定形物質, 生体高分子等. 周期性よりの著
しい 「ずれ」 をもっ重要な物質が存在する。 このような物質の物性を解明するには. 上記摂動的方法 , 並びに周期系で確立されたバンド構造, 素励起. 有効質量 、有効荷電. 平均自由行程と云うような基礎的概念の適用限界の考察. 新しい取扱法の開発 , 不規則系の特徴的性質の研究が必要となる。 統計物理学はミクロとマクロの橋渡しを目標とする。 通常の統計物理学 ( $-$ おいては ,–っの Hamilfonian に支配される系の巨視的性質を論ずる。 これに対し,不規則格子の統計物理学においては , 種々の Hamiltonian をもっ系の集団を考え. その集団の示す性質の集団平均. 乃至は確率的性質を論ずることになる。
この目標のため, 簡単なモデルとして 、不規則りの変位を $N$ 次元列ペク トル$u$で表わすと$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$r$

和振動子結晶を考える。 今原子の平衡位置よ. 角振動数$\omega_{s}$$\Phi-M\omega_{S}^{2}$( $==\underline{u}=0$]をもっ$s$

番目の基準振動は(1. 1).

をみたす。 ここに $=M\phi$ は質量. 力の定数を表わす対称行列である。 これに対する Green 関数$=$$=G(z)–$$(\underline{\underline{\phi}}-*Mz=)^{-1}$$= \frac{1}{N}\sum_{s}\delta$$(\omega^{2}-\omega^{z_{S}})$を考えると便利である。 実際$=G$(z) が判れば, 自然振動数スペク トル$\nu(\omega^{2})$, および変位相関関数が$\nu(\omega^{2})=\frac{1}{N\pi}Tr$

a $ce(\sqrt{M}=$$=’G((\prime J^{2})\vee M\overline{=}$$-38-$(1. 2)

$\infty$$\hslash$$<\underline{u}(t)\underline{u}(0)>=\sim\overline{\pi}f_{-\infty}^{e}i\omega tnlo)(si gn \omega)$(1. 3)$G^{\chi}=(\omega^{2})$$-G=(z*-$$=G’(z)= \frac{1}{2^{i}}\gammaarrow 0+1im\{=G(z+i\gamma)$(1. 4)$n(\omega)=[exp (\pi_{\omega/kT)} -1]^{-1}$1)と求められる。 た$\ovalbox{\tt\small REJECT}>^{\backslash }\backslash$

し$\sim$(1. 5)

は転置行列を示す o$G(z)$ を求めるために

.

$(0)$

$-\delta L=$$==-\Phi-Mz=\underline{L}$$arrow$$L^{(0)}$: 周期的.

$\delta L=$: 不純物による寄与(0)(0)$=^{=_{=}}GG$(1. 6)

十 $=G$(0)$\delta LG$.

$-1$$=^{(0)}=^{(0)}G=L$(0)$(\sigma)$

十$=G$$\delta LG$

とおく と.

$(0)$$\delta LG$(1. 7)

十$(j)$$(])$となる。 $\delta L=!:\ddagger\delta L==$$\Sigma j\delta L=$のように種々の不純物よりの寄与の和として表され.

$\delta\underline{L_{-}}$

は確率変数と考えられるので. このような展開の各項をグラフで表わし 、適当なグラフの和を取る
ことにより $G$の集団平均を求める試みが種々行われた。2) これはスペク トルが復雑な構造をもたぬ場合にはかなり有用ではあるが. 1 次元において Deanが計算機実険で求めたような微細構造!

をもつスペク トルを問題にするときには適さないようである。
$c$の関数として考えるとき ,れており 3) 展開法はたとえ\S 2.

$c$$c=\sigma$が特異点であるようなが十分小さいときでも.

$\omega^{\underline{o}}$$\nu(_{L}{}_{I}P)$の集団平均を不純物濃舞がいくっか存在することが指瘤さ必ずしも正しい結果を与え得ない。

このような事情であるので, $=G(\omega^{2})$ の特徴を最も簡単な一次元モデル《-\check っいて徹底的調べようとする試みが行なわれてきた。 それにっいて以下少しく述べる。

$arrow 39-$$(-arrow$このため$(\alpha n^{-E\}}G_{n} n’ (E) +\rho_{n}^{+_{G_{n+}}}1.

n’ (F) -\{-/9nn-G-1, n’ tE)=\delta n,$$n$’(2. 1)$(-N\leqq n\leqq N)$$\beta_{n}^{+}=p_{r+]}^{arrow}$

なる型の連立一次方程式において ,$\{a_{n}$,力確率変数である場合を考える$\beta_{n}^{\pm}\}$$\circ$(2. 1) の解は$Cn$, $n’fE$ )で与えられる。 た$(a_{n}-E_{k})$$\backslash \backslash \backslash$$=$

し $c_{k}$$ck$.

$ne_{k}$$\sum_{k}\iota_{k}$.

$n+1+\beta_{\overline{n}^{C}}k,$をみたす non-trivial な解である。

$G_{n,n’}(6)= \pi\sum_{k}ck$.

$n^{C}k*$

.

$2I$

は

$E_{k}$$n$$n+\beta_{n^{C}}^{+}k$(2$n’/(E_{k}arrow E)$$\epsilon$$n-1^{=0}$$(-N\leqq n\leqq N)$

が実数のとき (2.2)

.

(1.4)

(2. 3)より$r$(2. 4)$n’\delta(\epsilon-E_{k})$であり , $r>0$ のとき$G_{n_{1}n’}^{l}( \epsilon+i_{\Gamma)}=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}G_{n,n^{J}}’\infty(6’)$$\underline{1}f$$\pi$$-\infty$

であるから ,$\frac{\Gamma}{(\epsilon’-\epsilon)^{2}+\Gamma^{2}}$$d\epsilon^{J}$$\underline{\Gamma}-d\epsilon’=1$(2. 6)$(\epsilon-\vee)a_{-}+F^{2}$$G_{n}’$.

$n$(2. 5)( $\in+i_{\Gamma)}$ は $G’n_{*}n’t\epsilon$ ) を2$\Gamma$の $0$

x $der$ のエネルギニ巾に渡ってcoarse-graining を施した物理量を与えることになる。

$-40-$

(2. 3)

さてより一般に(2. 7)$G_{n,n}(E)=[(a_{n}-E)+(\beta_{n}^{+})^{2}/\zeta_{n}^{(-)}+(\beta_{n}^{-})^{2}/\zeta^{(+_{n})}]^{-1}$$G_{n:n’}(E)=G_{n’}$$n(E)$$n’$$G_{n,n’}(E)--\{\begin{array}{l}\{\pi m=n+1(\beta_{mm}^{-(+}/()\}G_{n’}n^{J}(E)\{m=nn\pi^{-1}(\beta_{m}^{+}/\zeta_{m}^{(-)})\}G_{n},n,(E)\end{array}$となり.

$\zeta^{\bigoplus_{n}}$(2. 8)$(n<n’)(n>n’)$

は$+$

.

$(2.9)$$\zeta^{\bigoplus_{n}}=bn-1^{+}\frac{a_{n-2}}{b_{n-\angle}+}$

$a$

$n+2$
$\zeta_{n}(-\dashv=$$b_{n+1}$$+\overline{b_{n+2}+}$(Z. 1$0_{\wedge^{\dot{}}}$.

:$+\underline{\overline{N}a}$$b_{N}$

aa

$\pm$

$\pm$

た

$\searrow^{\backslash }$し$=$$-(^{\rho_{n}})^{2}$,$b_{\hslash}$$=$(2. 1 1)

$E-a_{n_{\vee}}$で与えられる。
$a_{n}\pm|$$|$が上限をもっ場合には.

切っ光ために生ずる誤差は$\ell$

Irq $E>0$ のとき. 上の連分数を suffixの所で打と共に指数関数的に小さくなることが初等的に証明出来る。 この結果をまとめると次のような性質をもっ有効距離(i)$n^{-}\ell+$$|G_{\Gamma_{\theta}n^{J}}(E)|<\sqrt{}\overline{\overline{\ell}}Min$$\overline{\ell}=\overline{\ell}(E)$が存在することになる$\circ 4$)$\{ |G_{n,n}(E) |, |G_{n’} r\iota’(E)|\}e^{-|n-n’|/2\overline{\ell}}$$arrow 41-$

$\pm$(ii)$G_{n}$$(\}n-n’|<\ell)$$n’(E)$,の値は $\{aj\prime b_{j}\}$$(|j-nI>\ell, |j-n’|>\ell)$ の値に厳密には依存するが. それを無視することによる誤差はと共に$e$$(-\ell/\overline{\ell} )$$|<\overline{l}$なる$\overline{\ell}\leq\ell_{\text{。}}$$M$$|jarrow n’$(iil)

XP{a$\ell_{-}$で減小する。 従って $G_{n,n},$ $(E)$ の値は本質的には $|j-n|<\overline{\ell}$ 又は$a^{\pm}j$$x$ $\{, $bj\}$ の値で定まると考えてよい。

1+(\beta_{n}^{-}/\Gamma)^{2}\},$$F=1mE>0$$n$

このような性質を利用すると , 例えば $G_{n,n}(E)$ の値は site
ろまでのその site$\sigma_{\overline{\ell}}$$\sigma\overline{\ell}$

なる環境をも っ si tespecfrumから有効距離 $\ell(E)$ のとこをも含めての環境の模様によって大体定まってしまうことになる。 こう$n$

した環境のちがいをパラメ ーク
ので.

$n$

で表わすと ’の分率を$G_{n,n}’(E)$ は本質的には $G’(E, \sigma\overline{\ell})$とすると$f_{\overline{\ell}}(\sigma_{\overline{\ell}})$.と書ける

coarse-grainedは$\underline{1}\Sigma$$G^{1\prime}$$\sim-$$(\ell>\overline{\ell}(E))$$nn(E, \sigma_{\ell})f_{\ell}(\sigma_{\ell})$$\pi\sigma_{\ell}$となる。 つまりこのような形で不規則性の影響が反映されることが判る。

\S 3.

band gap の 存$\not\in E_{a}$$H_{0}$

期 系で存在した band5)

gap が適当な条件下で 不規 員り系でも存在することが次のように示される。

(2. 3).

(2. 1 1)$=$$(c^{n_{n}\pm_{\backslash }1}c)$より$ck_{*}n$を単に$c_{r\iota}$

とかく と$T^{\bigoplus_{n}}$$(c_{c^{n}arrow}\overline{.})$(3. 1)

噌(3. 2)$=$$(^{b}n/_{1}\beta_{n}^{\pm}$$- \beta_{n}\mp/\beta\frac{+}{n}0$$-42arrow$

.

となり

$E$が固有値である条件は(3. 3)$\sim$(N. $-N$ ) $F=0$$FH$

又は$\sim$$(-N, N)$$FH$で表わされる。 た$s^{\backslash }$$\tilde{F}\equiv$(I$0$$)^{}$)’$(n, m)\equiv$

$H$

3. 3

し,$F\equiv\{\begin{array}{l}10\end{array}\}$$($$F=0$$t_{(}nn<m)_{)}>m$$\{\begin{array}{l}Tn(\bigwedge_{+1}Tn+2(\wedge\ldots..T_{m}^{(-)}Tn+1+)Tn-2+).\ldots.T_{m}^{(+}\end{array}$(3. 4)である。

今簡単のため ,の二種類とする。

は $T$ か $T’$$\tau_{n}^{19}$$Narrow\infty$

では state

両端の効果は無視されるので , $H$ $(-N, N)$ は本質的に はなる形の行列の積と条件(3. 3)

1$+$$w\ell$$t\veearrow$なっていると考えてよい。 そこで$H$density$(T’T^{n})$$(-N, N)$$(n=0,1. ’\Gamma),$$\pi\ell$.

$1^{_{\delta}}-$$(_{1}T ’ T^{n}j)$

対する$s$$j$

とおく$;=1$

は$w_{\ell}$$=$(3. 5)$0$$=\underline{\rho_{1}}$$\rho_{2}$1 十–(3. 6)\upar ow ノ

1 十$+ \frac{\rho_{\ell-1}}{I+\rho_{\ell}}$$\overline{n}$$|$$\rho j$

$=$

$|T$

race

de $tT$ ’$(T’\tau^{n}j)$

$|$

$|$

$|T$

race $(T’T J+1)$$-43-$$[$(3. 7))

と書かれる。 た

し $detT=1$ とおいた。

$\aleph$$Q$

ところが Worpitzky の定理$w_{l}$(3. 8)$(i=1 . 2. \cdots , \ell)$$| \rho j|\leq\frac{1}{4}$ならば ,によ り$-$

は $\ellarrow r\wedge$ で一様収束し$-$$| \frac{1}{1+w_{l}}$$\frac{4}{3-}$(3. 9)$\leq\frac{2}{3}$$|$であることが知れている。 従って

Trace $(T^{r}T^{n})/\sqrt{|detT’}|$

ならば $E$ は固有値にはなり得ない。 一方$E$が bandのuni$t$$($$(n=0.1 , 2 \ldots..s)$2

3. 1 $0)$

は$(T\prime T^{n})$$($3.1 $0)$のくり返しからなる周期系で.

gap にある条件である。 このように種々の周期系で共通に禁止されたエネルギーがその任意の混合系でも禁止される場合, Sa xon-Hu ne$t$

特定な $E$ に対しては $T^{P}=\pm 1$
おいては$\geq$$($3. 1$0)$となるような整数

し難いが. このような場合には高々質量 $M\prime M’$.

で $sarrow\infty$ と考えられるので$p\supset$

$p$

$r$

型定理が成立っと云う。

が存在することがある。 完全な不規則系に一般にはすべての$n$について$($3. 1 $0)$は成立の $n$ にっいて成立てぱ十分である。 従って例えば二種の$(M>M’ )$ よりなる同位元素調和振動子系では$\omega=2\sqrt{K/M}$

$sin$

($a$

(3.1 1)$( \frac{\pi}{2} \frac{b}{a} )$

,$b$

.

は互に素な整数$K$はバネ定数)なる振動数仁おいては 、条件$M$ ‘$/M$$\geq$

Qcrit $=$ 1 $+c$ }$t(\frac{- b}{2a}\pi)$$cof(\frac{\pi}{\angle^{c}a})$$-44-$.

(3.1 2)

special frequency であることが知られている。

献文1) 例えばA. A. Maradudin, ‘Solid State Physics $Vol18$ (Academic Press, New York,’1966) p. 274.
2) 例えばF. Yonezawa and T. Matsubara, Prog. Theor. Phys. 35(1966), 357, 759. T. Matsubara
and T. Kaneyoshi, Prog. Theor. Phys. 36 (1966), 695.

D. W. Taylor, Phys. Rev. 156 (1967), 1017.
3)

I. M. Lifshitz, Adv. Phys. 13 (1964), 483.

4)

H. Matsuda, Prog. Theor. Phys. Suppl. No. 36 (1966), 97.

5)

J. Hori, Prog. Theor. Phys. 32 (1964), 471.
H. Matsuda and K. Okada, Prog. Theor. Phys. 34 (1965), 539.

6)

H. S. Wall, ‘Continued Fractions’ (Van Nostrand, New York, 1948).

$arrow 45-$