DEIM Forum 2013 D6-5

多目的最適化のための説明変数と目的関数の連携可視化
久保田真季‡

伊藤貴之‡†お茶の水女子大学 〒112-8610 東京都文京区大塚 2-1-1
E-mail: ‡{makinosuke, itot}@itolab.is.ocha.ac.jp
あらまし

多目的最適化は多くの学術分野および産業分野で利用されているが，それぞれの目的関数間にトレードオフの関係があるために，非常に複雑な数値空間を探索する必要がしばしば生じる．本研究では，多目的最適化問題における個体群を可視化することによって，その数値空間の直感的理解を促すことを考えた．本報告が提案する可視化手法では，画面を左右に二分して，その各々に説明変数と目的関数の双方を表示することによって，両者の関係性を明確に表現する．また，その一方において興味のある数値領域を指定操作すると，それに該当する個体群が説明変数と目的関数の両方においてハイライトされる連携機能を有する．これによって興味領域を簡単に絞り込むことができるので，将来の最適化プロセスの改善につながると考えられる．
キーワード

可視化，多目的最適化，トレードオフ，パレート解A Linked Visualization System for Multi-objective Optimization
Maki KUBOTA‡ and Takayuki ITOH‡†Department of Information Sciences, Faculty of Science, Ochanomizu University
2-1-1 Otsuka, Bunkyo-ku, Tokyo, 112-8610 Japan
E-mail: ‡{makinosuke, itot}@itolab.is.ocha.ac.jp

Abstract Multiple-objective optimization techniques have been applied in various academic and industry fields. It isoften difficult to optimize all the objectives since they often cause trade-offs. It is also difficult what kinds of trade-offs
actually cause. We think visualization of multi-objective optimization results assists users to intuitively understand thedistributions of their solutions. This paper proposes a visualization of explanatory variable and objective function spacesin the separate views, so that users can easily understand their relevancy. Also, our technique features the linkage
mechanism between the two views. When a user selects certain ranges of the values by a mouse click operation, thetechnique highlights all the corresponding individuals. This mechanism is useful for users to narrow down the results.
We expect the technique assists the understanding of the behavior of the optimization processes and improvement of thefuture processes.
Keyword Visualization，Multi-objective optimization，Trade-off function， Pareto optimal solutions

1. 概 要多目的最適化は既に，航空機，自動車，電車などの多目的最適化問題は複数の目的関数に対して同時に最工業設計をはじめとして，非常に幅広い分野で利用さ適化を目指す問題を指す．これを定式化すると，目的れている．しかしその問題の複雑さゆえに，最適化の関 数 へ の 引 数 と な る n 次 元 の 説 明 変 数 を x=(x 1 , ..., x n )プロセスには熟練を要することが多い ．と す る と き ， m 個 の 目 的 関 数 y j =f j (x) の 各 々 に つ い て

多目的最適化における説明変数および目的関数は同時に最適化を目指す問題を指す ．このとき，目的関いずれも多次元の変数であると考えると， 多次元デー数どうしが互いにトレードオフの関係となっているこ

タの情報可視化手法を適用することでその数値分布のとで，しばしば問題は複雑化する．言い換えれば多く理解を支援できると考えられる．近年では多目的最適の場合において，一つの目的関数を最適化する説明変化問題を支援するための可視化手法がいくつか提案さ数は，他の目的関数を最適化しないことを意味する．

れている．しかし，その多くは目的関数の数値分布のみを表示しており，説明変数と目的関数の関係性を直表現することから数千個単位の個体を一画面領域 に表接的に表現しているとはいえない ．

現するのは難しい．また散布図ほど普及していないこ

そこで本報告では，多目的最適化問題における説明とから，利用者に訓練を要する場合がある．

変数と目的関数の両方の数値分布を同時表示する可視化の一手法を提案する．本手法では可視化の画面を左

2.2 多 目 的 最 適 化 問 題 へ の 可 視 化 手 法 の 適 用

右に二分し，その両方に多次元データ可視化手法を搭

多目的最適化問題における個体の振る舞いや分布載する．そして左側に説明変数，右側に目的関数を表は複雑であり，この理解を可視化によって支援しよう

示することで，両者の関係性を明確に表すことを可能という研究は近年になって増えている ．にした．さらにその画面上の左右いずれかにおいて，Eddy ら [4]は ， Cloud Visualization と い う 散 布 図 の 一

ユーザが特定の変数の数値範囲を マウス操作で指定す

種 を 用 い て パ レ ー ト 解 を 可 視 化 し て い る ． 大 林 ら [5]ることで，説明変数および目的関数の両者において該は ， 自 己 組 織 化 マ ッ プ (SOM) を 用 い て パ レ ー ト 解 を当 す る 個 体 だ け を ハ イ ラ イ ト す る 連 携 機 能 を 設 け た ．2

クラスタリングおよび可視化している．これらの可視種類の可視化画面を連携操作するこのような機能は，化結果は目的関数の分布を表示しているだけであり ，可 視 化 の 分 野 で は 学 術 的 に は Coordinate View あ る い

それをもたらした説明変数を直接表現しているものでは Linked View と い っ て 既 に 知 ら れ て い る が ， 多 目 的はない．

最適化問題にこの仕組みを適用した手法は ，我々が調

また，多目的最適化の可視化の中でもパレート解をべた限りほとんど見られない．本報告では，この仕組可視化するのではなく，パレート解が存在する限界領みが多目的最適化問題の数値分布の理解支援につなが域（ パ レ ー ト フ ロ ン テ ィ ア ）を 可 視 化 す る 手 法 [6]も 提る例を示す．

案されている．しかし，この手法も目的関数空間を描いたものであり，それをもたらした説明変数を直接表

2. 関 連 研 究現しているものではない．

2.1 多 次 元 デ ー タ の 可 視 化 手 法
一般的に多目的最適化問題における説明変数と目的関数は次元数が大きくなる場合が多い ．ゆえに，これらを可視化する際，多次元データの可視化手法が有用である．

3. 説明変数と 目的関数 の連携可視 化
本章では説明変数と目的関数を連携可視化する手法を提案する．図 1 に本手法の概観を示す．本手法で散布図は，多次元データの可視化に 最も多く用いらはウィンドウを左右に分割し，左側に説明変数を，右れる．2 次元もしくは 3 次元であれば，散布図の各座側に目的関数を，それぞれ多次元データとみなして可標軸にその各次元を割り当てる．また，4 次元以上で視化する．

ある場合には，任意の 2 つの次元を 2 軸に割り当て形
成 さ れ る 散 布 図 群 を 格 子 状 に 配 列 表 示 す る Scatter PlotMatrix を 用 い る か ， 次 元 削 減 手 法 を 用 い て 寄 与 度 の 高
い 2 個または 3 個の次元を散布図の各軸に割り当てる ．
また散布図に割り当てる次元を対話的 かつ効果的に選択 さ せ る 手 法 も 増 え て い る [1]．
それに対して，4 個以上の次元を直接的に表現する
多次元データ可視化手法も多数発表されている ．多次
元データを構成する各次元を所定の規則にそってアイ
コ ン 等 の デ ザ イ ン に 置 き 換 え る 手 法 [2]や ，す べ て の 軸を 並 行 に 描 画 し て 各 個 体 を 折 れ 線 表 示 す る Parallel

図 1

可視化手法の概観

Coordinate Plot (PCP)[3]な ど が 知 ら れ て い る ．
散布図とそれ以外の手法には原理的に一長一短の関

3.1 可 視 化 手 法 の 選 択係にある．散布図は広く普及しており，さらに各個体

2.1 節 で も 前 述 の と お り ， 多 次 元 デ ー タ 可 視 化 手 法を点で表現することから相対的に多数の個体を表現可

は一長一短の関係にあり，利用者の習熟度や目標設定

能 で あ る が ， 2,3 次 元 を 超 え る 多 変 数 の 各 値 を 同 時 にによって望ましい手法の選択も変わってくる ．そこで読み取るのは困難である．それ以外のアイコンベース

我々は複数の多次元データ可視化手法を統合的に扱えの 手 法 や PCP な ど は ， 2,3 次 元 を 超 え る 多 変 数 の 各 値るのが望ましいと考えた．現時点の我々の実装では，を同時に読み取ることはできるが ，個体を線や図形でParallel Coordinate Plot と 2 次 元 の 散 布 図 (Scatter Plot)

を可視化手法として搭載している．そして画面両側のボタン選択によって，利用者が必要に応じてそれらの可視化手法を選択できる．

含んでいる．
以 下 ，こ れ ら の 説 明 変 数 と 目 的 関 数 を PCP で 可 視 化して連携操作した結果を示す．説明変数の軸は左から順 に n 1, p 1, n 2, p 2, c を 示 し ， 目 的 関 数 の 軸 は 左 か ら 順

3.2 個 体 の 選 択 操 作 と 連 携 可 視 化に f1, f2, f3 を 示 す ．

本手法では，利用者のマウス操作によって画面上の図 2(a)は 5 種 類 の 説 明 変 数 の 値 を 数 段 階 に 変 化 さ せ

特定の矩形領域を指定することで ，その領域に描かれて各目的関数の値を算出した結果である ．これに対している個体だけを選択してハイライト表示させる機能て マ ウ ス 操 作 で 利 益 f1 が ゼ ロ に 近 い 範 囲 を 指 定 し た 結を有する．このとき，説明変数側で選択操作をしたら果 が 図 2(b)で あ る ．こ れ を 見 る と f 1 の 軸 で は 赤 い 折 れ

目的関数側も，逆に目的関数側で選択操作をしたら説線が指定された範囲にのみ描かれているのに対して ，明変数側も，というように両方が連携してハイライト

他の全ての軸において赤い折れ線は上下に分散されて表示する．このようにして説明変数と目的関数の両側いる．そこで次の条件として，マウス操作で男性の満から興味範囲を絞りこむことができる．図 1 では赤の足 度 f 2 が 十 分 高 い 範 囲 を 指 定 し た 結 果 が 図 2(c)で あ る ．

折れ線が興味範囲を示している．

こ れ を 見 る と 説 明 変 数 の 3 番 目 の 軸 で あ る n2 に お い て ，

この機能によって，例えば将来的に類似したデータ赤い折れ線は上部に集中していることがわかる ．このセットを分析する際に，最初から数値範囲を絞り込んことから，男性の満足度をあげるには女性を多数集めでおくことで計算量の削減を狙うことができる．

ることが必須であることが示唆される ．
一 方 で 図 2(d)は ， 説 明 変 数 側 の 範 囲 を 指 定 し た 結 果

4. 適 用 例

で あ る ．こ の 結 果 で は n 1 が 小 さ い 範 囲 を 指 定 し て ，さら に p 1 が 大 き い 範 囲 を 指 定 し て い る ．そ の 結 果 と し て本研究は企業から提供頂いた業務上の多目的最適化

女 性 の 満 足 度 f 3 の 軸 に お い て ，赤 い 折 れ 線 が 下 部 に 集のデータを題材にして進めている．しかし，そのデー中した．この結果から，女性の満足度を上げるためにタでは企業の機密に関わるものであるため ，本報告では男性の会費だけでなく人数も集める必要があることはそのかわりに，著者自身で作成した以下の簡単な例が示唆される．

題を可視化した例を示す．
パーティーの男女別会費を決定する問題を考える ．
男 性 お よ び 女 性 の 参 加 者 数 を n 1 お よ び n 2 ，男 性 お よ び

5. まとめ女 性 の 1 人 当 た り の 会 費 を p 1 お よ び p 2 ，会 場 に 支 払 う

本報告では，説明変数と目的関数 の両方を 1 画面に参加者 1 名（男女問わず）あたりの代金を c とする．

表示して互いに連携操作させることにより ，両者の関本章では以上の 5 変数を説明変数とする．それに対し係性を視覚的に認識しやすくし，多目的最適化問題のて我々は以下の 3 つの目的関数を設けた．

数値分布の理解を支援する手法を提案した．

1) パ ー テ ィ ー 主 催 者 の 利 益 f 1 ． 以 下 の 式 で 算 出 す る ．
f 1 = (p 1 n 1 +p 2 n 2 ) - c (n 1 +n 2 )今後の課題として以下があげられる ．
可視化手法の拡張と改善: 散布図においては前述の文

2) 男 性 参 加 者 の 満 足 度 f 2 ． 料 理 の 質 へ の 不 満 度 （ c の献 [1]の よ う な 手 法 を 採 用 し て ，可 視 化 す べ き 次 元 を 選減 少 に 対 し て 単 調 増 加 す る 関 数 g 1 (c)）と ，男 性 に 対 し択 し や す く す る 必 要 が あ る ． ま た Parallel Coordinateて 女 性 が 少 な い こ と へ の 不 満 度（ n 1 -n 2 の 増 加 に 対 し てPlot に お い て は ， 次 元 間 の 相 関 性 を 考 慮 し て 軸 順 番 を単 調 増 加 す る 関 数 g 2 (n 1 -n 2 )） を 用 い て ， 以 下 の 式 で 算決定する手法を採用することで，視認性の向上が期待出する．

さ れ る ．さ ら に ，Parallel Coordinate Plot と 散 布 図 に こf 2 = 1.0 - (g 1 +g 2 )だわらずに，もっと本報告の目的に合った手法を開拓

3) 女 性 参 加 者 の 満 足 度 f 3 ． 料 理 の 質 へ の 不 満 度 （ c のすることも考えたい．

減 少 に 対 し て 単 調 増 加 す る 関 数 g 3 (c)）を 用 い て ，以 下

最適化手法との連携: 現時点での我々の実装は，多目の式で算出する．

的最適化そのものは別のシステムによって実施され，f 3 = 1.0 - g 3

その結果だけを与えられるという前提にたったものでこの 3 つの目的関数は，会場に支払う代金 c が大きいある．しかし最適化のプロセスと連携することで ，例

ほ ど f 2 と f 3 が 下 が る が f 1 が 上 が る ，と い う ト レ ー ド オ

えば反復計算の世代が進むに沿ってどのように目的関フを含んでいる．また会費は男性のほうが高く設定さ数が最適に近づくかを可視化することや ，パレート解れ る と 仮 定 す る と ， n1 が 大 き い ほ う が f1 が 上 が る が ，に到達したものとそれ以外のものをわけて可視化する ，

n 1 -n 2 が 大 き い ほ ど f 2 が 下 が る ，と い う ト レ ー ド オ フ をといったことが可能になる．そこで最適化のプログラ

ムと連携した実装を試したい．
さらなる適用事例とユーザテスト: 他の最適化結果に(a)おいて本手法が有効な可視化結果を得られるかを検証するとともに，著者以外の第三者による操作によっても有効な知見を得られるかをユーザテストによって検証したい．

参考

文

献

[1] N. Elmqvist, P. Dragicevic, J. Fekete, Rolling theDice:

Multidimensional

VisualExploration

using

Scatterplot Matrix Navigation, IEEE Transactions on
Visualization and Computer Graphics, 14(6), 1141 -1148,(b)2008.
[2] D. A. Keim, Information Visualization and Visual Data
Mining, IEEE Transactions on Visualization and C omputer
Graphics, 8(1), pp. 1-8, 2002.
[3] A. Inselberg, B. Dimsdale, Parallel Coordinate: A ToolforVisualizing

Multi-Dimensional

Geometry,

IEEEVisualization, 361-370, 1990.
[4] J. Eddy, K. Lewis, Visualization of Multidimensional
Design and Optimization Using Cloud Visualization,
ASME

DesignEngineering

TechnicalConferences,

DETC02/DAC-2006.

(c)[5] 大 林 茂 , 多 目 的 最 適 化 と 情 報 可 視 化 デ ー タ マ イ ニン グ , 豊 田 研 究 報 告 , 58, 109-116, 2005.
[6] G. Agrawal, K. Lewis, K. Chugh, C.-H. Huang, S.
Parashar, C. L. Bloebaum, Intuitive Visualization ofPareto

Frontier for Multi-ObjectiveOptimizationin

N-Dimensional Performance Space, Tenth AIAA/ISSMO
Multidisciplinary Analysis and Optimization Confe rence,Albany, AIAA-2004-4434, 2004.

(d)

図 2 適用例