数理解析研究所講究録
第 1819 巻 2012 年 111-124

111

菅野積分に関する最近の話題
Recent topics on Sugeno integral

桐朋学園，東京工業大学総理工成川康男 (Yasuo NARUKAWA)

Toho Gakuen, Dept. Comp. Intell. & Syst. Sci., Tokyo Inst. Tech.

1

はじめに

菅野 [24] が彼の学位論文で用いて以来、 非加法的測度 (ファジイ測度) と菅野積分は多くの工学的応用を持ち世界中で研究がなされてきた。 菅野積分の応用に関しては [10, 25, 26]などを参照されたい。

菅野積分は非積分関数や非加法的測度の値の大小のみによって決まり、 古典的な確率論の拡張になっていない。
一方、 1950 年代に Choquet が容量の理論 [4] の中で用い、 1970 年代から非加法的測度

として意識されてきた [6] Choquet 積分は測度が$(\sigma)$

加法性をもつ時に、 古典的な積分と一致することもあり、数学的な研究が進み、 その成果は Denneberg のモノグラフ [7] など
によって紹介されている。

菅野積分の数学的研究は 2000 年ごろまでは論文数も多いとはいえない状態が続いたが、 最近になりスロバキアの Mesiar のグループを中心にして、 菅野積分で成り立つ不等式の研究がなされ、 盛んにその成果が発表されている。 また、 ルクセンブルクの Marichalのグループが束の値をとる菅野積分に関して多くの論文を発表している。

112
本稿では、 多くの論文からなるこれらの研究を統一した視点で整理し、 今後の研究の方向性を探るための一助とすることを目的とする。

Preliminaries

2

はじめにこの章では、 本論分で用いられる基本的な定義、 定理を紹介する。

定義 2.1. $X$ を全体集合とし、$\mathcal{X}$はと呼ぶことにする。 また、 関数 $f$ :$2^{X}$の部分集合とする。
が$Xarrow \mathbb{R}^{+}$$\mathcal{X}$$(X, \mathcal{X})$をファジイ可測空間-可測であるとは、 $\{x|f(x)\geq a\}\in \mathcal{X}$ であるときをいう。

定義 2.2. [6] 2 つの$x,$ $y\in:

可測な関数 $f$ と$g$が共単調 (comonotonic) であるとは，任意のX$ に対して $f(x)<f(y)\Rightarrow g(x)\leq g(y)$定義 2.3. [24]$\mu$$\mathcal{X}$$\mathcal{X}arrow \mathbb{R}^{+}$

をが成り立つことをいう。

$(X, \mathcal{X})$をファジイ可測空間とする。 次の性質を満たす実数値集合関数$(X, \mathcal{X})$上のファジイ測度

$\mu$

という。

(1) $\mu(\emptyset)=0,$ $\mu(X)=k$ ここで、 $k\in(0, \infty]$(2) $A\subset B,$ $A,$
(3)
$\mu$

を

$A_{n}\uparrow A$$(X, \mathcal{X})$$B\in \mathcal{X}$のとき $\mu(A)\leq\mu(B)$であるとき、 $\mu(A_{n})\uparrow\mu(A)$上のファジイ測度$\mu$とするとき、$(X, \mathcal{X}, \mu)$をファジイ測度空間という。

定義 2.3(3) の性質を下からの連続性という。
次に、 ファジイ測度に関する積分として、 菅野積分を定義しよう。

定義 2.4. [4, 13, $24J(X, \mathcal{X}, \mu)$ をファジイ測度空間とし、 $f$ を$\mu(\{x|f(x)\geq r\})$とおく。 $f$ の$\mu$に関する菅野積分は$(S) \int fd\mu:=\sup_{r\in[0,k]}[r\wedge\mu f(r)]$で定義される。

$\mathcal{X}$-可測関数とし、 $\mu f(r)=$113
定義 2.5. [6] 2 つの$x,$ $y\in$\mathcal{X}$可測な関数 $f$ と$g$が共単調 (comonotonic) であるとは，任意のX$ に対して $f(x)<f(y)\Rightarrow g(x)\leq g(y)$可測関数 $f,$ は共単調とする。任意の
$g$

$a,$

が成り立つことをいう。

$b\in[O, 1]$に対して $\{x|f(x)\geq a\}\subset\{x|g(x)\geq b\}$または $\{x|f(x)\geq a\}\supset\{x|g(x)\geq b\}$ であるので、$(f \oplus g)(x):=\sum_{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}$とかける。 ここで $a_{i}\geq 0A_{1}\supset A_{2}\supset\ldots A_{n},A_{i}\in \mathcal{X}$ である。 このことを使って、 以下の定理が得られる。

定理 2.6.

$(X, \mathcal{X}, m)$

をファジイ測度空間とし、 可測関数 $f,$$g$は共単調とするとき，$(S) \int(f\vee g)dm=(S)\int fdm\vee(S)\int gdm$が成り立つ。

上の性質を菅野積分の共単調 maxitivity という。

3

菅野積分の不等式

菅野積分に関して様々な不等式の研究は Roman-Flores [18, 19, 20, 8] らの研究から盛んになり始め、 最近 Mesiar,Ouyang[l, 2, 12, 14, 15, 16, 17] らのグループが活発に論文を発．
表している。 ここでは、 その研究の概要を紹介する。
ここで、$(X, \mathcal{X}, \mu)$をファジイ測度空間とし、 を$f$$\mathcal{X}$-可測関数とし、$A\in \mathcal{X}$とする。 ここで、 $F_{r}(f)=\{x|f(x)>r\}F_{\overline{r}}(f)=\{x|f(x)\geq r\}$とおく。 菅野積分は、 菅野の博士論文 [24] では前章の $k=1$ , すなわち $\mu(X)=1,$$f$: $Xarrow[O, 1]$ を仮定されていた。
これを、 $(S_{1}) \int_{A}fd\mu$ とかく。

114
すなわち
$(S_{1}) \int_{A}fd\mu=\sup_{r\in[0,1]}[r\wedge\mu(F_{r}(f)\cap A)]$である。
また、 後に Ralescu [22] らはこれを、 $\mu(X)=\infty,$ $f$ : $Xarrow[O, \infty)$ に拡張した。
これを、$(S_{\infty}) \int_{A}fd\mu$

とかく。

すなわち
$(S_{\infty}) \int_{A}fd\mu:=\sup_{r\in[0,\infty]}[r\wedge\mu(F_{r}(f)\cap A)]$である。

Roman-Flores ら [20] は以下の Jensen 型の不等式を証明した。
定理 3.1. $(S_{\infty}) \int fd\mu=p$ とおく。
$\varphi$: $[0, \infty]arrow[0, \infty]$ は狭義単調増加で$\varphi(x)\leq x$

for $X\in[0, p]$ とする。 このとき$\varphi((S_{\infty})\int_{A}fd\mu)\leq(S_{\infty})\int_{A}\varphi(f)d\mu.$[20] ではこの逆のタイプも位相空間上で考察されている。

Caballero ら [3] は、 確率・統計におけるチェビシエフの不等式に類似のものが成り立つことを示した。

定理 3.2. $\mu:\mathcal{X}arrow[0,1|,$ $0<c\leq 1,$ $f:Xarrow[O, \infty)$ とするとき、$\mu(x\in A|f(x)\geq c)\leq\frac{1}{c^{2}}(S_{\infty})\int_{A}f^{2}d\mu.$

また、 $g:[0, \infty)arrow[0,1],$ $g(x)\neq 0$ とするとき、$\mu(x\in A|f(x)\geq c)\leq\frac{1}{g(c)}(S_{\infty})\int_{A}gofd\mu.$for$A\in \mathcal{X}.$$f,g$ が共単調であるとき以下の定理が成り立つ。

115
定理 3.3.

$\mu$:$\mathcal{X}arrow[0,1],$$0<c\leq 1,$$f,$ $g:Xarrow[O, \infty)$

comonotonic とするとき、$\mu(x\in A|f(x)\wedge g(x)\geq c)\leq\frac{1}{c^{2}}\max\{(S_{\infty})\int_{A}fd\mu, (S_{\infty})\int_{A}gd\mu\}.$$\mu(x\in A|f(x)+g(x)\geq c)\leq\frac{2}{c^{2}}\max\{(S_{\infty})\int_{A}fd\mu,(S_{\infty})\int_{A}gd\mu\}.$A. Flores-$\mathbb{R}$anuli\v{C}[9] らは以下の Markov 型の不等式を示した。

定理 3.4.

(1)

$\mu$

:

$\mathcal{X}arrow[0,$$\infty|,$$0<c,$ $f$ : $Xarrow[0, \infty)$ とするとき、$c \wedge\mu(x\in A|f(x)\geq c)\leq(S_{\infty})\int_{A}fd\mu.$

(2)

$\mu$

:

$\mathcal{X}arrow[0,1],$$0<c\leq 1,$ $f$ : $Xarrow[O, \infty)$とするとき、$\mu(x\in A|f(x)\geq c)\leq\frac{1}{c}(S_{\infty})\int_{A}fd\mu.$Roman-Flores ら [18] は $X=R^{n},$$\mathcal{X}$はボレル集合とした空間でいくつかの不等式を示している。
$A,$ $B\subset R^{n}$と $\lambda>0$ に対して $A+B:=\{a+b|a\in A, b\in B\},$ $\lambda A=\{\lambda a|a\in A, b\in B\}$

とする。
ここで、

$\mathcal{X}$$K,$ $L\in \mathcal{X}$上の非加法的測度$\mu$が concave であるとはconvex, $(1-\lambda)K+\lambda L\in \mathcal{X},$ $0<\lambda<1$ とするとき、$\mu((1-\lambda)K+\lambda L)\geq(1-\lambda)\mu(K)+\lambda\mu(L)$が成り立つときをいう。
$\mu$

が quasi concave であるとは$\mu((1-\lambda)K+\lambda L)\geq\mu(K)\wedge\mu(L)$が成り立つことをいう。

116
定理 $3.5.0<\lambda<1f,$$g,$$hh((1-\lambda)x+\lambda y)\geq f(x)^{1-\lambda}g(y)^{\lambda}F_{r}(f),$ $F_{\overline{r}}(g),$ $F_{\overline{r}}(h)$(1) (Prekopa-Leindler inequality)

$\mu$

が凸集合

が concave であるとき$(S_{\infty}) \int hd\mu\geq(S_{\infty})\int fd\mu\wedge(S_{\infty})\int gd\mu.$(2) $f,$

$g,$

$h$

integrable で$\mu$quasiconcave のとき、$(S_{\infty}) \int hd\mu\geq.(S_{\infty})\int fd\mu\wedge(S_{\infty})\int gd\mu.$

$f$

と

$g$

が共単調であるときに限定しているものでもつとも一般的なものは Wu[21] らによるものである。
ここで、$\star$:$[0, \infty]^{2}arrow[0, \infty]$

を 2 項演算で連続、 両側で非減少、 下から最大値まで有界であるとする。

定理 3.6.

$\varphi_{i}$: $[0, \infty]arrow[0, \infty],i=1,2,3$ , は連続で狭義単調増加でとする。 また $f$ と$g$$\varphi_{1}\geq\varphi_{i}$を満たすものは共単調とする。

このとき、$\varphi_{1}^{-1}((S_{\infty})\int_{A}\varphi_{1}(f\star g)d\mu)\leq\varphi_{2}^{-1}((S_{\infty})\int_{A}\varphi_{2}(f)d\mu)\star\varphi_{3}^{-1}((S_{\infty})\int_{A}\varphi_{3}(g)d\mu)$

この定理の系として、 H\"older 型の不等式が得られる。

系 3.7. $[21Jf$ : と$g$

は共単調のとき、$(S_{1}) \int_{A}(f\star g)d\mu\leq((S_{1})\int_{A}f^{p}d\mu)^{1/p}\star(S_{1})\int_{A}g^{p}d\mu)^{1/q}$

ここで $p,$ $q\geq 1.$

これにおいて系 3.8. $f$ : と$g$$\varphi=\varphi_{1}=\varphi_{2}=\varphi_{3}$としたものが Agahi ら [2] の結果である。

は共単調のとき、$\varphi^{-1}((S_{\infty})\int_{A}\varphi(f\star g)d\mu)\leq\varphi^{-1}((S_{\infty})\int_{A}\varphi(f)d\mu)\star\varphi^{-1}((S_{\infty})\int_{A}\varphi(g)d\mu)$117
さらに $\varphi(x)=x^{s}$ としたものが Agahi ら [1] の結果である Minkowski 型の不等式である。

系 3.9. $f$ : と$g$

は共単調のとき、$((S_{\infty}) \int_{A}\varphi(f\star g)^{s}d\mu)^{1/s}\leq((S_{\infty})\int_{A}(f)^{s}d\mu)^{1/s}\star((S_{\infty})\int_{A}(g)^{s}d\mu)^{1/s}$$\varphi(x)=x$としたものが Mesiar[12] の結果である Chebishev 型の不等式である。

系 3.10. $f$ : と$g$

は共単調のとき、$((S_{\infty}) \int_{A}\varphi(f\star g)d\mu)\leq((S_{\infty})\int_{A}(f)^{s}d\mu)\star((S_{\infty})\int_{A}(g)^{s}d\mu)$

拡張された菅野積分についての不等式の研究もなされている。 [15] においては、 菅野
積分の乗法の部分を$T$ - $J$

ルムの拡張である Seminorm としたときのチェビシェフ型の不等式を扱っている。

4

Lattice の値をとる菅野積分

菅野積分は順序だけで定義されているため、束の上に自然に拡張できる、 ここでは Rico[23]Marichal ら [5, 11] の成果を中心に東上の菅野積分とその表現について紹介する。
はじめに $L$ を束として

$0,$

$0$

をその最小元，1 をその最大元とする。

$L$が Distributive であるとは $a\wedge(b\vee c)=(a\wedge b)\vee(a\wedge c),$ $a\vee(b\wedge c)=(a\vee b)\wedge(a\vee c)$$L$

が Complemented であるとは任意の $a\in L$ に対して $a’\in L$ が存在し $a\wedge a’=$$a\vee a’=1$が成り立つことをいう。

ここで Boolean Lattice とは Distributive で Complemented であるものをいう。

定義 4.1. Boolkean Lattice$x\vee y\Rightarrow p=x$$L$に対して $P\in L$ が$\vee$-irreducible であるとは $P\neq 0,p=$

or $p=y$ が成り立つことをいう。

$N\subset L,$ $a\in L$として、 $a=_{p\in N}p$ が irredundant であるとは、 任意の $p0\in N$ に対して $_{p\in N\backslash p0}p<a$ が成り立つことをいう。

118
もし、 $_{p\in N\backslash p0}p=a$ のとき、 $Po$ は superfluous という。
$a\in L$ がatom とは $a\neq 0,$ $e\leq a\Rightarrow e=0$ or $e=a$ であることをいう。

有限ブール代数$L$に対してはある有限集合 $X$ が存在し

$X:=\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\}$$L$と$\mathcal{P}(X)$は同型である。

を有限集合とし $\mathcal{F}:=\{f|f:Xarrow L\}$ とおく。 ここで $A\subset X$ として定義関数を $1_{A}(x)=1$ if $x\in A,$ $1_{A}(x)=0$ if $x\not\in A$ , とする。

L 値非加法的測度は下のように定義される。
定義 4.2.
$\mu(B)$

$L$

$\mu$

:

$\mathcal{P}(X)arrow L$が$L$

値非加法的測度とは$\mu(\emptyset)=0,$$\mu(X)=1,$ $A\subset B\Rightarrow\mu(A)\leq$を満たすものをいう。

値非加法的測度$\mu$に関する菅野積分

定義 4.3. 関数 $f:Xarrow L$ に対して

$L$

$S_{\mu}$は以下のように定義される。

値菅野積分$S_{\mu}(f)$を$S_{\mu}(f)=\vee(r\wedge\mu(f\geq r))r\in L$

定義する。

この定義から
$S_{\mu}(f)= \vee((\bigwedge_{x_{1}J\subset L\in J}f(x_{i}))\wedge\mu(J))$と表されることは明らかである。 この Marichal らのグループはこちらを菅野積分の定義としている [5,11]。

共単調性に該当するのが下の co-include という概念である。
定義 4.4. $f,$$g\in \mathcal{F}$$\{g\geq\alpha\}\subset\{f\geq\alpha\}$が $co$ -include であるとは任意の$\alpha$に対して $\{f\geq\alpha\}\subset\{g\geq\alpha\},$のどちらかが必ず成り立つことである。

このとき下の命題が成り立つ。

119
命題 4.5. $f,$$g$

が co-include とすると，$S_{\mu}(f\vee g)=S_{\mu}(f)\vee tS_{\mu}(g)$$S_{\mu}(f\wedge g)=S_{\mu}(f)\wedge S_{\mu}(g)$が成り立つ。
これにより、 以下の汎関数の表現定理が成り立つ。

定理 4.6.
$\mu$$I:\mathcal{F}arrow L$

について、 次の条件がすべて満たされるときある$L$

値非加法的測度が存在し $I(f)=S_{\mu}(f)$ .

(1)$I(\alpha\wedge 1_{X})=\alpha$(2) $I(\alpha\wedge f)=\alpha\wedge I(f)$(3) $f,$ が co-included であるとき $I(f\vee g)=I(f)\vee I(g)$ .
$g$Marichal らは Lattice Polynomial Function を考察し、 これが菅野積分であるための必要十分条件についての結果を得ている。
ここでは、 $X$ $:=[n]=\{1,2, \ldots, n\}\mathcal{F}:=L^{n}$ $:=\{f :[n]arrow L\}$ とおき Lattice Polyno-

mial の集合 $LP=\{I:L^{n}arrow L\}$ を，以下のように定義する。
(1) 射影 $pr_{i}(f)=f(x_{i})for$ all $i=1,2,$$pr_{i},$$\ldots n$と定数 $c(f)=c$ は $LP$ の要素，すなわち$c\in LP$ for all $i.$(2) $f,$ $g\in LP\Rightarrow f\vee g,$ $f\wedge g\in LP.$(3) 上の 2 つの方法で得られるものだけが $LP$ の要素である。

表現定理のためにいくつかの概念を定義する。
定義 4.7. $I\in LP$ とする。

120
(1)

$S\subset L$

(2)

$I$

convex if for every$a,$ $b\inS$every $c\in L$ such that $a\leq c\leq b$ , wehave $c\in S.$: $L^{n}arrow L,$ $n>1$ has a componentwise convex range if, for every $a\in L^{n}$ andevery $k\in[n]$ , the unary function $I_{k}^{a}:Larrow L$ , given by$I_{k}^{a}(x)$$:=f(a_{k}^{x})has$a convex

mnge.
(3)

$S\subset L$

として

$I$

が $S$-idempotent であるとは $I(c, c, \ldots, c)=c$ for all $c\in S$ であることをいう。

-idempotent であるときをいう。

(4)

$I$

が idempotent であるとは

(5)

$I$

が strongly idempotent であるとは $I(x_{1}, \ldots, x_{k-1}, I(x), x_{k+1}\ldots, x_{n})=I(x)$ が L-

$I$

が

$L$

idempotent であるときをいう。

(6)

$I$

が

homogeneous であるとは $I(c\wedge x)=c\wedge I(x)$ for $x=(x_{1}, \ldots, x_{n})\in L^{n},$ $c\in$$P_{\wedge s}$$S,x:(c\wedge x_{1}, \ldots c\wedge x_{n})$

(7)

$I$

が

$\vee S$

homogeneous であるとは $I(c\vee x)=c\vee I(x)$ for $x=(x_{1}, \ldots, x_{n})\in L^{n},$ $c\in$$S,$ $c\vee x:=(c\vee x_{1}, \ldots c\vee x_{n})$(S) $x=(x_{1}, \ldots, x_{n})\in L^{n},$ $k=1,2,$$\ldots,$$n,$$c\in L$に対して $x_{k}^{c}:=(x_{1}, \ldots x_{k-1}, c, x_{k+1}, \ldots, x_{n})$

とおく。

(9)

$x_{1},$ $x_{2},$$x_{3}\in L$に対して med $(x_{1}, x_{2}, x_{3})=(x_{1}\wedge x_{2})\vee(x_{2}\wedge x_{3})\vee(x_{1}\wedge x_{3})=(x_{1}\vee$$x_{2})\wedge(x_{2}\vee x_{3})\wedge(x_{1}\vee x_{3})$と定義する。

(10) $I\in LP$ が median decomposable とは $I(x)=med(I(x_{k}^{0}), x_{k}, I(x_{k}^{1}))$ for all $k=$
1, 2, . . . , . が成り立つことである。
$n$(11) 性質$P_{\wedge S}$( が componentwise$I$$I(x_{k}^{a\wedge b})=I(x_{k}^{a})\wedge I(x_{k}^{b})$$\wedge$homomorphism)121(12) 性質( が componentwise$I$$P_{V}$$\vee$

homomorphism)$I(x_{k}^{a\vee b})=I(x_{k}^{a})\vee I(x_{k}^{b})$(13) $I\in LP$ が horizontally$\wedge s$-decomposable if, for every $x\in L^{n}$ every $c\in S,$,$f(x)=f(x\vee c)\wedge f([x]^{c})$

ここで $[x]_{c}$ は the n-tuple で
$xi$

$i$

番目の component が $xi\geq c$ のとき 1, その他のときであるようなものである。

(14) $I\in LP$ が horizontally$\vee s$-decomposable であるとは、全ての $x\in L^{n}$ と全ての $c\in S$について，$f(x)=f(x\wedge c)\vee f([x]_{c})$が成り立つことをいう。 ここでのとき$[x]_{c}$

は the

$n$

-tuple で 番目の component が $xi<c$$i$, その他のとき $xi$ であるようなものである。

$0$

これにより、 $LP$ が菅野積分であるための必要十分条件が得られる。

定理 4.8. [5, $llJ$ Let $I\in LP$ . 次の条件は同値。

(1)

$I$

は菅野積分

(2)

$I$

は $\{0, l\}$ -idempotent で median decomposable.

(3)

$I$

は

$P\wedge$と瓦を満たし，strongly idempotent で range$L$が acomponentwise convex

range.
(4)$I$

は non decreasing,

(5)

$I$

は瓦を満たし，1-idempotent,

(6)

$I$

は瓦を満たし，-idempotent, horizontally$0$$\bigwedge_{L}$-homogeneous$\wedge L$

で$v_{L}$-homogeneous.

-homogeneous で$\wedge L$

izontally $\vee L-$ decomposable.

$hor^{l}$-decomposable で$\vee L$-homogeneous.

122
(7)

$I$

は A と瓦を満たし$\vee L$$L$

-idempotent, $hor’$izontally$\wedge L$-decomposable で horizontally-decomposable.

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