数学Ⅱ 三角方程式の解の個数問題 早見チャート①
実数解を求める問題とグラフとの関係

y = ax3 + bx2 + cx + d のグラフy方程式 ax3 + bx2 + cx + d = 0 の実数解を求める問題は,y = ax3 + bx2 + cx + d(左辺の式を y = とした)のグラフと y = 0 (右辺の式を y = とした)
( y = 0 は x 軸のこと)のグラフとの共有点の x 座標として捉えることができる。(右図参照)
これは非常に重要な考え方なので絶対に覚える！

Oy = 0 のグラフ
共有点●の x 座標が実数解

定数 d を移項した定数分離とは？

x方程式 ax3 + bx2 + cx + d = 0 の実数解 ⇔ 方程式 ax3 + bx2 + cx = − d の実数解 ⇒ y = ax3 + bx2 + cx (左辺の式をy = とした)のグラフと y = − d (右辺の式を y = とした)のグラフとの共有点の x 座標として捉える。
このように定数部分を切り離すことを定数分離という。

定数分離の利点は？
例えば,■ 問題 x3 −2 x2 − x + 2 − k = 0 の実数解の個数を求める場合,
y = x3 −2 x2 − x + 2 − k (左辺の式を y = とした)と y = 0 (右辺の式を y = とした)のグラフとの共有点の x 座標として捉えると, y = x3 −2 x2 − x + 2 − k のグラフは定数 k を含んでいるので,グラフの概形が掴みにくい。
そこで,x3 −2 x2 − x + 2 = k と定数 k を分離(右辺に移項)し,y = x3 −2 x2 − x + 2 ……① のグラフと y = k ……② のグラフとの共有点の x 座標の個数と捉えることで,①は固定された３次関数のグラフなので概形がかけ,②は x 軸に平行な直線で,上下に動くだけなので,簡単に①との交点を掴むことができる。(右図参照)

y = x3 −2 x2 − x + 2
共有点1個

y= k

共有点3個

y= k

共有点2個

y= ky = k は x 軸に平行な直線なので上下に動かして考える！

それでは,実際に例題をやってみよう！

3次方程式 2x3 + 3x2 −12x − k = 0 が異なる3つの実数解をもつための,定数 k の値の範囲を求めよ。

問題

定数 d を移項した

解答

2x3 + 3x2 −12x − k = 0 ⇔ 2x3 + 3x2 −12x = k2x3 + 3x2 −12x = k の実数解は
 y = 2x + 3x −12x ……①
……② y=k32x… −2 …

1…

y'+0+極大
20yyの２つのグラフの共有点の x 座標といえる。

-0

極小−7

y = 2x3 + 3x2 −12x20①のグラフは
y' = 6 x + 6 x −12 = 6( x + 2)( x − 1)
2y=kx = 2 のとき, y = 20 , x = 1 のとき, y = −7
増減表は右上図となる。
よって,グラフより求める k の範囲は−7＜k＜20 ……(答え)y = k が上下に黄色の範囲を動くとき,

y = 2x3 + 3x2 −12xと３つの共有点を持つ！

−2O

1xy=k−7
http://love‑su‑gaku.com/ Manabu Sato(C)2012数学Ⅱ 三角方程式の解の個数問題 早見チャート②三角方程式の解の個数問題とは？
問題

実数 k に対して方程式 sinθ− k = 0 (0≦θ≦2π)の解の個数を求めよ。

sinθ− k = 0 を sinθ= k と定数を分離して,y = sinθと y = k のグラフの共有点の個数を考えれば,簡単に解の個数を求めることができる。
y = sinθ

y解答

y=ky=ky=ksinθ− k = 0 ⇔ sinθ= k の実数解は, y = sinθ……①1と y = k ……② の２つのグラフの共有点の x 座標といえる。
よって,右グラフより
O

 (ⅱ) k =±1 のとき,解θの個数は 1 個 ……(答え) (ⅲ) −1＜k ＜1 かつ k ≠ 0 のとき,解θの個数は 2 個
 (ⅳ) k = 0 のとき,解θ の個数は 3 個(ⅰ) k ＜−1,1＜k のとき,解θの個数は 0 個問題

ππ2−1y=k2πθ3π2y=ky=k実数 k に対して方程式 sin2 θ+ sinθ− 1 = k (0≦θ＜2π)の解の個数を求めよ。 はどうだろう。

左辺の y = sin2 θ+ sinθ− 1 の三角関数のグラフは,数学Ⅲで習う三角関数,合成関数の微分などを知らなければ描くことができない。そこで,数学Ⅱでは,t = sinθと t の関数に置き換えることによって考える。※置き換えた場合は範囲をチェックすることを忘れない！
解答t = sinθと置き換えた式 t 2 + t − 1 = k の解の個数を考える。

θの範囲は,0≦θ＜2πなので,-1≦sinθ≦1 ⇒ -1≦t≦1となる。
t 2 + t − 1 = k の解の個数は, y = t 2 + t − 1……①と y = k ……②のグラフの共有点の個数となるので
2

1 5y = t + t − 1 = t +  −2 4
2①と②の共有点の個数は,下図グラフより

51＜k のとき,
4 ,5(ⅰ) k ＜ − , 1＜k のとき4共有点は0個(ⅰ) k ＜ −y5(ⅱ) k = − のとき,
4共有点は1個(ⅲ) −5＜k＜−1 のとき,
4共有点は2個(ⅳ) k = −1 のとき,共有点は1個(ⅲ) −−1 − 12

121O−1−54−1 − 12ty=k5＜k＜−1 のとき
4y2

y=t +t−112y=t +t−1

y=t +t−11Ot−1k−1 − 12y=k−54(ⅳ) k = −1 のとき
2yy=t +t−1(ⅴ) −1＜k＜1のとき
2yy=t +t−1

111Ot−1y=k−54(ⅵ) k = 1 のとき
y y = t2 + t − 1y=k1
y=k−1 − 12(ⅵ) k = 1 のとき,共有点は1個5のとき
4yy=k1

共有点は2個(ⅴ) −1＜k＜1のとき,(ⅱ) k = −※チャート③へ続く

1O−1−54ty=k−1 − 121

O−1−54t−1 − 121

O−1t−54※見やすくするため, y = t 2 + t − 1グラフは-1≦t≦1の範囲で描いた。

http://love‑su‑gaku.com/ Manabu Sato(C)2012

数学Ⅱ 三角方程式の解の個数問題 早見チャート③t = sinθと置き換えたので

しかし,この共有点は,1
コレが解！

あくまでも t2 − t + 1 = k の実数解の個数であって,問題で問われているθの解の個数ではない。

−1 − 12

例えば,(ⅳ) k = −1 のとき,共有点は,t = −1 ,0 となり,t = −1( sinθ= −1)のとき,3求める解θは,θ= π の 1 個
2tπ6−15π π6π2−t

3π2−1ty=k54

求める解θは,θ= 0,πの 2 個。
t = sinθ

1

コレが解！

コレが解！

O1O

t = 0 ( sinθ= 0)のとき,t = sinθ

12y=t +t−1(ⅳ) k = −1 のとき, y2πθコレが解！
π6Ot = −1π25π π63π2

コレはダメ！

2π θt= 0−1

つまり,１つの t に対して,t = sinθを満たすθは１つとは限らない！

Point !

解法のImagesinθ(cosθ)= t1, t2
θ=θ1 ,θ2 ,…

a t 2 + b t + c = k の解をt1, t2とすると解答の続き0≦θ＜2πであるので,１つの t の値に対して,(ア) t ＜−1,1＜t のとき,解θの個数は 0 個(イ) t =±1 のとき,解θの個数は 1 個(ウ) −1＜t ＜1 のとき,解θ の個数は 2 個 となる。(下図参照)
t ＜−1,1＜t のとき,共有点はなし(イ)t1t= sinθ

1縦軸が(ア)tt

O−1よって,k＜−π2π3π22π θt =±1 のとき,共有点は１個

O−151＜k のとき,解の個数は0個
4 ,t= sinθπ2π3π22π θ(ウ)t−1＜t ＜1 のとき,

1t= sinθ

O

共有点は２個π2π−13π22π θ

共有点はないので

1t = − より,−1＜t＜1 の間に１つの解を持ち,
 k = − 5 のとき,解の個数は2個24(ウ)より,１つの解につき,２つの解をもつので − 5 ＜k＜−1 のとき,解の個数は4個 −1＜t＜0 の間に２つの解を持ち,(ウ)より,１つの解につき,それぞれ２つの解をもつので
 4t = −1,0 より,t = −1のとき,(イ)より,1つの解をもち, k = −1 のとき,解の個数は3個
t = 0 のとき,(ウ)より,１つの解につき,２つの解をもつので
0＜t＜1 の間に１つの解を持ち,(ウ)より,１つの解につき,２つの解をもつので
 −1＜k＜1 のとき,解の個数は2個
 k = 1 のとき,解の個数は1個
t = 1 より,(イ)より,1つの解をもつので……(答え)

http://love‑su‑gaku.com/ Manabu Sato(C)2012

数学Ⅱ 三角方程式の解の個数問題 早見チャート④
解法の手順
STEP1 与式から定数部分を分離する。⇒ 「三角関数の式」 = k (定数)……① とする。
STEP2 「三角関数の式」のグラフを描く。しかし,ほとんどの問題で,数学Ⅱの範囲内では描けない形となっている。そこで,置き換えを行うが,sinθとcosθが混合している場合は,sinθ(または cosθ)に種類を統一する。
「t の式」は,ほとんどの場合,２次関数
STEP3 t = sinθ(または t = cosθ)と置き,( ①は 「 t の式 」= k (定数)…②と書き換えることができる。)
θの範囲から t の範囲を求める。(例えば,0≦θ＜2πのとき,-1≦sinθ≦1 ⇒ -1≦t≦1)
STEP4 １つの t の値に対して,解θの個数を求める。

0≦θ＜2πのとき(ア)tt ＜−1,1＜t のとき

縦軸が1t

共有点はなしπ2π

3π2(イ)tt =±1 のとき共有点は１個1t = sinθO−1(ア) t ＜−1,1＜t のとき,解θの個数は 0 個(イ) t =±1 のとき,解θの個数は 1 個(ウ) −1＜t ＜1 のとき,解θ の個数は 2 個 となる。(下図参照)

2π θOt = sinθπ2π2π θ3π2−1(ウ)t−1＜t ＜1 のとき

1t = sinθ

O

共有点は２個π2π2π θ3π2−1STEP5 STEP3で求めた t の範囲において,②の実数解の個数は,
y =「t の式」……③ と y = k ……④ との共有点の個数に等しいので③のグラフを描き,④のグラフを上下に動かして,共有点の個数を求める。
STEP6 STEP4 の解θの個数とSTEP5 の解 t の個数から『解θの個数』を求める。

ミスを防ぐ視覚的解法の手順『２次関数のグラフ』と『三角関数( sinθまたは cosθ)のグラフ』を縦に並べて描くことで,解の個数が視覚的にわかる！

yyy =「2次関数の式」

STEP1 t の範囲内(例えば,0≦θ＜2πとするとき,-1≦t≦1)で２次関数のグラフを描く。
STEP2 t = sinθ(or t = cosθ)グラフを横に倒したグラフを描く。
その際,t の範囲である両端の値の縦のラインを合わせる。
(右図,-1≦t≦1のとき,-1と1の縦のライン)
STEP3 y = k のグラフを上下に動かして,２次関数との共有点を求める。
(右図,●を共有点とする)
STEP4 共有点●から真下に下ろし,三角関数のグラフとぶつかる点(右図,●を共有点とする)が求める解θの個数となる。

t = cosθと置き換えた場合

t = sinθと置き換えた場合

y =「2次関数の式」
y=ky=k−1
ココの両端のラインを合わせる！

−1O

1−1t

ココの両端のラインを合わせる！

θ1Oπ22π解θの個数は2個O

1tπt = cosθのグラフを描く

3π2tπ2t = sinθのグラフを描く

π1

θ

−1tO

3π22π
解θの個数は3個
http://love‑su‑gaku.com/ Manabu Sato(C)2012