数理解析研究所講究録
第 1987 巻 2016 年 21-24

21

An application of generalized inverse limits
島根大学・総合理工学研究科

深石純生 (Sumiki Fukaishi)

INTERDISCIPLINARY FACULTY OF SCIENCE AND ENGINEERING,SHIMANE UNIVERSITY
総合理工学研究科

島根大学

松橋英市 (Eiichi Matsuhashi)

INTERDISCIPLINARY FACULTY OF SCIENCE AND ENGINEERING,SHIMANE UNIVERSITY

1INTRODUCTION

でコンパクト連結距離空間を continuum と呼ぶ．$X$ が continuum のとき，
$X$ の空でない閉集合全体を表し，距離は Hausdorﬀ metric が入っているものとす
る．Continuum $X$ が indecomposable continuum であるとは， $X$ に真に含まれる
2 つの subcontinuum の和集合で $X$ が表せないときにいう．1970 年に Bellamy は[2] で次の定理を示した．
$2^{X}$

定理 1.1. ([2]) 任意の continuum $X$ に対して， $X$ と同相な continuum $X’$ と，X’ を含む indecomposable continuum $Z$ , かつ $Z$ から X’ への retraction が存在する．
$r$

つまり，任意の continuum はある indecomposable continuum の retract となっていることがわかる．同様の定理は [6] で Smith により証明されている．Bellamy の結果の証明は幾何的に行われているが，Smith の結果の証明には inverse limit が用いられており，またその結果は Bellamy の定理を改良したものである．この原稿では，定理 1.1 を改良した，次の定理の証明の概略を紹介する．記明には generalized
inverse limit を用いる．
定理 1.2. ([Fukaishi and Matsuhashi,preprint]) 任意の continuum $X$ に対して， $X$と岡相な continuumと， $X’$ を含む indecomposable continuum $Z$ , かつ $Z$ から$X^{l}$

X’ への retraction

2$r$が存在して， の任意の逆像が Cantor set と同相になる．
$r$

PREPARATION

この章では，generalized inverse limit の定義と性質について紹介する．Generalized inverse limit は 2006 年に Ingram と Mahavir が [3] で導入した概念であり，言で言えば，集合値写像についての inverse limit である．定理 1.2 の証明の概略を述べる前に，一般的に知られている定義や定理を紹介する．最初に通常の inverselimit の定義について触れておく．

22定義 2.1.
を位相空間の列とし，任意の $i\in N$ に対して， $f_{i}:X_{i+1}arrow X_{i}$をの部分空間とする．このとき，$\{X_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$\Pi_{i=1}^{\infty}X_{i}$$\underline{\lim}\{X_{i}\backslash , f_{i}\}_{1=1}^{\infty}$

任意の $i\in N$ に対して， $x_{i}=f_{i}(x_{i+1})\}$$k^{m\{X_{i}},$ $f_{i}\}_{i=1}^{\infty}=\{(x_{i})_{i=1}^{\infty}\in\Pi_{i=1}^{\infty}X_{i}|$と定める．$k^{m\{X_{i}},$を$f_{1}\}_{i=1}^{\infty}$$\{X_{i}, f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$の inverse limit という．

前述したようにこの原稿では generalized inverse limit を扱うので関連する定義や定理を以下に述べる．

定義 2.2. $X,$ $Y$ を continuum とし， $f$ : $Xarrow 2^{Y}$ とする．このとき $f$ が upper semicontinuous function であるとは，任意の $x\in X$ と $f(x)$ の任意の近傍 $V$ に対して，の近傍 $U$ が存在して，任意の $u\in U$ に対して $f(u)\subset V$ を満たすときにいう．

$x$

定義 2.3. ([3]) 任意の $i\in N$ に対して，$X_{i}$を continuum とし， $f_{i}:X_{i+1}arrow 2^{x_{:}}$

を upper semi-continuous function とする．このときinverse sequence とた，inverse sequence$4\backslash V$$\underline{\lim}\{X_{i}\backslash$, fi 累 l$\}$),$X_{i}$

をと義の列
を coordinate space,を bonding map という．まをに対して，の部分空間鞭 Xi,$f_{i}$$\Pi_{i=1}^{\infty}X_{i}$$\{X_{i}, f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$を$\{$$f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$

任意の $i\in N$ に対して， $x_{i}\in f_{i}(x_{i+1})\}$$=\{(x_{i})_{\dot{v}=1}^{\infty}\in\Pi_{i=1}^{\infty}X_{i}|$と定め， $k^{m\{X_{i}},$$\{X_{i}, f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$X_{i}$$\{X_{i}, f_{i}\}_{\dot{\iota}=1}^{\infty}$の generalized inverse limit という．

Generalized inverse limit は正確には [3] で定義されたものだが，実は [5] で Mahavier が coordinate space が閉区間の場合について同様の概念を扱っている．
定義 2.4. ([3]) $X,$ $Y$ を continuum とし， $f$ : $Xarrow 2^{Y}$ を upper semi-continuousfunction とする．このとき， $X\cross Y$ の部分空間 $G(f)$ を， $G(f)=\{(x, y)\in X\cross Y|$$y\in f(x)\}$ と定める．

次の定義は通常の連続写像に関する indecomposable map の定義を一般化したものである．

定義 2.5. $X,$ $Y$ を continuum とし， $f$ : $Xarrow 2^{Y}$ を upper semi-continuous func-tion とする．このとき，$f$: $Xarrow 2^{Y}$ が indecomposable map であるとは， $G(f)$の subcontinuum $A,$ $B$ が $G(f)=A\cup B$ を満たすならば， $pr_{Y}(A)=Y$ または$pr_{Y}(B)=Y$ となるときにいう．

を continuum とし，
定義 2.6. ([4, Definition 9]) 任意の $i\in N$ に対して，:$X_{i+1}arrow 2^{X_{t}}$$n\in
N$を upper semi-continuous function とする．このとき，任意のの部分空間 $G’[1, n]$ を， $G’[1, n]=\{(x _{}i=1^{n}\in\Pi_{i=1}^{n}X_{i}|\forall i\in$に対して，$\{1, 2, \cdots, n- l\},$ $x_{i}\in f_{i}(x_{i+1})\}$ と定める．
$X_{i}$$f_{i}$$\Pi_{i=1}^{n}X_{i}$定理 2.7. ([1, Theorem 1.8])

continuum の列とし，に対してを任意のを満たすとする．このとき， $X$ は continuum である．

$\{X_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$X= \bigcap_{i=1}^{\infty}X_{i}$$i\in \mathbb{N}$

次の補題は，定理 2.7 を用いて容易に示される．

$X_{i}\supset X_{\dot{i}+1}$

23を upper:に対して，澱を continuum,semi-continuous function とする．このとき，任意の $n\in N$ に対して， $G’[1, n]$ が補題 2.8. 任意の$f_{i}$$i\in \mathbb{N}$

continuum ならば，$k^{m\{X_{i}},$$f_{\dot{v}}\}_{i=1}^{\infty}$$X_{i+1}arrow 2^{X_{l}}$は continuum である．

最後に，よく知られている Cantor set の特徴付けに触れておく．
定理 2.9. $([1,$ Theorem$7\cdot 14])$$X$が Cantor set と同相であることと，次の (i), (ii),(iii) をすべて満たすことは同値である :(i) $X$ はコンパクトである．
は perfect である．
(iii) $X$ は totally disconnected である．
$(i\dot{x}\rangle X$

定理 1.2 の証明の概略

3

この章では，定理 1.2 の誕明の概略を紹介する．証明には，[4] のアイディアと結果を用いるので，まずそれらに関して紹介する．
定義 3.1. $X$ を contiuuum とし， $A_{\}}BCX$ とする．このとき， $X$ は $A$ と $B$ に関して irreducible であるとは， $X$ の subcontinuum $K$ が $A\cap K\neq\emptyset,$ $B\cap K\neq\emptyset$ を満たすならば， $K=X$ であるときにいう．
を continuum とし，に対して，定義 3.2. ([4, Definition 11]) 任意のはを upper semi-continuous function とする．このとき，:の subcontinuum $K$ が $|\{i\in$full projection property をもつとは，$i\in \mathbb{N}$$X_{i}$$\{X_{i}, f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$X_{i}+xarrow 2^{X_{i}}$$f_{i}$$\frac{\lim}{\backslash }\{X_{i}, f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$N|\pi_{i}(K)=X_{i}\}|=\infty$を満たすならば，$K= \{X_{i}\frac{\lim}{\backslash }, f_{;}\}_{i=1}^{\infty}$であるときにいう，を continuum の列とし，任意の $i\in N$ に対して，
定理 3 3. ([4, Theorem 22])
がを upper semi-continuous function とする．また，:continuum であるとする．このとき，任意の $n\in N$ に対して， $G’[1, n]$ は$nJ|x_{n}=a\}$ と $\{(x_{i})_{i=1}^{\infty}\in G’[1, n]|x_{n}=b\}$ で irreducible となるような $a,$$\{X_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$\cdot$$X_{i+\}}arrow 2^{X_{i}}$$f_{i}$$\underline{\lim}\{X_{i}\backslash , f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$\{(x_{\dot{f}})_{i=1}^{\infty}\cdot\in$$G’[\lambda,$$b\in X_{n}$が存在するならば，{.

$X_{i}$, fi}累 1 は full proJection property を持つ．

を continuum の列とし，任意の $i\in N$ に
定理 $S.4$ ([4, Corolary 23])対して， : $X_{i+1}arrow 2^{X_{i}}$ を indecomposable map とする．このとき，
はが連結ならば， $k^{m\{X_{i}},$が full projection property を持ち， $k^{m\{X_{i}},$$\{X_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$\{X_{i}, f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$f_{i}$$f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$

indecomposable continuum となる．
最後に，定理 1.2 の誕明の概略を紹介する．
証明の概略 $X_{1}=X$ とし， $i\geq 2$ に対して， $X_{i}=[0$ , 1 とする． は可分なので，を含むに対して，K; をの稠密な点列 {a }鑑が存在する．任意のの subcontinuum とする．このとき， $g_{i}^{-1}(1/i)=\{a_{i}\},$
包含関係に関して擾小な$]$$i\epsilon N$$X_{1}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$X_{1}$$X_{1}$$a_{i},$$a_{i+1}$24$g_{i}^{-1}(1/(i+1))=\{a_{i+1}\}$$X_{2}arrow 2^{X_{1}}$となる連続写像$g_{i}$: $K_{i}arrow[1/(i+1), 1/i]$ が存在する．$fi$ :を$fi(x)=\{\begin{array}{ll}g_{i}^{-1}(x) (1/(i+1)\leq x\leq l/i) ,X_{1} (x=0)\end{array}$と定める．また $i\geq 2$ に対して，f::X: l$+$$arrow$

2X:を$f_{;}(x_{2+1})=\{\begin{array}{ll}\{2x_{i+1}\} (0\leq x_{i+1}\leq 1/2) ,\{2-2x_{i+1}\} (1/2\leq x_{i+1}\leq 1)\end{array}$とする．このとき，数学的帰納法を用いて，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して， $G’[1, n]$ がcontinuum となることと， $G’[1, n]$ は $\{(x_{1}, x_{2}, \ldots,x_{n})\in G’[1,n|$$\{(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})\in G’[1,n] x_{n}=1\}$$x_{n}=0$で irreducible であること，さらに} と$f_{n}$はindecomposable map であることが示される．よって， $G’[1, n]$ が continuum となるは continuum となる．従って，定理 3.3 より，ことと，補題 2.8 より聾 Xi?
は full projection property を持つことが分かる．ゆえに，定理 3.4 より，は indecomposable continuum となる．ここで， $r:k^{m\{x}:,$と定める．このとき， はへの retraction である．
から
ここで， の任意の逆像は，コンパクトであり，perfect であり，totally disconnected である．従って，定理 2.9 より， の任意の逆像は Cantor set と同相である．
$\{$$f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$\{X_{i}, f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$k^{m\{X_{i}},$ $f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$f_{i}\}_{i=1}^{\infty}arrow$$X_{1}\cross\{0\}\cross\{0\}\cross\cdots;(x_{i})_{i=1}^{\infty}\mapsto(x_{1},0,0, \ldots)$$r$$k^{m\{X_{i}},$ $f_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$X_{1}\cross\{0\}\cross\{0\}\cross\cdots$

$r$

$r$

口参考文献
[1] Sam B. Nadler, Jr., Continuum Theory, An Introduction, Marcel Dekker,
Inc., New York, N.Y., 1992.
[2] David P. Bellamy, Mappings of indecomposable continua, Proc. Amer. Math.
Soc. 30 (1971) 179-180.
[3] W. T. Ingram, William S. Mahavier, Inverse limits of upper semi-continuous
set valued functions, Houston J. Math. 32 (2006), no. 1, 119-130.

[4] James P. Kelly, Jonathan Meddaugh, Indecomposability in inverse limits
with set-valued functions, Topology Appl. 160 (2013), no. 13, 1720-1731.
[5] William S. Mahavier, Inverse limits with subsets of $[0,1]\cross[\theta,1]$, Topology
Appl. 141
, no. 1-3, 225-231.
$(2004\rangle$[6] Michael Smith, Generating large indecomposable continua, Pacific J. Math.
62 (1976), no.2, 587-593.