数理解析研究所講究録1182 巻 2001 年 1-8

1$D_{2p_{)}^{- \mathfrak{U}_{4^{-})}}}$S4 被覆の構成について

徳永浩雄
東京都立大学理学研究科

イントロダクション
本稿の目的は Galois 被覆の具体的構成法に関する最近の結果を報告することにある. 代数多様体の Galois 分岐被覆の構成問題を考えるにあたり, 次の問題は基本的である.

問題 $Y$ は非特異射影多様体, $B$ は $Y$ 上の可約な因子とする. 有限群 $G$ が与えられた時 $G$ を Galois 群として持ち, $B$ 上で分岐する Galois 分岐被覆が存在するか否かを決定し. もし存在する場合はそれを具体的に構成する方法をあたえよ.
筆者は論文 [1], [2] において,$D_{2p}‘$$\mathfrak{U}_{1}.$.

$\mathfrak{S}_{\lrcorner}$: 位数$\underline{9}_{])}$($\mathit{1}^{y}$は奇素数) の正二面体群,: 四次交代群 (正四面体群),四次交代群 (正八面体群),といった場合に上記の問題を扱った (正二十面体群も当然考えるべきなのであるが,いまのところ手も足もでない状況である). そこの手法は全て Galois 理論 (具体的には代数方程式の解の公式) を因子とその間の線形同値といった条件で書き下したものであり. 各場合に応じたの–-hoc な方法といった観が否めない. ここでは般化である位数 $pq$ ( は素数,は奇素数で $q<p$ ) の非可換群を含めてこれらをある意味で統–的に取り扱う試みを解説したい.
$\mathrm{a}\mathrm{d}$$D_{\mathit{2}p}$

$q$

$P$

\S 1 Glaois 被覆に関する準備は非特異射影多様体, $X$ は正規代数多様体とする. $Y$ への有限射: $Xarrow$$Y$
は $Y$ のそれ,を被覆と呼ぶ. $X$ の関数体の $\deg\pi$ の代数拡大との Galois 拡大となるとき, $X$ を $Y$ の Galois 被覆と呼ぶ.
なる.
がの時は, 単に, $G$ -被覆と呼ぶ. 以下 G-被覆について知られている事実, 及びこの稿を通して使う記号についてこの節でまとめておこう.
$Y$

$\pi$

$\mathrm{C}(X)$$\mathrm{C}(X)$$\mathrm{C}(Y)$$\mathrm{C}(.1^{\nearrow})$$\mathrm{G}_{\mathrm{d}}1(\mathrm{c}(X)/\mathrm{C}(\}’))=c$

1. G-被覆の G-拡大になっているこがが与えられると,の $G$ -拡大 $K$ が与えられると $Y$ の $K$ -正規化 $X$とは定義から従うが, 逆に,$\gamma_{1}$$:\wedge\cdot 1’arrow Y$$\mathrm{C}(X)$$\mathrm{C}(Y)$$\mathrm{C}(Y)$2と正規化写像 $Xarrow Y$ は G 被覆を与える. さらに, 正規化の–意性から $X$ は $K$ の上の同型類のみから決まることに注意しよう,$i$$\mathrm{C}(Y)$

2.

$\pi$

: $Xarrow\}’$ が$Y$上の被覆が与えられたとき,{ $y\in.Y|\pi$ は 上局所同型ではない}$\triangle_{\pi}=$$y$

は $Y$ の余次元 1 の代数的集合である ([4]). この事実は $Y$ が特異だととおくと,をの分岐集合という ( $Y$ が非特異であるときは分岐因子という成り立たない.
$\triangle_{\pi}$$\triangle_{\pi}$$\pi$ことが多い). X. $Y$ を強調したいときは

3. G 被覆から,4.
($y_{1},$: $Xarrow Y$ の Galois 群$X\backslash \pi^{-1}(\triangle_{\pi})arrow Y\backslash \triangle_{\pi}$

は

$.y$

$’.\iota/r1\mathrm{I}$$\ldots,$

いう.

$\pi$

$G$

$\triangle_{\pi}$

は $\triangle(X/Y)$ と表す.

は $X$ の $Y$ 上の自己同型群を与える. これは普通の不分岐 Galois 被覆である.の非特異点とする. $x\in\pi^{-1}(y)$ として, $x,$ の近傍で はに沿って, 分岐指数 . で分岐するとと表せるとき, は のまわりで,は既約分解とする. 各既約成分の非特異部分に沿っての分は $e_{1}B_{1}+\cdots+e_{7},.B_{r}$ で分岐する G-被覆と呼ぶ.
であるとき,$\triangle_{\pi}$$\pi$$(\mathit{1}^{\cdot}1, \ldots.x_{t1})-\rangle$

$\pi$

$y$

$\triangle_{\pi}$

$y$

$e$

$\triangle_{\pi}.=B_{\mathrm{I}}+\cdots+B_{r}$岐指数が$\pi$$(_{j}^{)}$\S 2 設定と問題
この節ではイントロダクションで述べた G 被覆を攻略するにあたって、まずどのような設定のもとで考えるかを解説する. $G$ はイントロダクションで述べたような非可換有限群とする.
は H-不: $Xarrow Y$ は G 被覆, $H$ は $G$ の正規部分群 $\overline{G}=G/H$ とおく.
変体とする.
$\mathrm{C}(X)^{H}$$\pi$$D(X/Y, H):=Y$ のとすると, $D(X/Y. H)$ は$\mathrm{C}(X)^{H}-$

正規化:$\overline{G}$-被覆であり, また, $X$ は $D(X/$のH 被覆である.

各々の被覆写像を $/j_{1}(\pi, H)$ : $D(X/Y, H)arrow Y,$: $Xarrow D(X/Y_{\backslash }H)$ とおく.
, である.と表す.
考えている . $H$ が明らかなときは単に
我々の $G$-被覆を $D(X/Y, H)$ を通して捉える. つまり, -被覆 $D(X/Y, H)$ をまず考え、その上に $H$ -被覆をうまく構成して, 合成が G 被覆となるようにするにはどに対しては全うすればよいかを考えるのである. このような戦略は二十面体群く無力である. U8「)-被覆を考える為には根本的に戦略を改めなければならない.
$\beta_{2}(\pi, H)$$\pi$$\beta_{i}$$\pi=\beta_{1}\circ\beta_{\mathit{2}}$$\overline{G}$$(\mathfrak{U}_{5})$

さて、 $D(X/1^{r}. H)$ は–般には特異点を持っている. 底空間が特異点を持っている場合は分岐集合が因子にならない等, 色々と不都合が生じる. 然し乍ら,の場合はこの煩わしさを避けることができる.
以下, 次元は全て 2 とする.

$\mathrm{d}\mathrm{i}_{111}Y=2$

3: $Zarrow D(X/Y, H)$ は最小特異点除去とする. 最小特異点除去の–意性から,のの自己同型群となる. また,$H))$ である.の正規化は次の性質を満たす.
$l^{l}$$Z$$Y\text{上}$$Z$$\mathrm{C}(Z)\cong_{\mathrm{C}(D(X}/\mathrm{Y},$$\overline{G}$は$\mathrm{C}(X)-$$\tilde{\lambda’}$1.
2.

$\tilde{X}$

は $Z$ の H-被覆,$\tilde{X}arrow Y$の Stein 分解は $X$に–致する.

これを考慮すると, 次元が 2 のときは $D(X/Y, H)$ が特異であるか, 非特異であるかを余り気にすることなく, 次のように問題を定式化できる.
問題 2.1. 次元は全て 2 とする. $f’$ : $Z’arrow Y$ は特異点除去とする. $f=f’\circ\mu$ とおく.

$Z$-被覆とし,$\overline{G}$上の H 被覆$g$:$l^{l}$$\tilde{X}arrow Z$: $Zarrow Z’$ は最小を以下の 2 時半を満たすように構成出来る為の条件を求めよ.
1.
2.

は

$\mathrm{C}(\tilde{X})$$Y$の$\mathrm{C}(Y)$$\mathrm{C}(X)$の G-拡大,-正規化 $X$ は $D(X/Y, H)=Z’$ を満たす $Y$ の G 被覆である.

次節では上記の問題を $G$ がイントロダクションで述べた場合について扱う.

\S 3 構成法
記号はする.

$.\uparrow 2$で述べた通りで, 次元は常に 2 とする. 更に, $Z$ に関して次の仮定を仮定 3.1. $Z$ の Niron-Severi 群,$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)$は torsion-free

仮定 3.1 の下.
は交点形式に関して格子となる.
は $Z$ 上の既約な曲線とし. $T$ はこれらの曲線で生成されたの部分群とする. $T$ は次の条件$D_{1},$$\mathrm{A}\backslash ^{\mathrm{T}}\mathrm{S}(Z)$$D_{r}$$\ldots,$$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)$を満たすと仮定する:
仮定 3.2. (/)$T$は階数$r$の部分格子で,$D_{1},$$D_{r}$$\ldots,$はその基底をなす.

(ii) $T$ は G-不変
仮定 32の下,が自然に作用する. 特に,が作用することに注意しよう. これ以下, 次の状況のもとで考える:は(( 素数) または . とする.
(不変な位数 の巡回群 $H$ を含む時,. が$($’ $i)$$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)/\tau$には$\overline{G}$$(\mathrm{N}\mathrm{S}(z)/T)tor$$\overline{G}$$\mathrm{Z}/(\mathit{1}\mathrm{Z}$$\mathfrak{S}_{3}$$\mathit{1}$$\mathrm{N}\mathrm{S}(z)/T\mathrm{I}f_{(}y’$$\overline{G}-$$P$$\rho$

が自然に定まり. これから, 半直積:$\overline{G}arrow Aut(L)$$G=\mathrm{Z}/p\mathrm{Z}\aleph\overline{G}$が定まる.

’.に$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

4とおく。 は単射となるから, $q|p-1$のときを考える.
まず,である. 従って,
$0<k<P$ を満たす整数 が存在する. $k^{q}=pu+1$
とおく,の元を–つ選んで, それをとおく. $H$ の生成元を与えるような$\overline{G}=\langle\sigma\rangle$$\overline{G}=\mathrm{Z}/q\mathrm{Z}$$\rho$$k$$k^{q}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p,$$L$$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)$$pL\in T$ であるから,$(*)$$pL\approx a_{1}D_{1}+\cdots+a_{r}D_{r}$を $L- \sum_{i}[a_{i}/p]D_{i}$ で置き換えて, $(*)$ の右辺のを砺 $-p[a_{i}/p]$ で,が $H$ の非自明な元をははじめから. $()\leq a_{i}<p$ を満たしているとしてよい. また,に同値を代数的にになることはない. さらに,与えることから、 がすべてが 2 つの effective な因子な元で調整して, $(*)$ が線形同値であるようにしておく.

を表せる.

$L$

$\mathit{0}_{j}$$a_{i}$

$L$

$L$

$0$

$a_{i}$

$0$

$L$

$D’,$

$D^{n}$の差 $D’-D’$’ で与えられることに注意すれば,$\mathrm{C}(Z)$の元$\varphi^{\cap}$を$(\varphi)=a_{1}D_{1}+\cdots+arDr-p(D’-D^{\mu})$を満たすようにとることができる. ここでさらにつぎの仮定をする.
仮定 3.3. 因子$\mathfrak{D}=\sum_{i=1j}^{q}\sum^{r}=1ki-1(aj\sigma^{i})*D_{j}$に対し,のとする.

$\mathfrak{D}=pD\prime\prime\prime$を満たす $D”’$ は存在しない. ただし,$k$は上記の条件を満たすもこれの仮定のもと, つぎの定理が成り立つ.

定理 34.

$\overline{G}=\mathrm{Z}/q\mathrm{Z}$とするとき, 以下の条件を満たす $Z$ の H- 被覆 $g:\tilde{X}arrow Z$が存在する.の Stein 分解 $X$ は
1.
2. $D(X/\}’.H)=Z_{\circ}$.
3.
$f\circ g$$Y$の G-被覆である.

$\triangle_{\mathit{9}}\subset\bigcup_{\sigma\in c}-(\dot{7}\sigma^{*}(\cup rD_{i})i)$を含む時半-不変な位数 4 の群に関してつぎの定理が成立する. 面白い点は仮定 33 のような直積ものが必要でない点である.
同様に,$(\mathrm{A}^{\vee}\backslash !\mathrm{S}(z)/T)_{tor}$が$H\cong \mathrm{Z}/2\mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}/2\mathrm{Z}$$\overline{G}$$G=\mathrm{Z}/l’\mathrm{Z}^{\rangle}\triangleleft\overline{G}$定理 35.

$\overline{C_{7}}=\mathrm{Z}/3\mathrm{Z},$$\mathfrak{S}_{3},$$\rho$

は単射とするとき, 以下の条件を満たす $Z$ の H- 被覆 $g:\tilde{X}arrow Z$ が存在する.

1.

$f\circ g$の Stein 分解 $X$ は $Y$ の G-被覆である.

5

2. $D(X/\}’\backslash H)=z$
3.

。

$\triangle_{g}\subset\bigcup_{\sigma\in(}-,’(\sigma(*\bigcup_{ii}^{r}D))$.

定理 3.4. 3.5 で見たように,の$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)/T$$\overline{G}-$

不変な部分群への$\overline{G}$の作用をみて新しい被覆を構成するという視点は今までの -hoc な構成法に統–的な視点を与えていると考えられる. これがこの報告で主張したい視点である. 以下定理 34 の証明の概略を述べよう (定理 35 については [3] を参照されたい).
$\mathrm{a}\mathrm{d}$補題 36.
は上で選んだものとする.
れらは全て合異なる有理関数である.

$\varphi_{1}=\varphi,$$\backslash \hat{r}$証明.

を示せば十分である.

$i=2,$$\varphi_{i}=\varphi_{i-1}^{\sigma},$$\ldots,$$q$

とおくと, ことする. このとき, 定義よりである.
は素数であり, $0<l-1<q$ であるから, $s_{1}(l-1)+s_{\mathit{2}}‘ q=1$を満たす整数が存在する. これから$\hat{\Psi}1\neq\backslash r^{\circ}/(l=2, \ldots, q)$$\varphi_{1}=\varphi\iota$)$\hat{\Psi}\Psi^{-^{\sigma^{(}}\prime-}=1$$q$$\hat{\Psi}\sigma=(\rho^{\sigma^{S}1^{(}}\prime i-1)+S\mathit{2}q=\varphi^{\sigma^{\mathrm{c}}1}\mathrm{s}(’-1)=\varphi$

をえる. これから,$o_{1}D_{1}+\cdots+a_{r}D_{r}-p(D;-D’’)$と$a_{1}\sigma^{*}D_{1}+\cdots+a_{r}\sigma^{*}D_{r}-p\sigma^{*}(D’-D^{\prime J})$は因子として等しい. 係数を比較すれば, これが成立するためには, $a_{1}D_{1}+\cdots+a_{r}D_{r}$が因子として等しくなければならないことがわかる. ゆえに,は torsion-free と仮定したから,を得る.
はである.
$H$ の生成元を与えるようにとってあるから, これは,が $H$ に非自明に作用するという仮定に矛盾する. 故に補題が従う.と$c\iota_{\mathrm{l}}\sigma^{*}D1+\cdots+(’,,.\sigma^{*}D_{r}$$‘ \mathit{1}^{JL}\approx_{\mathit{1})}L^{\sigma}$$L\sim L^{\sigma}$$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)$$L$$\overline{G}$

補題 3.7.

[$,$$=_{\iota}\hat{r}1^{\iota}\hat{r}_{2}\mathrm{A}\cdot$...

$\varphi_{q}^{k^{q-1}}$とおく.

$\theta$は方程式 $X^{p}-\psi=0$ の解の一つとする.

このとき

1.
2.

$X^{\prime)}-(.’$は $\mathrm{C}(Z)[X]$ で既約である.

$K=\mathrm{C}(Z)(\theta)$

証明.
により,

$X^{\prime)}-\{.$

は$\mathrm{C}(\Sigma)$の Galois 拡大で, その Galois 群は $G$ に等しい.

’ が $\mathrm{C}(Z)[X]$ で可約であると仮定する. 体論のスタンダードな議論$\theta\in \mathrm{C}(Z)$となるので,$\theta$

は$\theta^{p_{=}}’\psi$を満たす$\mathrm{C}(Z)$の元である. 両辺の因子を比較して.
$p( \theta)=\mathfrak{D}-p\sum_{=i1}^{q}ki-1(\sigma)^{*}i(D’-D^{\mu})$6を得る. これは仮定 33 に反する. 故に,$X^{\mathrm{p}}-^{\psi}$

は $\mathrm{C}(Z)[X]$ で既約である.の作用を $K$ まで上手くのばせるこ
次に $K$ が Galois 拡大であることを示そう.とをいえばよい. これをいう為に, ’l1)\mbox{\boldmath $\sigma$} を見てみると:$\sigma$$.\psi^{\sigma}$$=$$(\rho_{2}’\varphi_{3}\cdot\cdot\overline{\varphi}^{k}k.qq-2\varphi_{1}^{\cap}k^{q-}1$$=$$\frac{\dot{(}\rho_{2}^{k^{q}}}{\varphi_{2}^{k^{q}-1}\prime}\cross\frac{\varphi_{3}^{k}\prime q+1}{\varphi_{2}^{k^{q+1}-k}}\cross\cdots\cross‘\frac{\varphi_{q}^{k^{2q+1}}}{\varphi_{\mathit{2}}^{kq-k}\prime+1}\cross(\rho_{1}\prime k^{q}-1$$=$

従って,$\sigma$$\frac{\psi^{k^{(\prime}.-1}}{(\varphi_{2}^{u_{\Psi_{3}^{\cap}\varphi^{k}}}ku..qq-1u)^{p}}$の作用を$\theta^{\sigma}=‘\frac{\theta^{k^{q}-.\backslash }p}{(\varphi_{\mathit{2}}^{u}\varphi_{3}^{ku..l}\varphi^{k^{q}}q)^{p}u}$の共役元はすべて $K$ に含まれる. 故に, $K$ は Galois 拡大である. 位数$G$ に同型なので,である.
$pq$ の非可換群はとおくと,$\theta$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/\mathrm{C}(\Sigma))\cong G$をとると, t/-, の取り方
定理 34 の証明. 補題 36 と 37 から, $Z$ の K- 正規化の Stein 分解 $X$ は条件 1, 2 を満たす Gは条件 3 を満たし,から,$\tilde{X}$$\tilde{X}arrow Y$$\triangle(_{z}\tilde{\mathrm{Y}}/Z)$被覆である.
この節を終えるにあたって, $G=D_{2p}$ のときは, 仮定 33 が常に満たされていることを示そう.
$G=D_{\mathit{2},\mathit{1}}$のときは, $q=2$ であり, $k=p-1$ である. 故に,$\mathfrak{D}$$=$$\sum_{i=1}^{r}a_{i}\{Di+(p-1)\sigma D_{i}*\}$$=$$\sum_{i=1}.a_{?}.\{Di-\sigma*D_{i}\}+p\sum^{r}\prime \mathrm{i}=1ai\sigma^{*}D_{i}$となる. 従って仮定 33 は満たされている. 故に, [2], Proposition 1.1 が従う.

\S 4 例
被覆の例をいくつか紹介する. 記号はこれまでのの torsion-part が大切な役割をはたものを踏襲する. 前節で見たように,している. そこで、まずつぎの補題が成立することに注意しよう.
この節では.

‘$\mathrm{P}^{2}$の$D_{6^{-}},$$\mathfrak{S}_{4^{-}},$$\mathfrak{U}_{4}-$$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)/T$はその dual lattice とする. 交点形式を補題 41. $T$ は前節で述べた通りとし,の Pの部分群とみなし, $G_{T}=T^{\mathrm{v}}/T$ とおく.に埋め込んで用いて, $T$ を$T^{\vee}$$T^{\vee}$$T^{\vee}$$G_{T}$

7$\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{f}\iota 1$を$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)/T$. $Z$ の第 2Betti 数を $b_{2}(Z)$ とおく. もし,は -torsion をもつ.

$/_{J},$$l_{p}+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}T>b_{2}(Z)$ならば,$\mathit{1}^{j}$

証明については, [2] \S 3 を参照のこと.の line の引き戻しと以下の例では $T$ は: $Zarrow Z’$ の例外因子の既約成分を生成元とするものとする. この $T$ が \S 3 の仮定を満たすのは明らかであろう.
$\mathrm{P}^{2}$$\mu$

例 4.2. $B$ は特異点集合として 6 $a_{2}+4a_{1}$ を持つ平面 6 次曲線とする.

1.に沿って分岐指数 2 で分岐する被覆が存在する.
$Z’arrow P\Gammaarrow$ を $B$で分岐する 2 次被覆,:: $Zarrow Z’$ をその標準特異点解消と
し. $T$ を上記のようにとると, $l_{3}=6$ , rank $T=17$ である. $Z$ は $K3$ 曲面なので,は 3-torsion を持つ. 2 次被覆の involution. 故に. 補題 4.1 からから定まるの自己同型はこの 3- torsion に非自明に作用し, かつ \mbox{\boldmath $\sigma$}-不変である. ゆえに定理 34 から主張が従う.
$B$$D_{6^{-}}$)

$.f’$

$\mu$

$b_{\mathit{2}}‘(Z)=22$$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)/T$$-\backslash ^{\mathrm{v}}\mathrm{S}(z)/T$$\sigma$2.に沿って分岐指数 2 で分岐する被覆が存在する.
1 で得られる被覆を $Z’$ とおく. $Z’$ は型特異点を 12 個もつ.
$B$$\mathfrak{S}_{4^{-}}$$A_{1}$$D_{6^{-}}$

をその特異点解消とし, $T$ を上でのべたように選ぶ.

$\mu$: $Zarrow Z’$

は再び $K3$ 曲面となるから、 $b_{\mathit{2}},(Z)=22$ であり, $l_{2}=13$ , rank $T=13$ である. 故に,は 2-torsionをもつ. さらにこの 2-torsion へのが D6-不変かっの作用を見ると,に同型な部分群を含むことが分かる. さらに,の作用を詳しくみると、定理 35 の仮定が成立することがわかる. 故に主張が従う. 詳しくは [3] 参照.
$Z$$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)/T$$D_{6}$$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)/T$$D_{6}$$\mathrm{Z}/2\mathrm{Z}(arrow\dashv \mathrm{z}y_{1’}/‘ \mathit{2}\mathrm{Z}$

3.
.

$f’$

$B$:に沿って分岐指数 3 回分岐すつ$Z’arrow \mathrm{P}^{2}$

を $B$ に沿って分岐する$\mathfrak{U}_{4^{-}}$

被覆が存在する.

$\mathrm{Z}/3\mathrm{Z}$-被覆とする. $Z’$ の特異点は 6 $D_{4}+4A_{2}$である. 11 : $Zarrow Z’$ を $Z’$ の特異点解消とし, $T$ をこれまでと同様に選べば,$43$. $l_{2}=13$ . raltk $T=33$ が分かる. 故に補題 4.1 からが存在することが分かる. この 2-torsion への$\mathrm{Z}/3\mathrm{Z}$$b_{\mathit{2}}‘(Z)=$には位数 2 の torsionの作用をみると, 定理 35 の仮$\mathrm{N}\mathrm{S}(Z)/T$定が満たされることが分かる. 詳しくは省略する.

参考文献[1] H. Tokllllaga: On dihedral Galois coverings, Canadian J. of Math., 46 (1994),

1299-1317.
: Dihedral coverings of algebraic surfaces and its application, toappea1 in Trans. AMS.

[2] H.

$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{k}_{1}11\dot{\zeta}\{^{(}$)$\mathrm{d}b$8[3] H. Tokunaga: Galois covers for$\mathfrak{S}_{4}$and$\mathfrak{U}_{4}$and their applications, preprint 2000

[4] O. Zariski: On the purity of the branch locus of alebraic functinons, Proc. Nat.
Aca. USa 44(1957) 791-796