ころがり移動 - 円⑶ステップ１

中心の移動距離×直径

１ 図のように、半径１㎝の円が直線の上をＡ点からＢ点までころがった
ところ、円の中心の動いた距離（赤い線の長さ）が 3.5 ㎝でした。この
とき、色のついた部分の面積を求めなさい。

3.5㎝

ＡＢ

1

ころがり移動 - 円⑶２ 図のように、半径１㎝の円がＡの位置からＢの位置まで、点Ｐを中心にして回転したところ、円の中心の動いた距離（赤い線の長さ）が1.57 ㎝でした。このとき、色のついた部分の面積を次のように求めました。（）にあてはまる数を求めなさい。

Ａ1.57㎝

ＢＰ2

ころがり移動 - 円⑶求めるおうぎ形を、図１のように細かく分割します。次に、これらのおうぎ形を図２のように互いちがいに並べかえます。すると、もとのおうぎ形はほぼ平行四辺形になります。分割する数を無限に増やすと、図３のような長方形になります。

図３の長方形のたての長さは（）㎝、横の長さは（㎝なので、この長方形の面積は、（）×（）＝（）㎠となり、これが求めるおうぎ形の面積になります。

3）

ころがり移動 - 円⑶３ 図のように、半径１㎝の円が、おうぎ形の外側をＡの位置からＢの位置までころがったところ、円の中心の動いた距離（赤い線の長さ）が3.14 ㎝でした。このとき、色のついた部分の面積を次のように求めました。（）にあてはまる数を求めなさい。

Ａ
3.14㎝

Ｂ4

ころがり移動 - 円⑶

求める図形を、図１のように細かく分割します。次に、これらのおうぎ形を図２のように互いちがいに並べかえます。すると、もとのおうぎ形はほぼ平行四辺形になります。分割する数を無限に増やすと、図３のような長方形になります。

図３の長方形のたての長さは（）㎝、横の長さは（㎝なので、この長方形の面積は、（）×（）＝（）㎠となり、これが求める図形の面積になります。

5）ころがり移動 - 円⑶４ １〜３の結果から考えて、円の動いたあとの図形が下の図１のような長方形、図２のようなおうぎ形、図３のようなおうぎ形からおうぎ形をのぞいた図形の組み合わせで表されるとき、円の動いたあとの図形の面積は、「中心の動いた距離×直径」で求めることができます。これを参考にして、次の問いに答えなさい。

【図１】

⑴

【図２】

【図３】

図のように、半径１㎝の円が正方形の外側をころがって１周したとこ
ろ、円の中心が動いた距離が 14 ㎝でした。円が動いた部分の面積を求めなさい。

6ころがり移動 - 円⑶⑵図のように、半径１㎝の円が正方形の外側をころがって１周したとこ
ろ、円の中心が動いた距離が 20 ㎝でした。円が動いた部分の面積を求めなさい。

7

ころがり移動 - 円⑶５☆ ４の⑴⑵のような問題の場合、円の動いた面積は「中心の動いた距離×直径」で求められます。しかし、下の図１のように、直角の内側を円がころがる問題では、「円の動いた面積＝中心の動いた距離×直径」とはなりません。これについて考えます。

いま、図１のように、半径１㎝の円がＰの位置からＱの位置まで辺にそってころがったところ、中心の移動した距離が６㎝でした。

ＰＡ２㎝

Ｄ６㎝
Ｑ

Ｅ

【図１】

ＰＢ

Ｊ

Ｋ

Ｆ

Ｉ

Ｈ

Ｃ

【図２】

ＧＰ
Ｑ

Ｑ

【図３】

【図４】

8

ころがり移動 - 円⑶⑴

中心の移動距離６㎝に直径の２㎝をかけると、６×２＝12(㎠)となります。これで求められる面積は、図２の長方形（方形（⑵）と長）の面積の和になります。

⑴の２つの長方形が重なっている部分である正方形（の面積は、図２の白い正方形（））の面積と等しくなります。

⑶⑴、⑵より、「中心の動いた距離×直径」で求めた面積（12 ㎠）は、図３の色のついた部分の面積と等しくなります。しかし実際には、円が動いた部分の面積は、図４の赤い部分の面積になるので（ただし半円部分はのぞく）、実際に円が動いた面積（赤い部分の面積）は、「中心の動いた距離×直径」で求めた面積（12 ㎠）よりも、下の図５の赤い部分の面積だけ（大きく・小さく）なります。

【図５】

9

ころがり移動 - 円⑶ステップ２

多角形のまわり

６ 図のようなひし形の外側を、辺に接しながら半径 1.5 ㎝の円が１周するとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。





⑴

円の中心が動いたあとの線の長さは何㎝ですか。

⑵

円が動いたあとの図形の面積は何㎠ですか。

10

ころがり移動 - 円⑶７ 図のように１辺が４㎝の正六角形と、その辺上に半径が１㎝の円があります。円が正六角形の辺上をすべらずに１周するとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

⑴

円の中心がえがく線の長さを求めなさい。

⑵

円が通過する部分の面積を求めなさい。

11ころがり移動 - 円⑶ステップ９円の外側

８ 図のような半径３㎝の円の外側を、円周にそって半径１㎝の円Ｐが１周するとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。




⑴

円Ｐの中心が動いたあとの線の長さを求めなさい。

⑵

円 P が通ったあとの面積を求めなさい。

12ころがり移動 - 円⑶ステップ 10円の内側

９ 図のような半径４㎝の円の内側を、円周にそって半径１㎝の円Ｐが 1周するとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

⑴

円Ｐの中心が動いたあとの線の長さを求めなさい。

⑵

円 P が通ったあとの面積を求めなさい。

13

ころがり移動 - 円⑶ステップ 11

おうぎ形の外側10 図のようなおうぎ形の外側を、周にそって半径１㎝の円が１周するとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。

⑴

円の中心が動いたあとの線の長さは何㎝ですか。

⑵

円が動いたあとの図形の面積は何㎠ですか。

14

ころがり移動 - 円⑶11 図のようなおうぎ形の外側を、半径２㎝の円がころがって１周するとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は 3.14 とします。




⑴

円の中心が動いたあとの線の長さは何㎝ですか。

⑵

円が動いたあとの図形の面積は何㎠ですか。

15

ころがり移動 - 円⑶ステップ 14【発展】折れ線

12 図のような折れ線上を、半径１㎝の円が A から B まですべることなく転がって移動します。円周率を 3.14 として、次の問いに答えなさい。

４㎝

Ｂ３㎝Ａ⑴

⑵

４㎝

円の中心Ｏが動いたあとの線の長さは何㎝ですか。

☆

円が動いたあとの図形の面積は何㎠ですか。

16

ころがり移動 - 円⑶

■ 解答
１ ７㎠

■

２ ２、1.57、２、1.57、3.14
３ ２、3.14、２、3.14、6.28
４ ⑴

28 ㎠

⑵

40 ㎠

５ ⑴

ＡＢＣＤ、ＥＦＧＨ⑵⑶

ＥＪＣＩ、ＢＫＦＪ
小さく

６ ⑴29.42 ㎝⑵

88.26 ㎠７ ⑴30.28 ㎝⑵

60.56 ㎠８ ⑴25.12 ㎝⑵

50.24 ㎠９ ⑴18.84 ㎝⑵

37.68 ㎠10 ⑴31.27 ㎝⑵

62.54 ㎠11 ⑴34.84 ㎝⑵

139.36 ㎠12 ⑴10.57 ㎝⑵24.065 ㎠17ころがり移動 - 円⑶■ 解説 ■
１ ２×3.5＝７(㎠)４７⑴14×２＝28(㎠)⑵

20×２＝40(㎠)

６４㎝
４㎝

１㎝

1.5㎝
５㎝
５㎝

⑴

⑵

⑴

６つのおうぎ形は合体させると円になります。よって、
２×π＋４×６＝6.28＋24＝30.28(㎝)⑵円の動いたあとは上のような図形になるので、中心の移動距離×直径で求められます。
30.28×２＝60.56(㎠)

４つのおうぎ形は合体させると円になります。よって、
３×π＋５×４＝9.42＋20＝29.42(㎝)

円の動いたあとは上のような図形になるので、中心の移動距離×直径で求められます。
29.42×３＝88.26(㎠)18ころがり移動 - 円⑶８１㎝

９１㎝４㎝４㎝３㎝
３㎝⑴８×π＝25.12(㎝)⑴５㎝

６×π＝18.84(㎝)

２㎝

２㎝
４㎝
２㎝

３㎝⑵

５×５×π−３×３×π＝16×π＝50.24(㎠)⑵【別解】中心の移動距離×直径で求められます。
25.12×２＝50.24(㎠)４×４×π−２×２×π＝12×π＝37.68(㎠)【別解】中心の移動距離×直径で求められます。
18.84×２＝37.68(㎠)19ころがり移動 - 円⑶

10１㎝

11２㎝
８㎝

７㎝
10㎝

45°

８㎝

11
16×π×4＋２×π×4×３＋７×２⑴⑴

90＋90＋135＝315(度)45315
20×π×360＋４×π×360＋８×２＝2.5×π＋3.5×π＋16＝６×π＋16＝18.84＋16＝34.84(㎝)⑵

円の動いたあとは上のような図形になるので、中心の移動距離×直径で求められます。

＝４×π＋1.5×π＋14＝5.5×π＋14＝17.27＋14＝31.27(㎝)⑵

円の動いたあとは上のような図形になるので、中心の移動距離×直径で求められます。
31.27×２＝62.54(㎠)34.84×４＝139.36(㎠)20135°

ころがり移動 - 円⑶12⑴中心の動いたあとは、下の図のようになります。
【図３】

４㎝
３㎝
ＡＢ

図２の色のついた部分の面積は、
1１×１×π＋２×２×π×4＋(２＋３＋４)×２＝１×π＋１×π＋18＝２×π＋18＝6.28＋18＝24.28(㎠)

４㎝

よって、
1
２×π×4＋３＋２＋４＝0.5×π＋９＝1.57＝10.57(㎝)⑵

図３の図形の面積は、
1１×１−１×１×π×4

円の動いたあとは、図１のようになります。この面積は、図２の色のついた部分の面積から、図３の図形を引いて求めます。

＝１−0.25×π＝１−0.785＝0.215(㎠)よって、求める面積は、24.28−0.215＝24.065(㎠)

【図１】

４㎝
３㎝
ＡＢ

４㎝
【図２】

４㎝
３㎝
ＡＢ

４㎝

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