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算数・数学の授業における教 授 学 的 契 約
Didactical Contract in Mathematics Classroom
溝 口 達 也 ＊私たちは，日々の授業を実৻するにあたり，と教師によって準備され，かつ持ち込まれた教授もすると，様々な߆務にଵわれるがゆえに経験的場面において，児童・生徒は，一般に与えられたな展開に依拠してしまうことがあります。もちろ（数学的）問題のӂ決に取り組みます。そうしたん，過去の実৻報告はその意味で有用であること

取り組みは，教師の恒常的な指導法としての発問，は間違いありません。しかしながら，翻って考え手だて，制約（constraints）を児童・生徒がӂ釈すてみるとき，そのような経験的な展開は，なぜよることを通じて行われます。こうした，ある意味しとされるのか，ということについて，我々は，では特殊な教師の習慣は，児童・生徒によって期実は問いを持っていない，あるいは持たないとす待されるものであり，また逆に，これらに対するる傾向があることもまた事実ではないでしょうか。

児童・生徒の行動は，教師によって期待されるもすなわち，日々の実৻が，単なる経験的熟練によのであります。換‫ۄ‬すれば，教師と学習者の間のるのではなく，科学的であることを欲するわけで互恵的な責務（reciprocal obligation）であると‫ۄ‬え，す。あるいは，実際に実৻に携わる教師にとってこれをフランス数学教授学では「教授学的契約」

は，その射程とすることがまさにリアルタイムのと呼んでいます。

問題であり，学的体系を射程とする理論研究者のあらゆる教授学的状況において，教師は，学習普遍妥当性のଵ究における幻想と取られかねない者に取り組んで欲しい事柄を知らせることをࠌみかもしれません。しかし，もし授業を科学しなけます。理論的に，期待される反応に関して教師にれば，どんな授業が優れていたり，どんな点に改よって考えられた情報や行為の学習者への伝達は，善の余地があるか，などといった問いは生まれて学習者が教師によって意図される知࠭を実行するきません。決して，幻想ではなく，授業を科学すことを要求します。数学することの唯一の方法は，ること，それ自体が実৻であるといっても過‫ۄ‬で問題を探求しӂ決することであり，そうすることはないかと思います。換‫ۄ‬すれば，「経験によっで，さらに新しい問題を生み出します。従って，て۰られかねない教育の現象や数学上の知を理論

教師の扱う事柄というのは，知࠭を知らせること的・科学的に説明，記述し，明らかにするࠌみでではなく，よい問題を学習者に委譲（devolution）あり，それにより現象そのものとその性࠽を知るすることであるといえます。もしこの変換が行わこと」（宮川,2002）であると‫ۄ‬えます。

れ，学習者がそれを首尾よく取り組むならば，そ国際的に見たとき，そのような取り組みの一つ，こに学習は生じたと見なすことができます。

しかも最も体系的に取り組まれているものに，フしかし，もし学習者が問題を拒んだり，避けたランスの数学教授学があります。これのശ分的なり，あるいは問題をӂ決できなかったりした場合議論については，いくつか本誌でも御紹介したこについてはどうでしょう。そこで，教師は学習者とがございますが（溝口,01/1；02/4），今回取を支援するという社会的責務下にあり，時には，り上げる「教授学的契約」も，このフランス数学学習者への発問が難しすぎたと判断することもあ教授学の一つの要素であり，しかも極めて重要なるでしょう。

テーマであると‫ۄ‬えます。

このことは，教師と学習者が何を処理しなければならないか，また一方が他方に対して負う責任*ଧ取大学助教授は何であるか，ということを契約がどのように決1定するか示唆しています。教授学的契約は，こうプション間のコンフリクトによって生じます。すした契約の一ശであり，特に，内容すなわち数学なわち，一方で三ӿ形の内ӿの和はその形に依存的知࠭に固有のものとしてӂ釈されます。

するにも関わらず，他方で得られる測定値はどれ（Brousseau,1997）もおよそ 180以下では，Balacheff(1999) からの事例をもとに，であるということです。この活動のために，次のような 3 つの三ӿ形が用意されま具体的に見ていきたいと思います。事例は，（任す。A と B は内ӿの意の）三ӿ形の内ӿの和が 180 であることを証和を予測することが明する場面についてのものです。（実際には，フ必ずしも容易ではなランスの 7 年生を対象にしています。）子どもは，く，また C は他の 2 つと比べて೗常に小さいもの

三ӿ形に関するあらゆる測定値は，三ӿ形が大きです。子どもたちは，グループでこれらの三ӿ形くなればなるほど大きくなるというコンセプショの測定を行い，結果は再び‫ݗ‬板に書き留められてンを有していることが，フランスの 7 年生につい教室全体で議論されます。何に注目する必要があて知られています。このことから，大きな三ӿ形るだろうかといった教師のオープンな問いは，子であればあるほど，その内ӿの和も大きくなるとどもたちの中に三ӿ形の内ӿの和が何らかの正確します。このことの矛盾に直面することが，構成な値を持たなければならないことの意࠭づけを要されるべき推測の源になります。

請し，この正確な値の認࠭の問題が提֙されるこ

最初の活動場面で，子どもたちは三ӿ形を写しとになります。

取り，その内ӿの和を測定します。教師は，子ど上記のような活動の系列は，ある種の社会的相もたちが測定した内ӿの和を‫ݗ‬板に書き留めてい互作用に基づくものであり，そしてそれは，子どきます。ここまでで，得られたすべての測定値は，もたちに，真理に対する責任を要求するものであ

特にその値の違いを指摘されることなく教師によっります。上の事例の場合，推測を構成することをて受け止められ，従って書き留められます。この認めるといった認࠭の機能の形式において学習者違いは，子どもたちにとって特別の意味はありま間，あるいは学習者と教師の間のやり取りを組織せん。なぜなら，子どもたちは，三ӿ形が異なれする֖則の集合として記述されます。この֖則のば，その内ӿの和も異なると考えているからです。

集合こそが，教授学的契約を構成すると‫ۄ‬えます。

このことを意࠭化するためには，全員が同じ三ӿともすると，学習の結果としての知࠭を「その形を測定する必要があります。そこで，第二の活ように習ったから」と教師に依存する傾向を，子動場面では，子どもは，同一の三ӿ形のコピーをどもたち自身が「真理に対する責任」を担う主体配られます。子どもたちは，実際に測定をする前であるような学習指導を目指すことこそ，教授学に，どのくらいになるか予測するよう求められ，的契約の意図するところではないかと考えます。

その後実際の測定値と比ԁされます。子どもたち【引用文献】
Balacheff, N. (1999). Contract and Custom: Two Registers
of Didactical Interactions. The Mathematical Educator, 9
(2). pp.23-29.
Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations inMathematics. Kluwer Academic Publishers.
宮川 健 .(2002).教授学的状況理論 にもとづく コンセ プションモデル に 関する一考察.筑波数学教育研究,21.
pp.63-72.
【その他の参考文献】
Arsac, G., Balacheff, N. & Mante, M. (1992). Teacher's roleand reproducibility of didactical situations. Educational
Studies in Mathematics, 23 (1). pp.5-29.
Balacheff, N. (2000). Advanced educational technology:
Knowledge revisited. Liao, T. T. (ed.), Advanced
Educational Technology: Research Issues and Future
Potential. pp.1-20

は，同じ三ӿ形を測定したのだから同じ結果を得るはずですが，その値の違いを測定上の誤差として説明します。子どもたちには，最初に予測した値と実際の測定値との違いは問題とされません。
特殊な三ӿ形を選択した結果だからです。そこで，第三の活動場面では，三ӿ形の内ӿの和の不変であること，すなわち 180であることの問題の定式化が目的とされます。そのためには，複数の三ӿ形を測定する必要があります。ただし，この経験は，子どもたちが既有のコンセプションに固執するかぎりにおいて意味を持ちません。推測及びこれを証明することの要求は，次の 2 つのコンセ2