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- SnapApp12 -2004/09/22
小川隆博

スミスチャート
伝送線路を含め、高周波回路の色々な問題を数式を用いて解くことは、複素計算になりますのでかなり面倒になります。しかし、P. H. Smith の考案したスミスチャートを用いると、このような複雑な複素計算を、図表上で簡単に行うことができるようになります。計算尺では、積は対数をとると和に置き換えることができる性質を利用し、掛け算を中尺を動かすだけで簡単に行います。同じようにスミスチャートは、等角写像を利用し、高周波計算を簡単に行うことができる便利な道具の一つです。

反射係数と定在波比スミスチャートの説明を行う前に、スミスチャートの基本となっている反射係数と定在波について説明します。負荷インピーダンス Zr が線路インピーダンス Z0 に等しくない場合、入射波の一部は反射波となって電源側に戻ってきます。この反射波と入射波との間の干渉で、線路上には定在波が現れます。反射波と入射波の比を電圧反射係数と呼び、一般にΓ、またはΓｖで表わされます。

反射係数
負荷の反射係数は、伝送線路の基本式から(1)式のように表されます。

Vr − IrZ 0V2
Zr − Z 02
Γr ===− − − (1)Vr+IrZ0V1
Zr + Z 02
終端開放線路 では、Ｚｒ＝∞ですから、Γr＝＋１、また終端短絡線路では、Ｚｒ＝０ですから、Γr＝−１、となります。
Γｒ＝−１ ＜―――先端短絡Γｒ＝＋１ ＜―――先端開放
さらに、線路インピーダンスに等しい負荷インピーダンスを接続した場合、Ｚｒ＝Ｚ０ですから、
Γｒ＝０となります。この(1)式が、インピーダンスと反射係数の関係を表わす重要な式になります。

定在波比
負荷インピーダンス Zr が線路インピーダンス Z0 に等しくない場合、入射波の一部は反射波となって電源側に戻り、線路上に定在波が現れます。この場合、電圧の波腹の実効値と波節の実効値の比を電圧定在波比（VSWR）といいます 。定在波比は、(2)式のように表され、S=V max− − ( 2)V min

定在波と負荷インピーダンス、負荷反射係数の間には、次の(3),(4)式の関係があります。

S=1+ | Γr | | Zr + Z 0 | + | Zr − Z 0 |=− −(3)
1− | Γr | | Zr + Z 0 | − | Zr − Z 0 |S −1| Γr |=− − ( 4)
S +1

正規化インピーダンス
線路上の任意の位置から負荷側を見たインピーダンスは、伝送線路インピーダンスと比例関係にありますから、インピーダンス Z を用いる代わりに、Z と Z0 の比を用いることができます。
これを正規化するといいます。正規化インピーダンスを次のように定義します。

z = r + jx
ただし、

z = Z / Z 0, r = R / Z 0 , x = X / Z 0
ここで、Zo は伝送線路の特性インピーダンス を示します。これより(1)式の反射係数は、(5)式のように表されます。

Γ=z −1− − − (5)z +1

反射係数平面の図表(5)式において、インピーダンス平面の値である ｒおよびｘをパラメータ として、Γ平面を表わす図表を考えます。つまり、インピーダンス平面での動きが、Γ平面上でどのように動くかを考えます。(5)式で、Γの実数部をΓx、虚数部をΓy とすると、

Γ=z − 1 r − 1 + jx==+ j Γ y − − − ( 6)z + 1 r + 1 + jx Γ xとなります。この式を理解するために、ｒ、ｘ を片方ずつ可変して、インピーダンス平面と反射係数平面を並べて書いてみます。例えば、インピーダンス平面において、r=1 固定でｘのみを動かした場合の軌跡は、図１-a のように、上下にのびる直線になります。(6)式に、r=1 を代入し、ｘを少しずつ可変し、Γx、Γy の値をΓ平面上にプロットすると、図１-b のように円になります。
Z 平面

Γ平面
Γyｘ

Γx=1r
Γx

r=1(b)(a)図1r=1 の時のｚ平面とΓ平面の関係

こんどは、x=1 に固定し、ｒを-∞から+∞まで動かしてみると、図 2-b のように r＞0 の範囲
では、|Γ|＜１の円内で動き、r＜0 の範囲では、一点破線の線上を動きます。

2

Z 平面

Γ平面
Γy=1

Γyｘ=1ｘr

ΓxΓx=1
Γx=-1(b)(a)図2ｘ=1 の時のｚ平面とΓ平面の関係

このようにして、ｒ＝０の時、ｒ＝１の時、ｒ＝２の時とΓ平面上に軌跡を書き込んでいき、続いて、ｘ＝０、ｘ＝±１、ｘ＝±２云々と書き込んでいくと、図 3 のような図表が出来上がります。これが、基本的なスミスチャートです。

図3

インピーダンス平面のｒおよびｘの等値曲線は、円になってきますが、解析的にこれを証明することができます。(6)式を変形していくと、
2r 
1− − − (7 − a)−Γx
 +Γ =(r +1)
r +1 
2y2(Γ x −1) +  Γ y − 1  = 1 − − − (7 − b)x x
222の２つの式が得られます。これらの式は、円の方程式そのものであり、スミスチャートの等値曲線が円であることがわかります。(7)-a 式は抵抗 r が一定の場合のΓx、Γy の円を表わし、円の中心はΓx 軸上にあり、原点から r/(r+1)だけ移動します。また、円の半径は、1/(r+1)です。(7)-b 式は、リアクタンスｘが一定の場合のΓx、Γy の円を表わし、その中心は、Γx＝１の垂直線上で、Γx=1/x だけ上下に移動します。また、円の半径は 1/|x|になります。図 33

のスミスチャートは、ｒ＞０のエリアの図表ですが、これをｒ＜０の領域まで拡張することもできます。図 4 は負性抵抗領域まで表示したスミスチャートの例です。|Γ|＞１の領域は、インピーダンス平面では、ｒ＜０の領域に相当します。

Γ平面|Γ|=1 の円

図 4 負性抵抗領域まで表わしたスミスチャート

波数
波数とは、その文字の示すが如く、波の数です。負荷に伝送線路が接続された場合、反射係数は線路上で、絶対値 |Γ|を等しくし、位相のみを異にします。定在波電圧の最大値 を起点として、電源方向あるいは負荷方向に向かって測った波数 l1/λ、l2/λを用いて、線路上の任意の点の反射係数を表わすと、

Γ =| Γ | e− j4π ( l1/ λ )− − − (8 − a)

Γ =| Γ | e+ j 4π ( l 2 / λ )− − − (8 − b)となります。これをΓ平面上で表わすと 、（8）式は反射係数ベクトルの回転であり 、（8-a）式は時計方向の回転、（8-b）式は反時計方向の回転になり、図 5 のようになります。

電源方向の波数0.125
0.18750.062500.25

負荷方向の波数

0.43750.31250.375

図5反射係数ベクトルの回転を波数で目盛った図表

4その他の目盛り
スミスチャートは、図 3 の図表に図 5 の波数を重ねたものが一般的ですが、さらに定在波比の円やリターンロスの円、Q の円なども書き込むこともできます。

Q を示す
目盛り

リターンロスを示す目盛り

図 6 リターンロスと Q の目盛り
また、図 3 はインピーダンス平面の反射係数平面への等角写像でしたが、アドミッタンス平面を反射係数平面へ等角写像し、図 3 に重ねることにより、アドミッタンスの動きも簡単に把握できるようになります。アドミッタンス円は Y=1/Z を(7)式に代入し、Γと Y の関係

Γ=

1−Y− − − (9)1+Yを求めると、同様の図表を作ることができます。

図7

イミッタンスチャート

図 7 はインピーダンスチャートとアドミッタンスチャートを重ねたもので、イミッタンスチ
ャートと呼ばれ、高周波の設計には多く用いられています。

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