Ｎ進法⑷ - メーター

ステップ１ 実験

１ 下の図のような、コインの枚数を数える機械があります。コインを１枚入れるごとにＣの針は右回りに１めもり進みます。Ｃの針が１周するとＢの針が右回りに１めもり進み、Ｂの針が１周するとＡの針が右回りに１めもり進みます。めもりはＡ、Ｂ、Ｃの３つのメーターとも、０と１の２つです。



いま、コインの枚数とＡ、Ｂ、Ｃのメーターの様子を下の図のようにまとめました。次のページに、３枚から７枚までの様子を書きこみなさい。






 





1Ｎ進法⑷ - メーター

2


Ｎ進法⑷ - メーター２ 下の図のような、コインの枚数を数える機械があります。コインを１枚入れるごとにＤの針は右回りに１めもり進みます。Ｄの針が１周するとＣの針が右回りに１めもり進み、Ｃの針が１周するとＢの針が右回りに１めもり進み、Ｂの針が１周するとＡの針が右回りに１めもり進みます。



A の針が１を、B の針が０を、C の針が１を、Ｄの針が０指している状態を、「１０１０」と表すことにします。このとき、コインの枚数とＡ、Ｂ、Ｃの針の様子を、下の表にまとめなさい。

０枚

Ａ Ｂ

ＣＤ

０ ０００

Ａ Ｂ
８枚

１枚

９枚

２枚

10 枚

３枚

11 枚

４枚

12 枚

５枚

13 枚

６枚

14 枚

７枚

15 枚

3ＣＤＮ進法⑷ - メーター３ ２について考えます。※「Ｎ進法⑵」のプリントの１も参照のこと。
⑴

２の表から分かるように、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの針が表す数字をひと続きの数と見ると、（１の（⑵）進数になっています。これは、めもりが０と）種類しかないからです。

⑴のとき、Ｄのメーターは（）の位を、Ｃのメーターは（）の位を、Ｂのメーターは（）の位を、Ａのメーターは（）の位を表しています。

⑶⑵の理由について考えます。

   




4

 

Ｎ進法⑷ - メーター

①Ｄの針は、１めもり進むのにコインが（ア（ア②）枚必要なので、）の位を表します。

Ｃの針は、１めもり進むのにコインが（ア）×（なので、（イ③）＝（イ）枚必要）の位を表します。

Ｂの針は、１めもり進むのにコインが（イ）×（なので、（ウ④）＝（ウ）枚必要）の位を表します。

Ａの針は、１めもり進むのにコインが（ウ）×（なので、（エ⑷）＝（エ）枚必要）の位を表します。

⑴、⑵の考え方を使うと、針の表示が「１１１１」になるのは、（）×１＋（より、コインを（）×１＋（）×１＋（）×１＝（）枚入れたときとなります。

※これが、この機械が数えられる最高の数になります。

5）

Ｎ進法⑷ - メーター４ 下の図のような、コインの枚数を数える機械があります。コインを１枚入れるごとにＣの針は右回りに１めもり進みます。Ｃの針が１周するとＢの針が右回りに１めもり進み、Ｂの針が１周するとＡの針が右回りに１めもり進みます。めもりはＡ、Ｂ、Ｃの３つのメーターとも、０と１と２の３つです。



いま、A の針が１を、B の針が０を、C の針が１を指している状態を、「１０１」と表すことにします。このとき、コインの枚数とＡ、Ｂ、Ｃの針の様子を、下の表にまとめなさい。

０枚ＡＢ Ｃ

００ ０Ａ
７枚

１枚

８枚

２枚

９枚

３枚

10 枚

４枚

11 枚

５枚

12 枚

６枚

13 枚
6ＢＣ

Ｎ進法⑷ - メーター５ ４について考えます。※「Ｎ進法⑵」のプリントの３も参照のこと。
⑴

４の表から分かるように、Ａ、Ｂ、Ｃの針が表す数字をひと続きの数と見ると、（）進数になっています。これは、めもりが０、１、２の（⑵）種類しかないからです。

⑴のとき、Ｃのメーターは（）の位を、Ｂのメーターは（の位を、Ａのメーターは（⑶）の位を表しています。

⑵の理由について考えます。

 

7 ）Ｎ進法⑷ - メーター

①Ｃの針は、１めもり進むのにコインが（ア（②）の位を表します。

Ｂの針は、１めもり進むのにコインが（ア）×（なので、（③）＝（イ）枚必要）の位を表します。

Ａの針は、１めもり進むには、コインが（イ）×（なので、（⑷）枚必要なので、）＝（ウ）枚必要）の位を表します。

⑴、⑵の考え方を使うと、針の表示が「１１０」になるのは、（）×１＋（より、コインを（）×１＋（）×０＝（）枚入れたときとなります。

8）

Ｎ進法⑷ - メーター

ステップ２練習問題

６ 下の図のような、コインの枚数を数える機械があります。コインを１枚入れるごとにＤの針は右回りに１めもり進みます。Ｄの針が１周するとＣの針が右回りに１めもり進み、Ｃの針が１周するとＢの針が右回りに１めもり進み、Ｂの針が１周するとＡの針が右回りに１めもり進みます。

⑴



めもりが０と１の（）種類しかないので、この機械は（）進法になります。

⑵

Ｄの針は（）の位を、Ｃの針は（の位を、Ａの針は（）の位を、Ｂの針は（）の位を表します。

9）

Ｎ進法⑷ - メーター⑶

コインを（）枚入れると、Ａの針が１を、Ｂの針が１を、Ｃの針が０を、Ｄの針が１を指します。

⑷

コインを 11 枚入れると、Ａの針が（を、Ｃの針が（）を、Ｄの針が（）を、Ｂの針が（）を指します。

大きい位から考えると簡単です。

⑸

この機械で数えられるコインの枚数は（10）枚までです。

）

Ｎ進法⑷ - メーター７ 下の図のような、コインの枚数を数える機械があります。コインを１枚入れるごとにＤの針は右回りに１めもり進みます。Ｄの針が１周するとＣの針が右回りに１めもり進み、Ｃの針が１周するとＢの針が右回りに１めもり進み、Ｂの針が１周するとＡの針が右回りに１めもり進みます。

 ⑴

めもりが０、１、２の（）種類しかないので、この機械は（）進法になります。

⑵

Ｄの針は（）の位を、Ｃの針は（の位を、Ａの針は（）の位を、Ｂの針は（）の位を表します。

11）

Ｎ進法⑷ - メーター⑶

コインを（）枚入れると、Ａの針が１を、Ｂの針が２を、Ｃの針が０を、Ｄの針が１を指します。

⑷

コインを 77 枚入れると、Ａの針が（を、Ｃの針が（⑸）を、Ｂの針が（）を、Ｄの針が（）を指します。

この機械で数えられるコインの枚数は（）枚までです。

12）

Ｎ進法⑷ - メーター８ 下の図のような、コインの枚数を数える機械があります。コインを１枚入れるごとにＤの針は右回りに１めもり進みます。Ｄの針が１周するとＣの針が右回りに１めもり進み、Ｃの針が１周するとＢの針が右回りに１めもり進み、Ｂの針が１周するとＡの針が右回りに１めもり進みます。





 

⑴

⑵



 

 



コインを 108 枚入れると、Ａの針は（）を、Ｂの針は（を、Ｃの針は（）を指します。

コインを（）を、Ｄの針は（））枚入れると、Ａの針は３を、Ｂの針は１を、Ｃの針は０を、Ｄの針は２を指します。

13

Ｎ進法⑷ - メーター９ 下の図のような、コインの枚数を数える機械があります。コインを１枚入れるごとにＤの針は右回りに１めもり進みます。Ｄの針が１周するとＣの針が右回りに１めもり進み、Ｃの針が１周するとＢの針が右回りに１めもり進み、Ｂの針が１周するとＡの針が右回りに１めもり進みます。





⑵



      



⑴





コインを 500 枚入れると、Ａの針は（）を、Ｂの針は（を、Ｃの針は（）を指します。

コインを（）を、Ｄの針は（））枚入れると、Ａの針は５を、Ｂの針は５を、Ｃの針は５を、Ｄの針は５を指します。

14

Ｎ進法⑷ - メーター

ステップ３

【応用】変則Ｎ進法

10 下の図のような、コインの枚数を数える機械があります。コインを１枚入れるごとにＣの針は右回りに１めもり進みます。Ｃの針が１周するとＢの針が右回りに１めもり進み、Ｂの針が１周するとＡの針が右回りに１めもり進みます。

  



⑴



Ａ、Ｂ、Ｃの針がそれぞれ何の位を表すかを考えます。

①

Ｃの針は、１めもり進むのにコインが（ア（）の位を表します。

15）枚必要なので、

Ｎ進法⑷ - メーター

②Ｂの針は、１めもり進むのにコインが（アなので、（③なので、（）枚必要）の位を表します。

）×（）＝（ウ

コインを 17 枚入れると、Ａの針は（コインを（）枚必要）の位を表します。

を、Ｃの針は（⑶）＝（イ

Ａの針は、１めもり進むには、コインが（イ⑵）×（）を、Ｂの針は（））を指します。

）枚入れると、Ａの針は３を、Ｂの針は１を、Ｃの針は１を指します。

16

Ｎ進法⑷ - メーター11 下の図のような、コインの枚数を数える機械があります。コインを１枚入れるごとにＤの針は右回りに１めもり進みます。Ｄの針が１周するとＣの針が右回りに１めもり進み、Ｃの針が１周するとＢの針が右回りに１めもり進み、Ｂの針が１周するとＡの針が右回りに１めもり進みます。



コインを 70 枚入れると、Ａの針は（を、Ｃの針は（⑵

⑴

コインを（）を、Ｄの針は（）を、Ｂの針は（））を指します。

）枚入れると、Ａの針は４を、Ｂの針は３を、Ｃの針は０を、Ｄの針は１を指します。

17

Ｎ進法⑷ - メーター12 下の図のような、コインの枚数を数える機械があります。コインを１枚入れるごとにＤの針は右回りに１めもり進みます。Ｄの針が１周するとＣの針が右回りに１めもり進み、Ｃの針が１周するとＢの針が右回りに１めもり進み、Ｂの針が１周するとＡの針が右回りに１めもり進みます。



コインを 70 枚入れると、Ａの針は（を、Ｃの針は（⑵

コインを（

⑴）を、Ｄの針は（）を、Ｂの針は（））を指します。

）枚入れると、Ａの針は１を、Ｂの針は２を、Ｃの針は３を、Ｄの針は４を指します。

18

Ｎ進法⑷ - メーター13☆ 下の図のようなメーターがあり、コインを１枚入れるとＡの針は１めもり右回りに動きます。Ａの針が１周するとＢの針が右回りに１めもり動き、Ｂの針が１周するとＣの針が右回りに１めもり動きます。Ａ、Ｂ、Ｃの針が指すめもりが順に１、２、４のとき、これを（１、２、４）と表すことにします。はじめ、Ａ、Ｂ、Ｃの針が指しているめもりは（０、０、０）であるとして、次の問いに答えなさい。
Ａの針から動くことに注意しなさい。




⑴





はじめて（２、３、４）となるのは、コインを何枚入れたときですか。

19

Ｎ進法⑷ - メーター⑵

２回目に（０、０、０）となるのは、コインを何枚入れたときですか。

⑶

２回目に（１、２、３）となるのは、コインを何枚入れたときですか。

⑷

コインを 2000 枚入れたとき、Ａ、Ｂ、Ｃの針が指すめもりはどうなりますか。

20

Ｎ進法⑷ - メーター■ 解答■１３







⑴
⑵
⑶





２Ｃ００
１
１００
１
１００
１
１００１１

Ｄ０
１
０
１０
１０
１０
１０
１０
１
０
１

⑷









２、２
１、２、４、８① １、１② １、２、２、２③ ２、２、４４④ ４、２、８８
８、４、２、１、15
15

４
０枚
1枚
2枚
3枚
4枚
5枚
6枚
7枚
8枚
9枚
10 枚
11 枚
12 枚
13 枚

21




Ｂ
０
０００
１１１
１００００１
１１１







Ａ
００００００００１１１１１１１１






０枚
1枚2枚3枚
4枚
5枚
6枚
7枚
8枚
9枚
10 枚
11 枚
12 枚
13 枚
14 枚
15 枚





Ａ
０００００００００
１
１１
１１

Ｂ０００
１
１
１２２
２０００
１
１Ｃ０
１
２０
１
２０
１
２０
１
２０１



Ｎ進法⑷ - メーター

５８ ⑴



















⑵



９ ⑴



⑵
10 ⑴









⑴
⑵
⑶

⑷














⑴
⑵
⑶
⑷
⑸







⑵
⑶
11 ⑴
⑵
12 ⑴
⑵

 



⑴
⑵
⑶
⑷
⑸





１、１



１、２、２、２③ ２、３、６、
６
２、２、１
21
２、３、２、０115
１、０、２、０119
60 枚

⑶

103 枚

⑷

（２、２、１）









①⑵



  

1295

59 枚

７


２、１、５、２13 ⑴２、２１、２、４、８13
１、０、１、１
15



210

②



３、３
１、３、９
① １、１
② １、３、３、３③ ３、３、９、９
９、３、１、12、12

６

１、２、３、０






３、３
１、３、９、27
46
２、２、１、２8022Ｎ進法⑷ - メーター■ 解説■

６７


⑴
⑵
⑶
⑷

   



⑴
⑵
⑶

使える数字が２種類→２進法
上の図参照
８×１＋４×１＋２×０＋１×１＝13(枚)大きい位から考えると分かりやすい
11÷８＝１余り３(枚)→Ａは１
３÷４＝０余り３(枚)→Ｂは０３÷２＝１余り１(枚)→Ｃ１、Ｄ１⑷

使える数字が３種類→３進法
上の図参照
27×１＋９×２＋３×０＋１×１＝46(枚)大きい位から考えると分かりやすい77÷27＝２余り 23(枚)→Ａは２23÷９＝２余り５(枚)→Ｂは２５÷３＝１余り２(枚)→Ｃ１、Ｄ２【別解】小さい位から考えると、
Ｄは 11÷２＝５(周)余り１→Ｄ１
Ｃは５÷２＝２(周)余り１→Ｃ１
Ｂは２÷２＝１(周)余り０→Ｂ０、Ａ１【別解】小さい位から考えると、
Ｄは 77÷３＝25(周)余り２→Ｄ２
Ｃは 25÷３＝８(周)余り１→Ｃ１
Ｂは８÷３＝２(周)余り２→Ｂ２、Ａ２３)77３)25･･･２３)８･･･１２･･･２２)11２)５･･･１２)２･･･１
１･･･０
⑸
⑸

最高は「２２２２」だから、
27×２＋９×２＋３×２＋１×２＝80(枚)最高は「１１１１」だから、８×１＋４×１＋２×１＋１×１＝15(枚)【別解】Ａの次の位があるとしたら、Ａの次の位は、27×３＝81
よって、その１つ手前の、81−１＝80(枚)【別解】Ａの次の位があるとしたら、Ａの次の位は、８×２＝16
よって、その１つ手前の、16−１＝15(枚)23Ｎ進法⑷ - メーター【別解】小さい位から考えると、

８⑴     

Ｄは 500÷６＝83(周)余り２→Ｄ２
Ｃは 83÷６＝13(周)余り５→Ｃ５
Ｂは 13÷６＝２(周)余り１→Ｂ１、Ａ２

 





６)500６) 83･･･２６) 13･･･５
２･･･１

大きい位から考えると分かりやすい108÷64＝１余り 44(枚)→Ａは１
44÷16＝２余り 12(枚)→Ｂは２12÷４＝３余り０(枚)→Ｃ３、Ｄ０⑵【別解】小さい位から考えると、
Ｄは 108÷４＝27(周)余り０→Ｄ０
Ｃは 27÷４＝６(周)余り３→Ｃ３
Ｂは６÷４＝１(周)余り２→Ｂ２、Ａ１

216×５＋36×５＋６×５＋１×５＝1295(枚)【別解】「５５５５」はこの機械の最高の数。Ａの次の位があるとした、Ａの次の位は、216×６＝1296
よって、その１つ手前の、1296−１＝1295(枚)４)108４) 27･･･０４) ６･･･３
１･･･２

10⑵

64×３＋16×１＋４×０＋１×２＝210(枚)  



９



    









  

  

⑴





 ⑵



大きい位から考えると分かりやすい
17÷６＝２余り５(枚)→Ａは２
５÷２＝２余り１(枚)→Ｂ２、Ｃ１【別解】小さい位から考えると、
Ｃは 17÷２＝８(周)余り１→Ｃ１
Ｂは８÷３＝２(周)余り２→Ｂ２、Ａ２大きい位から考えると分かりやすい
500÷216＝２余り 68(枚)→Ａは２68÷36＝１余り 32(枚)→Ｂは１32÷６＝５余り２(枚)→Ｃ５、Ｄ２２)17３)８･･･１２･･･２⑶24

６×３＋２×１＋１×１＝21(枚)Ｎ進法⑷ - メーター

1112








⑴






































大きい位から考えると分かりやすい70÷24＝２余り 22(枚)→Ａは２22÷６＝３余り４(枚)→Ｂは３
４÷２＝２余り０(枚)→Ｃ２、Ｄ０⑴








【別解】小さい位から考えると、
Ｄは 70÷２＝35(周)余り０→Ｄ０
Ｃは 35÷３＝11(周)余り２→Ｃ２
Ｂは 11÷４＝２(周)余り３→Ｂ３、Ａ２

大きい位から考えると分かりやすい70÷60＝１余り 10(枚)→Ａは１10÷20＝０余り 10(枚)→Ｂは０10÷５＝２余り０(枚)→Ｃ２、Ｄ０【別解】小さい位から考えると、
Ｄは 70÷５＝14(周)余り０→Ｄ０
Ｃは 14÷４＝３(周)余り２→Ｃ２
Ｂは３÷３＝１(周)余り０→Ｂ０、Ａ１５)70４)14･･･０３)３･･･２
１･･･０２)70３)35･･･０４)11･･･２２･･･３⑵

24×４＋６×３＋２×０＋１×１＝115(枚)⑵

60×１＋20×２＋５×３＋１×４＝119(枚)【別解】「１２３４」はこの機械の最高の数。Ａの次の位があるとした、Ａの次の位は、60×２＝120
よって、その１つ手前の、120−１＝119(枚)25Ｎ進法⑷ - メーター13

⑴

１×２＋３×３＋12×４＝59(枚)⑵（２３４）はこの機械の最高の数。
あと１枚入れると（０００）になる。
よって、59＋１＝60(枚)【別解】Ｃの次の位があるとすると、Ｃの次の位は、12×５＝60→60 枚⑶はじめて（１２３）になるのは、
１×１＋３×２＋12×３＝43(枚)よって２回目に（１２３）になるのは、
60＋43＝103(枚)⑷・この機械は 60 枚で（０００）にもどるから、
2000÷60＝33 余り 20(枚)より、33 回（０００）にもどって、あと、20 枚。よって、残り 20 枚について考える。
・大きい位から考えると分かりやすい20÷12＝１余り８(枚)→Ｃは１
８÷３＝２余り２(枚)→Ｂ２、Ａ２・よって、（２、２、１）【別解】小さい位から考えると、Ａは 2000÷３＝666(周)余り２→Ａ２
Ｂは 666÷４＝166(周)余り２→Ｂ２
Ｃは 166÷５＝33(周)余り１→Ｃは１
よって、（２、２、１）
３)2000４) 666･･･２
５) 166･･･２33･･･１26