2019年10月26日
研究集会「Demographic Change」

テンソル解析を用いた
死因別将来死亡率の同時推定
明治大学 先端数理科学研究科 博士前期課程２年 鈴木孝太郎

明治大学 総合数理学部 松山直樹

2目次

研究動機

まとめ

Lee-Carterモデルの概説

参考文献

先行研究
死因別モデルテンソル型モデル

モデルの提案
実際の解析
使用データ推定結果

3

将来死亡率の推定は人口推計や死亡リスク管理に有用
死亡率の推移を表すモデルとしてLee-Carterモデルが知られている

研究動機
Lee-Carterを含む多くのモデルが年齢・暦年のみに依存するモデル
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 モデルの提案
 実際の解析

 まとめ
 参考文献死因を考慮することでモデルの予測精度を上げられないか？

4

この発想は過去に日本の人口推計で用いられていた以下の方式に繋がるがいずれもGompertzモデルのような関数フィッティングであった• 年齢別死因別死亡率補外方式• 標準化死因別死亡率補外方式

研究動機
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 モデルの提案
 実際の解析 まとめ

しかし、この方法は• 推定パラメータの多さ• 死因分類の改定における影響• 死因別データのデータ数の少なさ

等の問題とLee-Carterモデルに代表されるリレーショナルモデルの発展から用いられなくなった

 参考文献［引用］ 国立社会保障・人口問題研究所（2017）．「日本の将来推計人口」，『人口問題研究資料』

5

現在死因別死亡率推定を行う研究では全体死亡率で用いられる方法を死因別データに転用するものが多い

例（死因別Lee-Carterモデル） ： log 𝑚𝑥,𝑡,𝑐 = 𝛼𝑥,𝑐 + 𝛽𝑥,𝑐 𝜅𝑡,𝑐

研究動機
この方法は死因間の相互関係を無視しているため
 研究動機

将来推定には使えないという欠点がある

 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 モデルの提案モデルが大規模になってしまうため推定の安定性に欠けるという欠点もある

 実際の解析

 まとめ
 参考文献目的 ： 死因別死亡率の同時推定モデルの提案

6

Lee and Carter (1992)により考案された

対数死亡率を３要素に分解するモデル
高い解釈可能性と実装のしやすさから実務でも使われている

Lee-Carter
モデルとは

log 𝑚𝑥,𝑡,𝑐 = 𝛼𝑥,𝑐 + 𝛽𝑥,𝑐 𝜅𝑡,𝑐1947

 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

2016 先行研究年齢 モデルの提案
 実際の解析

Alpha

Beta

Kappa

平均水準

感応度

死亡率改善度

年齢

年齢時間

 まとめ
 参考文献7

低ランク近似に基づく項を加えるモデル(Renshaw and Haberman(2003))•拡張Lee-Carterモデル
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

Alpha

Beta

Kappa

平均水準

感応度

死亡率改善度

年齢

年齢時間

Beta(2)

Kappa(2)年齢時間

 先行研究 モデルの提案
 実際の解析

 まとめ
 参考文献パラメータの解釈が難しい

8

女性
Alpha

Beta

Kappa

年齢

年齢時間

Alpha

Beta

Kappa

年齢

年齢時間男女間の比較
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

男性 先行研究 モデルの提案
 実際の解析

 まとめ
 参考文献Kappaは似た形状をしている

9

男女間の比較
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 モデルの提案
 実際の解析

 まとめ
 参考文献スケールの違いを除いて同等であることが示唆↓
同一のパラメータでドライブされていると考えられるのではないか

10

死因別の死亡者数データに独立にLee-Carterモデルを当てはめたもの

死因別解析は以下の点で有効と考える

先行研究①
死因別モデル• 死因ごとのリスク検知• 個々のトレンドを反映した商品開発• 個々のトレンドを反映した全体死亡率の予測オリジナルな死因別Lee-Carterモデルの先行研究は見つからなかった• Girosi and King(2007)に詳細な分析結果がまとめられている

 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

Girosi and Kingによる実証によれば

 先行研究「Lee-Carterモデルは全死因のデータにはよく当てはまるが，死因別のデータには当てはまるものと当てはまらないものがある」と結論付け，

 死因別モデル
 テンソル型モデル

 モデルの提案

 実際の解析
 まとめ
 参考文献「死因別データに日常的に用いるべきではない」とした
他にも死因間の相互関係が無視されている，個々の死因のデータ数の少なさによる推定精度の不安定性などが問題視されている

11

先行研究①
死因別モデル
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 死因別モデル
 テンソル型モデル

 モデルの提案

 実際の解析
 まとめ
 参考文献［引用］ Girosi, F., & King, G. (2007). Understanding the Lee-Carter mortality forecasting method. Gking. Harvard. Edu.

12

野村(2018)によりテンソル解析を応用したモデルが提案されたこの論文では年齢，時間に都道府県の要素を追加し先行研究②テンソル型モデルという3階テンソルに対するモデルとなっている．

 研究動機Lee-Carterモデルが行列の特異値分解を基礎としているのに対し Lee-Carterモデルの概説

このモデルはテンソルの高次特異値分解という手法を基礎としている

 先行研究 死因別モデル
 テンソル型モデル

 モデルの提案

 実際の解析
 まとめ
 参考文献1次近似で説明しきれない（論文では近似精度の面で3次としている）
パラメータの解釈が難しいといった問題を抱えている．

13

以上の先行研究と背景から，次のようなモデルを提案する

提案モデル
 研究動機観測死亡率に0が多く含まれるため Lee-Carterモデルの概説

誤差項にはテンソル正規分布を仮定した。

に対するモデルとした 先行研究 モデルの提案
 実際の解析

 まとめ
 参考文献残差行列に特異値分解 → Lee and Carter（1992）
残差テンソルに高次特異値分解（CP分解） → 野村（2018）
テンソルに高次特異値分解（Tucker分解） → 今回の提案モデル

14

テンソル正規分布は次の密度関数をもつ分布である

テンソル正規分布 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究共分散構造を軸ごとに推定することが出来るという特徴• 年齢間の共分散• 死因間の共分散• 性別間の共分散を独立に表現できる

 モデルの提案
 実際の解析

 まとめ
 参考文献本研究は年齢・性別間を対角行列とし死因間を一般の共分散行列とした15

クロネッカー積の性質から次の式が成り立つ

テンソル
正規分布
スケールの一意性が無いため分散の値をそのまま評価できない
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 モデルの提案
 実際の解析

 まとめ
 参考文献ただし相関行列はそのまま比較することが可能

16

本研究ではWHOが公開しているWHO mortality databaseより日本人の年齢，暦年，死因基本分類（ICD），性別ごとの死亡者数・生存者数データを用いた．

使用データ

死因基本分類は約10年おきに改定されており、後方互換性がないため今回の研究では現在の死因基本分類(ICD10)のデータ

 研究動機（1995年から2015年までのデータ）を用いた

 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献またICD10は詳細（最大７万コード）であり個々の死因データ数が極端に少ないため厚生労働省が提示しているICD10準拠基本分類表の22項目へデータを圧縮して分析を行った

17

使用データ
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献18

WHOが公表しているデータは年齢が各歳のデータではないが本研究では各歳に展開するなどはせずそのままデータを扱った

年齢区分の構成は下記の通り

使用データ

番号

年齢区分

10歳

 研究動機2

1歳から4歳 Lee-Carterモデルの概説

3

5歳から9歳 先行研究4

10歳から14歳

 提案モデル（以降5歳区分） 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献1880歳から84歳

19

85歳以上

この結果今回用いるデータのテンソルは次元19× 21× 19×2の4階テンソルとなった

19

推定結果は下記の通り
モデル

対数尤度

パラメータ数AIC

提案モデル

1635771296-324562

死因別Lee-Carter4844

2204-5360

推定結果
また年齢・性別間の分散（対数スケール）は下記の通り
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献20

死因間の相関行列は下記の通り

推定結果
精神及び行動の障害
 研究動機神経系の疾患 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究耳及び乳様突起の障害

 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献症状，徴候及び異常臨床所見・異常検査所見で他に分類されないもの

21

提案モデル（誤差項を除く）のkappa以外の項を

𝜅𝑡 の制約条件のようにおくと 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究と表現できる

 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献ここで本研究ではであるためを仮定し、を満たす必要があるのでに対してARIMAモデルを当てはめた

AICによりモデル選択をしたところ、ARIMA(0,1,1)が選択された22

得られたモデルの式と推定されたパラメータは下記の通りである

ARIMAモデルの推定結果
 研究動機パラメータ推定値

標準誤差

𝑑-0.01880.0033

 先行研究𝜃

-0.52200.2628

 提案モデル

𝜎𝜖20.0008265-

 Lee-Carterモデルの概説

 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献23

Kappaの平均構造は下記の通り

𝜅𝑡 の将来推定
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献24
感染症及び寄生虫症：男性

将来推定結果 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献新生物＜腫瘍＞：女性

25
眼及び付属器の疾患：男性

将来推定結果 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献妊娠，分娩および産じょく：女性

26

提案モデル

時間平均項のあるモデルとの比較
比較モデル
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献モデル

対数尤度パラメータ数AIC

提案モデル

1635771296-324562

比較モデル

1685002018-332964

27

精神及び行動の障害

時間平均項のあるモデルとの比較
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献時間平均項のあるモデルによる長期予測はグラフの概形を保てず死亡率改善を過大評価していることが示唆された
傷病及び死亡の外因
このことから長期の死亡率予測には適さないと判断した

28

死因別死亡率を合算した全体死亡率をLee-Carterモデルと比較する
観測データ

Lee-Carterモデルとの比較
 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

Lee-Carterモデルによる推定値

提案モデルによる推定値

一致度84.37%

一致度
75.49%

 先行研究 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献29

死因別死亡率を合算した全体死亡率をLee-Carterモデルと比較する

予測平均による比較

Lee-Carterモデルとの比較

Lee-Carterモデルによる推定値

提案モデルによる推定値

 研究動機 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 提案モデル 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献低年齢層と高年齢層で違いが見られた

30

シミュレーションによる比較

Lee-Carterモデルとの比較

提案
モデル

 研究動機死亡率改善が提案モデルの方が緩やかに推定された

 Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 実際の解析 使用データ 解析結果 まとめ
 参考文献Lee-Carter 提案モデルモデル

31

Lee-Carterモデルとテンソル分解のアイデアから新たな死亡率モデルの提案を行った

死因別死亡率を同時推定し、かつテンソル正規分布を用いて死因間の 相互関係をモデルに取り入れることで全体死亡率と整合的な推定が可能

まとめ
 研究動機死因別Lee-Carterモデルと比較してAICを非常に低くすることが出来た
全体死亡率をLee-Carterモデルと比較して長期予測で形を崩さない推定が出来た Lee-Carterモデルの概説

 先行研究 提案モデル死因ごとの死亡率トレンドを把握することで国の医療政策や保険会社の商品政策に利用できる 実際の解析

 まとめ
 参考文献死因分類の大幅な改定があった場合の比較可能性の問題
誤差項に正規分布を仮定する妥当性

32
1.

Booth, H., Maindonald, J., and Smith, L. (2002). Applying Lee-Carter under conditions of variable mortality decline.
Population studies, 56(3), 325-336.

2.

Brouhns, N., Denuit, M., and Vermunt, J. K. (2002). A Poisson log-bilinear regression approach to the construction ofprojected lifetables. Insurance: Mathematics and economics, 31(3), 373-393.

3.

Cairns, A. J. (2000). A discussion of parameter and model uncertainty in insurance. Insurance: Mathematics and Economics,
27(3), 313-330.

4.

Girosi, F., and King, G. (2007). Understanding the Lee-Carter mortality forecasting method. Gking. Harvard. Edu.

5.

Hunter, G., and Luis, C. (2018). An expectation–maximization algorithm for the matrix normal distribution with anapplication in remote sensing. Journal of Multivariate Analysis, 167, 31-48.

6.

Kolda, T. G., and Bader, B. W. (2009). Tensor decompositions and applications. SIAM review, 51(3), 455-500.

7.

Lee, R. D., and Carter, L. R. (1992). Modeling and forecasting US mortality. Journal of the American statistical association,87(419), 659-671.

 研究動機8.

Lee, R. (2000). The Lee-Carter method for forecasting mortality, with various extensions and applications. North American
actuarial journal, 4(1), 80-91.

 Lee-Carterモデルの概説

9.

Li, J. S. H., Hardy, M. R., amd Tan, K. S. (2009). Uncertainty in mortality forecasting: an extension to the classical Lee-Carter
approach. ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA, 39(1), 137-164.

参考文献

 先行研究 提案モデル 実際の解析

 まとめ
 参考文献10. Manceur, A. M., and Dutilleul, P. (2013). Maximum likelihood estimation for the tensor normal distribution: Algorithm,minimum sample size, and empirical bias and dispersion. Journal of Computational and Applied Mathematics, 239, 37-49.
11. Renshaw, A. E., and Haberman, S. (2003). Lee–Carter mortality forecasting with age-specific enhancement. Insurance:Mathematics and Economics, 33(2), 255-272.
12. Renshaw, A. E., and Haberman, S. (2006). A cohort-based extension to the Lee–Carter model for mortality reduction
factors. Insurance: Mathematics and economics, 38(3), 556-570.
13. 国立社会保障・人口問題研究所（2017）．「日本の将来推計人口」，『人口問題研究資料』
14. 野村俊一（2018）．「テンソル分解を利用したLee-Carterモデルの拡張と都道府県別生命表解析」，『JARIP研究発表大会
2018予稿集』

ご清聴ありがとうございました．