確率数理工学 3
ここまでは確率測度は与えられたものであった.
では、確率測度を構成するにはどうすれば良いであろうか？
•

分布関数"もどき"の F が与えられているとする。すなわち F は以下をみたすものとする：

下川たり、籡箭"鬱（右連続）感。下川=0. fyi。死に I（3）※ F は （R,BCR））上の確率測度に対応しているとは限型
Q:

F を分布関数とする石隺率測度 P(FM）=p（にがい）は存在するか？

Q ： それは一意か？

A : Ye s .

まずは、区間（a.b］の確率をP（19.b］）=F(b）-F(a）とする.

区間の集合を

S = 1 （ 9 b ] l a b E R u に。1｝とする

g の元を可算無限回貼り合わせて恁意噬全 ACR の確率を定める.

S.Ac！が、癲がMA）：=inf II,PCB：）/Bae 選

が郷に制限〇
しかも肌は、a］）=Fla）.

外 測 度 と言う
実は. P t l ）上の確率測度に
これをなることが示せる。
確率数理工学3 (2023)

事
1 / 18$［より詳しく］・確率測度の構成と一意性
らI）

まず p(cab］）=F(b）-Fbi） （ab）とする.

iii.

た

1：：：
：：：：
：：：：
：：.........
① 8=1cab］1-aE a s bE からは"集合半代数"に

窓 治時が、かたな拡張は「頭なっている。

②

次で出補足資料（a.b］=！Can.b：］と互いに重なりのない区間（た的に 1.2....）に分割した時、をみたすことが示せる（非自明）P（（ab］）=！Mai,bit）

Pは（F(b）-FH=&（Hb：）-Hai））

p は 8 上で 6-加と言う

yコンパクト性を使う.
i，圳が。

｛p が迦 に AES）に・1S上で 6-加法的上の 3 つの性質をみたす S 上の集合関本文 PS→ に 1］はS を含む最小の 6-加法族 6（S）上の確率測度へ一意に拡張される。

6（5）はを含む最小の6-加法於_
A.

確率数理工学3 (2023)

2 / 18•#BCR）上の測度の構成 （Hopf の拡張定理）
咀（集合半代数） （半環は RES を要請しない）

S が集合半代数や /|"） 中 . r e s（2）

Sはたシステム（A,BES An B E D

AES なら、AC は有限個の互いに排なな集合 B.....，RES に分割される
A E YIB a ( B iE S , B i n

B Eli.は
j = 1-e
中でな必 asb a d は集合半代数 @PS→に、1］は S上の 6-加法的集合ーー関数であるとする.

ばし「簡斎越A n S が互いに排なかっAnts なら
（An）
に）

とな

E

☆ の場合. PKa.D）=F(b）-F(a）とし.
Can.hn］=（9.b］ と書けるなら.

I

Iであることは示せる。

つまり、

Can.hn）（に 1.2....）が互いに排反でPlan.hn］）=P(lab））=F(b）-Flo）

S 上 6-加法的である。

任意の部分
ーー 集 合 A n (AES とは限らない） に対して、 P より定まる
外測度 P*を以下のように定める：

S.Ac！が遼魲進MA）：=inf II,PCB：）/Bi E（ActtB：を有限和 A，かとすると.Jordan 外測度呼ばれるものになるが、これでは不十分である.

t6-加法性が出ない.）

確率数理工学3 (2023)とpgjg
3 / 18を

ここで'D：=｛Dcr

I PYD）+ MDC）=I｝とおくと、 以下が成り立つ、

凹 1.0 は 6-加法族.
2 .

がの D への制限は（r.&）上の確率測度になっている。

（非自明、補足資料に証明はのせてある）.
（i)VAE S で PTA）=PA）が示せる.

作"せよ.

（ACYI なるかについて.が二 BinA とすればたた A.これと P の劣加法性が NA)EYE）
な（ii）今、AS（：たシステム）

EMR））

E

S の定義と、Pが S上 6-加法的であることから、

SCO が示せる.

の熱な？筎に咖い！！！：：ぶの第鬱𤎼蕭門の：：""""""''t-

ヨ Bi,Bz....、BmE S で 、 バ = R u . . . u Bm である.

全部「山元.

構成よりたが（A）+MA'）El

P の SIG 加法性

しかも、p*の劣加法性 MA)tMA'）ZI が示せるので（チェックせよ）.

（iii）

|

、

8 が 6-加法族であることと合わせて、 6（SKD もわかる.

p*は.Pの 6（S）への"拡張"を与えている☆ の場合、6（S）=BCR）なので、P*は BCR）上の確率測度を与える、

さらに、このような測度は 一意に定まることが言える。 → 次ページ

確率数理工学3 (2023)

4 / 18・-

拡張の一意性Dynkin ので入定理
目標： 分布関数 F が与えられれば対応する確率測度 P が一意に定まることを言いたい。

つまり、2 つの確率測度 R.B が
P.（は、a］）= B に a］） FK） をみたすなら、
P，（A）
Pz (A） （KAEB 側） となること==を示した u.

'#.たシステム：-（ただし、そのような測度が存在することはすでに言っている）

集合族 P がたシステム

A.BEP なら AnB E D（有限回の共通部分を取る操作についてたシステム：

閉じている）

BIA：=BnACa , r e d
爪に）
BHEL
ABEL,ACB（3 K A K A , E E d）A I AnE L/

集合族人が九一システムの(Dynkin 族）☆ 6-加法族はたシステムでも入システムでもある.
☆

先の集合半代数は不システムだが、入・システムではない.

6（P）：P を含む最小の 6-加法族とする.
LP）：P を含む最小の入・システム型（Dynkinの定理） （証明は後述）
P はたシステムで、 人は P を含む入・システム（PCL）であるとする。

すると、 6 （ P ) C Lである。

特 に 、 6（P）= LCP）である。

なぜなら、

Dynkin の定理より、6（P）は（P）が成り立ち、か）任意の 6-加法族は入・システムでもあるので、6（P）は P を含むがシステムでもある。つまり 6（PDL(P）が成り立つ
よって 6（P）=LLP） である。
確率数理工学3 (2023)

5 / 18

Dynkinの定理より次の命題が示せる.

に「（r.F）上の確率測度
し AE Pをみたす なら、

R . B が 、 あるたシステム PCF において.

RCA）=BCA）

で「BE6（P）で R（13）=13（13）Xが成り立つ.

(CorI の 証 明 ）まずむ ニ ｛AEFIP(A）=ル（Al｝ とすると. d は入・システムになっていることを示す.

（I) P，（r）=1， R(r）=1 より. I

E d .

に） A . B E L , A C B とすると. P.（A）=B(A）が P.（B）=BCR） である。

確率測度の性質（加法姓）より.
P，（BIA）=R(B）-PCA） =

よって、
（3）

B I AE L

を

得る。

なので.

=

12（BIA）.

確率の連続性より
P.（An）fig= f y R(An） B ( I An）

A , CA a c Asc... E d
P，（YAn） =B(D-RCA）

I AnE d

とする、

=

である

以上より、 人は九一システムであることがわかった.

仮定より PCL なので、 Dynkin の定理から、 6 （ P C L である.

L 上で R とに は 一致するので、6（P）上でも両者は一致する.

ftp.

さらに、この系として、 分布関数が共通な 2 つの確率測度が（IRB 側）上で一致することが示せる.

に 2 （R,BURD 上の確率測度 R.Pz がlike.as）=B Go,a］）=F(a） は ER） をみたすな

DLR）上で P、二に である。
（Cor2 の証明）

ら、，

P=1（一・，a)laER｝ は たシステムである.仮定より. YEP で脈に脈）である。よってCorI より RCB）沼（13） に BEG）でもある こ こ で 、、

6（P）=日（R）であることに注意すると、これは B(R）上で PER であることに確率数理工学3 (2023)

他ならない.

/ 6 / 18

［参考］これから. Dynkin の定理を示すが、その前に次のことを注意しておく.

したんが九一システム（|（1）'s E L
（2）'A E d

A と 2

' A nn Am=中 に吽 n）， AnEd なら、
AnE L である.

（う）

I

y

（証明）
（ニ）のみ示す）（1）'は定義から自明.

が従う.

（ら）
'を示す。

に 1'も n E d な の で R I A EL.つ ま り A'EL

そのため、まずはA.BEL,An13=4 に対し、

RIA なので.
N I A ) I BE んでもある。ここで（RIA）|B=AS か なので. A hB E L .
に）'より、A h B E f な ら （AhB'）EAUB E L である.

A uBEL であることを示す.

（2）より RHEL である。また B C

D t A たが あとは. ht 年にも 出 Aa E d より従 /
Am
（And
It)

⇐

）は自分でチェックせよ.

確率数理工学3 (2023)

least

t（3）よ
り.

今示した.

は

Bn 治作

単調増大

7 / 18(Dynkin の定理の証明）

証明の方針： f(P）がたシステムであることを示す。実は入システムがなシステムであるなら、それは 6-加法族であることが示せる、つまり、6（P)CL(P）が成り立つ、レである集合族なが.たシステムでも N システムでも
B は
あるとき、
6-加法族である.
（証明）

（l) n

ER は入・システムの定義から明らか.

に） A ER なら ACE B であることも性質にはり従う（ろ）

まず有限和について 閉じていることを示す.
A.BE よとする.A と B は互いに疎であるとは限らないので'を使えない、しかし、B はたシステムなので、An B EB である。

（う）

AiiA では BI(AnRKB で もある。 また.（り、（2）より 4=に）CEB であるので.

よって、入システムの性質より

i入・システムの性質（3）'より、

A u B=（Al(AnB））v(Bl(AnB））v(AnB)uh t . . .

互いに蘞
いな ま
い ま るしる い
'

E

B

AT

である。このことから.

A..An-.-EB なら、 （Ann

が、An

よって、

E B であるとは限らない）騑た響が出築いる'人に含まれる.

なお、最後の himE B は A に AIC--EB に性質（3）を適用した
以上より、B は

確率数理工学3 (2023)

6-加法族である.

/

8 / 18

？：な空きになら幾選前には邶脳LCP）の定義より.な前
これが示されば、 f(P）76（P） であり、か つ 、 L
が喉に

iii.

と

f(P）がたシステムであることの証明：

GA：= 1 BE6（D1AnBed

）

｝

とする。

（i) AEHP）なら GA は入・システムである。
なぜなら、
（l）
'
'

（2）

（ろ
）

'

R E GAf ! r n A=AE※※ 獄B E G A な ら . A n BEL(P）であり、 A Ed(P）であることとあわせて. Al(AnB） = A n BCELCP）でもある。

つまり、 B'EGA である.

Ba E GA が互いに排反であるとする.

I fREGA を示した a.

A n ( I Bn）= Y(AnBn） であるが. B nEa より、AnB nE N Dである。しかも. （AnBn)nは互いに押阪であるのでY(AnBn)ELCP）. つまり. I、

BnEGA である。

よって GA は九・システムである.

（ii) A EP なら LCP)CGA である。

なぜなら、まず AEL(P）でもあることから（i）より私は入・システムであることに 注意する。 今、P はなシステムなので「BEP は B nA EP である。つまり、P を含む九・システムなので、LCP)CGA である.

「BEP は BEGA である （PCGA）. よってGAはI、

このことから. A E P . B E LCP） に対し、 A nB ELCP）である。

あとは A を AEHP）まで広げたい.

（iii) A E N D なら、 LCP）は A である。

i）より、 UBEP に対し. A nB E
（iなぜなら、
LCP）であることは示されているので、
P C GA である。また（i）より A は（P）なら私は入・システムなので、LCP)CGA でもある。 よって、AEd ）なら、名は ）でBEND）をみたす
An

確率数理工学3 (2023)

つまり、と（P）はたシステムである.

/ /9 / 18$咀（多変量確率変数、多次元確率変数、確率がに 、扑 の 測 空 間が（い.....Xn）：r→R"が多変量確率変数（確率ベクトル）> ※ r → R が 確 率 変 数 . i e , X i K a aD E F E a t⇐

Myに ". . n )別の安達

T:r→ 成が確率ベクトルかが（A)EF(TEB 側）.

× 長に砅であるてきた！た碆いた？！！！！：（上

石は連続関数なので「1 測。叶測関数の合成は「1 測なので、Xkもの測じたい.....h）.

d=1I、x...x In41 で（IE CanbeT. a t ） ｝下）：

Et に対し.が（A）=ただ（Ia)EF である。

とすると.A=I，が In
あとは、GA）=B（1 が） とが（6（t））=6 ばば）
で集合族が対で（第鼺）に気をつければ.
が（BAR"））=が 16（か）=6（MAI）
C F

を得る.
。

TTQFなのでが（t にした（A)IAEA｝

と書く.

/

直積 6-加シ學： （ m Fa）（た 1.....n）を可測空間とする.

r.x.in 上のET6-加法族たが
×
な賑
斎.si
1 A , x x A nl A n らを含む最山の 6 加えた_を怍
これを.直積 6-加法族と呼ぶ.

→）が ×1 皦る奴） である。（演習問題）
実は、BC

確率数理工学3 (2023)

10 / 18$❤

甠（同時分布関数）に，FP）：確率空間""たの.....灬
FG に FN......In)t P ば 1Xe爕k（4.....Xn）：I→R"

を確率ベクトルとする.

I=（1....，Ku)ER"について.

Exit)FK.）に）としたとき、 F をした（K.....Xu）の同時分布関委父 と言う（joint distribution function）

特にFa....、川=！！...f!flu......an)du....dun（ルベーグ積分）に？：：：鬱鬱.：：：：：..摯
f を 同 時 確 率 密 度 関 数 と言う.
時'！：：：：：：：：：：：襲
下がルベーグ測度にいてE（同時分布関数の性質）
I .

a Ease, b , E h

2 .

bin

F いい）に）t.at。
ル、

Flab.）E Fla，に）=Flab）（単調性）（右連続性）

t o
いb
ル、

3.

感が"""".！！：： F"""に、燕；F"""2）=031，→+.確率の連続性より極限の取り方によらない
ftp.3についても同様の性質が成り立つ.

に 上y

1 次元の場合と同様にして.性質 1.23 を満たす F がよえられれば、（R".B 側）の確率測度が一意に決まる.（た入定理、㗅の拡張定列

確率数理工学3 (2023)

11 / 18

DI（周辺分布）
F（川）= FN、，to）=P(KEK）に PM E X n k Ea））
を、と の 周辺分布関数という.
（marginal distribution fund）

た（k）= P(XzE N ） も 同 様
より一般に Fh いた）= P（たかた）Fella に fifthを Xa の周辺分布関数と言うと非負に 1測）関数なを用いて書ける時.

for を 周辺確率密度関数という同時分布が絶対連続なら. 周辺密度は.

yfe Pla）=ffffflu......Um，た，hi.....Un)duidueで与えられる.

確率数理工学3 (2023)

これだけ固定d e a du n

12 / 18咀（確率変数の独立性）
X.. . . . s k i n . が 独 立

tFM....，xn）= FCK）-_-た（xn）にいい....が）ER"）と分解できる.

/同値な定義がいくつかある。 以下の定義はその中でもわかりやすい定義である.

凹 .

X.....X:r.v.が独立

もP MEA.....，KEAn） に P 自信熊川

= M eA.）...PCK EAn）#

iain：：.
.

（証明）

下の定義が上の定義を与えることはすぐわかる。

逆を示した u、
そのためにた入一一定理を用いる。 （再掲、前ページおよび前回補足資料参照）

o たシステム i 集合族 P がたシステムも A.BE P なら AnB E P
o 入システム：集合族 L が入・システム⇐）| A . B EL、ACB ！筲（LB)A.C a - E L
AsA、c ofA nE L
a ) r

e

L

（2）

注：6-加法族は志碧台長。

正（Dynkin の不入定理）

あるがシステム L が、あるなシステム P を含む（PCL）なら、

6（DCL

である.

// が証明は

2 変数で示す 多変数の場合は同様に帰納法で示せる
A ， = 1 f a n ] l KER｝， d =K A G A ， 「BEA
また、

1 人が 23|KER｝とする，

補足資料を参照のこと.

に対し.PIKEA、KGB に脈 EA）脈 EB）で、

6（A）=BCR）、6（d）=BCR）

確率数理工学3 (2023)

前回のであることにも注意する.
13 / 18

今. A zE d を 1 つ固定して.
とする.

LAERR)IP(KEA n K E Az）=P(KEA)PazEADYにLsd.であることは独立性の定義から従う

人が入システムであることが示せればな入定理より. old，）=BCR）はが言える.
（a) r = R E L . なぜならPMER，た EA）= P（た EA）=PEELP a zEA）
（b) A . B E L か つ AC Bとする、このとき.

K E AI nKEN））

P(XE(BIA），h e A.）=PHXEB hKEADY
A.BE人より T=

P(KEB,XzEA2）-P(KEA,X2GHz)oP ME B ) P M GAz）-P(KEA）.MEA.）=（P(KER）-PC
x EA））PCX2GHz）

=

よって.
（c）

P(X、ERIA）・ P H E Az）

BIAE L

月、CNC-.. E L のとき.

PIXIE YT, KEA2）=Pl

X'に An）= Y が（An）より

o r{KEI,D n IKEA.1］

P(I(ME 問 n 142EN）には、1） に確率の連続性=fig P(MENに.In の単調性）=

n=fig PMEIn）.PH 姤）靡
In）・ P袽P(KEY （42EA2）

=

よって.

瘕火鉱）

YEInE L である.

6（A）は が言えた、
以上より L は A-システムなので.

EBM、「BEA に対し. P(AEX.BEに）=P(A

つまり、 「AEx）.P(BEた）.

BCR）を固定して.dz の方に適用し.

さらに. 同じ議論を.AE

6（d）=BCR）と 6（A）=BCR）

確率数理工学3 (2023)まで拡張すれば良い.

/ /14 / 18

$$（独立性について続き.）咀（事象の独立性）

A nAz.....AnE F が 独 立 が先の r . i rの独立性は、任意の部分集合I d に....の 4 に対し.

P（品、Ah)=葒PLAN

事象の独立性の言葉を用いると.

X..... Xuが独立

Xi'(Ai).....が (An) が任意 A......AnEBR)のに対して独立.

は加法族とは限らない）と言いかえられる.

咀（6-加法族の独立性）

同様に集合族の....tnの独立性も定義g s

できる

な 上 の n 個の 6-加法族の.....たが独立.

任意の A F F , Az EE....，AnE たが独立.

がD（確率変数によって生成される 6-加法族

x:(r,下）→(R.BR)）に対し、 def

6(X)=が (BRI)と書く。こ れ を . X=

t i . . . . . d nを r

が
(l)

ニ ）

法族）

6(x)....，6(Xn) が独立の独立性の同値性と同じ議論により、一次のことも示せる.

T h i n （参考）-

（作られ 36 加。杣、集合の逆像での生成する 6-加法族と言う /K . . . . . X u (ru) が独立く

実は、先の X

" "

/ /

）

1 MA)1AE B(Rt}

すると.

でもある。

y

における非空な集合族とする.
（た 1.2.....n )d k はたシステム
d . . . . . . d nは 独 立 .

G ( d ) ， . . . . G Hn) も独立.

確率数理工学3 (2023)/ /15 / 18密度関数を持つ場合は.
f (K....，）(n)=f （か）... fnGln)と書けることが独立性の必要十分条件になる.

区（正規分布）がした] e が 、Eで平均

= [ 着 差 I ER"た分散共分散行列( a j =区[Him)(Xg m ) ] ）同時密度 f （いに）=，奩（_I化 が ど ( x m )ex p、定州一型等）周辺密度if、いいに☆ K としたが独立く

92= E n = 0（参考）：実は.TNいた）が 2変量正規分布⇐>を ..たE R に対し、a x t d たが正規分布
•

9"-2
⑦ との分
〇
布

確率数理工学3 (2023)

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条件付き石隺率@B:身長が 170c m 以 上

D I （条件付き確率）

が年収が 500万以上

事象B が起こったもとでの事象A が起きる確率 (A.B EF)

は三〇囨"P (AIB) 竺 P A I
PCB).

ただし、PCB)t o とする.

/ /B:固定のもとで.AEF - P A 113）は (RA) 上の確率測度になっていることはすぐに石隺認できる.

た上この定義だと.

PCB)=0 の場合は well-definedにできない、

そのような状況は連続でr . l i X に対し.13={4=31}とした時等にそのような状況も扱える条件付き確率の定義は起きる。

後で述べる、

丘（条件付き確率の公式）
い）

積の公式
P (AnB ) = P(AIR) PCB)に） Bayesの公式|2TTTTY確率を逆ば結果から原因の
算できる。
H.de

の原因から結果の確率が⑥ PCAI B ) = 1 ' 例 興
PCB)T

特 に An....Anが互いに排反か）

YAi n なら

PA:113）= 1

つ

都

確率数理工学3 (2023)

e

s

t

興

側脈

）

17 / 18

週

人口の 0.1%がかかる病気がある.
ある検査では、 病気の患者の 99% が陽性を示し、健常者の 10% が陽性を示す。
この検査を受けてみて陽性だった時、本当に病気である確率は？

PGA1B) =陽性
病気

1 つり刂礐ニ 加 側 が
-

_

-

-

_

-

P(BIANCA)tRNAり Pa y=

0.99×0.00/-0.99×0.。。
1+0.1×0.999

三 0.0098--11% にもみたな u )に とベイズの定理は ロボットの自己位置推定や天気予報等にも使われている.

確率数理工学3 (2023)

18 / 18