試験実施日: 2023 年 9 月 2 日

2024 年度
立教大学大学院人工知能科学研究科博士課程前期課程 入学試験
筆記試験問題試験時間 120 分注意 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません。
 この問題冊子は 6 ページまでとなっています。試験開始後、ただちにページ数を確認してください。問題番号は 1 ∼ 5 となっています。

 配られた全ての解答用紙に氏名を記入してください。
 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入してください。
 質問がある場合は挙手して試験監督者に伝えてください。
 この問題冊子は持ち帰ってください。


1

1.
以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の欄に日本語で記せ。

(1)(a) 次の不等式を解け。
|x + 2| > 2x(b) x − y 平面上で|x| + |y| = 1を満たす点のグラフをかけ。

(2) a を a ̸= 1 の正の定数とする。次の式を p について解け。
)(pu = loga
1−p(3) 関数 y = 2(− sin x cos x + sin x − cos x) がある。
(a) t = sin x − cos x とする。 t2 を計算せよ。
(b) y を t の関数として表せ。
(c) t の取り得る値の範囲を求めよ。
(d) y の最大値と最小値を求めよ。
(4) a, b, c, d を定数とした 4 次関数
f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + dがある。

(a) f (x) の 1 次導関数 f ′ (x) を求めよ。
(b) x = 0 と x = 1 での f (x) と f ′ (x) の値がそれぞれ f (0) = 0, f ′ (0) = 1, f (1) = 1, f ′ (1) = 0であるとき、定数 a, b, c, d を求めよ。

(5) 放物線 y = x2 − 4x + 6 に点 (1, 2) から引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。
(6) a, b を定数とする。次の不等式が成り立つときの a と b の間で成り立つ条件を求めよ。
{∫ 1

∫ 1
(ax + b) dx ≥2−1}2(ax + b)dx−122.
以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の欄に日本語で記せ。

(1)(a) 270 を素因数分解せよ。
√(b) 270n が整数となるような最小の正の整数 n を求めよ。
(2)(a) k を正の整数とする。以下の式を有理化せよ。
1√√k+ k+2(b) n を 2 以上の整数とする。次の和 S を求めよ。
S=√1111√ +√√ +√√ + ··· + √√n+ n+21+ 32+ 43+ 5(3)(a) 72 , 73 , 74 の一の位の数を求めよ。
(b) 799 の一の位の数を求めよ。
(4) 所持金 990 円で 1 個 40 円のみかんと 1 個 90 円のりんごを買う。所持金をちょうど使い切る
とき、みかんとりんごをそれぞれ何個買えばよいか。可能なすべての場合について答えよ。ただし、みかんとりんごをそれぞれ最低 1 個は買うものとする。

(5) 点 P (1, 0, 1)、点 Q(2, 1, 0)、点 R(4, 4, 3) がある。点 P と点 Q を通る直線 PQ と点 P と点 Rを通る直線 PR のなす角を θ としたとき、cos θ の値を求めよ。

33.
以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の欄に日本語で記せ。
右の表は、5 つの物件について面積2物件 1物件 2物件 3物件 4物件 5s[m ] と価格 p[万円] を調べた結果で面積 s160804024070ある。q は q = 10 loge p − 60 として価格 p20008005009000900

定義した変量である (e = 2.718)。

q16.06.82.1

31.08.0p(1) s の中央値を求めよ。
(2) 右の図は s と p の関係を表わす散布図である。s と p の間には正、負どちらの相関関係があると考えられるか。散布図の概形から判断せよ。

(3) 右の図は s と q の関係を表わす散布図である。s と p の相関係数をsq

rp 、s と q の相関係数を rq とする。rp と rq のどちらの方が大きいと考えられるか。散布図の概形から判断せよ。

(4) loge p の平均値が 8、標準偏差が 0.3 であるとき、q の平均値 q̄ と標s準偏差 σq を求めよ。

(5) マンションを購入した 1000 人の購入価格を調べた結果、q は平均 19.8、標準偏差 5 の正規分布に従っていることが判明した。ある購入者の q が 32.7 以上である確率を求めよ。なお、Z が標準正規分布に従うとき、|Z| < 2.58 になる確率は 99%、|Z| < 1.96 になる確率は 95%、|Z| < 1.64になる確率は 90%であるとする。

(6) 表と裏が全く同じ確率で出るコインがある。
(a) コインを投げて、表が出たら 1 メートル真北へ進み、裏が出たらその場にとどまることにする。コインを 3 回投げた後、出発点から 2 メートル以上離れたところにいる確率を求めよ。

(b) コインを投げて、表が出たら 1 メートル真北へ進み、裏が出たら１メートル真南に進むことにする。コインを 3 回投げた後、出発点から 2 メートル以上離れたところにいる確率を求めよ。

(c) コインを投げて、表が出たら 1 メートル真北へ進み、裏が出たら 1 メートル真東へ進むことにする。コインを 3 回投げた後、出発点から 2 メートル以上離れたところにいる確率を求めよ。

44.
以下の問いに答えよ。

What is the recursive deﬁnition of a function? Roughly speaking, recursion occurs whensomething is deﬁned in terms of itself. You might have seen the concept before but it could lookstrange, resembling a vicious circle. Don’t worry; that’s a natural ﬁrst reaction. With time andpractice, you will enjoy using this idea as a really powerful tool in our own programs. Although
our focus will be on recursion from a programming perspective, recursion can also appear inother contexts. Here is an example from mathematics. Suppose n is a non-negative integer.
Deﬁnition:
fn =
1
n × f

if n = 0,n−1otherwise.

In general, a recursive deﬁnition will have multiple pieces: one or more base cases (terminating scenarios that do not need recursion to produce

answers), and one or more recursive cases (sets of rules that reduce all other cases to the base cases)

So, here is another example with two base cases:
Deﬁnition:
g0 = 0,g1 = 1,gn = gn−1 + gn−2

if n ≥ 2.

Recursive deﬁnition is strongly related to mathematical induction, which is, a strong techniqueto prove universal statements for a set of non-negative integers or their associated statements.
(1) Calculate f5 . Write down the process.
(2) Calculate g7 . Write down the process.
(3) What is the standard name of the sequence fn in Japanese and in English?

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