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2023年度 特別奨学生・M方式入学試験問題

Ⅰ型受験◆機械工学科 ◆機械システム工学科◆電気電子工学科◆建築学科／建築専攻（Ⅰ型） ◆建築学科／インテリアデザイン専攻（Ⅰ型）◆建築学科／土木・環境専攻（ Ⅰ 型）
◆建築学科／かおりデザイン専攻（Ⅰ 型）◆情報システム学科◆情報デザイン学科（ Ⅰ 型）
◆総合情報学科／経営情報コース（ Ⅰ 型）
◆総合情報学科／スポーツ情報コース（ Ⅰ 型）

物理

受験上の注意※試験科目は、必須科目を含め 3 教科です。科目数に注意して受験してください。
※物理または化学のいずれか一つを選んで解答してください。
1 ．受験票は、机の端の見える位置に置いてください。
2 ．解答用紙（ＯＣＲ用紙）は 1 枚です。

3 ．試験監督者の指示により、受験番号を解答用紙の指定された場所に必ず記入してください。
4 ．試験開始の合図があるまで、この問題用紙の中を見てはいけません。
5 ．試験開始後は、試験終了まで退室できません。
6 ．用件のある場合は、手を挙げてください。
7 ．問題用紙の余白は計算に使用しても結構です。
8 ．解答用紙（ＯＣＲ用紙）の記入上の注意（ア）解答用紙は、直接コンピュータ処理をするため、汚したり、折り曲げたりしないでください。
（イ）記入は、鉛筆もしくはシャープペンで、ていねいに記入してください。
また、訂正の場合は消しゴムで完全に消してください。
（ウ）解答は「記入文字例」の数字を参考に記入してください。

9 ．問題用紙は持ち帰ってください。

M 方式 入学試験
4 時限 ＜I 型，物理＞

訂正箇所：5 ページ

問題訂正問題[III] 問(3)の 1 行目

訂正前・・・直後の状況を考える。この・・・

訂正後・・・直後の，静止している状況を考える。この・・・

［Ⅰ］次の問いのの中の答えを，それぞれの解答群の中から１つずつ選べ。解答群の中の番号は，同じものを何度使ってもよい。解答群の答えが数値の場合は，最も近いものを選べ。

解答群
ア

① V0

② VL

③1V
2 0

⑥ V L−V 0⑦ V 0−V L⑧V 0+V L
2① 10I 1② 20I 1③I11020I1⑦ I1⑧ 2I 1① 0.1② 0.15③ 0.2④ 0.25⑤ 0.3⑥ 0.35⑦ 0.4⑧ 0.45⑨ 0.5⓪ 0.55

図１のように，電球 P，可変抵抗器 R 1，R 2，電源 E，スイッチ S 1，S 2 が接続された回路がある。S 1，S 2 は開いておく。また，電源 E の起電力（電位差）を V 0 ＝ 6V，電球 Pイにかかる電圧を V L とする。図１に示す I L，I 1，I 2 は回路を流れる電流であり，矢印の向⑥きに流れる場合を正とする。P，R 1，R 2 にかかる電圧は図１の矢印の向きに電位が下がる場合を正とする。電球 P は図２に示すような電流電圧特性をもつ。

ウはじめに可変抵抗器 R 1，R 2 の電気抵抗をいずれも 20 Ωとする。
（1）	スイッチ S 1 を閉じる。R 1 にかかる電圧は V 1 =法則より＝アアと表される。また，オームのとなる。I 1 ＝ I L であるから V L と I L は直線の関係になり，

イV 0 ＝ 6V なので図２を用いて I L ＝ウオ⑤10I1， エ ， コ， シ④ 20⑤ 25Ωとなる。経路 cdfec お

⑥ 30

⑦ 35

⑧ 40

⑨ 45⓪ 50が成り立つ。以上

クI 1 となる。また，電球 P に流れる電流 I L ＝コ， キが成A，ef 間の電圧V である。

サI120③ 15り立つ。また点 c でキルヒホッフの第１法則を適用すると
Vef ＝④② 10カケ⑤ V 0+V L① 5エ

よび abdca にキルヒホッフの第２法則を適用すると，それぞれより，I L ＝1V2 LW である。

A，電球の消費電力 P ＝（2）	さらにスイッチ S 2 を閉じると R 1 と R 2 の合成抵抗は

オ④次に可変抵抗器 R 1，R 2 の電気抵抗を変更する。

カキ① I 1+I 2 = 0② I 1－I 2 = 0③ 2I 1+I 2 = 0④ 2I 1−I 2 = 0⑤ I 1+2I 2 = 0⑥ I 1−2I 2 = 0⑦ 2I 1+3I 2 = 0⑧ 2I 1−3I 2 = 0① 10I 1+V L = 3② I 1+10V L = 3③ 20I 1+V L = 6④ I 1+20V L = 6⑤ 20I 1−V L = 6⑥ I 1−20V L = 6⑦ 20I 1−V L = 3⑧ 5I 1−10V L = 3① I L+I 1+I 2 = 0② I L−I 1+I 2 = 0③ I L+I 1−I 2 = 0（3）	R 1 の電気抵抗を 30 Ωに変えた。スイッチ S 1 と S 2 の両方を閉じたときに，R 1，R 2 の④ −2I L+I 1+I 2 = 0⑤ I L−2I 1+I 2 = 0⑥ I L+I 1−2I 2 = 0

電気抵抗がいずれも 20 Ωであった場合の電球 P の消費電力と，R 1 の電気抵抗を 30 Ω⑦ −I L−2I 1+I 2 = 0⑧ I L−I 1−I 2 = 0クに変えた場合の電球 P の消費電力が同じとなるためには R 2 の電気抵抗をすればよい。このとき，I L =PabILΩとI 1 となる。

IL〔A〕

R1I1dI2fケ

サES1cス

シ， ス
① 1

② 1.5

③ 2

④ 2.5

⑤ 3

⑥ 3.5

⑦ 4

⑧ 4.5

⑨ 5

⓪ 5.5

① 2

② 2.5

③ 3

④ 3.5

⑤ 4

⑥ 4.5

⑦ 5

⑧ 5.5

⑨ 6

⓪ 6.5

S2eR2

図１

図２―1―

V 〔V〕
L―2―

［Ⅱ］次の問いのの中の答えを，それぞれの解答群の中から1つずつ選べ。解答群の（6）	ボーアの水素原子モデルにおける電子の粒子性の考え方で，等速円運動の向心力とし中の番号は，同じものを何度使ってもよい。てクーロン力は働かず，原子核と電子の間の万有引力が働くと想定してみよう。波原子や原子核，電子など微小な大きさの物質は，粒子としての性質（粒子性）と波動と動性の考え方とド・ブロイの式は変更しない。この場合の円軌道半径を R とすると，しての性質（波動性）を兼ね備えることが分かっている。電子の粒子性と波動性を上手く波動性の考えで現れる自然数 n を使って R（n）=考え合わせることで水素原子の基礎的な性質を説明できる，ボーアの水素原子モデルを考えよう。以下，h はプランク定数，c は真空中の光速，G は万有引力定数，k は真空中のクーロンの法則の定数，m は電子の質量，M は陽子の質量，e は電気素量とする。中性子の質量も M とする。
（1）	電気的に中性な水素原子では，原子核はアで構成され，その周りにイが存在する。
（2）	電子の粒子性による運動量の大きさを p，波動性による波長をλe とすると，ド・ブロ
イの式 pλe =ウが成立する。ド・ブロイの式は中性子でも陽子でも成立する。

（3）	ボーアの水素原子モデルとは，水素原子を構成する電子のド・ブロイの式に加えて，電子の粒子性と波動性それぞれについて以下の考え方を採用することである。
電子の粒子性：電子は，原子核との間に働くクーロン力を向心力とする等速円運動をすると考える。円軌道の中心には，電子よりも質量が 2000 倍程度も大きい原子核が位置すると考える。この円運動の半径を r，速さを v とすると，クーロン力の大きさ F =エであり，等速円運動の運動方程式は F =電子の運動量の大きさ p =，運動エネルギー K =カである。また，

オ，無限遠を基準キとする電気力による位置エネルギー U =クである。以上から，電子の力学的エネルギー E を r を使って表すと，E =ケとなる。

電子の波動性：電子は，半径 r の円軌道上で定常波になっていると考える。この円軌道上に n 個（n は自然数）の波長が収まるような定常波の場合，その波長をλeとすると，軌道半径 r =（4）	電子の粒子性の運動方程式 F =ブロイの式 pλe =となる。

コ，波動性による関係式 r =オコ，そしてド・の3つを r，v，λe を求める連立方程式と考えて解くと，波ウr n）が求まる。この （r n）を電子の動性の考えで現れる自然数 n を使って円軌道半径 （力学的エネルギー E =に代入すると，自然数 n を使って E（n）が求まる。このケ

手順の計算結果は，以下のようになる。
r n）=（サ× n2,E（n）=

これがボーアの水素原子モデルによる電子の軌道半径と力学的エネルギーである。
（5）	水素原子を構成する電子が最も半径の小さな円軌道上を運動する状況で，何らかの方法（例えば光を照射するなど）で電子にエネルギーを与えて，電子を無限遠にまで飛ばすこと（水素原子のイオン化）ができる。この現象を実現するために電子に与えるエネルギーはある値 E 0 以上でないといけない。この最小値 E 0 =スである。また，

このエネルギー E 0 を光の照射で与える場合，その光の波長λ0 はアインシュタインの光量子の式よりλ0 =セE0ア① 電子 1 つ② 陽子 1 つ		⑥ 中性子 2 つ⑦ 電子と陽子 1 つずつ		

⑨ 陽子と中性子 2 つずつ

ウ， セ		

① 1② c		

⑥ hc

⑦エker

①		⑥ −⑧ 電子と中性子 1 つずつ⓪ 電子と陽子と中性子 1 つずつ
1c
1⑨hc

③ hhc

⑧② −
ke 2r2オ， カ ， キ		① mv		

⑥mv 2r① λenλeπ⑥⑦⑤④ch

1h⓪ 0

ke 2r
ke 2
⑧ −2r

ker

③ke 22r④ −⑨ke 2rke 22r 2mv 22mv
2③ mv 2④⑦ mrv⑧ mr 2v⑨ mrv 2② nλe③②⑦λenπ②h24π mke 2ke 2r2ke 2⓪ − 22r⑤⑤mvr⓪ mr 2v 2λen④nλe⑤1nλe⑧ 2πnλe⑨λe2πn⓪nλe2πh 2c 2mke 2④h 2c 24π2mke 2⑤mk 2e 4h2⑨2π2mk 2e 4h2⓪ −， シ ， ス
h2
mke 2		

①		⑥ −

ソ① Ge 2		⑤ 陽子 2 つ， ク ， ケ		

コ③ 中性子 1 つ ④ 電子 2 つmk 2e 4h2⑦2mk 2e 42h 2② mGe 22⑥ GM m⑦ GMm③⑧ −mk 2e 42h 2③ cGe 222⑧ GM mである。
―3―となる。

， イ		サn24π2 × ソ

解答群		

シh 2n 2―4―22π2mk 2e 4h2④ mcGe 2⑤ GMm⑨ GcMm

⓪ GcMme 2

［Ⅲ］次の問いのの中の答えを，それぞれの解答群の中から１つずつ選べ。解答群の中の番号は，同じものを何度使ってもよい。

ア

図1のように，粗い水平面上に質量 M で密度が均一な直方体の物体 P を置く。図2に示すように，直方体の各辺 AB，AC，AA’ の長さはそれぞれ L 1，L 2，L 3 であり，L 1 > L 2とする。∠ ABC =αとする。上部の辺 AA’ の中点 O に糸を付け，AA’ と垂直に水平方向に大きさ F の張力で引く。徐々に F を強くしていくと，張力の大きさが F 0 を超えた直後に，物体 P は水平面上をすべることなく傾き始めた。重力加速度の大きさを g とする。直方体が面で水平面と接触している場合と，直方体が辺で水平面と接触している場合で，最大静止摩擦力の大きさは同じ静止摩擦係数μで表せるとする。力のモーメントの符号は，図1または図3において反時計回りを正とする。
（1）	まず，水平面上に物体 P を置き，糸で引き始める前（F = 0）の状況を考える。この状況では，物体 P に作用する重力の大きさ W はイ，静止摩擦力の大きさ R は

ア，垂直抗力の大きさ N はである。

ウ（2）	次に糸で引き始めて（F > 0），物体 P が傾き始める前の状況を考える。この状況でのエ である。

静止摩擦力の大きさ R は（3）	次に物体 P がすべることなく傾き始めた直後の状況を考える。この場合の張力の大きさは F 0 である。この状況では，力のモーメントのつり合いと，力のつり合いが成り立つ。辺 BB’ のまわりでの張力のモーメントはカ，垂直抗力と摩擦力のモーメントはともにメントのつり合い式
F0 =オ+（カ）+（キキオ，重力のモーメントはである。したがって，力のモー）× 2 = 0 が成り立つ。この方程式から，

× Mg と求まる。物体 P がすべることなく傾き始めるためには，この状

ク

況での静止摩擦力が最大静止摩擦力より小さくなければならないので，静止摩擦係数μはμ>ケを満たす必要がある。

（4）	問い（3）の状況からさらに糸を引き，図3のように物体 P が水平面から角度θだけ傾いて静止している状況を考える。糸は水平方向に保たれているとする。この状況では，
辺 BB’ のまわりでの張力のモーメントはコ，重力のモーメントは力のモーメントのつり合いと力のつり合いから，張力の大きさ F =止摩擦力の大きさ R =スサである。

× Mg ，静シ× Mg と求まる。

（5）	問 い（4）の 状 況 か ら さ ら に 糸 を 引 い て い き， 物 体 P の 水 平 面 か ら の 傾 き 角θがセより大きくなると，反時計回りに回転して転倒してしまう。
AʼFO L2
L1

水平面PB

L3A LOCBʼ

L1αB

図１解答群

図２―5―2CF

水平面

O		

① g

② M

③ Mg

④1Mg
2⑤ μMg		

⑥ gL 1⑦ ML 1⑧ MgL 1⑨1MgL 1
2⓪ 0エ① g

⑤ μMg

⑥ μF

② Fオ， カ ， キ		① F 0L 1		

⑥ －ク， ケ		① 1		

⑥コ， サ

12 cos α① FL 1 sin θ		⑤		⑧ －③ Mg② －F 0L 1MgL22		③F0L12 cos αMgL12 cos α⑧ －②L2L1③⑦12 sin α⑧ 2 cos α⑥ －MgL1 sin（α－θ）
2 cos α， ス		①sin θ2 cos α		⑥cos（α－θ）
2 sin α sin θ②②⑨cos θ2 sin α⑦π－α2L1L2α2MgL2
2⓪ 0④L22L1⑤⑨ 2 sin α⓪ 01MgL 2 sin θ2L12L2④ －FL 1 cos θ⑦MgL1 sin（α－θ）
2 cos α⓪ －MgL1 cos（α－θ）
2 cos αsin（α－θ）
cos（α－θ）
sin（α－θ）④⑤2 cos α2 sin α2 cos α cos θ⑧sin（α－θ）
2 cos α sin θ④ sin αCL1B⑤μMgL12 cos αMgL1 cos（α－θ）
2 cos α③F0L12 cos α⑨③ FL 1 cos θcos（α－θ）
2 cos α cos θ③④ －MgL12 cos α② －FL 1 sin θ1MgL 2 sin θ2①α④ μg⑦

シセ

L2， イ ， ウθ

図3―6―⑤ cos α⑨sin（α－θ）
2 sin α cos θ⑥ tan α