算数教育の最前線

認識論的障害とその克服
溝口

1.

体系としての数学教育学

達也*

すし，先生方は日々の教育実践の中で，少なから私たちは，日々の教育実践を通じて，これを研ずこのような手だてをとられていることと思われ究の対象とし，様々な理論構築を志向します。こます。そのような手だては確かに必要なことであれまでに，種種の理論が展開され，私たちは，幅り，また様々な研究の成果として子どもの誤答の広い立場から各々の要請に応じてこれらを活用す傾向が示されてきております。しかしながら，算ることで，実践を改善し，またさらなる理論の展数・数学の学習場面には，達成された概念，ある開を模索してきています。そして，次なる要請といは知識が少なくとも以前の学習において有効にして，この数学（算数）教育という（理論的）営機能していたにもかかわらず，次なる学習への困みを個々の理論にとどめておくのではなく，それ難あるいは抵抗となるといった現象が観察されるらを体系として整理することで，数学教育学といことがあります。このような困難は，一般に認識う学問的性格を付与することがあげられると思い論的障害という語で呼ばれています。

ます。このような動きは，国際的にすでに進行し認識論的障害の概念は，もともとフランスの哲ており，その中の典型的なものとして，フランス学者バシュラールによって提起されたものです。の《数学教授学 didactique des mathématiques 》と呼

彼 は ， 著 著 《 科 学 的 精 神 の 形 成 》 (Bachelard,ばれるものを見ることができます。その全貌は，1938/1983) の中で，次のように述べています。「科よく知られる，教授学的場，教授学的契約，教授学の進歩の心理的条件を探してみるならば，科学学的変換，教授学的エンジニアリング，ミリュ，的認識の問題は障害 という語で提起しなければな等多岐にわたり，ここでそのすべてを取り上げるらないという確信にほどなく達するであろう。しことは，筆者の力量も併せて不可能であります。

かもそれは，現象の複雑さや持続の瞬間性という本稿では，このフランス数学教授学の中の一つのような外側の障害を考察したり，人間の精神や五重 要 な 概 念 で あ る 「 認 識 論 的 障 害 obstacle

感の欠点をあばき出すということではない。科学épistémologique 」についてご紹介したいと思います。の進歩が停滞し混乱するのは，いわば機能的に不2.

可避なこととして，認識の行為そのものに深く結

認識論的障害の概念

子どもが学習の過程において示す困難には，誤びついた形で発生する。我々はまさにそこにこそ，答として観察されるものもあれば，活動の停滞とこれらの停滞の原因や，時によっては退行の原因して観察されるものもあります。こうした困難は，を求めなければならないのであり，また我々の認多くの場合，子どもがそれまでに学習してきた事識論的障害と呼ぶ惰性の原因を探しださなければ柄に誤りが含まれていたり，必要な事項が不十分ならない。」バシュラールによって提起された認であったり，あるいは欠落していたりすること等

識論的障害の概念は，基本的に科学史を記述するによります。もしそうだとすれば，誤りを修正し，ために必要な概念であったわけですが，教育実践必要な事項を十分に補えればよくなるであろう，においてもこれがみられることは彼自身も指摘しという意見が出されるのは当然のことと思われまております。ただ，子どもの認識活動をとりまく状況は歴史における認識活動をとりまく状況とは*鳥取大学講師

必ずしも一致するものではありません。そのため，

フランスの数学教授学研究者であるブルーソーたとみなされるからであります。しかし，もしそ(Brousseau, 1938) は，教育の過程における子どものうだとすれば，一方で，克服されてきた結果とし認識の起源として次の３つを考えることが可能でての数学的概念や知識を指導すればよいのではなあると指摘します。すなわち，子どもの個人的発いか，という意見が出されることも考えられます。

達を意味する個体発生的起源，教授に関する諸条

これは，現代数学で承認されている定義等を直接件を意味する教授学的起源，そして数学的概念そ教授することに結びつく考え方であろうかと思わのものの本性を意味する認識論的起源であります。

れます。しかし，子ども（学習者）の立場からみこれら３つの起源に対応する障害をそれぞれ個体れば，なぜそのような定義が採用されるか，といっ発生的障害，教授学的障害，認識論的障害と呼ぶた理解が欠落してしまうことになります。

ならば，ここで取り上げる認識論的障害は，「活そこで，認識論的障害を克服するとは一体どの動のある領域においてはよく機能し，それゆえよような過程を経ることであるのか，また克服をすく確立されているにもかかわらず，次には，機能ることの学習における意義とは何か，という点が不全を起こし矛盾を導くような他の文脈において問題となります。

は満足に作用しない認識」と定義されることにな

3.

認識論的障害の克服ります。換言すれば，私たちが認識活動を進めて認識論的障害の克服の過程を記述するために以いく上で，構成しようとする概念に，私たちの当下の３つのカテゴリーを必要とします(溝口, 1995a）。

該する困難を本来潜在的に喚起する傾向があり，概念：子どもの漠然としたアイデア，イメージ，そのような傾向にそった私たちの認識が認識論的また心的モデル等を含みます。

障害として機能する，ということになります。そ事象：事象は概念が用いられる範囲や概念が適合のような認識は，シェルピンスカが述べるように，する事柄を意味します。単に与えられた問題等数学的概念の本性自体に，またそのような数学的の事柄自体が事象ではなく，子どもの概念が負概念が発達してきた文化的枠組みによることから，荷された対象を事象とします。

過去の数学者が経験した困難と極めて類似したも確信：上記２つのカテゴリーによって記述されるのであることが指摘されます (Sierpinska, 1994)。

ものは，実際に観察される子どもの行動にあた数学的概念，あるいは知識の発達の歴史においるものです。確信は，なぜ子どもがそのようなて，様々な認識論的障害が克服されてきています。

行動を示すのかということを説明する子どもの例えば，シェルピンスカ (Sierpinska, 1985) は極限概包括的な価値基準にあたるものとして用意され念の発達の歴史の詳細な吟味の結果，その発達のます。すなわち，確信とは，子どもの数学，あ歴史は種種の認識論的障害の克服の歴史であった

るいは数学的知識に対する態度を意味します。と言っても過言ではないと指摘しています。この

ここで言う態度とは，「振る舞い」としての意

ことは，私たちが，算数・数学を学習する上で，味ではなく，行動への準備状態あるいは論理的認識論的障害の克服は避けることのできないもの要請として解釈されるものです。

であり，障害の克服をもって初めて概念あるいはこれら３つのカテゴリーは，図１のような関係知識の発達が可能であることを意味します。

として子どもの認識モデルを構成します。

よく「滑らかで可能なかぎりつまずきのない学認識の仕方習」ということが掲げられ，算数の学習は，知識・技能の単調な積み上げによって進展するといった価値判断C

負荷
NE学習観がとられることがあります。しかし，少なくとも，子どもが新しい概念を学習するとき，その多くの場面で認識論的障害の克服が不可避であ（C：確信，N：概念，E：事象）
図１

子どもの認識モデルるとする相対立する学習観が指摘されるわけです。
その理由の１つは，上述のように，まさに数学の発達の歴史そのものが認識論的障害の克服であっ子どもの認識モデルによって，認識論的障害の克服は次のように説明されます。
C1

N1

社会的 適応と しての 正当化 ：私たちは社会生活E1を営む上で何らかの社会的適応を行いますが，教室における子どもについても同様にみられます。

C2

N2
図２

E2

それ自体必要なことではありますが，ここでは，E3

子どもの「そのように習ったから」といった発言

認識論的障害の克服

認識モデルが整合的であるとき，これに基づくとして顕在化されるような正当化の他者への依存として特徴づけられるものを意味します。

子どもの認識活動は持続します。学習活動は，認認識論 的障 害の 意識 化：子どもが自己の障害を識モデルの整合性が保たれなくなることで誘発さ意識する結果，思考を停滞させることで特徴づけれます。これは，子どもが以前の活動においては，られます。

確信（C1）に基づいて自己の概念（N1）を事象

認識論的障害の克服：子どもが認識論的障害を克（E1）に対して適用できたにもかかわらず，新し服するとき，先ず上の障害を意識することが要請く直面した事象（E2）に対しても同じ認識の仕方されますが，前述のとおり認識の全面的変容を必を適用しようとし，その適用が失敗に終わる状況要とすることから，確信の転換によってこの認識を意味します。すなわち，既有の認識の仕方が認の状態が特徴づけられます。

識論的障害として機能するわけです。認識論的障

これらの認識の状態を比較検討する結果，認識害の克服は，少なくとも，それ以前に達成した認論的障害の克服には，具体的に次のような３つの識の仕方がこれまでの学習において十分に満足さ意義が認められます。第一に，数学的知識，及びれたものである以上，誤りを修正したり，必要なその構成が個人的ではなく社会的なものとなるこ事項を補うといった程度で解決されるものではあと，これによって子どもは他者との対決の構造をりません。すなわち，新しい概念（N2）を用意す生じさせます。第二に，この他者との対決の構造るだけでは十分ではありません。このため，認識から引き出される，子どもの自己の認識に対する論的障害の克服には，認識の全面的変容が要請さ反省を促すことです。第三に，確信の転換です。

れます。すなわち，新しく直面した事象（E3）に私たちが日常的に目にする子どもの困難に対し適用され得る概念（N2）とこ の行動を価値判断すて，より科学的なアプローチが理論と実践の両面る確信（C2）が新しく生起されることをもって克においてますます必要とされると思われます。

服が達成されたとみなされるわけです（E2〜E3 は引用・参考文献

表面的には同じ対象であるかもしれませんが，子・ Bachelard, G. (1938/1983). La formation de l'esprit

どもの認識の仕方が変わることでそれぞれ違った見方をしているものとして区別します）。
4.

認識論的障害の克服の意義

scientifique. Paris: J. Vrin.
・Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiqueset les problèmes en mathématiques. Recherches en

上記の認識モデルを用いて，実際の子どもの活

Didactique des Mathématiques, 4 (2), 165-198.

動を観察するとき，仮に教師が期待したとしても，・溝口達也. (1995a). 認 識論的障害の克服の記述カ

子どもはいつでも認識論的障害を克服しようとすテゴリーによる特徴づけ：極限概念を事例とるわけではなく，むしろそうでないときの方が実して. 数学教育学論究, 63•64, pp.27-48.

際には多く見受けられます。子どもの障害とのか

・溝口達也. (1995b). 数学学 習における認識論的障かわり方を調べるとき，次のような異なる認識の害の克服の意義. 筑波大学教育学系論集, 20(1),状態を特定することが可能です (溝口,1995b)。

pp.37-52.

主観的 容易 さへ の固 執：子どもが自己の認識の・Sierpinska, A. (1985). Obstacles épistémologiques

仕方を変容することなく，従って既有の認識の仕

relatifs à la notion de limite. Recherches en

方がうまく適合しない事象については常にこれをDidactique des Mathématiques, 6 (1), 5-67.

受け入れようとしないことで特徴づけられます。

・Sierpinska, A. (1994). Understanding in Mathematics.
The Falmer Press.