前の結果を利用する⑴１ ふくろにたくさんの玉が入っています。玉を取り出すときは、一度に１個、または２個取り出します。ふくろから玉を合計３個取り出す方法は、（１個、１個、１個）と取り出すのと、（１個、２個）と取り出すのと、（２個、１個）と３通りの方法があります。

⑴

合計４個の玉を取り出す方法について考えます。
①

最後に１個を取り出して、合計４個になる取り出し方は（②最後に２個取り出して、合計４個になる取り出し方は（③①と②より、合計４個の玉を取り出す方法は（⑵）通り。

）通り。

）通り。

合計５個の玉を取り出す方法について考えます。
①

最後に１個を取り出して、合計５個になる取り出し方は（②最後に２個取り出して、合計５個になる取り出し方は（③①と②より、合計５個の玉を取り出す方法は（1）通り。

）通り。

）通り。

前の結果を利用する⑴⑶

合計 10 個の玉を取り出す方法は何通りありますか。次の表を利用して考えなさい。

玉の数(個)

４５６７８９10

最後に１個取り出す
取り出し方(通り)
最後に２個取り出す
取り出し方(通り)
合計(通り)⑷

合計 10 個の玉を取り出すとき、下の図のように２個ずつ取り出すと、途中に取り出した数の合計は２個、４個、６個、８個となり、５個になることはありません。

いま、合計 10 個の玉を取り出す方法のうち、取り出した玉の個数が途中で合計５個となるような取り出し方について考えます。

５個５個

このとき、はじめの５個の取り出し方は（は（）通り、残りの５個の取り出し方）通りなので、途中で５個になるような取り出し方は全部で、（）×（）＝（となります。

2）通り

前の結果を利用する⑴２ ９段の階段があり、１歩で１段、または２段上ることができます。また、たとえば３段上るのに、１段、２段で上るのと、２段、１段で上るのはちがう上り方とします。※「１歩で２段上がる」＝「１段飛ばしで上がる」です。

⑴

４段目までの上り方について考えます。
①

最後に１段上って、４段目に上る上り方は（）通り。

②

最後に２段上って、４段目に上る上り方は（）通り。

③①と②より、４段目までの上り方は（⑵）通り。

５段目までの上り方について考えます。
最後に１段上って、５段目に上る上り方は（）通り。

②

最後に２段上って、５段目に上る上り方は（）通り。

③①と②より、５段目までの上り方は（⑶①）通り。

９段目までの上り方は何通りありますか。次の表を利用して考えなさい。

階段の数(段目)

４

５

６

７

最後に１段上る上り方(通り)
最後に２段上る上り方(通り)
合計(通り)⑷

５段目をふんで、９段目まで上る上り方は何通りありますか。

3

８９前の結果を利用する⑴３ 50 円切手と 100 円切手がそれぞれたくさんあります。これらの切手をはって、いろいろな金額を作ります。このとき、切手をはる順も考えることにします。例えば、150 円の作り方は、50 円＋50 円＋50 円、50 円＋100 円、100 円＋50 円の３通りあります。
⑴

200 円のはり方について考えます。
①

最後に 50 円切手をはって、合計 200 円をはるはり方は（）通り。

②

最後に 100 円切手をはって、合計 200 円をはるはり方は（）通り。

③①と②より、200 円のはり方は（⑵）通り。

250 円のはり方について考えます。
最後に 50 円切手をはって、合計 250 円をはるはり方は（）通り。

②

最後に 100 円切手をはって、合計 250 円をはるはり方は（）通り。

③①と②より、200 円のはり方は（

⑶

①）通り。

550 円のはり方は何通りありますか。表をかいて考えなさい。

4

前の結果を利用する⑴４ １点と２点と３点のシールがたくさんあります。これらのシールをはって、いろいろな点数を作ります。このとき、シールをはる順も考えることにします。例えば、３点の作り方は、１点＋１点＋１点、１点＋２点、２点＋１点、３点の４通りあります。

⑴

４点のはり方について考えます。
①

最後に１点のシールをはって、合計４点をはるはり方は（）通り。

②

最後に２点のシールをはって、合計４点をはるはり方は（）通り。

③

最後に３点のシールをはって、合計４点をはるはり方は（）通り。

④①と②と③より、４点のはり方は（⑵）通り。

５点のはり方について考えます。
最後に１点のシールをはって、合計５点をはるはり方は（）通り。

②

最後に２点のシールをはって、合計５点をはるはり方は（）通り。

③

最後に３点のシールをはって、合計５点をはるはり方は（）通り。

④①と②と③より、５点のはり方は（⑶①）通り。

８点のはり方は全部で何通りありますか。表をかいて考えなさい。

5前の結果を利用する⑴５ 11 段の階段があり、１歩で１段、２段、または３段上ることができます。また、たとえば４段上るのに、１段、３段で上るのと、３段、１段で上るのはちがう上り方とします。
⑴

４段目までの上り方について考えます。
最後に１段上って、４段目に上る上り方は（）通り。

②

最後に２段上って、４段目に上る上り方は（）通り。

③

最後に３段上って、４段目に上る上り方は（）通り。

④①と②と③より、４段目までの上り方は（⑵①）通り。

10 段目までの上り方について、全て調べなさい。

段の数（段目）１２

３

上り方（通り）

6

４５６７８９10

前の結果を利用する⑴６ 図１のようなＡ、Ｂ２種類のタイルがあり、この２種類のタイルを組み合わせて、たて２㎝、横 X ㎝の長方形を作ります。例えば X＝３のとき、タイルのはり方は図２の３通りあります。ただし、Ａは回転させてはいけません。

２㎝１㎝
【図１】

【図２】

⑴

ＡＡ２㎝

ＡＡ２㎝

ＡＢ

Ｂ

ＢＡ

X＝４のときを考えます。
①

右はしがＡになるはり方は（）通り。

②

右はしがＢになるはり方は（）通り。

③①と②より、X＝４のとき、タイルのはり方は（⑵）通り。

X＝５のときを考えます。
右はしがＡになるはり方は（）通り。

②

右はしがＢになるはり方は（）通り。

③①と②より、X＝５のとき、タイルのはり方は（⑶①）通り。

X＝10 のとき、タイルのはり方は何通りありますか。表をかいて考えなさい。

7

前の結果を利用する⑴７ 図１のような、Ａ、Ｂ、Ｃ３種類のタイルがあり、これらタイルを使って、たて３㎝、横 X ㎝の長方形をしきつめます。例えば X＝３のとき、タイルのしきつめ方は図２の４通りあります。X が１のときから 10 のときまでのタイルのしきつめ方を調べ、下の表にまとめなさい。ただし、タイルは回転させてはいけません。

１㎝【図１】 ３㎝ Ａ

【図２】

Ａ Ａ Ａ

X（㎝）

２㎝

３㎝

ＡＢ

Ｂ

３㎝

３㎝

ＢＣ

ＡＣ

１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10

タイルのしきつめ方（通り）8前の結果を利用する⑴８ 図１のような、たて１㎝、横２㎝のタイルがあり、このタイルを使って、たて２㎝、横 X ㎝の長方形をしきつめます。例えば X＝３のとき、タイルのしきつめ方は図２の３通りあります。X が１のときから 10 のときまでのタイルのしきつめ方を調べ、下の表にまとめなさい。

２㎝
【図１】

１㎝

【図２】

X（㎝）

１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10

タイルのしきつめ方（通り）9前の結果を利用する⑴９ １と２のカードがそれぞれたくさんあります。このカードを、左から順に１列に並べます。ただし、２の右どなりには２は並べることができないものとします。

⑴

カードを３枚並べる並べ方は（）通りあります。このうち、最後が１のカードである並べ方は（）通り、最後が２のカードである並べ方は（）通りあります。

樹形図を描いて考えなさい。

⑵⑴の結果を利用して、カードを４枚並べる場合について考えます。
①

最後に１のカードを並べ、全部で４枚並べる並べ方は（）通り。

②

最後に２のカードを並べ、全部で４枚並べる並べ方は（）通り。

③①と②より、カードを４枚並べる並べ方は（⑶）通り。

⑵の結果を利用して、カードを５枚並べる場合について考えます。
最後に１のカードを並べ、全部で５枚並べる並べ方は（）通り。

②

最後に２のカードを並べ、全部で５枚並べる並べ方は（）通り。

③①と②より、カードを５枚並べる並べ方は（⑶①）通り。

カードを 10 枚並べる並べ方は何通りありますか。表をかいて考えなさい。

10

前の結果を利用する⑴10 白玉と黒玉がそれぞれたくさんあります。これらの玉を、黒玉が連続しないように左から順に１列に並べます。

⑴

合計９個の玉の並べ方は何通りありますか。

⑵⑴の並べ方のうち、両はしが黒玉になるよう並べ方は何通りありますか。

11

前の結果を利用する⑴11☆
Ａ、Ｂ、Ｃ３種類のボールがそれぞれたくさんあり、左から順に１列に並べます。ただし、Ａの次は必ずＢ、Ｂの次は必ずＣを並べるものとします。

⑴①

３個のボールの並べ方は全部で（）通りです。

樹形図を描いて考えなさい。

⑵②①のうち、右はしがＡになる並べ方は（）通りです。

③①のうち、右はしがＢになる並べ方は（）通りです。

④①のうち、右はしがＣになる並べ方は（）通りです。

⑴の結果を利用して、４個のボールの並べ方について考えます。
①

右はしがＡになる並べ方は、３個目が（）のときなので（）通りあります。
②

右はしがＢになる並べ方は、３個目が（（③⑶）＝（）＋（）のときなので、）通りあります。

右はしがＣになる並べ方は、３個目が（（④）＋（）か（）＝（）か（）のときなので、）通りあります。

①②③より、４個のボールを並べる並べ方は（）通りあります。

８個のボールの並べ方は何通りありますか。表をかいて考えなさい。

12

前の結果を利用する⑴■ 解答 ■
１ ⑴ ① ３ ②⑵ ① ５ ②⑶ 89 通り

２３③③５８玉の数(個)
最後に１個取り出す取り出し方(通り)
最後に２個取り出す取り出し方(通り)
合計(通り)

４
３２５５５３８６８５13７13８21８211334

９342155

1055
3489※フィボナッチ数列になります。

⑷
２ ⑴
⑵
⑶

８、８、８、８、64① ３ ②① ５ ②55 通り

２３③③５８

階段の数(段目)
最後に１段上る上り方(通り)
最後に２段上る上り方(通り)
合計(通り)

⑷
３ ⑴
⑵
⑶

４ ⑴
⑵
⑶

４３２５５５３８６８５13７13８21

金額(円)
最後に 50 円切手をはる作り方(通り)
最後に 100 円切手をはる作り方(通り)
合計(通り)

200
３２５250５３８４４２
１７５７４２13８211334９342155

40 通り
① ３ ②
① ５ ②144 通り

① ４ ②
① ７ ②
81 通り

２３２４③③③③５８

１２300
８５13350
13８21

④ ７
④ 13

点数(点)
最後に１点シールをはるはり方(通り)
最後に２点シールをはるはり方(通り)
最後に３点シールをはるはり方(通り)
合計(通り)

13６13７４24７2413７44８44241381400
21133445034215550055
34895508955
144

前の結果を利用する⑴

５ ⑴
⑵

①４②２③

１

段の数（段目）上り方（通り）

１１２２

６ ⑴
⑵
⑶

① ３ ②
① ５ ②
89 通り

③③５８２３Ｘ(㎝)
右はしがＡ(通り)右はしがＢ(通り)
合計(通り)

７８４３２５Ｘ (㎝)
タイルのしきつめ方(通り)Ｘ (㎝)
タイルのしきつめ方(通り)９ ⑴④ ７３４５５３８１１１１２２③③８13４７５13６24７44８81

６８５13７13８21８211334９342155

1055
3489

３４４７５13６24７44２２３３９149

８8110274９149

４５５８６13７21８34９55

1089

カードの枚数(枚)最後が□1 のカードである並べ方(通り)
最後が□2 のカードである並べ方(通り)
合計(通り)

３３２５４５３８５８５13６13８21７211334８342155

10274

５、３、２
１ １
２
１２ １
２ １ １
２⑵
⑶
⑷

① ５ ②
① ８ ②
144 通り３５14９5534
89108955144

前の結果を利用する⑴10 ⑴89 通り⑵13 通り

玉の個数(個)
最後が白玉である並べ方(通り)
最後が黒玉である並べ方(通り)
合計(通り)

１１１２２２１３３３２５４５３８５８５13６13８21７211334８342155

９553489※⑵２個目と８個目は白と決まります。よって、間の５個の並べ方と同じになります。

11 ⑴①９②２③３④ ４

Ａ Ｂ Ｃ
Ａ
Ｂ Ｃ Ｂ
ＣＡ Ｂ
Ｃ Ｂ Ｃ
ＡＣ Ｂ
Ｃ⑵

①
②

Ｃ、４Ａ、Ｃ、２、４、６
Ｂ、Ｃ、３、４、７17③④⑶193 通りボールの個数(個)
右はしがＡになる並べ方(通り)右はしがＢになる並べ方(通り)右はしがＣになる並べ方(通り)
合計(通り)※

３２３４９４４６７17５７111331６13202457

７243744105

右はしがＡ＝１つ前のＣ
右はしがＢ＝１つ前のＡ＋１つ前のＣ
右はしがＣ＝１つ前のＢ＋１つ前のＣ になります。

15８446881193