場合の数 - 同じものを含む順列

ステップ１

復習：書き出し

１ 4 つの記号、○○××の並べ方をすべてかきなさい。

1

場合の数 - 同じものを含む順列

２ ５つの記号、○○○××の並べ方をすべて書きなさい。

2

場合の数 - 同じものを含む順列

ステップ２

２種類のものを並べる

３ １の○○××の並べ方が何通りあるか、計算で求めようと思います。次の（）にあてはまる数を求めなさい。

・まず、４個の記号を並べるので、４つの席を用意します。

・４つの席のうち、２つに◯を、２つに×を入れます。

・◯の席が決まれば、×の席は自動的に決まるので、×については考えなくても構いません。

・よって、◯の入れ方ついてだけ考えます。

・◯の入れ方は、４つの席から２つの席を選べばいいので、()Ｃ( )＝（）通り。

・よって、○○××の並べ方は（）通り、となります。

3

場合の数 - 同じものを含む順列

４ ２の○○◯××の並べ方が何通りあるか、計算で求めようと思います。
次の（）にあてはまる数を求めなさい。

・まず、５個の記号を並べるので、５つの席を用意します。

・５つの席のうち、３つに◯を、２つに×を入れます。

・一方の席が決まれば、他方の席は自動的に決まるので、一方の入れ方だけについて考えます。

・数の少ない方を考えた方が楽です。

・よって、×の入れ方ついてだけ考えます。

・×の入れ方は、５つの席から２つの席を選べばいいので、()Ｃ( )＝（）通り。

・よって、○○◯××の並べ方は（4）通り、となります。

場合の数 - 同じものを含む順列

５ ４つの文字、ＡＡＢＢの並べ方は全部で何通りありますか。

６ ６つの文字、ＡＡＡＢＢＢの並べ方は全部で何通りありますか。

5

場合の数 - 同じものを含む順列

７ ○○○○●●の並べ方は何通りありますか。

８ １、１、２、２の４枚のカードを並べて４けたの整数をつくります。
整数は何個できますか。

6

場合の数 - 同じものを含む順列

９ りんご３個とみかん２個の並べ方は何通りありますか。

10 りんご４個とみかん４個の合計８個の果物があります。この８個の果物を８人の子供に１個ずつ配ります。配り方は全部で何通りありますか。

7

場合の数 - 同じものを含む順列

ステップ３

３種類のものを並べる

11 ５つの記号◯◯××△の並べ方が何通りあるか、計算で求めようと思います。（）にあてはまる数を求めなさい。

・まず、５つの記号を並べるので、５つの席を用意します。
・この５つの席のうち、２つの席に◯を、２つの席に×を、１つの席に△を入れます。
・２つの記号の席が決まれば、残りの記号の席は自動的に決まるので、２つの記号の入れ方についてだけ考えます。
・数の少ない記号から考えた方が楽です。
・よって、△→◯の順で考えます。
・△の入れ方は、５つの席の中から１つの席を選べばいいので、()Ｃ( )＝（）通り。

・◯の入れ方は、残りの４つの席の中から２つの席を選べばいいので、()Ｃ( )＝（）通り。

ポイント！

・よって、◯◯××△の並べ方は、（）×（）＝（）通り、となります。

これを１本式で表すと、()

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）通り、となります。

8

場合の数 - 同じものを含む順列

12 11 を、違う解き方で解きます。５つの記号◯◯××△の並べ方が何通りあるか、計算で求めようと思います。11 では△→◯の順で考えましたが、ここでは違う順番で考えてみましょう。（）にあてはまる数を求めなさい。

⑴◯→△の順で考える場合、(⑵)

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）×（）＝（）通り）×（）＝（）通り◯→×の順で考える場合、()

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（9場合の数 - 同じものを含む順列

13 ６つの文字、ＡＢＢＣＣＣの並べ方は全部で何通りありますか。

14 ８つの文字、ＡＡＡＢＢＢＣＣの並べ方は全部で何通りありますか。

10

場合の数 - 同じものを含む順列

15 １、２、２、３、３の５枚のカードを並べて５けたの整数をつくります。整数は何個できますか。

16 りんご２個、みかん２個、バナナ２個の合計６個の果物があります。
この６個の果物を６人の子供に１個ずつ配ります。配り方は全部で何通りありますか。

11

場合の数 - 同じものを含む順列

ステップ４

道順の問題

17 図１、２のように正方形が並んでできた道があります。ＡからＢまで遠回りせずに、辺をつたって進む進み方が何通りあるか、計算で求めようと思います。

・【図１】のＡからＢへの進み方は、上に行って右に行くか、右に行って上に行くかの２通りです。これを、（上、右）、（右、上）と表すことにします。

・【図２】のＡからＢへの進み方は、（上、右、右）、（右、上、右）、（右、右、上）の３通りです。これは、３つの記号○××の並べ方と同じなので、３Ｃ１＝３通り、と求めることができます。

12

場合の数 - 同じものを含む順列・【図３】のＡからＢへの進み方は、（上、上、右、右）、（上、右、上、右）、（上、右、右、上）、（右、上、上、右）、（右、上、右、上）、（右、右、上、上）、の６通りです。これは、４つの記号○○××の並べ方と同じなので、４Ｃ２＝６通り、と求めることができます。

・以上の考え方を利用すると、下の【図４】の進み方は、( )通り、【図５】の進み方は、()

Ｃ( )＝（Ｃ( )＝（）通り、となります。

13）

場合の数 - 同じものを含む順列18 ⑴〜⑶のような、正方形が並んでできた道があります。ＡからＢまで遠回りせずに、辺をつたって進む進み方は何通りありますか。
⑴

⑵


⑶





14

場合の数 - 同じものを含む順列

19 図 1 は立方体、次のページの図２、３は立方体が２つ並んでできた図形です。ＡからＢまで遠回りせずに、辺をつたって進む進み方が何通りあるか、計算で求めようと思います。（）にあてはまる数を求めなさい。
ただし、Ａから右に行って奥に行って上に行く進み方を、（右、奥、上）と表すことにします。





 

・【図１】のＡからＢへの進み方は、（右、奥、上）（右、上、奥）（奥、右、上）（奥、上、右）（上、右、奥）（上、奥、右）の６通りです。これは、３つの記号○×△の並べ方と同じなので、３×２×１＝６(通り)、と求めることができます。

15

場合の数 - 同じものを含む順列



・【図２】のＡからＢへの進み方は、（右、右、奥、上）か、（右、右、上、奥）か、・・・・と考えると、４つの記号○○×△の並べ方と同じなので、()Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）通り、となります。




・同様に考えると、【図３】のＡからＢへの進み方は、()

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（16）通り、となります。

場合の数 - 同じものを含む順列

20 ⑴〜⑶のように、立方体が並んでできたジャングルジムがあります。
ＡからＢまで遠回りせずに、辺をつたって行く行き方は何通りあるか求めなさい。
⑴



⑵



⑶

17

場合の数 - 同じものを含む順列

■

解答・解説

■

１ ○○××○×○×○××○
×○○×
×○×○
××○○（６通り）

12 ⑴

5C2×3C1＝10×３＝30⑵

5C2×3C2＝10×３＝30

13 ＡＢの順に選ぶと、6C1×5C2＝60(通り)14 ＡＢの順に選ぶと、8C3×5C3＝560(通り)※ＣＢの順に選ぶと、8C2×6C3＝560(通り)

２ ○○○××
○○×○×
○○××○
○×○○×
○×○×○
○××○○
×○○○×
×○○×○
×○×○○
××○○○（10 通り）※難しい人は樹形図で描くと分かりやすいです。

15 １→２の順に選ぶと、5C1×4C2＝30(個)16 ・６人をＡＢＣＤＥＦとすると、ＡＢＣＤＥＦ□□□□□□
・この中に、りんご２個、みかん２個、バナナ２個を入れるので、りんご２個、みかん２個、バナナ２個の並べ方と同じ。6C2×4C2＝90(通り)17 6C3＝20、8C3＝56

３ 4C2＝６、６18 ⑴４ 5C2＝10、1012×11×10×９⑵12C4＝⑶23C3＝

６ 6C3＝20(通り)

８ 4C2＝６(個)５×４×３×２×１＝252(通り)５ 4C2＝６(通り)７ 6C2＝15(通り)

10×９×８×７×６

10C5＝

４×３×２×１＝495(通り)

23×22×21
３×２×１＝1771(通り)19 4C1×3C1＝12、5C1×4C1＝2020 ⑴９ 5C2＝10(通り)⑵

10 8C4＝70(通り)⑶

11 5C1＝５、4C2＝６、５×６＝30、
5C1×4C2＝30

18

右右奥奥上の並べ方と同じ
5C2×3C2＝30(通り)または、5C1×4C2＝30(通り)
右右奥奥上上の並べ方と同じ
6C2×4C2＝90(通り)右右右奥奥奥上上上の並べ方と同じ
9C3×6C3＝1680(通り)