海外の算数教育情報コンセプションのモデル化
溝 口 達 也 ＊算数・数学の日々の学習指導において，《子どいは問題場面を強調します。

もの考え》を大事にする等の主張がよくなされて教授学的場（didactical situations ）の基本的な要います。もちろんこのことは，様々な目的や場面請は，各々の問題場面が子どもの認識を示唆するに鑑みても全く否定されることではないといえま

行動を要求すること，そして，すべての行動にはす。しかしながら，この《子どもの考え》という（何らかの）認識が内包されていることを確認し言葉の用いられ方は実に多用であり，場合によっます。つまり，我々は，子どもの認識を捉えようてはそれが，教授学習過程を構成したり，あるいとするとき，観察可能な子どもの行動に依存するはこれを研究対象とする際の困難として表面化すことを確認します。実際，行動は，個人の認知的ることさえあることもまた否めません。

特徴に依存し，と同様に，その個人を取り巻く環

そこで，今回は，こうした《子どもの考え》を境にも依存します。しかし，この個人，環境は，科学的な対象とする一つの取り組みとして，フラ複雑な実体であるといえます。問題は，その複雑ンスの数学教育研究者バラシェフ氏（Balacheff, N.）

さのすべてが考察の対象となるというのではなく，によるコンセプションのモデル化の試みを取り上知識との関連においてそれらの複雑な実体を投影げてみたいと思います。なお，取り上げた論文にする部分集合として，主体（subject）とミリュー

おいて，バラシェフ氏自身十分詳細な説明ができ（milieu）という用語を置きます。このミリューとなかったと述べられていることや，併せて執筆者いう語は，フランス数学教授学において中核をなの力量不足から氏の主張を十分に理解できていなす概念の一つであり，紙面の都合で詳述はかないい面も多々あるため，（よく言えば）開かれた状ませんが，誤解を恐れず簡単に述べれば，学習過態にとどまっています。ここでの紹介を契機に，程において主体と相対するシステムを意味します。

今後理論と実践の両面でこうした点に関する議論

ただその用いられ方は，必ずしもそうであるわけが展開されればと切望いたします。

ではないものの従来物的対象の比重が高かったのコンセプションという語は，算数・数学教育研に対し，氏はこれを拡張して，認識を生み出す手究において何年もの間用いられてきております。

段としての記号的表象及び相互作用を統合するもしかし，それは，明確に定義されたものとしてとのとして捉えようとします。従って，認識は，主いうよりは，ある意味で常識的な考えとして用い体，あるいはミリューのみに帰せないものであり，られてきたといえます。つまり，実践，研究上の対照的に主体とミリューの相互作用として捉えよ道具として機能するものの，その定義は暗黙裡でうとします。つまり，主体/ミリュー シ ステムにあり，研究の対象としての位置づけを（明確には）おいて，何らかのかく乱（pertubation）に続く均衡与えられていないことが指摘されます。こうしたを取り戻すことの必要条件として相互作用を位置

問題意識の下に，氏は，コンセプションのモデルづけます。後述するモデルにおいて，子どもの直化に向けて様々な理論的前提を用意します。

面する問題は，主体/ミリュー システム における先ず，子どもの認識（knowing）を捉えるに当たっ重要なかく乱を意図するものとなります。従って，て，その本性として，子どもの直面する問題ある教師の役割は，教授的意図に照らし合わせて受け入れられると認められる認識が現出するように，＊鳥取大学助教授

主体とミリューにおけるそれらの相互作用を通じ1ての何らかの出会い（encounter）を組織すること-Ｒ：オペレーターの集合であるといえます。また，学習とは，主体/ミリュー-Ｌ：表象システムシステムの均衡を再構成する過程であると位置づ- ...：制御構造（control structure）けられます。ただし，それは，主体の行為とミリュー

ここでは，氏の上げられる関数の例に基づいてこからのフィードバックとの間にあるギャップが主のモデルを見ていきたいと思います。

体によって認識されるときにのみかく乱が発生す

学習者の視点から見たものとして，グラフと曲ると認められます。我々が日々の学習指導で経験線は代数的表現（式）に結びついて存在するべきする中で，こうしたギャップが主体（子ども）にである，といったアイデアがありますが，これらよって認められないという状況があります。我々

は，例えば描けるもの，といったような要請に従は，それが認識の反映としてみられるとき，こううものであります。ここで，グラフと曲線は，2した気づかれないギャップを誤り（error）と呼びつの異なる実体であり，この意味で区別される必ます。認識を構成するためには，こうした誤りを要があります。つまり，曲線は式で表現された幾自覚し，これらを克服する必要があります。場合

何的対象であるのに対して，グラフは例えば点をによっては，こうした誤りを否定し新しい認識にプロットしたりするような関数の表現です。これ置き換えるときでさえ，実用的な妥当性が残るこまでには捉えにくかったこうした 2 つの子どものともあります。例えば，小数は，「点のある整数」コンセプションを異なるものとしてモデル化しよではありませんが，そのように考えれば計算上極うということです。実際には，曲線-代数的コンセめて有用であるといったようにです。

プション（ＣＣＡ）と代数的-グラフコンセプショ

80 年代，様々なカテゴリーの下に，学習者のミン（ＣＡＣ）として次のようにモデル化されます。

スコンセプションについての研究が展開されましＣＣＡ＝（ＰＣＡ，ＲＣＡ，Graphic-symbolic，...ＣＡ）

た。こうした研究はすべて，子ども，すなわち学

ＣＡＣ＝（ＰＡＣ，ＲＡＣ，Symbolic-graphic，...ＡＣ）

習者を当該の知識の所有者としての大人，すなわ

2 つのモデルにおいて，共通に graphic と symbolic

ち専門家と基本的に異なる主体として見ています。のレジスターが用いられていますが，ＣＣＡでは，こうした見方の背景には，ミスコンセプションと曲線が代数的表現を持つことが基準となっているいうものに対して何らかの正しい当該の知識といのに対して，ＣＡＣ では，代数的表現が描くことがうものが割り当てられることが前提とされます。

可能なグラフに結びついていなければならないとしかし，氏は，バシュラール（Bachelard, G. フランいうことが基準になります。しかし，このことはスの科学哲学者）やブルーソー（Brousseau, G. フ

直接観察されるものではなく，そのために，問題ランスの数学教育研究者）の認識論的障害の概念場面やその他の要素が必要となり，これらによっを上げ，誤りについてのミスコンセプションとのてコンセプションを特徴づけようとするのです。

認識論的立場の違い，あるいはそのパラダイムの結論において，氏は，こうしたコンセプション違いを明確にします。すなわち，誤りは，無視，のモデル化により，認識（knowing）はコンセプショ不確実さ，偶然の効果だけでなく，望ましいと判ンの集合として捉えることができ，さらに概念断され成功裡であったような先行する知識の効果（concept）は認識の集合として捉えることができでもあるとし，ある種の誤った認識は，学習にはると指摘されます。《子どもの考え》の科学的な必要であると述べます。というのは，なぜそのよ対象化の試みとして，一つの契機になるのではなうな認識が誤りであるかという自覚は，新しい認いかと考えます。

識に必要とされるからです。

文 献 ： Balacheff, N. (2000). A modelling challenge:

以上（ただし，かなり端折って）述べた用意のuntangling learner's knowing.

下に，次のような 4 つ組のコンセプションのモデ

http://www-didactique.imag.fr/Balacheff/TextesDivers/JI

ルＣを提案されます。

OSC2000.html

Ｃ（Ｐ，Ｒ，Ｌ，...）（本論文は，グルノーブル大学大学院（仏）在学-Ｐ：問題の集合中の宮川健氏より御紹介いただきました。）
2