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沼津工業高等専門学校研究報告
第 51 号，2017 年 1 月

大気の抵抗があるときの固体球の落下運動
大庭 勝久 *1 舟田 敏雄 *2
Free Fall of a Solid Sphere under Air ResistanceKatsuhisa OHBA*1 and Toshio FUNADA*2
Abstract: A solid sphere (rain drop) falls freely in atmosphere under air resistance. The resistance proportional to thesphere velocity is introduced in a textbook of high-school physics, but the resistance proportional to the square of the velocity should be compensated as realistic phenomena from the standpoint of ﬂuid mechanics. Both resistance mechanisms
are treated as a uniﬁed manner in this report, and it is found that the two mechanisms can work well according to the valuesof Reynolds number. A short comment for a rain drop (liquid) is made based upon the viscous potential ﬂow analysis.
Keywords: Free Fall of Solid Sphere, Air Resistance Proportional to the Sphere Velocity and to the Square of the Velocityの成果と次の課題を述べる．

1 はじめに雨粒が空気中を運動するとき空気の抵抗を受けることが教科書 (「物理基礎」，「物理」)[1] に解説されている．物
理基礎 pp.71-72「空気の抵抗」と物理 pp.22-23「空気の抵抗」には「雨粒が，重力だけを受けて自由落下する場合を考えよう．雨粒が 1000 m 落下したときの速さ v [m/s]を (18) 式より計算すると，v = 140 m/s となる．しかし，実際は大粒の雨でも 10 m/s 程度である．これは，雨粒が空気の抵抗を受けるためである．摩擦と同様に，空気の抵抗が運動を妨げる向きに働くため，雨粒はさほど加速されずに地面に到達する．」と解説され，続いて「空気の抵抗力と終端速度」の項で「速度に比例する抵抗力」の説明になる．しかし，速度に比例する抵抗の場合には小粒の雨のとき終端速度 v = 0.1 ∼ 1 m/s の等速度運動となり，速度の二乗に比例する抵抗の場合には大粒の雨のとき終端速度約 v = 11 m/s の等速度運動となる．つまり，速度に比例する抵抗の場合，大粒の雨で 10 m/s 程度の等速度運動にはならないことに注意する必要がある．
これを補うために，空気の抵抗は，Newton の抵抗法則で表現され，物体の速度に比例する抵抗 (Stokes の抵抗法則) と物体の速度の二乗に比例する抵抗があり，その抵抗法則の適用範囲が Reynolds 数に依ることは KTJ06 の補
助教材に示して来た．ここでは，空気中を落下する固体球に対し，実際に 2 つの抵抗法則を用いて計算した終端速度の例を示す．

2 流体力学で得られている抵抗法則
空気の質量密度を ρa ，粘性係数を μa ，動粘性係数を

νa = μa /ρa ，固体球 (雨滴，球状水滴とみなす) の半径をa，空気の流れの代表速度を v と表すと，物体に働く抵抗ρ
a 2
v S (縦力 D の測定値の特性は抗力係数 CD = D/2軸) と流れの Reynolds 数 Re = 2av/νa = 2av/(μa /ρa )(横軸) の図 (Fig.1) に示されており，Re < 1 の層流領域，
1 < Re < 2975 の遷移領域，2975 < Re の乱流領域に大別される．但し，流れに垂直な物体の断面積 S は球の場
合 S = πa2 である．通常，流れの速度を変えて静止固体球に働く抵抗力を測定するが，ここでは，静止大気中を落下する固体球 (球状水滴) に適用する．

y 軸を鉛直下方とするデカルト座標系を取り，重力加4π
速度を g として，質量 m1 = ρ a3 (ρ = 1000 kg/m3 は3水の密度) の固体球 (球状水滴) の位置を y1 ≡ y1 (t) (t: 時間) と表すと，固体球の運動方程式は次式で与えられ，固体球の速度 v = dy1 /dt の 1 階微分方程式となる:(2.1)

m1 ÿ1 = m1 g − D → m1 v̇ = m1 g − D

この式の右辺の抵抗力 D は，v や a 等の関数であり，Re 数の値に依って異なる値を取る．Re < 1 の層流
領 域 で 成 り 立 つ 速 度 に 比 例 す る 抵 抗 力 D = k1 v はStokes の 抵 抗 法 則 と 呼 ば れ て お り ，流 体 力 学 の 理 論に よ り D = 6πaμa v (即 ち ，k1 = 6πaμa ) と 解 析 的に導出されるから，抵抗係数は CD = D/

ρ

ρ

a 2

v πa2



2

v πa2 = 24μa / (ρa v2a) = 24/Re と表

a 2

本報告では，前述の視点から，教材開発・教程の改善・= 6πaμa v/

高度化を進めて来た物理学実験事例 [2] を解説し，この間現される．

*1 電子制御工学科: Department of Electronic Control System Engineering.

1 < Re < 2975 の遷移領域では，実験値により，抵抗√係数は CD = 24/ Re と表される．この遷移領域につい*2 沼津高専 名誉教授:

Professor emeritus. 現在は，国際教育カレッ
ジ (INTEC) 高専予備教育コース (KTJ): KTJ, DPT, International

Education College, UiTM Section 17 Campus, 40200, Shah Alam,
Selangor, Malaysia.

2ては文献 [3] を参照することとし，ここでは扱わない．

2975 < Re の乱流領域では，速度の二乗に比例する抵

26

沼津工業高等専門学校研究報告

ρa
S ，CD = 0.4 ∼ 0.5) と表2
す．Fig.1 では Re ≥ 400000 で CD 値はさらに変化する．

抗力を D = k2 v 2 (k2 = CD

第 51 号されるから，空気の密度 ρa = 1.21 kg/m3 を用い，終端
速度 v2t を得る:

専門基礎では，流体摩擦力による抵抗の代表なので，講義



mg
16ρg
g
4πa3
= ρ
=
a
v2t =
k2
3 0.25ρa πa2
3ρa
√
(2.3)
= 207.835 a

する．速度の二乗に比例する抵抗の実験値は講義で紹介

よって，終端速度は固体球 (球状雨滴) の半径の平方根にするが，その解析は卒業研究の学生に教える程度となる．

比例して，Re2 = v2t 2a/νa = 2.76353 × 107 a3/2 と表さ



速度に比例する抵抗の解析は，KTJ での物理教程範囲をやや超えるが，KTJ06 でも学習した [4] ．高専の力学のれる．これの適用範囲は，Re 数で 2975 < Re < 2 × 105 ，

固体球 (球状雨滴) の半径で 2.26299 × 10−3 m< a <0.0593924 m である (Fig.2)．

Fig.1 球の抵抗係数 CD の実験データ．熱力学と流体「62章:流れの中の球体の抗力 [5] http://homepage3.nifty.com/
skomo/f28/hp28 62.htm」より転載．Reynolds 数 R = Re(横軸) は，Re = 2av∞ /(μa /ρa ) (v∞ は代表的な速度) と定義され，流れの特性を表す．流体による抵抗力 D (実測値) は，抵抗係数 CD (D = CDρa 2v S) に書き換える．
2 ∞それぞれの抵抗法則の終端速度 v1∞ , v2∞ を用いて定義した Reynolds 数について，Re1 = v1∞ 2a/νa = 1 を与える固体球 (球状雨滴) の半径は a = 3.97592 × 10−5 m とFig.2 v [m/s] (縦軸) 対 固体球 (球状雨滴) の半径 a [m] (横軸)．速度の 2 乗に比例する抵抗力が働く場合の終端速度

v2t (黒色)．速度に比例する抵抗力の終端速度 v1t (赤色)．
以上の考察より，幾つかの固体球 (球状雨滴) の半径について計算すると，Table 1 の結果が得られる．

Table 1 固体球 (球状雨滴) の半径と落下速度 (終端速度)
半径 a [m]雲粒なるから，これ以下の小さい固体球 (雨滴) に Stokes の抵

霧雨粒

抗法則が適用される．また，Re2 = v2∞ 2a/νa = 1 を与霧と雨の境える固体球 (球状雨滴) の半径は a = 1.09402 × 10−5 m と雨粒なり，Re2 = v2∞ 2a/νa = 2975 を与える固体球の半径は雨粒の大きな固体球に速度の 2 乗に比例する抵抗法則が適用

雨粒

a = 2.26299×10m となるから，a ≥ 2.26299×10

雨粒

m

−3

−3

される．なお，雨滴は半径 1 mm 程度までは球形であるが，それ以上に大きいと球から変形するので，体積を変え

1. × 10−6
0.00001
0.00010.0008
0.001
0.002
0.003

落下速度 vt [m/s]1.19658 × 10−4 (v1t )0.0119658 (v1t )1.19658 (v1t )5.87848 (v2t )6.57234 (v2t )9.29469 (v2t )11.3836 (v2t )なお，Table 1 で，3.97592 × 10−5 m< a < 2.26299 ×

10−3 は遷移領域の抵抗法則に従うので，注意する．

ずに球形にしたときの相当半径を用いて表現する [6] ．まもっと大きな雨粒は，安定には存在できず，小さな雨

た，雨粒の大きさは，通常は直径 1 mm 前後で，概ね直径粒に分裂して降って来る．そのことは，別の流体力学的

0.2∼6 mm の範囲内にある．直径 6 mm を超えるような機構による．また，正確には，周囲流体による浮力が働

大きな雨粒は分裂し易く観測され難い[7]．即ち，固体球で雨滴を近似できる半径の上限が 1 mm であると言える．

Stokes の抵抗法則の場合，k1 = 6πaμa と空気の粘性係
Pa s を用い，終端速度 v1t を得る:
mg
4πa3 gv1t ==ρ
= 1.19658 × 108 a2 (2.2)
k1
3 6πaμa
対応して，Re1 = v1t 2a/νa = 1.59106 × 1013 a3 である．
−6

数 μa = 1.82 × 10

速度の 2 乗に比例する抵抗法則の場合には，CD =0.4 ∼ 0.5 (Fig.1) より k2 = CD

ρa 2
πa = 0.25ρa πa2 と表2

く．空気中の雨滴は，空気の浮力よりも雨滴の自重が大
きく雨滴は落下する．

3

空気抵抗がある場合の固体球 (球状雨滴) の落下運動(力学解析)
半径 a1 ，密度 ρl の球状雨滴 (水滴) が，上空の高さ h0 の位置から大気中を自由落下し地面に到達する力学問題を4
3考える．固体球 (球状雨滴) の質量 m は m = ρl πa31 であり，球状雨滴は落下中に変形しないもの (固体球) とす
る．球状雨滴と大気の物性値の高さや温度による変化は

27

大気の抵抗があるときの固体球の落下運動考えない．高さ h0 の位置を座標原点とし，鉛直下方に y軸を取る．重力加速度を g = 9.8 m/s とする．
2

先ず，抵抗の無い場合の固体球 (球状雨滴) の位置 y0 ≡

次に，速度に比例する抵抗と速度の二乗に比例する抵抗が共存する場合の固体球 (球状雨滴) の位置を y3 ≡ y3 (t)，速度を v3 ≡ v3 (t)，抵抗係数を c1 , c2 と表すと，自由落

y0 (t) (t: 時間) と速度 v0 ≡ v0 (t) = ẏ0 (ẏ0 = dy0 /dt) に下の運動方程式は次式となる:

度 zero の「等加速度運動」の解を得る:(3.11) 式は定数係数の非線形 1 階微分方程式であり，平mv̇3 (t) = mg − c1 v3 − c2 v32 (t)対して，自由落下の運動方程式 (mv̇0 = mg) より，初速

y0 (t) =g 2
t , v0 (t) = gt
2

(3.1)

次に，速度に比例する抵抗の場合の固体球 (球状雨滴)の位置を y1 ≡ y1 (t)，速度を v1 ≡ v1 (t) と表すと，自由落下の運動方程式は次式となる:(3.2)

mv̇1 (t) = mg − c1 v1 (t)c1 は抵抗係数である．(3.2) 式は定数係数の線形非同次の1 階微分方程式であり，平衡解 (定数の解) v1t = mg/c1を持ち，(3.2) 式の初速度 zero の解は次のように表される:

�
c1
mg �
1 − e− m t(3.3)
c1
この解は，初速度 zero で落下が始まり，t → ∞ で終端速
v1 (t) =度 v1t = mg/c1 (等速度運動) に近づく．指数関数 e(α > 0, t ≥ 0) は e

−6

−αt

= 0.00247875 ∼ 0 となるから，速度 v1 (t) が終端速度に近づく特徴時間 (時定数の 3 倍) t1t

は t1t = 6/α = 6m/c1 と評価される．(3.3) 式を用い，位置 y1 の方程式は次式となる:(3.4)

ẏ1 (t) = v1 (t)

これを t で積分し初期位置 zero により，解 y1 (t) を得る:

�c1
mg
m2 g �
t − 2 1 − e− m t
y1 (t) =
c1
c1

(3.5)

次に，速度の二乗に比例する抵抗の場合の固体球 (球状雨滴) の位置を y2 ≡ y2 (t)，速度を v2 ≡ v2 (t)，抵抗係数を c2 と表すと，自由落下の運動方程式は次式となる:

mv̇2 (t) = mg − c2 v22 (t)(3.6)(3.6) 式は定数係数の非線形 1 階微分方程式であり，平衡解を 2 つ持ち，有意な解 v2t は次式となる:

�

mg
(3.7)
c2
(3.6) 式から，初速度 zero の解 v2 (t) を得る:
��
�
�
mg
c2 g
tanh
v2 (t) =
t
(3.8)
c2
m
この解は，初速度 zero で落下が始まり，t → ∞ で終端速
�度 v2t = mg/c2 (等速度運動) に近づく．また，双極線
v2t =(3.11)

衡解を 2 つ持ち，有意な解 v3t は次式となる:�
c21 + 4mgc2(3.12)
v3t =2c2
ここで，v3 (t) = v3t + v31 (t) とおき，(3.11) 式は次のよ−c1 +うに書き替えられる:

mv̇31 (t) +�

c21 + 4mgc2 v31 (t) + c2 v31 (t)2 = 0 (3.13)

これを解き，初速度 zero の解 v3 (t) = v3t + v31 (t) を得る:

v3 (t) =2mg
� (3.14)���
c21 + 4mgc2 t
2
c1 + c1 + 4mgc2 coth2m

この解に含まれている双曲線関数の特性値 coth(3) ∼ 1を用いることにすると，速度� v3 (t) が終端速度 v3t =��
c21 + 4mgc2 に近づく特徴時間 (時定数
�の 3 倍) t3t は，t3t = 6m/ c21 + 4mgc2 と評価される．

2mg/ c1 +(3.14) 式を用い，固体球 (球状雨滴) の位置 y3 の方程式

は次式となる:ẏ3 (t) = v3 (t)(3.15)

これを t で積分し初期位置 zero により，解 y3 (t) を得る:

�
�
−c1
m �
−Log c21 + 4mgc2t+
y3 (t) =
2c2
2c2
��
�
��
c21 + 4mgc2 t
2+Log c1 + 2mgc2 + 2mgc2 cosh
m
� ⎤⎞
�√
⎡
c21 +4mgc2 t2m⎢ c1 tanh⎥⎟⎥⎟�(3.16)+2arctanh ⎢⎣⎦⎠2
c1 + 4mgc2

ここに示した速度に比例する抵抗と速度の二乗に比例す

る抵抗が共存する場合の解は，1 階の非線形微分方程式の解析解であることに注意する．
以上に求めた解の振舞は，次節の計算例に示される．

4 空気抵抗がある場合の固体球 (球状雨滴) の落下運動の計算例

関数 tanh(βt) は tanh(3) = 0.995055 ∼ 1 となるから，静止している空気中を落下する固体球 (球状雨滴) の密度

�
t2t は t2t = 3/β = 3 m/(c2 g) と評価される．(3.8) 式を

粘性係数を μa = 1.8 × 10−5 Pa s とする．固体球 (球状雨ẏ2 (t) = v2 (t)粒) と a1 = 3 × 10−5 m (小さい雨粒) の 2 つの場合を考え

速度 v2 (t) が終端速度に近づく特徴時間 (時定数の 3 倍)
用い，固体球の位置 y2 の方程式は次式となる:(3.9)

これを t で積分し初期位置 zero により，解 y2 (t) を得る:

y2 (t) =�m
Log cosh
c2

��

c2 g
t
m

��

(3.10)を ρ = 103 kg/m3 とし，空気の密度を ρa = 1.21 kg/m3 ,滴) の代表的な半径として，a1 = 3 × 10−3 m (大きい雨る．終端速度の特徴は速度の解で解析できるが，初期高さ h0 = 1 km から地面に到達する落下時間を求める．前節で求めた式を用いて解析した結果，a1 = 3 × 10−3 m の28

沼津工業高等専門学校研究報告

第 51 号

大きな球状雨滴 (固体球) の計算結果が Table 2 と Fig.3a,3b, 4c に示され，速度の二乗に比例する抵抗力が適用される．一方，a1 = 3 × 10−5 m の小さな球状雨滴 (固体球) の計算結果が Table 3 と Fig.4a, 4b に示され，速度に比例する抵抗力が適用される．また，速度に比例する抵
抗力と速度の二乗に比例する抵抗力が共存する場合の (3)は，2 つの抵抗法則をうまく棲み分けていることが分る．

Fig.4a v0 (t) m/s (black), (1) v1 (t) m/s (dashed red), (2)Table 2 Falling of a sphere of radius a1 = 3 × 10−3 m (bigrain drop), for which m = 4πρa31 /3 = 1.13097 × 10−4 kg, (1)c1 = 6πμa a1 = 1.01788 × 10−6 N/(m/s) (Stokes’ law）, (2)c2 = 0.25ρa πa21 = 8.55299 × 10−6 N/(m/s)2 (Newton’s lawof drag force) and (3) with c1 and c2 . v∞ = {v1t , v2t , v3t } and
txt = {t1t , t2t , t3t }．
Case v∞ [m/s]Re
txt [s](1)1088.89439185 666.667(2)
11.38364591.39 3.48478(3)
11.32434567.46 3.48473
Table 3 Falling of a sphere of radius a1 = 3 × 10−5 m (smallrain drop), for which m = 4πρa31 /3 = 1.13097 × 10−10 kg,(1) c1 = 6πμa a1 = 1.01788 × 10−8 N/(m/s), (2) c2 =0.25ρa πa21 = 8.55299 × 10−10 N/(m/s)2 and (3) with c1 andc2 . v∞ = {v1t , v2t , v3t } and txt = {t1t , t2t , t3t }．
Case v∞ [m/s]Re
txt [s](1)0.108889 0.439185 0.0666667(2)
1.13836
4.591390.348478(3)0.107910.435239 0.0654792

v2 (t) m/s (blue) and (3) v3 (t) m/s (magenta) versus time
t s, for a1 = 3 × 10−5 m. Refer to the data in Table 3. The
realistic case is given by (1) for Stokes’ law.

Fig.4b v0 (t) m/s (black), (1) v1 (t) m/s (dashed red), (2)v2 (t) m/s (blue) and (3) v3 (t) m/s (magenta) versus time
t s, for a1 = 3 × 10−5 m in magniﬁed scale of Fig.4a.



Fig.4c y0 (t) m (black), (1) y1 (t) m (dashed red), (2)y2 (t) m (blue) and (3) y3 (t) m (magenta) versus time t s,for a1 = 3 × 10−3 m. The arrival time to the ground is













t0 = 14.2857 s, (1) t1 = 9183.68 s, (2) t2 = 878.536 sFig.3a v0 (t) m/s (black), (1) v1 (t) m/s (dashed red), (2)and (3) t3 = 9267 s. Refer to the data in Table 3. Thev2 (t) m/s (blue) and (3) v3 (t) m/s (magenta) versus timerealistic case is given by (1) for Stokes’ law.

t s, for a1 = 3 × 10−3 m. Refer to the data in Table 2. The
realistic case is given by (2) for Newton’s law of drag.

5

固体球の落下実験と観察



INTEC の 3 階の教室に隣接する廊下から中庭に小球 (テニスボール，ゴルフボール，ピンポン玉，スーパーボール (同じ材質で半径が異なる 4 種類)) を静かに落下させる (Fig.5a) と，ピンポン玉は少し遅れ気味であるがほかのボールは概ね同じ速度で落下し (Fig.5b)，ほかのボー













ルが着地した後でピンポン玉が着地した (Fig.5c)．これFig.3b y0 (t) m (black), (1) y1 (t) m (dashed red), (2)y2 (t) m (blue) versus time t s, for a1 = 3 × 10

−3

m. Theらのボールの空気中の自由落下の運動特性は，前節の式を用いて計算して，Table 4, Table 5 に示される．Table

arrival time to the ground is t0 = 14.2857 s, (1)4 の抵抗係数は，(h) と (i) を除けば，c2 が主の値となる．

t1 = 14.5985 s, (2) t2 = 88.6507 s and (3) v3 (t) m/s

Table 5 は，(h) と (i) を除けば，(2) の量 (v02 , Re2 , t2t ) と(magenta). Refer to the data in Table 2. The realistic case(3) の量 (v03 , Re3 , t3t ) の値が近く，乱流域の条件を満た

is given by (2) for Newton’s law of drag.

している．

29

大気の抵抗があるときの固体球の落下運動

Table 4 Characteristic values on air drag force coefﬁcient for various spherical balls.
(code) name(a) tennis ball(b) table tennis ball(c) golf ball(d) super ball 01(e) super ball 02(f) super ball 03(g) super ball 04(h) rain drop 01(i) rain drop 02(j) rain drop 03(code)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)

m
6.03 × 10−2
2.3 × 10−3
4.55 × 10−2
1.25 × 10−2
2.18 × 10−2
2.1 × 10−2
3.6 × 10−2
4.1888 × 10−94.1888 × 10−6
1.131 × 10−4d6.25 × 10−2
3.95 × 10−2
4.27 × 10−2
2.93 × 10−2
3.48 × 10−2
4.1 × 10−2
4.25 × 10−2
2. × 10−4
2. × 10−3
6. × 10−3a3.125 × 10−2
1.975 × 10−2
2.135 × 10−2
1.465 × 10−2
1.74 × 10−2
2.05 × 10−22.125 × 10−2
1. × 10−4
1. × 10−3
3. × 10−3

ρ
4.7171 × 102
7.1275 × 101
1.1162 × 103
9.4909 × 102
9.8792 × 102
5.8193 × 102
8.9565 × 102
1000
1000
1000

c1
1.0603 × 10−5
6.701 × 10−6
7.2439 × 10−6
4.9706 × 10−6
5.9037 × 10−6
6.9555 × 10−6
7.21 × 10−6
3.3929 × 10−8
3.3929 × 10−7
1.0179 × 10−6c2
9.2806 × 10−4
3.7069 × 10−4
4.3318 × 10−4
2.0396 × 10−4
2.8772 × 10−4
3.9938 × 10−4
4.2913 × 10−4
9.5033 × 10−99.5033 × 10−7
8.553 × 10−6

Table 5 3 つの空気抵抗 model の終端速度と Reynolds 数と特性時間の比較．
v1t , v2t , v3t
Re1 , Re2 , Re3
t1t , t2t , t3t
5.5734 × 104 , 25.234, 25.228 2.3416 × 108 , 1.0602 × 105 , 1.0599 × 105 3.4123 × 104 , 7.7247, 7.7247
3.3637 × 103 , 7.7978, 7.7888 8.9315 × 106 , 2.0705 × 104 , 2.0681 × 104 2.0594 × 103 , 2.3871, 2.3871
6.1555 × 104 , 32.084, 32.075 1.7669 × 108 , 9.2092 × 104 , 9.2068 × 104 3.7687 × 104 , 9.8215, 9.8215
2.4645 × 104 , 24.507, 24.495 4.8541 × 107 , 4.827 × 104 , 4.8246 × 104
1.5089 × 104 , 7.5022, 7.5022
47
4
4
3.6188 × 10 , 27.249, 27.239 8.4655 × 10 , 6.3745 × 10 , 6.3721 × 10
2.2156 × 104 , 8.3416, 8.3416
2.9588 × 104 , 22.7, 22.692
8.1548 × 107 , 6.2564 × 104 , 6.254 × 104
1.8115 × 104 , 6.9491, 6.9491
48
44
4.8932 × 10 , 28.673, 28.664 1.398 × 10 , 8.1916 × 10 , 8.1892 × 10
2.9959 × 104 , 8.7773, 8.7773
1.2099, 2.0784, 0.95463
16.266, 27.942, 12.834
0.74074, 0.63623, 0.48264
1.2099 × 102 , 6.5723, 6.3962 1.6266 × 104 , 8.8361 × 102 , 8.5994 × 102 7.4074 × 101 , 2.0119, 2.0112
1.0889 × 103 , 11.384, 11.324 4.3919 × 105 , 4.5914 × 103 , 4.5675 × 103 6.6667 × 102 , 3.4848, 3.4847

h0 = 1000 m からの落下時間は，空気の抵抗力がない(b) のピンポン玉の場合に幾つかの高さから自由落下さ場合に t0 = 1.4286 × 10 s であり，空気の抵抗力がある

せて，地面に到達する時間を求めた (Table 8)．ピンポン

Table 6 3 つの空気抵抗 model の落下時間 (h0 = 1000 m)．
(code)
t1
t2
t3(a)1.4292 × 101 4.1414 × 101 4.1423 × 101(b)1.4386 × 101 1.2879 × 102 1.2894 × 102(c)1.4291 × 101 3.3438 × 101 3.3446 × 101(d)1.4299 × 101 4.2538 × 101 4.2558 × 101(e)1.4295 × 101 3.8626 × 101
3.864 × 101
11(f)
1.4297 × 10
4.5658 × 10
4.5675 × 101
11(g)
1.4293 × 10
3.6904 × 10
3.6915 × 101(h)8.2665 × 102
4.813 × 102
1.0476 × 103
12(i)
1.7657 × 10
1.5262 × 10
1.568 × 102
11(j)
1.4599 × 10
8.8651 × 10
8.911 × 101

大きく，高さ 0.5 m からの自由落下でも遅れが生じる．
Table 8 ピンポン玉が自由落下し地面に到達する時間．
h0
t0
t1
t2
t3
100
4.5175
4.527513.376
13.39110
1.42861.42961.82591.827551.01021.0106
1.14971.1505
30.78246 0.78276 0.84677 0.8475
1
0.45175 0.45185 0.46398 0.4645
0.5
0.31944 0.31949 0.32375
0.324

1

と Table 6 となる．

玉の質量が小さいので，運動方程式中で抵抗力の効果が(a) のテニスボール場合に幾つかの高さから自由落下させて，地面に到達する時間を求めた (Table 7)．
Table 7 テニスボールが自由落下し地面に到達する時間．
h0
t0
t1
t2
t3
100
4.51754.5181
5.71755.719
101.42861.42861.46551.465551.01021.0102
1.0232
1.0235
30.78246 0.78248
0.78850.788510.45175 0.45176 0.45291
0.453
0.5
0.31944 0.31944 0.31985
0.32

これにより，3 m 以下の高さからの自由落下では空気の抵抗力の影響は非常に小さくなり，空気の抵抗力を無視しても差し支えないと言える．

Fig.5a INTEC の Block U の 3 階の教室の廊下から中庭にボールを自由落下させる瞬間．3 名の学生が 2 種類ず
つ計 6 個のボールを持っている．

30

沼津工業高等専門学校研究報告

第 51 号

ら変形し，雨滴の変形・分裂が起こる．
雨滴は液体なので，球状液滴の安定性の問題として，流
体力学的解析が期待される．粘性ポテンシャル理論 [8] の視点から，一定加速度で流体中を運動する液体球の界面不安定について，これまでの研究 [9]–[12] を踏まえて，取Fig.5b 落下中の 6 個のボール．

組むことができる．
本報告は，KTJ の物理学教材の開発であるが，高専の3-5 年生の専門基礎の教程の改正に活用できる．特に，小中高の新教程の移行が終わり，高専の教程の組換・再編が進む中で，質の高い教材開発が求められている．
参考文献

Fig.5c ボールが地面に達し，跳ね上がった瞬間．
これらの静止画は，学生の携帯電話で撮影した video
から変換したものである．落下中のボールの様子は video
映像の方が良く分かる．

[1] 物理基礎 (平成 23 年 3 月 30 日検定済), 物理 (平成24 年 3 月 15 日検定済)，数研出版，平成 25 年 1 月
10 日発行．
[2] 舟田 敏雄: “KTJ07 Semester 3, 4 の物理実験テーマ”(内部資料) KTJ, INTEC, 2015.

教室内で，約 1.5 m の高さから自由落下させると，いず[3] 小西 克享: “終端速度の求め方” 埼玉工業大学機械工

れのボールもほぼ同時刻に床面に達した．敢えて言えば，

学学習支援セミナー http://www.sit.ac.jp/user/konishi/

ピンポン玉は少し遅れる．つまり．ボールの質量を m1 ，

JPN/L Support/SupportPDF/TerminalVelocity.pdf

位置を y1 ≡ y1 (t) とし，抵抗を D とすると，ボールの運[4] 舟田 敏雄: “雨滴の落下速度” (physics-KTJ07-06-

積のみの関係するから，m1 が大きいと相対的に空気抵抗[5] 資料「第 4 章 雨滴の落下速度 (2001.5.26)」

動方程式は (3.1) 式で表される．抵抗力 D は，物体の面

nov28rev.pdf, 2014.12.3)の効果は小さくなるので，落下運動中に空気抵抗を無視

http://www5b.biglobe.ne.jp/ saturn/meteology/04.htm

できる．しかしながら，落下時間が長いと，小さな抵抗[6] 荒木 健太郎: 『雲の中では何が起こっているのか』第力が次第に効いて終端速度に近付き，等速運動になる．

2 版，ベレ出版，2014 年 ISBN 978-4-86064-397-3

6 おわりに空気 (流体) 中の物体に働く抵抗の法則を雨滴の固体球

model を中心にまとめ，KTJ08 の物理学実験と合わせて空気の抵抗力の効果を考慮すべき条件を明示した．速度に比例する抵抗と速度の二乗に比例する抵抗力が共存する場合の運動方程式 (1 階の非線形微分方程式) が解析解を持つことを示し，その解は Reynolds 数による抵抗法則
を棲み分けることを示した．
空気の抵抗は，物体が 1.5 m 以下高さから自由落下する場合には無視できる程に小さく，3 m 程度高さから自由落下する場合には軽い物体の場合には抵抗が作用し，重い物体の場合には抵抗は無視できる．さらに高いとこ
ろからの自由落下では，質量が小さく半径が小さい物体
では速度に比例する抵抗力が働き，質量が大きい物体には速度の二乗に比例する抵抗力が働く．さらに高いとこ
ろから自由落下させる場合，物体には速度の二乗に比例する抵抗力が働き，終端速度で落下する．
雨滴の半径が 1 mm 以下の場合の自由落下では，固体球 model で近似できる．この半径より大きいと，球形か[7] Wikipedia: “雨” https://ja.wikipedia.org/wiki/雨[8] D. D. Joseph, T. Funada & J. Wang: Potential Flowsof Viscous and Viscoelastic Fluids. Cambridge University Press, 2007.
[9] E. Y. Harper, G. W. Grube, & I-D. Chang: “On the
breakup of accelerating liquid drops” J. Fluid Mech.
52 (1972), pp.565-591.
[10] J. C. Padrino, T. Funada & D. D. Joseph: “Purely irrotational theories for the viscous effects on the oscillations of drops and bubbles” International Journal ofMultiphase Flow 34 (2008), pp.61-75.
[11] I. Rozhkov, A. F. Vakakis & R. H. Rand: “Non-linear
modal interactions in the oscillations of a liquid drop
in a gravitational ﬁeld” International Journal of NonLinear Mechanics 36 (2001), pp.803-812.
[12] 舟田 敏雄, Joseph Daniel: “一定加速度で運動する液滴の界面不安定と振動現象の解析” 第 59 回理論応
用力学講演会講演論文集 NCTAM 2010, pp.125-126(平成 22 年 6 月 8 日発行). OS1-1 気液界面の物理と動力学, 講演番号 1D11．