組み合わせの計算

ステップ１

並べ方と選び方の区別

１ Ａ、Ｂ、Ｃの３人の小学生がいます。
⑴⑵

３人の中から２人を選んで並べます。
①

並べ方を、樹形図を使ってすべて書きなさい。

②

並べ方は全部で何通りありますか。

３人の中から２人を選んで組をつくります。
①

２人の組み合わせを、樹形図を使ってすべて書きなさい。

②

組み合わせは全部で何通りありますか。

1

組み合わせの計算

２ Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人の小学生がいます。
⑴⑵

４人の中から２人を選んで並べます。
①

並べ方を、樹形図を使ってすべて書きなさい。

②

並べ方は全部で何通りありますか。

４人の中から２人を選んで組をつくります。
①

２人の組み合わせを、樹形図を使ってすべて書きなさい。

②

組み合わせは全部で何通りありますか。

2

組み合わせの計算

ステップ２

復習：順列（並べ方）の計算

３ １、２、３の３枚のカードを並べて３けたの整数をつくります。


⑴

百の位に入るカードは（⑵

十の位に入るカードは、百の位に使ったカード以外の（⑶一の位に入るカードは、百の位に使ったカードと十の位に使ったカード以外の（⑷）通り。
）通り。

）通り。

⑴、⑵、⑶より、３けたの整数は全部で、（）×（）×（）＝（3）通りとなります。

組み合わせの計算

４ 次の問いに答えなさい。
⑴

１、２、３、４の４枚のカードを並べて４けたの整数をつくると、整数は全部で（⑵）通りできます。

１、２、３、４、５の５枚のカードを並べて５けたの整数をつくると、整数は全部で（⑶Ａ、Ｂ、Ｃの３人から 2 人を選んで一列に並べます。並べ方は全部で（⑷）通りできます。

）通りあります。

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人から３人を選んで一列に並べます。並べ方は全部で（）通りあります。

4組み合わせの計算

ステップ３

組み合わせ（選び方）を記号で表す

５ ３人の中から１人を選ぶ選び方を「 C 」、５人の中から２人を選ぶ選
３

１

び方を「５C２」と表します。このとき、次の選び方を記号を使って表しなさい。
⑴

2 人の中から１人を選ぶ⑵

３人の中から 2 人を選ぶ⑶

４人の中から１人を選ぶ⑷

５人の中から３人を選ぶ⑸

６人の中から２人を選ぶ⑹

７人の中から３人を選ぶ

5組み合わせの計算

ステップ４

１人を選ぶ

６ Ａ君、Ｂ君の２人の中から１人を選ぶ選び方は、Ａ君を選ぶかＢ君を選ぶかの２通りしかないので、「２C１＝２」です。このとき、次の選び方を記号を使って表し、その答えも求めなさい。

⑴

３人の中から１人を選ぶ⑵

４人の中から１人を選ぶ⑶

５人の中から１人を選ぶ⑷６人の中から１人を選ぶ⑸

７人の中から１人を選ぶ⑹

８人の中から１人を選ぶ

6組み合わせの計算

ステップ５

２人を選ぶ

７ ２の⑵で、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人の中から２人を選ぶ組み合わせは６通りありました。これを、計算で求める方法について考えます。

・まず、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人の中から２人を選んで並べます。
並べ方は全部で、（）×（）＝（）通り・・・★

あります。これを全て書き出すと、次のようになります。




赤い部分が重複しています。

・ここで２人の組み合わせについて考えると、（Ａ、Ｂ）と（Ｂ、Ａ）は同じ組み合わせ、（Ａ、Ｃ）と（Ｃ、Ａ）は同じ組み合わせ、（Ａ、Ｄ）と（Ｄ、Ａ）は同じ組み合わせ、（Ｂ、Ｃ）と（Ｃ、Ｂ）は同じ組み合わせ、（Ｂ、Ｄ）と（Ｄ、Ｂ）は同じ組み合わせ、（Ｃ、Ｄ）と（Ｄ、Ｃ）は同じ組み合わせ、です。

7組み合わせの計算

・つまり、★の並べ方の中には、同じ組み合わせが２通りずつあることになります。これは、２人の順番を入れかえても、組み合わせとしては同じだからです。

・よって、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人の中から２人を選ぶ組み合わせは（）÷（）＝（）通り、となります。

・ところで、ＡＢとＢＡのように、同じ組み合わせがしたが、この「（２通りずつできま２）×（通り」は２人の並べ方のことなので、）＝２通り、と求められます。

・以上の計算を、高校で習う数学では、次のように分数で計算します。分
数の形で表すと、形がきれいで、公式として覚えやすいからです。

４×３
４Ｃ２＝───＝６(通り)
２×１

8組み合わせの計算

８ １の⑵で、Ａ、Ｂ、Ｃの３人の中から２人を選ぶ組み合わせは３通りありました。これを、計算で求める方法について考えます。

・まず、Ａ、Ｂ、Ｃの３人の中から２人を選んで並べます。
並べ方は全部で、（）×（）＝（）通り・・・★

あります。これを全て書き出すと、次のようになります。



赤い部分が重複しています。

・ここで２人の組み合わせについて考えると、（Ａ、Ｂ）と（Ｂ、Ａ）は同じ組み合わせ、（Ａ、Ｃ）と（Ｃ、Ａ）は同じ組み合わせ、（Ｂ、Ｃ）と（Ｃ、Ｂ）は同じ組み合わせ、です。

・つまり、★の並べ方の中には、同じ組み合わせが２通りずつあることになります。これは、２人の順番を入れかえても、組み合わせとしては同じだからです。

9組み合わせの計算

・よって、Ａ、Ｂ、Ｃの３人の中から２人を選ぶ組み合わせは（）÷（）＝（）通り、となります。

・ところで、ＡＢとＢＡのように、同じ組み合わせがしたが、この「（２通りずつできま２通り」は２人の並べ方のことなので、）×（）＝２通り、と求められます。

・以上の計算を、分数の形でまとめると、次のようになります。

３×２
３Ｃ２＝───＝３(通り)２×１

・ところで、３人の中から２人を選ぶ選び方は、３人の中から残りの１人を選ぶ選び方と同じです。よって、次のように計算することもできます。

Ｃ２＝３Ｃ１＝３(通り)３

10組み合わせの計算

９ 例にならって、次の選び方を記号を使って表し、答えを求めなさい。
例

３人の中から 2 人を選ぶ⑴

４人の中から２人選ぶ⑵

５人の中から２人選ぶ⑶

６人の中から２人選ぶ⑷

７人の中から２人選ぶ⑸

８人の中から２人選ぶ⑹

９人の中から２人選ぶ

11

３Ｃ２＝3× 2
2×1＝３(通り)組み合わせの計算

ステップ６

３人を選ぶ

10 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人の中から３人を選ぶ組み合わせが何通りあるか、計算で求めてみましょう。

・まず、５人の中から３人を選んで並べます。並べ方は全部で、（）×（）×（）＝（）通りあります。これを書き出すと、次のようになります。



・ここで、３人の組み合わせについて考えてみます。今回も、７，８のように、同じ組み合わせができます。ただし、全てを書き出して調べるのは大変なので、この 60 通りの中に（Ａ、Ｂ、Ｃ）と同じ組み合わせが何通りあるか考えます。すると、次のようになります。
（Ａ、Ｂ、Ｃ）と（Ａ、Ｃ、Ｂ）と（Ｂ、Ａ、Ｃ）と（Ｂ、Ｃ、Ａ）と（Ｃ、Ａ、Ｂ）と（Ｃ、Ｂ、Ａ）は、同じ組み合わせです。

12組み合わせの計算

・ここから、60 通りの並べ方の中には、同じ組み合わせが６通りずつあることが分かります。これは、３人の順番を入れかえても、組み合わせとしては同じだからです。

・よって、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人の中から３人を選ぶ組み合わせは（）÷（）＝（）通り、となります。

・ところで、ＡＢＣとＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡのように、同じ組み合わせが６通りずつできましたが、この「６通り」は３人の並べ方のことなので、（）×（）×（）＝６通り、と求められます。

・以上の計算を、分数の形でまとめると、次のようになります。

５×４×３
Ｃ３＝─────＝10(通り)
３×２×１

５

・また、５人の中から３人を選ぶ選び方は、５人の中から残りの２人を選ぶ選び方と同じです。よって、次のように計算することもできます。

５×４
Ｃ３＝５Ｃ２＝───＝10(通り)
２×１

５13

組み合わせの計算

11 例にならって、次の選び方を記号を使って表し、答えを求めなさい。
例

５人の中から３人を選ぶ⑴

４人の中から３人選ぶ⑵

６人の中から３人選ぶ⑶

７人の中から３人選ぶ⑷

８人の中から３人選ぶ⑸

９人の中から３人選ぶ⑹

10 人の中から 3 人選ぶ

５Ｃ３＝145× 4× 3
3×2×1＝10(通り)組み合わせの計算

ステップ 7まとめ

12 次の選び方を記号を使って表し、何通りあるかを求めなさい。
⑴

４人の中から２人選ぶ⑵

５人の中から２人選ぶ⑶

６人の中から２人選ぶ⑷

５人の中から３人選ぶ⑸

６人の中から３人選ぶ⑹

７人の中から２人選ぶ⑺

７人の中から３人選ぶ⑻

８人の中から２人選ぶ⑼☆

８人の中から４人選ぶ

15組み合わせの計算

■

解答・解説

１ ⑴

⑵

２

⑴

①

①

①

②
⑵

３ ⑴
⑷
４ ⑴
⑵
⑶
⑷

■

 ② ６通り 






９ ⑴

4×3
4Ｃ2＝2×1＝６(通り)⑵

5×4
5Ｃ2＝2×1＝10(通り)⑶

6×5
6Ｃ2＝2×1＝15(通り)⑷

7×6
7Ｃ2＝2×1＝21(通り)⑸8×78Ｃ2＝2×1＝28(通り)⑹

9×8
9Ｃ2＝2×1＝36(通り)② ３通り
  Ｂ
Ａ Ｃ
ＤＡＢ ＣＤ

ＡＣ Ｂ
ＤＡＤ Ｂ
Ｃ

10 ５×４×３＝60、60÷６＝10、３×２×１
11 ⑴

4×3×2
4Ｃ3＝3×2×1＝４(通り)

⑵

6×5×4
6Ｃ3＝3×2×1＝20(通り)

⑶

7×6×5
7Ｃ3＝3×2×1＝35(通り)

⑷

8×7×6
8Ｃ3＝3×2×1＝56(通り)

⑸

9×8×7
9Ｃ3＝3×2×1＝84(通り)⑹

10×9×8
10Ｃ3＝ 3×2×1 ＝120(通り)

12 通り

① Ａ Ｂ
ＣＤ
②６通り

３⑵

２Ｂ Ｃ
Ｄ
Ｃ Ｄ

⑶

１３、２、１、６
４×３×２×１＝24(通り)
５×４×３×２×１＝120(通り)
３×２＝６(通り)
４×３×２＝24(通り)

５ ⑴

2Ｃ1 ⑵

3Ｃ2 ⑶

4Ｃ1⑷

5Ｃ3 ⑸

6Ｃ2 ⑹

7Ｃ3６ ⑴3Ｃ1＝３⑵4Ｃ1＝４⑶⑸

5Ｃ1＝５
7Ｃ1＝７⑷⑹

6Ｃ1＝６
8Ｃ1＝８12 ⑴

4×3
4Ｃ2＝2×1＝６(通り)⑵

5×4
5Ｃ2＝2×1＝10(通り)⑶

6×5
6Ｃ2＝2×1＝15(通り)⑷

5×4
5Ｃ3＝5Ｃ2＝2×1＝10(通り)

⑸

6×5×4
6Ｃ3＝3×2×1＝20(通り)⑹

7×6
7Ｃ2＝2×1＝21(通り)７

４×３＝12、12÷２＝６、２×１

⑺

7×6×5
7Ｃ3＝3×2×1＝35(通り)８

３×２＝６、６÷２＝３、２×１⑻

8×7
8Ｃ2＝2×1＝28(通り)⑼

8×7×6×5
8Ｃ4＝4×3×2×1＝70(通り)16