数学科の西村です．今回の問題はいかがだったでしょうLLL

OP = OC + CP

か．今回出題した問題は今年の東京慈恵会医科大学で出題-された問題（一部改変）です．パラメータで表された曲線についての本格的な微積分の問題ですし，慣れていないとª º = ª º+aª

なかなか難しいと思います．この手の問題の解法を解説し

aq
axy=ていきますので，できなかった人は，参考にしていただけª p2 - q ºcos -ª p2 - q ºsin -sin q)ª aa(1(q--cosºq)º

ればと思います．では早速解答といきましょう．となります．

問加えて，今回は「t を用いて点 P の座標を表せ」となっ今回の問題もこれと同じ要領で立式できます．それにているので，q を t で表す必要があります．これについ)ては， AB = OB（解答の図 1）に着目しましょう．

xy 平面上において，半径 2 の円板が x 軸に接しながら正の方向にすべることなく回転するとき，円板上の定点 P が描く曲線 C1 を考える．時刻 t = 0 における円板の中心 D の位置を点 (0，2)，P の位置を点 (0，1)(2)

接線や法線を求めるためには，関数を微分して傾きとする．時刻 t において D が点 (t，2) の位置にあるよを求めればよいですね．(1) で C1 がパラメータ t を用いうに円板が回転していくとき，次の問いに答えよ．て表されました．t を消去するのは不可能ですので x，(1)

時刻 t における P の座標 (x，y) を求めよ．

(2)

時刻 t に対応する点 P(x，y) における C1 の法線 l

y 別々に微分する方針になります．法線の傾きはdx
1dy= - dt で求まりますが，これだと= 0 の場
dydydtdxdt

が x 軸と交わる点を M とし，M が線分 PQ の中点となるような l 上の点を Q とする．Q の座標 (X，Y)
を求めよ．ただし，t = 0 のときは Q を (0，- 1) とする．

合に問題があるため，場合分けが必要となるケースがあ点 Q が描く曲線を C2 とする．2 曲線 C1，C2 と y 軸，(3)ります．そこで，傾きを用いず，ax + by + c = 0 の形

および t = 3p のときの (2) における法線 l で囲まれで書くと y 軸に平行な直線も表せますので，こちらのた部分の面積 S を求めよ．

方が柔軟に対応できます．接線の方向ベクトルdy,ª dxº が法線と垂直なベクトルになりますので，
dt dt

《考え方》
(1)

曲線 C1 はトロコイドと呼ばれる曲線の 1 つで，サイdxdy= a,=bdtdt

クロイドに関連した曲線として知られています．この手接点 (x0，y0) における法線の方程式はの曲線に関して，その軌跡を求めることは頻出です．サとすれば a(x - x0) + b(y - y0) = 0 と表すことができま

イクロイドの方程式がその基本になりますので，まずはす．

サイクロイドの方程式を確認しましょう．
y(3)まずはグラフの概形を描き，グラフの上下関係と積分区間を調べましょう．立式に関して，こういったパラメータで表された曲線の場合は，一旦 x，y で立式した

PaC

上で，パラメータ q に置換して計算します．また，積分する方向（今回は x 軸方向）への変化がパラメータのCq変化に対して単調であるかどうかに注意する必要があPOaq

ります．今回は実際単調になるのですが，その確認をしxてから立式しましょう．さらに，今回求める面積は少し工夫すると計算が楽になります．

円が始めの状態から q だけ回転したときの点 P の座標をパラメータ q を用いて表すと

1ª 2 - cos 2t º x = t ª2 - cos 2t º《解答》
(1)

- x=t

図1yªQ 2 - cos 2t π 0 ºとなるので，M(t，0) である．M は線分 PQ の中点であることから
x+Xy +Y=t,=022tt- X = t + sin , Y = cos - 222AP2D1PDqである．

BxtO

(3)

図 1 のように A，B をとり， –ADB = q とおくと)AB = OB より， 2q = t であるから
LLªL

OP = OD + DP===ª ºªªt2+t - sin qª p2 - q ºcos -ªpsin - - q
22 - cos qtt - sin
2t
2 - cos
2ººº(2) よりdx> 0 であるから，x は t についての単調dt増加関数である．また，ºdX
1t= 1 + cos > 0 であるか
dt22

ら，X は t についての単調増加関数である．よって，曲線 C1，C2 の概形は次図のようになる．
図2yl

C13pである．よって

Ottx = t - sin , y = 2 - cos
223p - 1x

3p + 1C2である．
(2)(1) より

図3dx
1t dy 1t= 1 - cos ,= sindt
22 dt 22ylであるから，時刻 t に対応する点 P における法線 l の方
程式は

ª1 - 12 cos 2t ºx - ª t - sin 2t º ªº1t
t + sin y - 2 - cos  = 0222 t t - 2 - cos  x - t - sin 2 2 tt + sin y - 2 - cos  = 02
2 ttt- 2 - cos x + sin • y = t 2 - cos
222ªºªªª

C1
3p
3p - 1Oº

3p + 1xC2ººªº

図 3 の色付きの 2 つの三角形は合同であることに着目すると，求める面積 S はとなる．ここで，y = 0 を代入すると

2S=∫3p + 10y dx + ∫3p- 10(-Y ) dXª º= ª ºª 2 - cos 2t º•ª1 - 12 cos 2t º dtt1t- ∫ ªcos - 2º •ª1 + cos º dt
222t
= 2 ∫ ª 2 - cos º dt
2=∫aq+baxy

3p0

3p=

03pª ªª p2 - q ºcos sin -sin qª aaq--bbcosºqp-q
2ºº《考え方》でも述べましたが，面積（体積）を考える際

03pt
= 2  2t - 2 sin 2 0= 12p + 4

は，積分する方向への変化がパラメータの変化に対して単調であるかどうかが重要なので，このグラフの違いは大きいです．a < b のパターンで面積を求める問題をやってみである．

ましょう．

《考察》

問

今回の問題で出題されたトロコイドとは，定直線上を円

図 4 において，a = 1，b = 2 とする．円が x 軸上をすがすべることなく回転するとき，円の内部あるいは外部にべらないように 1 回転するとき，定点 P が描く曲線とある点 P が描く曲線です．サイクロイドと似ていますが，直線 y = - 1 で囲まれた部分の面積 S を求めよ．ただし，

点 P が円の内部にあるか外部にあるかによって，描かれ点 P の始めの位置は (0，- 1) とする．

る曲線の形が変わります（図 4）．また，問題では時刻 tをパ（解答）ラメータとしていましたが，回転角 q を用いて表すと一般

図5

的に，次のようになります．

y

図 4 （a : 円の半径，b : 中心から点 P までの距離）yP

a > b のときq1APOaqa-bP

y=-1-1P

図 5 のように点 A をとり，–PAB = q とおく．P(x，y)

xOaq2paとすると

yª º = ª q1 º + 2a < b のとき

xyP=aqOa-bª ªªp2psin - q 2cos - q -2 sin qª 1q --2cosºqºººである．これより q に関係なく y ≥ - 1 であり，また

qaxBdx= 1 - 2cos q であるから，次の増減表を得る．
dqxP3q0 ºp3º5
p3º 2pdxdq−0+0−x0 ←ここで， 0 ≤ q ≤p- 3 →35p+ 33図7y← 2pp5pに対応する y を y1， ≤ q ≤ p3335に対応する y を y2， p ≤ q ≤ 2p に対応する y を y3 と353=∫=∫p+ 3- 35p3p32p03(y + 1)

50

(y2 + 1) dx - ∫ p- 3

y=-1-1

すると，求める面積 S はS = ∫ p3

xO

(y1 + 1) dx - ∫ 3p+ 32p

また，計算の過程において，(*) のところで 1 つの積分(y3 + 1) dxにまとめることができました．これは偶然ではなく，x の変化が単調でない場合であっても，x の変化が単調な場合

5p3dxdxdxd q - ∫ p (y + 1)d q - ∫ (y + 1)
dq
2pdq
dq
dq
30と同じく 2 つの図形の交点だけに依存する形になります．

dx(y + 1)
d q ºº (*)
dq

これは，次のように示せます．
図82p= ∫ (2 - 2cos q) • (1 - 2cos q) d q02px = f(t)y= ∫ (2 - 6 cos q + 4 cos q) d q
2

y = g(t)0(t0 ≤ t ≤ t2 )2p= ∫ (2cos 2q - 6 cos q + 4) d q

t=t1

0

= [ sin 2q - 6 sin q + 4 q ]0

2p= 8pである．
（コメント）

ax の変化が単調ではありませんので，1 つの x に対してOct = t0

複数の y が対応します．y を t の式で表すと同じ式ですが，対応する t の変域が異なります．これを一発で計算するこ

bxt = t2

図 8 において，t0 £ t £ t1 に対応する y を y1，t1 £ t £ t2とはできませんので，x の変化が単調になるように分けるに対応する y を y2 とすると色付き部分の面積 S は必要があります（今回の場合は 3 つに分ける）．要は図 6bbac

S = ∫ y1 dx - ∫ y2 dxの色付き部分の面積から図 7 の色付き部分の面積を引くこ

t1dxdxdt - ∫ y •dt
t2dt
dtt2dx= ∫ y•dtt0dtt1= ∫ y•とによって求めればよいのです．

t0

図6yt2= ∫ g(t) • f '(t) dt
t0

積分を 1 つにまとめられる事実を知っておけば，計算する上で役立ちますので，参考にしてください．ただし，結果的にこうなるだけですので，解答上は立式→置換→合体のステップを踏んで導くようにしましょう．

O-1xy=-14

ある円を定直線上に回転させた今回の問題の他に，定円（解答）の周りに円を回転させるという話も有名です．最後に，そⅠ → ④，Ⅱ → ①，Ⅲ → ③，Ⅳ → ②

れを紹介したいと思います．まずは次の問題を考えてみてください．

（コメント）
円の外側を回転させたときに点 P が描く曲線はエピト

問

ロコイド，円の内側を回転させたときに点 P が描く曲線
円 C2 を定円 C1 に接しながら，すべることなく回転はハイポトロコイドと呼ばれています．この問題から円のさせるとき，点 P の描く曲線を考えよう．次の図Ⅰ〜

半径や点 P の位置によって，いろいろな曲線が描けるこⅣはその始めの状況を表している．それぞれの場合にとがわかりますね．曲線の概形は，2 円の半径比と点 P がついて，描かれる曲線を下の①〜④から選べ．

動円の内部にあるか外部にあるかに依ります．実際の動き

ⅠⅡ

yC17234Oを想像して，おおよそどんな曲線ができるか推測した人もy多いと思いますが，もちろんここまでにやってきたよう

C1C2C23xP4O6Pに，パラメータで表す→微分の流れでグラフの概形を描くことができます．また，Ⅳのときの点 P が描く曲線は②xの楕円となっていますが，これは 2 円の半径比が 2 : 1 のハイポトロコイドのときに実現します．余力があれば計算ⅢⅣyして調べてみてください．

yC1C1C2C23O

5 7P23 4xO

P《おわりに》
夏は刻一刻と近づいてきています．受験生にとっては，x夏の過ごし方次第で合否が分かれるといっても過言ではありません．その夏を迎える前に必ず学習方針を確立しておきましょう．それが決まればあとは実行あるのみ．1

②

y

①

（西村）

x

x

O

③

O

y

O

年間長い戦いですが，頑張っていきましょう．

yy

④

x

Ox

5