過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

ステップ１

練習①：簡単な例で考える

１ 40 円切手と 60 円切手をそれぞれ何枚か買うつもりでお金を持っていきましたが、買う枚数を反対にしてしまいました。
⑴

はじめ、60 円切手を 40 円切手より１枚多く買うつもりだったとすると、お金は（

予定実際）円（余り・不足し）ます。正しい方にマルをつける

4040･･･

40406060･･･

6060604040･･･

4040406060･･･

6060

ここでは差はつかない⑵

はじめ、60 円切手を 40 円切手より２枚多く買うつもりだったとすると、お金は（

予定実際）円（余り・不足し）ます。

4040･･･

40406060･･･

606060604040･･･

404040406060･･･

6060
差がつくのは
ここだけ

1過不足算⑸ - 個数を逆にする問題⑶

はじめ、60 円切手を 40 円切手より３枚多く買うつもりだったとすると、お金は（⑷

はじめ、60 円切手を 40 円切手より４枚多く買うつもりだったとすると、お金は（⑸）円（余り・不足し）ます。

はじめ、40 円切手を 60 円切手より４枚多く買うつもりだったとすると、お金は（⑻）円（余り・不足し）ます。

はじめ、40 円切手を 60 円切手より２枚多く買うつもりだったとすると、お金は（⑺）円（余り・不足し）ます。

はじめ、40 円切手を 60 円切手より１枚多く買うつもりだったとすると、お金は（⑹）円（余り・不足し）ます。

）円（余り・不足し）ます。

お金が 200 円余りました。はじめに（）円切手を（多く買うつもりでした。

⑼

お金が 300 円足りなくなりました。はじめに（（）枚多く買うつもりでした。

2）円切手を）枚

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

ステップ２

練習②：どちらが何個多いか求める

２ 次の⑴〜⑸において、はじめにＡ、Ｂどちらの商品を何個多く買うつもりでしたか。
⑴

１個 100 円の商品Ａと１個 120 円の商品Ｂをそれぞれ何個か買うつもりでお金を持っていきましたが、買う個数を反対にしてしまったので、お金が 80 円余りました。

→⑵

商品（Ａ・Ｂ）を（）個多く買うつもりでした。

１個 100 円の商品Ａと１個 130 円の商品Ｂをそれぞれ何個か買うつもりでお金を持っていきましたが、買う個数を反対にしてしまったので、お金が 150 円不足しました。

→⑶

商品（Ａ・Ｂ）を（）個多く買うつもりでした。

１個 200 円の商品Ａと１個 120 円の商品Ｂをそれぞれ何個か買うつもりでお金を持っていきましたが、買う個数を反対にしてしまったので、お金が 400 円余りました。

→

商品（Ａ・Ｂ）を（）個多く買うつもりでした。

3過不足算⑸ - 個数を逆にする問題⑷１個 300 円の商品Ａと１個 250 円の商品Ｂをそれぞれ何個か買うつもりでお金を持っていきましたが、買う個数を反対にしてしまったので、お金が 300 円不足しました。

→

商品（Ａ・Ｂ）を（）個多く買うつもりでした。

３ １、２の結果について考えます。１、２のように、値段の違う２種類の商品を、個数を逆にして買うとき、「支払う金額の差」と「商品１個あたりの金額の差」と「個数の差」にはどのような関係がありますか。次のア〜オの中から正しいものをすべて選びなさい。
ア

商品１個あたりの金額の差×個数の差＝支払う金額の差イ

支払う金額の差×個数の差＝商品１個あたりの金額

ウ

商品１個あたりの金額の差÷個数の差＝支払う金額の差エ

支払う金額の差÷商品１個あたりの金額の差＝個数の差4

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

ステップ３

個数を求める問題① - 個数の和が分かっている問題

４ 40 円切手と 60 円切手を合わせて 20 枚買うつもりでお金を持っていきましたが、買う枚数を反対にしてしまったので、お金が 80 円余りました。
⑴

はじめにどちらの切手を何枚多く買うつもりでしたか。

⑵

はじめに 40 円切手と 60 円切手をそれぞれ何枚ずつ買うつもりでしたか。

5

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

５ 60 円切手と 90 円切手を合わせて 10 枚買うつもりでお金を持っていきましたが、買う枚数を反対にしてしまったので、お金が 120 円足りなくなりました。
⑴

はじめにどちらの切手を何枚多く買うつもりでしたか。

⑵

はじめに 60 円切手と 90 円切手をそれぞれ何枚ずつ買うつもりでしたか。

6

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

６ Ａ君が１本 80 円のえんぴつと１本 100 円のボールペンを合わせて 10本買うために、その分のお金を持って文房具屋に行きました。注文する
とき、えんぴつの本数とボールペンの本数を取り違えて注文したため、80 円足りませんでした。予定ではえんぴつを何本買うつもりでしたか。

7過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

７ 太郎君がりんごとみかんを合わせて 12 個買うために、その分のお金を持ってお店に行きました。注文するとき、りんごの数とみかんの数を取り違えて注文したため、480 円余りました。りんご１個の値段はみかん１個の値段より 80 円高いです。予定ではりんごとみかんをそれぞれ何個ずつ買うつもりでしたか。

8過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

８ 太郎君はＡ、Ｂ２種類の品物を合わせて 20 個買いにお店に行きました。ＡはＢより 50 円高く、予定通り買うと 200 円不足し、買う個数を逆にすると 300 円余ります。
⑴

太郎君は予定ではどちらの品物を何個多く買うつもりでしたか。

⑵

太郎君ははじめ、品物Ａ、Ｂをそれぞれ何個ずつ買う予定でしたか。

9

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

９ 会議場に４人がけのいすと６人がけのいすを合わせて 50 脚用意すると、30 人が座れませんでした。そこで、４人がけと６人がけのいすの数を逆にすると、14 人分の席が余りました。
⑴

はじめ、４人がけのいすと６人がけのいすをそれぞれ何脚ずつ用意しましたか。

⑵

参加者は何人ですか。

10過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

ステップ４

練習③：金額の和と個数の差から、個数を求める

10 40 円切手を 60 円切手よりも５枚多く買って、全部で 1200 円かかりました。40 円切手と 60 円切手をそれぞれ何枚買いましたか。

4040･･･

404040404040
12006060･･･

60

11 60 円切手を 40 円切手よりも３枚多く買って、全部で 1380 円かかりました。40 円切手と 60 円切手をそれぞれ何枚買いましたか。

11過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

ステップ５

個数を求める問題② - 金額の和が分かっている問題

12 40 円切手と 60 円切手を合わせて何枚か買うつもりで 840 円持っていきましたが、買う枚数を反対にしてしまったので、お金が 80 円余りました。このとき、次の問いに答えなさい。

⑴

はじめどちらの切手を何枚多く買う予定でしたか。

⑵

はじめ 40 円切手と 60 円切手をそれぞれ何枚買う予定でしたか。
⑴と、はじめの予定金額（840 円）から考えなさい。

◯ ◯ ･･･ ◯ ◯ ･･･ ◯□ □ ･･･ □12840

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

13☆

12 の⑵を違う解き方で解きます。枚数の差を求めるまで同じです。
40 円切手と 60 円切手を合わせて何枚か買うつもりで 840 円持っていきましたが、買う枚数を反対にしてしまったので、お金が 80 円余りました。このとき、次の問いに答えなさい。

⑴

はじめどちらの切手を何枚多く買う予定でしたか。

⑵

40 円切手と 60 円切手の枚数の和を簡単に求めることができます。
①実際に支払った金額は、（）−（）＝（エ）円です。

ここで、はじめの予定枚数を、40 円切手Ａ枚、60 円切手Ｂ枚とすると、はじめの予定金額は図１、実際の支払金額は図２のように表せます。これ図２をひっくり返して図１に合体させると、図３のようになります。

ポイント！

13

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

40円

60円

840円
Ａ枚(エ40円

Ｂ枚Ｂ枚

【図１】

)円
Ａ枚

【図２】

Ｐ60円
40円
ＱＳ(エ)円

40円
60円

840円
Ａ枚

Ｂ枚Ｒ

【図３】

②

図３の長方形ＰＱＲＳの面積にあたる金額は、（）＋（）＝（）円です。

図３の長方形ＰＱＲＳのたてにあたる金額は、（）＋（）＝（）円です。

よって、長方形ＰＱＲＳの横にあたる枚数は、（）÷（）＝（）枚で、これは 40 円切手と 60 円切手の枚数の和にあたります。
ポイント！

1460円

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題⑶⑴⑵より、40 円切手と 60 円切手の枚数の差は（（）枚、和は）枚なので、和差算により、はじめの予定枚数を求めると、少ない方の（（）円切手は、−多い方の（（）÷（）＝（）円切手は、）＋（）＝（となります。

15）枚）枚過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

14 60 円切手と 90 円切手を合わせて何枚か買うつもりで 1500 円持っていきましたが、買う枚数を反対にしてしまったので、お金が 150 円不足しました。はじめに 60 円切手と 90 円切手をそれぞれ何枚ずつ買うつもりでしたか。

16

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

ステップ５

個数と値段を求める問題 - 消去算の利用

15 りんごとみかんを合わせて 20 個買うつもりで 1840 円お金持っていきましたが、買う個数を反対にしてしまったので 1760 円ですみました。
りんご１個の値段がみかん１個の値段よりも 20 円高いとき、次の問いに答えなさい。
⑴

はじめ、りんごとみかんをそれぞれ何個ずつ買うつもりでしたか。

⑵

りんご１個とみかん１個の値段はそれぞれ何円ですか。

17

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

16 太郎君はＡ、Ｂ２種類の品物を合わせて 36 個買いに 5000 円持ってお店に行きました。ＡはＢより 35 円高く、予定通り買うと 340 円不足
し、買う個数を逆にすると 80 円余ります。
⑴

太郎君ははじめ、品物Ａ、Ｂをそれぞれ何個ずつ買うつもりでしたか。

⑵

品物Ａの１個の値段は何円ですか。

18

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

■

解答

１ ⑴

■

⑶
⑸
⑺
⑼

20、余り⑵40、余り60、余り ⑷ 80、余り20、不足し ⑹ 40、不足し80、不足し ⑻ 60、1040、15２ ⑴

Ｂ、４⑵

Ａ、５⑶

Ａ、５⑷

Ｂ、６

14 60 円切手：13 枚
90 円切手：８枚
15 ⑴

りんご：12 個

みかん：８個⑵

りんご：100 円

みかん：80 円

16 ⑴
⑵

３ ア、エ
４ ⑴

60 円切手を４枚⑵

40 円切手：８枚
60 円切手：12 枚

５ ⑴60 円切手を４枚⑵60 円切手：７枚
90 円切手：３枚

６ ７本
７ りんご：９個
８ ⑴Ａを 10 個⑵

Ａ：15 個みかん：３個Ｂ：５個９ ⑴４人がけ：36 脚⑵

６人がけ：14 脚
258 人

10 40 円切手：15 枚
60 円切手：10 枚
11 40 円切手：12 枚
60 円切手：15 枚
12 ⑴60 円切手を４枚⑵40 円切手：６枚
60 円切手：10 枚

13 ⑴60 円切手を４枚⑵⑶①②

840、80、760
840、760、1600、40、60、100、1600、100、16
４、16、16、４、２、６60、６、４、1019

Ａ：24 個160 円

Ｂ：12 個過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

■

解説

■
⑶

１ １個あたりの金額の差×個数の差＝金額の差
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻

⑼

60−40＝20(円)安くなるから、余り20×２＝40(円)安くなるから、余り
20×３＝60(円)安くなるから、余り20×４＝80(円)安くなるから、余り
60−40＝20(円)高くなるから、不足
20×２＝40(円)高くなるから、不足
20×４＝80(円)高くなるから、不足
200 円余る→実際は安い方を多く買った→予定は高い方が多い→60 円切手、200÷20＝10(枚)300 円不足→実際は高い方を多く買った→予定は安い方が多い→40 円切手、300÷20＝15(枚)

⑷

４ ⑴

⑵

５ ⑴

２ 金額の差÷１個あたりの金額の差＝個数の差⑴⑵

80 円余る→実際は安い方を多く買った→予定は高い方が多い→Ｂ、80÷(120−100)＝４(個)150 円不足→実際は高い方を多く買った→予定は安い方が多い→Ａ、150÷(130−100)＝５(個)⑵400 円余る→実際は安い方を多く買った→予定は高い方が多い→Ａ、400÷(200−120)＝５(個)300 円不足→実際は高い方を多く買った→予定は安い方が多い→Ｂ、300÷(300−250)＝６(個)80 円余る→実際は、安い方を多く買った→予定では、60 円切手を多く買うつもり。
80÷(60−40)＝４(枚)和 20 枚、差４枚の和差算。
(20−４)÷２＝８(枚)･･･40 円切手
８＋４＝12(枚)･･･60 円切手

120 円不足→実際は、高い方を多く買った→予定では、60 円切手を多く買うつもり。
120÷(90−60)＝４(枚)和 10 枚、差４枚の和差算。
(10−４)÷２＝３(枚)･･･90 円切手
３＋４＝７(枚)･･･60 円切手

６ 80 円不足した→実際は、高い方を多く買った→予定ではえんぴつを多く買うつもり。
80÷(100−80)＝４(本)･･･差
和 10 本、差４本の和差算(10−４)÷２＝３(本)･･･ボールペン
３＋４＝７(本)･･･えんぴつ20過不足算⑸ - 個数を逆にする問題

７ 480 円余った

10 40×５＝200(円)→実際は、安い方を多く買った→予定ではりんごを多く買うつもり
１個あたりの差が 80 円だから、
480÷80＝６(個)･･･個数の差
和 12 個、差６個の和差算(12−６)÷２＝３(個)･･･みかん
３＋６＝９(個)･･･りんご

1200−200＝1000(円)
40＋60＝100(円)･･･１セット
1000÷100＝10(セット)→60 円切手 10 枚
10＋５＝15(枚)･･･40 円切手

60 60 ･･･ 60 60 60 60
1380
40 40 ･･･ 40

11８ ⑴

⑵

予定で不足、逆にすると余り

1380−60×３＝1200(円)1200÷(40＋60)＝12(枚)･･･40 円切手
12＋３＝15(枚)･･･60 円切手→予定ではＡを多く買うつもり。
予定と実際の料金の差は
200＋300＝500(円)１個あたりの差が 50 円だから、500÷50＝10(個)･･･個数の差12 ⑴80 円余った

和 20 個、差 10 個の和差算(20−10)÷２＝５(個)･･･Ｂ
５＋10＝15(個)･･･Ａ→実際は、安い方を多く買った→予定では、60 円切手を多く買うつもり。
80÷(60−40)＝４(枚)･･･枚数の差⑵

９ ⑴はじめの方が、席が足りない→はじめの方が、４人がけの椅子が多い。
はじめとあとの座れる人数の差は、
30＋14＝44(人)よって、椅子の数の差は、
44÷(６−４)＝22(脚)和 50 脚、差 22 脚の和差算(50−22)÷２＝14(脚)･･･６人がけ
14＋22＝36(脚)･･･４人がけ⑵

４×36＋６×14＋30＝258(人)または、
４×14＋６×36−14＝258(人)21

40 40 ･･･ 40
840
60 60 ･･･ 60 60 60 60 60
840−60×４＝600(円)600÷(40＋60)＝６(枚)･･･40 円切手
６＋４＝10(枚)･･･60 円切手

過不足算⑸ - 個数を逆にする問題⑵

14 150 円不足した→実際は、高い方を多く買った→予定では 60 円切手を多く買うつもり。
150÷(90−60)＝５(枚)･･･枚数の差
60 60 ･･･ 60 60 60 60 60 60
1500
90 90 ･･･ 90
1500−60×５＝1200(円)1200÷(60＋90)＝８(枚)･･･90 円切手
８＋５＝13(枚)･･･60 円切手

16 ⑴

1650円

60円

1500円
Ａ枚

60円

90円

Ｂ枚

150÷(90−60)＝５(枚)･･･枚数の差
1500＋150＝1650(円)･･･支払い金額
1500＋1650＝3150(円)3150÷（60＋90)＝21(枚)･･･枚数の和
よって、和差算により、(21−５)÷２＝８(枚)･･･90 円切手
８＋５＝13(枚)･･･60 円切手

15 ⑴

予定で不足、逆にすると余り→予定ではＡを多く買うつもり。
支払う金額の差は、
340＋80＝420(円)１個あたりの金額の差が 35 円だから、
420÷35＝12(個)･･･個数の差
和 36 個、差 12 個の和差算(36−12)÷２＝12(個)･･･Ｂ
12＋12＝24(個)･･･Ａ【別解】枚数の差を求めるところまで同じ

90円

り×12＋み×８＝1840 ･･･ア
り＝み＋20 ･･･イという消去算。イをアに代入して、(み＋20)×12＋み×８＝1840
み×12＋240＋み×８＝1840
み×20＝1600
み＝80(円)り＝80＋20＝100(円)⑵

予定の場合の支払い金額は、5000＋340＝5340(円)よって、
Ａ×24＋Ｂ×12＝5340 ･･･ア
Ａ＝Ｂ＋35 ･･･イという消去算。
アの両辺を 12 で割って、Ａ×２＋Ｂ＝445
ここにイを代入して、(Ｂ＋35)×２＋Ｂ＝445
Ｂ×２＋70＋Ｂ＝445
Ｂ×３＝375
Ｂ＝125(円)Ａ＝125＋35＝160(円)1840−1760＝80(円)余る→実際は、安い方を多く買った→予定ではりんごを多く買うつもり。
80÷20＝４(個)･･･個数の差
和 20 個、差４個の和差算(20−４)÷２＝８(個)･･･みかん
８＋４＝12(個)･･･りんご

22