数表 - 斜めに並べる

ステップ１□番目の三角数を求める

１ 下の図のように、三角形に並べられる数のことを「三角数」といいます。
１番目の三角数は１、２番目の三角数は３、３番目の三角数は６です。
あとの問いに答えなさい。

⑴!&'(&'"&')&'!

"#$%

次の表の空らんをうめなさい。

番目

１２３４

三角数

１３６

10番目

11121314５６

７８９1015161718

1920

三角数

⑵

□番目の三角数を、□を使った式で表しなさい。
等差数列の和の公式を使います。
□番目の三角数＝1

数表 - 斜めに並べる

２ 前問の公式を利用して、次の三角数を求めなさい。
⑴

10 番目

⑵

12 番目

⑶

15 番目

⑷

20 番目

2

数表 - 斜めに並べる

ステップ２

三角数に注目

３ 図のように、ある規則にしたがって数を並べました。
１ ２ ３ ４ ５列 列 列 列 列目 目 目 目 目
１行目 １ ２ ４ ７ 11
２行目 ３ ５ ８ 12
３行目 ６ ９ 13
４行目 10 14
５行目 15⑴１列目の数はすべて（）になっています。漢字３文字⑵

10 行１列の数は（）です。

⑶

12 行１列の数は（）です。

⑷

120 は（）行（）列の数です。

⑸

190 は（）行（）列の数です。

3数表 - 斜めに並べる

４ 図のように、３とは逆の向きに数を並べました。
１ ２ ３ ４ ５列 列 列 列 列目 目 目 目 目
１行目 １ ３ ６ 10 15
２行目 ２ ５ ９ 14
３行目 ４ ８ 13
４行目 ７ 12
５行目 11⑴

１行目の数はすべて（）になっています。漢字３文字⑵

１行８列の数は（）です。

⑶

１行 13 列の数は（）です。

⑷

105 は（）行（）列の数です。

⑸

210 は（）行（）列の数です。

4数表 - 斜めに並べる

ステップ３

行・列とグループの関係

５ 右の図のように、ある規則にしたが１ ２ ３ ４ ５列 列 列 列 列
目 目 目 目 目って数を並べました。また、表の中

１行目 １ ２ ４ ７ 11の数字を次のようにグループ分けし２行目 ３ ５ ８ 12ました。

３行目 ６ ９ 13
４行目 10 14

第１グループ１

第２グループ

２、３

第３グループ

４、５、６

第４グループ

７、８、９、10

第５グループ11、12、13、14、15

５行目 15：
このとき、次の問いに答えなさい。

⑴

各グループに入っている数の個数について考えます、
各グループに入っている数の個数は、第１グループは（個、第２グループは（４グループは（）個、第３グループは（）個、･･･となっています。

5））個、第数表 - 斜めに並べる⑵

各グループに入っている数の個数の和について考えます。

①

第１グループと第２グループを合わせると、数は全部で、（）＋（）＝（）個あります。

よって、第２グループの最後の数は（②第１、第２、第３グループを合わせると、数は全部で、（）＋（）＋（）＝（

よって、第３グループの最後の数は（③）となります。

）個あります。
）となります。

第１、第２、第３、第４グループを合わせると、数は全部で、（＝（）＋（）＋（）＋（））個あります。

よって、第４グループの最後の数は（）となります。

※これが、表の端の数が三角数になる理由です。

⑶

各グループの最初の数がどの列からはじまるかについて考えます。
第１グループの最初の数は（の数は（）列目から、第２グループの最初）列目から、第３グループの最初の数は（目から、第４グループの最初の数は（す。

6）列）列目からはじまりま数表 - 斜めに並べる⑷

グループ番号と行番号と列番号の関係について調べます。

①②⑸

第４グループの１番目（７）→（）行（）列第４グループの２番目（８）→（）行（）列第４グループの３番目（９）→（）行（）列第４グループの４番目（10）→（）行（）列第５グループの１番目（11）→（）行（）列第５グループの２番目（12）→（）行（）列第５グループの３番目（13）→（）行（）列第５グループの４番目（14）→（）行（）列第５グループの５番目（15）→（）行（）列⑷より、グループ番号と行番号と列番号の関係を式で表すと、グループ番号＝（）＋（）−（となります。
ポイント！

7）数表 - 斜めに並べる

ステップ４行・列から数を求める

６ 右の図のように、ある規則にしたが１ ２ ３ ４ ５列 列 列 列 列目 目 目 目 目って数を並べました。また、表の中の数字を次のようにグループ分けし１行目 １ ２ ４ ７ 11
２行目 ３ ５ ８ 12ました。

３行目 ６ ９ 13

第１グループ

１第２グループ

２、３

第３グループ

４、５、６

４行目 10 14
５行目 15：⑴８

２行８列の数について考えます。
①(②)＋()−()＝()です。

２行８列の数は、①と図より、第(③２２行８列の数のグループ番号は、)グループの()番目です。

よって、２行８列の数まで数を並べると、（ア全部そろって、あと（イ）個なので、数字は全部で、１＋２＋３＋･･･＋（ア）＋（イ並びます。
④）グループまでは

よって、２行８列の数は（）です。

8）＝（）個数表 - 斜めに並べる⑵

９

３行９列の数について考えます。
①(②)＋()−()＝()です。

３行９列の数は、①と図より、第(③３３行９列の数のグループ番号は、)グループの()番目です。

よって、３行９列の数まで数を並べると、（ア全部そろって、あと（イ）グループまでは）個なので、数字は全部で、１＋２＋３＋･･･＋（ア）＋（イ）＝（）個並びます。
④⑶

よって、３行９列の数は（４行 10 列の数は（）です。

）です。自分で図を描いて考えなさい。三角形から描くと分かりやすいです。

9

数表 - 斜めに並べる⑷

５行 12 列の数は（）です。

⑸

10 行 15 列の数は（）です。

10

数表 - 斜めに並べる

ステップ５７ （⑴）にあてはまる数を求めなさい。

100 をこえない最も大きい三角数は、１＋２＋３＋･･･＋（⑵）＝（）です。

150 をこえない最も大きい三角数は、１＋２＋３＋･･･＋（⑶三角数を求める）＝（）です。

300 をこえない最も大きい三角数は、１＋２＋３＋･･･＋（）＝（11）です。

数表 - 斜めに並べる

ステップ６数から行・列を求める

８ 右の図のように、ある規則にしたが１ ２ ３ ４ ５列 列 列 列 列
目 目 目 目 目って数を並べました。また、表の中１行目 １ ２ ４ ７ 11の数字を次のようにグループ分けし２行目 ３ ５ ８ 12ました。

３行目 ６ ９ 13
４行目 10 14

第１グループ１

第２グループ

２、３

第３グループ

４、５、６

５行目 15：⑴

57 が何行何列かについて考えます。
①57 をこえない最も大きい三角数は、１＋２＋３＋･･･＋（ア②57＝１＋２＋３＋･･･＋（ア57 は第（イ③）＝（

よって、57 は（）グループ（）行（自分で図を描いて考えなさい。

12）です。

）＋（）より、）番目の数です。
）列の数です。

数表 - 斜めに並べる⑵

69 が何行何列かについて考えます。
①

69 をこえない最も大きい三角数は、１＋２＋３＋･･･＋（ア②69＝１＋２＋３＋･･･＋（ア69 は第（③⑶）＝（）グループ（

よって、69 は（100 は（）行（）行（）＋（）より、）番目の数です。
）列の数です。

）列の数です。

13）です。

数表 - 斜めに並べる⑷

150 は（）行（）列の数です。

⑸

200 は（）行（）列の数です。

14

数表 - 斜めに並べる

ステップ７逆向き
１ ２ ３ ４ ５列 列 列 列 列目 目 目 目 目９ 右の図のように、ある規則にしたがって数を並べました。また、表の中

１行目 １ ３ ６ 10 15
２行目 ２ ５ ９ 14の数字を次のようにグループ分けし３行目 ４ ８ 13ました。

４行目 ７ 12

第１グループ

１第２グループ

２、３

第３グループ

４、５、６

５行目 11：⑴

３

７行３列の数について考えます。
①

７行３列の数のグループ番号は、(②)＋()＝()です。
７

７行３列の数は、①と図より、第(③)−()グループの()番目です。

よって、７行３列の数まで数を並べると、（ア全部そろって、あと（イ）個なので、数字は全部で、１＋２＋３＋･･･＋（ア）＋（イ並びます。
④）グループまではよって、７行３列の数は（）です。

15）＝（）個

数表 - 斜めに並べる⑵

９行３列の数は（）です。

⑶

10 行６列の数は（）です。

⑷

12 行７列の数は（）です。

16

数表 - 斜めに並べる

１ ２ ３ ４ ５列 列 列 列 列
目 目 目 目 目

10 右の図のように、ある規則にしたがって数を並べました。また、表の中

１行目 １ ３ ６ 10 15
２行目 ２ ５ ９ 14の数字を次のようにグループ分けし３行目 ４ ８ 13ました。

４行目 ７ 12

第１グループ

１第２グループ

２、３第３グループ

４、５、６

５行目 11：⑴

50 が何行何列かについて考えます。
①50 をこえない最も大きい三角数は、
１＋２＋３＋･･･＋（ア②50＝１＋２＋３＋･･･＋（ア50 は第（③）＝（

よって、50 は（）グループ（）行（自分で図を描いて考えなさい。

17）＋（）です。
）より、）番目の数です。
）列の数です。

数表 - 斜めに並べる⑵

110 は（）行（）列の数です。

⑶

160 は（）行（）列の数です。

⑶

320 は（）行（）列の数です。

18

数表 - 斜めに並べる

ステップ７

まとめ

11 右の図のように、ある規則にしたがって数を並べました。（

１ ２ ３ ４ ５列 列 列 列 列目 目 目 目 目）にあて

１行目 １ ２ ４ ７ 11はまる数を求めなさい。

２行目 ３ ５ ８ 12
３行目 ６ ９ 13
４行目 10 14⑴

10 行５列の数は（）です。

⑵

20 行 21 列の数は（）です。

⑶

175 は（）行（）列の数です。

⑷

500 は（）行（）列の数です。

19

５行目 15

数表 - 斜めに並べる

12 図のように、ある規則にしたがって数を並べました。（

１ ２ ３ ４ ５列 列 列 列 列目 目 目 目 目）にあてはま

１行目 １ ３ ６ 10 15る数を求めなさい。

２行目 ２ ５ ９ 14
３行目 ４ ８ 13
４行目 ７ 12⑴

15 行 11 列の数は（）です。

⑵

４行 36 列の数は（）です。

⑶

204 は（）行（）列の数です。

⑷

600 は（）行（）列の数です。

20

５行目 11

数表 - 斜めに並べる

ステップ８【発展】向きが変わる問題

13 右の図のように、ある規則にしたがって数を並べました。また、表の中の数字を次のようにグループ分けし１ ２ ３ ４ ５列 列 列 列 列目 目 目 目 目
１行目 １ ２ ６ ７ 15
２行目 ３ ５ ８ 14
３行目 ４ ９ 13ました。
第１グループ１

第２グループ

２、３

第３グループ

４、５、６

４行目 10 12
５行目 11：⑴

奇数グループの数は、（右上から左下・左下から右上）の順に、偶数グループの数は、（右上から左下・左下から右上）の順に並びます。

21

数表 - 斜めに並べる⑵

７

５行７列の数の数について考えます。

ア５

ア
①

５行７列の数のグループ番号は、（②

第（ア）＋（）−（）＝（ア）です。

）グループの数は、（右上から左下・左下から右上）の順に並びます。
③

よって、５行７列の数は、第（ア）グループの（）番目です。
④

よって、５行７列の数は、１＋２＋３＋･･･＋（）＋（22）＝（）です。

数表 - 斜めに並べる⑶

６行 10 列の数は（）です。

⑷

14 行７列の数は（）です。

23

数表 - 斜めに並べる⑸

111 が何行何列かについて考えます。
①

111 をこえない最も大きい三角数は、１＋２＋３＋･･･＋（ア②50＝１＋２＋３＋･･･＋（ア57 は第（イ③）＝（第（イ）グループ（）です。

）＋（）より、）番目の数です。

）グループの数は、（右上から左下・左下から右上）の順に並びます。
④

よって、111 は（）行（図を描いて考えなさい。

24）列の数です。

数表 - 斜めに並べる⑹

144 は（）行（）列の数です。

⑺

199 は（）行（）列の数です。

25

数表 - 斜めに並べる

１ ２ ３ ４ ５列 列 列 列 列目 目 目 目 目

14 図のように、ある規則にしたがって数を並べました。（）にあてはまる数を求めなさい。

１行目 １ ３ ４ 10 11
２行目 ２ ５ ９ 12
３行目 ６ ８ 13
４行目 ７ 14
５行目 15⑴10 行８列の数は（⑵201 は（）行（）です。

）列の数です。

26

数表 - 斜めに並べる

■

解答１ ⑴

■
番目 ５ ６ ７ ８ ９
三角数 15 21 28 36 45

６ ⑴10 11 12 13 14 1555 66 78 91 105 120⑵16 17 18 19 20
136 153 171 190 210⑵(１＋□)×□÷２

２ ⑴

55 ⑵

78 ⑶

３ ⑴

三角数

⑵

55 ⑶

⑷

15、１⑸

19、１

４ ⑴

三角数

⑵

36 ⑶

１、14 ⑸

１、20⑷
５ ⑴
⑵

⑶
⑷

⑸

⑶
⑷
⑸120 ⑷ 210①２、８、１、９② ９、２③ ８、２、８、２、38④ 38① ３、９、１、11② 11、３③ 10、３、10、３、58④ 58
82
125286

78

７ ⑴

13、91

91

⑵
⑶

16、136
24、300

８ ⑴

10、55

②

１、２、３、４
１、２、３、
３② １、２、３、６
６③ １、２、３、４、1010
１、２、３、４① １、４２、３
３、２
４、１
② １、５
２、４
３、３
４、２
５、１
行番号、列番号、１

①

①⑵

⑶
⑷
⑸
９ ⑴

⑵
⑶
⑷
10 ⑴

10、２11、２③ ２、10① 11、66② 11、３12、３③ ３、10９、６14、４10、11①② ９，３③ ８、３、８、３、39
④ 39
58
111
160
①②⑵
⑶
⑷
27

７、３、１、９９、45

９、５、10、５③ ６、５11、５12、７６、20

数表 - 斜めに並べる

11 ⑴
⑵
12 ⑴
⑶
13 ⑴
⑵

⑶
⑷
⑸

⑹
⑺
14 ⑴

101 ⑵

800

４、16 ⑷
311 ⑵

４、29

777

７、14 ⑷31、５

左下から右上、右上から左下① ５、７、１、11② 左下から右上③ 11、７④ 10、７、62115
204① 14、105② 14、６、15、６③ 左下から右上④ ６、列⑤ 10、６10、８９、12146 ⑵10、1128

数表 - 斜めに並べる

■

解説

６ ⑶

■
⑸４行 10 列の数は

190

４＋10−１＝13
より、13 グループの４番目
よって、
１＋２＋･･･＋12＋４＝(１＋12)×12＋４＝82⑷⑸

８ ⑶より、200 は 20 グループの 10 番目
よって、第 10 行
20＋１−10＝11
より、10 行 11 列
９ ⑵

９行３列の数は
９＋３−１＝11

５行 12 列の数は５＋12−１＝16
より、16 グループの５番目
よって、
１＋２＋･･･＋15＋５＝(１＋15)×15＋５＝125

より、11 グループの３番目
よって、
１＋２＋･･･＋10＋３＝(１＋10)×10＋３＝58⑶10 行 15 列の数は10＋15−１＝24
より、24 グループの 10 番目
よって、
１＋２＋･･･＋23＋10＝(１＋23)×23＋10＝286

10 行６列の数は
10＋６−１＝15
より、15 グループの６番目
よって、
１＋２＋･･･＋14＋６＝(１＋14)×14＋６＝111⑷100＝１＋２＋･･･＋13＋９91

より、100 は 14 グループの９番目
よって、第９行
14＋１−９＝６より、９行６列⑷200＝１＋２＋･･･＋19＋1010 ⑵150＝１＋２＋･･･＋16＋14

12 行７列の数は
12＋７−１＝18
より、18 グループ７番目
よって、
１＋２＋･･･＋17＋７＝(１＋17)×17＋７＝160
110＝１＋２＋･･･＋14＋５
105

136

より、150 は 17 グループの 14 番目
よって、第 14 行
17＋１−14＝４より、14 行４列29より、110 は 15 グループの５番目
よって、第５列
15＋１−５＝11より、11 行５列

数表 - 斜めに並べる⑶

160＝１＋２＋･･･＋17＋７⑷より、160 は 18 グループの７番目
よって、第７列
18＋１−7＝12より、12 行７列⑷より、500 は 32 グループの 4 番目
よって、第４行
32＋１−４＝29より、４行 29 列

320＝１＋２＋･･･＋24＋20

12 ⑴

300

⑵

よって、
１＋２＋･･･＋24＋11＝(１＋24)×24＋11＝311

10 行５列の数は
10＋５−１＝14より、14 グループの 10 番目
よって、
１＋２＋･･･＋13＋10＝(１＋13)×13＋10＝101⑵

４行 36 列の数は4＋36−１＝39より、39 グループの 36 番目
よって、
１＋２＋･･･＋38＋36＝(１＋38)×38＋36＝777

20 行 21 列の数は
20＋21−１＝40
より、40 グループの 20 番目
よって、
１＋２＋･･･＋39＋20＝(１＋39)×39＋20＝800⑶

204＝１＋２＋･･･＋19＋14190

より、204 は 20 グループの 14 番目
よって、第 14 列
20＋１−14＝７より、７行 14 列⑷⑶15 行 11 列の数は15＋11−１＝25より、25 グループの 11 番目

より、320 は 25 グループの 20 番目
よって、第 20 列
25＋１−20＝６より、６行 20 列
11 ⑴500＝１＋２＋･･･＋31＋4496

153

600＝１＋２＋･･･＋34＋５595

175＝１＋２＋･･･＋18＋4171

より、175 は 19 グループの 4 番目
よって、第４行
19＋１−４＝16より、４行 16 列30より、600 は 35 グループの５番目
よって、第５列
35＋１−５＝31より 31 行５列

数表 - 斜めに並べる

13 ⑶

６行 10 列の数は

14 ⑴６＋10−１＝15
より、15 グループ
15 グループは下から上
よって、15 グループの 10 番目
よって、１＋２＋･･･＋14＋10＝(１＋14)×14＋10＝115⑷⑹

10＋８−１＝17より、17 グループ
17 グループは上から下
よって、17 グループの 10 番目
よって、
１＋２＋･･･＋16＋10＝(１＋16)×16＋10＝146

14 行７列の数は14＋７−１＝20
より、20 グループ
20 グループは上から下
よって、20 グループの 14 番目
よって、
１＋２＋･･･＋19＋14＝(１＋19)×19＋14＝204⑵201＝＝１＋２＋･･･＋19＋11190

より、201 は 20 グループの 11 番目
20 グループは上から下
よって、第 11 列
20＋１−11＝10より、10 行 11 列

144＝１＋２＋･･･＋16＋８136

より、144 は 17 グループの８番目
17 グループは下から上
よって、第８列
17＋１−８＝10より、10 行８列⑺10 行８列の数は

199＝１＋２＋･･･＋19＋９190

より、199 は 20 グループの９番目
20 グループは上から下
よって、第９行
20＋１−９＝12より、９行 12 列

31