S-NAP Microwave Suite Application Report 38「HB ｵｼﾚｰﾀ解析並びにﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析」を適用した100MHz 水晶発振回路の発振動作と基本特性の精細解析
１．序文

May3, 2006
Mr. EndoCopyright© MEL

100MHz 帯水晶発振回路の動作･安定性を、Harmonic Balance 法を用いた HB ｵｼﾚｰﾀ解析、また信号時間波形をﾌｰﾘｪ解析して信号の周波数ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑを高精度に分析するﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析を活用して、定量的な評価に基づく詳細解析を行った。元来 Q が高い水晶発振回路は、Q の高さに伴いその収束に時間が掛かるため、回路 Simulator を利用した定量的な解析が難しいと言われてきたが、SNAP の高度な機能を駆使して水晶発振回Fig.1路の詳細解析を実現することが出来た。
２．水晶発振回路の動作概要と水晶振動子の等価ﾊﾟﾗﾒｰﾀ
(1) 図１の発振回路はﾄﾗﾝｼﾞｽﾀ Q1 のﾍﾞｰｽと GND 間に水晶振動子を、ｺﾚｸﾀに High Q の共振回路を接続して、100MHz の高周波信号を選択的に発生させる。発生した 100MHz の信号を、ｺﾚｸﾀ･ｴﾐｯﾀ間の帰還容量 Cf＝［ﾄﾗﾝｼﾞｽﾀの出力容量］Coe＋C5 と、ｴﾐｯﾀ回路の接地容量Fig.2

C1 からなる帰還回路で正帰還させ、帰還された信号をﾄﾗﾝｼﾞｽﾀ出力およびｺﾚｸﾀ共振回路で増幅して発振を行う。この発振回路は発振周波数 fo における水晶振動子の等価ｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽと、ｺﾚｸﾀ共振回路の等価ｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽによってﾊｰﾄﾚｰ型発振回路を形成する。
(2) 水晶振動子は、SNAP のｴﾚﾒﾝﾄ説明書の水晶振動子(ﾏｸﾛ)の項に記載されているように、直列共振周波数：fs、内部抵抗：Rx、無付加 Q：Qx、並列等価容量：Cp とすれば、夫々の等価ﾊﾟﾗﾒｰﾀを図 2 の関係式[1]で表すことができる。ここで重要なことは、等価並列容量 Cpを設定することで、図３に示すように⊿f 即ち並列共振周波数 fp が定まり、水晶発振回路の発振安定度［発振周波数 fo は fs と fp の間に存在（fs≦fo≦fp）し、発振周波数 fo の近傍における実質的な Q が等価的に定まる］を決める要因の一つになることである。ここで、並列共振周波数 fp を任意に定めると、並列容量 Cp が1Fig.3

Fig.4
不適切な値になってしまい、［水晶振動子の等価ｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽが不適切な値となって］水晶発振回路の発振条件を成立できない場合が生じることに留意したい。
(3) 100MHz 帯の水晶発振回路では、基本波振動子の替わりに高次ｵｰﾊﾞﾄｰﾝの振動子が適用される。
［基本波振動子を使用した場合には、通常では 100MHz の発振は難しい----- 後述］
今回の simulation では 5 次のｵｰﾊﾞﾄｰﾝ水晶振動子を使用したが、20MHz の基本波振動子の等価ﾊﾟﾗﾒｰﾀを fs、Rx、Qx、Cp、Cs、Lx、⊿f とすると、理論解析計算の結果では、n次のｵｰﾊﾞﾄｰﾝ振動子の等価ﾊﾟﾗﾒｰﾀ fsn、Rxn、

Fig.5

Qxn、Cpn、Lxn、⊿fn は、Rxn≒Rx ----- (21)、Qxn≒Qx ----- (22)の仮定の下に、それぞれ
fsn＝nfs ---- (23)、Cpn≒Cp /n---- (24)、Csn≒Cs/n ---- (25)、Lxn≒Lx/n ----- (26)、⊿fn≒n⊿f ---- (27)の関係を有する。この結果を後述の個別水晶振動子のﾏｸﾛ作成に適用する。
３．100MHz 水晶発振回路用の個別水晶振動子の作成
回路 Simulation に先立って、前述の(1)式から(14)式を利用して 100MHz 基本波振動子と、(21)式かFig.6

ら(27)式において n＝5 として 100MHz－5 次ｵｰﾊﾞ
ﾄｰﾝ振動子［内部抵抗 Rx＝10Ω］、100MHz－5 次ｵｰﾊﾞﾄｰﾝ振動子［内部抵抗 Rx＝10Ω］の３つの水晶振動子の等価ﾊﾟﾗﾒｰﾀを導出した。次いで SNAPの Library を活用して、これらの等価ﾊﾟﾗﾒｰﾀを適用した図 4－図 6 の３つの水晶振動子［本解析用Macro／Symbol］を用意した。
４．ｼﾐｭﾚｰｼｮﾝ適用水晶発振回路および発振解析の解析
条件と操作方法(1)100MHz 基本波振動子を使用した基礎発振回路
高周波技術の教科書でよく見かける、図 7 の発振回路［図４の基本波水晶振動子を使用］に対して HB ｵｼﾚｰﾀ解析をFig.7
2

適用し、回路が発振を起こす条件（回路定数の最良値）を見出す。
(2)HB ｵｼﾚｰﾀ解析による発振解析の具体的方法①一般に水晶振動子の Q は、Qx≧数万と極めて高いので Harmonic Balance 解析条件で、ｻﾝ

Fig.8

ﾌﾟﾙ数を 10,000 以上に設定し、回路の急峻な負性抵抗領域を精確に検出して発振点を見出す必要がある。また HB 設定では、刻み点数を 2048 に、第 1 次高調波次数を 10 程度に選定すると、適切な解析結果を得ることができる。
②HB ｵｼﾚｰﾀ解析では、回路の発振条件［発振を生ずる定数の適正値範囲］を大まかに見つけ出し、後述のﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析で発振の詳細特性等を精確に検出すると、発振解析を効率的に且つ高精度に調べることが出来る。
③発振解析が収束する［即ち、回路が発振する］場合には、高々3 回程度のｻｲｸﾙ数解析で完了する。解析 SNAPのﾚﾎﾟｰﾄ･ﾀﾞｲｱﾛｰｸﾞ欄に表示される計算経過を見ていると、収束する場合には、最初のｻｲｸﾙ［ｶｳﾝﾄ表示：－X～0］或いは 2 ｻｲｸﾙ［ｶｳﾝﾄ表示：1］内のｸﾞﾙｰﾌﾟ計算結果の行数(最適化)が 5－6 行以上連続して表示［図 11 の（注）①参照］され、ｻｲｸﾙ数が増えるに従って連続行数が増加することがわかる。そのため、HB 解析に慣れてくると、Fig.9

この計算経過から、収束に近づいていることが推測できる。発振が収束する場合の所要時間は、PC の計算能力にもよるが、1 分以内の範囲にあると思われる。
④解析が収束しない場合には、ｻｲｸﾙ数が 1000 回に達した時点で、未収束を表示して解析が終了するが、それを待っていると時間が掛かる。そこで上記③の経過を見ていて、ｻｲｸﾙ数が 3－4 以上に達した時点で、ﾀﾞｲｱﾛｰｸﾞ欄上の中止ﾎﾞﾀﾝを押して、解析を中断することで解析作業を効率的に進めるこ

Fig.10とが可能である。そして発振回路の回路定数［ﾊﾟﾗﾒｰﾀ］foを変化させた後に、再度解析をｽﾀｰﾄさせて様子をみる。
このような操作を繰り返すことで、発振の適正条件を3To

Fig.11
手際よく見つけ出すことができる。
⑤解析が収束した場合には、ｸﾞﾗﾌﾒﾆｭｰの表示式を開いて、図 9のようにﾌﾟﾛｼﾞｪｸﾄ欄から所要の解析結果を選定し、それに合わせてﾌｫｰﾏｯﾄの表示条件を適切に選択すると、発振出力の時間波形や、ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑ分布を表示（図 10）出来る。時間波形に表示される発振波形の周期 To は、ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑ分布に表示される発振ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑのﾋﾟｰｸ値 fo に対応し、具体的には fo＝１／To ----- (30)の関係を有する。
なおﾚﾎﾟｰﾄﾀﾞｲ
ｱﾛｰｸﾞの欄には、(注)②のように発振周波数 fo＝Foscと発振出力のﾚﾍﾞﾙも表示される。HB 発振解析の解析
条件等の制約に伴って、発振ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑはｽﾍﾟｸﾄﾗﾑｱﾅﾗｲｻﾞで観測されるようなｼｬｰﾌﾟなｽFig.12ﾍﾟｸﾄﾗﾑ分布波形にはならないが、後述のﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析では観測時間を発振周期 To の 1000 倍程度に選べば、ｽﾍﾟｱﾅで測定されるようなｼｬｰﾌﾟなｽﾍﾟｸﾄﾗﾑ波形が得られる。
⑥前述の基礎発振回路を HB ｵｼﾚｰﾀ解析を適用して、100MHz で発振する条件を調査･検証した結果として、図 12 の改良水晶発振回路［R2、C1、C5 を最適値に変更］を導き出すことができた。発振回路出力の共振回路のｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ Lp を変化させると、Lp＝97nH－111nH の範囲で発振［HB ｵｼﾚｰﾀ解析が収束］することを確認した。なおﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析を適用した場合には、共振回路ﾄﾗﾝｽのｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ Lp や結合系数 K、巻線比 N を変化させても発振が得られなかったので、実際上はこのように基本波振動子を使用した水晶発振回路では 100MHzの発振は生じないと考えられる。

4Fig.13

５． ５次ｵｰﾊﾞﾄｰﾝ水晶振動子を使用した 100MHz 水晶発振回路とﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析を適用した
発振解析
5.1

HB ｵｼﾚｰﾀ解析およびﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析の両(C)

解析法で発振する高次ｵｰﾊﾞﾄｰﾝ水晶発振回路(1)

図 5、図 6 の 5 次ｵｰﾊﾞﾄｰﾝ水晶振動子［MACRO］を使用し、両解析法での発振を検証し、その発振条件［共振回路ﾄﾗﾝｽの最適ﾊﾟﾗﾒｰﾀ］を明記した発振回路を、図 13［内部抵抗 Rx＝10Ω］と図 14［内部抵抗 Rx＝50Ω］に示す。
(2)何れの発振回路においても、ﾄﾗﾝｽの 1次ｺｲﾙ Lp と 2 次ｺｲﾙ Ls の結合係数 K の変化、Fig.14

即ち共振回路に対する負荷重さに［共振回路の Q］よって、発振の条件が大きく変化することが分かる。
5.2

ﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析における発振解析の詳細設定と具体的方法

5.2.1 解析条件の設定(1)

Fig.15

解析条件について重要な設定は①ｽｲｰﾌﾟ設定のｽﾀｰﾄ時間とｽﾄｯﾌﾟ時間、②FFT 開始周波数／FFT 終了周波数、③最大周波数の３つである。
(2)

まずｽｲｰﾌﾟ設定については、発振波形の周期 To と対比してどの程度の観測時間 Tmを選定するかが重要である。
発振ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑの分解能ならびに発振回路の立ち上り時間［Tr≒Q(水晶振動子の Q）×To］を考慮して、概ね Tm≒2000To ----- (31)を目安とすればよい。この観測時間 Tm を必要以上に大きくすると、解析所要時間［PC の演算能力等による］が飛躍的に増大し、計算に必要なﾒﾓﾘも急速に増加してﾒﾓﾘ容量が不足して解析が停止したり、或いは解析結果を表示する際に多大なｸﾞﾗﾌ作成時間が必要になって、解析効率が低下するので、その選定に際して十分な事前検討･吟味が必要である。
(3)FFT の開始周波数と終了周波数はｽﾍﾟｱﾅの観測ｽｲｰﾌﾟ周波数ﾚﾝｼﾞのｽﾀｰﾄ周波数とｽﾄｯﾌﾟ周5Fig.16
波数と同じである。最大発振周波数は、発振周波数 fo の1.5 倍－2 倍の範囲に選定するとよい。
5.2.2 解析結果の表示方法(1)

HB 解析と同様に、ﾌﾟﾛｼﾞｪｸﾄの欄から「AC 解析｣(発振のｽﾍﾟｸﾄﾗﾑ波形表示)と、「Waveform 解析」(発振の時間波形表示)を選択する。なお前記の観測時間 Tm が発振周期To の 2000 倍と大きい場合には、 解析結果からｽﾍﾟｸﾄﾗﾑ波形のｸﾞﾗﾌを作成表示するのに、数十秒から 1 分程度の所要時間［PC の演算能力等による］を要することを注記したい。
(2)

発振を生じた（比較的にﾃﾞｰﾀFig.17容量の大きな）時間波形を表示した

後に、回路ｴﾃﾞｨﾀの操作を行うと、SNAP の時間波形表示［準備時間］等の影響で、次の PC 操作がｽﾀｰﾄするのを待つ必要が生じる。
この待ち時間を解消するため、「Waveform解析」をｸﾞﾗﾌﾒﾆｭｰの表示式で「AC 解析」に一度切替えてから、次の PC 操作を行うと、この待ち時間を必要とせずに、解析を効率的に進められる。

5.2.3 時間波形の解析･観測方法のﾎﾟｲﾝﾄ(1)

図 16 に示すように、観測時間 Tm に、発振回路の立ち上り、すなわち過渡領域を含んでいる場合には、その発振ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑには、定常領域の発振周波数 fo 以外に、過渡領域の共振条件のｽﾍﾟｸﾄﾗﾑを含んでいる、ことに留意する必要がある。このため、今回のﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析で発振出力のｽﾍﾟｸﾄﾗﾑ波形を解析･表示する場合には、図 17 のように、ｽｨｰﾌﾟのｽﾀｰﾄ時間を 10us に遅らせ、ｽﾄｯﾌﾟ時間を 30us に選んで、解析の観測時間 Tm が発振の定常領域に入るようにして、正確な発振ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑを解析表示できるようにした。
(2)

水晶発振回路のように、予め発振周波数が予測されている場合には、図 18 のように、ｽｲｰﾌﾟのｽﾀｰﾄ時間を例えば、20.002us－20.012us に設定し観測時間 Tm を 10ns に選ん

6Fig.18Fig.19で、発振時間波形の 1 周期［To］にとり、発振時間波形を精細に解析･観測することが出来る。
(3)

ﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析では、ﾃﾞｼﾞﾀﾙ高速ｵｼﾛｽｺｰﾌﾟのように、発振波形を自由に拡大･縮小して、波形の微細部から全体部まで過渡現象を含めて連続的に観測することができる便利な機能を備えている。すなわち、ﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析は、ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑｱﾅﾗｲｻﾞの周波数特性分析と、高速ｵｼﾛｽｺｰﾌﾟの時間特性分析の両機能を融合一体化した優れた解析能力を有する。
Fig.20
5.3

5 次ｵｰﾊﾞﾄｰﾝ水晶振動子を使用した 100MHz 水晶発振回路の解析結果の要点
5.3.1

内部抵抗 Rx＝10Ωの水晶振動子を使用した 100MHz 水晶発振回路の特性(1)HB ｵｼﾚｰﾀ解析では、ﾄﾗﾝｽの結合係数
K＝0.9、0.83 の両条件に対して、図 19に示すように、1 次ｺｲﾙ－ｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ Lpの広い範囲［K＝0.9 のときに、Lp＝95nH－109ｎＨ］で発振していることが判る。
(2)ﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析では、結合係数 K＝0.9 において、1 次ｺｲﾙ－ｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ Lp の Lp＝103nH－112nH の範囲で正常に発振して、図 20 のように水晶発振回路本来のｼｬｰﾌﾟな線状ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑ波形が得られている。ここで注意したい
点は、HB 解析とﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析のｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ Lp に対する発振範囲が異なっていることである。
(3)水晶発振回路の寄生発振について触れたい。ﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析を、例えば正常発振［発振周波数 fo が水晶振動子の周波数範囲内（fo＝fs～fp の間）］のｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ Lpの範囲外で行ってみると、その発振ｽﾍﾟｸ

7Fig.21

Fig.22
ﾄﾗﾑは図 21 に示すように、ﾏﾙﾁ発振［複数の線状ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑを有する］や発振周波数が水晶振動子の範囲から飛び離れた異常発振などの、寄生発振を生じていることが分かる。このようにﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析を行うと、水晶発振の正常な発振ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑに加えて、ﾏﾙﾁ発振等の寄生発振を含めた、精確無比かつ実践的な解析を実現できることが明確になった。

5.3.2 内部抵抗 Rx＝50Ωの水晶振動子を使用した 100MHz 水晶発振回路の特性(1)ｽｲｰﾌﾟを変えて、ﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析の観測時間 Tm［観測窓］を、図 22 のように変更してみると、前述の発振現象の過渡状態と定常状態におけるｽﾍﾟｸﾄﾗﾑ波形の違いがよく分かる。
(2)ﾄﾗﾝｽ 1 次側ｺｲﾙのｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ Lp
に対する正常発振範囲を越えた領域では、ﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析の結果から、図 23 に示すように、ﾏﾙﾁ発振等の寄生発振が発生し易いことがよく分かる。
６．水晶発振回路に対する両解析結果の纏め[1] 100MHz 基本波－水晶振動子を発振回路に使用すると、HBｵｼﾚｰﾀ解析では発振する回路条件を見出せるが、ﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析では如何なる回路条件に対しても発振しないことが判った。
この解析結果から、 100MHz 基本波－水晶振動子を使用した場合には、実際上は発振が困難であると推測される。
[2] 5 次ｵｰﾊﾞﾄｰﾝ 100MHz 水晶振動子を使用した発振回路では、［教科書に記述されている通り］内部抵抗 Rx が小さいほど発振が容易であり、共振回路の共振が少し外れても発振が継8Fig.23続することを、HB ｵｼﾚｰﾀ解析とﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析の両解析法で確認した。
[3] 内部抵抗 Rx が小さい程発振は容易であるが、共振回路の共振条件が少しでも外れると、寄生発振や異なった周波数発振等の異常発振を生じ易いことが、ﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析で明らかになった。
[4] 共振回路の 1 次ｺｲﾙ 2 次ｺｲﾙの結合係数 K を小さくして、負荷の影響を軽くして共振回路の Q［共振ｲﾝﾋﾟｰﾀﾞﾝｽ］を高くすると、共振の僅かなズレ等によって、異常発振が発生し易いことが判った。
[5] 所定の周波数で安定に発振させるためには、例えば共振回路の L、C は、水晶振動子の内部抵抗 Rx が 10Ωの場合には、その最適値に対して±5%の範囲内に、内部抵抗 Rx が 50Ωの場合には±1%の範囲内に選定する必要がある。この範囲を外れると寄生発振等の異常発振を生じる恐れがある。
７．所見①Q の高い水晶発振回路の動作解析に、HB ｵｼﾚｰﾀ解析ならびにﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析の両解析方法が有効で、且つ効果的に機能することが分かった。
②最初に HB 解析で発振条件［発振を生じる回路定数／等価ﾊﾟﾗﾒｰﾀの範囲等］を見出し、その結果をﾍﾞｰｽにしてﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析を進めると、発振回路の解析を効率よく行うことができると同時に、ﾋﾟﾝﾎﾟｲﾝﾄを押さえて発振回路の特性を精確に解析･観測することが出来る。
③ﾄﾗﾝｼﾞｪﾝﾄ解析では、正常発振のｼｬｰﾌﾟな発振ｽﾍﾟｸﾄﾗﾑを精細に解析すると同時に、ﾏﾙﾁ発振等の寄生発振や異常発振の様子や、そのｽﾍﾟｸﾄﾗﾑ波形まで精確に解析できることが明確になった。将に実践に適した優れた Simulation 解析機能である。
－以上－

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