確率数理工学に）昢確率変数）

いたが確率空間!

"！！！.
※ 鼠憲疢！！！！
𥓙：.、；：は凞が？で関数 X:s-R が.な ER でが（は、x］）：=1WE

r|X(w)ED|..""で造品！

を満たす時、 X を確率変数（random variable,no.）と呼ぶ.

(ru.ともく）「確率変数が 1測関数」

鬱｛WEr1×（w）が｝のことを｛X からやハルに川と書く.

1 X E x｝なる事象が叮測（下に含まれる）であることから「町測関数」とも言う

ACT に対し、が（A）こ｛west像

な ○\火書き"⑥ 任意のボレル集合 BE BCR）に対し.が（DEF であることと、上記の定義は同値. （詳細は後述）「XEx である確率は"測れて欲しい"」「XGA(AERR））である確率は"測れるたが（全部分集合）
区.he｛金、銀、銅、はずれし賞金 X（金に too.×（銀）too,x（銅）=1。xはずれにも確率変数

P（金）=0.1，P（銀）=0.2，P（銅）=0.3，P（はずれに 0.4

確率数理工学2 (2023)

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#：-_-_me_。A蕪：：：
I - _ - 一XIA)EF-E BAR）-w1-）X(w)Te,！

が（1-a,a］）= ｛ W E N X CW E a }
E F

|
：：超
"iii.
派"

幽州する確率崩 / 一人をたて）kw)
ランダムにw の

身長が（は、170］）=｛170cm 以下の確率数理工学2 (2023)

日本人と2 / 14

「¥1 がなか曜⇐

B=（一、a］にかぎらない、←かこちらを定義とに BEBCR） に 対 し . が 何 時して採用することが多い.

は自明。なぜなら、「a E R で は、a]EBR）であるため、を示す（Bo は BCR）の部分集合、これがB . = 1 B EBCR）|X'（B)ET｝ とおくBCR）と一致することを示したい）

確率変本文の定義より G a a ] E B 。 （IER） である。

しかも.Boが 6-加法族であることもわかる。 なぜならい） が （ R ） = R E F （下の定義より） なので.REB。
（2） A E B 。

T e n tX'（A)EFなの定義（3）

A..An...EB。

！（チェックせよ）（MAI）に Fが（パ）eF

A c e B。

が（An)EF（h）

Yが（An)EFで下は 6加法族）

y ( Y An)EF じ駅（An）=が信州
恕囁問題
I A nE B 。

以上より B . は ｛E ・.a］1GER｝を含む最小の 6-加法族を含む
それは RIR）である （i 次ページの Lem より）。
つまり. B(R)CB。 となるので、

確率数理工学2 (2023)が示せた.

y3 / 14

部分集合族 tに対し、tを含む最小の 6-加法族を did）と書く、
凸A = 11-a,a］1aERI に対し、6（A）=BAR），Prof

E t c BCR）はすぐわかる。 よって. 6（AKBCR）である。

逆 の BCR)Cdt） を示す。 そのために、6（d）が任意の開集合を含むことを示せば良い、

これは、任意の開集合 B は、可算無限個の開区間（a-Sats）の和集合として書けることが示されば十分である。
なぜなら、 開区間 lab） はlife.beたハト・，a］と書けることから.

6 は）に入り、6（かの元の可算無限和で B が表せるなら 6-加法性より BEdt）となるからである。
任意の）（EB に対し、 B は開集合であることから ある E>0 が存在して、（ I - E . t tE ) C B とできる。

すると、ある有理数 9.5 が存在し、-k E_-（9-8，9+8）C(KE.atE ) C B-_-Dとできる.
（たとえば、0〈S<E を 1 つとってきて、 （K-S.KtS）から 1）9E良い.）会

BE U 1（8-8.9+8） 1 8，SEon※は可算集を取って来れば合，8>0，19-8，8+8）C

Bらとする。

B=B'を示す、 これが示されば.B'は開区間の叮算和なので BE6（d）（i)

B I B は B'の 構成よりすぐわかる. （B'を構成する開区間は B に含まれる）（ii) BCB'は ① から従う
よって.

B=B' である。

x
確率数理工学2 (2023)

4 / 14o より一般に、「1 測空間に、F），（MF）に対し.
※ n → N が 、 UAE などが（A)EF をみたす時、X を みた叮測関数と言う（このとき.X：（r.F）→（it'）と書いたりする）には）（t.FI

熖一〇・が一〇べげ☆ 先の叮測関数（確率変数）の定義は、（IF'）=（IRB 側の場合に対応.

oXi(r，下）-）に'.F'），Xa：（で F'）-）に".F"）（の測関数に対し、

k=Xz。X、：WER いた（かい）Er"も F1 だけ測.

確率数理工学2 (2023)

5 / 14o

X:n→si（（t.FI.には'）：叮測空間）での部分集合族 B'に対し、 6（B'）を B'を含む最小の 6-加法族とする

F'=GCB）なら、「X がその可測← >UAE B' に対し. が（A)EF」
TF'ではない.

が成り立っ.

（B'は F'を"生成する.X の 71 だけ測性を担保するには.B'における叮測性のみ調べれば十分）.

（演習問題参照）

Lem-に、下に（R.B（仏）のとき、X:I→R が連続なら

X は叮測
（Proof）

が（（a.か）は開集合なので（Xの連続性より）.
が（（aa））EBCR）である よってでもある。

確率数理工学2 (2023)

X'（にDEADa］）=が（（as1 /6 / 14%咀（分布関数） ☆重要
X i ru.

c r e s s

random variable の略

FM）=P（｛werI X(w)Ex｝） （KER）とすると、 F をX の（累積）分布門學 と言う.
（Cumulative distributionfunction,C 型

F（水）=p(XE）し）や.FM=N｛×（w）壬川）とも言こす，たが定義されるためには.
HE 川が汗測である必要がある.

X が t.ir なら、2 の叮測性が担保される、先のくじびきの例：

慼÷：_！.！
.

.

-

䰗（銅） （銀）.

型（分布関数の性質）い） っくくり

（2）
（3）

-（金）

下に EF は）感 a。下川=Fla）

鼯x

右連糸売
（単調非減少）（右連続）

fine 形に 0， 感がルに I※ fyi。下川=Fk ） と は 限 型
しかいた極限は興

確率数理工学2 (2023)

/，な
「！"彧
た極限

1に礐た所）想派）
7 / 14"(Proof）（I)

A=1w|X(w)Ex3，B=1w|X H E Y ｝ とおくと.
）（Ey より、 ACB で あ る 、確率の単調性より PCA)E PCB）である。

（2）） い っ た > - . - > a で ffdn=G である数列を考える.

J1 爍！=嶋基に注意すると.

石隺率の連続性より.

h i F が）=figPan）=PCA）=F(a）である.

何［そのw
怠炎で？！iii.
は敗に任っり）

をつはすぐわかるに入らない。

も同様

/ /

Remark （次回、より詳しく述べる）

金にしりいろ）をみたす FMR が存在したら、対応する CRB 側）上の確率測度 Q が一意に存在する、その Q は Q1（-a,a］）= F k） は ER）.Q（（ab》=F（以下（a）した<b)をみたす.

QF-（分布）（測度）

Pを調べる代わりに.Fを調べた方が楽なことが多い。（弱収束など）
nR

p × 一つ下に爾が新定まる
Q""派一例でもあ確率数理工学2 (2023)| でもがが外脈制Pの4によるpushy
これをツがタグ言う.

る、Q=X#P とも書く.

-

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I(rFiD-.-𤺋！
@i-.f"㘅

I州しPIMA））=Q(A）

2=［0/1］たがい），には上の一様分布-

例：

X(o）=I なら、 ｛WENX(w)Ex｝ニ｛WEI I W E x）

=ftp.WEke？
い いPhotoF"）=|R(o（troExEI）：（x>1）

E に 1）=にa s い※f※-豔に移り！！鑵"瞬HI=F'（川=エ | （coast一作業𤄃！
）側が（は、別

確率数理工学2 (2023)

等しい

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%

確率分布の種類連 続

絶対連続
1-離｛-特異連続散--咀（連続分布）にし ERにおいて FNが連糸売、つまり PCにつく）=0（し aR）と鬱鬱𣷓....ii！灣鼗に筮が濹=扉."
1）（関係ないことに注意Fが連糸売である非負関数
fを用いて一（Borel、測）（絶対連続分布一反例を作ってみよ）

だい=fi f ( u ) d uと書けるとき、その分布は絶対連続であると言う.

f を右隺率密度関寿久（probability densi f function,pdf）と言う！

連続である.

地（Radon-Nikodymの定理）

ME）=0 をみたす任意の EE BCR）について、PCE）=0 である.
⇐F は絶対連糸売/こちらを定義としても良い.

&（一様分布）区間［a.b］，で［9.b]i[a.6］上の一様分布"""に信！！？
Fbc）=| 煢鏜
jj！川（otherwise)（ Ka ）（xec a n )

Cdf.

.

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@Ex.l 正規分布）-ガウス分布」とも言う。

平均 MER、分散 63o
では、LT覚える

fa に兗.epf Hazy,N(M62）で表す
N10.1） を標準正規_分布と言う「☆硎adf.EC 川=1 で flu)du を誤差関数と言う.
（error function)

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11 / 14咀（特異連続分布）<一（今は覚えないでも良いF は連糸売であり、かつある EEBCR）に対してPAGE）=1 かつ.ME）=0（ルベーグ測度）が！！：：：：
鑫馬蒁
：；！！
：ie..
簗.
靁
密度関数をもたない！

巫 r=［0.1），FBCDN.PEに川上の一様分布とする.に総なる 2 進数展開を用い

X(w）=E2 台とする。

iii.
i！

：：：
Pack）=1
讐：：：𧃴

一方.

K

化は非可算濃度だがである.

。

（Mk）=が知ら x-_-.=o）（聖鬱𥶡：籮？籩饠線分のまん中の領域を取り除くという確率数理工学2 (2023)）

12 / 14%DI（離散分布）Xの取りうる範囲が高々可算個。

つまり、あらたにいた，-.-｝CR が存在して、（有限個でも良い）

書PCX=m）=1が成り立つとき、 離散分布 と言う.

f(Va）=P（がた）のことを、確率質量関数と言う.
a bi l iG mass function，の（prob/ /で与えられる。
Hat
分布関数は F（川=Sex

巫（Bernoulli 分布）

Este コイン投げ 2 回
表 Iに｛0/1｝， O s o E lp .m f.

f（り=0， HO）=1-0

一座に項分布）Ber 心 と 記 す裛 O.

性には）は、，。，.az？この表が出た回数たのでは、嶺が投げでに｛o.1.2.....n｝（nE N )

n 同OEO E l .

B(n.0） と 記 す（Poisson 分布に 10.1.2....3， R > o）

msn.f.HR/=E

稀に起こる現象が一定期間内に起きる回数の分布：--

確率数理工学2 (2023)

工場で 1日に生産される不良品の本文

宇宙線を 1 時間に観測する回数
13 / 14（補足）I（ルベーグの分解定理）（R.呦）上の確率測度 P は、絶対連続な分布 R、特異連続な分布に、離散分布 Bに分解できる。すなわち、 OEO..02，03=1，0/+02+03=1で あ る 01，02，0，を用いて.に 0，R+02B+0313と分解でき、さらにこの分解は一意である.

確率数理工学2 (2023)

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