北海道大学大学院経済学院
修士課程（博士コース，専修コース）入学試験

平成２９年度

専門科目

試験問題

試験期日：平成２９年１月２５日
試験時間：９時００分～１０時３０分

解答上の注意１．試験開始の合図があるまで，この問題冊子を開いてはならない．
２．問題は，
マクロ及びミクロ経済学
経済思想
統計学
経営学
会計学
オペレーションズ・リサーチ

２～６ ページ
７ ページ
８～１６ ページ
１７ ページ
１８ ページ
１９～２０ ページである．
３．問題冊子の中から出願時に選択した科目について解答しなさい．
４．受験番号，氏名，選択科目・分野名は，監督員の指示にしたがって解答用紙の指定された箇所に記入しなさい．
５．解答用紙に解答する際に，問題番号・記号があれば解答の前に必ず記入しなさい．
６．解答用紙が不足した場合には挙手して監督員に連絡しなさい．
７．試験場退出は試験開始 30 分が経過するまで認めない．

1

マクロ及びミクロ経済学
Macroeconomics and Microeconomics（日本語問題文）（Japanese Version）
問題Ⅰ，問題Ⅱの両方に解答しなさい．

問題Ⅰ．以下の新古典派成長モデルを考える.
生産物の需給均衡式 Yt
生産関数 Yt
ここで LtCt

I t ，消費関数 Ct

4Kt1 2 L1t 2 ，投資 It

Lt 1 Lt ．恒常成長はる．また， yt

Yt L t ， kt

Kt 1 Kt
Kt
Kt

Lt
Lt

(1 s )Yt ，貯蓄関数 S t

Kt ，労働の成長率

Lt
Lt

sYt
n，

Yt
が成立するときであると定義す
Yt

Kt Lt とし，資本減耗はないものとする．

１．以下のすべての問いに答えなさい.
（１）生産関数の両辺を Lt で割り， yt

f (kt ) の形に書き直す．関数 f (kt ) の式を具体的に導出しなさい．
（２）生産物の需給均衡式，消費関数，および貯蓄関数を用いて， I t

St が成立することを示しなさい．
（３）kt

Kt Lt より，

kt
kt

Kt
Kt

Lt
が成立することを数学的に証明しなさ
Ltい．さらに，この結果を用いて，恒常成長のとき kt と yt が時間を通じて一定になることを説明しなさい．
（４）以下の式が成立することを証明しなさい．
Kt
Kt

St
Kt

sf ( kt )kt

２．恒常成長を考える．以下のすべての問いに答えなさい．
（１）上の１．（４）より，恒常成長のときの一人当り資本 k * において
sf (k * )k*nが成立することを示しなさい．
2

（２）いま，貯蓄率 sで求めた yt

0 .2 5 ，労働の成長率 n0 .0 1 とする．上の１．
（１）f ( kt ) の式を用いて，恒常成長のときの一人当り資本 k * の値を求めなさい．さらに，この恒常状態における一人当たりの生産量
f ( k *) ，貯蓄 sf ( k *) ，および消費 (1 s ) f ( k *) を導出しなさい．

３．黄金律を考える．以下のすべての問いに答えなさい．
（１）一人当たり消費は， f ( k ) sf ( k ) となることを示しなさい．さらに，上の２．（１）の結果より，恒常成長 k * では一人当たり消費は f ( k *) nk *となることを示しなさい．
（２）恒常成長 k * の中で一人当たり消費を最大にする問題を考える．最適点k̂ で f ( kˆ)n が成立することを証明しなさい．

（３）いま，労働成長率は n0 .0 1 とし，上の１．
（１）で求めた yt

f ( kt ) の式を用いる．このとき，一人当たり消費が最大になる k̂ と貯蓄率 ŝ の値を求めなさい．さらに，このときの一人当たりの生産量 f ( kˆ ) ，貯蓄ˆ ( kˆ) ，および消費 (1 sˆ) f ( kˆ ) を導出しなさい．
sf

問題Ⅱ．以下のすべての問題に答えなさい.
１．ある財の需要が, 需要量 d, 価格 p として
d

20

p

で表わされるものとする. この市場に参入する企業の費用関数は同一であり,総費用 c, 生産量 q として
c

q2

2

で表わされるものとする. 各企業は他の企業の生産量が与えられたものとして利潤が最大になるように自己の生産量を決定するものとする.
（１）市場に二つの企業が存在するものとする.

その場合の各企業の生産量と利潤, 並びに財の均衡価格を求めなさい.
（２）市場参入が自由に行われるとする. その場合の参入する企業の最大数を求めなさい.
２．企業の生産関数が, 生産量 q , 労働量 L, 資本量 K としてq

2 L1/ 4 ( K 5)1/ 4

(K

5)

3

で表わされ, 賃金率が 1, 資本賃貸率が 4 であるとする. 企業は短期においては労働量を, 長期においては資本量も変更することができるものとする.
（１）企業の短期費用関数及び長期費用関数を求めなさい.
（２）資本量が 10 の場合の短期の限界費用関数及び平均費用関数を求めな
さい.

（英語問題文）（English Version）
Answer the following two questions, Question I and Question II.
Question I. Consider the neoclassical growth model below.
Equilibrium condition of goods market Yt
Consumption function Ct
Production function Yt

Ct(1 s )Yt ，Saving function S t

4Kt1 2 L1t 2 , Investment It

The growth rate of laborLt
Ltn , where

Kt
Kt

Let ytYt L t , kt

state by

Lt
Lt

Yt
.
Yt

It ，

Lt

sYt ,

Kt 1 Kt

Kt ,Lt 1 Lt . Define a steadyKt Lt , and the depreciation

rate be zero.
1. Answer all questions below.
(1) By dividing the production function through by Lt , we can rewrite it in
the form of yt

f ( kt ) .

Show the explicit formula of yt

f ( kt ) .

(2) By using the equilibrium condition of goods market, the consumption
and the saving functions, show that I t(3) From kt

Kt Lt , prove that we have

St holds.
kt
kt

Kt
Kt

Lt
mathematically.
Lt

Furthermore, by using this result, explain that kt and yt are
constant over time in a steady state.
(4) Prove that we have the following equations.
Kt
Kt

St
Kt

sf ( kt )kt4

2. Consider a steady state. Answer all questions below.
(1) From 1. (4) above, prove thatsf (k *)
k*n

holds at the steady state level of capital per worker, k * .
(2)Let saving rate s

0 .2 5 and the growth rate of labor nusing the formula of yt
steady-state

level

of

0 .0 1 . Byf ( kt ) derived in 1. (1) above, find thecapitalperworker

k*

in

this

case.

Furthermore, find output per worker f (k *) , saving per worker sf ( k *) ,and consumption per worker (1 s ) f (k *) in this steady state.
3. Consider the Golden Rule. Answer all questions below.
(1) Show that consumption per worker is f ( k ) sf ( k ) .

Furthermore,from 2. (1) above, show that consumption per worker isf ( k *) nk *in a steady state.
(2) Consider the maximization problem of consumption per worker
among steady sates. Prove that we have f ( kˆ)n at the optimal

point k̂ .
(3) Let the growth rate of labor n0 .0 1 , and use the formula of yt

f ( kt )dderived in 1. (1) above. Then find the values of k̂ and saving rate ŝ
at which consumption per worker is maximized. Furthermore, find
ˆ ( kˆ) , and consumption
output per worker f ( kˆ ) , saving per worker sf

per worker (1 sˆ) f ( kˆ ) in this case.
Question II. Answer the following all questions.
1. The demand of a good is given by
d

20

p

where d is the demand, and p the price. All firms in the market of thisgood have the same cost function, which is given by
c

q2

2

where c is the total cost and q the amount of production. Each firm
5

determines its amount of production to maximize its profit with theamounts of production by the other firms as given.
(1) Suppose that there are two firms in the market. Obtain the amounts
of production and profit for the individual firms and also theequilibrium price.
(2) Suppose that firms enter the market freely. Obtain the maximum
number of firms that enter the market.
2.

The production function of a firm is given byq

2 L1/ 4 ( K 5)1/ 4(K5)

where q is the amount of production, L the amount of labor, and K theamount of capital. The wage rate is 1, and the rental rate of capital is 4.
The firm can adjust only the amount of labor in the short run, while itcan change the amounts of both labor and capital in the long run.
(1) Obtain the short-run and long-run cost functions for the firm.
(2) Given that the amount of capital is 10, obtain the marginal andaverage cost functions in the short run for the firm.

6

経済思想
Economic Thought（日本語問題文）（Japanese Version）
問題Ⅰ，問題Ⅱの両方に解答しなさい．
問題Ⅰ．ライオネル・ロビンズの経済学方法論を説明しなさい．

問題Ⅱ．J.シュンペーターの経済思想への貢献について説明しなさい．

（英語問題文）（English Version）
Answer the following two questions, Question I and Question II.
Question I. Explain Lionel Robbins’s views on the methodology of
economics.
Question II. Explain J. Schumpeter’s contribution to economic thought.

7

統計学
Statistics（日本語問題文）（Japanese Version）
問題Ⅰ，問題Ⅱのうちいずれか１問,及び, 問題Ⅲ，問題Ⅳのうちいずれか１問の合計２問を選んで解答しなさい．
問題Ⅰ．確率変数がパラメータf ( x)

0 の指数分布 Exp ( ) に従うとは，密度関数

exp(x), x 00,

その他を持つことである．以下のすべての問いに答えなさい．
１. 指数分布 Exp ( ) の平均と分散を求めなさい．
２. 指数分布 Exp ( ) から大きさ n の無作為標本 X 1 ,Tnmin( X 1 ,, X n ) を考える．確率 Pr(Tn, X n を抽出して，統計量x) を求めなさい．さらに，統計量

Tn の従う分布は何か答えなさい．
３．統計量 Tn の平均と分散を求めなさい．
問題Ⅱ．次の２つの条件 A，B を満たす確率変数 X と Y を考える．
A.確率変数 X の周辺分布は，次の密度関数を持つガンマ分布に従う．

p( x)ba a 1x exp( bx), x(a)0

ここで，a と b は正の実数である．また， (a)であり， (a 1)0t a 1 e t dt はガンマ関数

a (a ) が成り立つ．

B.確率変数 X の値が X=x と与えられたときの確率変数 Y の条件付き分布は，次の確率関数を持つポアソン分布に従う．

p( y | x)

x y exp( x), yy!

0,1,2,

以下のすべての問いに答えなさい．
１．平均 E(X ) ，２乗の期待値 E( X 2 ) ，分散 var(X ) を求めなさい．

8

２．確率変数 Y の周辺確率関数 p ( y ) を求めなさい．また，この確率関数を持つ
確率分布の名前を書きなさい．
３．確率変数 Y の周辺分布から，平均 E(Y ) ，Y (Y 1) の期待値 E[Y (Y 1)] ，分散
var(Y ) を求めなさい．

問題Ⅲ．次の回帰モデル(M)を考える．
yXβ u, u ~ N(0,

2

In )

ここで，y は n 1 の被説明変数ベクトル，X はランクが k の n k 説明変数行列，
β は k 1 の係数ベクトル， u は n 1 の誤差項ベクトル， 0 は n 1 の零ベクトル，2

は正のパラメータ，I n は n n 単位行列である．また，u ~ N(0,とき，誤差項ベクトル u が平均ベクトル 0 ，共分散行列

22

I n ) と書いた

I n の正規分布に従う

ことを示している．なお， n は観測値の数， k は定数項を含めた説明変数の数である．
正規分布に従う n 1 のベクトル z ~ N(0, I n ) について，次の２つの定理が知られている．
定理１． A1 と A 2 を n n 対称行列とする. A1 A 2

O ならば，２つの２次形式

z'A1z と z'A 2 z は統計的に独立である．
定理２． B を m n 行列， A を n n 対称行列とする． BA

O ならば，１次形式

Bz と２次形式 z'Az は統計的に独立である．

以下のすべての問いに答えなさい．
１．回帰モデル(M)について， β の最小２乗推定量 β̂ を求めなさい．
２．行列 M を M

X( X'X) 1 X' と定義する．このとき，M'In

M 及び MM

Mを示しなさい．このような性質を持つ行列を対称べき等行列という．
３．残差ベクトル uˆXβˆ について， ûyMyMu を示しなさい．

４．残差２乗和 uˆ'uˆ と最小２乗推定量 β̂ が統計的に独立であることを示しなさい．
５．z ~ N(0, I n ) とし，A をランクが m の対称べき等行列とするとき，z'Az ~2m(自由度 m のカイ２乗分布に従う)ということが知られている．対称べき等行列のランクはその行列のトレースに等しいことも知られている．これらの事実を用いて，û'û
2の従う分布を求めなさい．

9

６．係数ベクトル β に関する線型制約 Rβr を考える．ここで，R は既知の q k

行列で，そのランクは q ( k ) とする．また， r は既知の q 1 ベクトルであ~る．回帰モデル(M)について， β の制約付最小２乗推定量 β を求めなさい．
~~ y X~
７．制約付最小２乗推定量 β に基づく残差ベクトルを uβ とする．この~'u~ uˆ 'uˆ を示しなさい．
とき， u
８．帰無仮説を H 0 : Rβr として，この帰無仮説が正しいとする．

~'u~ uˆ 'uˆ と uˆ'uˆ が統計的に独立であることを示しなさい．
（１） u

（２）

~'u
~ û'ûu2の従う分布を求めなさい．

（３）帰無仮説 H 0 : Rβr を検定するための検定統計量~' u~ uˆ 'uˆ ) / q(uの従う分uˆ 'uˆ /(n k )布を求めなさい．
問題Ⅳ．次の潜在変数モデルを考える．
Yi *U i , i 1, , n
1
2 xi
ただし，説明変数 x1 , , xn は固定された値を持つが，確率変数 U1 , , U n は互いにexp(t )
独立で密度関数を持つ分布に従うとする．以下のすべての問いに答{1 exp(t )}2
えなさい．
１. p ( xi ) Pr(Yi * 0) とおく．
xexp(t )
dt を求めなさい．
（１）積分{1 exp(t )}2（２） p( xi ) と 1 p( xi ) を求めなさい．
p( xi )
（３）対数オッズ log Odds( xi ) log
を求めなさい．
1 p( xi )d（４）限界効果p ( xi ) を求めなさい．
dxi
２．変数 Yi * , i 1, , n は直接観測できないが，「 Yi * 0 か Yi * 0 」は観測できるとする．
（１）Yi * 0 のとき Yi 1 , Yi * 0 のとき Yi 0 として定義される確率変数 Yi の従う確率分布の名前を書きなさい．
（２）係数 1 と 2 を推定する方法について，適切なキーワードを用いて説明し
なさい．

10

（３）表１は，２５名のプログラマーの仕事の成功・失敗(被説明変数“Task”)
を，経験値(説明変数“Experience”)で説明するため，ソフトウェア Rを使用して上述のモデルで分析した結果の抜粋である．なお，図１は，Experience と Task の散布図である.
図１
Experience Versus Task (n=25)

Task

1

0
0

5

10

15

20

25

30

Experience

１）表１にて，説明変数 Experience の係数 2 の z 値と p 値をそれぞれ z2 ，p2
とおく． z2 はどのような帰無仮説 H を検定するための検定統計量の実現
値か．帰無仮説 H を書きなさい．また， p2 を計算する際の対立仮説 A
を書きなさい．
２） p 値から，係数 2 に関する仮説検定の結果を述べなさい．
３）係数 2 の９５％信頼区間を求めなさい．ただし，1.96 という数値を使用すること．
４）説明変数が Experience=10 のとき log Odds (10) を求めなさい.
表１
Coefficients:

Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept)-3.0601.259-2.43
0.015 *
Experience
0.162
0.065
2.49
0.013 *

(英語問題文）（English Version）
Answer either of the following two questions, Question I and II, and eitherof the following two questions, Question III and IV.
Question I.

The exponential distribution, denoted by Exp ( ) , has thefollowing density:11f ( x)
where

exp(

x), x

0

0,

otherwise,

0 is the parameter. Answer each of the following questions.

1. Find the mean and variance of the exponential distribution Exp ( ) .
2. Let X 1 ,, X n be a random sample of size n from the exponential

distribution Exp ( ) . Consider the statistic Tnprobability Pr(Tnmin( X 1 ,, X n ) . Find thex) . Further, what is the sampling distribution of Tn ?

3. Find the mean and variance of the statistic Tn .
Question II. Consider two random variables X and Y under the following
two conditions A and B.
A. The marginal distribution of X is a gamma distribution with thedensity functionp( x)ba a 1x exp( bx), x(a)0,where a and b are positive real numbers. Here, (a)gamma function, which satisfies the relation

(a 1)

0

t a 1 e t dt is aa (a) .

B. Given X=x, the conditional distribution of Y is a Poisson distribution
with the probability functionp( y | x)

x y exp( x), yy!

0,1,2,

Answer each of the following questions.
1. For the random variable X, derive the mean E(X ) , the expected value ofX 2 , denoted by E( X 2 ) , and the variance var(X ) .
2. Derive the probability function p ( y ) of the marginal distribution of Y.
Further, state the name of distribution with this probability function.
3. From the marginal distribution of Y, derive the mean E(Y ) , the expectedvalue of Y (Y 1) , denoted by E[Y (Y 1)] , and the variance var(Y ) .

12

Question III. Consider the following regression model (M):y2Xβ u, u ~ N(0,In ) ,

where y is a vector of explained variable, X is an n k matrix withrank kof explanatory variables, β is a k 1 vector of coefficientparameters, u is an n 1 vector of error terms, 0 is an n 1 zero vector,
is a positive parameter, and I n is an n n identity matrix. Further,2

u ~ N(0,2

I n ) means that the error vector u is normally distributed withmean vector 0 and covariance matrix

2

I n . In addition, n is the numberof observations, and k is the number of explanatory variables including
the constant term.
We have the following two theorems about the statistics based onz ~ N(0, I n ) .
Theorem 1. Let A1 and A 2 be n n symmetric matrices. If A1 A 2
then, the two quadratic formsz 'A 1 zandz 'A 2 z

O ,are statisticallyindependent.
Theorem 2. Let B be an m n matrix, and A be an n n matrix. If
BAO , then, the linear form Bz and the quadratic form z'Az are

statistically independent.
Answer each of the following questions.
1. For the regression model (M), derive the least squares estimator of β ,denoted by β̂ .
2. Define a matrix M as M
MM

X( X'X) 1 X' . Show that M'

In

M and

M . Such a matrix is referred as symmetric and idempotent.

3. Define the residual vector as uˆyXβˆ . Show that û

My

Mu .

4. Show that the residual sum of squares uˆ'uˆ and the least squares
estimator β̂ are statistically independent.
5. If z ~ N(0, I n ) and A is a symmetric idempotent matrix with rank m,then, z'Az is distributed as the chi-squared with degrees of freedom m,i.e., z'Az ~2m. Further, the rank of symmetric idempotent matrix is13

equal to its trace. Using these facts, derive the distribution of
6. Consider the linear constraints of β , Rβ

û'û
2

.

r , where R is a known q kmatrix with rank q ( k ) and r is a known q 1 vector. For the
regression model (M), derive the restricted least squares estimator of β ,~denoted by β .
7. Define the residual vector based on the restricted least squares~~ y X~~'u~ uˆ 'uˆ .
estimator β as u
β . Then, show that u
8. Consider the null hypothesis H 0 : Rβr . Suppose that the null

hypothesis is true.
~'u~ uˆ 'uˆ and uˆ'uˆ are statistically independent.
(1) Show that u(2) Derive the distribution of~'u~ û'ûu2.

(3) Define the test statistic for the null hypothesis as~' u~ uˆ 'uˆ ) / q(u. Deriveuˆ 'uˆ /(n k )the distribution of this test statistic.
Question IV.

Consider the following latent variable model:
Yi *Here, the variables x1 ,

1

x

Ui ,i

2 i

1,

,n .

, xn are fixed, and the random variables U1 ,,U n

are independently distributed according to the distribution having thedensityexp(t ).
{1 exp(t )}2

1. Write p ( xi ) Pr(Yi *(1) Find the integral

Answer each of the following questions.
0) .
x

exp(t )
dt .
{1 exp(t )}2(2) Find p ( xi ) and 1 p( xi ) .
(3) Find the log odds log Odds( xi )logp( xi ).
1 p( xi )14

(4) Find the marginal effectdp ( xi ) .
dxi

2. Suppose that the variables Yi * , i 1,

, n are not observable, and, instead,consider the situation where we observe Yi *0 or Yi *0.

(1) Define the following random variable:
1, Yi *

Yi

0, Yi

*

0
0.

State the name of the distribution of Yi ．
(2) Explain how to estimate the coefficients

1

and

2

by using

appropriate keywords.
(3) The following Table 1 is the result using the statistical software R,
where the explanatory variable “Experience” is used to explain the
success or failure (the explained variable “Task”) of the programmer’stask (n 25) . Here, Figure 1 is the scatter plot of Experience and Task.
Figure 1
Experience Versus Task (n=25)

Task

1

0
0

5

10

15

20

25

30

Experience

1) Denote by 2 the coefficient of the variable “Experience”. In Table 1,
let z2 and p2 be, respectively, the z value and p value of 2 . Specify
the null hypothesis H tested by the realized value z2 . Further, whichalternative hypothesis A is assumed for computing p2 ?
2) According to the p value, make a conclusion about the coefficient 2 .
3) Find the 95% confidence interval of the coefficient 2 (for this, youmust use “1.96”).
4) Find the log odds log Odds (10) at Experience=10.

15

Table１
Coefficients:(Intercept)
Experience

Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)-3.0601.259-2.43
0.015 *
0.162
0.065
2.49
0.013 *

16

経営学
Management and Business Administration（日本語問題文）（Japanese Version）
問題Ⅰ，問題Ⅱの両方に解答しなさい．
問題Ⅰ．消費者行動におけるバラエティ・シーキングについて，（１）バラエティ・シーキングとは何かを定義しなさい．
（２）バラエティ・シーキングを生み出す消費者行動の条件について論じなさい．
（３）バラエティ・シーキングに有効なマーケティング戦略について論じなさい．

問題Ⅱ．「イノベーター（イノベーション)のジレンマ」について説明しなさい．

（英語問題文）（English Version）
Answer the following two questions, Question I and Question II.
Question I. Answer the following three questions about variety seeking
buying behavior,(1) Define variety seeking buying behavior.
(2) Explain the condition of variety seeking buying behavior.
(3) Explain what kind of marketing strategy is useful for variety seeking
buying behavior.
Question II. Explain “Innovator’s Dilemma”.

17

会計学
Accounting（日本語問題文）（Japanese Version）
問題Ⅰと問題Ⅱの中から 1 問を選択して解答しなさい．

問題Ⅰ．源泉別分類に基づいて資本を説明しなさい．

問題Ⅱ．ジャスト・イン・タイム生産方式の特徴を説明しなさい．

（英語問題文）（English Version）
Answer one of the following two questions, Question I and Question II.

Question I．Explain Capital, based on the classification according to thesource.
Question II．Explain the major features of the just-in-time (JIT) production
systems.

18

オペレーションズ･リサーチ
Operations Research
問題Ⅰ，問題Ⅱの両方に解答しなさい．
問題Ⅰ．以下の２つの問いに答えなさい．
１．

次の線形計画問題(P)を単体法で解きなさい．

問題( P) max 4 x1

x2

2 x3

subject to :
x1

x2

6

3 x1
x1 , x3

２．

x3

12

0

問題(P)の第一制約の右辺の値を 6 から 6+t に変更した問題(P1)を考える．問題(P)の最適解における任意の基底変数が，問題(P1)の最適解においても基底変数であるような t の値の範囲を求めなさい．

問題Ⅱ．以下のすべての問いに答えなさい．
１．

株主と債権者の違いについて，説明しなさい．

２．

現時点を 0 とし，半年後からスタートする金利スワップを考える．想定元本は 100 万円とし，利払いは 1 年後，1 年半後，2 年後に行なわれるとするとき，スワップレート R を求めなさい．ただし，満期 n の割引国債の現時点の価格を v(0,n)とする.
３．

割引国債の利回りが r で，株価 S がパラメータ u ,d ,p の二項モデルに従うとき，リスク中立確率を導出しなさい．

19

Answer the following two questions, Question I and Question II.
Question I. Answer the following all questions.
1.

Solve the following linear programming problem (P) using the simplex
method.
( P) max 4 x1

x2

2 x3

subject to :
x1

x2

6

3x1
x1 , x3x3

120

2. Consider the problem (P1) obtained from (P) by replacing the right-handside of the first constraint with 6+t. Determine the range of values of t
over which each basic variable in the optimal solution for (P) remains abasic variable in the optimal solution for (P1).
Question II. Answer the following all questions.
1. Describe the difference between shareholders and bondholders.
2. Set the current time t = 0 and consider the interest swap starting fromt = 0.5. Derive the swap rate R if the notional principal is 1 million yen
and coupons are paid at t = 1, 1.5, 2. Let the price of discountgovernment bond with maturity n be v(0,n).
3. Assume the yield rate of discount government bond r, and the stock
price S follows a binomial model with parameters u, d, p. Then derive the risk
neutral probability.

20