海外の算数教育情報

05/10

算数・数学教育における数学史の活用
溝口達也＊
日々の算数・数学教育において，私たちは，様々な目にそのような困難を抱えるところの同じ数学的概念は，的や用途で数学史を活用することがあります。私は，学何百年も前の数学者をしてその最終的な形式を作り出さ生の（授業設計に関連する）授業で，いつも数学史を調べせた，という励ましとなると考えるものです。

ることから始めさせるのですが，学生たちの当初の印象

Wt2は，歴史が学習や教授に対する異なる視点を提供は，概ね「何のために」，「どうやって」数学史を調べるのか分からない，といったようなものです。ところが調するものであり，また歴史的現象学が仮説的な学習の道べていき，実際に授業設計にとりかかると，漠然として筋を示してくれるとするものです。
そしてWt2の特別な場合として，認識論的障害があげではありますが，学生たちなりに数学史を見ることの意られます。これについては，例えば，Radford(1997)に義を掴むようです。

おいても，特に1章を設けて（§3）述べられるように，算従来からも，算数・数学教育において，その学習指導に直接，間接の両面から数学史を活用することがいわれ数・数学教育と数学史の関連を議論する際に，極めて重てきました。例えば，理解研究でも著名なByersの“Whystudy the history of mathematics”(Byers, 1982)は比較

念は，もともと科学哲学者Bachelardによって提起されたものであり，数学教育学にはBrousseau(1983)によっ的よく読まれた論文であると思われますし，2000年に刊て導入されます。それは，学習者の認知発達を問題とす行されたICMI Studyの “History in Mathematics Education”(Fauvel & Maanen, 2000)は，数学史の活用に関る個体発生的起源や教授上の問題を扱う教授学的起源でわる様々な議論を各国の研究者が高いレベルで整理したで，私たちが数学的知識・概念を得ようとする上で不可成果であるといえます。さらに，Educational Studies避であるものです(Sierpinska, 1994; 溝口, 1995)。それゆえそうした障害は，概念自体の歴史に見出すことがでin Mathematics 誌では，2007年に特集号（第66巻第2要な位置づけが与えられるものです。認識論的障害の概はなく真に認識論的起源による障害 obstacle を扱うもの号）が刊行されています。
しかしながら，上記を含む多くの議論において，《なき，「児童・生徒のある種の困難は，歴史によって立証ぜ数学史を用いるのか(why)》と《どのように数学史を用のであり，さらに歴史は障害を同定するだけでなく，そいるのか(how)》の議論がぼんやりとしているというのが，今回ご紹介するJankvist(2009b)の主張であり，この克服についての手立ての助けともなることが指摘されます。Brousseauの重要な指摘としては，次のことがあの「なぜ」に関わる問い《whys》と「どのように」に関わるげられます。すなわち，歴史は，修正 modification なし

問い《hows》が相互にどう連関するかを見ていくことに用いられるべきではないこと，それは，今日の学校数が，数学史の活用についての枠組みを提供することにな学に用いられるのにふさわしい概念の発生を選択するたると一貫して展開するものであります。

めであり，そうした発生を提供するような学習指導場面

先ず，《whys》に関わる議論 arguments ですが，2つのカテゴリーに分けられます。その一つは，「ツールとしての歴史 history as a tool」で，これは児童・生徒がどのよされた障害の周辺にまとめられる」(Brousseau, 1983)もを作り出すためであるということです。
Wt3は，非常に独特のもので，歴史なしに算数・数学の学習はありえないとするもので，そのもっとも明白なうに算数・数学を学んでいくかという議論と関連するもものが「個体発生は系統発生を繰り返す」とする反復説ののです。このような議論に分類されるものとして次の3つ議論です。すなわち，真の算数・数学学習のために，誰があります。（以下の記号は，紹介者によるものです。）

しも，数学が進化してきたと同様のステージを通過しなツールとしての歴史 history as a tool
Wt1：動機づけの要因
Wt2：実際の学習をサポートする認知的ツールの役割
Wt2’：（Wt2の特別な場合として）認識論的障害の同定
Wt3：進化論的議論ければならない，とするものです。反復説は，算数・数学全体に対して適用されるだけでなく，場合によってはWt1は，文字通り，児童・生徒の算数・数学学習，あう，その歴史的並行論 parallelism (例えば，次を参照：

るいは当該の教材に対する興味・関心を持続させたり，Thomaidis & Tzanakis, 2007)にあるといえます。
以上の「ツールとしての歴史」に対するもう一つのカテ数学の人間的側面を強調しようとするものです。例えば，過去の数学者のつまづきは，今日の子どもたちの算数・数学学習においても困難であり，子どもたちが実際＊ 鳥取大学准教授

個々の概念や理論に適用されることもあります。上の認識論的障害の概念と似て非なるところは，歴史上に観察される困難や障害は同様に教室においても再現するといゴリーとして「ゴールとしての歴史 history as a goal（Wg）」があげられます。文字通り，数学史自体が学習の目標として主張されるものです。「ゴールとしての歴

史」のカテゴリーでは，個々のトピックのような数学史ては，上のような6つの可能性が図示されます(p.251)。

に関する知識が誤ることは許されません。その焦点は，しかし，上に見てきたように，「ツールとしての歴史」に学問としての数学の発達や進化に当てられることになります。Jankvist氏自身は，特にこのカテゴリーに関して関しては，その様相が大きく異なることから，これを1学位論文を作成されており(Jankvist, 2009c)，またそのつにまとめることに関していささかの抵抗があります。
また《whys》に分類されると思われる議論が従来から実践的研究も行われているようです(Jankvist, 2009a)。

も多岐に渡り，かつ理論的に展開されてきたのに対し(例

我が国においては，教科書の各章の扉または章末に少しえば，Fried, 2001, 2007; Otte, 2007)，《hows》に分類さばかりの歴史的記述があることはあっても，学習指導要領において直接的に取り上げられてはいませんが，例えれる議論については，必ずしもそれらが理論的であるとばノルウェーなどは，数学史がカリキュラムにおいて重かという印象も受けます。実際，ここで示されたカテゴ要な位置を占めており，またいくつかの学年では特別なリー（H1〜H3）についても，例えばH3に関するより詳細目標として掲げられているようです(Smestad, 2008)。

な研究の余地が残されているように思います。換言すれ

一方，実際に算数・数学の学習指導に数学史が用いられる仕方としての《hows》に関わる議論は，次の3つのカば，私たちは，教材研究にあたって数学史を参照するものの，そのようになされた成果を具体的実践にいかに結テゴリーに分けられます。

びつけていくかの理論的・方法論的議論を必ずしも十分は言えず，経験的な議論を抜け切れていないのではない

数学史活用の3つのアプローチ
251
H1：説明 illumination のアプローチ
H2：指導計画 modules のアプローチ
modules approaches is less clear. Fried does not, however, have it as his
H3：歴史に基づく history-based アプローチribe the interrelations between the categories of whys and hows.
H1は，授業実践や教科書において歴史的情報が補助的に有していない，と言うことができるのではないでしょに用いられることを意味します。上述の教科書の歴史的
ions between the whys and hows
記述などはここに含まれる最も小さな扱いであると言えの研究から学ばせてもらえたように思いました。

ious sections, Iます。
have tried to provide a set of lenses through which thepproaches of usingH2は，教材やカリキュラムを数学史に沿ったものとす
history in mathematics education can be viewed. In, these lenses areused in an attempt to make the possible interrelations
ることであり，これはH1同様，そのサイズや範囲に関し
e whys and hows stand out more clearly; the purpose being to analyzeて様々な程度に及ぶものです。実はこの種の議論は，冒ons more critically.
The following discussion will be structured aroundh shows the six頭で示したByers(1982)もほぼ同様の議論を展開していpossible interconnections between the two proposed setses.
ます。先ず最も小さい程度としては，教材あるいは数時
mination approaches may be used to illuminate meta-issues regarding the
間の授業について「歴史的パッケージ」を用意するという
f mathematics, i.e., history as a goal. However, due to the nature of theものです。中間的な扱いとしては，概ね1単元を，最も大n approaches, themeta-issues may only be “illuminated,” not discussed
n such a presentation.
Of course, at the upper end of the scale, in（場合theきい，あるいは広い扱いとしては，カリキュラムpilogues, one stands a better chance of dealing in depth with the metaによっては複数学年）や教科書を数学史に沿ったものとillumination approaches, however, are much more suitable when it comesするということになります。
tory as a tool. Especiallythe motivational and affective history-as-a-tool
are beneficial, as H3は，数学の発達やその歴史によって直接的に刺激さthis approach may “spice” up the presentation, which
hat history mayれたり，あるいはそうしたものに基づくものを含みま
become the sugar that makes the student swallow the” of mathematics (Heiede, 1992, p. 153), i.e., the in-issues. Concerning
す。上記カテゴリーとの相違は，直接数学史の研究を扱
ve tool arguments,
the illumination approaches seem ill-suited, and the
うのではなく，むしろ間接的に用いるというものです。
y tool arguments
are downright impossible to realize through this type of
ところで以上のように分類される《whys》と《hows》の
e cognitive history-as-a-tool arguments often are of a more demanding
議論ですが，どんな分類にもそうする目的があります。
n the motivational ones, at least when implementation is concerned, theある事柄について某かの分類をすることで，（少なくとory as a cognitive
tool for teaching in-issues may require additional
pace. For this reason,
themodules
approaches
seemabetter
place toも分類の意図に対して）生産的になることもあれば，そcess with these arguments. The modules approaches are also a much moreの分類のためにむしろ見えなくなってしまう側面もあり
ace to try and bring out the different meta-issues of the development ofcs, no matter if ます。ここでの分類の意図は，例えばその用い方で最もit be in the lower end of the scale, the middle section, orend. Historical 好まれる目的は何かといったような，従来展開されてきpackages at the lower end provide a means for putting
sues of the curriculum-tied
in-issues on the agenda for a short period
た数学史活用を分析することにあります。そしてその最the more extensive modules of the middle section, as well as the fulld books of the も主眼とするところは，それぞれが何をどの程度語って
top end, an opportunity opens up for introducing new
いるか，その仕方を明らかにすることにあります。

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- 溝口達也 (1995). 認識論的障害の克服過程の記述カテゴリーによる特徴づけ：極限概念を事例として. 数学教育学論究, 63/
64, 27-48.

nd “hows”

x possible
etween thewhys and hows

カテゴリー間の連関について，Jankvist(2009b)においうか。そうした議論はまた，教師教育の範疇に属するものであろうかとも思われます(Furinghetti, 2007)。そのためには，冒頭に述べたような学生の漠然とした認識を超えた手立てをさらに講ずる必要があることを，これら参考文献