フラックスコンパクト化された理論におけるゲージ対称性の破れ
⼤阪公⽴⼤学⾚松

素粒⼦論研究室

拳⽃（あかまつけんと）

Phys. Rev. D 106, 035035 (2022) [hep-th/2205.09320]
共同研究者︓廣瀬拓哉, 丸信⼈ (阪公⼤, NITEP)
素粒⼦現象論研究会, Mar. 16, 2023 @ 学情

1/20

Index
• Introduction• フラックスコンパクト化• 定数真空期待値を含む理論• SU(3) 理論への拡張• Summary2/20

Introduction• Higgs 粒⼦
Ø ゲージ粒⼦と物質粒⼦に質量を与える.
• 電弱相転移 SU(2) × U(1) → U(1) を引き起こす.

Ø 2012 年に観測された→質量は 125 GeV.

なぜこんなに軽いのか︖

3/20

Introduction• 場の量⼦論(観測される質量)2＝ (古典質量)2 ＋(量⼦補正)2パラメータ計算可能︕

Higgs 粒⼦

4/20

Introduction• Λ を模型の適⽤上限（UV cutoff）とすれば,(量⼦補正)2 ∝ Λ! .
• 標準模型は重⼒を含まない.
Λ ≲ 10"# GeV （Planck スケール）

5/20Introduction• 代⼊すると,125 !

不⾃然＝ 古典質量 !
＋100000000000000000000000000000000000000.

階層性問題

6/20

フラックスコンパクト化• コンパクト化とは︖（例︓５次元理論）
⼩さく丸められた次元（余剰次元）𝑥$𝑡𝑥, 𝑦, 𝑧7/20

フラックスコンパクト化• フラックスとは︖
Ø 余剰次元に存在する磁場（例︓６次元理論）

1
𝐴$ = − 𝑓𝑥% ,2

1𝐴% = 𝑓𝑥$ ,2

𝐹$% = 𝑓. （参考︓𝐹!& = 𝐵' ）
Ø Wilson-line (WL) スカラー𝜙≡

12𝐴! + 𝑖𝐴" ≡12𝑓 𝑧̅ + 𝜑,Higgs 場の候補

1𝑧 ≡ 𝑥" + 𝑖𝑥! .
2

8/20

フラックスコンパクト化• フラックスコンパクト化の利点)*)
Ø フラックス無しの場合︓𝛿𝑚#$%&'( ∝ 𝐿 .
• 𝐿 はコンパクト空間の半径, 𝐿!" はコンパクト化スケール.
• 実験による制限で 𝐿!" が⼤きく → 階層性問題が再発する.
)
Ø フラックスありの場合︓𝛿𝑚%&'(= 0.
• W. Buchmuller, M. Dierigl and E. Dudas (2017, 2018)• T. Hirose and N. Maru (2019, 2021)• M. Honda and T. Shibasaki (2019)9/20

フラックスコンパクト化• 質量補正がゼロになる理由
Ø WL スカラーは余剰空間上の並進対称性に対する南部-Goldstone ボソンとみなせるから.
Ø 例︓６次元理論• トーラス並進変換 𝛿# ≡ 𝜖$ 𝜕$ + 𝜖% 𝜕% の下で, Lagrangian は不変.
• WL スカラーの並進変換は, 𝛿# 𝜙 =&' '𝜖$ + 𝑖𝜖% .

定数シフト• 質量項 𝑚' 𝜙𝜙 は 𝛿# の下で, 不変でない → 禁⽌される.

10/20フラックスコンパクト化• WL スカラーを Higgs 場とみなす.
Ø コンパクト化スケールと独⽴に, TeV スケール 𝑣 で余剰空間上の並進対称性を陽に破る.
Ø WL スカラーの質量補正は、𝛿𝑚) ∝ 𝑣 ) になる.

• フラックスコンパクト化された理論に,定数真空期待値を導⼊.

11/20定数真空期待値を含む理論• Lagrangian 𝑀, 𝑁 = 0, 1, 2, 3, 5, 6, 𝑎 = 1, 2, 3
𝑀!

𝑇"

DOF of SU(2)1 < <:;ℒ898 = − 𝐹:; 𝐹+ ℒ=*> + ℒ=?9@84Ø 簡単のため, 𝑥",! ∈ 0,1 とする.

• flux & constant VEV
𝐴6"116≡ − 𝑓𝑥!,
𝐴! ≡ 𝑓𝑥",
226𝐹"!
=𝑓𝐴7! ≡ 𝑣 ∈ ℝ .

12/20定数真空期待値を含む理論• 複素座標系とスカラー場の定義
𝑧≡
𝜙( ≡

12

1𝑥 + 𝑖𝑥% ,2 $𝜕 ≡ 𝜕$ − 𝑖𝜕% ,𝐴(% + 𝑖𝐴($ ≡ 𝜑 ( + 𝜙 (𝜙 ) = 𝑓𝑧/̅ 2𝜙" = 𝑣/ 2

• ゴースト場を含む質量項（Feynman ゲージ）
1ℒ*+* ⊃ − 𝐴,( (−𝒟𝒟)𝐴(,2ゲージ場−𝜑Q ( −𝒟𝒟 𝜑 ( + 𝑔𝑓 𝜑, 𝜑Q )スカラー場

1+𝑐̅( −𝒟𝒟 + [𝒟, 𝒟] 𝑐 (2ゴースト場

13/20定数真空期待値を含む理論• covariant derivative 𝒟Ø ⽣成消滅演算⼦とみなせるか.
𝜕𝒟 <V = −𝑖𝑔𝑓 𝑧̅
0𝑖𝑔𝑓 𝑧̅𝜕−𝑖𝑔𝑣0𝑖𝑔𝑣
𝜕

対⾓化<V𝒟WXYZ= diag 𝜕 − 𝑔 𝑓 )𝑧̅ ) + 𝑣 ), 𝜕 + 𝑔 𝑓 )𝑧̅ ) + 𝑣 ), 𝜕⽣成消滅演算⼦とはみなせない.
（𝑣 = 0 ならできた.）14/20定数真空期待値を含む理論• C-VEV 𝑣 について, 𝑣𝐿 ≪ 1 を仮定する.
𝑖𝑔𝑓 𝑧̅
𝜕000000 + 00 −𝑖𝑔𝑣
𝜕

無摂動 𝒟-摂動𝜕
𝒟 !" = −𝑖𝑔𝑓 𝑧̅
00𝑖𝑔𝑣
0• ゲージ場の質量（C-VEV 𝑣 が無い理論）
2𝑔𝑓𝑛#0−𝒟[,WXYZ𝒟[,WXYZ =002𝑔𝑓(𝑛$ + 1)0Landau level00
4𝜋 $ 𝑙 $ + 𝑚$

15/20定数真空期待値を含む理論• 𝑣𝐿 ≪ 1 の下で,,• 𝑣 ≠ 0 ならば,.
(1. , 2. , 1.. , 2.. は質量固有状態.)

Ø ゲージ対称性︓SU(2) → U(1) → (completely broken).
Ø WL スカラー（𝜑# のゼロモード）は質量を獲得.

16/20定数真空期待値を含む理論• 古典的なポテンシャルは,𝑔)𝑉\]^^ = E 𝑑𝑥"𝑑𝑥!
2_!
𝑓)=𝑔𝑣 ) .
24

𝜙 , 𝜙G) )• 古典解は 𝑣 = 0.
Ø ゲージ対称性の破れのパターンは変化.
Ø WL スカラーの質量補正は０.

17/20定数真空期待値を含む理論• １ループ有効ポテンシャル1−1 )𝑑 + 𝑝,$$𝑉#%&''( =𝑁89ln𝑝+𝑚*,2𝜋 $ 22𝜋 +*Ø 𝑁 は場の⾃由度.
Ø 𝐹 はボソンなら０, フェルミオンなら１.

18/20定数真空期待値を含む理論• 𝑉./00 と 𝑉"12334 の和Vreg,AVcl

Vcl +Vreg,A

0.006

0.004

0.002

-3-2-1

1

23gv

nonzero 𝑣 が⽣成される︕

19/20SU(3) 理論への拡張• SU(2) Higgs ２重項を構成する.
Ø SU(3) ゲージ理論が最も簡単.
𝜙$≡12𝑓𝑧,̅

𝜙%

≡

12𝑤,

broken generator の⽅向𝜙&≡12𝑣.

C-VEVsØ ポテンシャル解析より, 𝑣 ≠ 0.
Ø ゲージ対称性は, SU(3) → SU(2) × U(1) → U(1).
電弱相転移 SU(2) × U(1) → U(1) に類似

20/20

Summary• フラックスと定数真空期待値が原因となり,ゲージ対称性が破れる.
Ø SU(2) → U(1) → (completely broken).
Ø SU(3) → SU(2) × U(1) → U(1).

• WL スカラーは, 𝑣 で特徴づけられる質量を獲得.
• 定数真空期待値は量⼦効果により, 𝑣 ≠ 0.
フェルミオンを含む理論の解析

More Infomation

22/20Introduction• Higgs 粒⼦
Ø ゲージ粒⼦と物質粒⼦に質量を与える.
• 電弱相転移 SU(2) × U(1) → U(1) を引き起こす.

Ø 2012 年に観測された→質量は 125 GeV.

なぜこんなに軽いのか︖
by 理論屋23/20Introduction• 素粒⼦標準模型（場の量⼦論）(観測される質量)2＝ (古典質量)2 ＋(量⼦補正)2

パラメータ

計算可能︕

Higgs 粒⼦

24/20Introduction• Λ を模型の適⽤上限（UV cutoff）とすれば,(量⼦補正)2 ∝ Λ! .
• 標準模型は重⼒を含まない.
Λ ≲ 10"# GeV （Planck スケール）

25/20Introduction• 代⼊すると,125 !

不⾃然＝ 古典質量 !
＋100000000000000000000000000000000000000.

階層性問題

26/20Introduction• 質量（の 2 乗）の量⼦補正（by SM）
=
質量補正

+
ヒッグス場

=+
ゲージ場

トップクォーク

Λ"9𝑔" + 3𝑔'""6𝜆+−6𝑦(16𝜋 "4Ø ただし, Λ は UV cutoff, 𝜆, 𝑔, 𝑔` , 𝑦8 は結合定数.

27/20Introduction• ハドロンの中でパイ中間⼦は⾮常に軽い• 陽⼦・中性⼦は 1 GeV• パイ中間⼦は 140 MeV
なんで軽いの︖• カイラル対称性
クォークの質量がカイラル対称性がパイ中間⼦はない

⾃発的に破れ、(massless) NG boson

陽に破れ、(massive) pseudo NG boson

あると28/20フラックスコンパクト化
l Lagrangian の詳細

29/20フラックスコンパクト化• the detail of the Lagrangian30/20定数真空期待値を含む理論• The mass terms in Feynman gauge
1 !
ℒ-'- ⊃ − 𝐴. −𝒟𝒟 𝐴!.
2−𝜑A ! −𝒟𝒟 𝜑 ! + 𝑔𝑓 𝜑, 𝜑A /+𝑐̅!

1−𝒟𝒟 + 𝒟, 𝒟
2𝑐!

gauge field
scalar fieldghost field• The covariant derivatives
𝜕𝒟 !" = −𝑖𝑔𝑓 𝑧̅
0𝑖𝑔𝑓 𝑧̅
𝜕−𝑖𝑔𝑣

𝜕̅
0!"
𝑖𝑔𝑣 , 𝒟 = 𝑖𝑔𝑓𝑧
𝜕0−𝑖𝑔𝑓𝑧
𝜕̅𝑖𝑔𝑣

0−𝑖𝑔𝑣
𝜕̅

31/20定数真空期待値を含む理論• the creation and annihilation operators𝑖𝑎≡𝜕̅ + 𝑔𝑓𝑧 ,𝛼𝑎) ≡𝑖𝜕 − 𝑔𝑓𝑧̅
𝛼• their mode functions+2 𝑁 $/&#𝜉!,# =8 Θ( 𝑧 + 𝜁 𝐻!
!
$/'
2𝜋𝐿 2 𝑛!

2𝜋 𝑁

Im 𝑧 + 𝜁 +()*+/Θ( 𝑧 + 𝜁≡𝑒!
/!0 1 23 456 5 5( 570 1 89 456
1𝑎𝜉-,/ = 0,𝜉;,/ =1𝑛!

𝑎<;𝜉-,/𝑗+𝑎𝑁

23 456 5'/5(132/20

定数真空期待値を含む理論• Degenerate Perturbation Theory• There is degeneracy.
2𝑔𝑓𝑛# E*= B*> C#= 2𝑔𝑓 𝑛$ + 1

2𝑔𝑓 ⋅ 0 = 4𝜋 $ 0$ + 0$

• the secular equation• We find the effect of the constant VEVwith the first-order perturbation energy.

33/20定数真空期待値を含む理論• degeneracy****

𝐻* 𝜓%,, = 𝛼 𝑛 + 1 𝜓%,, ,𝐻* 𝜓",, = 𝛼 𝑛 + 1 𝜓",,• the secular equation"

1, 𝑛 𝑉 1, 𝑛 − 𝐸;
2, 𝑛 𝑉 1, 𝑛1, 𝑛 𝑉 2, 𝑛2, 𝑛 𝑉 2, 𝑛"− 𝐸;

• The degeneracy is resolved if 𝐸i7 ≠ 0.

=0

34/20定数真空期待値を含む理論• the Schwinger representation
𝑑!𝑝" + 𝛼 𝑛 + 1 + 𝑔" 𝑣 "𝑉, 𝑣 ≡ T Uln𝑝2𝜋 !
,=−𝛼"-U"
16𝜋 *, 0 , 1/3./𝑑𝑦 𝑒𝑦# 𝑒1 − 1diverges at 𝑦 = 0• the integral representation of the Hurwitz 𝜁 function@𝑎!? 𝑎"!? 𝑠𝑎!?!"1𝑒 !(A11 1 𝑦o 𝑑𝑦 "!? A𝜁 𝑠, 𝑎 =+++− + −2𝑠−112
Γ 𝑠 𝑦𝑒 − 1 𝑦 2 12

• 𝑠 = −2 + 𝜖, 𝜖 ≪ 1work as the regulators

35/20定数真空期待値を含む理論• the regularized 𝑉[ 𝑣𝑉-./,! 𝑣
𝛼'=−I𝜁 $,0'32𝜋
1 𝑔' 𝑣 '+2𝛼'𝑔' 𝑣 '1 𝑔' 𝑣 '𝑔' 𝑣 '−2,−2ln+1𝛼12 𝛼
𝛼𝑔' 𝑣 ' 1 𝑔' 𝑣 'ln−𝛼9𝛼1𝑔' 𝑣 '3ln−1 J𝛼dominate aroundthe origin

convex upward!

36/20定数真空期待値を含む理論• 𝑚) = 𝑔)𝑣 )/2𝑔' 𝑣 ' ' 9𝜁 3𝑉BCD,- =−1 ≥02304𝜋 '𝜋')
• 𝑚q,r= 4𝜋 ) 𝑙 ) + 𝑚) + 𝑔)𝑣 ))/'𝑔' 𝑣 ' )/'1
𝑉BCD,E,F = −x '𝐾) 𝑔𝑣 𝑟 ' + 𝑠 ')'𝜋𝑟 +𝑠H,?I-𝑔' 𝑣 ' ) 9𝜁 3+−14608𝜋 )𝜋'• 𝐾# 𝑧 is the modified Bessel function of the second kind.

37/20Work in Progress• 現在は, フェルミオンを含む理論を解析中.
Ø トーラス並進不変ではない積分が現れる.
#

9 𝑑 $ 𝑥 𝜉*,R 𝜉S,R𝑛, 𝑚 = 0,1,2,3 …

Q

ただし, 𝜉i,} は以下を満たすモード関数.
;

−𝑖2𝑔𝑓

𝜕̅ + 𝑔𝑓𝑧 𝜉-,/ = 0,𝜉;,/ =1𝑛!

−𝑖2𝑔𝑓

Ø ゲージ場の質量の計算にも関与する.

𝜕 − 𝑔𝑓𝑧̅𝜉-,/