マクロ及びミクロ経 済学
解答 例

問題Ⅰの解答 例
１．（１）若 いときの 老後の予算制 約式より ，貯蓄 s を消去し，生涯 にわたる
予算制約式は ，c1（２）c2
1 r

YTU (c1 , c2 ) c1c2

最 大化

生涯のわたる 予算制約 式

c2

c1

1 r

YT

以下の２つの 連立方程 式を解く．

解は， c1*（３）①

MRS 1 r ，すなわ ち，

②c1

c2
1 r

Y T、 c2*2

Y

c2
c1

1 r ，あるい は， c1c2
1 r

T

(1 r )(Y T )2

図は 省略（通 常の図で，予 算線と無 差別曲線を描 き最適点 を図示）

２．（１）若 いときの 老後の予算制 約式より ，貯蓄 ( s b ) を消去し， Tb を用いると，生涯 にわたる 予算制約式は ，c1（２）

最大 化

c21 r

YU (c1 , c2 ) c1c2

T

生涯のわたる予 算制約式

１と同じ問題 なので， 解は， cˆ1（３）YT2、 cˆ2c1c21 r

YT(1 r )(Y T )2

図は 省略（通 常の図で、予 算線と無 差別曲線を描 き最適点 を図示）

３．上記の１ と２の結 果より，方法 １（課税 ）と方法２（ 公債発行 ）の最適消費計画は同じ である． この結果から ，１期に 公債発行によ る増税を 回避する政策を行っても ，２期 に 増税となるの で，１ 期 の消費は増加 しない ．したがって，国民所得は増 加しない ．ケインズの 減税政策 は有効でない ．

問題 II．
1．
(1) それぞれの需要曲線に = 6を代入すると，ピーク時の需要は 10，オフピーク時の需要は 2 となる．

(2) それぞれの需要曲線と供給曲線を連立させて価格について解くと，ピーク時の価格は 8，オフピーク時の価格は 4 となる．
(3) 下の図の青く塗られた箇所が価格差別を行うことで増加する社会的余剰になる．
面積を計算すると，社会的余剰は 8 だけ増えることがわかる．
価格
供給曲線
864

ピーク時の需要オフピーク時の需要
24108需要量

2．
(1) 効用最大化問題max数はそれぞれ，=((),)(. .∑,)，=(()

= を解くと，財 1 と財 2 の需要関)()となる．

(2) スルツキー方程式は，財の価格変化によって生じる需要の変化を代替効果と所得効果に分解したものである．(1)より，財 1 の需要は消費者の所得水準に依存しない
ことから，財 1 に関する所得効果はゼロである．したがって，財 2 の価格上昇に伴う財1 の需要の変化は，代替効果に等しくなる．

((3) 企業 1 と企業 2 の利潤はそれぞれ，企業 1 の最適反応関数は
()

=+()

())()

(，())(，企業 2 の最適反応関数はとなる．これらの式を解くと，財 1 と財 2 のナッシュ均衡価格はともにことが分かる．
(4) 企 業 2 の 最 適 反 応 関 数 を>について解くと，=−()(と表せる．
=))+であるとなる．

> 0より，企業 2 の最適反応関数の傾きは企業 1 のそれよりも大きく，また切片は負であるため，下図のように，企業 2 の最適反応関数は企業 1 の最適反応関数を下から交わることが分かる．したがって，どのような またはが与えられたとしても，(3)で得られた均衡価格が実現することから，(3)のナッシュ均衡は安定的である．

企業 2 の最適反応関数

企業 1 の最適反応関数()()

社会経済学（政治経済学）
出題の趣旨・解答例

問題Ⅰ(出題の趣旨)
資本主義経済における自由主義と帝国主義の段階区分について，両者の違いと移行理由を問う問題. 主要産業（軽工業・綿工業／重工業・鉄鋼業）,生産技術（固定資本・収穫逓増・必要資本の小／大），競争（多数競合，価格競争／価格協定・合併買収，寡占・独占），支配的資本（産業資本／金融資本），国家政策（自由放任，自由貿易／社会政策，関税・資本輸出政策）といった観点で両者を明確に比較でき，そのうち特に，主要産業や生産技術の変遷にその移行の原因を見ることができるかどうかがポイントである.
問題Ⅱ（出題の趣旨）
資本主義経済における地代の基本的な形態である「差額地代」の二つの形態について説明させた上で，地代の社会経済学的な意味について論じさせる問題．
１．
「差額地代第Ⅰ形態」と「差額地代第Ⅱ形態」については，受験者の理解の程度を明確に測るために，数値例を用いて解答することを求めた．
２．
「地代が発生することの意味」を論じさせることを通して，受験者の論理的能力をみる．叙述の内容については，地代に関する叙述であれば，資本主義的な階級関係や自然力の処理方法など，社会経済学において一般的に指摘されるもの以外の見解も許容する．

経済思想
出題の趣旨・解答例（問題本文は記載不要．出題の趣旨は２００～４００字程度で記載してください．
）
問題Ⅰフランソワ・ケネーを代表者とする重農学派・重農主義に関する基本的な知識を問う問題である。学派の創立者であるケネーは，コルベール主義と呼ばれる重商主義政策によってフランス経済が疲弊していた事態を背景に，18 世紀中頃に独創的な経済思想を展開した。その根本思想は，人間にとって最も有利な自然的秩序が存在することを認める自然法思想と，農業が富の唯一の源泉であるとする考え方にあった。これらの思想に基づいて，政策論としては，穀物取引の自由化と農民への課税の軽減を主張した。また，経済分析上の貢献として，経済循環の仕組みを先駆的に論じた「経済表」があった。こうしたケネーの学説を継承する一団が，フィジオクラートと呼ばれることになる。本設問においては，経済思想史上の重要な学派であるフィジオクラートについて，その学説の特徴を理解しているかどうかが，問われている。

問題Ⅱ
ジョン・ケネス・ガルブレイスは、20 世紀半ばを代表する制度経済学者であり、政策決定において社会的な影響力を持った。その思想は、古典派や新古典派のような主流の経済学の非現実性とそれから導かれる政策的含意を批判して、テクノクラート支配に対抗する勢力を社会的に育成することを目指すものであった。とりわけ、消費行動が「依存効果」を通じて、支配的な生産部門の意図に左右されることを問題視して、消費主体の自律性はいかにして可能かという問題を提起した点で、当時の消費者運動に大きな影響を与えている。本設問においては、かかる基本的な経済思想を理解しているかどうか、またその思想をどのように評価するかということが問われている。

統計学
問題Ⅰ解答
１．

２．
３．平均値４．分散を満たすは，
ただし，

．

ただし，

統計学
問題 II.

1. β0 と β1 の任意の推定量を β̃0 と β̃1 とし，残差を ũi = yi − β̃0 − β̃1 xi とする．残差 2 乗∑ 2 ∑和 Q(β̃0 , β̃1 ) =ũi = (yi − β̃0 − β̃1 xi )2 を最小にする β̃0 と β̃1 を求める．β̃0 と β̃1で微分すると，∑∂Q(β̃0 , β̃1 )=2(yi − β̃0 − β̃1 xi )(−1)∂ β̃0∑∂Q(β̃0 , β̃1 )=2(yi − β̃0 − β̃1 xi )(−xi )∂ β̃1となる．最小化のための必要条件は∂Q(β̃0 , β̃1 )∂Q(β̃0 , β̃1 )= 0，= 0 であり，その解∂ β̃0∂ β̃1を β̂0 と β̂1 とすると，∑(yi − β̂0 − β̂1 xi )(−1) = 0∑2(yi − β̂0 − β̂1 xi )(−xi ) = 02となる．これを整理すると，正規方程式
nβ̂ + β̂ ∑ x = ∑ y01ii
β̂ ∑ x + β̂ ∑ x2 = ∑ x y0i

1(2)i iiを得る．

1 x1
.
.. 
.
2. X = .  = (ι, x) とおく．このとき，
.
1 xn′

XX=( )
ι′x′((ι, x) =ι′ ι

ι′ x)x′ ι x ′ x(=n∑xi∑∑xi)

x2iとなる．また，() ( ∑ )( )ι′ yyiι′′
y== ∑Xy=′′xxyxi yiとなる．(2) は(∑ )( ) ( ∑ )nxi
β̂0yi= ∑∑∑ 2xixiβ̂1xi yiと書くことができるので，(2) はX ′ X β̂ = X ′ y(3)となる．

1

3. (3) の左から逆行列 (X ′ X)−1 をかけると，(X ′ X)−1 X ′ X β̂ = (X ′ X)−1 X ′ yとなるので，β̂ = (X ′ X)−1 X ′ yとなる．

4.

()()
a22 −a12
a11 a121
A A=
a11 a22 − a12 a21 −a21 a11
a21 a22() ()a11 a22 − a12 a210
1 0
1=== I2
a11 a22 − a12 a210
a11 a22 − a12 a210 1−1となるので，(4) は A の逆行列である．

5. (4) より，(′−1(X X)=n∑xi( ∑∑ )−1xix2
1∑ 2= ∑ 2∑i∑ 2n xi − ( xi )− xixi−∑xi)nとなる．よって，( )(∑ )−1 ( ∑ )β̂0nxiyi′′−1β̂ == (X X) X y = ∑∑ 2∑
β̂1xixixi yi( ∑)( ∑ )∑x2 − xiyi
1
∑ 2
= ∑ 2
∑i
∑
n xi − ( xi )− xi
nxi yi(∑ ∑)∑ ∑2xiyi − xi xi yi1∑
= ∑ 2
∑ ∑∑
n xi − ( xi )2 − xi yi + n xi yi( ∑)∑ȳ x2i − x̄ xi yi
1=∑ 2∑
xi − nx̄2xi yi − nx̄ȳとなる．ここで，∑∑xi yi − nx̄ȳ(xi − x̄)(yi − ȳ)∑β̂1 = ∑ 2=xi − nx̄2(xi − x̄)2
∑ 2
∑
∑
∑
ȳ xi − x̄ xi yiȳ( x2i − nx̄2 ) − x̄( xi yi − nx̄ȳ)
∑ 2
∑ 2
β̂0 =
== ȳ − β̂1 x̄
xi − nx̄2xi − nx̄2となる．

6. u = (u1 , · · · , un )′ とおくと，単回帰モデル (1) は y = Xβ + u と書くことができる．このとき，最小 2 乗推定量 β̂ はβ̂ = (X ′ X)−1 X ′ y = (X ′ X)−1 X ′ (Xβ + u) = β + (X ′ X)−1 X ′ uとなる．仮定 2 より E(u) = 0 となる．よって，′′′′−1−1E(β̂) = E(β + (X X) X u) = β + (X X) X E(u) = βとなる．

27. 仮定 2 より V(u) = E(uu′ ) = σ 2 I n となる．E(β̂) = β なので，′′V(β̂) = E[(β̂ − E(β̂))(β̂ − E(β̂)) ] = E[(β̂ − β)(β̂ − β) ]= E[(X ′ X)−1 X ′ uu′ X(X ′ X)−1 ] = (X ′ X)−1 X ′ E(uu′ )X(X ′ X)−1= (X ′ X)−1 X ′ σ 2 I n X(X ′ X)−1 = σ 2 (X ′ X)−1となる．

3

経営学
出題の趣旨・解答例

問題Ⅰ
出題の趣旨は，組織のコンティンジェンシー理論の問題を通して，経営学における組織構造に関する基本的な知識の習得度を確認することである。解答には，（少なくとも）次の二点についての論述と，それらを踏まえたうえで，組織のコンティンジェンシー理論の代表的知見について具体的に言及した記述が含まれることを期待している。第一に，組織のコンティンジェンシー理論の経営学説史上の位置づけに関する論述（すなわち，組織のコンティンジェンシー理論は，唯一最善の組織構造が存在するというワン・ベスト・ウェイ・アプローチ
ではなく，状況に応じて有効な組織構造は異なるというコンティンジェンシー・アプローチにもとづいていること）である。第二に，組織のコンティンジ
ェンシー理論における変数間の基本的な関係に関する論述（すなわち，環境や技術などの状況変数と組織構造や管理システムといった組織特性変数が適合することで，組織成果が高まること）である。

問題Ⅱ出題の趣旨は，満足化原理（および最適化原理）の問題を通して，経営学における合理的意思決定に関する基本的な知識の習得度を確認することである。解答には，（少なくとも）次の二点についての論述が含まれることを期待している。
第一に，満足化原理の経営学説史上の位置づけに関する論述（すなわち，まず，現実的に人間の思考能力は限られているため，完全な合理性にもとづく最適化原理（より具体的には，事前に全ての代替案とその結果を挙げ，それらを順序づけていくことで最良の選択を志向するモデル）は実践的とはいえないこと，次に，このような最適化モデルの限界を乗り越えるべく，限定された合理性にもとづく満足化原理の定式化が試みられたこと）である。第二に，満足化原理の具体的内容に関する論述（すなわち，満足化原理では，人間は自らの希求水準に達するまで代替案を探索しつづけるとされるが，代替案の探索の過程において報酬の期待値や希求水準の見直しが行われるとされること）である。

オペレーションズ・リサーチ
解答例

問題Ⅰ．以下の二つの問いに答えなさい．
1. 次の線形計画問題を単体法で解きなさい．

問題(P) min

5 x14 x2x3

subject to :x1x2x345 x13 x2

6 x3

15x1 , x 2 , x30

2. 問題(P) の目的関数の x1 の係数を 5 から 5 t1 ， x 2 の係数を 4 から4 t 2 に変更した問題(P1)を考える. 1. で求めた問題(P)の最適解が，問題(P1)においても最適であるためには，t1 と t 2 がどのような条件をみたせばよ
いか答えよ．

[解答]
1. スラック変数 x 4 , x5 を導入し，問題(P)を以下のように等式標準形に変換する．
(P) min

5 x1

4 x2x3x1x2x35 x13x 26 x3

subject to :x4x1 , x 2 , x3 , x 4 , x54x50

実行可能基底解 ( x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 )z5 x14 x2x44 x1x515 5 x1 3 x 2x215(0,0,0,4,15) を基に，問題(P)の辞書を作成する．
x3x36 x3

一行目(目的関数に関する行)の非基底変数(右辺の変数)の係数が負のものがあるので，現在の解は最適でない．係数最小の x1 を 0 から 3 に増加させ，辞書を更新する．
zx4x115 x5x25 x31x5513x552x253x251x356x351

一行目(目的関数に関する行)の非基底変数(右辺の変数)の係数が負のものがあるので，現在の解は最適でない．係数最小の x 2 を 0 から 5/2 に増加させ，辞書を更新する．

zx2x135 159x5x4x32 2225 151x5x4x32 2223 133x5x4x32 222

一行目(目的関数に関する行)の非基底変数(右辺の変数)の係数がすべて非負なので，現在の解は最適である．最適解は ( x1 , x2 , x3 )3 535( , ,0) で，最適値は2 22である．
2.

x1bT4 15 を用いて，問題(P)は以下のように表現できる．

x2x3x4x5 , c T

1 1 1 1 0,5 3 6 0 1xT(P) min c T x
subject to :Ax b, x5

41 0 0 ,A0

最適解において基底変数は x1 , x 2 である．基底行列を B

1 1，対応する目的5 3

関数の係数ベクトルを c B

T54 ，非基底行列を N

目 的 関 数 の 係 数 ベ ク ト ル を cNc' B

T

5 t1

T

1 1 0，対応する
6 0 1

1 0 0 と 表 す ． cBT

54 を4 t 2 に変更した問題が問題(P1)である．1.で求めた解が問題(P1)においても最適であるということは，最適性の条件 c NTり立つということである．すなわち，3t1 t 25, t1 t 29, 3t1 5 t 2T

c' B B 1 N0 が成1 である．

問題Ⅱ
1. 満期 T 年の割引債価格 d (T ) をとし，d (1)0.98, d (2)0.96, d (3)0.92, d (4)0.88, d (5)0.84とする．このとき満期 3 年，額面 100 円，クーポン（1 年 1 回） 5 円の利付き債価格を求めよ．また 4 年先 1 年物先渡し利回りを求めよ．
2. 2 銘柄の株式と無リスク資産からなる完全な証券市場を考える．株式 A, B のリターンをA,B ，リスクをA,B とし，収益率の相関係数をク金利を r とする．要求リターンをとする．また無リスとする最小分散ポートフォリオを求めるための最適化問題を示せ． また
A

10%,

B5%,

A

0.3,

B

0.1,0.5, r4%,10%のとき最小分散ポートフォリオを示せ．
3. 現在の株価を S とし，1 期間後に d 倍に減少するか， u 倍に上昇する 1 期間 2 項モ
デルを考える．また，無リスク金利を r とし，株価が減少した場合のオプションペイオフを Cd ，上昇した場合のペイオフを Cu とする．このオプションを複製するポートフォリオを示し，オプションプレミアムを求めよ．続いて，リスク中立確率を導出せよ．

[解答]
1.
0.98*5+0.96*5+0.92*105=106.3
0.88/0.84-1=4.7619%
2. 株式 A,B への投資比率を w A , wB とし，無リスク資産への投資比率を w0 とする．また，株式 A,B の収益率を確率変数 R A , RB で表すと，ポートフォリオのリターンは

E[ w A R A

w B RBw0 r ]AwA

BwBrw0

また分散はV [wA RAwB R B++ 2ρ

++ 2ρ

w0 r ]とできる．よって最適化問題は以下のようになる．
目的関数maxw A , wB w0

制約式

AwAwA

BwBwB

rw0w0

1

例えば，制約式から， w0を消去し，目的関数に w A を代入して， wB について最小化
すると， wA

5 7 , wB

12 7 , w0

10 7 を得る．

3．株式への投資単位を x とし，無リスク資産への投資額を y とする．オプションペイオフを複製するとき，
uSx(1 r ) y

CudSx(1 r ) yCdが成立する．この連立方程式を x,y について解くとxy

Cu C d(u d ) S
dCu uC d(1 r )(u d )を得る．よって，オプションプレミアムはSxy(1 rd )C u (1 r u )C d(1 r )(u d )となる．
また，オプションプレミアムを変形すると，Sxと表せるので，qy11 r d
Cu
1 r u d

1

1 r d
Cdu d

1 r dがリスク中立確率に他ならない．ただし，0 q 1 がu d必要であり，すなわち d

1 ru が必要条件である．