指向性を持つ無限長線音源の幾何学的距離減衰特性*○藤本卓也（四元音響）
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はじめに非干渉線音源の伝搬特性は、無指向性の場
合については古くに検討され[1]、多くの文献等で引用されているが、指向性を持つ場合は、例えば鉄道騒音の予測手法 [2] などで特定の指向性に関する検討が行われているものの、一般化された伝搬式としては示されていない。
本報では、線音源が軸対称な任意の指向性を持つ場合について、インテンシティおよび音圧の予測式を定式化すると共に、単一指向性を持つ無限長音源について、指向性強度の影響を検討した結果を報告する。

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指向性による音響パワ配分

便宜上、鉛直線音源を仮定し、音源要素 dlから仰角θ方向への放射指向特性が区間(−π/2,π/2)で関数 D(θ ) ≥ 0 により表されるとする。
dl を中心に Fig. 1 のように受音球面をとった場合、球面上の微小面 dS の原点からの見込
み角は cosθ dθ dφで与えられる。dl から dS 方向に配分される単位立体角あたりの音響パワを AWdl D(θ )（ただし A は未知の定数、W は音源の単位長さあたりの放射パワ）で表すと、dS に入射するパワは AWdl D(θ )cosθ dθ dφで、これを全球面で積分した値が、dl の放射パワWdl と等しくなる関係から、定数 A が次式により定められる。
π /2A =  2π D (θ ) cos θ dθ −π / 2


−1(1)

Fig. 2 のように受音点 P を x 軸上の x = r にとり、P から俯角 (θ, θ+dθ )にある音源要素 dlを考えた場合、P を含む x 軸と直交する微小面 dSx に dl から入射するパワ dWin,x は、dl から dSx を見込む立体角を dΩx として、dWin, x = AWdlD(θ )dΩ x(2)
dΩx = dSx (cos3θ )/r2、dl=(r/cos2θ )dθ を代入し、[]

dWin, x = AW (1 / r ) D(θ ) cos θ dθ dS x

(3)

dl による P における x 方向（垂直方向）のイ
ンテンシティ成分は dWin,x / dSx であり、無限長線音源によるインテンシティ Inorm は、I norm = AW (1 / r ) π /2−π / 2D (θ ) cosθ dθ(4)となり、式(1)を代入すると次式を得る。
WI norm =(5)2πr式(5)は D(θ )を含まず、音源軸と垂直なインテンシティ成分は指向性に依らず、「従来の式」と一致する。音源の単位長さあたりのパワレ
ベルを Lw、インテンシティレベルの垂直成分
を LI,,n として式(5)をレベル表示すると、LI , n = Lw − 8 − 10 log10 r(6)
一方、P を含む z 軸と直交する微小面 dSz にdl から入射するパワ dWin,z は、dl から dSz の見込み角が dSz sinθ (cos2θ )/r2 であることより、[]dWin, z = AW (1 / r ) D(θ )sin θ dθ dS z(7)となり、無限長線音源による z 方向（軸方向）のインテンシティ Iaxis は、次式となる。

zReceiving surface

Line source

インテンシティ

I axis = AW (1 / r ) π /2−π / 2D(θ )sinθ dθ(8)dSzdθθ

Element dlφydφPrθxdθx

dlFig. 1 Geometry of line source element
and receiving surface.
*Fig. 2 Line source element dl on the z-axis andreceiver P on the x-axis (x = r).

Geometrical attenuation from a directional line source of infinite length, by FUJIMOTO, Takuya(Yotsumoto Acousitic Design Inc.).

D(θ )が偶関数の場合、式(8)における非積分関数 D(θ )sinθ は奇関数で、 (−π/2, π/2)の積分により Iaxis =0 となる。一方 D(θ )が偶関数でない場合、その奇関数成分 [D(θ )−D(−θ ) ]/2 が影響して Iaxis は正負いずれかの値を持ち、P において軸方向にもエネルギ流が生じる。このときインテンシティベクトルは音源軸と直交せず、その大きさは式(5)の値を超過する。
なお、インテンシティレベルの距離減衰は、垂直方向、軸方向ともに−3dB/DD である。

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音圧レベル

Fig. 2 において音源要素 dl による受音点 Pでのエネルギ密度 dE は次式で与えられる。
1 AWdlD(θ ) AW
dE = ⋅=D(θ )(9)c (r / cos θ )2
cr
無限長線音源からのエネルギ密度 E は、
AW π / 2
E=D(θ )dθ(10)
cr −π / 2
平均２乗音圧 p2=ρc2E、p02/ (ρc) ≈ 10-12（c：音速、ρ：空気密度、p0：音圧基準値）を用いてレベル表示すると、P での音圧レベル Lp は、
 A π /2
L p = Lw + 10 log10  D(θ )dθ π/2−r= LI , n + ΔL,(11)π /2D(θ )dθ  ΔL ≡ 10 log10  π / 2−π / 2D(θ ) cosθ dθ  −π / 2ΔL は音圧レベル Lp の垂直方向インテンシ
ティレベル LI,n に対するレベル差であり、D(θ )に依存する定数であって常に正または 0 の値をとる。無限長音源に対する音圧レベルの距離減衰も常に−3dB/DD である。
case1： D(θ ) = (1 − a ) + a cosn θlinear

linear

-24-18-12-6dB

a=0.25-24-18-12-6dB

a=0.5

example of directivity

dBa=0.75

linear

-24-18-12-6dB

a=1a=0.25

32a=0.51a=0.75

0a=1110n100

1,000linear-24-18-12-6dB

a=0linear-24-18-12-6(0 ≤ a ≤ 1)
linear

-24-18-12-6dB

a=0.25

example of directivitydB

a=0.75-24-18-12-6a=1━：n=0 ━:n=1 ━:n=2 ━:n=10 ━:n=100

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a=04

ΔL (dB)

参考文献[1] Z.Maekawa, Appl. Acoust., 3, 225-238, 1970.
[2] 森藤他, 騒音制御, Vo.20, No.3, 32-37, 1996.
case2： D(θ ) = cos n {(θ / 2 − aπ / 4)}━：n=0 ━:n=1 ━:n=2 ━:n=10 ━:n=100

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有限長音源について

有限長音源に対しては、式(4)、式(8)、式(10)の積分範囲を、受音点 P からみた音源の俯角範囲に置換すればよい。

(0 ≤ a ≤ 1)
linear

-24-18-12-66a=04

ΔL (dB)dB

linear

単一指向性の指向性強度の影響

Fig. 3 に単一指向性を持ついくつかの D(θ )に関するΔL の計算結果を示す。各 D(θ )は次数 n の増加に伴い指向性が鋭くなる特徴を持つ。なお Fig. 3 中の指向性パターンは上半分を線形表示、下半分を dB 表示している。
case1 は垂直方向の単一指向性を表す cosnの項と無指向性との混合型で、係数 a により混合比が変化する。a=0 は常に無指向性で、ΔL = 2 である（Lp=Lw−6−10log10 r）。a=1 は指向性成分のみで、n の増加に伴いΔL は 0 に収束する。0 < a < 1 では常に 0 < ΔL < 2 で、n の増加と共に無指向性成分の影響が相対的に大きくなり、ΔL は 2 に収束する。
case2 は係数 a によって指向性が強くなる
方向θ 0 が変化する（θ 0=aπ / 2）
。a=1 では音源軸方向に指向性を持ち、n ≥ 1 でΔL は単調増加し、 n = ∞ で発散する。a<1 の場合 n = ∞ でΔL は−10log10(cosθ 0)に収束する。その場合、D(θ )=δ(θ −θ 0)（δはディラックのデルタ関数）で表現でき、音圧レベルは最大インテンシティレベルと一致する。θ 0=0 のときインテンシ
ティベクトルは音源軸と直交し、ΔL=0 となる。
あらゆる D(θ )の中でΔL=0 となるのはこのケース（D(θ ) =δ(θ )）のみである。

a=0.25

3
2

a=0.5

1

a=0.75a=10110n100

1,000Fig. 3 Examples of uni-directional function D(θ ) that directivity becomes stronger
with its index n, and calculations of ΔL as a function of index n of each D(θ ).

正誤表頁箇所

2式(9)

誤dE 

1 AWdlD  AW
D c r / cos  2cr

正dE 

1 AWdlD  AW
D  dc r / cos  2cr