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沼津工業高等専門学校研究報告
第 53 号，2019 年 1 月⣼஌࿴ࡢබᘧᑟฟࡢ⡆༢໬࡜ㅖᛶ㉁
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Deriving the Formula of the Sum of Natural Numbers Easier and Their Natures
Kosuke SUGIYAMA*1, Yoshiki ENDOH*2
Abstract: The sum of the ݉-th powers of the natural numbers from ͳ to ݊ can be expressed݂௠ ሺ݊ሻ, polynomial of ݊. When we derive ݂௠ ሺ݊ሻ, there is a well-known method that taking sum ofidentity. But the more ݉ increase, the more this method be complicate and needs time because
it uses all identity from Ͳ to ݉ െ ͳ. This article shows that ݂௠ ሺ݊ሻ can be derived easier thanmentioned method by using integral or sequences and considers to several natures of ݂௠ ሺ݊ሻ.

Key Words:

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沼津工業高等専門学校研究報告ሺ݉଴ ൅ ʹሻǨ݆݆ ൌ݉଴ ൅ ʹ ௠బାଶ ௝ ݉଴ ൅ ʹ ݆Ǩ ሺ݉଴ ൅ ʹ െ ݆ሻǨ݀ ͳ ଷ ͳ ଶ ͳ݀ͳ݂ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ൬ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ݔ‬൰ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬൅݀‫͵ ݔ‬݀‫ݔ‬ʹ͸͸ͳൌ ʹ݂ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ͸݀ ͳ ସ ͳ ଷ ͳ ଶ͵ͳ݂݀ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ൬ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൰ ൌ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬݀‫ ݔ‬ͶʹͶʹʹ݀‫ ݔ‬ଷൌ ͵݂ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ Ͳ

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第 53 号

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累乗和の公式導出の簡単化と諸性質௠బͳ݂௠బାଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌቐሺ‫ ݔ‬൅ ͳሻ௠బାଶ െ ͳ െ ෍ ௠బାଶ௝ ή ݂௝ ሺ‫ݔ‬ሻቑ݉଴ ൅ ʹ

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60

沼津工業高等専門学校研究報告ஶͳ݁௫ െ ͳ ͳͳൌൌ ൭෍ ‫ ݔ‬௡ െ ͳ൱
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累乗和の公式導出の簡単化と諸性質‫ ݁ݔ‬௫ ݁ ௡௫ െ ͳ
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62

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第 53 号

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累乗和の公式導出の簡単化と諸性質‫ ݐ‬ൌ െ‫ ݏ‬െ ͳ࡜⨨᥮ࡍࡿ࡜㸪䠕䠊ཧ⪃ᩥ⊩[1] ኱ᵳ⩏ᙪヂ㸪ᩘᏛ኱බᘧ㞟㸪p.1076㸪୸ၿᰴᘧ఍♫㸪݀‫ ݐ‬ൌ െ݀‫ݏ‬㸪‫ݐ‬ǣ Ͳ ՜ െ‫ ݔ‬െ ͳ ࡢ࡜ࡁ‫ݏ‬ǣ െͳ ՜ ‫ݔ‬(1986)㸬

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p.98㸪
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(1977)㸬