生命エネルギーモデルを用いた死亡率予測
南優希
早稲田大学大学院基幹理工学研究科
数学応用数理専攻修士 1 年
清水 泰隆 (早稲田大学) との共同研究

2019 年 10 月 26 日
研究集会「Demographic Change」@早稲田大学

南優希 (早大院基幹研)

生命エネルギーモデルを用いた死亡率予測

2019/10/26

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目次◦ 生命エネルギーモデルとは◦ 非斉次的拡散による SEM◦ モデル設定とパラメータ推定◦ 死亡率予測◦ まとめと今後の課題

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モデル考案の背景
現在，死亡率予測モデルとしては，Lee-Carter モデルが国際的にも標準的な方法とされている．

Lee-Carter モデル (Lee and Carter, [1])
年齢 x = 1, ..., K ，時刻 t = 1, ..., T としたときの中央死亡率 mx,t に対してlog mx,t = αx + βx κt + ϵx,t .

αx , βx , κt ：パラメータ，ϵx,t ：誤差項
Lee-Carter モデルの問題点
パラメータの解釈がしにくい
推定したパラメータが一致性を満たさない (Leng and Peng, [2])生まれ年毎の累積死亡率の追跡が面倒である

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生命エネルギーモデル (Survival Energy Model，SEM)
生命エネルギーモデル (伊藤，清水 [3])
人間に生命エネルギー (Survival Energy，SE) なるものが存在すると仮定
し，誕生から死亡までの SE の推移を，コホート c 毎に確率過程
Xc = (Xtc )t≥0 によってモデリングする．
コホート c は生まれ年を意味する
初期エネルギー X0c = xc はコホートごとに等しい

死亡時刻と死亡率関数
死亡時刻 : τ c := inf{t > 0 : Xtc < 0}死亡率関数 : qc (t) := P(τ c ≤ t),

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0200400

SE600

800

1000

生命エネルギーのイメージ図

020406080100

Time

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Toy Model
ドリフト付きブラウン運動による SEM
Xtc := xc + µc t + σc Wt
xc > 0：初期エネルギーµc ∈ R：ドリフト係数，σc > 0：拡散係数
Wt ：標準ブラウン運動(qc (t) = 1 − Φxc + µc t
√
σc t)
+e

Φ：標準正規分布の分布関数
平均寿命：E[τ c ] =終身保険：Ax =∫∞∫∞南優希 (早大院基幹研)

00 [1 − qc (t)]dt =qc′ (t)e −δt 1−qdtc (t)σc{(Φ−xc + µc t√
σc txc|µc |(µc < 0)− 2µc2xc),t>0∞ (µc ≥ 0)

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非斉次的拡散過程による SEM

非斉次的拡散過程 SEM
時刻 t ≥ 0 における生命エネルギー X(θc ) = (Xtc )t≥0 が，∫ t
Xtc := xc +∫ tU(s, µc )ds +0

V (s, σc )dWs0という確率微分方程式に従う．

U(s, µc ), V (s, σc ) : R+ × R → R
θc = (xc , µc , σc )南優希 (早大院基幹研)

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非斉次的拡散過程 SEM における死亡率関数
定理１ (Molini et al., [4])M(t, µc ) =∫t

10 U(s, µc )ds, S(t, σc ) = 2M(t, µc )≡ κc ,S(t, σc )∫t0 V

2 (s, σ )ds に対してc∀t ≥ 0の関係を仮定すると，

q(t, θc ) := P(τ c ≤ t|θc )()()
xc + M(t, µc )−xc + M(t, µc )
√
√
= 1−Φ
+ exp(−κc xc )Φ
2S(t, σc )2S(t, σc )パラメトリック族：PΘ = {q(t, θ)|θ ∈ Θ}, Θ ⊂ Rm
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条件付き経験累積死亡率
Human Motality Database [5] から男女合計の生命表を入手→コホート c 毎の死亡率データになるように加工
1.00.80.60.40.220406080100

Figure: スウェーデンの 1830 年生まれコホートの経験累積死亡率推移

幼少期，青年期における死亡率は不安定
高齢期にさしかかると死亡率が急激に増加
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非斉次的拡散 SEM のパラメトリックモデル
T > S > 0 として，S 歳まで生存した部分集団の SE 過程を考え，T 歳でパラメータが変化するとし，時間依存ドリフト係数として次の 3 つのケースを考える．
1

U(t, µc ) = αc2U(t, µc ) = αc + βc (t − T )γc 1l{t>T }3U(t, µc ) = αc + βc exp(γc (t − T ))1l{t>T }αc < 0, βc < 0, γc > 0 とする．
時間依存拡散係数は，κc < 0 として

V 2 (t, σc ) =南優希 (早大院基幹研)

2U(t, µc ),κc∀t ≥ 0.

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パラメータの推定
真の条件付死亡率：qc (t|S) := P(τ c ≤ t|τ c > S)/∑∑
経験条件付死亡率：qbc (t|S) := n1 ni=1 1l{S<τic ≤t} n1 ni=1 1l{τic >S}p

sup |qbc (t|S) − qc (t|S)| −→ 0, n → ∞ (Glivenko − Cantelli)t>0

パラメトリック族：

PΘ = {q(t, θ)|θ = (x, α, β, γ, κ) ∈ Θ}, Θ ⊂ R5：有界開集合
真値の存在を仮定：∃θ0 ∈ Θ s.t. q(t, θ0 ) = qc (t), a.e.
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パラメータの推定

最小二乗推定量 (LSE)
0 < t0 < t1 < ... < td に対して，
θbn := arg minθ∈Θ

ただし，q(t, θ|S) :=d∑|q(ti , θ|S) − qbc (ti |S)|2i=1

q(t,θ)−q(S,θ)
1−q(S,θ)変化点 T 以前で xc , αc , κc を，T 以降で βc , γc を推定

xc , αc , κc は識別性がないため，xc の値を固定

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LSE の一致性

定理２q(t, ·) は各 t に対して C 1 (Θ) 級であるとする．さらに，次の識別性条件を仮定する：
q(ti , θ|S) = q(ti , θ0 |S) for i = 1, 2, ..., d ⇒ θ = θ0 .
このとき，LSE θbn は弱一致性を持つ：
pθbn −→ θ0 , n → ∞.

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LSE の漸近正規性
定理３q(t, ·) は各 t に対して C 2 (Θ) 級であり，識別性があるとする．さらに，Θに凸性を仮定し，m = dim(Θ) とする．このとき，√n(θbn − θ0 ) −→ Rd−1 Qd · Nd (0, Σ), n → ∞dが成り立つ．ただし，Qd = (∂θ q(t1 , θ|S), ..., ∂θ q(td , θ|S)) ∈ Rm ⊗ Rd ,)( N∑∈ Rm ⊗ Rm ,Rd =∂θi ∂θj q(ti , θ|S)i=1

1≤i,j≤mΣ = (pc (ti ∧ tj |S) − pc (ti |S)pc (tj |S))1≤i,j≤d , pc (·) := 1 − qc (·).
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オランダにおける死亡率予測

1841 年生まれから 1870 年生まれの死亡率データを用いて，1880 年生まれ，1890 年生まれ，1900 年生まれの死亡率予測を行った．
130 年分の死亡率データのパラメータ推定
スタート年齢は S = 20 とし，変化点は T = 60 とする
初期エネルギーは xc = 1000 とする
制約条件として，αc < 0，βc < 0，γc > 0，κc < 0 とする

2

将来死亡率関数のパラメータ予測(非) 線形回帰によって予測

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15 / 37推定したパラメータの推移:case1-0.020

-14.2
-14.4

-0.025-14.6-14.8-0.030-15.0-0.035

-15.2
5

10

15202530(a) α = −15.373 exp(−0.0028758t)

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510

15202530(b) κ = −0.000633696t − 0.0182603

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16 / 37推定したパラメータの推移:case2-0.5

-6.0

-0.6

-6.5
-0.7

-7.0
-0.8-7.5-0.9-8.0-1.0-8.5-1.1-9.05

1015

2025305(a) α = −9.42654 exp(−0.016534t)

1015202530(b) β = −1.19305 exp(−0.0268324t)-0.00161.75-0.00171.70-0.0018
1.65-0.0019-0.0020

1.60-0.0021
1.55-0.00221.5051015202530(c) γ = 0.00877223t + 1.50324
南優希 (早大院基幹研)-0.002351015

202530(d) κ = −0.00229343 exp(−0.0126517t)

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17 / 37推定したパラメータの推移:case3-6.0-7.0-6.5-7.0-7.5-7.5-8.0-8.0-8.5-9.05

10152025305-8.5(a) α = −9.42654 exp(−0.016534t)

1015202530(b) β = −8.47987 exp(−0.00827468t)-0.00160.136-0.00170.134-0.0018-0.00190.132-0.00200.130-0.0021-0.0022

0.128
51015

202530(c) γ = 0.000312531t + 0.12736
南優希 (早大院基幹研)-0.002351015202530(d) κ = −0.00229343 exp(−0.0126517t)

生命エネルギーモデルを用いた死亡率予測2019/10/26

18 / 37推定死亡率関数と実データとの比較
1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2

204060801002012040(a) case16080100120(b) case2

1.00.80.60.40.2

20406080100120(c) case3

Figure: 1870 年生まれコホートの推定死亡率関数 (実線) と実データ (点線)
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19 / 37推定死亡率関数と実データとの比較

Table: 推定死亡率関数と実データとの誤差の二乗和の平均

ケース 1

ケース 2

ケース 3

0.427944

0.0220319

0.00671647

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死亡率予測の結果：10 年後
1.01.00.8

0.8

0.60.60.40.4

0.20.2204060801001202014040(a) case16080100120(b) case2

1.00.80.60.40.2

20406080100120(c) case3Figure: 1880 年生まれコホートの予測死亡率関数 (実線) と実データ (点線)
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死亡率予測の結果：20 年後
1.0

1.0

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.20.220406080

1001202014040(a) case16080100120(b) case2

1.00.80.6

0.40.220406080

100120(c) case3Figure: 1890 年生まれコホートの予測死亡率関数 (実線) と実データ (点線)
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2019/10/2622 / 37

死亡率予測の結果：30 年後
1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2

204060801001202014040(a) case16080100120(b) case2

1.00.80.60.40.2

20406080100120(c) case3Figure: 1900 年生まれコホートの予測死亡率関数 (実線) と実データ (点線)
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死亡率予測の結果

Table: 予測死亡率関数と実データとの誤差の二乗和

10 年後
20 年後
30 年後

南優希 (早大院基幹研)

ケース 1

ケース 2

ケース 3

0.330259
0.329853
0.256442

0.0433915
0.0822591
0.135588

0.0201326
0.0653867
0.125765

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スウェーデンにおける死亡率予測

1801 年生まれから 1830 年生まれの死亡率データを用いて，1840 年生まれ，1850 年生まれ，…，1900 年生まれの死亡率予測を行った．
130 年分の死亡率データのパラメータ推定
スタート年齢は S = 20 とし，変化点は T = 50 とする
初期エネルギーは xc = 1000 とする
制約条件として，αc < 0，βc < 0，γc > 0，κc < 0 とする

2

将来死亡率関数のパラメータ予測(非) 線形回帰によって予測

南優希 (早大院基幹研)

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25 / 37推定したパラメータの推移:case1-14.8-0.019-15.0-0.020-15.2-0.021-15.4-0.022-15.6-0.023-15.8-0.024
51015202530(a) α = −16.0218 exp(−0.00282317t)

南優希 (早大院基幹研)

51015202530(b) κ = −0.000190898t − 0.0185255

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26 / 37推定したパラメータの推移:case2-8.0

51015202530

-0.02

-8.5

-0.04

-9.0

-0.06
-9.5
-0.08
-10.0
-0.10
-10.5
-0.12
-11.0
51015202530-0.14(a) α = −11.3345 exp(−0.0121655t)(b) β = −0.154447 exp(−0.104273t)-0.0022

2.6-0.0024-0.0026

2.4-0.0028-0.0030

2.2-0.0032
2.0-0.0034
51015202530(c) γ = 0.0289585t + 1.86641
南優希 (早大院基幹研)

51015202530(d) κ = −0.00355286 exp(−0.0166043t)

生命エネルギーモデルを用いた死亡率予測

2019/10/26

27 / 37推定したパラメータの推移:case3-8.0-2.0-8.5-9.0-9.5-2.5-10.0-10.5-3.0-11.05101520255301015202530(b) β = −3.40801 exp(−0.0234189t)(a) α = −11.3345 exp(−0.0121655t)-0.00220.130-0.0024-0.00260.125-0.00280.120-0.00300.115-0.0032-0.003451015202530(c) γ = 0.000813139t + 0.108758
南優希 (早大院基幹研)

5

1015

202530(d) κ = −0.00355286 exp(−0.0166043t)

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28 / 37推定死亡率関数と実データとの比較
1.0

1.0

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

204060801001202040(a) case16080

100120(b) case2

1.0

0.8

0.6

0.40.220406080100120(c) case3Figure: 1830 年生まれコホートの推定死亡率関数 (実線) と実データ (点線)
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29 / 37推定死亡率関数と実データとの比較

Table: 推定死亡率関数と実データとの誤差の二乗和の平均

ケース 1

ケース 2

ケース 3

0.3471010.0103527

0.000823361

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死亡率予測の結果：10 年後
1.0

1.00.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

20406080

1001202014040(a) case16080100120(b) case2

1.00.80.6

0.4

0.2

20406080

100120(c) case3Figure: 1840 年生まれコホートの予測死亡率関数 (実線) と実データ (点線)
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死亡率予測の結果：30 年後
1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2

204060801001202014040(a) case16080100120(b) case2

1.00.80.6

0.40.220406080100120(c) case3

Figure: 1890 年生まれコホートの予測死亡率関数 (実線) と実データ (点線)
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死亡率予測の結果：50 年後
1.01.00.80.80.6

0.60.40.40.20.2

204060801001202014040(a) case16080100120(b) case2

1.00.80.60.40.2

20406080100120(c) case3Figure: 1900 年生まれコホートの予測死亡率関数 (実線) と実データ (点線)
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33 / 37

死亡率予測の結果：70 年後
1.0

1.00.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.20.220406080

1001202014040(a) case16080

100120(b) case2

1.00.80.6

0.40.220406080

100120(c) case3Figure: 1900 年生まれコホートの予測死亡率関数 (実線) と実データ (点線)
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死亡率予測の結果

Table: 予測死亡率関数と実データとの誤差の二乗和

10 年後
30 年後
50 年後
70 年後

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ケース 1

ケース 2

ケース 3

0.457803
0.670725
1.09981.16540.101353
0.257575
0.254276
0.143401

0.0064886
0.0257175
0.00915939
0.239306

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まとめと今後の課題

SEM は LCM に比べ以下の点で優れている
パラメータの解釈が容易である
コホート毎の累積死亡率を追いやすい
推定したパラメータに一致性や漸近正規性がある

データが十分にあれば，非常に高い精度での死亡率予測が可能モデルの拡張性が高い
データが少ない国での死亡率予測
男女別の死亡率予測
コホートや変化点を取り入れた死亡率モデルの先行研究との比較

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参考文献[1] Lee, R. D. and Carter, L. (1992). Modeling and Forecasting
U.S.Mortality. Journal of the American Statistical Association, Vol.87,No.419, 659-675.
[2] Leng, X and Peng, L. (2016). Inference pitfalls in Lee-Carter model forforecasting mortality. Insurance: Mathematics and Economics, 70,58-65.
[3] 伊藤龍之介，清水泰隆．(2019)．生命エネルギー仮説に基づく構造ア
プローチとコホート別死亡率推定．JARIP 会報 大会プロシーディン
グス特集号，Vol.6, 17-30, 2019.3.
[4] Molini, A.; Talkner, P.; Katul, G. G. and Porporato, A. (2011). First
passage time statistics of Brownian motion with purely time dependent
drift and diﬀusion. Physica A 390 1841-1852.
[5] Human Mortality Database: https://www.mortality.org/
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