速さ - かたつむりの問題

ステップ１

１ ⑴⑵⑷は（かたつむり）にあてはまる数を求めなさい。⑶は【】の中の正しい言葉にマルをつけなさい。

木に登ろうとしているカタツムリがいます。このカタツムリは１日に３㎝登りますが、次の１日で２㎝落ちてしまいます。また次の１日に３㎝登りますが、さらに次の１日で２㎝落ちます。この動作をくり返して木に登っていきます。カタツムリが 10 ㎝の高さまで登るのに何日かかりますか。

⑴

太郎君はこの問題を次のように考えました。

このカタツムリは、登って落ちる動作をくり返すから、「登って落ちる」⑵の（）日を１セットにしよう。すると、１セットで、（−（）＝（）㎝上がることになる。10 ㎝に上がるには、（）

÷（）＝（）セットくり返せばいいから、（）＝（）日かかるな。

⑴の太郎君の答えは間違っていて、正しい答えは（）×（））日になります。次のページのグラフに、カタツムリが木を登り始めてからの日数と高さの関係を折れ線グラフにして考えなさい。

1速さ - かたつむりの問題


⑶

                    ⑵のグラフを見て、太郎君の答えが間違った理由について考えます。

折れ線グラフの折れ線の頂点のうち、高い点を「山」、低い点を「谷」と呼ぶことにすると、太郎君の答えは、折れ線グラフの【 山・谷 】部分が 10 ㎝になる日を求めたことになります。

しかしこれでは、「はじめて 10 ㎝になる日」を求めることは出来ません。
「はじめて 10 ㎝になる日」を求めるには、折れ線グラフの【 山・谷 】部分が 10 ㎝になる日を求めないといけません。

2速さ - かたつむりの問題⑷⑵の答えを、計算で求めてみましょう。
                        ⑶で考えたように、折れ線グラフの山に注目します。第１の山は、１日登った３㎝の地点です。第２の山は、１日落ちて１日登った４㎝の地点です。第３の山は、さらに１日落ちて１日登った５㎝の地点です。
よって、第１の山以降は、「落ちて登る」のくり返しなので、「落ちて登る」の２日を１セットとし、次のように解きます。
①

第１の山から（②「落ちて登る」の２日の１セットで、（）−（）−（）＝（）＝（）＝（）㎝上がる。

③

よって、（④以上より、はじめの１日と（）セット分の日数を足して、（）＝（）＋（）÷（）㎝上がればいい。

）×（3）セットくり返せばよい。

）日となります。

速さ - かたつむりの問題

２ 木に登ろうとしているカタツムリがいます。このカタツムリは、１日に５㎝登りますが、次の１日で２㎝落ちることをくりかえします。カタツムリが 23 ㎝の高さまで登るのに何日かかりますか。

4

速さ - かたつむりの問題

３ 木に登ろうとしているカタツムリがいます。このカタツムリは、１日に６㎝登りますが、次の１日で２㎝落ちることをくりかえします。カタツムリが 50 ㎝の高さまで登るのに何日かかりますか。

5速さ - かたつむりの問題

４ 95 ページある本を１日７ページずつ読むことにしました。ただし、２日目からは、前日の分を思い出すために３ページもどったところから７ページ読むことにします。この本を読み終えるのに何日かかりますか。

6

速さ - かたつむりの問題

ステップ２

速さがある問題①

５ 木に登るカタツムリ型のロボットがあります。このロボットは、４秒間木に登っては、２秒間下に降りることをくり返します。ロボットが木を登るときの速さは毎秒１㎝で、降りるときの速さは毎秒 0.5 ㎝です。このとき、次の問いに答えなさい。

⑴

ロボットは４秒間で何㎝木を登りますか。

⑵

ロボットは２秒間で何㎝木を降りますか。

⑶

ロボットが初めて１ｍの高さまで登るのは、木を登り始めてから何秒後ですか。

7

速さ - かたつむりの問題

６ 太郎君が川の下流のＰ地点を出発して、2.2 ㎞の上流のＱ地点まで行くのに、10 分間ボートをこいで２分間休むことをくり返して進みました。
Ａ君がボートをこぐ速さは、流れがないところで分速 60ｍ、川の流れの速さは分速 20ｍです。このとき、次の問いに答えなさい。

⑴

太郎君は 10 分間で何ｍ川を上りますか。

⑵

太郎君がＱ地点に到着するのは、Ｐ地点を出発してから何分後ですか。

8

速さ - かたつむりの問題

７ 底面積が 1000 ㎠で深さが 60 ㎝の直方体の形をした水そうがあります。
この水そうには、１分間に５Ｌの割合で給水できる給水管がついています。また、水そうの底には、水があるときには１分間に３Ｌの割合で水が流れ出る穴が空いています。いま、水そうが空の状態から、給水管Ａを３分間開いて１分間閉じることをくり返します。このとき、次の問いに答えなさい。

⑴

給水をはじめてから３分間で、水そうには何Ｌの水がたまりますか。

⑵

水そうが満水になるのは、給水をはじめてから何分後ですか。

9速さ - かたつむりの問題

ステップ２

速さがある問題② - 余りが出る問題

８ 木に登るカタツムリ型のロボットがあります。このロボットは、４秒間木に登っては、２秒間下に降りることをくり返します。ロボットが木を登るときの速さは毎秒１㎝で、降りるときの速さは毎秒 0.5 ㎝です。下のグラフは、ロボットが出発してからの時間と登った高さの関係を表したものです。このとき、（）にあてはまる数を求めなさい。


・・・・



⑴

アにあてはまる数は（⑵ロボットが初めて２ｍの高さまで登るのは、木を登り始めてから（）です。

）秒後です。イにあてはまる数です。

10

速さ - かたつむりの問題

９ 太郎君が川の下流のＰ地点を出発して、３㎞の上流のＱ地点まで行くのに、10 分間ボートをこいで２分間休むことをくり返して進みました。Ａ
君がボートをこぐ速さは、流れがないところで分速 60ｍ、川の流れの速さは分速 20ｍです。太郎君がＱ地点に到着するのは、Ｐ地点を出発してから何分後ですか。

11

速さ - かたつむりの問題

10 底面積が 1000 ㎠で深さが 80 ㎝の直方体の形をした水そうがあります。
この水そうには、１分間に５Ｌの割合で給水できる給水管がついています。また、水そうの底には、水があるときには１分間に３Ｌの割合で水が流れ出る穴が空いています。いま、水そうが空の状態から、給水管Ａを３分間開いて１分間閉じることをくり返します。水そうが満水になるのは、給水をはじめてから何分後ですか。

12速さ - かたつむりの問題■ 解答 ■
１ ⑴ ２、⑵⑶⑷

３−２＝１、10÷１＝10、２×10＝20
15谷、山
①
②
③④２

13 日

３

23 日

４

23 日

５ ⑴

10−３＝７，３−２＝１、
７÷１＝７、７、１＋２×７＝15４㎝

⑵
⑶

１㎝
196 秒

６ ⑴

400ｍ

⑵
７ ⑴
⑵
８ ⑴
⑵

70 分後
６Ｌ
75 分後
394
398 秒後９ 99 分後
10 102.5 分後13

速さ - かたつむりの問題

■ 解説
１ ⑵

■
６ ⑴



⑵


上りの速さは、60−20＝40(m/分)
10 分間で、40×10＝400(ｍ)上る
２分間で、20×２＝40(ｍ)下る
2.2 ㎞＝2200ｍ
2200−400＝1800(ｍ)「下って上る」の 10＋２＝12(分)を１セットとする。
1800÷（400−40）＝５(セット)10＋12×５＝70(分後)                    

２ 23−５＝18(㎝)７ ⑴18÷(５−２)＝６(セット)１＋２×６＝13(日)３

１分間に５−３＝２(Ｌ)ずつ増える。
２×３＝６(Ｌ)⑵ 水そうの体積は、1000×60＝60000(㎤)＝60Ｌ
３分で６Ｌ増え、次の１分で、３×１＝３(Ｌ)減る。
「減って増える」の３＋１＝４(分)を１セットする。
60−６＝54(Ｌ)54÷(６−３)＝18(セット)３＋４×18＝75(分後)50−６＝44(㎝)44÷(６−２)＝11(セット)１＋２×11＝23(日)４95−７＝88(ページ)88÷(７−３)＝22(日)１＋22＝23(日)※３ページもどって７ページ読むので１日であることに注意。

５ ⑴
⑵
⑶

穴が開いているので、

１×４＝４(㎝)
0.5×２＝１(㎝)100−４＝96(㎝)「降りて登る」の４＋２＝６(秒)を１セットにする
96÷(４−１)＝32(セット)４＋６×32＝196(秒)14速さ - かたつむりの問題

・あと、40＋80＝120(ｍ)上ればよい。
120÷40＝３(分)・よって、94＋２＋３＝99(分後)８ ⑴・４秒で、１×４＝４(㎝)登る

・２秒で、0.5×２＝１(㎝)降りる
・「降りて登る」の４＋２＝６(秒)を１セットにする
10 ・穴が開いているので、200−４＝196(㎝)
196÷(４−１)＝65(セット)余り１(㎝)
１分間に５−３＝２(Ｌ)ずつ増える。
・65 セットが終わるのは、・３分間で、２×３＝６(Ｌ)増える。
４＋６×65＝394(秒後)・・・ア
・次の１分間で、３×１＝３(Ｌ)減る。
⑵
・「減って増える」の３＋１＝４(分)を１セットする。

・水そうの体積は、

1000×80＝80000(㎤)＝80Ｌ
80−６＝74(Ｌ)74÷(６−３)＝24(セット)余り２(Ｌ)・24 セットが終わるのは、３＋４×24＝99(分後)・次の２秒で１㎝降りる。
・あと、１＋１＝２(㎝)登ればよい。
２÷１＝２(秒)・394＋２＋２＝398(秒後)
９ ・上りの速さは、60−20＝40(m/分)

10 分間で、40×10＝400(ｍ)上る
・２分間で、20×２＝40(ｍ)下る・「下って上る」の 10＋２＝12(分)を１セットとする。
３㎞＝3000ｍ
3000−400＝2600(ｍ)2600÷(400−40)＝７(セット)余り 80(ｍ)・７セットが終わるのは、
10＋12×７＝94(分後)




・次の２分で 40ｍ下る。

15・次の１分で３Ｌ減る。
・あと、３＋２＝５(Ｌ)増やせばよい。
５÷２＝2.5(分)・よって、99＋１＋2.5＝102.5(分後)