パラメトリック曲線の道路線形への適用
AN APPLICATION OF PARAMETRIC CURVES TO HIGHWAY ALIGNMENT
蒔苗 耕司
Koji Makanae【抄録】3 次元自由曲線として用いられているパラメトリック曲線の道路線形への適用性について検討した．
数種類のパラメトリック曲線による道路線形について，走行時における遠心加速度及びその変化率について比較した．その結果、高規格の道路線形に対しては 3 次 B-スプライン曲線が，低規格の道路線形に対しては
2 次 B-スプライン曲線が道路線形への適用性が高いことを示した．
【Abstract】The authors examined an application of parametric curves used as spatial curves to highway alignment.
Both of centrifugal acceleration and its rate of increase while driving the highway alignment designed by several kindsof parametric curve were compared. As a result of the examination, it was shown that cubic B-spline curves areapplicable to the case of high- grade of alignment design and quadratic B-spline curves are applicable to the case of
low-grade of alignment design.
【キーワード】道路線形，パラメトリック曲線，B-spline 曲線，遠心加速度, CAD【Keywords】highway alignment, parametric curve, B-spline curve, centrifugal acceleration, CADり描かれる道路線形が自動車及び運転者の走行条件を満たすものであるかが問題となる．
そこで，本論文では 3 次元 CAD における自由曲線の一般的定義手法として用いられているパラメトリック曲線の道路線形への適用性について検討する．

１． はじめに道路の線形設計は，一般的に平面線形と縦断線形に分離した 2 次元線形として設計が行なわれる．道路の設計に関する技術基準である道路構造令においても，それぞれの 2 次元線形に対する幾何構造の設計基準が示されるが，これらの設計基準に適合したとしても，最終的に合成して得られる 3 次元道路線
形が理想的な線形である保証はない．
道路線形をあらかじめ 3 次元線形として設計することができれば，このような問題は生じない．それを実現する一つの手法として，空間自在定規による設計手法がある1)．この手法は弾性材料を用いた自在定規を用いて，空間内で 3 次元線形として道路線形を設計する手法である．この手法では 3 次元線形の形状把握が容易であり，また平面線形と縦断線形の変曲点が一致することから両者の調和を図ることが可能である．しかし空間自在定規の情報を図化ある
いは数値化する作業が容易ではない，また地形との整合を図ることができないなどの問題がある．
一方，機械工学分野を中心に，コンピュータ上での自在定規の再現手法としてパラメトリック曲線の研究が行なわれ，CAD 上でその実用化が図られている2)．このパラメトリック曲線を用いれば，空間自在
定規による道路線形の設計手法をコンピュータ上で再現できるが3)，その場合，パラメトリック曲線によ連絡先：〒981-3298

宮城県黒川郡大和町学苑 1-1

Phone: 022-377-8368

２．パラメトリック曲線とその数学的表現(1)曲線のパラメトリック表現
コンピュータ上における図形表現においては，与えられた 2 点間を接続する直線がその基本要素となり，曲線表現は直線の連続として表現される．直線の端点となる曲線上の座標値を求めることが必要であり，その方法としてパラメトリック曲線が用いられる．
パラメトリック曲線上の座標値は１つのパラメー
タにより表現され，パラメータを t とすれば，2 次元曲線上の座標は次式により表現される．
 x = x (t ) y = y (t )(1)自由曲線の数値表現手法については，CAD 上でその実用化が図られている．本研究では，CAD 上において一般的に用いられている 3 次スプライン曲線，

宮城大学事業構想学部デザイン情報学科

E-mail: makanae@mail.sp.myu.ac.jp1

Bézier 曲線，2 次及び 3 次 B-スプライン曲線を対象とする．これらのパラメトリック曲線は，空間内に設定した制御点に基づき生成される（図-1）．

Ｚ
パラメトリック曲線

P5P4(2)パラメトリック曲線の数学的表現
Ya)3 次スプライン曲線
自在定規を弾性棒として考えた場合，制御点間の曲線セグメントの形状は 3 次多項式で表現できると考えられている．空間内に定められた P1(x1, y1, z1)，
P2(x2, y2, z2)，P3(x3, y3, z3)，P4(x4, y4, z4)の 4 点を境界条件として描く 3 次元の 3 次スプライン曲線上の座標値（x, y, z）は式(2a)によって与えられる4)．

P1
X-Y 平面Ｘ
P1−P5：制御点4=xxi Bi (t) = x1 B1 (t) + x2 B2 (t) + x3 B3 (t ) + x4 B4 (t )
∑

i =1

4

y = ∑ yi Bi (t) = y1 B1 (t) + y2 B2 (t ) + y3 B3 (t) + y4 B4 (t ) (2a)
i =1

4

z = ∑ zi Bi (t ) = z1 B1 (t ) + z 2 B2 (t ) + z3 B3 (t ) + z 4 B4 (t )
i =1


図‑1

1
N i ,0 = 0b)Bézier 曲線
n 個の頂点をもつ多角形の頂点として与えられる
制御点の位置ベクトル Pi (k)（k=1, 2, ･･･, n）に対し，その曲線は n−1 次の関数として表現される．ここで曲線上における任意の 1 点の位置ベクトル R(t)とす
れば，Bézier 曲線は式(3a)によって定義される．

N i , k (t ) =xi≦t＜xi + 1
上記以外

(4b)

t − xixi + k − t
N i , k − i (t ) +N i + 1, k − 1 (t )xi + k − 1 − xi
x i + k − xi + 1

ただし，xi の値は，xi ≦ xi+1 の関係を満たす数列
要素（ノット）のベクトル要素であり，求められるノット数は制御点数 n と位数 k との和となる．

n(0≦t≦1)

パラメトリック曲線

ここで，Ni,k(t)は正規化された k 位（k−1 次）のB-スプライン基底関数である．
基底関数 Ni,k は，Cox-deBoor の帰納式により，式(4b)のように表現される．

ただし，t (t1≦t≦t2 )はパラメータであり， t1，t2
は始点と終点のパラメータ値である．また Bi (t)は係数である．

R(t ) = ∑ Pi Bn,i (t )

P3

P2

(3a)

i =0

基底関数 Bn,i(t)は Bernstein 関数と呼ばれ，式(3b)により表される．
Bn ,i (t ) =n!
⋅t i ⋅(1 − t ) n − i(n − 1)!⋅i!

(0≦t≦1)３．道路線形への適用性評価
一般に，運転者は遠心加速度及びその変化率に敏感であり，その値が一定値を超えることにより運転者は不快感をもち，自動車の安定性を増すような操作を始めることが知られている5)．遠心加速度値を決定する曲率は，平面線形における円曲線の半径に規定されるから，設計上は相似的にその大きさを変えることにより対応できる．一方，曲率の変化は緩和
曲線の有無及びその性能に依存する．

(3b)c)B‑スプライン曲線
n + 1 個の制御点の位置ベクトル Pi （i = 1, 2, …,
n+1）により定義される曲線上の位置ベクトル R(t)（t はパラメータ）は，式(4a)により表される．
n+ 1

R(t ) = ∑ N i, k (t ) Pi

(4a)

i =1

(tmin ≦ t ≦ tmax

2≦ k ≦ n + 1)

2a)3 次スプライン曲線
30°
３０°

６０°

６０°

９０°

９０°

１２０°

１２０°

１５０°

b)ベジェ曲線

１５０°：通過点
通過点間距離は1 0 0 m

図‑2

通過点の設定モデル(1)一般に緩和曲線には，遠心加速度の変化率を一定としたクロソイド曲線が用いられ，直線と円曲線，あるいは円曲線同士を円滑に接続するようにしている．従って，パラメトリック曲線を道路線形に適用する場合の走行特性として，遠心加速度及びその変化率について評価が必要である．
ここでの走行特性評価においては，上述したように自動車の運転者は遠心加速度に対し敏感であり，また一般に道路線形設計においては，水平成分に関する評価値が与えられている． またパラメトリック
曲線では，曲線上の x 座標，y 座標，z 座標は独立して求められるから，縦断成分も平面成分と同様の曲線性能を有する．従って曲線の性能評価を行うにあたっては，いずれかの成分について検証を行えばよく，ここではパラメトリック曲線の水平成分に対する評価を行う．

c)2 次 B-スプライン曲線(1)道路の屈曲に対する加速度の変化
道路線形の屈曲の度合いとパラメトリック曲線の走行特性との関係について検討する．
パラメトリック曲線の設定にあたって，その通過点を規則的に設定し，それを通過するように制御点を調整し，道路線形の設定を行うこととする．なお
通過点は，隣合う通過点の距離を一定（数値計算上
100m として設定）とするとともに，その位置について図-2 のように設定した．すなわち，この設定により，道路線形の屈曲の度合いによる走行性能の比較が可能となる．
制御点位置の決定にあたっては，曲線長が最小となるよう，通過点と曲線の頂点が一致するよう配慮
しながら行なった．なお，3 次スプライン曲線以外
は，端点を除けば制御点は曲線上にないことから，
それを通過するように制御点を操作することになる．
得られた曲線は図-3 の通りである．これらの曲線に

d)3 次 B-スプライン曲線

図‑3 通過点に対するパラメトリック曲線(1)●：通過点，○制御点，通過点間距離は 100m

3

関して，遠心加速度及びその変化率の評価を行う．
遠心加速度は，以下により求められる．
曲線部を走行する自動車及び運転者には，遠心 a)3 次スプライン曲線
力に伴なう遠心加速度が働く．その値は円曲線の半径と走行速度によって求めることができる．すなわち，遠心加速度 a(m/s2)は，式(5)のように表さ
れる．

a=

v2
r

b)ベジェ曲線(5)
ただし，v：速度（m/s），r：曲線半径（m）．
3 次元線形はパラメトリック曲線として描かれた点列により構成され，曲線半径という定義をも c)2 次 B-スプライン曲線
たない．そこで，曲線半径を円運動における角加速度によって表現すれば，式(5)は，式(6)のように
なる．
a= vω
(6)

d)3 次 B-スプライン曲線

ただし，ω：角速度（rad/s）．
パラメトリック曲線上の連続した 3 点を Pn-2，
Pn-1，Pn とし，2 つの直線 Pn-2−Pn-1，Pn-1−Pn の交角を求める．パラメトリック曲線の座標点列の間隔は一定ではないことから，その交角を自動車がPn-1−Pn を走行した時の転向角θ（rad），その移動
距離を d (m) とすれば，点 Pn における角速度ωは式(7)により求められる．
ω＝2 v sin(θ／2 )／d

図‑4 角度の変化による加速度の変化(7)

転向角 0°から 120°に相当する区間において，加速度の大きさを比較すると，2 次-B スプライン曲線が最小値を示している．一方，加速度の変化が滑らか，かつ変曲点付近での加速度変化が対称性を有するのは，3 次 B-スプライン曲線である．

これにより，点 Pn における遠心加速度 an（m/s2）
は式(8)により求められる．
an = 2 v2 sin(θ／2 )／d(8)(2)通過点間距離の比率による加速度の変化(1) においては，通過点間の距離を一定とした場合の評価を行なったが，実際に 3 次元設計を行なう
場合には，必ずしもそれは一定とは限らない．そこ
で，さらに道路線形の屈曲と通過点間の距離の比率を変えた場合，すなわち非対称の通過点が与えられた場合のパラメトリック曲線の特性について評価を行う．
ここでは，隣合う通過点間隔を 100m：100m，100m：200m，100m：300m とし，図-5 のように設定する．また転向角については，120°を上限とし，30°毎にその評価を行うこととした．設定した通過点に対する曲線の一例を図-6 に示す．ただし，この例のなお，ここでは設計速度を 30km/h とし，1 秒あたりの走行距離に対する遠心加速度を求めている．
各パラメトリック曲線に対する加速度の変化を
図-4 に示す．3 次スプライン曲線では，曲線の接続部において，その加速度が急激に変化しており，道路線形への適用は不適当であると考えられる．転向
角 150°に相当する区間では，すべての曲線において，大きな加速度を生じさせており，スプライン曲線及び B-スプライン曲線では正負方向に振動を生じており，これは曲線が局所的なねじれが生じているものによると考えられる．従って，転向角が 120°を上回るような制御点の設定は避けるべきであると
言える．

4

m
00
１

１0 0 m

α

①

α
m
00
１

②
20 0 m

α

α

m
00
１

30 0 m

m
00
１

α

③

α

α：転向角
：通過点
①②③：評価に用いた通過点

図‑5

通過点の設定モデル(2)a)3 次スプライン曲線
転向角は 60ºである．
図-5 の①，②，③の通過点前後の背向部を含めた屈曲区間における走行速度 30 km/h の場合の遠心加
速度及び加速度変化率の最大値（絶対値の最大値）
は表-1，表-2 の通りで，次のことが分かる．
1) 3 次スプライン曲線については，殆どの区間において遠心加速度及び遠心加速度変化率は最大値を示している．
2) 転向角 30ºの場合について，遠心加速度最大値が b)Bézier 曲線
最小値を示すのは， 100m:100m 及び 100m:200m
では 2 次 B-スプライン曲線及び Bézier 曲線が，また 100m:300m では 3 次 B-スプライン曲線が最小値を示す．
3) 転向角 60º，90º，120ºの場合について，遠心加速度最大値が最小値を示すのは，100m:100m，100m:
200m では 2 次 B-スプライン曲線，次いで Bézier
曲線，3 次 B-スプラインの順となる．また， c)2 次 B-スプライン曲線
100m:300m では，3 次 B-スプライン曲線が最小値を示しており，次いで 2 次 B-スプライン，Bézier
曲線の順になる．
4) 遠心加速度変化率の最大値についてみれば，転向角 60ºで 100m:100m の場合に Bézier 曲線が，100m:200m の場合に 3 次 B-スプライン曲線が最小値を示す．それ以外には全て 2 次 B-スプライン曲線が最小値を示しており，
次いで Bézier 曲線，d)3 次 B-スプライン曲線
3 次スプライン曲線の順となる．
5) 100m:300m の場合については，すべてのケースにおいて 3 次 B-スプライン曲線が最小値を示し，
次いで 2 次 B-スプライン曲線，3 次 B-スプライン曲線の順となる．
表-1，表-2 は，次の 2 つの領域に分けられる．すなわち，転向角 30º及び 100m:300m の区間と，転向
角 60º，90º，120ºの場合の 100m:100m，100:200m の区間である．ここで前者を A 領域（表-1，表-2 太線に囲まれた部分，高規格領域），後者を B 領域（表-1，

図‑6

5

転向角 60ºの場合のパラメトリック曲線

表-2 破線に囲まれた部分，低規格領域）と呼ぶことにする．
表‑1 遠心加速度の最大値
遠心加速度最大値（
絶対値）
（g ）
転向角
曲線種別
A 領域においては，遠心加速度についてみれば，
1 0 0 m :1 0 0 m1 0 0 m :2 0 0 m1 0 0 m :3 0 0 m
転向角 30º，100m:100m，100m:200m の場合には，23 0 ° 3 次スプライン
0 .3 2
0 .2 30 .1 50 .1 00 .0 80 .1 1
Bezier
次 B-スプライン曲線，Bézier 曲線が小さな値を示す
2 次B ‑ スプライン
0 .0 70 .0 80 .1 03 次B ‑ スプライン
0 .1 20 .0 90 .0 3が，それを除けば 3 次 B-スプライン曲線が最も小さ
6 0 ° 3 次スプライン
0 .6 4
0 .6 50 .2 4な値を示す．また遠心加速度変化率については，30 .2 30 .1 60 .2 4
Bezier
2 次B ‑ スプライン
0 .1 90 .1 40 .1 5
次 B-スプライン曲線が最も小さな値を示す．
3 次B ‑ スプライン
0 .3 30 .2 10 .0 99 0 ° 3 次スプライン
0 .6 5
1 .0 1
0 .4 2
すなわち，高規格の道路線形には高い緩和性能がBezier
0 .5 1
0 .3 00 .3 9
求められ，遠心加速度の変化率が小さいものが要求
2 次B ‑ スプライン
0 .3 70 .2 80 .2 4
3 次B ‑ スプライン
0 .5 6
0 .4 40 .1 7
される．この点において，3 次 B-スプライン曲線は，
1 2 0 °3 次スプライン
1 .1 6
1 .0 80 .7 1
0 .9 90 .6 80 .7 4
Bezier
この領域においては最も適合した線形であるという
2 次B ‑ スプライン
0 .7 90 .6 2
0 .5 1
ことができる．
3 次B ‑ スプライン
1 .0 20 .8 7
0 .3 8
太線枠：
A 領域，破線枠：
B 領域，網掛けはカテゴリー内の最小値
B 領域は転向角が大きく，また制御点間距離比率が小さな区間である．この区間において，2 次 B-ス
プライン曲線は遠心加速度及びその変化率において，
表‑2 遠心加速度変化率の最大値
ほとんどの場合において最小値を示し，次いで
3
遠心加速度変化率最大値（絶対値）（
m / s）
転向角
曲線種別
1 0 0 m :1 0 0 m1 0 0 m :2 0 0 m1 0 0 m :3 0 0 m
Bézier 曲線，3 次 B-スプライン曲線である．すなわ
3 0 ° 3 次スプライン
1 .9 8
1 .6 4
1 .2 1ち，2 次 B-スプライン曲線がこの領域に最も適合しBezier
1 .2 2
1 .0 4
1 .0 4
2 次B ‑ スプライン
1 .0 7
0 .9 90 .6 7た線形であるということができる．
3 次B ‑ スプライン
1 .2 2
0 .2 30 .0 4
これらの評価結果をもとにすれば，次の通りまと
6 0 ° 3 次スプライン
5 .7 8
6 .1 8
1 .7 2
Bezier
0 .6 01 .2 0
1 .9 0
めることができる．
2 次B ‑ スプライン
0 .7 7
1 .2 40 .8 5
3 次B ‑ スプライン
1 .2 7
0 .5 80 .0 9転向角が 60ºを下回る場合，すなわち屈曲の小さな
9 0 ° 3 次スプライン
5 .9 48 .9 4
2 .8 8道路において緩和性能が高いのは，3 次 B-スプライ
Bezier
2 .0 5
0 .8 42 .2 2
2 次B ‑ スプライン
1 .2 3
0 .6 7
0 .9 5ン曲線であり，またそれ以上の場合，すなわち屈曲
3 次B ‑ スプライン
3 .1 0
1 .5 90 .3 11 2 0 °3 次スプライン
1 5 .2 7
1 3 .1 2
6 .8 2の大きな道路においては，2 次 B-スプライン曲線がBezier6 .1 84 .1 6
3 .9 2
加速度及びその変化が小さな道路線形を描くことが2 次B ‑ スプライン
3 .6 6
2 .9 5
1 .9 4
3 次B ‑ スプライン
7 .7 2
5 .2 91 .3 5可能である．また Bézier 曲線は両者の中間的な特性
太線枠：A 領域，破線枠：B 領域，網掛けはカテゴリー内の最小値を有している．3 次スプライン曲線の道路線形への適用は不適当であると考えられる．
一方，3 次元道路線形としてパラメトリック曲線ており，また縦断線形については縦断勾配や視距等としての適用を考えた場合，縦断曲線としての適合により規定される．従って，設計システム上におい性評価が必要となるが，パラメトリック曲線上の Xては，任意に設定されたパラメトリック曲線に対し，座標，Y 座標，Z 座標はそれぞれ独立して求められこれらの計算値を得ることにより，道路線形としてることから，縦断線形も平面線形と同様の曲線性能の適合性評価を行ないながら設計を進めていくことを有している．従って，表-2 における低転向角(30°)になる．その評価結果に問題があると判断される箇の場合の遠心加速度変化率から判断すれば，2 次あるいは 3 次 B-spline 曲線の適用が有効であると考え所については，道路線形に適合するように曲線の制られる．なお，縦断曲線の場合には視距による制約
御点を移動させていけばよい．また 3 次元道路線形があるが，これについてはパラメトリック曲線の制は図面に依存したものではなく，任意の視点位置，御点の設定位置の問題として，設計システム上で評投影方法による描画が可能である．また地形情報と価すれば良い6)．
リンクすれば同時に土工量についても計算可能とな
これらのことから， 2 次及び 3 次 B-スプライン曲
るであろう．すなわち，これまでの線形設計プロセ
線の適用が道路線形への適用性が高いと評価される．
スのようにあらかじめ設計基準に適合した線形要素を組み合わせていくのではなく，コンピュータ上でその評価を行ないながら，設計を進めていく評価か

４．パラメトリック曲線の応用性

ら設計へのフィードバックシステムが確立される．
図-7 に従来の線形設計プロセスと 3 次元道路線形

現行の設計基準は，曲線部では運転者に対して働
く遠心加速度及びその変化率を根拠として規定されを用いた線形設計プロセスを示す．

6

従来の線形設計プロセス

３次元道路線形による線形設計プロセス

START

START

任意の3次元自由曲線を設定(3次元制御点の設定）

平面線形の設定（設計基準に適合した線形要素の配置）計算

縦断線形の設定（設計基準に適合した線形要素の配置）NG

遠心加速度
遠心加速度変化率

道路線形の評価（透視図・土工量等）

制御点の移動

透視投影
視距

縦断勾配

NG

土工量等

道路線形の評価

OK
OK
END

END

図‑7

線形設計プロセスの比較

B-スプライン曲線を対象として走行特性の評価を行なった．その結果，遠心加速度及びその変化率からみた走行特性の評価により，屈曲の小さな道路線形に対しては 3 次 B-スプライン曲線の適用性が高く，また屈曲の大きな線形に対しては 2 次 B-スプライン
曲線の適用性が高いことを示した．
パラメトリック曲線は，コンピュータ上において容易に 3 次元の自由曲線の描画を実現するものであり，その道路線形への適用が可能となれば，コンピ
ュータを利用したより高度な設計手法の確立が期待される． 自由曲線の定義手法としてのパラメトリッ
ク曲線については，現在も多くの研究が進められている．
今後は，本研究で有用性が高いと示された B-スプライン曲線を含め，より道路線形への適用性が高いと考えられる 3 次元線形の定義手法を導き出し，その実用性についての評価が必要であろう．

図-8 は，著者が開発した 3 次元路線計画システム
上での 3 次元道路線形（2 次 B-スプライン曲線を使用）に対する遠心加速度・遠心加速度変化率の評価例である．ここで対象道路の設計速度を 40km/h であり，遠心加速度の許容値は 0.15g，遠心加速度の変化
率の許容値は 0.75m/s2 である 5)．システム上では，仮設定した道路線形に対し，設計速度に対する遠心
3)

加速度，縦断勾配，合成加速度をリアルタイムで表示することができる．当初，仮設定した道路線形（図-8(a)）では，これらの許容値を上回る区間が 2 区間，
それに近い値を示す区間が 2 区間となっている．そこで，問題となる区間の制御点を微修正し，最終的に図-8(b)に示すように設計速度に対する許容値を下回る道路線形を得ている．

５．むすび
本研究では，パラメトリック曲線の道路線形への適用性について，3 次スプライン曲線，
Bézier 曲線，

7

(a)修正前（平面線形）

(評価)

○は制御点

(b)修正後（評価）（平面線形）○ が修正した制御点

図‑8

パラメトリック曲線による 3 次元道路線形の評価例

pp.23-30，1998．

参考文献

4) Rogers, D.F. and Adams, J.A.：コンピューターグラフィ
ックス第 2 版，川合

1) Lorenz, H.：TRASSIERUNG UND GESTALTUNG VON

慧監訳，凸版出版社，1993.

5)社団法人日本道路協会：道路構造令の解説と運用，日本

STRASSEN UND AUTOBAHNEN, Orion, Bauverlag

道路協会，1983．

GmbH, 1971.（中村英夫・中村良夫編訳：道路の線形と環境設計，鹿島出版会，1976）

6) Koji Makanae：THREE-DIMENSIONAL DRAWING

2)日経 CG 編著：CAD の基礎知識，日経 BP 社,1994．

MODULE FOR HIGHWAY SIMULATION，Journal of Civil

3)蒔苗耕司・福田 正：CG と航空写真を用いた 3 次元路

Engineering Information Processing System in 1998，

線計画システム，土木学会論文集，No.590/IV-39,

pp211-216．

8