数表 - 正方形に並べる

ステップ１四角数・平方数

１ 下の図のように正方形の形に点を並べるとき、必要な点の個数をしかくすう「四角数」といいます。１、４、９、16、・・・などが四角数です。まへいほうすう

た、四角数は、ある数を２回かけてできる数なので、「平方数」ともいへいほういます。「平方」とは、「ある数を２回かける」という意味です。

  

いま、四角数について下の表のようにまとめました。表の空らんに適当な数を書きなさい。

番目

1234

四角数

14916

番目

111213145678910151617181920

四角数1

数表 - 正方形に並べる

２ 次の数に最も近い平方数を答えなさい。
⑴

50⑵

80⑶

110⑷

140⑸

170⑹

2002

数表 - 正方形に並べる

ステップ２

平方数に注目

３ 図のように、ある規則にしたがって数を並べました。このとき、８は「３行２列」、14 は「４行３列」と表します。

               ⑴

１列目の数はすべて（）になっています。漢字３文字⑵

11 行１列の数は（）です。

⑶

13 行１列の数は（）です。

⑷

225 は（）行（）列の数です。

⑸

289 は（）行（）列の数です。

3

数表 - 正方形に並べる

ぎょう

れつ

「 行 」と「列」
れつ

下のような表がある場合、一般的に、たて方向を「列」、横方向ぎょうを「 行 」と呼びます。

１ ２ ３ ４列 列 列 列目 目 目 目
１行目
２行目
３行目
４行目

ぎょう

れつ漢字で表したときに、「 行 」は「⼆」があるから「横」、「列」は「⺉」があるから「たて」と覚えましょう。

行列

横に棒が２本並んでいるから、「行」は横。

縦に棒が２本並んでいるから、「列」は縦。

4数表 - 正方形に並べる

ステップ３

行・列とグループの関係

４ 右の図のように、ある規則にしたがって数を並べました。また、表の中

１ ２ ３ ４列 列 列 列目 目 目 目の数字を次のようにグループ分けし

１行目 １ ２ ５ 10
２行目 ４ ３ ６ 11ました。

３行目 ９ ８ ７ 12
第１グループ１

第２グループ

２、３、４

第３グループ

５、６、７、８、９

第４グループ

10、11、12、13、14、15、16

４行目 16 15 14 13：
このとき、次の問いに答えなさい。

⑴

各グループに入っている数の個数について考えます、
各グループに入っている数の個数は、第１グループは（個、第２グループは（４グループは（）個、第３グループは（）個、･･･となっています。

5））個、第数表 - 正方形に並べる⑵

各グループに入っている数の個数の和について考えます。

①

第１グループと第２グループを合わせると、数は全部で、（）×（）＝（

よって、第２グループの最後の数は（②）となります。

第１、第２、第３グループを合わせると、数は全部で、（）×（）＝（

よって、第３グループの最後の数は（③）個あります。

）個あります。
）となります。

第１、第２、第３、第４グループを合わせると、数は全部で、（）×（）＝（

よって、第４グループの最後の数は（）個あります。
）となります。

※これが、表の端の数が平方数になる理由です。

6

数表 - 正方形に並べる

ステップ４行・列から数を求める①５ 右の図のように、ある規則にしたが１ ２ ３ ４列 列 列 列目 目 目 目って数を並べました。

１行目 １ ２ ５ 10
２行目 ４ ３ ６ 11
３行目 ９ ８ ７ 12
４行目 16 15 14 13⑴１行６列の数について考えます。
ア(ア(①)

６)

１行６列の数まで並べると、図より、（ア方形が完成して、（イ（ア）×（ア）×（ア）個残るので、数字は全部で、）＋（イ）＝（並びます。
②

よって、１行６列の数は（7）となります。

）個）の正数表 - 正方形に並べる⑵２行７列の数について考えます。
ア(ア(①)

７)

２行７列の数まで並べると、図より、（ア方形が完成して、（イ（ア）×（ア）×（ア）の正）個残るので、数字は全部で、）＋（イ）＝（）個並びます。
②⑶

よって、２行７列の数は（２行８列の数は（）となります。

）です。自分で図を描きましょう。正方形から描くと分かりやすいです。

8数表 - 正方形に並べる⑷

５行 12 列の数は（）です。

⑸

14 行 16 列の数は（）です。

9数表 - 正方形に並べる

ステップ５行・列から数を求める②６ 右の図のように、ある規則にしたが１ ２ ３ ４列 列 列 列
目 目 目 目って数を並べました。

１行目 １ ２ ５ 10
２行目 ４ ３ ６ 11
３行目 ９ ８ ７ 12
４行目 16 15 14 13⑴７行２列の数について考えます。
２(ア(ア))

７①

７行２列まで数字を並べると、（ア完成させるのに数字があと（イ）×（ア）の正方形を）個足りないので、数字は全部で、（ア②）×（ア）−（イよって、７行２列の数は（10）＝（）個並びます。

）となります。

数表 - 正方形に並べる⑵

８行３列の数について考えます。
３

８①

８行３列の数までに、数字は全部で（②⑶）×（）−（

よって、８行３列の数は（10 行４列の数は（）＝（）個並びます。

）となります。

）です。自分で図を描きましょう。

11

数表 - 正方形に並べる⑷

14 行５列の数は（）です。

⑸

20 行 15 列の数は（）です。

12

数表 - 正方形に並べる

ステップ６数から行・列を求める①７ 右の図のように、ある規則にしたが１ ２ ３ ４列 列 列 列目 目 目 目って数を並べました。

１行目 １ ２ ５ 10
２行目 ４ ３ ６ 11
３行目 ９ ８ ７ 12
４行目 16 15 14 13⑴50 が何行何列かについて考えます。
①50 に最も近い平方数は、（ア②）×（ア）×（ア）＋（イよって、50 個の数字を並べると、（ア正方形が完成して、あと（イ④）です。

よって、50＝（ア③）＝（よって、50 は（）列、となります。

図を描いて考えなさい。

())

13）×（ア）個残ります。

）行（(）です。
）の数表 - 正方形に並べる⑵

102 が何行何列かについて考えます。
①

102 に最も近い平方数は、（ア）×（ア）＝（②102＝（ア）×（ア）＋（イ③

よって、102 個の数字を並べると、（ア正方形が完成して、あと（イ④よって、102 は（）行（）です。

146 は（）行（）列、となります。

）列の数です。

14）×（ア）個残ります。

自分で図を描いて考えなさい。

⑶）です。
）の

数表 - 正方形に並べる⑷

199 は（）行（）列の数です。

⑸

370 は（）行（）列の数です。

15数表 - 正方形に並べる

ステップ７数から行・列を求める②８ 右の図のように、ある規則にしたが１ ２ ３ ４列 列 列 列
目 目 目 目って数を並べました。

１行目 １ ２ ５ 10
２行目 ４ ３ ６ 11
３行目 ９ ８ ７ 12
４行目 16 15 14 13⑴

63 が何行何列かについて考えます。
①

63 に最も近い平方数は、（ア②）×（ア）×（ア）−（イよって、63 個の数字を並べると、（ア正方形が完成させるに（イ④）です。

よって、63＝（ア③）＝（

よって、63 は（）行（自分で図を描いて考えなさい。

16）個）です。
）×（ア）の足りなくなります。

）列の数です。

数表 - 正方形に並べる⑵

120 は（）行（）列の数です。

⑶

167 は（）行（）列の数です。

⑷

222 は（）行（）列の数です。

17

数表 - 正方形に並べる

ステップ８

逆向き

９ 右の図のように、ある規則にしたが１ ２ ３ ４列 列 列 列目 目 目 目って数を並べました。

１行目 １ ４ ９ 16
２行目 ２ ３ ８ 15
３行目 ５ ６ ７ 14
４行目 10 11 12 13⑴

10 行１列の数について考えます。
１

10①

10 行１列の数までに、数字は全部で（②）×（）＋（

よって、10 行１列の数は（）＝（）となります。

18）個並びます。

数表 - 正方形に並べる⑵

11 行２列の数は（）です。

⑶

13 行３列の数は（）です。

19

数表 - 正方形に並べる⑷

２行９列の数について考えます。
９２①

２行９列の数までに、数字は全部で（②）×（）−（

よって、２行９列の数は（20）＝（）となります。

）個並びます。

数表 - 正方形に並べる⑸

３行 11 列の数は（）です。

⑹

５行 12 列の数は（）です。

21

数表 - 正方形に並べる

１ ２ ３ ４列 列 列 列目 目 目 目

10 右の図のように、ある規則にしたがって数を並べました。

１行目 １ ４ ９ 16
２行目 ２ ３ ８ 15
３行目 ５ ６ ７ 14
４行目 10 11 12 13⑴

65 は（）行（）列の数です。

⑵

122 は（）行（）列の数です。

⑶

258 は（）行（）列の数です。

22

数表 - 正方形に並べる⑷

80 は（）行（）列の数です。

⑸

142 は（）行（）列の数です。

⑹

193 は（）行（）列の数です。

23

数表 - 正方形に並べる

ステップ７

練習問題

11 図のように一定の規則で数が並んでいます。例えば３段目の左から２番目の数は８です。このとき、次の問いに答えなさい。

              ⑴

７段目の一番左の数を求めなさい。

⑵

148 は、Ａ段目の左からＢ番目の数です。Ａ、Ｂに入る数を求めなさい。

24

数表 - 正方形に並べる

12 図のように、あるきまりにしたがって整数を並べていきます。たとえば、３段目の２列に並んでいる整数は６です。このとき、次の各問いに答えなさい。

              ⑴

１段目の 10 列に並んでいる整数は何ですか。

⑵

70 が並んでいるのは、何段目の何列ですか。

⑶

12 段目の 12 列に並んでいる整数は何ですか。

25

数表 - 正方形に並べる

ステップ８【発展】向きが変わる問題

13 右の図のように、規則正しく数を並

１ ２ ３ ４列 列 列 列目 目 目 目べました。また、表の中の数字を次のようにグループ分けしました。

１行目 １ ４ ５ 16
２行目 ２ ３ ６ 15

第１グループ１

第２グループ

２、３、４

第３グループ

５、６、７、８、９

第４グループ

10、11、12、13、14、15、16

３行目 ９ ８ ７ 14
４行目 10 11 12 13：
このとき、次の問いに答えなさい。

⑴

奇数グループは、（右上から左下・左下から右上）の順に、偶数グループは、（右上から左下・左下から右上）の順に並びます。

⑵

グループ番号は、行番号と列番号の（大きい・小さい）方と同じになります。

⑶

平方数（１、４、９、16、･･･）について考えます。
①奇数番目の平方数は、（１行目、１列目）に並びます。

②

偶数番目の平方数は、（１行目、１列目）に並びます。

26

数表 - 正方形に並べる⑷

10 行 11 列の数について考えます。
①

10 行 11 列の数は、第（）グループなので、数字は、（右上から左下・左下から右上）の順にならびます。
②

よって、10 行 11 列の数までに、数字は全部で（）×（）＋（）＝（自分で図を描いて考えなさい。
③

よって、10 行 11 列の数は、（⑸13 行８列の数は、（）です。

⑹

８行 16 列の数は、（）です。

27）です。

）個並びます。

数表 - 正方形に並べる⑺

127 が何行何列かについて考えます。
①

127＝（ア）×（ア②

よって、127 は第（ウ③第（ウ）＋（イ）です。

）グループです。

）グループの数字は、（右上から左下・左下から右上）の順に並びます。

④

よって、127 は（）行（）列の数です。

自分で図を描いて考えなさい。

⑻

158 は（）行（）列の数です。

⑼

300 は（）行（）列の数です。

28

数表 - 正方形に並べる

14 図のように１から順に整数をある規則にしたがって並べました。



⑴

６行５列の数はいくつですか。

⑵

９行８列の数はいくつですか。

⑶

180 は何行何列ですか。

29




数表 - 正方形に並べる

■

解答

１

■
６番目 ５ ６ ７ ８ ９
四角数 25 36 49 64 81

⑶
⑷
⑸
７ ⑴

①⑵

16 17 18 19 20
256 289 324 361 400

⑸
３ ⑴
⑵
⑷
４ ⑴
⑵

49 ⑵ 81 ⑶
169 ⑹

⑵
⑶
⑷
⑸

196

121 ⑶ 169
15、１ ⑸ 17、１⑵

１、３、５、７①③⑴

144

平方数（四角数）

②５

100 ⑷

①②
①
②
51
126
239

２、２、４、４、
３、３、９、９、４、４、16、
16

①②
①②
97192
386

10 11 12 13 14 15
100 121 144 169 196 225

２ ⑴

⑴

⑶
⑷
⑸
８ ⑴

９

７、７、49② ７、７、１③ ７、７、１④ １、８① 10、10、100② 10、10、２③ 10、10、２④ ２、11２、13３、15９、20①８、８、64⑵
⑶
⑷
⑴

①⑵

② 82
102⑶
⑷
⑸
⑹

30

１、７、７、１、48
48８、８、２、6262② ８、８、１、③ ８、８、１
④ ８、２
11、２
13、３
15、４

５、５、
１、
５、５、１、26
26
６、６、２、3838

７、７、９、９、１、82

147① ９、９、１、80② 80119140数表 - 正方形に並べる

10 ⑴
⑶
⑸

９、１⑵

12、１

17、２ ⑷３、12 ⑹２、９４、1411 ⑴49 ⑵ Ａ４

12 ⑴

100 ⑵

⑶
13 ⑴
⑵
⑶
⑷

⑸
⑹
⑺

⑻
⑼
14 ⑴

Ｂ13

９段目の６列133
右上から左下、左下から右上大きい① １列目 ② １行目① 11、右上から左下② 10、10、10、110③ 110
162249① 11、11、６、② 12③ 12、左下から右上④ 12、６13、1218、1132 ⑵ 72 ⑶11 行 14 列31数表 - 正方形に並べる■ 解説 ■
２ ⑴ ７×７＝49⑵
⑶
⑷
⑸
⑹

15

９×９＝81
10×10＝100
12×12＝144
13×13＝169
14×14＝196

３ ⑴

５⑸

16

14個

15平方数（四角数）

⑵
⑶
⑷
⑸

11×11＝121
13×13＝169
225＝15×15 より、15 行１列
289＝17×17 より、17 行１列⑶

７８

14 行 16 列→15×15 の正方形＋14 個
15×15＋16＝239(個) → 239

６⑶

７10

10 行４列→10×10 の正方形−３10×10−３＝→ 97

２行８列→７×７の正方形＋２個
７×７＋２＝51⑷

1011⑷

14

12

14

11

14 行５列→14×14 の正方形−４
14×14−４＝192

５行 12 列→11×11 の正方形＋５個
11×11＋５＝12632

数表 - 正方形に並べる

⑸

⑸

20

19
９個
1920

14個
370＝19×19＋９→19×19 の正方形＋９→９行 20 列

20 行 15 列→20×20 の正方形−1420×20−14＝386(個) → 386

７ ⑶

12８ ⑵

12

11

11

146＝12×12＋２→12×12 の正方形＋２→２行 13 列⑷

120＝11×11−１→11×11 の正方形−１→11 行２列⑶

14141313

199＝14×14＋３→14×14 の正方形＋３→３行 15 列

167＝13×13−２→13×13 の正方形−２→13 行３列33

数表 - 正方形に並べる⑷⑸

151511

11

222＝15×15−３→15×15 の正方形−３→15 行４列

３行 11 列→11×11 の正方形−２
11×11−２＝119⑹９ ⑵1210121011
５行 12 列→12×12 の正方形−４12×12−４＝140

11 行２列→10×10 の正方形＋２個
10×10＋２＝102
10 ⑴
⑶

８

12８
12
９13
65＝８×８＋１→８×８の正方形＋１→９行１列

13 行３列→12×12 の正方形＋３個
12×12＋３＝14734

数表 - 正方形に並べる⑵⑸

1212121213
122＝11×11＋１→11×11 の正方形＋１→12 行１列⑶142＝12×12−２→12×12 の正方形−２→３行 12 列⑷1111141412
258＝16×16＋２→16×16 の正方形＋２→17 行２列⑷９193＝14×14−３→14×14−の正方形−３→４行 14 列
11 ⑴

左の列には平方数が並びます。
７×７＝49⑵９1213

1280＝９×９−１→９×９の正方形−１→２行９列
148＝12×12＋４→12×12 の正方形＋４→４段目の左から 13 番目

35

数表 - 正方形に並べる

12 ⑴

⑸

１段目には平方数が並びます。

1610×10＝100256⑵16８
８行 16 列→16 グループ→左下から右上→16×16 の正方形−７→16×16−７＝249

８
70＝８×８＋６→８×８の正方形＋６→９段目の６列13⑺⑶131216911個
12158＝13×13−11→13×13 の正方形−11→13 グループ
→右上から左下→13 行 12 列

12 段 12 列→12×12 の正方形−1112×12−11＝133
13 ⑷

13

13169

13 行８列→13 グループ→右上から左下→13×13 の正方形−７→13×13−７＝16236

数表 - 正方形に並べる

⑻

⑵

17

17

８８289
９11個
300＝17×17＋11→17×17 の正方形＋11→18 グループ
→左下から右上→18 行 11 列
14
１行
２行
３行
４行
５行
６行
７行

９行８列
→９グループ→左下から右上→８×８の正方形＋８→８×８＋８＝72

１列

２列

３列

４列

５列

６列

７列

１４
５
16
17
36･･･

２
３
６15
1836･･･

９８
７
14
19
34･･･

10
1112
13
20
33･･･

25
24
23
2221
32･･･

26
27
28
29
30
31
･･･

･･･
･･････････････････

第１グループ
第２グループ

⑶

1314
169

13

180＝13×13＋11→13×13 の正方形＋11→14 グループ
→右上から左下→11 行 14 列

１
２、３、４

第３グループ ５、６、７、８、９とグループ分けすると、奇数グループ･･･左下から右上偶数グループ･･･右上から左下に数が並びます。

⑴

64

表に書き込む。3237

11個