創造性の基礎を培う授業構成とその展開
溝

口

達

也

鳥 取 大 学
（第39回 中国・四国算数・数学教育研究（鳥取）大会

研究部長）

はじめに

いないような，その個人独自のアイデアの創第39回中国・四国算数・数学教育研究（鳥出によるものを意味する。「流暢性」は，当取）大会において，われわれは，「創造性の該のことがらに対して，より多くのものを創基礎を培う授業構成とその展開」を大会主題出する様相を表す。また「柔軟性」は，当初として標榜した。この主題の趣旨は，次の通当該のことがらとは無縁であると思われたよりである： 『今後10年間の（鳥取県の）算

うなものに対して，これを結びつけることで数・数学教育の営みを焦点化するものとして新しい何かを生み出すことである。これらの「創造性の基礎を培う」を考えたい。しか3様相は，なるほど多くの先行研究においてし，単にそのような子どもの育成を目指す，

議論されてきているように，われわれの考えというのではなく，そのために教師は何をする「創造性」を明瞭に説明し，記述している

1.

るべきかを考えるとき，教師としての第一義的営みとして，授業をいかに設計し，かつこれを評価することであると考え，このことを「授業構成とその展開」と述べた。教育という営みにおいては，確かに子どもが主役であるものの，教育研究の主体は教師であるという認識を再確認する意味を含めて，本主題を設定した。』

ように思われる。しかしながら，教育の営みに携わるわれわれは，子どもがこれこれの「創造性」を示すことができたといくら分析できたとしても，それでは十分ではなく，む
しろいかにして子どもに「創造性」を実現し得るか，が課題として残されることになる。
それでは，われわれは，上に示された3様

本稿の目的は，この大会主題を解題し，算相としての「創造性」を果たして子どもにい

数・数学教育という営みに対して，特に授業かに実現するべきであるか。このとき，「柔の設計，実践，分析についての枠組みの試案

軟性」については，後述するように教授・学を提案することである。

習上の問題として定立し得ることは可能であろう。一方，「流暢性」については，そのこ

2.

創造性の基礎との価値は認め得たとしても，それではいか

2.1「創造」と「創造的」にしてそのことが具体的に学習指導の対象と創造性という語は，様々な分野，文脈で用なり得るかといえば，「他の考え方はないだ

いられる。われわれは，いまこの語を教育，ろうか」の類いの支援に象徴されるように，

しかも算数・数学教育という営みにおいて考厳密な意味においては個々の子ども自身が実究の対象とするのであるが，一般に創造性が現することを待つ以上に，現在のわれわれが語られるとき，それは，次の3つの様相とし有する手だてはない。そのことは，もう一つて述べられることが多い。すなわち，「独創の様相である「独創性」にも関わることとし性」「流暢性」「柔軟性」である。「独創て考えられ，実際の学習指導においては，わ性」とは，文字通り，これまでに誰も考えてれわれ教師は，いわゆる「別解」を子どもが想起するために，具体的な視点の変更やそこ❖ 困難に直面しても，果敢に立ち向かいで用いられる新たな（数学的）道具の示唆を克服していける子ども

行うのが普通である。もちろん，ここでこの❖ 学んだ数学的な見方・考え方（知識・ことを否定する意図はなく，「独創性」とい技能等）を，学んだ以上に使いこなせう様相から見たとき，それは既に子どもにる（実践できる）子ども

よって実現されたものとはなっていないこと❖ 学んだことを生かして，さらに新しいを示したいのである。この点において示されことを生み出せる子ども

るように，子どもの算数・数学学習において

これは，次節に示される算数・数学学習に対期待される「創造性」は，いわば「開かれたする基本的な考え方から導き出されるもので創造性」といった語義の純粋な意味においてもある。

子どもに依存するものというよりは，むしろ

2.3

教育的に，従って教師によって「期待される

算数・数学学習の問題構成 problèma-

創造性」である。換言すれば，「創造性」に

tique
われわれは，日々学習指導を通して子ども

対して，われわれはこれを《目的》概念（目に望ましい人間性を形成してほしいと期待す的としての「創造」）として捉えるのではな

る。そのためにわれわれは，子どもが算数・

く，《方法》概念（方法としての「創造数学学習を通して，子どもの思考がそれまで的」）として教育の営みにおいてその実現をよりも高次のものへと発展することを期待す図ることを意図することが要請される。目的る。しかし，子どもは「学習」しようとしてとしての「創造」は，既存の知識・概念等の学習するわけではない。ある活動を経たと延長としては，いかにしても可能ではなく，き，結果としてそれが，教師の視点から見れこれらとは異なるものを新しく構成すること

ば「学習」であると映るのである。このときによって初めて可能となる。そのようなこと

子どもが行うことは，ある場面に直面して何を学習の主体である子どもたちに求めること

らかの問題を意識し，それを解決しようとすは ，果たして適当であろうか。そうではな

ることである。そうした問題は，しばしばく，われわれは，当該の教育目標を実現する

子どもの直面する困難として生じる。子どもにあたり，あたかも子どもたち自身が，数学が困難に直面し努力する必要があるような場

的知識・概念等を発見し，構成し，導き出し

合「学習」が成立するのである。 従って，たものであるかのような場の構成を図ること

子どもが問題を解決する際，ほとんど努力をを通して，子どもたちが《真理に対する責任要しないような場合，われわれは「学習」のの担い手》として成長していくことを期待す程度としては，それほど高いものとしては認るのである。

めない。無際限な困難を想定する必要はない

2.2

創造的実践力が，問題を解決する上で，子どもにとって相

従って，われわれは上記の意味において，当の努力を要するような場合，高い程度の純粋な語義としての「創造性」を教育の対象「学習」と認めることになる。それゆえ，子とするのではなく，まさにこの点においてどもがいかなる困難に直面すべきであり「創造性の基礎」を標榜するのであり，そし（epistemological），また実際に直面して，これを実現する上での期待する子ども像（psychological），そしていかにそのようなとして以下のように規定される《創造的実践

困難を克服すべきか（learning），さらにそ力》を掲げる。

れをいかに支援するか（teaching），が基本

的な問題構成（problèmatique）として提起をしていたり，思いを巡らしていたりすればされる。

よいとするものではなく，「算数・数学的活動」はこの意味で理論負荷的な対象である。

3.

算数・数学学習と問題解決

3.1

数学的な見方・考え方と問題解決

われわれは，これまで数回の学習指導要領の改訂を経てきた。そこにおいて，算数科ならびに数学科の教科としての目標の変遷を見た。そのそれぞれに，固有の特徴があり，常にわれわれの教育実践を方向づけてきたことは否定されるものではない。しかしながら，そこに一貫して脈々と流れる算数・数学教育の目的として，われわれは《数学的な見方・考え方の育成》を見ることができる。
数学的な見方・考え方は，文字通り「見方・考え方」であり，それ自体われわれにとって観察不可能である。このとき，前節の指摘を受ければ，まさに数学的な見方・考え方が生きて働く場として，われわれは数学的問題解決をおくのである。すなわち，問題解
決における活動を通して，子どもの数学的な見方・考え方を顕在化させ，これをもって観察可能な対象とすることを意図するのである。このことは，評価の問題とも不可分な関係にあり，われわれは目標として数学的な見方・考え方を掲げる以上，これを評価する必要がある。上述の通り，観察不可能な対象を評価するにあたり，観察可能な問題解決における子どもの活動を通してこれを評価することを考えたいのである。従って，次に問題とされるのは，問題解決における子どもの活動であり，われわれは，以下に述べるようにこれを「算数・数学的活動」として位置づけた
いと考えるのである。
3.2

算数・数学的活動と問題解決目標に対する（方向づけられた）評価の対象としての活動は，従って，教師の目から見たときにそこに数学的価値の備わったものとして認められる必要がある。単に，何か操作

そして，そのことは教師側に終始していてよいとされるものではなく，次には子ども自身
がそのことを自覚的に行うことを目指したい。すなわちこうした考えの基に，「算数・数学的活動」は，子どもが算数・数学の問題解決において，合目的的に行う活動であり，そこには当該の数学的価値が負荷されていると見なされるのである。それゆえ，「算数・数学的活動」は，子どもがそのようにするであろうと《予想される》対象ではなく，まさに《期待される》それとして位置づけられなければならないのである。
3.3

算数・数学的活動と創造的実践力

実際の，子どもの算数・数学学習においては，個々の教材に固有なものとして「算数・数学的活動」は特定されるべきものである。
このとき，そのような「算数・数学的活動」
は，一意に認められるものとして特定される
べきではない。すなわち，われわれは，子どもの学習においてこれを期待するならば，そこには一連の系列としての多様な様相をおく必要がある。換言すれば，子どもが困難としての問題場面に直面したとき，必ずしも一足飛びに，あるいは一様な方向性をもって解決へといたるとは限らない。そのために，われわれは，いかなる数学的価値を有する活動を子どもがいかに経験することによって，真の問題の解決へといたり，かつこれを子どもが評価し得るかを教授上の問題として，同定する必要がある。そのために，実際の授業設計において，これらの活動を特定する視点を設けておくことは，有効であろうと思われる。
このとき，先述の創造的実践力として示された子ども像の様相は，一つの視点の枠組みを提供することになろう。
例えば，次のような事例を考えてみよう。

小学校第6学年の単元『平均』における「平の総和を最初に示された表から求めるこ均の利用」での場面で，以下のような問題がとができることを想起できれば，活動A提示されたときのことである。A，B2つのグはより洗練されたものとなる。これは，ループが表のように空き缶を集めたときのグ《 学んだ数学的な見方・考え方（知識・ループ全体の1人当たりの平均を求める。こ技能等）を，学んだ以上に使いこなせるのときの（実践できる）》様相と見ることができ

期待され
る算数的
活動は，

人数

1人平均の個数

A

18人

15個

B

12人

10個

る。例えば，元のデータをグラフで表せ
ば，おそらくでこぼことした様子を目にすることになるだろう。しかし，最初に以下の通りである。

示された表は，このグラフが2つのグルー

活動A：はじめ子どもはどのように考えてよ

プごとにそれぞれ「ならされた」ものでいか見通しが立っていない。そこで，教あることを意味しており，そのように子師は，A，B2つのグループの平均を算出

どもが見れることは，まさに平均の意味

した基のデータ群を表にしたものを配布をよりよく理解している表れである。

する。このとき，その表は意図的に1列に活動C：さらに，活動Bを基にすれば，次の6個のデータが示されるようにしている。

ように見ることも可能であろう。表に示

子どもは，既習のことがらを用いて，2つされる人数を見ると，どちらも6の倍数にのグループを1つの全体と見なして，（空なっている。この点に着目することにき缶の総数）÷（総人数）により求める

よって，「ならす」という平均の本性を平均を算出する。これは，《困難に直面

基にして活動Bよりもさらに手際よく当しても，果敢に立ち向かい克服していけ該の平均を求めることができる。そしてる》様相と見ることができる。実際，30
人分の各データの総和を求めようとすると，電卓を用いたとしても結構しんどい

15

15

15

10

10

6人

6人

6人

6人

6人

ものである。しかし，それでもこの方法
は，平均というものを最も原則的に求めるものであるとも言える。子どもが，こAのことを既習であるのだから，何としてB

それは，データに対する新しい見方を作でもやってみせるとするのであれば，そり出していることにも注目したい。まされは実に素晴らしい活動として称賛されにその意味で，《学んだことを生かして然るべきである。

て，さらに新しいことを生み出せる》様

活動B：しかし一方で，やはり上記の方法で相と見ることができるのである。実は，はあまりにも手間暇がかかってしまう，

活動Aにおいて必要な子どもに配布されあるいはもっと手際よくすることはでき

た表は，こうした活動Cをその先に期待ないだろうかと考えることも期待したいするものとして用意されたわけである。

ことである。手続きの数が増えれば増えるほど，そこに誤り（計算ミス）が生じ

4.

算数・数学科の授業構成やすくなる可能性もまた増える。ここ

4.1

教材研究

で，子どもが，A，Bそれぞれのグループ

どの教科においても等しく言えることであるが，授業構成を考える上で，最も重要な仕を測定する場面においては，長さとともに最事は教材研究である。従来からも，このことも基本的な測定の対象（量）となる。そもそは強調されてきている。ここでわれわれが検も，何のために測定を行うのか。測定によっ討する課題としては，「創造性の基礎を培て，数値化を図ることにより，得られた測定

う」，換言すれば「創造的実践力を育成す

値を計算の対象（数）へと変換することがそる」ことを目指した授業構成を標榜する上の目的である。そのような数値化は，いかにで，算数・数学学習の教材研究をいかに進めして行われるか。すでに児童は，これまでにるかという点である。既に述べたように（cf.

長さやかさ，重さ等について，量の数値化を2.3），算数・数学学習を，基本的に子ども経験してきている。そこでは，それぞれの対が困難としての問題に直面しこれを解決する

象の基本単位を決め，その何倍か（比例倍）こととして捉え，その学習指導が，子どもにで数値化が行われてきている。しかし，そのいかなる困難に直面させるべきであり，かつ前提として，そうした量が果たして測定可能

子どもは実際にどのように直面し，教師はそである，という認識を有することが必要とさの解決（困難の克服）に当たっていかに支援れる。角（度）はまさに，そのような認識をしていくべきかと見るならば，われわれは少有する必要を確認されるべき対象であろう。

なくとも次のような2つの相に係わる教材研

このためにどのような活動が要請されるべき究が要請される。

か。「量」として，すなわち測定の対象とし数学的立場からの考察て角（度）を認識する以前に，児童は「比第一は，数学的立場からの考察である。こ較」という活動を経る。このことは，単に心れは，教材として位置づけられる内容の学問

理（学）的に測定に向かわせるにあたって，知としての数学的背景を知ることを単に意味

認知的負担の軽いものから始めるという理由するものではない。もちろんそのことも重要からだけではない。量は，初めから量としてなことであろう。しかし，それ以上に，その存在しているわけではなく，それを量，すなような内容を教材として位置づけることの数

わち測定の対象として認識することが極めて学的価値（「よさ」），またそうした内容の重要な活動となってくる。長さや重さの場

系統性や困難性等の分析が中心的な作業とな合，このことに特に留意することがなくとる。

も，児童は，いわば直観的にそれを認識することが可能である。このこと自体は否定され教育的価値るものではない。しかし，かさは，必ずしもそうではなく，角（度）についても同様であ

数学論

数学史・数学的認識論

算数・数学科の教授学

授業設計・授業分析

数学学習心理学る。このために，先ず，少なくとも大小の区別が可能であることから始めることで，何と数

学

かその大小を普遍化しようとする意図の実現を図って，測定による数値化が行われるので

例えば，小学校第4学年の『角』の学習指ある。これが，比較による量としての対象化導において，次のような知見を得ることが数の基本的な考え方である。では，特に角学的立場からの考察となり得る。

（度）の場合，このことがいかになされるべ『角は，図形の構成要素として，最も基本きであろうか。量の指導には，測定の他に，的なもの（形）の一つである。同時に，図形「量感」の指導がある。すなわち，量の／についての／に対する感覚の指導である。角か，あるいはそこに潜在的に含まれる克服さ（度）には，これまでの量と違い，回転といれるべき困難を，児童は経験することが可能

う動的な操作を伴う量感が要請される。このであろうか。本学習場面において，最も重要操作を伴わなければ，実際角（度）の比較

な点は，和が10を超える場合，10の補数を基が，不可能だからである。比較によって大小に繰り上がる操作を考え出すことである。こが決定されるということは，このことの一意の点が，児童の問題解決活動において期待さ性が保証される必要があることを意味する。

れる算数的活動として組織される必要があ

例えば，30°と150°，あるいは45°と315°を区る。そこで，本時は，（具体的な問題場面に別するためには，回転という動的操作が不可

ついては省略）8＋6が問われる場面を設定

欠なのである。同時に，このことは，測定をし，以下のような算数的活動の変容を期待しする際にも基本的な前提となる。すなわち，たい。

これまでの量の測定においては，測定値は単

活動A：数え足しを有する。このために，他の量との形式保存○1 ○2 ○3 ○○ ○ ○ ○ ●9 ●●●●●4 5 6 7 8
10 11 12 13 14を意図するならば，これまでの（静的）量に「式に表すことのできる操作を考えてみ対して動的量としての性格が要請されるのでよう」

調増加であるのに対して，角（度）は周期性ある。』

活動B：10の補数

問題解決の立場からの考察○○○○○ ○○○●●●●● ●

B1：

教材研究の第二の相は，問題解決の立場か☜両方を分解しなければいけないらの考察である。これは，第一の相，すなわ○○○○ ○○○○●●●●●●

ち数学的立場からの考察によって分析されたB2：（教材として位置づけようとする）内容を子
どもが学習するにあたって，具体的にどんな☜10を作るのに，あといくつ必要かを問題（とその系列）が用意され，実際の活動

考えた優れた方法だが比較的大きな数

ではどんな（数学的）活動を経ることがそうを足さなければならない○○○○○○○○●●●●●●

した価値を経験し，困難を克服し得るか計画

B3：

することである。
例えば，小学校第1学年における『繰り上☜10を作るのに，後いくつ必要かを考がりのあるたし算（第1時）』について，次のような知見を得ることが問題解決の立場か

えたより優れた方法
活動C：Bの操作を式に表し，式を用いて，らの考察となり得る。

操作を説明できる。』『繰り上がりのあるたし算は，第1学年の児童にとって，既習事項を基に新しい数学的知識を構成していく格好の教材であるといえる。教科書では，通常（問題場面の違いはあっても）数値として「8＋3」が選択されることが多いようである。しかし，この数値設定で「繰り上がりのあるたし算」の数学的価値の実現を期待する問題解決が可能であろう

4.2

数学的問題解決の授業

教材研究を経て，われわれはこれを授業という教授学習場面に臨む。それは，教師，子供，教材によって構成される教授学的三角形の相互作用による営みとして理解されるもの
であり，算数・数学学習においては，数学的問題解決の様相をとる。これは，2.3において

4.2.1
教師

子ども問題の提示：「よい問題」の開発と見積もりの重視上述の通り，教師は，教材研究によって，子どもがいかなる困難に直面するべきか，と教材いう点を明らかにする（数学的立場からの考述べたように，子どもが学習するとは，直面察）。このことは，次に，子どもがそのようする問題（困難）の解決（克服）を意味し，な困難に実際にいかに直面するべきであり，教師は，子どもの問題解決が成功裡に進行す

どのような解決の方向性を有することを期待るべくその環境を整えることとなる。

するか（問題解決の立場からの考察），とい

一般に，算数・数学の授業としての数学

うことの検討を要請する。問題の提示の場面

的問題解決は，これまでの研究成果においにおいては，従って，単に所与の問題場面がて，次のような基本的な流れを踏むことが認

子どもに提示されればよいのではなく，開発められてきている。われわれは，さらに先述

された「よい問題」が，真に子どもの問題として子ども自身が問題意識を持てるようにす問題の提示

ることが学習指導上のポイントとなる。このとき，一人一人の子どもの問題解決力の育成

自力解決を考えるならば，解決の方向性を決定してしまうような行き過ぎた見通しを教室全体で確解決の練り上げ認することは避けたい。必要なことは，与えられた問題場面の分析であり，これによって振り返り／評価問題

そこで真に問題となることの焦点化（定式化）が把握されることが行われるべきことでのように，ここに算数・数学的活動を位置づけることにより，数学的問題解決の授業のよある。その際，多くの場面で見積もりを行う
ことが有効であろう。

り一層の充実を図るものである。それは次のような枠組みによって示されるものである。
問
自力解決

支援

統

練り上げ
算数・数学的活動B

課題2

算数・数学的活動C

一般化・拡張・体系化

課題n

算数・数学的活動N

算数・数学的活動C支援

発展

算数・数学的活動B支援

合
的

算数・数学的活動A

支援

€
的
考
察

評価問題／振り返り

以下では，この基本的な枠組みに沿って議論を展開する。

数の加減の学習（同値な分数）において，次のような問題場面（具体的な場面そのものは

題

課題1

例えば，小学校第6学年における異分母分省略）が提示されたとしよう。
223『(ℓ)， (ℓ)， (ℓ) の大小関係』
4
3
4
2
2
ここで期待される見積もりは， とを43
比較するとき，分子が同じで分母が異なる€€（前者が4等分されたものの2つ分，後者が3€€等分されたものの2つ分）ことから，後者の
23方が大きいこと，また
と
では，分母
4
4
が同じで分子が異なることから，後者の方が大きいこと，従って，解決しなければならな€€
2
3
いのは， と ではどちらが（しかもどれ
3
4

€

€

だけ）大きいか，ということである。

なされる》とするものであり，ここで数学的こうした活動が，問題の分析にあたって必価値を負荷して子どもの活動を見るのは教師要とされ，この場合，ここで行った見積もりである。そのように負荷された数学的価値から，分母をそろえれば（分子をそろえれが，学習の結果，子どもにも移譲されること

ば）大小の比較ができる，という見通しを得をねらうのである。従って，従来「予想されることが可能となる。（「よい問題」の開発

る反応」として捉えてきた子どもの活動は，については，単元の指導計画と連関して述べ(教師によって)「期待される活動」として捉る(cf. 5.)。）

え直され，これによって，個々の活動には，

4.2.2

自力解決：期待する算数・数学的活動

それぞれどんな数学的価値を負荷するか，ととその変容のための支援いうことが位置づけられることとなる。この自力解決について通常見られるのは，授業とき，それでは従来の「予想される反応」はにあたり，教師が児童・生徒の予想される反全くその役割を果たさないかといえば，決し応を列挙することである。このことは，それてそうではない。いくら素晴らしい数学的価自体否定されるものではないし，むしろ（学値が負荷されようとも，子どもの実態と全く

級・教科の）担任であれば，個々の子どもがかけ離れた活動を期待するわけにはいかな

およそどんな行動をするであろうかと予想でい。また，「期待される」ということは，必きることは，望ましいことである。しかしなずしも子どもの反応としては予想されないもがら，いわゆる「個人差に応じた指導」につのも含むということであり，従って，次にいての次のような指摘は，授業を設計してい「支援」が問題とされるわけである。

く上で極めて重要なことである；「2人の学習者A，Bが，異なる解決（考え方）を実行することが，直ちに教授上の問題となるのではなく，AとBに対して，同一の対応でよいのか，それとも異なる対応を必要とするのかが問われ，それによって何種類の対応が必要とされるかが定まる。」すなわち，個人差に応じた指導（解決予想）の根拠は，学習者の可能な解決パターンにあるのではなく，教授上いかなる指導（支援）が要請されるかにある。それでは，そのような「支援」は何に対して，何のために実施される必要があるか。
このとき，われわれは子どもの算数・数学的活動に焦点をあてたいと考えるのである。ここで言う「算数・数学的活動」は，単に操作
活動や実験的活動のみを意味するのではない。先述の通り(cf. 3.2)，「算数・数学的活動」とは，《子どもが算数・数学の問題解決
において，合目的的に行う活動であり，そこには当該の数学的価値が負荷されていると見

目

標

教
育
的
価
値
の
実
現

の

達

成

期待する活動C

期待する活動B

期待する活動A

支援

支援

先の指摘にもあったように，支援は子どもの個人差に応じた手だてである。しかし留意すべきことは，単に問題の解決を直接的に導くようなものではないということである。上述のように，われわれは期待される算数・数学的活動を位置づけた。それらは，それぞれが価値負荷的なものであった。従って，個々の活動は，どれかひとつを子どもが経験すればよいとされるものではなく，（必ずしも自力解決の場だけでとは限らないが）授業全体
を通してすべての子どもがこれらの活動を経験することに値打ちがある。そのため，「支援」は，そうした個々の活動の橋渡しとし

て，子どもの活動の水準を適切に高めていくる。従って，練り上げを開始するにあたっ

ものでなければならない。そのような自力解て，言わば「参加チケット」として《解決決の過程を踏むことが，次の練り上げの場にB》は位置づけられる。このとき，練り上げ

おいて，真に練り上がっていく様相を，一人における活動を取り上げる上で示される「課一人の子どもが経験し得るものとなる。

題」は，基本的には，自力解決における「支練り上げ：統合的発展的考察

援」であってよい。それは，以下の理由によ

4.2.3

まず最初に確認しておくべきことは，練りる。個々の「支援」は，活動の促進を意図す上げの場は，決して子どもの解決の発表会でるものとして置かれたものであり，それゆえあったり，ましてや品評会ではない，という

それらはその一つ一つが子どもにとって重要ことである。練り上げは，数学的知識や概念な意味を持つことになる。もし自力解決におについての社会的構成を意図して行われるもいてようやく《活動B》に着手することがでのといってよい。われわれは，先に学習を子きた子どもには，以後の「支援」をまだ経験

どもの困難の克服と位置づけた。そのようなしていないことになり，そこから教室全体で困難は，子どもが個々に克服すべきものであ協同で解決活動を遂行していく必要がある。

るものの，克服によって達成される認識（知《活動B》を何とか達成し，次の「支援」を識，概念，等）は個人的であるべきではな

教師から受けていた子どもには，その「支い。すなわち，社会的に共有される・受け入援」によって期待される活動がまだ達成されれられるとされる知識・概念等をその達成にていないわけであるから，この子どもは，こおいて意図するのであり，学習指導の過程にこから協同で解決活動を遂行することになおける個々の子どもの個人的な知識の変容をる。《活動C》を遂行していたり，達成した

教授学上の問題として，自力解決の場を置く

子どもには2つの可能性がある。第一は，期のである。この意味で，自力解決のための練待する活動の系列に沿って解決活動を変容さり上げではなく，練り上げのための自力解決せてきた子どもである。このような子どもにである，ということができる。すなわち，自は，自らの解決活動を振り返る貴重な場を提力解決の過程で，子どもが様々なことを考え供することになる。第二は，初めから自力でたのだから，是非これらを他の子どもに紹介《活動C》を達成した子どもである。もちろ

したい，として練り上げが行われるのでは決ん自力解決の場においても同様な教師の働きしてなく，練り上げを首尾よく実施しようとかけが必要なことはいうまでもないが，このするとき，そこにはどうしても個人差が顕在ような子どもたちは，多くの場合，自身が遂化し，通常授業の最初から練り上げに入るこ

行した活動の価値を必ずしも把握できているとが不可能なため，まず自力解決の場を置く

わけではない。従って，練り上げの場においのである。従って，すべての子どもたちが練て，個々の解決活動の価値とその変容を，教り上げの場に参加できることが，必須要件と師による「課題」を基に経験することを通しなる。先に示した図においては，1つのケーて，自らの解決活動の価値を真に評価し得る

スとして，練り上げが《活動B》から開始さことになる。

れている。このようなケースにおいては，自以上は，どちらかと言えば，形式的，形態

力解決の場において，既にすべての子どもが的なことがらに関するものである。より重要《活動A》を達成しており，《活動B》を達なこととして，「練り上げ」とは何かと言う成したかこれに従事していることが要請され根本的問題にわれわれは答える必要がある。

数学的問題解決の授業では，所与の問題の解う：右の図における決が得られればそれでよいとされるものでは（三角形，平行四辺ない。そのような問題解決（の過程）を通し形，台形の）面積のて，数学的な概念，知識，技能，等を作り上比を求めなさい（小げていくことにこそそのねらいがあると言っ学校第6学年）。こてよい。従って問題の解決が得られることの問題に対する「期は，真の練り上げの開始であると見ることも待される算数的活動」は，次の通りである。

できる。先に示した図において，《活動C》（与えられていない辺の比については，問題に続いて，《活動N》を位置づけるのはこのの分析を通して確認したものとする。）

ためである。再度，算数・数学教育の目標に

活動A：「高さ」に何らかの具体的数値を当立ち返るならば，それは「数学的な見方・考てはめてそれぞれの図形の面積を算出

え方の育成」と述べることができるが，われ活動Aでは，面積を求める上で必要な高さ

われはこのことを子どもの問題解決力の育成が与えられていないことから，仮想的に高さということに還元して目的の達成を図ろうとをたて，その比を求めている。このとき，高するのであった。ここで，「数学的な見方・さはどんな値であっても面積の比は不変であ考え方」を育成するとは，「算数・数学にふることの認識が要請される。

さわしい創造的な活動ができるようにするこ

活動B：それぞれの図形を三角形に分割し，と」と言われることもある。このとき，その面積の比を底辺の和の比に還元ような「創造的な活動」の典型として《統合活動Bでは，活動Aにおいて個々の図形の的発展的考察》が指摘される。統合的発展的求積公式を利用していたのに対し，ただ一つ考察とは，「統合による発展を目指した考の求積公式を利用することで，求める面積の察」であり，われわれは，まさに統合的発展

比を簡潔に表すことが実現される。

的考察こそが練り上げの場で行われることと活動C：それぞれの図形を台形とみなし，面

5

3

4

して捉えたいのである。そうした統合的発展積の比を（上底＋下底）の比に還元的考察の実際の様相として，図においては活動Bで，一つの観点により問題の解決を《拡張》《一般化》《体系化》が示されてい図っているものの，そのために図形に補助線る。すなわち，これによって初めて，問題のを加えるという操作が必要とされた。これに解決を通して数学的な知識や概念を構成する

対し，活動Cでは，そのような操作を必要とことが達成されると見るのである。この意味

せず，むしろ観点そのものに変更を加えるこで，後述の指導計画についての議論とも連関とにより問題が解決されている。

するが，いわゆる「発展」は，単元の終末だ

活動Cにおける観点の変更を指摘したが，けに位置づけられるものではなく，毎時間のより詳しく述べれば次の通りである。活動B

授業の中で，特に練り上げの場において行わにおける求積公式の利用は，公式が直接適用れるものとして位置づけたい。以下では，特できるために図形を個々の三角形に分割したに，《拡張》と《一般化》について検討してことは上に述べた通りである。一方活動Cでみよう。

は，台形の求積公式を利用しやすいように図形に操作を施しているわけではない。台形の《拡張》と《一般化》
例えば，次のような問題の解決をみてみよ

定義に基づいて，平行四辺形を台形の仲間として見る（包摂関係）ことで， この公式をより広い範囲に適用できるようにしている。さ
らに，このような見方を（直角）三角形にも

M’
D

D
M

拡げて見ているのである。このとき，台形のM

D’

求積公式には，何らこれまでと変更がなされたわけではない。言わば，既知の数学的アイの様相が要請されることになろう：1）整数

デアを，これまで以上にその適用範囲を拡大の場合に成り立ったかけ算の意味が，小数のしていると指摘できる。換言すれば，台形の場合（×小数）では，不都合であることの認

求積公式の利用の《一般化》が行われたとい

識；2）小数の「乗法」の意味をつくる／小える。このときわれわれは，《一般化》につ数の場合に成り立つ意味の構成（この時点でいて次のことを確認する。すなわち，《一般は，厳密にはまだ乗法であるとは宣言できな化》のプロセスにおいて保存された数学的アい）；3）新しくつくった意味と，既に在る

イデアは何であるか，そしてそのような数学

意味との比較；4）既に在る意味を，新しい的アイデアによって従来の「特殊」であった意味に統合。

どんなものが統合され得たか，という点である。

ここで考えたいことは，《一般化》との違いである。上述のように，《拡張》は，はじ以上の《一般化》に対して，算数・数学学

めに拡張されるべき意味（概念）が所与のも習における《拡張》の場面として典型であるのとして示された上で初めて可能であるとい（×小数）の乗法の意味の拡張の場面についうことである。これに対し，《一般化》は，て検討しよう。乗法の意味の拡張とは，言う

既知のものを文字通り一般化していくことでまでもなく，（×整数）の場面で，乗法の意あり，そこには認識上の方向性が認められ味が「同数累加」であったのに対して，このる。すなわち，両者は認識論的に見て，かな

意味づけでは（×小数）の意味をうまく説明

り違った様相を呈するであろうということですることができないため，これを「割合としある。《拡張》と《一般化》は， どちらもての意味」すなわち，A×pについて，「Aを数学的な見方・考え方（の育成）として必要1と見たときにそのpにあたる大きさ」としてかつ重要なものであることは間違いない。両意味づけることである。

者はよく混同されて用いられることもある

このとき，新しく作られる意味は，（×整が，上記のような検討を踏まえるならば，数）の意味を基にして考えられるものではな

明確に区別されるべきものであることが確認い。むしろ，新しい意味ができた後に，これされ，従って授業，特に練り上げの場においまでの（×整数）の意味との比較を通じて，てもその展開の仕方には異なるアプローチがこれを取り込んでいくこと，換言すれば統合要請されることになろう。

していくことになる。これが《拡張》であ演習る。拡張とは，普通次のように述べられる：

次のような事例について，これまでの議

広い領域D’において成り立つ意味M’が，Dに論を演習してみよう。

限定したときMと同値であるとき，M’はMの問題は，「図のよ拡張であるという。》もしそうであるなら

うに，l ∥ m，P, Qをそば，（×小数）について乗法の意味を拡張しれぞれAB, CDの中点ようとするとき，少なくとも次のような活動

Al《領域Dで意味Mが成り立つ。Dを含むより

D

a

P

m

B

Q

b

C

とし，AD=a，BC=b とするとき，PQの長さができる。

を a, b で表せ」というものである。ここで真一方，この場面は小学校算数の立場で見れに問題としたいことは，「点 A, B, C, D の位

ば，PQの長さは，ADとBCの平均であると見置によって，PQ の長さはどのように変わるることもできる。換言すれば，「平均」といか」ということである。

う数学的アイデアが，抽象され洗練されたと最も把握しやすい場

見ることもできるのである。小学校における合は， 点 A, D が一致

同様の扱いとして，次のような場合がある。

するときであろう。こ図のように，外側の長方形の場合，中点連結定理と内側の長方形（ちょうど（中学校第2学年）に「真ん中」に位置していより，PQ=b/2 が導かる）の中間に作った「道」（図の点線部分）れる。原題の図の場の長さを求める問題である。いま，外側の長合は， 第一の場合を2PQ=(a+b)/2 が導かれ方形の周囲の長さをL，内側の長方形の周囲L+ℓの長さをℓとすれば，求める長さは，2として得られる。これは，「平均」の考えにる。では，ABとCDよるものである。では，内側の長方形の位置

が平行線の内側で交が「真ん中」ではない場合，どのように見る

差する場合はどうでことができるか。内側の長方形が平行移動しあるか。第2の場合にた場合，元の考え方を押し拡げて，処理するおける方法を一般化すれば，やはり中点連結ことができる（一般化）。回転移動した場合

定理を2回適用することで， PQ=(b-a)/2 が導はどうか。ここでは結論だ

かれる。しかし，この考え方は図的直観に依けとするが，右図のように存するところが大きい。すなわち，なぜ前の「中間の道」を定義するこ場合において（分子が） (a+b) であるのに対とで，（中点連結定理を利して，この場合 (b-a) になるかということの用して）これまでの形式（上の式）を保存す説明である。中学校第2学年の学習として，ることができる。しかもこの見方は，平行移長さに対して何らかの約束をすることで正の動した場合についても含めて考えることがで長さ・負の長さを決めることも可能であろき，《拡張》による統合が行われたと見るこう。高等学校であれば，ベクトルのアイデアとができるのである。

を利用することで，|AD|=|a|，|BC|=|b|と算数・数学的活動の関連付け回適用することで，ここまでの議論において，《一般化》や見ることで，
AD + BCa +b=2
2《拡張》による統合的発展的考察を事例を元として，4点 A, B, C, D の位置に依存するこ€となく示されたことになる。これは，中点連践においてこのことがどのように実現される結定理の《拡張》になっており，そのような《一般化》や《拡張》は，もちろん教材研究

見方によって，あらゆる場合について統合すを通じて，当該の教材をいかに授業においてることが可能となり，従ってそのような統合展開していくかという視点から決定されるもによって発展的な考察が行われたと見ることのではあるが，少なくとも教師はそのことをPQ =(a, b はともに負の値をとり得る）に展開してきたわけであるが，実際の授業実か，という点について確認しておきたい。

目指しているものの，子どもは初めからそのような指摘に耳を傾けてみよう：「「統合」ことを意図して思考を展開するわけではなということは，目標という立場からは，子どい。従って，特に練り上げの場において，

もにそうした観点に立って創造的に取り組む「さあ一般化（あるいは拡張）しましょう」

ことができるようにするということがねらいとは当然働きかけることはない。このとき，

であるが，その基盤には，先ず，教師が，統いずれのアプローチにおいても，統合的発展

合・発展という立場に立って，前後の内容の的考察を促すということは，個々の算数・数つながりをつかみ，その観点に立った課題の学的活動を関連付けることによるものである

提示が行われていることが必要なのであことを確認することができる。すなわち，活る。...しかし，実際には，こうした点に，む動間の関連付けを図るとき，それが当該の教しろ問題がある場合が少なくない。」ともす

材に応じて《一般化》によるものであったりると，教科書の問題を教科書の配列のまま指《拡張》によるものであったりするわけであ導することがあるが，まさにわれわれはこうる。それゆえ，教師が練り上げにおいてまずした実態を見直す必要がある。これまでに，ねらうことは，個々の算数・数学的活動はど

子どもの創造的実践力を育成するにあたり，のように関連付けられるか，という点にある

数学的問題解決の授業を算数・数学的活動をといってよい。

組織化することで再構成することを試みてき振り返り/ 評価問題：次時への課題た。そのような問題解決は，1時間ごとにそ問題解決の授業における最後の相は，本時の評価がなされるだけでは不十分であり，少の学習を振り返ったり，あるいは本時の学習なくとも単元を通した問題解決を構想する必の達成を確認すべく評価問題を実施すること要がある。このとき，単元を通した問題の開である。特に評価問題は，よく本時の問題よ

発ということが従来からも指摘されてきた。

りもはるかに困難である問題が提示されるこ

ここでは，このことをより一層充実するためともあるが，その意図するところは，本時達にも，下表に示されるような単元の指導計画成された統合的発展的考察，換言すれば，本

時

4.2.4

学習内容

本時の目標

中心となる考え問題

主たる算数・数学的活動

時の問題の解決を通して構成された数学的知
識や概念の確認をすることであるとするなら
ば，本時の問題に比べていたずらに複雑すぎることなく，この時間に学習したことはこんなことだった，と確実に子どもたちが意識し得るような問題設定が望ましい。
また，そのような評価問題等を通して，本を構想したい。すなわち，従来単元の問題

時の学習を振り返ることにより，次にいかな（群）を構想する仕方でその指導計画が設計ることが問題となりそうかの見通しを与える

されることを目指していたのに加え，毎時間

ことも，後述する指導計画とも連関して，問を結ぶ「中心となる考え」と各時間に展開さ題解決が単元を通して行われる上で極めて重れる「主たる算数・数学的活動」を構想する

要な授業設計の観点となろう。

ことである。「主たる算数・数学的活動」に

5.

単元の指導計画の再編成
上述の統合的発展的考察に関わって，次のついては，事例の考察を通じて上述してきた通りである。ここで「中心となる考え」とは，端的に言って，各時間においてどのよう

な統合的発展的考察が行われることを目指す

授業設計

か，ということを焦点化したものであり，実学習指導案の事前検討際の様相としては各時間にどのような一般

授業記録

化，拡張，あるいは体系化が期待されるか，

抽出児童・生徒の観察と記録ということになろう。
授業分析

このような指導計画が構想されることが望

授業記録に基づく
具体的討議

ましいことではあるが，現実にはなかなか物
理的，時間的な要因により実現が困難であろたのか，それともどんな点で不十分であった

うことが予想される。しかし，授業研究会がり，あるいは欠落していたのか，といった次実施される際や，後述するように教員のチーにつながる生産的な協議が可能となろう。こムが個人個人手分けをすることでこのようなのための具体的方策としては，授業の中で，指導計画を財産として共有できることを期待

抽出児童・生徒の行動を観察し，そのようなする。このことは，また授業実践の評価を科

児童・生徒に対する教師の支援によって活動学的にするためにも重要な資料となることがはどのように変容し得たか，またはそうでな想定される。すなわち，昨年よりも，5年前かったか，といった授業記録を基にした協議

よりも，そして10年前よりもどんな点がどんを行うことを提案したい。さらに，このようなふうに進展したと見ることができるか，とな授業研究会が，これまで以上に学校現場でいうことに対する具体的資料としてである。

積極的に実施されることを期待したい。ともすると，進度等の時間的な問題などによりな

6.

協同による授業研究の実施
最後に次の点を指摘しておきたい。ともすると，様々な場における授業研究会におけるいわゆる研究授業は，授業者本人の苦労の上に成立していることが多い。このことは否定されるものではないが，しかし，その結果，

かなか実施しにくい状況もあるようである
が，より長期的な視点に立ったときに，その場の取り繕いよりもはるかに優れて教師一人
一人の学習指導力の向上こそが，子どもの学
びの力を高めていくことにつながることを，われわれは改めて肝に銘じたい。

研究会を実施しようとしてもなかなか授業者が決定しなかったり，決定した授業者の負担

7.

おわりに

が極めて大きいものであったりする。このこ

本稿では，論述の煩雑さを避けるために，とは，研究会においても協議の中で議論が実敢えて引用・参考文献の出典を明記しなかっのあるものとなりにくかったり，逆に苦労した。本来はこのようなことは望ましいことでた授業者に不満が残る原因にもなりがちであはないものの，以下主要な資料とさせていたる。この意味で，「互いに授業を見合う」とだいた文献を示したい。もちろん，この他にいったこれまでの授業研究会の実施の様相かも諸所に渡って示唆を受けた文献があり，まら「ともに授業を作る・語る」という様相へた本稿の文責はすべて筆者にあることは言うの転換を提案したい。すなわち，少なくともまでもない。

授業研究会における授業設計は協同による- 中島健三 (1981). 算数・数学教育と数学的なチーム作業と捉えるべきであり，これによっ

考え方：その進展のための考察，金子書房.

て，その協議においては，まさに当初設計の- 伊藤説朗 (1993). 数学教育における構成的段階で考えられたことが首尾よく実現され得方法に関する研究（上・下），明治図書.