場合の数 - 区別のあるなし

人間の区別

１⑴

４人を１列に並べる並べ方は（）通り。

人間はすべて区別あるものと考えます。
つまり、Ａ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君と考えます。

⑵

男子２人と女子２人を１列に並べる並べ方は（男女の区別の前に、全員区別があります。

1）通り。

場合の数 - 区別のあるなし

モノの区別

２
⑴

りんご、みかん、バナナ、なしを１列に並べる並べ方は（） 通り。

⑵

りんご４個を１列に並べる並べ方は（）通り。

くだものやボールなど人間以外の「モノ」は、区別がないと考えます。

３⑴

ボール４個を１列に並べる並べ方は（⑵

赤、青、黄、白の４個のボールを１列に並べる並べ方は（2）通り。

）通り。

場合の数 - 区別のあるなし

動物の区別

４
⑴

さる、鳥、犬、いのししを１列に並べる並べ方は（⑵犬４匹を１列に並べる並べ方は（）通り。

動物は区別がないものと考えます。

3）通り。

場合の数 - 区別のあるなし

５⑴

男子１人と女子３人を１列に並べる並べ方は（⑵犬１匹と猫３匹を１列に並べる並べ方は（）通り。

）通り。

６⑴

男子２人と女子２人を１列に並べる並べ方は（⑵

りんご２個とみかん２個を１列に並べる並べ方は（4）通り。

）通り。

場合の数 - 区別のあるなし

場所の区別

７⑴

２人を２つのグループに分ける分け方は（）通り。

グループに区別はないので、（Ａ、Ｂ）と分けるのと（Ｂ、Ａ）と分けるのは同じ分け方と考えます。

⑵

２人を１号室、２号室に分ける分け方は（）通り。ただし空き室はないものとします。

部屋に区別があるので、（Ａ、Ｂ）と分けるのと（Ｂ、Ａ）と分けるのは違う分け方と考えます。

5

場合の数 - 区別のあるなし

８⑴

３人を３つのグループに分ける分け方は（）通り。

⑵

３人を一等車、二等車、三等車に分ける分け方は（）通り。ただし空車はないものとします。

９⑴

４人を赤組２人、白組２人に分ける分け方は（⑵４人を２人と２人に分ける分け方は（）通り。

）通り。

人数が同じグループに分ける場合、２つのグループに区別がないので、（ＡＢ、ＣＤ）という分け方と（ＣＤ、ＡＢ）という分け方は同じ分け方と考えます。

6

場合の数 - 区別のあるなし

10⑴

６人をＡ室３人、Ｂ室３人に分ける分け方は（⑵

６人を３人と３人に分ける分け方は（）通り。

）通り。

人数が同じグループに分ける場合、２つのグループに区別がないので、（ＡＢＣ、ＤＥＦ）という分け方と（ＤＥＦ、ＡＢＣ）という分け方は同じ分け方と考えます。

7

場合の数 - 区別のあるなし

ボールと箱の区別

11⑴２個のボールを大小２つの箱に分ける分け方は（）通り。ただし空き箱はないものとします。

⑵赤白２個のボールを大小２つの箱に分ける分け方は（）通り。ただし空き箱はないものとします。

12⑴３個のボールを兄と弟に分ける分け方は（）通り。ただし少なくとも１個はもらうものとします。

⑵☆

赤白黄３個のボールを兄と弟に分ける分け方は（し少なくとも１個はもらうものとします。

8）通り。ただ場合の数 - 区別のあるなし

13⑴

見分けのつかない２つの箱に３個のボールを分ける分け方は（）通り。ただし空き箱はないものとします。

⑵

大小２つの箱に３個のボールを分ける分け方は（）通り。ただし空き箱はないものとします。

14⑴

見分けのつかない３つの皿に４個のりんごを分ける分け方は（）通り。ただし空き皿はないものとします。

⑵

大中小３つの皿に４個のりんごを分ける分け方は（し空き皿はないものとします。

9）通り。ただ場合の数 - 区別のあるなし

さいころの区別15⑴

見分けのつかない２つのさいころを同時にふって、目の和が６になる目の出方は（）通り。

さいころの区別がないので、（１、２）と出るのと、（２、１）と出るのは同じ１通りと数えます。

⑵

大小２つのさいころを同時にふって、目の和が６になる目の出方は（）通り。

10

場合の数 - 区別のあるなし

何回目の目であるかの区別

16⑴

見分けのつかない２つのさいころを同時にふって、目の和が６になる目の出方は（）通り。

見分けのつかないさいころを同時にふるので、（１、２）と出るのと（２、１）と出るのは、同じ目の出方と考えます。

⑵

１つのさいころを２回ふって、目の和が６になる目の出方は（通り。

さいころは同じでも、「１回目」と「２回目」の区別があるので、（１、２）と出るのと（２、１）と出るのは違う目の出方と考えます。

11）

場合の数 - 区別のあるなし「取り出し方」と「並べ方」の区別

17⑴

赤玉 2 個、白玉１個の中から２個の玉を取り出す取り出し方は（）通り。

取り出すだけなので、（赤、白）と取り出すのと、（白、赤）と取り出すのは同じ取り出し方と考えます。

⑵

赤玉 2 個、白玉１個の中から２個の玉を取り出して一列に並べる並べ方は（）通り。

並べる場合は場所に区別があります。よって、（赤、白）と並べるのと、（白、赤）と並べるのは違う並べ方と考えます。

12場合の数 - 区別のあるなし

円順列

18⑴

３人を一列に並べる並べ方は（）通り。

⑵

３人を輪になるように並べる並べ方は（）通り。

くるくる回して同じになる並び方は１通りと数えます。

19⑴

４人を一列並べる並べ方は（）通り。

⑵

４人を輪になるように並べる並べ方は（13）通り。

場合の数 - 区別のあるなし

じゅず

数珠順列

20⑴

４人を輪になるように並べる並べ方は（）通り。

⑵

異なる４つの玉を輪になるようにひもでつなぐつなぎ方は（り。ただし裏返すと同じになるつなぎ方は１通りと数えます。

地上に人間を並べる場合は、輪を裏返すことはできませんが、モノを輪にする場合は、輪を裏返すことができます。

14）通場合の数 - 区別のあるなし

21⑴

右図のようなふたのない立方体のいれ物の側面に、赤白青黄の４色で色をぬるぬり方は（）通り。

前後左右に区別がないので、横にくるくる回して同じになるぬり方は１通りと考えます。※ふたがなくて底があるので、上下の区別はあります。

⑵

右図のような上下を黒くぬった立方体の側面に、赤白青黄の４色で色をぬるぬり方は（）通り。

上下前後左右の区別がないので、横に回すだけでなく、上下をひっくり返して同じになる並び方は１通りと数えます。

15

場合の数 - 区別のあるなし

裏返しの可・不可22 下の図の６つの三角形について答えなさい。

５㎝３㎝３㎝４㎝４㎝３㎝４㎝３㎝３㎝４㎝

４㎝

回したり、裏返したりして重なるものは同じ三角形と考えると、三角形の種類は（⑵３㎝４㎝４㎝５㎝⑴４㎝）種類。

⑴において、回してもいいが裏返すことはできないとすると、三角形の種類は（）種類。

16

場合の数 - 区別のあるなし

23 右の図のように、円周を６等分する６つの点から３点を選んで三角形を作ります。

⑴

回したり、裏返したりして重なるものは同じ三角形と考えると、出来る三角形の種類は（⑵）種類。

⑴において、回してもいいが裏返すことはできないとすると、出来る三角形の種類は（）種類。

17

場合の数 - 区別のあるなし

24 右の図のように、円周を８等分する８つの点から３点を選んで三角形を作ります。

⑴

回したり、裏返したりして重なるものは同じ三角形と考えると、出来る三角形の種類は（⑵）種類。

⑴において、回してもいいが裏返すことはできないとすると、出来る三角形の種類は（）種類。

18場合の数 - 区別のあるなし

■

解答

■

１⑴

24 ⑵ 24２⑴24 ⑵ １３⑴１４⑴24 ⑵ １５⑴24 ⑵ ４６⑴24 ⑵ ６７⑴１⑵ ２８⑴１⑵ ６９⑴６⑵ ３10⑴20 ⑵ 1011⑴１⑵ ２12⑴２⑵ ６13⑴１⑵ ２14⑴１⑵ ３15⑴３⑵ ５16⑴３⑵ ５17⑴２⑵ ３18⑴６⑵ ２19⑴24 ⑵ ６20⑴６⑵ ３21⑴６⑵ ３22⑴３⑵ ４23⑴３⑵ ４24⑴５⑵ ７⑵ 2419

場合の数 - 区別のあるなし

■

解説

１ ⑴
⑵

２ ⑴
⑵

３ ⑴
⑵
４ ⑴

■
人は全て区別があるので、４×３×２×１＝24(通り)男女の区別の前に、人は全て区別があるので、
４×３×２×１＝24(通り)
名前によって区別されているので、４×３×２×１＝24(通り)
くだものは区別がないものと考えるので、同じものを横一列に並べるだけの 1 通り。
ボールも区別がないものと考えるので、1 通り。
色によって区別されるので、」４×３×２×１＝24(通り)
名前によって区別されているので、４×３×２×１＝24(通り)⑵動物も区別がないものと考えるので、１通り。

５ ⑴

男女の区別の前に、人は全て区別があるので、⑵

４×３×２×１＝24(通り)
猫には区別がないので、○×××の並べ方と同じ。
○×××
×○××
××○×
×××○

６ ⑴
⑵

７ ⑴
⑵の４通り

男女の区別の前に、人は全て区別があるので、
４×３×２×１＝24(通り)りんご同士、みかん同士には区別がないので、○○××の並べ方と同じ。
○○××
○×○×
○××○
×○○×
×○×○
××○○ の６通り
2 人を 1 人と 1 人に分けるだけの１通り。
人には区別があるので、2 人をＡ、Ｂとすると、
1 号室、２号室
Ａ
ＢＢ
Ａ の２通り20

場合の数 - 区別のあるなし

８ ⑴⑵

３人を 1 人と 1 人と 1 人に分けるだけの１通り。

９ ⑴

３人をＡ、Ｂ、Ｃとすると、一等車 二等車 三等車
ＡＢ
ＣＡ
ＣＢ
Ｂ
ＡＣ
Ｂ
ＣＡ
ＣＡ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ａ の６通り４人をＡＢＣＤとすると、
赤組
ＡＢ
ＡＣ
ＡＤ
ＢＣＢＤ

白組
ＣＤ
ＢＤ
ＢＣＡＤＡＣＣＤ ＡＢ の６通り
【別解】
赤組の 2 人を選べば白組は自動的に決まります。4C2＝６(通り)⑵

４人をＡＢＣＤとすると、
ＡＢ ＣＤ
ＡＣ ＢＤ
ＡＤ ＢＣ の３通り
【別解】下の図のように、 ⑴の答えのままでは同じ分け方が 2 つずつできるので、4C2÷２＝３(通り)
ＡＢ ＣＤ
ＡＣ ＢＤ
ＡＤ ＢＣ
同じ分け方
ＢＣ ＡＤ
ＢＤ ＡＣ
ＣＤ ＡＢ

10 ⑴
⑵

Ａ室の３人を選べばＢ室は自動的に決まります。6C3＝20(通り)
グループに区別がないので、⑴の答えのうち、例えば（ABC、DEF）と（DEF、ABC）は同じ分け方になります。同じ分け方が２つずつできるので、
6C3÷２＝10(通り)21場合の数 - 区別のあるなし

11 ⑴

⑵

12 ⑴

ボールには区別がないので、
大○
大赤
白

小○
小白
赤

13 ⑴
⑵

14 ⑴
⑵

15 ⑴の２通り

ボールには区別がないので、
兄

⑵の１通り

弟

２個 １個
１個 ２個 の２通り
ボールに区別があるので、
兄
弟
２個 １個 → 弟の 1 個が赤の場合、白の場合、黄の場合の３通り
１個 ２個 → 兄の 1 個が赤の場合、白の場合、黄の場合の３通り合わせて、３＋３＝６(通り)
箱もボールも区別がないので、ボールを２個と１個に分けるだけの１通り。
箱に区別があるので、
大 小
２ １
１ ２ の２通り
皿もりんごも区別がないので、りんごを、2 個、１個、1 個に分けるだけの１通り。
皿に区別があるので、大 中 小
２ １ １
１ ２ １
１ １ ２ の３通り
さいころに区別がないので、１＋５２＋４３＋３の３通り

22

場合の数 - 区別のあるなし⑵

さいころに区別があるので、
大 小
１ ５２３４１16 ⑴４３２５の５通り

さいころに区別がないので、⑵

１＋５２＋４３＋３ の３通り
1 回目と２回目の区別があるので、１回目 ２回目
１５２４３
３４２
１５ の５通り

17 ⑴

取り出すだけなので、赤玉 2 個を取り出すか、赤玉１個白玉１個を取り出すかの⑵２通り一列に並べるので、「左側と右側」のように、場所の区別ができます。
左 右
赤 赤
赤 白
白 赤 の３通り

18 ⑴

３×２×１＝６(通り)⑵⑴の６通りを全部輪にすると、図のように回すと同じ並び方が３通りずつできる
ので、６÷３＝２(通り)☆ このような順列を、「円順列」といいます。
回すと同じ回すと同じ

23

場合の数 - 区別のあるなし

19 ⑴⑵

４×３×２×１＝24(通り)⑴の 24 通りを全部輪にすると、例えばＡＢＣＤという並び方の場合、次の図のように、回すと同じ並び方が４通りずつできるので、
24÷４＝６(通り)

回すと同じ

20 ⑴
⑵

４×３×２×１÷４＝６(通り)⑴の答えのうち、裏返すと同じになる並べ方が 2 通りずつできるので、
６÷２＝３(通り)☆ このような順列を「じゅず順列」といいます。

裏返すと同じ21 ⑴４色の並べ方は４×３×２×１＝24(通り)ありますが、立方体なので、下の図のように、回すと同じになる並べ方が 4 通りずつできます。
よって、24÷４＝６(通り)☆ 円順列の考え方。ふたがないので、上下の区別があります。上下の区別があるので、ひっくり返しても同じ並べ方にはなりません（したがって「じゅず順列」ではありません）。

回すと同じ

24

場合の数 - 区別のあるなし⑵

上下の面が同じ色で区別がないので、下の図のように、⑴の６通りのうち、ひっくり返して同じになるぬり方が２通りずつできます。
よって、６÷２＝３(通り)☆ 「じゅず順列」になります。

手前に回して上下をひっくり返すと、同じ22 ⑴下の図の色のついた３種類。

裏返すと同じ回しても裏返回すと同じしても同じ⑵

下の図の色のついた４種類。裏返せないので、二等辺三角形や正三角形以外の三角形（3 辺の長さが違う三角形）に注意しましよう。

裏返せない

回すと同じのでちがう

25

回すと同じ

場合の数 - 区別のあるなし

23 ⑴

下の図の３種類。和が６になる３つの整数の組み合わせと同じになります。

【別解】上の図の数字に注目すると、和が６になる３つの整数の組み合わせを考えればいいことが分かります。
６＝１＋１＋４
１＋２＋３
２＋２＋２ の３(種類)⑵

上の３種類に、3 辺の長さが異なる（1＋2＋3）の三角形を裏返したものを加えて４種類。

裏返せないのでちがう

26

場合の数 - 区別のあるなし

23 ⑴

下の図のように規則正しく数えていきます。５種類。

【別解】上の図の数字に注目すると、和が８になる３つの整数の組み合わせを考えればいいことが分かります。
８＝１＋１＋６
１＋２＋５
１＋３＋４
２＋２＋４
２＋３＋３ の５(種類)⑵⑴の５種類に、3 辺の長さの異なる(1＋2＋5)、(1＋3＋4)の三角形を裏返したものを加え、５＋２＝７(種類)

裏返せないのでちがう

27

裏返せないのでちがう