JARIP研究会

2009年2月25日

コピュラの金融実務での活用
日本銀行金融研究所
吉羽 要直
E-mail: toshinao.yoshiba@boj.or.jp

本講演に示されている意見は、講演者個人に属し、日本銀行の公式見解を示すものではない。
1

バックグラウンド・ペーパー・ 戸坂 凡展、吉羽 要直、「コピュラの金融実務での具体的な活用方法の解説」、『金融研究』、第24巻別冊第2号、 115〜162頁、日本銀行金融研究所、2005年12月– 統計言語Rを用いたプログラム例などを含む– ダウンロード： http://www.imes.boj.or.jp/kanko.html

2アウトライン１．コピュラとは？
２．コピュラの選択
３．コピュラのパラメータ推定
４．コピュラに従う乱数の発生方法
コピュラ一般の参考文献

５．株式ポートフォリオ評価への応用
６．信用リスクへの応用
７．CDO評価への応用
CDOへの応用に関する参考文献

８．分析上の留意点
９．まとめ
3

１．コピュラとは？
• 同時分布を周辺分布の関数として解釈したもの• 数学的定義：以下のn変量関数CF ( x1 ,, x n ) = Pr( X 1 ≤ x1 ,, X n ≤ xn )= Pr( F1 ( X 1 ) ≤ F1 ( x1 ),= Pr(U 1 ≤ F1 ( x1 ),= C ( F1 ( x1 ),, Fn ( X n ) ≤ Fn ( x n )), U n ≤ Fn ( x n )), Fn ( x n ))コピュラ（copula、接合分布関数）• F：確率変数X1, X2,…, Xnの（n変量）同時分布関数• F1, F2,…, Fn：周辺分布関数（Fi(x) = Pr(Xi ≤ x)）4

１．コピュラとは？
• コピュラの解釈– 確率変数(X1, X2,…, Xn)の周辺分布での分布関数の値を新たな確率変数(U1, U2,…, Un)とすると（Ui =Fi(Xi), i = 1,…,n）、各Ui は[0,1]の一様分布に従う

Pr(U i ≤ ui ) = Pr( Fi ( X i ) ≤ ui )1
F i (x i )−1= Pr( X i ≤ Fi (ui ))−1= Fi ( Fi (ui )) = ui0xi

– 確率変数(U1, U2,…, Un)の同時分布関数がコピュラ
5１．コピュラとは？
• 直観的には– 変数間の相互依存関係を表す関数• 同時分布のうち、各変量独自の周辺分布を除いた部分の依存構造を示す• （線形）相関係数よりも一般的なもの– 依存性のある多変量の一様分布の同時分布関数• 各変量でUi→0は Xi→−∞• 各変量でUi→1は Xi→+∞

6

１．コピュラとは？
• 実務的な背景– 複数の金融資産からなるポートフォリオのリスク管理– CDO、バスケット･オプションなど原資産が複数ある商品のプライシング• アプローチ– いくつかのリスク･ファクターを設定し、それらは多変量の確率分布に従うと想定し、分析– リスクファクターの周辺分布を設定するとともに、コピュラを設定することで、想定する多変量確率分布を規定
7

１．コピュラとは？
• 実務での利用– 変量を具体的なファクターに紐付けて、適切なコピュラ（依存構造）を選ぶ（2節）– コピュラの推定を行い、変量間の依存関係を把握する（3節）– コピュラに従う乱数を発生させ、リスク等のシミュレー
ションなどの分析を行う（4節）

8

２．コピュラの選択：種類• コピュラの種類– 依存関係の表し方と様々なコピュラC• 特殊なコピュラ– 独立コピュラ、共単調コピュラ• パラメトリックなコピュラ– 1パラメータで依存関係を表わすコピュラ– 相関行列を用いて（複数パラメータで）依存関係を表わす
コピュラ– 扱いやすい構造のコピュラ：アルキメディアン・コ
ピュラ• ノンパラメトリックなコピュラ– 経験同時分布から周辺分布を除いて構成
9

２．コピュラの選択：種類• 特殊なコピュラ– 独立コピュラ：各変量が独立な場合→同時分布は周辺分布の積Pr( X 1 ≤ x1 , … , X n ≤ xn ) = Pr( X 1 ≤ x1 ) Pr( X 2 ≤ x2 )C (u1 , u 2 ,… , u n ) = u1u 2Pr( X n ≤ xn )un

– 共単調（comonotone）コピュラ：各変量が完全に正従属な場合 Pr( X 1 ≤ x1 ,…, X n ≤ xn ) = min Pr( X i ≤ xi )i =1,…, n• 一番大きな値をとるコピュラ

C (u1 , u2 ,… , un ) = min(u1 , u2 ,… , un )10

２．コピュラの選択：種類• パラメトリックなコピュラの種類– 相関行列を用いて依存関係を表わすコピュラ• 正規コピュラ（ガウシアン・コピュラ）：パラメータは相関行列• t コピュラ：パラメータは自由度ν と相関行列– 1パラメータで依存関係を表わすコピュラ• クレイトン・コピュラ• ガンベル・コピュラ

アルキメディアン・コピュラ• フランク・コピュラ• 正規コピュラ（ただし、全ての相関を等しくρ と置く）
• tコピュラ（自由度を与え、全ての相関を等しくρ と置く）

11

２．コピュラの選択：種類• 1パラメータ・コピュラの違いによる散布図（2変量）
1

1

1

ガンベル

クレイトン

フランク

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

0

0

0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

1

正規

ｔ

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

ケンドールの τ を固定（0.75）

tコピュラの自由度 ν =3

0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

12

２．コピュラの選択：種類• 1パラメータ･アルキメディアン・コピュラ– クレイトン・コピュラ

0<α <∞

C (u1 , u 2 , … , u n ) = (u1−α + u 2−α ++ u n−α − n + 1) −1/ α– ガンベル・コピュラ

1<γ <∞

C (u1 , u 2 , … , u n ) = exp[−{(− ln u1 )γ + (− ln u2 )γ +– フランク・コピュラ+ (− ln un )γ }1 γ ]0<δ <∞⎧ (e −δu1 − 1)(e −δu 2 − 1) (e −δu n − 1) ⎫C (u1 , u 2 , … , u n ) = − ln ⎨1 +
⎬
−δ
n −1
δ ⎩
(e − 1)⎭
1

13

２．コピュラの選択：種類• アルキメディアン･コピュラとは– コピュラC (u1,u2,…,un)が、単調減少凸関数φ (u)（生成関数と呼ぶ、 φ (1)=0）を用いて、以下のように表せるコピュラ

C (u1 , u2 , …, un ) = φ −1 (φ (u1 ) + φ (u2 ) ++ φ (un ))– アルキメディアン・コピュラは数学的に扱いやすい。
– 前述のクレイトン、ガンベル、フランク・コピュラはアルキメディアン･コピュラ（以下の生成関数）• クレイトンφ (ui ) = ui−α − 1• ガンベルφ (ui ) = (− ln ui )γ• フランクe −δ ui − 1
φ (ui ) = − ln −δe −1

φ (0) = ∞14

２．コピュラの選択：種類
相関行列を用いたコピュラ（楕円型コピュラ）−1−1• 正規コピュラ C (u1 , , u n ) = Φ n (Φ1 (u1 ), , Φ1 (u n ); Σ)–Φn(;Σ)はn変量標準正規分布の分布関数（Σ は相関行列）
Φ1−1()は1変量標準正規分布の分布関数の逆関数– 密度表現1⎞⎛ 1 T −1exp⎜ − ω (Σ − I )ω ⎟,c(u1 , , u n ) =⎝ 2⎠ΣIはn×nの単位行列

ω = (ω1 , …, ω n )T , ω i = Φ1−1 (ui )– 各変量の分布関数 Ui= Φ1(Xi ) →F ( x1 , , xn ) = C (Φ1 ( x1 ),, Φ1 ( xn )) = Φ n ( x1 ,, xn ; Σ )– (X1,…,Xn)が多変量正規分布→Ui = Φ1((Xi−μi)/σi)
15

２．コピュラの選択：種類
相関行列を用いたコピュラ（楕円型コピュラ）• t コピュラ

C (u1 ,, un ) = t n ,ν (tν−1 (u1 ),, tν−1 (un ); Σ)– tn,ν (;Σ)はn変量t分布の分布関数（ただし、 Σ は相関行列）tν−1()は自由度ν の1変量t分布の分布関数の逆関数– 密度表現c(u1 ,

un ; Σ,ν ) =n⎛ ν + n ⎞ ⎡ ⎛ ν ⎞⎤ ⎛ 1 t −1 ⎞Γ⎜⎟ ⎢ Γ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜1 + ω Σ ω ⎟2⎝⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎝ ν
⎠
n n

ν +n

−

⎛ ω i2 ⎞⎛ ν ⎞ ⎡ ⎛ ν + 1 ⎞⎤⎟⎟
Σ Γ⎜ ⎟ ⎢ Γ⎜⎟⎥ ∏ ⎜⎜1 +ν ⎠⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ i =1 ⎝

2

ν +1

−

,

2

ω = (ω1 ,… , ω n )T , ω i = tν−1 (ui )16２．コピュラの選択：比較指標•

コピュラの比較指標– コピュラ同士を比較するため、コピュラによる変量の依存関係を1つの数値として抽出する。
– 2変量を取り出したとき、• 全体的な依存関係を示す指標：「順位相関係数」• 分布の裾での依存関係を示す指標：「裾依存係数」• 「順位相関係数」も「裾依存係数」ともに各変量の周辺分布に依存せず、コピュラの性質を抽出したもの。

– 通常の「線形相関係数」は各変量の周辺分布に依存し、比較指標にはならない。

17

２．コピュラの選択：比較指標• 全体の依存関係：「順位相関」– 任意の2変量の全体的な依存関係を表す– データの「値」ではなく、「順位」の「相関」– 代表的な順位相関：ケンドールのタウとスピアマンのロー– ケンドールのタウτ(X1, X2)∞∞
1 1
τ ( X 1 , X 2 ) ≡ 4∫

∫ F ( x , x )d F ( x , x ) − 1 = 4∫ ∫ C (u , u )dC (u , u ) − 1

−∞ −∞

1

2

1

2

0 0

1

2

1

2

• 別表現
τ ( X 1 , X 2 ) = Pr{( X 1i − X 1j )( X 2i − X 2j ) > 0} − Pr{( X 1i − X 1j )( X 2i − X 2j ) < 0}

– スピアマンのロー ρs(X1, X2)
1 1
ρ S ( X 1 , X 2 ) ≡ corr[ F1 ( X 1 ), F2 ( X 2 )] = 12 ∫ ∫ u1u2 dC (u1 , u2 ) − 3
0 0
• 別表現
ρ S ( X 1 , X 2 ) = 3[Pr{( X 1i − X 1j )( X 2i − X 2k ) > 0} − Pr{( X 1i − X 1j )( X 2i − X 2k ) < 0}]18

２．コピュラの選択：比較指標• 2変量コピュラのパラメータとケンドールのタウτ
τ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

クレイトンα ガンベルγ フランクδ
0
1
0
0.22
1.11
0.91
0.50
1.25
1.86
0.86
1.43
2.92
1.33
1.67
4.16
2.00
2.00
5.74
3.00
2.50
7.93
4.67
3.33
11.4
8.00
5.00
18.2
18.0
10.0
20.9
∞
∞
∞
コピュラ
クレイトン
ガンベル
フランク
正規
t

正規ρ
0
0.156
0.309
0.454
0.588
0.707
0.809
0.891
0.951
0.988
1

←Joe [1997] Table 5.1
より抜粋

ケンドールのタウα /(α + 2)
1 − 1/ γ
1 + (4 / δ ){D1 (δ ) − 1}
(2 / π ) arcsin ρ(2 / π ) arcsin ρ

19

２．コピュラの選択：比較指標• 分布の裾での依存関係：「裾依存係数」–

2変量X1、X2に注目し、一方の分布関数の値が閾値uより大きくなる（小さくなる）とき、もう一方も大きくなる（小さくなる）確率（の極限値）を「裾依存係数」と呼ぶ– 上側裾依存係数 λU

λU = lim Pr( F2 ( X 2 ) > u | F1 ( X 1 ) > u )
u →1−

•

λU =0 ならば、「上側で漸近独立」という。 λU が0より大きければ「上側で漸近従属」という。

– 下側裾依存係数 λL

λL = lim Pr( F2 ( X 2 ) < u | F1 ( X 1 ) < u )u →0 +•

λL =0 ならば、「下側で漸近独立」という。 λL が0より大きければ「下側で漸近従属」という。
20

２．コピュラの選択：比較指標• 各コピュラの裾依存係数
コピュラ

上側 λU

下側 λ Lクレイトン

02 − 21 / γ
00

2 −1 / α000⎛⎛ (1 − ρ )(ν + 1) ⎞ ⎞⎟⎟2⎜1 − tν +1 ⎜⎜⎜(1 + ρ ) ⎟⎠ ⎟⎠⎝⎝⎛(1 − ρ )(ν + 1) ⎞⎟2tν +1 ⎜⎜ −(1 + ρ ) ⎟⎠
⎝

ガンベル
フランク
正規
t

漸近従属

漸近独立

21

２．コピュラの選択• コピュラの選択方法– 裾依存係数をみながら目的に応じたものを選択• 例えば、下側だけに強い依存関係を表したければ、クレイト
ン･コピュラを選ぶか、ガンベル･コピュラを選んで各変量の向きを逆に適用する。
• 裾依存性が強い場合には正規コピュラなどは選ばない。
• 他のコピュラと比較分析する場合は順位相関を合わせる。

– AICなどの情報量基準を用いて統計的に選択• 必要な対数尤度は後述

22

３．コピュラのパラメータ推定• 最尤推定– 対数尤度関数l (ψ1 ,N, ψ n , α ) = ∑ ln c(( F1 ( x ; ψ1 ),
j
1

j =1

N

コピュラのパラメータc(u1 ,

ここを最大化n, Fn ( x ; ψ n ); α ) + ∑∑ ln f i ( xij ; ψ i )jnj =1 i =1∂ n C (u1 , , u n ), un ) =∂u1 ∂u n

こちらは周辺分布による

データ数： N23

３．コピュラのパラメータ推定• 正規コピュラ‒ 多変量正規確率変数へ変換
ω j = (ω1j ,… , ω nj ) T , ω i j = Φ1−1 (uij )‒ 対数尤度N
1 N j T −1l (Σ) = − ln Σ − ∑ ω (Σ − I)ω j
2 j =12‒ 相関行列の推定に帰着N1ˆΣ = ∑ ω j ω j T
N j =124

３．コピュラのパラメータ推定• tコピュラ
j
j
j T
j
−1
j
ω
=
(
ω
,
…
,
ω
)
,
ω
=
t
(
u
‒ 相関行列と自由度ν の推定
ν
1
n
i
i )
‒ 自由度を変えて尤度の高い自由度を選択‒ 対数尤度NΓ((ν + n) / 2)
Γ(ν / 2)l (Σ,ν ) = N lnΓ(ν / 2)+ nN lnΓ((ν + 1) / 2)

−

2

ln Σ

⎛ ω j T Σ −1ω j ⎞ ν + 1 N n ⎛ (ω j ) 2 ⎞i⎟+⎟⎟ln⎜1 +ln⎜⎜1 +−∑∑∑⎜⎟
2 j =1 ⎝2 j =1 i =1 ⎝νν ⎠⎠ν +n N‒ 各自由度νでの最尤推定
ν +n NTjjωωΣˆ ν =∑
N j =1 ν + ω j T Σˆ ν−1ω j• 反復による収束計算

25

３．コピュラのパラメータ推定：尤度• アルキメディアン･コピュラ– クレイトン、ガンベル、フランク・コピュラ（1パラメータ）– 対数尤度関数を数値的に最大化するパラメータの探索• 統計言語Rではoptimize関数を利用• クレイトン･コピュラの対数尤度
n −1

N

n

n

l (α ) = N ∑ ln(1 + iα ) − ∑ {(α + 1) ln(∏ ui ) + (1 / α + n) ln(∑ (uij ) −α − n + 1)}
j

i =1

j =1

i =1

i =1

26

３．コピュラのパラメータ推定：尤度• ガンベル･コピュラの対数尤度(uˆ1j uˆ 2j ) γ −1
j 1− 2γ
j γ
j γ 1/ γ
ˆ
ˆ
(
ψ
)
}
ln{(
γ
1
)
((
u
)
(
u
) ) }]l (γ ) = ∑ [−ψ + ln{
+
−
+
+
2
1
2
j j
u
u
j =1
1 2
N

– 2変量

j
2

j

j γ −1Njj =1

u1 u 2 u 3– 3変量 l (γ ) = ∑ [−ψ 3j + ln{(uˆ1 uˆj 2 uˆj 3 )j
– 4変量(ψ 3j )1−3γ } + ln{(2γ − 1)(γ − 1) + 3(γ − 1)ψ 3j + (ψ 3j ) 2 }](uˆ1j uˆ 2j uˆ 3j uˆ 4j ) γ −1l (γ ) = ∑ [−ψ + ln{(ψ 4j )1− 4γ }j j j ju1 u 2 u 3 u 4
j =1
N

j
4

+ ln{(3γ − 1)(2γ − 1)(γ − 1) + (11γ − 7)(γ − 1)ψ 4j + 6(γ − 1)(ψ 4j ) 2 + (ψ 4j ) 3 }]– 5変量

(uˆ1j uˆ 2j uˆ3j uˆ4j uˆ5j )γ −1 j 1−5γ
l (γ ) = ∑ [−ψ + ln{(ψ 5 ) }j j j j j
u1 u 2 u3 u4 u5
j =1
N

j
5

+ ln{(4γ − 1)(3γ − 1)(2γ − 1)(γ − 1) + 5(5γ − 3)(2γ − 1)(γ − 1)ψ 5j+ 5(7γ − 5)(γ − 1)(ψ 5j ) 2 + 10(γ − 1)(ψ 5j ) 3 + (ψ 5j ) 4 }]uˆ i ≡ − ln u i , ψ i j ≡ ((uˆ1j ) γ + (uˆ 2j ) γ ++ (uˆ ij ) γ )1 / γ
27

３．コピュラのパラメータ推定：尤度• フランク･コピュラの対数尤度– 2変量− δ ( w1 + 1)( w2 + 1)(e −δ − 1)l (δ ) ={(e −δ − 1) + w1 w2 } 2wi ≡ e −δui − 1

δ 2 ( w1 + 1)( w2 + 1)( w3 + 1)(e −δ − 1) 2 {(e −δ − 1) 2 − w1 w2 w3 }– 3変量l (δ ) =– 4変量

l (δ ) = −δ 3 ( w1 + 1)( w2 + 1)( w3 + 1)( w4 + 1)(e −δ − 1) 3 ×{(e −δ − 1) 2 + w1 w2 w3 } 3(e −δ − 1) 6 − 4(e −δ − 1) 3 w1 w2 w3 w4 + w12 w22 w32 w42{(e −δ − 1) 3 + w1 w2 w3 w4 } 4– 5変量
l (δ ) = δ 4 ( w1 + 1)( w2 + 1)( w3 + 1)( w4 + 1)( w5 + 1)(e −δ − 1) 4 ×(e −δ − 1)12 − 11(e −δ − 1)8 w1w2 w3 w4 w5 + 11(e −δ − 1)8 w12 w22 w32 w42 w52 − w13 w23 w33 w43 w53{(e −δ − 1) 4 + w1w2 w3 w4 w5 } 528

４．コピュラに従う乱数の発生方法• 正規コピュラに従う乱数発生方法– 相関を持つ n変量標準正規乱数(Y1, …,Yn)を発生させ、
U1=Φ1(Y1), …, Un=Φ1(Yn)とする。
• (U1,…, Un)=(F1(X1),…, Fn(Xn))が正規コピュラに従う場合、(Φ1−1 (U1), …, Φ1−1 (Un ))は相関を持つn変量標準正規分布に従う。

– 相関を持つ正規乱数の発生• 相関行列Σをコレスキー分解

Σ=CCT• n個の独立な標準正規乱数N = (N1, …, Nn )を発生
– [0,1]の一様乱数→標準正規乱数：Box=Müller法等• Y=CN29

４．コピュラに従う乱数の発生方法• tコピュラに従う乱数発生方法– 相関行列 Σ を持つ多変量正規分布に従う乱数Y1, …,Yn を発生– Y1, …,Yn とは独立に、自由度νのχ2 分布に従う乱数Z を発生

Z = ∑ j =1W j2 , W j〜N (0,1)
ν

–

Xi =

ν
Z

Yi

i = 1, … , n• Xiは相関行列 Σ を持つ自由度ν のt分布に従う–

U1 = tν ( X 1 ),…, U n = tν ( X n )30

４．コピュラに従う乱数の発生方法• アルキメディアン・コピュラ– クレイトン、ガンベル、フランクなど– アルキメディアン・コピュラに属するコピュラに従う乱数の代表的な発生方法（１）条件付確率分布を用いる方法（本講演では省略）– アルキメディアン・コピュラの場合、生成関数の微分を用いて、逐次的に各変量の乱数を求めるというもの。

（２）潜在変数を用いる方法– 1パラメータのアルキメディアン・コピュラの場合、ある潜在変数のラプラス変換と、アルキメディアン・コピュラを生成する生成関数の逆関数が対応– 潜在変数を発生させてから、それを用いて各変量の乱数を同じように生成するというもの。
31

４．コピュラに従う乱数の発生方法• 潜在変数法（Marshall and Olkin [1988]）– n変量の同時分布関数F(x1,x2,…,xn)
F ( x1 , x2 ,… , xn ) = φ −1 (φ ( F1 ( x1 )) ++ φ ( Fn ( xn )))– 生成関数の逆関数φ−1(u)がある正の潜在変数θ のラプラス変換 ζ(s) =Eθ[e−sθ]になっていたとする。

F ( x1 , x2 ,… , xn ) = Eθ [exp{−θ (φ ( F1 ( x1 )) += Eθ [e −θφ ( F1 ( x1 )) e −θφ ( F2 ( x2 ))+ φ ( Fn ( xn )))}]e −θφ ( Fn ( xn )) ]I i = exp(−θφ (U i ))32

４．コピュラに従う乱数の発生方法• 潜在変数法（Marshall and Olkin [1988]）• Iiは[0,1]の一様分布に従う
U i = 0 ⇒ φ (U i ) = ∞ ⇒ I i = exp(−θφ (U i )) = 0
U i = 1 ⇒ φ (U i ) = 0 ⇒ I i = exp(−θφ (U i )) = 1

F ( x1 , x2 ,… , xn ) = Eθ [e −θφ (U1 ) e −θφ (U 2 )e −θφ (U n ) ]I1• 潜在変数θ の条件下ではI1,…, Inは独立• UiはIiを用いて⎛ ln( I i ) ⎞Ui = φ ⎜ −
⎟
θ ⎠
⎝
−1

33

４．コピュラに従う乱数の発生方法• 潜在変数法：アルゴリズム
1. ラプラス変換Eθ[e−sθ] （= ζ(s)）がφ −1(s) となるような確率分布に従う潜在変数θ を1つサンプリング→θ0
2. θ0とは独立に[0,1]の一様分布に従う確率変数I1, …, Inを発生。
3. U1 , …, Un をUi=ζ (−θ0−1 ln(Ii) ) for i=1,…, n として生成。

34

４．コピュラに従う乱数の発生方法• 潜在変数法：ラプラス変換ζ(s)がφ −1(s) となる分布•

クレイトン･コピュラに従う乱数発生方法– ζ (s) = (s+1)−1/α → 標準ガンマ分布G(1/α)– Ahrens-Dieter-Bestの算法など、Rのrgamma関数•

ガンベル･コピュラに従う乱数発生方法– ζ (s) = exp(−s1/γ) → 安定指数1/γ、歪みパラメータ1の正値安定分布– Kanter[1975]の算法

35

４．コピュラに従う乱数の発生方法• 潜在変数法：ラプラス変換ζ(s)がφ −1(s) となる分布•

フランク・コピュラに従う乱数発生方法(Rogge and
Schönbucher [2003])–

ζ (s) = −ln[1−e−s (1−e−δ )]/δ → β = (1−e−δ )の対数級数
分布（定義域は正の整数）−1 β kPr[Y = k ] =ln(1 − β ) k

•

確率関数

•

[0,1]一様乱数V を使い、累積確率がV を超えるkを発生

36

コピュラ一般に関する主な参考文献•

塚原英敦、「接合分布関数（コピュラ）の理論と応用」、『21世紀の統計科学Ⅲ 数
理・計算の統計科学』 第5章、2008年、111〜146頁•

Bouyé, E., V. Durrleman, A. Nikeghbali, G. Riboulet, and T. Roncalli, “Copulas for
Finance: A Reading Guide and Some Applications,” Working Paper, Crédit Lyonnais,
2000.

•

Cherubini, U., E. Luciano, and W. Vecchiato, Copula Methods in Finance, John
Wiley & Sons, 2004.

•

Embrechts, P., A. McNeil, and D. Straumann, “Correlation and Dependency in Risk
Management: Properties and Pitfalls,” in Risk Management: Value at Risk and
Beyond, Dempster, M. A. H. ed., Cambridge University Press, 2002, pp.176−223.

•

Frees, E. W., and E. A. Valdez, “Understanding Relationships Using Copulas,” North
American Actuarial Journal, 2(1), 1998, pp.1−25.

•

Joe, H., Multivariate Models and Dependence Concepts, Chapman & Hall, 1997.

•

Nelsen, R. B., An Introduction to Copulas, Springer, 1998.

37

５．株式ポートフォリオ評価への応用• 株価変動リスク（実証分析）– 電機メーカー5銘柄（日立製作所、東芝、三菱電機、日本電気、三洋電機）の等ウエイトポートフォリオのVaR（リスク評価期間：1日）を算出• ペーパーでは商社5銘柄も分析– 観測期間：1999/1/4〜2001/12/30– 各変量（日次収益率）の周辺分布：両側指数分布
f ( x) =⎛ x− p ⎞1⎟, q > 0exp⎜⎜ −
2qq ⎟⎠⎝– 変量間の依存関係：4種類のコピュラ（正規、t、ガンベル、
クレイトン）• ガンベルはデータを反転して適用
38

５．株式ポートフォリオ評価への応用• 周辺分布の推定– パラメータp, q の推定

f ( x) =⎛ x− p ⎞1⎟, q > 0exp⎜⎜ −
2q
q ⎟⎠
⎝

東芝

三菱電機

日本電気

三洋電機

p

0.000438−0.000509

0.000522

0.000359

0.000820q0.018179

0.0192410.020787

0.021139

0.0200760

経験分布と両側指数分
布の例（日本電気株） →

5

10

15

20

日立製作所

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

39

５．株式ポートフォリオ評価への応用• 周辺分布でデータ変換
収益率
日付
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

X1
-0.0010.02
0.0509-0.0080.00540.004
0.012
0.0516-0.011-0.0180.03560.0247-0.017-0.039-0.006

X2-0.0320.02310.0373-0.0060.0175-0.0010.01440.00710.0252-0.0030.03940.008-0.005-0.0050.0027

変換後：[0,1]一様X3-0.0630.03640.02930.01150.03920.00270.0136
0.03710.0155-0.0130.05560.0122-0.01200.0073X4-0.0070.002
0.04130.014
0.02380.02240.01930.01290.0136-0.0080.0169-0.02-0.037-0.0120.008

X5
0-0.0090.01190.0059-0.003-0.0210.009-0.015-0.01800.0061-0.0120.01840-0.006

U1
0.54910.17070.03110.68720.38060.41040.26480.02990.73910.81840.07220.13170.8107
0.94360.6581

U2
0.90340.14690.07010.6217
0.19590.52380.23050.33640.13130.55540.06270.32180.61030.61090.4238U3
0.97620.08910.12510.29490.07770.44930.26640.08590.24320.73790.03540.28490.729
0.51240.3601

U4
0.6444
0.46350.07220.26230.16490.17650.20430.27580.267
0.65750.22870.81190.91280.72770.3476

U5
0.52
0.69210.28840.3886
0.58530.82970.33320.77250.807
0.52
0.38370.74
0.20820.52
0.6457

…

…

…

40

５．株式ポートフォリオ評価への応用• コピュラのパラメータ推定正規Σ

10.539405 0.536943 0.569717 0.383190
0.539405
10.597219 0.621137 0.414482
0.536943 0.597219
10.553996 0.443241
0.569717 0.621137 0.553996
10.393412
0.383190 0.414482 0.443241 0.393412
1

t
自由度

6
1
0.584118 0.571661 0.607913 0.426034
0.584118
1
0.638485 0.667614 0.450915
0.571661 0.638485
1
0.597704 0.477843
0.607913 0.667614 0.597704
10.448515
0.426034 0.450915 0.477843 0.448515
1

Σ

ガンベル

γ

クレイトン

1.380645

α0.72317441

５．株式ポートフォリオ評価への応用• リスク指標の算出– 等ウエイトのポートフォリオ、リスク計測期間：1日– シミュレーション回数：50万回– VaR、期待ショートフォール（ES）を損失率で表示
コピュラ

VaR（99%）ES（99%）

正規

5.43%
6.61%
5.82%
7.34%
6.23%
8.03%
6.27%
8.01%

t
ガンベル
クレイトン

VaR（99.5%） VaR（99.9%） VaR（99.99%）
ES（99.5%） ES（99.9%） ES（99.99%）

6.27%
7.43%
6.86%
8.40%
7.46%
9.27%
7.48%
9.23%

8.17%
9.29%
9.33%
10.9%
10.4%
12.2%
10.3%
12.1%

10.7%
11.7%
13.1%
14.3%
14.4%
16.3%
14.4%
15.9%

42

６．信用リスクへの応用• 設定：銀行の貸出ポートフォリオ– 1期間構造型モデル– N(=1万)社への均一与信ポート（状態変数 Xi＜資産価値＞）• デフォルト率（一定） Pr(Xi ≤ ki)=0.5%• 資産相関（一定） ρ(Xi , Xj)=ρ

（ki：デフォルト閾値）– 状態変数間の依存関係Pr(X1 ≤ k1,…, Xn ≤ kn)は4種類の1パラメータ・コピュラ（正規、t、ガンベル、クレイトン）
で表現• ケンドールのタウを一致させる。tコピュラの自由度は10。

– シミュレーションによりデフォルト件数の分布を算出• X1,…,Xn をシミュレートし閾値ki を下回った企業がデフォルト• ガンベルは逆向きに適用
43

６．信用リスクへの応用• デフォルト件数の分布– シミュレーション回数：10万回– 期待値は50 ⇐ 与信先数1万、デフォルト確率0.5%
デフォルト先数の分布（高相関＜0.2＞）
0.10%
正規
t
ガンベル
クレイトン

1%

5%

0
0
5
0

0
0
8
0

10%

1
0
11
0

2
0
13
0

50%

20
3
21
0

90%

95%

126
112
55
63

198
244
97
208

99%

99.90%

435
812
467
1179

913
2,070
5,578
3,822

99%

99.90%

デフォルト先数の分布（低相関＜0.038＞）
0.10%
正規
t
ガンベル
クレイトン

4
0
22
0

1%

8
0
27
0

5%

14
0
31
2

10%

19
0
33
3

50%

43
9
42
26

90%

90
133
56
122

95%

109
240
66
179

155
586
156
343

227
1,305
1,176
643

44

７．CDO評価への応用• CDO（Collateralized Debt Obligation）– 資産担保証券の一種で、社債や貸出等から構成されるクレジット･ポートフォリオ（CDOプール）を原資産に持つ。
– CDOプールの累積の損失に応じて損失が決まる商品に分解（トランチング）– 各トランシェを投資家に販売（累積の損失がトランシェの下限値＜アタッチメント＞にタッチしない間はクーポンが支払われる）。

45

７．CDO評価への応用• CDOのトランチングと損益– プールの累積損失
シニア
シニアメザニンジュニアメザニン

エクイティ
46

７．CDO評価への応用• CDOの評価– 累積損失に応じて、各トランシェの損失が決定– CDOプールの時点t での累積損失の評価が問題– CDOプールが等額、等回収率（確定）の債権の場合• 累積損失分布を捉えること⇔各債権のデフォルト時
刻の同時分布を求めること• CDOのプライシング– 1変量のデフォルト時刻の分布は別途わかるとして、多変量の依存関係をコピュラで表現– デフォルト時刻の同時分布を以下のようにモデル化
47

７．CDO評価への応用• デフォルト時刻の同時分布のモデル化
Pr[τ .1 ≤ t1 ,…,τ .n ≤ t n ] = C( F1 (t1 ),…, Fn (t n ))デフォルト時刻

デフォルト時刻を表す周辺分布関数

τ 1 = F1−1 (U 1 ) ,…, τ n = Fn−1 (U n )コピュラC に従う一様乱数

48

７．CDO評価への応用• 正規コピュラを用いたシミュレーション① 原資産iとjの資産相関がρijになるような多変量標準正規乱数 Yiを発生。
② 標準正規分布の分布関数Φ1を用いて、標準正規乱数Yiを一様乱数 Ui= Φ1(Yi) に変換。
③ 得られた一様乱数を周辺分布の逆関数を使って、 τi = Fi −1 (Ui)と変換することで、デフォルト時間をシミュレート。
④ 各パスでデフォルト時間に応じてキャッシュフローを立て、現在価値に直す。全てのパスでの現在価値の平均値を評価。
‒ キャッシュフローの割引を無リスク金利で行う場合は、全て（デフォルト相関、デフォルト時刻など）をリスク中立下で考える。

49

７．CDO評価への応用• 正規コピュラの特殊ケース（１ファクター）– １ファクター・ガウシアン・コピュラモデルとも呼ばれる– 前スライドの①を以下のように変更する。
① 原資産iとjの資産相関がρiρｊになるような多変量標準正規乱数 Yi を発生。
– (やり方） 互いに独立な1変量標準正規乱数V とεi を用いて（V は資産に依らず共通）次式でYi を構成。

Yi = ρ iV + 1− ρ i2 ε i– ρi =ρ のときはシングルインデックス・１ファクター・ガウシア
ン・コピュラモデルとも呼ばれる。

50

７．CDO評価への応用• CDOプライシングでの留意点– 実際のデフォルト時刻（ないし背景の資産）は、正規コ
ピュラの仮定では、依存関係をうまく表しきれないことがある。
– 変量間の依存関係が分布の裾部分で強い場合、例えば、クレイトン、ガンベル、t などのコピュラを用いる。
• 何らかのストレス等で原資産間の相関が急激に上昇したときのCDO価格への影響を調べる「ストレスシナリオ分析」として利用可能。
• ガンベル･コピュラを用いる場合、依存関係を強くする裾を上側にするように変換。

51

７．CDO評価への応用• コピュラ･モデルの違いによる損失率の違い（小宮[2003]）
ガンベル・コピュラ
期待値
標準偏差
95%点
99%点

シニア
0.395%
4.199%
0.000%
11.805%メザニン
2.463%
15.005%0.000%
100.000%

エクイティ
10.478%21.415%63.656%100.000%

ポートフォリオ全体

正規コピュラ
期待値
標準偏差
95%点
99%点

シニア
0.117%
1.195%
0.000%
2.832%

メザニン
3.142%
16.514%0.000%
100.000%

エクイティ
14.294%25.874%89.405%100.000%

ポートフォリオ全体••

1.163%
4.918%
4.456%
20.624%1.200%
2.772%
6.258%
12.548%ポートフォリオ全体の期待損失率はほぼ同じ。
99%点等、シニアへの影響は、ガンベル･コピュラを用いた方が大きい。
52

CDO評価へのコピュラの応用：参考文献•

小宮 清孝、「CDOのプライシング・モデルとそれを用いたCDOの特性等の考察 ─CDOの商品性、国内市場の概説とともに─」、『金融研究』、第22巻別冊第2号、89~130頁、2003年11月.

••

室町 幸雄、『信用リスク計測とCDOの価格付け』、朝倉書店、2007年
Laurent, J-P. and J. Gregory, “Basket default swaps, CDOs and factor
copulas,” Journal of Risk, 7(4), 2005, pp.1−20.

•

Hull, J. C. and A. D. White, “Valuing Credit Derivatives Using an Implied
Copula Approach,” Journal of Derivatives, Winter 2006, pp.8−28.

•

Rogge, E. and P. J. Schönbucher, “Modelling Dynamic Portfolio Credit
Risk,” working paper, 2003.

53

８．分析上の留意点（１）タイ･データが存在するときの周辺分布の扱い（問題点）経験分布では一様分布にならない
経験分布変換後の散布図（横軸：トヨタ株、縦軸：ホンダ株）
原データ：2001年1月〜2004年12月の日次終値対数収益率
1

0
0

1

– 経験分布の平滑化、パラメトリックな分布の採用
54

８．分析上の留意点（２）変量間の負の依存関係の表現– ３変量以上の場合• すべての変量の組み合せで負の依存構造は、 クレイトン、
ガンベル、フランク等の1パラメータ･コピュラでは表現不可能。

– ２変量の場合• クレイトン・コピュラではパラメータを−1 < α < 0とすると、負の依存構造が出現するが、非常に特殊な構造。
• ガンベル･コピュラでは表現できない。
• フランク・コピュラではパラメータをδ < 0とすると表現可能。

– 正規、t などの相関行列をパラメータに持つコピュラを利用したほうがよい。
55

８．分析上の留意点：拡張（３）動的なコピュラ• 同時分布構造を捉えたもので（資産価値等の）確率的な時間発展を表現していない。
– CDOの評価でのコピュラはデフォルト時刻の同時分布• 確率過程にコピュラを織り込むいくつかの手法– 資産価値過程を多変量レヴィ過程の確率過程で表現し、レヴィ
測度（ジャンプ部分）にコピュラの構造を導入→動的なコピュラを形成– 累積ハザードに対する各変量のデフォルト閾値にコピュラを適用（Rogge and Schönbucher [2003]）

56

８．分析上の留意点：拡張（４）極値コピュラ• 各周辺分布に関して裾にだけ注目するならば、極限的にコピュラはどういう構造を持つか？

• 極値コピュラC ： Cr(u) = C (ur)
– 「最大値安定」の多変量極値分布が満たすコピュラ• 独立コピュラ、共単調コピュラは極値コピュラ• ガンベル･コピュラはアルキメディアン・コピュラで唯一の極値
コピュラ

参考文献
渋谷 政昭・高橋 倫也、「極値理論、信頼性、リスク管理」、『21世紀の統計科学Ⅱ自然・生物健康の統計科学』 第4章、2008年、89〜124頁

57

９．まとめ• 様々なコピュラを紹介、選択したコピュラのパラメータ推定方法、乱数の発生方法を提示• コピュラによりVaR等のリスク指標は大きく変化• コピュラを使う際に考慮すべきこと– 適切なコピュラの選択• 全体の依存度合いと裾の依存度合いの適切さ• AICなどを用いた統計的な選択• 極値→極値コピュラなど、理論的に自然なコピュラ

58