「新しい算数研究」07/1

海外の算数教育情報

小学校での比較を表す数学的な言葉
Comparative mathematical languagein the elementary school: A longitudinal study 1)
溝口達也＊「数学は科学の言語である」とよく言われる。

な様相として見られる典型的なものとして，相等もちろん，「数学」が日本語や英語，フランス語性と非相等性に着目する。その目的は，次の通りと文字通り似ていると思う人はいないであろうである。「 本研究では，幼い子どもたちが，相等し，この命題を（例えば，音韻，語彙，文法を有性および非相等性の理解をどのように発達させるするといった）「言語」の定義に則して捉えてそうかということについての研究に対する新しい試み言うのではなく，「言語」の有する機能面に着目の最初のステップを示したい。それは，相等性やして語られていると解釈されるべきであろう。最非相等性に通常結びつくと考えられる語（つま近，西日本で流れる（東日本については不明）某り，equal，more，そしてless）が，幼い子どもた新聞のテレビCMで連呼される「言葉は○○」は，まちにどのように解釈され，また用いられるかを検さにそれぞれの個人が思うところの言葉の機能に証することであり，小学校の課程を通じてそのよ照らしてのものであるといえる。では，そのよううな語の理解が，進歩するのか，進歩するのであな機能とはどんなものであるのだろうか。当然のればどのようにか，ということを確かめることでことながら， 言語には，他人に伝達する機能や，ある。」このために，Queenslandの小学生76名の記録を残す（文字媒体だけでなく，伝承として3年生時（8歳6ヶ月）から5年生時（10歳6ヶ月）も）といった機能がある。それ以上に，われわれまでの3年間にわたる調査が展開される。これらのは思考の道具として，言語を駆使することがあ結果は，図1〜図3 2) に示されるようである。分類る。つまり，一つ一つの言葉に負荷された意味をに用いられるカテゴリーについては，異なる言語用いて（あるいは，時としてそのような言葉による文化圏のものとして，我が国の参考になることはある種の枠組みとしての制約を受けながら）思考疑いはないが必ずしも一致するものではないことを展開するのである。

1. The answer
4. Part of sum
7. Other

2. Quantitative sameness5. Total

3. Equal sign in an equation
6. The end

こうした様相は，小学校の低学年の児童においても見られることである。今回紹介する論文の冒頭で，著者は，次のように述べられている。「 幼い子どもたちが，数学の意味を話しあうときに多くの障害に直面することが，これまでも示唆されてきた。言語の点から見るとき，子どもたちにとって文脈を記述する語と，そのような文脈における問題解決に用いられる手続きとの間に非常に密接なつながりがあり，このことが初期の算数学習を

図1
1. Quantitative difference
3. Addition
5. Opposite to less‘equal’の意味
2. Non-comparative sentence
4. Big amount
6. Positioning Change特徴づけるものでもある。従って，子どもたちは，数学の register を理解し，かつ話しあう必要があり，その結果，独特の syntax，semantics，語彙，文法を理解するようになり，また数学の文脈において語を再解釈する。」そして，そのよう* 鳥取大学助教授

図2‘more’の意味

「新しい算数研究」07/1

1. Quantitative difference
3. Take away
5. Opposite to more

2. Non-comparative sentence
4. Small amount
6. Positioning Change

られる実践として，板書された問題文に色別の下線を引くことで「わかっていることがら」や「求めることがら」を明確にするというものがある。
一見すると首尾よく問題の把握が図られているようにも思われるが，実際には問題文の分析が行われているだけであり，本来行われるべきは，問題あるいは問題場面の構造の分析である。このと

図3‘less’の意味

き，解決の見積もりを行うことは，こうした問題の分析をする上で，極めて有効であることが指摘が予想される。しかし，注目すべき点は，‘equal’，される 4)。まさに，本論文で示唆される ‘more’ や‘more’，‘less’ のいずれについても，3学年にわたっ‘less’ の状況である。つまり，日々の授業実践におて χ2 検定による有意差が認められないことであいて，継続的にこのような指導は可能であろうとる。すなわち，学年間におけるそれぞれの語につ考えられるのである。

いての意味の理解に違いが見られないことであこうした見積もりによる問題把握（分析）の力る。さらに，こうした語の背後にある相等性，及は，一朝一夕でできるようになるものではなく，び非相等性についても，図4 2) に示されるように，上記の通り継続的な指導が不可欠である。先日，

Equal as quantitative samenessLess as quantitative difference

More as quantitative difference

高等学校の研究授業を拝見する機会があった。授業では，与えられた3直線によって囲まれた領域D（境界を含む）内の点P(x , y)につyいて x + 2y の最大値及び最小値を求めることが問われた。一部の生徒は x + 2y = k として解決を進めABDxCるのだが，なぜそのように置けば
図4

相等性と非相等性

やはりχ2 検定の結果，有意差が認められない。このような結果は，われわれ算数教育に携わるものとして意外な印象を受けられるかもしれないが，実は我が国においても，筆者が以前に実施した調査では，小6〜中2の児童・生徒の等号の認識について，同様に学年間の差異を認めにくいという結果を得た 3)。ただし，本論文の特徴的な点は，「等しい equivalent」という認識を「等しくない nonequivalent」という認識と組で捉えようとしていることである。両者は，互いに相補的に認識することでその理解が深まると指摘される。本論文では，それゆえ「等しくない」を表現するものとしての ‘more’ や ‘less’ に重点を置いて議論する。と同時に，子どもたちが，そのような状況を探求することも示唆する。そして結論において，活動，記号，言語，及びモデルに注目するのだが，我が国の算数教育実践の蓄積からは，それだけではないようにも思われる。
我々は，子どもたちの問題解決にあたって，問題の提示における問題の分析を図る。よく見受け

よいかは理解していない（もちろん，これ自体2つの変数を1つの変数に還元する数学でよく用いられる手法であり，中学校での連立方程式の解法も同様の手法である）。ここで，この場合 y を固定す
れば x が最大のとき x + 2y は最大となり，x を固定した場合も同様である。従って，x と y がともに最大のとき（すなわち，点Aにおいて）最大値を取ることが容易に判断され，問題となるのは，最小値を求める場合である。このような見積もりは，小学校における異分母分数の大小判断等と同様の思考であり，我々は，ただ計算ができさえすればよいとされる指導観とは異なる立場で，子どもたちを育てたいものである。
註1) Warren, E. (2006). Educational Studies in Mathematics, 62(2), 169-189.
2) グラフは，論文中のデータから筆者が作成した。
3) 溝口達也 (2003). 等号，相等性に関する認識論的障害.
鳥取大学教育地域科学部紀要 教育・人文科学, 5 (1),25-34.
4) 溝口達也 (2006). 創造性の基礎を培う授業構成とその展開. 第39回中国・四国算数・数学教育研究（鳥取）
大会 公開授業学習指導案集, pp.1-14.