倍数 - 旗・花火・鐘

ステップ１

全体の距離・時間が与えられている問題

１ 24ｍ離れたＡ地点とＢ地点の端から端まで、赤い旗を２ｍおきに、青はしい旗を３ｍおきに立てます。

ＡＢ24ｍ

赤2m
青3m

⑴

赤い旗は何本必要ですか。植木算です。
間の数と木の本数の違いに注意しなさい。

⑵

青い旗は何本必要ですか。植木算です。

1

倍数 - 旗・花火・鐘⑶

赤い旗と青い旗は、何ｍおきに重なりますか。倍数の問題です。

⑷⑶より、２本の旗が重なって立っているところは、何か所ですか。
植木算です。

⑸

旗が立っているところは全部で何か所ですか。２本の旗がたっているところは１か所と数えます。

2

倍数 - 旗・花火・鐘

２ 120ｍ離れたＡ地点とＢ地点の端から端まで、赤い旗を３ｍおきに、青い旗を４ｍおきに立てます。
⑴

赤い旗は何本必要ですか。

⑵

青い旗は何本必要ですか。

⑶

２本の旗が重なって立っているところは何か所ありますか。

⑷

旗が立っているところは全部で何か所ですか。２本の旗がたっているところは１か所と数えます。

3

倍数 - 旗・花火・鐘

３ 200ｍ離れたＡ地点とＢ地点の端から端まで、赤い旗を４ｍおきに、青い旗を５ｍおきに立てます。ただし、すでに赤い旗が立っているところは、青い旗を立てません。このとき、旗は全部で何本必要ですか。

4

倍数 - 旗・花火・鐘

４ 午後７時から午後８時までの１時間、Ａ、Ｂ２種類の花火を打ち上げます。Ａは３分ごとに１発、Ｂは５分ごとに１発打ち上げます。午後７時に同時に打ち上げはじめると、花火の音は何回聞こえますか。ただし、同じ時刻に打ち上げられた花火の音は、１回しか聞こえません。また、午後８時に打ち上げた花火の音も含めます。
花火の音は、打ち上げた瞬間になると考えます。

5

倍数 - 旗・花火・鐘

ステップ２

本数・回数が与えられている問題

５ Ａ地点からＢ地点まで一直線に伸びる道沿いに、Ａ地点から赤い旗を２ｍおきに 16 本、青い旗を３ｍおきに６本立てます。Ａ地点にも旗を立てます。

Ａ()ｍ

赤2m
青3m
(⑴)ｍ

最後の赤い旗は、Ａ地点から何ｍ離れていますか。植木算です。
旗の本数と間の数に注意して考えなさい。

⑵

最後の青い旗は、Ａ地点から何ｍ離れていますか。植木算です。

6倍数 - 旗・花火・鐘⑶

赤い旗と青い旗は何ｍおきに重なりますか。倍数の問題です。

⑷

２本の旗が重なって立っているところは何か所ありますか。植木算です。重なる可能性がある距離に注意しなさい。

⑸

旗が立っているところは全部で何か所ですか。２本の旗がたっているところは１か所と数えます。

7倍数 - 旗・花火・鐘６ Ａ地点からＢ地点まで一直線に伸びる道沿いに、Ａ地点から赤い旗を３ｍおきに 50 本、青い旗を４ｍおきに 30 本立てます。Ａ地点にも旗を立てます。

⑴

最後の赤い旗は、Ａ地点から何ｍ離れていますか。

⑵

最後の青い旗は、Ａ地点から何ｍ離れていますか。

⑶

２本の旗が重なって立っているところは何か所ですか。

⑷

旗が立っているところは全部で何か所ですか。２本の旗がたっているところは１か所と数えます。

8倍数 - 旗・花火・鐘

７ 公園でＡ、Ｂ２種類の花火を打ち上げます。Ａは３分ごと１発ずつ合計 40 発、Ｂは５分ごとに１発ずつ合計 30 発打ち上げます。午後７時に同時に打ち上げはじめました。

⑴

Ａの花火が最後に打ち上げられたのは何時何分ですか。

⑵

Ｂの花火が最後に打ち上げられたのは何時何分ですか。

⑶

ＡとＢの花火が同時に打ち上げられたのは何回ですか。

⑷

同じ時刻に打ち上げられた花火の音は１回しか聞こえないとすると、花火の音は合計何回聞こえましたか。花火の音は、打ち上げと同時に聞こえると考えます。

9倍数 - 旗・花火・鐘

８ 花火を、Ａ町では４分ごとに１発ずつ合計 100 発、Ｂ町では３分ごとに１発ずつ合計 150 発打ち上げます。同時に打ち上げはじめると、Ａ町とＢ町の中間地点にいる人は、何回花火の音を聞くことになりますか。
Ａ町とＢ町の中間地点にいるので、同時に打ち上げられた花火の音は同時に聞こえる、つまり１回に聞こえることになります。

10倍数 - 旗・花火・鐘

９ 大みそかにＡ寺は 20 秒ごとに、Ｂ寺は 30 秒ごとに、それぞれ 108 回かねずつ鐘をつきます。夜中の午前０時にＡ寺とＢ寺が同時に鐘をつきました。同時についた鐘は１つに聞こえるものとします。

⑴

Ａ寺の鐘を最後についたのは何時何分何秒ですか。

⑵

Ｂ寺の鐘を最後についたのは何時何分何秒ですか。

⑶

Ａ寺とＢ寺の鐘が同時につかれたのは何回ですか。

⑷

鐘の音は何回聞こえましたか。

11倍数 - 旗・花火・鐘

ステップ３ 〜番目を求める問題

10 図のように、Ａ地点からＢ地点まで一直線に伸びる道沿いに、Ａ地点から赤い旗を２ｍおきに、青い旗を３ｍおきに立てます。２本の旗が重なって立っているところは、２本の旗を取りのぞいて緑の旗を１本立てます。

Ａ
赤青

２m

２m

３m２m３m

重なっているところは、緑の旗が１本あると考えます。

⑴

赤い旗と青い旗は、何ｍおきに重なりますか。

⑵

このとき、７本目の旗は何色ですか。また、７本目の旗はＡ地点から何ｍ離れていますか。

12倍数 - 旗・花火・鐘⑶

50 本目の旗について考えます。

Ａ

第１セット

第２セット

赤青
重なり

①

重なり

重なり

上の図のように、⑴で求めた６ｍを１セットします。ただし、２個目の重なりは第２セットに入れることにします。このとき、１つのセットに何本の旗がありますか。重なりは緑の旗１本です。

②50 本目の旗までに、⑴の本数がそろっているセットは、何セットありますか。

③50 本目の旗は何色ですか。

④50 本目の旗はＡ地点から何ｍ離れていますか。

13

倍数 - 旗・花火・鐘図の描き方
今までは描いてきた線分図は、下の２つ目の図のように、数字だけでも表すことができます。数直線と同じく、同じ数字はたてにそろえ、大きい数字が右になるように書きます。

Ａ
赤

第１セット
２m３m

青６m

Ａ
赤 ０

青 ０

第１セット
２

４

３６６６m

14８10９1212

倍数 - 旗・花火・鐘

11 公園でＡ、Ｂ２種類の花火を打ち上げます。Ａは３分ごと１発、Ｂは５分ごとに１発打ち上げます。午後７時に同時に打ち上げとき、次の問いに答えなさい。ただし、同じ時刻に打ち上げられた花火の音は１回しか聞こえず、打ち上げと同時に花火の音が聞こえるものとします。

⑴

10 発目の花火の音が聞こえるのは、午後何時何分ですか。

⑵

40 発目の花火の音が聞こえるのは、午後何時何分ですか。

15

倍数 - 旗・花火・鐘

12 大みそかにＡ寺は 30 秒ごとに、Ｂ寺は 40 秒ごとに、それぞれ 108 回かねずつ鐘をつきます。夜中の午前０時にＡ寺とＢ寺が同時に鐘をつきました。70 回目に聞こえた鐘の音は、どちらのお寺のものですか。また、その時刻を答えなさい。ただし、同時についた鐘は１つに聞こえるものとします。

16

倍数 - 旗・花火・鐘

13 ９時にスタートボタンをおしてから９秒おきに赤色のライトがつき、12 秒おきに青色のライトがつきます。赤色と青色のライトが同時につく時刻には赤色のライトと青色のライトの代わりに黄色のライトがつきます。47 回目にライトがつく時刻と、そのときのライトの色を答えなさい。問題文から、９時にはライトがつかないと考えます。

17

倍数 - 旗・花火・鐘■ 解答 ■
１ ⑴ 13 本
⑵
⑶
⑷
⑸
２ ⑴
⑵
⑶⑷

９本
６ｍ
５か所
17 か所
41 本
31 本
11 か所
61 か所

３81 本

４29 回

５ ⑴
⑵
⑶
⑷
⑸

30ｍ
15ｍ
６ｍ
３か所
19 か所

６ ⑴

147ｍ

⑵

116ｍ

⑶

10 本

⑷

70 か所

⑴

８時 57 分

⑵

⑶

８回

62 回

７⑷

９時 25 分

８ 216 回９⑴

午前０時 35 分 40 秒⑵⑶

午前０時 53 分 30 秒
36 回 ⑷ 180 回

10 ⑴

６ｍ

⑵
⑶

青色、９ｍ
① ４本
② 12 セット
③ 赤色
④ 74ｍ

11 ⑴

午後７時 20 分⑵

午後８時 24 分

12Ａ寺、午前０時 23 分

13 ９時４分 39 秒、赤色

18倍数 - 旗・花火・鐘■ 解説 ■
１ ⑴ ２ｍおきに植えるから、３ 赤い旗は４ｍおきに植えるから、

24÷２＝12･･･間の数
よって、
12＋１＝13(本)⑵２ｍと３ｍの最小公倍数＝６ｍ⑷６ｍおきに重なるから、
24÷６＝４･･･間の数
４＋１＝５(か所)２ ⑴青い旗は、５ｍおきに植えるから、とりあえず、
200÷５＝40･･･間の数
40＋１＝41(本)３ｍおきに植えるから、
24÷３＝８･･･間の数
よって、
８＋１＝９(本)⑶⑷

200÷４＝50･･･間の数
50＋１＝51(本)４ｍと５ｍの最小公倍数の 20ｍおきに赤い旗と青い旗が重なる。
赤い旗と青い旗が重なるのは、
200÷20＋１＝11(か所)
よって、旗は全部で、51＋41−11＝81(本)13＋９−５＝17(か所)

３ｍおきに植えるから、

４ Ａは３分ごとだから、

120÷３＝40･･･間の数
40＋１＝41(本)60÷３＝20･･･間の数
20＋１＝21(発)⑵４ｍおきに植えるから、
120÷４＝30･･･間の数
30＋１＝31(本)Ｂは５分ごとだから、
60÷５＝12･･･間の数
12＋１＝13(発)⑶３ｍと４ｍの最小公倍数の 12ｍおきに重なるから、
120÷12＝10･･･間の数
10＋１＝11(か所)

３分と５分の最小公倍数の 15 分ごとＡとＢが重なる。

⑷

ＡとＢが重なるのは、
60÷15＝４･･･間の数
４＋１＝５(回)

41＋31−11＝61(か所)

よって、21＋13−５＝29(回)19倍数 - 旗・花火・鐘

５ ⑴赤い旗は 16 本立てるから、

７ ⑴16−１＝15･･･間の数
２×15＝30(ｍ)Ａは 40 発打ち上げるから、⑵

青い旗は６本立てるから、６−１＝５･･･間の数
３×５＝15(ｍ)⑶

２ｍと３ｍの最小公倍数＝６ｍ⑷６ｍおきに重なるが、重なる可能性があるのは 15ｍまでだから、
15÷６＝２余り３←２が間の数
２＋１＝３(か所)⑷６ ⑴40−１＝39･･･間の数
３×39＝117(分)＝１時間 57 分
よって、
７時＋１時間 57 分＝８時 57 分⑵

Ｂは 30 発打ち上げるから、30−１＝29･･･間の数
５×29＝145(分)＝２時間 25 分
よって、
７時＋２時間 25 分＝９時 25 分⑶

３分と５分の最小公倍数の 15 分ごとに重なるが、重なる可能性があるのは 117 分後までだから、
117÷15＝７･･･12←７が間の数
７＋１＝８(回)⑷

40＋30−８＝62(回)

16＋６−３＝19(か所)

赤い旗は 50 本立てるから、50−１＝49･･･間の数
３×49＝147(ｍ)８⑵⑶⑷青い旗は 30 本立てるから、
30−１＝29･･･間の数
４×29＝116(ｍ)Ａは 100 発打ち上げるから、100−１＝99･･･間の数
４×99＝396(分後)･･･Ａの最後３ｍと４ｍの最小公倍数の 12ｍおきに重なるが、重なる可能性があるのは 116ｍまでだから、
116÷12＝９余り８←９が間の数
９＋１＝10(か所)50＋30−10＝70(か所)Ｂは 150 発打ち上げるから、150−１＝149･･･間の数
３×149＝447(分後)･･･Ｂの最後４分と３分の最小公倍数の 12 分ごとにＡとＢが重なるが、重なる可能性があるのは 396 分後までだから、
396÷12＝33･･･間の数
33＋１＝34(回)よって、聞こえる花火の音の回数は、
100＋150−34＝216(回)20倍数 - 旗・花火・鐘９ ⑴108 回鐘をつくから、
108−１＝107･･･間の数
20×107＝2140(秒)＝35 分 40 秒
よって、０時 35 分 40 秒⑵

108 回鐘をつくから、108−１＝107･･･間の数
30×107＝3210(秒)＝53 分 30 秒
よって、０時 53 分 30 秒⑶

20 秒と 30 秒の最小公倍数の 60 秒
ごとにＡ寺とＢ寺の鐘が重なるが、重なる可能性があるのは 2140秒後までだから、2140÷60＝35 余り 40←35 が間の数
35＋１＝36(回)⑷

108×２−36＝180(回)21倍数 - 旗・花火・鐘10 ⑴２ｍと３ｍの最小公倍数＝６ｍおき⑵

Ａ赤➊➋➍➌青➎➏➐

３ｍ６ｍ

上の図のように、１本目➊、２本目➋、･･･７本目➐となります。
よって、７本目は青色
Ａ地点からの距離は、６＋３＝９(ｍ)⑶

Ａ 第１セット
赤➊
青➋

第２セット

第12セット

➍➊

・・・

➌
６ｍ６ｍ

①

上の図のように、➊〜➍の４本になります。

②

１セット４本だから、50÷４＝12 余り２
よって、12 セットとれて、２本余ります。

③余った２本は➊と➋。50 本目は➋で赤色④

１セット６ｍで、12 セットあるから、６×12＝72(ｍ)
余った２本の最後➋までにあと２ｍあるから、
72＋２＝74(ｍ)

222m

➋

倍数 - 旗・花火・鐘11 ⑴

下の図のように書き出すとよい。

②④⑤⑦⑨Ａ ０ ３ ６ ９ 12 15 18 21 24 27 30①③Ｂ０５⑥10⑧15⑩202530

10 発目は⑩で、20 分後。
よって、午後７時＋20 分＝午後７時 20 分⑵

３分と５分の最小公倍数の 15 分で重なるので、下の図のように、15 分で１セットにします。
２回目の重なりは第２セットに入れます。

第１セット
第２セット
Ａ ０ ３ ６ ９ 12 15 18 21 24 27①Ｂ０②④③５⑤ ⑦⑥10

第５セット
□･･･
152025

①□

□
②□④③□

□
⑤

15分

１セットで７発聞こえるから、40 発目は、40÷７＝５あまり５より、５セットと５発。
１セット 15 分で５セットあるから、15×５＝75(分)
残り５発の最後⑤までにあと９分あるから、←第１セットの図から分かります
75＋９＝84(分)＝１時間 24 分
よって、午後７時＋１時間 24 分＝午後８時 24 分

23

倍数 - 旗・花火・鐘

12 30 秒と 40 秒の最小公倍数の 120 秒で重なるので、下の図のように、120 秒で１セットにします。
２回目の重なりは第２セットに入れます。

第１セット
Ａ ０
①
Ｂ ０

30
②60④③40

第２セット

第11セット90 120 150 180 210 240⑥⑤80120120秒

160200□・・・①240120秒

□□
②□
④

③□

120秒

１セットで６回聞こえるから、70 回目は
70÷６＝11 余り４
よって、11 セットとあと４回
残った４回の最後④は図より、Ａ寺
１セット 120 秒で 11 セットあるから、120×11＝1320(秒)
残り４回の最後④までにあと 60 秒あるから、←第１セットの図から分かります
1320＋60＝1380(秒)＝23 分
よって、０時＋23 分＝０時 23 分

24

倍数 - 旗・花火・鐘

13 ９秒と 12 秒の最小公倍数の 36 秒で重なるので、下の図のように、36 秒で１セットにします。
ただし、０秒後（９時）は回数に入れないことに注意します。

９時
第１セット
赤 ０

９①青 ０②1218③

27⑤④2436秒

第２セット
3645

54

63

第７セット
72・・・

⑥36□
①

48

60

②
□72

36秒

□③

□
⑤④
□36秒

１セットで６回ライトがつくから、47 回目は、
47÷６＝７余り５より、７セットとあと５回残った５回の最後⑤は図より、赤色
１セット 36 秒で７セットあるから、
36×７＝252(秒)
残り５回の最後⑤までにあと 27 秒あるから、←第１セットの図から分かります
252＋27＝279(秒)＝４分 39 秒
よって、９時＋４分 39 秒＝９時４分 39 秒

25