立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

ステップ１【復習】区切り面積

１ 図の正方形ＡＢＣＤにおいて、点Ｅ、Ｆは辺ＢＣ、辺ＣＤのまん中の点です。（）にあてはまる数を分数で答えなさい。



⑴

三角形ＣＥＦの面積は、正方形ＡＢＣＤの面積の（）倍です。

⑵

三角形ＡＢＥの面積は、正方形ＡＢＣＤの面積の（）倍です。

⑶

三角形ＡＥＦの面積は、正方形ＡＢＣＤの面積の（）倍です。

覚えておくと便利。

1

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

ステップ２

展開図が正方形になる三角すい

２ 図１のような、１辺が６㎝の正方形の折り紙ＡＢＣＤがあり、点Ｅ、Ｆは辺ＢＣ、辺ＣＤのまん中の点です。図１の折り紙を点線で折って組み立てると、図２のような三角すいになります。





⑴

ＰＱ＝（⑵

三角すいＰＱＲＳの体積は（⑶三角形ＰＲＳの面積は、展開図の三角形（く、（）㎝、ＱＲ＝（）㎝、ＱＳ＝（）㎝です。

）㎤です。

）㎠になります。

2）の面積と等し立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

展開図が正方形になる三角すい

・図１のような、直角の頂点に集まる３辺の長さの比が１：１：２の三角すいは、展開図が正方形になります。
・展開図の正方形の１辺の長さは、三角すいの辺ＰＱと同じ長さになります。
・三角すいの三角形ＰＲＳは、展開図の色のついた部分になります。

3
・展開図の斜線部分の面積は、正方形の面積の8倍になります。

3

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

３ 図１のような紙でできた三角すいＡＢＣＤがあります。この三角すいを辺にそって切り開くと、図２のような正方形になりました。点線は折り目を表しています。



⑴

図２の正方形の１辺の長さは何㎝ですか。

⑵

三角形ＡＣＤの面積は何㎠ですか。

⑶

三角すいＡＢＣＤの表面積は何㎠ですか。

4

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

４ 図のような１辺が８㎝の立方体があります。点Ｐ、Ｑは辺のまん中の点で、点Ｒ、Ａは立方体の頂点です。この立方体を３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切断し、２つの立体に分けました。








⑴

頂点Ａを含む方の立体の体積を求めなさい。

⑵

切り口の三角形ＰＱＲの面積を求めなさい。

5

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

ステップ３

高さを求める

５ 図１のような三角すいＰＱＲＳについて、次の問いに答えなさい。
 



⑴

三角すいＰＱＲＳの体積は何㎤ですか。

⑵

三角形ＰＲＳの面積は何㎠ですか。

⑶

図２のように、三角形ＰＲＳを底面としたときの高さ（ＱＴ）を求めなさい。⑴⑵の結果を利用しなさい。

6

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

６ 図１のような三角すいＰＱＲＳについて、次の問いに答えなさい。
  ⑴

三角すいＰＱＲＳの体積は何㎤ですか。

⑵

三角形ＰＲＳの面積は何㎠ですか。

⑶

図２のように、三角形ＰＲＳを底面としたときの高さを求めなさい。

7

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すいステップ４【復習】ピラミッド相似の面積比

７ 図の三角形ＡＢＣにおいて、点Ｄ、Ｅは辺ＡＢ、辺ＡＣのまん中の点です。三角形ＡＤＥと三角形ＡＢＣは、対応する２辺の長さの比とその間の角が等しいので相似形になります。



⑴



三角形ＡＤＥと三角形ＡＢＣの面積の比は（）：（）です。相似形の面積比は、相似比（長さの比）の２乗になります。

⑵

三角形ＡＤＥと台形ＤＢＣＥの面積の比は（す。

8）：（）で

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

ステップ５【復習】ピラミッド相似の体積比

８ 図 1 のように、立方体を２個組み合わせた立体を赤線の切り口で切断し、図２のような４つの立体Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓに分けました。このとき、（）にあてはまる数を求めなさい。





⑴





立体Ｐの体積は、立方体１個の体積の（）倍です。

立方体の１辺の長さを１として計算します。
⑵

立体Ｐと立体Ｑの体積の比は（）：（）です。

相似形の体積比は、相似比（長さの比）の３乗になります。
⑶

立体Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓの体積の比は（（）です。

9）：（）：（）：

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

ステップ６

切り口が等脚台形

９ 図のような１辺が６㎝の立方体があります。点Ｐ、Ｑは辺のまん中の点です。この立方体を３点Ｐ、Ｑ、Ｇを通る平面で切断し、２つの立体に分け、Ｈを含む方の立体を立体Ｖとします。ＥＰ、ＧＱ、ＨＤの延長線の交点をＲとするとき、次の問いに答えなさい。






⑴



三角すいＲ-ＰＱＤの体積を求めなさい。

10

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい⑵

三角すいＲ-ＰＱＤと立体Ｖの体積の比を求めなさい。

⑶

立体Ｖの体積を求めなさい。

⑷

三角形ＰＱＲの面積を求めなさい。

⑸

三角形ＰＱＲと切り口の台形ＰＱＧＥの面積の比を求めなさい。

⑹

切り口の台形ＰＱＧＥの面積を求めなさい。

11

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

10 図のような１辺が 12 ㎝の立方体があります。点Ｐは辺のまん中の点です。この立方体を３点Ｐ、Ｄ 、Ｅを通る平面で切断し、２つの立体に分けました。このとき、次の問いに答えなさい。



⑴

頂点Ａを含む方の立体の体積を求めなさい。

⑵切り口の面積を求めなさい。

12

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

ステップ６練習問題

11 図のような１辺が４㎝の立方体があり、点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓは辺のまん中の点です。このとき、このとき、次の問いに答えなさい。












⑴

立体ＰＱＲＳ-ＥＦＧＨの体積を求めなさい。

⑵

立体ＰＱＲＳ-ＥＦＧＨの表面積を求めなさい。

13

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

12 図のような立方体があり、点Ｐは面ＡＢＣＤの対角線の交点で、点Ｑ、Ｒ、Ｓ、Ｔは辺のまん中の点です。













⑴

四角すいＰ-ＱＲＳＴの体積は立方体の体積の何倍ですか。

⑵

四角すいＰ-ＱＲＳＴの表面積は立方体の表面積の何倍ですか。赤い点線を参考にしなさい。

14

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

13 図のような１辺６㎝の立方体を４個組み合わせた図形があり、点Ｐ、Ｑは辺の真ん中の点で、点Ａ、Ｒは立方体の頂点です。この立体を３点Ｐ、Ｑ、Ｒと通る平面で切断し２つの立体に分けます。





⑴

３点Ｐ、Ｑ、Ｒと通る平面で切断したときの切り口を作図しなさい、４個の１辺６㎝の立方体のそれぞれの切り口も描くこと。

15

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい⑵

Ａを含む方の立体の体積を求めなさい。

⑶

切り口の面積を求めなさい。

16

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

14☆ 図のような１辺１㎝の立方体を５個組み合わせた図形があり、点Ａ、Ｐ、Ｑは立方体の頂点で、点Ｒは辺のまん中の点です。この立体を３点Ｐ、Ｑ、Ｒと通る平面で切断し２つの立体に分けます。







⑴

３点Ｐ、Ｑ、Ｒと通る平面で切断したときの切り口を作図しなさい。
５個の１辺１㎝の立方体のそれぞれの切り口も描くこと。

17

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい⑵Ａを含む方の立体の体積を求めなさい。８を参考にしなさい。

⑵

切り口の面積を求めなさい。

18立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

■

解答

■

１ ⑴

18２ ⑴

６、３、３⑵⑶

1⑵ 4 ⑶3814 ⑴９ＡＥＦ、13.5
12 ㎝

４ ⑴

1
64213㎤（ 3 ㎤）

５ ⑴

９㎤ ⑵

13.5 ㎠⑶ ２㎝

６ ⑴

72 ㎤⑵

54 ㎠⑶

７ ⑴

１：４⑵

１：３

８ ⑴

1
24９ ⑴
⑶
⑸
10 ⑴
11 ⑴
12 ⑴

54 ㎠⑶
⑵

144 ㎠
24 ㎠



４㎝

１：７
１：７：23：17⑵577324㎤（ 24㎤）９㎤ ⑵⑶1
3348㎤（ 8 ㎤、4.125 ㎠）

１：７63 ㎤ ⑷ 13.5 ㎠
１：３ ⑹ 40.5 ㎠
504 ㎤⑵162 ㎠1160533㎤（ 3 ㎤）1
16倍 ⑵ 3倍⑵

80 ㎠

13 ⑴




234 ㎤⑶





⑵





３ ⑴

⑵
⑶

⑵



108 ㎠19立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

■

解説■

13Ｓ

Ｓ
Ｓ６㎝

Ａ

Ｐ

展開図

ＰＱ

Ｑ
18㎝

６㎝
Ｐ
Ｑ３㎝
【図３】
Ｓ

Ｒ

18㎝

９㎝
Ｔ

Ｔ
展開図

９㎝
Ｕ
【図１】

Ｕ
【図２】

⑵・図１のように、切り口を延長して大きい三角すいをつくります。
・Ａを含む立体の体積は、図２の三角すいから図３の三角すいを引いたものになります。よって、
111
1９×９×2×18×3−３×３×2×６×3＝243−９＝234(㎤)⑶・切り口の面積は、図２の三角形ＳＴＵから、図３の三角形ＳＰＱを引いたものになります。
・図２、図３の三角すいの展開図より、
3
図２の三角形ＳＴＵの面積は、１辺 18 ㎝の正方形の8倍
3
図３の三角形ＳＰＱの面積は、１辺６㎝の正方形の8倍
・よって、
3
3
18×18×8−６×６×8＝108(㎠)20立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい

14Ａ

Ｐ

Ｑ

Ｒ

【図１】

【図２】

①⑧⑦

相似比１：２
体積比１：８⑧−①＝⑦【図３】⑵・まず、Ａを含まない方の立体の体積を求めます。
・Ａを含まない方の立体は、図２のように、５つの立体に分割できます。
・青い三角すい台は、図３のように、ピラミッド相似の体積比を利用すると、赤い三角すいの体積の７倍になります。
・よって、
1 1 1
1 1
赤い三角すい･･･ 2×2×2×１×3＝24(㎤)17
青い三角すい台･･･ 24×７＝24(㎤)
7 17
グレーの立体･･･ １−24＝24(㎤)17 1743Ａを含まない方の立体 ･･･ 24×２＋24＋24×２＝24(㎤)43 77
Ａを含む方の立体･･･ １×５−24＝24(㎤)21立体切断 - 展開図が正方形になる三角すいＡ

Ｐ

Ｑ
③

①Ｒ
④

①
①③③③
相似比１：２
面積比１：４

【図４】

④−①＝③

【図５】
１㎝

展開図

①⑵・図４のように、切り口を５つの図形に分割します。
・ピラミッド相似の面積を利用すると、図５のように、切り口の赤い三角形と青い等脚台形の面積が１：３になります。
3・赤い三角形の面積は、三角すいの展開図より、１辺１㎝の正方形の面積の8倍になります。
・よって、
333
１×１×8×(１＋１＋３＋３＋３)＝ 8 (㎠)22立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい23

立体切断 - 展開図が正方形になる三角すい24