整数 - けたばらし

ステップ１

個数を求める１ １から 100 までの整数を、次のように各位の数をばらばらにして並べました。このとき、並んでいる数字は全部で何個ありますか。

１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・、９、９、１、０、０1

整数 - けたばらし

２ １から 1000 までの整数を、次のように各位の数をばらばらにして並べました。このとき、並んでいる数字は全部で何個ありますか。

１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・、９、９、９、１、０、０、０2

整数 - けたばらし

ステップ２〜番目の数を求める

３ 次のように、１から順に並べます。ただし、２けた以上の数は、それぞれの位の数をばらばらにして並べます。
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・
このとき、左から 100 番目の数を求めなさい。答えは、ばらばらにすくらいる前の整数、 位 、数字の順に答えなさい。例えば、左から 11 番目の数なら、「10 の一の位の０」と答えます。

3整数 - けたばらし

４ １からはじまる整数を、次のように順にならべていきます。
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・
この数列の 150 番目の数はいくつですか。答えは、「10 の一の位の０」のように答えなさい。

4整数 - けたばらし

５ 次のように、整数を０から書き並べた数の列があります。
０１２３４５６７８９１０１１１２１３１４１５１６･･･
この数列の、2500 番目の数を求めなさい。ただし、答えは、ばらばくらいらにする前の整数、 位 、数字の順に答えなさい。例えば、左から 12番目の数なら、「10 の一の位の０」と答えます。

5整数 - けたばらし

ステップ３

和を求める

６ １から 49 までの整数を、次のように各位の数をばらばらにして並べました。このとき、この数列のすべての数の和を求めようと思います。
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・、３、９、４、９⑴

もとの整数の一の位に使われていた数の和について考えます。

12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

上の表より、１から９までの和が、０代、10 代、20 代、30 代、40 代の回分あるので、一の位に使われていた数の和は、（１＋２＋３＋･･･＋９）×6＝０です。

整数 - けたばらし⑵

もとの整数の十の位に使われていた数の和について考えます。

123456789

10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
上の表より、10〜19 の十の位のが個、20〜29 の十の位のが個、30〜39 の十の位のが個、40〜49 の十の位のが個あるので、十の位に使われていた数の和は、（⑶＋＋＋）×＝０⑴⑵より、この数列のすべての数の和は０＋ ０＝ ０7です。

です。

整数 - けたばらし

７ 整数を、次のように各位の数をばらばらにして並べました。
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・⑴

この数列の 100 番目の数は、（（⑵もとの数）の（）の位の）です。

この数列の 100 番目の数までの和を求めようと思います。
①

もとの整数の一の位に使われていた数の和は（）です。

②

もとの整数の十の位に使われていた数の和は（）です。

③①②より、100 番目の数までの和は（8）です。

整数 - けたばらし

８ 整数を、次のように各位の数をばらばらにして並べました。
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・⑴

この数列の 150 番目の数は、（（⑵もとの数）の（）です。

この数列の 150 番目の数までの和は（9）です。

）の位の整数 - けたばらし

ステップ４

何回出てくるか

９ １から 100 の整数を、次のように各位の数をばらばらにして並べました。このとき、次の問いに答えなさい。
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・・・、９、９、１、０、０⑴

この数列に５が何個出てくるかを求めようと思います。
①

１〜100 の整数のうち、一の位が５の整数は小さい順に、（）、（）、（）、･･･、（）

なので、もとの整数の一の位に使われていた５は（）個です。
②

１〜100 の整数のうち、十の位が５の整数は小さい順に、（）、（）、（）、･･･、（）

なので、もとの整数の十の位に使われていた５は（す。
③①②より、５は（）個出てきます。

10）個で整数 - けたばらし⑵ある整数までならべると、５の個数がはじめて 17 個になりました。
①

もとの整数の１〜９に５は（②もとの整数の 10〜19 に５は（）個出てきます。

③

もとの整数の 20〜29 に５は（）個出てきます。

④

もとの整数の 50〜59 に５は（）個出てきます。

⑤５の個数がはじめて 17 個になるのは、もとの整数で（で並べたときです。

11）個出てきます。

）ま整数 - けたばらし

10 １から 100 の整数を、次のように各位の数をばらばらにして並べました。このとき、次の問いに答えなさい。
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・・・、９、９、１、０、０⑴

この数列に２は何個出てきますか。

⑵

ある整数までならべると、２の個数がはじめて 18 個になりました。
ある整数は（）です。

12

整数 - けたばらし

ステップ５練習問題

11 １から 30 までの整数を左から小さい順に並べます。ただし、２けたの整数の場合は、十の位の数と一の位の数を分けて別々の数にして並べます。
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・、２、９、３、０⑴

並んでいる数は全部で何個ですか。

⑵

並んでいる数のうち、２は全部で何個ですか。

⑶

並んでいる数すべての和はいくつですか。

13

整数 - けたばらし

12 整数を１から小さい順にすきまを空けずにつめて書き並べます。
１２３４５６７８９１０１１１２１３１４･･････
このとき、10 番目の数字は１、15 番目の数字は２となります。このとき、次の問いに答えなさい。

⑴

25 番目の数字はいくつですか。

⑵

100 番目の数字はいくつですか。

⑶

１番目から 100 番目までの 100 個の数字の中に、１は何個ありますか。

⑷

１番目から 100 番目までの 100 個の数字をすべて加えるといくつになりますか。

14整数 - けたばらし

13 整数を、次のように各位の数をばらばらにして並べました。
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・⑴

この数列の 300 番目の数は、（（⑵☆

もとの数）の（）の位の）です。

この数列の 300 番目の数までの和を求めようと思います。

①

もとの整数の一の位に使われていた数の和は（）です。

②

もとの整数の十の位に使われていた数の和は（）です。

③

もとの整数の百の位に使われていた数の和は（）です。

④①〜③より、300 番目の数までの和は（15）です。

整数 - けたばらし

14 １から 200 の整数を、次のように各位の数をばらばらにして並べました。このとき、次の問いに答えなさい。
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、・・・・、１、９、９、２、０、０⑴⑵

この数列に、０は何個出てきますか。

☆

ある整数までならべると、１の個数がはじめて 55 個になりました。

①

もとの整数の１〜９に１は（②もとの整数の 10〜19 に１は（③もとの整数の 100〜109 に１は（）個出てきます。

④

もとの整数の 110〜119 に１は（）個出てきます。

⑤

１の個数がはじめて 55 個になるのは、もとの整数で（で並べたときです。

16）個出てきます。
）個出てきます。

）ま整数 - けたばらし■ 解答 ■
１ 192 個
２2893 個３55 の十の位の５４80 の十の位の８５869 の一の位の９６ ⑴
⑵

⑶
７ ⑴
⑵

⑵

①②③
④
⑤５、225
１、10、２、10、３、10、４、10、
１、２、３、４、10、100
225、100、32555、10、５
① 235
② 130
③ 365
80 の十の位の８９ ⑴① ５、15、25、95、⑵

1050、51、52 、591020
１１１1165②③①②③④
⑤10 ⑴

20 個

⑵

72

11 ⑴

51 個

⑵

13 個

12 ⑴

７ ⑵

５⑶

16 個

⑷

⑵

31

５、

８ ⑴

13 ⑴

14 ⑴

⑵

⑶

648

168

365

136、１、６①②③④606
501
37114417１111121121

整数 - けたばらし

■

解説

■

１ もとの数５

１〜９：９個
10〜99：90×２＝180(個)100：３個
よって、
９＋180＋３＝192(個)

０〜９ ：10 個
10〜99 ：90×２＝180(個)より、１けた（０〜９）の 10 個と、２けた（10〜99）の 180 個をのぞくと、2500−(10＋180)＝2310(個)ここから３けたの数になる
2310÷３＝770
より、770 個目の３けたの数の一の位。
100＋770−１＝869
よって、869 の一の位の９２ もとの数
１〜９：９個
10〜99：90×２＝180(個)100〜999 ：900×３＝2700(個)1000：４個
よって、９＋180＋2700＋４＝2893(個)３６ ⑴

１けた（１〜９）の９個をのぞくと、
89−９＝80(個)ここから２けたの数になる
80÷２＝40より、40 個目の２けたの数の一の位。
10＋40−１＝49
よって、49 の一の位の９１けた（１〜９）の９個をのぞくと、
100−９＝91(個)
ここから２けたの数になる
91÷２＝45 余り１45＋１＝46
より、46 個目の２けたの数の十の位。
10＋46−１＝55
よって、55 の十の位の５４もとの数⑵①１けた（１〜９）の９個をのぞくと、②

150−９＝141(個)
ここから２けたの数になる
141÷２＝70 余り１70＋１＝71
より、71 個目の２けたの数の十の位。
10＋71−１＝80
よって、80 の十の位の８③

18１〜９の和が、０代、10 代、20 代、30 代、40 代の５回分あるから、（１＋･･･＋９)×５＝225
表を縦に見ると、１〜４の和が 10 回あるから、(１＋･･･＋４)×10＝100
225＋100＝325

整数 - けたばらし

７ ⑴

１けた（１〜９）の９個をのぞく

８と、100−９＝91(個)
ここから２けたの数になる
91÷２＝45 余り１45＋１＝46
より、46 個目の２けたの数の十の位。
10＋46−１＝55
よって、55 の十の位の５⑵⑴１けた（１〜９）の９個をのぞくと、
150−９＝141(個)
ここから２けたの数になる
141÷２＝70 余り１
70＋１＝71
より、71 個目の２けたの数の十の位。
10＋71−１＝80
よって、80 の十の位の８① １〜９の和が０代、10 代、20代、30 代、40 代の５回分。
(１＋２＋･･･＋９)×５＝225
50〜54 の一の位の０＋１＋２＋３＋４＝10
よって、225＋10＝235⑵・一の位の和
１〜９の和が０代、10 代、20代、･･･、70 代の８回分。
(１＋２＋･･･＋９)×８＝360
・十の位の和10〜79 の十の位の和は、(１＋２＋･･･＋７)×10＝280
80 の十の位の８が１個。
よって、
280＋８＝288
・よって、360＋288＝648② 10〜49 の十の位の和は、(１＋２＋３＋４)×10＝10050〜55 の十の位の５が６個。
５×６＝30
よって、
100＋30＝130③ 235＋130＝36519

整数 - けたばらし

９ ⑴① ５、15、25、･･･95 の 10 個

11 ⑴② 50〜59 の 10 個
③ 10＋10＝20(個)⑵

10 ⑴１〜９：９個
10〜30：21×２＝42(個)よって、
９＋ 42＝51(個)①②③④５の１個15 の一の位の１個
25 の一の位の１個
十の位：10 個
一の位：１個
10＋１＝11(個)※55 に５は２個ある。
⑤
１〜９：１個
10〜19：１個
20〜29：１個
30〜39：１個
40〜49：１個
50〜59：11 個
以上で 16 個。
あと１個だから、65
もとの整数の一の位の５は、２、12、22、･･･92 の 10 個
もとの整数の十の位の５は、20、21、22、･･･29 の 10 個
よって、10＋10＝20(個)

⑵

もとの数

１〜９：１個
10〜19：１個
20〜29：11 個
30〜39：１個
40〜49：１個
50〜59：１個
60〜69：１個
以上で 17 個。
あと１個だから、72

20⑵

一の位：２、12、22 の３個
十の位：20〜29 の 10 個
３＋10＝13 個⑶

一の位の和は、(１＋２＋･･･＋９)×３＝135
十の位の和は、10〜19 の十の位の１が 10 個
20〜29 の十の位の２が 10 個
30 の十の位の３が１個(１＋２)×10＋３＝23
よって、
135＋23＝168

整数 - けたばらし

12 ⑴

⑷

１けた（１〜９）の９個をのぞく

１〜９の和が０代、10 代、20 代、30 代、40 代の５回分。
(１＋２＋･･･＋９)×５＝225
50〜54 の一の位の１＋２＋３＋４＝10
よって、225＋10＝235と、25−９＝16(個)
ここから２けたの数になる
16÷２＝８より、８個目の２けたの数の一の位。
10＋８−１＝17
よって、17 の一の位の７⑵⑶・一の位の和・十の位の和10〜49 の十の位の和は(１＋２＋３＋４)×10＝100
50〜55 の十の位の５が６個。
５×６＝30
よって、
100＋30＝130

１けた（１〜９）の９個をのぞくと、
100−９＝91(個)
ここから２けたの数になる
91÷２＝45 余り１
45＋１＝46
より、46 個目の２けたの数の十の位。
10＋46−１＝55
よって、55 の十の位の５・よって、
235＋130＝365

55 の十の位の５までであることに注意。
一の位：１、11、･･･、51 の６個
十の位：10〜19 の 10 個
６＋10＝16(個)21整数 - けたばらし

13 ⑴

もとの数

14 ⑴

１〜９：９個
10〜99：90×２＝180(個)より、１けた（１〜９）の９個と、２けた（10〜99）の 180 個をのぞくと、
300−(９＋180)＝111(個)ここから３けたの数になる
111÷３＝37より、37 個目の３けたの数の一の位。
100＋37−１＝136
よって、136 の一の位の６⑵

一の位：10、20、･･･、200 の 20 個
十の位：101〜109 の 10 個と200 の１個の計 11 個
よって、
20＋11＝31(個)

⑵

①②

③

１の１個
十の位：10 個
一の位：１個
10＋１＝11※11 は１が２個
百の位：10 個
一の位：１個
10＋１＝11(個)百の位：10 個
十の位：10 個
一の位：１個
10＋10＋１＝21(個)① １〜９の和が０代、10代、･･･、120 代の 13 回分。
(１＋２＋･･･＋９)×13＝585
130〜136 の一の位の１＋２＋･･･＋６＝121
よって、585＋21＝606④⑤② 10〜99 の十の位の和は、(１＋２＋･･･＋９)×10＝450
110〜119 の十の位の和
１×10＝10120〜129 の十の位の和
２×10＝20130〜136 の十の位の和
３×７＝21
よって、
450＋10＋20＋21＝501

１〜９：１個
10〜19：11 個
20〜29：１個
30〜39：１個
40〜49：１個
50〜59：１個
60〜69：１個
70〜79：１個
80〜89：１個
90〜99：１個
100〜109：11 個
110〜119：21 個
以上で 52 個。
あと３個だから、120、121③ 100〜136 の百の位の１が 37個。１×37＝37③ 606＋501＋37＝1144

22