University of Waterloo～産学共同の実践～
藤澤陽介

JARIP 2010年度 第3回研究会

『統計データの数理モデルへの適用』
日本アクチュアリー会
損保数理ロスモデル研究会 訳
鈴木雪夫 東京大学名誉教授 監修

1

『投資型商品における最低保証給付の数理』
日本アクチュアリー会
変額年金保険等の最低保証リスクに係る研究WG 訳

平成２１年度 第６回例会－アクチュアリーが本を出版することについて－”Dickson, Hardy, Watersの本がなぜ今日必要となったのでしょうか” （山内恒人）
2

目次• ウォータールー大学– 人物紹介– アクチュアリー・プログラムの変遷– 留学中のプログラム• Actuarial Research Conference– 企業年金の長寿リスクの定量化• Last but not least...
– Professional Masters Degree– Center of Actuarial Excellence
3

人
物紹介
4

Rob Brown• カナダアクチュアリー会の会長（1990-91）• 米国アクチュアリー会の会長（2000-01）• 国際アクチュアリー会– Chairman of the Social Security Committee– Executive Committee"But, my academic credential was a BMath only. I had nograduate degrees whatsoever. The promotion to Full
Professor was one that I believe would have occurred atonly a small number of universities around the world. I truly
appreciated the University of Waterloo at that moment."
5

Harry Panjer• カナダアクチュアリー会の会長（1997-98）• 米国アクチュアリー会の会長（2002-03）• 国際アクチュアリー会– Chairman of the ASTIN– Executive Committee"Harry Panjer gave strong leadership tothe international team - including
participants from all the leading
associations in actuarial education that developed the final syllabus for theGlobal CERA. " (CIAのeBulletin)
6Harry Panjer"Waterloo was magical place to work."7

Phelim Boyle• Options: A Monte Carlo Approach (1977)• IAFE/SunGard Financial Engineer of the Year
"Rob asked us to write about what we like about Waterloo.
This is easy: the people.""Going in a van to the ARC conferences with thegradate students and our Mexican students'
exemplary patience with the US border delays.""Sitting in the sauna at Roband Andrea Brown's cottage."
8Mary Hardy• FIA(1988), FSA(2003), CERA(2007)• Board of Governors for SOA (2004)• 英国アクチュアリーから見ると,– ウォータールーはPanjerの再帰式で有名– Rob BrownがSCOR prizeを獲得– Shaun Wangがライジングスターとして広く認識される– 英国アクチュアリーは、ファイナンスから目を背けていたので、Phelim Boyleのことは、あまり知らなかった• Editor to North American Actuarial Journal• A frequent speaker at meetings of SOA and CIA
9Actuarial Students' National Association• 各大学のアクチュアリークラブが持回りで運営• 2010年はケベックシティ• スポンサー：– マニュライフ、ロンドンライフ、タワーズペリン、マーサー…
– ＣＩＡ、ＳＯＡ、ＣＡＳ– Laval大学• セミナー• キャリアフェア• Waterloo (2007)
10Mary Hardy• Educating the 21st Century Actuary• アクチュアリーは何を学んできたのか？
– ＳＯＡ試験の変遷（1954年のシラバス～）– 変化のモチベーション• 新たな商品（変額年金やハイブリッド年金）の登場• コンピュータの高度化• 規制の複雑化• モーリスリビューや "press criticism of pensions methodology" 等の"More oversight of actuarial practice"– 重要なトレンド• Deterministic to Stochastic• Diversifiable to non-diversifiable risk

11Mary Hardy• 明日のアクチュアリーは何を学ぶべきか？
– 金融経済学、金融工学– MCMCを含む高度なシミュレーション技法– ファイナンスと確率とLife contingenciesの融合• 学ぶ必要がないものは？
– イールドカーブを用いない単一割引率– アクチュアリー記号– 信頼性理論– 年金数理にあるような"Fiddy deterministic model"
12Mary Hardy• 例示– 確定給付は積立不足– 確定拠出へのシフト– 老後に不十分な確定拠出年金– 実務アクチュアリー• 米国年金アクチュアリーは、割引率が一定であるという仮定の下、将来の年金キャッシュフローの現在価値を計算する手法は学んでいる• "Now, actuaries are asked to incoporate a yield curve."• つまり、単一割引率ではなく、期間に応じて異なる割引率を用いて、現在価値を計算するということ• The AAA refused, "too complex"
13

プ
ロ
グ
ラ
ムの変
遷
14

卒業者数の推移
250 人

200 人

150 人

100 人

50 人

0人
1968年

1973年

1978年

1983年

1988年

1993年

1998年

2003年

2008年
15

卒業者数の推移
250 人

Rob Brown
CIA会長

200 人

Rob Brown
SOA会長

150 人

100 人

50 人

0人
1968年

1973年

1978年

1983年

1988年

1993年

1998年

2003年

2008年
16生い立ち（～1964年）• "At first, Ralph Stanton had been unconvinced about Cooperative educatoin in Arts until the spring of 1962 whenthree insurance companies with head offices in Waterloo
approached President Hagey with a novel ideas."• アクチュアリー数学が最適• ２９の保険会社とコンピュータ関連会社が参加表明
250 人

200 人

Math 235: Actuarial Mathematics
Math 335: Finite Differences
Math 336: Life Contingencies
Math 436: Life Contingencies Ⅱ
Math 437: Graduation and Mortality

150 人

100 人

50 人

0人
1968年

1973年

1978年

1983年

1988年

1993年

1998年

2003年

2008年

17Co-opプログラム• 世界最大級のCo-opプログラム– １回につき、3か月企業で働く– 大学での講義とCo-opを交互に行うケースが多い– 大学卒業生は、5～6社のCo-op経験を持つ– 就職面談で、Co-op経験をアピール– 履歴書の書き方– インタビュースキル
– ネットワーキング– 1年間に6000を超える企業が45000人と面談
18

Co-op参加企業（2008年）• アクチュアリー関連企業– Accenture– Actuarial Solutions Inc.
– Bank of Canada– Capital One– Canada Pension PlanInvestment Board– CIGNA– Deloitte– Eckler Ltd.
– Ernst & Young– Goldman Sachs– Hewitt Associates– JP Morgan– KPMG LLP– London Life Insurance
Company– Manulife Financial– Mercer– Morgan Stanley– Ontario Teachers PensionPlan– Price Waterhouse Coopers– Sun Life Financial– Transamerica Reinsurance– Towers Perrin– Watson Wyatt
191976-77
Stat 273: Mathematics of Finance
Stat 284: Introduction to Life Contingencies
Stat 373: Finite Differences
Stat 374: Life Contingencies-Single Life Function
Stat 383: Topics in Actuarial Mathematics
Stat 384: Life Contingencies-Multiple Life Functions
Stat 474: Advanced Topics in Actuarial Mathematics
Stat 475: Construction of Life Tables
Stat 476: Introduction to Demographic Statistics
Stat 480: Life Insurance Systems
Stat 485: Risk Theory
250 人
Stat 486: Graduation of Life Tables
200 人

150 人

100 人

50 人

0人
1968年

1973年

1978年

1983年

1988年

1993年

1998年

2003年

2008年

201982-83
Actsc 231: Mathematics of Finance
Actsc 232: Introduction to Life Contingencies
Actsc 331: Life Contingencies-Single Lives
Actsc 332: Life Contingencies-Multiple Lives
Actsc 337: Finite Differences
250 人
Actsc 338: Graduation of Life Tables
200 人
Actsc 431/432: Risk Theory1/2
Actsc 433: Construction of Life Tables
150 人
Actsc 435: Introduction to Demographic Statistics
100 人
Actsc 451/452: Selection of Risks 1/2
50 人
Actsc 453: Basic Pension Mathematics
Actsc 454: Pension Funding0人
1968年 1973年 1978年 1983年 1988年 1993年 1998年 2003年 2008年
Actsc 455: Analysis of Financial Statements
Actsc 456: Taxation of Life Insurance
Actsc 458: Insurance Law
Actsc 463: Topics in Casualty Insurance
21

2008-09 (学部生向け)
Actsc 231: Mathematics of Finance
Actsc 232: Introduction to Actuarial Mathematics
Actsc 291: Mathematical Managerial Finance 1
Actsc 331: Life Contingencies 1
Actsc 363: Introduction to Casualty Insurance
Actsc 371/372: Corporate Finance 1/2
Actsc 391: Mathematical Managerial Finance 2
Actsc 431/432: Loss Models 1/2
250 人
Actsc 433: Analysis of Survival Data
Actsc 445: Asset-Liability Management200 人
Actsc 446: Mathematical Models in Finance
150 人
Actsc 453: Basic Pension Mathematics
Actsc 462: Casualty Insurance
100 人
Actsc 471: Advanced Corporate Finance
50 人

0人
1968年

1973年

1978年

1983年

1988年

1993年

1998年

2003年

22

2008年

2008-09（院生向け）
Actsc 831/832: Loss Models 1/2
Actsc 833: Analysis of Survival Data
Actsc 845: Asset Liability Management
Actsc 846: Mathematical Models in Finance
Actsc 853: Basic Pension Mathematics
Actsc 855: Advanced Life Insurance Practice
Actsc 862: Casualty Insurance
250 人
Actsc 936: Longitudinal Data Analysis
Actsc 961: Loss Reserving200 人
Actsc 963: Ruin and Queuing Theory
150 人
Actsc 966: Aggregate Claims Models
Actsc 970/971/972: Finance 1/2/3
100 人
Actsc 973: Portfolio Optimization
Actsc 991: Topics in Actuarial Science 50 人
0人
1968年

1973年

1978年

1983年

1988年

1993年

1998年

2003年

2008年

23

年金数理の基礎• 引退とは何か？年金とは何か？
• Corporate Pension Decision Making• 確定給付と確定拠出• 確定給付の積立方式• Rob Brown: "The future of pensions in Ontario"• 数理計算報告書• "Pension Actuary's Guide to Financial
Economics" (SOA, 2006)• "The DB underpin hybrid pension plan: fairvaluation and funding" (Mary Hardy他, 2009)24

カナダの企業年金• The Ontario Expert Commission onPensions (2006-2008)– 財務省がオンタリオの確定給付の実施状況を調査する目的で設立した委員会– RobはDirector of Research– "A Fine Balance: Safe Pensions, Affordable Plans,Fair Rules"（2008）– ゲストスピーカー（年金アクチュアリー、組合、財務省、弁護士、統計コンサルタント）が説明– 授業が開かれている途中で、積立上限の緩和を含むA
Fine Balanceの要望事項が法令に反映
25

ファイナンス• Mathematical Models in Finance:– ルベーグ積分を学ぶ前にBlack Scholes• ALM:– 債券の金利感応度分析– 金利モデル、VaRとTVaR（理論＋シミュレーション）• Finance1:– 金融経済学の理論と実務• Finance2:– Exotic optionsと金利モデル• Finance3:– Robust Portfolio Optimization• Portfolio Optimization:– 制約条件付きの最適化
26

生保数理の実務
Mary Hardyが2010年に新設"A Regime-Swiching Model of LongTerm Stock Returns" (2001)27

ロスモデル• VaRとTVaR• 集合的リスクモデル• Panjerの再帰式• 危険理論の基礎• 信頼性理論• ベイズ推定・・・

28

サバイバルデータの分析• Kaplan-Meier, Nelson Aalen,...
• 長寿リスクと長寿デリバティブ• １００％リサーチオプション:– "A Two-Factor Model for Stochastic Mortality withParameter Uncertainty: Theory and Calibration"(Cairns他, 2006)– "Preliminary Views on Amendments to IAS 19
Employee Benefits" （IASB, 2008）– 死亡率モデルを用いて企業年金の長寿リスクを定量化
2930IFRS Convergence: The Role of Stochastic
Mortality Models in the Disclosure of Longevity
Risk for Defined Benefit Plans
Yosuke Fujisawa(joint-work with Johnny Li)

Dept. of Statistics & Actuarial Science
University of Waterloo

Actuarial Research Conference• 開催の目的：– 研究者と実務家が、アクチュアリーに関連する問題とその解決策について、議論する場を提供する事• スポンサー：– SOA、CIA、AAA、CAS…
– American Family Insurance, Aon, Milliman…
– UW-Madison Actuary Club– St John's University• １００名を超す参加者：– 約20％が実務アクチュアリー– 約10％がUniversity of Waterloo
32

発表内容
• はじめに– Ｉnternational Accounting Standards Board– 年金会計の動向• 死亡率のモデリング– 日本とカナダの死亡率– 死亡率モデルとシミュレーション• 長寿リスクの開示– 開示のガイダンス– ケーススタディ
33

Internatinal Accounting Standards Board• 設立目的• International Financial Reporting Standards(IFRS)– アドプション・コンバージェンスの状況– ＥＵ、カナダ、日本、米国• “Preliminary Views on Amendments to IAS 19
Employee Benefits” (IASB, 2008)– 論点整理に対するコメント– 死亡率を含む感応度分析の必要性– 多国籍企業への感応度分析の適用の難しさ– 実行可能な長寿リスクの測定手法
34

データと死亡率モデル• 日本とカナダの死亡率– 直近の死亡率＋• 確定給付企業年金（１９回生命表基準）• RP-2000 for Canada

ヒストリカルデータ（Human Mortality Database）• BCDモデル(Blake, Cairns, Dowd, 2006)

e A1(t )  A 2 (t ) xq(t , x) 1  e A1(t )  A2 (t ) x

log

19th pension mortality in Japan

RP-2000 mortality rates

0.100
0.005

0.020

q(t,x) (logit scale)

0.500

0.500
0.100
0.020
0.005

q(t,y) (logit scale)q(t , x) A1(t )  A2(t ) x
1  q(t , x)

60

7080
age

90

100

60

7080
age

90

100

35

Japan (Year 1966-2005)-9.5

ＢＣＤモデル（再掲）：-10.5

Canada (Year 1966-2005)

-10.0

Year

2000

-10.5

1990

-11.0

1980

A_1(t)

1970

-9.5

-9.0

-11.0

A_1(t)-10.0

e A1(t )  A 2 (t ) xq(t , x) 1  e A1(t )  A2 (t ) x

1970

1980

1990
Year

2000

36

Japan (Year 1966-2005)

0.098

0.102

e A1(t )  A 2 (t ) xq(t , x) 1  e A1(t )  A2 (t ) x

1980

1990
Year

2000

A_2(t)

1970

0.085 0.090 0.095 0.100 0.105

Canada (Year 1966-2005)

0.094

A_2(t)

0.106

ＢＣＤモデル（再掲）：

1970

1980

1990
Year

2000

37

死亡率のシミュレーションA(t  1)  A(t )    CZ (t  1)
• A(t) は2次元ベクトル• Z(t) は2次元ランダムウォーク• μはA(t) のトレンドを示す2次元ベクトル• CはA(t) のバラツキを示す2×２行列• μとＣはD(t)=A(t+1)-A(t)の最尤推定量• 但し、A(t)のサンプル数は多くないので、パラメータの不確実性を加味すべく、マルコフ連鎖モンテカルロ（ＭＣＭＣ）を行う
38

Fan Charts
age 65
0.04
0.03
0.02
0.00

0.01

mortality rates

0.03
0.02
0.01
0.00

mortality rates

0.04

age 652005 2006 2007 2008 2009 2010

2000

2002

2004

2006

2008

YearYear

日本の死亡率カナダの死亡率

2010

39長寿リスク開示のガイダンス• 長寿リスク– 死亡率が減少すると年金債務は増加– そのリスクを長寿リスクと定義• 原則主義の会計基準とJ-SOX• 発生確率を加味した重要性基準
長寿リスクの額 大長寿リスクの額 小

長寿リスクの発生確率 大

貸借対照表

注記

長寿リスクの発生確率 小注記

開示しない• ３つの手法を提案：– Longevity VaR（長寿ＶａＲ）– Probability of Longivity Deficit（長寿による積立不足の発生確率）– Probabilistic Corridor Rule（確率的回廊ルール）
40

ケーススタディ• 日本企業：– 日本に閉鎖型年金を持つ企業を想定– 年金者数3000人– 年金者の分布は、日本全体の人口分布と相似形– 年1回期初払いの終身年金– DB死亡率（19回生命表基準）を使用• 多国籍企業：– 日本とカナダに閉鎖型年金を持つ企業を想定– 日本の制度は上記と同様の前提– カナダの年金者数は1000人– カナダ全体の人口分布と相似形– カナダの企業年金はRP-2000を使用
41長寿VaR
Domestic company (Year 2010)

Y(t) = PV(t) – PV(2005)

100200Frequency

300200

VaR95%[Y(t)]

00100

-5000

05000

-10000

10000

-5000

05000

10000

Difference between PVs

Multinational company (Year 2006)

Multinational company (Year 2010)

median00100

100200Frequency

300300400400Difference between PVs

200

Frequency-10000Frequency

Loss distribution:

300

400

400

Domestic company (Year 2006)-10000

-5000

05000

Difference between PVs

10000-10000

-5000

05000

Difference between PVs

10000

42Probability of Longevity Deficit
300

Y(t) = PV(t) – PV(2005)

1000-10000

-5000

05000

10000

-10000

-5000

05000

10000

Multinational company (Year 2006)

Multinational company (Year 2010)

300
200
1000100200

Frequency

300

400

Difference between PVs

400

Difference between PVs0Frequency

Loss distribution:

200

Frequency

2000100

Frequency

300

400

Domestic company (Year 2010)

400

Domestic company (Year 2006)-10000

-5000

05000

Difference between PVs

10000-10000

-5000

05000

Difference between PVs

10000

43

IAS19の回廊ルール• 回廊ルール– 基礎率に関する実際と予定の差異による年金資産・年金負債のズレを遅延認識する仕組み– 回廊＝Max(年金資産、年金負債)×１０％• IASBは回廊ルールの廃止を提案– IASBは、2009年1月のIASB会議で、即時認識を仮決定– 2009年4月、世界の資本市場の8割を占めるＥＵ、米国、日本の業界団体が反対意見を表明• 確率的回廊ルール
回廊ルール
数理計算上の差異
Threshold =Max(年金資産、年金債務)(10%)

確率的回廊ルール
数理計算上の差異
Threshold = PrMax(年金資産、年金債務)>1%

44確率的回廊ルール
300
100Z (t ) PV (t )  PV (2005)
PV (2005)

0-20-1001020-20-1001020

Multinational company (Year 2006)

Multinational company (Year 2010)

300
200

Probabilistic corridor:

100

1% of liabilities

0100200

Frequency

300

400

percentage of change in PVs

400

percentage of change in PVs

0Frequency

Relative loss distribution:

200

Frequency

200
0100

Frequency

300

400

Domestic company (Year 2010)

400

Domestic company (Year 2006)-20-10010

percentage of change in PVs

20-20-10010

percentage of change in PVs

2045

３つのアプローチ• メリット– 長寿リスクを定量的かつ視覚的に把握可能– 確率的回廊ルールは、現在の回廊ルールに類似した概念• 多国籍企業にとって– 長寿リスクのロス分布は左右対称になるとは限らない– 国ごとに異なる死亡率モデルを用いると長寿リスク推定の精度は向上するが、高コスト• BCDモデル– 先進国の多くの死亡率に適合– 会計情報の比較可能性の観点からすると、各国、各受託機関とも、同じモデルを用いることが望ましい– 実務上実行可能な程、簡単なモデル
46

Last but not least...

47

Professional Masters Degree• 2009年からスタート• アクチュアリー学科ではない学部（数学や工学部等）を卒業した人向けの大学院• ウォータールー大学のMaster Degreeだけでなく、英国アクチュアリー試験のcreditも取得できる（北米では初）• "We anticipate that many of our students
will come from India and China."48

Center of Actuarial Excellence•••••••••University of Connecticut
Drake University
Georgia State University
University of Illinois atUrbana-ChampaignIllinois State University
University of Iowa
Université Laval
University of Manitoba
University of Michigan• University of Nebraska–Lincoln• Université du Québec àMontréal• Robert Morris University• St. John's University• Temple University• University of Toronto• University of Waterloo• University of Wisconsin–Madison49

最後に• Be flexible. (Mary Hardy)• 日本の年金アクチュアリーにとって– 英語– エクセル– 年金数理• ボランティア精神• 産学共同50

As deserts are more comfortably crossed by caravans than by solitarypilgrims, so the dry wearisomeness of the almost illimitable statistics
requrired to perfect the business of Insurance may be relieved by soundco-operation.

by Elizur Wrightご清聴ありがとうございました52