数理解析研究所講究録 1231 巻 2001 年 69-82

69
菱形 Navier-Stokes 流の解の分岐と非粘性極限
Sun-Chul Kim
Department of Mathematics, Chung-Ang University
221 Heukseok-dong, Dongjak-ku, Seoul 156-756 Korea
and(Hisashi Okamoto)〒 606-8502 京都市左京区北白川追分町京都大学数理解析研究所
岡本

久

要旨

非圧縮粘性流体を 2 次元平坦トーラスで考え, その力学系的性質を調べることによって流れの詳しい知見を得ようとする試みは Kolmogorov に始まる. こうした問題のうち,基本となる流れが平行流の場合には多くの研究がなされてきた. 本研究では基本流が菱形流の場合に解の分岐を研究する. Reynolds 数が大きいときには内部遷移層が現れ, それがある程度解析できることを報告する.

Keywords:
inviscid limit

incompressible fluid, bifurcation, singular perturbation, interior layer,

1Introduction
2 次元 Navier-Stokes 方程式’$\frac{\frac\partial u\partial v\partial t}{\partial t}+u\frac{\partial x\partial u\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v\partial y}{\partial y}+u\frac+v\frac{\partial u}{}==\frac\triangle v-\frac{\frac{\partial p}{\partial p\partial x}}{\partial y}+f_{2}\frac{1}{R,R1}\triangle u-+f_{1},$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$.

を考える. ここで, $(u, v),p,$ $R$ は速度ベクトル場, 圧力, Reynolds 数を表す. すべての量は無とす
次元化されている. 流れの領域は “ 2 次元平坦トーラス’)’)
る. 平坦トーラスの意味するところは, この長方形領域で 方向にも方向にも周期境界条$\mathrm{T}_{\alpha}\equiv[-\pi/\alpha, \pi/\alpha]\cross[-\pi, \pi]$

$x$

$y$

70
と
件を課して流れを考察するということである.
をアスペクト比と呼ぶ.
は外力の或分である. こうした記号は $[4, 9]$ で使われたものと同じである
Navier-Stokes 方程式の研究は, 数値的にも理論的にも大きな困難を伴う. Reynolds 数が大きいときには特に大きな困難が生ずる (DiPerna and Majda [1] ). そこで, できるだけ$f_{1}$$\alpha$$f_{2}$

単純な場合に具体的な計算を通じて流れの本質を見いだそうとするのは至極自然のことである. こうした提言を初めて行ったのが Kolmogorov である (文献 [9] を参照されたい). 具体
的な場合に $Rarrow\infty$ の極限で何が生じているの力\searrow 比較的厳密に解析できる例は (Hiemenzや Homann が見つけたような相似変換で 1 次元に帰着される場合を除き) 少ない. 単位円内部の領域では $[5, 6]$ が, 2 次元トーラスの平行流では $[9, 10]$ などが具体的な漸近挙動の解析に一部或功しているが, わかっていないことも多い. 本稿で取り扱う例がこれらを補完する役目を果たすのではないかと期待している.
さて, 外力が $(f_{1}, f_{2})=( \frac{1}{R}\sin y, 0)$ , のとき, 平行流 $(u, v)=(\sin y, 0)$ が解となる. これを基本流と呼ぶ. この基本流の安定性および解の分岐については $[4, 9]$ でくわしく調べられた. 似たような問題は数多く存在する. たとえば [2] を参照されたい. Reynolds 数が無限大に近づくとき, 分岐解がトーラスの一部 (具体的にはある曲線) において有限回しか微分ができなくなり, いわゆる内部遷移層が現れるという事実の発見は特に興味深いものと思われる. $[10, 11]$ はこの内部遷移層を, 特異摂動展開で解析し, 数値解との良好な一致を見てぃる.
しかし, それに対する理解は, 完全からはほど遠い. 一方, こういった特異摂動現象が平行流からの分岐解に特有のものなの力 , それとももっと普遍性があるのかは全くわかっていない.
そこで, 別の外力で内部遷移層があることを確かめよう, と思い立ったのが本研究の動機である. 具体的には [3] で考えられた菱形流を考え, そこからの分岐を考える. っまり, 基本流$\mathrm{a}$は$\psi=-\cos(\alpha x)-\cos(y)$,$(u, v)=(\psi_{y}, -\psi_{x})$.

(1)で与えられる (ここより以後, 下付の添え字は微分を表すものとする). Navier-Stokes 方程式
を流れ関数を用いて書くと$-R\triangle\psi_{t}+\triangle^{2}\psi+RJ(\psi, \triangle\psi)=g$となる. ここで$\triangle$

は Laplace 作用素$\overline{\partial}^{\mathrm{T}}\partial^{2}x+=\partial y\partial^{2}$

を表し,

$J$

$J(p, q)=p_{x}q_{y}-p_{y}q_{x}$

非斉次項

$g$

は (1) が解となるように定める,(2)

は次の 2 次形式である

:

,

:

$g=-\alpha^{4}\cos(\alpha x)-\cos(y)+R(\alpha^{3}-\alpha)\sin\alpha x\sin y$.

(3)

基本流 (1) の流線を図 1 に描いた.

我々の目的はこの基本解から分岐する解を計算し, その $Rarrow\infty$ での漸近挙動を調べることである. 実際に計算を実行してみると, 平行流よりも多少複雑な外力を用いているにもかかわらず, その漸近挙動の解析は平行流の場合よりも易しくなることが判明した.

71$\alpha=0.8$

図 1:(1) の等高線, $\alpha=0.8$ . $\psi<0$ の等高線は実線で, $\psi>0$ の等高線は破線で表してある$\mathrm{R}_{\mathrm{c}}$$\theta \mathrm{J}$

父

40

.

1

30

20

10

.

.

$\cdot$$0^{\cdot}s$$0_{-}^{\cdot}$$0_{0}$

0. 1’$0^{\cdot}\mathrm{J}$04$\mathrm{o}s$0.7$\alpha$

図 2: 臨界 Reynolds 数

$0B$

09

1

72
2

理論的にわかっていること最初に注意すべきは Marchioro の定理である.

定理 1 $\alpha=1$ のとき, 菱形流 (1) は大域的に安定である. すなわち, 正方形領域では, すべての Reynolds 数とすべての初期値に対して,$tarrow\infty$のときに, 非定常解は菱形流 (1) に収束する.

この結果は [8] による. この定理によって, $\alpha=1$ のときにはいかなる分岐も起きないことがわかる.

注意. 初期値としては,たとえぼ$\mathrm{T}_{\alpha}$

で連続かつ T。上の積分がゼロとなるものだけを考える. 従って,$\mathrm{u}(x, y)=(\sin(\alpha x/2), 0)$などは除外されている.

次に, 我々は, $0<\alpha<1$ の場合のみ考えればよいことに注意する. これは次の対称性が存在することによる. 作用素 $S$ を以下のように定義する. これは T。で定義された関数をで定義された関数に移す写像で,$\mathrm{T}_{1/\alpha}$$(S\phi)(t, x, y)=\phi(\alpha^{-2}t, -y/\alpha, x/\alpha)$で定義される. さらに, (3) の$g$,

を g。と表して, 汎関数 $F$ を$F(\alpha, \phi)=\alpha^{-2}\{-R\triangle\phi_{t}+\triangle^{2}\phi+RJ(\phi, \triangle\phi)-g_{\alpha}\}$.

で定義する. すると$S(F(\alpha, \phi))=\alpha^{2}\{-RS(\triangle\phi_{t})+\triangle^{2}(S\phi)+RJ(S\phi, \triangle(S\phi))-g_{1/\alpha}\}=F(\alpha^{-1}, S\phi)$.

が成り立つことがわかる. これにより,上の解と上の解力 1 対 1 に対応することがわかる. 特に,に対する臨界 Reynolds 数はに対する臨界 Reynolds 数に等しいこと$\dot{\mathrm{a}}$$\mathrm{T}_{\alpha}$$\mathrm{T}_{1/a}$$1/\alpha$$\alpha$

がわかる.

3

数値実験

文献 [9] のアルゴリズムとプログラムを本研究でも用いることにする. すなわち, (2) をスペクトル・ガレルキン法で離散化する:$\psi=\sum_{m=-M}^{M}\sum_{n=-N}^{N}a(m, n)\exp(im\alpha x+iny)$.

[9] と同じく対称な解 $\psi(-x, -y)\equiv\psi(x, y)$ だけを考えることにする. 0 $7\leq\alpha<1,0<R<$$500$ のときには $M=N=16$ を用いれぼ十分な精度の解が得られた. 一方がもっと小さいとき, あるいは が大きいときには $M$ あるいは $N$ を大きくする必要がある.
$\alpha$$R$

73
臨界 Reynolds 数を数値的に計算したところ, 図 2 が得られた. 臨界 Reynolds 数は にのとき
ついて単調増大で,に近づく.
のとき臨界 Reynolds 数はに収束する. Gotoh and Yamada [3] の結論 「菱形流の絶対臨界 Reynolds 数は 1 で, それは波長$\alpha$$\alphaarrow 1$$\alphaarrow 0$$\infty$$\sqrt{2}$無限大の極限で実現される」 と矛盾するように思えるかも知れないが, これは彼らが安定性の計算においてすべての波長の摂動を考慮に入れてぃるからである. 我々は, 方向につぃてはを整数で割ったものを, 方向についてはを整数で割ったものだけを許してぃるのでこうした違いが現れる. (前節の注意も参照されたい)のとき臨界 Reynolds 数がに収束することは次のようにして理解することができる :のとき, (3) の はー $\cos(y)$ に収束する. 一方, $g=-\cos(y)$ , のときの臨
界 Reynolds 数はのときに収束することが [4] において証明されてぃる.
$x$$2\pi/\alpha$$2\pi$$y$$\alphaarrow 0$$\sqrt{2}$$\alphaarrow 0$$g$$\alphaarrow 0$$\sqrt{2}$$\mathrm{a}(1,1)$$\mathrm{R}$

図 3:のときの分岐図式. Fourier 係数 $a(1,1)$ を左に, $a(1,0)$ を右に記した. $M=$
$N=16$ . 図 4 の解はダイアモンド印で表してある.
$\alpha=0.8$

分岐解を $\alpha=0.5,0.7,0.8,0.95,0.97,0.98$ . で計算してみたところ, 次のような事実が判明した. 分岐図式を, $R$ を横軸にとり, Fourier 係数 $a(1,1)$ あるいは $a(1,0)$ を縦軸にとって描いてみた. $\alpha=0.5,0.7,0.8$ の場合には大きな違いは見られなかったので, $\alpha=0.8$ を図3 にしるす. 図式は自明な解 ( $=$ 基本流) とそれから分岐する解がらなってぃる. 分岐は $R=$
$8.064\cdots$ で起き, 遷臨界型 (transcritical) であることがわかった. 非自明解の枝は$R=3.94$付近で極限点 (li 面 point) を持つ. 従って $R\geq 3.94\cdots$ なる $R$ につぃては基本流を含めて3 個の解が存在する. この構造は $R$ を大きくしても変わらず,まで計算してもそ
れ以上の分岐は起きなかった. 6 個の非自明解を図 4 に描いた.
分岐図式は $\alpha=0.5,0.7,0.8,0.95$ については定性的に変わらない. しかし, $\alpha=0.97$ や$\mathrm{t}$$R\leq 1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$74$\mathrm{R}=20.0$$\mathrm{R}=4.0$$\mathrm{R}=4.1$$\mathrm{R}=6.0$$\mathrm{R}=8.0$$\alpha=0.8$

図 4: 非自明解の流線. $\alpha=0.8$75では質的な違いが生ずる.
違いは, 極限点が 3 個あることである.
岐図式は不連結になる (図 7).

$\alpha\ovalbox{\tt\small REJECT} 098$$\alpha\ovalbox{\tt\small REJECT} 097$の場合を図 6 に示した.

$\alpha\ovalbox{\tt\small REJECT} 098$$\alpha\ovalbox{\tt\small REJECT} 095$の場合とのの場合にはさらに質的な違いが現れる$\ovalbox{\tt\small REJECT}$分$\mathrm{a}(1,1)$$\mathrm{R}$

図 5: $\alpha=0.8,0.95,0.98$ に対する分岐図式. $M=N=16$が大きくなるときに分岐図式が幾分複雑化するのは不思議である. 実際, 新たに現れのときにすべて消えてしまうのである. $\alpha=0.99$ のときには分岐図式は 3 個の連結或分を持っている (図 8). すべての型の枝は (のとき) 細くなり同時にの大きい方へ移動する (図 9). $\alpha\geq 0.999$ のときにはさらに新たな凹みが見える (図 9). こ
うした分岐図式の分裂が際限なく繰り返されるのかどうかはわからない. 図 10 にはさらにが大きな場合の計算結果を示した.
$\alpha$る解も$\alphaarrow 1$$\subset$$\alphaarrow 1$$R$$\alpha$注意. 我々は $\alpha<0.5$ の場合にも計算を行った. この場合, より多くの分岐解が基本流から分岐し, 2 次分岐も見いだされた. その一部を図 11 に示す.

4

$Rarrow\infty$のときの漸近挙動

本節では $Rarrow\infty$ のときの分岐解の漸近挙動を解析する. 非自明な解は 2 種類存在するが, 図 3 からわかるように, 一方の解につぃては $a(1,1)$ が $R$ にほぼ比例するのに対し, もう一方の解については $a(1,1)$ I よほぼゼロである. このうち $R$ に比例する解につぃてはその性質を解明することが可能である. 実際, 数値解を調べてみると $a(1,1)$ は一 $a(1, -1)$ にほぼ等
しく, $R$ に比例して大きくなることがわかる. さらに, その他の Fourier 級数は圧倒的に小さ76$\mathrm{a}(1,1)$$\mathrm{a}(1,0)$

図 6: $\alpha=0.97$ と 098 に対する分岐図式. $\alpha=0.98$ のとき図式は不連結.

図 7: $0.97\leq\alpha\leq 0.98$ の分岐図式.

$R\leq 1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$77

図 8: $0.98\leq\alpha\leq 0.99$ のときの分岐図式.

$R\leq 1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$. $\alpha=0.99$ では 3 個の連結或分が存在する.

$\mathrm{a}(1,0)$

図 9: $0.99\leq\alpha\leq 0.999$ のときの分岐図式.

$R\leq 1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$.

78

図 10: $0.999\leq\alpha$ のときの図式の一部.

$\mathrm{a}(1,0)$

図 11: $\alpha=0.3$ のときの分岐図式. 基本流に沿って 3 個の分岐点が存在する

79
い.

従って,
$\lim_{Rarrow\infty}\frac{\psi}{R}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$$\cross\sin\alpha x\sin y$.

(4)が示唆されるのである. 渦度一の時に描いてみの等高線, つまり等渦度線をると図 12 の左図となる. これは (4) によく対応している. これに対し, もう一方の解については (4) は成り立たない.
$R=1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$$\triangle\psi$$a(1,1)$ がほぼゼロの解にういては $Rarrow\infty$ にわかりやすい漸近形は見いだされないが,内部遷移層が出現することは確認できる. 等渦度線を描いてみると図 12 の右のようになる.
これだけだと滑らかな関数であるかのように見えるが, さらに微分すると内部遷移層が見えてくる. $(-\triangle)^{p}\psi(x, \pi/2)$ の等高線を描いてみよう. $p=1.5$ のときにはこれらは滑らかに見える. しかし, $p=1.95$ のときには図 13 のようになり, 区分的な滑らかさが示唆される.

$\alpha=0.8$

R=IC 岡)000

図 12: $\alpha=0.8,$

5$R$$R=1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$$\alpha 4.8$$\mathrm{R}=1\mathrm{C}$》$\mathrm{O}\mathrm{C}\sim \mathrm{O}$のときのふたつの非白明解. $M=N=24$ .

に関する漸近展開

本節では $a(1,1)$ が $R$ にほぼ比例する解に関する漸近展開を考え, その係数の初項が計算できることを示す. 考えるべき方程式は.

$\triangle^{2}\psi+RJ(\psi, \triangle\psi)=R(\alpha^{3}-\alpha)\sin\alpha x\sin y-\alpha^{4}\cos\alpha x-\cos y$である. 数値結果に対応して次の漸近形を仮定する(5):$\psi=AR\sin\alpha x\sin y+\psi^{(0)}+R^{-1}\psi^{(1)}+R^{-2}\psi^{(2)}+\cdots$,

ここで $A$ は定数である. これを (5) に代入し, $R$ の各べきの係数を計算する.

(6)

80

図 13:

$(-\triangle)^{\mathrm{p}}\psi$の, 対角線 $y=\alpha x,$ $-\pi/\alpha\leq x\leq\pi/\alpha$ におけるグラフ. $p=1.5,1.95$ .

$M=N=36,$ $\alpha=0.8,$$R=1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$.

(6) を (5) に代入すると, その結果はる.

$R^{2}$$R^{3}$

項から始まるが, これはゼロであることがわか

項は$AR^{2}\{J(\sin\alpha x\sin y,$ $\triangle\psi^{(0)})+J(\psi^{(0)}, \triangle(\sin\alpha x\sin y))\}$$=AR^{2}J(\sin\alpha x\sin y,$ $\triangle\psi^{(0)}+.(\alpha^{2}+1)\psi^{(0)})$,(7)となる. ここで $J(f, g)=-J(g, f)$ を用いている. これをゼロとおくと,$\triangle\psi^{(0)}+(\alpha^{2}+1)\psi^{(0)}=F^{(0)}(\sin\alpha x\sin y)$

となる関数
$R$

$F^{(0)}$,の存在がわかる.

項から,$A(\alpha^{2}+1)^{2}\sin\alpha x\sin y+J(\psi^{(0)}, \triangle\psi^{(0)})+$$AJ(\sin\alpha x\sin y,$ $\triangle\psi^{(1)}+(\alpha^{2}+1)\psi^{(1)})=(\alpha^{3}-\alpha)\sin\alpha x\sin y$を得る. この式に $\sin\alpha x\sin y$ を乗じて T。で積分すると,$\int\int_{\mathrm{T}_{\alpha}}J(\psi^{(0)}, \triangle\psi^{(0)})\sin\alpha x\sin$

$=$

ydxdy

$= \int$ $\int_{\mathrm{T}_{\alpha}}J(\sin\alpha x\sin y, \psi^{(0)})\triangle\psi^{(0)}$.

$\int\int_{\mathrm{T}_{\alpha}}J(\sin\alpha x\sin y, \psi^{(0)})\{F^{(0)}(\sin\alpha x\sin y)-(\alpha^{2}+1)\psi^{(0)}\}$

(8)

81

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\oint]\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{o}}J(F^{(0)}(\sin\alpha x\sin y), \sin\alpha x\sin y)\psi$$-( \alpha^{2}+\mathfrak{y}\oint\ovalbox{\tt\small REJECT} J(\psi^{(0)}, \psi^{(0)})\sin\alpha x\sin$

dxdy

ydxdy

$\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$.

を得る. 同様に,$\int\int J(\sin\alpha x\cdot\sin y, \triangle\psi^{(1)}+(\alpha^{2}+1)\psi^{(1)})\sin\alpha x\sin$ydxdy $=0$ .

となるので,$A( \alpha^{2}+1)^{2}\int\int\sin^{2}\alpha x\sin 2$

ydxdy $=( \alpha^{3}-\alpha)\int\int\sin^{2}\alpha x\sin 2$ ydxdy,が得られる. すなわち,(9)$A= \frac{\alpha^{3}-\alpha}{(\alpha^{2}+1)^{2}}$となって, 初項の係数が決定できた.
も決定できるし, この操作を続けると面白い現象が現れるのであるが, ここでは省略する. [7] を参照していただきたい.
理論値 (9) と数値解から得たデータを比較すると図 14 となり, 極めてよい一致であると言えるであろう.
$\psi^{(0)}$図 14: 理論値 (9) と数値データの比較. ダイアモンド印が数値データ.

$R=1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$.

謝辞. The first author was supported by grant 2000-2-101-001-3 from the Basic Research

Program of the Korea Science and Engineering Foundation and the second author waspartly supported by the Grant-in-Aid for Scientific Research from JSPS
11304005.
$\#$

82
参考文献
[1] R. J. DiPerna and A. J. Majda, Concentrations in regularizations for 2-D incompressible flow, Comm. Pure Appl. Math., vol. 40 (1987), pp. 301-345.

[2] H. Fukuta and Y. Murakami, Nonlinear stability of Kolmogorov flow with bottomfriction using the energy method, J. Phys. Soc. JaPan, vol. 64 (1995), pp. 3725-3739.
[3] K. Gotoh and M. Yamada, The instability of rhombic cell flows, Fluid Dynam.
vol. 1(1986), pp. 165-176.

${\rm Res}.$,[4] V. I. Iudovich, Example of the generation of asecondary stationary or periodic flow
when there is loss of stability of the laminar flow of aviscous incompressible fluid, J.
Appl. Math. Mech., vol. 29 (1965), pp. 527-544.
[5] S.-C. Kim, On Prandtl-Batchelor theory of acylindrical eddy: Asymptotic study,
SIAM J. Appl. Math., vol. 58 (1998), pp. 1394-1413.
[6] S.-C. Kim, On Prandtl-Batchelor theory of acylindrical eddy: Existence and uniqueness, Z. Angew. Math. Phys., vol. 51 (2000), PP. 674-686.
[7] S.-C. Kim and H. Okamoto, Bifurcations and inviscid limit of rhombic Navier-Stokes
flows in tori, preprint.

[8] C. Marchioro, An example of absence of turbulence for any Reynolds number, Commun. Math. Phys., vol. 105 (1986), pp. 99-106.
[9] H. Okamoto and M. Sh\={o}ji, Bifurcation diagrams in Kolmogorov’s problem of viscousincompressible fluid on 2-D Tori, Japan J. Indus. Appl. Math., vol. 10 (1993), pp.

191-218.
[10] H. Okamoto, Nearly singular twO-dimensional Kolmogorov flows for large
Reynolds number, J. Dynamics and Diff. Eqns., vol. 8(1996), Pp. 203-220.

[11] H. Okam.oto, Astudy of bifurcation of Kolmogorov flows with an emphasis on the
singular limit, Proc. Int. Congress Math., vol. III, (1998), pp. 523-532.

[12] M. Yamada, Nonlinear stability theory of spatially periodic parallel flows, J. Phys.
Soc. Japan, vol. 55 (1986), pP. 3073-3079.