【土木計画学研究・論文集

Vol.26 no.1

2009年9月】

É

空港コンクリート舗装のハイブリッド劣化モデル

É

A Hybrid Deterioration Model of Airport Concrete Pavement

下村泰造ÉÉ・小林潔司ÉÉÉ ・貝戸清之ÉÉÉÉ・小濱健吾ÉÉÉÉÉ
ÉÉ

by Taizo SHIMOMURA , Kiyoshi KOBAYASHI

1. はじめにÉÉÉ, Kiyoyuki KAITOÉÉÉÉ and Kengo OBAMAÉÉÉÉÉ

2. 本研究の基本的な考え方(1) 従来の研究概要

空港舗装アセットマネジメントにおいては，ライフサ

空港コンクリート舗装のマネジメントに関しては，米イクル費用の低減化を図る最適補修戦略を策定することが重要である ．とりわけ，コンクリート舗装の劣化モ

国において実績があり，オクラホマ空港を対象としたデルの開発は根幹となる課題である．しかし，本研究で舗装マネジメントシステム2) や FAA(Federal Aviation

着目する臨海部空港を対象とする場合，コンクリート舗

Administration) が提案している舗装マネジメントシス

装の劣化は，地盤沈下の影響を受けるために，その影響

テム3) 等の事例が存在する．両事例とも，経年的に蓄積を内包した劣化モデルが必要となる．さらに，地盤沈下された十分な空港舗装の劣化データを用いて，最小二乗や舗装劣化の過程は設計段階で精緻な予測が困難なため，法によりコンクリート舗装の供用性曲線を推計している．

空港施設の運用段階で実際に観測されたモニタリング情

しかし，劣化過程に多大な不確実性が介在するために，報に基づいて，逐次予測結果を修正することが望ましい．

劣化曲線の推計精度は必ずしも良好ではない．劣化過程

本研究では，空港コンクリート舗装の劣化データが存の不確実性を考慮した統計的劣化モデルとして，マルコ

在しない状況の下で，まず，力学的劣化モデル（1 次モ

フ連鎖モデルが提案されている4) ．マルコフ連鎖モデル

デル）を用いて地盤沈下とコンクリート舗装の劣化予測

では，対象とする施設の健全度を，複数の離散的なレーを試みる．その上で，1 次モデルの予測結果である複数

ティング指標で表現し，健全度間の遷移状態をマルコフのサンプルパス情報に基づいて，地盤沈下過程やコンク推移確率で表現する．これらの統計的劣化モデルは，現リート舗装の疲労破壊プロセスを統計的劣化モデル（2実に生じた劣化現象に基づいてモデル化するため，劣化

次モデル）を用いて近似的に表現する．さらに，空港供現象に関わる情報が蓄積されれば，平均的な劣化過程に用後に新しく得られたモニタリング情報に基づいて，2関して信頼性の高い予測が可能となる．しかし，統計的次モデルを逐次ベイズ更新することが可能な 3 次モデル

劣化モデルは，モデルを推計するために劣化過程に関すを開発し，以上の 3 つのモデルが 1 つの枠組みの中で有るデータの蓄積が必要となる．一方，力学的劣化モデル

機的に連動したハイブリッド劣化モデルを提案する．以は，劣化過程を物理モデルにより記述する方法である．

下，2．では本研究の基本的な考え方を整理する．3．で空港コンクリート舗装に関しては，疲労度設計法を用いはハイブリッド劣化モデルの全体構成を説明する．4．でた信頼性設計法により，コンクリート版の疲労破壊のメ

は統計的劣化モデル（2 次モデル），5．ではベイズ更新

カニズムを分析し，コンクリート版の寿命を想定する方モデル（3 次モデル）について説明する．6．では，適法が提案されている．さらに，臨海部空港においては，

用事例の考察を行う．なお，力学的劣化モデルに関して地盤の不同沈下がコンクリート舗装の劣化に多大な影響

は紙面の都合上，基本的な概念を 2．で述べるに留める．

を及ぼすことが知られている．このため，本研究では空1)

港地盤の沈下過程を 1 次元圧密モデルで表現するとともÉキーワーズ：空港舗装，ハイブリッド劣化モデル，ベイズ推計，に，疲労度設計法を用いた信頼性設計法により，空港舗

ÉÉ正会員

装の劣化過程を予測する方法を採用する5) ．しかし，土アセットマネジメント
大成建設株式会社 国際支店 土木部土木技術部技術室(〒 163-6006 新宿区西新宿 6-8-1
e-mail: taizo@ce.taisei.co.jp)
ÉÉÉフェロー会員 京都大学教授 経営管理大学院(〒 606-8501 京都市左京区吉田本町
e-mail: kkoba@psa.mbox.media.kyoto-u.ac.jp)
ÉÉÉÉ正会員 大阪大学特任講師 大学院工学研究科(〒 565-0871 吹田市山田丘 2-1
e-mail: kaito@ga.eng.osaka-u.ac.jp)
ÉÉÉÉÉ学生会員 京都大学大学院工学研究科(〒 615-8540 京都市西京区京都大学桂 C-1-2
e-mail: k.obama@psa.mbox.media.kyoto-u.ac.jp)

質条件やコンクリート舗装の疲労破壊過程にも不確実性が介在するため，劣化過程を確定的に予測することは困難である．さらに，現場における初期施工状態のばらつ
きや材料物性値の持つ不均一性等，力学的劣化モデルで記述できない要因による影響を無視できない．
本研究では，力学的劣化モデルに介在する不確実性に対処するために，以下のような方法論を採用する．まず，- 47 -

土質条件をランダムに与えることにより，空港地盤の沈
設計緒元
データ

下過程に関する複数のサンプルパスを発生させる．その上で，疲労度解析により，各サンプルパスに対して空港

計測
データ

計測
データ

不確実性考慮

1次モデル

舗装の劣化過程を予測する．以上の方法で，コンクリー

力学的劣化
モデル

ト舗装の劣化過程に関する数多くのサンプルパスを獲得

複数の劣化
予測結果

できる．その上で，サンプルパスの背後にある統計的な初期情報

規則性を，統計的劣化モデルを用いて表現する．つぎに，

統計的劣化
モデル

空港供用後の期間に着目するとともに，空港コンクリー

劣化予測

2次モデル

ト舗装の維持・管理過程で得られた点検情報に基づいて，

劣化予測

劣化予測

ベイズ更新

ベイズ更新

比較＆モデル修正

統計的劣化モデルをベイズ更新させる．このように，本

・・・

3次モデル

研究で提案する劣化モデルは，力学的劣化モデルと統計
設計段階

的劣化モデルを合成したハイブリッド型モデルである．
すでに，筆者等は，空港地盤の沈下過程に関するハイブ

運営段階

図-1 ハイブリッド劣化モデルの特性

リッド型予測モデル6) を提案している．しかし，本研究では，空港地盤の沈下予測モデルを部分モデルとして内行うことにより，劣化モデルの信頼性を向上させること包した空港コンクリート舗装のハイブリッド型劣化モデができる．一方で，ハイブリッド劣化モデルを用いて劣ルを提案するところに特色がある．

化予測を行った結果，劣化予測の結果と実績値の間に無視できない乖離が存在する場合，統計的劣化モデルをベ(2) ハイブリッド劣化モデルの役割

イズ更新し，ハイブリッド劣化モデルの信頼性の向上に

本研究では，PFI 事業権契約による空港コンクリート

フィードバックすることが重要となる．あわせて，力学

舗装マネジメント問題をとりあげる．このような空港舗

的劣化モデルの予測精度を改善することが必要となる．

装マネジメントでは，ライフサイクル費用リスクの管理が重要な課題となる．臨海部空港では，空港供用開始直3. ハイブリッド劣化モデル

後の期間における地盤沈下リスクが大きく，ライフサイ
クル費用に及ぼす影響が大きい．しかし，時間の経過と(1) モデル化の前提条件

ともに，地盤沈下過程は次第に安定化してくる．一方で，PFI 事業者がカレンダー時刻ú0 に空港施設を建設し，コンクリート版に繰り返し荷重が作用し，コンクリート

それ以降の時刻にわたって空港コンクリート舗装を管理

版の疲労破壊のリスクが大きくなる．このように，空港する問題を考える．カレンダー時刻ú0 を初期時点 t = 0とする離散的時間軸 t = 0; 1; 2; ÅÅÅ; Tñを導入する．Tñは供用後，時間の経過に伴って，コンクリート舗装の管理
条件が時間とともに変化する．PFI 事業権契約では，契事業権契約の最終期である．時間間隔は 1 年間である．

約終了時点において，空港コンクリート舗装の健全度が，離散軸上の各点 t を時点と呼ぶ．対象とする舗装区域を性能基準を上回ることが義務づけられている．ライフサ

合計 I 個のメッシュに分割する．各メッシュは，コンク

イクル費用リスクを管理する上で，大規模補修が必要とリート舗装版に対応しており，メッシュ単位で地盤沈下なる舗装面積を予測することが重要な課題となる．さらと舗装版の劣化過程を予測する．対象とする期間を，空に，運用段階では，継続的なモニタリングにより獲得し港が供用される時刻ú0 より以前の期間と，供用開始後のた実績データを活用して，その時点以降における劣化予期間に分割し，前者を設計段階，後者を運営段階と定義

測の信頼性を向上させることが必要となる．

する．設計段階においては，空港コンクリート舗装の劣本研究で提案するハイブリッド劣化モデルの特徴を化過程に関する情報は存在しない．一方，運用段階では，

図-1 に示す．ハイブリッド劣化モデルでは，力学的劣空港の供用開始時点から，空港管理者は，各メッシュの化モデルによる予測結果を初期情報として位置づける．

地盤沈下量，舗装版の劣化過程をモニタリングする．ハ

さらに，力学的劣化モデルによる予測結果を用いて，統イブリッド劣化モデルでは，1 次，2 次，3 次モデルを用

計的劣化モデルを作成する．その際，力学的モデルの

いて地盤沈下過程，舗装の劣化過程を記述する．これら計算結果において，支配的な役割を演じているパラメーのサブモデルの関係を一括して図-2 に示している．同図

タや説明変数をとりあげ，これらの変数やパラメータをより，各サブモデルへの入力となる取得情報の流れや，説明変数とするような統計的劣化モデルを作成する．こ

サブモデル間の情報の受け渡しが理解できる．

のような方法論により，実績データがなくても統計的劣化モデルを推計できる．また，継続的なモニタリングに(2) 1 次モデル（設計段階）より獲得した計測データを活用して，逐次ベイズ更新を

1 次モデルは，1）地盤の不同沈下過程を予測する確- 48 -

1次モデル（力学的モデル）

ボーリング調査

地盤沈下
過程

統計的規則性

2次モデル（統計的モデル）

のモデル化

3次モデル
（ベイズ更新モデル）

ベイズ更新

不同沈下シミュレーション

混合地盤沈下モデル

混合地盤沈下モデル
地盤沈下パスの線形荷重和

土質定数（確率変数）

地盤沈下パスの線形荷重和
重み !i ：ディレクレ分布
誤差項：一次元正規分布
分散 ûi：ガンマ分布

確率的一次元圧密モデル

0;T

L(ñ
yi j!i; ûi )!i

ûi

ランダム抽出

ベイズ推計（ギブズサンプリング）

モンテカルロシミュレーション
地盤沈下パス： fi(t; k)
地盤沈下量 ： yti (k)0;Tô(!i; ûijñyi ) 事後確率密度関数

事後確率密度関数 ôi (^yi )y~ni(T) 地盤沈下の平均的パスt^i
地盤沈下の平均的パス y

マルコフ劣化ハザードモデル

疲労破壊モデル

舗装劣化
過程

・地盤の不同沈下
・航空機の輪荷重 確率変数
・版上下面の温度差

特性ベクトル

舗装版内応力の算出

òxti(k)

FDi ï 1

舗装劣化パス： gi (t; k)
舗装健全度 ： hti(k)

取得情報

現地調査
データ

設計
データ

劣化推移パターン
ダミー変数
jl

éi;t (k)å の事前確率密度関数： g(åj jñj ;Ü j )ñ0;T ;òjå)L(ò

多次元正規分布L(òjå) ：尤度関数

ñ0;T
ò

ベイズ推計（ギブズサンプリング）

0;Tñ ; ò)
事後確率密度関数の推計 †(åjò

事後確率密度関数の推計 †(åjò)
jl;t

ひび割れ度の算出

t
マルコフ推移確率の算出 pi (y (k))^t
平均的舗装劣化パス hij

ハザード率 ïi (k) = xti(k)å
j

ベイズ推計（ギブズサンプリング）
検査間隔： z

j;t

xt;3
i (k)

j の事前確率密度関数：

å

累積疲労度FDi の算出

マルコフ劣化ハザードモデル

曲率

j;t

j
t
ハザード率 ïi (k) = xi(k)å

jl;tt
マルコフ推移確率の推計 pi (y (k))
n

jl

~ (T)
平均的舗装劣化パス hiéi;t (k)

0;T

0;T
ñi
h
yñi

モデル間の
情報の流れ

モニタリング情報

取得情報の
流れ

設計段階

運営段階

ú0

図-2 ハイブリッド劣化モデルの構造

率的 1 次元圧密モデル，2）コンクリート版内に発生す

割れ度（健全度）の経年変化を表す舗装劣化パス gi (t; k)る応力状態を 2 次元有限要素法モデルを用いて解析し，である．yit (k); hti (k) は，時点 t，メッシュi におけるサ

コンクリート版の累積疲労度を算定する疲労破壊モデル

ンプルパス fi (t; k); gi (t; k) のサンプル値を表す．1 次モという 2 つのサブモデルで構成されている．しかし，1デルで作成したサンプルパスは膨大な量に及ぶため，サ

次モデルを用いてライフサイクル費用評価を行う際，1）

ンプルパスデータに含まれる情報を集約化することが必

モデルの操作性に問題があり，膨大な計算時間が必要と要である．そこで，1 次モデルで作成したサンプルパス

なる，2）シミュレーションで得られた膨大な分析結果

を統計的標本と考え，これらのサンプルパスを統計的にに対して統計的処理が必要となる，という課題が発生す表現する 2 次モデルを作成する．まず，地盤沈下過程にる．さらに，3）疲労破壊確率は，疲労破壊試験で得ら関しては，地盤沈下パスの線形荷重和モデル（混合地盤

れた限られた実験サンプルを用いて作成した経験式であ沈下モデルと呼ぶ）を用いて表現する．一方，舗装の劣る．このように 1 次モデルは，分析精度が異なるモデル化過程に関しては，地盤の不同沈下状態に依存してコンを連結したものであり，1 次モデルの予測結果には多く

クリート舗装の疲労メカニズムが異なることを考慮し，の誤差や不確実性が介在する．本研究では，1 次モデル

マルコフ推移確率が地盤沈下状態に依存して変化するよに介在する不確実性のうち，土質条件の不確実性に関し

うな非斉次マルコフ連鎖モデルを用いて表現する．本研ては，土質条件をランダムに変化させた 1 次元圧密モデ

究では，これら 2 つの統計的モデルを総称して 2 次モデルを用いて，多数の地盤沈下シナリオを発生させる．コルと呼ぶ．2 次モデルを用いて，地盤沈下の統計的サンンクリート版の疲労破壊に関する不確実性に関しては，

プルパスy^it (i = 1; ÅÅÅ; I; t = 0; 1; ÅÅÅ) と舗装劣化過程^ t (i = 1; ÅÅÅ; I; t = 0; 1; ÅÅÅのサンプルパスh) の生起確i^率を求めることができる．記号「 」は，2 次モデルを

航空機の走行時のばらつきを確率的に表現し，コンクリート版の疲労破壊に関するサンプルパスを作成する．

用いて作成したサンプルパスを表している．

(3) 2 次モデル（設計段階）
1 次モデルのアウトプットは，時点 t，メッシュi の沈下量を表す地盤沈下パス fi (t; k) と，各メッシュのひび- 49 -(4) 3 次モデル（運用段階）
運用段階における空港舗装マネジメントにおいては，

地盤沈下過程を継続的にモニタリングし，設計段階で予測した地盤沈下過程を再評価し，必要であれば維持補修
戦略の見直しを図ることが求められる．いま，空港供用時点 t0 から一定期間が経過し，現在時点 T に到達したと考える．さらに，空港供用時点から，現在時点に至るま
での地盤沈下量データyñit (i = 1; ÅÅÅ; I; t = 0; ÅÅÅ; T ) とñt (i = 1; ÅÅÅ; I; t = 0; ÅÅÅ; T ) が得ら
舗装健全度データhi
れたと考える．ここに，記号「 ñ」は，モニタリングで得られた実測値を意味する．運用段階では，モニタリン
グ情報を用いて，地盤沈下および舗装疲労破壊の予測精度を向上させることが課題となる．本研究ではモニタリ
ング情報を用いて，1）地盤沈下パスの統計的性質を記述した混合地盤沈下モデル，2）地盤沈下パスを与件として，舗装の劣化過程を記述するマルコフ劣化モデルのベイズ更新を試みる．このように 2 次モデルのベイズ更新を試みることにより，現時点 T 以降の時点 t (t > T )~ t (T ) の予における地盤沈下過程y~it (T )，舗装劣化過程hi
測精度を向上することができる．記号「 ~ 」はベイズ予

ã = (ã1 ; ÅÅÅ; ãK ) は定数パラメータベクトルである．また，分散パラメータûi = õiÄ2 がガンマ分布
çê êÄ 1g(ûi jê; ç) =(4)
û exp(Äçûi )Ä(ê) iに従うと考える．ただし，ê，çは定数パラメータであ^i =る．この時，メッシュi の地盤沈下サンプルパスyy i ) は，(^
yi0 ; ÅÅÅ; y^iT ) が生起する確率密度関数ôi (^
ö
õï
î
K
Y
1 2
êÄ 1=2ãk Ä 1ôi (^y i ) / ûi!
^ i (k)exp Äûi ç+ "^i
2
k=1
(5)
PK
t
と表される．ただし，y^i = k=1 !^i (k)fi (t; k) + "^i (t =0; ÅÅÅ; Tñ) である．この確率密度関数ôi (^y ) を解析的に
ñi求めることは困難であり，モンテカルロシミュレーショ
ンにより求める．すなわち，!i (1); ÅÅÅ; !i (K Ä 1); ûi をそれぞれの事前確率密度関数であるディリクレ分布とガ

ンマ分布よりランダム抽出するとともに，yit を正規確率PK1
密度関数 N ( k=1 !i (k)fi (t; k); ûÄi ) よりランダム抽出することで地盤沈下量の確率分布を得る．

測値であることを示す．

(2) マルコフ劣化ハザードモデル
1 次モデルでは，地盤沈下パスのそれぞれに対して，航4. 統計的劣化モデル（2 次モデル）

空機荷重，および温度変化により各コンクリート版内に発生する応力状態を 2 次元有限要素法モデルを用いて解(1) 混合地盤沈下モデルの定式化
筆者等は，すでに確率的 1 次元圧密モデルを用いて，混合地盤沈下モデルを作成する方法論を提案している．本モデルの詳細は参考文献6) に譲るが，ここでは読者の便宜を図るため，その概要を簡単に記載しておく．いま，メッシュi (i = 1; ÅÅÅ; I) の地盤沈下パス fi (t; k) (k = 1; ÅÅÅ; K)が求まったと考える．混合地盤沈下モデルは，現実の地盤沈下量を，地盤沈下パスの荷重和
K
X
yit =
!i (k)fi (t; k) + "i

(1)

k=1

として表現できる．ここに，"i は，測定誤差を表す確率変数であり，互いに独立な 1 次元正規分布 N (0; õi2 ) に従うと仮定する．また，!i (k) は，地盤沈下パス k に対して割り当てられた重みであり，KX!i (k) = 1 (i = 1; ÅÅÅ; I)析し，コンクリート版の累積疲労度を算定することにより，各コンクリート版の健全度の経年的な変化を予測することができる．このようなコンクリート舗装版の力学的予測の詳細に関しては参考文献5) を参照して欲しい．こ
こでは，1 次モデルを用いて，各メッシュi の舗装劣化パス gi (t; k) が得られたことを念頭において議論を進める．
ただし，劣化パス gi (t; k) = j はメッシュi の地盤沈下パ
スが k の場合に実現する舗装健全度が j (j = 1; 2; ÅÅÅ; J)

であることを意味する．つぎに，時点 t から t + 1 の間において生起するコンクリート舗装の健全度の推移確率を，マルコフ推移確率で表そう．コンクリート舗装の劣化過程は，地盤沈下過程の影響を受けるが，ここでは，
期間 [t; t + 1) のマルコフ推移確率は，時点 t における地(2)

盤沈下量ベクトルy t (k) = fyit (k) : i = 1; ÅÅÅ; Ig に依存が成立する．各サンプルパスに割り付けられる重み係数が下で定義されるマルコフ推移確率は，時点 t で評価され一意的に決定されるためには混合地盤沈下モデルを構成た健全度 hti (y t (k)) = j を与件とし，次の時点 t + 1 におするサンプルパスが互いに独立でなければならない．ここいて健全度 ht+1
(y t (k)) = lが生起する条件付確率ik=1

して定義されると考える．このとき，地盤沈下パス k のProb[ht+1(y t (k)) = ljhti (y t (k)) = j]i

で，混合地盤沈下モデル (1) の重み!i (k) (k = 1; ÅÅÅ; K)がディリクレ分布

D(! i jã) = â(ã)
PK

KY

f!i (k)gãk Ä 1

k=1

(3)

Ä(
ãk )
â(ã) = QK k=1
k=1 Ä(ãk )に従うと仮定する．ただし，Ä(Å) はガンマ関数であり，t= pjl;ti (y (k))(6)と定義できる．ただし，期間 [t; t + 1) 中は，地盤沈下量はy t (k) のまま一定であると仮定する．以下，表記の簡便化のために，健全度を hti (k) と，推移確率を pjl;ti (k)と略記する．いま，説明の便宜上，あるメッシュi の地
盤沈下パス kに着目する．メッシュi に対して，検査時- 50 -

点 t と t + 1 の間で，健全度が j のまま推移しないマルコ

クトルxti (k) を用いて次式で表現する．
jt
ïj;ti (k) = xi (k)åフ推移確率および，健全度が j から l (> j) に推移する
jl
マルコフ推移確率 pi は，
j
pjj
(7)
i = exp(Äïi z)
lÄ1
l
vÄ
1
s
s
X
Y
Y
ïi
ïi
exp(Äïvi z)pjl
i =s Ä ïv
s+1
v
ï
ï
Ä
ï
i s=v iiv=j s=j i(j = 1; ÅÅÅ; J Ä 1; l = j + 1; ÅÅÅ; J)(8)

ただし，健全度 J はマルコフ連鎖の吸収状態であり，

pJi J;t (k) = 1 が成立するためにïJ;ti (k) = 0 となる．ただし，åj = (åj;1 ; ÅÅÅ; åj;Q ) は未知パラメータåj;q (q =1; ÅÅÅ; Q) によるベクトルである．また，xt;1i (k) = 1 より，åj;1 は定数項を表す．

と表すことができる4) ．式中ïs は健全度 s に対する指数

ハザード率である．ただし，表記上の規則として，
8 Qs< vÄ1 sïi v = 1(v = j の時）
s=j ïi Ä ïi
QlÄ 1
ïsi
: s=v s+1 v = 1 (v = lの時）
ï
Äï
i

j;t

1; ÅÅÅ; I) を含む．さらに，ハザード率はメッシュの特性ベクトルxti (k) を用いて式 (11) で表現できる．また，推i

移確率は時系列データが予測された時間間隔 z にも依存
jl;tする．これらのことを明示的に表すため推移確率 pi (k)s=j;6=v
vÄ
Y1

lÄ
Y1
ïsi
ïsi
exp(Äïvi z)s Ä ïv
s+1
v
ï
ï
Ä
ï
i
i
i
i
s=v
s=j

を説明変数ベクトルòti (k) = (z; xti (k)) と未知パラメーtタå = (å1 ; ÅÅÅ; åJÄ 1 ) の関数として pjl;ti (òi (k) : å) と表そう．この時，舗装劣化パスの劣化推移パターンの同jJと簡略化する．また，pi に関しては，マルコフ推移確率の条件より次式で表せる．
JÄ
X1 jl
pjJ
=
1
Ä
pi (j = 1; ÅÅÅ; J Ä 1)i

マルコフ推移確率は，式 (8) で示したように，各健全度におけるハザード率ïi (k) (j = 1; ÅÅÅ; J Ä 1; i =が成立すると考える．さらに，表記の便宜上，
lÄ1
Y
ïsi
exp(Äïvi z)sïi Ä ïvi

=

(11)

(9)

l=j

以上のように，多段階指数ハザード率で表現したマルコフ推移確率をマルコフ劣化ハザードモデル4) と呼ぶ．

時生起確率密度を表す尤度関数は次式で表される．
Tñ n
JÄ
I Y
J Y
K Y
jl
oéi;t
Y1 Y
(k)
t
pjl;t
L(òjå) =
(ò
(k)
:
å)
(12)
i
i
j=1 l=j i=1 k=1 t=0

ただし，ò = fòti (k) : i = 1; ÅÅÅ; I; k = 1; ÅÅÅ; K; t =0; ÅÅÅ; Tñg である．舗装劣化パス情報òはすべて確定値であり，尤度関数は未知パラメータåの関数である．

いま，åj の事前確率密度関数8) が，多次元正規分(3) マルコフ劣化モデルのベイズ推計
1 次モデルで作成した舗装劣化パスを用いて，マルコ
フ劣化ハザードモデルをベイズ推計する方法を考える．
マルコフ劣化ハザードモデルのベイズ推計に関しては参考文献7) を参照して欲しい．舗装劣化パス gi (t; k) 上の健全度情報の点列をh(k) = fhti (k) : i = 1; ÅÅÅ; I; t =0; ÅÅÅ; Tñg と表そう．舗装劣化パス k 上の連続する 2 つの時点 t と t + 1 におけるメッシュi の健全度の予測結果

hti (k); ht+1(k) が得られている．2 つの時点における劣i

化推移パターン情報に基づいて，ダミー変数を((k) = lの時
1 hti (k) = j; ht+1
jli
éi;t (k) =(10)0 それ以外の時と定義する．さらに，施設の劣化速度に影響を及ぼ

布 NQ (ñj ; Ü j ) に 従 う と 仮 定 す る ．Q 次 元 正 規 分 布

NQ (ñj ; Ü j ) の確率密度関数は，
1qg(åj jñj ; Ü j ) =Q(2ô) 2 jÜ j j
n 1oÅexp Ä (åj Ä ñj )(Ü j )Ä 1 (åj Ä ñj )0
(13)
2
j
j
j
で与えられる．ただし，ñ は NQ (ñ ; Ü ) の事前期待値
ベクトル，Ü j は事前分散共分散行列である．記号 0 は転置操作を表す．事後確率密度関数†(åjò) は，JYÄ1†(åjò) / L(òjå)
g(åj jñj ; Ü j )

/

j=1
JÄ
l
I Y
Tñ n X
J Y
K Y
Y1 Y

lÄ
Y1

ïs;t
i (k)
s;t
ï (k) Ä ïv;ti (k)v=j s=j;6=v i

jl
oéi;t
(k)
k
exp(Äïv;ti (k)z )
JY
Ä1
o
n 1
Å exp Ä (åj Ä ñj )(Ü j )Ä 1 (åj Ä ñj )0 (14)2
j=1

すメッシュi の構造特性や環境条件を表す特性ベクトt;1t;Q
ルをxti (k) = fxi (k); ÅÅÅ; xi (k)g と表す．ただし，
xt;qÅ; Q) は，舗装劣化パス kにおけるメッi (k) (q = 1; ÅÅシュi の q 番目の説明変数の時点 t における計算値を表す．

j=1 l=j i=1 k=1 t=0

また，第 1 番目の説明変数は定数項に該当する変数であとなる．ギブスサンプリング法は，事後確率密度関数t;1り, 恒等的に xi (k) = 1 が成立する．さらに，説明変数には，時点 t において予測された地盤沈下量 yit (k)，曲率 vit (k) のデータも含まれている．

タの条件付き事後確率密度関数を用いて，反復的にパラメッシュi (i = 1; ÅÅÅ; I) の舗装劣化パス k を指数ハザ

ード率を用いて表現する．いま，舗装劣化パス k のハザー
j;t
ド率ï (k) (j = 1; ÅÅÅ; J Ä1; i = 1; ÅÅÅ; I; t = 0; ÅÅÅ; Tñ)iを，メッシュi の舗装劣化パス k における時点 t の特性ベ†(åjò) を直接求めることが難しい場合に，各パラメー
メータåの標本を乱数発生させることにより，事後分布からのパラメータ標本を獲得する方法である9);10) ．
ここで再び，得られているデータをò，未知パラメー
タをåと表そう．また，åからåe;q を除いた未知パラメ
ータベクトルをåÄ (e;q) と表そう．この時，式 (14) より，- 51 -

åÄ (e;q) を既知とした時のåe;q の条件付き事後確率密度関のn個の標本は収束過程からの標本と考え，標本集合か数†(åe;q jåÄ (e;q) ; ò) はら除去する．その上で，パラメータの標本添字集合を†(å jå
; ò)
e Y
I Y
Tñ n
J Y
K Y
jl
je
Y
féi;t
(k)Ä éi;t(k)g(åe;q xi;t/q (k))e;qÄ (e;q)

M = fn + 1; ÅÅÅ; ng と定義する．なお，nの設定に関しては Geweke 検定によりサンプリング過程から定常状態

jl
oéi:t
(k)
1
v;t
k
(k)z
)
exp(Äï
is;tv;tï (k) Ä ïi (k)v=j s=j;6=v i
o
n öe
qq
(15)
Åexp Ä
^eq )2(åe;q Ä ñ
2QX
(åe;h Ä ñeh )öehq
ñ^qe = ñqe +j=1 l=e i=1 k=1 t=0
lÄ
l
X
Y1

Å

h=1;6=qjeと表せる．ただし，éi;t(k) は，舗装劣化パス k 上の事前に達しているか否かを検定することで決定できる6);10) ．
このとき，パラメータåの同時確率分布関数 G(å) は#få(n) î å; n 2 Mg
G(å) =(16)nÄnと表すことができる．ただし，#få(n) î å; n 2 Mg
は論理式å(n) î å; n 2 M が成立するパラメータ標本の総数である．また，パラメータåj の事後分布の期待値
ベクトル ，分散・共分散行列Ü~j (åj ) は，それぞれ

ñ~j (åj ) = (~ñ(åj;1 ); ÅÅÅ; ñ~(åj;Q ))0
n
n
ê X
X
åj;1 (n)åj;Q (n) ë 0=; ÅÅÅ;
(17a)
nÄn
nÄn
n=n+1
n=n+1
1
0
õ
~ 2 (åj;1 )ÅÅÅ õ~ (åj;1 åj;Q )CB .
. . ..
C(17b).
Ü~j (åj ) = B
. .
A
@ .
j;Q j;12j;Qõ~ (å å ) ÅÅÅ õ~ (å )

健全度 j とギブスサンプリングにおける事前健全度 e が一致した場合に 1 を，そうでない時に 0 となるダミー変数である．ñeq は事前期待値ベクトルñe の第 q 要素であり，öehq は事前分散共分散行列Ü e Ä 1 の第 (h; q) 要素である．
PQ
また， h=1;6=q は 1 から Q までの要素のうち q を除いた要素の総和を意味する．これらの条件付き確率密度関数から標本を発生させ，その標本を用いてパラメータåの事後分布に関する各種の統計量を計算することができる．

と表される．ただし，次式が成立する．

ギブスサンプリングによる標本番号を n (n = 1; ÅÅÅ; n)õ~ 2 (åj;q ) =で表そう．そのアルゴリズムは以下のように整理できる．

nXfåj;q (n) Ä ñ~(åj;q )g2
nÄn
n=n+1

(18a)

õ
~ (åj;q åj;r )nX
fåj;q (n) Ä ñ~(åj;q )gfåj;r (n) Ä ñ~(åj;r )g
=
nÄn
n=n+1

step1：初期パラメータ値å(0) = (å1;1 (0); ÅÅÅ; åJÄ 1;Q (0))
を与える．n = 1 とし，標本数nを設定する．

step2：å(n) = (å1;1 (n); ÅÅÅ; åJÄ 1;Q (n)) を次のように

(18b)

発生する．

†(å1;1 jåÄ(1;1) (n Ä 1); ò) からå1;1 を乱数発生する．
Ä (1;2)†(å1;2 jå・・・

5. ベイズ更新モデル (3 次モデル）

1;2(n Ä 1); ò) からå を乱数発生する．

†(åe;q jåÄ(e;q) (n Ä 1); ò) からåe;q を乱数発生する．
・・・

Ä (JÄ 1;M )J Ä1;Qと考える．さらに，各平面メッシュの地盤沈下量と舗を乱装健全度を継続的にモニタリングすることにより，メッstep 3：十分大きなnに対して n > nならばå(n) を記録．

シュi の地盤沈下量，舗装健全度に関するモニタリング
ñ0;T = fh
ñ0 ; ÅÅÅ; hñT g(i =ñ0;T = fñ
情報yy 0 ; ÅÅÅ; yñT g, h†(åJ Ä 1;M jå

数発生する．

(n Ä 1); ò) か らå

(1) 混合地盤沈下モデルのベイズ更新
いま，空港供用後，時間が経過し，時点 T に到達した

step 4：n = nならば計算終了．n < nならば n = n + 1として step 2 に戻る．

i

i

i

i

i

i

1; ÅÅÅ; I) が得られたと考える．さらに，全メッシュの時
点 T までの地盤沈下量，舗装健全度に関するモニタリン
ñ0;T と表す．これら
ñ0;T ; hグ情報ベクトルを，それぞれy

十分大きなnに対して，ギブスサンプリングが定常過程のモニタリング情報を用いて，2 次モデルをベイズ更新に到達している場合，å(n) (n = n + 1; n + 2; ÅÅÅ; n) は，することにより，3 次モデルを作成することができる．

事後確率密度関数†(åjò) からの標本と見なすことがで

ここで，重みベクトル! i を与件とし，確率誤差項のみ

きる．ギブスサンプリングを行うためには (J Ä 1) Ç Q

が確率変数と考える．確率誤差項の分散の逆数ûも与件e;qÄ (e;q)個の条件付き事後確率密度関数†(å jå; ò) (e =0;Tñiとする．モニタリング結果yが観測される尤度は，

L(ñ
y 0;T
i j! i ; ûi ) 2
(
)2 3
T
K
Y 1=2
X
ûi
yñit Ä
/ûi exp 4Ä
!i (k)fi (t; k) 5 (19)2t=01; ÅÅÅ; J Ä 1; q = 1; ÅÅÅ; Q) を求めることが必要となる．
(4) ベイズ統計量

k=1

パラメータ標本をå(n) (n = 1; ÅÅÅ; n) と表そう．

å(n) = (å1 (n); ÅÅÅ; åJÄ 1 (n)) である．このうち，最初と表される．つぎに，4．(1) と同様に，! i の事前確率密度関数が，ディリクレ分布，分散の逆数ûi がガンマ分布- 52 -

に従うと考える．この時，! i ; ûi (= õiÄ2 ) の事後分布は，

モニタリング情報

ô(! i ; ûi jñ
y 0;T
i )
/ L(ñ
y 0;T
jã(0) )g(ûi jå(0) ; ç(0) )i j! i ; ûi )D(!
("i
T
1 Xê tå(0) +(T Ä 1)=2
/ ûi
exp Äûi ç(0) +yñÄ
2 t=0 i
)#
K
K
ë2
X
Y
(0)
!i (k)fi (t; k)!i (k)ãk Ä 1
(20)
k=1

0;T

ñ
y
ñ0;T ; h3次モデル（ベイズ更新モデル）
混合地盤沈下モデル

マルコフ劣化ハザードモデル

MCMC法によるサンプリング（n ステップ目のパラメータ標本）~i のサンプリング・・・式(20)!
~i; û~ i (n)!

~ j のサンプリング・・・式(22)å~ j (n)åa) 地盤沈下量の予測~ ni(T ) ・・・式(24)
地盤沈下予測量：yk=1となる．ここで 4．(3) で言及したギブズサンプリング

i=i+1を用いて，再度パラメータ! i ，ûi の標本を事後確率密

YES

i<N
NO

度関数から抽出することができる．なお，事前確率密度b) 舗装劣化確率の推計（ i = (1; ÅÅÅ; N) ）マルコフ推移確率行列 Ö ti (n)の算定・・・式(7)，式(8)~ ti (n) ・・・式(28)時点 t における健全度生起確率： m関数の分布形については，ディリクレ分布はベータ分布
を多変量に拡張した分布であり，ガンマ分布とともに指n =n+1数分布族であること，解析的な取り扱いが容易になるこ

YES

NO

と，負値を取らないために! i ，ûi の定義域と整合的であc) 舗装劣化リスクの予測
モンテカルロシミュレーションにより，時点 t において大規模補修が必要となる
ñ0;T ) を求める．・・・式(32)コンクリート版の個数が x を超過する確率 P (x : t; yñ0;T ; hる等，望ましい性質を有することを考慮して決定した．

図-3 ベイズ予測の手順(2) マルコフ劣化モデルのベイズ更新

3
oéijl (r)~ s (r)ïi~ v (r)z)5
exp(Äï
i~ v (r)~ s (r) Ä ïïiv=j s=j;6=v i

l
lÄ
nX
Y1

2 次モデルの推計に用いたデータòと時点 T までのモ
ñ0;T をプールしたデータセットを用いて，ニタリング情報ò
マルコフ劣化モデルをベイズ更新する．4．
（3）で言及したように，2 次モデルの推計には 1 次モデルで計算した地盤沈下パス，舗装劣化パスのデータを用いている．
すなわち，それぞれのサンプルパス k に対して，舗装健
全度データ fht (k) : t = 0; ÅÅÅ; Tñg と説明変数ベクトルiòi (k) = f(z; xti (k)) : t = 0; ÅÅÅ; Tñg を定義し，これらのデータを用いて 2 次モデルを推計した．一方，空港供用後には，舗装健全度，地盤沈下量に関する実測値を得る
ことができる．これらのモニタリング情報を用いて，舗ñt : t = 0; ÅÅÅ; T g と説明変数ベクトル
装健全度データ fhiñ = f(ññti (k)) : t = 0; ÅÅÅ; T g を定義できる．ここに，z; xòi
記号「 ñ」は，実測値を用いて，データベースを作成して

JY
Ä1
n 1
o
Å exp Ä (åj Ä ñj )(Ü j )Ä 1 (åj Ä ñj )0 (22)2
j=1
~ s (r) はモニタリング情報を用いてベとなる．ただし，ï
i

イズ更新されたハザード率，éijl (r) は隣接する 2 つの時
点の健全度データに対して hri = j; hr+1
= lのときに 1，i
そうでないときに 0 となるダミー変数である．マルコ
フ劣化モデルに関しても 4．
（3）で述べた方法を用いて，パラメータ! i ，ûi の標本を事後確率密度関数から抽出する．MCMC 法により抽出したパラメータ標本を~å(n)(i = 1; ÅÅÅ; I; n = n; ÅÅÅ; n) と表す．

いることを意味している．これらのデータをプールしたñ0;T ; ò) を定義する．その上で，新新しいデータセット (òしい添え字 r を用いて，データセットに含まれる健全度，
ñとñr )g (r = 1; ÅÅÅ; R)
説明変数ベクトルの組を fhr ; (z; xiiñは，プール後のデータ数を表す．ベイズ
再定義する．R

更新を行った後の未知パラメータベクトルの事後密度関ñ0;T ; ò) は数†(åjò
0;T0;T

ñ ; ò) / L(òñ ; òjå)
†(åjò

JÄ
Y1
j=1

g(åj jñj ; Ü j )

n<n
ñ

(21)

(3) 舗装劣化に関するベイズ予測
いま，空港供用時点から，現在時点までのモニタリン0;Tññ0;T ; hグ情報yを用いて，時点 T 以降の各時点におけるコンクリート版の健全度分布をベイズ予測する問題を考える．さらに，MCMC 法によって求めた地盤沈下モ~ i (n)，舗装劣化モデルのパラ
デルのパラメータ標本を!
j~ (n) と表そう．ただし，n は MCMC 法
メータ標本をå
によるステップ番号を表し，n = n+1; ÅÅÅ; nのパラメー

タ標本をベイズ予測に用いる．ベイズ予測は，図-3 に示

ñ0;T ; òjå) は，1 次モと表すことができる．ここに，L(òすように，2 次モデルのベイズ更新と並行して行われる．

をプールしたデータセットを用いて定義される尤度関数

いま，2 次モデルのベイズ更新が行われ，n ステップ目~ j (n) が得られた場合を考え~ i (n)，å
のパラメータ標本!

デルの計算結果と時点 T までのモニタリング情報の双方である．一方, g(åj jñj ; Ü j ) は，それぞれ設計段階のベる．ベイズ予測は以下の手順で実施される．

イズ推計時に用いたåj の事前分布である．したがって，
ベイズ更新後の事後分布は 2
ñ
R
JÄ
I
J Y
Y1 Y
Y
ñ0;T ; ò) /4†(åjò
j=1 l=j i=1

r=1a) 地盤沈下量の予測
時点 T 以降の地盤沈下予測を試みる．本ステップ
では，時点 T における混合地盤モデルのベイズ更新~ i (n) を用いて，メッにより作成したパラメータ標本!

- 53 -

~ i (T; n) =シュi (i = 1; ÅÅÅ; I) の地盤沈下量予測量yñ

要である．このためには，将来時点 t ï T において，合f~yiT +1;n ; ÅÅÅ; y~iT ;n g を出力する．ただし，y~it;n は，重み~ i (n) を用いて時点 t (> T ) の平面メッシュi の地
標本!

計 I 個の平面メッシュの中で，あらかじめ設定した管理

盤沈下量を予測した結果である．時点 T の地盤沈下量のとが必要となる．その結果，各メッシュの時点 t におけ

実測値yñiT と重み標本!
~ in (k) を与件とすれば，時点 T における混合地盤沈下モデルの予測残差òiT (n) はKXòiT;n = yñiT Ä!
~ in (k)fi (T; k)(23)
k=1~ ni を与件とすれば，時点 T 以降と表される．重み標本!
の時点 t (> T ) における予測値y~it (T ) は，次式で示す混~ ti (n) を求めることができる．
る健全度分布m

合地盤沈下モデルで表される．
KX
y~it;n (T ) =!
~ in (k)fi (t; k) + òin

(24)

k=1

の時，時点 T において地盤沈下量yñiT を観測した場合に，それ以降の時点 t (t > T ) における地盤沈下量y~it (T ) に関する確率分布関数 Hi (~yi jt; yñiT ) は次式で表される．
#f~yit;n (T ) î y~; n 2 Mg
Hi (~yi jt; yñiT ) =
(25)

nÄn

~ ni (T ) と，マルコフ劣以上で求めた地盤沈下量予測量y~ j (n) を用いて，舗化モデルのパラメータ標本ベクトルåj~ (n)装劣化パスを発生する．パラメータ標本ベクトルå
を与件とすれば，指数ハザードモデルは~ j (n)~ j;t (n) = x~ t (n)å
ï
i

いま，管理水準を j Éと表す．さらに，地盤沈下サンプ
ル n において，時点 t にメッシュi の健全度が管理水準を満足しない確率（以下，非達成確率と呼ぶ）はJX
qit (n) =
mj;t
(29)
i (n)
j=j É

と表せる．平面メッシュ全体にわたる非達成確率ベク~ ni (T ) を得る．こ以上の手順を経て，地盤沈下量予測量yb) 舗装劣化確率の推計水準を達成できない平面メッシュの個数分布を求めるこ

(26)

i

~ ti (n) は，時点 t における地盤沈下と表される．ただし，x~ ni (T ) を用いて定義された説明変数ベクトルで量予測量yある．地盤沈下が継続すれば，説明変数の値は時間とと~ j;t (n) が求まれば，もに変化する．指数ハザードモデルï
i

マルコフ劣化モデル (8) を用いて，期間 [t; t + 1) 中に生t

トルをq t (n) = (q1t (n); ÅÅÅ; qIt (n)) と表そう．いま，メッ
シュi において，1）管理水準を満足する，2）管理水準を満足しない，という状態変数を定義し，それぞれの状態が確率 1 Ä qit (n)，qit (n) で生起すると考える．さらに，各メッシュから，ランダムに 1 つずつサンプルを取り出すような試行を M 回繰り返す．第 m (m = 1; ÅÅÅ; M )回目の試行におけるメッシュ
i のサンプルの状態変数を(
0 管理水準を満足するときt;mìi (n) =(30)
1 管理水準を満足しないときと表す．この時，時点 t において，I 個のメッシュの中で管理水準を満足しないメッシュの個数が x となる確率0;Tñ ) は，
ñ0;T ; hProbn (x : t; yn
ñ0;T )
ñ0;T ; hProb (x : t; yPM t;m#fmj i=1 ìi (n) = xg=(31)Mと表せる．記号#fÅ
g は，集合 fÅg に含まれる要素数を表す．任意の x (x = 0; 1; 2; ÅÅÅ) に対して，式 (31) を用い0;T

ñ
ñ0;T ; hて確率 Probn (x : t; y

) を求めることにより，将来時点 t > T において大規模補修が必要となるコンクリー

起する舗装劣化過程をマルコフ推移行列Ö (n) で定義でト舗装版数 x の確率分布を求めることができる．ただし，きる．ここでは，パラメータ標本 n に依存していること

このように求めた確率分布は，地盤沈下パス n に対してを明示的に表すため添え字 n が用いられている．いま，定義されている．そこで，時点 T を起点とする地盤沈下
ñ0;T )
ñ0;T ; hパスのそれぞれに対して，確率 Probn (x : t; y

任意の時点 t ï T における，メッシュi の健全度 j の生起
PJ
確率をm
~ j;t
~ j;t
i (n) と表す．ただし， j=1 m
i (n) = 1 が成を求め，それらを平均化したような確率分布（以下，大立する．現在時点 T において，着目しているメッシュi

規模補修個数分布と呼ぶ）を求める．将来時点 t > T にの健全度が j であれば，時点 T における生起確率は，おいて，大規模補修が必要となるコンクリート版の個数
ñ0;T ) は
ñ0;T ; hが x となる確率 P (x : t; yñj;Tmi (n) = (0; ÅÅÅ; 1; ÅÅÅ; 0)(27)と表される．上式では，第 j 番目の要素のみが 1 となっている．この時，将来時点 t における健全度生起確率~ ti (n) = fm
m
~ 1;t
~ J;t
i (n); ÅÅÅ; mi (n)g は，マルコフ推移確率~行列Ö i を用いて，次式で表される．
1~ ti (n) = m
ñTi (n)Ö Ti (n) ÅÅÅÖ tÄ
m
(n)
i

ñ )
ñ0;T ; hP (x : t; yPnn
ñ0;T )
ñ0;T ; hn=n+1 Prob (x : t; y=nÄnと表すことができる．
0;T

(32)

(28)

各平面メッシュの現時点以降における健全度生起確率の6. 適用事例ñ~ Ti (n); m~ Ti +1 (n); ÅÅÅ; m~ Ti (n)g が得られる．
流列 fm(1) 適用事例の概要

c) 舗装劣化リスクの予測

空港舗装マネジメントの観点からは，個々の舗装版ご本研究では，臨海部空港である H 空港を適用事例としとの劣化過程を予測するだけでなく，将来時点においててとりあげる．同空港では，近距離国際旅客便の就航と発生するライフサイクル費用リスクを評価することが重深夜早朝時間帯を利用した国際貨物便就航を目的とし，- 54 -

表-1 5 段階レーティング評価基準
健全度 区分 ひび割れ度 (cm=m2 )1A
1.1 未満2
B1
1.1～4.4
3
B2
4.4～7.8
4
B3
7.8～11.1
5C
11.1 以上

経過年数（年）
0

5

10

15

20

25

試行2
試行7
試行12
試行17

試行3
試行8
試行13
試行18

試行4
試行9
試行14
試行19

30

0

試行1
試行6
試行11
試行16

沈下量(cm)

10

20

試行5
試行10
試行15
試行20

サンプルパスα

30

0
0
00
0

40

サンプルパスβ

ひび割れ度（cm/m2 ） 2 2） 2
ひび割れ度（cm/m
ひび割れ度（cm/m ）ひび割れ度（cm/m）

50

図-4 地盤沈下パス（i = 73）

A1
1.1 0 0
1.1 0 A1A
1.1 2 2 A
1.1 2 B1
B1
2
4B1
4.4 4 B1
4.4 4
4.4 4 6
4.4
B2
6
B2
6 B2
6
B2
7.8
7.8 8
8
7.8
7.8 8
8
B3
10 B3
10 B3
10
11.1

11.110ζ=0.5 ,γ=0.5
ζ=1 ,γ=1
ζ=5 ,γ=5
ζ=10 ,γ=10

確率密度

0.03

供用後経過年数（年）
供用後経過年数（年）15
供用後経過年数（年）1015
10
供用後経過年数（年）
15
10

5

10

15

20
20
20

25.5
25.5
25.5

20

25.5

中央値（50％上限値）
20％上限値
中央値（50％上限値）
10％上限値
20％上限値
5％上限値
10％上限値
最悪シナリオ
5％上限値

12
最悪シナリオ
カーブB
12 C
12⇒20年後まではB1ランクであったが、20～25.5年後に
カーブB
C
カーブA
14
急増し、25.5年後にCランクとなる。
14 C⇒早期にクラック度がB3ランクに到達するも、 ⇒20年後まではB1ランクであったが、20～25.5年後に14 C カーブA
急増し、25.5年後にCランクとなる。
その後横ばいに推移。
14⇒早期にクラック度がB3ランクに到達するも、
16
その後横ばいに推移。
16
16

11.1
11.1 12

0.04

B3

5
55

16

図-6 舗装劣化パス

0.02

ことにより，混合地盤沈下モデルは
2
X
t
y^i =
!i (k)fi (t; k) + "i

0.01

(33)

k=1

0.00

0

10

20

30

40

50

と特定化できる．図-5 は，平面メッシュi = 73 をとりあ

60

げ，5 年後の地盤沈下量を予測した結果である．図-5 に５年後の予測沈下量(cm)示すように，式 (4) の分散パラメータûi = õi2 が従うガ
ンマ分布の定数パラメータê; çの値を増大させると，予図-5 5 年後の予測沈下量の分布

測沈下量はより狭い範囲に分布する．一方，ê; çの値をエプロンを含む基本施設の他，空港保安施設，付帯施設，減少させると，予測沈下量はより広い範囲に分布する．

構内道路・駐車場および緑地の設計，施工から維持管理

つぎに，1 次モデルで得られた舗装劣化パス（図-6 参までを対象とした PFI 事業を実施している．中でも，エ照） を用いてマルコフ劣化モデルを推計した．その際，プロン部は，航空機が駐機するエリアであり，高い耐流舗装の離散的な劣化状態を，ひび割れ密度に基づく 5 段

動性および耐油性が求められることからコンクリート舗

階の健全度で評価した（表-1）．また，説明変数として航装が適用されている．同エプロンは，軟弱地盤上に位置

空機交通量，地盤沈下量，舗装地盤の曲率，コンクリー

しており，地盤の不同沈下によるコンクリート舗装の疲

トの曲げ強度，版厚などが考えられる．このうち，曲げ労劣化が問題となる．劣化予測においては，30 年を目

強度，版厚に関しては，すべての平面メッシュで共通し

標計画期間とする．エプロン部に位置する 825mÇ400m

た値をとる．そこで，本適用事例では，説明変数としての範囲をとりあげ，一辺が 25:5mÇ25:5m の合計 528 個

航空機交通量，地盤沈下量，舗装地盤の曲率という 3 つの平面メッシュに分割した．

の説明変数を採用することとした．1 次モデルで得られた計算結果を用いて，ギブスサンプリング法により指数
ハザードモデルをベイズ推計した．その際，ギブスサン(2) 2 次モデルの作成
まず，1 次モデルで各メッシュごとに 20 本の地盤沈下
パス（図-4 参照）を発生し，混合地盤沈下モデルを推計した．1 次モデルで求めたパスは，互いに強い相関関係にある．そこで，多重共線性を避けるため，20 本の地盤
沈下パスの中で予測沈下量の上限値と下限値を規定する

2 本のパスを用いた．図-4 に示すように，地盤沈下パスの中で，もっとも上方に位置するサンプルパスをパスã，下方に位置するサンプルパスをパスåと呼ぶ．すべての平面メッシュに対して，2 つの地盤沈下パスを採用する- 55 -

プリング過程が定常状態に到達することを保証するためにn = 3; 000 に設定し，残りの 10,000 個のパラメータ標本を用いてパラメータ推計を試みた．さらに，上記の3 つの説明変数を組み合わせた計算ケースを想定し，多段階指数ハザードモデルのパラメータ値を推計した．パ
ラメータ推計値の符号条件を検討した結果，最終的に航空機交通量，曲率という 2 つの説明変数が選択された．

すなわち，本適用事例で採用した指数ハザード関数は，
noj;1j;2 t;2j;3 t;3
ïj;t
(k)
=
exp
å
+
å
x
+
å
x
(k)
(34)
i
i
i

表-2 2 次モデルの推計結果
定数項
交通量
曲率
åj;1
åj;2
åj;3
-2.8110.7355
6.527(1.208)(1.337)(0.1604)-2.3170.10383.715
2(0.7316) (0.7013) (0.3895)－-1.4810.97783－(0.1189)(0.7398)-1.721－－
4－－(0.8841)
注）括弧内は Geweke 検定統計量を表す．また，交通量は時
点 t=30 における交通量を，曲率は当該サンプルにおける曲率の最大値を 1 として基準化している．

100

健全度
j
1

生起確率 (%)

80
60

健全度１
健全度２
健全度３
健全度４
健全度５

40
20
0

0

10

20

30

40

50

経過年数（年）図-7 健全度生起確率の経年変化

表-3 時点 t=0 におけるマルコフ推移確率の検討結果
健全度
1
2
3
4
5
1
0.9878 0.0121 0.0001 0.0000 0.0000
00.9804 0.0192 0.0004 0.0000
2000.9555 0.0437 0.0008
30000.9649 0.0351
4
0
0
0
0
1
5

0

沈下量(cm)

10

t;2
t;3
と表される．ここに，xi ; xi (k) は，平面メッシュi の

20

0

5

10

経過年数(年)
15

20

25

30

サンプルパスα
サンプルパスβ
期待値パス
仮想モニタリング情報
沈下量予測パス
沈下量予測パスの95%信頼区間

30
40

期間 t における航空機交通量，不同沈下により発生する曲率を表している．以下，åj = (åj;1 ; åj;2 ; åj;3 ) と表記

50

する．表-2 には，マルコフ劣化ハザードモデルをベイズ推計した結果（パラメータの標本平均）とサンプリングの定常性を検定する Geweke 検定統計量10)

図-8 地盤沈下量のモニタリング情報を示す．

Geweke 検定統計量はいずれも 1.96 を下回っており，有意水準 5%で収束仮説を棄却できない．また，表-3 に，多段階指数ハザードモデルを用いて推計した，メッシュ(i = 73) のマルコフ推移確率を示している．

後 5 年間にわたる地盤沈下過程を，仮想的に図中の●印
で示すように与える．当該メッシュにおいては，仮想モ
ニタリング情報で示した地盤沈下過程は，期待サンプル
パスよりも下方に位置しており，地盤沈下速度が期待値

地盤沈下過程が異なれば，各期における舗装版の曲率

パスよりも大きい状況を想定している．空港供用後 5 年が異なり，それと対応して舗装の劣化過程も時間の経過

後を現在時点と考え，5 年間のモニタリング情報を用いに伴って変化していく．供用開始時点 t = 0 において，各て 3 次モデルをベイズ推計した結果を表-4 に示す．同表

メッシュの健全度は全て 1 であり，生起確率の初期値は，には，混合地盤沈下モデルの重み!73 (1); !73 (2) と分散

m0i = (1; 0; 0; 0; 0)(35)となる．このとき，任意の時点 t における健全度生起確
J;t率mti = (m1;ti ; ÅÅÅ; mi ) は，式 (28) において T = 0 にパラメータû73 の期待値，95%信頼区間，および Geweke
検定統計量10) のベイズ更新結果を示している．推計結果
より，重みの合計は 1 となっており，制約条件式 (2) を設定することにより評価できる．図-7 には，以上の方法満足している．また，重み!73 (1) の期待値が大きくなっを用いて，平面メッシュi = 73 の健全度生起確率の経年ているが，これは仮想モニタリング情報が期待値パスよ的な変化パターンを予測した結果を表している．

り下方に位置しているためであり，必然的な結果といえる．つぎに，5 年度にベイズ更新された混合地盤沈下モ(3) ベイズ更新モデル（3 次モデル）

デルを用いて，6 年度以降の地盤沈下パスを予測した結まず，供用開始後，5 年間のモニタリング情報に基づ果を図-8 に示す．前述したように，実績パスとして，期いて，混合地盤沈下モデルをベイズ更新する問題をとり待値パスよりも沈下速度が大きいパスを仮想的に設定しあげる．ただし，現時点で空港施設は供用されていないている．したがって，経過年数 30 年の時点での予測沈下ため，ここでは仮想的にモニタリング情報を設定する．

量の期待値が 38.11cm となり，期待値パスの 35.75cm よ

図-8 には，528 個の平面メッシュの中から，事例としてりも大きくなっている．供用後 30 年度における 95%信選択したメッシュ(i = 73) をとりあげ，1 次モデルで作成

頼区間の下限は 37.99cm，上限は 38.22cm であり，ベイしたサンプルパス，2 次モデルで求めた期待値パスを示

ズ更新の結果，混合地盤沈下モデルの推計精度が向上し，している．また，当該平面メッシュにおいて，空港供用

より正確な地盤沈下リスクの管理が可能になる．

- 56 -

表-4 混合地盤沈下モデルの推計結果
パラ
期待値
95%信頼区間
Geweke 検
メータ
定統計量!73 (1)
0.385
0.359 0.411 -1.59E-02
0.615
0.589 0.641
1.59E-02!73 (2)
6.83
1.83
15.07 -3.51E-02
û73

大規模補修確率 式(32)

1.0

0.06

２次モデル推定時
ベイズ更新後

確率密度

0.05

0.6
0.4
0.2
0.0

0.04

ベイズ更新された確率分布
設計段階で予測した確率分布

0.8

0

5

10

15

20

大規模補修が必要な補修版数

0.03
0.02

図-10 舗装劣化リスク予測リスク

0.01
0.00
0.00

0.05

0.10

ハザード率λ0.15

ズ更新された確率分布が併記されている．地盤沈下過程

0.20

1,25
73

が設計時に予測した期待値パスより早く進行するシナリ
オを想定しているため，大規模補修が必要となる補修版

図-9 ハザード率ï1;25
73 の分布数は設計時の予測結果よりも増加する方向に補正されている．軟弱地盤上の空港施設の場合，地盤沈下過程に不

つぎに，マルコフ劣化モデルのベイズ更新を試みる．
供用開始後，5 年間にわたって地盤沈下過程とコンクリー
ト舗装の劣化過程に関するモニタリング情報が得られたと仮定する．現時点では，コンクリート舗装の劣化過程に関するモニタリング情報が存在しないため，仮想的なモニタリング情報を以下の方法で作成した．すなわち，確実性が介在するために，地盤沈下過程の実績がコンク
リート舗装の劣化過程に多大な影響を及ぼす可能性がある．このため，地盤沈下過程，コンクリート版の劣化過程に関するモニタリング情報に基づいて，コンクリート
舗装の劣化過程の予測結果を逐次更新し，より精緻なリスク評価を行うことが必要であることが理解できる．

地盤沈下過程に関しては，図-8 の●印に示すように，全メッシュにわたって地盤沈下量が期待値パスに対して

7. おわりに

一律に大きくなるようなサンプルパスを想定する．その上で，地盤沈下サンプルパスを入力情報として，コンク

空港コンクリート舗装のアセットマネジメントでは，

j;t
リート舗装のハザード率ïi を算定した．この時，コン

1）劣化過程に多大な不確実性が介在する，2）劣化過クリート舗装の劣化過程は，式 (28) を用いて記述され程に関するデータの蓄積が十分ではない，という特徴がる．その上で，式 (28) に従う確率過程の中からサンプル

ある．本研究では，これらの課題に対応するために，地パスを発生した．以上のように作成したモニタリング情盤沈下と舗装劣化を表現した力学的劣化モデル（1 次モ

報を追加情報として，式 (22) に基づいてマルコフ劣化モデル）と統計的劣化モデル（2 次），さらには統計的劣デルのベイズ更新を試みた．ベイズ更新の時点が t = 5化モデルの更新（3 次）という 3 つのモデルをベイズ統であるため，この時点ではコンクリート舗装の劣化が計学の枠組みの中で合成したハイブリッド劣化モデルを

それほど進展していない．そのため，舗装健全度 1 のハ提案した．さらに，現実の空港舗装マネジメントを対象

ザード率を除いてほとんど更新されていない．図-9 は，とした適用事例を用いて，提案した方法論の有効性を実

以上のようにベイズ更新した多段階指数ハザードモデル

証的に検討した．提案した方法論は，十分な実用性を有を用いて，メッシュ(i = 73) の時点 t = 25 におけるハ

するものと考えるが，今後にいくつかの課題が残されて

1;25
ザード率ï73 を予測した結果を示している．ベイズ更新

いる．第 1 に，本研究の適用事例では，モニタリング情を行うことにより，ハザード率の分散が小さくなり，予報を人工的に作成することによりベイズ更新を試みた．

測精度が向上している．地盤沈下過程が当初の期待値パ

今後，継続的なモニタリング情報を蓄積し，ハイブリッ

スより早く進行しているため，ハザード率の分布が当初

ド劣化モデルのベイズ更新の有効性を検証することが必の分布より大きくなる方向へ修正されている．最後に，要である．第 2 に，開発したハイブリッド劣化モデルをベイズ更新後，時点 t = 25 において大規模補修が必要

用いて，最適補修戦略を求めるための計画モデルを開発となる舗装版の枚数の確率分布を，式 (32) を用いて導出することが必要である．特に，PFI 事業により空港コン

した結果を図-10 に示す．同図には，設計段階で予測しクリート舗装マネジメントを実施する場合，事業権契約た確率分布と，5 年間のモニタリング情報を用いてベイに盛り込まれた性能規定を満足することが必要である．

- 57 -

そのためには，ライフサイクル費用リスクを評価するとAiråeld Pavement Management System, Trans-

ともに，地盤沈下モデル，舗装劣化モデルのベイズ更新

portation Research Record, TRB 2003, Vol.1853,

過程を導入したマルコフ決定過程に関する研究が必要とpp.44-54, 2003.

なる．第 3 に，地盤沈下過程が 1 次モデルの予測結果と3) Federal Aviation Administration:

Pavement

大幅に乖離し，混合地盤沈下モデルの予測精度が著しくManagement System, Advisory Circular, AC

低下する場合，1 次元圧密モデルの妥当性を検討するこ

No.150/5380-7, 1988.

とが必要となる．PFI 事業権契約において，発注者が地

4) 津田尚胤，貝戸清之，青木一也，小林潔司：橋梁劣盤リスクを負担すべき場合，1 次モデルの修正が必要と化予測のためのマルコフ推移確率の推定，土木学会
論文集，No.801/I-73，pp.68-82, 2005．

なった段階で PFI 事業権契約の設計変更が必要となる．
この場合，新しい 1 次モデルの作成とハイブリッド劣化

5) 下村泰造, 西澤辰男, 吉永清人，福岡知久：疲労度

モデルの再構築が必要となる．最後に，本研究で提案し設計法を用いた空港コンクリート舗装の維持管理たベイズ更新モデルは，モニタリング情報に基づいて設手法の検討，舗装工学論文集，土木学会，Vol.12，

計段階における予測結果をベイズ更新するための方法論

pp.211-218，2007.

を提案したものである．このようなベイズ更新モデルは，

6) 下村泰造，小濱健吾，貝戸清之，小林潔司：空港舗

空港舗装マネジメント問題以外の幅広い問題に対しても装のアセットマネジメントのためのハイブリッド型

適用可能である．今後，ベイズ更新モデルの有効性を空地盤沈下モデル，土木学会論文集 F，Vol.64, No.4,

港舗装以外の土木施設でも検証することが必要である．

pp.463-482, 2008.

なお，本研究の一部は文部科学省「若手研究者の自立

7) 貝戸清之，小林潔司：マルコフ劣化ハザードモデ

的研究環境整備促進」事業によって大阪大学グローバル

ルのベイズ推定，土木学会論文集 A，Vol.63, No.2.

若手研究者フロンティア研究拠点にて実施された．また，pp.336-355，2007.
8) Ibrahim, J.G., Ming-Hui, C. and Sinha, D.:

本研究の一部は (財) 港湾空港建設技術サービスセンター

Bayesian Survival Analysis, Springer Series inの平成 20 年度研究開発助成を受けた．

Statics, 2001.
9) 伊庭幸人 他：計算統計学のフロンティア 12 －計算

参考文献

統計 II，マルコフ連鎖モンテカルロ法とその周辺，

1) 小林潔司：分権的ライフサイクル費用評価と集計的効
率性，土木学会論文集，No.793/IV-68，pp.59-71，

2005.

岩波書店，2005.

10) 和合肇：ベイズ計量経済分析，マルコフ連鎖モンテ
カルロ法とその応用，東洋経済新報社，2005.

2) Jie Yuan, J. and Mooney, M.A.: Development of
Adaptive Performance Models for the Oklahoma
空港コンクリート舗装のハイブリッド劣化モデルÉ

下村泰造ÉÉ，小林潔司ÉÉÉ，貝戸清之ÉÉÉÉ，小濱健吾ÉÉÉÉÉ
空港コンクリート舗装のアセットマネジメントでは，1）劣化過程に関するデータの蓄積が十分ではない，2）劣化過程に多大な不確実性が介在する，という特性がある．そこで，本研究では，力学的モデルと統計的劣化モデル
をベイズ統計学の枠組みの中で合成したハイブリッド劣化モデルを提案する．具体的には，力学的劣化モデルを用いて，不確実性下における空港コンクリート舗装の劣化過程のサンプルパスを発生する．コンクリート舗装の劣化過程に関するサンプルパス情報を用いて統計的劣化モデルを作成する．その上で，地盤沈下量，コンクリート舗装の劣化に関する継続的モニタリング情報を用いて，ハイブリッド劣化モデルをベイズ更新する方法論を提案する．

A Hybrid Deterioration Model of Airport Concrete PavementÉ
By Taizo SHIMOMURAÉÉ, Kiyoshi KOBAYASHIÉÉÉ, Kiyoyuki KAITOÉÉÉÉ and Kengo OBAMAÉÉÉÉÉThe crack progression processes of concrete pavements of airports are characterized by a lot of uncertainty.
There lacks the relevant information on the pavement deterioration processes, which becomes the obstacles
against the establishment of the eécient asset management systems. In this paper, the statistical modelsof the pavement deterioration are estimated based upon the sample paths generated by the mechanicalmodels. The paper presents a methodology to revise iteratively the statistical models based upon the newly
obtained monitoring data through the Bayesian rules. The applicability of the methodology presented in thispaper is examined against the real world data concerning the airport facilities.

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