大阪市立科学館研究報告 15,63-66(2005)

曲がった空間での量子化について
斎藤吉彦
大阪市立科学館
概要
直交座標を正準変数とした量子化の手続きと、一般座標のそれとの関係を考察する。素直な力学系の場合曲がった空間での量子化の処方箋を与えることができる。
えることができる (4) 。この問題を解くには、量子化の処方に関する基本的な考察が必要である。

１．はじめにそこで、量子化について最も基本的なことを考察

拘束系の量子化の処方箋は Dirac(2)られた。Faddeev(1)によって与えした。本稿にそのメモを残す。

はこの方法を Feynman 経路積

標準的な教科書では、ユークリッド空間上で、直交分に導入し、ゲージ理論のユニタリティーを保証す

座標 xi (i = 1, 2, 3) を正準変数とし、それに共役な運るために導入されていたゴーストの意味を明らかに∂で置き換えるという量子動量 pi を微分演算子 −i ∂xi

した。Masukawa-Nakajima(3) は、拘束系の位相空化の手続きが行われる。直交座標が特別な座標であ間の正準座標には次のようなものが存在することをる理由はないので、一般座標を正準変数として量子示した。すなわち、その正準座標系におけるいくつ化してもよいはずである。しかし、これを考察したかの正準変数を０とおくことが、その力学系の拘束教科書は、著者の知る限り、存在しない。そこで、直条件に対応する。このことにより、Dirac の処方は、交座標系による量子化と矛盾しない一般座標系によ拘束条件を与える正準変数を省いた位相空間での量る量子化を考察したところ、曲がった空間での量子子化に対応すること、Faddeev の方法は、拘束条件化の標準を得た。

により縮小された位相空間での Feynman 積分であ

第２章で、直交座標による量子化における正準変数の交換関係と一般座標によるものとは同値であるることが明白になった。
ただし、Masukawa-Nakajima の証明は局所的なもことを、第３章で、通常のハミルトニアンの順序は直のであるので、大局的に正準変数が得られない場合交座標によるものを採用すべきで、これを採用するは、困難な問題が残されている。そのような場合は、ことで曲がった空間の量子化が可能となることを示

局所的に解いた座標系をはり合わせ、全位相空間をし、第 4 章で一般のハミルトニアンの量子化の処方覆うことが必要で、座標系の共通部分は正準変換にを与え、その処方に従うことで曲がった空間で量子よって関係付けられる。このとき、正準変数が量子化が可能であることを示す。

化されると、正準変数同士の交換関係を無視できないので、古典論のような関係付けはほとんどの場合

２．一般座標における正準量子化不可能である。また、無限次元自由度の場合はヒルベルト空間の定義により、まったく異なった量子系質点の位置を直交座標 xi (i = 1, 2, 3) で表し、ラグとなることがある。たとえば、弦理論において、時空ランジアンを L(xi , ẋi ) とすると、xi に共役な運動量の次元が 26 以外は棄却されるが、ヒルベルト空間をは次式で定義される。

ボゴリューボフ変換することで、この臨界次元を変

1

def

pi =∂L∂ ẋi(1)３．ハミルトニアンの量子化

ディラックはポアソン括弧を交換関係に置き換えることで、量子化の処方を与えた。すなわち、
def[Â, B̂] = i{A, B}P.B.

ハミルトニアンは運動量の２次関数となるのが一(2)般である。この場合、運動量演算子と位置座標演算子との順序の任意性により、ハミルトニアンを一意したがって、ディラックの処方 (1) によれば、xi的に量子化することは出来ない。本章では、量子化と、pj は次の交換関係を満たす代数として量子化される。

[x̂i , p̂j ] = iδijの処方箋は通常の量子力学の教科書で採用されている順序が適切であることを示す。

(3)3.1. 直交座標系による量子化

一般座標 Qi , に共役な運動量を P j とすれば、ディユークリッド空間の計量を g とする。素直なララックの処方は[Q̂i , P̂ j ] = iδij

グランジアンは座標に依存しない形で次のように書(4)ける。

L=式（3）と式（4）とは、代数関係として矛盾しないことが次のようにして分かる。

∂xj j∂L∂xj ∂L==p
P =∂Qi ∂ x˙j∂Qi∂ Q̇ii def(9)ここで、v は速度ベクトル、U はポテンシャル。

g に対応する直交座標系を {x} とすれば (9) は(5)3であるので、一般座標 Q は直交座標 x の関数であるL=ことを考慮すると、式（4）の左辺は·¸∂xkk[Q̂i , P̂ ] = Qi (x̂),(x̂)p̂∂Qj∂Qi ∂xk=i∂xk ∂Qj

m −1g (v, v) − U2mX 2ẋ − U (x)2 i=1 i(10){x} に共役な運動量を {px } と書けば、ハミルトニ

jアンは(6)

3H== iδij

1 X ¡ i ¢2p+ U (x)2m i=1 x(11)量子化されたハミルトニアンを

これは、式 (5) 第 3 式を代数演算子で表すときの順
defĤx =序の任意性には依存しない。なぜならその任意性はx̂ のみの関数であり、Q̂ と可換であるから。同様に、

31 X ¡ i ¢2p̂+ U (x̂)
2m i=1 x(12)x を Q の関数とみなしても、式 (3) は成立する。*1 こと定義するのが一般である。他の直交座標系を {y}のように、代数関係においては量子化された運動量とすれば、同様の手続きで間の関係は順序に無頓着でいてよい。しかし、波動defĤy =関数に作用する演算子として扱う場合は考慮が必要である。このとき、運動量は微分演算子と定義され31 X ¡ i ¢2p̂+ U (x̂)
2m i=1 y(13)る。微分として矛盾なく定義するには、次のように演算子の順序に悩まされることなく、次式の成立す運動量演算子間の関係式を与える必要がある。

ることが分かる。

∂xj jP̂ =p̂∂Qidef ∂Qj jp̂i =P̂
∂xii def*1以上の括弧積の計算において、[f (x̂), p̂] = if 0 (x̂)
使ったことに注意せよ。付録 A 参照

Ĥx = Ĥy(7)

(14)

∂y

なぜなら、 ∂xji は定数なので (付録 B 参照）、式 (5）より演算子の順序に悩まされることなく、次式を導(8)出できるからである。
をp̂xi2=∂yj jp̂∂xi y(15)したがって、ラグランジアンが式 (9) で与えられる単この時、X に共役な運動量を PX とすれば、ハミル純なものであれば、直交座標系によるハミルトニア

トニアンはンの量子化は直交座標系のとり方に依存しない。

H=X¡

ここまでは、空間をユークリッド空間と仮定した

PX i¢2+ U (X)(20)

i

きたが、曲がった空間にもこの量子化は拡張できる。

したがって、代数の順序に悩まされることなく、次のなぜなら、曲がった空間を局所的にユークリッド空間ように量子化できる。と同一視すれば、曲がった空間を複数のユークリッ
defHˆX =ド空間で覆うことができる。これらのユークリッドX³P̂X i´2+ U (X̂)

(21)

i

空間で、それぞれハミルトニアンを式 (12)、式 (13)のように定義すれば well-defined である。なぜなら、この定義は A を対角化する座標系に依存しない。

ユークリッド空間の重なった領域では、共役運動量

このことは第３章と同じ手続きで証明できる。任意間の関係は式 (15) となり、式 (14) の関係が成立するの座標系に対する量子化は第２章と同じである。
この量子化は与えられたラグランジアンにより、一からである。

意的に定義されるものであり、座標系に依存しない。

3.2. 一般座標による量子化

また、第２章で議論したことと全く同じ理由で曲がっ一般座標系を {Q} とすると、ハミルトニアンは次た空間にも拡張できる。

式で与えられる。

1 X ∂Qj ∂Qi i jP P
H=2m∂xk ∂xk

５．まとめ(16)

本稿では量子化の処方箋の一般化を試みた。すなk

わち、量子化のための順序は、式（12）、式（13) と同値にな運動量とのポアッソン括弧積を交換関係に置き換なるように、次式を採用することにする*2 。

Ĥ =1 X ∂Qj i ∂Qi jP̂P̂2m∂xk∂xk

えることによって行うこと、もので定義すること、を与えた。

今回取り扱ったハミルトニアンはニュートン力学

すなわち、直交座標での量子化を標準とする。この的なものをほんの少し一般化したもので、一般的なも標準は、極座標表示で中心力を扱う場合と一致してのではない。相対論的な力学系に拡張できれば、興いるので、自然界がこの標準を選択していると言っ味深いものになるかもしれない。てよいであろう*3 。

参考文献

４．一般的なハミルトニアンの量子化(1) P.A.M.Dirac, Lectures on Quantum Me-

前章ではユークリッド空間の計量で定義されたラchanics, Belfer Graduate School of Science,

グランジアンの場合の量子化を考察した。ここでは、

Yeshiva University, (New York, 1964)

より一般の場合を考察する。

(2) L.D.Faddeev, Teoret.i Mat.Fiz.1(1969)3(18)(3) T.Masukawa and H.Nakajima, Prog. Theor.
Phys. 56(1976)1295{X} を次のように A を対角化する座標系とする。
AX ∂∂
=⊗∂X
∂Xiii

ハミルトニアン演算子の順序は、式（21）のように運動量で対角化された(17)k

L = A(v, v) − U

正準座標の量子化は、直交座標とそれに共役(4) Y.Saito, Phys.Rev.D .36(1987)3178(19)

付録Ａ．微分可能関数と運動量の括弧積*2 ∂Q と P̂ との順序は、式 (8) を標準とする。
∂x*3 原子スペクトルの記述を思い出そう

3

第２章の括弧積の計算では、微分可能な関数 f (x)

ここで、括弧積と積分演算との可換性は気になるとこに対して、次の関係が成り立つと仮定した。

[f (x̂), p̂] = if 0 (x̂)

ろであるが、無頓着に認めることとする。もっともらしい理由１〜４で仮定１を認めることとする。この(22)

仮定は 第３章で座標変換に対して使うのであるが、この関係式は、p̂x を微分演算子として表現する時座標変換は局所的なものなので、ほとんど一般に成は自明である。一般の場合も、以下の理由で成立すり立つものとしてよいであろう。

ると仮定してよいであろう。

付録Ｂ．直交座標間の座標変換
もっともらしい理由１．
ユークリッド空間の２つの直交座標系 {x}, {y} を

f (x) が x のべきの場合は式 (22) は成立する。す∂xiは定数場であり O(3) の成分となることすると、 ∂yj

なわち、次式を帰納法で証明できる。
nとを証明する。

n−1[x̂ , p̂] = inx̂(23)

仮定から、ユークリッド空間の計量は次のようになる。

もっともらしい理由２．
もし、x̂ の逆元 x̂−1g=が存在するなら、逆元に対し=[x̂x̂−1 , p̂] = 0 を使えば、次式を証明できる。
= −inx̂−(n+1)

dxi ⊗ dxiiて式 (22) に相当する関係式が成立する。すなわち、[x̂−n , p̂]XXdyi ⊗ dyi(28)i

この関係から

(24)

δjk =

もっともらしい理由３．

X ∂xi ∂xii

∂yj ∂yk=X ∂yi ∂yii

∂xj ∂xk(29)

f (x) がべき展開可能なら、式 (23) 式 (24) を使うを得る。２つの直交座標系 {x}, {y} の原点を平行移ことで、式 (22) が成立することが分かる。ただし、動により一致させ、直交回転させることで原点で座無限級数の場合は少々気にかかるが、本稿では無限∂xi標軸の向きが一致するようにする。この操作は ∂yjの扱いは無頓着でいることとする。に効かないので、証明の一般性を失う心配は不要である。座標変換を次のように微小変換

もっともらしい理由４．

yi = xi + ²i (x1 , x2 , · · · )f (x) がフーリエ分解可能なら、次で示すようにのとすると、式 (29) からように式 (22) が成立する。

f (x) のフーリエ分解をZ
f (x) = g(k)e−ikx dk,

(25)

∂²i
∂²j+=0∂xj∂xi(31)∂²i=0∂xi(32)

各 i に対してとする。このとき、f (x̂) をZ
deff (x̂) =(30)g(k)e−ikx̂ dkとなるので、²i は xi に依存しない。したがって、式(26)(31) より、²1 は x2 , x3 に関して線型となる。すなと定義すると、もっともらしい理由３から、·Z[f (x̂), p̂]=わち、¸−ikx̂
g(k)edk, p̂
[g(k)e−ikx̂ , p̂]dkZ=−ikx̂

kg(k)e= if 0 (x̂)(33)

²2 = a2 x3 x1(34)²3 = a3 x1 x2(35)

同様に

Z
=

²1 = a1 x2 x3

dk

式 (31) より、各 i に対して ai = 0 となるので、²i = 0(27)を得る。Q.E.D.

4