2016/06/06

平成 28 年 6 月 5 日実施「特別区Ⅰ類」

数的処理
【解 説】

2016/06/06〔№ 10〕

正答５

条件アより，B は F に負けた，すなわち F は B に勝っているので，F は最低でも 2 回戦までは進出しているはずである。ところが，条件ウより，E はその F に勝っているので，E は F よりも上位まで進出していることになり，E は最低でも決勝戦まで進出したことになる。さらにその E は A に負けているので，E が準優勝で A が優勝したことがわかる。この時点で，対戦のようすは次のようになる。

優勝A
A

E
2 回戦

E

F

1 回戦
A

E

FB

この対戦表より，選択肢 1 の「B は 2 回戦で負けた」は誤りであることがわかる。また，条件イの「C 対 D」の対戦は，A がいるブロックの 1 回戦しかありえないが，どちらが勝ち上がったのかはわからないので，選択肢2 の「C は A と対戦しなかった」および選択肢 3 の「D は 1 回戦に勝った」はどちらも確実にはいえないことになる。さらに，H は１回戦で負けていることになるが，H の 1 回戦における対戦相手は A または E のうちどちらであるか決定しないので，選択肢 4 の「E は H と対戦した」も確実にはいえないことになる。
一方，G は 1 回戦で A または E のいずれかに負けていることになるので，確実にいえるのは選択肢 5 の「G は1 回戦で負けた」である。

2016/06/06〔№ 11〕

正答２「9÷3，－4÷2，5÷5，14÷7」が「杉並(すぎなみ)」となっているが，これらの割り算はすべて割り切れるので，その商も併せて記述すると「9÷3＝3，－4÷2＝－2，5÷5＝1，14÷7＝2」となる。これと五十音表とを比較してみると，商がそれぞれ五十音表の「あ段～お段」を表しており，除数(割る数)が五十音表の「あ行～わ行」を表していることがわかる。なお，計算中の「－」は濁点を表している。
除数
商12345678910

あかさ

た

なは

まやらわやらわ

1ああかさ

た

なは

ま2いいき

し

ちにひみ

3うう

くす

つぬふ

む

4

え

え

け

せてねへ

め

5

おおこそとのほもり
ゆる
れよ

ろを

この規則で，「2÷1，4÷4，－6÷6，6÷3」は「2÷1＝2，4÷4＝1，－6÷6＝－1，6÷3＝2」となり，確かに「いたばし(板橋)」となる。
したがって，「28÷7，－6÷2，45÷9」は「28÷7＝4，－6÷2＝－3，45÷9＝5」より「めぐろ(目黒)」となる
ので，正答は選択肢 2 である。

2016/06/06〔№ 12〕

正答４

条件アより，A，B，D は同じ科目を１つ選択しており，条件オより 3 人が選択した同じ科目は 1 つであるので，この 2 つの条件に該当する科目は同じ科目である。また，条件ウより C は地学を選択しており，条件オより 4 人が選択した同じ科目はないので，A，B，D の 3 人が選んだ同じ科目は地学ではなく，条件エより A は化学を選択していないので，A，B，D の 3 人が選んだ同じ科目は化学でもない。ここで，A，B，D の 3 人が選んだ同じ科目が物理であったとすると，条件イより A，B，D の 3 人は地学を選んでいないことになり，A，B，D が選択した 2科目は「化学と物理」または「生物と物理」の 2 通りしかなくなってしまう。この場合，A，B，D のうち少なくとも 2 人は同じ 2 科目を選択していることになり，条件アと矛盾する。したがって，A，B，D の 3 人が選択した
同じ科目は生物となり，C は生物を選択していないことになる。
地学
A

化学

生物×○

B
C

物理
C と同じ科目がある

○○

×

D

○

C と地学以外で同じ科目がある

条件イより，地学と物理の両方を選択している人はいないので，C は物理を選択しておらず，条件エの「A とC が選択している同じ科目」は地学，条件ウの「C と D が地学以外で選択している同じ科目」は化学となる。したがって，条件アより B の生物以外の選択科目は物理となる。
地学

化学

生物

物理

A

○×

○

×

B××

○

○

C○○×

×

D×

○

○

×

C と同じ科目がある

C と地学以外で同じ科目がある

以上より，確実にいえるのは，選択肢 4 の「A は生物，B は物理，C は化学を選択している」である。

2016/06/06〔№ 13〕

正答１

A の発言から，A が正しければ C は誤りであり，A が誤りであれば C は正しいので，A と C のうち一方は正しく，一方は誤りとなる。この時点で，D の発言は誤りである。また，G の発言が正しいとすると，E，F のうち少なくとも一方は正しくなるので，正しい発言をしている人が「A または C」，「G」，「E，F のうち少なくとも一方」となり，正しい発言をしている人が 2 人であるという条件と矛盾する。したがって，G の発言は誤りであり，Gの発言内容から，E および F は 2 人とも誤りということになる。
この時点で，D，E，F，G および A または C のうち一方が誤りであるので，B は正しい発言をしていることになる。したがって，サッカー場にいた A，B，C，D の 4 人はいずれもラーメンが好きではないことになり，C の「A はラーメンが好きである」という発言は誤りとなる。
以上より，正しい発言をしているのは A と B の 2 人となる。

2016/06/06〔№ 14〕

正答２通行することができない部分に注意して，経路加算法により自宅から駅までの最短の経路数を調べてみると，次のようになる。

自宅

11111234513649141014

駅23

よって，正答は選択肢 2 である。

×2016/06/06〔№ 15〕

正答１

条件アより，駅，学校，交番，体育館はそれぞれ図書館を中心とする１つの円の円周上にあり，条件オより，駅，学校，図書館，病院はそれぞれ交番を中心とする１つの円の円周上にある。また，これらの円の半径は，図書館と交番の間の距離となり等しい。ここで，駅と学校は，どちらの円の円周上にも載っているので，駅と学校はこれらの 2 つの円の交点に位置していることになる。ここで，条件イより交番は図書館の真東にあり，問題文
から駅はこれらの施設の中で最も南に位置しているので，図書館，交番，駅，学校の位置は次のようになり，駅から見て真北に位置する施設は学校であることがわかる。
学校図書館

交番駅

よって，正答は選択肢 1 である。

2016/06/06〔№ 16〕

正答４

次の図のように，正三角形の各頂点を A，B，C とし，内接円の中心を O，辺 BC の中点を D，辺 AC の中点をE とすると，CD＝2a，AE＝2a となり，内接円の半径を r とすると，OD＝OE＝r である。また，三角形 OAE における三平方の定理より，OA＝2r となる。

A30° 2 a2r

E4arOrB

DC2aさらに，三角形 ACD における三平方の定理より，AD＝ 2 3 a となるので，2r＋r＝ 2 3 a より r＝ 2 3 a となる。
3
したがって，斜線部分の面積は，

4a× 2 3 a × 1 － 2 3 a × 2 3 a ×π＝ 4 3 a 2 － 4 πa 2 ＝  4 3 － 4 π a 223333
よって，正答は選択肢 4 である。

2016/06/06〔№ 17〕

正答

２55000 を素因数分解すると，55000＝2 3 ×5 4×11 となるので， 55000 ÷ x が整数となるためには，各素因数の指数が偶数となるように自然数 x の値を定めればよい。したがって，自然数 x としてありうるものは，以下の 6 通りとなる。
x＝2×11＝22→55000 ÷ x ＝ 2500 ＝50x＝2 3 ×11＝88→55000 ÷ x ＝ 625 ＝25→

55000 ÷ x ＝ 100 ＝10→55000 ÷ x ＝ 25 ＝5→55000 ÷ x ＝ 4 ＝22x＝2×5 ×11＝55032x＝2 ×5 ×11＝2200
4x＝2×5 ×11＝13750
34x＝2 ×5 ×11＝55000 →
よって，正答は選択肢 2 である。

55000 ÷ x ＝ 1 ＝1

2016/06/06〔№ 18〕

正答１

AE＝12 km，CE＝5 km および AE と CE が直交していることから，三平方の定理より AC＝13 km となる。したがって，AE 間の所要時間は，一般道路で直接向かうと 12÷30×60＝24(分)かかり，AC 間の高速道路と CE 間の一般道路を経由すると 13÷78×60＋5÷30×60＝10＋10＝20(分)かかることになる。
よって，AE 間の最短の所要時間は 20 分である。

2016/06/06〔№ 19〕

正答

２A と B の 2 つの蛇口で給水すると，16 分で満水になることから，「A＋B」の給水能力は 160÷16＝10(L/分)である。また，水槽の栓が外れたために，満水になるのが 30 分遅れたということは，満水になるまでに 16＋30＝46(分)かかっているということである。
ここで，給水を開始してから t 分後に水槽の栓が外れたとすると，毎分 8L の水は流出した時間は(46－t)分間となる。したがって，10×46－8×(46－t)＝160
よって，正答は選択肢 2 である。

∴t＝8.5(分)2016/06/06〔№ 20〕

正答３

14，63，n の最小公倍数である 882 を素因数分解すると，882＝2 1 ×3 2 ×7 2 となり，「7 2 」を含んでいる。ところが，14＝2 1×7 1 ，63＝3 2 ×7 1 で，14 と 63 には素因数として「7 1 」しか含まれていない。したがって，自然数 n には，素因数として「7 2 」が含まれている必要があり，これに「2 0 または 2 1 」および「3 0 または 3 1 または 3 2 」が含まれていることを考慮すると，自然数 n としてありうるものは以下の 6 通りとなる。
2 0 ×3 0 ×7 2 ＝492 0 ×3 1 ×7 2 ＝147
2 0 ×3 2 ×7 2 ＝441
2 1 ×3 0 ×7 2 ＝98
2 1 ×3 1 ×7 2 ＝294
2 1 ×3 2 ×7 2 ＝882
このうち，300 より小さいものは 49，147，98，294 の 4 つであるので，正答は選択肢 3 である。

2016/06/06〔№ 21〕

正答

４

桁数が大きな実数の表であるが，数値の読み取り自体には問題ないが，正答となる選択肢の判定がかなり微妙な数値となるので，やや注意が必要である。
1.

2012 年におけるヨーロッパからの訪日外国人旅行者数の対前年増加率は 775,840－569,279 ×100≒36.3(％)
569,279

で あ り ， 同 年 に お け る 北 ア メ リ カ か ら の 訪 日 外 国 人 旅 行 者 数 の 対 前 年 増 加 率 は ， 876,401－685,046 ×100≒
685,04627.9(％)であるので，前者のほうが大きい。よって誤りである。
2.

2011 年におけるアジアからの訪日外国人旅行者数は 4,723,661 人であり，2010 年におけるアジアからの訪日外国人旅行者数の 75％である 6,528,432×0.75＝4,896,324(人)を超えていない。よって誤りである。
3.

2012 年においては，アフリカからの訪日外国人旅行者数は 24,725 人であり，同年における南アメリカからの訪日外国人旅行者数の 50％である 51,151×0.50≒25,576(人)を超えていない。よって誤りである。
4.

正しい。2009 年の南アメリカからの訪日外国人旅行者数を 100 としたときの 2013 年のそれの指数は 49,930 ×33,481

100≒149.1 となり，150 を下回っている。
5.

2009 年から 2013 年までの各年におけるオセアニアからの訪日外国人旅行者数の平均は，(246,213＋260,872＋189,150＋241,513＋284,886)÷5≒244,527(人)となり，25 万人を下回っている。よって誤りである。
以上より，正答は選択肢 4 である。

2016/06/06〔№ 22〕

正答３

資料は対前年度増加率の推移を示したものであるが，増減の幅が大きい項目が多く，ほとんどの選択肢で近似法を用いることができない。
1.

ベトナムからのえびの輸入金額の 2012 年に対する 2014 年の増加率は(1＋0.336)×(1＋0.118)≒1.494 より約49.4％であり，インドネシアからのえびの輸入金額の 2012 年に対する 2014 年の増加率は(1＋0.340)×(1－0.067)≒1.250 より約 25.0％であるので，ベトナムの増加率はインドネシアの増加率の 2 倍に満たない。よって誤りである。
2.

この資料は「対前年増加率」の推移のみを示しており，各国からの輸入金額は不明である。よって，このような比較はできない。
3.

正しい。2012 年におけるインドからのえびの輸入金額を 100 とすると，2013 年における増加額は 100×0.605＝60.5 であり，2014 年における増加額は(100＋60.5)×0.149≒23.9 であるので，2014 年の増加額は 2013 年の増加額を下回っているといえる。
4.

2010 年のインドネシアからのえびの輸入金額を 100 としたときの 2013 年のそれの指数は，100×(1－0.005)

×(1－0.007)×(1＋0.340)≒132.4 となり，140 を下回っている。よって誤りである。
5.

ベトナムからのえびの輸入金額の 2010 年に対する 2013 年の減少率は，(1－0.111)×(1－0.005)≒0.885 より約 11.5％であり，インドからのえびの輸入金額の 2010 年に対する 2013 年の減少率は，(1＋0.086)×(1－0.195)≒0.874 より約 12.6％であるので，前者のほうが小さい。よって誤りである。
以上より，正答は選択肢 3 である。

2016/06/06〔№ 23〕

正答

４

グラフには実数が記載されているので，資料の読み取り自体に問題はないが，かなり細かい計算が必要となる選択肢もあるので，すべての選択肢を検討しようとすると，かなり時間がかかってしまうことになる。しかし，正答となる選択肢は比較的簡単に判定できるので，計算しやすい選択肢から検討していくことも考慮に入れておきたい問題である。
1.

平成 26 年度においては，資源回収量の合計が 157,765＋83,898＋63,710＋24,485＝329,858 t であるので，資源回収量の合計に占めるびんの資源回収量の割合は 83,898 ×100≒25.4(％)となり，25％を上回っている。よっ329,858て誤りである。
2.

平成 26 年度におけるプラスチック類・電池等の資源回収量の対前年度減少率は| 63,710－65,196 |×100≒
65,1962.3(％)であり，平成 24 年度におけるプラスチック類・電池等の資源回収量の対前年度減少率は| 65,733－67,127 |
67,127×100≒2.1(％)であるので，わずかではあるが平成 26 年度のほうが大きい。よって誤りである。
3.

平成 24 年度における紙類の資源回収量の対前年度減少量は 158,665－154,688＝3,977(t)であり，同年における缶の資源回収量の対前年度減少量の 5 倍は(26,238－25,551)×5＝3,435(t)であるので，前者のほうが大きい。
よって誤りである。
4.

正しい。平成 22 年度の缶の資源回収量を 100 としたときの平成 26 年度のそれの指数は， 24,485 ×100≒92.1
26,592となり，90 を上回っている。
5.

平成 22 年度から平成 26 年度までの 5 年度のプラスチック類・電池等の資源回収量の 1 年度当たりの平均は，(63,286＋67,127＋65,733＋65,196＋63,710)÷5＝65,010.4 となり，65,000 t をわずかに上回っている。よって誤りである。
以上より，正答は選択肢 4 である。

2016/06/06〔№ 24〕

正答

３

総量記載のある構成比の円グラフである。各項目の実数値は，「その年度の総計×(各項目の構成／100)」で求めることができるが，すべての計算を正直に行おうとすると，相当な時間がかかってしまう。ただし，円グラフには 4 項目しかないので，先にこれらの項目の実数値を求めてしまうのも一つの方法である。
1.

平成 25 年の新聞の広告費は 27,825×0.222≒6,177(億円)であり，平成 17 年の新聞の広告費の 60％は 37,408×0.277×0.6≒6,217(億円)であるので，前者のほうが小さい。よって誤りである。
2.

平成 17 年におけるテレビの広告費とラジオの広告費の差は，37,408×(0.546－0.048)≒18,629(億円)となり，1 兆 9,000 億円以下である。よって誤りである。
3.

正しい。テレビの広告費の平成 17 年に対する平成 25 年の減少額は 37,408×0.546－27,825×0.644≒2,505(億円)であり，雑誌の広告費の平成 17 年に対する平成 25 年の減少額は 37,408×0.129－27,825×0.090≒2,321(億円)であるので，テレビの広告費の減少額のほうが大きい。
4.

マスコミ四媒体の広告費の合計の平成 17 年に対する平成 25 年の減少額は 37,408－27,825＝9,583(億円)であり，新聞の広告費の平成 17 年に対する平成 25 年の減少額は 37,408×0.277－27,825×0.222≒4,185(億円)である。
したがって，マスコミ四媒体の広告費の合計の平成 17 年に対する平成 25 年の減少額に占める新聞の広告費のそれの割合は 4,185 ×100≒43.7(％)となり，45％を超えてはいない。よって誤りである。
9,583
5.

平成 17 年における雑誌の広告費は 37,408×0.129≒4,826(億円)，平成 25 年における雑誌の広告費は 27,825| 2,504－4,826 |×0.090≒2,504(億円)であるので，雑誌の広告費の平成 17 年に対する平成 25 年の減少率は，×100
4,826≒48.1(％)である。また，平成 17 年におけるラジオの広告費は 37,408×0.048≒1,796(億円)，平成 25 年におけるラジオの広告費は 27,825×0.044≒1,224(億円)であるので，ラジオの広告費の平成 17 年に対する平成 25 年の減少率は，| 1,224－1,796 |×100≒31.8(％)である。したがって，ラジオの広告費の減少率の 1.5 倍はおよそ 47.7％
1,796となり，雑誌の広告費の減少率のほうが大きい。よって誤りである。
以上より，正答は選択肢 3 である。

2016/06/06〔№ 25〕

正答１

問題の展開図は，次の図のように，5 枚の正方形からなる「ふたのない立方体」が 6 つつながったものと考えることができる。

問題の展開図で，次の図の青で示した 4 つの部分は，それぞれ「ふたのない立方体」が，その開いている面を内側に向けて，正方形状に 4 つ並んでいるものと考えることができる。

これに，ピンクで示した「ふたのない立方体」が上側に，黄色で示した「ふたのない立方体」が下側に接続するので，この展開図を組み立ててできる立体は，前後，上下，左右のどこから見ても，立方体が「十字型」に並んでいる立体となる。

よって，この立体を見た図としてありうるのは，選択肢 1 の図である。

2016/06/06〔№ 26〕

正答１

最初の折り目は，紙面の途中で折れ曲がることはないので，最初の折り目はイまたはエのいずれかである。最
初にイを谷折りで折った場合，続いてエをやはり谷折りで折ると，次の図 1 のようになる(最初にエを谷折りで折り，続いてイを山折りで折っても，結果として同じ形になる)。

図1

図2ウウ

図3ウアアオ

図 1 の中の折り目を見ると，折り目が途中で折れ曲がっていないのはオの折り目だけであるので，3 回目に折るのはオの折り目であり，これを折ると図 2 のようになる。同様に，図 2 の中で，折り目が途中で折れ曲がっていないのはアの折り目であるから，4 回目に折るのはアの折り目である(図 3)。最後にウの折り目で折ってから開くと，問題の図のような折り目ができる。
よって，正答は選択肢 1 である。

2016/06/06〔№ 27〕

正答

４

点 C，点 P，点 Q を通る切断面は次の図のようになり，三角形 ACP，三角形 DCQ，三角形 EFQ，三角形 BFPはすべて直角をはさむ 2 辺の長さが 5cm および 10cm の直角三角形で合同であるから，CP＝CQ＝FQ＝FP となり，切断面である四角形 PCQF はひし形である。

5 cm
A5 cm
P

10 cm

B

F

10 cm
10 cm

Q5 cm

C10 cm

E5 cm

D

このひし形の対角線 PQ の長さは，AD の長さに等しいので 10 2 cm であり，対角線 CF の長さは，三平方の定理より 10 3 cm である。ひし形の面積は「一方の対角線の長さ×他方の対角線の長さ× 1 」であるので，切断面2PCQF の面積は，10 2 × 10 3 × 1 ＝ 50 6 (cm 2 )2
よって，正答は選択肢 4 である。

2016/06/06〔№ 28〕

正答

２

問題の図形を順に回転させていくと，頂点 P の軌跡は次のようになる。

PPP

PP

Paa45°

5a275°

75°

120°
3a245°

3 3a2

最初および最後の軌跡の半径は，直角をはさむ 2 辺の長さが a および 1 a である直角三角形の斜辺の長さに相2当するので， 5 a である。2 番目および 4 番目の軌跡の半径は a＋ 1 a ＝ 3 a であり，3 番目の軌跡の半径は，1222辺の長さが 3a である正三角形の高さに相当するので 3 3 a である。
2また，回転の中心角は，最初および最後の軌跡の中心角が 45°，2 番目および 4 番目の軌跡の中心角は 180－(45＋60)＝75 より 75°，3 番目の軌跡の中心角は 180－60＝120 より 120°である。
したがって，求める軌跡の長さは次のようになる。
5 a ×2×π× 45 ×2＋ 3 a ×2×π× 75 ×2＋ 3 3 a ×2×π× 120
360
2360
360
22＝5 πa ＋ 5 πa ＋ 3πa ＝ 5＋ 5＋4 3 πa444

よって，正答は選択肢 2 である。