確率的手法を用いたドジッター時空中の真空崩壊率
宮地大河(神戸大)
共同研究者：早田次郎(神戸大)、德田 順生(CTPU, IBS)
(現在論文準備中)

素粒子現象論研究会2022、2023年3月17日、大阪公立大学

目次

1. 導入
2. 確率的手法 (Review)
3. 経路積分表示と真空崩壊率 (Our work)

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目次

1. 導入
2. 確率的手法 (Review)
3. 経路積分表示と真空崩壊率 (Our work)3

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偽の真空崩壊偽の真空崩壊 = 場の量子論におけるトンネリング
スカラー場のポテンシャル

真空崩壊

flflflEg) ・In ation models (Old in ation, Chain in ation)
・String theory landscape・Axion monodromy
・Extended Higgs sector真空崩壊で何が起こるか？
バブルが現れる (過冷却水に類似した現象)

5

S. R. Coleman (1977)

偽の真空
真の真空
バブル壁Bubble phenomena
・Gravitational wave from bubble collisions
・Electro weak baryogenesis
・Primordial black hole6

真空崩壊率の計算法
・通常、真空崩壊率の計算は虚時間法を用いる。
Γ = Ae −SE[ϕ] (A : 量子補正, SE[ϕ] : ユークリッド作用)
・ユークリッド作用 SE[ϕ] は鞍点解で評価する。

C.G. Callan and S. R. Coleman (1977)

・de Sitter 時空の場合2つの鞍点解がある。
- Coleman-De Luccia (CDL) : バブルが出現する- Hawking-Moss (HM) : ϕ = ϕtop (=const.)
・HMを偽の真空から真の真空への遷移と解釈するのは困難。
確率的手法を用いてCDL, HMを実時間で記述する。

目次

1. 導入
2. 確率的手法 (Review)
3. 経路積分表示と真空崩壊率 (Our work)

7Stochastic approach のアイデア

8(量子的な)短波長モード(UV)は空間の加速膨張で引き伸ばされ、(古典的な)長波長モード(IR)になる。

1∼εH

A. A. Starobinsky and J. Yokoyama (1994)

長波長モードは古典的に扱う。
長波長モードに転じていく効果はノイズとして表す。

Langevin equationの導出1
Klein-Gordon 方程式 (in de Sitter spacetime)
1 2∂V2∂t ϕ + 3H∂tϕ − 2 ∇ ϕ +=0a∂ϕ
場と共役運動量をIRとUVのパートに分ける。
̂ϕ̂ = ϕIR + ϕUV̂π ̂ = πIR + πUV̂ は次のようなモード展開をしている。(k = ϵa(t)H)
ϕUVc3dkik⋅x†−ik⋅x̂ =̂̂ϕUV
θ(k−k)[aϕ(t)e+aϕ*(t)e]ckkkk∫ (2π)3d 3k·ik⋅x† ·−ik⋅x̂̂̂ =πUV
θ(k−k)[aϕ(t)e+aϕ*(t)e]ckkk k∫ (2π)39Langevin equationの導出2
また、モード関数ϕk(t)は次をみたす。

22∂V(ϕIR)k2∂t ϕk + 3H∂tϕk + 2 ϕk +ϕ=
0ka
∂ϕ 2

この時、Klein-Gordon方程式は次のようになる。
·ϕIR = a −3πIR + ξ ϕ∂V23π· IR = a ∇ ϕIR − a+ ξπ∂ϕ
ここで、ξ ϕ, ξ π はUVパートからくる量子的なノイズ
3dk·ϕik⋅x
†
−ik⋅x
̂̂
ξ = kcδ(k−k)[aϕ(t)e+aϕ*(t)e]ckkk k∫ (2π)3·
ξ = kcπ3d k·ik⋅x† ·−ik⋅x
̂ ϕk(t)e + ak̂ ϕ*k (t)eδ(k−k)[a]ck∫ (2π)310

11Langevin 方程式• Langevin方程式·−3ϕϕIR = a ΠIR + ξ·ΠIR = a ∇2 ϕIR − a 3V′(ϕIR) + ξ Πa(t) = e Ht：スケール因子

de Sitter 時空中のKlein-Gordon 方程式にノイズ ξ が加わった確率微分方程式
ノイズは以下の統計性に従う< ξ α(t, x) >ξ = 0,(α, β = ϕ, Π),sin(kc(t)r)
1 ·2αβ=k(t)k(t)Re[g(t)]δ(t−t′),ξcc2π 2kc(t)r< ξ (t, x)ξ (t′, x′) >
β￼￼

￼

￼

αkc(t) := εa(t)H：長波長と短波長を分けるカットオフスケール

Bunch-Davies 真空 112αβg (t) はモード関数で決まる関数
g ϕϕ(t) := | ϕkc(t) |2·g ΠΠ(t):= a(t)6 | ϕkc(t) |2gϕΠ(t) = (g·)* := a(t) ϕkc(t)ϕ*kc(t) .

Πϕ3ϕk(t) : 以下の方程式に従うモード関数 (真空の選び方に依存)···ϕk + 3Hϕk + a −2k 2ϕk + V′′(ϕIR)ϕk = 0

ここではBunch-Davies 真空を選ぶ。

￼2ke −ikη,￼ϕk → −Hη(−kη → ∞)(無限の過去でMinkowski真空)Bunch-Davies 真空 2kc2k2
さらに 2 > 2 = ϵ 2H 2 ≫ | V′′| を課すと
aaϕk =

1− 1 e −ikη)
2k ( −ikηHηαβBunch-Davies 真空におけるg (t)1
1−3−1+1=ε+ε2 2) 2a3H ()c ( kc ηH 2η 2g ϕϕ = 2ka 3H= 22 = 2 ε2H η=gΠϕ*1
11 −1i= 2 k η + i = − 2ε + 2( c)￼gϕΠkc￼gΠΠ

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Stochastic approachとトンネリング• ノイズの寄与によって、偽の真空から真の真空へのトンネリングが起こる。
cf : Kramers escape problem
利点• 全て実時間で記述されているαβ• 真空の選び方は g (t) にしか影響を及ぼさない。
g ϕϕ(t) := | ϕkc(t) |2ΠΠ
6 ·g (t):= a(t) | ϕkc(t) |2gϕΠ(t) = (g·)* := a(t) ϕkc(t)ϕ*kc(t)Πϕ3

では真空崩壊率はどのように定義するか？

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目次

1. 導入
2. 確率的手法 (Review)
3. 経路積分表示と真空崩壊率 (Our work)

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経路積分表示• 簡単のため、ε ≪ 1, 一様性( ∇ ϕ ∼ 0), slow-roll近似を課す
21·ϕIR = −V′(ϕIR) + ξ ϕ
3H< ξ ϕ(t) > = 0,3H
< ξ ϕ(t)ξ ϕ(t′) > = 2 δ(t − t′)4π• このLangevin方程式に対して以下の遷移確率が導出できる。
p(ϕ, t | ϕ′, t′) =ϕ(t)=ϕ∫ϕ(t′)=ϕ′(ϕ, p ) exp dt p ϕ − H(ϕ, p ϕ) ,[∫ ()]ϕϕ ·3V′H
H(ϕ, p ϕ):= −p ϕ − 2 (p ϕ)23H8π

ノイズの寄与￼￼￼Martin–Siggia–Rose–Janssen–de Dominicis (MSRJD) functional integral𝒟￼￼￼￼￼

この表式を鞍点近似して真空崩壊率を計算する。

17Hamilton Flow
“ハミルトニアン” H(ϕ, p ϕ) に対する位相空間(ϕ, p ϕ)上の ow

TrueFalseTop

黒線はH(ϕ, p ϕ) = 0を満たす ow

Cf : “Condensed matter eld theory” (A. Altland and B. Simons)

偽の真空から真の真空に至る owが存在する。

flfl

flfiflこの owに対する”作用”を計算すると、Hawking-Mossインスタントンの結果と一致する。

Hawking-Moss action• ハミルトニアン
3V′
H
H(ϕ, p ϕ) := −p ϕ − 2 (p ϕ)23H8πϕH(ϕ,p) = 0 を満たす配位•28πp ϕ = 0, −V′
3H 4ϕp≠ 0 に対する方程式
非自明な配位
•V′·
ϕ=,3H(p ϕ ≠ 0)

• トンネリング配位に対する作用￼￼￼￼￼2 t*
28π8π·ϕ ·ϕ
IHM = dt(p ϕ − H(ϕ, p )) = −dtϕV′ = −ΔV44∫
3H ∫t′
3H18

バブルの生成は記述できるか？
バブルの出現を記述することもできないか？ →Yes!
イメージ

偽の真空
真空崩壊
偽の真空

真の真空

ϕfalseϕbubble19fl20

近似のない経路積分表示• 近似なしのLangevin方程式から得られる経路積分表示
p(ϕ(x), Π(x), t | ϕ′(x), Π′(x), t′) =(ϕ(t,x),Π(t,x))=(ϕ(x),Π(x))∫(ϕ(t′,x),Π(t′,x))=(ϕ′(x),Π′(x))(ϕ, Π, p ϕ, p Π)× exp d x p ϕ + p Π − H(ϕ, Π, p ϕ, p Π)
[∫()]
ϕ ·4

Π·

1 4H(ϕ, Π, p , p ):= a Πp + (a ∇ ϕ − a V′)p −d x′ p α(x)G αβ(x, x′)p β(x′)∑2∫α,βϕ

Π

−3ϕ23

Π

ノイズの寄与···ϕ + 3Hϕ = V′ − a −2 ∇2 ϕ,(p ϕ = 0, p Π ≠ 0)

￼

￼

￼

𝒟

￼

￼￼

￼

￼

• 実はEuclidean AdSの対称性を持つ方程式。

￼￼￼

owに対する以下の運動方程式を得られた。

￼ϕ Πε≫1の仮定の下で、H(ϕ,Π,p, p ) = 0 を満たす非自明な•21

偽の真空からバブル生成まで• O(4)対称性を課すと• 境界条件はlim ϕ = − α,ρ→∞d 2ϕ3 dϕV′+=dρ 2 tanh ρ dρH2dϕdρ=0−αα

ρ=0(η, r)における時間発展￼

偽の真空から時間発展してバブルが生成された！

HM VS CDL22• 数値計算のために以下のようなポテンシャルを考えた。
g24β22 2V(ϕ) =(ϕ − α ) + (αϕ 3 − 3α 3ϕ − 2α 4)]4[3• 一様な場合(HM)とバブルが生成される場合の作用の比を取ると
Ibubble 3α 2H 2
136H2γ :==Ĩ =Ĩ
322IHMπΔVεε π(1 − β) (β + 3) α gĨ：バブル配位に対して得られる数値• V(ϕ) がsteepな時、バブルを生成する配位が支配的になる(γ < 1)。
Eg) β = 0.5,g 2α 2の場合、
γ=0.474314/ε=140
H2• これは虚時間法の場合と整合している。

まとめと今後の展望

23

まとめ

• Stochastic approachを用いてde Sitter時空中の真空崩壊を記述した。
• MSRJD functional integral を用いて真空崩壊率を定義した。
• HMインスタントンの作用を再現した。
• CDL的な配位を作ることができた。
• CDL配位が、HM配位よりも支配的な場合があることを示した。
今後の展望• 虚時間法との関係 (Keldysh formalism ?)• 特に、Coleman-De Luccia インスタントンとの関係• 他にもトンネリングを記述する owがあるか？ (p ϕ ≠ 0, p Π ≠ 0)
• 有限温度効果も取り入れられるか？
• トンネリングを伴うインフレーション模型への応用 (Eg. Chainflflin ation)

Back up

25

Hawking-Moss action• ハミルトニアン
3FalseV′ ϕ H
H(ϕ, p ) := −p − 2 (p ϕ)23H8πϕ• H(ϕ, p ) = 0 を満たす配位
ϕTop28πp = 0, −V′3H 4ϕTrueϕp≠ 0 に対する方程式
非自明な配位
•V′·
ϕ=,3H(p ϕ ≠ 0)

ϕp
≠ 0 に対する作用
非自明な配位
•￼￼

￼

￼

￼

2 t*
28π8π·ϕ ·ϕ
IHM = dt(p ϕ − H(ϕ, p )) = −dtϕV′ = −ΔV44∫
3H ∫t′
3H

偽の真空からバブル生成まで• O(4)対称性を課して• 境界条件はlim ϕ = − α,ρ→∞d 2ϕ3 dϕV′+=dρ 2 tanh ρ dρH2dϕdρ=0ρ=0偽の真空から時間発展して￼バブルが生成された！

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バブル配位に対する作用1• ε ≫ 1を仮定
• ノイズ項の近似
21 4 ΠHε 3 Π 2ΠΠ
Π−d x′p (x)G (x, x′)p (x′) ∼ −a p (x)∫22sin(kcr) 4π 2 (3)∼ 3 δ (x − x′)( kcr)
kc• ハミルトニアン
2H
ε 3 Π2
ϕ Π−3
ϕ
2
3
Π
H(ϕ, Π, p , p ) ≃ a Πp + (a ∇ ϕ − a V′)p −a (p )2ϕ ΠH(ϕ,Π,p, p ) = 0 を満たす配位•2p ,p= 0,0 , 0, 2 (a −2 ∇2 ϕ − V′)() ( ) ( H ε)￼￼￼￼Π￼￼

ϕ27

バブル配位に対する作用2• 非自明な配位 p ≠ 0 に対する方程式
Π···ϕ + 3Hϕ = V′ − a −2 ∇2 ϕ,(p ϕ = 0, p Π ≠ 0)

• Euclidean AdS 時空の定義
ds 2 = − dX02 + dX12 + dX22 + dX32 + dX42,−X02 + X12 + X22 + X32 + X42 = − H −2 .

• Euclidean AdS 時空の座標
ds 2 = dt 2 + e 2Ht dx2
1= 2 2 (dη 2 + dx2)
H η1:= e Ht( −Hη)

￼= H −2(dρ 2 + sinh2 ρ dΩ2)2829バブル配位に対する作用3• O(4)対称性を課した方程式
d 2ϕ
3 dϕV′+=dρ 2 tanh ρ dρH21 H 2(η 2 + x2) + 1
ρ = arccosh((2))−Hη• Fitting function
ϕ(ρ) = − α tanh(μ(ρ − ρ̄))Π
非自明な配位p≠ 0 に対する作用•2 2(sinhρ−coshρcosθ)
8π
1 ∂ ϕ
23Ibubble = − 2dρdθ1 sin θ1 sinh ρ[ (cosh ρ − sinh ρ cos θ1)2 ∂ρ 2H ε ∫−Hη(ρ,θ1)>1sinh ρ − cosh ρ cos θ1sin2 θ1∂ϕ+ 3+{ cosh ρ − sinh ρ cos θ1 tanh ρ(cosh ρ − sinh ρ cos θ1)2 } ∂ρ ]2￼8πα 2:= − 2 Ĩ(μ, ρ̄)H ε

−Hη > 1 の領域

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