当選確実

ステップ１〜位の最大得票数を求める

１ 10 人のクラスで、最も好きな動物のランキングを調べる投票をしました。10 人全員が、自分が最も好きな動物の名前を１つ書いて投票します。
このとき、「〜位の動物が得ることができる最も多い票数」（最大得票数）について考えます。例えば、１位の動物の最大得票数は下の図のように、10 票です。

     ⑴

２位の動物の最大得票数は何票ですか。ただし、１位と同じ票数になる場合も含みます。下の図を利用して考えなさい。

     1当選確実⑵

３位の動物の最大得票数は何票ですか。ただし、１位から３位の間で同じ票数がある場合も含みます。

     ⑶４位の動物の最大得票数は何票ですか。ただし、１位から４位の間で同じ票数がある場合も含みます。

     2

当選確実

２ 27 人のクラスで、最も好きな動物のランキングを調べる投票をしました。27 人全員が、自分が最も好きな動物の名前を１つ書いて投票します。
このとき、「〜位の動物が得ることができる最も多い票数」（最大得票数）について考えます。（⑴２位の動物の最大得票数は、（）÷（より、（⑵）にあてはまる数を求めなさい。

）＝（）余り（））票です。

３位の動物の最大得票数は、（）÷（より、（）＝（））票です。ただし、１位から３位の間で同じ票数がある場合も含みます。

⑶

４位の動物の最大得票数は、（）÷（より、（）＝（）余り（））票です。ただし、１位から４位の間で同じ票数がある場合も含みます。

□位の最大得票数＝（総票数÷□）の答えの整数部分

3

当選確実

３ 130 人の生徒で、最も好きな動物のランキングを調べる投票をしました。
130 人全員が、自分が最も好きな動物の名前を１つ書いて投票します。
このとき、「〜位の動物が得ることができる最も多い票数」（最大得票数）について考えます。（⑴

２位の動物の最大得票数は、（より、（⑵）にあてはまる数を求めなさい。

）÷（）＝（））票です。ただし１位と同じ票数になる場合も含みます。

３位の動物の最大得票数は、（より、（）÷（）＝（）余り（））票です。ただし、１位から３位の間で同じ票数がある場合も含みます。

⑶

４位の動物の最大得票数は、（より、（）÷（）＝（）余り（））票です。ただし、１位から４位の間で同じ票数がある場合も含みます。

4当選確実ステップ２

当選確実の票数を求める

４ 10 人のクラスで１人の委員を決める投票をしました。１人が１名の名前を記入して投票します。このとき、次の問いに答えなさい。

⑴

最低何票とれば、当選が確実になりますか。

⑵⑴の理由を、次の①〜③ように説明しました。
（）にあてはまる数を求めなさい。

①

当選者が１人なので、当選確実になる票数は、１＋１＝（☆

）

位の人が得ることができる最も多い票数（最大得票数）よりも、少しでも数が多い票数です（つまり最大得票数＋１）。

②（☆
（）位の人の最大得票数は、）÷（）＝（）より、（）票です。

☆は同じ数が入ります。

③

よって、当選確実の票数は、（となります。

5）＋（）＝（）票

当選確実

５ 10 人のクラスで２人の委員を決める投票をしました。１人が１名の名前を記入して投票します。このとき、最低何票とれば、当選が確実になるか、次のように考えました。
（⑴）にあてはまる数を求めなさい。

当選者が２人なので、当選確実になる票数は、（＝（☆

）＋（））位の人が得ることができる最も多い票数（最大得票数）よりも、少しでも数が多い票数です。

⑵（☆

）位の人の最大得票数は、（より、（⑶）÷（）＝（）余り（））票です。☆は同じ数が入ります。

⑴⑵より、当選確実の票数は、（）＋（）＝（となります。

□人を選ぶとき当選確実の票数＝（□＋１）位の最大得票数＋１＝｛ 総票数÷(□＋１) ｝の答えの整数部分＋１6）票

当選確実

６ 29 人のクラスで３人の委員を決める投票をしました。１人が１名の名前を記入して投票します。このとき、最低何票とれば、当選が確実になるか、次のように考えました。
（⑴）にあてはまる数を求めなさい。

当選者が３人なので、当選確実になる票数は、（＝（☆

）＋（））位の人が得ることができる最も多い票数（最大得票数）よりも、少しでも数が多い票数です。

⑵（☆

）位の人の最大得票数は、（より、（⑶）÷（）＝（）余り（））票です。☆は同じ数が入ります。

⑴⑵より、当選確実の票数は、（となります。

7）＋（）＝（）票

当選確実

７ 41 人のクラスで４人の保健委員を、１名記入の投票によって選ぶことになりました。最低何票とれば当選が確実になりますか。

8

当選確実

ステップ３

無効票がある場合

８ 153 人の６年生の中から４人の代表を選ぶことになりました。１人１名の名前を書いて投票した結果、無効票が４票ありました。何票取れば当選確実になりますか。
無効票とは、白紙であったりして、効力のない票のこと。無効票がある場合は、全ての票数から無効票をのぞいて考えます。

無効票があるとき、総得票数＝総票数−無効票数

9

当選確実

ステップ４

立候補がいる場合

９ 43 人の学級で、委員長１名と委員３名を選挙で選ぶことになり、６人の人が立候補しました。投票の方法は１人１名記入することにし、１位が委員長、２位から４位が委員になることにしました。

⑴

委員長に当選するには、何票以上取れば確実ですか。
立候補者がいても、当選確実の票数を求める方法は変わりません。

立候補者数は当選確実の票数に関係ない。

⑵

少なくとも委員に当選するためには、何票以上取れば確実ですか。
「少なくとも４人の中に入りなさい」ということ。

10

当選確実

ステップ５

途中開票⑴ - １人を選ぶ① - 当選確実・落選確実がいない

10 生徒数 200 人の学校で１人の生徒会長を決めます。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人が立候補し、クラス全員が４人の中から１人の名前を記入して投票しました。無効票はないものとして、【】にあてはまる記号と、（）にあてはまる数を求めなさい。

⑴（）票取れば当選確実になります。

140 票開票したところで、途中の結果を表にまとめると、次のようになりました。

⑵

立候補者Ａ

ＢＣＤ

残り票数5040302060

Ａがあと何票とれば当選確実になるか求めてみましょう。
①

当選者が１人なので、Ａが当選確実になる票数は、（）＋（）＝（☆

）位の最大得票数より１票でも多い票数です。

11

当選確実

② （☆

）位の人の得票数が最大になるのは、現在Ａをのぞいて最も票数の多い【】と１、２位を争い、ＣとＤには１票も入らないときです。よって、次の図のような、Ａ、Ｂ２人を底面とする水そうを描き、ここに残りの 60 票を注ぐと考えます。☆は同じ数が入ります。





③

このとき、図のア＝（）票、イ＝（④よって、Ａはあと（イ）＋１＝（）票となります。

）票とれば、当選確実になります。

※⑵〜⑸では、たまたま当選確実がいないので、別解もあります（解説参照）。しかし、当選確実がいる場合は別解では解けないので、ここでやったように、はじめから「水そう」で考えるのが得策です。

12

当選確実

⑶

Ｂがあと何票とれば当選確実になるか求めてみましょう。
①

Ｂが当選確実になる票数は、（☆

② （☆

）位の最大得票数＋１です。

）位の人の得票数が最大になるのは、現在Ｂをのぞいて最も票数の多い【】と１、２位を争い、【】と【】には１票も入らないときです。☆は同じ数が入ります。
③

よって、図１より、Ｂはあと、（ア）＋（イ）＋（）＝（）票とれば、当選確実になります。

⑷

Ｃがあと何票とれば当選確実になるか求めてみましょう。
①

Ｃが当選確実になる票数は、（☆

② （☆

）位の最大得票数＋１です。

）位の人の得票数が最大になるのは、現在Ｃをのぞいて最も票数の多い【】と１、２位を争い、【】と【には１票も入らないときです。☆は同じ数が入ります。





13】

当選確実

③

よって、図２より、Ｃはあと、（）＋（）＋（）＝（）票とれば、当選確実になります。

⑸

Ｄがあと何票とれば当選確実になるか求めてみましょう。
・Ｄが当選確実になる票数は、（☆
・（☆

）位の最大得票数＋１です。

）位の人の得票数が最大になるのは、現在Ｄをのぞいて最も票数の多い【】と１、２位を争い、【】と【は１票も入らないときです。☆は同じ数が入ります。

 ③

よって、図３より、Ｄはあと、（）＋（）＋（とれば、当選確実になります。

14）＝（）票】に

当選確実

ステップ６

途中開票⑵ - １人を選ぶ② - 当選確実・落選確実がいる

11 生徒数 200 人の学校で１人の生徒会長を決めます。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人が立候補し、クラス全員が４人の中から１人の名前を記入して投票しました。166 票開票したところで、途中の結果を表にまとめると、次のようになりました。無効票はないものとして、（）にあてはまる数を求めなさい。

⑴

立候補者

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

残り票数

7640302034

Ｄが残り 34 票全部取ったとしても、Ｄの票数は（）票となり、１位にはなれません。この時点で、Ｄの落選は決定したことになります。
⑵

Ｃが残り 34 票全部取ったとしても、Ｃの票数は（）票となり、１位にはなれません。この時点で、Ｃの落選は決定したことになります。
⑶

Ｂが残り 34 票全部取ったとしても、Ｂの票数は（）票となり、１位にはなれません。この時点で、Ｂの落選は決定したことになります。
以上より、現時点でＡの当選は決定したことになります。

15

当選確実

ステップ７

途中開票⑶ - ２人を選ぶ① - 当選確実・落選確実がいない

12 生徒数 200 人の学校で２人の代表を決めます。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人が立候補し、クラス全員が４人の中から１人の名前を記入して投票しました。無効票はないものとして、【】にあてはまる記号と、（）にあてはまる数を求めなさい。

⑴（）票取れば当選確実になります。

140 票開票したところで、途中の結果を表にまとめると、次のようになりました。

⑵

立候補者Ａ

ＢＣＤ

残り票数

5040302060

Ａがあと何票とれば当選確実になるか求めてみましょう。
①

当選者が２人なので、Ａが当選確実になる票数は、（）＋（）＝（☆

）位の最大得票数より１票でも多い票数です。

16

当選確実

② （☆

）位の人の得票数が最大になるのは、現在Ａをのぞいて最も票数の多い【】・【】と１〜３位を争い、【】には１票も入らないときです。よって、次の図のような、Ａ、Ｂ、Ｃの３人を底面とする水そうを描き、ここに残りの 60 票を注ぐと考えます。☆は同じ数が入ります。



③

このとき、図のア＝（）票、イ＝（）票、ウ＝（）票となります。

④

よって、Ａはあと（ウ）＋（）＝（）票とれば、当選確実になります。

⑤④のとき、Ａの票数は（）＋（）＝（）票になります。⑴の答えよりも少ない票数で当選確実になることが分かります。
17

当選確実

⑶

Ｂがあと何票とれば当選確実になるか求めてみましょう。
①

Ｂが当選確実になる票数は、（☆

② （☆

）位の最大得票数＋１です。

）位の人の得票数が最大になるのは、現在Ｂをのぞいて最も票数の多い【】・【】と１〜３位を争い、【】には１票も入らないときです。☆は同じ数が入ります。
③

よって、図１より、Ｂはあと、（イ）＋（ウ）＋（）＝（）票とれば、当選確実になります。

⑷

Ｃがあと何票とれば当選確実になるか求めてみましょう。
①

Ｃが当選確実になる票数は、（☆

② （☆

）位の最大得票数＋１です。

）位の人の得票数が最大になるのは、現在Ｃをのぞいて最も票数の多い【】・【】と１〜３位を争い、【】には１票も入らないときです。☆は同じ数が入ります。
③

よって、図１より、Ｃはあと、（ア）＋（イ）＋（ウとれば、当選確実になります。

18）＋（）＝（）票

当選確実

⑸

Ｄがあと何票とれば当選確実になるか求めてみましょう。
①

Ｄが当選確実になる票数は、（☆

② （☆

）位の最大得票数＋１です。

）位の人の得票数が最大になるのは、現在Ｄをのぞいて最も票数の多い【】・【】と１〜３位を争い、【】には１票も入らないときです。☆は同じ数が入ります。



③

このとき、図のア＝（）票、イ＝（）票、ウ＝（）票となります。ウは小数点以下を切り捨てして整数で求めます。

④

よって、図２より、Ｄはあと、（ア）＋（イ）＋（ウとれば、当選確実になります。

19）＋（）＝（）票

当選確実

ステップ８

途中開票⑷ - ２人を選ぶ② - 当選確実・落選確実がいる

13 生徒数 200 人の学校で２人の代表を決めます。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人が立候補し、クラス全員が４人の中から１人の名前を記入して投票しました。無効票はないものとして、（）にあてはまる数を求めなさい。

⑴（）票取れば当選確実になります。

151 票開票したところで、途中の結果を表にまとめると、次のようになりました。

⑵

立候補者Ａ

ＢＣ

Ｄ

残り票数

6550401530

Ｄが残り 30 票全部取ったとしても、Ｄの票数は（）票となり、２位までに入れません。この時点で、Ｄの落選は決定したことになります。

20

当選確実

⑶

Ａがあと何票とれば当選確実になるか求めてみましょう。
①

Ａが当選確実になる票数は、（☆

② （☆

）位の最大得票数＋１です。

）位の人の得票数が最大になるのは、現在Ａをのぞいて最も票数の多い【】・【】と１〜３位を争い、【】には１票も入らないときです。☆は同じ数が入ります。



③

このとき、図のア＝（④よって、Ａは（☆

）票、イ＝（）票となります。

）位の最大得票数をすでにこえているので、この時点でＡの当選は決定したことになります。また、⑴で求めた票数よりも少ない票数で当選になったことが分かります。

21

当選確実

⑷

Ｂがあと何票とれば当選確実になるか求めてみましょう。
①

Ｂが当選確実になる票数は、（☆

② （☆

）位の最大得票数＋１です。

）位の人の得票数が最大になるのは、現在Ｂをのぞいて最も票数の多い【】・【】と１〜３位を争い、【】には１票も入らないときです。☆は同じ数が入ります。
③よって、図１より、Ｂはあと、（イ⑸）＋（）＝（）票とれば、当選確実になります。

Ｃがあと何票とれば当選確実になるか求めてみましょう。
①

Ｃが当選確実になる票数は、（☆

② （☆

）位の最大得票数＋１です。

）位の人の得票数が最大になるのは、現在Ｃをのぞいて最も票数の多い【】・【】と１〜３位を争い、【は１票も入らないときです。☆は同じ数が入ります。
③

よって、図１より、Ｃはあと、（ア）＋（イ）＋（）＝（とれば、当選確実になります。

22）票】に

当選確実

ステップ９練習問題

14 130 名の生徒から、３人の委員を選ぶために選挙を行うことになりました。Ａさん、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさん、Ｅさん、Ｆさんの６人が立候補して、130 人全員が１人１票を６人のうちだれかに投票します。次の問いに答えなさい。

⑴

何票入れば、確実に委員に選ばれますか。

100 票開票したところで、結果が次の表１のようになりました。

立候補者

Ａ

Ｂ

Ｃ

ＤＥ

Ｆ

票数

161520122413

【表１】

⑵

Ａさんはあと何票入れば、確実に委員に選ばれますか。

23

当選確実

さらに 10 票開票したところで、結果が次の表２のようになりました。

立候補者

Ａ

Ｂ

ＣＤＥＦ

票数

191621122913

【表２】

⑶

Ａさんはあと何票入れば、確実に委員に選ばれますか。

24

当選確実

15 714 人の生徒全員が、１人１票の投票をして得票数の多い順に生徒会役員を３名選ぶことになりました。立候補者はＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈの８人で、次の表は、開票の途中経過です。

立候補者

Ａ

Ｂ

Ｃ

ＤＥＦ

ＧＨ

票数120

921087769110

6153

⑴

開票されていないのは何票ですか。

⑵

この時点で当選が決定しているのは誰ですか。
⑴の結果から考えなさい。または、⑷のあとで考えなさい。

⑶

この時点で落選が決定しているのは誰ですか。
⑴の結果から考えなさい。

⑷

Ｃが３位以内になるためには、あと何票獲得しなればなりませんか。

25

当選確実

■ 解答 ■
１ ⑴ ５票 ⑵

３票

⑶

２票

２ ⑴

27÷２＝13 余り１、13⑵⑶

27÷３＝９、９27÷４＝６余り３、６３ ⑴
⑵
⑶
⑵

①
②
③６ ⑴
⑵
⑶

⑵

①
②
③
④
⑤①
②
③
①②
③
④
①②
③
④

130÷３＝43 余り１、43130÷４＝32 余り２、32６⑵⑶67130÷２＝65、65

４ ⑴

５ ⑴

12 ⑴

⑶

２
10÷２＝５、５５＋１＝６⑷２＋１＝３３、10÷３＝３余り１、３
３＋１＝４⑸３＋１＝４４、29÷４＝７余り１、７７＋１＝８

７９票

13 ⑴

67

８30 票

９⑴

⑵
⑶

45
①②③④①②
③①②
③10 ⑴
⑵

⑶

⑷

⑸

11 ⑴

22 票

⑵

９票

101
① １＋１＝２② ２、Ｂ③ 10、25④ 25、26① ２② ２、Ａ、Ｃ、Ｄ、
10＋25＋１＝36① ２② ２、Ａ、Ｂ、Ｄ、③ 20＋20＋１＝41① ２② ２、Ａ、Ｂ、Ｃ、③ 30＋15＋１＝46
54 ⑵ 64 ⑶

⑷

⑸

２＋１＝３
３、Ｂ、Ｃ、Ｄ
10、10、10
10＋１＝1150＋11＝61
３
３、Ａ、Ｃ、Ｄ
10＋10＋１＝21
３
３、Ａ、Ｂ、Ｄ
20、10、６10＋10＋10＋１＝31
３
２、Ａ、Ｂ、Ｃ
20、10、６20＋10＋６＋１＝37

３
３、Ｂ、Ｃ、Ｄ
10、10３
３３、Ａ、Ｃ、Ｄ
10＋１＝11３
３、Ａ、Ｂ、Ｄ
10＋10＋１＝21

14 ⑴

33 票

15 ⑴

24 票

74

26⑵

11 票

⑵
⑶

Ａ
Ｄ、Ｅ、Ｇ、Ｈ

⑷

４票

⑶

７票

当選確実

■ 解説
１ ⑴

■
10【別解】⑵・Ａが当選確実になるには、１＋１＝２(位)の最大得票数より１票でも多ければよい。
・２位の得票数が最大になるのは、Ｃ、Ｄには１票も入らず、１〜２位をＡ、Ｂ２人で争うときなので、全票数からＣ、Ｄの得票数をのぞいた、200−(30＋20)＝150(票)を、ＡとＢが争うと考える。
・150÷２＝75(票)･･･２位の最大得票数
・75＋１＝76(票)･･･当選確実の票数
・よって、Ａはあと、76−50＝26(票)で当選確実。

     ⑵     ⑵・⑴と同様にして、Ｂはあと、76−40＝36(票)で当選確実。

⑶⑶・２位の得票数が最大になるのは、Ｂ、Ｄには１票も入らず、１〜２位をＡ、Ｃ２人で争うときなので、全票数からＢ、Ｄの得票数をのぞいた、200−(40＋20)＝140(票)を、ＡとＣが争うと考える。
・140÷２＝70(票)･･･２位の最大得票数
・70＋１＝71(票)･･･当選確実の票数
・よって、Ｃはあと、71−30＝41(票)で当選確実。

     ⑶・２位の得票数が最大になるのは、Ｂ、Ｃには１票も入らず、１〜２位をＡ、Ｄ２人で争うときなので、全票数からＢ、Ｃの得票数をのぞいた、200−(40＋30)＝130(票)を、ＡとＤが争うと考える。
・130÷２＝65(票)･･･２位の最大得票数
・65＋１＝66(票)･･･当選確実の票数
・よって、Ｄはあと、66−20＝46(票)で当選確実。
27

当選確実

14 ⑴・３＋１＝４(位)の最大得票数よりも・⑵と同様に考えます。

１票でも多ければ当選。
・130÷４＝32 余り２より、４位の最大得票数は 32 票。
・よって、32＋１＝33(票)⑵・130−100＝30(票)・・・残り・３＋１＝４(位)の最大得票数よりも１票でも多ければ当選。
・４位の得票数が最も大きくなるのは、現在Ａをのぞいて最も票数の多い、Ｅ、Ｃ、Ｂと１〜４位を争い、Ｄ、Ｆには１票も入らないとき。
・よって、Ｅ、Ｃ、Ａ、Ｂの４人を底面とする水そうを描き、残り 30 票を注ぐと考えます。




19−16＝３・・・ア
21−19＝２・・・イ20−(３＋２＋２)＝1313÷３＝４余り１より、ウ＝４・よって、Ａはあと２＋４＋１＝７(票)で当選確実。









16−15＝１・・・ア
20−16＝４・・・イ
24−20＝４・・・ウ
30−(１＋４×５)＝９９÷４＝２余り１より、エ＝２・よって、Ａはあと４＋４＋２＋１＝11(票)で当選確実。
⑶・30−10＝20(票)・・・残り28

当選確実⑷・３＋１＝４(位)の最大得票数より１票でも多ければ当選確実。

15 ⑴・120＋92＋108＋77＋69＋110＋61＋53＝690(票)・714−690＝24(票)⑵・分かりやすいように、票数の多い順に並べかえます。
Ａ Ｆ Ｃ Ｂ Ｄ Ｅ Ｇ Ｈ
120 110 108 92 77 69 61 53

・４位の得票数が最も大きくなるのは、現在Ｃをのぞいて最も票数の多い、Ａ、Ｆ、Ｂと１〜４位を争い、Ｄ、Ｆには１票も入らないとき。
・よって、Ａ、Ｆ、Ｃ、Ｂの４人を底面とする水そうを描き、残り 24 票を注ぐと考えます。

・残り 24 票がどのように分配されようともＡは３位以内に入るので、Ａは当選決定。
（正確な説明は⑷になります。）
⑶・下の順位の人から、あと 24 票全部を取った場合３位内に入るか調べます。
・Ｈは 53＋24＝77(票)なので落選決定。
・Ｇは 61＋24＝85(票)なので落選決定。
・Ｅは 69＋24＝93(票)なので落選決定。
・Ｄは 77＋24＝101(票)なので落選決定。
・Ｂは 92＋24＝116(票)なので、まだ３位以内に入る可能性あり。
・以上より、落選決定はＤ、Ｅ、Ｇ、Ｈ。




108−92＝16・・・ア
110−108＝２・・・イ
24−(16＋２＋２)＝４
４÷３＝１余り１より、エ＝１・よって、Ｃはあと２＋１＋１＝４(票)で当選確実。

29