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- SnapApp11 -2004/09/22
小川隆博

伝送線路の基礎理論
分布定数回路低周波回路において、集中定数部品である抵抗、コイル、コンデンサをつなぐ導線は、単なる接続する役目をするものであると考えられてきましたが、周波数が高くなるに従い、また、導線が長くなるに従い、このような取り扱いは許されなくなります。導線やパターンに電流が流れると、その周囲を磁力線がとりまき、交流的な変化を生じます。これがインダクタンスの効果であり、また、高周波電流は導線の表面にのみ流れるという表皮効果を含めて抵抗が考えられます 。また、プリント基板の比誘電率εr に比例して静電容量は増加し、不十分な絶縁性のためにリーケージコンダクタンスが生まれます。このように、素子を接続する導線、またはパターンは、微少インダクタンスΔL と微少抵抗ΔR が連続し、グランド間には微少コンダクタ
ンスΔG と微少キャパシタンスΔC が分布している構造とみなさなければいけません。

パターン

図1

伝送線路

すなわち、分布定数回路です。パターンを分布定数回路すなわち伝送線路として取り扱う必要があるのは、線路の長さが波長に対して無視できない場合です。無視できない長さというのは、波長によって異なってきます。例えば、1.5m のテレビの電源コード は 60Hz（波長 5000km）のもとでは、波長に対し十分無視できる長さですので、値の小さな抵抗として考えればよいでしょう。しかし、これを 100MHz（波長 3m）で使用する場合は、0.5 波長の長さですから、ただの接続線として考えることはできません。このように、伝送線路は使用する波長によって、その特性を変えてきます。換言するなら、周波数にあった使い方をすることで、ただの線路を一つの素子として用いることができるわけです。

無損失線路
パターン内のマイクロストリップラインのように減衰定数が小さい線路の場合、取り扱いを簡単にするため、しばしば無損失線路として取り扱います。図 2 のように、特性インピーダン
ス Zo の無損失線路に Zr の負荷が接続されている場合、受端を起点とし、電源側に任意の距
離 l の点の電圧、電流は（１）式で示されます。

lI

Ir

VZrVr

図2V =V1e jβl +V 2 e− jβl(1I = V1e jβl −V 2 e− jβlZ0)---(1)(1)式は正弦波動とまったく同じ表現であって、第 1 項は電源側から負荷側に向かって伝わる波動ですから、これを入射波あるいは進行波といい、第 2 項は負荷側から電源側に伝わる波
動で、反射波といいます。(1)式において、βは位相定数と呼ばれ、また、波動インピーダン
ス Z0 は

β =ωL= 2π / λ − − − (2 )C

Z 0 = L / C − − − (3 )で与えられます。
受端（ l=0)の電圧、電流、負荷インピーダンスをそれぞれ、Vr,Ir,Zr とおくと、

V1 = (V r + I r Z0) / 2
V2 = (V r − I r Z0) / 2---(4)となり、(1)式に代入して、(5)式を得ることができます。

2Vr + IrZ0 jβl Vr − IrZ0 − jβle +e
221 Vr+ IrZ0 jβl Vr− IrZ0 − jβl 
I= e −e Z0  22

V=---(5)(5)式にオイラーの公式を代入すると、V = V r cosβl + j Z 0 I r sin βl

I = I r cosβl + j(V r / Z 0) sin βle jθ = cos θ + j sin θ---(6)←オイラーの公式

を得ることができ、負荷側を見たインピーダンス Z=V/I は、

Z = Z0Z r + j Z 0 tan βl− − − ( 7)Z 0 + j Z r tan βlとなります。この(6)式、(7)式は無損失線路の基礎公式と呼ばれています。

伝送線路の特性(7)式からもわかるように、Zr が一定でもβ l によってインピーダンス Z が変化する事がわかります。つまり、Zr という負荷に l の長さの線路がつながることで、線路を含めたインピーダンス は Zr ではなくなることを 示しています。また、β l が非常に小さい場合は、Z=Zr になります。このことは、冒頭でも述べたように、長さ l が波長に比べて十分に短い場合、線路の長さは無視できることを示しています。

線路長λ/2 の場合
線路長がλ/2 の場合、(7)式において l=λ/2 とおくと、tanβ l=０となりますから、Z=Zr となり、インピーダンスは負荷インピーダンスそのものになります。

線路長がλ/4 の場合
線路長がλ/4 の場合は、(7)式において l=λ/4 とおくと、tanβ l=∞ですから、Z=Z02/Zr となり、入力インピーダンスは負荷インピーダンスに反比例します。tan はλ/2 毎に同じ値を繰り返しますから、線路長がλ/2 毎にインピーダンスは繰り返されることがわかります。また、電源からλ/4 の線路を介して負荷をつなぐとすると、電源電圧が１V の場合負荷での電流電圧は、(6)式から

3

1Ir =j Z0

Vr =Zrj Z0となります。線路インピーダンス Z0=50Ωで、負荷インピーダンス Zr＝500Ωの場合を考えてみると、Vr=-j10 となり、電源電圧の 10 倍になっていることがわかります。シミュレーシ
ョンでこのことを確認すると、図３のようになり、伝送線路でトランスが形成できることがわかります。図４は 500Ω負荷を接続した線路の入力インピーダンスを負荷からの距離に対してシミュレーションしたグラフで、負荷端からλ/4 の位置で Zin=50*50/500=５Ωになり、λ/2の位置で 500Ωに戻り、繰り返されることがわかります。また、λ/4 の位置では、インピーダンスは純抵抗になっていることもわかります。
λ /4 線路λ/2λ/4電 源 (vi) の波形

負 荷 端 (vl)の波形

500Ω

実数部

虚数部

（図 3）λ /4 の線路の場合、負荷端で5Ω(図 4)500Ω負荷を接続した線路の入力インピーダンスの変化。

は Zr/Z0 の電圧になる。

4負荷インピーダンスと線路インピーダンスが等しい場合
負荷インピーダンスと線路インピーダンスが等しい場合、一般に整合しているといいます。この場合、Vr/Ir=Z0 ですから、(4)式において、V2=0 となり、反射波がなくなることがわかります。また、(7)式よりインピーダンスは l の値によらず Z0 になることがわかります。図５は負荷インピーダンスと線路インピーダンスが同じ場合と異なる場合を、負荷の直前に反射波検出器を挿入し、反射波の有無をシミュレーションしたものです。反射波検出器は、In から入った信号は Out に現れますが、Out から入った信号は Ref にしか現れず、In には出てこないようになっている素子です。図５-a は負荷インピーダンスと線路インピーダンスが同じ場合で、反射波レベルが０になっています。また、図５-b は負荷インピーダンスが線路インピーダンス の 10 倍の時で、反射波が表れていることがわかります。

負荷は線路インピーダンスと同じ値

反射波

負荷は線路インピーダンスと異なる

入射波

入射波
反射波

(図 5-a)負荷インピーダンスと線路インピ( 図 5-b)負荷インピーダンスと線路インピーダンスが等しく、反射が発生していなーダンスが異なり、反射が発生している場

終端開放の場合
無限大 の負荷が接続されている場合、つまり線路の終端が開放の場合、(7)式に Zr=∞の条件を代入すると、

Z = − jZo cot βl − − − (8)となります。また、(6)式に Ir=0 の条件を代入すると、V = V r cosβl
I= jVrsinβlZ0---(9)となります。(8)式、(9)式を確認するために、シミュレーションを行ったものが、図６です。
図６-b は線路上の定在波電圧、電流の分布で、負荷端（開放端）で電圧は最大となり、電流は０に近づきます。線路上の電圧および電流の絶対値は、(9)式のように l の関数となり、線路上に停止したような波になります。また、図６-c は同じ位置でのインピーダンスで、負荷端から離れるに従い、容量性から誘導性へ変化し、負荷からλ/4 の位置でインピーダンスが０5になり 、それがλ/2 毎に繰り返されることがわかります。これが 、マイクロ波回路でよく用いられる、オープンスタブの原理です。
3 λ/4λ /2λ/4(a)|V||I|

定在波分布

(b)+j

インピーダンスの変化-j(c)（図６）終端開放線路上の定在波分布とインピーダンス

終端短絡の場合
0Ωの負荷が接続されている場合、つまり線路の終端が短絡の場合、(7)式に Zr=０の条件を代入すると、

Z = − jZo tan βl − − − (10)6となります。また、(6)式に Vr=0 の条件を代入すると、V = jZolr sin β l---(11)I = Ir cos β lとなります。(10)式、(11)式を終端開放の場合と同様、図で表現すると図７のようになり、負荷からλ/4 の位置でインピーダンスが変わります。これが、マイクロ波回路 でよく用いられる、ショートスタブの原理です。これらのスタブは、マイクロストリップなどのパターンで作成すると再現性もよく、また、LC の共振回路などと比較し、高い Q を得ることができる特徴があります。
3 λ/4λ/2

λ /4(a)

|I|

定在波分布

|V|

(b)+j

インピーダ
ンスの変化

-j(c)
（図 7）終端短絡線路上の定在波分布とインピーダンス

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