学習指導における子どものコンセプションの変容に関する研究*
溝 口 達 也**A study on the evolution of students' conceptionsin the didactical situation*
MIZOGUCHI, Tatsuya**

1．はじめに学校教育 における様々な教科の学習指導では， それぞれ固有の知識や技能の習得が図られ， またそのために固有のコミュニ
ケーションがとられる。 教師は， 毎時間の授業において，計画的にこれらの学習指導を行うわけであるが， 子どもの《達成されたカリキュラム》の評価においては， 往々にして観察可能な行動レベルに止まることが指摘され得る。 勿論そうした行動についても， 必ずしも軽視されるものではなく， むしろこうした行動の変容こそ を 期待 す る 場 面 も 十 分 に 認 め ら れ る (溝 口 ,2000)。
一方 で，算数・数学科のような教科においては，単に行動の変容だけを期待するのではなく， 概念や認識の変容といった観察不可能な面についての評価も必要とされる。 特に， 算数・数学科においては，しばしば児童・ 生徒の思考，表現，等が「子どもの考え」として学習指導の中で必要に応じて活用されたり，またそれ自体が評価の対象となることがある。
本研究 は，従来「子どもの考え」として表現されてきたもの
を《コンセプション conception》 として 科学的 に 捉 え直すことを通じて， これをモデル化し， その変容を理論的に説明・記述
するとともに，実証的にも検証することを目的とする。また，
そうした取り組みは， それ自体が， 授業及び評価の改善を目指した教師教育の一つの方策として成立すると期待される。

2．なぜコンセプションを研究の対象とする必要があるか意味 で常識的な考えとして用いられてきた傾向にある。 すなわ
ち，実践，研究上の道具として一定程度の機能は有するものの，その 定義は暗黙裡であり， 研究の対象としての位置づけを（明確には）与えられていないと指摘され得る。 また， 後述するように， 「子どもの考え」によって表現されるものには， 「知識（認識）」「概念」等 その 他の語によって割り当てられるものが含まれることも事実である。 こうした状況において， コンセ
プション の性急な定義は， むしろ研究を進行する上で障害となることが予想され得る。 そこで， 本研究においては，先ず，コンセプション の特徴を， これをモデル化することによって明らかにし， それに基づき， 上記のような他の関連する語との相対的な定義を作り出していくことを目指す。

2.2 コンセプション研究によって何が期待されるかでは ， こうしたコンセプションの研究が教育研究，及び実践に寄与するところは何か。 これは， 端的に《授業（学習指導）を科学する》ことであるといえる。 すなわち， ともすると個々の 経験 によって語られかねない教育の現象や《知識》の本性を理論的・ 科学的に説明， 記述し，明らかにすることにより，現象そのものとその性質を知ることである＊２） 。
ここで ， 「科学的」という語は，特に数学教育学のような教科教育学においていかなる意味を有するか。 もちろん， そのす
べてについてここで 論述することはかなわないし， また本研究の目的とするところではない。 ただ， 確認しておくことは次の

2.1 コンセプションとは何か通りである。 我々は， 科学的研究の成果として，何らかの望ましいとされる 既成 の (ready-made）指導法 を再生産する ことを意図しない。 むしろ， 本研究によって得られる成果に基づいて，

上述 の通り， 本研究で扱おうとするコンセプションとは従来「子どもの考 え」 と表現 されてきたものである 。 もとよ り ，

教師 が授業（学習指導）を設計し， コントロール（評価）し得ることを 可能にすることこそが意図されるところである。 従っ『コンセプションとは何か』に答えることは， それ自体本研究の課題の一つである。 本研究においては， 後述する通り，コン
セプション をモデル化することで， この問いに答えることを試て ， ともすると ， 教育 における 理論 と 実践 の 関係 において，「理論 を 実践に適用する」といった表現が往々にしてとられる

みる。 これは， その背景に次のような理由があるからである。
従来のコンセプション研究＊１）においては，《コンセプション》という語は，明確に定義されたものとしてというよりは，ある*本研究 は ， 教育地域科学部附属教育実践総合 セン タ ー に よ る 平 成
14〜15 年度プロジェクト研究（研究代表者： 溝口達也）としての支援を受けて実施された。
* *数学教育学研究室

Mathematics Education Division

キーワード： コンセプション conception，認識論的障害 epistemologicalobstacle，教授学的契約 didactical contract

ことがあるが， それは， 上記前者のような安易な適用を意味するものではないことは明らかである。 むしろ， そうした理論研
究 と実践研究は， それぞれ「普遍妥当性」と「個別特殊性」といった 異なる目的において実施されるものであり， 単に理論研
究 で 得られた成果を実践に持ち込むといったような単純なプロ
セスであるはずがない。本研究で得られるであろう成果は，従って， 教師による授業設計， 及び授業分析に対する（科学的）指針を提供するものであるといえる。 逆に， このような指針なしに， 教師は， 科学的な授業設計，あるいは授業分析を行い得な
い，というのが本研究の主張である。

「知識の詰め込み」「子 どもの考え」を重視する学習指導の一方で， しばしば我が国の教育問題の一つとして「知識の詰め込み」が問われることがある。 実際， 第 3 回国際数学・理科教育調査（TIMSS）の結果を見るとき，その学習達成度において， 我が国の子供たちの結果は極めて上位にあるものの情意面の調査においては必ずしも望ましくはない結果が得られた事実から， こうした指摘がなされることがある。 こうした結果自体には， 教育関係者として謙虚に受け止める必要があるものの， そこから導出される指摘には疑念を挟まざるを得ない。 実際国内外からの指摘は， 確
かにこの 調査結果を根拠としてはいるものの， そこから導き出されるものは推測の域を出なかったことも事実である。このことがより明白に示されるのは，TIMSS の付帯調査として行われた 「 ビ デオ テー プ授 業 研 究 」 (Stigler & Hiebert,1999; 清 水 ,2002) によってである。 日・ 米・独の各国の第 8 学年（我が国においては 中学校第 2 学年が相当） の実際の授業が比較検討される中で，この「知識の詰め込み」という指摘は著しい誤りであることが暴かれ，むしろ， それとは対極の授業（学習指導）が我が国において実践されていることが示された。 我々は， しかし， こうした分析結果に満足するものではなく， より一層の改善を推し進めたいという意図を有する。
そもそも 「知識」とは何か。 勿論この問いは，認識論上の主題として歴史的に議論されてきたものであり， そのことを逐一振り返る余地はここではない。 しかし， 「知識の詰め込み」と言われるとき， ともすると「知識」が否定的な意味で用いられる傾向にあるが，我々の立場は決してそのようなものではない。
こうした 傾向の背景には， 語「知識」に対して教育学的／教授
学的に未成熟な吟味しかなされていないということが指摘され得る。 「知識の詰め込み」ということを主張する人は，およそ「知識」 を社会的に共有された結果としてのそれと解釈していると思われる。すなわち， 当該の学問分野における学問化された（disciplined），従って体系化された知識をその対象としている。もし，教育（学習指導）の対象としての「知識」がこのようなものであるならば， 教師の仕事は， そのような学問化された知識を学習者に伝達することであり， 改善されるべきはそのような伝達が首尾よく行われるようにすることである。従って，「よい教師」の養成は， そうした学問化された知識を強力に学ぶことであるといえる。 このような， 知識観，あるいは教師観の基では，本研究が学習指導のキーとなる要素として扱おうとする「子どもの考え」は， 全く問題とされることなく，むしろ
学習指導においては排除される対象でさえある。 これは， そのような知識観，教師観， あるいは授業観が，知識の文脈化，あるいは個人化を許さないからである。
しかしながら， 教育の営みにおいて対象とする「知識」は，上記のようなものではないと我々は考える。 すなわち，我々は教育の営 みにおける《教授 学 的 変 換 Transposition Didactique》(Chevallard, 1991; 小原, 2002)（図 1 参照）を目指すのであり，
これにより 初めて， いわゆる教授学的三角形（図 2 参照）における「教材」の意味を付与することが可能となる。換言すれば，我々は， 社会的に 共有 される ・ 受 け 入 れられるとされる 知識（savoir）をその 達成において 意図 するものの ， 学習指導 の過程 における 個々 の 子 ども （学習者） の 個人的な知識（connaissance）(Balacheff, 1990) の変容を教授学上の問題とし，
これを 「学習」 として意味づけようとするものであると主張される。

学問化された知識

教授学的変換脱文脈化
脱個人化

Transposition Didactique

再文脈化
再個人化

基になった事柄

教育の営みにおいて授業において子どもが対象とされる知識

実践される知識

学習する知識（意図されたカリキュラム）（実施されたカリキュラム）（達成されたカリキュラム）

図1

教授学的変換

子ども

教師

教材

図2

3.

教授学的三角形

コンセプションのモデル化：

コンセプションをどのようにアプローチすることが適切であるか
3.1 Piaget の発生的認識論における conception
Piaget の理論においては， 語《 conception》が（仏語原文においては ）特段 に重要な語として位置づくわけではないものの，
いくつかの 彼の著作（英訳版）の表題において， この語が用いられていることも事実である。例えば，以下の通りである。
The child's conception of number, 1952.
The child's conception of space, 1956.
The child's conception of geometry, 1960.
Piaget の 理論 は ， 現代数学 における様々な構造をモデルとして 基礎に据え， そこから引き出される概念に基づいて構築されていることにその 特徴がある。 例えば， Piaget は， 数を， 行為
を 起源 とするクラス化や系列化という操作を基礎として構成される 基数 と序数の統合されたものとして捉えることで子どもの認識を特徴づけようとする。 また， 子どもの空間認識について
は， トポロジー空間， 射影空間，ユークリッド空間といった現代数学 における 構造としての空間を適用してこれを特徴づけ，
また 順序 づけようとする (Beth & Piaget, 1966)。 これにより，発達 は量的増大とみなされるのではなく， 構造化として規定される。 すなわち， 発達とは，その過程にいくつかの節目があって ， 子どもの思考はその節目ごとに構造替えを行うという意味
での構造化を経る過程であるとされる。 さらに， 発達が環境との 相互作用として生じるとする彼の基本的立場に立てば， 「すでに 所有している内省的知識を用いて， 外生的知識を獲得していくとき， その操作を反省することにより， 外生的知識が再構成 されて ， これが 内省的知識 に 置 き 換 えられて い く 」(滝沢 ,1992) と 換言 され得る。 ここで言うところの《内省的知識》や《外生的知識》 が 我々の対象とするコンセプションに相当すると見ることができる。 すなわち， 《内省的知識》から《外生的知識》 への進化をシェマの発達として規定するのである。 そしてそこには ， 同化と調節による均衡化の過程が介在することになる (中垣, 1984)。

3.2

初期のコンセプション研究：Erlwanger によるconception の case-study

学習指導 における「子どもの考え」に注目する研究は， 前述の Piaget の臨床的方法を受けて，子どもの学習のケーススタディ
として 展開された 。ここで 取 り 上 げる Erlwanger(1974) による研究は， そうした研究の最も初期のものとして認められるものである。 彼は， その学位論文の中で，次のように用語の規定を行っている（ここでは， その語の意味を考察する上で，原文のまま引用する）。
(a) Mathematical behavior: This refers to the child's observable verbal or
non-verbal reaction to any situation related to mathematics or to hislearning experience in mathematics.
(b) Conception: The child's conception of mathematics is viewed as aconceptual system of inter-related ideas, beliefs, emotions and views
about mathematics and learning mathematics he has gradually developed
from all his learning experiences. This conception guides hismathematical behavior, how he learns and what he learns. That is, his
external, observable behavior indicates the direction and trend of his
underlying ideas, beliefs and views pertaining to mathematics andlearning mathematics.
The approach in each case study is non-judgemental about the child's
work and focuses upon his point of view. From his conception of3

14

mathematics, his answer such 4 + 4 = 8 may be correct. Therefore
descriptions such as the child's error, misconception, and lack ofunderstanding or comprehension are not used because they reflect an€adult's point of view about the child and his work. (Erlwanger,
1974, pp.28-29)
Erlwanger の以上の言明から，我々は少なくとも次のような指摘をくみ取ることが可能である：
1）行動 を支 える／ コントロ ールするものとしてのコンセ
プション；
2） その中身 は，アイデア， 信念， 感情などが内的に関連したシステムとしてのコンセプション；
3） その用 いられ方 は， 子どもの行動を大人の視点から判断 するのではなく， そのような行動の子どもの立場からの妥当性を与えるものとして。

3.3 operational conception と structural conception
コンセプションの直接的な機能面に着目する上記の Erlwangerの研究に対して， 個々のタイプ化されたコンセプションがカテゴリーとして 扱われる 場合 が あ る 。 Sfard(1987, 1988, 1989,
1991) による《operational conception》と《structural conception》
としての コンセプション の二 重性（ duality） に関する研究はそのようなタイプの研究の中では特筆すべきものであるといえる。
従来，子どもの概念や知識の二分法（dichotomy）が様々になされてきた 。例 えば， Anderson によ る《declarative knowledge》と《procedural knowledge》 (Anderson, 1976) は，広く認知心理学
一般で受け入れられてきたものである。 また， 特に数学教育学
においてはこれと同様 のものとして ， 《conceptual knowledge》と 《 procedural knowledge 》 (Lesh & Landau, 1983; Hiebert &Lefevre, 1986) があげられ る 。 これらの 二分法 が ， 子どもの学
習対象 としての 知識や概念の特徴を優れて示してきたことは事実である。 しかしその一方で， 当該の二分法における両者の関係は明確に定義されにくく， 従って， 実際にあるものが，例えば 《conceptual knowledge》 であり ， またあるものが《proceduralknowledge》であるといかなる基準に基づいて特定するかは困難
な 作業 の 様相 を 呈 することになる 。 さらに Sfard 自身はあげていないが ， Douady に よ る 数 学 的 概 念 の 2 つ の 状 態間 の 区別
(Douady, 1984; Artigue, 1992) も 同様 の 指摘 がな されるものである。Sfard は，こうした状況に対して，従来の知識あるいは概念 の二分法に関する研究が， 基本的に区別される実体としてみな さ れ る の に 対 し ， 《 operational conception 》 と 《 structuralconception》 がこれらの カテゴリ ー とは 分離 されるもの で はな
いものの 劇的に異なる様相であるとし， これがその論文の表題において different sides of the same coin と 述 べられる所以である。

3.4 コンセプションの取り組みの相違：《実体論的》と《関係論的》以上， コンセプション （すなわち「子どもの考え」）に関する先行研究の概観をしたわけであるが， 我々は， 従来の研究を
2 つの 相 に分類することが可能である。 その一方は， 前節で示されたような 研究 の タイプ であり ， 我々 はこれを 《実体 論的tangible 》 に 捉 える 研究 であると指摘し得る。 このような立場
においては ， コンセプションをあたかもブラックボックスとみなし ， その焦点はそうしたブラックボックスによるアウトプッ
ト に 当 てられたと 指摘 し 得る (Linder, 1993)。 このとき， そのような 《実体》は， 歴史的な発達の段階を踏まえる等の規範に基 づくものとしてあらかじめ 用意 された も の で あ り， 実 際の「子 どもの 考え」はこうした規範のフィルターを通して観察される。 こうしたアプローチは， しかし否定されるものではない
ことは明白である。 すなわち， 教授学的に何らかの規範に基づく 授業設計はそれ自体価値のあるものであり， また必要なことでもある。 他方， そのようなアプローチは，真に「子どもの考え 」 を捉えているかということについては議論の余地がある。
むしろ， 従来のコンセプション研究では， 特にそのカテゴリー化 を目指すアプローチにおいては， 「子どもの考え」のカテゴ
リ ー化というよりは歴史的， 社会的に認められる概念や知識のカテゴリー化であったと解釈される。 これは， 何よりもそのよ
うな 概念や知識が前提とされるものとして位置づく。 換言すれば savoir としての 知識をもって connaissance としての知識を見ていると言えるものである。
しかしながら， 我々の立場は， 逆に子どもの connaissance がいかにして savoir へ と変容するかに関心があり，これによって学習を意味づけることにある。この点において，Erlwanger による 研究， 特に上述の引用における後半部分は傾聴に値するものであるといえる。 再度引用することを許されるならば， 次の通りであり ， 本研究の基本的立場を代弁するものでさえあるといえる ； The approach in each case study is non-judgemental about the child's workand focuses upon his point of view. ただし，両アプローチは対立の図式にあるの で は な く ， む し ろ 相 補 的 性 格 を 担 う も ので あ り，
forward と backward の 関係 にあると 主張 されるものである。本
研究 では ， 基本的 に Erlwanger の 研究の立場に立つ。 換言すれば， 《関係論的》取り組みを図る。 従って，コンセプションの変容 は 主体（学習者）と環境（文脈／状況）との関係の変容によって捉えられ， さらに， 本研究では，従来ブラックボックスとして 暗黙 のものとされていたコンセプションの属性に対して積極的にこれらを顕在化することを目指すものである。

concept-meaning approach, concept-structure approach, & conceptual

standards for rationality which are already present in that existing knowledge.

change approach
以上 の 議論 に加え， 我々は Confrey による概念（ concept）についての異なるアプローチの枠組み (Confrey, 1980) にならってコンセプションに 関する先行研究を吟味することを試みること

Justification is defined herein to subjecting those connections and reasons forbelieving the knowledge to public standards of evidence." (Confrey, 1980,
p.27)
このとき ， 本研究 の 主題 である コンセプショ ン の変 容 は，としよう 。そのようなアプロ ー チ とは ， 以下 の 通 りである ：concept-meaning アプ ロ ー チ ； concept-structure ア プ ロ ー チ ；conceptual change アプローチ。
concept-meaning アプロ ー チは， 概念の本性あるいはその意味に焦点を当てるもので， 概念を一つの対象としてその特徴のリストを作るといった作業がとられた。 このアプローチに対する批判 と し て ， 次 の よ う な 指 摘 が あ る 。 す な わ ち ，concept-meaning アプローチでは， 概念をクラス， カテゴリー，
集合といったものとして仮定するが， それらが， 何のクラスであったり ，あるいはカテゴリーであったりといったことを特定する点に対して弱いことである。 これは， 上記コンセプション
研究の概観におけるブラックボックスの議論と符合するものである 。 またさらに ， 次 のような 批判 もあげられる 。
concept-meaning アプローチでは， 概念を単一の， 孤立した，静的な実体（static entities） としてみなす 点 がそれである。 諸 概念は， ある種の概念系に組み込まれるものであり， 個々に考察し得るものではない。 この点が，続く concept-structure アプロー
チへと導くこととなる。
concept-structure アプロ ー チでは， 概念は主題の構造の構成者であり ， 当該の学問分野における諸概念間の連関に強調点が置かれた 。 いわゆる コンセプト-マップ や 意味 ネットワ ーク を構成すること（ あるいはスキーマ（schema）による知識の記述）
は，このアプローチの典型であるといえる。このようなアプロー
チに対する批判としては次のような点が指摘される。 例えば，
コンセプト-マップにおいて， その結びつきは，2 つの概念間の連関があたかも 近接するもののみの関数であるかのような連合主義として示される。 しかし， そうした批判以上に重要なもの
として， このアプローチが， 生徒の認知構造を評価するための言わばテンプレートとして客観的に正しいとされる構造を推定する傾向にあることである。 このことはさらに， 客観的真理はconceptual change アプ ロ ー チ を 補完 するものとして 特徴づけられ る 。 す な わ ち ， 上 記 引 用 に お け る comprehension や
justification の 過程 そのものが コンセプション の 変 容で あ り，conceptual change アプロ ー チ においてもなお ブラックボ ッ クス
であった点を記述， 分析し， これを明らかにすることに本研究の主たる関心があるといえる。

静的であるということを仮定し， 従って， 諸概念及びその連関
は，個人や時間を越えて不変（permanent）であるとみなされる。
しかしながら， このことは ，概念 を 対象 とする Confrey の立場
のみならず，本研究における我々の状況でもない。 すなわち，
コンセプションの変容を議論する上で， まさに対象とされるのは学習指導における子どものコンセプションであり， その変容の様相は，何らかのテンプレートによって分析あるいは評価において 参照されることは認められても， 予めこれらを想定し，それに 基づいて現象を観察するようなものではない。 従って，そのような コンセプションの変容は， よりダイナミックな描写を必要とし，こうした議論の帰結として， concept-meaning アプ
ローチと concept-structure アプ ローチの単純な結合以上のものを要請する。
conceptual change アプロ ー チ は ， こうした 要請を受けて， 時間を越えた，従って概念の不変性を解放することで概念の成長
あるいは形成に焦点を当てるものである。このとき，conceptualchange アプロ ーチ では， comprehension と justification の 2 つ のプロセスの重要性を主張する。これらは次のように定義される；"Comprehension" is herein defined as the process by which a student connects a newpiece of knowledge to his/her indivisual existing knowledge and applies to it the4.

数学教育学におけるコンセプション-モ
デル

本章 では， 数学教育学におけるコンセプション研究，特にその モデル 化 の 取 り 組みとして， 溝口 (1993; 1995a; 1995b) による 認識論的障害 の克服過程の特徴づけにおけるコンセプショ
ン のモデル化の取り組み， 及び近年フランス数学教授学において 議論 されるコンセプションのモデル化の取り組みについて述
べ，これらの比較検討を行う。もとより，これらのコンセプショ
ンモデルは， その他のモデル同様， 個々の目的に応じて作られたものであるといえ， 従って， どのモデルが最も優れている等の 序列化をすることがここでのねらいではない。 我々のねらい
は， モデルそのものの構築は勿論ではあるが， さらにそこから引 き出される教授学的示唆にあり， 必要によっては複数のモデルを同時に用いることもある。 すなわち， 複数のモデルを用いることで ， 子どものコンセプションの変容についての知見が豊かに 得られるのであれば， それはむしろ歓迎されることでさえある 。 しかしながら ， 前章 で 見 たように ， コンセプシ ョ ンの《関係論的》 アプローチをとることを前提とするとき， そうした アプローチにおいては， コンセプションと呼ばれるものの記
述カテゴリーによる特徴づけが不可欠となり，現段階において，こうした 性格を有するモデルがここに示す両者であり， すなわ
ち，これらを取り上げることの理論的根拠でもある。＊３）

4.1 認識論的障害の克服過程の特徴づけにおける子どものコンセプションのモデル化：C(C,N,E) モ
デル
よく 「滑 らかで可能なかぎりつまずきのない学習」ということが掲げられ， 算数・ 数学の学習は，知識・技能の単調な積み
上 げによって 進展するといった学習観がとられることがある。
しかし， 少なくとも子どもが新しい概念を学習するとき， その
多 くの 場面で認識論的障害の克服が不可避であるとする相対立
する学習観が指摘される。 その理由の１つは， まさに数学の発
達 の 歴史そのものが認識論的障害の克服であったとみなされるからである (Bachelard, 1938/1993; Brousseau, 1983; Sierpinska,
1994)。 一方 で ， もしそうだとすれば， 克服されてきた結果としての 数学的概念や知識を指導すればよいのではないか， という意見が出されることも考えられる。 これは， 現代数学で承認されている 定義等 を直接教授することに結びつく考え方であろう。 しかし， 子ども（学習者）の立場からみれば，なぜそのような 定義が採用されるか， といった理解が欠落してしまうこととなる。 そこで， 認識論的障害を克服するとは一体どのような過程 を経ることであるのか， また克服をすることの学習における意義とは何か，という点が問題となるわけである。

いった程度で解決されるものではない。 すなわち， 新しい概念

認識論的障害の克服の過程を記述するために以下の 3 つのカテゴリーを必要とする。
《概念 notion》：子どもの漠然としたアイデア，イメージ，
また心的モデル等を含む。

（N2） を 用意 するだけでは 十分 ではない。 このため， 認識論的障害の克服には，認識の全面的変容が要請される。すなわち，
新 しく 直面 した 事象（E3） に適用され得る概念（N2）とこの行動を価値判断する確信（C2）が新しく生起されることをもっ《事象 event》：《事象》 は 《概念》 が 用 いられる範囲や《概念》が適合する事柄を意味する。 単に与えられた問題等の事柄自体が《事象》ではなく， 子どもの《概念》が負荷された対象を《事象》とする。
《確信 conviction》： 上記 2 つの カテゴリ ー によって 記述されるものは ， 実際に観察される子どもの行動にあたるものである。 《確信》は， なぜ子どもがそのよ
うな行動 を示すのかということを説明する子どもの
包括的な 価値基準にあたるものとして用意される。
すなわち， 《確信》とは， 子どもの数学，あるいは数学的知識 に対する態度を意味する。 ここで言う態
度とは，「振る舞い」としての意味ではなく， 行動への準備状態 あるいは論理的要請として解釈されるものである。
これら 3 つのカテゴリーは， 下図のような関係として子どものコンセプションモデル C(C,N,E) を構成する。

て 克服 が 達成 されたとみなされるわけである （E2〜E3 は表面
的 には同じ対象であるかもしれないが， 子どもの認識の仕方が変 わることでそれぞれ 違った見方をしているものとして区別する）。
C(C,N,E) モデル を用いて， 実際の子どもの活動を観察するとき， 仮に教師が期待したとしても， 子どもはいつでも認識論的障害 を克服しようとするわけではなく， むしろそうでないときの 方が実際には多く見受けられる。 子どもの障害とのかかわり
方 を調べるとき， 次のような異なる認識の状態を特定することが可能である。 これらの認識の状態は， 本研究におけるコンセ
プション の 変容 の 記述 として解釈できる： 1）主観的容易さへの固執（persistence in subjective facility）では， 様々に直面する《事象》 に対して， 学習者の一貫した《確信》と《概念》の組を 見ることができ， 「変容」という語にそぐわないようにも受け取られるであろう。 本研究においては， コンセプションの関係論的把握 を基礎とすることから， このようなケースについても コンセプション の 変容 と 見る。 2）《事象》の社会的適応としての 正当化（justification as social adaption of《event》）では，特に他の 3 者 との違いを明確に指摘することが可能である。すなわち， 新しい《概念》とそれの負荷された《事象》は， 実際には 子どものコンセプションとして存在するわけではなく，そのような《概念》と《事象》の可能性を示唆しているのである。
さ ら に ， 3 ） 認 識 論 的 障 害 の 意 識 化 （ becoming aware of an
epistemological obstacle ） と 4 ） 認 識 論 的 障 害 の 克 服（overcoming an epistemological obstacle）については，モデ ルによる コンセプションの変容の記述を通して， 初めて次の点が明確 になる 。 すなわち ， 4）のモデルの変容を追うとき， そこに
3）のモデルが含まれることである。 こ のことから，4）は 3）
を 前提 として 変容 が 達成 することが 指摘 されるわけで あ る。
（次ページ図 5 参照）

認識の仕方
価値判断

C

N

負荷

E

（C：確信，N：概念，E：事象）
図3

C(C,N,E) モデル

C(C,N,E) モデルによって， 子どもの認識論的障害の克服は次のように 説明される。 C(C,N,E) モデルが整合的であるとき，これに 基 づく 子 ども の 認 識 活 動 は 持 続 す る 。 学 習 活動 は ，C(C,N,E) モデルの 整合性が保たれなくなることで誘発される。
これは， 子どもが以前の活動においては， 確信（C1）に基づいて自己の 概念（N1）を事象 （ E1）に対し て 適用できたにもかかわらず ，新 しく直面 した 事象（E2） に 対 しても同じ認識の仕方を適用しようとし， その適用が失敗に終わる状況を意味する。すなわち， 既有の認識の仕方が認識論的障害として機能するわけである。認識論的障害の克服は， 少なくとも，それ以前に達成した認識の仕方がこれまでの学習において十分に満足されたものである以上，誤りを修正したり，必要な事項を補うと
C1

N1

E1
C1&N1=EO
E2

4.2 フランス数学教授学におけるコンセプションのモデル化：C(P,R,L,Σ) モデル
フランス 数学教授学 におけるコンセプションのモデル化に関す る 研 究 (Balacheff, 2000a, 2000b; L'Atelier des Conceptions,
2002, Balacheff & Gaudin, 2003) は ， 前節 の 認識論的障害 の克服過程 に限定されたもの以上に， より一般的な状況をその射程に置く。 以下では， フランス数学教授学における問題意識の描
写 から始めて， そこでのコンセプションのモデル化を概観してみよう。
先 ず ， 子 どもの 認識（ knowing）を捉えるに当たって， その本性 として， 子どもの直面する問題あるいは問題場面を強調する。教授学的状況（didactical situations）の基本的な要請は，各々の 問題場面が子どもの認識を示唆する行動を要求すること，そして ， すべての行動には（何らかの）認識が内包されていることを確認する。 すなわち， 我々は，子どもの認識を捉えようと

C2
図4

N2

E3

C(C,N,E) モデルによる認識論的障害の克服するとき ， 観察可能な子どもの行動に依存していることを確認するのである。 実際， 行動は，個人の認知的特徴に依存し，と同様に， その個人を取り巻く環境にも依存する。 しかし，この
個人，環境は，複雑な実体であるといえる。問題は，その複雑

2) justification as social adaptation of《event》

1) persistence in subjective facility
C1

N1

E1
N1

C1

C1&N1=EO
E2

C1

N1

C1

N1

C1&N1=EO(C1&N1=EO)

N2

E1

E2

E3

4) overcoming an epistemological obstacle
E4

C1

N1
C1&N1=EO

3) becoming aware of an epistemological obstacle
C1

N1

C1

N2

C1

N3

図5

E1

E1

C1&N2=EO

E2

E2

C1

N2

C2

N3

E3

C(C,N,E) モデルによる子どものコンセプションの変容

さのすべてが考察の対象となるというのではなく， 知識との関連においてそれらの複雑な実体を投影する部分集合として， 主体（subject）と ミリュ ー （milieu） という 用語 を置く。このミ
リューという語は， フランス数学教授学において中核をなす概念の一つであり， 学習過程において主体と相対するシステムを意味する。 ただその用いられ方は， 従来必ずしもそうであるわ
けではないものの物的対象の比重が高かったのに対し，これを拡張して，認識を生み出す手段としての記号的表象及び相互作用を統合するものとして捉えようとする。 従って， 認識は，主体，あるいはミリューのみに帰せないものであり， 対照的に主体とミリューの相互作用として捉えようとする。 換言すれば，るといったようにである。
さらに 80 年代， 様々 なカテゴリーの下に， 学習者のミスコ
ンセプション についての研究が展開されたことを受け， こうした研究はすべて， 子ども， すなわち学習者を当該の知識の所有者 としての大人， すなわち専門家と基本的に異なる主体として見ていたことが指摘される。 こうした見方の背景には， ミスコ
ンセプション というものに 対して何らかの正しい当該の知識というものが割り当てられることが前提とされていたことによる。
しかし ， 上述 の 認識論的障害 の 概念 に示されるように ， 誤りについてのミスコンセプションとの認識論的立場の違い， ある
いはそのパラダイムの違いを明確に顕示する。 すなわち， 誤り

主体/ミリュー・システムにおいて，何らかの撹乱（pertubation）に続く均衡を取り戻すことの必要条件として相互作用を位置づける。C(P,R,L,Σ) モデル において ， 子どもの直面する問題は，は， 無視， 不確実さ，偶然の効果だけでなく，望ましいと判断され 成功裡 であったような先行する知識の効果でもあるとし，ある 種の誤った認識は， 学習には必要であるとするのである。

主体/ミリュー ・システム における 重要 な 撹乱を意 図するものとなる。 従って， 教師の役割は，教授的意図に照らし合わせて受け入れられると認められる認識が現出するように， 主体とミというのは，なぜそのような認識が誤りであるかという自覚は，新しい認識に必要とされるからである。
以上述べた前提の下に， 次のような 4 つ組のコンセプション

リューにおけるそれらの相互作用 を 通 じての 何 らか の出 会 い（encounter）を組織することであるといえる。また，学習とは，のモデル C(P,R,L,Σ) が提起される。

主体/ミリュー ・システム の 均衡 を 再構成する過程であると 位置づけられる。ただし， それは，主体の行為とミリューからのC(P,R,L,Σ)-P：問題の集合

フィードバックとの間にあるギャップが主体によって認識されるときにのみ撹乱が発生すると認められることになる。我々が日々の学習指導で経験する中で， こうしたギャップが主体（子-R：オペレーターの集合-L：表象システム-Σ：制御構造（control structure）

ども）によって認められないという状況がある。 我々は， それが認識の反映としてみられるとき，こうした気づかれないギャッ

ここでは，Balacheff(2000a) の上げる関数の例に基づいてこのプを誤り（error）と呼ぶ。 認識を構成するためには， こうした誤りを自覚し，これらを克服する必要がある。場合によっては，こうした 誤りを否定し新しい認識に置き換えるときでさえ， 実

モデルを見ていこう。 学習者の視点から見たものとして， グラ
フと曲線は代数的表現（式）に結びついて存在するべきである，といったアイデアがあるが， これらは， 例えば描けるもの，と用的な妥当性が残ることもある。 例えば， 小数は，「点のある整数」 ではないが， そのように考えれば計算上極めて有用であいったような要請に従うものである。ここで，グラフと曲線は，2 つの 異 なる 実体であり， この意味で区別される必要がある。

すなわち，曲線は式で表現された幾何的対象であるのに対して，

ではなく，そのために，問題場面やその他の要素が必要となり，

グラフ は 例えば点をプロットしたりするような関数の表現である。これまでには捉えにくかったこうした 2 つの子どものコンセプション を異なるものとしてモデル化することを試みるのである。実際には， 曲線-代数的コンセプション（CCA）と代数的

これらによってコンセプションを特徴づけようとするのである。
また ， 例 えば， 2 つのコンセプションについて一般性を次のように表現することが可能となることが示される。

-グラフコンセプション （ CAC） として 次 のようにモデル化される。

Let us consider two conceptions: C=(P, R, L, Σ) et C’=(P’, R’, L’, Σ’)Generality: [C is more general than C’] if it exists a function ofrepresentation f : L’→L, so that for all problems pfrom P’ then f(p) is the statement of a problem from
P.

CCA＝（P CA，RCA，Graphic-symbolic，ΣCA）
CAC＝（P AC，RAC，Symbolic-graphic，ΣAC）
2 つの モデル において， 共通 に graphic と symbolic のレジス
ターが 用 いられているが， CCA では， 曲線が代数的表現を持つことが 基準となっているのに 対 して， CAC では， 代数的表現が描くことが可能なグラフに結びついていなければならないということが基準となる。 しかし， このことは直接観察されるもの

さらに ， こうした コンセプション の モデル 化 に より ， 認識
（knowing）はコンセプションの集合として捉えることができ，さらに 概念（concept） は認識の集合として捉えることができる
ことが指摘される（図 6）。(L'atlier des Conceptions, 2003)( P, R, L, Σ )図6conception(C)，knowing(K)，concept(￠)

4.3 C(C,N,E) モデルと C(P,R,L,Σ) モデルの比較
上記両 モデルは， ともにコンセプションの《関係論的》モデ
ル化であった。 この点を両者の属性（カテゴリー）に基づいて検討してみよう。
先ず，C(C,N,E) モデルにおいては，《conviction》と《notion》の組で 記述 される 認識 の 仕方 で《event》 を見ることを主張す
るのに 対し，C(P,R,L,Σ) モデルにお いては， 問 題場面の認識の重要性 を問題の集合としての P としてカテゴリーの第一に組み込む。 また，C(P,R,L,Σ) モデルにおけるオペ レーター の集合としての R は ， その 意 味 規 定 か ら C(C,N,E) モ デ ル に お け るのであった。
一方， 両 モデル の 相違点として， C(P,R,L,Σ) モデルにおいては， 表象システムとしての L がモデルの要素 として明確に組み込まれて いるのに対して， C(C,N,E) モデルにおいては，これが顕在化されることなく，その様相としては《notion》と《event》
によって 記述 される中に潜在的に含まれる。 C(P,R,L,Σ) モ デルにおいては ， 数学学習における表象の重要性が顕著に主張されていると受け止められる。
以上の議論は，下表（次ページ表 1）の通り示される。
しかしながら ， 表記が異なれば同時にそれにまつわる思考そ《notion》 に符合 するも のであると見ることができる。それら
は，ともに何らかのテンプレートとして用意されるのではなく，子どもの 逐次の変容をそのダイナミズムとして記述することをのものが 異 なると 考 えることが 自然である。 実際，C(P,R,L,Σ)モデル においても ， 表象 システム （L）が異なることによって
他 のすべての カテゴリーは異なるものとして記述されていると意図したものである 。さらに ， C(P,R,L,Σ) モデルにおける制御構造としての Σ は ，C(C,N,E) モデル にお ける 《 conviction 》 の見ることもできる。そこで次章では，上記の議論を考慮しつつ，
コンセプションモデル の実際の活用として， C(C,N,E) モデルを機能と対等なものであるとみなせる。 これらは， 上記のダイナ
ミズムの背景として評価， （価値）判断， コントロールするも用いた学習指導のアプリオリ分析を展開する。

表1

5.

C(C,N,E) モデルと C(P,R,L,S) モデルの対応

C ( P , R , L ,Σ)C(C,N,E)

P (is a set of problems)《event》

R (is a set of operators)《notion》

L (is a representation system)《notion》&《event》

Σ (is a control structure)《conviction》

小数の乗法の意味の拡張

コンセプションモデル の実際の活用を考える上で， おそらく普通に指摘され得ることは， そのモデルを実際の学習指導の場
面で子どものコンセプションを的確に把握する道具として用いようとすることであろう。 しかしながら， こうしたモデルの利用は，上述の《conceptual knowledge》と《procedural knowledge》(cf. 3.3) で 示されたように ， 各々 のカテゴリーがいかなる基準に基づいて特定され得るか， といった問題を再浮上させるのみ
ならず， 仮にそのような基準が明確にされたとしても，実際の特定作業 には経験的熟練を要することが容易に予想される。 こ
れは，コンセプションモデルの機能性を半減させるものであり，本研究の意図するところではない。
そこで ，本研究では，実際の学習場面においてのモデルの活用というのではなく， 学習指導のアプリオリ分析においてモデルを活用する立場をとる。 これにより， コンセプションモデル
は，授業設計あるいは授業分析において， それに携わるすべてのものが 共有できる強力な道具として機能することが期待される。ここで，アプリオリ分析とは，必ずしも時間的な意味で学習指導の「先」を意味するのではなく，認識論的意味での「先」を想定している (宮川, 2002)。
本研究 では， 扱う学習指導場面として「小数の乗法の意味の拡張」を取り上げる。 この理由は次の通りである。 我が国の算数・数学教育において， 意味の拡張が問題とされることは，故中島健三氏に代表される数々の主張以来，その中心的話題であったといっても過言ではない。 しかしながら， 近年の実践研究においては ，この「意味の拡張」が意識的に取り上げられることが減少の傾向にあるといえる。 （例えば， 「新しい算数研究」
誌（東洋館出版社）1990 年 4 月号〜2001 年 12 月号 の実 践 報
告「今月 の指導」において， 語「拡張」を含む稿は僅かに 4 件である 。 ＊ ４））こうした現状に鑑み， 併せて昨今の教育問題における「基礎・基本の充実」の動向に対し， 算数・数学教育研
究が真に問題とすべき事柄の 1 つとして「意味の拡張」の学習指導を検討することには意義があるものと考えることによる。
また ， コンセプションモデルを学習指導場面のアプリオリ分析に用いるに当たり， 後述する「教授学的契約」の概念を導入する。 我々の目的は， 子どものコンセプションがいかなる状態にあり ， またそれがどのように変容するかを記述することではに取り組む。 そうした取り組みは， 教師の恒常的な指導法としての 発問，手立て，あるいは様々な制約（constraints）を児童・生徒が解釈することを通じて行われる。 こうした， ある意味では特殊な教師の習慣は， 児童・ 生徒によって期待されるものであり， また逆に， これらに対する児童・生徒の活動は，教師によって 期待されるものである (溝口, 2000)。 換言すれば， 教師と学習者の間の互恵的な責務（reciprocal obligation）として両者は認められる。
フランス 数学教授学 (cf. Brousseau, 1997) におい ては ， 教授
学的状況（Didactical Situation） を教師と児童・生徒/ミリュー・システム （student-milieu system）の間の言 わばゲームとして記述する。いかなるゲームにおいても，ルールと戦略が存在する。
特 に ， 教師 と 児童・ 生徒/ミリュ ー システムの間のゲームにおいては ， そのようなルールや戦略は教授内容（知識）に固有のも の と し て 認 め ら れ ， こ れ を 「 教 授 学 的 契 約 （ DidacticalContract）」 と 呼 ぶ 。 従 って ， ゲームのプレーヤーやあるいは
ゲ ームそのものの進化を語ろうとすれば， 知識と教授学的契約の両方に議論を向ける必要がある。
一方教室 においては， こうした教授内容としての知識を説明する上で， 全く， あるいはほとんど関与しないようなルールも存在する。 例えば， 授業の進行に関する教師と児童・生徒の間の 一般的な習慣等がそれに当たる。 こうしたルールは「教授学的契約」とは異なるタイプの契約とみなされる。
しかしながら ， 通常のゲームにおけるルールが明確であるのに対し， 教授学的契約はしばしば暗黙裡であり， さらに教室ごと，文化ごとに微妙に異なり得る。
このように 捉えられる教授学的契約に対して， 本研究では，
教授学習場面 においてこれを顕在化させることで， 既存の教授学的契約 を進化させることを通して， 教授学習内容としての知識の進化をねらうことを基本的な立場とする。 このとき， 本研
究 でみなす教授学的契約は， 元来フランス数学教授学において言われるそれ以上を対象とする。 すなわち， 教授学的契約を，
教授学習内容としての知識の一部として取り込む。 これは，そうすることが 必ずしも必然であるわけではなく， むしろそのよ
うに考えることで， 児童・ 生徒の学習内容としての知識を整理
し ， また教授学習場面の設計においてそのような知識の整理が有効であるとみなされることによる。

なく，教授学習過程において，いかなる状態にあるべきであり，またどのように変容するべきかに 焦点 を当てることにあるから

5.2 小数の乗法の教授学的状況である。

我が国においては， 「かけ算」は，はじめ小学校第 2 学年において「同数累加」として意味づけられる。 すなわち， 当初，

5.1 教授学的契約

そのような 「問 い 」 の 下 に 考察 されたものである 。 しか し，（時間 とともに）そのような「問い」は失われ， 結果としてのかけ算が残っていく。 従って， 小学校第 5 学年の児童において教師 によって準備され， かつ持ち込まれた教授学習場面において， 児童・生徒は，一般に与えられた（数学的）問題の解決

は，「同数累加」の意味がもはや無自覚であるほど， かけ算のむ論議領域 D'における条件 R2 があって，R2 を D に制限する限形式性に精通している。
それゆえ ，例 えば「1m が 80 円 の リボン を 買 います。リボン 2.5m の 値段 はいくらでしょう 。 」 (A) という 問題 を提示 されたとき， 子どもは 80×2.5 の立式に対して，それほど抵抗をり，R1 と R2 が同値 であるならば，R2 は論議領域 D'における，
概念 C の拡張概念 である。 」(岩崎, 2003) そうである ならば，
小数 の乗法の意味を拡張しようとするとき， 少なくとも次のよ
うな活動が要請される：感じることがなくなっている。＊５）これが ， 本時 の 教授学 的 問
いが 定 立 さ れる 所 以 で あ る 。 す な わ ち ， こ の 意 味 で ，Bachelard(1938/1993) の 言 う 誤謬 に 相当するものとして受け取ることが可能である。 それは， 子どもの《無知》に起因するものではなく，《問いが失われたもの》としてのそれである。従って，「同数累加」として意味づけられた（はずの）かけ算の認識（knowing） は， 「×小数」 の 意味 づけを 必要とする場面において ， 認識論的障害 (Brousseau, 1983; 溝 口 , 1995a; 1995b)として機能する。
このとき，「意味の拡張」を意図する教授学的状況において，
元の「問い」の再認識を要請する。 すなわち， 既存の意味（本研究では，これを教授学的契約と捉える）を大事にした上で，その限界，あるいは問題性（problèmatique） を 顕在化 するような問題の移譲（dévolution）が行われる必要がある。換言すれば，新しい教授学的契約を 確立 するような環境（milieu）の構成がそれである。従って， （表象としての）80×2.5 そのものに 抵抗を感じることは無くとも， その意味（教授学的契約）に対して，その進化を意識化させる必要がある。
具体的 には， 以下のような問題の移譲を考えたい。「同数累加」として，
80×2＝80＋80 80×3＝80＋80＋80 （a）である。 このことは， 子どもの認識においても受け入れられるものである。これは， しかし，必ずしも子どもが「かけ算の意
味はそのようであった」という状態ではない。 すなわち， 前述の通り， 子どもにおいては， かけ算の意味を「同数累加」として意味づけることの「問い」が失われた状態であり， その意味
で上記の 2 式のみでは， ここでの教授学的状況の問題性を喚起することにはつながらない。このとき，ある子は，80×2.5＝80＋80＋40 （b）と答える。しかし，この式は，既存の教授学的契約（すなわち，

1）整数の場合に成り立ったかけ算の意味が，小数の場合(×小数) では不都合であることの認識；
2）「×小数」の場合に成り立つ意味の構成；
3）新しくつくった意味と既存の意味との比較；
4）既存の意味を新しい意味に統合。
本時 の 問題場面は上述の問題 (A) であるとする。 しかし，これが 移譲 され る べ き 問 題 自 体 で は な く ， 既 に 述 べた よ うに
《80+80+40 を１つのかけ算の式で表しましょう》が本時の問題 である 。 すなわち ， 上記 の 活動 1) についての 子 どものコンセプションは，
C1：かけ算は「同数累加」である
N1：80＋80＝80×2，80＋80＋80＝80×3，...
E1： 80＋ 80＋ 40 はこれまでの考えではうまく (１つの) か
け算の式に表せない（80×2＋40）と 記述 される 。 続 く 活動 2) において 子 どもの個人差が顕在化するであろう。 このとき， いずれの場合にも数直線が有効な支援として機能することが予想される（図 7）。

「同数累加」の意味）には反するものである。 ただし，この状態では， 子どもはそのことに自覚的ではない。 すなわち，これが認識論的障害の発現である。 そこで， 教師は次のような問いを提示することが教授学的に要請される。
（a）の意味で考えるのであれば，80＋80＋40＝80×2＋40 （c）である。 換言すれば， 「同数累加」によるかけ算の意味とは，《表記法》 としてのそれであり， これが「×小数」の意味づけによって ，《演算》としての資格を付与されることであると言える。
そこで， 「80＋ 80＋ 40 を《一つのかけ算の式》で表すことはできないだろうか。 また， もしそれが， 80×2.5 で表されるとするならば（あるいは，そのように表したいとするならば），
どのように説明できるだろうか？」
この 問いをもって， 初めて子どもへの問題の移譲が達成されると考えられる。

5.3 アプリオリ分析
一般に「拡張」は次のように述べられる：「論議領域 D において，概念 C が 条件 R1 に よって 定義されているとき，D を含

0

図7

40

80

80+80

0.5

1

2

数直線による乗法の操作

子どもは， “ 80+80+40＝ 80× 2＋40 で， 40 は 80 の半分だから ， ...” といっ た 思考（操作） を 数直線上で展開することでかけ 算の割合による意味づけを想起する可能性がある。 このとき子どものコンセプションは，
N2： 40 は 80（を 1 と見たときの）半分（ 0.5）の大きさである
E2：80＋80＋40＝80×2.5（80×0.5＝40）であり ， ここで 子 どもの 《 conviction》 が 転換 される必然性は
無 い 。 そこで 活動 3) が 必要 とされるのであ る 。 新しくつくら
れた意味は，しかし「×小数（×0.5）」の場合の意味である。
すなわち， 拡張の場面として本時の学習を位置づけるならば，「×整数」 の場合の意味との吟味が必要とされるのである。そうでなければ， 子どもによっては， それぞれの場合の意味を併用 して 用いることも考えられる（実際の思考上そうであったとしても ， そのまま独立したものでよいとすることは本時の目標ではない ）。 そこで ， 新 しく 構成 された (N2,E2) による C1 の見直しを行う必要がある。このとき，数直線の操作から，C1 が棄却されて新たに
C2：割合によるかけ算の意味が採択されることは考えにくい。 ただし， 子ども自身が十分にC1 が C2 に 統合 されることを期待することにも難がある。 それ
は ， 数直線 の 操作 から ， C2 が 仮に子ども自身によって生み出されたものであるにせよ ， C2 が C1 を 数学的 に統合し得ることを 自 ら確認することの根拠として十分な活用が行われるかは子

どもの個人差に多分に依存するからである。 そこで， この拡張

Balacheff, N. & Gaudin, N. (2003). 2 Conceptual framework. In（統合） の場面（活動 4)）において，教師が最もその指導を要請される点がここに在ることが指摘される。 これによって， 初
めて子どもは乗法の意味の拡張を達成することが期待される。

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本研究 では， コンセプション研究の歴史を概観し，これを通してコンセプションモデルが備えるべき条件を吟味し，現在提案されている C(C,N,E) モデルと C(P,R,L,Σ) モデルの両者を比較検討した。 また， 実際にコンセプションモデルを活用するにあたり，アプリオリ分析による授業設計あるいは授業分析の可能性を示唆した。さらに実際のアプリオリ分析においては， 小数の乗法の意味の拡張を教授学的契約の進化として特徴づけることで，子どもの潜在的に有する認識論的障害の克服に寄与し得る可能性を示したことが指摘される。 またその際， 教授上教師による学習指導の重点についても示唆し得た。
残された課題として， 特に実際のアプリオリ分析から示唆されるも の とし て ， 教 授 学 的 契 約 と コ ン セ プ シ ョ ン モ デ ル（C(C,N,E)）における《conviction》との対応が理論的に整理されていないことがあげられる。

註*1）ここでは， コンセプションそのものを必ずしも当該の研究の中心的対象としていないものも含む。
*2）Hanson(1986) の《理論不可性 theory-laden》による。
*3）この 他にも， C(C,N,E) モデ ル と 極 め て 類 似 し た モデ ル がSpagnolo(1999) によって提示されている。
*4）真野祐輔氏の調査による。(溝口他, 2003)*5）子 どもが， 所与の問題場面に対して「かけ算」として立式することをもっともらしいとすることは 肯定 されるべきことである。 子どもが「この事実を直観的な明証なるものとして 受け 入れている 」(伊藤, 1993, p.40) ことを前提とした上で，本稿の教授学的問いが成立する。

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ABSTRACT. The purpose of this study is to describe modeling《conception》and to verify the evolution of conception
through the model. In the conventional research and studies, the word "conception" is in the tendency to have been used as
a commonsense notion rather than it is as what was defined explicitly. That is, although it has a certain function as a toolof practices or research, the definition remains implicit and may be indicated that positioning as an object of study is not
given (clearly). It can be said that the place which our study of conception contributes to educational research andpractice is what is done for the science of the lesson directly. That is, it is getting to know the educational phenomenon
itself and its character by explaining and describing theoretically and scientifically the teaching and learning activities
and the nature of knowledge, which may be sometimes told by personal experiences. The result which will be obtained bythis study offers the (scientific) guiding principle over the lesson design and lesson analysis by the teachers. On thecontrary, it is our opinion that a teacher cannot perform scientific lesson design or lesson analysis without such a guiding
principle . Under the above issues, we survey the following related studies: Piaget's genetic epistemology, Erlwanger'scase studies of students' conceptions, and Sfard's dual nature of mathematics conception, which are classified into two
streams. One is the tangible stream, which considers conception as a black box and focuses on the output from such one.
Such stream is looking at knowledge as connaissance by as savoir. However, our concern is how student's connaissancechanges into savoir, and to determine student's learning in this sense. (Both approaches are not shown in the schema ofconfrontation, rather compensated mutually, like foward and backward.) In this study, our stream is the relational. The
evolution of conception is seemed in relation btween the subject and the milieu. Furthermore, we positively actualize tothe attributes of conception which conventionally made into the tacit thing as a black box. In such approach, it isindispensable that conception is characterized by the categories of description. As the model which has such nature in apresent stage, there are two models: Mizoguchi's C(C,N,E) model which aims to feature the overcoming an epistemologicalobstacle; and C(P,R,L,Σ) model in the French Didactique des mathématiques. As a result of comparing both, it is shownthat there are corresponding categories to each. At the final scene, we illustrate a priori analysis of the situation of
expansion of the meaning of the multiplication of a decimal using C(C, N, E) model with the notion of didactical contract.
Thereby, the functionality in a lesson design or lesson analysis of the model of conception is shown.