電磁気学演習

7章

アンペールの式・円電流の作る磁場

1. アンペールの式ある円環 C があるとき、C と鎖交する全電流について次の式が成り立つ。
⬚∫𝐶𝐶 𝑩𝑩・𝑑𝑑𝒍𝒍 = 𝜇𝜇0 × �円環 C と鎖交する全電流�

ただし、場の透磁率𝜇𝜇0 が一定

積分範囲の C とは、ループ（環になっている）になっている経路が C ということである。線積分とは、あるベクトルを経路の接線方向と平行な成分を経路に沿って足し合わせていくという意味である。もし磁束密度 B が経路にそって平行で場所によらず一定であれば、積分値は B の大きさ×（経路の距離）になる。右項にある鎖交とありますが、これは円環 C を貫いているという意味である。積分経路の透磁率が一定ではなく、位置によって変化する場合は、磁界 H を活用し、⬚∫𝐶𝐶 𝑯𝑯・𝑑𝑑𝒍𝒍 = �円環 C と鎖交する全電流�を使う。→例題参照

2. 無限直線電流の作る磁束密度の計算
電流 I が下から上へ一直線にながれている。そこから等距離にある半径 r の円環を C とする。図の通り、I [A]

磁束密度は円をなして巻いている。このときに磁束密度 B は円環に平行になり、どこも一定の大きさである。したがって、アンペールの式の左項は、経路距離B×磁束密度の大きさ、つまり⬚∫𝐶𝐶 𝑩𝑩・𝑑𝑑𝒍𝒍 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 × 𝐵𝐵となる。上の 2πr は円環 C の経路、すなわち円周になります。
2𝜋𝜋𝜋𝜋 × 𝐵𝐵 = 𝜇𝜇0 𝐼𝐼がなりたち、𝐵𝐵 =𝜇𝜇0 𝐼𝐼がなりたつ。
2𝜋𝜋𝜋𝜋3. 円電流の作る磁場の計算

P

円電流 I があるときに、それを見込む立体角を𝛺𝛺(𝑃𝑃)と立体角 Ωrする。P 点での磁位Φは、𝜇𝜇∅ = 4𝜋𝜋0 𝐼𝐼𝛺𝛺(𝑃𝑃)

点 P での磁束密度 B は 𝐵𝐵 = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ∅で計算される。
36I[A]

無限に伸びる棒状電流 I [A]が半径 r[m]の位置に作る磁束密度を求めな

例題１ 頻出さい。棒の半径は a[m]とする。透磁率は𝜇𝜇0 とする。
電流 I[A]が均一にr>a の場合ながれている

アンペールの式の左項は次の通り。
⬚� 𝑩𝑩・𝑑𝑑𝒍𝒍 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 × 𝐵𝐵
𝐶𝐶

右項は鎖交する電流になるので、

a[m]⬚∫𝐶𝐶 𝑩𝑩・𝑑𝑑𝒍𝒍 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 × 𝐵𝐵＝𝜇𝜇0 𝐼𝐼

円環 C𝜇𝜇0 𝐼𝐼となり、𝐵𝐵 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋と求められる。

r[m]r＜a の場合
アンペールの式の左項に変化はなく、右項がかわる。
円環 C を流れる鎖交する電流は 𝐼𝐼 ×𝑟𝑟 2𝑎𝑎

2𝜋𝜋𝜋𝜋 × 𝐵𝐵 = 𝜇𝜇0 𝐼𝐼 2

したがって𝐵𝐵 = 𝜇𝜇0 𝐼𝐼となる。

半径ｒの面積𝜋𝜋𝑟𝑟 2𝑟𝑟 2＝𝐼𝐼 𝜋𝜋𝑎𝑎2 = 𝐼𝐼 𝑎𝑎2となる。
半径𝑎𝑎の面積𝑟𝑟2𝜋𝜋𝑎𝑎 237B

例題 2 面状電流 図のように xz 平面に z 軸に沿って電流が流れている。単位長さの幅当たり、J [A]流れるとする。xz 平面から距離 a[m]の位置にできる磁束密度の大きさを求めなさい。透磁率は𝜇𝜇0 とする。

zJ [A/m]aPyx解答xz 平面を上からみた図を示す。図のように abcd の□のループを考える
磁束密度のベクトルは図のような方向にな
aBbB

Jdり、xz 平面に対して対称と考えられる。
この□のループのアンペールの式をたてる。
ad 間と cb 間の長さを１と仮定すると、

c⬚⬚⬚∫𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑩𝑩・𝑑𝑑𝒍𝒍 = ∫𝑏𝑏𝑏𝑏 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 + ∫𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2𝐵𝐵 = 𝜇𝜇0 𝐽𝐽となる。なお、ab 間と cd 間は磁束密度 B と線積分の経路が直交するため、0 となる。

𝜇𝜇 𝐽𝐽

したがって、磁束密度 B の大きさは 20 となる。

38

例題 3 頻出トロイダルコイル インダクタンス 図のように n 回巻きのトロイダルコイルの内部の磁束密度を求めなさい。またトロイダルコイルの断面を通過する磁束Φと、インダクタンス L を求めよ。電流は I[A]とする。トロイダルコイルの内部の透磁率はμとする。トロイダルコイルの内部の透磁率は周囲に対して十分高いとする。トロイダルコイルの内円の半径を a、外円の半径を b とする。

Ibarh

Bn回
これはトロイダルコイルの中心からの距離を r とする。トロイダル内の透磁率が十分に大きい場合、磁束線はトロイダル内を輪となって閉じ込められる。アンペールの式
より、⬚∫𝐶𝐶 𝑩𝑩・𝑑𝑑𝒍𝒍 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 × 𝐵𝐵 = 𝜇𝜇 𝑛𝑛𝑛𝑛

𝐵𝐵 =𝜇𝜇𝑛𝑛𝑛𝑛2𝜋𝜋𝜋𝜋となる。断面の磁束φは断面で面積積分をした量になる。
𝑏𝑏𝛷𝛷 = ℎ ∫𝑎𝑎 𝐵𝐵(𝑟𝑟)𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝑏𝑏
𝜇𝜇𝑛𝑛𝑛𝑛𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎
2𝜋𝜋インダクタンス L は LI= 𝑛𝑛𝛷𝛷より、𝐿𝐿 =例題 4 頻出𝜇𝜇𝑛𝑛2𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 と求められる。
2𝜋𝜋𝑎𝑎

C ギャップトロイダルコイル（磁気ヘッド）

図のような空気ギャップのトロイダルコイルがある。コイルは n 回巻きとし、電流はI[A]とする。トロイダルは正円のリングで、内部の磁性体の透磁率μであり、ギャップ間の透磁率は𝜇𝜇0 とし、µ ≫ 𝜇𝜇0 する。ギャップ長は𝛿𝛿(≅ 0)とし、トロイダルコイルの経路長に対して十分短いとする。ギャップ間の磁束密度𝐵𝐵𝐺𝐺 を求めよ。

トロイダルの中心から半径 r の円環をアンペール

rn 回巻

δの積分経路とする。この経路内部での磁束密度は等しいが、透磁率がギャップ間と磁性体で、違うので、アンペールの式は H を使って解く。

磁性体の磁界を Hm,ギャップ間は HG とする。
⬚∫𝐶𝐶 𝑯𝑯・𝑑𝑑𝒍𝒍 ≅ 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝐻𝐻𝑚𝑚 + 𝛿𝛿𝐻𝐻𝐺𝐺 = 𝑛𝑛𝑛𝑛

(磁界のアンペールの式)となる。なお、磁性体の経路長は2𝜋𝜋𝜋𝜋とした。𝜇𝜇𝐻𝐻𝑚𝑚 = 𝜇𝜇0 𝐻𝐻𝐺𝐺 より、𝑛𝑛𝑛𝑛

𝐻𝐻𝐺𝐺 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜇𝜇0𝜇𝜇+𝛿𝛿

𝑛𝑛µ µ𝐼𝐼

したがって、𝐵𝐵𝐺𝐺 = µ0 𝐻𝐻𝐺𝐺 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜇𝜇0+𝛿𝛿µ039となる。

例題 5 磁場の重ね合わせの問題 次の円筒電流がある。円筒の半径は a とし、円筒の中に半径 b の孔が開いている。電流密度は j[A/m2]とする。円筒の中心から距離 r、かつ孔の中心から距離 r－c の位置（点 P）の磁束密度を求めよ。

j[A/m2]rr－cP

一見すると難しそうだが、孔の部分には－j[A/m2]の電流が流れていると考え、孔のない円筒の j[A/m2]の電流と孔の部分－j[A/m2]の電流が重ね合わされていると考える。
穴がないとして円筒電流が P 点に作る磁束密度は𝐵𝐵 = µ0𝜋𝜋𝑎𝑎 2 𝑗𝑗
µ 𝑎𝑎 2 𝑗𝑗= 02𝜋𝜋𝜋𝜋2𝑟𝑟となる。

一方の孔の－j[A/m2]の電流の作る磁束密度は、𝐵𝐵ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = −µ0 𝑏𝑏2 𝑗𝑗2(𝑟𝑟−𝑐𝑐)となる。両者の磁束密度の重ね合わせが求める磁束密度となる。
µ0 𝑎𝑎 2 𝑗𝑗
µ 𝑏𝑏2 𝑗𝑗
µ 𝑗𝑗 𝑎𝑎 2𝑏𝑏2− 0= 0 � 𝑟𝑟 − 𝑟𝑟−𝑐𝑐�
2𝑟𝑟2(𝑟𝑟−𝑐𝑐)2答え40例題 6 円電流の作る磁場の計算 図のように半径 a[m]の I [A]の円環電流が高さ h[m]の位置に作る磁束密度を求めよ。（磁位から導出）

この位置での磁束密度を求める。

h [m]
a [m]
I [A]
下図のように断面を考える。

点 P から円環を見る立体角Ωは、PθΩ𝛺𝛺 = 2𝜋𝜋(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)

rh [m]a [m]（公式）となる。したがって磁位ΦI∅=

𝜇𝜇0 𝐼𝐼𝜇𝜇 𝐼𝐼𝛺𝛺(𝑃𝑃) = 0 (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
4𝜋𝜋2となる。
より、∅=𝜇𝜇0 𝐼𝐼
�1 −2ℎ� 2

�𝜇𝜇0 𝐼𝐼

𝑎𝑎2ℎ +𝑎𝑎2となる。磁束密度は高さ h 方向の勾配のマイナスをもとめればいいので、

𝐵𝐵 = −𝜕𝜕∅𝜕𝜕ℎ=と求められる。

2 (ℎ2 +𝑎𝑎2 )3/241例題 7 [演算子の練習] (𝑥𝑥 , 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)の位置でのベクトル E が次のように定義されている。
𝑥𝑥𝑦𝑦𝑬𝑬 = ( 2 +𝑦𝑦2 , 2 +𝑦𝑦2 , 0)𝑥𝑥𝑥𝑥

このとき、𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑬𝑬と𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬を計算しなさい。

div は発散の演算子である。
𝜕𝜕𝐸𝐸

𝜕𝜕𝐸𝐸

𝜕𝜕𝐸𝐸

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑬𝑬 = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦 + 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑧𝑧になります。

𝜕𝜕𝐸𝐸𝑥𝑥𝜕𝜕𝑥𝑥
𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2 −𝑥𝑥∙2𝑥𝑥−𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2= � 2 +𝑦𝑦2 � = (𝑥𝑥2 +𝑦𝑦2 )2 = (𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦2 )2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑥𝑥
𝜕𝜕𝐸𝐸𝑦𝑦𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐸𝐸𝑦𝑦𝜕𝜕𝜕𝜕=𝜕𝜕𝑦𝑦𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2 −𝑦𝑦∙2𝑦𝑦𝑥𝑥 2 −𝑦𝑦 2�� = (𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦2 )2 = (𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦2 )2𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦2=0

より、𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑬𝑬 = 0となる。

rot は回転の演算子である。
𝜕𝜕𝐸𝐸

𝜕𝜕𝐸𝐸

𝜕𝜕𝐸𝐸

𝜕𝜕𝐸𝐸

𝜕𝜕𝐸𝐸

𝜕𝜕𝐸𝐸

𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬 = � 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑧𝑧 − 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦 , 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥 − 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑧𝑧 , 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦 − 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥 �である。

どの偏微分で z が絡むものはすべてゼロである。
𝜕𝜕𝐸𝐸𝑦𝑦𝜕𝜕𝜕𝜕=𝜕𝜕𝑦𝑦−2𝑥𝑥𝑥𝑥�� = (𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦2 )2𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦2

𝜕𝜕𝐸𝐸𝑥𝑥𝜕𝜕
𝑥𝑥−2𝑥𝑥𝑥𝑥= � 2 +𝑦𝑦2 � = (𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦2 )2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑥𝑥より、𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬 = (0, 0, 0 )である。

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