国立防災科学技術セ：■ター研究報告第11号

1975年8月

551，466．8：551，463

水温躍層を伝わる内部波の滅衰
都

司

嘉

宣

国立防災科学技術セソター平塚支所

D㏄ay

Time

of

I皿tema1Waves

0㏄amicPropagating

i皿theThermoc1im
By

Yosllinobl1Tsuji∬かαた〃肋B〃〃oん，〈b〃o〃α1灰θsωκんCθ〃〃107Dゴ∫α∫加グPグω舳〃o〃Abstmct
The

decay

time

vertica1distributionofofintema1waves
densityinfunctionρ＝ρo−4tanhβμ，whichbecomec1earedofthermoc1ine

the

1ife

of

that

formulaementionedwaves

another

of

the
to

decay
a1argeintema1waves

days，and

1．序
1．1

time

that

its

can

is

very

time

of

on

the

thermoc1ine

similartointema1waves

the

the

with

the

fmction．It

has

error
on

the

the

magnitude

thermoc1ine

does

not

exceednot1onger

than100kilometers．The

in

the

distance

is

for

that

described

that

presumableadoptedassumption

isdependsispropagatingbeestimatedoceanic

extent．It

propagating

here

is

the

estimation

of

decay

time

thickness

of

of

ten

intemalsca1e．

論
研究の目的

1973年5月15日から6月8日までの25目間にわたって，気団変質観測計画（AMTEX）の予備観測として，白鳳丸（東京大学海洋研究所）によるKH−73−3次航海が行なわれ，東支那海での黒潮の構造に関する各分野からの観測がなされた．筆者はそのうち海洋物理部門のSTD（塩分・水温・水深測定装置）による観測チーム＊の一員としてこの航海に参加した．

そのとき得られたデータは，現在，東京大学海洋研究所，京都大学理学部，東北大学理学郁などに持ち帰られ，処理検討されていて，いずれ各研究機関からその成果が発表されるであろう．この観測期問中5月24目から25日にかけて，中国大陸の大陸だな上の定点E（28．10

123．10N，E）にアソカーされた（図1）．ここで24日15時から25日15時までの問に，2＊このチームは永田豊氏（東京大学理学部）をチーフとし，東京大学海洋研究所，京都大学理学部，
東北大学理学部の海洋研究者により構成されていた．参考文献4）を参照．

一49一

国立防災科学技術セ1■タr研究報告

第！1号

1975年8月

時間おきに13回のSTD観測が行なわれ，

これと並行して筆者は，水深58mの層の水
温の，サーミスタによる連続測定を行なった．

図2は5月24日17時00分〜08分に行な
われた，STD観測の記録結果で，細実線は

st．E

。

◎

水温，点線は塩分，太実線はこれらから算出．！

したσ・（＝（密度一1）X1，OOO）の値である．ほぼ水深63mを中心として厚さ10m程度の
図1

顕著な躍層構造が記録されている．矢印はサ

白鳳丸によるKH−73−3次航海での定点Eの位置

ーミスタの設置された水深を示している．躍層では水温，塩分，密度とも急変している．

σ一

23，5

24」0

24．5

T

19

20

21

） 340
S340
O

サーミスタはこの躍層の上端に位置していることになる．図3は，STDによって図2の記

25C
22．C

34．5

0

。。

録が得られた時刻の前後2時間，すなわち24

日16時から18時にかけての，このサーミ

25

スタによる水温の連続測定記録である．数分
︑■■二≡50一＝1から十数分を周期とする内部波が何波も通過

ε

し，サーミスタの位置まで躍層が上昇してき

1≡50
缶

←

o

たことが言己録されている．

このような内部波は，近年Woods（1968．

て観測された，躍層中の微細な温度の階段状

NITY

分布構造の形成の一つの原因と考えられていlOO

る．このような内部波が存在するために，躍図2定点EにおけるSTD降下時の記録．

層をはさむ水温，塩分，密度の異なる二つの1973年5月24ロユ7時00分〜08分．
細実線は水温，点線は塩分，太実線はσ七をそれぞれ表わす．矢印はサーミスタによる水温連続観測位置．

水塊が，躍層の所で大きなシヤーを受け，これらの水塊の混合が促進され，これら二つの16h22oC

DENSIW︵6︶TEMPERATuRESAL

751969），Cox（1969），Osbom（1969）らによっ

17h

18h

S．丁．D．

21，5℃

がC

20．5℃

図3定点E，水深58mでのサーミスタによる水温連続記録．5月24日16時〜！8時⇔印は。STD観測中．

一50一

水温躍層を伝わる内部波の減衰一都司

水塊の中間の水温，塩分，密度を持つ水が現われ，上述の構造ができるのである．

ここではこのような内部波が，粘性により，伝搬するうちにどの程度減衰するかを理諭的に考察し，内部波とはどのくらいの時問・空間スケールの現象であるのかを考えることにしたい．ここで観測されたような内部波現象では，粘性の大きさは，分子粘性の値（リ＝1．4
×10−6m2s−1，15℃）ではなく，その100倍ないし1，000倍程度の乱流のうず粘性係数を用いる方が合理的であると考えられる．以下に述べる内部波の減衰の結果，内部波のエネルギ
ーは，躍層内のうずのエネルギーとなり，躍層をはさむ上下の水塊の混合に貢献し，最終的にはうずのエネルギーは分子粘性によって熱になってしまう．

また，Woods（1969）によれば，先に述べたような躍層中の微細な多層構造の各境界面にも，ここを伝わる小さなスケールの内部波が存在することが観測されているが，このような内部波に対しても，ここで導かれる減衰についての諸公式を適用することができる．この場

合には，内部波のエネルギrの大部分は直接分子粘性によって消滅すると考えられ，したがって，粘性係数の値も分子粘性係数の値そのものに近い数値を用いてよいであろう．
1．2

海洋構造のモデル化

図2の密度構造をそのまま解析的に扱うことはできないので，できるだけこれに近い関数
形を，密度分布のモデルとして与えなくてはならない．一番単純には，躍層の厚さを無視し，躍層をはさんで各々密度の一定な上下層が直接接しあっているという，いわゆる2層モ
デルとして扱うことが考えられる．Johns

andC・oss（！969）はこのモデルで内部波の減衰を諭じている．実際には躍層の厚さが有限であるのに，このような取り扱いをすると，理論上内部波によってその密度境界面のごく近くで，きわめて大きな架空のシヤーが現われることになり，波のエネルギーは，主としてこの架空のシヤーによる内部摩擦によって失われるかのような見積もりをしてしまうことになる．その結果，内部波エネルギrの消滅量は実際よりも相当大きく評価されることになるのである．

この躍屑の密度構造が，これをはさむ上下両層の拡散によって形成されたものであるなら
ば，これを誤差関数で近似するのが合理的である．しかし誤差関数は解析的な取り扱いがめんどうであるので，ここではこれとよく似た双曲線正接関数で近似することにする．図4には各々正規化した誤差関数と双曲線正接関数を，図5にはそれらの微分形である正規分布関数と弧立波関数とを比較して示してある．

y

ここでは非線形項を無視し，非粘性としての

・法〆・。

O．5

一

一

一

一

■

一一

■

■

一

甲

↑・÷t…存・

解を第O近似として，粘性項を一次微小量と考えた摂動法によって内部波の粘性による減衰の公式を導くことにする．付録として，Johnsand

Crossの内部波減衰理論を，2層モデルの場合

O
図4に即して略述し，ここで扱う方法との異同，可

一51一

1

2

3

誤差関数（実線）と双曲線正接関数（破線）の比較X

国立防災科学技術セソター研究報告yクヘ．1︒／y一■ 2ノ

グ

■

第11号

1975年8月

1一多2
1一多2y万アe

、

、
、

、
、

、

…概＼

、

1

、

、
、

、

』一、一一一一、一
一2

一3

図5

0

一1

1

2

一一一一一

3

X

正規分布関数（実線）と孤立波関敬（破線）のユ・ヒ較

否について述べることにする．

2．

基本方程式と境界条件

内部波の進行方向・水平に戸

軸をとり，鉛直上

方にひ軸をとり，原点を躍層の中央におく．躍層をはさむ上下の均一屑の密度の差を24とすると，躍層の密度構造はほぼ
ρ＝ρo−1ρtanhβμ図6密度分布ρ＝ρ。一4tanh的（1）で近似される．ここにρ1は上下均一密度層の密度の図の平均値，βはこの躍層の厚さを表わす数である．

実質的には4β一1がほぼ躍層の厚さであると考えて差し支えない（図6参照）．

以下問題を二次元の現象に限定する．以下に出てくる諸式のベクトル記号もすべて二次元のそれを表わすことにする．

運動方程式のすべての項を省略せずに書くとDω

ρDr一ρσW一▽ρ十μ▽2・（2）連続の方程式は
▽・

二〇、

（3）

Dρ
＝O
Dτ

（4）

拡散を無視することにすれば＊となる．以上の諸式でD／Dナ＝∂／∂≠十ω・▽，〃は速度ベクトル（〃，〃），σは重力加速度，ρは

圧力，μは粘性係数である．

（3）の条件より流れ関数ψを考えることができて＊乱流のうずによる混合の影響の強いときには，拡散は粘性に対して必ずしも無視できない．しかし内部波の寿命を見積もる，以下の議論に対しては，躍屑の密度分布構造がこれによって大きく変化してこない限りこの影響はさほど大きくないと考えられる．

一52一

水温躍層をf云わる内部波の減衰一都司

∂ψ
∂μ

∂ψ
∂

〃＝一■
となる．

（2）に交換微分（crosso＝一一

di丘erentia1）をとり，速度をすべて流れ関数で表わせば［知・榊）1・÷者［蒜・1（券1）1・ナ若［黒・・（答1）1一帖・柳！）（・／

ここでリは動粘性係数であってリ＝μ／ρである．動粘性係数は全流体について一定であると仮定した．∫（∫，σ）はヤコビ行列式である．

（4）を流れ関数で書き直すと∂ρ
一十∫（ρ，ψ）＝O．
∂≠（4）

密度を，内部波がない静かな状態のときの値ρと，内部波が存在することによって生じた変動分〆とに分ければ
ρ＝肋）十〆（となる．（4）のうち非線形項一（∂ρ，μ，≠）／∂∬）x（∂ψ／∂μ）と（∂ρ∂ρ1∂≠／∂ひ）x（∂ψ伽）を省略すれば

ψ∂ψ
曲∂一一二一一一一一一

（4）

を得る．

（2）

の中で，非線形項と，重力加速度σとの積の形で入っているもの以外のρを省略し（ブシネスク（Boussinesq）近似），さらに全体を左で微分して（4）
∂2

σ

d戸

∂2ψ

∂

万・2ψ■7万7＝リ7・2（・2ψ）

の微分項

を使えば

（5）

密度分布ρ（ひ）として（1）式を代入すると
∂2

gβ∠ρ

∂2ψ

∂

か・2ψ十ρ。■sec舳1。・＝リ7・2（・2ψ）

ここでブシネスク近似の範囲内で左辺第2項の分母ρをρ。で置き換えた．（5）

（5）
が解くべき

基本方程式である．

表層混合層の厚さ，つまり躍屑の上端から海面までの距離は，実際には有限であるが，便宜上これを無1…艮の厚さがあるものとみなすことにする．このことの妥当性は後に論ずる．躍層より深い方の層厚も無限大とする．この上下の無1眼遠方での条件は，内部波の運動の影響がそこまで及ばないことから，そこでの流速は0，すなわちμ：土。。において
∂ψ
∂

∂ψ
∂μ

一＝一一一一＝O．

（6）

さらに非線形性の影響を無視しているのだから，この内郁波の質量輸送もないと考えることにする．したがって

一53一

国立防災科学技術セソター研究報告第1ユ号

1975年8月［ψ1砂一。。＝［ψ1砂一。。．

（7）（5）が解くべき基本方程式，（6），（7）が上下無限遠での境界条件となる．われわれはまず次の節で，第O近似として粘性項を無視した，減衰することなく定常的に伝搬する内部波の特性を述べ，4節で微小量としての粘性項が加わることにより，この内部波がどのように減技してゆくかを調べることにする．

3．

粘性項を無視した場合の内部波の特性

流れ関数を
ψ＝r・（ひ）ei（肋■σ・ε）（8）の形に置く．

ここでんは内部波の波数，σ。は角振動数で，非粘性（第O近似）の意味で添え字0を付ける。以下に現われる物理量のうち，複素数が現われたときは，その実部が現実の現象を表わしているものとする．（5）の右辺の粘性項を無視し，（8）式を代入すれば

吉箒一／1L紫（青）…岬小一・（・）

ここで0。は位相速度で，6。＝σo／んである．

この式は，一群の微分方程式d2〃d、・■｛が一Z（1−1）…h2・十舳（刎一1）・・…h2伽＝O（10）の特別な場合に相当する．この（10）を解くにはまず〃＝λ（ξ）（cosh2）一（sinh2）㎜，

ξ＝cosh22（11）と置けば，x（ξ）は微分方程式

1（1一・）音・／（1・糾・）1一（1・去）暗・Z＋篭十パ十篭一・一・（1・）を満たさなくてはならない．

この式のξ＝。。のまわりの基本解は峠（W叩（÷（1・舳入去（一1・舳・1）；（…）；ポ）・
け（岬…）・（去（1・例一・入去（一1＋…）；（一…）；ζ1）
で与えられる（岩波全書，数学公式III，§！6（ii）のXXIII，XXIV参照）．ここで珂α，6；o；2）は超幾何関数である．したがって（10）の解の基本系は

舳ギ岬（ξ…1）（㍗去（1・舳・・／去（一1・舳・・）・（…）・…）・（…）
舳一ξ岬（ξ；1）（榊・（÷（1・刎一・／去（一1ヰ…）・（一…）・…）・（1・・）

一54一

水温躍層を伝わる内部波の減衰一都司

ξ＝cosh2zとなる．ここに得られた解をわれわれの解くべき（9）に当てはめるには
ψo＝C1ω1＋C〃2，
2＝βひ，〃＝κ／β，

舳＝O

または

1，

1（1一・）一・（青）去・

つまり

1一去土

・瓜

（14）

と置けばよい．無限遠の条件（6），（7）よりξ＝cosh2的→。。でψ。は有限の値をとらなくてはならないからα＝Oである．
さらにμ＝0で流れ関数は連続でなくてはならないが，そのためには，ξ＝cosh2的→1＋

で（13・）に現われた超幾何関数の，ある項から先がすべてOにならなくてはいけない．その条件は（1＋舳十〃）／2，（刎十〃一1＋1）／2のうちいずれかが0か負の整数になることである．

（14）の条件中舳に2通りのとり方，Zに正負の符号のとり方の任意性があるから，この
ひ＝Oでの流れ関数の連続条件も多くの場合に分けられるのであるが，これら多数の場合のうち多くは重複しているので，結局次のように書けぱ，すべての場合が尽くされてしまうことが分かる．すなわち

1一去一壮・・、給
であつて

（A）

舳＝Oの場合妬一・・…榊・・（一州／）・1・（去）；（1／／）・・；・…2／1）・（・・）

ここでρ＝一（1＋・）＝一｛（1／2）一ノ（1／4）十9∠ρ／（ρ。β・2）十（〃β）｝

であり，このρの値は正の整数かOである．

（B）舳＝1の場合
ψFC1t・nh的…hκノβ榊・F（一ρ，（榊）十ρ十（3／2）；（ん／β）十1；…h物）・（16）ここでp＝一（1＋舳十〃）＝一｛（3／2）一ノ（1／4）十ψ／（ρ。β・2）十（榊）｝であり，このρの値は正の整数かOである．

具体的にρ＝O，1，2，…をこれらの式に代入して，微分方程式（9）の固有関数系の最初の数項を，その固有値とともに書くと，次の各式が得られる．ただし任意定数は省略する．

一55一

国立防災科学技術セソター研究報告第11号

1975年8月

ρ＝O：

（A）より
1ψ・＝・e・hκノβ的，

（17）

Lψρ β
100一
ρo ん（ん十β）

（18）

（B）より
・ψ。＝tanhβμsechκノββμ，

Lψ

β

2co一一
ρ・（た十β）（ん十2β）
ρ＝1：

（A）より

肌一㎞榊刈・一（鵠許…岬1／・ψρ

β300一ρ・（ん十2β）（ん十3β）（B）より

肌一・…伽・・榊／・一㌣箒詳）…榊／・

L4

β

46o−9
ρo （ん十3β）（ん十4β）
ρ＝2：

（A）より

5恥一・・榊［・一・／惰隼仁）／・・榊・他紺鵠鰐2）｝・㏄・／小L1ρ

β56o−9■
ρ。 （た十4β）（ん十5β）（B）より

肌一・・舳・・榊［・一・／鳩十1／…岬・｛（等晴織蝋｝州11・4

6o02＝σ一βρ・（ん十5β）（ん十6β）

左下に付けた添え字はモード番号を表わす．

。π。が基本モードであり，

一56一

ユ0・がその固有値す水温躍層を伝わる内部波の減衰一都司

なわち波速を表わす．〃番目のモードの波速冊0oは

。＿∠ρ

β

吻6o■97｛ん十（・一1）舳十・β｝

で表わすことができる．β→。。の場合，つまり躍層の厚さが無限小の場合には，基本モード

以外の波速はOになる．つまり2層モデルでは内部波のモードは一つしか現われない．現実の海で最も顕著に現われるのもまた多くの場合この基本モードの内部波であろうから，次節以下の減衰の議論もまたこの基本モードの内部波に限ることにし，モード番号を表わす添え
字も一々付けないことにする．

この基本モードの内部波の，躍層の中心線の形が
μ＝iαei（㎞一ψであったとすれば，その場合の流れ関数は
ψ＝ψ畑）・（肋刊）＝α61sechκノββひe

（叱エ刊〕

（19）

となる．αはこの内部波の振幅に相肖する．
4．

粘粘性による内部波の減衰性に関する無次元微小量εを

〃2
ε＝
σo

（20）

のように定義する．この量を用いて角振動数σと，流れ関数ψを
σ＝σo＋εσ1＋ε2σ2＋…

，ψ＝｛π・十εΨ・十ε2π2＋…

（21）｝ei（庇卜σ〕（22）のように展開する．ここでσ1，ψ1は粘性による1次近似項を表わし，これらの量は必ずしも実数とは限らない．2次近似項以下も同様である．σ。，ψ。は非粘性の内部波に対するもの
で，（17），（18）及びσFclんによって与えられる．

1次近似の範囲内で，（5）を満たすようにσ1，Ψ1を求めるのであるが，いま流れ関数の1次近似までの解として
ψ＝（Ψ・十ε酊1）ei（κ卜σ七）十0（ε2）＝αoo（sech榊βひ十εγsech（榊）十2βμ）ei（肋■σf）十0（ε2）（23）の形を仮定する．そうすれば▽2ψ＝αooe（此工一σ＾）｛一ん（ん十β）十4εγβ（ん十β）

一εγ（ん十2β）（た十3β）sech2βμ｝sech（榊）十2βひ十0（ε2），▽2（▽2ψ）＝一αooei（κ皿一σo）ん（ん十β）｛4β（ん十β）＿（κ十2β）（κ十3β）sech2βひ｝sech（比／β）十2βμ十0（ε）となる．これら及び（21）を（5）に代入し0（ε）の項をとれば，sech（榊）十2榊の係数から

一57一

国立防災科学技術セ：／ター研究報告第11号

1975年8月β（た十β）

σ。σ1ん（ん十β）＿2σ02βγ（ん十β）＝21σ02

■，

ん

（24）

sech（庇ノβ）十4βμの係数から4。．（ん十β）（ん十2β）（ん十3β）

σ。2γ（ん十2β）（ん十3β）一9ん2γ一β＝一1σ2

一一

μ

（25）

た

をそれぞれ得る．（25）によって未知数γが求められる．（18）式によってσを消去すればリん（ん十β）（ん十2β）（た十3β）

εγ＝一11L2σ。β（2ん十3β）

一

（26）

これを（24）式に代入すればん（ん十β）2

εσ1＝一1リ（27）（2ん十3βジ波の振幅が元の大きさのe−1になるまでの時間を減衰時間（decaytime）と呼び＆で表

わすと

1

2ん十3β

仇＝一

＝

（28）

lIm（εσ・）1リん（た十β）2となる．これから分かるように，減衰時問は動粘性係数に反比例し，密度差には無関係である．（28）でβ→。。とすれば＆は0に収束する．このことは水温躍層の厚さが薄くなれば
l06

φ湧

l05

㌧

鋤
ぐ6

u

Φ
ω

）

￠

ム

喋10

㌧

■一一

し・03m
■一一一

L・02m

一■

16
L：O、

m

一

一一一

102

OOOOl
図7

OOOl

OO1

β一1（m）OlllO

内部波の減衰時間．横軸にはβ■1（m）をとってある．この数値の4倍がほぼ密度変fヒ層の厚さを表わす．動粘性係数は分子粘性の値レ＝1．3×10■6m2s■1を使ってあるので，うず粘性係数がこの100倍の値をとるならば，減衰時間はこの図から読み取られる値の100分の1になる．

一58一

水温躍層を伝わる内部波の滅衰一都司

り，躍層の厚さが内部波の減衰の支配的な要因であることが分かる．図7は（28）式の関係を図示したものである．動粘性係数リの値は，分子粘性係数としての値リ＝1．3x10■6m2s

ぷo︾等

夷

1

︒減■／■

／

／

／

／

／

／

／

／

内部波の減衰を論ずるときには，乱流のうず粘性／係数を用いる方が妥当である．ただうず粘性係数の値は正確な数値を与えることが難しい．一つの

／

／

／

目安として分子動粘性係数の100倍の値をとるとすれば，内部波の減衰時問は，図7で読み取った

／

／

O．1

1を用いてある．躍層全体が振動している図3に示したような」

op他 ／／

1016161♂1010．

なるほど内部波の寿命が短くなることを示してお値の100分の1になる．
次に何周期伝搬すれば振幅がe一になるかを計
10
10WAVE LENGTH （m）

100
100

図8」ρ／ρo＝o．O01としたときの減衰時

間．実線は（29）式による値，点線算する．内部波の周期をτ1（秒）とすれば

σo3・／τ1＝
2πlIm（εσ1）1は密度不連続の2層モデルによる一蒜箒耕（青ジ（・・）（31）式による値である．

となる．図8はこの関係を」ρ／ρ。＝10−3の場合について図示したものである．リの値については図7と同様である．
比較のためJohns

andCross（1969）のように，躍層の厚さを無1眼に小さいと考えたモデ

ルから導かれる減衰時問の式を書くと

山一・〃μ岬竹）∴（30）

榊一・…州ρ榊μ（クジ（31）（誘導方法については付録参照）．ここで∠ρは上層と下層の密度差である．図8の破線は（31）式の関係を示したものである．（30），（31）を見て分かるように，減衰時間は動粘性係数の平方根に反比例している．一般には，（30），（31）で計算した減衰時間の方が，（28），（29）で計算したそれより短くなることが多い．これは序論のところで述べた理由によって，躍層全体が振動するようなスケールの内部波に対しては，John・and

水温

C・o・sの仮定した，水温躍層の厚さを無視したモデルによって計算すれば，内部波エネルギーの損失が見積もり過剰になるという，そのことの当然の結果である．ここで導いた内部波滅衰の公式（28），（29）は，Woodsが観測したような，躍層中の微細な密度境界面を伝わる，スケールのより小さな内部波などに対しても，適用できると考えられる．ただその際，式中の動粘性係数の値に

一59一

国立防災科学技術セソター研究報告第11号

1975年8月

ついては，扱う現象のスケールによって考慮されねぱならない．

5．

観測データのあてはめ

STDの観測で得られた図2の密度分布のデータを（1）に当てはめると，ほぼρ・＝1．02406，∠ρ＝4．0x10■｛，β一＝1．5mとなる．原点はこの場合水深63mのところにある．図3の水温変化記録から，ここに現われた内部波のおよその周期はTo＝400s，

σo二2π／400＝1．57x1o■2s■1とみると，（18）と6Fσoμの関係から波数んが求まり，
ρ1βσ・2ん＝＝714×10ψρβ一伽2ρ・

2m

1となり，波長ムは2π
ん

工＝一＝881m（32）となる．これらの値を（28），（29）に代入すれば。9司＝4．21x105s＝117h，

3d／τo＝1，052x1031

ここでは，動粘性係数として，分子粘性係数の100倍の値すなわちリ＝1．3×10−4m2s−1を用いることにした．

波の振幅が元の大きさのe■1になるまでの伝搬距離は，6θを群速度とすれば，（18）よりoθ：

dσ・ 1 β＝一〇〇＝o110m／s
dん 2β十んとなるから

仇x6θ＝46．3kmとなる．

以上のような数値から，躍層全体が振動しているような内部波は，寿命はおよそ1週間程
度，その間の伝搬距離は，50km程度であると推定され，その発生原因もまた，時間的にも空間的にも，この範囲内に求めるべきであると結論される．

6．む

す

び

躍層の上端から海面までの距離，すなわち密度，水温，塩分ともほぼ均一な表層混合層の厚さを，ここでは無限大として理論を組み立てたが，これはどの程度正当であろうか．（32）にも計算されたように，躍層を伝わる周期10分ぐらいまでの内部波ならば，その波長は100m程度と考えられる．表層混含層の厚さはその半分より厚いわけである．内部波の影響は（17）（Lamb（1932）のArt．373も参照）から分かるようにe■肋（ひは躍層からの距離）

一60一

水温躍層を伝わる内部波の減衰一都司にほぼ比例して小さくなるから，波長が表層混合層の厚さの2倍のときには，e−2元x刀μ＝e■π〜1／23となり，内部波の運動の影響は表面にはほとんど及ばないことが分かる．波長が表層混合層の厚さの数倍ないし十数倍あるときにも，（28），（29）はおおよその減衰時間を見積もるのには有効であろう．内部波の特性が，表層混合層が相対的に薄いことによって，厚さが無限大と仮定したときとかなり異なっているにしろ，エネルギーの損失はほとんど躍層の中だけで起こっているとみなせるからである．また元来うず粘性係数という正確には定め難い
因子を合んでいるからでもある．

内部波については，理論的にはかなりの数の研究者により取り扱われているし，その存在を証明する，断片的な観測事実もかなりの例が報告されている．しかしその割に，内部波の存在を証明する

段階から1歩進んでその実態をつかむための系統的な観測例はさほど多くない．これは普通の表面波と違って，（1）目に見えないこと，（2）現象が3次元的で，測定機具が多く要ること，（3）表面波より長い時問スケールの現象であること，（4）得られた水温，塩分，流速などの原データから定常流や乱れの影響を差し引いて，純粋に内部波成分だけを分離することが困難であること，などの理由が挙げられる．内部波について
も，表面波と同じように，方向性，パワーが論じられて，その発生原因が突き止められるよ

うになるまでには，まだ当分多くのデータの集積を待たなければならない．ここで導いた減衰を算出する公式の中に現われる動粘性係数の値をどの程度にとるかということもまた，室内実験ないし現地観測によって得られた，乱流に関する知識の集積を待たなければならない
だろう．

7．

謝

辞

この論文の作成に当たり，日々暖かい激励を賜わっている国立防災科学技術セソター平塚
支所沿岸防災第1研究室岩田憲幸室長＊，藤縄幸雄氏†，沿岸防災第2研究室内藤玄一氏，当支所の電子計算機の使用に際して御指導してくださった渡部勲氏に対し，感謝の意を表します．

付録：2眉構造の境界面を伝わる内部波の減衰
Johns

and

Cross（1969）は，密度が鉛直方向に階段状に不連続に変化するような，多層構

造の海を伝わる内部波について，その減衰を論じている．しかし，その論文の中には，われわれに使いやすい公式の形では，減衰時間算出方法が明記されていないので，ここで改めて，その一番単純な場合，つまり2層構造の境界面を伝わる内部波について，その粗筋をたどることにする．

＊現在1国立防災科学技術セソター平塚支所長↑現在：平塚支所沿岸防災第1研究室長

一61一

国立防災科学技術セソター研究報告

Johns

and

第11号

1975年8月

Crossの原論文では，動粘性係数が各層で異なっていてもよく，またブシネス

ク（Boussinesq）近似も成立していなくてもよいという，一般的な場合が述べてあるが，ここでは粘性係数は，上下層を通じ一定値をとるとし，ブシネスク近似が成立している範囲内で考えることにする．上の層に関する量には添え字Uを，下の層の量にはLをそれぞれ付けることにし，これらの添え字の付いていない量は，上層，下層それぞれについて，その量の出てくる式が成り立っていることを表わすものとする．上下各層の厚さは無限大とし，密度境界面の平均位置に原点を置き，水平方向に軸，鉛直上方にμ軸をとる．

各層内では，密度が一定だから，（5）式に対応して流れ関数ψについて∂2∂

7▽2ψ一リ万▽2（▽2ψ）

（A1）

が成り立つ
境界面での条件は四つ出てくる．

（A）境界面での水平方向の力（せん断応力）のつりあいから［殺一診L一［鴬一欺L
（B）

（・・）

同じく鉛直方向の力のつりあいから［／峠・音）一引、簑、（九一伽）・㍗殼L一・（A3）

ここでψは上下層の密度の差を表わし，またρはブシネスク近似の範囲内で，上下いずれの層の密度の値を用いてもよい．

（C）粘性流体として取り扱っているのだから，境界面をはさむ上下両層の水は，互いに滑べること（s1ip）が許されない．その条件から［驚L一［昔1…一・（D）境界面の波形をひ＝η（，f）＝αei（肋σ（・・））と置くと，水はこの面に沿って運動しなくてはならないから（運動学的境界条件）［砦L一［㌃L一一［糺一111・一）（A5）以上の四つの境界条件のうち，粘性を無視したときには，（A2），（A4）式および（A3）式のうち動粘性係数リの掛かった項が省略される．

無限遠での条件は2種類あって四つの条件式が出てくる．

（A）上下の無限遠で流体は静止しているという条件から［讐L一［努1＿一・・（・・）［篶L一［骨L一・

（・・）

一62一

水温躍層を伝わる内部波の減衰一都司（B）非線形項の影響を無視し，定常的な流れがないと仮定すると，上方無限遠から境界面までと，境界面から下方無限遠までの間に質量輸送がないという条件が付け加わり［ψU］砂＿。。＝［ψU］砂；o，（A8）［ψ山＝＿。。＝［ψ山＿o．

（A9）

ここで流れ関数の上に付けたバrは時間平均を表わす．

1）非粘性解このモデノレで考える場合も，第O近似としては，非粘性の場合の内部波の解を求めておく．Lamb（1932）のArt．231を参照すると，（A1），（A3），（A5），（A6），（A7），（A8），（A9）でリ＝0とおいた各式を満たす解はψ。U＝6。αe切ei（肋一卯），（A10）ψ。L＝6。αe吻ei（肋一卯），（A11）、。1一々ψ

（A・・）

2ρ

で与えられる．この解は完全流体の解であるから，境界面におけるせん断応力連続条件（A2）は考慮されていないし，そこでの滑べりのない（non・s1ip）条件（A4）も満たされていない．

2）粘

性

解

粘性の影響を考慮した第1近似解を求めるため，
ξ2＿

2リが

（A13）

σ0

のような微小パラメーターを考える．エネルギーの損失は主として境界面のごく近くで生ずるシヤーによるものである．そこでη＝Oの近傍を表わす座標系として
μ＝εγ

なるγ座標を導入する．流れ関数ψ，角振動数σ，うず度ξ（＝▽2ψ）に対し，
ψ＝｛o・αe±十εPe±版十εΨ1（γ）十εΨ2（γ）十…｝eσ：σ。十ξσ1＋〜σ・十…

（肋一σ＾），

（A14）

，

1

ξ＝▽2ψ＝一（∫1＋ε∫・十〜∫3＋…

）ei（肋一州（A15）〔のような展開形を仮定する．

複号は下層に対してはプラスを，上層に対してはマイナスをとる．数字1，2，…の添え字は近似のオーダーを表わし，以下たとえばψ。，。というのは流れ関数の上層に対する第2近似項を表わすことにする．
（A14）を（A15）に代入し0（ε），0（〜）の項を拾い出せばdΨ｛

力一dγ・（・一1・2）が得られる．（A1）をうず度を用いて表わせば
一63一

（A16）

第11号

国立防災科学技術セソター研究報告

1975年8月∂2∂∂ま1ξ＝リ万▽2ξ

これに（A15）を代入すれば
1−iσr（∫・十φ十…
ε）一釧一糾÷ふ）÷（ハ・φ・・）・

この式の・（÷）の項をとれば
d2∫1

丁河十2附・＝O・（A17）

同じく0（1）をとれば

d2∫・

σ1

7河十2W・＝一2i■7舳（A18）をそれぞれ得る．常微分方程式（A17）の解のうち，無眼遠の条件（A6），（A7）を満たす項だけを残せば
1U，、＝Cもe一（1■i）鮒，（A19a）∫L．。＝α一e（1（A19b）iwとなる．（A2）の条件よりここに現われた積分定数CもとCl、は相等しく，この等しい値を
一2iん2Cとおく、（A19a），（A19b）を2度積分すると，（A16）によって流れ関数となる．この積分の際，現われる積分定数は，無限遠条件（A6），（A7），（A8），（A9）によりすべてOになるのでπU，。：Ce一（1■iw，（A20a）

ΨL，。＝Ce（1−i）比「．

（A20b）

このCの値は，（A4）の条件の0（6）の項を拾い出すことにより求まり
αα十（1−i）C＝O，

1＋i
ooα，
2

（A21）

Cも＝C乞＝一（1＿i）ん2ooα

（A22）

C＝＿＿

となる．また（A5）へ（A14）を代入し，0（〔）の項を拾い出せば
σ1
1）U＋C＝PL＋C＝一一α．
ん

（A23）

（A21）によりCは知られているから＾一凡一舳（廿・÷）・（A24）以上によって流れ関数の1次近似の項はすべて未知数σ1で書き表わされることになった．

このσ1は未知であるが，そのまま2次近似の関係式を調べてゆくことにする．（A18）の右辺はすでに（A19a），（A19b），（A22）により求まっている．それによってこの微分方程式を
一64一

水温躍層を伝わる内部波の減衰一都司

解き，無限遠で発散する項を落とせぱ

dΨ。，。

．

．

一

∫・，・＝dγ・＝・■（1■1）版（D・一1肋σ1γ）・

d2π。，。
九・・＝dγ・＝・（H）版（D・十1ん2ασ・γ）

積分定数D。，D。はやはり（A2）により等しくなり，これをDと書くことにする． これらを1回γで積分する．積分定数は無限遠条件（A6），（A7）より0になって

d伊一ゼ（岬（一景1・一1デα〃γ一αチ）・（A25a）

d浄一び岬（㌫1・一1デα〃・αチ）（A25b）（A5）の0（〜）の項からDが定まり，上の二つの式に代入すれば

drト（叫伽（1才1・云）一1；11刈・（・…）

d芋デーぺ舳（1吉1・云）一1；11伽γ／（・…）

以上により求まった流れ関数の値を（A3）に代入すれば，σ1が求まり
1＋i
σo
6

σ1＝＿

（A27）

となる．ξσ1の虚部の絶対値の逆数が減衰時問。％になる．

仇＝

1
6
＝
lIm（・σ1）1舳

（A12），（A13）を代入すれば
9d＝3・23／4ヅ1／2卜5／4g■1／4（4／ρ）一1／4，（A28）。9固／τo＝3π11・2■ヨ〜一1／2んI3／491μ（」ρ／ρ）1／4（A29）をそれぞれ得る．

以上たどってきた論証で明らかなように，このJohns

andCrossのモデルでは，密度境界面のごく近くの，大きなシヤーの発生する薄い層の中でのエネルギrの損失を見積もっているのであるから，これらの式が適用できるのは，密度変化層（われわれの場合には躍層）の
厚さカ㍉このンヤー発生層の厚さスケールノ2リ／σ。に比へて，非常に薄い場合のみである

5節で述べた内部波の実例で，このスケールを計算すると，リ＝1．3×10−4m2s−1（分子粘性の100倍）として，ノ2リ／σo二129cmとなるから，公式（A28），（A29）または（30），（31）は躍層全体が振動するような内部波の減衰の計算には全く適用できないことが判明する．
参
1）

Cox，C．S．，Y．Nagata

考

文

an（1T．R．Osbom（1969）：

献
Oceanic丘neJψ．806．乃∫ん．066αηogr．，Specia1Number，67−72．

一65一

structureandintema1waves．月〃．

国立防災科学技術セソター研究報告
2）Johns，B．and

M．J．Cross（1969）：The

decay

of

intemal

第11号

1975年8月

wave

in

modes

a

multi−1ayered

system．

D妙＆α地3．，16，185−195．
3） Lamb，H．（1932）： 助みoめ物α〃6∫，6th ed．Camb．Univ，Press．

4）永田豊，中井俊介，前田明夫，渡辺正昭，徳田正幸，佐伯理郎，市川宣（1973）

沖縄付近の里潮の構造

洋，小田巻AMTEX予備観測（KH−73−3）から

実，都司嘉

昭和48年度目

本海洋学会秋季大会講演要旨集，日本海洋学会，p．120・
5）Osbom，T．R．（1969）： Oceanic丘ne structure．UCSD Dissertation．
6）Woods，J．D．（1968）：Wave−induced shear instabi1ity in the summer themoc1ine．J．肋〃泌6ん．，
32，Part4，791＿800．

7）Woods，J．D．（1969）：On
sition

in

the

ocean

Richardson
and

s

mmber

atmosphere．Rαasacriterion

for1aminar−turbu1ent−laminartran−

o86ゴー，4（12），1289−1298．
（1974年4月1日原稿受理）

一66一