今回の内容

北⼤・統計解析の基礎③2

 統計的仮説検定
 カイ⼆乗検定推定と検定

 区間推定 P値廃⽌運動 サンプルサイズ設計

北海道⼤学 医学統計学
横⽥ 勲

12

炎上したが・・・

統計的仮説検定5

 統計的に話を整理する
1.
2.
3.

 科学的⽅法である背理法を導⼊

対戦相⼿と実⼒が互⾓という仮定


6

1.

勝利する確率が0.5

対戦結果は29勝0敗1.の仮定の下で、29勝0敗が起こることはどのくらいまれなことかを計算

2.

「対戦相⼿との実⼒に差はない」と仮定


帰無仮説という



群間⽐較の場⾯では「⽐較群間に差がない」仮定が偽であることをいう
 確率ではなくp値と⾔えば炎上しなかった︕︖

3.



5

P値が事前に定めた有意⽔準より低い「実⼒に差がある」と結論づけ
対⽴仮説を受容6

帰無仮説と対⽴仮説

帰無仮説が正しい場合

7

 帰無仮説 𝐻 （否定したい仮説）

 同様の研究を繰り返したならば、観察される勝率は、0.5を中⼼として、左右対称に分布

 勝率は○○である
 ⽐較群間で効果の⼤きさに違いがない
 曝露とアウトカムは無関係だ

8…etc.

「29試合⾏う」を繰り返したところ得られた勝率のヒストグラム

 対⽴仮説 𝐻 帰無仮説と逆の内容

 観察データが帰無仮説に反するかに注⽬
 対⽴仮説に反するかには注⽬しない

0.5

7

勝率

81

観察結果はどこにある︖

たとえば5連勝だったら︖

9

 勝率100%（29勝0敗）は、

 まだありえそう

ヒストグラムのどこに位置するのか︖

ここ（1番⽬）

ここ（1番⽬）

0.5

勝率

勝率0.5

9

10

同じ「1番⽬」にまれな出来事どちらがよりまれ︖

11 試合数に応じて、「まれ」っぷりが違う

12

 勝率が0.5である下で、

 帰無仮説の下で、ありえるパターン数を 29勝1敗分⺟において考える 勝率 97%
 全パターンのうち、2番⽬にまれ

 勝率が0.5だとして、5試合⾏うと、対戦結果は25=32通り考えられ、

 5勝0敗そのうち1番まれな結果が得られた

 勝率 100%

 勝率が0.5だとして、29試合⾏うと、

 全パターンのうち、1番⽬にまれ

対戦結果は229=536870912通り考えられ、そのうち1番まれな結果が得られた

1112

p値

正規近似を⽤いた検定1314

 以下の検定統計量𝑍が

 帰無仮説の下で、標準正規分布に従うことを利⽤考えられうる全ての結果パターンに対し、観察結果が得られた順位

 平均0、分散1 の正規分布

 順位を0から1の間で基準化

Z 事前に定めた有意⽔準より低ければ、帰無仮説は正しくないと意思決定する
 有意⽔準は、通常⽚側2.5%1310𝑝
𝑝 1𝑝𝑛𝑝∼ 𝑁 0,1

ただし、𝑝̂ は観察された勝率
𝑝 は帰無仮説の下での勝率
𝑛は試合数（サンプルサイズ）

142

⽚側p値︖両側p値︖

⽚側検定と両側検定

15 勝率が⾼い⽅からみるか、

16

 ⾔いたい対⽴仮説に応じて選ぶべき勝率が低い⽅からみるものも加えるか ⽚側検定 通常、両側p値は⽚側p値の2倍

 帰無仮説︓勝率は0.5である

 両側p値で報告することが多い

対⽴仮説︓勝率は0.5より⾼い 両側検定⽚側 帰無仮説︓勝率は0.5である

対⽴仮説︓勝率は0.5より⾼い、もしくは低い

両側
勝率

0.5

1516

脚気論争

割合の95%信頼区間を計算

17 ⻑期航海において脚気患者が続出

 洋⾷

 ⾷事内容を変更し、同⼀航路で訓練航海

⾷事

脚気の発⽣



なし

洋⾷

14 (4.2%)

319

333

⽶⾷

169 (44.9%)

207

376

1.960.020, 0.064

1.960.399, 0.500

 ⽶⾷

合計あり

 どうやら差はありそう 洋⾷にすれば脚気は減る︖

1718

統計的仮説検定を導⼊

仮説をパラメータ化

19

 帰無仮説𝐻 ︓20

 洋⾷での脚気発⽣割合𝑝

⾷事によって脚気発⽣割合は変わらない

 ⽶⾷での脚気発⽣割合𝑝

 対⽴仮説𝐻 ︓

 帰無仮説𝐻 : 𝑝

洋⾷は⽶⾷より脚気発⽣割合が低い 差(Δ ⽚側検定を⽤いる𝑝

 差(Δ𝑝𝑝𝑝 )で書き直せば、𝐻 : Δ

 対⽴仮説𝐻 : 𝑝

 脚気発⽣割合の群間差に注⽬

19180𝑝𝑝 )で書き直せば、𝐻 : Δ0203

帰無仮説が正しい下で群間差が従う正規分布21 同様の研究を繰り返したならば、

 帰無仮説が正しい下で、群間差について観察される群間差は、ゼロを中⼼として、左右対称に分布

 平均は0 分散は サンプルサイズ⼤きくなるにつれ、正規分布に近づく⋅

⽐較群

研究を繰り返したところ得られた群間差のヒストグラム群間差02221⋅
疾病発⽣ありなし

試験群𝑎𝑏

対照群

𝑐合計

𝑡

合計𝑛𝑑𝑁𝑚𝑡

𝑁22割合の差の検定

標準正規分布2324

 帰無仮説の下で、

ただし、𝑝1𝑚𝑎,𝑝𝑛0.3∼ 𝑁 0,1𝑐,𝑝𝑚0.2

1𝑛𝑓 𝑥

𝑝02.5%

2.5%

0.1

𝑝 1𝑝𝑡
𝑁0.0

𝑝Z

0.4

以下の検定統計量Zが標準正規分布に従う

-1.96

23

1.960𝑥24

カイ⼆乗検定脚気論争の例25

 検定統計量𝑍を2乗して整理すると

𝑍

𝜒

26

 割合の差の検定

𝑁 𝑎𝑑 𝑏𝑐∼𝜒𝑛𝑚𝑡 𝑁 𝑡

𝑍375.74

1.96⋅

 ⽚側2.5%有意⽔準で有意差あり

 ⾃由度1のカイ⼆乗分布 「洋⾷は⽶⾷より脚気発⽣割合が低い」

 割合の差の検定と全く同じ

 2×2分割表以外の分割表にも拡張可能

25

264

この例では︖

仮説検定での2つのエラー

27

疾病発⽣ありなし
試験群 10 50%
10
対照群 4 20%
16
合計
1426
⽐較群

 割合の差の検定︓𝑍

1.66

28

 αエラー (type-I エラー,第⼀種の過誤)合計 本当は差がないのに有意差ありという誤り

202040 消費者リスク(Awatenbo)あわてんぼうさんの間違い βエラー (type-II エラー,第⼆種の過誤)

1.96 本当は差があるのに有意差を出せない誤り 有意差なし

 ⽣産者リスク 「群間に差がなかった」とはいえない(27Bonyari)ぼんやり者の間違い

28

αエラーとβエラー

有意差なし ≠ 差がない

29

 本当に差がなかった

⺟集団（真）
検定結果30

 βエラーによって、差がない

差がある

有意差なし

正しい

有意差あり

第1種の過誤α エラー第2種の過誤
β エラー

本当は差があるのに有意差なしかも どちらが正しいかはデータから判定不能 背理法の理屈からも、正しい

帰無仮説が正しいとはいえない

有意⽔準で⼤きさを決める
サンプルサイズを増やすことで軽減

2930

統計的仮説検定のポイント

効果や影響の⼤きさ

31

 ⼆者択⼀の意思決定

 検定では、差があることしか分からない 脚気割合の場合は、信頼区間を求めた

 差がある or 差があるか分からない𝑝̂ 有意差がある場合、差があることを主張する強⼒な⽅法𝑝̂ 1

 背景には背理法の理屈

𝜇𝑛𝑝̂

1.96

 群間差でも信頼区間を求めたい 有意差がない場合、解釈が難しい

 推定値の精度を議論できる

 差がない、といってはならない

31

32

325

脚気発⽣割合の場合
1.96

Zを𝜇について解いた

34

信頼係数というp値の計算

信頼区間


群間差の95%信頼区間

33

 割合の差の検定をベースに、∼ 𝑁 0,1以下の式の𝜇を解く
𝑝𝑝𝜇 事前に定めた𝑝 が正しいか

𝑝 1

𝑝1
𝑚1𝑛

1.96

信頼区間は、検定で有意にならない範囲

3334

脚気論争の例
𝑝14333𝑝169
376

1.96 𝑝 1
1.96

脚気論争例の解釈

35

𝑝1𝑛

 (-0.343, -0.472)1
𝑚

183 5261⋅
709 709 333

36

 洋⾷にすると脚気発⽣割合が30%下がる︕
 ウソ

 洋⾷にすると脚気発⽣割合が40%下がる︕

1376

 否定できない 洋⾷にすると脚気発⽣割合が下がらない︕

 (-0.343, -0.472)

 ウソ

 差の信頼区間が0を含まない⇔

35

検定で有意差あり

36

信頼区間の解釈

仮想的に研究を繰り返し

37

38

1つの研究から得た信頼区間

 厳密な解釈 同じような研究を繰り返した場合、研究ごとに信頼区間を推定

 それら信頼区間100通りあたり、95通りは真の値を含む

 実際の解釈 今回の研究データから効果の⼤きさとしてありうるであろう範囲

37

真の値

386

区間推定のメリット

Scientists rise up against
statistical significance39

 単に差があることをいうだけでなく、

40

Amrhein V, Greenland S, McShane B. Nature. 2019;567:305-307.

どの程度の効果であるのかを議論できる
 研究の精度もコミの議論

 得られる情報

区間推定でわかること

検定でわかること

39

40

P値の誤⽤⼊⾨①

P値の誤⽤⼊⾨②41

 死亡群と⽣存群では年齢が異なった

42

 有意差がつかないと論⽂にならないから

Fisher検定をカイ⼆乗検定に変えた P>0.05だったから両群は同じ
 有意差があったから、グループ間には間違いなく差があるんだ 年齢の違いではP=0.04、性別の違いではP=0.02ゆえ、性別のほうが与える影響が⼤きい

4142

P値廃⽌運動サンプルサイズ設計

43

 あまりに科学界で検定を濫⽤している

 研究の位置づけによって異なる いっそ、P値を⽰すことを禁⽌しては 介⼊研究44

 探索的な要素が強いか、検証的な意味合いか パイロット研究か否か

 医学研究では臨床試験における 観察研究アウトカム⽐較でのみ検定を使⽤すべき 仮説創出か、なぞる⽬的か、
 因果関係の探索か、予測なのか

43447

適切なサンプルサイズ

サンプルサイズ設計のやり⽅

4546

 実現可能性に基づく設計

 サンプルサイズをただ⼤きくすればよいか︖
 実際の研究では、多くの⼈数を集めることは

 検定ベースの設計

時間的、⾦銭的に困難

 例︓期待する治療効果がみられた場合に、 わずかな差でも有意となってしまい、検出⼒80%を満たすような最⼩例数

そのような差に臨床的意味があるのか︖

 精度ベースの設計

 サンプルサイズが⼩さいとどうなるか︖

 例︓期待する反応割合の下で、 臨床的に意味のある差があるのに、95%信頼区間幅が30%になるような例数有意であるという結果が得られにくくなる
 検出⼒不⾜4546

検定ベースの例数設計（⼆値）①

検定ベースの例数設計（⼆値）②47

 対照群の反応割合 𝑝

 帰無仮説が正しい下で群間差が従う分布

 期待する試験群の反応割合 𝑝

帰無仮説が正しい下で群間差が従う分布

 割合の差の検定（カイ⼆乗検定）を実施
 群間差 Δ𝑝48𝑝

 有意⽔準︓⽚側0.025𝑝𝑝𝑝 1𝑝01
𝑁1𝑁

有意⽔準︓⽚側2.5%より“有意”となるカットオフ値が定まる~𝑁 0,1

 検出⼒︓0.8
 割り付け⽐︓均等（1対1） ⽚群のサンプルサイズ 𝑁

群間差

04748

検定ベースの例数設計（⼆値）③

検定ベースの例数設計（⼆値）④49

 期待する治療効果がある下で 検出⼒が80%以上となる最⼩の𝑁を探索有意差がつく確率（検出⼒）を求める
期待する治療効果がある下で𝑝
群間差が従う分布
カットオフ値𝑝̂ 1𝑝𝑝̂

1𝑁

カットオフ値

𝑁01𝑁50Power 0.2925~𝑁 0,10𝑁

群間差
カットオフ値Power 0.5150

検出⼒

0

群間差

カットオフ値

0Δ

群間差𝑁

Power 0.80

100049群間差50

8

例数設計に必要な情報

サンプルサイズ設計の実際

51

 検定⽅法、有意⽔準、検出⼒52

 たいていは専⽤ソフトを⽤いる 効果の⼤きさとバラツキ

 SAS、JMP、nQuery、PASS、、、（有料） SWOGのホームページ（無料） 連続量︓群間差、群間差の標準偏差 複雑な仮説の場合はシミュレーション

 ⼆値︓両群の割合
 ⽣存時間︓ハザード⽐、対照群での⽣存率

 群間差がない下で、n⼈分のデータを発⽣し、＋登録期間、最低追跡期間

検定を⾏い、有意な割合が有意⽔準以下 期待する効果の下で、n⼈分のデータを発⽣、検定を⾏い、有意な割合が検出⼒以上
 このnをいろいろ変えて検討

5152

まとめ53

 検定と推定 検定は差があることをいうためには強⼒ 推定は効果の⼤きさを含めたより多くの議論

 カイ⼆乗検定
 カテゴリカルデータの群間⽐較

539