コンクリート工学年次論文集，Vol.31，No.1，2009

論文

二軸拘束状態下での膨張コンクリートの仕事量に関する考察
林陸太*1・石川靖晃*2

要旨：本研究では，膨張コンクリートの仕事量一定則に関する理論的考察を熱力学の第一法則に基づき行った。次に，膨張コンクリートの一軸および二軸拘束試験を行った。特に，二軸拘束試験では膨張材混入量と仕事量の関連について検討を行った。その結果，膨張材混入量に依らず，仕事量一定則は拘束方向ごとに独立して成立することが示された。さらに，仕事量は膨張材混入量の増加とともに，対数的に増加することも示唆された。
キーワード：熱力学第一法則，仕事量一定則，仕事量，膨張コンクリート，膨張材混入量
1. はじめに

次に領域 A が化学的に膨張する場合を考える。領域 A はコンクリート構造物への膨張材の使用は，温度変化，膨張コンクリート，一方，領域 B は鋼材などの拘束体に乾燥収縮，自己収縮による初期ひび割れを制御するうえ対応する。この場合， ∆M は構造系を構成するすべてので有用な方法の一つである。

材料になされる仕事量となる。領域 A が領域 B になす仕現在まで，膨張材料の挙動の推定法はいくつか提案さ事量 d ξ B は，領域 B からの影響を含め次式で示される。

dξ B = ∫ R ds = ∫ σ : dε dV B + ∑ Pi d u iれている。辻 1) は仕事量一定則に基づき一軸応力状態下VBの膨張コンクリートの変形挙動を評価している。また，(3)i

内田ら 2) および三谷ら 3)-7) は，一軸拘束応力状態下にてここで，R と s はそれぞれ領域 A の反力と変位ベクトル

有効自由膨張ひずみを提案している。

であり，V B は，領域 B の体積である。また，Pi と u i は，

8)

二軸拘束状態下では，石川ら ，柴田ら

9)により，仕事量一定則に基づいた理論モデルの構築がなされている。

それぞれ外力と対応する変位ベクトルである。σ と ε は，それぞれ応力テンソルとひずみテンソルである。
反対に，領域 B から領域 A になす仕事量は次式で与え

しかしながら二軸拘束状態下での仕事量に関する実験的検証は未だに少ないため，十分な検討を行う必要がある。

ることができる。

− dξ B = ∫ − R ds = ∫ σ : dε d V A

本研究は，二軸応力状態での仕事量の実験的検証を目的とし，まず，熱力学の第一法則に基づき，仕事量に関する理論的考察を行った。そして，既往の一軸拘束試験に基づき仕事量について検討を行った。最後に二軸拘束(4)VA

ここで， V A は領域 A の体積である。領域 A を弾性体と仮定し，クリープと収縮を考慮すれば，式(4)の右辺は次式のようになる。

∫ σ : dε dV= ∫ σ : (dε + dε + dε + dε ) dV= ∫ σ : dε dV + ∫ σ : dε dV+ ∫ σ : dε dV + ∫ σ : dε dV実験を行い，二軸応力状態下での仕事量について検討しAVAた。特に二軸拘束試験では，膨張材混入量と仕事量の関e連について焦点を当てた。

crshcheVAecrAVA

2. 熱力学の第一法則に基づいた仕事量一定則に関する

AVAsh

理論的考察

cheAVA

VA= dξ Ae + dξ Acr + dξ Ash + dξ Ache

図−1 に示すような断熱境界で区切られる構造系を考える。構造系には領域 A および領域 B が存在する。熱力学の第一法則によれば，エネルギー保存則は次式によ断熱境界り表現される。

∆Q + ∆H + ∆ M = 0

外部荷重 Pi(1)

力R

ここで， ∆ Q は構造系の内部エネルギー， ∆H は外部へ

領域 Aの熱移動量，∆M は外部になされた力学的エネルギーである。ここで， ∆H = 0 と仮定すると，すなわち構造系

領域 B
固定境界は等温状態であるとすると，式(1)のエネルギー保存則は図−1 膨張する領域 A を含む構造系次式となる。

− ∆Q = ∆M*1 名城大学大学院(2)
理工学研究科建設システム工学専攻*2 名城大学 理工学部建設システム工学科准教授

工博

(正会員)
(正会員)

-511-AA(5)ここで，上付き添字 e ， cr ， sh ， che はそれぞれ，弾一条件での研究が少なく，各条件での分類が困難なため性，クリープ，収縮，化学膨張を表す。式(4)，式(5)を式である。図には最小二乗法により近似した直線も描かれ(3)に代入することにより，次式を得る。ており，傾きの絶対値は拘束鋼材および膨張コンクリー− dξcheA= dξ B + dξ + dξ + dξeAcrAshA(6)

ト自身になす仕事量の和のほうが小さくなっている。

式(6)の右辺第一項は，膨張材料が外部もしくは拘束にな一軸応力状態下では，拘束鋼材になす仕事量は拘束鋼す仕事量である。一方，右辺第二項から最後の項は，膨材比の増加とともに減少する傾向がみられる。一方，拘張材料自身になす仕事量である。式(2)より， dξcheは，A

束鋼材および膨張コンクリート自身になす仕事量の和は構造系に蓄積される内部エネルギーに対応する。またそその傾向がみられない。これは辻が提案した仕事量一定

れは，膨張領域外部になす仕事量と膨張領域自身になす則の妥当性を示唆している。しかし，温度と配合の影響仕事量の和で表現される。したがって式(6)は，本研究のについて，さらに調査する必要がある。

範囲では，膨張コンクリートがなす仕事量は，拘束鋼材および膨張コンクリート自身になす仕事量の和で表されることを示す。
3. 一軸応力状態下での仕事量に対する検討
本章では過去の研究 3)-7),10)-17) に基づき，一軸拘束状態下での膨張コンクリートの拘束鋼材および膨張コンクリ

拘束ひずみ (×10-6)60050040030020010000ート自身になす仕事量について分析検討を行った。調査

46材齢 (日)対象は 87 ケースであり，全ての拘束鋼材のひずみが測定

図−2 拘束鋼材のひずみの一例 11)されている。拘束鋼材のひずみ 11) の一例を図−2 に示す。

単位体積あたりの仕事量 (×10-5N/mm2)
15
膨張材量 20kg/m3
12
膨張材量 30kg/m3
9
傾き -47.6×10-5N/mm2
R2=0.316

仕事量算定の際，膨張コンクリートおよび拘束鋼材は共に弾性体であると仮定する。また今回の分析では，弾性ひずみによる仕事量にのみ着目した。単位体積あたりの膨張コンクリートが拘束鋼材になす仕事量 U s は次式で3示される。

012U s = ρE s ε s2(7)ここで， ρ は拘束鋼材比， E s および ε s は，それぞれ拘0.000.040.060.08 0.10
拘束鋼材比

膨張材量 20kg/m3
単位体積あたりの-52
膨張材量 30kg/m3
仕事量 (×10 N/mm )15-5
傾き 9.74×10 N/mm2
12R2=0.01
96

コンクリートの応力および弾性ひずみ履歴の測定は不可能であるため，膨張コンクリート自身になす仕事量は実験から直接算定できない。したがって，膨張コンクリー
ト自身になす仕事量 U c は，力の釣り合いより次式にて間接的に評価した。

32Es
ε s ∆ε s
Uc = ∑ ρ
Ec0.02

図−3 拘束鋼材になす仕事量と拘束鋼材比の関係

束鋼材のヤング係数および軸ひずみである。一方，膨張22

拘束鋼材比 0.1%
拘束鋼材比 1.0%
拘束鋼材比 8.0%

(8)

00.00

0.020.040.06

ここで， E c は膨張コンクリートのヤング係数であり，0.08 0.10
拘束鋼材比∑は，時間ステップについて総和をとることを意味する。

図−4 拘束鋼材および膨張コンクリート自身に式(7)，式(8)により算定された仕事量を図−3，図−4なす仕事量の和と拘束鋼材比の関係に示す。図−3 は拘束鋼材になす仕事量と拘束鋼材比の※長さ単位はmm関係を，図−4 は拘束鋼材および膨張コンクリート自身になす仕事量の和と拘束鋼材比の関係を示している。図中のプロットは材齢 3 日の値である。膨張コンクリート

膨張拘束鋼板
コンクリート 100 30
ひずみゲージ

100100のヤング係数はそれぞれの実験より別々に求まる。また，個々のプロットの配合は異なるが，膨張材量のみにより分類している。養生も 20℃〜60℃の異なった温度条件で行われているが，区別せずプロットしている。これは同-512-yx 平面図

拘束鋼材x 方向側断面図

図−5 仕事量測定装置概要 8)

4. 二軸応力状態下での仕事量に対する検討
4.1 実験概要

そこでヤング係数の型枠の拘束の影響についても検討し8)た。本研究では直径 100mm，高さ 200mm の円柱供試体

図−5 に，二軸拘束条件下での仕事量の測定装置8)をにより測定した。供試体は脱型後 20℃で気中養生した。

示す。本装置の特徴は，膨張コンクリートに埋め込まれ表−3 に実験ケースを示す。脱型材齢および測定材齢はた直交する拘束鋼材のひずみを測定することにより，2それぞれ 1 日，3 日，7 日である。NE20 と NE40 のヤン方向の仕事量を間接的に評価できることである。2 本のグ係数の経時変化を，それぞれ図−6，図−7 に示す。こ拘束鋼材で拘束する方向を x 方向，4 本の拘束鋼材で拘れらの図より，測定材齢および脱型材齢の増加とともに，束する方向を y 方向とする。拘束鋼材にはビニールテーヤング係数は増加していることがわかる。特に同材齢でプが巻かれ，拘束鋼材と膨張コンクリートの付着を防止

は，型枠の拘束によるヤング係数の増加は，NE20 よりしている。三谷ら 7) により，拘束鋼材の軸ひずみ分布はも NE40 で顕著である。そのため，NE40 には，脱型直後ほぼ一様になることが確認されているため，一枚のひずのヤング係数の経時変化を表す曲線(脱型直後)，およびみゲージを拘束鋼材の中央に貼り付けている。拘束鋼板

材齢 1 日に脱型することにより得られるヤング係数の経に拘束鋼材の両端をボルトで固定したのち，内部に膨張時変化を表す曲線(1 日脱型)の 2 つが示されている。

コンクリートを打設する。打設 2 時間後から 2 時間間隔4.3 仕事量の算定および比較検討で拘束鋼材のひずみ履歴の計測を行った。環境条件は室NE20 と NE40 のすべての拘束鋼材のひずみ履歴を，そ温 20±1℃，相対湿度 90%RH である。表−1 に膨張材混れぞれ図−8 と，図−9 に示す。拘束鋼材のひずみは計入量の異なる 2 つの膨張コンクリートの配合を示す。一測開始後，大凡 3 日で最大値となり 1 週間程度で安定す

方は初期ひび割れの減少を目的とする NE20 であり，他る。いずれのケースも拘束方向ごとにばらつきが小さい方は一般的な鉄筋コンクリート構造にケミカルプレストことから,本試験装置による拘束鋼材のひずみ履歴の測レスの導入を目的とする NE40 である。いずれの配合も，定は概ね妥当であるといえる。このひずみ履歴を用いて，普通ポルトランドセメントを使用している。拘束鋼材の拘束鋼材および膨張コンクリート自身になす仕事量を，52

ヤング係数は 2.06×10 N/mm である。実験ケースを表−では，一軸応力状態を含めた 8 ケースを設定した。いずx ， y 方向毎に算定した。拘束鋼材は弾性体であると仮定すると，単位体積あたりの膨張コンクリートが，x ，y方向の拘束鋼材になす仕事量 U sx ， U sy はそれぞれ次式

れのケースでも，同一の実験を 3 度行った。

で示される。

8)2 に示す。NE20 では拘束鋼材比の異なる 4 ケース ，NE404.2 膨張コンクリートのヤング係数の測定

U sx =

膨張材混入量が大きい場合，膨張コンクリートのヤン1
ρ x E s ε sx22(9)グ係数は型枠の影響を受ける可能性が強いと思われる。

表−3 実験ケース(ヤング係数測定実験)

表−1 膨張コンクリートの配合
配合名NE208)
NE40

最大スラ寸法ンプ(mm)(cm)

20空気量(%)

15±4.5±

1.5

1.53W/(%)

(%)
55

W47

C EX S175

298 20NE208)

278 40* 高性能 AE 減水剤

ケース

xy

ケース

xy

X8Y8

1.02

2.05

X8Y8

1.02

2.05

20000

X8Y121.02

4.74

X8Y121.02

4.74

15000
10000

X12Y12 2.31

1AE*2

脱型材齢(日)2.05

実験X12Y8

拘束鋼材比(%)

2.31

1371○○○3‐○○7‐‐○2* 空気量調整剤脱型直後 Ec =ヤング係数
E c (N/mm2)
25000

2.31

混和剤
SP*NE40

実験 拘束鋼材比(%)

X12Y8G830 951 3.82 0.0155

1

表−2 実験ケース(拘束実験)

測定材齢(日)単位量(kg/m )s/a(C+EX)

2.05

Ec =

35131t3.34 + t

ヤング係数
E c (N/mm2)
25000

28569 t3.25 + t

1日脱型 Ec =23610 t4.45 + t

20000

1日脱型
3日脱型
7日脱型

5000

15000
10000

1日脱型
3日脱型
7日脱型

5000

4.74 X12Y12 2.31

4.74

X8Y0

1.020

X0Y802.05

X12Y02.310

図−6 膨張コンクリートの

図−7 膨張コンクリートのX0Y1204.74

ヤング係数経時変化(NE20)

ヤング係数経時変化(NE40)

000-513-2468
材齢 t (日)02468
材齢 t (日)U sy =1
ρ y E y ε sy22

膨張コンクリートについては 3.で述べた仮定を適用し(10)

ここで， ρ x ， ρ y はそれぞれ x ， y 方向の拘束鋼材比であり， ε sx ， ε sy はそれぞれ x ， y 方向の拘束鋼材の軸ひた。すなわち力の釣り合い条件と膨張コンクリートのポアソン比ν を考慮することにより，単位体積あたりの膨張コンクリートが自身になす x ， y 方向の仕事量 U cx ，ずみである。
：x 方向
：y 方向
拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6)
160160160160160160120120120120120120808080808080
4040404040400000000 2 4 60 2 4 60 2 4 60 2 4 60 2 4 60 2 4 6
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)a) X8Y8(No.1)
d) X8Y12(No.1)
b) X8Y8(No.2)
c) X8Y8(No.3)e) X8Y12(No.2)
f) X8Y12(No.3)
拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6)
160
160
160
160
160
160
120120120120120120
80
80
80
80
80
80
40404040404000000002460 2 4 6
0 2 4 6
0 2 4 6
0 2 4 6
0 2 4 6
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)i) X12Y8(No.3)
g) X12Y8(No.1)h) X12Y8(No.2)
l) X12Y12(No.3)j) X12Y12(No.1) k) X12Y12(No.2)

図−8 拘束鋼材のひずみ履歴(NE20)
：x 方向
：y 方向
拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6)
800
800
800
800
800
800
600
600
600
600
600
600
400
400
400
400
400
400
200
20020020020020000000002 4 60 2 4 60 2 4 60 2 4 60 2 4 60 2 4 6
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)e) X8Y12(No.2)
f) X8Y12(No.3)
b) X8Y8(No.2)
c) X8Y8(No.3)
a) X8Y8(No.1)
d) X8Y12(No.1)
拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6)
800
800
800
800
800
800
600
600
600
600
600
600
400
400
400
400
400
400
200
200200200
200
2000000000 2 4 62 4 60 2 4 60 2 4 60 2 4 60 2 4 6
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)h) X12Y8(No.2)
i) X12Y8(No.3) j) X12Y12(No.1)
g) X12Y8(No.1)
k) X12Y12(No.2) l) X12Y12(No.3)
拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6)
800
800
800
800
800
800
600
600
600
600
600
600
400
400
400
400
400
400
200
200
200
200
200
200
0000000 2 4 60 2 4 60 2 4 60 2 4 60 2 4 60 2 4 6
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)
材齢 (日)m) X8Y0(No.1)
n) X8Y0(No.2)o) X8Y0(No.3)
p) X0Y8No.1)
q) X0Y8(No.2)r) X0Y8(No.3)
拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6) 拘束ひずみ(×10-6)
800
800
800
800
800
800
600
600
600
600
600
600
400
400
400
400
400
400
200
200
200
200
200
200
00000000

2 4 6
材齢 (日)s) X12Y0(No.1)

0

2 4 6
材齢 (日)t) X12Y0(No.2)

0

2 4 6
材齢 (日)u) X12Y0(No.3)

0

2 4 6
材齢 (日)v) X0Y12(No.1)

図−9 拘束鋼材のひずみ履歴(NE40)-514-

02 4 6
材齢 (日)w) X0Y12(No.2)

02 4 6
材齢 (日)
x) X0Y12(No.3)単位体積あたりの仕事量 (×10-5N/mm2)
4
傾き -13.0×10-5N/mm2
R2=0.183
平均 1.45×10-5N/mm22y 方向の単位体積あたりの仕事量(×10-4N/mm2)
86

1

4ST (NE20)
SUM (NE20)
ST (NE40)
SUM (NE40,脱型直後)

000.010.02

0.03

0.04 0.05
拘束鋼材比2a) NE20
単位体積あたりの仕事量 (×10-4N/mm2)7
傾き -40.7×10-4N/mm2
6R2=0.345
平均2.57×10-4N/mm2
4321000.010.020.03002

46(×10-4N/mm2)a) 整数軸y 方向の単位体積あたりの仕事量(×10-4N/mm2)
100.04 0.05
拘束鋼材比1b) NE40
図−10 拘束鋼材になす仕事量と拘束鋼材比の関係

ST (NE20)
SUM (NE20)
ST (NE40)
SUM (NE40,脱型直後)

0.1

傾き 17.7×10 N/mm
単位体積あたりの仕事量(×10-5N/mm2) R2=0.16
平均 2.30×10-5N/mm2
4-58

x方向の単位体積あたりの仕事量

20.01

30.01
20.1

110x 方向の単位体積あたりの仕事量(×10-4N/mm2)b) 両対数軸
図−12 各仕事量と x ， y 方向の関係

1000.010.020.03

0.04 0.05
拘束鋼材比a) NE20
単位体積あたりの仕事量(×10-4N/mm2) 傾き -8.43×10-4N/mm2
7R2=0.016
平均 3.92×10-4N/mm2
54321000.010.020.030.04 0.05
拘束鋼材比b) NE40 (脱型直後)

単位体積あたりの
傾き 3.99×10-4N/mm2
仕事量(×10-4N/mm2) R2=0.002
7
平均 4.46×10-4N/mm2
65432
1000.010.020.030.04 0.05
拘束鋼材比c) NE40 (1日脱型)
図−11 拘束鋼材および膨張コンクリート自身になす仕事量の和と拘束鋼材比の関係

U cy を次式により間接的に推定した。
E s2 ε sx(ρ x ∆ε sx − νρ y ∆ε sy )U cx = ∑ ρ xEcU cy = ∑ ρ y

E s2 ε syEc

(ρ ∆ε −νρ ∆ε )ysyxsx(11)(12)

拘束鋼材になす仕事量と拘束鋼材比の関係を図−10に，拘束鋼材および膨張コンクリート自身になす仕事量の和と拘束鋼材比の関係を図−11 に示す。これらの図には，材齢 3 日の仕事量が，方向の区別をせずプロットされている。仕事量 U cx ， U cy の算定は式(11)と式(12)により行い，膨張コンクリートのヤング係数は，図−6 と図−7 に示す 3 つの補間式を用いている。また，膨張コンクリートのポアソン比は 0.2 と仮定している。図−10 および図−11 には，最小二乗法による仕事量の推定式も描かれている。拘束鋼材になす仕事量は拘束鋼材比の増加とともに減少する傾向にある。一方，拘束鋼材および膨張コンクリート自身になす仕事量の和については，その傾向はみられない。各仕事量と x ， y 方向の関係を図−12 に示す。図中の記号“ST”は拘束鋼材になす仕事量であり，“SUM”は拘束鋼材および膨張コンクリート自身になす仕事量の和である。また，一軸応力状態下での各仕事-515-量は各軸上にプロットされている。図−12 a)より NE20

6)

三谷裕二，谷村充，佐久間隆司，佐竹紳也：マス養のプロットが原点に集中しており，膨張材混入量の違い

生温度下における膨張コンクリートの膨張応力評が仕事量にどのように影響するか不明確である。そこで価法について，コンクリート工学年次論文集，Vol.26，両対数軸でプロットしたものを図−12 b)に示す。この図

No.1，pp.225-230，2004

から拘束方向ごとに仕事量一定則が概ね成立することが7)

三谷裕二，谷村充，佐久間隆司，佐竹紳也：マスコ示唆される。図−12 b)ではさらに，膨張材混入量を増加

ンクリート様の温度履歴を受けた膨張コンクリーした場合，仕事量は対数的に増加することも示唆していトの応力評価法，マスコンクリートのひび割れ制御る。今後更に検討を行う必要がある。

方法とその効果に関するシンポジウム論文集，日本コンクリート工学協会，No.8，pp.49-56，2005.8

5. 結論8)

石川靖晃，柴田要：仕事量一定則に基づく膨張コン
クリートの変形挙動に関する基礎的研究，コンクリ

以上，本研究の範囲内で以下の結論を得る。
・ 既往の一軸拘束試験より仕事量について検討した結果，仕事量一定則は一軸応力状態下で成立することがート工学年次論文集，Vol.30，No.1，pp.351-356，2008
9)

再確認された。

柴田要，石川靖晃，田辺忠顕：一軸拘束状態下における膨張コンクリートの仕事量に関する一考察，コ・ 二軸拘束試験を実施した結果，膨張材混入量に依らず

ンクリート工学年次論文集，Vol.29，No.1，pp.501-506，

仕事量一定則は拘束方向ごとに独立して成立することが確認された。

200710) 百瀬晴基，閑田徹志，鈴木康範，小林隆芳：低熱ポ・ 膨張材混入量の増加と共に仕事量は対数的に増加すルトランドセメントおよび膨張材を用いたコンクることが示唆された。

リートのケミカルプレストレス関する解析的研究，
コ ン ク リ ー ト 工 学 年 次 論 文 集 ， Vol.29 ， No.1 ，謝辞

pp.555-560，2007

本研究の一部は文部科学省のハイテク・リサーチ・セン

11) 百瀬晴基，閑田徹志，鈴木康範，小林隆芳：低熱ポ

ター整備事業として名城大学に設置された，「高度制震実ルトランドセメント及び膨張材を用いたコンクリ験・解析研究センター」の研究の一環として実施された。

ートの膨張収縮挙動に関する研究，コンクリート工

ここに厚く謝意を表す。

学年次論文集，Vol.26，No.1，pp.495-500，2004
12) 小田部裕一，寺野宜成，鈴木康範：膨張コンクリー

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