降雨による洪水・土砂災害発生時の一時避難所の最適割り当て問題に関する研究
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内田賢悦1・谷口綾子2
KenetsuUCHI
DA，AyakoTANI
GUCHI1

北海道大学大学院工学研究院 准教授
筑波大学大学院システム情報工学研究科

2

要准教授

旨

本研究では，降雨時の洪水及び土砂災害発生を想定した一時避難所の最適割り当て問題の定式化を行う．すなわち，収容人員に制約のある一時避難所候補が複数存在し，その中から最適な一時避難所の組み合わせを割り当てる問題の定式化を行う．洪水及び土砂災害発生のリスクがある場合，世帯は，避難しない場合に受ける期待被害額と避難に要する心理的費用を比較し，避難するかどうかの意思決定を行うと仮定する．また各一時避難所候補は，標高と水災害発災地点からの距離によって，洪水に対する安全性指標が決定される．一方で各一時避難所候補は，立地する地盤の強度によって，土砂災害に対する安全性指標が決定される．避難する世帯は各一時避難所までの距離と一時避難所の安全性指標により，選択可能な一時避難所の中から1か所選択すると仮定する．以上の仮定の下，本研究では，住民が負担する期待費用が最小化される一時避難所の組合せを求める問題の定式化を行った．
《キーワード：避難行動；一時避難所；最適化》

9――8

１．はじめに災害時の一時避難所（広場，公園，空地などの一時的に避難できる場所）は，生命への危険性から住民を守るために重要な役割を果たしている．また，一時避難所の割り当てによって，住民の避難行動だけではなく，災害時の人的被害額も変化すると考えられる．このことは，前者に関しては，避難所までの距離が避難するかどうかの意思決定に影響し得ること，後者に関しては，災害規模によっては一時避難所に避難した場合であっても人的被害を受け得ることを考えると明らかであろう．そのため，一時避難所の割り当ては，住民の避難行動と災害規模の関係を考慮した上で慎重に検討されるべきである．
本研究では，降雨による洪水・土砂災害を想定した一時避難所の最適割り当て問題を考える．ここで一時避難所の最適割り当てとは，一時避難所候補（一時避難所となり得る複数の場所）から最適な一時避難所の組合せを各世帯に割り当てることを意味する．本研究で考える一時避難所最適割り当て問題では，住民の避難行動（避難するかどうか）と避難する場合の避難所選択行動（どの避難所を選択するか）を内生化した上で，住民全体の期待費用を最小化する一時避難所の割り当て計画を考える．
本研究の構成は以下に示す通りである．第2章では，住民の避難に関する行動選択のモデル化を行うと共に，選択した行動に基づいた期待費用の定式化を行う．第3章では，降雨による洪水・土砂災害発生要因である降雨発生確率の定式化を行う．第4章では，一時避難所の最適割り当て問題の定式化を行う．ここでは，先述したように住民の避難行動選択の関係を踏まえ，全世帯での総期待費用の定式化が行われる．さらに，総期待費用が最小化されるような一時避難所の最適割り当てを決定することができることが示される．

２．問題の定式化（1）仮定
本研究で設定した仮定は以下の通りである．
・1
年間で最大の降雨量が観測される日を対象とする．
・対象地域には，複数の一時避難所が存在する．
・降雨による洪水・土砂災害が発生した場合，避難所および世帯の安全性はそれらの地理的条件，すなわち，洪水に関しては立地点の標高と河川までの距離，土砂災害に関しては立地点の地盤の強度によって決定される．
・避難所候補には収容人員容量のある建物が含まれ，そうした避難所は，容量を超える人員を収容できない．
・避難所に到着しても，容量制約のため避難所に入れない住民の安全性は，避難所周辺施設の地理的条件から決定される．
・避難所に入れたとしても，その安全性が低い場合，降雨による洪水・土砂災害の規模によっては，被害を受ける可能性がある．
・降雨による洪水・土砂災害発生時に住民は，避難した場合の期待費用（避難に要する費用と期待被害額の和）と，避難しない場合の期待費用（期待被害額）を考慮し，避難するかどうかの決定を行う．
・避難すると決定した住民は，世帯から避難所までの（経路）距離と避難所に入れた場合の期待費用から避難所選択を行う．
上記の関係をモデル化することによって，災害時に住民が負担する総期待費用を推計する．この総費用を最小化する一時避難所の最適割り当て計画立案を念頭に置き，以下では避難行動のモデル化を行う．

0――9

（2）記号:

世帯の集合（数）:一時避難所の集合（数）

pj:

避難所

ri
j:

世帯

d
k:

施設

から最寄り河川までの距離（m）

h
k:

施設の標高

h':
j

避難所の周辺施設の標高

施設の洪水に対する安全性指標:の収容人員数から避難所,（施設f:までの最短経路距離（m）&を仮定）の地盤強度を表すパラメータ

被災時の人的被害額（円）:

n年確率降雨が発生することによって洪水が発生した場合，河川直近にいる人の洪水被災確率P（nie ）:

n年確率降雨が発生したとき，世帯 iの住民が避難する確率

Pi（nj|e ）:n年確率降雨が発生したとき，避難すると意思決定した世帯 iの住民が避難所 jを選択する確率

Pin|（ne,j ）:n年確率降雨が発生したとき，避難所を選択した住民が避難所に入れる確率:

n年確率降雨が発生したとき，施設にいる人の洪水被災確率:

n年確率降雨が発生したとき，施設にいる人の土砂災害被災確率:

n年確率降雨が発生したとき，施設にいる人の被災確率（nuij ）:

n年確率降雨が発生したとき，世帯の住民が避難して避難所に入れた場合の期待効用（円）であり，その場合の期待費用にマイナス1を乗じた値となるC（niy ）:

ある年 yにおいて n年確率降雨が発生したとき，世帯 iの住民が負担する期待総費用（避難した場合の期待費用＋避難しない場合の期待費用（円））

P>n :n年確率以上の降雨が発生する確率

Pn :n年確率降雨が発生する確率（3）定式化
以下では，ランダム効用理論に基づいた定式化を行うが，その誤差項にはiid
ガンベル分布を適用する（ロジット型選択モデル）．問題を簡単にするため，ロジット型選択モデルの分散パラメータは全て1であると仮定する．ただし，任意の分散パラメータを設定した定式化は可能であり，上述の仮定はモデルの制約を示すものではないことに注意されたい．また，効用と費用という概念を適用してモデルの定式化を行うが，費用にマイナスを乗じた値を効用と呼ぶことにする．このことから，効用の最大化問題と費用の最小化問題は等価となることに注意されたい．
はじめに河川直近の洪水被災確率がのとき，施設で与える．

1――9にいる人の洪水被災確率 （k）を式（1）

）（1はパラメータであり，β1については，式（2）に示す関係を満たすものとする．

ここで，

（2）
式（2）は，施設の洪水に関する安全性指標が 0のとき，その施設の被災確率は河川直近の被）は，災確率と等しくなることを意味している．式（1
安全性が高い程，も高くなる一方で，施設 kのが高い程，は低くなる関係を示している．ここで，河川直近に立地する施設を 0と表現し，その安全性指標値も 0であるとする．河川直近の被災確率を施設 0の被災確率として表現することにすると，式（3）に示す関係が成立する．
（3）
つぎに n年確率降雨があった場合，施設の土砂災害被災確率は，その地点の地盤強度を表すパラメータを用いて式（4）で与える．
（4）
ここで式（5）に示す関係が成立することを仮定する．
（5）
上記の仮定は，n年確率降雨があった場合の河川直近の洪水被災確率は，任意の施設の土砂災害被災確率よりも高くなることを意味しているが，この仮定は後に示す一時避難所最適割り当て問題を解きやすくするために置いた．以上の関係を用いて，n年確率降雨があった場合，施設の被災確率を式（6）で与える．
（6）n年確率降雨があったときに世帯 iの住民が避難する確率を式（7）で与える．
,,（7）

where（8）.

式（7）において，c（nは世帯 iの住民が避難する場合の期待最大効用（期待最小費用にマイナス1を乗i ）じた値）であり，式（8）から計算される．式（8）のu（nは，後ほど定義する．f・Pc（iは世帯 iの住民がij ）|n ）避難しない場合の期待費用である．式（7）は，避難した場合の期待効用と避難しない場合の期待効用の関係から，効用最大化原理に基づいて避難するかどうかの意思決定がなされることを示している．
世帯 iの住民が避難すると決定した場合，避難所 jを選択する確率を式（9）で与える．
,
where（9）（10）β（<0）:パラメータ
32――90）において，－βから避難所 jまでの移動に要する心理的費用，f・Pc（jは避難所 j
式（1・r3ijは世帯 i|n ）（9）は，世帯からの経路に入れた場合の期待費用，sは避難自体に起因する心理的費用を示している．式
距離が短い避難所ほど，さらに，避難所に入れた場合の期待効用が高いほど，その選択確率が高くなることを示している（図1）．ここで，式（11）に示す関係が成立することを仮定する．
1）（1where

（12）

式
（11）
は，n年確率降雨のときには，決して河川直近に避難することはないことを示している．

図1．定式化における地理的条件
一方，n年確率降雨のときに避難所 jを選択した住民がその避難所に入れる確率 Pin|（nを式（13）で与e,j ）
える．
（13）
式（13）
は，避難所の期待避難者数が避難所容量を上回る場合，避難所に入れる確率が 1を下回ることを示しており，このことによって，後に示すように避難所の容量が期待コストに影響することになる．
以上の定式化から，ある年 yに n年確率降雨が発生したとき，住民がとる行動毎の期待費用は表1に示すように計算される．表1に示された関係から，世帯 iの住民が負担する期待費用 C（nは式（14）で与iy ）えられる．
（14）
表1の5行目には，住民が避難所 jを選択したときに避難所に入れない場合の期待費用が示されており，この部分において避難所の容量が期待費用に反映されていることがわかる．
ここで j'は，避難所 jの周辺施設を示しており，式（15）に示す関係を満たすものとする．
（15）
式（15）は，避難所 j'の被災確率は避難所 jの倍となるが，決して 1を上回らないことを意味している．

3――9表1．世帯 iの期待コスト

３．被災確率
年に一度の確率で起こる降雨を n年確率降雨と呼ここでは，被災確率の定式化を行う．

（16）
で与えられる．
ぶが，n年確率以上の降雨が発生する確率 P>n は式（16）
したがって，ある年に n年確率降雨が発生する確率 Pn は式（17）で与えられる．
（17）
（18）
で与える．
ある年に n年確率降雨が発生したとき，河川直近にいる人が被災する確率 Pc|n を式（18）
ここで，はパラメータである．

以上の関係を式（14）に適用すると，ある年 yの世帯 iの住民が負担する期待費用 Ciyは，式（19）で与えられる．
（19）（20）で与えられる．
Y年間で世帯 iの住民が負担する期待総費用（Ci）は式（20）
したがって，Y年間の全世帯での総期待費用（C）は式（21）で与えられる．
（21）
以上の定式化を適用すれば，全世帯での総期待費用（C）を最小化するような避難所の組合せ，すなわち，避難所の最適割り当て計画を考えることができる．

４．最適避難所割り当てモデル
ここでは，最適な一時避難所の組み合わせを各世帯に割り当てる問題を考える．避難所割り当ての方
針としては，全世帯での総期待費用が最小化される割り当てを考える．したがって，避難すると意思決4――9

つの避難所を選択することを仮定する．
定した各世帯は，事前に割り当てられた避難所の中から1はじめに，世帯 iに避難所 jを割り当てるかどうかを表現する変数をとるものとし，を導入する．

は，任意の実数を式（22）で与える．の関数（22）（22）に示した関数は，式（23）に示す関係を満
ここで，β7 は正の十分に大きな実数であると仮定し，式）．
たすものとする（図2（23）図2．β00の場合の7＝1と表わし，式（24）で与える．

を用いて式（1）の係数 β1 を変換した係数を（24）とを用いて計算される避難所 jの洪水に関する修正被災確率を式（25）で定義する．
（25）を用いて，n年確率降雨があった場合の避難所 jの修正被災確率を式（26）で与える．
（26）の場合，式（5）に示した関係から，式（27）は以下の関係を満たす．
（27）
ところで，式（1）に示した関係から，となるため，そうした避難所 jの修正の場合は 1となることがわかる．さらに，式（11）より，そうした避難所が選択される確率は 0ˆとなる．一方，の場合 y x = 1 㸪 β x = β となるため，そうした避難所 jの被災確率
は被災確率

ij

( ij )

1( ij )

1Pc（）に一致する．したがって，避難所 jの修正選択確率は式（28）に示す関係を満たすことがわかる．
|n j0xij > 0
（28）
Pˆij |e (n ) = ()0P
nx<|ijeij
式（28）は， を用いて世帯 iの避難所の選択肢集合を表現できることを示している．すなわち，となる避難所 jは世帯 iの選択肢の1つとなり，となる避難所は選択肢には入らないことを表現し

5――9ている．となる場合については，後ほど議論することにする．

以上で定義した修正確率を用いて計算される Y年間の全世帯での修正総期待費用をと表現し，最適避難所選択問題を以下で与える．
9）（2（30）
上記は，目的関数，すなわち，Y年間の全世帯での修正総期待費用となっており，を最小化する xを求める問題

に関して何の制約も課されていないことに注意が必要である．また，が解となる場合，特定の世帯がある避難所を選択する確率を下げることを意味し，現実的な避難所集合が得られない可能性がある．しかしながら，が解となることはないことがわかっている（証明略）．

５．計算例ここでは仮想データ用いた計算例を示す．図3に示すように，世帯（図中ではHouseと表記）が5つ，一時避難所（図中ではGatheringlocationと表記）が4つ存在する地域を対象とし，その地域は河川と山間部に挟まれた洪水と土砂災害の両方の災害リスクに曝されていると仮定した．

図3．対象地域
対象地域での降雨については，N＝100と仮定した．また，Y=100として100年間の期待費用を計算する8ことにした．式（10）の効用関数に関するパラメータ値は，f=10，s=－5.
0，β－0.
03と設定した．人的3=被害額（ f）は生命保険の支払額を参考に1億円と仮定している．心理的費用（ s）は負の値であるため，避難行動を積極的に行う個人を想定していることになる（避難することを負担と感じない個人を想定している）．避難所までの距離に関する係数（ β3 ）は負の値であるため，遠くの避難所は選択されにくいことが表現されている．これらパラメータ値は，避難行動に関するアンケート調査を実施することによって得られるデータから推計可能であるが，ここで示した値は符号条件のみを満たすように著者らが設定したものである．また，避難所割り当て問題に関係するパラメータに関しては，β1.
2，β1006=7=と設定した．河川直近の洪水被災確率（）については，β－1，βとして，図3に示す通りに設4=5 =4定した．また，各施設の洪水被災確率に関係するパラメータについては，β－4，β0.
2と仮定した．そ
1=2=の他，各施設の設定値を表2に示す．

6――9図3．河川直近の洪水被災確率（）

表2．各施設に関連するパラメータ
世
12帯

一時避難所

3451

容量:πj23450505050

距離:dk100450400920750180650700950標高:hk5101530255201535∞

102055∞1015130.
0000.
1000.
3000.
1000.
1500.
0
000.
1050.
1800.
120

図4．避難所までの距離

7――9は，世帯1から各一時避難所までの距離を示している．その他の世帯からの距離は，紙面の制約か
図4，図6は，それぞれ上記のパラメータから計算される世帯および一時避難所の被災確率
ら割愛する．図5（洪水：実線，土砂災害：点線）を示している．

図5．世帯の被災確率（実線：洪水，点線：土砂災害）

図6．一時避難所の被災確率（実線：洪水，点線：土砂災害）

以上の設定において総期待費用を求めた結果，3.
959億円と推計された．この推計値は，すべての一時避難所を選択可能と仮定して計算されたものである．次に最適一時避難所割り当て問題を解いた結果，

8――9

.
114億円と推計され，総期待費用が約8000万円削減されることが明らかとなった．この値
総期待費用は3人の人的被害額が削減されたことに相当する．図7
は各世帯に割り当てられた一時避難所を示しは，約1ており，一時避難所と世帯が線で結ばれている場合，一時避難所が世帯に割り当てられていることを意味している．

図7．最適割り当て

６．おわりに
本研究では，災害時における住民の避難行動選択モデルを構築した．住民の選択行動は，災害時に避難するか否か，避難する場合，どの避難所を選択するかの2段階から構成される．さらに，住民がとり得る行動から総期待費用を計算し，その最小化を目的関数とする，世帯への最適避難所割り当て問題の定式化を行ない，仮想データを用いた計算例を示した．今後は，実問題への適用を通して，モデルの検証を行う所存である．

9――9