LISSITÉ DE LA COURBE DE HECKE DE GL2 AUX POINTSEISENSTEIN CRITIQUES.
J. BELLAÏCHE ET G. CHENEVIER

Abstract : Let p be a prime number and C be the p-adic tame level 1 eigencurve. We
prove that C is smooth at the evil Eisenstein points and we give necessary and sufficientconditions for etaleness of the map to the weight space at these points.
Soit p un nombre premier et C la courbe de Hecke p-adique de GL2 de niveau modéré
1, "the eigencurve", introduite par Coleman et Mazur dans [CM]. Notre objectif dans ce
texte est d’étudier C et son morphisme κ vers l’espace des poids au voisinage des points
Eisenstein critiques de C, i.e. paramétrant les "evil Eisenstein series". Nous démontrons
que C est lisse en ces points et donnons des conditions galoisiennes nécessaires et suffisantes pour que κ y soit étale. Cette étude complète celle faite par Kisin dans [K, thm.
11.10] en certains points classiques irréductibles (voir aussi [CM, cor. 7.6.3]).
Remerciements : les auteurs sont heureux de remercier Pierre Colmez, Barry Mazur, Christophe Soulé et Jacques Tilouine pour leur soutien et des discussions utiles, ainsi que le C.I.R.M(Luminy, France) où une partie de ce travail a été réalisée en novembre 2003. L’un des auteurs(J. B.) remercie de plus l’I.P.D.E. pour son soutien financier et l’université de Rome I pour son
hospitalité.
∗

Notations : p est un nombre premier, Qp une clôture algébrique fixée de Qp , et v : Qp →Q la valuation p-adique normalisée par v(p) = 1. Si X/Qp est un espace rigide, on noterig
A(X) l’anneau des fonctions analytiques globales sur X et OX
le faisceau structural de
X. Nous entendrons par X(Qp ) la réunion des X(F ) où F parcourt les sous-extensions
finies de Qp .
1. Rappels sur C
La référence pour cette partie est [CM].
1.1. Soient p un nombre premier, W := Homgr−cont (Z∗p , Grigm )pairs , et κ : C → W la
courbe de Hecke p-adique de niveau modéré 1 pour le groupe GL2 . C’est la courbe analytique1 sur Qp construite par Coleman et Mazur dans [Co1] et [CM, Chap. 7] (voir aussi[Bu] pour p = 2) à partir du système de modules de Banach sur W des formes modulaires p-adiques surconvergentes. La courbe C est séparée, réduite, équidimensionnelle dedimension 1. Le morphisme κ est plat, localement fini.
1Précisément, la courbe C étudiée ici est celle notée D loc.cit. Nous n’utiliserons pas l’identificationde D avec la nilréduction de l’espace Cp considéré aussi loc.cit.
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1.2. Soit H := Z[{Tl , l 6= p}, Up ]. On dispose par construction ([CM, Chap. 7]) d’un morphisme d’anneaux H → A(C) de sorte que l’on verra les éléments de H comme des fonctions analytiques globales, bornées par 1 partout, sur C. Par construction toujours ([CM]),l’application canonique "système de valeurs propres" χ : C(Q p ) → Homann (H, Qp ) est
injective, et identifie C(Qp ) à l’ensemble des formes modulaires p-adiques surconvergentes
propres, de pente finie, et de niveau modéré 1. Soient F/Qp un corps local, x ∈ C(F ).
On note fx l’unique forme p-adique surconvergente propre normalisée correspondante2,†
et M (x) ⊂ Mκ(x)l’espace caractéristique pour H de fx . L’image H(x) de F ⊗Z H
dans EndF (M (x)) est une F -algèbre locale de dimension finie. L’accouplement standard M (x) × H(x) → F , (f, h) 7→ a1 (h(f )) est non dégénéré, sauf si κ(x) = 1 et x est surla droite Eisenstein ordinaire, auquel cas il est nul mais dimF (M (x)) = dimF (H(x)) = 1(cf. [CM, prop. 3.6.1]).
Proposition 1. Si x ∈ C(F ), il existe un F -voisinage affinoide Ω de x tel que :(a) κ(Ω) est un ouvert affinoide,(b) κ|Ω est fini et plat, étale hors de x, de degré dimF M (x),(c) la fibre de κ|Ω au dessus de κ(x) s’identifie canoniquement à Spec(H(x)).
rig
rig
est surjective.
De plus, l’application naturelle OW,κ(x)⊗Z H → OC,x
Preuve: Choisir Ω tel que (a) et le premier point de (b) soient vrai est possible parconstruction. Posons V := κ(Ω), Fx la fibre de κ|Ω au dessus de κ(x). D’après [Be, lemme
2.1.6], les κ−1 (U ) avec κ(x) ∈ U forment une base de voisinages rigides analytiques deFx . Ainsi, quitte à réduire V et remplacer Ω par sa composante connexe contenant
x, on peut supposer que Fx est un schéma local, et que κ estPétale hors de x. Soity ∈ V \{κ(x)}, alors par construction, le degré de κ est |κ−1 (y)| = κ(z)=y dimF (H(y)) =P
κ(z)=y dimF (M (y)). Ce degré est aussi dimF (M (x)) car la famille de formes modulaires
découpée par Ω est localement libre sur A(V ), ce qui termine de prouver (b). En réappliquant le raisonnement ci-dessus au point x et en utilisant la platitude de κ etdimF (M (x)) = dimF (H(x)), on en déduit (d). La dernière assertion est satisfaite parconstruction. 
2. Rappels sur la théorie de Mazur-Wiles
Nous rappelons dans cette section, en les étendant légèrement, quelques résultats démontrés dans [MW] (voir aussi [HP]).
Q
2.1. Soit (A, m, k) un anneau local noethérien hensélien réduit. On note K = j Kj
son anneau total de fractions, et on suppose donnée ρ = (ρj ) : G → GL2 (K) une
représentation de trace notée T telle que T (G) ⊂ A, de déterminant dans A. On suppose
que T mod m est somme de deux caractères distincts χi : G → k ∗ , i = 1, 2.
Fixons s ∈ G tel que χ1 (s) 6= χ2 (s). Le polynôme caractéristique de s est scindé dans
A car A est hensélien, à racines distinctes dans chacun des Kj . On note λi ∈ A l’unique
2Cela existe toujours sauf si x est sur la droite Eisenstein ordinaire et de poids trivial, auquel cas onpose fx = 1 (cf. [CM, prop. 3.6.1]).

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racine telle que λi mod m = χi (s). On peut donc trouver une K-base de K 2 , e1 , e2 telleque s(ei ) = λi ei . Une telle base sera dite adaptée à s. On note a, b, c, d les coefficientsmatriciels de ρ dans cette base, et B et C les sous-A-modules de K engendrés par lesb(g) et c(g 0 ) respectivement.
2.2. Soit I ( A un idéal tel que T mod I soit la somme de deux caractères ψ1 , ψ2 :G → (A/I)∗ , tels que ψi mod m = χi .
Proposition 2. HomA (B, A/I) s’injecte dans Ext1(A/I)[G] (ψ2 , ψ1 ). De plus,(a) si les ρj sont semi-simples, B est un sous-A-module de type fini de K,(b) si les ρj sont irréductibles, alors l’annulateur de B est nul.
Lemme 1. Pour tout g ∈ G, on a a(g), d(g) ∈ A et a(g) − ψ1 (g), d(g) − ψ2 (g) ∈ I. De
plus, pour tous g, g 0 ∈ G, b(g)c(g 0 ) ∈ I.
Preuve: Les éléments T (sg) = λ1 a(g) + λ2 d(g) et T (g) = a(g) + d(g) sont dans A,
ainsi donc que a(g) et d(g) car λ1 − λ2 est inversible dans A. En réduisant modulo I
les deux relations plus haut, il vient que a(g) − ψ1 (g) et d(g) − ψ2 (g) sont solutions dusystème x + y = 0 et λ̄1 x + λ̄2 y = 0 qui est inversible dans A/I, car dans A/m. Cela
conclut le premier point. Le second point en découle, cara(gg 0 ) = a(g)a(g 0 ) + b(g)c(g 0 ).

(1)Notons b̄ l’image de b dans B/IB. Un conséquence immédiate du lemme 1 est le :Lemme 2. L’application

A/I B/IBψ1 (g) b(g),G −→, g 7→0
A/I
0ψ2 (g)
est un morphisme de groupes.
En particulier, on dispose d’une une application A-linéaire
j : HomA (B/IB, A/I) → Ext1(A/I)[G] (ψ2 , ψ1 ).
Posons H := ker(ψ1 /ψ2 ).
Lemme 3. B/IB est engendré comme A-module par les b(h), h ∈ H, et j est injective.
Preuve: Soit g dans G, un calcul montre queb(g) λ1b(sgs−1 g −1 ) =( − 1)
ψ2 (g) λ2
dans B/IB. Comme sgs−1 g −1 ∈ H, cela conclut le premier point. Soit f ∈ Ker(j), g 7→
f (b(g)) est un cobord, donc trivial restreint à H. Donc f est nulle sur A.b(H) = B/IB
par le premier point. Lemme 4. Si les ρj sont semi-simples, B est un A-module de type fini.

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Preuve: Comme le A-module B est un quotient de A[ρ(G)],il suffit de montrer queQ
ce dernier est de type fini sur A. Comme A[ρ(G)] ⊂ j ρj (A[G]), on peut supposer
que K est un corps. Comme ρ est semi-simple, la trace de M2 (K) est non dégénérée surK[ρ(G)]. De plus, elle est à valeurs dans A sur le sous-A-module R := A[ρ(G)]. Comme A
est noethérien et R engendre K[ρ(G)] comme K-espace vectoriel, un argument standard
montre que R est de type fini. 
Enfin, il est clair que si ρj est irréductible, Im(B → Kj ) est non nulle. Cela achève la
preuve de la proposition 2. 
2.3. Remarquons que le lemme 1 montre que BC ⊂ m est le plus grand idéal J de A
ayant la propriété que T mod J est somme de deux caractères. On l’appellera l’idéal deréductibilité de T .
Corollaire 1. Supposons les ρj semi-simples.
(a) Si dimk (Ext1k[G] (χ2 , χ1 )) = 1, alors ρ est définie sur A. Si de plus l’annulateur de
B est nul, B est libre de rang 1 sur A, et il existe une base adaptée à s dans laquelle
B = A.
(b) Si l’idéal de réductibilité de T est l’idéal maximal de A et si dimk (Ext1k[G] (χ1 , χ2 )) =dimk (Ext1k[G] (χ2 , χ1 )) = 1, alors A est de valuation discrète.
Preuve: Prouvons le (a). Si l’on applique la proposition 2 à l’idéal maximal de A, il
vient que dimk B ⊗A k ≤ dimk (Ext1k[G] (χ2 , χ1 )) = 1. Comme B est de type fini par lelemme 4, dimk B ⊗A k = 1 et donc B est un A-module monogène par Nakayama, ainsi
donc que son image Bj dans Kj . Posons fj = 1 si Bj = 0 et (fj ) = Bj sinon, on af := (fj ) ∈ K ∗ . Ainsi, quitte à remplacer e2 par f −1 e2 , on conclut le (a).
Si pour (i1 , i2 ) = (1, 2) et (2, 1) on a dimk (Ext1k[G] (χi1 , χi2 )) = 1, alors pour les mêmes
raisons que plus haut, B et C sont monogènes, ainsi donc que m = BC par hypothèse.
L’anneau A étant réduit, il est donc de valuation discrète. 
2.4. En vue d’appliquer les résultats de cette section à un groupe topologique, nous
avons besoin d’un sorite de topologie. On conserve les hypothèses du §2.1 et on supposeque G est un groupe topologique. On suppose de plus que A est un anneau topologiqueséparé ayant la propriété suivante : (TOP) le foncteur d’oubli des A-modules topologiquesséparés de type fini vers les A-modules de type fini admet une section pleinement fidèle
munissant A de sa topologie. On fixe une telle section, de sorte que tout A-module detype fini est muni de la topologie donnée par cette section. En particulier, si I est un idéal
de A, on dispose d’une topologie sur A/I. Noter qu’un sous-A-module N d’un A-module
M de type fini est automatiquement fermé, car M/N est séparé et M → M/N continue.
Proposition 3. Supposons que T : G → A est continu et que les ρj sont semi-simples.
Alors les ψi : G → (A/I)∗ sont continus et l’applicationj : HomA (B/IB, A/I) → Ext1(A/I)[G] (ψ2 , ψ1 )a son image dans Ext1cont,(A/I)[G] (ψ2 , ψ1 ).

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Preuve: D’après le lemme 1 et sa preuve, ψ1 coïncide avec a mod I eta(g) =T (sg) − λ2 T (g).
λ1 − λ 2

Ainsi, g 7→ a(g), ψ1 (g) et ψ1 (g)−1 = ψ1 (g −1 ) sont continus, car T l’est et par (TOP). Il enva de même pour ψ2 . Cela a donc un sens de parler d’extensions continues entre ψ2 et ψ1 .
Comme B est de type fini par le lemme 4, et que toute application A-linéaire B → A/I
est continue par (TOP), il ne reste qu’à montrer que b : G → B est continue. Soit Bj
l’image de B dans
Q Kj ; c’est un quotient de B, donc de type fini sur A. L’application
canonique B → j Bj est injective et c’est un homéomorphisme sur son image. Il suffit
donc de vérifier que g 7→ b(g)j est continue. On peut supposer que K est un corps,
puis que ρ est irréductible, car sinon C = B = 0. Soit g 0 ∈ G tel que c(g 0 ) 6= 0, la
multiplication par c(g 0 ) induit un homéomorphisme de B sur son image dans A. Il suffit
donc de vérifier que g 7→ c(g 0 )b(g) ∈ A est continue, ce qui découle de ce que a l’est etde la formule (1). 
Une preuve identique à celle du corollaire 1 démontre alors le :Corollaire 2. Sous les hypothèses de la proposition 3, le corollaire 1 reste vrai s’il on
remplace dans son énoncé les groupes d’extensions mis en jeu par leurs sous-groupes
d’extensions continues.
Exemple : Soient k un corps local non archimédien, X un k-affinoide réduit, x ∈ X et
A l’anneau local rigide en x. On rappelle que l’anneau A est limite inductive filtrante desA(U ) où U est un ouvert affinoide de X contenant x. C’est un anneau local noethérien
réduit ([BGR, §7.3.2]) et hensélien ([Be, §2.1]). On le munit de la topologie localement
convexe la plus fine telle que les A(U ) → A soient continues (cf. [Sc, ch. I, E]), A(U )étant muni de sa topologie de k-espace de Banach. En particulier, si m est l’idéal maximal
de A, la projection canonique A → A/mn est continue. Cette
topologie fait de A une
Tnk-algèbre topologique, elle est séparée car A/m l’est et n≥0 mn = {0}. Si M est un
A-module de type fini et f : An → M une surjection A-linéaire, la topologie localement
convexe quotient de M le munit d’une structure de A-module topologique qui est en
fait indépendante de la surjection f choisie, et séparée. On voit facilement que touteapplication linéaire entre deux A-modules de type fini est continue. Ainsi, A satisfait(TOP).
3. La pseudo-représentation portée par C.
3.1. Soit G le groupe de Galois de la sous-extension maximale de Q non ramifiée horsde p, D ⊂ G un groupe de décomposition en p attaché à un plongement Q ,→ Q p que l’on
fixe. On note Z ⊂ C(Qp ) l’ensemble des points classiques de C. Par définition z ∈ Z si,
et seulement si, χ(z) est le système de valeurs propres d’une forme modulaire classique
sur X1 (pn ) pour un certain entier n ≥ 0. Les formes modulaires apparaissant ainsi sur C
sont exactement celles qui ne sont pas supercuspidales en p. On sait que l’ensemble despoints fermés de C ainsi obtenu est très Zariski-dense dans C.

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3.2. À chaque z ∈ Z est associée, par les travaux de Eichler-Shimura, Igusa, Deligne,
une unique représentation semi-simple continue
ρz : G → GL2 (Qp ),ayant la propriété que la trace d’un Frobenius géométrique en l 6= p est Tl (x). La compacité relative de l’image de H dans A(C) (cf. par exemple [Ch2, §4.6 rem. i.]), et le fait
que A(C) est réduit, entraînent que la trace x 7→ tr(ρx ) de ces représentations se prolonge
analytiquement en une unique pseudo-représentation continue de dimension 2 :T : G → A(C),satisfaisant T (Fl ) = Tl . En particulier, pour tout x ∈ C(Qp ), il existe3 une unique représentation semi-simple continue ρx : G → GL2 (Qp ) dont la trace est l’évaluation en x deT . En particulier, un point x ∈ C(Qp ) est uniquement déterminé par le couple (ρx , Up (x)).
3.3. Si x ∈ C(Qp ), on sait que le polynôme de Sen de (ρx )|D est T (T − dκ(x) + 1), oùdκ(x) désigne la dérivée en 1 du caractère de Z∗p associé à κ(x). Par les travaux de Kisin([K, thm. 6.3]), on a
Dcris ((ρx )|D )ϕ=Up (x) 6= 0.
4. Points réductibles de C
4.1. Points Eisenstein. Commençons par définir les points Eisenstein critiques de C.
∗
Soient k ≥ 2 un entier et ε : Z∗p → Qp un caractère d’ordre fini tel que ε(−1) = (−1)k , desorte que w = (x 7→ xk ε(x)) ∈ W(Qp ). On suppose que k 6= 2 si ε = 1. Il existe (cf. [Mi,thm. 4.7.1]) une unique forme modulaire classique, propre pour H, de q-développement
Ewcrit := q +Xan q n , ap = pk−1 , al = ε(l) + lk−1 si l 6= p.

n≥2Soit F := Qp (ε(Z∗p )). La forme Ewcrit définit donc un unique F -point de C que l’on note
xw , on a κ(xw ) = w. Il est clair que ρxw = ε ⊕ F (1 − k). Un tel point de C sera dit
Eisenstein critique.
Soit ζp : W\{1} −→ A1 la fonction zêta p-adique de Kubota-Leopold. Si w 6= 1,
Il existe une unique forme modulaire surconvergente, ordinaire et propre pour H, deq-développement (cf. [Co1, §B1]) :Eword := ζp (w)/2 + q +Xan q n , ap = 1, al = 1 + w(l)l−1 si l 6= p.

n≥2

On pose de plus E1ord := 1. Soit F
ordfait du lieu ordinaire C
ordinaire.

:= Qp (w(Z∗p )). On notera yw le F -point de C (en) correspondant. Un point de la forme yw sera dit Eisenstein

3En fait, si x ∈ C(F ), alors ρx est définie sur F . Cela vient de ce que ρx (Frob∞ ) a pour polynôme
caractéristique (X − 1)(X + 1), donc l’obstruction à ne pas être définie sur F est nulle.

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Remarque : Notons que yw est dans la courbe de Hecke parabolique si, et seulementsi, ζp (w) = 0, ce qui arrive si, et seulement si, p est un nombre premier irrégulier.
4.2. Points réductibles de C. Un point x ∈ C(Qp ) est dit réductible si ρx l’est.
Proposition 4. L’ensemble des points réductibles de C est exactement l’ensemble despoints Eisenstein.
Preuve: Soit x un point de C(Qp ) tel que ρx = χ1 + χ2 est somme de deux caractères (automatiquement continus). D’après [K, thm. 6.3], pour i = 1 ou 2, on a
Dcris (χi )ϕ=Up (x) 6= 0. Supposons que i = 1, quitte à les renuméroter. Le caractère (χ1 )|D
est donc cristallin de poids k − 1 := v(Up (x)) ∈ N (car |Up (x)| ≤ 1 pour tout x dans C).
D’autre part, χ1 est non ramifié hors de p, c’est donc Qp (1 − k). Comme les poids deHodge-Tate-Sen de ρx sont 0 et dκ(x) − 1, il y a deux possibilités :- Si v(Up (x)) > 0, alors k ≥ 2. Il vient que ε := χ2 est un caractère de poids 0, donc
d’ordre fini. Comme E2 n’est pas surconvergente d’après [CGJ] (cf. aussi la discussion
dans l’appendice de [Ch1]), k = 2 ⇒ ε 6= 1. Ainsi, x est de la forme xw .
- Si v(Up (x)) = 0, alors χ1 est le caractère trivial et donc χ2 = det(ρx ). Ainsi, x est dela forme yw . 
La démonstration ci-dessus montre de plus que
Proposition 5. L’ensemble des x ∈ C(Qp ) tels que v(Up (x)) 6= 0 et (ρx )|D est réductible
est discret, composé de x tels que v(Up (x)) = dκ(x) − 1 est un entier strictement positif.
5. Lissité de C aux points réductibles non ordinaires∗

5.1. Rappels de cohomologie galoisienne. Soient k ≥ 2 un entier, ε : Z∗p → Qp
un caractère d’ordre fini tel que ε(−1) = (−1)k , et F := Qp (ε(Z∗p )). On considère lecaractère de Gχ := F (k − 1) ⊗ ε,et on fait l’hypothèse que χ 6= F (1). On rappelle le cas particulier suivant connu desconjectures de Bloch-Kato (cf. [BK], [FP]) pour les fonctions L de Dirichlet4 :dimF Hf1 (Q, χ) = ords=2−k L(s, ε−1 ) = 1
dimF Hf1 (Q, χ−1 ) = ords=k L(s, ε)= 0Les égalités de droite proviennent de l’équation fonctionnelle des caractères de Dirichlet, et de ce que L(s, ε−1 ) n’a ni zéro ni pôle en s = n entier si ε 6= 1 et n ≥ 1
ou si ε = 1 et n ≥ 2. Les égalités de gauche découlent de manière standard des travaux de Soulé ([So]). Notons que comme χ 6= Qp (1), Hf1 (Qp , χ) = H 1 (Qp , χ) est dedimension 1 et Hf1 (Qp , χ−1 ) = 0. En particulier, Hf1 (Q, χ) = H 1 (G, χ) et Hf1 (Q, χ−1 ) =Ker(H1 (G, χ−1 ) → H1 (Qp , χ−1 )). Il est clair d’autre part que H 1 (G, χ−1 ) est non nul(cela découle par exemple de la formule pour la caractéristique d’Euler globale). En
récapitulant, on obtient la :4Tous les groupes de cohomologie galoisienne considérés dans cette section sont sous-entendu encohomologie continue.

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Proposition 6. i) Pour H = G et Gal(Qp /Qp ), on a
dimF (Ext1cont,F [H](ε, F (1 − k))) = dimF (Ext1cont,F [H](F (1 − k), ε)) = 1.
ii) L’application de restriction
Ext1cont,F [G](ε, F (1 − k)) −→ Ext1cont,F [Gal(Q /Qp )] (ε, F (1 − k))pest un isomorphisme.
5.2. Dans ce qui suit, on se fixe un point Eisenstein critique x := xw , w : z 7→ z k ε(z).
On a xw ∈ C(F ) où F = Qp (ε(Z∗p )). On choisit un F -voisinage Ω de x comme en §1.2
proposition 1. Soit A l’anneau local rigide de Ω en xw et nommons encore T : G → A
le pseudo-caractère induit par T . L’anneau A est une F -algèbre topologique (cf. §2.4) et
T : G → A est continu par définition de la topologie sur A et §3.2.
Si m désigne l’idéal maximal de A, on a A/m = F et par construction
T mod m = ε + F (1 − k),de sorte que T est résiduellement somme de deux caractères, distincts une fois restreints
à D. De plus, d’après la théorie des pseudo-représentations de Wiles, il existe une représentation ρ = (ρj ) : G → GL2 (K) de trace T , où K est l’anneau total de fractions de A
(cf. §2.1) et les ρj sont semi-simples. On pose χ1 := F (1 − k) et χ2 := ε.
Fixons un s ∈ D comme au §2.1 et choisissons une base s-adaptée de K 2 . Cette basenous permet de définir B, C (resp. Bp , Cp ) comme en §2.1 associés à ρ (resp. ρ|D ). On a
Bp ⊂ B et Cp ⊂ C.
Lemme 5.
(a) Les (ρj )|D sont irréductibles,(b) ρ est définie sur A, et quitte à changer de base adaptée à s, B p = B = A. De plus,
Cp et C sont libres de rang 1 sur A.
Preuve: Vérifions le (a). Soient A(Ωj ) l’affinoide image de A(Ω) dans Kj , Ωj ⊂ Ω lefermé Zariski contenant x correspondant (il est d’équidimension 1), et Tj l’image de T
dans A(Ωj ). Si (ρj )|D est réductible, les images de Bp et Cp dans Kj sont nulles. Il vientque (Tj )|D est identiquement somme de deux caractères, ce qui est absurde d’après laproposition 5.
D’après (a) et la proposition 6, le corollaire 2 (a) s’applique à ρ et nous donne une baseadaptée à s dans laquelle B = A. En particulier, ρ est définie sur A. De même, il vient
que C, Bp et Cp sont libres de rang 1 sur A. De plus, on a un diagramme commutatif
Ext1cont,F [G](ε, F (1 − k))/ Ext1

cont,F [Gal(Qp /Qp )]O
j

HomA (B, A/m)(ε, F (1 − k))

O
j
can

/ HomA (Bp , A/m)

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La flèche du haut est un isomorphisme entre F -espaces vectoriels de dimension 1 d’après
la proposition 6, et les flèches verticales sont des isomorphismes d’après ce que l’on vientde voir. Il vient que la flèche du bas est un isomorphisme, ainsi donc que l’inclusion
Bp ⊂ B d’après le lemme de Nakayama.
5.3. On se place définitivement dans la base adaptée donnée par le lemme ci-dessus, i.e.
Bp = B = A. En particulier, C = BC ⊂ m est un idéal de A.
Théorème 1. A est de valuation discrète et C est l’idéal maximal de A.
En particulier, C est lisse en xw . D’après le corollaire 2 (b), qui s’applique par le lemme
5 (a) et la proposition 6, il suffit de montrer la seconde assertion. Un ingrédient crucial
est la conséquence suivante de [K] :Lemme 6. Soit J ⊂ m un idéal de codimension finie de A, alors Dcris (ρ|D ⊗ A/J)ϕ=Up
est libre de rang 1 sur A/J.
Preuve: Tout d’abord, notons que la trace de la représentation (à composantes génériquement semi-simples) ρ : G → GL2 (A) tombe dans l’anneau noethérien A(Ω). Par un
argument standard déjà donné dans le lemme 4, A(Ω)[ρ(G)] est de type fini. Or A est
limite inductive des A(Ω0 ) où Ω0 parcourt les voisinages de x de dans C. Ainsi, quitte àrétrécir Ω on peut supposer que ρ provient d’une représentation continueρ∗ : G → GL2 (A(Ω)),
par A(Ω) → A. Quitte à restreindre encore Ω, on peut de plus supposer qu’il existe un
idéal J ∗ de A(Ω) tel que J ∗ A = J et l’application canonique A(Ω)/J ∗ → A/J est un
isomorphisme.
Le polynôme de Sen (cf. [Se]) de ρ∗ est clairement de la forme T (T −dκ+1) ∈ A(Ω)[T ].
On peut donc appliquer la proposition 5.4 de [K] à X = Ω, Y = Up et M = A(Ω)2
muni de l’action de D via ρ∗ . Par (2), Xf s contient tous les points classiques de Ω, qui
sont Zariski-denses dans Ω. Comme c’est un fermé Zariski, Xf s = Ω. On applique alors
encore (2) et la remarque 5.5. (1) à f : Specmax(A(Ω)/J ∗ ) → Ω, qui est Y -small car decodimension finie, et se factorise par Ωdκ−j pour tout j ≤ 0 car dκ(xw ) − 1 = k − 1 > 0.
Cela conclut. 
5.4. Terminons la preuve. L’idéal C est libre de rang 1 dans l’anneau local noethérien
A qui est d’équidimension 1, il est donc de codimension finie d’après le Hauptidealsatz.
Notons que r := ρ ⊗ A/C est par construction une extension
0 → (A/C).ψ1 → r → (A/C).ψ2 → 0,où ψ1 (resp. ψ2 ) est la réduction modulo C de la fonction a (resp. d). Par construction,les ψi : G → (A/C)∗ sont des caractères continus (cf. proposition 3), tels queψ1 mod m ≡ F (1 − k), ψ2 mod m ≡ ε.
Considérons la suite exacte de A/C-modules :10

J. BELLAÏCHE ET G. CHENEVIER

0 → Dcris ((ψ1 )|D )ϕ=Up → Dcris (r|D )ϕ=Up → Dcris ((ψ2 )|D )ϕ=Up
Le lemme 6 implique que le terme central est libre de rang 1. Comme ψ2 , vu commeF -représentation, est une extension successive de caractères égaux à ε et que
Dcris (ε)ϕ=Up (x)=p

k−1

= 0,

le terme de droite est nul. De plus, la dimension sur F du terme de gauche est ≤dimF (A/C). Il vient donc que Dcris ((ψ1 )|D )ϕ=Up est libre de rang 1 sur A/C. Cela impliqueque (ψ1 )|D (k − 1) est cristallin de poids 0, donc non ramifié. Comme ce caractère est
d’autre part non ramifié hors de p, il est identiquement trivial, puis
ψ1 = (A/C)(1 − k), Up ≡ pk−1 ∈ A/C, et ψ2 = ε.(A/C).
Le dernier point de la proposition 1 implique alors que A/C = F , i.e. C est l’idéal
maximal de A. 
5.5. La démonstration du §5.4 ci-dessus appliquée à Cp plutôt qu’à C montre encoreque (κ − k) ⊂ Cp , de sorte que A/Cp = H(xw )/Cp . Mieux, elle prouve la :Proposition 7. La restriction à D de la représentation ρ : G → GL2 (A/Cp ) est une
extension de (A/Cp )(ε ⊗ u−1 ) par (A/Cp )(1 − k) ⊗ u, où u est le caractère non ramifié
D → (A/Cp )∗ envoyant le Frobenius géométrique sur Up /pk−1 .
Il ne semble cependant pas possible d’en déduire que ρ est constante, i.e. que Cp est
l’idéal maximal de A. Cela vient de ce que l’on ne sait pas si le morphisme H 1 (G, χ) →H 1 (Qp , χ) est trivial ou non.
Remarques :i) Une conséquence du lemme 5 (b) et de la première partie de la preuve du lemme 6 est
que le lieu non ordinaire de C est admissiblement recouvert par des ouverts affinoides surlesquels T est la trace d’une vraie représentation (c’est aussi une conséquence simple duthéorème 1, cf. la remarque suivant [CM, thm. 5.1.2]).
ii) Le théorème 1 montre que le diviseur de réductibilité de T est réduit : est-il celuid’une fonction globale sur C ?
6. Régulateurs p-adiques
Soit xw ∈ C(F ) un point Eisenstein critique comme dans la section précédente. On
reprend les notations précédentes pour A et Cp . Nous avons vu que C est lisse en xw .
Notons e l’indice de ramification de κ en xw , c’est donc aussi le degré de κ en xw . Posons
χ = F (k − 1) ⊗ ε le caractère de G correspondant à w, et w ∗ := (z 7→ z 2−k ε−1 (z)) lepoids du point Eisenstein ordinaire de C jumeau à xw .
Théorème 2. On a les équivalences suivantes :i) Cp est l’idéal maximal de A,ii) L’application naturelle H 1 (G, χ) → H 1 (Qp , χ) est un isomorphisme,iii) ζp (w ∗ ) 6= 0,

LISSITÉ DE LA COURBE DE HECKE DE GL2 AUX POINTS EISENSTEIN CRITIQUES.

11iv) e = 1,v) dimF M (xw ) = 1,
Preuve: On montre comme dans le lemme 5 que ii) est équivalent à C = Cp . CommeCp ⊂ C = m par le théorème 1, i) est équivalent à ii).
L’équivalence entre ii) et iii) est bien connue. Par exemple, ii) ⇒ iii) découle de ceque sous l’hypothèse d’annulation de ζp (w ∗ ), le point jumeau yw∗ rencontre alors lapartie cuspidale ordinaire de C. Un argument de réseaux (par exemple comme au §2)
construit un élément non trivial de H 1 (G, χ) scindé en p, ce qui conclut. iii) ⇒ ii)
découle de la conjecture principale d’Iwasawa démontrée dans [MW], qui implique que
si dimF (Ker(H1 (G, χ) → H1 (Qp , χ))) ≥ 1, alors ζp (w ∗ ) = 0.
Notons que κ est un isomorphisme restreint à toute la droite Eisenstein de C, de sorteque κ est de degré 1 en yw∗ si, et seulement si, yw∗ n’est pas dans la partie cuspidale deC (qui est d’équidimension 1). Comme ζp (w ∗ )/2 est le terme constant de Eword∗ , κ est dedegré 1 en yw∗ si, et seulement si, ζp (w ∗ ) 6= 0. Le cas limite du critère de classicité deColeman [Co2, cor. 7.2.2], [Co3], montre que le degré de κ en yw∗ est égal à e. Ainsi, iii)
⇔ iv).
Enfin, iv) ⇔ v) est conséquence de la proposition 1 (b). Il est communément conjecturé que les propriétés ii) et iii) équivalentes ci-dessus sontsatisfaites, ainsi donc que i) à v). Si p est un nombre premier régulier, elles sont toujours
satisfaites.
Références[Be]

V. Berkovich Étale cohomology for nonarchimedian analytic spaces
Publications mathématiques de l’IHES 78 (1993)[BK] S. Bloch & K. Kato L-functions and Tamagawa numbers of motives
Progr. Math. 86, The Grothendieck Festschrift I, pages 330-400 (1990)[BGR] S. Bosch, U. Guntzer & R. Remmert Non archimedian analysis
Grundlehren der math. 261 (1982)[Bu]

K.Buzzard Eigenvarieties
En préparation.

[Ch1] G. Chenevier Familles p-adiques de formes automorphes et applications aux conjectures deBloch-Kato, Thèse de l’université Paris 7 (2003)[Ch2] G. Chenevier Une correspondance de Jacquet-Langlands p-adiqueÀ paraître à Duke Math. Journal.
[Co1] R. Coleman P-adic Banach spaces & families of modular forms
Inventiones math. 127, pages 417-479 (1997)[Co2] R. Coleman Classical and overconvergent modular forms
Inventiones math. 124, 214-241 (1996)[Co3] R. Coleman Classical and overconvergent modular forms of higher level
Journal de théorie des nombres de Bordeaux 9, 395-403 (1997)[CGJ] R. Coleman, F. Gouvêa & N. Jochnowitz E2 , Θ, and overconvergence
Int. Math. Res. Not. 1995, No.1, pages 23-41 (1995)

12

J. BELLAÏCHE ET G. CHENEVIER[CM] R. Coleman & B. Mazur The Eigencurve
Proc. Durham, 1996. London Math. Soc. Lecture Note Ser. 254, (1998)[FP]

J.-M. Fontaine et B. Perrin-Riou Autour des conjectures de Bloch-Kato : cohomologie
Galoisienne et valeurs de fonctions L, Motives part 1, pages 599-706 (1994)[HP]

G. Harder & R. Pink Modular konstruierte unverzweigte abelsche p-Erweiterungen von Q(ζ p )und die Struktur ihrer Galois Gruppen, Math. Nachr. 159 pages 83-99 (1992)[K]

M. Kisin Overconvergent modular forms and the Fontaine-Mazur conjecture
Inventiones math. 153, pages 363-454 (2003)[Ma]

B. Mazur The theme of p-adic variation
Math. : Frontiers and perspectives, V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax & B. Mazur Ed., AMS (2000)[MW] B. Mazur & A. Wiles The class field of abelian extensions of Q
Inventiones math. 76 no.2, pages 179-330 (1984)[Mi]

T. Miyake Introduction to modular forms
Springer Verlag (1989)[Sc]

P. Schneider Nonarchimedian functional analysis
Springer Monographs in Math. (2001)[Se]

S. Sen An infinite dimensional Hodge-Tate theory
Bull. Soc. math. France, 121, pages 13-34 (1993)[So]

C. Soulé On higher p-adic regulator
Lecture Notes in Math. 854, pages 372-401 (1981)[W]

A. Wiles On ordinary λ-adic representations associated to modular forms
Inventiones math. 94, pages 529-573 (1988)