統計解析の基礎②

今回の内容

北大・統計解析の基礎②

2

 医学データの生成過程
 記述統計と推測統計

データの記述と統計的推測
北海道大学
横田 勲

 反事実アウトカム

 「バラツキ」の分解と誤差の確率変数による定式化

 確率分布 統計量と標本分布理論

医学統計学

 大数の法則と中心極限定理
 統計数値表

12

手元にあるデータをどう活用するかデータを集めました!①3

 記述統計4

 ある健診データでの身⾧(cm) どのようにデータが得られたかを明らかに

157.0、170.2、164.6、167.6、168.9、167.6、167.6、168.9、170.9、180.3、167.1、160.8、170.2、168.4、165.1、168.4、172.2、182.9、165.9、163.8、
180.3、168.9、173.5、176.5、171.5、・・・

 データのタイプに応じた要約
 連続量、カテゴリカル、生存時間

 推測統計 想定する源泉集団において、曝露や治療とアウトカムの関連を検討

 統計的検定、推定を利用
 治療(曝露)効果の検証や推定

34

ヒストグラム (histogram)

ヒストグラム (histogram)5

 データのバラツキ状態を可視化

 外れ値がみられる

060224頻度 (人)

648 10 データの確認に有効

8 10

 145(cm)を誤って1.45(m)と入力

 データの分布が多峰性を示すか

頻度 (人)

 外れ値が存在するか

120130

140

150

160

170

180

0190

50100150200

身長 (cm)

身長 (cm)5661

統計解析の基礎②

ヒストグラム (histogram)

ヒストグラム (histogram)7

 166(kg)と入力されている

 二峰性を示しているよう・・・

05021525

頻度 (人)

外れ値の統計的基準による判定は不向き

6

 医学データの場合、

8 10

 偶然なのか、理由があるのかを検討

4

 外れ値とは限らない

頻度 (人)

860

80100120140120160

130

140

150

160

170

180

190

身長 (cm)体重 (kg)78

ヒストグラム (histogram)

ヒストグラム (histogram)9

 15歳以下のグループ(緑色)と

 面積が割合となるように図示

18歳以上のグループ(青色)が混合(mixture) 横幅は等間隔でなくてもよい

8 10 縦軸は密度(density)
0.02

46

密度0.005×(140-120)=10%

00.00

2

頻度 (人)

10120

130

140

150

160

170

180

190

120130140

身長 (cm)150

160

170180190

身長 (cm)

910

記述統計学

位置の指標

11

 標本データを要約し、特性を把握
 一部の情報を失う
 中央値、範囲、四分位範囲、

8 1064

 全てのデータを足し、

 外れ値に対し頑健 外れ値に対し頑健でない 数学的な性質は

 数学的な性質はよい

中央値:30180

 データを順に並べ替え、データの個数で除した値

1, 2, 3, 4, 50

中央値:168.9
四分位範囲:167.1-171.5
170

平均値 mean

あまりよくない2

頻度 (人)

平均値、標準偏差、歪度、尖度・・・

160

中央値 median
真ん中の値 散布図、ヒストグラム、箱ヒゲ図

150

12

平均値:12190

身長 (cm)11122

統計解析の基礎②

バラツキの指標(中央値とセットで使うもの)

バラツキの指標(平均値とセットで使うもの)

13 標準偏差 Standard Deviation

 範囲 range 不偏分散 (最大値) － (最小値) 各データと平均値との差（偏差）の2乗和を 医学論文では最小値と最大値をそのまま記述(データの個数)-1 で除したもの

 四分位範囲 inter-quartile range 不偏分散の平方根が標準偏差用いた範囲

452.5 ≈ 21.3

 暗に正規分布を仮定した指標

1, 2, 3, 4, 50
範囲:1-50= 452.5

 上側四分位(75%)点と下側四分位(25%)点を

 医学データでは正規分布に従うことはまれ

四分位範囲:2-4

 ほぼ、データを記述する場面では不向き

1314

箱ヒゲ図 box-whisker plot

変動係数、歪度と尖度

1516

 変動係数 coefficient of variation,CV; 𝜎 ⁄𝜇 中央値、平均値、四分位範囲等を図示
4180

68 10

 バラツキが平均を単位にしてどの程度大きいか

02150

160

170

180190

外れ値

身長 (cm) 測定精度の表現として%表示することも

四分位範囲×1.5のうち、最大のデータまで

 歪度 skewness
 尖度 kurtosis

上側四分位点
中央値

四分位範囲

 正規分布を基準にして考える 平均まわりでの尖りの強さでなく、下側四分位点分布のすそに関する重さを表す

160

165

平均値

175

身長 (cm)170

頻度 (人)

14 平均、分散とあわせてモーメントに分類

1516

歪度と尖度の関係

変数変換

1718

 歪んだ分布である場合

尖度<0 分布の歪みをとりたい 正規分布、せめて左右対称な分布に近づけたい

歪度>0

頻度

000

尖度>010203040

変換前の値

17102080

 Box-Cox変換

40

正規分布
歪度=0尖度=0

頻度

歪度<05060

-2-1

012

変換後の値

183

統計解析の基礎②

2つのデータの関係に注目

散布図と相関係数の注意

19

回帰直線は描かない 相関係数: 強さと方向を-1から1をとる値で代表
 0 : 2つの変数間に相関なし

 相関と回帰は別の解析

 1 : 2つの変数に正の相関 相関係数だけでなく散布図も必ず描く

 -1 : 2つの変数に負の相関

相関係数: -0.8

 以下の散布図はすべて同じ相関係数

相関係数: 0相関係数: 0.8

相関係数: 0.819

相関係数: 0.8

相関係数: 0.8

20

カテゴリカル(二値,多値)データ

割合、率、比21

進行度ステージ(I, II, III, IV)、疾患の有無

 全体に占める程度

 0から1をとる指標

 分割表による要約

 率 rate 人数と曝露群別に求めた割合を表記
治療

進行度ステージII

新治療

2 [4%]

5 [10%]

23 [46%] 20 [40%]

50

標準治療

4 [8%]

4 [8%]

24 [48%] 18 [36%]

50

疾病発生

 単位時間あたりの発生数

合計

I

曝露IIIIV 0から∞(無限大)をとり、1/単位時間 が単位

 比 ratio

 同じ単位をもつ2指標の相対的な大きさ

合計あり

なし

あり

12 [20%]48 [80%]60

なし

16 [10%]144 [90%]160

22

 割合 proportion 治療(曝露)の有無、

 0から∞(無限大)をとり、単位はなし

2122

効果の指標

割合に関する効果の指標①23

指標
リスク、割合オッズ率
ハザード差の指標
リスク差率差24

 リスク差 risk difference, リスク比 risk ratio 治療(曝露)効果の方向や大きさの表現

2320

 相関に注目する場合、

 散布図: 縦軸、横軸にそれぞれ変数を配置した図 疾病発生割合(リスク)の群間比較

比の指標
リスク比
オッズ比
率比
ハザード比

 直感的な解釈
 NNT (Number Needed to Treat): -1/(リスク差)
 何名治療すれば、1人の疾病発生を抑えられるか 発生オッズ比 incidence odds ratio 疾病発生オッズ(発生数/非発生数)の群間比較
 数学的によい性質244

統計解析の基礎②割合に関する効果の指標②
曝露あり

あり
なし

疾病発生なし12 [20%]16 [10%]発生率に関する効果の指標①25

 観察人時間 observed person-time

合計

48 [80%]144 [90%]

 のべ何単位時間だけ観察したか

60160

 40人を5年、20人を6年観察した場合、320人年
 発生数を観察人時間で除したものが発生率

 発生率差 incidence rate difference

 曝露により、疾病発生リスクが

 リスク差:

−

= 0.1

26

 発生率比 incidence rate ratio 10%増加 リスク比:= 2.0

 2倍に増加 オッズ比:= 2.25

 上昇(オッズ比:2.3倍)

2526

発生率に関する効果の指標②
曝露あり
なし

疾病発生数
1216発生率とハザード

27

 発生率は観察人時間あたりの疾病発生数

観察人年 発生率 [/年]
320800 カウントデータ

0.03750.0200

 よく似た指標に、ハザード (hazard / hazard rate) 直前まで観察である下で、

 発生率差⁄

その次の瞬間における発生しやすさ− ⁄ 1/単位時間 が単位であり、解釈は発生率とほぼ同様= 0.0375 − 0.0200 = 0.0175 [/年]

 効果の指標としてハザード比

 曝露により1年あたりの発生率が0.0175増加

 生存時間データ

 発生率比⁄⁄=28

 打ち切り(censoring)を含むデータ.
.

 ある時点まで生存は確認されているが、≈ 1.88その時点以降に存在するイベント時点が正確に分からない

 曝露により1年あたりの発生率が1.88倍に増加

2728

カプラン・マイヤー曲線

推測統計学29

 各時点における生存割合

 集団全体を調べなくとも、1(1-(疾病発生割合))を階段状にプロットその特性を標本から確率的に推測
 部分から全体への推測| 打ち切り 頻度流統計学 v.s. ベイズ流統計学

中央生存時間: 12週

 今日は頻度流統計学を紹介

0.5

生存割合

30

 多くの数理統計学の教科書で記述
 医学データへの適用例が豊富

0 統計的推測 Statistical Inference

05101520253035

 推定、検定の２種類に大別

投与開始からの時間（週）29305統計解析の基礎②

記述統計と推測統計の役割

母集団からのランダムサンプリング31

 有限母集団の特性を推測するには、

推測統計学

母集団
特性母集団
（仮想的）
ランダムサンプリング

統計モデル

データの要約 選挙の出口調査

, 2

ランダムサンプリング

推定
検定

統計量

記述統計学

x, s

15%-40%くらい?
20%
10%
17%
25%

標本特性

グラフ表示

データ
x1, x2, …, xn

ランダムサンプリングした標本を用いた

…

標本32

有限母集団2311540

割合

標本32

統計学を医学研究へ応用

仮想的無限母集団による正当化

33

 がん登録データベースを用いて、34

 仮想的無限母集団

患者の予後に影響を与える因子を検討

 がん患者、睡眠薬を処方される人

 ある睡眠薬について催奇性の有無を 現在のみならず、過去や将来の患者も含める

調べるケースコントロール研究 ランダムサンプリングを行った
 手元にあるデータは仮想的無限母集団からの標本とみなす

 有限母集団からのランダムサンプリング??

 有限母集団に対する統計理論が適用可能時に、この正当化は無理な場合がある

33

34

確率モデルから得られた標本

この治療は効くんですか?

35

 知りたい仮説を確率モデルで表す

 医学的要請が高いもののひとつ

 がん患者の予後因子と死亡の因果関係

 製薬会社は新薬を上市するために治験を行う

 睡眠薬が奇形児をもたらす影響 研究者は新規治療法の有効性を確認するため、医師主導臨床試験を行う

 母集団は、研究対象（標本）の特徴から

 治療法をランダムに被験者に割り付け、操作的に作られるもの

確率モデル

2群での有効性を比較する

仮想的なランダムサンプリング ランダム化、ランダム割付

20%
10%
17%
25%
…

仮想的無限母集団3536

 ランダムサンプリングなどしていない
1540

割合

標本366

統計解析の基礎②

内的妥当性

比較の妥当性37

 研究対象集団で調べたいものが38

 交絡(confounding)バイアスによって正しく調べられているか比較の妥当性が欠けてしまう 4つの妥当性が必要

 治療法Aは軽症な人ほど受けやすい
 治療法Bは重症な人ほど受けやすい

 比較の妥当性

 治療法の比較では、治療効果をみるのか、

 そもそも比較群はよく似ている集団か ?

重症度の違いによる影響をみるのか不明

 追跡の妥当性
 測定の妥当性

DAGによる交絡の表現

 解析の妥当性

重症度

治療

37

結果

38

ランダム割り付けの意義ある個人に対する潜在的な結果

39

 全員が治療 A を受けた場合の結果

40

治療法 治療 A を実際に受けた半分の参加者の結果で代用

 全員が治療 B を受けた場合の結果
 治療 B を実際に受けた半分の参加者の結果で代用

これらの妥当性は、治療法のランダム割り付けが保証

39

A

B

タイプ1

治る

治る

タイプ2

治る

治らない

タイプ3

治らない

治る

タイプ4

治らない

治らない

40

反事実結果変数モデル

counterfactual outcome model

頻度流統計学を適用

41

 仮想的な10名の対象者の治療に対する潜在的な結果

42

 有限母集団からのランダムサンプリング

Ａ Ｂ
タイプ1 ＋ ＋ 2名
タイプ2 ＋ － 3名
推定したい真の群間差= （5 - 3）/10 = 0.2（20%）
タイプ3 － ＋ 1名
タイプ4 － － 4名
 ランダム割り付けのパターンは、10C5 = 252通り

 仮想的無限母集団からの仮想的なランダムサンプリング
 仮想的無限母集団に確率モデルを仮定

 内的妥当性を保証するためのランダム化に基づく比較

 群間差の分布は ?

 252通りの群間差の計算

 反事実結果変数モデルに基づく

 真の治療効果を中心に、平均治療効果に関する統計的推測対象者を増やせば正規分布に近づく-40 -20 0 20 40 60 80

41427

統計解析の基礎②

データを集めました!②

バラツキ variation

43

 腎摘出術を受ける患者の術前eGFR

 同じようなものを測定したはずなのに、値が異なってしまうこと10（推定糸球体濾過量）

8642

頻度 (人)

 統計で問題にするのはこの「バラツキ」

年齢・性別の違い?
前治療の違い?
異なる疾患?
測定の誤差?

 頻度流統計学では

測定値 ＝ 真値 ＋ バイアス ＋ 誤差

0measurement020

406080100

44

true value

bias

error

120

eGFR (mL/min/1.73m2)
Isotani S, et al. Clin Exp Nephrol. 20154344

測定値の正しさ

バイアスの特定と制御

45

 正確度 accuracy

 研究結果と知りたい真値とのズレ

 真値に一致しているか、ズレていないか 選択バイアス、情報バイアス、交絡、・・・ 精度 precision

 研究者(医師)の主観、測定器の違い、・・・ 真値の周りに集まっているか

真値46

 研究デザインと解析モデルにおいて、

正確度

精度

○○

 疫学研究はバイアスとの戦い○× 臨床試験では、ランダム化によって、×○××バイアスを制御することを目指す

制御できないバイアス要因を期待的にゼロに これらを誤差に転化してしまう

45

46

誤差の確率変数による定式化(例)治療が成功するか 𝑋

47

変数Xが次の条件を満たすとき、

 条件1

これを確率変数という

 𝑋のとり得る値は1(成功),0(失敗)のいずれか

1.

Xはいろいろな値をとり得るが、とり得る値の範囲は定まっている

 条件2

2.

Xは、ある時点が過ぎると値が確定するがそれまでは値が不確定である

 条件3

3.

48

 𝑋の値は、治療するまで不確定

 𝑋がそれぞれの値をとる確率は1⁄2ずつXのとり得る値についての確率分布は定まっている

Pr 𝑋 = 𝑥 = 1⁄2 , 𝑥 = 0,1

吉村功ら,医学・薬学・健康の統計学,サイエンティスト社.200947488

統計解析の基礎②

どうやって真値を調べるか?

5人に治療して成功する人数 𝐾49

 この治療が成功する割合は50%だ

50 これも確率変数

 ラットでも、イヌでも、サルでも・・・

𝐾 =𝑋 +𝑋 +𝑋 +𝑋 +𝑋

 実験で確かめるしかない!
 5人に治療を行って、 1人目について治療が成功するか𝑋 2人目について治療が成功するか

𝑋

 ・・・

成功した人数を調べてみよう 各対象者が治療成功するか𝑋(= 0,1)は確率𝑝のベルヌーイ分布に従う
Pr 𝑋 = 𝑥 = 𝑝 1 − 𝑝
 母平均𝑝 、母分散𝑝(1 − 𝑝)4950

𝐾の平均や分散は?

治療実施をさぼった・・

51

 1人目の結果を、

 平均値2,3,4,5人目の結果としてコピペした 各対象者が治療成功するかの平均値を足す
𝐸 𝐾

=𝐸 𝑋

+𝐸 𝑋 +𝐸 𝑋= 5𝑝+𝐸 𝑋

 平均値+𝐸 𝑋

 1人目が治療成功するかの平均値を5倍

 分散

𝐸 𝐾

 各対象者が治療成功するかの分散を足す
𝑉 𝐾=𝑉 𝑋+𝑉 𝑋 + 𝑉 𝑋= 5𝑝 1 − 𝑝+𝑉 𝑋= 5 × 𝐸(𝑋 ) 分散
 1人目が治療成功するかの分散を52倍+𝑉 𝑋

𝑉 𝐾 分散の加法性51=5 ×𝑉 𝑋

= 25𝑉(𝑋 )52

確率変数の線形変換

治療成功確率𝑝を実験から確認

53

平均と分散の特徴は以下の通り
 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌

= 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏𝐸(𝑌) 𝑉 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌

= 𝑎 𝑉 𝑋 + 𝑏 𝑉(𝑌)54

 5人に治療して成功する確率𝑋は、

 一般化すると、

𝑋=𝐾 1
1= 𝑋 +⋯+ 𝑋
5 55

 平均や分散は 𝑎, 𝑏:定数、𝑋, 𝑌:確率変数5352

𝐸 𝑋= 𝐸 𝑋+⋯+ 𝐸 𝑋

𝑉 𝑋=+⋯+𝑉 𝑋𝑉 𝑋=𝑝= 𝑝(1 − 𝑝)549

統計解析の基礎②

確率分布

確率分布の特徴づけ55

 標本空間 sample space56

 確率関数、確率密度関数
 分布関数 確率変数のとり得る値の全体、集合

 確率変数 random variable モーメント（積率）

 標本空間上で確率分布が定まっているときに、

 原点周り、平均周りその分布に従って実現値を出す変数 平均、分散、歪度、尖度

 確率変数を特徴づけるもの 確率母関数、積率母関数、特性関数

 確率分布 probability distribution

 キュムラント5556

離散型 / 連続型確率関数

確率関数(離散型確率変数の場合)

57

 離散型確率関数58

 確率変数𝑋がとる値に対して、その値がとる確率を考えることができる 二値(陽性/陰性)や整数値のようなとびとびの値をとる

𝑓 𝑥

 確率分布は確率関数によって特徴づけ= Pr(𝑋 = 𝑥)を𝑥の関数とみたもの

 例:サイコロの目の確率関数
1

 連続型確率関数

確率 確率分布は確率密度関数によって特徴づけ

𝑓 𝑥 =0 1/6𝑓(𝑥) とり得る範囲であらゆる値をとる

1

2

3

4

5

16 , 𝑥 = 1,2, … , 60,それ以外

6

サイコロの目 𝑥

57

58

確率密度関数(連続型確率変数の場合)

分布族と母数59

 分布族 family of distribution 区間(𝑎, 𝑏]のどれかの値が実現する確率

Pr 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 = 性質の似た確率分布をグループ分け

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 母数 parameter 横軸を𝑥、縦軸を密度関数𝑓(𝑥)で図示

 分布を一意に指定する役割をもつ変数

0.4

 例:標準正規分布(平均0,分散12の正規分布)

 母数空間:母数のとり得る値の範囲

分布族
正規分布
二項分布

exp −0.20.1

𝑓(𝑥)

0.3

𝑓 𝑥 =0.0

Pr 1.96 < 𝑋 < +∞ =𝑓 𝑥 𝑑𝑥.

-4-202460= 0.025

母数
平均𝜇、分散𝜎
サイズ𝑛、出現率𝑝𝑥596010

統計解析の基礎②

代表的な分布(族)

二項分布 𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝)

61

離散型分布

連続型分布

 二項分布 正規分布 多項分布 カイ二乗分布

 ポアソン分布

 t 分布 負の二項分布

 F 分布 ベータ二項分布

 一様分布 超幾何分布

 指数分布 幾何分布 ワイブル分布62

 ある治療の治癒確率が𝑝の場合、𝑛人の患者に治療した際の治癒した人数𝑋

 確率関数Pr 𝑋 = 𝑥 = C 𝑝 (1 − 𝑝)

 標本空間{0,1, … , 𝑛}

 母数空間𝑛は正の整数、𝑝: 0 ≤ 𝑝 ≤ 1

 平均 𝑛𝑝、分散𝑛𝑝(1 − 𝑝)

 ガンマ分布6162

ポアソン分布 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)正規分布 𝑁(𝜇, 𝜎 )63 ハザード（ある瞬間の治癒率）が λ の場合、

 十分に症例数が大きいとき、(ほとんどの)医学データの平均値が従う

十分に患者がいる下で治癒した人数𝑋
 ただし治癒発生は、まれである

 この性質はあとで解説

 2項分布にて𝑛𝑝 = 𝜆とおき、𝑛 → ∞としたときの極限

 確率密度関数（少数の法則 law of small numbers）

 確率関数Pr 𝑋 = 𝑥 = 𝜆 𝑒

 標本空間{0,1, … , 𝑛}

 母数空間

𝜆>064⁄𝑥!

𝑓 𝑥 =exp − 標本空間−∞, ∞ 母数空間−∞ < 𝜇 < ∞, 0 < 𝜎 < ∞ 平均𝜇、分散𝜎 （標準偏差𝜎 ） 平均𝜆、分散𝜆 𝑁(0, 1 )としたものを標準正規分布とよぶ

6364

カイ二乗分布 𝜒 (𝑘)t 分布 𝑡(𝑚)65 確率変数𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 が同一かつ独立に

 確率変数𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 が同一かつ独立に𝑁(0, 1 )に従う場合、
𝑌=

66

𝑁(𝜇, 𝜎 )に従う場合、
𝑋−𝜇𝑇=𝑠 /𝑛
は自由度𝑚(= 𝑛 − 1)の t 分布に従う

𝑋は自由度𝑘のカイ二乗分布に従う

𝑋 = ∑
𝑠 = ⁄𝑋 ⁄𝑛∑ 𝑋 −𝑋 不偏分散という656611

統計解析の基礎②分布関数 𝐹(𝑥)確率(密度)関数と分布関数

67

 確率関数 標本空間で1つの値𝑥より左側にある確率 区間(−∞, 𝑥]の確率Pr(𝑋 = 𝑢)

 連続型分布:∫𝑓 𝑢 𝑑𝑢𝑓(𝑎 )𝑎 𝐹(𝑥)は単調増加で𝐹 −∞ 𝐹(𝑥)は右連続: lim

1𝑓(𝑎 )

 離散型・連続型確率変数が統一的に扱える

𝑎・・・

𝑎𝑥

 確率密度関数= 0, 𝐹 ∞ = 10𝑎𝑎𝑥

𝐹(𝑏)
𝐹(𝑎)

67

𝑎1𝑓(𝑥)𝑎・・・

 分布関数𝑃(𝐴)𝐹 𝑥 = 𝐹(𝑎)→𝑥𝑏0𝑎𝑃(𝐴)𝑏𝑥

68パーセント点モーメント（積率）69

 分布関数をある値𝛼にする横軸𝑥の値

 母数が多いと表が大きくなりすぎる 分布の形状や位置といった性質を知りたい この逆を統計数値表にまとめることもある 原点まわりの𝑘次のモーメント パーセント点 percentile
 下側100𝛼%点:𝐹 𝑥= 𝛼となる𝑥の値

 上側100𝛼%点:𝐹 𝑥= 1 − 𝛼となる𝑥の値

 両側100𝛼%点:𝐹 𝑥= 1 − ⁄ となる𝑥の値

70

 統計数値表は個別的すぎる

 統計数値表にまとめられる

𝜇 =𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ,𝑥 Pr(𝑋 = 𝑥) 平均まわりの𝑘次のモーメント𝜈 =69(𝑥 − 𝜇 ) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ,(𝑥 − 𝜇 ) Pr(𝑋 = 𝑥)70

平均、分散、標準偏差

統計量71

 平均:原点まわりの1次のモーメント𝜇

個々のデータを要約したもの

 治療成功確率を推定するために、

 分散:平均まわりの2次のモーメント𝜈

（パラメータ）
5人に治療を行い成功割合（平均）を求める（要約）

 慣習的に𝜎 であらわす
𝜎72

 知りたいパラメータの推定するために、

 慣習的に𝜇であらわす=𝜇 −𝜇 標準偏差:分散の平方根 𝜎

 データを集めて計算した平均値は統計量の代表例

 変数や平均と同じ次元であり、比較しやすい71

 分布関数𝑓(𝑎 ) 離散型分布:∑687212

統計解析の基礎②

標本分布

𝑛 = 5の場合

73400,000

 統計量自体の分布74

 対象者ごとに治療結果がばらつくように、実験回数結果をまとめた統計量もばらつく 𝑝 = 0.5として、𝑛人に治療した場合の、成功する割合𝑋の分布を確認

 𝑛人に治療して𝑋 を計算する実験を0100万回やってみた

073

10.5
治療成功割合𝑋

74𝑛 = 30の場合

76140,000

75010.5
治療成功割合0

実験回数200,0000

実験回数

𝑛 = 10の場合

07510.5
治療成功割合𝑋𝑋

76𝑛 = 100の場合

標本分布の導出

777860,000

標本分布は計算可能 極めて限定的な状況でのみ正確に解ける コンピュータシミュレーションによる数値計算

 もとの確率変数が従う分布が不明でも、0実験回数

 もとの確率変数が従う分布が分かれば、0

治療成功割合標本分布は正規分布にて近似（漸近論）

10.5

 𝑛が十分に大きい場合の特徴
 平均と分散のみ計算

𝑋 大数の法則と中心極限定理で証明

77

78

13

統計解析の基礎②

大数の法則

中心極限定理79

 平均値𝜇をもつ確率分布からの独立な80

 独立な確率変数𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 の重み付き和(例えば標本平均)は、正規分布に収束

確率変数𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 の標本平均𝑋は𝜇に収束
 任意に小さい正の数𝜀 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 が平均𝜇、分散𝜎 の独立同一分布に従う場合、その標本平均𝑋 について

lim 𝑃𝑟 𝑋 − 𝜇 > 𝜀 → 0→

標準化統計量という𝑋−𝜇𝜎 /𝑛

標準誤差というStandard Error

が標準正規分布に従う

79

80大数の法則と中心極限定理を認めれば 81

例:抗がん剤の反応割合

 1回の研究結果(統計量)と仮説が、

 がん患者50名に抗がん剤を投与したところ、どの程度異なるかを定量的に評価できる82反応した(CR+PR)者が20名であった

 仮説検定 hypothesis testing 20/50=40%の反応割合

 この反応割合の信頼度は?

 ある仮説が正しいと仮定した場合に、研究結果が観測されることはどの程度(順位)まれであるかを確率で表現

 信頼区間 confidence interval/limit 大数の法則と中心極限定理より、

 意思決定に利用

𝑝−𝜇∼ 𝑁 0,1 , 𝑆𝐸 𝑝 =𝑆𝐸(𝑝) 区間推定 interval estimation
 仮説検定で「まれ」と判断されない仮説の範囲

81𝑝(1 − 𝑝)𝑛82

標準正規分布割合の95%信頼区間

83840.4

 正規近似による信頼区間
 下式を真値𝜇に関して解く

0.22.5%𝑝̂ 1 − 𝑝̂
𝑛2.5%

= ±1.96

 今の例では、0.4 ± 1.96. × .

≈ (0.26,0.54)

0.0

0.1𝑓(𝑥)0.3

𝑝̂ − 𝜇-1.96

01.96𝑥838414

統計解析の基礎②

同じ40%でも90% or 99%信頼区間は?

85

 95%信頼区間を示すことが多い（慣習） 人数によって信頼区間は異なる
 得られる情報量の違い

 50人中20人が反応した場合

 同じ40%でも・・ 4/100.10,0.70

 20/50

0.26,0.54

 40/100

0.30,0.50

 400/1000

0.37,0.43

86 90%信頼区間:
 95%信頼区間:
 99%信頼区間:
85(0.29, 0.51)= ±1.64を解いた(0.26, 0.54)(0.22, 0.58)= ±2.58を解いた

86

統計数値表

まとめ①8788

 記述統計と効果の指標

 確率とパーセント点の対応をまとめた表 ヒストグラム、箱ひげ図、平均値と中央値

 上側確率0.05に対応するパーセント点𝑢は?

 分割表による集計

 1.644854

 リスク差、リスク比、オッズ比 この𝑢を用いれば、90%信頼区間が分かる 率差、率比 パーセント点0.84に対応する上側確率は?

 カプラン・マイヤー法とハザード比

 頻度流統計学の適用場面

 0.20045

 疫学データのような無限母集団からの仮想的ランダムサンプリング ランダム化研究のような内的妥当性の確保

87

88

まとめ②89

 真値、バイアス、誤差への分解 バイアスは制御を目指す
 制御できない分は誤差へ転化 確率変数による誤差の定式化

 標本分布理論と漸近論
 大数の法則と中心極限定理により標本平均は真値を中心とした正規分布に収束

8915