信号処理論第二第4回 (10/25)

情報理工学系研究科システム情報学専攻
亀岡 弘和
kameoka@hil.t.u-tokyo.ac.jp

講義予定
10/03: 第1回
10/10: 第2回
10/17: 第3回
10/24: 第4回
10/31: 休講
11/07: 第5回
11/14: 第6回
11/21: 第7回

11/28: 第8回
12/07: 第9回
12/12: 第10回
12/19: 第11回
01/09: 第12回
01/16: 授業休止日
01/23: 第13回
01/30: 期末試験

講義内容
 δ関数再考 δ関数を含む関数のフーリエ変換
 相関関数とスペクトル 線形システム 特性関数 正規不規則信号
 線形自乗平均推定
 ウィーナーフィルタ
 ヒルベルト変換
 カルマンフィルタ

講義資料と成績評価
 講義資料 http://hil.t.u-tokyo.ac.jp/~kameoka/sp2/
 成績評価
 出席点
 学期末試験

前回の復習 重畳積分定理
 Persevalの定理
 超関数・不連続関数を含む重要なFourier変換対定数関数、δ関数
 複素正弦波、sin、cos 矩形窓、三角窓、ガウス窓 周期δ関数ガウス関数のFourier変換
復習

ガウス関数のFourier変換の証明

復習補足事項：ガウス関数の積分1

補足事項：ガウス関数の積分2∫∞∞e − ( x + jb ) dx = ∫ e − x dx =2π の証明

2−∞

−∞

f ( z) = e−z2を図に示す四辺形にそって積分する．

yB’B−z∫ e dzを求める．ただし，z = x + jyで，2OA = a , AB = bとする．
aA ′Aにそっては， ∫ e− x2−abA’dxであり，OA x

ABにそっては，j ∫ e − ( a + jy ) dy ,20BB ′にそっては， ∫−aa0e − ( x + jb ) dx ,B ′Aにそっては，j ∫ eb2− ( − a + jy ) 2dyである．

第二，第四の積分は，
a → ∞で 0になる．
e − z はこの変域で正則だから
2一周積分は 0.
∞∴ ∫ e − x dx + ∫
2−∞
∞

−∞

∞

e − ( x + jb ) dx = 02∞∴ ∫ e − ( x + jb ) dx = ∫ e − x dx =−∞2−∞

2πサンプリング定理
連続関数を、サンプル値のみで表現できるか？
 効用：連続系を離散系でシミュレートできる 明らかに、連続関数に何らかの制約条件が必要サンプリング定理
サンプル値系列をデルタ関数列とみなし，元の関数との関係を考える

周波数領域の重畳定理

復習

復習

周期δ関数のFourier変換
F (ω ) = ω 0 Sω0 (ω )ST ( t )t0 T 2T

ω00ST (t )↔ω0 Sω0 (ω )

ω0 = 2π / Tω02ω 0ω周期δ関数列を乗じた関数のFourier変換

周期δ関数列周期δ関数列を乗じた関数のFourier変換

エイリアシング（Aliasing）

ω0− ωcω0ωc：信号がもつ最大周波数：サンプリング周波数
サンプリング周波数が低いと折り返した成分がもとの成分に重なってしまうエイリアシングを生じない条件

ω0

ω0− ωcωcサンプル値系列からの信号の復元− ωcωcPω c (ω )− ωcωcサンプル値系列からの信号の復元∞ nπ sin ω c t ~sin ω c t π
f (t )=∗ f (t ) =∗ f (t ) ∑ δ  t −πtπ t ωcωc n = −∞ sin ω c t ∞  nπ   nπ δ  t −=∗ ∑ f ω c t n = −∞  ω c   ω c sin ω c (t − τ ) nπ dτ= ∑ fn ∫δ τ −−∞
ω c (t − τ )  ω c n = −∞∞∞ nπ 
sin ω c  t −∞ωc = ∑ fn nπ n = −∞ω c  t − ωc ∞sin(ω c t − nπ ) ∞ sinω c (t − nT )= ∑ fn= ∑ fnω c t − nπ
ω c (t − nT )n = −∞
n = −∞

サンプリング定理から導かれる結論

帯域正弦信号ならば，カットオフ周波数の２倍以上でサンプリングすれば（のサンプル値）から元のが完全に復元される。

第3章：
相関関数とスペクトル確定信号と不規則信号
 確定信号(deterministic signal)

時刻 t に対し値が一意に決定できる信号 不規則信号(random signal, stochastic signal)
時刻 t における値が確率的にしか定まらない（観測のたびに値が異なる）
 平均、分散、分布などの統計量によりその性質がとらえられるt = t1x (t , ξ1 )SSample Spacex (t1 , ξ3 )x (t1 , ξ )確率密度関数 連続確率変数 x の確率密度関数：
 注意：f(x)自体は確率ではない⇒ f(x)は１以上の値をとることもありえる 例）ガウス分布



xがx～x+dxの値をとる確率がp(x)dx

σが小さい場合1より大きい値をとりうる

統計量の定義1

時刻tにおける確率変数x(t)の密度関数という意味で、以後このように表記する

 集合平均 自己相関関数 (auto-correlation)

 自己共分散 (auto-covariance)統計量の定義2
 相互相関関数 (cross-correlation)

 相互共分散 (cross-covariance)無相関と独立
 無相関 (uncorrelated) 独立 (independent)

独立→無相関定常過程 (stationary process) 強定常

x(t) と x(t+τ) が任意の τ に対して同一の確率密度分布を有する

 弱定常
平均が定数
 自己相関関数が時間差のみの関数
時間平均 (time mean) 時間平均：

 集合平均（x(t)が定常な場合）：
平均
自己相関

通常、定常な信号x(t)に対して時間平均を考えるエルゴード性(ergodicity)定常な確率過程 x(t) において，集合平均＝時間平均が成り立つとき，「x(t) はエルゴード性をもつ」という必ずしも「定常＝エルゴード性」とは限らない
定常でエルゴード的でない信号の例
定数信号x(t)，ただし x(t)=η の値はある確率分布 f(x) に従う
 時刻によらず等しい確率密度分布をもつ→定常 標本信号の時間平均をとっても，集合平均に一致しない→エルゴード的でない定常＋各時刻が独立ならば、必ずエルゴード的

i. i. d (independent and identically distributed）

相互相関関数 相互相関（cross correlation）

 自己共分散（auto covariance）

 相互共分散（cross covariance）

自己相関関数の性質
 偶関数：

 原点で最大：相互相関関数の応用例
 2つのマイクロフォンにある方向から音波が到来している。音波の到来方向を知りたい。
 伝播時間差がわかれば方向がわかるが、どんな音波が到来してくるかわからない。
雑音
到来方向
θ
伝播距離差
Dsinθ

マイクロフォン間隔 D

相互相関関数のピークを求めればよい