量子力学の枠組み

1

歴史的には量子力学は古典力学を量子化して得られた。系の量子性をあらわすパラメタがプランク定数 ℏ = h/(2π) である。与えられた量子系に対し、ℏ → 0 の極限をとる 1 と古典系になる。
「古典化」は (解析は大変だろうけれど) できない操作ではない。
しかし、与えられた勝手な古典系に対して、自然に ℏ ̸= 0 にして、対応する量子系をもとめよ、というのはどだい無理な話である 2 。
「量子化」という操作はだから良くない操作である。
また、古典力学は日常の直感にあうが、量子力学は不思議だ、とか言われることがあるが、それもナンセンスだと思う。東アジア人の立場からすれば、西洋の古典力学的世界像を受け入れた時期と、量子力学が建設された時期はほぼ同時なわけで、それから今の我々の時代までの時間的距離は同じだ。西洋人にとっても、ニュートン力学から現在までの時間的距離と、量子力学から現在までの時間的距離はほぼ同じオーダーになった。著名な教科書を書いた当時のひとたち、20 世紀前半を生きたひとたちにとっては量子力学の衝撃は大きかったかもしれないが、我々にとってはその必要はない。
というわけで、僕はなるべく量子力学をそれそのものとして議論したいと思う。

1.1

法則

I 系の状態は状態空間 H のベクトル |ψ⟩ であらわされる。状態空間はエルミート内積付き複素線形空間である。
II 系に対する観測以外の操作 (時間発展、回転等) は (反) ユニタリ演算子 U であらわされる。
III 系の観測量は H のエルミート演算子 A であらわされる。
IV 観測量 A の固有ベクトルを |i⟩, A |i⟩ = ai |i⟩ とすると、状態 |ψ⟩ において A を観測した際の結果は ai のうちどれかであり、ai が得られる確率は | ⟨i|ψ⟩ |2 に比例する。

V 全系が部分系 A と部分系 B からなり、部分系がそれぞれ状態空間 HA , HB を持つとき、全系の状態空間はテンソル積 HA ⊗ HB である。
ニュートンの運動の法則のように法則の名前、順番等が決まっていればよいのだが、残念。ここでは僕の趣味で I から V にした 3 。

1.2

法則 I について

エルミート正定値内積付き複素線形空間 (でさらによい性質をみたすもの) のことは数学で Hilbert
空間というので、物理では、状態空間のことを単に Hilbert 空間と呼ぶことが多い。その慣習が悪用されて、場の量子論で電磁場を相対論的に扱う際に計算の途上で正定値でない内積をもつ複素線形空間が出てきても Hilbert 空間と呼んだりするが、数学者は怒ると思う。

1 もちろん、ℏ は次元をもつ量なのでこれは良くない書き方である。考えている状態で、ℏ と同じ次元をもつ量 S をとってきて、 ℏ/S → 0 という極限を取るべきである
2 f (ℏ, S) という関数があったとして、f (0, S) のみが与えられていて、f (ℏ, S) 全体が再現できるわけがない。
3 こ の 枠 組 み が 論 理 的 必 然 か ど う か に つ い て は い ろ い ろ 研 究 が あ る 。Kapustin
さんの講演
http://www.theory.caltech.edu/∼kapustin/QM colloq.pdf 等参照。

1

1.3

法則 I、II について状態 |ψ⟩ と |ϕ⟩ に対して、線形結合 α |ψ⟩ + β |ϕ⟩ に操作 U が行われると、

α |ψ⟩ + β |ϕ⟩ 7→ U (α |ψ⟩ + β |ϕ⟩) = αU |ψ⟩ + βU |ϕ⟩(1.1)となり、 状態 |ψ⟩ と |ϕ⟩ のそれぞれに操作 U を行ったものの線形結合になる。これを重ね合わせの原理というのだと思う。
操作のなかで、時間反転は反ユニタリ変換 U (α |ψ⟩) = ᾱU |ψ⟩ となることが知られているが、この講義では多分でてこないので、以下、反ユニタリの場合は考えないことにする。

1.4

法則 II、III について

A がエルミートなら t を実数として U (t) = eitA はユニタリであって、U (s)U (t) = U (s + t) をみたす。これは、一つのパラメタ t でパラメタ付けられた系への操作|ψ⟩ 7→ U (t) |ψ⟩

(1.2)

である。
また、逆に、U (s) が実数 s でパラメタ付けられたユニタリで U (s)U (t) = U (s + t) なら、エルミート演算子 A があって U (s) = eisA である。だから、系の観測量と系に対する連続操作の間には一対一の対応がある。観測量 A にこの関係で対応する操作 U (t) は、「A を観測する」ではないことに注意。
例えば、時間 t だけ時間発展させる (触らずにそっとしておく)、という操作を U (t) と書くと、U (t)U (s) = U (t + s) をみたす。時間 s だけほっておいて、さらに時間 t だけほっておくのは、時
間 s + t ほっておくのと同じだから。すると、何かエルミート演算子 H があって U (t) = e−iHt とかける。状態 |ψ⟩ に対して、時間 t だけ経った状態を |ψ(t)⟩ = U (t) |ψ⟩ と書くと、これからi∂|ψ(t)⟩ = H |ψ(t)⟩
∂t

(1.3)

これを (時間非依存の) Schrödinger 方程式と呼んで、H を系のハミルトニアンと呼ぶ。観測量 H は系のエネルギーである。これから、量子力学の枠組みでは系のエネルギーの自然な単位は [時間]−1であることがわかるが、歴史的にエネルギーは別の単位を持つので、換算のためにエネルギーかける時間の次元をもつプランク定数 ℏ = h/(2π) を導入して、H = ℏH のことをハミルトニアンとよび、シュレーディンガー方程式はiℏ∂|ψ(t)⟩ = H |ψ(t)⟩
∂t

(1.4)

と書かれる。

1.5

法則 III、IV について

まず固有値が離散的である場合を考えると、エルミート演算子 A の固有ベクトル |i⟩ は正規直交∑であるように取れる: ⟨i|j⟩ = δij 。このとき勝手な状態 |ψ⟩ は |i⟩ で展開できる: |ψ⟩ = i ci |i⟩。

ci を読み取るには、左から ⟨i| を掛ければ、ci = ⟨i|ψ⟩。よって、∑∑
ψ=(⟨i|ψ⟩) |i⟩ =|i⟩ ⟨i|ψ⟩ .
i

i

2

(1.5)

このことを簡単に∑

1=|i⟩ ⟨i|(1.6)|i⟩ ai ⟨i|(1.7)⟨ψ|i⟩ ⟨i|ψ⟩ = ⟨ψ|ψ⟩

(1.8)

i

と書くことも多い。また、

∑

A=

i

である。すると、∑| ⟨i|ψ⟩ |2 =

∑

i

i

なので、 A を測定して固有値 ai が得られる確率 Pi はPi =| ⟨i|ψ⟩ |2
⟨ψ|ψ⟩

(1.9)

であり、また、測定値の期待値は⟨A⟩|ψ⟩ =∑ai Pi =

∑ ai | ⟨i|ψ⟩ |2
⟨ψ|ψ⟩

i

=

⟨ψ|A|ψ⟩.
⟨ψ|ψ⟩(1.10)

これから、状態 |ψ⟩ は規格化して ⟨ψ|ψ⟩ = 1 としておくのが便利であるが、規格化した二つの状態 |ψ⟩、 |ϕ⟩ の重ね合わせは通常規格化されていないことに注意。また、|ψ⟩ が規格化されている場合でも、eiθ |ψ⟩ もまた規格化されている。すなわち、一つの状態を考える場合は、状態ベク
トル全体の位相には物理的意味はない。しかし、|ψ⟩ + |ϕ⟩ と |ψ⟩ + eiθ |ϕ⟩ には違いがある。これを、状態ベクトルの相対的な位相には意味がある、という。
また、上の式から、操作 U に対して、⟨A⟩U |ψ⟩ = ⟨ψ|U −1 AU |ψ⟩ = ⟨U −1 AU ⟩|ψ⟩

(1.11)であることがわかるから、状態を |ψ⟩ 7→ U |ψ⟩ と変えて A を測定したと思う代わりに、状態を変えずに観測量を A 7→ U −1 AU と変えて測定したと思ってもよい。
固有値が連続的な場合もある。位置演算子 X の場合は固有ベクトル |x⟩ で X |x⟩ = x |x⟩ なるものはデルタ関数をもちいて直交性 ⟨x|y⟩ = δ(x − y) をみたすように取れ、勝手な状態 ψ は∫dxψ(x) |x⟩ と積分で書ける。左から ⟨y| を掛ければ、ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ なので、∫∫
ψ = dxψ(x) |x⟩ = |x⟩ dx ⟨x|ψ⟩(1.12)∫となる。これは1=|x⟩ dx ⟨x|(1.13)とも書ける。 ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ のことを波動関数という。

Dirac がこの記法を導入したときはまだ δ(x) は数学的にきちんと定義されていなかった。それと関連して、|x⟩ は数学的な意味では状態のヒルベルト空間 H の元では無い。これらの問題は、L.
Schwarz が超関数を導入して、また |x⟩ を含むような大きな状態空間を Gelfand が導入して解決されている。というわけで、物理屋としては、数学的に厳密にやる必要はないわけで、あとで数学者がきちんとやってくれると信じていればよい。

3

1.6

法則 IV、V について

さて、エルミート演算子 A に対応する観測量を観測し、結果が ai であった場合、系の状態は「収縮」して |i⟩ に移る、と良く言われるが、これはあまり正確でない。なぜなら、観測を行う際には、観測対象の系に、測定器の系を結合させて、測定器の目盛りを我々が読む、ということが必要で、その際、測定器も、我々も、量子力学で記述されるから。僕は悲しいかな観測問題の専門家ではないので、この点は目をつぶって、Feynman の所謂 “shut up and calculate” の立場で講義をしようと思う 4 。
この点からもわかるように、部分系が二つ以上あって、合成系を考える、というのは基本的な操作である。部分系 A、 B に対し状態空間 HA 、HB があったとき、合成系の状態空間を指定しな
いといけない。HA の基底が |a⟩A (a = 1, 2, . . .) で、HB の基底が |i⟩B (i = 1, 2, . . .) であった場
合 5 、勝手な HA,B の状態は∑

|ψ⟩A =

ca |a⟩A ,|ϕ⟩B =∑

aci |i⟩B(1.14)iと書けるが、合成系の状態 |Ψ⟩A+B は|Ψ⟩A+B =∑ca,i |a, i⟩A+B(1.15)a,iとあらわされる。|a, i⟩A+B で張られる線形空間を HA と HB のテンソル積といい HA ⊗ HB と書く。|a, i⟩A+B も |a⟩A ⊗ |i⟩B と書くこともある。もっと一般に、(1.14) の状態のテンソル積を|ψ⟩A ⊗ |ϕ⟩B =∑ca ci |a⟩A ⊗ |i⟩B

(1.16)a,iと書く。HA+B の勝手な元はかならずしもこう書けないことに注意。

X を HA に作用する行列とする:
X |a⟩A =∑XA,aa′ |a′ ⟩A .

(1.17)

XA,aa′ |a′ ⟩A ⊗ |i⟩B .

(1.18)a′このとき、X は自然に HA ⊗ HB にも作用する:

X |a⟩A ⊗ |i⟩B =∑a′|a, i⟩A+B の A のところにだけ作用する、と言ってもよい。
−1−1

HA , HB がそれぞれ時間発展の演算子 UA (t) = e−ℏ itHA , UB (t) = e−ℏ itHB をもつとする。
系が相互作用していないときは、それぞれ勝手に時間発展するので、全系の時間発展の演算子はUA+B (t) = UA (t)UB (t)(1.19)である。あからさまに成分をかけば、UA+B (t) |a, i⟩A+B =

∑∑
a,a′

UA,aa′ UB,ii′ |a′ , i′ ⟩A+B .

(1.20)

i,i′

4 正しくは、観測対象の系と、測定器の系をあわせた全系のうち、測定器に表示された測定結果が特定の値である状態に移る、というふうに定式化すると良いらしい、清水さんのスライド http://as2.c.u-tokyo.ac.jp/archive/handai2009.pdf
等参照。
5 良くここで下付きのA,B を略して単に |a⟩, |i⟩ と書いてしまっている文献があるが、そうすると a = 2 とか i = 2 とか代入すると区別がつかなくなってしまう。そういう時は頑張って著者の心を読まないといけない。

4

同様に、ハミルトニアンに対しては、

HA+B = HA + HB

(1.21)となる。相互作用があると、これに項が加わることになる。

2

簡単な量子系

2.1

一状態系

まず一番簡単なばあいから考えよう。状態空間 H は一次元で、状態は |0⟩ とその定数倍のみとする。観測量はエルミート演算子だから、単に実数 A = a。|0⟩ は固有状態。測定すると確率 1 でa である。操作はユニタリ演算子だから、単に絶対値 1 の複素数 U = eiθ 。しかし、ひとつの状
態ベクトルの位相には意味がない。というわけで、簡単すぎて自明であることがわかった。

2.2

二状態系

次に簡単な場合を考える。H は二次元で、 |1⟩ と |2⟩ が正規直交基底だとする。観測量はエルミート演算子だから、(

s+z

x − iyx + iys−z)= s1 + xσx + yσy + zσz(2.1)と書ける。s1 は全てと交換するから、あまり何もしないので、忘れてよい。よって、観測量は実質三つある。
操作はユニタリ演算子であるが、ちょっと考えれば勝手なユニタリ演算子は()
iθ a −b̄
U =e,|a|2 + |b|2 = 1
b ā

(2.2)

と書ける。これも、eiθ の部分は状態の全体的な位相を変えるだけであまり何もしないので、忘れてよい。a, b は複素で二つ、条件 |a|2 + |b|2 = 1 が実でひとつなので、結局操作は実で三自由度ある。
僕の物理数学 II を受けたひとは、観測量は虚四元数、操作は絶対値 1 の四元数に対応することがわかると思う。ネットに上げてあるノート参照のこと。
以上、頭の中だけの演習問題か、と思うところだが、この世の不思議なところは、この系が実在して、電子のスピンを記述することである。20 世紀初頭に量子力学が発見されたときは、古典力学を量子化して理解が進んだので、電子のスピンは驚きだったようだ。スピンを古典系の量子化として記述できなくもないが、上記の結果にくらべて過程は非常に煩雑である。この講義では、むしろ、量子力学の枠組みの中で、一番簡単だが非自明な系として自然にスピンが出てくるという立場をとりたいと思う。最近はこの系は qubit と呼ばれることも多い。
以下、|↑⟩ := |1⟩, |↓⟩ := |2⟩ をつかうことにする。これらは σz の固有状態で、|↑⟩ が σz = +1 の固有状態、|↓⟩ が σz = −1 の固有状態である。σz をスピンの z 成分 (を ℏ/2 で割ったもの) という。さて、σ(θ) をσ(θ) = cos θσz + sin θσx

5

(2.3)

とする。σ(θ) はスピンの (x, y, z) = (sin θ, 0, cos θ) 方向の成分 (を ℏ/2 で割ったもの) である。
練習問題として、σ(θ) の固有状態、固有値をもとめるのは勉強になる。固有値は ±1 である。
σ(θ) を |↑⟩ の状態で測定した場合、それぞれの固有値の得られる確率はいくつで、期待値はいく
つか?

2.3

二状態系を二つ三状態系はとばして、二状態系 A と二状態系 B のふたつを考えよう。HA の基底が |↑⟩A , |↓⟩A ,そして HB の基底が |↑⟩B , |↓⟩B 。このとき、合成系 HA+B の基底は |↑↑⟩, |↓↑⟩, |↑↓⟩, |↓↓⟩ の四つなので、四状態系になる。
A
これはスピンが二つ A と B とある系である。スピン A の x, y, z 成分は σx,y,z、スピン B のB
x, y, z 成分は σx,y,zと書く事にすると、例えば σxB は

σxB |↑↑⟩ = |↑↓⟩ ,σxB |↑↓⟩ = |↑↑⟩ ,(2.4)

σxB |↓↑⟩ = |↓↓⟩ ,σxB |↓↓⟩ = |↓↑⟩ .

(2.5)

A,B
をそれぞれ 4 × 4 行列として書いてみると勉強になる。
となる。やったことがなければ、σx,y,z

さて、この系の状態 |ψ⟩ = |↑↓⟩ − |↓↑⟩ を考える。具体的に計算すれば、(σzA + σzB ) |ψ⟩ = 0(2.6)となっている。これは、この状態において、スピン A の z 成分とスピン B の z 成分を測定すると、かならずその和はゼロになる、ということ。同様に(σyA + σyB ) |ψ⟩ = 0(σxA + σxB ) |ψ⟩ = 0,(2.7)

でもある。これはスピン A とスピン B が何百億光年離れていてもこういうことである、いま粒子の場所の自由度はみていないので。

Einstein-Podolsky-Rosen6 はこの事実をもって、量子力学は不完全なんじゃないの、と思った。
彼らの議論はこうである (原論文をみればわかるが、彼らは二スピン系でやったのではないが、まあ同じことである。): 状態 |ψ⟩ においては、スピン A が ↑ でスピン B が ↓ だと測定前から決まっているものと、スピン A が ↓ でスピン B が ↑ だと測定前から決まっているものが混ざっているだけなのではないか？
箱のなかに黒と白の小さなボールがはいっていて、二人が手を突っ込んで一つずつ取り出し、しっかり握っておく。二人が遠くに離れた時点で、片方が手をひらいて白だったら、もう片方は何百光
年先にいても、手を開けば黒になっているに決まっている。手を開く前から決まっているはずの何かを、量子力学では見過ごしているのではないか？
しかし、こういうわけにはいかないことは Bell (1964) 以来よくわかっている。これを次の節で
三スピン系を例にとってみてみよう。

6 Einstein, Podolsky, Rosen, “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?”, Phys. Rev. 47 (1935) 777 (色が変わっている部分は印刷前にクリックすればオンライン版の論文に飛びます、
以下同様。)

6

2.4

三スピン系

スピン A, スピン B, スピン C が三つある系を考える。状態空間 HA+B+C の基底は|↑↑↑⟩ , |↑↑↓⟩ , |↑↓↑⟩ , |↑↓↓⟩ , |↓↑↑⟩ , |↓↑↓⟩ , |↓↓↑⟩ , |↓↓↓⟩(2.8)の八つである。以前と同様、スピン A, B, C のそれぞれ x, y, z 成分に対応するエルミート演算子
A,B,C
は σx,y,zである。慣れないひとは、がんばって 8 × 8 行列を書き下してみること。

さて、Greenberger-Horne-Zeilinger (1989)7 に従って状態|Ψ⟩ = |↑↑↑⟩ − |↓↓↓⟩(2.9)

σxA σxB σxC |Ψ⟩ = − |Ψ⟩ ,(2.10)σxA σyB σyC |Ψ⟩ = + |Ψ⟩ ,(2.11)σyA σxB σyC |Ψ⟩ = + |Ψ⟩ ,(2.12)σyA σyB σxC |Ψ⟩ = + |Ψ⟩ .

(2.13)

を考える。具体的に計算すると、であることがわかる。これは、二つ目の式を例にとっていえば、状態 |Ψ⟩ において、A のスピン
B Cの x 成分、B のスピンの y 成分、C のスピンの y 成分を測定して (sA
x , sy , sy ) を得たならば、
B CsA
x sy sy = +1 である、もっと具体的にいえば
B C(sA
x , sy , sy ) = (+1, +1, +1), (+1, −1, −1), (−1, +1, −1), (−1, −1, +1)(2.14)のどれかであるということ。
さて、E-P-R にならって、状態 Ψ は、測定する前から、A, B, C スピンの x, y, z 成分を測定したら sA,B,C
x,y,z = ±1 のどれが出るか結局は決まっているものの混合に過ぎないのではないか? と考えてみると、すぐに矛盾が生じることがわかる、なぜなら、もしそうだとすると (2.11), (2.12),(2.13) より
B C
A B C
A B C
sA
x sy sy = sy sx sy = sy sy sx = +1

(2.15)

であるから、三つかけあわせて
B CsA
x sx sx = +1

(2.16)B C
sA
x sx sx = −1

(2.17)

を得るが、(2.10) よりだから。
三スピン系を考えなくても、二スピン系でも sA,B
x,y,z の測定前での存在を仮定すると、測定結果に関するある不等式を導くことができ、それは量子力学と矛盾することが知られている。これらの不等式は Bell の不等式と呼ばれる。
二スピン系で不等式を考えるのと、三スピン系でこのように考えるとのどちらがややこしいかわ
からないが、複合系の練習としてここではまず三スピン系で議論してみた。
7 原論文は会議の予稿集で手に入れにくい。雑誌に出たのは Greenberger, Horne, Shimony, Zeilinger “Bell’s theorem

without inequalities”, Amer. Jour. Phys. 58 (1990) 1131 。この Greenberger さんは面白い人のようで、O. W.
Greenberg, D. M. Greenberger, T. V. Greenbergest arXiv:hep-ph/9306225 という論文がある。O. W. Grreenberg
さんは quark の color の概念の発見者のひとりで、思い出話が https://www.ias.edu/ias-letter/2015/greenberg-color
から読める。三人目の Greenbergest さんはおそらく存在しない。

7

2.5

二スピン系での不等式の考察

せっかくなので二スピン系で Bell の不等式の一例を導出してみよう。上で導入した σ(θ) =√(cos θ)σz + (sin θ)σz を使って、EPR state |ψ⟩ = (|↑↓⟩ − |↓↑⟩)/ 2 に対して

⟨ψ| σ(θ)A σ(ϕ)B |ψ⟩ = − cos(θ − ϕ)(2.18)が計算できる。(いい計算練習なので、やってみること!) これは、スピン A で方向 θ のスピンを測定した結果の ±1 と、スピン B で方向 ϕ のスピンを測定した結果の ±1 の積の期待値が − cos(θ − ϕ)ということ。
さて、そこで、スピン A に対しては、σ(0)A , σ(120◦ )A , σ(240◦ )A のどれかを 1/3 の確率で、ス
ピン B に対して、σ(0)B , σ(120◦ )B , σ(240◦ )B のどれかを 1/3 の確率で、測定することにする。
すると、この測定の期待値は
∑
∑
1
1
3
3
◦
◦
◦
θ=0,120 ,240

⟨ψ| σ(θ)A σ(ϕ)B |ψ⟩ =

ϕ=0,120 ,240◦

1 ∑∑− cos(θ − ϕ) = 0
9(2.19)である。
ここで、古典的にかんがえて、「もしスピン A, B で σ(θ) を測定したときの結果 sA,B
= ±1」がθA
決まっているとしよう。⟨ψ| σ(θ)A σ(θ)B |ψ⟩ = −1 から、sB
θ = −sθ であって、状態 |ψ⟩ はA
A(sA
0 , s120◦ , s240◦ ) = (+ + +), (− − −)(2.20)

もしくは
A
A
(sA
0 , s120◦ , s240◦ ) = (+ − −), (− + −), (− − +), (− + +), (+ − +), (+ + −)に細分される。場合 (2.20) においては、
∑
1
1
3
3
◦
◦

∑

(2.21)BsA
θ sθ = −1,(2.22)1
B
sA
θ sθ = − ,9◦(2.23)

19(2.24)

θ=0,120 ,240

ϕ=0,120◦ ,240◦∑∑

場合 (2.21) においては、

1
3

1
3
◦

θ=0,120◦ ,240

ϕ=0,120◦ ,240

だから、場合 (2.20) と場合 (2.21) の割合が何にせよ、
∑
∑
1
1

3

3
◦

θ=0,120◦ ,240

BsA
θ sθ < −ϕ=0,120◦ ,240◦

であって、量子力学の予言 (2.19) と矛盾することがわかる。

3

一次元調和振動子の復習

3.1

微分方程式による解法[x, p] = iℏ を位置、運動量演算子として、ハミルトニアンp2mω 2 x2
+
(3.1)
2m
2
を考える。これはシュレーディンガー表示 p = −iℏ∂/∂x を用いるとエルミートの微分方程式になるので、エルミート多項式の知識をつかって解くことができる、というのは先学期の村尾さんの講H=

義ノートにある。

8

3.2

生成消滅演算子による解法

ここでは、生成消滅演算子を使った解法を復習しておく。
√
√
mω
1
a=
x+i
p
2ℏ
2mℏω

(3.2)

とすると

であり、

[a, a† ] = 1

(3.3)

1
H = ℏω(a† a + )
2

(3.4)

であることがわかる。
以下、x, p のことは忘れて、[a, a† ] = 1 だけ使って、N := a† a の固有状態を調べよう。まず、
勝手な |ψ⟩ に対して、⟨ψ| a† a |ψ⟩ = |a |ψ⟩ |2 ≥ 0(3.5)

であるから、N の固有値は非負、また、a |ψ⟩ = 0 なら自動的に ψ は N の固有値 0 の固有状態であることがわかる。一次元のポテンシャル問題を考えているから、最低固有値は一つで、固有ベク
トルも定数倍を除いて唯一である。これを |0⟩ と書くことにする。
次に、[N, a† ] = +a†[N, a] = −a,(3.6)

を確認しておく。
さて、|α⟩ が N の固有値 α の固有状態だとする:

N |α⟩ = a† a |α⟩ = α |α⟩ .

(3.7)

N a |α⟩ = aN |α⟩ + [N, a] |α⟩ = (α − 1)a |α⟩(3.8)

すると、a |α⟩ に対して、がわかる。よって、a |α⟩ ̸= 0 であれば、a |α⟩ は固有値 α − 1 の固有ベクトルである。

|α⟩ が規格化されているとする: ⟨α|α⟩ = 1. このとき、|α − 1⟩ := ca |α⟩ が規格化されるように
c を決めたいが、|a |α⟩ |2 = ⟨α| a† a |α⟩ = α(3.9)

であるから、c = α−1/2 と取れば良い。同様にして、a† |α − 1⟩ = α1/2 |α⟩a |α⟩ = α1/2 |α − 1⟩ ,(3.10)

がわかる。
この操作をくりかえすと、an |α⟩ はノンゼロであれば N の固有値 α − n の固有ベクトルである。
固有値は非負なので、n は勝手に大きくはできず、 an |α⟩ ≠ 0 だが an+1 |α⟩ = 0 となる n がどこかにある。すると、上でやったように、an |α⟩ は N の固有値が 0 の固有ベクトルだから、α = nとわかった。
結局、勝手な規格化された固有状態は

1|n⟩ = √ (a† )n |0⟩ ,n!
9

N |n⟩ = n |n⟩(3.11)

のどれかであることがわかった、ただし n は非負整数。これより、もとのハミルトニアンの固有値は1
H |n⟩ = ℏω(n + ) |n⟩2(3.12)となる。

a† , a は n を ±1 するので、生成演算子 (creation operator)、消滅演算子 (annihilation8 operator)
という。

3.3

古典力学との対応

古典的には、調和振動子は x, p のなす相空間のE=

mω 2 x2p2+
2m2(3.13)

で与えられる楕円軌道上をうごく。この楕円軌道内の面積は√√π 2mE 2E/(mω 2 ) = 2πE/ω(3.14)である。ボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件のひとつの言い方は、相空間の面積 h ごとに量
子力学的状態がひとつある、ということだから、あたえられたエネルギー E 以下の量子状態の数

nは
n∼

2πE
E
=
hω
ℏω

(3.15)

いいかえれば E ∼ nℏω ということになる。
また、最低エネルギー状態 |0⟩ では

1ℏ(∆x)2 (∆p)2 = ⟨0| x2 |0⟩ ⟨0| p2 |0⟩ = | ⟨0| xp |0⟩ |2 = | ⟨0| (xp − px) |0⟩ |2 = | |2
2
2

(3.16)

で不確定性が最小になっているのであった。量子状態のサイズは h なのだから、量子状態のサイズ ∼ 2π∆x∆p(3.17)と思うのが適切だということがわかった。

4

角運動量と回転4.1

角運動量演算子

古典的な点粒子の角運動量は

Lx = ypz − zpy ,Ly = zpx − xpz ,Lz = xpy − ypx(4.1)

だった。量子力学的にも、点粒子の角運動量は上式において x, y, z および px , py , pz を演算子として思ったものだと定義しよう。ここで、y と pz は交換する: ypz = pz y なので、量子化する際の演算子の順序の問題は無い。Lx,y,z の交換関係は[Lx , Ly ] = iℏLz ,[Ly , Lz ] = iℏLx ,[Lz , Lx ] = iℏLy

(4.2)

8 英語発音では annihilate は [@n2́IIleIt] で h は発音されないのに注意。まあ、国際会議とか出ていても、英語が母語でない人で h を発音している人は多いですが。

10

となる。また、L†x,y,z = Lx,y,z に注意。

ℓx,y,z := ℏ−1 Lx,y,z と定義するとℓx = −i(y∂z − z∂y ),ℓy = −i(z∂x − x∂z ),ℓz = −i(x∂y − y∂x ),

(4.3)

であって

[ℓx , ℓy ] = iℓz ,[ℓy , ℓz ] = iℓx ,[ℓz , ℓx ] = iℓy(4.4)

を満たす。角運動量の次元は ℏ の次元と同じなので、それを基準に測ると無次元になるということ。ここで問題: 1 kg のものを 1m/s で軸から 1m 先で動かした。角運動量は無次元化していく
つか?
二状態系の観測量は σx,y,z だったが、ℓx,y,z :=1
σx,y,z2(4.5)とすると上記の交換関係をみたすことがわかる。σx,y,z の固有値は ±1 だったから、Lx,y,z := ℏℓx,y,zの固有値は ±ℏ/2 である。
ここで、1.4 節でみた、法則 II と法則 III の関係について思い出すと、観測量である ℓx,y,z は、指数関数をとることで、系に対する操作にも対応する。たとえば、eiθℓz を考えると、

eiθℓz x = (cos θ)x − (sin θ)y,eiθℓz y = (sin θ)x + (cos θ)y,eiθℓz z = z(4.6)となるので、z 軸まわりの θ だけの回転を行うことがわかる。これを、角運動量は回転の生成子である、という。
さて、ハミルトニアン H が z 軸まわりの回転 eiθℓz で不変であるとする:

eiθℓz He−iθℓz = H.

(4.7)[ℓz , H] = 0.

(4.8)

eitH/ℏ ℓz e−itH/ℏ = ℓz .

(4.9)

θ の一次の微分をとって、これより、逆に、がわかる。これは、ある時刻で量子状態 |ψ⟩ が ℓz の固有状態ℓz |ψ⟩ = m |ψ⟩(4.10)であったとき、t だけ時間がたったのちの量子状態 |ψ(t)⟩ = e−itH/ℏ ψ がℓz |ψ(t)⟩ = m |ψ(t)⟩(4.11)をみたすことを意味する。すなわち、「ハミルトニアンが回転で不変である」と「角運動量は時間発展で不変である」ということがわかった。
もっと一般に、観測量 A に対応する操作が UA 、観測量 B に対応する操作が UB であるとき、「観測量 A が操作 UB で不変である」なら「観測量 B は操作 UA で不変である」ということが同様の議論でわかる。これは重要なのでまたあとで何度も出てくる。

11

4.2

角運動量演算子の表現

一般に、物理系の角運動量 (を ℏ を単位にはかったもの) はエルミート演算子 ℓx,y,z で[ℓx , ℓy ] = iℓz ,[ℓy , ℓz ] = iℓx ,[ℓz , ℓx ] = iℓy(4.12)

をみたすもので表される。この条件だけから、何が言えるかを考えよう。

4.2.1⃗ℓ2 は非負。

まず、⃗ℓ2 := ℓ2 + ℓ2 + ℓ2
xyy

(4.13)とする。これはエルミートであり、⟨ψ| ⃗ℓ2 |ψ⟩ =∑|ℓa |ψ⟩ |2 ≥ 0(4.14)

a=x,y,zより、⃗ℓ2 の固有値は非負。この非負固有値を j(j +1) と書くのが標準的である: ⃗ℓ2 |ψ⟩ = j(j +1) |ψ⟩.
ただし、j は非負にとる。j を角運動量の大きさと呼ぶ。なぜ ⃗ℓ2 の固有値を j 2 もしくは ℓ2 と書かないかはすぐにわかる。

4.2.2ℓx,y,z は角運動量の大きさ j を変えない。

また、上記交換関係より、[ℓx , ⃗ℓ2 ] = [ℓy , ⃗ℓ2 ] = [ℓz , ⃗ℓ2 ] = 0(4.15)となる。これより、部分空間 Hj を、⃗ℓ2 が固有値 j(j + 1) をとるベクトル全体とすると、ℓx,y,z はHj を Hj にうつす。

4.2.3

j を固定すると ℓz の固有値 m の絶対値には上限がある。

Hj から ℓz の固有状態 ℓz |m⟩ = m |m⟩ を取る。
j(j + 1) = ⟨m| ⃗ℓ2 |m⟩ ≥ ⟨m| ℓ2z |m⟩ = m2

(4.16)

より ℓz の固有値の絶対値 |m| には上限がある。

4.2.4ℓ± := ℓx ± iℓy は ℓz の固有値を ±1 する。

さて、ℓ+ = ℓx + iℓy および ℓ− = ℓ†+ = ℓx − iℓy を定義すると、[ℓ+ , ℓ− ] = 2ℓz ,[ℓz , ℓ− ] = −ℓ−(4.17)ℓz (ℓ− |m⟩) = (m − 1)ℓ− |m⟩(4.18)[ℓz , ℓ+ ] = ℓ+ ,となるから、調和振動子のときと同様、ℓz (ℓ+ |m⟩) = (m + 1)ℓ+ |m⟩ ,
12

となる。
これより、(ℓ+ )n |m⟩ はノンゼロであれば ℓz の固有値 m + n の固有ベクトル、(ℓ− )n |m⟩ はノンゼロであれば ℓz の固有値 m − n の固有ベクトル。ℓz の固有値の絶対値には上限があったか′ら、(ℓ+ )n |m⟩ ̸= 0 だが (ℓ+ )n+1 |m⟩ = 0 であるような n がある。同様に、(ℓ− )n |m⟩ ̸= 0 だが′(ℓ+ )n +1 |m⟩ = 0 であるような n′ がある。

4.2.5ℓ± を可能な限り掛けることにより、角運動量の大きさ j は半整数であることがわかる。

そこで、|+⟩ := (ℓ+ )n |m⟩ について考えると、ℓ+ |+⟩ = 0 である。|+⟩ は構成より ℓz の固有ベ
クトルなので、固有値を mmax := m + n と書く。一般に⃗ℓ2 = ℓ− ℓ+ + ℓz + ℓ2
z

(4.19)であるので、これを ⟨+|, |+⟩ で挟んで、

j(j + 1) = mmax (mmax + 1)

(4.20)′である。よって、mmax = j もしくは −1 − j. 同様に、|−⟩ := (ℓ− )n |m⟩ について考えると、ℓ− |−⟩ = 0 であって、|−⟩ における ℓz の固有値を mmin := m − n′ と書くと、一般に⃗ℓ2 = ℓ+ ℓ− − ℓz + ℓ2
z

(4.21)であるので、 これを ⟨−|, |−⟩ で挟んで、

j(j + 1) = mmin (mmin + 1)

(4.22)となる。よって、mmin = −j もしくは 1 + j 。
構成より、mmin ≤ mmax なので、mmax = j, mmin = −j とわかった。また、j = m + n,

−j = m − n′ なので、2j = n + n′ 、より j は非負の整数か半整数であることがわかった。

4.2.6

角運動量の大きさ j を固定すると、ℓ± の作用は決まってしまう。

そこで、角運動量の大きさ j を非負の整数もしくは半整数とする。ℓz |j⟩ = j |j⟩ なる ℓz の固有ベクトルがある。|j − n⟩ ∝ (ℓ− )n |ℓ⟩ は ℓz の固有値 j − n の固有ベクトルで、n は 0 から 2jまで許され、n = 2j + 1 にするとベクトルがゼロになってしまう。(ℓ− )n |j⟩ を規格化したものを|j − n⟩ と書く。ℓ± の作用を決定してしまおう。まず、ℓ+ |m⟩ = c |m + 1⟩

(4.23)

であるが、()|ℓ+ |m⟩ |2 = ⟨m| ℓ− ℓ+ |m⟩ = ⟨m| ⃗ℓ2 − ℓz (ℓz + 1) |m⟩ = j(j + 1) − m(m + 1) = (j − m)(j + m + 1)
(4.24)√
なので、c = (j − m)(j + m + 1) としてよい。ℓ− についても同様に計算できて、√ℓ± |m⟩ = (j ∓ m)(j ± m + 1) |m ± 1⟩ ,(4.25)がわかった。

ℓ± がきまれば ℓx,y がきまるので、これより、勝手な非負 (半) 整数の角運動量の大きさ j について、ℓx,y,z の作用が矛盾なく定義できることもわかった。

13

4.2.7

まとめ

まとめると、ℓx,y,z は、⃗ℓ2 = j(j + 1) なる非負 (半) 整数 j を指定して、角運動量の大きさを決めると、ℓz が m = −j, −j + 1, · · · , j までの 2j + 1 種類を取る、ということがわかった。
具体的に j = 0, 1/2, 1 の場合について、ℓx,y,z を (2j + 1) × (2j + 1) 行列として書き下してみると、勉強になる。
さて、4.1 でやったように、eiθℓz は z 軸まわりの θ だけの回転である。j を固定したときに、2πだけ z 軸まわりに回転するとどうなるか考える:

e2πiℓz |m⟩ = e2πim |m⟩ = (−1)2j |m⟩(4.26)

ここで、m は j が半整数なら半整数、j が整数なら整数であることをつかった。これより、角運動量の大きさ j が整数なら状態 ψ は 360◦ 回転でもとに戻るが、角運動量の大きさが半整数なら状態 ψ は 360◦ 回転すると符号が −1 だけつくことがわかった。

360◦ 回転がすこしだけ非自明になるのは不思議であるが、1 章でやったように、状態ベクトルの全体の位相は物理的にはあまり意味がないので、符号が −1 ついてもそれほど何も起きない。の
ちに同種粒子について学ぶ際、ボゾン、フェルミオンという区別を習うが、特殊相対性理論と量子力学を使うと、j が整数だとボゾン、j が半整数だとフェルミオンであることが示せる。これを、スピン統計性の定理という。

4.3

角運動量演算子と球面調和関数

先学期の球面調和関数の議論を覚えているひとは、なんだか似ていると思っただろう。そこでは、単位球面上の関数 f (θ, ϕ) で、角度方向のラプラシアン∆S 2 =

1 ∂
∂
1
∂2
sin θ
+
sin θ ∂θ∂θ (sin θ)2 ∂ϕ2(4.27)の固有関数をもとめたが、固有値は ℓ を非負の整数として∆ = −ℓ(ℓ + 1)

(4.28)であり、固有関数は(m)

Yℓ,m ∝ eimϕ Pl(m)

ただし m = −ℓ, −ℓ + 1, . . . , +ℓ 、Pl(cos θ)(4.29)

はルジャンドル陪関数だった。前節の結果と比較すると、ℓ は半整数は許されず、整数に限るということ。
なぜだろうか。式 (4.3) で角運動量演算子 ℓx,y,z を x, y, z の微分演算子として書いた。それを用いて ⃗ℓ2 を頑張って計算して、極座標であらわすと、⃗ℓ2 = −∆S 2(4.30)となる。(がんばってやってみること。) また、ℓz = −i∂ϕ ,ℓ+ = eiϕ (∂θ + i cot θ∂ϕ ),ℓ− = e−iϕ (−∂θ + i cot θ∂ϕ ).

(4.31)である。だから、Yℓ,m は ⃗ℓ2 の固有値が ℓ(ℓ + 1) で、ℓz の固有値が m な固有状態である。これまでの解析から、ℓ± Yℓ,m ∝ Yℓ,m±114(4.32)

であるはずだが、これはルジャンドル陪関数の性質をつかって確認できる。
球面上の関数 ψ(θ, ϕ) のなすベクトル空間 H球面 が状態空間であるような量子力学系を考える。
当然、この状態空間では、360◦ 回転は +1 倍を出し、−1 倍を出さないことに注意しておく。前節の一般論より、Hは⃗ℓ2 = −∆S 2 の固有状態に分解して、その固有値は j(j + 1) と書けるが、球面

前節のおしまいの段落で、j が整数か半整数かに応じて、360◦ 回転が波動関数の +1 倍になるか−1 倍になるかが決まることを述べた。よって、j は必ず整数になる。
結局、球面調和関数の解析は、Hの基底として、⃗ℓ2 , lz の固有状態 |ℓ, m⟩ ただし ℓ = 0, 1, 2, . . .,球面

m = −ℓ, −ℓ + 1, . . . , +ℓ というものを取れるということを言っている。ここで、勝手な非負整数 ℓに対し、角運動量の大きさ ℓ の状態がちょうど 1 セットあらわれていることに注意。一般論だけ
では、角運動量の大きさ ℓ、lz の固有値 m = ℓ の状態は何もないかもしれないし、2 個以上あるかもしれないが、球面上の波動関数の中には、ちょうど 1 個だけ出てくるのである。
すこし言い方をかえると、3 次元空間の波動関数の基底は |⃗x⟩ が張っていたが、動径方向と角度方向の座標をもちいて |r, θ, ϕ⟩ を使うこともでき、さらに、θ, ϕ 方向は球面調和関数を用いて|r, ℓ, m⟩ で展開することも出来る。ここで、ℓ は非負整数で、m = −ℓ, −ℓ + 1, . . . , ℓ であるが、この ℓ は角運動量の大きさ、m は ℓz の固有値である。
さて、ℓ = 0 の場合は m = 0 で、単に Yl,m = 1 である。つぎは ℓ = 1 で、m = 1, 0, −1 である。Y1,1 ∝ eiϕ , Y1,0 ∝ cos θ, Y1,−1 ∝ e−iϕ であるが、x, y, z に戻せば、単に|1, 1⟩ ∼−x − iy√,2|1, 0⟩ ∼ z,

|1, −1⟩ ∼+x − iy√2(4.33)ということだ。ここで、∼ は角運動量演算子のもとでの変換性がおなじだということ。すなわち、ℓx,y,z は左辺には前節でしらべたように、右辺には微分演算子として作用するが、これが左辺と右辺で同じ作用になっている。たとえば、式 (4.25) より√ℓ+ |1, 0⟩ = 2 |1, 1⟩(4.34)であったが、ℓ+ = ℓx + iℓy = (−x − iy)∂z + z(∂x − i∂y )(4.35)ℓ+ z = −x − iy

(4.36)であるので、である。

4.4

角運動量の古典極限⃗ の三成分を決めれば良い。一方で、前節で、量子力学的には、L⃗2 =角運動量は古典的には Lℏ2 j(j + 1) で j は非負の (半) 整数、Lz は ℏm で |m| ≤ ℓ、Lx,y は Lz と交換しないので、同時に固有状態にはできないので完全に定まった値にできない、とわかった。これは随分違うように聞こえる。しかし、角運動量が大きい j → ∞ ならば、ほぼ古典的に振る舞うはずである。これを、もうすこし考えてみよう。

⃗ ∼ ℏj なので、半径 ℏj の球面を思い浮かべる。まず Lz の固有j が大きいとして固定する、|L|
状態では Lx,y の期待値はゼロである。だから、|j, m⟩ はその球面で、z 成分が ℏm の上下の幅 ℏの部分に、ϕ 方向には一様に分布した状態であると思うことができる。すると、m = ±j の状態
は、北極と南極にほぼ局在していると思うことが出来る。局在している角度はおおよそ θ2 ∼ 1/jである。確かに、これは j を大きくすると小さくなる。

15

また別の言い方では、半径 ℏj の球面の全面積は ∼ 4πℏ2 j 2 である。さて、⟨j, j| (Lx )2 + (Ly )2 |j, j⟩ = ℏ2 j(j + 1) − j 2 = ℏ2 j

(4.37)∆Lx ∆Ly ∼ ℏ2 j

(4.38)からである。調和振動子 (3.17) のときと比較すると、この量子状態のサイズは2π∆Lx ∆Ly ∼ 2πℏ2 j(4.39)である。これで球面の全面積をわると、∼4πℏ2 j 2= 2j2πℏ2 j(4.40)となり、全部で ∼ 2j 状態あるのと辻褄があっている。
もっと純粋に半古典的に考えることもできる 9 。角運動量の大きさを L に固定しよう。角運動量空間の半径 L の球面を相空間とおもうことにすると、ポアソン括弧{Lx , Ly } = Lz

(4.41)⃗ = (0, 0, L) 近傍での、相空間の自然な面積要素を決めることができる。というのは、自然から、Lな面積要素が物理量 A, B をもちいて ∆A∆B とかけるなら、ポアソン括弧は{A, B} = 1(4.42)となるはずなので、この際は A = Lx , B = Ly /L とすればよく、自然な面積要素は

1∆Lx ∆LyL(4.43)⃗ ̸= (0, 0, L) なる一般の場所でも同様で、単に、角運動量空間の球面の安直な面である。球面の L
積要素に 1/L をかければよい。これで、相空間の面積は

4πL2
= 4πL
L

(4.44)とわかった。ボーア・ゾンマーフェルト量子化条件より、量子状態の数 n は

n∼

2L
4πL
=
h
ℏ

(4.45)

よって、j を (半) 整数として、角運動量の大きさはL ∼ ℏj(4.46)と量子化され、L を固定したあとで、量子状態の数は n ∼ 2j となることがわかった。
また、すこし話が変わるが、j を固定して、2j + 1 の状態の中でランダムに状態を取ってくるとする。このとき、Lz は −ℏj から ℏj まで、一様にランダムに分布する。一方で、j が大きい
⃗ もランダムに分布すると思われる。球面上でランダムとすると、古典的に半径 ℏj の球面上に L
なら、Lz の分布関数は、球面を z 軸に平行に細くたくさんにスライスした際の面積であらわされるが、これは Lz に対して一様だろうか？それは実際そうである、なぜなら球面の面積要素は

sin θdϕdθ = dϕd cos θ で、ϕ 方向に積分すると 2πd cos θ = 2πdz であるから。
9 ここの議論および上の式の 2 倍がこのノートの古い版で間違っていた件は大栗先生に tweet で教えていただいた。

16

4.5

角運動量の合成

4.5.1

スピン 1/2 をもった粒子の全角運動量

一般論では、角運動量の大きさ j は非負の整数か半整数であった。j が整数 ℓ のものは、具体的に球面調和関数として出てきた。また、j = 1/2 のものは、パウリ行列として二状態系で出てきた。では、j = 3/2 以上の半整数の角運動量の大きさはどういう状況で出てくるだろうか?
そのため、スピン 1/2 を持った粒子の運動を考えよう。これは、位置の自由度の状態空間 H位置と、スピンの自由度の状態空間 H2 状態系 の合成系

Hスピン 1/2 をもった粒子 = H位置 ⊗ H2 状態系(4.47)である。H位置 の基底は |⃗x⟩ で、スピン空間の基底は |↕⟩ で書けるので、スピン 1/2 をもった粒子の基底は |⃗x, ↕⟩ でかける。一般の状態ベクトルを |ψ⟩ とすると、波動関数はψ↑ (x) := ⟨⃗x, ↑ |ψ⟩ ,ψ↓ (x) := ⟨⃗x, ↓ |ψ⟩(4.48)の 2 成分あるわけである。
この系の全角運動量は、軌道角運動量の部分 Lx = −iℏ(y∂z − z∂y ), Ly = −iℏ(z∂x − x∂z ),Lz = −iℏ(x∂y − y∂x ) にスピン角運動量の部分 Sx,y,z = iℏσx,y,z /2 の部分を足した
Jx,y,z := Lx,y,z + Sx,y,z(4.49)

で与えられる。Lx,y,z と Sx,y,z は交換するから、Jx,y,z の交換関係もすぐ計算できて、[Jx , Jy ] = iℏJz ,[Jy , Jz ] = iℏJy ,[Jz , Jx ] = iℏJx

(4.50)と、回転の生成子の交換関係をみたすことがわかる。では、J⃗2 の固有値はどうなっているだろうか?
そのため、位置部分の波動関数を |⃗x⟩ でなく、前節でみたように |r, ℓ, m⟩ をもちいて表そう。以下、動径方向はしばらくあまり関係ないので、r は書かないことにし、面倒くさいので ℏ = 1 なる単位系をとると、スピン 1/2 の粒子の角度方向およびスピン自由度は基底|ℓ, m⟩ ⊗ |↕⟩(4.51)

で張られることがわかる。
この基底への Jx,y,z の作用は、m および ↕ を変えるが、ℓ はかえない。そこで、ℓ は固定されているとおもって、Jx,y,z の作用を考えよう。J⃗2 = J(J + 1) と書いたとき、J はいくつになるか?
そのため、まず、Jz の固有値を考える。式 (4.51) に挙げられた状態は 2(2l + 1) 個あるが、Jz
は単に Lz と Sz の和なので、(m ± 1/2) である。これを別の順序で−ℓ − 1/2, −ℓ + 1/2, · · · , ℓ − 1/2, ℓ + 1/2,−ℓ + 1/2, · · · , ℓ − 1/2,

(4.52)と書く。角運動量の性質の一般論より、ℓ + 1/2 からはじまって −ℓ − 1/2 でおわる Jz の固有値があるということは、全角運動量の大きさが ℓ + 1/2 の状態が 1 セットあるということである。残りの ℓ − 1/2 から −ℓ + 1/2 までの Jz の固有値も、全角運動量の大きさが ℓ − 1/2 の状態が 1 セッ
トあるということだ。これから、全角運動量の大きさ J = ℏ(ℓ + 1/2) である 2ℓ + 2 状態と、全角運動量の大きさ J = ℏ(ℓ − 1/2) である 2ℓ 状態があることがわかる。(ℓ = 0 のときは特別で、

J = ℓ − 1/2 に相当するものはない。)
17

まとめると、軌道部分の角運動量 ℓ
全角運動量 J

0

1

2

3

···

1/2 3/2 5/2

7/2 · · ·1/2 3/2

5/2 · · ·(4.53)となっている。これで、勝手な半整数の J をもった状態も案外自然な系からあらわれることがわ
かった。

⃗ ·S
⃗ も簡単にあらわせることに注意しておく:
このとき、L⃗ ·S⃗ = 1 [(L⃗ + S)⃗ 2−L⃗2 − S⃗ 2 ] = 1 [J(J + 1) − ℓ(ℓ + 1) − 1 · 3 ].
L
2
2
2 2
4.5.2

(4.54)

一般の場合の角運動量の合成: でてくる全角運動量

もっと一般に、角運動量の大きさが j1 , j2 である部分系 1, 2 を持ってきて、それの合成系を考えたばあいに、角運動量がどうなるかを考えよう。部分系 1 が |j1 , m1 ⟩, m1 = −j1 , . . . , j1 で張られる Hj1 , 部分系 2 が |j2 , m2 ⟩, m2 = −j2 , . . . , j2 で張られる Hj2 がそれぞれの状態空間で(1,2)

あるとして、Jx,y,z がそれぞれに作用している。全系の状態空間は H := Hj1 ⊗ Hj2 で、基底は|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ := |j1 , m1 ⟩ ⊗ |j2 , m2 ⟩ である。全系の角運動量演算子は(1)(2)
Jx,y,z := Jx,y,z+ Jx,y,z(4.55)だが、このもとで全系の状態空間 H はどう分解されるか？以下、j1 ≥ j2 とする。
(1)

(2)

そのために、Jz の固有ベクトルおよび固有値を考えると、これは Jz +Jz

だから、|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩で固有値 m1 + m2 である。とりうる値は、重複回数もふくめて、

j1 + j2

j1 + j2 − 1 · · ·j1 − j2

j1 + j2 − 1 j1 + j2 − 2 · · ·
..
..
.
.
j1 − j2
j1 − j2 − 1 · · ·j1 − j2 − 1..
.
−j1 − j2

(4.56)である。これを、

j1 + j2

j1 + j2 − 1
j1 + j2 − 1
..
.

···
···

j1 − j2
j1 − j2······

j2 − j1
j2 − j1

j1 − j2···

j2 − j1······−j1 − j2 + 1−j1 − j2 + 1.
..

−j1 − j2
(4.57)とならべかえると、上で学んだ角運動量の一般論より、一番上の行から、全角運動量が j1 + j2 の状態が 1 セット、二番目の行から、全角運動量が j1 + j2 − 1 の状態が 1 セット、以下つづけて、おしまいに、j1 − j2 の状態が 1 セットある。状態の数の勘定は、(2j1 + 1)(2j2 + 1) =

j∑
1 +j2

(2J + 1)

(4.58)

J=j1 −j2となっている。
さて H の中で全角運動量 J は j1 + j2 , j1 + j2 − 1, . . . , j1 − j2 がでてくることがわかった。こ⃗ (1) )2 、j2 (j1 + 2) = (L
⃗ (2) )2 、
れは、|j1 − j2 | ≤ J ≤ j1 + j2 という三角不等式である。j1 (j1 + 1) = (L

⃗ 2 = (L
⃗ (1) + L
⃗ (2) )2 だったから、j1 , j2 , J が十分大きく +1 が無視できるとすると、
J(J + 2) = (L)ちょうどベクトルの和に対する三角不等式になっている。

18

4.5.3

一般の場合の角運動量の合成: 基底の変換

前節では、H := Hj1 ⊗ Hj2 を考えた。これは、合成系としては基底 |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ を持つ。一方⃗ を考えることにより、その大きさ J = j1 −j2 , j1 −j2 +1, . . . , j1 +j2
で、H への全角運動量演算子 L
および全角運動量の z 成分 Lz の固有値 M = −J, . . . , J を与えた基底 |J, M ⟩ でも H は張られることがわかった。|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ も、 |J, M ⟩ も H の基底をなすので、|J, M ⟩ を |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩の線形結合で表すことができる。これを具体的に考えよう。
まず、|J = j1 + j2 , M = j1 + j2 ⟩ をかんがえる。これは式 (4.56), (4.57) をみれば H の中で Lzの固有値が j1 + j2 であるという条件だけで特徴付けられる。合成系としては |j1 , j1 ; j2 , j2 ⟩、全角
運動量の立場からは |J = j1 + j2 , M = j1 + j2 ⟩ であるので、|J = j1 + j2 , M = j1 + j2 ⟩ = |j1 , j1 ; j2 , j2 ⟩ .

(4.59)

これがわかると、J = j1 + j2 である他の状態は (L− )n を作用させればわかる。たとえば、

1|J = j1 + j2 , M = j1 + j2 − 1⟩ = √ L− |J = j1 + j2 , M = j1 + j2 ⟩
2J
1
(2)
(1)
= √ (L− + L− ) |j1 , j1 ; j2 , j2 ⟩2J√√
j1 |j1 , j1 − 1; j2 , j2 ⟩ + j2 |j1 , j1 ; j2 , j2 − 1⟩√=
j1 + j2(4.60)(4.61)(4.62)となる。これが自動的に正しく規格化されていることに注意。
さて、もう一度式 (4.56), (4.57) をみると、Lz の固有値が M = j1 + j2 − 1 であるのは、全角運動量の立場からは|J = j1 + j2 , M = j1 + j2 − 1⟩ ,|J = j1 + j2 − 1, M = j1 + j2 − 1⟩

(4.63)のふたつ合成系としては|j1 , j1 − 1; j2 , j2 ⟩ ,|j1 , j1 ; j2 , j2 − 1⟩

(4.64)のふたつである。|J = j1 + j2 , M = j1 + j2 − 1⟩ と |J = j1 + j2 − 1, M = j1 + j2 − 1⟩ は J が異なるので直交する。よって、|J = j1 + j2 − 1, M = j1 + j2 − 1⟩ は |j1 , j1 − 1; j2 , j2 ⟩ と |j1 , j1 ; j2 , j2 − 1⟩の線形結合で (4.62) と直交するものである。規格化すると√√
j2 |j1 , j1 − 1; j2 , j2 ⟩ − 2j1 |j1 , j1 ; j2 , j2 − 1⟩√
|J = j1 + j2 − 1, M = j1 + j2 − 1⟩ =j1 + j2(4.65)となる。
次に、Lz の固有値が j1 + j2 − 2 であるのは、全角運動量の立場からは|J, M = j1 + j2 − 2⟩ ,J = j1 + j2 , j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2(4.66)のみっつ、合成系としては|j1 , j1 − 2; j2 , j2 ⟩ ,|j1 , j1 − 1; j2 , j2 − 1⟩ ,|j1 , j1 ; j2 , j2 − 2⟩

(4.67)のみっつである。このうち、|J = j1 + j2 , M = j1 + j2 − 2⟩ は (4.62) にもういちど L− を作用させ、|J = j1 + j2 − 1, M = j1 + j2 − 2⟩ は (4.65) にもういちど L− を作用させればもとまる。

|J = j1 + j2 − 2, M = j1 + j2 − 2⟩ は (4.67) の線形結合で上記ふたつと直交するものであるので、決定できる。

19

これを繰り返せば、勝手な |J, M ⟩ を |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ の線形結合であらわせるのがわかるだろう。展開係数⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |J, M ⟩(4.68)

は Clebsh-Gordan (クレプシュ=ゴルダン) 係数とよばれている。

4.5.4

合成の具体例: j1 = j2 = 1/2 の場合

例として、j1 = j2 = 1/2 の場合を考えてみよう。合成系としての基底は|↑↑⟩ |↓↑⟩|↑↓⟩ |↓↓⟩(1)(2)

である、ただし右の行列は Lz = Lz + Lz

|1, 1⟩

,

1

0

0

−1

(4.69)の固有値。全角運動量の立場からは基底は|1, 0⟩ |1, −1⟩,|0, 0⟩

1 0
0−1(4.70)である。これより、|1, 1⟩ = |↑↑⟩

(4.71)

1
1|1, 0⟩ = √ ℓ− |↑↑⟩ = √ (|↓↑⟩ + |↑↓⟩)
2
2(4.72)

はすぐにわかる。これからがわかる。|0, 0⟩ は |↓↑⟩ と |↑↓⟩ の線形結合で |1, 0⟩ と直交するものだから、

1|0, 0⟩ = √ (|↑↓⟩ − |↓↑⟩)
2(4.73)|1, −1⟩ = |↓↓⟩

(4.74)ととれる。おしまいに、となった。

|0, 0⟩ は全角運動量がゼロだから、ℓx , ℓy , ℓz のどれを作用させてもゼロになっているはずであるが、確認するとよい。

4.5.5

合成の具体例: j1 = j2 = 1 の場合

さらに例として、j1 = j2 = 1 の場合を具体的にやってみよう。合成系としての基底は|1, 1; 1, 1⟩|1, 0; 1, 1⟩|1, 1; 1, 0⟩|1, 1; 1, −1⟩|1, 0; 1, 0⟩|1, −1; 1, 0⟩ ,|1, 0; 1, −1⟩ |1, −1; 1, −1⟩(1)|1, −1; 1, 1⟩(2)である、ただし右の行列は Lz = Lz + Lz

|2, 2⟩

2

1

0

1
0 −1
0 −1 −2(4.75)の固有値。全角運動量の立場からは基底は|2, 1⟩ |2, 0⟩ |2, −1⟩ |2, −2⟩,|1, 1⟩ |1, 0⟩ |1, −1⟩|0, 0⟩
20

2

1 0 −1
1 0 −10−2(4.76)

となる、ただし右は Lz の固有値 M 。

M = 2 の状態は|2, 2⟩ = |1, 1; 1, 1⟩ .

(4.77)

1|2, 1⟩ = √ (|1, 1; 1, 0⟩ + |1, 0; 1, 1⟩).
2

(4.78)

これに L− を作用させて、つぎに |1, 1⟩ はこれに直交するから

1|1, 1⟩ = √ (|1, 1; 1, 0⟩ − |1, 0; 1, 1⟩).
2

(4.79)

上記ふたつに L− を作用させて√
1
1
2|2, 0⟩ = √ |1, 1; 1, −1⟩ + √ |1, 0; 1, 0⟩ + √ |1, −1; 1, 1⟩
6
3
6(4.80)

1
1|1, 0⟩ = √ |1, 1; 1, −1⟩ − √ |1, −1; 1, 1⟩
2
2(4.81)

また

これより、|0, 0⟩ は上記ふたつに直交するため

11
1|0, 0⟩ = √ |1, 1; 1, −1⟩ − √ |1, 0; 1, 0⟩ + √ |1, −1; 1, 1⟩
3
3
3(4.82)とわかった。以下、さらにつづけていける。
さて、j1 = j2 = 1 であったが、球面調和関数のところの式 (4.33) でみたように、|j1 = 1, m1 = 1⟩ ∼−x − iy√,2|j1 = 1, m1 = 0⟩ ∼ z,

|j1 = 1, m1 = −1⟩ ∼−x + iy√,2(4.83)だった。同様に|j2 = 1, m2 = 1⟩ ∼−X − iY√,2|j2 = 1, m2 = 0⟩ ∼ Z,

|j2 = 1, m2 = −1⟩ ∼−X + iY√,2(4.84)だった。すると、式 (4.82) は|J = 0, M = 0⟩ ∼1(xX + yY + zZ)
3(4.85)となる。右辺はふたつのベクトルの内積である。 J = 0 ということは、全角運動量演算子 J⃗ が作用するとゼロになる、いいかえれば、回転のもとで不変である、ということ。これは、ふたつの三次元ベクトルの内積は回転で不変だという、すでに知っていたことだった。
同様にして、

1((−x − iy)Z − z(−X − iY )) ,2i
|J = 1, M = 0⟩ ∼ √ (xY − yX) ,2
1|J = 1, M = −1⟩ ∼ (−(−x + iy)Z + z(−X + iY )) ,2
|J = 1, M = 1⟩ ∼21

(4.86)(4.87)(4.88)

ここで|J = 1, M = 1⟩ ∼−ξ − iη√,2|J = 1, M = 0⟩ ∼ ζ,

|J = 1, M = −1⟩ ∼−ξ + iη√,2(4.89)として (ξ, η, ζ) をよみとると、iξ = √ (yZ − zY ),2iη = √ (zX − xZ),2i
ζ = √ (xY − yX)2(4.90)となる。これは、j1 = 1 と j2 = 1 を組み合わせて J = 1 の部分をとってくるのは、ベクトル積に他ならないことをしめしている。

4.6

スピン演算子がパウリ行列であるとはどういうことか？

以上、何度も、「電子のスピン角運動量はパウリ行列 σx,y,z であらわされる」また「電子のスピ
ンの z 成分を測定する」という文章を使ったが、いったい 2 × 2 行列を測定するとはどういうことか、と質問を受けたので、すこしだけ解説を加えておく。
このためには、実験装置についてすこし考えないといけない。Stern-Gerlach の実験をモデル化することにする。スピン 1/2 をもった粒子の波動関数は、上にも書いたように、ψ↑ (⃗x) = ⟨⃗x, ↑| |Ψ⟩ ,ψ↓ (⃗x) = ⟨⃗x, ↓| |Ψ⟩(4.91)という空間の各点に二成分の複素数をもつ。ここに磁場をかける。磁場と電子のスピンは γ をある定数として⃗ ·S⃗
H磁場 ↔ 電子 = −γ B

(4.92)という項をハミルトニアンに加える。簡単のため、装置は 0 < x < L においてあり、測定装置の⃗ は z 成分のみで、z 座標にのみ線形に依存するとする: B⃗ = (0, 0, bz)。10 すると、全ハ中では B
ミルトニアンはH=

1 2ℏ
p⃗ − Θ(x)Θ(L − x)γbz σz
2m
2(4.93)

ただし Θ(x) は x > 0 で 1, x < 0 で 0 のステップ関数。
この装置の x < 0 の領域に、x の正の方向にうごいている電子の波束|Ψ⟩ = |ψ⟩ ⊗ (c1 |↑⟩ + c2 |↓⟩)

(4.94)

を準備する。|ψ⟩ (の確率密度の主要部分) が装置の中にはいると、スピン上むき成分 ψ↑ (⃗x) とスピン下むき成分 ψ↓ (⃗x) の波動関数 はそれぞれハミルトニアン

H=

ℏ
1 2
p⃗ ∓ γbz
2m
2(4.95)

によって発展する。bγ > 0 とすると、ψ↑ (⃗x) は ⟨z⟩ が大きくなるように、ψ↑ (⃗x) は ⟨z⟩ が小さくなるように発展する。そうすると、測定器から出てくると、′|Ψ⟩ = c1 |ψ+ ⟩ ⊗ |↑⟩ + c2 |ψ− ⟩ ⊗ |↓⟩という状態になっている。
10 Maxwell 方程式をみたさないが...

22(4.96)

|ψ+ ⟩ での z の期待値 z+ := ⟨ψ+ | z |ψ+ ⟩ > 0 と |ψ− ⟩ での z の期待値 z− := ⟨ψ− | z |ψ− ⟩ < 0 が十分に離れたとして、電子の座標 z をスクリーンにあてるなどして測定したとすると、位置の測定に関する量子力学のルールより、|c1 |2 の確率で z+ のまわりに、|c2 |2 の確率で z− のまわりに発見される。前者の場合はスピン部分の波動関数は |↑⟩ であり、後者の場合はスピン部分の波動関数は |↓⟩ になるのは式 (4.96) からわかる。
これは、装置の詳細を考えず、もとの状態 (4.94) において、「スピンの z 成分を測定する」と宣言して、スピンの z 成分は σz の定数倍だから、|c1 |2 の確率で上むき、|c2 |2 の確率で下むき、というのと結論するのと、結局おなじことであることがわかる。
また、角運動量の値が ±ℏ/2 の二種類しかとりえない、というのは、Stern-Gerlach の実験でスクリーンに生じるスポットが z+ のまわり、z− のまわりの二つしかない、ということに反映されていることがわかる。

5

球対称ポテンシャル

5.1

一般論

角運動量演算子と回転についてこれまでかなり詳しくみたので、これを用いて球対称ポテンシャ
ル中を運動する量子力学的粒子のハミルトニアンを解析しよう。ポテンシャル V が原点からの距
離 r だけに依存するとして、

H=p⃗2+ V (r)2m(5.1)

である。V (r) ∼ 1/r ならば、クーロン力中の運動であり、V (r) ∼ r2 ならば、三次元の調和振動子である。しばらくは、V (r) を特定の形に固定せず、一般的に考えよう。

5.1.1

ハミルトニアンが、角運動量演算子と交換すること

まず、関係式[Lx,y,z , H] = 0(5.2)

をしめそう。以下、Lx を考える。Ly,z についても同様である。
ひとつめの方法は、真面目に計算することである。項ごとに[Lx , p⃗2 ] = 0,

[Lx , V (r)] = 0(5.3)

を示せばよいが、前者は [Lx , px ] = 0, [Lx , py ] = −iℏpz , [Lx , pz ] = iℏpy および [A, BC] =[A, B]C + B[A, C] をつかえば示せる。後者は Lx を球座標表示しておけば、r 微分は含まないので、当然ゼロである。
ふたつめの方法は、角運動量演算子と系の回転の関係を思い出すことである。

|ψ⟩ 7→ eiθLx /ℏ |ψ⟩(5.4)

は x 軸まわり θ だけの回転をあらわすのだった。演算子 H に対しては、

H 7→ eiθLx /ℏ He−iθLx /ℏ

23

(5.5)

が、同じ操作をあらわす。さて、θ が微小だとすると、一次までとって、H 7→ H +iθ[Lx , H] + O(θ2 )
ℏ

(5.6)

となる。運動量の大きさ p⃗2 は回転不変であるし、V (r) も当然回転不変だから、H は回転不変。
よって、θ の一次の項はゼロである。よって、[Lx , H] = 0 である。

5.1.2

系の保存量と変数分離

さて、(5.2) より、⃗ 2 , H] = 0
[L

(5.7)

⃗ 2 e−itH/ℏ = L⃗ 2,
eitH/ℏ L(5.8)

である。これより、⃗ 2 は時間発展で保存する。もっと散文的には、L⃗ 2 と H の同時固有
すなわち、角運動量の大きさ L状態をとることができる。
⃗ 2 と交換し、H とも交換するので、L⃗ 2 , Lz , H の同時固有状態を考えることがさらに、Lz は L⃗ 2 の固有値が ℏ2 ℓ(ℓ + 1), Lz の固有値が ℏm でできる。そこで、|E, j, m⟩ を、H の固有値が E, L
あるような量子状態としよう。ここで、この系では 360◦ 回転は符号 −1 を出さないので、ℓ は整数であり、m = −ℓ, −ℓ + 1, . . . , +ℓ である。
シュレーディンガー方程式の言葉では次のようになる。ハミルトニアンを微分演算子で書いて、球座標であらわすと、H=−ℏ2 1 ∂ 2 ∂
ℏ2 1
r
−
∆
+ V (r)2m r2 ∂r ∂r 2m r2 角度(5.9)となる、ただし、∆角度 は (4.27) でも出てきた、角度方向のラプラシアンで、∆角度 = ℓ2x + ℓ2y + ℓ2zだった。θ, ϕ は ∆角度 にのみ現れるので、変数分離をすることができ、Hψ(r, θ, ϕ) = Eψ(r, θ, ϕ)(5.10)

ψ(r, θ, ϕ) = F (r)Yℓ,m (θ, ϕ)(5.11)の解は
ただし Yℓ,m は球面調和関数、と書ける。Yℓ,m では ∆角度 の固有値は −ℓ(ℓ + 1) なので、F (r) に関する微分方程式は[]ℏ2 1 ∂ 2 ∂ℏ2
EF (r) = −r+ℓ(ℓ + 1) + V (r) F (r)2m r2 ∂r ∂r 2mr2

(5.12)となる。ℓ による違いは、∝ 1/r2 という動径依存性をもつ遠心力ポテンシャルが ∼ ℓ2 という大きさで出てくることである。

r−2 ∂r r2 ∂r = r−1 ∂r2 r なので、χ(r) := rF (r) に対しては、方程式は][ℏ2ℏ2 ∂ 2+ℓ(ℓ + 1) + V (r) χ(r)Eχ(r) = −2m ∂r22mr2(5.13)となって、0 ≤ r < ∞ を動く一次元のシュレーディンガー方程式とまったく同じ形になる。また、
∫
∫ ∞
2 2
|ψ| r drdθdϕ =|χ|2 dr(5.14)
0となるので、χ の規格化も一次元シュレーディンガー方程式と同じである。ただし、r = 0 での境界条件には気をつけないといけない。

24

5.2

原点での振舞い

普通のポテンシャル V (r) のもとでは、原点に存在する確率が爆発しないとするのは自然だと思われる: ψ(0) < ∞。軌道角運動量が ℓ > 0 ならば、原点では ψ(r) ∼ rℓ と振舞うことをみておく。
そのため、V (r) は r → 0 では角運動量による遠心力ポテンシャル (ℏ/(2m))ℓ(ℓ + 1)/r2 より弱く、原点では遠心力ポテンシャルのほうが勝つとしよう。すると、原点近傍では、ポテンシャル V (r)によらず (5.19) に従う。さらに E も無視すれば、2 階微分方程式の二つの解はF (r) ∼ rℓ ,F (r) ∼ r−1−ℓ(5.15)のどちらかである。後者は原点のまわりで二乗可積分でないので、許されない。よって、

F (r) ∼ rℓ

(5.16)であることがわかった。遠心力のせいで、ℓ が大きいほうが、原点での存在確率が少なくなっているということ。
兎も角、ℓ, E を与えると、r がゼロから無限大まで解くことは数値的にできるので、飛び飛びのE の値 Eℓ,1 < Eℓ,2 < · · · において、二乗可積分の波動関数 Fℓ,1 (r), Fℓ,2 (r), . . . があらわれ、束縛状態となる 11 。というわけで、束縛状態の波動関数はHψ(r, θ, ϕ) = Eℓ,i ψ(r, θ, ϕ),ψ(r, θ, ϕ) = Fℓ,i (r)Yℓ,m (θ, ϕ)(5.17)となる。ただし、i = 1, 2, . . .。各 ℓ, n に対して m が −ℓ から ℓ まで 2ℓ + 1 とおり許される。

ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, . . . の軌道を s 軌道、p 軌道、d 軌道、f 軌道、g 軌道、等々と呼ぶ 12 。

5.3

三次元井戸型ポテンシャル

まず、ポテンシャルが0,r < R,
V (r) =
∞, r > R

(5.18)

で与えられるばあいを考えよう。上記の解析から、[]ℏ2
1 ∂ 2 ∂1
EF (r) =− 2 r+ ℓ(ℓ + 1) F (r)2mr ∂r ∂r r2(5.19)

を解くことになる。ただし、境界条件は F (R) = 0。これは球ベッセル微分方程式である。ベッセ
ル微分方程式に帰着させよう。

f (r) = r1/2 F (r) とすると、f (r) に対する方程式は
[ 2
]
∂
1 ∂
1
2
2
+
− (ℓ + 1/2) + k f (r) = 0,∂r2
r ∂r r2

k2 =

2Em
ℏ2

(5.20)となる。これはベッセルの微分方程式だから、解はF (r) ∝ Jℓ+1/2 (kr)(5.21)

11 ホームページにおいてある Mathematica code を参照のこと。
12 これは対応するスペクトル線が sharp, principal, diﬀuse, fundamental と呼ばれたことに由来するらしい。g 以上は
単に f の次のアルファベットを順につかってゆく。

25

となる。これより、Jℓ+1/2 (x) のゼロ点を小さい順に σℓ,i と書くと

kR = σℓ,i(5.22)

が k を定める。よって、波動関数は∝ r−1/2 Jℓ+1/2 (σℓ,iで、固有値はr)Yℓ,m (θ, ϕ)R

2ℏ2 σℓ,i.
2m R2Eℓ,i =(5.23)(5.24)

特に ℓ = 0 のときは x−1 Jℓ+1/2 (x) ∝ x−1 sin x なので、σℓ=0,i = πi。σℓ=1,i は順に 4.5, 7.7, 10.9,. . . , σℓ=2,i は順に 5.7, 9.1, 12.3, . . . . というわけで、Eℓ,i を ℏ2 π 2 /(2mR2 ) 単位でプロットすると以下の図のようになる:(5.25)
ただし、左から ℓ = 0, 1, 2, 3 で、各 Eℓ,i ごとに 2ℓ + 1 状態あることを示すために細い線を 2ℓ + 1
個重ねた。
また、ベッセル関数は Jn (x) ∼ xn と振舞うので、 (5.23) より、確かに F (r) ∼ rℓ とふるまうことがわかる。

5.4

三次元球対称調和振動子

次に、ポテンシャルがV (r) =

1mω 2 r22(5.26)

で与えられる場合を考えよう。微分方程式は[]1 ∂ 2 ∂
1m2 ω 2 2ℏ2− 2 r+ ℓ(ℓ + 1) +r F (r)EF (r) =2mr ∂r ∂r r2ℏ2
原点では F (r) ∼ rℓ であって、無限遠では E や遠心力項を無視すると[]∂2
m2 ω 2 2 F (r)
− 2+
r
∼0
∂r
ℏ2
r

(5.27)(5.28)だから、F r ∼ r? e−mω/ℏ(r /2) 。そこで、
2

F (r) = w(r)rℓ e−(mω/ℏ)r /2
226(5.29)

とし ρ := mωr2 /ℏ に書き換えると、

ρ

∂2
1 ∂
E
ℓ
3
w + [1 − ρ + (ℓ + )] w + (− ( + ))w = 0
∂ρ2
2 ∂ρ
2ωℏ
2 4

(5.30)を得る。これはラゲール陪微分方程式で、

n=

E
ℓ
3
−( + )
2ωℏ
2 4(5.31)

が非負整数のときに n 次多項式解 13

Lℓ+1/2(ρ) := ρ−ℓ−1/2 eρndn n+ℓ+1/2 −ρρedρn(5.32)をもつのだった。(物理数学 II のノート参照！)
だから、ℓ が与えられると、エネルギー固有値は n を非負整数として3
E = ℏω( + ℓ + 2n)2で、波動関数はψ ∝ Yℓ,m (θ, ϕ)rℓ e−(mω/ℏ)r /2 Lnℓ+1/2 (2(5.33)

mωr2).
ℏ(5.34)E を ℏω 単位でプロットすると以下の図のようになる:(5.35)
E = 3.5ℏω のところで ℓ = 0, ℓ = 2 が縮退、E = 4.5ℏω のところで ℓ = 1, ℓ = 3 が縮退，等々していることに注意。
別の方法でこれを導出しよう。ハミルトニアンは
H=

∑ p2
p⃗2
mω 2 r2mω 2 x2i
+
=
( i +
)
2m
2
2m
2
i=1,2,3(5.36)

である、ただし (p1 , p2 , p3 ) = (px , py , pz ) および (x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z) とした。すると、単に三つ
一次元調和振動子が独立にあるだけである。それぞれの調和振動子のエネルギーは

1
Ei = ℏω(ni + )2(5.37)

13 ラゲールは Lν の上付き添え字 ν がゼロの場合しかやっていないらしい。ν が一般の場合は Sonine 多項式というのnが正確らしい。

27

で ni は非負整数だから、

E=

∑
i

3
Ei = ℏω( + n1 + n2 + n3 ).
2(5.38)

これより、最低エネルギーは E = (3/2)ℏω で n1 = n2 = n3 = 0 のひとつのみ、つぎはE = (5/2)ℏω で n1 + n2 + n3 = 1 より (n1 , n2 , n3 ) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) の三つの状態があり、その次は E = (7/2)ℏω で n1 + n2 + n3 = 2 より (n1 , n2 , n3 ) = (2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2),(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) の 6 通り状態がある。
球対称性をつかって解いたときは、E = (7/2)ℏω では ℓ = 0 と ℓ = 2 があった。それぞれ
2ℓ + 1 = 1 重、 5 重に縮退しているので、合計 6 個状態があるので、つじつまがあっている。
勝手なエネルギーの値で、2 通りの方法で計算した状態の数が同じであることを確認すると勉強
になる。

5.5

逆二乗力の場合

次に、クーロン力、重力のように、力が逆二乗則に従う場合を考えよう。ポテンシャルをV (r) = −kr

(5.39)とする。原子番号 Z の原子核のまわりを電子が一個だけまわっているならば k = Ze2 /(4πε0 ) であり、重力系だと k = Gm1 m2 である。動径方向の微分方程式は
[
]
ℏ2
1 ∂
∂
1
2km 1
EF (r) =− 2 r2+ 2 ℓ(ℓ + 1) + 2
F (r)2mr ∂r ∂r rℏ r(5.40)である。ここで、二粒子が逆二乗則で束縛されている場合、ここに現れる m は換算質量 m =m1 m2 /(m1 + m2 ) であることを注意しておく。
ポテンシャルは負なので、束縛状態では E < 0 であることに注意。原点では F (r) ∼ rℓ なのは既にみた。r → ∞ では EF (r) の項が勝つので、

(

∂2
2mE ′
+
)F (r) ∼ 02∂rℏ2(5.41)√から F (r) ∼ e− −2mEr/ℏ 。そこで、√

F (r) = rℓ e− −2mEr/ℏ w(r)√として w(r) の式に書きなおし、さらに ρ = 2 −2Emr/ℏ とすると、
√
∂
∂2
k2 m
− (1 + ℓ))w = 0.
ρ 2 w + [1 − ρ + (1 + 2ℓ)] w + (
∂ρ
∂ρ
−2Eℏ2
これはまた Laguerre の陪微分方程式なので、n′ を非負整数として√k2 m− (1 + ℓ) = n′ ,−2Eℏ2(5.42)(5.43)(5.44)のときに n′ 次の多項式解をもつ。そのとき n = ℓ + 1 + n′ としてE=−

k2 m 1
2ℏ2 n228(5.45)

で、波動関数はψ ∝ rℓ e−r/(an) L1+2ℓ
n−ℓ−1 (

2r
)Yℓ,m (θ, ϕ)an(5.46)

ただしℏ2
km
は典型的な波動関数の広がりの大きさで、n は ℓ より大きな整数。
a=(5.47)

E を k 2 m/(2ℏ2 ) 単位でプロットすると以下の図のようになる:(5.48)
E = −k 2 m/(2ℏ2 n2 ) と書いた n を主量子数という。n = 1 のときは ℓ = 0 のみ (1s 状態) で 1個、n = 2 のときは ℓ = 0 (2s 状態) および ℓ = 1 (2p 状態) で 1 + 3 = 22 個、n = 3 のときは
ℓ = 0, 1, 2 (3s, 3p, 3d 状態) で 1 + 3 + 5 = 32 個、一般に ℓ = 0, 1, . . . , n − 1 で状態は合計 n2 個
縮退している。
スピンの自由度を無視して、水素原子を考察すると、a ∼ 0.53Å はボーア半径 14 、−k 2 m/(2ℏ2 ) ∼13.6eV は 1 Rydberg (リュードベリ) とも呼ばれる。1s 状態の波動関数は単に ψ ∝ e−r/a である
ことに注意。原点での確率が一番高い。これは量子力学初期には電子がなぜ陽子の真上にいて大丈夫なのか、混乱を招いたらしい。
水素原子内の電子が状態を遷移することに伴って出す 15 光の振動数 ν は、エネルギー保存から

1
1− 2 )Ryn21
n2(5.49)hc
1
1.
−2 ∼ 91nm −2
1Ry n−2
−
n
n
−
n−2
1
2
1
2

(5.50)hν = (となるので、波長 λ は 16λ=n1 = 1, 2, 3 への遷移から来る線をそれぞれ Lyman 系列、Balmer 系列、Paschen 系列という。
n2 = 3 から n1 = 2 への遷移が Balmer-α で、波長が 656 nm、赤色。Lyman は紫外線、Balmer
はだいたい可視光、Paschen は赤外。
ナンセンスだが、陽子と電子が電気的にでなくて重力で結合しているとした際、ボーア半径はいくつになるか、計算してみると面白いかも知れない。
実際の水素原子では、スピンの自由度があること、また、ポテンシャルに相対論的補正があること、より、もっと複雑なスペクトルになるが、おおまかなところは上記のとおりである。
14 1Å(オングストローム) は SI では 0.1 nm。
15 この過程をどう量子力学的に扱うかは将来やるでしょう、この講義では時間がありませんが。
16 実験データを整理してこれを見出したリュードベリの驚きはいかばかりだったか!

29

5.6

余談: 1/r ポテンシャルの際の縮重について

球対称調和振動子や 1/r ポテンシャルの場合、角運動量 ℓ が異なる状態のエネルギー固有状態が縮退するという現象をみた。球対称調和振動子の場合は、直交座標系を用いて考察すると、エネ
ルギー固有値の縮退の理由はわかったが、1/r ポテンシャルの場合はなぜだろうか、ということを勉強しておこう 17 。ただし、実際の水素原子においては、相対論的効果で縮重はほとんど解ける。
以下は、理論的なお遊びだと思うのがよい。

5.6.1

Pauli の方法

実は、1/r ポテンシャルの場合は、そもそも Heisenberg が行列力学を提唱してすぐ、Pauli が水素原子をそれを用いて解析した際、主量子数 n のときの n2 の縮退があからさまな形で、以下の方法 18 で導いた。これは、Schrödinger が波動力学を提唱する前の話なので、さらに驚きである。
まず、次のベクトル量⃗ = − k⃗x + 1 (⃗⃗ −L
⃗ × p⃗)
p×L
K
r
2m(5.51)

を考える。成分をあからさまに書けば

Kx = −

kx
1+(py Lz − pz Ly − Ly pz + Lz py )r2m

(5.52)⃗ +L⃗ × p⃗ = 0 であるが、量子力学の演算子としてはそうでないので、注である。古典的には p⃗×L
意が必要。Kx,y,z はエルミートであることにも注意。
この演算子は、頑張って計算すると、ハミルトニアン H = p2 /(2m) − k/r と交換することがわ
かる:[Kx , H] = [Ky , H] = [Kz , H] = 0(5.53)⃗ は系の保存量である。伝統的にこのベクトルは Runge-Lenz ベクトルと呼ばれる 19 。
よってこの R⃗ = −k⃗x/r + p⃗ × L/m⃗
古典的には Kが保存するということである。一般に、古典的に中心力中の運動をかんがえると、角運動量が保存するから、ある平面内でぐるぐるまわるが、近日点は徐々⃗ を考えると、⃗x/r も p⃗ × L⃗ のどちらも ⃗x の定数倍である。こに動いてゆく。近日点において、Kれが保存されるということは、近日点が動かないということであって、これが古典的には逆二乗力の特徴なのだった。
さて、頑張って計算すると、⃗ 2 = k 2 + 2 H(L⃗ 2 + ℏ2 ),
K
m

⃗ ·L
⃗ =0
K

(5.54)⃗ 2 がわかれば H もわかる。また、交換関係として、がわかる。これから、K[La , Kb ] =∑ϵabc iℏKc ,[Ka , Kb ] =

c

−2H ∑
ϵabc iℏLc
m c(5.55)

17 レビューとして、 Bander-Itzykson, Rev. Mod. Phys. 38 (1966) 339 が判りやすい。講義後に國場先生の日本語の記事 http://maildbs.c.u-tokyo.ac.jp/∼kuniba/atsuo/LRLvector.pdf を教えてもらった。これはルンゲレンツベクトルでGoogle で検索すると一番上に出てくるらしい。その他、日本語の記事としてはブログポスト http://d.hatena.ne.jp/ma-o/20140130 が詳しいが、この人は何者だろう。
18 Pauli の原論文は Z. Physik, 36 (1926) 336。
19 しかし、発見者は Runge でも Lenz でもないそうだ。詳細はウィキペディアの記事 Laplace-Runge-Lenz vector を参照のこと。一般に、「ある概念に人の名前がついている場合は、その概念はその人が発見したのではない」という Arnoldの原理があるので、不思議ではない。Arnold の原理は Russ. Math. Surv. 53 (1998) 229 にある。同じ原理は Stiglerの法則とも呼ばれる。英語版 Wikipedia の対応する記事には Arnold の原理とも呼ばれることが 2015/5/17 時点では書いていないので、このノートの読者のかたはどなたか追加しておいてください。

30

が成り立つことが確認出来る。
以下、束縛状態で H の固有状態を考えよう: H = −E 。係数を簡単にするため、いつものよう√−2E/mℏκa と定めると、交換関係はに La = ℏℓa , また Ka =[ℓa , ℓb ] =∑ϵabc iℓc ,[ℓa , κb ] =∑cϵabc iκc ,[κa , κb ] =c∑ϵabc iℓc(5.56)cとなる。また、式 (5.54) に代入して整理すると、

k2 =−2Eℏ2 2 ⃗2(⃗κ + ℓ + 1),m⃗ℓ · ⃗κ = 0(5.57)となる。
さて、ここで、⃗ℓA = 1 (⃗ℓ + ⃗κ),2⃗ℓB = 1 (⃗ℓ − ⃗κ)2(5.58)と定めると、A[ℓA
a , ℓb ] =∑ϵabc iℓAc ,B[ℓBa , ℓb ] =c∑ϵabc iℓBc ,B[ℓAa , ℓb ] = 0.

(5.59)

cとなり、独立な角運動量演算子が 2 セットあることになる。また、

11(⃗ℓA )2 = (⃗ℓ2 + 2⃗ℓ · ⃗κ + ⃗κ2 ) = (⃗ℓ2 + ⃗κ2 ),4
4
1
1(⃗ℓB )2 = (⃗ℓ2 − 2⃗ℓ · ⃗κ + ⃗κ2 ) = (⃗ℓ2 + ⃗κ2 )4
4(5.60)(5.61)

なので、(⃗ℓA )2 = (⃗ℓB )2 = j(j + 1)

(5.62)と書ける、ただし j = 0, 1/2, 1, . . .。 n = 2j +1 と書くと、n は正整数で、⃗ℓ2 +⃗κ2 = 4j(j +1) = n2 −1である。すると、エネルギー E は (5.57) から

E=−

k2 m
2ℏ2 n2(5.63)とわかった。さて、n を固定すると、で、ℓA,Bの固有値 mA,B がそれぞれ −j, −j + 1, . . . , +j のzn 通り取れるので、合計 n2 状態あることがわかる。
この n2 個の状態が、どういう本来の角運動量 ⃗ℓ を持つかであるが、⃗ℓ = ⃗ℓA + ⃗ℓB(5.64)

だから、「全角運動量」⃗ℓ は角運動量 j のものを二つ合成して得られる。これは、4.5.2 節でやったことを思い出せば、ℓ = 0, 1, . . . , 2j = n − 1(5.65)という大きさを持つことがわかる。これで、前節でラゲール多項式をもちいて導出したクーロン力
中のスペクトルがほぼ代数的に導出できた。

31

5.6.2四次元空間の球面調和関数の復習

前節のおしまいの文で、「ほぼ」というのは次の問題があるからである: 上の導出では、束縛状態があれば、何か正整数 n があって、エネルギーは (5.63) で与えられ、それに伴って n2 個の縮退があらわれることはわかるが、実際にどの n があらわれるか、また、その n にさらなる縮重がないか、までは答えてくれない。たとえば、球面調和関数を角運動量演算子の交換関係だけでしらべたとすると、同様に、⃗ℓ2 = j(j + 1) さらに j があったとすると 2j + 1 個縮重していることまではわかるが、j が半整数が許されないことまではわからない。
また、保存量と操作の関係をこれまで強調してきた。⃗ℓ は角運動量で、回転を生成するのだったが、⃗κ は Runge-Lenz ベクトルで、いったいどのような操作に対応するのか?
これらのことを調べるには、やはり、波動関数を見る必要がある。これを次節でやるが、その前に正整数 n ごとに n2 の縮退のある系をもうひとつみておこう。それは、四次元の球面調和関数である 20 。
その前に、三次元の回転を復習しよう:ℓx = −i(y∂z − z∂y ),ℓy = −i(z∂x − x∂z ),ℓz = −i(x∂y − y∂x ),(5.66)と定義すると[ℓx , ℓy ] = iℓz ,[ℓy , ℓz ] = iℓx ,[ℓz , ℓx ] = iℓy(5.67)であった。ℓx は yz 平面の、ℓy は zx 平面の、ℓz は xy 平面の、回転を生成する。
ここで、四次元空間が (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x, y, z, w) とすると、ℓx,y,z にならって、演算子

κx = −i(w∂x − x∂w ),κy = −i(w∂y − y∂w ),κz = −i(w∂z − z∂w )(5.68)

を定めよう。それぞれ、wx 平面、wy 平面、wz 平面の回転を生成するが、交換関係は[ℓx , κx ] = [ℓy , κy ] = [ℓz , κz ] = 0,(5.69)

また[ℓx , κy ] = iκz ,[ℓy , κx ] = −iκz ,(5.70)[ℓy , κz ] = iκx ,[ℓz , κy ] = −iκx ,(5.71)[ℓz , κx ] = iκy ,[ℓx , κz ] = −iκy(5.72)[κz , κx ] = iℓy(5.73)

さらに[κx , κy ] = iℓz ,[κy , κz ] = iℓx ,となる。これは水素原子の Pauli 式の解法で出て来た (5.56) そのものだ。だから、クーロン力中の運動には、なぜか、四次元空間の回転が関係するのである。そこでは、さらに書き換えて (5.59)としたが、これは、一般に、四次元空間の回転操作は、三次元空間の回転操作ふたセットに分解できるということ。これは物理数学 II で四元数をやったのを覚えていれば、R3 を純虚な四元数 h と同一視し、三次元回転操作は長さ 1 の四元数 q とすれば、三次元の回転操作は

h 7→ qhq̄

20 2014 年の物理数学 II の講義ノート、およびレポート問題を参照。

32(5.74)

で表され、一方、R4 を四元数全体と同一視すれば四次元の回転操作は長さ 1 の四元数 qL , qR をとって

h 7→ qL hq̄R(5.75)となることからもわかる: 四次元空間の回転を指定するには、三次元空間の回転二つ分を指定しな
いといけない。
さて、x1,2,3,4 を座標とする四次元空間内で、動径方向の座標 ρ を

ρ2 = x21 + x22 + x23 + x24(5.76)

で定める。|ρ| = 1 なる単位球 S 3 上の関数を角度方向のラプラシアンの固有値で分解したい。四次元空間では∆ = ρ−3∂ 3 ∂ρ+ ρ−3 ∆角度
∂ρ ∂ρ(5.77)

である。一般に、S 3 上の関数 f を考えるかわりに、単位球内部の関数 g で

g|ρ=1 = f,

∆g = 0(5.78)

なる調和関数をかんがえても良い。(三次元ならば、球の表面で温度を与えたときの熱方程式の解である。) さて、かってな g は多項式で近似できるので、それを次数ごとに分解する。gd が x1,2,3,4の d 次式であるとすると、

gd (ρ, θ, φ, ψ) = ρd fd (θ, φ, ψ)だから、∆gd = 0,

ρ−3

∂ 3 ∂
ρ
gd = d(d + 2)
∂ρ ∂ρ

(5.79)(5.80)

より∆角度 fd = −d(d + 2)fd

(5.81)と判った。
線形独立な fd の数は、四変数 d 次多項式の数から、四変数 (d − 2) 次多項式の数をひけば良い。
四変数 d 次多項式の基底の数は (d + 3)(d + 2)(d + 1)/6 なので、

(d + 3)(d + 2)(d + 1)/6 − (d + 1)d(d − 1)/6 = (d + 1)2(5.82)

である。n = d + 1 とかけば、縮重度は n2 である。
これら n2 個の球面調和関数は ℓx,y,z , κx,y,z のもとでどう変換するだろうか? それを見るには、ℓA,Bの固有値をみればよい。具体的な d 次の球面調和関数をひとつ作ってみよう: u = x + iy,zv = z + iw とすると、四次元のラプラシアンは∆ ∝ ∂u ∂ū + ∂v ∂v̄

(5.83)

だから、f = ud は明らかに ∆f = 0 を満たす。この f への作用は ℓz = d で、κz = 0 だから、
BA
ℓA,Bの固有値は ℓAzz = ℓz = d/2 である。これから、mA = ℓz が −d/2, . . . , d/2 の n = d + 1 個、2mB = ℓBz が −d/2, . . . , d/2 の n = d + 1 個、よって n 個縮重があることが判った。これはまさに水素原子の縮重と同じ状況である。

33

5.6.3Fock の方法

さて、Fock の論文をみていこう 21 。もとのシュレーディンガー方程式は[ 2]−ℏ ∆ k−ψ(⃗x) = Eψ(⃗x)
2mrだった。両辺をフーリエ変換して、運動量基底にうつると、
∫
2mk
d3 q
2
(p − 2mE)ψ(⃗p) =ψ(⃗q).
2π 2 ℏ|⃗q − p⃗|2(5.84)(5.85)

束縛状態では E < 0 なので、p20 := −2mE を導入する。ψ の引数は運動量空間 p⃗ ∈ R3運動量 だったが、p⃗/p0 を四次元空間のなかの単位球面に投影する:

p/p0(5.86)
具体的には、p⃗2 − p20 2p0 px 2p0 py 2p0 pz
,
,
,
),
u=( 2
p⃗ + p20 p⃗2 + p20 p⃗2 + p20 p⃗2 + p20⃗q2 − p20 2p0 px 2p0 qy 2p0 qz
v=( 2
,
,
,
)
⃗q + p20 ⃗q2 + p20 ⃗q2 + p20 ⃗q2 + p20(5.87)(5.88)

等とする。これは等角写像で、運動量空間の線素は単位球面上の線素とds運動量空間 = σ(⃗p)ds単位球面 ,

但し

σ(⃗
p) =

p⃗2 + p20
2p0(5.89)という対応にある。これから、

d3 p = σ(⃗p)3 dΩ,(5.90)|⃗p − ⃗q|2 = σ(⃗p)σ(⃗q)|u − v|2 .

(5.91)

またこれらを使って変数変換すると、シュレーディンガー方程式は∫mkdΩϕ(v)
ϕ(u) =
22π ℏp0|u − v|2(5.92)となる、 ただし、dΩ は四次元空間内の単位球の標準的な体積要素で、ϕ(u) は

ψ(⃗
p) =

√
p0 σ(⃗p)−2 ϕ(u)と定義した。これは波動関数の長さの二乗が
∫
∫
∫
∫
p)
⃗2 + p20
2
3 σ(⃗
2
3 p
2
dΩ|ϕ(u)| = d p|ϕ(u)| = d p|ψ(⃗p)| = d3 p|ψ(⃗
p)|2
p0
2p20
21 原論文は V. Fock, Z. Physik, 98 (1935) 145

34(5.93)(5.94)

となるように選んである 22 。
もとのシュレーディンガー方程式は、当然 p⃗ の三次元回転について回転対称な式で、それは
u = (u0 , u1 , u2 , u3 ) とすると u1,2,3 の三次元回転のもとでの対称性である。しかし、単位球面に投影したのちの方程式 (5.92) は四次元ベクトル u の四次元回転についても回転対称になっている。
三次元の回転は 3 つ生成子があった: ui uj 平面内の回転があるが、(ij) = (12), (23), (31) の三通り。これが ℓx,y,z に対応していた。四次元の回転はさらに (ij) = (01), (02), (03) のみっつの生成子があり、これが κx,y,z に対応しているのである。
ここまで変形すると、四次元空間内の単位球上の関数の空間上の線形積分演算子∫dΩ(T ϕ)(u) =ϕ(v)|u − v|2(5.95)の固有値をしらべればよいことがわかる。T は四次元の回転のもとで対称なので、四次元の角度方
向のラプラシアンの値を変えない。ラプラシアンは −∆四次元の単位球面 = d(d + 2) ただし d は非負整数、という値をとり、d を固定すると (d + 1)2 個独立な球面調和関数 Yd,i , i = 1, . . . , (d + 1)2があるのだった:−∆四次元の単位球面 Yd,i = d(d + 2)Yd,i .
このとき、

T Yd,i =

2π 2
Yd,i
d+1

(5.96)(5.97)となることを下で示す。とりあえずこれを認めると、

1=
より p0 =

mk 2π 22π 2 ℏp0 d + 1(5.98)k2 m.
2ℏ2 (d + 1)2(5.99)√−2mE を思い出せばE=−となり、各 d 毎に (d + 1)2 の縮重がある。主量子数 n は n = d + 1 であって、主量子数を与えた
ときの n2 の縮重は、四次元の球面調和関数の構造からくることがわかった。
さて、(5.97) を示そう。その前に、単位球の表面で関数 f (x) が与えられたときに、内部で ∆ϕ = 0を満たす ϕ(x) で、ϕ(x)||x|=1 = f (x) となるような ϕ(x) をもとめるにはどうすれば良いかを思い出してみよう 23 。 そのため、一般に関数 A(x), B(x) に対して⃗ · (A∇B⃗ − B ∇A)⃗A∆B − B∆A = ∇だから、∫(5.100)∫(A∆B − B∆A)dd x =中⃗ − B ∇A)⃗d⃗n · (A∇B

(5.101)境界であることを思い出す。特に、 A = ϕ とおき、B は ∆B = δ d (⃗x − ⃗y ) を満たすとすると∫⃗ − B ∇ϕ)⃗
ϕ(y) =
d⃗n · (ϕ∇B
(5.102)
境界

22 みっつめの等式は、クーロン力中でのビリアル定理を用いて示せる。ビリアル定理は次のように示す。エネルギー固有状態 H |ψ⟩ = E |ψ⟩ に対して ⟨ψ| [H, D] |ψ⟩ = 0 は勝手な D について成り立つが、D = p⃗·⃗
x としてみる。すると、[D, p⃗2 /(2m)] = 2⃗
p2 /(2m), [D, −k/r] = +k/r。これより、2 ⟨ψ| p⃗2 /(2m) |ψ⟩ + ⟨ψ| k/r |ψ⟩ = 0。⟨ψ| p⃗2 /(2m) |ψ⟩ −⟨ψ| k/r |ψ⟩ = E ⟨ψ|ψ⟩ より、⟨ψ| p⃗2 /(2m) |ψ⟩ = −E ⟨ψ|ψ⟩ がわかった。
23 物理数学 II の講義では時間がなくてやれなかったが。

35

だから、B が境界で B(x)|境界 = 0 を満たしていれば、∫⃗
ϕ(y) =
f (x)d⃗n · ∇B

(5.103)境界と求まる。こういう B は、無限に広い空間で ∆G = δ d (⃗x − ⃗y ) となるものは (3 次元空間なら)G = 1/(4π|⃗x − ⃗y |) で与えられることをつかうと、鏡像法で求められるのだった。
この議論そのものは使わないが、式 (5.101) を四次元空間の中で、
!"!"#

!

(5.104)という領域の中でつかってみよう。境界は、単位球の表面から、⃗
u のまわり ϵ だけの距離をくりぬ
いて、小さい半球をはめたものである。
単位球上で (5.96) をみたす Yd,i は、A = ρd Yd,i として四次元空間全体で定義すると ∆A = 0 であった。また、四次元空間でのグリーン関数は B = −(4π 2 )−1 |u − v|−2 だった。すると、(5.101)の左辺はゼロなので、右辺は小さい半球からの寄与と、単位球の表面からの寄与が面積要素の向き付けに気をつけると同じであることになる:∫∫⃗ − B ∇A)⃗d⃗n · (A∇B=⃗
u の周りのちいさな半球面⃗ − B ∇A)⃗d⃗n · (A∇B

(5.105)

単位球面

この左辺は、δ 関数の半分をひろうことになるので A/2, 一方単位球上での積分は ∂B/∂r|r=1 = −B,∂A/∂r|r=1 = dA をつかうと −(d + 1)AB の積分になるので∫
1
Yd,i (v)dΩYd,i (u) = (d + 1)2
4π 2 |u − v|2(5.106)がわかった。これで (5.97) が示された。

5.6.4

さらなる余談まとめると、Pauli は Runge-Lenz ベクトルを用いて、⃗ℓ と ⃗κ の交換関係 (5.56) を導き、それを三次元の角運動量演算子 2 組で書きなおすことで、主量子数 n のときの n2 縮重を説明した。Fockは、この縮重を、シュレーディンガー方程式をまず運動量空間 R3運動量 で書き、それをさらに四次元の運動量空間の単位球に投影することで、四次元の回転のもとでの対称性およびどのような波動関数が実際にあらわれるかを明白にした。以下、未定義語を乱発するが、さらに興味をもったひとのために事実を列挙しておく。

d 次元の回転の生成子のなすリー代数は so(d) と書かれる。三次元の回転の生成子は so(3) で、
これはいつもの [ℓx , ℓy ] = iℓz であるが、四次元の回転の生成子がなす so(4) のあからさまな構造が、まさに Pauli の用いた (5.56) である。これを、三次元の回転演算子 2 組にわけることができたのは、so(4) = so(3) ⊕ so(3) という分解があるからである。
さて、d 次元空間の中の単位球面のことを S d−1 と書く。S d−1 には so(d) が自然に作用する。

Fock のやったことは、位置の空間 R3位置 もしくは運動量空間 R3運動量 でシュレーディンガー方程3
式を書いてあると、so(3) しか明白でないが、これを S運動量にうつして (5.92) と書きなおすと、

36

so(4) が明白になるということだった。S 3 の球面調和関数を理解するには、 SU(2) の群多様体だと思うのがよい。その上の関数は Peter-Weyl の定理から、既約表現の行列要素を基底として持つ。

n 次元表現の行列要素は n2 個あり、それらは SU(2) の右作用と左作用のもとで既約 n 次元表現
として振舞う。だから、(5.59) の ⃗ℓA と ⃗ℓB はまさに SU(2) への右作用と左作用の無限小生成子である。
さて、一次元下げて、S 2 と R2 の関係を考える。S 2 を天球、R2 を天球を北極から投影したものとおもうと、S 2 には三次元の回転が自然に作用して、R2 上にもそれを投影した作用があるということだった。これは、R2 ≃ C と複素平面だとおもうと、一次分数変換で書けるということを物
理数学 II でやった。そこでは、三次元の回転は一次分数変換のすべてではなく、ミンコフスキ空
間 R3,1 のローレンツ変換 so(3, 1) が天球 S 2 に作用するのを投影すると、C の一次分数変換がす
べて出てくるということをやった。
これを自然に一次元あげることができる。R2 の一次分数変換に相当するものは、R3 の共形変換とよばれる。これは S 3 を 4 + 1 次元のミンコフスキ空間 R4,1 の天球とおもって、そこへのローレンツ変換 so(4, 1) を考え、それを投影したもので与えられる。このローレンツ変換には、ℓx,y,z 、

κx,y,z に加えてさらに四つ生成子 α0 , αx,y,z がある。α0,x,y,z は H と交換しないので、保存量ではないが、主量子数 n を変える働きがある。調和振動子における、生成消滅演算子のような働きをする。このような、ハミルトニアンとは交換しないが、すべての状態をつくるのに役立つ対称性
を spectrum-generating symmetry と呼ぶことが多い。
だから、標語的にいうと、クーロン力中の束縛状態の spectrum-generating symmetry は運動量
空間 R3運動量 の共形対称性 so(4, 1) であって、n2 の縮重を制御しているのはその一部 so(4) である。
さて、これらいろいろ面白い数理的な構造はあるのだけれど、相対論的量子力学のもとでクーロン力を扱うと、上記の対称性は破れてしまう 24 。しかし、2014 年に気付かれた 25 のは、四次元極大超対称 SU(N ) ゲージ理論で、N が大きい極限をとったところで、W-boson 二つの束縛状態を考えると、相対論的で、かつ、Runge-Lenz ベクトルを持つ系が得られるということだ。そもそも、四次元極大超対称 SU(N ) ゲージ理論に R3,1に働く共形対称性 so(4, 2)位置 があるのは位置
大昔から知られており、conformal symmetry をもつということで conformal field theory (CFT)と呼ばれる。この理論の large N 極限をとったものが、AdS/CFT 対応のもっとも典型的な例
で、これの AdS 側の解析から、位置空間に働く共形対称性だけでなく、運動量空間に働く共形対称性 so(4, 2)運動量 があるということが 2007 年ごろ発見されていた。これを、dual conformal

symmetry という。この系で、束縛状態を考えると、一つ運動量ベクトルを固定しないといけない
ので、so(4, 2)運動量 が破れて、so(4, 1)運動量 になり、これが水素原子の (相対論かつ極大超対称版の) spectrum-generating symmetry になっているのである。だから、Pauli による水素原子の解法
は、dual conformal symmetry のはじめてのあらわれである、ということだ。26

24 それでも、いろいろ面白い構造はあるようだ。物理学科の桂さんが四年生の理論演習で青木研にいたときに書いたらしい Katsura-Aoki, J.Math.Phys. 47 (2006) 032301 [arXiv:quant-ph/0410174] 等参照。
25 Caron-Huot and Henn, Phys.Rev.Lett. 113 (2014) 161601, [arXiv:1408.0296]
26 上の脚注であげた論文では、W-boson ふたつの束縛状態を、場の理論で知られている結果の極限として考察している
ので、束縛状態系のハミルトニアンを書き下して波動関数を量子力学的に導出するところまでやっていない。(ような気がする。古い Wick の解析に帰着していて、large N では Wick の ladder 近似は正当化できるはずだから、ほとんどやってあるのかもしれないけれど) これをきちんとやってみるのは、悪くない演習問題だと思う。この解析自体は、繰り込みなど、場の理論自体の本質的でややこしいところは扱わず、摂動的ゲージ理論が量子力学に帰着するところを使うだけなので、とても意欲あるひとなら学部生でも頑張れば出来るのではないか。具体的には、場の理論の標準的な教科書で、繰り込みと関係ないところをざっと理解しており、さらに、large N 展開の基礎を Coleman の “Aspects of Symmetry” の
1/N 展開の章の内容くらい分かっていればよいはず。やりたい人は連絡ください。桂さんみたいに学部生で論文書けるかもしれません。

37

時間に依存しない摂動論

6

さて、これまで扱ってきた量子力学系は、(先学期の 1 次元系を含め) シュレーディンガー方程式
をあからさまに知っている関数を用いて完全に解けてしまうものだった。しかし、もっと現実に即したハミルトニアンに関しては、固有関数をあからさまに知っている関数で書き下せる場合はむしろ少数派である。扱える量子力学系を増やすには、大きく分けて次の三通りの方策がある:

1. 完全に解けるハミルトニアン H を他にも探す。すなわち、可解系の探求。
2. 調べたいハミルトニアン Hg が、既に解き方を知っているハミルトニアン H に小さな補正
gV , (|g| ≪ 1) を加えたもの
Hg = H0 + gV

(6.1)

である場合は、H0 の知識をもちいて、系統的に Hg について調べることが出来る。これを摂動論 (perturbation theory) という。

3. ハミルトニアン H がわかっていれば、シュレーディンガー方程式は書き下せるわけだから、計算機で数値的に解けば良い。この計算法を考える。
この講義の残りでは、さまざまな状況における摂動論をやる。

6.1

縮重の無い場合

6.1.1

愚直な導出

まずは一番簡単な設定で考える。摂動を加えるまえのハミルトニアン H0 の固有値と固有状態
がH0 |ψn ⟩ = En |ψn ⟩ ,⟨ψn |ψm ⟩ = δnm(6.2)

であって、さらに n ̸= m なら En ̸= Em とする。調べたいハミルトニアンがH(g) = H0 + gV

(6.3)

であるとして、その固有状態、固有値をH(g) |ψn (g)⟩ = En (g) |ψn (g)⟩(6.4)

を g について Taylor 展開してもとめる。ただし、g → 0 で En (g) → En , |ψn (g)⟩ → |ψn ⟩ となるものとしよう。
そこで、展開を(0)|ψn (g)⟩ = |ψn(0) ⟩ + g |ψn(1) ⟩ + g 2 |ψn(2) ⟩ + · · · ,(6.5)

En (g) = En(0) + gEn(1) + g 2 En(2) + · · ·

(6.6)

(0)

とする。仮定より En = En , |ψn ⟩ = |ψn ⟩。
この展開を (6.4) にいれて、両辺の g n 乗の項を比較すると、

0 = (H0 − En ) |ψn ⟩ ,(6.7a)

0 = (H0 − En ) |ψn(1) ⟩ + (V − En(1) ) |ψn ⟩ ,(6.7b)

0 = (H0 − En ) |ψn(2) ⟩ + (V − En(1) ) |ψn(1) ⟩ − En(2) |ψn ⟩ ,(6.7c)

0 = (H0 − En ) |ψn(3) ⟩ + (V − En(1) ) |ψn(2) ⟩ − En(2) |ψn(1) ⟩ − En(3) |ψn ⟩ ,(6.7d)

38

等々となる。ひとつめの式は当然なりたっている。
式 (6.7) を解きはじめる前に、このままでは、|ψn (g)⟩ の解は一意に定まらないことに注意する。
なぜなら、もともとの式 (6.4) は線形だから、その解がひとつ求まったら、c(g) を c(0) = 1 なる
勝手な複素のノンゼロの関数として、|ϕn (g)⟩ := c(g) |ψn (g)⟩(6.8)

を考えるとそれも解になるから。物理的には自然な ⟨ψn (g)|ψn (g)⟩ = 1 という正規化の条件を課しても、|c(g)| = 1 なる勝手な関数を掛ける自由度が残る。正規化はあとですることにして、⟨ψn |ψn (g)⟩ = 1(6.9)

を課すのが計算を簡単にしてくれる。これを課すと、c(g) を掛ける自由度は全て無くなるので、|ψn (g)⟩ は一意に定まる。この条件 (6.9) は、⟨ψn |ψn(1) ⟩ = ⟨ψn |ψn(2) ⟩ = · · · = 0(6.10)を課すということである。
式 (6.7) に左から ⟨ψn | をかけて、⟨ψn | H0 = ⟨ψn | En であることを使うと

0 = 0,(6.11a)0 = ⟨ψn | (V − En(1) ) |ψn ⟩ ,(6.11b)0 = ⟨ψn | (V − En(1) ) |ψn(1) ⟩ − ⟨ψn | En(2) |ψn ⟩ ,(6.11c)0 = ⟨ψn | (V − En(1) ) |ψn(2) ⟩ − ⟨ψn | En(2) |ψn(1) ⟩ − ⟨ψn | En(3) |ψn ⟩(6.11d)等々を得る。さて、式 (6.11b) より

En(1) = ⟨ψn | V |ψn ⟩ .

(6.12)En (g) = En + gEn(1) + O(g 2 ) = ⟨ψn | (H0 + gV ) |ψn ⟩ + O(g 2 ).

(6.13)

すなわち、

日本語でいうと、エネルギーの摂動の一次までは、単に全ハミルトニアン H = H0 + gV の摂動前の固有状態 |ψn ⟩ での期待値で与えられる、ということ。
また、式 (6.7) に左から ⟨ψm | (m ̸= n) をかけて、⟨ψm | H0 = ⟨ψm | Em を使うと、

0 = 0,(6.14a)0 = (Em − En ) ⟨ψm |ψn(1) ⟩ + ⟨ψm | (V − En(1) ) |ψn ⟩ ,(6.14b)0 = (Em − En ) ⟨ψm |ψn(2) ⟩ + ⟨ψm | (V − En(1) ) |ψn(1) ⟩ − ⟨ψm | En(2) |ψn ⟩ ,(6.14c)0 = (Em − En ) ⟨ψm |ψn(3) ⟩ + ⟨ψm | (V − En(1) ) |ψn(2) ⟩ − ⟨ψm | En(2) |ψn(1) ⟩ − ⟨ψm | En(3) |ψn ⟩(6.14d)(i)等々となる。ここで、各式の最後の項 ⟨ψm | En |ψn ⟩ は n ̸= m だからゼロになることに注意。
式 (6.10) から|ψn(i) ⟩ =

∑

(i)
km
|ψm ⟩

(6.15)

m̸=n
(i)

(i)

と書け、その係数 km は ⟨ψm |ψn ⟩ だから、式 (6.14b) より|ψn(1) ⟩ =

∑
m̸=n

|ψm ⟩

1
⟨ψm | V |ψn ⟩ .
En − Em39(6.16)

これを式 (6.11c) にいれるとEn(2) =∑

⟨ψn | V |ψm ⟩m̸=n1⟨ψm | V |ψn ⟩En − Em(6.17)

となる。
(2)

(3)

あとは、これを式 (6.14c) にいれると |ψn ⟩ が求まり、それを式 (6.11d) にいれると Enがも(3)
とまり、それを式 (6.14d) にいれると ψn がもとまり、等々と、再帰的に求まっていくことがわかる。これを Rayleigh-Schrödinger 摂動展開という。

6.1.2

馬鹿な例

以上の一般論で、間違いをしなかったことを、簡単な例で確かめよう。そのため、状態空間を二次元とし、

H = H0 + gV =とする。摂動する前の固有状態は

(
0

0

0

E

( )
1
|ψ0 ⟩ =
,
0

)

(
+g

)

a

b

b∗

c

( )
0
|ψ1 ⟩ =
1

(6.18)(6.19)

で、E0 = 0, E1 = E である。固有値は√1(E + g(a + c) ± (E + g(a + c))2 − 4(ga(E + gc) − g 2 |b|2 ))2(6.20)

だけれど、g → 0 で → E0 = 0 となる枝は複号 ± を − にとればよく、g で展開すると

E0 (g) = ga − g 2|b|2+ O(g 3 )E

(6.21)となることが確かめられる。これは確かに (6.12), (6.17) から得られる。
この場合は、そもそも 2 × 2 行列が手で対角化できるから摂動論のご利益は無いが、一般論はもっと複雑な場合でも使えることが重要。

6.1.3

もうすこし意味のある例: 調和振動子に x4 を足した場合

調和振動子

1 2 1 2
p + x
(6.22)
2
2
を 0 次のハミルトニアンとして、摂動項 V = gx4 を考える。以下、面倒臭いので ℏ = 1 というH0 =

単位系をとる。0 次の固有状態を |n⟩, H0 |n⟩ = En |n⟩ ただし En = n + 1/2 ととる。最低エネル
ギー状態への補正を計算するには(1)

E0= ⟨0| x4 |0⟩ ,

(2)

E0

=

∑
n>0

⟨0| x4 |n⟩1⟨n| x4 |0⟩E0 − En

(6.23)

を計算すれば良い。
生成消滅演算子は (3.2) でやった:xpa = √ + i√ ,22xpa† = √ − i √2240(6.24)

これが√n |n − 1⟩ ,a |n⟩ =a† |n⟩ =√n + 1 |n + 1⟩

(6.25)† 4

4をみたすのだった。x = (a + a ) /4 だから、すぐに⟨n + m| x4 |n⟩ = 0,(|m| ≥ 5),(6.26)⟨n + m| x |n⟩ = 0,(m は奇)(6.27)

4がわかる。あとは頑張ると

1√(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1),
4
1√⟨n + 2| x4 |n⟩ =(n + 2)(n + 1)(2n + 3),
2
1⟨n| x4 |n⟩ = (3 + 6n(1 + n)),4
1√
4
⟨n − 2| x |n⟩ =n(n − 1)(2n − 1),2
1√⟨n − 4| x4 |n⟩ =n(n − 1)(n − 2)(n − 3)4⟨n + 4| x4 |n⟩ =(6.28)(6.29)(6.30)(6.31)(6.32)がわかる。これより、
(1)

E0

=

3
,
4

(2)

E0

=−

21
8

(6.33)がわかった。

E0 (g) は数値的に計算することも出来る。シュレーディンガー方程式を
(−

1 d2
x2
+
+ gx4 )ψ(x) = Eψ(x)
2
2 dx
2

(6.34)と書く。基底状態の波動関数は、偶関数なので、x = 0 から、初期条件 ψ(0) = 1, ψ ′ (0) = 0 のもとで、数値的に方程式を x > 0 のほうに解いていく。そのためには、E を適切に与えないといけない。正しい E でないと、すぐに波動関数は ψ → +∞ もしくは ψ → −∞ となってしまう。そうならないような E が、束縛状態のエネルギーである。正しい E0 (g) より E が小さいと、ψ は常に正のまま +∞ にいってしまう。正しい E0 (g) より E がすこし大きいと、ψ はどこかで 0 になって −∞ にいってしまう。具体的には、g が小さいとして、E0 (g) は 0.6 は越えないだろうか
ら、E = 0.6 あたりからはじめて、すこしずつ E を下げていく。すると、あるところで ψ が −∞にいくのではなくて +∞ にいくようになる。これでは行き過ぎだから、さらにすこしずつ E を上げていく。すると、あるところで ψ が +∞ にいくのではなくて −∞ にいくようになる。これを繰り返すと、精度良く E がもとまる。
このようにして求めた数値と、上記でもとめた摂動論の二次までを比較すると次のとおり:(6.35)
41

6.1.4高次の摂動の一般項

摂動の高次を考えるには、もうちょっと工夫をするとよい。もとの式は(H0 + gV ) |ψn (g)⟩ = En (g) |ψn (g)⟩(6.36)(En (g) − H0 ) |ψn (g)⟩ = gV |ψn (g)⟩(6.37)⟨ψn |ψn (g)⟩ = 1(6.38)だった。これを、と書きなおす。
解を一意にするために、としていた。そこで、(6.37) の両辺に ⟨ψn | をかけると、En (g) − En = ⟨ψn | gV |ψn (g)⟩(6.39)である。よって、ψn (g) が g i まで判れば、En (g) は g i+1 まで判る。
また、(6.37) の両辺に、⟨ψm | (m ̸= n) を掛けると、(En (g) − Em ) ⟨ψm |ψn (g)⟩ = g ⟨ψm | V |ψn (g)⟩ .
よって、|ψn (g)⟩ = |ψn ⟩ + g 

∑

m̸=n

そこで、

Rn (g) =1|ψm ⟩⟨ψm | V |ψn (g)⟩ .
En (g) − Em

∑

|ψm ⟩

m̸=n

1
⟨ψm |
En (g) − Em

(6.40)(6.41)(6.42)と書くと、|ψn (g)⟩ = |ψn ⟩ + gRn (g)V |ψn (g)⟩(6.43)= |ψn ⟩ + gRn (g)V |ψn ⟩ + g Rn (g)V Rn (g)V |ψn (g)⟩(6.44)= |ψn ⟩ + gRn (g)V |ψn ⟩ + g 2 Rn (g)V Rn (g)V Rn (g)V |ψn (g)⟩(6.45)

2

等々と書け、あとはいくらでもくりかえせる。まだここまでは何も近似を使っていないことに注意! En (g) をもとめるには、(6.39) を使うだけである。
満足するまで繰り返し展開したあとで、最後の |ψn (g)⟩ を |ψn ⟩ で近似すると、|ψn (g)⟩ = |ψn ⟩ + gRn (g)V |ψn ⟩ + g 2 Rn (g)V Rn (g)V Rn (g)V |ψn ⟩ + · · ·(6.46)となる。左から ⟨ψn | gV をかけて、En (g) = En + g ⟨ψn |V |ψn ⟩ + g 2 ⟨ψn |V Rn (g)V |ψn ⟩ + g 3 ⟨ψn |V Rn (g)V Rn (g)V |ψn ⟩ + · · · . (6.47)
この形の展開を Brillouin-Wigner 摂動展開という。これは Rn (g) のなかの分母に En (g) が入っているので、さらにあからさまには、そこに (6.47) を代入して、さらにそれを展開して、とやる。
すると展開係数が出てくる。

42

たとえば、En (g) の g 3 の項は g 3 ⟨ψn |V Rn (g)V Rn (g)V |ψn ⟩ で Rn (g) を Rn (0) で近似したものと、g 2 ⟨ψn |V Rn (g)V |ψn ⟩ で Rn (g) を g の一次まで展開したものの和である。後者は

1
1
1
1
=
−
(En (g) − En )En (g) − Em
En − EmEn − EmEn − Em1
1
1=−
g ⟨ψn |V |ψn ⟩+ O(g 2 ).
En − EmEn − EmEn − Em(6.48)(6.49)

よって、

En(3) = ⟨ψn |V Rn (0)V Rn (0)V |ψn ⟩ − ⟨ψn |V Rn (0)Rn (0)V |ψn ⟩ ⟨ψn |V |ψn ⟩ .

6.1.5(6.50)

高次の摂動: 調和振動子に x4 を足した場合

これを用いて、高い次数まで摂動展開をやるのは、実際上は数式処理ソフトをつかうとよい。しかし、その場合は、上記のようにあからさまに展開した式を、数式処理ソフトにタイプするより、(6.39) と (6.43) を使うと、|ψ(g)⟩ と En (g) を一次ずつ近似を上げていけることを直接つかったほうがプログラムはしやすいと思う。ホームページにある Mathematica コードで 10 次まで計算するとE0 (g) =1 3g 21g 2
333g 330885g 4916731g 565518401g 6
2723294673g 7
+
−
+
−
+
−
+
2
4
8
16
128
256
1024
2048
( )
1030495099053g 854626982511455g 96417007431590595g 10−+−+ O g 11
(6.51)
32768
65536
262144

これを用いて、また、数値計算と比較してみると次のようなグラフになる。まずは g ∼ 0.05 ぐ
らいまでをみると(6.52)
で、次数をあげると真値に近づいているようにみえる。しかし、g ∼ 0.2 ぐらいまでみると、(6.53)
43

となって、次数をあげると収束が悪くなっている。
が大きいところで、|cn | ∼ r−n∑cn xn の収束半径が r なら、n∑と振舞う。しかし、上の E0 (g) =cn g n において (cn )1/n をプ

そもそも、収束半径はいくつなのだろうか？ある関数 f (x) =ロットすると、(6.54)となる。これより、|cn | ∼ (αn)n(6.55)と振舞っていることがわかり、収束半径はなんと 0 である。こういう級数は漸近級数 (asymptotic

series) といって、g が小さいなら使えなくはないのではあるが、気をつけて使わないといけない。
そもそも、収束するはずがない、という簡単な理由を Dyson がみつけた。もし、収束半径がノンゼロだとする。すると、g < 0 でも、|g| が小さければ、まっとうなエネルギー準位が答えとしてでてくる。しかし、g < 0 ならば、ポテンシャル V (x) = x2 /2 + gx4 は |x| が大きいところで底が抜けるので、量子力学的には、粒子は外にトンネル効果で染み出てしまう:
#$&
#$'
#$!

!!

!"

✄ ✁✂☎
"

!

!#$!
!#$'
!#$&
!#$%

(6.56)だから、そもそも、最低固有束縛状態は無いので、収束しては矛盾する。実際、トンネル確率を

WKB 近似で計算することによって、上記 (6.55) の α が 3 であると計算できる。時間があれば講義のおしまいにやる 27 。

6.2

縮重のある場合

前節では、縮重の無いばあいに摂動をどうするかを学んだ。そこでは、いろいろな計算に 1/(En −Em ) という因子が出たので、二つの状態 |n⟩ と |m⟩ が En = Em を満たすと、議論のいろいろな∫ 1/√2|g| √x 1 − 2|g|x2 dx = 1/(6|g|)0である。decay rate は、tunnel から出て来たところの確率流からもとまるので、これを二乗して ∼ exp(1/(3g)). 時間の単位等は prefactor から来る。なんにせよ、エネルギーの虚部は ∼ exp(1/(3g)). よって、Borel plane の −1/3 のとこ
ろに pole がある。すなわち、cn ∼ (−3)n n!。詳細は arXiv:1206.6272 の 3.1 等参照。
27 時間が無かったときのために書いておくと、 g < 0 の際の WKB factor は44

ところが破綻する。実際問題として、摂動前のハミルトニアンは系が簡単なせいで縮重があることが多い。そこで、縮重があるばあいの摂動をどう扱えば良いかを考えておこう。
摂動を加えるまえのハミルトニアン H0 の固有値と固有状態が

H0 |ψn,i ⟩ = En |ψn,i ⟩ ,⟨ψn,i |ψm,j ⟩ = δnm δij(6.57)とする。但し、n ̸= m なら En ̸= Em としたが、各 En に対して、 i = 1, . . . , Nn だけの縮重があっても良いことにした。
摂動後のハミルトニアンをH(g) = H0 + gV

(6.58)

H(g) |ψn (g)⟩ = En (g) |ψn (g)⟩(6.59)

として、その固有状態、固有値でとなるものを考える。ただし、g → 0 で En (g) → En であるが、|ψn (g)⟩ は g → 0 では |ψn,i ⟩ の

i に関するなんらかの線形結合になっている、としかわからない。そこで
lim |ψn (g)⟩ = ci |ψn,i ⟩

g→0(6.60)と書いたとして、まず ci を決めたい。

6.2.1

いい加減な議論

すぐに正当化するが、物理屋としては次のようにいい加減に考えるのが良い: まずは摂動前のエネルギーが En でないような状態は忘れて、|ψn,i ⟩, i = 1, . . . , Nn の Nn 個の状態のみで、「全系の状態空間を近似する」。そうすると、H0 は単に En かける単位行列で、V という演算子もVij := ⟨ψn,i | V |ψn,j ⟩(6.61)という Nn × Nn の行列に過ぎず、摂動後のハミルトニアンはH(g)ij := En δij + g ⟨ψn,i | V |ψn,j ⟩だから、式 (6.60) の展開係数 ci および摂動後のエネルギー En (g) は荒い近似では∑
H(g)ij cj = En (g)ci(6.62)(6.63)

jを解けば求まるはず。H0 の部分は単に単位行列だから、∑g
Vij cj = (En (g) − En )ci(6.64)

jと書いても良い。これは単に行列 Vij の固有値と固有ベクトルを求める問題そのものである。En (g)は荒い近似ではdet(H(g)ij − x) = 0(6.65)の解である。これを永年方程式という 28 。
28 名前は歴史的な理由で、天体力学における摂動の解析からくるのだと思う。英語では secular perturbation という。
Secular は普通の英文では (宗教的、の反対語としての) 世俗的、という意味で使われることのほうが多いと思うが、辞書によると、ラテン語の元の意味は世代、長い時間、という意味で、永遠じゃないから神様のものでもない、よって世俗的、という意味に変化したのだ、とか、いう話。

45

6.2.2ちゃんとした議論

さて、以上の考察を正当化しよう。そのため、展開を|ψn (g)⟩ = |ψn(0) ⟩ + g |ψn(1) ⟩ + g 2 |ψn(2) ⟩ + · · · ,(6.66)En (g) = En + gEn(1) + g 2 En(2) + · · ·(6.67)とする。この展開を (6.59) にいれて、両辺の g n 乗の項を比較すると、(En − H0 ) |ψn(0) ⟩ = 0,

(6.68a)(En − H0 ) |ψn(1) ⟩ = (V − En(1) ) |ψn(0) ⟩ ,(6.68b)(En − H0 ) |ψn(2) ⟩ = (V − En(1) ) |ψn(1) ⟩ − En(2) |ψn(0) ⟩ ,(6.68c)等々となる。
(0)

式 (6.68a) は、|ψn ⟩ が |ψn,i ⟩ の線形結合でかけるということ (6.60) そのものである:∑|ψn(0) ⟩ =ci |ψn,i ⟩ .

(6.69)i

式 (6.68b) に左から ⟨ψj | をかけて、⟨ψn,j | H0 = ⟨ψn,j | En であることを使うと

0 = ⟨ψn,j | (V − En(1) ) |ψn(0) ⟩ .
これに (6.60) をいれると、En(1) ci =∑(6.70)⟨ψn,i | V |ψn,j ⟩ cj .

(6.71)

jがわかった。これで、前節 (6.2.1) のいい加減な議論が正当化できた。
(1)

さて、行列 Vij := ⟨ψn,i | V |ψn,j ⟩ の固有値がすべて異なれば、Enがそのうちのひとつだとし(2)(1)て、さらに |ψn ⟩ やら、En を計算するのは、縮重のないばあいと同様、(6.68b), (6.68c) の左か

らいろいろな bra を掛けてやれば可能である。しかし、Vij の固有値にまだ縮重があれば、2 次の摂動においても、また摂動から生じる行列の対角化を行わないといけない。

6.2.3

高次の摂動

ここまでくると、一気に全次数の話を Brillouin-Wigner 式にやっても労力が変わらないので、そうしよう 29 。考えているのは、以前と同様、(H0 + gV ) |ψn (g)⟩ = En (g) |ψn (g)⟩(6.72)(En (g) − H0 ) |ψn (g)⟩ = gV |ψn (g)⟩(6.73)

である。

とも書きなおせる。
縮重のためにややこしくなるのは、H0 = En である状態が複数 |ψn,i ⟩ あるからなので、一般のケット |ϕ⟩ に対して、それの |ψn,i ⟩ の線形結合である部分 P |ϕ⟩ と、その残り (1 − P ) |ϕ⟩ に分割する操作を与えておこう:|ϕ⟩ = P |ϕ⟩ + (1 − P ) |ϕ⟩(6.74)

29 このあたりは、僕には、メシアの 16 章 8 節、16 章 17 節が判りやすかった。以下の議論はそれの焼き直し。しかし、ここの話はあとで使わないので、読み飛ばして良い。

46

ただし

P |ϕ⟩ =∑

|ψn,i ⟩ ⟨ψn,i |ϕ⟩ .

(6.75)i

簡単にわかるように、P 2 = P 。こういうのを、射影演算子という。
これから、|ψn (g)⟩ を高次まで求めるにあたって、|ψn (g)⟩ = P |ψn (g)⟩ + (1 − P ) |ψn (g)⟩(6.76)とわけて、右辺のそれぞれの項を決定しよう。
まず、第二項をみる。

∑(1 − P ) |ψn (g)⟩ =dm,j |ψm,j ⟩(6.77)

m̸=n,jと掛けるが、dm,j は、(6.73) の左から ⟨ψm,j | を掛ければ(En (g) − Em )dm,j = g ⟨ψm,j | V |ψn (g)⟩(6.78)(1 − P ) |ψn (g)⟩ = gRn (g)V |ψn (g)⟩(6.79)

によって定まるので、

ただし

Rn (g) =∑m̸=n,j|ψm,j ⟩

1
⟨ψm,j | .
En (g) − Em

(6.80)

だから、|ψn (g)⟩ および En (g) がある次数 O(g k ) まで求まれば、(1−P ) |ψn (g)⟩ は次の次数 O(g k+1 )まで求まる。
問題は第一項の P |ψn (g)⟩ であるが、(6.73) の両辺に P を作用させると、(En (g) − En )P |ψn (g)⟩ = gP V |ψn (g)⟩ .

(6.81)

まず、g の 0 次まででは、(6.73) の右辺は無視でき、En (g) = En だから、(En −H0 ) |ψn (g)⟩ = O(g)である。いいかえれば、|ψn (g)⟩ = P |ψn (g)⟩ + O(g).

(6.82)

これはあたりまえだが、以下のトリックで重要になる。

g の一次までこの式を計算したいとすると、右辺には既に g が一回あからさまにあらわれているので、右辺の |ψn (g)⟩ は 0 次までで良い。が、0 次までは (6.82) にあるように |ψn (g)⟩ = P |ψn (g)⟩であるので、g の一次までなら、(En (g) − En )(P |ψn (g)⟩) = gP V (P |ψn (g)⟩) + O(g 2 ).

(6.83)である。これは P |ψn (g)⟩ のみの式となった。よって、• En (g) − En は g の一次までは gP V P の固有値、• P |ψn (g)⟩ は g の 0 次までは P V P の固有ベクトルということを言っている。これは、 節 6.2.1、6.2.2 で見たことそのままである。
次数を一次あげるには、(6.81) の 右辺の |ψn (g)⟩ を P |ψn (g)⟩ + (1 − P ) |ψn (g)⟩ と書き、(6.79)を使うと、(En (g) − En )P |ψn (g)⟩ = gP V P |ψn (g)⟩ + g 2 P V Rn (g)V |ψn (g)⟩47(6.84)

となるが、両辺とも g 2 まで考えたければ、右辺第二項には既にあからさまに g 2 があるので、 その中の |ψn (g)⟩ 自体は 0 次まででよい。(6.82) をまた使うと、(En (g) − En )P |ψn (g)⟩ = gP (V + gV Rn (g)V )P |ψn (g)⟩ + O(g 2 )(6.85)となり、P |ψn (g)⟩ のみの式となった。よって、よって、• En (g) − En は g の 2 次までは gP (V + gV Rn (g)V )P の固有値、• P |ψn (g)⟩ は g の 1 次までは P (V + gV Rn (g)V )P の固有ベクトルということを言っている。式の形はややこしいが、P (V + gV Rn (g)V )P は実質 N × N 行列であることに注意。
もう一次あげると、• En (g) − En は g の 3 次までは gP (V + gV Rn (g)V + g 2 V Rn (g)V Rn (g)V )P の固有値、• P |ψn (g)⟩ は g の 2 次までは P (V + gV Rn (g)V + g 2 V Rn (g)V Rn (g)V )P の固有ベクトルということがわかった 30 。以下同様。
縮重していないときが簡単なのは、P |ψn (g)⟩ を全ての次数で |ψn ⟩ にとれたからである。

非常に簡単な例( )( )1
02 状態系 |↑⟩ =, |↓⟩ =
において、摂動前のハミルトニアンを H0 = cσz , 摂動ハミル01
トニアンを gV = gσx としよう。|c| ≫ |g| なら、H0 の固有値は ±c で縮重していないので、縮退

6.2.4のない場合の摂動論が使える。一方で、|c| ≪ |g| なら、摂動前の固有値はほぼ 0 で縮重している
ので、縮退している場合の摂動論を使わないといけない。
まず、|c| が充分大きいとして、g = 0 だと、固有値 +c の固有状態が |↑⟩ で、固有値 −c の固有状態が |↓⟩ である。エネルギーへの一次の摂動は (6.12) より ⟨↑| σx |↑⟩ = 0 となって、ゼロ、|↓⟩に対しても同様。状態への一次の摂動は、(6.16) より|↑⟩ → |↑⟩ +

g
|↓⟩ ,
2c

|↓⟩ → |↓⟩ −

g
|↑⟩ .
2c

(6.86)

エネルギーの 2 次の摂動は (6.17) より

±(c +

g2
+ ···)
2c(6.87)となる。
次に、c = 0 だとすると、摂動前は完全に縮退している。よって、単に摂動項 gV = gσx を対角化すればよい。固有ベクトルは |+⟩ ∝ |↑⟩ + |↓⟩, |−⟩ ∝ |↑⟩ − |↓⟩ で、固有値は±g である。
()
c g
勿論、この場合は、摂動論なんか使わずとも、二つの固有値はを対角化すれば求まっ
g −c√て、E = ± c2 + g 2 である。
30 この次数からはさらに微妙な点がある。gV R

n (g)V の Rn (g) 内の En (g) を一次まで展開する必要がある。En (g)−Enは 1 次までは gP V P の固有値 ϵa で与えられるのだった、ここで、a は異なる固有値を指すラベル。すると、各 ϵa ごとに、 Ma := gP (V + gV Rn (g)V + g 2 V Rn (g)V Rn (g)V )P は異なる行列である。Ma の固有値のなかで、1 次が ϵa で与えられるようなもののみが、意味のある解である。この点を修正して、ϵa 毎に異ならない N × N 行列を用いることもできるが、さらに準備が必要なので、興味のある人はメシアの 16 章 17 節を参照のこと。

48

まとめると、以下の図のようになる:!✁✂!!✄✂
!✄✂

!✁✂

"

#!
#$

!
$
!
!✁✂

!✁✂ !✄✂!✄✂(6.88)

c を徐々に変えながら、エネルギー固有値のグラフを書くと、摂動がなければ二つの線は交わるが、摂動があると二つの線は交わらない。このことを良く「固有値は反発する」という。また、系が基底状態にあるときに、c をゆっくり変えると、常に系は基底状態にあるので、c ≪ 0 から c ≫ 0 ま
でくると、ほとんど |↑⟩ であったところからほとんど |↓⟩ であるところまで連続的に状態が変化することになる。

6.2.5

例: Stark eﬀect

次に、シュタルク効果を考える 31 。これは、原子に強い電場をかけると、エネルギー準位が摂動をうけて縮退が一部解けるという現象。電子のスピンを無視した、水素原子の場合を考えると、摂動前のハミルトニアンは

H0 =

p⃗2
k
− ,
2m r

k = e2 4πϵ0(6.89)

で、 摂動項は電場を z 軸向きに E だけ掛けたとして

gV = gz,

g = eE

(6.90)とする。ここでは、e は電子の電荷の符号をとったもの、とする。
計算をする前に注意しておくと、z の絶対値がとても大きいところでは、gV は 1/r ポテンシャ
ルに勝ち、特に、z ≪ 0 の領域で全ポテンシャルがいくらでも負になる。よって、トンネル効果でそちらに抜けてしまって真の束縛状態はなくなってしまう。しかし、もとの電子の波動関数のサイズはボーア半径 aB = ℏ2 /(km) 程度で、その範囲内での gV の大きさが −k/r の大きさより十分
小さければ、まずは束縛状態のエネルギーが摂動をうけて、それがさらにトンネルする、という見方で考えて良い。

31 Stark はナチ時代には量子力学等「ユダヤ的物理学」を排斥して「ドイツ的物理学」を推す運動をした。ひどい話である。

49

主量子数 n = 2 の状態について

摂動前では 2s, 2px,y,z の 4 状態が縮重していた。よって、一次の摂動では、この 4 状態に摂動ハミルトニアン gV = eEz を制限した 4 × 4 行列を対角化すればよい。行列要素はeE ⟨2i|z|2j⟩ ,i, j = s, px , py , pz

(6.91)だ。まず、波動関数を思い出すと、(5.46) より⟨r, θ, ϕ|2s⟩ ∼ (2 −r −r/(2aB ))e,
aB⟨r, θ, ϕ|2py ⟩ ∼ ye−r/(2aB ) ,⟨r, θ, ϕ|2px ⟩ ∼ xe−r/(2aB ) ,(6.92)⟨r, θ, ϕ|2pz ⟩ ∼ ze−r/(2aB )(6.93)であった。非積分関数が奇関数か偶関数か考えると、ノンゼロになるのは (i, j) = (s, pz ) か (pz , s)のときだけで、計算すれば 32⟨2s|z|2pz ⟩ = −3aB(0である。対角化すべき行列は、|2s⟩, |2pz ⟩ に作用する−3aB
ででは、2px,y の 2 状態はエネルギーは−3aB
0(6.94))。これより、摂動の 1 次まk
8aB

(6.95)

E=−k− 3eEaB ,8aB(6.96)

E=−k+ 3eEaB ,8aB(6.97)

E=−のまま、|2s⟩ + |2pz ⟩ がエネルギーが最後に |2s⟩ − |2pz ⟩ がエネルギーがとなることがわかった 33 :!"! ✁!""'!$%"#!$&!"! !!""'!!"#!$%"#!$&"#!$'.

(6.98)

1s 状態について これは縮退はないので、一次の摂動は単に gV を 1s 状態で挟めばよい。1s 状
態は (5.46) より単に⟨r, θ, ϕ|1s⟩ ∼ e−r/aB(6.99)⟨1s| z |1s⟩ = 0(6.100)なので、よって一次の摂動はゼロ。
練習として、次の摂動を計算しよう。公式 (6.17) より、(2)

E1= −g 2∑ | ⟨ψ|z|1s⟩ |2ψ̸=1sEψ − E1(6.101)32 この節の波動関数で z および z 2 を挟んだ計算の詳細はホームページの Mathematica コード参照。
33 このオーダーまででは、2p と 2p は縮重したままだった。高い次数まで摂動を入れた場合、2p と 2p の縮重は解xyxy
けるか解けないか、考えてみよ。

50但し ψ は n, l, m でラベルされる束縛状態の基底で n ̸= 1 のものに加えて、E > 0 の連続的な非束縛状態の基底も全部渡る。だから、ほんとうは束縛状態の和と連続状態の積分である。これを厳密に評価するには、|1s⟩ への一次のずれを位置表示でシュレーディンガー方程式で決定すればよいのだが、いい加減に評価するやり方を学ぼう。
(2)

E1 = −g 2 X と書いて、X を評価する。まず、Eψ − E1 ≥ E2 − E1 = (3/8)k/aB だから、
0 < (Eψ − E1 )−1 ≤ (E2 − E1 )−1 に注意する。すると、
1
E2 − E1∑| ⟨ψ|z|1s⟩ |2 < X <ψ=2s,2px ,2py ,2pz∑
1
| ⟨ψ|z|1s⟩ |2E2 − E1(6.102)ψ̸=1sである。(6.102) の左辺を評価するには、x, y, z の反転に関して奇関数か偶関数か考えると、ノンゼロで効くのは 2pz だけ。きちんと評価すると、(6.102) の左辺 =1a3
218 a3| ⟨2pz |s|1s⟩ |2 = 11 B ∼ 1.5 B
E2 − E1
3 k
k(6.103)

一方で、(6.102) の右辺を評価するには、⟨1s|z|1s⟩ = 0 をつかって、ψ も和に入れると、(6.102) の右辺 =1E2 − E1∑| ⟨ψ|z|1s⟩ |2(6.104)

ψ:全ての基底21
z |1s⟩
E2 − E1
1
8 a3B
a3
=
⟨1s|z 2 |1s⟩ =∼ 2.6 B .
E2 − E1
3 k
k=(6.105)(6.106)

よって、1s のエネルギーは g 2 の 2 次までは

E=−

k
a3
k
E2 3
− (1.5 ∼ 2.6)g 2 B = −− (1.5 ∼ 2.6)
a
2aB
k
2aB
4πϵ0 B(6.107)なので、大体ボーア半径内の電場のエネルギーのオーダーだけずれる。係数は厳密にやると 9/4 =2.25 らしい。34

時間に依存する摂動

7

これまで、ハミルトニアン H0 が既に解けているとして、小さいパラメタ g と新たな項 V をもちいて摂動したハミルトニアン H0 + gV の性質を g の摂動で調べる方法をみてきた。つぎに、これから、摂動項が時間に依存する場合を考える。系に外部から電磁波をあてたりすると、電磁波は振動しているので、摂動項も時間的に変動するので、これも非常によくある設定である。

7.1

○○描像

この講義では摂動、非摂動を含めてこれまでハミルトニアンのエネルギー固有値を求めることば
かり考えてきたので、まずは量子力学における時間変化について復習しよう。

34 簡単な導出方法が判った人は、教えて下さい。

51

7.1.1

シュレーディンガー描像

シュレーディンガー方程式は∂|ψ(t)⟩ = H |ψ(t)⟩(7.1)∂tだった。ここで、ハミルトニアン H があらわに時間に依存する場合は右辺には H(t) と書かねばiℏならない。簡単のため、しばらく、H は時間に依存しないとする。
時刻 t における観測量 (位置、運動量等) の期待値は対応する演算子を A とし、ケットが確率 1に規格化されている ⟨ψ(t)|ψ(t)⟩ = 1 として⟨A⟩t := ⟨ψ(t)|A|ψ(t)⟩(7.2)

で与えられた。あたりまえだが、状態 |ψ(t)⟩ が時間発展し、演算子 A は不変である。これを通常
シュレーディンガー描像 (Schrödinger picture) という。

7.1.2

ハイゼンベルク描像

H が時間に依存しない場合、(7.1) はすぐに解けて、|ψ(t)⟩ = U (t) |ψ(0)⟩ ,U (t) = e−iHt/ℏ(7.3)

である。すると⟨ψ(t)| = ⟨ψ(0)| U (t)−1(7.4)

である。そこで、時間に依存する演算子 A(t) をA(t) = U (t)−1 AU (t)(7.5)

で定める。すると、時刻 t における観測量 A の期待値 (7.2) は、⟨A⟩t = ⟨ψ|A(t)|ψ⟩(7.6)とも書ける、但し |ψ⟩ := |ψ(0)⟩。この場合、状態 |ψ⟩ は時間発展しないで、演算子 A(t) が変化する。A(t) の満たす微分方程式は、(7.5) を時間微分して∂
iA(t) = [H, A(t)]
∂t
ℏ

(7.7)

となる。古典力学の解析力学では、ポアソン括弧 {· · · } を用いて∂A(t) = {H, A(t)}
∂t

(7.8)

i
[· · · ]ℏ(7.9)とかけたので、{· · · } ←→という対応があるのだった 35 。

このように、状態は変化せず、演算子がハミルトニアンとの交換子で時間発展する形式を、ハイゼンベルク描像 (Heisenberg picture) という。ハイゼンベルク描像とシュレーディンガー描像はどっちが正しい、というものではなくて、実験結果 ⟨A⟩t を説明する等価な形式である。
35 正準量子化はポアソン括弧を交換子で置き換える操作である、と、量子力学の歴史の初期では思われたので、そう書いてある教科書も多いが、一般に、古典観測量 f (x, p), g(x, p) に対して、演算子 fˆ, ĝ を線形に対応させて、[fˆ, ĝ] = −iℏ{f, g}とすることは出来ないことがその後すぐわかっている。 [fˆ, ĝ] = −iℏ{f, g} + O(ℏ2 ) とすることは可能である。

52

7.1.3相互作用描像H = H0 + gV と、全ハミルトニアンが摂動前の H0 と摂動 gV で与えられている場合は、
U0 (t) = e−iH0 t/ℏ として、
A(t)I = U0 (t)−1 AU0 (t) = eiH0 t/ℏ Ae−iH0 t/ℏ ,(7.10)|ψ(t)⟩I = U0 (t)−1 |ψ(t)⟩ = eiH0 t/ℏ |ψ(t)⟩(7.11)と定義することが便利なことも多い。これを相互作用描像 (interaction picture) とよぶ。下付き添
字の I はこれを明示するため。

H0 の固有状態を |n⟩, エネルギー固有値を En と書く。cn (t) = ⟨n|ψ(t)⟩ をシュレーディンガー
表示における状態 |ψ(t)⟩ の |n⟩ 成分、同様に cn (t)I = ⟨n|ψ(t)⟩I を相互作用表示における状態 |ψ(t)⟩の |n⟩ 成分とすると、単に
cn (t)I = eiEn t/ℏ cn (t)(7.12)である。だから、摂動前のハミルトニアンの固有状態 |n⟩ にある確率 Pn は、シュレーディンガー
表示であれ相互作用表示であれ、成分をとって絶対値の二乗をとったもの

Pn = |cn (t)|2 = |cn (t)I |2(7.13)

である。
もっと一般に、時刻 t における観測量 A の期待値 (7.2) はあいかわらず⟨A⟩t = ⟨ψ(t)|A|ψ(t)⟩ = I ⟨ψ(t)|A(t)I |ψ(t)⟩I .

(7.14)

このとき、A(t)I は (7.7) で H を H0 で変えたものを満たす。一方、|ψ(t)⟩I の時間発展は、|ψ(t)⟩I = eiH0 t/ℏ e−i(H0 +gV )t/ℏ |ψ(0)⟩(7.15)

を微分して、iℏ∂|ψ(t)⟩I = eiH0 t/ℏ gV e−i(H0 +gV )t/ℏ |ψ(0)⟩∂t= eiH0 t/ℏ gV |ψ(t)⟩=e

iH0 t/ℏgV e−iH0 t/ℏ|ψ(t)⟩I= gV (t)I |ψ(t)⟩I(7.16)(7.17)(7.18)(7.19)となる。波動関数への、摂動による効果だけを取り出していることになっている。
これから主に H = H0 + gV (t) となって、摂動が陽に時間に依存する場合を扱うが、その場合は、同様の考察により、(7.19) においてV (t)I := eiH0 t/ℏ V (t)e−iH0 t/ℏ(7.20)

を使えば良いことがわかる。

7.2

時間依存する二状態系

時間依存する摂動を考える前に、時間依存する系で厳密にとける場合をやっておこう。簡単な系
として、|↑⟩, |↓⟩ よりなる二状態系を考える。摂動前のハミルトニアンは
(
)
E0 0
H0 =
0 0

53

(7.21)

であるとし、時間に依存する摂動は(
gV (t) = g

0

e−iωt

eiωt

0

)
(7.22)

で与えられるとしよう。相互作用表示にうつるため gV (t)I を計算すると、
(
)
(
)
0
ei(−ω+ω0 )t0e−i∆ωtgV (t)I = g i(ω−ω )t= g i∆ωt0e0e0(7.23)

ただし E0 = ℏω0 , ∆ω = ω − ω0 と書いた。

|ψ(t)⟩I = a(t) |↑⟩ + b(t) |↓⟩ として、式 (7.19) は()(
0∂ a(t)iℏ= g i∆ωt∂t b(t)eとなったが、さらに

(

とすると

∂
iℏ
∂t

(

) (
a(t)
ei∆ωt/2
=
b(t)
0

)
a(t)
b(t)

[

∆ω
= −ℏ
2

e−i∆ωt0)()(

0e−i∆ωt/2

(
1

0

)

0

−1

(
+g

となって、これはすぐにとける。結局、
(
) (
)[
(
a(t)
e−i∆ωt/20∆ω/2=
cos(Ωt) ++i∆ωt/2
b(t)
0
e
−g/ℏ

a(t)
b(t)

)
(7.24)

)
a(t)
b(t)

0 1

(7.25)

)] (

1 0

−g/ℏ

)
a(t)

(7.26)

b(t)
)

−∆ω/2

i sin(Ωt)
Ω

](

)
a(0)
b(0)

(7.27)

ただし Ω2 = (g/ℏ)2 + (∆ω/2)2 .
まず、g = 0 なら、ハイゼンベルク表示そのものだから、a(t) = a(0), b(t) = b(0) となっている
はずなのを確認できる。さて、時刻 0 で下向き a(0) = 0, b(0) = 1 とすると、時刻 t で上向きになっている確率は|a(t)|2 =((g/ℏ)2(g/ℏ)2 + (∆ω/2)2

sin

√

)2
(g/ℏ)2 + (∆ω/2)2 t(7.28)である。
これより、上向きになる振幅が大きくなるのは、 ∆ω = ω − ω0が小さくなるときで、∆ω = 0

なら、その場合は g がいくら小さくても、時間をかけて、|a(t)| = 1 になることがわかる。エネ
2

ルギー準位の差の振動数と、外力の振動数が合っていると、応答が大きいということ。

7.3

時間依存する摂動

7.3.1

一般的な公式

さて、時間依存性を摂動的に扱おう。解くべき方程式は (7.19) である、重要なのでもう一度書
くと

iℏ

∂
|ψ(t)⟩I = gV (t)I |ψ(t)⟩I ,
∂t

但し

54

V (t)I = eiH0 t/ℏ V (t)e−iH0 t/ℏ .

(7.29)

この方程式は、積分形で書くと∫ tg|ψ(t)⟩I = |ψ(0)⟩I +iℏ

0dt′ V (t′ )I |ψ(t′ )⟩I(7.30)である。左辺を右辺に代入すると、|ψ(t)⟩I = |ψ(0)⟩I +

g
iℏ

∫ t
0

dt′ V (t′ )I |ψ(0)⟩I
g2
+
(iℏ)2

∫ t′ =t′∫ t′′ =t′

dt
t′ =0

t′′ =0dt′′ V (t′ )I V (t′′ )I |ψ(t′′ )⟩I(7.31)

よって g 2 までで良ければ
(
)
′
∫ t
∫ t′′ =t′
2 ∫ t =tgg
|ψ(t)⟩I = 1 +dt′ V (t′ )I +dt′dt′′ V (t′ )I V (t′′ )I |ψ(0)⟩I +O(g 3 ) (7.32)iℏ 0(iℏ)2 t′ =0
t′′ =0を得た。

7.3.2

一定の摂動による状態の変化

もうすこし具体的に、全ハミルトニアンが H = H0 + gV で、かつ時刻 0 で系が H0 の固有状
態 |n⟩ にあったとき、時刻 t で系が |m⟩ ただし m ̸= n にある確率振幅 cn→m (t)I を考える。上式(7.32) より g の 1 次まででcn→m (t)I =g⟨m|V |n⟩
iℏ

∫ t

′

ei(Em −En )t /ℏ dt′ =0g ⟨m|V |n⟩(1 − ei(Em −En )t/ℏ ).
Em − En

(7.33)()2(Em − En )t
2 sin
.
2ℏ

(7.34)

平方するとPn→m = |cn→m (t)I |2 =|g ⟨m|V |n⟩ |2|Em − En |2

これが大きな値をとるのは Em ∼ En のときだけで、Em = En のときは

→ |g ⟨m|V |n⟩ |2

t2
(2ℏ)2

(7.35)となる。一次の摂動では確率振幅が時間の 1 次で増えるので、はじめのうちは確率は時間の 2 次で増える。

E = Em = En のあたりに沢山固有状態があり、エネルギー間隔 dE あたり状態が ρ(E)dE だ
けあるとすると、∫Pn→m 近辺 = Pn→m ρ(Em )dEm∫
sin(Em − En )t/(2ℏ) sin(Em − En )t/(2ℏ)= |g ⟨m|V |n⟩ |2 4
ρ(Em )dEm
Em − EnEm − En

(7.36)(7.37)

であるが、t が十分大きいとして 36

lim

t→∞

sin xt= πδ(x)x36 証明は 7.3.7 節をみよ。

55(7.38)

を (7.37) 内のひとつの sin に対して使うと∫sin(Em − En )t/(2ℏ)
Pn→m 近辺 = |g ⟨m|V |n⟩ |2 4πδ(Em − En )ρ(Em )dEm
Em − En2π= |g ⟨m|V |n⟩ |2 ρ(Em )tℏ(7.39)(7.40)

ただし Em = En に限られる。
これは t の一次である 37 。これより、Em ∼ En 近辺の状態に遷移していく時間あたりの確率は

Γn→m 近辺 = |g ⟨m|V |n⟩ |22π
ρ(Em )ℏ(7.41)

と判った。

7.3.3

周期的な摂動による状態の変化

次に、時間的に振動する摂動を加えた場合を考えよう。全ハミルトニアンは

H(t) = H0 + g(eiωt V + e−iωt V † )(7.42)

で、時刻 t = 0 では先ほどと同じように H0 の固有状態 |n⟩ にあったとする。時刻 t において H0の固有状態 |m⟩ にある確率はいくつか?
確率振幅は (7.32) より以前と同様計算できて、

cn→m (t)I =g ⟨m|V |n⟩g ⟨m|V † |n⟩(1−ei(Em −En +ℏω)t/ℏ )+(1−ei(Em −En −ℏω)t/ℏ ) (7.43)
Em − En + ℏωEm − En − ℏωである。t が適度に長いと、第一項は δ(Em − En + ℏω) を含み、第二項は δ(Em − En − ℏω) を含む。

Em ∼ En + ℏω となる側に注目して、E ∼ Em 近辺に H0 の固有状態が dE あたり ρ(E)dE だ
けあるとする。計算は前回とほとんど同じで、結局Pn→m 近辺 = |g ⟨m|V † |n⟩ |22π
ρ(Em )tℏ(7.44)

2π
ρ(Em )ℏ(7.45)となり、遷移率は

Γn→m 近辺 = |g ⟨m|V † |n⟩ |2とわかった、但し Em ∼ En + ℏω 。Em ∼ En − ℏω となる場合も、同様で、

Γn→m 近辺 = |g ⟨m|V |n⟩ |22π
ρ(Em )ℏともとまる。
式 (7.41), (7.45), (7.46) はフェルミの黄金律と呼ばれ、両辺を∫(7.46)· · · ρ(E)dE することを前提にして、(7.45) ならば

Γn→m 近辺 = |g ⟨m|V † |n⟩ |22π
δ(Em − En − ℏω)ℏ(7.47)と書かれることも多い。
37 この計算は極限のとりかたが微妙であることに注意。(7.38) を使うために、t は「十分おおきく」ないといけないが、ほんとうに +∞ にしてしまうと、確率である (7.40) が 1 を越えてしまってナンセンスである。

56

また、これまで、|m⟩ の近辺にエネルギー固有状態が沢山あることを仮定して議論したが、|m⟩も孤立した状態であるとしても、しばしばこの公式は使うことができる。というのは、逆に (7.42)の摂動において、ω が厳密に一定であるというのも実際の実験では不可能なことである。周波数 ωの古典的な確率分布関数が ρ(ω)dω であるとすると、(7.47) の右辺にこれを掛けて積分して、遷移率がΓn→m = |g ⟨m|V † |n⟩ |22π
Em − En
)
ρ(ω =
ℏ2
ℏ

(7.48)

で与えられることになる。

7.3.4

光電効果

結局、これは、外部から「エネルギー量子」 ℏω を吸ったり吐いたりして、エネルギーが En から Em の状態へ遷移する過程をあらわしている。例えば、光電効果を非常にいいかげんに扱ってみよう。電子は量子力学的に、電磁波は古典的に扱う。電磁波と電子との相互作用項はベクトル⃗⃗ t) · p⃗/m であるから、A(x, t) が周波数 e±iωt の成分を含むと、ポテンシャルを A(x)として eA(x,(7.42) の一例になっていることがわかる。
はじめは電子は束縛状態 |0⟩、E0 < 0 にあるとする。さらに、出て行くエネルギーが E =ℏω + E0 > 0 と正であって、連続状態になるとする。連続状態では、電子の波動関数も平面波で近似できるとすると、⃗⟨⃗x|⃗k⟩ = e−ik·x(7.49)であって、E = ℏ2⃗k 2 /(2m) である。
これまでの議論では、状態はいつも確率が 1 に規格化できるとしていたので、非常に大きな一
辺 L の箱に全系が入っているとすると、確率 1 に規格化された状態は⃗⟨⃗x|⃗k⟩L = L−3/2 e−ik·x(7.50)

であり、また、nx,y,z は整数として⃗k = (kx , ky , kz ),kx,y,z =2πnx,y,zL(7.51)となっている。よって、状態密度はL3ρ(⃗k)dkx dky dkz =dkx dky dkz
(2π)3
両辺を
である。すると、
黄金律の式 (7.47) で行った先の状態として |⃗k⟩L をつかって、すると、(7.52)∫· · · ρ(⃗k)dkx dky dkz∫

2π ℏ2⃗k 2
L3|g L ⟨⃗k|V † |0⟩|2 δ(− (E0 + ℏω))dkx dky dkz
ℏ
2m
(2π)3
∫
2π ℏ2⃗k 2
dkx dky dkz= |g ⟨⃗k|V † |0⟩ |2 δ(− (E0 + ℏω))
.
ℏ
2m
(2π)3

Γ=

(7.53)(7.54)

この段階で、大きな箱のサイズ L はめでたく式から消えた。次に、波数空間を極座標に変えて動径方向について積分すると∫

k 2 dkdΩ2π ℏ2 k 2
δ(− (E0 + ℏω))
ℏ
2m
(2π)3
√
∫
2π m 2m(E0 + ℏω) dΩ= |g ⟨⃗k|V † |0⟩ |2
.
ℏ ℏ2
ℏ
(2π)3

Γ=

|g ⟨⃗k|V † |0⟩ |257(7.55)(7.56)

この最後の結果は

dΓ
1
2π m
=
|g ⟨⃗k|V † |0⟩ |2
dΩ
(2π)3
ℏ ℏ2

√
2m(E0 + ℏω)ℏ(7.57)と書くこともできる。これは、立体角 dΩ へ、単位時間あたり、出てくる電子の確率をあらわして
いる。

7.3.5

光の吸収、放出

また、当てる光の各周波数 ω が厳密に一定ではないばあいを考えよう。周波数の分布関数を

ρ(ω)dω とする。束縛状態 |0⟩ と |1⟩ がそれぞれエネルギー固有値 E0 , E1 だったとする。さらに、
E1 > E0 とする。
これまでの考察から |0⟩ から |1⟩ への遷移率は
Γ0→1 = |g ⟨1|V † |0⟩ |2

2π 1
E1 − E0
ρ(ω =
)
ℏ ℏ
ℏ

(7.58)⃗ · p⃗/m だったので、上式は I(ω) ∼ |A|⃗ 2 ρ(ω) を含む。ただし、である。相互作用項は gV ∼ eA
I(ω) は光のエネルギー強度の周波数 ω の成分。すると、光の吸収にともなう遷移率は、ちょうどE1 − E0 = ℏω となる周波数成分の強度に比例する、という、すこぶる当然の結果がえられた。キチンと行列要素 ⟨1|V † |0⟩ を計算すれば、比例係数まで出る。また、逆に |1⟩ から |0⟩ への遷移率は
Γinduced= |g ⟨0|V |1⟩ |2
1→0

2π 1
E1 − E0
ρ(ω =
)
ℏ ℏ
ℏ

(7.59)となるが、これは ⟨1|V † |0⟩ = ⟨0|V |1⟩ であるので、上の Γ0→1 と全く同じで、さらに、周波数 ω
での光の強度 I(ω) に比例する。これを、光の誘導放出という。
ここまで、光は古典的にあつかったので、今まで学んだことだけでは真面目にはここまでしか計算できないが、光をあてないでも、|1⟩ の状態から自発的に ℏω = E1 − E0 の光を放出して |0⟩ に落ちる過程がないといけないことを Einstein が (ハイゼンベルクの行列力学、シュレーディンガー方程式以前に!) 指摘した。38 簡単のため、= BI(ω)Γ0→1 = Γinduced
1→0(7.60)と書こう。(I(ω) は、単位体積あたり単位各周波数あたりのエネルギー密度。) 2 状態系 |0⟩, |1⟩が、黒体輻射もふくめて、温度 T で熱平衡にあるとする。
状態 |0⟩, |1⟩ にいる確率を p0 , p1 とすると、p1 /p0 = e−(E1 −E0 )/(kT ) である。0 から 1 へ単
位時間あたりに吸収で動く確率は Γ0→1 p0 , 1 から 0 へ単位時間あたりに誘導放射で動く確率は

Γinduced
p1 だけれど、Γ0→1 = Γinduced
で p0 > p1 なので、これでは釣り合いようがない。
1→0
1→0
このためには、1 から 0 へ孔子をひとつ出して自発的に動く確率 A = Γspontaneousが1→0(Γspontaneous+ Γinduced)p1 = Γ0→1 p0
1→0
1→0(7.61)となるようにないといけない。よって、

A = Γspontaneous= BIT (ω)(eℏω/(kT )−1 − 1)
1→0

(7.62)

38 以下の説明は、いろんなところに載っていると思うが、僕は長らく忘れていて、最近思い出すには Konishi-Paﬀuti“Quantum Mechanics” の 9.6 および Schwartz “Quantum Field Theory and the Standard Model” 1.2 を参考にした。

58ただし IT (ω) は温度 T における輻射の強度。温度 T の熱平衡状態では、輻射の強度はプランク
分布から計算できてIT (ω) =

ℏω 3
1
3
2
ℏω/(kT)−1 − 1c π e(7.63)

c3 π 2 Bℏω 3(7.64)であるので、A = Γspontaneous=
1→0となった。統計力学を用いた考察をしたが、最終結果に T や k 等は出てこないことに注意。これを自発放射という。これを量子力学的にきちんと扱うには、Maxwell 場を量子化しないといけない。これは、4 年生および院生の共通講義の場の量子論 I でやりかたをならうはず。

7.3.6

エネルギーの虚部としての崩壊率

さて、ここまでは摂動の一次までしか使わなかった。摂動の 2 次について考えてみることにしよう。時間に依存する摂動の一般式 (7.32) から出発する。時刻 t = 0 で H0 の固有ベクトル |n⟩ に居る、すなわち |ψ(0)⟩ = |n⟩ として、cn→n (t)I := ⟨n|ψ(t)⟩I を考える。
簡単のため、摂動 V は時刻 t = 0 以降は時間に依存せず、摂動の 2 次にのみ着目するため、特に ⟨n|V |n⟩ = 0 である場合を考えよう。すると、(7.32) より、

cn→n (t) = 1 +

g2
⟨n|
(iℏ)2

∫ t′ =tdt′∫ t′′ =t′t′ =0t′′ =0dt′′ V (t′ )I V (t′′ )I |ψ(0)⟩ + O(g 3 ).

(7.65)

t で一度微分すると∫ t′ =tg2
dcn→n (t)I =⟨n|dt′ V (t)I V (t′ )I |n⟩ + O(g 3 )
dt
(iℏ)2
t′ =0
g2 ∑
1 − ei(Em −En )t/ℏ=
⟨n|V |m⟩⟨m|V |n⟩ + O(g 3 )iℏ m
Em − En∫g2
1 − ei(Em −En )t/ℏ=
dEm ρ(Em )| ⟨n|V |m⟩ |2+ O(g 3 ).
iℏEm − En
ここで

1 − eitx
1→ P − iπδ(x)
t→∞
x
x
lim

を使うと 39 、ある程度時間がたつと∫
1d2
dEm ρ(Em ) ⟨n|V |m⟩ P⟨m|V |n⟩iℏ cn→n (t)I = gdt
E − En∫ m− ig 2 π dEm ρ(Em ) ⟨n|V |m⟩ ⟨m|V |n⟩ δ(Em − En ).

(7.66)(7.67)(7.68)(7.69)(7.70)となることがわかる。
∫∑
右辺一行目は、 dEm ρ(Em ) · · · =m を思い出すと、時間依存しない場合のエネルギーの 2
次の摂動の公式 (6.17) と同じである。すなわち、H = H0 + gV のもとでのエネルギーが E =
(0)

(1)

(2)

En + gEn + g 2 En + · · · とすると、時刻 t = 0 で |n⟩ だった状態は、時刻 t では
(0)

(1)

2

(2)

|ψ(t)⟩ = eEt/(iℏ) |n⟩ ∼ eEn t/(iℏ) e(gEn +g En +··· )t/(iℏ) |n⟩
39 ここで P はコーシーの主値積分。説明および証明は 7.3.7 節をみよ。

59(7.71)

となる。相互作用表示ではよって
(1)

2

(2)

|ψ(t)⟩I ∼ e(gEn +g En +··· )t/(iℏ) |n⟩(7.72)となるので、両辺に ⟨n| をかけて、
(1)

2

(2)

cn→n (t)I ∼ e(gEn +g En +··· )t/(iℏ)(7.73)(1)となる。この小節では簡単のため ⟨n|V |n⟩ = En = 0 としたので、これの t の 1 次までを展開すると

dcn→n (t)I = g 2 En(2) + O(g 3 )dt(7.74)となり、(7.70) が出ていることになる、が、(7.70) の右辺第二項の虚部はどういうことか?
一般に、エネルギー「固有値 」が E − iℏΓ/2 であるとすると、固有状態の時間依存性は

cn (t) ∼ e(E−iℏΓ/2)t/(iℏ)(7.75)|cn (t)|2 ∼ e−Γt(7.76)と振舞うので、確率はと振舞う、すなわち、崩壊率 Γ で減ることがわかる。
というわけで、(7.70) の第二項は∫2−ig 2 π dEm ρ(Em ) ⟨n|V |m⟩ ⟨m|V |n⟩ δ(Em − En ) = −ig 2 πρ(Em )| ⟨m|V |n⟩ |より、崩壊率Γ=

2π
2ρ(Em )| ⟨m|V |n⟩ |ℏ(7.77)(7.78)をあらわしていることがわかるが、これは、摂動の一次で求めた Fermi の黄金律 (7.41) そのものだった。
一般に、時間に依存する摂動の行き先の確率振幅の 1 次までの計算を 2 乗したものは、行き先の確率の増え方であるから、それが、摂動の出る元の状態の確率振幅の 2 次での減り方とつり合っていないといけない。これを確認したわけである。

7.3.7

極限操作の詳細上節で極限の公式 (7.38) および (7.69) を使った。これについて説明をしておく。まず、(7.38)
はsin xt= πδ(x)t→∞xlim(7.79)だった。これは、両辺を何か素性のよい関数 f (x) に掛けて積分した場合になりたつ式である。
証明は以下のとおり。

∫ ∞
lim

t→∞

sin xtf (x)dx = πf (0)x−∞を示せばよい。そこで、左辺で x = y/t と変数変換すると、
∫ ∞
∫ ∞
sin y
sin y
t→∞
f (y/t)dy −→f (0)dy = πf (0)
y
−∞
−∞ y

60

(7.80)(7.81)

ただしおしまいに

∫ ∞

sin y
dy = π−∞ y(7.82)を使った。
このような、掛けて積分してなりたつ際の等式をシュワルツの意味での超関数 (Schwarz’ distri-bution) としての等式という。
次に、(7.69) を考えよう、示したい式は

1
1 − eitx→ P − iπδ(x)
t→∞
x
x
lim

である。ここで P x1 はコーシーの主値積分をあらわす、すなわち(∫ −ϵ ∫ +∞ )∫1
1
f (x)dx.
P f (x)dx := lim
+
ϵ→0
x
x
−∞
ϵ

(7.83)(7.84)

証明自体は、虚部と実部に分けるのがよい。虚部はまさに (7.79) そのもの。実部は

lim

t→∞

1 − cos xt
1
=P
x
x

(7.85)を示すことになる。そのため、まずシュワルツ超関数の意味で

lim eitx = 0(7.86)t→+∞である証明を思い出しておくと良い: f (x) が x → ±∞ で十分早くゼロになるとすると、一度部分
積分して、

∫ ∞
e

itx

−∞

だが

|

∫ ∞

f (x)dx = −(it)itx ′f (x)dx| < |

e
−∞

よって

|

∫ ∞

−1

∫ ∞

eitx f ′ (x)dx(7.87)f ′ (x)dx| =: C

(7.88)−∞∫ ∞−∞eitx f (x)dx| < C/t(7.89)−∞

より t → ∞ では → 0 となる。
さて、(7.85) を示すため、∫ ∞I=

1 − cos tx
f (x)dxx−∞を考える。x ∼ 0 では (1 − cos tx)/x ∼ t2 x/2 であるので、
(∫
∫ ∞ )
−1/t
1 − cos tx−1
f (x)dx
I = O(t ) +
+
x
−∞
+1/t
(∫
(∫
∫ ∞ )
∫ ∞ )
−1/t
−1/t
1
cos tx−1= O(t ) ++f (x)dx ++f (x)dx
x
x
−∞
+1/t
−∞
+1/t
である。第三項は、部分積分すると
(∫
(∫
(
)′
∫ ∞ )
∫ ∞ )
−1/t
−1/t
cos tx
1f (x)+f (x)dx = −+sin tx
dx
x
t
x
−∞
+1/t
−∞
+1/t
[
]x=1/tsin tx f (x)+ −tx x=−1/t

61(7.90)(7.91)(7.92)(7.93)

となるが、第一項は O(t−1 ) であり、第二項も= sin 1(f (t−1 ) − f (−t−1 )) = O(t−1 )である。まとめると、t → ∞ では(∫

I = lim

t→∞

∫ ∞ )

−1/t

+
−∞

+1/t

1
f (x)dxx(7.94)(7.95)であることがわかった。これが示したいことだった。

トンネル効果と WKB 近似

8

この節では、トンネル効果を通じて Wentzel-Kramers-Brillouin 近似法の基礎を学ぶ。これは、ℏ が系の典型的な作用 (長さ掛ける運動量、もしくは時間掛けるエネルギー) より小さい場合、その比を微少量として展開する近似法である。

8.1

トンネル確率のいい加減な導出

一次元系で、エネルギー E の波/粒子が左から右に動いている。ポテンシャル V (x) は充分左、
充分右では 0 だが、x ∼ 0 あたりに山があるとする。山の最大値 Vmax > E であると、古典的粒
子は山を越えることができないが、量子力学的粒子は波動関数が山にしみ込んで向こうがわに抜けられる。
簡単のため、V (x) は 0 < x < L においてのみ V (x) = V > E > 0 とする。このときのトンネル確率は、先学期の量子力学 I で真面目に解いた。とてもいい加減には、0 < x < L においてシュ√レーディンガー方程式を解くと、ψ(x) = e±κx ただし κ = 2m(V − E)/ℏ となる。左から来て、
ポテンシャルの山に当たると、指数関数的に減るほうの波動関数になるはずであるから、± は −を選ぶと、|ψ(L)/ψ(0)| = e−κL となった。よって、トンネル確率 P は確率振幅を 2 乗して√Ptunnel ∼ e−2κL = e−2 2m(V −E)L/ℏ(8.1)となる。 先学期の真面目な計算を参照すると、V ≫ E で L が充分大きい場合は正しくは√E
Ptunnel ∼ 4 e−2 2m(V −E)L/ℏ(8.2)
Vとなるので、以上のいい加減な考察もそれほど悪くない。前の E/V よりも、指数関数による減衰のほうが強く働くので、主要部はわかったといってもよい。
次に、ポテンシャルの山の形が滑らかでもっと一般的な形をしている場合を考える。a < x < bの間で V (x) > E だとする。このときのトンネル確率はいくつか? シュレーディンガー方程式はℏ2 ∂ 2
ψ(x) = (V (x) − E)ψ(x)2m ∂x2(8.3)

ψ(x) = e−S(x) ,(8.4)

である。上の計算にならって、

62

S ′ (x) = κ(x)

とおいて、κ(x) の x 微分は小さいと近似すると、ℏ2 κ(x)2 ∼ 2m(V (x) − E)
すなわちS ′ (x) = κ(x) = ℏ−1

√

(8.5)

2m(V (x) − E)

(8.6)

を得る。これより、

( ∫
)
)
( ∫
b
b √
ψ(b)
1
= exp −
2m(V (x) − E)dx .
κ(x)dx = exp −
ψ(a)
a
a ℏ

(8.7)

これを 2 乗して、トンネル確率は(2
Ptunnel ∼ exp −
ℏ

∫ b√

)
2m(V (x) − E)dx .

(8.8)

a

以下、この節では、この結果をもうすこし真面目に導出することに使う 40 。

8.2

WKB 展開上のいい加減な議論では、ψ(x) ∼ exp(ℏ−1 (何か)) だったので、一般にiψ(x) = exp( S(x))
ℏ
( )2
ℏ
ℏ
i
S3 (x) + · · · )= exp( S0 (x) + S1 (x) + S2 (x) +
ℏ
i
i

(8.9)
(8.10)と書いてシュレーディンガー方程式ℏ2 ∂ 2
ψ(x) = (E − V (x))ψ(x)2m ∂x2(8.11)S ′ (x)2 − iℏS ′′ (x) − 2m(E − V (x)) = 0,(8.12)−を解こう。(8.9) を代入すると(8.10) を使って ℏ の同じ冪を比較すると
S0′ (x)2 = 2m(E − V (X)),
S0′ (x)S1′ (x) + S1′ (x)S0′ (x) = S0′′ (x),S0′ (x)S2′ (x) + S1′ (x)S1′ (x) + S2′ (x)S0′ (x) = S1′′ (x), . . .

(8.13)(8.14)(8.15)となる。まず、(8.13) より、√
S0′ (x) = ± 2m(E − V (X)) =: ±p(x)(8.16)

40 以下の議論は通常物理の教科書に載っているもので、確かにもう少し真面目にではあるが、数学者が満足するほど厳密にするわけではないので、ここまでの感覚的な議論に比べどの程度価値があるかは難しいところだと僕は思う。きちんとした数学的議論は例えば河合・竹井「特異摂動の代数解析学」(岩波) を参照。物理的な背景で、もっと近年の進展まで含んだ議論は首藤「古典と量子の間」(岩波) をみよ。後者はこのツイートで教えて貰った。

63

この p(x) は古典的にエネルギー保存を用いて計算した運動量である。ここで ± の符号をひとつ決める。以下の式を煩雑にしないため、 + を取ったとすると、(8.14) より

S1′ (x) = p(x)′ /p(x)/2,(8.17)

つぎに S2′ (x) が (8.15) が決まり、と逐次的に Sn′ (x) が決定できる。

Sn′ (x) から Sn (x) を決めるには積分定数 cn が各 n について必要だが、cn は波動関数 ψ には(8.10) から exp(ic0 /ℏ + c1 + ℏc2 /i + · · · ) に入るので、定数倍を変えるだけで、物理を変えない。
そこで、以下 cn は気にしないで良い。
S0 , S1 まで取って波動関数 ψ(x) を書こう。(8.17) は積分出来て、S1 (x) = (1/2) log p(x) であ
るから、
( ∫ x
)
(
)
∫
c
i
i x
c′
ψ(x) = √exp
exp −p(x)dx) + √p(x)dx)(8.18)
ℏ x0
ℏ x0
p(x)
p(x)
となることがわかった。41 E < V (x) では、p(x) は実なので、複素共役な二つの振動解がある。

E > V (x) では、p(x) は虚なので、指数関数的に増大する解と減少する解がある。
この近似がよいためには|S0′ (x)| ≫ ℏ|S1′ (x)| ≫ ℏ2 |S2′ (x)| ≫ · · ·(8.19)

p(x)2 ≫ ℏ|p(x)′ |(8.20)が必要。ひとつめの不等式はを意味するので、p(x)2 が符号を変えるところ、すなわち E ∼ V (x) になるあたりでは、この近似がつかえないことがわかる。

8.3

接続公式

x = a で E = V (x) となるとする。そこで、x ∼ a で V (x) = E + V ′ (a)(x − a) と近似する。必要なら x の向きを変えて、V ′ (a) > 0 と取っておく。シュレーディンガー方程式は()ℏ2 ∂ 2′−+ V (a)(x − a) ψ(x) = 02m ∂x2(8.21)である。

y = (2mV ′ (a)/ℏ2 )1/3 (x − a)(8.22)∂2− y)f (y) = 0∂y 2(8.23)と変数変換すると、(
41 ちなみに、S(x) = S

even (x) + ℏSodd (x)/i ただし

Seven = S0 +

( )2
( )4
ℏ
ℏ
S2 +
S4 · · · ,iiSodd = S1 +

( )2
( )4
ℏ
ℏ
S3 +
S5 · · ·
i
i

′
′′
′
と書くと、一般に (8.14), (8.15) およびそれらの一般の Sn への拡張から Sodd(x) = Seven(x)/Seven(x)/2 が示せるの
1′
で、Sodd (x) = 2 log Seven (x) としてよい。すると、(8.18) の拡張として、
)
)
( ∫ x
(
∫
c
i
c′
i x ′
′
ψ(x) = √Seven(x)dx) + √Seven (x)dx)
exp
exp −
′
′
ℏ x0
ℏ x0
Seven
(x)
Seven
(x)

と書ける。

64

という微分方程式になる。これは エアリ (Airy) の微分方程式といって、いろんなところに出てくる。2 階微分方程式なので、基本解がふたつある。これまでの解析より、y → +∞ では指数関数
的にふるまい、y → −∞ では振動する。y → +∞ で 指数関数的に減少するものを Ai(y), 増大するものを Bi(y) と書く。

(8.18) に至った計算をナイーブにエアリの微分方程式 (8.23) に使うと、y > 0 では
∫ y
1
1
2
f (y) ∼ 1/4 exp(±
y 1/2 dy) = 1/4 exp(± y 3/2 ),3yy0y < 0 ではf (y) ∼1
exp(±i|y|1/4∫ y|y|1/2 dy) =021
exp(±i |y|3/2 ),
1/4
3
|y|

(8.24)(8.25)

数学の本を参照すると 42112π −∞←y12
y→∞ 1 1√cos( |y|3/2 − ) ←−−−−− Ai(y) −−−→ √ 1/4 exp(− y 3/2 )
3
4
2 πy
3
π |y|1/4112π −∞←y1 12
y→∞−√sin( |y|3/2 − ) ←−−−−− Bi(y) −−−→ √ 1/4 exp(+ y 3/2 )
1/4
3
4
3
π |y|
πy
結局、E = V (a) である点を挟んで、 WKB 近似解を接続するには、
∫
∫
π
1 x
1
1 a
1 1
√
cos(− +
exp(−
p(x)dx) ←→ √p̃(x)dx)4ℏ x
2 p̃(x)
ℏ a
p(x)
∫
∫
π
1 x
1
1 a
1
√
sin(− +
exp(+
p(x)dx) ←→ √p̃(x)dx)
4
ℏ x
ℏ a
p(x)
p̃(x)
とすればよいことがわかった。但し p(x) =8.4(8.26)(8.27)(8.28)(8.29)√√
E − V (x), p̃(x) = V (x) − E 。

トンネル確率のもうすこし真面目な導出

さて、もう一度、直線上を左から右にエネルギー E で動いている粒子が、a < x < b では V (x) > E
なるポテンシャルの山をトンネルして右にゆく確率振幅を考えよう。ただし、x → ±∞ では V = 0とする。
そのためには、x < a での WKB 解、a < x < b の WKB 解、b < x の WKB 解を (8.28), (8.29)を用いてつなげばよい。b < x ではトンネルして右に進んでいるのみなので、
∫
i x
1
exp(−
p(x)dx)ψ(x) ∼ √ℏ bp(x)とする。a < x < b に接続すると、
[
]
∫
∫
1
1
1 x
1 x
ψ(x) ∼ √exp(+
p̃(x)dx) − i exp(−p̃(x)dx)ℏ bℏ bp̃(x) 2
[
]
∫
∫
1
1 x
1 x
1
T exp(+
p̃(x)dx) − iT −1 exp(−p̃(x)dx)
=√
2
ℏ a
ℏ a
p̃(x)
ただし T はT = exp(−1ℏ(8.30)(8.31)(8.32)∫ bp̃(x)dx)a

42 議論は上掲河合・竹井「特異摂動の代数解析学」(岩波) の始めの数章がとてもわかりやすい。

65(8.33)

と定義し、全体にかかった eiθ の形の定数の位相の因子はややこしく且つ結果に効かないので無視した。

T −1 は馬鹿でかいので、x ∼ a で a < x のあたりでは (8.32) は第二項のみをとって∫
1
1 x
ψ(x) ∼ T −1 √exp(−p̃(x)dx)ℏ ap̃(x)と近似できる。これにさらに (8.28) をつかうと、x < a では
[
]
∫
∫
i a
i a
1
−πi/4
+πi/4
−1
e
exp(
p(x)dx) + e
exp(−
p(x)dx) .
ψ(x) ∼ T √
ℏ x
ℏ x
p(x)

(8.34)(8.35)√
x → ±∞ では V → 0 としたので、p(x) → 2mE で右でも左でも変わらない。すると、入射波が重み T −1 , 透過波が重み 1 で出て来たので、T はまさに透過する振幅である。 透過確率はこの比を 2 乗して2
Ptunnel = |T | = exp(−
ℏ

∫ b

2

p̃(x)dx).

(8.36)aとなり、(8.8) を再現した。よく導出をふりかえると、指数関数の肩の中身の決定自体は (8.8) までの計算と変わらない。この詳しい計算でわかったことは、ポテンシャルの山の形が滑らかならば、指数関数の前の因子が 1 であるということ。

8.5

半古典量子化条件

接続公式の応用例として、底がひとつだけある勝手なポテンシャル V (x) に対して、束縛状態のエネルギー固有値を WKB 的に決定しよう。シュレーディンガー方程式−ℏ2 ∂ 2
ψ(x) = (E − V (x))ψ(x)2m ∂x2(8.37)

は勝手に与えた E について解くことができるが、束縛状態があるためには ψ(x) は x → −∞ と

x → +∞ の双方において、充分に早くゼロに近づかなければならない。
いま、E = V (x) となる転回点が x = a, x = b の 2 ヶ所だったとしよう。a < b とする。x ≪ aでは、指数関数的に減小する解ψ(x) ∝ √

1

1

p̃(x)

∫a

e− ℏ x p̃(x)dx

でないといけない。a ≪ x ≪ b に左から接続すると、
∫ x
1
1
π
ψ(x) ∝ √cos(
p(x)dx − )
ℏ
4
p(x)
a

(8.38)(8.39)b ≫ x でも、指数関数的に減小する解∫x1
1
ψ(x) ∝ √e− ℏ b p̃(x)dxp(x)

でないといけないから、a ≪ x ≪ b に右から接続すると、
∫ x
1
1
π
cos(
ψ(x) ∝ √p(x)dx − )
ℏ
4
p(x)
b

66

(8.40)(8.41)

となる。さて、(8.39) と (8.41) が辻褄があうにはどうなればよいかを考える。p(x) > 0 ととることにしておくと、(8.39) では絶対値記号は単に取り外せて
∫
∫ x
1
π
π
1 x
cos(
p(x)dx − )p(x)dx − ) = cos(
ℏ a
4
ℏ a
4

(8.42)(8.41) では
1
cos(
ℏ

∫ x
b

π
1
p(x)dx − ) = cos(−
4
ℏ

∫ x

π
)
4
b
∫
∫
1 x
1 b
π
= cos(−
p(x)dx +p(x)dx − )
ℏ a
ℏ a
4
∫ x
∫ b
1
1
π
= cos(
p(x)dx − (p(x)dx − ))
ℏ a
ℏ a
4
p(x)dx −(8.43)(8.44)(8.45)となる。(8.42) と (8.45) の位相が合うには、n が整数として

1
ℏ

∫ b
p(x)dx −a

これを整理すると

1h(n + ) = 22ππ= + nπ44(8.46)∫ b
p(x)dx(8.47)aとなる。右辺は、(x, p) のなす相空間内で一定エネルギー E = p2 /2m + V (x) の曲線内の面積で与えられる。
だから、相空間の面積 h あたり一つの量子状態がある、ということで、Bohr の量子化条件、もしくは、そもそも de Broglie の量子化条件と思っても良いが、 WKB 近似をつかうと、+1/2 の補正まで求められた。調和振動子の場合はこの式 (8.47) が厳密な式になるが、一般にはさらに補
正が入る。

8.6

二重山型ポテンシャルのトンネルについて

これまでの考察を用いて、フタこぶのあるポテンシャル
#$&
#$'
#$!

!!

!"

✄ ✁✂☎
"

!

!#$!
!#$'
!#$&
!#$%

(8.48)

について考察しよう。ポテンシャルはV (x) =

1mω 2 x2 − mgx4
2とする。ただし、g は非常にちいさいとしよう。

67(8.49)

g がゼロでは、単に調和振動子である。基底状態のエネルギーは E = ℏω/2 であった。g を摂動として扱うかぎりは、エネルギー E は g の (形式的) 冪級数として与えられるだけである。
√
しかし、このポテンシャルは x = ±ω/ 2g のところより外側では負のため、そちらにトンネル効
果で抜けてしまう。g が非常に小さいとすると、山の高さにくらべて基底状態のエネルギー ℏω/2√
は無視でき、トンネルの入り口は a = 0, 出口は +ω/ 2g としてよかろう。すると、荒い WKB
近似で、真ん中の谷から右側へトンネルする確率は∫ b∼ exp(−2√mω 3m ω 2 − 2gx2 xdx/ℏ) = exp(−)
3gℏ
a(8.50)である。基底状態は角振動数 ω で揺れているものとすると、右側の壁には単位時間あたり ω/2π
回当たっていると思ってよかろう。右にも左にもトンネルできるとして、単位時間あたりのトンネ
ル確率は∼C ×2×

mω 3
ω
exp(−
)
2π
3gℏ

(8.51)となる、ただし C はこの荒い考察では決まらないオーダー 1 の定数。
以上の効果は、基底状態のエネルギーに虚部が生じ、

E=

ℏω
ℏω
mω 3
− iC
exp(−
)
2
2π
3gℏ

(8.52)となっていると考えてもよい。
このエネルギーの虚部は、摂動からはわからなかったのだろうか? 関数形は c を定数としてexp(−c/g) であるが、これを g = 0 でテーラー展開しようとすると、
dcexp(−c/g) = lim 2 exp(−c/g) = 0,g→0 dgg→0 g

lim exp(−c/g) = 0, lim

g→0(8.53)となって、何度 g で微分しても、出て来た係数は指数関数に負けてしまって、exp(−c/g) = 0 + 0g + 0g 2 + · · ·(8.54)となってしまう。すなわち、このような関数は g → 0 で小さすぎて、テーラー展開ではみえない。
しかし、この exp(−c/g) の項を摂動から見る方法はなくはない。以下、簡単のため ℏ = m = ω = 1ととる。6.1.5 節で、V (x) = x2 /2 + gx4 の際の基底状態のエネルギーはE(g) =∑
1 3g++ ··· =
cn g n2
4(8.55)

で、cn ∼ (−αn)n と振舞うことをみた。

nn ∼ n! なので、収束しない級数
A(αg) =を考えてみる。Γ 関数の積分から∑(−α)n n!g n

∫ ∞
n! =

(8.56)

e−t tn dt(8.57)

0なので、x = αg の形式的冪級数としては、

A(x) =

∫ ∞
∫ ∞
∑
∑
e−t
e−t tn dt =(−x)n(−x)n n! =
n

0

n

68

0

1
dt
1 + xt(8.58)

この右辺をよくみると、x > 0 では問題なく収束して、ある関数をさだめ、その展開はもとの (8.56)を再現する。一方で、 x < 0 とすると、積分路上 t = 1/|x| のところに極が生じて、積分をその上をとおって行うか下をとおって行うかわからなくなり、結局±ie−1/|x| = ±ie−1/(α|g|)(8.59)

なる虚部を生じることがわかる。
いま、g が負ならポテンシャル V (x) = x2 /2 + gx4 = x2 /2 − |g|x4 は底が抜けて、トンネルする。このとき、(8.52) より、基底状態の固有値には、∼ −ie−1/3|g|(8.60)

なる虚部が生じていた。これは、摂動級数の発散が α ∼ 3 であればよいが、実際の計算によれば、そうなのだった。

9

水素原子のスペクトラム
逆 2 乗力のもとでの量子力学的粒子の束縛状態については 5.5 節で学んだ。ハミルトニアンは

H=

p⃗2
k
− ,
2m r

(9.1)

k2 m 1
2ℏ2 n2(9.2)

エネルギーは主量子数を n としてE=−で与えられた。1s 軌道の波動関数は単に ∝ e−r/aB , ただし

aB =

ℏ2
km

(9.3)

であった。電子の電荷を −e とすると、k = e2 /(4πϵ0 ) である。すると、この系の基本的なエネル
ギースケールは(
1 Ry =

e2
4πϵ0

)2

me
2ℏ2

(9.4)

で決まっている。
実際の水素原子 H のスペクトラムにはそれ以外に種々の補正が入る。講義も最終回だから、それについて見ておこう 43 。以下、

• 陽子質量が有限であることから来る補正• 相対論的補正 (微細構造)• 陽子の磁気モーメントから来る補正 (超微細構造)• 電磁場が量子力学的であることから来る補正 (Lamb シフト)をまずは大まかに見たのち、微細構造と超微細構造について詳しくみよう。
43 こ の 節 の 記 述 は 、村 山 さ ん の 講 義 ノ ー ト 、お よ び Konishi-Paﬀuti に 大 き く 依 存 す る 。ま た 、オ ン ラ イ ン のhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydfin.html が結果をとても見やすくまとめてある。

69

9.1

いろいろな寄与のオーダー

9.1.1

換算質量

まず、(9.1) に入る m は換算質量

m=

me mp
me + mp(9.5)

であることに注意する。これを導出するのは、古典力学の場合と同様で、二粒子系を重心運動と相対運動に分離すればよい。mp /me ∼ 2000 だから、この効果を忘れると比率で 10−3 Ry 程度の誤差が出る。また、重水素 D を考えると、上式で mp → 2mp と置き換えることになって、エネル
ギースペクトルが一斉にすこしずれることがわかる。これを利用して、宇宙の H と D の存在量比が測定されているそうだ。

9.1.2

微細構造

電子の運動エネルギーはビリアル定理からだいたい上記のエネルギーで与えられる。これを mv 2 /2
とおいて平均速度が見積もれる。電子の静止エネルギーは me c2 なので、比は

v
e2
∼
=: α
c
4πϵ0 ℏc(9.6)

である。この α は微細構造定数 (fine structure constant) と呼ばれ、だいたい ∼ 1/137 である 44 。
光速に比べて遅くはあるが、それほど遅くもない。書き換えると、

1 Ry =1 2
α (me c2 ).
2

(9.7)

また

aB = ℏ/(αmc).

(9.8)

以下、速度について偶の量を計算することになるので、相対論的補正はさらに α の偶数冪さがって、 ∼ α2 Ry ∼ 10−5 Ry 程度の補正になる。
以下でみるように、相対論的補正は電子のスピンに依存し、非相対論的 1/r ポテンシャル中の2n の縮退をかなり解くが、主量子数 n と全角運動量 j の同じ状態は縮退したままである。たとえば、2s1/2 と 2p1/2 のエネルギーは縮退したままである、但しここで下付き添え字は全角運動量。
これらの状況を微細構造 (fine structure) という。α が微細構造定数とよばれるのは、ここから来る 45 。

44 これは無次元量なので、なんとかして「理論的に」導こうとした頭のおかしい人が続出した。そのあたりの科学史を研究した論文 Kragh, “Magic Number: a partial history of the fine structure constant”, Arch. Hist. Exact. Sci., 57(2003) 395 がある。それによるとハイゼンベルクは α ∼ π/24 33 と思ったそうである。
45 水素の微細構造をはじめて測定したのは Michelson と Morley。エーテルがあるかどうかを干渉計で測定したのと同じ人で、二つの論文は同じ論文雑誌に連続して発表されている。エーテルのほうが “On the relative motion of the earth andthe luminiferous Æther,” Phil. Mag. 24 (1887) 449, 微細構造のほうが “On a method of making the wave-length of
sodium light the actual and practical standard of length”, Phil. Mag. 24 (1887) 463。残念ながら東大はこれらの古い雑誌の電子版は講読していないようだが、幸い物理図書館の奥の本棚には冊子体が残してある。相対論のはじまりになった論文のつぎに、水素原子のスペクトルの相対論効果が原因の現象の論文が同著者によって載っているというのは暗合を感じる。後者の論文は同じものが別雑誌 Amer. Jour. Sci. 34 (1887) 427 にも出ていて、こちらは大学内からオンライン版が読める。また、https://twitter.com/Paul Painleve/status/620234884955553792 で教えていただいたが、古い雑誌は Google Books
で読めることが多いらしい。今回のものは https://books.google.co.jp/books?id=eEwbAAAAMAAJ&pg=PA463 で
読める。

70

9.1.3

超微細構造

さらに、陽子スピンの持つ磁気双極子と電子スピンの持つ磁気双極子が相互作用することによる補正もある。これを超微細構造 (hyperfine structure) という。磁気双極子間の相互作用は

∼

1
1
µ
⃗e · µ⃗p 34πϵ0 c2r(9.9)

で、磁気双極子はスピン演算子を ⃗σ , e を素電荷、m を質量、g を粒子に依存する無次元の定数と
して

µ
⃗=

ge ℏ
⃗σ
2m 2

(9.10)となるので、超微細構造のエネルギースケールは

∼

me
e2 ℏ2
1
me
∼ me c2 α4
∼ α2
Ry .
3
2
4πϵ0 c me mp aB
mp
mp(9.11)

より 10−7 Ry のオーダーである。

9.1.4

Lamb シフト

これまで電磁場は古典的に扱ってきたが、実際には電磁場も量子力学に従う。そのため、
電子 → 電子 + 光子 → 電子

(9.12)という中間状態を経由する二次の摂動からの寄与がある。これの計算の詳細は場の量子論をかなり
きちんと勉強しないとわからないが、頑張って計算すると、電子のハミルトニアンにおおよそ∫αℏ2 ⃗ 2dωδH ∼ 2 2 ∇(eΦ)(9.13)m c
ω
という形の補正が入ることが知られている 46 、ただし Φ は電気ポテンシャルで、積分は中間状態の光子のエネルギー E = ℏω に関する足しあげである。今は Φ = e/(4πϵ0 r) だから、∫
α2 ℏ3 3dωδH ∼ 2 δ (⃗x)
m c
ω(9.14)

これよりエネルギーへの補正は

∫
α2 ℏ3
dω
2
|ψ(0)|2m cω∫dω∼ α5 mc2 δn0ω∆E ∼(9.15)(9.16)

ここで δn0 は s 軌道のみノンゼロになるということ。
この積分は log 的に発散するので、無限大であるように思えたが、繰り込み理論によって処理出来ることが戦後すぐあたりにわかった。量子電磁力学の成立を告げる科学史上重要な事件でもあっ∫た。実質上、積分の下端が ∼ Ry で、積分の上端が ∼ me c2 になるので、 dω/ω ∼ log α を出し、まとめると∆E ∼ (α3 log α) Ry(9.17)

46 場の理論の基礎を学んだひとには: 電子-電子-光子の vertex 補正の運動量移行 q 2 に比例する項をとってきたもの。だ⃗ に比例し、非相対論極限なので q 2 ∼ (∆/m)2 に比例、さらに、1-loop の log 発散がある。自然単位系から SI
から e3 Aに戻すと、この形になる。

71

程度の補正になる。10−6 Ry ぐらいである。これは相対論的補正の始めの項 ∼ α2 Ry よりは小さ
いが、次の項 ∼ α4 Ry よりはかなり大きい。また、δn0 に比例する為、 2s1/2 と 2p1/2 の縮重を解く。実験的には E2s1/2 − E2p1/2 ∼ 1.06GHz だそうである。(9.17) の数係数を決めるのは大変 47 。

9.2

微細構造

9.2.1

電磁場と非相対論的粒子の相互作用

まず、量子力学的粒子と電磁場との相互作用がどうなっているかを学ぼう。自由粒子のシュレー
ディンガー方程式は

∂
1
⃗ 2ψ
ψ=
(−iℏ∇)∂t2m⃗ との相互作用の基本的な部分はだった。粒子の電荷が q ならば、電磁場 (Φ, A)
iℏ

(iℏ

∂
⃗ → (iℏ ∂ − qΦ, −iℏ∇
⃗ − q A)⃗, −iℏ∇)∂t∂tという置き換えで与えられる 48 。時間依存しない系では、すると、
[
]
1
2
⃗
⃗
Eψ =
(−iℏ∇ − q A) + qΦ ψ
2m

(9.18)(9.19)(9.20)⃗→A⃗ + ∇χ
⃗ は磁場 B
⃗ =∇⃗ ×A
⃗ を変えず、物理を変が考えるべき方程式である。電磁気では、A⃗
えないはずである。(9.20) は A をあからさまに含むが、ψ もψ → e−qχ/(iℏ) ψ(9.21)と変換させれば E は不変に保たれることがわかる。
粒子に磁気モーメント µ⃗ がある場合はハミルトニアンにはさらに項が付け加わってH=

1⃗ − q A)⃗ 2 + qΦ − µ
⃗
(−iℏ∇
⃗ ·B
2m

となる。スピン 1/2 の粒子の場合は

µ
⃗=

gq ℏ
⃗σ
2m 2

(9.22)(9.23)

ただし g はオーダー 1 の無次元量。量子力学の非常に初期には、g は 1 であろうとあまり根拠の無い考察 49 から考えられたが、電子に対して g は非常によい精度で 2 だと測られた。50

47 Weinberg “QFT” vol.1, Chap. 14.3 や Itzykson-Zuber “QFT” Chap. 7.3.2 に詳細な計算がのっているが、僕は追ったことがないのを白状しておく。
48 これが何故かは問わないほうが良い。導出らしきものが載っている教科書もあるようだが、いろいろさらに勉強すると、最終的にはこのルール自体が原理だということに気が付く。
49 磁場と荷電粒子の古典的相互作用は −(q/m)A⃗ ·p⃗ が位置 ⃗
⃗ で与えられる。Ar = 0 にある磁気双極子で与えられている⃗ ·B⃗ と書き換えられる。すると、スピンは ℏ⃗⃗
ばあい、これは −(q/2m)L
σ /2 だけの角運動量をもつから、−(q/2m)(ℏ/2)⃗
σ·Bという相互作用をするだろう、という。
50 後に Dirac が Dirac 方程式から、g = 2 を導いたので、しばらく皆 g = 2 だと思っていたが、その後陽子はg ∼ 5.6 だと測られた。この違いは陽子は複合粒子であるが電子は素粒子であることによる。その後、光子の量子性より
g = 2(1 + α/(2π) + · · · ) であることが Schwinger によって計算された。現在では α5 まで計算されて、実験と見事に合っている。

72

9.2.2

相対論的補正: 一般の外場の場合

以下電子の場合について考える。電子の電荷は e < 0 という記法をとる。相対論的補正は Dirac方程式から出発して非相対論的極限をとることによって求まる。51 展開パラメタは p/(mc) である。結果は

1⃗ 2 + eΦ − eℏ ⃗σ · B⃗(⃗
p − eA)2m
2m
2⃗ 2 )2((⃗p − eA)ieℏ2⃗ × E)⃗ − eℏ ⃗σ · (E⃗ × p⃗) − eℏ (∇ · E)
⃗ + O(c−3 ) (9.24)−−
σ · (∇
3
2
2
2
2
2
2
8m c
8m c
4m c
8m c2

H=

⃗ は直後の外場にのみ掛かる演算子で、p⃗ は波動関数に掛かる演算子だとする。
但し上式中 ∇√
(9.24) 二行目の第一項は m2 c4 + (p − eA)2 c2 の展開の次の項である。(9.24) 二行目の第二項と第三項は、

)
eℏ
1 (⃗
⃗
E
×
p
⃗
+
p
⃗
×
E
⃗
σ
·
4m2 c22と書きなおすことも出来、古典的には−−eℏ⃗ × p⃗)⃗σ · (E
4m2 c2(9.25)(9.26)から来ていると思って良い。これは、(9.24) 一行目の

−g

eℏ
⃗
⃗σ · B4m(9.27)

をローレンツ変換に対して共変化することで出てくる。ここで、一般の g を考える為に g を復帰⃗ がある状況で速度 ⃗v に加速すると、B⃗ Lorentz = E⃗ × ⃗v /c2 なる磁場があるさせた。さて、電場 Eようにみえる。よって、これを (9.27) にいれて、⃗v = p⃗/m を入れれば、

∼ −g

eℏ
⃗ × p⃗)⃗σ · (E
4m2 c2(9.28)

なる項が出ると思われるが、実際の (9.26) は−(g − 1)eℏ
⃗ × p⃗)⃗σ · (E
4m2 c2(9.29)となり、実質 (g − 1)/2 = 1/2 だけ因子が余計に掛かっている。g − 1 の −1 の部分は、回転系にうつることからくる効果で、 Thomas precession として知られている。52

9.2.3

相対論的補正: 電場のみ、中心力の場合⃗ = 0 で、中心力 E⃗ = −∇Φ(r)⃗⃗ ×E⃗ の項は落とせ、
さて、磁場がなく Aの場合は、∇⃗⃗ × p⃗ = ∂Φ(r) LEr∂r(9.30)と書き換えられるので、結局 (9.24) の第二行は∆H = −(⃗p2 )2eℏ ∂Φ(r) ⃗
eℏ2
−
⃗
σ
·
L
+
△Φ
8m3 c24m2 c2 r∂r
8m2 c2(9.31)

51 詳細は村山さんの http://hitoshi.berkeley.edu/221B/index.html にあるノート “Relativistic quantum mechanics”

等を参照のこと。
52 このトーマス因子は 1/2 と呼ぶのではなくて、g − 1 : g = 1 : 2 と思うのが正しい、とは朝永先生の「スピンはめぐる」(みすず書房) の第 11 話に詳しい。Konishi-Paﬀuti にはこの効果は g − 1 の形でのっているのは、小西さんが「スピンをめぐる」を読んでいたからではないか?

73

√となる。(9.31) の第一項は既に上でも述べたが、単に相対論的エネルギー m2 c4 + p2 c2 の展開⃗ とスピンの結合だから LS 結合と呼ばれる 53 。(9.31) のの次の項である。(9.31) の第二項は、L
第三項は発見者の名前をとって Darwin 項と呼ばれる。陽子を点としてよい近似では

+

eℏ2
αℏ3
△Φ = 2 4πδ 3 (⃗x)
2
2
8m c
m c

(9.32)

で、s 波のみに寄与をする。
第一項と第三項は主量子数 n と軌道角運動量 ℓ にしかよらない。第二項は全角運動量を ⃗j = ⃗ℓ+⃗σ /2
として⃗ℓ · ⃗σ = 1
2
2

(
)
1 3
j(j + 1) − ℓ(ℓ + 1) − ·2 2(9.33)と書けば、さらに 全角運動量の大きさ j = ℓ ± 1/2 に依存することがわかる。一次の摂動で評価するとどの項も mc2 α4 に無次元量を書けたものになって、足すと
(
)
4
1
3
2α
∆E = mc 3−n8n 2j + 1

(9.34)となって、ℓ 依存性は消えてしまうことが知られている。すなわち、2s1/2 と 2p1/2 , 3p3/2 と 3d3/2
等は縮退したままである。54 2p1/2 と 2p3/2 のエネルギーのずれは∆E = 10.9GHz · h(9.35)

となる。

9.3

超微細構造

超微細構造は核の磁気双極子のつくる磁場と電子との相互作用から生じる。まず、磁場と電子の⃗ および B
⃗ の一次の項をとって相互作用ハミルトニアンは、(9.24) の一行目から A∆H = −e ⃗eℏ⃗
A · p⃗ −⃗σ · B.
m
2m(9.36)

陽子の磁気双極子モーメントを µp と書くとそれのつくるベクトルポテンシャルおよび磁場は、古典電磁気学の結果を引用すると

1⃗rµ⃗p × 3 ,4πϵ0 c2
r
[
]
1
1
8π
3
⃗
⃗
⃗ =
B
−(⃗
µ
−
3(⃗
µ
·
r̂)
r̂)
+
µ
⃗
δ
(⃗
r
)
.
p
p
p
4πϵ0 c2
r3
3⃗=
A(9.37)(9.38)

さて、陽子の磁気双極子モーメントをµ⃗p =gp |e|ℏ ⃗σp2mp 2と書いてこれを上式の ∆H に代入すると(())
gp ℏ3 α1 ⃗ ⃗σp
1 ⃗σp ⃗σe⃗σp ⃗ ⃗ ⃗σe
8π ⃗σp ⃗σe 3
∆H =
ℓ
·
−
·
−
3(
·
r̂)(
r̂
·
)
+
·
δ
(⃗
r
)
.
2mp me c r32
r3 2 222
3 2 2(9.39)(9.40)

53 が、この導出からは L⃗ と⃗σ が直接内積をとってあるのはあまり本質的でないようにもみえる。
54 ℓ 依存性の消える対称性の観点からの理由は既に一度引用したが Katsura-Aoki, J.Math.Phys. 47 (2006) 032301[arXiv:quant-ph/0410174] を参照。

74

3
3
1s 軌道を考えると、最後の項しか効かない。|ψ(0)|2 = a−3
B /π = (αmc) /(ℏ π) を入れて

∆H =
⃗
σp ⃗
σe
2 · 2

4
me
⃗σp ⃗σegp α4(me c2 ) · .
3
mp
2 2

(9.41)

は三重項が +1/4, 一重項が −3/4 であるので、結局、スペクトル線の間隔は

4
me
gp α4
(me c2 ) ∼ 1.4GHz · h,3
mp(9.42)

これは 21 cm の電波に相当する。温度でいうと 0.03 K。
宇宙には中性水素がたくさんあるので、この 21 cm の波を測定するのは天文学上重要である。たとえば、遠くの銀河の銀河面からの 21cm 線を観測すると、その量から水素の分布が、また、ドップラー効果による線のシフトをみれば速度がわかる。これから、銀河のダークマターの量を量ることができる。
また、現在計画中のものとして、宇宙のとても昔の、赤方偏移が非常におおきなところで、空っぽのところでも、中性水素があるだろうから、そこからの 21cm を見ると、どれだけ赤方偏移したかも考えれば、地球からどれだけの距離にどれだけの中性水素があるか、三次元的な地図を作れるはずである。これを 21cm tomography といって、活発に研究されている。

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