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目次
解説「共鳴散乱物理の基礎」（島村 勲）…6

第１０回「化学反応の立体ダイナミクス」国際学会報告（笠井俊夫）… 20

2004 年会員異動… 22「しょうとつ」原稿募集… 22

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2

解説「共鳴散乱物理の基礎」
独立行政法人

理化学研究所島村

勲

Isao Shimamura,
The Institute of Physical and Chemical Research (RIKEN),
Wako, Saitama 351-0198, Japan.
shimamur@rarfaxp.riken.jp
平成 17 年 3 月 7 日原稿受付
概要
原子分子過程の中間状態として“共鳴状できるのでそれに多くの紙面を費やし，実態”が形成され，それが有限寿命でいろい

際の原子分子過程で異なる点には簡単に触ろなチャネルへ崩壊し，その過程の結果にれるに止める．共鳴状態と似ていて間違え

顕著な影響を与えるという“共鳴過程”のやすい“virtual states”についても解説する．

基礎理論とその物理的意味を解説する．基式を追うには大学初年度程度の数学の知識本的なことはポテンシャル散乱理論で説明で十分と思う．

I.

共鳴過程とはでの寿命 τ とは波長をスキャンしながらシンクロトロン
放射光を原子に吸収させ，電離させてみよτΓ==う．連続吸収スペクトルにあちこちピークという不確定性関係にある．いずれ自動電やディップ，複雑な非対称構造などが混じ離するこの離散状態まがいの状態，即ち自ることがよくある(He の例[1]を図 1 に示す)．

動電離状態(autoionizing state)は共鳴状態の

これは原子内の 2 電子が同時励起した 2 電

一種で， Γ を共鳴幅という．自動電離状態

子励起状態(two-electron excited state)，あるを中間状態とする光電離は共鳴過程の一種

いは 2 重励起状態(doubly excited state)へ原

である．

(1)

子が遷移したために起こる現象である．イ

低エネルギー電子ビームを原子に衝突さオン化エネルギーより高い励起状態なのでせ，散乱断面積を電子エネルギーE の関数

これは本当の束縛状態ではなく，まもなくとして測ってみよう．この断面積 σ ( E ) にも，波動関数にイオン化状態が混ざり自動電離

ピークやディップ，あるいは非対称構造が(autoionize)，つまり自然に電離する．光吸

見られることがよくある．入射電子が原子

収後，直ちに放出された電子の波と，自動内電子を一つ励起し，そのために自分はエ

電離で時間が遅れて出てきた電子の波の間

ネルギーを失って原子内の励起軌道に捕まに干渉が起こり，吸収スペクトルに複雑なってしまえば，2 重励起状態が一時的負イ構造ができるのである．構造のエネルギーオン(temporary negative ion)として形成され

幅 Γ は 2 重励起状態のエネルギーの不確かる．これも束縛状態まがいの自動電子脱離さ(測定精度の限界)を表し，自動電離するま状態(autodetaching state)で，その寿命 τ が尽

3

図 2．ポテンシャル障壁の内側に作られる共鳴準位(エネルギー位置 Er を水平実線・点線で示す)とその束縛状態まがいの波動関数がトンネル効果で外に漏れる様子(破線)，及び位相のずれ δ ( E ) が準位付近で急激に π ラジアン増加する様子(90o 倒してみるとエネルギーE の関数としての δ ( E ) がわかる)．

鳴過程(resonance process)と呼ぶ．それが散図 1．He の光電離スペクトルに見られる共鳴構造[1]．N, n は励起 2 電子の主量子数．各 N につき

乱過程ならば共鳴散乱(resonance scattering)n = N , N + 1, " という系列があるが， N = 5 と 6 のである．

系列，6 と 7 の系列の間に重なりがある．

さきの電子散乱のように，2 体衝突で内部状態を励起したために相対運動エネルギ

きてしまえば電子を 1 個放出する．この放ーが不足し，2 体の複合状態(compound state)

出電子はあたかもふつうの散乱電子のようである衝突複合体(collision complex)が一時に観測される．短時間で直接散乱された電できるとき，その定式化を行った理論家の子の波と，負イオン状態を一時経由してき名前から，Feshbach 共鳴と呼ぶ[2]．この場た電子の波とが干渉し，σ ( E ) に構造を作る

合，内部状態が励起されたチャネルは衝突のである．この構造の幅 Γ (共鳴幅)と寿命 τの最終段階までもたない，いわゆる閉じたの間にも不確定性関係(1)が成り立つ．自動チャネルなので，この共鳴を閉チャネル共

電子脱離状態も共鳴状態の一種で，それを鳴(closed-channel resonance)ともいう(付録 A

経由する散乱は共鳴散乱の一種である．

参照)．

このように，原子分子分野に限らずいろ電子励起に限らず，例えば分子の振動励

いろな素過程の中間状態として，本当の束起などによる Feshbach 共鳴も考えられるし，縛状態ではないがそれによく似た，ただしBose-Einstein 凝縮に関連して最近話題の共有限寿命で崩壊する状態(decaying state)が鳴は，超微細構造の励起に伴う Feshbach 共

しばしば作られる．これを準束縛状態

鳴である．光吸収でできた図 1 の 2 重励起(quasi-bound state) ， ま た は 共 鳴 状 態

状態は電子・イオン衝突でも作ることがで(resonance state)，それを経由する過程を共き，これも Feshbach 共鳴の例であり，内殻4励起状態(inner-shell excited state)，内殻電離状態(inner-shell ionized state)，核反応での複合核(compound nucleus)などの例もある．
一方，2 体間の相互作用ポテンシャル
V (r ) に強い引力型の短距離相互作用とその外側にポテンシャル障壁がある場合，障壁の内側の r 領域，つまり 2 体間距離が小さい領域に系が長時間閉じこめられて 2 体複合状態ができることもある(図 2：第 III. A
節で再び説明する)．衝突 2 体間ポテンシャ

図 3 ． 電 子 衝 撃 に よ る H2 分 子 の 振 動 励 起ルの形が原因のこの共鳴を原子物理では形
形( v = 0 → v ≥ 1 )断面積に見られる形状共鳴[3]．

状共鳴(shape resonance)，核物理ではポテン
励起状態では励起 2 電子間の相互作用，つシャル共鳴(potential resonance)と呼ぶ．
電子・分子衝突では，分子の場に電子がまり電子相関によってその一方に十分なエ捕まってできる形状共鳴が頻繁に見られる．

ネルギーが偏る効率で τ が決まるのである．

分子負イオンが保たれる長時間の間に電子

実は多チャネル問題を形式的に単一チャ

運動と分子の振動運動が強く結合(couple)

ネルのポテンシャル散乱問題に還元するこし，前者から後者に十分なエネルギーが伝ともできるが[2]，このときのポテンシャル

えられると振動励起断面積が大きくなる．

Vopt [光学ポテンシャル(optical potential)とい

共鳴が起こらない短時間衝突では，非常にう]は衝突エネルギーE の関数になり，この軽い電子が重い原子核に体当たりして動か

理論形式では Feshbach 共鳴は非常に狭い E

すことは難しく，振動励起は非常に起こりの範囲内で急激に Vopt (r; E ) が変動するためにくい．図 3 に H2 の振動準位 v の励起断面に起こるのである．つまり，多チャネル問積を示す[3]．電子と核の運動の複雑な絡み

題を形式的に単一チャネル問題に還元して合いで，1 つの形状共鳴が数個の不等間隔Feshbach 共鳴を眺めても，形状共鳴の機構

ピークに分離している例が v = 4, 5, 6 へのとは全く違う．この定式化は本稿のレベル励起で見られる．共鳴状態負イオンの振動よりかなり高いので，概略を付録 A で解説

準位に従って等間隔に分離する場合もある

するに止める．

が，図 3，v = 4, 5, 6 の例では負イオンが振

なお，散乱断面積にピークが現れても，動準位を形成する前に壊れてしまうので，これを短絡的に共鳴と解釈するのでは物理

分離の原因はもっとややこしい．

学とは言えない．共鳴でなくても，エネル

形状共鳴の本質は単一チャネル機構で，ギーとともに断面積が始めは増え，いずれポテンシャル障壁を突き抜けて外へ波が出減少に転じ，幅広いピークに見える，といていくトンネル効果の効率で寿命 τ が決まう例は多い．モデル計算で形状共鳴としてる．Feshbach 共鳴は内部状態励起が関わる

それが再現できてしまう可能性もあり，注ため，多チャネル(2 チャネル以上)機構に依意を要する．幅の狭いピークでも，例えばっており，内部運動自由度と相対運動との後に述べるような，弱い束縛状態やいわゆ

結合の強さで寿命が決まる．例えば，2 重る virtual state によるものもある．これらは5共鳴散乱と明確に区別しなければならない．

運 動 の 動 径 ハ ミ ル ト ニ ア ン Hr に よ る

共鳴の断定には，実は綿密な解析が必要な

Schrödinger 方程式2m0 = − 2 [ H r − E ]ψ l (r; k )=(2)
 d 2 2mV l (l + 1)
2= 2 − 2 −+ k ψ l (r ; k )
r2
=
 dr


のである．
共鳴と確認され，エネルギー分解能が高い測定をしても，みかけの幅を共鳴幅 Γ と解釈して = / τ に等しいと思うと誤ることもを境界条件 ψ l (r = 0; k ) = 0 で解くことになある．例えば，ある衝突エネルギーEr でのる．ここで粒子の運動エネルギーE と波数 k

電子・分子衝突で分子が電子を一時捕え，(運動量 =k )の関係 E = (=k )2 / 2m を使った．

時間 τ 後に再放出して共鳴散乱が起こると各ビーム成分(部分波)の散乱断面積

する．その共鳴幅は Γ = = / τ を満たす．分子

σ l ( E ) をすべて足し合わせれば，全断面積の振動運動の速さに比べ衝突時間が十分短∞

σ (E) = ∑σ l (E)かければ，各衝突は原子核が殆ど止まっている間に終わる．しかし，どの位置に止まが求まるが，低エネルギー散乱では l が増っているかで電子・分子相互作用は変わる

えると急激に遠方通過運動になって殆ど散から，共鳴エネルギーEr も共鳴幅 Γ も核の乱は起こらず， l = 0 (s 波)だけで済むか，

位置によって違い，それを振動運動範囲で

l = 1 (p 波)か l = 2 (d 波)くらいまでで十分な平均した， Γ よりはるかに幅の広い構造がことが多い．そこでまず s 波散乱だけ考え観測されるのである．図 3 の v = 1, 2 への励よう．

起はその例である．

ポテンシャルがなければ l = 0 のとき(2)

本稿は入門編を意図しており，あまり特には独立解 sin kr , cos kr があるが， sin kr だ

殊な場合は扱わない．また，近年標準的なけが境界条件を満たす．V (r ) ≠ 0 なら粒子は言葉遣いに基づくので，歴史的な教科書，

散乱を受け，ψ 0 (r ; k ) は変形するが，大きな古い文献とは用語が違うこともある．実際，

r では(これを r → ∞ と書き，そのときの関共鳴とか virtual state という言葉はいろいろ

数 形 を 漸 近 形 と 呼 ぶ ) V (r ) = 0 な の で ，な意味で使われており，付録 B で整理を試

ψ 0 (r ; k ) の漸近形は必ずさきの独立解の線

みる．
II.

(3)

l =0

形結合 C1 sin kr + C2 cos kr で表せる(係数 C1，C2 は k の関数である)．この形は位相をずら

ポテンシャル場による散乱

せば(ずらす量 δ 0 は C1，C2 で決まる)1 つの電子・原子弾性散乱等を頭に置き，中心正弦関数で次のように書ける:力ポテンシャル場V (r ) による質量 m の粒子r →∞ψ 0 (r ; k ) → C ′ sin{kr + δ 0 (k )}の散乱を論じよう[4–7]．入射粒子が一時にせよ，場に捕えられる共鳴散乱が起こるに= C ′′ e − i ( kr +δ 0 ) − e+ i ( kr +δ 0 ) は，その速度は遅い必要がある．このよう= C ′′′ e − ikr − S0 (k )e+ ikr  ．

な低エネルギー散乱には，入射粒子ビーム

V (r ) の漸近形がクーロンポテンシャルだとを角運動量成分毎に別々に扱う，いわゆる部分波分解が適している．中心力場なので

ψ 0 (r ; k ) はこうは書けないので，V (r ) は短距
離型と仮定しておく．(4)の C ′ ，C ′′ ，C ′′′ は粒子は動径 r 方向の力しか受けず，角運動

むろん r に依らない係数，また S0 (k ) は

量 l は保存されるから，終始一定の l をもつ

S0 (k ) = exp(2iδ 0 )

6

(4)

(5)

のことで，S 行列(S matrix)または散乱行列

積が 0 になり，全断面積に顕著な極小が見(scattering matrix)という(いまはV (r ) によるら れ る ． こ れ を Ramsauer ( ま た は

特定の部分波散乱なので1 × 1 行列で，単なRamsauer-Townsend)効果といい，低エネルる数である)．単位内向き波 e− ikrが入るとき，

場で散乱されて大きな r へ出ていく外向き
波e

+ ikr

ギー電子散乱でいくつもの例が知られている[8]の複素振幅を， − S0 (k ) は表す．V (r )と E が実数である限り，位相のずれ δ 0 (k ) はIII.

実数で， S0 (k ) = 1 である．これはフラック

共鳴散乱：時間遅れと断面積の形
A:

定性的説明

ス保存則をも意味することが示せる．V (r )さて，第 I 節で述べたように，共鳴状態

か E が複素数という“変な場合”には δ 0 (k )は有限寿命 τ で崩壊する束縛状態まがいのが複素数になり， S0 (k ) ≠ 1 となる．共鳴散状態で，共鳴散乱でも中間状態として一時

乱ではこの“変な場合”が意味を持つ(第 IV作られる．いまの問題では，入射粒子がV (r )節)．

の場の中に捕まり，そこに時間 τ の間滞在

l > 0 のときは(2)に遠心力ポテンシャル

した後に再び離れていき，単なる自由運動が含まれ，これによる位相のずれ −lπ / 2 ラに比べ時間が遅れる．この重要な時間遅れ

ジアン(以下，角度はラジアン単位で表す)(time delay)の概念を調べるには時間依存と，V (r ) による“散乱の”位相のずれ δ l の(time-dependent)Schrödinger 方程式

両方を，波動関数 ψ l (r; k ) の漸近形は含む．

i=∂Ψ l (r , t ) / ∂t = H r Ψ l (r , t )δ l (k ) ，または(5)に準じ S0 = exp(2iδ l ) と定が 必 須 で ， 時 間 非 依 存 (time-independent)
Schrödinger 方程式(2)では共鳴散乱は表せな義した S 行列で部分波 l の散乱断面積は

σ l ( E ) = (2l + 1)

4π
sin 2 δ l (k )2kπ2
= (2l + 1) 2 1 − Sl (k )k(7)い，と思われるかも知れない．しかしV (r ) が
時間非依存ならば，波動関数(6)Ψ l (r , t ) = ψ l (r; k ) exp(−iEt / =)(8)

は(7)を満たす[(7)の左辺は E Ψ l (r , t ) となり，と書けることが簡単に導ける[4–7]．ポテン(2)によりこれは(7)の右辺に等しい]．つまり，シャルがなければ波は散乱されず，位相の(2)と(7)は等価で，時間に依らない(2)の解ずれ δ l は 0 で，断面積(6)も 0 になる．V (r )

ψ l (r; k ) がわかれば時間情報は引き出せるによる散乱が強まり， δ l が π / 2 まで増えるはずである．実際，付録 C に示すように，とともに断面積も増えるが，それより強く
積 σ l がかえって減る，という奇妙な現象が散乱による時間遅れ ∆t はdδdS
∆t = 2= l = −i= l Sl*dEdE(6)には見られる．これは量子論効果で，断と，時間非依存 ψ l (r; k ) の漸近形に含まれる波が散乱されて δ l が π / 2 を越えると，断面面積 σ ( E ) に対称，非対称な様々な構造が見(9)量だけで表せる[5, 9]．

られると第 I 節で述べた共鳴構造は，まさところで，図 2 のようにV (r ) ( l > 0 ならこにこの効果が引き起こしているのである

れに遠心力ポテンシャルを加えたもの)の(第 III 節)．

強い引力部の外側にポテンシャル障壁があ

ついでながら，ある E で δ 0 ( E ) が π の整数

れば，仮りに障壁をその高さのまま無限遠倍をよぎると，主要成分のはずの s 波断面にまで引き延ばせば正エネルギーの束縛状

7

を δ r ( E ) と書けば，E には強く依らないバッ
クグラウンドの位相のずれ δ b の上にそれが乗った

δ (E) = δb + δ r (E)(10)という形に δ ( E ) を表せるであろう．
E  Er 付近で急激に 0 から π まで増えるδ r ( E ) の傾き d δ r / dE は非常に大きく，時間遅れ(9)が大きくなるので， δ r が共鳴散乱を表すことがわかる．一方， δ b は傾きが非常に小さく，時間遅れの殆ど無い直接散乱成
図 4．位相のずれ δ ( E ) と部分波断面積の主要部分を表すだけで，一見，重要でないように

sin 2 δ ( E ) の関係．共鳴による δ ( E ) の π ラジアンの見える．しかし実はこの直接散乱と共鳴散増加がバックグラウンド位相 δ b により異なる効果

乱が量子論的に干渉し合って断面積 σ ( E )を示す説明(本文参照)．

の形を複雑に変えるので， δ b は非常に重要

態 ϕ (r ) ができる可能性がある．実際の障壁である．

ではトンネル効果で外へ抜ける波が，小さそこで部分波断面積(6)で E 依存性の弱いな振幅ながら r → ∞ まで無限に振動し，因子 (2l + 1)4π / k 2 を除いた主要部分 sin 2 δ

ϕ (r ) は本当の束縛状態ではなくなる．しかが δ の変化とともにどう変わるか， δ b が 4

し V (r ) の引力部辺りでは ϕ (r ) の振幅が遠通りの定数の場合につき，図 4 を参考にし方の振幅よりはるかに大きく，束縛状態まて見てみる(後に説明する図 5 も参照されたがいの様子を示す．振幅が大きいというこい)．

とは，時間依存の描像で言えば，その辺り

i) δ b = 0 なら δ ( E ) は 0 から π / 4 ， π / 2 ，での滞在時間が長いことを意味し，これは3π / 4 を 経 由 し て π ま で 増 え ， こ の と き

まさに共鳴状態を表している．その寿命がsin 2 δ は 0 から 0.5，1 と増えた後に再び 0.5，

長ければ長いほど，漸近的な振幅に対して0 と減り，中央が最大のピークを示す．
ii) δ b = π / 2 なら δ ( E ) は π / 2 から 3π / 2

引力部での振幅が大きい．
本当の束縛状態では，基底状態から 1 つまで増え， sin 2 δ は 1 から 0.5，0 と減少後ずつ準位が上がる度に波動関数の節(node)に 0.5，1 と増え，中央が最小のディップをが 1 つずつ増える．同様なことが，束縛状示す．

態まがいの ϕ (r ) にも起こる．即ち， ϕ (r ) のiii) δ b = π / 4 な ら δ ( E ) は π / 4 ， π / 2 ，

準位 Er より少し低いエネルギーの連続状態

3π / 4 ， π ，5π / 4 と増え，sin 2 δ は 0.5 から波動関数に比べ，Er より少し高いエネルギ

1 へ増加後 0.5，0 と減り，その後また 0.5ーの波動関数は節が 1 つ多い．無限に振動まで増え，左にピーク，右にディップの非する波動関数だから節は無限個あるが，節対称形を取る．
iv) δ b = −π / 4 なら δ ( E ) は −π / 4 ，0，π / 4 ，

1 つの増加は π だけの位相の増加に相当す
る．即ち E  Er の前後で急激に位相のずれ

π / 2 ， 3π / 4 と増え， sin 2 δ は 0.5 から 0 ま

δ ( E ) が π ほど増加するのである(以下，自明で減少後 0.5，1 と増え，再び 0.5 まで減る，

な添え字 l は省略する)．この急激な増加分

左にディップ，右にピークの非対称形を取

8表 I．バックグラウンドの位相のずれ δ b (単位 o)と形状パラメータ q の関係．周期 180o で繰り返す．

(a)( 0 ± はわずかに正か負， 180 − は 180o のわずかに
下)

δb
q

−45

−30

0−

0+

30

45

1.0

1.73

+∞

−∞

−1.73

−1.0

δb
q

60

90

120

135

150

180−

−0.58

0.0

0.58

1.0

1.73

+∞

る．
どの場合も E とともに δ ( E ) が増え，散乱は強まるばかりだが，第 II 節で述べた量子効果で断面積は増えることも減ることもある． δ r との位相関係による干渉効果が δ b の値により大きく違い，断面積の形が変わる(b)から， δ b を形状パラメータと呼んでもよいが，通常
q = − cot δ b(11)

を形状パラメータ(shape parameter)と呼んでいる[10]．
表 I にこの関係を数値で示す．先の考察から，q < 0 なら左にピークで右にディップ，
q > 0 ならその逆とわかる．
B:

Breit-Wigner 公式と Fano 公式
図 5．(a) 共鳴による位相のずれ δ ( E ) の π ラジア

第 III. A 節では定性的な話をしてきたが，

δb に
δ ( E ) や σ ( E ) ， (∆t )( E ) の解析形がわかれば， ンの増加を，4 通りのバックグラウンド位相
2つき示す．右側の sin δ ( E ) の値を追うことにより，さらに共鳴散乱の物理的理解が深まる．第部分波断面積の主要部のエネルギー依存性(図 6 に

IV 節に示すように，実は解析形の導出は簡示す)が得られる．ε は本文(12)で定義． (b) δ (E )単で，2 つのパラメータ Γ ，Er を使い
E − Er= − cot δ r ( E )
(12)
ε=
Γ/2

の共鳴部による時間遅れ ∆t (寿命 τ を単位とす
る)．

つ以上の共鳴構造がその幅の範囲内に重なと表せる．最初の等式は“この式で ε を定り合わない単純なケース，という意味で，義する”という意味で， ε は共鳴位置 Er か

もしも重なり合うと複雑な様相を呈する．

らのエネルギーE のずれを幅 Γ の半分で規実は図 1 の最も光子エネルギーが高い部分格化したものである．区間 −1 ≤ ε ≤ 1 は Erに は そ の よ う な 重 な り 共 鳴 (overlapping

を中心とする幅 Γ のエネルギー区間である．
(12)は位相のずれに関する Breit-Wigner

resonances)が含まれている．
(12)を変形すればの 1 準位公式と言われる．“1 準位”は，2

9δ r = − cot −1 ε = − cot −1

E − Er
Γ/2

(13)

(a)

となり， ε が負の大きな値から正の大きな値まで，つまり E が Er よりも十分小さな値
から十分大きな値まで増える間に，確かに

δ r ( E ) はほぼ 0 からほぼ π まで増える．δ r は
Γ ，Er が何であっても ε だけで表せるから，急激な π 近くの増加が起こるエネルギー区
間の幅は Γ で決まる．4 通りの定数 δ b につき， δ が ε とともに増える様子を図 5 に示す．右側の目盛が sin 2 δ を表すので，各曲線に従ってこの目盛りを追えば，先に述べた(b)

sin 2 δ の振る舞いがこの図を使って具体化でき，後に説明する断面積の形，つまり図6 ができ上がる．
微分公式 d (cot −1 x) / dx = −(1 + x 2 )−1 を使うと，時間遅れ(9)はdδ
4(= / Γ)+ 2= b
2
dE
1+ ε
dδ
=Γ
=
+ 2= b22dE( E − Er ) + (Γ / 2)

∆t =

(14)

となり，第 1 項が共鳴散乱波の Lorentz 型時
間遅れ，第 2 項は直接散乱の時間遅れで一般に小さい． δ b が定数の場合の，即ち共鳴

図 6 ． (a) 共 鳴 断 面 積 の 主 要 部 (ε + q ) 2 /[(1 + q 2 )部分だけの ∆t を図 5 に含める．(14)に現れ(1 + ε 2 )] のエネルギー依存性．ε は本文(12)で定義．

る = / Γ は不確定性原理(1)から共鳴状態の断面積は形状パラメータ q = − cot δ b により異なる

寿命 τ とわかる．ε = ±1 ，即ち E = Er ± Γ / 2形を示す．( )内の角度は δ b を表す． (b) (ε + q ) 2 /(1で ∆t は最大値 4τ の半分になるから，Γ は半+ε 2 ) の部分だけを示した Fano 図[10]．

値幅(FWHM)である．ピーク高(最大時間遅れ)が半値幅だけで決まることは不確定性[4π (2l + 1)]−1σ l ( E )原理から物理的に妥当である．

= k −2 sin 2 δ l ( E )= k −2 sin 2 (δ b + δ r )部分波断面積 σ l ( E ) は簡単に計算でき，

10=k −2 (sin δ b cos δ r + cos δ b sin δ r ) 2(sin 2 δ b + cos 2 δ b )(sin 2 δ r + cos 2 δ r )=(cot δ r + cot δ b )2
k (1 + cot 2 δ b )(1 + cot 2 δ r )=(ε + q )2
k 2 (1 + q 2 )(1 + ε 2 )

2

(15)

=

(1 + ε / q )2
k 2 (1 + q −2 )(1 + ε 2 )はりこの比はあまり好ましくないと思う．

(16)

δ ( E ) が π / 2 の奇数倍，即ち部分波断面積と，Fano 公式(Fano profile)[10]の形を取る．

を極大にする値を正の傾きでよぎるのを

これをいくつかの定数の q について，図 6a“共鳴”と定義する文献もある．Schiff の量に図示する．(15)と(16)は同等だが， q が大子力学の教科書[7]もその例である．式(12)，

きいとき，つまり対称ピークに近いときに(15)の意味での共鳴散乱が起こるエネルギ

は(16)の方が便利で，とくに q = ∞ (δ b = 0)

ー範囲内で δ ( E ) は急激に π ほど立ち上が−2るのだから，その途中で π / 2 の奇数倍を当のときは，エネルギー依存性の弱い因子 kを除き完全な Lorentz 型になる．

然よぎるだろう．しかしその E と，時間遅共鳴エネルギーとか共鳴位置とふつう呼れ を 最 大 にす る E (= Er ) と は ずれ る し ，ばれる値 Er，つまり共鳴の中央値は， δ r に

δ ( E ) の急激な増加とは無関係に，π / 2 の奇よる時間遅れ ∆t が最大になるエネルギー数倍ほどの位相にたまたまなっただけといだが，これと断面積の極大点とは一般にず

うときまでも“共鳴”と呼ぶのは，物理的れていることが図 5, 6 からわかる．なお，な意味に乏しいと思う．実際，原子物理分Er から十分離れたエネルギーでのバックグ

野では近年この定義を見かけない．なお，

ラウンド断面積は，(15)で ε → ∞ として

δ ( E ) が負の傾きで π / 2 の奇数倍をよぎる

σ l ,b = [4π (2l + 1) / k 2 ](1 + q 2 ) −1

とき，反共鳴(anti-resonance)と言うが，原子(17)

物理で反共鳴が断面積に強い影響を与えるとなることがわかる．

具体例を，私は知らない．

共鳴散乱断面積の形を論ずるとき，ふつ予め物理的考察か計算に基づいて決めた−2

うは因子 k は重要でなく，省いて考える．

束縛状態型波動関数 ϕ を使い，これと単純

しかし，ごく低エネルギーでは，k −2 が断面な連続状態波動関数 φ ( E ′) とを重ね合わせ

積の形を大きく変えるので注意を要する．

てFano 論文[10]の図(図 6b に転載)は頻繁に

ψ ( E ) = a ( E )ϕ + ∫ c( E ′; E )φ ( E ′)dE ′

コピーされているが，それには(15)の因子(18)(1 + q 2 ) −1 を含めていない．それは，断面積との形に波動関数を表すことにより，(15)の σ l ,b に対する比を示しているからである．

を導くこともできる[10]．ϕ はハミルトニア

しかし，それでは q が大きいと見かけのピンの正しい固有状態ではなく，連続状態

ーク値が非常に大きくなるし，対称ピーク

φ ( E ′) が自動的に混ざって固有状態になろは q = ∞ だから図に収まらない．フラック

うとするため，粒子は最終的には r → ∞ にス保存則により，σ l ( E ) には q の如何に依ら出て行く．共鳴の中央値 Er は ϕ のエネルギない( sin 2 δ l = 1 のとき実現される)最大値が

ー期待値からわずかにずれる．φ (E ′) が混ざあることを，Fano 図は忘れさせる．Fano はると寿命が有限になり，エネルギーに幅が光電離断面積を頭に置いた扱いをしており，できるとともに，ずれ(energy shift, resonance

非共鳴の場合との比を示したのは理解でき

shift)も生じるのである．

る．しかし，別のチャネル(上の議論では他

ここまで散乱断面積を論じてきたが，光の部分波断面積)があれば現実のバックグ

電離断面積 σ ph は，始状態(束縛状態) ψ i と終ラウンドは値が変わってくるのだから，や状態(連続状態)ψ f の間に双極子演算子

11

ギーが現実の観測量である条件，即ち正の実数エネルギーでの散乱現象を調べることにある．このとき当然，| S (k ) |= 1 であるが，k が実数でなければ | S (k ) | は何でもよかろう．もしも複素 k 平面で実軸の近くに S (k )を発散させる k，つまり S 行列の極(pole)があれば，その特異性の影響が尾を引いて，近くの実数波数での S (k ) に大きく効くかも知れない．非現実的，非物理的な複素 k 平
面を考える目的はそこにある．以下，式を煩雑にせぬよう再び s 波を扱うが，添え字 0は省略する．

図 7．複素 k 平面上での S 行列の極．第 IV 節(A)S (k ) が発散すれば(4)の最後の辺で e + ikr

束縛状態, (B)virtual state, (C)共鳴状態, 及び(D)のの係数は e − ikr の係数より非常に大きいから場合を区別して示す．

∑ r を挟んだ積分の 2 乗に比例する：σ ∝ ψ ∑ r ψ ．
(19)としてよい．時間依存 Schrödinger 方程式のここで r j ( j = 1, 2,") は電子座標である．ま解(8)の漸近形は次のように書ける：jr →∞ψ (r ; k ) → C exp(+ikr )

j

(20)

2

ph

f

j

j

i

た ψ f は散乱波動関数の漸近境界条件(入射r →∞Ψ (r , t ) → C exp(+ikr ) exp(−iEt / =) (21)平面波＋外向き散乱波)とは少し違い，平面S 行列の極を 4 種類に分類しよう(図 7)．

波＋内向き散乱波という漸近形をもつ．

(A) k = ik2 (k2 > 0) の場合共鳴が起こると波動関数の漸近的振幅に比べ，小さな r の領域(内部領域と呼ぼう)

E = − ( k 2 =) 2 / 2m < 0 ，で振幅が大きくなることを，この節の第 2r →∞ψ (r ; k ) → C exp(−k2 r ) ，パラグラフで述べた．これは(18)の a( E ) が| Ψ (r , t ) | → | C | exp(−2k2 r ) ．
2

共鳴エネルギー辺りでは c( E ′; E ) より大き

r →∞

(22)

2

これは指数関数的に減衰する漸近形をもつ

くなることを意味する．このとき ψ f は，内負エネルギーの束縛状態(bound state)で，漸部領域に閉じこもる ψ i との間に大きな重近的な存在確率 | Ψ (r , t ) |2 は時間に依らない．

なり積分をもち，(19)の σ ph も急増する．た(B) k = −ik2 (k2 > 0) の場合

だし，(19)の積分 " には(18)の 2 成分から寄与があり，その間の干渉効果で共鳴構造

E = − ( k 2 =) 2 / 2m < 0 ，ができる事情は，共鳴散乱の場合と似ていr →∞ψ (r; k ) → C exp(+ k2 r ) ，
r →∞

(23)

| Ψ (r , t ) | → | C | exp(+2k2 r ) ．
2

る．

2

これを virtual state，または virtual level[11]IV.

実数波数と複素波数と呼ぶ．指数関数的に増大する漸近形をも

ここで第 II 節で触れた“変な場合”，即ち

ち，物理的に妥当な境界条件を満たさない．

エネルギーE や波数 k が複素数の場合を考漸近的存在確率は時間に依らない．エネル

えよう．むろん我々の目的は，衝突エネル

ギーは束縛状態と同じく，負の実数である．

12

Virtual state が正エネルギーをもつと勘違いば，崩壊寿命 τ は = / Γ となり，(1)が再現さしている論文も時折見かける．

れる．

(C) k = k1 − ik2 (k1 > k2 > 0) の場合

Γ が大きすぎると，直接散乱で粒子がポテンシャル場を通過する時間に比べて共鳴

E = (k12 − k22 )= 2 / 2m − ik1k2 = 2 / m ，状態の寿命の方がかえって短くなり，散乱r →∞ψ (r ; k ) → C exp(+ik1r ) exp(+ k2 r ) ，r →∞| Ψ (r , t ) |2 → | C |2 exp(+2k2 r ) exp(−Γt / =) ．

(24)
このエネルギーをE = Er − i Γ / 2の中間状態の意味が薄れ，共鳴散乱とは言い難くなる．S 行列の極の言葉で言えば，
複素 k 平面の実軸からはるかに離れた極の効果は，物理現象が実際に起こる実数 k で(25)の散乱に殆ど影響を与えなくなり，バックと書くと，k1, k2 の条件から Er も Γ も正で，グラウンドの散乱の方が主要になる，とい実はいままで議論してきた Er, Γ と同じ意

うことである．

味をもつことが，以下のようにしてわかる．

(D) k = k1 − ik2 (k2 > k1 > 0) の場合(25)は ε = −i を意味するから，S がそこで

E = −(k22 − k12 )= 2 / 2m − ik1k2 = 2 / m ，

発散し，かつ実際の散乱現象が起こる実数r →∞→ C exp(+ik1r ) exp(+ k2 r ) ，ψ (r ; k ) の k，つまり実数 ε では | S ( E ) |= 1 との条件r →∞| Ψ (r , t ) |2 
→ | C |2 exp(+2k2 r ) exp(−Γt / =) ．

を満たすには，適当な実数位相 δ b を含む形
ε − i 
S (E) = (26)
 exp(2iδ b )ε + i 

これは(C)の共鳴極とよく似た性質をもつを取らねばならない．(26)は極の近傍でだけため，ふつうとくに区別しないが，それが成り立つ近似式なので，例えば後に説明す一因で virtual state を共鳴状態の極限と誤解る関係式(28)などは満たさない．ここでする人が多く，ここでは敢えて明確に分け

ε − i = α eiθ = α cosθ + iα sin θた．(D)で k1 → 0 の極限を取れば virtual state(27)と置くと ε = − cot θ である．一方，(26)の大iθ

括弧の中は (α e ) /(α e

− iθ

)=e

2 iθ

に繋がるが，(D)はエネルギーの実数部が負だから，で，共鳴散乱には対応しない．

S = exp(2iδ ) = exp(2iθ ) exp(2iδ b )なお，k と −k * での S 行列には関係式となる．ゆえに π の整数倍の不定性を除き，

S * (k ) = S (− k * )δ − δ b = θ = − cot εが成り立ち(付録 D)， k = k1 − ik2 が S 行列の−1と書ける． θ は(10)の δ r と同じ意味をもつ(28)

極なら −k * = − k1 − ik2 も極である．即ち，複から，Breit-Wigner 公式(13)が証明された．

素 k 平面上で虚軸上以外の極は必ず虚軸をこの極を共鳴極(resonance pole)と呼び，こ挟んで左右対称に対で現れる(図 7)．

の複素エネルギー状態をよく“共鳴状態”と呼ぶが，これは前節までの実数エネルギ

V.

ーの共鳴状態とは別の定義で，現実の物理態の影響

散乱断面積への virtual states と束縛状状態を表す波動関数ではない．実際，r → ∞ここでも s 波散乱を扱う．位相のずれ

で指数関数的に増大し，物理的に妥当な境δ (k ) は実数波数の k → 0 の極限で nπ に近界条件を満たさない．時間的には指数関数づくという Levinson 定理がある[6, 11–13]．

的に減衰する崩壊状態(decaying state)であn は同じポテンシャル場のもとに存在する

る．漸近領域で | Ψ (r , t ) |2 ∝ exp(−t / τ ) と表せ13束縛 s 状態数で，0 か正の整数だから，lim σ = 2π = 2 /(m | Eb |)k →0sin δ (k ) は k → 0 で 0 に近づき， cot δ (k ) は(33)発散する．ただし例外があり， n + 1 個目のが非常に大きくなる．k (したがって E)が増

束縛状態がちょうど束縛エネルギー0 ででえて極から遠ざかれば， σ ( E ) は減少する．

きる強さの ポテンシャ ルでは， k → 0 で非常に大きな低エネルギー断面積が見らδ (k ) は nπ + (π / 2) に，cot δ は 0 に近づく[6,れるとき，それが浅い束縛状態に起因する

12, 13]．

のか virtual state に依るのかは，積分断面積の E → 0 の極限だけからは区別できない．

k → 0 で cot δ は発散しても， k cot δ は定しかし，( E ≠ 0 の)低エネルギー散乱微分断数( −κ と置こう)に近づく[5, 6, 11, 13]：
lim k cot δ (k ) = −κ .
k →0

面積にはこの 2 つの違いが反映される．ゼ(29)

ロエネルギーでは s 波しか寄与しないからエネルギー0 の束縛状態ができるときには，角分布は球対称になってしまうが，p 波が当然 κ = 0 である．

効いてくれば κ の正負が微分断面積に影響

低エネルギー散乱断面積 σ は s 波断面積で決まるが，それは4π
4π
σ = 2 sin 2 δ =k(k cot δ )2 + k 2

する．したがって，前方散乱と後方散乱を別々に測定できれば，この 2 つの区別がで
きる．

(30)

ではこの 2 つの場合で，実数 k での散乱と書けるから，(29)を使えば，lim σ = 4π / κ 2 = 4π A2k →0

波動関数がどう違うか，調べよう．(4)は
(31)

r →∞
ψ (r ; k ) → C sin(kr + δ )= C ′(sin kr cot δ + cos kr )となる． A (= 1/ κ ) は長さの次元をもち，散乱長(scattering length)と呼ばれる．エネルギとなるが，小さな k の極限では漸近領域にー0 の束縛状態があるときには A = ∞ で，ゼ達した r についても kr  1 と見て良いから，

ロエネルギー極限断面積は発散する．

r →∞ψ (r ; k ) → C ′[(k cot δ )r + 1]
(34)
k →0

→ −C ′(κ r − 1) = C ′′(r − A)

ところで，S 行列は
e+ iδ cos δ + i sin δ=e− iδ cos δ − i sin δk cot δ + ik=
k cot δ − ik
κ − ik(小さな | k | で)
κ + ikS (k ) =と書ける．この漸近形を仮に小さな r まで戻してくると，束縛状態( κ > 0, A > 0 )ならば

(32)

ど こ か で 符 号 を 変 え る が ， virtual state( κ < 0, A < 0 )なら原点まで符号を変えない．
断面積にピークが現れる共鳴散乱に比べ，と書ける．小さな|k|でのみ成り立つ最後のエネルギー0 で断面積が最大値を取る

式によれば，| κ | が小さいとき S (k ) は k = iκvirtual state 効果を，共鳴エネルギーEr が 0に極をもち，前節の(A)，(B)により，エネルになった極限だと間違う人がいる．しかし，

ギー Eb = −(=κ )2 / 2m の浅い束縛状態( κ > 0

前節の(D)で述べたように，virtual state は共のとき)か virtual state ( κ < 0 のとき)が存在

鳴極の極限では決してない．エネルギーのする．複素 k 平面の原点に近い極なので，実部が負，虚部が 0 の状態であり，実部 Er

小さな実数の k での散乱に大きな影響を与が正，虚部 −Γ / 2 が負の共鳴極とは全く違う．

え，低エネルギー極限断面積(31)，即ち

ただし，用語の定義自体が違う場合もある

14くるくると変わることもあって，たいへん複雑である．
短距離型ポテンシャルによる散乱では式(29)の次の項は散乱エネルギーに比例し，
k cot δ (k )  −1/ A + ( ρ / 2)k 2(35)と書け，(31)にも k2 に比例する項が入る[5,11, 13]．ρ は有効距離(effective range)と呼ばれる定数で，(35)や k2 項まで入った断面積の 式 を 有 効 距 離 展 開 (effective-range
expansion) 式 ， そ の 理 論 を 有 効 距 離 理 論(effective-range theory, ERT)という． r −4 に比例する漸近形をもつ分極相互作用のような長距離力があると，k2 項より低次の k に比例する項， k 2 ln k に比例する項が入り複雑になるが，電子・原子衝突，陽電子・原子衝突などではこれを無視できない．この理
図 8．電子衝撃による HCl 分子の振動励起断面積論 を 変 形 有 効 距 離 理 論 (modifiedに見られる virtual state 効果[14]．

effective-range theory, MERT)という．標的が分子になると双極子相互作用( ∝ r −2 )，四極ので注意を要する(付録 B)．

子相互作用( ∝ r −3 )も生じ，これらが理論を

なお，ポテンシャル散乱と違い，例えば

ますます複雑にする．

電子・分子衝突系に virtual state や弱い束縛状態ができると，低エネルギー極限で断面IV.

積が急上昇する効果と，過程の閾エネルギ

結論

以上，原子分子過程での共鳴現象の概観

ー(その過程が起こり得る最低のエネルギ

から始め，ポテンシャル散乱について多少ー)まで下がると断面積が 0 に落ち込まなけ

詳しく共鳴散乱と virtual state の理論を紹介ればならない事情，つまり閾効果(thresholdした．実際の原子分子過程での共鳴やeffect)とが重なり，振動励起断面積などに鋭

virtual state についても，これの類推で大雑いピークが現れることがある(図 8)．30 年近把な見当はつくであろう．しかし，原子分

く昔，いくつかの(主に極性)分子で振動励起子過程は本質的に多自由度，多チャネルの閾値付近に鋭いピークが観測[14]されてか現象で，それに伴う複雑さ，多様性，面白ら長年，共鳴か virtual state かの論争が続い

さはポテンシャル散乱理論からは想像できた．当時は原子物理で実際に virtual state がない．1 つの共鳴状態が形成されても，そ確認されたことがまだ無く，混乱したが，の壊れ方，つまり行き先のチャネルにはい

現在ではいくつかの例が知られている．分

くつもの可能性があり，しかもそれらのチ子の場合，核配置を変えると共鳴極が消え

ャネルは互いに結合(couple)している．またたり，前節の(D)を経由して virtual state に移

その共鳴状態はいくつか異なるチャネルかることがあり，振動運動のさなかに事情が15

ら出発して作ることもできる．個々の過程[15]

核 物 理 分 野 で は 結 合 チ ャ ネ ル

についてこれをきちんと理論的に調べるに(coupled-channel)方程式と言う．どちらも“CC”

は，これらのチャネルが結合した連立微分と省略される．チャネルによっては結合が弱い(または微積分)方程式を研究する必要があので，close-coupling は不適切かとも思われるが，る．この連立方程式を緊密結合方程式

いくつかのチャネル間だけ結合が強いと仮定(close-coupling equations)という[15]．多チャ

して他のチャネルを無視するという意味でこネル現象である Feshbach 共鳴はこの方程式の名前が付き，定着したという歴史的な事情がから出てくる[16, 17]．Feshbach がこれを形ある．

式的に扱った一般理論[2]の概念を付録 A で[16] Ref. [6], Sec. 12.5.

解説する．

[17] Ref. [11], Sec. 145.
[18] Ref. [11], Sec. 134.

References
付録 A:[1] M. Domke et al., Phys. Rev. Lett. 66, 1306 (1991).

Feshbach 理論

エネルギーが 10.2 eV より低い電子と[2] H. Feshbach, Ann. Phys. (N.Y.) 19, 287 (1962).
[3] M. Allan, J. Phys. B 18, L451 (1985).

H(1s)原子との衝突で，励起エネルギー10.2[4] 高柳和夫, 電子・原子・分子の衝突, 改訂版(培eV の H(2s)状態や H(2p)状態を励起するチャ
ネルのように，エネルギー保存則で許され

風館, 1996), 第 2 節.
[5] N. F. Mott and H. S. W. Massey, The Theory of

な い チ ャ ネ ル を 閉 じ た チ ャ ネ ル (closed

Atomic Collisions (Oxford Univ. Press, 1965) Chap.

channel)という．このようなチャネルはある

II [高柳和夫，市川行和，島村勲 訳：衝突の理過程の中途段階で実現できても，その過程

論 上 I (吉岡書店, 1975) 第 II 章].

が終了するまで持続できない．一方，エネ[6] B. H. Bransden and C. J. Joachain, Physics of Atoms

ルギー的に許されるチャネル(上の例では，

and Molecules (Longman, London, 1983), Sec.

弾性散乱チャネル)は過程の終了時まで，つ11.3.

まり漸近領域に系が出てくるまで消えずに
持 続 す る ． こ れ を 開 い た チ ャ ネ ル (open[7] L.I. Schiff, Quantum Mechanics, 3rd ed. (McGraw-

channel)という．

Hill, N.Y., 1968), Sec. 19.

時間非依存の散乱波動関数 ψ から閉チャ[8] Ref. [5], Chap. XVIII [邦訳：下 I (1976)第 XVIII

ネルだけ取り出す操作を演算 Q，開チャネ

章].
[9] E. P. Wigner, Phys. Rev. 98, 145 (1955).

ルだけ取り出す操作を演算 P で表そう．P，[10] U. Fano, Phys. Rev. 124, 1866 (1961).

Q を(Feshbach の)射影演算子という．閉チャ[11] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum

ネルと開チャネルの 2 種類しかあり得ない

Mechanics, 3rd ed. (Pergamon, Oxford, 1977), Sec.

から， Pψ + Qψ = ψ ，つまり P + Q = 1 であ133.

る． ψ からまず閉チャネルを取り出し，そ[12] Ref. [5], Chap. VII [邦訳：第 VII 章].

の結果から開チャネルを取り出そうとして[13] Ref. [7], Sec. 39.

も無いから，P(Qψ ) = 0 ，またその逆も同じ[14] K. Rohr and F. Linder, J. Phys. B 9, 2521 (1976).

で Q( Pψ ) = 0 ．開(閉)チャネルを取り出し，O. Schafer and M. Allan, J. Phys. B 24, 3069

それにもう一度同じ操作をしても変わりが(1991).

ないから， P( Pψ ) = Pψ ， Q(Qψ ) = Qψ ．こ

16

空間，つまり閉チャネルにエネルギーE0 のれらをまとめると，関数に施す操作の規則
P + Q = 1, PQ = QP = 0,(36)
P 2 = P, Q 2 = Q

束 縛 状 態 Qψ が あ れ ば ， 閉 チ ャ ネ ル
Schrödinger 方程式{Q( H − E0 )Q}Qψ = 0が成り立つ．
Feshbach の論文[2]に従い，Schrödinger 方
程式 0 = ( H − E )ψ に(36)を使えば0 = P( H − E )ψ = P ( H − E )( Pψ + Qψ )= {P( H − E ) P}Pψ + ( PHQ)Qψ
0 = Q( H − E )ψ = Q( H − E )( Pψ + Qψ )= (QHP) Pψ + {Q ( H − E )Q}Qψ

が満たされるので， {Q ( H − E )Q} の逆演算
は E = E0 で発散し，その前後で急激な E 依
存性を示す．それが断面積にももちろん反(37)

映され，共鳴構造が表れることになる．
この共鳴，即ち Feshbach 共鳴は，閉チャ(38)

ネルの束縛状態 Qψ に起因する開チャネルを得る．第 2 の式を移項し， Qψ について

光学ポテンシャル自身の急激なエネルギー

形式的に解くと依存性によるもので，エネルギーに依らなQψ = −{Q( H − E )Q}−1 (QHP) Pψ ，いポテンシャルに捕まる形状共鳴とは本質

これを第 1 の式に代入すると次の式を得る：[{P( H − E ) P}
− PHQ{Q ( H − E )Q}−1 QHP ]Pψ = 0 ．

(40)

的に異なる． Qψ が共鳴状態の役割を演ずるので閉チャネル共鳴ともいう．

(39)

最後に光学ポテンシャルについて補足す
る．{Q( H − E )Q}−1 が積分演算を表すと述べ

これで Qψ に関する方程式が消え，形式

たが，例えば関数 φ (r ) にこの演算を施すと的に Pψ だけに関する方程式になっている．
非弾性散乱が起こらないエネルギーでは∫ V (r, r′)φ (r′)dr′Pψ は弾性散乱チャネルだけで，(39)は単一という形になる．このポテンシャルは，粒チャネル問題になる．その第 1 項は P 空間

(41)子の位置 r だけの関数としては表せず，空内での，即ち開チャネル波動関数について

間内全域に亘る波動関数自身に影響されるの通常の Schrödinger 方程式と思ってよい．

ので，図示できない．この形を非局所ポテ{P( H − E ) P} の左右にある P は，開チャネ

ンシャル(nonlocal potential)と呼び，これにル関数の話ですよ，との断りと思ってよい．

対し粒子位置で決まるふつうのポテンシャ

第 2 項は閉チャネルとの結合の効果とし

ル V (r ) を局所ポテンシャル(local potential)て開チャネルに加わった有効ポテンシャルと呼ぶ．

であり，以下Veff と書く．これと第 1 項の中のポテンシャルの和を光学ポテンシャル(optical

付録 B:

potential) と い う ． 問 題 は用語の整理

本文では主に 3 通りの意味で共鳴状態と{Q( H − E )Q}−1 の部分で，あまりに抽象的でいう言葉を使った．第 1 は共鳴過程の原因

ポテンシャルの具体形が見えにくい．まず，になる束縛状態型波動関数で，(18)の表記でハミルトニアン H は座標についての微分演

は ϕ に，付録 A の Feshbach 理論では(40)を算を含むから，演算 {Q ( H − E )Q} の逆演算満たす閉チャネル束縛状態 Qϕ に相当する．

{Q( H − E )Q}−1 は座標に関する積分演算を

第 2 はこれに連続状態が混ざり振動しなが表すことが想像される．また，その中に Eら漸近領域に達する状態で，(18)の表記ではがあるから，Veff が衝突エネルギーにより変ψ ( E  Er ) に，Feshbach 理論では E  E0 での化するポテンシャルだとわかる．次に，Q17波動関数 ψ に相当する状態である．この 2

δ ( E = 0) が π / 2 の奇数倍になり低エネルギ

種類の``共鳴状態''はしばしば断りなしに混ー極限断面積が発散するのを共鳴と彼が呼同して使われるが，あまり誤解は起こさな

ぶのも，“共鳴”のこの定義とならば矛盾せいようである．第 3 は第 IV 節(C)の複素エず，Schiff の中では一貫性がある．

ネルギー状態で，現実の物理状態を記述す

以上，説明した用語は，いろいろなグルるものではなく，仮想的な状態と言ってもープの慣習により，また著者の注意深さ程よい．

度にもより，残念ながらときどき曖昧に，

第 1 の共鳴状態は“quasi-bound state”とまた混同して使われている．“resonance”，

か，“quasi-stationary state”[18]，“quasi-discrete“ in resonance ”，“ virtual ”，“ quasi- ”，

state”[18]などとも呼ばれる．また Schiff の“pseudo-”等同じ単語が，あるときは狭い

教科書[7]などは，束縛状態に似てはいるが意味での明確な術語として，またあるとき

ハミルトニアンの本当の固有状態ではない，

は一般的な形容詞，形容句などの意識で使というほどの意味で“virtual state”，“virtual

われる．文献を読むときには，各用語が本energy level”と呼んでいるが，これは混乱

稿で説明したもののうちどれを意味するのを招いて好ましくない．この意味でのか，前後の文脈から適切に判断していただ“virtual state”なら正のエネルギーをもつ．

きたい．ときには著者自身が混乱し，間違

一方，本文第 IV 節(B)の virtual state は負った議論をしていることもあるので，それのエネルギーをもつ．これによる低エネルを見抜く注意が必要である．

ギー断面積の増大を“virtual state resonance”，
付録 C:

またごく弱い束縛状態による低エネルギー

時間遅れと位相のずれの関係

断面積の増大を“resonance”[7, 11]，“zero-

簡単な例として s 波散乱を考え，添え字 0energy resonance”[6, 13]などと呼ぶこともあは省略する．波束の動きを調べるため，エる．弱い束縛状態や virtual state による断面

ネルギーE のわずかに違う 2 つの時間依存積の増大は(本文の意味での)共鳴散乱とは内向き波 Ψ ( − ) ( E ) = e−ikr −iEt / = を重ね合せた簡

物理的機構もエネルギー依存性も違うのだ

単な波束 Φ ( − ) = Ψ ( − ) ( E− ) + Ψ ( − ) ( E+ ) を作る．

が，Landau[11]も Schiff[7]も，“何らかの準E± = E ± ∆E とし，これに対応する波数 k を位”付近で，つまり“衝突エネルギーがこ

k± = k ± ∆k と書く． Φ ( − ) の虚部を取ると(実の準位に共鳴する(in resonance)”ときに散乱部でも最終結果は同じ)，が大きく影響されるのを，一括してIm Φ ( − )“resonance”と呼んでいる．

= − sin(k− r + E− t / =) − sin(k+ r + E+ t / =)S 行列の極 k = iκ で，正で小さな κ が 0 を= −2cos(∆k ⋅ r + ∆E ⋅ t / =)sin(kr + Et / =)通り負になると事情がどう変わるか
Schiff[13]は論じているが，Landau[11]とは違と書ける．これは激しく振動する正弦波にい， κ < 0 を virtual state とは呼んでいない．

ゆっくり振動する余弦波の振幅がかかる簡位相のずれ δ ( E ) が π / 2 の奇数倍を正の単な波束を表す．余弦波の位相が 0 になる

傾きでよぎるのを“共鳴”とする文献もあr が最大振幅，つまり波束の山の位置だから，
r = −{∆E / ∆ (=k )}t = −vt

ることを，本文で述べた．Schiff[7]もその例(42)と波束は動く．つまり群速度 v = ∆E / ∆ (=k )で，エネルギー0 の束縛状態があるときに18

で内向きに等速運動をする．
一方，漸近的外向き波は位相のずれ δ ( E )+ ikr − iEt / = + 2 iδ

付録 D:

S 行列の関係式(28)の証明を取るから，

波動関数 ψ (r ; k ) についての Schrödinger

δ ± = δ ( E = E± ) = δ ± ∆δ と 置 く と ， 波 束

方程式(2)から出発し，S 行列の関係式(28)Φ ( + ) = Ψ ( + ) ( E− ) + Ψ ( + ) ( E+ ) の虚部はを証明する．(2)全体の複素共役を取ると，(+)

を含む形 Ψ ( E ) = e

演算子は k2 を(k2)*に置き換えたものになり，Im Φ ( + ) = sin(k− r − E− t / = + 2δ − )波動関数は ψ * (r ; k ) となる．一方，ψ (r ; −k * )+ sin(k+ r − E+ t / = + 2δ + )が満たす方程式は，(2)で k2 を (−k * ) 2 = (k 2 )*= 2 cos(∆k ⋅ r − ∆E ⋅ t / = + 2∆δ )× sin(kr − Et / = + 2δ )に置き換えたものである．したがって，

ψ * (r ; k ) と ψ (r ; −k * ) は同じ方程式を満たし，となる．したがって最大振幅位置はr = {∆E / ∆ (=k )}t − {2∆δ / ∆k}= v[t − {2=∆δ / ∆E}]
= v[t − ∆t ]定数係数の違いしかない．(4)を使うと，それぞれの波動関数の漸近形は

(43)

*

*

*

ψ (r ; −k * ) ∝ e+ ik r − S (− k * )e−ik rと動く．即ち，場との相互作用のため内向き波束の入射後，外向き波束が出るまでに∆t = 2=d δ / dE = −i =(dS / dE ) S **ψ * (r ; k ) ∝ e+ ik r − S * (k )e −ik r

だから，

(44)

S * (k ) = S (− k * )だけの時間遅れが生じる[5, 9]．時間非依存でなければならない．

Schrödinger 方程式から得られる位相のずれ
や S 行列で時間遅れが表せるのは興味深い．

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