SUR LA COMPATIBILITÉ ENTRE LES CORRESPONDANCESDE LANGLANDS LOCALE ET GLOBALE POUR U(3)JOËL BELLAÏCHE

Résumé. En utilisant un argument d’augmentation du niveau (et un résultat
de Larsen sur l’image des représentations galoisiennes apparaissant dans dessystèmes compatibles), nous prouvons que pour toute forme automorphe π deU(3), la représentation galoisienne l-adique ρl attachée à π par Blasius et Rogawski est à chaque place finie celle associée à π par la correspondance de Langlands locale (au moins à semi-simplification près, et pour un ensemble de densité
1 de l). Nous nous appuyons sur le travail de Harris et Taylor, qui ont prouvé lesmêmes résultats (pour U(n)) sous l’hypothèse que le changement de base de π
est de carré intégrable en au moins une place. Un corollaire de notre résultat est
que toute représentation automorphe pour G tempérée à une infinité de places
est tempérée partout.
Abstract. Using a level-raising argument (and a result of Larsen on the imageof Galois representations in compatible systems), we prove that for any automorphic representation π for U(3), the l-adic Galois representation ρl which is
attached to π by the work of Blasius and Rogawski, is the one expected by local
Langlands correspondance at every finite place (at least up to semi-simplificationand for a density one set of primes l). We rely on the work of Harris and Taylor,
who have proved the same results (for U(n)) assuming the base change of π issquare-integrable at one place. As a corollary, every automorphic representation
which is tempered at an infinite number of places is tempered at every places.

1. Introduction
1.1. Résultats. Soit E/F une extension CM de corps de nombres, c l’élément non
trivial de Gal (E/F ), G le groupe unitaire à trois variables défini par
G(R) = {g ∈ GLn (E ⊗F R), t c(g)g = 1}
pour toute F -algèbre R. On choisit une clôture algébrique Ē de E et on pose
ΓE = Gal (Ē/E).
Dans [Rog3], Rogawski a étudié en grand détail les représentations automorphes
de G. Il a construit une application de changement de base attachant à chaquereprésentation automorphe π de G une représentation automorphe π E de GE =G ×F E ' (GL3 )E (voir 2.2.1). De plus, avec Blasius, dans [BR], il a montré
l’existence d’un système compatible de représentations galoisiennes attaché à π (ouà πE ), que nous explicitons ci-dessous.
Pour chaque place finie w de E, choisissons une clôture algébrique Ēw de Ew , etnotons ΓEw := Gal (Ēw /Ew ). Choisissons également un plongement de Ē dans Ēw ,ce qui permet d’identifier ΓEw à un sous-groupe de décomposition D w de ΓE en w.
Pour l un nombre premier, choisissons une clôture algébrique Q̄l de Ql et notons(à la suite de [HT, page 6]) rl la correspondance de Langlands locale qui associeà une représentation complexe lisse irréductible de GL 3 (Ew ) une représentation
continue de dimension 3 de ΓEw sur Q̄l .
1

2

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Enfin, pour r une représentation d’un groupe G, nous notons dans cet article r |H
ss la semi-simplification de cettela restriction de r à un sous-groupe H de G et r |H
restriction.
Théorème 1 (Blasius-Rogawski (voir [BR] théorème 1.9.1 (a) et théorème 2.2.1.)).
Soit π une représentation automorphe de G dont le changement de base π E est
cuspidal. Il existe un corps de nombres L, et pour toute place finie µ de L une
représentation continue, absolument irréductible, ρ µ : Gal (Ē/E) → GL3 (Lµ ) telleque pour toute place finie v de F première à N (µ)Disc (E/Q) telle que π v est non
ramifiée, et pour toute place w de E divisant v, on ait(ρµ )ss|Dw ' rl ((πE )w ).
De plus, soit πE est l’induite automorphe d’un caractère de Hecke Ψ d’une extension cubique E 0 de E, soit les représentations ρµ sont fortement absolumentirréductibles, i.e. la restriction de ρ µ à tout sous-groupe ouvert de Gal (Ē/E) est
absolument irréductible.
Si L est un corps de nombres satisfaisant la conclusion du théorème 1, on diraque L est un corps de définition de π. Tout corps de nombres contenant L est alorsaussi un corps de définition de π.
Les ρµ forment donc un système de représentations compatibles de Gal ( Ē/E)à coefficients dans L. Mais le théorème précédent ne décrit les représentations ρ µqu’aux bonnes places w de E. L’objet de cet article est d’étendre cette description
aux autres places. Nous y parvenons, mais seulement pour un ensemble de densité 1de places µ, et à semi-simplification près. Plus précisément, notre résultat principal
est le suivant :Théorème 2. Soit π une représentation automorphe de G dont le changement debase πE est cuspidal, et L un corps de définition de π. Il existe un ensemble S dedensité 1 de nombres premiers tel que pour toute place µ de L divisant l ∈ S, etpour toute place finie w de E ne divisant pas l, on aitss(ρµ )ss|Dw ' rl ((πE )w ) .

Remarquons que si πE est une induite automorphe d’un caractère de Hecke Ψ,le théorème 2 découle aisément des propriétés de compatibilité locale/globale del’induction automorphe (cf [AC]) et du théorème de multiplicité un forte pour GL 3 .
Pour prouver le théorème 2, on peut donc supposer, et l’on supposera par la suite,
que les ρµ sont fortement absolument irréductibles.
Le résultat suivant se déduit aisément du théorème 2 :Corollaire 1.
1) Si π est une représentation automorphe de G dont le changement de base πE est cuspidal, alors πE est tempérée en toute place w deE.
2) Si π est une représentation automorphe de G dont le changement de base π E
est cuspidal, alors π est tempérée en toute place v de F .
3) Si π est une représentation automorphe auto-duale de GL 3 (F ) (F un corps
totalement réel), tels que π∞ est discrète à poids distincts pour toute placeréelle ∞ de F , alors π vérifie la conjecture de Ramanujan.

SUR LA COMPATIBILITÉ

3

Démonstration — Le premier point se prouve à partir du théorème 2 exactement comme le théorème VIII.1.11 de [HT]. Le second résulte du premier. Pour letroisième, pour toute place finie v de F , on peut choisir un corps CM E/F tel que lechangement de base πE est cuspidal et v décomposé dans E. Les hypothèses faites
sur π assurent alors que πE provient par changement de base d’une représentation
automorphe π 0 du groupe unitaire G attaché à E/F . Le fait que π v est tempérée
résulte alors de 1).

1.2. Méthode. La preuve du théorème 2 s’appuie sur le résultat essentiel suivant,du à Harris et Taylor :Théorème 3 (Harris-Taylor). Soit π une représentation automorphe de G dont lechangement de base πE est cuspidal, et L un corps de définition de Π. On supposeque (πE )w est de carré intégrable pour au moins une place finie w de E. Alors pour
toute place µ de L (de caractéristique résiduelle l), et pour toute place finie w de
E ne divisant pas l, on ass(ρµ )ss|Dw ' rl ((πE )w ) .
L’objet du théorème 2 est donc d’enlever l’hypothèse que π E est de carré intégrable
au théorème 3. Pour cela, on prouve d’abord deux propositions qui sont des cas
particuliers du théorème 2 :Proposition 1. Soit π une représentation automorphe de G dont le changement
de base πE est cuspidal, et L un corps de définition de π. Il existe un ensemble S
de densité 1 de nombre premiers tel que pour toute place µ de L divisant l ∈ S, etpour toute place finie w de E ne divisant pas l, on aitss(ρµ )ss|Iw ' rl ((πE )w )|Iw ,où Iw ⊂ Dw est le sous-groupe d’inertie.
On note Gv le groupe G(Fv ), et Bv un sous-groupe d’Iwahori de Gv .
Proposition 2. Soit π une représentation automorphe de G dont le changement
de base πE est cuspidal, et L un corps de définition de π. Il existe un ensemble S dedensité 1 de nombre premiers tel que pour toute place µ de L dont la caractéristiquerésiduelle l appartient à S, et pour toute place finie v de F ne divisant pas l, si
πvBv 6= 0, on ait, pour w place de E au-dessus de v,ss(ρµ )ss|Dw ' rl ((πE )w ) .

Pour prouver les propositions 1 et 2, l’idée est, en première approximation, de seramener au théorème 3, appliqué à une représentation automorphe π n qui en vérifie
l’hypothèse (de carré intégrable en une place) et qui est congrue à π modulo µ n ,pour n = 1, 2, . . . , la représentation π n étant obtenue en appliquant le théorèmed’augmentation du niveau de [BG] à π en une place inerte auxiliaire v 0 . Cetteméthode consistant à utiliser des augmentations du niveau pour se ramener au
cas où une hypothèse technique est satisfaite a d’ailleurs déjà été utilisée dansla thèse de Taylor ([Taylor]), dans un cadre et un but différents (il s’agissait demontrer l’existence de représentations galoisiennes attachées aux formes modulaires
de Hilbert)

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Cependant on bute ici sur deux difficultés : la première est qu’en appliquant unthéorème d’augmentation du niveau à π modulo µ n avec n > 1, on n’obtient pas, dereprésentations automorphes πn mais seulement des formes automorphes f n qu’on
ne peut supposer propres pour les opérateurs de Hecke. On contourne ce problèmeen imposant à fn d’apparaı̂tre dans un espace de formes automorphes admettant
un type de Bushnell-Kutzko adéquatement choisi (pour prouver la proposition 1)
ou d’être propre modulo µn pour un caractère adéquat du centre de l’algèbre de
Hecke-Iwahori (pour prouver la proposition 2).
La seconde difficulté consiste à montrer l’existence de bonnes places inertes auxiliaires : on ne peut pour cela utiliser le théorème 2 de [BG], qui montre l’existencede places auxiliaires v0 , mais telles que µ est non normale pour v 0 (voir 2.3.3), ce qui
empêche de montrer que la forme obtenue f n vérifie les hypothèses du théorème 3.
On utilise à la place un résultat récent de Larsen sur l’image des représentations
galoisiennes dans un système compatible ([La]), qui combiné avec un résultat deSteinberg, permet de montrer l’existence de bonnes places inertes v 0 , telles que µ est
normal pour v0 (quoique non banal), où augmenter le niveau, à condition d’exclure
un ensemble de mesure nulle de nombres premiers l.
Enfin, pour prouver le théorème 2, on utilise un changement de base non galoisienpour ramener le calcul de la trace d’un élément de D w − Iw dans le cas général àla proposition 2, ce qui, combiné avec la proposition 1 (déterminant la trace desactions des éléments de Iw ) permet de conclure.
2. Notations et rappels
2.1. Notations. On garde les notations de l’introduction, E/F est une extension
CM , c l’élément non trivial de Gal (E/F ). On choisit un relevé γ de c dans Γ F =Gal (F̄ /F ), tel que γ 2 = 1.
Soit G le groupe unitaire défini dans l’introduction. On notera G v le groupe
G(Fv ). On notera qv le cardinal résiduel de Fv , et $v une uniformisante de Fv .
2.2. Le changement de base de Rogawski.
2.2.1. Changement de base global. Rogawski définit une partition des représentations automorphes de G en A-paquets globaux, et pour chaque A-paquet Π, sonchangement de base πE qui est une représentation automorphe de G E . On peut donc
définir sans ambiguı̈té le changement de base d’une représentation automorphe πde E comme le changement de base du A-paquet auquel elle appartient.
2.2.2. Changement de base local. Soit v une place de F . Rogawski définit, suivant lesconjectures d’Arthur, des parties finies de l’ensemble des classes d’isomorphismes dereprésentations lisses complexes irréductibles de G v qu’il appelle A-paquet locaux.
Si v est décomposée, tous les A-paquets sont des singletons.
Soit w une place de E au-dessus de F . Si Π v est un A-paquet local, on peut définirson changement de base (local) à Ew qui est une représentation lisse complexe
irréductible de GL3 (Ew ). Les A-paquets globaux sont produits tensoriels de Apaquets locaux et le changement de base global est compatible au changement debase local.
Une représentation complexe lisse irréductible de G v peut appartenir à plusieurs
A-paquets locaux. Cependant :SUR LA COMPATIBILITÉ

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Lemme 2.2.3. Si deux A-paquets Πv et Π0v contiennent une représentation en
commun, leurs changements de bases sont des sous-quotients d’une même induite
parabolique. En particulier, les images de ces deux changements de base par lacorrespondance de Langlands ont même semi-simplification.
De plus, si Πv et Π0v contiennent deux représentations π v et πv0 ayant même
support supercuspidal à équivalence inertielle près, il en va de même de leur changement de base.
Démonstration — Il n’y a rien à prouver pour v décomposée. On suppose v inerte
ou ramifiée.
D’après [Rog3], les seules représentations appartenant à plusieurs A-paquets
sont celles notées π s (χ) loc. cit., page 199, pour χ un caractère de U(1). Ces
représentations appartiennent exactement à deux A-paquets, {π s (ξ), π 2 (ξ)} (quiest tempérée), et {π s (ξ), π n (ξ)} (qui ne l’est pas). Les changements de base deces deux A-paquets sont respectivement la sous-représentation irréductible et lareprésentation quotient de l’induite du Borel du caractère (ξ E , ξE | |, 1).
Le “en particulier” résulte par exemple de [He].
Le “de plus” résulte de [Rog3, prop. 13.2.2].

Si πv est la composante locale d’une représentation automorphe, elle appartient à
au moins un A-paquet local. La notation r l ((πv )Ew )ss est donc définie sans ambiguı̈té
par rl ((Πv )Ew )ss , où Πv est n’importe quel paquet local contenant π v .
2.3. Rappels locaux.
2.3.1. Algèbres de Hecke non ramifiées. Si v est inerte ou ramifiée, G v est un groupe
unitaire quasi-déployé de rang un. Si v est inerte, G v est de plus non ramifiée. On
dispose alors d’une classe de conjugaison privilégiée de sous-groupes compacts maximaux de Gv , la classe de conjugaison hyperspéciale. Si K v appartient à cette placel’algèbre de Hecke H(Gv , Kv ) des fonctions à support compact, K v -invariantes àgauche et à droite, à valeurs dans Z, munies de la convolution, est commutative,
isomorphe à Z[Tv ]. Ici, Tv est l’opérateur de Hecke standard, défini comme la fonction caractéristique de la double classe de la matrice diagonale ($ v , 1, $v−1 ). On lenotera aussi parfois Tw , où w est la place de E au-dessus de v
Si v est une place décomposée, le choix d’une place w de E définit un isomorphisme Gv ' GL3 (Fv ) ' GL3 (Ew ), canonique à automorphismes intérieurs près. Si
Kv est le compact maximal correspondant à GL 3 (Ov ) via cet isomorphisme, on notera Tw l’opérateur de Hecke dans H(Gv , Kv ) donnée par la fonction caractéristiquede la double classe de la matrice diagonale ($ v , 1, 1).
2.3.2. On peut reformuler le théorème 1 en termes des opérateurs de Hecke ainsidéfinie. En gardant les notations de ce théorème, pour toute place v telle que π v est
non ramifiée, w place de E au-dessus de v, si λ w est la valeur propre par laquelle
agit l’opérateur Tw sur la droite πvKv , alors
λw = tr ρµ (Frob w ).
2.3.3. Caractéristiques normales. Si v est inerte, on dit que l est une caractéristiquenormale (resp. banales) pour Gv (ou pour v) si l ne divise pas qv (qv3 + 1) (resp.
qv (qv − 1)(qv3 + 1)).

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JOËL BELLAÏCHE

2.3.4. Centre de Bernstein. Nous rappelons un fragment de la théorie du centre deBernstein. Soit Bv un sous-groupe d’Iwahori de Gv , Kv un compact maximal. On
note Z(Gv , Bv ) le centre de l’algèbre de Hecke-Iwahori H(G v , Bv ). Alors
Lemme 2.3.5. Il existe un isomorphisme d’algèbreb : Z(Gv , Bv ) ⊗ C ' H(Gv , Kv ) ⊗ C,
tel que, pour toute représentation π lisse irréductible de G v telle que π Bv 6= 0,1) Z(Gv , Bv ) agit sur π Bv par un caractère ψ, et H(Gv , Kv ) agit sur π Kv (éventuellement nul) par le caractère ψ ◦ b−1 .
2) Il existe une unique représentation π 0 avec π 0 Kv 6= 0, et telle que H(Gv , Kv )agisse sur π Kv par ψ ◦b−1 . De plus π et π 0 apparaissent dans une même induite
non ramifiée.
3) La représentation galoisienne r l ((π)Ew )ss est non ramifiée, et tr rl ((π)Ew )(Frob w ) =ψ ◦ b−1 (Tw ).
Démonstration — D’après la théorie classique des représentations non ramifiées,
toute représentation lisse irréductible π apparaı̂t comme facteur de Jordan-Hölder
d’une induite parabolique I d’un caractère non ramifié, qui contient un unique facteur non ramifiée π 0 , et qu’on peut supposer indécomposable. D’après l’équivalencede catégorie bien connue de Borel, I Bv est un module indécomposable sur H(G v , Bv ).
Le centre Z(Gv , Bv ) agit donc par un caractère ψ sur I Bv , donc sur π Bv et π 0Bv .
L’existence de l’isomorphisme b vérifiant 1) résulte de [B] ; 2) résulte alors de ce qui
précède, et 3) de [He].


3. Existence de places inertes et normales o ù augmenter le niveau
3.1. Énoncé.
3.1.1. Dans toute cette partie, π est une représentation automorphe pour G dont
le changement de base à E, est cuspidal, w est une place de E et v est la place de F
divisant E. On choisit un corps de définition L de π, et pour µ place finie de L, onnote ρµ la représentation galoisienne associée, qu’on suppose fortement absolumentirréductible.
Le but de cette sous-partie est de prouver le résultat suivant :Proposition 3.1.2. Il existe un ensemble S de nombre premiers, de densité 1,
tel que pour toute place finie µ de L divisant une place de S, et pour tout entiern ≥ 1, il existe une infinité de places v 0 de F , inertes dans E, telles que πv0 est non
ramifiée, et telles que la valeur propre λ = λ v0 de l’opérateur de Hecke standard
Tv0 sur πv0 , et le cardinal résiduel q = qv0 de Fv0 vérifient(1)

λ ≡ q(q 3 + 1)

(2)

q ≡ 1

(mod µn )(mod µn ).

3.2. Réduction à une propriété de l’image de ρ µ .

SUR LA COMPATIBILITÉ

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3.2.1. D’après [BG, 6.2.8], il existe une base de L 3µ telle que dans cette base, lareprésentation ρµ définisse un morphisme ρµ : Gal (Ē/E) → GL3 (Oµ ), vérifiant
pour tout g ∈ GE(3)

ρµ (γgγ −1 ) = At ρµ (g)−1 A−1 ,où A ∈ GL3 (Oµ ). Comme γ est une involution, on voit en appliquant deux fois (3)que At A−1 est dans le commutant de ρµ , donc est un scalaire α. D’où t A = αA,
ce qui implique α = ±1, et le cas antisymétrique α = −1 est impossible car A est
inversible. On a donc
(4)t

A = A.

3.2.2. Notons ρn la réduction de ρµ modulo µn , et ωln : Gal (F̄ /F ) → (Z/l n Z)∗ lecaractère cyclotomique. La proposition 3.1.2 se réduit à la proposition suivante :Proposition 3.2.3. Il existe g ∈ Gal ( Ē/E) tel que ρn (g) = aId avec a ∈ (O/µn )∗et ωln (g) = −1.
3.2.4. Prouvons que le proposition 3.2.3 implique la proposition 3.1.2. G̃ le produitsemi-direct
GL3 (O/µn ) o C,
où C est le groupe à deux éléments {1, c} et c agit sur G par g 7→ t g −1 . Les relations (3, 4)) permettent de prolonger ρ n en un morphisme, noté ρ̃n : Gal (Ē/F ) → G̃par(5)

ρ̃n (σ) = ρ(σ) o 1, σ ∈ Gal (Ē/F )(6)ρ̃n (γ) = A o c

Si g est comme dans l’énoncé de la proposition, on a ρ̃ n (gγ) = (aA) o c etωln (gγ) = 1. Il existe donc une infinité de places v 0 de F telles que ρ̃n (Frob v0 ) =(aA) o c et ωln (Frob v0 ) = 1. Ces places ne peuvent être décomposées, un infinité
d’entre elles sont donc inertes. Pour v 0 une telle place, on a q = 1, et si w0 est la
place de E au-dessus de v0 ,ρn (Frob w0 ) = ρ̃n (Frob v0 )2 = (aA)t (aA)−1 = Id
(cf. [BG, 6.2.8]), ce qui implique que λ ≡ q(q 3 + 1) (mod µn ) d’après la transformation de Satake, cf. [BG, 3.7.1]
3.2.5. Le reste ce cette partie est consacrée à la preuve de la proposition 3.2.3.
Nous distinguerons deux cas (i) et (ii), suivant la disjonction du théorème 2.2.1
de [BR], point (b) : le cas (i) est celui où les représentations ρ µ sont fortement
absolument irréductibles, i.e. sont absolument irréductibles et le restent après restriction à tout sous-groupe d’indice fini du groupe Gal ( Ē/E). Le cas (ii) est celui
des représentations qui sont des induites d’un sous-groupe d’indice 3.
3.3. Preuve de la proposition 3.2.3.

8JOËL BELLAÏCHE

3.3.1. Pour tout nombre premier l, et toute place µ de L au-dessus de l, ρ µ est
une représentation de Gal (Ē/E) de dimension 3 sur Lµ qu’on peut également voircomme une représentation de dimension 3[L µ : Ql ] sur Ql . Posons
ρl = ⊕µ|l ρµqui est une représentation de dimension
X
3[Lµ : Ql ] = 3[L : Q].
µ|lLes ρl forment un système compatible de représentations l-adiques.
Notons Γl l’image de ρl (dans GL3[L:Q] (Ql )) et Gl son adhérence Zariski. Commeles représentations ρµ (sur Lµ ) sont irréductibles, elles sont semi-simples en tantque représentation sur Ql , ainsi que les ρl . Les groupes Gl sont donc réductifs. On
note G0l la composante neutre de Gl , auquel on peut appliquer un résultat de Serre(cf. [Serre, théorème, page 15]) :Lemme 3.3.2. Il existe une extension finie E 0 de E, tel que pour tout l,ρl (Gal (Ē/E 0 )) = Γl ∩ G0l (Ql ).
Quitte à remplacer E par E 0 , on peut donc supposer que Gl = G0l . Comme ρµ
est fortement absolument irréductible, Ce changement de E en E 0 n’affecte pas
l’hypothèse que ρµ est absolument irréductible.
sc3.3.3. On note, suivant [La], Gadl le groupe adjoint de Gl et Gl le revêtementadscuniversel de Gl . Ce sont des groupes réductifs connexes, et G l et Gadl sont mêmesemi-simples.
D’après [La-pi], il existe un ensemble de densité 1 de nombre premiers, tel que
pour tout nombre premier l de cet ensemble, le groupe réductif G scl est non ramifié
(cf. [Ti]). On peut donc parler de sous-groupes compacts maximaux hyperspéciauxadadde Gscl (Ql ) pour l 6∈ S (cf. [Ti]). Notons enfin Γ l l’image de Γl dans Gl (Ql ) parsc
adsc
l’application canonique, et Γl l’image réciproque de Γl dans Gl (Ql ).

Γscl/ Γad o

Γl D

l

DD
DD
DD
DD
"

Gl (Ql )

GG
GG
GG
GG
G#
/ Gad (Ql ) o
l

FF
FF
FF
FF
F#

Gsc
l (Ql )

Le théorème suivant est le résultat principal de [La].
Théorème 3.3.4 (Larsen). Il existe un ensemble de densité 1 de nombres premiers tel que pour tout l de cet ensemble, Γ scl est un sous-groupe compact maximal
hyperspécial de Gsc
(Q
).
l
l
Corollaire 3.3.5. Il existe un ensemble S de densité 1 de nombres premiers telque pour tout l de cet ensemble, Γscl n’a pas de quotient d’ordre 2.
Démonstration —On prend pour ensemble S de nombre premiers celui duthéorème précédent privé de 2. Pour l en dehors de cet ensemble, G sc
l a un (unique)scscmodèle à fibres semi-simples connexes sur Z l tel que Γl = Gl (Zl ). Comme lescnoyau de la réduction, surjective d’après le lemme de Hensel, G scl (Zl ) → Gl (Fl )SUR LA COMPATIBILITÉ

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est un pro-l-groupe avec l 6= 2, il suffit de voir que G scl (Fl ) n’a pas de quotientd’ordre 2. Or d’après un théorème de Steinberg ([Steinberg], voir aussi [PR, page406]), comme le Fl -groupe algébrique Gscl est semi-simple connexe et simplement
connexe, le groupe de ses points rationnels G sc
l (Fl ) est d’abélianisé trivial.
Dorénavant, S désigne un ensemble de nombres premiers comme dans le corollaireci-dessus.
3.3.6. Notons maintenant Γµ l’image de ρµ dans GL3 (Lµ ), et Gµ l’adhérence Zariski de Γµ dans GL3 (Lµ ) considéré comme groupe algébrique sur Q l , i.e. dans
L
ResQµl GL3 .
La projection p : ρl → ρµ définit un morphisme surjectif p de Γ l sur Γµ qui
se prolonge en un morphisme surjectif (noté aussi p) de Q l -groupes algébriques
Gl → Gµ . Le groupe Gµ est donc connexe. On définit Gadµ comme le groupe adjointscadde Gµ , et Gµ comme le revêtement universel de G µ . On définit Γadµ comme l’imagescadde Γµ , et Γµ comme l’image réciproque de Γµ .
On a donc le diagramme commutatif suivant :Γscl/ Γad oΓl ElGl (Ql )

µ

EE
EE
EE
EE
E" 

Gµ (Ql )Gsc
l (Ql )l
/ Γad o



Γµ

FF
FF
FF
FF
F#

GG
GG
GG
GG
G#
/ Gad (Ql ) o

EE
EE
EE
EE
"



τ
FF
FF
FF
FF
F# 
/ Gad (Ql ) o
µ

Γsc
µ
FF
FF
FF
FF
F"
τ



Gsc
µ (Ql )où les flèches verticales se déduisent de p par fonctorialité et sont toutes surjectives
par construction.
Lemme 3.3.7. Si µ|l et l ∈ S, Γscµ n’a pas de quotient d’ordre 2.
Démonstration — Comme c’est un quotient de Γ sc
l , cela résulte du corollaire 3.3.5.
scLemme 3.3.8. Le groupe Gadµ (Ql )/τ (Gµ (Ql )) est abélien de 3-torsion.

Démonstration —Considérons Gµ comme un sous-groupe algébrique de
ResLµ /Ql GL3 .

Le groupe Gµ × Q̄l est donc un sous-groupe e algébrique deY
GL3(ResLµ /Ql GL3 ) × Q̄l =W

où W est l’ensemble des plongements de L µ dans Q̄l . On en déduit que le groupeQ
Gad × Q̄l est un sous-groupe de W SL3 . Soit Z son centre : comme ρµ est absoQ
lument irréductible, c’est un sous-groupe du centre de W SL3 , et il est donc de
3-torsion.

10

JOËL BELLAÏCHE

Considérons la suite exacte courte de groupes munis d’une action de Gal ( Q̄l /Lµ ) :τad
0 → Z(Q̄l ) → Gscµ (Q̄l ) → Gµ (Q̄l ) → 0.
sc
La suite exacte longue de cohomologie associée identifie G ad
µ (Ql )/τ (Gµ (Ql )) à unsous-groupe de H 1 (Lµ , Z(Q̄l )) qui est abélien de 3-torsion.
Lemme 3.3.9. Si µ|l et l ∈ S, Γadµ n’a pas de quotient d’ordre 2.
sc
Démonstration — Le groupe Gadµ (Ql )/τ (Gµ (Ql )) est abélien de 3-torsion, d’après
sc
le lemme précédent. Il en va donc de même du groupe Γ ad
µ /τ (Γµ ), qui n’a donc pas
scde quotient d’ordre 2. D’après le lemme 3.3.7, τ (Γ µ ) n’a pas non plus de quotientd’ordre 2. Il en va donc de même de Γadµ .

Lemme 3.3.10. Le centre Z(Γµ ) est composé d’homothéties de L∗µ , et Γµ /Z(Γµ )n’a pas de quotient d’ordre 2.
Démonstration — La première assertion résulte du lemme de Schur, qui montre
aussi que Z(Γµ ) = Z(Gµ (Ql )) ∩ Γµ et la seconde résulte alors du lemme précédent,car Γµ /Z(Γµ ) = Γµ /(Z(Gµ (Ql )) ∩ Γµ ) = Γadµ .
(ln −1)/2).
3.3.11. Fin de la preuve de la proposition 3.2.3. Considérons le caractère ω ln
Son image est {±1}. D’après le lemme de Goursat et le lemme précédent, l’appli(ln −1)/2): Gal(Ē/E) → Γµ /Z(Γµ ) est surjective. Il y a donc un
cation ρµ × ωlnng 0 ∈ Gal (Ē/E) dont l’image est (1, −1). Posons g = g 0(l −1)/2 . Alors ρµ (g) ∈ Z(Γµ )donc est un scalaire, et il en va de même de sa réduction ρ n (g). De plus ωln (g) = −1,
ce qui prouve la proposition.
4. Preuve de la proposition 1
On reprend les mêmes notations que dans la partie 3.1.1.
4.1. Choix d’un niveau et d’un type pour la preuve.
Lemme 4.1.1. Il existe un sous-groupe compact ouvert K v de Gv et une représentation
Jv de Kv tel quea. HomKv (Jv , πv ) 6= 0
b. Pour τ une représentation lisse irréductible de G v , si HomKv (Jv , πv ) on apour toute place µ de L
ssrl (τEw )ss|Iw ' rl (πEw )|Iw .

Démonstration — D’après [Bu, page 772] si v est décomposé, ou le théorème
principal de [Bl] si v est inerte ou ramifiée, il existe un type (K v , Jv ), tel que pour
toute représentation lisse irréductible τ de G v , HomKv (Jv , τ ) 6= 0 si et seulement si
τ et πv ont même support supercuspidal à équivalence inertielle près. Pour un tel
type, la propriété a. est évidemment satisfaite.
Si v est décomposé, on a Gv = GL3 (Ew ) ; soit {π1 , . . . , πk } le support supercuspidal de π (on a 1 ≤ k ≤ 3, et les πi sont des représentations supercuspidales
Pkirréductibles de GLni (Ew ), avec
i=1 ni = 3). Si HomKv (Jv , τ ) 6= 0, le support

SUR LA COMPATIBILITÉ

11

supercuspidal de τ est donc {π1 ⊗ χ1 ◦ det, . . . , πk ⊗ χk ◦ det}, où les χi sont des∗ . Les propriétés de compatibilité à l’induction paracaractères non ramifiés de Ew
bolique ([HT, propriété 2, page 6]) et au twist par un caractère ([HT, propriété
3, page 6]) de rl , et le fait que deux constituants d’une même induite paraboliqueaient, à semi-simplification près, la même image par r l (cf [He]) implique que(7)rl (πv )ss ' ⊕ki=1 rl (πi )(8)rl (τ )ss ' ⊕ki=1 rl (πi ) ⊗ rl (χi )ce qui implique (rl (τ )ss )|Iw ' (rl (πv )ss )|Iw . Comme la restriction à Iw commute àla semi-simplification pour une représentation de D w (cela résulte de [Ta, 4.2.1]),
on a doncssrl (τ )ss
|Iw ' rl (πv )|Iw .
Supposons v inerte ou ramifiée dans E. Soit τ tel que Hom Kv (Jv , τ ) 6= 0. Soit
τEw et (πv )Ew les changements de base de n’importe quel A-paquet contenant τet πv . D’après le lemme 2.2.3, τEw et (πv )Ew ont même support supercuspidal àéquivalence inertielle près. On est alors ramené au cas précédent.

4.1.2. Soit Kv , Jv comme dans le lemme. Soit K v =Q
compact ouvert de v0 6=v G(Fv0 ) tel que(9)Qv 0 6=v Kv 0

un sous-groupev

π K 6= 0.

Posons K = Kv K v et J = Jv ⊗ 1.
Pour toute Oµ -algèbre R, on note SK,J,π∞,R le R-module (libre de rang fini) desformes automorphes de niveau K, type J et même poids que π qui sont définis surR, défini en [BG, 5.2].
4.2. Formes anciennes et nouvelles.
4.2.1. Soit v0 une place inerte de F , distincte de v, et telle que K v0 est hyperspécial.
On note T = Tv0 l’opérateur de Hecke standard de H(G v0 , Kv0 ) et q le cardinalrésiduel de Fv0 . Soit Bv0 un sous-groupe d’Iwahori de Gv0 contenant Kv0 et soitQ
B := Bv0 K v0 où K v0 := v0 6=v0 Kv0 .
On note NB,J,π∞ ,R et OB,J,π∞ ,R les R-modules (libres de rang finis) des formes
nouvelles et anciennes (respectivement) en v 0 sur R de niveau B, de type J etde poids π∞ , tels qu’ils sont définis en [BG, 5.3.6]. La formation de ces espaces
commute à tout changement de base R → R 0 .
4.2.2. On rappelle que si Σ est l’ensemble fini des places v 0 telles que Kv0 n’est
pas hyperspécial, l’algèbre de Hecke commutativeHΣ = ⊗v0 6∈Σ H(Gv0 , Kv0 )agit par opérateurs R-linéaire sur les espaces S K,J,π∞,R , NB,J,π∞ ,R et OB,J,π∞ ,R , etceci fonctoriellement en R. (cf. [BG, 5.2.2 et 5.3.4]). Rappelons en particulier que
l’action de H(Gv0 , Kv0 ) = Z[T ] sur les espaces NB,J,π∞ ,R et OB,J,π∞ ,R est définieen identifiant H(Gv0 , Kv0 ) à une sous-algèbre de H(Gv0 , Bv0 ), l’opérateur T étant
identifié à l’opérateur TB défini en [BG, 3.3.2]. Aux autres places v 0 6∈ Σ, l’actionde H(Gv0 , Kv0 ) est l’action évidente.

12

JOËL BELLAÏCHE

Rappelons aussi ([BG, 5.1.3]) que si R est une L µ -algèbre, les actions de H Σ surles espaces considérés sont semi-simples+−
4.2.3. Pour tout Oµ -algèbre R, notons NB,J,π(resp. NB,J,ρ,R) le noyau Ker (T −∞ ,R3
3
q(q + 1)) (resp. Ker (T + (q + 1))) sur NB,J,ρ,R .

Lemme 4.2.4. Supposons que (q 3 + 1) 6≡ 0 (mod µ). On a+−
NB,J,π∞ ,R = NB,J,π⊕ NB,J,π∞ ,R∞ ,Ret pour tout morphisme R → R 0 de Oµ -algèbres on a••0
NB,J,π0 = NB,J,π ,R ⊗R R∞
∞ ,Rpour • ∈ {+, −} .
Démonstration — Comme q(q 3 + 1) 6= −(q 3 + 1) (mod µ) par hypothèse, il suffitde montrer que l’opérateur T (ou TB ) sur N B,J,π∞ ,R est annulé par le polynôme(X − q(q 3 + 1))(X + (q 3 + 1)). Par fonctorialité il suffit de le faire pour R = O µ , etdonc comme NB,J,π∞ ,Oµ ⊂ NB,J,π∞ ,Q̄l pour R = Q̄l ' C. Comme T agit de manièresemi-simple sur cet espace, il suffit de voir que pour f ∈ N B,J,π∞ ,C propre pour HΣ ,la valeur propre λ de T est −(q 3 + 1) ou q(q 3 + 1). Or d’après[BG, 6.1.2], à unetelle forme nouvelle propre f est attachée une représentation automorphe π, telleque πv0 est soit la Steinberg St, soit la représentation π s (voir [BG, 3.6.5]) et que
Bv
T agisse par λ sur πv0 0 . Le lemme résulte donc de [BG, 6.7.2]

4.3. Augmentation du niveau.
4.3.1. D’après le point a. du lemme 4.1.1 et (9), la représentation automorphe πdéfinit un élément de SK,J,π∞,Oµ , propre pour HΣ de caractère propre noté ψ (cf.
[BG, 6.7.1])
Proposition 4.3.2. Pour tout entier n ≥ 1, on peut choisir une place v 0 de F+
, vérifiant
comme en 4.2.1, et tel qu’il existe un vecteur non divisible f ∈ N B,J,π∞ ,OµU f ≡ ψ(U )f(mod µn ),pour tout U ∈ HΣ .
Démonstration — D’après la proposition 3.1.2, il existe une infinité de v 0 inertes
telles que q ≡ 1 (mod µ) et ψ(T ) ≡ q(q 3 + 1) mod µn . On en choisit une qui vérifie
les conditions de 4.2.1, i.e. qui est distincte de v et telle que K v0 est hyperspécial. On
peut alors appliquer le théorème d’augmentation du niveau en v 0 modulo µn de [BG](théorème 1, page 2). Celui-ci implique l’existence d’une congruence non triviale
modulo µn entre OB,J,π∞ ,Oµ (ψ) (l’espace propre de caractère propre ψ pour H Σ
sur OB,J,π∞ ,Oµ ) et NB,J,π∞ ,Oµ donc d’un f non divisible dans NB,J,π∞ ,Oµ vérifiant,pour tout U ∈ HΣ(10)

U f ≡ ψ(U )f(mod µn )+Soit P la projection de NB,J,π∞ ,Oµ sur NB,J,πparallèlement à N − B, J, π∞ , Oµ .
∞ ,OµLa projection P commute à H Σ car c’est un polynôme en T . Donc P (f ) satisfait aussi la relation (10). Par ailleurs, la relation (10) donne en particulier

SUR LA COMPATIBILITÉ

13

T f ≡ q(q 3 + 1)f (mod µn ), si bien que P (f ) ≡ f (mod µn ), donc P (f ) est non
divisible. Remplaçant f par P (f ), la proposition est prouvée.
Fixons dorénavant n ≥ 1, et v0 comme dans la proposition précédente. On pose0
Σ0 = Σ ∪ {v0 } et ΓΣE le sous-groupe de ΓE correspondant à l’extension maximale
de E non ramifiée hors des places de E divisant les places de Σ 0 . Enfin, posons
HΣ0 = ⊗v0 6∈Σ0 H(Gv0 , Kv0 ).
+Pour R une Oµ -algèbre, notons TR la R-algèbre des endomorphismes de N B,J,π∞ ,Rengendrée par l’action de H Σ0 . C’est une R-algèbre commutative, semi-simple si R
est une Lµ -algèbre, dont la formation commute à tout changement de base R → R 0
et on a un morphisme d’algèbres surjectif H Σ0 ⊗ R → TR . La conclusion de laproposition précédente se reformule en
Proposition 4.3.3. La réduction modulo µ n du caractère ψ de HΣ0 se factorise
en un caractère, noté ψn , de TOµ à valeur dans Oµ /µn
Par ailleurs, on a0
Proposition 4.3.4. Il existe un pseudo-caractère χ de Γ Σ
E à valeur dans TOµ tel
que

(11)
(12)

χ(Frob w0 ) = Tw0 pour toute place w 0 divisant une place v 0 6∈ Σ0
χ(g) = tr rl ((πv )Ew )ss (g) ∀g ∈ Iw

Démonstration — Il suffit de montrer la proposition pour T Q̄l = TOµ ⊗ Q̄l puisqueQ̄l est plat sur Oµ . Mais TQ̄l est commutative semi-simple et de dimension finie,
donc est isomorphe à un produit fini de copies de Q̄l . Si θ désigne la projection de
TQ̄l vers l’un de ces facteurs il suffit de prouver l’existence d’un pseudo-caractère χ
0de ΓΣE à valeur dans Q̄l vérifiant la propriété (12) et, au lieu de la propriété (14),la propriété(13)

χ(Frob v0 ) = θ(Tv0 ) pour toute place w 0 divisant une place v 0 6∈ Σ0 .

+Comme Q̄l est algébriquement clos, il existe une forme 0 6= f ∈ N B,J,πpropre∞ ,Q̄lpour HΣ de caractère propre θ. D’après [BG, 6.1.2], il existe une représentationΣ

automorphe π 0 attachée à f , telle que H Σ0 opère par θ sur π 0K 0 (où K Σ0 =Q
00s
v 0 6∈Σ0 Kv 0 ), et telle que πv0 ' St ou πv0 ' π . Soit χ le caractère de la représentation
de Gal (Ē/E) sur Q̄l attachée à π 0 ; il vérifie (13) d’après 2.3.2.
Comme θ(T ) ≡ q(q 3 + 1) 6≡ −(q 3 + 1) (mod µ), on a πv0 = St (cf. [BG, lemme0 ) est la Steinberg en v (d’après [Rog3, prop. 13.2.2(b)]) qui est de
3.7.3]) Donc (πE0carré intégrable, et l’on peut appliquer le théorème 3 à π 0 , ce qui montre que χ(g) =tr rl ((πv0 )Ew )ss (g) pour g ∈ Dw . Mais comme HomKv (Jv , πv0 ) 6= 0, le lemme 4.1.1
ss
montre que rl ((πv0 )Ew )ss
|Iw ' rl ((πv )Ew )|Iw , d’où la formule (12).
4.3.5. Fin de la preuve de la proposition 1. Composons le pseudo-caractère χ :0ΓΣE → TOµ de la proposition 4.3.4 avec le caractère ψ n
TOµ → Oµ /µn
de la proposition 4.3.3. On obtient un pseudo-caractèren0φn = ψ n ◦ χ : Γ Σ
E → Oµ /µ .

14

JOËL BELLAÏCHE

D’après la formule (14), et le théorème de Cebotarev, on atr ρµ (g) ≡ φn (g)0(mod µn ) ∀g ∈ ΓΣE .

Mais d’après (12), on aφn (g) ≡ tr rl ((πv )Ew )ss (g)(mod µn ) ∀g ∈ Iw .

tr ρµ (g) ≡ tr rl ((πv )Ew )ss (g)(mod µn ) ∀g ∈ Iw

D’où
Dans cette dernière congruence, les deux membres sont indépendants de n (et dev0 ). Comme celle-ci est valable pour tout n ≥ 1, on atr ρµ (g) = tr rl ((πv )Ew )ss (g) ∀g ∈ Iw
et la proposition 1 en découle.
5. Preuve de la proposition 2
La preuve est très proche de celle de la proposition 1, mais un peu plus simple.
Nous indiquons seulement quels sont les changements à faire.
5.1. Choix d’un niveau et d’un type. On prend pour K v un sous-groupe d’IwaQ
hori Bv de Gv On prend pour K v un sous-groupe compact ouvert de v0 6=v Gv0 telv
que π K 6= 0. On prend K = Bv K v et J = 1.
5.2. Formes anciennes et nouvelles. .
Rien ne change sauf en 4.2.2 : on définit Σ comme l’ensemble des places v 0
différentes de v telles que Kv0 n’est pas hyperspécial. On définit H Σ commeO
H(Gv0 , Kv0 ) ⊗ Z(Gv , Bv ),v 0 6∈Σ, v 0 6=v•
et cet anneau agit encore sur les espaces de formes S K,J,π∞,R , OB,J,π∞ ,R , NB,J,π∞ ,Roù • ∈ {∅, +, −}. Le lemme 4.2.4 et sa preuve restent valables sans changement.

5.3. Augmentation du niveau.
5.3.1. La proposition 4.3.3 reste valable sans changement, avec la même preuve.
La proposition 4.3.4 a pour analogue
0
Proposition 5.3.2. Il existe un pseudo-caractère χ de Γ Σ
E à valeur dans TOµ tel
que

(14)

χ(Frob w0 ) = Tw0 pour toute place w 0 divisant une place v 0 6∈ Σ0Démonstration — Comme dans la preuve de la proposition 4.3.3, il suffit de0
montrer, pour tout caractère θ de T Q̄l , l’existence d’un pseudo-caractère χ de Γ ΣEà valeur dans Q̄l vérifiant(15) χ(Frob w0 ) = θ(Tw0 ) pour toute place w 0 divisant une place v 0 6∈ Σ0 .
Raisonnant encore comme dans la preuve de la proposition 4.3.3, on voit qu’il
existe une une représentation automorphe π 0 attachée à f , telle que H Σ0 opère parQΣ
0 est la Steinberg en la placeθ sur π 0K 0 (où K Σ0 = v0 6∈Σ0 Kv0 ), et telle que πE
au-dessus de v0 .

SUR LA COMPATIBILITÉ

15

Soit χ le caractère de la représentation de Gal ( Ē/E) sur Q̄l attachée à π 0 ;d’après 2.3.2, il est non ramifiée hors Σ 0 ∪ {v} et l’on aχ(Frob w0 ) = θ(Tw0 ) pour toute place w 0 divisant une place v 0 6∈ Σ, v 0 6= v.
D’après le théorème 3 appliqué à π 0 , χ(g) = tr rl ((πv0 )Ew )ss (g) pour g ∈ Dw . Donc
χ est aussi non ramifiée en e, d’après le point 3) du lemme 2.3.5 et l’on aχ(Frob w ) = θ(Tw ).
(La même chose vaut pour l’autre place w̄ de E au-dessus de v dans le cas où v est
décomposée.)
5.3.3. Fin de la preuve de la proposition 2. Composons le pseudo-caractère χ :0ΓΣE → TOµ de la proposition 5.3.2 avec le caractère ψ n
TOµ → Oµ /µn
de la proposition 4.3.3. On obtient un pseudo-caractèren0φn = ψ n ◦ χ : Γ Σ
E → Oµ /µ .

D’après la formule (14), et le théorème de Cebotarev, on atr ρµ (g) ≡ φn (g)0(mod µn ) ∀g ∈ ΓΣE ,et aussi
tr ρµ (g) ≡ φn (g)(mod µn )Mais d’après (12), on atr ρµ (Frob w ) ≡ ψn (Tw ) ≡ tr rl ((πv )Ew )ss (Frob w )(mod µn ) ∀g ∈ Iv

la deuxième congruence découlant du lemme 2.3.5. Dans cette congruence, les deux
membres extrêmes sont indépendants de n (et de v 0 ). Comme elle est valable pour
tout n ≥ 1, on atr ρµ (Frob w ) = tr rl ((πv )Ew )ss (Frob w ).
Ceci est aussi valable pour l’autre place w̄ divisant w (si v est décomposée). Commeles représentations rl ((πv )Ew )ss et (ρµ )ss
Dw sont non ramifiées (lemme 2.3.5, point 3),
et ont mêmes caractères centraux (par Cebotarev), elles sont isomorphes, CQFD.
6. Preuve du théorème principal
6.1. Changement de base local.
6.1.1.

On note r la représentation r lss ((πv )|Ew ) du groupe Gal (Q̄l /Ew ). Soitr
M = Q̄Ker.
l

On a Gal (M/Ew ) = r(Dw ). On dispose de la suite exacte
nr
0 → Iw → Dw → Gal (Ew/Ew ) → 0,d’où une suite exacte
0 → r(Iw ) → r(Dw ) → r(Ẑ) → 0
Notons que r(Iw ) est fini.

16

JOËL BELLAÏCHE

6.1.2. Soit u un élément de Dw = Gal (Q̄l /Ew ). On suppose que u 6∈ Iw . On note
hr(u)i l’adhérence du sous-groupe engendré par r(u) : sous notre hypothèse, c’est
un sous-groupe d’indice fini de r(Dw ).
On poseN = M hr(u)i .
On a Gal (M/N ) = hr(u)i. L’extension N/E w est finie mais n’est pas en généralgaloisienne.
Lemme 6.1.3. L’extension M/N est non ramifiée, et son Frobenius est r(u).
Démonstration — Il suffit de montrer que pour toute extension finie galoisienne
M 0 de N contenue dans M , on a M 0 /N non ramifiée, de Frobenius l’image de r(u)dans Gal (M 0 /N ). et c’est clair.

6.1.4. Si B/A est une extension de corps p-adique, on définit le changement debase local de A à B d’une représentation π irréductible lisse de GL n (A), qu’on note
πB , par la relation
πB := rec−1
A ◦ resA/B ◦ recA (π),
où resA/B est la restriction d’une représentation de W B à WA .
Si la représentation π est-elle même le changement de base d’une représentationd’un groupe unitaire, par exemple π = (π v )Ew on notera (πv )B son changement debase à B, au lieu de ((πv )Ew )B , ce qui ne crée pas d’ambiguı̈té.
Proposition 6.1.5. Le changement de base local (π v )N de (πv )Ew à N a une droite
invariante par un Iwahori de GL3 (N ) .
Démonstration —Par définition, r l ((πv )N ) est la restriction de rl ((πv )Ew ) à
Gal (Q̄l /N ). D’après le lemme 6.1.3, cette représentation est non ramifiée. La proposition en découle.

Soit N0 la clôture galoisienne de N , qui est finie et résoluble sur E w .
6.2. Changement de base global.
Lemme 6.2.1. Il existe un corps de nombres F 0 vérifianti. F 0 est totalement réel,ii. F 0 /F est résoluble et le changement de base π EF 0 de ΠE à EF 0 est cuspidal.
iii EF 0 admet une place w 0 divisant w telle que (EF )w0 /Ew soit isomorphe à
N0 /Ev .
Démonstration — Cela résulte aisément de [AT, théorème 5, page 103]. Voir [BC,preuve de la proposition 3.2] pour plus de détails.
On a Gal (N0 /Ew ) ⊂ Gal (EF 0 /E) = Gal (F 0 /F ). Le sous-groupe Gal (N0 /N )de Gal (N0 /Ew ) s’identifie à un sous-groupe de Gal (F 0 /F ) et définie donc un souscorps H de F 0 , contenant F , et tel que (EH)w0 /Ew est isomorphe à N/Ew
Le lemme suivant est démontré dans [Ha].

SUR LA COMPATIBILITÉ

17

Lemme 6.2.2 (Harris). Il existe une représentation automorphe cuspidale π EH deGLn (EF ) qui est le changement de base fort de π E , i.e. dont la composante locale(πEH )x en toute place x de EH divisant une place y de E est le changement debase local de (πE )y .
Par Cebotarev la représentation galoisienne associé à π EH est(ρµ )|Gal (Q̄/EH) .
D’après la proposition 2, appliquée à π H en la place w 0 de EH, on a(ρµ )ss|D 0 ' rl (πv )N = (r(πv )Ew )|Dw0 .
w

Comme u ∈ Dw0 = Gal (Q̄l /N ) par définition de N , on a en particulier
tr (ρµ )(u) = tr r(πv )Ew (u)Cette égalité est valable pour tout u ∈ D w − Iw . Mais par ailleurs, d’après la
proposition 1, elle est aussi vrai pour u ∈ I w . On a donc montré tr (ρµ )|Dw =tr rl (πv )Ew , et le théorème.
Joël Bellaı̈che, jbellaic@math.unice.fr ou jbellaic@ias.edu

Références[AC]

J. Arthur & L. Clozel Simple algebras, base change and the advanced theory of the
trace formula
PUP Annals of math. studies 120 (1989)[AT]

E. Artin & J. Tate Class field theory
W. A. Benjamin (1968).

[BC]

J. Bellaı̈che & G. Chenevier
Formes non tempérées pour U(3) et conjectures deBloch-Kato
preprint de l’université de Nice, arXiv :mathNT/0212283[BG]

J. Bellaı̈che & P. Graftieaux Augmentation du niveau pour U(3)preprint de l’université de Nice, arXiv :math.NT/0307300[B]

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