RACONTE-MOI... LA THÉORIE DE GALOISDIFFÉRENTIELLEJULIEN ROQUES

1. Les travaux de Galois“Sauter à pieds joints sur les calculs, grouper les opérations, les classersuivant leur difficulté et non suivant leur forme”, telle fut la ligne directrice des travaux révolutionnaires d’Evariste Galois au sujet des équations
algébriques.
L’apportP
majeur de Galois à l’étude des racines complexes d’un polynômenk ∈ Q[X] consista à introduire un objet abstrait
P (X) =
k=0 ak X
mesurant l’indéscernabilité entre ces racines. Il s’agit d’un groupe, celui
formé par les permutations σ de l’ensemble des racines de P (X) préservant
les relations algébriques à cofficients dans Q qu’elles vérifient. Formellement, si α1 , . . . , αn sont les racines complexes de P (X) alors, à chaque fois
que R(α1 , . . . , αn ) = 0 pour un certain R ∈ Q[X1 , . . . , Xn ], on doit aussi
avoir R(σ(α1 ), . . . , σ(αn )) = 0.
L’approche initiale de Galois a par la suite évolué et sa formulation contemporaine passe généralement par la théorie des corps: on introduit le corps
de décomposition L = Q(α1 , . . . , αn ) de P (X) sur Q et on définit le groupede Galois de P (X) sur Q comme le groupe des automorphismes de corps de
L fixant les éléments de Q 1.
Galois savait que ses idées se transposaient mutatis mutandis à d’autres
contextes, tel que celui des fonctions algébriques. Plus surprenant, il avaitmême sérieusement envisagé de les appliquer aux fonctions transcendantes,
comme en atteste la lettre qu’il rédigea la veille du duel fatal :Tu sais, mon cher Auguste, que ces sujets ne sont pas lesseuls que j’ai explorés. Mes principales méditations depuis
quelque temps étaient dirigées sur l’application à l’analysetranscendante de la théorie de l’ambiguité. Il s’agissait devoir a priori dans une relation entre quantités ou fonctionstranscendantes quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait substituer aux quantités données sans que larelation pût cesser d’avoir lieu. Cela fait reconnaı̂tre tout desuite l’impossibilité de beaucoup d’expressions que l’on pouvait chercher. Mais je n’ai pas le temps et mes idées ne sontpas encore bien développées sur ce terrain qui est immense.
On ignore ce que Galois avait exactement en tête, mais d’autres ont exploré après lui ce “terrain immense” et y ont fait de belles découvertes. Une
Date: March 16, 2017.
1. En fait, les automorphismes de corps de K fixent automatiquement Q, mais si on
travaillait avec un corps de base plus gros, il ne faudrait pas oublier cette condition.
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JULIEN ROQUES

avancée significative en direction d’une théorie de Galois pour les fonctionstranscendantes fut réalisée par Picard: il posa les bases de la théorie deGalois différentielle.
2. Théorie de Galois différentielle
En lieu et place d’une équation algébrique, on s’intéresse maintenant à
une équation différentielle linéaire(1)an (z)y (n) (z) + · · · + a1 (z)y 0 (z) + a0 (z)y(z) = 0

avec ak (z) ∈ C[z] et an (z) 6= 0. Nous allons exposer la définition à la PicardVessiot du groupe de Galois différentiel de cette équation. Les définitions etrésultats évoqués ci-après sont détaillés dans le premier chapitre de [vdPS03].
Montrons d’abord l’existence d’une extension de corps K de C(z) munie
d’une dérivation ∂ : K → K étendant d/dz : C(z) → C(z) et jouissant despropriétés suivantes :— K contient n solutions linéairement indépendantes sur C de (1),c’est-à-dire qu’il existe y1 , . . . , yn , des éléments de K linéairementindépendants sur C, tels quean (z)∂ n (yk ) + · · · + a1 (z)∂(yk ) + a0 (z)yk = 0;
— le corps K est engendré sur C(z) par ces solutions et leurs dérivées
successives, c’est-à-dire
K = C(z)(y1 , . . . , yn , ∂(y1 ), . . . , ∂(yn ), . . . , ∂ n−1 (y1 ), . . . , ∂ n−1 (yn ));— les seuls éléments de K ayant une dérivée nulle sont les fonctions
constantes.
Un tel couple (K, ∂) est appelé extension de Picard-Vessiot de (1) sur(C(z), d/dz) et joue en théorie de Galois différentielle un rôle analogue àcelui des corps de décomposition en théorie de Galois classique.
L’existence d’une telle extension de Picard-Vessiot peut se voir par des arguments analytiques simples. Considérons un petit disque D ⊂ C sur lequelan (z) ne s’annule pas. Un théorème dû à Cauchy assure que l’ensemble V
des solutions de (1) analytiques sur D est un C-espace vectoriel de dimension n. On introduit alors l’extension de corps K de C(z) engendrée parles éléments de V et leurs dérivées de tous ordres. Ses éléments sont desfonctions méromorphes sur D et on peut munir K de la dérivation ∂ = d/dz.
Le couple (K, ∂) a les propriétés requises.
Le groupe de Galois différentiel Ggal de (1) sur (C(z), d/dz) est pardéfinition constitué des automorphismes de corps σ de K tels que
σ|C(z) = IdC(z) et σ ◦ ∂ = ∂ ◦ σ.
Cette dernière condition garantit que chaque σ ∈ Ggal induit un automorphisme C-linéaire de l’espace des solutions V (et donc une permutation deV ). L’application ρ : Ggal → GL(V ), σ 7→ σ|V est une représentation linéairefidèle de Ggal . (Notons que nous aurions pu, comme Galois, ne pas recourirà la notion de corps, et voir Ggal comme un groupe d’automorphismes Clinéaires de V préservant les relations algébriques à coefficients dans C(z)entre les éléments de V et leurs dérivées successives.)3

2.1. Structure. Ce groupe de Galois différentiel est généralement infini,mais possède néanmoins une propriété tout à fait particulière : il est naturellement muni d’une structure de groupe algébrique linéaire sur C. Plusprécisément, ρ(Ggal ) est un sous-groupe de GL(V ) défini par des équations
polynomiales. Ce fait, et en particulier les travaux de Kolchin (e.g., [Kol73]),a d’ailleurs contribué à l’essort de la théorie des groupes algébriques.
2.2. Relations algébriques. Le groupe de Galois différentiel Ggal
reflête les relations algébriques entre les solutions de (1) et leursdérivées successives.
Moralement, plus Ggal est “gros”, moins il
y a de telles relations algébriques.
Par exemple, Ggal est aussi“gros” que possible, c’est-à-dire ρ(Ggal ) = GL(V ), si et seulement si
y1 , . . . , yn , ∂(y1 ), . . . , ∂(yn ), . . . , ∂ n−1 (y1 ), . . . , ∂ n−1 (yn ) sont algébriquementindépendants sur C(z). Au contraire, Ggal est fini si et seulement si y1 , . . . , ynsont algébriques sur C(z). Pour une formulation précise du lien entre Ggal
et les relations algébriques sus-mentionnées en termes de torseurs nous renvoyons à [vdPS03, Theorem 1.28] et nous contentons d’en mentionner laconséquence suivante [vdPS03, Corollary 1.30] : le degré de transcendance deK sur C(z) coı̈ncide avec la dimension de Ggal en tant que groupe algébrique
sur C, i.e.,
dim Ggal = deg. tr K/C(z).
La cas ρ(Ggal ) = GL(V ) évoqué plus haut correspond précisément à
dim Ggal = n2 et le cas Ggal fini à dim Ggal = 0. D’autres exemples classiques : la dimension de SL(V ) vaut n2 −1 et celle de SO(V ) vaut n(n+1)/2.
2.3. Correspondance de Galois différentielle. La pierre angulaire dela théorie de Galois classique est bien entendu la correspondance de Galois mettant en regard sous-corps et sous-groupes. Elle admet un avatar
différentiel tout aussi fondamental, mettant en regard certains corps munisd’une dérivation d’une part et certains groupes algébriques linéaires d’autre
part. Plus précisément, soit F l’ensemble des extensions de corps de C(z)contenues dans K et stables par ∂, et soit G l’ensemble des sous-groupes
algébriques de Ggal . Pour tout F ∈ F, on note
G(K/F ) = {σ ∈ Ggal | σ|F = IdF }et pour tout H ∈ G, on note
K H := {f ∈ K | ∀σ ∈ H, σ(f ) = f }.
Alors, la correspondance de Galois différentielle assure que l’application F 7→
G(K/F ) donne une bijection F → G dont l’application réciproque est donnéepar H 7→ K H .
3. De l’analyse à l’algèbre
Certaines ambiguı̈tés galoisiennes se déduisent de considérations transcendantes. C’est le cas de la monodromie. Notons S l’ensemble des racinescomplexes de an (z). Il est assez facile de montrer que tout f ∈ K se prolonge méromorphiquement le long de tout lacet continu γ : [0, 1] → C \ Sbasé en z0 et que le résultat [γ]∗ (f ) de ce prolongement est à nouveau unélément de K. L’application [γ]∗ : K → K ainsi obtenue est en fait un

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JULIEN ROQUESélément du groupe de Galois différentiel Ggal . L’ensemble de ces [γ]∗ forme
un sous-groupe Gmono de Ggal appelé groupe de monodromie.
En général, Gmono est un sous-groupe strict de Ggal . Cependant, unrésultat dû à Schlesinger assure que, si l’équation différentielle (1) possèdeune certaine condition de régularité, à savoir si ses points singuliers sontréguliers (il faut qu’ils le soient tous, y compris l’infini), alors Gmono est
Zariski-dense dans Ggal ! (Sa démonstration est d’ailleurs une jolie application de la correspondance galoisienne. En effet, d’après cette correspondance, il suffit de montrer que K Gmono = C(z). Pour prouver cetteégalité, on remarque d’abord que les éléments de K Gmono sont des fonctions
méromorphes sur C\S. La condition de régularité assure que leur croissanceest modérée au voisinage des éléments de S et à l’infini, ce sont donc desfonctions rationnelles.)On peut aller plus loin et s’affranchir de cette condition de régularité.
Mais la monodromie à elle seule ne suffit plus à former une partie dense deGgal , il faut ajouter des tores exponentiels et des automorphismes de Stokes
liés à la divergence de certaines solutions de (1). Nous renvoyons à [Ram85]
pour une formulation précise de ce résultat dû à Ramis, qui dépasse le cadrede ce texte.
4. Quelques applications
Les applications de la théorie de Galois différentielle sont multiples, etvont des systèmes dynamiques à la théorie des nombres. En voici quelques
illustrations.
4.1. Intégrabilité par quadratures. L’équation différentielle (1) est
intégrable par quadratures s’il existe une tour de corps C(z) = K0 ⊂ K1 ⊂· · · ⊂ Kn = K telle que, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, Ki = Ki−1 (ti ) où ti ∈ K
vérifie l’une des propriétés suivantes 2 :— ∂(ti ) ∈ Ki−1 , c’est-à-dire que ti est l’intégrale d’un élément de Ki−1 ,ou— ti 6= 0 et ∂(ti )/ti ∈ Ki−1 , c’est-à-dire que ti est l’exponentielle del’intégrale d’un élément de Ki−1 , ou
— ti est algébrique sur Ki−1 .
L’intérêt de la théorie de Galois différentielle pour cette question réside dansle fait que les propriétés suivantes sont équivalentes:— la composante neutre G◦ de G (c’est-à-dire la composante connexe
de l’identité de G, qui en est un sous-groupe normal d’indice fini) est
résoluble;— l’équation différentielle (1) est intégrable par quadratures.
C’est une réponse complète à la question de l’intégrabilité par quadratures,
similaire à celle apportée par Galois pour la résolubilité par radicaux. Pourdavantage de détails, nous renvoyons à [vdPS03, § 1.5].
2. On est en train de définir ce que l’on appelle les extensions liouviliennes. Elles
sont appelées ainsi en hommage à Liouville qui s’intéressa à ce genre de question, et plus
précisément à l’exprimabilité de primitives en termes de fonctions élémentaires. Liouville
est d’ailleurs l’un de ceux qui contribuèrent à sortir les travaux de Galois de l’oubli.

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4.2. Intégrabilité des systèmes dynamiques. La question del’intégrabilité au sens de Liouville des systèmes hamiltoniens, disonsde la forme
∂H
∂H .
∂H
∂H
.
.
.
, . . . , qn =, p1 = −, . . . , pn = −
,
q1 =
∂p1
∂pn
∂q1
∂qn
est un sujet classique et démontrer la non intégrabilité d’un tel systèmen’est en général pas aisé. Le problème des n-corps en est un exemple frappant. Morales et Ramis [MRR01] ont donné une obstruction à l’intégrabilité
de ces systèmes reposant sur la théorie de Galois différentielle. L’idée est
que les systèmes hamiltoniens rencontrés en physique possèdent souvent
des solutions particulières explicites auxquelles on associe classiquement uneéquation différentielle linéaire, appelée équation variationnelle. Morales etRamis ont découvert que le groupe de Galois différentiel d’une équation variationnelle attachée à un système hamiltonien intégrable au sens de Liouvillea une algèbre de Lie commutative (on parle de commutativité virtuelle).
Cette méthode a trouvé d’innombrables applications, et permis de résoudre
bon nombre de problèmes ouverts.
4.3. Théorie des nombres. Rappelons qu’une E-fonction est une série
formelle∞Xan nf (z) =z ∈ Q[[z]]n!
n=0à coefficients dans le corps Q des nombres algébriques telle que(1) f (z) est solution d’une équation différentielle linéaire non nulle à coefficients dans Q(z);(2) il existe C > 0 tel que(a) la maximum de modules des conjugués de an soit borné par C n+1 ;(b) il existe un suite d’entiers strictement positifs dn telle que dn ≤C n+1 et que dn am soit un entier algébrique pour tout m ≤ n.
Les E-fonctions furent introduites par Siegel afin de généraliser
P∞ z nles propriétés diophantiennes de la fonction exponentielle ez =n=0 n! , et enparticulier le théorème de Lindemann-Weierstrass. Le résultat suivant, qui
est une vaste généralisation du théorème de Lindemann-Weierstrass, est un
des points culminants des travaux de Siegel et Shidlovskii.
Théorème 1 (Siegel-Shidlovskii). Soient f1 (z), . . . , fn (z) des E-fonctions
telles que(f10 (z), . . . , fn0 (z))t = A(z)(f1 (z), . . . , fn (z))tpour un certain A(z) ∈ Mn (Q(z)). Notons par T (z) un dénominateur commun des coefficients de A(z). Alors, pour tout ξ ∈ Q tel que ξT (ξ) 6= 0,
nous avonsdeg. tr Q f1 (ξ), . . . , fn (ξ) /Q = deg. tr Q(z) f1 (z), . . . , fn (z) /Q(z).
Les travaux d’André dans [And00] sur la structure des E-opérateurs et desarguments de théorie de Galois différentielle ont permis à F. Beukers [Beu88]
de démontrer le remarquable résultat suivant qui raffine à la fois des travauxde Nesterenko et Shidlovskii et le théorème de Siegel–Shidlovskii.

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JULIEN ROQUESThéorème 2 (Beukers). Reprenons les notations du Théorème 1 et considérons ξ ∈ Q tel que ξT (ξ) 6= 0. Pour toute relation polynomiale P f1 (ξ), . . . , fn (ξ) = 0 avec P ∈ Q[X1 , . . . , Xn ], il existe Q ∈Q[z][X1 , . . . , Xn ] tel que Q f1 (z), . . . , fn (z) = 0 et P (X1 , . . . , Xn ) =Q(X1 , . . . , Xn )|z=ξ .
Ce résultat assure donc que les relations algébriques à coefficients dans Q
entre les nombres f1 (ξ), . . . , fn (ξ) proviennent toutes de relations algébriquesà coefficients dans Q(z) entre les séries formelles f1 (z), . . . , fn (z). Et l’étude
des relations algébriques entre ces séries relève de la théorie de Galois
différentielle !
André [And14] a récemment proposé une démonstration alternative duthéorème de Beukers cité précédemment reposant sur... une nouvellecorrespondance de Galois différentielle ! Celle-ci lui permet de déduire
directement le théorème de Beukers du théorème de Siegel-Shidlovskii,indépendamment des résultats de [And00]. Son approche s’applique àd’autres situations, au-delà du cadre différentiel, cf. [And14, Section 6.5].
5. Et après ?
L’histoire ne s’arrête pas là. On dispose aujourd’hui de théories galoisiennes pour les équations différentielles en caractéristique positive, pour leséquations aux différences, et même pour des équations non linéaires (Malgrange, Umemura), on aussi des théories “à paramètres”, etc. Beaucoup
reste à faire sur ce terrain qui est immense !
6. Sur l’auteur
Julien Roques est maı̂tre de conférences à l’Institut Fourier de l’UniversitéGrenoble Alpes. Ses travaux portent notamment sur l’algèbre, la théorie desnombres, les équations fonctionnelles, sur leurs interactions et leurs applications.
References[And00]

Y. André. Séries Gevrey de type arithmétique. I. Téorèmes de pureté et dedualité. Ann. of Math. (2), 151(2):705–740, 2000.

[And14]

Y. André. Solution algebras of differential equations and quasi-homogeneous
varieties: a new differential Galois correspondence. Ann. Sci. École Norm. Sup.,
47(2):449–467, 2014.

[Beu88]F. Beukers. A refined version of the Siegel-Shidlovskii theorem. Ann. of Math.,
127(2):279–308, 1988.

[Kol73]E. R. Kolchin. Differential algebra and algebraic groups. Academic Press, New
York, 1973. Pure and Applied Mathematics, Vol. 54.

[MRR01] J. J. Morales-Ruiz and J.-P. Ramis. Galoisian obstructions to integrability ofHamiltonian systems. I, II. Methods Appl. Anal., 8(1):33–95, 97–111, 2001.
[Ram85] J.-P. Ramis. Phénomène de Stokes et filtration Gevrey sur le groupe de PicardVessiot. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 301(5):165–167, 1985.
[vdPS03] M. van der Put and M. F. Singer. Galois theory of linear differential equations,volume 328 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental
Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2003.

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Université Grenoble Alpes, Institut Fourier, CNRS UMR 5582, CS 40700,
38058 Grenoble Cedex 09
E-mail address: Julien.Roques@univ-grenoble-alpes.fr