国立防災科学技術セソター研究報告第5号

1971年3月
551，466：551，556．8（265．5）

波浪のスペクトル幅と統計量（II）
岩田憲幸・稲田亘・渡部勲

国立防災科学技術セ：／ター平塚支所

0cea皿Wave

S曲tistics

a皿dSp㏄tmm

WidthP趾amter（II）

By
N．Iwata，W．Im由㎝dI．Wa舳e・Hかαお〃冶αβγα〃肋，〈伽ガo〃α1R28ωκんC2〃〃∫b7D必α∫加7P7ωθ〃〃o〃

Abst胞ct
From

numerous

gauges，several
arespectrum

width

surface

waves

such

as

parameter

introduced

hand

the

obtained

on

the

one

period，and

on

the

other

maxima．The1／〃一1argest

thiscarriedoutwithvariance，wave

capacitance−typeheights

andwavewaveperiods

from

ratio

byof

Cartwrightandcrest−to−crest

from

the

ratio

betweenthemaximaandthecorresponding

wave

wa▽e

heightsareconsiderably

sma11er

Longuet・Higgins（1956）

periodnumberstozero−upof

positiveheightsarecrossing

andnegative

p1ottedagainstparameter．

It

ingofquantities

ca1cu1ated．

The
isobservations

statisticalisconc1uded

maxima，and

that

that

ratio

of1／10−largest

values

ixed

for

the

ratio

wave

Ray1eighof

heightsigni丘cant

to

wave

signiicant

heightwa▽etoheight

than

twice

themeanwave

heightcorrespond−

andremarkably

de▽iatefromthethedistribution．

1．はじめに
波浪の統計量のなかで平均値を零としたときの極大値の分布はC・・tw・ightら（1956）がRice（1954）の雑音解析の手法を用いた表現式を提案して以来ほぼ確立したかのようにみえる．

しかし，実際に海の波を考察する場合，直観的にわかりやすいのは，極大値の平均値からのずれでなく相続く極大と極小の差，すなわち波の山と谷との差，波高に関する統計量である．

この波高分布についてはその分布則がどのようなものであるか現在では不明である．岩田ら（1970）は前報で平均波高は極大値の平均の2倍に近似的に等しく，したがって，その大きさは極大値の分布を支配するスペクトル幅を示すパラメーター6によって変化することを示した．

ここでは，更に計算を進めて，有義波高，1／10最大波高と対応する極大値との関係を調べる．

一81一

国立防災科学技術セソター研究報告第5号

1971年3月

いま，水面変動を平均値を零にとって
ζ＝Σ伽COS（σ例工一θ例）1とする．σ例は角周波数で（0，。。）の間の任意の値をとりうる．位相θ刎は（O，2π）の問に一様に分布しているとする．また，ξ1＝ζ（≠），ξ2＝ζ（チ），ξ3＝ζ（左）とする．更に，ξ包（ゴ＝1，2，3）がそれぞれξ｛とξ1＋dξ・の間にある結合確率を力（ξ1，ξ・，ξ1）dξ1dξ2dξ3としるす．もし，ξ1が十dの間で極大をとるとすれば，ξ1はdチ時問内にdξFlζld

ξ1がξ1とξ1＋dξ1の問にあってとだけ変化する．したがって，とオ十dチの間で極大となる確率は

O∫［ク（ξ1，0，ξ1）dξ1lξlld≠1dξ1−ooで与えられる．

したがって，単位時間内にζがζとζ十dζの間で極大となる確率は・（11）・11−／l。。舳11）llll・11・llである．さて，ξ。（（・）＝1，2，3）は平均値が零で位相が不規則な振動の集合であるから中心極限定理によってク（ξ1，ξ。，ξ。）は3次元の正規分布になる．したがって，この場合は

舳13）一（・π閉1・／…［一21古1（岬・・蝸11・蜘1（・）である．ただし．行列は一（五争二）であるから
1〃1＝ξ12［ξ12ξ・」（ξ・2）21，〃・・＝ξ・2ξ12，〃1l＝（ξ・2）2，〃33＝即尋となる．ここで
ξ1ξ2＝ξ2ξ3＝0，

ξ1ξ3＝一ξ22であることに注意しなければならない．（2）を（1）に代入しξ3について積分する．更に
ξ1

η＝偏一として水面変動の分散の平方根（標準偏差）で無次元化した水位をηとすると，極大値の確率分布として
カ（η）：

F（ξ・）dξ1∫oo

月（ξ・）dξ1oo

一ム…（一壬）・（・一仰1…（一音）r岬（一音）い・）となってCartwrightらの式が得られる． ただし
一82一一波浪のスペクトル幅と統計量（II）一岩田・稲田・渡部

1〃1＝〃11必3（ξ12）2＝1一＿＿ξ12ξ32である．すなわち（3）はξ。（づ＝1，2，3）が正規分布をするような確率変数ならばどのような場合にも成立する．パワースペクトルの形とは無関係である．

2．極大値の分布と波高分布
スペクトルのモーメソトは定義によって
脇一／1・（∫）戸・∫で与えられる．

このときゼロアップクロスの平均周期τ。と波の山から次の山までの平均周期

τρは

且
rF
I．o
εp
1．00．8隙、
0，8o．60．6

o．4

O．40．2O．4

0．60．8

1．O

I2

εO．2

図2a

図1周期および極大値の数から求めたスペク
トル幅パラメーターの比較

0．4

0，60．81．O

ε

平均極大値のスペクトル幅パラメータ
ーによる変fヒ帯坦「百1．0・0．8バ

0．60．40，20．20．40．6◎。81．O

ε0．2

図2b 極大値の1／3最大平均値のスペクトル
幅パラメーターによる変化

一83一0．4

0β0．81■0ε

図2c極大値の1／10最大平均値のスペクトル
幅パラメーターによる変化

国立防災科学技術セソター研究報告第5号1971年3月

⊥上r后

r拒一
I．o

O．8

0．6

0．40，20．2

図3a0．40．60．8I．0

α28平均波高のスペクトル幅パラメーターによる変化

図3b0．40．60．8・．0ε

有義波高のスペクトル幅パラメーター
による変化

地r恒
百π

ε0．8・《O．7。〉0．70．68O．4．．；締0．20◎，8

図3c10

ε1／10最大波高のスペクトル幅パラメー
ターにべる変化刎0
τ02＝一，
舳20，20．4

0．60．8I．0」屯r厄
図4a

平均波高と平均極大値との関係

舳2τρ2：一舳4となるから・一・一（音）2（4）となる．一方，極大値全体の数と負の極大値の数との上ヒを一7とすればca・twrightらによって〜＝1一（1−2・）2（5）である．図1は（4），（5）両式によって求めたεの比較を示す．εが小さいのは風浪で，εが1に近いのはうねりの上にさざなみが乗っているときの観測である．どちらの方法で求めても大差はない．使用した波浪計は容量型で読取時問間隔は0．3〜O．6秒であった．短周期の波まで計測している関係上ε≧0．6である．

観測されたすべての極大値の巾で大きい方から数えて全体の1／〃の極大値の平均は一84一波浪のスペクトル幅と統計量（1I）一岩田・稲田・渡部

上r行

ε
ε

1．0

く0−7

措

〈O．7・〉O．7

1．ol1鉾：・〉0．7
O．8

0．80．6む。

。o消，O．6

州、、洋。
0．4
o．4

0．2α・

図4b・・・

…

1一・

0．4

1・・借

有義波高と1／3最大極大値との関係

0．6

0．6

1．◎

1．2

独r厄

図4c1／10最大波高と1／10最大極大値との関係
Hl0
H！

H！
I・．

2．2

2．6
2．0
2．4

1．8

2．2

1，6

2．0

1．4

1．8

1．2．．．」

1．6

O．4

0．6

0．8．

O．4

1．◎ε

図5b

図5a有義波高と平均波高の比

0．6

0．8

I．0

1／10最大波高と有義波高との比（1、例、工1（1）1・1（6）∫oo

力（η）dη

η

ただし，〆は÷一／1ク（1）・1で与えられ，極大値の累積確率がちょうど，1／〃になるようなηを示す一．（3）式によって／ll（1）・1一ノ≒［1二…（一音）…（・一ε・）…（一壬）r…（一ぢ）・・1・
ll1（1）1・1一プ；、…（一壬）・ノ・一・［1…（一壬）・ノ万・・f・（み一85一

国立防災科学技術セソター研究報告第5号ユ971年3月

一六／1ゲ…（一壬）・・f・（η仔）・1l
ただし，・・f・（・）一／1…（一榊となる．〃＝1の平均値の場合はη→一∞となってラー〉舌（・一〜）と簡単に求まるが，〃＝3あるいは10の場合は数値積分しなければならない．特別な場合として，ε＝0となるレイリー分布の場合は
砺一〉手，1・（1！1）・・，〃〕一・．・万．

したがって，水面変動の極大値の1／〃最大値の平均を伽で示し，波の全パワrをE（＝2舳。）とすれば
η（1／例〕2α冊

η。（1・）＝κ岨（＝1，7＝ノ7・・一3・・一2ノ万・仁・…一…）という量はεに関して（0，1）の問で変化する．図2は観測値と計算値との比較である．1回の観測の波の数は300〜500であるから〃が大きいほど平均する波の数が少なく，したがって，観測値のバラツキが大きくなる．

図3は極大値の代りに1／〃最大波高のεによる変化を求めたものである．特徴的なことは，平均波高の変化が，平均極大値の変化とほぼ同じであるが，㍗＝3，10の場合には波高の方が極大値の2倍よりはるかに小さいことである．この関係を更にくわしく見るために図4に波高と極大値の比較を示した．ξが大きい場合は波高は極大値の2倍よりはるかに小さくなるが，〔〜0．7では近似的にH∵二＝095，2ガ．

H1／3

2α1パ

H1／10＝090，2α1／1。

＝085の程度である．

図5にはHl／1／Hと∬1／11／凪／1の比を示す．観測値のバラツキが大きいことを考えると，この比は・以外に何か他のパラメーターによって規定されると思われる．εが小さけれ1士レイリー分布から期侍される1．60，1．27にそれぞれ漸近的に近づくようF見える．（〜0．7では＿H1／1．

H1／1o．

∬

H1／1＝175，＝130の程度である．・が大きいときこれらの比が急速に大きくなるのは，分子に比較して分母のへり方が激しいためで図3牟らも椎察されることである．

最後に，波高の二乗平均∬ゾと極大値の二乗平均■との関係を図6に示す．極大値の分散

一86一波浪のスペクトル幅と統計量（II）一岩田・稲田・渡部ε

丁3くα7・〉0．7。・戚12．騨ン○畠｛o曲oo雌套12344i・τ

図6波高の二乗平均と極大値の二乗平均との関係は4アー＝4−2〜Eとなるからこの値は2から4の問で変化する．∬2は（2α）2に比較して相当小さい．図4aでは百〜2δであったが二乗することによってその差が拡大されている．

3．おわりに分散E／2から波高の推定をする場合はパラメーター6をなんらかの方法で求めておかなければならない．物理的には同じ現象でも，εの値は測定計器の時定数と読坂時間問隔とによって異なるからこの値をあらかじめ推定することは困難である．しかし，通常使用する波浪計やデータ処理の方法によるは，うねりを合まない風浪の場合は実際に計算しても，またWi11iams・Cartwright（1957）が示したように，二，三のスペクトルの経験式から計算しても0．7前後であるから，図3から近似的に
百≒O．7／7ノ亙，凪／1≒1−6ノ万ノ亙，凪／1・≒3．0ノ亙としてよい．

参1︶

Cartwright，D．E．andofarmdom

考文

献M，S．Longuet−Higgins（1956）：The

statistical

distributionofthemaximafunct1on．乃伽．Roツ．8oc．A，237，212−232、2︶

3︶

岩田憲幸・稲田 亘・田中孝紀・渡部 勲（1970）：波浪のスペクトル幅と統計量（I）．国立防災科学技術セソター研究報告，No・4，23−43・Rice，S．0．（1954）：Mathematical

4︶

Dover，New

analysis

ofrandomnoise．InNb畑伽∂8炊ゐω此〃oc3∬6∫，

spectra

wind

York，

Wil1iams，A．J．andD．E．Cartwright（1957）：A

note㎝theofwaves・丁閉〃∫・λ刎肌Gθoμツ∫．びη。，38（6），864−866・（1970年4月6目原稿受理）

一87一