Préliminaires

Généralisation des points de Darmon

Points de Darmon et variétés deShimura quaternioniques
Jérôme Gärtner
Institut de Mathématiques de Jussieu

11 janvier 2011

QuestionsPréliminaires

Généralisation des points de Darmon

1

Préliminaires
Points de Heegner
Formule de Gross-Zagier
Le théorème de Gross-Kohnen-Zagier
Points de Darmon-Logan2

Généralisation des points de Darmon
NotationsRéseau de périodes
Orbites toriques
Enoncé de la conjecture
Détermination de B à l’aide de facteurs ǫFormule de Gross-Zagier conjecturaleLien avec le programme de Kudla

3Questions

QuestionsPréliminaires

Généralisation des points de Darmon

Points de Heegner

Soit E /Q une courbe elliptique de conducteur N. Notons
PL(E /Q, s) = n≥1 an n−s sa fonction L.
Pf : τ 7→ n≥1 an e2iπnτ la forme modulaire parabolique de poids 2pour Γ0 (N) associée.
On dispose d’une fonction
H/Γ0 (N) −→ CRzz
7−→ i∞ 2iπf (τ )dτqui, composée avec l’uniformisation ΦW de Weierstrass, fournit uneuniformisation modulaireΦ : H/Γ0 (N) −→ C/ΛE ≃ E (C).

QuestionsPréliminaires

Généralisation des points de Darmon

Points de Heegner

Soit K /Q un corps quadratique imaginaire de discriminant −dsatisfaisant la condition de Heegner :« tout diviseur premier de N se décompose dans K ».
Notons K [c]/K le ring class field de K de conducteur
S c ∈ Z>0 . On a∼
Gal(K [c]/K ) −→ Pic(Z + cOK ). Posons K [∞] = c K [c].
Théorie de la multiplication complexeSi τ ∈ H ∩ K alors Φ(τ ) ∈ E (K [∞]).
On sait déterminer :c ∈ Z>0 tel que Φ(τ ) ∈ E (K [c]),l’action de Gal(K [∞]/K ) sur l’ensemble des points obtenus.

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Généralisation des points de Darmon

Questions

Formule de Gross-Zagier

Soit c ∈ Z>0 premier à N, P[c] ∈ E (K [c]) un point de Heegner etχ : Gal(K [c]/K ) → C× un caractère. La condition de Heegner entraine
que l’ordre d’annulation de L(E /K , χ, s) en s = 1 est impair.
NotonsX
χ(σ)σ · P[c] ∈ E (K [c]) ⊗ C,Pdχ :=σ∈Gal(K [c]/K )et hNT la hauteur de Néron-Tate sur E .
Formule de Gross-Zagier, ZhanghNT (Pdχ ) = (cste 6= 0) × L′ (E /K , χ, 1)
En particulier si L′ (E /K , 1) 6= 0, Pd = TrK [1]/K P[1] n’est pas de torsion.

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Généralisation des points de Darmon

Questions

Le théorème de Gross-Kohnen-ZagierSupposons pour cette section que E (Q) est de rang 1 et d variable, où−d est discriminant fondamental. Notons :P0 un générateur de la partie libre de E (Q).
b(d) ∈ Z tel que Pd = b(d)P0 modulo torsion.
g ∈ S3/2 (4N) une forme obtenue à partir de f via la correspondancede Shimura-Kohnen.
Pg (τ ) = D>0 c(D)q D où c(D) = 0 sauf si −D ≡ 0, 1 mod 4.
Théorème de Gross-Kohnen-Zagier
On a égalité entre les coefficients b(d) et c(d) définis ci-dessus :∀d ∈ Z>0b(d) = (cste 6= 0) × c(d).

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Généralisation des points de Darmon

Questions

Le théorème de Gross-Kohnen-Zagier

La preuve originale consiste en le calcul d’accouplements deNéron-Tate de points de Heegner.
Il existe une preuve analytique due à Borcherds.
D. Zagier propose une preuve plus géométrique qui fonctionne aucas par cas.
1

2

3
4

Le principe est de se placer sur une surface modulaire de Hilbertmunie de ses cycles de Hirzebruch-Zagier.
Ces cycles sont isomorphes à des courbes modulaires X0 (N) ou descourbes de Shimura quaternioniques.
Les points de Heegner apparaissent comme intersection de ces cycles.
Conclure à l’aide du théorème de Hirzebruch-Zagier.

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Généralisation des points de Darmon

Points de Darmon-Logan

Soit maintenant
F corps de nombres totalement réel de degré [F : Q] = d.
τ1 , . . . , τd ses places archimédiennes.
E une courbe elliptique sur F .
La théorie des points CM s’étend dans ce cas à l’aide d’uniformisation
par des courbes de Shimura, mais présente des inconvénients :1
2

De telles uniformisations n’existent pas toujours.
On se restreint aux extensions quadratiques de type CM.

Les calculs sont difficiles.
Darmon et Logan proposent, sous une conjecture de Oda, uneconstruction de points complexes, qu’il conjecturent être définis surcertaines extensions diédrales de F .
3Questions

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Généralisation des points de Darmon

Questions

Points de Darmon-Logan

On suppose que le nombre de classe au sens restreint de F est
hF+ = 1.
Soit f une forme modulaire de Hilbert (conjecturellement) associée
à E.
ωf = (2iπ)d f (z1 , . . . , zd )dz1 . . . dzd la forme différentielle deΓ0 (N)\Hd associée.
On transforme ωf en ωf+ qui reste Γ0 (N)-invariante mais n’est plus
holomorphe.
Dans le cas où d = 2, la formule est la suivante : on se fixe ǫ ∈ OF×
une unité satisfaisant ǫ1 := τ1 (ǫ) > 0 et ǫ2 := τ2 (ǫ) < 0, et δ ungénérateur totalement positif de la différente de F . Alors
4π 2
ωf+ = − p(f (z1 , z2 )dz1 dz2 − f (ǫ1 z1 , ǫ2 z2 )d(ǫ1 z1 )d(ǫ2 z2 )).
τ1 (δ)τ2 (δ)
Sous une conjecture due à Oda, l’ensemble des périodes de ωf+ est
un réseau, commensurable à une constante près au réseau de Néron
ΛE de E .

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Généralisation des points de Darmon

Questions

Points de Darmon-Logan

Soit K /F une extension quadratique de F , telle que τ1 soit la seuleplace archimédienne ramifiée dans K (extension ATR) et satisfaisantl’analogue de la condition de Heegner. On note K ab /K sontextension abélienne maximale.
On peut construire un tore réel T , de dimension réelle d − 1 deΓ0 (N)\Hd et dont la classe d’homologie est de n-torsion.
On obtient une d-chaîne ∆ dont le bord est égal à nT .
RIl existe un rationnel α 6= 0 tel que J + := α ∆ ωf+ ∈ C/ΛE .

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Généralisation des points de Darmon

Points de Darmon-Logan∼

Rappelons que l’on note ΦW : C/ΛE −→ E (C).
Conjecture (Darmon - Logan)
Sous la conjecture d’Oda, le point ΦW (J + ) ∈ E (C) est défini sur une
sous-extension de K ab qui est diédrale sur F et on sait préciser l’actionde Gal(K ab /K ).
Avantages de ces points :On sort du cadre CM.
Les calculs effectifs sont possibles, et fournissent des supports
numériques en faveur de la conjecture.

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Généralisation des points de Darmon

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Généralisation des points de Darmon

QuestionsNotationsNotations :On fixe r ∈ {2, . . . , d}.
B/F une algèbre de quaternions non décomposée telle queRam(B) ∩ S∞ = {τr +1 , . . . , τd }.
b et Bb = B ⊗F Fb .
On note Fb = F ⊗ Z
K /F est une extension quadratique telle queτ2 , . . . , τr
se decomposent
τ1 , τr +1 , . . . , τd se ramifient.
b × et Sh b × la variété deH est un sous-groupe ouvert compact de B
HF
Shimuraquaternionique définie
sur le corps de nombresPrF′ = Q
dont les points complexes
j=1 τj (α), α ∈ Fs’identifient àb × /H Fb × ).
ShH Fb × (C) = B × \((C r R)r × BPréliminaires

Généralisation des points de Darmon

QuestionsRéseau de périodes

Soit E /F une courbe elliptique. On suppose :L’existence de ϕ̃ forme modulaire de Hilbert parabolique et depoids 2 telle que L(E , s) = L(ϕ̃, s).
Qu’il existe ϕ ∈ S2 (BA× ) tel que π(ϕ̃) = JLB (π(ϕ)).
b × tel que ϕ ∈ S H Fb × (B × ).
Soit H sous-groupe ouvert compact de B
2AOn fera l’hypothèse technique : dim(π(ϕ)H)=1.
fConjecture de Yoshida
Hr (ShH Fb × (C), Q)(E ) ≃rOj=1H1 (Eτj (C), Q)

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Généralisation des points de Darmon

QuestionsRéseau de périodes

On fixe 0 6= η ∈ H 0 (E , ΩE /F ) et on noteηj = η ⊗F ,τj 1 ∈ H 0 (E ⊗F ,τj Q, Ω(E ⊗F ,τ Q)/Q ).
jNotons H1+ (Eτj (C)) la partie stable par conjugaison complexe.
R{ Υ ηj , Υ ∈ H1 (Eτj , Z)± } = Ω±j Z.
Nrr′ (E )1Soit 0 6= ωϕ ∈ HdR (ShH Fb × /F ) ⊂ j=1 HdR(Eτj /C). A l’aide deconjugaisons complexes partielles, on peut construire ωϕ+ dont
l’ensemble des périodes est proportionnel à l’image deH1 (Eτ1 (C), Z) ⊗r
OH1 (Eτj (C), Z)+ .

j=2

Proposition 2.1.3.5
Il existe α ∈ F ′× ξ ∈ Z r {0} tel que∀γ ∈ Hr (ShH Fb × (C), Z)

ξα+j=2 ΩjQrZ

γ−ωϕ+ ∈ Λ1 := Ω+1 Z ⊕ Ω1 Z.

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Généralisation des points de Darmon

Orbites toriques

Figure: Différents γj possibles dans le cas d’arcs de cercles.
En gras la géodésique.

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Généralisation des points de Darmon

QuestionsOrbites toriques

Fixons, pour tout j ∈ {1, . . . , r }∼κj : B ⊗F ,τj R −→ M2 (R).
Sous nos hypothèses, il existe un plongement q : K ֒→ B. On obtientainsi une action de (K ⊗ R)× /(F ⊗ R)× sur (C r R)r , qui fournit une
×r
action de la composante neutre (K ⊗ R)×+ /(F ⊗ R) sur H .
Définition-proposition
×On se fixe une orbite T ◦ sous l’action de (K ⊗ R)×+ /(F ⊗ R) , dont la◦
projection sur le premier facteur H est un point. T est une variété
analytique réelle de dimension r − 1. C’est un produit

T ◦ = {z1 } × γ2 × . . . γr
où z1 est un point et les γj des courbes de H.
Les γj contiennent le cas particulier des géodésiques étudiées par Darmon.

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Généralisation des points de Darmon

QuestionsOrbites toriquesb × , considérons l’ensemble suivant :Pour tout b ∈ BTb◦ = {[x, b]H Fb × ,b × /H Fb × ).
x ∈ T ◦ } ⊂ B × \((C r R)r × B

C’est un tore réel de dimension r − 1 (proposition 2.2.2.2 de la thèse).
Pour tout choix de composante connexe de (C r R)r symbolisé par unr -uplet u ∈ {±1}r , on peut définir de manière analogue les quantités T uet Tbu .
On dispose alors d’une action naturelle de KA× surdéfinie parb × u ∈ {±1}r }{Tbu , b ∈ B∀a = (a∞ , af ) ∈ KA×q(aff)u∞.
a · Tbu = Tq ∞(a )bPréliminairesGénéralisation des points de Darmon

Orbites toriques

Le théorème de Matsushima - Shimura permet de montrer laProposition 2.2.3.1
La classe [Tb◦ ] ∈ Hr −1 (ShH Fb × (C), Z) est de torsion.
Notons n l’exposant de Hr −1 (ShH Fb × (C), Z) et fixons ∆◦b une r -chaîne
différentiable par morceaux de degré r telle quen[Tb◦ ] = ∂∆◦b .
L’objet qui présente un intérêt pour la suite est alorsZαξJb+ := Qr
ωϕ+ ∈ C/Λ1 .
+◦Ω∆j=2 jbQuestions

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Questions

Enoncé de la conjecture

Soit ΦW : C/Λ1 −→ Eτ1 (C) l’uniformisation de Weierstrass etrecK : KA× −→ Gal(K ab /K )l’application de réciprocité d’Artin, normalisée par les Frobenius
géométriques.
La construction de Darmon trouve sa généralisation dans laConjecture 3.1.1.1
Sous la conjecture de Yoshida, le point Pb+ = ΦW (Jb+ ) ∈ Eτ1 (C) estdéfini sur une sous-extension de K ab diédrale sur F et∀a ∈ KA×recK (a)Pb+ = Pq+ (a )b .
ff

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Généralisation des points de Darmon

Enoncé de la conjecture

Avantages de cette conjecture :Formulation adélique (plus pratique d’un point de vu théorique).
On se soustrait aux hypothèses techniques hF+ = 1 et K ATR.
Possibilité de faire un lien avec le programme de Kudla.

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Généralisation des points de Darmon

Questions

Enoncé de la conjecture

Compléments
123

Détermination de B à l’aide de facteurs ǫ.
Formule de Gross-Zagier conjecturale.
Lien avec le programme de Kudla pour un analogue du théorème deGross-Kohnen-Zagier.

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Généralisation des points de Darmon

QuestionsDétermination de B à l’aide de facteurs ǫb × /Fb × → C× un caractère etSoit Kb le corps de définition de Pb+ , χ : K×××
ηK : FA /F NK /F (KA ) → {±1} le caractère quadratique de K /F .
Notons enfin invv (Bv ) ∈ {±1} défini par invv (Bv ) = 1 ssi v ∈/ Ram(B).
Proposition 3.2.2.1
PSi eχ (Pb+ ) = σ∈Gal(Kb /K ) χ(σ) ⊗ Pb+ ∈ E (Kb ) ⊗ Z[χ] n’est pas detorsion, alors
1∀v ∤ ∞ ηK ,v (−1)ǫv (πv (ϕ) × χv , ) = invv (Bv )21
ǫ(π(ϕ) × χ, ) = −1
2
Cet énoncé, connu dans le cas des points CM sur les courbes de Shimura
quaternioniques, peut être mis en parallèle avec la condition de Heegner.
En particulier l’ordre d’annulation deL(π(ϕ) × χ, s) = L∞ L(E /K , χ, s + 21 ) en 21 est impair.

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Généralisation des points de Darmon

QuestionsDétermination de B à l’aide de facteurs ǫPrincipe de la preuve :Dans le cas des « bonnes » places, la proposition 3.2.2.1 découle decalculs connus.
Dans le cas des « mauvaises » places, on construit une forme
linéaire invariante ℓv pour laquelle eχ (Pb+ ) est un vecteur test.
Théorème (Tunnell - Saito)
L’égalité ηK ,v (−1)ǫ(πv (ϕ) × χv , 21 ) = invv (Bv ) est vérifiée si etseulement si il existe une forme linéaire non nulle ℓv : πv (ϕ) ⊗ χv → Cvérifiant∀a ∈ Kv× ∀u ∈ πv (ϕ)ℓv (qv (a)u) = χv (a)−1 ℓv (u).

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Questions

Formule de Gross-Zagier conjecturale

Conjecture (Formule de Gross-Zagier)Si pour toute place v 6= τ1 on a ǫ(πv (ϕ) × χv , 12 )ηK ,v (−1) = invv (Bv )alors il existe une constante non nulle k(b, ωϕ ) telle que∀σ : Q(χ) ֒→ C

1hNT (eσ χ (Pb+ )) = k(b, ωϕ )L′ (π(ϕ) × σ χ, ).
2Si eσ χ (Pb+ ) n’est pas de torsion, ce devrait être un vecteur test pour une
forme linéaire invariante ℓχ à valeurs dans C/Λ1 ⊗ Q(χ), construite à lasection 3.3
R de la thèse. Une telle forme est « moralement » définie parℓχ (ω) = ∆ χ ⊗ ω où ∂∆ est l’image de qA (KA× ) dans limH ShH Fb × ,←−analogue de l’intégrale torique étudiée par Waldspurger, Zhang...

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Questions

Lien avec le programme de Kudla

Le principe de la preuve de Zagier est utilisé par Yuan, Zhang et Zhang
pour prouver un théorème de Gross-Kohnen-Zagier pour les points CM decourbes de Shimura associées à un espace quadratique sur F de signature
à l’infini(1, 2) × (3, 0)d−1 .
Cette preuve fait intervenir un procéder récursif, à partir de variétésassociées à des espaces quadratiques sur F de signature à l’infini(n, 2) × (n + 2, 0)d−1 .

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Généralisation des points de Darmon

Questions

Lien avec le programme de Kudla

Dernière étape de la récurrence, cas classique :2Γ\H gOOOO
oo7o
OOOoooOOOoooOOOooooTMTN OO
OOO
ooooOOO
oooOOO
oooOO'oowo{points de Heegner}(2, 2) × (4, 0)d−1(1, 2) × (3, 0)d−1(0, 2) × (2, 0)d−1

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Généralisation des points de Darmon

Questions

Lien avec le programme de Kudla

Dans notre cas, les variétés de Shimura sont associées à des espaces
quadratiques sur F de signature à l’infini(1, 2) × (2, 1)r −1 × (3, 0)d−r .
On est donc intéressés par les variétés orthogonales associées à desespaces de signature à l’infini(n, 2) × (n + 1, 1)r −1 × (n + 2, 0)d−r .
On espère pouvoir adapter la preuve de Yuan, Zhang et Zhang pourobtenir un énoncé du type Gross-Kohnen-Zagier dans le cas des points deDarmon.

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Questions

Lien avec le programme de Kudla

On est donc dans la situation suivante, dans le cas où hF+ = 1 :Γ\H2 × (H(3) )r −1fNNNpp8NNNppp
NNNpp
p
NNNp
ppp

Sh1 M
MMMMMM
MMM
MM&qqqqq
qqqq
x qqqb ×}{Tb◦ , b ∈ B(2, 2) × (3, 1)r −1 × (4, 0)d−r

Sh2(1, 2) × (2, 1)r −1 × (3, 0)d−r(0, 2) × (1, 1)r −1 × (2, 0)d−r

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Généralisation des points de Darmon

Quelques questions :Lien avec les points de Heegner classiques.
Résultats d’équidistribution.
Analogue de André-Oort.
Fonctions de Green de Borcherds-Bruinier pour la signature(n, 2) × (n + 1, 1)r −1 × (n + 2, 0)d−r .

Questions