原子衝突学会誌「しょうとつ」 2017 年第 14 巻第 5 号
Journal of atomic collision research, vol. 14, issue 5, 2017.

原子衝突学会誌

しょう とつ解説

s 波散乱長で支配される普遍的物理法則

第 14 巻
第5号
2017 年

堀越宗一

原子衝突学会 2017 年 9 月 15 日発行
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原子衝突学会誌

しょう とつ
第 14 巻 第 5 号

目

次

解説

s 波散乱長で支配される普遍的物理法則

堀越宗一

… 59

原子衝突学会第 42 回年会プログラム

行事委員会委員長… 79「しょうとつ」原稿募集

編集委員会事務局… 80

ユーザー名とパスワード

… 81

58

解

説

s 波散乱長で支配される普遍的物理法則
堀越宗一
東京大学 大学院理学系研究科附属フォトンサイエンス研究機構

hori@psc.t.u-tokyo.ac.jp
平成 29 年 7 月 14 日原稿受付

粒子の波動性が顕著になる量子系では，粒子は量子統計性を持った波として振る舞い，粒子間の相互作用の影響は散乱波の対称性と位相シフトとして現れる．散乱長とは長波長極限で散乱波の位相シフトを与えるパラメータであるが，2 粒子間の束縛エネルギー，量子多体系の相互作用エネルギーや熱力学量を与える重要な物理量でもある．散乱長が可変な冷却原子を用いて量子多体系の物性を系統的に研究する事により，様々な物理系の本質を理解する事ができる．本解説では，s 波散乱長で相互作用しているスピン 1/2 フェルミ粒子系を扱う．初めに散乱長の物理的意味を確認し，s 波
散乱長で記述される様々な普遍的物理法則について解説する．最後にこれまでの実験と希薄中性子
物質への応用について紹介する．

1. 序論
物性研究とは，物質に性質を与える物理法則を徹底的に理解し，将来の科学技術への応用を目指す研究である．物性研究のアプローチとして以下の 3 通りが考えられる．(i) 調べたい物質を一生懸命測定する（物性実験），(ii) 一生懸命
理論計算する（物性理論），(iii) 調べたい物質と同じ物性を示す別の物質を測定する．近年の測定手法やスーパーコンピュータの発展に伴い，

図 1: 様々な粒子系と普遍的な量子系．

(i)(ii) のアプローチによる物性研究は目覚ましい発展を遂げている．しかし観測する事が難し
い物質や計算コストが問題になる多粒子系に対の下では粒子の詳細に依らない普遍的な量子系

しては，物性実験と物性理論だけでは不十分なとなり，基本的な量子物性に従う量子多体系と場合がある．その場合 (iii) のアプローチが重要なる．
一般的に「普遍的」な物理現象とは，有限個となる．
図 1 に示したように様々な基本粒子で構成さのパラメータに複雑な物質系の情報を集約し，れる多体系が存在する．それぞれの粒子系は，質

そのパラメータで説明できる物理現象を意味す

量，粒子半径，相互作用ポテンシャル，密度，圧る．最も簡単な普遍的な物理現象としてニュー力等が大きく異なる．そのため (iii) のアプロー

トン力学が挙げられる．ボールの自由落下を議

チは通常難しいと思われる．だが低温の世界で論するとき我々はボールを構成しているアボガ

はどの粒子も量子統計性を持った相互作用してドロ数の基本粒子の自由度を全て考えるだろう

いる波として振る舞うようになる．特定の条件か？我々はボールを質点として捉え，質量 M にボールの内部情報を全て集約して考えるはずで

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59変化する．代表的な例として，電子系に引力相ある．

2 次相転移時にみられる臨界現象も普遍的な互作用が働くと，2 電子はクーパー対を形成し物理現象の代表例である．2 次相転移は物質の超電導状態へと変化する．また相互作用の対称

気-液境界線存在する臨界点上での相転移，液体性により s 波，p 波，d 波超電導状態へと変化すヘリウムでみられる超流動相転移，電子系の超る．電子・正孔系やクォーク系は多成分のフェ電導状態への相転移，磁性体の相転移等，様々

ルミ粒子系に相当し，相互作用が様々な物性やな物質系に渡って存在する．臨界点はそれぞれ状態（プラズマ，束縛，液滴，一次相転移，二の粒子間の複雑な相互作用によって決まるため，次相転移，等々）を与える．この様な量子多体

その臨界温度 Tc や臨界圧力 Pc は物質に依存し，系を理解するため，どのような相互作用がどの全く普遍的ではない．言い換えると，これら全ような量子物性を発現させるか系統的に研究でての物質系の相転移温度を共通のパラメータできるのが望ましい．だが電子間の相互作用を任説明できる一つの方程式は存在しない．しかし意に制御するのは難しく，クォーク系や核子系

臨界点近傍では相関長が発散し，系の詳細が見においては観測そのものが容易ではない．

えなくなることから粒子の詳細に依らない普遍

相互作用しているフェルミ粒子系を理解する的な物理法則が存在するのはよく知られている．

上で最も基本となるのが，等方的に相互作用す例えば相対温度を t ≡ (T −Tc )/Tc とすると，t = 0

る s 波相互作用である．s 波相互作用している近傍においては比熱，相関長，秩序パラメータは

フェルミ多体系の理解は，より複雑な量子系へ

t の冪乗則に従うことがよく知られている．この出発点となる．そこで上記の (iii) の物性研究の場合，転移温度 Tc という一つのパラメータにのアプローチを目的とし，冷却原子を用いた普遍

物質系の情報を集約している．また臨界現象に的な量子多体系の物性研究が進展している [1]．

は複数の臨界指数が存在する．その様な値はそつまり粒子間の相互作用の情報を散乱長 a といの普遍的物理現象を特徴付ける「普遍的な値」とう 1 つのパラメータ，もしくは散乱長 a と有効呼ぶ．

長 re という 2 つのパラメータに集約した時，ど普遍的という言葉は「すべてのものに共通しのような物理法則が誕生するのか理解し，そのているさま．すべてのものにあてはまるさま．
」

基本法則を礎により複雑な量子系へ旅立つのがという意味を持つが，そんな万能な物理法則は

本研究の位置付けである．

ない．例えばニュートン力学は運動が光速に近

特に冷却原子系はフェッシュバッハ共鳴を利づいたり，運動が不確定性原理に近づく領域で用して散乱長を実験的に制御できる特徴がありは破綻する．また 2 次相転移の法則を 1 次相転[2]，s 波相互作用しているフェルミ多体系を系移に用いることはできない．異なる物質系が共統的に研究できる理想的な粒子系となっている．

通のパラメータで共通の普遍的な物理に属してまた散乱長が発散している (|a| = ∞) ユニタリー

いる場合のみ，それらは共通しているさまを示

極限は，フェルミ粒子が相互作用しているにもす．この様な状況を「同じ普遍性に属する」とかかわらず，散乱長が発散しているため相互作呼ぶ．

用を与えるパラメータが存在しない相互作用領

本題に戻すと，粒子間に相互作用が存在しない域となっている．これは理論計算にとって非常場合，その基本物性は量子統計のみで決まる．どに挑戦的であり，現代の量子多体計算の 1 つのんな粒子もボソンならばボース統計に従い，フェ試金石となっている．またユニタリー極限に近ルミ粒子はフェルミ統計に従うだけであり，粒い状況は電子系の高温超電導体 [3] や中性子星子が何種類存在してもそれぞれが独立に量子統の中性子物質にも近いため [4]，非常に興味深い計に従って振る舞うだけである．しかし粒子間相互作用領域となっている．
これまで我々は s 波散乱長が発散しているユに相互作用が与えられると，量子物性は劇的に

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60

ニタリー極限での熱力学量の測定や [5,6]，弱く
引力相互作用している BCS 領域からユニタリー
極限までのゼロ温度極限における熱力学量の測定を行った [7,8]．さらに冷却原子研究から中性子物質の物性研究も進めてきている [9]．本解説
では s 波相互作用しているフェルミ粒子系を支配している普遍的物理を説明する．

2. 冷却原子気体
冷却原子気体とは，レーザー冷却や蒸発冷却の手法を用いて実現される希薄量子気体である．
レーザー冷却はレーザー光の吸収・放出に伴う原子の運動量変化を用いた冷却手法である [10,11]．
図 2: 実験装置．(a) 真空チャンバー，(b) レーザー
冷却されてる原子，(c)6 Li 原子対の重心運動量分布，(d)7 Li 原子の運動量分布．(c),(d)の青線が凝縮成分，赤線が熱的成分．

レーザー冷却が適応可能な粒子の主な条件は，(1)レーザー光の吸収・放出が持続可能な内部状態の存在，(2) 原子を減速できる十分な吸収・放出
レートの実現，(3) その内部状態に適合するレー
ザー光源の存在である．アルカリ原子，アルカ
リ土類原子，準安定希ガス原子はこれらの条件

み高真空側へレーザー光で輸送される．輸送さを満足するため，既にレーザー冷却が達成されれた原子は三次元的にレーザー冷却され，30 秒ている．今日のレーザー光源の発展に伴い，分で 108 個程度集められる．図 2(b) にレーザー冷子，反水素原子，ポジトロニウム（電子-陽電子

却で集められた Li 原子の写真を示した．冷却用対）のレーザー冷却実現へ向けた研究も進展中

レーザーの周波数を調整する事により，6 Li 原子である．レーザー冷却は原子気体を室温から 1と 7 Li 原子を選択的にレーザー冷却できる．両mK 程度まで一気に冷却できる強力な技術であ者を同時にレーザー冷却し，ボース・フェルミ

るが，冷却後も常にレーザー光と相互作用し続混合状態を実現する事も可能である．集められけるため冷却温度が制限される．さらに冷却すた冷却原子は光双極子トラップに移行され，30るためには，光の吸収の無い保存場で原子を捕秒程度の蒸発冷却の過程を経てさらに冷やされ獲し [12]，蒸発冷却の手法に切り替える必要がる．100 nK まで冷やされた Li 原子は，フェルミ

ある．蒸発冷却とはエネルギーの大きい粒子をオンである 6 Li 原子はクーパー対を形成しフェ

選択的にトラップから取り除き（蒸発させる），

ルミ超流動状態に相転移し (図 2(c))，ボソンでその後トラップ内の粒子にエネルギーの再分配

ある 7 Li 原子はボース凝縮状態に相転移する (図を行わせ温度を冷やす手法である．蒸発冷却後2(d)) [13]．本解説の対象はフェルミ粒子系であには，温度 1 µK 以下の極低温原子気体がトラッるため 6 Li 原子のみを用いた実験に相当する．

プ中に実現される．

3. 冷却原子系で制御する s 波散乱長

図 2(a) に Li 原子を用いた我々の実験装置の概略図を示した．常温で固体の Li 原子は真空

3.1 原子によるスピン 1/2 フェルミ粒子系のチャンバー内のオーブン中で 360 ℃に加熱され実現気化する．気化した Li 原子はオーブン直上で二6Li 原子は，電子，陽子，中性子をそれぞれ 3

つずつ所有する中性原子であり，合計奇数個の次元的にレーザー冷却され，冷却された原子のフェルミ粒子から構成される複合フェルミ粒子c 2017 The Atomic Collision Society of Japan, All rights reserved.
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61

を用いることにより，多成分フェルミ粒子系を実現することができる．本研究では状態 |1 > と|2 > が 1 : 1 の混合状態を用意し，2 成分フェルミ粒子系を実現している．この様な混合系はス
ピン 1/2 フェルミ粒子系と等価であり，内部状
態をスピンと見立てて擬スピンと呼ぶことがある．後に説明するが状態 |1 > と |2 > の散乱過程においても，散乱後に異なる内部状態に変化する非弾性散乱は生じない．

3.2 冷却原子系の長さスケール
ここで我々の冷却原子実験の典型的な長さス
ケールについて説明する．原子間の相互作用は
ファンデルワールス力で与えられ，その有効距
図 3:

離 1 は 6 Li 原子の場合 r0 = 1.7 nm である [2]．

6Li 原子の電子基底状態のエネルギーダイ
アグラム．ms と mI はそれぞれ量子化軸への電子スピンと核スピンの射影成分．

熱的ドブロイ長 2 は T = 1 µK の場合，ΛT =
√

2πℏ2
mkB T

∼ 100 nm 程度であり，異なる擬スピン間の平均距離は n−1/3 ∼ kF−1 ∼ 100 nm 程度であである．電子基底状態では 2s 軌道に最外殻電子

る．またトラップポテンシャルの長さスケールを 1 つ所有するため電子スピン S は 1/2，軌道は L ∼ 10 µm 程度である．以上より粒子系の長角運動量 L は 0，6 Li の原子核の核スピン I は 1

さスケールの階層は，である．よって原子の全角運動量 F は F = 1/2

r0 ≪ ΛT , kF−1 ≪ Lと F = 3/2 の 2 つの超微細構造を有する．図 3を満たす．この条件の下では 2 粒子は距離 r =に Li の電子基底状態のエネルギーダイアグラ|r1 −r2 | が有効距離 r0 以下まで近づいたときのみ

ムを示した．磁場中ではそれぞれの超微細構造(r < r0 ) 相互作用する．平均粒子間距離から見るが磁場に平行な量子化軸に対してゼーマン分裂と相互作用距離は十分小さいため 2 粒子が接触し，計 6 つの内部状態に分かれる．磁場が十分した時のみ相互作用する様に見える．これを接強い領域では，電子スピンが磁場と同じ方向を

触型の相互作用 (Contact interaction) と呼ぶ．

向く (ms = +1/2) か逆方向を向く (ms = −1/2)

さらに遠方 (r > r0 ) では粒子は相互作用ポテン

かで，それぞれエネルギーが増える系列と減る

シャルの影響を受けないため自由粒子として振6(1)

系列に分かれ，各系列の中で核スピンの量子化軸に対しての射影成分 (mI = 0, ±1) で 3 つの磁

1 ファンデルワールス力の有効距離 r は長距離での漸近ポ
06
テンシャル：U (r) = − Cで定義される．この漸近ポテンシャ
r6
ルによる最も弱く束縛された分子状態の半径 r0 は束縛エネル
ギーとファンデルワールス力が釣り合う点で決定する．束縛エ()

気副準位に分かれる．ここでは便宜上のため，最低準位から |1 >，|2 >，…と指標を付けてお2

ネルギーを Eb ∼ − 2mℏ r2 とすると，r0 =く．状態 |1 >，|2 >，|3 > に注目すると，高磁r 0

2mr C6ℏ2

1/4が得

個々のスピン状態は自発的に他の状態へ遷移すられる．ここで mr は換算質量である．この長さスケールはファンデルワールス長としてよく定義される．参考文献 [2] にあるようにファンデルワールスポテンポテンシャルに近づいてきた原子の波は，r < r0 の領域で変調を受け r > r0 の領域で指数的に変調が減衰する．このことから r0 をファンデルワー
ルス力の有効距離と見なすのが妥当なのである．
2 運動量 p に対する波長 λdB はドブロイの関係式 λdB =h/p = 2π/k で与えられる．熱的ドブロイ長は，粒子の波束分
布の期待値を考えるため λdB /2 の波束の熱的期待値を考えたものである．つまりドブロイ長と熱的ドブロイ長の関係は次式()

ることなく安定に存在する．これらの内部状態で与えられる：ΛT =

場中では磁場の変化に対して同じエネルギー変化率を示し，状態間の遷移はラジオ波領域の磁気双極子遷移のため実験時間 (30 s 程度) に比べて十分長い寿命を持つ．故にこれらの内部状態
は，外部磁場に対して同じポテンシャルを感じ，

∑∞

2 2

ℏ k
− 2mk
BT
(
)
∑∞
2 k2
ℏ
exp − 2mk T
k=1π
k=1 k expBc 2017 The Atomic Collision Society of Japan, All rights reserved.
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62

る舞う．このようなポテンシャルを近距離型のと呼ぶ．cl は各散乱波の規格化定数である．結ポテンシャル (Short-range potential) と呼ぶ．

論として，近距離ポテンシャルによる 2 体の相

冷却原子は極低温なのに固体にならないのか

互作用の影響は，遠方での散乱波の位相シフトとしばしば質問を受けることがある．冷却原子

ηl として現れる．特に最低次の s 波散乱の場合，の平均距離は，ファンデルワールスポテンシャ

散乱波は十分遠方で次式に従う．

ルサイズに比べ 100 倍程度離れているため，極ψ(r, k) ∝低温であっても固体に相転移する事はなく，希1sin(kr + η0 ).
kr(5)

薄な気体として安定に存在する．粒子として見ここで η0 は s 波散乱による位相シフトである．

ると希薄であるが原子の熱的ドブロイ長は粒子

s 波散乱による位相シフトは，散乱長 a と有効
長 re の二つのパラメータを用いての平均距離に達する．そのため冷却原子系は量子統計性を持った波として振る舞う量子系とな

cotη0 = −る．後の説明で基底状態という言葉が出てくる

1
1+ re kak 2(6)が，それは量子気体としての基底状態であり，の関係式で近似される．散乱長は長波長極限

Li の真の基底状態は固体状態である．

(k → 0) での位相シフトを与えるパラメータであ3.3 s 波散乱長

り，有効長は有限運動量に対する補正を与える

6

位相シフトと散乱長について簡単に復習する．

パラメータである．両者とも長さの次元を持っ質量 m が等しい 2 粒子が，中心ポテンシャル U (r)ているが，前にも記した通り 2 粒子は r < r0 まで相互作用している場合を考える．2 粒子の相で近づいたときのみ相互作用し，これら 2 つの長対運動は換算質量 mr = m/2 を持った 1 粒子のさは位相シフトを与えるパラメータに過ぎない．

運動として考えることができ，シュレーディン

厳密には式 (6) の関係式は k に対して無限次まガー方程式は次式で与えられる．
[)](

で展開する必要があるが，エネルギーが高くな

1
2mr

L2
p2r + 2r

ると p 波の寄与が大きくなるため無意味な展開+ U (r) Ψ(r, θ, ϕ)= EΨ(r, θ, ϕ).

となる．十分長波長領域であれば a と re の二つ(2)のパラメータで十分位相シフトを説明できる．

この方程式の一般解は Ψ(r, θ, ϕ) = ψl (r)Ylm (θ, ϕ)

長波長極限では式 (5) で与えられた s 波散乱で与えられるため，式 (2) を角度方向と半径方波は次式の形で近似できる．

向に変数分離することにより，半径方向のシュψ(k, r) ∝レーディンガー方程式が次式で得られる．
[
(
)
]
ℏ
2mr
2

2

2 d
l(l + 1)
d
+
− 2−
dr
r dr
r2

+ U (r) ψl (r)1sin (k(r − a)) .
kr(7)

さらに散乱ポテンシャルへの近接 (コンタクト)= Eψl (r). (3)波動関数は，散乱ポテンシャルの形状に依らず

ここで Ylm (θ, ϕ) は球面調和関数，l は方位量子
ψ(r) ∝

数，m は磁気量子数である．近距離型のポテン
シャルの場合，ポテンシャルの有効距離 r0 より

1 1
− .
r
a

(8)

の形で振る舞う．

も十分遠方 (r ≫ r0 ) では相互作用ポテンシャル

式 (7) と式 (8) を理解するために，図 4 に散は無視できるので，遠方での波動関数は次式に

乱長 a で散乱される二つのポテンシャル例を示

従わなくてなならない．
[(

した．図 4(a) は半径 a の斥力芯ポテンシャル

ℏ2
2mr

−

d2
2 d
l(l + 1)
−
+
dr2
r dr
r2

)]
ψl (r)(U (r) = +∞ for r ≤ a, U (r) = 0 for r > a) の

= Eψl (r). (4)場合を示しており，図 4(b) は適当な半径 R とこの方程式の一般解は任意の波数 k に対して，

深さ U0 > 0 を持った球状井戸型ポテンシャル

ψl (k, r) = crl sin(kr + ηl − 12 lπ) の形で与えられる．

(U (r) = −U0 for r ≤ R, U (r) = 0 for r > R) の場

l = 0 の解を s 波散乱波，l = 1 の解を p 波散乱波合を示している．どちらもポテンシャルの有効c 2017 The Atomic Collision Society of Japan, All rights reserved.
Copyright⃝63図 4: 位相シフトと散乱長．(a) 斥力芯ポテンシャ
ル，(b) 球状井戸型ポテンシャル．黒点線
は散乱ポテンシャルがない場合の波動関数．
赤実線は散乱ポテンシャルの影響を受けた
波動関数．オレンジ実線は散乱ポテンシャ
ルにアプローチする漸近線．
図 5: 形状共鳴による散乱長の変化．黒の点線が散乱ポテンシャルが存在しない場合の波動関数．赤の実線が井戸型ポテンシャルと相互作用した波動関数．

距離の外側では，式 (7) で示されたように ka だ
け位相シフトした波数 k の波として振る舞い，有
効距離の内側では散乱ポテンシャルの境界条件に従って振る舞う．またどちらの場合も，散乱
ポテンシャルへの進入時に式 (8) で与えられた境界条件によって決まる散乱波の位相シフト，線形なアプローチを示しており，散乱長の位置

及び散乱ポテンシャルにアプローチする波動関で入射波が散乱されたように振る舞う．図 4 よ

数の振る舞いに相当する．(2) 散乱長が無限にり，散乱ポテンシャルが斥力でも引力でも同じ発散している場合であっても，2 粒子は r < r0

散乱長を示す場合が存在することが理解できる．

まで近づいたときのみ相互作用する 3 ．(3) 散乱

続いて球状井戸型ポテンシャルを用いて形状長がゼロの場合であっても，2 粒子は r < r0 で共鳴による散乱長の変化について説明する．図

相互作用しており，散乱波に影響が出ていない

5 に井戸の半径 R を固定したまま深さ U0 だけをだけである．(4) 散乱長が正の値という情報だ

変化させた際の散乱波の変化の様子を示した．

けでは，粒子間の相互作用ポテンシャルが引力

図より散乱長は固定の相互作用長であっても，か斥力か判断はつかない．

井戸型ポテンシャルの束縛状態の位置に依存し3.4 フェッシュバッハ共鳴 [2]

境界条件が変化し，散乱波の波動関数が変化を前項で球状井戸型ポテンシャルを用いて散乱

受け，散乱長が連続的に変化するのが理解でき長の変化について説明したが，実際原子間ポテる．この様な散乱ポテンシャルの形状変化に伴

ンシャルの形状を任意に変化させることは容易

う散乱長の変化を，形状共鳴と呼ぶ．球状井戸型ポテンシャルの場合，散乱長 a は a(R, U0 ) =3 散乱長が発散していると無限に離れている粒子同士が相互作用できると理解するのは完全に間違っている．この様な誤解は教科書に散乱断面積が σcol = 4πa2 と書かれている場合があるため生じる．散乱振幅は f = 1 1 1 2
であるの

{
}
√
U0 R)
√
R 1 − tan(
に従い変化する事が知られて
U R
0

いる．

− a + 2 re k −ik24πaで，散乱断面積は σcol = 4π|f |2 = 1+a2 k2 となる．よって
2
ak ≪ 1 のときのみ σcol = 4πa となる．ak ≫ 1 の場合はσcol = 4πとなる．
k2以上の議論から散乱長についてまとめる．(1)
散乱長は散乱ポテンシャルの束縛状態を含めた

c 2017 The Atomic Collision Society of Japan, All rights reserved.
Copyright⃝64次に図で示したように，Us (r) の束縛状態が Esbのレベルに存在し，外部磁場により Et (B) のレ
ベルを Esb に対して任意に調整できる場合を考える．この時，Ut (r) と Us (r) の間で全角運動量が保存されれば，Ut (r) で入射してきた波動関数は
Us (r) の束縛状態の影響を 2 次の摂動的に受け，∆E(B) = Et (B) − Esb の値に依存した位相変化を受ける．この様な散乱長の変化をフェッシュ
バッハ共鳴と呼び，散乱長は以下の式に従って
変化する．
図 6:

(
a(B) = abg 1 +フェッシュバッハ共鳴の概念図．

W
B − B0).

(9)

abg , B0 , W は Ut (r) と Us (r) の詳細によって決まではない．しかし散乱波の位相は束縛状態のレるパラメータである．

ベルに依存するため，もし束縛状態の位置を散

Ut (r) から入射するフェッシュバッハ共鳴にお乱ポテンシャル内に自由に配置できれば散乱長

いて，Us (r) へ散乱される非弾性散乱は起きなを制御できる．このアイデアを可能にするのがい．何故ならば，磁場中において遠方では Es はフェッシュバッハ共鳴であり，1958 年に原子核

Et (B) に対して温度エネルギーよりも十分高い

物理学の Feshbach が [14]，1961 年に原子物理

エネルギーを持つため，Us (r) で散乱するような学の Fano が [15] それぞれ独立に考えた．

過程はエネルギー保存則を満たすことができな

ここでは図 3 に示した Li 原子の状態 |1 > といからである．故に我々は外部磁場を与えるだ|2 > の磁場中での散乱過程を例に，図 6 を用いて

けでスピン 1/2 フェルミ粒子系を安定に維持しフェッシュバッハ共鳴の原理を簡単に紹介する．

たまま擬スピン間の散乱長を制御することがで|1 > と |2 > の散乱過程は，2 原子の全電子スピンきるのである．

6|1>
状態 |1 − 2 > の組み合わせでは m|1>+
S + mIが S = 1, mS = −1 のため電子スピントリプレッ

|2>

|2>

= − 21 + 1 − 21 + 0 = 0 である．ここトの散乱ポテンシャル (Ut (r)) で相互作用する．

mS

Ut (r) は 2 原子分子の非結合性軌道に相当し，まで |1 − 2 > は状態 |1 > と |2 > の組み合わせをた散乱の入射ポテンシャルとしてオープンチャ意味する．|1 − 2 > が全角運動量を保存する相

ンネルとも呼ばれる．また遠方での Ut (r) のエ

互作用の行き先として，|1 − 2 >↔ |1 − 4 > とネルギーレベル (Et ) を入射エネルギーまたは乖|1−2 >↔ |5−2 > が存在する．実際 |1−2 > の組

離エネルギーと呼ぶ．次に 2 原子の全電子スピ

み合わせには 2 つのフェッシュバッハ共鳴磁場がンが S = 0, mS = 0 の電子スピンシングレット

存在する．これまでの我々の研究 [5–9,13,16] での散乱ポテンシャル (Us (r)) を考える．Us (r) はは abg = −1582 a0 ，B0 = 832.18 G，W = −262.3 G

2 原子分子の結合性軌道に相当し，Ut (r) よりもで与えられるフェッシュバッハ共鳴を用いて散深い引力ポテンシャルを持つ．この散乱ポテン

乱長の制御を行っている [17]．ここで a0 はボー

シャルをオープンチャンネルに対応してクロー

ア半径である．散乱長の変化の様子は図 9 の左ズドチャンネルと呼ぶ．Ut (r) はおよそ −2µB の下のグラフに示した．

+ mI

磁気モーメントを持っているのに対し，Us (r) は磁気モーメントを持たない．このため外部磁場により Ut (r) のオフセットの位置のみ変えることができる．

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はない（後で説明する BEC 領域では分子同士の散乱はあり得る．この場合相互作用は 4 体問
題を考える必要がある）．

2 体の相互作用のみを考えればよい場合，少数系 (2 体，3 体，…) や多体系 (N 体) の物性は，それぞれの 1 粒子の運動エネルギーの和と 2 粒子の全ての組み合わせの相互作用エネルギーの和のみを考えればよい．よって擬スピン σ =↑, ↓図 7:のフェルミ粒子の場の演算子を Ψ̂σ (r) としたと

6

Li 原子の p 波 (l = 1) 遠心力ポテンシャル
による実効的な散乱ポテンシャル．

き，2 成分フェルミ粒子系の大正準多体ハミル
トニアンは以下のモデルハミルトニアンを考えればよい [19]． ∫ (∑Ĥ − µN̂ =σ∫∫Ψ̂↑† (r1 )Ψ̂↓† (r2 )U (r1 −r2 )Ψ̂↓ (r2 )Ψ̂↑ (r1 )dr1 dr2 .
+4. s 波相互作用している 2 成分フェルミ粒子の普遍的熱力学(11)
ここで µ は化学ポテンシャルであり平均粒子数

4.1 ハミルトニアンと擬ポテンシャル
ファンデルワールスポテンシャルの遠方でのが N になるように定められる．しかしこのハミ漸近曲線は，式 (2) より以下の式で近似できる．
C6ℏ2 l(l + 1)
Ueﬀ (r) = − 6 +r
2mr r2)ℏ2†∇Ψ̂σ (r)Ψ̂σ (r) − µ dr2m

ルトニアンには物理を理解する上で大きな問題(10)がある．何故ならばハミルトニアンには相互作
用ポテンシャル U (r) が陽に含まれており，その図 7 に 6 Li 原子の p 波散乱 (l = 1) の実効的粒子専用のハミルトニアンになってしまっていな散乱ポテンシャルを示した．ここで C6 =るからである．これでは冷却原子で得られた知1393.39 Eh a60 であり，Eh はハートリーエネル

見を他の粒子系に与えることができない．

ギーである [2]．6 Li 原子の場合，斥力として働

これまで議論してきた通り，相互作用ポテン

く遠心力ポテンシャルによって実効的な散乱ポシャルが近距離型であり，粒子系が s 波相互作

テンシャルはおよそ 8 mK 程度のポテンシャル

用している粒子系では，散乱長に 2 粒子間の相障壁を持つ．十分低温（熱エネルギーが障壁エ互作用の影響が集約されている．異なる相互作

ネルギーに比べて小さい）で希薄（フェルミ温度用ポテンシャルであっても，同じ散乱長を与えが障壁エネルギーに比べて小さい）なフェルミ

るならば 2 粒子間の相互作用の終状態は同じで粒子系では，この障壁は原子の運動エネルギー

あり，2 粒子間の相互作用を繰り返して構築さよりもはるかに大きな値を持つため極低温でのれる多体系も同じ物性を示さなければならない．

p 波相互作用は抑制される [10]．そのため 1 成

また中性子や陽子のように，核力が厳密に判っ分フェルミ粒子系では対称性により同擬スピンていない状況であっても実験的に粒子間の散乱

間の s 波散乱が許されず粒子間の散乱断面積が長を決定できる場合がある．すなわち式 (11) のゼロになる [18]．

ハミルトニアンは散乱長 a で記述されるべきでだが異なる擬スピン間の s 波散乱は低温でもある．そうすることでフェッシュバッハ共鳴に許容である．故に十分低温で希薄な 2 成分フェよる散乱長制御で多体系の物理を系統的に研究

ルミ粒子系では，異なる擬スピン間の s 波散乱できるようになる．

のみで 2 体相互作用している多体系となる．3

そこで擬ポテンシャルの考え方を導入する．2

体以上の散乱過程はパウリの排他律によって抑粒子間には真の相互作用ポテンシャル UReal (r)制されるため多体の同時相互作用も考える必要

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66

が存在し，この相互作用ポテンシャルに起因する

井戸型ポテンシャル等を採用してもよいが，ハ少数系や多体系の物性を理解したい状況を考え

ミルトニアンがシンプルになるのでデルタ型をる．ここで UReal (r) と同じ散乱長 a を与えるよ用いるのが一般的である．

うに模擬した相互作用ポテンシャル U (a, r) を人

式 (12) で与えられた擬ポテンシャルを式（11）が用意したとする．ここで用意するポテンシャのハミルトニアンに代入することにより，次式

ルは散乱長との関係が厳密にわかっているもののように散乱長 a をパラメータとして大正準多とする．再度繰り返すが，UReal (r) と U (r) が異体ハミルトニアンを記述することができる．
)∫ (Ĥ − µN̂ =なるポテンシャルであっても，同じ散乱長を与σ ∫えるならば，2 粒子間の相互作用の終状態は同ℏ2− g(a)m

じであり，2 粒子間の相互作用を繰り返して構ℏ2∇Ψ̂σ† (r)Ψ̂σ (r) − µ dr2mΨ̂↑† (r)Ψ̂↓† (r)Ψ̂↓ (r)Ψ̂↑ (r)dr. (14)繰り返し説明するが，粒子のエネルギーが十分築される多体系も同じ物性を示さなければなら

長波長領域ならば式 (11) と式 (14) は等価であない．つまり，同じ散乱長を与える適当な相互る．擬ポテンシャルを用いたハミルトニアンよ作用ポテンシャルを人が用意して物理を議論しり，散乱長は単なる 2 体散乱の位相シフトを与ても構わないという事である．この様に「同じえるパラメータではなく，s 波相互作用してい散乱長を与える模擬した相互作用ポテンシャル」

る量子多体系の粒子間の相互作用を与えるパラを擬ポテンシャルと呼ぶ．

メータであることが理解できる．このハミルト

ここでは擬ポテンシャルとして以下のデルタ

ニアンは s 波相互作用している普遍的な物理現型引力ポテンシャルを採用する．

象を理解する出発点となる．

ℏ2
U (r1 − r2 ) = − g(a)δ(r1 − r2 ) < 0. (12)m

ここでは散乱長 a という 1 つのパラメータで支配される普遍的物理を探すのが目的である．

ここで g(a) は式（12）の擬ポテンシャルが任意

式（11）のハミルトニアンでは相互作用ポテンの散乱長 a を与えるための関数であり，[L] のシャルの詳細 U (r) に依存するため，U (r) を厳

次元を持ち常に正の符号を持つ．負の符号は，

密にパラメータ化しようとすると無限次までのファンデルワールスポテンシャルの引力相互作

テーラー展開で無限個の長さスケールが出現す用を再現している．有効長の影響が無視できるるため普遍的ではない．しかし U (r) による 2 体

極限 (kre → 0) では，g(a) は以下の式で与えらの相互作用の影響を散乱長 a という 1 つのパラ

れる 4 [19]．
1
1
1 ∑ 1
=−
+
>0
g(a)
4πa V
k2

メータ，もしくは散乱長 a と有効長 re という有(13)限個のパラメータに集約することにより，式 (14)kのハミルトニアンのように有限個のパラメータ

ここで V は体積である．擬ポテンシャルとしてで粒子系を表現でき，結果として現れる物理現
象は普遍的となるのである．

4 式 (13) の右辺第二項の k で和を取っている物理的意味を補足しておく．散乱理論によると波数 k から k′ への散
乱振幅 f (k, k′ ) は散乱行列 T (k, k′ ) を用いて，f (k, k′ ) =
m
′
′
− 4πℏ
2 T (k, k ) として与えられる．長波長極限 (k, k → 0)

4.2 普遍的熱力学ポテンシャル
ここからはより具体的に，式（14）のハミル

2では f (k, k′ ) → −a であるので， 4πaℏ
= T (0, 0) となる．
m
T (0, 0) の中身は，ゼロ運動量の擬スピン ↑ と ↓ が相互作用ポ
テンシャル U と 1 回相互作用して元の運動量に戻ってくる確率と，1 回目 U と相互作用した時 +k と −k に散乱され 2 回目 U と相互作用した時元の運動量に戻ってくる確率と，3 回目，…，無限回目に元の運動量に戻ってくる確率を足し合わせたものである．
もちろん中間散乱状態の波数 k も全ての場合を取り入れる．これを数式で表すと T (0, 0) = A+AB+AB 2 +. . . となり，式 (12)2A ∑1の擬ポテンシャルの場合 A = − ℏm g ，B = Vkℏ2 k 2
2∑

トニアンを起源にどのような普遍的物理が生まれるのか説明する．
式 (14) で与えられる多体ハミルトニアンの 固 有 状 態 を |Ψn ⟩，そ の 固 有 値 を Kn=⟩⟨Ψn Ĥ − µN̂ Ψn とする．基底状態の固有値
K0 は T = 0 での熱力学ポテンシャル Ω に一致

0−2 2mAとなる．B < 1 なので 4πaℏ
= 1−Bとなり，まとめると式m(13) が得られる．

する．有限温度の場合，熱力学ポテンシャルは

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67

2

大分配関数
ZG =

g (a)
より dg(a)da−1 = 4π であり，コンタクト密度を次∑ − Kne kB T .

式で定義し，(15)⟨⟩
C(r) ≡ g 2 (a)Ψ̂↑† (r)Ψ̂↓† (r)Ψ̂↓ (r)Ψ̂↑ (r)nを用いて次式で与えられる．
Ω(V, T, µ) = −kB T ln ZG .

積分コンタクト I を局所的なコンタクト密度 C(r)(16)

大正準多体ハミルトニアンが式（14）のように散の空間積分で定義する．
∫

乱長 a に依存する場合，大分配関数は {V, µ, a} にI=依存する．よって s 波相互作用しているスピン

1/2 のフェルミ粒子系の熱力学ポテンシャルは，できる [1, 19–23]．

となり，{T, V, µ, a

} の 4 つの熱力学変数で与

∂Ω
∂a−1

)

C(r)dr(21)

結果として式 (19) は以下の形で記述することが(17)Ω = Ω(V, T, µ, a
−1

−1

(20)

(

えられる．有限個のパラメータで熱力学ポテン

)
=−
V,T,µ

ℏ2
I
4πm

(22)

シャルが与えられていることから，全ての熱力

この右辺が a−1 を熱力学量と見なしたときの共学的物性は普遍的となる．さらに式 (17) から散役な熱力学量に相当する．この関係式は断熱関

乱長は熱力学変数の 1 つであることが理解でき係式と呼ばれ，散乱長が変化した際の自由エネ

る．もちろん散乱長は示強変数である．尚ここ

ルギーの変化率を示している．コンタクト密度

では便宜上散乱長の逆数を熱力学変数として選は [L−4 ] の次元を持つ示強性の物理量であり，積んでいる．擬ポテンシャルに有効長 re も再現す分コンタクトは [L−1 ] の次元を持つ示量性の物

る関数を用いることもできる．その場合熱力学理量である．コンタクト密度は式 (20) の定義よポテンシャルは Ω(T, V, µ, a−1

, re ) となる．以下

り常に正の値を持つ (C > 0)．

では簡単のため散乱長のみを相互作用パラメー

コンタクト密度の物理的意味を理解するため，タとして議論する．

任意の 2 粒子 (i, j ) が多体中で式 (8) に従って接4.3 コンタクト密度

触相互作用している状況を考える．十分希薄な

次に a−1 と共役な関係を持つ熱力学量につい条件の下では，この 2 粒子は他の (N − 2) 個のて考える．式（14）のハミルトニアンは散乱長粒子から隔離されていると考えてよい．よってを変数として持つので，ヘルマン-ファインマン

N 体の波動関数は 2 粒子の波動関数とその他のの定理より散乱長の変化に対する固有値 Kn の

(N − 2) 個の波動関数の積として表すことがで変化は次式で与えられる．

きる．多体中では s 波散乱が許される全ての組∂Kn (a−1 )
=
∂a−1

⟨

∂(Ĥ − µN̂ )Ψn∂a−1

み合わせで接触相互作用が繰り返されているの. (18)

で，式 (8) の波動関数は常に有限の振幅を持つ．

式 (15-18) を用いて，散乱長の変化に対する熱近距離でのフェルミ対の波動関数が 1/r で振る

力学ポテンシャルの変化は次式で与えられる．
[]−1

舞うならば，異なるスピン間の近距離密度相関

(

)

Ψn

⟩

∑

∂Kn (a )
exp
n
∂a−1

− kKBnT
]

∂Ω
[
=
∑
Kn
∂a−1 V,T,µn exp − kB T
⟩
[
]
∑ ⟨
∂(Ĥ−µN̂ )
Kn
Ψ
exp
−
Ψ
−1
n
n
n
∂a
kB T
[
]
=
∑
Kn
n exp − kB T⟨⟩∂(Ĥ − µN̂ )
≡
(19)
∂a−1

は 1/r2 に従わなければならない．近距離密度相式（14）の右辺第一項は散乱長に依存しないた

位置 R を中心とした半径 s の球の中に存在する

め，第二項の微分のみを考えればよい．式 (13)相関フェルミ対の数は，この近距離密度相関を

関の厳密な導出は様々な理論的手法で示されており，コンタクト密度を用いて以下の式で与えられる [1, 19–23]．
⟨n̂↑ (R + r1 ) n̂↓ (R + r2 )⟩|r1 −r2 |→0−−−−−−−→

C(R)16π 2 |r1 − r2 |2(23)

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|r1 | < s と |r2 | < s の球内で積分することで得らとすると，熱力学関係式は Ω = F − µN よりれる．

F = µn − P となる．これより自由エネルギー密s→0

Npair (R, s) −−−→度の全微分は以下の形で得られる．

s4
C(R)
4

(

(24)
dF = −sdT + µdn −故にコンタクト密度の物理的意味は，半径 r の球内に存在する近距離相関フェルミ対の数の期)ℏ2
C da−1 .
4πm(29)以上の結果より s 波相互作用しているフェル待値に相当する．

ミ粒子系の単位体積当たりの熱力学ポテンシャ

式 (8) による接触相互作用を起源に生まれる

ルは，大正準集団（グランドカノニカルアンサ

実空間での近距離相関を前の段落で議論したが，ンブル）描像では式 (8) を起源に生まれる運動量空間での普遍法

P = P (T, µ, a−1 ).

則もコンタクトを用いて記述できる．式 (8) ので与えられ，正準集団（カノニカルアンサンブ

1/r の波動関数のフーリエ変換は k /4π であり，

ル）描像では2

F = F(T, n, a−1 ).

その期待値である運動量分布は 1/k4 の成分を持
つ．この運動量成分の振る舞いは積分コンタク

式 (29) と式 (31) を用いて，圧力と内部エネルギー密度 (E = E/V ) の関係式を導出する．自とが理論的に証明されている．
k≫kF ,Λ−1(31)で与えられることがわかる．

トと関係付けることができ，以下の式に従うこTnσ (k) −−−−−−−→(30)

由エネルギー密度とその熱力学変数の長さの次

I
k4

(25)

元はそれぞれ，F は [L−1 T−2 ]，T は [L−2 ]，n は故にコンタクトは運動量分布の測定からも決定[L−3 ]，a−1 は [L−1 ] である．温度 T の長さの次できる [24]．

元がわかりにくいかもしれないが，熱的ドブロ

4.4 s 波相互作用している粒子の熱力学

イ長が ΛT ∝ T −1/2 である事を考えれば理解で

式 (22) の断熱関係式を用いることにより，一般

きる．長さの単位を λ 倍，時間の単位を λ2 倍し的な熱力学ポテンシャルの全微分：dΩ = −P dV −た時，スケール不変性が以下の様に成り立つ．
(

SdT − N dµ に s 波相互作用の影響を付け加えるFことができる．

T n a−1, ,λ2 λ3 λ)=1
F(T, n, a−1 ).
λ5

(32)

( 2 )
ℏ
dΩ = −P dV −SdT −N dµ−
I da−1 .(26)4πm

両辺を λ で微分し λ = 1 とし式 (29) を用いるこ

ここで P, S, N は圧力，エントロピー，全粒子

さらに熱力学関係式 F = E−T s と P = T s+µn−E数である．任意の長さスケール変化 λ に対してを用いることにより，以下の圧力とエネルギーΩ(λV, T, µ, a−1 ) = λΩ(V, T, µ, a−1 ) が成り立つた密度の関係式が得られる [1, 19–23]．

ℏとにより，2T s−3nµ+ 4πma
C = −5F が得られる．
2

め，

P =
Ω = −P V

(27)

2
ℏ2
E+
C.
3
12πma

(33)

の関係式は維持されている．一様系を仮定し，この関係式は s 波散乱が成り立つ全ての温度で

s = S/V ，n = N/V ，C = I/V とすると，圧力の成り立ち，量子状態が常流動か超流動か関係な

全微分は式 (26) と式 (27) より次式となる．

く成り立つ．ここではコンタクト密度が，理想(

dP = sdT + ndµ +)ℏ2C da−1 .
4πm

フェルミ気体の圧力-内部エネルギー密度の関係(28)(P = 32 E ) に s 波相互作用の影響を与えている．
4.5 無次元状態方程式

この全微分の式はギブズ-デュエムの式に相当する．また，単位体積当たりのヘルムホルツの自由冷却原子系で圧力 P を T, µ, a−1 の関数で決定

エネルギー (自由エネルギー密度) を F = F/V

し熱力学ポテンシャルを得たとしても，このまc 2017 The Atomic Collision Society of Japan, All rights reserved.
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までは他の粒子系に用いることができない．例

fF (0, 0) = fE (0, 0) = ξ

えば中性子星の温度は 10 K であるが，冷却原

1999 年の国際会議で「散乱長が発散している子系でその様な温度を再現することは当然でき

フェルミ粒子はどう振る舞うの？」と Bertschない．しかし中性子星の中の中性子も冷却原子が問題提起したので [25]，この定数を Bertsch

も共に s 波散乱で相互作用しているフェルミ粒

パラメータと呼ぶことがある．

6

(37)

子ならば，同じ普遍性に属し同じ物理法則に従

上記の無次元状態方程式は，全ての無次元熱

うはずである．そこで物理量の絶対値から脱却

力学量は熱力学変数の絶対値に依存せず，2 つし，フェルミ粒子系を支配する物理量で無次元の無次元量によって普遍的に与えられることを量を用意し，無次元状態方程式を考える．

意味している．つまり，冷却原子実験で fP や

大正準集団 P (T, µ, a

−1のいfF の状態方程式を決定すれば，あらゆる s 波相

ずれかを粒子系のエネルギースケールと長さス

互作用している粒子系に対して同じ状態方程式

ケールとして考えることができる．温度 T を基が適応できる．よって冷却原子実験および理論

準物理量として選んだ時，エネルギースケール

研究の目的は，fP や fF の無次元状態方程式を

は kB T ，長さスケールは ΛT となる．この時無決定することである．

次元圧力は以下の状態方程式 fP に従う．

4.6 2 体の束縛状態

Λ3 (T )
= fP
P T
kB T

) の場合，T, µ, a−1(

µ ΛT (T )
,
kB T
a

)

次の小節で BCS-BEC クロスオーバーについ(34)て触れるが，BCS 領域と BEC 領域の境界を理

ゼロ温度極限 (T = 0) では T を基準物理量として解するために，ここでは真空中の 2 つのフェルミ

選べない．その場合 µ を基準物理量として選び，粒子が束縛状態（分子状態）を持つための条件をkµ (µ) =議論する．BCS 領域とは 2 つのフェルミ粒子間√2mµの逆数を長さスケールとして考えℏ)(
1
る．この場合無次元圧力は µk3P(µ) = fP kµ (µ)aµの引力相互作用の強さが不十分であるため，真となるが，スピン 1/2 の理想フェルミ気体の圧

空中でその 2 粒子が束縛状態をもたず，多体効果2315π 2 µkµ (µ) を用いて以下の無次元(フェルミ面) によって 2 粒子の束縛状態（クー

力：P0 (µ) =圧力を用意する．
P= fP
P0 (µ)(1kµ (µ)aパー対）が実現できる相互作用領域である．一)方 BEC 領域とは，2 つのフェルミ粒子間の引力(35)

相互作用が十分強く，真空中でその 2 粒子が束正準集団 F(T, n, a−1 ) の場合，T, n, a−1 のい縛状態（分子状態）を持つ相互作用領域である．

ずれかを粒子系のエネルギースケールと長さス

以下では式 (12) の擬ポテンシャルを用いて，真ケールとして考えることができる．粒子数密度

空中の 2 つのフェルミ粒子が束縛状態（分子状n を基準物理量として選ぶと，エネルギースケー√態）を持つための条件と，その波動関数についℏ
ルは εF (n) = 2m
(3π 2 n)2/3 ，kF (n) =22mεF (n)のℏて説明する．

逆数を長さスケールとして考える．この時無次分子の波動関数を

元自由エネルギー密度は以下の状態方程式 fF に

ψb (r1 , r2 ) =

従う．
F

= fF
3
5 nεF (n)(T
1,
TF (n) kF (n)a∑ck eik·(r1 −r2 ) =

∑

k

)

ck eik·r (38)kℏとし，束縛エネルギーを Eb = − mα
2 として考え2(36)

ると，2 体の相対座標でのシュレディンガー方

左辺分母が理想フェルミ気体の T = 0 のエネ

程式は以下の式で与えられる．

ルギー密度になるように 3/5 を与えている．式[ 2]
1∇ + g(a)δ(r) ψb (r) = 2 ψb (r)α(36) は T = 0 でも用いることができる．
特にユニタリー極限のゼロ温度では普遍的な(39)

ここで α は [L] の次元を持つ任意の実数である．

値を持つ．

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式 (38) を式 (39) に代入することにより係数 ckが満たすべき方程式が得られる．
ck =∑g(a) k′ ck′
k 2 + α−2(40)

両辺を k で和を取り整理すると次式を得る．
∑
V
1
=
> 0.
2
2
4πa
k (α k 2 + 1)

(41)

k

この式より，束縛状態を持つためには a >0 でなければならないことがわかる．右辺は
∫∞
V
4πk2
V
(2π)3 0 k2 (α2 k2 +1) dk = 4πα となるため α = aとなる．故に分子の束縛エネルギーは以下の式
で与えられる．
Eb (a) = −ℏ2ma2

図 8: s 波散乱長で相互作用しているスピン 1/2
フェルミ粒子系の相図．

(42)

次に分子の波動関数を導出する．式 (40) で α =a, g(a)∑k′ ck′ = A とし，ck を式 (38) に代入す

a > 0 の領域では 2 粒子間の引力が十分強く，真ると，分子の波動関数は次式で与えられる．
ψb (r1 , r2 ) = A∑ℏ
空中で 2 粒子が束縛エネルギー Eb = − ma
2 で
2

eik·r
2
k + α−2(43)分子状態を維持できる．粒子の熱的エネルギーk∫ d3 k eik·rr
1 −a
積分： (2π)3 k2 +a−2 = 4πr e を用い規格化するが束縛エネルギー以下 (kB T < |EB |) であれば，

ことにより以下の分子の波動関数が得られる．

熱的ボース分子として振る舞い，分子の熱的ド

1 e−|r1 −r2 |/aψb (r1 , r2 ) = √2πa |r1 − r2 |ブロイ長が触れ合う温度領域でボース凝縮に至(44)る．一方，a ≤ 0 の領域では 2 粒子間の引力が不十分であり，多体効果（フェルミ面）の助け

分子の平均半径は
⟨r⟩ =

∫ ∞

4πr2 r|ψb (r)|2 dr =a2

を得ないと 2 粒子は束縛状態は維持できない．
(45)

フェルミ対が安定に維持される温度領域では同であるので，束縛状態にある 2 粒子は散乱長程時にボース凝縮の条件も満たすため，対形成と度離れていることになる．

ボース凝縮がほぼ同じ温度領域で生じる．以上

4.7 BCS-BEC クロスオーバーのことから，1/kF a > 0 の領域を分子ボース領

0

正準集団の見地で粒子系を眺めてみると，式域，1/kF a < 0 の領域を BCS 超流動領域と呼ぶ．

(33) より熱力学的物性は，相互作用パラメータ

また，両者の中間領域 1/kF a = 0 をユニタリー極限と呼ぶ．また 2 粒子間の引力相互作用の観点T
1
kF a と温度パラメータ TF に依存する．図 8 に，から，1/kF a → −∞ を弱結合極限，1/kF a → +∞横軸を相互作用パラメータ，縦軸を温度パラメー

を強結合極限と呼ぶ．フェルミ多体系の基底状タに選び，s 波相互作用している 2 成分フェル態は，BCS 領域から BEC 領域まで相転移を伴ミ多体系の相図の概念図を示した．

わず連続的につながっているため，この基底状式 (12) で説明したように任意の散乱長の値で態の連続的な変化を BCS-BEC クロスオーバー

異なる擬スピン間には引力相互作用が働いていと呼ぶ．

るため，いずれの相互作用パラメータにおいて4.8 無次元状態方程式の漸近曲線

もゼロ温度極限でフェルミ対を生成しボース凝式 (34),(35),(36) の求めたい無次元状態方程式

縮状態に至る．その中でも前項で示したように，の解析解は，任意の無次元パラメータに対して今c 2017 The Atomic Collision Society of Japan, All rights reserved.
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のところ存在しない．しかし無次元パラメータが十分小さい領域においては，小さいパラメー
タで展開できる．以下に高温領域と BCS 領域
で無次元状態方程式が従うべき漸近曲線を紹介する．実験で決定する無次元状態方程式は，高温領域や BCS 極限で以下の漸近曲線に一致する必要がある．
フェルミ粒子系のフガシティーが 1 よりも十µ分小さいとき (e kB T ≪ 1)，式 (32) の無次元圧力の状態方程式は，ビリアル係数 bn を用いてフガシティーで展開できる() [19]．

µ ΛT (T )
,
kB[T
a
(
)
]
µ
ΛT (T ) 2 k µT
= 2 e kB T + b2
e B + ...
a
(
)
(
)
∞
∑
µ
ΛT (T ) n k µT
ideal
= fP
+2
∆bn
e B
kB T
a
n=2
fP

(46)
これをビリアル展開と呼ぶ．右辺の係数 2 はス
ピン自由度を意味する．fPideal

(

µ
kB T

)

図 9: 実験装置．

はスピン1/2 の理想フェルミ粒子の無次元状態方程式で基底状態 (T = 0) の内部エネルギー密度の無次ある．

元状態方程式は (kF a) で展開でき，2 次の項まfPideal

(

µ
kB T

)

(
)
µ
= −2Polylog 52 −e kB T
(47)

で解析的に解っている
[27]
．
(
)
(
fE

∑∞

xn
n=1 ns は多重対数関数()
である．ビリアル係数の差は ∆bn ΛTa(T ) =()
であり，理想フェルミ粒子系
bn ΛTa(T ) − bidealnn+1= (−1)のビリアル係数は bideal
である．
n
n5/2

ここで Polylogs (x) =エネルギーは同値である (fF ( kF1 a ) = fE ( kF1 a ))．

5. 基本的な実験手法

おり次式で与えられる
[26]．
(
)

5.1 相互作用している極低温フェルミ粒子のΛT (T )
[a (
)2 ]
(
)]
[
1
1 ΛT (T )−1 ΛT (T )erfc √= √ exp
2π
a
a
2
2π
∆b2

∫∞
x

=1+

T = 0 ではヘルムホルツの自由エネルギーと内部

2 次のビリアル係数の差は解析的に解かれてここで erfc[x] = √2π

)−1
10
1
9π kF (n)a)−2(
1
4(11 − 2log2). (49)+
21π 2
kF (n)a1
kF (n)a実現
図 9 を用いて実験手順を簡単に解説する [13]．
真空ガラスセル中でレーザー冷却によって冷や(48)された 6 Li 原子気体は，z 方向に照射されたレー

dte−t である．3 次のビ
2

ザー光による光双極子トラップ (ODT) により捕リアル係数の差 ∆b3 は解析的には解かれていな獲される．ODT のレーザー光は 30 秒程度の実いが，数値的に解かれている [19]．4 次以降の

験時間内に原子がこのレーザー光を吸収しない

ビリアル係数の差 ∆b4 は確定していない．特に√よう，6 Li 原子の共鳴波長が 671 nm に対し大きユニタリー極限 (a−1 = 0) では，∆b2 = 1/ 2,

く赤方離調を取った 1070 nm のレーザー光を用∆b3 = −0.3551 という温度に依存しない普遍的いている．赤方離調の場合，原子は ODT のレーな値を持つ [19]．

ザー強度に比例して引力ポテンシャルを感じる

相互作用パラメータが十分弱い BCS 極限でのため [12]，ODT のレーザー光は原子の位置でおc 2017 The Atomic Collision Society of Japan, All rights reserved.
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よそ 40 µm の 1/e2 半径で集光しトラップポテン

5.2 観測手法

シャルを生成している．ODT のレーザー強度

トラップ中の極低温 6 Li 原子はトラップから

は，捕獲開始時には原子の温度が 1 mK 程度と解放することなくその場で観測される．観測手

高いため 100 W 照射し約 3 mK の深さの ODT

法は吸収イメージ法を用いている．吸収イメーを生成する．ガラスセル中の真空度は，残留ガジ法は共鳴のプローブレーザー光を原子に照射

スがトラップ中の原子に衝突し原子をトラップし，その透過分布を CCD カメラで撮影し原子のからはじき出す頻度を下げるため，2 × 10−9 Pa

密度分布をプローブ方向に射影した像：n̄(x, z) =の超高真空状態を保っている．結果として，測∫ +∞定した ODT のトラップの寿命は 90 秒程度であはガラスセル中に NA = 0.28 の対物レンズをり十分に長い．

備えており，2 µm の空間分解能で撮影できる−∞

n(x, y, z)dy を得る手法である．我々の装置

ODT にトラップされたフェルミ原子は蒸発ように設計されている．また吸収イメージ法は冷却によってさらに冷却される．蒸発冷却の過Beer-Lambert の法則を用いているが，6 Li 原子

程では熱い原子が取り除かれた後の弾性散乱にのような軽い原子はプローブ光の吸収・放出時のよる熱の再分配が重要である．十分冷えると散光子反跳の影響を大きく受ける．そのため我々

乱過程は s 波散乱のみになるため，蒸発冷却のは最適なプローブ条件を研究し高精度な撮影を開始時に内部状態を図 3 の |1 > と |2 > の混合状行っている [16]．典型的な吸収イメージ像を図態に準備する．さらにフェッシュバッハ共鳴で9 の左上に示した．

散乱長の絶対値を大きくし蒸発冷却の効率を向5.3 局所熱力学量の決定上させる．そのため上下に配置されたヘルムホ

ODT によるトラップポテンシャルは集光した

ルツコイルから一様磁場を発生し，フェッシュ

レーザー光の強度分布の形をしており，トラッ

バッハ共鳴により異なる擬スピン間の散乱長のプ中のフェルミ粒子は非一様に分布している．

絶対値を増大させる．目的により蒸発冷却に用

トラップ全体でフェルミ粒子の温度 T と散乱長

いる散乱長は異なるが，散乱長が発散している

a は一定ではあるが，粒子数密度 n やその他のユニタリー極限 (832.18 G) 付近の散乱長の絶対熱力学量はトラップ中の位置に依存して異なる．

値が大きい領域で蒸発冷却を行う．

局所的なフェルミエネルギー εF (n) も位置に依

蒸発冷却は 30 s 程度で ODT のレーザー強度

存することになり，温度パラメータ T /TF (n) やを減らしていき，ODT のトラップの深さを徐々相互作用パラメータ 1/kF (n)a も位置に依存すに浅くすることにより，熱的な原子を選択的にる．さらには，吸収イメージでは 3 次元分布をトラップから逃がし残された原子の温度を下げ

プローブ方向に射影した 2 次元イメージを得る

ることができる．よって温度は蒸発冷却の最終ため，各位置での局所的な熱力学量を測定する

ODT レーザー強度で制御できる．最も冷やすのは難しいように思われる．

場合，ODT レーザーの強度は 50 mW でトラッ

だがトラップポテンシャルが軸対象ならば，3プの深さは 1 µK であり，フェルミ粒子の温度

次元局所密度 n(r, z) は 2 次元射影像 n̄(x, z) の逆は 100 nK 程度となる．蒸発冷却後に磁場を断アーベル変換によって得られる．

熱的に変化させ調べたい散乱長へと変化させる
n(r, z) = −ことにより，擬スピン間の相互作用も自在に制御できる．このように我々は温度と散乱長の二ここで r =

つの調整ノブを用いて，様々な相互作用してい

√

1
π

∫ ∞
r

1
∂ n̄(x′ , z) ′√dx (50)x′2 − r2 ∂x′

x2 + y 2 である．

局所圧力も局所密度近似 (LDA) の範囲内ならる極低温フェルミ粒子系をトラップ中に実現すば決定できる．LDA は局所的な熱力学量は局所ることができる．

的な密度で与えられ密度勾配には依存しないと

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73いう近似である．LDA では局所的な化学ポテン
シャルは，µ(r) = µ0 − U (r)trap(51)で与えられる．ここで r = 0 はトラップの極小点とし，U (0)trap = 0，µ0 = µ(0) とする．式 (28)から，トラップ中の温度と散乱長が一定という条件の下では以下の関係式が成り立つ．
dP = ndµ(52)つまりある局所密度 n での圧力は，密度がゼロ極限からその密度まで µ を関数に積分を取ったものである．
P (T, µ, a

−1

∫ µ

n(T, µ′ , a−1 )dµ′

)=

(53)

−∞

LDA より dµ = −dUtrap であり，逆アーベル変換より得られた n(r, z) を用いることにより，式

図 10: 局所圧力と局所密度の決定例．(a) 測定
イ メ ー ジ n̄(x, z)，(b) 計 算 さ れ た 局 所
圧力 P (r, z)，(c) トラップポテンシャル
Utrap (r, z)，(d)P (Utrap )，(e)n(Utrap )．水
色の点が全データポイント，黒点がビニン
グにより得られた平均値．

(53) は以下の式より計算できる．
∫ ∞P (r, z) =n(r′ , z)r∂Utrap (r′ , z) ′
dr
∂r′

(54)

尚，積分方向は z 方向でも構わない．
逆アーベル変換を計算したくない場合，式 (50)を式 (54) に代入して式変換することにより，
n̄(x, z) と ∂Utrap (x, z)/∂x から直接 P (r, z) を計算ているフェルミ粒子系の状態方程式は式 (34) にする手法もある [16]．

従うことを示した．故に LDA の下では圧力は以下の式に従うことになる．
(

以上の方法で局所圧力 P (r, z) と局所密度kB T
P (Utrap ) =fP
Λ3T (T )n(r, z) は測定イメージ x,¯z とトラップポテンシャ

ルの形状 Utrap (r, z) より決定可能であることがµ0 − Utrap ΛT (T )
,
kB T
a

)

わかる．我々は後者の方法を用いて局所圧力を(56)
局所密度が小さくなる領域ではフェルミ温度が計算している．図 10 に典型的な局所圧力と局所小さくなり，その結果温度パラメータ T /TF (n)密度の実験データを示した．図 10(a) が吸収イは大きな値を持ち，exp(µ/kB T ) は 1 より十分小メージングによって得られた n̄(x, z)，図 10(b)さい値を持つ．故に，式 (46) にフガシティーでが決定された局所圧力 P (r, z)，図 10(c) が実験で展開した状態方程式 (56) を代入し，T と µ0 を用いているトラップポテンシャル Utrap (r, z) で変数として実験で得られた P (Utrap ) の低密度領ある．P (r, z) と Utrap (r, z) を同じ位置で対応付

域をフィットする事によりそれらを決定できる．

けし，P (Utrap ) としたのが図 10(d) である．我々

ただしフェルミ粒子の温度が下がるにつれ，ビは局所密度を式 (52) の関係式と LDA を用いてリアル展開でフィットできる領域が狭くなり精以下の式より計算している．

度良く決定できない．よって低温領域の T と µn(Utrap ) = −dP (Utrap )dUtrapの決定は，(46) の状態方程式を低温側に成長さ(55)せながら決定していく手段を用いる．詳細は参考文献 [28] に説明されている．

得られる局所密度の例を図 10(e) に示した．
次に温度 T と化学ポテンシャル µ0 の基本的以上より P, n, T, µ, a の組み合わせが一枚の吸な決定方法について説明する．s 波相互作用し収イメージから多く得られる．トラップ中のc 2017 The Atomic Collision Society of Japan, All rights reserved.
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図 11: ユニタリー極限での無次元圧力の状態方
程式．実線が実験結果，黒点線は 3 次までのビリアル展開の状態方程式．

フェルミ粒子が密度分布を持っていることが不利ではなく有利に働いていることがわかる．この作業を様々な温度，散乱長で繰り返すことによって熱力学ポテンシャル P (T, µ, a−1 ) が得ら
れ，熱力学関係式を用いて式 (34)，(35)，(36)

図 12: 基底状態における無次元状態方程式．(a)無次元圧力，(b) 無次元内部エネルギー密度．赤実線が実験結果，黒点線は BCS 極限での漸近曲線．

の普遍的状態方程式に辿り着くことができる．

6. これまでの研究成果の紹介
ここでは簡単にこれまでの冷却原子実験による研究成果を示し，決定したかった無次元状態

6.2 BCS からユニタリー極限に渡る基底状態

方程式を示す．それぞれの成果の詳細は参考文

における無次元状態方程式 [7, 8]

献を参照して頂きたい．

式 (35) で定義されたゼロ温度極限の無次元圧

6.1 ユニタリー極限での無次元状態方程式 [5,力の状態方程式を BCS 領域からユニタリー極限

6]で決定した．図 12(a) の赤の実線が実験データで式 (34) で定義された無次元圧力の状態方程式

あり，黒の点線が式 (49) から導出した BCS 領域

をユニタリー極限で決定した．図 11 の赤の実線での漸近曲線である．また熱力学関係式を用い，が実験データであり，黒の点線が式 (46) の 3 次

式 (36) で定義された無次元内部エネルギー密度までのビリアル展開の曲線である．超流動転移の状態方程式を導出した．図 12(b) の赤の実線

点は別実験で決定しており，(µ/kB T )c = 2.5(1)が実験データであり，黒の点線が式 (49) の漸近であった．その時 (T /TF )c = 0.17(1) であった．

曲線である．T = 0 の極限なので自由エネルギー

その他の無次元状態方程式は 4.4 節の熱力学関密度の状態方程式と同値である．ユニタリー極係式を用いれば導出できる．（ [5, 6] の論文と同限での Bertsch パラメータは ξ = 0.375(10) でじ実験データを用いているが，出版の後に温度評あった．コンタクト密度は図 12(b) の曲線の勾価方法が改善され高温領域の値が改善された．
）

配から決定できる．

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方程式には中性子の有効長，p 波散乱以上の高次の相互作用，3 体力，特殊相対論的効果は含
まれていないが，この曲線は一様な中性子物質の根本的な物性を示している事を意味する．今後中性子の有効長 re の影響や p 波相互作用しているフェルミ粒子系を冷却原子で調べることにより，中性子物質の物性がより明らかにされると期待される．

7. 結び
粒子間の相互作用の効果が散乱波の位相シフ
図 13: 希薄中性子物質の状態方程式．赤実線は冷却原子実験から決定された状態方程式，
黒点線は原子核理論 (APR) [29]．

トに現れ，位相シフトを有限個のパラメータで説明できるだけで，これほど多彩な普遍的物理法則が表れるのは非常に面白い．また散乱ポテ
ンシャルに接触する波動関数の振る舞いがコン

6.3 中性子物質の基本状態方程式の決定 [9]タクトという物理量を与え，熱力学，状態方程

中性子は散乱長 aN N = −18.5 fm を持つスピ式，近距離粒子相関，運動量分布に普遍的な物

ン 1/2 のフェルミ粒子である．散乱長を変化さ性を与えるのも面白い．今回は s 波散乱長のみせることはできないが，粒子数密度によって相を位相シフトを与えるパラメータとして扱った

互作用パラメータ 1/kF (n)aN N が変化する．散が，有効長の影響や p 波散乱等の高次の散乱過乱長の符号が負なので，低密度だと BCS 領域に程においても，散乱波の対称性を考慮する必要

属し高密度になるにつれユニタリー極限に近づが出てくるが，同様な普遍的物理法則が存在すいていく．また原子核や中性子星中の中性子のる．冷却原子系は，散乱長，有効長，散乱次数

温度は，フェルミ温度と比較すると十分小さいがフェッシュバッハ共鳴で制御できる粒子系でのでゼロ温度極限と考えることができる．よっあるため，この様な普遍的物理法則を実験的にて，希薄中性子物質の無次元内部エネルギー密

確認し，量子的な散乱が重要な粒子系へ知見を度の状態方程式は式 (36) に従うと期待できる．

与えることができる．特に無次元化した状態方式 (36) より中性子 1 つあたりの内部エネルギー程式を用意する事により，速やかに他の粒子系は次式で与えられる．

へ応用が可能である．

E/N =

3
εF (n)fE
5(

1
kF (n)aN N)

本解説では触れなかったが，状態方程式は量(57)

子多体系の状態の理解を進めるためにも非常に図 12(b) で示した fE の曲線と中性子の質量と散重要である．例えば T = 0 で化学ポテンシャル

乱長を用いて，我々は希薄中性子物質の状態方で決まる粒子数密度 n(µ) を考える．相互作用

程式を計算した．

がなければ粒子数密度は理想フェルミ気体の状

図 13 に冷却原子実験と普遍的物理の原理に基態方程式に従う．粒子間に引力相互作用が働きづいて与えられた希薄中性子物質の基本的状態

フェルミ面にクーパー対が形成できると，さら方程式を示した．赤線が冷却原子実験から得らに多くの粒子数を保持することができる．さられた中性子物質の状態方程式である．比較のたにオーダーパラメータ周りの揺らぎ成分も含め

め APR という原子核理論モデルの 1 つを点線れば，実際はもっと多くの粒子数を保持していで示したが [29]，低密度領域で良く一致しているはずである．この様に状態方程式は量子系のることが確認された．「基本的」とは，この状態

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76状態そのものを反映する．熱力学量は関係式に謝辞

よって全ての熱力学量に繋がっているので，量子系を理解する上で熱力学量測定は大変重要で本研究は 2005 年度〜2010 年度の ERATO「上あることが理解できる．

田マクロ量子制御プロジェクト」，2012 年度〜

式 (14) のハミルトニアンはシンプルであるが，2017 年度の新学術領域研究「実験と観測で解き

厳密解を得るのは容易ではない．そこで平均場

明かす中性子星の核物質」の一環として進めら

近似などのモデル計算が正攻法の 1 つである．

れた．それぞれの代表の東京大学上田正仁氏，

モデル計算はハミルトニアンの主要項から順次

東北大学田村裕和氏を始め，プロジェクトの関取り入れていく手法であるため，ボトムアップ的係者各位にこれまでのご支援，ご協力に深く感にどのような効果を計算に考慮するとどういっ謝申し上げます．また，東京大学の五神真氏，小た値が出るのか調べることができる．実験で決芦雅斗氏，大阪大学の向山敬氏，慶応大学の大定された状態方程式を説明できた理論モデルが橋洋士氏には貴重な議論を重ねて頂き感謝致し

正しく物理を記述できており，我々はその理論モております．理化学研究所の中井陽一氏には本デルから物理を理解することができる．図 12 に誌でこれまでの研究を発表する機会を与えて頂示した我々の実験結果は，慶應大学の田島氏らにき感謝致します．

よって確立された拡張 T 行列近似 (ETMA) という理論モデルによってよく説明できている [8]．

参考文献

ETMA はオーダーパラメータ（フェルミ超流[1] W. Zwerger,

The BCS-BEC Crossover動）周りの位相と振幅の揺らぎを取り入れた理and the Unitary Fermi Gas , (Springer論モデルであり，実験結果との比較により基底

Berlin Heidelberg) 2011.

状態における超流動揺らぎの重要性が明らかに[2] C. Chin et al., Rev. Mod. Phys. 82, 1225

なった．

(2010).

これまでユニタリー極限における状態方程式[3] S. Kasahara et al., Nat. Commun. 7,の決定と，ゼロ温度極限での BCS からユニタ

12843 (2016).

リー極限に及ぶ状態方程式を決定してきた．し[4] A. Gezerlis and J. Carlson, Phys. Rev. C

かしこれまでの研究は様々な量子多体系の理解

77, 032801 (2008).

に向けての一歩を踏み出したに過ぎない．s 波[5] M. Horikoshi et al., Science 327, 442

相互作用している 1/2 フェルミ粒子系でさえ，(2010).

図 8 の相図は実験的に明らかにされていない．

[6] 堀越 宗一ら, 日本物理学会誌 67, 257

クォーク系等の多成分フェルミ粒子系に迫るた(2012).

めにも，図 3 の |1⟩, |2⟩, |3⟩ の 3 成分を用いた量子[7] M. Horikoshi et al., arXiv:1612.04026

系の研究も進めるべきである．また少数系と多(2016).

体系を連続的につなげる学理の構築も重要な課[8] H. Tajima et al., Phys. Rev. A 95, 043625

題である．現状では 2 成分フェルミ粒子系のビ(2017).

リアル係数は 3 次までしか確定されておらず，3[9] 堀越 宗一, 原子核研究 61, 4 (2016).

成分フェルミ粒子系に対しては 2 次までしか確[10] H. J. Metcalf and P. Van der Straten,

定していない．冷却原子研究の更なる発展と応Laser cooling and trapping , (Springer

用に期待して頂きたい．

Science & Business Media) 2012.
[11] C. J. Foot, Atomic physics Vol. 7 , (Oxford University Press) 2005.

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2017 年度 役員・委員会
会長
東俊行（理化学研究所）幹事
長嶋泰之（東京理科大学）〔副会長〕

北島昌史（東京工業大学）

酒井康弘（東邦大学）

中野祐司（立教大学）

菱川明栄（名古屋大学）
運営委員
足立純一（高エネルギー加速器研究機構）

岡田邦宏（上智大学）

髙橋正彦（東北大学）

星野正光（上智大学）

中野祐司（立教大学）

中村信行（電気通信大学）

菱川明栄（名古屋大学）

佐甲徳栄（日本大学）

平山孝人（立教大学）

小田切丈（上智大学）

渡部直樹（北海道大学）

本橋健次（東洋大学）

長嶋泰之（東京理科大学）

北島昌史（東京工業大学）

常置委員会
編集委員会

委員長：北島昌史（東京工業大学）

行事委員会

委員長：菱川明栄（名古屋大学）

広報渉外委員会

委員長：酒井康弘（東邦大学）

顕彰委員会

委員長：長嶋泰之（東京理科大学）

庶務委員会

委員長：中野祐司（立教大学）

編集委員

五十嵐明則，岡田邦宏，北島昌史，高口博志，冨田成夫，
中井陽一，彦坂泰正，間嶋拓也, 山崎優一

しょうとつ

第 14 巻 第 5 号（通巻 78 号）

Journal of Atomic Collision Researchⓒ原子衝突学会 2017
http://www.atomiccollision.jp/
発行: 2017 年 9 月 15 日
配信: 原子衝突学会事務局 <acr-post@bunken.co.jp>