2006 年度 SSH 生徒研究発表会
研究冊子もくじ

あいさつ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.2
SSH 生徒研究発表会プログラム ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.3
奈良女子大学附属中等教育学校のカリキュラム・・・・・・・・・・・・ p.4
みかんでも動くロボットの開発 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.7
結び目理論と DNA ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.15
セルロースの加水分解について ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.21
細胞サイズの変化と外環境の関係 ・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.25
太陽の光のスペクトルについて ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.29
3DCG を描くための方法の開発 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.33
ペルチェ素子の仕組み ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.41
モリアオガエルの成長と環境条件 ・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.47
異なる光の波長におけるプラナリアの分裂と再生実験 ・・・・・・・・ p.53
グラフで考える近畿地方 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.55
シカとヤギの糞の研究 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.59
粗密波は起きるのか ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.61
モーションキャプチャを利用した新しいマウスシステムの開発 ・・・・ p.65
ルービックキューブへの群論 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.69
奈良県立奈良高校のカリキュラム ・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.81
トビムシと環境との相関関係について ・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.82

ごあいさつ
本日は、本校サイエンス研究会の研究発表会におこしくださり、誠にありがとうございます。
サ イ エ ン ス 研 究 会 は 、 本 校 が H17 年 度 に ス ー パ ー サ イ エ ン ス ハ イ ス ク ー ル （ SSH） に 指定されたことに伴って設立されました。理科や数学が好きな生徒が集まって、個人やグループでユニークな研究テーマを持ち、毎日の昼休みや放課後を中心に活動しています。
日 々 の 活 動 は も と よ り 、 SSH に 関 わ る 様 々 な プ ロ グ ラ ム に 参 加 す る こ と を 通 じ て 、 生 徒ら は 相 当 な 経 験 や 知 識 を 獲 得 し ま し た 。高 校 生 や 中 学 生 の 分 け 隔 て な く 議 論 し 、学 び あ い 、
教えあう活動の様子は、本校の６年一貫校ならではの特色が表れています。
設立から一年以上が経過し、今年度は、様々なコンクールへの参加や研究発表会の開催などを積極的に行い、研究成果を外部に向けて発信しているところです。
研究発表をみていただいた皆様の率直なご意見が、生徒らの今後の励みとなります。何卒、ご指導賜りますよう、よろしくお願いいたします。
末谷健志＜ H18 年 度 サ イ エ ン ス 研 究 会 の 会 員 数 ＞
１年

27名

４年

11名

２年

22名

５年

9名

３年

7名

６年

3名

前期課程（中学校）

合 計 79名

後期課程（高校）＜ H18 年 度 サ イ エ ン ス 研 究 会 の 活 動 記 録 ＞
4/25

今年度の会員募集および登録

5/8

6 年の会員 2 人が「物理チャレンジ」にエントリー（2 人とも入賞；銀賞、優良賞）

5/10

7 つの研究グループを決定
数学班、低温物理班、シミュレーション班、ロボット班、化学班、生物班、天文班

7/2

本校オープンスクールでポスターセッション

7/12

奈良高校の研究発表大会に参加（奈良市北部会館）

7/13

出前授業「かがくのひろば」（奈良女子大学附属小学校）

8/17

SSH 全 国 大 会 に ポ ス タ ー セ ッ シ ョ ン 参 加 （ 横 浜 市 ）8/24～ 26

1,2 年 対 象 「 夏 の 学 校 」 （ 和 歌 山 県 白 浜 町 ）9/16・ 17

本校学園祭でデモンストレーション

10/21

本校公開研究会で口頭発表およびポスターセッション

12/23～ 24
2/16

サ イ エ ン ス ツ ア ー Ⅰ （ つ く ば 市 ） ※ 京 都 SSH 校 と 共 催

サイエンス研究会研究発表会（奈良女子大学講堂）

3/26～ 28

サイエンスツアーⅡ（首都大学東京など）

SSH

生徒研究発表会プログラム

１．日時

2007 年 2 月 16 日（金）13:00～16:30

２．会場

奈良女子大学講堂（奈良市北魚町）

３．日程
12:30～13:00

受付

13:00～13:10

開会行事・概要説明

13:10～16:00

研究発表

物理班１（モーションキャプチャを利用したロボットの開発）
数学班（結び目理論等）
化学班（セルロースの加水分解について）＜休憩＞
奈良高校生物班（トビムシと環境との相関関係について）
生物班（外環境における細胞サイズの変化）
地学班（太陽光のスペクトル）
物理班２（3D グラフィックスエンジンの開発と応用）
16:00～16:30

運営指導委員からの助言・閉会2007/1/28

平成１８
平成１８年度教育課程表
１８年度教育課程表奈良女子大学附属中等教育学校

1年

2年

3年

4年

共通

共通

共通

共通

国語基礎
(4)

国語総合
(3)

5年

6年

学年
時間
文系

理系

文系

理系

現代文(2)

現代文(2)

現代文(2)

現代文(2)

古典(2)

古典(2)

古典(2)

古典(2)

古典講読(1)

古典講読(1)

化学Ⅰ(3)
生物Ⅰ(3)
地学Ⅰ(3)*(3)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)*(3)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)*(3)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)
政治・経済(3)
*(3)

1

2

国語基礎
(4)

国語総合(5)

3
情報と表現
(1)

4
5
6

社会・地理
(3)

社会・歴史
(3)

7

10

現代社会
(2)

代数・幾何Ⅰ(2)

化学Ⅰ(3)

代数・幾何Ⅱ(3)

解析Ⅱ(2)

世界史B(3)
文化と社会(3)△(0)or(3)

物理Ⅰ(3)
生物Ⅰ(3)*(3)

解析Ⅲ(3)
総合数学Ⅰ(3)*(3)

代数・幾何Ⅲ(3)

代数・幾何Ⅲ(3)
音楽Ⅱ(2)
美術Ⅱ(2)
生活デザインⅡ(2)△(0)or(2)or(3)

解析Ⅲ(3)

家庭総合(2)

Reading(2)△(0)or(2)Reading(2)△(0)or(2)

体育(2)

体育(3)
(4講座一斉展開)

体育(2)(4講座一斉展開)

情報B(2)
TA

情報B(2)
TA

保健(1)

保健(1)

保健(1)
体育(3)
(4講座一斉展開)

体育(3)(4講座一斉展開)

生活科学(2)

生活科学(2)

解析Ⅰ
(3)

12

探究数学(1) 探究数学(1)

13

基礎理科Ⅰ
(3)
基礎理科Ⅱ
TA
(4)
自然探究Ⅰ

15

地球環境

16

(4)

音楽(2)
17
音楽(2)
18
美術(2)
19
美術(2)
20
21

工創基礎1
生活基礎1
(3)

22

工創基礎2
生活基礎2
(2)

23
24

体育(3)

25
26
27

Introductory Introductory
English(S)English(S)
(3)
(3)

28

音楽(2)
美術(2)
生活デザイン(2)
*(2)

技術総合
家庭総合
(2)

Integrated
English(2)
Integrated
English(S)(1)

NET(1)

NET(1)

NET(1)

30

Basic
English(1)BasicEnglish(1)BasicEnglish(1)

31

道徳(1)

道徳(1)

32

HR(1)

HR(1)

34

自然探究Ⅱ
・物質とエネルギー
・生命科学

音楽Ⅰ(2)
美術Ⅰ(2)
生活デザインⅠ(2)
科学と技術(2)*(2)

Integrated
English(3)
Integrated
English(S)(1)

世界史B(3)
政治・経済(3)△(0)or(3)

化学Ⅰ(3)
生物Ⅰ(3)
地学Ⅰ(3)△0or(3)
倫理(3)
発展現代文(2)
選択漢文(2)
基礎理科(2)△(0)or(2)or(3)
数学特論Ⅰ・Ⅱ(2)総合数学Ⅱ(2)
地歴特論(2)△(0 or 2)

(4)

29

33

現代史(2)
日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)*(3)

基礎数学Ⅰ 基礎数学Ⅱ
(4)
(4)

11

14

現代社会(2)

現代史
(2)

8
9

表現
(1)TA

世界学(2)

HR(1)

HR(1)

道徳(0.5)

道徳(0.5)Topic Studies(3)Topic Studies(3)Writing(0.5)
NET(0.5) *(1)Writing(0.5)
NET(0.5) *(1)

HR(1)

HR(1)

物理Ⅱ(4)
生物Ⅱ(4)△(0)or(4)代数幾何Ⅳ・Ⅴ(3)△(0)or(3)

数学特論Ⅲ・Ⅳ(2)
芸術Ⅲ(2)△(0 or 2)
発展古文(2)
基礎古文(2)△(0)or(2)

解析Ⅳ・Ⅴ(5)△(0)or(5)

発展地歴(1)△(0 or 1)

体育(3)

体育(3)

Topic Studies(3)Topic Studies(3)Writing(2)Reading(2)△(0)or(2)or(4)Writing(2)生物Ⅰ(2)
物理Ⅰ(2)△(0)or(2)数理科学(2)倫理(2)△(0)or(2)

HR(1)

HR(1)

NET(1)

環境学(2)

化学Ⅱ(4)△(0)or(4)短期集中 総合学習
総合学習
アカデミックアカデミック
テーマ研究(0.5)
テーマ研究(0.5)
テーマ研究(0.5)
テーマ研究(0.5)
9月・12月
探求
探求
ガイダンス
ガイダンス
△(0)or(1)△(0)or(1)△(0)or(1)△(0)or(1)*選択必修：標記の科目から必ず1科目を選択する △自由選択：選択しなくてもよいし、選択するときはその単位数になるよう標記の科目から選択する

６年の数学科の数学科の科目については科目については、については、半期毎に半期毎に単位認定を
単位認定を行う（但し、「総合数学、「総合数学Ⅱ
総合数学Ⅱ」を除く）

みかんでも動くロボットの開発

１

３年 A 組樋口幸太郎

３年 B 組西田惇

３年 C 組

前澤俊哉

４年 A 組

中嶋研人

４年 A 組

岡田慎太郎

指導教論

末谷健志

要約

私たちは、中学生と高校生の共同研究として、モーションキャプチャシステムをコント
ローラとして採用した遠隔操作可能なロボットを開発した。通信に LAN ネットワークを利用しているため、原理的には地球の裏側からでも操作が可能であり、ロボットのカメラがとらえた映像を、離れた PC でも閲覧できることなどが、特徴として挙げられる。また、任意の物体をコントローラとすることができるため、このロボットはみかんでも操作が可能である。
コントローラに用いた自作したモーションキャプチャシステムは、USB 接続のカメラを利用して、人間や物体の動きを記録できる。このシステムの特徴は、一台のカメラで物体の 3 次元座標を取得することが可能な点である。これを利用すると、3 次元空間を操作できる新しいマウスを実現することができるなど、様々な応用が可能である。
このモーションキャプチャシステムに加えて、無線 LAN や PC、PIC、サーボモータなどを組み合わせ、自前で“０から”ロボットを作り上げた。
キーワード

２

ロボット、LAN、モーションキャプチャ、PIC、Web カメラ

研究の背景

キットを組み立てて動かすロボットが多数市販されるようになったが、その内部の仕組みを知ることは難しい。そこで私達は、有線リモコンで操作するロボットや二足歩行ロボ
ットを０から製作してきたが、遠隔操作をするにはコードを延長するしかなかった。そこで、無線 LAN やシリアル通信を使うことによって離れた位置からロボットを操作できるのではないかと思うに至った。

３

研究の目的

無線 LAN やシリアル通信を使うことによって離れた位置から直感的に操作できるというロボットを実現するためには、いくつかの課題を解決する必要があった。そのうちの３つをここで示す。（図１）

研究Ⅰ
ユーザーから入力されたサーボモータの角度を、LAN ネットワークを経由して、ロボッ
トと通信する。
研究Ⅱ
研究Ⅰで送られてきた命令を読み取って、ロボットのサーボモータを制御するシステムを構築する。
研究Ⅲ
ロボットを操作するためのモーションキャプチャシステムの開発を行う。

＜図１：研究＞

４

研究内容(1) 概要と仮説＜研究Ⅰ

通信方法の研究＞① 概要＜研究Ⅱその１二足歩行ロボットの開発＞① 概要

ロボットのサーボモータを動かすためのサーボモータを制御する信号を生成する

Text ファイルの通信を Windows の共有フ

ために、PIC を用いた。PIC とは、Microchip

ォルダ機能を用いて行った。これは、ネッTechnology 社が製造開発しているマイクロ

トワークプログラムより簡単な方法である。

コンピュータである。PC からプログラムが② 仮説

可能で、非常に安価であるため、現在日本

Windows の共有フォルダ機能を用いて、で普及しているマイコンの一つである。今ロボットのサーボモータを動かすための回は 16F873A という PIC を用いた。
（図２）

Text ファイルを通信できる。

給が不安定になりプログラムがストップしてしまうと考えたからである。供給を安定して行うため 9Ｖ電池からの電圧を下げ、PIC が必要とする 5Ｖを供給している。また、
外部ハードウェア、ソフトウェアと通信するためにシリアル通信用のレベル変換 IC＜図２：PIC マイコン＞
また、サーボモータ(図３)とは、DC モー
タと違い、電圧と制御信号を与えることにを搭載している。これにより、PC との通信や他の機器との通信が可能になった。
② 仮説

よって正確に回転位置を決めることができ

PIC マイコンを用いて、サーボモータをるモータである。信号は、PWM と呼ばれる制御し、二足歩行型ロボットを製作できる。

信号を用いる。これは図４のようなパルス
信号になっており、ON の時間を変化させる＜研究Ⅱその２ことで、モータの回転位置を定められる。

① 概要

PC と PIC の通信＞

PIC でサーボモータを制御する技術を応用し、PC と PIC をリンクさせ、クライアン
ト PC から LAN 経由で送られてきたテキスト
データを、サーバ PC を経由して PIC に転送
し、サーボモータの制御を行った。
（図５）＜図３：サーボモータ＞＜＞＜図５：通信＞＜図４：パルス信号＞② 仮説

サーボモータを制御する信号を生成する

ネットワークを利用してサーボモータ

ユニットをサーボモータ用コントローラとの制御信号を送受信し、ロボットアームを呼ぶ。製作したコントローラはサーボ用の制御できる。

電源と PIC 用の電源と、分けてある。なぜなら、電源を一つにまとめた場合、モータ＜研究Ⅲ

は大電流を必要とするため PIC への電源供① 概要

モーションキャプチャの開発＞

私たちが開発したモーションキャプチャ
システムは、図６で示すような処理を行う（２）研究方法＜研究Ⅰ

通信方法の研究＞

ことで、物体の三次元座標を取得すること実際にテキストファイルを通信するプロができる。カメラに映し出された物体の色グラムを Borland C++Builder5 という開発

情報をフィルタにかけ、私たちが”重心法”

環境を用いて作成した。プログラムの手順や”弦法”などと称する方法を用いて物体としては、以下の通りである。（図７）の中心を計算する。このとき、物体が球に近似できる場合、球の半径を割り出すことができる。得られた半径は、カメラからの距離に逆比例すると考えられるので、奥行きを求めることができるのである。
ロボットのサーボモータを動かすためには、軸を回転させる角度を教えなければならない。その角度をモーションキャプチャ＜図７：通信＞

で得た物体の座標情報で与えることによって、物体の動きとロボットの動きをリンクさせることができるのではないかと考えた。

ⅰ

ネットワーク上のテキストファイルにPC１で入力されたデータを次々に保存していく。
ⅱ

ネットワーク上に保存されたテキスト

ファイルを PC２で連続的に読み込む。
＜研究Ⅱその１二足歩行ロボットの開発＞
二足歩行ロボットを実際に製作し、歩行させた。歩行方法は、次に示す手順である。
ロボットの自由度が低いため、人間の歩きとはかなり違った歩き方をする。

＜図６：モーションキャプチャ＞② 仮説
モーションキャプチャシステムを用いて人間や物体の動きでロボットの動きをコン
トロールすることができる。

１つの足に、２つのサーボモータを配置した。

ⅰ

右足首を傾けるの数値から、数字の数値に変換する。次に、PIC に対して、①ID②数値の順にシリアルケーブルを経由して送信する。PIC は ID ごとに送られてきた数値を PWM に変換し、サーボモータを制御する。データ例を下記に示す。（図８）ⅱ

右足の太ももを回す＜図８：データ例＞＜研究Ⅲ

モーションキャプチャの開発＞

モーションキャプチャシステムによって取得した物体の三次元座標を、x 座標をロ
ボットカメラの水平軸を制御するサーボモⅲ

右足の足首を元の位置に戻す

ータ、y 座標をロボットカメラの鉛直軸を制御するサーボモータ、z 座標（奥行き）をロボットの前進または後進を制御する DC
モータにそれぞれ対応させた。
(3)研究の結果＜研究Ⅰ

通信方法の研究＞

図９のようなアプリケーションを開発す※右足も同様に行う。
※全体として、がに股歩行となる。

ることができた。
しかし、実験中にエラーが頻発した。これは、一つのファイルに対して保存と読み＜研究Ⅱその２

PC と PIC の通信＞込みを同時に行うため、命令が衝突するか

クライアント PC から、サーバ PC のファらである。そこで、図１０のようなエラー

イルにサーボモータの ID(A～I)と数値をテ処理を行った。エラーが発生した場合、保キストに書き込み、保存する（これには、存・読み込みをする時間を与え、もう一度

フォルダ共有機能を利用）。保存したテキス

プログラムの最初にもどって保存・読み込

トファイルをサーバ PC が、VB2005 で制作

みをやり直す、というようにした。

したソフトで読み込み、ID ごとのテキスト

＜研究Ⅱその１二足歩行ロボットの開発＞
PIC でサーボモータを制御し、二足歩行ロボットを制御することができた（図１２）。
PIC用電源入力端子

PIC16F873A＜図９：アプリケーション＞―――――――――――――――――――
label1:// エラー処理
エラー処理
発振子

サーボ用電源入力

try {// エラー処理
エラー処理の処理の対象＜図１２：制作したコントロール部＞}
二足歩行ロボット製作を成功させて気づcatch(…) {Sleep(10);// 1/100 秒待つ
秒待ついたことであるが、歩行を実現するために

goto label1;// label1 へは、サーボモータに送る信号の微調整が頻}繁に必要であることが分かった。制作した―――――――――――――――――――

ロボット（図１３）の仕様を以下に示す（図＜図１０：エラー処理＞

１４）。

また、研究Ⅰを応用させて USB カメラの画像の通信も行うことができた。カメラの映像の保存は 0.１秒に一回の割合で行い、その結果、読み込み側の PC でリアルタイムの映像を見ることができるようになった。
（図１１）＜図１３：二足歩行ロボット＞―――――――――――――――――――CPU：

PIC16F873A

10MHz

プログラム：

自作（アセンブリ言語）

動作電源 ：

サーボ 6V,

PIC9V

外部 I/F ：シリアル通信(RS232C)×1
自由度構成 ：右足 2、左足 2製作費用 ：10000 円―――――――――――――――――――＜図１１：アプリケーション＞＜図１４：仕様＞

しかし、制御信号を微調整するためには、えてみると、PC の CPU はクロック数がプログラム上で変更し、PIC をコントロー

1GHz~2GHz と非常に高く、プログラム１命

ラーから抜き差ししなければならないこと

令を実行する時間が極めて短い。しかし、がわかった。

PIC のクロック数は 10MHz であり、PC のク

そこで、PC と PIC をシリアルケーブルでロック数と比べると非常に低速である。こ接続し、PC で数値を変えながら、サーボモのため PIC が、PC から毎回送られてくるデータの位置を決めると効率が上がるのではータの間隔の速さについていけず、異常なないかと考えた。

PWM(電気信号)をサーボモータに対して送そこで、PIC-PC 通信を成功させ、PC で数信していると考えられる。

値を変更、それと同時にサーボモータが動

そこで、PC が PIC に毎回送信するデータ

くという環境を整え、歩行モーション制作の間隔をさらにあけた。このことでサーボの効率を向上させた。

モータの激しい振動は解消された。

＜研究Ⅱその２

PC と PIC の通信＞

＜研究Ⅲ

モーションキャプチャの開発＞

ネットワークを利用してサーボモータ

モーションキャプチャシステムのカメラの制御信号を送受信し、ロボットアームの前でみかんなどの物体を動かすことによを制御できた。

って、ロボットの動きをコントロールする

図１５のソフトは VisualBasic2005 でことができた。

制作した。100 ミリ秒ごとに共有フォル
ダにあるリッチテキストファイルを読み５

考察込み、各 ID の数値を割り出し、PIC にサ制作したロボットは、モーションキャプ

ーボモータごとの ID と数値をシリアル

チャを利用することによって、従来のキーデータとして送信する。

ボードやマウスでロボットを制御するよりも、ずっと直感的で分かりやすい操作性がある。
しかもロボットとの通信は、共有フォル
ダ機能を利用したシンプルなファイル交換方式であるため、メンテナンスや機能の拡張も非常に楽であることが分かった。
つまり、“０から”制作したロボットは、＜図１５：ソフト＞

ポート

操作性と機能の拡張にすぐれているといえる。

しかし、PIC に対して連続して同じ数値を送信した時、サーボモータが激しく振動することが分かった。
サーボモータが激しく振動した原因を考６

まとめと今後の課題

これらのシステムは、すでに開発に取り現在は、今までの研究成果をもとにして、かかっているが、手持ちのノート PC が重

図１６のようなロボットを実現することがすぎてロボットに搭載できないなどの問題できた。このロボットは、物体や人間の動が生じている。駆動系に強力なモータを用きでコントロールでき、無線で遠隔操作がいたり、小型で軽量なノート PC などを利できる。また、ロボットに搭載されたカメ用したりして、近い将来、実現させたいとラの映像を離れた PC にリアルタイムで送考えている。

ることができるなどの特徴を備える。

＜図１７＞
＜図１６＞

７

謝辞

今後は、図１７に示すように、ロボット

末谷先生には、理論面や技術面で大きなのカメラの映像をヘッドマウントディスプ

バックアップをいただきました。児玉先生

レイに映し出し、ロボットのカメラの動きには、技術指導や電気回路に関して様々なを、ヘッドマウントディスプレイを被った

相談にのってくださいました。さらに、予人の頭の動きに合わせるなどして、より操算面で、植野校長先生や吉田信也先生に多作性の良いロボットを開発したいと思って大なご協力をいただきました。

いる。
また、モーションキャプチャシステムをロボットに搭載した PC に搭載することにより、完全に自立運動することのできるロボットを構築したいとも考えている。

お世話になった方々、大変ありがとうご
ざいました。

結び目理論とＤＮＡ
5 年Ａ組 浜渦 俊弥
5 年Ｂ組 土佐 悠生

1

指導教官

河合 士郎

指導教官

川口 慎二

要約
サイエンス研究会数学班５年生は、結び目について研究している。今回は、結び目の定義、ライデマイスター移動、不変量など、結び目理論の基礎事項に加え、応用として、DNA との関連性を考察し、更に今後の研究のためにタングルの考え方について述べて
みたい。
キーワード
2

結び目、絡み目、不変量、DNA、超螺旋、タングル研究の背景と目的るとき、2 つの結び目は同値(equivalent)で塾の先生に雑学として多少教えていただ

あるという。

いたのがきっかけで、数学にしては何か雰(4)単位円周（半径が 1 の円）と同値な結び囲気が違う分野だと感じ、結び目理論に興

目を自明な結び目(trivial knot)と呼ぶ。

味を抱いた。結び目理論とは、紐の絡みや結びつきを数学的に表す学問であり、「結び

例

結び目・絡み目の例

目が解けるか否か」や、「2 つの結び目は同じものか」などを考えるもので、生物学（分子生物学）、化学（高分子合成物）、物理学（量子力学・統計力学）への応用も期待できる理論である。今回は応用として、細胞のＤＮＡとの関連性を考察した。

3

研究内容

■結び目・絡み目の定義(1)3 次元空間内の、1 個の絡まった輪のことを、結び目(knot)という。

■ライデマイスター移動
ある 2 つの結び目が同値であるかを調(2)3 次元空間内の、複数の絡まった輪のこべるために、結び目の一部分を変形することを、絡み目(link)と呼ぶ。また、絡み目とをライデマイスター移動(Reidemeisterを構成する個々を成分(component)と呼moves)という。具体的には以下の３つの操ぶ。

作である。同値な２つの結び目は、一方の(3)2 つの絡み目が 3 次元空間内で同位とな

図から他方の図へ、以下の単純移動を繰り返すことで必ず移すことができる。

割っても整数となる。

上図においては、絡み数は■不変量を数値化して表したもので、実に多くの種( 1) ( 1)12となる。以下、絡み目 R の絡み数を、Lk (R )類がある。それぞれの不変量は、結び目、で表すことにする。

不変量(invariant)とは、結び目、絡み目

絡み目をさまざまな方法・観点で分類する。
ここでは、今回のテーマ（結び目と DNA（2）ねじれ数の関係の一端を考察すること）に必要となねじれ数(twist number)は、リボンがどれくる不変量のみを紹介する。

らい螺旋を描いているかを示す数値である。
絡み目の一種であるリボンに対する不変量（1）絡み数

で、リボンが空間内を占める位置に依存し、絡み数(linking number)は、絡み目の 2 成

リボンを動かすと、それに伴い変化する。

分が、どれくらい絡み合っているかを示す

この不変量は、リボンの中心軸と、リボン数値であり、ライデマイスター移動に関しの境界線の 1 本とが成す交叉点で定められて不変である。以下にその定義を示す。

る＋1 と−1 の、総和の半分である(このとき、境界線は 2 本のうちどちらを選んでも、①絡み目の個々の成分に向きをつける。

必ず同じ値になる)。以下、リボン R のねじ②下図のように、片方の交差点を＋１、もれ数を、 Tw(R ) で表す。

う一方を−1 とし、これを絡み目の各々の交叉点において当てはめる。
※ ここでいう交叉点とは、異なる結び目同士の交差点だけを指す。同じ 1 つの結び目の中での交差点は、ここでは含まない。

③各交叉点に付けられた数の総和を求め、2で割る。これが絡み数となる。

⇒ ねじれ数 Tw ( R ) 1 1
2※絡み目の交叉点数は必ず偶数個なので 2 で1

（3）ライジング数■DNA と 3 つの不変量

ライジング数（writhing number）は、リ

さて、以上の準備のもとで、結び目とボンがどれくらい重なっているかを計る数

DNA との関係について、考察してみたい。

値である。リボンに対する不変量であり、DNA は二重螺旋構造であるから、これを一リボンが空間内を占める位置に依存し、リつのリボンがねじれているものとして考え

ボンを動かすとともに変化する。

ることができる。よって、前項のリボンにこの不変量は、リボンの中心軸同士が成関 す る Lk ( R )Tw( R) Wr ( R) と い う 関

す交叉点で定められる＋1 と−1 の総和で係をもとに、DNA の変化を考えることがである。以下、リボン R のライジング数を、きる。

Wr (R) で表す。

ここで、トポイソメラーゼ(topoisomerase,
略称 topo)という酵素が DNA に及ぼす作用について考える。トポイソメラーゼは細菌からヒトに至るまで、すべての生物に広く分布しており、DNA の増殖に必須な、つまり生命維持に不可欠な酵素である。
トポイソメラーゼは、DNA 鎖を切断し、⇒ライジング数 Wr ( R)

ねじれを作ったり解消したりした後、再結

1合する働きをもつ。
トポイソメラーゼⅡ型（topoⅡ）の働き■3 つの不変量の関係式

を下図に示す。この型は、二重螺旋を描く

まったく独立だったリボンに関する不変量の間には、2 本の DNA 鎖を切断し、ねじれを作ったり解消したりしてから再結合する。

Lk ( R)

Tw( R) Wr ( R)という関係が成立する。
実際に、次の例で成り立っていることが確認できる。

トポイソメラーゼⅡ（topoⅡ）の作用

この操作で、ねじれを繰り返し作り続けると、その DNA は長さの割にねじれが多くなりすぎ、これを自ら逆にねじれること

Lk ( R )7 , Tw ( R )Wr ( R )1

8により、解消しようとする。つまり、Tw(R )が減るわけである。ここで、先ほどの関係

式 Lk ( R )Tw( R) Wr ( R) に お い て 、ている平面において、結び目や絡み目がち

Lk (R) はねじれの解消によって変動しな
いので、 Wr (R ) が増えることになる。これょうど 4 点で交わるような円で囲まれた領は、もともと螺旋状だった DNA というリ

わる 4 点はいつも方位磁石の 4 方向 NW(北ボンが、さらに空間内でよじれていること西)，NE(北東)，SW(南西)，SE(南東)の位を意味する。このよじれのことを超螺旋置にあるとする。

域をいう。なお、結び目や絡み目が円と交(supercoilling)という。
タングルの例

このように、トポイソメラーゼは超螺旋を作ったり、逆に解消したりするのである。
実は、DNA を複製するには、先にその超螺旋構造を解く必要がある。トポイソメラー
ゼは、以上の働きによって DNA を複製できる状態にし、 複製終了後は、再び超螺旋を形成するという役割を持っている。もし、トポイソメラーゼなしに、DNA が自らねじれて超螺旋を解こうとすれば、摩擦で発火■タングルにおける同値してしまう。これこそ、トポイソメラーゼ

2 つのタングルがあって、タングルの 4が生物に必須の酵素であるとされる所以で端点は止めたままで、タングル内の結び目ある。

の部分が円領域の外を出ないようにして、
ライデマイスター移動により他方に移り変■タングル
DNA の結び目構造に関して考察する際、タングル(tangle)という概念を用いると、理解しやすい。
タングルとは結び目や絡み目が射影されわるとき、2 つのタングルは同値であるという。

例 同値なタングル

このとき、螺旋の回転方向を数値化するのだが、交叉点の上を通る結び目の部分(上道)が正の傾き(左下(SW)から右上(NE)の傾き)であるなら、それは正になる。例えば、①の図では上道が正の傾きであり、ねじれている回数は 3 回なので①は 3 と表す。
③では、最初に作った左の螺旋も上道が■有理タングル
有理タングル(rational tangle)とは、タングルに数列を対応させたものであり、以下の法則に従って構成されるタングルの事を正の傾きでねじれている回数は 3 回なので、3 。次に作った右の螺旋は上道が負の傾き
したがって、
で 2 回ねじれているので 2 。
③は「 32 」である。
有理タングルが、同値性を判定するのに表している。
① 水平方向に 2 本の線を撚り合わせる。

極めて単純な方法がある。
2 つのタングル、② ＮＷとＳＥの対角線に対して鏡映させ「る。

2 3 2 」と「 32 3 」があるとしよう。そして、この数列に対応する連分

A 、
B の部分から新たに線を擦り合せる。
○
数(continued fraction)を計算する。
③ ○

実際に、

④ ②〜③を繰り返えす。

2 3 2 なら、

1

2

1
2

3

1
5
2

2

2

2
5

12
5

3
5

12
5

2 3 なら、

3

1

3

2

1
3

よって、
「 2

3

1
5
3

3

3 2 」と「 32 3 」は同値である事がわかる。
この事実の証明は非常に複雑なので、今回は省略する。今後の課題の 1 つである。

4

考察
超螺旋状態になっている DNA ほど速く移動することが可能となり、電極に置くと超螺旋状態になっている DNA が＋に集まる。
超螺旋状態の DNA の割合や、ねじれ数を測定することにより、酵素がどれだけDNA に作用しているのかを理解する助けになるだろう。
また、DNA に作用する酵素(トポイソメラーゼ)の働きを、結び目理論で考えられる
ことがわかった。

5

今後の課題
今回の研究をさらに深めるとともに、DNA の働きを、他の視点からも結び目理を通して考察してみたい。また、有理タングルの同値性を連分数で判定できるという事
実の証明をする必要がある。

6

参考文献[1]「結び目の数学」、C.C.アダムス著、

金信泰造訳、培風館 (1998)[2]「DNA の冒険―二重螺旋から超螺旋へ―」、菊池韶彦著、岩波書店 (1993)
7

謝辞
今回の研究をご指導して下さった河合先

生、川口先生、近藤悠佳子先生に深く感謝します。また、研究に際し、助言と激励をいただきました奈良女子大学の小林毅先生にも深く感謝いたします。

セルロースの加水分解について

１

5年C組

前川明日彩

4年B組

青木

沙羅

4年B組

太田

英利

4年B組

辻本

悠亮

指導教諭

越野

省三

要約

私たち化学班は、セルロースの分解についての研究を行った。その段階として、硫酸によるセルロースの加水分解の実験を行った。
キーワード
セルロース、グルコース、加水分解

１

研究の背景

現在、地球の人口は増え続けており、2050 年には 100 億人を超えると予想されている。
（※グラフ１）そこで深刻になってくるのが食糧問題で、増え続ける人口に対して、人間は人口分の食糧を生産できるのか。研究者たちはこの問題に取り組んでいるらしい。そこで、地球上には大量に人間が胃の中で分解できない糖（セルロース）があること、それをブドウ糖に分解できることを聞いた。
セルロースを分解する酵素はセルラーゼである。
（※図１）セルラーゼは、β結合を加水分解する酵素でセルロースをセルビオースに分解する。植物の細胞壁や紙はセルロースでできており、人間が紙を食べても消化できないが馬やヤギなどは消化できるという。これは、セルラーゼを出す細菌などがこれらの動物の胃の中に存在するからである。

２

目的

今回はセルラーゼを使わず、無機触媒を使ったセルロースの加水分解の実験をし、セルロースの加水分解の仕組みを知るということを目的とした。その方法の一つとして、硫酸を使ったセルロースの加水分解をして、それについての理解を深める。

３

研究内容

（１） 仮説セルロースはブドウ糖がβ結合でつながった多糖類である。
（※図２）α結合で結合しているでんぷんなどは、人間も消化できる。β結合は水に溶かすだけでは加水分解

できないが、硫酸を使うとそのβ結合を切（３） 結果ることができる。

フェーリング反応の結果から糖ができていることが分かった。乾燥させた後得られ今回の実験の化学反応式は、た固形の糖は、１.０ｇしか得られなかった。
匂いをかぐとメープルシロップのような匂Ｈ２ＳＯ４（Ｃ６Ｈ１０Ｏ５）ｎ+ ｎＨ２Ｏ→

ｎＣ６Ｈ１２Ｏ６

いがした。

である。

５

考察

今回の目的はセルロースが糖に分解され（２） 実験
牛乳パック５０ｇを細かくちぎり、水２るときの反応の理解だった。乾燥させた糖

００ｇと一緒に入れた。それから硫酸を２は１．０ｇとれた。これはセルロースの一００ｍｌ（２ｍｏｌ／ｌ）いれ、攪拌しな部がろ過されてしまったり硫酸カルシウム

がら約２週間加熱した。その中で紙がドロをろ過する際に一緒についていってしまっ

ドロに溶けたので、それを吸引ろ過した。

たりということで減ったと考えられる。こ次にその牛乳パックと硫酸を溶かした溶液

れでセルラーゼ以外の触媒によってセルロにｐH を確認しながら炭酸カルシウムを全ースが分解できることが確認された。また、部で６０ｇ加えた。このときの反応式は、セルロースを分解する際の実験のやり方なども理解できた。

Ｈ２ＳＯ４
→

＋

ＣａＳＯ４

ＣａＣＯ３
＋

Ｈ ２Ｏ

＋

ＣＯ２↑

６

まとめと今後の課題

今後は「セルロースを加水分解する触媒の研究」なので、反応条件や薬品を変えてである。
炭酸カルシウムを途中から水酸化カルシ

実験をしてゆくつもりだ。また、今回はセウムに変え、６０ｇ加えた。このときの反ルロースとして牛乳パックを使用したが、応式は、他のセルロースも使ってみようと思う。もうひとつ、別の視点からみると、セルラー

Ｈ２ＳＯ４

＋

Ｃａ（ＯＨ）２

→

ＣａＳＯ４

＋

ゼによる分解作用を調べ、それに関する部
２Ｈ２Ｏ

分のみの化学物質による分解も調べていき
たい。

である。

７

参考文献・サイト液を加えると、赤褐色に変わった。
（※図３）

高

柳

ロータリーエヴァポレーターを使って溶媒

www.el-lob.com/top_population.htm

を蒸発させて固形の糖をとりだした。
（※図

ＫＡＢ‘ｓ

４、５）

http://www.kabutoya.com

ｐＨが７になったので、硫酸カルシウムの沈殿をろ過した。できた液にベネジクト

植

物

栽

培

研

究

所

※図２
（上段がセルロース、下段がでんぷん）
※グラフ１

※図１

※図３

※図４

※図５

細胞サイズの変化と外環境の関係

１

５年Ａ組

氏

名

東野

友哉

指導教諭

氏

名

櫻井

昭

要約
ジャイアントブレファリズマの形態変化の研究を行うための基礎研究として、培養過程でのブレ

ファリズマのサイズ変化と個体数変化を調べた。
キーワード
ブレファリズマ

学名 Blepharisma japonicam(繊毛虫門、異毛網、ラッパムシ目、ブレファリズマ科、ブレファリズマ属)
ブレファリズマは特定の環境下（饑餓状態）に置かれると、共食いをし、巨大化するという性質を持っている。
本研究では巨大化したブレファリズマを「ジャイアントブレファリズマ」とよぶことにする。

200μm

普通サイズのブレファリズマ

200μm

巨大化したブレファリズマ（＝ジャイアントブレファリズマ）

２

研究の背景

ブレファリズマが巨大化する過程を見て、興味を持った。また、この形質変化の研究は手つかずの部
分が多いと聞き、研究することにした。研究に当たって、奈良女子大学理学部生物科学科細胞情報分野
春本晃江教授より、Blepharisma japonicam の R1072 と R1072-48-Ⅱ-1 の二つの株を分けて頂いた。

３

目的

ブレファリズマはどういった条件で巨大化するのか、またそのときのプロセスはどうなっているのか調べる。そして、ジャイアントブレファリズマとはどういった特徴を持っているのか明らかにする。

４

研究内容

ブレファリズマとジャイアントブレファリズマの基礎データを得るために、以下のような実験を行った。
①

R1072 と R1072-48-Ⅱ-1 を通常培養し、ブレファリズマの個体数変化を観察する。

②

R1072 と R1072-48-Ⅱ-1 を通常培養し、ブレファリズマのサイズを測定する。

(1)

実験方法

a)

ブレファリズマの培養方法
バクテリア(Enterobacter aerogenes)を増殖させたレタス培養液をエサとして用い、インキュベーターで培養する。

b)

観察方法（カウント法とサイズ測定法）
毎日 1000μℓずつ 3 回サンプリングし、実体顕微鏡下で個体数のカウントを行う。また、光学顕微鏡を用いデジタルカメラで細胞を撮影し、パソコン画面上で長径と短径そして口径サイズの測定を行う。
観察時には、他の菌が混ざらないよう、熱殺菌、消毒など、無菌操作を心掛けた。

(2)

実験結果

① ジャイアントブレファリズマの個体数変化とブレファリズマの個体数変化（図 1)
飢え継ぎを行った 1 日目から、ジャイアントブレファリズマの数は減っていき、3 日目には一匹もいなくなった。このときブレファリズマ全体の個体数変化は増殖傾向にあった。11 日目から 13
日目の観測データはないが、ブレファリズマ全体の個体数が減っている 14 日目から、ジャイアン
トブレファリズマの個体数は多くなっている。

R1072

R1072-48-Ⅱ-1

R1072のジャイアント

R1072・48-Ⅱ-1のジャイアント
40

100

30
25
20

10

15
10

ジャイアントブレファリズマの個体数（cells/ml)

ブレファリズマの個体数(cells/ml)

35

5
1

0
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

培養日数（日目）

図１．個体数変化

このグラフは、ブレファリズマを培養する過程で、植え継ぎを行った日を１日目とした。1000μℓ中の個体数とジャイアントブレファリズマの個体数を数えたデータをグラフ化にしたものである。
② ブレファリズマのサイズ
ブレファリズマの形態には、長径が長いと短径も長い傾向にある（図２）。また、ブレファリズマの長径が長いと口径も大きくなる傾向にある（図３）。これは、普通サイズのブレファリズマだけでな
く、ジャイアントブレファリズマにも同じ傾向が見られる。また、長径の長さが 400μm を超える
ブレファリズマが R1072 のブレファリズマよりも R1072-48-Ⅱ-1 のほうが多く見られることから、

R1072-48-Ⅱ-1 のブレファリズマのほうが、ジャイアント化しやすい傾向にある。
400
350

短径(μm）

300
250
200
150
100
R1072
R1072-48-Ⅱ-15000

図２．長径と短径

100

200

300
400
長径(μm）

500

600

700

このグラフは、植え継ぎしてからの日数に関係なく、サイズ測定したすべての個体の長径と短径の関係を分布図にしたものである。

400
350

口径(μm）

300
250
200
0

150
100

R1072
R1072・48‐Ⅱ-15000

図３．長径と口径

100

200

300
400
長径(μm）

500

600

700

このグラフは、植え継ぎしてからの日数に関係なく、サイズ測定したすべての個体の長径と口径の関係を分布図にしたものである。
(3)

考察

実験①の結果より、植え継ぎ直後のエサが多い時期に、ジャイアントブレファリズマがいなくなったことから、エサが多い状態であると、ジャイアントブレファリズマの状態ではいなくなるとか考えられる。また、バクテリアをすべて食べつくしたと思われる後半に、再びジャイアントブレファ
リズマが多く発生したことから、エサが少ないという環境条件が、ブレファリズマのジャイアント
化の引き金になると考えられる。
実験②の結果より、ジャイアントブレファリズマは通常型のブレファリズマをそのまま大きくしただけと考えられる。そして、R1072 株より R1072-48-Ⅱ-1 株のほうが、ジャイアントブレファリズマの発生率が高いということがわかる。

６

まとめと今後の課題

今回の実験から以下のような傾向が分かった。
・

エサの量によって、ブレファリズマは細胞サイズを変化させる（エサが多いと普通サイズであるが、少なくなるとジャイアント化する）。

・

ジャイアントブレファリズマの形態は、通常のブレファリズマの長径と短径、口径の比をほとんど変えずに大きくしたような形態をしている（一部分が巨大化しているわけではない）。

・

ブレファリズマという同じ種の中でも、株間にジャイアント化し易さに差がある。

ブレファリズマのジャイアント化には、エサの減少という環境条件のほかに、「共食い」という現象が知られている。つまり、エサが少なくなると、共食いを開始して大きくなる可能性がある。また、実験観察を行っている中で、R48 株では個体の大きさにばらつきがあり、極端に小さいものや、大きいものが多く見られることに気づいた。だから、R48 株のほうがジャイアント化し易いのだろう。実験結果とこの発見をあわせて考えると、R48 株では大きな個体が小さな個体を捕食することができるので、共食いが発生しやすくなり、ジャイアントブレファリズマが多く発生したのではないかと推測できる。つまり、「大きいエサを食べた個体は、そのエサの大きさに合わせて巨大化するのではないか？」という仮説が立てられる。この仮説を証明するには、ブレファリズマに大きさの違うエサを与え、それぞれのブレファリズマの細胞サイズの変化を調べる必要がある。今後、バクテリアより大きくブレファリズマのエサとなるような微生物（Sathrophilus sp, Paramecium sp, など）を与え、ブレファリズマの細胞変化を測定するなどの実験をする予定である。
７

参考文献・サイト

原生動物学会誌

第 36 巻2003 年「ブレファリズマの接合」春本晃江・杉浦

http://protist.i.hosei.ac.jp/Protist_menu.html「原生生物情報サーバー」

http://mail2.nara-edu.ac.jp/~masaki/「Call Biology Lab.」８

謝辞
奈良女子大学の春本晃江先生には、
ブレファリズマの株を分けていただいた上、培養方法など多くの助言をいただきました。また、桜井先生や矢野先生には、実験観察や理論的考察などの面で、大変お世話になりました。諸先生方、ありがとうございました。

真由美

太陽の光のスペクトルについて

１

４年Ａ組

古川

琴詠

４年Ｂ組

今井

咲季

指導教諭

屋鋪

増弘

要約

私達ＳＳＨ地学班は、太陽の光のスペクトルを調べることにより、太陽にはどのような原子が存在するのかについて調べる研究を行いました。
キーワード

２

太陽の光のスペクトル

研究の背景

太陽の光の連続スペクトルの吸収線（暗とても身近な太陽ですが、「太陽がどん線）の位置と、原子の線スペクトルの輝な種類の原子から出来ているか」と聞か

線の位置を比較することで、太陽にどのれると、代表的な水素などの原子の名前

ような原子があるのかを調べるは出てくるのですが、その他の原子については自信を持って答えることは出来ま※ （光の）スペクトル：（太陽の光など

せん。文献で調べればすぐに知識を得るの）白色光をプリズムに通すと、光がことが出来ますが、せっかくＳＳＨに入色（波長）の違いにより分けられて（＝っているのだから、自分たちで実験を行分光されて）、波長の短いものから長うことで確かめた方が良いのでは、と思いものへ綺麗に配列されて横に並べ

い、研究を行いました。

られたもののこと。
※ 光を分光するときには分光器（図１，３目的２）を使いました。

太陽の光のスペクトルを調べることで、太陽にある原子の種類を知る。

連続スペクトル：電球のフィラメントなど、高温の物体が放射する光のスペクト

４

研究内容

（１）仮説
太陽には水素、ナトリウム、カリウム、
カルシウム、水銀が存在する。

ルで、すべての波長の光が連続して配列されているもの（普通の白色光のスペク
トル）。ただし、恒星のスペクトルにのみ、
白色光のスペクトルとは違い、吸収線（暗線）が見えます（２）研究方法※ 吸収線（暗線）：（太陽の場合、）太陽の内部から放射された光（この時点では完全な連続スペクトル）が太陽表面

のガス層の中を通過してくるときに、

ため、水素の輝線の位置を太陽の連続ス

ガス中の原子により、特定の波長の光ペクトルの吸収線の位置と正確に比較すが吸収されてしまうために出来る黒ることが出来ませんでした。スペクトルい線。

の写真を撮るときに、蛍光灯の明かりを※ 線スペクトル：原子はその種類によっ

分光器に入れることで、目盛りをスペクて決まった波長の光を出したり吸収

トル上に表示させることが出来ます。こしたりします。こうして原子が出したの光を入れる際に、正確な角度で入射さ光のスペクトルのこと。スペクトルはせず、少し斜めの角度から光を入射させ帯状ではなく、線（輝線という）となたため、うまく目盛りを表示させることって見られます。

が出来なかったものと思われます。

・ 太陽の連続スペクトルの写真と原子

また、図６・７・８の各原子の線スペの線スペクトルの写真をデジタルカ

クトルは、輝線の位置と目盛りの位置がメラで撮り、画像をパソコンに取り込

ずれてはいないのですが、比較するためむことで比較しました。

に使う太陽の連続スペクトルの写真に、・ 原子の線スペクトルの位置が、太陽の連続スペクトルの吸収線の位置と重吸収線が鮮明には表示されておらず、きちんと比較することが出来ません。

なった場合、その原子は太陽には存在

よって、残念ながら、Ｈ、Ｃａ、Ｋ、して、光を吸収したことになります。

Ｈｇの四つの元素が太陽に存在するかどうかを確認することは出来ませんでした。

（３）研究の結果

連続スペクトル上の吸収線を鮮明に撮

それぞれのスペクトルの写真は以下図３

影することが出来なかった理由として、〜図４のようになりました。

・ 目盛りを表示させるために入れた蛍光灯の光が強すぎた５

考察・ 太陽の光を入れるときに、スリット

図３・太陽の連続スペクトルの中には（非常に細い隙間）の幅を調整するが、文献に書いてあったとおり、吸収線がいその時にスリットの幅を十分に細くくつも見られました

していなかったため、画像がぼやけて

図４・太陽の連続スペクトルＮａ吸収線付近の写真と図５・Ｎａの線スペクト

しまった・ デジタルカメラと分光器の固定がしルの写真と比較してみると、図４の目盛

っかりとしていなかったりの 5.88 あたりに分かりやすい吸収線などの原因が考えられます。

が一本見られます。それに対し、図５の目盛り 5.88 あたりには、Ｎａの輝線が見られます。よって、太陽にはＮａが存在することが確認できました。

６

まとめ・今後の課題

今回の研究は、カメラの固定が不十分であったり、蛍光灯の光が強すぎたり、しかし、図９・水素の写真についてはと実験設備が整っていなかったのが、研輝線の位置と目盛りの位置がずれている

究の失敗の最大の原因といえます。今後、

いかにして実験設備を整えていくかが最大の課題と思われます。
今後、新たな研究をするときには、文献に書いてある事柄を確かめるための実験ではなく、自分たちで新たな疑問を持ち、その疑問を解くための実験・研究を行うことが出来れば一番良いと思います。

７

参考文献

・ 『高等学校 地学Ⅰ』
著作者/松田時彦

山崎貞治

ほか

発行社/株式会社新興出版社啓林館
平成１５年１２月１０日 発行
・ 『詳説 化学』
著作者/藤原鎮男
野平博之

細矢治夫
ほか

発行者/株式会社三省堂
平成５年３月３０日

発行

・ 『ニューステージ 新訂

地学図表』

編著者/浜島書店編集部
発行者/株式会社浜島書店
２００３年１１月１０日 発行

８

謝辞

屋鋪先生には、実験準備から資料集めなどでお世話になりました。ありがとうございました。

スペクトル
を見たい光を入れる

スペクトルを
ここから見る

図５・Ｎａの線スペクトル

図１・分光器プリズム
図６・水銀の線スペクトル

図２・分光器内部
図７・カリウムの線スペクトル

図８・カルシウムの線スペクトル
図３・太陽の連続スペクトル

図４・太陽の光の連続スペクトル Ｎａ吸収線付近

図９・水素の線スペクトル3DCG を描くための方法の開発

１

5年B組

川口恭平

指導教諭

末谷健志

要約

私は、3DCG（三次元コンピュータグラフィックス）を計算、描画するためのアルゴリズム、およびプログラムの研究を行い、既存の他アプリケーション、ライブラリ（DirectX,OpenGL等）に依存せず 3DCG を描画することが出来るソフトの開発に成功した。
また、この成功により、3DCG 描画に関する基礎的な知識や技術を獲得でき、より高速、より高画質の 3DCG を描くための方法を考える足がかりを得ることが出来た。また、ヴァーチャルリアリティーの実現など、オリジナルの 3DCG 描画ソフトを応用したアプリケーションの開発が可能になった。
キーワード
3DCG、座標回転、透視図法、隠面処理、ワイヤーフレーム、レイトレーシング、Ｚバッファ

２

研究の背景

今日、パソコンの普及と高速化によって、3DCG を利用したコンテンツが増え、Shade など、
市販のアプリケーションを使えば誰でも手軽に 3DCG を楽しむことが出来るようになった。
3DCG の描画は、今後さらに拡大する可能性をもった技術である。このような中、私は、より高速でより高画質な 3DCG を描くための方法を研究したいと考えた。
しかし、3DCG を描くための方法やその処理は、アプリケーションが自動で行うため、ユーザーにとってはブラックボックスになっている。かといって、3DCG 描画の方法を調査するだ
けで、実際にプログラムなどに生かすことができなければ、むなしい調べ学習に終わるだけである。
そこで私は、3DCG 描画の勉強もかねて、他アプリケーションやライブラリに頼らず 3DCGを描画することができるソフトを開発することを試みた。

３

目的

他アプリケーションやライブラリに頼らず 3DCG を描画することができるエンジンを開発する。搭載する描画手法は、次の３つとする。
① ワイヤーフレーム法（図 1.1）
② レイトレーシング法（図 1.2）
③ Ｚバッファ法（図 1.3）
また、開発した描画エンジンの応用も検討する。

４

研究内容

においてその結果を表示する。

（１） 仮説
仮説Ⅰ

研究Ⅳ

ワイヤーフレーム法で 3DCG を描画できる。
仮説Ⅱ

Z バッファ法

まず描画の対象となる図形をポリゴン（多角形）で分割し、図形をポリゴンの集合とレイトレーシング法で 3DCG を描画できる。
仮説Ⅲして考える。座標回転や透視図法処理にはポリゴンの頂点座標のみを考え、平面に投Z バッファ法で 3DCG を描画できる。

影後、多角形を塗りつぶす。塗りつぶす際に、Ｚバッファを用いて奥行きに関して比

上記仮説を検証するソフトを開発する環較を行い、隠面処理をおこなう。また、研境は以下の通りである

究Ⅲにおいて実現した光の効果をＺバッフ

OS：Windows XP

ァ法においても実現し、画面上に表示する。

SP2

IDE: MicrosoftVisualBasic6.0
SP6 Enterprise Edition＜隠面処理とは＞
人が物体を見る際、奥にある物体は手前に（２） 研究方法

ある物体によって隠される。このことは現研究Ⅰ

実ではあたりまえであるが 3DCG として計算

ワイヤーフレーム法与えられた頂点座標を平行移動、座標回する場合、奥にある物体の手前にある物体

転、透視図法処理を行ったの後、各頂点をによって隠された面を描かないようにする

線分で結び、画面上に表示する。

処理が必要である。この処理のことを隠面処理といい 3DCG 描画において重要な処理の研究Ⅱ

レイトレーシング法

ひとつである。

ベクトル方程式により直線（式 1.1）や球（式 1.2）を定義し、それらから交点の位置＜Ｚバッファとは＞ベクトルまでの距離（相対）を導く式（式

図形を平面に投影する際、その画像情報

1.3）を得る。この式から、交点距離の比較のメモリとは別に用意する、奥行きに関すを画素ごとに行い、隠面処理を実現する。

る一時メモリのこと。

研究Ⅲ

光の効果について① 環境光（図 2.1）
② 局所拡散反射（図 2.2）
③ 局所鏡面反射（図 2.3）の３種類の物理モデルをもとに、視点における光の見え方を計算し、3DCG として表現する。また、視点や光源の位置などから、陰影になる条件（図 3.1～3.4）を導き、3DCG

（３） 研究の結果

る。
―研究Ⅲ―

研究Ⅰ

ワイヤーフレーム法によって次の画像（図 4.1, 図 4.2）を得た。

反射光における結果の画像から、光の効
果によって物体表面の色が変化しているのがわかる。しかし利用した物理モデルは、

研究Ⅱ

レイトレーシング法によって次の画像（図 5.1）を得た。

厳密な解ではなく、あくまで近似であるため、多少の不自然さが画像にも見える。また、現実にある素材の見え方の再現をおこ

研究Ⅲ

反射光における結果として次の画なうための各設定値（拡散反射係数など）

像（①図 6.1、②図 6.2、③図 6.3、①+②+を決定するのが難しい点などから、今回実③図 6.4）を得た。また、陰影処理の結果と現できた光の反射光の効果はあくまで擬似して次の画像を得た（6.5）

的なものであるといえる。このことから、より現実に近い光の反射光の表現、また、研究Ⅳ

Ｚバッファ法によって次の画像（図 7.1）を得た。また、光の効果を考慮にいれた結果として次の画像（図 7.2）を得た。

映り込みや、屈折現象などの高度な光の効果の表現が課題として考えられる。
陰影処理の結果の画像からは、陰影処理によって物体に陰影がついたのが確認でき

以上の結果から、仮説Ⅰ,Ⅱ,Ⅲを実証するる。現実の世界では影は境界がぼやけていことが出来た。

るが、それは光源が有限の大きさを持っているからであり、光源を点光源として計算

５

考察したので今回の画像は影の境界がシャープ―研究Ⅰ―になったと考えられる。このことから、次実現がたやすく、処理が単純なので高速の研究では有限の大きさを持った光源につで、簡易的な 3DCG として様々なものに応用

いての影の出来方について研究が考えられできそうである。しかし表現力に乏しく、る。

位置や形状の正確な把握が難しく、フォト―研究Ⅳ―

リアリスティックな利用には向いていない。

レイトレーシング法に比べると、処理そ出来るだけ高速な処理を必要とするシミュのものは複雑だが、画素毎ではなく図形毎

レーションや設計などでの利用が考えられに処理を行うので、比較的高速に処理が出る。

来た。画質については、結果の画像（図 6.2）

―研究Ⅱ―

を見てもポリゴンに分割したことによる角結果の画像から、隠面処理が出来ているばりはあるものの、あまり差は無いようにのがわかる。すべての画素ごとに距離を計みえるが、視点を図形に近づけた場合、ポ算しているので、視点を近づけても得られリゴンの分割数が少ないと、角ばりが大きる画像は荒くならないが、計算量が多く、く出てしまう。また、透視図法処理は頂点描画に非常に時間がかかることが問題であ座標のみに行われるので、面については透視図法処理による効果が考慮されず、ポリになるばかりか、その分処理が遅くなってゴンの大きさが大きくなると、それが考慮

しまい、画質だけならそれでもレイトレー

されないことによるゆがみが増大するので、シングが圧倒的に勝っているので、Ｚバッ

必要に応じてポリゴンによる図形の分割数

ファのメリットがなくなってしまう。このを多くする必要があると考えられる。

ことから分かるとおり、それぞれの 3DCG 描

光の効果を考慮して描画した結果をみる

画方法は向き不向きがあり、用途に応じて、と、明らかに表面がゴツゴツしているのが適切な 3DCG 描画方法を選ぶべきだというこ分かる。これは、描画高速化のため、図形とが分かる。

を多角形で分割したためであると考えられる。また、陰（自身による光の遮りによっ

６

まとめと今後の課題て生じる暗闇）の効果は出ているが、影（他

今回の研究において 3 種類の 3DCG 描画すの物体による光の遮りによって生じる暗るためのアルゴリズム、およびプログラム闇）の効果については反映されないことがの研究を行い、既存の他アプリケーション、わかる。以上のことから、レイトレーシン

ライブラリ（DirectX,OpenGL 等）に依存しグ法と比較したとき、隠面処理についてはない 3DCG 描画ソフトの開発に成功した。開あまり差は出ないが、その後の光の効果を発に成功し 3DCG 描画に関する基礎的な知識

表現する処理について、大きく差が出るこや技術を獲得できたことにより、より高速、とが分かった。

より高画質の 3DCG を描くための方法を考える足がかりを得ることが出来た。またオリ―全体を通して―今回実現できた 3DCG 描画方法の特徴を次

ジナルの 3DCG 描画ソフトを応用したアプリ
ケーションの開発が可能になった。

の表（表 1）のようにまとめることが出来る。

今回実現できた 3 種類の 3DCG 描画アルゴ

これらの 3DCG 描画方法は表から読み取れる

リズムはどれも有名なものばかりで、無論

通り、他のものに秀でている部分と劣って自分自身で開発したものではない。これかいる部分をもっている。たとえばレイトレ

らの課題としては、これらの 3DCG 描画アルーシングとＺバッファの性能を比べると、ゴリズムの改良や新たな 3DCG 描画アルゴリ

レイトレーシングは光の効果の再現や画質ズムの開発をしていくことが挙げられる。

でＺバッファに勝るが、描画に非常に時間

具体的な例としてはＺバッファとレイトレがかかるという欠点があり、Ｚバッファはーシングを組み合わせ、双方の利点を得ら

高速に描画できるが、画質があまりよくな

れるような新たな 3DCG 描画アルゴリズムをいという欠点がある。もちろんＺバッファ

現在開発中である。また、今回実現できたも画質を高めることができ、Ｚバッファでソフトの応用として、モーションキャプチ

は曲面をポリゴンで分割するため、描画しャーと組み合わせることによるヴァーチャた画像の曲面もカクカクしているが、分割

ルリアリティーや、多次元シミュレーショ

せずなめらかな曲線が描画可能なことが確

ンの結果表示などを模索している。

かめて分かっている。しかし、処理が複雑７

参考文献・サイト

http://www.iamas.ac.jp/~tacwon/render.
html#history

８

謝辞

今回の研究に協力してくださった末谷先
生や河合先生、佐久間先生にこころよりお礼申し上げます。
図 1.3□図、式、表□rp :視線上の点の位置ベクトルre :視点からスクリーン上の一点までの方向ベクトルrc :球の中心の位置ベクトルr
E0 :視点の位置ベクトルr r r
p = e t + E0
式 1.1
図 1.1

r r r r( p − c)⋅ ( p − c) = r2
式 1.2

t=

図 1.2

ただし

− β ± β 2 − αγαr
 α =| e | 2

r r
r 

 β = e ⋅r( E 0 − c )  γ =| E − cr | 2 
0


式 1.3

図 2.1± cos θ ≥ 0± cos ϕ ≥ 0∴ cos θ cos ϕ ≥ 0r r r r⇔ ( N ⋅ I )( N ⋅ V ) ≥ 0
図 3.2
陰になるパターンになるパターン

図 2.2

図 2.3

± cos θ ≥ 0
m cos ϕ ≥ 0∴ cos θ cos ϕ ≤ 0r r r r⇔ ( N ⋅ I )( N ⋅ V ) ≤ 0
図 3.2
影になるパターンになるパターン

陰にならないパターンにならないパターン

図 3.3
影にならないパターンにならないパターン

図 5.1
①周囲光

図 3.4

図 6.1
②局所拡散反射光

図 4.1

図 4.2

図 6.2

③局所鏡面反射光

図 7.1
図 6.3
①②③統合
①②③統合

図 7.2

ワイヤーフ レイトレー Ｚバッ
図 6.4

項目

レーム

シング

ファ

処理速度

◎

×

○

面の表現

×

○

△

光の効果

×

○

△

陰影の効果

×

○

△

モデリングのしやすさ

○

△

○

表1

図 6.5

ペルチェ素子の仕組み

１

2年B組

小池

剛央

2年A組

大村

啓輔

指導教諭

末谷

健志

要約
私たちはペルチェ素子についての研究を行い、ペルチェ素子を用いて、零下を実現することができるとともに、効率よく物質の温度を下げる方法がわかった。
キーワード
ペルチェ素子、温度変化、温度差、電圧、電流、冷却ファン

２

研究の背景
以前から、パソコンの CPU を冷やすために、ペルチェ素子が用いられることを雑誌などを通じて知っていた。そこで、この素子は、どんな特徴があるのかが興味があり、
今回、調べることにした。

３

目的
ペルチェ素子を用いて、次の点を調べる。
① ペルチェ素子にかける電圧と冷却温度の関係② ペルチェ素子で実現できる最低温の測定

４

研究内容＜ペルチェ素子について＞
一般に市販されているぺルチェ素子は、図１のように平たい正方形をしており、電流を流すと片面が熱くなり、もう片面が冷たくなる。半導体を用いたこの素子は、電流によって熱エネルギーをポンプのように移動させる装置であるといえる。

図１

図１のように、裸のままのペルチェ素子に電流を流すと、一瞬は、冷たい面（以下、冷却面）の温度は下がる。しかし、、数秒後には温度が逆に室温よりも上がり、ついには、素手でさわれないほどの高温になってしまう。この原因は、熱い面（以下、放熱面）の高い温度が冷たい面に伝わって、冷却面の温度がうまく下がらないためであろうと考えられる。
文献やデータシートなどによると、ペルチェ素子は、流れる電流に対して、冷却面と放熱面の“温度差”を一定に保つ素子であると表現してあった。つまり、ある電流
値で、温度差を 20 度作れるペルチェ素子があったとすると、冷却面と放熱面は、表１のようになる。
冷却面

放熱面

温度差

20 度

40 度

20 度

50 度

70 度

20 度
（表 1）

つまり、温度差が一定であるため、熱エネルギーが移動し、放熱面の温度が上がれ
ば上がるほど、冷却面の温度も上がっていくことを意味する。
逆に、放熱面の温度をどうにかして下げると、表 2 のようになると考えられる。
冷却面

放熱面

温度差

0度

20 度

20 度

-5 度

15 度

20 度
（表 2）

つまり、ペルチェ素子が温度差を一定に保つ性質をもつことを利用すると、加熱面を冷やすことで冷却面の温度は著しく下がり、零下を実現することが可能であると考えた。
（１） 仮説ペルチェ素子で零下を実現することができる（２） 研究方法
ペルチェ素子を使った冷却法に、加熱面を冷やすために、加熱面を別のペルチェ素子の冷却面で冷やすという、ピラミッド方式があることを知った。この方式を採用し、ペルチェ素子を 3 つ使う 2 段ピラミッドとペルチェ素子を 6 つ使う 3 段ピラミッド（図 2）を作った。

ピラミッドの最底面のペルチェ素子の放熱面は、大型パソコンなどに利用されている放熱板（図 3）を使って発生した熱を逃がす事にした。さらに、放熱板に溜まった熱を効率的に除去し、どんどん冷やすため、放熱板に図 4 のようなパソコン用のファンを取り付け
た。

図2

図3

図4

（３）研究の結果
二段ピラミッドの時の温度とペルチェ素子にかけた電圧の関係をグラフに示す。
2段ピラミッド（電源装置3個）時の電圧と温度の関係
30

温度（℃）

25
20
15
10
5
0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

電圧（V）

三段ピラミッドの時の温度とペルチェ素子にかけた電圧の関係をグラフに示す。
3段ピラミッド（電源装置２つ使用）時の電圧と温度の関係
30

温度（℃）

25
20
15
10
5
0
-5
0

1

2

3

4

5

6

7

電圧（V）

二段ピラミッドでは実現できなかったが、三段ピラミッドでは、5V 時に零下になった。
つまり、ペルチェ素子によって、零下を実現することができた。
データが 7V で止まっているのは、手持ちの電源装置では、電圧がそれ以上あげられなかったためである。これは、ペルチェ素子は、数 A という大電流が流れるため、電圧を上げすぎると、電源装置の最大消費電力を超えてしまうことが原因である。
私たちは、この実験を通じて、電源装置に電力の限界があることを初めて知った。そこで、電源装置の数を増やして再度実験を行った。

3段ピラミッド（電源装置3台使用）時の電圧と温度の関係
35

温度（℃）

30
25
20
15
10
5
0
0

1

2

3

4

5
6
電圧（V）

7

8

9

10

予想通り、高電圧領域の実験ができるようになった。二段ピラミッドのときのように、ある電圧を超えると、冷却面の温度が上昇していることが分かる。
ここで、全ての実験において、ある電圧を超えると、冷却面の温度は逆に上がっていくという結果となった。つまり、ペルチェ素子にかける電圧（または電流）の値を単純に大きくすれば、冷たくなるというものではないことが分った。
この原因として、ペルチェ素子が発生する熱の量が、放熱装置の熱処理能力を上回り、
うまく放熱ができないために、放熱面の温度が下がらなかったと考えられる。
この事を確かめるのに、放熱装置のファンにかける電圧を 12Ｖから 13Ｖにあげ、ファンをより早くまわし、熱処理能力をあげてみて、温度が下がるかどうかで確かめた。
この実験結果が下のグラフである。

3段ピラミッド（電源装置3台使用＋ファン13V）時の電圧と温度
の関係
35

温度（℃）

30
25
20
15
10
5
0
0

1

2

3

4

5
6
電圧（V）

7

8

9

10

これまでと同様に、高電圧では温度が上がる傾向は変わらなかった。しかし、ファンをより早く回し、熱処理能力を高めることによって、最低温度が下がっていることが分かった。つまり、先にした予想は正しく、高電圧であっても、熱処理をうまくおこなうことによって、さらなる低温を実現できることが分かった。

５

考察

３段のペルチェ素子によって零下を実現できることが分かった。また、ペルチェ素子にかける電圧を上げていくと、冷却面の温度は確かに下がるが、熱処理が追いつかない場合、電圧を上げると、逆に冷却面の温度が上昇する傾向があることが分かった。

６

まとめと今後の課題

ペルチェ素子の熱処理能力を改良することによって、さらに冷却面の温度を下げることができることが分かった。そこで今後は、ファンの数を増やす、ファンの回転数を上げる、
より効率の良い放熱版を採用する、などの工夫をしていき、より低温を実現したいと考えている。

７

参考文献・サイト

http://www.fujitaka.com/peltier/experience/experience2.html

８

など

謝辞

今回の研究を通して、末谷先生に様々な知識や技術を教えていただきました。ありがとうございました。

モリアオガエルの成長と環境条件

１

２年 A 組

多々納壮

２年 A 組

山中

祥五

指導教諭

矢野

幸洋

要約
SSH 生物・モリアオガエル班は環境条件の違いによる成長の違いについての研究を行った。

キーワード

２

アルビノ個体密度

オタマジャクシ

変態研究の背景

学校近辺にある奈良公園で鹿について調べていたところ、かれていた池のそばのナンキンハ
ゼの木についていたカエルの卵を見つけ、学校に持ち帰った。
一日置いていたら卵がかえり、あまり見かけないモリアオガエルだったことがわかったので、
このモリアオガエルで実験する事にした。

３

目的
カエルは環境条件を変えると白くなったり、変態が遅れたりすると聞いたので環境条件の違いによってどのような成長の変化が起こるか次の２つの場合について調べた。
①モリアオガエルの体色と光の関係②モリアオガエルの成長と密度の関係

４

研究内容

Ⅰ モリアオガエル の 体色と体色 と 光 の 関係について
関係 について(1)仮説
日光に当たらなかったカエルは白くなり、そのカエルに日光を当てると普通のカエルに戻るだろう。
(2)実験方法
次の２つの条件のものを用意した。
① テクノポットに５匹のオタマジャクシを入れたものを２つ暗室に置き、光を当てないようにアルミホイルを巻いた② 比較するために何もおおっていないテクノポットに５匹のオタマジャクシを入れたものも２つ用意した。

オタマジャクシを入れたテクノポット

アルミホイルを巻いたものと何もおおっていないもの(3)実験結果

暗室

自然状態

メ モ

6 月 21 日 変化なし

実験開始

6 月 27 日 変化なし

えさをやる

6 月 28 日 変化なし

水を替える

7 月 4 日 変化なし

変化なし

比較するオタマジャクシを用意。水を替える。

7 月 12 日 変化なし

変化なし

えさをやる

7 月 18 日 白くなった

変化なし

えさをやる

7 月 20 日 黒に戻った

変化なし

8 月 2 日 １匹死んだ

変化なし

水を替える

8 月 23 日 ３匹死んだ

１匹死んだ

水を替える

(4)考察
実験の途中で暗室に置いていたオタマジャクシが一度は予想していた通り白くなった。
しかし、少しするとまた黒に戻っていた。その理由は、えさをやる際に光が少し当たってしまうから黒く戻ってしまったと考えられる。

暗室で飼育したオタマジャクシ

明るいところで飼育したオタマジャクシ

(5)今後の課題
この実験をしたときには、あまりカエルの育て方やこの実験について知らなかった。
次にこの実験をする時には、餌やりの仕方も工夫して、光がほとんど入らないようにして、カエルについての知識も十分調べ、もう一度この実験をしてみたいと思う。

Ⅱ モリアオガエルのモリアオガエル の 成長と成長 と 密度の
密度 の 関係について
関係 について(1)仮説
低密度で飼ったほうが、高密度で飼ったときよりよく成長するだろう。
(2)実験方法①次の２つの条件のものを用意した
・低密度グループ（Ａグループ）10 匹。
・高密度グループ（Ｂグループ）15 匹。
それぞれオタマジャクシの数以外は同じ条件にし、えさは同じ量をあたえる。
②それぞれについて、次のような方法で重さをはかった。
1)茶こしでオタマジャクシをすくいとり別の容器に入れる。
2)ペーパータオルの上におき、できるだけ水分をとる。

低密度（左）と高密度（右）の飼育容器

3)５匹ずつ全体の重さをはかり、その値から１匹あたりの重さ計算した。
(3)実験結果月 日

測定回数

7 月 12 日 1 回目
2 回目
3 回目

7 月 19 日 1 回目
2 回目
3 回目

A(10 匹)B（15 匹）

５匹あたり

0.39

0.26

１匹

0.08

0.05

５匹あたり

0.37

0.21

１匹

0.07

0.04

５匹あたり

0.19

１匹

0.04

平均

0.075

差

0.03

５匹あたり

0.63

0.22

１匹

0.126

0.044

５匹あたり

0.47

0.36

１匹

0.122

0.072

５匹あたり

0.045

0.35

１匹

0.07

平均

0.124

差

0.062

0.062

７月２６日に水槽を見てみるとＡが８匹、Ｂが１２匹に減っていた。
そのため、Ａグループ５匹、Ｂ１５匹で行うことに変更した。

月 日

測定回数

7 月 26 日 1 回目
2 回目
3 回目

8 月 2 日 1 回目
2 回目
3 回目

8 月 23 日 1 回目
2 回目
3 回目

A(5 匹)

B（15 匹）

５匹あたり

1.2

1.28

１匹

0.24

0.25

5 匹あたり

0.87

1.09

１匹

0.3

0.2

2 匹あたり

0.55

１匹

0.27

平均

0.27

差

0.01

５匹あたり

1.24

1.33

１匹

0.25

0.26

５匹あたり

0.26

1

１匹

0.2

５匹あたり

1.1

１匹

0.22

平均

0.25

0.227

差

0.02

５匹あたり

1.38

1.2

１匹

0.27

0.25

５匹あたり

1.05

１匹

0.21

2 匹あたり

0.5

１匹

0.25

平均

0.27

差

0.05

0.22

オタマジャクシの重さの変化

2006/8/23

2006/8/16

2006/8/9

2006/8/2

2006/7/26

2006/7/19

A
B

2006/7/12

重さ

0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0

月日

(4)考察
・実験の途中で死亡してしまったことにより正確なデータはとれなかったが、違いはわかった。42 日間飼育した 1 匹あたり重さの違いは 0.05ｇで少しの違いに見えるが、体長では3mm 以上違いが出ていた。
・特定の期間での比較
月

日

期

間

Ａの増加

Ｂの増加

差

７月 12 日～19 日

７日間

約 0.5ｇ

0.17ｇ

0.33ｇ

８月２日～23 日

21 日間

0.02ｇ

0ｇ

0.02ｇ

以上のことからＡグループ（低密度）の方がよく成長すると推測できる。
また、えさは同じ量あたえたが、高密度のオタマジャクシにとって十分と思われる量をあたえたので成長にはほとんど影響をあたえていないと思う。
(5)今後の課題
重さとともに体長も測るとよいことがわかった。今後、調べるデータを増やし、より詳しいデータを残したい。また、えさの内容物による成長の違い（変態の違い）を調べたいと思う。

Ⅲ モリアオガエルのえさのモリアオガエル のえさの内容物のえさの 内容物による
内容物 による成長による 成長の成長 の 違 いについて(1)仮定
今までの実験では、ウサギのえさを与えたが、オタマジャクシが変態しなかった。えさを変えると変態に変化が現れるであろう。その根拠は、オタマジャクシを家に持ち帰って、たま
たま家にあったメダカのえさを与えたらカエルに変態したからである。
(2)実験内容
次の四つについて調べた。
１.カメの餌２.メダカの餌
３.ウサギの餌

４.ウサギの餌+アカムシ
餌の量はすべて 0.2ｇにして、一週間に一回与えた。
(3)実験結果
最終的にすべてのオタマジャクシが変態した。
しかし変態までの日数が違っていた。
始めに変態したのは、メダカの餌で 7 日目、最後に変態したのはウサギの餌で 25 日目であった。

どのえさでも大きさの違いはほとんどなかった。

(4)考察・えさによる成長の速度の違いはあったが、どのえさでも変態した。
・えさによる成長の違いがわかったので、実験Ⅱのグラフの急に成長した時期にいろいろな種類のえさを与えると成長の早さの違いがよりはっきりとわかると思う。
(5)今後の課題
卵からかえったばかりのおたまじゃくしでの実験はしていないので、今度はかえったばか
りのおたまじゃくしで実験をしたい。

異なる光の波長におけるプラナリアの分裂と再生実験
2 年Ａ組

行松

和輝

2 年Ｂ組

寒河

裕人

指導教諭

矢野

幸洋

１ 要約
紫外線や赤外線等の光の波長がプラナリアの分裂と再生に及ぼす影響についての研究を行った。
キーワード

２

光の波長、分裂、再生

研究の動機

プラナリアが暗い所で分裂して殖えるということを聞いたので、学校に飼ってあるプラナリアを使って、どういう波長の場合だと分裂・再生しやすいのかを調べた。

３ 目的

実体顕微鏡で見たプラナリア

普段の光環境とは異なった環境の下でプラナリアを飼育して分裂から再生までの過程の様子を観察し、普通の光環境の場合と、分裂の仕方や分裂後の様子等を比較して、光の波長がプラナリアの分裂・再生にどのような影響があるのかを調べる。

４

研究内容

実験Ⅰ

異なる波長における分裂実(1)仮説
プラナリアは暗いところのほうが活動して分裂する「数が増える」という仮説を立て、紫外線や赤外線だとあまり活動しない「数が増えない」と考えた。
(2)研究方法

紫外線照射装置

４つのテクノポット（右図）にプラナリアを 5 匹ずつ入れ、発光ダイオード（LED）を①と②は 6 個取りつけたもの（右図）を用いて、次のような条件で調べた。
①紫外線（400nm）だけを当てる。全体をアルミホイルでおおう。
②赤外線（940nm）だけを当てる。全体をアルミホイルでおおう。
③光を遮断するためにアルミホイルでおおう。
④何もせず普通の状態にしておく。＜自然状態＞①〜④を恒温室（24℃に設定）の中へ入れて実験を行った。

アルミホイルでおおった状態

これら４つの条件でのプラナリアの数や状態などを比較した。
えさはそれまでニワトリのレバーで育ててきたので 1 週間に 1 回程度ニワトリのレバーを少量与えた。
(3)研究結果
光をさえぎったものは、大量に増えたが、①・②・④の数はほとんど

月日

結果

メモ

①

②

③

④

9 月 13 日

5 匹入れる

5 匹入れる

5 匹入れる

5 匹入れる

9 月 15 日

変化なし

変化なし

変化なし

変化なし

9 月 20 日

変化なし

変化なし

変化なし

変化なし

えさを与える9 月 21 日

変化なし

変化なし

変化なし

変化なし

水を替える

9 月 25 日

変化なし

変化なし

変化なし

７匹に増

④の増えたものには目がついていない

9 月 28 日

変化なし

変化なし

変化なし

５匹に減

10 月 6 日

7 匹に増

変化なし

13 匹に増５匹のままえさを与える。①③の増えたものには目がない

10 月 7 日

７匹

変化なし

13 匹のまま

５匹のまま

水を替える

10 月 11 日

８匹に増

７匹に増

13 匹のまま５匹のままえさを与える10 月 12 日

８匹のまま

７匹のまま

13 匹のまま

５匹のまま

水を替える

10 月 11 日

８匹のまま

７匹のまま

13 匹のまま

５匹のまま

実験開始

変わらなかった。④で、9/25 から 9/28 にかけて減った理由はわからない。

(4)考察・①・②・④がほとんどかわらなかったのは、紫外線も赤外線も自然状態でも放射されているので、自然状態と条件があまり変わらなかったからだと思う。
・暗い条件だとよく分裂することがわかったし、明るい条件では分裂しにくいことがわかった。
実験Ⅱ

異なる波長における再生実験(1) 仮説プラナリアは暗い所のほうが再生して数が増えるが、他ではあまり増えないであろう。
(2)研究方法
4 つの入れ物にプラナリアを 3 匹ずつに分け、それらを 2 つに切断し、発光ダイオードを用い、験
験Ⅰ（①紫外線（400nm）②赤外線(940nm)③アルミホイルでおおう④普通の状態）と同様に調べた。
(3)研究結果①紫外線②赤外線③ｱﾙﾐﾎｲﾙ

④自然状態

開始

６個体

６個体

６個体

６個体

7 日後

５

５

６

６

14 日後

５

５

７

８

(4)考察
・結果的には実験Ⅰよりも変化が見られにくく、ほとんど増えたり減ったりしていなかった。
だから、再生には波長の影響をあまり受けないと思われる。
・カミソリで切ったときに白い糸みたいなもの（再生芽）が見えたので人間でいうとかさぶたみた
いなもので体を保護しているかもしれない。
・実験Ⅰでは暗い所のほうが増えやすかったが、実験Ⅱでは自然状態のもののほうが一番数が多い
ので、切断した場合では自然状態のもののほうが増えやすい可能性がある。

グラフ理論で考える近畿地方

1

4 年Ａ組

辻

春花

4 年Ａ組

中尾

邦光

4 年Ｂ組

太田

英利

指導教諭

河合

士郎

指導教諭

川口

慎二

要約
サイエンス研究会数学班は 3 つのテーマに分かれて研究活動を行っている。4 年生は、

グラフ理論について研究しており、身近な事象に関連付けて、グラフの諸性質を考察している。このレポートでは、その一例を紹介したい。
キーワード

2

グラフ、頂点、辺、次数、オイラーの一筆書き定理

研究の背景と目的
私たちの生活はトラックの輸送に頼りきっている。例えば、近くのスーパーマーケ

3

研究内容
近畿地方の移動を考える前に、グラフ理論に関する基本知識をまとめておく。

ットに出かけると、そこには、生産地が遠方である品物が多くあることに驚かされる

■グラフ
グラフの
グラフの定義だろう。これらの多くは、鉄道による輸送グラフ(graph)とは、図1のように、いくグラフが容易ではなく、トラックによる輸送を余つかの点があり、それらがいくつかの線で儀なくされているらしい。しかし、これら結ばれている図形のことである。

の輸送ルートは最適だろうか。
この疑問を「グラフ理論」を用いて考えるために、今回はその導入として身近な近畿地方の移動を例に考えよう。
この移動を独自に問題としてとらえ、これを解決するための準備として、このレポグラフにおいて、それぞれの点のことを
グラフの頂点頂点(vertex)、それぞれの線のこ頂点とをグラフの辺辺(edge)という。
また、各頂点から出ている辺の数をその頂点の次数次数(degree)という。図1の頂点
次数

A, B, C の次数は、それぞれ1,2,1となる。

ートでは、先ずグラフ理論において、有名な定理のひとつである「オイラーの一筆書
き定理」の証明をし、近畿地方の移動について考察する。
なお、数学班 4 年生は、グラフ理論に関する研究を進め、様々な現実の問題への応用を考察していく計画である。
図1

例1

図2の頂点 X の次数を考える。

■グラフのグラフの一筆書き
一筆書き
さて、グラフが一筆書きできる場合について考えよう。グラフが一筆書きできるとき、それぞれの頂点から出る辺と入る辺の数が等しい。ただし、始点（出発点）と終点（到着点）は除いて考える。

図2

2つの頂点を除いた頂点の次数がそれぞ

頂点 X からは、辺が3本出ているので、

れ偶数であるとき、このグラフは一筆書き

頂点 X の次数は3である。

できるといえる。そして、始点と終点が一

このグラフは、図3のようにも書き換えら致する場合には、その頂点の次数も偶数にれる。

なるが、一致しなければその2つの頂点の次数はそれぞれ奇数となる。
以上のことは、オイラーの一筆書き定理という定理として導かれている。
定理(オイラーのオイラーの一筆書き
一筆書き定理)定理)

次数が奇数となる頂点が0個か2個であ
図3るグラフは、一筆書きができ、それ以外の場合は一筆書きできない。

図3が、図2から変形することができるので、図2,3はいずれも同型であることがいえる。ここで、2つのグラフが同型
同型[証明]
まずは、グラフ G が一筆書きできる(equivalent)であるとは、2つのグラフにおとき、 G の頂点のうち、次数が奇数であいて、それぞれ対応する各頂点の次数が等るものは0個か2個であることを示そう。

しいときをいう。すなわち、グラフにおい上述のように、グラフ G が一筆書きでては、頂点と頂点の結びつきは、方向や距

きるとき、始点と終点以外の頂点 V では、離を考えず、単に各頂点がどの頂点と結び

V に入ってくる辺と V から出て行く辺のついているかが重要なのである。

数が等しい。つまり、始点と終点の2つのさらに、グラフにおいて、同じ頂点を二頂点を除いた頂点の次数はすべて偶数であ度と通らない閉じた道をサイクル
サイクル()とサイクル(cycle)

る。そして、始点と終点が一致する場合にいう。

は、その2頂点の次数も偶数になるが、一サイクルをもたない、連結されたグラフ
を木
木(tree))という。また、少なくとも一つ致しなければその2頂点の次数はそれぞれ奇数となる。

の辺をもった木において、一つの辺の終点

次に、次数が奇数となる頂点が 0 またはである頂点を吊
吊り頂点(pendant vertex))と2 個であるグラフ G が一筆書きできるこという。

を証明しよう。この証明には、辺の数に関する帰納法を用いる。

すると、帰納法の仮定により、これらの各(ⅰ) G は次数が奇数である頂点をもたな

成分は一筆書きできることがわかる。したい、即ち、 G のすべての頂点の次数が偶がって、サイクルを一周して、連結成分と数である場合について考える。

共有する頂点に着いたとき、その成分を一

まず、辺の数が 0 のとき、即ち始点のみの場合は、明らかに一筆書きできる。
ここで、辺の数が k 本以下のグラフ(ただし、すべての頂点の次数は偶数である)が一筆書きできていると仮定する。
さて、(すべての頂点の次数が偶数であり、) k + 1 本の辺からなるグラフ G につ

筆で書くことで、次数が奇数の頂点が 0 個の場合は証明できる。
(ⅱ) G は次数が奇数である頂点を 2 つもつ
場合について考える。
まず、始点と終点を結ぶグラフ上の辺を取り除く。すると奇数の次数の頂点がなくなることがわかる。

いて考えてみよう。このグラフ G は、始このグラフは（ⅰ）において議論した、点と終点が一致するので、吊り頂点をもた次数が奇数である頂点をもたない、即ちすない。よって、木ではないことがわかる。

べての頂点の次数が偶数であるグラフになしたがって、 G にはサイクル（閉じたるので、あとは、（ⅰ）と同様に証明でき道）があることがわかる。ここで、このサる。

イクルに属する辺を一時的にすべて取り除（ⅰ）,（ⅱ）より、次数が奇数となる

くとグラフはいくつかの部分(これを連結
連結

頂点が 0 または 2 個であるグラフ G が一筆

成分()という)に分けられる
成分(component)

書きできる。
以上から、オイラーの一筆書き定理が証（図 4 参照）。
しかし、これらの部分は、一時的に明された。■

取り除いたサイクルと共通の頂点をもっている。これらの共通する頂点は、サイクルの頂点でもあるため、もともとの次数より一筆書きできるグラフのことを、オイラ
オイラ
ーグラフ（
）とも呼ぶ。
ーグラフ（Euler graph）

2 だけ小さくなる。よって、もとのグラフ

G からサイクルを除いてできる各部分は、 4 考察
すべての頂点の次数が偶数であり、辺の数以上の準備のもと、次の問題を考察してみよう。

は k 本以下である。

■問題
近畿地方の全ての府県境を同じ府県境を通らず通れるか。ただし、始点と終点は一G

致しなくてもよいものとする。ここで近畿地方は、京都、大阪、滋賀、兵庫、奈良、

図4

和歌山、三重の2府5県に属する地域を指す。

5

今後の課題
このレポートでは、オイラーの一筆書

き定理の証明をすることができた。今後
は、「結び目理論」にグラフ理論を関連付けた研究を進めたいと考えている。
6

参考文献[1]「数学のひろば-柔らかい思考を育てる問題集-Ⅰ,Ⅱ」、ドミトリ・フォミーン、
セルゲイ・ゲンキン、イリヤ・イテンベル(http://www.asahi-net.or.jp/~aq9stmng/kinki/kinki.html)

ク著、志賀浩二、田中紀子訳、岩波書店(1998)

図5[2]「NHK 高校講座

数学基礎 2004 年度」、日本放送出版協会編、日本放送出版■考察
考察

協会 (2004) p.86-89

まず、近畿地方の地図である図 5 をグラ[4]「数学とっておきの 12 話」(岩波ジ

フで表そう。2 府 5 県を点(頂点)で表し、

ュニア新書 417)、片山孝次、岩波書店

府県境を線(辺)で結ぶと図 6 のようなグラ(2002)

フを得る。すると、上述の問題は、「図 6で表されたグラフが一筆書きできるかどうか」という問題として考えることができる。

7

謝辞
本研究およびレポート作成にあたって御指導くださった河合先生と川口先生に深く感謝します。

図6
図 6 において、各頂点の次数を○内に示した。このグラフは、次数が奇数である頂点が 2 個のみなので、オイラーの一筆書き定理より、一筆書きができるとわかる。

シカとヤギの糞の研究

１

2 年Ｂ組

平井

和斗

指導教諭

矢野

幸洋

要約

ＳＳＨ生物班は、シカとヤギの糞の内容物について調べました。
キーワード

２

糞、シカ、ヤギ

研究の動機

近所にヤギを飼っている人がおり、ヤギの糞があちこちに落ちているのにそれほどくさくなかった。
また、学校の近くの奈良公園にはシカがおり、その糞についてにおいや内容物を比べると面白いと思ったから。
また、ものを食べるという行為はどんな生物でもしなければいけないので、その糞を調べると何を食べて生きているかということがわかりそうだったから。

３

目的

シカとヤギの食性を糞の内容物によって比べる。

４

研究内容

(1)仮説
シカとヤギでは食べるものが違うから糞の内容物も違うだろう。また、食べるものによって糞のにおいに違いが出るだろう。
(2)方法
シカとヤギ両方の糞の表面が少し湿っているぐらいの糞をそれぞれ 10 粒ぐらい採集し、フィルムケースに入れ、実験室へ持ち帰る。
シカの糞は奈良公園内の飛火野の 3か所で採集した。
（右図の手前と中ぐらいと奥の方の 3か所）
ヤギの糞は筆者（平井）の家の近くで採集した。
実験室へ持ち帰り、シャーレ内で、1粒ずつ水でほぐし実体顕微鏡で観察する。10 粒ぐらいまとめて重さを測定し、その値から１粒の重さも計算する。
奈良公園内（飛火野）：学校より徒歩 10 分のところにある

(3)観察結果
月 日

観察結果

1 月 27 日 ヤギの糞 11 個を採集
1 月 31 日

2 月 15 日

ヤギの糞の観察。中はわらのようものばかり、ふんの表面はつるつるしていて中はこげ茶色をしている
シカの糞：1 粒の重さ 0.334ｇ、ヤギの糞 1 粒の重さ 0.239ｇ。 シカは全体としてさらさらした粉が多い。

6 月 15 日 奈良公園（飛火野）の３か所で糞を採集
7 月 14 日 シカの 1 粒の重さ 0.24ｇ。繊維のようなものと種子のようなものがみつかる。

ヤギの糞（左）とシカの糞（右）※注意：倍率が違うので大きさが違うように見えるが、実際はほとんど同じ大きさである。

まとめ・糞１個あたりの重さと大きさについては、ヤギとシカではほとんど差はなかった。
・シカの糞はにおいがしたが、ヤギの糞は臭わなかった。両方とも乾燥した糞は予想以上に硬く、水につけてもほぐれなかった。
・シカもヤギも消化されずに残っていた繊維がほとんどだった。
ヤギ

５

シカ

におい

ほとんどしない

におう

内容物

比較的大きいまま

細かいものが多い

食性

笹、セイダカアワダチソウ

芝、しかせんべい考察

実体顕微鏡で見ただけでは、内容物を詳しく調べることができなかったが、ヤギは比較的大きいまま繊維が残っていた。またシカは粉末のようなものがとても多かった（ヤギは少なかった）。これはシカ
は鹿せんべいをたくさん食べることも関係していると思う。ヤギは、おかきやせんべいは食べることがあるがあまり与えていないので、そのような粉が少なかったのだろう。

６

まとめと今後の課題

何の植物のものかわからない繊維などがあったのでそれが何の植物かわかればいいと思う。また、種子のようなものがあった（17 粒ぐらい）ので、それが本当に種子なのかを確かめたいと思う。

粗密波は起きるのか
4年A組

中嶋

研人

指導教諭

末谷

健志

1 要約
CPP 言語により粒子衝突シミュレータを制作し、熱運動する多数の剛体粒子を並べた空間
において、粗密波が発生することがわかった。
キーワード

シミュレーション、粒子、音、粗密波、分子2 研究の背景以前から、衝突に関するシミュレーターを制作していた。粗密波に関する話を授業で聞いたとき、多数の剛体粒子が熱運動する空間において、一部の粒子に衝撃を与えると、粗密波が発生することを再現できるのではないかと思い、研究するに至った。

3 目的
空気中の音の伝わり方を調べるために、熱運動する多数の剛体粒子を並べた空間で粗密波が発生するかどうかをシミュレートする。

4

研究内容

（1）仮説
ランダムに運動している剛体粒子の一部に衝撃を加えれば粗密波（音）が発生する

また、粒子と粒子を入れた箱の壁との衝突は、完全弾性衝突とした。
乱数を用いて、粒子を配置した直後の図（2）研究方法

が図１である。この状態から、ある瞬間に粒子衝突シミュレータを C++言語にて制

中央付近の粒子のみに上方向の衝撃（力積）作する。シミュレータは、粒子を衝突直前を与える。衝撃を与えた後、粒子がどのよまで等速直線運動させ、衝突直後の速度をうに振る舞うかをシミュレートした。

以下の物理法則に基づいて決定する。

また、衝撃が大きな場合（＜実験１＞）と小さな場合（＜実験２＞）での違いを確

e=‑(v1+ ‑v2+)/(v1‑ ‑v2‑)
m1 v1++m2 v2+=m1 v1‑+m2 v2‑（e;跳ね返り係数、v;速度、m;質量、‑記号；
跳ね返る前、+;跳ね返った後）

かめた。

図２
図1
＜実験１＞
粒子数 10,000

はね返り係数 e=1.0

衝撃の強さ（力積）

2.0Ns

＜実験２＞
粒子数 10,000

はね返り係数 e=1.0

衝撃の強さ（力積）0.5Ns(3) 研究の結果
左にある縦の帯状に見えるのが粒子群である。その右の実線は、粒子群の密度分布を表す。密度が高いほど、実線は右に振れる。
＜実験１＞
シミュレーション結果を時系列に図２〜７に並べた。図２は、粒子に衝撃を与えた直後を表す。

図３

図４
図６

図５
図７

＜実験２＞＜実験２について＞
粒子に与える力積が小さいとき、見た目で確認できるほどの粗密波が発生しないことが分かる。

6 まとめと今後の課題
多数の剛体粒子を並べた空間において、実際と同じように粗密波が発生することが分かった。これは、私たちが日頃声を発しているのとほぼ同様である。意外だったのは、粗密波を発生させようと衝撃を与えた方向と逆向きにも同じ程度の振幅の粗密波が発生したことである。作用反作用の法則を考えると別段不思議ではないが、そのことをシミュレートできたことはうれしかった。
図８

今回の実験は実際の熱運動の大きさなどを無視したが、今後は、正確に熱運動をシ

5 考察

ミュレートし、さらに三次元空間でも粗密＜実験１について＞

波が起きるのか確認してみたい。この場合、

図２〜７を見ると、粗密波が発生し、そ計算量が莫大になり、シミュレーションにの波が移動していることがわかる。この事

さらに時間がかかることが容易に予想されから、熱運動する多数の剛体粒子を並べたる。分散処理などの計算時間を短縮する仕空間で、粗密波が発生することがわかった。

組みについて勉強していきたい。

図４〜７を見ると、粒子を一方向にのみ加速したにも関わらす、波の山を二つ確認

7

することができる。加速した方向とは逆方

Mersenne

向に現れる波の山は、最初に加速された粒

http://www.math.sci.hiroshima‑u.ac.jp/

子群が他の粒子に衝突し、跳ね返ってできm‑
mat/MT/mt.html

たものだと考えられる。

オーム社「ゲーム開発のための物理シュミ

図７を見ると、壁付近の粒子の密度が高い状態で安定している。これは、さらに時

参考文献・サイト
Twister

レーション入門」david M.Bourg 著
榊原

一矢

監訳

間をかけてシミュレートを続けていくと密度のグラフは平坦になると思われる。

８

謝辞

指導してくださった末谷先生に感謝します。

モーションキャプチャを利用した新しいマウスシステムの開発
4 年 A 組 岡田真太郎
4 年 A 組 中嶋 研人
指導教諭 末谷 健志

１ 要約
私たちは、最近普及が進んでいるWebカメラを用いたモーションキャプチャを独自につくり、さらに、その技術を応用して新しいマウスシステムを開発した。開発したマウスシステムは、直感的に扱うことができる、導入が容易である、非接触である、人の指や口の動きなどをマウ
スポインタの動きにすることができる、など、従来にはない、さまざまな特徴が挙げられる。
キ－ワ－ド
モーションキャプチャ、Webカメラ、マウス、プログラミング

２ 研究の背景
40年前にPCの入力デバイスとして誕生したマウスは、形をほとんど変えずに使われ続けている。これだけ長い間使われるのは、現在のマウスが最良のPCインターフェースだからであろうか。否。現に私の祖母などは、未だにうまく使うことができない。もっと誰でも使えるマウスがあってもよいのではないだろうか。
また、Windows や Mac では、手前のウィンドウが奥のウィンドウに重なることがある。つまり OS には、奥行きが存在するのである。しかし、2 次元平面を滑走する現在のマウスでは、
この奥行きを簡単に操作することができない。
そこで私たちは、従来に変わる新しいマウスシステムの開発を目指した。
３ 目的
開発するマウスシステムは、次の特徴を備えたものとする。
①直感的に操作ができること②シンプルで導入が容易であること③どこにでもある物体がマウスになること④"奥行き"を簡単に操作することができること
４ 研究内容(1)仮説
任意の物体の座標を取得できるモーション
キャプチャを実現し、それを利用した新しいマウスシステムを開発することができる。
(2)研究方法
図 1 に示すように、カメラに映し出された、マウスとなる物体の 3 次元座標(x,y,z)を連続的に取得する技術をモーションキャプチャという。通常、この技術は高額で大がかりな装置を必要とする。しかし私たちは、数千円

USB 接続の Web カメラを使って、安価で手軽なモーションキャプチャを独自に開発した。
この技術がマウスシステムの中核となる。
以下に、モーションキャプチャの開発に関する研究の一部を紹介する。
研究Ⅰ 物体の切り出し
まず、Web カメラが映し出す画像から、マウスとする物体のみを切り出す必要がある。

画像は、色情報をもつたくさんの画素の集合体である。物体の色情報に近い画素のみを表示することで、この切り出し作業ができるのではないかと考えた。

ることで、動く物体のx-y座標を取得することができる。
③ 切り出した物体の総画素数Nから、物体の奥行き(z軸)を求めることができる。

研究Ⅱ 物体の 3 次元座標の取得
研究Ⅰで切り出した画素の重心を図 2 で示すような計算式を用いて求められるのではな
いかと考えた。
また、物体がカメラに近ければ、切り出された画素の総数は多くなり、遠ければ少なくなると考えられる。これから、物体のz座標を算出できるのではないかと考えた。

つまり、Webカメラの前の任意物体の座標をリアルタイムで取得できるのである。私たちは、この結果を受けて、モーションキャプチャソフトウェアを開発した。
さらに、このモーションキャプチャとマ
ウスをリンクすることで、新しいマウスシ
ステムの開発に成功した。
現時点でのマウスは、以下のような特徴を持っている。

(3)研究の結果
モーションキャプチャの処理を行うソフトウ
ェアは、C++言語で記述した。開発環境はBorland C++ Builder5 である。
研究Ⅰの結果図 3 は、Web カメラが映し出したリンゴの映像である。リンゴ中央付近の色情報(U0,V0)を中心に、いくつかの幅をもった画
素(U0 ±α,V0 ±β)のみを表示したのが図4,5 である。
図 3,4,5 より、抽出幅をある程度小さくすることで、Web カメラが映し出した映像から、任意の物体を切り出せることが分かった。
研究Ⅱの結果切り出した物体の各画素の重心を物体の重心とした。図 6 は、物体を円運動させた場合の重心の軌跡である。この方法で、精度よく物体の位置を取得できることが分かった。
また、切り出した画素の総数(N)とカメラからの距離の関係を図7に示す。画素の総数
がカメラからの距離に一対一で対応することが分かった。

５

考察
以上の結果から、次のことが明らかとなった。
① 物体の色情報を元に、映像から物体のみを切り出すことができる。
② 切り出した物体の重心を連続的に求め①Web カメラに映し出された任意の物体をマウスにすることができる。
②2 本の指先をマウスにすることによって、画面上のウィンドウを”つまん”だり”離したり”が文字通りに行うことができ、非常に直感的な操作性をもつ。
③Web カメラを 1 台使うだけなので、導入が容易である。
④現行のマウスの機能はもちろん、画面平
面上(x-y 空間）の操作に加えて、奥行き(z 軸)を容易に操作することができる。

６ まとめと今後の課題
以上のことから、研究の目的は概ね達成できたと考える。
開発して分かったことは、この新型マウス
は、人の動きをマウスの動きに置き換えることができるため、お年寄りや肢体が不自由な方でも簡単に扱えるということである。今後
は、実用化に向けて、座標の取得精度を向上させるなどの課題を解決し、さらなる改良を図っていきたい。
ちなみに、この新型マウスは、特許を出願するために、現在弁理士と相談中である。
７ 謝辞
プログラミングの指導など、末谷先生には大変お世話になりました。ありがとうござい
ました。

図1

Web カメラに映し出された物体の座標切り出した画素の重心 (X,Y) =図2(xi,yi)N

重心座標の計算式

図 3 Web カメラで取得した画像

図 4 抽出範囲(αやβ)が大きい場合

図 5 抽出範囲(αやβ)が小さい場合

リンゴ以外も切り出している

ほぼリンゴのみを切り出している

Ｙ軸
200

100

00

100

200

300

Ｘ軸
図 6 物体を円運動させたときの重心の軌跡
モーションキャプチャソフトは、物体を追っていることがわかる。
（円がゆがんでいるのは、円運動させる人の操作による誤差）

Ｎ；画素の総数
8000
6000
4000
2000
0

図7

0
5
カメラからの距離切り出した画素の総数 N とカメラの距離 r の関係
N と r が一対一に対応していることがわかる。

ルービックキューブへの群論

1

6年B組

福本

佳泰

指導教諭

河合

士郎

指導教諭

川口

慎二

要約
サイエンス研究会数学班は 3 つのテーマに分かれて研究活動を行っている。6 年生は、

ルービックキューブの操作と群論の関連について研究している。このレポートでは、その研究の一端を紹介したい。
キーワード

2

ルービックキューブ、群、正規部分群、商群、置換、交代群、対称群

研究の背景と目的

ていなればならない。また、便宜上、演

ルービックキューブが好きだったので始算の記号・を省略することがある。

めた。ルービックキューブ群の群構造を解析するための土台となる群論の基礎部分を（２） ∀a, b, c ∈ G に対して、学習し、実際にルービックキューブの操作a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c .

に関する考察を行う。ルービックキューブ
群 G について、その正規部分群や商群を考慮することにより、 G を求めたい。その過程において、コーナーキューブの方向※（１）で定義された演算・について、結結合法則(associativelaw)が成立する。したが合法則って、 a (bc ) = ( ab)c = abc と書くことができる。

の値に基づいて、エッジキューブに対しても同様の値を新たに定義して考察を行った。

（３） ae = ea = a を満たす、単位元
単位元(unit
単位元
element) e ∈ G が存在する。

3

研究内容※実数の掛け算における「1」に相当する。

3－1．群論の基礎■群の定義（４） ∀g ∈ G に対して,群(group)である。
成り立てば、 G は群

逆元
gg −1 = g −1 g = e となる g の逆元−1(inverse element) g ∈ G が存在（１） a, b ∈ G ⇒ a ⋅ b ∈ Gする。

ある集合 G について、次の 4 つの条件が※集合の中で演算「・」が定義される。つまり、演算を行った結果も元の集合に属し■群の基本性質
群 G について、それが有限集合なら有有限群(finitegroup)、無限集合なら無限群
無限群
限群

(infinite group)という。群 G が有限群のとまた、2 個のものの巡回置換、例えばき、 G の元の個数を G の位数
位数(order)とい位数

互換(transposition)(1 2) のような置換を互換互換という。

う。以下, G の位数を G と表す。

また、すべての置換は、互換の積（置換を群において、交換法則 ab = ba は、一般には成立するとは限らない。交換法則

続けて施すということを意味する）として表わされる。例えば、(1 3 2ab = ba が常に成立する群のことを、可換
可換

4) = (1 3)(1 2)(1 4)群(commutative group)またはアーベル
アーベル群
アーベル群

となる。また、巡回置換でなくても、(abelian group)という。

1 2 3 4 5 = (1 5 4 )(2 3)5 3 2 1 4= (1 5)(1 4 )(2 3)■置換群の置換群の定義置換(permutation)とは、ある有限集合の置換などと表される。さらに、(1 2)(1 3) = (1 2 3),(1 3)(1 2) = (1 3 2)

中で、それらの要素の並び方を変えるということを意味する。 n 個のものを「 a1 → b1 , a 2 → b2 , L , a n → bn 」のようであるように、置換の積では一般には交換にうつす置換は、法則は成り立たない。

 a1

 b1

また、「どの要素もそのまま並べ替えな

a2 L an b2 L bn い」という置換のことを恒等置換
恒等置換(identity
恒等置換
permutation)といい、 id n と表す。そして、
置換 σ によって並べ替えられたものを元にと表す。

戻すような置換は、必ず存在し、これをさらに、例えば４つの文字 1,2,3,4 の置σ −1 と表す。

換のうち、

1 2 3 4
3 4 2 1

■奇置換と奇置換と偶置換
互換の積に関して、次の性質が成り立つ。

は「1→3→2→4→1」と置換されているといえる。このような置換のことを巡回置換
巡回置換

命題 1

(cyclic permutation)といい、 (1 3れる。その表し方は 1 通りには定まらないと表す（ただし、 (32 4)

2 4 1) のように書いても同じ巡回置換を表している）。

すべての置換は、互換の積で表さが、偶数個の互換の積、奇数個の互換の積のどちらで表されるかは、一定である。

1
証明

3
4
2

はじめに、同じ互換を 2 回繰り返すと元の並び方に戻ることに注意せよ（例えば、(1 2)(1 2) = id n ）。即ち、 id n は 2 個の互換の積で表される。置換 σ , ρ がそれぞ

れ偶数個、奇数個の互換の積で表されるとことを意味しているが、続けて置する。

換を施すことは、結局はもとあっこのとき、 σ の後に ρ−1を続けて行う置

た n 個の要素を並べ替えているこσ を考えると、これは偶数回の互換とには変わりないので、明らかにの後に奇数回の互換を施しているので、全σ 1σ 2 ∈ S n である。
（２） σ 1 , σ 2 , σ 3 ∈ S n に対して、結合法
則 (σ 1σ 2 )σ 3 = σ 1 (σ 2σ 3 ) は明らか換ρ−1部で奇数個の互換の積として表される。したがって、 ρ−1

σ は id n にはなり得ない。

に成り立つ。

つまり、互換の個数の偶奇が一致しないな（３） 恒等置換 id n が単位元に相当する。

らば、2 つの置換は一致し得ない。したが（４） σ ∈ S n に対して、置換 σ によってって、1 つの置換に対しては、互換の積は並べ替えられたものを元に戻すよ

何通りか表せても、その互換の個数の偶奇うな置換 σは一致する。■

る。

このように、偶数個の置換の積で表され−1が σ の逆元に相当す

このような群 S n を、 n 次の対称群
対称群

る置換のことを偶置換偶置換(even
permutation)、
偶置換(symmetric group) または置換群
置換群

奇数個の置換の積で表される置換のことを(permutation group)という。例えば、

e, (1 2 ), (1 3), (2 3)
S3 = 
 (1 2 3), (1 3 2 ) 

奇置換(odd
permutation)という。例えば、
奇置換上で見たように、(1 3 24) = (1 3)(1 2)(1 4)であるので、巡回置換 (1 3 2 4 ) は 3個の互換の積であらわせる。したがって、
この巡回置換は奇置換である。一般に n 個である。
対称群(置換群)の性質として、次が挙げられる。

の巡回置換は、 n − 1 個の互換の積であらわされる。よって、偶数個の巡回置換は、奇置換であり、奇数個の巡回置換は、偶置

命題 2

S n = n!である。

換であるといえる。
証明■対称群(
対称群(置換群)
置換群)

n 個の要素からなる集合に施す置換全体の集合 S n に対して、演算を「置換を続けて行う」と定めたときに、この置換全体の集合は、群の定義（１）～（４）をすべて満たし、群となっていることを確認する。

n 個の置換は一般に

1

 a1

2 L n

a 2 L a n と表される。 S n は n 個の置換の個数を意（１） σ 1 , σ 2 ∈ S n とする。 σ 1σ 2 は置換味しており、 {a1 , a 2 , L , a n }は n 個の整数

σ 2 を行った後で、置換 σ 1 を行う

1,2, L , n を並べ替えたものであるから、その並べ方は n! 通りである。したがって、H が G の部分群であるとともに、∀g ∈ G, ∀h ∈ H に対して、 ghg −1 ∈ H

S n = n!となる。■

正規部分群が成立するとき、 H は G の正規部分群(normal subgroup)であるといい、 H < G−1

さらに、偶置換のみからなる S n の部分と表す。また、 b = xax であるとき、 b集合も群となる。これを、 n 次の交代群
交代群

は a と共役
共役(conjugate)であるという。つま共役(alternating group)といい、 An と表す。

り、 H の元と共役な元がすべて H の元となるとき、 H は G の正規部分群であると交代群の性質として、対称群と同様に、いえる。

次が成立する。

■剰余類の剰余類の定義

An =

命題 3

Sn
2

=

n!
である。
2

群 G の部分群のひとつを H として、g ∈ G とする。 gH = {gh h ∈ H }（つまりH の各々の元について左側から g をかけ証明

S n の中から奇置換 σ を任意に選び、固定する。任意の偶置換 ρ ∈ S n について、

ϕ = σρ となる奇置換 ϕ ∈ S n が対応して唯一つ存在する。さらに、 ρ = σ −1ϕ より、
奇置換 ϕ についても、偶置換 ρ が唯一つ対たもの全体の集合）を左剰余類
左剰余類(left
coset)、
左剰余類

Hg = {hg h ∈ H }（つまり、 H の各々の元について右側から g をかけたもの全体の集合）を右剰余類
右剰余類(rightcoset)という。
右剰余類

応する。このことから、 S n の中において、偶置換と奇置換とは 1 対 1 に対応するので、※ gH や Hg は、群ではなく、単なる集合

それらは同数だけ存在する。したがって、である。なぜなら、その中で演算が定義さ

An =

Sn
2

=

n!
となる。■
2

れるとは限らないからである。
■剰余類の剰余類の性質■部分群

G を演算・で定義された群とする。 Hが G の部分集合でありかつ、 G と同じ演

命題 4

H を群 G の部分群とする。
a, b ∈ G に対して、 aH = bH または、

aH ∩ bH = φ である。

算・で定義された群である（即ち、 H の任意の元 h1 , h2 について、それらを演算し※つまり、 aH と bH は集合として全く一た h1 ⋅ h2 もまた、 H の要素である）とき、致しない限り、共通部分は空である。

H は G の部分群
部分群(subgroup)であるといい、
部分群
H ⊂ G とあらわす。

証明

aH ∩ bH ≠ φ と仮定すると、 ah1 = bh2■正規部分群となる h1 , h2 ∈ G が存在する。このとき、

a = bh2 h1−1 , h2 h1−1 ∈ H より、 a ∈ bH である。したがって、 aH ⊂ bH が導かれる。
−1
1 2

−1
1 2

一方、 b = ah h , h hのn =∈ H より、b ∈ aH となる。ゆえに、 bH ⊂ aH が導かれる。よって、このとき、 aH = bH と
なる。■

G
H

を、 H の指数
指数(index)といい、指数(G : H ) と表す。
今まで、左剰余類のみについて言及してきたが、右剰余類についても、全く同様のことが成り立つ。

命題 5

H を群 G の部分群として、g ∈ G とする。このとき、 gH = H が成

さて、左剰余類 gH と右剰余類 Hg について、 gh = hg ( h ∈ H )とは限らないので、

gH = Hg とも限らない。だがここで、すべての g ∈ G について、左剰余類と右剰余立する。

類が一致、つまり gH = Hg である場合を考える。これはつまりどういうことかとい証明

H と gH = {gh h ∈ H }を比較すると、

h1 , h2 ∈ H , h1 ≠ h2 ⇒ gh1 ≠ gh2
であるから、写像 f : H → gH ( h a gh)
は全単射である。したがって、 gH = H
である。■

うと、

gH = Hg ⇔ gHg −1 = H ,即ち、 H は G の正規部分群 ( H < G ) であるということと同値である。
また、 gH = Hg である場合、異なる左剰余類全体の集合を G H とすると、これは G と同じ演算により定義された群となる。そこで、群の定義（１）～（４）を確

命題 4、命題 5 から、集合 G は、互いに異なる左剰余類のいくつかの直和として表されるとともに、 G は H で割り切れる
ことがわかる。実際に、

G = U {gH g ∈ G}と表すことができるのは明らかである。一方、 gH ( g ∈ G ) は、同じものを除くと、
どの 2 つも互いに素であり、更にどれも位数が H に等しいことから、 G = n H と表すことができる。ここで、 n は、左剰余類のうち、互いに素であるもの全部の個数を表す。この n は H によって決まる。こ認する。
（１） g1 , g 2 ∈ G に対して、

g1 Hg 2 H

= g1 ( Hg 2 ) H = g1 ( g 2 H ) H= g 1 g 2 HH = g 1 g 2 Hであり、 g1 g 2 ∈ G ゆえ、 g1 H と g 2 H の積 g1 Hg 2 H は、 g1 Hg 2 H ∈ G H を満たしている。
（２） g1 , g 2 , g 3 ∈ G に対して、( g 1 Hg 2 H ) g 3 H= ( g1 g 2 H ) g 3 H= g 1 g 2 ( Hg 3 ) H= g1 g 2 ( g 3 H ) H= g 1 g 2 g 3 HH
= g1 g 2 g 3 H

g1 H ( g 2 Hg 3 H ) = g 1 H ( g 2 g 3 H )置を変えない操作全体の集合、 J はコーナ

= g1 ( Hg 2 g 3 ) Hーキューブの位置も方向も変えない操作全= g1 ( g 2 g 3 H ) H

体の集合、 K はコーナーキューブの位置= g1 g 2 g 3 HH

も方向も変えず、かつ 12 本の辺に接する= g1 g 2 g 3 H

キューブ（これらをエッジキューブ
エッジキューブと呼エッジキューブ
ぶ）の位置を変えない操作全体の集合とすしたがって、結合法則( g 1 Hg 2 H ) g 3 H = g1 H ( g 2 Hg 3 H )が成立する。

る。集合として、 G ⊃ H ⊃ J ⊃ K という包含関係が成り立っている。

（３）単位元は、 H ( = eH ) である。

ここで、演算・を「ルービックキュー（４）逆元は、 gH ∈ G H に対してブの操作を続けて行う」こととして定義と−1

すると、 G は群になる。実際に、 a, b, c は

g H である。実際に、( gH )( g −1 H ) = gg −1 H = eH−1−1

( g H )( gH ) = g gH = eH .
したがって、 G H は群になっている。

それぞれ、ルービックキューブの操作である(つまり a, b, c ∈ G )とすると、(1)2 個の操作を続けて行ったときもまた、

商群
この群のことを、 G の H による商群「ルービックキューブの操作全体の集(quotient group)または剰余群
剰余群(residue
class
剰余群

合」に含まれている。(つまり、group)という。さらに、 H の指数は G Hに等しい。即ち、 G = G H H が成り立a ⋅ b ∈ G である。以降 a ⋅ b を単に ab と表す。)
(2)操作 a の後に続いて操作 bc を行った場合も、操作 ab の後に続いて操作 cを行った場合も、操作の結果が等しいのつ。

は当然である。従って、結合法則

a (bc) = (ab)c が成立する。

3-2. ルービックキューブと群論
以上の準備のもと、ルービックキューブ
について考察していくことにする。

(3)単位元 e は、「操作を行わない」という操作である。
(4)操作 a の逆操作を行うと、ルービッ■ルービックキューブ群
ルービックキューブ群

クキューブは元の状態に戻る。操作 a の逆

以下、ルービックキューブは、3×3×3−1

操作を a の逆元 a とする。すると、

aa −1 = a −1 a = eのものを考える。また、ルービックキュー± 90 回転さ
ブの基本
基本操作
基本操作とは、ある面を操作oが成り立つ。

せる操作を、ルービックキューブの操作
操作と操作
は、基本操作を何回か繰り返し行ったものをいう。
いま、 G はルービックキューブの操作全体の集合、 H は 8 個の角のキューブ（これらをコーナーキューブ
コーナーキューブと呼ぶ）の位
コーナーキューブ

さて、8 個のコーナーキューブの位置を変えない操作全体の集合 H は G の部分集合であったが、さらには G の部分群になる。実際、

(1) a, b をコーナーキューブの位置を変えない操作(つまり、 a, b ∈ H )とすると、このような操作を 2 回続けて行っても、そ

定理１
定理１

S 8 を 8 次対称群とするとき、

G H = S 8 である。

れは依然としてコーナーキューブの位置を変えない。よって、 ab ∈ H である。

図 1 のような任意の隣接(2)結合法則は、 G の元に対して成立しした 2 個のコーナーキューているから、当然 H の元に対しても成立

ブを入れ替え、残りの 6 個する。

のコーナーキューブは動か(3) G の単位元 e は、明らかにそのまま

H の単位元でもある。

ないという操作がある。

図1

次の手順で操作を行えばよい。

(4)「コーナーキューブの位置を変えない操作」の逆操作も、コーナーキューブの位置を変えない。よって、 a ∈ H であれば、

a −1 ∈ H である。
いま、 g ∈ G とする。すべての h ∈ H に対して、 h はコーナーキューブの位置を変えないので、 g と gh のコーナーキューブの位置の変え方は等しく、同様に、 g とhg のコーナーキューブの位置の変え方も等しい。よって、 gH と Hg はともにコー
ナーキューブの位置の動き方が g と同じである操作を全て集めた集合であるから、

gH = Hg となる。つまり、 H は G の正規部分群である。

H の左剰余類と右剰余類が一致する
ので、その商群を考えることができる。
そこで、H の g ∈ G による商群

G H = {gH | g ∈ G}
H を考える。ここで、 gH はコーナーキ
ューブの位置の動き方が g と同じである操作を全て集めた集合であったことから、

図2
向きを変えたりしてこの操作を連続して行うと、コーナーキューブの位置を任意に入れ替えることができる。つまり、写像

G H は、コーナーキューブの位置の動き

f : G H → S 8 が全射になる。例えば、図方のパターンを集めたものということにな

3 の 2 つの状態の間に上の操作を施すと、る。

図 4 で示したコーナーキューブの位置が入れ替わる(つまり、共役な置換を行うことに相当する)。

図5

図3

図 5 の各場合について、コーナーキュー
コーナーキュー
ブの方向の方向の値を左から順に、0,+1,-1 と定める。つまり、コーナーキューブが時計回りに 120°回転するとコーナーキューブの方向の値は+1 され、反時計回りに 120°回
転するとコーナーキューブの方向の値は-1

図4

されるということである。ただし、120°
回転を 3 回繰り返すと元に戻るので、コー

このように、図 2 の操作を連続して行うと、すべての、 S 8 の要素に対応する G Hの要素がそれぞれ存在するということがわ
かる。
また、明らかにこの写像は単射でもある。

ナーキューブの方向の値は 3 を法として合同である。例えば、時計回りに 240°ずれている状態のものは-1 とも 2 とも考えることができる。
一般にはコーナーキューブの位置が合っていないとその方向を決定することはできしたがって、 G H = S 8 であり、ない点に注意が必要である。しかし、コー
ナーキューブの位置が合っていなくてもコ

S 8 = 8! より定理１から、 G H = 8! を得る。
また、 H の場合と同様の議論から、8 個のコーナーキューブの位置も方向も変えな
い操作全体の集合 J は H の正規部分群であり、商群 H J は、コーナーキューブの位置と方向の動き方のパターンを集めたものということになる。
ここで、コーナーキューブの方向の決め方について、説明しておく。各コーナーキ
ューブの色 A の面は、センターキューブの色を基準にして、次の図 5 のように 3 通りある。

ーナーキューブの方向を考えられるような方法がある。そのために、上面と底面をすべて同じ色（＝色 A ）だと考え、残りの側面はすべて別の色(＝色 B )で塗られていると考える。こうすることで、各コーナーキ
ューブには色 A の面が 1 つ、色 B の面が 2つあることになり、全てのコーナーキュー
ブが同じものとしてみなすことができる。
つまり、もとは位置が違っていても、あた
かも位置が合っているかのように扱うことができ、方向を考えることができるようになるわけである。

定理 2 8 個のコーナーキューブの番号を順は省略）。 G H のときと同様に、向きそれぞれ 1,2, K ,8 として、それぞれの方向を変えながらその操作を連続して行うことの値を、 r1 , r2 , K , r8 とすると、

で、コーナーキューブの方向を自由に変え

r1 + r2 + L + r8 ≡ 0

ることができる。即ち、基本操作のみで(mod 3)（分解することなく）、コーナーキューブが成り立つ。

7の方向の 3 通り全ての状態を作ることが最初の状態では、 r1 = r2 = L = r8 ≡ 0 でできる。つまり、 H J の各要素をコーナあるから、明らかに成立する。まず、上面

ーキューブの方向の値を並べた列

あるいは底面を回転する基本操作では、明(r1 , r2 , K , r8 ) の 1 種類ずつと対応させるこらかに r1 + r2 + L + r8 の値は、3 を法として変わらない。次に、図 6(a)のように
1,2,3,4 と番号を付け、(b)のような基本操作をしたときの方向の値を考える。

とができる。したがって、 H J = 3 を得
7る。
さらに、これまでと同様の議論から、8個のコーナーキューブの位置も方向も変え(a)1

ず、12 個のエッジキューブの位置をも変(b)

えない操作全体の集合 K は J の正規部分2群になり、商群 J K は、エッジキューブ

3の位置の動き方のパターンを集めたものと

4

いえる。

図6

一般に、1 回の基本操作は、コーナーキ
このとき、３を法として、 r1 は+1、 r2 は

ューブの位置について 4 次の巡回置換（＝-1、 r3 は+1、 r4 は –1 が加えられ、 r5 ～ r8奇置換）を引き起こし、エッジキューブのは、変わらない。つまり、どんな面に基本位置についても 4 次の巡回置換（＝奇置

操作を行っても、 r1 + r2 + L + r8 の値は 3換）を引き起こす。さらに、任意の k ∈ Kを法として変わらない。したがって、基本について、 jk がコーナーキューブの位置

操作を何回行っても、 r1 + r2 + L + r8 ≡ 0

を変えないことに注目すると、 jk はコー(mod 3) の関係が崩れることは無い。

ナーキューブの位置について偶置換（並びよって、7 個のコーナーキューブの方向替えないという置換は偶置換）を引き起こまでは自由に変えることができるが、残りすので、基本操作を偶数回行ったものといの 1 個の方向は、 r1 + r2 + L + r8 ≡ 0

うことが分かる。つまり、 jk はエッジキ(mod 3) の関係を成り立たせるような方向

ューブの位置についても、偶置換を引き起に、決定されてしまう。つまり、コーナー

こしているということが分かる。言い換えキューブの方向の変え方は、 3 通りある

ると、 J K は（エッジキューブの位置にことが分かる。

ついて）偶置換のみからなる群であるとい

7

さらに、任意の 2 個のコーナーキューブの方向を自由に変えられる操作がある（手

える。

定理 3

A12 を 12 次交代群とするとき、（２）中段にある 4 つのエッジキューブの右手前と左奥の面に A を、左手前と右奥

J K = A12 である。

の面に B をつける。
（３）下段にある 4 つのエッジキューブ

まず、図 7 のような任意の底面に A を、側面に B をつける。

の 3 個のエッジキューブのこのようにして、元の６色を無視するこ

位置を入れ替える操作があとで、コーナーキューブの方向を考えたとる（手順は省略）。 G Hきと同様に、各エッジキューブを全て同じのときと同様に、向きを変図7ものとしてみなすことができる。つまり、

えながらこの操作を連続して行うと、エッ

もとの位置が違っていても、あたかも位置

ジキューブの位置を任意に入れ替え可能とが合っているかのように扱うことができ、なる。

方向を考えることができるようになる。

よって、写像 f : J K → A12 は全単射になり、 J K = A12 を得る。以上から、 K

ここで、エッジキューブ
エッジキューブのエッジキューブの方向の方向の値について説明しておく。ある位置にあるエッジ
キューブのラベル A, B が、最初と同じととは、エッジキューブの方向のみを動かす

ころにあった場合にはエッジキューブ

操作全体による群であるともいえる。

の方向の値を+1、異なっていた場合には-1

一般には、エッジキューブの位置が合っとする。例えば図 9 でいうと、左のエッジていないと、エッジキューブの方向を考え

キューブの位置の値は+1、右のエッジキュることができない。そこで、コーナーキュ

ーブの位置の値は-1 である。

ーブの方向を考えた場合と同様に、エッジ
キューブの位置が合っていなくても、エッジキューブの方向を考える方法を以下のように考案した。6 面完成した状態で各エッジキューブに次のように（色は全て無視して）ラベル A, B を付ける（図 8 参照）。
図9
このとき、次の関係を得た。
定理 4 12 個のエッジキューブの番号をそれぞれ 1,2, K ,12 として、それぞれの方向
図8（１）上段にある 4 つのエッジキューブの上面には A を、側面には B をつける。

の値を、 t1 , t 2 , K , t12 とすると、

t1 × t 2 × L × t12 = 1が成り立つ。

6 面完成した状態では、

G

t1 = t 2 = L = t12 = 1であるから、明らかに成立する。上面や底面、あるいは右手前や左奥の面を回転する
基本操作を行っても t1 ～ t12 の値はいずれも変わらない。一方、左手前や右奥の面を=G H H =G H H J J=G H H J J K K
12! 11= 8!×3 7 ××2
2= 43,252,003,274,489,856,000という結果が得られた。

回転する基本操作を行った場合については、

このように、ルービックキューブ群の代考察が必要であるが、一回の基本操作では数的構造を解析することにより、群論のごどの面を回しても t1 × t 2 × L × t12 の値は変く簡単な部分を用いて、ルービックキュー

化せず、基本操作を何回行っても、ブの手数(つまりルービックキューブ群のt1 × t 2 × L × t12 = 1 の関係は崩れることは位数)を求めることができた。

ないとわかる。
言い換えると、11 個のエッジキューブ

4の方向までは自由に変えることができるが、今後の課題
群論の基礎部分およびルービックキュー

残りの 1 個の方向は、 t1 × t 2 × L × t12 = 1

ブ群の基本的性質についてレポートにまとの関係を成り立たせるような方向に決まっ

めることはできた。また、ルービックキュてしまい、エッジキューブの方向の変え方

ーブ群の部分群を考察することにより、その位数を効率よく計算することができた。

11は、 2 通りあることが分かる。
さて、図 10 のような隣

また、ルービックキューブ群の部分群と具接した 2 個のエッジキュ

体的な操作を対応付けて考察することがでーブの方向を反転し、きた。
今後は、このようなルービックキューブ

他のエッジキューブの向きや、全てのピースの位図 10群に関する考察をさらに深め、その構造を置は変えない操作がある研究することにより、ルービックキューブ（手順は省略）。 G H のときと同様、向の解法を得ることができないかという観点

きを変えながらその操作を連続して行うと、から研究してみたい。

エッジキューブの方向を自由に変えることができる。即ち、基本操作のみで（分解せずに）エッジキューブの方向の 2

11

通りす

べての状態を作れるので、 K = 2 である。
11以上から、 G を計算すると、

5

参考文献[1]「ルービック・キューブによる群論入門」、数学セミナー1981 年 8 月号、島内
剛一、日本評論社 (1981) p.2-9[2]「群論演習のひとこま」、数学セミ
ナー1981 年 8 月号、国吉秀夫、日本評論社(1981) p.11-16[3]「2*2*2 ルービック・キューブで遊ぼう」、井川治、プレプリント

6

謝辞
本研究およびレポート作成にあたって御指導くださった河合先生と川口先生に深く感謝します。

平成16年度 奈良県立奈良高等学校全日制課程普通科
学科
年次(学級数)
(新課程)
区分 教科
科 目
標準単
4
国 語 国語総合
現代文
4
古典
4
国語表現Ⅱ
2
古典講読
2

各

教

地理歴史 世界史Ａ
日本史Ａ
地理Ａ
世界史Ｂ
日本史Ｂ
地理Ｂ
公 民 現代社会倫理
政治 ･ 経済
探究社会
数 学 数学Ⅰ
数学Ⅱ
数学Ⅲ
数学Ａ
数学Ｂ
数学Ｃ
ｺﾝﾋﾟｭｰﾀ基理 科 理科総合Ａ
理科総合Ｂ
物理Ⅰ
化学Ⅰ
生物Ⅰ
地学Ⅰ
物理Ⅱ
化学Ⅱ
生物Ⅱ
探究物理
探究化学
探究生物

2
2
2
4
4
4
2
2
2
２◇
3
4
3
2
2
2
２◇
2
2
3
3
3
3
3
3
3
２◇
２◇
２◇

７～８
保健体育 体育保健2
2
芸 術 音楽Ⅰ
美術Ⅰ
2
書道Ⅰ
2
音楽Ⅱ
2
美術Ⅱ
2
書道Ⅱ
2
科
音楽Ⅲ
2
美術Ⅲ
2
書道Ⅲ
2
3
外 国 語 英語Ⅰ
英語Ⅱ
4
ﾘｰﾃﾞｨﾝｸﾞ
4
ﾗｲﾃｨﾝｸﾞ4
ｵｰﾗﾙ･ｺﾐｭﾆ2
英語ﾆｭｰｽﾞ
２◇
家庭基礎
2
家 庭
生活文化
２◇
情報Ｂ
2
情 報
必修・選択必修科目計
選 択 科
目 計
各教科・科目計
ＳＳＰ(ｽｰﾊﾟｰｻｲｴﾝｽ ﾌﾟﾛｼﾞｪｸﾄ）Ｃ.Ｃ.（総合的な学習の時間）
各 教 科・科 目 等 計
特別活動
ホームルーム活動
合
計

普
共通
2
(9)

普
共通
1
(10)
5

学科
年次(学級数)（旧課程）
科
目 標準単位
国語Ⅰ
4
国語Ⅱ
4
現代文
4
古典Ⅰ
3
古典Ⅱ
3
国語表現
2
古典講読
2
世界史Ａ
2
日本史Ａ
2
地理Ａ
2
世界史Ｂ
4
日本史Ｂ
4
地理Ｂ
4
倫
理
2
政治 ･ 経済
2
現代社会
4
探究社会
２◇
数学Ⅰ
4
数学Ⅱ
3
数学Ⅲ
3
数学Ａ
2
数学Ｂ
2
数学Ｃ
2
ｺﾝﾋﾟｭｰﾀ基
２◇
物理ⅠＡ
2
化学ⅠＡ
2
生物ⅠＡ
2
地学ⅠＡ
2
物理ⅠＢ
4
化学ⅠＢ
4
生物ⅠＢ
4
地学ⅠＢ
4
物理Ⅱ
2
化学Ⅱ
2
生物Ⅱ
2
探究物理
２◇
探究化学
２◇
探究生物
２◇
体育
9
保健
2
音楽Ⅰ
2
美術Ⅰ
2
書道Ⅰ
2
音楽Ⅱ
2
美術Ⅱ
2
書道Ⅱ
2
音楽Ⅲ
2
美術Ⅲ
2
書道Ⅲ
2
英語Ⅰ
4
英語Ⅱ
4
ﾘｰﾃﾞｨﾝｸﾞ
4
ﾗｲﾃｨﾝｸﾞ4
ｵｰﾗﾙｺﾐｭﾆ
2
英語ﾆｭｰｽﾞ
２◇
家庭一般
4

※２･３
※２･４

2
♯２
♯２

2
※２
※２
※２
2

※２
※２･３

3
2

※２
※２
2
2
※２･３
※２･３
※２･３
※２･３

3
1

2
1
♯２
♯２
♯２

2
※２
※２
※２

4
※５
2

※２

2

普
共通
3
(9)
※２
※３
※２･４
※２
※２
※２
※２
※２
※２･４
※２･４
※２･４
2
※２
※３
※５
※２
※２･４
※２

※３
※３
※３
※３
※４
※４
※４
※２
※２
※２
3

※２
※２
※２
※２
※２
※３
※３
※２

※２
31
0
31

6
28
34

必修・選択必修科目計
２５～２９
選択科目計
３０～３４
各教科・科目計

3
34
1
35

34
1
35

総合的な学習の時間 （Ｃ.
※２
各教科・科目等計
３０～３４
ホームルーム活動
1
合 計
３１～３５

5

奈良県立奈良高等学校

生物部

Collembola(トビムシ)と環境との相関関係について
S-7 坂田惇一

S-7 長野秀美

S-5 二井雅裕

S-3 手島夢子

J-6 小川満里江

F-1 中井光

F-8 安田なつみ
指導教諭

１

植村

哲行

長田

真範

富田

康弘

要約
南極にもトビムシがいるということを知った私たちは彼らの生態に興味をそそられた。そこで次のような実験を試みた。
１．トビムシの採取方法の確立
２．採取したトビムシについてのデータ分析
以上の実験を通してトビムシと環境とのつながりを知ることができた。

ABSTRACT
We took interest in the biology of springtail. So, we decided to attempt following
studies.
1. the establishment of the way of sampling springtails
2. the analyses of data on themThrough these studies, we understood the relationship between springtail and environment.
キーワード;トビムシ、環境Key word; springtail, environment２

緒言

トビムシは代表的な土壌動物の 1 つである。

私たち生物部は、身近な土壌動物のひとつ

腹部末端に先が二又になった跳躍器官を持つであるトビムシについて興味を持ち、奈良高ものが多い。この器官は叉状器と呼ばれ、普校の土壌に棲むトビムシについて調べた。

段は折り曲げて腹部下面に寄せられ、腹面にある保持器によって引っかけられているが、

３

目的

これがはずれると筋肉の収縮によって叉状器

サンプル中にいるトビムシを可能な限りが伸びて大きく跳ねる。このようにして危機採取する(研究 1)。トビムシと環境との相関を逃れることから「跳び虫」と呼ばれ、体長関係を調べる(研究 2)。

の 80 倍もの距離を跳ぶ種もいる。
多くは土壌の表面、落葉中あるいは地中深

４
I.

研究内容

くに生息するが、生活圏は幅広く、極地からトビムシの説明熱帯、樹上、雪上、洞窟、海岸から砂漠まで

界 動物界

様々な環境に見られる。

Animalia

体長は 0.3mm から 7mm 以上に達することも

門 節足動物門 Arthropoda
綱 昆虫綱

あるが、通常は 1～2mm である。世界で約 3000

Insecta

種、日本では 14 科 103 属約 360 種が確認され目 トビムシ目 Collembolaている。
マルトビムシ科

頭部に数珠状の触角を 1 対持ち、翅は無い。

胸部は 3 体節で各 1 対、計 3 対の肢を持ち、等をなるべく減らすように配慮したもので腹部は 6 体節である。これらのことからトビある。)

ムシは無翅昆虫に分類されている。

(＊今回は本校敷地の前庭から土壌を採取

繁殖方法は独特で、雄が土の表面に精包をした。)

置き、雌がそれを拾うことで受精する。土壌中で直接出会えなくても子孫を残せるよう、
このような間接受精を行う。一般に繁殖力が高く、種によってはビニールハウスなどで大発生して作物の芽を食害することもある。
変態せず、数齢で産卵を開始するが、成熟後も脱皮を繰り返し、寿命は数日のものもいれば、1 年を越えるものもいる。
腐植物、菌糸、花粉を食べるほか、肉食も知られている。これらの有機物を無機物に分解し、植物に吸収できるようにしていることから、森などでは分解者として大きな役割を果たしている。

写真 1C) 結果
極めて少量のトビムシしか採取できな
かった。
D) 考察
・エタノールが気化し、採取前のトビムシに何らかの影響を与えたのではないか。
・ツルグレン装置にかけた土壌が適切に乾燥しなかったのではないか。
(2) 研究 1-2
A) 目的
研究 1-1 で失敗した原因がエタノール

シロトビムシ科
II. 研究 1(1) 研究 1-1
A) 目的の気化によるものかどうかを特定する。
B) 研究方法
1. 本校敷地の前庭で人為的影響の無い所から土壌を 100 ㏄ずつ 4 つ採取する。

採取した土壌サンプル中にいるトビム

2. 同じ状況下でツルグレン装置にかけ、そシを可能な限り採取する方法を確立する。

れぞれ 100％、70％、40％、0％(水)のエ

B) 研究方法
1. 体積 100 ㏄となる塩化ビニル管を用意する。
2. カッターナイフ等を用いて、土壌に切れ込みを入れて、1 の管を埋め込む。
3. 土を管ごと地面から取り出す(写真 1)。

タノールを入れた瓶にトビムシを採取する。
3. プレパラートを作成し、顕微鏡で観察し、種の数を数える。
C) 結果
6 月 23 日現在、研究中。

4. 取り出したサンプルをツルグレン装置にIII. 研究 2

かけ、エタノールを入れた瓶にトビムシを

A) 目的

抽出する。
(＊1～3 の行程は、採取時のトビムシの圧死

人が手をつけた環境(草を抜く・落ち葉を掃く)がトビムシの生息にどのように影５

響するのかを調べる。

まとめと今後の課題
分解者であるトビムシの生活は、環境に依B) 研究方法
1. 本校敷地の前庭を約 1 ㎡の枠で 18 区画に存していることが改めてわかった。

区切る(写真 2)。

今後は地層の深度の差で生息するトビム

2. 任意に抽出した 3 枠を 1 セットとする。

シ相の違いについて調べたい。

3. 3 枠の土壌の環境を下のようにする。

また、トビムシの生活史についても研究しa；そのまま（対照区）ていきたい。

b；落ち葉を除く

６c；草を除く

参考文献・サイト「トビムシのすむ森」武田博清著

ずつ採取する。

「日本産土壌動物」

淳一著

A；a から採取する「やさしい土壌動物の調べ方」

4. 下の 3 つの環境から土壌を 100 ㏄×5 個

B；b から採取する「土の中の生き物」

C；c から採取する
5. A～C をツルグレン装置にかけ、トビムシ

青木
青木

淳一著

青木

淳一著

渡辺

弘之著

MSN エンカルタ 百科事典を抽出する(写真 3)。

フリー百科事典 Wikipedia

6. プレパラートを作成し、顕微鏡で観察し、科ごとの個体数を数える。

７

謝辞
最後にこの研究をご指導して下さった京都大学大学院農学研究科

武田博清教授および研究室の方々に深く感謝し、お礼申し上
げます。

写真 2

写真 3
C) 結果
6 月 23 日現在、研究中。

SSH生徒研究発表会

研究冊子

2007年(平成19年) 2月16日

発行

国立大学法人 奈良女子大学附属中等教育学校〒630-8305

奈良市東紀寺町1丁目60-1

TEL. 0742-26-2571
FAX 0742-20-3660
http://www.nara-wu.ac.jp/fuchuko/