恒星の回転の進化とBe 星の起源
藤本正行 （北海学園大、北大）,勝田豊 （北大）,岡崎敦男 （北海学園大）,須田拓馬 （東大ビッグバンセンター）

I. Introduction
全ての恒星は多少とも回転している。
⇒ 構造 (光度、形状、…）、進化に影響

Liの表面組成の減少

I.1 Extra-物質混合機構• 表面組成の異常
Ex. 主系列星での Li の欠乏
新星放出物中のCNO元素の増加

Teff• 回帰周期の短縮と変動

周期-ピーク光度関係

Ex. X-線バースト⇒ 熱対流以外の外層での核生成物の組み上げ、降着物質の混合機構の存在 ⇔ 回転の効果
回帰周期(分)の対数

I.2 高速回転星••••

Be 星: 赤道からの物質放出による星周円盤の形成
Be星連星: X線、γ線など高エネルギー現象
超新星爆発機構
Be 星連星 (星周円盤と中性子星Windγ-線バーストの起源
HR上のBe星 との相互作用)
O型の分布
Be 星と星周円盤輝線スペクトル
Zorec
et al. 2005

Intensity

Be 星の頻度

A型
by S. Owocki

λo Wavelength

Okazaki et al.
2015,
in preparation

Zorec&Briot 1997

I.3. 内部の回転則 (日震学、星震学)• 日震学
内部の輻射層は略一様回転∆ Ω/ Ω ≲ 10 % for 𝑟𝑟 ≳ 0.2𝑅𝑅◉• Kepler衛星の星震学

太陽内部の回転則

巨星、準巨星の内部は微分回転
中心核の回転角速度は表面の１０倍以上 (Beck et al. 2012)Ωcore = 710 ± 51 nHz, Ωsurface < 150 ± 19 nHz
for 金属欠乏巨星 Otto
(Deheuvels et al. 2012)

I.4 回転星の進化
鍵：角運動量輸送と物質混合の機構とその効率
現行モデル：対流＋セミ対流＋ 既知の流体力学不安定性 (寄せ集め) ＋ 子午線還流
粘性係=数: ν

Dconv + Dsem + DSSI + DDSI + DSHI + DGSF + DES
物質混合係数=: D Dconv + Dsem + f c × ( DSSI + DDSI + DSHI + DGSF + DES )ここで、Dconv , Dsem : 対流とセミ対流

DDSI , DSSI : 動力学的、永年的シア不安定性
DSHI : Solberg-Hoiland 不安定性
DGSF : Golereich-Schubert-Fricke 不安定性

流体力学的不安定性

DES : Eddington-Sweet 子午線還流f c ∈ [0,1] : 乱流の物質混合と角運動量輸送係数の比

日震学、星震学の観測結果との比較⇒ 他に内部で効く効率の良い角運動量機構が必要(Eggenberger et al. 2012)流体力学的な不安定性
Modes

動力学的(断熱)不安定性
2次元平行平板流

熱的不安定性シア不安定性

DSI

SSI
Townsend (1958),
Zahn (1972)

Richardson判定条件
Miles(1961),Howard(1961)
軸対称モード非軸対称モード回転星
Rayleigh不安定性
SHI
Richardson 判定条件 +Barotropic and baroclinic 不安定性

GSF (1967)?

現行のモデルでは、非軸対称モードの動力学的(断熱)不安定性が全く考慮されていない。

非軸対称モードの不安定性
1970’s:Geophysics

Baroclinic 不安定性
Baroclinity ~回転軸方向の微分回転
Ωϖ(𝜕𝜕Ω/𝜕𝜕𝑧𝑧) = (𝑃𝑃/𝜌𝜌 ) 𝜵𝜵ln 𝑃𝑃 × 𝜵𝜵 ln 𝜌𝜌|𝜑𝜑 ≠ 𝟎𝟎
(ϖ, 𝜑𝜑, 𝑧𝑧) 円筒座標

1980’s:
降着円盤：
Astrophysics Kelvin-Helmholtz 不安定性
→ 磁場:Balbus-Hawley instability (1991)
X-線バースト
平行平板流のMiles-Howard定理→ 回転流体への拡張
Fujimoto (1987), Hanawa (1987; without theBoussinesq approximation), Nakayama (1991; Kerrmetric), Nakayama & Hanawa (1991; axisymmetricmetric)非軸対称モードの安定性の条件(1) Richardson 判定条件
=Ri h⋅C |D|2 ≥1/4
(2) Barotropic (順圧), Baroclinic (傾圧) 不安定性に対する判定条件− ( D × h)( D ×C ) ≥ (h×C )2
条件(2)が成り立つのは成層回転流体の特性ベクトル2条件を同時に満すのは一様回転（D = 0） のみ
𝑅𝑅𝑅𝑅 ≤ (1/4) 1 − tan2 𝜃𝜃𝐵𝐵 ⁄2⇒ [微分回転D : 微分回転
= r sin θ∇Ω （],D ≠ 0） は不安定性の必要条件の時のみ。ここで(Fujimoto1987)h : 有効重力（遠心力を含む）
cos 𝜃𝜃𝐵𝐵 = 𝒉𝒉 ∙ 𝑪𝑪 / 𝒉𝒉 𝑪𝑪 。

Barotrope (∇ ln P×∇ ln 𝜌𝜌 = 0）
Baroclinic 不安定性について線形解析
d log ρ C : 浮力 [ = ∇ ln P −∇ ln ρ ] の場合も成り立たない。
P ad不安定性の十分条件の証明 (Ri ≫ 1)
 d log→

Kitchatinov (2014, ApJ, 784,81)

Our Approach
非軸対称モードの不安定性⇒ 回転星内部での乱流の遍在を示唆。
⇒ 微分回転を均して一様回転に近づけるであろう。

しかしながら、発達した乱流の信頼できる理論はない。
⇒ 角運動量輸送、物質混合の機構と効率が決まらない。
⇒ 現行のモデルでは信頼できる結果は得られない。

恒星の回転の状態は、角運動量の分布によるが、それとともに、 恒星の慣性能率（moment of inertia: MoI) の分布にも依存する。
𝑰𝑰 = � 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐 𝜽𝜽 𝒅𝒅𝒅𝒅,𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝆𝝆 𝑟𝑟 2 sin 𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜑𝜑

むしろ、MoI の変動が、恒星の回転の進化の主動因である。
内部構造の変化による各質量要素膨張/収縮⇒ 慣性能率の変動⇒ 回転速度の変化 / 微分回転の生成・成長⇒ 角運動量の輸送 ⇔ 乱流による輸送係数の評価

本研究の目的と方法
目的：進化による構造変化とそれに伴う慣性能率の変動を基に恒星の回転の進化の描像を構築する。
(1) 進化に伴う慣性能率の変動の解析
MoI の変動の特性と内部構造との関連(2) 慣性能率の変動から導かれる回転の進化の描像
初期質量、初期角運動量依存性、輸送過程との相関(3) 亜臨界回転から臨界回転へ
Be-星の起源 － 初期質量と角運動量の範囲(4) 内部での微分回転の生成と成長
Kepler の観測のとの比較⇒ 乱流による実効輸送係数の評価

II. 慣性モーメントの進化特性
恒星進化
主系列星 (MS)段階 : 半径の膨張
水素燃焼による中心部の分子量の増加
TPMS SB⇒ 慣性能率も増加
ZAMS MS
主系列の終結 (TPMS)段階 := MS からSB への移行の重力収縮⇒ 半径は収縮、慣性能率は増加

殻燃焼 (SB)段階 : 膨張・収縮の節 (node）
core の収縮 （膨張）⇒ 外層の膨張（収縮）⇒ 慣性能率の増加（減少）は外層の膨張（収縮）に従う

半径ZAMS

SBTPMSMS

慣性能率

慣性能率(MoI) vs. 表面半径(R)
MoI-R 関係は単純ではない。
MS段階：
MoI の増加は R の増加に比して小さい
𝐌𝐌𝐌𝐌𝐌𝐌 ∝ 𝑹𝑹𝟑𝟑/𝟐𝟐 より緩やか

𝟑𝟑𝟐𝟐I ∝ 𝑹𝑹(Ω𝑲𝑲 ∝ 𝑹𝑹−𝟏𝟏.𝟓𝟓 )

16M◉
64M◉

大質量星:
MS 段階の膨張は大きい
MoI はそれ程増えない⇔ Convective core が大きい

SB段階:
MoI の増減はsteepに
RGBでは、 I ∝ 𝑹𝑹𝟐𝟐 に収斂32M◉

I ∝ 𝑹𝑹𝟐𝟐 (homologous )

4M◉

2M◉

8M◉

恒星膨張の2つ型
MS段階:
半径の膨張率は外層を通して徐々に増加、MoI の増加は表面半径の膨張に比して小さい。
𝒅𝒅 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒓𝒓(𝑴𝑴𝒓𝒓 , 𝒕𝒕)/𝒅𝒅𝒅𝒅:
largest at the surface

SB段階:

殻燃焼の直近で膨張、外層全体が持ち上げられる。
𝒅𝒅 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒓𝒓(𝑴𝑴𝒓𝒓 , 𝒕𝒕)/𝒅𝒅𝒅𝒅:
largest just above theburning shell.

#1:ZAMS#2:MSの最後

膨張の構造特性
ホモロジー不変量
3ρ / ρU ≡ 4π r 3 ρ / M r =()V ≡ GM r / r /( P / ρ )U-V 面上の構造線
主系列（MS）段階:
U/V の単調関数
殻燃焼（SB）段階：
ループを形成半径と質量分布𝒅𝒅𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥(𝑼𝑼/𝑽𝑽)
𝒅𝒅 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒓𝒓 =,𝟐𝟐𝟐𝟐+𝑽𝑽−𝟒𝟒

𝒅𝒅 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝑴𝑴𝒓𝒓 = 𝑼𝑼

𝒅𝒅𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥(𝑼𝑼/𝑽𝑽)
𝟐𝟐𝟐𝟐+𝑽𝑽−𝟒𝟒

U-V 面上の structure line に沿っての積分 (Sugimoto & Nomoto 1980)

III. 恒星の回転の進化
ー 慣性モーメントに基づく
回転角速度:Ω𝑟𝑟 / ΩMS = (r/rMS)−𝟐𝟐

外層では減少、中心核では増加。
MS段階：殆ど微分回転を生成しない

SB段階：燃焼殻及びその上で急勾配

臨界回転率:
𝑊𝑊𝑟𝑟 ≡ Ω𝑟𝑟 / Ω𝐾𝐾 𝑟𝑟= Ω𝑟𝑟/(𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺/𝑟𝑟 3 )1/2

外層では減少, 中心核では増加,内部で局所的に臨界回転を超える

2log (Ωr/ΩMS)

角運動量輸送なしの場合

0-2

III. 恒星の回転の進化
慣性モーメントに基づく
一様回転+ 全角運動量の保存
表面臨界回転率𝑱𝑱𝑱𝑱𝟑𝟑/𝟐𝟐
𝑊𝑊 ≡ Ω / Ω𝐾𝐾 ∝𝑰𝑰回転角速度: Ω = J / I
表面臨界回転角速度:Ω𝐾𝐾 =(𝐺𝐺𝐺𝐺/𝑅𝑅3 )1/2

• 初期(ZAMS) に亜臨界回転 (𝑾𝑾𝟏𝟏 < 𝟏𝟏 𝐨𝐨𝐨𝐨 Ω < Ω𝑲𝑲 ) でも膨張の過程で臨界回転 (𝑾𝑾 = 𝟏𝟏 𝐨𝐨𝐨𝐨 Ω = Ω𝑲𝑲 ) に達することができる。
• W のpeak： Sb初期（𝑴𝑴 ≤ 𝟖𝟖𝟖𝟖◉）, He 燃焼後（𝑴𝑴 ≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝑴𝑴◉）

IV. Origin of Be StarsΩ > Ω𝐾𝐾 ⇒ 赤道からの質量排出 ⇒ decretion disk
⇒ Be stars
与えられた角運動量 J に対し、MS 到達直前に Wが極大値, 𝑾𝑾𝟎𝟎 , をとる。

N-burning
C-burning

一様回転の下で恒星に持ち込むことのできる最大角運動量:
𝑱𝑱𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰𝟎𝟎 Ω𝑲𝑲,𝟎𝟎 = 𝑰𝑰𝟎𝟎 (𝑮𝑮𝑮𝑮/𝑹𝑹𝟎𝟎 𝟑𝟑 )𝟏𝟏/𝟐𝟐初期質量、初期角運動量依存性
Be starsに進化し得るパラメ
ター範囲
初期角運動量𝑱𝑱𝟎𝟎/𝑱𝑱𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦 （上図）

初期臨界回転率𝑾𝑾𝟎𝟎/𝑾𝑾𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦 （下図）Oe 星の欠如:MS段階の恒星風による角運動量の喪失。

Mass loss ratenecessary forAM loss

恒星風の質量放出率（観測）Vink et al. 2001

Moment of inertiaの増加は小さい。
大きくても 10 % 程度
臨界角速度の減少の効果の方が大きい。
最大で Ω𝐾𝐾 𝑅𝑅𝑒𝑒 = 0.5443 Ω𝐾𝐾 𝑅𝑅𝑝𝑝⇒
W は角運動量 J に比して臨界回転に近づくと急激に増加する。

ℇ (Ω = Ω𝐾𝐾 )𝒓𝒓𝒑𝒑 / 𝑹𝑹𝒑𝒑ℇ

Roche 近似:
𝐺𝐺𝑀𝑀𝑟𝑟∅ = − ∫ 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫ ϖΩ2 𝑑𝑑ϖ,𝑟𝑟ここで ϖ = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃.
一様回転のとき赤道半径 𝑅𝑅𝑒𝑒 と極半径 𝑅𝑅𝑝𝑝 の比（最大で1.5倍）;
21 Ω
𝑅𝑅𝑒𝑒 = 1 +𝑅𝑅𝑝𝑝 .
�Ω2𝐾𝐾𝝆𝝆𝒓𝒓𝟓𝟓 , ℇ𝝆𝝆𝒓𝒓𝟓𝟓

回転の構造への効果

Observation との比較
HR図上のBe星の存在領域(Levenhagen & Leister 2006)

形成領域 : 𝑾𝑾 𝒕𝒕 > 𝟏𝟏 & 𝑾𝑾 𝒕𝒕 > 𝑾𝑾 𝒕𝒕′ for ∀𝒕𝒕′ < 𝒕𝒕
継続可能領域, もしAMを失わなければ(1) Mass range of Be stars
Mass loss for massive end
AM loss during the Protostars for lowmass end(2) More massive stars form Be-stars sduring earlier MS stages.

Be stars ~ uniform rotation
Mass decretion is rathereffectiveV. 微分回転
微分回転
𝑫𝑫 = 𝑟𝑟sin𝜃𝜃𝛻𝛻𝛺𝛺 = (𝑟𝑟sin𝜃𝜃Ω/𝜕𝜕𝜕, sin𝜃𝜃𝜕𝜕Ω/𝜕𝜕𝜃𝜃,0)
時間変化:
球対称で近似⇔ (𝑟𝑟𝛺𝛺2 )/(𝐺𝐺𝑀𝑀𝑟𝑟 /𝑟𝑟 2 ) ≪ 1
これは、臨界回転の場合も 極表面層を除くと成り立つ。
𝐷𝐷𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕 : 動径方向の微分回転𝜕𝜕Ω/𝜕𝜕𝜃𝜃 を無視し、 𝜃𝜃 方向を平均をとると,2 𝛺𝛺𝑑𝑑(𝑟𝑟 2 𝐷𝐷𝑟𝑟 ) 𝒅𝒅 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝑼𝑼 2
𝜕𝜕
1𝑑𝑑𝑟𝑟
=
𝑟𝑟 (𝐷𝐷𝑟𝑟 − 𝟐𝟐𝛺𝛺) + 𝑟𝑟 2𝑑𝑑𝑑𝑑
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝜕𝜕 ln 𝑟𝑟 𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑

growth and source term

diffusion of AMV. 1. 微分回転の生成と成長
角運動量輸送を無視すると𝑑𝑑(𝑟𝑟 2 𝐷𝐷𝑟𝑟 )= 𝑟𝑟 2 (𝐷𝐷𝑟𝑟 − 𝟐𝟐𝛺𝛺)
𝒅𝒅 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝑼𝑼
ホモロジー不変量 𝑼𝑼の変動によって決まる。
○ 相似変換の時 (𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 4𝜋𝜋𝑟𝑟 3 𝜌𝜌/𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0)
𝐷𝐷𝑟𝑟 ∝ 1/𝑟𝑟 2 (但し Ω ∝ 1/𝑟𝑟 2 )一様回転は一様回転のまま留まる○ 一般の場合
𝐷𝐷𝑟𝑟 /Ω = (U/U0 −1) + (𝑟𝑟0/𝑟𝑟)2 𝐷𝐷𝑟𝑟,0 /Ω微分回転の生成の時間尺度位置
MS𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏

𝑑𝑑 log 𝑈𝑈/𝑑𝑑𝑑𝑑 (yr-1) 時間変化 (𝟏𝟏𝟏𝟏⦿ の場合)

𝑹𝑹 = 𝟑𝟑𝟑𝟑⦿

生成の時間尺度𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑 log 𝑈𝑈 (yr)
MS段階: 進化の時間尺度より長い。
SF段階: 進化とともに急速に短くなる。燃焼殻の上部で鋭いpeak を持つ。
−𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓−𝟖𝟖

𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⦿

−𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔

lateMS

𝑹𝑹 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑⦿

𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟓𝟓−𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟒𝟒−𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⦿

RGBtipV.2 角運動量輸送
角運動量保存の式𝜕𝜕𝜌𝜌𝜌𝜌 + 𝜵𝜵 ∙ 𝜌𝜌𝜌𝜌𝒗𝒗 = −𝜵𝜵 ∙ 𝒇𝒇
𝜕𝜕𝑡𝑡𝑎𝑎(= 𝑟𝑟 2 Ω) :単位質量あたりの角運動量
𝒇𝒇: 角運動量流束
動径成分 fr は、– 構造は球対称を仮定： rΩ2/(GMr/r2) ≪1 では良い近似
1 2 𝑀𝑀𝑟𝑟 𝑑𝑑(𝑟𝑟2Ω)
𝑓𝑓𝑟𝑟 =∙ �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟
24𝜋𝜋𝑟𝑟 3 0𝑑𝑑𝑑𝑑

ここで Ω = 𝑱𝑱/𝑰𝑰 とおくと一様回転を維持するために必要な角運動量流速 fr を評価できる。

角運動量流速の分布と進化
1M⦿
MS段階: 恒星全体で外に運ばれる。

Wpeak(𝑓𝑓𝑟𝑟 > 0)

SF段階: 中心核からの flux は必ずしも大きくはならない（保持する AM 自体が小さくなる）。外層では膨張に伴いAM flux が負になる。しかし、縮退coreが形成されると燃焼殻の上部で大きな極大値も持つようになる。（この付近で半径の時間変化率が最も大きくなる）

2.5M⦿
MS段階: 1M⦿と同じであるが、慣性2.5M⦿能率が大きい分大きくなる。
SF段階: 1M⦿と同じであるが、慣性能率が大きい分大きくなる。RGB でも、縮退しない（core mass が増加しない）ので、大きくはならない。

V.3.一様自転に必要な粘性係数νUR
乱流による角運動量輸送は乱流粘性係数𝜈𝜈URとすると、
𝜕𝜕Ω
2𝑓𝑓𝑟𝑟 = 𝜈𝜈UR 𝜌𝜌𝑟𝑟
𝜕𝜕𝑟𝑟

ここで、 𝑑𝑑 ln 𝑈𝑈/𝑑𝑑𝑑𝑑 が最大値 or 最小値をとると、一様回転を維持するために必要な粘性係数 νUR を評価できる。
𝐻𝐻p𝜈𝜈UR ≈ 2 𝑓𝑓𝑟𝑟, max𝜌𝜌𝜌𝜌 Ω微分回転の特徴的な長さとして pressure scale height (Hp) を採用

進化特性とmass 依存性
一様回転を維持するのに必要な粘性は、MS段階に入ると最小になる、その後、SF段階に入ると大きくなる⇒ 微分回転を生じる

3.5. 各進化段階での νum,max
MS■●He ignition ▲He burning◆

1M⊙

101～102～109～105

2.5M⊙

102～103～107～105

16M⊙

105～107～109～1010

16M⊙

2.5M⊙
1M⊙

summary
1. 回転の効果は球対称モデルの Moment of inertia から議論できる (球対称恒星進化はfine scienceである)。
2. Be 星の起源について、観測と consistent な解釈。
–––

mass とangular momentum 依存性についての包括的描像
一様回転でよい： 少なくてもMS段階では、効率の良いAM輸送過程が存在する。
臨界回転に達したあと、赤道面からの mass decretion
は、角運動量放出の効率の良い機構がなければならない。

3. Helioseismology, asteroseisemology の観測との比較––

Shell burning の外側で differential rotation
内部での乱流粘性の効率知見が得られた。