フィボナッチ数列の剰余における法則
２年Ｂ組 志村 恒太郎
指導教員 川口 慎二

１. 要約
私はフィボナッチ数列の剰余について研究している。今回は、これらに関する興味深い法則が見つかったので、これを紹介する。
キーワード

フィボナッチ数列、 k ‐フィボナッチ数列、剰余、合同式
だし、1≦ k ≦6 とする。

２. 研究の背景
フィボナッチ数列について新たな法則を{}

10

いま、 F1 (n) の初期値を101探していたとき、同数列の 1 の位を並べたF (0) = 0, F110 (1) = 1

ものに興味深い法則を発見した。よって私と定めると、 F1 (n) の各項を列挙したもの興味をかき立て、これを研究するに至っのは以下の通りとなる。

{10}

た。
1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0,7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0,

３. 研究内容
本稿では、特に注意のない場合、l , m, n

9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0,3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0, …

を自然数とする。

３．１ 定義{10

3.1.1 フィボナッチ数列の定義

Fx y (z ) において、 x は数列の種類を表す番号（添え字）、 y は除数、 z は項の番号を表している。また、1≦ x ≦6, 1≦ y , 0≦ zとする。
このとき、 k ‐フィボナッチ数列を漸化式

2, 3, 4, 5, 6)を、以下のような初期値により定義する。

F210 (0) = 0, F210 (1) = 2
F310 (0) = 2, F310 (1) = 1

F410 (0) = 2, F410 (1) = 6
F510 (0) = 0, F510 (1) = 5

Fk 10 (n + 2) ≡Fk 10 (n + 1) + Fk 10 (n)(mod10){10}}

上述の定義における数列 Fk (n) ( k ＝から導かれる数列 Fk (n) と定義する。たF610 (0) = 0, F610 (1) = 0

定理 2 の実例を、前節で述べた形式で列定理 1k ‐フィボナッチ数列 {Fk 10 (n)}はすべての 1≦ k ≦6 について、周期性があり、そのパターンは有限である。
（証明）([1]より)連続する 2 項の余りが、これまでの連続する 2 項の余りと順序まで等しければ、周期は存在することになる。
ここで周期は存在しないとすると、どの連続する 2 項の余りも等しくないことになる。これは余りの組み合わせが有限個であることに矛盾する。
よって、周期は存在する。(Q. E. D.)
３．２ 基本定理
まず、定理 1 が自明に成り立つ。
定理 2自然数 l (1≦ l ≦6)に対して、l ‐フィボナ{10}ッチ数列 Fl (n) から、Fm10 (n) = Fl 10 ( pn + q) * r
または、

挙すると、
1010・ F2 (n) ≡F1 (n) * 2m10(n) = F110 (57n + 57)

10(n) = F110 (5n + 3)

・ F2・ F3(n) = F110 {3 * (5n + 1)}

・ F410・ F510(n) = F110 (5n)・ F510(n) ≡F110 (n) * 5(2m + 1)

・ F610(n) = F110 (15mn)

・ F610(n) ≡F110 (n) *10m・ F410(n) = F210 (5n + 1)

・ F410(n) = F210 (5n + 2)

・ F610(n) = F210 (5mn)・ F610(n) ≡F210 (n) * 5m

・ F410(n) = F310 (9n)・ F410(n) ≡F310 (n + m) * 2 m

・ F510(n) ≡F310 (n) * 5(2m + 1)

・ F610(n) ≡F310 (n) *10m

・ F610(n) ≡F410 (n) * 5m・ F610(n) = F510 (3mn)・ F610(n) ≡F510 (n) * 2m

Fm10 (n) ≡Fl 10 ( pn + q) * r (mod 10)を 満 た す 適 当 な 自 然 数 m (1 ≦ m ≦ 6) と10p, q を選ぶと、もとの数列 {Fl (n)}の周期の約数を周期としてもつ m ‐フィボナッチ{10}数列 Fm (n) を導き出すことができる。

・

究に組み込んで考える。

F110 (5n + 3) = F110 (5n + 54)

Tx y (z ) において、 x は数列の種類を表す= F110 (5n + 57)
10・ F1

番号（添え字）、 y は除数、 z は項の番号を(n) * 3 ≡F210 (n + 45)表している。また、1≦ x ≦20, 1≦ y , 0≦ z
ただし、合同式はいずれも mod 10 とする。とする。
このとき、 k ‐トリボナッチ数列を漸化

今回は証明を割愛する。これらを組み合わせることにより、より多くの関係式を得ることができる。

式

Tk 10 (n + 3) ≡Tk 10 (n + 2)

定理 2 を発展させて、次の定理を得た。

+ Tk 10 (n + 1) + Tk 10 (n)(mod10)３．３ 10 以外の除数{}

10 以外の除数の場合の数列 Fl (n) ( mm≠10) をすべて求めると、次のことがわかった。
・長さの等しい数列がある場合がある{10}から導かれる数列 Tk (n) と定義する。ただし、1≦ k ≦20 とする。

{}

10

いま、 T1 (n) の初期値をT110 (－1) = 0, T110 (0) = 0, T110 (1) = 1{10}・それぞれに固有の法則があると定めると、 T1 (n) の各項を列挙したも・すべての除数について成り立つ法則はのは以下の通りとなる。

解が 0 になるものを除いて存在しない
1, 1, 2, 4, 7, 3, 4, 4, 1, 9, 4, 4, 7, 5, 6,
これらの事実については、成立すること

8, 9, 3, 0, 2, 5, 7, 4, 6, 7, 7, 0, 4, 1, 5,を実例から確認したものの、精細に調べる

0, 6, 1, 7, 4, 2, 3, 9, 4, 6, 9, 9, 4, 2, 5,ことができなかったため、今後さらに詳し

1, 8, 4, 3, 5, 2, 0, 7, 9, 6, 2, 7, 5, 4, 6,

く研究が進める必要がある。

5, 5, 6, 6, 7, 9, 2, 8, 9, 9, 6, 4, 9, 9, 2,0, 1, 3, 4, 8, 5, 7, 0, 2, 9, 1, 2, 2, 5, 9,３．４ トリボナッチ数列この研究はフィボナッチ数列を取り扱ってきたが、これはすべての項が前の 2 項の6, 0, 5, 2, 4, 1, 6, 2, 9, 7, 8, 4, 9, 1, 4,4, 9, 7, 0, 6, 3, 9, 8, 0, 7, 5, 2, 4, 1, 7,2, 0, 9, 1, 0, 0, (1, 1, …)

和となる漸化式で構成される数列である。
ここで「トリボナッチ数列」という数列を考える。トリボナッチ数列とは全ての項が前の 3 項の和となる、フィボナッチ数列によく似た数列である。
この数列を先程まで述べていた剰余の研これらから、以下が推測できるが、現時点では証明には至っていない。
・10 以外の除数の場合と同じく、周期の等しい数列が存在する
・数列は次の 4 パターンの並び方が存在する

上での計算プログラム作成も行いたい。

①奇数のみの並び②偶数のみの並び

５．参考文献③奇数、偶数、奇数、偶数のように奇[1] フィボナッチ数列の剰余の周期性の証

数と偶数が交互になる並び④奇数、奇数、偶数、偶数のように 1
つおきに奇数と偶数が替わるよう明
http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50640281.html

な並び
・全数列の周期の和は同じ除数のフィボナッチ数列の全数列の和の 2 乗に等しい

６．謝辞
この研究を行うにあたりまして、顧問の川口先生には多大なご指導を賜りました。

ここで、最後の「全数列の周期の和は同じまた、サイエンス研究会の先輩方や、研究発除数のフィボナッチ数列の全数列の和の 2表会でお会いいたしました他校の皆様、友乗に等しい」とあるように、トリボナッチ数人にも多くの助言・協力を賜りました。この列などの研究にはさらなる考察が必要であ場を借りて、深く御礼申し上げますとともる。に、これからも御協力お願い申し上げます。

しかも、トリボナッチ数列に限らず、「テトラナッチ数列」や、「ペンタナッチ数列」、「ヘキサナッチ数列」といった、すべての項がそれぞれ直前の 4, 5, 6 項の和となる数列、さらには「すべての項が直前の n 項の和となる数列」というように一般化までして考えたいので、コンピューターを用いるなど計算方法の改善が求められる。

４．今後の課題
今回は時間の問題で除数が 10 のときについてしか重点的に研究できなかったが、今後は他の除数の場合について詳しく研究したい。
また、今回はフィボナッチ数列を基本に研究を進めたが、今後はトリボナッチ数列や、テトラナッチ数列といった数列のような、足す項数を変えた数列についてももっと深く研究したい。よって計算速度の向上が必須となってくるので、コンピューター