電磁気学演習

9 章 電磁波と波動方程式

1. 電磁界の波動方程式
空気あるいは真空中において、電界および磁場の振動があるとで、電磁波として波の伝搬を起きる。電磁波は波長によって呼称が異なるが、光も X 線も電磁波である。
電磁波は波の式で記述できる。仮にｚ軸方向に進む波である時刻ｔでの波の磁場の振幅 B(z,t)と電界の振幅 E(z,t)は次のように書くことができる。
電界の波の式 𝐸𝐸(𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸0 sin(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑘𝑘𝑘𝑘)

磁場の波の式 𝐵𝐵(𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝐵𝐵0 sin(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑘𝑘𝑘𝑘)

この式で𝐸𝐸0 と𝐵𝐵0 は、電界、磁場の振幅（最大値）である。k は波数といい、2π[m]中の波の数で、2π/λ で表される。ω は角周波数で 2πf（f は周波数）である。電界も磁場はベクトルで記載されるが、一つの電磁波において、ベクトル E と B は直交する。
この波の式を満たす方程式を波動方程式といい、次のように表すことができる。
電界の波動方程式 ∇2 𝑬𝑬 − 𝜇𝜇𝜇𝜇

磁場の波動方程式 ∇2 𝑩𝑩 − 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑑𝑑 2 𝑬𝑬=0𝑑𝑑𝑡𝑡 2𝑑𝑑 2 𝑩𝑩=0𝑑𝑑𝑡𝑡 2

これらの式の導出は、マクスウェル方程式から導くことができる。
2. 電磁波の速度（光速）
波の式を波動方程式に代入すると、
𝑐𝑐 = 𝑓𝑓𝜆𝜆 =1�𝜀𝜀𝜇𝜇（光速の導出の式）と求められ、こちらは波の速度 c であり、光速になる。
3.電磁波の特性インピーダンス
電磁波の伝搬を考えるときに、波の式を波動方程式に代入すると、電界の振幅と電場（磁束密度）の比が求められ、𝐸𝐸0 /𝐵𝐵0＝1/√𝜀𝜀𝜀𝜀となる。電磁波の特性インピーダンス
Z は、磁界と電界の振幅比を特性インピーダンスといい、
𝐸𝐸µ𝑍𝑍 = 𝐻𝐻0 ＝�𝜀𝜀0となる。この特性インピーダンスは波の反射を議論するときに活用する。
3. 波の伝搬のイメージ
電界の波が x 方向に振幅をもち、ｚ軸方向に進行するときに、磁場は B の直交するy 軸の方向に振幅を持つ。
電磁波の進行方向

x
電界の波

zy

磁場の波

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例題１ 頻出 マクスウェル方程式から出発して、電界の波動方程式を求めなさい。
空間において、空気あるいは真空を仮定し、電流が存在しないとする。
電磁誘導の式から出発する。
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬 = −

𝑑𝑑𝑩𝑩
𝑑𝑑𝑑𝑑

この両辺の𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟をとります。
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬 = −𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑩𝑩𝑑𝑑𝑑𝑑

左辺はベクトル演算の公式をつかって𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬 = 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑬𝑬 − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑬𝑬= 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑬𝑬 − ∇2 𝑬𝑬 となる。

𝑑𝑑𝑬𝑬

また右辺の𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑩𝑩は、アンペールの式𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑩𝑩 = 𝜇𝜇𝑱𝑱 + 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑑𝑑 より、𝑱𝑱＝0 となるため
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑩𝑩 = 𝜇𝜇𝜀𝜀𝑑𝑑𝑬𝑬になる。したがって、𝑑𝑑𝑑𝑑−∇2 𝑬𝑬 = −𝜇𝜇𝜇𝜇𝑑𝑑 2 𝑬𝑬𝑑𝑑𝑡𝑡 2

これで電界の波動方程式が求められる。
∇2 𝑬𝑬 − 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑑𝑑 2 𝑬𝑬=0𝑑𝑑𝑡𝑡 2

例題２ 頻出 マクスウェル方程式から出発して、磁場の波動方程式を求めなさい。
𝑑𝑑𝑬𝑬

アンペールの式𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑩𝑩 = 𝜇𝜇𝑱𝑱 + 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑑𝑑 から出発する。空間に電流はないという仮定から、𝑱𝑱＝0 である。

𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑩𝑩 = 𝜇𝜇𝜀𝜀𝑑𝑑𝑬𝑬𝑑𝑑𝑑𝑑となる。この両辺の𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟をとる。
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑩𝑩 = 𝜇𝜇𝜀𝜀

𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬 = −𝑑𝑑𝑩𝑩𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬𝑑𝑑𝑑𝑑より∇2 𝑩𝑩 − 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑑𝑑 2 𝑩𝑩=0𝑑𝑑𝑡𝑡 2

これが磁場の波動方程式である。

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例題 3 電界の波の式として𝐄𝐄 = ( Asin(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔), 0, 0)を仮定して、電界の波動方程式から光速 c を求めなさい。
電界の波動方程式は、
𝑑𝑑2 𝑬𝑬∇2 𝑬𝑬 − 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 = 0𝜕𝜕2𝜕𝜕2𝜕𝜕2∇2 = 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 + 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 + 𝜕𝜕𝑧𝑧 2 である。

𝜕𝜕 2
𝜕𝜕 2
𝜕𝜕 2𝑑𝑑2∇2 𝑬𝑬 = � 2 + 2 + 2 � �𝐸𝐸𝑥𝑥 , 𝐸𝐸𝑦𝑦 , 𝐸𝐸𝑧𝑧 � = 𝜇𝜇𝜇𝜇 2 �𝐸𝐸𝑥𝑥 , 𝐸𝐸𝑦𝑦 , 𝐸𝐸𝑧𝑧 �𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑡𝑡

𝐄𝐄 = ( Asin(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔), 0, 0)より、x 成分のみを取り出すと
𝜕𝜕2 𝐸𝐸𝑥𝑥

スカラー方程式

𝜕𝜕𝑧𝑧 2𝑑𝑑2 𝐸𝐸− 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑡𝑡 2𝑥𝑥 = 0 となる。

この式に𝐸𝐸𝑥𝑥 ＝𝐴𝐴sin(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔)を代入する。
𝜕𝜕2 𝐸𝐸𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑧𝑧 2= −𝐴𝐴𝑘𝑘 2 sin(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔)𝑑𝑑2 𝐸𝐸𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑡𝑡 2𝑥𝑥 = − 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜔𝜔2 Asin(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔)

これを波動方程式に代入すると、
𝑘𝑘 2 = 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜔𝜔2の関係がでてくる。
波数から、

2𝜋𝜋𝑘𝑘 = 𝜆𝜆

𝑓𝑓𝜆𝜆 =

1√𝜀𝜀𝜇𝜇角周波数𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋（光速の式）ともとめられる。𝑓𝑓𝜆𝜆は𝑐𝑐(光速)である。

例題 4 電界ベクトル𝑬𝑬 = (𝐸𝐸0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑧𝑧 − 𝜔𝜔𝜔𝜔), 0,0 )として、磁束密度の振幅を求めなさい。
𝑑𝑑𝑩𝑩𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬 = − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬 = �を使う。
𝒊𝒊𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝐸𝐸0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑧𝑧 − 𝜔𝜔𝜔𝜔)𝜕𝜕𝒋𝒋𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕

0𝒌𝒌𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕0𝜕𝜕𝜕𝜕

�=𝒋𝒋 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐸𝐸0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔) − ｋ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐸𝐸0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔)となる。ｋ 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐸𝐸0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔)はゼロであるため、
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𝜕𝜕

𝑑𝑑𝑩𝑩

𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬 = 𝒋𝒋 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐸𝐸0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔) = 𝒋𝒋𝑘𝑘𝐸𝐸0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔) = − 𝑑𝑑𝑑𝑑となる。

B＝𝒋𝒋𝑘𝑘𝐸𝐸0𝜔𝜔𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔) = 𝒋𝒋𝐸𝐸0 √𝜀𝜀𝜀𝜀 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔)となる。つまり、磁束密度の振幅はｙ方向で𝐸𝐸0 の√𝜀𝜀𝜀𝜀 倍の大きさとなる。

例題 5 物質中を伝搬する電磁波は、真空中に比べて伝搬速度は低下する。物質中の伝搬速度を v、真空中の伝搬速度をｃとしたときに、物質の屈折率 n (=ｃ/ v)は比誘電率のルートで表されることを示しなさい。
屈折率 n は、その物質中を伝搬する光の速度を v、真空中の光速をｃとしたきに、
𝑐𝑐𝑣𝑣

𝜀𝜀𝜀𝜀𝑛𝑛 = = √𝜀𝜀 𝜇𝜇� 0 0εは物資中の誘電率、μは物質中の透磁率ε0 は真空中の誘電率、μ0 は真空中の透磁率となる。仮に、磁性がない材料の場合は、透磁率はほぼ真空の透磁率に等しい。
このときに、
𝑐𝑐𝑣𝑣

𝑛𝑛 = =√𝜀𝜀= �𝜀𝜀𝑠𝑠�𝜀𝜀0となり、屈折率は比誘電率𝜀𝜀𝑠𝑠 の√になる。
例題 6 電磁波はその波長、すなわち周波数によって呼称が変わる。主な電磁波の名前と、波長範囲、さらにその応用例について述べなさい。
呼び名波長範囲
長波
1~10 km
中波
100~1000 m
短波
10~100 m
VHF
1~10 mUHF
0.1~1 mマイクロ波 1~10 cm
ミリ波 1~10 mm
赤外線 1~100 µm
可視光 0.38~0.83 µm
紫外線 0.1~0.38 µm
X線
0.001~10 nm
Γ線
10 nm～10 pm

応用
船舶無線
AM 放送
放送、無線
FM 放送 テレビ放送
FM 放送 テレビ放送 携帯電話
電子レンジ レーダー
電波天文学 レーダー
ヒーター
人間の視覚
日焼け、半導体製造、表面処理、殺菌
レントゲン、X 線回折
放射線治療、天文観測

例題 7 電磁波として、一つの光線が輸送する単位時間、単位面積当たりのエネルギ
1212ーP は、P = � 𝜀𝜀𝐸𝐸 2 + 𝐵𝐵2 /𝜇𝜇 � 𝑐𝑐で表されることを示しなさい。
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12単位体積当たりの電界のエネルギーは 𝜀𝜀𝐸𝐸 2 であり、磁束密度を B としたときに磁場の12単位体積当たりのエネルギーは 𝐵𝐵2 /𝜇𝜇であり、これが光速で輸送されるため、両者の光速倍が単位時間、単位面積当たりのエネルギーとなる。

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