論説

高次元類体論の現在
非アーベル化への展望と高次元 原理
斎 藤 秀

司

序章
この論説の目標は高次元類体論の進展について，スキーム論の初歩を仮定したうえで専門外の方にも理解できるよう配慮しつつ解説することである．高次元類体論は類体論を高次元の体に拡張する理論である．類体論はフェルマーとガウスの偉業を源とし  世紀前半に高木貞治と

 により完

成された整数論の礎で，大域体 有理数体の有限次拡大あるいは有限体上の一変数関数体 の最大アー
ベル拡大のガロア群を，その体に内在的な情報 例えばイデアル類群 のみを用いて統制する理論である．類体論の高次元化とはこの理論を，有限生成体 有理数体あるいは有限体上高い超越次数を持つ
関数体 の場合へ拡張する理論である．これはスキーム論を用いて数論幾何学的問題として定式化される．整数環上有限型かつ連結なスキームを数論的スキームと言う 有限体

 上有限型な連結ス

キームもこれに含まれることを注意しておく．これは有限生成体の幾何学化である．有限生成体のアーベル拡大を幾何学化する概念が数論的スキームのアーベル被覆である．射   が被覆とは  が連結で  が有限エタール射  であることを意味する．それがアーベルとは， が引き起こす

と問題の関数体の拡大がアーベル拡大であることである．
正則な つまり特異点をもたない 数論的スキーム

的基本群のアーベル化でのアーベル基本群   

上のアーベル被覆を分類するガロア群 を  の代数に内在的な幾何学的情報を用いて記述せよ．

 は， が有限体上の多様体の場合に代数群を用いて問題  にたいする一つの解答を与えた
  ． 年代に加藤と   は独立に，代数的  理論を用いた問題  の研究を行った     ．記念碑的論文  においては，問題  にたいする局所理論といえる結果が示されている． 年代初頭，

 ! は問題  にたいする革新的な業績をもたらした．これに触発され加藤"斎藤  は代数的  理論を用いて問題  に答えることに成功した．今世紀に入って加藤"斎藤の類体論を本質的に改良するいくつかの進展が為された．    を記述する群が，後者の結果では加藤"斎藤の場合より大きく簡明化されており，しかも最近著しい発展を遂げたモ
チフィックコホモロジーと関係づけられたのである #   ．この改良により高次元類体論
にたいするふたつの新しい展望が開かれることになる．ひとつは高次元類体論の非アーベル化で，もうひとつはモチフィックコホモロジーを用いた高次元類体論の一般化 高次化 である．前者はまだ予想の段階である．後者においては，最近大きな進展があった高次元ハッセ原理 古典的類体論で重要な役割を果たすブラウアー群のハッセ原理を高次元化する原理 が本質的な役割を果たす．この論説



論

説

では最近の発展について解説する．
第  節では，類体論の始祖であるフェルマーとガウスの業績から説き起こし高木" の主定理までを，代数学の基礎知識があれば理解できるよう解説する．
第  節では類体論の高次元化について解説する．この節はスキーム論の基礎知識があれば理解できるよう配慮した．スキーム論を用いた類体論の幾何学化を行い，そこから自然に高次元類体論の問題の定式化が為される．さらに加藤"斎藤の類体論を簡単に紹介する．
第 # 節では高次元不分岐類体論を解説する．高次元不分岐類体論は，$%

"&' () の不分

岐類体論の高次元化で，コンパクト つまり 上あるいは
上固有的 で正則な数論的スキーム のアーベル基本群    を  の  次元チャウ群 *$   を用いて記述する *$   は代数体の

イデアル類群や代数曲線の因子類群の高次元版である．
第 + 節では高次元不分岐類体論を一般化する高次元順分岐類体論を解説する．高次元順分岐類体論は
コンパクトとは限らない 正則な数論的スキーム の順分岐アーベル基本群      上の順分岐
アーベル被覆を分類する     の商 を記述する． 上の被覆 有限エタール射 が順分岐 

 

とは，

上の被覆を

のコンパクト化上の有限射に延長したとき ,境界での分岐が穏やか-であることを意味する．順分岐でない被覆を暴分岐    な被覆と言う．

第 . 節では， /"斎藤  により示された有限体上の多様体にたいする暴分岐を許す類体論を解説する 定理 ．有限体上の正則な多様体 のアーベル基本群     が， のコンパクト化の ,モデュラス付き  次元チャウ群-を用いて記述される．証明では加藤"松田 # 0 の高次元分岐理論が本質的に用いられる．第 1 節において分岐理論の復習を行った後に定理  の証明のアイデアを説明する．一言でいえば加藤"松田の分岐理論の代数的サイクルを用いた精密化が証明の鍵となる．
第  節では第 . 節で解説した有限体上の多様体
想を解説する．類体論の非アーベル化はらかな "進層の理解を問題とする．

4 対応によりの類体論の非アーベル化といえる 2 の予の代数的基本群   の "進表現，あるいは上の滑が  次元つまり曲線の場合には 3 ' により完成されたの関数体のアデール環の保型表現論を用いてこの問題への答えが与えられる．高次元類体論の非アーベル化といっても高次元の保型表現論を展開するわけではない．2予想は，上の滑らかな "進層を，上の曲線上の滑らかな "進層の系により理解する枠組みを与える．第 . 節で解説した有限体上の多様体の類体論は，2 予想の特別な場合 "進層の階数が  の場合 を肯定的に解決するものである．

第  節ではハッセ原理の高次元化を解説する．ここでいうハッセ原理とは大域体上の中心的単純環にたいする あるいは大域体のブラウアー群にたいする 局所大域原理 定理 1 で，古典的類体論において重要な役割を果たすものである．. 年に加藤  がこれを高次元化する予想を提出した．
数論的スキームと自然数 にたいし加藤ホモロジー   

 次数 ，係数

 が定義される．加藤ホモロジーは  の数論的性質を反映する重要な不変量である．ハッセ原理のコホモ 

ロジー論的言い換えが， , 5        は有限次代数体  の整数環 あるいは有限体上固有的で正則な曲線  にたいして  5 -，と述べられる．加藤予想はこの事実を高次元化するものである．この節で有限体上の多様体にたいする加藤予想 の標数と素な部分 を解決する

6" /"斎藤の定理 定理  を紹介する．


高次元類体論の現在

第  節では 6" /"斎藤の定理の応用として，高次元類体論をモチフィックコホモロジー理論を用いて一般化することを解説する．モチフィック コ ホモロジーとは，有限次代数体の整数環のイデアル類群や単数群，あるいは代数多様体のチャウ群などを一般化したもので，数論的スキームのゼータ関数とも密接に関連する重要な研究対象である この節でモチフィックコホモロジーの復習をする． !74 と   は，高次元順分岐類体論のモチフィックコホモロジーによる解釈を発見した． !74 "  の結果が高次のモチフィックホモロジーとエタールコホモロジーの間の同型へと拡張されることを解説する 定理 ．
第  節では，6" /"斎藤の定理のゼータ関数の特殊値の問題への応用を述べる．有限次代数体のデデキントのゼータ関数にたいする解析的類数公式の幾何学的類似 有限体上の多様体の合同ゼータ関数の特殊値のモチフィックコホモロジーによる表示公式 が述べられる 定理 ．証明の鍵となるのは，加藤ホモロジーがモチフィックコホモロジーとエタールコホモロジーの間のギャップを埋めるという事実である 補題 ．
第  節では，高次元ハッセ原理の幾何学的問題への応用を解説する．有限群
的で正則な多様体  と商多様体 の特異点解消   

が作用する準射影

で 被約化された 例外集合  5   が  上の単純正規交差因子であるものが与えられたとする． の既約成分の組み合わせ論的情報を記述する  "複体  の双対複体 のホモトピータイプを  の "同変幾何学的な情報で決定することが問題である．問題の背景には，近年盛んに研究されている 0 8 対応の背後にある同じ原理が働いていると考えられる．高次元ハッセ原理という数論的な問題がこのような幾何学的問
題に関係するのは興味深い．

   について考える．これらのガロア群について同型
9     
5  9      
5 
が成り立つ．上の同型から，ふたつの体   ，    の数論的な違いをみることはできない．

一方，   が円分体     は  の原始 乗根 であるという事実より同型
9     
5  + が成り立つ．    についてもこれを円分体    に埋め込むことにより同型

9      
5    古典的類体論有理数体

 の  次拡大体   ， を得る これらの同型は後で述べる同型  の帰結である．ここまで来るとふたつの体の数論的な違いがはっきりする．実際，これらの同型から次の事実が導かれる．
定理

& 7   を奇素数とすると次の同値が成り立つ．

 5  :  なる   5    なる  

が存在する
が存在する

  74 +
  74 

 を有限次代数体  の有限次拡大， をその整数環  の  での整閉包 とすると，イデアル




論

 は極大イデアルの積

説

5 ½



 が単項イデアル整域であることから次の同値が成り立つ．
 5  :  なる  が存在する 5   
ここで   は   の相違なる極大イデアルである． 5     に関しても    を使っに分解するという事実を思い出そう．ガウスの整数環

て同様の言い換えができる．以上の考察から次の問題が自然に生じる．
問題 

有限次代数体  とガロア拡大   が与えられたとき，そのガロア群 9   を極大

イデアルの分解法則 つまり

 の極大イデアル  にたいし， がどのように  の極大イデアルの積に分解するかを与える法則 がわかるように記述せよ．
例

を平方因子を含まない整数とし，有理数体

ア群 9  は  と同一視する．

 の  次拡大  5     を考える．ガロ   74 + のとき+   # 74 + のとき
とおいて，準同型     を5  74  5





は  を割る奇素数 

で定義する．ここで






5



整数  が存在して  その他の場合

 74  となる場合

はルジャンドル記号で，  は以下のとおりである．

  74 + なら   5 ．
 # 74 + なら  5
 が偶数なら定理   74 + の場合

     74  の場合

 その他の場合
  5
次の定理は

 その他の場合

     にたいする問題  の解答を与える  第 . 章定理 . .．

  5  なる素数  にたいし次の同値が成り立つ．

  5   5 

 は極大イデアル
 5     は  の相違なる極大イデアル

高次元類体論の現在

定理  はガウスの平方剰余の相互法則の帰結である．
例
数環はを自然数として円分体  5   を考える．ここで  は  の原始 5   である．円分多項式の既約性より同型   9     ; 乗根である．その整9     は    5   により定まる．次の定理は     にたが成り立つ．ここで いする問題  への解答を与える  第 . 章定理 . ．

 を   5  なる素数とし， を  の位数とする 同型  より  は   74
なる最小の自然数である このとき    の極大イデアルへの分解は次で与えられる．
定理    5 と   5         は互いに異なる   の極大イデアルで，その剰余体    は   に等しい．

ここで 

例  と例  の関係が次で説明される  第 . 章命題 . +．
命題





 を例  のとおりとすると，       で，次の図式は可換である．









9     
制限


¯

定理 # を

9    
»

Ó



¯

   の部分体にたいする同様な主張に一般化することにより，定理  を上の命題を用いて示し，それから平方剰余の相互法則を導くこともできる  第 . 章
一般の有限次代数体のアーベル拡大   の場合はどうであろうか？
たいする同型  
5 9     にある．

. <．

実はそのヒントが円分体にを素数全体の集合とし，= をを割る素数たちの集合とする．このとき次の完全系列が存在する．

   Æ 9       5     5  : ! "  ! 

!  5 の元を  に写す写像で，Æ  5 $        である．ただし $  は   の  進付値 つまり  で何回割りきれるか である．

ここで # は "成分が 

この完全系列は同型  を使って容易に示せるが， というわかりやすい有限アーベル群を

同型  をとおして わざわざふたつの無限群の間の準同型の余核として表していることに注目しよう．大切なポイントは，

9     という特徴的な元が を割らない素数  ごとに存在する点である．実はこのような元が一般の有限次代数体のアーベル拡大にたいしても存在する．

  を有限次代数体のアーベル拡大，  を  の極大イデアル全体の集合とする．




論

命題 



説

 は互いに異なる  の極大イデアルの積  5

 が   で不分岐 つまり  に分解する ならば次の性質を満たす  9   がただひとつ存在する．

    74    %   の位数である．  を  におけるフロベニウス写像と呼ぶ．
  を   の部分拡大とすると，自然な全射 9   9   による  

ここで & は有限体
注意の像は   に一致する．

以下，有限次代数体  と  の有限部分集合 = を固定する．  を有限次アーベル拡大で， 全ての  = が   で不分岐であるとする．命題  より自然な準同型#  

9   ; ' 





  

#が定義される．これにたいし，次の事実が知られている．

 #  は全射である チェボタレフの密度定理    = にたいし， を   の 9   における位数とし， 5      とおく．
このとき  の極大イデアルへの分解は
 5 
 で与えられる．ここで  は 互いに異なる  の極大イデアルで，剰余体の拡大次数について      5  が成り立つ．
以上より問題  は次に帰着される．
問題 #  の核を記述せよ．言い換えれば，フロベニウス写像   9   たちの間の関係式をすべて決定せよ．
これに完全な解答を与えたのが高木と による類体論である．

を  のアーベル拡大  で，= の外の全ての極大イデアルが不分岐なものたちの合成体とする．

 は一般には  の無限次拡大であるが，注意  により各  ¦  9   が定まり，# と同様にして準同型# ¦  



9







が定義される．この準同型の核を記述するために記号を導入する．
ゼロでないイデアル ( にたいし，( を割る  = にたいしフロベニウス写像
+ たちの集合を ( で表す． (  を  の

元  で以下の条件を満たすもの全体とする  の乗法群   の部分群である．

  は各  (  において単元かつ   74 ( をみたす  を  の  での局所化とすると
)    )  74 (  
.
 

さらに

高次元類体論の現在 (  5  (   



1

  は実数体 にたいして *  "  を満たす
 の元  たちのなす   の部分群である． の    は  5  ，( 5  にたいする  ( 
とおく．ただし 

は，全ての体の埋め込み *   +に一致する．このとき

, (  5 *>  ( 





Æ







とおく．ただし $ を  から定まる  の正規付値とするとÆ 5 $   (  , (  は有限である イデアル類群の有限性 ミンコウスキーの定理 から従う．
注意   のイデアルの列 (  ( にたいし自然な全射 , (  , (  が導かれる．

注意 

定理 

高木"

 準同型 + は位相同型7 , (   9 ¦  = を満たすゼロでないイデアル (  全体をわたる．

を誘導する．ここで極限は (上述の定理の重要な帰結として不分岐類体論が従う． の狭義イデアル類群を

,  5 *> 

Æ 





  は 1 において，Æ は  において定義されたものである  で の代わりに   としたものが  のイデアル類群 ,  である．
定理  $% "&' ()   を  の最大不分岐アーベル拡大 すべての  の極大イデア
ルが不分岐なアーベル拡大の合成体 とする．対応   は次の有限群の同型を誘導する．
で定義する．ただし ,  
5 9   注意 

同型  により 固定された( に対応する  の部分アーベル拡大   を 導手

1  節参照 を用いて特徴づけることができる．
 類体論の高次元化
この節で類体論の高次元化を解説する．まずスキーム論を用いた類体論の幾何学化から始めよう．

 を有限次代数体， をその整数環として， 5     を考える． は  次元のスキームで
 種類の点をもつ．ひとつは生成点 これはただひとつ で，この点の  での閉包は  自身である．
もうひとつは閉点  の点でそれ自身が閉集合であるもの である． の閉点は  の極大イデアルに対応し， の閉点全体の集合   は  の極大イデアル全体の集合  と同一視される．以下の説明において， を有限体上の正則な曲線の類似と考えると理解しやすい．
 の空でない開集合
 を固定しよう． の代数的基本群のアーベル化を    で表す．こ




論

れはアーベル被覆 説

全体を分類するガロア群である 序章の問題  の前の説明を参照．= 5とすると，前節で定義した  を用いて自然な同一視   5 9  

ができる．アーベル被覆の例として次の射を挙げておく．

   5    %   : %

5    

% が導くスキームの射である． % のイデアルとして  5  : % な は自然な環の準同型ので， は      において分岐する．
 : %   %  



基本群を用いてフロベニウス写像 命題  参照 を幾何的に構成できる．閉点 の剰余体 - は有限体である．その位数を & とする．埋め込み射 #   を固定する．

はアーベル基本群の準同型  を誘導する．   は有限体 - の絶対ガロア群 9- - と同一視される．これは & 乗写像という位相的生成元をもつ．この元の # による像      が， に対応する  の極大イデ
アルにおけるフロベニウス写像 命題  参照 と同一視  を通して一致する．



として数論的スキームをとる．上の議論とまったく同じ議にたいしてフロベニウス写像      が定まる ポイントは の閉点の剰

ここから話を高次元へ移そう．以下，論により閉点 余体が有限体である点である．

 をの閉点全体の集合とし，

   5
により定義する．

5  

上のゼロサイクルの群を´¼µ  なら   は代数体  の分数イデアル全体がなす群である．上で定義したフロベニウス写像を用いて準同型高次元類体論の現在#       ;

 ´¼µ´¼µ  が定義される． は次の定理  を示した   # ?!  参照．．
定理 が正規なら # の像は稠密である．

ここで次の問題が自然に生じる．
問題 にたいし # の核を

正則な数論的スキームに内在的な情報を用いて記述せよ．

この基本的問題にたいし加藤"斎藤  は以下の結果を示した．
選ぶ．ここで  はコンパクト つまりまたはのコンパクト化 . + を 上固有的 な整スキームで，. は開埋め込みである 加藤"斎藤は以下の構成を行った 詳細の説明は省く．

 イデアル層 (  にたいし ,モジュラス ( をもつ高次元イデール類群-が定義される：
   5      (  / 5 47 

ここでコホモロジー群は @A ! 位相と呼ばれる  上のグロタンディック位相にたいするもので，    (  は相対的ミルナー  群の層である．

    は  の関数体をいくつもの段階にヘンゼル局所化して得られる高次元局所体のミルナー

 群を用いてイデール表示される．
 '  (    のとき次の自然な全射が存在する．
     5

´¼µ   

 準同型 # は  をとおして次の高次元相互写像を誘導する．
B 



定理 

   = 5     ËÙÔÔ´  µ ¦7B は ほぼ 同型である．

加藤"斎藤の高次元類体論の欠点は，      の核を記述することが困難なことである．よって定理  を用いて # の核を記述することは困難であり，問題 + に完全な解答を与えたとは言い難い．以下の節ではこの点を改良する結果を紹介する。

 高次元不分岐類体論
この節では，加藤"斎藤の高次元類体論の帰結である高次元不分岐類体論を解説する．高次元不分岐

類体論は，コンパクト つまり 上あるいは
上固有的 で正則な数論的スキーム  のアーベル基
本群    を  の  次元チャウ群 *$   を用いて記述する． 5       は有限次代数

体 なら *$   は  のイデアル類群である．一般には *$   をイデアル類群の高次元化とみることもできる．体または上有限型スキーム  にたいし，*$   が  上のゼロサイクルの群を有理同値で割った群として*$   5 *>0  Æ   ´¼µ

#

論

説

により定義される．ここで 1  は  上の曲線  の閉部分スキームで整    かつ  次元なるもの を正規化  7/  したもの全体の集合である．

1  にたいし 0  はその関数体を表す  が数論的スキームなら 0   は有限次代数体あるいは有限体上の一変数関数体である．準同型Æ  0 
は合成写像 0    5´¼µÆ      である．ここで Æ は正則な  次元スキーム  にたいする因子写像  と同様に定義される で，2 は自然な射 2  

 が数論的スキーム つまり

上有限型 である場合には # を少々修正して*$   5 *>とおく．ここで 0  

 が誘導する準同型である．

   

0 



Æ

+

´¼µは有限次代数体ならば 1 で定義される 0   の部分群で，有限体上の一変数関数体ならば 0   である． 5       は有限次代数体 の場合，*$  
定義された  の狭義イデアル類群である．一般に全射準同型 *$  は  で*$   が存在し，その核は有限アーベル群ですべての元の位数が  以下である．

 が体 0 上固有的な多様体であるとき，   上の次数写像
   5;   ´¼µ

´¼µはチャウ群上の次数写像 4  *$  ´¼µ 0   0 

0  は  の剰余体

を誘導する． 4 5 *$  .

*$   とする．

次は定理 . の高次元化である    *?．

 をコンパクト  あるいは  上固有的 で正則な数論的スキームとする．
 の関数体の標数がゼロなら準同型  #        は次の有限群の同型を誘導する．
*$       定理  が有限体 0 上の多様体なら # は次の有限群の同型を誘導する．
*$        
ここで     は射   0  が誘導する準同型       0 の核である．

 高次元順分岐類体論
この節では高次元不分岐類体論を順分岐な場合に拡張する C4D /" !74 の結果  を紹介する 定理 ．そのために数論的スキーム上の被覆 有限エタール射 が順分岐であることを定義する必要がある．この定義にはいくつか異なるものが存在する   参照．粗く言えば，の被覆を上のコンパクト化上の有限射に延長したとき ,境界での分岐が穏やか- であることを意味する．もし良いコンパクト化+  が存在すれば 9  EFFF   の定義が自然である．一般にはそのようなコンパクト化の存在は保証されていないのでここでは上の曲線を使った定義を採用す高次元類体論の現在る．
をまたは完全体 0 上有限型で正則なスキームとし，   とする．. 

+

と .

 +

を被覆とする．最初に 47

 を正則なコンパクト化 とする． は有限射   

5を   での  の分岐指数が  の剰余体の標数で割れないことである．次に一般の場合を扱う．1  を 上の曲線を正規化したもの全体の集合とする． が順
分岐とは，各  1  にたいし誘導される射   
 が上の意味で順分岐であることであ誘導する． が順分岐とは，各点 

る．順分岐でない被覆を暴分岐      な被覆と言う． 上の順分岐アーベル被覆全体
を分類する     の商を   で表す．
次に   を記述する群を導入する．# における  次元チャウ群の定義を修正して

 5 *>   

0  Æ´¼µとおく．ここで 0   は以下で定義される 0   の部分群である．

 をその正則なコンパクト化とし0  5

! 

1

1  にたいし .   +  )  74 ! ) !

! は  の  における局所環，! はその極大イデアルである．
が 上有限型な場合には + と同様にして，1 において 0   を 0    0   1 参照
に置き換えて定義したものを  で表す． が体 0 上の場合は    上の次数写像 . 参照 が
4  を誘導する． 4 5  とする．また射   0 が誘導する準同型
とおく . 参照．ここで  定理    0 の核を    と表す．

  Cを正則な数論的スキームとする．
の関数体の標数がゼロなら準同型  は有限群の同型  が有限体上なら準同型  は有限群の同型        を誘導する．
 を誘導する．

 有限体上の多様体の暴分岐を許す類体論
この節では， /"斎藤 # による暴分岐を許す有限体上の高次元類体論の主定理を述べる 定理 ．結果は定理  の有限体上の場合を拡張するものである．

 を固定する．ここで  は0 上固有的で正規な多様体，. は開埋め込みで  上の有効カルティエ因子 3 にたいし   5 33 は 3 の台 となるものである．# で定義された *$   を一般化する ,3 をモヂュラスにもつ  の  次元チャウ群-を
一般にを体 0 上の正則な多様体とする．

*$  3 5 *>により定義する．ここで
である．

 は



のコンパクト化 .    

0 " Æ´¼µ

の閉点全体の集合，0  " は以下で定義される 0   の部分群

1  にたいし  +  を 0 上の正則なコンパクト化とすると自然な射 はコンパクト化上の射 2   に延長される．( 3  を 3 のイデアル層 ("  の 2 に



論

説

よる引き戻しとする．このとき0 " 5とおく  参照．47
照 が 4  *$  3!   )  74 ( 3 ) !
!

 5  の場合の  は  の類似である．   上の次数写像 . 参を誘導する． 4 5 *$  3*$  3 とする．また射  0  が誘導する準同型       0 の核を    とおく．
定理  0 は有限体で !0  5  とする．*$  3 は有限群で  の準同型 # は位相同型 B  7 *$  3     
を誘導する．ここで極限は 

1  節で，  5 3 となる  上の有効カルティエ因子 3 全体をわたる．

5 3 となる  上の有効カルティエ因子 3 にたいし分岐が 3 で制限されたアー
ベル基本群   3 を     の商群として定義する．これを用いて定理  が精密化される．

# は準同型 B"  *$  3   3 を誘導する． !0 5  ならば，これは有限群の同型 *$  3     3 を導く．
定理

注意 
実は

定理  の証明では加藤"松田 # 0 による高次元分岐理論が本質的に用いられる．

の関数体の標数が  の場合には定理と同様な主張が   の結果から 高次元分岐理論を用いることなく 従う  ．この場合には，体内でののアーベル拡大における暴分岐が有限次代数体 の関数

 の代数閉包 のアーベル拡大で相殺されるという事実より高次元の暴分岐を扱う必要がないのである．奇妙に聞こえるかもしれないが，高次元類体論においては有限体上の関数体の方が有限次代数体上の関数体よりも難しいといえる．

    導手と定理
の証明のアイデア   導手

4 を完備離散付値環， をその商体，0 をその剰余体とし， 5
分岐理論は を  の絶対ガロア群とする．

の構造を解析する理論である．古典的分岐理論  は 0 が完全体の場合を扱う．この論説では 0 が完全体でない場合を扱う理論を高次元分岐理論と呼ぶ．これは正標数の体上の多様体の有限被覆の分岐を扱うために必要となる理論である．以下 0 は完全体であると仮定する．

#

 にたいしそのの表現

 導手と呼ばれる # の分岐の深さを測る量 56# 非負整数 が定義される

 *! GF．# が次数  の指標で 56# "  の場合には

56# 5  : 7H7  # #  5 
ここで
次に

#

7

  はの高次分岐群である．

 導手を大域化する． を完全体 0 上射影的で正則な曲線とする． を  の関数体としてその分離閉包  を固定し，8 5     とする．

 を空でない開集合とし，   5   8を代数的基本群とする．各閉点   にたいし  を  の  での完備化とし，その分離閉包  と体の埋め込み  +  を固定すると準同型

高次元類体論の現在

9  9  が誘導される．このとき    の表現 # の 導手が  上の有効カルティエ因子として
56# 5
56# 

 

により定義され， や  +9   の表現である．

 の取り方に依存しない．ここで # は，9 により # から誘導される

 分岐が制限された基本群
を完全体 0 上の正則な多様体とする．

のコンパクト化 .  を固定する．ここで  は 0
上固有的で正規な多様体，. は開埋め込みで  上の有効カルティエ因子 3 にたいし   5 3 となるものである．,分岐が 3 で制限されたアーベル基本群-    3 を     の商として定義する．
  を連続  準同型      全体のなす群とする． 1  にたいし  +  を
0 上の正則なコンパクト化とすると自然な射 2  はコンパクト化上の射 2  
 に延長

される．
  にたいし   を，         による  の引き戻しとする．条件

56   2 3 左辺の定義については  を参照が全ての 

1  にたいし成り立つとき 56  3 と表す．ここで 2 3 はカルティエ因子 3の 2 による引き戻しである．このとき 5 

I"とし，   3 5 $7I" 定理


  

 

 56  3

 と定義する     5 $7  

 に注意．

の証明のアイデアC4C の結果と 4 6 の    46 を用いて  が 0 上射影的滑らかで，3 の 

台  5 3 が  上の単純正規交差因子の場合に帰着させる．

  3 5  つまり 3 が被約 の場合を，定理  の証明の議論を用いて示す つまりこの場合は順
分岐類体論を扱っているのである．
  次の    3 にたいする < ! / 型定理により 47  5  の場合に帰着させる．
定理

 + 47  "  なら  の十分豊富な超曲面切断   3    
5    3 にたいし次が成り立つ．

  3 の成分の重複度に関する帰納法を用いて，3 5  の場合から 3 が一般の場合を導く． と   により  は射影的で正則な曲面で  5 3 は  上の単純正規交差因子としてよい．ここで 3 5 3   つまり 3 の各成分の重複度を  減らしたカルティエ因子 とおく．証明の鍵は次の完全系列の可換図式の構成である ．以下，アーベル群 : にたいし :

5 $7:  と表す．

論»*$  3 »

説$*$  3Ç  J»Ç  3 : K 




Ç





»




I"

 
»

I"

%

 

»

  J  3 B" は定理  の B" の双対準同型で，J は  上の微分形式の層である．準同型 56 は高次元分岐理論 # 0 により構成された ,精密化された 導手-で，下の系列は完全である．

# において ,サイクル理論的な 56 の持ち上げ-と見られる準同型 ; が構成され上の系列の完全性が示された K は補助的に取られた  上の有効カルティエ因子で 3 に依存せず  の成分を含まない．; の構成は非常に技術的でここでは説明をしない．

 有限体上の多様体の類体論の非アーベル化：予想と展望
この節では有限体上の多様体の類体論の非アーベル化ともいえる 2 予想を解説する．

を有限体 0 5  上の正則な多様体とする． を    とする．代数的基本群    5  整数  "  と素数  5の関数体とし，その分離閉包  を固定し 8 5

8 を理解することが基本的問題である．このために!0  を固定し以下の集合を考える．

   5 #     9    連続表現 &&

5  階数  の 上滑らかな "進層 
&&
ここで  は "進体  の代数閉包で，  は L'  7"7 I  M を意味する． 上滑らかな
&&"進層 7 !  "!< などの定義や等号の説明は省くが，位相空間の基本群の表現と局所系の対応の数論的類似として理解できる．

が  次元 つまり曲線 の場合，   は 3 '< が完成した 4 対応により，9      は  のアデール環 の保型表現により理解される．そこで次の問題を考える．
問題    を理解する問題を  次元の場合に帰着する方法はあるか？

このために骸骨層 >  !< を導入する．
定義上の曲線の正規化上の滑らかな "進層たちの系      

任意の異なる    であって，

 1  と点     にたいし  は有限体のスペクトラムである½   ¾

 は， のフロベニウスの両辺における作用の固有多項式たちが等しいことを意味する． 上の骸骨層全体の集合を  0   で表す．

を満たすものを上の "進層を上の骸骨層と呼ぶ．ここで上の曲線の正規化に制限することで写像*    が生ずる．

 0  の閉点におけるフロベニウス写像たちが   の稠密な部分群を生成するという事実

定理 1 参照 より * は単射であることがわかる．よって問題 . は次の問題に言い換えられる．


高次元類体論の現在* の像を記述せよ つまり問題 上の骸骨層がいつ上の "進層に貼り合うかを決定せよ．

. 節と同じように， のコンパクト化 .  を固定する  は 0 上固有的正規な多様体，. は開埋め込みで  上の有効カルティエ因子 3 にたいし   5 3 となるもの．
上の骸骨層  5      にたいし，#    
9   を     に対応する "進表現とする． +  を 0 上の正則なコンパクト化とし，2   を誘導される射とする 
参照．すべての  1  にたいし  上のカルティエ因子の不等式
56#   2 3 左辺の定義については  を参照 0  3 で表す．
2 3 が  上の有効カルティエ因子で 3 5   なるもの全体をわたるとき
F7*  5  0  3  0  が成り立つような骸骨層全体の集合を予想"

' " /    #  により左辺が右辺に含まれることが示されている．また数論幾何と位相幾何の興味深い類似性が観察されている．次の図は有限体上の多様体と "  が１点のみである
ような  "複体の比較である．
多様体

 "複体

ここで  "複体



5



にたいし





滑らかな "進層    

<

局所系
は

の基本群は

1  曲線"> "  <

の %">  を表す．     が " !  < の類似物であ という事実によるることは，      5  と  <  5複体 閉点

 ．これから 2 予想が，, " の基本群と同型である-というよく知られた事実の数論的類似とみられる．

有限体上の曲線の類体論により  5  のとき <0  3 は *$  3 参照 と自然に同一視される．よって定理  は次の定理に同値である．つまり 2 予想は有限体上の高次元類体論の非アーベル化と考えることができるのである．
定理

  /"  !   5  かつ  5  の場合に 2 予想は正しい．

2 <42  は，3 が被約な場合に

 0  3 が * の像に入ることを示した ．予想の別の根 0  3 の有限性定理を紹介する   参照．
   5 $7' 9      の  0  3 への作用を     0  3  0  3 ;           で定義する． 0  3 を  0  3 の既約な元からなる部分集合とする．
定理  2  0  3     は有限集合である．
拠として定理  における *$  3 の有限性は，定理 + の  5  の場合の別証明を与えている．

2 予想の解決には図式  の非アーベル化が鍵になると考えられる．図式の下の系列の非アー
ベル化は%%"斎藤毅   ? が構成している と解釈できる．*$  3 をに置き換えて上の系列を非アーベル化することが期待されるが未解決である．

 0  3



論

説

 高次元ハッセ原理
近年様々なハッセ原理 局所大域原理 が研究されているが最も基本的なのは次の定理であろう．
定理 $"0>(> 有理数係数の 変数  次形式

  ::    5  

 において非自明な解をもつための必要十分条件は，それが実数体  およびすべての素数  にたいする  進体  において非自明な解をもつことである．

が5 # の場合が最も本質的だがこれを一般化したのが大域体 有限次代数体あるいは有限体上の一変数関数体 上の中心的単純環  にたいするハッセ原理である．
この定理は

定理

  ' "$"@ !   を大域体，合，( を  の $ を  の素点  の付値の同値類 全体の集

 による完備化とする． 上の中心的単純環 5 にたいし次の同値が成り立つ．

5
5 :  

ここで :  は  上の

5  ( 
5 : (  $







次正方行列環，5 は  上または ( 上の多元環としての同型を表す．

定理 1 は古典的類体論において重要な役割を果たす．加藤和也  は定理 1 を高次元化する予想

を提出した．これを説明するためにまず定理 1 をコホモロジー論的に再解釈する． 5     

 は有限次代数体，あるいは  は有限体  上の射影的で正則な曲線で  をその関数体とする．話 5 ，つまり体の埋め込み  +  は存在しないとする この仮定の下でを簡単にするために  は  において を  の有限素点全体の集合に置き換えても構わないことに注意する．このとき定理 1 は本質的には制限写像= ´¼µ= の単射性を主張する  ．ここで = は体  のブラウアー群  上の中心的単純環の同値類の集合にテンソル積により群構造を与えたもの，  は  の閉点全体の集合  の有限素点全体の集合と同一視される， は  の 

  での完備化である．一方，整数 "  と体  にたいし自然な

同型
 

が成り立つ．ここで右辺は = の 5 = 

ねじれ部分群  倍して消える元全体，左辺は  のガロアコ

ホモロジー  の絶対ガロア群の群コホモロジー でその係数加群合には  の分離閉包内の  のらに   にたいし境界同型? 乗根全体の群 >  は，  !  5  の場を表す そうでない場合の説明は省略する．さ 5が存在する．ここで右辺は  の剰余体 - の 自明なガロア作用をもつ
コホモロジーである．したがって定理 1 の主張は次の準同型

を係数とするガロア

高次元類体論の現在
 





)

の単射性に同値である ．ここで ? は ? ´¼µ#   から誘導される準同型である．

加藤和也  は # を高次元化する複体を定義した．数論的スキーム  にたいし次のアーベル群の複体   加藤複体と呼ばれる が定義される．
´µ





)



 

´½µ)´½µ


 



   47 5   である． 

ここで   5ル積 である．

)´¼µ は  の剰余体 - のガロアコ

 は， !   5  の場合には > > の自分自身との  回テンソ

ホモロジーでその係数  )´µ の項が次数  に置かれている．

47  5  の場合，つまり  5   

で正則な曲線の場合には  
次数  でのホモロジー群

    は有限次代数体 あるいは  が有限体上射影的 は # に一致する．よって定理 1 は  

の の消滅に言い換えられる．

数論的スキーム  にたいし，加藤ホモロジーを  

5

    

+で定義する．加藤ホモロジーは  の数論的性質を反映する重要な不変量である．定理 1 の高次元化が加藤ホモロジーを用いて次のように定式化される．
予想 加藤   を有限体上固有的で正則な多様体，あるいは有限次代数体の整数環上固有的 5  または   5  を仮定する ．このとき平坦で正則なスキームとする．   
ちなみに加藤複体  

 に現れる 5    "  は    なら無限群で，次数  の

項は無限群の無限直和となる．このように大きな群を各項に持つ複体のホモロジーが消滅することは
定理    が  上の固有的で正則な多様体とする． !  

注目に値する． が有限体  上の場合には次の結果が示されている．

  

 5  なら

 5    " 

が !   と互いに素を仮定しない場合，あるいは  が整数環上の場合にも予想  についていくつかの部分的な結果が知られている．これを簡単に紹介する # と  にさらに詳しい解説がある．

47  5  の場合の予想  は定理 1 である．加藤  は高次元類体論を用いて 47  5  の場
合に予想  を完全に解決した．さらに加藤ホモロジーの次数 # 以下での消滅が * "?!NO*?

諏訪 (，6"斎藤 6 により示された．6 6  と 6"斎藤 6 は，C 予想

2 の定理  2  を用いることにより， が有限体上の場合の予想  にたいする一般的なアプ




論

説

ローチを提出し，特異点の解消を仮定しそれを示した．定理  は，6 の証明法を改良し特異点の解
消を 9%% "4 6 の    FP 参照 に置き換えることにより証明される．斎藤"佐藤 は局所体の整数環上の有限型スキームにたいする予想  の変種を考察し，局所体上の多様体の  次元
チャウ群への応用を与えた．9 9 は有限体上の多様体にたいし整数係数の加藤ホモロジーを定義し，予想  の類似を研究している．

 高次元類体論の高次化
定理  の応用として高次元類体論をモチフィックコホモロジー理論を用いて一般化 高次化 することを解説する． !74 "    と  !74   は，+ 節で解説した高次元順分岐類体論のモ
チフィックコホモロジーによる解釈を与えた．ここでは有限体上の場合に絞って解説する．

を有限体  上の正則な多様体とする．このとき自然な同型 5 * 



.

が成り立つ．ここで左辺は 1 で，右辺はの自然数 %

の次数  の   ホモロジーである．一般にすべて にたいし，次数 % の ' ホモロジー * 
 が定義される G 参照．'

ホモロジーや以下に登場する  ! の高次チャウ群  は，近年活発な研究がおこなわれているモ
チフィック コ ホモロジーの一種であり，代数的サイクルを用いて定義される 後で定義の簡単な復

習をする．9# に優れた解説がある．定理  と . より， !   と互いに素な任意の自然数
たいしにの有限係数  次 ' ホモロジーとアーベル基本群との間の自然な同型 5    

*


1

が成り立つ．次の定理はこれを高い次数に一般化するものである  ?!  # 9 ?!   を参照．
定理

を有限体 0 上の正則な多様体とし， を !0  と素な自然数とする．すべての自然数 %にたいし次の自然な同型が存在する*   

5

ここで右辺はエタールコホモロジー
自然な同型

 






 5     5 $7











 の双対群である．
をとおして，定理  の % 5  の場合は 1 に同値である．定理  は，代数的サイクルを用いて定義される幾何的対象である ' ホモロジーをエタール
コホモロジーというガロア群の指標群の一般化に結びつけるものである．定理の証明の鍵となるのは，
加藤ホモロジーがモチフィックコホモロジーとエタールコホモロジーの間のギャップを埋めるという事実である 以下の補題  参照．
注意 
5  5 !0  にたいしては同型  は成り立たない．たとえば % 5  の場合に右辺は    であるが，左辺は定理  におけるモヂュラス付きの  次元チャウ群よりはるかに小さい群である．また ' ホモロジーはホモトピー不変性 * が，  
  はこの性質を持たない ．定理  を




 
  を満たす
5 *    +
5  の場合に拡張することは興味深い問

高次元類体論の現在題であるが，このためにはモチフィックコホモロジーの理論自体をホモトピー不変性をもたない新理論へと拡張する必要があるだろう . 参照．
ここで  ! の高次チャウ群と ' ホモロジーの定義，およびそれらと GA4>8G が定義したモチフィック コ ホモロジーとの比較を復習する．まず位相空間  の特異ホモロジー群
 

 5

 @ は特異チェイン複体と呼ばれるアーベル群の複体@ & ) @ &   )) @ を復習しておこう．ここで @

で，その次数 & の項は@ & 5Q Q はすべての連続写像 R'

 をわたるで与えられる．ここでR' 5    


  



 5    
は位相的特異単体で，境界写像 ? は R' の面への制限写像の交代和である．

 ! の高次チャウ群と ' ホモロジーの定義は位相空間の特異ホモロジーの代数的類似を辿
る．ここでは  は体 0 上分離的有限型なスキームとする．位相的特異単体 R' の代数的類似は
R 5  で，R 5

6 5
½

5 6






06

6  



6  

 R がその面である．@ & の類似は  種類あって，  R5

上の代数的サイクルの空間たちA   & 5     & 5

Q




 

K

である．ここで  は固定された自然数で Q は  R 上の余次元  の閉部分整スキームですべての面 R R と正しく交わるもの全体をわたり，K は  R の閉部分整スキームで K
R が有限

かつ全射であるもの全体をわたる．気持ちとしては，Q や K としてスキームの射   R

 を考えたいところだが，これでは正しいコホモロジー群を生み出すことはできない．
これらから，位相空間の特異チェイン複体の類似であるサイクル複体A    A   & ) A   &   )) A       & )   &   ))  が生じる． ! の高次チャウ群と ' ホモロジーは，サイクル複体たちのホモロジー群*$  &  5
 A 



*
 

 5

  





論

説

として定義される．また有限係数バージョンが以下のように定義される．

*$  & ; 5 A 

 

*
 

 5

  

GA4>8G はモチーフの三角圏を用いてモチフィックコホモロジー
フィックホモロジー


 


 

 


 

 の定義を与えた． が 0 上滑らかなら比較同型 *    5 およびモチ % 5 *$  

が成り立つ．定理  は，以下の補題とモチフィックコホモロジー理論のいくつかの深い事実を用いて定理  から導かれる．
補題

有限体上有限型で正則な / 次元スキーム  にたいし次の長完全系列が存在する．

   




 

/

 

/

 









/ 5 *$  / %; は有限係数モチフィックコホモロジーである．
補題の証明には，近年 S と GA4>8 により証明された  !"加藤予想 G 6 とその帰

ここで


 

結である " ! %'7 予想 G 9 が用いられる．補題のエタールコホモロジーは有限群であることが知られている．よって加藤予想からモチフィックコホモロジーの有限性が従うことになる．これは有限次代数体のイデアル類群の有限性 0>(> の定理 や単数群の有限生成性

2  ! の定理 の高次元化とみれる．
 ゼータ関数の特殊値への応用
定理  のゼータ関数の特殊値の問題への応用を紹介する 定理 ．もともとモチフィックコホモ
ロジーがゼータ関数の特殊値の問題にその研究の動機を発していたことを考えるとこのような応用は自然である．モチフィックコホモロジーを用いたゼータ関数の特殊値の表示については多くの研究が為されている．これについては 9 による優れた解説 9# を参照されたい．
解析的類数公式7  @ @ ¼ 5

 ,4から話を始める．ここで  @ は有限次代数体  のデデキントのゼータ関数で，# は の単数群  のアーベル群としての階数である．  は  のねじれ部分群 つまり  に含まれる 
のべき乗根全体のなす群 である．また ,  は  のイデアル類群で，4 はディリクレの単数基

準 レギュレーター である．解析的類数公式をモチフィックコホモロジーを用いることにより ,数論的な指数定理-と見ることができる．一般に指数定理とは次の形をしている．
指数 解析的不変量

5 特性類 たとえば オイラー標数 5     とすれば  の右辺に現れる代数的不変量がモチフィックコホモロジーを用いて
,  5


 




 5   

高次元類体論の現在と解釈できる ．よって解析的類数公式  はモチフィックコホモロジーを用いて7   @ @ ¼ 5

     4と書き換えることができる．4 についてもモチフィックコホモロジーから 2 コホモロジーへの ,普遍的なレギュレーター写像-として解釈できる 例えば  @  参照．以下の定理  は解析的類数
公式の幾何的類似と見ることができる．

以下， を有限体  上の射影的で正則な多様体とする． の合同ゼータ関数

  @ 5 Hを考える．整数 







   &




@

にたいしその特殊値が以下で定義される 合同ゼータ関数の有理性より   

は有理数である．
     5 7   @   & 定理

# 5  4   @/ 5 47   5 !  とおく．全ての整数 % にたいし，モチフィックコホ  /
/ のねじれ部分群  は  べき部分を除外すれば有限で，次の 

モロジー


 

等式が  べき部分を無視して成り立つ   5 
さらに，/





 





/

+ なら上の事実は  べき部分を含めて成立する．

 
定理  に 2  ! のレギュレーター 4 の類似が登場しないのは， / が % 5 / を除いて  有限群であるという予想  ! 予想 に由来する．宮崎 0 は定理  を  が有限体上の 固有的でも滑らかでもない 有限型スキームの場合に拡張した．
高次元ハッセ原理の特異点論への応用
高次元ハッセ原理の 意外な 応用として幾何学的問題への応用を解説する．幾何学的問題とは，商特異点の解消に現れる例外因子の双対複体のホモトピータイプに関するものである．

 を完全体 0 上の準射影的で正則な多様体とし，有限群 の  への作用が与えられているとする．
商多様体 
の特異点のなす閉部分集合を  で表す．0 上の正則な多様体  と固有的かつ双有理的な射   
 であって  の外では同型で 被約化された 例外集合  5    が  上の
単純正規交差因子であるものが存在すると仮定する 広中の定理により !0  5  ならこのような特異点解消は常に存在する． の双対複体 Q  とは  "複体 であってその "単体が  5
¼ ,½ ,, の連結成分に対応するものである．ここで 
典型例として  商特異点





¼ 

 



    は  の既約成分全体である．
を考える．ここで は    の部分群で   5   上に線




論





型に作用する．  の原点の像 が存在し，その例外因子  5 

説



は 

の唯一の特異点である．最小特異点解消    の既約成分は全て有理曲線で，それらがなす形状は 28>

図形で表される．例として % 8 4!4  群

5 *

  5  *  5  ** 5  を考えると， の既約成分は形状は





 



 
 
  

 





:  本の有理曲線からなる．その双対複体 Q  はのごとくで 

のごとくで 



 






















:  個の頂点と  :  本の辺からなる．

0 8 は一般のた．0 8 グラフは   にたいし Q  と所謂 0 8 グラフの間の神秘的な対応を発見しの既約表現についての情報で決まるものである．この事実を高次元へ拡張する試みが，0 8 対応とよばれる豊かな研究分野を開拓している．詳しくは S4 による秀逸な解説

S を参照されたい．ここで彼が提出したスローガンを引用する．
 ! 原理"  ， ，  をこの節の最初のとおりとする．このとき  についての L意味のあるM 幾何学的問題は， についての"同変幾何学の言葉で答えられる．

高次元ハッセ原理の応用として，Q  のホモトピータイプ にたいする 0 8 原理ともいえる

結果 定理  を紹介する． ，固有的な被約閉部分スキーム <をこの節の最初のとおりとし，  



で



を射影とする．0 上の特異点を全て含むものを固定し B 5 

<  と

おく．さらに以下のデータが与えられているとする．

 0 上の正則な多様体  と固有的かつ双有理的な射   で，< の外では同型で * 5 <  が  上の単純正規交差因子であるもの．
 の作用が与えられた 0 上の正則な多様体  と固有的かつ双有理的な "同変的射   で，B の外では同型で - 5  B  が  上の "完全な 単純正規交差因子なるもの．






高次元類体論の現在 <  5 B
»




Ó

- 5  B 
Ó

.

<
¯

射

»



/
¯



Ó

* 5  < Ó や射 -* の存在は仮定しないことを強調しておく．仮定より有限群 が  "複体 Q-  に作用し，商  "複体 Q- が生じる．
定理   !0  5  または 0 は完全体で 0 の意味での強い特異点解消が 0 上で成り立つと仮定する．このとき  "複体のホモトピー圏において自然な射T  Q- が存在して，Q*  と Q- Q* 

のホモロジー群と基本群の同型を誘導する：

 Q-     Q* 



 

 Q-  Q* 

位相幾何の基本的定理 C! !4 と $' ( / により定理  は次の系を導く．
系

仮定は定理  のとおりとする．

 Q-  Q- が単連結なら T はホモトピー同値である．
が可縮なら Q*  も可縮である．

定理  の証明のために，有限体上のスキームにたいし定義された加藤ホモロジー + を素体上有限生成な体 0 上のスキーム  の加藤ホモロジー     に拡張し定理  の類似を示す．これを用いることにより，定理  の状況のもとで，商多様体 の加藤ホモロジー   

 が双対複体 Q*  の情報を含むことが示される．これにより定理  が加藤ホモロジーにたのホモロジー群

いする 0 8 原理に言い換えられてこれを示すのである．

注

る．

釈

# 右辺は   位相，左辺は副有限位相が与えられ

 有限エータル はスキームの射にたいする基本的概ている．
 これを明確に述べた文献はいまのところ存在しない．
   においては， 上の線形表現を扱っているが進表現にも拡張される．
 ½   は   位相，  は離散位相が与えられている．
 た だ し こ の 図 式 か ら 直 ち に $ の 同 型 性 が$¼ の同型性に帰着されるわけではない．
 前者は代数的基本群，後者は位相的基本群．
 分岐理論の立場からみれば  % 予想の順分岐部分である．
 体 上の多元環 が単純とは両側イデアルが自明なものしかないことである． が 上中心的とはの中心が に等しいことである．
! 制限写像の像が直和に入ることは自明でない．
" 体のブラウアー群がねじれ群であることを使っている．
#  での閉包が次元  である点の集合．
 にた念である．位相空間の被覆の概念の代数化と思えばよい．
 がアーベルであることを幾何学的に表現すれば， の  上の自己同型群の位数が の  上の次数に等しくさらにそれがアーベル群であることである．
  次体      に付随する
 指標と呼ばれる．
 右辺には   位相，左辺には副有限群位相が与えられている．
 チェボタレフの密度定理の高次元化とみれる．
 本質的なアイデアは   による．     が完全な証明を与えた．
  は  または  上固有的で正則なスキームで  が  上の単純正規交差因子であるもの．
!  と は有限次代数体の整数環のスペクトラムあるいは  上射影的で正則な曲線で  と  は開埋め込みである．そのようなコンパクト化は必ず存在する．
" 与えられた  にたいしそのような  は常に存在す











論



説

いし，
´µ であることと，  が有限体上の超越次数  の関数体あるいは有理数体上の超越次数 の関数体であることは同値である．
  この仮定は加藤ホモロジーの定義を若干修正する
ことにより除くことができる． が有限体上なら  に無関係に仮定は満たされる．
 ホモトピー不変性はモチフィックコホモロジーがもつ基本的な性質である．
&  環上有限型なスキームにたいしても定義されるが少々複雑になる．
 射  のグラフを考えれば  ' 上の代数的サイ
クルと見られるが，射のグラフだけでは十分でない．
 ()*)&+ のモチフィックコホモロジーは体上有限型なスキームにたいし定義されている．ここでのモ
チフィックコホモロジーは ,) の高次チャウ群により定義したものである．
    の場合， ¾    -.¼   で，定理 ! よりこれは  と有限群の直和である．
  ./0   ) 1  の意味で '複体である．
! これは特異点解消  の取り方によらないことが知られている 0 2,0 3/+0 4 ．
"  の既約成分  と   にたいし      または      が成り立つことである．

 ""0  9"1
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