学術俯瞰講義 ～数学を創る～ 第3回

数の体系を創る
ことばを創り、世界を創る
２００９．１０．２２

数の体系
• 自然数
• 整数
• 有理数
• 実数

0, 1, 2, 3, 4, ….
0, ±1, ±2, ±3, ±4, ….
, － , 0, ….
, e = 2.7182818・・・,
π = 3.141592653・・・ , ….
• 複素数,,cos +
sin , ….

小学校では• 位取り・・・ 小1～小4・・・ 小３• ０ （をかけると0）• 分数 (整数から有理数へ）・・・ 小４• 小数 （有理数から実数へ)・・・ 小４• 数直線 （実数）・・・ 小４

中学校～• 負の数（自然数から整数へ)・・・ 中1• 平方根（有理数から実数へ）・・・ 中3• 素数（整数）
・・・ 中3•は有理数でない・・・ 高１• 数学的帰納法（自然数）・・・ 高２• 虚数 （実数から複素数へ）・・・ 高2• 実数の定義・・・ 大1？

歴史的には• 分数・・・ 古代メソポタミア

は無理数 ・・・ 古代ギリシャ
ピタゴラス学派 （紀元前6世紀）• 比の理論 ・・・ 古代ギリシャの実数論
エウドクソス （紀元前４世紀）• 位取り，０・・・ インド（6世紀ころ）• 負の数・・・ インド（7世紀ころ）•

ピタゴラス（紀元前580?－497?)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kapitolinischer_Pythagoras_adjusted.jpg

歴史的には• 小数・・・
16世紀末• 虚数・・・ カルダノ（1545）• 代数学の基本定理 ・・・ ガウス（1799）

数学的には• 自然数から整数へ ・・・
ひき算• 整数から有理数へ ・・・わり算• 有理数から実数へ ・・・ 長さ、面積微積分• 実数から複素数へ ・・・ 方程式の解実数から複素数へ• 3次方程式の解の公式（カルダノの公式）

解が実数でも、途中で虚数が必要カルダノ （1501.9.24 - 1576.9.21)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Cardano.jpg

カルダノの公式 (1535,1545)• ３次方程式

X3 = 3pX ＋ q
補助となる「2」次方程式
Y3 + Z3 = q, Y Z = p
X = Y + Z, ωY + ω2Z,23
ω Y + ωZ. （ω = １）

カルダノの公式 (1535,1545)• X3 = １５X ＋ ４ = 3pX ＋ q
33Y + Z = q = 4, Y Z = p = 5Y3, Z3 = 2 ± 11 i
X = Y + Z,
= (2 + i) + (2 － i) = ４

実数から複素数へ• 代数学の基本定理（ダランベール・ガウスの定理）
方程式には必ず複素数の解がある数の世界をこれ以上拡げる必要はなくなった （歴史の終わり？）

ガウス (1777.4.30 - 1855.2.23)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Carl_Friedrich_Gauss.jpg

複素平面 （ガウス平面）• 複素数 ＝ 平面上の点i＋i複素数 ＝ 平面上の点• 複素数の積 ： 回転して拡大－1＋i＋ii1

複素数 と 行列＋i 倍 ： 1 を＋ii を －1＋倍：にi にをにをに

複素数から四元数へ• 複素数： a + b i (a, b は実数)
• 四元数： a + b i + c j + d k(a, b, c, d は実数)
（ハミルトン 1843.10.14）• i2 = j2 = k2 = － 1, i j = － j i = k• 交換法則はあきらめるハミルトン (1805.8.4 –1865.9.2)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:WilliamRowanHamilton.jpeg

19世紀後半• 自然数の定義・・・
ペアノの公理 (1891)• 0 は自然数．
• n が自然数なら，n + 1 も自然数
• 0 = n + 1 とはならない• n + 1 = m + 1 なら n = m• 数学的帰納法の原理

ペアノ （1858.8.27 – 1932.4.20)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Giuseppe_Peano.jpg

19世紀後半• 実数の定義 ・・・
カントル 集合論の創始者 (1872)
デデキント (1858.11.24)
数の世界の基礎が確立（今度こそ歴史の終わり？）カントル(1845.3.3 –1918.1.6)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Georg_Cantor.jpg

数学的には• 自然数から整数へ ・・・
ひき算• 整数から有理数へ ・・・
わり算• 有理数から実数へ ・・・ 長さ、面積微積分• 実数から複素数へ ・・・ 方程式の解

有理数から実数へ・・・長さ
正方形の１辺と対角線の長さの比1

有理数ではないはは有理数ではない＝（既約分数）とすると、

２m2 = n2m2 = 2n’2nは偶数 n=2n’mも偶数
矛盾有理数から実数へ・・・面積• 円の面積□の数×□の面積□を細かくした極限

円の面積

有理数から実数へ・・微積分, 極限• 指数関数 (ex)’= ex, e0=1,

e = 2.7182818・・・= 1+ 1 + + += + + + +=1-+–++++ +・・+ + ・・・–+ ・・・

実数とは何か• 直線上の点
・ 直線上の点とは何か・・・実数
循環論法• 有理数の極限• （無限）小数で表わせる数

‡

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/gcoe/summary/documents/pamphlet_Part16.pdf

数の体系を創る• 人類の数に対する理解は、数の世界を広げることで進んできた。
• １つ、２つと数えることではじまる自然数から、引き算で整数へ、割り算で分数へという具合である。
• それに対し、ふつうの数と思われている実数は、数直線上の点としてとらえられる。
• これがあまりに自然な考え方だったため、そのほんとうの意味が明らかにされたのは、19世紀も終わりに近づいてからだった。

エウドクソスの比の理論 （量の理論）• 量の比（実数）を、整数をもとにして扱う方法• A : B = a : b とは、どんな自然数 m, n > 0 に対しても，mA > nB
ma > nbmA < nBma < nbエウドクソス？（紀元前４00? - 350?）

デデキントの切断 (1858.11.24)• 実数を有理数を元にして扱う方法• 実数 x とは 有理数の集合｛ｒ｜ｒ は有理数で、r < x } のこと• したがって、実数の等式 x = y とは、どんな有理数 r に対してもr<xr < y となること

http://ja.wikipedia.org/wiki/ファイル:Dedekind stamp.jpg

デデキント(1831.10.6 – 1916.2.12)

１ ＝ ０．９９９９９９・・・・の理由は、どんな有理数 r に対してもr<1
r < ０．９９９９９９・・・・
だから

読書案内

• 彌永昌吉『数の体系（上・下）』 岩波新書
• 吉田洋一『零の発見』
岩波新書• デデキント『数について』

岩波文庫

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デーデキント (著),河野 伊三郎 (翻訳)『数について―連続性と数の本質』
岩波書店(1961/01)

彌永 昌吉(著)『数の体系 下』岩波書店(1978/04)

彌永 昌吉(著)『数の体系 上』
岩波書店(1972/03)

吉田 洋一(著)『零の発見―数学の生い立ち』
岩波書店(1986/11)

数の体系 (１9世紀)
• 自然数
• 整数
• 有理数
• 実数

0, 1, 2, 3, 4, ….
0, ±1, ±2, ±3, ±4, ….
, － , 0, ….
, e = 2.7182818・・・,
π = 3.141592653・・・ , ….
• 複素数,,cos +sin , ….

新しい数の世界の発見 (1897)• 有理数を基礎に実数を構成（デデキント、カントル）• 数の世界を拡大する方法の発見• 同じ方法を使って、有理数の世界を違った方向へ拡大
整数論の大革命 （ヘンゼル）http://paginas.fe.up.pt/~sam/homepage/inftheory.htm

ヘンゼル (1861.12.29–1941.6.1)

数の体系 （1897以降）
有理数

2進数

3進数

5進数

7進数

・・・・・・

実数
複素数

数の世界を拡大する方法• 実数とは、有理数の極限（カントル1872）• 素数 p = 2, 3, 5, 7, ・・・ ごとに，１つずつ極限の定め方（位相）があり，数の体系が構成できる（ヘンゼル1897）
このほかの方法はない（オストロフスキ）

極限の定め方 ・・・ 位相• 実数1, 0.1, 0.01, 0.001, ・・・・ → 0• 7 進数
1, 7, 49, 343, 2401, ・・・・ → 0

7 進数 ・・・ 7倍するとに縮む世界• （整数全体の集合） を 7倍すると（7の倍数全体の集合）．
• （整数全体の集合） を 7等分（7の倍数全体の集合），（7でわると１あまる整数全体の集合），・・・・・・・・（7でわると６あまる整数全体の集合）．

数の世界をひろげる意味• 方程式が解けやすくなる
x2 – a = 0 （a は整数）
• 有理数としては，• a を素因数分解してみないとわからない．

数の世界をひろげる意味
x2 – a = 0• 実数としては，
a > 0 なら解けてa < 0 なら解けない数の世界をひろげる意味
x2 – a = 0• 7進数としては、
a を7で割ったあまりが，1 = 12, 2 = 32 - 7, 4 = 22
なら解ける(ヘンゼル)
3, 5, 6 なら解けない局所大域原理 (ハッセ原理 1921）
2次式については，•有理数として解ける• すべての素数pに対しp進数として解けて、• 実数としても解ける(c)Konrad Jacobs

ハッセ (1898.8.25–1979.12.26)
http://ja.wikipedia.org/wiki/ファイル:Helmut_Hasse.jpg

数の体系（20世紀前半）
有理数とその拡大・・・・・・

2進数とその拡大

3進数とその拡大

5進数とその拡大

7進数とその拡大• フェルマーの最終定理も解けるような、現代の数論の基本的な枠組みが、創られた。

実数と複素数