●講座

図学と折り紙（１）Graphic Science and Origami (1)三谷 純

Jun MITANI

１．はじめに本を発祥の地として世界に広まった」という考えは正確

筆者はコンピュータグラフィックスを専門とし，そのでは無いようです．

なかで立体的な形の構築を扱う「形状モデリング」の分

誰もが一度は折ったことがあると思われる「鶴」は江野を主に研究しています．本学会においては，これまで戸時代初期の作品であると考えられています．この鶴のに立体と展開図をキーワードとして，計算機を用いた紙さまざまなバリエーションをまとめた本「秘伝千羽鶴折模型および折り紙に関する研究の発表をさせていただい形」が，今から２００年以上も前の１７９７年に刊行されましてきました．最近では曲面を含む折り紙の設計と制作にた［２］．この本には，複数の鶴が連なった作品を中心に４９関心を持ち，研究の合間に作った折り紙作品を Flicker

種類もの完成図と切込みの入れ方が載っています．折り［１］というインターネット上の写真共有サイト に投稿して紙というと，正方形の紙を使って，切込みを入れてはいいます．たとえば図１のような作品があります．これら

けない，と考える方が多いと思いますが，古くは自由なは，折った後の形を計算機で設計し，展開図に従って発想に基づいて，多くの作品が考案されていたことがう

カッティングプロッタで折り筋を加工しています．お時かがい知れます．この「秘伝千羽鶴折形」は，世界でもっ間のある時にご覧いただければ幸いです．とも古い遊戯的な折り紙の本と言われています．この文献の各ページの写真が，日本折紙学会の Web サイト［３］で公開されています．
近代的な創作折り紙が登場したのは戦後のようです．
折り紙の作品を芸術の域まで高め，また新しい折り紙の図１ Flicker で公開している曲面を持つ折り紙基礎を築き上げた人物として，吉澤章氏の功績は国内外で高く評価されています．１９８
０年前後から折り紙に「設このたび，本誌の講座で連載記事を執筆させていただ計」の概念が導入され，さまざまに新しい折りの技法がく機会を得ましたので，この「折り紙」をテーマに取り考案されるようになりました．近年では，昆虫をはじめ上げ，図学と折り紙に関係する話題を紹介していきたいとする複雑な構造を持った作品が折り出されるようにと思います．コンピュータグラフィックスを専門とするなっています．古典的な折り紙とは一線を画する精巧さものの視点から見た「折り紙」であるため，内容に偏りで，折りの手数が多い複雑なものは「complex origamiがあるとは思いますが，折り紙に対する新しい視点を提（コンプレックス折り紙）」とも呼ばれます．

供できれば幸いです．

１
９８
９年には折り紙の国際会議（現在は「折り紙の科学・数理・教育に関する国際会議：The

２．折り紙の歴史

International

meeting of Origami Science, Mathematics, and研究の第一歩として，対象の歴史を学ぶことは大切なEducation」）が開催され，学術的な観点からの研究もことでしょう．ここでは，一般的に知られている折り紙進展しました．２
００
０年以降はコンピュータの普及とともの歴史について簡単に紹介します．に，折り紙の設計を支援するソフトウェアや，折りによ「折り紙」をどのように定義するかにも依りますが，る紙の変形をシミュレーションするソフトウェアなどが鶴や舟を折る遊戯的な折り紙が普及したのは，江戸時代多く登場するようになりました．このようなコンピュー初期からと考えられているようです．それ以前にも，タを使った折り紙の設計・研究を指して，Computa-「畳紙」や「熨斗（のし）」のような「礼法折り紙」のtional文化はあったようです．世界的に origami という単語きています．

Origami という言葉も使用されるようになってが使われるようになっていますが，ヨーロッパでも紙を人工衛星の太陽電池パネルの折りたたみや自動車のエ折る文化は古くからありました．そのため「折り紙は日アーバッグの折りたたみなど，工学分野へ折り紙の技術

図学研究

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を活用する動きもあり，産業界へのさらなる応用が模索るため，加工機の防塵カバーに使用されることもありまされています．

す．図４の例のように，平行な折り線群を横切るような折りを新しく加えることで，より複雑なパターンを作る

３．折り紙と展開図紙を折ってできた「形」と，紙を開いた時に見られることができます．蛇腹折りは，折り紙設計においても，よく使われるパターンです．

「折り線」の関係についてよく観察することが折り紙に

蛇腹折りの山と谷の並び方を，山・山・谷・谷とするついて深く知る第一歩になります．折り線には，「山折りと，図５に示すトタン屋根のような形になります．折り（Ridge foldまたはMountain fold）」と「谷折り（Valley

線の並びの間隔を変えたり，傾きを持たせたりすることfold）」の２種類があり，この折り線の様子を図で表しで，さらにバリエーションを増やせます．

たものを「展開図」と呼びます（図２）．実際の折り紙作品を開くと，完成した時点では折られていない線（折り工程の途中でしるしをつけるために折られた線など）も現れますが，これらは「補助線」として区別し，展開図には含めないことが一般的です．
図３ 山と谷を交互に折った蛇腹折り

図２ 折り紙を開くと山折り線と谷折り線を含む展開図が現れる
図４ 蛇腹折りを横断するように折った様子

展開図では，山折りを赤，谷折りを青とすることが多く（Ridge=Red でアルファベットのＲつながりである，覚えるといいそうです），色を付けない場合には山折りを一点鎖線，谷折りを破線として表すことが一般的のようです．これはなぜかペーパークラフトでみられる区別とは逆になっています．紙をひっくり返せば，山と谷が図５ 山・山・谷・谷の繰り返しで得られる形反転しますので，区別さえできれば，どちらが山でどちらが谷かにあまりこだわる必要はないのかもしれません（左右対称な形に限りますが）．本稿では，谷折りを破線，山折りを実線で表すこととします．

４．
２ ミウラ折り
ミウラ折り（図６）は人工衛星に搭載された太陽電池パネルの折りたたみに使用されたパターンとして広く知られています．一点を固定し，他の点を移動させると全４．よく知られている折りのパターン

体が連動して開閉する一自由度の剛体折りパターンで鶴や舟のように，何か具体的な対象物を折るのではな

す．開閉が容易なことから，地図の折りたたみにも活用

く，規則的なパターンを繰り返し折ることで，幾何学的されています．東京大学名誉教授の三浦公亮氏の名にちに，場合によっては工学的にも興味深い形となることがあります．ここでは，よく知られている折りのパターンをいくつか紹介します．
４．
１ 蛇腹折り蛇腹折り（図３）は山折り線と谷折り線が交互に並ぶ基本的なパターンで，アコーディオンのように伸縮します．１枚の素材から接合部無しで，伸縮する機構を作れ

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Journal of Graphic Science of Japan Vol. 46 No. 2 / Issue no. 136 June 2012

図６ ミウラ折りのパターン

なんでミウラ折りと呼ばれていますが，当の三浦氏は当ります．独立した１つの風船の基本形同様に平らに折り初「二重波型可展構造」と呼んでいたそうです．ミウラ

たたむことができる一方で，支えがないと紙の元に戻ろ

折 り に 関 す る 詳 し い 情 報 は MIURA−ORI Group のうとする力でクルッと丸まってしまいます．両手を使っ［４］

Web サイト 内の「ミウラ折りの発見と科学」のコーて自由に変形できます．

ナーで紹介されています．
４．
３ 吉村パターン（ダイアモンド・パターン）吉村パターン（図７）は円筒をつぶした時に現れる，ダイアモンド・パターンと呼ばれる構造と同じ折り構造を持ったパターンです．丸めて両端を貼りあわせることで円筒になります．この構造を深く研究された吉村慶丸氏の名前にちなんで，吉村パターンとも呼ばれます．表

図１
０ 風船の基本形の敷き詰めパターン

面にこのパターンが加工された飲料缶（ダイヤカット缶）もあります．

図７ 吉村パターン（ダイアモンド・パターン）

４．
４ 風船の基本形と，その敷き詰め
図８は折り紙でよく知られている「風船」を折るとき

図１
１ 風船の基本形の敷き詰めパターン

４．
５ イカロスの帆に使用されたパターンに現れる基本的なパターンで，「風船の基本形」と呼ば人工衛星でもロケットでも無く，どう表現するべきかれています（これ以外にも，いくつかのパターンが「〜難しいところですが，「世界初の宇宙ヨット」と称され，の基本形」と呼ばれています）．

２
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０年に宇宙に飛び出したソーラー電力セイル機「イカこれは図９のように，三角形の辺をつなげて連結するロス」の薄膜太陽電池の折りたたみに使われたパターンことができ，この展開図も平坦に折りたためます．これが図１２です［６］．展開図は４つの三角形が組み合わさったをさらに，基本形の半分だけずらして隣に並べていく形になっていて，それぞれが蛇腹折りで折りたたまれまと，「Folding Techniques for Designers : From Sheet

す．上の写真のように折った後で，これを中心の四角形［５］to Form（Paul Jackson 著） 」の表紙にも使われてに巻きつけます．

いる図１０の面白い形になります（写真と展開図では，山中央部にも折り線を入れてこのパターンを平らに折りと谷が反転しています）．風船の基本形はいくらでも連たたみ，そのあとに端を持って広げると，双曲放物面状結できるので，さらに数を増やすと図１１のような形になの形になることが知られています（数学的には双曲放物面にならないということが文献［７］で示されていま

図８ 風船の基本形の展開図

図９ 風船の基本形を横に並べた様子

図１
２ イカロスの帆に使われたパターン

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す）．不思議な形なので，ぜひ一度作ってみることをおのパターンのバリエーションが使用されたデザインが含勧めします．

まれます．

４．
６ ねじり折り
図１
３は紙をひねって折る構造をしていて，完全に折り５．おわりにたたむと平坦になります．紙がねじれた状態で重なり合連載第一回目ということで，折り紙の簡単な歴史と，い，重なり順が循環します．中央部分は正方形である必

ミウラ折りなどの，よく知られている折りのパターンを要はなく，図１４は中央が三角，四角，六角の例です．畳

紹介しました．折り紙というと，鶴や舟など，具体的な紙（タトウ）や「花紋折り」などに見られ，また Tessel-

対象物のかたちを折ることばかりに目が行きがちですlation と呼ばれる分野の折りにもよく登場します．

が，幾何学的な折り線の配置パターンからも興味深い形を折り出すことができることをそれぞれの展開図で確認いただけたでしょうか．また，ここで紹介したパターン
からは，紙を正方形に限定する必要がないことがおわかりいただけたものと思います．固定概念に縛られない自由な発想が，新しい形を折り出すことにつながります．
次回は，平坦に折りたたむ「平坦折り」と展開図の関係について紹介したいと思います．

図１３ ねじり折りのパターン

図１４ 正三角形，正四角形，正六角形のねじり折り４．
７ 三角形のスパイラル
図１５は三角形の集合で円錐状の形が作られる構造で，平坦に折りたたむことができます．折りたたんだ状態を上から見ると，三角形が中から外に向かってらせん状に広がります．折り紙作家の布施知子氏によって，このパターンを持った作品が多く作られています［８］．また一方で，野島武敏氏に よ っ て も，そ の 設 計 手 法 が 研 究 さ，「円錐殻」などの名称
れ［９］，それぞれ「ねじれ多重塔」で呼ばれています．ねじれの角度や重ねる段数を変えることが可能で（上記は５角形の例），２０１
０年に発表された「132 5. ISSEY MIYAKE」シリーズの服飾にも，こ参考文献［１］ Flickr : Jun Mitani’s photostream, http : //www.
flickr.com/photos/jun_mitani/［２］ 山口真，日本を伝える！英語で折り紙，ナツメ社，
２００５［３］ 『秘伝千羽鶴折形』―折紙探偵団，http : //origami.gr.
jp/SenbazuruOrikata/index.html［４］ 株式会社ミウラ折りラボ，ミウラ折りの発見と科学，
http : / / www . miuraori . biz / hpgen / HPB / categories /80201.html［５］ Paul Jackson, Folding Techniques for Designers :From Sheet to Form, Laurence King Publishers,
2011［６］ 宇宙航空研究開発機構，小型ソーラー電力セイル実証機「IKAROS（イカロス）」のセイル展開の成功につい て，http : //www.jaxa.jp/press/2010/06/20100611_ikaros_j.html［７］ Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Vi Hart,
Gregory N. Price and Tomohiro Tachi. (Non)existence of Pleated Folds : How Paper Folds
Between Creases, JCCGG 2009.
［８］ 布施知子，MANIFOLD, #05, pp. 3―5, 2002.
［９］ 野島武敏，折りたたみ可能な円錐殻の創製，日本機械学會論文集．Ｃ編 66 (647), pp. 2463―2469, 2000.

●２０１
２年５月１０日受付
みたにじゅん筑波大学大学院システム情報系准教授

２００４年，東京大学大学院工学系研究科精密機械工学専攻博士課程修了．
博士（工学）．２
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１年より現職．CG，形状モデリングに関する研究に従事．

図１
５ 三角形のスパイラル（５角形）のパターン

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mitani@cs.tsukuba.ac.jp