2023.7.24 版

廣瀬文彦著

1

物理定数表半導体デバイスを勉強する上で頻出する諸物理定数を載せる。小数点第 5 位は四捨
五入してある。
項目

本書での記載数値

単位

真空中の光の速さ

C

2.9979×108m/s

真空中の誘電率

ε08.8542×10-12F/m

8.8542×10-14

F/cm

μ0

1.2566×10-6H/m電子の電荷（素電荷）q1.6022×10-19

C

電子の質量

m

9.1094×10-31kg

ボルツマン定数kB1.3806×10-23

J/K

プランク定数h6.6261×10-34

Js

気体定数

R

8.3145

J/Kmolアボガドロ数NAb

6.0221/mol

真空中の透磁率×1023
4.1855

仕事当量(1cal)

J

長さの単位
半導体デバイスの世界では長さを cm に直して計算することが多い。次の換算式を参考にしてほしい。

1Å=0.1 nm=10-8 cm
1 nm
1 μm

=10-7 cm
= 10-4 cm

エネルギーの換算
エネルギーの単位は、J、eV、cal など様々な形で現れる。
1 eV=1.6022×10-19 J
1 cal=4.19 J

2

第1章

基礎編

半導体デバイスの働きを理解するには、半導体の電子物性に関するある程度の知識が必要である。電子工学を専攻する学生にとっては、２年次に学習した電子物性と量子物理、熱力学の知識がそれである。この章でそれら知識を総括して思い出していただくため、あえて詳述はさけてポイントをわかりやすく解説した。節によっては半導体物理の高度な内容を含むが、そこは≪発展≫と記載してあるので、初学者は読み飛ばしていただいても構わない。

１．半導体とは応用研究がすすめられている。

半導体とは（電気）抵抗率で導体、絶縁体

表１おもな半導体材料とバンドギャップに分類されない中間の抵抗率に属する材料のことをいう。抵抗率として 10-3Ωcm から
1000Ωcm の範囲のものを半導体とされている。この定義は文献によって異なるが、おおむねこの範囲である。
ダイオードやトランジスタなどを形成す

結晶材料

バンドギャップ(eV)

Si

１．１２

Ge

０．７

GaAs

１．４３

GaN

３．４

る半導体材料は、電気抵抗率のほかに、伝導２．半導体材料の諸物性

帯と価電子帯という、電子とホールのエネ

表2

ルギー準位が別々にあり、その準位の差が

Si 結晶

項目
原子量
密度
原子密度
結晶構造
格子定数
比熱容量
比誘電率

エネルギーギャップ、あるいはバンドギャップというが、数ｅＶ以下である必要がある。それよりおおきいバンドギャップをもつ材料は、室温で絶縁体となる。
身の周りの半導体として、Ｓｉ結晶がもっとも一般的であり、そのバンドギャップ
は 1.1eV である。このほか、無線用や光Ｌ

表3ＥＤ用途に化合物半導体である GaAs、
InP、
GaN などがある。
１９５０年代の半導体黎明期では Ge 結晶がもっぱら使われていたが、バンドギャップが 0.7 eV と狭く、１００℃
程度の高温では使用できでないこと、その当時良好な絶縁膜ができなかったことから、またその後 Si にとってかわられた。しかし、近年 Ge 結晶のキャリア移動度が Si の数倍近く高いことから、超高速用途で LSI への
3

諸特性
28.1
2330 kg·m−3
5×1022 個/cm3
ダイヤモンド構造
5.43Å
700 J·kg−1·K−1
11.7

GaAs 結晶

項目
原子量
密度
原子密度
結晶構造
格子定数
比誘電率

諸特性
144.6
5320 kg·m−3
2.2×1022 個/cm3
せん亜鉛鉱構造
5.65Å
13.2

を生み出すⅤ族、Ⅲ族の原子は、Si 結晶にとって不純物であるが、これをドーパントという。ドーパントを導入することを、ドー
ピングという。

自由電子

図 1 ダイヤモンド構造
Si や Ge などの半導体はこの結晶構造をとる。GaAs などはセン亜鉛鉱構造をとるが、構造は同じである。この構造ではⅣ族原子で構成されるため、一つの原子から結合手が 4 本
出ている。

Si

Si

Si

Si

Si

P

Si

Si

Si

Si

Si

Si

図2

Si 結晶の簡略モデルとｎ型ドーパント

ｎ型半導体において、ドーパントから自２．導電型

由電子が離脱すると、もとにあったⅤ族原通常 Si 結晶が不純物がなく完全であれば、 子はイオン化されたドナーとなり正の固定抵抗率は大変高くなり絶縁性となる。しか電荷となる。この固定電荷がｐｎ接合ダイし、結晶中の Si 原子を P や As などのⅤ族

オードの接合での電位障壁を形成する電荷の原子で置き換えると、この置換をドーピとなる。

ングというが、置換位置で電子が１つあまホール

り、これが室温で遊離し、自由電子となる。
自由電子を多く含む半導体をｎ形（型）半導体という。教科書によってｎ形、ｎ型と混用

Si

Si

Si

Si

Si

B

Si

Si

Si

Si

Si

Si

されているが、筆者は好んで型を使う。英語
表記にあたると、ｎ型は n-type と英語で表記される。n-shape とはならないことから、

図3型をつかっているが、形でも問題はない。なSi 結晶の簡略モデルとｐ型ドーパント

お、
ｎ型であっても N 型と書く人もいるが、ｐ型半導体の場合は上図のように、Ⅲ族

元々は小文字なので、本書でも小文字を用の元素のドーパントで Si を置換する。Si でいる。

は、もっぱらドーパントは B（ホウ素）であ同様に、Si 結晶原子をＢなどのⅢ族の原る。このとき B は Si の格子位置におかれる子で置き換えると、電子の欠損が生じ、これと、結合手が３本しかなく、１か所電子が欠をホールという。ホールは正電荷をもつ自乏した部分ができる。これがホールである。

由に動くことができる荷電粒子として半導ホールは正の可動電荷としてふるまう。ホ

体中ではふるまう。ホールを多く含む半導ールが B から離れると、B 自体はイオン化

体をｐ型半導体という。自由電子やホールされたアクセプターとなり、負の固定電荷
4けっして base とはいわないことから、基板となる。

の字が正しいことが分かる。これも、ワード

３．ドーピングと抵抗率

プロセッサのかな漢字変換の誤訳が一般に半導体結晶は不純物のない完全結晶であ浸透したものである。

れば絶縁性が高いが、現実には結晶欠陥やウェハは大きく作るほど、ウェハ一枚か

外界からの不純物の混入、また純化の不完

らとれる IC チップの量が増えるため、大口全性による不純物の残留により、抵抗率は径化の努力が継続的になされてきた。現在

混入不純物濃度や欠陥密度に応じた値をと広く流通しているものは、６から８インチ

る。なお Si 結晶では、シーメンス法で純化径のものであるが、2010 年現在、LSI 業界された Si は、ウェハ化した場合、数十Ωｃの最前線は 300mm 径であり、並行してｍ程度の高抵抗になるが、通常は意図的に400mm 径ウェハの開発もすすめられていＢあるいはＰをドープして 10Ωcm に調整る。

する。結晶性の高い Si 結晶の抵抗率はドー

Si ウェハは通常面方位が指定されており、ピング濃度で決まり、半導体技術者であれ

LSI 用途では(100)、パワーで半導体ではば次の表に記されるようなドーピング濃度(111) が 用 い ら れ て い る 。 (100) 結 晶 で はと抵抗率の関係を記憶すべきである。なお、

MOSFET を形成した時の、ゲート界面での商業ベースでもっとも入手しやすい Si ウェ

準位密度が最小におさえられることから、

ハの抵抗率は 10Ωcm と 0.01Ωcm である(100)が普及した。最近では、パワー用途でが、それ以外の抵抗率を得たい場合は、拡散も(100)が用いられることが多い。
ウェハは図 4 に示されるような、円周のなどで、表層の抵抗率を調整して使う。

一部を平たく削られた部分がある。これを
表4Si 結晶のドーピング濃度と抵抗率の関係

オリエンテーションフラット、略してオリドーピング濃度(cm-3)

フラとよぶ。これは結晶の(011)方位を指定

抵抗率（Ωcm）
１０

14

2×10

するためである。Si 結晶のどの方位に沿っ

１2×1015てデバイスを形成するかで、MOS デバイス

０.１

16

5×10

の性能が変化するため、LSI 製造ではオリ

０．０１

1×1018フラに対して決まった方位で LSI チップを

０．００１

4.

配列する。

19

1×10

Si ウェハオリフラ

半導体産業でもっともよく用いられてい

ここがウェ
ハの直径

る Si 半導体は丸いウェハとして供給されている。ウェハは日本語表記されるときに、基盤という字をあてる人がいるが、基板とい

図4

う字が正しい。これも英語では基板
substrate か円板を表す wafer で標記され、
5

Si ウェハの概形とオリフラ５．半導体の抵抗率と導電率

場合、電極間の抵抗 R は、

半導体に限らず、固体の抵抗はその素材の形状で決まる。例えば、固体が電線の形をしているなら、抵抗は電線の長さに比例し、となる。

断面積に反比例する。つまり固体の物性と金属電極

して抵抗を表現するなら、形状によらない

𝐿𝐿
𝜌𝜌
𝑤𝑤 𝑠𝑠

𝑅𝑅 =

長さ L

金属電極

幅 W

数値表現が必要である。半導体では、単位体薄膜 (t)

積、
長さ 1ｃｍの立方体の向かい合う面間の抵抗を抵抗率（体積抵抗率）と呼び、単位は６．電流密度とコンタクト抵抗率

Ωcm としている。

断面積 S の試料に電流 I [A]を流した時に、その電流密度 J は電流 I を断面積 S で割り算した値になる。単位は A/cm2 になる。
J=

抵抗率
1cm3 の立方体の向かい合う面間の

I
S

(2)

これと同じ考え方で、電圧を電流密度で割抵抗が抵抗率となる。

ると、単位面積当たりの接触抵抗 Rc が求め図に示す直方体の抵抗 R は、抵抗率ρとられる。これは、

すると、次の式であらわされる。

R=

試料の長さ（L)
試料の断面積（S)L

Rc = 𝑉𝑉�𝐽𝐽 = RS

(1)

×ρ

(3)

で表され、単位はΩcm2 で表される。Rc は全抵抗に接触面積（断面積）をかけたもの

S

で、コンタクト抵抗率と呼ぶ。電極と半導体の接触抵抗やパワー半導体の単位チップ面
積当たりの ON 抵抗などが、コンタクト抵
抗率で表示される。繰り返しになるが、接触両端の抵抗が R

面積で割れば、デバイスそのものの抵抗を
薄膜の抵抗の標記として表面抵抗率があ求めることができる。

る。これは体積抵抗率を膜の厚さで割り算した値であり、単位としてΩ/sq.

７．Si の導電率の温度依存性

あるいはΩ/□と表記する。/sq.や/□は表面抵抗

導電率は、キャリア濃度(密度)と移動度に率を示す記号であり、表面抵抗率の単位は比例する。Si の導電率と温度の関係は、高Ωである。表面抵抗率をρs として、膜厚ｔ

温下で半導体デバイスの動作がどのようにの薄膜上に幅 W で距離が L の板電極がある

影響を受けるかを理解するためにも重要な知識である。導電率の温度変化を知るには、
6

温度と半導体のキャリア密度の関係を理解型、n 型として機能するからである。出払い

すべきである。導電率はこのキャリア密度領域から真性領域になる遷移温度はバンドにほぼ比例して変化する。

ギャップで決まり、バンドギャップが大きSi のような半導体が極低温に近づくに従いほど、出払い領域は高温まで保たれる。

って導電率が低下するのは、半導体中のドSiC などのワイドギャップ半導体は、出払

ーパントからの電子が熱エネルギーの不足

い領域の温度帯域が広く、Si の限界を超え

で、かい離しにくくなり、キャリア濃度が低る高温での環境でも動作可能である。ワイ

下するからである。そこから温度が室温、ドギャップ半導体は、自動車のエンジンル

150℃近辺まで一定の導電率となる。これームなどの高温環境での半導体として実用化が期待されている。

8．なぜ固体内で電流が発生するのか(1)ドリフト電流
試料中に電子やホールなどのキャリアが存在したときに、試料に電界がかけられると、電荷が動いて電流が流れる。このような電流をドリフト電流という。ドリフト電流
密度 Jｄは、電界強度 E、キャリア密度ｎ、キャリア移動度μに比例する。電子の電荷を q とすると、電流密度 Jd は次の式であら

図 5 Si のキャリア密度の温度依存性の計算事例

わされる。
𝐽𝐽d = q𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

はドーパントから電子が十分かい離して、(4)

キャリア濃度とドーパントの濃度（ドープ半導体の場合は電子とホールが両方を考え濃度）と同じとなり、この領域を出払い領域

なければならないが、ほとんどの場合は、電と呼び、導電率は一定となる。さらに高温に子かホールのどちらかが圧倒的に多いのでなってくると価電子から直接励起で自由電

覚えるのはこの式だけで十分である。(4)式子がつくられ、高い濃度で電子とホールがからわかるように、導電率σは次の式であ存在するようになる。このときは導電率大らわされる。
𝐽𝐽ｄ

きく低下する。この領域を真性領域と呼ぶ。

𝜎𝜎 = 𝐸𝐸 ＝q𝑛𝑛𝑛𝑛

半導体デバイスのｐｎダイオードでは、真(5)性領域において整流性を持たず、単なる抵

導電率はキャリア移動度とキャリア密度に抗体になる。したがってｐｎ接合がダイオ

比例することをあらためて覚えておいてほードとして動作するのは出払い領域のみにしい。

限られ、一般に半導体デバイスの動作温度

MOSFET では、ドレイン電流はチャネル

は最大 150 ℃、余裕を見て 120 ℃と考え直下に集められた電子（あるいはホール）られるが、出払い領域でこそ、半導体はｐが、ソースとドレイン間の電圧による電界
750

で、ドリフト電流として流れることで、ドレイン電流となる。つまり、MOSFET で扱う

40
温度 300K2

拡散係数 (cm /s)

電流はドリフト電流である。ちなみにバイ
ポーラトランジスタで流れる電流は、次に扱う拡散電流である。

30

電子
ホール

20

10

(2)拡散電流014半導体材料において、電子の濃度が空間10的に変化していると、拡散により電子は濃

図6

15

10

10

16

17

18

10
10
3
全ドーパント密度 (/cm )

10

19

20

10

Si 結晶中の電子とホールの拡散係数

度の濃い方向から、薄い方向へ移動する。ホールも同様である。アイスコーヒーにクリ工学の世界も、バイポーラよりは MOSFET

ームを注いだ時に、最初クリームは上に浮の理解のほうがたやすい。これは拡散電流いているが、時間がたつとクリームはコーの計算が不要で、ドリフト電流のみで記述

ヒーに拡散していき、最後はクリームコーできるからである。初学者は戸惑うところ

ヒーになっていく。これもクリームが濃度であるが、ダイオードの順方向電流の計算の薄いコーヒー側に拡散して移動するため

ではこの拡散電流の計算が主役となる。ダである。このように、電子やホールも液体やイオードが理解できればほぼすべての半導砂のような粒子と想定してよい。濃度が濃体デバイスの計算を理解できるはずである。

い方から薄い方へ移動するのは砂の山がく

拡散電流はダイオードの整流方程式の導出

ずれて平たくなろうとするのと同じである。

でも説明する。

拡散のしやすさを表す物性値に拡散係数と(3)変位電流いうのがある。拡散係数を D として、キャ次の図をご覧いただきたい。平行平板内

リアの移動度をμとすると、次の関係がなに電荷がいて、片方の平板に向かって速度 v

りたつ。
kT

で動くときに、平板から qv の電流が流れる。

(6)

D= q μこれは電荷から発生する電気力線が平板上

これをアインシュタインの関係式と呼ぶ。

に表面電荷を作り、これが電荷の移動に伴仮に電子の濃度が場所ごとに分布があり、い変化し、電流が回路に流れる。これを変位

位置 x の関数 n(x)であらわされたときに電電流という。別の説明もできようが、これが子の拡散電流密度 Jn は、電子の拡散係数を一番わかりやすい説明であろう。

Dn としたときに、これが顕著なのは、電極にはさまれた絶縁

𝐽𝐽𝑛𝑛 = 𝑞𝑞𝐷𝐷𝑛𝑛

𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑

膜が Na や K などの金属に汚染されると、(7)電界をかけたときにこれら不純物が可動イ

拡散電流が重要となるところは、ダイオオンとして動くときに電極から電流が流れードの順バイアス電流や、バイポーラトラ

ることがある。これはまさに変位電流であンジスタの注入電流の計算である。半導体

る。本来絶縁体はテスターをあてると、無限8

大の抵抗を示すが、それでも絶縁体が金属

1015/cm3 以下であるときには、ほぼ格子散イオンで汚染されていると交流電場下では乱で移動度がきまる。このとき、電子移動度

あたかも良導体としてふるまうことがある。

は 室 温 で 1350cm2/Vs 、 ホ ー ル 移 動 度 は

これは変位電流のためである。

480cm2/Vs である。このとき、Si 材料の温度が上がると、格子振動が強められ、移動度q (C)は低下する傾向にある。この格子散乱で決v

ーピング濃度が 1015/cm3 以上になると、ドまる移動度が Si での限界と考えてよい。ドーピング濃度が増加するにしたがって、電子移動度もホール移動度も低下する傾向にある。高ドープの範囲である 1018/cm3 以上

ｑｖ(A)
図7

では、ライトドープ時に比べ１／５程度に変位電流の説明図

低下する。
1600
1400

９．キャリア移動度

1200

半導体中のキャリア移動度はキャリアの1000

動きやすさを示す物性値であり、単位は

800

cm2/Vs であらわされる。キャリア移動度μ600

温度 300K
電子
ホール

400

に電界の強さ E をかけると、キャリアの移200

動速度（ドリフト速度）v となる。

0
14

10

𝑣𝑣 = μE

(9)

図8

15

10

16

17

18

10
10
10
3
全ドーパント密度 (/cm )

19

10

20

10

Si のドープ濃度と移動度の関係

半導体中のキャリア移動度は、MOSFET や

MOSFET のチャネル移動度は MOSFET

バイポラートランジスタの動作速度や電流の相互コンダクタンスに強く影響するが、増幅率に直接影響を与える数値であり、いこのときの移動度は不純物散乱よりは絶縁かに高い移動度をつくるかは大変重要なこ膜と Si 半導体との界面での散乱が移動度をとである。移動度はキャリアの散乱要因の決めることになる。通常 MOSFET の界面

大小で決まる。例えば結晶が完全結晶であの品質にもよるのだが、単純なバルク（結晶っても、結晶格子の温度のエネルギーによのかたまり）をキャリアが走行する場合にる振動での散乱、これを格子散乱という。そ比べて、数分の１程度になることが多い。このほかドーピング原子(ドーパント)のイオの問題は MOS デバイスの章でくわしく説ン化してできる固定電荷によるイオン散乱

明する。

（不純物散乱）、そのほか格子欠陥による散10．半導体の準位とバンド≪重要≫

乱などが移動度に影響をあたえる。
Si 結 晶 の 場 合 、 ド ー ピ ン グ 濃 度 が

ここでは、半導体における準位とバンド
9

のイメージ的な理解を図りたい。

いのだろうか。それは、電子のような微小質

わかりやすいところから Si の単原子をイ量の粒子は、波動としての性質を持ち、原子メージする。Si は原子番号 14 であり、すな

核に束縛された電子は定常波として持続で

わち電子は 14 個を持ち、軌道は次のように

自由空間 (真空準位)記述できる。Si は１s 軌道から 3ｐ軌道まで電子が配されるが、↑↓はスピンの向き
である。
1s 2s
↑↓

↑↓

2p
↑↓↑↓↑↓

3s

3p

↑↓

↑↑

99.2-99.8 eV 2p
結
合
エ
ネ
ル
ギ
ー

電子の居場所を軌道と呼ばれているが、実際に電車が走るように定まった位置を移動するわけではなく、その存在は電子雲と呼149.7 eV 2s

ばれる確率分布で表される。これら１s や２s、２p の軌道は、より原子核に近く、原子1839 eV 1s

核の正電荷によるクーロン力の影響を強く
図9受けていて、強い束縛にある。このような軌

単原子 Si の準位図

道にある電子を内核電子という。軌道からきる条件でしか存在できないからである。

電子を取り出して自由空間にまでもっていこのほかの結合エネルギーの電子がいたとくのに必要なエネルギーを結合（束縛）エネ

したら、電子は波として打ち消しあい、定常

ルギー（Binding Energy）という。Si の場

波にならずに消滅してしまう。この表現は、

合、1s 軌道であると 1839 eV、2s 軌道では

筆者の自己流のものとして受け流してほし149.7 eV、2p 軌道では 99.2~99.8 eV とない。量子力学のテキストでは、水素原子モデる。結合エネルギーは電子にとっての位置

ルで習うところであり、電子の軌道角運動

エネルギー（ポテンシャルエネルギー）のマ

量とスピンの角運動量の量子化とエネルギ

イナスと考える。結合エネルギーを位置エ

ーの離散化の関係で説明されている。

ネルギーに見立てるため、上下方向を結合

もう少し結合エネルギーが小さい 3s、3p

エネルギーとし、方向に正になるようにし軌道について考えてみよう。ここからは単て考える。そして、軌道のところに線を書い

原子ではなく、Si の結晶を考える。これらてみる。線の上には電子を黒丸でのせてみ

電子は sp3 混成軌道を作り、周辺の原子とた。

の結合を作ることから、価電子と呼ばれる。

これをみると、電子が線の上に腰かけのよ

価電子は真空準位から数 eV 下の位置であうに乗っているようにみえる。実際に電子り、先ほどの図に書き込みたいがここは重は、この線の位置の結合エネルギーを持ち、要なので、説明を重ねる。

このエネルギー位置でのみ存在することを意味する。この線を準位と呼ぶ。なぜ決まったエネルギー位置にしか電子は存在できな
10

同様に、結合エネルギーがずれて重なるた

図 10

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

めに、バンドとなる。このバンドを伝導帯という。
自由空間 (真空準位)
伝導帯

Si

価電子帯

99.2-99.8 eV 2p

Si 結晶中では Si は 8 個の価電子

149.7 eV 2sに囲まれている

再掲になるが、上図のように Si の価電子は４つあり、Si の 1 原子から 4 個電子が出

1839 eV 1s

る。そして、周囲と共有結合をつくる。この価電子も波動の振る舞いをしており、格子Si 原子の内核電子から始まって価電子との中で定常波として存在し、決まったエネ

バンドに話が進んできた。価電子と自由電

ルギー位置に存在する。仮にある価電子が子のバンドは Si があくまでも結晶として結合エネルギー5.0 eV の位置にいるとしよ

規則正しく整列しての話である。単原子でう。パウリの排他律によれば、２個以上電子はバンドにはならず準位のままである。

は同じ量子状態を占めることができない。

半導体デバイスでは、電気的な動作を議

つまり、一つの電子が 5.0 eV の位置に状態論するときに、内核電子は全く考えなく良を持った時に、もう一つまでのスピンを変い。価電子帯と伝導帯だけでよい。価電子帯

えて共存は許すが、もっと多くの電子とはと伝導帯だけを取り出して、電子の流れを相容れない。図のように 1 個の Si の原子核考えるためのポテンシャルエネルギー図との周りには 8 個（となりの Si の価電子ともしたのがバンド図である。

共有しているため 2 倍になる）の価電子がいるため、これらはそれぞれ 5.0 eV から微11.

バンドギャップ

妙にずれた結合エネルギーとなって共存しバンドギャップは価電子帯と伝導帯の電ようとする。このときは、もはや準位ではな子のポテンシャルエネルギー差と説明した。

く、幅の広がった帯（バンド）として電子がしかし、半導体の自由電子は粒子として考存在することになる。つまり、価電子は準位

えれば、バンドギャップ内での結合エネル

ではなくバンドとして存在することになり、ギーをもつ電子も存在できるような気もす

そのバンドを価電子帯と呼ぶ。

る。しかし、電子は波動としても振る舞うの非常に粗い説明だが、自由電子についてで、固体結晶や原子に束縛された状態では、も同様である。自由電子も波動として振る

定常波として存在するため、決まったエネ

舞うが、定常波として存在するためにエネ

ルギー値しか取りえなくなる。したがって、

ルギー位置は束縛される。しかし、価電子とバンドギャップの間には、通常電子は存在11できない。これには例外があり、結晶に乱れり、価電子帯に近ければｐ型半導体である。

や欠陥があるような場合、それが起点で準真空準位と伝導帯とのエネルギー差は電子位をつくることはある。そのような準位を親和力、真空準位とフェルミレベルとのエ

欠陥準位とよぶ。不純物が作る場合は、不純

ネルギー差は仕事関数、真空準位と価電子物準位と呼ばれる。表面の結晶周期の終端帯とのエネルギー差はイオン化エネルギーからできる準位は、表面準位と呼ぶ。ただことなる。

れら準位は、デバイスの故障とか、理論と一

このほか、バンド図の見方として、バンド致しない部分を議論するときに活用される

図が傾いているときの見方である。図のよが、通常はバンドギャップ内に準位がない

うにバンド図が下に傾いているとき、すな

前提で議論される。

わち下に傾いている方が電位が高いと覚え

バンドギャップはどのような要因で、決る。あくまでも負の電荷の電子のエネルギ

まるのだろうか。まず、Si は 1.1eV と覚え

ーをあらわすので、電位が低い場合、準位はていただきたい。Ge は、0.7eV であるが、下がる。電界は傾きの登る方向と覚える。電原子番号の大きい半導体はバンドギャップ子は伝導体が下る方向に動く。これは低いが小さくなる傾向にある。バンドギャップ

ほうに転がるイメージで覚える。ホールはは、構成する原子の種類と結晶構造とその正の電荷なので、高い方向に動く。

バンドギャップは、クローニッヒペニーモ
デルが有名で、後節で紹介する。

12.

バンド図の考え方

イオン化エネルギー

ることができる。一次元の周期構造が作る

仕事関数

電子親和力

周期性で決まり、量子化学的な計算で求め

真空準位

伝導帯
フェルミレベル半導体工学でバンド図は多用されるが、価電子帯初学者はこれに戸惑うことが多い。バンド
図 11

図で線が、電子やホールが存在できる位置

バンド図の説明図

通常バンド図は、伝導帯と価電子帯、フェルミレ
ベルしか書かない。赤線のみが登場する。

（準位）であり、縦軸（上下の位置）は電子のポテンシャルエネルギーであるが、数値電位は上がるとしては結合エネルギーを下に正になるように表す。無限遠点はバンド図では真空準電界の向き位とよぶ。そのほか、自由電子のいるバンド
電子は低い方に動くが伝導帯、また価電子がいる準位が価電子帯、さらに実際にはその位置に存在できな

伝導帯いが、存在確率が 50％とみなせる位置がフェルミレベルである。フェルミレベルが伝導帯に近ければ、伝導帯には自由電子が豊

ホールは高い方に動く

富に存在することになり、ｎ型半導体とな

図 12

12

価電子帯

バンド図が曲がっているときの考え方

13.固体結晶内の電子と準位≪発展≫

𝛽𝛽 =~クローニッヒペニーモデル~

�2(𝑉𝑉0 −𝐸𝐸)𝑚𝑚となる。

半導体のような固体内の電子は、結晶の作る周期性から、ある決まったポテンシャ

ħ

(14)

電子の
ポテンシャルエネルギー V(x)ルエネルギーの領域にだけに存在することになる。その存在できるエネルギーの位置が準位であり、バンドとなる。
なぜ決まったエネルギー準位を持つのか

原子
核は、固体結晶構造を周期的なエネルギーポ
テンシャル場に書き直して、シュレーディ

電子のポテンシャルエネルギー V(x)ンガー方程式を解くことで導かれるが、一V=V0次元であれあれば、クローニッヒペニーモ
デルをつかって説明することができる。図13 にクローニッヒペニーモデルにおける、

x=0

一次元格子モデルとそれを模擬するために

V=0
x=a+b
x=a

簡略化された周期ポテンシャル構造を示す。

図 13

結晶内の電子のポテンシャルエネルギーは格子のモデル図→x

クローニッヒペニーモデルで扱う一次元

図 13 の上図のように、原子核を中心に周期的に落ち込むポテンシャル構造になっていここで波動関数において、
x=0 のときと、ると仮定する。これを下図のように、距離 a

x =a のときで、連続であり滑らかである、のゼロの区間と距離 b で V0 の区間の周期

Ψ(x)とΨ′ (x)が連続という条件で。A~D にになっていると仮定して、次のシュレーデ

関する連立方程式をたてる。ｘ＝0 でィンガー方程式を解く。

−

ħ2 𝜕𝜕𝛹𝛹2 (𝑥𝑥)
= (𝐸𝐸 − 𝑉𝑉(𝑥𝑥))𝛹𝛹(𝑥𝑥) (10)2𝑚𝑚 𝜕𝜕𝑥𝑥2

A+B=C+D(15)

𝑖𝑖(A − B) = 𝛽𝛽(A − B)

(16)

ここで、E は電子のエネルギー、V(x)はポとなる。x=a において、(11)の波動関数とテンシャルエネルギーである。このとき、(12)の波動関数の位相差は電子の波数を k0<x<a の区間の波動関数はとすると、𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒�𝑖𝑖𝑘𝑘(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)�で表されると考えると、x＝a での境界条件は

𝛹𝛹(𝑥𝑥)＝𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) (11)

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) + 𝐵𝐵𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)

で、a<x<a+b の区間での波動関数は

𝛹𝛹(𝑥𝑥)＝𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝛽𝛽𝛽𝛽) + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(−𝛽𝛽𝛽𝛽)= [𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)]𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒�𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)� (17)(12)

𝑖𝑖𝑖𝑖[𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) − 𝐵𝐵𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)]で表される。このとき、√2𝐸𝐸𝐸𝐸𝛼𝛼 = ħ

= 𝛽𝛽[𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(−𝛽𝛽𝛽𝛽)- 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝛽𝛽𝛽𝛽)]𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒�𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)�

(13)

となる。
13

(18)

ここから先の詳しい計算は固体物性の他できない範囲を禁制帯という。

書にゆずりたいが、式(38)~(41)の連立方程式が解を持つ E の範囲で電子が存在できるP条件となる。具体的には、エネルギーの存在できる範囲

𝛽𝛽2 −𝛼𝛼2sinh𝛽𝛽𝛽𝛽sin𝛼𝛼𝛼𝛼 + cosh𝛽𝛽𝛽𝛽cos𝛼𝛼𝛼𝛼
2𝛼𝛼𝛼𝛼
(19)

= cos𝑘𝑘(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)

sin𝛼𝛼𝛼𝛼+ cos𝛼𝛼𝛼𝛼
αa

1

αa

‐1

が導かれる。この方程式から、E の取りえる範囲のイメージを得るべく、b の幅が非図 14常に狭く、かつ V0b が一定になるようにｂグラフ

エネルギー範囲を決めるP

sin𝛼𝛼𝛼𝛼αa+ cos𝛼𝛼𝛼𝛼のの極限をとると、sinh𝛽𝛽𝛽𝛽は𝛽𝛽𝛽𝛽、cosh𝛽𝛽𝛽𝛽は 1結晶中の電子のエネルギーと波数の関係と近似できるようになる。また、β<<αであることから、を表したグラフを図 14 に示す。この関係は

𝛽𝛽2 − 𝛼𝛼2(21)式から求められるが、その求め方は高

2𝛼𝛼𝛼𝛼

=

𝛽𝛽2 𝑏𝑏2𝛼𝛼sinh𝛽𝛽𝛽𝛽sin𝛼𝛼𝛼𝛼

sin𝛼𝛼𝛼𝛼 ≅mV0 b

mV0 abとなる。P＝
P𝛼𝛼ħ2ħ2sin𝛼𝛼𝛼𝛼度なので割愛することとして、求めた結果をイメージとして理解してほしい。この図

(20)

−π

π

において、波数がa+bからa+bの範囲を、第一ブリリアンゾーンという。ブリリアンゾーン

とおくととは、結晶において、逆格子点を基点としてその周りの近接した逆格子点の半分のところ

sin𝛼𝛼𝛼𝛼+ cos𝛼𝛼𝛼𝛼
αaでその垂直平面で囲まれた領域をブリリアン
ゾーンというが、一次元であれば 0 を基点に

= cos𝑘𝑘(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) (21)となる。かなり複雑な式で理解が困難かも周期の逆数にπをかけた領域に相当する。図

しれないが、(21)式の右辺は－1 から 1 の15 からもわかるように周期性がある場合、π範囲をとり、左辺がその範囲になっていれ

ことの周期ごとにバンドの不連続が生ば、解を持ちえる、すなわち、電子が存在a+b

できるといえる。
（21）式においてαa を容帯となる。以上示してきたように、半導体

横軸にP

sin𝛼𝛼𝛼𝛼αa

じている。図中で塗りつぶされた部分が許が準位やバンドを持つのは、結晶に周期性+ cos𝛼𝛼𝛼𝛼を縦軸にグラフを書がある故である。実際の三次元結晶では、三いてみる。図 14 において塗りつぶされた次元方向に周期性があり、大規模コンピュ

範囲が電子の存在できる条件である。αaーターを使って結晶の周期方向に対する波はa√2Em⁄ℎであり、エネルギーの大きさを数ｋとエネルギーの関係図を計算すること表す。この図から電子が存在できる範囲とができ、半導体の移動度や直接遷移性を議存在できない範囲があることが理解でき論するのに使われている。

る。電子が存在できる範囲を許容帯、存在
14

周期性が
ある場合

E

同様に価電子帯のホールの状態密度 Zh については、次のようにあらわされる。

自由空間
の場合

4𝜋𝜋

Zℎ (E) = ℎ3 �2𝑚𝑚𝑝𝑝 �

3/2

�𝐸𝐸𝑣𝑣 − 𝐸𝐸

(23)

mp はホールの状態密度有効質量である。上記の式の特徴として、状態密度は√𝐸𝐸に比例すると覚えておけば十分である。
状態密度関数の求め方であるが、いくつか求めた方があるが、もっともポピュラー−3π −2πa+b a+b

図 15

−π
a+b

π
a+b

3π
2π
a
a+b +b

なものを紹介する。半導体中の電子は定在k波で表され、その波長をλとする。この電子が、距離 L の立方体の中に閉じ込められた

一次元周期ポテンシャル中の波数 k とエネ

時に、取り得る波長λは次の式で表される。

ルギーE の関係

14．状態密度L≪発展≫

半導体のキャリア密度を理解する上で、キャリアの状態密度とフェルミディラック
分布の理解が必要である。筆者が若いころ

λ= L／n(24)

大学の授業で、状態密度の導出の仕方を習った。半導体の基礎講義で必ず出てくるが、ｎは整数となり、状態数を意味する。電子の筆者の経験では、卒業後実際のデバイス開運動量を p とすると、p=h／λとなる。h は発現場でこの知識を必要としたことは一度

プランク定数である。したがって、もなかった。現場で開発に関わっている方

Lp=hn

(25)

はこの節を読み飛ばしてくださっても結構となる。運動量は飛び飛びとなり、その最小である。

単位をδp とすると、半導体の伝導帯において、電子エネルギ

Lδp=h

(26)

ーを E としたときに、単位エネルギー幅にが成り立つ。実際に三次元で、ｘ方向、y 方電子が含まれ得る数を状態密度という。伝向、z 方向についてもなりたつので、とすると、導帯の電子の状態密度を Z（
e E）
4𝜋𝜋

Ze(E) = ℎ3 (2𝑚𝑚𝑛𝑛 )3/2�𝐸𝐸 − 𝐸𝐸𝑐𝑐

L3δpxδpyδpz=h3(27)が成り立つ。運動量空間で、単位体積当たり(22)のエネルギー状態数は、(27)式に L=1 を代入して、h3 と求められる。

となる。この式で、mn は電子の状態密度有効質量である。Ec は伝導帯下端の電子のポここで運動量空間として、運動量半径 p

テンシャルエネルギーである。

の球体を考える。
15

次の形となる。

pz

p

δp

𝑓𝑓(𝐸𝐸) =py

1

𝐸𝐸 − 𝐸𝐸f
1 + exp �
𝑘𝑘𝑘𝑘 �

(33)

この式を近似形であらわすとボルツマンpx関数になるが、この式は半導体工学の教科書に出現することが多いので覚えておくべ

運動量 p がδp だけ変化したときに、運動きである。

量空間では体積は 4πp2δp だけ増えることになる。つまりこの体積増加分に h3 で割っ

𝑓𝑓(𝐸𝐸) ≅ exp �

た値が、エネルギー状態数の変化分で、電子

𝐸𝐸f − 𝐸𝐸
�
𝑘𝑘𝑘𝑘

(34)

はスピンをもっており、１状態に２個電子

多くの学生たちは、フェルミディラックが存在できるので、
8πp2δp／h3 だけ電子の分布をそらんじることはできるであろうが、状態数は増加する。一方、電子のエネルギー

この式を実感をもって計算に活用するため

E と運動量の関係は、には、イメージを理解することが必要であ

1

1

𝑝𝑝

𝑝𝑝2

E = 2 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑣𝑣 2 = 2 𝑚𝑚𝑛𝑛 (𝑚𝑚 )2 = 2𝑚𝑚𝑛𝑛p = �2𝑚𝑚𝑛𝑛 𝐸𝐸

𝑛𝑛

(28)

る。そのためには、ボルツマン分布の考え(29)もあるであろう。しかし、時間に追われた現方、エントロピーの考え方を復習する必要となることから、
dp

dE

代人に理解しやすいよう筆者は授業で次のような教え方をしている。あるコンサート(30)= 𝑚𝑚𝑛𝑛 /�2𝑚𝑚𝑛𝑛 𝐸𝐸

会場に聴衆がいるとしよう。熱気のようなとなる。
8πp2 𝑑𝑑𝑑𝑑ℎ32𝑚𝑚

ものをたとえるなら、温度に相当する。コン3/2= 4π � ℎ2𝑛𝑛 �

サート前はまだ聴衆も静かであり、温度も√𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑍𝑍(𝐸𝐸)𝑑𝑑𝑑𝑑低い状態としよう。いざお目当てのシンガ(31)

ーがコンサートを始め、のりにのってきた

したがって状態密度関数は、
2𝑚𝑚𝑛𝑛 3/2

𝑍𝑍(𝐸𝐸) = 4π �ℎ2と求められる。

�√𝐸𝐸とする。このとき聴衆の何人かは立ちあがって声援をおくった。聴衆は座っていたと(32)

きに比べ、立ち上がった方が位置エネルギ
ーが高い、すなわち立ちあがるのにエネル
ギーが必要なのに、何人かはたちあがって

15.フェルミディラック分布いる。これは熱統計の世界では、熱エネルギ

半導体や結晶材料中のようにエネルギーーに分布があることを示している。全員が準位が離散的な場合、電子やホールのエネ

熱くなっているわけでもなく、冷めている

ルギーに応じた存在確率はフェルミディラ

わけでもなく、ある割合の人が熱くなってック分布で表わされる。式であらわすと、立ち上がっているのである。コンサートが16

盛り上がってくると、立ちあがる人の数が上図のようにあるポテンシャルエネルギー増えてくる。熱統計の世界では、温度 T がE０に濃度ｎで電子が存在しているとする。

高くなればなるほど、高いエネルギーの状

それに隣接したところで、E1 というエネル

態でいる粒子の数が増えてくることに相当

ギーが△E だけ高い位置を仮定したときに、する。人の世界も熱統計の考え方で見るこ

下にいる電子のある割合の分は E1 の位置とができるのは興味深い。どんなに素晴らにも上がることができる。なぜなら、ある温しい教育を施しても、ある確率で学生は落度のエネルギーがこの系に与えられた時に、第する。大学機関では全員を優等生にしよある割合は高いエネルギーをもちえるからう、おちこぼれをだすまいとする教育を求である。フェルミディラックの簡略式によめて果てしない努力が続けられているが、れば、ポテンシャルエネルギーE０の位置の

熱統計の世界では、教育の効果をあげるこ

電子の濃度ｎは次の式であらわされる。

とで平均はあがるが、落第するのをゼロに

E −E

n = Aexp � fkT 0 �

することはできない。熱統計の世界は、我々(35)の努力をあざ笑うが、脱線がすぎた。半導体

ここで A は比例定数である。E１の位置の電の世界では電子は一番低い空準位にいよう

子濃度ｎ １はこの式から次のようにあらわとするが、コンサートで乗りに乗った聴衆される。

が存在するようにで、電子のなかには特別

E −E

n1 = Aexp � fkT 1 �エネルギーをもった電子もいるのである。

この式より次の式が導かれる

したがって、そのような特別とも思えるエ(36)

ネルギーの高い電子についても考慮するた
E0 − E1
n1= exp ��n0kT

めに、フェルミディラック分布の計算が必要となる。
フェルミディラック分布は、半導体結晶= exp �−での電子やホールの運動エネルギーの揺らぎの確率分布を示すものであるが、次のΔ

∆E
�
kT

(37)

E だけポテンシャルエネルギーが高い場所

この(29)式は非常に重要である。エネルギの濃度計算事例を覚えておくとよい。

ー障壁ΔE を超える確率はボルツマンの式であらわされる。この式は化学反応での反応速度を記述する式と一緒である。そこでどのくらいの数の電子がΔE の障壁をのぼれるのか電 子が 密度ｎ でEo の準位に存在している。

はΔE は活性化エネルギーと呼ばれている。

E１

16.フェルミディラック分布の導出
<発展>

ΔE

E０

エネルギー準位が離散的に存在していて、準位 i における、ポテンシャルエネルギーEi

図 16 ΔE だけポテンシャルエネルギーが高い場
所の濃度計算事例とする。その準位の状態数を Zi とする。そ17

のうち粒子が占有している状態数を Di と𝐿𝐿(𝐷𝐷𝑖𝑖 , 𝑠𝑠, 𝑡𝑡) =する。つまりエネルギー準位 Ei において、電子がいることができる状態数 Zi のうちが

� log
𝑖𝑖

+ 𝑠𝑠 �𝐸𝐸 − � 𝐷𝐷𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖 �

Di だけ埋まっていて、Zi－Di が埋まってい𝑖𝑖

ないとかんがえる。
占有 Di

𝑍𝑍𝑖𝑖 𝐶𝐶𝐷𝐷𝑖𝑖+ 𝑡𝑡 �𝑁𝑁 − � 𝐷𝐷𝑖𝑖 � (45)𝑖𝑖

非占有 Zi－Di

𝑠𝑠, 𝑡𝑡は実数

𝜕𝜕𝜕𝜕=0
𝜕𝜕𝐷𝐷𝑖𝑖

Ei

𝜕𝜕𝜕𝜕
=0
𝜕𝜕𝜕𝜕

このときに、占有のされ方の組み合わせは𝑍𝑍𝑖𝑖 𝐶𝐶𝐷𝐷𝑖𝑖 =𝑍𝑍𝑖𝑖 !
(𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖 )! 𝐷𝐷𝑖𝑖 !

𝜕𝜕𝜕𝜕
=0
𝜕𝜕𝜕𝜕

(40)

を満たすように、𝐷𝐷𝑖𝑖 を決定する。後半の二式はすでに成立しているので、となる。全準位の占有のされ方の組合わせ
W は、
(41)

𝑍𝑍𝑖𝑖 𝐶𝐶𝐷𝐷𝑖𝑖

𝑊𝑊 = �
𝑖𝑖

𝜕𝜕𝜕𝜕
=0
𝜕𝜕𝑁𝑁𝑖𝑖のみを考えればよい。ここで、スターリングとなる。エントロピーS は全状態数の組みの式を使う。

合わせ W の自然対数にボルツマン定数をか𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐷𝐷𝑖𝑖

けたものであるので、
𝑆𝑆 = k B log 𝑊𝑊 = k B � log𝑖𝑖

𝑍𝑍𝑖𝑖 𝐶𝐶𝐷𝐷𝑖𝑖

(42)

=

と表される。ここで全粒子（電子）数を Nとし、また全エネルギーを E とする。式で𝑖𝑖

𝑁𝑁 = � 𝐷𝐷𝑖𝑖
𝑖𝑖

𝜕𝜕�𝜕𝜕𝐷𝐷𝑖𝑖log 𝑁𝑁! ≅ 𝑁𝑁 log 𝑁𝑁 − 𝑁𝑁

� log
𝑖𝑖

+ 𝑡𝑡 �𝑁𝑁 − � 𝐷𝐷𝑖𝑖 ��

あらわせば
𝐸𝐸 = � 𝐷𝐷𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖

(46)

𝜕𝜕
=
�
𝜕𝜕𝐷𝐷𝑖𝑖

(43)
(44)

𝑖𝑖

� log �𝑖𝑖

𝑍𝑍𝑖𝑖 𝐶𝐶𝐷𝐷𝑖𝑖 + 𝑠𝑠 �𝐸𝐸 − � 𝐷𝐷𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖 �𝑖𝑖

𝑍𝑍𝑖𝑖 !
�(𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖 )! 𝐷𝐷𝑖𝑖 !

+ 𝑠𝑠 �𝐸𝐸 − � 𝐷𝐷𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖 � + 𝑡𝑡 �𝑁𝑁 − � 𝐷𝐷𝑖𝑖 � �𝑖𝑖となる。つまり式(43)、(44)の条件で、S を最大化する。そのためには logW の変数𝐷𝐷𝑖𝑖

における偏微分がゼロとなる条件を検討する。これはラグランジュの未定係数法という。具体的には、
18

(47)

𝑖𝑖

𝐷𝐷𝑖𝑖
1
=
𝑍𝑍𝑖𝑖 1 + exp �𝐸𝐸𝑖𝑖 − 𝜇𝜇�
𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇となる。化学ポテンシャルをフェルミエネ

𝜕𝜕=
�� Zi log 𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝑍𝑍𝑖𝑖
𝜕𝜕𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖− (𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖 ) log(𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖 )ルギー𝐸𝐸f とすれば、
𝐷𝐷𝑖𝑖
1
𝐹𝐹𝐸𝐸 (𝐸𝐸) = =𝑍𝑍𝑖𝑖 1 + exp �𝐸𝐸i − 𝐸𝐸f �
𝑘𝑘B 𝑇𝑇が導かれる。

+ (𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖 ) − 𝐷𝐷𝑖𝑖 log 𝐷𝐷𝑖𝑖 + 𝐷𝐷𝑖𝑖 �=− 𝑠𝑠𝐸𝐸𝑖𝑖 − 𝑡𝑡𝜕𝜕�� (Zi log 𝑍𝑍𝑖𝑖
𝜕𝜕𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖

17.フェルミレベルとキャリア密度の関係− (𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖 ) log(𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖 )− 𝐷𝐷𝑖𝑖 log 𝐷𝐷𝑖𝑖 )� − 𝑠𝑠𝐸𝐸𝑖𝑖 − 𝑡𝑡

半導体では通常バンドギャップ内にフェ=(log(𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖 ) + 1 − log 𝐷𝐷𝑖𝑖 − 1) − 𝑠𝑠𝐸𝐸𝑖𝑖 − 𝑡𝑡
𝑍𝑍 −𝐷𝐷𝑖𝑖=log � 𝑖𝑖

𝐷𝐷𝑖𝑖

ルミレベルあるとされるが、フェルミレベ
ルとキャリア密度の関係は次の式であらわ(48)

� − 𝑠𝑠𝐸𝐸𝑖𝑖 − 𝑡𝑡 = 0

𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖
= exp(𝑠𝑠𝐸𝐸𝑖𝑖 + 𝑡𝑡)
𝐷𝐷𝑖𝑖
𝐷𝐷𝑖𝑖
1
=
𝑍𝑍𝑖𝑖 1 + exp(𝑠𝑠𝐸𝐸𝑖𝑖 + 𝑡𝑡)

される。フェルミレベルを Ef としたときに、伝導帯の底の電子のポテンシャルエネルギ
ーを Ec、価電子帯上部の電子ポテンシャル
エネルギーを Ev としたときに、自由電子の(49)

濃度をｎ、ホールの濃度をｐとすると、次の式が成り立つ。

ここで、熱力学的な考察を行う。S をエント

𝐸𝐸 −𝐸𝐸n = Nc exp �− kc T f� (53)

ロピーは、（48）式よりとなる。

𝑆𝑆 = � k B log �𝑖𝑖

𝑆𝑆 = �� k B log �𝑖𝑖

B𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖�𝐷𝐷𝑖𝑖

𝐸𝐸 −𝐸𝐸p = Nv exp �− kf Tv � (54)B

𝑍𝑍𝑖𝑖 − 𝐷𝐷𝑖𝑖��𝐷𝐷𝑖𝑖となる。この関係であるが、自由電子の密度
n は、電子の状態密度（つまり存在できる密度）にフェルミディラック分布関数をかけ= k B �(𝑠𝑠𝐸𝐸𝑖𝑖 − 𝑡𝑡)て、伝導帯の底からトップまで積分した数

𝑖𝑖= k B 𝐸𝐸𝐸𝐸 − 𝑁𝑁𝑁𝑁

値がそれにあたる。

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑠𝑠k B 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡∞

n = � 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐸𝐸)𝐹𝐹(𝐸𝐸)𝑑𝑑𝑑𝑑となる。一方、熱力学における内部エネルギーE の変分は𝑑𝑑𝐸𝐸 = 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝜇𝜇𝑑𝑑𝑑𝑑
1

𝜇𝜇

(51)

となる。ｓ = 𝑘𝑘 𝑇𝑇 𝑡𝑡 = − 𝑘𝑘 𝑇𝑇となることから、
𝐵𝐵

(52)

𝐵𝐵

19

=

4𝜋𝜋
ℎ

𝐸𝐸𝐸𝐸

∞

(2𝑚𝑚𝑛𝑛 )3/2 � �𝐸𝐸 − 𝐸𝐸𝑐𝑐 exp �−
3
𝐸𝐸𝐸𝐸

𝐸𝐸−𝐸𝐸

𝐸𝐸 − 𝐸𝐸𝑓𝑓� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇

これを求めるために、 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥と置換する。

𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇となり、また x は 0～∞の範囲をとるため

2πmn kB T

n＝
4𝜋𝜋
ℎ

3

(2𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇)2 exp �−
3となる。2 �

h2

3�
2

�

は伝導帯の実効状態∞
密度(Nc)と呼ばれる。
𝐸𝐸𝑐𝑐 − 𝐸𝐸𝑓𝑓� � 𝑥𝑥1/2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑式(53),(54)の意味するところは、自由電
𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇
0子が多いほど伝導帯とフェルミレベルの間

ここで上式の積分の項は、Γ関数と呼ば隔は小さくなる。ホールが多くなるほど、フれ、Γ関数は次のように定義される。

ェルミレベルと価電子帯の間隔は小さくな∞𝛤𝛤(𝑧𝑧) = � 𝑡𝑡 𝑧𝑧−1 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑0

るということである。

𝑧𝑧 ∈ 実数18．少数キャリアと多数キャリア∞3
� 𝑥𝑥1/2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛤𝛤 � �
20

半導体の教科書では、よくこの言葉が出てくる。多数キャリアというのは、ｎ型半導これを部分積分すると、∞

1

� 𝑥𝑥1/2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �−𝑥𝑥2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 �0体では電子のことである。少数キャリアは∞ホールということになる。ｐ型半導体では、多数がホール、少数が電子になる。まず覚え0ていただきたいのは、多数キャリアの濃度

1 ∞+ � 𝑥𝑥−1/2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
2 0

は Si 結晶においてはほぼドーピング濃度に等しいということである。SiC やアモルフ

11= Γ� �
2
2

2

ァス Si において、ドーピング濃度のすべて

ここで𝑥𝑥 = 𝑠𝑠 とくとがキャリアになるわけではないが、結晶でとなり、在しているが、ホールが全くいないかとい∞はこの近似が成り立つ。

𝑑𝑑𝑑𝑑
= 2𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑

ｎ型半導体では、結晶中に電子が多く存1𝛤𝛤 � � = � 𝑥𝑥 −1/2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
20

うと言えばそうでもない。たとえｎ型半導体といえども、熱エネルギーをもって、価電∞子から自由電子になって、ホールを作り出2= � 𝑠𝑠 −1 𝑒𝑒 −𝑠𝑠 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
0∞

す。その確率は、フェルミディラック分布で決まるが、半導体技術者は次の pn 積一定則

2= 2 � 𝑒𝑒 −𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑0を記憶していただきたい。半導体中の電子

これはガウス積分であり、√𝜋𝜋の値をとる。
したがって
𝑛𝑛 =

3
𝐸𝐸𝑐𝑐 − 𝐸𝐸𝑓𝑓 √𝜋𝜋
4𝜋𝜋(2𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇)2 exp �−�∙3
𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇2ℎ𝑛𝑛 = 2 �

3�
2

2πmnkB T�h2

exp �−の濃度をｎ、ホールの濃度ｐ、真性キャリア
密度をｎi とすると、次の式が成り立つ。
pn = ni 2(56)

真性キャリア密度 ni は次の式であらわされる。

𝐸𝐸c − 𝐸𝐸f�kB T

ni = �Nc Nv exp �−

(55)

20

Eg
�
2k B T(57)

この式において、Nc は伝導帯の実効状態密

1 𝑑𝑑𝑑𝑑(61)

𝑣𝑣 = ħ 𝑑𝑑𝑘𝑘

度、Nv は価電子帯の実効状態密度、Eg はバ
ンドギャップである。Nc と Nv は次の式でで表される。E を位置微分すると力 F が与表わされる。

えられるので、𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 𝑑𝑑𝑑𝑑
1 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑘𝑘
=
∙
=
=
∙
=ħ
𝐹𝐹＝
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
ħ 𝑑𝑑𝑘𝑘であらわされる。

2πmn kB T

3�
2

2πmp kB T

3�
2

Nc = 2 �
Nv = 2 �

h2

h2

�

(58)
(59)

�

(61)式よりで表わされる。この式において、mn、mpは、それぞれ電子とホールの状態密度有効質量である。h はプランク定数である。

バンドギ
ャ ッ プ
(eV)

(62)

𝐹𝐹 𝑑𝑑2 𝐸𝐸
𝑑𝑑v 𝐹𝐹= = 2 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 ħ 𝑑𝑑𝑘𝑘

(63)

dk

となる。一方

表 5 300K のときの真性キャリア密度
結晶材料

𝑑𝑑v 1 𝑑𝑑2 𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑=
𝑑𝑑𝑑𝑑 ħ 𝑑𝑑𝑘𝑘 2 𝑑𝑑𝑑𝑑

加速度 =真性キャリア密度(個/cm3)dt

F＝ の関係があるので、
ħとなる。運動方程式であるmdv
dt＝Fの関係かSi

1.12

1.45×1010

Ge

0.66

2.4×1013

ら電子の固体結晶内の質量（有効質量）を次

GaAs

1.43

1.79×106のように求めることができる。通常有効質量はｍ*のように表記する。
−1d2 E
𝑚𝑚 = ħ � 2 �dk

真性キャリア密度は、その結晶が不純物∗を一切含まない完全結晶であるときのキャ

2

(64)

リア濃度である。バンドギャップが低くな

有効質量はエネルギーE と波数ｋの関係のるほど真性キャリア密度が増加するのは、曲線の曲率に反比例する。この有効質量は自由空間の 9.1095×10-31kg とは異なる。

低い熱エネルギーでも容易に自由電子になE

りやすく、室温でも高いキャリア濃度になるからである。

19.

有効質量

≪発展≫

固体内では周期的なポテンシャルの中で仮にここまで電子が詰まっている場合、
この線のボトムの曲率が大きいほど、有効質量が軽くなる。

電子は電子波として運動している。電子の波束の速度𝑣𝑣は電子波の周波数を f とすると
𝑣𝑣 = 2π

∂𝑓𝑓
∂𝑘𝑘

(60)

で表される。エネルギーE は hf で表される
ので、

図 17

21

−π
a+b

還元表示の例πa+bk図 15 の一次元周期ポテンシャル中の波数る確率が非常に小さい。したがって、間接遷π移半導体で LED を作っても発光は極めて微k とエネルギーE の関係を周期性のあるa+bで折り返して表示した図を還元図（図 17）弱である。Si や Ge といった半導体は間接という。ここで、電子が点線のところまで詰

遷移型である。

まっていたとすると、矢印で示した曲線の一方、直接遷移半導体では、価電子帯上部底の曲率が大きいほど電子の有効質量は小と伝導帯底部が同じ運動量に相当しており、さくなる。すなわち移動度が大きいという伝導帯から価電子帯に遷移する過程で、運ことになる。最後に代表的な半導体の電子動量が保存され、光を発する。GaAs 等の直とホールの有効質量を表 5 に記載する。

接遷移半導体のダイオードで光を発するのは直接遷移のためである。

表 6 代表的な半導体の電子とホールの有効質量m*と自由空間電子質量 m0 の比
質量比

エネルギーE

m*/m0

Si

電子

0.19

Si

ホール

～0.5

GaAs

電子

0.07

フォノン介在遷移

GaAs

ホール

0.45

価電子帯

20.直接遷移と間接遷移

伝導帯

≪発展≫

全ての半導体が直接遷移か間接遷移かに
運動量 ħk

大別できる。直接遷移は図 18 に示されるよ
図 18

うな、エネルギーと運動量 ħk の関係の図を

間接遷移半導体のエネルギーバンド図

使って説明される。これは図 17 の横軸の波
数ｋに ħ（ディラック定数）をつけたものと直接遷移か間接遷移を見分ける方法に、考えればよい。半導体の材料によって、この

光吸収係数αと光のエネルギーの関係を取バンド図は変わってくるが、電子が詰まっ得すればよい。光の吸収係数は、ある厚みのている一番高いエネルギー帯（価電子帯）と材料を光が通過した時に強度が 1/e になる

その上の伝導帯において、価電子帯上部と厚みのことである。直接遷移半導体では、伝導帯底部が、異なる運動量 ħk の位置にあα ≈ A�hν − Eg

るものが間接遷移半導体（間接半導体）となる。価電子帯にある電子が、光の照射を受け(65)てより高いエネルギー位置に飛び移ろうとで、A は比例係数とおもってよい。また間したときに、伝導帯の底までたどり着くに接半導体では、

は、フォノン（格子振動）の助けがないと移�hν − Eg + Ep ��hν − Eg − Ep �
α∝
−
Eg
Eg
exp � � − 1
exp � � − 1
kT
kT

2

れない。したがって、また伝導帯にいた電子が価電子帯に落ちるときに、間接遷移半導体では、フォノンの介在が必要で、光を発す
22

2

(66)

で表される。ここで、Eg は半導体のバンドが比較的長くなる。再結合に要する時間をギャップ、Ep は介在するフォノンのエネル

少数キャリアのライフタイムとよぶ。ライギーである。したがって、α2 と hνの関係

フタイムの厳密な定義は、時刻 0 のときにをグラフに表して、直線関係が示されれば、存在した定常値より多く存在した過剰な少直接遷移半導体と判断する目安となる。ま

数キャリアが、再結合して 1/e になるまでた、直線と x 軸が交わる切片から、バンドの時間をいう。LSI グレードの Si 結晶ではギャップを見積もることができ、この関係

0.1～1ms 程度である。

から求めたバンドギャップは光学バンドギ

Si 結晶に不純物や欠陥が存在すると、欠ャップと呼ばれる。太陽電池材料であるア

陥準位による間接再結合が主となり、ライ

モルファス Si などの物性評価にしばしば用

フタイムは短くなる。ショットキーリード

いられる。

ホール理論によれば、バンドギャップの中央、すなわち伝導帯と価電子帯のほぼ中央

エネルギーEに準位があると、効率的に間接再結合が起こる。単位時間当たりの実質の再結合速度

伝導帯
直接遷移

は次の式であらわされる。

光放出

�pn−n 2 �

U = τ (n+n )+τi (p+p )

価電子帯

p

c

n

c

(67)

ここで、ｐとｎは過剰なホールと電子のキャリア密度であり、τp とτn はホールと電子の準位にとらわれるまでの時間（ライフ
運動量 ħk図 19タイム）である。nc、pc は次の式で示される。

直接遷移半導体のエネルギーバンド図

nc = ni exp �

21．キャリアの再結合とライフタイム

Et − Ei�kT

pc = ni exp �−

多数キャリア中に少数キャリアがいる場

Et − Ei
�
kT

(68)

(69)

合、たとえばｐ型半導体に自由電子がいる

ここで ni は真性キャリア密度、Ei は真性時とすると、自由電子は短い時間で周囲のホのフェルミレベル、E ｔは欠陥準位である。

ールと出会って結合し消えてしまう。これ

この式から、再結合速度が速い、すなわちラを再結合(recombination)という。再結合にイフタイム小さくなるのは、欠陥準位がバは直接再結合と間接再結合がある。直接再ンド中央に近いとき、さらにホールと電子結合とは前にのべたように、電子とホールの過剰キャリア濃度が等しいときである。

が直接会合して再結合をすることである。

ｐｎ接合ダイオードの接合面ではフェルミ

間接再結合は欠陥や不純物の準位を介してレベルがバンド中央にあり、ここに欠陥が再結合をすることをいう。Si 結晶がほぼ完あると非常に効率的に再結合が起こる。再全な結晶であれば、再結合は直接再結合に結合があると、ダイオードのリーク電流や限られるが、その場合再結合に要する時間

耐圧欠如の原因となる。したがって、ダイオ23

ードの品質確保のためには接合部分での欠ると次の式であらわされる。

陥や不純物蓄積に気を遣わねばならない。
n − n0∂n 1 ∂Jn=+G−
τn∂t q ∂𝑥𝑥

この式からもダイオードやトランジスタなどの製造でのｐｎ界面の高品質化の重要性を理解することができる。

(73)

Au とか Fe、Pt などの不純物が Si に混τn は電子のライフタイムである。ｎ型半導入すると、バンド中央に準位を作りライフ

体中のホール濃度は次の式であらわされる。

タイムを低下させる。このような不純物をG はキャリアの生成速度である。ｎ0 はｐ型

ライフタイムキラーと呼ぶ。ライフタイム

半導体中の定常濃度である。

キラーは太陽電池の発電効率を劣化させた

1 ∂Jp
p − p0
∂p
=−
+G−
τp
q ∂𝑥𝑥
∂t

りダイオードのリーク電流を増加させたり(74)するなど、厄介な面もあるが、スイッチング

ここでのτ p はホールのライフタイムであ

回路用のトランジスタやダイオードにおいる。ｐ０はｎ型半導体中の定常濃度である。

ては、動作速度を向上させる有効な手段でこれら式を初学者は覚える必要はないが、もあり、パワーデバイスメーカーではこのデバイスシミュレータの主要計算部分であ制御に多大な研究がおこなわれている。

ることを認識していてほしい。

22．電荷連続の式

デバイスシミュレーションは半導体デバ

23．半導体デバイスの電気特性を予測するための基礎方程式 ≪発展≫

イスの動作特性を計算予測する手法である

半導体デバイスの電気特性、すなわち電が、その中では次の式に基づいて計算が行荷の動きについては次の物理方程式を使う。

≪発展≫

われる。
半導体内の電流密度 J は電子電流密度 Jn

電荷と電位の関係 ポアソン式と Jｐの和で計算される。
J = Jn ＋Jp𝜌𝜌𝛻𝛻 2 𝛷𝛷 = − 𝜀𝜀 = −(70)

電子電流密度とホール電流密度は一次元でJp = qpμE − qDp

dn
dx

𝜀𝜀

(75)

これは電磁気学での電荷密度ρと電位 Φ

記述すると次の式であらわされる。
Jn = qnμE + qDn

𝑞𝑞(𝑁𝑁𝑑𝑑 −𝑁𝑁𝑎𝑎 +𝑝𝑝−𝑛𝑛)との関係式である。断熱過程を表す式では(71)ない。εは半導体の誘電率、q は電子電荷（ 単 位 電 荷 ）、 𝑁𝑁𝑑𝑑 がドナー密度、𝑁𝑁𝑎𝑎

dp
(72)
dx

がアクセプタ密度、𝑝𝑝と𝑛𝑛が電子密度、ホーこれらの式の第１項はドリフト電流の成分

ル密度である。この式は本著では、ｐｎ接であり、第２項は拡散電流の成分である。

合の空乏層内部での電界、電位分布の計算に使う。

半導体デバイス中のキャリアの流れを知るには電荷連続の式を解く必要がある。ｐ電子、ホールの流れ、発生消滅を扱う型半導体中の電子については一次元で考え24

電荷連続の式∂n 1
n − n0= ∇ ∙ 𝑱𝑱𝑛𝑛 + G −
∂t q
τn

∂p
∂t

1

= − ∇ ∙ 𝑱𝑱𝑝𝑝 + G −

p−p0

(77)

𝑱𝑱𝑝𝑝 = qpμ𝐄𝐄 − qDp ∇ 𝑝𝑝

(79)

𝑱𝑱𝑛𝑛 = qnμ𝐄𝐄 + qDn ∇ 𝑛𝑛

光の吸収や加熱などによってエネルギーを

(76)

τp

q

はいることを注入という。励起とは、電子が得て、上位の準位やバンドに移ることをいう。半導体ではバンドギャップ以上のエネ
ルギーをもつ光（hν>Eg)をあてると、価電(78)子が励起され伝導帯に移り自由電子になる。
１光子を吸収すると、電子とホールを 1 個ずつ形成する。電子とホールの対はエキシ

これらの式は三次元を前提に記述されてトンとよばれる。太陽電池では、光を吸収しいるが、変数の定義は前節に記載と同じでて電子とホールを生成し、それがｐｎ接合ある。この電荷連続の式は本著ではｐｎ接内にできている電界によって輸送され電流合における注入電流を計算する際に使う。

を発生させる。太陽電池の材料としてバン

デバイスシミュレータと呼ばれる半導体

ドギャップの低い Ge を使うと、Si に比べデバイスの性能予測プログラムが実用化さて長波長光での発電特性がよくなる。これれているが、半導体デバイスを細かくメッ
シュにして上記の式を矛盾なく解くことで、デバイスの電気特性や過渡特性を計算してはバンドギャップが小さいと、光子のエネ
ルギーの低い長波長光も吸収され電子とホールを生成することができるからである。

いる。近年のパソコンの CPU やメモリの高性能化に伴い、パソコンでも十分に使える25.

ようになっている。興味がある読者は、半導光のエネルギー

正確には光子（フォトン）のエネルギーと体デバイスシミュレータを検索サイトで探いうことになるが、次の式から求めることしてみるとよい。一次元のものであれば、ニができる。

ューサウスウェールズ大学で開発された

hc

PC1d が有名である。
なお上記の計算においE = hν = λては、熱分布の影響や、磁場の影響について(80)

ここで、ｈはプランク定数、νは光の振動は考慮していない。これらを含めると、大規数、c は光速、λは光の波長である。

模計算器が必要になってくる。

24．キャリアの生成
半導体中でキャリアが生成するのは、注入のときか励起のときである。注入とはｐｎ接合で電流通電によってキャリアが注入されるもので、通電時のバイポーラトラン
ジスタのベース層で起こる。なお単純にｎ型あるいはｐ型半導体の塊に電界をかけて
図 20

電荷を動かしても、これは注入にはならな

光のエネルギーと波長の関係

半導体においては、バンドギャップ以上

い。あくまでも過剰キャリアとして電荷が25の光が入射されたときに、光が吸収されてる。

電子とホールが発生するが、光のエネルギ

R = A ∙ exp �−ーを eV で表示することで、どの波長の光が

E
�
KT

(81)

吸収されるのか推定しやすい。グラフにす

ここで A は定数となるが、頻度因子とよばると次の通りである。これから明らかなよれるもので、分子の構造などの物理的な特

うに、Si のバンドギャップは 1.1eV である

徴が反映される定数である。
この式の両辺に対数をとると、log R とため、1100 nm 以下の波長の光を吸収でき

1/T は直線関係にあることがわかる。

ることがわかる。

log 𝑅𝑅 = log 𝐴𝐴 −26．活性化エネルギー
化学反応において、生成物質のエネルギ

E
KT

(82)

ーが出発物質のエネルギーより低くても単反応生成速度や膜の堆積速度を横軸に 1/T

純に化学反応は進行しない例がある。たとで、縦軸に方対数として標記したものをア

えば炭素と酸素が出会っても、ただちに

レニウスプロットと呼ぶ。次の図に、ジシラ

CO2 を作るわけではない。このようにエネンガス（Si 系水素化物ガス）を用いた Si のルギー的に有利でも、化学反応はあるエネ

成膜速度のアレニウスプロットと示す。

ルギーを超えないと進まないことがある。
Temperature (℃)

図のようにこの化学反応の山の高さが活性
1100

化エネルギーと呼ばれるものである。CO2

1000 900

800

700

1

の場合だと 160 kJ/mol 程度といわれてい

輸送律速

成膜速度(μm/min)

る。活性化エネルギーの単位は kcal/mol、kJ/mol、eV などが用いられるが、前者の二つは、アボガドロ数分だけ反応をおこすの

表面反応律速0.1に必要なエネルギーであり、後者は反応を分子１個分だけ起こすのに必要なエネルギ

0.01
0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10

ーを示す。

-1

1000/T (K )

図 22

活性化
C + O2

ジシランガスを用いた Si 成膜における堆積速度の温度依存性

エネルギー－アレニウスプロットの例

900℃より高温と低温で異なる傾きの直線
CO2
図 21

であらわされるが、これはそれぞれの温度帯で活性化エネルギーが異なることを示し活性化エネルギーの図

ボルツマン確率の説明でもあったように、ている。すなわち、反応を制限している要因

活性化エネルギーを E としたときに、そのが異なることを示しており、高温ではシラ

反応速度 R はアレニウスの式であらわされ

ンガスの輸送が律速であり、低温では表面26

からの水素脱離による表面反応律速である

分けて、シュレーディンガー方程式

ことから起きているとされている。このよħ2 𝜕𝜕𝛹𝛹 2 (𝑥𝑥)(83)

= (𝐸𝐸 − 𝑉𝑉(𝑥𝑥))𝛹𝛹(𝑥𝑥)ることで、活性化エネルギーを知ることで− 2𝑚𝑚

反応機構の解析が可能である。化学の知識

波動の式の進行波と反射波の組み合わせてではあるが半導体工学、製造では頻出の図表される。

であるので、若いうちから慣れておきたい。

x＜0

うに、反応収量をアレニウスプロット化す

𝜕𝜕𝑥𝑥 2を解く必要がある。この式の一般解は次の

0≦x≦d27.トンネル効果

≪発展≫

x＜d

𝛹𝛹(𝑥𝑥)＝𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) + 𝐵𝐵𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)𝛹𝛹(𝑥𝑥)＝𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) + 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)𝛹𝛹(𝑥𝑥)＝𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)

半導体、集積回路の世界でプレーナ技術(84)の一層の進展により、膜はより薄膜化し、リこれらに境界条件をあたえる。つまり波動ソグラフィの進歩により、デバイス形状も関数Ψは、境界で連続でありしかもその位

ナノスケールに突入している。マイクロス

置微分も連続である。

ケールでは絶縁体とみなしていたものも、

x=0 の位置で
A + B＝C + D

ナノになるとときとして、良導体としてふ（Ψが連続）𝜕𝜕𝛹𝛹k（A − B）＝χ(C − D) （ 𝜕𝜕𝜕𝜕 が連続）

るまうことがある。これはトンネル効果という現象で量子力学によって説明されているが、これもナノスケールの空隙や絶縁体、(85)

がなりたち、x =d では𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) + 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) = 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)

ダイオードでの空乏層での通電現象のひと（Ψが連続）つである。
この問題は図 23 に示される、電子がき𝜒𝜒(𝐶𝐶𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)―𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)) = 𝑘𝑘𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)

わめて狭い障壁を通過する確率を計算する∂Ψ（ が連続）∂x問題に帰着される。ここで、電子の運動エネ
ルギーを E、電子の波数を k、障壁の幅をｄ(86)が成り立つ。これから、B/A と F/A が求め

とする。

られる。
V(x)
電子ｍ、k、E2

�k 2 − χ � [1 − exp (2i𝑥𝑥𝑥𝑥)]
B＝
A �k + χ�2 − �k 2 − χ2 � exp(2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)

V0

ｄ

図 23

4𝑘𝑘𝑘𝑘exp(𝑖𝑖(𝜒𝜒 − 𝑘𝑘)𝑑𝑑)
F＝
A �k + χ�2 − �k 2 − χ2 � exp(2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)

ｘ

(87)

また、波数 k、χは次のようにあらわされる。

トンネル効果を計算するためのポテンシャル図𝑘𝑘 =この問題は x<0、0≦x≦ｄ、x＞ｄの範囲に
27√2𝑚𝑚𝑚𝑚
ħ

(88)

𝜒𝜒 =

�2𝑚𝑚(𝐸𝐸−𝑉𝑉0 )となる。これがトンネル確率の式となるが、

(89)

ħ

この障壁の幅が狭い条件であるが、(95)式

これより、反射率 R と透過率 T は
𝑅𝑅 = �

で与えられ、この式がつかえるのは 10nm
−1

∗ 2

4𝑘𝑘 2𝜒𝜒 2
𝐵𝐵𝐵𝐵
�
=
�1
+
�
(𝑘𝑘 2 − 𝜒𝜒 2 )𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜒𝜒𝜒𝜒
𝐴𝐴𝐴𝐴∗

(90)

(𝑘𝑘 2 − 𝜒𝜒 2 )𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜒𝜒𝜒𝜒
𝐹𝐹𝐹𝐹 ∗ 2
�
=
�1
+
�
𝐴𝐴𝐴𝐴∗
4𝑘𝑘 2 𝜒𝜒 2

(91)

𝑇𝑇 = �

−1

以下と考えたらよい。半導体の薄膜化や非常に狭い空乏層を考えるときに、電子の初期運動エネルギーにもよるが、10nm 以下の領域では絶縁機能を果たさなくなる恐れがあると認識しておくべきである。

で与えられる。詳しい導出過程の説明は量子力学の教科書にゆずりたいが、ここでトピックスとなるトンネル効果のトンネル確率は次のように求められる。
つまり、障壁 V0 が電子のエネルギーE より大きい場合である。このとき、χは𝜒𝜒 =�2𝑚𝑚(𝐸𝐸−𝑉𝑉0 )ħ

＝𝑖𝑖

�2𝑚𝑚�𝑉𝑉0 ―𝐸𝐸�

(92)

ħ

で与えられる。このとき透過率 T は⎡
𝑉𝑉0 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ2 �𝑑𝑑�2𝑚𝑚�𝑉𝑉0 ―𝐸𝐸��ħ�⎤⎢⎥𝑇𝑇 = ⎢1 +⎥4𝐸𝐸�𝑉𝑉0 ―𝐸𝐸�
⎢
⎥
⎣
⎦

−1

(93)

で与えられ、

𝑑𝑑

�2𝑚𝑚�𝑉𝑉0 ―𝐸𝐸�
ħ

(94)

≫1

の条件がなりたてば、すなわち障壁の幅が非常に狭いとすると、

𝑇𝑇 =16𝐸𝐸�𝑉𝑉0 ―𝐸𝐸�
𝑉𝑉0 2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−2𝑑𝑑

�2𝑚𝑚�𝑉𝑉0 ―𝐸𝐸�
ħ

(95)

�

28