Thèse de Doctorat de l’Université Bourgogne Franche-Comté
Préparée au Laboratoire de Mathématiques de Besançon
Ecole doctorale 553
Carnot-Pasteur
Doctorat de MathématiquesPar

M. Julien Koperecz

Corps p-rationnels multiquadratiques

Manuscrit soumis aux Rapporteurs
Jean-Robert Belliard
Christine Huygue
Florent Jouve
Philippe Lebacque
Ariane Mezard
Christian Wuthrich(Directeur de Thèse) Maître de Conférences(Examinatrice) Directrice de Recherche(Rapporteur) Professeur Des Universités(Directeur de Thèse) Maître de Conférences(Examinatrice) Professeure Des Universités(Rapporteur) Associate Professor

2

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesRemerciements

Tout d’abord, je veux exprimer mon infinie gratitude envers mes deux
directeurs de thèse, Jean-Robert Belliard et Philippe Lebacque, qui m’ont
soutenu, encouragé, poussé et aidé durant ces quatre dernières années.
Je tiens à leur dire ici toute ma reconnaissance. Travailler avec eux a été
un honneur autant qu’un plaisir. Ces quatre années n’auraient pas été
les mêmes sans eux.
Je tiens à remercier l’ensemble des membres du jury – Christine
Huygue, Ariane Mezard, Florent Jouve et Christian Wuthrich – d’avoir
accepté d’encadrer et juger ma soutenance de ma thèse. Merci également
à Bruno Saussereau et Marc Hindry d’avoir fait partie de mon comité desuivi : leurs conseils attentifs m’ont été d’une grande aide.
J’embrasse chaleureusement tous mes amis, et les membres de mafamille, pour leur soutien sans faille. A la patrouille du bonheur : Audry,Franck, Kevin, Manon, Margaux, Marie, Meva, Solenne et Tom (et une
pensée pour Tim et Billie). Merci à Paul, Lucie, Arnaud, Baptiste (lesdeux), Benjamin, Manon, Julien, et Antoine.
J’ai une pensée particulière pour tous les membres et anciens membres
du laboratoire de Mathématiques de Besançon, en particulier pour lesjeunes doctorants (et jeunes docteurs), que l’on ait partagé un bureau ou
non, et tous les gens merveilleux rencontrés en conférences au cours desces dernières années : Marine, Benjamin, Colin, Lucie, Coline, Guillaume,
Loris, Marsault, Mehdi, Tao, Mathieu, Charles, Audrey, Richard, Baptiste, et tous les autres.
Merci à tous mes anciens professeurs, de la prépa à la faculté, dont
beaucoup sont devenus des collègues : apprendre puis travailler avec eux
a été un véritable plaisir. Merci à Vésale de m’avoir accordé le privilège
de khôller ses taupins toutes ces dernières années.
Et merci à tous les étudiants à qui j’ai eu le plaisir d’enseigner depuis
le début, avec qui j’ai découvert le plaisir de transmettre l’amour desmathématiques.
3

4
Enfin, et puisqu’on garde toujours le meilleur pour la fin, il en est unsans qui rien n’aurait possible, qui m’a soutenu dans cette aventure plus
que personne, et qui a bataillé autant que moi dans cette affaire : mercià mon Matthieu.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

Introduction

Soit K un corps de nombres, et p un nombre premier. On note S un
ensemble fini de places de K. On peut alors considérer la pro-p-extension
S-ramifiée (c’est-à-dire non-ramifiée en dehors de S) maximale de K,
qu’on notera MS . Comprendre la structure de MS et de son groupe deGalois GS = Gal(MS /K) forme le cœur de la théorie de la ramification restreinte. Dans la suite, on s’intéressera uniquement au cas où S
contient toutes les places de K au-dessus de p. Dans ce cadre, on dira quele corps de nombres K est p-rationnel lorsque GSp = Gal(MSp /K) est un
pro-p-groupe libre, avec Sp l’ensemble des p-places de K. La p-rationalitéd’un corps de nombres est donc une hypothèse simplificatrice concernant
le comportement du premier p vis-à-vis de la structure arithmétique ducorps. Un certain nombre d’arguments algébriques et analytiques permettent de relier la p-rationalité de K à certain de ses invariants essentiels, tels le p-groupe de classes de K ou son régulateur p-adique.
La notion est étudiée depuis les années 1980, en particulier par G.
Gras, T. Nguyen Quang Do, J.-F. Jaulent, A. Movahhedi et leurs élèves.
La terminologie est due à A. Movahhedi, et apparait pour la première
fois en 1988 dans [28].
Pour restrictive que semble être cette notion, il est conjecturé par G.
Gras (dans [15]) qu’un corps de nombres est p-rationnel pour presque
tout p : cette conjecture est supportée par certaines heuristiques autant
que par l’observation empirique.
Considérant qu’un corps p-rationnel satisfait la conjecture de Leopoldt en p, les résultats obtenus dans ce cadre (en particulier, sur lamontée de la p-rationalité dans une extension de corps de nombres), ont
permis de construire une infinité de corps de nombres non-abéliens satisfaisant la conjecture de Leopoldt.
En 2016, R. Greenberg a réinventé l’utilisation des corps p-rationnels :il conjecture que, pour tout premier p impair et tout entier naturel t nonnul, il existe un corps de nombres dont le groupe de Galois sur Q est iso5

6morphe à Z/2t Z (corps multiquadratiques). Cette conjecture lui permetde construire des représentations galoisiennes dans GLn (Zp ) d’image ouverte. De nombreux auteurs se sont attelés à démontrer cette conjecture
au cours de ces dernières années ; on citera en particulier Barbulescu
et Ray ([3], 2019), Gras ([16], 2019), Assim et Bouazzaoui ([1], 2020),
Benmerieme et Movahhedi ([6] et [5], 2021).
Cette conjecture de Greenberg sur l’existence de corps p-rationnels
multiquadratiques est le fil rouge de la présente thèse.
Dans le chapitre 1, on rappelle quelques notions préliminaires, enparticulier la notion de pro-p-groupe libre, et on redonne certaines formulations de la conjecture de Leopoldt.
Dans le chapitre 2, on définit la notion de corps p-rationnel, et on
rappelle de nombreux résultats et critères connus. On présente en particulier un état de l’art concernant la conjecture de Greenberg sur le corps
p-rationnels multiquadratiques.
Dans le chapitre 3, on étudie le cas particulier du corps quadratique√Q( p) : on donne des critères simplifiés de p-rationalité pour ces corps en
fonction de la forme d’une unité fondamentale, puis on montre la façon√
dont la conjecture de Bateman-Horn implique que Q( p) est p-rationnel
pour une infinité de premiers p.
Dans le chapitre 4, on s’applique – via une méthode analytique –à démontrer qu’il existe une infinité de premiers p tels qu’un certain
corps triquadratique donné est p-rationnel. Les résultats de ce chapitreétendent au cas triquadratique les résultats connus précédemment pourles cas quadratiques et biquadratiques, et ont fait l’objet d’un article
soumis au Journal of Number Theory.
En annexe, on trouvera des éléments de démonstration d’un résultat
conditionnel (sous GRH) plus fort que la proposition analytique utilisée
et démontrée au chapitre 4 ; on trouvera également un ensemble de tables
permettant d’illustrer les résultats du chapitre 3.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesTable des matières

1 Notions préliminaires
1.1 Pro-p-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Groupes profinis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Générateurs d’un pro-p-groupe . . . . . . . . . . .
1.1.3 Pro-p-groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Conjecture de Leopoldt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Théorème des unités de Dirichlet . . . . . . . . .
1.2.2 Rang p-adique des unités de K . . . . . . . . . .
1.2.3 Régulateur p-adique . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Corps de nombres abéliens . . . . . . . . . . . . .

9
9
9
11
11
13
13
13
14
15

2 Corps p-Rationnels
2.1 Définitions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Structure de Gab . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Corps p-rationnel : définition et critères équivalents
2.2 Montée et Descente de la p-rationalité . . . . . . . . . . .
2.2.1 Descente de la p-rationalité . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Montée de la p-rationalité dans une p-extension .
2.2.3 Critère de p-rationalité impliquant les sous-corps .
2.3 Conjecture de Greenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Corps quadratiques p-rationnels . . . . . . . . . .
2.3.2 Corps biquadratiques p-rationnels . . . . . . . . .

17
17
17
19
19
21
21
21
22
23
23
28

√
3 Etude de cas : Q( p)
3.1 Critère de p-rationalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Valuation p-adique du nombres de classes . . . . .
3.1.2 Valuation du régulateur p-adique . . . . . . . . .
3.1.3 Vérification empirique . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . .

31
31
32
33
38
38

7

Table des matières
3.2

8

Implications de la conjecture de Bateman-Horn . . . . .
3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Calcul de C(f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√3.2.3 Q( p) sous Bateman-Horn . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Estimation de C(x2 + 2) et C(x2 − 2) . . . . . . .

39
39
40
40
42

4 Corps triquadratiques p-rationnels
4.1 Résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Proposition analytique : démonstration . . . . . . . . . .
4.2.1 Première minoration . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Équivalent en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Estimation du terme principal . . . . . . . . . . .
4.2.4 Termes d’erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45
46
48
49
50
52
55
56

A Une proposition analytique plus forte sous GRH
A.1 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
57

B Codes et Tables√
B.1 Q( p) : unités fondamentales
pour p ≡ 3 (mod 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√B.2 Unités de Q( p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

6164CHAPITRE 1

Notions préliminaires

1.1. Pro-p-groupes
On rappelle ci-après quelques propriétés des groupes profinis et prop-groupes. La lectrice ou le lecteur avide qui ne serait pas familier avec
ces notions pourra se référer à [37] pour en savoir plus sur les groupes
profinis en général, ou à [23] pour les pro-p-groupes en particulier.

1.1.1Groupes profinisGroupes profinis et pro-p-groupes
Définition 1.1.1. Un groupe topologique G est dit profini lorsqu’il est
isomorphe (en tant que groupe topologique) à une limite projective degroupes finis munis de la topologie discrète.
On vérifie aisément qu’un groupe profini est séparé, compact (par lethéorème de Tychonoff) et totalement discontinu.
Il s’agit en fait d’une caractérisation (voir [32] Proposition 1.1.3).
Définition 1.1.2. Soit p un nombre premier. Un groupe topologique G
est appelé pro-p-groupe lorsqu’il est isomorphe (en tant que groupe topologique) à une limite projective de p-groupes finis munis de la topologie
discrète.
Rappelons quelques propriétés élémentaires des groupes profinis etdes pro-p-groupes :9Chapitre 1. Notions préliminaires

10

Proposition 1.1.3.
1. Tout sous-groupe fermé d’un groupe profini(resp. pro-p-groupe) est un groupe profini (resp. pro-p-groupe).
2. Tout quotient G/K d’un groupe profini (resp. pro-p-groupe), avec
K un sous-groupe normal fermé dans G, est un groupe profini(resp. pro-p-groupe).
3. Tout produit direct d’une famille (Gi )i∈I de groupes profinis (resp.
pro-p-groupes), muni de la topologie produit, est un groupe profini(resp. pro-p-groupe).
4. La limite projective d’un système projectif de groupe profinis (resp.
pro-p-groupes) est un groupe profini (resp. pro-p-groupe).
Démonstration. Cf. [37] Prop. 2.2.1
Groupes profinis en tant que groupes de Galois
Les groupes profinis apparaissent de manière naturelle lorsque l’on
considère les groupes de Galois d’extensions galoisiennes infinies.
En effet, si K/k une extension de corps galoisienne (algébrique, séparable et normale) et G le groupe de Galois de cette extension, on peut
définir une topologie sur G (appelée topologie de Krull) via un système
fondamental de voisinages de l’identité composée de tous les groupes deGalois Gal(K/N ), où N est un corps intermédiaire de l’extension K/ktel que N/k est une extension galoisienne finie.
Le groupe de Galois G, muni de la topologie de Krull, est alors ungroupe profini, isomorphe à la limite projective des Gal(N/k) (avec N
comme précédemment).
Il existe alors une correspondance de Galois entre – d’un côté – lescorps intermédiaire M de l’extension K/k et – d’un autre côté – les sousgroupes fermés de G (voir [23] Theo. 2.9).
Cohomologie des groupes profinis
Pour l’ensemble des notions de cohomologie des groupes profinis, enrenvoie au classique [32] par Neukirch, Schmidt et Wingberg.
Considérant que les groupes profinis qui interviennent dans le chapitre
suivant sont des pro-p-groupes (on considérera des pro-p-extensions),
nous décrirons uniquement ces derniers dans la suite.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

11

Chapitre 1. Notions préliminaires
Dans toute la suite de cette section, on fixe un nombre premier p.

1.1.2

Générateurs d’un pro-p-groupe

Définition 1.1.4. Soit G un pro-p-groupe, et E une partie de G.
On dit que E génère G (en tant que groupe topologique) lorsque
1. le sous-groupe engendré par X est dense dans G, c’est-à-dire que
G est le plus petit sous-groupe fermé contenant E.
2. tout voisinage de 1 contient presque tout élément de E.
On parle alors de système de générateurs.
Un système de générateurs est dit minimal lorsqu’il n’admet aucune
partie propre qui forme elle-même un système de générateurs.
Note : On suit ici la définition de [23]. D’autres références, tel [37],nomme ensemble de générateurs convergeant vers 1 ce que l’on nomme
ici simplement système de générateurs.
Proposition 1.1.5. Tout pro-p-groupe admet un système de générateurs.
Démonstration. [37] Prop. 2.4.4
Si G est un pro-p-groupe, on notera d(G) le plus petit cardinal d’unsystème de générateurs de G.
On dit que G est de type fini lorsque G admet un ensemble de générateurs finis. Si G est un pro-p-groupe de type fini et U un sous-groupe
ouvert, alors U est aussi un pro-p-groupe de type fini.
Théorème 1.1.6. Soit G un pro-p-groupe, et d(G) le cardinal minimald’un système de générateurs de G. Alors on a d(G) = dimFp H 1 (G, Fp ).
Démonstration. [23] Theorem 6.2

1.1.3

Pro-p-groupes libres

Soit E = {ei | i ∈ I} un ensemble indexé par I.
On peut montrer qu’il existe un groupe pro-p-groupe, unique à isomorphisme près, et qu’on notera F (E), appelé pro-p-groupe libre sur lesgénérateurs {ei | i ∈ I}, caractérisé par les deux propriétés suivantes :1. F (E) est un pro-p-groupe contenant l’ensemble E comme systèmede générateurs.
2. Pour toute application µ : E → G dans un pro-p-groupe G, telle
tout voisinage de 1 ∈ G contient presque tout élément de µ(X), il
existe un unique morphisme de groupes topologiques µ : F (E) →G qui prolonge l’application µ.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 1. Notions préliminaires

12

Si F (X), le groupe pro-p-groupe libre sur les générateurs X, est aussi
le groupe pro-p-groupe libre sur les générateurs Y , on sait que X et Y
ont le même cardinal ([37] Lemme 3.3.5).
On a la caractérisation suivante des pro-p-groupes libres :Théorème 1.1.7. Soit G un pro-p-groupe. Les affirmations suivantessont équivalentes :1. G est un pro-p-groupe libre ;2. toute extension de G par un pro-p-groupe H est scindé ; autrement
dit, si H est un pro-p-groupe tel qu’on a une suite exacte courte
1 −→ H −→ H −→ G −→ 1
ϕalors il existe une morphisme continu σ : G → H tel que ϕ◦σ = id
3. G est un objet projectif dans la catégorie des pro-p-groupes ; autrement dit, pour tout pro-p-groupes A et B, avec φ : G → B morphisme continu, α : A → B un épimorphisme continu, il existe un
morphisme continu ϕ : G → B tel que le diagramme suivant est
commutatif :
G
ϕ

A

φ


α


/B

4. dimFp H 2 (G, Fp ) = 0.
Démonstration. Voir [23] Theorem 4.8 et Theorem 4.12
Pro-p-groupe abélien : structure de Zp -module
Soit G un pro-p-groupe abélien. Alors G possède une structure naturelle de Zp -module. En effet, on peut faire agir Zp sur G de la façon
suivante : soit a = limn→+∞ an dans Zp avec an ∈ Z. Pour g ∈ G, on
définit alors
g a = lim g ann→+∞

On vérifie alors que cette action définit bien une structure de Zp -module
sur G. 1

1. NB : cette action de Zp peut-être définie pour tout pro-p-groupe, mais n’offre
une structure de Zp -module que dans le cas où G est abélien.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

13

Chapitre 1. Notions préliminaires

1.2. Conjecture de Leopoldt
L’une des caractéristiques essentielle des corps de nombres dits prationnels est le fait que ceux-ci vérifie la conjecture de Leopoldt en p.
Celle-ci peut-être considérée comme l’analogue p-adique du théorème desunités de Dirichlet.

1.2.1

Théorème des unités de Dirichlet

Théorème 1.2.1. Le groupe UK des unités (globales) de K est isomorphe
au produit du groupe fini cyclique µ(K) des racines de l’unité de K etd’un groupe abélien libre de rang r1 + r2 − 1 :UK ' µ(K) × Zr1 +r2 −1
Plus précisément, si on pose r = r1 + r2 − 1, il existe des unités
ε0 , ε1 , . . . , εr telles que
1. Le groupe µ(K) des racines de l’unité de K, d’ordre noté w(K),est le groupe fini cyclique généré par ε0 ;2. Toute unité ε de K peut être écrite de manière unique sous la
forme
Y n
ε=
εi i
0≤i≤r

avec 0 ≤ n0 < w(K) et ni ∈ Z pour 1 ≤ i ≤ r.
Une telle famille (ε1 , . . . , εr ) d’unités est appelée famille d’unité fondamentales de K.
Démonstration. On renvoie à [38] IV.4.4 Théorème 1, [31] Chap. I, §7, ou
encore [26] Chap. 5, Theorem 38 pour une démonstration de ce résultat
classique via la théorie de Minkowski.

1.2.2

Rang p-adique des unités de K

Soit p un premier fixé. Pour toute place p ∈ Sp (p place de K audessus de p), on note
Kp le complété de K en la place p ;Op l’anneau des entiers de Kp ;Up = Op× le groupe des unités locales en p(1)

Up = {u ∈ Up | u ≡ 1 (mod pOp )} le sous-groupe associé des unités
principales.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 1. Notions préliminaires

14

×
LeY
groupe des unités globales UKY= OK
de K s’injecte diagonalement
dans
Up : on note ∆p : UK −→Up ce plongement.
p|Sp

p|Sp

On considère alors
UK0 = ∆p (UK ) ∩

Y

Up(1)

p|Sp

et UK0 l’adhérence de E 0 dansY

Up(1) pour la topologie produit.

p|Sp

Définition 1.2.2. On définit le rang p-adique des unités parrp := rangZp UK0
Définition 1.2.3 (Conjecture de Leopoldt). On dira que K satisfait à
la conjecture de Leopoldt en p lorsque le rang p-adique des unités de Kcoïncide avec son Z-rang, i.e. rp = r1 + r2 − 1.
On notera δ = δK,p = r1 + r2 − 1 − rp ≥ 0 le défaut de la conjecturede Leopoldt. Dès lors, K satisfait la conjecture de Leopoldt en p lorsqueδ = 0.

1.2.3

Régulateur p-adiqueNotons σ1 , . . . , σn les n plongements distincts de K dans Cp . Soit
(ε1 , . . . , εr ) (avec r = r1 + r2 − 1) une famille d’unités fondamentales ducorps de nombres K. On définitlogp σ1 (ε1 ) · · ·..
Rp (ε1 , . . . , εr ) := .
logp σ1 (εr ) · · ·logp σn (ε1 )

..

.

logp σn (εr )Proposition 1.2.4. Le corps K satisfait la conjecture de Leopoldt en psi et seulement si le rang de la matrice Rp est égal maximal, i.e. égalr = r1 + r2 − 1.
Remarque 1.2.5. Si K est totalement réel, la conjecture de Leopoldt pourK en p équivaut à la non-nullité delogp σ1 (ε1 )..

Rp = det .

···logp σ1 (εn−1 ) · · ·logp σn−1 (ε1 )

..

.

σn−1 (εr )appelé régulateur p-adique.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

15

1.2.4

Chapitre 1. Notions préliminaires

Corps de nombres abéliens

Bien qu’on ne dispose pas de démonstration de la conjecture de Leopoldt dans le cas général, on sait que :Théorème 1.2.6 (Brumer [4]). Soit K/Q une extension abélienne. Pour
tout premier p, le corps K vérifie la conjecture de Leopoldt en p.
Les corps considérés (multiquadratiques) à partir du chapitre 3 seront
tous abéliens.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 1. Notions préliminaires

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

16CHAPITRE 2

Corps p-Rationnels

2.1. Définitions préliminaires
2.1.1

Notations

Dans tout ce chapitre, on notera :K un corps de nombres, i.e. une extension de Q de degré fini,n = [K : Q], OK son anneau des entiers, et UK = (OK )× ,p un nombre premier,
Sp l’ensemble des p-places de K, i.e. les places de K au-dessus de p,
Sr l’ensemble des places réelles de K, avec |Sr | = r1 ,Sc l’ensemble des places complexes de K, avec |Sc | = r2 .
On notera S un ensemble fini de places de K contenant Sp .
Les objets définis ci-après dépendent du corps K et du premier p :pour éviter une multiplication indigeste d’indices, cette dépendance n’apparaîtra pas explicitement dans les notations utilisées (à moins qu’une
confusion puisse être à craindre).
On dira qu’une extension L/K est— une p-extension, lorsque L/K est une extension finie galoisienne
de degré une puissance de p.
— une pro-p-extension, lorsque L/K est une extension galoisienne
dont le groupe de Galois est un pro-p-groupe.
17Chapitre 2. Corps p-Rationnels

18— S-ramifiée lorsque les seules places de K ramifiées dans cette extension appartiennent à S, c’est-à-dire que L/K est non-ramifiée
en dehors de S.
— p-ramifiée lorsqu’elle est Sp -ramifiée.
On note alors :ΩS l’extension algébrique S-ramifiée maximale de K,
et GS = Gal(ΩS /K).
Ω = ΩSp l’extension algébrique p-ramifiée maximale de K,
et G = GSp = Gal(ΩSp /K)
MS la pro-p-extension maximale de K contenue dans ΩS ,i.e. la pro-p-extension S-ramifiée maximale de K,
et GS = Gal(MS /K).
M = MSp la pro-p-extension p-ramifiée maximale de K,
et G = GSp = Gal(MSp /K).
ab
MS la pro-p-extension abélienne maximale contenue dans Ω,
i.e. la pro-p-extension abélienne S-ramifiée maximale de K,
abet Gab
S = Gal(MS /K).
M ab = MSabp la pro-p-extension abélienne p-ramifiée maximale de K,
abet Gab = Gab
Sp = Gal(MSp /K).
f le compositum de toutes les Z -extensions de K.
Kp

Pour un corps L, on notera ε(L) =


1
0

si µp (L) 6= {1}etsi µp (L) = {1}VS (K) = {x ∈ K × | ∀v ∈ S, x ∈ (Kv× )p et ∀v ∈/ S, x ∈ (Kv× )p UK }= {x ∈ K × | x ∈ (Kv× )p , ∀v ∈ S et (x) = ap }où a désigne un idéal de K.
ΩS
MS
MSab

GS

GS

f
K

Gab
S

K
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

19

Chapitre 2. Corps p-Rationnels

2.1.2

Structure de Gab

La théorie du corps de classes, qui permet de décrire les extensions
abéliennes d’un corps de nombres, offre la suite exacte suivante :Proposition 2.1.1 ([14], p.236, III. 1.6.1 Corollary).
Y

1 −→ UK0 −→Up(1) −→ Gab −→ C`p −→ 1p∈Sp

On obtient donc :Corollaire 2.1.2. Gab est un Zp -module de rang 1 + r2 + δK .
Démonstration. Il suffit de comparer les Zp -rangs dans cette suite exacte.
Puisque C`p est fini, on a rgZp (C`p ) = 0.
(1)

Puisque, pour tout p ∈ Sp , on a rgZp UprgZp 

= [Kp : Qp ], on a alors


Y
p∈Sp

Up(1)  =X

[Kp : Qp ] = [K : Q] = r1 + 2r2p∈Sp

On a doncrgZp (Gab ) = rgZp Y

Up(1)  − rpp∈Sp

= (r1 + 2r2 ) − (r1 + r2 − 1 − δK )= 1 + r 2 + δK

2 +δK
Ainsi, on a un isomorphisme de Zp -modules Gab ' Z1+r× TK ,poù δK est le défaut de la conjecture de Leopoldt de K en p
et TK est le sous-groupe de Zp -torsion de Gab , laissant fixe le compositum
f des Z -extensions de K.
K
p

2.1.3

Corps p-rationnel : définition et critères équivalents

Théorème et Définition 2.1.3 (Corps p-rationnels).
Les conditions suivantes sont équivalentes :1. K vérifie la conjecture de Leopoldt (i.e. δK = 0) et TK = 0.
2. Gab = Gab
Sp est un Zp -module libre de rang 1 + r2 .
3. G = GSp est un pro-p-groupe libre sur (1 + r2 ) générateurs.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 2. Corps p-Rationnels
4. ε(K) =X

20

ε(Kv ) et VSp (K) = (K × )p .

v∈Sp

Si K contient µp , la condition 4) équivaut alors à
5. #Sp = 1 et C`Sp (K) = 0.
Si K vérifie l’une de ces conditions, on dira que K est p-rationnel.
KSp
KSabp
XSp

f
K

1+r2 +δK
×TK

Zp

1+r2 +δK

Zp

K
Démonstration. Voir [33] Théorème et Définition 2.1
Remarque. Lorsque p - hK , la condition VSp (K) = (K × )p équivaut à∀ε ∈ UK ,hi∀p ∈ Sp , ε ∈ (Kp )p ⇒ ε ∈ K p

Démonstration. Supposons que VSp (K) = (K × )p . Soit ε une unité de K
tel que ε ∈ (Kp )p pour tout p ∈ Sp . Puisque ε est une unité, (ε) = εOK =(OK )p . Donc ε ∈ VSp (K) = (K × )p .
ihRéciproquement, supposons que : ∀ε ∈ UK , ∀p ∈ Sp , ε ∈ (Kp )p ⇒ε ∈ K p . Soit α ∈ VSp (K). Alors (α) = ap : puisque p - hK , a est principal.
Il existe donc β ∈ K tel que αOK = (βOK )p = β p OK , i.e. ε = αβ −p ∈UK . Pour tout p ∈ Sp , α ∈ (Kp )p donc ε ∈ (Kp )p . Donc ε ∈ K p . Ainsi,
α = β p ε ∈ K p . On a donc montré que VSp (K) = (K × ).
On dispose également de la caractérisation suivante de la p-rationalité,due à T. Nguyen Quand Do :Proposition 2.1.4. Un corps de nombres K est p-rationnel si et seulement si les trois propositions suivantes sont vérifiées :f
1. le p-corps de classes de Hilbert de K est inclus dans K.

2. l’application naturelle µp (K) →Lp

3. l’application naturelle UK /(UK )v|p µp (K) est un isomorphisme.
L→ v|p Uv /(Uv )p .

Démonstration. [35] Appendix A ou [5] Proposition 2.3.1
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

21

Chapitre 2. Corps p-Rationnels

2.2. Montée et Descente de la p-rationalité
2.2.1

Descente de la p-rationalité

Proposition 2.2.1. Si K est p-rationnel, alors tout ses sous-corps sontp-rationnels.
Démonstration. [14] IV. 3.4.5 (iii) ou [28] Proposition 5
Cette propriété découle, dans [14], du principe suivant :Si L/K est une extension de corps de nombres, notons MKab (resp.
MLab ) la pro-p-extension p-ramifiée abélienne maximale de K (resp. deL), et TK (resp. TL ) le sous-groupe de Zp -torsion de MKab (resp. MLab ).
L’application jL/K : IK −→ IL d’extension des idéaux de K vers L
induit (cf. [14] IV.2) une applicationj : MKab −→ MLab
Or, si on suppose que la conjecture de Leopoldt est vérifiée en p pourla clôture galoisienne de L sur K, alors l’application j : MKab −→ MLab
est injective. En particulier, TL contient un sous-groupe isomorphe à TK .

2.2.2

Montée de la p-rationalité dans une p-extension

Miki et Sato (cf. [25] et [27]) ont montré que, dans une p-extension
L/K de corps de nombres tel que K vérifie la conjecture de Leopoldt en p,
L vérifie également la conjecture de Leopoldt en p si les deux conditions
suivantes sont vérifiées : (i) K est p-rationnel et (ii) l’ensemble des placesde K divisant p ou ramifiées dans L/K est primitif pour le couples (K, p).
Movahhedi (d’un coté) et Gras-Jaulent (d’un autre côté), ont généraliséséparément ce résultat, et ont montré que ces deux propriétés étaient
alors hérités par L.
Les résultats de cette section sont principalement tirés de [30]. Rapf désigne lepelons que K est un corps de nombres, p un premier, et Kfcompositum de toutes les Zp -extensions de K. Suivant [30], notons K(1)f c’est-à-dire le compositum
la sous-extension élémentaire maximale de K,
des premiers étage des Zp -extensions de K. Soit S un ensemble de places
fde K contenant Sp , et notons : T = S\Sp , t = card(T ) et K(1,T ) lef
sous-corps de K(1) décomposant totalement toutes les places de T .
Proposition 2.2.2 ([30] Proposition et Definition 3.1).
Les conditions suivantes sont équivalentes :Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 2. Corps p-Rationnels

22ff
1. Les Frobenius σ` de Gal(K/K)(i.e. les symboles d’Artin (`, K/K)
fpour ` ∈ T , engendrent un Zp -facteur direct libre de Gal(K/K),
de rang égal à t.
f
f
2. Les Frobenius σ`1 de Gal(K(1)/K)(i.e. les symboles d’Artin (`, K(1)/K)f
pour ` ∈ T , engendrent un sous-Fp -espace vectoriel de Gal(K(1)/K),de dimension égale à t.
ff
3. dim Gal(K(1)/K(1,T )) = t

Si l’une de ces conditions est vérifiée, on dit que l’ensemble S est primitif(pour K et p).
Définition 2.2.3. Une p-extension L/K (i.e. une extension galoisienne
finie dont le groupe de Galois est un p-groupe) est appelée primitivement
ramifiée si l’ensemble S des p-places de K et des places finies de K qui
se ramifie dans L, est primitif (pour p et K).
Théorème 2.2.4. Soit L/K une p-extension de corps de nombres. Les
conditions suivantes sont équivalentes :1. L est un corps p-rationnel.
2. K est un corps p-rationnel et l’extension L/K est primitivement
ramifiée.
Démonstration. [33] Théorème 3.7
Remarque 2.2.5. La montée de la p-rationalité dans une extension L/K
est donc totalement déterminée par le comportement des places ramifiées et des p-places lorsque L/K est une p-extension. La situation secomplexifie nettement dès lors que l’on souhaite étudier la montée de la
p-rationalité dans une extension dont le degré n’est plus une puissancede p : c’est le cas en particulier dans la suite.

2.2.3

Critère de p-rationalité impliquant les souscorps

Proposition 2.2.6. Si K est une extension finie abélienne de Q et [K :Q] n’est pas divisible par p, alors K est p-rationnel si et seulement si
toute extension cyclique de Q contenue dans K est p-rationnel.
Démonstration. [18] Prop. 3.6
Corollaire 2.2.7. Si K est un corps multiquadratique (Gal(K/Q) '(Z/2Z)t pour t ≥ 1) et p 6= 2, alors K est p-rationnel si et seulement si
tous les sous-corps quadratiques de K sont p-rationnels.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

23

Chapitre 2. Corps p-Rationnels√√
Remarque importante. Soit Q( n) et Q( m) deux corps quadratiques distincts (m, n ∈ Z−{0, 1},sans facteur carré) et soit p 6= 2
√ m 6= n,√premier. Il ne suffit pas√ Q( n) et Q( m) soit p-rationnels√pour que√ queleur compositum Q( n, m) le soit. Il faut également que Q( nm) soit
p-rationnel pour obtenir le p-rationalité du compositum.
√ √Q( n, m)√Q( n)√Q( nm)

√
Q( m)

Q
√
√
Contre-Exemple : Les corps quadratiquesQ( 2) et Q( 19) sont 5√ √rationnels. Pourtant, leur compositum√ Q( 2, 19) n’est pas 5-rationnel,
car son sous-corps quadratique Q( 38) ne l’est pas.

2.3. Conjecture de Greenberg
En 2016, R. Greenberg s’empare de la notion de corps p-rationnel
dans [18] et s’en sert pour construire des représentations de Gal(Q/Q)
vers GLn (Zp ). Cette construction repose sur une conjecture particulière,
que nous appellerons dans la suite « conjecture de Greenberg » :Conjecture 2.3.1 ([18] Greenberg). Pour tout nombre premier p, etpour tout t ∈ N, t 6= 0, il existe un corps de nombres p-rationnel dont legroupe de Galois sur Q est isomorphe à (Z/2Z)t .
Un corps de nombres dont le groupe de Galois sur Q est isomorphe à(Z/2Z)t sera appelé « corps multiquadratique ».
Dans la suite, on dira que G(t, p) est vérifiée s’il existe un corps denombres multiquadratique p-rationnel de degré 2t .
On dira également que G∞ (t, p) est vérifiée s’il existe une infinité decorps de nombres multiquadratiques p-rationnels de degré 2t .

2.3.1

Corps quadratiques p-rationnels

Le cas des corps quadratiques représente le cas élémentaire de laconjecture de Greenberg (t = 1). Nous verrons ci-après que G∞ (1, p)
est vérifiée pour tout p : quelque soit le nombre premier p, il existe une
infinité de corps quadratiques p-rationnels.
Plus précisément, il est possible de montrer qu’il existe – d’un côté –une infinité de corps quadratiques p-rationnels totalement réels, et – d’unautre côté – une infinité de corps quadratiques p-rationnels imaginaires.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 2. Corps p-Rationnels

24

Corps quadratiques : critères spécifiques
On possède certains critères spécifiques de p-rationalité pour le cas
particulier des corps quadratiques. Spécifiquement, on utilisera les critères suivants :Proposition 2.3.2. Soit K un corps quadratique et p premier tel que :soit p ≥ 5, soit p = 3 et p n’est pas ramifiée dans K/Q. Alors :1. Supposons K imaginaire. Dans ce cas, K est p-rationnel si etseulement si son p-corps de classes de Hilbert est contenue danssa Zp -extension anti-cylotomique. En particulier, si hK n’est pas
divisible par p, alors K est p-rationnel.
2. Supposons K totalement réel. Dans ce cas, K est p-rationnel si etseulement si(a) hK n’est pas divisible par p(b) et l’unité fondamentale ε0 de K n’est pas une puissance p-ième
dans le complété Kv , pour au moins une p-place v.
Démonstration. [18] Prop. 4.1
Remarque 2.3.3. Pour p ≥ 5, puisque la condition p - hK est une condition suffisante de p-rationalité dans le cas quadratique imaginaire. On
en déduit que tout corps quadratique imaginaire est p-rationnel pourpresque tout p.
Pour traiter le cas particulier d’un corps quadratique totalement réel
K, il est possible d’employer un critère équivalent faisant intervenir lerégulateur p-adique de K. Plus précisément :Proposition 2.3.4. Soit K un corps de nombres quadratique totalementréel, et p un nombre premier supérieur ou égal à 5. Notons Rp le régulateur p-adique de K. Alors K est p-rationnel si et seulement si les deux
conditions suivantes sont vérifiées :1. p ne divise pas le nombre de classes hK1

2. vp (Rp ) =  2
1

si p ramifié dans K
si p non-ramifié dans K

Démonstration. Si K est un corps de nombres totalement réel, K vérifie
la conjecture de Leopoldt en p précisément lorsque son régulateur padique Rp est non-nul. Dès lors, si Rp 6= 0, une formule démontrée par
Coates ([9] Appendix, Lemma 8) lie le cardinal de TK (qui est alors un
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

25

Chapitre 2. Corps p-Rationnels

p-groupe fini) avec Rp : le cardinal de TK est égal (à multiplication par
une unité p-adique près) à :hK Rp Y|µp∞ ∩ K(µp )| √(1 − (N v)−1 )dK v|pDans le cas particulier où K est un corps quadratique totalement réel,avec p ≥ 5, on a alors :vp (|µp∞ ∩ K(µp )|) = 1
vp

q



dK =



vp 



(1 − (N v)−1 ) =

Y
v|p


0
1/2

si p est non-ramifié dans K
si p est ramifié dans K

 

1

v
1
−
= −1


p
 p


v

si p ramifié dans K(1 − 1 )2 = −2

p
p




v 1 − 1 = −2p

si p totalement décomposé dans K
si p inerte dans K

p2

On obtient donc

vp (TK ) = 1 + vp (hK ) + vp (Rp ) +


−2
− 3
2

si p non-ramifié dans K
si p ramifié dans K

Valuation p-adique du nombre de classes
Dans le cas particulier où l’on souhaite déterminer la p-rationalitéd’une famille de corps de nombres, il est parfois difficile d’obtenir des informations précises sur le comportement du nombre de classes pour cettefamille de corps. Heureusement, seule la valuation p-adique du nombre
de classes nous intéressera. Il est alors possible de vérifier indirectement
que p ne divise pas hK en majorant hK par une quantité strictement
inférieure à p. Pour cela, on fera usage de l’estimation suivante :Proposition 2.3.5 ([24], Prop. 2). Soit L un corps quadratique. Alors1
κL ≤ (log dL + µL )2où κL = lim(s − 1)ζL (s) est le résidu de la fonction ζL en s = 1, dL =s→1
|disc(L)| et2 + γ − log(4π)µL = 

2 + γ − log(π)

si L est totalement réelsi L est imaginaire

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 2. Corps p-Rationnels

26

Si L est un corps quadratique imaginaire, il suffit d’associer la précédente proposition à la formule du nombre de classes
κL =

2πhK
√
wK dL

pour obtenir :Proposition 2.3.6. Soit L un corps quadratique imaginaire.
On note dL = |disc(L)|. On a :√w L · dL(log(dL ) + 2 + γ − log(π))
hL ≤
4π
où



6

si d = 3
wL = 4 si d = 4
2 si d ≥ 5et γ est la constante d’Euler.
De plus, on 2 + γ − log(π) ≤ 23 .
Corps quadratiques imaginaires
Muni de la condition suffisante de p-rationalité évoquée précédemment, on peut utiliser le résultat suivant :Théorème 2.3.7 ([20] Hartung). Soit p premier impair. Il existe une
infinité de corps quadratiques imaginaires dont le nombre de classes n’est
pas divisible par p.
Remarque 2.3.8. Hartung ne prouve le théorème précédent que dans lecas p = 3. Mais la méthode est généralisable à tout p premier impair.
En appliquant la proposition 2.3.2 et le théorème 2.3.7, on obtient :Corollaire 2.3.9. Pour tout p ≥ 5 premier, il existe une infinité decorps quadratiques imaginaires p-rationnels. Autrement dit, G∞ (1, p) est
vérifiée pour tout p ≥ 5.
Corps quadratiques totalement réels
Le cas totalement réel s’avère d’une bien plus grande difficulté que lecas imaginaire. La p-rationalité d’un corps de nombres est liée de manière
intrinsèque au comportement local (en p) des unités.
La littérature offre des exemples de corps p-rationnels. On citera tout
d’abord certains résultats de D. Byeon, datant de 2000, qui offre desexemples de famille de corps p-rationnels totalement réels :Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

27

Chapitre 2. Corps p-Rationnels

Théorème 2.3.10 ([8], Prop. 3.1). Soit un premier p > 3 et soit
√ D leD) =discriminantfondamental
du
corps
quadratique
totalement
réel
Q(
√ 2
Q( p + 4). Alors :!
√D= 1, i.e. p se décompose totalement dans Q( D).
1.
p
2. h(D) 6≡ 0 mod p
1
3. |Rp (D)|p =pThéorème 2.3.11 ([8], Prop. 3.1). Soit un premier p > 3, p ≡ 3 mod 4,
et soit √D le discriminantfondamental du corps quadratique totalement√ 2
réel Q( D) = Q( p − 1). Alors :!
√D= −1, i.e. p reste inerte dans Q( D).
1.
p
2. h(D) 6≡ 0 mod p
1
3. |Rp (D)|p =pCorollaire
2.3.12. Pour tout premier p > 3, le corps quadratique réel
√ 2
Q( p + 4) est p-rationnel.
Corollaire 2.3.13.√Pour tout premier p > 3, p ≡ 3 mod 4, le corps
quadratique réel Q( p2 − 1) est p-rationnel.
Plus généralement, les résultats de [8] offre, pour p premier fixé, une
infinité de corps quadratiques p-rationnels.
D’autres corps quadratiques totalement réels particuliers nous serons
spécialement utile dans la suite.
Proposition 2.3.14 ([6] Prop. 4.4). Pour tout premier p ≥ 5, les corps
quadratiques totalement réels
q

Q



p(p − 2) ,

q

Q



p(p + 2)et Q

q(p − 2)(p + 2)sont p-rationnels.
La démonstration de ce résultat repose en grande partie sur le faitque ces familles de corps quadratiques totalement réels admettent desunités fondamentales dont une expression relativementq
simple peut êtredonnée. Par exemple, l’unité fondamentale du corps Q p(p + 2) s’exprime simplement sous la forme ε = p + 1 +q

p(p + 2).

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 2. Corps p-Rationnels

28

Corps biquadratiques p-rationnels

2.3.2

Corollaire 2.3.15. Pour tout p 6= 3, le corps biquadratique


√

Q

−p,

q

−(p + 2)

est p-rationnel.
√Q√
Q ( −p)

−p,

q

Q

q

−(p + 2)p(p + 2)





q

Q

−(p + 2)Q
Démonstration. En effet, Qq

p(p + 2) est p-rationnel par la proposiq√tion précédente. De même, Q ( −p) et Q −(p + 2) sont p-rationnels
car leur nombre de classes n’est pas divisible par p. Pour le montrer, il
suffit de vérifier que, pour tout p ≥ 5, on a√4p
1
log(4p) +< p et
2π
2




q


4(p + 2) 1log(4(p + 2)) +
<p+2
2π
2

De même, on a
Proposition 2.3.16. Pour tout p ≡ 3 mod 4, le corps biquadratique
q

Q

q



q



−(p − 1), −(p + 1)

est p-rationnel.
q

Q
q

Q

−(p − 1)−(p − 1), −(p + 1)√
Q( p2 − 1)

qQ−(p + 1)

Q

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques29

Chapitre 2. Corps p-Rationnels

Suivant le même principe, Y. Benemerieme et A. Movahhedi sontparvenus à exhiber corps biquadratique totalement réel suivant :Proposition 2.3.17 ([6] Prop. 4.4). Pour tout premier p ≥ 5, le corps
biquadratique totalement réel
q

q



q

p(p − 2), p(p + 2)q

p(p − 2), p(p + 2)Q
est p-rationnel.
Q

q

Q



p(p − 2)q

Q(p − 2)(p + 2)



q

Q

p(p + 2)



Q
Remarque 2.3.18. On montrera au chapitre 4 que, lorsqu’on adjoint une
racine carré de −1 à ce corps biquadratique, on obtient un corps triquadratique qui est p-rationnel pour une infinité de premiers p.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 2. Corps p-Rationnels

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques30CHAPITRE 3√
Etude de cas : Q( p)Introduction Nous avons vu au chapitre précédent que l’étude de la
p-rationalité d’un corps quadratique est bien plus complexe dans le casd’un corps quadratique totalement réel que dans le cas imaginaire. Pourp fixé, on ne connait que peu de corps quadratique totalement réel donton peut démontrer la p-rationalité. La difficulté principale est à trouver
au niveau des unités. C’est la raison pour laquelle on se propose ci-après√d’étudier le cas particulier de Q( p). Dans [6], les auteurs se posent laquestion de la p-rationalité de ces corps quadratiques totalement réels. Ils√
remarquent que l’étude de la p-rationalité de Q( p) se ramène à l’étude
de son unité fondamentale.
Dans la suite, on fixe un nombre premier p (p ≡ 3 (mod 4) à partir√de la section 2), et on note K = Q( p).

3.1. Critère de p-rationalité
On montrera d’abord que le nombre de classes de K n’est pas divisible
par p, avant de dégager un critère de p-rationalité dans le cas où p ≡ 3√(mod 4). En particulier, on montrera que la p-rationalité de Q( p), dansle cas p ≡ 3 (mod 4), se ramène à une propriété arithmétique simple√
concernant les coefficients de l’unité fondamentale dans la base (1, p).
31

√Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)

3.1.1

32

Valuation p-adique du nombres de classes

Rappelons que, pour K un corps quadratique totalement réel, la nondivisibilité par p du nombre de classes hK est une condition nécessairepour que K soit p-rationnel.
√
Afin de montrer que p ne divise pas le nombre de classes de Q( p),on va montrer que hQ(√p) < p. Pour cela, on peut utiliser la proposition
suivante, qui est un corollaire de la proposition 2.3.5 :Proposition 3.1.1. Soit L un corps quadratique totalement réel de discriminant dL et d’unité fondamentale ε. On a
√
dL
hL ≤
(log(dL ) + µL )4 · log(ε)
Démonstration. Pour un corps quadratique totalement réel, la formule
du nombre de classes et la proposition 2.3.5 donnent
12 · RegL · hL√
= lim(s − 1)ζK (s) ≤ (log(dL ) + µL )s→1
2dL
avec µL = 2 + γ − log(4π) = 0.04619 . . .
Donc
√
dL
(log(dL ) + µL )hL ≤4 · RegL
avec RegL = log(ε) et µL ≤ 1/10.
On en déduit :Proposition 3.1.2. Pour tout p 6= 2 premier, le nombre de classes de√Q( p) n’est pas divisible par p.
Démonstration. Soit p premier impair.
√
On note : K = Q( √p), et dK = disc(K).
p
On a dK ≤ 4p, ε > 2 , et ε l’unité fondamentale de K.
Par la proposition précédente, on a donc :
√
√
2 p
4p
√ log(4p) + 1
  (log(4p)+1) = p·
√ (log(4p)+µL ) ≤hK ≤plog( p4 )4 · log( 2 )2 log p4
avec

log(4p) + 1
 
p
4

<

√
p pour p ≥ 17.

log
Donc hK < p pour p ≥ 17 et on peut vérifier à part que, pour p =3, 5, 7, 11, 13, hK = 1.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)

33

3.1.2

Valuation du régulateur p-adique√Puisque le nombre de classe de Q( p) n’est pas divisible par p, la
p-rationalité de ce corps de nombres peut être déterminé à partir d’uneunité fondamentale. Plus précisément, on peut déterminer la p-rationalité√de Q( p) en déterminant la valuation p-adique de son régulateur padique. L’intérêt pratique à étudier spécialement le corps de nombres√Q( p) tient au fait qu’il est possible d’obtenir dans ce cas un certain
nombre d’informations sur la forme de son unité fondamentale en fonction du nombre premier p.
On se place uniquement dans le cas p ≡ 3 (mod 4), où l’anneau des√√entiers de Q( p) est simplement Z[ p].
Nous allons d’abord montrer la proposition suivante :√Proposition 3.1.3. Soit p premier, p ≡ 3 (mod 4). Soit K = Q( p) etu ∈ UK une unité de K de norme 1. Alors u est d’une des deux formes
suivantes :1. Soit il existe k ∈ Z, k 6= 0, tel que k(kp + 2) est un carré etu = kp + 1 ± (k(kp + 2))1/2√

p

2. Soit il existe k ∈ Z, k 6= 0, tel que k(kp − 2) est un carré etu = kp − 1 ± (k(kp − 2))1/2√
p√Démonstration. Soit u = x + y p (avec x, y ∈ Z) une unité de K denorme 1. Alors on a : N (u) = x2 − py 2 = 1, i.e. (x − 1)(x + 1) = py 2 .
— Premier cas : si p divise x − 1, il existe k ∈ Z tel que x = kp + 1,
kp(kp + 2)
(x − 1)(x + 1)=
= k(kp + 2).
et on obtient y 2 =pp√
On a alors : u = kp + 1 ± (k(kp + 2))1/2 p.
— Deuxième cas : si p divise x + 1, il existe k ∈ Z tel que x = kp − 1,
(x − 1)(x + 1)
(kp − 2)kp
et on obtient y 2 === k(kp − 2).
pp√
On a alors : u = kp − 1 ± (k(kp − 2))1/2 p.

Remarque 3.1.4. Si u est une unité de norme 1 de la forme u = kp + 1 ±√(k(kp + 2))1/2 p, remarquons que k(kp + 2) = −k(−kp − 2). Alors, si on√
pose k 0 = −k, on a −u = k 0 p − 1 ∓ (k 0 (k 0 p − 2))1/2 p.
√
Proposition 3.1.5. Soit p premier, p ≡ 3 (mod 4). Soit K = Q( p) et
ε > 1 l’unité fondamentale de K. Alors :Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)34

1. Si p ≡ 7 (mod 8), il existe k ∈ N∗ un carré tel que kp + 2 est un
carré et√ε = kp + 1 + (k(kp + 2))1/2 p
2. Si p ≡ 3 (mod 8), il existe k ∈ N∗ un carré tel que kp − 2 est un
carré et√ε = kp − 1 + (k(kp − 2))1/2 p
Démonstration. Puisque p ≡ 3 (mod 4), une unité fondamentale de K
est nécessairement de norme 1 (cf. [34] Corollaire 3.3). Ainsi, l’unité fondamentale ε de K est nécessairement d’une des deux formes précédentes.
√
Puisque ε = x + y p avec x, y > 0, on nécessairement k > 0.
Dans les deux cas, on peut remarquer que k est soit un carré, soit
deux fois un carré : en effet, le seul facteur premier commun possible dek et kp + 2 (resp. k et kp − 2) est 2. On peut montrer que, s’il s’agit dedeux fois un carré, alors ε est lui-même le carré d’une unité de K, ce qui
ne peut advenir puisque ε est une unité fondamentale.
√— Premier cas : Supposons que ε = kp + 1 + [k(kp + 2)]1/2 p avec
k = 2b2 . Alors kp + 2 = (2b2 p + 2) = 2(b2 p + 1) est aussi deux fois
un carré, i.e b2 p + 1 est un carré : notons a2 = b2 p + 1. Dès lors,√a + b p est une unité de K (de norme 1), et on ahε = 1 + 2b2 p + 2b2 (2b2 p + 2)

i1/2 √h= a2 − b2 p + 2b2 p + 4b2 (b2 p + 1)hi1/2 √= a2 + b2 p + 4b2 a2p√ 2= (a + b p)p

i1/2 √p√— Deuxième cas : Supposons que ε = kp − 1 + [k(kp − 2)]1/2 p avec
k = 2b2 . Alors kp − 2 = 2b2 p − 2 = 2(b2 p − 1) est aussi deux fois
un carré, donc b2 p − 1 est un carré : notons a2 = b2 p − 1. Alors√a + b p est une unité de K (de norme −1). Alors on a :h

ε = 2b2 p − 1 + 2b2 (2b2 p − 2)hi1/2 √pi1/2 √= 2b2 p + a2 − b2 p + 4b2 (b2 p − 1)hi1/2 √= a2 + b2 p + 4b2 a2p√ 2= (a + b p)p

Ainsi, k ∈ N∗ est bien un carré, et on en déduit que kp + 2 (dans lepremier cas) ou kp − 2 (dans le deuxième cas) est également un carré.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)35

Reste à montrer que chacune de ces décompositions advient en fonction du résidu de p modulo 8. Or, on sait que ce résidu gouverne
la décom√√position du premier p dans les corps quadratiques Q( 2) et Q( −2) ;plus précisément, on a :Lemme 3.1.6.
√ Soit p un premier impair.
Dans Q( 2), le premier p reste inerte si p ≡ 3 ou 5 (mod 8), et est
totalement décomposé
si p ≡ 1 ou 7 (mod 8).
√
Dans Q( −2), le premier p reste inerte si p ≡ 5 ou 7 (mod 8), et
est totalement décomposé si p ≡ 1 ou 3 (mod 8).
Si p ≡√ 7 (mod 8), alors on retrouve le premier cas (cas p décomposé
dans Q( 2)). Si√p ≡ 3 (mod 8), alors on retrouve le deuxième cas (casp inerte dans Q( 2)).
En effet, si on se trouve danscas, alors kp + 2 est un carré :√ le premier√2
on a kp + 2 = y , d’où (y −  2)(y + 2) = kp.
√√
On a N (y + 2)OQ(√2) = NQ(√2)/Q (y + 2) = y 2 − 2 = kp√√et N (y − 2)OQ(√2) = NQ(√2)/Q (y − 2) = y 2 − 2 = kp√
On est donc dans le cas où p se décompose dans Q( 2), donc p ≡ 7(mod 8) (rappelons qu’on a supposé que p ≡ 3 (mod 4)).
2
Si on est dans le deuxième
cas,√√ alors kp − 2 = y est un carré,
et alors kp = (y − −2)(y√+ −2), et on en déduit de la même façon
que p est décomposé dans Q( −2), donc p ≡ 3 (mod 8).
Dès lors, on peut montrer les propositions suivantes :Proposition 3.1.7. Soit p un premier, p ≡ 7 (mod 8). On note K =√Q( p), et ε l’unité fondamentale de K. On aε = kp + 1 + (k(kp + 2))1/2√

pavec k ∈ N un carré tel que kp + 2 est un carré.
Alors K est p-rationnel si et seulement si k n’est pas divisible par p.
Démonstration. On a montré que le nombre de classes de K n’était pas
divisible par p. Dès lors, on sait que K est p-rationnel si et seulement si√
vp (logp (ε)) = 12 (car p se ramifie dans K). Soit p = pOK l’unique idéal
1de K au-dessus de p. Soit x ∈ Kp . On sait que, dès que vp (x) > p−1,

alors vp logp (1 + x) = vp (x). (voir [11] Prop. 4.2.10)

√ D’où K est p-rationnel si et seulement si vp kp + (k(kp + 2))1/2 p =1. Cela est vérifié si et seulement si k(kp + 2) n’est pas divisible par p,
2
c’est-à-dire si p ne divise pas k.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)36

Proposition 3.1.8. Soit p un premier, p ≡ 3 (mod 8). On note K =√Q( p), et ε l’unité fondamentale de K. On aε = kp − 1 + (k(kp − 2))1/2√
pavec k ∈ N un carré tel que kp − 2 est un carré.
Alors K est p-rationnel si et seulement si k n’est pas divisible par p.
Démonstration. On peut procéder de la même façon que précédemmenten reconnaissant que, si k 0 = −k, alors√
ε0 = −ε = k 0 p + 1 − (k 0 (k 0 p + 2))1/2 p
est aussi une unité fondamentale de K. Alors, de la même façon que
précédemment, la p-rationalité de K équivaut à vp logp (ε0 ) = 12 , ce quiéquivaut encore à p ne divise pas k 0 , i.e. p ne divise pas k.
Nous donnons ci après une démonstration du résultat√utilisé concer√
nant la décomposition de p dans les corps quadratiques Q( 2) et Q( −2).
Démonstration du Lemme. Rappelons que la décomposition d’un premier p dans un corps quadratiquede discriminant D dépend de la valeur
 
8du symbole de Kronecker p (voir [11] Proposition 3.4.3 par exemple).
√√
1. Décomposition des premiers dans Q( 2) : le discriminant de Q( 2)est 8. Ainsi, la décomposition d’un premier p dans ce corps quadratique est
déterminé par la valeur du symbole de entièrement
Kronecker p8 . On a :ramifié

si p = 2
si p8 = −1

p est inerte

 


totalement décomposé si 8 = 1
pOr, on a

 
8
p

=

 3
2
p

avec

 
2
p

p2 −1

= (−1) 8— Si p ≡ 1 (mod 8), alors p = 8h + 1, donc p2 = 64h2 + 16h + 1 =p2 −1
16H+1−12
16(4h +1)+1 ; donc 8 == 2H est pair et p8 = 1,8i.e. p est totalement décomposé.
— Si p ≡ 3 (mod 8), alors p = 8h + 3, donc p2 = 64h2 + 48h + 9 =216(4h2 + 3h) + 9; donc p 8−1 = 16H+9−1= 16H+8= 2H + 1 est
8
8
8
impair, et donc p = −1, i.e. p reste inerte.
— Si p ≡ 5 (mod 8), alors p = 8h+5, donc p2 = 64h2 +80h+25 =2
16(4h2 + 5h + 1) + 9; donc p 8−1 = 16H+9−1= 16H+8= 2H + 1
8
8
8
est impair, et donc p = −1, i.e. p reste inerte.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)37— Si p ≡ 7 (mod 8), alors p = 8h + 7, donc p2 = 64h2 + 112h +2
49 = 16(4h2 + 7h + 3) + 1 ; donc p 8−1 = 16H+1−1= 2H est pair88
et p = 1, i.e. p est totalement décomposé.
√
En résumé, dans Q( 2), un premier p 6= 2 est inerte si p ≡ 3 ou 5
(mod 8), et est totalement décomposé si p ≡ 1 ou 7 (mod 8).
√−2) : le discriminant de2. Décomposition
despremiersdansQ(√Q( −2) est −8. Ainsi, la décomposition d’un premier p dans ce
corps quadratique est entièrement
déterminée par la valeur du−8symbole de Kronecker p . On a :ramifié

si p = 2
= −1
si −8
p

p est inerte

 


totalement décomposé si −8 = 1
pOr, on a

 
8
p

=



−1
p

  3
2
p

avec

 

 

2
p

p2 −1

= (−1) 8 et






−1
p



n−1

= (−1) 2
— Si p ≡ 1 (mod 8), alors p8 = 1 et −1= 1, donc −8= 1,ppi.e. p est totalement décomposé.
 
 
 
−8
=
−1,
donc
=
— Si p ≡ 3 (mod 8), alors p8 = −1 et −1pp1, i.e. p est totalement décomposé.
 
 
 
−8
=
1,
donc
=
— Si p ≡ 5 (mod 8), alors p8 = −1 et −1pp−1, i.e. p reste inerte.  
 
 
−8
— Si p ≡ 7 (mod 8), alors p8 = 1 et −1
=
−1,
donc
=
p
p
−1, i.e. p reste inerte.
√
En résumé, dans Q( −2), le premier p reste inerte si p ≡ 5 ou 7
(mod 8), et est totalement décomposé si p ≡ 1 ou 3 (mod 8).

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)

3.1.3

38

Vérification empirique√
On peut alors vérifier empiriquement que Q( p) est p-rationnel pour
tout p ≤ n, avec n assez grand.
On utilise le code PARI/GP suivant :{forprime(p=3,10000000,
if(Mod(p,4)==Mod(3,4),
K = bnfinit(x^2-p,1);
e = lift(K.fu[1]) ;a = polcoef(e,0) ;a = sign(a)*a ;if(Mod(a-1,p)==Mod(0,p), k = (a-1)/p ) ;if(Mod(a+1,p)==Mod(0,p), k = (a+1)/p ) ;if(Mod(k,p)==Mod(0,p), print(p) )))}
gp>
On vérifie alors que, pour tout p premier, p ≡ 3 (mod 4), p ≤ 107 ,√Q( p) est p-rationnel.

3.1.4

Pour aller plus loin

On peut remarquer qu’il n’est même pas nécessaire d’avoir une unité√
fondamentale pour vérifier la p-rationalité de Q( p) : avoir à disposition
une simple unité suffit amplement.
On considère toujours le cas p ≡ 3 (mod 4).
Remarquons que les propositions précédentes donnant la forme desunités sont en fait des équivalences : si on a k ∈ Z tel que k(kp + 2) est√√
un carré, alors ±(kp + 1) ± (k(kp + 2))1/2 p est une unité de Q( p).
Supposons que ε = k0 p + 1 + (k0 (k0 p + 2))1/2 . Alors k est un multiple
de k0 ; ainsi, si p ne divise pas k, alors p ne divise pas k0 , et on peut en√
déduire que Q( p) est p-rationnel.
√
On peut alors envisager de montrer que Q( p) est p-rationnel pourune infinité de premiers p en fixant k entier, et en cherchant les premiers
p ne divisant pas k et tels que k(kp + 2) est un carré (voir annexe).
Le cas k = 1 se présente comme un cas particulier du développement
de la section suivante.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)39

3.2. Implications de la conjecture deBateman-HornD’après les résultats de la section précédente, nous avons montré que –pour un premier p ≡ 3 (mod 4) – s’il existe k ∈ N tel que p ne divise pas k√et k(kp+2)q
est un carré, alors
Q( p) est p-rationnel. Concurremment, onqsait que Q( p(p + 2)) et Q( p(p − 2)) sont p-rationnels pour tout p 6= 5
premier impair. Ces deux points nous amènent à considérer les premiers
p tels que p + 2 ou p − 2 est un carré : dans ce cas, le corps quadratique√Q( p) est nécessairement p-rationnel. Nous allons montrer dans la suiteque la conjecture de Bateman-Horn implique que cette situation advient√
pour une infinité de premier p, et donc que Q( p) est premier pour une
infinité de premier p.

3.2.1

Introduction

Formulée en 1962 par Paul T. Bateman et Roger A. Horn, la conjecture du Bateman-Horn s’efforce de répondre à la question suivante : étant
donnée une collection de polynômes à coefficients entiers f1 , . . . , fr , àquelle fréquence les valeurs f1 (n), . . . , fr (n) sont-elles toutes simultanément des nombres premiers ?
La conjecture de Bateman-Horn est une généralisation de théorèmesaussi importants que le théorème des nombres premiers ou le théorème deGreen-Tao. Mais il s’agit aussi d’une généralisation d’autres conjectures(toujours ouvertes) de théorie analytique des nombres, telle la conjecturede Landau, ou la conjecture des nombres premiers jumeaux.
On trouvera dans [2] une exposition détaillée de cette conjecture,de ses ramifications et son histoire. On y trouvera surtout un certain
nombre d’heuristiques qui supportent très fortement la véracité de cetteconjecture.
La conjecture de Bateman-Horn peut s’énoncer ainsi :Conjecture 3.2.1. Soit f1 , f2 , . . ., fk ∈ Z[X] des polynômes irréductibles distincts, et dont les coefficients dominants sont positifs. On note
Q(f1 , f2 , . . . , fk ; x) = #{n ≥ x | f1 (n), f2 (n), . . . , fk (n) sont premiers }Supposons qu’il n’existe aucun premier p tel que f = f1 f2 · · · fk soit identiquement nul modulo p, i.e. f (n) ≡ 0 (mod p) pour tout n ∈ Z. Alors
Q(f1 , f2 , . . . , fk ; x) ∼C(f1 , f2 , . . . , fk ) Z x dt
Qk
2 (log t)ki=1 deg fi

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)

40

avec
C(f1 , f2 , . . . , fk ) =

Y
p

1
1−
p

!−k

ωf (p)1−p!

=

Y p − ωf (p)pp−1

et ωf (p) le nombre de solutions modulo p de l’équation f (n) ≡ 0 (mod p)

3.2.2

Calcul de C(f )Le fait que C(f ) 6= 0 n’est pas trivial, mais est traité de manière
extensive dans [2], Section 5.
Afin de calculer C(f ) pour un polynôme f ∈ Z[X] donné, il est nécessaire de calculer ωf (p) pour tout premier p.
Rappelons le critère de factorisation de Dedekind :Soit K = Q(θ) un corps de nombres, avec θ ∈ OK . Soit p un
nombre premier. On note f le polynôme minimal de θ sur Q.
Notonsf (x) ≡ g1 (x)e1 g2 (x)e2 · · · gk (x)ek(mod p)la décomposition de f en produit d’irréductibles dans Fp [X].
Si p ne divise pas [OK : Z[θ]], alors pOK se décompose en
produits d’idéaux premiers dans K sous la forme
pOK = pe11 pe22 · · · pekk
et deg gi (x) est le degré d’inertie de pi au-dessus de p.
Dès lors, pour a ∈ Z, on a f (a) ≡ 0 (mod p) si et seulement si (x − a)divise f (x) modulo p, si et seulement si gi (x) = x − a pour un certain i.
Par le critère de Dedekind, on en déduit que, lorsque p ne divise pas[OK : Z[θ]], f (a) ≡ 0 (mod p) si et seulement si il existe un idéal p
au-dessus de p tel que f (p|p) = 1, i.e. p est de norme p.
Pour presque tout premier p (dès que p ne divise pas [OK : Z[θ]]), lenombre de solutions ωf (p) de l’équation f (x) ≡ 0 (mod p) est donc égalau nombre d’idéaux premiers de K(θ) de norme p au-dessus de p.

3.2.3

√
Q( p) sous Bateman-Horn

On montre que :Proposition 3.2.2. Sous la conjecture de Bateman-Horn, il existe une√
infinité de premiers p tels que Q( p) est p-rationnel.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)41

Démonstration. On suppose vérifiée la√conjecture de Bateman-Horn.
√
Notons f (X) = X 2 + 2 et K = Q( −2). On a OK = Z[ −2].
Remarquons que la décomposition en produit d’irréductibles de f (X)modulo p décrit alors la décomposition de l’idéal pOK , selon la règlesuivante— p se ramifie dans K si et seulement si f (x) = g(x)2 modulo p.
Puisque f est de degré 2, g(x) = x − α est de degré 1, et offre une
unique racine modulo p de f .
— p reste inerte dans K si et seulement si f (x) est irréductible modulo p, et alors f n’admet aucune racine modulo p.
— p se décompose totalement dans K si et seulement si f (x) =g1 (x)g2 (x) modulo p (où g1 et g2 ne sont pas égaux à multiplication par un inversible près). Alors g1 (x) = x − α et g2 (x) = x − β,et on obtient deux racines distinctes de f modulo p.
Notons ω(p) le nombre de solutions de l’équation f (x) ≡ 0 (mod p).
En résumé, on a



1

si p se ramifie dans K
ω(p) = 0 si p reste inerte dans K
2 si p se décompose totalement dans K
Ici, le déterminant de K est D = −8. Alors, la proposition précédente
se réécrit :ω(p) =




1



si p = 2
= −1 ⇐⇒ p ≡ 5 ou 7
0 si −8
p




2

si



−8
p



= 1 ⇐⇒ p ≡ 1 ou 3

(mod 8)(mod 8)

Puisque ω(2) 6= 2, on en déduit en particulier que, pour tout p premier, f (X) n’est pas identiquement nulle modulo p. Puisque f est également irréductible dans Z[X] et de coefficient dominant positif, on peut
conclure par la conjecture de Bateman-Horn qu’il existe une infinité d’entiers n tels que f (n) = n2 + 2 est premier. Il existe donc une infinité depremiers p de la forme n2 + 2, donc une infinité de premiers p tels quep − 2 est un carré.
q√
On obtient donc une infinité de premiers p tels que Q( p) = Q( p(p − 2))
est p-rationnel.
Notons que, de la même façon, on aurait pu appliquer la conjecture de2
Bateman-Horn au polynôme√ g(X) = X −2, et observer la décomposition
des premiers p dans Q( 2) pour en conclure qu’il existe une infinité depremiers p tels que p + 2 est un carré.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)

3.2.4

42

Estimation de C(x2 + 2) et C(x2 − 2)

Reprenons : on aC(f ) =

Y p − ω(p)pp−1

Il est alors possible de déterminer une valeur approchée de la constante
via le calcul des produits partiels :Estimation de C(x2 + 2)
N
103
104
105
106

N -ième produit partiel p ≤ N
0, 70984376833475563247391681091127583311
0, 71254442799504556352842465501824400096
0, 71273430950552805866644720357446814906
0, 71301238937445060133038418034661382841

Estimation de C(x2 + 2)
N
103
104
105
106

N -ième produit partiel p ≤ N
1, 8441650675124810178725868717424698378
1, 8494882040122902810080191854926113675
1, 8493727678202537422110067360857236069
1, 8498740149705043835312027668335779880

Premiers p entre 5 et 107 tels que p + 2 est un carré :7, 23, 47, 79, 167, 223, 359, 439, 727, 839, 1087, 1223, 1367, 1847,
2207, 2399, 3023, 3719, 3967, 4759, 5039, 5623, 5927, 7919, 8647, 10607,
11447, 13687, 14159, 14639, 16127, 17159, 18223, 19319, 21023, 24023,
25919, 28559, 29927, 31327, 33487, 36479, 42023, 44519, 47087, 49727,
53359, 54287, 56167, 57119, 61007, 64007, 66047, 67079, 70223, 71287,
74527, 77839, 81223, 85847, 89399, 90599, 91807, 95479, 97967, 99223,
104327, 112223, 113567, 116279, 126023, 127447, 128879, 137639, 149767,
152879, 159199, 164023, 172223, 177239, 180623, 184039, 189223, 194479,
196247, 199807, 201599, 218087, 219959, 231359, 239119, 241079, 245023,
247007, 255023, 263167, 273527, 275623, 281959, 292679, 297023, 314719,
319223, 323759, 328327, 330623, 339887, 344567, 354023, 368447, 370879,
378223, 385639, 405767, 416023, 426407, 439567, 444887, 450239, 458327,
508367, 511223, 516959, 528527, 537287, 552047, 558007, 563999, 573047,
579119, 582167, 600623, 606839, 616223, 622519, 635207, 651247, 657719,
667487, 680623, 707279, 744767, 765623, 776159, 804607, 811799, 866759,
889247, 893023, 904399, 919679, 946727, 958439, 974167, 986047, 990023,
1006007, 1026167, 1042439, 1046527, 1058839, 1071223, 1092023, 1104599,
1117247, 1142759, 1147039, 1151327, 1177223, 1190279, 1212199, 1238767,
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

43√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)1252159, 1265623, 1301879, 1306447, 1315607, 1320199, 1329407, 1338647,
1347919, 1380623, 1385327, 1432807, 1466519, 1495727, 1515359, 1520287,
1535119, 1540079, 1564999, 1570007, 1590119, 1600223, 1605287, 1656367,
1661519, 1682207, 1708247, 1718719, 1745039, 1771559, 1803647, 1841447,
1846879, 1857767, 1863223, 1868687, 1901639, 1934879, 1940447, 1985279,
2002223, 2042039, 2059223, 2082247, 2093807, 2134519, 2140367, 2223079,
2246999, 2301287, 2313439, 2325623, 2387023, 2399399, 2436719, 2442967,
2455487, 2550407, 2563199, 2569607, 2595319, 2614687, 2621159, 2686319,
2732407, 2798927, 2819039, 2825759, 2845967, 2866247, 2873023, 2893399,
2900207, 2941223, 2948087, 2961839, 2982527, 3017167, 3031079, 3058999,
3065999, 3179087, 3186223, 3229207, 3265247, 3308759, 3337927, 3381919,
3389279, 3418799, 3463319, 3485687, 3515623, 3553223, 3591023, 3598607,
3644279, 3651919, 3659567, 3697927, 3705623, 3728759, 3790807, 3814207,
3861223, 3876959, 3900623, 3916439, 3956119, 3988007, 4003999, 4084439,
4124959, 4141223, 4149367, 4173847, 4214807, 4231247, 4239479, 4297327,
4313927, 4330559, 4355567, 4372279, 4380647, 4389023, 4414199, 4431023,
4439447, 4447879, 4464767, 4532639, 4549687, 4566767, 4626799, 4678567,
4713239, 4739327, 4748039, 4765487, 4888519, 4950623, 4959527, 5013119,
5022079, 5049007, 5112119, 5148359, 5166527, 5184727, 5212087, 5230367,
5276207, 5303807, 5331479, 5359223, 5461567, 5499023, 5564879, 5640623,
5669159, 5707319, 5726447, 5764799, 5822567, 5861239, 5870927, 5909759,
5997599, 6027023, 6076223, 6095959, 6175223, 6205079, 6285047, 6305119,
6315167, 6325223, 6395839, 6416087, 6456679, 6466847, 6497399, 6528023,
6568967, 6599759, 6640927, 6682223, 6702919, 6713279, 6744407, 6754799,
6775607, 6817319, 6859159, 6880127, 6953767, 7006607, 7038407, 7102223,
7112887, 7177039, 7187759, 7295399, 7306207, 7327847, 7371223, 7382087,
7403839, 7425623, 7447439, 7480223, 7491167, 7502119, 7556999, 7612079,
7689527, 7722839, 7756223, 7812023, 7879247, 7890479, 7958039, 8048567,
8116799, 8151023, 8231159, 8242639, 8311687, 8346319, 8392607, 8473919,
8555623, 8590759, 8602487, 8649479, 8732023, 8838727, 8862527, 8982007,
9138527, 9174839, 9199087, 9235519, 9259847, 9284207, 9320807, 9443327,
9455623, 9480239, 9492559, 9517223, 9541919, 9566647, 9616199, 9628607,
9703223, 9740639, 9778127, 9790639, 9803159, 9828223, 9865879, 9891023,
9916199.
Premiers p entre 5 et 107 tels que p − 2 est un carré :11, 83, 227, 443, 1091, 1523, 2027, 3251, 6563, 9803, 11027, 12323,
13691, 15131, 21611, 29243, 47963, 50627, 56171, 59051, 62003, 65027,
74531, 88211, 91811, 95483, 103043, 119027, 123203, 131771, 136163,
140627, 149771, 173891, 178931, 184043, 194483, 199811, 205211, 227531,
251003, 263171, 301403, 308027, 314723, 328331, 363611, 370883, 423803,
455627, 463763, 488603, 505523, 567011, 603731, 651251, 670763, 700571,
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques√
Chapitre 3. Etude de cas : Q( p)44751691, 783227, 804611, 815411, 826283, 870491, 915851, 938963, 962363,
1022123, 1071227, 1147043, 1238771, 1279163, 1306451, 1390043, 1461683,
1476227, 1490843, 1520291, 1535123, 1550027, 1718723, 1766243, 1879643,
2030627, 2064971, 2241011, 2277083, 2368523, 2442971, 2556803, 2595323,
2614691, 2634131, 2673227, 2772227, 2812331, 2832491, 3017171, 3059003,
3250811, 3337931, 3381923, 3493163, 3629027, 3744227, 3767483, 3814211,
3884843, 3980027, 4076363, 4100627, 4223027, 4322243, 4347227, 4549691,
4575323, 4782971, 4809251, 4862027, 4888523, 4941731, 4995227, 5103083,
5212091, 5239523, 5294603, 5546027, 5774411, 5803283, 5919491, 6007403,
6185171, 6215051, 6426227, 6579227, 6671891, 6702923, 6922163, 7017203,
7080923, 7273811, 7371227, 7403843, 7535027, 7601051, 7800851, 7868027,
7935491, 7969331, 8139611, 8661251, 8696603, 8732027, 8946083, 9018011,
9308603, 9492563, 9566651, 9678323, 9979283.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesCHAPITRE 4

Corps triquadratiques
p-rationnels

Le contenu de ce chapitre à fait l’objet d’une publication soumise au
Journal of Number Theory.
Dans [6], Benmerieme et Movahhedi démontre que le corpsqqp(p − 2), p(p + 2)Q

est p-rationnel pour tout premier p ≥ 5. Ils proposent alors un certain
nombre de pistes afin de généraliser ce résultat. En particulier, les deux
auteurs proposent de s’intéresser au corps triquadratiqueq√ p(p + 2), p(p − 2), −1qQ

dont la p-rationalité équivaut à la p-rationalité de tous ses sous-corps
quadratiques imaginaires (les sous-corps quadratiques totalement réelsétant déjà inclus dans le corps biquadratique précédemment cité). Via
une méthode analytique, nous démontrerons dans la suite que ce corps
triquadratique est p-rationnel pour une infinité de premier p.
On pourra en déduire que G(3, p) est vérifiée pour une infinité de premiers p, ce qui étend les résultats précédemment connus sur la conjecture
de Greenberg au cas triquadratique pour une infinité de premiers p.

45

Chapitre 4. Corps triquadratiques p-rationnels

46

4.1. Résultat principal
Nous allons démontrer le résultat suivant :Théorème 4.1.1. Il existe une infinité de premiers p tel que
q

Q

q

√



p(p + 2), p(p − 2), −1

est p-rationnel.
qq√Démonstration. Notons Kp = Q( p(p + 2), p(p − 2), −1), et dressons la liste exhaustive des sous-corps quadratiques de K :1. Kp,1 = Qq

2. Kp,2 = Qq

p(p + 2)p(p − 2)

3. Kp,3 = Qq

5. Kp,5 = Q

q

6. Kp,6 = Q

q

7. Kp,7 = Q

q(p + 2)(p − 2)√
4. Kp,4 = Q −1−p(p + 2)−p(p − 2)−(p + 2)(p − 2) .

Dès lors, nous savons que Kp est p-rationnel si et seulement si tous
les corps Kp,i (pour 1 ≤ i ≤ 7) sont p-rationnels. Nous allons donc
montrer qu’il existe une infinité de premier p tels que tous les corps Kp,icorrespondants sont p-rationnels.
Rappelons d’abord quelques résultats connus :1. Benmerieme et Movahhedi ont montré dans [6] que, pour toutp ≥ 5, les corps quadratiques Kp,1 , Kp,2 et Kp,3 sont p-rationnels :voir Proposition 2.3.14.
√
2. Le corps quadratique imaginaire Kp,4 = Q −1 est p-rationnel
pour tout p impair.
3. Soit i = 5, 6, 7. Le corps Kp,i est p-rationnel dès que son nombre
de classes hKp,i n’est pas divisible par p.
Dès lors, nous pouvons utiliser la proposition analytique prouvée séparément ci-après (Proposition 4.2.1) : pour A > 0, il existe une infinitéde premiers p tels p − 2 et p + 2 admettent chacun un facteur carré plus
grand que (log p)A .
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

47

Chapitre 4. Corps triquadratiques p-rationnels

En particulier, on peut poser A = 3, et on obtient une infinité depremiers p tels que :4p(p + 2)(log p)64p(p − 2)disc(Kp,6 ) ≤(log p)64(p + 2)(p − 2)disc(Kp,7 ) ≤(log p)12
disc(Kp,5 ) ≤A partir de maintenant, nous ne considérerons que les premiers p ≥ 5
appartenant à cet ensemble infini de premiers décrit ci-avant, que nous
noterons désormais P.
Nous utilisons alors la proposition 2.3.6 : pour tout p ∈ P, on obtient
v
u

!

6u
t 4p(p + 2) log 4p(p + 2) + 3
h(Kp,5 ) ≤4π(log p)6(log p)62!

On observe que la majoration obtenue est négligeable devant
En effet, en divisant cette expression par logp p , on obtient :
6
4π

q

p
.
log p





4p(p+2)4p(p + 2) log (log p)6 + 32·
p(log p)2q

4p(p + 2)

avec lim

p

p→+∞

log



4p(p+2)(log p)6+ 23(log p)2≤= 2 etlog(4p(p + 2)) + 32
(log p)2log(4) + 23
log(p)log(p + 2)
=
+
+
−→ 0
(log p)2log(p)2log(p)2 p→+∞Ainsi, on a :h(Kp,5 ) = o+∞plog(p)!

Par les mêmes calculs, on obtient également :h(Kp,6 ) ≤vu
6ut 4p(p − 2)4π(log p)6!

4p(p − 2)3log+
6(log p)
2

!

= o+∞

p
log(p)!

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 4. Corps triquadratiques p-rationnels
v
u

48
!

6u
t 4(p + 2)(p − 2) log 4(p + 2)(p − 2) + 3
h(Kp,7 ) ≤4π(log p)12(log p)12
2

!

= o+∞

p
log(p)4

Alors, pour p ∈ P assez grand, p est plus grand que h(Kp,5 ), h(Kp,6 )et h(Kp,7 ). Ainsi, si p est assez grand dans P, alors p - h(Kp,5 ), p - h(Kp,6 )et p - h(Kp,7 ), et les corps quadratiques imaginaires correspondants sontp-rationnels.
On conclut alors que Kp est p-rationnel pour tout p ∈ P assez grand.

4.2. Proposition analytique : démonstration
Nous allons maintenant démontrer la proposition analytique que nous
avons utilisé à la section précédente.
Proposition 4.2.1. Soit A > 0.
Il existe une infinité de premiers p tels que : il existe m, n ∈ N avec

n2 | p − 2m2 | p + 2
(log p)A < n




A

(log p) < m

En d’autres termes, il existe une infinité de premiers p tels que p − 2 et
p + 2 admettent chacun des facteurs carrés plus grand que (log p)A .
Notations : pour m, n des entiers naturels, on note(p ≡ −2 (mod m2 )G(m) := p premier(log p)A < m(p ≡ 2 (mod n2 )H(n) := p premier(log p)A < n

)

)

et
p ≡ −2 (mod m2 ) p ≡ 2 (mod n2 )I(m, n) := G(m) ∩ H(n) = p premier(log p)A < m






A
(log p) < n








Afin de démontrer notre proposition, il suffit de montrer que la somme Xlog(p) 
p premiers
 m∈N
√
X

3≤p<x

m< x+2p∈G(m)







 
  X

1
×
 
  n∈N
√



1




n< x−2p∈H(n)

tend vers l’infini lorsque x → +∞.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

!

49

4.2.1

Chapitre 4. Corps triquadratiques p-rationnels

Première minoration

Tout d’abord, on peut transformer notre somme de manière élémentaire de la façon suivante :




 
  X

×
1
 
  n∈N
√




1








 X

log(p) p premiers
 m∈N
√
X

3≤p<x

=

X

m< x+2p∈G(m)

Xn< x−2p∈H(n)(4.1)

log(p)(4.2)(log p)(4.3)

p premiers m,n∈N√
3≤p<x m< x+2√
n< x−2p∈I(m,n)=X

X

p premiersm,n∈N√m<√ x+2 3≤p<xn< x−2 p∈I(m,n)

≥

X

X

log(p)(4.4)

p premiers
m,n∈N
√
3≤p<x
m<√ x+2n< x−2 p∈I(m,n)(m,n)=1m,n impairs

On a réuni les deux dernières sommes de (4.1) afin d’obtenir l’expression (4.2). On a échangé ensuite les deux sommes de (4.2) pour obtenir(4.3). On a enfin obtenu une première minoration (4.4) en restreignant
la première somme (sur m, n ∈ N) par les conditions (m, n) = 1 et m, n
impairs.
La condition « m et n premiers entre eux » nous permet d’utiliser
le théorème des restes chinois : puisque n et m sont premiers entre eux,
alors m2 et n2 le sont aussi, et il existe am,n ∈ Z tel que, pour tout k ∈ Z,
on a :k ≡ 2(mod n2 )k ≡ −2 (mod m2 )⇐⇒k ≡ am,n(mod m2 n2 )Alors, si (m, n) = 1, on obtient :p ≡ am,n (mod m2 n2 ) I(m, n) = p premiers (log p)A < m(log p)A < n






La condition « m, n impairs » assure quant à elle que am,n et m2 n2
sont premiers entre eux.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 4. Corps triquadratiques p-rationnels

50

Soit B > 0 tel que A < B. Pour x assez grand (i.e. tel que
strictement plus grand que (log x)B ), (4.4) est minoré parXX√
x − 2 estlog(p)(4.5)(log x)A <m,n<(log x)B 3≤p<xp∈I(m,n)(m,n)=1m,n impairs

Remarquons que :p < x(log p)A < n(log p)A < m

⇐⇒


A
A

(log p) < (log x)(log p)A < n(log p)A < m

⇐⇒ (log p)A < min (log x)A , n, mAlors, si (log x)A < m, n (comme dans (4.5)), on obtientmin((log x)A , n, m) = (log(x))A
et l’ensemble des conditions précédentes équivaut à (log p)A < (log x)A ,c’est-à-dire à la condition p < x.
Ainsi (4.5) peut être réécrit :X

X(log x)A <m,n<(log x)B

3≤p<xp≡am,n [m2 n2 ](m,n)=1m,n impairslog(p)(4.6)

et on acquière enfin une minoration bien utile de (4.1).

4.2.2

Équivalent en l’infini

Pour (a, q) = 1, on définit :θ(x; q, a) =X

log(p)p premierp<xp≡a[q]

Le théorème des nombres premiers offre un équivalent en l’infini de
θ. Une estimation du terme d’erreur est donné par le théorème suivant :Théorème 4.2.2 ([13], Théorème 8.8, p. 293). Soit a, q ∈ N, q ≥ 1,
(a, q) = 1.
Soit C > 0. Pour q  log(x)C , on axx+Oθ(x; q, a) =ϕ(q)(log x)C!

pour tout x ≥ 2. Les constantes implicites ne dépendent que de C.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

51

Chapitre 4. Corps triquadratiques p-rationnels

Nous avons précédemment donné une minoration de (4.1) via l’expression (4.6), qui peut alors se réécrire :h θ x, am,n , m2 n2 − log(2)

X

i

(4.7)

(log x)A <m,n<(log x)B(m,n)=1m,n impairs

Remark : la définition de θ que nous avons utilisée implique p = 2,
tandis que ce terme n’intervenait pas initialement, ce qui explique l’apparition du terme log(2).
Par le théorème 4.2.2, si on pose C > 4B, alors on am2 n2 ≤ (log x)4B  (log x)C
et on obtient :



X

2 2

θ x, am,n , m n



"
X

=

(log x)A <m,n<(log x)B(log x)A <m,n<(log x)B(m,n)=1m,n impairs(m,n)=1m,n impairs#x+ Em,n (x)ϕ(m2 n2 )(4.8)
xavec Em,n (x) , la constante implicite ne dépendant que de(log x)CC.
Remarquons que l’on peut utiliser ces estimations car on a choisit
m, n impairs, ce qui assure que le résidu am,n et le module m2 n2 sontpremiers entre eux.
Ainsi, nous allons montré que :(i) le terme principalxϕ(m2 n2 )(log x)A <m,n<(log x)BX(m,n)=1m,n impairs

tend vers l’infini lorsque x → +∞, et que(ii) la croissance du terme principal n’est pas contrecarré par le termed’erreur :X(log x)A <m,n<(log x)B(m,n)=1m,n impairs

Em,n (x) −X

log(2)(log x)A <m,n<(log x)B(m,n)=1m,n impairs

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 4. Corps triquadratiques p-rationnels

4.2.3

52

Estimation du terme principal

Tout d’abord, nous pouvons utiliser l’inégalité ϕ(m2 n2 ) ≤ m2 n2 , eton obtient :
X
x
x
≥
2
2
ϕ(m n ) (log x)A <m,n<(log x)B m2 n2(log x)A <m,n<(log x)B
X

(4.9)

(m,n)=1m,n impairs(m,n)=1m,n impairs

Alors, on a :1X(log x)A <m,n<(log x)B(m,n)=1m,n impairs

=

m2 n2
1

X
(log x)A <m,n<(log x)Bm,n impairs

m2 n2(log x)A <m,n<(log x)B(m,n)>1m,n impairs

|

≥

1

X

−

{z

}

(∗)

X
X
1
1
−
2
2
2
mn
m n2
2≤d≤(log x)B (log x)A <m,n<(log x)B(log x)A <m,n<(log x)BXm,n impairs

m,n impairs
d|m, d|n

|

≥

m2 n2

{z

X
1
−
m2 n2 2≤d≤(log x)B(log x)A <m,n<(log x)BXm,n impairs

}

(∗∗)

1

X
k,k0 impairs(log x)A <dk,dk<(log x)B|(dk)2 (dk 0 )2

{z

}

(∗∗∗)

Remarquons que l’on a (∗) ≤ (∗∗) ≤ (∗∗∗), ce qui justifie les inégalités
précédentes. On peut alors réécrire la dernière quantité comme :
X
X
1
1
1
−
(4.10)
22
4
2
m n 2≤d≤(log x)B d (log x)A <dm,dn<(log x)B m n2(log x)A <m,n<(log x)BXm,n impairs

m,n impairs

D’un côté, on a alors :X(log x)A <m,n<(log x)Bm,n impairs

1
m2 n2

=

1

X
(log x)A <2m+1,2n+1<(log x)B(2m + 1)2 (2n + 1)2

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

53

Chapitre 4. Corps triquadratiques p-rationnels
1X=(2m + 1)2 (2n + 1)2(log x)A −1(log x)B −1
<m,n<
2
2

2


X



=


(log x)A −1
<n<
2


1


2
(2n
+
1)
(log x)B −1
2

De l’autre, on a
X
1
1
=
2
2
2
mn
(2m + 1) (2n + 1)2(log x)A <d(2m+1),d(2n+1)<(log x)B(log x)A <dm,dn<(log x)BXm,n impairs

1

X

=

(log x)B −d(log x)A −d
<m,n<
2d
2d

(2m + 1)2 (2n + 1)2
2


X



=


(log x)A −d
<n<
2d


1


2
(2n
+
1)
(log x)B −d
2d

Ainsi, l’expression (4.10) est égale à :
2






X
(log x)A −1
<n<
2

2



X
X


1 
1
1
 −





2
4
2
(2n
+
1)
d
(2n
+
1)
(log x)B −12≤d≤(log x)B(log x)A −d(log x)B −d
2

2d

<n<

2d

On peut encore minorer cette dernière quantité en ayant recours à
des inégalités venant de comparaisons séries-intégrales.
En particulier, on utilise l’inégalité
b
X

Z b+1
1
dt
≥
2
(2t + 1)2an=a (2n + 1)

pour obtenirX(log x)A −1
<n<
2

1
1
1
≥
−
2
A
(2n + 1)2 ((log x) + 2) 2(log x)B(log x)B −1
2

De la même façon, on utilise l’inégalité
b
X

Z b
1
dt
1
≤
+
2
2
(2a + 1)2a (2t + 1)
n=a (2n + 1)

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 4. Corps triquadratiques p-rationnels

54

pour obtenirX(log x)A −d
<n<
2d

1
d
d
d2
≤
−
+
(2n + 1)22(log x)A 2(log x)B (log x)2A(log x)B −d
2d

Ainsi, on obtient la suite d’inégalités suivante :1

X(log x)A <m,n<(log x)B(m,n)=1m,n impairs

m2 n2
2


X



≥ 

≥
≥

≥

(log x)A −1
<n<
2

2



X
X

1 
1
1
 −




2
4
2
(2n
+
1)
d
n
A
B
B
B
(log x) −12≤d≤(log x)(log x) −d(log x) −d
2

2d

1
1
−
A
2 ((log x) + 2) 2(log x)B

!2

<n<

2d

d
d
d2
−
+
2(log x)A 2(log x)B (log x)2A

1−d4
2≤d≤(log x)B
X

1
1
1
−
2 +
2B
A
A
4(log x)2 ((log x) + 2) (log x)B
4 ((log x) + 2)
!
X
1
1
d2
d
1
−
+
+
+
2
2A
2B
4A
d
4(log
x)
4(log
x)
(log
x)
(log x)3AB
2≤d≤(log x)
1
1
1
+
−
2
2B
A
4(log x)2 ((log x) + 2) (log x)B
4 ((log x)A + 2)




1
1
1
+
−
2
2A
d
4(log x)4(log x)2B2≤d≤(log x)B

!

X









X
1
1
1

−
1
−
3A
d (log x)(log x)4A
2≤d≤(log x)B2≤d≤(log x)B
X

≥

1
1
1
−
2 +
2B
A
A
4(log x)2 ((log x) + 2) (log x)B
4 ((log x) + 2)!
1
1
− (ζ(2) − 1)+4(log x)2A 4(log x)2B
1(log x)B− (1 + log(log(x)B ))−(log x)3A (log x)4A

Si on prend A < B < 2A, la dernière quantité est finalement éguiva2 − ζ(2)1lente à4(log x)2A
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

!2

55

Chapitre 4. Corps triquadratiques p-rationnels
Ainsi, on a montré queX(log x)A <m,n<(log x)B(m,n)=1m,n impairs

1
m2 n2

est plus grand qu’une quantité équivalente en l’infini à

2 − ζ(2)1.
4(log x)2A

En conséquence, le terme principalxϕ(m2 n2 )(log x)A <m,n<(log x)BX(m,n)=1m,n impairs

est plus grand qu’une quantité équivalente en l’infini àx2 − ζ(2)4(log x)2A(4.11)

Le terme principal tend donc vers l’infini lorsque x → +∞, au moinsaussi vite que (4.11).

4.2.4

Termes d’erreursRappelons que Em,n (x) = θ(x; a, m2 n2 ) − ϕ(mx2 n2 ) . On sait que, pourC > 0 fixé, et q  (log x)C , on ax
Em,n (x) = O(log x)C!

Alors, si 4B < C, pour x assez grand, on sait que m2 n2  (log x)C
dès que (log x)A < m, n < (log x)B . Ainsi, chaque Em,n (x) est dominé
x
par
dans
(log x)CX
Em,n (x)(log x)A <m,n<(log x)B(m,n)=1m,n odd

Considérant que l’on obtient au plus (log x)2B termes de la sorte, on a :X(log x)A <m,n<(log x)B(m,n)=1m,n odd

Em,n (x)  (log x)2B

x(log x)C

Remarquons qu’on a choisi C tel que C > 4B, donc C > 2A + 2B,
i.e. 2B − C < −2A et on peut conclure que
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesChapitre 4. Corps triquadratiques p-rationnels

X

56

x
(log x)2A

Em,n (x) (log x)A <m,n<(log x)B(m,n)=1m,n impairs

La deuxième partie du terme d’erreur, précisément
X

log(2)(log x)A <m,n<(log x)B(m,n)=1m,n impairs

est au plus (log x)2B fois log(2), et est donc majoré par (log x)2B log(2),xqui est aussi dominé par.
(log x)2A

4.2.5

Conclusion

Nous avons montré que Xlog(p) 
p premier
 m∈N
√
X

3≤p<x





 
  X

1
×
 
  n∈N
√



1








m< x+2p∈G(m)

n< x−2p∈H(n)

est minoré par
X
X
x
+
E(x)
+
log(2)
ϕ(m2 n2 ) (log x)A <m,n<(log x)B(log x)A <m,n<(log x)B(log x)A <m,n<(log x)BX(m,n)=1m,n impairs

|

{z

A(x)

(m,n)=1m,n impairs

}

|

{z

O(A(x))(m,n)=1m,n impairs

}

|

{z

O(A(x))

avec A(x) → ∞, ce qui prouve que notre première somme tend vers
l’infini lorsque x → ∞. 

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques}

ANNEXE A

Une proposition analytiqueplus forte sous GRH

A.1. Démonstration
Pour A > 0, nous avons montré qu’il existe une infinité de premiers
p tels que (p + 2) et (p − 2) admettent simultanément des facteurs carrésplus grand que (log x)A . Nous pouvons montrer, sous GRH, un résultat
plus fort. Plus précisément :Proposition A.1.1. Soit ε < 18 . Supposons que GRH est vérifiée pour
toute fonction L(s, χ) associé à un caractère χ (mod q). Il existe une
infinité de premiers p pour lesquelles il existe m, n ∈ N∗ , tels que2n | p − 2m2 | p + 2
pε < n



 ε

p <m

Démonstration. La démonstration est similaire à la première.
De la même façon, on considère la sommeX
p premier3≤p<xlog(p)


X
m∈N√m< x+2m2 |p+2
pε <m

57



1 × 

Xn∈N√n< x−2n2 |p−2pε <n1Annexe A. Une proposition analytique plus forte sous GRH

58

Alors, en réalisant des calculs similaires, on montre que la somme
précédente est minorée parXXlog(p)p premier
m,n∈N
√
3≤p<x
m<√ x+22 2n< x−2 p≡am,n [m n ]1/ε(m,n)=1p<mm,n impairs
p<n1/εqui est plus grand (pour x assez grand) queXXlog(p)(A.1)

p premierxε <m,n<xα(m,n)=1 p≡am,n [m2 n2 ]m,n odd3≤p<x

pour ε < α < 12 .
Dès lors, sous GRH, on sait que ([21] §17.1) :θ(x; m2 n2 , am,n ) =Xlog(p) =p premierp≡am,n [m2 n2 ]
p<x



x
1/2
2
+
O
x
(log
x)
ϕ(m2 n2 )Donc (A.1) est plus grand quex+ Em,n − log(2)ϕ(m2 n2 )X
xε <m,n<xα(m,n)=1m,n impairs!

avec Em,n  x1/2 (log x)2 .
D’abord, on montre que le terme principalx2 2xε <m,n<xα ϕ(m n )X(m,n)=1m,n impairs

est plus grand qu’une quantité équivalente à+∞.
En effet, on a2

Xxε <m,n<xα(m,n)=1m,n impairs

1
m2 n2

=


2 − ζ(2) 1−2εxpour x →
4

X
xε −1
<n<
2

1


2
(2n
+
1)
xα −1
2

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

59

Annexe A. Une proposition analytique plus forte sous GRH
2



−

X
1 
1



4
2
d
(2n
+
1)
xε −d
xα −d
2≤d≤xα
X

2d

<n<

2d

!2

X 1
1
d
1
d
− α −
− α
≥
ε
4
ε
2(x + 2) 2x2(x − 2d) 2x
2≤d≤xα d
1
1
1
−
+ 2α
≥
ε
2
ε
α
4(x + 2)2(x + 2)x4x
ζ(2) − 1
ζ(2) − 1
ζ(2) − 1
−
+
−
ε
2
ε
α
α
4(x − 4)2(x − 2x )x
4x2α

!2

Dès lors, on peut considérer le premier terme d’erreur
X

Em,n (x)xε <m,n<xα(m,n)=1m,n impairs

avec Em,n (x)  x1/2 (log x)2 (la constante implicite étant indépendantede Em,n ).
Puisqu’on obtient au plus x2α termes qui sont O x1/2 (log x)2 (sous1GRH), le terme d’erreur est O x 2 +2α (log x)2 .
Ainsi, on prend α tel que ε < α < 14 − ε (ce qui justifie le fait que l’ona choisi préalablement ε < 81 ), donc 12 + 2α
< 1 − 2ε. 
2−ζ(2) 1−2ε.
xAlors le premier terme d’erreur est O
4
Enfin, le second terme d’erreur, c’est-à-direX(log 2)xε <m,n<xα(m,n)=1m,n impairs

est au plus x2α fois log(2), est peut être majoré par x2α log(2) = O 2−ζ(2)x1−2ε4(puisque α a été précédemment supposé tel que 2α < 12 < 1 − 2ε).
En conclusion, on a minoré notre première somme par :X
X
x+Em,n +
log(2)
22
xε <m,n<xα ϕ(m n )xε <m,n<xαxε <m,n<xαX(m,n)=1m,n impairs

|

{z

A(x)

(m,n)=1m,n impairs}|(m,n)=1m,n impairs{z

O(A(x))}

avec A(x) → +∞, ce qui prouve notre proposition.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels MultiquadratiquesAnnexe A. Une proposition analytique plus forte sous GRH

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

60

ANNEXE B

Codes et Tables√
B.1. Q( p) : unités fondamentales
pour p ≡ 3 (mod 4)
Pour un premier p congrus à 3 modulo 4, la fonction Pari/Gp unif(p)√renvoie l’entier k ∈ N tel qu’une unité fondamentale de Q( p) s’écrit
sous la forme√
ε = pk + 1 + (k(kp + 2))1/2 p
si p congrus à 7 modulo 8, et
ε = pk − 1 + (k(kp − 2))1/2√p

si p congrus à 3 modulo 8.
unif(p) = {K = bnfinit(x^2 - p,1) ;e = lift(K.fu[1]) ;a = polcoef(e,0) ;a = a * sign(a) ;if(Mod(a-1,p)==Mod(0,p), k = (a-1)/p, k = (a+1)/p) ;return(k) }61

Annexe B. Codes et Tables

62

Table 1 : Premiers p ≡ 7 (mod 8), entre 1 et 1000, et k ∈ N∗ corres√√
pondant tel que l’unité ε de Q( p) s’écrit ε = kp + 1 + (k(kp + 2))1/2 p,
avec décomposition en produit de facteurs premiers.
p
7
23
31
47
71
79
103
127
151
167
191
199
223
239
263
271
311
359
367
383
431
439
463
479
487
503
599
607
631
647
719
727
743
751
823
839

k
1
1
49 = 721
49 = 7212209 = 472
37249 = 1932
11444689 = 172 · 1992
1
47089 = 72 · 312
81739681 = 90412
125921 = 72 · 232
529 = 232
427951969 = 1372 · 1512
54289 = 2332
1
51825601 = 232 · 3132
49 = 72351649 = 5932
1534584709409 = 172 · 412 · 10492
6241 = 792
106583313841 = 1372 · 23832
49 = 72
41212654081 = 892 · 22812
270306481 = 412 · 4012
77593621732169017489 = 72 · 312 · 405931992
185761 = 4312
561168721 = 236892
1961 = 312
9711475987742852762209 = 172 · 2712 · 213906712
285747843139300129 = 72 · 763648392
1

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

63

Annexe B. Codes et Tables

863
887
911
919
967
983
991

21464689 = 412 · 1132
529 = 232
408158710129 = 792 · 80872
4876608281759651198641201 = 72 · 1932472 · 16324812
4808203265581681 = 72 · 412 · 3592 · 6732
289 = 172
382963068523523643428874769 = 72 · 412 · 681862098012

Table 2 : Premiers p ≡ 3 (mod 8), entre 1 et 1000, et k ∈ N∗ corres√√
pondant tel que l’unité ε de Q( p) s’écrit ε = kp − 1 + (k(kp − 2))1/2 p,
avec décomposition en produit de facteurs premiers.
p
3
11
19
43
59
67
83
107
131
139
163
179
211
227
251
283
307
331
347
379
419
443
467
491
499
523
547

k
1
1
9 = 3281 = 34
9 = 32729 = 361
9 = 3281 = 34
558009 = 34 · 832
393129 = 32 · 112 · 192
23409 = 34 · 172
1319215041 = 32 · 121072
114641 = 114
488601 = 32 · 2332
288369 = 32 · 1792
8415679158441 = 34 · 972 · 33232
1849 = 432
34145639104329 = 32 · 172 · 1145772
644809 = 112 · 732
13481 = 592
190688481 = 32 · 46032
9 = 32156425049 = 22 · 112 · 3792
292829252769 = 32 · 1803792
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

Annexe B. Codes et Tables

563
571
587
619
643
659
683
691
739
787
811
827
859
883
907
947
971

64

121 = 112317205525501980361 = 32 · 625788912
3249 = 32 · 192
835563021895449 = 32 · 412 · 2350092
3093250689 = 32 · 185392
9 = 32249001 = 4992
45062374265558001 = 32 · 112 · 192 · 3385632
132632829598940111169 = 32 · 1312 · 12912 · 226992
43996689 = 34 · 112 · 672
1704158031539601 = 32 · 114 · 1137232
1089 = 32 · 112
2396792516856394714929 = 32 · 12912 · 126406012
39499972547697930321 = 32 · 672 · 5472 · 571632
136519746795009369 = 32 · 112 · 111965392
14265729 = 32 · 12592
12852530161 = 732 · 15532√
B.2. Unités de Q( p)Pour 2 ≤ α ≤ 100, liste des premiers p entre 3 et 107 , p ≡ 3 (mod 4),tels que α2 p + 2 est un carré (pour chacun de ces premiers p, le corps√
quadratique Q( p) est p-rationnel) :— α = 7 : 31, 71, 383, 503, 1327, 2543, 5711, 6151, 8543, 14503,
21191, 22031, 25463, 36263, 46471, 47711, 60727, 66343, 73751,
81551, 91463, 98327, 160343, 195743, 218623, 221303, 245591,
248431, 262583, 339223, 352327, 369143, 389911, 403951, 421943,
444127, 462983, 478271, 482231, 497831, 521903, 538127, 558863,
623423, 627943, 645727, 650327, 696271, 714991, 738863, 768127,
787783, 864103, 922423, 943951, 976991, 1033127, 1061783, 1084871,
1120271, 1150103, 1241951, 1330727, 1337327, 1363223, 1402871,
1436231, 1469983, 1497127, 1601671, 1608911, 1644623, 1783751,
1859327, 1897703, 1905583, 2015183, 2055127, 2095463, 2103743,
2136191, 2144551, 2269327, 2397631, 2432263, 2520383, 2529463,
2747543, 2841151, 2936327, 2946127, 3082031, 3092071, 3141503,
3191327, 3281791, 3435727, 3446327, 3498503, 3540311, 3646463,
3657383, 3754183, 3765263, 3874711, 3930023, 4086751, 4143551,
4624343, 4745551, 4806743, 4979911, 4992671, 5055431, 5118583,
5426903, 5440223, 5505727, 5558143, 5571623, 5704591, 5757943,
5771663, 5893103, 6029831, 6098783, 6182327, 6252143, 6392951,
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

65

Annexe B. Codes et Tables
6520727, 6592423, 6679271, 6736991, 6883127, 6971863, 7045991,
7195423, 7330943, 7637327, 7966103, 8045327, 8430727, 8528903,
8610871, 8693231, 8859127, 8925583, 9538391, 9781703, 9799583,
9887431.
— α = 17 : 7, 983, 4271, 9871, 17783, 40543, 42703, 72551, 75431,
141863, 168631, 193031, 197711, 257407, 262807, 331031, 371311,
420743, 458807, 718007, 1035007, 1105343, 1330223, 1504663, 1676111,
1950623, 2145191, 2997583, 3380623, 3745591, 3766111, 4013423,
4312463, 4723463, 5023663, 5047423, 5491303, 5814623, 6663383,
6690743, 7047151, 8534303, 8936231, 8967911.
— α = 23 : 263, 887, 5743, 14831, 28151, 40087, 60623, 93503, 158231,
226783, 322871, 377263, 453983, 658991, 792487, 902087, 1183271,
1469471, 1700983, 2214791, 2353823, 2688887, 2999071, 3112463,
3795551, 3848591, 4409087, 4546351, 4947143, 5007671, 5153887,
5215663, 5427887, 5865031, 7278031, 7707383, 8304671, 9886103.
— α = 31 : 743, 75767, 79943, 159407, 342527, 351343, 513719,
694319, 706847, 801487, 814943, 1054199, 1624967, 1935599, 2111959,
2487743, 2511407, 2894279, 3135527, 4075319, 4329487, 4827943,
5423039, 6323927, 7253639, 7591447, 8290127, 8333279, 8695079.
— α = 41 : 1567, 14783, 81559, 135119, 202127, 204679, 285599,
483839, 487783, 609047, 886583, 1228583, 1834439, 2296999, 2552279,
2561327, 3409247, 3718783, 4030399, 4366367, 5091407, 5858407,
6262079, 6679199, 7553783, 8011247, 9464327.
— α = 47 : 103, 10847, 149111, 419711, 580871, 864623, 1518191,
1705247, 1959583, 2016823, 2231591, 2521271, 2897311, 3226151,
3496343, 3572663, 5043847, 5570303, 6022847, 6390031, 6493063,
9109223.
— α = 49 : 23, 10567, 36559, 83639, 340127, 769487, 786407, 951023,
1172447, 1895567, 2175023, 2759599, 2791559, 3822823, 5979023,
6516767, 7555879, 8615423, 9200327, 9258607, 9864599.
— α = 71 : 5903, 130199, 400903, 862727, 1121839, 1146679, 3171359,
4215503, 4263527, 4818767, 6870527, 9285239.
— α = 73 : 1487, 64231, 227111, 297503, 478087, 2245687, 2935871,
4337063, 5278223, 6353231, 8302687.
— α = 79 : 479, 32359, 114167, 659159, 857687, 1653503, 3512303,
3678287, 5721119, 6280607, 9143887, 9847759.
— α = 89 : 59399, 84263, 359663, 1004567, 3406679, 7484159.
— α = 97 : 47, 35023, 40343, 330791, 346751, 1825591, 3737047,
3790247.

Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

Annexe B. Codes et Tables

66

Pour 2 ≤ α ≤ 100, liste des premiers p entre 3 et 107 , p ≡ 3 (mod 4),tels que α2 p − 2 est un carré (pour chacun de ces premiers p, le corps√
quadratique Q( p) est p-rationnel) :— α = 3 : 19, 59, 107, 499, 659, 1627, 1907, 2467, 3803, 4139,
5827, 6779, 9539, 10067, 12619, 16987, 18587, 19507, 22003, 23003,
23819, 24859, 30859, 37507, 40939, 42299, 43403, 52747, 58403,
59699, 61339, 65707, 67427, 68819, 89003, 98387, 111779, 122267,
124139, 126499, 132739, 137147, 139627, 162947, 175003, 182899,
190387, 195659, 206419, 209459, 214987, 223099, 232003, 243707,
258403, 280547, 296299, 316219, 323003, 343787, 347707, 362003,
383987, 402379, 429899, 449347, 478403, 482099, 498907, 538267,
551059, 587267, 592387, 668579, 692779, 698339, 702803, 708403,
723067, 728747, 733307, 739027, 754003, 764459, 796259, 834787,
861803, 884227, 936379, 995339, 1000667, 1080907, 1118659, 1137067,
1157059, 1222499, 1235803, 1255147, 1268627, 1276147, 1295803,
1351019, 1358779, 1393187, 1401067, 1429619, 1436003, 1472987,
1508803, 1553347, 1598539, 1699547, 1738003, 1810819, 1909003,
1942307, 1992803, 2034427, 2113147, 2138419, 2255003, 2273059,
2317499, 2428403, 2484827, 2541899, 2591027, 2610379, 2649299,
2756707, 2776667, 2877547, 3000979, 3012539, 3033403, 3096427,
3138803, 3148259, 3289387, 3408947, 3453403, 3475739, 3533147,
3588499, 3601139, 3623947, 3692803, 3726187, 3796003, 3961427,
4009339, 4046803, 4081747, 4168403, 4391819, 4569619, 4698779,
4762579, 4777139, 4788803, 4841467, 4856147, 4947659, 5028059,
5043019, 5109107, 5124187, 5328403, 5343803, 5524067, 5624803,
5796859, 5854787, 5971507, 6043403, 6191803, 6208403, 6281707,
6372259, 6419467, 6511003, 6586067, 6678779, 6789499, 6834739,
6883627, 7024267, 7073827, 7313419, 7443803, 7542347, 7560667,
7626803, 7708027, 7726547, 7909219, 7927979, 7961803, 8044787,
8319379, 8458403, 8477803, 8688739, 8775419, 8846659, 8954059,
8974019, 9010003, 9082187, 9118387, 9337099, 9649307, 9744803,
9782299, 9970859.
— α = 9 : 43, 131, 1811, 2251, 4283, 9323, 28411, 41843, 43867,
49531, 66851, 69403, 109267, 134363, 151667, 181003, 196643,
247451, 298723, 304091, 434867, 483643, 561667, 581491, 637691,
674771, 735211, 863867, 922667, 1029323, 1260131, 1438667, 1558891,
1650083, 1662667, 1791731, 1952851, 2003483, 2472931, 2661611,
2840723, 2946563, 2963371, 3008683, 3025667, 3198931, 3329003,
3346867, 3413051, 3547363, 3753691, 3946403, 4018243, 4483571,
4616291, 4637323, 5173603, 5338667, 5591123, 5676571, 5873083,
6408211, 6499667, 6659267, 6777923, 7325443, 7548451, 7647683,
7848091, 7921723, 8464867, 8753051, 9075491, 9213923, 9403763.
Julien Koperecz – Corps p-Rationnels Multiquadratiques

67

Annexe B. Codes et Tables— α = 11 : 563, 1787, 24251, 57731, 82787, 138587, 254291, 404843,
562091, 590243, 1027643, 1680323, 1805603, 2584787, 2801363,
2863787, 3754787, 3827003, 4561331, 5142587, 5446283, 6079811,
6171611, 6409643, 6748187, 7816091, 8189483, 8295971, 9361931,
9886451.
— α = 17 : 2459, 126443, 211979, 441443, 587387, 936227, 1144019,
2191619, 2837243, 3555443, 3566099, 4366379, 4803059, 4815443,
5752379, 6772547, 7860107, 9045587.
— α = 19 : 11, 12251, 13763, 53507, 119243, 204923, 2206163, 2536643,
4197107, 4705931, 5183291, 5747123, 6857507, 7467563.
— α = 27 : 67, 2099, 13499, 193763, 228307, 244219, 282827, 430579,
481379, 642907, 960763, 1267459, 2650987, 3340907, 3603107, 3747379,
3959363, 4244363, 5181019, 6129659, 6676099, 6958067, 8455387,
8550859, 8772347, 9758219.
— α = 33 : 827, 1987, 7643, 12227, 23539, 28643, 51419, 55339,
95219, 123499, 134867, 180419, 187699, 301867, 319499, 398467,
496427, 558643, 569659, 673643, 773387, 814643, 923987, 1070347,
1626707, 2001539, 2369827, 2392459, 2871587, 3044179, 3336379,
3581843, 3745867, 3774307, 4035107, 4069267, 4370507, 5237579,
5469787, 5823739, 6068459, 6183059, 6435139, 7933099, 8558107,
9087667.
— α = 41 : 106451, 169523, 327491, 1132667, 2421971, 3248171,
3563531, 4552811, 5263667, 5663123, 7763291.
— α = 43 : 347, 285827, 570587, 3329267, 6560627, 9700907.
— α = 51 : 9371, 11491, 162251, 220771, 254827, 265427, 517243,
568723, 657403, 674363, 732971, 960131, 1029827, 1051027, 1270571,
1350563, 1866331, 2024371, 2796043, 3024803, 3147563, 3601883,
3735731, 3776011, 3913027, 5012243, 5693651, 6476027, 6821827,
7005571, 7929083, 8127083, 8387611, 8780531, 9746027, 9965411.
— α = 57 : 587, 8059, 40627, 184523, 295459, 679699, 784219, 876523,
880667, 1102979, 1506907, 2125099, 3007547, 3231227, 3654067,
3850339, 3859019, 4111859, 4577723, 5078539, 6169123, 7618859,
7972499, 8273899.
— α = 59 : 467, 532331, 1174211, 1944323, 2066723, 3209867, 4420043,
7898291.
— α = 67 : 9467, 2908043, 3658427, 4440707, 7380467.
— α = 73 : 423587, 439787, 3909179.
— α = 81 : 84523, 127643, 464131, 1211603, 1362523, 3058051, 6892051,
7402363.
— α = 83 : 1114907, 2056667, 6501947.
— α = 89 : 8363, 953651, 2867771, 4961531, 7625603.
— α = 97 : 107699, 2010227, 4302203.

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Annexe B. Codes et Tables68— α = 99 : 42083, 89051, 162523, 616003, 791363, 966011, 1189003,
1652731, 2486483, 3948731, 4328123, 4774843, 7137371, 7644443,
9991027.

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