2014/12/1

学生諸君による説明

ジャイアントの誕生
２０１４年１１月２９日
連星系・変光星・低温度星研究会
中田 好一(東京大学)
巨星はどうして大きいのだろう？
星はその大きさから、矮星と巨星の２種類に大きく分かれることは良く知られています。
では、どうして巨星は大きいのか？
改まって考えると、案外説明しにくいものです。教科書の説明を眺めてもどうもピンとこないという方が多いように思えます。
Sugimoto, Fujimoto 2000 “Why Stars Become Red Giants” という立派な論文もあるのですが、途中で分からなくなりました。
それで、自分なりに納得したいと考えた結果をお話しします。
皆さんの考えと突き合わせることが出来たら大変愉快であります。

以前、天文学科の学生諸君に、「赤色巨星はなぜ大きいのか？」考えてもらった時の答えを以下に列挙します。
○ coreがHydrogenを使い果たすとそれまで保たれていたエネルギーバランスが崩れ自己重力によって収縮する。その結果、coreは重力エネルギーを解放することになる。外層はcoreの収縮によって生まれたエネルギーを吸収して膨張する。
○ 核燃焼による熱によって星の外層が急速に膨張するが故に大きいと思われる。
○ 赤色巨星は大体１０太陽質量の程度の質量の恒星が主系列を経て膨張し、肥大化したものである。
○ ヘリウムのコアのまわりのシェル部分で水素の燃焼が始まる。 この水素の燃焼によるエネルギーの流れによって、星の対流層の重力と圧力の釣り合いが主系列の時とは変化するため外層が膨れ上がるので赤色巨星は大きい。
○ 主系列時の中心核で水素が枯渇することで終わってしまうと、中心核付近では重力を支えることができなくなり収縮するが、外層部はその反動で膨らむ。

○ 進化の過程で核燃焼により光度が大きくなるので輻射圧により膨張する？

ＨＲ－図の発見○ 軽い元素が多いため膨 らみやすい（イメージ）。同じ温度なら平均分子量が小さい方がスケールハイトが大きいので星の大気も厚そう。

星はＢ型からＭ型へと冷却していく○水素殻燃焼が起こっている場所は熱的に安定であり、その状態はほとんど変化しない。燃焼殻の内側は殻を通じて熱が逃げて行く分収縮し、外側は膨張する。下図のように質量座標で密度勾配が発達（急になる）星全体が大きくなる。
ρ水素燃焼殻ｍ４

1838年に 61 Cyg の視差が Ｂｅｓｓｅｌｌ により測定されました。
Kaptein は視差のデータから、星の明るさは B型から、A, F, G, K, M 型へと順に暗くなって行くことを見出しました。
１９世紀末から20世紀初頭にかけて、この系列は、ガスからB型星として生まれた星が冷却しつつ暗くなって行く順序を示す、と理解されていた（ようです。）
巨星（giant）と矮星(dwarf)の発見
2005年に Hertzsprung は、視差の得られた数十個の星の等級とスペクトル型を整理して、それらが「巨星」 ＝光度一定で明るい「矮星」 ＝ B 型から、A, F, G, K, M 型へと暗くなるの２種類に分けられることを発見しました。ただし、その論文
Zeitschrift fur Wissenschaftliche Photographie 3, 442 (1905)は見ていません。
ＨＲ図の発見1910 年頃から視差の測定数が急増し始めます。Russell は 1914 年に当時視差が知られていた約 300 星の絶対等級とスペクトル型をプロットしました。
それを次ページに示します。

Russell によるＨＲ－図の解釈

６巨星進化 Ｒｕｓｓｅｌｌ は前ページの図を見て次のように考えました：
星間ガスが集まって星が誕生する時にはまだガスの名残りを留め、薄く広がった低温の大気を持っているだろう。それがM型巨星である。
星はＭ型巨星として誕生するのです。
次にRussell は、Lane-Ritter の恒星進化理論に従い、巨星は収縮と共に高温化して行くと考えました。図の M型からＡ型巨星の並びは巨星が収縮していく進化系列という解釈です。そしてその収縮はB型で最高温度に達します。

矮星進化 Load Kelvin は星の密度が水の 1/10 に達すると、気体は圧縮されにくくなると考えました。もはや理想気体ではなくなるのです。
このため、巨星の収縮がＢ型まで達すると、エネルギーを失って収縮するに連れ、星は冷却されていきます。その結果、Ｂ型星からＭ型星まで、今度は矮星系列を逆にたどって降りて行きます。

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７

余談１ Ｒｉｔｔｅｒの論文は多分、“On the Constitution of Gaseous Celestial Bodies”
A. Ritter ApJ. 8, 293 – 315 (1898)
で、この論文は Wiedemann’s Annalen に 1878 から1883 に掛けて、“ Researches on the Height of the Atmosphere and theConstitution of the Gaseous Celestial Bodies” という題で１８回の連続論文として掲載されたものの１部です。その第１６論文を、ＡｐＪ編集部が「恒星分類の観点から興味深い」として翻訳したものです。
”neutral equilibrium”=断熱平衡にあるガス球の構造を述べています。

８

今なら ＵＶ-線で考える星の構造を表す方法の一つに UV-線と言うものがあります。ＵとＶの定義は以下の通りです。Mr は半径 r 内の質量、ρは半径 r での密度として、

U

4 r 3  d ln M r
GM r d ln P, VMrd ln r
rPd ln r

Ｕの意味：
上の式を少し変形すると、<ρ>=半径 ｒ 内の平均密度として、余談２ Russell のＨＲ図の解釈は Eddington 1913 により、星の速度とスペクトルクラスの関係に矛盾するという批判を浴びました。
Russell も直ちに応酬していますが、論戦の決着までは見届けていません。Russell の恒星進化論がその後どのくらい生き延びたか調べていませんが、既にご存知の方がいらしたら御教示下さい。

U

3



その点での密度3M 4 r   3   3 その点の内側の平均密度
3rＶの意味:という訳で、１００年前に巨星が発見された当時は、巨星が大きいのは星間ガスが集まって収縮していく途中だから、と考えられていました。

理想気体で、(P/ρ)=(kT/μH)=(2/3)*熱エネルギーなので、
 GM r   P  3 その点の内側質量によるポテンシャルエネルギーV     
その点での熱エネルギー r   2

では、今ならどう考えるのでしょう？

９

ＵＶ-線 が示す星の中心と表面星の中心では ρ= <ρ> です。また、r→0につれ、(Mr/r)∝r２→0 です。
したがって、中心 r=0 では、 (U, V) = (3, 0) となります。

前頁で述べたように、星の UV-線を描くと、(U,V)=(3,0)と（0, ∞）を結ぶ曲線になります。
ところが、星の構造を表す微分方程式を表面から内側へ解いていくと、出発点の微妙な差で星の内部の解が大きく変わることが分かります。

一方、星の表面では (ρ, Ｔ） = (0, 0) という条件を課すので、 (P/ρ)=0となります。そのため、表面では (U, V) → (0, ∞) となります。

正常解：
半径 r=0 になった時、質量 Mr=0 。
(U, V) = （3, 0) を通る。

5表面

5表面

4星の構造は UV 面では 中心＝(3, 0)から 表面＝(0, ∞）へと延びる曲線で表されるのです。

1０

まともなＵＶ-線 と ちょっとおかしいＵＶ-線

43

空洞解：
ｒ＝０まで行かないうちに Mrを使い切3ってしまう。星の真ん中に空洞が広がる。
V 質点解
縁での<ρ>＝0 なので U→∞ となる。

星の構造線

V2空洞解

2質点解：
ｒ＝０になったのにまだ質量Mｒが残っている。 <ρ>→∞ となるので U（r=0)=0.

1

正常解

1

中心００21

中心０3U

4

矮星と巨星のＵＶ-線1１左の図は太陽のような矮星の UV図です。
星の構造線は (U, V) = (3, 0) から (0, ∞）へすんなり伸びて行きます。

10表面
８６4

白色矮星の UV-線

4外層

43飛び

3質量 Mc の中心核の端面

V

V

４35

中心核の UV-線

6VU

1２582

中心核のＵＶ-線

巨星の UV-線

矮星の UV-線1

赤色巨星の中心核は基本的には白色矮星です。ただし白色矮星の場合は表面で(U, V) = (0, ∞) になりますが、巨星中心核の表面というか端面はまだ星の奥深くにあります。それで、中心核の UV-線は白色矮星の UV-線が途中で切れたものと考えてよいでしょう。

右の図は巨星の UV図です。星の構造線が (U, V) = (3, 0) から (0, ∞）へと伸びて行く点は左図と変わりません。ただし、青線から赤線へ移る際に飛びが生じています。この飛びの内側を中心核、外側を外層と呼びます。
１００V242

中心核２12中心００12U31

中心4０００12U3

中心中心4０12U34００12U342

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外層のＵＶ-線

外層の下端では水素殻燃焼により水素がヘリウムに転換されます。このヘリウムは連続的に中心核に押し込まれていきます。それに伴う物質分布の変化を下に示します。 Aa から Bb への進化の間、M は一定ですが、R は変わります。

赤色巨星の外層はスライド１０で示した質点解の一部です。
質点解は、中心に存在する質点（半径ゼロで質量有限）重力の影響下で平衡にある恒星内部構造です。赤色巨星の中心核は高密度で半径が小さいために、外層から見ると質点のように見え、このため外層部の構造は質点解(の途中まで)になったのです。
1010

外層の UV-線

中心核質量 Mc の質点の周りの質点解

81.00.80.8b
巨星外層の半径ｒとその内側質量Mrの関係

0.40.2

外層の 下端面

2０1０23U０4０213U4

前ページの進化を UV 図で表してみたのが下の図です。
1.00.81５1.00.8bA0.6Mr/M

巨星外層の半径ｒとその内側質量Mrの関係

0.40.4M=星の全質量、R=星の半径0.20.20.40.80.6r/R

上の図では Aa, とBb は異なる構造線で表されます。
ＵＶ線で表すと、外層と中心核が、近似的には一本の構造線の上を動いて行きます。

０10.2０0.4108B

中心核

4b2a中心００1243U0.81r/RＵＶ図を見ると、中心核構造線上では表面方向に、外層構造線上では中心質点方向に、端点が進んでいることが分かります。

外層

A6V0.61６<T>
MTiMi8B8BV

外層

A

中心核

46V

a

中心核

40.22U

30.40.60.845（４） 一方、核反応で決まる ri は、ほぼ一定です。

a０1０r/R

中心０b2

中心０a1

外層

A6b０(5) この結果、外層は質点型でその下端がますます中心近くへと迫って行く
一方、下端の半径 ri は固定されているという状況になります。

1１０ρ/<ρ>Ｒ０0.80.6r/R

赤色巨星中心核と外層の境界面では水素燃焼が起きています。
この核反応で発生するエネルギー＝星が放射するエネルギーという条件で決まる境界面の温度 Ti ≒１０００万度 です。
したがって、ｒi ＝ α’μH(GM i /kTi)は、ほぼ一定と見なせます。

１０b0.4境界面温度 Ti

質点型外層の無次元密度変化20.2０

中心核： A から B へ進化します。
実線＝中心核。
破線＝表面まで外挿した白色矮星解。
A, B は中心核の上端です。
r/R は大きく変わっていますが、r はあまり変わりません。

1７（１） 中心核の上端はA→Ｂへ段々表面的になって行き、U→０に近づきます。

（３） 質点中心型の外層構造では, U→0
つまり、外層下端の密度が低下する
ことは R/ri → ∞ を意味します。

０15

復習すると、（２） つられて、外層の下端も a→b と、Ｕ→0 に近づきます。
この場合は表面的になるのと逆で、質点中心的になっていきます。

0.80.6r/RTi ＝中心核と外層との境界面の温度、
ｒi ＝中心核半径＝境界面半径M i ＝中心核質量とした時も類似の考えで、
k Ti = α’μH(GM i /ｒi)となります。

M=星の全質量、R=星の半径0.2００巨星中心核層の半径ｒとその内側質量Mrの関係

Mr/M

M=星の全質量、R=星の半径一般に N 個のガスからなる重力系では、
k<T>= αμH(GM/R)
ここに、α＝系の構造に依存する定数で１のオーダー。
<T> = 系の平均温度。

Ba0.60.4

外層： a → b へ進化します。
実線＝外層の半径・質量関係。
破線＝中心まで外挿した質点解。
a, b はそれぞれの外層の下端です。
星の半径に対する相対値では a の方が b より内側です。

質量 Mcの質点
20.40.2０4

巨星中心核層の半径ｒとその内側質量Mrの関係

Mr/M

M=星の全質量、R=星の半径０4

A0.60.2V

B

aMr/M6V1.00.6861４

外層と中心核での質量分布の変化

aρ12U345

質点型外層の実物理量での密度変化
a と a′は無次元表示では同じ点に対応する。

b（６） それで、巨星は膨らむのです。
a′rir3