第6節

振動現象の測定

1-6-1

実験装置と使用器工具

加振装置

加振

振動 装 置加振 モ ー タ

振動装置

台サドル部
上下ハンド

アン バ ラ ンス ウ エ イト
セ ン サ加振装置制御

おも りベー ス

バネ

図 1-6-1

回転 ヒ ン ジ

クラ ン プ

実験装置

本節では、図 1-6-1 に示す実験装置を用いて、振動実験を行い、インパルス応答や周波数応答などの基本的な振動現象を観察し、理解する。さらに振動現象の背景にある原理や法則の理解を深めるために、実験装置の数学モデルを作成し、理論的な解析を行い、振動現象と比較検討する。
実験装置は振動装置と加振装置から構成される。振動装置は、振動体となる台座とそれを支持するサドル部からなる。台座はベース、ばねの取り付け治具、回転ヒンジで構成され、回転ヒンジを中心に自由に回転でき、上下ハンドルで上下移動が可能である。振動装置のおもりとバネは簡単に取り替えが可能で、振動装置の固有振動数を変更できる。一方、加振装置は、加振モータの回転制御、回転数の表示、センサー出力を行う制御部と実際に加振を行う加振部とからなる。加振装置は、アンバランスな回転体をモータで回転し、振動を発生させている。そのモータの回転数は 100rpm から2000rpm の範囲で可変できるので、加振周波数は約 3Hz～33Hz である。また、実験装置には加振中に位相の変化を観察できるようにアンバランスの位置を接近センサーで検出できるようになっている。

－50－

実験の流れを図 1-6-2 に示す。はじめに加振装置を載せる台座の慣性モーメントや静剛性などの振動パラメータを測定し、台座のモデル化により振動解析を行い、台座の振動現象の測定結果と比較検討する。その後、加振装置を台座に載せ、周波数応答の測定と理論値とを比較検討する。実験装置のモデル化の条件および実験に使用する機器と工具を次に示す。

①台座の振動パラメータの測定と算出
・台座の慣性モーメントの算出
・ばね定数および台座の静剛性の測定②台座のモデル化と振動解析③台座のインパルス応答の測定
・台座の固有振動数の測定値と理論値の比較④振動（質量・剛性）パラメータの影響・インパルスの応答の測定と理論値との比較⑤実験装置の周波数応答の測定・理論解析と測定値との比較

図 1-6-2

実験の流れ

実験装置のモデル化の条件① ばね以外の部材は、剛体と見なす。
② 振動に伴う台座の変位角または変位は非常に小さいものとする。
③ 台座のベース以外の部材は、質点系として扱う。

実験で使用する器具および工具① 実験装置本体の付属品
・重り[2.5kg

4 枚，2.15kg（モータ取り付け台兼用）1 枚]・ばね（種類７本）
・変位測定用レバー
・アンバランスウエイト（大、中、小3 個）② 実験装置以外の工具,機器－51－

・ 振動計（1CH），加速度ピックアップ、加速度ピックアップ用リード線、出力信号の接続コード
・デジタルオシロスコープ（2CH 以上），プローブ 2 本・直流電源（DC12Ｖ～DC24V），接続コード 2 本
・ダイヤルゲージ、鋼尺（30cm）、・六角穴付ボルト用レンチ（M5,M6,M8 用）
・台ばかり

1-6-2

台座の振動パラメータの測定

台座のベースには取り付け用の穴が多数空いているが、ベースの慣性モーメントを算定する場合、一様な直方体の板と見なす。また、ばねの取り付け治具は重心にすべての質量が集中しているものとして扱う。なお、ばねおよび回転ヒンジの慣性モーメ
ントはベースおよび治具の慣性モーメントに比べ小さいので無視する。
(1)質量・形状の測定と慣性モーメントの算出

ｍP
回転ヒンジ

ばねの取り付け治具

ｍC

ベース＊台座は、ベース、取付治具、回転ピンの総称。
図 1-6-3

台座の構造

－52－

a．ベース

a[m]

幅

W=[m]

長さ

a=[m]

質量ｍ ｂ =[kg]ｍ2

厚さ ｔ=oｍ ｂ・Ｊ 1b．取り付け治具kｍ ２ ＝ｍ ｐ +ｍ ｃ ＝[kg]c.回転中心 O 点からばねまでの距離
ｂ＝

ｂ[m]

d.ベースの O 点回りの慣性モーメント[kgm 2 ]Ｊ１=
図 1-6-4

台座のモデル2111æaöJ 1 = I G + mb ç ÷ = mb a 2 + mb a 2 = mb a 2 =1243
è2ø
e.取り付け治具の慣性モーメントJ 2 = (m p + mc ) × b 2 = m × 2 b 2 ==Ｊ ２=[kgm 2 ]ＪD =[kgm2 ]

=ｆ.台座の慣性モーメントJ D = J1 + J 2 =3+＝－53－

(2)台座の静剛性の測定

荷重Pｃ

JD , m ｂo

PQθkb

図 1-6-5

台座の静剛性の測定系

a.静剛性とばね定数の関係
図 1-6-5 に静剛性の測定系をモデル化したものを示す。図のように回転中心 O 点か
らばね位置 Q 点までの長さをｂ、O 点から荷重位置 P 点（変位測定位置）までの長さをｃとし、その荷重を P、ばね定数をｋとする。
仮に荷重 P が作用して O 点を中心にベースプレートがθ回転したとすると、ばねの取り付け位置 Q 点の変位 X Q と荷重点 P の変位 XP は、次ように示される。

x p = c × tan q = c × q
xQ = b × tan q = b × q =(1-6-1)bxpc(1-6-2)

ただし，回転角θが非常に小さいので tanθ＝θとなる。
さらに変位と力の関係をモーメントの釣り合いから求めると、

k × xQ × b - P × c = 0(1-6-3)となる。よって、P 点の静剛性ｋ P は次式で求まる。

kP =Pb2=k 2xPc(1-6-4)

特にばねの中心線上に荷重Ｐが作用する場合，静剛性はばね定数に一致する。
ｂ＝ｃならばkP = k(1-6-5)－54－b.ばね定数の測定（b=c の場合）
ばね位置とおもりの重心位置が一致するようにおもりを台座に載せ、荷重の変化に伴うばねの変位を測定し、ばね定数を算出する
使用工具
振動装置、変位測定用レバー、ダイヤルゲージ、ダイヤルゲージ用マグネット台、おもり(2.5kg)4 個、スケール（300ｍｍ）

クラ ンプ

上下 用 ハン ド ル

変位 測 定用 レ バー

ベー スｂ

ダイ ヤ ルゲ ー ジ

図 1-6-6

台座の各部名称

図 1-6-7

実験装置と測定器

測定手順1)振動装置を図 1-6-6 のように組み立て、水平で振動の少ないテーブルの上に設置する。そしてベースが水平になるように上下用ハンドルで調整し、その後クランプで固定する。
2）ばねの取り付け位置（ｂ寸法）をスケールで測定する。
3）図 1-6-7 のように変位測定用のレバーを取り付け、ダイヤルゲージを設置する。なお、ダイヤルゲージの取り付けは不安定なため、ダイヤルゲージ用のベースを用意するとよい。
4）図 1-6-8 のように順次おもりをベース上に載せ、変位を測定する。おもりの中心と変位測定の位置がずれないように注意する。変位は、おもりを増加させる場合と減少させる場合の両方について測定する。なお、変位の測定値が不安定な場合、ばねの取付治具でばねがしっかり固定されているか確認する。
5）測定値された荷重と変位の関係からばね定数
図 1-6-8を求める。

－55－

ばね定数の測定の様子

結果とまとめ
図 1-6-9 のようにばね変位と荷重の関係をグラフ化し、最小自乗法により近似直線を求めて、その勾配からばね定数を求めてみよう。
120

荷重 N

103 × 10 3

ば ね 定 数

10080Y=103X

604020000.20.40.60.81変位 mm

図 1-6-9測定位置（ｂ寸法）：

ばね変位と荷重の測定結果

[mm]

ばねの種類
ばねの外径×内径：×［mm］

ばねの長さ[mm]表 1-6-1
荷重（ 増 加-減 少 ）2.5×N9.81

変位5×9.817.5×9.81

10×9.81

7.5×9.81

5×9.81

2.5×9.81mm
ばね定数－56－[N/m]a. 静剛性の測定

図 1-6-10

図 1-6-11

測定レバーの取付けの様子

静剛性の測定の様子

ここでは、ばね位置(b)と荷重位置(c)とが異なる場合について荷重と荷重位置の変位を測定し、静剛性を算出する。さらに前項で求めたばね定数ｋと式(1-6-4)を用いて、静剛性の理論値を算出し、測定値と比較する。
測定１） 図 1-6-10 のように測定用レバーをばね位置とは異なる点に設置する。
なお、測定用レバー取り付け位置は、荷重位置と等しい。
２） スケールで荷重位置（ｃ寸法）およびばね位置（ｂ寸法）を測定する。
３） 図 1-6-11 のように順次おもりを変更し、変位を測定する。実験では、測定用レバーの取り付け位置（ｃ寸法）を 4 箇所以上変更し、測定を行うこと。
使用器具・工具ｃ

振動装置、変位測定用レバー、ダイヤルゲージ、ダイヤルゲージ用マグネット台、PQ

O

おもり(2.5kg)4 個、スケール（300ｍｍ）

ばね定数ｋk[N/m]

ばねの種類
ばねの長さ

b[mm]

ばねの外径×内径：×
図 1-6-12静剛性の測定系のモデル－57－[mm]測定結果とまとめ各位置で測定された変位と荷重の関係をグラフにプロットし、その勾配から各位置の静剛性求め、理論値と比較する。
表 1-6-2①荷重位置

静剛性の測定結果

ｃ=［mm］

ばね位置 b＝［mm］

ｃ=［mm］

ばね位置 b＝［mm］

ｃ=［mm］

ばね位置 b＝［mm］

ｃ=［mm］

ばね位置 b＝［mm］

荷重 N
変位 mm

②荷重位置
荷重 N
変位 mm

③荷重位置
荷重 N
変位 mm

④荷重位置
荷重 N
変位 mm

測定値と理論値の比較
表 1-6-3
ばね定数ｋ[N/m]静剛性の測定値と理論値

荷重位置ｃ

ばね位置ｂ[m][m]①②③④－58－静剛性
測定値

[N/m]
理論値 k(b/c)2

1-6-3台座のモデル化と振動解析

台座のベースをモデル化すると図 1-6-13 ように示される。図中のベース変位角をθとすると、ばねの位置 Q 点の変位 x Q はθ･ｂで与えられ、ばねの定数をｋとすると、ばねの復元力 FQ は、k･XQ で与えられれる。さらに O 点を中心としたモーメント M Q は、FQｂで示される。したがって、運動方程式と固有振動数は次のように示される。
・Q 点の変位

aXQ =θ･ｂθ

oQ

・Q 点に作用するばねの復元力 F Q

m2

F Q ＝k･X Q ＝k･θ･b(1-6-7)

・F Q によるモーメント M Q

km1・J1(1-6-6)

MQ =ｋｂ 2 θ(1-6-8)

・回転運動方程式

d 2q+ kb 2q = 02dt
L J D = J 1 + m 2b 2ｂJD

図 1-6-13

台座の振動モデル

・固有振動数hfn =ｅoｍ eq(1-6-10)

fn

kC b 2JD

12p(1-6-9)(1-6-11)

さらに任意点の静剛性 k e と集中質量 m e q とθでモデル化すると図 1-6-14 のようになる。

ｋｅ

慣性モーメントＪは m eq ･h 2 で与えられるので、運動方程式は次のように示される。

図 1-6-14

m eq h 2

台座の振動モデル（回転運動）

d 2q+ k e e 2 q = 0 (1-6-12)
2dt

よって、固有振動数はおよび等価質量は次のように示される。
fn =ｍ eq

12pm eq =ｋke e2(1-6-13)

m eq h 2111J D = 2 (J1 + J 2 ) = 2 J1 + m2 h 22hhh()(1-6-14)

さらに等価質量を計算する場合、h=ｅになるように h 長さを選べば、振動モデルは、図 1-6-15 のように並進運動モデルに変換できるこ

図 1-6-15
台座の振動モデル（並進運動）とがわかる。
1fn =2pkem eq(1-6-15)2

1
11 æ aömeq = 2 J D = 2 ( J 1 + J 2 ) = mb ç ÷ + m23 è høhh－59－(1-6-16)