―80―■ 投稿 ■

新しい太陽活動周期の極大値を予測してみる
杉谷康雄（近畿支部）

Xi とすると、その値をそのまま使わずに次式、１．はじめに太陽活動にほぼ 11 年周期の盛衰があり、その活動を表す度合として「黒点相対数」が使われていることは良く知られている。1755im

Xi ＝（  Xi ）/ ( 2m+1 )im

年開始の周期を第１周期として、これまで 23で計算した Xi を移動平均値といい、時点 i での値とするのである。これは i を中心に前後周期が記録されており、第 24 周期が始まっ2m+1 の範囲の平均値であり、m の範囲は任たばかりである。11 年周期と名付けられてい意に決めて良い（ただし m≠0）。なぜ移動平るが、これまでの 23 周期について見てみる

均値を使うのか。実際に移動平均値を使ってと短い周期で 9 年、長い周期では 14 年近くグラフを作ってみるとわかるが Xi の小さな続いており周期の長さにはかなりの幅がある。 変動は消えて、それを貫く大きな変動が見えでは、各周期の強さはどうだろうか。図 1 はやすくなるからである。

最初の 9 周期のグラフであり、縦軸に黒点相太陽黒点数の場合も月平均値をそのままグ対数の年平均値をとってある。図から分かる

ラフにすると変動が大きく、それを貫く 11

ように太陽活動極大時の黒点相対数は、周期年周期が見えにくい。そこで、移動平均値がによってかなりの増減がみられる。すなわち、使われている。その計算式は上の式と少し違

太陽活動の強さも周期によって大きく異なるっていて、Ri を月平均黒点相対数[1]とするのである。そこで、始まったばかりの第 24と、周期の活動がどの程度の強さになるのか、黒点相対数を用い統計の手法を使って調べてみRi ＝（  Ri + ( Ri-6 +Ri+6 ) / 2）/ 12たい。という式で計算され、13 ヶ月移動平均値と呼i 5i 5ばれている。13 ヶ月なのに 12 で割り算して.

00.

0.

060.

040

図1.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5.

09630741852963.

06678990112334577777788888888

1111111111111205.

700

この式と、そのグラフが天文年鑑の太陽面現12505850052151しているからで、 Ri は i を中心に前後 12 ヶ月（1 年）の黒点数の平均値と考えて良い。

5050.

5.

050456151505.

50581

黒点相対数いるのはなぜか。それは、両端の値を半分に1象のページに載っているので、見ていただくと参考になると思う[2]。11 年周期の極大値・極小値とその時期はこの 13 ヶ月移動平均値によって決められている。

第 1‐9 周期の黒点相対数（年平均値）
3．新周期開始時が確定した時点での予測

2．太陽黒点相対数の１３ヶ月移動平均値

この原稿を書いている今は、2009 年 9 月

物事の変動を表すのに、移動平均値というで、8 月までの黒点相対数月平均値が分かっものを使うことがある。ある時点 i での値をている[1]。それを使うと 2 月までの 13 ヶ月

天文教育 2009 年 11 月号（Vol.21 No.6）

新しい太陽活動周期の極大値を予測してみる―81―

移動平均値が計算可能で、その値は 2008 年に近いほど強い相関があることになる。図 212 月に極小となり、その後増加している。その相関係数は 0.84 であった。

こで 2008 年 12 月を周期の境目と考えて新しい第 24 周期の極大値を予測してみる。

220
200

前節で i 月の月平均黒点数を Ri としたが、180以下では i を各周期共通に使用することにし、160
140とつ前の周期の値を i<0 で表す。第 24 周期

120では、2008 年 12 月が i=0 の月になる。
また、

Rmax

各周期の最初の月を i=0 とする。そして、ひ100
80極大時の Ri を特に Rmax と表すことにする。
Rmax は極大時での 13 ヶ月移動平均値、す6040

なわち、極大時を中心とした前後 1 年間の黒20点数の平均値である。これを予測してみたい。

002040X16080

3-1. 単一変数での Rmax 予測
さて、Rmax を予測することができる変数

図223 周期に対するＸ １ と Rmax の相関は何かないか？ 過去 23 周期のデータを色々調べていくうちに次のような変数 X1 を探しX1 の関係を表しており、回帰式と呼ばれてい出した。
X1＝（

図 2 の中央斜めに引かれた直線は Rmax とi  29

るもので、Rmax = 1.74 X1+ 47.5 である。こi  37の式を使って回帰式上の Rmax が計算でき、

 Ri ）/ 9

つまり、ある周期の極大値は、その周期がこれが予測される極大値ということになる。

始まる月の 37 ヶ月前から 29 ヶ月前までの 9

しかし実際の極大値（図中の点）は直線からヶ月間の黒点数月平均値の平均と関係がある

上下に少し離れており、その距離が予測値かのである。これを図にしてみると図 2 のようら外れた量になる。よく見るといくつかの周になる。第 1 周期の一つ前の周期の極大期ま期ではこの直線からかなり離れている。こので Ri のデータが存在しているので第 1 周期図を使ってそれらの周期の極大値を予測するからの調査が可能であり、図 2 では 23 点がならば、定量的にはもちろん、定性的な予測プロットされている。

も外れると言われても仕方ないだろう[3]。そX1 と Rmax の間にはかなり強い関係があこでさらに Rmax と相関のある他の変数を探るが、統計学ではこれを相関があるという。

し出し、複数の変数を使って、より確かな予話が横道にそれるが、統計学ではこの相関の測をしようと考えた。

強さを表すのに相関係数という数値を使う。
図 2 のデータ（23 の点）が完全に一直線上に3-2. 3 変数での Rmax 予測並んだ場合、その直線の傾きが正なら相関係

新たな変数は周期開始時には計算可能な、数は 1、傾きが負の場合は－1、両者に何の関つまり周期開始時以前のデータから得られる係もなく点がばらばらに存在している場合のものでなければならない。探し出したのが次相関係数は 0 である。従って相関係数の範囲の 2 つの変数である。

は－1 から 1 の間であり、値が 1 または－113 ヶ月移動平均値を使って、今予測しよう

天文教育 2009 年 11 月号（Vol.21 No.6）

―82―■ 投稿 ■としている周期の 1 つ前の周期の極大時から、250

その時の Rmax 値の 59％まで 13 ヶ月移動平均値が減少する時間（月）を X2 とする。周期200

によってはいったん 59%以下に減少しても再び増加して 59%以上になることもある。そ間を採用する。さらにその時から極小値にな

150
Rmaxの場合は最終的に 59%以下になるまでの時100るまで、つまりその周期の終わりまでの時間をＸ ３ とする。

50

この X1～ X 3 の 3 つの変数を使って、Rmax0を予測しよう。そこで次のような式を考える。
a X1 + b X2 + c X3 + d = ( )0･････ (1)50100y150200

a ～ d に適当な数値を放り込んでやり、計算された答( )が Rmax になるようにすれば(1)

図323 周期に対する y と Rmax の相関式を使って極大値が予測できることになる。
この式は過去の 23 周期についてそれぞれ存

この図 3 を使って第 24 周期の予測をして在するので、全ての周期の( )と Rmax の差をみたい。データを代表する中央の直線は重回できるだけ小さくするような a ～ d の値を帰式であり、各点を通る鉛直線とこの直線と求める事になる。正しくいうと差には正負がの交点の縦軸の値が y になっている[4]。そこあるため、23 個の差の二乗の和を最小にするで、図 3 を使って過去 23 周期を予測したとような値を求めるのである。このような手法

仮定すると、各点とその交点との間の距離がを回帰分析とよんでおり、ここでは複数の変計算で求めた予測値 y と実際の極大値 Rmax数を使っているので特に重回帰分析というが、 との差、つまり、外れた量になる。この量のその詳しい理論説明は専門書にゆずりたい。

最 大 値 を 調 べ る と 第 4 周 期 （ y=114.8 、重回帰分析の場合、回帰式は重回帰式、相関Rmax=141.2 の点）の 26.4 であった。従って、係数は重相関係数と呼ばれる。a ～ d を求め計算で求めた y の値に±26.4 の幅を考えるとる計算は非常に煩雑であるが、エクセルの関過去 23 周期はすべてその幅の中におさまり数を使うと瞬時に計算してくれる。その結果予測できたという事になる。そこで新しい周を、( )を y という文字で置き換えて表すと(1)期の極大値もこの幅の中におさまる確率が高式は、いと考えて良いだろう。新しい周期の y を計

1.38 X1＋1.99 X2― 0.67 X3＋38.03＝y････(2)

算 す る と 90.0 と な っ た の で 、 90.0 ± 26.4（63.6～116.4）がその範囲である。となった。この式で計算した値 y を横軸に、極大値 90.0 を、過去の周期と比較してみる

観測で得られた Rmax を縦軸にとったものがと弱い方であるが極端に弱いとは言えない。

図 3 である。図 2 より相関が強くなっている

これまでの周期で最も弱かったのは、図 1 にのが分かるが、その強さの度合いを表す重相示した第 5、第 6 周期で、その極大値は 49.2、関係数は 0.95 である。

48.7 である。もし、第 24 周期の極大値が上記予測範囲の最低値 63.6 になったとしても天文教育 2009 年 11 月号（Vol.21 No.6）

新しい太陽活動周期の極大値を予測してみる

これらの値より大きい。新しい周期が前代未―83―

思い出してもらうと、これが「太陽黒点数月聞の弱さになるという心配はなさそうである。 平均値の 5 ヶ月移動平均値グラフの、i=13 かところで、これまで説明してきた極大値予ら i=22 までの 9 ヶ月間の増加量である」こ

測範囲は、統計的計算に基づいたものではなとが理解していただけると思う。次に X5 はい。そこで念のため、その計算をやっておく。

X1 の説明を読み返していただくと良い。数値

詳しい計算方法の説明は省くが、信頼率 90％が変わっているだけであり、本質的に X1 と同を採用して第 24 周期の予測区間を求めると、じものかも知れない。X6 であるが、X33 は、90.0±26.5 となった。先に求めた区間とほとX3 を求める時の 59%を 34%に置き換えたもんど同じ幅である。先に求めた予側区間の信のである（X2 はそのまま）。すなわち、1 つ頼率はほぼ 90%程度だったのだ。信頼率は予前の周期の 13 ヶ月移動平均値グラフの値が測区間を計算する前に決めておくものである

Rmax の 34%まで減少した時から極小時までがどんな値を採用してもかまわない。多くのの時間が X33 である。後は 3-2 で説明したの統計ではよく 99%か 95%を採用している。信と全く同じ繰り返しになる。その結果得られ頼率を下げていくと予測範囲は小さくなってた式は、いくが、予測が外れる確率が高くなる。逆に

1.05 X4＋1.42 X5＋0.96 X6＋63.06＝Y

信頼率を上げていくと当たる確率は高くなる････(3)が予測範囲はどんどん広がっていく。範囲がであった。Y を横軸に Rmax を縦軸にとった広くなり過ぎると予測するという意味がなくものが図 4 である。重相関係数は 0.98 であなってしまう。ここで採用した±26.4 の範囲り、かなり 1 に近い。

は妥当なものの様に思う。なぜなら、過去の250全周期の極大値を言い当てているのだから。

200

４．周期開始後 2 年での予測
これまでの 23 周期のうち、周期が始まっが 2 年 10 ヶ月、長かったのが 6 年 10 ヶ月、

150
Rmaxてから極大時までの期間が、最も短かったの

100

平均で 4 年 3 ヶ月である。そこで、周期が始まってから 2 年たった時点までの情報を考慮

50

すると、どの程度の予測が出せるか探ってみ0た。2 年たつと、R24 までのデータを使うこと0ができる。そこで、次の 3 つの変数を探し出

50

100Y

150200

した。
X4 ＝ (X5 ＝ (i  24i 15i  20i 11 Ri ) / 5 － (  Ri ) / 5

図4

新周期データを加えた Y と Rmax の相関i  5

図 4 を見ていただくと分かるように、図 3i  22よりも絞り込んだ予測が可能である。計算に

 Ri ) / 18

X6 ＝ X2－ X33

よって求めた Y の値と Rmax との差を過去

ここで、3 つの変数の性質を見ておきたい。

23 周期について調べてみると最大値は 16.9

まず X4 であるが、先に説明した移動平均値をであった。(3)式で計算した Y の値に±16.9

天文教育 2009 年 11 月号（Vol.21 No.6）

―84―

■ 投

稿 ■の幅を考えると、これまでの 23 周期の極大量的予測は変数 X 4～X6 を使ってさらに狭い値はすべて言い当てられたことになる。新し範囲に絞り込める。

い周期の Rmax もその範囲に入るだろうか。

(2), (3)式の係数 a～ｄの値は周期が増える

2011 年 1 月以降に図 4 を使った予測を行っ度に計算し直す必要があるが、変数 X１ ～X６てみたい。

についてもそのつど調査して多少の変更をする性質のものであると考えている。さらに探していけば Rmax を予測するもっと良い変数5．変数についてさて、ここで変数の探し方について少し補が見つかるかも知れない。

足しておきたい。図 3、図 4 共に、まず 3 つ

なお、図 2～図 4 について、なぜこのようの変数を決定して、その後、重回帰分析を行な相関があるのかという物理的因果関係の説って図を描いたように説明されているが正し明はなされていないことは理解しておく必要

くいうと順番はむしろ逆である。

がある。

まず最初に、図 2 のように 1 つの変数でRmax と高い相関のある変数をいくつか探し出しておく。その後、それらの中から 3 つの変数を使って重回帰分析を行い、その結果、

文献 及び 注

重相関係数が最大になったものがここに出て[1] http://sidc.oma.be

きている変数である。どの 3 つの組み合わせ[2] 天 文 年 鑑 (2009), 誠 文 堂 新 光 社 ,が最も良いかは、計算してみないと分らない。
全ての組み合わせを考え、総当たりで探すことになる。

pp.194-195．
[3] 過去の周期のデータから作った図 2 を使って、その過去の周期を予測していること

ところで、ここでは変数 3 個の重回帰分析に疑問を感じるかも知れない。過去の周期を行ったが、変数の数をもっと増やせばさらと全く同じパターンの周期が未来に現れ、に高い相関が得られるのではないかと考える

それを予測しようとしていると考えてもいかも知れない。その通りである。しかし、統いし、図 2 を持って過去にタイムスリップ計ではできるだけ少ない変数で高い相関を得したと考えてもいい。ともあれ、図 2 を使たものが良いとされている。変数を増やしてって未来を予測することの有効性を吟味し少しだけ相関が良くなった場合、果たしてそているのである。のほうがいいのかどうか、変数が増えた分だ[4] 重回帰式の傾きは 1 で原点を通る。従っけ結果を少し差し引いて考えてみないといけて、直線上の任意の場所の座標は(y, y)となないのである。ここでは、変数は 3 個程度にる。

とどめておくのが妥当ではないかと判断した。
6．考察

黒点 11 年周期の開始時が確定した時点で、杉谷

3 変数 X1～X3 を使うことにより、その周期の極大時の黒点数の定量的予測が可能である。
周期が始まって 2 年経った時点では、この定天文教育 2009 年 11 月号（Vol.21 No.6）

康雄