2015年度
スーパーサイエンスハイスクール
サイエンス研究会
研究論文集

奈良女子大学附属中等教育学校
2016 年 3 月 1 日

平成 27 年度 サイエンス研究会研究論文集刊行にあたって
本校は、平成 17 年度に SSH のⅠ期 5 年間、平成 22 年度にⅡ期 5 年間、平成 27 年度にⅢ期 5 年間の指定を受けました。現在 11 年目の活動をスタートしたばかりです。
本校の SSH は中高完全一貫教育という特色を生かしつつ回を重ねるごとに深化してまいりました。理数教育のカリキュラム開発、生徒全員の数学的・科学的リテラシーの育成、リベラルアーツの涵養、そしてⅢ期では、「共創力」を育成向上する人物像でのキーワードとし、他分野融合研究を進める、異文化・分野間の議論を行う機会を設ける、さらに科学的態
度や姿勢を身につけることを目指してサイエンス研究会を対象とした活動プログラム、「イ
ノベーター・キャンプ」を試みております。
本論文集は、サイエンス研究会の生徒の日ごろの研究成果をまとめたものです。全校で約100 名が所属するサイエンス研究会の生徒のテーマ選択と研究は、本校が大事にしている校
是の通り「自由に、自主的に、自立して」行っています。中高一貫教育の 6 年間を通じて、下級生は上級生の姿にあこがれ真似をすることから始め、上級生は下級生を指導しながら成長していく過程を踏みます。生徒たちを指導する教員もまた、生徒の自由な研究を尊重し、時には指導し、時には壁となり、時には生徒に教えられながらお互いに成長しております。
身近なことを不思議だな、何故だろうと思うことから研究は始まります。始まりは些細なことであっても、粘り強く挑戦することで思いがけない結果に遭遇することもあります。一方で、どんなに素晴らしく思えるテーマであっても、簡単にあきらめてしまっては、成果を見ることはできませんし、そのテーマが「自由に、自主的に、自立して」に即して選ばれ、行われていなければ、はたから見てたとえどんなに素晴らしい成果で合ってとしても、それは私たちが求めている姿ではありません。あくまで、「自由に、自主的に、自立して」に各
自がうまずたゆまず行っていくことを大事にしたいと思います。そうすれば、生徒であっても、「世界中で自分しか知らない自然の秘密の一端」を手に入れる瞬間をけいけいすることができます。また、研究においては「努力は報われないことの方が多い」、「努力は裏切られることもある」という現実も痛切に感じることができます。誤解されていることが多いのですが、サイエンスは正誤判定機のように YES と NO のどちらかをはっきりさせてくれるものではありません。場合によってはカフェオレのように両方混ぜるようなことが必要になる、極めて人間的な活動であります。このような活動を自主的に行うこと通して、人類が築き上げてきた「サイエンス」の本質に在学中に触れることは、今後どのような分野に進路を決めるにしても大いに生徒の背中を押してくれることと思います。
生徒の研究の成果の一部は、毎年のように外部からも高く評価されております。2015 年
度は、8 月に大阪で行われた「SSH 全国生徒研究発表会」では本校 5 年の松井絵莉子さん
が発表した『抹茶の科学』が「科学技術振興機構理事長賞」を受賞しました。昨年度の上田樹君に続き、2 年連続受賞となりました。本活動は受賞を目標としたものではありませんが、自分の好きな茶道での疑問をサイエンス研究会で科学的な面から研究した成果が高い評価を受けたことは、他のユニークで手ごわいテーマに取り組んでいる後輩たちの大きな励みになってくれると思います。これらの研究が少しでも花開くことを切に期待しています。
平成 28 年 3 月

奈良女子大学附属中等教育学校
校長 渡邊 利雄

2015年度(平成27年度) 教育課程
学年
時間

1年

2年

3年

4年

共通

共通

共通

共通

5年

6年

文系

理系

文系

理系

1
2
国語基礎(4)

現代文(2)

古典(2)

古典(2)

国語総合(4)3

国語総合(5)4

情報と表現(1)5
6

現代文(2)
国語基礎(3)

古典講読(1)
社会（3）
地理的分野

社会（3）
歴史的分野

現代社会Ⅰ(2)
現代社会Ⅱ(2)7現代史Ⅰ(2)
8

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)
倫理・政経(3)*(3)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)*(3)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)
倫理・政経(3)*(3)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)*(3)
古典講読(1)

現代史Ⅱ(2)910

数学基礎Ⅰ(4)
代数分野
幾何分野

数学基礎Ⅱ(5)
代数分野
幾何分野

11
12

世界史B(3)
地理B(3)
倫理・政経(3)

数学探究ⅠA(3)
数学探究ⅡA(3)

物理(3)
生物(3)
*(3)

*(3)

化学基礎(2)

13
数学探究ⅡB(2)14
理科基礎Ⅰ(4)

理科基礎Ⅱ(4)

15

自然探究Ⅰ
(3)

16
17
音楽(2)

音楽(2)

18
19
美術(2)

美術(2)

工創基礎Ⅰ
生活基礎Ⅰ
(2)

工創基礎Ⅱ
生活基礎Ⅱ
(2)

20
21
22

音楽Ⅰ(2)
美術Ⅰ(2)
書道Ⅰ(2)
工芸Ⅰ(2)*(2)

技術総合・
家庭総合(2)

自然探究Ⅱ
物理基礎(2)
生物基礎(2)(4)△(0)or(2)
化学演習(2)
地学演習(2)△(0)or(2)

解析Ⅱ(5)

体育(3)

代数・幾何(3)△(0)or(3)数学特講(2)
音楽Ⅲ(2)美術Ⅲ(2)
大学教養特講(1)△(0)or(1)or(2)

現代文特講(2)26Introductory
EnglishⅠ(3)体育(2)Introductory
EnglishⅡ(3)Topic StudiesⅠ(2) Reading
Topic StudiesⅠ(1) Writing

28

BasicEnglishⅢ(1)29

BasicEnglishⅠ(1) BasicEnglishⅡ(1)Topic StudiesⅠ(1) Speaking

30

Introductory EnglishⅠ(1)Introductory EnglishⅡ(1)Speaking

Speaking

道徳(1)

情報の科学(1)

道徳(1)

解析Ⅱ特講(2)△(0)or(2)

体育(3)

保健(1)
保健(1)

△(0)or(5)数学演習Ⅰ・Ⅱ(2)△(0)or(1)or(2)△(0)or(2)2531*(4)or(8)

解析Ⅰ(4)

代数・幾何(3)

体育(2)

27

化学(4)
物理(4)
生物(4)

物理演習(2)
生物演習(2)△(0)or(2)

音楽Ⅰ(2)
美術Ⅰ(2)
書道Ⅰ(2)
工芸Ⅰ(2)*(2)2324

化学基礎(2)
化学(2)

地学基礎(2)
音楽Ⅱ(2)
美術Ⅱ(2)△(0)or(2)

解析Ⅰ(4)

家庭総合(2)△(0)or(3)

日本史特講(2)
世界史特講(2)
地理特講(2)

情報と科学(1)

数学探究ⅠB(2)

世界史B(3)
地理B(3)
倫理・政経(3)

数学演習(1)△(0)or(1)Reading(2)△(0)or(2)

保健(1)

体育(3)
体育(3)

Topic StudiesⅡ (3)Reading
Topic Studies Ⅳ(3)Topic StudiesⅡ(1)Writing
Topic StudiesⅡ(1)Speaking

Topic Studies Ⅲ(3)
理科特講(2)
数学特講(2)

Reading(2)△(0)or(2)△(0)or(2)情報の科学(1)Writing(1)

探究・世界Ⅱ(2)コロキウム(2)

HR(1)

HR(1)

HR(1)

AG(1)

AG(1)

AG(1) △(0)or(1)テーマ研究(1)△(0)or(1)

テーマ研究(1)△(0)or(1)

テーマ研究(1)△(0)or(1)

探究・世界Ⅰ(2)
32

HR(1)

HR(1)

33

道徳(1)

34

HR(1)

短期集中

探究・奈良Ⅰ(1)

探究・奈良Ⅱ(1)※点線：評価は区別せずに行う部分＊必修選択 △自由選択

CGⅠ(1)

Writing(2)Writing(2)△(0)or(2)△(0)or(2)

研

究

論

文

豆電球の電力と明るさの関係
２年Ａ組 加藤 大翔
指導教員 米田 隆恒

１．要約
私は豆電球の明るさは何によって決定するのかを調べている。そのための予備実験として、今回は、定格電圧の異なる 4 種類の豆電球を使用し、電流、電圧、電力と明るさを測定した。これらのデータに基づき、それぞれの豆電球の利点を考察した。
キーワード

豆電球、電流、電圧、電力、明るさ、関数

２．研究の背景と目的

豆電球に流す電流を徐々に強くしていき、

普段使用している豆電球は定格電圧によ1005Lux までは 100Lux ずつ、それ以降はって様々な種類がある。効率よく豆電球を

500Lux ずつ明るくしながら、それぞれの使用するために、同じ明るさでより少ない

電流と電圧を測定し、電力を計算した。

消費電力で済む、状況に応じた豆電球の使

また、それぞれの豆電球が切れるまで電い方を考えた。そこで照度計を用いて次の流を強くし続け、つくり出すことのできる

研究内容で示す実験を行った。

明るさの限界を測定し、それぞれの利点を

照度計は、デジタルマルチメーター

調べた。

(MASTECH MS8229)を用いた。

３．研究内容豆電球の電流、電圧、電力と明るさの関係を調べるために図１のような装置を組んで実験を行った。内側に黒い布で覆った箱の中に電源装置、電流計、電圧計、豆電球をつなぎ、豆電球から 25mm のところに照度計を置く。なお、照度計は単位面積が受ける光束の量を表す照度を測定する装置で

図１ 測定装置

あり、Lux という単位で表記する。
実験には定格電圧が 1.5V，2.5V，3.8V，＜電力と明るさの関係＞

6.3V の 4 種類の豆電球を使用した。実験を

豆電球には定格電圧があるため、定格電行う箱の中を 0Lux という環境に作り出す圧が高いほど電力を消費すると予想し、実のは困難なため、5Lux の環境にした。

験を行った。また、それぞれ測定した 1 回

目と 2 回目は異なる豆電球を使用した。図

の最大値は、1.5V，2.5V，3.8V，6.3V の

２はその関係をグラフに表したもので、例

順に大きくなる。

えば 1.5V の 1 回目の測定を「1.5V-1」、2

・実験では、それぞれの豆電球がつくり出

回目の測定を「1.5V-2」とグラフ横に表記すことのできる明るさの限界に近づくほした。

ど、照度計に示される Lux の値が変動しその結果、次のことがわかる。
・図２は、いずれも右上がりのなめらかなて不安定になり、毎回の実験で多少の誤差が発生した。

曲線である。
・同じ明るさを得るために必要な消費電力

以上より、同じ明るさを得るために必要

は、1.5V、2.5V、6.3V、3.8V の順に大きな電力は、定格電圧が高いほど大きくなる

くなる。

という予想は誤っていることがわかった。

・豆電球がつくり出すことのできる明るさ

6.3V

2.5V

3.8V

1.5V
ｖ

図２ 電力と明るさの関係＜電圧と明るさの関係＞

このグラフから次のことがわかる。

次に、電圧と明るさの関係について調べ

・電力と明るさのグラフと同様にいずれた。こちらも同様に定格電圧が高いほど、も右上がりのなめらかな曲線である。

同じ明るさを得るのに必要な豆電球の電圧

・同じ明るさを得るために必要な電圧はは高いと予想した。図３はその関係をグラ

1.5V，2.5V，3.8V，6.3V の順に高くなっフに表したものである。

た。よって、定格電圧が高いほど豆電球の電圧が高いという予想は正しかった。

2.5V
6.3V

3.8V

1.5V

図３ 電圧と明るさの関係＜電力の２乗と明るさの関係＞

このグラフから次のことがわかる。

電力と明るさの関係のグラフ（図２）に注目すると、放物線のように見える。そこ
で、電力の 2 乗と明るさの関係は直線のグラフになると予想し、図４のグラフをつくってみた。横軸が電力の 2 乗である。

・電力や電圧のグラフより緩やかな曲線になっている。
・グラフは直線になっていない。
よって、直線のグラフになるという予想は誤っていた。

6.3V

3.8V
2.5V

1.5V

図４ 電力の 2 乗と明るさの関係

４．考察
この実験を通して、明るさと消費電力の2 つの観点で考えると、一般に定格電圧が2.5V の豆電球を使うのが最も効率がよいと分かった。また、少ない明るさでよいな
らば消費電力の少ない 1.5V の豆電球がよ
く、強い明るさを必要とするならば 6.3V の豆電球を使うのがよいとわかった。
しかし、3.8V の豆電球の必要性はわからなかった。また、電力と明るさについては
今回、規則性を明確に知ることはできなかった。

５．今後の課題
今回の結果から、3.8V の豆電球の必要性が見られなかったため、今後の実験を通して解明していきたい。また、電力と明るさの関係については累乗を変えるなど、直線のグラフになるまでの過程を考えていきたい。各豆電球について、明るさの限界に近づくと、明るさの値が不安定になるのはな
ぜかを考えていきたい。

６．謝辞
今回の研究にあたり、多大なご指導を賜った顧問の米田先生に、深く感謝申し上げます。

あなたの毎日をサポートするヘルスケア腕時計
３年Ｃ組 熊谷 充弘
指導教員 米田 隆恒

１．要約
あまり言いたくないことだが、私は授業中、何度も睡魔に襲われる。授業で寝てしまうと、その日の授業内容を、放課後に復習しなければならない。そこで私は自分が今、どれだけ眠たいのかを数値化し、ボタンを押すと、眠気が飛ぶ腕時計があればよいと思い、製作することにした。ここではその過程、今後の展望を紹介する。
キーワード 睡眠、睡眠促進物質、スマートウォッチ、恒常性維持機構

２．研究の背景と目的上で述べたように、眠たくなるのが授業

３．研究内容（１）睡眠の仕組み中ならまだしも、それがトラックの運転中、まず、人はなぜ寝るのか。なぜ眠たくな

バスの運転中ならどうなるか。私はその眠るのかを考える必要がある。しかし、睡眠

たくなる原因を突き止め、現在の眠たさをについてはまだ解明されていない謎があり、数値化し、ユーザーに対してなんらかのア

ここからはあくまでさまざまな情報を集めクションをする。例えば『眠たくなってきて考えた内容である。

ました。トラックをサービスセンターに停睡眠というのは、「メラトニン」などのホめ、仮眠をとりましょう』と音を出し、30

ルモンと脳の働きによって制御されている。

分後に起こすというようなスマートウォッ

睡眠は、脳を休止状態にすることをいうのチを作れば事故が減るのではないかと思い、ではなく、脳が自らのシステムを点検し、製作しようと思った。授業中の場合、事故修復する、脳が自ら作り出した自己修復プというのはもちろん先生に怒られることだ。

ログラムだと考えられている。人間は睡眠によって毎日を不自由なく生活することができるのである。
人間は、ずっと運動をしていると筋肉が疲れて動けなくなるのと同様に、脳もずっと活動をしていると、脳が働く時間と量に比例して「睡眠促進物質」、いわゆる疲労物
質が溜まる。脳は睡眠促進物質を分解しようと、脳の働きを止めて眠る。このメカニ

図１ スマートウォッチの例

ズムを「恒常性維持機構」と呼ぶ（図２）。

2 つ目は、通常、人間が寝るときは暖かい環境で寝る。毎日そのリズムで生活していると、暖かい→寝るというサイクルが体の中にいつの間にか出来上がっていく。よって暖かい場所にいると、疲れていなくても、体が勘違いをして、眠たくなるのではないだろうか。
（２）製作
睡眠の仕組みが分かったところで、どのような外観、機能にするのかを考えていく。
図２ 恒常性維持機構

まず機能について考えていくことにする。
今自分がどれだけ眠たいのかを液晶にパーだが、疲れてもいないのに眠たくなるの

センテージで表示し、ボタンを押すと眠気はなぜか？これには 2 つのことが考えられが飛んでいくという機能と、Siri のようにる。1 つ目は、恐らく脳は睡眠促進物質が「心拍数が上がってきました。少し休憩し分泌されたことを認識しているのではなく、ましょう」と声でユーザーをアシストする睡眠物質が引き起こす副作用をチェックし機能が必要だと考えた。このような機能をているのだと考察した。例えば、もし睡眠実現させるためには、液晶、センサー、タ促進物質に心拍数を下げる作用があるとすッチパネル、スピーカーが必要である。加るならば、脳は、心拍数が下がると睡眠促

えて、心拍数などを測るため、常に体と接進物質が分泌されたのだと誤認識するので触している必要がある。これらの条件を満はないのか（図３）。

たすことが可能なのはスマートウォッチだ
けだと考え、外観は高級感のある腕時計型にすることにした。
（３）仕組みまず、眠たさをパーセンテージで表示する仕組みを考える。
（１）でも記したように、
睡眠促進物質が引き起こす副作用を実験などで調べ、その副作用で変化するものをセンサーで測る。例えば、睡眠促進物質が分泌された時(眠たくなった時)は脈拍が下がることや、体温が上がるということが実験で証明された場合、脈拍の変化を赤外線センサーで測り、体温の変化をサーミスター

図３ 脳の誤認識と呼ばれるセンサーで測定する。様々な情報を調べるのは、他の要因で脈拍が下がっ促進する「メラトニン」と呼ばれるホルモた場合などに誤動作しないようにするためンの分泌をやめ、目が覚める。はじめ、こである。他の要因ではないと判断した場合、の朝日の光の波長を再現し、自然に眠りか

あらかじめ設定されている、眠たくない時

ら覚まそうと考えていたが、この方法では、の脈拍、体温と比べて今はどれだけ変化し体内時計が狂ってしまい、この腕時計を使ているのかを独自のアルゴリズムで計算し、えば最後、もう普通の日常生活が送れなくその結果をパーセンテージで表示する（図なるため、別の方法を考えることにした。

４）。

夜中にぐっと気温が下がってきた近頃、寝癖が悪いせいで、起きると布団から体が出ているのは毎日のことである。毎日、布団が体の上にないため、寒さで目が覚めていたのだ。そこで、もしかしたら体温も目覚めに関係しているのではないのかと考え、現在、体温を下げて目を覚ます方法を考え
ている。

４．考察
今回の研究は、人間の仕組みに密接に関係している睡眠をコントロールすることだが、本当に眠気を飛ばしてしまっていいのか。もしかしたら生活バランスが崩れてしまうのではないか、と人権や健康のことをより深く考え直さなくてはならないと感じた。
また、最近の研究者は自分の得意とする
図４ 眠たさの表示 z の意味

狭い分野だけを研究していることが問題視されているが、この研究は、人権問題、人次に、ボタンを押すと眠気が飛んでいく

体の仕組み、電子工作、音声アシスト機能

機能について考える。私は眠くなるのにもやパーセントで表示する機能など、とても理由があるように、眠りから覚めるのにも広い分野のことがわかっていないとできな

理由があると考えた。人間が朝になると起い研究であるといえる。現在、私は、イン

きるのは、体内時計と日光が関係しているターネットで、それぞれの分野に詳しいと考察している。体内時計は約 25 時間サイ

方々の文章を読みながら研究をしているが、クルで動き、朝日を浴びると、リセットさ

自分がもっと広い分野にも興味を示し、学れると言われている。体内時計がリセット

ぶことができれば、スピーディーに研究をされ、体がもう朝だと判断すると、眠りを進めることができ、本当にこの情報が正しいのかについてより深く考えることが可能

http://www.tainaidokei.jp/になると考える。

mechanism/[3] なぜ眠るのか？〜体と脳を休ませる

５．今後の課題
実験を通して睡眠促進物質が引き起こす
副作用、眠りから覚める条件を明らかにしていくとともに、今回考えて新たに浮上しhttp://www.ii-suimin.com/
mechanism/naze-neru.html[4] 睡眠のメカニズムとリズム
http://allabout.co.jp/gm/gc/301433/

た技術的な問題点や人権などの問題点を克服し、実際に腕時計を製作していきたいと考えている。

７．謝辞
この研究を行うにあたりまして、顧問の米田先生には多大なご指導を賜りました。

６．参考文献

また、サイエンス研究会の先輩方や、友人[1] 体内時計を調節するメラトニンにも多くの助言・協力を賜りました。この

http://www.tainaidokei.jp/

場を借りて、深く御礼申し上げますとともmechanism/3_3.htmlに、これからも御協力お願い申し上げます。

[2] 睡眠の 2 つのしくみとは？

ドローンの製作
４年Ａ組 上林 幹宜
指導教員 米田 隆恒

１．要約
私は、強風などの悪条件下でも高速で飛行することのできるドローンの開発を目指している。そのために、可能な限り簡単にモータ制御を行う方法の考察とともに、安定した飛行方法を研究している。
今回はギアボックスを設計し、3D プリンタで出力をする研究を行った。
キーワード

3DCAD、3D プリンタ、二重反転プロペラ

２．研究の背景と目的
大災害が起こった場合に、がれきなどが散乱した道路では車などを使っての情報収ため、まずプロペラとモータを接続するプラグを設計し（図１）、3D プリンタで出力した（図２）。

集は難しいと考えられる。そのため、狭い隙間でも入ることのできるような小型で飛行する、小回りの利くものが情報収集の手段として必要だと考えた。そこで、そのような場合にドローンが便利ではないかと考えた。昨年度の研究で、ラジコンカーの製作を行うことに成功した。今回はドローンのプロペラを回すのに必要なギアボックスの製作を行った。
図１ 設計したプラグ３．研究内容３.１ プラグの製作
設計には、Tinkercad というサイトを使用した。このサイトではソフトをダウンロードする必要がなく、簡単に 3D モデルを設計することができる。
私が購入したプロペラは、ラジコンヘリ
コプター用であり、そのままではプロペラとモータを接続することができない。その

図２ 出力したプラグ３.２ ギアボックスの製作
ギアボックスを設計する前に、これから製作していくドローンをどのような方式で飛ばすかを考えた。その結果、プロペラを回転させることによって発生してしまう反トルクを別のプロペラを回転させることによって打ち消す必要のない、二重反転式と

図４ 実際に動かしたギアボックス

いう方式を選んだ。
この方式では、1 つのモータで上下 2 枚

４．今後の課題のプロペラを同じ速さで逆回転させること

今回、二重反転式のギアボックスを設計

により、反トルクを打ち消すことができる。

し、3D プリンタで出力することができた。

2 つのモータの回転する速さをプログラム

しかし実際にモータを回してみると、モーにより完全に一致させる必要がないため、

タとギアや、プロペラとプラグの接続が緩制御がより簡単になると考えた。

かった。また、このギアボックスではモーギアを設計するのに使用したのは Gear

タの回転の速さを変えずにプロペラに伝え

Model For 3D Printer というサイトである。

るようになっており、プロペラを高速で回

このサイトではギアの直径や歯数などを入して機体を浮かすにはトルクが足りない。

力するだけで簡単にさまざまな種類のギア

今後は、3D プリンタで出力した部品との 3D モデルを作成することができる。

既存の部品をしっかりと接続できるように

Gear Model For 3D Printer で作成した設計すること、このギアボックスの設計を

ギアを Tinkercad で修正したり、ほかのパ

見直し、機体を浮かせられるようにするこーツと組み合わせたりなどして、ギアボッとなどを行いたい。

クスの部品を作成した。また、それらの部品を 3D プリンタで出力し、組み立てた

５．参考文献（図３）。

[1] Tinkercad
https://www.tinkercad.com/[2] Gear Model For 3D Printerhttp://www.knowhave.com/gear/
beveljp.php

６．謝辞
サイエンス研究会物理班の活動において、
図３ 出力し、組み立てたギアボックス

顧問の米田先生をはじめ、多くの先輩方から多大なご指導や、ご協力していただきま

完成したギアボックスにプロペラを取り付け、モータを回した（図４）。

した。この場を借りて深く御礼申し上げます。

白黒フィルム写真のカラー化
６年Ｂ組 上田樹
指導教員 米田 隆恒

１.要約
本研究では、白黒フィルム（以下、フィルムとは白黒フィルムを指す）で撮られた写真から、元の色の特定を試みる。
ある波長の光がフィルムに及ぼす影響は、波長によって異なる。その違いを利用すれば、反射した色を特定することができると考えた。また、ある 1 色の物体を映した写真における色の違いは、法線の向きの違いによるものであり、新たに定義したカラーモデルを用いればモデル上のただ 1 点の特定のみで全ての色が再現可能である。
キーワード 輝度、カラーモデル、基準色、屈折点、CG、法線ベクトル

２.研究の背景と目的一般に用いられているカラー化技術は手作業によるものか、自動的なものも似たカラー画像を用いて手作業を再現した手法がほとんどである。これまでは白黒
写真には同一の明るさを示す色が無数に存在し得るため、理論的なカラー化は不可能だと言われてきた。しかし私は、1画素ではなく写真全体で見れば、輝度の分布等の情報も利用できると考えた。また、すべての画素の色を特定しなくても、「基準色」という一色が決まればすべての色が再現可能であると考えた。これら
2 点について考察し、白黒フィルム写真をカラー化したのでその詳細を報告する。
３．研究内容３．１ フィルムに映る色の検証とカラーモデルの考案
フィルムで物体を撮影した際、写真内での明るさの変化は元の色によって異なると考えた。色の違いを考えるためにまず、フィルムが捉える「明るさ」と、カラー化の目標であるデジタルカメラがとらえる「色」を調べる必要がある。そこ
で、さまざまな色の色見本に照明を当て、絞り値を変えながらフィルムカメラ、デ
ジタルカメラでそれぞれ撮影した。

図１本来の輝度とフィルム写真での関係

図２ 色ごとの露出値に対する輝度
結果より、フィルムに投影された色をRGB 等のデジタル的な色と対応させる、
新しいカラーモデルを考える。以下、黒(Bk)を 0，白(Wh)を 1 とするフィルム写
真上での明るさを「輝度」と定義する。
フィルムに写る色は同じ物体であっても撮影された条件によって変化するため、色は相対的に定義するべきであると考えた。実験１の結果より、フィルムは白、黒に近い部分では、光の強さの変化に対する輝度の変化が小さく、それぞれ 0～1の間で収束していくことが伺える。また、ある彩度を持った色に光を当てた際、ある一定の強度において最大の彩度を持ち、それよりも光が弱いまたは強い、つまり白または黒に近づけさせるとその色は鮮やかさを失う。これらの情報から、輝度0.5 のグレーを中心として色を相対的に扱えば、あらゆる色は輝度 0.5 のグレーを中心とする半径 0.5 の球の内側に表せると考えた。

図３ 考案したカラーモデル

則的な並びになっているのではないかと考えた。そこで、1 枚の写真に写るすべての色をカラーモデル上にプロットし、その特徴を調べた。

図４ プロット結果１

デジタルの色に変換するには、基準となる点 R、G、B をこの球面上にとり、⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ を z 軸方向とする 3 次
黒を原点、BkWh
元空間での、それぞれの位置ベクトルr, g⃗, ⃗bに色の座標を分解すればよいと考えた。デジタルで扱える色をできるだけ広⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ とし、R の y
くとるためr + g⃗ + ⃗b = BkWh
座標を 0 とすると、R、G、B の各輝度さ
え与えれば、それぞれの座標が決定できる。今回の実験では、白黒化処理に用いられる式から求めた輝度を用いて、R(0.458, 0, 0.299) 、 G( － 0.383, 0.309,
0.587)、B(－0.075, －0.309, 0.114)とする。
３．２ 写真における色の特徴を調べる
写真内のすべての画素の色が独立しているわけではない。例えば赤色の物体を撮
影した写真では、多くの画素が大まかには「赤色」である。これらの色は明暗の違いはあっても、カラーモデル上では規図５ プロット結果２

プロット結果より、輝度の変化に対して色の変化が単純であることから、写真に写る色は、ある色が光の当たり方によって変化しただけではないかと考えた。
そこで、CG レンダラ等に用いられる光の反射モデルである 2 色性反射モデルから、色を変化させる要素を考えた。

⃗ を x 軸方向に固定して yz 平面に平方向𝑉行投影した CG 画像をつくり、カラーモ
デル上にプロットした。𝐿⃗，p を少しずつ変化させて CG 画像をつくり、プロット
結果の違いを調べた。
結果（抜粋）

図６ 色を決める要素
2 色性反射モデルでは反射される光のうち、全方向に等しく散乱される成分を乱反射、光源方向からの光を視線方向に反射できる法線の微小面で起こる強い反
射を鏡面反射と呼ぶ。ある法線ベクトル⃗ の面において、光源方向ベクトル𝐿⃗，視𝑁⃗ ，物質の粗さを r と置
線方向ベクトル𝑉⃗ と𝐿⃗ ，鏡面反射は𝑁⃗ ，𝐿⃗ ，
くと、乱反射は𝑁⃗𝑉 ，r に依存する。これらの要素のうち、光源が太陽光のように平行光線であるとすると、物体のどの位置においても𝐿⃗ が⃗ も、一般的なレンズ一定である。また𝑉においてはほぼ一定とみなせる。つまり、材質の一様な物体の写真において、色の変化は法線ベクトルの違いによってのみ引き起こされる。よって、ある写真に写る物体の全ての色は、同じ色・材質の球体の画像にも現れる。なぜなら、球体は写真に写り得るあらゆる法線ベクトルの面を持つからである。そこで、球体のCG 画像を理想的なモデルとし、様々な色や条件の球体の CG 画像をつくり、カラーモデル上にプロットすれば、カラー
モデル上での色の並びの特徴がわかると考えた。
３．３ 理想的なモデルのもつ色
3 次元空間上に、原点を中心とする半径 1 の球を置き、光源方向ベクトル𝐿⃗ ，
光源強度 p(lux)の平行光線をあて、視線上を基準に、光源を 60°傾けた場合、光の強度を半分にした場合、表面の質感を荒くした場合である。
カラーモデル上での座標の並びは、4本以下の線分で表される折れ線の形になった。各頂点を図７のように点 P，Q，Sとおく。物体の色や撮影条件に関わらず、PQ は Bk－Wh に平行であり、QS は R（色相に応じて G または B）－Wh と平行であった。よって、点 Q，S は P から特定することができる。つまり、画像内のすべての色は、点 P の示す 1 色のみから求められる。このような色を「基準色」と定義する。写真をカラー化するには、
この基準色を特定すればよいと考えた。

画像にすることが可能である。

図７ カラーモデル上の折れ線
３．４ 基準色の輝度の特定
法線と光源方向のなす角が θ の面での乱反射成分の輝度は、（基準色の輝度）
×cosθ で計算できる。cosθ は θ が小さい部分での変化が緩やかであることから、ある輝度の画素数のヒストグラムをとれ
ば、基準色の輝度付近の度数が大きくな
るのではないかと考えた。そこで、カラー写真からプロット結果とヒストグラムを取得し、基準色の輝度とヒストグラムの関係を調べた（図８）。
３．５ 基準色の特定
実験１より、元の色によって、輝度の上限値と、輝度の変化の仕方に違いが現れることが分かった。しかし、写真において、輝度の変化量は、撮影条件や物体の大きさ等に大きく左右される。そこで、写真を同じ条件の理想的なモデルに置き換えられないかと考えた。
人工物以外の物体では、法線方向には散らばりがある。十分に広い空間を映しているとき、法線の分布は均一になるのではないかと考えた。映る色を変化させるのは法線であるから、法線の分布が等しい画像同士では、撮影条件が同じなら輝度のヒストグラムも同じ形をとる。つまり、写真の画素を並び替えれば球体の図８ 実験対象の写真（上）、輝度のヒストグラム（左）カラーモデ
ルへのプロット結果（右）理想的なモデルにおいて、一般的には、
光源方向となす角 θ が等しい法線をもつ面同士はほぼ同じ輝度をもち、その輝度は θ が小さいほど高い。よって、θ の分布が等しくなるように各画素の輝度と θを対応させれば、元の物体の形状に関わらず、法線の変化による色の変化を得る
ことができると考えた。
検証のため、まずカラー写真に対して、同じ基準色の理想的なモデルをつくり、光源等の調整によって同じ形の輝度のヒストグラムが得られることを確かめた。
次に、写真の輝度分布に合わせて θ を割り振り、横軸に θ，縦軸に輝度のグラフを割り当て、同様のことを理想的なモデルで行った際と同じ形状のグラフになるかを調べた。

図 11 白黒写真

図９ 理想的なモデルでの実験結果

図 12 カラー化結果

図 10 実際の写真での実験結果
θ から露光量は計算できるため、実験
１でのグラフの傾きに相当する値が計算できる。また、写真が十分に明るければ、輝度が収束する上限の値も計算できる。
これらの値を実験１の値と比較し、最も近いものを選べば、基準色を特定することができる。
３．６ カラー化
ここまでの手法を使い、実際のフィル
ム写真をカラー化した。なお、色の違う
物体ごとに分割するために、クラスタリ
ングを用いた。図 11 の写真をカラー化したところ、図 12 のようになった。

４．まとめと今後の課題
写真を理想的なモデルに簡略化し、白黒写真から色を推定できるだけの情報を得ることができた。しかし、人工物のような平面を含むものや、空のように法線を持たない物から情報を正しく得るには、手法の改善が必要である。
５．参考文献[1] 「色彩の科学」、金子隆芳、岩波文庫（1988）[2] 「色彩論」、J. W. V. Goethe 著、木村直司訳、ちくま学芸文庫(1810)[3] 「物体のカラー反射モデル」、富永昌治、大橋伸一郎、情報処理学会論
文誌 33(1992)37-45
６．謝辞
本研究では、顧問の米田先生の指導を受けました。また、東北大学の阿部准教
授及び「科学者の卵」メンターの方に多大なご意見、ご指摘を賜りました。この場を借りて、御礼申し上げます。

フィボナッチ数列の剰余における法則
２年Ｂ組 志村 恒太郎
指導教員 川口 慎二

１. 要約
私はフィボナッチ数列の剰余について研究している。今回は、これらに関する興味深い法則が見つかったので、これを紹介する。
キーワード

フィボナッチ数列、 k ‐フィボナッチ数列、剰余、合同式
だし、1≦ k ≦6 とする。

２. 研究の背景
フィボナッチ数列について新たな法則を

{

}

10

いま、 F1 (n) の初期値を101探していたとき、同数列の 1 の位を並べたF (0) = 0, F110 (1) = 1

ものに興味深い法則を発見した。よって私と定めると、 F1 (n) の各項を列挙したもの興味をかき立て、これを研究するに至っのは以下の通りとなる。

{

10

}

た。
1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0,
7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0,

３. 研究内容
本稿では、特に注意のない場合、l , m, n

9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0,
3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0, …

を自然数とする。

３．１ 定義{10

3.1.1 フィボナッチ数列の定義

Fx y (z ) において、 x は数列の種類を表す
番号（添え字）、 y は除数、 z は項の番号を表している。また、1≦ x ≦6, 1≦ y , 0≦ zとする。
このとき、 k ‐フィボナッチ数列を漸化式

2, 3, 4, 5, 6)を、以下のような初期値により定義する。

F210 (0) = 0, F210 (1) = 2
F310 (0) = 2, F310 (1) = 1

F410 (0) = 2, F410 (1) = 6
F510 (0) = 0, F510 (1) = 5

Fk 10 (n + 2) ≡Fk 10 (n + 1) + Fk 10 (n)(mod10)

{

10

}

}

上述の定義における数列 Fk (n) ( k ＝から導かれる数列 Fk (n) と定義する。たF610 (0) = 0, F610 (1) = 0

定理 2 の実例を、前節で述べた形式で列定理 1k ‐フィボナッチ数列 {Fk 10 (n)}はすべての 1≦ k ≦6 について、周期性があり、そのパターンは有限である。
（証明）([1]より)連続する 2 項の余りが、これまでの連続する 2 項の余りと順序まで等しければ、周期は存在することになる。
ここで周期は存在しないとすると、どの連続する 2 項の余りも等しくないことになる。これは余りの組み合わせが有限個であることに矛盾する。
よって、周期は存在する。(Q. E. D.)
３．２ 基本定理
まず、定理 1 が自明に成り立つ。
定理 2
自然数 l (1≦ l ≦6)に対して、l ‐フィボナ

{

10

}

ッチ数列 Fl (n) から、

Fm10 (n) = Fl 10 ( pn + q) * r
または、

挙すると、
10

10

・ F2 (n) ≡F1 (n) * 2m
10(n) = F110 (57n + 57)

10(n) = F110 (5n + 3)

・ F2
・ F3

(n) = F110 {3 * (5n + 1)}

・ F4

10

・ F5

10

(n) = F110 (5n)

・ F5

10

(n) ≡F110 (n) * 5(2m + 1)

・ F6

10

(n) = F110 (15mn)

・ F6

10

(n) ≡F110 (n) *10m

・ F4

10

(n) = F210 (5n + 1)

・ F4

10

(n) = F210 (5n + 2)

・ F6

10

(n) = F210 (5mn)

・ F6

10

(n) ≡F210 (n) * 5m

・ F4

10

(n) = F310 (9n)

・ F4

10

(n) ≡F310 (n + m) * 2 m

・ F5

10

(n) ≡F310 (n) * 5(2m + 1)

・ F6

10

(n) ≡F310 (n) *10m

・ F6

10

(n) ≡F410 (n) * 5m

・ F6

10

(n) = F510 (3mn)

・ F6

10

(n) ≡F510 (n) * 2m

Fm10 (n) ≡Fl 10 ( pn + q) * r (mod 10)を 満 た す 適 当 な 自 然 数 m (1 ≦ m ≦ 6) と
10
p, q を選ぶと、もとの数列 {Fl (n)}の周期の約数を周期としてもつ m ‐フィボナッチ

{

10

}

数列 Fm (n) を導き出すことができる。

・

究に組み込んで考える。

F110 (5n + 3) = F110 (5n + 54)

Tx y (z ) において、 x は数列の種類を表す= F110 (5n + 57)
10

・ F1

番号（添え字）、 y は除数、 z は項の番号を(n) * 3 ≡F210 (n + 45)表している。また、1≦ x ≦20, 1≦ y , 0≦ z
ただし、合同式はいずれも mod 10 とする。

とする。
このとき、 k ‐トリボナッチ数列を漸化

今回は証明を割愛する。これらを組み合わせることにより、より多くの関係式を得ることができる。

式

Tk 10 (n + 3) ≡Tk 10 (n + 2)

定理 2 を発展させて、次の定理を得た。

+ Tk 10 (n + 1) + Tk 10 (n)(mod10)３．３ 10 以外の除数{}

10 以外の除数の場合の数列 Fl (n) ( mm≠10) をすべて求めると、次のことがわかった。
・長さの等しい数列がある場合がある

{

10

}

から導かれる数列 Tk (n) と定義する。ただし、1≦ k ≦20 とする。

{

}

10

いま、 T1 (n) の初期値をT110 (－1) = 0, T110 (0) = 0, T110 (1) = 1

{

10

}

・それぞれに固有の法則があると定めると、 T1 (n) の各項を列挙したも・すべての除数について成り立つ法則はのは以下の通りとなる。

解が 0 になるものを除いて存在しない
1, 1, 2, 4, 7, 3, 4, 4, 1, 9, 4, 4, 7, 5, 6,
これらの事実については、成立すること

8, 9, 3, 0, 2, 5, 7, 4, 6, 7, 7, 0, 4, 1, 5,を実例から確認したものの、精細に調べる

0, 6, 1, 7, 4, 2, 3, 9, 4, 6, 9, 9, 4, 2, 5,ことができなかったため、今後さらに詳し

1, 8, 4, 3, 5, 2, 0, 7, 9, 6, 2, 7, 5, 4, 6,

く研究が進める必要がある。

5, 5, 6, 6, 7, 9, 2, 8, 9, 9, 6, 4, 9, 9, 2,
0, 1, 3, 4, 8, 5, 7, 0, 2, 9, 1, 2, 2, 5, 9,

３．４ トリボナッチ数列
この研究はフィボナッチ数列を取り扱ってきたが、これはすべての項が前の 2 項の6, 0, 5, 2, 4, 1, 6, 2, 9, 7, 8, 4, 9, 1, 4,
4, 9, 7, 0, 6, 3, 9, 8, 0, 7, 5, 2, 4, 1, 7,
2, 0, 9, 1, 0, 0, (1, 1, …)

和となる漸化式で構成される数列である。
ここで「トリボナッチ数列」という数列を考える。トリボナッチ数列とは全ての項が前の 3 項の和となる、フィボナッチ数列によく似た数列である。
この数列を先程まで述べていた剰余の研これらから、以下が推測できるが、現時点では証明には至っていない。
・10 以外の除数の場合と同じく、周期の等しい数列が存在する
・数列は次の 4 パターンの並び方が存在する

上での計算プログラム作成も行いたい。

①奇数のみの並び②偶数のみの並び

５．参考文献③奇数、偶数、奇数、偶数のように奇[1] フィボナッチ数列の剰余の周期性の証

数と偶数が交互になる並び④奇数、奇数、偶数、偶数のように 1
つおきに奇数と偶数が替わるよう明
http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50640281.html

な並び
・全数列の周期の和は同じ除数のフィボナッチ数列の全数列の和の 2 乗に
等しい

６．謝辞
この研究を行うにあたりまして、顧問の川口先生には多大なご指導を賜りました。

ここで、最後の「全数列の周期の和は同じ

また、サイエンス研究会の先輩方や、研究発

除数のフィボナッチ数列の全数列の和の 2

表会でお会いいたしました他校の皆様、友乗に等しい」とあるように、トリボナッチ数人にも多くの助言・協力を賜りました。この列などの研究にはさらなる考察が必要であ場を借りて、深く御礼申し上げますとともる。

に、これからも御協力お願い申し上げます。

しかも、トリボナッチ数列に限らず、「テ
トラナッチ数列」や、「ペンタナッチ数列」、「ヘキサナッチ数列」といった、すべての項がそれぞれ直前の 4, 5, 6 項の和となる数列、さらには「すべての項が直前の n 項の和となる数列」というように一般化までして考えたいので、コンピューターを用いるなど計算方法の改善が求められる。

４．今後の課題
今回は時間の問題で除数が 10 のときについてしか重点的に研究できなかったが、今後は他の除数の場合について詳しく研究したい。
また、今回はフィボナッチ数列を基本に研究を進めたが、今後はトリボナッチ数列
や、テトラナッチ数列といった数列のような、足す項数を変えた数列についてももっと深く研究したい。よって計算速度の向上が必須となってくるので、コンピューター

モンティ・ホール問題についての考察
３年Ａ組 松川 賢太朗
指導教員 川口 慎二

１. 要約
サイエンス研究会数学班 3 年生はさまざまな問題について研究している。今回は、モン
ティ ・ホール問題の一般化に向けて研究をした。
キーワード

モンティ・ホール問題、条件付き確率、ベイズの定理、事後確率

２. 研究の背景と目的る。ヤギがいるドアはハズレとする。

まずモンティ・ホール問題とは、「3 つのドアの 1 つには賞品が、残りの 2
つのドアにはヤギが隠されている。司会者(モンティ)は答えを知っている。まず挑戦
者がドアを 1 つ選ぶ。そして司会者(モンテ＜解法１＞
まず、挑戦者が A のドアを選ぶ確率は、

1
3

3 枚のドア A, B, C から 1 つを選ぶので、ィ)は残りのドアのうちヤギがいるドアをとわかる。次に、モンティが B のドアを開

1 つ開けて、挑戦者に残り 2 つのドアからける確率をあわせて考える。

選び直す機会を与えるというゲームがある。そのとき賞品を得るためには挑戦者はドアを変えるべきか変えるべきではないか。
」という内容である。
このゲームは 3 つのドアで行っているがドアの数や司会者が開けるドアの数など●A のドアに賞品がある場合
モンティは B, C どちらのドアも開けることができる。よってモンティが B のドアを開ける確率は1とわかる。つまり A
2を変えることによって、問題の解答がどうのドアに賞品があり、かつ B のドアをモンなるのかということに疑問を抱き、この問ティが開ける確率は題に興味を持った。今回はモンティ・ホー
ル問題を 3 通りの考え方で解いた。

P ( A  DB ) 

1 1 1
 
3 2 6

である。

３. 研究内容＜設定＞●C のドアに賞品がある場合

3 つのドアをそれぞれ A, B, C とする。

モンティは B のドアしか開けることが挑戦者は A のドアを選び（事象 A ）、モン

できない。よってモンティが B のドアを開

ティは B のドアを開けた（事象 DB ）とす

ける確率は 1 である。ゆえに、C のドアに

賞品があり B のドアをモンティが開ける「 A と B の両方が起こる確率」は「 A の11
1  である。
33

起こる確率」と「 A が起こった後で B が確率は P( A  DB ) 

起こる確率」の積に等しいので、P( A  B)  P( A)  PA ( B) …①以上から、挑戦者が A のドアを選び、かつモンティが B のドアを開ける確率が成り立つ。今度は B が起こる確率を先に考えると、P( A  B)  P( B)  PB ( A) …②P( A  DB ) は、が成り立つ。式①，②を連立させると、

16
1・C のドアに賞品がある場合は、
3
・A のドアに賞品がある場合は、となる。

P( A)  PA ( B)  P( B)  PB ( A)を得る。この式の両辺を P(A) で割ると、PA ( B) 

PB ( A) P( B)
P( A)

となる。

したがって、C のドアに賞品がある確率が高くなり、C のドアに変更したほうが賞品を手に入れることができる確率が高い
ことになる。
＜解法 2＞
ベイズの定理を利用する。
これ以降、 P( A), P( B) をそれぞれ事象

A, B の起こる確率、PA (B) を事象 A が起
こったとわかっているときに事象 B が起こる条件付き確率、PB (A) を事象 B が起こったとわかっているときに事象 A が起こ●ベン図で表す
いま、 U を全事象とすると、n( A  B )n( A)

P( A) 

n( A)
,
n(U )

P( B) n( A  B )n( B ), PB ( A) n( B )n(U )PA ( B) と表すことができる。

UA

B

る条件付き確率を表す。

A∩B
定理（ベイズの定理）

PA ( B) 

PB ( A) P( B)
P( A)
このベイズの定理を応用して、モンテ

一般に、何も情報がない場合に考える確ィ・ホール問題を考える。ベイズの定理を

率を事前確率、ある条件が与えられた場合用いる前に、いくつか考えなければならなに考えられる確率を事後確率という。

いことがある。今回はモンティがすでに Bのドアを開けておりハズレだと挑戦者に●ベイズの定理を導く

見せた後に A のドアのままにするか、ドアを変更するかの 2 通りについて考えなければならない。

象を C とすると、求める確率は PDB (C ) である。

（パターン１）

いま、C のドアに賞品があるとわかってモンティが B のドアを開けたとき、A のドアに賞品がある確率を考える。
モンティが B のドアを開けるという事
象を DB ，A のドアに賞品があるという事いて、モンティが B のドアを開ける確率

PC ( DB ) は、＜解法１＞より、PA ( DB )  1 ．
また、C のドアに賞品がある確率（事前確率）は P(C ) 

象を A とすると、求める確率は PDB (A) である。
いま、A のドアに賞品があるとわかっていて、モンティが B のドアを開ける確率

PA ( DB ) は、＜解法１＞より、PA ( DB ) 

1．
2

さらに、、モンティが B のドアを開ける
確率 P( DB ) は P( DB ) 

PDB (C ) 

1
3 2

1
3
2

さらに、モンティが B のドアを開ける確となる。

したがって、挑戦者が A のドアを選んで、ズの定理から、

PDB ( A) 

PC ( DB ) P(C )P( Db )1

1率）は P( A)  である。
3
1であるから、ベイ
21であるから、ベ2イズの定理から、

また、A のドアに賞品がある確率（事前確

率 P ( DB ) は P ( D B ) 

1
である。
3

PA ( DB ) P( A)
P( Db )

1 1

1
2 3
1
3
2

モンティが B のドアを開けた場合、

1
3
2
・C のドアに賞品がある確率は
3
・A のドアに賞品がある確率はであるから、C のドアに変更した方がよいとなる。

ことになる。

（パターン２）＜解法３＞

モンティが B のドアを開けたとき、C の極端な場合を考えてみる。

ドアに賞品がある確率を考える。
モンティが B のドアを開けるという事
象を DB ，C のドアに賞品があるという事

賞品が A のドアにはなかった場合、モンティはランダムにドアを開くことはしな

い。わざとハズレのドアを開くことになる。

学する」(The Drunkard’s Walk) 、

よって、この瞬間に司会者が挑戦者の選択

Leonard Mlodinow 著、田中三彦訳、に干渉している。

ダイヤモンド社

もともと 3 枚のドアに賞品がある確率は等しく1ずつであったが、司会者がわざと3

ハズレのドアを 1 つ開いて見せたことにより、挑戦者の選んだ A のドアではなく残っているドアに賞品がある確率は

2
になっ
3

たと考えることができる。
わかりやすくするために、ドアを 3 枚ではなく 100 枚であると仮定して考える。挑戦者は A のドアを選択するとする。挑戦者
が初めに選んだドアに賞品が隠されている確率は1である。一方で、順にハズレ
100のドアを開いていき、2 枚まで減らしてい
くと、残りのドアに賞品が隠されている確率は[2] 高校数学の美しい物語

99と考えることができ、明らかに挑100

戦者はドアを変更したほうがいいということになる。

４. 今後の課題
この研究の最終目標はモンティ・ホール
問題の一般化である。もともとのドアの枚数やモンティが開けるドアの枚数、挑戦者が初めに選ぶドアの枚数などを変化させた場合について、3 枚のドアのときの結果同じになるのかということをまず考えてみたい。
そのために、今回習得した 3 つの解法をうまく活用していきたい。

５. 参考文献[1] 「たまたま－日常に潜む「偶然」を科http://mathtrain.jp/bayes

６. 謝辞
今回の研究にあたり、ご指導下さいまし
た顧問の川口先生ありがとうございました。

魔方陣を作る
３年Ｃ組 今中 翔哉
指導教員 川口 慎二
１．要約
サイエンス研究会数学班 3 年生は多様な研究を行っている。私は魔方陣について学習している。今回は魔法陣の作り方について考えた。その中でさまざまなことが明らかになってきたため、今回はそれらを紹介していきたい。
キーワード

魔方陣、 n 次魔方陣、正方行列、定和、補助方陣

２．研究の背景と目的列と呼び、上から数えて i 番目の行、

よく知られているように魔方陣は縦、

ai1 , ai 2 , , ain

横、斜めが一定の和になるという一見単純な性質しかないと思われがちだが、今回はを第 i 行、左から数えて k 番目の列

あえて単純な部分に目を向けて調べてみa1k , a2 k , , ank

た。なかなか一筋縄では容易に作ることができない魔方陣もさまざまな方法で何種類を第 k 列という。さらに、また行列 A を構もの魔方陣を作られることがわかったため成している n 個の数 aik ( i, k  1, 2, , n )それらを紹介する。

を行列 A の要素という。つまり、正方行列

2

Aは
３．研究内容両対角線の数の和をすべて相等しくしたも

 a11

a
A   21


a
 n1

のである。一般に一辺が n の魔方陣は「 nと表現できる。

３．１ 魔方陣の基礎知識
魔方陣とは、1 から始まる連続した自然数を碁盤の目状に並べ、各行、各列、及び次魔方陣」といわれている。また、魔方陣
を単に「方陣」と呼ぶこともある。まず魔方陣を詳しく調べるために基本用語について確認する。

n 個の数 aik ( i, k  1, 2, , n ) を正方
2

a12
a22

a n2

 a1 n  a2 n    a nn 

そして、正方行列 A に対して、左上隅のa11 から右下隅 a nn への対角線を主対角線といい、その上にある要素を主対角線要素という。また、右上隅の a1 n から左下隅の形に並べたものを n 次正方行列という。 na n1 を結ぶ線を副対角線、その上にある要次正方行列 A において、横列を行、縦列を素を副対角線要素という。

要素がすべて 1 である n 次正方行列を n次単一行列といい、一般に E n と表す。例

n

S

n

S

えば、4 次単一行列 E 4 は

3

15

8

260

4

34

9

269

5

65

10

505

6

111

11

671

7

175

12

870

1

1
E4  
1

1


1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 である。

行列 A を行と列を入れ換えて得られる行列を A の転置行列といい、 t A と表

この結果より、 n が奇数の場合は、n  2m  1 ( m  N )とおくと、①はす。例えば、

1

2
A
3

4

t
の転置行列 A は、

5 9

6 0
7 1

8 2 

1 2 3 4 tA  5 6 7 8
9 0 1 2

(2m  1){(2m  1) 2  1}
2
 (2m  1)(2m 2  2m  1)

Sとなり、(右辺)＝(奇数)×(奇数)＝(奇数)であるから定和 S は必ず奇数になる。したがって、奇数方陣の各行、各列、両対角線には奇数が奇数個含まれることがわかる。

また、 n が半偶数（4 で割れない偶数）のときは、 n  4m  2 ( m  N )とおく
と、①は

である。

(4m  2){(4m  2) 2  1}
2
 (2m  1)(16m 2  16m  5)

S

●一行の数の和
一般に、 n 次魔方陣陣に含まれるすべてとなり、(右辺)＝(奇数)×(奇数)＝(奇数)での数の和を S n とすれば、 S n は初項 1，末あるから定和 S は必ず奇数になる。したが2

2

項 n ，項数 n の等差数列の和であるかって、半偶数方陣の各行、各列、両対角線

ら、には奇数が奇数個含まれる。

であり、各行（列）の和は相等しいので、各行、各列、両対角線要素の和 S は、Sn(n 2  1)
S n …①n2である。これを n 次魔方陣の定和（魔法陣定和）という。
したがって、 n  3, , 12 の場合は次のようになる。

それに対して、 n が全偶数（4 で割れる
偶数）のときは、 n  4m ( m  N )とおくと、①は4m{(4m) 2  1}
 2m(16m 2  1)
2となり、定和 S は必ず偶数になる。したがS

って、全偶数方陣の各行･各列･両対角線には、奇数も偶数も偶数個ずつ含まれる。

さて、ここで n が奇数、全偶数、半偶数の●魔方陣の作り方
ひとつの魔方陣を作るときに、もととな
る 2 つの魔方陣を補助方陣という。そし場合に分けて、 n 次魔方陣の作り方をいくつか紹介する。

て、これらの補助方陣には次の直交性が成り立っていなければならない。

３．２ 奇数方陣の作り方

0,1, 2, , n  1 の n 個の数字を要素としここでは、5 次方陣を例に説明する。

てもつ n 次正方行列 A  (aik ) , B  (bik ) に対して、 A と B の ik 要素を並べた順序対

3.2.1 方法１：２つの補助方陣を用いる

 aik , bik  を ik 要素としてもつ正方行列を

まず、2 つの補助方陣をつくり、それら

A と B の 2 重配列とよび、 A  B と表すこを利用して魔方陣を作る。

とにする。つまり、①補助方陣 A の作り方
はじめに副対角線上に下から順に 1, 2, 3,

A * B  ( aik , bik )  a11 , b11    a11 , b11  







 a , b    a , b 1111
 11 11
である。このような 2 重配列に現れる n4, 5 と入れる。次に、下図のように主対角
線に平行な方向に同じ数を 5 個ずつ配列す
る。
3

5

2

4

1

1

3

5

2

4

4

1

3

5

2

2

4

1

3

5

5

2

4

1

3

2

個の順序対がすべて異なるとき、 A と B
は互いに直交するといい、そのときの 2 重A＝

配列を直交配列という。
例えば、次の行列 A と B は、2 重配列のすべての要素が異なるため、互いに直交し②補助方陣 B の作り方

ている。

0

0
A
0

0


1 2 3

1 2 3
1 2 3

1 2 3 

0

1
B
2

3


0 0 0
1 1 1
2 2 2

3 3 3 ①で作った補助方陣 A を、その中央の列に関して左右対称に移す。

B＝
  0, 0   0,1 
A* B   0, 2   0, 3  1, 0   2, 0   3, 0   1, 1   2, 1   3, 1   1, 2   2, 2   3, 2   1, 3   2, 3   3, 3  

1

4

2

5

3

4

2

5

3

1

2

5

3

1

4

5

3

1

4

2

3

1

4

2

5

便宜上、順序対の< >を省略することが上の 2 つの補助方陣 A と B は互いに直多い。直交しない 2 つの補助方陣からは、交している。これらから、行列とみなして明らかに方陣を構成し得ない。これは 2 つM  n( A  En )  Bの同じ数字が現れてしまうからである。

を各要素で計算してできる配列 M を構成

すれば、次の 5 次方陣 M を得る。

3.2.3 方法３：ペルシャの連続方式

11 24

以下の手順で数を配置していく。

4

M＝ 17

7

20

3

12 25

8

16

13 21

9

5

10 18

1

14 22

23

19

2

6

15

①まず正方形の中央のマスの 1 つ下に 1 を置き、以下は次のように右斜下方に連続して自然数を順に並べる。
②最下行に来たときは、次の列の一番上に続け、そこからさらに、右斜下方へと進んでいく。

また、この方陣を一度で書き下すことができる以下の方法が知られている。

③最右列にきたときは、そのすぐ下の一番
左の隅に続け、そこから順に右斜下方に）進む。
（※②③は方法２と同じ。

3.2.2 方法２：ヒンズーの連続方式④すでに数字の入っているマス目に出会っ

以下の手順で数を配置していく。

た場合、1 つ前の数字の真下 2 つ目のマ

①まず正方形の最下行の中央のマスに 1 をスに進み右斜下方に続ける。

置き、以下は次のように右斜下方に連続
実際にこの手順を行うと、次の 5 次方陣

して自然数を順に並べる。
②最下行に来たときは、次の列の一番上に続け、そこからさらに、右斜下方へと進んでいく。
③最右列にきたときは、そのすぐ下の一番
左の隅に続け、そこから順に右斜下方に進む。
④すでに数字の入っているマス目に出会っ

を得る。
11 24

7

20

3

4

12 25

8

16

17

5

13 21

9

10 18

1

14 22

23

19

2

6

15

た場合、1 つ前の数字のすぐ上に進み右
ただし、3 次方陣については方法２（ヒ

斜下方に続ける。

ンズーの連続方式）と方法３（ペルシャの
実際にこの手順を行うと、次の 5 次方陣

連続方式）によって書き下されたものは、下のように一致したものになる。

を得る。

11 18 252

9

10 12 19 21

3

4

6

13 20 22

23

5

7

14 16

17 24

1

8

15

4

9

2

3

5

7

8

1

6

また、これらの方法により得られた n 次
方陣の、中心について対称である 2 つの数の和を調べると、いずれも n  1 となって2いることが明らかになった。

ると、各行（列）の和は3.2.4 方法４：桂馬跳びの方式

5a  60  5 (a  12)

以下の手順で数を配置していく。
①まず、正方形の最下行の中央のマスに 1となることがわかった。特に、 a  1 のとを置く。以下は次のように連続した自然

き、各行（列）の和は 65 となり定和に一数を左上方向に桂馬跳びに順次並べる。

致する。

②第 1 行、または第 2 行に来たときは、す同様に、方法１では両対角線上に 1, 2,

ぐ左の列の相当する場所に続け、そこか

3, 4, 5 と並べたが、これはあくまでも主対らさらに、左上方向に桂馬跳びに進む。

角線要素（副対角線要素）をすべて 3 にす

③第 1 列に来たときは、最右列の相当するるためであり、3 以外の n  1 個の数は任場所に続け、そこからまた、左上方向に意に入れ替えても構わない。

桂馬跳びに進む。
④すでに数字の入っている目に出会ったときは、1 つ前の数字のすぐ上に進み、左上方向に桂馬飛びを続ける。

３．３ 全偶数方陣の作り方
まず、自然配列について説明する。自然
数を左上隅から順に行ごとに右下隅まで配置した配列を自然配列という。下図は 4×

実際にこの手順を行うと、次の 5 次方陣

1 から 42(=16)まで書き下ろした配列であ

を得る。
3

14 25

6

17

22

8

19

5

11

16

2

13 24 10

15 21

7

18

9

1

12 23

20

る。

4

a  13a  24a 5a  16a  21a 7

a  18a4a  10a  15a 1

a  12a  23a9a  14a  20a6

a  17a 3

a  19aa  11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 1213 14 15 16

a2

a8

4 の自然配列である。これは右上から順に

a  22

最初の位置に数 a を置いた場合は、上図のように数が配置される。これを、見3.3.1 方法１：自然配列網掛け交換法
自然配列の両対角線要素は動かさず、残りの数はすべて、方陣の中心に関して対称の位置に移す。

1

2

3

4

1

15 14

4

5

6

7

8

12

6

7

9

9

10 11 12

8

10 11

5

13 14 15 16

13

3

16

2

この操作は、両対角線要素の和は定和

24 となり、4 行目は－29＋5＝－24 とな

34 であり、同じ列の 2 数の差は一定といり、どちらも定和 34 となる。2 行目と 3

う性質によるものである。また、この全偶行目も同様である。

数魔方陣は、その中心に関して対称の位置にある 2 数の和はすべて n  1 である（こ2

このようにして得られた配列は下図のようになる。

のような魔方陣を対称方陣という）。
より大きな n 次魔方陣（例えば n ＝12,16など）を作りたいときは、 n  n の自然配列を作りそれを 4 分割してできる自然配列
それぞれに方法１と同様にして配列してから、最後に n  n 配列の中心に関してそれぞれの数を対称の位置に移せばよい。

1

14 15

4

8

11 10

5

12

7

6

9

13

2

3

16

この方法で 8 次方陣を作ると、「コの字形、逆コの字形」を 2 回繰り返すような図になる。また、4 次方陣では中央の 2 列を

3.3.2 方法２：
「コの字形、逆コの字形」

上下逆順に入れ換えたが、8 次方陣の場合配列を利用する方法

では、中央の 4 列（一般に、 n が全偶数の自然配列とともに、「コの字形、逆コの字形」とよばれる配列も有効である。下図

ときn列）を上下逆順に並べ換えれば 完
2は 4×4 の「コの字形、逆コの字形」配列成する。同様にして 12 次、16 次の方陣もである。上 2 行では、
「コの字形」に数が作ることができる。

順に並び、下 2 行では「逆コの字形」に並んでいる。

3.3.3 方法３：定和をもち、かつ、直交
1

2

3

4

8

7

6

5

12 11 109

13 14 15 16する２つの補助方陣を利用する
8 次方陣の場合について説明する。
①補助方陣 A の作り方
まず、主対角線上に左上から順に 1,
2,3,4, 5, 6, 7, 8 を入れる。次に、副対角

ここでのすべての列の和は、4 次方陣の線上にも右上から順に 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

定和 34 である。そこで、すべての行の和8 を入れる。そして、各行には和が９も定和となるようにするために、中央の 2（一般的には n  1 ）になるような 2 数

列を上下逆順に入れ換える。

を交互に 4 組ずつ入れる。ただし、左右「コの字形、逆コの字形」配列では、1行目の和が 10，2 行目が 26，3 行目が対称に配置する。
②補助方陣 B の作り方

42，4 行目 58 であるので、1 行目は定和

補助方陣 A をその主対角線に関して対に 24 足りず，4 行目は定和より 24 上回っ称に移す。つまり、B は A の転置行列にている。そのため、中央の 2 列の上下を交相当する。

換することにより、1 行目は－5＋29＝＋

2 つの補助方陣 A と B は下図のように

n は半偶数 n  2(2m  1) とする。

なる。

A＝

B＝

３．４ 半偶数方陣の作り方

1

8

1

8

8

1

8

1

7

2

7

2

2

7

2

7

3

6

3

6

6

3

6

3

5

4

5

4

4

5

4

5

4

5

4

5

5

4

5

4

6

3

6

3

3

6

3

6

2

7

2

7

7

2

7

2

4

9

2

8

1

8

1

1

8

1

8

3

5

7

8

1

6

1

7

3

5

4

6

2

8

8

2

6

4

5

3

7

1

1

7

3

5

4

6

2

8

8

2

6

4

5

3

7

1

8

2

6

4

5

3

7

1

1

7

3

5

4

6

2

8

8

2

6

4

5

3

7

1

1

7

3

5

4

6

2

8

3.4.1 方法１： (2m  1) 次の奇数方陣の各マスに２次配列を取り込む方法
6 次方陣で説明する。6＝2×3 より、次のような 3 次方陣を基礎方陣として用いる。

6 次方陣を 3×3 の基礎方陣の各マスに 2
次配列を入れていく。下図の 3 次方陣の①に 1～4 を、②の部分に 5～8，③の部分に
9～12，④の部分に 13～16，⑤の部分に
17～20，…というように 4 つずつ数を配置していく。ただし、それぞれの 2 次配列
では「コの字形」に配置する。

④ ⑨ ②

これらを行列とみなして

M  n( A  En )  B③ ⑤ ⑦

を各要素で計算してできる配列 M を構成⑧ ① ⑥

すれば、次の 8 次方陣 M を得る。
1

M＝

63

3

61 60

6

58

8

これにより、次の 6 次配置が得られる。

56 10 54 12 13 51 15 49

13 14 33 34

56

17 47 19 45 44 22 42 24

16 15 36 35

87

40 26 38 28 29 35 31 33

932 34 30 36 37 27 39 25

12 11 20 19 28 27

41 23 43 21 20 46 18 48

29 30

1

2

21 22

16 50 14 52 53 11 55

9

32 31

4

3

24 23

57

64

7

59

5

4

62

2

10 17 18 25 26

すると、次の状況が起こる。
・列について、各列の和はすべて 111 であ

なお、この方法３を用いると、任意の半偶数方陣も作ることができた。

り、6 次方陣の定和になっている。
・行の和は、第 1 行から 1 行おきに 105

と 117 を繰り返す。6 次方陣の定和 111
から 6 だけの過不足がある。

を 37 とする。
例えば、下図の外周を用いるとする。

・主対角線要素の和は 108 で 111 より 3134 33 3292足りない。副対角線要素の和は 114 で

6

31

111 より 3 多い。

1027

上記の過不足を解消するために、①、30

7②、③、⑥、⑦、⑨に対応している 2 次配

29

8

35

列の 1 列目の上下を入れ替えた。このようにすると各行、各列、両対角線の和が、定和の 111 になることがわかった。
13 14 33 34

56

16 15 36 35

8

7

9

3

4

5

28 36

このとき、辺の 4 数の順序は任意であり、4!×4!＝576 通りある。また、四隅も多数が可能である。この方法で作った 6 次
方陣は次のようなものがある。

10 17 18 25 26

1

34 33 32

12 11 20 19 28 27

6

11 25 24 14 31

29 30

1

2

21 22

10 22 16 17 19 27

32 31

4

3

24 23

30 18 20 21 157

29 23 13 12 26835

13 14 36 34

8

6

16 15 33 35

57

12 10 17 18 28 26
9

11 20 19 25 27

29 30

4

2

24 22

32 31

1

3

21 23

3

4

5

9

2

28 36

なおこの方法を反復すると 10 次、12 次などの偶数方陣も作ることができる。

４. 今後の課題
今回は、魔方陣を場合分けして作る方法
について調べたが、これからはそれらの方法のメカニズムについても考察していきた

3.4.2 方法２：外周追加法
これは、全偶数方陣を核として、外周をい。また n 次方陣の解法式の証明も挑戦したい。

一回り追加して、半偶数方陣を作る方法である。6 次方陣の場合は、4 次方陣の周り

５. 参考文献に外周をつけて、1 から 62(＝36)までの数[1] ｢魔方陣の世界｣、大森清美、日本評論のうち、初めの 10 個（一般には 2(n  1)

社(2013)個）の 1～10 と終わりの 10 個の 27～36を使って作る。核となる 4 次方陣は任意の

６.

謝辞

4 次方陣の各要素に 10 ずつ加え、11～ 26

今回の研究にあたりご指導くださった顧で作る。また外周は向かい合った 2 数の和

問の川口先生、ありがとうございました。

約数の総和について
３年Ａ組

小椋

晃一

指導教諭

川口

慎二

１．要約
サイエンス研究会数学班 3 年生は約数の総和について学習している。今回は過剰数の中で特別なものを見つけることを目的とした。その過程において、約数の総和に関する考察を行うことができたので紹介する。
キーワード

過剰数、メルセンヌ素数、素数、約数の総和、約数

２．研究の背景と目的
約数の総和によって、1 以外の自然数は 3
種類に分類できる。完全数や過剰数の倍数

３．２

基本的な命題

この節では、いくつかの基本的な命題を証明する。

が過剰数になることに気づいた私はこの分類を約数の総和を直接求めなくても行えるのではないかと考えた。

命題 1

p を素数とするとき、 p n は不足数である。

３．研究内容
３．１

定義

（証明）

本稿では、約数とはその数自身を含めた

p n の約数の総和を計算すると、正の約数のことを指す。また、自然数 n の ( p n )  p 0  p1  p 2    p n

約数の総和を  (n) と表す。例えば、12 の( p n  1)

 pn
p 1

約数の総和は (12)  1  2  3  4  6  12  28

 ( p n  1)  p n  2( p n )より 28 となる。
また、自然数 n は、より、 p n は不足数である。(Q. E. D.)・  (n)  2n となるとき過剰数・  (n)  2n となるとき完全数・  (n)  2n となるとき不足数であるという。

命題 2
メルセンヌ素数でない素数は無数に存在する。

2  1 の形で表される素数をメルセンヌn素数という。例えば、3, 7, 31, …などがある。

（証明）
背理法を用いる。いま、3 を法として議論する。メルセンヌ素数は、2n  1  (1) n  1  0 または 1
より、3 を法として 2 と合同な素数を考え (n) 
 1

 1

 1

p k 1
p1 1  1 p2 2  1  kp1  1p2  1
pk  1ればよい。 p  2 かつ p  2 となる素数を有限個しかないと仮定して、順に

p1 , p2 , p3 , , pk 1 , pkとする。このとき、3( p1 p2 p3  pk 1 pk )  2
は 3 を法として 2 と合同であり、 p1 , p 2 ,p3 , , pk 1 , pk のいずれでも割り切れな
いので、合成数である。よって、素数q1 , q2 , , qn を用いて、

（証明）






一般に、p1 1 p2 2  pk k の約数は次の式を展開したときの各項に現れる。
2(1  p1  p1    p1 1 )

2

3( p1 p2 p3  pk 1 pk )  2  q1q2 qn (1  p2  p2    p2 2 )と表すことができる。ある i (1  i  n) に対して qi  0 となるとき、必然的に qi  3 となるが、 3( p1 p2 p3  pk 1 pk )  2 は 3 の倍数ではない。
また、ある l (1  l  n) に対して ql  2 となるとき、 ql  2 より、 1  m  k となる2  (1  pk  pk    pk k )ゆえに、 ( n) 

 1

 1

 1

p k 1
p1 1  1 p2 2  1  kpk  1p1  1p2  1という式が得られる。(Q. E. D.)

整数 m を用いて、 ql  pm となる。条件より、 ql で 3( p1 p2 p3  pk 1 pk )  2 を割り切れるが、 pm で割り切れないので矛盾する。
よって、すべての 1  j  k について、

q j  1 とかける。すると、

なお、自然数 m で表せる pm の指数が 1のとき、その項は pm  1 となる。
命題 4m, n を互いに素な自然数とするとき、

 (mn)   (m) (n) ．

3( p1 p2 p3  pk 1 pk )  2  2に対して、 q1q2  qn  1  1 となり、矛n（証明）m, n がそれぞれ盾している。
したがって、メルセンヌ素数でない素数は無数に存在する。(Q. E. D.)m  p1 1 p2


2

2





p3 3  pk k ，n  q1 1 q2 q3 3  ql l
命題 3と素因数分解できるとする。




自然数 n が p1 1 p2 2  pk k と素因数分解されるとき、m, n は互いに素であるから、 pi , q j は s
すべて相異なるため、命題 3 を用いると、

 (mn) 

命題 6.1
1 1

 2 1

 k 1

 p1
pk
1
 1 p2
1 p  1  p  1   p  1 
1
2
k



 q 1 1  1 q2  2 1  1 ql l 1  1   1
q2  1ql  1  q1  1  (m) (n) ． (Q. E. D.)
この命題 4 は自然数の個数を増やしても偶数の原始過剰数は無数に存在する。
（証明）

p を素数として、2 n p の形に素因数分解できる数を考える。
このとき、 2 n  p  2 n1  1 を満たすよ
うに p をとると、 p  2 n1  m  2 n  k同様のことがいえる。

( m, k は自然数， m  1, k  0 )と表せる。
定理 5

ここで、命題 3 を用いて

(1) 完全数の倍数は過剰数である。
(2) 過剰数の倍数は過剰数である。

2 n1  1 p 2  1

2 1
p 1
(
p
 1)( p  1)
 (2 n1  1)
p 1
 (2 n1  1)( p  1)
 2 n1 p  2 n1  p  1
 2 n1 p  2 n1  (2 n1  m)  1
 2(2 n p)  (m  1)  2(2 n p ) (2 n p) （証明）
(1) 完全数を n とおき、その約数を昇順
で

n1 , n2 , n3 , , nm1 , nm と表す。そして、完全数の倍数を kn とする。このとき、より、 2 n p が過剰数であることがわかる。

 (n)  n1  n2  n3    nm1  nm ．

次に、 2 n p が原始過剰数でない過剰数でkn の約数に 1 が含まれているのは自明あると仮定すると、次のいずれかが考えらであるから、 k  1 より、れる。

 (kn)  1  kn1  kn2    knm
 k (n)なので、  (kn)  k (n)  2kn ．
(2)も同様の手段で示すことができる。
(Q. E. D.)
３．３

偶数の原始過剰数

ここで定理 5 から、他の過剰数の倍数でなく、他の完全数の倍数でもない過剰数を考えようと思い至った。そのような数を原始過剰数と定義する。例えば、20, 70, 88, …
などが相当する。このとき以下の定理が得られた。

① 2 n1 p が過剰数または完全数② 2 n が過剰数または完全数
ここで、②は命題 1 に反しているため、①について考える。

 (2 n1 p) 

2n 1 p 2 1

2 1 p 1 (2n  1)( p  1)
 2n p  2n  p  1
 2 n p  2 n  (2 n  k )  1
 2(2n1 p)  (k  1)  2n p
より、 2 n1 p は不足数となる。
したがって、 2 n p は原始過剰数である。

なお、 p が p  2 n1  1 とかけるメルセンn

ヌ素数であるとき、 2 p は完全数になるが、

 2(2n pq)  2n1 (1  q  2  q)

命題 2 より、 p として当てはまる数は無数

nに存在するため、 2 p と表せる数は無数に存在する。よって偶数の原始過剰数は無数に存在する。(Q. E. D.) 2(2n pq)  2n1 (2q  3)


また、合成数は素数の倍数なので、命題
5 とあわせると次の命題が自明に成り立つ。

p 1
 (2q  2)2

 2(2 n pq)  2n1 (2q  3)

命題 6.2 2 n1 (2q  2)n

奇数の不足数 D において、 2 D が過剰数となる n が存在する。

p 1
 (2q  2)2

 2(2 n pq) ．
よって、2 n pq は過剰数であるとわかる。

命題 6.3異なる 2 つの素数 p, q について、

2n1  q  p  2n2  1が成り立つとき、 2 n pq は原始過剰数であ次に、 2 n pq が原始過剰数でないと仮定す
ると、 2 n は不足数であり、次のいずれかの状況となる。
① 2 n1 pq が過剰数または完全数る。

② 2 n p が過剰数または完全数③ 2 n q が過剰数または完全数（証明）②，③は命題 6.1 の証明における後半の

条件より、

2

n1

2

n1

n 2

3

n 2

5

3 p  2
1  q  2となる。命題 3 より (2 n pq) 

2 n1  1 p 2  1 q 2  1

2 1
p 1 q 1

議論に反するので、①について考える。

 (2n1 pq)  (2n  1)( p  1)(q  1)
 2(2n1 pq)  2n (1  p  q)

 ( p  1)(q  1)

 (2n1  1)( p  1)(q  1)
 2(2 pq)  2nn1(1  p  q)
 ( p  1)(q  1)

 2(2n1 pq)  2n (1  2 p)

 2n2 ( p  1)

 2(2 n pq)  2 n1 (1  p  q)p 1
 (2q  2)2

 2(2 n1 pq)  2 n1 p  3  2 n

 2(2n1 pq)

より、 2 n1 pq は不足数となる。

奇数の原始過剰数は無数に存在する。

n

よって、 2 pq は原始過剰数である。

(Q. E. D.)(Q. E. D.)
命題 7
３．４ 奇数の原始過剰数

奇数の原始過剰数は無数に存在する。

奇数の原始過剰数を議論するために、2つの補題を用意する。

（証明）
素数を順に p1 , p2 , p3 ,  としたとき、補題 1 ([1])

補題 1 より、任意の k について

1
1
1
1



1
pk
pk 1 pk 2
pm

素数の逆数和は正の無限大に発散する。
一般に、この補題 1 が成り立つ事実が知られており、命題 7 の証明に用いる。

を満たす m が存在する。

pk pk 1 pk 2  pm と素因数分解できる自然数を n とする。つまり、n  pk pk 1 pk 2  pm ．

補題 2
どの 2 つも互いに素な奇数の過剰数が無このとき、 k  i  m を満たす i について

数に存在するとき、奇数の原始過剰数は無nは n の約数であり、約数の総和は約数pi数に存在する。

の部分和より大きいため、
（証明）

 (n)

どの 2 つも互いに素な奇数の過剰数を順n

に n1 , n2 , n3 , とする。

 1
1
1 
 1
 n  n


pk 1
pm 
 pk
 n  n  1  2n

原始過剰数の定義から、過剰数の約数には原始過剰数が少なくとも 1 つ存在することがわかる。
ここで、自然数 m に対して、 nm の約数である原始過剰数のうちの 1 つを nm とする。すると、原始過剰数の列 n1 , n2 , n3 , を得る。 n1 , n2 , n3 ,  は互いに素であるから、それぞれを素因数分解したときに現れる素因数はすべて相異なる。
ゆえに、n1 , n2 , n3 , もすべて互いに素

n
n
n


1
pk
pk 1
pm

より、 n は過剰数である。
ここで、奇数の n について考えるため、

k1  2 とし、 pk1 pk1 1 pk1 2  pm1 と素因数
分 解 で き る 自 然 数 を n1 と す る 。 ま た 、

k2  m1  1 として、 pk2 pk2 1 pk2 2  pm2

である。よって、n1 , n2 , n3 , は相異なると素因数分解できる自然数を n2 とする。ま

原始過剰数といえる。

た、

さらに、奇数の約数は奇数に限られるため、奇数の原始過剰数ともいえる。よって、

k3  m2  1 とし、 pk3 pk3 1 pk3 2  pm3 と素因数分解できる自然数を n3 とする。この操作を繰り返して、 n1 , n2 , n3 ,  を定義していく。すると n1 , n2 , n3 ,  は相異なる素因

 (n)


n n n n nnnn   

1 3 5 7 11 15 21 33数をもつため、互いに素であり、奇数の過

剰数である。

n
n
n
n
n




35 55 77 105 165

よって、補題 2 から奇数の原始過剰数は無数にあるといえる。(Q. E. D.)
命題 8




異なる素数 p, q を用いて p q とかける
奇数の過剰数は存在しない。

n
n
n


231 385 n

 1.994n  1 ．
もし n が不足数でないならば、
 (n)  2n なので、 1.994n  1  2n が成り立つ。 0.006n  1 より、 n  167 とならねばならない。
一方、条件から n  3  5  7  11  1155 となるため、奇数の pqrs は不足数である。

（証明）

3  p, q として、命題 3 から、

 ( p q  ) 



p

 1

(Q. E. D.) 1

1 q 1

p 1
q 1



p
q

 p q p 1 q 1

3 5
  p p 
2 4

15  
p q  2 p q 8

より、 p q は不足数となる。(Q. E. D.)

なお、素因子が 5 つの場合は原始過剰数が存在し、15015  3  5  7  11  13 が最少のものである。
３．４

実際の値

原始過剰数は偶数であるものが多く、奇数であるものうち、最少のものは 945 となる。一の位が 1, 3, 7, 9 であるものは表に載っていないが、命題 7 の方法で生成するとそのような原始過剰数が少なくとも一種類

命題 9現れる。おそらくずべて現れると考えてい相異なる素数 p, q, r , s を用いて pqrs とかける奇数は不足数である。

る。
巻末に、5000 以下の原始過剰数の表を掲載する。 2 n p の形に表せるものは太字で表（証明）記している。

p  q  r  s としても一般性を失わない。このとき、条件を式でまとめると3  p, 5  q, 7  r, 11  s

４．今後の課題
今回、原始過剰数の存在証明を行ったが、となる。 n  pqrs として、 n に対する約数

偶数については素因子の個数の一般化が、の割合を求めると、

奇数についてはより具体的な分類が行えなかった。今後はこれらについても考えてい
きたい。

６．謝辞
今回の研究にあたりご指導くださった顧問の川口先生、ありがとうございました。

５．参考文献

また、サイエンス研究会の方々にも協力や[1]「数論の精選 104 問」、Titu

助言をいただけました。ありがとうございAndreescu Dorin, Andrica,Zuming

ました。

Feng 著、小林一章、鈴木晋一監訳、
清水俊宏、西本将樹訳、朝倉書店

表15000 以下の原始過剰数

20＝22・5

945＝33・5・7

2205＝32・5・72

4030＝2・5・13・31

70＝2・5・7

1184＝25・37

2210＝2・5・13・17

4070＝2・5・11・37

88＝23・11

1312＝25・41

2470＝2・5・13・19

4095＝32・5・7・13

104＝23・13

1376＝25・43

2530＝2・5・11・23

4216＝23・17・31

272＝24・17

1430＝2・5・11・13

2584＝23・17・19

4288＝26・67

304＝24・19

1504＝25・47

2990＝2・5・13・23

4510＝2・5・11・41

368＝24・23

1575＝32・52・7

3128＝23・17・23

4544＝26・71

464＝24・29

1696＝25・53

3190＝2・5・11・29

4672＝26・73

550＝24・31

1870＝2・5・11・17

3230＝2・5・17・19

4712＝23・19・31

572＝22・11・13

1888＝25・59

3410＝2・5・11・31

4730＝2・5・11・43

650＝2・52・13

1952＝25・61

3496＝23・19・23

748＝22・11・17

2002＝2・7・11・13

3770＝2・5・13・29

836＝22・11・19

2090＝2・5・11・19

3944＝23・17・29

n※太字は 2 p の形

n 角形の形の一意性
３年Ａ組 古宮 昌典
指導教員 川口 慎二

１.要約
サイエンス研究会数学班 3 年生は図形の性質について研究している。今回は、n 角形の形
が 1 つに決まる条件について考えた。
キーワード

角、辺の決まっている場所、領域に分ける

２.研究の背景と目的（２）辺 A1An 以外の n  1 本の辺の長さが「すべ三角形の形が 1 つに決まる条件は、決まっている n 角形 A1A2…AkAk+1…An におての辺の長さが決まっている」、「2 辺の長いて、∠A2A1An と∠Ak-1AkAk+1 以外の n  2

さとその間の角の大きさが決まっている」、

個の角の大きさが決まっているとする。

「1 辺の長さとその両端の角の大きさが決・△A1AnAk が直角三角形である

まっている」なというように、広く知られ

・△A1AnAk が鋭角三角形のとき、ていることであるが、それらの条件を一般

AnAksin∠A1AnAk ＝A1Ak，化し、 n 角形で考えるとどのような条件になるのか興味を持った。

あるいは A1Ak≧AnAk
・△A1AnAk が鈍角三角形のとき、
A1Ak＜AnAk

３.研究内容今回の研究で、 n 角形の形が 1 つに決まのいずれかが成り立てば、この n 角形の形は１つに決まる。

る条件を長さが決まっている辺の本数によって分けた。ただし、今回は凹多角形につ（３）辺 A1An 以外の n  1 本の辺の長さがいては考えないことにした。

決まっている n 角形 A1A2…Ai…Ak…An において、∠Ai-1AiAi+ と∠Ak-1AkAk+1 以外の

３．１ １種類目の条件
長さが決まっている辺が n  1 本の場合

n  2 個の角の大きさが決まっているとき、
この n 角形の形は１つに決まる。

を考える。
（証明）
（１）n  1本の辺の長さが決まっている n（１）数学的帰納法で示す。

角形において、それらの間の n  2 個の角の

① n  3 の場合、2 辺とその間の角の大きさが大きさが決まれば、その形は 1 つに決まる。

決まっているので、（１）は成り立つ。
② n  k において、（１）が成り立つと仮定する 。 下 図 の よ う な k  1 角 形 A1A2A3 …

が 1 つに決まらない。

AkAk+1 を考え、辺 AkAk+1 以外の辺の長さと∠A1Ak+1Ak と∠Ak+1AkAk-1 以外の角の大き（補題の証明）

さが決まっているとする。点 A1 と点 A3 を(i) ∠ABC が直角のとき

結ぶと、△A1A2A3 は 2 辺とその間の角が決

直角三角形 ABC において、斜辺と他の 1まっているので、形は 1 つに決まる。よっ

辺の長さが決まっているので、この三角形て、辺 A1A3n の長さは 1 つに決まる。また、の形は 1 つに決まる。

∠A2A1A3 と∠A2A3A1 の大きさも 1 つに決(ii) ∠ABC が鋭角のときまるので、∠Ak+1A1A3 と∠A1A3A4 の大きさ

(ii－1) AC≧AB である場合

も 1 つに決まる。ゆえに、k  1 本の辺の長AC＝AB の場合、三角形 ABC は二等辺三さとその間の k  2 個の角の大きさが決ま角形となるので、∠CAB の大きさは 1 つにっている k 角形 A1A3A4…AkAk+1 ができる。

決まる。よって、2 辺とその間の角の大き仮定より、この多角形の形は１つに決まる。

さが 1 つに決まっているので、三角形 ABCの形は 1 つに決まる。
AC＞AB の場合、まず、辺 AB の長さは決まっている。次に、∠CBA の大きさは 1
つに決まっているので、2 点 B, C がのって（対称性により、
いる直線 l が 1 つに決まる
辺 AB を対称軸として直線 l を折り返した
ときにできる直線は無視してよい）。よって、したがって、 n  k  1 においても（１）は成り立つ。
①，②より、題意は示された。(Q. E. D.)

条件を満たす点 C の位置は直線 l と、点 Aが中心で半径が辺 CA の円との交点である。
その交点は 2 つできるが、∠ABC が鋭角であることから、△ABC の形は１つに決まる。

（２）まず、下の補題 1 から証明する。

(ii－2) AB sin∠ABC＝AC である場合
点 A から直線 BC へ降ろした垂線の足を

補題 1△ABC において、辺 AC，AB の長さと∠ABC の大きさが決まっているとする。このとき、H とすると、AB sin∠ABC＝AC より、AH＝AC であるから、AH⊥BC, AH=AC なので、点 C と点 H は一致する。
よって、∠ACB＝90°であるから、直角・∠ABC が直角である

三角形 ABC において、斜辺と他の 1 辺の長・∠ABC が鋭角であり、AC≧AB であるさが決まっているので、この三角形の形はか、AB sin∠ABC＝AC である・∠ABC が鈍角である

1 つに決まる。
(iii) ∠ABC が鈍角のときのいずれかが成り立てば、この三角形の形

AB＜AC より、(ii－1)の後半と同様に、

は 1 つに決まる。逆に、その他の場合は形

直線 l と点 A を中心とする半径が AC の円との交点は 2 つあるが、∠ABC が鈍角である

るので、∠A1AnAk の大きさも 1 つに決まる。

ことから、△ABC の形は 1 つに決まる。

つまり、△A1AnAk において、辺 A1Ak と辺

逆に、それら以外の場合を考える。

AnAk の長さと∠A1AnAk の大きさが決まっ(iv) ∠ABC が鋭角のときているので、補題 1 より、題意は示された。

(iv－1) AB sin∠ABC＜AC＜AB のとき(Q. E. D.)

条件より、
辺 AC の長さは点 A と直線 l の距離よりも長く、辺 AB の長さよりも短い。
よって、直線 l と点 A を中心とする半径が辺 AC の円の交点は下図のように、2 つ存
在する、ゆえに、この三角形の形は 1 つに決まらない。

（３）まず、下の補題 2 から証明する。
補題 2
四角形 ABCD において、辺 AB, BC, CDの長さと∠DAB, ∠ADC の大きさが決ま(iv－2) AB sin∠ABC＞AC のとき
点 A と直線 l の距離は AB sin∠ABC であっているとき、この四角形の形は 1 つに決まる。

るから、AB sin∠ABC＞AC のとき、直線 lと点 A を中心とする半径が AC の円の交点は存在しない。ゆえに、このような三角形（補題 2 の証明）
点 B と C からそれぞれ直線 AD へ降ろしは存在しない。

た垂線の足をそれぞれ E，F とする。そし(i),(ii),(iii),(iv)より、補題は示された。

て、点 C から直線 EB へ降ろした垂線の足(Q. E. D.)

を G とする。すると、∠BAD の大きさは決まっているので、∠BAE の大きさも 1 つ（２）の証明を行う。

に決まる。よって、直角三角形 ABE におい（証明）下図において、点 A1 と点 Ak，点て、斜辺の長さと 1 つの鋭角の大きさが決An と点 Ak を結ぶと、多角形 A1A2A3…Ak とまっているので、直角三角形 ABE の形は 1

多角形 AkAk+1Ak+2…An-1An はそれぞれ、辺つに決まる。ゆえに、辺 AE と辺 BE の長A1Ak，辺 AnAk 以外の辺とそれらの間の角のさは 1 つに決まる。
同様に、直角三角形 CDF

大きさが決まっているので、これらの多角において、斜辺と 1 つの鋭角が決まってい形の形は１つにきまる。ゆえに、辺 A1Ak，るので、形は 1 つに決まる。したがって、

辺 AnAk の長さは 1 つに決まる。

辺 DF と辺 CF の長さは 1 つに決まる。

また、∠An-1AnAk の大きさも 1 つに決ま

一方、
四角形 EGCF は長方形であるから、

FC＝EG である。よって、線分 BG の長さの大きさも 1 つに決まるので、∠AnA1Ai，も 1 つに決まる。ゆえに、直角三角形 BGC∠A1AnAk の大きさも 1 つに決まる。
よって、において、斜辺の長さと他の一辺の長さが四角形 A1AiAkAn において、辺 A1Ai，辺 AiAk，決まっているので、直角三角形 BGC の形は

辺 AkAn の長さと∠AnA1Ai，∠A1AnAk の大1 つに決まる。したがって、辺 CG の長さ

きさが決まっているので、補題 2 より、四は 1 つに決まる。CG＝FE であり、線分 EA

角形 A1AiAkAn の形は 1 つに決まる。
よって、と DF の長さは決まっていることから、辺示された。(Q. E. D.)

AD の長さも 1 つに決まる。ここで、点 Aと点 C を結ぶと、△ADC において、2 辺の長さとその間の角の大きさが決まっている
ので、△ADC の形は 1 つに決まる。
ゆえに、
辺 AC の長さも 1 つに決まる。
したがって、△ABC において、すべての辺の長さが決まっているので、△ABC の形は 1 つに決まる。
よって、四角形 ABCD の形は 1 つに決まる。
(Q. E. D.)

大きさが決まっている角が n  2 個以上の場合、n 角形の形が 1 つに決まることは分かったが、大きさが決まっている角が n  3個以下である場合、形が 1 つに決まらない。
実際には、決まっている角の個数が n  3 である場合を証明すれば十分である。そして、大きさが決まっていない角の配置により、以下の 9 通りのパターンに分けることができる。
本稿では、(B), (D), (H)の場合について、（３）の証明を行う。

n 角形の形が 1 つに決まらないことを証明（証明）下図の n 角形で、点 A1 と点 Ai，点する。その他の場合についても、大きさがAn と点 Ak，点 Ai と点 Ak を結ぶと、多角形

決まっていない角の頂点や長さが決まって

A1A2A3…Ai と多角形 AiAi+1…Ak-1Ak

いない辺を結ぶことにより、形が決まらな（ k  i  1 のときは存在しない）と多角形

いことを証明することができる。なお、図AkAk+1…An-1An は、それぞれ、辺 A1Ai，辺では長さの決まっていない辺や大きさが決AiAk，辺 AkAn 以外の辺の長さとそれらの間まっていない角にマークを付けている。

の角の大きさはすべて決まっているので、これらの多角形の形は 1 つに決まる。よっ(A) 大きさが決まっていない 3 つの角がすて、辺 A1Ai，辺 AiAk，辺 AkAn の長さは 1

べて隣り合っており、そのうちの 2 つは長つに決まる。また、∠A2A1Ai，∠An-1AnAk

さが決まっていない辺と長さが決まっている辺にはさまれている場合(C) 大きさが決まっていない 3 つの角がす
べて隣り合っているが、どれも 2 つの長さが決まっている辺にはさまれている場合(B) 大きさが決まっていない 3 つの角のうち、2 つは隣り合っているが、1 つは隣り合っていない。そして、隣り合っている 2 つの角は、長さが決まっていない辺と長さが(D) 大きさが決まっていない 3 つの角はす決まっている辺にはさまれている場合

べて隣り合っておらず、どれも 2 つの長さが決まっている辺にはさまれている場合（B の証明）
下図の n 角形 A1A2…Ak…An において、辺A1An 以外の辺の長さが決まっており、∠A2A1An，∠A1AnAn-1，∠Ak-1AkAk+1 以外（D の証明）
下図の n 角形 A1A2A3…An において A1An
以外の辺の長さが決まっており、の角の大きさが決まっているとする。そし∠Ai-1AiAi+1 (1  i  n  4) ，て、点 A1 と点 Ak，点 An と点 Ak をそれぞ∠Aj-1AjAj+1 (3  j  n  2) ，れ結ぶと、多角形 A1A2A3…Ak-1Ak，多角形∠Ak-1AkAk+1 (5  k  n)

AkAk+1Ak+2…An-1An はそれぞれ、辺 A1Ak，以外の角の大きさが決まっているとする。

辺 AnAk 以外の辺とそれらの間の角の大き

そして、点 A1 と点 Ai，点 Ai と点 Aj，点さが決まっているので、これらの形は 1 つ

Aj と点 Ak，
点 Ak と点 An をそれぞれ結ぶと、に決まる。よって、辺 A1Ak，辺 AnAk の長

多角形 A1A2A3…Ai-1Ai，多角形 AiAi+1Ai+2

さも 1 つに決まるが、△A1AkAn の内角の大…Aj-1Aj，多角形 AjAj+1Aj+2…Ak-1Ak,多角形

きさは 1 つも決まらないので、△A1AkAn のAkAk+1Ak+2…An-1An はそれぞれ、辺 A1Ai，

形は 1 つに決まらない。ゆえに、この n 角

辺 AiAj，辺 AjAk，辺 AkAn 以外の辺の長さ形の形は 1 つに決まらない。(Q. E. D.)とそれらの間の角の大きさが決まっているので、これらの多角形の形は 1 つに決まる。
よって、辺 A1Ai，辺 AiAj，辺 AjAk，辺 AkAnの長さも 1 つに決まる。また、∠辺 A2A1Ai，∠An-1AnAk の大きさも 1 つに決まるので、∠AnA1Ai と∠A1AnAk の大きさも 1 つに決まる。
ところが、五角形 A1AiAjAkAn は、辺 A1An

以外の 4 つの辺の長さと∠AnA1Ai と∠A1AnAk の大きさが決まっているが、このような条件を満たす五角形は複数考えられるので、五角形 A1AiAjAkAn の形は 1 つに決まらない。
ゆえに、この n 角形の形は 1 つに決まらない。(Q. E. D.)(G) 大きさが決まっていない角のうち、2つは隣り合っているが、1 つは隣り合っておらず、隣り合っている 2 つの角のうち 1
つは、2 つの長さが決まっている辺にはさまれているが、あとの 1 つは長さが決まっていない辺と長さが決まっている辺にはさまれている場合(E) 大きさが決まっていない角のうち、2つは隣り合っているが、1 つは隣り合っておらず、どれも 2 つの長さが決まっている
辺にはさまれている場合(H) 大きさが決まっていない 3 つの角はす
べて隣り合っておらず、そのうちの 1 つだ
け、長さが決まっていない辺と長さが決まっている辺にはさまれている場合（H の証明）(F) 大きさが決まっていない 3 つの角はす

下図の n 角形 A1A2A3 …An において、

べて隣り合っており、そのうちの 1 つだけ

A1An 以外の辺の長さが決まっており、が長さが決まっていない辺と長さが決まっ∠An-1AnA1，∠Ai-1AiAi+1 (1  i  n  3) ，ている辺にはさまれている場合∠Aj-1AjAj+1 (3  j  n  1) 以外の角の大きさが決まっているとする。そして、点 A1と点 Ai，点 Ai と点 Aj，点 Aj と点 An をそれ
ぞれ結ぶと、多角形 A1A2A3…Ai-1Ai，多角形 AiAi+1Ai+2…Aj-1Aj，多角形 AjAj+1Aj+2…

An-1An はそれぞれ、辺 A1Ai，辺 AiAj，辺AjAn 以外の辺の長さとそれらの間の角の大きさが決まっているので、これらの多角形

３．２ ２種類目の条件
すべての辺の長さが決まっている場合を考える。

の形は 1 つに決まる。よって、辺 A1Ai，辺辺の長さがすべて決まっている n 角形にAiAj，辺 AjAn の長さも１つに決まる。∠辺

おいて、n  3 個以上の角の大きさが決まれ

A2A1Ai の角の大きさも 1 つに決まるので、ば、その形は 1 つに決まる。

∠AnA1Ai の大きさも 1 つに決まる。
ところが、△A1AiAn は、辺 A1Ai の長さと（証明の方針）∠AnA1Ai の大きさしか決まっておらず、△［１］n  3 個以上の角の大きさが決まれば

AnAiAj は、辺 AiAj と辺 AjAn の長さしか決形が 1 つに決まることを証明するには、まっていないので、どちらの三角形も形はn  3 個の角の大きさが決まっているとき

1 つに決まらない。

に、形が 1 つに決まることを証明すれば十ゆえに、この n 角形の形は 1 つに決まらない。(Q. E. D.)

分である。
［２］n  3 個の角の大きさが決まっているということは、3 個の角の大きさが決まっていないということであるが、それらの角がどこに配置されているかに応じて、3 つの場合に分けて考える。
命題 A
大きさが決まっていない 3 個の角がすべ（Ｉ）大きさが決まっていない角のうち、2て隣り合っているとき、形は 1 つに決まる。

つは隣り合っているが、そのうちの 1 つは隣り合っておらず、その隣り合っていない
角は長さが決まっていない辺と長さが決ま（証明）
数学的帰納法で示す。

っている辺にはさまれている。また、それ①三角形( n  3 )の場合、3 辺の長さが決まに隣り合う、2 つの長さが決まっている辺っているので、形は１つに決まる。

にはさまれている角も大きさが決まってい② n  a において、命題 A が成り立つと仮る場合定する。下図のように、すべての辺の長さが決まっている a  1 角形 A1A2A3…AaAa+1を考え、∠A2A1An，∠A1A2A31，∠A2A3A4以外の角の大きさが決まっているとする。
次に、点 A1 と点 Aa を結ぶ。すると、△
A1Aa+1Aa は、2 辺とその間の角の大きさが決まっているので、その形は 1 つに決まる。
よって、線分 A1Aa の長さは 1 つに決まる。

また、∠Aa+1AaA1 の大きさも 1 つに決まる
ので、∠A1AaAa-1 の大きさも 1 つに決まる。
ゆえに、すべての辺の長さと a  3 個の角の大きさが決まっている a 角形 A1A2A3…Aaができる。仮定より、この多角形の形は 1つに決まる。したがって、 n  a  1 のときも命題は成り立つ。
①，②より、題意は示された。(Q. E. D.)
命題 C
大きさが分からない角のうち、2 つだけが隣り合っているとき、形は 1 つに決まる。
（証明）
下図のような n 角形 A1A2A3…An を考え、
∠AnA1A2 ，∠A1A2A3，∠Ap-1ApAp+1 の角の
命題 B
大きさが分からない 3 つの角がすべて隣り合っていないとき、形は 1 つに決まる。

大きさが決まっていないとする。そして、
点 A1 と点 Ap，点 A2 と点 Ap をそれぞれ結び、 n 角形を 3 つの領域に分ける。
すると、多角形 A2A3A4…Ap-1Ap，多角形（証明）

A1ApAp+1…An はそれぞれ辺 A2Ap，辺 A1Ap

下図のようなすべての辺が決まっている以外のすべての辺の長さとそれらの間の角n 角形 A1A2A3…An を考え、∠AnA1A2 ，の大きさが決まっているので、これらの形∠Ak-1AkAk+1，∠Am-1AmAm+1 の大きさがわか

は 1 つに決まる。よって、辺 A2Ap，辺 A1Ap

らないとする。そして、点 A1 と点 Ak，点の辺の長さも 1 つに決まる。

Ak と点 Am，点 Am と点 An を結んで、 n 角

ゆえに、△A1A2Ap はすべての辺の長さが形を 4 つの領域に分ける。すると、多角形

決まっているので形は 1 つに決まる。した

A1A2A3…Ak，多角形 AkAk+1Ak+2…Am，多角がって、 n 角形 A1A2A3…An の形は 1 つに形 AmAm+1Am+2…AnA1 はそれぞれ、
辺 A1Ak，決まる。(Q. E. D.)

辺 AkAm，辺 AmA1 以外の辺の長さとそれらの間の角の大きさが決まっているので、これらの形は 1 つに決まる。
よって、
辺 A1Ak，
辺 AkAm，辺 AmA1 の長さも 1 つに決まる。
ゆえに、△辺 A1AkAm はすべての辺の長さが決まっているので、形は 1 つに決まる。
したがって、 n 角形 A1A2A3…An の形は 1つに決まる。(Q. E. D.)

命題 A，命題 B，命題 C より、すべてのたす別の n 角形は容易に考えられる。

辺の長さが決まっている n 角形において、(Q. E. D.)n  3 個以上の角の大きさが決まれば形は1 つに決まることが示された。
では、逆に、n  4 個以下しか角の大きさが決まっていない場合、形は 1 つに決まらないことを証明する。

n  4 個の角の大きさが決まっているとき、形は 1 つに決まらないことを証明すれば十分である。そして、大きさが決まって[B] 大きさが決まっていない 4 つの角が、いない 4 個の角の配置により、5 つのパタ

すべて隣り合っていない場合ーンに分けることができる。
ここでは、[A]，[B]の場合について、 n 角（[B]の証明）形の形が 1 つに決まらないことを証明する。

下図のような n 角形 A1A2 …Ai …Aj …Ak[C], [D], [E]の場合も[A], [B]と同様に、大き…An を考え、∠A2A1An，∠Ai-1AiAi+1 ，∠さが決まっていない角の頂点を結ぶことで、

Aj-1AjAj+1，∠Ak-1AkAk+1 以外のすべての角形が１つに決まらないことを証明できる。

の大きさが決まっているとする。そして、
点 A1，点 Ai，点 Aj，点 Ak を結ぶと、多角[A] 決まっていない 4 つの角がすべて隣り形 A1A2 A3…Ai，多角形 AiAi+1Ai+2…Aj，多合っている場合

角形 AjAj+1Aj+2…Ak，多角形 AkAk+1Ak+2…
An A1 はそれぞれ、
辺 A1Ai，辺 AiAj，
辺 AjAk，（[A]の証明）

辺 AkA1 以外のすべての辺の長さとそれら

下図のような n 角形 A1A2A3…An を考え、の間のすべての角の大きさが決まっている∠A1A2A3，∠A2A1An, ∠A1AnAn-1，ので、これらの多角形の形は 1 つに決まる。

∠AnAn-1An-2 以外の角の大きさが決まっ

よって、辺 A1Ai，辺 AiAj，辺 AjAk，辺 AkA1ているとする。そして、点 A2 と点 An-1 を結の長さも 1 つに決まるが、四角形 A1AiAjAk

ぶと、多角形 A2A3A4…An-1 は、辺 A2An-1 以の内角の大きさは、1 つも決まっていない

外のすべての辺の長さと、それらの間の角ので、四角形 A1AiAjAk の形は 1 つに決まらの大きさが決まっているので、形は 1 つにない。ゆえに、この n 角形 A1A2A3…An の形決まる。

は 1 つに決まらない。

よって、
辺 A2An-1 の長さも 1 つに決まり、

実際、四角形 A1AiAjAk に対して、これと四角形 A1A2An-1An はすべての辺の長さが決

4 つの同じ辺の長さを持つ四角形を考える

まっているが、内角は 1 つも大きさが決ま（これは容易にできる）ことで同じ条件をっていないので、四角形 A1A2An-1An の形は満たす n 角形を作ることができる。

1 つに決まらない。ゆえに、この n 角形の形
は 1 つに決まらない。実際、同じ条件を満(Q. E. D.)３．３ ３種類目の条件[C] 大きさが決まっていない 4 つ角のうち、3 つは隣り合っていて、1 つは隣り合ってい長さが決まっている辺が n  2 本の場合
を考える。

ない場合
（Ⅰ）n  1個の角の大きさが決まっている

n 角形において、隣り合っている 2 つの辺以外の n  2 個の辺の長さが決まれば形は1 つに決まる。
（Ⅱ）

n  1 個の角の大きさが決まっている n 角形 A1A2…AkAk+1…An において、辺[D] 大きさが決まっていない 4 つの角のう

A1An と辺 AkAk+1 以外の n  2 本の辺の長

ち、2 つが隣り合っているが、他の 2 つのさが決まっているとき、辺 A1Ak と辺 AnAk+1

角も別に隣り合っている場合のうち、[A]でが平行でなければ形は 1 つに決まる。

ない場合（Ⅰの証明）
多角形の内角の和は一定なので、n  1 個の角の大きさが決まればもうひとつの角の大きさも 1 つに決まる。よって、 n 角形の内角はすべて決まっているとしてよい。下図のようなすべての角の大きさが決まっている n 角形 A1A2A3…An を考え、辺 A1An と辺 AnAn-1 以外の辺の長さが決まっていると[E] 大きさが決まっていない 4 つの角のうする。そして、点 A1 と点 An-1 を結ぶ。する

ち、2 つが隣り合っているが、他の 2 つのと、多角形 A1A2A3…An-1 は、辺 A1An-1 以外

角はどれにも隣り合っていない場合の辺と、それらの間の角の大きさが決まっているので、３．１節の条件（１）より、形が 1 つに決まる。よって、辺 A1An-1 の長さは 1 つに決まる。また、∠A2A1An-1 と∠A1An-1An-2 の大きさも 1 つに決まるので、∠
AnA1An-1 と∠An An-1A1 の大きさも 1 つに決まる。ゆえに、1 辺とその両端の角が決まっているので、△A1An-1An の形も 1 つに決まる。(Q. E. D.)
逆に、四角形 ABCD において、辺 AB と
辺 CD が平行であれば、例えば、下図のような四角形 ABCD と四角形 A’BCD’はどちらも条件を満たすので、形は 1 つに決まらない。
（Ⅱ）を証明するために、次の補題 3 から証明する。
補題 3
すべての角の大きさが決まっている四角
形 ABCD において、辺 AD と辺 BC の長さが決まっているとする。辺 AB と辺 CD が平行でなければ形は 1 つに決まる。

（Ⅱの証明）（Ⅰ）と同じように、すべての角の大き（補題 3 の証明）

さが決まっているとしてよい。下図の n 角

AD≦BC として考えても一般性を失わな形で、点 A1 と点 Ak，点 An と点 Ak+1 を結ぶい。そして、下図のように、直線 AB と直と 、 多 角 形 A1A2A3 … Ak と 多 角 形

線 DC の交点を E とすると、1 辺とその両Ak+1Ak+2Ak+3 …An はそれぞれ、辺 A1Ak,辺端の角が決まっているので、△EBC の形は

Ak+1An 以外の辺とそれらの間の角の大きさ

1 つに決まる。

が決まっているので、これらの形は 1 つにまた、∠BAD と∠ADC の大きさは決まっているので、∠EAB と∠EDA の大きさ決まる。よって、辺 A1Ak,辺 Ak+1An の長さ
は 1 つに決まる。

は 1 つに決まる。よって、1 辺とその両端

また、∠A2A1Ak，∠Ak-1AkA1，∠An-1AnAk+1，の角が決まっているので、△EAD の形も 1∠Ak+2Ak+1An の大きさも 1 つに決まるので、つに決まる。ゆえに、四角形 ABCD の形は∠AnA1Ak，∠A1AkAk+1，∠A1AnAk+1，

1 つに決まる。(Q. E. D.)∠AkAk+1An の大きさも 1 つに決まる。つまり、四角形 A1AnAk+1Ak は、すべての角の大きさと辺 A1Ak と辺 Ak+1An の長さが決まっている。さらに、仮定より、辺 A1Ak と辺

な直線と辺 CD の交点を D’とする。
すると、

AnAk+1 は平行でないので、補題 3 より、四AD‖A’D’より同位角は等しいので、∠DAB

角形 A1AnAk+1Ak の形は 1 つに決まる。よっ＝∠D’A’B，∠ADC＝∠A’D’C である。ゆて題意は示された。(Q. E. D.)

えに、四角形 A’BCD’も条件を満たす。したがって、条件を満たす四角形が複数存在す
ることになるので、この形は 1 つに決まらない。(Q. E. D.)

３.４ その他の場合
最後に、長さが決まっている辺の本数がn  3 本以下の場合、いくつの角が決まっていても形は 1 つに決まらないことを証明する。

（A の証明）
下図の n 角形 A1A2A3…An において、す

実際には、決まっている辺の本数が n  3

べての角の大きさは決まっており、辺 A2A1，

本のときにすべての角が決まっていても形

辺 A1An，辺 An-1An の辺の長さが決まっていは 1 つに決まらないことを示せば十分であないとする。そして、点 A2 と点 An-1 を結ぶる。そして、決まっている辺の配置により、と、多角形 A2A3 A4…An-2An-1 は辺 A2An-1 以(A),(B),(C)の 3 つの場合に分けて考えた。

外の辺の長さとそれらの間の角の大きさが決まっているので、この多角形の形は 1 つ(A) 長さが決まっていない 3 辺がすべて隣に決まる。ゆえに、辺 A2An-1 の長さは 1 つ

り合っている場合に決まる。また、∠A3A2An-1 と∠An-2An-1A2

まず、次の補題 4 を証明する。

の大きさも 1 つに決まるので、∠A1A2An-1と∠AnAn-1A2 の大きさも 1 つに決まる。つ

補題 4

まり、四角形 A1A2An-1An は、すべての角のすべての角の大きさと一辺の長さが決ま

大きさと辺 A2An-1 の長さが決まっているこっている四角形の形は 1 つに決まらない。

とになるが、補題 4 より、この四角形の形
は 1 つに決まらない。ゆえに、この n 角形の（補題 4 の証明）

形は 1 つに決まらない。実際、補題 4 と同

下図の四角形 ABCD において、すべての様の反例を四角形 A1A2An-1An に対して作る

角の大きさと辺 BC の長さが決まっていることで同じ条件を満たす n 角形を作ることとする。すると、辺 AB 上に A, B とは異なができる。(Q. E. D.)

る点 A’をとり、点 A’を通り、辺 AD に平行

(B)長さが決まってない 3 辺のうち、2 辺は隣り合っているが、1 つは隣り合っていな
い場合
まず、次の補題 5 を証明する。

（B の証明）
下図の n 角形 A1A2…AkAk+1…An において、すべての角の大きさと辺 A1An と辺An-1An と辺 AkAk+1 以外の辺の長さが決まっているとする。そして、点 A1 と点 Ak，点

補題 5

An-1 と点 Ak+1 を結ぶと、多角形 A1A2A3…

五角形 ABCDE において、すべての角のAk と多角形 Ak+1Ak+2Ak+3…An-2An-1 はそれぞ

大きさと辺 AB と辺 CD の長さが決まって

れ辺 A1Ak,辺 Ak+1An-1 以外の辺の長さとそれいるとき、この五角形の形は 1 つに決まららの間の角の大きさが決まっているので、ない。

これらの多角形の形は 1 つに決まる。よって、辺 A1Ak,辺 Ak+1An-1 の長さは 1 つに決ま

（補題 5 の証明）
辺 BC 上に点 B, C とは異なる点 C’をとる。

る 。また 、∠A2 A1Ak ，∠A1Ak Ak-1 ， ∠Ak+1An-1An-2，∠Ak+2Ak+1An-1 の角の大きさもそして、点 C’を通り、直線 CD に平行な直1 つに決まるので、∠AnA1Ak，∠Ak+1AkA1，

線と、点 D を通り、直線 C’C に平行な直線∠Ak+1An-1An，∠AkAk+1An-1 の角の大きさもの交点を D’とする。さらに、点 D’を通り、1 つに決まる。

直線 DE に平行な直線と辺 AE との交点をゆえに、五角形 A1AkAk+1An-1An は、すべE’とする。CD‖C’D’かつ D D’ ‖C C’より、ての角の大きさと、辺 A1Ak,辺 Ak+1An-1 の長四角形 CDD’C’は平行四辺形である。よって、さが決まっている。しかし補題 5 より、こ

CD＝C’D’,∠DCB＝∠D’C’B である。また、の五角形の形は 1 つに決まらない。したがDE‖D’E’より、∠AED＝∠AE’D’である。

って、この n 角形の形は 1 つに決まらない。

さらに、CD‖C’D’, DE‖D’E’より∠CDE

実際、補題 5 と同様の反例を五角形＝∠C’D’E’であるから、五角形 ABC’D’E’

A1AkAk+1An-1An で作ることで、同じ条件をも条件を満たす。したがって、条件を満た満たす n 角形を作ることができる。

す五角形が複数存在することになるので、この形は 1 つに決まらない。(Q. E. D.)(Q. E. D.)

より、∠BCD＝∠B’C’D’，∠CDE＝∠C’D’E’である。
以上から、六角形 AB’C’D’E’F も条件を満たすことがわかった。つまり、条件を満たす六角形が複数存在するので、形は 1 つに決まらない。しかし、∠ABC＋∠BCD＜
180°のときは点 C’が六角形の外部に存在する。この場合、頂点 A,B,C,D,E,F をそれ
ぞれ E,F,A,B,C,D に名前をつけ替え、上述(C)長さが決まっていない 3 辺がすべて隣り

の証明と同様の操作を行うことにより、同合っていない場合

じ条件を満たす六角形を作ることができる。
(Q. E. D.)(C)を証明するために、次の補題 6 を証明する。
補題 6
六角形 ABCDEF において、すべての角の大きさと、辺 BC, DE, FA の長さが決まっているとする。このとき、この六角形の形は 1 つに決まらない。
（C の証明）（補題 6 の証明）

下図の n 角形 A1A2…Ak…Am…An におい

辺 AB 上に A, B とは異なる点 B’をとる。

て、すべての角の大きさと辺 A1An と辺

そして、点 B’を通り BC に平行な直線と、

AkAk+1 と辺 AmAm+1 以外の辺の長さが決ま

点 C を通り AB に平行な直線との交点を C’っているとする。そして、点 A1 と点 Ak，とする。さらに、点 C’を通り CD に平行な点 Ak+1 と点 Am，点 Am+1 と点 An をそれぞれ直線と、点 D を通り EF に平行な直線との結 ぶ と 、 多 角 形 A1A2 … Ak-1Ak ， 多 角 形

交点を D’とし、D’を通り DE に平行な直線

Ak+1Ak+2…Am-1Am，多角形 Am-1Am…An-1Anと辺 EF との交点を E’とする。

はそれぞれ、辺 A1Ak，辺 Ak+1Am，辺 Am+1An

B’C’//BC，BB’//CC’より、四角形 BCC’B’

以外の辺の長さとそれらの辺の間にある角は平行四辺形である。ゆえに、BC＝B’C’,の大きさが決まっているので、これらの多∠ABC＝∠AB’C’が成り立つ。また、D’E’

角形の形は 1 つに決まる。
よって、辺 A1Ak，‖DE，DD’‖EE’より、四角形 DEE’D’も平

辺 Ak+1Am，辺 Am+1An の長さも１つに決ま行四辺形であるから、DE＝D’E’，∠FED＝る。

∠FE’D’が成り立つ。
さらに、
BC‖B’C’，
CD‖C’D’，DE‖D’E’

また、∠A2A1Ak，∠A1AkAk-1，∠Ak+2Ak+1Am，∠Am-1Am Ak+1，

∠AnAm+1Am+2，∠An-1AnAm+1

６.謝辞の大きさは 1 つに決まる。すべての角の

今回の研究にあたり、ご指導下さいまし大きさは決まっていることから、六角形

た顧問の川口先生ありがとうございました。

A1AkAk+1AmAm+1An は、すべての角の大きさ

また、サイエンス研究会の先輩方からも助と辺 A1Ak，辺 Ak+1Am，辺 Am+1An の長さが言をいただきました。ありがとうございま

決まっている六角形である。しかし、補題した。

6 より、この六角形の形は 1 つに決まらな
いので、この n 角形の形は 1 つに決まらない。実際、補題 6 と同様の反例を六角形
A1AkAk+1AmAm+1An に対して作ることで同じ条件を満たす n 角形を作ることができる。
(Q. E. D.)(A),(B),(C)より、 n 角形において、 n  3
本以下しか辺の長さが決まっていない場合
は形が 1 つに決まらないことが示された。

４.今後の課題
今回は凹多角形については考えなかったので、それについて考えていくことや、n 角形が円に内接、外接している場合についても考えていきたい。さらに、今後は立体について形が決まる条件についても調べていきたい。

５.参考文献[1] 三角形の決定
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6042

カプレカー変換に関する考察(3)
４年Ａ組

市田

美玲

指導教員

川口

慎二

１． 要約
サイエンス研究会数学班 4 年生はカプレカー変換について学習している。今回はカプレ
カー定数と、7 桁のカプレカー変換について考察した。また、7 桁における、循環までの過程をまとめたので紹介する。
キーワード

カプレカー変換、カプレカー定数、循環、収束

２． 研究の背景と目的
カプレカー変換とは自然数において、各桁の数字を並びかえて作ることのできる最■カプレカー定数
1 回の変換によって、値が変化しない自然数のことをいう。

大の数から最小の数を引く操作のことであ

ただし、ぞろ目は最初の変換で 0 になるる。この変換を続けると 1 つの値に収束すので、除いて考える。また、 n 桁の変換をるか、複数の値で循環することが知られて考える際に変換により 1 桁減ってしまったいる。しかし、どのような場合に収束あるとしても、 n 桁とみなして考える。

いは循環が表れるのか、どのような値を経て収束、循環にたどりつくのか、カプレカ
ー定数はどのような値なのかは明らかになっていない。

３．２

カプレカー定数についての考察

これまでの研究で 3, 4, 6 桁のカプレカー
定数は、495, 6174, 549945, 631764 である

そこで、今回は 7 桁のカプレカー変換にことを示した。495 と 549945，6174 とおける循環の過程、カプレカー定数につい631764 はそれぞれ各桁の数字が似ている。

ての考察をまとめた。なお、2, 3, 4, 5, 6 桁

そこで、この 2 つのパターンを考察し、さの場合については、参考文献[1], [2]にまとらに大きい桁数のカプレカー定数を予想でめている。

きるのではないかと考えた。

３． 研究内容

3.2.1

３．１

基本事項

■ソート
各桁の数字を並びかえて、最大の数にする操作をいう。

495, 549945

495, 549945 の変換の筆算はそれぞれ次のようになる。

9 5 4
 4 5 94 9 5

9 9 5 5 4 4
 4 4 5 5 9 9
5 4 9 9 4 5し、ここでは n  7 として、 an  a1 かつ

筆算 1

筆算 2

9  an  an1    a2  a1  4

変換後の値を pn pn1  p2 p1 とおく。ただかつ a1 , a2 ,, an , p1 , p2 ,, pn  {4, 5, 9}
筆算 1, 2 より、繰り下がりも含めた式でとする。
変換の結果を筆算で表すと筆算 3 のよう各位の計算を表すと、
4－9+10＝5,

4－9－1+10＝4,

9－4＝5,

9－4－1＝4になる。
条件より a n  9 , a1  4 となり、

とき 4, 5, 9 しか表れないようになっている。

pn  9  4  5 , p1  4  9  10  5 となる。
ここで、 ak  4, ak 1  5 とおくと計算結

このようなカプレカー定数を考察するため

果は筆算 4 のようになる。

の 4 つの式になり、変換を筆算で表記したに、一般化を行った。
各桁の数が 4, 5, 9 である n 桁のカプレカ
ー定数のソート後の値を an an1 a2 a1 ,an

a n 1

 a n  k 1

a1

a2



pn

p n 1  p n  k 1

ak

a nk

 a k 1

ak

a2

a1

a k 1 anka n  k 1  a n 1

an

p nk

 p k 1

pk



p2

p1

4



a2

4



筆算 3

9

a n 1

 a n  k 1

 4

a2



5

4

p n 1  p n  k 1

a nk



5

5

 a nka n  k 1  a n 1

9

pnk

 p k 1

pk

5



p2

筆算 4

p k の位において、4  ak  ak 1  ank 1
より、 an k 1  5 または an k 1  9 である。
ank 1  5 のとき、繰り下がりを考慮すると pk  4  5  10  1  8 より、適さない。
ank 1  9 のとき、 pk  4  9  10  1

 4 より適する。
したがって、an k 1  9 であり、p k  4 とわかる。
また、p n  k の位において、5  ak 1  ankより、 a n k  5 または a n k  9 である。

ank  5 のとき、 pnk  5  5  10  1  9より適する。

ank  9 のとき、 pnk  9  5  1  3 より適さない。
したがって、 ank  5 であり pnk  9 ．
このとき、 pnk 1  9  4  1  4,

pk 1  5  5  10  1  9となり、それぞれ適する。

さらに、 a1 から a k までが 4, ak 1 から

筆算 7 において、各桁の計算を見ると、

ank までが 5, a n k 1 から a n までが 9 であ

下 1, 3 桁目、上 1, 3 桁目、つまり、筆算 6るとわかるので、筆算で表すと次のようにと共通する 1, 4, 6, 7 は、ソートして変換すなる。ここで、9 … 9 のように…の両端がると 6, 1, 7, 4 が現れる。

同じ数のとき、…の間にある数はすべて両端の数（この場合は 9）であることを表わ

残りの桁である 3, 6 も同様に変換後の数に 6, 3 が表れる。
したがって、631764 に 3, 6 を挿入してしている。

も、ソート後の値の各桁の数が変換後現れ

9  9 9 5  5 4  4 4
 4  4 4 5  5 9  9 95  5 4 9  9 4  4 5
筆算 5る。つまり、63317664 を変換すると、76664331－13346667＝63317664となり、8 桁のカプレカー定数となる。
筆算 6, 7 と同様に筆算を行うと、次のようになる。

筆算 5 より、9 と 4， 5 と 9 はそれぞれ同じ個数だけあるから、4, 5, 9 はすべて同じ個数である必要がある。
以上から、各桁の数が 4, 5, 9 であるカプ

7 6  6 6 4 3  3 1
 1 3  3 4 6 6  6 7
6 3  3 1 7 6  6 4
筆算 8

レカー定数は
5…549…94…45
であり、4, 5, 9 は同じ個数であることが示したがって、カプレカー定数は63…3176…64された。
さらに、4, 5, 9 が同じ個数あればよいので、 3k 桁（ただし、 k は自然数）のカプレ
カー定数は存在することがわかる。

と表せる。
さらに、6174 から 3, 6 の 2 つずつを挿入して加えていくので、 2k  2 桁（ただし、k は自然数）のカプレカー定数は存在する
3.2.2

6174, 631764

ことになる。

6174 と 631764 の変換の筆算は次のよう
になる。

３．３

カプレカー定数と収束

自然数は変換を行い続けるとある数で循

7 6 4 17 6 6 4 3 1
 1 4 6 7  1 3 4 6 6 7
6 1 7 46 3 1 7 6 4
筆算 6

筆算 7

環するか、カプレカー定数で収束するかのどちらかにたどり着くことが知られている。
３．２節より、3k 桁、2k  2 桁のカプレ
カー定数が存在するので、3k 桁、2k  2 桁
ではこれらのカプレカー定数に収束する数

筆算 6, 7 より 631764 は 6174 に 3, 6 を挿入した数であるということができる。

があることがわかる。

３．４

行った。

７桁のカプレカー変換

すると、すべて 7 桁の自然数は変換を繰

任意の 7 桁のソート後の数を abcdefg

り返していくと、

とおく。ただし a, b, c, d , e, f , g は整数とし8649432→7519743→8429652て、 a  b  c  d  e  f  g  0 , a  g ,→7619773→8439552→7509843とする。

→9529641→8719722

変換を筆算で表すと、筆算 9 のようになる。

という循環節で循環することがわかり、7桁のカプレカー定数は存在しないことも確かめられた。また、最大で 13 回の変換で循

４．考察環にたどり着くということが明らかになっ

４．１

た。

変換を続けるとどうなるのか

任意の 7 桁の数 abcdefg について、変４．２

収束、循環の過程

7 桁の循環の過程を表す表を後半に附し換を繰り返すとどのような数になるのかをた。変換後の値は a  g , b  f , c  e の値考える。

によって決まるため、変換後の値は a  g ,abcdefg を変換すると筆算 9 より、b  f , c  e の値の組み合わせにより、それ999999(a  g )  99990(b  f )  9000(c  e) から先の変換の様子が決まる。その変換のとなる。

様子を調べたものである。影のついた部分

ここから、変換後の値は a  g , b  f ,は、上述の循環節に入ったことを示していc  e の値によって決まることがわかる(ただし、 a  g  b  f  c  e )。そこで、こる。最大 13 回の変換により、循環節に入る
ことが確認できる。

の値によって場合分けし、変換を繰り返し

a
b

g
f
ag b f

c
d
e
e
d
c
c  e 1 9 e  c  9fgbaf  b  9 g  a  10

筆算 9

５．今後の課題

ことができた。今後はさらにカプレカー定

今回、カプレカー定数と収束、7 桁のカ数を詳しく考察することでどのような桁数

プレカー変換について、自ら考察することのときに収束がおこるのかということを明ができた。しかし、収束、循環の過程の値

らかにしていきたい。

についての考察は十分にはできなかった。
また、今回は計算機を用いながら、自分で計算をまとめたことで、効率よく作業する６．参考文献

７．謝辞[1] 「カプレカー変換に関する考察」，市田

今回の研究にあたりご指導くださった顧

美玲，2013 年度奈良女子大学附属中等

問の川口先生、ありがとうございました。

教育学校サイエンス研究会生徒研究論

また、サイエンス研究会の先輩、後輩の方々

文集にもご協力いただきました。ありがとうご[2]「カプレカー変換に関する考察(2)」，市田美玲，2014 年度奈良女子大学附属中等教育学校サイエンス研究会生徒研究
論文集

ざいました。

a-g b-f c-e
1
0
0
1
1
0
1
1
1
2
0
0
2
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2
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0
4
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5
0
0
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1
5
2
2
5
3
0
5
3
1
5
3
2
5
3
3

１回目
99999910999891109889
1999998
20999882109888
21999782209878221977829999973099987
3109887
319997732098773219777
3299967330986733197673329667
399999640999864109886
419997642098764219776
4299966430986643197664329666
43999564409856441975644296564439556
4999995
50999855109885
5199975
52098755219775
5299965530986553197655329665

２回目
899999198098119869211809998297098219759321871972296593318649432
7199973961973197494218619732
963953185395427629633
953954184395527429653
629996495296419739521852964296296318529642752964395197418419752731976365395449409851
831976272197736209874
53999559439551972962184395529619731851974274395539509841
84098527309863

３回目
8099982986921188593129709821985931187395228649432
8629632
75197438619732
883951287296228639532
862963275098437429653
8609832750984374197537529643871972287395227619733
87296227619733
741975388296128629632
8439552620987498395118639532
8539542962963164395548609832
87494227509843883951286296326409854983951196395319539541

４回目
970982188593128649432
985931188494127639533
75197437629633
84296528639532
8649432
7649433
75296437629633
95296417419753
96494319529641842965274197538649432
7639533
84395527649433
843955284296528659332
7629633
750984396296318849412752964375098438729622620987496494317629633
95296418649432
7629633
940985188494128629632
8609832

５回目
98593118649432
751974388494128639532
6429654842965274296537619733
75296437519743641975474197537429653871972284296528619732
87197227619733
8429652751974364296547509843641975475098437619733
75296437429653952964187296228639532
741975395296417649433
962963186197327429653871972275197437429653
98395118639532
7629633
9649431

６回目
8849412751974384296528639532
752964372197737619733
7419753
8439552741975384296528319762842965274197538649432
7619733
8639532
8649432
84395527619733
842965272197739529641
8319762952964184395527419753741975387197227649433
752964384296528719722641975487296228639532
74197538649432
842965274197538849412752964374296538619732

７回目
8639532
84296527619733
75296437419753853954284395528429652750984384296527619733
8639532
7619733
84296527519743843955275296437519743750984384395527619733
853954287197228639532
87197227509843842965284296528649432
641975474197537619733
8649432
83197627649433
7529643842965275197437619733
84296528639532
741975374197538639532

８回目
75296437619733
843955274197538429652750984375098437619733
9529641
7619733
8439552752964384395527619733
842965275098437419753842965295296417509843843955275098438649432
75296438649432
9529641
7619733
7619733
751974383197628429652843955275197438639532
641975474197537619733
842965284395527619733
7529643842965284296527529643

９回目
１０回目 １１回目 １２回目 １３回目
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7519743 8429652 7619733 8439552 7509843
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
7519743 8429652 7619733 8439552 7509843
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8639532 7529643 7419753 8429652 7619733
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7529643 7419753 8429652 7619733 8439552
8319762 8639532 7529643 7419753 8429652
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
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１回目
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４回目
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９回目
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１回目
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２回目
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３回目
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４回目
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５回目
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６回目
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8649432
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７回目
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８回目
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２回目
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３回目
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４回目
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５回目
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６回目
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８回目
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９回目
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9

１回目
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949994195098419519741952964195395419549441
9599931960983196197319629631963953196494319659331969992197098219719721972962197395219749421975932197692219799911
980981198197119829611983951198494119859311986921198791119899901
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9919701
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9959301
9969201
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9989001

２回目
882961287197228609832
85494429839511882961287197228609832
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8729622985931188494128749422873952287296228739522874942288197129869211886921288593128849412883951288494128859312886921298098119979101
98791119869211985931198494119859311986921198791119979101

３回目
8659332
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9649431740985388494128659332
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４回目
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５回目
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６回目
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７回目
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８回目
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９回目
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8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
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光の波長によるハツカダイコンの成長の違い
２年Ｂ組 菊池 匠十
２年Ｂ組 川本 圭午
２年Ｂ組 中村 翔
２年Ｃ組 松山 尚恭
指導教員 矢野 幸洋
櫻井 昭

１．要約
私たちは１年生のときからハツカダイコンについての研究をしている。私たちは 2 年間にわたり、研究、改良を重ねた。その結果光の波長によってハツカダイコンに成長の違いが見いだされた。
キーワード

ダイコン、生物、植物、光、発光ダイオード

２．研究の背景と目的
私たちは、地球上の身近で関わりやす

カップ、発光ダイオード（赤、白、緑、赤外線、紫外線）である。

く、重大な問題をテーマとすることにした。案として食料問題を挙げ、私たちは

３．研究内容

テーマを決定した。

３．１ 準備

この問題は植物の光合成を効率的に行

まず、種からまき、芽がある程度伸びうことができれば、植物の供給量が増たハツカダイコンを 12 株用意した。こえ、食料問題を解決、そしてバイオテク

れらは同じように育てられ、同じぐらいノロジーなどにも用いることでエネルギまで成長した物である。そのうち 10 株ー問題にも貢献することができると考えを［実験ボックス A］5 個に 2 株ずつ入た。そこで私たちは、はじめに当てる光

れ、残り 2 株を［実験ボックス B］へ入のどの波長が効率的に光合成を行わせるれた。
［実験ボックス A］は、正面以外ことができるかを研究することにした。

の面を木製の板で覆われており、底面とハツカダイコンを使用したのは、研究成

水平の透明アクリル板で上下に仕切られ果が早く出るからという理由と、比較的ている。ハツカダイコンは下部におくこ

安易に購入することができるからであととし、下部の高さはハツカダイコンのる。

生育に問題のない程度の高さとする（図実験に使用したのは、市販のハツカダ

１全体像および図２断面図参照）。上部

イコンの種子、市販の培養土、農業用のには前述の 5 種の発光ダイオードが設置

されており、光量は照度計によって等し

また、2 種のボックスはどちらも開いくそろえた。
［実験ボックス B］は、形ている面から光が入らぬよう、黒いビニ

態は［実験ボックス A］と全く同じだ

ールシートを重ねた物で覆った。

が、上部の発光ダイオードを点けていない物である（図３）。

３．２ 実験方法
擬似的に昼と夜を作ることにする。メ
ンバー内で当番制を敷き、下校時に［実験ボックス A］のそれぞれの 1 株を取り出して、［実験ボックス B］へと移す。
［実験ボックス B］内は暗黒となっているので、これを「夜」とする。
登校時に［実験ボックス B］内の株をもとの色のダイオードの箱に戻す。ま

図１

た、［実験ボックス B］内の 1 株は外に出し、日光に当てる。
［実験ボックス
B］内の 1 株を除いた全ての株が各発光ダイオード、または日光に当たっている
この状態を「昼」とする。水分は一日に一度すべての株に同量ずつたっぷりと、過不足なく与える。
それぞれの条件で育てた株を次のように名前をつける。
・「昼」は日光に当てる株→『日光』図２・「夜」のまま移動させない株→『暗黒』
・「昼」は発光ダイオードに当てる株にそれぞれの色をつける→『白』『緑』『赤』『赤外』『紫外』
・昼夜なく常に発光ダイオードの光を当てる。発光ダイオードの後に、「常」をつける→『白(常)』『緑(常)』『赤(常)』『赤外(常)』『紫外(常)』図３

３．３ 実験結果

うな結果から、赤の光の波長が植物にと結果の写真を図４～図６に示す。それぞって成長を促すが、葉緑体を十分に発達れの条件を次の表に示す。図４～図６の写させない働きがあると考えた。緑などの真の位置は下の表と一致している。

光の株が赤の光に当てた株と比べて成長しなかったのは、緑色の光は葉が緑色の

日光

暗黒

白

白

緑

(常)
緑

赤

(常)
紫外

赤
(常)

赤外

ため、反射されてしまうというのが要因だと思われる。

赤外(常)５．今後の課題

紫外

なぜ、紫外線や、赤外線などの光によ(常)り育てられた植物が、細くなってしまっ
たのか、赤色の光で育てられた植物の葉＜1 週目（図４）＞が白くなってしまったのかを突き止める

赤(常)が他の株よりも成長の程度が大ことが今後の課題である。また、ポスタ

きいように見えるが、全体的に大きな差

ー発表で指摘された、実験に用いた個体はない。

数の少なさ、光の波長の数値の正確さと＜2 週目（図５）＞

その数値を具体的に提示すること、複数葉が緑色の株は多いが茎の固さや太さに差が出てきた。具体的には日光、赤の光を組み合わせて株に当てる実験を行うことである。

(常)、赤が葉も大きく、逆に、紫外線や緑などはカップに茎が垂れて弱々しい

６．謝辞

外見になっている。

最後に、研究にあたって必要な知識を＜3 週目（図６）＞

全く知らなかった私たちに研究のいろは

明確に成長の程度に差がついた。赤色を教えてくださった顧問の櫻井先生、矢の葉が白くなり、ちくちくしていた。な

野先生、また、校内外発表にてさまざま

お、3 週目において日光の株の記録がな

な課題と改善案を授けてくださった方々

いのは、日光の株を置いていたのは室内や研究方法からこの論文の作成までさまの窓際であり日光のあたる時間やその程ざまな指導をしていただいた先生方、先度を実験ボックスの株と比べて光量が一輩、友人に心より感謝いたします。

定ではないと判断し、実験中だが撤去したためである。

４．考察
実験により、赤色を適度に与え続けたものが比較的よく成長するが、葉が白く変色してしまうことがわかった。このよ

図４

図５

図６

ハムスターの学習能力
２年Ａ組 島本 花菜
２年Ｂ組 對馬 凪紗
２年Ｃ組 小早川 なの指導教諭 矢野 幸洋

１．要約
私たちはハムスターに学習能力があるのかということについて研究をしている。ハム
スターに迷路を何度か走らせ、タイムを比較し、ハムスターの学習能力の有無を調べた。
キーワード

ハムスター、迷路、におい、天敵、タイム計測

２．研究の背景と目的

とんど見えないため、空間領域をにおい

私たちは一般家庭で飼われているハムで識別しているのではないかと考えた。

スターにどの程度の学習能力があるのか

そのため、迷路に嫌なにおいを発するもということについて研究をしている。今のを置き、何度も走らせると、迷路を覚回の実験では生後 10 か月（人間でいうとえてより短いタイムでゴールまでたどり

27 歳程度）のオスのジャンガリアンハム着くと考えられる。

スターを使用した（図１）。

４．研究内容４．１ 迷路の作成
工作用紙を用いて幅 5cm、24cm の U
字型の通路を 11 本つくる。それぞれが120 度の分岐になるようにつないだ。ス
タートとゴールは広くし、スタートをス
ムーズにできるようにした（図２参照）。

図１

３．仮説
ハムスターは鼻がとてもよく、目がほ４）。なお、図４で迷路の端の赤色のものはガーゼでおおった酢酸オルセインである。
・マーキング等した時のにおいが残らないように、水をはじく板を置いた。

図２４．２ 予備実験
ゴールデンハムスターを使って途中とゴールにエサを置いて迷路を走らせた。
しかし、途中で寝てしまったり、アクリ
ル板をのせていないために迷路から逃げ

図４出したりした（図３）。
４．３ 本実験＜実験方法＞①図５のような道が 2 つに分岐している迷路を作る。
②何も置かずにハムスターを走らせ、通ったルートとゴールまでに要したタイ
ムを計測する。
③行き止まりにハムスターが嫌がると考えられるにおいを発するものを置き、
図３

何度か走らせ、1 回目と同様に通ったルートと要したタイムを計測する。なまた、ハムスターがマーキング等をして止まってしまった。
そのため、次のように改良して実験す

お、においを入れたものは卵型のカプセルで、ガーゼでおおわれる。
④においの発生源を取り除き、1 回目とることにした。

同じ条件で走らせて通ったルートとゴ・アクリル板を迷路の上に被せる。

ールまでに要したタイムを計測し、1・エサではなく行き止まりにハムスター

回目の結果と比較、考察をする。

の嫌がるものを置くことにする。その時、直接においのもとに触れることがないように、表面をガーゼでおおう（図図5

５．実験結果
実験結果を表１と、図６のグラフにまとめた。
猫の毛を用いた実験の 2 回目のデータ
は、スタートからゴールまでに要した時間が 1 分 53 秒、ハムスターが途中で止まっていた時間が 1 分 36 秒、そのため、実際に走っていた時間は 17 秒であった。
図６

さらに、猫の毛を用いた実験の 3 回目のデータは、スタートからゴールまでに要した時間が 1 分 40 秒、ハムスターが途中で止まっていた時間が 1 分 6 秒、そのため、実際に走っていた時間は 34 秒であ
った。

表１
1 回目

2 回目

3 回目

酢酸オルセイン

36 秒

27 秒

玉ねぎ

36 秒

12 秒

21 秒

猫の毛

1 分 46 秒

1 分 53 秒

1 分 40 秒

実際に走った時間

1 分 46 秒

17 秒

34 秒

６．考察
酢酸オルセインを用いた実験では 1 回目と 3 回目のタイムではほぼ変わりがなかっ

８．参考文献[1] NHK 番組 理科教室「動物の反応・学習」

たため、ハムスターは酢酸オルセインのに[2] 「動物の行動」、ステラーデティアー

おいは覚えていないことがわかった。しか著、日高敏隆訳、岩波書店(1973)

し、玉ねぎや猫の毛を用いた実験の場合、1回目よりも 2 回目の方のタイムが早く、行９．謝辞

き止まりに行く回数も圧倒的に少なかった

今回の研究にあたり、指導、アドバイ

ため、玉ねぎと猫の毛のにおいは嫌いだとスをいただいた矢野先生に深く感謝申しいうことが推測できる。また、1 回目と 3上げます。

回目の実験結果を比べると、3 回目は 1 回
目よりも比較的早く、行き止まりに行く回
数も少なかった。そのことから、玉ねぎと猫の毛のにおいは嫌いだと正確に記憶し、行かないように意識していることがわかる。
また、酢酸オルセインと玉ねぎや猫の毛は、近くにあって自分の体に害を及ぼすかどうかという差があると考えられるため、身の危険を感じるにおいの方がより正確に記憶していると考えられる。

７．今後の課題
今回の実験ではハムスターには空間領域での学習能力はあることがわかった。
よって、今度は野生のハムスターの巣のような立体の迷路を作り、立体空間での学習能力はあるのかどうかということを調べたいと考えている。また、別のげっ歯類を使った対照実験や、ダンゴムシの交換性転換反応のような特徴的な逃避行動がみられるかどうかということも調べたいと考えている。
なお、交替性転換反応とはおもにダン
ゴムシなどで連続する T 字路を歩かせると左右交互に曲がって進む行動が見られることである。

粘菌の疑問を解決しよう！
～粘菌の足跡に発生した白い物質の正体を調べる～
３年Ｃ組 天野 桃花
３年Ｃ組 杉山絢

３年Ｃ組 松本 純子
指導教員 櫻井昭

１．要約
私たちの班は、キイロモジホコリという真性粘菌を培養し、その過程で出た疑問を解決するという活動を行っている。以前、粘菌を植え継いだ後、シャーレ内に白い物質が発生した。その正体と現れた理由を調べるため仮説を立て、実験を行った。その結果、2 つの仮説にしぼることができた。
キーワード

真性粘菌、変形体、キイロモジホコリ、オートミール、
乳酸菌、植え継ぎ２．研究背景粘菌とは、アメーボゾア門コノーサ網変形菌亜網に属する単細胞生物で、真性粘菌

私たちが培養しているのは真性粘菌キイ
ロモジホコリの変形体（図２） である。

と細胞性粘菌の 2 種類がある。一般的に暗くてじめじめしたところを好み、森や藪、花壇などに生息している。そして、環境に合わせ胞子、細胞、変形体、子実体とさまざまな形態になる（図 1）。

図２ キイロモジホコリの変形体（中央の大きな黄色い塊）
図１ 粘菌の一生（参考文献[10]より引用）

キイロモジホコリは、植え継ぎという操作でふやすことができる。植え継ぎとは、生した（図３）。そこで、その正体と現れた粘菌を殖やすための操作であり、本研究で理由を調べることにした。

は以下の手順で行っている。
①大型シャーレ、ピンセット、ろ紙数枚、こまごめピペットのガラス部分、小型のビーカーに入れたひとつまみのオートミールを 100℃で 2 時間乾熱滅菌して無菌状態にする。
②クリーンベンチ内でシャーレにピンセッ
トでろ紙を敷きつめ、こまごめピペットを使って蒸留水で湿らせる。
③その上にピンセットでオートミールをシャーレ全体にまんべんなく撒き、粘菌の一部を移植し、シャーレに蓋をする。

図３ 粘菌が通った跡に発生した白い物質（シャーレ内の右上部分）④クリーンベンチの外でシャーレにビニー
ルテープを一周巻いて密閉し、22℃の暗所（ガムテープで密閉したダンボール箱の中）で保存する。

３．２ 仮説白い物質が何であるかについて、以下の4 つの仮説を立てた。

⑤一週間ほど経ったら、①～④を再び繰り返す。
粘菌は自由自在にからだを伸ばしたり、縮めたりできる。また好き嫌いがあり、オ①腐敗した粘菌
肉眼で見ると、腐敗した粘菌（図４）と白い物質では見た目が似ているため。

ートミールなどの好物には近づき、光などの嫌いなものからは遠ざかる。オートミー
ルとは、えん麦ともいい、シリアルなどに入れて食べる穀物であり、粘菌のエサになる。さらに、粘菌にはタマゴルリホコリやシロウツボホコリなどのさまざまな種類がある。

３．研究内容３．１ 研究の目的
以下、「キイロモジホコリの変形体」を「粘図４ 腐敗した粘菌(右上にある塊)(参考文献[1]より引用)

菌」と表記する。
以前、粘菌を植え継いで一週間後に、シ
ャーレ内の粘菌が通った跡に白い物質が発②ふやけたオートミール
粘菌を培養しているシャーレはビニール

テープで密閉しており、その中にはオート矛盾が生じると考えた。

ミールと蒸留水が一緒に入っているので、私たちは、まず仮説②が正しいかどうか

オートミールが水分でふやけるのは自然なを確かめるために、実際に粘菌の植え継ぎことと考えたため。

と同条件のもとでオートミールをふやけさ③乳酸菌の混入せる実験を行った。

白い物質は乳酸菌（図５）にも似ている。
また東大寺学園の丹賀光一先生によると、

３．３ 実験

粘菌の植え継ぎ時に、もともと乳酸菌が混

3.3.1 実験目的

入した培地から単離した株を譲り受けると、乳酸菌の混入がよく起こるそうである。

白い物質が水分でふやけたオートミール
であるかを確認する。
3.3.2 実験仮説
粘菌の植え継ぎと同条件のもとでオートミールをふやけさせると、白い物質になる。
3.3.3 実験方法
①大型シャーレ、ピンセット、ろ紙数枚、こまごめピペットのガラス部分、小型の

図５ 乳酸菌ビーカーに入れたひとつまみのオートミールを 100℃で 2 時間乾熱滅菌して無菌④粘菌が出す何らかの物質状態にする。

シャーレは密閉されており、その中には②シャーレにピンセットでろ紙を敷きつめ、粘菌、オートミール、蒸留水、ろ紙しかな

こまごめピペットを使って蒸留水で湿らく、さらに、白い物質は粘菌が通った跡にせる。

発生していたため。
（また、この「粘菌が出③その上にピンセットでオートミールをシす何らかの物質」というのは乳酸菌である

ャーレ全体にまんべんなく撒き、シャー可能性もある。）

レに蓋をする。

これらの仮説から、以下のように考えて、④シャーレにビニールテープを一周巻いて②，③の 2 つに絞った。粘菌はエサを与え密閉し、22℃の暗所(ガムテープで密閉しずに放置すると死んでしまう。しかし、エたダンボール箱の中)で一週間保存した

サは一週間ごとに適量を与えていたので、後で観察する。

粘菌は死ぬような環境になかったと考えられる。よって仮説①は否定されると考えた。
また、もし仮説④が正しいとすると、粘菌はシャーレ全体に広がっているのに白い物
質はシャーレ全体には広がっていないため

にカビが侵入するなど、考察するために使える結果が得られなかった。
５．今後の課題
まず、培養の再検討が必要である。粘菌を培養していると粘菌がカビに侵食されることがあり、これでは調べたいことも調べ
図６ 実験でオートミールを撒きシャーレを密閉した直後られない。粘菌の植え継ぎの各操作のやり方を見直し、蒸留水は滅菌してから使用する。また、シャーレにビニールテープを巻

3.3.4 実験結果

くときはクリーンベンチ内で行うなど、無一週間ふやけさせたオートミールは、肉菌操作をきちんと行うべきだと考えた。そ眼で見ると見た目が白い物質と似ていた。

して、粘菌や乳酸菌の観察は、肉眼だけでなく、顕微鏡で観察することにより、菌の細胞レベルの特徴を捉えることで、生物の同定を行えるようにしたい。また、菌の同定には、染色液利用した同定法も探し、確かめてみたい。
白い物質の正体を断定することができた
ら、粘菌に関する他の私たちの疑問を解決していきたい。

図 7 ふやけたオートミール(中央部のカビの生えていないもの)

６．参考文献[1]

公立はこだて未来大学 2011 年度 シ
ステム情報科学実習 グループ報告書

3.3.5 実験考察

[2]

適応ダイナミクスに基づく細胞の計算

白い物質の正体はふやけたオートミール

能力(第 54 回物性若手夏の学校)講義ノという可能性がある。しかしこの考察は視ート、中垣俊之、手老篤史、小林亮著

覚的根拠のみによるものであり科学的根拠(2009)に欠けるため、乳酸菌という可能性もある。

[3]

真正粘菌－その知られざる生態を暴く
群馬県立高崎女子高等学校

４．考察

[4]

(JST ニュース 1 月号)2009

今回の実験では、白い物質の正体が、ふやけたオートミールなのか、乳酸菌なのかどちらかを断定することはできなかった。
実験においても不備が多々見つかり、培地

ようこそ研究室へ 22[5]Nature 2013 年 1 月号
Nature Publishing Group[6] 「粘菌～驚くべき生命力の謎～」、松本

淳・解説、伊沢正名・写真、誠文堂新光社(2007)[7] 「Focus in the Dark 科学写真を撮る」
伊知地国夫、岩波書店(2008)[8]「準知的粘菌が人類に教えてくれること」、ヘザー・バーネット：TED Talk
Subtitles and Transcript, TED.com[9]

粘菌の数理モデル
数学検定・算数検定ファンサイト

[10]

旅するミュージアム－粘菌入門
http://nennkinn24.web.fc2.com/
nenkin1.html

７．謝辞
この研究を進めるにあたり、顧問の櫻井先生、東大寺学園の丹賀光一先生をはじめとする多くの方に多大なるご協力やアドバイスをいただきました。とても感謝しています。ありがとうございました。

ＤＮＡによる雌雄判別の確立
４年Ｂ組 米田 江里奈
４年Ａ組 吉田 彩乃
指導教諭 櫻井 昭

１．要約
私たちは、ピスタチオの DNA による雌雄判別に向けて、研究を行っている。そこで、すでに確立されているイチョウの雌雄判別方法を、ピスタチオへ応用できないかと考えた。
そのため、昨年はピスタチオからの DNA 抽出にむけ、まず、イチョウから DNA の抽出を試み、DNA の抽出を安定的にできるようになった。今年は、DNA の判別に必要である PCR法、電気泳動法の確立に向け、実験を進めていった。
キーワード

ピスタチオ、アスパラガス、PCR 法、DNA、抽出

２．研究の背景と目的にすることができた。今年は、DNA からのピスタチオは、雌雄異株であり、実をつ

雌雄判別に必要な PCR 法と電気泳動法のけるためにはどちらの木も必要となる。ま

確立を目標に、実験を行うことにした。そた成長が遅く、実をつけるまで成長するのこで、論文検索を再度行ったが、イチョウに約 10 年かかり、成木となるのに約 20 年の雌雄判別法の詳細を見つけることができかかると言われている。つまり、実をつけなかった。しかし、DNA によるアスパラガてから、雄株、雌株の判断をしていたら、スの雌雄判別法の詳細を見つけることが出

生産の効率が悪い。そこで、私たちは、ピ来た。そこで、アスパラガスに研究材料をスタチオがまだ実のならない苗木の間に切り替え、そこからピスタチオへの応用を

DNA を利用し雌雄の判別を行い、雌株を多検討することにした。

く育てることで多くの実を得られるのではと考え、研究を始めることにした。そこで、

３．研究内容この方法を確立するのにあたり、雌雄判別

３．１ ＤＮＡの抽出実験法が確立されているイチョウの DNA によアスパラガスからの DNA 抽出実験

る雌雄判別の研究を行い、ピスタチオに応用しようと考えた。そして昨年は、雌雄判

3.1.1 目的

別に必要な DNA の抽出方法の確立を目指イチョウで確立した DNA の抽出法を利用し、イチョウの葉からの DNA 抽出を試み

し、アスパラガスからの DNA を安定的に抽ることにした。結果、安定的な抽出を可能出する方法を確立する。

った。しかし、アスパラガスでは、純度の3.1.2 仮説
イチョウと同じ DNA 抽出キットを用い値も 2.0 に近く、安定的に抽出できたといることで、アスパラガスからも DNA の抽出える。このため、抽出した DNA を用いて、ができる。

PCR 法による DNA 断片の増幅を試みることにした。

3.1.3 実験方法

表１ アスパラガスからの DNA 抽出結果

＜材料＞
アスパラガスの葉DNA キット（2 種類使用）
・Plant Genomic

DNA Extraction

System・Dneasy Plant Mini Kit＜事前準備＞
TE(10mM Tris-Hcl,1mM EDTA
pH8.0）の作製
・1M Tris-Hcl(pH8.0) 2mL ― (i)・0.5M EDTA(ph8.0)400μL ― (ii)(i)と(ii)混ぜ、200mL に純水でメスアップする。その後、オートクレーブで滅菌し、4℃で保存。
＜抽出方法＞

DNA抽出Kit サンプル
①-1
Plant
①-2
Genomic①-3
DNA②-1
Extraction②-2
System
②-3
③-1
③-2
③-3
③-4
③-5
③-6
Dneasy③-7
Plant Mini
④-1
Kit
④-2
④-3
④-4
④-5
④-6
④-7

抽出量
54.7
6.8
8.3
36.5
56.9
33
×
0.3
-0.1
1.6
0.1
0.2
2.1
3.4
2.7
1.6
1.9
1.6
3.1
0.1

純度
1.73
1.67
1.59
1.43
1.43
1.48
1.23
2.21
0.33
0.84
1.02
0.39
0.93
2.05
1.52
1.44
1.96
2.2
2.13
0.81

アスパラガスの葉をすりつぶし、DNA 抽
出キットを用い、DNA を抽出。DNA の抽３．２ アスパラガスの DNA を用いた雌出確認は、分光高度計によって測定した。

雄判別実験

3.1.4 実験結果

3.2.1 目的

表１のような結果が得られた。①は 6/14、アスパラガスから抽出した DNA を用い②は 12/16、③は 10/29、④は 12/14 に実施て、PCR 法、電気泳動法を利用した、アスしたことを表している。抽出量はμg／μL

パラガスの雌雄判別を行う。

である。純度は、260nm/280nm の値であり、2.0 に近いほど良いと判断される。

3.2.2 仮説
先行研究の論文に従い、実験を再現する

3.1.5 実験の考察
昨年度までは、DNA 抽出量の値が大きかったため、DNA 以外の不純物を測定してしまっているのではないか、という疑いがあことでアスパラガスの雌雄判別を行うことができる。

3.2.3 実験方法

より増幅した DNA 断片を電気泳動法によ3.2.3.1

り、DNA 長さにより分ける。このとき、ＰＣＲ法を用いたＤＮＡ断片の100V で 30 分泳動を行った。その後、DNA

増幅方法
1 つのサンプルにおける、PCR を行うたを染色し確認する。

めの各溶液の濃度は以下の通りとした。
Genomic DNA

25ng

dNTPs

2.5mM

3.2.4 実験結果

Primer(forward)

5pmol

表３ ゲルのレーンと溶液の対応表

Primer(reverse)

5pmol

レーン プライマー名 GenomicDNA① Asp1-T7-R/F サンプル④-2②④-4③ Asp2-SP6-R/F サンプル④-2④④-4⑤ Asp4-SP6-R/F サンプル④-2⑥④-4⑦ Asp8-T7-R/F サンプル④-2⑧④-4

10×PCR buffer

2.5μL

Taq DNA polymerase 1.0U
Genomic DNA には、表 1 のサンプル④-2と④-4 を使用した。
Primers の名称と塩基配列は、以下の通りである。
表２ プライマーの塩基配列
プライマー名
塩基配列
Asp1-T7- F CTTGGCGTGAATACGTTGC
Asp1-T7-R TCTCTTGTTCAATATACTC
Asp2-SP6-F
GCTCTTTGAGGGTGTTT
Asp2-SP6-R
TGCTCCTCCACTCTCA
Asp4-SP6-F
AGGCCTCTCAAGTTTCA
Asp4-SP6-F
AGCAGATCCCACATTGA
Asp8-T7-F AGATCTGAGATCCGGTTCC
Asp8-T7-R AATAGTTTCATGGAGGAAGGPCR のリアクションプログラムは以下の

図 １ 電気泳動結果１ように行った。
94℃ 30 秒①

94℃ 30 秒
60℃ 30 秒

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

5kb

32 回繰り返す

72℃ 40 秒

1500bp1kb

1000bp72℃ 5 分500bp

3.2.3.2 電気泳動法を用いた DNA 断片の確認方法
1%アガロースゲルを作成し、PCR 法に

図２ 電気泳動結果２

中央のレーン⑤と⑥のあたりにバンドがし正確に値が出るように改善が必要と考え見られたが、ローディングバッファーが重られた。また、すり潰す際に、液体窒素をなっていたため見えにくかった。よって、用いることで、すり潰す時間の軽減、細か

確実にバンドがでたとはいえない。レーン

く粉砕することができたが抽出量に変化は⑤と⑥はいずれも Asp4-SP6 のプライマー

見られなかった。

で増やした DNA で Genomic DNA が異なる。

５．今後の課題論文によると Asp4-SP6 のプライマーはDNA を Dneasy Plant Mini Kit で抽出し389bp に現れ、ただし雌雄で現れるプライた際に値がうまく出なっかたので、改善点

マーは同じである。

を考える必要がある。また、抽出を雌雄判別したいのでアスパラガスの雌雄の違いを3.2.5 考察

調べ、区別し DNA を抽出する。PCR で前のキットで抽出した DNA を用いて先DNA を増やすことが可能なことがわかっ

行研究をもとに行った実験では、確認できたので、再度考え直し、PCR を行い、アスなかったが、先行研究で用いられていた

パラガスの雌雄判別法の確立を目指す。そDNA 抽出の新しいキットと新しい塩基配の後、ピスタチオからの DNA 抽出を試み、列のプライマー、そして PCR 法での増やし

PCR 法を用いた雌雄判別法を確立させた方も変えてみたところ、図１、図２のようい。そのためには、新たにピスタチオのに、Asp4-SP6(-R/-F)の部分のプライマーでDNA の塩基配列を検索するとともに、ピス

バンドが確認されたことから、DNA 抽出はタチオと同属の植物において、調べられて

PCR を行えるだけの量と純度があること

いる DNA 断片を文献検索し、PCR 法に使がわかった。

えそうなプライマーを考案する必要がある。

４. 考察および改善点

６．参考文献昨年の実験でイチョウから DNA の抽出[１] BAC-derived diagnostic markers forを安定的にすることができるようになり、

sex determination in asparagus,

それをアスパラに応用することができた。

A.Jamsari, 2003.

また、抽出した DNA を用いて PCR 法を行[2] DNA polymorphisms amplified by

い、一つのプライマーの増幅を行うことがarbitrary primers are useful as

出来た。しかし、他のプライマーでは確認

genetic markers, John G.K.Williams,

できず、3 日後には消えてしまったため、1990.

再度実験を行う必要がある。PCR 法でうまくバンドが出なかったため、先行研究で用いられていた異なるキットを用いて抽出を行うことにした。新しく用いたキットでは、
うまく値が出ないものもあったのでもう少７．謝辞
植野先生、櫻井先生、いろいろなアドバ
イスを頂きありがとうございました。

マツタケの人工培養を目指して
４年Ｃ組 結崎 祈
２年Ｂ組 加藤 大翔
指導教員

櫻井 昭

１．要約
私たちの班は、マツタケの人工培養を目指し、マツタケ菌の純粋培養を試み、なぜマツタケ菌の人工培養が困難であるのか、培養するにはどのような培地条件が必要なのか検討を行っている。昨年はマツタケ菌の菌糸を維持することに成功し、今年は培地の形や成分を変えて成長速度を早める研究を行った。また、私たちが培養している菌糸がマツタケの菌糸であることを証明するために、DNA キットを用いた鑑定を行った。
キーワード

マツタケ、クエン酸回路、DNA、菌糸の立体化

２．研究の背景と目的

マツタケの菌糸は、通常の培地では横方マツタケの人工培養の成功例はいまだ報向へ広がっている。しかしマツタケの子実

告されていない。私たちは、なぜマツタケ

体は、平面的ではなく立体的である。マツ

は人工培養が困難なのか興味をもち、マツタケの菌糸を平面的ではなく立体的に伸びタケの人工培養を目指して研究を平成 23

広げれば、子実体形成へと近づくのではな

年度から始めた。1 年目はシイタケの人工いかと考え、今回の実験を行った。

培養を成功させ、2 年目からマツタケの人
工培養をめざして研究を始め、3 年目にマ＜実験仮説＞

ツタケ菌糸の維持に成功した。今年は昨年

マツタケが本来生育する環境である土壌

維持することができるようになったマツタにできるだけ近づけた形状の培地を用いれケ菌糸を用いて成長速度を早めるための培

ば、立体的に菌糸が広がる。

地の検討を行うことにした。また、私たちが培養している菌糸がマツタケであるという証明をするために、DNA キットを使用した鑑定を行った。

＜事前準備＞
実験を行う場をビニールカーテンで区切り、その中でプラズマクラスターを約 24 時
間つけ放しにすることで、できるだけ菌の３.実験内容少ない状態を作る。また、マツタケ菌を扱

３．１ マツタケ菌糸の立体化

うときは、クリーンベンチ内で行う。

3.1.1 クラッシュ培地の作成＜研究目的＞

以下のすべての実験において、この無菌操作は共通で行う。

＜マツタケ培地＞が広がった範囲内のかけらの表面は全面均IFO-7 培地と浜田培地の 2 種類の培地を採用している（結崎祈 2014）。培地の組成は以下の通りである。

等に菌糸が広がっているものとする。
かけらの個数とかけらの表面積の積が菌
糸の広がった面積となる。計算の際、円周IFO-7 培地

率πは 3.14 とする。

乾燥酵母

1.5ｇ

グルコース

6.0ｇ

寒天

5.4ｇ

蒸留水

Σ300ml

浜田培地

5

6

1

2

3

4

7

8

9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

乾燥酵母

1.5ｇ

グルコース

6.0ｇ

寒天

5.4ｇ

燐酸カリウム

0.6ｇ

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

硫酸マグネシウム

0.3ｇ

61 62 63 64 65 66 67 68

蒸留水

Σ300ml69 70 71 72 73 74 75 76

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

77 78 79 80＜実験方法＞●クラッシュ培地の作成＜実験結果＞

メスを使用して、シャーレ内の培地を約

通常のものは培地の表面上にしか菌糸が5 ㎜角にきざみ、クラッシュ状にする。イ

広がらなかったが、クラッシュ培地では培

ンキュベータ内で、28 度で約 7 ヵ月間培養

地の隙間に菌糸が入り込み、表面上だけでした。マツタケ菌の培地には今回は 2 種類

なく下方向にも伸びた。表面上の広がりは、の培地においてクラッシュ状のものと、通クラッシュ培地の場合、通常のものよりも常のものをそれぞれ 1 枚ずつ使用した。

１㎝ほどせまくなっていた。算出法に従って面積を算出したところ、通常のものが●菌糸の広がった面積の算出法
菌糸の広がった所を円と考え、その円に5mm 方眼の円に外接する正方形を重ねる。
円の中に含まれたマス目を数え、その数をクラッシュ培地の菌糸が殖えた培地のかけらの個数とする。このとき、マス目に円の3846.5mm2 ， ク ラ ッ シ ュ し た も の が
12000mm2 となった。
なお、計算式は以下のとおりである。
・通常の培地35(mm)×35(mm)×3.14＝3846.5(mm2)・クラッシュ培地

境界がある場合、円内の面積が広ければ円5(mm)×5(mm)×6＝150(mm2)に含まれ、円外の面積が広ければ円に含ま150(mm2)×80(個)＝12000(mm2)れないものとする。クラッシュ培地のかけらはすべて 5mm 角の立方体と考え、菌糸＜実験考察＞＜実験考察＞

この実験により、培地をクラッシュ状に培地をクラッシュし、その中に菌糸を埋するとマツタケ菌糸は横だけでなく下方向め込んだため、フラスコの外側から菌糸のにも広がることがわかった。また、クラッ

広がりを観察することが困難になり、全方

シュ培地で広がった菌糸の総面積は通常の向に増えたかどうかを確認できなかった。

培地の約 4 倍になっていたことから、菌糸固体の培地では、クラッシュされた培地のの成長速度は培地をクラッシュすることで隙間をぬって立体的に菌糸が広がると考え、上げることができるといえる。以上のこと

実験を行ったが、この方法では培地が不透より、さらに厚みのある培地を作成し、菌明なため菌糸の観察が困難である。菌糸の糸を植え継げば上下左右に菌糸が広がり、広がりを正確に観察するためには、何らか

さらに立体的に菌糸を広げられる可能性がの工夫が必要と考えられる。

考えられた。そこで、次により厚みのある
クラッシュ培地を作り、培養することにし

3.1.3 液体培地

た。

＜実験仮説＞
液体培地を使用すれば菌糸の伸びを妨げ

3.1.2 フラスコクラッシュ培地の作成

ず、なおかつ菌糸の観察が可能になるので＜実験仮説＞はないか。

より厚みのあるクラッシュ培地を作成し、菌糸を埋め込めばより立体的に菌糸が広がるのではないか。

＜実験方法＞
3.1.1 で用いた培地の組成から寒天を抜き、IFO-7 培地と浜田培地の液体培地を＜実験方法＞
3.1.1 で用いた組成の培地をシャーレよりも深さのある 200ml の三角フラスコに作

500ml の三角フラスコに作成し、植え継ぎを行う。28℃のインキュベータ内で、約 5ヵ月間培養した。

成し、薬匙を使用して約 5 ㎜角にクラッシ
ュする。この時メスを使用すると、メスの＜実験結果＞

柄が短く作業がしづらいため、柄の長い薬植え継いだ菌糸の塊を核として、放射状匙を使用した。表面から約 1 ㎝の深さのとに菌糸が伸びたが、半径 1.5cm ほどにしかころに菌糸を植え継ぎ、フラスコにパラフ

広がらなかった。

ィルムを二重に巻いた後、28℃のインキュベータ内で約 7 ヵ月間培養した。

＜実験考察＞
液体培地では固形培地と比べてあまり菌＜実験結果＞
植え継いだ周辺の培地が白っぽくなっており、菌糸の広がりが確認できた。

糸の広がりが見られなかった。このことか
ら菌糸が伸び広がるためには、つたい広がるための地盤が必要だと考えられる。

３．２ 新規培地の検討

まい殖えなかった。フマル酸を加えた培地

3.2. クエン酸およびフマル酸培地

は殖えたが、浜田培地や IFO-7 培地に比べ＜実験目的＞て菌糸の成長速度が非常に遅かった。

マツタケ菌の成長速度は非常に遅く、現在実験に使用している浜田培地と IFO-7 培＜実験考察＞

地では成長に多くの時間がかかってしまう。

問題点を解決したが仮説は証明されなか

そこで 3 年前「グルコースの代わりにクエった。今回の培地は pH を 7 にしたが、通ン酸回路で作られる有機酸を培地に直接加常の培地は pH を 5.5 にしているため、こ

えれば、マツタケ菌の成長速度が上がるのの pH の差が、菌糸が殖えにくい原因の 1ではないか」という仮説を立て実験を試みつだと考えられる。今回の結果がクエン酸たが、実験環境が整っていなかったこと、とフマル酸のみで見られるものなのかを確pH 調整をしなかったため培地が固まらな認するために、他の有機酸の場合も実験すかったことなどが原因でマツタケ菌が殖える必要があると考えられる。

なかった。
今回は実験環境を整え pH 調整を行い、再度実験を行った。

3.2.2 おがくず培地＜実験目的＞
3.1.1 での実験では寒天培地をクラッシ＜実験仮説＞

ュし、本来生育する環境である土壌に近づ

グルコースの代わりにクエン酸回路で作けた。新規培地の検討にあたり、シイタケられる有機酸を培地に直接加えれば、マツの培養に使われているおがくず培地を使用

タケ菌の成長速度が上がるのではないか。

すれば寒天培地よりも土壌に近い培地になると考え、実験を行った。

＜実験方法＞
IFO-7 培地のグルコースの代わりに、それぞれクエン酸、フマル酸を加え、pH を 7にできるだけ近づけた培地を作成し植え継＜実験仮説＞
おがくず培地を使用すれば寒天培地よりもより立体的に菌糸が広がる。

ぎを行う。
クエン酸とフマル酸は 250ml の IFO-7 培地に含まれているグルコース 5ｇの分子量と、同じ分子量になるように加えた。

＜実験方法＞
材料をすべて混ぜた後ポットに入れ、減菌のためにオートクレーブにかけて培地を植え継ぎ後、シャーレにパラフィルムを作成する。表面から約 2cm の深さの所に菌二重に巻き、28℃のインキュベータ内で糸を植え継ぎ、28℃のインキュベータ内で

約 9 ヵ月間培養した。

7 ヵ月間培養した。培地の組成をまとめると以下のようになる。

＜実験結果＞
クエン酸を加えた培地は菌糸が枯れてし

きた DNA と濃度を計測する。計測の結果

おがくず培地おがくず(シラカバ)

900ml

米ぬか

300ml

水

715ml

＜実験結果＞
培地を 5 つ作成したが、3 つはカビに汚は以下のとおりである。
純度

抽出量

260um/280um

サンプル 18.5µg/µL

1.25

サンプル 26.4µg/µL

1.25

サンプル 326.7µg/µL

25.8

染されてしまった。残った 2 つの培地もポットの外側からは菌糸の広がりを確認でき

これらのサンプルのうち、今回はサンプなかった。1 つだけポットを開け、中を観ル 1 とサンプル 2 を PCR 法に用いた。PCR察したが、菌糸の広がりは見られなかった。

reaction mix の組成は以下のとおりである。

＜実験考察＞

・12.5nｇのゲノミック DNA

寒天培地作成時と同環境で行ったのにもサンプル A

0.085μｇ/μL

かかわらず、カビに汚染されてしまったた

サンプル B

0.064μｇ/μL

め、この原因を突き止める必要がある。ま・TmF

10nm/μL

た、おがくずに使用されている木材の種類

・TmR

10nm/μL

・PCRbuffer(×10)

2.5μL

・dNTP

2.5μL

・Tug polymerase

0.625U・DW

Σ25μL

によって違いが生じるかどうかも検討したい。
３．３ マツタケのＤＮＡを用いた判別法
3.3.1 実験目的
私たちは植え継ぎを繰り返し、マツタケ菌を増やしている。培養している菌糸が本
当にマツタケの菌糸であるのかを確認するために DNA 抽出キットを使用し、判別を行った
3.3.2 実験仮説
現在培養している菌糸はマツタケの菌糸である。
3.3.3 実験方法
DNA 抽出キット（DNeasy® Plant Mini
Kit (50)）に記されている操作手順に従いDNA を抽出する。その後、分光器で抽出で使用したプライマーの塩基配列は以下のとおりである。
TmF CATTTTATTATACACTCGGTTmR GACGATTAGAAGCCCGACCTA
また、サーマルサイクラーの reaction
program は以下のとおりである。
①

95℃

10 分

②

95℃

30 秒

③

55℃

30 秒

④

72℃

1.5 分

②～④を 35 サイクル
⑤

72℃

8.5 分

⑥

4℃

∞

その後、1.5% の agarose gel を使用してれないが、loading buffer と重なってしまい

電気泳動を行った。

確認ができなかった。

3.3.4 実験結果

3.3.5 実験考察
電気泳動のとき、agarose gel にある穴にマーカーとサンプルをマイクロピペットを使用して入れるのだが、これがうまく穴に入らず、バッファーへ流れ出てしまったことが、バンドが出なかった原因と考えられる。しかし、300bp の位置には印が出ているため、サンプルがマツタケである可能性が高いと考えられる。

４．考察
今回の研究で、マツタケの菌糸は培地をクラッシュすれば培地の隙間をぬって広がるが、液体の培地では広がらなかった。このことからマツタケ菌糸が広がるためには、培地に強度が必要だと考えられる。しかし、マツタケは液体中でも菌糸を広げられるということから、酸素の少ない状態でも生育できると考えられる。

５．今後の課題
今回の実験はいずれも大きな成果を得ることはできなかった。しかし、今回の実験からマツタケの菌糸が広がるためには培地に強度が必要だと考察できたので、どのぐ
らいの強度があれば菌糸は広がることがで
図１

きるのかを調べるために固体と液体の中間であるゲル状の培地を作成し、実験を行いサンプルがマツタケである場合、図１のたい。また、マツタケはアカマツの木の付楕円の位置にバンドが現れる。しかし、今近に生育するため、現在アカマツとマツタ

回の実験では 300bp の位置（図下側の楕円）ケ菌の関係性を調べるためのアカマツを育にしかバンドが見られなかった。500bp の成している。このアカマツを利用した新規位置（図上側の楕円)にも現れていたかもし培地の検討も行いたいと考えている。3.3

節の実験が操作ミス等によりうまくいかな
かったため、再度実験を行いたい。

６.謝辞
本研究活動において、顧問の櫻井先生に、多大なご指導を受け賜わりました。また、DNA の抽出、PCR 法、電気泳動法について、DNA 班の米田さんにご指導を受け賜りました。この場をかりて、深く感謝申し上げます。

植物の回転角の規則性
４年Ｂ組

山田 莉彩

指導教諭

櫻井 昭

１．要約
これまで、私は植物の形態にみられる数学的な規則性について研究してきた。前回の研究から、セイタカアワダチソウの葉序の回転角は黄金角ではなくフィボナッチ数列に関する葉序の回転角であると結論付けた。しかし本研究の計測によって、黄金角ともフィボナッチ数列に関する葉序とも近似していないことが判明した。また、顕微鏡を使い維管束の配列を観察することによって葉序の回転角を導き出した結果、フィボナッチ数列の葉序になり、これは角度の計測で予想されていたものより黄金角に近似した値となった。さらに、文献調査により発見された葉序の回転角についての仮説を考察した。
キーワード

黄金角、セイタカアワダチソウ、葉序、維管束２．研究の背景と目的

この考察を踏まえ、セイタカアワダチソ

私は、共同研究者とともに黄金比やフィウの葉序の回転角を、より精密に調べるた

ボナッチ数列などの数学的な規則性が、植め ImageJ という画像処理ソフトを用いて物の形態に見ることができるということを

再度計測を行い、新たなアプローチで規則

本で知り、興味を抱いた。そこで、植物に性を発見できないか試みることにした。ま対して実際にどのように利用されているのた、葉の原基が発生する原理に関する先行

か、自分の手で確認することとした。

研究を調査し、本研究の考察を深めていこ「セイタカアワダチソウの葉の付き方うと考えた。

（葉序）の回転角に黄金角がみられるのではないか」ということを検証するため、3

３．研究内容年間で 4 回にわたり計測を続けてきた。そ３．１ 基本事項の結果、以下の考察を得ることができた。

●黄金比・黄金角

セイタカアワダチソウの葉序は、葉の原

黄金比 1：φは、人類が最も美しいと感基が発生した瞬間はもともと黄金角だった。

じる比率であるとされている。例として、

しかし、黄金角からずれ、セイタカアワダ

パルテノン神殿や、さまざまな絵画などのチソウの葉序の配列は、5/13 葉序（13 枚の長方形の縦横の比率に使われている。この葉が茎を中心として 5 回転すると、14 枚目

黄金比は、自然界によく見られる値である。

が 1 枚目の葉に重なる葉のつき方）に近似

その比は

した。

1:φ =1:

1+ 52

で表すことができる。

３．２ 実験１：葉と葉の間の角度の計測
3.2.1 目的
基本事項を踏まえ、葉の回転角には黄金

黄金角とは、円周 360°を 1：φに分けた比が適していると考えたため、それを画像

角度の 1 に当たる部分のことで、約 137.5°

処理ソフト ImageJ によってより正確に計になる（図１）。

測を行い検証する。
3.2.2 仮説
セイタカアワダチソウの茎に対する葉のつき方は、黄金角に従っている。
3.2.3 材料・方法＜標本＞
平城宮跡のセイタカアワダチソウを採集

図１ 黄金比と黄金角の関係●フィボナッチ数列に関する葉序

時期：2015 年 5 月～9 月

31 本

＜方法＞

葉序の配列には、フィボナッチ数列に出セイタカアワダチソウを採取し、葉の付現する数によって成り立っているパターン

け根を残して葉を切る。その後、1 つ目と 2が存在する。例として、1/2 葉序、1/3 葉序、つ目の付け根に、針を葉の中心に沿うよう

2/5 葉序、3/8 葉序、5/13 葉序などがあげらに刺す。 次に、茎の真上から写真撮影を行れる。本研究では以前、セイタカアワダチう。以上の操作を、全ての葉の付け根に対ソウの葉と葉の間の角度は 13 枚の葉が 5して繰り返す（図３）。撮影した写真を使っ回転すると 14 枚目が 1 枚目の葉に重なるとて、葉と葉の間の角を計測する。以前は分いう 5/13 葉序（図２）に近似していると結度器で計測していたが、今回は正確性と速論付けた。このときの回転角は 138.5°で度を重視し ImageJ という画像処理ソフトあった。

を使用した。

図２

5/13 葉序の回転の周期

図３ 実験手順

3.2.4 実験結果の回転角（黄金角に収束していく）が含ま

以下のグラフは、縦軸は調べた葉と葉の間の数、横軸は角度を表している。

れる 135°～141°の範囲に収まった。そのため、セイタカアワダチソウの葉の回転角
は、その範囲内（135°～141°）の回転角をもってついていくと考えられる。黄金角とは、植物体を茎頂から見たときに葉ができるだけ重ならないように配置できる角度である。よって計測結果から、セイタカア
ワダチソウの葉のつき方は、黄金角やフィ
ボナッチ数列に関係する葉序の回転角に近い回転角をとることで、葉が意図的に重な平均値

139.227°

標準偏差

9.934

中央値

139.212°

りにくく配置されていると考えられる。
３．３ 実験２：維管束の観察3.2.5 考察
前回の計測結果

3.3.1 目的
実験１において、葉の位置は風や日光といった環境要因に大きく左右されるため、葉の間の角度を測る際に誤差が生じやすいという問題が発生した。この問題を解決するため、私は維管束という組織に着目した。
セイタカアワダチソウのような双子葉類の植物には、道管と師管がまとめられた維管束という組織が茎の中に分布している。この維管束はどの葉にも 1 本ずつつながり、

平均値

138.1° 中央値 140°

水分や養分を植物の体全体へ運んでいる。
維管束の位置は外部環境によって左右され前回と比較して、今回は散らばりが少なにくいと思われる。ゆえに、維管束の間のくなった。また、131°～135°、136°～

角を測ることで、葉の間の角度を直接計測

140°と 141°～145°の 3 つが特に葉と葉するより正確に葉序の回転角を測定するこの間の角度として多いことがわかる。平均とができると考えた。そこで、セイタカア

値・中央値ともに黄金角 137.5°や 5/13 葉

ワダチソウの茎の断面を観察し、連続する

序の 138.5°に正確に近似しているとは言葉に対応する維管束 2 つと全体の維管束のえない結果であった。しかし、平均値と中数から大まかな回転角を算出する。

央値は近い値となった。1 個体あたりの平均値・中央値を計測すると、どれも黄金角
137.5°や、フィボナッチ数列に関する葉序

3.3.2 仮定
この実験における維管束の数から回転角を算出するにあたって、セイタカアワダチ
ソウの維管束は以下の 5 つを満たしていると仮定した。
①維管束は茎の付け根から茎の頂上まで
必ず同じ本数になっている。
②1 枚の葉につながる維管束の本数はどの葉でも一定で、3 本である。
③連続する葉に対応する維管束の、3 つある維管束のうち中央に位置する 1 本

図５ 断面 A における切片を、その葉に対応する維管束とする。
④1 つの維管束を点とみなし、点が円周上全体に等間隔に並んでいると考える。
⑤連続する葉に対応する維管束（点）の距離の比を間の維管束の個数から算出
し、回転角とみなす。
今回の観察により、②の仮定は図５および
図６で実証された。図５は図４における A
で切った断面であり、図６は B で切った断図６ 断面 B における切片面である。図６では、赤で囲まれた維管束が同心円状に並ぶ他の維管束と離れた位置にあるため、これは直前の葉に繋がっていた維管束であったということがわかる。図3.3.3 仮説
連続する 2 枚の葉に対応する維管束の間の角の理論値は黄金角に近似する。

５，６から、葉には始めは 3 本の維管束が分布しているということがわかる。

3.3.4 材料・方法＜標本＞
平城宮跡のセイタカアワダチソウ＜方法＞
茎に対して横方向にカミソリで薄くスライスする。このように作成した横断切片を水で封入し、プレパラートを作製する。このプレパラートを光学顕微鏡に取り付けた

図４ 切断した場所

カメラで撮影し、切片画像を得る。その後、切片画像から全体の維管束の数を数え、連続するにそれぞれつながる維管束同士の間の維管束を数える。

3.3.5 実験結果

図７ 切片(1)
図９ 連続する維管束の間の角以上より回転角は、∠a = 360° ×

16= 137.143 K °42と算出された。
3.3.6 考察
実験結果より求められた回転角は黄金比
図８ 切片(2)に近似する。また、それだけでなく、劣弧と優弧の比が 8：13 であり、この回転角が

図７，８は同じ切片を撮影した写真であフィボナッチ数列に関する葉序である 8/21

る。赤い丸で囲まれたものが維管束で、青葉序のものであることもわかった。しかしい丸で囲まれたものが葉につながっていた

維管束の総数や連続する葉同士の間の維管維管束である（葉につながっていた維管束束の数は個体や取り出す葉と葉の間によっは隣り合う葉の間を何枚かに分けてスライても異なるため、一概に 8/21 葉序と決定す

スし、導き出したものであるため、撮影さることはできない。今後は標本数を増やし、れた切片は直接葉とつながっている場所で他の双子葉類も観察してこの仮説が正しいはない） 。この写真から、全体の維管束のか引き続き検証を続けていきたい。

数は 42 個、劣弧上にある維管束の数は 15個、優弧上にある維管束の数は 25 個なので、距離の比は 16：26 = 8：13 となる（図９）。

４．考察
研究の成果として、セイタカアワダチソ
ウの葉序の回転角は黄金角に近い値をとるということがわかったが、黄金角に一致す
るという結果は得ることができなかった。
現在、葉序の回転角が決定される仕組みとして、近藤滋が植物の成長ホルモンに着目た側部分裂組織とは、維管束植物のいわゆした説を唱えている。彼の仮説では、シュる形成層のことを指す。維管束は（特にセートでの葉の原基の形成は植物ホルモンのイタカアワダチソウを含む被子植物におい濃度勾配によることを根幹としている。彼て）一次成長で茎頂分裂組織の細胞分裂には、植物の回転の角度は常に一定であり、よって発生し、二次成長で側部分裂組織の植物ホルモンによる原基発生の阻害効果は細胞分裂によって成長する。そして、近藤

発生源（葉の原基）からの距離に反比例す

滋の仮説は茎頂分裂組織において葉序の角ると仮定した。その上で、彼はその植物ホが黄金角になっているというものであった。

ルモンの濃度勾配が葉の原基を黄金角にしこれらを踏まえ、維管束は茎頂分裂組織かて発生させていると唱えている。この仮説

ら発生するから、実験２において維管束かから、植物は葉の発生の段階では黄金角のら導き出した葉序の回転角は黄金角に近似構造を取っていると考えられる。

したため、本研究は彼の仮説を裏付けてい一方、実験１（直接葉と葉の間の角の計ると考えられる。

測）の結果から、葉と葉の間の角度は黄金

ただし、二次成長での側部分裂組織の細比に近似しないという結論が出た。植物が胞分裂によって、一次成長で形成された維

日光をできるだけたくさん受け、効率よく管束の数から維管束の数が増えたというこ

光合成をおこなうために黄金角を回転角にとも考えられる。事実、今回の実験２にお設定しているとすれば、葉が発生する瞬間

いて、写真から維管束は茎の上から下まで

ではなく葉が日光を実際に受けるときの形

で常にすべて同じ本数でないことがわかっ

態から計測した方がより目的に適しているている。また、個体によって維管束の数がと考えたため、この方法を選んだ。ゆえに違い、茎が太い個体ほど維管束の数が多か

近藤滋の仮説と実験１から、発生の段階でったことから、おそらく二次成長での側部は黄金角にプログラムされていた葉序が、分裂組織で維管束が増えるような何らかの環境によって影響を受けることで葉序の回現象が起きていると思われる。今後は実験

転角は黄金角からずれていったのではない

２をさらに発展させることで、この疑問をかと考えられる。

解決していきたい。また、実験１と実験２

実験２では、植物の維管束に着目した。
維管束という組織は、シダ植物および種子での結果の整合性についてもさらに考察を深めたいと考えている。

植物のみに見られる構造である。フィボナ

維管束植物について調べていると、化石ッチ数列に関する葉序をもつ植物は、すべ植物の中には維管束が 1 本しかないものがてこの植物に該当し、維管束の構造がみらあるということがわかった。維管束の構造れる。植物は、茎頂分裂組織、根端分裂組

は進化によって獲得していったものである

織、側部分裂組織という 3 種類の分裂組織から、仮に維管束の数が進化の過程で増えが分裂していくことで生長する。茎頂分裂ると考えると、維管束が増えることでその組織は、葉の原基が発生する場所で、根端分だけ葉序の回転角のバリエーションも増分裂組織は、根の伸長する場所である。まえることになる。もしこれが正しいとすれ

ば、維管束の数という側面からみても、日距離の比を間の維管束の個数から算出

光の効率的な傍受に最適な角度である黄金

し、回転角とみなす。

角に進化の過程で近づいていっているといの 5 つの仮定を満たしているという前提でえるかもしれない。

議論および実験を進めている。
特に仮定①は、1 本の維管束が 2 本に分岐

５．今後の展望したり、2 本の維管束が 1 本に統合された

今後も、維管束による回転角の算出を続りすることもあり、すべての個体に当てはけていきたい。また、維管束による回転角

まるわけではない。ゆえに、この仮定が妥

測定法は、維管束が同心円状にならんでい当であるか精査しなければならない。これる双子葉類の植物ならば同様に算出できるを調べた上で、維管束の本数が何の要素にため、ホウセンカなど維管束が観察しやす

よって決まるのか研究していきたい。

い他の植物の回転角についても調べていきたいと思う。

さらに、考察で説明した近藤滋氏の説についても引き続き研究し考察を続けたい。

維管束を顕微鏡観察する方法は植物の断

この仮説が正しいか証明するには、まずシ面の切片をできるだけ薄くスライスしなけュートのメリステムから発生している物質

ればならない。加えて隣り合う葉の回転角が原基の出現を促進する物質であるのか、を求めるには、葉と葉の間の茎を等間隔に阻害する物質であるのか、また具体的にど

20 枚以上切片を切る。そして隣り合う葉にのような物質であるのかを解明しなくてはつながっている維管束が最終的にどれなのならない。また、実際に植物のシュートでか追わなければならない。この作業は非常の原基の発生の状態を疑似的に再現できれに時間と労力を要し、データを大量に集めば、この学説が正しいことが証明できるだ

るには効率が悪い。ゆえに、この実験方法

ろう。

の簡素化・効率化を目指したいと思っていまとめると、る。

維管束による回転角の算出

またそもそも、維管束からの回転角測定

実験方法の簡素化・効率化には３節で述べたように、実験の仮定の妥当性の確認①維管束は茎の付け根から茎の頂上まで
必ず同じ本数になっている。

学説への数学的・生物学的考察の 4 点が今後の主な課題である。

②1 枚の葉につながる維管束の本数はどの葉でも一定で、3 本である。

６．参考文献③連続する葉に対応する維管束の、3 つ[1] ImageJ - RSB Home Page

ある維管束のうち中央に位置する 1 本

http://imagej.nih.gov/ij/

を、その葉に対応する維管束とする。
④1 つの維管束を点とみなし、点が円周上全体に等間隔に並んでいると考える。
⑤連続する葉に対応する維管束（点）の[2]

S.Douady, Y.Couder, Phyllotaxis as a
PhysicalSelf~Organized

Process (1991)

Growth[3]「波紋と螺旋とフィボナッチ： 数理の眼鏡でみえてくる生命の形の神秘」、近藤滋、学研メディカル秀潤社(2013)[4] こんどうしげるの生命科学の明日はどっ
ちだ 第 14 回：全ての植物をフィボナッチの呪いから救い出す
http://www.fbs.osaka-u.ac.jp/labs/
skondo/saibokogaku/fibonacchi.html

７．謝辞
これまで私を指導してくださった櫻井先生、また同じ研究班で私の研究に協力してくださった出水明日香さんに、深く感謝の意を表します。

シュートにおける葉の発生
4 年 C 組 出水明日香
指導教諭 櫻井 昭
１．要約
セイタカアワダチソウのシュートでの葉の配列を調べるため、シュート付近の顕微鏡写真を撮り、葉と葉の間の角度を測ろうと試みた。
キーワード

シュート、セイタカアワダチソウ、葉序

２．研究の背景と目的
私は本を読み、植物の葉や種子などの配３．研究内容３．１ 実験目的列に数学的な規則性がみられることを知っセイタカアワダチソウのシュート付近でた。そのひとつに、黄金角があげられる。

の葉序を調べることによって、研究背景で

葉を黄金角に従って配列すると、葉同士が述べたように、セイタカアワダチソウの葉重なることはない。そこで昨年まで、「葉の序は変化しないのか、成長するに従って並び方(葉序)は黄金角に従っている」という

5/13 葉序へと変化するのかを確認する。

仮説を立て、研究を続けてきた。標本は、葉序を調べるのに計測しやすいという点から、セイタカアワダチソウを用いた。その結果、セイタカアワダチソウの葉序は黄金

３．２ 実験仮説
シュート付近の葉序は黄金角に従っている。

角ではなく、上から数えて 1 番目の葉と 14枚目の葉が 5 回転すると重なる、5/13 葉序

３．３ 実験方法に近似していると結論付けられた。ここで＜材料＞ セイタカアワダチソウ

私は、この葉序は葉が発生したときから変＜方法＞化していないのか、それとも葉が発生してセイタカアワダチソウの先端にある、まから成長していくうちに、5/13 葉序へと変だ広がっていない葉が集まっている部分化していくのか疑問に思った。そこで、葉(シュート)を、実体顕微鏡を使いながらピが発生するシュート付近での葉序を調べ、ンセットで剥くことが出来るところまで剥葉が広がっている場所の葉序である 5/13 葉

く。剥き終わったら実体顕微鏡を通して真序に近似しているのかを調べることにした。

上から写真を撮り、角度を計測する。

３．４ 実験結果＜結果１＞

茶色く変色している。また、実体顕微鏡
では観察できないほど葉が小さい。
３．５ 実験考察
実体顕微鏡を用いての撮影であるということもあり、厳密に真上から撮ることが難しいことがわかった。また、標本のサイズが小さいため、実体顕微鏡では、詳細を観察するには限界があることがわかった。ま図１ 葉が集まっている部分の断面

た、標本が小さいため、それぞれの葉がどの順で出現しているのかを判定することが

図１の赤い曲線 1 本が 1 枚の葉を表して困難だった。これらのことより、当初の予いる。写真の中に見られる葉脈の配列に規定であったシュートでの葉と葉の間の角度則性があるように見られるを測るところまで至らなかった。

＜結果２＞

４．考察
以前、葉と葉の間の角を調べていた時と同じ方法で実験を行おうとしたが、シ
ュートのサイズが小さいため、同じ方法で実験することはできなかった。シュー
ト付近の葉序について調べるためには別の方法を考えなければならない。

図２ シュート付近まで葉を剥いた状態考えられる方法としては、図１のような葉が集まっている場所の断面図から計

茶色く変色している。また、そのためどこまでが一つの葉なのかわからない。

測するという方法である。シュート付近
まで葉を剥くと、観察する対象が小さくなる。また剥いているときに葉が傷つい＜結果３＞たり変色したりすることが多かった。図１の段階では葉はまだ広がっていないた
め、広がりきった部分と比べることができる。
５．今後の展望シュート付近の葉序を調べることが困難

図３ シュート付近まで葉を剥いた状態だった。そのため、考察で挙げた方法で研究を進めていきたいと思う。また、植物の葉序はオーキシンと呼ばれるホルモンによって決定される、と書かれた論文を見つけ、興味を持った。そこで、何の物質によって葉序が決定されるのか、植物によってどのように物質の量などが異なっているのか、など葉と葉の間の角度を計測するだけではなく、何が原因となってその葉序が形成されていくかなど、計測以外に別の角度からも調べていきたいと思う。

６．参考文献[1] 近藤滋の生命科学の明日はどっちだ!?
http://www.fbs.osaka-u.ac.jp/labs/
skondo/saibokogaku/fibonacchi.html

７．謝辞
実験方法など相談にのってくださった山
田莉彩さん、指導してくださった櫻井先生に感謝の意を表します。

ミドリゾウリムシとシロミドリゾウリムシについて
４年Ｃ組 髙畑 菜々子
４年Ｃ組 中村 友柚
４年Ｃ組 西村 咲野
指導教諭 櫻井 昭

１．要約
ミドリゾウリムシとシロミドリゾウリムシ（ミドリゾウリムシから細胞内共生細菌であるクロレラを除去した個体）を培養して、増殖曲線（成長曲線）を描き、そこにクロロゴ
ニウムの増殖を追う形でミドリゾウリムシとシロミドリゾウリムシが増殖するという関係性を確かめることを目標とし、実験、培養の経過の観察、個体数の計測を重ねてきた。
キーワード

ミドリゾウリムシ、シロミドリゾウリムシ、増殖曲線

２．研究背景、目的
私たちは、細胞内共生への興味と石油を分泌するバクテリアの改良への興味をそれぞれ持っていた。ミドリゾウリムシが細胞内共生細菌としてクロレラを体内に共生させているという点、マルトース（糖）を分泌し、その糖はバイオマスエネルギーとして利用価値があるという点から、ミドリゾ

図１ Paramecium.ursaria

ウリムシを共通の研究対象とした。そこで、ミドリゾウリムシ）

ミドリゾウリムシの培養を始めたが、培養中にカビが生え、フラスコ内のミドリゾウ

３．研究内容リムシの全滅が何度も起こってしまった。

３．１ 目的そのためまずは、培養の安定をめざし、そミドリゾウリムシは細胞内共生細菌であの指標としてのシロミドリゾウリムシ、ミるクロレラがあるため、養分であるマルト

ドリゾウリムシの増殖曲線を描くことにしースが供給され、エサがなくなってもあるた。

程度の期間個体数を維持でいると思われる。
これに対して、シロミドリゾウリムシは細胞内共生をしているクロレラが存在しないため、餌であるクロロゴニウムの減少に伴い最大数になった後は減少の一途を辿ると思われる。これらの現象を確認する。

③ フラスコの口を綿栓で塞ぎ、綿栓をアルミホイルで包む。その後オートクレーブ

３．２ 仮説同じ条件下で、異なるフラスコに同数のに入れ、121℃、20 分、20atm で滅菌する。

ミドリゾウリムシとシロミドリゾウリムシ※培地は植え継ぎ前日に作製するか、まとを培養した場合、ミドリゾウリムシとシロめて作製した場合は 22℃の暗所で保管

ミドリゾウリムシがフラスコ内で最大数にされた培地（作製より二か月以内のもの）

増えた後、ミドリゾウリムシのみが最大数を使用する。

のままある程度の期間保たれる。
3.3.3 ミドリゾウリムシ、シロミドリゾウ
３．３ 実験

リムシ、クロロゴニウムの植え継ぎ方法

3.3.1 実験に用いた培地（簡易クロロゴニ① アルコールでフラスコ等器具類の表面

ウム培地）の作成方法① 100ml のメスシリンダーに酢酸ナトリを消毒し、クリーンベンチ内に入れる。
② クロロゴニウム、シロミドリゾウリムシ、ウムを 2ｇ（酢酸ナトリウム三水和物のミドリゾウリムシの順に 3.3.1 で作製場合は 3.3ｇ）、Yeast extract を 10ｇ入した培地に植え継ぐ。

れる。
② そ の上 から 蒸留 水を加 えて 、全 量を100ml にする。
③ よく混合し、50ml チューブ 2 本に分注
して冷凍保存する。
※濃縮培地をミドリゾウリムシ培地作成時には 100 倍、クロロゴニウム培地作成時③ 植え継いだフラスコは、温度が 23℃で保たれるインキュベーターで保管する。
※クロロゴニウムが 4 日で最大数に達し、ミドリゾウリムシとシロミドリゾウリム
シは 1 週間から 2 週間で最大数に達するとされたため、植え継ぎはまとめて 1 週間に 1 度行った。

には 20 倍に希釈して使用する。
3.3.3 個体数のカウント方法
3.3.2 ミドリゾウリムシ、シロミドリゾウ

ミドリゾウリムシ、シロミドリゾウリム

リムシ、クロロゴニウム培地の作成方法

シ共にフラスコ内から 1ml を採集する。そ① 前述した簡易クロロゴニウム培地を解こからさらに 100μl を採集し、シャーレ上

凍し、2ml ずつ 100ml フラスコ（クロに 10 ドロップに分ける（1 ドロップは約 10

ロゴニウム用）、300ml フラスコ（ミドμl）。その後、実体顕微鏡で観察し、10 ド

リゾウリムシ、シロミドリゾウリムシ用）

ロップ内に確認されたミドリゾウリムシとに入れる。

シロミドリゾウリムシ、それぞれの総数を② Volvic（KIRIN のミネラルウォーター）カウントする。同様の操作を 3 回行い、そを 40ml（100ml フラスコの場合）、の総数の平均を、その日確認できたミドリ

200ml（300ml フラスコの場合）の線ま

ゾウリムシ及びシロミドリゾウリムシの総

で入れる。

数とした。

３．４ 実験結果

10月21日 10月22日 10月23日 10月24日 10月25日 10月26日 10月27日 10月28日 10月29日 10月30日 10月31日
1.3
1.5
2.7
15.7
40.7
21.3
37
31.2

11月1日

11月2日
12.3

10月28日 10月29日 10月30日 10月31日
0
0
0.67

11月1日

11月2日
1

11月8日

11月9日 11月10日
0.67
0

11月4日
0

11月8日

11月9日 11月10日 11月11日 11月12日 11月13日 11月14日 11月15日 11月16日 11月17日
0.33
1.3
0.33
0.33
2
7.7
8.7

11月5日
0

11月6日
0.33

11月7日

11月3日

11月4日
4.7

11月5日
4.3

11月6日
2

11月7日

11月11日 11月12日 11月13日 11月14日 11月15日 11月16日 11月17日 11月18日 11月19日 11月20日 11月21日 11月22日 11月23日 11月24日
0
0
0
0.33
1
0.66
1.7
2
11.3

グラフ１ ミドリゾウリムシの増殖曲線とデータ

10月21日 10月22日 10月23日 10月24日 10月25日 10月26日 10月27日 10月28日 10月29日 10月30日 10月31日
1.3
1.5
2.7
15.7
40.7
21.3
37
31.2

11月1日

11月2日
12.3

10月28日 10月29日 10月30日 10月31日
0
0
0.67
0

11月1日
0

11月2日
1

11月8日
0

11月9日 11月10日
0.67
0

11月4日
0

11月8日
0

11月9日 11月10日 11月11日 11月12日 11月13日 11月14日 11月15日 11月16日 11月17日
0.33
1.3
0.33
0.33
2
0
0
7.7
8.7

11月5日
0

11月6日
0.33

11月7日
0

11月3日
0

11月4日
4.7

11月5日
4.3

11月6日
2

11月7日
0

11月11日 11月12日 11月13日 11月14日 11月15日 11月16日 11月17日 11月18日 11月19日 11月20日 11月21日 11月22日 11月23日 11月24日
0
0
0
0
0
0.33
1
0.66
1.7
2
0
0
0
11.3

グラフ２ シロミドリゾウリムシの増殖曲線とデータグラフ３ ミドリゾウリムシとシロミドリゾウリム
グラフ１ とグラフ２は、1 週間以上続け変動をみることができなかった。

て 200ml フラスコ(培地量は 100ml)で培養したものである。
グラフ３は、ミドリゾウリムシとシロミ

５．今後の課題＜現時点での問題点＞

ドリゾウリムシを各 200ml フラスコ（培地①植え継ぎの際、3.3.3 で出された平均値

量は 100ml）で、10 月 27 日から 11 月 10を利用し、フラスコ内の個体数が同数に日まで培養したものであり、植え継ぎの際なるように計算した上で植え継いでいるにはそれぞれ個体数が同じになるようにしのだが、全溶液量 100ml 中の 100μl をた。

採取し、その中の個体数を計測するという方法を取っているため、統計的な誤差

４．考察
シロミドリゾウリムシがミドリゾウリム
シに比べて培養が難しいことが分かった。
このことはグラフ２の個体数が増えないことから読み取れる。またグラフ３より、植が生じる。
②シロミドリゾウリムシの増殖が不安定である。
③土日分のデータの欠損が増殖曲線を描く
うえで、大きな障害である。

え継いだ当初は、ミドリゾウリムシとシロ④植え継いでから数日は、3.3.3 の方法でミドリゾウリムシとで増殖速度の差があまミドリゾウリムシとシロミドリゾウリム

り無かったが、植え継いで一週間ぐらい経シの個体数をカウントしても、個体が存

つと数値の伸び方に差が現れたことからも在しないことが多い。

いえる。しかし、平日のみに計測を行った＜解決策＞

ためデータが欠損している。そのため曲線①問題点の②については、個体数を計測すという形で仮説を実証できるような数値のる際、フラスコではなく、ディプレッシ

ョンスライドガラス(容量１ml くぼみを3 つ持つスライドガラス)で培養すること
により全体の数を減らし、常に培地内の個体数を把握できるようにする。または、個体数の計測のために取り出す培地量を100μl から 1000μl(1ml) に変更する。
②シロミドリゾウリムシがミドリゾウリム
シに比べ増殖しにくい理由ははっきりとはわかっていない。おそらくシロミドリ
ゾウリムシの増殖を抑制する理由は、到達できる最高の細胞密度がミドリゾウリ
ムシのものよりも低いためであるか、ク
ロロゴニウムを取り出したことによって、カビなどに対する免疫のようなものが欠如していると私たちは予想した。今後、原因を確定させていきたい。
③植え継いでから数日は、ミドリゾウリム
シとシロミドリゾウリムシの培地から1ml を採集した後、それを 10 ドロップに分け、100μl 中の個体数をカウントし、ある程度個体数が増えたら、3.3.3 の方法に移行していきたい。

６．謝辞
今回の研究を行うにあたってご指導してくださった櫻井先生及び、ミドリゾウリム
シ、シロミドリゾウリムシを提供していた
だき、ご指導くださった神戸大学の洲崎先生にこの場をかりて御礼申し上げます。

生物を使った水質浄化
５年Ｂ組 飯野 さくら
指導教員 矢野 幸洋

１．要約
昨年度、アサリやシジミがどれくらいの水質浄化作用を持っているのかを調べ、水質浄化の度合いは、濁度や色度を測定することによって数値化できるということがわかった。
今年度は、実験に用いる生物が一番力を発揮できる環境で実験を行うことによって、数値化の精度を上げることができるのではないかと考え、アサリの活動が活発になる条件をさ
がした。
キーワード

水質浄化、アサリ、数値化

２．研究の背景と目的生物が汚染された水を浄化できるという方法
海水

人工海水 100ml

ことに疑問を持ち、昨年度、アサリとシジ

とぎ汁 人工海水 100ml に米のとぎ汁 5ml

ミを使った実験を行った。その実験の中で、牛乳

濁度や色度、COD，pH などを用いることの 3 種類の溶液にそれぞれ 5 匹のアサリをによって、水がどれくらい浄化されたかを入れる

人工海水 100ml に牛乳 5ml

目視での確認だけではなく、数値としても表せるようになった。今年度は、昨年より

結果

も細かい条件をつけて実験を行うことで、・外観

アサリにとって一番良い実験方法を見つけ、とぎ汁では濁りが見られなくなった。海安定した数値化ができるようになることを水と牛乳に変化はなかった。

目標とした。
・濁度―ポリスチレン標準液による測定範囲は 0~20 度、測定波長は 870nm
・色度―塩化白金酸コバルト標準液による測定範囲は 0~50 度、測定波長は 390nm

３．研究内容◆水質浄化実験に適している溶液＜実験１＞

図１ 実験前（左から海水、牛乳、米のとぎ汁）

グラフ２ 色度の時間変化
図２ 実験後（左から海水、牛乳、米のとぎ汁）

・COD
とぎ汁と牛乳で濁っているため、色の変化が識別できず、変化を観察することができなかった。
測定できる最大値が 20 のため、20 となっているものは、20 よりも値が大きい
可能性がある。

海水
米のとぎ汁
牛乳

＜実験２＞
方法
人工海水にデンプンを溶かした溶液 A とデンプンを溶かして熱を加えた溶液 B を 30

・濁度

0分

規則性はみられなかった。

60分 120分 180分
3
3.1
0
0
20
20
3.4
0
20
20
20
20

分ごとにそれぞれヨウ素液で染色する。
結果
デンプン溶液の濃度によってヨウ素液の色が変化することを期待したが、変化はな
かった。
◆温度による変化＜実験３－１＞
方法
100ml の人工海水に 5ml の米のとぎ汁と、5 匹のアサリを入れ、4℃・18℃・28℃の 3
つの温度に置いた 3 種類を用意し、実験のグラフ１ 濁度の時間変化

開始時と終了時に COD を、30 分ごとに濁度と色度をそれぞれ計測する。

米のとぎ汁を使ったときが濁度の下がり方が顕著にでた。
・色度

0分
海水
米のとぎ汁
牛乳

60分
0
0
0

120分 180分
0
0
0
0
3
3
0
0
0

なお、この実験は 2 回実施した。

結果

・色度

0分
4℃
18℃
28℃

0
0
0

30分 60分 90分
28.5
7
6
19
8.5
8
33
19
18.5

図３ 実験前（左から元の溶液、4℃、18℃、28℃）

グラフ４ 色度の時間変化（2 回目）
・濁度

0分
4℃
18℃
28℃

20
20
20

30分 60分 90分
20
20
20
20
17.2
8.6
20
20
20

図４ 実験後（左から元の溶液、4℃、18℃、28℃）（1 回目）
・COD
識別できなかった。
・濁度

0分
4℃
18℃
28℃

30分 60分 90分
20
12.8
1.7
0.6
20
18.4
4.1
2.9
20
20
19.2
18.1

グラフ５ 濁度の時間変化
・色度

グラフ３ 濁度の時間変化
グラフ６ 色度の時間変化

・COD
識別できなかった。
・pH

0分
4℃
18℃
28℃

90分
8.1
8.1
8.1

7.57
7.23
7.42
グラフ８ 濁度の時間変化
・色度0分

グラフ７ pH の時間変化

4℃
10℃
15℃
22℃
28℃

30分
0
0
0
0
0

60分 90分
0
16.5
26.5
0
5
15.5
0
0
10.5
0
23.5
25
0
28.5
26

＜実験３－２＞
方法
実験１を細かい条件で行うため、100mlの人工海水に 5ml の米のとぎ汁と、5 匹のアサリを入れ、4℃・10℃・15℃・22℃・28℃の 5 つの温度に置いた 5 種類を用意し、実験の開始時と終了時に COD、30 分ごとに濁度と色度をそれぞれ計測する。

グラフ９ 色度の時間変化
・COD
識別できなかった。

結果

・pH

0分

・濁度

0分
4℃
10℃
15℃
22℃
28℃

30分 60分 90分
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
10
20
20
20
20
20
20
20
20

4℃
10℃
15℃
22℃
28℃
もと

90分
8.62
8.62
8.62
8.62
8.62
8.62

7.48
7.56
7.43
7.41
7.43
8.15

グラフ 10 pH の時間変化

図６ 実験後（左から元の溶液、明 1、明 4、明 8）◆明暗とアサリの数による変化＜実験４＞
方法
100ml の人工海水に 5ml の米のとぎ汁を加え、アサリの数と保存する場所の明るさを変えた次の 6 種類を用意し、実験の開始時と終了時に COD を、30 分ごとに濁度と色度をそれぞれ計測する。
明 1：アサリを 1 匹入れ明るい場所に置く

図７ 実験前（左から元の溶液、暗 1、暗 4、暗 8）

明 4：アサリを 4 匹入れ明るい場所に置く
明 8：アサリを 8 匹入れ明るい場所に置く
暗 1：アサリを 1 匹入れ暗い場所に置く
暗 4：アサリを 4 匹入れ暗い場所に置く
暗 8：アサリを 8 匹入れ暗い場所に置く
なお、この実験は 2 回実施した。
結果

図８ 実験後（左から元の溶液、暗 1、暗 4、暗 8）（1 回目）
・濁度0分

図５ 実験前（左から元の溶液、明 1、明 4、明 8）

明１
明４
明８
暗１
暗４
暗８

30分 60分 90分
20
20
20
13.6
20
20
4.5
0.9
20
4.7
0.5
0
20
20
20
20
20
11.5
3.4
0.9
20
6.3
0.7
0

グラフ 13 濁度の時間変化
グラフ 11 濁度の時間変化

・色度

・色度

0分
0分

明１
明４
明８
暗１
暗４
暗８

30分 60分 90分
0
22.5
13.5
10
0
15.5
6
3.5
0
5.5
4.5
4
0
23.5
19
14
0
7
5.5
5
0
7.5
5
4.5

明１
明４
明８
暗１
暗４
暗８

30分
0
0
0
0
0
0

60分 90分
0
24.5
28.5
15.5
7.5
7
17.5
9
8.5
28.5
15
6.6
16.5
12
11
15
13.5
11

グラフ 14 色度の時間変化
グラフ 12 色度の時間変化

・COD
識別できなかった。

・COD
識別できなかった。

４．考察（2 回目）

色度は一度上昇してから減少する傾向が・濁度見られた。人工海水の色度が 0 のため、ア
0分

明１
明４
明８
暗１
暗４
暗８

30分 60分 90分
20
20
20
20
20
20
5.5
3
20
20
8.2
4.8
20
20
20
20
20
20
13.8
8.5
20
20
11.3
6.5

サリが何らかの影響を与えていると考えられるが、原因はわからなかった。
◆何を使って溶液を汚すか・濁度の減少が著しいため、米のとぎ汁が適している。
・牛乳は色が濃く、少量で濁ってしまうた
め、この実験には適していない。
◆温度による変化
・4℃は、実験 1 では最も濁度が減少しているが、ほかの実験ではほとんど変化がな
いため、誤差だと考えられる。
・15℃から 18℃の比較的低温が適している。
・米のとぎ汁はアルカリ性であり、アサリ
によって浄化さえることで、中性に近づいている。また、アサリを入れていなかったものも多少中性に近づいているが、これは、空気中の二酸化炭素の影響だと考えられる。
◆明暗とアサリの数による変化
・アサリの数が多いほど浄化は速く行われ、個体差も出にくい。ただ、個体数が多い
ため、フンも多く排出されることと、8匹の場合変化がはやすぎるため、実験には 4 匹が適している。
・明暗による差はみられなかったため、影響はないと考えられる。

５．今後の課題
生物を用いた実験のため、個体差が出やすく、もっと実験の回数を重ねて正確なデータをとる必要がある。また、色度が一度上昇してから減少する原因を調べる。

６．謝辞
今回の研究をするにあたり、指導してくださいました矢野先生に、深く感謝いたします。

抹茶の科学～水の硬度が抹茶の泡立ちを変える～
５年Ｂ組 松井絵莉子
指導教員

櫻井 昭

１．要約
茶の湯を完成させた千利休の言葉とされる茶訓に「茶は服のよきように点て」がある。
お客様が飲みやすいお茶を点てなさい、ということである。
飲みやすいお茶、つまりおいしい抹茶とはどのような抹茶なのか。
抹茶は茶筅で点てるので、おいしい抹茶とは泡立ちのよい抹茶なのではないかと仮説を立てた。そこで、味覚と泡立ちの関係、泡立ちと水の硬度の関係を分析した。その結果、泡立ちがよいとおいしいと感じる人が多く、泡立ちがよい水には最適な硬度があることがわかった。また、水の硬度の算出に用いるイオンである Ca2+と Mg2+の濃度を変えた水を用いて、泡立ちを調べることにより、抹茶の泡立ちは、水の硬度に依存していることを裏付けることができた。さらに、抹茶を泡立たせる茶葉成分の抽出量が、水の硬度により異なることを突き止めた。
キーワード

抹茶、泡、水の硬度、マグネシウム、カルシウム、茶葉サポニン

２．研究の背景と目的
私は茶道同好会に所属し活動している。
お客様に最高のおもてなしをするために、※水の硬度は一般的に以下の方法で算出されている硬度(mg/L)＝Ca 量(mg/L)×2.5

おいしい抹茶を点てるにはどうすればよい＋Mg 量(mg/L)×4.1

かを科学的に検証した。
一般的に抹茶（薄茶）を点てるのには硬どの程度の硬度の水が抹茶を点てるのに度の低い軟水が適しているとされ、沸騰さ適しているのか、水の硬度に注目して、実せた後、70－85 度に冷ましてから使用する験した。

のがよいといわれている（[1]参考）。
WHO 飲料水水質ガイドラインで硬度は３．実験内容以下のように分類されている。

３．１ 味覚実験

・軟水は硬度 0－60 未満

3.1.1 実験仮説

・中程度の軟水は硬度 60－120 未満

日本の水のほとんどが軟水で、ヨーロッ・硬水は硬度 120－180 未満

パや北米には硬水が多く存在する。日本は・非常な硬水は硬度 180 以上

国土が狭く地層に浸透する時間が短く、ヨーロッパや北米の大陸では地層に接する時

水道水と硬度 30 の味見実験では、味にあ間が長いことが、軟水と硬水を生み出す原

まり差がないと答えた人が 6 割でどちらが因のひとつとされている。また、主に旨み

おいしいかの意見もわかれた（グラフ１）。

を味わう日本茶には軟水が、主に香りを楽

また、抹茶の泡立ちや泡の細かさに差はな

しむ中国茶や紅茶には硬水が最適だとされかった（写真１）。

ている（[2]参考）。

水道水と硬度 1468、硬度 30 と硬度 1468

抹茶の場合も日本茶と同じように軟水がとの比較では 8 割～9 割の人が硬度 1468 の適しているのではないかと予想し、実験を方が苦いと答えた。硬度 1468 のほうがおい開始した。

しいと答えた人は、普段から苦味を好む人であった（グラフ１）。硬度 1468 で点てた

3.1.2 実験方法
硬度の異なる水で実際に抹茶を点て、硬度による味の違いを、人の味覚を用い調べ

抹茶は、水道水や硬度 30 で点てた抹茶より
泡立ちにくく、泡の大きさが不均一であっ。
た（写真１）た。硬度の異なる水として、硬度 30（市販の水）、奈良県の水道水(硬度 40 度台)、硬硬度約 40

硬度 30

硬度 1468

度 97（市販の水）、温泉水(硬度 約 150)、（水道水） （市販の水） （市販の水）

硬度 304（市販の水）、硬度 1468（市販の水）の 6 種類の水で比較した。手順は下記のように行なった。
①抹茶茶碗に抹茶の粉を二杓入れる。実験

写真１には、苦味が少なく、色鮮やかとされる抹茶を使用する。

(人)②①にお湯(ポットで一度沸騰させ、80 度に設定)を柄杓の半量入れる。
③それぞれ、20 秒間、茶筅（百本立）で抹茶を点てる。
④味見協力者（12 歳～78 歳）に味を比較してもらう。口の中を同じ条件にし、また抹茶の味を引き立たせるため、抹茶を飲む前に同じ落雁を一人一つずつ食べてもグラフ 1らう。また、味見協力者には水の種類は

水道水、硬度 30、硬度 1468 の比較

伝えずに行った。

どちらがおいしいと感じたか

3.1.3 実験結果

3.1.33-2 硬度 30 と温泉水（硬度 約 150）

3.1.3-1 水道水（硬度 40 度台）、硬度 30、の比較

硬度 1468 の比較

温泉地で見つけた飲泉用の温泉水で抹茶を点てるとどうなるのか、試してみた。

どが挙げられた。また、硬度 304 で点てた

3.1.3-1 で水道水と硬度 30 には、泡立ちと抹茶は後味が気になったという意見が多か

味に差がないことがわかったため、硬度がった。硬度 97 は最も泡立ちやすく、また最

安定している硬度 30 の市販の水と比べるも泡がきめ細かくなった（写真３）。

ことにした。温泉水が塩っぽいのでおいし
いと感じると答えた人は 10 人中 6 人で、4
人は温泉の独特の匂い、味でおいしくない

硬度 30

硬度 97

硬度 304（市販の水） （市販の水） （市販の水）という意見が出た（グラフ２）。温泉水は硬度 30 より泡立ちやすく、泡がさらにきめ細かくなった（写真２）。
写真３
硬度 30

硬度約 150（市販の水）

（温泉水）

(人)

写真２

(人)

グラフ３
硬度 30、硬度 97、硬度 304 の比較
どれが最もおいしいと感じたか

3.1.4 実験考察
水道水と硬度 30 でそれぞれ点てた抹茶に差がなかった理由は、奈良県の水道水のグラフ２

硬度 30 と温泉水の比較

どちらがおいしいと感じたか

硬度は平均 40 台であるため、硬度 30 と硬度が同程度であるからだと考えられた。
温泉水の泡立ちがよかった理由を、硬度3.1.33-3 硬度 30 と硬度 97、硬度 304 のによるものではないかと考え、温泉水の硬比較度を求めることにした。

硬度 30、97、304 の味見実験では、硬度

温泉水の硬度を計算式により計算してみ97 が 1 番おいしいと答えた人が 14 人中 9

ると約 150 で、硬度 30 と 1468 の中間の硬人であった（グラフ３）。その理由に柔らか度であることより、硬度が高いほど泡立ち

い茶の味がした、まろやかな味がした、なが悪くなるわけではないことがわかった。

温泉の独特の匂いや味のない、硬度 30 から大きかったのは、硬度 304、硬度 30 の順だ

1468 の間の硬度の水であれば、泡立ちのよった。硬度 1468 では泡立ちが１番悪く、生いおいしい抹茶を点てることができるので成された泡の容積も 1 番小さくなった（写はないかと考えた。そこで 3.1.3-3 の実験

真４）。

を行った。その結果、硬度 97 が一番おいし
いと答えた人が多かった。また、硬度 97 のとき一番泡立ちがよく、泡がきめ細かくなったため、抹茶の泡立ちがよければおいし
いと感じる人が多いと推測した。
３．２ 水の硬度と泡の容積
3.2.1 実験仮説
抹茶の泡立ちがおいしさに関連すると考えられるため、硬度の異なる水（硬度 30～

写真４ メスシリンダーに流し入れた1468）で抹茶を点て、抹茶の泡立ち方に違

泡立て直後の抹茶いが生じるか調べることにした。最もおいしいと答えた人が多かった硬度 97 付近の水で点てた抹茶が最も泡立ちがよいと予想

時間が経っても 4 種類とも泡の容積は比較的保たれていた（グラフ４）。

した。
3.2.2 実験方法
①抹茶 0.5g にポットで沸騰させ、80 度に設定した水 50ml を入れてそれぞれ、20
秒間、茶筅（百本立）で抹茶を泡立てメ
スシリンダーに全量流し入れる。
②直後に全体の容積に対する泡の容積の割合を比較する。

グラフ４ 経時的変化③泡の容積が時間経過によって減少するかどうか、時間の経過とともに泡の容積と全体の容積の割合を記録する。

3.2.3-2 硬度 30～1468 比較
抹茶の泡立ちに最適な硬度を見つけるた
めに、ほかの硬度の水でも抹茶を点てて全3.2.3 実験結果

体の容積に対する泡の容積の割合を比較す

3.2.3-1 硬度 30、97、304、1468 比較ることにした。（グラフ５）。その結果、硬抹茶を点てたときの印象どおり、硬度 97

度 56～97 で点てた抹茶がよく泡立ったたのとき一番泡立ちがよく、生成された泡のめ、中程度の軟水が最適であることがわか

容積が最も大きくなった。次に泡の容積がった。

*:ttest(vs 30)p<0.05 **:ttest(vs 30)p<0.01てた抹茶の泡立ちがよかったことから、水の硬度が泡立ちに関連していることがわか*った。水の硬度を決定する Ca2+と Mg2+が抹茶の泡立ちに関与していると考えられた。
３．３ イオンと泡の容積
3.3.1 実験仮説
水の硬度が泡立ちの差異の原因なのか、
水の硬度の算出に用いる、Ca2+と Mg2+の抹茶の泡立ちへの影響を調べることにした。

グラフ５ 水の硬度による泡立ちの違い

抹茶の泡立ちが最もよくなる Ca2+ 濃度とMg2+濃度が存在すると予想した。

3.2.3-3 確認実験
水の硬度を知らせずに抹茶を点てても同3.3.2 実験方法

じ結果になるのか確かめるために、茶道経①純水に CaCl2 を加え、濃度の異なる水溶験者 A（76 歳女性）
、B（51 歳女性）に実

液 を つ く る 。（ Ca10mg/L ・ 20mg/L ・験協力をお願いした。硬度 30 と硬度 97 の40mg/L ・ 80 mg/L ・ 100mg/L ・2 種類の水で 3.2.2 と同様に抹茶を点てて200mg/L・400mg/L）

全体の容積に対する泡の容積の割合を比較②純水に MgCl2 を加え、濃度の異なる水溶した。3.2.3-1, 3.2.3-2 の結果と同じく、

液 を つ く る 。（ Mg2.5mg/L ・ 5mg/L ・

実験協力者 A、B ともに硬度 30 より硬度10mg/L・20 mg/L・40mg/L・80mg/L）

97 の方がより泡立った。

①②ともに市販の水の Ca2+濃度、Mg2+濃度を参考に設定した。
③それぞれ濃度の異なる水溶液で 3.2.2 と同条件で抹茶を点てて、メスシリンダーに全量流し入れ、直後に全体の容積に対する泡の容積の割合を比較する。
3.3.3 実験結果
Ca2+濃度によって、抹茶の泡立ちは変化
し、１番泡立ちがよかったのは、40-80mg/L
であった（グラフ７）。硬度計算すると、

グラフ６ 水の硬度による泡立ちの違い

40(mg/L)×2.5＋0(mg/L)×4.1=10080(mg/L)×2.5＋0(mg/L)×4.1=200

3.2.4 実験考察
他の硬度の水に比べて、硬度 56～97 で点で前者の方は、3.2.3.2 の最適硬度とほぼ一致した。

泡立ちに影響するイオンであることがわかった（グラフ９）
。

10

20

40

80

100

200 400(mg/L)

グラフ７ Ca2+濃度と泡の容積

5

10

20

40

Mg2+濃度によって、抹茶の泡立ちは変化
し、一番泡立ちがよかったのは、20mg/L

グラフ９ Na+濃度と泡の容積であった（グラフ８）。硬度計算すると0(mg/L)×2.5＋20(mg/L)×4.1=82で、3.2.3.2 の最適硬度と一致した。

３．４ 水の硬度と茶葉サポニン溶出量
3.4.1 実験仮説
抹茶の茶葉中に含まれる成分には以下のものがある。
テアニン

アミノ酸のうち、茶葉中のみに含まれるテアニンの味はよく上品な旨みと表現される
タンニン

カテキン類で、渋み・苦味の要素とされている

2.5 5

10 20 4080
※抹茶の茶葉はある一定期間黒い覆いをか

グラフ８ Mg2+濃度と泡の容積けて育てられ、渋みの成分(タンニン)が少なく、旨み成分(テアニン)の多い、抹抹茶の泡立ちには Ca2+と Mg2+が適量必要であり、過剰だと阻害することがわかっ茶に適した高級茶葉になる（覆下栽培）（写真５）。

た。水の硬度が抹茶の泡立ちに影響を与えていることが裏付けられた。
また、温泉水（ナトリウム－塩化物泉）
が硬度が約 150 と高めであるにも関わらず、泡立ちがよかった理由に Na+が関係していると予想した。そこで、Na+の量を変えて純水に加え作成した水溶液で抹茶を点てて同様に比較した。その結果、Na+も抹茶の写真５ 覆下栽培

カフェイン

すっきりした苦味で茶を較する（[3]参考）。

飲んだあとの爽快感 を与えてくれる
サポニン 水に混ぜると溶解し、ふり混
ぜると石鹸のように泡が立つなどの界面活性作用がある

3.4.3 実験結果
抹茶の泡立ちが最もよい硬度 97 の液相
中では、茶葉サポニンが最も多く溶出された（表１）。次に硬度 30、硬度 1468 の順で水の硬度が抹茶の泡立ちに影響を与えあった。茶葉サポニンの溶出には、水の硬る理由に、抹茶の泡立ちに関係する茶葉中度に関係するイオンが、影響を与えることのサポニンが関係している可能性があるがわかった。

と考えた。泡立ちが最もよかった硬度 97
において茶葉サポニンが最も多く溶出さ

表１ 吸光度（490nm）の測定結果れると予想して、水の硬度によって茶葉サ

1 回目

2 回目

3 回目

ポニンの溶出量に差があるのかを調べる

硬度 30

0.213

0.257

0.261

ことにした。

硬度 97

0.269

0.263

0.308

3.4.2 実験方法

硬度 1468

0.207

0.236

0.238

①硬度の異なる 3 種類の水（硬度 30、硬度 97、硬度 1468）を用い、実験 3-2-2と同条件で抹茶を点てる。

４．考察
今回の実験により、抹茶に使用する水の②抹茶液 2ml（硬度 30、硬度 97、硬度 1468

硬度は、抹茶の味に影響を与えることがわ

で点てた 3 種類の抹茶液それぞれ液相部

かった。その理由のひとつに水の硬度によ分から採取）を固相抽出カラム（Sep-Pakって抹茶を点てたときの泡立ちに差がある

Plus C18 カートリッジ：Waters）に注入ことがあげられる。抹茶の泡立ちには、Mgする。

と Ca が適量必要であり、過剰だと阻害す③蒸留水 8ml を流して水溶性ペクチン画分を除去する。
④20％メタノール水溶液 15ml をカラムに通してカテキン類を除去する。
⑤80％メタノール水溶液 5ml を通して茶葉
サポニン画分を回収する。

ることがわかった。
一般的に抹茶の泡立ちに欠かせないもの
は 3 つある。まず、1 つめは、抹茶茶碗と茶筅である。抹茶を点てる際、茶碗からの適度の反発力を受け、竹製の茶筅が変形しながら泡立ちに有効的に働く。茶碗内面に⑥茶葉サポニン画分をエバポレーターにてある凹凸により茶筅の先がはね、この振動

濃縮乾固後、蒸留水 4ml に溶解する。

が味を損ねずに抹茶を撹拌・溶解する（[4]⑦試料液 1ml に 5％フェノール水溶液 1ml参考）。私は、実際に抹茶茶碗ではない内面＋濃硫酸 5ml を加え、80℃で 30 分間処が平滑なガラス容器で抹茶を点ててみたが、理する。

ほとんど泡立たなかった（写真６）。

⑧室温に戻した反応液の吸光度（490ｎｍ）を測定することで茶葉サポニン含量を比

3 つめは、茶葉中のサポニンである。今回の実験より、水の硬度に関連するイオンが適量あると茶葉サポニン溶出を促進し、過剰であると溶出を抑制することがわかった。
水の硬度が抹茶の泡立ちを変える理由は、水の硬度に関連するイオンが抹茶茶葉中のサポニン溶出に影響を与えているためだと
写真６ ガラス容器で点てた抹茶考えられる。
また、Na については大豆サポニンが※今回のすべての実験は、毎回、同条件にNaCl の添加によって、界面張力を低下させするため同じ抹茶茶碗と茶筅を用いて実。同様に茶葉るという報告がある（[6]参考）験した。

中のサポニンが NaCl の添加によって抹茶の界面張力を低下させ、液体の中に空気を

2 つめは、石臼で挽いたきめ細かい抹茶である。てん茶（抹茶に挽く前の原茶）を抱え込むことになり、泡立ちをよくした可能性も考えられる。

石臼で 10 数μm 前後の粒子に挽く。微細先行研究では、水の硬度が低ければ低いに挽くことによって粒子数が増加して泡立ほど抹茶の泡立ちがよいという報告（[7],ちやすくなる（[5]参考）。私は、実際にすり[8]参考）があるのに対して、実際に抹茶を鉢・すり棒で粗挽きしたてん茶を点ててみ

点てた本研究では、抹茶の泡立ちには最適たことがあるがまったく泡立たなかったな水の硬度があることを発見した。

（写真７）
。

５．結論
中程度の軟水で点てた抹茶は、抹茶の泡立ちに関係する茶葉サポニンが多く溶出されるため、泡立ちがよい。よって、おいしい抹茶を点てるには、中程度の軟水を選択すればよい。

６．歴史：茶の湯と名水
古くから茶の湯に利用されてきた名水で
写真７ 泡立たない粗挽きてん茶

抹茶を点ててみた。
①離宮の水（大阪府島本町）※今回のすべての実験は、毎回、同条件にするため同じ抹茶を用いて実験した。

②御井の清水（兵庫県淡路島）
どちらも泡立ちがよく、泡がきめ細かくなった。メスシリンダーに流し入れたところ、どちらも硬度 30 より 1.15 倍泡立ちが８．参考文献よかった。水の硬度を調べてみたところ、[1] 小山園 抹茶の点て方①は硬度約 87、②は硬度約 97 であった。
茶人が好んで使用してきた水は、今回のhttp://www.marukyu-koyamaen.co.jp/[2] エビアン ミネラル量と水の硬度
http://www.evian.co.jp/water/type/04

実験結果と一致する中程度の軟水であり、抹茶に適していると科学的に実証できたと
思う。

[3]

「緑茶浸出液中の茶葉サポニンと水溶性ペクチンの分析」、島田和子、日本家
政学会誌(2003)

７．今後の課題と展望
茶筅を使うことにより、茶葉の中にある味に芳しくない不可溶性の物質、タンニンなどは、液から逃れようとして液体の表面に移動する。そのとき、泡は水の表面そのものであるから、きめ細かい泡が多いと抹茶の味を阻害する成分の逃げ場所が増え、[4] 「茶の湯の科学入門」、堀内國彦、淡交社(2010)[5] 「粒度の異なる抹茶の起泡性と泡沫径」、
沢村信一 他(2012)[6] 「大豆サポニンの界面活性」、合谷祥一、
山野善正(1991)[7] 「抹茶の起泡性に及ぼす NaCl，

抹茶の味がよくなるとされる（[4]参考）。今

CaCl₂，MgCl₂，脂質の影響」、前田昭

後は、このタンニンをはじめ、テアニン、子、日比善子、早川史子(1998)

カフェインなどの茶葉中の味に影響を与え[8] 「水の硬度が抹茶の起泡性に及ぼす影る成分と水の硬度との関係について検証し響」、池田博子(2006)てみたいと思う。
抹茶に適した水の硬度があることと同様

９．謝辞に他の飲みものや食べものにも適切な水の茶道同好会部員をはじめとする味覚実験

硬度が存在すると考えられる。例えば、コに協力していただいた方々、そしてこの研ーヒーの香り成分や出汁の旨み成分の抽出

究、論文作成につき指導していただいた櫻など、世の中の飲食物を調理する際に使用

井昭先生にこの場をかりて御礼申し上げまする水の硬度を変えることでよりおいしくす。

なれば、豊かな食生活を人々に提供することができると思う。

活

動

報

告

ISSS（TJ-SSFタイ政府主催科学フェア）参加報告
2015年度は国際交流事業ISSSとして、タイで開催されたサイエンスフェアである
TJ-SSF（Thailand-Japan Student

Science Fair 2015 “Seeding Innovations throughFostering Thailand-Japan Youth Friendship”）にサイエンス研究会4, 5年生5名が参加しました。化学班がサイエンス研究会を代表して、ポスター発表「Dye-sensitized solar
battery experiment」を行いました。
期間2015年12月20日(日)～24日(金)会場

Princess Chulabhorn Science High School Phetchaburi（以下、PCSHS-P）

参加校

日本25校、タイ41校

参加者

５年Ａ組

稲石

大義、西本

４年Ｃ組

出水

明日香、中谷有里、４年Ｂ組

山田

莉彩、

駿介

日程（タイでの活動）
月日

訪問先等(発着)

時刻

実施内容

宿泊地

12/21

関西国際空港発

深夜TG673バンコク行き

生徒

(月)

バンコク国際空港着

早朝

バンコク到着寄宿舎

PCSHS-P

午後

PCSHS-P到着

教員

文化交流

ホテル

オープニングセレモニー

同上

12/22

PCSHS-P

午前

(火)
12/23

講演会
PCSHS-P

午後

ポスタープレゼンテーション

全日

口頭発表会（グループ別）

(水)

同上

ポスタープレゼンテーション
夜

天体観測

12/24

環境研究所

午前

フィールドトリップ(木)

PCSHS-P

午後

まとめ・発表12/25

PCSHS-P

3:40発

先方手配送迎車にて移動(金)

バンコク国際空港発

11:00発TG672関西空港行き直行便

関西空港着

18:10着帰国

このサイエンスフェアで化学班がポスター発表を行った「Dye-sensitized solar battery experiment」の概要が次ページにあります。英語でのプレゼンテーションを堂々と行い、タイの生徒とも積極的に交流しました。

同上Thailand – Japan Student Science Fair 2015
“Seeding Innovations through Fostering Thailand – Japan Youth Friendship”

Dye-sensitized solar battery
experimentIntroduction
Since the Great East Japan earthquake occurred,
nuclear power plants in Japan have been stopped
due to safety concerns, causing shortages ofpower in many regions. These days we have tosecure energy sources, and we realized that solar
power may be a solution.

NISHIMOTO Yuri
INAISHI Tomoki
Instructor MUSO Tomoko
Instructor KOSHINO Shozo
Nara Women’s University Secondary School,
Nara, 630-8305, Japan

Abstract
The organic dye-sensitized batteries werestudied. These batteries make voltage by titaniumoxide’s ability to absorb ultraviolet rays which
excites electrons to create charges. It is said that it
becomes possible to generate power by not only
ultraviolet rays but also by light whose
wavelength is longer than ultraviolet by mixing
organic dye with titanium oxide. By changing
how to make the titanium oxide paste and using
these properties, we expected to generate morevoltage. When we made the sample, we added
only Polyethylene glycol into the titanium oxide
paste and then heated the mixture, which changed
the thickness. To study the relationship between
the thickness and electromotive force, we heatedthem. However, the surface of the paste of thesample which contained only Polyethylene glycol
cracked and peeled off from the glass substrate
when it absorbed the dye, so it did not work as
expected. Then, we had doubts about themethodology of adding only Poly-ethylene glycol
to the paste and continued our research by
studying other methods of making the paste. So,
we decided that instead of focusing on the old wayof making the paste by using Polyethylene, we
decided to use acetic acid.
Keywords: dye-sensitizedtitanium oxide, acetic acidsolar

battery,

Solar batteries can generate semi-permanent
power in any location if there are the facilities
which are required. Solar power is different fromthermal power or nuclear power generation, and it
is good for the environment because it does notproduce any toxic gases or liquids. On the other
hand, current solar batteries are said to be
dangerous if the building in which it is locateddoes not meet the earthquake resistance standards,
so many wooden buildings are not suitable sites.
Furthermore, the color is dark, so places in whichthese can be located is limited. So we thought that
if we could produce a small, light, clear battery we
could position them in different places such as on
windows or walls and produce more electricity.
One type of solar battery, that we studied, that canachieve this purpose are dye-sensitized solar
batteries. Dye-sensitized solar batteries don’t
require expensive materials, can be made at low
cost, and plastic can be used as a base, so we canmake them lighter and smaller. With theseadvantages we can also place them where we can’t
place them now. In addition, we can make semitransparent or change its color, through altering
the pigments, some groups are investigating
alternative designs. For example, with a clear
solar battery, they can be placed on widows,
without impacting the view.
Last year we studied about the relationshipbetween a paste’s thickness and the electricity
which is generated. This year we changed thematerials of the paste, and determined that the best
condition is that of using fine crystals of TiO₂
which become a porous structure and the surface
area becomes larger which can absorb the pigment
better. This time we mixed Polyethylene glycol
which is a type of polymeric material into the TiO
₂ paste.

How to Produce Electricity

Figure 1
As shown in Figure 1, dye-sensitized solar
batteries are constructed by using a transparent
electrode organic pigment which absorbs visible
rays. The TiO₂’s porous structure which connects
the organic pigment electrolyte solution contains
I- and the opposite cathode which is covered bya black lead. This dye sensitive solar battery
principle of power generating occurs like this:
1. The organic pigment absorbs visible rayscausing the electronics which is in thepigment to excite and go into the TiO ₂
coating.
2. The electrons on the transparent electrode
move to the opposite cathode through theoutside circuit.
3. I3- which is the electrode solution gets
additional electrons which have reached to the
opposite cathode and change into I-.
4. On the other hand, the organic pigment whichlost electrons becomes oxidized and getselectrons from I- which are in the electrolyte
solution and regenerates.
When these reactions are constant, direct current
is produced. Because of these processes, dyesensitized solar batteries produce electricity fromlight.

Materials and Methods
The first step is to establish the best way to
produce TiO₂ crystals. The other factors, suchas the color of paste, should be considered afterthat.
The objective of the following three experiments
is to find the best TiO₂ crystal construction.
Overview
Experiment I
In the experiment I, the focus is to be put on thethe thickness of TiO ₂ paste coating thetransparent electrode.
We tested the pastes of three different thickness
with the three different heating powers.
We also used two different
temperaturesapprox.80 ℃ and 120℃ when baking the paste.
However we couldn’t collect reliable data. That’s
because we couldn’t make exact measurement of
the heating power .
Experiment II
In the experiment II, the focus is put on toestablish how the differences in thickness of thepaste and heating power used in making the paste
affect the amount of generated power. We
measured how much power is generated from thesix different batteries A to E with six different
pastes in thickness and heating power. Cracks on
the surface of the paste is to be examined.
Experiment III
After Experiment II, we realized the need of anadditional experiment, which is Experiment III.
That is because the result of Experiment II istotally different from our expectations. In
Experiment III, we tested three different
substances to be put in the paste. We measured thethree different batteries and measured how much
power is generated.
Experiment I
Objective
To find the best thickness of the paste under somedifferent conditions
Hypothesis
The thinner paste has the less number of cracks.
Materials
The powder of TiO ₂ (8g), PEG(4g), Purewater(16g), Detergent (including 42% surface
active agent), Ethanol
Preparation(1) Produce TiO₂ paste[1.]Melt PEG in water[2.]
Make20% PEG solution.
[3.]
Churn TiO₂ and PEG for 30minutes.
[4.]
Put the mixture in the bottle with asyringe.
(2) Cleanse conducting glass with three kinds ofliquid: a) five fold dilution of detergent b)pure
water c) ethanol•Pick the conducting glass with a tweezer andwash it by shaking it in the liquid.
•In the same way, cleanse the tweezer and theglass stick.

Thailand – Japan Student Science Fair 2015
“Seeding Innovations through Fostering Thailand – Japan Youth Friendship”

Procedure(1) Coat conducting glass
1. After washing the glass, stick tape as shownin Figure 2 on the conducting side.

Figure 2
2. After shaking the bottle, put the paste on theglass.
3. Make the thickness even and remove thebubbles by sliding the glass stick.
(2) Bake TiO₂ paste
1. Put the glass with the paste on the stainlessboard not to be heated directly. In addition,
put the windshield around the glass.
2. Bake it by Gus burner for 20 minutes.
3. Cool it to normal temperature for 15
minutes.
Below is the tale to indicated the combination of
the different thicknesses and the different heating
powers.

Table 1
Observation
Several cracks were spotted on the surface ofevery paste.

Figure 3
We observed the size and condition with an
optical microscope. Below is the sketch of themon Figure 3, and the graph about crack’s size on
Figure 4.

Figure 4
Experiment II
Objective
To confirm that the paste with the fewer cracks
produces the larger amount of electricity
Hypothesis
The paste with the fewer cracks produces thelarger amount of electricity.
Materials
Pentax of mallow blue (0.5g), Pure water (20ml),
Electrolyte solution which include Iodide ion,
Pencil (6B)
Preparation(1) Dye extraction
1. Added water 20ml to Pentax of mallow blue
and left it for 10minutes.
2. Take out the Pentax with squeezing.
(2) Adsorption
Take the pigment by a tweezer , put it on the TiO
₂ coat 3 or 4 drops and left it for 10 minutes.
(3) Making of electrodes
Coat the conduction surface by painting with apencil, holding the glass with a tweezer.
(4) Building batteries
1. Put the glass with black lead on the glass
covered with TiO ₂ paste and absorbed
pigment.
2. Hold an edge with a clip.
3. Add a couple of drops of electricity solutions
from the other edge and hold the other end
with a clip fasted.
Procedure1. Measure the amount of the power generated
by the batteries from A to B. We measured
their reverse voltage and resistance in two
situations, without light and with LED’s lightfrom the distance.
2. Measure the amount of electricity generated
from the pairs of the batteries. Because of thelack of equipment, we couldn’t measure thesix different batteries simultaneously, so wemeasured the three different pairs(AB,CD,EF) at the same time on differentdays.
3. In addition we grouped the six batteries into
two groups in terms of the sun light angles:
ABEF and CD. They have the totally opposite
angles.
4. We also made a difference between ABCD
and EF in terms of the timing to measure after
pouring electrolyte solution.
5. We measured batteries A, B, C and D incouple of hours after pouring it. On the other
hand we measured batteries E and F threedays after pouring it.
Observation
Measuring the batteries individuality
The table shows that the resistance value isn’t
stable. We recorded the maximum and theminimum. In the left side is the minimum, and in
the right side is maximum.
Date：A～D 12/25 12:30 cloudy
E,F 12/22 15:30

Without light, Most of their electromotive values
are near 0mV, and only in the battery wemeasured 5.0. There is a stark contrast between F
and the other batteries.
Under the LED light, most of them changed
positive cathode from the side of black lead to theside of TiO₂ coats .
Under the sun light, the side of black lead became
the active cathode. With LED light, theresistances inside the batteries became a little
smaller, and with sunlight, it became very smaller.
Measuring in same date and time
Date:12/25 14:45～ cloudy

Figure 5

Figure 6

Thailand – Japan Student Science Fair 2015
“Seeding Innovations through Fostering Thailand – Japan Youth Friendship”

Figure 7

Figure 8
The graphs 5-8 show the amount of electricity
generated under several conditions. The battery
A produced electricity but the battery B produced
little. (Figure 5)Both of the batteries C and D
produced electromotive force and the battery D
produced more. (Figure 6)
The batteries of larger number of crackers
produced the less amount of electricity. In
addition, when we shined from the side of blacklead, the active cathode changed from theoriginally side and became the TiO ₂
side.(Figure7) The electromotive force of thebatteries E and F without the light was far from
0mV.(Figure 8)
Experiment III
Overview
As shown in Figure 5-8, we measured the opposite
direction of electricity against our expectations.
So we decided to make an additional experiment.

We guessed that the temperature is closely relatedwith the peeling off. So we raised the heating
temperature to 450 ℃ . As a result of theexperiment it turned out that the temperature is not
the culprit. That’s because we couldn't see a big
difference
betweenthetwodifferent
temperatures. From this comes an inference that
other factors are involved.
Objective
To find the best substance to be put in the paste inorder to make the battery more effective
To confirm what is the best of the substances, suchas, acetic acid and PEG or the combination.
To confirm that TiO₂ peeled off when we poured
electrolyte solution, which adverse the electric
current.
Materials
7.5g of powdered TiO₂ , 15g of pure water, PEG
Preparation
Make three types of TiO₂ paste
1. The paste which includes only pure water.
Mix the 7.5g of powdered TiO₂ and purewater 15g for 30 minutes
2. The paste which includes only acetic acida. Make acetic acid 3% aqueous solution
b. Mix 15g of the Acetic acid solution and7.5g of the powdered TiO ₂ for 30
minutes
3. The paste which includes acetic acid andPEG. Mix 7.5g of powdered TiO₂ , 15g ofacetic acid 15g and 4g of PEG4g for 30
minutes.
Procedures
1. Put the paste on the glass
2. Put the paste in the same way as theexperiment I.
3. Bake TiO₂ paste
4. We heated the glass covered with TiO₂ paste
in electric furnace in 450c for 15 minutes.
5. Get together and absorb dye
6. We took them together like the experimentⅢ.
7. Power generation experiment
8. We measured electromotive force of threekinds under three situations; sunlight,
fluorescent lamp and no light
Observation
All of three batteries measured the biggest number
immediately after started measuring and kept the
number around minimum number. The battery(1) took very different number from others, so
there might be something wrong when wemeasured.

effective battery, it is crucial to make the paste asthin as possible.
As for the substance to be used in making thepaste, the use of both acetic acid and PEG is themost effective.
The types of light are also a very important factor
to be considered. Under the fluorescent lamp, thebattery produces less electricity than under thesun. That’s because the fluorescent light includes
less shorter-wavelength under ultraviolet rays.

Further challenge
A stable and effective battery requires electrolyte
to exist as long as possible without evaporating. It
might be possible to lower the melting point ofelectrolyte but it is also important to devise a good
way of preventing electrolyte from evaporating.
We also need to establish what color of dye is themost effective and how the dye is put in the paste.
In these experiments we coat the solid paste withthe dye. Another alternative is to put the dye in thepaste material before it is put into a mold.

A cknowledgment
We are grateful to Mr. Koshino and Ms. Muso for
helpful advice and support.

Conclusions
From these results, we confirmed that thethinner paste produces the larger amount ofelectricity. At the same time we find that the mostimportant factor to make an effective battery is thenumber of cracks on the surface of the paste. The
thinner paste produces the fewer number of thecracks on the surface. In order to make an2015年度
スーパーサイエンスハイスクール
サイエンス研究会

研究論文集

2016年(平成28年) 3月1日 発行
国立大学法人 奈良女子大学附属中等教育学校〒630-8305

奈良市東紀寺町1丁目60-1

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FAX 0742-20-3660
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