1 章
1.4 式(1.3)によって Fとなる。
ma 1200 3 3600〔 N〕

1.5 式(1.3)によって mF a

1.6 加速度 a は aってF

ma

50 / 0.02

3 2500600 3 200〔kg〕となる。
2500〔m/s2〕である。したがって式(1.3)によ7500〔 N〕となる。
1.7 出発の位置を原点 O として， x , y 軸を東，北の方向になるように座標系O
示でxy を定め，座標の単位を1m とする。現在の位置ベクトル r は成分表

r4i0

3 j0

2i0 6 j0 2i0 3 j0となる。全体の移動は東へ 2m ，南へ 3m となる。
2 章
2.4 作図の方法を用いる場合，合力 R は図のようになる。

RF3O

F1j0F2i0
成分表示の方法を用いる場合，図から

F1j0 , F2 2 i0 j0 , F3 i0 2 j0を得るので，合力 R は
R 4 2 1 i0
1 1 2 j0 7 i0 2 j0となる。この結果から，合力 R の大きさ R と，合力 R が横軸となす角 は
7R
7 2 2 2 7.28[N],cos 115.97.28となる。

4i0

2.5 腕の長さは dの大きさ N は

NOH

1.5 103sin301.5〔m〕である。したがってモーメント15〔 N m〕となる。
同じ問題を，力の成分を利用する方法で扱う。x , y 軸方向の力の成分 Fx , Fy10 cos 30 となる。 Fy はモーメントを生じないので，モーメントの大きさ N はN
3 10sin 3015〔N m〕
を求めると， Fx10sin 30 , Fyとなって，上の結果と一致する。
2.6 各力のモーメントを求め，加え合わせると，合モーメントの大きさ N はN

1 2 2 4 3 5 4 2 5 4〔3 N m〕となる。

３ 章
3.4座標系 OlxG0x を問題の図のように定めると，重心の座標 xG は2l2m l xdx

lm l xdx2m m5l6となる。重心の位置は，左端から 5 6 l の位置にある。

4 章
4.4

壁における水平方向，鉛直方向の反力を Rx , R y ，ひもに働く張力を T とする．力のつり合いの条件は，水平方向，鉛直方向の力に関して

Rx T cos 600T sin 60m 2m gRy0であり，点 O まわりのモーメントに関して

2l T sin 60mgl32mg l220である．これらの式を解いてTを得る．

72 3mg , Rx74 3mg , Ry

5mg4

５ 章
5.4 速度 v を与える式 v 3t 2 に tとなる。
つぎに平均速度 v$ を与える式v$23t2 を代入すると，求める速度 v は v

1223tに，問題の t の値を代入すると，問題の値の順に

v$

19.00, 12.61, 12.06, 12.01となって， t が小さくなるとき， v 12 に近づく。
5.5 速度 v ，加速度 a は，位置 x をそれぞれ時間について1回，2回微分して得られ，結果はv

e 2t 2 cos 3t 3sin 3t

ae 2 t 5cos3t 12sin 3tである。
5.6 速度 v ，加速度 a は，位置 r をそれぞれ時間について1回，2回微分して得られ，結果はv

et cos t sin t i0a2et sin t i0e t cos t sin t j02et cos t j0である。
位置ベクトル r に対し，速度 v ，加速度 a のなす角v, a は，内積を利用してcos v
cos ar v
rvr ara120で定められる。ゆえにどの位置でも，ベクトル r に対し，速度ベクトル v は
角度 v4 ，加速度ベクトル a は角度 a2 をなす。

６ 章
6.4 質点に働く動摩擦力は

Okmg である。投げた位置を原点とする座標系x を導入する。質点が静止するまでの間の運動方程式はd 2xm 2k mgdtである。初速度 v0 を考慮してこの式を解くと

dxdt

12v0 tkg t2となる。静止する時刻 t1 は dx dt 0 を満たす t として求められ t1g t v0 , xkある。求める距離 x1 はこのときの x として求められ x16.5 自動車の質量を m ，動摩擦係数をv0gでk2v0 2 kg である。

k と表すと，運動方程式は

2md xdt 2kmgである。初速度を v0 と表すと，速度 v と位置 x はvg t v0k12xgt 2kv0tとなる。したがって停止までに要する時間 t1 は

v0kg

t1であり，進む距離 x1 は12x1である。 v0t1v0kg

kg2v0

1 v0 22 kgv0kg

27 1000 60 60

7.5 と0.2 を用いるとk3.83[s],x1 14.3 mとなる。
6.6 目標位置を通る時刻を ta とすると，時刻 tta において，式(6.17)の x, yは xa , ya に等しくならなければならないので

v0 cos 60 ta

30v0 sin 60 ta19.8 ta 2 102が成り立たなければならない。この式の第1式からta30v0 cos 60を得る。これを第2式に代入すると

sin 6030cos 60

19.8230v0 cos 60を得る。これを満たす正の値を求めるとv0を得る。

20.5 m s210

７ 章

c 2 F0 v 2 を用いると，速度 v で表した運動方程式は7.4 抵抗力 Fdmdvdt

c 2 F0 v 2F0F0 1 c 2 v 2である。変数分離の方法に従って，この式をdvcv 1F0dtm

2 2112 cv 11dvcv 1F0dtmと書き直して積分すると

1cv 1
log2ccv 1F0t Cm2 cF0tcv 1
Ce mcv 1を得る。この式から
2 dcF0t

2 dcF0t

1 1 Ce mv
2 dcF0tc1 Ce mを得る。この式で tとするとv

1 1 Ce m
2 dcF0tc1 Ce m1cとなる。この速度のときの抵抗力は Fdc 2 F01c2F0 となって，物体に働く力 F0 とつり合う。
7.5 式(7.61)に問題の値を代入すると，

X0nk m1 を用いて11となる。横軸に2，縦軸に X 0 をとって振幅 X 0 とになる。図から

7.6 運動方程式はの関係を示すと図のよう1 の付近で振幅 X 0 が大きくなることがわかる。

d 2x9 x 2cos2 tdt 2である。 2 cos 2 t 1 cos 2t に注意して特解を求めると x 1 9 1 5 cos 2tとなる。したがって一般解は， a, b を任意定数として1 1x a cos 3t b sin 3tcos 2t9 5となる。 t 0 のときの条件を考慮して任意定数 a, b を定めると，質点の運動は

x14cos 3t45

191cos 2t5となる。

8 章
8.4 式(8.12)を用いると，角運動量 L は

Lr0 mv0 sin 90

40 1500 10600000 kg m 2 /sとなる。
成分表示の式を用いて同じ結果が得られることを示す。位置 x , y と速度成分 vx , v y は

xvx

40cos , y10sin , v yである。これらを LL40sin

x mv y10cosx mv yy mv x の式に代入すると

y mv x600 000[kg m 2 / s]となり， によらないで一定の値となる。
8.5 点 O を原点として座標系 Oxy を定めると，時刻 t における質点の位置x, y と速度 v x , v y は

xv0 t , yvxv0 , v y1 2gt2gtとなる。したがって式(8.18)によって，角運動量 L は

1 21g t mv0
mv0g t 222である。つぎに力のモーメント N は，腕の長さ x と重力 mg を掛けて
N v0 tmg
mv0g tLv0 tmg tとなる。これらが式(8.17)を満たすことは代入によって確かめられる。

９ 章
9.4 例題9.5と同じようにして

v2g h2 9.8 20

19.8[m/s]を得る。
9.5 力と移動方向のなす角度を とするとき

lcoslx2xh2である。したがって求める仕事 W はWl0lF0lx2xh2dxで与えられる。積分を求めるため lx2h2u 2 とおくと2 lx dx 2uduが成り立ち，仕事 W は

WF0hl2 h2duF0l2h2hとなる。

１０ 章
10.4 図に示すように，左の質点の初期位置を原点 O として，座標系 O定める。各質点の位置を x1 , x2 とすると，この質点系の重心の座標はxG

xを

m1 x1 m2 x2m1 m2である。外力が働かないので，式(10.6)から，重心の運動方程式は

d 2 xG
dt 20となる。この式から，重心 xG は

xG

C1t C2となる。ここで任意定数 C1 , C2 は初期条件によって定められる。この式によって，重心 xG は等速直線運動をすることがわかる。

km1Ox1m2x2xつぎに質点1,2のそれぞれの運動を求める。ばねが伸び縮みしていなければx2 x1 l である。ばねの伸び e は e x2 x1 l である。質点1,2に働く力はke, ke である。したがって質点1,2の運動方程式はd 2xm1 21 k x 2 x1 ldtd 2 x2m2k x 2 x1 ldt 2となる。この式を辺々加え合わせると，重心の式が得られる。この式の解は上に求めた通りである。上式から e の式を導くため，第1,2式を m1 , m2 で割り，第2式から第1式を引くとd 2edt 21m11kem20得る。この式はばねで支えられた質点と同じ式となっており，この式の解 e は，a, b を任意定数として

ea cosnとなる。ここでnt b sinnt

k 1 m1 1 m2 である。任意定数 a, b は初期条件によって定められる。
上で求めた xG と e の式から x1 , x2 を求めると

x1xGm2l
m1 m2exGm2l
m1 m2a cosnx2xG

m1l
m1 m2exG

m1l
m1 m2a cosnとなる。

１１ 章
11.4 慣性モーメント I y , I y , I y は

Iy
Iy
Iy

2m 2x dx0 ll 2mx 2 dx0 ll mx 2 dx0 llとなる。

11.5 定義式に基づいて

m 2x dx 3ml 2lll mx 2 dx ml 20 l2l 2mx 2 dx 5ml 2ll2lt b sinntnb sinttbIx0aIy0

1 3ab31 3ab3y 2 adyx 2 bdx1Mb 231Ma 23を得る。平行軸の定理を用いてIxhM2Ix2, IyIyhM22によって求めることもできる。

１２ 章
12.4

点 O に関する棒の慣性モーメント I は

M 2x dx0 llI

1M 3l3 l1 2Ml3である。運動方程式は

1 2 d21MlM g l sin023dt2となる。近似式 sin ≒ を用いると，運動方程式は
d23g02dt2lとなる。この式の一般解は， a, b を任意定数として
a cos n t b sin n tである。ここで

Mgl2I Onである。 t3g2l0 において0cosn0, d dt0 を用いると，求める自由振動はtとなる。

M 21x dxMl 2 である。
l12平行軸の定理によって，点 O に関する慣性モーメント I は
1 2I I G Mh 2l h2 M1212.5

重心 G まわりの慣性モーメントは I Gl 2l 2となる。運動方程式はId2dt 2M g h sin0である。この式に近似式 sin ≒ を用いると，固有角振動数nは

MghInとなる。つぎに

12gdh

1 2l h212n の最大値を求めるため，

2dghd2ndh を求めると

l 2 12h 22l 2 12h 2となる。これが0になる条件から，求める距離 h は

1l ≒ 0.289 l12hとなる。

補 章
A1A1.3

求めるベクトル積 A B , BA Bi0

B A

2 j0k0Aは
i0 3 j02k0i0 3 j0 5k02 k0i0k0i0 3 j0 5k0i0 3 j02 j0である。この結果は式(1.22)の交換法則

A BB Aを満たす。
A1.4

式(1.21)によって

A B
AB

cos

2 i0
2j0 k 022121となる。したがって求める角 は
A1.5Ci0k0221 130 となる。

2 16232

はじめにスカラー積を利用して求める。求めるベクトルを
Cx i0 C y j0 C z k0 とおく。これがベクトル A, B と直交するため，条件

A C0, B C 0 が成り立たなければならない。この条件は2C x C y C z 0

CxCz0となる。またベクトル C の大きさが1 になるための条件はCCx 2 C y 2 Cz 21である。上の3式を連立させて解くと

Cx1, Cy31, Cz31あるいは C x31, Cy31, Cz313を得る。したがって求めるベクトルは

1i03Cj0 k0である。
ベクトル積を利用する場合は，ベクトル積 A B の大きさを１にすればよい。ベクトル A, B のなす角6 を用いると，求めるベクトル C は

2 i0A BAB sin6Cj0k0i0k0i06 2 12j0k03となる。ベクトル A, B のなす角 が求められていないときは，まずA B

2 i0j0k0i0k0i0j0k0を求める。このベクトルの大きさは 3 であるから，上式をこれで割れば求めるベクトルとなる。

A2A2.3 与えられた a, b を2辺とする直角三角形を考え，c と を問題に与えられたように定める。これを用いると a c cos , b c sin となり，加法定理によってa cosb sinc cos cosc sin sinc cosとなる。

A3A3.3A3.4

14 2 x 5dydx(1)dydx(3)dydxx

2 におけるこの曲線の勾配は y 23x 43(2)3cos 2 x sin xcos x
1 sin x2 である。したがって点2,3 を通ってこの勾配をもつ直線の方程式はy2 x 23 2x 1となる。
A3.5 長方形の隣り合う2辺の長さを x , y とすると， 2 xつ。長方形の面積 S は

Sxyx 2lxである。これを x で微分して0とおくと

2y4l が成り立dSdx

2l 2 x0を得る。この式から， x l のとき面積は最大となることがわかる。 x l のとき y l となるので，面積が最大となるのは x y l ，すなわち正方形のときである。

A4A4.3

積分定数を省略してつぎの結果となる。

(1)

12x 21(2)4 2x 3(3)21
sin ax ba1x 11 cos 2 x を用いて sin 2 xdx
sin 2 x C
22 4
1x 12(2) cos x
1 cos 2 x を用いて cos2 xdx
sin 2 x C
22 41(3) sin mx cos nx
sin m n x sin m n x を用いて
211sin mx sin nxdx
cos m n xcos m n x C2 m n2 m nA4.4A4.52(1) sin x(1) S3(2) S

1113x33 12x dx

1dxx3log x 1

13(3) SA4.6

32x 32263log 3dx

12 2x 3x の位置における高さ y は yS

2aa20となる。

2201a2245x 2 である。したがって面積 S はx 2 dxである。この計算を行うため， xで

S3a 2 cos 2 udu

1 2a2a sin u とおくと dxa cos udu となるの