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2023/5/25

第3章

交流と R-L-C 直列・並列回路

ここから交流回路に話を移していく。交流の基礎的な理解をもとに、R、L、C に交流を加えたときのインピーダンス、電流電圧の位相について理解する。さらに、R、L、C を含む直列および並列回路における、有効電力、無効電力、力率の計算に話が及び。この三章を理解することで、交流でのこれら素子のふるまいについて概念構築ができ、それは実用的な電気送電を学ぶための下地になるだろう。

−2𝜋𝜋𝑡𝑡0 ⁄𝑇𝑇で表される。

１．交流信号

下の図は 100V で 50Hz の交流波形を交流信号は正弦波であり、位置を含まない時間だけに依存する波の式で表され例として表している。50Hz なので周期 Tる。仮に、振幅を VM としたときに、波のは 0.02 秒になる。この例では位相角θは瞬時値は次のように書くことができる。

π/4 になる。波形の最大値を振幅という。

𝑉𝑉(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉𝑀𝑀 sin (𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜃𝜃)

最大値 VM を1⁄√2した値を実効値という。
実効値は、交流信号の二乗平均値でもあ

この式において、ωは角周波数(rad/s)で、る。実効値は実効値と同じ値の直流の電周波数をｆとするω＝２πf で表される。

圧と比べたときに、同一の負荷抵抗で同θは位相角（位相）と呼ばれる。周期 T とじ消費電力となる。つまり、交流であってす る と 、 T ＝ 1/f=2π/ω で 表 さ れ る 。

も抵抗 R を負荷としたときに、実効値 Ve

𝑉𝑉𝑀𝑀 sin (𝜔𝜔𝜔𝜔)の波形のずれ時間を t0 とするの交流を加えた場合、消費電力 P は Ve2/Rと t0＝－θ/ω で表され、位相角 θ は𝜃𝜃 =200

振幅または最大値VM

V(t) (V)150-0.01で計算できる。

100500-5000.010.02

位相のずれt0-100-150-200

周期ＴTime23(s)0.030.04

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3. 周期波のフーリエ級数表現

通常、電気回路の世界では、交流の電圧の表示は実効値を使う。100V といえば、周期 T 秒で繰り返される波形 f(t)があ最大値は√2倍の約 141V が出ている。交る。f(t+T)=f(t)が成り立つとする。このと流電圧 v0[V]という場合は、実際の交流のき波形 f(t)は次のようにフーリエ級数に最大値は√2v0 ということである。ただし、展開できる。

このルールが適用されていない場合もあ∞𝑎𝑎02𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
2𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛+ � �𝑎𝑎𝑛𝑛 cos+ 𝑏𝑏𝑛𝑛 sin�
2𝑇𝑇𝑇𝑇の値表示は、電圧、電流を問わず実効値と𝑓𝑓(𝑡𝑡) =する。

このとき、ω=2πf であるため、簡単にはることはある。この教科書では、交流信号𝑛𝑛=1

次のように書くことができる。
∞２．周期波形

𝑎𝑎0𝑓𝑓(𝑡𝑡) =+ �(𝑎𝑎𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛)
2交流信号においては、正弦波だけでは𝑛𝑛=1なく複雑であっても周期的でものであれこの形になると、基本波を含む整数倍のば交流として扱う。例えば、三角波や方形周波数の正弦波、余弦波の組み合わせに波などがあげられる。下の図のような波なることがわかる。余弦波も正弦波の位形であるが、これも先ほどの 50Hz の波相がずれただけであり、同一の形である、形と同様、0.02 秒を周期とする交流であ正弦波の組み合わせといって間違いはなるが、正弦波にはみえない。

い。この式で𝑎𝑎𝑛𝑛 、𝑏𝑏𝑛𝑛 はフーリエ係数になるが、次のように求めることができる。
2𝑇𝑇2

𝑇𝑇

n=1,2…

2𝑇𝑇

n=1,2…

𝑎𝑎0 = ∫0 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇

𝑎𝑎𝑛𝑛 = ∫0 𝑓𝑓(𝑡𝑡) cos 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇𝑏𝑏𝑛𝑛 = ∫0 𝑓𝑓(𝑡𝑡) sin 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇

この式は、偶関数か奇関数かでさらに計算が簡単になる。

このような、周期波形は、周期の逆数の周𝑇𝑇
2偶関数、すなわち�− ,波数を基本周波数とする、基本周波数の整数倍の周波数の正弦波（高調波）の重な𝑇𝑇�を周期とす2る関数で𝑓𝑓(−𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡)が成り立つ場合は、りと考える。つまり、周期的な波形は基本4波と高調波の重ね合わせで表される。こ𝑇𝑇

𝑎𝑎0 = ∫02 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇

れはフーリエ級数の概念で理解すること4ができる。なお高調波の成分は、基本波に𝑇𝑇𝑎𝑎𝑛𝑛 = ∫02 𝑓𝑓(𝑡𝑡) cos 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇

とってはそれ以外の成分であり、歪（ひずn=1,2…となり、み）波とも呼ばれる。

∞24𝑎𝑎0+ �(𝑎𝑎𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛)
𝑓𝑓(𝑡𝑡) =2𝑛𝑛=1

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したがって方形波 f(t)は次のようにかくとなる。
𝑇𝑇

奇関数、すなわち�− 2 ,𝑇𝑇2�を周期とすことできる。

る関数で𝑓𝑓(−𝑡𝑡) = −𝑓𝑓(𝑡𝑡)が成り立つ場合

𝑓𝑓(𝑡𝑡) =は、

4𝑇𝑇

方形波は、高調波と奇数倍の周波数をn=1,2…

𝑏𝑏𝑛𝑛 = ∫02 𝑓𝑓(𝑡𝑡) sin 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇もつ高調波の組み合わせになる。

∞

余談であるが、先ほどの方形波のフー𝑓𝑓(𝑡𝑡) = �(𝑏𝑏𝑛𝑛 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛) 𝑛𝑛 = 1,2 …

リエ級数の式をおいて t=T/4 で、V=1 と𝑛𝑛=1

すると、と表すことができる。

以上のことは、sin 波は奇関数であり、

1 1 1𝜋𝜋 = 4 �1 − + − +∙∙∙�
3 5 7

奇関数の波形は sin 波のみで表すことができ、cos 波は偶関数であり、偶関数の波という、興味深い式を得る。πの級数表現

形は cos 波のみで表すことができるといであるが、奇数の逆数を足したり、引いたうことである。

りしていくとπが得られる。この式はイ

例題１ンドの数学者のマーダバが見出して、後次の方形波をフーリエ級数展開にグレゴリー、ライプニッツによって再せよ。

発見されたとされている。

+V−4𝑉𝑉𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠5𝜔𝜔𝜔𝜔�sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 +++ ‥�
𝜋𝜋
35𝑇𝑇
24. 交流電流通電時の R-L-C 素子のインピーダンス

𝑇𝑇2-V1) 抵抗の場合
図のように抵抗に交流電圧をかけて交𝑇𝑇解法）この場合は、�− 2 ,𝑇𝑇2流電流𝐼𝐼 = 𝐼𝐼0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠が流れたときに抵抗に起こる電圧 V はオームの法則により、𝑉𝑉 =�を周期とす

𝑅𝑅𝐼𝐼0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠と求められる。上記の I と V にる奇関数である。したがって、𝑇𝑇おいて、振幅の比、すなわち電流の振幅に

𝑇𝑇4 24𝑉𝑉 − cos 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 2𝑏𝑏𝑛𝑛 = � 𝑉𝑉 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 =��
𝑇𝑇 0𝑇𝑇𝑛𝑛𝑛𝑛
0

対する電圧の振幅の比をインピーダンスといい、この教科書では｜Z|と書く。｜｜𝑇𝑇
4𝑉𝑉 1 − cos 𝑛𝑛𝜋𝜋4𝑉𝑉 1 − cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 2
�� =
��
=𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑇𝑇𝑛𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇8𝑉𝑉

4𝑉𝑉は絶対値、大きさを表し、ノルムともいう。
なぜノルムをつけるかというと、後章では Z は位相情報を含むフェーザー表示も

4𝑉𝑉 1 − (−1)𝑛𝑛��
=𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑇𝑇あるため、誤解がないように単純な振幅比の場合はこのようにしている。抵抗の= 𝑇𝑇𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 k=2n+1 (奇数)

インピーダンスは R となる。抵抗において、電流と電圧の位相差はない。同位相である。
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2023/5/25𝜋𝜋= 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐼𝐼0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐼𝐼0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝜔𝜔𝜔𝜔 + �2となる。このときに、電流の振幅に対する電圧の比、インピーダンス|Z|は＋|𝑍𝑍| = 𝜔𝜔𝐿𝐿となる。これは誘導性リアクタンスとも呼ばれる。上の式をみてわかるように、コこ こ で 、 実 効 値 VE の 交 流 電 圧 （𝑉𝑉 =イルにおいては、電流の位相に対して、電ときの消費電力を求めてみよう。電力の瞬のインピーダンスにはωが入っており、時値は時々刻々と変化しているので、一周周波数が高くなるほどインピーダンスは期の平均でもとめてみる。

高くなるといえる。

√2𝑉𝑉𝐸𝐸 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠）が抵抗 R[Ω]にかけられている圧の位相はπ/2 進むことになる。コイル𝑇𝑇 𝑉𝑉 2𝑑𝑑𝑑𝑑∫1 𝑇𝑇
𝑃𝑃 = 0 𝑅𝑅 �𝑇𝑇= ∫0 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝑅𝑅𝑅𝑅=2𝑉𝑉𝐸𝐸 2 𝑇𝑇� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑅𝑅𝑅𝑅 0＋2𝑉𝑉𝐸𝐸 2 𝑇𝑇 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜔𝜔𝜔𝜔=�𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑅𝑅𝑅𝑅 02=2𝑉𝑉𝐸𝐸 2 𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑇𝑇
� −�
𝑅𝑅𝑅𝑅 24𝜔𝜔 0

ここで、コンデンサに交流電圧をかけた と き の 、 電 力 を 計 算 し て み る 。 𝐼𝐼 =𝑉𝑉𝐸𝐸 2=𝑅𝑅

𝐼𝐼0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠、さらに𝑉𝑉 = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐼𝐼0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐として、一周期分の平均電力を計算する。

これをみてわかるように、交流信号を実効値で標記すると、直流と同じ式で電力が求めら𝑇𝑇∫ 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑑𝑑�
𝑃𝑃 = 0𝑇𝑇れる。抵抗素子では交流電流が流れると電力消費が起こるということを理解してほしい。

=2) コイルの場合
コイルの場合も図のように、交流電圧をかけて、交流電流𝐼𝐼 = 𝐼𝐼0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠が流れた
とき、誘起する電圧は𝑉𝑉 = 𝐿𝐿1 𝑇𝑇� 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐼𝐼0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐・𝐼𝐼0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇 0𝜔𝜔𝜔𝜔𝐼𝐼0 2 𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜔𝜔𝜔𝜔�
𝑑𝑑𝑑𝑑=
𝑇𝑇20𝐿𝐿𝐼𝐼 2= 4𝑇𝑇0 [−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜔𝜔𝜔𝜔]𝑇𝑇0 = 0𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑

以上の計算からわかるように、電流と電圧はコイルにおいては直交関係にあり、
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積分すると 0 となる。コイル自体の消費

5. R-L-C 直列回路のインピーダンス

電力はないことを覚えておいてほしい。

ここからが電気回路の本番とお考えい
ただきたい。R-L-C 直列回路は回路のイ3) コンデンサの場合ンピーダンスの基本概念を学ぶ良い題材

次にコンデンサの場合について考えてであり、この例を通して、力率や有効電力、みる。交流電圧をかけて、交流電流𝐼𝐼 =無効電力の概念を学んでいく。

𝐼𝐼0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠の電流が流れたとき、誘起する電図のような直列回路を考えたときに、圧は

R-L-C 直列回路に誘起される電圧を計算

1−𝐼𝐼0
𝑉𝑉 = � 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡 =𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐶𝐶𝜔𝜔𝜔𝜔

してみる。キルヒホッフの第一法則より、
R-L-C のどの素子においても、流れる電𝐼𝐼0𝜋𝜋=
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝜔𝜔𝜔𝜔 − �𝜔𝜔𝜔𝜔
2

流は等しく、𝐼𝐼 = 𝐼𝐼0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠とする。となる。インピーダンス|Z|は|𝑍𝑍| =1𝜔𝜔𝜔𝜔＋となる。このインピーダンスは容量性（キャパシタンス性）リアクタンスとも呼ば各素子の電圧は次のように求められる。

れる。上の式をみてわかるように、コンデ

𝑉𝑉𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝐼𝐼0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

ンサにおいては、電流の位相に対して、電𝜋𝜋
𝑉𝑉𝐿𝐿 = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐼𝐼0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝜔𝜔𝜔𝜔 + �
2圧の位相はπ/2 遅れることになる。コンデンサのインピーダンスにはωの逆数が入っており、周波数が高くなるほどイン𝑉𝑉𝐶𝐶 =ピーダンスは低くなるといえる。

𝐼𝐼0𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝜔𝜔𝜔𝜔 − �𝜔𝜔𝜔𝜔
2

この足し合わせを計算する上で単振動のコンデンサにおいても、コイルと同様合成の式を用いて導出をする。の計算になるが、電圧と電流の位相差がπ/2 であり、これも直交関係にあり、電ポイント 単振動の合成の式力消費はない。コンデンサの電力消費は異なる位相の三角関数の和は一つの三ないと覚えてほしい。
以上、RLC 素子の特性をまとめてみた。

が、このときに、長さ A、B、C、位相角α、この関係はそのまま覚えておきたい。
素子
インピーダンス|Z|
電流に対する電圧の位相抵抗RコイルLRωL0

π/2 進む角関数に変換できる。次の式が成り立つ
β、γについて次の作図ができる。

コンデンサ
C1𝜔𝜔𝜔𝜔

𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝛼𝛼) + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝛽𝛽)= 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝛾𝛾)

第一項を長さ A で水平に対して角度αのπ/2 遅れるベクトルで表す。第二項も同様である。
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2023/5/25スの位相角とも呼ばれる。
上記で求めた｜Z｜は、電流の振幅に対する電圧振幅の比である。
βCB𝜔𝜔𝜔𝜔 −αγ A

1> 0の場合、位相角 φ は正にな𝜔𝜔𝜔𝜔る。この場合を R-L-C 直列素子はインダこのような図をベクトル図というが、ベクタンス性となり、電流に対して電圧のクトル A とベクトル B を足し合わせでき位相は進むということになる。インダクるベクトルの長さが C になり、右項の位タンス性とは、この直列素子がコイルに相角もそのベクトルの角度となる。この近い働きをしているという意味である。

計算を使って合成電圧を求める。
𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑅𝑅 +𝑉𝑉𝐿𝐿 + 𝑉𝑉𝐶𝐶𝜔𝜔𝜔𝜔 −

1< 0の場合、位相角 φ は負にな𝜔𝜔𝜔𝜔る。この場合を R-L-C 直列素子は容量性

𝜋𝜋= 𝐼𝐼0 �𝑅𝑅𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝜔𝜔𝜔𝜔 + 2 � +であり、電流に対して電圧の位相は遅れるということになる。

1𝜋𝜋𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝜔𝜔𝜔𝜔 − ��𝜔𝜔𝜔𝜔
2= |𝑍𝑍|𝐼𝐼0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)

6. R-L-C 直列回路のベクトル図による表現としたときに、次の作図がなりたつ。

再掲になるが、次のような R-L-C 直列回路に交流電圧がかけられているときに、|𝑍𝑍|𝜑𝜑1𝜔𝜔𝜔𝜔次のようなベクトル図をかくことができる。
ωLRV|Z|はこの R-L-C 直列回路のインピーダ＋ンスであり、その大きさは直角三角形の斜辺の長さになる。
|𝑍𝑍| = �𝑅𝑅 2 + �𝜔𝜔𝜔𝜔 −1�𝜔𝜔𝜔𝜔

ベクトル図はこの場合は電流を基準とし水平に書いてみる。

2インダクタンス性

V=|Z|Iで表される。また位相角 φ は
𝜑𝜑 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1

�1𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑅𝑅

負荷の場合

φ�

I

電流に対して、インピーダンスの位相角で表される。この位相角は、インピーダン
28I

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2023/5/25分だけ、傾けた方向に、電流の|Z|倍の長12ける。容量性負荷の場合は、次のようにな

この中で、�𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔 � は周波数依存項である。

り、インピーダンス|Z|=R となり、直列さの矢印を書けば 電圧のベクトルがか1り、𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝜔𝜔のときに、ゼロになる。つま共振回路は、単純に L と C は無視でき、R とみなせる。このときを直列共振状態

容量性負荷の場合

V=|Z|Iと呼び、共振条件は
𝜔𝜔 =ベクトル図は電気回路の世界で、しば1√𝐿𝐿𝐿𝐿

つまり、𝑓𝑓 =12𝜋𝜋√𝐿𝐿𝐿𝐿となる。このときの f を共振周波数といしば多用される。

う。直列共振にあるとき、インピーダンス

ポイント ベクトル図|Z|は最小の R となり、位相角∠Z＝0 とな① 矢印の長さは振幅、あるいは実効値をる。

表す。

周波数ｆを 0 から∞に変化させたとき② 矢印の仰角は位相角を表す。に、ベクトル図がどうなるかみてみよう。

③ 電流の長さ×インピーダンスの大き
さ＝電圧の大きさ

虚数軸④ 電圧に位相角―電流の位相角＝イン周波数増加

ピーダンスの位相角

インダクタンス性

7. R-L-C 直列回路のインピーダンスの周波数依存性

0実軸R

これまでの解説を見ていただいてわかるように、インピーダンスには大きさと容量性位相角がある。インピーダンスを表す記号として Z をしばしば使うが、それの大きさと位相角を表すために、|Z|と∠Z とそれぞれ表現される。後の章ではこれらの情報を複素数で表されることを学ぶが、 このベクトル図を 2 次元座標で、横軸をここでは大きさと角度があることに意識実軸、縦軸を虚数軸とよぶ。周波数が非常していただきたい。

1R-L-C 直列回路のインピーダンスの大となる。位相角は－π/2 から周波数が増

きさ|Z|は次のように書くことができる。
|𝑍𝑍| = �𝑅𝑅 2 + �𝜔𝜔𝜔𝜔 −に低いときは、𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔 < 0となり容量性加すると角度が低くなり、水平位置で共振条件となる。このときインピーダンス

1 2�𝜔𝜔𝜔𝜔のベクトルの長さは最小の R となる。さらに周波数が上がると、インダクタンス
29Internet 版

2023/5/25性になり、ふたたびインピーダンスは増加することになる。
R-L-C 直列回路は共振周波数のときに、電流をよく流すとみなすことができる。

𝑃𝑃𝐸𝐸 = 𝑅𝑅𝐼𝐼0 2 =𝑉𝑉0 𝐼𝐼0 𝑅𝑅2

�𝑅𝑅 2 + �𝜔𝜔𝜔𝜔 − 1 �𝜔𝜔𝜔𝜔1となる。ここで𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔 をリアクタンス Xとすると、

8. R-L-C 直列回路の力率と電力消費

𝑅𝑅

R-L-C 直列回路に交流電圧をかけたと

𝑃𝑃𝐸𝐸 = 𝑉𝑉0 𝐼𝐼0 √𝑅𝑅2

きに、この回路素子の消費電力を求めてとなる。

みる。

この式の+𝑋𝑋 2𝑅𝑅√𝑅𝑅2 +𝑋𝑋 2はインピーダンスの位相角を φ とすると cosφ となる。この cosφを力率という。
＋

ここで整理しよう。交流電圧の実効値と電流の実効値の積𝑉𝑉0 𝐼𝐼0を皮相電力 PS という。これは名目上の電力であり、実際の交流電圧の実効値を V0 とする。これを消費電力ではないので、単位にワットは瞬時値として表すと、𝑉𝑉 = √2𝑉𝑉0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠とす使わず、VA（ボルトアンペア）が使われる。

る。このとき流れる電流 I は正確に書くと次のようになる。

皮相電力
𝑃𝑃𝑆𝑆 = 𝑉𝑉0 𝐼𝐼0√2𝑉𝑉

𝑉𝑉 = |𝑍𝑍|0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑)𝜑𝜑 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1�1𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑅𝑅

有効電力

𝑅𝑅

𝑃𝑃𝐸𝐸 = 𝑃𝑃𝑆𝑆 √𝑅𝑅2

�+𝑋𝑋 2= 𝑃𝑃𝑆𝑆 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑

このほか、無効電力 Pi も求めておく。こ

前節で述べたように電力消費は抵抗のみの無効電力は電力消費にはならないが、Lで起こる。C や L では電力消費がおこらや C などのリアクタンスと電源との間でない。抵抗 R に流れる電流の実効値 I0 は行ったり来たりする電力のことである。

V0/|𝑍𝑍|で求めらる。

この単位はバール（VAR）である。

𝐼𝐼0 =𝑉𝑉0

無効電力

2�𝑅𝑅 2 + �𝜔𝜔𝜔𝜔 − 1 �𝜔𝜔𝜔𝜔𝑋𝑋

𝑃𝑃𝑖𝑖 = 𝑃𝑃𝑆𝑆 √𝑅𝑅2

抵抗で消費される電力は有効電力 PE と呼ばれるが、+𝑋𝑋 2= 𝑃𝑃𝑆𝑆 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

以上を眺めてみて、力率は様々な定義がされる。それは、電流と電圧の位相角差30Internet 版

2023/5/25の余弦(cos)、インピーダンスの位相角の対して実際に消費されている電力の割合

電流は𝑖𝑖0 の長さで水平に書き、角度 φ だけという意味をもっている。力をいれて実けば、それが電圧のベクトルとなる。この際に伝わっている率なので、このようにとき、インピーダンスも位相角をもち、イ呼ばれているのだと思う。

ンピーダンス角度を∠Ｚとすれば、余弦とすることができるが、皮相電力に9. 重要

持ち上げた方向に長さ𝑣𝑣0 のベクトルを書∠𝑍𝑍＝∠𝑣𝑣 − ∠𝑖𝑖

インピーダンスの位相角ととすることができる。インピーダンス位

力率

相角は電流に対する電圧の位相（差）とな

R-L-C からなる回路は直列、並列に限らる。何度も解説してきたが、インピーダンず、どんな組みあわせであっても、インピスの大きさ|Z|は、電流の実効値に対するーダンスの大きさと位相角を持つ。ここ

電圧実効値の比になる。

は一般論として、インピーダンスの大きさ、位相角、力率について解説したい。

|𝑍𝑍|＝

R-L-C からなる素子に、実効値 i0 の交流インピーダンスの位相角 φ の余弦 cosφ

電流を流した時に、負荷の両端の交流電はインピーダンスの力率となる。インピ圧の実効値が v0 だったとする。また電流ーダンスの力率は、負荷に電圧を実効値に対する電圧の位相角を φ とする。

v0 でかけたときに、そこを流れる電流のこれを瞬時値で表せばこうなる。

実効値が𝑖𝑖0 であるときに、実質消費する𝑖𝑖(𝑡𝑡) = √2𝑖𝑖0 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔

電力、すなわち有効電力 Pr は、𝑣𝑣(𝑡𝑡) = √2𝑣𝑣0 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)

有効電力𝑖𝑖 = √2𝑖𝑖0 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑣𝑣 =𝑃𝑃𝑟𝑟 = 𝑣𝑣0 𝑖𝑖0 cos 𝜑𝜑となる。この式が導かれることを数式で説明する。電流と電圧が周期的に変化するときに、その消費電力 P は、電流と電Ｚ圧の積を一周期 T の区間で積分し、周期√2𝑣𝑣0 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)

T で割ることで求められる。
𝑃𝑃 =

正弦波は大きさと位相角のベクトルで=表示でき、電圧と電流のベクトルはこのようになる。

1 𝑇𝑇
� 𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑣𝑣(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇 01 𝑇𝑇� √2𝑖𝑖0 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 ∙ √2𝑣𝑣0 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇 0

= 2𝑖𝑖0 𝑣𝑣0𝑣𝑣0 =|Z|i01 𝑇𝑇� sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 ∙ sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇 0= 2𝑖𝑖0 𝑣𝑣0φ𝑖𝑖0𝑣𝑣0𝑖𝑖0311 𝑇𝑇 1
� (− cos(2𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)
𝑇𝑇 0 2+ cos(−𝜑𝜑)) 𝑑𝑑𝑑𝑑

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振動の合成の計算を行えば、インピーダ= 𝑖𝑖0 𝑣𝑣0𝑇𝑇ンスおよびその位相角を求めることがで

1sin(2𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)
�−+ 𝑡𝑡 cos 𝜑𝜑�𝑇𝑇2𝜔𝜔0= 𝑖𝑖0 𝑣𝑣0

きる。この節では結果のみを記述する。

1sin(2𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑) sin(𝜑𝜑)�−+𝑇𝑇2𝜔𝜔2𝜔𝜔+ 𝑇𝑇 cos 𝜑𝜑�

ここで、sin(2𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)であるが、周期Ｔは2π/ω なのでsin(4𝜋𝜋 + 𝜑𝜑)となり、これはsin(𝜑𝜑)である。つまり上式の第一項と二通常、R-L-C 回路においてはインピーダン項は相殺されるので、与式はス Z の代わりにアドミッタンス Y を使う。

𝑃𝑃 = 𝑖𝑖0 𝑣𝑣0 cos 𝜑𝜑

アドミッタンスはインピーダンスの逆数となる。

であり、電圧に対する電流の比を表す。

ポイント|𝑌𝑌| =① 負荷に交流電流が流れるときに、電流の実効値に対する、電圧の実効値

111 2= � 2 + �𝜔𝜔𝜔𝜔 −
�|𝑍𝑍|
𝑅𝑅
𝜔𝜔𝜔𝜔

位相角であるが、の比はインピーダンスの大きさ|Z|で∠𝑌𝑌 = −∠𝑍𝑍 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1ある。（インピーダンスの大きさ）② 電流に対する電圧の位相（差）はイン𝜔𝜔𝜔𝜔−1𝜔𝜔𝜔𝜔1/𝑅𝑅となる。位相角の世界では、インピーダンピーダンスの位相角である。
（インピスの位相角はアドミッタンスの位相角のーダンスの位相角）

符号を変えた数値になる。

③ 電流、電圧の位相差の余弦(cos 𝜑𝜑 )が共振状態、すなわち力率になる。
（力率）

𝜔𝜔 =④ 電流と電圧の実効値に力率をかければ、実質の電力消費、つまり有効電力

1√𝐿𝐿𝐿𝐿

つまり、𝑓𝑓 =12𝜋𝜋√𝐿𝐿𝐿𝐿のとき、これは式として直列共振状態ととなる。
（有効電力）

同じであるが、C と L の並列の部分はイン⑤ 電流、電圧の位相差の正弦sin 𝜑𝜑

ピーダンス∞、アドミッタンスは 0 となを使えば、電流と電圧の実効値とる。つまり、L と C の並列共振回路は、共sin 𝜑𝜑の積が無効電力となる。

振周波数のときに、電流を流さない回路（無効電力）として働く。

10. R-L-C 並列回路
つぎのような R-L-C 並列回路について
も、直列回路にときにおこなっていた単32

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3章

2023/5/25(c)

練習問題

(d)

1. 実効値 20V、周波数 40Hz、位相角π/6 の交流波形を書きなさい。
6. 次の回路において、抵抗 RO に発生する電圧 VRO の瞬時値を求めよ。また最大になるときの角周波数ωを求めよ。

2. 次の交流電圧の実効値、周波数、位相角を読み取りなさい。横軸は時間で単位は秒、縦軸は電圧の瞬時値であり、単位はV である。

E0
ω

7. 次の回路において、有効電力 PE、無効電力 Pi、力率を求めよ。また力率を最大とするには、この直列回路にどんな素子を挿入したらよいか。
3. 次の単振動の波の合成を計算しなさい。
(a)10𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜋𝜋⁄4)E0=100V
ω=100rad/s(b) 10𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 10𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

4. 次の波形のフーリエ級数展開を求めよ。

+1−𝑇𝑇2-1𝑇𝑇
23𝑇𝑇
28. ある素子に 100V の交流電圧をかけたときに、電流は 30A 流れた。消費電力が 1200Wであったときに、この素子のインピーダンス|Z|と力率 cosφ を求めよ。

5𝑇𝑇
29. ある素子に 100A の交流電流を流した時に、その素子の起電力は 20V であった。オシロスコープで電流と電圧の波形をみたとこ
ろ、電流は電圧に対して位相角としてπ/6だけ遅れていることが分かった。この素子は、インダクタンス性であろうか、それともキャパシタンス性であろうか。この素子の力率 cosφ を求め、有効電力 PE を求めなさい。

5. 次の素子のインピーダンス|Z|とインピーダンスの位相角∠Z を求めよ。角周波数ω
は 100 rad/s とする。
(a)

(b)

10. 次の回路において、回路に流れる電流が最大になるときの角周波数ωを求めなさい。このとき、RL は自由に変更できるものと33

Internet 版

2023/5/25

14.0𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 0.256)

し、消費電流が最大になるとき RL の値を求めよ。

(b) 10𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 10𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

cos の項は sin 波が𝜋𝜋⁄2だけ進みマイナE0ωスになる。

𝜋𝜋cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 = −sin �𝜔𝜔𝜔𝜔 + �2んでいると考える。
10√23 章 練習問題略解
1.

1010
合成ベクトルの角度も-𝜋𝜋⁄4である。

合成波は

10√2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜋𝜋⁄4)となる。
4.

この波形も奇関数である。この場合は赤字に示す部分積分を使う。
２. 実効値 50V、周波数 50Hz、位相角は4𝑇𝑇2𝑡𝑡

𝑏𝑏𝑛𝑛 = ∫02 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇𝑇𝑇

π/48

３.
(a)10𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜋𝜋⁄4)510𝑇𝑇2 �−𝑡𝑡

𝜋𝜋⁄45/√25/√22𝑛𝑛𝑛𝑛=28𝑇𝑇

� − 2 ∫02 −𝑇𝑇0𝑇𝑇∫2 𝑡𝑡 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝑇𝑇 2 0cos 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇𝑇𝑇 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛/2
sin 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 28�+��= 2 �−(𝑛𝑛𝑛𝑛)2 0𝑛𝑛𝑛𝑛
2𝑇𝑇=−

橙のベクトルが合成正弦波を表す。橙のベクトルの長さ𝑇𝑇

cos 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 28=(−1)𝑛𝑛−1𝑛𝑛𝑛𝑛−14(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) =(−1)𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
4𝑛𝑛𝑛𝑛
ｎ=1,2,・・

フーリエ級数展開は次のようになる。

��10 + 5/√2� + �5/√2� = 14.0

橙のベクトルの角度は
5√2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 �10+5 2� =0.256 rad5.

√sin 2𝜔𝜔𝜔𝜔 sin 3𝜔𝜔𝜔𝜔2�sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 −++ ・・�23𝜋𝜋(a) |Z|=1000 Ω

合成波は次の通り

34∠Z=0 rad(b) |Z|=√1002 + 1002 =141.4 ΩInternet 版

2023/5/25∠Z=𝜋𝜋⁄4|I|＝100/22.3=4.48A
有効電力 PE21(c) |Z|=�102 + �0.1� =14.14 Ω∠𝑍𝑍 = − 𝜋𝜋⁄41

PE＝|𝑉𝑉||𝐼𝐼|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑=100×4.48×0.447＝200.4W
この回路は誘導性であり、コンデンサを直列にすることでインピーダンスを下げることが2(d) |𝑍𝑍| = �102 + �0.2 ∗ 100 − 0.1� =14.14 Ωできる。𝜔𝜔 =𝐶𝐶 =∠𝑍𝑍 = 𝜋𝜋⁄41𝐿𝐿𝐿𝐿21√𝐿𝐿𝐿𝐿の共振条件の式より、= 5 × 10−4 Fとなる。

6.

8.100V で 30A 流れたということはまずこの回路のインピーダンスを求める。
|Z|=�(𝑅𝑅1 +𝑅𝑅0 )2 + �𝜔𝜔𝜔𝜔 −∠Z=𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 �𝜔𝜔𝜔𝜔−1𝜔𝜔𝜔𝜔

𝑅𝑅1 +𝑅𝑅0

インピーダンス|Z|は1 2�𝜔𝜔𝜔𝜔

|Z|＝100/30=3.33Ω
皮相電力は 100×30＝3000VA�となる。

力率 cosφ=1200/3000=0.4つまり電流の瞬時値は9. 電流は電圧に対して位相角としてπ/6 遅𝐸𝐸

I＝ |Z|0 sin (𝜔𝜔𝜔𝜔 − ∠Z)となる。

れているということは、インダクタンス性での角度だけ遅れるので、∠Zはマイナスの符号ある。力率はcos =電流の位相角は電圧に対してインピーダンス𝜋𝜋6になる。VRO の瞬時の瞬時値は、

𝐸𝐸0 𝑅𝑅0𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 =|Z|sin (𝜔𝜔𝜔𝜔 − ∠Z)1つまり、𝑓𝑓 =である。
√32＝1000√3 W

10. これは共振条件のときに L と C の直列回共振時である。つまり、√𝐿𝐿𝐿𝐿2

有効電力 PE＝100×20×となる。これが最大になるのは L と C の直列

𝜔𝜔 =√3路は 0Ωとなる。すなわち、𝜔𝜔 =12𝜋𝜋√𝐿𝐿𝐿𝐿1√𝐿𝐿𝐿𝐿

このときに L と C は無視できる。最大電力条件は、テブナン定理から、内部抵抗と負荷抵7.

抗が等しいときに最大になるので、
RL＝R1

この場合は力率から求めた方が速い。となる。

cosφ＝

𝑅𝑅

√𝑅𝑅 2+𝑋𝑋 2= 0.447=10

�102 +(0.2×100)2

インピーダンスの大きさ|Z| は|Z|＝�102 + (0.2 × 100)2＝22.3Ω
電流の大きさ|I|は35