Internet 版 2021/6/20

第3章

交流と R-L-C 直列・並列回路

ここから交流回路に話を移していく。交流の基礎的な理解をもとに、R、L、C に交流を加えたときのインピーダンス、電流電圧の位相について理解する。さらに、R、L、C を含む直列および並列回路における、有効電力、無効電力、力率の計算に話が及び。この三章を理解することで、交流でのこれら素子のふるまいについて概念構築ができ、それは実用的な電気送電を学ぶための下地になるだろう。

2𝜋𝑡 ⁄𝑇で表される。

１．交流信号交流信号は正弦波であり、位置を含ま下の図は 100V で 50Hz の交流波形をない時間だけに依存する波の式で表され例として表している。50Hz なので周期 Tる。仮に、振幅を VM としたときに、波のは 0.02 秒になる。この例では位相角θは瞬時値は次のように書くことができる。

π/4 になる。波形の最大値を振幅という。

𝑉 𝑡

𝑉 sin 𝜔𝑡

最大値 VM を1⁄√2した値を実効値という。

𝜃実効値は、交流信号の二乗平均値でもあ

この式において、ωは角周波数(rad/s)で、る。実効値は実効値と同じ値の直流の電周波数をｆとするω＝２πf で表される。

圧と比べたときに、同一の負荷抵抗で同θは位相角（位相）と呼ばれる。周期 T とじ消費電力となる。つまり、交流であってす る と 、 T ＝ 1/f=2π/ω で 表 さ れ る 。

も抵抗 R を負荷としたときに、実効値 Ve

𝑉 sin 𝜔𝑡 の波形のずれ時間を t0 とするの交流を加えた場合、消費電力 P は Ve2/Rと t0＝－θ/ω で表され、位相角 θ は𝜃で計算できる。

200

振幅または最⼤値VM

150V(t) (V)100
500‐0.0100.010.02‐50

位相のずれt0‐100‐150

周期Ｔ‐200Time21(s)0.030.04

Internet 版 2021/6/20

3. 周期波のフーリエ級数表現

通常、電気回路の世界では、交流の電圧の表示は実効値を使う。100V といえば、周期 T 秒で繰り返される波形 f(t)があ最大値は√2倍の約 141V が出ている。交る。f(t+T)=f(t)が成り立つとする。このと流電圧 v0[V]という場合は、実際の交流のき波形 f(t)は次のようにフーリエ級数に最大値は√2v0 ということである。ただし、展開できる。

このルールが適用されていない場合もあ𝑎2𝑓 𝑡ることはある。この教科書では、交流信号

𝑎 cos2𝑛𝜋𝑡
𝑇𝑏 sin2𝑛𝜋𝑡
𝑇の値表示は、電圧、電流を問わず実効値とする。

このとき、ω=2πf であるため、簡単には次のように書くことができる。

２．周期波形

𝑎2𝑓 𝑡

交流信号においては、正弦波だけでは

𝑎 cos 𝑛𝜔𝑡𝑏 sin 𝑛𝜔𝑡

なく複雑であっても周期的でものであれこの形になると、基本波を含む整数倍のば交流として扱う。例えば、三角波や方形周波数の正弦波、余弦波の組み合わせに波などがあげられる。下の図のような波なることがわかる。余弦波も正弦波の位形であるが、これも先ほどの 50Hz の波相がずれただけであり、同一の形である、形と同様、0.02 秒を周期とする交流であ正弦波の組み合わせといって間違いはなるが、正弦波にはみえない。

い。この式で𝑎 、𝑏 はフーリエ係数になるが、次のように求めることができる。
𝑎𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑎𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

n=1,2…

𝑏𝑓 𝑡 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

n=1,2…

この式は、偶関数か奇関数かでさらに計算が簡単になる。

このような、周期波形は、周期の逆数の周偶関数、すなわち波数を基本周波数とする、基本周波数の整数倍の周波数の正弦波（高調波）の重なる関数で𝑓りと考える。つまり、周期的な波形は基本波と高調波の重ね合わせで表される。こ𝑡,を周期とす

𝑓 𝑡 が成り立つ場合は、

𝑎𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑎𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

れはフーリエ級数の概念で理解することができる。なお高調波の成分は、基本波にとってはそれ以外の成分であり、歪（ひずとなり、み）波とも呼ばれる。

𝑓 𝑡22𝑎2𝑎 cos 𝑛𝜔𝑡n=1,2…

Internet 版 2021/6/20

したがって方形波 f(t)は次のようにかくとなる。
奇関数、すなわちる関数で𝑓𝑡,を周期とすことできる。

𝑓 𝑡 が成り立つ場合

𝑓 𝑡は、
𝑏𝑓 𝑡 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡
𝑏 sin 𝑛𝜔𝑡

𝑓 𝑡

𝑠𝑖𝑛5𝜔𝑡5‥方形波は、高調波と奇数倍の周波数をn=1,2…
𝑛𝑠𝑖𝑛3𝜔𝑡4𝑉sin 𝜔𝑡3𝜋もつ高調波の組み合わせになる。
余談であるが、先ほどの方形波のフー

1,2 …

リエ級数の式をおいて t=T/4 で、V=1 とすると、と表すことができる。

以上のことは、sin 波は奇関数であり、𝜋奇関数の波形は sin 波のみで表すことが4 113151∙∙∙7

でき、cos 波は偶関数であり、偶関数の波という、興味深い式を得る。πの級数表現

形は cos 波のみで表すことができるといであるが、奇数の逆数を足したり、引いたうことである。

りしていくとπが得られる。この式はイ

例題１ンドの数学者のマーダバが見出して、後次の方形波をフーリエ級数展開にグレゴリー、ライプニッツによって再せよ。

発見されたとされている。

+V𝑇2

4. 交流電流通電時の R-L-C 素子のインピーダンス

𝑇21) 抵抗の場合-V

図のように抵抗に交流電圧をかけて交流電流𝐼解法）この場合は、,起こる電圧 V はオームの法則により、𝑉を周期とす

𝑅𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡と求められる。上記の I と V にる奇関数である。したがって、
𝑏4𝑇

𝑉 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

4𝑉 1𝑇𝑇cos 𝑛𝜔2𝑛𝜔4𝑉𝑇cos 𝑛𝜔𝑡𝑛𝜔4𝑉 1𝑇cos 𝑛𝜋𝑛𝜔

𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡が流れたときに抵抗において、振幅の比、すなわち電流の振幅に対する電圧の振幅の比をインピーダンスといい、この教科書では｜Z|と書く。｜｜は絶対値、大きさを表し、ノルムともいう。
なぜノルムをつけるかというと、後章では Z は位相情報を含むフェーザー表示も

14𝑉 1𝑇𝑛𝜔あるため、誤解がないように単純な振幅比の場合はこのようにしている。抵抗のk=2n+1 (奇数)

インピーダンスは R となる。抵抗において、電流と電圧の位相差はない。同位相である。
23

Internet 版 2021/6/20

𝜔𝐿𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝜔𝐿𝐼 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝜋2となる。このときに、電流の振幅に対する電圧の比、インピーダンス|Z|は＋

𝜔𝐿|𝑍|となる。これは誘導性リアクタンスとも呼ばれる。上の式をみてわかるように、コこ こ で 、 実 効 値 VE の 交 流 電 圧 （ 𝑉イルにおいては、電流の位相に対して、電√2𝑉 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡）が抵抗 R[Ω]にかけられている圧の位相はπ/2 進むことになる。コイルときの消費電力を求めてみよう。電力の瞬のインピーダンスにはωが入っており、時値は時々刻々と変化しているので、一周周波数が高くなるほどインピーダンスは期の平均でもとめてみる。

高くなるといえる。

𝑑𝑡

𝑃2𝑉
𝑅𝑇

𝑇=

2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝑑𝑡

𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝑑𝑡
2𝑉
𝑅𝑇

12𝑉 𝑡
𝑅𝑇 2＋𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡𝑑𝑡2
𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑡4𝜔

ここで、コンデンサに交流電圧をかけたときの、電力を計算してみる。𝐼𝑉𝑅𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡、さらに𝑉周期分の平均電力を計算する。

これをみてわかるように、交流信号を実効値で標記すると、直流と同じ式で電力が求めら

𝑉𝐼 𝑑𝑡𝑃れる。抵抗素子では交流電流が流れると電力1𝑇消費が起こるということを理解してほしい。

𝜔𝐿𝐼𝑇

コイルの場合も図のように、交流電圧
𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡が流れた

とき、誘起する電圧は
𝑉=𝑑𝐼
𝐿𝑑𝑡𝑇

𝜔𝐿𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡・𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡2) コイルの場合をかけて、交流電流𝐼

𝜔𝐿𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡として、一𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑡𝑑𝑡2
𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡0以上の計算からわかるように、電流と電圧はコイルにおいては直交関係にあり、
24

Internet 版 2021/6/20

積分すると 0 となる。コイル自体の消費

5. R-L-C 直列回路のインピーダンス電力はないことを覚えておいてほしい。

ここからが電気回路の本番とお考えい
ただきたい。R-L-C 直列回路は回路のイ3) コンデンサの場合

ンピーダンスの基本概念を学ぶ良い題材

次にコンデンサの場合について考えてであり、この例を通して、力率や有効電力、みる。交流電圧をかけて、交流電流𝐼無効電力の概念を学んでいく。

𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡の電流が流れたとき、誘起する電図のような直列回路を考えたときに、圧は1𝐶𝑉𝐼𝑑𝑡

R-L-C 直列回路に誘起される電圧を計算

𝐼
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝜔𝐶𝐼𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝜔𝐶

してみる。キルヒホッフの第一法則より、
R-L-C のどの素子においても、流れる電𝜋2𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡とする。

流は等しく、𝐼となる。インピーダンス|Z|は|𝑍|＋となる。このインピーダンスは容量性（キャパシタンス性）リアクタンスとも呼ば各素子の電圧は次のように求められる。

れる。上の式をみてわかるように、コンデ𝑉ンサにおいては、電流の位相に対して、電圧の位相はπ/2 遅れることになる。コンデンサのインピーダンスにはωの逆数が入っており、周波数が高くなるほどインピーダンスは低くなるといえる。

𝑅𝐼 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡𝑉

𝜔𝐿𝐼 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝜋2𝑉𝐼𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡
𝜔𝐶𝜋2

この足し合わせを計算する上で単振動のコンデンサにおいても、コイルと同様合成の式を用いて導出をする。の計算になるが、電圧と電流の位相差がπ/2 であり、これも直交関係にあり、電ポイント力消費はない。コンデンサの電力消費は異なる位相の三角関数の和は一つの三ないと覚えてほしい。
以上、
RLC 素子の特性をまとめてみた。

インピー
ダンス
|Z|
電流に対する電圧の位相

抵抗
R

コイル
LR

ωL

0π/2 進む角関数に変換できる。次の式が成り立つ
が、このときに、長さ A、B、C、位相角α、この関係はそのまま覚えておきたい。
素子

単振動の合成の式

β、γについて次の作図ができる。

コンデンサ
C1
𝜔𝐶

𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝛼

𝐵𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝛽

𝐶𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝛾

第一項を長さ A で水平に対して角度αのπ/2 遅れるベクトルで表す。第二項も同様である。
25

Internet 版 2021/6/20

スの位相角とも呼ばれる。
上記で求めた｜Z｜は、電流の振幅に対する電圧振幅の比である。
βCB

𝜔𝐿

αγ A0の場合、位相角 φ は正になる。この場合を R-L-C 直列素子はインダ

このような図をベクトル図というが、ベクタンス性となり、電流に対して電圧のクトル A とベクトル B を足し合わせでき位相は進むということになる。インダクるベクトルの長さが C になり、右項の位タンス性とは、この直列素子がコイルに相角もそのベクトルの角度となる。この近い働きをしているという意味である。

計算を使って合成電圧を求める。
𝑉𝑉 +𝑉𝜔𝐿𝑉𝐼 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡る。この場合を R-L-C 直列素子は容量性

𝜔𝐿𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡であり、電流に対して電圧の位相は遅れるということになる。

𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡|𝑍|𝐼 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡0の場合、位相角 φ は負にな

𝜑6. R-L-C 直列回路のベクトル図による表現としたときに、次の作図がなりたつ。

再掲になるが、次のような R-L-C 直列回路に交流電圧がかけられているときに、|𝑍|1𝜔𝐶

次のようなベクトル図をかくことができる。
ωL

𝜑R
V|Z|はこの R-L-C 直列回路のインピーダ＋ンスであり、その大きさは直角三角形の斜辺の長さになる。

|𝑍|

𝑅

ベクトル図はこの場合は電流を基準とし水平に書いてみる。

1𝜔𝐶

𝜔𝐿

インダクタンス性

V=|Z|Iで表される。また位相角 φ は
𝜑𝑡𝑎𝑛

𝜔𝐿
𝑅

1𝜔𝐶

負荷の場合

φI

電流に対して、インピーダンスの位相角で表される。この位相角は、インピーダン
26I

Internet 版 2021/6/20分だけ、傾けた方向に、電流の|Z|倍の長この中で、 𝜔𝐿さの矢印を書けば 電圧のベクトルがかは周波数依存項であのときに、ゼロになる。つまける。容量性負荷の場合は、次のようになり、𝜔𝐿る。

り、インピーダンス|Z|=R となり、直列共振回路は、単純に L と C は無視でき、R とみなせる。このときを直列共振状態

容量性負荷の場合と呼び、共振条件はV=|Z|I𝜔

ベクトル図は電気回路の世界で、しばつまり、𝑓√となる。このときの f を共振周波数といしば多用される。
ポイント√う。直列共振にあるとき、インピーダンス

ベクトル図|Z|は最小の R となり、位相角∠Z＝0 とな① 矢印の長さは振幅、あるいは実効値をる。

表す。

周波数ｆを 0 から∞に変化させたとき② 矢印の仰角は位相角を表す。に、ベクトル図がどうなるかみてみよう。

③ 電流の長さ×インピーダンスの大きさ＝電圧の大きさ

虚数軸④ 電圧に位相角―電流の位相角＝イン周波数増加

ピーダンスの位相角

インダクタンス性

7. R-L-C 直列回路のインピーダンスの周波数依存性

0実軸R

これまでの解説を見ていただいてわかるように、インピーダンスには大きさと容量性位相角がある。インピーダンスを表す記号として Z をしばしば使うが、それの大きさと位相角を表すために、|Z|と∠Z とそれぞれ表現される。後の章ではこれらの情報を複素数で表されることを学ぶが、 このベクトル図を 2 次元座標で、横軸をここでは大きさと角度があることに意識実軸、縦軸を虚数軸とよぶ。周波数が非常していただきたい。に低いときは、𝜔𝐿

0となり容量性

R-L-C 直列回路のインピーダンスの大となる。位相角は－π/2 から周波数が増

きさ|Z|は次のように書くことができる。

加すると角度が低くなり、水平位置で共|𝑍|𝑅

𝜔𝐿

振条件となる。このときインピーダンス

1𝜔𝐶のベクトルの長さは最小の R となる。さらに周波数が上がると、インダクタンス
27

Internet 版 2021/6/20性になり、ふたたびインピーダンスは増𝑉𝐼 𝑅

𝑅𝐼𝑃加することになる。

𝑅𝜔𝐿

R-L-C 直列回路は共振周波数のときに、電流をよく流すとみなすことができる。となる。ここで𝜔𝐿

8. R-L-C 直列回路の力率と電力消費とすると、𝑃

R-L-C 直列回路に交流電圧をかけたときに、この回路素子の消費電力を求めて𝑉𝐼

1
𝜔𝐶

をリアクタンス X

√となる。

みる。

この式の

√はインピーダンスの位相角を φ とすると cosφ となる。この cosφを力率という。
＋

ここで整理しよう。交流電圧の実効値と電流の実効値の積𝑉 𝐼 を皮相電力 PS という。これは名目上の電力であり、実際の交流電圧の実効値を V0 とする。これを消費電力ではないので、単位にワットは√2𝑉 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡とす

使わず、VA（ボルトアンペア）が使われる。

瞬時値として表すと、𝑉る。このとき流れる電流 I は正確に書くと次のようになる。
𝑉√| |𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡

皮相電力𝑃𝜑𝑉𝐼

有効電力𝜑𝑡𝑎𝑛𝜔𝐿𝑅1𝜔𝐶𝑃𝑃√

𝑃 𝑐𝑜𝑠𝜑

このほか、無効電力 Pi も求めておく。こ
前節で述べたように電力消費は抵抗のみの無効電力は電力消費にはならないが、Lで起こる。C や L では電力消費がおこらや C などのリアクタンスと電源との間でない。抵抗 R に流れる電流の実効値 I0 は行ったり来たりする電力のことである。

V0/|𝑍|で求めらる。

この単位はバール（VAR）である。
𝑉𝐼
𝑅

𝜔𝐿

無効電力
1
𝜔𝐶

𝑃

抵抗で消費される電力は有効電力 PE と呼ばれるが、𝑃√𝑃 𝑠𝑖𝑛𝜑以上を眺めてみて、力率は様々な定義がされる。それは、電流と電圧の位相角差28Internet 版 2021/6/20の余弦(cos)、インピーダンスの位相角の余弦とすることができるが、皮相電力に電流は𝑖 の長さで水平に書き、角度 φ だけ対して実際に消費されている電力の割合持ち上げた方向に長さ𝑣 のベクトルを書という意味をもっている。力をいれて実けば、それが電圧のベクトルとなる。この際に伝わっている率なので、このようにとき、インピーダンスも位相角をもち、イ呼ばれているのだと思う。

ンピーダンス角度を∠Ｚとすれば、

9. 重要

∠𝑍＝∠𝑣

インピーダンスの位相角と∠𝑖とすることができる。インピーダンス位

力率

相角は電流に対する電圧の位相（差）とな

R-L-C からなる回路は直列、並列に限らる。何度も解説してきたが、インピーダンず、どんな組みあわせであっても、インピスの大きさ|Z|は、電流の実効値に対するーダンスの大きさと位相角を持つ。ここ

電圧実効値の比になる。

は一般論として、インピーダンスの大きさ、位相角、力率について解説したい。

|𝑍|＝

R-L-C からなる素子に、実効値 i0 の交流インピーダンスの位相角 φ の余弦 cosφ

電流を流した時に、負荷の両端の交流電はインピーダンスの力率となる。インピ圧の実効値が v0 だったとする。また電流ーダンスの力率は、負荷に電圧を実効値に対する電圧の位相角を φ とする。

v0 でかけたときに、そこを流れる電流のこれを瞬時値で表せばこうなる。
𝑖 𝑡√2𝑖 sin 𝜔𝑡𝑣 𝑡√2𝑣 sin 𝜔𝑡𝑣
𝑖

実効値が𝑖 であるときに、実質消費する電力、すなわち有効電力 Pr は、

𝜑

有効電力𝑖

√2𝑖 sin 𝜔𝑡

𝑃𝑣 𝑖 cos 𝜑となる。この式が導かれることを数式で説明する。電流と電圧が周期的に変化す𝑣るときに、その消費電力 P は、電流と電Ｚ√2𝑣 sin 𝜔𝑡

圧の積を一周期 T の区間で積分し、周期𝜑T で割ることで求められる。

正弦波は大きさと位相角のベクトルで表示でき、電圧と電流のベクトルはこの

𝑃

1𝑇1𝑇

√2𝑖 sin 𝜔𝑡 ∙ √2𝑣 sin 𝜔𝑡

ようになる。
2𝑖 𝑣𝑖 𝑡 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

1𝑇𝑣 =|Z|i02𝑖 𝑣

φ𝑖29sin 𝜔𝑡 ∙ sin 𝜔𝑡
1𝑇12𝜑 𝑑𝑡𝜑 𝑑𝑡cos 2𝜔𝑡𝜑cos𝑑𝑡𝜑Internet 版 2021/6/20振動の合成の計算を行えば、インピーダ𝑖 𝑣

1𝑇

sin 2𝜔𝑡2𝜔𝜑𝑖 𝑣

1𝑇

sin 2𝜔𝑇2𝜔𝜑ンスおよびその位相角を求めることがで

𝑡 cos 𝜑きる。この節では結果のみを記述する。

sin 𝜑2𝜔

𝑇 cos 𝜑ここで、sin 2𝜔𝑇𝜑 であるが、周期Ｔは2π/ω なのでsin 4𝜋𝜑 となり、これはsin 𝜑 である。つまり上式の第一項と二項は相殺されるので、与式は通常、R-L-C 回路においてはインピーダン

𝑖0 𝑣0 cos 𝜑

ス Z の代わりにアドミッタンス Y を使う。

𝑃

アドミッタンスはインピーダンスの逆数となる。

であり、電圧に対する電流の比を表す。

ポイント|𝑌|① 負荷に交流電流が流れるときに、電流の実効値に対する、電圧の実効値

1|𝑍|

1𝑅𝜔𝐶1𝜔𝐿

位相角であるが、の比はインピーダンスの大きさ|Z|で∠𝑌ある。（インピーダンスの大きさ）② 電流に対する電圧の位相（差）はイン∠𝑍𝑡𝑎𝑛/となる。位相角の世界では、インピーダンピーダンスの位相角である。
（インピスの位相角はアドミッタンスの位相角のーダンスの位相角）

符号を変えた数値になる。

③ 電流、電圧の位相差の余弦(cos 𝜑 )が共振状態、すなわち力率になる。（力率）
𝜔④ 電流と電圧の実効値に力率をかければ、実質の電力消費、つまり有効電力√

つまり、𝑓√のとき、これは式として直列共振状態ととなる。
（有効電力）

同じであるが、C と L の並列の部分はイン⑤ 電流、電圧の位相差の正弦sin 𝜑

ピーダンス∞、アドミッタンスは 0 となを使 え ば 、 電流 と 電 圧 の実 効 値とる。つまり、L と C の並列共振回路は、共sin 𝜑の積が無効電力となる。

振周波数のときに、電流を流さない回路（無効電力）として働く。

10. R-L-C 並列回路
つぎのような R-L-C 並列回路について
も、直列回路にときにおこなっていた単30

Internet 版 2021/6/20

3章

(c)

練習問題

(d)

1. 実効値 20V、周波数 40Hz、位相角π/6 の交流波形を書きなさい。
6. 次の回路において、抵抗 RO に発生する電圧 VRO の瞬時値を求めよ。また最大になるときの角周波数ωを求めよ。

2. 次の交流電圧の実効値、周波数、位相角を読み取りなさい。横軸は時間で単位は秒、縦軸は電圧の瞬時値であり、単位はV である。

E0ω

7. 次の回路において、有効電力 PE、無効電力 Pi、力率を求めよ。また力率を最大とするには、この直列回路にどんな素子を挿入したらよいか。
3. 次の単振動の波の合成を計算しなさい。
(a)10𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡5𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡(b) 10𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡10𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝜋 ⁄4E0=100V
ω=100rad/s

4. 次の波形のフーリエ級数展開を求めよ。

+1𝑇2𝑇23𝑇28. ある素子に 100V の交流電圧をかけたときに、電流は 30A 流れた。消費電力が 1200Wであったときに、この素子のインピーダンス|Z|と力率 cosφ を求めよ。

5𝑇
2-1

9. ある素子に 100A の交流電流を流した時に、その素子の起電力は 20V であった。オシロスコープで電流と電圧の波形をみたとこ
ろ、電流は電圧に対して位相角としてπ/6だけ遅れていることが分かった。この素子は、インダクタンス性であろうか、それともキャパシタンス性であろうか。この素子の力率 cosφ を求め、有効電力 PE を求めなさい。

5. 次の素子のインピーダンス|Z|とインピーダンスの位相角∠Z を求めよ。角周波数ω
は 100 rad/s とする。
(a)

(b)

10. 次の回路において、回路に流れる電流が最大になるときの角周波数ωを求めなさい。このとき、RL は自由に変更できるものと31

Internet 版 2021/6/2014.0𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡0.256(b) 10𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡10𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

し、消費電流が最大になるとき RL の値を求めよ。

cos の項は sin 波が𝜋⁄2だけ進んでいるE0ωと考える。
10√210103 章 練習問題略解

合成ベクトルの角度も𝜋⁄4である。

1.

合成波は
10√2𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝜋⁄ 4となる。
4.

この波形も奇関数である。この場合は赤字に示す部分積分を使う。
𝑏sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡𝑡

２. 実効値 50V、周波数 50Hz、位相角はπ/4𝑑𝑡
𝑇 cos 𝑛𝜔𝑇/22𝑛𝜔8𝑇３.
(a)10𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡5𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡5104𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋4𝑛𝜋𝜋 ⁄4𝜋⁄45/√2=5/√25/√25/√2sin 𝑛𝜔𝑡𝑛𝜔1𝑛𝜋ｎ=1,2,・・2sin 𝜔𝑡𝜋

sin 2𝜔𝑡2sin 3𝜔𝑡35.

14.0(a) |Z|=1000 Ω ∠Z=0 rad

橙のベクトルの角度は

𝑡𝑎𝑛5√210 5√21

フーリエ級数展開は次のようになる。

橙のベクトルが合成正弦波を表す。橙のベクトルの長さ10𝑡 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡=(b) |Z|=√100

100 =141.4 Ω∠Z=𝜋⁄40.256 rad

合成波は次の通り(c) |Z|= 1032.

=14.14 Ω・・Internet 版 2021/6/20∠𝑍𝜋⁄ 4(d) |𝑍|10

この回路は誘導性であり、コンデンサを直列にすることでインピーダンスを下げることが0.2 ∗ 100=14.14 Ω.

できる。𝜔
𝐶𝜋⁄ 4∠𝑍5√の共振条件の式より、10Fとなる。
6.

8.100V で 30A 流れたということはまずこの回路のインピーダンスを求める。

𝑅|Z|=

𝑅

インピーダンス|Z|は𝜔𝐿∠Z=𝑡𝑎𝑛|Z|＝100/30=3.33Ω
皮相電力は 100×30＝3000VAとなる。

力率 cosφ=1200/3000=0.4つまり電流の瞬時値は
I＝ sin 𝜔𝑡|Z|

9. 電流は電圧に対して位相角としてπ/6 遅∠Z となる。

れているということは、インダクタンス性で電流の位相角は電圧に対してインピーダンスある。力率は cosπ/6=0.5 である。の角度だけ遅れるので、∠Zはマイナスの符号

有効電力 PE＝100×20×0.5＝1000 Wになる。VRO の瞬時の瞬時値は、

𝑉𝐸 𝑅|Z|sin 𝜔𝑡10. これは共振条件のときに L と C の直列回

∠Z路は 0Ωとなる。すなわち、𝜔となる。これが最大になるのは L と C の直列

このときに L と C は無視できる。最大電力条共振時である。つまり、

𝜔√件は、テブナン定理から、内部抵抗と負荷抵つまり、𝑓√抗が等しいときに最大になるので、RL＝R17.となる。

この場合は力率から求めた方が速い。

cosφ＝

√.

0.447
インピーダンスの大きさ|Z| は|Z|＝ 100.2√

100 ＝22.3Ω

電流の大きさ|I|は|I|＝100/22.3=4.48A
有効電力 PE
PE＝|𝑉||𝐼|𝑐𝑜𝑠𝜑=100×4.48×0.447＝200.4W

33