電磁気学演習

4章

コンデンサ

ポイント
1. 平行平板コンデンサ

コンデンサの名前は蓄電器の condenser からきてS [m ]
2d [m]εいる。平板電極の面積を S、電極間距離を d、平板間の誘電率を ε とすると、平行平板コンデンサの容量Cは
𝜀𝑆

𝐶= 𝑑

𝜀 = 𝜀𝑠 𝜀0で表され、𝜀𝑠 は比誘電率、𝜀0 は真空の誘電率である。
コンデンサ C はコンデンサにかけられる電圧をQ++++++++++++

V、蓄積される電荷 Q とすると、Q=CV の関係がある。コンデンサに電圧をかけると、左図のように電----------------荷が蓄積され、上下の電荷はそれぞれ正負の符号は－Q違うが同じ量である。電界のベクトルは電極間に局在する。
2. 平行平板コンデンサのエネルギー電荷 Q[C]で、極板間の電圧 V[V]、コンデンサ容量を C[F]とすると、コンデンサに貯められるエネルギーU[J]は、111 𝑄2𝑈 = 2 𝑄𝑉 = 2 𝐶𝑉 2 = 2 𝐶である。平行平板コンデンサに蓄積されるエネルギーは、平行平板間の電界のある部分1に静電エネルギーとして蓄積される。単位体積当たりの静電エネルギーは2 𝜀𝐸 2である。静電エネルギーを電極間の体積の前空間で積分すると、コンデンサの蓄積エネ
1ルギーの2 𝑄𝑉 と一致する。
3. 異なる誘電率の界面を貫く電界の扱い
二重誘電体コンデンサのところでも扱うが、誘電率の異なる二領域を電界が通過するときに、電界の界面の垂直成分は、誘電率と電界の積（電束）が等しくなるという性質がある。これを知っていると、二重誘電体問題が簡単に解けるようになる。なお、界面と平行な電界成分は等しくなる。
ε1 E1ε2 E2

𝜀1 𝐸1⊥ = 𝜀2 𝐸2⊥

界面の垂直成分𝐸1∦ = 𝐸2∦

界面と平行成分20例題 1 電極間距離 d[m]で、電極面積 S[m2]の平行平板コンデンサ―の静電容量をもとめなさい。電極間の誘電率はε0 とする。
図のようにコンデンサの両極に Q[C]、－Q[C]の電荷を与える。このとき、電極において単位面積当たりの電荷σは
Q [C]

𝑄

σ=𝑆となり、上部電極ではσ、下部電極では－σで帯電し－Q [C]ていることになる。
ガウスの法則より、単位面積当たりσの電荷から、電界が単位面積当たり σ がいて、下に出ている。つまり電界の大きさ E は下に電界がでている

𝜎𝑄00+++++++++++++++++++

E= 𝜀 =𝜀 𝑆となる。
平行平板間の電圧 V は、

𝑉 =𝐸×𝑑 =となる。
静電容量 C は Q÷V であたえられるので、

C=𝜀0 𝑆𝑑となる。

21𝑑𝑄
𝜀0 𝑆

例題２ 頻出 次のような二重誘電体コンデンサの静電容量を求めなさい。

S[m2]
ε1d1

領域 2 ε2d0

領域 1

これも 1 の問題と同様、コンデンサの両極に Q[C]、－Q[C]の電荷を与える。電極で𝑄の単位面積当たりの電荷σは σ = 𝑆 となり、上部電極ではσ、下部電極では－σが帯電する。
領域１での電界強度 E1 は、
𝐸1 =𝜎𝑄=𝜀1𝜀1 𝑆となる。領域 2 での電界強度𝐸2 は、
𝜎𝑄22𝐸2 = 𝜀 = 𝜀 𝑆となる。
極板間の電圧は、
𝑄d𝑄ddd1212

V = E1 d1 + E2 d2 = 𝜀 𝑆1 + 𝜀 𝑆2 = 𝑄 (𝜀 1𝑆 + 𝜀 2𝑆)となる。
静電容量 C は、
C＝ d11d+ 2𝜀1 𝑆 𝜀2 𝑆=

𝑆𝜀1 𝜀2𝜀2 d1 +𝜀1 d2となる。
（別解）領域１と領域２の電界の強さをそれぞれ𝐸1 、𝐸2 とすると、𝜀1 𝐸1 = 𝜀2 𝐸2 が成り立つ。これは二重誘電体を垂直に通過する電界の性質である。
極板間の電圧は、
𝜀𝑉 = 𝐸1 𝑑1 + 𝐸2 𝑑2 = 𝐸1 𝑑1 + 𝜀1 𝐸1 𝑑22

より、 E1 =𝜀2 𝑉となる。
𝜀2 d1 +𝜀1 𝑑2𝑄

𝑆𝜀 𝜀1 2上部電極の電荷 Q は𝜀1 E1 𝑆で表されるので、𝐶＝ 𝑉 = 𝜀 d +𝜀と求められる。同様の計算よd2 11 2

り下部電極でも同じ大きさで負の電荷が計算で求められる。
22

例題 3 二重球殻コンデンサの問題(1) 内球と外球にそれぞれ電荷 Q と－Q をおいたときに、各部の電界強度を求めよ。空間の誘電率はε0 とする。
(2) このときの静電エネルギーの分布を求めよ。
(3) このときの電位の分布を求めよ。
(4) 内球と外球の電位差を求めよ。ただし外球の電位を 0 とする。
(5) 内球と外球を金属電極とみなしたときに、この両極間の静電容量を求めよ。

―Q[C]
Q[C]
a[m]

b[m]

(1) 内球と外球にそれぞれ電荷 Q と－Q をおいたときに、各部の電界強度を求めよ。空間の誘電率はε0 とする。
これはガウスの法則を使えば簡単である。

r<a のとき∫𝑆 𝐸 ∙ 𝑛𝑑𝑆 = 4πr 2 𝐸 = 0∴E = 0a＜r<b のとき
𝑄∫𝑆 𝐸 ∙ 𝑛𝑑𝑆 = 4πr 2 𝐸 = 𝜀𝑄

∴E = 4πr2 𝜀00r > b のとき
𝑄−𝑄∫𝑆 𝐸 ∙ 𝑛𝑑𝑆 = 4πr 2 𝐸 = 𝜀0=0

∴E = 0(2) このときの静電エネルギーの分布を求めよ。
12静電エネルギーの式はU = 𝜀0 𝐸 2で与えられる。

r < a のとき

U=0𝑄2a ＜r <b のとき U＝ 32𝜋2 𝜀 𝑟40r > b のとき

U＝023

(3) このときの電位の分布を求めよ。
電位は電界の線積分の式で求める。
𝑟𝑉 = − ∫∞ 𝑬 ∙ 𝑑𝒓より
𝑟r > b のとき 𝑉 = − ∫∞ 𝑬 ∙ 𝑑𝒓 = 0 この間ゼロである。
𝑟a＜r<b のとき

𝑏𝑟𝑉 = − ∫∞ 𝑬 ∙ 𝑑𝒓 = − ∫∞ 𝑬 ∙ 𝑑𝒓 − ∫𝑏 𝑬 ∙ 𝑑𝒓𝑟𝑟

𝑄1 𝑟

𝑄𝑄

11= − ∫𝑏 𝑬 ∙ 𝑑𝒓 = − ∫𝑏 4πr2 𝜀 𝑑𝑟 = 4π𝜀 [𝑟] =4π𝜀 (𝑟 − 𝑏)0𝑟

r<a のとき

𝑏0𝑎𝑏0𝑎𝑄11( − )4π𝜀0 𝑎𝑏𝑉 = − ∫∞ 𝑬 ∙ 𝑑𝒓 = − ∫∞ 𝑬 ∙ 𝑑𝒓 − ∫𝑏 𝑬 ∙ 𝑑𝒓=− ∫𝑏 𝑬 ∙ 𝑑𝒓=(4) 内球と外球の電位差を求めよ。ただし外球の電位を 0 とする。
𝑎𝑄

11𝑉 = − ∫𝑏 𝑬 ∙ 𝑑𝒓 ＝ 4π𝜀 (𝑎 − 𝑏) となる.
0(5) 内球と外球を金属電極とみなしたときに、この両極間の静電容量を求めよ。
𝑄𝐶=𝑉=

𝑄

4π𝜀𝑄
1 1( − )4π𝜀0 𝑎 𝑏= 1 10 =( − )𝑎 𝑏

4π𝜀0 𝑎𝑏𝑏−𝑎となる。
例題 4 コンデンサ容量 C[F]に電圧 E[V]で充電したときに、コンデンサに貯められるエネルギーは CE2/2 であることを示しなさい。

ΔQ（充電電荷）

ある時刻にコンデンサの両端の電圧が V [V]であり、これに電荷をΔQ だけ充電することを考える。このときに、コンデンサの極板電荷は Q かV

ら Q＋ΔQ だけ増加する。このとき Q＝CV が成り立つ。
ΔQ の電荷を充電することは、電荷ΔQ を無限遠点の 0V から V[V]まで運ぶ仕事をコンデンサに蓄積していることになる。これで増加するコンデンサの内部エネルギーΔUは、次のようになる。
𝑄

𝛥𝑈 = 𝛥𝑄𝑉＝𝛥𝑄 ∙ 𝐶

電圧 E のときの極板電荷を𝑄0 (＝𝐶𝐸)とすると、蓄積エネルギーは積分で求められる。
1

𝑄

𝑄2

𝑈 = 𝐶 ∫0 0 𝑄𝑑𝑄 = 2𝐶0 =𝐶𝐸 2224例題 5 頻出 仮想変位
次のような誘電体が横から挿入されたコンデンサがある。このコンデンサには電荷 Q が蓄積されている。横から引き抜くのに必要な力を求めなさい。電極面積は S、電極間距離ｄとする。

Q0

Q1ε1（＞ε0）

ε0-Q0 xF- Q1L
この問題は誘電体を引き出すときに、距離の増加がΔx のときに、内部エネルギーの増加分ΔU が求められれば、F=ΔU/Δx から求められる。
この問題は、非誘電体部分の電荷を Q0 とし、誘電体部分を Q1 として、極板間の電圧が等しいとして、それぞれを求める。非誘電体部分の容量を C0、誘電体部分を C1 とすると、次が成り立つ。
𝜀 𝑆 𝑥𝑑 𝐿

𝜀 𝑆 𝐿−𝑥𝑑𝐿

𝐶0 = 0 ∙𝐶1 = 1 ∙𝑄 = 𝑄0 + 𝑄1

電荷の総量が等しい

𝑄0𝑄= 𝐶1
𝐶01

極板間の電圧は等しい

下二つの連立方程式から、それぞれの電荷を求める。
𝐶 𝑄

𝜀 𝑥0
𝑄0 = 𝐶 +𝐶= 𝜀 𝑥+𝜀0 (𝐿−𝑥) 𝑄
0101𝐶 𝑄𝜀 (𝐿−𝑥)11
𝑄1 = 𝐶 +𝐶= 𝜀 𝑥+𝜀𝑄
(𝐿−𝑥)
0101

非誘電体部分のコンデンサと誘電体部分のコンデンサの蓄積エネルギーの総和 U 次のようになる。
𝑄2𝑄201𝑈 = 2𝐶0 + 2𝐶1 =𝑑𝑈

𝑑𝐿𝑄 2
𝜀0 𝑥
𝜀1 (𝐿−𝑥)+{2}2𝑆 (𝜀0 𝑥+𝜀1 (𝐿−𝑥))2(𝜀0 𝑥+𝜀1 (𝐿−𝑥))=

𝑑𝐿𝑄 222𝑑𝑄 2 (𝜀0 −𝜀1 )(𝜀0 𝑥+𝜀1 (𝐿−𝑥)) −2(𝜀0−𝜀1 )(𝜀0 𝑥+𝜀1 (𝐿−𝑥))

𝐹 = 𝑑𝑥 = 2𝑆4(𝜀0 𝑥+𝜀1 (𝐿−𝑥))(𝜀1 −𝜀0 )2𝑆 (𝜀0 𝑥+𝜀1 (𝐿−𝑥))2

𝜀1 − 𝜀0 > 0 であることにより、力は正である。つまり、引き抜くには力が必要となり、この誘電体自体は内部に引き込まれる力が働いている。
※

この問題で極板間の電圧が一定であるという条件ならどうだろうか。これは外部に電圧源を付けた状態であるが、この場合外部からの仕事ΔW（＝FΔx）とそのときの内部エネルギーの増加分ΔU、電圧源から供給されるエネルギーをΔU1 として、エネルギー保存の法則ΔW＋ΔU1＝ΔU から、ΔW を求めて力 F を計算する。計算として複雑になる。
参考までに、例題 7 を参照いただきたい。

25

例題 6 頻出 仮想変位
平行平板コンデンサに電荷 Q、-Q で帯電されているとする。このコンデンサの極板面積は S、極板間の距離を x とする。極板間に働く力 F を求めなさい。極板間の誘電率はε0 とする。
この答えは、クーロンの法則では単純に引力が働くことがわかるが、Q２/4πε0x2 とはならない。これは単純に点電荷条件が当てはまらないからである。外部から電極を力 Fで引っ張って、極板間距離をΔx だけ増やしたときに、内部エネルギーの増加をΔU とするとΔU/Δx が引っ張るのに必要な力、すなわち引っ張られている力になる。まずは内部エネルギーU を求めよう。
𝑄2𝑄2𝑥

𝑈 = 2𝐶 = 2𝜀 𝑆0

力 F は、
𝐹=𝑑𝑈
𝑄2=𝑑𝑥
2𝜀0 𝑆

この式より、力 F は正であり、極板間は引きあっていることになる。
例題 7 頻出 仮想変位
平行平板コンデンサに一定電圧 V がかけられている。このコンデンサの極板面積は S、極板間の距離をとする。極板間に働く力 F を求めなさい。極板間誘電率はε0 とする。
この問題は結論からすると例題 6 と同じ答

←ΔQ（充電電荷）えになるが、求め方は同じではない。これは上電極を引っ張ると、電池から電荷の出V入りがあって、そこでのエネルギーのやり取りがあるからである。

電極間距離を x から x＋Δx に増加させたとする。
𝜀 𝑆

このとき容量 C は 𝑥0 から𝜀0 𝑆𝑥＋𝛥𝑥となる。また極板電荷は Q=CV の式より、𝜀0 𝑆𝜀 𝑆
𝑉から 0 𝑉になる。
𝑥𝑥＋𝛥𝑥
11

内部エネルギーの変化ΔU は𝛥𝑈 = 2 (𝑄 + 𝛥𝑄)𝑉 − 2 𝑄𝑉より、
1𝛥𝑈 = 2 𝑉 (𝜀0 𝑆𝑥＋𝛥𝑥𝜀 𝑆

1𝑉 − 𝑥0 𝑉)=2 𝜀0 𝑆𝑉 2−𝛥𝑥𝑥(𝑥＋𝛥𝑥)となる。このとき電池が電圧 V コンデンサにΔQ で充電してエネルギーΔU1 だけエネルギーを与えたとする。
𝛥𝑈1 = 𝑉𝛥𝑄 = (𝜀0 𝑆𝜀 𝑆𝑥𝑉 − 0 𝑉) 𝑉 = 𝜀0 𝑆𝑉 2−𝛥𝑥𝑥＋𝛥𝑥𝑥(𝑥＋𝛥𝑥)
11𝛥𝑥
2 −𝛥𝑥
2 −𝛥𝑥
𝛥𝑊 = 𝛥𝑈 − 𝛥𝑈1 ＝ 2 𝜀0 𝑆𝑉− 𝜀0 𝑆𝑉= 2 𝜀0 𝑆𝑉 2𝑥(𝑥＋𝛥𝑥)𝑥(𝑥＋𝛥𝑥)𝑥(𝑥＋𝛥𝑥)
𝛥𝑊

1F= 𝛥𝑥 = 2 𝜀0 𝑆𝑉 21𝑥(𝑥＋𝛥𝑥)

1 𝜀 𝑆𝑉 2𝑄2≅ 2 0𝑥 2 =2𝜀 𝑆 (答え)0

力 F は正であり、この場合も極板間は引きあっていることがわかる。
26