カプレカー変換に関する考察(3)
４年Ａ組

市田

美玲

指導教員

川口

慎二

１． 要約
サイエンス研究会数学班 4 年生はカプレカー変換について学習している。今回はカプレ
カー定数と、7 桁のカプレカー変換について考察した。また、7 桁における、循環までの過程をまとめたので紹介する。
キーワード

カプレカー変換、カプレカー定数、循環、収束

２． 研究の背景と目的
カプレカー変換とは自然数において、各桁の数字を並びかえて作ることのできる最■カプレカー定数
1 回の変換によって、値が変化しない自然数のことをいう。

大の数から最小の数を引く操作のことであ

ただし、ぞろ目は最初の変換で 0 になるる。この変換を続けると 1 つの値に収束すので、除いて考える。また、 n 桁の変換をるか、複数の値で循環することが知られて考える際に変換により 1 桁減ってしまったいる。しかし、どのような場合に収束あるとしても、 n 桁とみなして考える。

いは循環が表れるのか、どのような値を経て収束、循環にたどりつくのか、カプレカ
ー定数はどのような値なのかは明らかになっていない。

３．２ カプレカー定数についての考察
これまでの研究で 3, 4, 6 桁のカプレカー
定数は、495, 6174, 549945, 631764 である

そこで、今回は 7 桁のカプレカー変換にことを示した。495 と 549945，6174 とおける循環の過程、カプレカー定数につい631764 はそれぞれ各桁の数字が似ている。

ての考察をまとめた。なお、2, 3, 4, 5, 6 桁

そこで、この 2 つのパターンを考察し、さの場合については、参考文献[1], [2]にまとらに大きい桁数のカプレカー定数を予想でめている。

きるのではないかと考えた。

３． 研究内容

3.2.1

３．１

基本事項

■ソート
各桁の数字を並びかえて、最大の数にする操作をいう。

495, 549945

495, 549945 の変換の筆算はそれぞれ次のようになる。

9 5 4
 4 5 94 9 5

9 9 5 5 4 4
 4 4 5 5 9 9
5 4 9 9 4 5し、ここでは n  7 として、 an  a1 かつ

筆算 1

筆算 2

9  an  an1    a2  a1  4

変換後の値を pn pn1  p2 p1 とおく。ただかつ a1 , a2 ,, an , p1 , p2 ,, pn  {4, 5, 9}
筆算 1, 2 より、繰り下がりも含めた式でとする。
変換の結果を筆算で表すと筆算 3 のよう各位の計算を表すと、
4－9+10＝5,

4－9－1+10＝4,

9－4＝5,

9－4－1＝4になる。
条件より a n  9 , a1  4 となり、

とき 4, 5, 9 しか表れないようになっている。

pn  9  4  5 , p1  4  9  10  5 となる。
ここで、 ak  4, ak 1  5 とおくと計算結

このようなカプレカー定数を考察するため

果は筆算 4 のようになる。

の 4 つの式になり、変換を筆算で表記したに、一般化を行った。
各桁の数が 4, 5, 9 である n 桁のカプレカ
ー定数のソート後の値を an an1 a2 a1 ,an

a n 1

 a n  k 1

a1

a2



pn

p n 1  p n  k 1

ak

a nk

 a k 1

ak

a2

a1

a k 1 anka n  k 1  a n 1

an

p nk

 p k 1

pk



p2

p1

4



a2

4



筆算 3

9

a n 1

 a n  k 1

 4

a2



5

4

p n 1  p n  k 1

a nk



5

5

 a nka n  k 1  a n 1

9

pnk

 p k 1

pk

5



p2

筆算 4

p k の位において、4  ak  ak 1  ank 1
より、 an k 1  5 または an k 1  9 である。
ank 1  5 のとき、繰り下がりを考慮すると pk  4  5  10  1  8 より、適さない。
ank 1  9 のとき、 pk  4  9  10  1

 4 より適する。
したがって、an k 1  9 であり、p k  4 とわかる。
また、p n  k の位において、5  ak 1  ankより、 a n k  5 または a n k  9 である。

ank  5 のとき、 pnk  5  5  10  1  9より適する。

ank  9 のとき、 pnk  9  5  1  3 より適さない。
したがって、 ank  5 であり pnk  9 ．
このとき、 pnk 1  9  4  1  4,

pk 1  5  5  10  1  9となり、それぞれ適する。

さらに、 a1 から a k までが 4, ak 1 から

筆算 7 において、各桁の計算を見ると、

ank までが 5, a n k 1 から a n までが 9 であ

下 1, 3 桁目、上 1, 3 桁目、つまり、筆算 6るとわかるので、筆算で表すと次のようにと共通する 1, 4, 6, 7 は、ソートして変換すなる。ここで、9 … 9 のように…の両端がると 6, 1, 7, 4 が現れる。

同じ数のとき、…の間にある数はすべて両端の数（この場合は 9）であることを表わ

残りの桁である 3, 6 も同様に変換後の数に 6, 3 が表れる。
したがって、631764 に 3, 6 を挿入してしている。

も、ソート後の値の各桁の数が変換後現れ

9  9 9 5  5 4  4 4
 4  4 4 5  5 9  9 95  5 4 9  9 4  4 5
筆算 5る。つまり、63317664 を変換すると、76664331－13346667＝63317664となり、8 桁のカプレカー定数となる。
筆算 6, 7 と同様に筆算を行うと、次のようになる。

筆算 5 より、9 と 4， 5 と 9 はそれぞれ同じ個数だけあるから、4, 5, 9 はすべて同じ個数である必要がある。
以上から、各桁の数が 4, 5, 9 であるカプ

7 6  6 6 4 3  3 1
 1 3  3 4 6 6  6 7
6 3  3 1 7 6  6 4
筆算 8

レカー定数は
5…549…94…45
であり、4, 5, 9 は同じ個数であることが示したがって、カプレカー定数は63…3176…64された。
さらに、4, 5, 9 が同じ個数あればよいので、 3k 桁（ただし、 k は自然数）のカプレ
カー定数は存在することがわかる。

と表せる。
さらに、6174 から 3, 6 の 2 つずつを挿入して加えていくので、 2k  2 桁（ただし、k は自然数）のカプレカー定数は存在する
3.2.2

6174, 631764

ことになる。

6174 と 631764 の変換の筆算は次のよう
になる。

３．３

カプレカー定数と収束

自然数は変換を行い続けるとある数で循

7 6 4 17 6 6 4 3 1
 1 4 6 7  1 3 4 6 6 7
6 1 7 46 3 1 7 6 4
筆算 6

筆算 7

環するか、カプレカー定数で収束するかのどちらかにたどり着くことが知られている。
３．２節より、3k 桁、2k  2 桁のカプレ
カー定数が存在するので、3k 桁、2k  2 桁
ではこれらのカプレカー定数に収束する数

筆算 6, 7 より 631764 は 6174 に 3, 6 を挿入した数であるということができる。

があることがわかる。

３．４

行った。

７桁のカプレカー変換

すると、すべて 7 桁の自然数は変換を繰

任意の 7 桁のソート後の数を abcdefg

り返していくと、

とおく。ただし a, b, c, d , e, f , g は整数とし8649432→7519743→8429652て、 a  b  c  d  e  f  g  0 , a  g ,→7619773→8439552→7509843とする。

→9529641→8719722

変換を筆算で表すと、筆算 9 のようになる。

という循環節で循環することがわかり、7桁のカプレカー定数は存在しないことも確かめられた。また、最大で 13 回の変換で循

４．考察環にたどり着くということが明らかになっ

４．１

た。

変換を続けるとどうなるのか

任意の 7 桁の数 abcdefg について、変４．２

収束、循環の過程

7 桁の循環の過程を表す表を後半に附し換を繰り返すとどのような数になるのかをた。変換後の値は a  g , b  f , c  e の値考える。

によって決まるため、変換後の値は a  g ,abcdefg を変換すると筆算 9 より、b  f , c  e の値の組み合わせにより、それ999999(a  g )  99990(b  f )  9000(c  e) から先の変換の様子が決まる。その変換のとなる。

様子を調べたものである。影のついた部分

ここから、変換後の値は a  g , b  f ,は、上述の循環節に入ったことを示していc  e の値によって決まることがわかる(ただし、 a  g  b  f  c  e )。そこで、こる。最大 13 回の変換により、循環節に入る
ことが確認できる。

の値によって場合分けし、変換を繰り返し

a
b

g
f
ag b f

c
d
e
e
d
c
c  e 1 9 e  c  9fgbaf  b  9 g  a  10

筆算 9

５．今後の課題

ことができた。今後はさらにカプレカー定

今回、カプレカー定数と収束、7 桁のカ数を詳しく考察することでどのような桁数

プレカー変換について、自ら考察することのときに収束がおこるのかということを明ができた。しかし、収束、循環の過程の値

らかにしていきたい。

についての考察は十分にはできなかった。
また、今回は計算機を用いながら、自分で計算をまとめたことで、効率よく作業する６．参考文献

７．謝辞[1] 「カプレカー変換に関する考察」，市田

今回の研究にあたりご指導くださった顧

美玲，2013 年度奈良女子大学附属中等

問の川口先生、ありがとうございました。

教育学校サイエンス研究会生徒研究論

また、サイエンス研究会の先輩、後輩の方々

文集にもご協力いただきました。ありがとうご[2]「カプレカー変換に関する考察(2)」，市田美玲，2014 年度奈良女子大学附属中等教育学校サイエンス研究会生徒研究
論文集

ざいました。

a-g b-f c-e
1
0
0
1
1
0
1
1
1
2
0
0
2
1
0
2
1
1
2
2
0
2
2
1
2
2
2
3
0
0
3
1
0
3
1
1
3
2
0
3
2
1
3
2
2
3
3
0
3
3
1
3
3
2
3
3
3
4
0
0
4
1
0
4
1
1
4
2
0
4
2
1
4
2
2
4
3
0
4
3
1
4
3
2
4
3
3
4
4
0
4
4
1
4
4
2
4
4
3
4
4
4
5
0
0
5
1
0
5
1
1
5
2
0
5
2
1
5
2
2
5
3
0
5
3
1
5
3
2
5
3
3

１回目
99999910999891109889
1999998
20999882109888
21999782209878221977829999973099987
3109887
319997732098773219777
3299967330986733197673329667
399999640999864109886
419997642098764219776
4299966430986643197664329666
43999564409856441975644296564439556
4999995
50999855109885
5199975
52098755219775
5299965530986553197655329665

２回目
899999198098119869211809998297098219759321871972296593318649432
7199973961973197494218619732
963953185395427629633
953954184395527429653
629996495296419739521852964296296318529642752964395197418419752731976365395449409851
831976272197736209874
53999559439551972962184395529619731851974274395539509841
84098527309863

３回目
8099982986921188593129709821985931187395228649432
8629632
75197438619732
883951287296228639532
862963275098437429653
8609832750984374197537529643871972287395227619733
87296227619733
741975388296128629632
8439552620987498395118639532
8539542962963164395548609832
87494227509843883951286296326409854983951196395319539541

４回目
970982188593128649432
985931188494127639533
75197437629633
84296528639532
8649432
7649433
75296437629633
95296417419753
96494319529641842965274197538649432
7639533
84395527649433
843955284296528659332
7629633
750984396296318849412752964375098438729622620987496494317629633
95296418649432
7629633
940985188494128629632
8609832

５回目
98593118649432
751974388494128639532
6429654842965274296537619733
75296437519743641975474197537429653871972284296528619732
87197227619733
8429652751974364296547509843641975475098437619733
75296437429653952964187296228639532
741975395296417649433
962963186197327429653871972275197437429653
98395118639532
7629633
9649431

６回目
8849412751974384296528639532
752964372197737619733
7419753
8439552741975384296528319762842965274197538649432
7619733
8639532
8649432
84395527619733
842965272197739529641
8319762952964184395527419753741975387197227649433
752964384296528719722641975487296228639532
74197538649432
842965274197538849412752964374296538619732

７回目
8639532
84296527619733
75296437419753853954284395528429652750984384296527619733
8639532
7619733
84296527519743843955275296437519743750984384395527619733
853954287197228639532
87197227509843842965284296528649432
641975474197537619733
8649432
83197627649433
7529643842965275197437619733
84296528639532
741975374197538639532

８回目
75296437619733
843955274197538429652750984375098437619733
9529641
7619733
8439552752964384395527619733
842965275098437419753842965295296417509843843955275098438649432
75296438649432
9529641
7619733
7619733
751974383197628429652843955275197438639532
641975474197537619733
842965284395527619733
7529643842965284296527529643

９回目
１０回目 １１回目 １２回目 １３回目
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7519743 8429652 7619733 8439552 7509843
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
7519743 8429652 7619733 8439552 7509843
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8639532 7529643 7419753 8429652 7619733
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7529643 7419753 8429652 7619733 8439552
8319762 8639532 7529643 7419753 8429652
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843

a-g b-f c-e
5
4
0
5
4
1
5
4
2
5
4
3
5
4
4
5
5
0
5
5
1
5
5
2
5
5
3
5
5
4
5
5
5
6
0
0
6
1
0
6
1
1
6
2
0
6
2
1
6
2
2
6
3
0
6
3
1
6
3
2
6
3
3
6
4
0
6
4
1
6
4
2
6
4
3
6
4
4
6
5
0
6
5
1
6
5
2
6
5
3
6
5
4
6
5
5
6
6
0
6
6
1
6
6
2
6
6
3
6
6
4
6
6
5
6
6
6
7
0
0
7
1
0
7
1
1
7
2
0
7
2
1

１回目
5399955
5409855
5419755
5429655
5439555549994555098455519745552964555395455549445599999460999846109884
619997462098746219774
6299964
630986463197646329664
639995464098546419754642965464395546499944650984465197446529644653954465494446599934
6609834
6619734
6629634
6639534
66494346659334
699999370999837109883
71999737209873

２回目
64395549399951
82999627199973609998455395459399951
8299962719997360999845109885539995595296419739521852964296296318529642752964395197418419752731976365395449409851
83197627219773620987455494459409851
83197627219773620987452098756539544951974184197527319763631976462197746319764
6299964961973197494218619732
9639531

３回目
62098748639532
77296238619732
952964160999848639532
77296238619732
952964197296216439554871972287395227619733
87296227619733
741975388296128629632
8439552620987498395118639532
85395429629631510988598395118639532
853954296296319619731620987488296128629632
84395528419752852964284197527529643883951287296228639532
8629632

４回目
9629631752964375395438639532
87197229529641752964375395438639532
8719722874942262098748649432
7639533
84395527649433
843955284296528659332
7629633
75098439629631884941275296437509843872962297296218849412752964375098438729622883951296296318659332
7629633
75098438629632
7619733
8629632
74197538649432
7649433
75296437629633

５回目
87296227419753640985475296438649432
87197227419753640985475296438649432
7629633
9629631751974364296547509843641975475098437619733
75296437429653952964187296228639532
741975395296417649433
87494228639532
741975395296417649433
8649432
87296227529643742965395296417629633
84395527629633
84296527519743641975474197537429653

６回目
7649433
84296529409851
741975375197438649432
84296529409851
7419753751974374296538729622842965272197739529641
8319762952964184395527419753741975387197227649433
75296438429652871972264197547629633
752964384296528719722641975475197437649433
7419753741975387197227429653750984374296537619733
8429652831976284296527419753

７回目
64197547619733
98395118429652842965275197437619733
98395118429652842965274197537649433
7619733
853954287197228639532
87197227509843842965284296528649432
641975474197537619733
8649432
8319762742965374197537619733
8649432
831976284296526419754842965284296528649432
741975395296417419753
84395527619733
8639532
7619733
8429652

８回目
8319762843955288494127619733
7619733
8429652843955288494127619733
7619733
84296526419754843955275098438649432
75296438649432
9529641
7619733
7619733
75197438319762842965284395527519743863953274296538429652843955275197438639532
7619733
83197627619733
7619733
751974384296528719722842965275098438439552752964384395527619733

９回目
１０回目 １１回目 １２回目 １３回目
8639532 7529643 7419753 8429652 7619733
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8639532 7529643 7419753 8429652 7619733
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8639532 7529643 7419753 8429652 7619733
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
8319762 8639532 7529643 7419753 8429652
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7519743 8429652 7619733 8439552 7509843
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
7519743 8429652 7619733 8439552 7509843
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8639532 7529643 7419753 8429652 7619733
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7529643 7419753 8429652 7619733 8439552
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7529643 7419753 8429652 7619733 8439552
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8639532 7529643 7419753 8429652 7619733
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
8649432 7519743 8429652 7619733 8439552
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432

a-g b-f c-e
7
2
2
7
3
0
7
3
1
7
3
2
7
3
3
7
4
0
7
4
1
7
4
2
7
4
3
7
4
4
7
5
0
7
5
1
7
5
2
7
5
3
7
5
4
7
5
5
7
6
0
7
6
1
7
6
2
7
6
3
7
6
4
7
6
5
7
6
6
7
7
0
7
7
1
7
7
2
7
7
3
7
7
4
7
7
5
7
7
6
7
7
7
8
0
0
8
1
0
8
1
1
8
2
0
8
2
1
8
2
2
8
3
0
8
3
1
8
3
2
8
3
3
8
4
0
8
4
1
8
4
2

１回目
72197737299963730986373197637329663
7399953
740985374197537429653
7439553
7499943750984375197437529643753954375494437599933
7609833
7619733
7629633
7639533
7649433
7659333
76999237709823771972377296237739523774942377593237769223
7999992
80999828109882
819997282098728219772
8299962830986283197628329662
839995284098528419752

２回目
85395427629633
953954184395527429653
6639534
95296418429652741975364098546549444952964184296527419753640985463098646639534
953954184395527429653
6429654641975464296547629633
96395318539542753954374395537429653
74395537539543
719997397098219759321871972296593318649432
772962396494318639532
7629633
7639533
96395318629632

３回目
75098437429653
860983275098437419753
631976487197227619733
84296529409851520987587197227619733
8429652940985195197416319764
860983275098437419753
721977383197627219773742965386296327509843640985464098547419753640985464098548619732
985931187395228649432
8629632
751974375395438619732
75296437429653
64296548629632
7629633

４回目
95296417419753
96494319529641842965284197528649432
84395527619733
983951196197318649432
84395527619733
98395118829612841975296494319529641842965285395428639532
853954274197537629633
95296419409851
940985184296529409851
9409851863953288494127639533
75197437629633
842965264098548639532
74197537419753
72197737629633
7429653

５回目
871972284296528619732
87197227619733
8629632
7519743750984384395528849412883951275197437509843843955288494128659332
8629632
8619732
87197227619733
750984375296437509843842965274296538719722983951198395117619733
9839511983951175296438639532
6429654842965274296537619733
9409851752964384296528429652853954274296537419753

６回目
8649432
7619733
8639532
8649432
84395527629633
8429652952964175098438639532
8649432
8429652952964175098438639532
75296437629633
8639532
8649432
8439552952964174197539529641
7619733
74197538649432884941288494128439552884941288494127419753752964372197737619733
7419753
8439552983951174197537619733
7619733
750984374197538429652

７回目
7519743843955275296437519743750984374296537619733
87197229529641752964375197437619733
871972295296417529643741975374296537529643751974375098438719722842965287197228439552842965275197438639532
863953275098438639532
8639532
8429652741975385395428439552842965275098438849412842965284395528439552952964184296527619733

８回目
842965275098437419753842965295296417419753
84395528649432
87197227419753842965284395528649432
87197227419753842965274197537419753842965295296418649432
7619733
864943275098437619733
8429652752964375296439529641752964375296437619733
8429652750984375098437619733
95296418639532
7619733
7509843750984387197227619733
8439552

９回目
１０回目 １１回目 １２回目 １３回目
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
7519743 8429652 7619733 8439552 7509843
8649432 7519743 8429652 7619733 8439552
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
7519743 8429652 7619733 8439552 7509843
8649432 7519743 8429652 7619733 8439552
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
7519743 8429652 7619733 8439552 7509843
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7519743 8429652 7619733 8439552 7509843
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
7419753 8429652 7619733 8439552 7509843
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
7529643 7419753 8429652 7619733 8439552
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8649432 7519743 8429652 7619733 8439552
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743

a-g b-f c-e
8
4
3
8
4
4
8
5
0
8
5
1
8
5
2
8
5
3
8
5
4
8
5
5
8
6
0
8
6
1
8
6
2
8
6
3
8
6
4
8
6
5
8
6
6
8
7
0
8
7
1
8
7
2
8
7
3
8
7
4
8
7
5
8
7
6
8
7
7
8
8
0
8
8
1
8
8
2
8
8
3
8
8
4
8
8
5
8
8
6
8
8
7
8
8
8
9
0
0
9
1
0
9
1
1
9
2
0
9
2
1
9
2
2
9
3
0
9
3
1
9
3
2
9
3
3
9
4
0
9
4
1

１回目
84296528439552
8499942850984285197428529642853954285494428599932
8609832
8619732
8629632
8639532
8649432
8659332
869992287098228719722872962287395228749422875932287692228799912880981288197128829612883951288494128859312886921288791128999991909998191098819199971920987192197719299961930986193197619329661
9399951
9409851

２回目
7619733
7509843754944396395318629632
7619733
75098437409853
7639533
96494318639532
7629633
752964375197437529643772962396593318649432
7649433
7639533
7629633
7639533
7649433
8719722975932187593228659332
8649432
8639532
8649432
8659332
875932280999829809811986921188197129859311884941287296229849411883951287296228639532
9839511

３回目
84395529529641
63098648629632
7629633
84395529529641952964164296548619732
7529643742965374197538429652741975375395438629632
7519743641975464296547429653
642965464197548649432
87395227639533
752964375197437529643751974375296437639533
970982198692118859312875932288494128639532
7649433
88395128649432
7649433
75296438849412

４回目
7509843871972295197417629633
742965375098438719722871972272197738639532
7419753741975384296527619733
842965264098547629633
8429652831976272197737419753
7219773831976275197437639533
642965474197538429652741975384296527419753
6429654985931188593128649432
7639533
8639532
752964364197548649432
7519743641975474197538639532

５回目
9529641864943288296127429653741975395296418649432
8649432
85395427529643842965284296527619733
84395527619733
940985174296537619733
8639532
8539542842965285395428639532
84296526429654721977384296527619733
84296527619733
8429652721977388494128649432
7519743642965475296437419753
831976275197438429652831976284296527529643

６回目
871972275197438659332
74197538429652871972275197437519743750984374197537619733
7619733
84395527509843843955298395117419753
8439552752964375098437619733
750984375296437619733
721977385395427619733
84395527619733
84395527619733
85395428639532
751974384296527219773741975384296528639532
84296527619733
8639532
7619733
7419753

７回目
8649432
8429652752964384296527619733
8649432
84296528429652952964184296528439552843955275098439529641750984388494128429652750984374197539529641843955295296417419753
843955285395427509843843955275098438439552750984384395527509843752964384296527619733
853954284296527619733
75296437619733
8439552752964384395528429652

８回目
75197437619733
74197537619733
843955275197437619733
7619733
87197227619733
750984375098439529641871972295296418639532
7619733
95296418429652871972275098438719722842965275098437509843952964175098439529641750984395296417509843952964174197537619733
843955275098437619733
84395527419753
84395527509843741975375098437619733

９回目
１０回目 １１回目 １２回目 １３回目
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8649432 7519743 8429652 7619733 8439552
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
8649432 7519743 8429652 7619733 8439552
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
7529643 7419753 8429652 7619733 8439552
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
8649432 7519743 8429652 7619733 8439552
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8649432 7519743 8429652 7619733 8439552
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432

a-g b-f c-e
9
4
2
9
4
3
9
4
4
9
5
0
9
5
1
9
5
2
9
5
3
9
5
4
9
5
5
9
6
0
9
6
1
9
6
2
9
6
3
9
6
4
9
6
5
9
6
6
9
7
0
9
7
1
9
7
2
9
7
3
9
7
4
9
7
5
9
7
6
9
7
7
9
8
0
9
8
1
9
8
2
9
8
3
9
8
4
9
8
5
9
8
6
9
8
7
9
8
8
9
9
0
9
9
1
9
9
2
9
9
3
9
9
4
9
9
5
9
9
6
9
9
7
9
9
8
9
9
9

１回目
941975194296519439551
949994195098419519741952964195395419549441
9599931960983196197319629631963953196494319659331969992197098219719721972962197395219749421975932197692219799911
980981198197119829611983951198494119859311986921198791119899901
9909801
9919701
9929601
9939501
9949401
9959301
9969201
9979101
9989001

２回目
882961287197228609832
85494429839511882961287197228609832
85098428639532
9849411883951287296228629632
8619732
8629632
8729622985931188494128749422873952287296228739522874942288197129869211886921288593128849412883951288494128859312886921298098119979101
98791119869211985931198494119859311986921198791119979101

３回目
8659332
8649432
9649431740985388494128659332
8649432
96494319639531752964388395128649432
7649433
7629633
8639532
7629633
764943388494128639532
7629633
7639533
7649433
7639533
7629633
875932288593128659332
8649432
8639532
8649432
8639532
8649432
8659332
9869211987911188692128859312884941288395128849412885931288692129879111

４回目
752964375197438619732
95296418639532
752964375197438619732
8629632
74197538649432
75197436419754742965375296437429653
64197548639532
75296437429653
6429654641975464296547429653
7639533
8649432
7529643751974375296437519743752964375197437529643885931288692128659332
8649432
8639532
8649432
8639532
8649432
8659332
8869212

５回目
741975384296528639532
87197227529643741975384296528639532
7629633
8429652751974384296528319762741975374197537419753
8319762752964374197537419753
7219773831976272197737419753
6429654751974374197538429652741975384296527419753842965274197538649432
8659332
75296437519743752964375197437529643751974375296438659332

６回目
84296527619733
75296438649432
741975384296527619733
752964374296537619733
84296527619733
8639532
8429652842965284296528639532
74197538429652842965285395428639532
853954284296527219773842965284296527619733
84296527619733
84296527619733
84296527519743752964374197538429652741975384296527419753842965274197537529643

７回目
7619733
84395527419753751974384296527619733
843955274197537419753
84395527619733
843955275296437619733
7619733
7619733
752964384296527619733
7619733
7509843752964375098437619733
85395427619733
7619733
84395527619733
84395527619733
84395527619733
8429652741975384296527619733
84296527619733
84296527619733
84296527419753

８回目
84395527509843842965284296527619733
84395527509843842965284296527509843843955275098437419753
84395528439552843955274197537619733
8439552843955295296417419753952964184395527509843843955284395527509843843955275098438439552750984384395527619733
84296527619733
84395527619733
84395527619733
84395527619733
8429652

９回目
１０回目 １１回目 １２回目 １３回目
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
8429652 7619733 8439552 7509843 9529641
8719722 8649432 7519743 8429652 7619733
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
9529641 8719722 8649432 7519743 8429652
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7509843 9529641 8719722 8649432 7519743
8439552 7509843 9529641 8719722 8649432
7619733 8439552 7509843 9529641 8719722