数理解析研究所講究録
1129 巻 2000 年 73-82

73

Domain-Dependence of Convergence Rate inSome Domain Decomposition Method for aResolvent Stokes Equation
齊藤宣(財) 国際高等研究所
京都大学数理解析研究所

NORIKAZU SAITO
International Institute for Advanced Studies andResearch Institute for Mathematical Sciences
Kyoto University

Abstract. Some domain decomposition algorithm for a resolvent
Stokes equation is considered. Our attention is focused on thedomain-dependence of convergence speed of such algorithm. Actually, under a certain geometric condition, we can derive explicit
decay rates of the error on an artificial boundary in terms of someconstants depending on subdomains.

1序

この論文は, 領域分割法の数学的基礎理論に関するものであり, 特に反復的な領域分割アルゴリズムの収束の速さの領域依存性 (domain-dependence) に焦点を当てる. この種の問題については, 1995 年に H. Fujita が Poisson 方程式に対する結果を提出した ([4], [5]). H. Fujita は, Poisson 方程式に対する典型的な領域分割アルゴリズムを考え, 領域分割の仕方に関するある仮定 (例えば後で述べるなど) の下で, 誤差の陽的な減衰の速さを導出した. また, その系として, 緩和パラメータの最適な選択についての情報を得た. その後, このH. Fujita の結果のいろいろな方向への-般化や数値実験による理論の妥当性の確認等が報告された (Fujita-Saito [8], Fujita et al. [7], Fujita-Fukuhara-Saito$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}.(\mathrm{I})$74[6] など).
方において, 1998 年に筆者は, stokes 方程式に対して同様の問題を考え,類似した結果を導出した (Saito [13], [14]). その結果は inf-sup 定数の新たな重要性を示唆するものであった.
この論文では, Navier-Stokes 方程式あるいはその発展問題に対する解析の第-歩として次の問題を扱う.
$\lambda u-\nu\triangle u+\nabla p=f$

(1.1)

$0$

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}u=$

$\{$

$u=$

$b$

in ,in ,on F.
$\Omega$$\Omega$は区分的に滑らかな境界 をもつ有界領域であり, また通常のように, ベクトル値関数嫁ま流速を, スカラー値関数 p は圧力を表している.とベクトル値関数 , さらに 上のベクトル値関数 は既知と正の定数に関しては仮定する. ただし $f$ とここで ,$\Gamma$$\Omega\subset \mathbb{R}^{2}$$\lambda,$

$f$

$\nu$

$b$

$\Gamma$

$b$

(1.2)

$f\in L^{2}(\Omega)$はを置く.と表す.
$n$$\Gamma$$b\in H^{1/2}(\Gamma)$,$I_{\Gamma}^{b\cdot nd\mathrm{r}=0}$上の外向き単位法線ベクトルである. 以後, (1.1) の厳密解を$\tilde{u}$,$\tilde{p}$の–意存在は, 通常の変分法の議論が付加定数の不定に対応する圧力さを除けば-意に定まることも良く知られている.

注意 1.1. 仮定 (1.2) の下でのにより保証されている. また,$\tilde{u}\in H^{1}(\Omega)$$\tilde{p}\in L^{2}(\Omega)$$\tilde{u}$注意 1.2. この論文では, 特に断らない限り, 関数空間, 内積およびノルムの表
記は Lions-Magenes [11] のそれを踏襲する. また, 関数・関数空間についてはスカラー値のそれとベクトル値のそれとを区別しない.

\S 2 において, 全体領域 の分割と, target 問題 (1.1) に対する型反復法) を導入する. \S 3 では, 領域の形状に関す領域分割アルゴリズム (る仮定や部分領域の形状等に依存した定数を導入し, 主定理を述べる. 紙面の制約の為, 証明の詳細を述べる事はできないが, その要点のみを \S 4 で述べる.
論文の構成.

$\Omega$$\mathrm{D}\mathrm{N}$2領域の分割と2.1

全体領域の分割

$\Omega$を滑らかな曲線$\gamma$$\mathrm{D}\mathrm{N}$型反復法

によって横断的に 2 つの部分領域$\overline{\Omega}=\overline{\Omega_{1}\cup\Omega_{2^{\cup\gamma}}}$$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}=\emptyset$.

$\Omega_{1},$$\Omega_{2}$に分割する;

75

図 2.

凶 1.

2.2

領域分割アルゴリズム

この論文では以下に述べる典型的な領域分割アルゴリズムを考察する.

Dirichlet-Neumannある.

$\gamma$$(\mathrm{D}\mathrm{N})$上のベクトル値関数(2.1)$\mu^{(0)}$で.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}]\mathrm{J}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{a}\mathrm{e}\text{定}\not\in \mathrm{L}\mathrm{F}(\mathfrak{x}2^{-}\text{る}.

.

\text{そして}, \Omega 1, \Omega 2, \gamma 4\mathrm{i}\text{の関数}\{u_{1}^{(},p^{(k)}1\},k)$$\{\mu\}(k+1)(k=0,1,2, \cdots)\text{を}\backslash \sqrt R^{-\mathrm{C}}\backslash \Re f\mathrm{b}\mathfrak{X}\#\llcorner\not\subset R\text{す_{る}}$$\lambda u^{(k)}-1\text{ノ}l\triangle u+1\nabla p_{1}^{(k)}(k)$(2.2)

は緩和パラメータで$\theta(0<\theta\leq 1)$$\int_{\gamma}\mu^{(0)}\cdot \mathcal{U}d\gamma+\int_{\Gamma_{1}}b\cdot nd\mathrm{r}=0$$\epsilon_{\mathrm{i}^{\backslash }}ffi\proptoT\not\in)\text{のを}\mathrm{p}*^{\backslash }\text{り}\wedge,$$\{u_{2}^{()}k,p_{2}^{(k)}\},$型反復法.

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}u_{1}(k)$

$=$

$f$

$=$

$0$

$=$

$b$$=$$\mu^{(k)}$

in ,
in ,
on ,
on ,
$\Omega_{1}$$\Omega_{1}$

$\{$

$(k)$
$u_{1}$$u_{1}^{(k)}$$\Gamma_{1}$$\gamma$

(23)

(2.4)

$\mu^{(k+1)}=(1-\theta)\mu+(k)\theta u_{2}^{(}|k)\gamma$.

注意 2.1. 上の (2.3) $\text{において}$ ,(2.5)$\nu\frac{\partial u_{1}^{(k)}}{\partial n_{1}}-p_{1}^{(k\rangle}\prime n_{1}=\nu[\nabla u_{1}^{(k}])-_{F}n1(k\rangle_{n}11$

,.

76

をのときなる表記を使っている. ただし,(は,表している. すなわち, (2.5) の右辺第–項目はテンソルとベクトルの積を, また第二項目はスカラーとベクトルの積を表している.
$u_{1}^{(k)}=\{v^{1}, v^{2}\}$$[\nabla u_{1}]\mathrm{t}^{k})$注意 22. 各

$k$

に対して,

$\Omega_{1}$$[\partial v^{i}/\partial x_{j}]$上の流出条件$\int_{\gamma}\mu^{(k)}\cdot n1d\gamma+\int_{\Gamma_{1}}b\cdot nd\Gamma=^{\mathrm{o}}$,$(k=0,1,2, \cdots)$.の成立を確かめるのは易しい.
を除けばは付加定数に対応する圧力
注意 23. 各 に対して,意に定まる. それゆえ, 通常の技巧を用いての値を定めれば, それに応じてが–意に定まる.に対応する圧力$p_{1}^{(k)}$$u_{1}^{(k)}$$k$$C_{k}$$C_{k}$$p_{2}^{(k)}$$u_{2}^{(k\rangle}$

3

主結果

3.1

記号$\mathrm{D}\mathrm{N}$型反復法の誤差の減衰を考察するにあたって, 特に,$\gamma$上の誤差$\xi^{(k)}=\mu^{(k)}-\tilde{u}|\gamma$に注目する.
$\infty\}$上のベクトル値の関数空間 $V=V(\gamma)$ を $V=\{\xi\in H^{1/2}(\gamma);||\xi||_{V}<$で定義する. ただし,$\gamma$$||\xi||_{V}=\{||\xi||_{H^{\iota}/}^{2}2(\gamma)+||\rho^{-1}\xi/2||^{2}L^{2}(\gamma)\}^{1/2}$,であり, は の端点からの距離を表す. -方において, 次を満たす定数存在は良く知られている 1;$\rho$$\gamma$.

$q \in L_{0}^{2}()\inf_{\Omega_{i}v\in H^{1}}\sup_{0(}\Omega i)\frac{(q,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}v)i}{||q||i||\nabla v||_{i}}=\beta_{i}$ここで次のような記号を用いた:$\bullet$$\bullet$$(u, v)_{i}=$通常の$L^{2}(\Omega_{i})$内積, そして $||u||_{i}=(u, u)_{i}^{1}/2$ ,for$|| \nabla v||_{i}2=\sum_{1\leq m,n\leq 2}||\partial v^{m}/\partial X|n|_{i}2$$\bullet L_{0}^{2}(\Omega_{i})=\{q\in L^{2}(\Omega_{i});(q, 1)_{i}=0\}$.

1 以下において特に断らなくとも, $i=1,2$ である.

$v=\{v^{1}, v^{2}\}\in H^{1}(\Omega_{i})$;$\beta_{i}$の77はこのような定数に対応する inf-sup 定数と呼ばれる. (Babu\v{s}ka [2],Brezzi [3] . Poincar\’e の不等式$\Omega_{i}$$\beta_{i}$

$)$

(3.1)

$||u||_{i}\leq\tau_{i}||\nabla u||_{i}$に現れる定数$\tau_{i}=\tau_{i}(\Omega_{i})$,$\forall u\in K^{1}(\Omega_{i})=\{u\in H^{1}(\Omega_{i});u|_{\Gamma_{i}}=0\}$も重要である.

注意 31. 不等式 (3.1) を満たす定数に属するの値に関しては, が関数でないので注意を要する. しかしながら, 次のような評価が可能である.
が上の線分であり, $\Omega\subset\{x_{1}>0\}$ であると仮定する 2.
’ とお
く. ただし,のはに関する鏡映の像である. そして,を固有値問題$H_{0}^{1}(\Omega_{i})$$u$$\tau_{i}$$\gamma$$\tilde{\Omega}=\Omega\cup\gamma\cup\Omega$$x_{2}$$\Omega’$$\Omega$$\chi^{-1}$$\gamma$

in$-\triangle v=\chi^{-1}v$$\tilde{\Omega}$,$v=0$ on$\partial\tilde{\Omega}$の最小固有値とする. このとき$||v||^{2}L^{2}(\overline{\Omega})\leq\chi||\nabla v||_{L}22(\overline{\Omega})$が成り立ち, この は最適な値である. さて, $u\in K^{1}(\Omega)$ を採り,への偶関数拡張とする. 明らかに,なので$\chi$$\tilde{u}$$\tilde{u}$を$u$の$\tilde{\Omega}$上$\in H_{0}^{1}(\tilde{\Omega})$$||\tilde{u}||_{L^{2}}^{2}(\tilde{\Omega})\leq\chi||\nabla\tilde{u}||_{L}22(\tilde{\Omega})$’

すなわち$||u||^{2}\leq x||\nabla u||^{2}$を得る. したがって. 特に,である. ( は円周率).
$\tau^{2}\leq\chi$$d^{2}/(2\pi)^{2}$

3.2$\Omega$が–辺の長さが$d$の正方形なら $\tau^{2}\leq\chi=$

$\pi$

定理

$(\Omega, \gamma)$の形状に関して次の仮定をおく:のCond.(I)に関する鏡映の像をを線分とし,が成り立つときは Cond.(I) を満たすという (図 2).
$\Omega_{2}$$\gamma$$\Omega_{2}’$$\gamma$とする.

$\Omega_{2}’\subseteq\Omega_{1}$$(\Omega, \gamma)$

定理 31. 定数(3.2)$\mathit{5}$$\alpha,$を$\alpha=1+(1+\delta)^{2}$,$\delta=\min(\delta_{1}, \delta_{2})$で定義し, $0<\theta<2/\alpha$ に対して$\tilde{r}=\tilde{r}(\theta)$,$\delta_{i}=(1+\frac{1}{\beta_{i}})\frac{\lambda\tau_{i}^{2}}{\nu}+\frac{1}{\beta_{i}}$を$\tilde{r}(\theta)=$
2 煩雑なので添え字の \sim は省略する.

78で定める.
る正の定数$(\Omega, \gamma)$が Cond.(I) を満たすとする. このとき,にのみ依存す$(\Omega, \gamma)$が存在して$c_{0}$(3.3)$||\xi^{()}k||V\leq c_{0^{\tilde{r}^{k}}1}|\xi(0)||_{V}$$(k=1,2,3, \cdots)$ .

,が成り立つ.

注意 3.2. Saito [13], [14] で報告された結果は上の定理の系 ( $\lambda=0,$ $\nu=1$ の場合) に相当する.
注意 33.

$\Omega_{1},$Cond.(I) より
3.1 における$\Omega_{2}$を–辺の長さがそれぞれであり, また,$d_{1}\geq d_{2}$$\delta$$d_{1},$の正方形とする. このとき,が成り立つ. したがって定理$d_{2}$$\beta_{1}=\beta_{2}\equiv\beta$

は$\delta\leq(1+\frac{1}{\beta})\frac{\lambda d_{2}^{2}}{4\pi^{2}\nu}+\frac{1}{\beta}$と採れる. またこのとき, $\beta^{-1}\leq\sqrt{4+2\sqrt{2}}$ である (Horgan-Payne [10], Velte[16] ことも有益な情報となる.
$)$

4

証明の要点
関数空間 $V_{\sigma}=\{\xi\in V;(\xi, n_{1})_{L^{2}(\gamma})=0\}$ と$K^{1}(\Omega_{i})$上の連続双線形形式$a_{i}(v,w)= \nu\int_{\Omega_{i}}\nabla v\nabla wdX=\nu\sum_{\leq 1m,n\leq 2}\int_{\Omega_{i}}\frac{\partial v^{m}}{\partial x_{n}}\frac{\partial w^{m}}{\partial x_{n}}dX$を導入する. そして二次形式$J_{i}[v]=\lambda||v||_{i}2a+i(v,v)$を定義する. また,$\xi\in V_{\sigma}$

(4.1)

$=0$

on

$w_{i}\in K^{1}(\Omega_{i})$を$w,$を満たす$(v\in K1(\Omega i))$

に対して,

in
$w_{i}=\xi$ on$\lambda w_{i}-\nu\triangle w_{i}+\nabla p_{i}=0$$\{$,$\Gamma_{i}$$\xi$,の$\Omega_{i}$上への$\Omega_{i}$,$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}w_{i}=0$の,-Stokes 拡張 3 と呼ぶ.

$\mathrm{r}$関数のトレース理論 (例, Saito-Fujita [15] と変分法的議論により, 任意に対して, その -Stokes 拡張の–意存在は保証される.

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}- \mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}-\mathrm{v}_{0}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{S}[1]$$\xi\in V_{\sigma}$$\Omega_{i}$$\gamma$

注意 41. 角のある領域上におけるソレノイダルなえば,

in$\mathrm{r}$3resolvent Stokes extension の意味を込めて.

$)$$H^{1_{-}}$

79

Fujita ’ method を応用して次の補題を導くのは Saito [14] (すなわち$\nu=1$ のとき) と同じである.
$\mathrm{s}$補題 4.1.

,を$0\leq\eta_{1}<\eta_{2}$(4.2)$\lambda=0$$\eta_{1}J_{2}[w_{2}]\leq J_{1}[w_{1}]\leq\eta_{2}J_{2}[w_{2}]$を満たす定数とする. ただし,をて,$w_{i}$は$\xi$の$\Omega_{i}$,$(\forall\xi\in V_{\sigma})$

上への$\mathrm{r}$-Stokes 拡張である. そし$\tilde{R}=\tilde{R}(\theta)$$R( \theta)=\max_{\eta_{1}\leq s\leq\eta 2}|1-\theta-\theta S|$で定める. このとき,(4.3)$(\Omega, \gamma)$にのみ依存する正の定数 C。が存在して,$||\xi^{(k})||_{V}\leq c_{0}\tilde{R}^{k(0}||\xi)||_{V}$が成り立つ. (この$c_{0}$,$(k=1,2,3, \cdots)$.

は定理 3.1 と同じもの).

Cond.(I) を用いると,$\eta_{2}$の値が具体的に求まる. すなわち,補題 4.2. Cond.(I) の下では, $\eta_{2}=(1+\delta)^{2}$ と採れる. ただし,義したもの.
$\eta_{1}=0$$\delta$は (3.2) で定と採れることは自明なので, この補題により$\tilde{R}(\theta)=0\leq\leq\alpha\max_{S}-1|1-\theta-\theta s|=\max\{|1-\theta|, |1-\alpha\theta|\}=\tilde{r}(\theta)$が結論でき, 定理 3.1 の証明は完了する.
補題 42 の証明.

$\xi\in V_{\sigma}$とし$w_{i}$

を$\xi$の$\Omega_{i}$上への$\mathrm{r}$-Stokes 拡張とせよ. まず不等式(4.4)$J_{i}[h_{i}]\leq J_{i}[w_{i}]\leq(1+\delta_{i})2Ji[hi]$の成立を示す. ただし,の心$h_{i}$

は$\xi$$\nu\triangle h_{i}=0$in$\Omega_{i}$$h_{i}\in K^{1}(\Omega_{i})$の,$\Omega_{i}$上への調和拡張, すなわち

$h_{i}=0$on$\Gamma_{i}$,$h_{i}=\xi$on$\gamma$である. 実際はじめの不等式は調和関数の変分原理そのものである. 二番目の不等式を確かめよう. 以下しばらくの間, 混乱の恐れのな80

いときには, 添え字の は省略する.
このとき, inf-sup 定数の定義により,$i$$\beta||p||$$\leq$$p\in L_{0}^{2}(\Omega)$

を $w$ に対応する圧力とする.

$\sup_{v\in H_{0(\rangle}^{1}\Omega}\frac{(p,\mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{V}v})}{||\nabla v||}$$= \sup_{v\in H_{0}^{1}(\Omega)}\frac{\lambda(w,v)+a(w,v)}{||\nabla v||}$$\leq$$\sup_{v\in H_{0()}^{1}\Omega}\frac{\lambda||w||||v||+\nu||\nabla w||||\nabla v||}{||\nabla v||}$$\leq$$(\lambda T^{2}+\nu)||\nabla w||$が成り立つ. これを用いると(45)$J[w]$$=$$\lambda(w,w-h)+\lambda(w, h)+a(w, w-h)+a(w, h)$$=$$(p, \mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{V}}(w-h))+\lambda(w, h)+a(w, h)$$\leq$$||p||||\nabla h||+\lambda||w||||h||+\nu||\nabla w||||\nabla h||$$\leq[(1+\beta^{-}1)\lambda \mathcal{T}^{2}+\nu(\beta- 1+1)]$$=$||\nabla w|川 h||\nu (l+\mbox{\boldmath $\delta$})ll\nabla wl 団 h .
$||$これより, $\nu||\nabla w||^{2}\leq\nu(1+\delta)||\nabla w||||\nabla h||$ , すなわち, $||\nabla w||\leq(1+\delta)||\nabla h||$ を得る. これを (4.5) に代入すると$J[w]\leq(1+\delta)2\nu||\nabla h||^{2}\leq(1+\delta)^{2}J[h]$.

正確には$J_{i}[w_{i}]\leq(1+\delta i)2J_{i}[h_{i}]$に対応したこの不等式と, -Stokes 方程式および調和関数に対する変分原理を用いれば, 示すべき不等式を得る. これで (4.4) が示せた.

$\Omega_{i}$$\mathrm{r}$$J_{1}[w_{1}]\leq(1+\delta)2J_{2}[w_{2}]$を導くのは易しい. ただしそのとき, $J_{1}[h_{1}]=J_{2}[h_{2}]$ に注意する必要がある.

Q.E.D.

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