計測自動制御学会東北支離第177回研究集会（199乱10．3D）
営利・番号177−1

非線形系のロバスト適応制御器の設計

DesignofRobust AdaptiveControllerhrNonlinearSy呂temS○李載寛，阿部健一

OJaekwanLee，KenichiAbe
東北大学

TohokuUniversjty
キーワード：UncertainnonlineaJl＄yStemS，RobusLadaptiveoutE）uLtracking，Norltlali2ing吉ignal．Feedback
lime且血ation，SLatefeedba亡k

連絡先：〒鮎一弘79 仙台市青葉匡荒巻字音薬05東北大学大学院工学研究科電気・通信工学専攻阿部研究室
車載寛∴職l∴（022）217−70T5，F誠．：（0叫ヱ組胡90−E−Imail‥1摘abe．モ⊂台i．toho上Ⅶ．aC．jp

1．Introduction］980，s6）10）andhavcbeen，eCe。tlyexpandedin

The血：Li呂that virtuallyal1physicalplants．
SuCh aB aircraft，SPaCeCraft，autOmObileor robot，

arenonliTLearin工IaLure，andallcontroIsyBtemSaTe＄。m。W。rksT）4）．onthe。the，hand，I畠id。，i，
Khalil．MarinoandToITleihavestudiedtheoTie邑Of．。bustvcrsi。nSfb，n。。）inearsy畠tem畠9）3〕5）8）
Howcver，tlJenOr）1inearcontrolalgorithmsstud−nonlinear to aceItain extent．Thus，ttle tOpicof

iedintheaboveparagraphwerenotavailabletoa

nonlinearcontroldesignhTtheoutputtTaCking，aclaBSOfnonlinearsystemsafFectedbybothcon＄tant

COntrOJlerwhichた・rCeS the plant outpIJtlo track

uncertain parameters．L，e．umknown constant p乱−孔time−Varylngtrqiectory，haB・attrau＝t・edparticularr孔meterS，atlduLlm（1d巳1eddynamics．rTbsoIve＄u亡h
attentiロn，

acomplexsi†・l】ation．inthiBPaPer．WeShallpresent
Attheeighties，gCneralization50fpo】eplace−mentandobserverde缶ig。teClmiquesl）11）hrn。n−tworoblJStadaptiveTlOnlir）ear亡011trOIscllemeShrur）Certainnon）inearsystemswithbothconstantun−

1inearsystemswefeObtainedbyusingdiffercntial
geometric nonlinear theory whi亡his a procedure

certain pararr）eteTS a11d unmodeled dynamics，Via

indirecLandd行ecLinput−OuLputftedbacklineariza−
toconstruCtthelineaT柑1ngCOOrdi11ateS．Morcre−

亡ently．wewereconf上ontedwithmorercalisticpTOb−

tions，reSpeCtively．ThecontroIschemestobede−

Velopedaredc5ignedaTldanalyzedontheた・）lowlng

lem＄thatwerecausedbyvariou＄unCertaintiesibout
eitherplant占Ordisturbancc＄．Adaptivevcrsionsfor

assurT）Jltions：1）thenonlinearvectorfieldsexpress−

ingsy畠temPrOPertiesarcsmooth，2）thenonlinear

nonlinear systeJTIBWereannOunCed fromtheJllid−

れ‖lCtions・areglVenlinearlywithrespecttotheun−−1−2・1Robu眉tadaptiveoutputtracking

howncon8t8皿七para∬n亡terS乱ndthecontTOlinput，Withindirectinput−OutPutfbed−

3）tl．efu11一日tatemeaBllrableconditioni呂Satis鮎d，backlineari宕ationand4〕the nonlinearsystemshave awe11−de抗ned

Telativedegree．

I−Iere．we assuTTle that theinpuL YeCtOr航eld9i8rLOt afre亡ted by the unknownparameters9，i．e．

2．RobustAdaptiveNonlinear

9（∬，0）＝9（r）・Withthisa朋umption，theGFStrO−

O11tputTracking

bustadaptivenonlinearcontrol］eriBdcsigned呂eP−aratelywitllrOl〕uSt紅IaptivelawaJ）dinput−OutPut

Letu月nOW亡On畠ider上汀∫ロnonlinear町SteIⅧ

feedbacklinearizationbystatefbedback．Forthis＝J（正，呵十g（正，呵叫耳∈紀n，む∈町β∈脚＝ ん（ヱ），訂∈妃

亡OntrOl邑Cheme，1et us航TStillu8trate the TObust
adapLive）aw toidcnt勒9．The explanation c且n

川

Where z：i白the stateltLis thecontrolinput，Gis

beevo］vedasthetran自伝rmedfbrmtbr（l）＝theunhownconstantpar乱metCrS，yistheoutput，（古＋1拒il＝ β沃（∬）十AJi＋飢（￡）旭

h：肝l→況is theC∝■outp11tfunction，and f，＋∬i，1≦王≦m（4）

9aretWOC00vectof6eId展With9（z＝，9）≠0・We

aB＄ume that the unknown constant parameters O

Whcre OEis the unknownconstant parameter pa−

arere＄trictedtoappeaJlnglinearlyandLhevector

rameterizedlinearlywiththei−thnonline且rfunc−

fieldfisa鮎ctedbythe11nmOdeleddynamicsAf： tiotl＾・tn（4），WeCande航nethcfollowinglinear
expfeSSior）With tllCStrictly proper SP兄transhr

PJ（…）＝∑β 仙）＋△Jい）hncLionⅣ（占）≡士r，thetimeinva血nt匹r肌e−

（2）

i＝1

WithC 叩nonlinearhnction＄ム，郭：肝1→軋王＝tervector卑T≡（giDl），thestatevariahlevector

1，＝・，P，and C∞vectorfield Af，Our objective叫≡は（ご）0∬f）T and thepiecewise亡Ontinuou卓

isthedesi苫nOfnonlinearfbedbackcontro18Cheme＄ Signalinputz。i≡9；（∬）tL：
tobr亡e theoutput ytoapproximately track Lhe∬ ＝Ⅳ（瑚∂ごγ叫＋射．＋ヱ。i］，1≦f≦乃．匝）re伝rencetrajectory封m（t）sati叫ing
From（5〕，Lhestatcestimatecanbeconstructedasll甜tt≦亡抽，f＝0，1，・・・，r

r3）
二■J

史i＝Ⅳ（珊軋叫＋ヱ￠i】．1≦f≦乃．

Where＜yM＞Oand ris therelativedegreetobe（6）

introducedinashorttime．Forthis，thecontro］IawThen，theestimationerror亡L≡和一∬ii呂gロtfrom
andparameterupdatelawm11StbedeBignedona

占i＝ −ei＋（打叫−AJりlocaldoTTlainofboththestate∬andtheparameLer
estimatese ofO，tOgetherwith the robustnes畠Of
a11theclo配d−loopslgnalsinc】Lldir嶋G which may

亡i＝ ei，1≦f≦乃（7）With tLheparamctererror卓i≡ei−0：・llowever，

bedriftedtoinfinitydueto△f．LeLi（r．0）besirleeitisIIOL且SSllmed Lhat the11IlmOde）ed dy−∑ぎ＝1仇h（可in（2）且ndEebeanequilibriumpoint

namic占A／iis hol）ndedin acompact set，We Can

Of（1）・Moreovef，Wea舶umethatAJ（ェ亡）＝0乱nd

notident柑thestaLteeStimate主f and theparam−

叫苫e〕＝Oat∬亡・

etcr鞘timate5iby only（7）．Hence，tOde8ign

一2−an adaptivelaw whiehi畠rObust with respect to占attimei．IIowever，Since（1）isaiTectedbyA］，

Af．，WeShallpreBentthehllowi丁場nOrltlaliヱ巳der−

LhefeedbacklineaJi五戒iomprocedurermstbecon−

fOrdynamic8Withthenormalizhlg＄ignal叫畠uCh

Sidered with Af．Tbovercometheproblem，With舶mぎ＝1＋仲川2＝

thedefinitioni（＝潮≡∑た16iff（E）andFrobe−
nius

占i＝ 一百i＋（打亘一正日

stheorem．wecandc丘netheたIllowingrelative

degreeaIldthelocaldifreomorphismwhichareTlOt
毎 ＝

百i，1≦i≦n（8）dependentonAl：inUd（0〕xU｛〔＝亡），

WheTe吉i＝吾 ≡計両≡計AJ ≡碧＝町上拍車両） 叫可 ＝ 0，D≦f≦r−2

WehavetoconstruCtarLappTOPri乱teLy叩unOV

毎現品嘲 ≠0tyE㌍functiontbrde＄ignlngarObustadaptivelaw（12）

Of町LetusJlOWCOnSidertheLyap11nOVfunction and柵，百i）＝喜彊＋舶），1≦由・桝（モ，り）＝（ん（ヱト・上品）九執｝†ニノ丘．（エ，可叩叶1，・‥，恥ト

theparameterdriftpllenOmenOnandeBtabli与hbouJld−

ednes皇inthep【e紀nCeOf正人（orAJ訂

しヱl（J，占）Thefo1lowlngtheoremintroduc朗OneWaytOaVOid（131

TlleOrem2Ⅳ「呵口和d「叫□陀舶用m叫「Jノ由i叩u宣一0王座涙声e舶8亡た抗1e血石ロ貼古山ロ

Theoremlげ胱紺Je仁一αrO古口扉dd□〆iue血相de一
月ned那加d貯だ柁n痛言甲山□血耶

亡 ＝J J∈＋月仲＋A￠（ヱ，伊，AJ（∬

占 ＝ 百‡＝一拍一明軋1≦壷≦拇（10）亘 ＝ 甘ほ，可ざノ＝ ∈l

血九伽Je正呵亡fe叩I址津）≧0，紺亡e占舶J砧九巧′百i「肝efノ，れ己巾「亡り∈￡m・（14）

痛打ピ〔丸且）正irlβmn抑β毎印n細腕rJb叩J

Prot＋Di鮎rentiating（9）wiLh respect totime f

aloLlgthe日Olutionof〔8）andusingtheaboveeqllar【卵1，・‥，△恥】T△￠（ヱ，β，AJ）

叫鵡∂，AJ）⊥A′上品）叫・お＝1−＝■・rlion（1叶weha・Ve

1 荊卜恥州ll（15）

項仇，百i）＝ 一考＋扁伍一砧Jトト好古
血皿＝ 一考一己AJ 一叫好打1≦盲≦n

珊叩I＝上抽五誌．磨）坤卜鞘詞卜巧両〕坤ト≦ 一百ぎ＋l糾札l一叫打序i（叫Wherethele止agetermu｝i（i〕i昌tObechosen呂OLhat

PrD叶Letusdi肝由entjaLeywithre叩eCtLotimei：

払TⅥ≧鴨i乱nd師mecOnStan＝壷＞0，竹＜0．
盲1＝上恥阜｝申）＋エ弼九（小＋上AJん（小Thispropertyofl今impliesthattl，岳i（orequivむ
Since上如可呵∬）＝Oin（1礼wehave

1ently，eり，∈J（orequivalently，亡り，￠i∈￡町□

IftheunknowIICOnStantparameterSGin（1）areestimatedbyu5ing（10〕，WeCanSee（1）aBa亡Iass｝ ｝

盲1＝エ抽占）申〕＋上A州訂〕臼（訂．占）

Ofnonlinearplantswith LheknowableparametefSー3−−

叫巾・拍ノ）

In tlle SeCOnd8tePwith the knowablevalue9at

Remark25■加亡e〟托鵬ロリピdyn□m通用n占e正一

timel．

r止ed♪Ⅶm〟柁舟JJ血ね用「ね出田訂αnd班だJe扇re（i什可ecfロ叩Ue亡Jor面m，i上砧nロfumJ坑口f班e摩ed由仁た
端正嘲＋上g（訂）与両）ん（申し▼mn如トhⅧ苫r叫dndr叫k紬me□油土e一声d由仁鳥ノ

fa（才，j）
cI）nfrpJ占Ch亡m亡．■＋上Aメェ拍．さ）叫トA如（∬，占，AJ）

Assumingthatthezerodynamicsq（0，り）in（14）Since上由）￡恥j）坤）i針鳩山＝椚OfordlヱinisIocally expoTlentiaIlyminimum phaBe．the fb）−

仇叶い‖局毎），We芦balldif日工entiate again andlowlng theoremindicates that the缶edback con−agalnuntiltheint咤er7・：

trol】aws（15）and（16）make the trackingerror

拍ト〃m（りbounded．

占ー＝恥．β）坤）十拓喘封伸＋上血′上記点）叫・TheoI−eIm3〃ⅧkⅢ用品皿「朝岬亡em「叫ん耶兢eWiththeabovede鮎IitionBA，BandA4・‥thenor−

reJo抽亡d巳夕柁er，如才e和dyn□mi仁βi卓上匪口勒耶ymダー

m乱Idynamic且（14）canbcgot．□

ね亡icq勒占加古k qnd亡加古ound□叩Ⅲnd盲血n仲呼野m由地上iボビd，伽斥e舶凸Cたcon如JJ皿・占「叫dndRemarklⅣ加地eo朋¶mPfi珊△J（ヱe）＝0椚詞「叫〜印dわ

班e鳥n州鵬Je uqhモ♂qf山meらif砧0心血相島拍血A綽e，∂、AJ拉亡））＝OdndllA綽，∂，A〃‖≦Kl馴

亡聖認Il訂（り一弘（川l＜㍉（19）

舟r帽＞0．
αnd加代舘由占叩ロj古由en mberf叩βu亡ム班口舌U畠in苫thepoleplacementcontroli
tl仲川 ≦ 亡叩・

γ ＝ 甜＋叫＿．（妃￣1）−り十…＋叫恥
−ど1）

〔2叫

ProoFITosllOW that ey remai11S bounded，let uB（16）

nowconsider thefb owlng Lyapunovfunctionhr
WithIillrWitEPO］ynomialcoefR亡ientsαi，i＝0，…，r−（18〕：

1，therobustoutputtrackingcanbeapproximately

achieved■Ifwede鮎ethetra仁kingerroreyby

嘩y，叩）＝ 亡訂Peぉ十相川

ey ＝ 封（叫一迫￣1），にト・，㌣．（17）（叫

Where FL＞Ois aconst・antLobe determined and
P＞0福sll仁山that jrp＋Pj＝一丁．Tlle time

thef盲edbackcontro］laⅥ唱〔15）and（16））cadtothe

derivative of V along the tr且jectories of（1B）i8

Closed−loopsystem

equtv凡kntto

上封 ＝ ふy＋△綽，机珊
わ ＝ 守（亡y＋否m，巾

∂鴨．
＝2紳封十′上市叩（18）

一冊・斬柚桐wherモスisanexponentiaIIyst孔ue rXrm山rix

inLhebottomcompanion丘｝rm？・9），and如＝〔ym，虹．・・・，y崇−1））Twiththeboundednessflbn‖≦＋射ey＋釦．，巾一抑，哺≦ ¶ltell2−〃対価2＋〝もJ。I刷伸Iけ〔ymト亡ymin（恥−4一〔22）Here，itiBnatllra）thatduetothe］ocalexponential

・計出札

（28）

或abilityorthe托rOdynam血，theconver8eLy乱一
Itisobtain巳dthatlteyttahdtJ77‖areboundedsincepunoYtheoTem叫implies￠≦Owheneverlle誹orl州i畠Iar酔□た1‖郎 ≦ 吋巾≦た州Il3TherobustadaptivecontroIschemewithind主−…≦「毎醐‖■■≦瑚酬

rect砧edbacktineari五aL．i（⊃n dealtd〕OVet：anbesim−

PlyillustratedwitLILheblockdiagraminFi琶urel．

（23）

fbrsomepo邑itiveconBtZLnt宮kl，鳥2，鳥3，k4，andqi8
乱18Ca11yLipBChitEVeCtOrfunction，1．e．，ll可（ey＋鮎，由一押，巾＝≦J可（tleyll＋f訂h）（叫With aLip虹hitECOnBtantIqr Hence，uSlng thaL

llA州≦K冊‖andl一戸ll≦人m祀，Wehave￠ ≦ 一帖㌦＋几tteytt肝Ill刷−〃毎‖泄
巾村q】州川旬l什f訂爪）≦ 一帖Il2＋dm肝Il旬Ill剛−〃毎＝州2十〃帰曾‖州（ll亡y】】＋亡y仇卜（25）

1■■■●■■■●−＿＿■▼ttt■■■■■■■■■▲■−−■一一●＿＿＿■■■▼■■■●■■■■llF晴dh￠kLl一朗山勘tI叫IP■hl

From（3）and（17），iti呂givenLhat
Fig．1 Robl帽tadaptiveoutputtrackingforindi−ll副 ≦ 上州l訓＋ll州

reet f邑edbaL：klirleariEation≦JJ（lleylけ亡計れ＋ll刷ト （26）Tllen，

2・2 Robustadaptiveoutputtra亡kin苫
Withdirectinput−OutPutfbedback￠ ≦ 一Ile，11コ＋山m祀Llleyll（帖川中丸＋lt州

lineari2；ation−〃た州It2＋〃吋。肋It（岨Il＋亡計れ）Whe】1tllei叩utVeCtOrfield9iBdependenton≦−（妄Ile封Il一山醐州）2＋（点m服用h‖ユ

theunknownconst乱ntparan鳩te一旦β，i・e．g（苫，呵＝ー（喜一tピ〃tl一代ユ爪dJ兢m〕コ十恒m扉且＝デ＝l帖（可，CcarlnOtbecstimatedirLdirectlyas
一瑚喜醐一監J拍m）2＋岩（烏症）

2

the previous method．Thus．to邑OlvetllC CStima−tion problenl，Wehere replaL：ethc如atevariabIes−（喜一点md舟仲y‖2一言棚‖2fwiththeirestilnateSEbyreplacingtheunknown≦−（一山md棚誹2

f＝OnStarltParameterSGappearinginE bytheires−−（喜〃虹（山肌誹）州コ十［〔山m。∬げ・孟（叫）2胤・

timate56．usingO，（a．）dFrobenius，畠theorem．Iet（27）

De航ningtha＝m昭≦言缶an恒≧幣三，

u畠de市nethefbllowingre］atiYedegreeandthelocaL
diffbomorphismhr（1）iTIU6（g）xUi（ェe）＝レ≦一言Ite訂lト妄州叩‖叫（拓血げ

上β（r，j）上‡（功ム何 ＝ 0，0≦f≦r一望一5−エれj）上；詩）叫≠0

andusiTlgtheaBSumPtiDn（29）．theh1lowingreBu）t（2g）i阜ObtainedbydifEbrentiatingywithrespecttotime

and

t：

（亡，巾

（モ ＝瑞
、

P

，点）

▼

さ．＝上納柑＋∑（ち−帥仙ん酬」

ヽ−−−・一−−一一′ J＝1

右〔f．占）fJ

り叶1，…，恥ト（叫＋⊥Aノ回叫∬〕
し −
ノ

（33）

A￠1

respectively・A凱mingA／（＝e）＝OaAdde6ningi（c，∂）≡∑f＝16ifE〔＝），thcnormaldynamicBC町I

Inthenext8teP，Bince6（i）iBthetimefunction，f，besummarizedbythe払1lowlngtheofeIn．

i畠dependerLtOnnDtOnlytheunmode］eddynamic畠△fbutalsotl−etime血nction∂：

Theorem4〃■加代血抽椚印加仇回心町心P

さ2＝草両 叫十∑怖一蜘佃）上面｝

細両軸叩〔呵＝甑＝部廿りり長巾叩一口坤u上席ed一

し￣￣￣二†￣￣￣→ J＝1
占□C七J盲ne□河川揖ei一正ロgユ舶

f ＝ A．ぎ十旦叩＋Ⅳ缶十肘虐＋A綽．β，A仲叫＋慧打上抑）エ輌）嘲・（叫A￠コ

ヰ ＝ qは，り）

Aftercontiflu］ng this difFefentiationoperation up

訂 ＝ ∈1

tor，WeCa110btainnromLg（訂コ占）L品）h（r）≠Oin（31）（29）that

血ere（AJ，即砧jn月mnou占h甜円上m言古亡rわ「町中＝β一伊，∬＝慧，上i（∬，∂）巾）＋エg細工品）坤）現P【w．，…，叫】Tll・・■＋∑漉一帖佃）上品）坤〕
J＝1p∑純一如【上州上品）坤珊，

t−一両，∂沖叫J叫卸朴富岳

j＝1

i＝1，‥・，r−1＋エ斗刷上品｝ん何■叫（∬，叫里中p ∑岬j一触【上州上品）坤）
ム￠r

j＝1

Wi抽Lhedemlition6j＝L由）L訂，β）h（E）・台＝＋止抽）上；詩）叫］

LiC［A￠1，…，A￠，】7

血桝昔，β，AJ）△如（ご，β，△′）上Aノエ㌶庭）（．占）Cal10bLaintllCZIOrTTlaldynamics（31）L□坤）・た＝1了‥＝，−

Remark3Jfi川β上巳J如上椚加古「りノq脾亡kd占ytl

言志【u一帖）1（32）

州Jy△J，「叫首肯d甲nden＝）nむ0班♂αnd△J．

山袖∫i口腔AJ血ビ鋸n口上8。距cL班ed亡Jemi円浦on（げ「叫，〟砧＝Ⅲhr8＝加 珪肥ヱe和dyn□血c占可0．可in桝ノ

瑚，可＝上面）エ品）叫doれD舌dep印dロn OnJy伊む山口上甜AJ．Ⅳ払閉軸り）＝エ‡f∬，き）坤）・

路血＝加0騨血血腫n川証馴心パ1□ndli空占UC鳥兢df
ProqF・Rewriting（1）iTltOl剛≦托1‖釧肌dl」△紳，∂，Aハ‖≦喝＝珊βrdJJ∂∈仇（町窟 ＝ 仲，呵＋g（￡，恥＋仲潮IIA綽，∂，△ハ‖≦代抽Il≦㍍川‖軸．（36）巾巾再恒一理再トg（ヱ，叫一6−Sinceii8theunob8erVablevaJiabIe畠With9，）etus Where巧＞0，tlletimederivativeofl′（畜，叫along

nowestimateモbytlle8tateOb8erVerdynamic白Wiもhthetrajectoryof（39）i昂givenby如）＝如）：
V ＝ 吉Tf】喜＋申Tr選一1ネ

f＝舟ど＋β叩＋〟伊＋A（ト引

丁

t叩

一磨豆

whereノ互i8thebottomcompanionmatrixwiththeC（光伍cients叫．i＝0，・‥，「−1亡hosenabove．

一豆Tp何￠−Fp由＋缶アロー1畠．

≦一言剛＋l剛削ご＝瑚＋l…岬∂≦一Il珊川副−2入m諦州＋ll榊丁中

Thi8implieBthatwecangettheerrordynamics
一1回世職（38I wheret．hela占tinequalityi＄Obtainedbyusin宮中T∂5：

占＝ムーⅣ中一A車

inwhich8≡（−モ．However，ftomtheboundary 一書缶丁￠＋帥瑚・Thl昌impliesth止た汀V≧鴨≡
COnditionin（呵，tIleStabilityor（38）cannotbe 血（ll棚T♂＋2ユm。∫l幽l），￠≦0，i・e・，缶，β，吉（orpreviouslydecidedwiththeexceptionof血中．Thus，

WeShallpresentthefbllowlngnOrma］i且eddynam毎
Ebr（3畠）withtheJlOrmalizingsignalm2＝1＋】lflJ2ざ）∈仁か□

R月mark4珊e占由仁tOnCePfbe鳥山d仙卓亡f10ice耳叫（f）ゴ5班α亡由仁e一打〃沌ideロJcα点ピAJ＝0，磨蕗

0rf＝

甘打肝ロnfee（fねc即IUe叩eね茸e叫班eJed血g亡毎rml扇JJ
主＝j高一￠何−ム￠

卯‖0封m＝山浦扁．mere声門ノ班ei血αJ♪r叩er土砧占扉（39）

血相bは正dddp抽e山w〃Jノ血亡n△J＝Ot〟i朋耶亡

where豆＝孟，打…慧．如＝慧▲TodeBigna
占eq肺亡ねd占〟班eJ印鳥叩だ．

fObustadaptivelaw＄atisfyingthestabilityofthe

ClosedLloopsy6temwithrespecttoA￠，theね1low−

byuslng

1ngLyapunovhnctionishereused：
叫斎†叫 ＝ ニー÷二＋u＝止）＋叫＿舟法￣1）一由一卜・・＋叫ym一打

訂P岳 鴎Tr】−1缶

ー、丁【′
2

′l、heIl，LherobusLc・lltptlttraCkingcanhederived

2

〔40）

bya郎umingthaLthe閉rOdynamicBq（0，Tl）isl〔トTheo陀m5〝鮎川血血血匝血両血Cal1y exponentially stablc．The robust adaptLVe
β＝＿n痛打p言＿口上♂

（・11）

Output Lrackjng、i．e．，el→BE〔0），isanaly已ed aB

山kref，＝Pr＞Ot〟抽l岬‖≦1m抑吐血0扉J脚h］lows．Lcttinge．＝EL−yE￣1〕，i＝1，・・・．7．We

オ耳用e和的，一口如上y呼Un飢∫叩血onjTJコ＋

havethefb1lowlngtraCkingerrordynami亡S

PA＝−J，n＝田丁丁＞0由がkd血画加f卯血＝剛一

占＝je＋Ⅳ中＋A摘＋A卓．

（42）

班ご可dfm亡耶わnp，□nd上由抽eJ印加ge m口舌㍗止Definim苫tlle tOtat亡rrOr r≡e＋占OTequlValently，

血i亡ん由川n占加仁一ed毎加d吉昭川口Jざ銅山「砲口口上占ri＝良一封法川，f＝1，・・・，7，鮎m（39）am＝4叶叫（り＝叫‖引l山九鮎血軸円仁0耶山肌ね叫＞0，f＝1，…，軌由u館dJbr拝礼口上上組e血如扁「叫dnd

ナ ＝ Ar＋几すβ

押印k甜m巳ログp相加m血和血抽，＝ Ar一肘n舟ぎ■p豆−〃仁は∂ 〔叫ProqF：Usingtheleakagema，trixLwith

With豆∈L。3−ItseenlSthat（42）i＄alineartime−叫M＝巧‖札盲＝1，…，P

vaEyingfiLterwithtlleboundedinput扁，thesm孔Il−7¶

Perturbation中．乱nd theinternaldyn孔mics71＝

3． Simulations and Re畠ults

q（i，巾．Wede且neeaBtheoutputofthefbllow−

Toshowperfhrmanceoftwonon）inear丘！edback

ing a占ymptOtically stablelinear f terwith旨table

COntrOIBChemes presented，We Shal）consider theinternal dynamics

SLngle−1inkri苫idrd〕OtTOta七in苫OnaVerticalplane
F ＝ Ar一価加好郎−〟nエβ

ヰ ＝ 曾（f，り）
e

＝

（441

r−β．

FinalLy，thestabiLityロftheclo8ed−loop5y8tem（叫is砧undbycon＄ideringthefbllowingLyapunovhn仁一
tionforthedifk［entialequations（3g）a・nd（43）：

・両所

叩か

●I：theinertiaoflink〔45）●打l：tlle ma占S Orlimk●巨thelen苫thoflink

WhereFL＞Oi害aCOn日tanttObedetermined，P＞O●晦：tllegraVitycon昌ta山

i日8uChthatノ毒丁卓＋A亘＝一丁，am山3is孔Ly叩unOV●tL：theLorqueLnPut

A）nCtionfbrtheEerOdynamicsヰ＝q（0．叶 The

rest ofthisoutput trackinganaly畠isissimilar toFig．3 Single・】inkrigidrobot

theproolofTheorem3．

modeled by

TherobuBt adaptivecontro）schemediscussed
inthi畠＝訂ubsection can bealsoillustrated with the

茸1＝∬コ砧11owingblockdiagram．

よ2＝臨（可・ト△J
封 ＝ ∬1＝ヴ（461

whereO≡一半istheunknownconBtantpa−
rametergivenbythe truevalueland Afisthe
unmodeleddynamic＄Cau畠edbythepar乱meterOS−
Cil］ationAj＝0▲3eos〔30叫cos〔El）A TheobjectiYe

Of亡OntrOlisk＝nakethcoutputytrackthedesired
P〔揺江ionym（り＝吉日in（f一言い■■■■■■■■■■■■−−−■一■・■■■−■■■−■一■■■■■一■■■■■■■■■■…■■−■■■■（47）

Whichis叩CCifiedbyLheTTIOtionplannlngSyStenl，【F●●d由亡k LIM朝地州011PqH】

Fig・2 RolmsLadaptiveoutpuLtrackingfbrdire亡t
鮎edback）inear由at．ioIl

3・1Robustadaptivecontrol（1）LeL usnowsta．rtwith the丘rstrobll副Ladaptive
nonlinearcontml別二heme．Thetb11owlngterJnSin−
dicateLhestatccstimator，theparametere畠timator一8−

andtheLy乱PumOVfunctionfbr（46），regPeCtively，

訂2 ＝ −（丘2−∬2）＋∂亡OS（れ）（呵

占＝−e∫フ。。申1ト可転調（4g）

喘，削＝喜岨＋抑（叫wheree，，≡壷コーaTコ，T＝0．3，4？≡由一0．According
tothedesignpro亡edur鵬inSubsection2．1，WeCam
Fig・5 Sy如emrespom配S（2卜y（畑恥（f）

h乱Vethe払1lowin岳nOTmaldyn甜n南仏り46）：

trollermaybederivedfIomthenormaldynamics
エコ

卓1＝

｝

一っ雲古っ（ご．呵盲1＝y＝
fコ＝わ（g．さ1

盲コ＝巴聖・色叫豊恥点〕 叫．勘 叫

f2 ＝（∂cos（可）し†ノ

点亡君，占1（51）
訂1 ｝

モ1＝勾（∬，j）

1

u＝市頂

｛…（朴
市

（5皇）

f．＝勘（∬，j）｝
A￠

j（J．磨）

卜恥絢・

ILisclearthatthenoTmal払rm〔52）ha展the11nOb−

Then．uslngthepoleplacementcontrolinputv＝ SerVablestatevariable＄Eland亡2．Thus．defining
鮎十2匝m−亡∋）十2tym−も），theoutputtTaCking

faBtheBLaLeestimateandcancelling封in（叫，maybeapproxlmatelye＄tablished・Theparameter

theIbllowlrlgBtatC ObBerVeris considered to e5ti−

e5timate叩）conYergeStOaboundedrangeinFig−matetheunobservabledynamics（52）：f2＋鳴一拍＝缶■rゝ

tIleOutputtra止ir唱，・占く▼

ure4，and Figure5indicatesthedesiredre呂ultof

2 ＝ む＋ト2（〔l一も）−2伍−ど班（53）withtherobusladaptlYelaw
占＝−古2。OS（叫一帖Ilβ

（54〕

n■

号

音 0

whereβコ≡良一モ2，7＝仇計．Si【1CeA車＝AJ∈

・・0．■

Lc。．thenorrnalizingslgnalisnotconsideredhere．

Lヽ

Thc output traL：kingi日蝕1aIly adlieved by uslng
白

■

10

1■

tq l■

鮎

a■

■○

■轟

■0

tJ＝弘．＋2（9m LE，）＋2（ym−fl）．Then，thetime

ユ！；＝∵1

responsesof（叫andtheoutputtra亡kingareBlmwn
Fig・4 Sy日temre叩OnSeS（1）−9（t），C

inFigure6alldFigure7，reSPeCtively．

4・Cl）nClusionsandPro眉PeCtS

3I2 Robustadaptivecontrol（2）We畠ha）lnow use the second contro］method．

In this p叩er，Weintroduced tworolm6tadal＞

Since9cannotbeseparatelyestimated．the亡凸t）r tivcnonlille且rCOntrOIschemeshrSISOnonlinear

一9−

SJng）eTOlltPutnOnlinearsystems，Weneedto＄tudy
犯mePrO叩eCtiveworkslikeoutput胞ヨdba亡kcon−
trol，globaldomaincontrol．andmulti一主nptlt，multiL
qし●OutputCOntTOlbasedonthecontfOIschemesdevel−

一8

。
＿・0．■

Opedinthi昌paper・

−1

−1．1■

■■

1tl l▲

曽lロ

t■

■■l

■■

鵬■■

▲○

■．■

参考文献

■l⊃

1＝．S・A−f7epburn，W．M・Wonham：StruC七urally
日tabJenon）inearregulatiomwithstepinputB，Math．

Fig．6 Sy如m−e息pOnSeS（1ト頼），βSystemさrrheory，1丁，319ノ333（19朗）

2）A．lsidori：NonlinearControISysterns（3rd．ed・），
Springer−Verl咽（1995）

3）A．lsidori：Semiglobalrobustregulationofnonlin−
earsyiiLem8一inCo）loq11iumonautomati亡COntrOl，

27／53，Springer−Verla苫（1996）
4）L KanellakoFOlllos， P， V． ‰kotoYic
and jL S，Mor＄e：Systematic deBj訂10fadaptive
亡OnLroller＄forfeedbacklineariaable町如emB．IEEE。
，（■■

Trans．Autom＿Contrり36．1241／1253（1991）

一1

5）H・1（・Khalil：RohufitSerVOm亡dhaTli＄mO11tPutfted−▼1．●back⊂OntrDl］ersforfbedbacklineari乞且bIesy6temS．
Autonlatica，加，15呂7／1599（1994）

・t
○

■

1t〉

1さ

m

■■

−：1
−
山nd t

▲lコ

■●

■1⊃

6）HT K．1（ha】iland A．Sabt：ri＝ Adaptive如abil由a−tion ora class DfnD山inear町如亡mS uSing high−Fig・7 Sy或emresponses（2ト封（畑ym（f）

gain ftedback．IEEE TranB，Autom．Contr．，32，
1031／1035（1粥7）8yBtemSintllePreSenCeOfbothunknowncon6t弧t 7）M．XrsLic．1，KaneLlakopoulo卓and P．Ⅴ．Koko−
tovi亡二 Adaptivenonlinear亡OntrOlwithout over−Paramete柑aIld unmodeled dynamic呂．Then，theParametrizaLjon，Syst．Corltr．Lett・719i17T／1B5

maincontribution80fthi呂paPerCOuldbestJmma一（1993）

8）R・MarinoaLndP・Tomei＝GIDbalad且Ptiveoutput一血edas＄hownbelow．First．itwa展nOtedthat all

缶edbackcontrdofno山inear町StemS，PartI：Lin−
earparameL即元ation．IEEE′什ans．Autom．Contr．，
38，17／32〔1993）

ther臼bu＄tadaptivelawsdevelopedinthi呂PaPer

9）比Ma）Lir10andP．TorTlei＝NonLinearcoIltrOldesi印
一g巳Ometri亡，adaptive，and mbust，Prentice−Hall．
ramcterideJltification．Second，itwaBShowntha．t In亡．（1995）

did notlead to anyoverparameterization fbr parthesystemati亡design呂forrobustadaptivelaw昌Were10）KL−H・Nam and A．Arapostathjs：A ttlOdel−
refbren亡e adaptive controL scheme fbr pl甘e−
LbedbacknoJll；near＄yStem畠，lEEETran阜，Autom．
ConLr・，ユ3，糾叫引1（1988）

Simil乱rtOthosefbTunCertaiTltinearsysteTTB．La．stly，

itwa占alBOimporta，nttOnOteLhatthesenonlinear11）M．VidyafLag且r：Co山rol＄y＄temgyrlLhesi＄：afac−

COntrOlmeLhodBledtotherobu畠tneS＄andapprox−
imate output tracking ofa11the亡losed−loop sys−
temwithrobu眉t adaptivelaw8．BecallBe thecon−

LroIschemesdevelopedweredesignedo山SOmere−
Strictivea8印mPtions呂uChaBthefull−Statemea展ur−
abIecondition，thelocaldomainofbotJl如a．tevari−ablesaJldparameterestima．te，andthcsingle−input，−10−

tori姐tionapproach，MITPre鮎Series（19鮎）