第５節

フーリエ変換

振動解析を行う場合、振動波形を時間領域において観測することにより、波形の特徴を大まかに把握することができる。しかし、波形の観測だけでは振動の特性を解明することが困難な場合が多い。このため、時間領域の信号を周波数領域における信号に変換し、振動波形に含まれる振動数成分の大きさを分析する周波数分析が行われる。
時間領域の波形を周波数成分に分解することをフーリエ変換（Fourier transform）、また逆に各周波数成分から時間領域の波形に合成することをフーリエ逆変換（inverse
Fourier transform）という。フーリエ変換を行うための前提条件としては、「連続的」な信号波形が「無限時間」に渡り与えられているものとしている。ところが、デジタ
ルコンピュータで信号処理を行う場合にはセンサから入力される連続的な信号はＡＤ変換により「離散的」な「有限時間」のデータに置き換えられている。このため、離散的なデータに対する離散フーリエ変換（Discrete Fourier Transform : DFT）が用いられる。
離散フーリエ変換は計算時間が非常にかかるので実用的ではない。このため、離散フーリエ変換 を少ない 演算回数 で実行す るアルゴリ ズムであ る高速フ ーリエ変 換（Fast Fourier Transform : FFT）が利用されている。
以下では、フーリエ変換の概念について説明する。

1-5-1

フーリエ級数

任意の周期関数は多数の三角関数の和として表すことができる（図 1-5-1）。すなわち、周期 Ｔ ＝２π／ωの周期関数 x(t ) は、

x (t ) =a0 ¥+ å (a n cos nwt + bn sin nwt )2 n =1(1-5-1)と表せる。これをフーリエ級数（Fourier series）という。式(1-5-1)を ｔ について区間［－ Ｔ ／２， Ｔ ／２］で積分すると、右辺において第１項以外は明らかにゼロなので、

òT /2x( t ) dt =-T / 2a02

òT/21･dt =-T / 2a0T2(1-5-2)となる。式(1-5-2)から係数 a0 が次のように求まる。
2a0 =Tò

T /2x (t ) dt

(1-5-3)-T / 2［－ Ｔ ／２， Ｔ ／２］で積分すると、三角
また、式(1-5-1)の両辺に cosω t をかけて、関数が正規直交関数であることから、係数 a1 の項以外の値はゼロになるので
－46－

ò

T /2x( t ) cos w tdt = a1
-T / 2

òT /2

cos 2 w tdt =-T / 2

a1T2(1-5-4)となり、係数 a1 が次のように求まる。
a1 =2Tò

T /2x(t ) cos w tdt(1-5-5)-T / 2同様にして、式(1-5-1)の両辺に cos2ω t 、cos3ω t 、cos4ω t 、… をかけて積分すると、それぞれ a 2 、 a3 、 a 4 、… が求まり、また sinω t 、sin2ω t 、sin3ω t 、… をかけて積分することで、 b1 、 b2 、 b3 、… が順次に求められる。これらを整理すると、
2an =Tbn =2Tòò

T /2x (t ) cos nωωtd (n = 0,1,2,L)-T / 2T /2x(t ) sin nωωtd (n = 1,2,3,L)-T / 2

ü
ï
ïï
ý
ï
ï
ïþ

(1-5-6)が得られる。このフーリエ級数の係数 a n 、 bn をフーリエ係数（Fourier coefficient）といい、振動波形 x(t ) の中に含まれている周波数成分の大きさを表している。
xｔx1
ｔx2ｔx3ｔ

図 1-5-1周期関数の分解（ｘ＝ｘ 1 ＋ｘ 2 ＋ｘ 3 ）－47－

1-5-2複素フーリエ級数

振動は振幅と位相差という２つの独立したパラメータで表される現象なので、これを複素平面上のベクトルで表現（複素数表現）すると１つの数で表現でき、計算上の取り扱いも非常に便利になる。
複素指数 関数と 三角関 数の間の 変換式 であるオ イラー の公式 （Euler's formula）

ejx= cos x + j sin x を用いると、上述したフーリエ級数を複素数の形式で表現することができる。オイラーの公式より次の関係が導かれる。

(e)+ e - jnwt
2jnwt
e- e - jnwt
sin nwt = - j2
cos nwt =jnwt

()

üïï
ýïïþ

(1-5-7)式(1-5-1)に式(1-5-7)を代入すると、

a 0 ¥ ì a n jnwt
jbü+ åí e+ e - jnwt - n e jnwt - e - jnwt ý2 n =1 î 22
þ(x (t ) =)()¥a0
ì a - jbn jnwt a n + jbn - jnwt üee+ åí n+ý
2 n=1 î 22
þ=(1-5-8)

ここで、

a0a - jbn
a + jbn= X0 、 n= Xn、 n= X -n222(n = 1,2,3, L)(1-5-9)とおくと、式(1-5-8)は、次式のように複素フーリエ級数となる。
¥x(t ) = å X n e jnwt

(1-5-10)n =-¥ここで、式(1-5-10)の両辺に e - jnwt をかけて、［－ Ｔ ／２， Ｔ ／２］で積分すると、
te jnw・e - jnwt = 1 の関係があるので、複素フーリエ係数が次式のように導かれる。

Xn =1Tò

T /2x (t ) e - jnωn dt(n = 0,±1,±2,L)(1-5-11)-T / 2関数 e jnwt を角振動数 ｎ ωの調和運動と考えれば、関数 x(t ) は大きさ X n の調和運動 e jnwtを重ね合わせたものとなる。

1-5-3

フーリエ変換関数 x(t ) が周期関数ではない場合には、フーリエ級数に展開することはできない。
ただし周期 Ｔ を無限大とすることで、非周期関数も無限の周期を持った周期関数であると考えることができる。
いま便宜上、基本振動数ω＝２π／ Ｔ を ω 0 と表し、 ｎ ω 0 ＝ω n とおくことにする。
－48－式(1-5-10)より、

X n j w nte Dwn
n =-¥ Dwn¥x (t ) = å(1-5-12)が得られる。ここで、Δω n は隣り合った振動数の間隔で、Dwn = (n + 1)w0 - nw0 =2pT(1-5-13)である。式(1-5-12)の両辺に e - jwn t をかけて、［－ Ｔ ／２， Ｔ ／２］で積分して、式(1-5-13)の関係を用いると、
Xn1=∆ωn 2pòT /2

x( t ) e- jωn t dt

(1-5-14)-T / 2が得られる。式(1-5-12)、(1-5-14)において Ｔ →∞（Δω n →0）として、ω n 、Δω n 、

Ｘ n /Δω n をそれぞれω、dω、 Ｘ (ω)とおくと、x(t ) =ò¥X (w )e jωωdω(1-5-15)-¥および
1X (w ) =2πò¥x (t )e - jωωdt(1-5-16)-¥が得られる。式(1-5-16)は時間領域の任意の関数 x(t ) を周波数領域の関数 Ｘ (ω)に変換するものでフーリエ変換といい、式(1-5-15)は逆に周波数領域の関数 Ｘ (ω)を時間領域の関数 x(t ) に変換するものでフーリエ逆変換とよばれる（図 1-5-2）。

Ｘ （ω ）ｘ （ｔ ）

フーリエ変換

フーリエ逆変換

図 1-5-2

フーリエ変換－49－