n 角形の形の一意性
３年Ａ組 古宮 昌典
指導教員 川口 慎二

１.要約
サイエンス研究会数学班 3 年生は図形の性質について研究している。今回は、n 角形の形
が 1 つに決まる条件について考えた。
キーワード

角、辺の決まっている場所、領域に分ける

２.研究の背景と目的（２）辺 A1An 以外の n  1 本の辺の長さが三角形の形が 1 つに決まる条件は、「すべ決まっている n 角形 A1A2…AkAk+1…An におての辺の長さが決まっている」、「2 辺の長いて、∠A2A1An と∠Ak-1AkAk+1 以外の n  2

さとその間の角の大きさが決まっている」、

個の角の大きさが決まっているとする。

「1 辺の長さとその両端の角の大きさが決・△A1AnAk が直角三角形である

まっている」なというように、広く知られ

・△A1AnAk が鋭角三角形のとき、ていることであるが、それらの条件を一般

AnAksin∠A1AnAk ＝A1Ak，化し、 n 角形で考えるとどのような条件になるのか興味を持った。

あるいは A1Ak≧AnAk
・△A1AnAk が鈍角三角形のとき、
A1Ak＜AnAk

３.研究内容今回の研究で、 n 角形の形が 1 つに決まのいずれかが成り立てば、この n 角形の形は１つに決まる。

る条件を長さが決まっている辺の本数によって分けた。ただし、今回は凹多角形につ（３）辺 A1An 以外の n  1 本の辺の長さがいては考えないことにした。

決まっている n 角形 A1A2…Ai…Ak…An において、∠Ai-1AiAi+ と∠Ak-1AkAk+1 以外の

３．１ １種類目の条件
長さが決まっている辺が n  1 本の場合

n  2 個の角の大きさが決まっているとき、
この n 角形の形は１つに決まる。

を考える。
（証明）
（１）n  1本の辺の長さが決まっている n（１）数学的帰納法で示す。

角形において、それらの間の n  2 個の角の

① n  3 の場合、2 辺とその間の角の大きさが大きさが決まれば、その形は 1 つに決まる。

決まっているので、（１）は成り立つ。
② n  k において、（１）が成り立つと仮定する 。 下 図 の よ う な k  1 角 形 A1A2A3 …

が 1 つに決まらない。

AkAk+1 を考え、辺 AkAk+1 以外の辺の長さと∠A1Ak+1Ak と∠Ak+1AkAk-1 以外の角の大き（補題の証明）

さが決まっているとする。点 A1 と点 A3 を(i) ∠ABC が直角のとき

結ぶと、△A1A2A3 は 2 辺とその間の角が決

直角三角形 ABC において、斜辺と他の 1まっているので、形は 1 つに決まる。よっ

辺の長さが決まっているので、この三角形て、辺 A1A3n の長さは 1 つに決まる。また、の形は 1 つに決まる。

∠A2A1A3 と∠A2A3A1 の大きさも 1 つに決(ii) ∠ABC が鋭角のときまるので、∠Ak+1A1A3 と∠A1A3A4 の大きさ

(ii－1) AC≧AB である場合

も 1 つに決まる。ゆえに、k  1 本の辺の長AC＝AB の場合、三角形 ABC は二等辺三さとその間の k  2 個の角の大きさが決ま角形となるので、∠CAB の大きさは 1 つにっている k 角形 A1A3A4…AkAk+1 ができる。

決まる。よって、2 辺とその間の角の大き仮定より、この多角形の形は１つに決まる。

さが 1 つに決まっているので、三角形 ABCの形は 1 つに決まる。
AC＞AB の場合、まず、辺 AB の長さは決まっている。次に、∠CBA の大きさは 1
つに決まっているので、2 点 B, C がのって（対称性により、
いる直線 l が 1 つに決まる
辺 AB を対称軸として直線 l を折り返した
ときにできる直線は無視してよい）。よって、したがって、 n  k  1 においても（１）は成り立つ。
①，②より、題意は示された。(Q. E. D.)

条件を満たす点 C の位置は直線 l と、点 Aが中心で半径が辺 CA の円との交点である。
その交点は 2 つできるが、∠ABC が鋭角であることから、△ABC の形は１つに決まる。

（２）まず、下の補題 1 から証明する。

(ii－2) AB sin∠ABC＝AC である場合
点 A から直線 BC へ降ろした垂線の足を

補題 1△ABC において、辺 AC，AB の長さと∠ABC の大きさが決まっているとする。このとき、H とすると、AB sin∠ABC＝AC より、AH＝AC であるから、AH⊥BC, AH=AC なので、点 C と点 H は一致する。
よって、∠ACB＝90°であるから、直角・∠ABC が直角である

三角形 ABC において、斜辺と他の 1 辺の長・∠ABC が鋭角であり、AC≧AB であるさが決まっているので、この三角形の形はか、AB sin∠ABC＝AC である・∠ABC が鈍角である

1 つに決まる。
(iii) ∠ABC が鈍角のときのいずれかが成り立てば、この三角形の形

AB＜AC より、(ii－1)の後半と同様に、

は 1 つに決まる。逆に、その他の場合は形

直線 l と点 A を中心とする半径が AC の円との交点は 2 つあるが、∠ABC が鈍角である

るので、∠A1AnAk の大きさも 1 つに決まる。

ことから、△ABC の形は 1 つに決まる。

つまり、△A1AnAk において、辺 A1Ak と辺

逆に、それら以外の場合を考える。

AnAk の長さと∠A1AnAk の大きさが決まっ(iv) ∠ABC が鋭角のときているので、補題 1 より、題意は示された。

(iv－1) AB sin∠ABC＜AC＜AB のとき(Q. E. D.)

条件より、
辺 AC の長さは点 A と直線 l の距離よりも長く、辺 AB の長さよりも短い。
よって、直線 l と点 A を中心とする半径が辺 AC の円の交点は下図のように、2 つ存
在する、ゆえに、この三角形の形は 1 つに決まらない。

（３）まず、下の補題 2 から証明する。
補題 2
四角形 ABCD において、辺 AB, BC, CDの長さと∠DAB, ∠ADC の大きさが決ま(iv－2) AB sin∠ABC＞AC のとき
点 A と直線 l の距離は AB sin∠ABC であっているとき、この四角形の形は 1 つに決まる。

るから、AB sin∠ABC＞AC のとき、直線 lと点 A を中心とする半径が AC の円の交点は存在しない。ゆえに、このような三角形（補題 2 の証明）
点 B と C からそれぞれ直線 AD へ降ろしは存在しない。

た垂線の足をそれぞれ E，F とする。そし(i),(ii),(iii),(iv)より、補題は示された。

て、点 C から直線 EB へ降ろした垂線の足(Q. E. D.)

を G とする。すると、∠BAD の大きさは決まっているので、∠BAE の大きさも 1 つ（２）の証明を行う。

に決まる。よって、直角三角形 ABE におい（証明）下図において、点 A1 と点 Ak，点て、斜辺の長さと 1 つの鋭角の大きさが決An と点 Ak を結ぶと、多角形 A1A2A3…Ak とまっているので、直角三角形 ABE の形は 1

多角形 AkAk+1Ak+2…An-1An はそれぞれ、辺つに決まる。ゆえに、辺 AE と辺 BE の長A1Ak，辺 AnAk 以外の辺とそれらの間の角のさは 1 つに決まる。
同様に、直角三角形 CDF

大きさが決まっているので、これらの多角において、斜辺と 1 つの鋭角が決まってい形の形は１つにきまる。ゆえに、辺 A1Ak，るので、形は 1 つに決まる。したがって、

辺 AnAk の長さは 1 つに決まる。

辺 DF と辺 CF の長さは 1 つに決まる。

また、∠An-1AnAk の大きさも 1 つに決ま

一方、
四角形 EGCF は長方形であるから、

FC＝EG である。よって、線分 BG の長さの大きさも 1 つに決まるので、∠AnA1Ai，も 1 つに決まる。ゆえに、直角三角形 BGC∠A1AnAk の大きさも 1 つに決まる。
よって、において、斜辺の長さと他の一辺の長さが四角形 A1AiAkAn において、辺 A1Ai，辺 AiAk，決まっているので、直角三角形 BGC の形は

辺 AkAn の長さと∠AnA1Ai，∠A1AnAk の大1 つに決まる。したがって、辺 CG の長さ

きさが決まっているので、補題 2 より、四は 1 つに決まる。CG＝FE であり、線分 EA

角形 A1AiAkAn の形は 1 つに決まる。
よって、と DF の長さは決まっていることから、辺示された。(Q. E. D.)

AD の長さも 1 つに決まる。ここで、点 Aと点 C を結ぶと、△ADC において、2 辺の長さとその間の角の大きさが決まっている
ので、△ADC の形は 1 つに決まる。
ゆえに、
辺 AC の長さも 1 つに決まる。
したがって、△ABC において、すべての辺の長さが決まっているので、△ABC の形は 1 つに決まる。
よって、四角形 ABCD の形は 1 つに決まる。
(Q. E. D.)

大きさが決まっている角が n  2 個以上の場合、n 角形の形が 1 つに決まることは分かったが、大きさが決まっている角が n  3個以下である場合、形が 1 つに決まらない。
実際には、決まっている角の個数が n  3 である場合を証明すれば十分である。そして、大きさが決まっていない角の配置により、以下の 9 通りのパターンに分けることができる。
本稿では、(B), (D), (H)の場合について、（３）の証明を行う。

n 角形の形が 1 つに決まらないことを証明（証明）下図の n 角形で、点 A1 と点 Ai，点する。その他の場合についても、大きさがAn と点 Ak，点 Ai と点 Ak を結ぶと、多角形

決まっていない角の頂点や長さが決まって

A1A2A3…Ai と多角形 AiAi+1…Ak-1Ak

いない辺を結ぶことにより、形が決まらな（ k  i  1 のときは存在しない）と多角形

いことを証明することができる。なお、図AkAk+1…An-1An は、それぞれ、辺 A1Ai，辺では長さの決まっていない辺や大きさが決AiAk，辺 AkAn 以外の辺の長さとそれらの間まっていない角にマークを付けている。

の角の大きさはすべて決まっているので、これらの多角形の形は 1 つに決まる。よっ(A) 大きさが決まっていない 3 つの角がすて、辺 A1Ai，辺 AiAk，辺 AkAn の長さは 1

べて隣り合っており、そのうちの 2 つは長つに決まる。また、∠A2A1Ai，∠An-1AnAk

さが決まっていない辺と長さが決まっている辺にはさまれている場合(C) 大きさが決まっていない 3 つの角がす
べて隣り合っているが、どれも 2 つの長さが決まっている辺にはさまれている場合(B) 大きさが決まっていない 3 つの角のうち、2 つは隣り合っているが、1 つは隣り合っていない。そして、隣り合っている 2 つの角は、長さが決まっていない辺と長さが(D) 大きさが決まっていない 3 つの角はす決まっている辺にはさまれている場合

べて隣り合っておらず、どれも 2 つの長さが決まっている辺にはさまれている場合（B の証明）
下図の n 角形 A1A2…Ak…An において、辺A1An 以外の辺の長さが決まっており、∠A2A1An，∠A1AnAn-1，∠Ak-1AkAk+1 以外（D の証明）
下図の n 角形 A1A2A3…An において A1An
以外の辺の長さが決まっており、の角の大きさが決まっているとする。そし∠Ai-1AiAi+1 (1  i  n  4) ，て、点 A1 と点 Ak，点 An と点 Ak をそれぞ∠Aj-1AjAj+1 (3  j  n  2) ，れ結ぶと、多角形 A1A2A3…Ak-1Ak，多角形∠Ak-1AkAk+1 (5  k  n)

AkAk+1Ak+2…An-1An はそれぞれ、辺 A1Ak，以外の角の大きさが決まっているとする。

辺 AnAk 以外の辺とそれらの間の角の大き

そして、点 A1 と点 Ai，点 Ai と点 Aj，点さが決まっているので、これらの形は 1 つ

Aj と点 Ak，
点 Ak と点 An をそれぞれ結ぶと、に決まる。よって、辺 A1Ak，辺 AnAk の長

多角形 A1A2A3…Ai-1Ai，多角形 AiAi+1Ai+2

さも 1 つに決まるが、△A1AkAn の内角の大…Aj-1Aj，多角形 AjAj+1Aj+2…Ak-1Ak,多角形

きさは 1 つも決まらないので、△A1AkAn のAkAk+1Ak+2…An-1An はそれぞれ、辺 A1Ai，

形は 1 つに決まらない。ゆえに、この n 角

辺 AiAj，辺 AjAk，辺 AkAn 以外の辺の長さ形の形は 1 つに決まらない。(Q. E. D.)とそれらの間の角の大きさが決まっているので、これらの多角形の形は 1 つに決まる。
よって、辺 A1Ai，辺 AiAj，辺 AjAk，辺 AkAnの長さも 1 つに決まる。また、∠辺 A2A1Ai，∠An-1AnAk の大きさも 1 つに決まるので、∠AnA1Ai と∠A1AnAk の大きさも 1 つに決まる。
ところが、五角形 A1AiAjAkAn は、辺 A1An

以外の 4 つの辺の長さと∠AnA1Ai と∠A1AnAk の大きさが決まっているが、このような条件を満たす五角形は複数考えられるので、五角形 A1AiAjAkAn の形は 1 つに決まらない。
ゆえに、この n 角形の形は 1 つに決まらない。(Q. E. D.)(G) 大きさが決まっていない角のうち、2つは隣り合っているが、1 つは隣り合っておらず、隣り合っている 2 つの角のうち 1
つは、2 つの長さが決まっている辺にはさまれているが、あとの 1 つは長さが決まっていない辺と長さが決まっている辺にはさまれている場合(E) 大きさが決まっていない角のうち、2つは隣り合っているが、1 つは隣り合っておらず、どれも 2 つの長さが決まっている
辺にはさまれている場合(H) 大きさが決まっていない 3 つの角はす
べて隣り合っておらず、そのうちの 1 つだ
け、長さが決まっていない辺と長さが決まっている辺にはさまれている場合（H の証明）(F) 大きさが決まっていない 3 つの角はす

下図の n 角形 A1A2A3 …An において、

べて隣り合っており、そのうちの 1 つだけ

A1An 以外の辺の長さが決まっており、が長さが決まっていない辺と長さが決まっ∠An-1AnA1，∠Ai-1AiAi+1 (1  i  n  3) ，ている辺にはさまれている場合∠Aj-1AjAj+1 (3  j  n  1) 以外の角の大きさが決まっているとする。そして、点 A1と点 Ai，点 Ai と点 Aj，点 Aj と点 An をそれ
ぞれ結ぶと、多角形 A1A2A3…Ai-1Ai，多角形 AiAi+1Ai+2…Aj-1Aj，多角形 AjAj+1Aj+2…

An-1An はそれぞれ、辺 A1Ai，辺 AiAj，辺AjAn 以外の辺の長さとそれらの間の角の大きさが決まっているので、これらの多角形

３．２ ２種類目の条件
すべての辺の長さが決まっている場合を考える。

の形は 1 つに決まる。よって、辺 A1Ai，辺辺の長さがすべて決まっている n 角形にAiAj，辺 AjAn の長さも１つに決まる。∠辺

おいて、n  3 個以上の角の大きさが決まれ

A2A1Ai の角の大きさも 1 つに決まるので、ば、その形は 1 つに決まる。

∠AnA1Ai の大きさも 1 つに決まる。
ところが、△A1AiAn は、辺 A1Ai の長さと（証明の方針）∠AnA1Ai の大きさしか決まっておらず、△［１］n  3 個以上の角の大きさが決まれば

AnAiAj は、辺 AiAj と辺 AjAn の長さしか決形が 1 つに決まることを証明するには、まっていないので、どちらの三角形も形はn  3 個の角の大きさが決まっているとき

1 つに決まらない。

に、形が 1 つに決まることを証明すれば十ゆえに、この n 角形の形は 1 つに決まらない。(Q. E. D.)

分である。
［２］n  3 個の角の大きさが決まっているということは、3 個の角の大きさが決まっていないということであるが、それらの角がどこに配置されているかに応じて、3 つの場合に分けて考える。
命題 A
大きさが決まっていない 3 個の角がすべ（Ｉ）大きさが決まっていない角のうち、2て隣り合っているとき、形は 1 つに決まる。

つは隣り合っているが、そのうちの 1 つは隣り合っておらず、その隣り合っていない
角は長さが決まっていない辺と長さが決ま（証明）
数学的帰納法で示す。

っている辺にはさまれている。また、それ①三角形( n  3 )の場合、3 辺の長さが決まに隣り合う、2 つの長さが決まっている辺っているので、形は１つに決まる。

にはさまれている角も大きさが決まってい② n  a において、命題 A が成り立つと仮る場合定する。下図のように、すべての辺の長さが決まっている a  1 角形 A1A2A3…AaAa+1を考え、∠A2A1An，∠A1A2A31，∠A2A3A4以外の角の大きさが決まっているとする。
次に、点 A1 と点 Aa を結ぶ。すると、△
A1Aa+1Aa は、2 辺とその間の角の大きさが決まっているので、その形は 1 つに決まる。
よって、線分 A1Aa の長さは 1 つに決まる。

また、∠Aa+1AaA1 の大きさも 1 つに決まる
ので、∠A1AaAa-1 の大きさも 1 つに決まる。
ゆえに、すべての辺の長さと a  3 個の角の大きさが決まっている a 角形 A1A2A3…Aaができる。仮定より、この多角形の形は 1つに決まる。したがって、 n  a  1 のときも命題は成り立つ。
①，②より、題意は示された。(Q. E. D.)
命題 C
大きさが分からない角のうち、2 つだけが隣り合っているとき、形は 1 つに決まる。
（証明）
下図のような n 角形 A1A2A3…An を考え、
∠AnA1A2 ，∠A1A2A3，∠Ap-1ApAp+1 の角の
命題 B
大きさが分からない 3 つの角がすべて隣り合っていないとき、形は 1 つに決まる。

大きさが決まっていないとする。そして、
点 A1 と点 Ap，点 A2 と点 Ap をそれぞれ結び、 n 角形を 3 つの領域に分ける。
すると、多角形 A2A3A4…Ap-1Ap，多角形（証明）

A1ApAp+1…An はそれぞれ辺 A2Ap，辺 A1Ap

下図のようなすべての辺が決まっている以外のすべての辺の長さとそれらの間の角n 角形 A1A2A3…An を考え、∠AnA1A2 ，の大きさが決まっているので、これらの形∠Ak-1AkAk+1，∠Am-1AmAm+1 の大きさがわか

は 1 つに決まる。よって、辺 A2Ap，辺 A1Ap

らないとする。そして、点 A1 と点 Ak，点の辺の長さも 1 つに決まる。

Ak と点 Am，点 Am と点 An を結んで、 n 角

ゆえに、△A1A2Ap はすべての辺の長さが形を 4 つの領域に分ける。すると、多角形

決まっているので形は 1 つに決まる。した

A1A2A3…Ak，多角形 AkAk+1Ak+2…Am，多角がって、 n 角形 A1A2A3…An の形は 1 つに形 AmAm+1Am+2…AnA1 はそれぞれ、
辺 A1Ak，決まる。(Q. E. D.)

辺 AkAm，辺 AmA1 以外の辺の長さとそれらの間の角の大きさが決まっているので、これらの形は 1 つに決まる。
よって、
辺 A1Ak，
辺 AkAm，辺 AmA1 の長さも 1 つに決まる。
ゆえに、△辺 A1AkAm はすべての辺の長さが決まっているので、形は 1 つに決まる。
したがって、 n 角形 A1A2A3…An の形は 1つに決まる。(Q. E. D.)

命題 A，命題 B，命題 C より、すべてのたす別の n 角形は容易に考えられる。

辺の長さが決まっている n 角形において、(Q. E. D.)n  3 個以上の角の大きさが決まれば形は1 つに決まることが示された。
では、逆に、n  4 個以下しか角の大きさが決まっていない場合、形は 1 つに決まらないことを証明する。

n  4 個の角の大きさが決まっているとき、形は 1 つに決まらないことを証明すれば十分である。そして、大きさが決まって[B] 大きさが決まっていない 4 つの角が、いない 4 個の角の配置により、5 つのパタ

すべて隣り合っていない場合ーンに分けることができる。
ここでは、[A]，[B]の場合について、 n 角（[B]の証明）形の形が 1 つに決まらないことを証明する。

下図のような n 角形 A1A2 …Ai …Aj …Ak[C], [D], [E]の場合も[A], [B]と同様に、大き…An を考え、∠A2A1An，∠Ai-1AiAi+1 ，∠さが決まっていない角の頂点を結ぶことで、

Aj-1AjAj+1，∠Ak-1AkAk+1 以外のすべての角形が１つに決まらないことを証明できる。

の大きさが決まっているとする。そして、
点 A1，点 Ai，点 Aj，点 Ak を結ぶと、多角[A] 決まっていない 4 つの角がすべて隣り形 A1A2 A3…Ai，多角形 AiAi+1Ai+2…Aj，多合っている場合

角形 AjAj+1Aj+2…Ak，多角形 AkAk+1Ak+2…
An A1 はそれぞれ、
辺 A1Ai，辺 AiAj，
辺 AjAk，（[A]の証明）

辺 AkA1 以外のすべての辺の長さとそれら

下図のような n 角形 A1A2A3…An を考え、の間のすべての角の大きさが決まっている∠A1A2A3，∠A2A1An, ∠A1AnAn-1，ので、これらの多角形の形は 1 つに決まる。

∠AnAn-1An-2 以外の角の大きさが決まっ

よって、辺 A1Ai，辺 AiAj，辺 AjAk，辺 AkA1ているとする。そして、点 A2 と点 An-1 を結の長さも 1 つに決まるが、四角形 A1AiAjAk

ぶと、多角形 A2A3A4…An-1 は、辺 A2An-1 以の内角の大きさは、1 つも決まっていない

外のすべての辺の長さと、それらの間の角ので、四角形 A1AiAjAk の形は 1 つに決まらの大きさが決まっているので、形は 1 つにない。ゆえに、この n 角形 A1A2A3…An の形決まる。

は 1 つに決まらない。

よって、
辺 A2An-1 の長さも 1 つに決まり、

実際、四角形 A1AiAjAk に対して、これと四角形 A1A2An-1An はすべての辺の長さが決

4 つの同じ辺の長さを持つ四角形を考える

まっているが、内角は 1 つも大きさが決ま（これは容易にできる）ことで同じ条件をっていないので、四角形 A1A2An-1An の形は満たす n 角形を作ることができる。

1 つに決まらない。ゆえに、この n 角形の形
は 1 つに決まらない。実際、同じ条件を満(Q. E. D.)３．３ ３種類目の条件[C] 大きさが決まっていない 4 つ角のうち、3 つは隣り合っていて、1 つは隣り合ってい長さが決まっている辺が n  2 本の場合
を考える。

ない場合
（Ⅰ）n  1個の角の大きさが決まっている

n 角形において、隣り合っている 2 つの辺以外の n  2 個の辺の長さが決まれば形は1 つに決まる。
（Ⅱ）

n  1 個の角の大きさが決まっている n 角形 A1A2…AkAk+1…An において、辺[D] 大きさが決まっていない 4 つの角のう

A1An と辺 AkAk+1 以外の n  2 本の辺の長

ち、2 つが隣り合っているが、他の 2 つのさが決まっているとき、辺 A1Ak と辺 AnAk+1

角も別に隣り合っている場合のうち、[A]でが平行でなければ形は 1 つに決まる。

ない場合（Ⅰの証明）
多角形の内角の和は一定なので、n  1 個の角の大きさが決まればもうひとつの角の大きさも 1 つに決まる。よって、 n 角形の内角はすべて決まっているとしてよい。下図のようなすべての角の大きさが決まっている n 角形 A1A2A3…An を考え、辺 A1An と辺 AnAn-1 以外の辺の長さが決まっていると[E] 大きさが決まっていない 4 つの角のうする。そして、点 A1 と点 An-1 を結ぶ。する

ち、2 つが隣り合っているが、他の 2 つのと、多角形 A1A2A3…An-1 は、辺 A1An-1 以外

角はどれにも隣り合っていない場合の辺と、それらの間の角の大きさが決まっているので、３．１節の条件（１）より、形が 1 つに決まる。よって、辺 A1An-1 の長さは 1 つに決まる。また、∠A2A1An-1 と∠A1An-1An-2 の大きさも 1 つに決まるので、∠
AnA1An-1 と∠An An-1A1 の大きさも 1 つに決まる。ゆえに、1 辺とその両端の角が決まっているので、△A1An-1An の形も 1 つに決まる。(Q. E. D.)
逆に、四角形 ABCD において、辺 AB と
辺 CD が平行であれば、例えば、下図のような四角形 ABCD と四角形 A’BCD’はどちらも条件を満たすので、形は 1 つに決まらない。
（Ⅱ）を証明するために、次の補題 3 から証明する。
補題 3
すべての角の大きさが決まっている四角
形 ABCD において、辺 AD と辺 BC の長さが決まっているとする。辺 AB と辺 CD が平行でなければ形は 1 つに決まる。

（Ⅱの証明）（Ⅰ）と同じように、すべての角の大き（補題 3 の証明）

さが決まっているとしてよい。下図の n 角

AD≦BC として考えても一般性を失わな形で、点 A1 と点 Ak，点 An と点 Ak+1 を結ぶい。そして、下図のように、直線 AB と直と 、 多 角 形 A1A2A3 … Ak と 多 角 形

線 DC の交点を E とすると、1 辺とその両Ak+1Ak+2Ak+3 …An はそれぞれ、辺 A1Ak,辺端の角が決まっているので、△EBC の形は

Ak+1An 以外の辺とそれらの間の角の大きさ

1 つに決まる。

が決まっているので、これらの形は 1 つにまた、∠BAD と∠ADC の大きさは決まっているので、∠EAB と∠EDA の大きさ決まる。よって、辺 A1Ak,辺 Ak+1An の長さ
は 1 つに決まる。

は 1 つに決まる。よって、1 辺とその両端

また、∠A2A1Ak，∠Ak-1AkA1，∠An-1AnAk+1，の角が決まっているので、△EAD の形も 1∠Ak+2Ak+1An の大きさも 1 つに決まるので、つに決まる。ゆえに、四角形 ABCD の形は∠AnA1Ak，∠A1AkAk+1，∠A1AnAk+1，

1 つに決まる。(Q. E. D.)∠AkAk+1An の大きさも 1 つに決まる。つまり、四角形 A1AnAk+1Ak は、すべての角の大きさと辺 A1Ak と辺 Ak+1An の長さが決まっている。さらに、仮定より、辺 A1Ak と辺

な直線と辺 CD の交点を D’とする。
すると、

AnAk+1 は平行でないので、補題 3 より、四AD‖A’D’より同位角は等しいので、∠DAB

角形 A1AnAk+1Ak の形は 1 つに決まる。よっ＝∠D’A’B，∠ADC＝∠A’D’C である。ゆて題意は示された。(Q. E. D.)

えに、四角形 A’BCD’も条件を満たす。したがって、条件を満たす四角形が複数存在す
ることになるので、この形は 1 つに決まらない。(Q. E. D.)

３.４ その他の場合
最後に、長さが決まっている辺の本数がn  3 本以下の場合、いくつの角が決まっていても形は 1 つに決まらないことを証明する。

（A の証明）
下図の n 角形 A1A2A3…An において、す

実際には、決まっている辺の本数が n  3

べての角の大きさは決まっており、辺 A2A1，

本のときにすべての角が決まっていても形

辺 A1An，辺 An-1An の辺の長さが決まっていは 1 つに決まらないことを示せば十分であないとする。そして、点 A2 と点 An-1 を結ぶる。そして、決まっている辺の配置により、と、多角形 A2A3 A4…An-2An-1 は辺 A2An-1 以(A),(B),(C)の 3 つの場合に分けて考えた。

外の辺の長さとそれらの間の角の大きさが決まっているので、この多角形の形は 1 つ(A) 長さが決まっていない 3 辺がすべて隣に決まる。ゆえに、辺 A2An-1 の長さは 1 つ

り合っている場合に決まる。また、∠A3A2An-1 と∠An-2An-1A2

まず、次の補題 4 を証明する。

の大きさも 1 つに決まるので、∠A1A2An-1と∠AnAn-1A2 の大きさも 1 つに決まる。つ

補題 4

まり、四角形 A1A2An-1An は、すべての角のすべての角の大きさと一辺の長さが決ま

大きさと辺 A2An-1 の長さが決まっているこっている四角形の形は 1 つに決まらない。

とになるが、補題 4 より、この四角形の形
は 1 つに決まらない。ゆえに、この n 角形の（補題 4 の証明）

形は 1 つに決まらない。実際、補題 4 と同

下図の四角形 ABCD において、すべての様の反例を四角形 A1A2An-1An に対して作る

角の大きさと辺 BC の長さが決まっていることで同じ条件を満たす n 角形を作ることとする。すると、辺 AB 上に A, B とは異なができる。(Q. E. D.)

る点 A’をとり、点 A’を通り、辺 AD に平行

(B)長さが決まってない 3 辺のうち、2 辺は隣り合っているが、1 つは隣り合っていな
い場合
まず、次の補題 5 を証明する。

（B の証明）
下図の n 角形 A1A2…AkAk+1…An において、すべての角の大きさと辺 A1An と辺An-1An と辺 AkAk+1 以外の辺の長さが決まっているとする。そして、点 A1 と点 Ak，点

補題 5

An-1 と点 Ak+1 を結ぶと、多角形 A1A2A3…

五角形 ABCDE において、すべての角のAk と多角形 Ak+1Ak+2Ak+3…An-2An-1 はそれぞ

大きさと辺 AB と辺 CD の長さが決まって

れ辺 A1Ak,辺 Ak+1An-1 以外の辺の長さとそれいるとき、この五角形の形は 1 つに決まららの間の角の大きさが決まっているので、ない。

これらの多角形の形は 1 つに決まる。よって、辺 A1Ak,辺 Ak+1An-1 の長さは 1 つに決ま

（補題 5 の証明）
辺 BC 上に点 B, C とは異なる点 C’をとる。

る 。また 、∠A2 A1Ak ，∠A1Ak Ak-1 ， ∠Ak+1An-1An-2，∠Ak+2Ak+1An-1 の角の大きさもそして、点 C’を通り、直線 CD に平行な直1 つに決まるので、∠AnA1Ak，∠Ak+1AkA1，

線と、点 D を通り、直線 C’C に平行な直線∠Ak+1An-1An，∠AkAk+1An-1 の角の大きさもの交点を D’とする。さらに、点 D’を通り、1 つに決まる。

直線 DE に平行な直線と辺 AE との交点をゆえに、五角形 A1AkAk+1An-1An は、すべE’とする。CD‖C’D’かつ D D’ ‖C C’より、ての角の大きさと、辺 A1Ak,辺 Ak+1An-1 の長四角形 CDD’C’は平行四辺形である。よって、さが決まっている。しかし補題 5 より、こ

CD＝C’D’,∠DCB＝∠D’C’B である。また、の五角形の形は 1 つに決まらない。したがDE‖D’E’より、∠AED＝∠AE’D’である。

って、この n 角形の形は 1 つに決まらない。

さらに、CD‖C’D’, DE‖D’E’より∠CDE

実際、補題 5 と同様の反例を五角形＝∠C’D’E’であるから、五角形 ABC’D’E’

A1AkAk+1An-1An で作ることで、同じ条件をも条件を満たす。したがって、条件を満た満たす n 角形を作ることができる。

す五角形が複数存在することになるので、この形は 1 つに決まらない。(Q. E. D.)(Q. E. D.)

より、∠BCD＝∠B’C’D’，∠CDE＝∠C’D’E’である。
以上から、六角形 AB’C’D’E’F も条件を満たすことがわかった。つまり、条件を満たす六角形が複数存在するので、形は 1 つに決まらない。しかし、∠ABC＋∠BCD＜
180°のときは点 C’が六角形の外部に存在する。この場合、頂点 A,B,C,D,E,F をそれ
ぞれ E,F,A,B,C,D に名前をつけ替え、上述(C)長さが決まっていない 3 辺がすべて隣り

の証明と同様の操作を行うことにより、同合っていない場合

じ条件を満たす六角形を作ることができる。
(Q. E. D.)(C)を証明するために、次の補題 6 を証明する。
補題 6
六角形 ABCDEF において、すべての角の大きさと、辺 BC, DE, FA の長さが決まっているとする。このとき、この六角形の形は 1 つに決まらない。
（C の証明）（補題 6 の証明）

下図の n 角形 A1A2…Ak…Am…An におい

辺 AB 上に A, B とは異なる点 B’をとる。

て、すべての角の大きさと辺 A1An と辺

そして、点 B’を通り BC に平行な直線と、

AkAk+1 と辺 AmAm+1 以外の辺の長さが決ま

点 C を通り AB に平行な直線との交点を C’っているとする。そして、点 A1 と点 Ak，とする。さらに、点 C’を通り CD に平行な点 Ak+1 と点 Am，点 Am+1 と点 An をそれぞれ直線と、点 D を通り EF に平行な直線との結 ぶ と 、 多 角 形 A1A2 … Ak-1Ak ， 多 角 形

交点を D’とし、D’を通り DE に平行な直線

Ak+1Ak+2…Am-1Am，多角形 Am-1Am…An-1Anと辺 EF との交点を E’とする。

はそれぞれ、辺 A1Ak，辺 Ak+1Am，辺 Am+1An

B’C’//BC，BB’//CC’より、四角形 BCC’B’

以外の辺の長さとそれらの辺の間にある角は平行四辺形である。ゆえに、BC＝B’C’,の大きさが決まっているので、これらの多∠ABC＝∠AB’C’が成り立つ。また、D’E’

角形の形は 1 つに決まる。
よって、辺 A1Ak，‖DE，DD’‖EE’より、四角形 DEE’D’も平

辺 Ak+1Am，辺 Am+1An の長さも１つに決ま行四辺形であるから、DE＝D’E’，∠FED＝る。

∠FE’D’が成り立つ。
さらに、
BC‖B’C’，
CD‖C’D’，DE‖D’E’

また、∠A2A1Ak，∠A1AkAk-1，∠Ak+2Ak+1Am，∠Am-1Am Ak+1，

∠AnAm+1Am+2，∠An-1AnAm+1

６.謝辞の大きさは 1 つに決まる。すべての角の

今回の研究にあたり、ご指導下さいまし大きさは決まっていることから、六角形

た顧問の川口先生ありがとうございました。

A1AkAk+1AmAm+1An は、すべての角の大きさ

また、サイエンス研究会の先輩方からも助と辺 A1Ak，辺 Ak+1Am，辺 Am+1An の長さが言をいただきました。ありがとうございま

決まっている六角形である。しかし、補題した。

6 より、この六角形の形は 1 つに決まらな
いので、この n 角形の形は 1 つに決まらない。実際、補題 6 と同様の反例を六角形
A1AkAk+1AmAm+1An に対して作ることで同じ条件を満たす n 角形を作ることができる。
(Q. E. D.)(A),(B),(C)より、 n 角形において、 n  3
本以下しか辺の長さが決まっていない場合
は形が 1 つに決まらないことが示された。

４.今後の課題
今回は凹多角形については考えなかったので、それについて考えていくことや、n 角形が円に内接、外接している場合についても考えていきたい。さらに、今後は立体について形が決まる条件についても調べていきたい。

５.参考文献[1] 三角形の決定
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6042