Internet 版 2022/6/2

第8章

ラプラス変換を用いた回路解析

これまで非定常な状態、すなわち過渡状態を微分方程式をたてて解いてきた。ここではラプラス変換を用いて解く方法を学ぶ。ラプラス変換を使うことで、複雑な微分方程式も代数方程式に変えることができる。ラプラス変換は回路の過渡解析のみならず、制御工学のフィードバック理論でもよく使われており、回路を通して運動制御や安定性評価ための下地となる知識を習得できる。

１． ラプラス変換を使った微分方程式の解き方のイメージ的理解ℒ 𝑓 𝑡

ラプラス変換は時間を変数とした関数

𝐹 𝑠

𝐹 𝑠ℒを次の定義式に従って、ｓを複素数によ𝑓 𝑡る変数とする関数に変換する。（ラプラスこれを聞いただけでは何のことかわか変換）

らないと思うが、これ以降いくつか事例をつかってラプラス変換に慣れていく。
∞

𝐹 𝑠

𝑓 𝑡 𝑒

難しい計算が多く面倒そうと思われかも𝑑𝑡しれないが、そんなことはない。ラプラス変換は微分方程式の計算を楽にするため≧0 の領域を扱うとする。変数ｓを複素周の手法であり、覚えておいて損はない。練波数といい、その実数部は正である。ラプ

習でもって慣れていこう。

ラス変換された s の関数は、つぎの式でもって時間 t の関数に戻すことができる。

２．基本的な信号のラプラス変換事例（ラプラス逆変換）(1) 単位ステップ関数

𝑓 𝑡12𝜋𝑗∞1単位ステップ関𝐹 𝑠 𝑒 𝑑𝑠ｔ

数 u1(t)は次のよう∞0に表すことができここで、σは正の任意の定数である。実る。

際の使い方であるが、回路の微分方程式をラプラス変換でもって s の代数方程式𝑢 𝑡に変え、求める信号関数を部分分数に分1 𝑡0 𝑡00

解し、できるだけわかりやすいｓの項に
これをラプラス変換すると、して、逆変換で時間軸の関数に変える。
この教科書ではラプラス変換と逆変換ℒ 𝑢 𝑡をℒをつかって次のように表すこととする。

ℒ 𝑢1 𝑡70∞𝑒𝑑𝑡

ただし Re 𝑠∞0Internet 版 2022/6/2となる。Re 𝑠0とするのは、計算途中で出てくる𝑒に、𝑡∞を代入すると、∞ℒ 𝑢1 𝑡正であれば１になるが、負であると∞に∞𝑡𝑒発散してしまうからである。

𝑑𝑡𝑡𝑒∞𝑒𝑠(2) 単位インパルス∞単位インパルス𝑑𝑡𝑠∞

δ𝑢 𝑡 はｔ＝0 からδの幅の方形波で、面0積１を保ったまま、但し Re 𝑠ｔ0である。

(4) 指数関数

δ→0 の極限を取っ指数関数のフーリエ変換は次のようにた関数である。

表される。

すなわちｔ＝0 のとき、∞の高さを持ち、面積としては１となるパルス関数で∞ℒ 𝑒 𝑎𝑡𝑒 𝑎𝑡 𝑒𝑑𝑡ある。

ℒ 𝑢0 𝑡1𝑒𝛿lim
𝛿→0𝑠

1 𝑒𝛿→0 𝛿𝑠lim
lim𝑒𝑠𝛿

1𝛿→0 𝛿𝑠𝑒𝑠lim

但し Re 𝑠𝑎𝑎1𝑠𝑎0である。

この関係が回路問題で最も使われる。

1𝛿→0∞𝑒𝑑𝑡

このほか、参考までに次の信号波形のラプラス変換を載せておく。

1

主な信号波形とそのラプラス変換最後の極限であるが、ロピタルの定理
𝑓 𝑡を用いて、分子と分母をそれぞれδで微分し、δの極限を求めている。

ℒ 𝑢 𝑡単位インパルス
𝑢 𝑡
単位ステップ𝑢 𝑡ランプ関数
𝑢 𝑡指数関数
𝑒指数関数
𝑡𝑒正弦波
𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡余弦波
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡1(3) ランプ関数
時間とともに単調増加する関数をランプ関数という。これをもとめてみよう。
𝑢 𝑡0𝑡 𝑡0 𝑡00ｔ71

𝐹 𝑠11𝑠1𝑠1𝑠𝑠

1𝑎𝑎𝜔𝜔𝑠𝑠𝜔𝑠Internet 版 2022/6/23.

ラプラス変換の基本的な性質ℒ 𝑓 𝑡変換の関数𝐹 𝑠 に s をかければよい。

ラプラス変換の変換式からみると当たり前のような気もするが、次の式がなりｎ階微分であればつぎの式が成り立つ。

たつ。

ℒ加算𝑔 𝑡𝐹 𝑠𝑑 𝑓 𝑡𝑑𝑡𝑠𝑔 𝑡𝐹 𝑠𝑠 𝐹 𝑠

𝐺 𝑠

減算

ℒ 𝑓 𝑡𝑓 0

つまり、初期値𝑓 0 を引いて、ラプラス(1)関数の加減算ℒ 𝑓 𝑡𝑠𝐹 𝑠

𝑓0・・・

𝑠𝑓 0𝒏𝟏階微分

𝑓0𝐺 𝑠(7) 時間関数の積分
時間関数𝑓 𝑡 の一階積分は、1/s をかけ逆変換も同じように成り立つ。

ℒ𝐹 𝑠

𝐺 𝑠

𝑓 𝑡𝑔 𝑡ℒ𝐹 𝑠

𝐺 𝑠

𝑓 𝑡𝑔 𝑡るだけである。

ℒ𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝐹 𝑠時間微分と積分のフーリエ変換後の扱(2)関数の相似いを学んだが、本書ではその導出過程は時間が a 倍になれば、ラプラスの変換省いた。勉強を深めたい方は、ぜひ自力で後は 1/a 倍になると覚える。

導出してみてほしい。ここで注意すべき

1𝑠𝐹𝑎 𝑎ℒ 𝑓 𝑎𝑡

こととして、微分も積分もラプラス変換後は、単純にｓの掛け算や割り算に帰着することである。この性質が、微分方程式(5) 関数の変位が代数演算に帰着する理由である。

時間関数𝑓 𝑡 において、a 秒だけ遅れが生じて、𝑓 𝑡𝑎 になった場合、ラプラス変換後に𝑒をかければよい。

ℒ 𝑓 𝑡𝑎𝑒(8) 畳み込み積分
時間関数𝑓 𝑡 があって、もう一つの別の𝐹 𝑠関数が、時刻ｔ＝0 から t までかけて関数

また、ラプラス変換後の関数𝐹 𝑠 に s にの積として作用しているとする。その積おいて a だけ負に変位が起きて、𝐹 𝑠𝑎分𝑓 𝑡 ∗ 𝑔 𝑡 をラプラス変換すると、次のとなったときには、逆変換後に、𝑒をように表すことができる。

かければよい。

ℒ𝐹 𝑠𝑎𝑒𝑓 𝑡(6) 時間関数の微分関数𝑓 𝑡 の時間微分は次のようにラプラス変換される。

𝑓 𝑡 ∗𝑔 𝑡

𝑓 𝜏 𝑔 𝑡ℒ 𝑓 𝑡 ∗𝑔 𝑡

𝐹 𝑠 𝐺 𝑠𝜏 𝑑𝜏

ある信号の現在値は、過去の信号値か72

Internet 版 2022/6/2

このように、二つのステップ関数の和ら別の関数が作用して、現在に反映してになると考える。原時間関数はいて、その現在の数値は過去からの積分

𝑢 𝑡で表されるときに、ラプラス変換すると

𝑢 𝑡2それぞれの関数のラプラス変換の積になで表される。第２項は、単位ステップ関数る。電気信号でも様々な遅れを伴う回路の 2 秒遅れの表現である。2 秒遅れはラを通した時に、出てくる数値は様々な作プラス変換後に、𝑒用関数の畳み込み積分で表されることにℒ 𝑢 𝑡

なるが、ラプラス変換では信号関数と作𝑢 𝑡をかければよい。
𝑒2∙用関数の積で表され、信号応答の計算に(2)こちらも次のランプ関数の和として考広く活用されている。

える。
例題 1次の信号をラプラス変換で表せ。
1(1)101223ｔｔ0

原関数は次にようになる。
𝑢 𝑡(2)

𝑢 𝑡1𝑢 𝑡2𝑢 𝑡3

これをラプラス変換すると次のようにな1る。
123𝑒ｔ0𝑒11𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒

解答(1) 全く難しく考えることはない。このような単一方形波は次のステップ関数の組わせとして、ラプラス変換をすればよい。
また、定義式を使う必要もない。

4. ラプラス変換における初期値、終値の定理
回路方程式に基づいて過渡現象を解くことを教えたいが、それに必要な知識として初期値および終値の定理を示す。

1

時間関数𝑓 𝑡 があって、そのラプラス変換が𝐹 𝑠 のときに、その初期値𝑓 0 は、
02ｔ73

Internet 版 2022/6/2𝑓 0る。

lim 𝑠𝐹 𝑠𝐸
𝐿𝑠𝐼 𝑠𝑠
これを解くと、→∞となり、終値𝑓 ∞ は𝑓 ∞𝑅𝐼 𝑠𝐼 𝑠lim 𝑠𝐹 𝑠→となる。ここから、わかりやすい形として部となる。初期値であれば、s をかけて、極分分数に展開する。

限で∞をとる。また、終値は s をかけて、極限で 0 をとる。非常に便利な式なので、

𝐼 𝑠𝐸忘れずにおきたい。
𝐸 1
𝑅 𝑠

5. 過渡現象解析の例(1)L-R 回路

1𝑠 𝑅/𝐿

これを逆変換すると、ここでは、前章と同じ事例を扱うが、ラ𝑖 𝑡プラス変換でアプローチしていく。図のように L と R の直列回路がある。ｔ＝0𝑢 𝑡𝑒となる。

でスイッチが ON されたときに、流れるi(t)の形は次のように書ける。

電流 i(t)を求めてみる。

i𝐸𝑅

ここで、せっかく勉強した初期値及び終値の定理が正しいことを確かめてみよう。

この回路の微分⽅程式は次が成り⽴つ。
𝐸𝐿𝑅𝑖𝐿𝑖

初期値𝑓 0lim 𝑠𝐹 𝑠𝑅𝑖→∞

ここで、左項の定数は単位ステップ関数

lim 𝑠→∞で表す。

𝐸𝑠 𝐿𝑠 𝑅lim→∞

𝐸𝐿𝑠𝑅0𝑑𝑖𝐸 𝑢1 𝑡
𝑅𝑖 𝐿𝑖 𝑡𝐿
𝑅𝑖 𝑡𝑑𝑡
電流𝑖 𝑡 のラプラス変換を𝐼 𝑠 とすると、次終値のようになる。
𝐸𝐿 𝑠𝐼 𝑠𝑖 0
𝑅𝐼 𝑠𝑠
この回路における初期電流𝑖 0 はコイルが(2)C-R 回路
ｔ＝0 のときにスイッチが ON されたと無限⼤インピーダンスになるので、0 になして、流れる電流 i(t)を求める。C にはｔ𝑓 ∞lim 𝑠𝐹 𝑠→lim→

図のように C と R の直列回路がある。

74

Internet 版 2022/6/2(3)L-C 共振回路の事例＝0 のときに全く電荷が蓄えられていな

時刻ｔ＝0 でコンデンサにたまっていいとする。

る電荷が放電されるとする。この電流波形を求める。

この回路の微分⽅程式は次が成り⽴つ。
𝑖𝑅𝑖0

次の⽅程式がたてられる。
𝑑𝑖1
𝑄 𝑡𝐿𝑑𝑡𝐶となる。これをラプラス変換すると次のようになる。
𝐼 𝑠

𝑅 𝑠𝐼 𝑠𝑖 0

両辺を時間微分する。このとき i の⽅向0は、コンデンサから出ていく⽅向なので、この回路の電流初期値は前章に記載されi にマイナスをつける。

るように、E/R である。
1𝐼 𝑠
𝐶

𝑅 𝑠𝐼 𝑠𝑖𝐸/𝑅0となる。

この式から、0

ここでラプラス変換する。となる。これを逆変換すれば、次の通り求𝑠 𝐼 𝑠

められる。
𝑖 𝑡𝑖𝑖/𝐼 𝑠𝐿𝑖𝑒𝑠𝑖 0𝑖 0

𝐼 𝑠0

なお、この回路で初期値𝑖 0 はゼロ、𝑖 0である。

𝐸i𝑅𝐼 𝑠𝑄𝐿𝐶1𝐿𝐶𝑠

この逆変換であるが、𝑡𝑖 𝑡√𝑠𝑖𝑛√𝑡となる。前章では、苦労して解いたが、ラ75

Internet 版 2022/6/2

プラス変換では極めて直感的に微分⽅程(1)式は、式が解けることを感じていただきたい。

𝐼 𝑠(4)R-L-C 直列回路

(2)の形になる。つまり、指数関数となる。

こちらも、前章で詳しく解説してみた判別式が負の場合 𝑅が、ラプラス変換で電流の形を調べてみ

0 は、(2)式のα、βに複素数が⼊り、振動減衰波形よう。になる。
参考

部分分数展開法

ラプラス変換を⽤いた微分⽅程式の解法ではしばしば部分分数に展開を⾏うことになる。素早く計算する⽅法として展開法を解説する。
1)部分分数の係数決定法

電流の回路⽅程式は次のように書くことができる。なおコンデンサの t=0 の時のｓの分数が与えられた時に、まず分⺟を電荷を 0 とすると因数分解する。

𝐸𝑅𝑖𝐿𝑖 𝑑𝑡

𝐹 𝑠となる。これをラプラス変換すると、𝐸1𝑠

𝑅𝐼 𝑠

𝐿𝑠𝐼 𝑠

仮にこれが次のように因数分解できたとする。

𝐼 𝑠𝐶𝑠𝐹 𝑠となる。なお初期電流 i(0)は 0 である。
この場合、次のように部分分数を展開でしたがって、𝐼 𝑠きると考える。

(1)

𝐹 𝑠の形になる。
ここで、係数 A と B を決定するには、ここから電流波形の形を予想する。(1)
式の分⺟を 0 として、ｓの⼆次⽅程式を考える。
𝐿𝑠

𝑅𝑠𝑠

𝛼 𝐹 𝑠 |𝐵𝑠

𝛽 𝐹 𝑠 |となる。この⽅法がつかえるのはすべて0異なる項で因数分解できたときである。

この式において、判別式が正の場合𝑅𝐴2)分⺟に⼆条項が出てきた場合

0 、s は実数解をもち、76Internet 版 2022/6/2ｓの分数として分⺟がｓの三次関数で(b)あったとして、
𝐹 𝑠＝解答と因数分解されたとする。この場合、部分(a)分数に分けると、次のようになる。
𝐴𝑠 𝐵𝑠 𝛼𝐹 𝑠
分⺟が 𝑠でき、つぎのように部分分数に分解でき

𝐶𝑠

原関数は次のように分⺟を因数分解ると考える。
𝛽𝛼 の項については、分⼦はｓの⼀次式になることに注意されたい。
C については、
𝐶𝑠𝐴𝑠2𝛽 𝐹 𝑠 |𝐵で求めることができる。残る A と B であ𝑠以上より、

𝐹 𝑠5𝑠2𝛼𝑠𝛼𝐵𝛽𝛼𝑠273𝑠2𝐶𝐵𝐴𝛽(b)𝐵𝛽𝛼𝑠2

これも次のように部分分数展開が𝐴
0𝐵𝐶𝐶となり、A と B を決定してく。
例題２1できると考える。

02𝛼𝑠3となる。とし、係数⽐較法から、
𝐴23るが、C は決定しているとして、
𝐶𝐴𝑠 𝐵𝑠 𝛽𝑠 𝛼
𝐴𝑠 𝐵 𝑠 𝛽𝐶 𝑠 𝛼𝑠 𝛼 𝑠 𝛽𝐴𝑠
𝐵 𝐴𝛽 𝑠 𝐵𝛽 𝐶𝑠𝑠 𝛼 𝑠 𝛽𝐵 𝐴𝛽 2𝛼 𝑠𝐴 𝐶 𝑠𝑠 𝛼 𝑠 𝛽𝐶𝑠 𝛼 𝑠 𝛽1𝐴𝐵𝐶𝑠 1𝑠 2𝑠 33𝑠2 6𝑠 1𝑠 2 𝑠 33𝑠2 6𝑠 1𝑠 2 𝑠 33𝑠2 6𝑠 1𝑠 1 𝑠 2111つぎの関数を部分分数展開せよ。 したがって、次のように部分分数に分解できる。

(a)77123𝑠 1𝑠 2𝑠 3

Internet 版 2022/6/2

8章

練習問題

3. 次の回路の電流 i の時間関数をラプラス変換を用いて解きなさい。ただ1. 次の微分方程式をラプラス変換しなさい。y は時間の関数であり、𝑦 00、𝑦 0

しコンデンサの t=0 のときの電荷はゼロとする。

0とする。

(1)
𝑦5𝑦402𝑦102𝑦30(2)𝑦(3)𝑦4. 次の回路の電流 I をラプラス変換した形で求め、波形が R1、R2、C、L によってどのような形になるのか示し

2. 時間関数 y のラプラス変換が Y とさなさい。ただしコンデンサの t=0 のれるときに、次の Y の時間関数を求ときの電荷はゼロとする。

めなさい。
(1)

𝑌(2)

𝑌(3)

𝑌78

Internet 版 2022/6/2

これは、分母に二乗項が入る形となる。

8 章 練習問題略解
1.

𝑌(1)𝑦5𝑦4によれば、つぎのようになる。

0𝑦ラプラス変換すると次のようになる。𝑦 は初期値がゼロであり、𝑠 をかければよい。
𝑦 は同様に𝑠をかければよい。
𝑠 𝑌となり、71 ページの逆変換表

5𝑠𝑌4𝑡𝑒(3)𝑌012𝑠𝑠(2)2𝑠𝑠 𝑌2𝑠𝑌

1𝑠𝑠 𝑌2𝑠𝑌32√21 √2𝑗𝑠2.
(1)2𝑠√2𝑗 𝑠1𝑗01√ 8210(3)31𝑗𝑠√ 82√2𝑗2√21 √2𝑗

これを逆変換すると、

1𝑠5𝑠 4
これを部分分数に展開すると、
𝑌𝑌𝐴

1
𝑠4 𝑠1𝑠𝑠2√2𝑗𝐵
4𝑗𝑦2√21𝑒𝑡𝑒1𝑠𝑠 4 𝑠 1𝑠𝐵𝑠𝑠 4 𝑠 1𝑗𝑠𝑖𝑛 √2𝑡

113.

𝑠 4𝑌

ここから逆変換すると次のようになる。
1 𝑒 4𝑡 1 𝑒 𝑡𝑦33次の回路方程式が成り立つ。

(2)
𝑌𝑠12𝑠1 √2𝑗 𝑡𝑐𝑜𝑠となる。この関数は、減衰振動波形になる。

1311𝑒𝑗𝑠𝑖𝑛 √2𝑡1𝑒 𝑠𝑖𝑛 √2𝑡√241𝑗2√2𝑐𝑜𝑠 √2𝑡

𝐴と𝐵は係数である。これらは未定係数決定法で解いていく。

𝐴1 √2𝑗 𝑡

E

179

𝑅 𝑖ｔ𝑖 𝑑𝑡

√2𝑡

Internet 版 2022/6/2

E𝑅 𝑖ｔ𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑡

𝑅 𝑖

これを逆変換すると

𝑅 𝑖𝑖𝑖

これをラプラス変換すると次のようになる。

4.次の回路方程式が成り立つ。

𝑅 𝐼𝐼(1)

E

𝑅 𝑖

𝑅 𝐼

𝑅 𝐼(2)

E

𝑅 𝑖𝑖𝑖

この式において、コイルは急な電圧変化に対して無限大インピーダンスをとり、
𝑖 0

𝐼

𝑅1 𝑅2𝑡
𝐶𝑅1 𝑅2𝐸𝑅2𝑒
𝑅1 𝑅1 𝑅2

𝐸𝑅1
𝑅1 𝑅1 𝑅2ｔ𝑖 𝑑𝑡

L𝑖

これをラプラス変換すると次のようになる。

0とした。さらに、

𝐼 ＝𝑅 𝐼2(3)𝑅 𝐼𝐼(5)𝐼(4)𝑅 𝐼𝑠L𝐼(6)𝐼𝐼となる。
(3) と(4)式から、𝐼

𝐼

𝑅 𝐼

1∙𝑠𝐶 1

1𝐼𝑠𝐶 𝑅2𝐼

1𝑠𝐶𝑅

𝐸 𝐶𝑅 𝑠 1
𝑅 𝑅𝑠 𝑠𝐶𝑅 𝑅
𝐸 𝑠
𝑅 𝑠 𝑠
𝑅
𝑅 𝑅 𝑅
𝐸𝑠

E
1
∙
1𝑠 𝑅𝑠𝐶

𝐼

𝐼 𝑅

𝐼𝐼

(7)

(5) と(6)式から、となる、これを(1)式に代入すると、

E
𝑠

𝐼

1𝑠𝐶

1𝑅

E
1
∙𝑠𝐿𝑠 𝑅
E
11𝑅 s
𝐶𝑅
E
11𝑅 s
𝐶𝑅
E
𝑅

1𝑠

E
1𝐿𝑠 s 𝐿𝑅

1𝐿
𝑅s

ここから逆変換すると次のようになる。

1𝐶𝑅
𝑅 𝑅
𝐶𝑅 𝑅𝑖

𝑅
𝑅 𝑅 𝑅
𝑅 𝑅𝑠
𝐶𝑅 𝑅

80

E𝑒
𝑅EE𝑒
𝑅𝑅E
1𝑅𝑒

E𝑒
𝑅