縦磁界における量子化磁束の運動の数値シミュレーション
Numerical simulations for the motion of fluxoids under the longitudinal magnetic field
松野 哲也 (有明工業高等専門学校)

Tetsuya Matsuno (National Institute of Technology, Ariake College)
第77回応用物理学会秋季学術講演会，
量子化磁束動力学シミュレーションン研究グループミーティング（2016/09/15）

Introduction
第2種超伝導体における縦磁界効果● 臨界電流密度の増大● 特異的な電流電圧特性← 量子化磁束線の特異的な配置と特異的な運動様式
縦磁界下での螺旋磁束流モデル
T. Matsushita

目的● 縦磁界効果の数値的再現 → メカニズムの解明● 基礎方程式の妥当性の検討● リンク変数法によるシミュレーション手法の確立

基礎方程式TDGL方程式 ( Time-Dependent Ginzburg-Landau equation ) の導出● エネルギーが減少するように時間発展すると仮定．
ただしゲージ対称性を満たすこと．

TDGL方程式● スカラーポテンシャルをゼロとするゲージを用いる．
→ 上式において φ = 0 とおけばよい．
→ ベクトルポテンシャルの値の大きさが時間に関して増大→ リンク変数法の使用が必然となる．
※ベクトルポテンシャルはリンク変数の偏角に寄与．
● 数値積分スキームの構成(1) 空間に関する離散化：

共変微分D を「複素重み（リンク変数）」付きラプラシアンとして実装．
回転演算 ∇× や ∇×∇× をリンク変数の積で実装．
(2) 時間に関する離散化：
ラプラシアン項はStaggeringを利用したSymplectic的スキーム．
非線形項については素朴に実装．
リンク変数の時間発展は偏角の時間発展方程式として実装．

空間に関する離散化とリンク変数● リンク変数はベクトルポテンシャル A の各成分に対応する．

● オーダーパラメータ ψ が定義された格子点を結ぶ辺上で定義される．
● 向きを持つ．

共変微分演算 → 複素重みつき差分演算として実装

空間に関して離散化されたTDGL方程式

ラプラシアン演算の実装//////////
void do_Laplacian(Complex[][][] psi, Complex[][][] Ux, Complex[][][] Uy, Complex[][][] Uz,double dt, double D){for(int k = 1; k <= Nz; k++){for(int j = 1; j <= Ny; j++){for(int i = 1; i <= Nx; i++){psi_s[i][j][k].equal(psi[i][j][k].plus(((psi[i+1][j][k].mul(Ux[i][j][k])).plus(psi[i-1][j][k].mul(Ux[i1][j][k].conj())).plus(psi[i][j+1][k].mul(Uy[i][j][k])).plus(psi[i][j-1][k].mul(Uy[i][j1][k].conj())).plus(psi[i][j][k+1].mul(Uz[i][j][k])).plus(psi[i][j][k-1].mul(Uz[i][j][k1].conj())).minus(psi[i][j][k].mul(6.0) ) ).mul(dt * D / (h * h) )));}}}
for(int k = 1; k <= Nz; k++){for(int j = 1; j <= Ny; j++){for(int i = 1; i <= Nx; i++){
psi[i][j][k].equal(psi_s[i][j][k]);}}}}//////////

境界条件● オーダーパラメータ ψ ： ノイマン型境界条件● リンク変数（法線成分）： ノイマン型境界条件● リンク変数（接線成分）： 印加磁界と印加電流を反映する．

● 印加磁界 Ba および印加電流 Ja はリンク変数の境界条件に反映．

横磁界の場合Ba, JaJa

Ba横磁界

縦磁界

BaBa, Ja

Ba, JaJaBaJa印加磁界と印加電流は境界リンク変数の同一成分に加算的に反映される印加磁界と印加電流はそれぞれ境界リンク変数の異なる成分に反映される

境界条件の実装/// constraints by the applied field and current/// y-z plane ( Bz-Uy-component ) set Ja = 0 when longitudinalfor(int k = 1; k <= Nz; k++){for(int j = 1; j <= Ny-1; j++){ex.setPolar(1.0, h*h*(Ba + Ja*SSx/2.0));
Uy[1][j][k].equal(Uy[2][j][k].mul(Ux[1][j+1][k].conj()).mul(Ux[1][j][k]).mul(ex));ex.setPolar(1.0, -h*h*(Ba - Ja*SSx/2.0));
Uy[Nx][j][k].equal(Uy[Nx-1][j][k].mul(Ux[Nx-1][j+1][k]).mul(Ux[Nx-1][j][k].conj()).mul(ex));}}/// z-x plane ( Bz-Ux-component ) omit when transverse
for(int i = 1; i <= Nx-1; i++){for(int k = 1; k <= Nz; k++){ex.setPolar(1.0, - h*h*Ba);Ux[i][1][k].equal( (Uy[i+1][1][k].conj()).mul(Ux[i][2][k]).mul(Uy[i][1][k]).mul(ex) );ex.setPolar(1.0, h*h*Ba);Ux[i][Ny][k].equal( Ux[1][Ny-1][k].mul(Uy[i+1][Ny-1][k]).mul(Uy[i][Ny-1][k].conj()).mul(ex) );}}/// y-z plane ( J=(0,0,Jb)-Uz-component ) longitudinalfor(int k = 1; k <= Nz-1; k++){for(int j = 1; j <= Ny; j++){ex.setPolar(1.0, h*h*Jb*SSx/2.0);
Uz[1][j][k].equal( Ux[1][j][k].mul(Uz[2][j][k]).mul(Ux[1][j][k+1].conj()).mul(ex) );Uz[Nx][j][k].equal( (Ux[Nx-1][j][k].conj()).mul(Uz[Nx-1][j][k]).mul(Ux[Nx-1][j][k+1]).mul(ex) );}}/// z-x plane ( J=(0,0,Jb)-Uz-component ) longitudinalfor(int i = 1; i <= Nx; i++){for(int k = 1; k <= Nz-1; k++){ex.setPolar(1.0, h*h*Jb*SSy/2.0);
Uz[i][1][k].equal( Uy[i][1][k].mul(Uz[i][2][k]).mul(Uy[i][1][k+1].conj()).mul(ex) );Uz[i][Ny][k].equal( (Uy[i][Ny-1][k].conj()).mul(Uz[i][Ny-1][k]).mul(Uy[i][Ny-1][k]).mul(ex) );
}
}

結果

● パラメータ：(Wx, Wy, Wz) = (10, 10, 20), (Nx, Ny, Nz) = (50, 50, 100),h=0.2, dt = 0.005, gamma = 1.0, eta = 2.0 → ξ = 0.5

過渡過程（定常的）動的振る舞い

timetime

BaB
相図

1.5

● 動的振る舞い◯ 静的振る舞い
1.0

0.5

00.05

0.10

0.15

JJa

0.20

energy全エネルギーが単調減少しない→ OK?

EK + EP + EB

EK + EPEBEKEPtime

EK + EP考察・課題•縦磁界での量子化磁束の運動に関して相図を作成した．「臨界電流」の磁界依存性にピークが見られた．
→ ほんとうの臨界電流の磁界依存性と関係あるのか？

•

磁束線のカッティングにともない，全エネルギーが変動した．
→ 全エネルギーは単調減少すべきでは？
→ エネルギーが系に注入されているからOKか?

•

さらにシミュレーションポイントを増やして相図を完成させる．

•

数値積分スキームの再検討•

試料形状依存性，ピンの導入