CenterBand を用いた数式構造解析の安定化
村上 玄生††九州大学大学院数理学府

鈴木 昌和‡‡九州大学大学院数理学研究院〒812‑8581 福岡市東区箱崎 6‑10‑1
E‑mail: Suzuki@math.kyushu‑u.ac.jp

あらまし
昨年発表された江藤‐鈴木による数式構文解析は、文字認識の影響を受けにくいものであったが、まだ十分ではな
く文字の誤認識があった場合に大きく数式構造をとり間違うことがある。そこで、文字認識の結果を統計的にしか使わない「Center-Band」を利用する方法を加えたことで、文字の誤認識の悪影響を吸収し構造解析の精度の更なる向上が見られたので、その方法と結果を報告する。

キーワード OCR，数式認識，Center-Band，ネットワーク

Improvement of Mathematical structure analysis by Center-Band
Makoto MURAKAMI†, and Masakazu SUZUKI‡†Faculty of Mathematics, Kyushu University‡Graduate School of Mathematics, Kyushu University
6-10-1 Hakozaki, Higashi-ku, Fukuoka, 812-8581 Japan
E-mail: suzuki@math.kyushu-u.ac.jp

Abstract
The mathematical formula recognition presented by “Eto and Suzuki” last year is robust against errors of the character
recognition to some extent. However, there are some cases causing a fatal error of structure analysis. We propose a method byCenter-Band obtained by using the result of the character recognition only statistically. It considerably improves the structure
analysis. We report our new method and the result of the experiment.

Key wordsOCR, Mathematical formula recognition, Center-Band, networkもたない単純な数式部分や更にはテキスト中の文字

1. はじめにであるにもかかわらず添え字構造を持ってしまうも近年、自然科学分野において学術雑誌の電子のも多くある。これらは、接触・分離文字を含め大Journal への移行が急速に進んでいる。しかし、科きさの違う文字に誤認識された文字やスモールキャ

学技術分野の文献では数式が含まれているため、電ピタル、類似文字（c,C や s,S 等、大きさは違うが形子化には多大なコストがかかる。科学的分野の論文が同じため一文字認識では区別がつかない文字）が誌、書籍の電子化に要するコストを軽減するために、含まれているものがほとんどであり、認識結果を元数式を含む文章に対応できる OCR システムの開発にその行における大きさや中心位置を比較すると添の重要性が増している。

え字と判断されてしまうことがあるからだ。

1.1 数式構造解析の現状
これまでにも数式認識の研究は行われているが、実行速度と認識精度の両方において実用化に適したアルゴリズムとして発表された最初のものは岡本の手法（[1][2]）と、Fateman（[3]）によるものであると考えられる。特に、岡本による数式認識の研究

このような添え字でない通常の文字を添え字と誤ってしまう誤りは、複雑な数式における添え字上での誤りと比べ人間から見れば明らかである。しかしなぜ人間は明らかに間違っていると判断するのか。
それを"Center -Band"というものを用いることで説明できると考えた。

は、多くの文献に引用され、実用化の可能性を持つ手法として国際的によく知られている。[4][5]による手法も、岡本や Fateman と同様にトップダウンの解析手法になっており、その流れをくむものである。

図 1：Center-Band

しかしながら、これらの手法では文字の誤認識や大きさの異なる類似文字等による影響を受けやすく、Center-Band とは一行中の文字のアセンダー部や局所的な誤認識が数式の全体の構造認識を大きく崩ディセンダー部を除いたセンター部分をちょうど覆してしまうことが少なくない。精度が向上している

うような幅の水平な帯（図 1）のことをいう。ベーとはいえ OCR において文字の誤認識は避けられなスライン上の文字・記号類のほとんどはこのい。そのため、文字認識の結果にあまり依存しないCenter-Band を覆っているかその中に入っている。

安定した解析手法が求められる。現在、鈴木研究室

ベースライン上の文字とは、添え字位置でない通常では昨年発表された江藤−鈴木手法（[6][7]）を用いの位置にある文字のことを言う｡また逆に添え字上て、文字認識の結果にあまり依存せずに数式構造解の文字・記号類が Center-Band を覆うようなことは析を行うよう工夫している。これによってかなり精ほとんどない。人間は Center-Band を覆っている、度の高い解析を行うことに成功しているが、未だ大または Center-Band に覆われているものをベースラきく間違うこともあるのが現状である。

イン上にあると判断し、そうでないものを添え字と数式構造解析を誤る主たる原因としては以下の二判断しているのではないかと考えた。

点がある｡一点は、文字認識を誤り、候補中に正解とこのことを利用し、Center-Band 上の文字は親文同じ大きさの文字がない場合である｡この場合はほ字には添え字としてはリンクしない、Center-Band

とんど間違ってしまう｡もう一点は、文字認識が正し上の文字が添え字位置にあった場合にペナルティをくてもサイズや中心位置の関係が後で述べる散布図与える、という条件を従来からの手法に加えることの正しい領域内になかった場合である｡どの領域にでベースライン上の文字・記号類が添え字となってもなかった場合、どのような親子関係を結べばよいしまわないようにし、数式構造解析の向上を図った。

か分からないので強制的に水平に接続しているため、ここで重要なのは Center-Band を取得するには英本来添え字関係であるならば構造を誤ってしまう。

数字、ギリシャ文字の文字認識結果を統計的に用いまた散布図の誤った領域にしかなければ必ず間違っるが、個別の文字間の水平・添え字判定には文字認てしまう｡

識結果を使わないということである。それにより誤1.2 今回提案する手法
これらの構造解析の誤りの中には、本来は構造を認識から受ける影響が抑えられるように工夫した。
これに関しての実験を行ったので、その実現方法

と実験結果を報告する。

規化した矩形の中心を正規化中心とした。

2. 数式構文認識の概要

H=

h2× 1000h1D=

c1 − c 2× 1000h1

本節では前提となる数式構文の認識手法として、仮想リンクネットワークを用いた手法（[6][7]）について述べる。
2.1 前提条件
数式構文認識を行う際に使用する正規化サイズ、正規化中心、またそれを利用した(H,D)を定義する。
今回使う一文字認識エンジンは、複数個の候補を図 3：サイズと中心位置の比較返し、その候補毎に類似度を与えるものとする｡
また点類・アクセント記号類は最初は取り除いてこのを計算し、実際に測定した値を散布図（図 4）

構文認識を行い、全ての処理が終わったあとに適切に示す。この散布図は文字種ごとに作成した｡ほとんな場所に挿入する｡

どの場合は(H,D) をこの散布図に当てはめることで、隣接する二つの文字の関係が水平、上添え字、下添正規化サイズ(Nsize)

え字のうちいずれの関係かを区別できる。

文字はアセンダー部やディセンダー部を持つなど文字種によって大きさが違う。そのため一列に並んでいる文字列でも外接矩形のみからでは、でこぼこに並んでいるように見える｡そのため同じラインに並んでいる文字は同じ大きさを持つように補正する必要がある｡その補正された大きさを正規化サイズと呼ぶ([1])。ここでは、図 2 に示すアセンダー部分x とディセンダー部分 z をあわせたサイズ x+y+z とする。ただし xyz 比は 28:51:21 とする。これは 32 冊の雑誌、教科書から取得したデータの平均値である。
また、xyz の区別が明確でない記号については、文字の高さをそのまま正規化サイズとする。ただし、演算子については高さと幅の大きいほうを正規化サイズとする。
図 4：サイズと中心位置の散布図

2.2 同一ライン判定
数式領域においてさまざまな大きさと位置をもって並んでいる文字・記号を、同じサイズ・中心位置をもつと考えられる文字・記号のクラスに分類することを同一ライン判定と呼ぶ。ここでは、数式領域
図 2：x,y,z と正規化サイズ・正規化中心中のすべての認識候補を対象として同一ライン判定を行い、サイズとラインのラベルをつける。

正規化中心(NCenter)

同一ラインクラスへの分類には前提条件で述べた

また文字の中心に関しても同様の理由で隣り合う水平の関係にある文字どうしの散布図を用いる。各文字の外接矩形の中心の高さが異なってしまう｡そ同一ラインクラスには基準の正規化サイズと中心をれを同じ高さの中心位置を持つように中心位置を補もたせ、それと判定しようとする候補文字の(H,D)を正したものを正規化中心と呼ぶ([1])。ここでは、正計算する。(H,D) が図に示した狭領域に入るときに同じクラスとし、どのクラスにも入らないときに新イン上の候補文字と同じラインラベルの文字が添えしいクラスを作る。ただし、標準文字サイズより大字領域にあるときコストを上げる。ベースライン上きな括弧類・矢印・分数線に対しては、中心位置 Dのアルファベット類が異なるサイズラベルを持つとのみで判定をおこない、D の値が –100 〜 100 のときコストを上げる。

きに同一ラインと判定する。
判定後、同じクラスの文字に同じラインラベルをつける。また、クラスごとの基準の正規化サイズがこれらのコスト付けを行っても最小コストのものが複数存在する場合は文字認識結果の類似度の和が最も大きな数式構文木を最適な構文木とする。

小さい順にサイズラベルをつける。サイズラベルは異なるクラスであっても正規化サイズが近いクラスには同じラベルをつけるようにする。
2.3 ネットワークの構成
数式中の文字や記号のあいだに親子関係を定めることができると考え、数式全体を向きを持った木として表現する。その実現方法として、文字や記号を

3. Center-Band の取得とその利用
本節では Center-Band の求め方、および数式認識への利用法を述べる。
3.1 前提条件
Center-Band の求めるために、以下のことを条件とする。

頂点（ノード）とし、可能性のあるすべての親子関認識にかける画像は文章（数式を含む）の領係を有向辺（リンク）として持つネットワークを構域と図表の領域は分割されているものとし、成する。

本論文は文章領域のみを対象とする。

ノードは外接矩形と認識結果の候補を持っており、文章領域はブロック分割が行われている。ブリンクは（親候補、子候補、接続の種類、リンクコ

ロック分割とはヘッダやフッタのように文字スト）の組を表す。このリンクは各ノードの第一候

サイズの違うものを別のブロックに分けるこ

補と類似度の高い候補に対し(H,D)から散布図を用とである。

いて接続の種類、コストを算出して作る｡成分が一つ行の切り分けが正しく行われているとする。2でも違えばそれは異なるリンクとみなす。また、c,C行以上が混合されているものは Center-Band

や s,S のような文字は一文字認識では区別がつかなが一つではないため、対象としない。

い。そのため必ず正規化サイズが異なる同形の文字各文字は外接矩形と一文字認識の結果を持っは数式認識候補に加えるようにしている。ているとする。ただし、一文字認識の精度は2.4 無矛盾数式構文木の取得高いものとするが誤認識は含まれていてもよ

構成したネットワークから数式構文として矛盾のいとする。

ない全域木を取得する。その一つ一つを無矛盾数式一文字認識の結果を利用して、各ブロック・構文木と呼ぶことにする。ここで矛盾のない数式構

各行の標準文字サイズ(x,y,z)、および添え字文文木とは、各矩形に対し認識結果がひとつに定まっ字サイズ(x,y,z)がそれぞれ求められているとた連結な木で、矩形はそれぞれ各接続方向に高々１する。一文字認識の精度が高いことから文字つの子を持ったものである。ビームサーチを用いて数が多ければ標準文字サイズはほぼ正確に取リンクコストの合計が低い無矛盾数式構文木を複数得できるが、文字数が極端に少ないブロッ個求める｡

ク・行に関しては信頼性が低い。

2.5 大域的コストによる再評価
取得した無矛盾数式構文木に対して各矩形のリンクコストの和を木のコストとし、それに数式構文木全体の構造を反映させた大域的なコスト付けによっ画像の傾きは少ないものとする。
3.2 Center-Band の取得方法
Center-Band を取得する方法を述べる。操作は各行ごとに行う。て再評価を行い、その結果、コストが最小のものを点類・アクセント記号類は Center-Band を利用し最適な数式構文木とし、それを認識結果とする。

た方法では判定ができないので、以後無視するもの

コスト付けは以下の条件である、まず各矩形 K にとする。また、一般的に分母・分子の文字サイズは対し添え字領域の部分木の最大サイズラベルが K のベースライン上の文字サイズと同じである。そのたサイズラベル以上のときコストを上げる。ベースラ

め Center-Band を誤らせる可能性がある。それを回避するために、分数線の上下にある文字は対象外とした。

以上の方法では Center-Band を正しく得られないことがある。例えばブロック分割を誤ってしまった

画像はあまり傾いていないことが前提であるが、場合である。脚注やリファレンス等が本文と同一の現実的にはスキャニング時に傾いたり印刷状態が悪領域にあった場合、その行にはブロックの標準文字かったりと、全く傾いていない画像データを作るとサイズと一致する文字がないため、ヒストグラムがいうことは困難である。そのため、更に傾きを補正作られない。誤認識により、誤ってヒストグラムのする必要がある。その方法は後で述べることにする。

対象となる文字が現れることはあるが、それを信用以後、矩形位置は傾き補正されているとする。

しては当然 Center-Band を誤ってしまう。これを回外接矩形から Center-Band を得る

避するために、行の標準文字サイズを使用して前述

3.2.1

まず、行中の文字の認識結果と外接矩形からセンと同様にヒストグラムを作り、Center-Band を再取ター部（y）の上下の座標を y1, y2（図 5）とし、それ得する。今回の実験では再取得の条件を、ブロックぞれのヒストグラムを作る。の標準文字サイズを使ったときの対象となる文字数

ここで対象とする文字は英数字またはギリシャ文が、その行のテキストの文字数の半分以下ならば行字と認識されたものである。アセンダー部分やディうとした。ここでテキストの文字数を使った理由は、センダー部分をもつ文字の場合、外接矩形からは直テキストの半分も Center-Band の文字の対象となる接センター部の座標は分からないので、そのブロッ文字がないということは標準文字サイズの方に問題

クの標準文字サイズ xyz の値を使って推定する。

があると考えられるからで、テキストの文字数がある程度あれば行の文字サイズも信頼できるからである。
また、分数線と演算子のみからなる数式においても Center-Band を取得できない。そのようなことを想定した Center-Band の取得方法を以下のようにした。

図 5：センター部分の座標 y1, y2

また、外接矩形の高さが標準文字サイズと異なっている場合、それは文字認識が誤っている、添え字である、特殊なフォントである、等ということが考えられるが、いずれにせよヒストグラムを乱す恐れが高いので対象としない。今回の実験では、外接矩形の高さが標準文字サイズより 10%以上大きいか小さい時に対象外とした｡
得られたヒストグラムの最も大きな山となるところを Center-Band の座標として採用する。平均ではなくヒストグラムを使うことで統計的に誤認識の影響は無視される。しかし、多少のゆがみ等は吸収される必要がある。そこで各度数 kn に（n は y 座標）その行の中から最も長い分数線を探し出す。見つかればその外接矩形の bottom に標準文字サイズのセンター部 y の半分の値を足し引きし、その 2 つ値を Center-Band の上下の座標とする。ここで添え字上の分数線が候補にならないように分母・分子には標準文字サイズに近い文字が含まれていることを条件とした。今回の実験では標準文字サイズと添え字文字サイズの平均よりも大きい文字が含まれていることとした｡またこの方法はヒストグラムの対象文字が極端に少ないときにのみ行う。今回の実験では対象となる文字が 2 文字以内の場合とした。
これらによっても Center-Band が得られない場合は現在のところ Center-Band の取得は行わないこととした。その行に関してはこれ以降の処理は行わな付近の値に重みつきで足した値 k’n でヒストグラムをい。

作り直した。今回の実験ではその計算を

3.2.3

3

k n +ii = −3 i得られた Center-Band を使ってベースライン判定

k n′ = k n + ∑を行う。ベースライン上であると判定されたものにi ≠0はフラグを立てることにした。ここでは文字認識のとした。
3.2.2

Center-Band によるベースライン判定

例外的な処理結果は使わず外接矩形のみから判定することを原則とする。文字認識結果に左右されないためである｡しかし、判断が難しい場合に悪影響を防ぐためにのみ大きくコストを与えることとする。
この処理によってフラグが立っている矩形が添え使う。
各文字・記号類の外接矩形と Center-Band の上下字領域に行かないようにする。また、ネットワークの y 座標を比較する。もし外接矩形が Center-Bandの辺を削除することで組み合わせの数の増加を抑えを覆っている場合、フラグを立てる。ただし、誤差ることにも効果がある。

やゆがみ等を考慮し、ゆとりを持たせる。今回の実

3.4 傾きの補正

験では Center-Band の上から 1/9 と下から 1/7 は覆われていなくてもよいこととした。また、Center-Band に外接矩形が覆われている場合にもフラグを立てる。ただし、第二添え字等が混入することも考えられるのでいくつかの条件を科す。まず、ここで傾きの補正の方法について述べる。
まず、ある程度長い行に関して各行の傾きを求める。短い行では誤差による悪影響が考えられるためである。今回の実験ではそのブロックの幅の 90%以上の長さが必要とした。行の傾きの求め方は、以下認識結果を使って英数字・ギリシャ文字だった場合のようにした。行の両端の矩形を使ってそれぞれは標準文字サイズ、添え字文字サイズと比較し、添Center-Band を求める。実験では左右の端からブロえ字文字サイズに近ければフラグは立てない。また、Center-Band 内における外接矩形の位置があまりに上だったり下だったりしてもフラグは立てない。今回の実験では外接矩形の top が Center-Band の中心ック幅の 20%にある矩形を使用した。傾きがあれば左右の Center-Band の高さがずれている。その差をその行の傾きとする。

位置より下にある場合、bottom が Center-Band のこの90%以上上から 30%のところにある場合とした。
ここでフラグが立った矩形をベースライン上の文字とみなす。ベースライン上の文字が誤認識や接触などで正規化サイズや正規化中心がずれてしまっても、ここで拾い上げることができる。しかし、フラグが立っていないからといって必ずしも添え字であるとは限らない。特に古い文献ではしばしば図 6の対象外ような特殊なフォントが使われており、添え字でなくともこの条件でははねられてしまうからである。

両端２０％の矩形でそれぞれCenterBandを求める

図 7：傾き取得の対象
図 6：特殊な数字フォント

対 象 と な る 全 て の 行 か ら 傾 き を 求 め 、 CenterBand 取得時と同様に重みをつけたヒストグラムを3.3 数式認識への利用作る。その最も高い山となるところをブロックの傾

ベースライン判定の結果を 2 節で述べたネットワ

き s とし、それをブロックの幅 W で割ったものを傾ークの作成、無矛盾数式構文木の取得の際に利用すき係数 S とする。今回の実験では左右 20%ずつの矩る。

形を使ったため、傾き係数 S を以下の式で与える。

ネットワークを作成する際、仮に添え字としてのリンクの可能性があったとしてもフラグが立っていS=s0.8 × Wる矩形ならばそのリンクを削除する。このことによって水平な接続、もしくは自身がルートになることヒストグラムを使うため、多少傾きを正確に取れしかできない。しかし、水平に接続したとしても親ない行があっても統計的に無視される。ただし、対となる矩形が添え字となるかもしれない。そこで大象行が少なく極端に山が低い場合は、誤っている可域的コストによる再評価を行う際に、フラグが立っ能性もあるので傾き係数 S は 0 とし、特に傾き補正ている矩形が添え字上にあった場合はその部分木には行わない。今回の実験ではその閾値を度数が 1 以

下のときとした。
傾き S と外接矩形の中心 x 座標 xc から以下に示す
式によって与えられる値 C を

C = xc − x0 × S

page line Character Before
After1990 年代 832758
36810 359(0.98%) 200(0.54%)
1970 年代 882665
37395 1046(2.80%) 355(0.95%)
合計171542374205 1405(1.89%) 555(0.75%)
表 1：出版年による比較と定義し、y 座標に加えることで水平に補正されるようにした。

この結果からも分かるように、古い雑誌の方が構文解析は難しい。それは文字がかすれていたり接触

4. 実験と考察したりするため、大きさの違う文字に誤認識をおこCenter-Band の利用が数式構造解析に与える影響しやすいからである｡今回の実験から、本手法は、最について実験したので、その方法、結果と考察を述

近の文献はもちろん、ある程度古い文献に対してもべる。

強力に作用し、構造の誤りを減らすことができると4.1 実験環境いえる｡

今回の実験では、12 の論文を 600dpi でスキャンし、その画像を認識にかけた。論文誌は 1970 年代初頭のものと 1990 年代のものを使った。Center-Band↓を使用した結果、Center-Band を使用しなかった結果、の 2 つを正解と比較し、数式内での位置付けを誤った矩形の数を数えた。位置付けを誤るとはベースラインから見たリンクの深さ、種類が間違っている物の数である。以下の例（図 8）では下線の引いてある 6 つを誤りとして数える。

図 9：実験の結果

図 9は 1970 年の論文の一部である｡上が元の画像、左下が Center-Band を使用しなかった場合の認識結果、右下が使用した場合の認識結果である。ここで→
図 8：誤りの数え方

ただし点類・アクセント記号類に関しては、本手法と関係がなく数式構文解析後に挿入するという点から数値の対象外としている。
また、接触・分離が起こっている文字に関してもその位置が正しいかどうかの定義が難しいため数値の対象外とした。
4.2 結果と向上した例
実験の結果は表 1のようになった。
‘page’は認識にかけたページ数、‘line’はその行数では「｝」がかすれて二つに分離し、上部が「＼」、下部が「∫」と認識された。以前はこのような場合、「≧」は必ず上付き添え字となり、それ以降も全て添え字となっていた。それに Center-Band を利用することで強制的に添え字にならないようにし、構造の誤りを修正することができた｡
ここで最も注意すべきはこの手法による悪影響である。今回の実験では、Center-Band が原因で添え字領域のものが誤ってベースライン上になったというものは見つからなかった。
種類ごとに分析した結果を以下に示す。
数式領域ある。ただし、行切り出しを間違ったものはカウントしていない。‘Character’は数式構文解析にかかった矩形のうち比較の対象となった文字数である｡
Center-Band を使わなかった場合の位置付けを誤った矩形の数を‘Before’、使った場合の位置付けを誤った矩形の数を‘After’とし、比較した｡また、（ ）の中は Character に対する誤りの割合である｡ベースライン
添え字
数式領域合計Character Before
After36449 190(0.52%) 20(0.05%)
13961 533(3.82%) 467(3.34%)
50381 723(1.44%) 487(0.97%)
表 2：数式中の誤りの数

表 2は、数式中の矩形について正解がベースライ

また、添え字領域に関しては直接何も施してないン上である矩形と添え字である矩形に分けてカウンが、結果が向上している｡それは、今回の数え方ではトしたものある｡これより特に文字に対して大きなある矩形の位置が間違っている場合はその添え字も効果が得られたことが分かる。しかし、本手法を組間違えていると数えるので、親となる文字が正しくみ入れたならばベースライン上の矩形は全て正解と判定されることで自分自身も正しい位置にいくからなってほしいところである。なぜ誤ったか、その原である。

因は以下の二つである｡

テキスト領域

一つはフォントが特殊だった場合である｡その例を図 10 に示す。上が元の画像で下がその解析結果

テキスト領域である。「2」が小さいためベースライン判定の条件

Character Before
23825 682(2.86%)

After68(0.29%)

表 3：テキストの誤りの数からもれてしまう。それだけでは添え字になるとは限らないが、前の矩形との関係(H,D)を計算し散布図

表 3は、本来は数式ではなくテキストであるが誤に当てはめると「2」は「f」の添え字であるとなっって数式認識にかけられた矩形の数と、さらに誤ってしまう｡このような特殊なフォントへの対応が課て構造をもってしまった矩形の数である｡テキスト

題である｡

領域にも数式領域のベースライン上を同様に大きく向上が見られた｡この誤りのほとんどは特殊な数字フォントであった｡

5. まとめ
本論文では Center-Band を使うことで構文解析の精度、特にベースライン判定の精度を大きく上げることができることを示した｡
しかし、文字が少ないときなどに Center-Band が得られないことがある｡より確実に Center-Band を取得するよう改良の余地がある。また、古い文献な
図 10：フォントが特殊なため間違えた例

どに多く見られる特殊なフォントには対応していない｡何らかの方法を考えるべきである｡ これらが課

もう一つは Center-Band 自体が取得できなかった場合である。Center-Band が取れないのはブロック分割を誤り、脚注等の文字サイズの違う行が本文と同じブロックになってしまったときに起こりやすい。
文字の大きさがブロックの標準文字サイズと同じものがなくヒストグラムが取れない｡そのようなことも考慮にいれて行の標準文字サイズを使うようにしている。しかし、文字数が少ない場合や数式しかない場合は行の標準文字サイズはあまり信用できないため、今回はそのような場合は Center-Band の取得をあきらめている｡また、本文中でも文字数が少ないと誤認識によってヒストグラムが取得できずにCenter-Band が取得できないことがある。閾値や条件をゆるくすることで取得できるようになるかもしれないが、誤った Center-Band を取得しかねない｡
その調整とともに安定して行の標準文字サイズを取れるようにすることも今後の課題である。

題として残っている。
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N.MitchellOptical Character Recognition and Parsing ofTypeset Mathematics,Journal of Visual Communication andImage Representation vol 7 no. 1 (March 1996), pages 2-15.
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