電磁気学演習

2章

電位と電界の関係

ポイント
1. 電位と電界の関係
電界とは、1C の電荷を置いたときに場から受ける力であり、それはベクトルである。
電位は１C の電荷を基点からその場所へ動かすときの仕事であり、基点が定義されていないときは、無限遠点を考える。電界（ベクトル）と電位（スカラー）の関係は次のように表される。
1)電界から電位を求めるとき
対象点

𝑉𝑉 = − �基点

𝑬𝑬・𝑑𝑑𝒍𝒍

𝑬𝑬・𝑑𝑑𝒍𝒍は電界ベクトルと積分経路の接線の単位ベクトルの積であり、電界 E と積分経路の接線が角度θをなす場合は、

対象点

𝑉𝑉 = − �𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑

基点とスカラーの積分にすることができる。
2)電位から電界ベクトルを計算するとき
𝐸𝐸 = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = −∇V𝜕𝜕V 𝜕𝜕V 𝜕𝜕𝜕𝜕,,�の偏微分で表される。
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕ただし 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔V = �𝜕𝜕V𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔はグラディエントと呼ぶ。この式の𝜕𝜕𝜕𝜕 は、V を x のみを変数として、他の変数は定数として微分するという意味である。

2. 電界があるときに、その場所の電荷密度を求める。
ガウスの法則の微分系を使って求める。単位体積中の電荷（電荷密度）をρとすると、
𝜌𝜌 = 𝜀𝜀0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑬𝑬（ガウスの法則の微分形）であり、𝜀𝜀0 は空間の誘電率である。𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑬𝑬はダイバージェンス E と読み、𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑬𝑬 =𝜕𝜕𝐸𝐸𝑦𝑦𝜕𝜕𝐸𝐸𝑥𝑥
𝜕𝜕𝐸𝐸++ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑧𝑧𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕である。𝐸𝐸𝑥𝑥 は電界ベクトル𝑬𝑬の x 成分である。

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例題１ 点電荷が作る電界の式から電位を求める問題
原点に電荷 Q[C]を置いたときに、距離 r[m]の位置の電界ベクトルを答えなさい。このときの電位 V を求めなさい。場は真空を仮定し、誘電率は𝜀𝜀0 とする。

点電荷の作る電界の式は、
𝑄𝑄

𝐄𝐄 = 4𝜋𝜋𝜀𝜀 𝑟𝑟2 𝒓𝒓�0である。電位 V はｒV=− ∫∞ｒ 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝒓𝒓�・𝑑𝑑𝒓𝒓 ＝ − ∫∞𝑑𝑑𝑑𝑑 =4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑟 24𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑟 24𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑟ともとられる。𝒓𝒓�・𝑑𝑑𝒓𝒓であるが、𝑑𝑑𝒓𝒓は経路積分の積分要素で、大きさは１、𝒓𝒓�とは同じ方向なので、内積をとると１になる。

例題 2 点電荷が作る電位の式から電界ベクトルを求める問題
点電荷 Q がつくる距離𝑟𝑟の位置の電位は𝑄𝑄
V = 𝜀𝜀 𝑟𝑟 で表される。
4𝜋𝜋 0

位置ベクトル𝒓𝒓 = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)、𝑟𝑟 = �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 とおいて、電界 E を求めよ。

点電荷の作る電界の式が導かれる。

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕,,�𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑬𝑬 = − �を計算すればよい。

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑄𝑄 𝜕𝜕1=�𝜕𝜕𝜕𝜕4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝜕𝜕𝜕𝜕 � 2 2

したがって、
𝑬𝑬 =𝑥𝑥 +𝑦𝑦 +𝑧𝑧2𝑄𝑄−𝑥𝑥� = 4𝜋𝜋𝜀𝜀3/20 �𝑥𝑥2 +𝑦𝑦2 +𝑧𝑧2 �となる。

𝑄𝑄
𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧�,,�
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 (𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2 +𝑧𝑧 2 )3�2 (𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2 +𝑧𝑧 2 )3�2 (𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2 +𝑧𝑧 2 )3�2と求められ、𝒓𝒓� = �
𝑬𝑬 ==

𝑥𝑥

�𝑥𝑥2 +𝑦𝑦 2 +𝑧𝑧 2,𝑦𝑦�𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2 +𝑧𝑧 2𝑄𝑄𝒓𝒓� と求められる。
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑟 2,𝑧𝑧

�𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2 +𝑧𝑧 29� より、

例題 3 線積分に慣れる
次のように、距離が 1ｍ離れた平行平板に図のように電位がかけられている。電界ベクトル E は（-1, 0, 0）で与えられる。線積分を使って右の平板の電位が 1 V になることを確かめなさい。

y計算のため図のような x-y 座標を考える。原x(0, 0)(1, 0)

点から座標(1, 0)までの線積分を計算する。
1𝑉𝑉 = − ∫0 𝑬𝑬 ∙ 𝒅𝒅𝒅𝒅

積分経路は、x 軸と平行なので、微小積分要素

1V0Vを𝒅𝒅𝒅𝒅 とする。太字でベクトルである。・は内積を表す。内積はなす角度をθとすると、スカラーと cosθの積になる。

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1𝑉𝑉 = − ∫0 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸θ𝑑𝑑𝑑𝑑 = − ∫0 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸(180°)𝑑𝑑𝑑𝑑=∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 （答え）

この式において、電界ベクトルと積分方向が正反対なので、角度は 180°になることに注意する。
例題 4 例題３の問題で(1, √3)の位置の電位を計算し、同じ１V になることを示しなさい。

図のように積分経路 l を定める。

y
積分経路 l(1, √3)x

す角度は 120°なので、22𝑉𝑉 = − ∫0 𝑬𝑬 ∙ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − ∫0 |𝑬𝑬|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑 =212= − ∫0 cos(120°) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫0 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 (答え）
2(0, 0)0V

積分経路の距離は 2 で、電界ベクトルとな

1V※ミニ解説 このように二点間の電位差が等しいときに、どのような積分経路をとっても計算される電位差は同じになる。当たり前の結論だが、あえて練習のために出題した。

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例題 5 図のように、点 A に Q[C]、点 B に 2Q[C]が 2[m]離れて置かれている。このとき点 P における電位 V を求めよ。

AB
11P
電位は、電荷の大きさと電荷とその場所との距離できまる。AP の距離は 2、BP の距離も２である。
P 点の電位は𝑄𝑄4𝜋𝜋𝜀𝜀0 ・2となる。

例題 6+2𝑄𝑄

4𝜋𝜋𝜀𝜀0 ・2=3𝑄𝑄
8𝜋𝜋𝜀𝜀0[V]

位置ベクトル𝒓𝒓 = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)と表されるとき、その大きさ r および単位ベクトル𝒓𝒓�を求めよ。さらに、このベクトルの発散 div r 求めよ。

𝑟𝑟 = �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 である。
𝑥𝑥𝒓𝒓� = ��𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2 +𝑧𝑧 2,𝑦𝑦�𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2 +𝑧𝑧 2,𝑧𝑧

�𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2 +𝑧𝑧 2�となる。div 𝒓𝒓 は∂r∂r𝑦𝑦∂r

div 𝒓𝒓 = ∂𝑥𝑥𝑥𝑥 + ∂𝑦𝑦 + ∂𝑧𝑧𝑧𝑧∂𝑟𝑟である。これは偏微分といい、 ∂𝑥𝑥𝑥𝑥 は x 以外の変数は定数とみなして、𝑟𝑟の x 成分を x で微分とするという意味である。
∂r𝑥𝑥
∂𝑥𝑥

∂r𝑦𝑦∂r= 1 , ∂𝑦𝑦 = 1, ∂𝑧𝑧𝑧𝑧 = 1より、

div 𝒓𝒓＝311

例題 7 図のような半径 a[m]の球の表面に均一に電荷が帯電しており、その量は Q[C]である。このとき、半径 r の位置での電界の強さは、𝐸𝐸 = �0 < 𝑟𝑟 < 𝑎𝑎0𝑄𝑄4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑟 2𝑟𝑟 > 𝑎𝑎であらすことができる。𝜀𝜀0 は場（真空）の誘電率である。このときの電位を𝑟𝑟の関数として求めよ。

無限遠点を基点に、経路積分を行えばよい。
𝑟𝑟 > 𝑎𝑎では

ｒ𝑉𝑉＝ − ∫∞𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑑𝑑𝑑𝑑 =4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑟 24𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑟0 < 𝑟𝑟 < 𝑎𝑎 では、0𝑎𝑎𝑄𝑄𝑄𝑄

𝑉𝑉＝ − ∫𝑎𝑎 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 − ∫∞ 4𝜋𝜋𝜀𝜀 𝑟𝑟2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝜋𝜋𝜀𝜀 𝑎𝑎00

ここで、𝑟𝑟 > 𝑎𝑎と0 < 𝑟𝑟 < 𝑎𝑎で電界の関数が変わるので、積分経路を二分割して求めることに注意する。

※ミニ解説 電位を電界から計算で求めるときに、必ず電位の基準、すなわち線積分の基点を与える必要がある。この基点は、アースであり、電位０V の地点である。電磁気学では、この電位の基点が与えられていないときは、暗黙で無限遠点を基点とする。

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