ヘルスサイエンス・ヘルスケア

Volume 5，No.1（2005）

歯科疫学統計−第3報 重回帰分析、多重ロディスティック回帰分析モデルの適合度判定指標の解釈−−SPSS，STATAの利用に際して−
瀧 口徹

A review of oral epidemiological statistics−Part III：Interpretation of various goodness of fit indicators for the Multiple Regression Model and Multiple Logistic Regression Model．−−When using the statistical software SPSS and STATA−
Toru Takiguchi
要旨：統計学的モデル解析においては実際値とモデルによる予測値との誤差が可能な限り小さいこと、すなわち適合度（goodness of fit）が高いことが必須条件であることを前報で解説した。しかし適合度を計測する指標は多数あることと統計ソフトウエアー間で往々にして採用指標や表現法が全く異なる
ためユーザが混乱する可能性がある。そこで第 3 報では数多の多変量解析法の中で利用頻度の点で双璧である重回帰分析： MRA と多重ロディスティック回帰分析： LRA の各種適合度判定指標を代表的な統計解析ソフト SPSS13.0J と STATA8.2 の出力に沿って解説した。MRA においては決定係数： R2、一元配置分散分析、Durbin − Watson 統計量および VIF ：分散拡大係数（許容度）を解説した。LRA
においては擬 R2 ： Cox ＆ Snell の R2 と Nagelkerke のR2、Hosmer とLemesshow の検定、Omunibus 検定、変数選択法の最大対数尤度による方法と Wald 法の比較、AIC ： Akaike's Information Criterion、および
deviance ：デビアンスの各指標を用いた適合度判定の概念と使用法を解説した。関連で LRA については odds 比の計算法を合わせて解説した。さらに理解を容易にするため「歯科医師 10 万比」と「住民 1 人当たり月額歯科保険医療費」および「歯科診療所当たり月額保険収入」との関連を事例として用いた。この結果、MRA でも LRA でも前者は歯科医師 10 万比が増加すると増加する傾向が、後者はその逆に減少する関係が交絡因子を調整しても高度に有意であった。また閾値を境にデータを 2 区分して LRA を用いて計算された odds 比によって要因の重みがより明確になることが示された。
キーワード：重回帰分析、多重ロディスティック回帰分析、モデル適合度、−2対数尤度、AIC
はじめにり厳格な統計分布への適合を統一的に行う一般化

第 1 報 で各種統計分布の特徴と利用に際して線形モデル： GLIM3）の概念と実例を通して利用の注意点について概説し、第 2 報 2）においてはよの要点について概説した。第 3 報では第 1 報で示1）したように利用頻度の点で双璧 1）である重回帰モ
デル、多重ロディスティック回帰モデルに絞って【著者連絡先】〒 341-0003 埼玉県三郷市彦成3-86
深井保健科学研究所
主席研究員 瀧口 徹
TEL&FAX：048-957-3315
E-mail： taki8020@mth.biglobe.ne.jp

この使い分けと代表的な統計ソフトである
SPSS13.0J および STATA8.2 に用いられている各種適合性指標の解釈と利用の実際について解説する。なお、利用の実際では解析結果の理解を深める意図から「都道府県単位でみて歯科医師 10 万比― 35 ―

歯科疫学統計−第 3 報重回帰分析、多重ロディスティック回帰分析モデルの適合度判定指標の解釈−と住民の歯科医療費および歯科診療所の保険収入し背景に社会経済学的な交絡因子（confoundingとの関係」を事例とした。

factor）があって現象が実際以上に強調されているかも知れないし、またその逆にもっと強い関係が１．事例のプロフィール

あるが背景因子の影響で見かけ上弱められている

図 1 は 47 都道府県の住民 1 人当たり月額歯科保かも知れない。これを確かめるためには多変量解

険医療費の分布を示す。全国加重平均値は月額 1，析の手法を用いて交絡因子の調整を行う必要があ

619 円である。ただしこの金額は公費負担を含んる。図 3 は 47 都道府県の歯科診療所当たり月額保だ総額であり窓口で支払う治療費（dental fee）で険診療収入（2004 年 6 月分）の分布を示す。全国はない。直接医療機関の窓口で支払う治療費だけ

加重平均値は月額 310 万円である。ちなみに 2 年

ではなく保険料であっても税金からであっても医ごとの医療経済実態調査によると個人経営の歯科療費は全て元をたどれば国民が負担していること

診療所の場合このうちの約 30 ％強が収支差額になを基礎においた指標とした。図 2 は都道府県の歯りその額は月額約 100 万円となる。図 4 は都道府科医師 10 万比と住民 1 人当たり月額歯科保険医療

県歯科医師 10 万比と歯科診療所当たり月額保険診費との関係を示す散布図である。相関係数： r は療収入の関係を示す散布図である。相関係数： r0.759（P ＝ 0.000）であり両者の関係は一見して相は− 0.800（P ＝ 0.000）であり歯科医師 10 万比が当強い直線的関係があることが推定される。しか増加すると歯科診療所収入が減少する関係は相当

図147 都道府県の住民 1 人当たり月額歯科保険医療
費の分布

図3

都道府県歯科医師 10 万比と住民 1 人当たり月額
歯科保険医療費

図447 都道府県の歯科診療所当たり月額保険診療収
入の分布

図2

都道府県歯科医師 10 万比と歯科診療所当たり月額保険診療収入― 36 ―

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表 1 都道府県特性因子分析（バリマックス法）結果

強い直線関係があることが推定されるがこれも同

Ⅰ．MRA ：重回帰分析

様に交絡因子の調整を行ったうえで解釈する必要衢）R2 ：決定係数がある。そこで都道府県別の各種社会経済学的指衫）one-way ANOVA ：一元配置分散分析

標を交絡因子の候補とし、具体的には表 1 に示す袁）Durbin-Watson 統計量

ように社会経済的な 39 指標

4）衾）VIF ：分散拡大係数、許容度を用いて因子分析

Ⅱ．LRA ：ロディスティック回帰分析（バリマックス直交回転）を行い固有値≧ 1 の通法
で 8 因子を得た。8 因子（Factor1 〜 8）それぞれの衢）擬R2 ：Cox＆SnellのR2 とNagelkerkeのR2

性格については表 1 を参照されたい。直交回転に衫）Hosmer とLemesshow の検定

よる因子分析によって標準化された 39 指標の全分袁）Omunibus 検定

散 39 のうちの 84.1 ％を互いに無相関（r ＝ 0）な 8

衾）最大対数尤度（変数選択）因子で説明できることを意味している。これら 8

尤度、対数尤度、−2対数尤度、因子の因子得点と歯科大学の有無を加えた 9 変数

log likelihood袞）Wald 検定（変数選択））

を交絡因子の候補として解析に使用した。

衵）odds 比、exp（B）
2．適合度（goodness of fit）に関する指標

衽）AIC ：Akaike's Information Criterion

代表的な統計ソフトである SPSS13．0J および袵）deviance ：デビアンス

STATA8．2 の重回帰分析（以下、MRA）と多重
3．適合度に関する指標の解説

ロディスティック回帰分析（以下、RLA）で用いられている各種の適合度判定指標（odds 比以外）

Ⅰ．MRA ：重回帰分析

は下記のとおりである。これらを順次解説する。

衢）R2 ：決定係数― 37 ―

歯科疫学統計−第 3 報重回帰分析、多重ロディスティック回帰分析モデルの適合度判定指標の解釈−

MRA の適合度指標を理解するには単回帰分析を示した。数理的に SST ＝ SSR ＋ SSE の関係があにおける適合度を図形的に理解することが近道でるので両辺を SST で割ると SSR ／ SST の項が出てある。図 5 は各点から y 軸に平行な回帰直線までくるがこれが決定係数： r2 であり、回帰直線と各の距離の二乗の総和、すなわち最小二乗法（The

点間の偏差の二乗値を各点と平均値からの偏差のleast squares method）で回帰直線が求められること

二乗値の比である。この比の意味は回帰直線にを表している。ここで重要なことは直線回帰に限よって全体のバラツキのどのくらいが説明できる

らずあらゆる曲線回帰においても（実際値と予測かを表しており、仮に全ての点が直線上に乗って2

値の差） を最小とすることが適合度を最大にすいれば 1 となる。一方、SST ＝ SSR ＋ SSE の両辺をることと同義であるということである。SSE は残SSE で割ると SSR ／ SSE の項が出てくるがこれが差平方和（誤差平方和）と呼ばれる。図 6 は自由度（p ：説明変数の数、n ：例数− p −1）の F

SST ：「全体の平方和」を示し各点と y の平均値分布する。これが回帰直線の分散分析に用いられ間の差の二乗をΣしたものである。次の図 7 はる F 値である。従って回帰直線の決定係数（寄与SSR ：「回帰による平方和」を示し回帰直線（各率）： r2点の x 値に対応する y 値）と平均値間差の二乗を意味を持っている。ここで調整済み（修正済み）

Σしたものである。表 2 に SST、SSR、SSs と決定決定係数は表 3 の注 1 に示すようにデータ数： N

2（または R2）と F 値は極めて近似したと説明変数の数： p によって決まりデータ数が少

係数： r および回帰直線の分散分析の F 値の関係

図 7 直線回帰の適合度判定−回帰による平方和−
図5

直線回復適合度判定−残差平方和と最小 2 乗法−
表 2 回帰直線における相関係数： r2 と F 値（分散分布）の関係

図 6 直線回帰の適合度判定−全体の平方和−― 38 ―

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なく説明変数が多い場合に精度を低めに見ること衫）one-way ANOVA ：一元配置分散分析になる変換である。例えば決定係数： R2 ＝ 0.64 で分散分析（F 分布）は概念が高尚にもかかわら説明変数の数： p ＝ 10 と同じであってもデータ数ず汎用性が高く様々なところで使われるため時にが 100 と 20 とでは前者の調整済み R2 は 0.60 なのにユーザの混乱を招くことがあるようである。例え対し後者は 0.24 と非常に小さくなり大きな差が出ば step-MRA において変数選択の基準として用いる。なお、重回帰式を予測モデルとして用いる場

られる Fin、Fout は分散分析による F 値であり、回合は一般に重相関係数： R は 0．7 以上あることが帰直線の有意性をみるのも分散分析である。要は目安となる。この理由は決定係数× 100 がほぼ

特定の種類の分析に分散分析が登場すると考える

50 ％となることに起因している。一方、要因分析

より分散が分割されて分母と分子にある指標（＝モデルの場合は、R の絶対値が大きいことは要因

偏差平方和が分母と分子にある指標）は F 分布す分析モデルの説明力が高いことを意味して好ましる、つまり分散分析であると考えるといい。衢）いことであるが測モデルのように 0.7 以上が必要

で解説（表 2）したように回帰直線の分散分析のという目安はない。

F 値は SST ＝ SSR ＋ SSE の両辺を SSE で割った式の事例：

1 つの項である SSR ／ SSE が F 分布することを利用

表 3 に、住民 1 人当たり月額歯科保険医療費

して回帰直線の適合度を判定している。

（以下、「歯科医療費」）を目的変数とする段階式

事例：

重回帰分析（以下、step-MRA）を Fin ＝ 2.00、Fout ＝ 1.99 の通法で行った結果を示す。

「歯科保険収入」を目的変数とした step-MRA
によって表 4 の 3 指標が選択されたがその回帰直この例では選択された説明変数の数が 5 個と比線の適合度を示す分散分析結果を表 5 示す。F 値較的多いため R ＝ 0.8257、決定係数： R2 ＝ 0.6818、調整済み R2 ＝ 0.6429 となっている。この解釈は調表 4 歯科診療所当たり月額保険収入の減少要因分析

整済み決定係数により全体の平方和のうち 64 ％が回帰直線で説明できることを意味している。これに対し表 4 の歯科診療所当たり月額保険収入（以下、「歯科保険収入」）の場合 3 つの変数が選択さ
れ R ＝ 0.8484、決定係数： R2 ＝ 0.7197、調整済み
R2 ＝ 0.7002 となっている。いずれの分析においても「歯科医師 10 万比」は高度に有意であり見掛けの現象ではないことが確認された。

表5

表3 住民1人当たり月額歯科保険医療費の増加要因分析― 39 ―

重回帰分析の分散分析表（一元配置 ANOVA）

歯科疫学統計−第 3 報重回帰分析、多重ロディスティック回帰分析モデルの適合度判定指標の解釈−

は回帰と残差それぞれの平方和を自由度で割った

なくなるであろう。こうした場合、決定係数： R2

平均平方の比であり自由度（3,43）の F 表から有や F 値が過大に評価される恐れがある。DW 値は意性を判定している。結果は F ＝ 36.805（p ＝正の内部相関があると 0 に近づき負の場合は 4 に0.000）で高度に有意であり適合度は満足すべきも近づく。誤差が「互いに独立」であると、すなわのと言える。ここで有意確率を小数点以下 14 桁でち正規分布の前提が保障されると 2 に近接する性

みてみると表 5 示すように僅差であるが最も有意質を持つ。DW の有意性まで言及する報告は比較確率が良好なのは変数が 2 つの場合であることが的少ないが厳密な使い方としては DW の検定表 5）わかる。このように step-MRA における分散分析（note 参照）から dL と dU を求め図 9 に示す基準では最終モデルが最も有意性が高いというわけでは判定すればよい。

ない。すなわち F 検定は最適モデルを選択するた

なお、誤差（実際値と予測値の差）がガウスがめではなくあくまでも変数増減法によって得られ発見した誤差分布すなわち正規分布すると仮定すたモデルの精度を評価している。また後述するよるか否かによって分析法が大きく異なる。MRA

うに F 値では「実際値と予測値の差」が正規分布の場合は正規分布を、LRA の場合はロディス

して MRA の前提を満たしているかということ、

ティック分布を仮定するというように仮定する分

また変数間に多重共線性（collinearity, colinearity）

布ごとに尤度計算法 3）（後述）が異なる。この点が存在しないかということはわからない。

を厳密処理しようというのが GLIM 法である。

袁）Durbin-Watson 統計量
表 3、表 4 の上部右端に Durbin-Watson の検定（以下、DW）結果が示されており「歯科医療費」の分析では DW ＝ 1.6525、「歯科保険収入」では
DW ＝ 2.0086 であるがそれぞれ何を意味しているのであろうか。これを理解するには重回帰モデルの構造をみる必要がある。
重回帰モデル：Yj＝β0＋β1X1＋β2X2＋β3X3＋…＋βpXpj ＋ε j（j＝1，2，3，．
．
．n）において最後部のεjが残差である。重回帰モデルの最も重要な前提はデータが連続量であれば残差

図8

歯科診療所当たり月額保険収入モデルの標準化
誤差（実際値−推定値）の分布

が平均値 0、分散がσ 2 の正規分布に従うことである。このことは残差ε 1，ε 2，ε 3．．．．ε n が互いに独立（＝ランダム）であるということと同義である。この残差が互いに独立であるかを確かめるのが DW テストである。このことを最も注意すべ
き種類のデータとしては時系列データがある。例
えば、ある銘柄のビールの売り上げが経年的に線形の有意の上昇傾向を示したとしてもビールの売り上げに季節変動や趨勢変動（時代効果）があれ
ば残差間には相関関係（内部相関）が生じる。季節変動であれば夏に近づけば前の月より売り上げは上昇し、冬に近づけばその逆の関係が出て誤差

図9

Durbin-Watson 統計量： DW による自己相関の検定法は近接するデータとの関係が「互いに独立」では― 40 ―

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事例：

Volume 5，No.1（2005）

DW ≦4である。

「歯科保険収入」の step-MRA を例にとると表 4

なお、DW 検定表を掲載している統計学参考書に示すごとく DW ＝ 2.0086 と理想的な値を示しては少ないのでもし手元に無ければ巻末の参考いる。これを視覚的に確認したのが図 8 である。

Web-site WS01 からダウンロードするとよい。

ここに示した標準化された誤差の分布（左図）は衾）VIF ：分散拡大係数

データ数が 47 と比較的少ないので頻度の乱れはあ

VIF ： Variance Inflation Factors6）は分散拡大係数

るが正規性が高い。また観測値の累積確率を x 軸とよばれ多重共線性（Multi-collinearity）を検出すに期待値の累積確率を y 軸にとった XY プロットる指標である。また許容度（torerance）は VIF のである P-P プロット（右図）も各データが 45 度の逆数であり例えば VIF ＝ 2 のとき 許容度＝ 0.5 と直線上に概ね配置されている。それでは DW が 2なる。以下に多重共線性の現象、原因、問題点おからかけ離れた値をとった場合にはどうなるであよび対策を示す。

ろうか。表 6 は目的変数を「住民 1 人当たり月額

現 象：

医科保険医療費」とした step-MRA の結果表であ①多重共線性がある変数の一方が極めて大きなるが DW ＝ 1.2697 で表 6 下部に示す判定法により値（inflation の言葉を用いる所以）になり、他正の自己相関が有意の事例である。本事例を図示

方が逆に極めて小さな値になり、データの僅かした図 10 と図 8 を比較すると DW の意義が理解しな増減に対して係数が大きく揺れ動き不安定にていただけるであろう。

なる。

注）

②標準化係数絶対値の異常な大きさに比して t2

2

DW ＝Σ（ui − ui − 1） ／Σ ui （分子のΣは i ＝値が小さいという異常現象が起きる③目安は VIF 値が 10 以上となる場合とされる。

2 から n、分母のΣは i ＝ 1 から n）で表され 0 ≦原
表6

誤差の正規性の確認（Durbin-Watson 統計量の見方）

因：説明変数間の高い（内部）相関関係によって回帰係数の計算アルゴリズムの行列式が0となり計算不能になるため生じる。
問題点：
見かけ上高い重相関係数や他回帰係数値が常識的に得られるので気づかないで潜在化し易い。
対 策：
多重共線性を示す 2 変数のうちどちらか一方を

表7

図 10 モデルの誤差が正規分布しない場合の例（住民
1 人当たり月額医科保険医療費）― 41 ―

VIF による多重共線性の検出と対策例

歯科疫学統計−第 3 報重回帰分析、多重ロディスティック回帰分析モデルの適合度判定指標の解釈−

表8

説明変数から外す。

Cox&Snell の R2 と Nagelkerke の R2

事例：
表 7 に多重共線性のため VIF が 8500 〜 9000 にもなる極端な例を示した。総医療費と医科医療費の係数がそれぞれ-6891 と 7777 と正負に分かれてかつ極端な絶対値が近似した値を示しており、しかも有意でない。この原因は両者の相関係数が r ＝0.999850 とほぼ 1 であることに起因している。多衫）Hosmer とLemesshow の検定

重共線性を示す 2 変数のうちどちらか一方を説明
変数から外すのが対策であり一般には目的変数とHosmer and Lemeshow's Goodness of Fit Test（以下、の相関が高い方を残すのが合理的であるが、このH-L 検定）と呼ばれ 1989 年に開発されたモデルの場合は「歯科保険収入」は総医療費の一部を構成

適合度判定法である。特徴は以下のとおりである。

しており分析のルール違反の様相があるので直接①データ値が少なく点在（sparse）する場合、関係がない医科医療費を残している。その結果

deviance 差や Peason のχ 2 による近似が悪くなる

VIF は 5.078 と多重共線性の目安である 10 を下回

が H-L 検定はこのような場合の適合度判定としり許容範囲になった。ただし、VIF ≦ 4 を目安とて用いられる。

しているマニュアルや研究が散見されるので実際②データ値の大小から 10 前後の群に分割し、判には 4 以下を目安とすることがより安全であろう。

別区分ごとの各群における観測値と期待値の差に対して自由度＝分割数-2 のχ 2 検定を行う。

Ⅱ．LRA ：ロディスティック回帰分析
22③目的変数の実際値と予測値に差が無いという
2衢）擬 R ： Cox ＆ Snell の R と Nagelkerke の R

棄無仮説検定であり p ＜ 0.05 の場合は差あり、

2

これらの R は線形式において通常使われるすなわちモデルの適合度は悪いという結論にな

Pearson の積率相関係数の二乗値である R2 に似せる。有意差がないと適合が許容（acceptable）さて LRA 非線形式に使えるように開発されたものでれる。しかし例えば p ＝ 0.06 で有意でないからある。その特徴は以下のとおりである。

といって即モデルの適合度が満足すべき状況だ①重回帰分析： MRA における決定係数： R 2と言っているわけではなく、あくまでも許容なに似せて（imitate）作られた総計指標で尤度ので注意する必要がある。むろん p が大きいほ（likelihood）に基づいて計算される。従って使ど適合度が良いことを意味する。また例数が少い方も MRA と同じ扱いをして差し支えない。

ないと差の検出力が弱い。

2事例：

擬（pseudo）R ともいわれる。
② Nagelkerke の R2 は Cox ＆ Snell の R2 を変形して表 9 に「歯科保険収入」を目的変数とした LRA

とりうる値の範囲を 0-1 にすることにより線形式の R2 にさらに似せたもので扱いやすい。この

表9

ため Nagelkerke の R2 は Cox ＆ Snell の R2 より通常大きくなる。
事例：
表 8 に「歯科保険収入」を目的変数とする LRAの結果のうちの擬 R2 を示す。Nagelkerke の R2 に基づくと本モデルの回帰による分散は全分散の81.09 ％を説明できることを意味している。
― 42 ―

Hosmer と Lemeshow の検定ヘルスサイエンス・ヘルスケア

Volume 5，No.1（2005）の H-L 検定結果を示す。変数減少法でステップご

MRA の項の表 5 に示した MRA の分散分析結果ととにχ 2 値による有意確率が増加していき 3 変数が同様に最終ステップが最も適合が良いわけではな

残った最終の第 9 ステップにおいて p ＝ 0.964 にない。

り本モデルの適合度が極めて高いことを示してい衾）最大対数尤度による変数選択および袞）Wald 検定による変数選択

る。
袁）Omunibus 検定

ここでは LRA モデルの適合度を決める核心部分

本検定の特徴は以下のとおりである。

にある変数選択法を SPSS の利用を主体に解説す①線形モデルの有意性判定の分散分析法：る。なお関連語である尤度、最大（対数）尤度、

ANOVA に相当する検定法で非線形モデルにおlog likelihood、deviance のキーワードとしての説明

いて ANOVA と同様な扱いの検定ができる。

は第 2 報 2）を参照していただきたい。ここでは②定数項のみのモデルと変数を加えたモデルの-2 対数尤度および Wald 検定の追加説明をする。

尤度（likelihood）を比較しχ 2 検定で適合度

LRA における変数選択法は SPSS の場合、強制投（goodness of fit）を判定する。この検定の場合は入法、変数減少法または変数増加法（条件付、ANOVA と同様に p ＜ 0.05 の場合にモデルの適Wald、尤度比）の 7 種類がある。これらのうち強合度が高いことを意味する。

制投入法は変数選択法ではない。また「条件付」の方法は標本数に比してパラメータが多い、場合

事例：
表 10 に「歯科保険収入」を目的変数としたや例数が少ない場合に用いる特殊な方法 7）でありLRA の Omunibus 検定結果を示す。3 変数が残った

一般には他法と同様な結果を得るのでここでは省最終の第 9 ステップにおいて p ＝ 0.000 になり本モ略する。本項では最も一般的な方法である変数減デルが極めて高い適合度になることを示したが、少法：尤度比と変数減少法： Wald の 2 つを解説する。
方法 1：「変数減少法：尤度比」による方法

表 10 モデル計数のオムニバス（Omnibus）検定（＝deviance 差による方法）① SPSS の logistic 分析の 7 つの変数選択法のうちから「変数減少法：尤度比」法を選択する。本法は結果出力表にある「-2 対数尤度の変化」を用いた選択法である。
②変数入出力基準を設定する。（例えば通法では変数投入の有意確率 p ＝ 0.15、除去 p ＝ 0.16、
これは MRA における Fin ＝ 2.00、Fout ＝ 1.99 の有意水準に相当する）

注1）SPSS の「-2 対数尤度の変化」による方法は STATA の deviance 差による方法と呼び方が違うだけで全く同じである。余談であるが同じ解析法でも統計ソフト間で使用する指標や呼び方が相当異なっているのが現実である。統計学にもまた統計ソフト開発に関しても様々な流派があることは仕方ないにしても最終的にユーザの理解を妨げたり混乱させていることは改善されるべきであろう。ここで、SPSS の尤度比による変数選択法の優れた点は結果表のうち「項を削除した場合のモデル」で示されるとおり各ステップで相互比較、すなわち全ての変数を一つづつ削除したモデルを比較した上で最も d「-2 対数尤度の変化（＝ deviance 差）」が小さくなる変数を削除しているので単純な変数減少法ではない。
注2）本法はモデルを構成する個々の変数ではなくモデル全体の尤もらしさ（尤度： likelihood）を最大にする方法である。
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歯科疫学統計−第 3 報重回帰分析、多重ロディスティック回帰分析モデルの適合度判定指標の解釈−

表 11 住民 1 人当たりの月額歯科保険医療費の大小に係わる要因分析

③各説明変数の「-2 対数尤度」値の自由度 1 の2

χ 検定による「変化量の有意確率」が最も低いものから逐次変数が除去されていく。
④「変化量の有意確率」が②変数入出力基準に収まると計算が終了する。
方法 2 ：「変数減少法： Wald」による方法① SPSS の logistic 分析の「変数減少法： Wald」
法の Wald の有意確率による方法を選択。
②変数入出力基準を設定する。
②各説明変数の Wald 値が最小になるものから逐次変数が除去されていく。
③ Wald 値の有意確率が②変数入出力基準に収まると計算が終了する。

表 12 歯科診療所当たりの月額保険診療収入の大小に係わる要因分析

事例：
表 11 と表 12 に「歯科医療費」と「歯科保険収入」をそれぞれ目的変数として-2log likelihood を用いた変数減少法：尤度比による LRA 分析結果を示す。係数選択の有意水準は p ＝ 0.15、除去 p ＝0.16 である。表 11 の「歯科医療費」については歯科医師 10 万比のみが p ＝ 0.002 で選択され表 3 に示
す step-MRA の結果が 5 変数を選択したのに比較し表 13 logistic 回帰分析はどんな場合に使うかて非常にシンプルな結果となっている。表 12 の「歯科保険収入」では主因の歯科医師 10 万比とFactor2 は変わらないが他は入れ替わる。しかし歯科医師 10 万比以外は p ＜ 0.05 の水準を満たしておらず図 2 および図 4 は見掛けの現象ではないという仮説の検証に関してメリハリがつく。ここでMRA との比較で LRA をどういう場合に選択する
かの目安を表 13 に示す。本事例はケース 4 の場合であるが、臨床領域ではケース 3 に該当する事例が多いであろう。例えばある要因と最高血圧との注1）SPSS の Wald 値による方法は STATA の Z 値による方法と同義であり変数選択順序が同じになるが Z 値は B/SE（係数／標準誤差）が標準正規分布にすることに基づく確率計算を行うが狭義の Wald 値は（B/SE）2 が自由度 1 のχ 2 分
布することを用いて確率計算する違い 7）がある。従って有意性の判定に微妙な違いがでることがあるが両者は基本的には同一のものであるからいずれもWald検定と呼んで差し支えない。
注2）本法はモデル全体ではなくモデルを構成する個々の変数の有意性を確保することを主眼とした方法である。また計算が複雑な尤度比による方法の代用 7）としての意味が大きい。
注3）方法 1 と方法 2 は変数の減少の基準指標と方法が異なるので結果も微妙に異なる場合がある。ステップごとに対象となる変数を1つづ外して比較している方法1 の方が優れているのは言うまでもない。

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Volume 5，No.1（2005）

関係が MRA で相関が高く高度に有意であってもる。無論一般的には 1 本では比較の単位として妥

その要因への対応がどのように必要かが臨床的に当でなく 10 本か 20 本が妥当であろう。次に 95 ％要求される。この場合最高血圧を高血圧とそれ以信頼区間（信頼限界）の計算に用いる 1.96 は t 分

下に 2 区分して LRA を適用することにより要因の布において自由度∞のときの両側 5 ％になる t 値

臨床的重みが判定できる。このように LRA は意志（1.95996）であり、厳密には自由度の大きさによ決定理論と極めて関連性が強い統計手法である。

り t 値が変わるのに合わせて変化させなければな衵）odds 比、exp（B）

らないが自由度に関係なく 1.96 を用いて計算されodds 比はモデルの適合度を判定する指標ではなることが通例である。なお、odds 比の有意性の簡

いが LRA の結果において中核的役割を果たすので便な見方として odds 比が有意であれば 95 ％信頼

解説することとした。ただし、基礎的な odds 比

区間は 1をまたがない。

（優比）の意味と解釈上の注意点については著者

事例：の総説 8）において相対危険度との関係で解説して

表 11 の例では単位を 10 とすると上式から odds

いるので参照いただきたい。ここでは LRA におけratio ＝ 5.474 95 ％ CL ＝ 1.900 − 15.775 となる。解る odds 比の計算と活用に留めて解説する。LRA は

釈は「歯科医師 10 万比が 10 上昇するごとに住民 1

ロディスティック分析の係数： B から簡単に odds

人当たりの月額歯科治療費が大の群に属する odds比が計算できる利点がある。その計算式は比は 5.474 倍となり、95 ％信頼区間は 1.900 から（k×（B））

Odds比＝自然対数の底：e15.775 倍」となる。

＝exp（k×（B））

なお、歯科医師 10 万比が 40 から 50 になっても、95 ％信頼区間（下限−上限）＝ exp（k ×（B ± 1.96 × SE））

90 が 100 になっても変化量の単位が同じであればである。ここで exp は exponential（指数関数）のodds 比は同じである。一方、表 12 の例では odds

略語であるが exp（x）は Excel などで一般的に自比および 95 ％信頼区間が 0.578（0.402 − 0.832）で然対数の底： e（＝ 2.71828）の x 乗を表す関数で高度に有意であり解釈は「歯科医師 10 万比が 1 増ある。SPSS の LRA においては exp（B）は odds 比

加すると収入大群（保険診療の月収 310 万円以上）であるが単位： k ＝ 1 の場合の odds 比であることに属する odd 比が 0.578 倍となる」となるがこの場に注意する必要がある。すなわち k が 1 でないと合は倍率が 1 以下のため一般的でなく理解しづら

きには入力データのカテゴリー幅を k に変えるか

い表現になってしまう。むろんこのままでも間違

Excel 等で計算し直さなければならない。STATA

いではないが odds 比が 1より小さい場合は exp（B）の場合は generalized linear models分析等においての代わりに exp（-B）とすると 1.728（1.200-2.488）

Logit 分析を選択し「Reporting」オプションのとなり、解釈は「歯科医師 10 万比が 1 減少すると「Report exponanentiated coefficients」を選択すると収入大群に属する odd 比が 1.728 倍となる」となる。

出力が odds 比に変わる。単位： k をどのように決収入小群 1 を 2、収入大群を 2 を 1 と逆にしてからめるかは重要でありこの単位： k を適切にしない

解析しても同じことになる。

と見かけ上要因の影響力がかなり小さいように見衽）AIC ：Akaike's Information Criterion

えたりその逆であったりするので注意を要する。

赤池の情報量基準を略して AIC 基準という。現「ある説明変数の値が k 増えると△倍増える」とい在の文部科学省統計数理研究所の元所長赤池弘次

う表現の妥当性に注意しそれにふさわしい正数値

氏が開発した国際的に知られた使用頻度の高い統にすることが誤解を与えない解釈をする上で望ま計指標である。ちなみに、Google 検索（英語の条しい。例えば喫煙と疾患の odds 比の議論を 1 日当件で AIC ＋ Akaike）で利用頻度を確認するとたり喫煙本数の単位を 1、2、7、10、18、20、25、50,100 件（2005/4/2）抽出された。うち「dental」

50、100 本単位のいずれにするかという場合であの用語があるのは 168 件であった。このように国― 45 ―

歯科疫学統計−第 3 報重回帰分析、多重ロディスティック回帰分析モデルの適合度判定指標の解釈−

際的に普及しているのは線形、非線形統計モデル

このような複数の多項式の適合度を比較するとき開発において変数選択の適否を判断する汎用性の

AIC は必需品である。

高い基準であることに起因すると思われる。回帰

表 14 に尤度（Likelihood）関数と対数尤度（Log

分析の変数選択のように変数の個数が増えるほど

Likelihood）関数の関係を示す。ここで自然対数を当てはまりの指標である残差平方和は小さくな

用いるのはあくまでもコンピュータ計算をし易くる．このため、変数の個数が異なるモデル間でのするためである。ある推定式の実際値と予測値のモデルの良し悪しを比較するためには残差平方和

個々の差：残差がランダムである、つまり独立では不適である。モデル選択の基準として赤池の開あると仮定すると残差の尤度関数は正規分布の式発した AIC 規準ではのΣを掛け算を表すΠ（パイ）にした式となる。

AIC＝-2 log（最大尤度）＋2（説明変数の個数＋1）

残差 1、残差 2、…残差 n という条件を全て満たすが最小になるモデルを最適とするものであり、新確率は掛け算となる。この式が最小になるときのたな変数を加えたとき右項： 2（説明変数の個

標本分散：σ 2 が母集団の分散の「最も尤もらし数＋ 1）は AIC を大きくする方向に、すなわち変い」最尤推定量となる。計算を容易にするために数増加に対するペナルティとして働く。AIC 値が両辺に自然対数を掛けると次の式となる。Ln は自

小さくなれば「従属変数の推定にノイズ情報と比然対数を n は例数、πは円周率を意味する。なぜべてプラスの情報が多い」と判断する。情報量のπが出てくるかといえば正規分布の確率密度関数

観点から AIC が最小になるモデルが最適モデルとにπが出てくるからである。
対数尤度： LnL ＝（-n/2）（Ln2 π＋ Ln σ 2 ＋1）なる。重回帰分析の場合は変数選択基準 F in ＝
Fout ＝ 2.0 で AIC が最小 5）となる。ここで AIC を変この式の（-n/2）に着目して扱いやすくするた形したものに AIC ＊ n がある。AIC を単純に例数：

め-2 を掛けたものが− 2 対数尤度である。例えばn で割ったものである。STATA で使用されているある予測式を作るため、1 次式： y ＝ b ＋ ax から 5

AIC はこれである。通常の AIC は例えば n が 10 倍

次式： y ＝ b ＋ ax ＋ ax2 ＋ ax3 ＋ ax4 ＋ ax5 までの 5 つ

違うと AIC も 10 倍違ってくるが AIC ＊ n はそのまの予測式の適合度を判定する場合を考えると対数

ま比較できる利点がある。例えば研究 A ではモデ尤度関数に残差の分散σ 2 をいれるとそれが-2 ×

ル a が、研究 B ではモデル b が、そして研究 C では

MLE ：最大対数尤度推定値となる。5 つの式ごと

モデル c が最適モデルで例数が異なる場合の比較に計算すると 1 次式の変数は 1 個、5 次式の変数はが容易である。
、ただし、一般的には AIC は n で割5 個であるから 5 次式の-2 対数尤度が最も大きくらないので他の統計ソフトで求めた AIC との比較なる。しかしそこにペナルティを課すのが 2（説では注意を要する。どうしても n で割らなければ

明変数の個数＋ 1）の項でありこの項の効果によならない場合を除いては n を掛けて通常の AIC として使用する方が分かりやすいと思われる。

表 14 対数尤度とは？

MRA も LRA も前述のようにそれぞれ独自の適合度判定指標が開発されており、これらを用いた解析に AIC は必需品ではない。しかし例えば同一のデータで MRA と LRA とどちらが適合度がいいかを比較するときは AIC が力を発揮する。ある散布図の傾向を最も精確に捉えた多項式を求める場
合にかという問題の場合、1 次回帰よりも 2 次回
帰が、n-1 次回帰よりも n 次回帰の残差（実際値−予測値）が小さくなり見かけ上適合がよくなる。
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ヘルスサイエンス・ヘルスケア

Volume 5，No.1（2005）

り必ずしも 5 次式が最適モデルとはならない。そ性）を示す。表 15 は STATA における関係を示し、れでは-2 対数尤度は単身では使い道が無いかといdeviance ＝ -2 × Log Likelihood で 計 算 さ れ 、 モ デうとそうではない。前述のように LRA の変数選択

ファイされた AIC（AIC ＊ n）が計算される。しか法で使われているとおり重要な役割がある。まし SPSS においては表 16 に示す指標のうち「-2 対

た-2 対数尤度＝ deviance であり次項で解説する。

数尤度」しか登場しない。ここで尤度関数に最も事例：
表 15 Logistic 回帰分析における最大対数尤度と AIC、
deviance との関係

次のデビアンスの項でまとめて解説する。
袵）deviance ：デビアンス
Deviance（差）：デビアンスは本来逸脱とか
かい り乖離、または偏差値を表す言葉であるが、P.McCullagh と J.A. Nelder3） に よ っ て 提 案 さ れ た
GLIM 法において最適変数モデルを選択するための特別な統計的意味を持った指標として提案された。仮定したモデルと完全なモデルとの最大対数
尤度の差の-2 倍で定義される尤度比検定統計量である。デビアンスは、実際値とモデルとの誤差が必ずしも正規分布ではない場合に用いる指標でモデルの誤差の分布を画一的に考えない GLIM 法において変数選択の主役の役割を果たしている。疫表 16 -2 対数尤度と deviance および AIC との関係

学調査等で「ネスト化した影響評価モデル」2）の中から、実際値に、より適合するモデルを選ぶためのモデル選択指標として利用されている。ネステッドモデルの変数の出し入れはデビアンス差がχ 2 分布することを利用して決める。SPSS の backword-LRA においてはデビアンスの呼び方はされておらず-2 対数尤度と称されているが取り扱いは同じである。変数の数の差が 1 であるモデル間のdeviance 差は自由度 1 のχ 2 分布することを利用してモデル間の差が予め決めてある有意水準に達しない場合は変数を減少させる方法で変数選択して

表 17 最適モデルは AIC が最小になるときに一致いる。AIC との使い分けは変数が入り子（nested）の関係にある場合は有意差検定ができるデビアン
スを、モデルの Family（正規分布、二項分布、ポアソン等）あるいは Link（log 変換、logit 変換、指数変換等）が異なるモデルの比較は AIC が適切である。
事例：
表 15、表 16、表 17 に SPSS で用いられている「-2 対数尤度」と STATA で用いられている「loglikelihood」deviance および AIC の相互関係（互換― 47 ―

歯科疫学統計−第 3 報重回帰分析、多重ロディスティック回帰分析モデルの適合度判定指標の解釈−

尤もらしい母数の推定値： MLE を代入して計算

謝辞：本総説を執筆するにあたりご指導いただい

しているから「-2 対数尤度」は前述のように取りた歯科疫学研究会の顧問である重松逸造、も直さず「-2 最大対数尤度」である。よって SPSS

蓑輪眞澄、高江洲義矩、境 脩、伊藤学而、でも AIC および AIC ＊ n は表 16 の計算式で簡単に

佐々木英忠の各先生に深謝申し上げます。

計算できる。表 17 は「歯科保険収入」を目的変数

さらに貴重なご助言をいただいた深井穫博とする SPSS の LRA で最適モデルで示された第 9

同研究会会長をはじめとする幹事の方々にステップと前述の擬 R2 および AIC の関係を示し

感謝申し上げます。

ている。SPSS は「-2 対数尤度」の差が自由度 1 の参照 Web-site（2005/4/2 現在）
WS01）http://courses.bus.ualberta.ca/MGTSC312Jobson/Information/StatTables1.xls
WS02）http://gcrc.uchsc.edu/Documents/StatsClass/PresentSlides/GCRC ％ 20Data ％ 20Analysis ％ 20notes ％205．ppt＃ 298，16，スライド 16
WS03）http://www.bucknell.edu/img/assets/4778/
SPSS̲Manual.pdf
WS04）http://www2.chass.ncsu.edu/garson/pa765/logistic.htm
WS05）http://endeavor.eng.toyo.ac.jp/˜yoshino/lecture/keikaku2/node5.html＃ SECTION000541000000
00000000χ 2 分布をすることを利用して最適モデルを変数の数が 3 つの第 9 ステップとした。このときの
AIC が第 1 〜 11 ステップ中最小値になっていることがわかる。このようにモデルが入り子関係にある場合は-2 対数尤度（deviance）であれ AIC であれ最適モデルは同じものが得られる。しかし擬R2 では最適モデルの選定はできない。
4．おわりに
MRA はもはや時代遅れの分析法で時代は LRA
分析だという風潮があるやに聴く。しかし事実と文 献すれば統計分布を無視した暴論である。確かに前01）瀧口 徹：歯科疫学統計−第 1 報 各種統計分布の相互関係と利用の潮流−Health Science and Health Care，
No1 vol 4： 19-27，2004．
02）瀧口 徹：歯科疫学統計−第 2 報 一般化線形モデ
ルの意義と潮流− Health Science and Health Care, No1 vol
4 ： 29-36，2004．
03） P McCullagh, J. A. Nelder： Generalized Linear Models.
Chapman＆ Hall/CRC.., USA., 2nd ed., pp.7-8，30-31，3336，1999．
04）矢野恒太記念会編：データでみる県勢 2004，矢野恒太記念会，東京，第 3 版，1-512頁，2004．
05）杉山高一：多変量データ解析入門，朝倉書店，東京，
第 1 刷，134-136，150-151頁，1983．
06）STATA CORPORATION（College Station Texas）STATAREFERENCE MANUAL G-M P35-36
07）小野寺孝義，山本嘉一郎編： SPSS 辞典− BASE
編−，ナカニシヤ出版，東京，142頁，2004．
08）丹後俊郎，山岡和枝，高木晴良：ロジスティック回
帰分析 SASを利用した統計解析の実際−，朝倉書店，
東京，第 1 刷，195-196，200-202頁，1996．
09）瀧口 徹： EBM のための（臨床）疫学・統計学的基礎（2）第 2 章 疫学の基礎；流行病の法則性を見つけ予防する，障害者歯科学雑誌，23 巻： 89-98，
2002．

報でも確認したように LRA は優れた分析法である
ことは間違いないが扱う数値が連続量で残差（誤差）がきれいな正規分布をするものを LRA を適用するためだけの理由でわざわざカテゴリー化して機械的に LRA を適用することは重大な情報損失を招くので戒められなければならない。本シリーズ
で解説してきたように第 1 にその用途により、その上で生物学的妥当性と分布の適合度で MRA とLRA の利用を使い分けるべきである。またできればモデル誤差（実際値と予測値の差）に関して重回帰モデルか logistic 回帰モデルが果たして最適かどうかを GLIM 法によって確認した方がより望ましい。
最適な統計分布、最適モデルの選択の必要性とその方法を 3 回のシリーズを通して解説してきた。
多分に舌足らずで十分に語り尽くせたか自信がな
いが医学・歯学の分野においても疾病構造の変化と医療の概念の進化に後押しされてこの問題を曖
昧に出来ない時代が到来しているとことを改めて強調したい。
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ヘルスサイエンス・ヘルスケア

Volume 5，No.1（2005）

A review of oral epidemiological statistics−Part III：Interpretation of various goodness of fit indicators for the Multiple Regression Model andMultiple Logistic Regression Model.−−When using the statistical software SPSS and STATA−
Toru Takiguchi（Fukai Institute of Health Science）

Abstract: As I mentioned in the previous two reviews, a very small variance of residuals between the observed values
and the expected values （that is to say, a high goodness of fit）is a required condition for obtaining the optimum statistical model. However, due to wide variation in usage and technical terminology, not to mention the various indicators used tomeasure goodness of fit, it is no simple task for the user to gain an accurate understanding of the concepts and usage of statistical software.
In the third review, goodness-of-fit indicators for Multiple Regression Analysis（ MRA） and Multiple Logistic
Regression Analysis（LRA），which have typical multivariate analysis usage frequencies, were interpreted according tothe outputs of two commonly used statistical software programs, SPSS 13. 0J and STATA 8. 2.
For the MRA, R-squared（ Coefficient of Determination）， ANOVA, Durbin-Watson Statistic and VIF（ Variance
Inflation Factor）（Tolerance）were interpreted. For the LRA, Pseudo-R-squared（Cox ＆ Snell R-squared and Nagelkerke R-squared）， Hosmer-Lemeshow Test and Omnibus test were interpreted. For variable selection, a comparison ofhe maximum log likelihood method and the Wald method was conducted. In addition, methods of assessing each model'sgoodness of fit using Akaike's Information Criterion（AIC）and Deviance were discussed, and for LRA the odds ratio calculation method was also explained.
For a deeper understanding of concrete application, a case study was conducted to assess the interrelationship of thefollowing three factors： The number of dentists per 100,000 people（ Dentists-Ratio） ， Monthly dental insurance
expenditure per person（Expenditure/Person），and Monthly insurance income per dental clinic（Income ／Clinic）．
The results of both MRA and LRA indicated that Expenditure/Person very significantly increased with Dentists-Ratio. On
the contrary, Income/Clinic very significantly decreased with Dentists-Ratio after adjustments for confounding factors.
The odds ratio with LRA indicated that the weight of Dentists-Ratio as a contributing factor to both Expenditure/Person andIncome/Clinic became clearer.
Key words: Multiple Regression Analysis, Multiple Logistic Regression Analysis, Goodness of Fit, -2 Log Likelihood,
AIC
Reprint requests to T. TAKIGUCHI, Fukai Institute of Health Science, 3-86, Hikonari, Misato-shi, Saitama 341-0003,
Japan
TEL:048-957-3315/FAX:048-957-3315/E-mail:taki8020＠mth.biglobe.ne.jp― 49 ―