Firmin VARESCON

2

Table des matières
1 Conjecture de Leopoldt.
1.1 Conjecture de Leopoldt et équivalent. . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Notations générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Sur les pro-p-complétés. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Quelques équivalents à la conjecture. . . . . . . . . . .
1.2 Groupe de classes de rayon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Conducteur d’une extension . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Définition du groupe de classes de rayon . . . . . . . .
1.3 Test pour vérifier la conjecture de Leopoldt . . . . . . . . . . .
1.3.1 Propriétés de stabilisation de Clpn (K) . . . . . . . . .
1.4 Méthode pour vérifier la conjecture de Leopoldt . . . . . . . .
1.5 Critère équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
12
12
13
14
15
15
21
23
25
26

2 Calcul de la torsion de X
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Motivation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Comportement asymptotique de Apn . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Une borne explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Le cas quadratique et p 6= 2. . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Le cas général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31
31
32
33
37
37
38

3 Approche heuristique
3.1 Rappels sur les heuristiques de Cohen-Lenstra . . . . . . . . .
3.1.1 Calcul explicite des moyennes. . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Comparaison avec les résultats numériques. . . . . . . . . . . .
3.2.1 Résultats numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Explication des résultats numériques . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Incidence de la signature du corps . . . . . . . . . . . .

41
41
46
48
48
73
77

3

4

TABLE DES MATIÈRES

4 Application à la conjecture de Greenberg.
83
4.0.2 Équivalent à la conjecture de Greenberg . . . . . . . . 83
4.0.3 Exemple de la conjecture de Greenberg. . . . . . . . . 83
5 Annexe
5.0.4
5.0.5

89
Heuristique sur le 9-rang (section 3.3). . . . . . . . . . 89
Tables numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Introduction.
Histoire du groupe de classe d’idéaux.
”Il n’est pas possible de décomposer un cube en somme de deux cubes, unepuissance quatrième en somme de deux puissances quatrièmes et généralement
aucune puissance d’exposant supérieur à 2 en deux puissances de même exposant.”
Cette annotation de Pierre Fermat(1601-1665) vers 1937 est devenue l’un desthéorèmes les plus célèbres de mathématiques. Il s’énonce aujourd’hui commesuit :Théorème 0.0.1. Dès que n > 2, il n’existe pas d’entier non nul x, y et z
tel que :xn + y n = z n
Fermat laisse entendre qu’il disposait d’une preuve de ce théorème, maisen 1659 il propose à Carcavi comme problème de résoudre les cas particuliersn = 3 et n = 4. Il s’était certainement rendu compte qu’il avait commis une
erreur dans la preuve. Il ne pouvait pas savoir que l’anneau dans lequel on
fait les calculs n’est pas toujours principal. Si des preuves furent trouvéespour quelques cas particuliers (n=3 Euler 1770), une grande avancée est due
au mathématicien allemand Ernst Kummer qui introduit la notion d’idéalet démontre le grand théorème de Fermat pour les premier donc l’anneau
des entiers de Q(ζp ) est factoriel. Ce défaut de factorialité est ensuite formalisé par Dedekind en 1876 qui introduit les anneaux de Dedekind et lanotion d’idéal fractionnaire. Ceci permet d’exhiber un groupe fini, le groupede classes d’idéal, qui permet de mesurer le défaut de principalité de l’anneaud’entier. Il existe des algorithmes qui permettent de calculer ce groupe maisleurs complexités dépassent rapidement la capacité des machines actuelles.
Les travaux de Kummer sur le théorème de Fermat l’amène à développer
5

6

TABLE DES MATIÈRES

les lois de réciprocités. Ces notions lui permettent de démontrer le grandthéorème de Fermat pour une certaine catégorie d’exposant. Il faut attendre
1994, pour que Wiles donne une preuve complète de ce théorème [Wil95].
Hilbert reprendra les travaux de Kummer et démontrera l’existence de ceque l’on appelle les corps de Hilbert. C’est en fait l’existence d’une uniqueextension H de K non ramifiée et telle que Gal(H/K) est isomorphe augroupe de classe d’idéaux. Ceci sont les prémisses de la théorie du corps declasses qui permet d’obtenir des informations sur les extensions abéliennes
d’un corps de nombres à partir des éléments tiré de ce corps. Les travaux
Tagaki et d’Artin permettent des généralisations de la loi de réciprocité quadratique, d’un corps de nombres quelconque, cette généralisation est appeléeloi de réciprocité d’Artin.

La théorie d’Iwasawa.
Les travaux d’Iwasawa [Iwa73] [Iwa59] l’amène à développer une théorie
qui porte aujourd’hui son nom. Les objets étudiés par la théorie d’Iwasawa
sont les Zp -extensions d’un corps de nombres (Iwasawa les appelais les Γextension) c’est à dire une extension K∞ d’un corps de nombre K tel que
Gal(K∞ /K) = Zp . La donnée d’une Zp -extension est équivalente par lacorrespondance de Galois à la donnée d’un tour d’extension K = K0 ⊂ K1 ⊂K2 ⊂ . . . Kn ⊂ . . . ⊂ K∞ où Gal(Kn /K) ∼= Z/pn Z. L’exemple le plus connu
est la Zp -extension cyclotomique. Elle est obtenue en ajoutant ζpn les racines
pn -ièmes de l’unité à K. Le Groupe de Galois Gal(K(ζp , ζp2 , ..., ζpn , ...)/K)
est isomorphe à Zp × un groupe fini. Donc il existe une sous extension K∞
de K(ζp , ζp2 , ..., ζpn , ...) qui est une Zp -extension de K. Ainsi il existe un tour
d’extension K = K0 ⊂ K1 ⊂ . . . Kn . . . K∞ tel que Gal(Kn /K) ∼= Z/pn Z et∞[
K=
Kn . Leopoldt a conjecturé qu’il existait r2 + 1 Zp -extensions de K.
n=0où r2 est le nombre de plongement complexe de K dans C. Cette conjecturea été étudiée par de nombreux mathématiciens. Une démonstration dans le
cas abélien a été donnée dans le cas abélien suite aux travaux de James Ax[Ax65], et Armand Brumer en 1967 [Bru67]. Dans le cas général il n’existe pasde démonstration même si d’importantes ont été données par Waldschimdt
en 1980 [Wal81]. Dans la première chapitre de cette thèse on donnera unalgorithme permettant de vérifier la conjecture de Leopoldt pour un corps
de nombre K, et un nombre premier p donnés. On se donne un corps deTABLE DES MATIÈRES

7nombre K et un nombre premier p . On note alors Kn les n-ièmes étages
de l’extension cyclotomiques de K, K̃ le compositum des Zp -extension, H lanpro-p extension abélienne non-ramifiée maximale de K et Hp le compositum
de toutes les p-extensions de K, dont le conducteur divise pn et Apn le groupende Galois Gal(Hp /K)nK̃ ∩ Hp
K̃ ∩ Hp

n−1

Apn−1

Hp

n

n−1

Hp

Apn

K

La théorie du corps de classes nous permet de calculer Apn avec la connaissance des éléments de K sans monter dans les tours de Zp -extensions et donc
calculer des corps de gros degré ce qui dépasserait les capacités de calcul
de machine dont on dispose actuellement. Ainsi en étudiant les propriétésde stabilité de Apn et notamment si le cardinal du noyau de l’applicationde Apn+1 dans Apn , on peut proposer un test pour la conjecture de Leopoldt. En effet si ce cardinal est égal à pr2 +1 à partir d’un certain rang ondémontre que le corps K vérifie la conjecture de Leopoldt pour ce premier p.
Le but de la théorie d’Iwasawa est d’étudier les modules d’Iwasawa associésà une Zp -extension K∞ d’un corps de nombres K. Ceci permet d’obtenir desinformations arithmétiques sur K. L’un des principaux modules d’Iwasawa
est le module X qui est le groupe de Galois de la pro-p extension abélienne
non ramifiée en dehors de p, qui peut considérer comme le groupe de classed’idéaux au niveau infini. On note M la pro-p extension abélienne non ramifiée en dehors de p maximal de K. Via la théorie du corps de
Q classes, onsait que le groupe Gal(M/H) est isomorphe au quotient U := v|p Uv1 /U K .
La situation entre les différentes extensions étant résumée par le diagramme

8

TABLE DES MATIÈRES

suivant :
Tp

K̃

K̃H0

M0

torZp (U )U

K̃ ∩ H0K

H0X

Dans le deuxième chapitre de cette thèse on propose une méthode explicite pour calculer la Zp torsion de X. Afin d’éviter toute ambiguı̈té, onprécise d’emblée que par calcul explicite, on entend écrire un programmepari-GP calculant Tp , un corps K et un premier p étant donné. En effet en
supposant la conjecture de Leopoldt vérifiée, ce que l’on peut vérifier enutilisant les résultats du premier chapitre. En calculant Apn on pourra endéduire cette torsion. Un programme implémenté sur le logiciel pari-GP permet de déterminer explicitement la torsion. Dans le troisième chapitre on
rappelle certains résultats sur les heuristiques de Cohen Leustra [CL84]. Et
on confrontera les résultats obtenus pour des corps quadratiques, cubiques
et quintiques. On donnera ensuite une explication des observations qu’on afaite.
Si l’on note Xn la p-partie du groupe de classe d’idéaux de Kn , alors lethéorème d’Iwasawa suivant permet décrire l’ordre de Xn .
nThéorème. [Iwa73] Il existe λ, µ et ν tel que #(Xn ) = pλn +µp =ν .
L’invariant µ est conjecturalement nul, cette conjecture a été démontrer
dans le cas abélien par Ferrero et Washington [FW79]. Greenberg a conjecturéque pour les corps totalement réels l’invariant λ était nul [Gre76]. Les travaux
les plus célèbres sur cette conjecture sont du à Kraft et Schoof [KS95]
Théorème.
L’invariant associé à la Z3 -extension pour un corps quadratique√réel Q( d), 0 ≤ d ≤ 10000 et d 6≡ 1 mod 3 sont tous égaux à zéro.
Ceci a été démontrer par des méthodes calculatoires. D’autres travaux
ont été effectuer par Taya [Tay99] qui donne des exemples de corps cubiquesoù λ est nul pour p = 5 ou 7. On verra dans le dernier chapitre comment
en utilisant le calcul de la torsion de module p-ramifié d’Iwasawa. On peutTABLE DES MATIÈRES

9donner des exemples de corps vérifiant la conjecture de Greenberg. Dans unpremier temps non montrera que√ la conjecture de Greenberg est vraie pourles corps quadratiques réel Q( d), d < 1000 sauf pour huit pour lesquels lescalculs que l’on a effectué ne suffit pas pour conclure. Puis on donnera descas où la conjecture est vérifiée et où la torsion est de rang deux.

10

TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1
Conjecture de Leopoldt.
1.1

Conjecture de Leopoldt et équivalent.

La conjecture de Leopoldt peut être vue comme un analogue p-adique duthéorème de Dirichlet. On présente rapidement ce théorème pour introduire
la conjecture de Leopoldt. Pour plus de détails on pourra consulter le chapitre
IV de [Sam67]. Soit K un corps de nombres de degré n, r1 (respectivementr2 ) le nombre de places réelles (respectivement complexes) de K. On note Ele groupe des unités de K. On a n plongements de K dans C, r1 plongements
réels et 2r2 plongements complexes qui sont conjugués deux à deux. On
regroupe les plongements complexes par paires pour obtenir :σ1 , ..., σr1 , σr1 +1 , σ̄r1 +1 , ..., σr1 +r2 , σ̄r1 +r2 ,on pose alors :L(x) = (log(| σ1 (x) |, ..., log(| σr1 +r2 (x) |))L est appelé le plongement logarithmique de K × dans R×Théorème 1.1.1. (Dirichlet)(théorème 1 p.72 [Sam67]) Soit K un corps denombres, le groupe des unités est isomorphe à Zr1 +r2 −1 ×G où G est le groupe(fini) des racines de l’unité contenues dans K.
Dans le cas p-adique on note de la même manière σi les plongements deK dans Cp . Soit i pour 1 ≤ i ≤ r1 + r2 − 1 une base des unités de K modulo
les racines de l’unité. On utilise alors le logarithme p-adique pour définir lerégulateur p-adique Rp ,11

12

CHAPITRE 1. CONJECTURE DE LEOPOLDT.

Rp = det(δi logp (σi (j )))1≤i,j,≤r1 +r2 −1où δi = 2 si σi est un plongement complexe et 1 sinon.
Conjecture 1 (Conjecture de Leopoldt). Pour tout corps de nombres K et
tout nombre premier p, Rp 6= 0.
Jusqu’à présent il n’y a pas de démonstration générale de cette conjecture.
Elle est vérifiée dans certains cas.
Théorème 1.1.2. [Bru67] Si K/Q est une extension abélienne alors laconjecture de Leopoldt est vérifiée pour tout nombre premier p.
Cette conjecture est aussi démontrée dans le cas d’une extension abélienned’un corps quadratique imaginaire. On sait aussi que l’analogue p-adique dela célèbre conjecture de Schanuel [Lan66] p.30-31 entraı̂ne la conjecture de
Leopoldt [Jau85] Proposition 1 p. 152.
Dans la littérature on peut trouver d’autres formulations de la conjecture de
Leopoldt. On rappelle d’abord quelques notations.

1.1.1

Notations générales.

Dans OK , anneau des entiers de K, l’idéal engendré par p s’écrit comme
un produit d’idéaux premiers :Y(p) =pevv .
v|p

Pour chaque p-place v de K, on fixe une uniformisante πv dans Kv , v-complété
de K. On munit Kv de l’unique valuation prolongeant celle de Qp , de sorteque v(p) = 1 dans Kv et v(πv ) = e1v . On notera en outre e = Max{ev , v|p}.

1.1.2

Sur les pro-p-complétés.

Par définition, le pro-p-complété d’un Z-module M est la limite projective
des quotients M/pn . Dans le cas où M est de type fini sur Z, cette limite projective est isomorphe au produit tensoriel sur Z de M par Zp . On conviendra
de noter M le pro-p-complété d’un Z-module M .

1.1. CONJECTURE DE LEOPOLDT ET ÉQUIVALENT.

13

Pour une place v quelconque, U v désignera donc le pro-p-complété du groupe
des unités Uv de Kv . On a par conséquent :Uv1
si v|pUv =,µp∞ (Kv ) si v - poù µp∞ (Kv ) est le groupe des racines p-primaires de l’unité contenues dansKv .
Pour une p-place v et n entier naturel non nul, Uvn désigne le groupe desunités u de Kv tels que u ≡ 1[πvn ] (compte tenu du fait que v(p) = 1, on au ∈ Uvn ⇔ v(u − 1) ≥ env ). Pour n ≥ 1, le groupe Uvn est naturellement muni
d’une structure de Zp -module et est donc pro-p-complet, en d’autres termesn
U v = Uvn .
Y
On considère le plongement des unités de OK dans
Uv
v|p

E

,→

Y

Uv

v|p

() → (, ..., )
c1 la
On note alors E1 l’ensemble des  dont l’image est dans Uv1 et E
fermeture de E1 dans U1

1.1.3

Quelques équivalents à la conjecture.

Soit M (respectivement H) la p-extension abélienne maximale de K non
ramifiée (respectivement non ramifiée en dehors de p). Soit K̃ le compositum
des Zp -extensions de K. Les Zp -extensions sont non ramifiées en dehors de pdonc contenues dans M . On note X le groupe de Galois Gal(M/K).
Théorème 1.1.3. [NSW00] Soit K un corps de nombres et p un nombre
premier alors les assertions suivantes sont équivalentes :1. la conjecture de Leopoldt est vraie pour p et K ;c1 est r1 + r2 − 1 ;2. le rang de EY
3. le morphisme canonique E ⊗ Zp →Uv est injectif ;v|p

4. rangZp X = r2 + 1(ceci est la formulation classique de la conjecture de
Leopoldt qui dit que le K a r2 + 1 Zp -extensions).

14

CHAPITRE 1. CONJECTURE DE LEOPOLDT.
5. H 2 (GSp (K), Zp ) = 1 où GSp est le groupe de Galois de la pro-pextension non ramifiée de p, maximale de Kc1 ), il est appelé le défaut de
On note δ le nombre r1 + r2 − 1 − rang(ELeopoldt et 0 6 δ 6 r1 + r2 − 1. Waldschmidt a démontré que δ était en fait
inférieur à r1 +r22 −1 + 1 ([Wal81] p.120).
On note Clp (K) la p-partie du groupe de classe idéaux de K, alors lemodule X peut être décrit par une suite issue de la théorie du corps declasse :
ŪK

/

Q

1
v|p Uv/X/ Clp (K)

/ 1,

(1.1)

L’exactitude à gauche est équivalente à la conjecture de Leopoldt.
Donc en supposant la conjecture vraie pour K et p on obtient la suite
exacte suivante :
1

/ ŪK

/

Q

1
v|p Uv/X/ Clp (K)

/ 1,

(1.2)

On commence par quelques rappels sur la théorie du corps de classe qui
nous seront utiles par la suite.

1.2

Groupe de classes de rayon

On rappelle dans cette section la définition du groupe de classes de rayon
pn , via la théorie du corps de classes. On note que le groupe de classes derayon pn peut être considéré comme quotient d’un certain groupe d’idéaux(Cf [Gra03] définition 4.4 p. 37).
La théorie globale du corps de classes décrit les extensions abéliennes d’uncorps de nombres K. Or on ne considère ici que des p-extensions abéliennes,
qui sont décrites par la théorie p-adique du corps de classes ([Jau98]). Cettethéorie est en tous points similaire à la théorie globale dans laquelle les corps
locaux Kv∗ seraient remplacés par leurs pro-p-complétés, mais en plus simple
car la composante connexe du groupe des classes d’idèles disparaı̂t.
La notion de groupe de classes de rayon est fortement liée à celle deconducteur d’une extension, on commence donc cette partie par de brefs
rappels sur la notion de conducteur.

1.2. GROUPE DE CLASSES DE RAYON

1.2.1

15

Conducteur d’une extension

La notion de conducteur est une notion locale dans le sens où elle estdéfinie initialement pour une extension locale.
Définition 1.2.1. Le conducteur d’une extension abélienne de corps locaux
Lv /Kv est le minimum des entiers c tels que Uvc ⊂ NLv /Kv (L∗v ).
Remarque. ([Ser68] chap V, §6, proposition 8 et corollaire 3). En particulier une extension abélienne Lv /Kv est non-ramifiée si et seulement si son
conducteur est nul (on rappelle la convention Uv0 = Uv ).
Définition 1.2.2. (cf. [Gra03] p. 126 théorème définition 4.1 + lemme 4.2.1
p 127) Le conducteurd’une extension abélienne de corps globaux L/K est
Q cv
l’idéal m = v pv , où v parcourt l’ensemble des places finies de K et où cv
est le conducteur de l’extension Lv /Kv .
On note que la définition précédente ne prend pas en compte une éventuelle
ramification des places à l’infini. La proposition suivante découle immédiatement
de ces définitions :Proposition 1.2.3. Soit K ⊂ L ⊂ M une tour d’extensions de degrés finis,
telle que M/K soit abélienne. Alors le conducteur de l’extension L/K divise
le conducteur de l’extension M/K.
Démonstration. Cela découle tout simplement du fait que pour toute placev de M , on a NMv /Kv (Mv∗ ) ⊂ NLv /Kv (L∗v ).

1.2.2

Définition du groupe de classes de rayon

Une des formulations de la théorie globale du corps de classe utilise lescorps de classe de rayon. La théorie du corps de classe locale établit l’existence d’une correspondance entre les sous-groupes d’indice fini de Kv∗ et les
extensions abéliennes de Kv . Dans la théorie globale, le groupe des idèles deK joue un rôle analogue à celui joué par Kv∗ dans le cas local. Ce groupe desidèles, noté IK , est le produit restreint des Kv∗ relativement à Uv , v parcourant l’ensembleQdes p-places de K. Un élément de x ∈ IK est la donnée d’unélément xv ∈ v Kv∗ tel que xv soit une unité pour toutes les places, sauféventuellement un nombre fini.

16

CHAPITRE 1. CONJECTURE DE LEOPOLDT.

Définition 1.2.4. On désignera par :– H l’extension abélienne non-ramifiée maximale de K,n– H p le compositum de toutes les extensions de K, dont le conducteur
divise pn ,– H la pro-p-extension abélienne non-ramifiée maximale de K,n– Hp le compositum de toutes les p-extensions de K, dont le conducteur
divise pn .
– M la pro-p-extension non ramifiée en dehors de p, maximale de K.
n
De sorte que les groupes de Galois Gal(H/K) et Gal(Hp /K) sont isomorphesnaux p-parties respectives des groupes Gal(H/K) et Gal(H p /K).
On rappelle que l’on note X = Gal(M/K).
On énonce maintenant deux lemmes, qui seront fort utiles dans la suite :Lemme 1.2.5. ([Ser68] page 219). Soit Kv le complété de K pour la vaev
luation v telle que v(p) = 1 et v(πv ) = e1v . Alors, si m > p−1, l’application
m+ev
p
m
.
x → x est un isomorphisme de Uv dans Uv
Lemme 1.2.6. Soit Kv ⊂ Lv ⊂ Mv une tour d’extensions abéliennes de
Qp telle que l’extension Mv /Kv soit abélienne et l’extension Mv /Lv de degré
p. On note cM,v et cL,v les conducteurs respectifs des extensions Mv /Kv etev, où ev désigne l’indice de ramification de p dans
Lv /Kv . Alors, si cL,v > p−1
l’extension Kv /Qp , on a :cM,v ≤ cL,v + ev .
Démonstration. Par définition cL,v est le plus petit entier n tel que Uvn ⊂NLv /Kv (L∗v ). De la théorie locale du corps de classes, on déduit le diagrammesuivant :1

1/ NM /K (M ∗ )
v
v
v
_

/ K∗
v

/ Gal(Mv /Kv )/1

/ NL /K (L∗ )

/ K∗


/ Gal(Lv /Kv )

/1

v

v

v

v

L’application du lemme du serpent au diagramme précédent donne alorsimmédiatement la suite exacte suivante :1/ NM /K (M ∗ )vvv/ NL /K (L∗ )vvv/ Gal(Mv /Lv ) = Z/pZ

/ 1.

1.2. GROUPE DE CLASSES DE RAYON

17

Par conséquent NMv /Kv (Mv∗ ) est un sous-groupe d’indice p de NLv /Kv (L∗v ).
Soient n ∈ N, n ≥ cL,v + ev et x ∈ Uvn . On va montrer que x ∈ NMv /Kv (Mv∗ ).
1
On peut définir à l’aide du lemme 1.2.5, l’élément x p ∈ Uvn−ev . Or n − ev ≥1
cL,v donc x p ∈ NLv /Kv (L∗v ). Pour finir, comme NMv /Kv (Mv∗ ) est d’indice pdans NLv /Kv (L∗v ), on en déduit que x ∈ NMv /Kv (Mv∗ ). On a donc Uvn ⊂NMv /Kv (Mv∗ ) pour tout entier n tel que n ≥ cL + ev . On en déduit enc +eparticulier que Uv L,v v ⊂ NMv /Kv (Mv∗ ) et, par définition du conducteur,que cM,v ≤ cL,v + ev .
Proposition 1.2.7. ([Gra03] p 47 corollaire 5.1.1) Les suites exactes suivantes, issues de la théorie globale du corps de classe, permettent de canractériser les corps H p et H :
Q
Q
nev
/ IK
/ Gal(H pn /K)
/1
/ K∗
1
v|p Uv
v-p Uv
1

/ K∗

Q

v Uv

/ IK

/ Gal(H/K)/1n

Le groupe de Galois Gal(Hp /K) sera noté Apn et c’est la p-partie du groupende Galois Gal(H p /K), groupe de classes de rayon pn de K.
n

On déduit immédiatement de la définition de Hp les propriétés suivantes :Proposition 1.2.8. Soit n un entier non-nul :nn+1i) On dispose d’une inclusion naturelle Hp ⊂ Hp .
nii) La limite inductive lim Hp est égale à M.
−→iii) La limite projective lim Clpn (K) est égale à X.
←−
La suite exacte définissant le corps de classes de rayon pn fait intervenir
le groupe des idèles IK . Or ce groupe étant un produit infini, il est très peu
ncommode à utiliser dès que l’on veut étudier numériquement le corps Hp .
n
Pour pallier cette difficulté, on va voir que le corps Hp peut être défini parune suite exacte analogue à la suite exacte (1.1), définissant le module X.
n

Proposition 1.2.9. Pour n, entier non nul, les extensions M et H p de K
sont reliées entre elles par la suite exacte suivante :n/ U (p )

1

K

(pn )

où UK/Q

nev
v|p Uv/ Gal(M/K)= {u ∈ UK telle que ∀v|p, u ∈ Uvnev }.

/ Gal(H pn /K)

/ 1,

18

CHAPITRE 1. CONJECTURE DE LEOPOLDT.
n

Démonstration. De la définition des extensions M et H p , on déduit le diagramme
Q
Q
/ K∗
/ IK
/ Gal(M/K)
/1
1
U
v
v-p
v|p 1
_

1

/ K∗

Q

 Q

v-p Uv

/ Gal(H pn /K)

/ IK

nev
v|p Uv/1

Il découle immédiatement du lemme du serpent que :nker(Gal(M/K) → Gal(H p /K)) ∼= (K ∗

Y

Uv

v-p

Y

Uvnev )/(K ∗

Y

Uv

v-p

v|p

Y

1).

v|p

On définit alors l’application :θ : (K ∗

Y
v-p

Uv

Y

Y
(pn )
Uvnev ) → ( Uvnev )/UK ,

v|p

v|p

Q
∗

nev
: θ(k(uv ))v|p UvQ(pn )(uv )v|p désigne la classe de (uv )v|p dans ( v|p Uvnev )/UK .

en posant pour k(uv ) ∈ K

v-p UvQ= (uv )v|p , où

On commence par vérifierθ est bien définie, i.e. que
Q
Qque l’application
0 0
nev
∗
0 0
si k(uv ) = k (uv ) dans K
v|p Uv , alors θ(k(uv )) = θ(k (uv )).
v-p Uv
Par définition, ∀v, k(uv ) = k 0 (u0v ) ⇔ iv (k)uv = iv (k 0 )u0v , où iv désigne leplongement de K dans Kv . On en déduit que ∀v, iv (k 0 k −1 ) ∈ Uv et que(pn )∀v, v|p, iv (k 0 k −1 ) ∈ Uvnev . On a donc k 0 k −1 ∈ UK et (uv )v|p = (u0v )v|p . L’application θ est donc bien définie.
Q
Q
Il est clair que (K ∗ v-p Uv v|p 1) ⊂ ker(θ) et que l’application θ est subQ
Q
jective. On va montrer que (K ∗ v-p Uv v|p 1) = ker(θ). Soit donc k(uv ) ∈(pn )ker(θ), il existe x ∈ UK tel que pour tout v|p, uv = iv (x). On considèrealors l’élément x(u0v ), où u0v = 1, si v|p et u0v = iv (x)−1 uv , Q
si v - p. Q
On a alors000∗x(uv ) = (uv ) ⇒ kx(uv ) = k(uv ) et comme kx(uv ) ∈ (Kv-p Uv
v|p 1), onQQ∗a bien (Kv-p Uv
v|p 1) ⊂ ker(θ) et finalement
(K ∗

Y
v-p

Uv

Y
v|p

Uvnev )/(K ∗

Y
v-p

Uv

Y
v|p

Y
(pn )
1) ' ( Uvnev )/UK .
v|p1.2. GROUPE DE CLASSES DE RAYON

19

La suite exacten/ U (p )

1

/

K

Q

/ Gal(M/K)

nev
v|p Uv/ Gal(H pn /K)

/1

(1.3)
en découle.
nCorollaire 1.2.10. Les extensions Hp et M sont reliées entre elles via lasuite exacte suivante :
(pn )

/

Q

UK
(pn )

où U K/X

nev
v|p Uv/ Clpn (K)

/ 1,

(1.4)

(pn )

désigne le pro-p-complété de UK .

Pour la commodité du lecteur on redonne la démonstration de cette suite
exacte.
Démonstration. On obtient la suite exacte suivante en considérant la suite
pro-p-complétée de la suite exacte de la proposition 1.2.9.
(pn )

/

UK

Q

/X

nev
v|p Uv/ Clpn (K)/ 1,

En effet on peut couper la suite exacte 1.3 pour obtenir deux suites exactesà trois termes :n1où I est l’image de// U (p )

1

K

/I

Q

Q

/I

nev
v|p Uv/ Gal(M/K)/1/ Gal(H pn /K)/1

nev
dans Gal(M/K).
v|p Uv
(pn )

UK

/

Q

nev
v|p Uv/I/ 1,

Pour obtenir la suite avec les pro-p-complétés. On quotiente ces deux
suites par pm et on passe à la limite projective. On regarde ce qu’il se passeen détails pour la seconde suite exacte.

20

CHAPITRE 1. CONJECTURE DE LEOPOLDT.

I[pm ]/ Gal(M/K)[pm ]/ Gal(M/K)

I
pm



I

/ Gal(H pn /K)[pm ]/1/ Gal(H pn /K)

/1

ϕ

pm




/ Gal(M/K)

pm/ Gal(H pn /K)/1noù l’on note I[pm ] (respectivement Gal(M/K)[pm ] et Gal(H p /K)[pm ]) lanmp torsion de I (respectivement de Gal(M/K) et de Gal(H p /K)).
En utilisant le lemme du serpent on obtient la suite exacte suivante.
/ I[pm ]

0

(

I/pm

/ Gal(M/K)[pm ]/ Gal(H pn /K)[pm ]/ Gal(M/K)/pm/ Gal(H pn /K)/pm

(1.5)

/ 0.

n

Si l’on prend un élément x de Gal(H p /K)[pm ] alors on peut trouver unélément y de Gal(M/K) et z ∈ I tel que ϕ(x) = y et z = pm y. Et doncnl’application δm entre Gal(H p /K)[pm ] et I/pm est la multiplication par pm .
En considérant le diagramme suivant :nGal(H p /K)[pm ]
pn



δm

/ I/pm/ Gal(M/K)/pm/ Gal(H pn /K)/pm

/1

δm−1


/ I/pm−1

/ Gal(M/K)/pm−1

/ Gal(H pn /K)/pm−1/1αnGal(H /K)[pm−1 ]nn

On veut monter que l’application αn entre Gal(H p /K)[pm ] et Gal(H p /K)[pm−1 ]qui fait commuter le diagramme est la multiplication par p. On considère x etnnx0 des éléments de Gal(H p /K)[pm ] et de Gal(H p /K)[pm−1 ], on a δ(x) = pn x
et δm−1 (x0 ) = pn−1 x0 si l’on prend maintenant x0 l’image de x par α alorsnx0 = xp donc αn est la multiplication par p. Comme Gal(H p /K) est ungroupe fini alors en multipliant successivement par p ces éléments sa p-partie
devient triviale. Comme tous les modules sont finis, en passant à la limite
projective dans la suite 1.5 on obtient la suite exacte suivante.

1.3. TEST POUR VÉRIFIER LA CONJECTURE DE LEOPOLDT

/ I¯

1

/ Apn

/X

21

/1

En utilisant le même procédé pour la première suite exacte on obtient :
(pn )

/

UK

Q

/ I¯

nev
v|p Uv/ 1,

En recollant maintenant ces deux suites on obtient :
(pn )

/

UK

Q

nev
v|p Uv/ Clpn (K)

/X

/ 1,

Remarque. Si le corps K vérifie la conjecture de Leopoldt pour p alors on
a la suite exacte suivante :n1/ U (p )
K

/

Q

nev
v|p Uv/X/ Clpn (K)/ 1,

En effet, la conjecture de Leopoldt est équivalente à l’exactitude à gauche
pour tout n.

1.3

Test pour vérifier la conjecture de Leopoldt

Dans cette partie, on expose une méthode pour vérifier la conjecture de
Leopoldt pour un nombre premier et un corps de nombres K donnés. L’idéede cette méthode est que la connaissance de Apn et Apn+1 pour n >> 0 permetde calculer le nombre de Zp -extensions de K. On commence par regarder sur
quelques exemples puis on donnera des arguments théoriques pour justifier
cette méthode. Dans le chapitre suivant, on verra que la connaissance de Apnpermet aussi de déterminer la structure de Tp .
On note K̃, le compositum de toutes les Zp -extensions de K et r le Zp -rang
de X. La conjecture de Leopoldt√ prédit que cet entier r est égal à r2 + 1. On
considère le corps K = Q( 7), dans cet exemple le théorème 1.1.3 donne
la conjecture, on peut aussi la vérifier expérimentalement. En utilisant lelogiciel pari-GP, on voit que les 3-parties des groupes de classe de rayon 3nde K pour n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 sont respectivement :22

CHAPITRE 1. CONJECTURE DE LEOPOLDT.
n
Apn
0
1
1
1
2
(Z/3Z)2
3 (Z/3Z) × (Z/9Z)
4 (Z/3Z) × (Z/27Z)
5 (Z/3Z) × (Z/81Z)

Cet exemple nous invite à penser que la conjecture de Leopoldt est vraie pourK et p = 3. En effet, la partie Apn qui semble provenir des Zp -extensions
est de rang 1 (la partie qui grandit à chaque étage) donc le nombre Zp
serait 1 qui est bien égal à r2 + 1 car ici r2 vaut 0. La torsion X serait
alors la partie qui reste stable c’est à dire (Z/3Z). On va maintenantvoir un√5
exemple non abélien. On considère maintenant le corps Q( 6). On voit queles 5-parties des groupes de classe de rayon 5n de K pour n = 0, 1, 2, 3, 4, 5
sont respectivement :
n
Apn
0
1
1
(Z/5Z)3
2(Z/25Z)2 × (Z/5Z)2
3
Z/1(25Z)2 × (Z/25Z) × (Z/5Z)
4 (Z/625Z)2 × (Z/125Z) × (Z/5Z)
5 (Z/3215Z)2 × (Z/625Z) × (Z/5Z)
Ici r2 est égal à 2. Comme dans l’exemple précédent, on voit que la partie
dont les invariants sont multipliés par 5 à chaque étage est de rang 3 (=r2 +1)
donc la conjecture de Leopoldt semble vraie et la partie de torsion de X serait(Z/5Z). Ceci nous amène à nous poser deux questions :Question 1. Pour n >> 0, le noyau de la surjection canonique Apn+1  Apn
est-il isomorphe à (Z/pZ)r , où r est le nombres de Zp -extensions de K ?
Question 2. Si pour un certain n, le noyau de la surjection canoniqueApn+1  Apn est isomorphe à (Z/pZ)r2 +1 alors la conjecture de Leopoldt
est-elle vérifiée ?

1.3. TEST POUR VÉRIFIER LA CONJECTURE DE LEOPOLDT23n

Les extensions Hp , M et K̃ sont reliées entre elles suivant le diagrammed’extensions suivant :K̃HpK̃K̃ ∩ Hp

n

Hp

n

M

n

K
n

n

Pour n assez grand, on a Gal(Hp /K̃ ∩ Hp ) ' Tp , la détermination explicitennd’un entier n0 tel que Gal(Hp 0 /K̃ ∩ Hp 0 ) ' Tp est a priori difficile. Après
avoir exposé une méthode qui permet de vérifier si la conjecture de Leopoldt
est vraie pour un corps et un premier donnés, on verra que la connaissance,
pour n ≥ n0 , des facteurs invariants des groupes Clpn (K) et Clpn+1 (K) permet de déterminer ceux de Tp . Puis nous expliquerons comment déterminer
explicitement un tel entier n0 .

1.3.1

Propriétés de stabilisation de Clpn (K)L’objectif est ici de démontrer la proposition suivante, qui répond à lapremière question posée. Pour simplifier on notera Yn = ker(Clpn+1 (K) →Clpn (K)).
n

Proposition 1.3.1. Pour tout entier n tel que K̃ ∩Hp /K̃ ∩Hp soit ramifiéeen toutes les places au dessus de p dans K, alors Yn  (Z/pZ)r .
On commence par démontrer le lemme suivant :Lemme 1.3.2. Soit p un nombre premier et K un corps de nombres. On
considère le diagramme suivant :K̃ ∩ Hp

n+1

K̃ ∩ HpKnn

Hp (K̃ ∩ Hp
n

Hp

n+1

)

Hp

n+1

(1.6)

24

CHAPITRE 1. CONJECTURE DE LEOPOLDT.
n

Si l’extension K̃∩Hp /K̃∩Hp est ramifiée en une place v au-dessus de p alorsnev, où cn,v est le conducteur local en v de l’extension K̃ ∩ Hp /K.
cn,v > p−1nDémonstration. Comme K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp est ramifiée en v, il existe m tel
m−1
que n ≥ m ≥ 2, tel que K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp soit non-ramifiée en v et tel quemK̃ ∩Hp /K̃ ∩Hp soit ramifiée en v. Alors le conducteur local cm,v > (m−1)evmoù ev l’indice de ramification de v dans K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp or m ≥ 2 doncnev
. Puisque le conducteur de l’extension K̃∩Hp /K
nm,v > (m−1)ev ≥ ev ≥ p−1mdivise le conducteur de K̃ ∩ Hp /K, le résultat suit.
nRemarque. Si de plus l’extension K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp est ramifiée en toutes
les places au-dessus de p alors on obtient facilement une minoration de tous
les conducteurs locaux. On va voir que la détermination de cette extension
permet le calcul de torZp (X).
Démonstration de la proposition. On considère le diagramme suivant :K̃ ∩ Hp

K̃ ∩ Hpnn−1

K̃ ∩ Hpn(K̃ ∩ Hp )Hp(K̃ ∩ Hp

n−1

Yn−1

)Hp

Hp

Hp

n

(1.7)

n−1

Hp
Apn−1

Apn

K
On note tout d’abord que Gal(K̃/K) = Zrp .
n+1nn
Il est clair que Yn  Gal(K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp ). Or Gal(K̃/K̃ ∩ Hp ) est un
sous Zp -module de Gal(K̃/K) = Zrp de corang nul, il est donc isomorphe àn
Zrp . Il existe donc r extensions de K̃ ∩ Hp , disons M1 , M2 , · · · , Mr , contenuesnndans K̃ telles que Gal(Mi /K̃ ∩ Hp ) ' Z/pZ et Gal(M1 · · · Mr /K̃ ∩ Hp ) '(Z/pZ)r .
Qnv
Or le conducteur de l’extension K̃ ∩ Hp /K divise pn = v|p pne
v . De plus,nl’hypothèse sur K̃ ∩Hp /K̃ ∩Hp assure que l’on peut utiliser
1.2.6 etQ le lemmenev +ev
par conséquent le conducteur de l’extension Mi /K divise v|p pv= pn+1 .
n+1
En d’autres termes, Mi ⊂ Hp
pour tout i ∈ {1, · · · , r}. La surjection

1.4. MÉTHODE POUR VÉRIFIER LA CONJECTURE DE LEOPOLDT25
annoncée en découle.
On en déduit immédiatement le corollaire suivant :Corollaire 1.3.3. On a vu que le cardinal de Yn est supérieur à pr . Onnsuppose que l’extension K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp est ramifiée en toutes les placesau-dessus de p, et que le cardinal de Yn est exactement pr . Alors Yn 'n+1n
Gal(K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp ).
Démonstration. En effet, d’après le diagramme (1.6), on dispose d’une surn+1njection Yn  Gal(K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp ). Or on vient de voir que Gal(K̃ ∩n+1n
Hp /K̃ ∩ Hp )  (Z/pZ)r . Ces groupes étant finis et, par hypothèseéquipotents, les surjections considérées sont des isomorphismes.
nThéorème 1.3.4. Si l’extension K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp est ramifiée en toutes lesplaces au-dessus de p, et que le cardinal de Yn est exactement pr2 +1 alors laconjecture de Leopoldt est vraie pour K et p.
Démonstration. En effet on sait que r2 + 1 6 r et d’après le corollaire 1.3.3
si #(Yn ) = r2 + 1 alors r 6 r2 + 1, et donc égal à r2 + 1, ainsi K vérifie la
conjecture de Leopoldt.

1.4

Méthode pour vérifier la conjecture de
Leopoldt

Dans [?] Buchmann et Sanss donne un algorithm qui permet de tester sila conjecture de Leopoldt est vrai pour un corps de nombres et un nombre
premier donnés. On donne une autre méthode qui permet aussi de vérifier
cette conjecture en utilisant le théorème précédent. Pour n, 1, 2, ..., on calcule
successivement Apn jusqu’à ce que #Apn × pr2 +1 = #Apn+1 et l’on vérifie quenl’extension K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp est ramifiée en toutes les places au-dessus dep. Nous expliquerons dans la suite comment déterminer un entier à partirnduquel l’extension K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp est ramifiée en toutes les places audessus de p. Alors on peut conclure que la conjecture de Leopoldt est vraie
pour le corps et le premier considéré.
Remarque. Si un corps ne vérifie pas la conjecture de Leopoldt pour unpremier donné alors #Apn ×pr2 +1 < #Apn+1 et donc l’algorithme ne s’arrêtera

26

CHAPITRE 1. CONJECTURE DE LEOPOLDT.

jamais. Il est donc impossible avec cet algorithme de montrer qu’un corps nevérifie pas la conjecture de Leopoldt.
Prenons tout de suite un exemple pour expliquer cette méthode. On
considère le corps K associé au polynôme irréductible x7 − 5x + 1. Utilisantle logiciel pari-GP, on s’aperçoit que r2 = 2, que les 2-parties des groupes declasse de rayon 2n de K pour n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 sont respectivement :n
Clpn (K)011
12(Z/2Z)2
3
Z/4Z × (Z/2Z)3
4 Z/8Z × (Z/4Z)2 × Z/2Z
5 Z/16Z × (Z/8Z)2 × Z/2Z
#A23 = 32 et #A24 = 256 ainsi #A24 = 32 × 23 = #A23 × 2r2 +1 On peut
donc conclure que ce corps vérifie la conjecture pour p = 2.

1.5

Critère équivalent

On a vu dans la section 1.3 un test pour vérifier la conjecture de Leopoldt(théorème 1.3.4). Dans cette section on donne un lien Yn et les unités
Définition 1.5.1. Soit p un nombre premier. On note Un = {x ∈ K, x ≡ 1
mod pn }.
Lemme 1.5.2. On a la suite exacte suivante :1 → Un /Un+1 → (Z/pZ)r1 +2r2 → Yn → 1
Démonstration. On considère maintenant la suite suivante que l’on écrit deux
fois.
1

/ UK /Un+1/ UK /pn+1/ Cl n+1
p

/ ClK

/1

1


/ UK /Un/ UK /pn/ Clpn/ ClK/1

1.5. CRITÈRE ÉQUIVALENT27

On cherche maintenant les noyaux de toutes les restrictions entre ces deux
suites.
Un /Un+1(Z/pZ)r1 +2r2

Yn

1


/ UK /Un+1

/ OK /pn+1

/ Cl n+1
p

/ ClK

/1

1


/ UK /Un/ OK /pn/ Clpn

/ ClK

/1





1



1

1

On doit juste décrire le noyau de l’application de OK /pn+1 → OK /pn . Cenoyau est pn+1 /pn qui est isomorphe à OK /p. Or OK est un Z-module librede rang r1 + 2r2 . On obtient donc que le noyau de OK /pn+1 → OK /pn est
isomorphe à (Z/pZ)r1 +2r2 . On coupe maintenant ce diagramme en deux pourpouvoir appliquer le lemme du serpent.

Un /Un+1(Z/pZ)r1 +2r2

Zn

1


/ UK /Un+1

/ OK /pn+1

/ In+1/1

1

/ UK /Un/ OK /pn


/ In

/1



1



1



1

où In est l’image de OK /pn → Clpn est donc aussi le noyau de Clpn → ClK
et Zn le noyau de l’application de In+1 → In .
Donc d’après le lemme du serpent on a :1 → Un /Un+1 → (Z/pZ)r1 +2r2 → Zn → 1

28

CHAPITRE 1. CONJECTURE DE LEOPOLDT.

dans l’autre morceau du diagramme on obtient
Zn

Yn

1


/ In+1

/ Cl n+1
p

/ ClK

/1

1


/ In


/ Clpn

/ ClK

/1



1



1

En utilisant à nouveau le lemme du serpent on obtient que Zn et Yn sontisomorphes. Ainsi on a :1 → Un /Un+1 → (Z/pZ)r1 +2r2 → Yn → 1

Théorème 1.5.3. On rappelle que l’on note qn = #(Yn ), La suite (qn )n≥1
est une suite décroissante.
Démonstration. On considère l’élévation à la puissance p entre Un0 /Un0 +1 et
Un0 +1 /Un0 +2 . Soit x ∈ Un alors x peut s’écrire x = 1 + pn y où y est une unité.
Donc
p−1  Xppn+1
x = 1+p y+(pn y)kk
k=2
p−1  X
p n(k−1)−2 k
n+1
n+2= 1+p y+p (
p
y ).
k
k=2
Et donc xp ∈ Un+1 . Si l’on prend x ∈ Un et x 6∈ Un+1 alors y n’est pas
divisible par p et le calcul précédent montre que xp 6∈ Un+2 donc l’élévation àla puissance p est injective. Ainsi le cardinal de Un /Un+1 croit. En utilisant lasuite exacte du lemme 1.5 on peut donc conclure que la suite (qn )n≥1 décroı̂t.
Avec la suite exacte du lemme 1.5 :1 → Un /Un+1 → (Z/pZ)r1 +2r2 → Yn → 1.
On s’aperçoit que le cardinal de Yn dépend de l’indice de Un+1 dans Un . En
effet si #(Yn ) = pr2 +1 alors le cardinal de Un /Un+1 est pr1 +r2 −1 on retrouve
ainsi le lien avec les unités.

1.5. CRITÈRE ÉQUIVALENT29

En supposant que la conjecture de Leopoldt est vraie et en utilisantl’application d’Artin, on peut démontrer plus rapidement que la suite (qn )décroı̂t en montrant qu’il existe une surjection de Yn sur Yn+1 .
Proposition 1.5.4. On suppose que le corps K vérifie la conjecture de
Leopoldt. Alors l’élévation à la puissance p induit, via l’application d’Artin,
une surjection de Yn sur Yn+1 .
Démonstration. Comme le corps K vérifie la conjecture de Leopoldt, d’aprèsla remarque 1.2.2, on peut considérer la suite exacte définissant la p-partie
du groupe de classe de rayon pn :n1

/ U (p )
/

K

Q

/X

nev
v|p Uv/ Clpn (K)

/ 1.

Q
(pn )
n
On note Qn = v|p Uvnev /U K . On a alors Qn = Gal(M/Hp ). Par conséquent
n+1nQn /Qn+1 = Yn ' Gal(Hp /Hp ). Les relations entre toutes ces extensions
sont rappelées dans le diagramme qui suit :
M
Qn+1

Hp

n+1

Qn

Yn

Hp

n

K
On rappelle que Qn =le diagramme suivant :
1

1

Q

(pn )
nev
= ker(X → Clpn (K)) et on considèrev|p Uv /U K

/ Qn+1_/X/ Cl n+1 (K)

/1


/ Qn

/X


/ Clpn (K)/1p

On en déduit que Yn = Qn /Qn+1 . Or, n non-nul implique trivialement1
que n > p−1. L’élévation à la puissance p réalise donc un isomorphisme

30

CHAPITRE 1. CONJECTURE DE LEOPOLDT.

Q
Q
de v|p Uvnev sur v|p Uvnev +ev . Cet isomorphisme induit aussi une surjection
de Qn sur Qn+1 . On considère finalement le diagramme suivant :11/ Qn+1(.)p/ Qn+2

/ Qn


(.)p

/ Qn+1/ Qn /Qn+1


/1

(.)p

/ Qn+1 /Qn+2/1

On déduit du lemme du serpent que la flèche verticale de droite est une
surjection de Qn /Qn+1 sur Qn+1 /Qn+2 , i.e. de ker(Clpn+1 (K) → Clpn (K))
sur ker(Clpn+2 (K) → Clpn+1 (K)).

Chapitre 2
Calcul de la torsion de X
2.1

Introduction

Soit p un nombre premier et un corps K de nombres. On désigne par M
la pro-p-extension abélienne non-ramifiée en dehors de p, maximale de K.
L’objectif de ce chapitre est d’étudier le Zp -module X = Gal(M/K) et dedéterminer une méthode permettant de calculer effectivement la structure dece Zp -module. Ce module est décrit par la suite exacte suivante, issue de lathéorie du corps de classes :([Gra03] p. 294)
UK

/

Q

1
v|p Uv/X/ Gal(H0 /K)

/1

(2.1)

D’après le théorème de structure des Zp -modules de type fini, X est produit
direct d’une partie libre, Zrp et d’une partie de torsion, que l’on notera Tp .
On s’intéressera dans ce chapitre au calcul explicite de ce module de torsion.
Afin d’éviter toute ambiguı̈té, on précise d’emblée que par calcul explicite,
on entend écrire un programme pari-GP calculant Tp , pour un corps K et unpremier p étant donnés.
Une approche pour calculer cette torsion peut être la suivante : on note K̃ lecompositum de toutes les Zp -extensions de K et H0 la p-extension abélienne
non-ramifiée maximale de K. On sait, via la théorie du corps
classes,Q de
1
que le groupe Gal(M/H0 ) est isomorphe au quotient U := v|p Uv /U K . Le
module de torsion Tp est alors décrit par la suite exacte suivante :1/ torZ (U)p/ Tp/ Gal(H0 K̃/K̃)

31

/ 1.

(2.2)

32

CHAPITRE 2. CALCUL DE LA TORSION DE X

La situation entre les différentes extensions apparaissant dans la suite exacte(2.2) est résumée par le diagramme suivant :
Tp

K̃

K̃H0

M

(2.3)

torZp (U )U

K̃ ∩ H0

H0K
Une première idée pour déterminer explicitement Tp est de calculer les termes
extrémaux de la suite exacte (2.2). Mais ce calcul n’est pas toujours aisé car lasuite exacte n’étant pas toujours scindée cela ne permet pas toujours d’achever le calcul de la torsion et surtout les termes extrémaux ne sont pas toujours
facilement calculables.
On va donc aborder le problème sous un autre angle. Partant du fait que le
Zp -module X est la limite projective des p-parties des groupes de classe derayon pn , Clpn (K), on a étudié les propriétés de stabilisation de ces groupes
ainsi que le comportement des facteurs invariants de Clpn (K) lorsque n croit.
De cette étude, on en a déduit une méthode permettant de déterminer explicitement Tp .
Avant d’aborder la partie technique, à savoir le calcul effectif de Tp , on va rappeler quelques résultats qui montrent que la connaissance de Tp permet d’obtenir de nombreuses informations sur le corps K. Ces motivations étant exposées, on rappellera la définition ainsi que quelques propriétés élémentaires
du groupe de classe de rayon pn .
Une fois la méthode de calcul théoriquement justifiée, on illustrera ce calcul
avec quelques cas particuliers et on tentera de donner une explication heuristique aux phénomènes observés.

2.1.1

Motivation du problème

Le calcul de Tp permet d’obtenir des informations d’une part sur la prationalité du corps K et d’autre part sur la Λ-liberté du module d’Iwasawa
non-ramifié en dehors de p, X∞ associé au corps K.

2.2. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE Apn

33

Corps p-rationnels
On note GSp , le groupe de Galois de la pro-p-extension, non-ramifiée endehors de p, maximale de K. On dit que le corps K est p-rationnel si etseulement si le groupe GSp est libre.
On peut montrer que la liberté de ce groupe est équivalente à la conjecture
2de Leopoldt et à la trivialité du groupe de cohomologie Hcont(GSp , Zp ). (voir[MNQD90] théorème-définition 2.1 p. 162).
Or ce groupe de cohomologie continu est relié au module X0 . En effet, sa
Zp -torsion est isomorphe au dual de Pontryagin du groupe de cohomologie
2(GSp , Zp ). En conséquence, pour un corps K donné vérifiant lacontinu Hcont
conjecture de Leopoldt, le calcul de la Zp -torsion du groupe de Galois X0
permet de déterminer si le corps considéré est p-rationnel.
Λ-liberté de X∞
On rappelle brièvement une construction de X∞ . Pour n ∈ N, on note
Kn le n-ième étage de la Zp -extension cyclotomique de K et Mn la pro-pextension abélienne non-ramifiée en dehors de p maximale de Kn . La limite
inductive des Mn , notée M∞ , correspond à la pro-p-extension abélienne nonramifiée en dehors de p maximale de K∞ . On note X∞ = Gal(M∞ /K∞ ),qui est aussi la limite projective relativement à la restriction des Xn =Gal(Mn /Kn ). Le groupe de Galois X∞ est un Zp -module sur lequel Γ :=Gal(K∞ /K) opère. Il est donc naturellement muni d’une structure de Λmodule, où Λ désigne l’anneau Zp [[T ]] des séries formelles en T à coefficientsdans Zp .
Si K vérifie la conjecture de Leopoldt, alors le calcul de torZp (X0 ) permet
de déterminer la Λ-liberté de X∞ . En effet la conjecture de Leopoldt estéquivalente à (X∞ )Γ = 1 et on a torZp (X∞ )Γ = torZp (X0 )2.2

Comportement asymptotique de Apn

On suppose maintenant que le corps K vérifie la conjecture de Leopoldt.
On note que si le corps K ne vérifie pas la conjecture de Leopoldt l’algorithme que l’on propose ensuite pour calculer la torsion ne s’arrêtera pas.
Les exemples étudiés amènent à se poser la question suivante :Question 3. On suppose que le noyau de la surjection canonique Apn+1 34

CHAPITRE 2. CALCUL DE LA TORSION DE X

Apn est isomorphe à (Z/pZ)r2 +1 . A-t-onnn

Tp ' Gal(Hp /Hp ∩ K̃)?

Relativement au diagramme qui précède, on note que puisque X est un
Zp -module abélien de type fini, il est produit direct de sa partie libre par sa
partie de torsion. En d’autres termes, il existe une extension finie M 0 de K
telle que K̃M 0 = M et Gal(M 0 /K) ' Tp . L’extension M 0 étant non-ramifiéenn
en dehors de p, on a pour n >> 0 : M 0 ⊂ Hp , et par conséquent K̃Hp = M .
Il reste maintenant à vérifier que si Yn0 ' (Z/pZ)r2 +1 pour un certain n0 ,alors Yn ' (Z/pZ)r2 +1 pour tout entier n ≥ n0 . A cette fin, on considère lasuite exacte définissant la p-partie du groupe de classe de rayon pn :n1

/ U (p )
K

/

Q

nev
v|p Uv/X/ Clpn (K)/ 1,

D’après le théorème 1.5.3, la conjecture de Leopoldt entraı̂ne la décroissancedu cardinal des Yn .
Le théorème suivant permet de répondre à la question posée :Théorème 2.2.1. On rappelle que Yn désigne ker(Clpn+1 (K) → Clpn (K)).
Il existe un entier n0 tel que Yn0 ' (Z/pZ)r2 +1 . De plus, pour tout entiernn ≥ n0 , le module Qn = Gal(M/Hp ) est Zp -libre de rang r2 + 1 et :Yn ' (Z/pZ)r2 +1 .
Démonstration. Le Zp -module de type fini X est isomorphe au produit direct de sa torsion et de Zrp2 +1 . Un isomorphisme étant fixé, on peut identifier
Zrp2 +1 à un sous groupe de X et donc définir, via la théorie de Galois, une
extension M 0 de K telle que Gal(M 0 /K) ' Tp et K̃M 0 = M . Cette extension
nétant non-ramifiée en dehors de p, il existe un entier n1 tel que M 0 ⊂ Hp 1 etnn
par conséquent Hp 1 K̃ = M . De plus pour tout entier n ≥ n1 , Gal(M/Hp )est un sous-module de corang nul de Gal(M/M 0 ) = Zrp2 +1 , par conséquentnQn = Gal(M/Hp ) ' Zrp2 +1 . Le Zp -module Qn est donc libre de rang r2 + 1.
Par ailleurs, on sait qu’il existe un entier n2 tel que ker(Clpn+1 (K) →Clpn (K)) se surjecte sur (Z/pZ)r2 +1 pour tout entier n ≥ n2 (on peut choisir
pour n2 le minimum des entiers n tels que les conducteurs des extensionsne
et cela pour toute p-place v).
K̃ ∩ Hp /K soient supérieurs ou égaux à p−1
Enfin, on remarque que puisque l’élévation à la puissance p réalise un isomorphisme entre Uvnev et Uvnev +ev , le quotient Qn /Qn+1 , qui est isomorphe à2.2. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE Apn

35

ker(Clpn+1 (K) → Clpn (K)), est tué par p.
On pose n0 = Max(n1 , n2 ) et on se donne maintenant un entier n ≥ n0 .
Le noyau ker(Clpn+1 (K) → Clpn (K)) est donc un quotient de Zrp2 +1 , qui
se surjecte sur (Z/pZ)r2 +1 et qui est tué par p. On a alors nécessairement
ker(Clpn+1 (K) → Clpn (K)) ' (Z/pZ)r2 +1 .
On commence par rappeler la définition des facteurs invariants d’ungroupe abélien G :Définition 2.2.2. Étant donné un groupe abélien fini G, il existe une uniquesuite a1 , · · Q· , at telle que :– G ' ti=1 Z/ai Z– ai |ai+1 pour i ∈ {1, · · · , t − 1}.
Les ai sont appelés facteurs invariants du groupe G et ne dépendent que dela classe d’isomorphisme de G.
On note que contrairement à l’usage, le logiciel pari-GP utilise la convention ai+1 |ai pour des raisons pratiques.
Si G est un p-groupe, ses facteurs invariants sont des puissances de p. Pouralléger la rédaction de la suite du paragraphe, on introduit la notation suivante :Notation : Si les facteurs invariants d’un groupe G sont a1 , · · · , at , on notera FI(G) = [a1 , · · · , at ].
En pratique, on est en mesure de déterminer les facteurs invariants deClpn (K). On va voir dans cette sous-section que la connaissance des facteurs
invariants de Clpn (K) pour n >> 0, combinée à l’utilisation des propriétésde stabilisation de Clpn (K), permet de déterminer explicitement les facteurs
invariants et donc la structure de Tp .
On rappelle que pour n >> 0, Clpn (K) est isomorphe au produit direct dennnGal(K̃ ∩ Hp /K) et de Gal(Hp /K̃ ∩ Hp ) = Tp . On va donc au préalablenétudier un peu plus finement la structure de Gal(K̃ ∩ Hp /K).
n

Proposition 2.2.3. Soit n0 tel que K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp soit ramifiée en toutes
les places au-dessus de p etYn ' (Z/pZ)r2 +1 .
Alors pour tout entier n ≥ n0 ,Gal(K̃/K̃ ∩ Hp

n+1n

) = pGal(K̃/K̃ ∩ Hp ).

(on rappelle que Yn = ker(Clpn+1 (K) → Clpn (K))).

36

CHAPITRE 2. CALCUL DE LA TORSION DE X

Démonstration. En vertu du théorème 2.2.1, d’une part le module Qn est
Zp -libre de rang r2 + 1 et d’autre part Yn = Qn /Qn+1 ' (Z/pZ)r2 +1 . On aalors nécessairement Qn+1 = pQn . Considérant alors le diagramme suivant,
K̃

M
Qn+1

K̃ ∩ H

pn+1

K̃ ∩ Hp

n

Hp

n+1

Hp

Qn

n

K
on en déduit l’isomorphisme annoncé.
nCorollaire 2.2.4. Soit n0 ∈ N, tel que K̃ ∩ Hp 0 /K̃ ∩ Hp soit ramifiée entoutes les places au dessus de p et tel que Yn0 ' (Z/pZ)r2 +1 . Alors pour tout
n+1
entier n ≥ n0 , les facteurs invariants de Gal(K̃ ∩ Hp /K) sont égaux aux
nfacteurs invariants de Gal(K̃ ∩ Hp /K) multipliés par p.
Démonstration. En effet, on considère une Zp -base (e1 , · · · , er ) de Gal(K̃/K)nadaptée au sous-Zp -module Gal(K̃/K̃ ∩ Hp ). Il existe alors pa1 , · · · , par2 +1
ntels que (pai ei ) soit une Zp -base de Gal(K̃/K̃ ∩ Hp ). Les pai sont alors exacn
n+1
tement les facteurs invariants de Gal(K̃ ∩ Hp /K). Or Gal(K̃/K̃ ∩ Hp ) =npGal(K̃/K̃ ∩ Hp ), on en déduit donc que (pai +1 ei ) est une Zp -base de
n+1
n+1
Gal(K̃/K̃ ∩ Hp ) et donc que les facteurs invariants de Gal(K̃ ∩ Hp /K)
sont exactement les pai +1 .
Or, puisque que X ' Zrp2 +1 × Tp , le groupe de classe de rayon pn ,n
Gal(Hp /K), est isomorphe au produit direct des deux p-groupes Gal(K̃ ∩nnnnHp /K) et de Gal(Hp /K̃ ∩ Hp ). Les facteurs invariants de Gal(Hp /K)
s’obtiennent donc en concaténant les facteurs invariants des deux groupes
composant ce produit direct.
On est maintenant en mesure d’énoncer le résultat permettant de déterminer
explicitement la structure du p-groupe Tp :nThéorème 2.2.5. Soit n tel que Yn = (Z/pZ)r2 +1 et K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp soit
ramifiée en toutes les places au-dessus de p. On suppose d’une part queFI(Clpn (K)) = [b1 , · · · , bt , a1 , · · · , ar2 +1 ]

2.3. UNE BORNE EXPLICITE

37

avec (vp (bt )) < (vp (a1 )), et d’autre part que :FI(Clpn+1 (K)) = [b1 , · · · , bt , pa1 , · · · , par2 +1 ].
Alors, on a :FI(Tp ) = [b1 , · · · , bt ].
Démonstration. En effet, du fait queker(Clpn+1 (K) → Clpn (K)) ' (Z/pZ)r2 +1 ,ion a Clpi (K) ' torZp (X) × Gal(K̃ ∩ Hp /K) pour i ∈ {n, n + 1}. Or on a vu
n+1
que les facteurs invariants de Gal(K̃ ∩ Hp /K) sont exactement égaux à pnfois ceux de Gal(K̃ ∩ Hp /K). Par conséquent, si a est un facteur invariant
n+1
de Gal(K̃ ∩ Hp /K), on a nécessairement a = pai ou a = pbi .
Or comme (vp (a1 )) > (vp (bt )), aucun des facteurs invariants de Gal(K̃ ∩n+1
n+1
Hp /K) n’est de la forme pbi . Les facteurs invariants de Gal(K̃ ∩ Hp /K)
sont donc exactement les pa1 , · · · , par2 +1 . Le résultat découle alors du fait que
n+1
Clpn+1 (K) est isomorphe au produit direct de Tp et de Gal(K̃ ∩Hp /K).
Remarque. Pour pouvoir faire des calculs, il faut que l’on puisse contrôlerà partir de quelle étape toutes les places au-dessus de p dans K se ramifientndans l’extension K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp .

2.3

Une borne explicite

2.3.1

Le cas quadratique et p 6= 2.

Pour p 6= 2, on considère le diagramme suivantK̃ ∩ Hp

2

2

Hp

K1
K̃ ∩ HpK

Hp

38

CHAPITRE 2. CALCUL DE LA TORSION DE X

où K1 est le premier étage de la Zp -extension de K.
Les places au-dessus de p sont totalement ramifiées dans K1 /K(µp ) donc
2
K̃ ∩ Hp /K̃ ∩ Hp est ramifiée en toutes les places au dessus de p donc oncommence les calculs pour savoir quand Clpn (K) est stable à partir de n = 2√
Exemple 2.3.1. Pour le corps Q( −129), on a Clp2 (K) = [18, 3, 3], Clp3 (K) =[27, 9, 3] et Clp4 (K) = [81, 18, 3]. On en déduit donc que la Zp -torsion de X
est exactement Z/3Z.

2.3.2

Le cas général.

Plus généralement si on note e = maxv|p {ev } l’indice de ramification de
K/Q et s sa valuation p-adique, alors on commence à calculer si Clpn (K) se
stabilise à partir du rang n = 2 + s. En effet si l’on considère le diagrammesuivant :s+2

HpK̃ ∩ Hp

s+2

Ks+1
s+1

K̃ ∩ Hp

Hp

s+1

K
où Kj est le j ieme étage de la Zp -extension de K.
Les places au dessus de p sont totalement ramifiées dans Ks+1 /Ks doncsK̃ ∩Hp /K̃ ∩Hp est ramifiée en toutes les places au dessus de p. On commencealors le calcul pour savoir quand Clpn (K) est stable à partir de n = s + 2
On va maintenant justifier le fait que toutes les places au dessus de p sonttotalement ramifiées dans Ks+1 /Ks .

2.3. UNE BORNE EXPLICITE

39

On considère le diagramme suivant :
Ks+1
Ks
K

Qs+1

Qs

Q
Le degré de ramification en p de Qs+1 /Q est ps+1 tandis que celui de K/Q
est ps a avec a et p premiers entre eux. Donc l’extension Ks+1 /K est ramifiéeet Ks+1 /Ks est totalement ramifiée en toutes les places divisant p.
Corollaire 2.3.2. Soit e l’indice de ramification de p dans K/Q et s lavaluation p-adique de e. Soit n ≥ 2 + s, on suppose d’une part queFI(Clpn (K)) = [b1 , · · · , at , a1 , · · · , ar2 +1 ]avec vp (bt ) < vp (a1 ), et d’autre part que :FI(Clpn+1 (K)) = [b1 , · · · , bt , pa1 , · · · , par2 +1 ].
Alors, on a :FI(Tp ) = [b1 , · · · , bt ].

40

CHAPITRE 2. CALCUL DE LA TORSION DE X

Chapitre 3
Approche heuristique
On est maintenant en mesure de calculer Tp . L’idée de ce chapitre est
d’essayer de donner une explication heuristique des résultats numériques quel’on obtient. Bien évidemment, la principale référence sur le sujet est [CL84],
on a aussi utilisé[Del07].
L’idée principale des heuristiques de Cohen-Lenstra peut se vulgariser dela façon suivante : “plus un groupe G possède un gros groupe d’automorphismes, moins il apparaı̂t dans la nature”. On commence par rappeler lesprincipaux résultats que l’on utilisera.

3.1

Rappels sur les heuristiques de CohenLenstra

Nous rappelons dans cette section les principaux résultats relatifs aux
heuristiques de Cohen-Lenstra, que nous utiliserons par la suite. Pour deplus amples informations sur ces résultats, il convient de consulter [CL84].
La Zp -torsion de X est le groupe de Galois d’une certaine extension de K. Si
l’on suppose l’extension K/Q galoisienne, le module Tp est alors muni d’une
structure de Z[∆]-module, où X∆ := Gal(K/Q).
Cependant, si l’on note N∆ =σ, on a N∆ (Tp ) = 1, par conséquent Tp est
σ∈∆en fait un Zp [∆]/(N∆ )-module.
Dans le cas où le groupe ∆ est cyclique d’ordre premier l, Zp [∆]/(1 + σ +· · · σ o(∆)−1 ) est isomorphe à l’anneau des entiers de Q(ζl ), que l’on notera Ol .
41

42

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE

Dans cette section, on suppose donc que K est une extension cyclique dedegré premier l de Q. La Zp -torsion de X est alors naturellement munie
d’une structure de Ol -module.
Dans ce qui suit, on prend OF l’anneau des entiers d’un corps de nombres
et G un Ol -module. Comme OK il peut s’écrire de façon non canonique sousqM
OK /ai , où les ai sont des idéaux de OK . Cependant l’idéal dela forme
i=1

Fitting a =qYai ne dépend lui que de la classe d’isomorphie de G, considéré

i=1comme OK -module. Cet invariant, noté a(G), peut être considéré comme unegénéralisation de la notion de cardinal. On a d’ailleurs NQ(ζl )/Q (a(G)) = #G.
On va maintenant définir la notion de cardinalité asymptotique pour unensemble de OK -module donné. Pour cela, on considère une fonction h, définie
sur l’ensemble des classes d’isomorphies de Ol -modules (typiquement h sera
une fonction caractéristique).
Définition 3.1.1. La moyenne de h est si elle existe la limite lorsque N → ∞du quotientXh(G)# AutOF (G)G,N (a(G))≤N.
X
1
G,N (a(G))≤N# AutOF (G)Elle sera notée M (h) ou encore Ml (h) si l’anneau considéré est Ol .
XOù, la somme portant sur les classes d’isomorphie de G.
G,N (a(G))≤N

Dans le cas où h est la fonction caractéristique d’une certaine propriété, on
considère l’ensemble des classes d’isomorphie des groupes de cardinal inférieurou égal à N , le quotient de la définition précédente peut être considéré commele rapport du cardinal de l’ensemble des groupes vérifiant la propriété h surle cardinal de l’ensemble total des groupes considérés initialement, chaqueclasse d’isomorphie étant compté avec la pondération #AutO1 (G) .
K

Suivant [CL84], on introduit la notation suivante :3.1. RAPPELS SUR LES HEURISTIQUES DE COHEN-LENSTRA

43

Notation : Étant donné un idéal a de OK , on notew(a) =X
G,a(G)=a1#AutOK (G)Dans [CL84], Cohen et Lenstra donnent une relation permettant de calculer effectivement w(a) :Proposition 3.1.2. [CL84] p.40 corollaire 3.8 Soit n ∈ N, alors :

−1
α
YY
1
1

(1 −
) .
w(a) =
NQ(ζl ) (a) α k=1
NOl (p)k
p ||a

La notation pα ||a signifiant que pα |a et que pα+1 - a.
Par conséquent la fonction w, définie sur l’ensemble des idéaux de OK , estmultiplicative.
Notation : On note Πp la fonction caractéristique de l’ensemble desclasses d’isomorphies de groupe, dont la p-partie est non-triviale.
Proposition 3.1.3. [CL84] p. 47 exemple 5.10 On note p1 , · · · , pg les pplaces de Ol , la moyenne de Πp existe et on a :

g
Y
Y
1
Ml (Πp ) = 1 −1 − kfi ,p
i=1 k≥1où les fi désignent les degrés des extensions résiduelles Ol /pi sur Fp .
Démonstration.
XΠp (G)
G,N (a(G))≤N# AutOF (G)X=

G,N (a(G))≤N

1−# AutOF (G)X
G,N (a(G))≤N et

1# AutOF (G)AinsiXG,N (a(G))≤NX
G,N (a(G))≤NΠp (G)# AutOF (G)1# AutOF (G)X=1−

G,N (a(G))≤N et p-#G

X
G,N (a(G))≤N

1# AutOF (G)1# AutOF (G).

44

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE.
Nous allons utiliser la multiplicativité de w(a) pour démontrer la convergence de ce quotient. On observe tout d’abord que :
X
X
1
=
w(a)
# AutOF (G)G,N (a(G))≤Na,N (a)≤N

Pour simplifier la lecture on note
X
QN =

w(a)

a,N (a)≤N et p-a

X

w(a)

a,N (a)≤N

Par multiplicativité de w, on a :Xw(a) ≤a,N (a)≤N

X

X

w(a)

a,N (a)≤N et p-aw(p)p,N (p)≤N

Pour  > 0 donné on a :
X
QN =

w(a)

a,N (a)≤N et p-a

X

w(a)

a,N (a)≤N

X
=

w(p)

p,N (p)≤N a,N (a)≤N et p-a

X

X

w(a)

X

w(a)

w(p)

p,N (p)≤N a,N (a)≤N

D’après le lemme 5.3 page 44 de [CL84]

X

w(a) ' C∞ log(x) (où C∞ =a,N (a)≤xκY

ζQ(ζl ) (s) et κ le résidu en 1 de la fonction ζQ(ζl ) ). Donc

s≥2

X
lim

N →+∞

w(a)

a,N (a)≤N 1+

X
a,N (a)≤N

w(a)

=1+

3.1. RAPPELS SUR LES HEURISTIQUES DE COHEN-LENSTRAX

Il nous reste à calculer la limite

45

w(p) quand N tend vers +∞.

p,N (p)≤N

On note p1 , ..., pg les places au dessus de p dans K. D’après la proposition
3.1.2 on a :
!
k
Y
1
1
w(pki ) = fi k
(1 − fi a )pp
a=1
Par multiplicité de w, on aXw(p) ≤

sant Ni = E

log(N )
gfi log(p)

i

g Ni
Y
X

w(pki ), maintenant en po-

i=1 k≥0p,N (p)≤N

h

g
Y
X

1
g

on a N (pki ) ≤ N ⇔ k ≤ Ni et doncXw(pki ) ≤i=1 k=0w(p) ≤p,N (p)≤NgY
Xw(pki )

i=1 k≥0

Or quand N tend vers +∞ il en est de même pour Ni donc
lim

X

N →+∞
p,N (p)≤Nw(p) =gYX

w(pki )

i=1 k≥0or d’après l’identité d’Euler citée dans [Hal38] on a :X1.
w(pki ) = Q
1
1
−
k≥0
k≥1
p k fi
g
YY
1
Ainsi QN converge vers
1− k, et donc
p fi
i=1 k≥1gYY
1Ml (Πp ) = 1 −
1− k
p fi
i=1 k≥1

Corollaire 3.1.4. Dans le cas où l’extension K est galoisienne, tous lesdegrés résiduels sont égaux à f et dans ce cas!gY1
Ml (Πp ) = 1 −1 − kf
.
p
k≥1

46

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE

Remarque. Le reél Ml (Πp ) est appelé 0-moyenne. Cette notion peut êtregénéralisée par la notion de u-moyenne. L’expression de la u-moyenne est
obtenue en remplaçant k par k + u dans l’expression de la proposition 3.1.3
gYYMl,u (Πp ) = 1 −1−i=1 k≥1

1
p(k+u)fi,

Soit K un ensemble de nombres, cyclique de degré l. Soit K ∈ K et
G la p-partie
de son groupe de classe. On suppose que l 6= p, alors G est
P(Z[∆]/ σ∈∆ σ)-module donc un Ol -modules. Pour h une fonction définie
sur G, on peut définirXh(G)M (h) = lim

x→∞K∈K,|disc(K)|6x

X.
1

K∈K,|disc(K)|6x

Dans [CL84] Cohen et Lenstra conjecture :Conjecture 2. Pour une fonction ”raisonnable” h on a :1. (cas quadratique imaginaire) Si r1 = 0 et r2 = 1 alors M (h) est une
0-moyenne.
2. (cas quadratique réel) Si r1 = 2 et r2 = 0 alors M (h) est une 1moyenne. (ici l=2 et Ol = Z)
Remarque. On prendra comme fonction la caractéristique d’une classed’isomorphisme d’un groupe, par exemple Πp .

3.1.1

Calcul explicite des moyennes.

Les heuristiques de Cohen-Lenstra conjecturent que la proportion degroupe de classe non-trivial est une 0 et 1-moyennes. On s’intéresse plus
en détail au calcul de ces deux moyenne. Puis l’on comparera ces moyennesà la proportion de torsion de X non triviale. Ici on s’intéresse aux corps
quadratiques l = 2 et f = g = 1. Donc on obtient :Y1
M2,u (Πp ) = 1 −
1 − (k+u) ,pk≥1

3.1. RAPPELS SUR LES HEURISTIQUES DE COHEN-LENSTRA

47

En prenant u = 0, on obtient la 0-moyenne :Y1
M2,0 (Πp ) = 1 −1− k ,pk≥1
De même pour u = 1, on a :YM2,1 (Πp ) = 1 −1−

1
p(k+1)

k≥1

,Par un calcul rapide on obtient que
M2,1 = 1 + (M2,0 − 1)

p
.
p−1

Si maintenant au lieu de prendre la fonction Πp , On prend ΠG fonction
caractéristique de la classe d’isomorphisme du p-groupe G. Pour obtenir lau-moyenne de la fonction ΠG on multiplie M2,u par #(Aut1O (G)) . Pour le calcull#(AutOl (G)) on peut regarder [Hal38]. On commence par rappeler quelques
notations utilisées dans [Hal38]. On prend G un p-groupe abélien d’ordre pn .
On peut alors l’écrire comme un produit de groupe cyclique (1λ1 , 2λ2 , 3λ3 , ...),
λ1 est le nombre de groupe d’ordre p dans les produits, λ2 le nombre degroupe d’ordre p2 , et ainsi de suite. On a,n = λ1 + 2λ2 + ....
On définit alors
µi =

X

λj

j≥i

on a donc λi = µi − µi+1
on pose maintenant fk (x) = (1 − x)(1 − x2 )...(1 − xk ), et f0 (x) = 1
Théorème 3.1.5. [Hal38] p.127 Si G est un p-groupe abélien alors l’ordre
de son groupe d’automorphisme vaut :#(Aut(G)) =fλ1 ( p1 )fλ2 ( p1 )fλ3 ( p1 )...
2

2

2

( p1 )µ1 +µ2 +µ3 +...

Regardons sur un exemple comment on calcule l’ordre du groupe d’automorphisme.

48

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE

Exemple 3.1.6. Prenons G = (Z/3Z)2 × (Z/9Z), alors λ1 = 2, λ2 = 1,
µ1 = 3 et µ2 = 1.
Donc#(Aut(G)) ==f2 ( 31 )f1 ( 13 )( p1 )32 +1(1− 13 )2 (1−( 31 )2 )( 14 )10= 36 (3 − 1)2 (32 − 1)
= 23328.
Maintenant on peut comparer ces moyennes aux résultats numériques quel’on obtient.

3.2

Comparaison avec les résultats numériques.

On a observé que dans le cas des corps totalement réels la proportionde corps dont la torsion de X est non triviale était une 0-moyenne Dansles tableaux que l’on donne dans la suite le 0,00000 signifie que l’on n’a pas
rencontré de corps dans ce cas. Pour les cas où les corps était peu présents, ona ajouté des chiffres significatifs pour obtenir après avoir arrondi un nombre
non nul.

3.2.1

Résultats numériques.

Cas des corps quadratiques réels.
Dans ce cas Ol = Z et l = 2. On observe que dans le cas quadratique réella proportion de corps dont la Zp -torsion est non triviale est une 0-moyenne
et une 1-moyenne pour les corps quadratiques imaginaires. Nous expliquerons
en quoi ce phénomène est en accord avec les heuristique de Cohen-Lenstra
dans la section 3.3.
Principe du calcul : Étant√ donné un entier N , on considère tous les corps
quadratiques du type Q( d) avec d entier naturel sans facteur carré et d ≤ N .
On obtient ainsi un ensemble KN de corps quadratiques. Ensuite, on calcule
la proportion de corps appartenant à KN , pour lesquels la Zp -torsion de X
est non triviale. Cette proportion est notée fexp . On note Πp la fonction

3.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.

49

caractéristique de Tp . L’écart |fexp − M2,0 (Πp )| entre fexp et M2,0 (Πp ) est
noté δ. On donne ci-dessous, les tables comportant les résultats obtenus pour
N = 106 , N = 107 , N = 108 et N = 109 .
On note√que si l’on considère comme ensemble KN l’ensemble des corps du
type Q( d), dont le discriminant est inférieur ou égal à N , on obtient desrésultats en tous points similaires.

N = 106
p M2,0 (Πp )30,43987
50,23967
7
0,16320
11 0,09916
13 0,08284
17 0,06228
19 0,05540
23 0,04537
29 0,03375
31 0,03330
37 0,02776
41 0,02499
43 0,02380
47 0,02173

fexp
δ(Écart)
0,48094 0,04107
0,23209 0,00758
0,15964 0,00356
0,09597 0,00319
0,08104 0,00180
0,06055 0,00173
0.5400 0,00140
0,04445 0,39913
003494 0,00119
0,03257 0,00073
0,02718 0,00058
0,02469 0,00030
0,02333 0,00047
0,02140 0,00033

50

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE

N = 107
p M2,0 (Πp )30,43987
50,23967
7
0,16320
11 0,09916
13 0,08284
17 0,06228
19 0,05540
23 0,04537
29 0,03375
31 0,03330
37 0,02776
41 0,02499
43 0,02380
47 0,02173

fexp
δ(Écart)
0,49054 0,05067
0,23606 0,00361
0,16134 0,00186
0,09802 0,00114
0,08195 0,00089
0,06164 0,00064
0,05472 0,00068
0,04445 0,00092
0,03529 0,00154
0,03290 0,00040
0,02746 0,00030
0,02479 0,00020
0,02348 0,00032
0,02160 0,00013

N = 108
p M2,0 (Πp )30,43987
50,23967
7
0,16320
11 0,09916
13 0,08284
17 0,06228
19 0,05540
23 0,04537
29 0,03375
31 0,03330
37 0,02776
41 0,02499
43 0,02380
47 0,02173

fexp
δ(Écart)
0,49697 0,05710
0,23763 0,00204
0,16234 0,00086
0,09858 0,00058
0,08242 0,00042
0,06197 0,00031
0,05517 0,00023
0,04512 0,00025
0,03552 0,00177
0,03315 0,00015
0,02761 0,00015
0,02487 0,00012
0,02367 0,00013
0,02164 0,00009

3.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.

51

N = 109

p M2,0 (Πp )30,43987
50,23967
7
0,16320
11 0,09916
13 0,08284
17 0,06228
19 0,05540
23 0,04537
29 0,03375
31 0,03330
37 0,02776
41 0,02499
43 0,02380
47 0,02173

fexp
δ(Écart)
0,50120 0,06133
0,23854 0,00113
0,16280 0,00040
0,09893 0,00023
0,08266 0,00018
0,06214 0,00141
0,05526 0,00004
0,04527 0,00010
0,03560 0,00185
0,03323 0,00007
0,02770 0,00006
0,02493 0,00006
0,02376 0,00004
0,02168 0,00005

On va maintenant voir la répartition de la torsion en fonction des invariants. On commence par donner une table des fréquences théoriques, puis
les fréquences expérimentales pour N = 106 , N = 107 , N = 108 et N = 109 .

Fréquence théorique

52

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE
invariants

p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)

0,28882
0,28006
0,19008
0,13947
0,09008
0,07643
0,05861
0,05248
0,04339
0,03444
0,032220,02701
0,02438
0,02324
0,02127

0,048137
0,01167
0,00158
0,000420,000070,00004
0,000010,000008
0,000004
0,000001
0,000001
0,0000005
0,0000004
0,0000003
0,0000002(p2 )(p2 , p)0,14441
0,00258
0,01203
0.093350,00007
0,00259
0.038020,0000006
0,000250.01992
0,00000003
0,00005
0.008190,0000000005
0,000006
0.00588
0,0000000001
0,000002
0.00345
0,000000000009
0,0000007
0.002760,000000000003
0,0000004
0.001890,0000000000006
0,00000015
0.00119 0,00000000000007
0,00000005
0.00104 0,00000000000004
0,00000003
0.00073 0,000000000000008 0,00000001
0.00059 0,000000000000003 0,000000008
0.00054 0,000000000000002 0,000000007
0.00045 0,0000000000000009 0,000000004

Fréquence expérimentale

N = 106(p, p, p)

3.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.
invariants
p
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)(p2 )(p, p, p)53(p2 , p)(p3 )0,30587 0,01564 0,10058 0,00004 0,00642 0.03295
0,18543 0,00121 0,03634 0,00000 0,00028 0,00711
0,13706 0,00031 0,01909 0,00000 0,00005 0,00265
0,08717 0,00006 0,00800 0,00000 0,00001 0,00065
0,07500 0,00003 0,00558 0,00000 0,00000 0,00039
0,05706 0,00001 0,00329 0,00000 0,00000 0,00019
0,05124 0,000003 0,00262 0,00000 0,0000 0,00013
0,04256 0,00000 0,00181 0,00000 0,00000 0,00008
0,03375 0,00000 0,00115 0,00000 0,00000 0,00003
0,03158 0,00000 0,00094 0,00000 0,00000 0,00005
0,02639 0,00000 0,00077 0,00000 0,00000 0,00002
0,02408 0,00000 0,00059 0,00000 0,00000 0,00001
0,02280 0,00000 0,00053 0,00000 0,00000 0,00001
0,02098 0,00000 0,00040 0,00000 0,00000 0,00001

54

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE

N = 107

invariants
p
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,30894 0,01740 0,10197 0,00007
0,00754 0,03374
0,18791 0,00142 0,03716 0,0000003 0,00033 0,00734
0,13813 0,00038 0,01957 0,00000
0,00005 0,00274
0,08912 0,00006 0,00803 0,00000
0,00005 0,00073
0,07565 0,00003 0,00578 0,00000
0,000001 0,00045
0,05802 0,00001 0,00339 0,00000 0,0000008 0,00021
0,05184 0,000006 0,00273 0,00000 0,0000002 0,00013
0,04256 0,000002 0,00186 0,00000
0,00000 0,00008
0,30894 0,01740 0,00116 0,00000
0,00000 0,03374
0,18791 0,00142 0,00101 0,00000
0,00000 0,00734
0,03409 0,00000 0,00072 0,00000
0,00000 0,00004
0,03185 0,00000 0,00058 0,00000
0,00000 0,00003
0,02672 0,00000 0,00053 0,00000
0,00000 0,00002
0,02419 0,00000 0,00043 0,00000
0,00000 0,00001

N = 1083.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.
invariants
p
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)

0,31092
0,18875
0,13884
0,08957
0,07606
0,05830
0,05227
0,04315
0,03430
0,03209
0,02686
0,02426
0,02426
0,023130,018820,00150
0,000390,000070,000030,000010,000007
0,000003
0,000001
0,000001
0,0000004
0,0000003
0,0000002
0,0000002(p2 )(p, p, p)55(p2 , p)(p3 )0,10304
0,00011
0,00824
0,03426
0,03757 0,0000003
0,00036
0,00749
0,01974 0,00000002
0,00006
0,00283
0,008120,00000
0,000006 0,00074
0,00584
0,00000
0,000002 0,00045
0,003440,00000
0,0000009 0,00020
0,002740,00000
0,0000003 0,00014
0,00187
0,00000
0,0000001 0,00008
0,001170,00000
0,00000002 0,00004
0,001030,00000
0,00000003 0,00003
0,000730,00000
0,00000003 0,00002
0,000590,00000
0,00000002 0,00001
0,000530,00000
0,00000
0,000010,00045
0,00000
0,00000
0,00001

N = 109
invariants
p
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)

0,31224
0,18932
0,13918
0,08989
0,07628
0,05848
0,05235
0,043310,03437
0,03215
0,02695
0,02433
0,02433
0,023210,019770,001540,000410,000070,000030,000010,000007
0,000003
0,00000
0,00000
0,0000005
0,0000003
0,0000003
0,0000002(p2 )(p, p, p)(p2 , p)0,103740,00013
0,00873
0,03779 0,0000005
0,00037
0,01984 0,00000003
0,00007
0,008150,00000
0,00001
0,005860,00000
0,000003
0,00343
0,00000
0,0000007
0,00275
0,00000
0,0000004
0,00188
0,00000
0,0000002
0,001190,00000
0,00000004
0,00104
0,00000
0,00000004
0,000730,00000
0,00000002
0,000590,00000
0,00000001
0,000540,00000
0,00000001
0,00045
0,00000
0,000000003(p3 )0,03452
0,00755
0,00283
0,000740,00045
0,000200,000140,00008
0,00004
0,000030,000020,000010,000010,00001

56

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE

Cas quadratique imaginaire
Principe de calcul. Même
principe√√ que pour les corps quadratiquesréels : on remplace K = Q( d) par Q −d.

N = 106

p M2,1 (Πp )20.4223530.15981
5
0,04958
7
0,02374
11 0,00908
13 0,00641
17 0,00368
19 0,00292
23 0,00198
29 0,00123
31 0,00108
37 0,00075
41 0,00061
43 0,00055
47 0,00046

fexp
0,90115
0,23983
0,04585
0,02309
0,00855
0,00609
0,003430.00267
0,001750001070,000890,000640,00052
0,000480,00035

N = 107δ
1.217340.50073
0.00989
0,00374
0,00416
0,00360
0,00445
0,05890,005100,00916
0,00929
0,008130,00982
0,00998
0,01626

3.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.
p M2 (Πp )2 0,42235
3 0,15981
5 0,04958
7 0,02374
11 0,00908
13 0,00641
17 0,00368
19 0,00292
23 0,00198
29 0,00123
31 0,00108
37 0,00075
41 0,00061
43 0,00055
47 0,00046

fexp
0,91677
0,248100,04788
0,02347
0,00880
0,00623
0,0356
0,002820,00187
0,001180,001020,000710,00058
0,000530,00042δ
1.17062
0,55244
0,03439
0,01130
0,03103
0,027210,03239
0,03455
0,052810,04054
0,05364
0,04885
0,04339
0,04697
0,10130

57

58

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE

N = 108

p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

M2 (Πp )0,42235
0,159810,04958
0,02374
0,00908
0,00641
0,00368
0,00292
0,00198
0,001230,00108
0,00075
0,00061
0,00055
0,00046

fexp
0,92792
0,25351
0,04862
0,02358
0,00898
0,00634
0,00363
0,00288
0,00194
0,001210,00104
0,000730,00060
0,000540,00045

N = 109δ
1,19703
0.58630
0,01940
0,00671
0,01103
0,01103
0,01157
0,01381
0,01722
0,01644
0,01817
0,02685
0,01627
0,02454
0,03522

3.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.
p M2 (Πp )2 0,42235
3 0,15981
5 0,04958
7 0,02374
11 0,00908
13 0,00641
17 0,00368
19 0,00292
23 0,00198
29 0,00123
31 0,00108
37 0,00075
41 0,00061
43 0,00055
47 0,00046

fexp
0,93650
0,25718
0,04909
0,02365
0,00905
0,00638
0,00365
0,002910,00197
0,001220,001070,000740,00060
0,00055
0,0004659δ
1.12734
0,60926
0,00989
0,00374
0,00416
0,00360
0,00445
0,00589
0,005100,00916
0,00929
0,008130,00982
0,00998
0,01626

De même que pour les corps quadriques réels, on va maintenant voir larépartition de la torsion en fonction des invariants. On commence par donner
une table des fréquences théoriques, puis les fréquences expérimentales pour
N = 106 , N = 107 , N = 108 et N = 109 .

60

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE

invariants
p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)

0,28882
0,024070,140030,00194
0,04752
0,00008
0,023240,00001
0,009010,0000006
0,00637
0,0000002
0,00366
0,00000004
0,00292
0,00000002
0,00197 0,000000007
0,00123 0,000000002
0,00107 0,000000001
0,00075 0,0000000004
0,00061 0,0000000002
0,00055 0,0000000002
0,00046 0,00000000009

N = 106(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3

0,072210,01556
0,001900,00047
0,000070,00004
0,000010,000008
0,000004
0,000001
0,000001
0,0000005
0,0000004
0,0000003
0,0000002

0,000640,000004
6 ∗ 10−9
10−10
4 ∗ 10−13
5 ∗ 10−14
2 ∗ 10−15
5 ∗ 10−16
5 ∗ 10−17
3 ∗ 10−18
10−18
2 ∗ 10−19
5 ∗ 10−20
3 ∗ 10−20
10−20

0,003010,000140,000003
2 ∗ 10−7
5 ∗ 10−910−9
10−10
6 ∗ 10−11
10−11
2 ∗ 10−12
10−12
3 ∗ 10−13
10−13
9 ∗ 10−14
4 ∗ 10−14

0,01
0,00
0,00
0,00
0,000
0,000
0,00000,00000,00000,00000,00000,00000
0,00000
0,00000
0,00000

3.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.
invariants
p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)(p2 )(p, p, p)61(p2 , p)(p3 )0,31294 0,21185 0,10273 0,05494 0,10171 0,02198
0,21019 0,00373 0,02264 0,00000 0,00053 0,00245
0,04409 0,00006 0,00165 0,00000 0,00000 0,00005
0,02272 0,000005 0,00036 0,00000 0,00000 0,000003
0,00850 0,00000 0,00005 0,00000 0,00000 0,00000
0,00607 0,00000 0,00002 0,00000 0,00000 0,00000
0,00343 0,00000 0,000002 0,00000 0,00000 0,00000
0,00267 0,00000 0,000003 0,00000 0,00000 0,00000
0,00175 0,00000 0,000003 0,00000 0,00000 0,00000
0,00107 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
0,00089 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
0,00064 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
0,00052 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
0,00048 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
0,00035 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
N = 107
invariants

p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)
0,28097
0,21607
0,04597
0,02302
0,00874
0,00620
0,00355
0,002820,00187
0,001180,001020,000710,00058
0,000530,00042(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,21935 0,09245 0,07301 0,10692 0,01963
0,00493 0,02342 0,00000 0,00069 0,00260
0,00007 0,00179 0,00000 0,00000 0,00006
0,00001 0,00044 0,00000 0,00000 0,00001
0,00000 0,00006 0,00000 0,00000 0,00000
0,00000 0,00003 0,00000 0,00000 0,00000
0,00000 0,00001 0,00000 0,00000 0,00000
0,00000 0,000004 0,00000 0,00000 0,00000
0,00000 0,000002 0,00000 0,00000 0,00000
0,00000 0,0000002 0,00000 0,00000 0,00000
0,00000 0,0000003 0,00000 0,00000 0,00000
0,00000 0,0000002 0,00000 0,00000 0,00000
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

62

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE

N = 108
invariants
p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)(p2 )0,25564
0,22157
0,08433
0,21982
0,00573
0,02405
0,046630,000070,00185
0,023110,000010,00046
0,00892 0,0000006
0,00007
0,00630 0,0000002
0,00003
0,00362 0,00000002
0,00001
0,00288
0,00000
0,000006
0,001940,00000
0,000002
0,001210,00000
0,0000009
0,00104
0,00000
0,0000004
0,000730,00000
0,0000003
0,00060
0,00000
0,0000001
0,000540,00000
0,0000002
0,00045
0,00000
0,00000005(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,08768
0,10893
0,017700,000010,00082
0,002650,00000 0,000003
0,000070,00000 0,00000005
0,000010,00000
0,00000
0,000000
0,00000
0,00000
0,0000000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

3.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.

63

N = 109

invariants

(p)

p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,23467
0,22097
0,07751
0,09970
0,10909
0,01606
0,22236
0,00630
0,024440,000010,00091
0,002700,04706
0,000070,00188 0,000000005
0,000003
0,00007
0,023160,000010,00047
0,00000
0,0000002
0,00001
0,00897 0,0000006
0,000070,00000
0,000000007 0,0000005
0,00635 0,0000002
0,00004
0,00000
0,00000
0,0000001
0,00365 0,00000004
0,000010,00000
0,00000
0,00000001
0,00290 0,00000002 0,000007
0,00000
0,00000
0,00000
0,00196 0,000000007 0,000003
0,00000
0,00000
0,00000
0,001220,00000
0,000001
0,00000
0,00000
0,00000
0,00106
0,00000
0,0000008
0,00000
0,00000
0,00000
0,000740,00000
0,0000004
0,00000
0,00000
0,00000
0,00060
0,00000
0,0000003
0,00000
0,00000
0,00000
0,00055 0,000000002 0,0000002
0,00000
0,00000
0,00000
0,00045
0,00000
0,0000001
0,00000
0,00000
0,00000

Cas des corps cubiques.
Dans ce cas Ol = Z[j] et l = 3.
Principe du premier calcul : Grâce au programme de Belabas [Bel97],
on calcule les corps cubiques dont le discriminant est compris entre 0 et N .
On calcule alors la proposition de corps dont la torsion est non triviale.

N = 106

64

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE
p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

M2 (Πp )0,71118
0,43987
0,23967
0,16320
0,09917
0,08284
0,06228
0,05540
0,04537
0,03567
0,03330
0,02776
0,02499
0,02380
0,02173fexp
0,85081
0,46489
0,23117
0,15921
0,09670
0,08207
0,06249
0,05654
0,04527
0,03443
0,03229
0,027220,02551
0,02256
0,02165δ
0,19634
0,05687
0,03545
0,02446
0,02485
0,00927
0,00334
0,02053
0,00207
0,03475
0,030310,01950
0,02112
0,05179
0,00372

N = 107
p M2,0 (Πp )2
0,71118
30,43987
50,23967
7
0,16320
11 0,09917
13 0,08284
17 0,06228
19 0,05540
23 0,04537
29 0,03567
31 0,03330
37 0,02776
41 0,02499
43 0,02380
47 0,02173

fexp
0,86801
0,48970
0,23555
0,16170
0,09886
0,08258
0,06290
0,055200,04498
0,03544
0,033100,02752
0,025220,02371
0,02168

N = 108δ
0,22052
0,11327
0,01718
0,00920
0,003140,00308
0,00988
0,00355
0,00862
0,00646
0,005900,00839
0,00923
0,00380
0,00216

3.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.
p M2,0 (Πp )2
0,71118
30,43987
50,23967
7
0,16320
11 0,09917
13 0,08284
17 0,06228
19 0,05540
23 0,04537
29 0,03567
31 0,03330
37 0,02776
41 0,02499
43 0,02380
47 0,02173

fexpδ
0,87768 0,23412
0,50299 0,14348
0,23717 0,01041
0,16254 0,00409
0,09897 0,00199
0,08270 0,00164
0,06227 0,00017
0,05534 0,00115
0,04526 0,00236
0,03551 0,00461
0,03312 0,00525
0,02764 0,00413
0,02487 0,00452
0,02377 0,00092
0,02166 0,000321

65

66

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE
N = 109
p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

M2 (Πp )0,71118
0,43987
0,23967
0,16320
0,09917
0,08284
0,06228
0,05540
0,04537
0,03567
0,03330
0,02776
0,02499
0,02380
0,02173

fexp
0,88357
0,51187
0,23845
0,16289
0,09906
0,08278
0,06229
0,055310,04536
0,03564
0,03325
0,02774
0,02496
0,02377
0,02171δ
0,24240
0,16367
0,005100,00194
0,001070,00075
0,000170,00160
0,00008
0,00075
0,00138
0,00066
0,001100,001280,00068

On va maintenant voir la répartition de la torsion en fonction des invariants. On commence par donner une table des fréquences théoriques, puis
les fréquences expérimentales pour N = 106 , N = 107 , N = 108 et N = 109 .

3.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.
invariants
p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)

0,28882
0,28006
0,19008
0,13947
0,09008
0,07643
0,05861
0,05248
0,04339
0,03444
0,032220,02701
0,02438
0,02324
0,02127

0,048137
0,01167
0,00158
0,000420,000070,00004
0,000010,000008
0,000004
0,000001
0,000001
0,0000005
0,0000004
0,0000003
0,0000002

N = 106(p2 )(p, p, p)67(p2 , p)(p3 )0,14441
0,00258
0,01203
0,072210.093350,00007
0,00259
0,031120.038020,0000006
0,00025
0,00760
0.01992
0,00000003
0,00005
0,002850.008190,0000000005
0,000006
0,00074
0.00588
0,0000000001
0,000002
0,000450.00345
0,000000000009
0,0000007 0,00020
0.002760,000000000003
0,0000004 0,00015
0.001890,0000000000006
0,00000015 0,00008
0.00119 0,00000000000007
0,00000005 0,00004
0.00104 0,00000000000004
0,00000003 0,00003
0.00073 0,000000000000008 0,00000001 0,00002
0.00059 0,000000000000003 0,000000008 0,00001
0.00054 0,000000000000002 0,000000007 0,00001
0.00045 0,0000000000000009 0,000000004 0,00001

68

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE
invariants

p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,30703 0,09449 0,15540 0,00266
0,29822 0,01364 0,09678 0,00004
0,18249 0,00093 0,03802 0,00000
0,13709 0,00040 0,01852 0,00000
0,08753 0,00011 0,00817 0,00000
0,07555 0,00005 0,00599 0,00000
0,05857 0,00000 0,00364 0,00000
0,03535 0,00000 0,00280 0,00000
0,04319 0,00000 0,00200 0,00000
0,03317 0,00002 0,00119 0,00000
0,03119 0,00000 0,00108 0,00000
0,02647 0,00000 0,00073 0,00000
0,02493 0,000000 0,00059 0,00000
0,02211 0,00000 0,00044 0,00000
0,02126 0,000000 0,00038 0,00000

0,06639
0,005590,000220,00009
0,00004
0,000020,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,07449
0,03147
0,00771
0,002730,000810,000440,00026
0,000070,000070,00005
0,000020,000020,00000
0,000020,00000(p)(p, p)(p2 )3.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.

69

N = 107
invariants
p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,29035
0,30661
0,18715
0,13816
0,089900,07608
0,059210,05233
0,04304
0,03417
0,03199
0,02682
0,02462
0,02320
0,02123

0,10160
0,017620,001270,000410,000070,00004
0,000020,000010,000010,000002
0,000002
0,00000
0,000003
0,00000
0,000002

0,15366
0,10266
0,03743
0,01967
0,00808
0,00593
0,00343
0,00273
0,00187
0,001230,00108
0,000690,00058
0,00049
0,00045

0,005070,000130,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,07604
0,00743
0,00030
0,000070,000010,000010,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,07255
0,03399
0,00758
0,00288
0,000700,00049
0,000230,000130,00006
0,00004
0,000030,000020,000010,000020,00001

N = 108

70

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE
invariants

p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)(p2 )0,27715
0,31488
0,18920
0,139190,08998
0,07638
0,05861
0,05239
0,04338
0,03441
0,03217
0,02699
0,02435
0,023220,02123

0,10559
0,022770,001530,000410,000070,000030,000010,000010,000004
0,000002
0,0000009
0,0000004
0,0000005
0,0000002
0,0000003

0,14789
0,10534
0,037820,019900,00819
0,00587
0,00345
0,002760,00189
0,001190,00104
0,000730,000590,000540,00045(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,007020,000070,07157
0,000290,01017
0,035070,00000
0,00037
0,00755
0,00000
0,00007
0,00284
0,00000
0,000010,000740,00000 0,000003 0,00045
0,00000 0,0000009 0,00021
0,00000 0,0000003 0,00014
0,00000 0,0000001 0,00008
0,00000 0,0000001 0,00004
0,00000 0,00000002 0,00003
0,00000 0,00000006 0,00002
0,00000
0,00000
0,000010,00000
0,00000
0,000020,00000
0,00000
0,000013.2. COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES.

71

N = 109
invariants
p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)(p2 )0,26826
0,31488
0,18920
0,139190,08998
0,07638
0,05861
0,05239
0,04338
0,03441
0,03217
0,02699
0,02435
0,023220,02123

0,10815
0,022770,001530,000410,000070,000030,000010,000010,000004
0,000002
0,0000009
0,0000004
0,0000005
0,0000002
0,0000003

0,14486
0,10534
0,037820,019900,00819
0,00587
0,00345
0,002760,00189
0,001190,00104
0,000730,000590,000540,00045(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,00866
0,086710,07051
0,000290,01017
0,035070,00000
0,00037
0,00755
0,00000
0,00007
0,00284
0,00000
0,000010,000740,00000 0,000003 0,00045
0,00000 0,0000009 0,00021
0,00000 0,0000003 0,00014
0,00000 0,0000001 0,00008
0,00000 0,0000001 0,00004
0,00000 0,00000002 0,00003
0,00000 0,00000006 0,00002
0,00000
0,00000
0,000010,00000
0,00000
0,000020,00000
0,00000
0,00001

Extensions de degré 5

Principe de calcul. On utilise ici les tables de corps de nombres disponibles sur le site dédié à pari-GP [PAR13]. On considère les 22740 corps denombres de degré 5 et de signature (5, 0) dont le discriminant est inférieur à
2.107 .

72

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE
p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

invariants
p
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

M2 (Πp )0,71118
0,43987
0,23967
0,16320
0,09916
0,08284
0,06228
0,05540
0,04537
0,03567
0,03330
0,02776
0,02499
0,02380
0,02173

fexp
0,888210,42836
0,22995
0,16016
0,09745
0,08478
0,06288
0,05616
0,04648
0,03549
0,03276
0,02770
0,02344
0,02392
0,02001δ
0,24894
0,026170,04056
0,01867
0,01732
0,02350
0,00966
0,01363
0,02454
0,00515
0,016130,00191
0,06189
0,00529
0,07918(p)(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,30717
0,28096
0,18391
0,135310,08808
0,07823
0,05897
0,05286
0,04445
0,03408
0,03179
0,02700
0,02265
0,00235
0,01957

0,12084
0,007210,00088
0,000480,00018
0,00004
0,000010,00004
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,14723
0,09077
0,03659
0,02097
0,008310,00589
0,00356
0,002900,00189
0,001410,00092
0,000650,00075
0,000400,00044

0,005100,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,07520
0,002900,00018
0,00009
0,00000
0,00004
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,07040
0,03008
0,00699
0,002900,00084
0,000530,000220,000350,00004
0,00000
0,00004
0,00004
0,00000
0,00000
0,00000

3.3. EXPLICATION DES RÉSULTATS NUMÉRIQUES

3.3

73

Explication des résultats numériques

On a remarqué dans les tables de la section 3.2.1 que pour des corps
totalement réels la proportion fexp était une 0-moyenne et 1-moyenne dans le
cas quadratique imaginaire. On remarque que pour p = 2, 3 le défaut est très
grand et augmente avec le nombre de corps considéré. Dans cette section onva tenter d’expliquer ces phénomènes, on commence par rappeler un résultat
de Gras [Gra82] p.94-97. Soit k un corps de nombres , on note k = K(ζp ) et
ω l’idempotent associé au caractère à action de Gal(k/K) on µp .
Théorème 3.3.1. (Corollaire 1 p. 96 [Gra82]). Soit p un nombre premierk, p 6= 2. Si µp 6⊂ K alors la torsion de X est non-triviale si et seulement si
aucun idéal au dessus de p n’est totalement décomposé et si (ClK )ω , où ClK
est le groupe de classe de K.
Si p > 3 alors µp 6⊂ k et l’indice de ramification de p dans Q(ζp )/Q)
est p − 1 donc chaque idéal de K se ramifie dans k. Ainsi les idéaux au
dessus de p ne sont pas totalement décomposé dans k/K ainsi la torsion
de X est triviale si et seulement si (ClK )ω est triviale. Alors pour un corps
totalement réel le calcul de cette torsion est ramèné au calcul d’un groupede classe d’un corps quadratique imaginaire. Ceci justifie l’utilisation d’une
0-moyenne d’après les heuristiques de Cohen-Lenstra [CL84]. De même pourles corps quadratiques réel la remarque de Gras ([Gra82]. p. 96-97) justifie
l’utilisation 1-moyenne. Pour le cas p = 2 la théorie des genres expliqueque la proportion fexp tend vers 1 lorsque que l’on fait tendre la borne dudiscriminant vers l’infini. Enfin pour p = 3 les idéaux au dessus de p dans
K peuvent être totalement décomposés dans k et ainsi la torsion est non
triviale. Considèront le diagramme suivant :k = K(ζp )√K = Q( d)√Q( −3d)Q
Dans le cas des corps quadratiques réels les idéaux au dessus de p dans
K sont totalement décomposé dans k, si d ≡ 6 mod 9. En effet 3 est ramifiée

74

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE√
dans l’extension
Q(d) car 3 divise d et 3 est totalement composé dansq√l’extension Q( −d)/Q car −d≡ 1 mod 3 ainsi comme K = Q( d)(ζ3 ) le3
3compositum de ces deux extensions l’idéal au dessus de p est totalementdécomposé dans l’extension k/K. En considérant que pour d ≡ 6 mod 9 c’està dire un huitième des corps considéré la torsion était non triviale et queles autres suivaient les heuristiques, on introduit alors une nouvelle moyenne
M20 (Π3 ) = M2,0 (Π3 ) × 87 + 81 , dans les cas réels on obtient alors :
N
106
107
108
109

M20 (Π3 )0,50989
0,50989
0,50989
0,50809fexp
0,48094
0,49054
0,496970,50120δ
0,05678
0,03794
0,02533
0,01704

Si on refait le même calcul en excluant les d ≡ 6 mod 9, on obtient alors lerésultat suivant :
N
106
107
108
109

M2,0 (Π3 )
0,43987
0,43987
0,43987
0,43987fexp
0,40679
0,41776
0,42511
0,42995

δ
0,075210,05027
0,03356
0,02257

On s’est ensuite intéressé au 9-rang de la torsion dans le cas où d ≡ 6 mod
9.
Heuristique sur le 9-rang dans le cas où d ≡ 6 mod 9.
√
On calcule la torsion pour des corps quadratique Q( d) avec d ≡ 6 mod9, 0 < d ≤ N en accord avec ce qui précède nous avons trouvé qu’elle était
toujours non triviale, On s’est alors intéresse au 9-rang de cette torsion. On
calcule la torsion des corps considéré et l’on triée en fonction des invariants.
Pour Tous les corps que l’on a pris on savait que la torsion allait être nontriviale. Si maintenant on prend une autre moyenne M 00 (Π) = M (Π)/M3 (Π).
En effet M 00 (Π) est la probabilité que le 9 rand soit non nul sachant que latorsion est non triviale. C’est pour que que l’on divise M3 (Π) la probabilité
que la torsion soit non triviale.

3.3. EXPLICATION DES RÉSULTATS NUMÉRIQUES75

N = 107fréquences
invariants(p)(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )(p, p, p, p)(p2 , p, p)(p2 , p2 )(p3 , p)(p4 )(p, p, p, p, p)(p2 , p, p, p)(p2 , p2 , p)(p3 , p, p)(p3 , p2 )(p4 , p)(p5 )(p, p, p, p, p, p)(p2 , p, p, p, p)(p2 , p2 , p, p)(p2 , p2 , p2 )(p3 , p, p, p)(p3 , p2 , p)(p3 , p3 )(p4 , p, p)(p4 , p2 )(p5 , p)(p6 )M2,0 (Π3 )

fexp

δ

0.63669
0.02653
0.212230,000110,01179
0,0707410−70,00005
0.00033
0.003930.02358
3*10−12
3*10−80,000020,000020,000150,00131
0,00786
2*10−17
10−13
10−9
10−8
10−8
9*10−70,000010,000010,00005
0,00044
0,00262

0,58360
0,07983
0,19004
0,00053
0,03406
0,062420,00000
0,000250,00086
0,011280,020620,00000
0,00000
0,000009
0,00009
0,00036
0,00380
0,006770,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,000003
0,000010,000020,000120,001210,00230

0,08338
2,00929
0,10457
3,63135
1,88901
0,11765
1,00000
3,62867
1,61568
1,86982
0,12543
1,00000
1,00000
0,49374
4,13493
1,44994
1,90397
0,13849
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,92908
1,12147
2,68847
1,49514
1,77841
0,12208

76

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE(p, p, p, p, p, p, p, p)(p2 , p, p, p, p, p)(p2 , p2 , p, p, p)(p2 , p2 , p2 , p)(p3 , p, p, p, p)(p3 , p2 , p, p)(p3 , p2 , p2 )(p3 , p3 , p)(p4 , p, p, p)(p4 , p2 , p)(p4 , p3 )(p5 , p, p)(p5 , p2 )(p6 , p)(p7 )Total avec p2 qui divise un invariant

9*10−24
3*10−18
2*10−16
4*10−12
4*10−11
5*10−10
3*10−9
2*10−8
3*10−9
3*10−7
2*10−6
2*10−60,000020,000150,00087
0,336170,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,000001
0,000004
0,000009
0,000030,00043
0,0074
0,33546

1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
3,39362
1,196813,55635
1,03408
1,92908
0,150200.00211

Les tableaux pour N = 108 et N = 109 sont en annexes 5.0.4

Extensions cycliques de degré 5

Principe de calcul : On va ici utiliser les tables de corps de nombres
disponibles sur le site dédié au logiciel pari-GP. On a considéré les 22740
premiers corps de nombres de degré 5 dont les discriminants sont inférieurs à
2 ∗ 107 et de signature (5, 0), figurant dans ces tables. Ici encore, le module Xn’est a priori qu’un Z-module et les résultats que l’on obtient semblent être
en adéquation avec les heuristiques énoncés précédemment.

3.3. EXPLICATION DES RÉSULTATS NUMÉRIQUES
p M2 (Πp )3 0,43987
5 0,23967
7 0,16320
11 0,09916
13 0,08284
17 0,06228
19 0,05540
23 0,04537
29 0,03567
31 0,03330
37 0,02776
41 0,02499
43 0,02380
47 0,02173
invariants
(p)

p
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

3.3.1

0,28096
0,18391
0,135310,08808
0,07823
0,05897
0,05286
0,04445
0,03408
0,03179
0,02700
0,02265
0,00235
0,0195777

fexp
δ(Écart)
0,42836 0,01151
0,22995 0,00972
0,16016 0,00304
0,09745 0,00171
0,08478 0,00194
0,06288 0,00060
0,05616 0,00076
0,04648 0,00111
0,03549 0,00018
0,03276 0,00054
0,02770 0,00006
0,02344 0,00155
0,02392 0,00012
0,02001 0,00172(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,007210,00088
0,000480,00018
0,00004
0,000010,00004
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,09077
0,03659
0,02097
0,008310,00589
0,00356
0,002900,00189
0,001410,00092
0,000650,00075
0,000400,000440,00000
0,00717
0,00299
0,00084
0,00057
0,000210,000350,00004
0,00000
0,00004
0,00004
0,000400,00000
0,00000

0,002900,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,03008
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

Incidence de la signature du corps

Pour l’instant, on n’a effectué que des calculs pour des corps de signatures
constantes ou sans se préoccuper de celles-ci. Dans cette section, on étudiel’incidence de la signature du corps sur la fréquence d’apparition du module

78

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE

Tp . En utilisant les tables de nombres disponibles sur le site dédié à pari-GP,
on a calculé les fréquences d’apparition de Tp pour des corps de nombres dedegré 3 et 5, dont les signatures sont respectivement (1, 1) et (3, 3) d’unepart et (1, 2), (3, 1) d’autre part. Les résultats obtenus sont consignés dansles tableaux ci-dessous. On tentera ensuite d’interpréter les résultats obtenus.

Cas des corps de degré 3.
p fexp (1, 1)
3
0,23427
5
0,04526
7
0,02205
11 0,00865
13 0,00624
17 0,00356
19 0,00289
23 0,00201
29 0,00120
31 0,00101
37 0,00073
41 0,00059
43 0,00056
47 0,00048
Répartition pour les corps cubiques et de signature (1,1).

3.3. EXPLICATION DES RÉSULTATS NUMÉRIQUES
invariants
p
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

79

(p)

(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,20534
0,04336
0,02162
0,00856
0,000621
0,00355
0,00288
0,00200
0,001200,001010,000730,000590,00056
0,00048

0,004190,000030,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,02156
0,001810,00043
0,00006
0,000030,000010,000010,000010,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,000010,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,002410,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,01135
0,00152
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

Cas des corps de degré 5 :p fexp (1, 2) fexp (3, 1) fexp (5, 0)
30,126130,156390,42837
50,00686
0,03435
0,22995
7
0,002620,02065
0,16016
11 0,00103
0,00963
0,09745
13 0,00024
0,005090,08478
17 0,00021
0,00333
0,06288
19 0,00017
0,00287
0,05616
23 0,00003
0,00269
0,04648
29 0,00000
0,00139
0,03549
31 0,00000
0,00139
0,03276
37 0,00000
0,00083
0,02770
41 0,00000
0,00037
0,02344
43 0,00000
0,00056
0,02392
47 0,00000
0,00056
0,02001Répartition pour les corps de degré 5 et de signature (1,2).

80

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE
invariants

p
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,12206
0,00679
0,00259
0,001030,000240,000210,000170,000030,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,00145
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,002480,000070,000030,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,000030,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,000070,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

Répartition pour les corps de degré 5 et de signature (3,1).
invariants
p
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47

(p)

(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )0,14009
0,03287
0,02028
0,00963
0,00509
0,00333
0,00287
0,00269
0,001390,001390,00083
0,00037
0,00056
0,00056

0,00204
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,01259
0,001390,000280,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

0,00167
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

3.3. EXPLICATION DES RÉSULTATS NUMÉRIQUES81

On observe que comme pour les corps quadratiques imaginaires pour lescorps n’ayant qu’une seule place complexe la fréquence obtenue est de prochede la 1-moyenne de Πp .

p M2,1 (Πp )30.15981
5
0,04958
7
0,02374
11 0,00908
13 0,00641
17 0,00368
19 0,00292
23 0,00198
29 0,00123
31 0,00108
37 0,00075
41 0,00061
43 0,00055
47 0,00046

fexp (1, 1) fexp (2, 1)
0,23427
0,15639
0,04526
0,03435
0,02205
0,02065
0,00865
0,00963
0,00624
0,00509
0,00356
0,00333
0,00289
0,00287
0,00201
0,00269
0,001200,001390,00101
0,001390,000730,00083
0,000590,00037
0,00056
0,00056
0,000480,00056

Les résultats numériques obtenus précédemment semblent en accord avec
les heuristiques de Cohen-Lenstra [CL84].

82

CHAPITRE 3. APPROCHE HEURISTIQUE

Chapitre 4
Application à la conjecture deGreenberg.
On note An le p-sous groupe de Sylow du groupe de classe de Kn où
Kn est le n-ème étages de l’extension cyclotomique. Alors il existe deuxentiers λ et µ dépendant seulement de K et p, tel que pour n assez grandn#(An ) = pλn+µp +ν [Iwa73]. Il est conjecturé que dans le cas totalement réelque #An est bornée donc λ et µ sont nuls. Ceci est démontré pour µ dansles cas abélien voir [FW79], mais pour λ rien n’a été démontré.

4.0.2

Équivalent à la conjecture de Greenberg

On note Dn le p sous groupe de sylow du groupe des classes engendré parles places au dessus de p dans Kn .
Théorème 4.0.2. ([Tay99] Théorème 2 p.173)
Soit K un corps de nombre abélien sur Q totalement réel et soit p un
nombre premier impair totalement décomposé dans K/Q. Alors la conjecture de Greenberg est vérifiée si et seulement si pour n assez grand.
#Dn = #Tp

4.0.3

Exemple de la conjecture de Greenberg.

Dans cette section on a donné des exemples de corps quadratiques réelsvérifiant la conjecture√ de Greenberg. On utilise le critère énoncé précédemment.
Pour un corps Q( d) donné on calcule du sous-groupe engendré par les places8384CHAPITRE 4. APPLICATION À LA CONJECTURE DE GREENBERG.
au dessus de p. On peut calculer le cardinal de sa p-partie et le comparerà celui de la torsion. La torsion sera calculée en utilisant l’algorithme. Le
problème de cette méthode c’est que pour calculer #Dn , il faut monter dansl’extension cyclotomique et donc calculer des corps de grand degré c’est pourcela que l’on ce limite à l’étage 0 et 1 pour faire ces calculs, pour éviter les trop
grands degrés. Dans le tableau ci-dessous on donne les résultats seulement
lorsque la torsion est non triviale pour p = 5.

d
39
51
69
89
109
114
134
139
161
186
191
211
214
241
259
271
314
326
366
401
426
434
439
466
489
499

#(D0 ) #(D1 ) #(Tp )
1
5
5
1
5
5
5
5
5
25
25
25
5
5
5
1
5
5
5
5
5
25
25
25
5
5
5
1
1
5
25
25
25
5
5
5
5
5
5
5
5
5
1
1
5
5
5
5
1
5
5
1
5
5
1
5
5
5
5
5
1
5
5
1
1
25
5
5
5
1
5
5
5
5
5
5
5
5

85
d #(D0 ) #(D1 )
501
5
5
509
5
5
514
1
1
519
1
5
526
5
5
534
1
1
541
5
5
574
1
5
581
5
5
589
25
25
606
1
1
626
1
5
629
1
5
634
1
1
674
1
5
699
1
1
719
5
5
734
5
5
761
1
5
789
5
5
791
1
1
869
5
5
874
5
5
881
5
5
966
1
5

#(Tp )
5
5
25
5
5
5
5
5
5
25
125
5
5
125
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5

√
La conjecture de Greenberg est donc vraie pour les corps quadratiques Q( d)avec d ≤ 1000 sauf pour 9 cas (d=186,259,434,514,534,606,634,699,791) où
l’on ne peut pas conclure. Il faudrait calcul #(D2 ) et si on ne peut toujours
pas conclure alors il faut calculer #(D3 ) et ainsi de suite mais cela reviendraità calculer un corps de degré 50. Ce qui est très lourd en calcul.
Tous les cas que l’on a étudié pour les moments la torsion était de rang
1. On donne des exemples de corps quadratiques pour p = 5 où la torsion
est de rang supérieur à deux. On donnera des exemples où la conjecture deGreenberg est vérifiée.

86CHAPITRE 4. APPLICATION À LA CONJECTURE DE GREENBERG.
d#(D0 ) #(D1 )
22621
5
25
47751
5
25
1058545251261595251419945
25
1781495251969142575
2446415253043915253084915253194995253365895253446745253706995253711495254054615254149345254407915254419745254875915
255110515255268745255443145
25576646525622931525624779525628951525661639525689879525694194
5
25

invariants de la torsion Tp
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[25,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]
[5,5]

87
d
#(D0 )
712601571518657382515745499576603157651395775254582307458259745835149584985958527895857939588645158908345933626
5993631
5#(D1 ) invariants de la torsion Tp
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]
25
[5,5]

88CHAPITRE 4. APPLICATION À LA CONJECTURE DE GREENBERG.

Chapitre 5
Annexe5.0.4

Heuristique sur le 9-rang (section 3.3).
N = 108fréquences
invariants(p)(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )(p, p, p, p)(p2 , p, p)(p2 , p2 )(p3 , p)(p4 )(p, p, p, p, p)(p2 , p, p, p)(p2 , p2 , p)(p3 , p, p)(p3 , p2 )(p4 , p)(p5 )M2,0 (Π3 )

fexp

δ

0.63669
0.02653
0.212230,000110,01179
0,0707410−70,00005
0.00033
0.003930.02358
3 ∗ 10−12
3 ∗ 10−8
0,000020,00006
0,000150,00131
0,00786

0,57564
0,08426
0,18861
0,00072
0,03665
0,06260
0,0000001
0,00033
0,00095
0,012160,020850,00000
0,00000
0,000010,000110,000410,00406
0,00692

0,09589
2,17629
0,11128
5,39223
2,10830
0,11516
1,50721
5,07999
1,89535
2,09444
0,11516
1,00000
1,00000
0,26230
1,81519
5,11856
2,10197
0,1201289

90

CHAPITRE 5. ANNEXE
fréquences
invariants(p, p, p, p, p, p)(p2 , p, p, p, p)(p2 , p2 , p, p)(p2 , p2 , p2 )(p3 , p, p, p)(p3 , p2 , p)(p3 , p3 )(p4 , p, p)(p4 , p2 )(p5 , p)(p6 )(p, p, p, p, p, p, p, p)(p2 , p, p, p, p, p)(p2 , p2 , p, p, p)(p2 , p2 , p2 , p)(p3 , p, p, p, p)(p3 , p2 , p, p)(p3 , p2 , p2 )(p3 , p3 , p)(p4 , p, p, p)(p4 , p2 , p)(p4 , p3 )(p5 , p, p)(p5 , p2 )(p6 , p)(p7 )Total avec p2 qui divise un invariant

M2,0 (Π3 )

fexp

δ

2 ∗ 10−17
10−13
10−9
10−8
10−8
9 ∗ 10−7
0,000010,000010,00005
0,00044
0,00262
9 ∗ 10−24
3 ∗ 10−8
2 ∗ 10−16
4 ∗ 10−12
4 ∗ 10−11
5 ∗ 10−10
3 ∗ 10−9
2 ∗ 10−8
3 ∗ 10−9
3 ∗ 10−7
2 ∗ 10−6
2 ∗ 10−6
0,000020,000150,00087
0,336170,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,000010,00004
0,000140.00134
0,002290,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
3,393620,000004
0,000010,000030,00043
0,00074
0,33876

1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
3,68656
0,56219
7,44557
0,06160
0,95751
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
5,15111
1,48973
4,20729
1,709423,05190
0,11118
0.00770

91
N = 109fréquences
invariants(p)(p, p)(p2 )(p, p, p)(p2 , p)(p3 )(p, p, p, p)(p2 , p, p)(p2 , p2 )(p3 , p)(p4 )(p, p, p, p, p)(p2 , p, p, p)(p2 , p2 , p)(p3 , p, p)(p3 , p2 )(p4 , p)(p5 )M2,0 (Π)

fexp

δ

0.63669
0,57065 0,10373
0.02653
0,08719 2,28657
0.21223
0,18789 0,11471
0,000110,00089 6,82378
0,01179
0,03827 2,24622
0,07074
0,06253 0,11614−7
100,0000002 2,26082
0,000025 0,00042 6,61831
0.00033
0,00102 2,12321
0.00393
0,01272 2,23575
0.02358
0,02081 0,11732
3*10−120,00000 1,00000−83*10
0,0000002 7,12337
0,000020,00001 0,19793
0,000020,00014 6,55346
0,000150,00045 2,09997
0,001310,00422 2,22186
0,00786
0,00693 0,11876

92

CHAPITRE 5. ANNEXE
fréquences

invariants(p, p, p, p, p, p)(p2 , p, p, p, p)(p2 , p2 , p, p)(p2 , p2 , p2 )(p3 , p, p, p)(p3 , p2 , p)(p3 , p3 )(p4 , p, p)(p4 , p2 )(p5 , p)(p6 )(p, p, p, p, p, p, p, p)(p2 , p, p, p, p, p)(p2 , p2 , p, p, p)(p2 , p2 , p2 , p)(p3 , p, p, p, p)(p3 , p2 , p, p)(p3 , p2 , p2 )(p3 , p3 , p)2(p4 , p, p, p)(p4 , p2 , p)(p4 , p3 )(p5 , p, p)(p5 , p2 )(p6 , p)(p7 )Total avec p2 qui divise un invariant

5.0.5

M2,0 (Π3 )2*10−17
10−13
10−9
10−8
10−8
9*10−70,000010,000010,00005
0,00044
0,00262
9*10−24
3*10−18
2*10−16
4*10−15
4*10−11
5*10−10
3*10−9*10−8
2*10−8
3*10−7
2*10−6
2*10−60,000020,000150,00087
0,33617fexp

δ0,00000
1,00000
0,00000
1,00000
0,00000
1,00000
0,00000004 5,85410
0,0000001 5,09253
0,00001
6,308110,00001
0.880410,00005
6,481140,00015
8,299900.00140
0,03332
0,00230
0,122130,00000
1,00000
0,00000
1,00000
0,00000
1,00000
0,00000
1,00000
0,00000
1,00000
0,00000
1,00000
0,00000
6,38133
0,00000
6,38133
0,00000
1,00000
0,000002
5,634410,000005
2,038940,00001
6,17955
0,00005
1,995820,00046
3,191220,00077
0,012342
0,340620.01323

Tables numériques.

√
La table suivante classe les corps quadratiques réel Q( d) pour d ≤ 104
en fonction de T3

93
d2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 30, 31,
34, 35, 37, 38, 39, 41, 46, 47, 53, 55, 57, 59, 61, 65, 66, 70, 71,
73, 86, 89, 91, 94, 95, 97, 101, 102, 107, 110, 111, 115, 118, 119,
127, 129, 130, 133, 134, 138, 143, 145, 146, 149, 154, 155, 157,
158, 161, 163, 165, 166, 167, 170, 174, 178, 185, 187, 190, 191,
193, 194, 197, 201, 203, 205, 209, 210, 211, 214, 215, 217, 218,
219, 221, 226, 227, 230, 233, 237, 239, 241, 246, 255, 259, 262,
263, 265, 266, 269, 273, 274, 277, 278, 282, 283, 286, 290, 291,
293, 298, 299, 301, 302, 305, 307, 309, 311, 313, 317, 319, 329,
334, 335, 341, 345, 349, 355, 358, 362, 365, 367, 370, 371, 373,
374, 377, 379, 381, 382, 383, 385, 389, 390, 394, 395, 398, 399,
403, 407, 409, 413, 415, 419, 421, 422, 426, 430, 433, 434, 435,
437, 439, 442, 445, 446, 451, 453, 455, 458, 462, 463, 466, 467,
470, 478, 481, 482, 485, 487, 489, 491, 493, 498, 499, 503, 509,
514, 517, 523, 526, 527, 530, 534, 535, 538, 541, 542, 543, 545,
547, 551, 553, 554, 557, 559, 561, 562, 565, 566, 569, 570, 577,
579, 583, 586, 587, 589, 590, 593, 595, 598, 601, 602, 613, 614,
615, 617, 619, 622, 623, 629, 631, 641, 643, 646, 649, 651, 655,
658, 661, 665, 669, 670, 671, 673, 677, 678, 682, 685, 687, 689,
T3 = 1
691, 695, 698, 701, 703, 705, 706, 707, 709, 710, 713, 714, 715,
718, 721, 734, 737, 739, 742, 746, 749, 755, 757, 758, 759, 763,
766, 769, 770, 777, 778, 779, 781, 793, 794, 795, 797, 799, 803,
805, 809, 811, 813, 814, 815, 817, 818, 821, 823, 826, 827, 829,
830, 835, 838, 853, 857, 859, 862, 863, 869, 881, 883, 885, 889,
890, 893, 901, 902, 903, 905, 907, 910, 911, 913, 914, 917, 919,
922, 923, 930, 937, 938, 939, 941, 943, 946, 947, 949, 955, 957,
958, 959, 962, 966, 967, 970, 971, 973, 974, 977, 982, 983, 986,
989, 991, 995, 998, 1001, 1003, 1007, 1011, 1015, 1018, 1019, 1021,
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94

CHAPITRE 5. ANNEXE
d1423, 1426, 1427, 1434, 1435, 1438, 1439, 1441, 1442, 1443, 1447,
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95d
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96

CHAPITRE 5. ANNEXE
d4045, 4049, 4051, 4054, 4057, 4058, 4062, 4063, 4066, 4069, 4070,
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4782, 4786, 4787, 4790, 4791, 4793, 4795, 4798, 4799, 4801, 4807,
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5003, 5006, 5007, 5009, 5014, 5015, 5017, 5023, 5027, 5030, 5033,
5034, 5035, 5038, 5045, 5051, 5057, 5065, 5066, 5069, 5071, 5074,
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97d
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98

CHAPITRE 5. ANNEXE
d6635, 6638, 6641, 6643, 6645, 6646, 6649, 6653, 6654, 6659, 6661,
6662, 6665, 6671, 6673, 6674, 6677, 6679, 6682, 6683, 6689, 6690,
6695, 6697, 6698, 6699, 6701, 6706, 6709, 6710, 6715, 6717, 6718,
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7054, 7059, 7063, 7067, 7069, 7070, 7073, 7077, 7079, 7081, 7082,
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7706, 7707, 7714, 7715, 7717, 7718, 7723, 7727, 7729, 7730, 7733,
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99d8002, 8006, 8009, 8013, 8014, 8021, 8022, 8023, 8031, 8035, 8038,
8039, 8042, 8045, 8047, 8049, 8053, 8054, 8058, 8059, 8062, 8063,
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8123, 8126, 8129, 8131, 8135, 8138, 8141, 8143, 8146, 8147, 8149,
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T3 =1 8537, 8542, 8549, 8551, 8553, 8554, 8557, 8562, 8567, 8570, 8571,
8573, 8578, 8579, 8582, 8587, 8589, 8590, 8593, 8594, 8598, 8602,
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8634, 8635, 8638, 8639, 8642, 8643, 8645, 8647, 8651, 8653, 8657,
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100

CHAPITRE 5. ANNEXE
d9358, 9361, 9362, 9363, 9365, 9367, 9371, 9373, 9374, 9377, 9383,
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T3 =1
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T3 =[3] 934, 935, 942, 951, 953, 965, 978, 979, 985, 987, 994, 997.1002, 1005,
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101d1609, 1619, 1626, 1627, 1635, 1639, 1642, 1645, 1646, 1649, 1653,
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1995, 2005, 2010, 2013, 2015, 2019, 2022, 2026, 2027, 2029, 2030,
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T3 =[3] 2555, 2557, 2561, 2562, 2570, 2571, 2573, 2579, 2598, 2607, 2609,
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102

CHAPITRE 5. ANNEXE
d3898, 3899, 3903, 3911, 3921, 3922, 3927, 3930, 3931, 3937, 3939,
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4766, 4767, 4771, 4783, 4785, 4789, 4803, 4809, 4817, 4821, 4830,
4831, 4837, 4838, 4839, 4841, 4845, 4846, 4853, 4854, 4863, 4865,
4866, 4867, 4870, 4886, 4889, 4893, 4903, 4907, 4911, 4915, 4929,
4933, 4934, 4938, 4945, 4947, 4965, 4970, 4982, 4985, 4994, 4997,
5001, 5005, 5011, 5018, 5019, 5026, 5029, 5037, 5039, 5042, 5053,
T3 =[3] 5055, 5059, 5061, 5063, 5081, 5083, 5089, 5091, 5099, 5102, 5113,
5118, 5123, 5127, 5131, 5134, 5137, 5141, 5143, 5149, 5154, 5161,
5163, 5173, 5177, 5181, 5182, 5183, 5185, 5186, 5187, 5189, 5190,
5199, 5206, 5207, 5210, 5217, 5218, 5221, 5230, 5234, 5235, 5249,
5255, 5261, 5262, 5263, 5271, 5277, 5289, 5297, 5298, 5307, 5309,
5331, 5333, 5334, 5339, 5343, 5347, 5351, 5353, 5361, 5365, 5370,
5379, 5381, 5383, 5386, 5397, 5406, 5407, 5419, 5421, 5422, 5431,
5437, 5438, 5441, 5442, 5451, 5453, 5455, 5458, 5469, 5471, 5478,
5487, 5494, 5497, 5502, 5503, 5505, 5506, 5510, 5522, 5523, 5527,
5529, 5530, 5541, 5557, 5558, 5559, 5567, 5578, 5579, 5599, 5609,
5617, 5619, 5621, 5622, 5629, 5637, 5642, 5646, 5649, 5666, 5669,
5674, 5681, 5683, 5694, 5698, 5702, 5703, 5719, 5721, 5730, 5734,
5738, 5739, 5745, 5749, 5761, 5781, 5791, 5798, 5799, 5801, 5802,
5803, 5810, 5815, 5821, 5838, 5843, 5861, 5865, 5870, 5874, 5883,
5898, 5902, 5910, 5918, 5930, 5933, 5934, 5937, 5938, 5941, 5946,
5955, 5970, 5981, 5997, 6001, 6009, 6011, 6017, 6018, 6029, 6031,
6038, 6042, 6047, 6053, 6055, 6058, 6061, 6063, 6081, 6082, 6090,
6091, 6094, 6114, 6117, 6133, 6135, 6151, 6159, 6166, 6167, 6169,
6186, 6187, 6193, 6195, 6198, 6202, 6207, 6217, 6218, 6234, 6238,
6242, 6258, 6261, 6265, 6270, 6271, 6277, 6279, 6286, 6289, 6294,

103d
6295, 6297, 6306, 6307, 6310, 6311, 6315, 6326, 6334, 6342, 6351,
6355, 6359, 6366, 6369, 6374, 6385, 6401, 6403, 6405, 6427, 6430,
6441, 6451, 6459, 6461, 6465, 6477, 6478, 6482, 6483, 6490, 6494,
6499, 6501, 6502, 6514, 6522, 6530, 6547, 6571, 6585, 6593, 6601,
6621, 6623, 6626, 6630, 6663, 6666, 6667, 6670, 6685, 6686, 6691,
6702, 6703, 6707, 6711, 6719, 6729, 6730, 6731, 6737, 6747, 6758,
6761, 6765, 6766, 6770, 6771, 6774, 6782, 6783, 6785, 6797, 6798,
6799, 6801, 6806, 6807, 6835, 6837, 6846, 6854, 6855, 6863, 6869,
6871, 6882, 6887, 6890, 6891, 6899, 6901, 6907, 6913, 6915, 6918,
6934, 6938, 6945, 6949, 6954, 6965, 6977, 6979, 6981, 6985, 6995,
6997, 6999, 7014, 7017, 7019, 7023, 7026, 7035, 7051, 7055, 7057,
7058, 7061, 7062, 7066, 7071, 7087, 7089, 7091, 7094, 7103, 7109,
7115, 7117, 7118, 7126, 7133, 7134, 7142, 7143, 7157, 7161, 7169,
7170, 7183, 7187, 7189, 7193, 7198, 7201, 7210, 7229, 7231, 7233,
7234, 7235, 7239, 7247, 7251, 7259, 7262, 7270, 7273, 7278, 7294,
7303, 7307, 7309, 7314, 7315, 7319, 7321, 7323, 7329, 7349, 7355,
7369, 7370, 7374, 7377, 7383, 7386, 7387, 7393, 7395, 7403, 7413,
T3 =[3] 7418, 7422, 7423, 7431, 7437, 7445, 7451, 7453, 7455, 7466, 7469,
7471, 7473, 7474, 7485, 7487, 7495, 7503, 7509, 7513, 7521, 7522,
7530, 7537, 7539, 7543, 7545, 7554, 7557, 7559, 7567, 7582, 7590,
7591, 7593, 7598, 7601, 7602, 7603, 7607, 7610, 7611, 7619, 7621,
7629, 7633, 7634, 7639, 7643, 7647, 7649, 7658, 7663, 7666, 7671,
7673, 7678, 7689, 7690, 7691, 7694, 7698, 7701, 7702, 7703, 7705,
7709, 7710, 7721, 7737, 7743, 7746, 7747, 7755, 7757, 7769, 7779,
7797, 7802, 7818, 7827, 7829, 7831, 7835, 7845, 7846, 7863, 7870,
7878, 7879, 7883, 7886, 7887, 7890, 7897, 7899, 7905, 7906, 7910,
7917, 7919, 7930, 7939, 7953, 7957, 7958, 7961, 7962, 7978, 7981,
7989, 7994, 7998, 7999, 8003, 8005, 8011, 8017, 8018, 8026, 8027,
8029, 8030, 8034, 8041, 8043, 8051, 8057, 8066, 8067, 8070, 8071,
8078, 8090, 8094, 8095, 8097, 8099, 8101, 8102, 8103, 8105, 8106,
8110, 8133, 8137, 8142, 8151, 8155, 8158, 8169, 8171, 8173, 8178,
8194, 8203, 8206, 8209, 8213, 8223, 8227, 8237, 8245, 8251, 8255,
8266, 8267, 8274, 8282, 8285, 8295, 8297, 8299, 8301, 8305, 8306,
8322, 8331, 8333, 8345, 8354, 8358, 8359, 8363, 8365, 8373, 8382,
8385, 8394, 8402, 8409, 8411, 8417, 8418, 8422, 8426, 8429, 8430,
8434, 8439, 8447, 8449, 8453, 8489, 8493, 8502, 8503, 8510, 8511,

104

CHAPITRE 5. ANNEXE
d8518, 8519, 8522, 8529, 8530, 8533, 8539, 8545, 8546, 8558, 8565,
8566, 8569, 8583, 8597, 8599, 8601, 8603, 8615, 8626, 8633, 8641,
8654, 8663, 8682, 8689, 8690, 8691, 8706, 8709, 8711, 8715, 8718,
8729, 8731, 8733, 8738, 8742, 8743, 8755, 8758, 8759, 8762, 8765,
8769, 8770, 8781, 8782, 8786, 8789, 8799, 8803, 8806, 8807, 8814,
8815, 8817, 8826, 8837, 8853, 8854, 8855, 8871, 8881, 8885, 8889,
8890, 8893, 8894, 8898, 8905, 8907, 8933, 8934, 8943, 8961, 8970,
8979, 8989, 8995, 8998, 8999, 9006, 9015, 9017, 9019, 9029, 9033,
9034, 9042, 9046, 9047, 9049, 9051, 9058, 9069, 9073, 9078, 9082,
9086, 9089, 9094, 9095, 9097, 9098, 9101, 9103, 9105, 9110, 9118,
9123, 9129, 9130, 9137, 9141, 9145, 9149, 9151, 9154, 9155, 9158,
T3 =[3] 9159, 9167, 9169, 9170, 9177, 9183, 9191, 9197, 9199, 9202, 9206,
9211, 9215, 9218, 9219, 9222, 9223, 9226, 9230, 9231, 9238, 9249,
9263, 9267, 9277, 9278, 9282, 9285, 9287, 9293, 9301, 9305, 9311,
9314, 9319, 9321, 9322, 9330, 9339, 9345, 9349, 9355, 9366, 9370,
9379, 9381, 9382, 9413, 9419, 9426, 9427, 9430, 9431, 9445, 9449,
9454, 9458, 9467, 9471, 9474, 9479, 9489, 9494, 9499, 9501, 9507,
9510, 9514, 9517, 9519, 9521, 9523, 9526, 9530, 9538, 9543, 9545,
9546, 9551, 9562, 9563, 9565, 9570, 9573, 9586, 9590, 9602, 9609,
9611, 9615, 9635, 9645, 9663, 9669, 9681, 9689, 9690, 9705, 9710,
9714, 9721, 9722, 9726, 9727, 9735, 9753, 9757, 9762, 9763, 9766,
9769, 9771, 9778, 9779, 9785, 9789, 9794, 9797, 9798, 9803, 9807,
9815, 9817, 9822, 9823, 9827, 9830, 9833, 9834, 9845, 9861, 9867,
9869, 9871, 9874, 9886, 9890, 9893, 9902, 9905, 9907, 9910, 9913,
9914, 9915, 9921, 9930, 9933, 9937, 9939, 9941, 9942, 9949, 9969,
9978, 9985, 9987, 9993, 9995

105d
T3 =[3,3]
717,1383, 1714, 1887, 1901, 2229, 2230, 2263, 2445, 2787,
2913, 3667, 3678, 3714, 3786, 4094, 4151, 4299, 4722, 4910, 4983, 5667,
5811, 5901, 5982, 6162, 6185, 6243, 6414, 6515, 6657, 6873, 6963, 6990,
7269, 7310, 7311, 7655, 7726, 8079, 8241, 8457, 9062, 9258, 9357, 9447,
9618, 9790, 9897, 9926
29, 42, 67, 74, 79, 137, 141, 182, 183, 195, 222, 238, 251,258,
271, 303, 314, 321, 326, 353, 359, 417, 447, 471, 479, 494, 506, 521, 611,
638, 647, 654, 674, 690, 723, 727, 731, 741, 767, 782, 806, 831, 842, 861,
874, 877, 878, 906, 933, 969, 993, 1006, 1009, 1013, 1027, 1031, 1046, 1051,
1086, 1117, 1122, 1129, 1135, 1139, 1165, 1167, 1223, 1238, 1239, 1246, 1258,
1311, 1322, 1367, 1374, 1401, 1429, 1430, 1433, 1446, 1477, 1478, 1479, 1507,
1509, 1527, 1541, 1554, 1654, 1655, 1678, 1691, 1781, 1806, 1811, 1830, 1833,
1855, 1894, 1910, 1914, 1946, 1951, 1959, 1977, 2006, 2021, 2049, 2055, 2059,
2094, 2137, 2139, 2161, 2186, 2201, 2221, 2246, 2247, 2266, 2267, 2319, 2355,
2374, 2405, 2406, 2410, 2418, 2470, 2473, 2478, 2481, 2490, 2518, 2521, 2554,
2587, 2593, 2611, 2629, 2649, 2658, 2678, 2697, 2714, 2726, 2743, 2753, 2759,
2771, 2777, 2778, 2794, 2801, 2805, 2807, 2822, 2833, 2885, 2894, 2910, 2915,
2919, 2947, 2951, 2985, 2986, 2994, 3007, 3059, 3066, 3082, 3090, 3102, 3119,
3126, 3138, 3147, 3157, 3187, 3194, 3205, 3237, 3254, 3282, 3311, 3327, 3345,
3414, 3419, 3422, 3446, 3454, 3471, 3527, 3531, 3551, 3579, 3621, 3665, 3669,
3677, 3685, 3719, 3739, 3741, 3765, 3769, 3774, 3778, 3791, 3830, 3849, 3853,
3895, 3941, 3955, 3957, 3958, 3962, 3973, 3979, 3981, 4007, 4011, 4021, 4031,
T3 =[9] 4065, 4081, 4093, 4101, 4110, 4137, 4142, 4162, 4197, 4211, 4226, 4269, 4281,
4283, 4285, 4295, 4297, 4301, 4346, 4353, 4362, 4391, 4402, 4406, 4409, 4411,
4434, 4443, 4451, 4453, 4493, 4513, 4526, 4534, 4535, 4537, 4555, 4587, 4594,
4615, 4641, 4642, 4643, 4651, 4657, 4667, 4718, 4727, 4731, 4737, 4741, 4749,
4758, 4823, 4826, 4855, 4939, 4954, 4963, 4966, 4973, 5010, 5062, 5095, 5098,
5109, 5110, 5114, 5178, 5179, 5237, 5266, 5285, 5286, 5291, 5303, 5327, 5369,
5405, 5411, 5434, 5461, 5477, 5513, 5521, 5533, 5542, 5595, 5611, 5613, 5623,
5631, 5647, 5658, 5659, 5682, 5722, 5741, 5786, 5822, 5846, 5847, 5853, 5858,
5878, 5889, 5897, 5905, 5951, 5954, 5971, 5973, 5991, 6043, 6045, 6054, 6126,
6141, 6199, 6209, 6213, 6283, 6305, 6333, 6335, 6338, 6387, 6394, 6421, 6486,
6495, 6505, 6506, 6513, 6531, 6594, 6602, 6610, 6631, 6637, 6639, 6693, 6739,
6746, 6751, 6754, 6769, 6790, 6791, 6794, 6809, 6810, 6817, 6819, 6830, 6834,
6847, 6922, 6927, 6943, 7031, 7053, 7097, 7107, 7190, 7206, 7215, 7226, 7246,
7253, 7279, 7295, 7305, 7341, 7357, 7359, 7411, 7415, 7429, 7449, 7458, 7478,
7494, 7566, 7573, 7574, 7583, 7630, 7635, 7638, 7642, 7665, 7699, 7711, 7745,
7753, 7798, 7809, 7813, 7822, 7858, 7873, 7891, 7926, 7933, 7937, 7941, 7951,

106

CHAPITRE 5. ANNEXE
d7955, 7959, 7969, 7971, 7985, 7991, 7997, 8007, 8033, 8069,
8093, 8098, 8111, 8113, 8114, 8115, 8130, 8170, 8187, 8205,
8239, 8259, 8269, 8277, 8279, 8286, 8367, 8389, 8399, 8403,
8421, 8423, 8438, 8443, 8486, 8531, 8538, 8547, 8561, 8563,
8574, 8581, 8585, 8609, 8610, 8637, 8646, 8655, 8659, 8699,
8737, 8763, 8785, 8813, 8835, 8859, 8863, 8870, 8882, 8899,
8909, 8931, 8951, 8958, 8965, 9002, 9007, 9022, 9071, 9087,
T3 =[9]9111, 9115, 9133, 9186, 9194, 9209, 9213, 9217,
9266, 9281, 9286, 9290, 9294, 9298, 9303, 9323, 9326, 9327,
9389, 9393, 9394, 9397, 9402, 9410, 9411, 9429, 9433, 9437,
9443, 9451, 9455, 9463, 9465, 9582, 9589, 9591, 9606, 9619,
9649, 9654, 9691, 9699, 9717, 9718, 9734, 9749, 9795, 9805,
9813, 9865, 9870, 9879, 9895, 9906, 9929, 9958
T3 =[3,9]2659, 2917, 2922, 3023, 3291, 3867, 4227, 4279, 4778, 4974,
5073, 5253, 5919, 6378, 6567, 6738, 7006, 7773, 7954, 8061,
8374, 8713, 9578, 9998
T3 = [27]105, 247, 257, 339, 354, 410, 431, 511, 519, 599, 610, 634,
681, 683, 730, 733, 854, 1131, 1142, 1203, 1257, 1319, 1330,
1339, 1390, 1453, 1511, 1518, 1546, 1641, 1761, 1841, 1851,
1865, 1866, 1871, 1882, 1905, 1966, 2099, 2110, 2149, 2233,
2278, 2310, 2339, 2423, 2495, 2519, 2589, 2614, 2711, 2747,
2914, 2918, 3021, 3137, 3390, 3410, 3451, 3485, 3606, 3619,
3666, 3673, 3934, 3989, 4126, 4159, 4173, 4199, 4294, 4427,
4461, 4618, 4623, 4661, 4822, 4857, 4902, 4927, 4969, 5111,
5302, 5321, 5429, 5433, 5479, 5511, 5639, 5685, 5690, 5714,
5903, 5979, 6026, 6051, 6099, 6146, 6153, 6302, 6323, 6398,
6407, 6423, 6431, 6535, 6555, 6562, 6563, 6565, 6573, 6603,
6658, 6681, 6722, 6951, 6955, 7078, 7177, 7214, 7367, 7414,
7417, 7441, 7446, 7459, 7674, 7679, 7719, 7770, 7782, 7854,
7881, 7903, 8139, 8247, 8335, 8339, 8347, 8378, 8413, 8465,
8555, 8623, 8702, 8727, 8754, 8790, 8809, 8821, 8922, 8930,
8969, 8974, 8994,8997, 9165, 9181, 9483, 9527, 9627, 9659,
9745, 9754,9777, 9799, 9811, 9814, 9843, 9854, 9951
T3 = [81]122, 123, 206, 719, 915, 3391, 6189,
6549, 6558, 7481, 9195, 9634
T3 = [3, 81]
5793, 6559, 7179.
T3 = [243] 1095, 1867, 1923, 5515, 7242, 7249, 7462, 8665, 8735, 9676.
T3 = [729]1213, 5226,
T3 = [2187]
474,

107
d
T5 = 12, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31,
33, 34, 35, 37, 41, 43, 46, 47, 55, 57, 58, 59, 61, 65, 66, 67, 71, 74,
77, 78, 79, 83, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 106,
110, 111, 113, 118, 119, 122, 123, 129, 131, 133, 137, 138, 141, 142,
145, 146, 149, 151, 154, 157, 158, 159, 163, 165, 166, 167, 170, 173,
174, 177, 178, 179, 181, 182, 187, 190, 193, 194, 195, 197, 199, 201,
203, 205, 206, 209, 210, 213, 215, 218, 219, 221, 222, 223, 226, 227,
229, 230, 231, 233, 235, 237, 239, 246, 247, 249, 251, 253, 254, 255,
258, 262, 263, 265, 266, 267, 269, 273, 274, 277, 281, 282, 283, 285,
286, 290, 291, 293, 299, 301, 302, 303, 305, 307, 309, 310, 311, 313,
317, 318, 319, 321, 322, 323, 327, 329, 330, 331, 334, 335, 337, 339,
341, 345, 346, 347, 349, 353, 354, 355, 357, 358, 359, 362, 365, 367,
370, 371, 373, 374, 377, 379, 381, 383, 385, 386, 389, 390, 391, 393,
394, 395, 397, 398, 399, 402, 403, 406, 409, 410, 411, 413, 415, 417,
418, 419, 421, 429, 431, 435, 437, 438, 442, 443, 445, 446, 447, 449,
451, 454, 455, 458, 461, 462, 463, 465, 469, 470, 471, 474, 478, 479,
481, 482, 483, 485, 487, 491, 493, 494, 498, 503, 505, 506, 510, 511,
515, 517, 518, 521, 527, 530, 533, 535, 538, 542, 545, 546, 547, 551,
553, 554, 555, 557, 559, 561, 562, 563, 565, 566, 569, 570, 571, 573,
577, 579, 582, 583, 586, 590, 591, 593, 595, 598, 599, 601, 607, 609,
T5 = 1 610, 611, 613, 614, 618, 619, 631, 633, 638, 641, 642, 643, 646, 647,
649, 651, 653, 654, 655, 658, 659, 661, 663, 665, 667, 669, 670, 671,
677, 678, 679, 681, 682, 683, 685, 689, 690, 691, 694, 695, 697, 698,
701, 703, 705, 706, 707, 709, 710, 713, 714, 715, 717, 718, 721, 723,
730, 731, 733, 737, 739, 741, 742, 743, 746, 749, 751, 754, 755, 757,
758, 759, 762, 763, 766, 769, 770, 771, 773, 777, 778, 779, 781, 782,
785, 786, 787, 790, 793, 794, 797, 799, 802, 803, 805, 806, 807, 809,
811, 813, 814, 815, 818, 821, 822, 823, 826, 827, 829, 830, 831, 834,
835, 838, 839, 842, 843, 849, 851, 853, 854, 858, 859, 861, 862, 863,
865, 866, 870, 871, 877, 878, 879, 883, 885, 886, 887, 889, 890, 894,
895, 897, 898, 899, 901, 902, 903, 905, 906, 907, 910, 911, 913, 914,
915, 917, 919, 921, 926, 929, 930, 934, 937, 938, 939, 941, 942, 946,
949, 951, 953, 957, 958, 959, 962, 965, 967, 969, 970, 971, 973, 974,
977, 979, 985, 986, 987, 989, 991, 993, 994, 997, 998, 1001, 1002,
1003, 1005, 1006, 1007, 1009, 1010, 1011, 1013, 1015, 1018, 1019,
1021, 1022, 1023, 1027, 1030, 1033, 1034, 1037, 1038, 1039, 1043,
1045, 1046, 1047, 1049, 1054, 1055, 1057, 1059, 1061, 1063, 1066,
1067, 1069, 1070, 1073, 1077, 1081, 1082, 1085, 1090, 1091, 1094,
1095, 1097, 1099, 1101, 1102, 1103, 1105, 1106, 1109, 1114, 1117,
1119, 1121, 1122, 1123, 1129, 1130, 1131, 1138, 1139, 1141, 1142,

108

CHAPITRE 5. ANNEXE
d1145, 1146, 1147, 1149, 1151, 1153, 1154, 1155, 1158, 1159, 1162,
1163, 1165, 1166, 1167, 1169, 1171, 1174, 1177, 1178, 1181, 1186,
1189, 1190, 1193, 1195, 1198, 1199, 1201, 1202, 1203, 1205, 1207,
1209, 1211, 1217, 1218, 1219, 1221, 1222, 1223, 1227, 1229, 1230,
1234, 1235, 1237, 1239, 1241, 1245, 1246, 1249, 1253, 1254, 1255,
1257, 1258, 1259, 1263, 1266, 1270, 1271, 1273, 1277, 1282, 1283,
1286, 1290, 1291, 1294, 1295, 1297, 1298, 1299, 1302, 1303, 1306,
1307, 1309, 1310, 1311, 1315, 1318, 1319, 1322, 1326, 1329, 1330,
1333, 1334, 1337, 1342, 1343, 1345, 1346, 1347, 1349, 1353, 1354,
1355, 1357, 1358, 1361, 1362, 1363, 1365, 1367, 1370, 1371, 1373,
1374, 1378, 1379, 1381, 1383, 1385, 1387, 1390, 1391, 1394, 1397,
1399, 1401, 1403, 1409, 1411, 1414, 1415, 1417, 1418, 1419, 1423,
1430, 1433, 1435, 1437, 1438, 1439, 1442, 1446, 1447, 1451, 1453,
1454, 1455, 1457, 1459, 1462, 1463, 1466, 1469, 1471, 1473, 1474,
1477, 1478, 1481, 1482, 1483, 1487, 1489, 1491, 1495, 1497, 1498,
1499, 1501, 1502, 1505, 1506, 1507, 1509, 1510, 1511, 1513, 1514,
1515, 1517, 1522, 1523, 1526, 1527, 1533, 1534, 1537, 1538, 1541,
T5 = 1 1542, 1543, 1545, 1546, 1547, 1549, 1551, 1553, 1554, 1555, 1558,
1559, 1561, 1562, 1563, 1567, 1569, 1570, 1571, 1574, 1578, 1579,
1581, 1582, 1583, 1585, 1589, 1590, 1591, 1594, 1595, 1598, 1599,
1601, 1603, 1605, 1606, 1607, 1609, 1610, 1613, 1614, 1615, 1618,
1619, 1622, 1623, 1626, 1627, 1630, 1634, 1635, 1639, 1642, 1643,
1645, 1646, 1649, 1651, 1653, 1654, 1655, 1657, 1659, 1661, 1667,
1669, 1670, 1671, 1673, 1677, 1678, 1679, 1685, 1687, 1689, 1691,
1693, 1695, 1697, 1698, 1703, 1705, 1706, 1707, 1709, 1711, 1714,
1718, 1721, 1722, 1726, 1727, 1729, 1730, 1733, 1739, 1742, 1743,
1745, 1747, 1749, 1751, 1753, 1757, 1759, 1763, 1765, 1767, 1769,
1770, 1771, 1774, 1778, 1779, 1781, 1783, 1785, 1787, 1789, 1793,
1794, 1795, 1799, 1801, 1802, 1806, 1807, 1810, 1811, 1814, 1819,
1821, 1822, 1823, 1826, 1830, 1831, 1833, 1835, 1837, 1839, 1841,
1842, 1843, 1846, 1847, 1855, 1857, 1858, 1865, 1866, 1867, 1869,
1870, 1871, 1873, 1877, 1878, 1879, 1882, 1883, 1885, 1886, 1887,
1889, 1893, 1894, 1895, 1901, 1902, 1903, 1905, 1906, 1909, 1910,
1915, 1918, 1919, 1923, 1927, 1929, 1930, 1931, 1933, 1934, 1937,
1939, 1941, 1942, 1945, 1946, 1947, 1949, 1951, 1954, 1957, 1958,
1961, 1963, 1965, 1967, 1970, 1973, 1974, 1977, 1978, 1979, 1981,
1983, 1985, 1987, 1991, 1993, 1994, 1995, 1997, 2001, 2005, 2006,
2010, 2011, 2013, 2015, 2017, 2018, 2019, 2021, 2022, 2026, 2029,
2030, 2035, 2037, 2039, 2041, 2042, 2045, 2046, 2047, 2049, 2051,
2053, 2054, 2055, 2059, 2062, 2063, 2065, 2066, 2067, 2069, 2071,

109d2073, 2074, 2077, 2078, 2082, 2085, 2086, 2087, 2089, 2090, 2091,
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2901, 2902, 2903, 2906, 2909, 2910, 2913, 2914, 2915, 2917, 2918,
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110

CHAPITRE 5. ANNEXE
d2959, 2962, 2963, 2965, 2967, 2969, 2971, 2974, 2977, 2978, 2981,
2982, 2985, 2987, 2990, 2995, 2998, 2999, 3001, 3002, 3003, 3005,
3007, 3009, 3010, 3011, 3013, 3014, 3017, 3018, 3019, 3021, 3022,
3023, 3026, 3027, 3029, 3030, 3031, 3034, 3035, 3037, 3043, 3045,
3046, 3047, 3049, 3053, 3057, 3058, 3061, 3062, 3063, 3065, 3066,
3067, 3070, 3071, 3073, 3074, 3079, 3081, 3083, 3085, 3086, 3089,
3090, 3091, 3093, 3094, 3095, 3097, 3098, 3099, 3102, 3103, 3106,
3107, 3109, 3110, 3113, 3115, 3117, 3118, 3119, 3122, 3126, 3127,
3131, 3133, 3135, 3137, 3139, 3142, 3143, 3147, 3149, 3151, 3153,
3154, 3157, 3158, 3161, 3162, 3163, 3167, 3170, 3171, 3173, 3178,
3187, 3189, 3190, 3191, 3197, 3198, 3199, 3201, 3203, 3205, 3207,
3209, 3210, 3214, 3217, 3218, 3219, 3221, 3223, 3227, 3229, 3230,
3233, 3235, 3237, 3239, 3241, 3242, 3243, 3245, 3247, 3254, 3255,
3257, 3259, 3261, 3262, 3263, 3265, 3266, 3271, 3273, 3274, 3278,
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3346, 3351, 3353, 3354, 3355, 3358, 3359, 3361, 3363, 3365, 3367,
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3423, 3426, 3427, 3431, 3433, 3434, 3435, 3437, 3439, 3441, 3442,
3443, 3446, 3449, 3454, 3455, 3457, 3458, 3459, 3461, 3462, 3463,
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3491, 3493, 3494, 3495, 3498, 3502, 3503, 3505, 3511, 3513, 3514,
3515, 3517, 3518, 3521, 3522, 3523, 3527, 3529, 3530, 3531, 3533,
3534, 3535, 3538, 3539, 3542, 3545, 3547, 3551, 3553, 3557, 3558,
3559, 3561, 3562, 3563, 3565, 3566, 3567, 3570, 3571, 3578, 3579,
3581, 3583, 3586, 3587, 3589, 3590, 3594, 3595, 3597, 3602, 3603,
3605, 3606, 3607, 3611, 3613, 3614, 3615, 3617, 3619, 3621, 3622,
3623, 3629, 3631, 3633, 3634, 3635, 3637, 3638, 3641, 3646, 3647,
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3674, 3677, 3678, 3679, 3682, 3683, 3685, 3686, 3689, 3693, 3695,
3701, 3702, 3706, 3707, 3710, 3711, 3714, 3719, 3723, 3727, 3729,
3730, 3731, 3733, 3734, 3737, 3738, 3739, 3741, 3742, 3745, 3746,
3747, 3749, 3754, 3755, 3758, 3759, 3761, 3763, 3766, 3767, 3769,
3774, 3777, 3778, 3779, 3781, 3785, 3787, 3791, 3793, 3794, 3797,
3801, 3802, 3803, 3805, 3806, 3809, 3810, 3811, 3813, 3817, 3818,
3819, 3821, 3823, 3826, 3827, 3831, 3833, 3835, 3837, 3838, 3839,
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111d3883, 3885, 3886, 3889, 3890, 3891, 3893, 3894, 3895, 3899, 3901,
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4002, 4003, 4006, 4007, 4009, 4010, 4011, 4013, 4015, 4017, 4019,
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4178, 4179, 4181, 4183, 4186, 4187, 4190, 4191, 4193, 4198, 4199,
T5 = 1 4201, 4206, 4207, 4209, 4215, 4217, 4218, 4219, 4222, 4223, 4226,
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4249, 4251, 4253, 4254, 4258, 4259, 4261, 4262, 4265, 4267, 4269,
4270, 4273, 4274, 4277, 4278, 4279, 4283, 4285, 4286, 4289, 4290,
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4310, 4313, 4314, 4315, 4317, 4318, 4322, 4326, 4327, 4330, 4331,
4333, 4337, 4339, 4341, 4343, 4345, 4351, 4354, 4355, 4362, 4363,
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4407, 4409, 4411, 4413, 4414, 4415, 4417, 4421, 4422, 4423, 4426,
4429, 4430, 4431, 4433, 4438, 4439, 4442, 4443, 4449, 4451, 4453,
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4498, 4501, 4502, 4503, 4505, 4507, 4510, 4511, 4514, 4517, 4519,
4523, 4529, 4530, 4534, 4535, 4537, 4538, 4539, 4541, 4542, 4543,
4546, 4547, 4549, 4551, 4558, 4559, 4561, 4562, 4565, 4570, 4574,
4577, 4578, 4579, 4583, 4587, 4589, 4593, 4595, 4597, 4601, 4602,
4603, 4607, 4609, 4611, 4613, 4614, 4615, 4618, 4621, 4623, 4627,
4629, 4633, 4634, 4638, 4639, 4641, 4645, 4646, 4647, 4649, 4651,
4654, 4657, 4658, 4659, 4661, 4663, 4665, 4666, 4667, 4669, 4670,
4673, 4674, 4678, 4679, 4681, 4682, 4683, 4686, 4687, 4690, 4691,
4694, 4699, 4701, 4702, 4703, 4705, 4706, 4710, 4711, 4713, 4714,
4715, 4717, 4722, 4723, 4726, 4729, 4733, 4735, 4737, 4739, 4741,
4742, 4746, 4747, 4749, 4751, 4755, 4758, 4759, 4762, 4765, 4766,
4769, 4771, 4773, 4774, 4777, 4778, 4781, 4782, 4783, 4787, 4790,
4791, 4793, 4795, 4798, 4799, 4801, 4803, 4807, 4809, 4810, 4811,

112

CHAPITRE 5. ANNEXE
d4813, 4814, 4818, 4821, 4822, 4826, 4827, 4829, 4830, 4831, 4834,
4835, 4837, 4838, 4839, 4841, 4845, 4847, 4853, 4854, 4855, 4857,
4858, 4859, 4862, 4863, 4866, 4870, 4871, 4874, 4877, 4879, 4881,
4882, 4883, 4885, 4886, 4890, 4891, 4893, 4894, 4895, 4898, 4899,
4902, 4907, 4909, 4910, 4911, 4915, 4917, 4918, 4919, 4922, 4926,
4927, 4929, 4931, 4933, 4935, 4937, 4938, 4939, 4943, 4945, 4946,
4947, 4951, 4953, 4954, 4955, 4958, 4963, 4965, 4966, 4967, 4969,
4970, 4971, 4973, 4974, 4978, 4982, 4983, 4987, 4989, 4990, 4994,
4997, 4999, 5002, 5003, 5005, 5006, 5007, 5009, 5010, 5011, 5014,
5017, 5018, 5019, 5021, 5023, 5027, 5029, 5033, 5034, 5037, 5038,
5039, 5042, 5045, 5053, 5055, 5057, 5059, 5061, 5062, 5063, 5065,
5069, 5073, 5078, 5079, 5083, 5086, 5091, 5093, 5095, 5097, 5098,
5099, 5101, 5105, 5106, 5109, 5110, 5111, 5113, 5114, 5115, 5117,
5118, 5122, 5123, 5126, 5127, 5131, 5133, 5134, 5135, 5137, 5141,
5142, 5143, 5146, 5147, 5149, 5151, 5153, 5154, 5155, 5158, 5159,
5161, 5162, 5163, 5165, 5167, 5169, 5171, 5178, 5179, 5181, 5182,
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T5 = 1 5206, 5209, 5210, 5213, 5214, 5215, 5217, 5221, 5222, 5226, 5227,
5230, 5231, 5234, 5235, 5237, 5242, 5245, 5246, 5249, 5251, 5253,
5255, 5257, 5258, 5261, 5262, 5263, 5266, 5267, 5270, 5271, 5273,
5277, 5279, 5281, 5282, 5285, 5286, 5287, 5289, 5293, 5294, 5298,
5299, 5302, 5303, 5305, 5306, 5309, 5311, 5313, 5314, 5317, 5318,
5321, 5322, 5323, 5326, 5327, 5330, 5331, 5333, 5334, 5335, 5338,
5339, 5343, 5349, 5351, 5354, 5357, 5358, 5359, 5363, 5366, 5367,
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5414, 5417, 5421, 5422, 5423, 5426, 5429, 5430, 5431, 5433, 5434,
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5511, 5513, 5514, 5515, 5518, 5519, 5522, 5523, 5529, 5534, 5538,
5541, 5542, 5543, 5545, 5546, 5549, 5551, 5554, 5555, 5559, 5561,
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5594, 5597, 5599, 5601, 5603, 5609, 5614, 5617, 5633, 5638, 5639,
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5669, 5671, 5673, 5674, 5677, 5678, 5681, 5682, 5683, 5686, 5689,
5690, 5691, 5694, 5695, 5698, 5699, 5701, 5702, 5703, 5705, 5707,
5709, 5713, 5714, 5717, 5719, 5721, 5722, 5723, 5726, 5727, 5729,
5730, 5731, 5734, 5735, 5737, 5738, 5739, 5741, 5743, 5747, 5749,

113d
5754, 5755, 5757, 5758, 5759, 5761, 5762, 5763, 5765, 5767, 5770,
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T5 = 1 6131, 6133, 6134, 6135, 6139, 6141, 6142, 6143, 6145, 6146, 6153,
6154, 6158, 6159, 6161, 6162, 6163, 6166, 6169, 6170, 6173, 6177,
6178, 6179, 6181, 6182, 6185, 6186, 6189, 6191, 6194, 6195, 6197,
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6247, 6249, 6251, 6254, 6257, 6261, 6262, 6263, 6267, 6269, 6271,
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114

CHAPITRE 5. ANNEXE
d6673, 6679, 6681, 6683, 6685, 6686, 6690, 6693, 6694, 6695, 6699,
6701, 6702, 6703, 6709, 6711, 6715, 6717, 6718, 6721, 6722, 6729,
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T5 = 1 7031, 7033, 7035, 7039, 7042, 7043, 7045, 7046, 7051, 7053, 7054,
7055, 7058, 7059, 7061, 7062, 7063, 7066, 7070, 7073, 7077, 7078,
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7201, 7202, 7205, 7206, 7207, 7210, 7211, 7213, 7214, 7215, 7217,
7219, 7222, 7223, 7226, 7230, 7233, 7234, 7235, 7237, 7238, 7239,
7241, 7242, 7243, 7246, 7247, 7249, 7251, 7257, 7258, 7259, 7261,
7262, 7265, 7266, 7269, 7270, 7273, 7274, 7277, 7278, 7279, 7283,
7285, 7286, 7287, 7289, 7291, 7293, 7294, 7295, 7297, 7298, 7303,
7305, 7309, 7310, 7311, 7313, 7314, 7315, 7318, 7319, 7321, 7322,
7323, 7329, 7333, 7334, 7337, 7338, 7341, 7342, 7343, 7345, 7346,
7349, 7351, 7355, 7357, 7358, 7359, 7363, 7365, 7366, 7367, 7369,
7370, 7373, 7377, 7378, 7379, 7382, 7383, 7385, 7386, 7387, 7393,
7395, 7397, 7402, 7403, 7405, 7409, 7410, 7411, 7413, 7417, 7418,
7419, 7421, 7422, 7423, 7427, 7429, 7430, 7431, 7433, 7435, 7437,
7438, 7441, 7445, 7446, 7447, 7449, 7453, 7454, 7455, 7457, 7458,
7462, 7463, 7466, 7469, 7471, 7473, 7474, 7477, 7478, 7482, 7485,
7487, 7490, 7491, 7493, 7494, 7495, 7498, 7499, 7501, 7505, 7507,
7509, 7510, 7511, 7517, 7518, 7519, 7521, 7522, 7523, 7527, 7529,
7531, 7534, 7535, 7537, 7538, 7541, 7543, 7549, 7553, 7554, 7557,
7558, 7559, 7562, 7563, 7565, 7566, 7567, 7573, 7577, 7579, 7582,

115d
7583, 7585, 7589, 7593, 7594, 7597, 7598, 7599, 7601, 7602, 7603,
7606, 7607, 7609, 7610, 7613, 7615, 7617, 7618, 7619, 7621, 7622,
7626, 7629, 7630, 7631, 7633, 7635, 7637, 7638, 7639, 7642, 7643,
7645, 7646, 7647, 7649, 7651, 7657, 7661, 7662, 7663, 7666, 7667,
7669, 7670, 7671, 7673, 7678, 7679, 7681, 7682, 7683, 7685, 7687,
7690, 7691, 7694, 7697, 7698, 7699, 7701, 7702, 7703, 7706, 7707,
7709, 7710, 7711, 7714, 7715, 7718, 7719, 7723, 7726, 7727, 7729,
7733, 7735, 7737, 7738, 7741, 7745, 7747, 7751, 7753, 7754, 7755,
7757, 7759, 7761, 7763, 7765, 7766, 7769, 7770, 7771, 7773, 7777,
7778, 7779, 7781, 7782, 7783, 7786, 7787, 7790, 7795, 7797, 7798,
7799, 7802, 7805, 7806, 7807, 7809, 7810, 7813, 7814, 7815, 7818,
7819, 7826, 7827, 7831, 7834, 7835, 7837, 7838, 7841, 7843, 7845,
7846, 7849, 7851, 7853, 7854, 7858, 7859, 7863, 7867, 7869, 7870,
7873, 7874, 7877, 7878, 7879, 7881, 7882, 7885, 7886, 7887, 7890,
7891, 7894, 7898, 7899, 7901, 7903, 7905, 7906, 7907, 7909, 7913,
7914, 7915, 7917, 7919, 7922, 7923, 7926, 7927, 7930, 7931, 7934,
T5 = 1 7937, 7939, 7945, 7946, 7951, 7953, 7954, 7955, 7957, 7958, 7959,
7962, 7966, 7969, 7970, 7971, 7973, 7977, 7978, 7981, 7982, 7989,
7990, 7991, 7994, 7995, 7998, 7999, 8003, 8005, 8006, 8007, 8011,
8014, 8015, 8017, 8018, 8029, 8030, 8031, 8033, 8034, 8035, 8038,
8039, 8041, 8042, 8043, 8045, 8051, 8053, 8054, 8058, 8059, 8061,
8062, 8063, 8065, 8066, 8069, 8070, 8077, 8079, 8081, 8083, 8086,
8087, 8089, 8090, 8093, 8094, 8095, 8097, 8098, 8101, 8103, 8105,
8106, 8110, 8111, 8113, 8115, 8117, 8122, 8123, 8126, 8130, 8131,
8133, 8135, 8137, 8138, 8139, 8142, 8143, 8146, 8147, 8149, 8151,
8153, 8157, 8158, 8159, 8161, 8162, 8165, 8166, 8169, 8170, 8171,
8173, 8174, 8177, 8179, 8185, 8186, 8187, 8189, 8191, 8193, 8194,
8195, 8197, 8198, 8202, 8203, 8205, 8206, 8210, 8211, 8213, 8215,
8218, 8221, 8222, 8223, 8227, 8229, 8230, 8231, 8233, 8234, 8237,
8238, 8239, 8241, 8242, 8243, 8245, 8246, 8247, 8249, 8251, 8254,
8255, 8257, 8258, 8259, 8263, 8265, 8266, 8267, 8269, 8274, 8277,
8278, 8279, 8283, 8285, 8287, 8290, 8291, 8293, 8295, 8297, 8299,
8301, 8302, 8305, 8306, 8310, 8313, 8314, 8315, 8318, 8322, 8326,
8327, 8329, 8333, 8335, 8337, 8338, 8342, 8345, 8346, 8347, 8351,
8353, 8354, 8355, 8357, 8358, 8359, 8362, 8363, 8365, 8367, 8369,
8371, 8373, 8374, 8377, 8378, 8382, 8385, 8386, 8387, 8390, 8393,
8394, 8395, 8398, 8399, 8402, 8407, 8409, 8411, 8418, 8421, 8422,
8423, 8426, 8429, 8430, 8431, 8434, 8435, 8437, 8439, 8441, 8443,
8445, 8447, 8453, 8454, 8455, 8457, 8458, 8461, 8463, 8465, 8466,
8467, 8473, 8474, 8481, 8485, 8486, 8489, 8490, 8491, 8493, 8494,

116

CHAPITRE 5. ANNEXE
d8495, 8498, 8499, 8507, 8510, 8511, 8513, 8515, 8517, 8518, 8519,
8521, 8522, 8527, 8529, 8530, 8531, 8533, 8534, 8535, 8537, 8538,
8542, 8543, 8545, 8547, 8549, 8551, 8553, 8554, 8555, 8557, 8558,
8561, 8565, 8567, 8570, 8571, 8573, 8574, 8578, 8581, 8582, 8583,
8585, 8587, 8590, 8593, 8598, 8601, 8602, 8603, 8606, 8609, 8610,
8611, 8614, 8615, 8617, 8618, 8621, 8623, 8626, 8627, 8629, 8630,
8633, 8635, 8637, 8641, 8642, 8643, 8645, 8646, 8647, 8654, 8655,
8657, 8659, 8661, 8662, 8665, 8666, 8669, 8671, 8674, 8677, 8678,
8679, 8681, 8682, 8683, 8686, 8691, 8697, 8699, 8701, 8702, 8705,
8706, 8710, 8711, 8713, 8714, 8715, 8717, 8719, 8723, 8726, 8727,
8729, 8731, 8733, 8734, 8735, 8737, 8741, 8743, 8745, 8747, 8749,
8751, 8753, 8754, 8755, 8758, 8759, 8761, 8762, 8765, 8767, 8769,
8770, 8773, 8774, 8777, 8778, 8779, 8781, 8782, 8783, 8786, 8787,
8791, 8795, 8797, 8798, 8799, 8801, 8805, 8807, 8809, 8810, 8813,
T5 = 1 8814, 8815, 8817, 8818, 8819, 8821, 8822, 8827, 8830, 8831, 8834,
8835, 8837, 8839, 8841, 8842, 8846, 8849, 8851, 8853, 8854, 8855,
8857, 8858, 8859, 8861, 8862, 8863, 8866, 8867, 8870, 8871, 8873,
8879, 8882, 8885, 8887, 8889, 8890, 8891, 8894, 8897, 8899, 8902,
8903, 8905, 8906, 8907, 8909, 8911, 8913, 8917, 8921, 8922, 8927,
8929, 8930, 8931, 8933, 8934, 8935, 8939, 8941, 8943, 8945, 8947,
8949, 8951, 8953, 8958, 8961, 8962, 8963, 8965, 8969, 8970, 8971,
8974, 8977, 8979, 8981, 8983, 8985, 8986, 8987, 8990, 8997, 8999,
9001, 9002, 9005, 9007, 9010, 9011, 9014, 9015, 9017, 9019, 9021,
9022, 9023, 9026, 9029, 9030, 9031, 9033, 9034, 9035, 9037, 9038,
9039, 9041, 9042, 9043, 9046, 9049, 9051, 9053, 9055, 9061, 9062,
9066, 9067, 9069, 9070, 9071, 9073, 9074, 9077, 9078, 9079, 9082,
9085, 9086, 9087, 9089, 9091, 9093, 9094, 9095, 9097, 9098, 9101,
9103, 9105, 9106, 9107, 9109, 9110, 9111, 9113, 9115, 9118, 9119,
9121, 9122, 9123, 9127, 9129, 9130, 9131, 9133, 9134, 9137, 9139,
9141, 9142, 9143, 9146, 9149, 9151, 9155, 9158, 9159, 9165, 9167,
9169, 9174, 9177, 9178, 9179, 9182, 9183, 9186, 9190, 9191, 9193,
9194, 9195, 9197, 9199, 9201, 9202, 9205, 9209, 9210, 9211, 9213,
9215, 9217, 9218, 9219, 9221, 9222, 9223, 9226, 9227, 9231, 9233,
9237, 9238, 9239, 9241, 9242, 9246, 9249, 9253, 9254, 9255, 9257,
9259, 9262, 9263, 9266, 9267, 9269, 9271, 9273, 9274, 9277, 9278,
9281, 9282, 9283, 9285, 9286, 9287, 9289, 9290, 9291, 9293, 9298,
9299, 9301, 9302, 9303, 9305, 9307, 9311, 9314, 9318, 9319, 9327,
9329, 9330, 9334, 9335, 9337, 9338, 9339, 9341, 9343, 9345, 9346,
9347, 9349, 9353, 9354, 9355, 9361, 9362, 9363, 9365, 9366, 9370,
9377, 9379, 9381, 9382, 9383, 9385, 9389, 9390, 9391, 9394, 9395,
9397, 9401, 9402, 9406, 9407, 9413, 9415, 9417, 9418, 9421, 9422,
9426, 9427, 9429, 9430, 9435, 9437, 9439, 9442, 9445, 9447, 9451,

117d
9453, 9455, 9458, 9461, 9462, 9465, 9466, 9469, 9470, 9473, 9478,
9479, 9481, 9482, 9483, 9485, 9487, 9489, 9490, 9493, 9498, 9499,
9501, 9502, 9503, 9505, 9507, 9509, 9510, 9511, 9515, 9517, 9519,
9521, 9523, 9526, 9527, 9529, 9530, 9534, 9541, 9542, 9545, 9546,
9547, 9551, 9554, 9557, 9561, 9562, 9563, 9566, 9569, 9571, 9579,
9581, 9586, 9587, 9589, 9590, 9591, 9593, 9595, 9597, 9599, 9601,
9602, 9605, 9606, 9607, 9609, 9614, 9617, 9618, 9619, 9622, 9623,
9626, 9629, 9634, 9635, 9637, 9638, 9643, 9645, 9646, 9647, 9649,
9651, 9654, 9655, 9658, 9661, 9662, 9663, 9665, 9667, 9671, 9673,
9677, 9678, 9679, 9681, 9682, 9683, 9686, 9687, 9689, 9691, 9694,
9695, 9697, 9698, 9703, 9706, 9707, 9710, 9713, 9714, 9715, 9717,
9718, 9723, 9726, 9727, 9730, 9733, 9734, 9735, 9737, 9739, 9741,
T5 = 1 9743, 9746, 9749, 9753, 9754, 9755, 9758, 9759, 9761, 9762, 9763,
9766, 9767, 9769, 9771, 9773, 9777, 9778, 9779, 9781, 9782, 9786,
9787, 9789, 9790, 9791, 9793, 9794, 9795, 9798, 9805, 9806, 9807,
9809, 9811, 9813, 9815, 9817, 9818, 9821, 9822, 9823, 9827, 9830,
9831, 9833, 9834, 9835, 9838, 9839, 9842, 9843, 9845, 9851, 9853,
9854, 9857, 9858, 9859, 9862, 9863, 9866, 9867, 9869, 9870, 9874,
9877, 9878, 9879, 9881, 9883, 9887, 9889, 9890, 9893, 9894, 9897,
9899, 9901, 9903, 9905, 9906, 9907, 9910, 9913, 9914, 9915, 9917,
9919, 9921, 9923, 9926, 9929, 9930, 9931, 9934, 9935, 9937, 9938,
9939, 9941, 9943, 9946, 9953, 9955, 9957, 9959, 9961, 9962, 9965,
9967, 9969, 9970, 9973, 9974, 9977, 9978, 9979, 9983, 9985, 9986,
9987, 9991, 9994, 9997
38, 39, 42, 51, 53, 69, 70, 82, 107, 109, 114, 115, 127, 130, 134,
143, 155, 161, 183, 185, 186, 202, 211, 214, 238, 241, 257, 259,
271, 278, 287, 298, 314, 326, 366, 382, 401, 407, 422, 426, 430,
T5 = [5]433, 439, 453, 457, 466, 467, 473, 489, 497, 499, 501, 502, 509,
519, 523, 526, 534, 537, 541, 543, 574, 581, 587, 615, 623, 626,
627, 629, 635, 645, 662, 673, 674, 687, 699, 719, 727, 734, 745,
753, 761, 767, 789, 791, 795, 798, 817, 857, 869, 874, 881, 893,
922, 923, 933, 935, 943, 947, 966, 978, 983, 995, 1031, 1041, 1042,
1065, 1074, 1079, 1086, 1087, 1093, 1110, 1113, 1115, 1118, 1126,
1133, 1135, 1137, 1173, 1182, 1187, 1191, 1213, 1214, 1226, 1231,
1238, 1261, 1262, 1265, 1267, 1281, 1289, 1293, 1301, 1313, 1321,

118

CHAPITRE 5. ANNEXE
d1327, 1335, 1339, 1351, 1366, 1382, 1389, 1393, 1402, 1405, 1406,
1407, 1410, 1426, 1427, 1429, 1434, 1441, 1443, 1461, 1465, 1479,
1486, 1490, 1493, 1518, 1529, 1531, 1577, 1586, 1597, 1631, 1637,
1658, 1662, 1663, 1686, 1699, 1702, 1713, 1717, 1738, 1741, 1754,
1758, 1761, 1762, 1766, 1777, 1786, 1790, 1797, 1798, 1803, 1817,
1829, 1834, 1838, 1851, 1853, 1861, 1874, 1891, 1897, 1898, 1907,
1913, 1914, 1943, 1955, 1959, 1966, 1969, 1982, 1990, 1999, 2002,
2003, 2027, 2031, 2033, 2038, 2081, 2083, 2101, 2111, 2119, 2130,
2135, 2153, 2157, 2171, 2189, 2190, 2230, 2234, 2243, 2257, 2262,
2263, 2279, 2285, 2290, 2307, 2323, 2334, 2335, 2345, 2355, 2359,
2362, 2386, 2391, 2397, 2406, 2438, 2459, 2471, 2490, 2495, 2498,
2501, 2503, 2505, 2510, 2513, 2522, 2533, 2545, 2546, 2557, 2558,
T5 = [5] 2566, 2573, 2577, 2578, 2579, 2599, 2602, 2609, 2634, 2654, 2657,
2667, 2671, 2683, 2694, 2723, 2739, 2741, 2743, 2746, 2770, 2795,
2803, 2822, 2829, 2851, 2877, 2878, 2885, 2886, 2911, 2923, 2931,
2935, 2983, 2986, 2991, 2994, 3054, 3059, 3082, 3111, 3121, 3129,
3134, 3138, 3145, 3155, 3165, 3166, 3181, 3182, 3183, 3193, 3194,
3202, 3206, 3215, 3226, 3238, 3246, 3270, 3277, 3281, 3297, 3299,
3311, 3322, 3323, 3337, 3347, 3369, 3374, 3378, 3379, 3390, 3391,
3395, 3398, 3403, 3405, 3409, 3413, 3415, 3417, 3445, 3451, 3453,
3469, 3471, 3482, 3499, 3506, 3507, 3526, 3541, 3543, 3554, 3569,
3574, 3585, 3593, 3598, 3599, 3601, 3639, 3642, 3643, 3653, 3666,
3670, 3687, 3691, 3694, 3697, 3705, 3709, 3713, 3722, 3743, 3765,
3770, 3782, 3783, 3790, 3795, 3799, 3814, 3815, 3829, 3830, 3863,
3866, 3878, 3898, 3902, 3911, 3919, 3931, 3947, 3959, 3961, 3966,
3967, 3970, 3981, 3989, 3997, 3999, 4029, 4045, 4058, 4070, 4078,
4097, 4109, 4110, 4129, 4151, 4169, 4171, 4174, 4182, 4189, 4195,
4197, 4210, 4211, 4234, 4243, 4255, 4271, 4281, 4282, 4305, 4319,
4321, 4323, 4334, 4342, 4346, 4353, 4358, 4359, 4402, 4405, 4427,
4434, 4435, 4445, 4447, 4461, 4487, 4494, 4499, 4513, 4515, 4521,
4526, 4533, 4553, 4555, 4566, 4567, 4569, 4571, 4582, 4585, 4591,
4605, 4610, 4619, 4622, 4630, 4631, 4637, 4642, 4643, 4677, 4685,
4697, 4718, 4727, 4730, 4731, 4738, 4754, 4757, 4763, 4767, 4785,
4786, 4789, 4794, 4819, 4843, 4846, 4861, 4865, 4867, 4873, 4889,
4897, 4906, 4921, 4930, 4957, 4962, 4979, 4981, 4985, 4991, 4993,
5001, 5015, 5030, 5035, 5051, 5066, 5071, 5074, 5077, 5081, 5087,
5089, 5090, 5107, 5119, 5138, 5173, 5174, 5185, 5198, 5207, 5218,

119d
5219, 5223, 5233, 5241, 5254, 5269, 5278, 5291, 5295, 5297, 5307,
5342, 5345, 5347, 5353, 5361, 5362, 5365, 5374, 5385, 5389, 5393,
5406, 5411, 5419, 5449, 5457, 5458, 5461, 5471, 5474, 5482, 5487,
5493, 5497, 5501, 5502, 5507, 5521, 5527, 5530, 5531, 5533, 5539,
5557, 5558, 5565, 5569, 5570, 5574, 5578, 5583, 5595, 5602, 5605,
5606, 5610, 5611, 5613, 5619, 5621, 5622, 5623, 5626, 5627, 5629,
5637, 5645, 5651, 5654, 5655, 5659, 5663, 5685, 5693, 5710, 5711,
5718, 5753, 5777, 5789, 5797, 5809, 5826, 5858, 5863, 5869, 5907,
5911, 5927, 5957, 5961, 5965, 5971, 5977, 5990, 5997, 6002, 6009,
6015, 6017, 6031, 6037, 6043, 6062, 6071, 6073, 6074, 6078, 6085,
6087, 6089, 6113, 6114, 6117, 6149, 6151, 6157, 6167, 6187, 6190,
6193, 6202, 6209, 6222, 6231, 6239, 6258, 6259, 6265, 6266, 6270,
6279, 6294, 6319, 6323, 6333, 6337, 6357, 6362, 6365, 6386, 6395,
6407, 6431, 6437, 6438, 6455, 6467, 6470, 6474, 6481, 6497, 6501,
6526, 6538, 6554, 6587, 6622, 6629, 6635, 6638, 6639, 6649, 6662,
6666, 6674, 6677, 6682, 6689, 6691, 6698, 6706, 6710, 6719, 6726,
6734, 6743, 6747, 6761, 6779, 6782, 6783, 6799, 6814, 6819, 6837,
6853, 6854, 6863, 6866, 6871, 6887, 6891, 6895, 6917, 6937, 6943,
T5 = [5] 6949, 6953, 6959, 6967, 6969, 6994, 7005, 7009, 7019, 7022, 7023,
7027, 7034, 7037, 7041, 7049, 7057, 7067, 7091, 7094, 7111, 7113,
7129, 7170, 7186, 7221, 7229, 7231, 7253, 7255, 7271, 7302, 7306,
7307, 7327, 7330, 7331, 7347, 7354, 7361, 7390, 7391, 7394, 7401,
7414, 7415, 7439, 7451, 7459, 7465, 7467, 7481, 7486, 7489, 7503,
7526, 7530, 7539, 7545, 7547, 7555, 7561, 7570, 7571, 7574, 7586,
7591, 7611, 7627, 7634, 7655, 7658, 7665, 7674, 7689, 7705, 7717,
7721, 7730, 7734, 7739, 7743, 7746, 7762, 7789, 7793, 7811, 7817,
7822, 7823, 7829, 7833, 7855, 7861, 7862, 7871, 7883, 7895, 7897,
7941, 7949, 7961, 7963, 7967, 7979, 7985, 7993, 7997, 8002, 8013,
8021, 8022, 8023, 8026, 8027, 8047, 8049, 8057, 8067, 8071, 8078,
8099, 8102, 8114, 8121, 8155, 8178, 8182, 8201, 8207, 8209, 8261,
8270, 8273, 8286, 8294, 8309, 8311, 8319, 8321, 8323, 8331, 8339,
8341, 8366, 8383, 8389, 8391, 8403, 8413, 8414, 8419, 8438, 8446,
8449, 8459, 8462, 8471, 8479, 8482, 8483, 8497, 8501, 8502, 8506,
8509, 8539, 8546, 8562, 8566, 8579, 8589, 8594, 8597, 8599, 8605,
8607, 8634, 8653, 8663, 8687, 8689, 8698, 8707, 8718, 8738, 8746,
8763, 8785, 8794, 8803, 8806, 8823, 8826, 8845, 8877, 8881, 8893,
8895, 8898, 8914, 8923, 8926, 8938, 8966, 8994, 8995, 8998, 9006,
9057, 9083, 9102, 9145, 9147, 9154, 9161, 9173, 9203, 9206, 9214,
9229, 9235, 9258, 9265, 9294, 9309, 9313, 9321, 9322, 9323, 9326,
9331, 9357, 9358, 9371, 9373, 9374, 9393, 9398, 9399, 9403, 9410,

120

CHAPITRE 5. ANNEXE
d9411, 9419, 9431, 9433, 9434, 9443, 9446, 9449, 9463, 9467, 9471,
9474, 9491, 9494, 9514, 9518, 9533, 9535, 9539, 9543, 9553, 9565,
T5 = [5]9573, 9574, 9577, 9578, 9582, 9598, 9611, 9613, 9627, 9631, 9641,
9642, 9659, 9669, 9670, 9674, 9685, 9690, 9701, 9705, 9709, 9719,
9721, 9722, 9731, 9742, 9745, 9757, 9785, 9797, 9799, 9803, 9814,
9829, 9847, 9861, 9865, 9871, 9885, 9886, 9895, 9911, 9933, 9942,
9949, 9951, 9958, 9982, 9989, 9993, 9995, 9998
T5 = [5, 5]1111, 4357, 9166.
62, 73, 89, 139, 191, 295, 427, 434, 514, 589, 597, 602, 617, 622, 955,
982, 1051, 1157, 1185, 1194, 1243, 1247, 1279, 1285, 1317, 1338,
1398, 1535, 1565, 1621, 1633, 1723, 1731, 1735, 1921, 1938, 1986,
2014, 2158, 2287, 2326, 2399, 2411, 2571, 2661, 2687, 2698, 2731,
2843, 2870, 2905, 2955, 2966, 2973, 2993, 3039, 3041, 3077, 3101,
3130, 3169, 3269, 3289, 3307, 3349, 3497, 3661, 3673, 3715, 3786,
3905, 3907, 3927, 4047, 4061,4139, 4157, 4202, 4349, 4382, 4399,
T5 = [25]4441, 4522, 4531, 4573, 4586, 4594,4695, 4709, 4721, 4745, 4823,
4849, 4903, 4942, 5026, 5102, 5170, 5177,5259, 5315, 5615, 5630,
5631, 5657, 5774, 5851, 5989, 6001, 6051, 6155, 6206, 6221, 6283,
6391, 6451, 6461, 6547, 6574, 6697, 6707, 6770, 6801,6830, 7069,
7071, 7282, 7339, 7374, 7426, 7483, 7590, 7653, 7801, 7847,7910,
7918, 7933, 8074, 8119, 8141, 8167, 8219, 8317, 8401, 8417, 8503,
8563, 8569, 8638, 8639, 8651, 8690, 8693, 8695, 8742,8789, 8790,
8878, 8886, 8915, 8942, 8989, 9003, 9013, 9058, 9157, 9170, 9181,
9185, 9187, 9247, 9367, 9454, 9497, 9538, 9570, 9615, 9699, 9841,
9902, 9966.
217, 606, 634, 2342, 2395, 3055, 3251, 3253, 3986, 4287, 4506, 4934,
T5 =[125]
5129, 5745, 5861, 6097, 6107, 6123, 6366, 6567, 6641, 6945, 7171,
7513, 7654, 7842, 8009, 8282, 8709, 9047, 9059, 9138, 9230, 9770
T5 = [625]1641, 2122, 4126, 4213, 4817, 5485, 5845, 6427, 6563, 8129, 8843.

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