モンティ・ホール問題についての考察
３年Ａ組 松川 賢太朗
指導教員 川口 慎二

１. 要約
サイエンス研究会数学班 3 年生はさまざまな問題について研究している。今回は、モンティ ・ホール問題の一般化に向けて研究をした。
キーワード

モンティ・ホール問題、条件付き確率、ベイズの定理、事後確率

２. 研究の背景と目的る。ヤギがいるドアはハズレとする。

まずモンティ・ホール問題とは、「3 つのドアの 1 つには賞品が、残りの 2つのドアにはヤギが隠されている。司会者(モンティ)は答えを知っている。まず挑戦者がドアを 1 つ選ぶ。そして司会者(モンテ＜解法１＞
まず、挑戦者が A のドアを選ぶ確率は、13

3 枚のドア A, B, C から 1 つを選ぶので、ィ)は残りのドアのうちヤギがいるドアをとわかる。次に、モンティが B のドアを開1 つ開けて、挑戦者に残り 2 つのドアからける確率をあわせて考える。

選び直す機会を与えるというゲームがある。そのとき賞品を得るためには挑戦者はドアを変えるべきか変えるべきではないか。
」という内容である。
このゲームは 3 つのドアで行っているがドアの数や司会者が開けるドアの数など●A のドアに賞品がある場合
モンティは B, C どちらのドアも開けることができる。よってモンティが B のドアを開ける確率は1とわかる。つまり A2を変えることによって、問題の解答がどうのドアに賞品があり、かつ B のドアをモンなるのかということに疑問を抱き、この問ティが開ける確率は題に興味を持った。今回はモンティ・ホー
ル問題を 3 通りの考え方で解いた。

P ( A  DB ) 

1 1 1
 
3 2 6である。

３. 研究内容＜設定＞●C のドアに賞品がある場合

3 つのドアをそれぞれ A, B, C とする。

モンティは B のドアしか開けることが挑戦者は A のドアを選び（事象 A ）、モンできない。よってモンティが B のドアを開

ティは B のドアを開けた（事象 DB ）とすける確率は 1 である。ゆえに、C のドアに賞品があり B のドアをモンティが開ける「 A と B の両方が起こる確率」は「 A の111  である。
33起こる確率」と「 A が起こった後で B が確率は P( A  DB ) 起こる確率」の積に等しいので、P( A  B)  P( A)  PA ( B) …①以上から、挑戦者が A のドアを選び、かつモンティが B のドアを開ける確率が成り立つ。今度は B が起こる確率を先に考えると、P( A  B)  P( B)  PB ( A) …②P( A  DB ) は、が成り立つ。式①，②を連立させると、

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1・C のドアに賞品がある場合は、3・A のドアに賞品がある場合は、となる。

P( A)  PA ( B)  P( B)  PB ( A)を得る。この式の両辺を P(A) で割ると、PA ( B) 

PB ( A) P( B)
P( A)となる。

したがって、C のドアに賞品がある確率が高くなり、C のドアに変更したほうが賞品を手に入れることができる確率が高いことになる。
＜解法 2＞
ベイズの定理を利用する。
これ以降、 P( A), P( B) をそれぞれ事象A, B の起こる確率、PA (B) を事象 A が起こったとわかっているときに事象 B が起こる条件付き確率、PB (A) を事象 B が起こったとわかっているときに事象 A が起こ●ベン図で表す
いま、 U を全事象とすると、n( A  B )n( A)

P( A) n( A),n(U )

P( B) n( A  B )n( B ), PB ( A) n( B )n(U )PA ( B) と表すことができる。

UABる条件付き確率を表す。

A∩B定理（ベイズの定理）

PA ( B) 

PB ( A) P( B)
P( A)
このベイズの定理を応用して、モンテ

一般に、何も情報がない場合に考える確ィ・ホール問題を考える。ベイズの定理を率を事前確率、ある条件が与えられた場合用いる前に、いくつか考えなければならなに考えられる確率を事後確率という。

いことがある。今回はモンティがすでに Bのドアを開けておりハズレだと挑戦者に●ベイズの定理を導く

見せた後に A のドアのままにするか、ドアを変更するかの 2 通りについて考えなければならない。

象を C とすると、求める確率は PDB (C ) である。

（パターン１）

いま、C のドアに賞品があるとわかってモンティが B のドアを開けたとき、A のドアに賞品がある確率を考える。
モンティが B のドアを開けるという事
象を DB ，A のドアに賞品があるという事いて、モンティが B のドアを開ける確率

PC ( DB ) は、＜解法１＞より、PA ( DB )  1 ．
また、C のドアに賞品がある確率（事前確率）は P(C ) 

象を A とすると、求める確率は PDB (A) である。
いま、A のドアに賞品があるとわかっていて、モンティが B のドアを開ける確率

PA ( DB ) は、＜解法１＞より、PA ( DB ) 

1．
2

さらに、、モンティが B のドアを開ける
確率 P( DB ) は P( DB ) 

PDB (C ) 

13 2

132

さらに、モンティが B のドアを開ける確となる。

したがって、挑戦者が A のドアを選んで、ズの定理から、

PDB ( A) 

PC ( DB ) P(C )P( Db )

11率）は P( A)  である。
31であるから、ベイ21であるから、ベ2イズの定理から、また、A のドアに賞品がある確率（事前確率 P ( DB ) は P ( D B ) 1である。
3PA ( DB ) P( A)
P( Db )

1 1

1
2 3
1
32

モンティが B のドアを開けた場合、

132・C のドアに賞品がある確率は3・A のドアに賞品がある確率はであるから、C のドアに変更した方がよいとなる。

ことになる。

（パターン２）＜解法３＞

モンティが B のドアを開けたとき、C の極端な場合を考えてみる。

ドアに賞品がある確率を考える。
モンティが B のドアを開けるという事
象を DB ，C のドアに賞品があるという事

賞品が A のドアにはなかった場合、モンティはランダムにドアを開くことはしない。わざとハズレのドアを開くことになる。

学する」(The Drunkard’s Walk) 、よって、この瞬間に司会者が挑戦者の選択

Leonard Mlodinow 著、田中三彦訳、に干渉している。

ダイヤモンド社

もともと 3 枚のドアに賞品がある確率は等しく1ずつであったが、司会者がわざと3ハズレのドアを 1 つ開いて見せたことにより、挑戦者の選んだ A のドアではなく残っているドアに賞品がある確率は2になっ3たと考えることができる。
わかりやすくするために、ドアを 3 枚ではなく 100 枚であると仮定して考える。挑戦者は A のドアを選択するとする。挑戦者が初めに選んだドアに賞品が隠されている確率は1である。一方で、順にハズレ100のドアを開いていき、2 枚まで減らしていくと、残りのドアに賞品が隠されている確率は[2] 高校数学の美しい物語

99と考えることができ、明らかに挑100

戦者はドアを変更したほうがいいということになる。

４. 今後の課題
この研究の最終目標はモンティ・ホール問題の一般化である。もともとのドアの枚数やモンティが開けるドアの枚数、挑戦者が初めに選ぶドアの枚数などを変化させた場合について、3 枚のドアのときの結果同じになるのかということをまず考えてみたい。
そのために、今回習得した 3 つの解法をうまく活用していきたい。

５. 参考文献[1] 「たまたま－日常に潜む「偶然」を科http://mathtrain.jp/bayes

６. 謝辞
今回の研究にあたり、ご指導下さいまし
た顧問の川口先生ありがとうございました。