2022年6月17日 河川技術に関するシンポジウム

分散不均一性を考慮した多変量自己回帰モデルによる短時間予測水位の精度向上に関する研究

中央大学理工学部 小山直紀
中央大学大学院 阪井瑞季
中央大学研究開発機構 山田正背景 多発する洪水災害

近年、我が国では毎年のように洪水被害が発生している
都道府県管理河川の洪水対策が重要である・都道府県管理河川の予算は国管理河川と比較して圧倒的に少ない→ハード対策を容易に講じることは難しい
国 12箇所県 128箇所
計 140箇所
国管理河川決壊箇所

・また、一般的にハード対策には計画から完成まで時間が数十年かかる→ソフト対策で補う必要がある

国管理河川
都道府県管理河川決壊箇所

令和元年台風東日本による堤防決壊箇所(都道府県管理河川の決壊箇所が圧倒的に多い)

精度の高い洪水予測を行い、避難情報の提供による被害軽減を目指す

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時系列解析による水位予測
ある流域の下流端における水位・流量は流域内の様々な支川の影響を受けている上流からの影響を取り込める
時系列解析モデル

多変量(ベクトル)自己回帰モデル(MAR：Multivariate AutoRegressive Model )テンソル形式での表現ベクトル形式での表現

 a11i a12i
 hn1  2 N  iiaah22 n  =  21
  i =1
 i
 p
i
 hn  a p1 a p 2
観測水位a1i p i a2 p i a pp  hn1−1   n1 
 2 
 2
h
 n−2  +  n 

 
 p 
 p
 hn −i  n NP

h np =  aipl hln −i + ε np
i =1 l =1

過去の観測水位 ホワイ トノイズ

パラメータ
ph n :p地点のn時間の観測水位データ
h np：対象変数a ipl：過去の対象変数から予測対象変数へのパラメータε np ：ホワイトノイズ
P ：対象としている変数の数
観測水位データ
N ：対象変数の次数 (対象変数が過去の影響を受ける最大の時間)3

時系列解析による水位予測NP

h =  aipl hln −i + ε np
pni =1 l =1

P ：対象としている変数の数
N ：対象変数の次数

観測水位データ

・P=3, N=3の場合を例にして考える．

それぞれの水位観測所のデータを用いて水位を推定できる4

多変量自己回帰モデルの洪水予測への適用
NP

h =  aipl hln −i + ε nppn

P ：対象としている変数の数(観測所数)
N ：対象変数の次数i =1 l =1

現在のデータも含める．

hˆN

pn +1hˆ(過去の影響を受ける最大の時間)

P=  aipl hln +1−i + ε np
i =1 l =1x時間先までの予測
x −1 Ppn+ x

第３章・第４章=  a hˆj =1 l =1ipl

現在時点の観測データがあれば，1つ先のデータを求めることができる．
その予測した結果を再帰的に次ステップの予測に用い，x時間後までの予測を行う．

N −x Pln+ x− j+   aipl hln +1−i +  np
i =1 l =1

予測値

現時点でのデータから予測が行える
5

分散不均一性とは？
N

Ph np =  aipl hln −i + ε np
i =1 l =1

ホワイトノイズを仮定→分散を一定としている。

分散は一定ではなく、水位の立ち上がりにおいて差が大きくなっていることがわかる

分散不均一性(ボラティリティ)

分散不均一性を考慮した時系列解析による水位予測
分散不均一性を表現する方法は、Eagleによって初めて考案され、自己回帰条件付き分散不均一モデル(AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity:ARCH)と呼ばれる

 n = vn  nL

 n =  +   i i2−1i =1

Bollerslevは，ARCH過程を一般化し、GARCH(Generalized ARCH)過程と呼ばれる

 n = vn  nL

Mi =1i =1

 n =  +   i i2−1 +  i n −ivn：ホワイトノイズ(ただし，分散は1)
ω，α，βはそれぞれパラメータ
L及びMはそれぞれ次数

Robert F. Engle：Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom
Inflation，ECONOMETRICA，Vol.50，No.4，pp.987-1007，1982. 6)
Tim Bollerslev：Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，Journal of Econometrics，Vol. 31，3，
pp. 307-327，1986.

対象流域と対象洪水について
対象流域：利根川上流域
流域面積：5,100km2
水位・流量観測所の数：6箇所(1時間毎の水位データ)
雨量計の数：全68箇所(ティーセン分割によって流域平均)
対象流域(利根川上流域)

対象洪水：
水防団待機水位を超えた
全8イベント(2002～2021)
検証方法：分割交差検定

2002年から2021年までの八斗島における水防団待機水位を超えた洪水(全8イベント)8予測値の補正方法
予測した時点においては未来の観測値が不明
予測した時点での観測値と再現値の差を用いて予測値を補正

分散不均一性を考慮していない場合の観測値と予測値の差

予測時間先が長くなるにつれ、観測値と予測値の差が大きくなる

誤差分散不均一性を考慮ありなしによる解析結果
・洪水イベント8(対象洪水において最も水位が高くなったイベント)

考慮なし

考慮あり

誤差分散不均一性を考慮しない場合(上図)と比較して、考慮した場合には1時間先予測(赤線)、2時間先予測(オレンジ線)の短時間予測精度において向上がみられる。
また、本手法は、パラメータ推定に用いた洪水イベント8が予測精度の検証対象とし他洪水イベントより水位が低いことから,未経験洪水に対してもある程度予測が可能

解析結果
分散不均一性を考慮した場合と考慮していない場合の予測時間別にみた観測値と予測値の比較を行った
洪水イベント8

洪水イベント4

分散不均一性を考慮した1時間先予測(赤線)ではほとんど観測値との差がない
洪水イベント4に対しては50cmの精度向上がみられる
5時間先(緑線)の予測結果をみると、基本的には分散不均一性を考慮した方がよいが一部分では逆転している箇所がある。この原因として、予測値を補正する際に予測時点における誤差を用いているため長時間先の差を追随できなかった可能性がある。

使用するイベント数による予測精度の検証
パラメータ推定時に用いる洪水イベント数が予測精度に与える検証を行った

使用するイベント数が増えるにつれて、予測精度があがる。
短時間予測であれば、3イベント程度あればよい。

使用する観測所数が6地点の場合と4地点の場合の比較

これまで使用する観測所数を6地点を用いてきたが、4地点に減らした場合の比較

RMSE =

N peak (h − h ) / N
n =1iobi2prepeak

観測地点数が少なくてもある程度の予測精度を担保できることがわかった
4地点の方が精度が高い場合もあり、使用する観測所の選定が重要な可能性がある

まとめ
本研究では，利根川上流域の八斗島地点において時系列解析の多変量自己回帰モデ
ルにおける誤差項に分散不均一性を考慮することで洪水予測精度の向上を試み，当該手法の水位予測への適応性について分析した．
・誤差分散不均一性を考慮することで，1～3時間先の予測においては数10cm以上の精度向上がみられた．
・パラメータ推定に用いる洪水イベント数は，短時間予測であれば洪水イベントが2つあればある程度の予測精度を担保することができ，長時間予測の場合でも洪水イベントが4つ以上あれば安定した予測を行うことが可能である．
・使用する観測データ数を6地点(基準点を含む)と4地点(基準点を含む)で比較した
結果，観測地点数が少なくてもある程度の予測精度を担保できることがわかった．

時系列解析の多変量自己回帰モデルによる洪水予測手法は水位計の少ない都道府
県管理河川にも導入できる可能性が高く，被害が多発している中小河川の避難対策の一助として導入されることが期待される．