魔方陣を作る
３年Ｃ組 今中 翔哉
指導教員 川口 慎二
１．要約
サイエンス研究会数学班 3 年生は多様な研究を行っている。私は魔方陣について学習している。今回は魔法陣の作り方について考えた。その中でさまざまなことが明らかになってきたため、今回はそれらを紹介していきたい。
キーワード

魔方陣、 n 次魔方陣、正方行列、定和、補助方陣

２．研究の背景と目的列と呼び、上から数えて i 番目の行、よく知られているように魔方陣は縦、ai1 , ai 2 , , ain

横、斜めが一定の和になるという一見単純な性質しかないと思われがちだが、今回はを第 i 行、左から数えて k 番目の列

あえて単純な部分に目を向けて調べてみa1k , a2 k , , ank

た。なかなか一筋縄では容易に作ることができない魔方陣もさまざまな方法で何種類を第 k 列という。さらに、また行列 A を構もの魔方陣を作られることがわかったため成している n 個の数 aik ( i, k  1, 2, , n )それらを紹介する。

を行列 A の要素という。つまり、正方行列2Aは
３．研究内容両対角線の数の和をすべて相等しくしたも a11aA   21a n1のである。一般に一辺が n の魔方陣は「 nと表現できる。

３．１ 魔方陣の基礎知識
魔方陣とは、1 から始まる連続した自然数を碁盤の目状に並べ、各行、各列、及び次魔方陣」といわれている。また、魔方陣を単に「方陣」と呼ぶこともある。まず魔方陣を詳しく調べるために基本用語について確認する。

n 個の数 aik ( i, k  1, 2, , n ) を正方2a12a22

a n2

 a1 n  a2 n    a nn そして、正方行列 A に対して、左上隅のa11 から右下隅 a nn への対角線を主対角線といい、その上にある要素を主対角線要素という。また、右上隅の a1 n から左下隅の形に並べたものを n 次正方行列という。 na n1 を結ぶ線を副対角線、その上にある要次正方行列 A において、横列を行、縦列を素を副対角線要素という。

要素がすべて 1 である n 次正方行列を n次単一行列といい、一般に E n と表す。例

nSnS

えば、4 次単一行列 E 4 は3158260

4349269

565

10505

6111

11671

717512870

1
1E4  1
1

1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 である。

行列 A を行と列を入れ換えて得られる行列を A の転置行列といい、 t A と表

この結果より、 n が奇数の場合は、n  2m  1 ( m  N )とおくと、①はす。例えば、

1

2A
3
4
tの転置行列 A は、

5 9

6 0
7 1

8 2 

1 2 3 4 tA  5 6 7 8
9 0 1 2

(2m  1){(2m  1) 2  1}
2
 (2m  1)(2m 2  2m  1)

Sとなり、(右辺)＝(奇数)×(奇数)＝(奇数)であるから定和 S は必ず奇数になる。したがって、奇数方陣の各行、各列、両対角線には奇数が奇数個含まれることがわかる。

また、 n が半偶数（4 で割れない偶数）のときは、 n  4m  2 ( m  N )とおくと、①はである。

(4m  2){(4m  2) 2  1}
2
 (2m  1)(16m 2  16m  5)

S

●一行の数の和
一般に、 n 次魔方陣陣に含まれるすべてとなり、(右辺)＝(奇数)×(奇数)＝(奇数)での数の和を S n とすれば、 S n は初項 1，末あるから定和 S は必ず奇数になる。したが22

項 n ，項数 n の等差数列の和であるかって、半偶数方陣の各行、各列、両対角線ら、には奇数が奇数個含まれる。

であり、各行（列）の和は相等しいので、各行、各列、両対角線要素の和 S は、

Sn(n 2  1)
S n …①n2である。これを n 次魔方陣の定和（魔法陣定和）という。
したがって、 n  3, , 12 の場合は次のようになる。

それに対して、 n が全偶数（4 で割れる偶数）のときは、 n  4m ( m  N )とおくと、①は4m{(4m) 2  1}
 2m(16m 2  1)
2となり、定和 S は必ず偶数になる。したがSって、全偶数方陣の各行･各列･両対角線には、奇数も偶数も偶数個ずつ含まれる。

さて、ここで n が奇数、全偶数、半偶数の●魔方陣の作り方
ひとつの魔方陣を作るときに、もととなる 2 つの魔方陣を補助方陣という。そし場合に分けて、 n 次魔方陣の作り方をいくつか紹介する。て、これらの補助方陣には次の直交性が成り立っていなければならない。

３．２ 奇数方陣の作り方

0,1, 2, , n  1 の n 個の数字を要素としここでは、5 次方陣を例に説明する。てもつ n 次正方行列 A  (aik ) , B  (bik ) に対して、 A と B の ik 要素を並べた順序対

3.2.1 方法１：２つの補助方陣を用いる

 aik , bik  を ik 要素としてもつ正方行列を

まず、2 つの補助方陣をつくり、それら

A と B の 2 重配列とよび、 A  B と表すこを利用して魔方陣を作る。とにする。つまり、①補助方陣 A の作り方
はじめに副対角線上に下から順に 1, 2, 3,A * B  ( aik , bik )  a11 , b11    a11 , b11   a , b    a , b 1111
 11 11である。このような 2 重配列に現れる n4, 5 と入れる。次に、下図のように主対角線に平行な方向に同じ数を 5 個ずつ配列する。
35241135244135224135524132個の順序対がすべて異なるとき、 A と Bは互いに直交するといい、そのときの 2 重A＝配列を直交配列という。
例えば、次の行列 A と B は、2 重配列のすべての要素が異なるため、互いに直交し②補助方陣 B の作り方ている。

0
0A
0

0


1 2 3

1 2 3
1 2 3

1 2 3 

0

1B
2
3

0 0 0
1 1 1
2 2 2

3 3 3 ①で作った補助方陣 A を、その中央の列に関して左右対称に移す。

B＝  0, 0   0,1 A* B   0, 2   0, 3  1, 0   2, 0   3, 0  
 1, 1   2, 1   3, 1   1, 2   2, 2   3, 2   1, 3   2, 3   3, 3  

14253425312531453

14231425

便宜上、順序対の< >を省略することが上の 2 つの補助方陣 A と B は互いに直多い。直交しない 2 つの補助方陣からは、交している。これらから、行列とみなして明らかに方陣を構成し得ない。これは 2 つM  n( A  En )  Bの同じ数字が現れてしまうからである。

を各要素で計算してできる配列 M を構成

すれば、次の 5 次方陣 M を得る。

3.2.3 方法３：ペルシャの連続方式

11 24以下の手順で数を配置していく。

4M＝ 17720312 2581613 219510 18114 2223192615①まず正方形の中央のマスの 1 つ下に 1 を置き、以下は次のように右斜下方に連続して自然数を順に並べる。
②最下行に来たときは、次の列の一番上に続け、そこからさらに、右斜下方へと進んでいく。

また、この方陣を一度で書き下すことができる以下の方法が知られている。

③最右列にきたときは、そのすぐ下の一番左の隅に続け、そこから順に右斜下方に）進む。
（※②③は方法２と同じ。

3.2.2 方法２：ヒンズーの連続方式④すでに数字の入っているマス目に出会っ以下の手順で数を配置していく。

た場合、1 つ前の数字の真下 2 つ目のマ

①まず正方形の最下行の中央のマスに 1 をスに進み右斜下方に続ける。

置き、以下は次のように右斜下方に連続
実際にこの手順を行うと、次の 5 次方陣して自然数を順に並べる。
②最下行に来たときは、次の列の一番上に続け、そこからさらに、右斜下方へと進んでいく。
③最右列にきたときは、そのすぐ下の一番左の隅に続け、そこから順に右斜下方に進む。
④すでに数字の入っているマス目に出会っを得る。
11 24

7203412 25

81617513 21

910 18114 2223192615た場合、1 つ前の数字のすぐ上に進み右
ただし、3 次方陣については方法２（ヒ斜下方に続ける。

ンズーの連続方式）と方法３（ペルシャの実際にこの手順を行うと、次の 5 次方陣連続方式）によって書き下されたものは、下のように一致したものになる。

を得る。

11 18 252910 12 19 21

34613 20 22235714 1617 241815492357816また、これらの方法により得られた n 次方陣の、中心について対称である 2 つの数の和を調べると、いずれも n  1 となって2いることが明らかになった。

ると、各行（列）の和は3.2.4 方法４：桂馬跳びの方式

5a  60  5 (a  12)

以下の手順で数を配置していく。
①まず、正方形の最下行の中央のマスに 1となることがわかった。特に、 a  1 のとを置く。以下は次のように連続した自然き、各行（列）の和は 65 となり定和に一数を左上方向に桂馬跳びに順次並べる。

致する。

②第 1 行、または第 2 行に来たときは、す同様に、方法１では両対角線上に 1, 2,ぐ左の列の相当する場所に続け、そこか3, 4, 5 と並べたが、これはあくまでも主対らさらに、左上方向に桂馬跳びに進む。

角線要素（副対角線要素）をすべて 3 にす

③第 1 列に来たときは、最右列の相当するるためであり、3 以外の n  1 個の数は任場所に続け、そこからまた、左上方向に意に入れ替えても構わない。

桂馬跳びに進む。
④すでに数字の入っている目に出会ったときは、1 つ前の数字のすぐ上に進み、左上方向に桂馬飛びを続ける。

３．３ 全偶数方陣の作り方
まず、自然配列について説明する。自然数を左上隅から順に行ごとに右下隅まで配置した配列を自然配列という。下図は 4×

実際にこの手順を行うと、次の 5 次方陣

1 から 42(=16)まで書き下ろした配列であを得る。
314 256172281951116213 24 1015 217189112 2320る。

4a  13a  24a 5a  16a  21a 7a  18a4a  10a  15a 1a  12a  23a9a  14a  20a6a  17a 3a  19aa  1112345678910 11 1213 14 15 16a2a84 の自然配列である。これは右上から順に

a  22

最初の位置に数 a を置いた場合は、上図のように数が配置される。これを、見3.3.1 方法１：自然配列網掛け交換法
自然配列の両対角線要素は動かさず、残りの数はすべて、方陣の中心に関して対称の位置に移す。

1234115 144567812679910 11 12810 11513 14 15 16133162この操作は、両対角線要素の和は定和

24 となり、4 行目は－29＋5＝－24 とな34 であり、同じ列の 2 数の差は一定といり、どちらも定和 34 となる。2 行目と 3う性質によるものである。また、この全偶行目も同様である。

数魔方陣は、その中心に関して対称の位置にある 2 数の和はすべて n  1 である（こ2

このようにして得られた配列は下図のようになる。のような魔方陣を対称方陣という）。
より大きな n 次魔方陣（例えば n ＝12,16など）を作りたいときは、 n  n の自然配列を作りそれを 4 分割してできる自然配列それぞれに方法１と同様にして配列してから、最後に n  n 配列の中心に関してそれぞれの数を対称の位置に移せばよい。

114 154811 10512769132316この方法で 8 次方陣を作ると、「コの字形、逆コの字形」を 2 回繰り返すような図になる。また、4 次方陣では中央の 2 列を3.3.2 方法２：「コの字形、逆コの字形」上下逆順に入れ換えたが、8 次方陣の場合配列を利用する方法

では、中央の 4 列（一般に、 n が全偶数の自然配列とともに、「コの字形、逆コの字形」とよばれる配列も有効である。下図

ときn列）を上下逆順に並べ換えれば 完
2は 4×4 の「コの字形、逆コの字形」配列成する。同様にして 12 次、16 次の方陣もである。上 2 行では、「コの字形」に数が作ることができる。

順に並び、下 2 行では「逆コの字形」に並んでいる。

3.3.3 方法３：定和をもち、かつ、直交
1234876512 11 10913 14 15 16する２つの補助方陣を利用する
8 次方陣の場合について説明する。
①補助方陣 A の作り方
まず、主対角線上に左上から順に 1,2,3,4, 5, 6, 7, 8 を入れる。次に、副対角

ここでのすべての列の和は、4 次方陣の線上にも右上から順に 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,定和 34 である。そこで、すべての行の和8 を入れる。そして、各行には和が９も定和となるようにするために、中央の 2（一般的には n  1 ）になるような 2 数列を上下逆順に入れ換える。

を交互に 4 組ずつ入れる。ただし、左右「コの字形、逆コの字形」配列では、1行目の和が 10，2 行目が 26，3 行目が対称に配置する。
②補助方陣 B の作り方

42，4 行目 58 であるので、1 行目は定和

補助方陣 A をその主対角線に関して対に 24 足りず，4 行目は定和より 24 上回っ称に移す。つまり、B は A の転置行列にている。そのため、中央の 2 列の上下を交相当する。

換することにより、1 行目は－5＋29＝＋2 つの補助方陣 A と B は下図のようにn は半偶数 n  2(2m  1) とする。

なる。

A＝

B＝３．４ 半偶数方陣の作り方

1818818172722727363663635454454545455454

63633636272772

724928181181835781617354628826453

7117354628826453

71826453711735462882645371173546283.4.1 方法１： (2m  1) 次の奇数方陣の各マスに２次配列を取り込む方法
6 次方陣で説明する。6＝2×3 より、次のような 3 次方陣を基礎方陣として用いる。

6 次方陣を 3×3 の基礎方陣の各マスに 2次配列を入れていく。下図の 3 次方陣の①に 1～4 を、②の部分に 5～8，③の部分に9～12，④の部分に 13～16，⑤の部分に17～20，…というように 4 つずつ数を配置していく。ただし、それぞれの 2 次配列
では「コの字形」に配置する。

④ ⑨ ②

これらを行列とみなしてM  n( A  En )  B③ ⑤ ⑦を各要素で計算してできる配列 M を構成⑧ ① ⑥すれば、次の 8 次方陣 M を得る。
1M＝63361 60

6588

これにより、次の 6 次配置が得られる。

56 10 54 12 13 51 15 4913 14 33 345617 47 19 45 44 22 42 2416 15 36 358740 26 38 28 29 35 31 33932 34 30 36 37 27 39 25

12 11 20 19 28 2741 23 43 21 20 46 18 48

29 301221 2216 50 14 52 53 11 55

932 314324 235764759

5462

2

10 17 18 25 26

すると、次の状況が起こる。
・列について、各列の和はすべて 111 であ

なお、この方法３を用いると、任意の半偶数方陣も作ることができた。

り、6 次方陣の定和になっている。
・行の和は、第 1 行から 1 行おきに 105

と 117 を繰り返す。6 次方陣の定和 111から 6 だけの過不足がある。

を 37 とする。
例えば、下図の外周を用いるとする。

・主対角線要素の和は 108 で 111 より 3134 33 32

92足りない。副対角線要素の和は 114 で631111 より 3 多い。

1027

上記の過不足を解消するために、①、307②、③、⑥、⑦、⑨に対応している 2 次配

29835列の 1 列目の上下を入れ替えた。このようにすると各行、各列、両対角線の和が、定和の 111 になることがわかった。
13 14 33 34

5616 15 36 35

87934528 36

このとき、辺の 4 数の順序は任意であり、4!×4!＝576 通りある。また、四隅も多数が可能である。この方法で作った 6 次方陣は次のようなものがある。

10 17 18 25 26

134 33 32

12 11 20 19 28 27611 25 24 14 3129 30

1221 22

10 22 16 17 19 2732 314324 2330 18 20 21 15729 23 13 12 2683513 14 36 34

8616 15 33 35

5712 10 17 18 28 26
911 20 19 25 2729 30

4224 2232 31

1321 233459228 36

なおこの方法を反復すると 10 次、12 次などの偶数方陣も作ることができる。

４. 今後の課題
今回は、魔方陣を場合分けして作る方法について調べたが、これからはそれらの方法のメカニズムについても考察していきた

3.4.2 方法２：外周追加法
これは、全偶数方陣を核として、外周をい。また n 次方陣の解法式の証明も挑戦したい。

一回り追加して、半偶数方陣を作る方法である。6 次方陣の場合は、4 次方陣の周り

５. 参考文献に外周をつけて、1 から 62(＝36)までの数[1] ｢魔方陣の世界｣、大森清美、日本評論のうち、初めの 10 個（一般には 2(n  1)社(2013)個）の 1～10 と終わりの 10 個の 27～36を使って作る。核となる 4 次方陣は任意の

６.

謝辞

4 次方陣の各要素に 10 ずつ加え、11～ 26

今回の研究にあたりご指導くださった顧で作る。また外周は向かい合った 2 数の和

問の川口先生、ありがとうございました。