数理解析研究所講究録
第 741 巻 1991 年 137-146$137$

位相的ミニマックス定理
慶応義塾大学商学部

1(Hidetoshi Komiya)

小宮英敏

序論

ミニマックス定理を成立させる条件として, その戦略空間は凸集合をなし, 利得関数は第一変数に関して凹関数であり, 第二変数に関して凸関数であるといったものがよく知られている. 凸集合はその任意の二点を結ぶ線分が再びその集合に含まれるということで定義されるが, この二点を結ぶ線分は $[0,1]$ 区間によって連続的にパラメータ付けされているために, 位相的にはコンパク トかっ連結であり, 順序的には全順序が自然に定義されるな
ど, 様々な属性を持っ. 最近 Kindler-Trost[3, Corollary 5.2] によ っ て, Sion タイプの ミニ
マックス定理 [7] には本質的に二点を結ぶ線分の連結性のみが必要であることが, IntervalSpace という空間概念を定義することにより示された. ここでは, Interval Space の考え方に触発され, 表面的には代数的な形をしている Fan タイプのミニマックス定理 [1] も位相的な連結性を内蔵していることを明らかにするとともに, 上述の Kindler-Trost の定理も包含するミニマックス定理を提出する.

2

位相的ミニマックス定理$X$を空でない集合とし,する. $X$ の部分集合$L$$\mathcal{B}(X)$に対し,を $X$ 上のすべての上に有界な実数値関数からなる集合と$\mathcal{B}(X)$上の実数値関数$M_{L}(f)= \sup_{x\in L}f(x)$で定義する. 集合 B(X) の部分集合 F に対し,$\mathcal{F}^{*}=${$f\in \mathcal{B}(X)$,$M_{L}$

を$f\in \mathcal{B}(X)$$\mathcal{B}(X)$の部分集合 F* を

: $f\geq g$ が F のある元 に対して成立する.}$g$で定義する. $X$ の部分集合 $L$ は, 有限個の$\mathcal{F}$の元$h_{1},$$h_{n}$$\ldots,$と実数$\alpha$が存在して,$L=\{x\in X : h_{i}(x)>\alpha, i=1, \ldots, n\}$と書くことができるとき,$\mathcal{F}$のレベル集合であるをいう.

この節の主定理は定理 2.1 であるが, その証明のためにはいくっかの補題を必要とする.
補題 2.1

集合とし,$X$$\mathcal{F}$をを空でない集合とし$\mathcal{B}(X)$$f\mathcal{B}(X)$の部分集合とする.

$\mathcal{F}$を $X$ 上の上に有界な実数値関数の全体からなるの任意の元 $f$ と位相空間 $W$ と写像 $S:Warrow \mathcal{F}^{*}$ があるとする.

$g$に対し, 次の性質を満たす連結

$l38$(i) $f,$ $g\in S(W)$ .
(ii) 任意の $x\in X$ に対し, $S()(x)$ : $Warrow R$ は下半連続である.

(iii) 任意の $w\in W$ に対して,$fVg\geq S(w)$ .

(iv) 任意の $w\in W$ と任意の空でない$\mathcal{F}$のレベル集合 $L$ に対して,$M_{L}(f\wedge g)\geq M_{L}(f\wedge S(w))\wedge M_{L}(g\wedge S(w))$

このとき $f,$$g\in \mathcal{F}$

とし,

$L$

を

$\mathcal{F}$.

の空でないレベル集合または $X$ そのものとすると,$\inf_{h\in \mathcal{F}}M_{L}(h)\leq M_{L}(f\wedge g)$が成立する.

証明

任意の $\alpha<\inf_{h\in \mathcal{F}}M_{L}(h)$ に対して, $\alpha\leq M_{L}(f\wedge g)$ を示せばよい.

$\alpha>M_{L}(f\wedge g)$を仮定して, 矛盾を導く.
$L(w)=\{x\in L : S(w)(x)>\alpha\}$

とおくと, $L(w)\neq\emptyset(w\in W)$ は仮定よりよい. $u,$ $v\in W$ を $S(u)=f\rangle$ $S(v)=g$ なるものとする.

$L(u)\cap L(v)=\emptyset$

も背理法の仮定よりよい.

$U=\{w\in W : L(w)\subset L(u)\}$ ,$V=\{w\in W : L(w)\subset L(v)\}$

とおくと, $u\in U,$ $v\in V,$ $U\cap V=\emptyset$ は明らか. 次に, $S(w)\leq f\vee g$ の仮定より,$L(w)\subset L(u)\cup L(v)$.

ここで, $L(w)\cap L(u)\neq\emptyset,$ $L(w)\cap L(v)\neq\emptyset$ なる $w$ があるとすると, $L$ がレベル集合のときは, 仮定より,$\alpha<M_{L}(S(w)\wedge f)\wedge M_{L}(S(w)\wedge g)\leq M_{L}(f\wedge g)$となり, 背理法の仮定に反する. また, $L=X$ のときは, $L(w)\cap L(u)$ と $L(w)\cap L(v)$ からそれを一っ選びレベル集合 $\{x\in X : h(x)>h(x_{1})\wedge h(x_{2})\}$
ぞれ点苅 と勉を選び, さらに$h\in \mathcal{F}$を考え, 再び上の仮定より背理法の仮定に矛盾する. 従って,$L(w)\subset L(u)$または$L(w)\subset L(v)$,は開である. 実際, $w_{0}\in U$ をとり, $\alpha<S(w_{0})(x_{0})$即ち, $W=U\cup V$ となる. このとき,なる $x_{0}\in L$ をとり固定する. このとき, $x_{0}\in L(w_{0})\subset L(u)$ . さらに, $G=\{w\in W$ :$U$$\alpha<S(w)(x_{0})\}$

とおくと, $G$ は$w_{0}$の開近傍で, $w\in G$ とすると, $x_{0}\in L(w)$ .

よって,となり, $L(w)\subset L(u)$ が出て, $w\in U.$ 即ち, $G\subset U.$ 同様にして, $V$ も開となりこれは $W$ の連結性に反する.

$x_{0}\in L(u)\cap L(w)$

2

139

Kindler-Trost[3] によると, 位相空間 $X$ と $X\cross X$ から $X$ のすべての連結部) を分集合の族への写像ぐ, } で $\{x, y\}\subset\{x, y\}$ を満たすものが与えられたとき, (X,$Z$$X$$z_{2}\in
Z$
に対
がすべての
の部分集合
Interval Space という. また,は, {$X$
は任意の実数上の実数値関数
して成立するとき, 凸であるという. Interval Space
注意 2.1$\langle\cdot,$$z_{1},$$z_{2}\rangle$$\subset Z$$\cdot\}$$z_{1},$$f$$\alpha$に対して, $\{x\in X : f(x)<\alpha\}$ が凸であるとき, 擬凸であるといい, $-f$ が擬凸であるとき$f$ は擬凹であるという.
$X,$ $Y$

を二っの Interval Spaces とし, $f$ : $X\cross Yarrow R$ は, $f(\cdot, y)$ は上に有界, 上半連続で擬凹であり, $f(x, \cdot)$ は下半連続で擬凸であるとする. このとき, $\mathcal{F}=\{f(\cdot, y) : y\in Y\}$ と$y_{2}\in Y$ に対して, $W=\{y_{1}, y_{2}\},$ $S(w)(x)=f(x, w),$ $w\in W$ とおけば, 補題 2.1 のおき,$y_{1},$(i) から (iv) が満たされる.
実際, (i) から (\"ui) は明らか. (iv) に関しては, $M_{L}(f_{1}\wedge f_{2})<\alpha<M_{L}(S(w)\wedge f_{1})\wedge$
なる$M_{L}(S(w)\wedge f_{2})$している)$\alpha$が存在したとすると (ここで $f_{1}(x)=f(x, y_{1}),$$f_{2}(x)=f(x, y_{2})$

と

,

,

$\{x\in L : S(w)(x)>\alpha\}\cap\{x\in L : f_{1}(x)\geq\alpha\}\neq\emptyset$$\{x\in L : S(w)(x)>\alpha\}\cap\{x\in L : f_{2}(x)\geq\alpha\}\neq\emptyset$が成立するから, 集合 $\{x\in L :S(w)(x)>\alpha\}$ の連結性と (iii) より { $x\in L$ : $f_{1}(x)\geq$$\alpha\}\cap\{x\in L:f_{2}(x)\geq\alpha\}\neq\emptyset$となめ, これは $M_{L}(fi\wedge f_{2})<\alpha$ に矛盾する.
を集合とし, $f$ : $X\cross Yarrow R$ は第一変数に対して concavelike であり, 第$x_{2}\in X$ と $s\in[0,1]$ に対して,
二変数に対して convexlike であるとする. 即ち, 任意の注意 2.2 $X,$$Y$

$x_{1},$が存在して,$x_{0}\in X$$f(x_{0}, y)\geq(1-s)f(x_{1}, y)+sf(x_{2}, y)$ ,であり, 任意の$y_{1},$$y_{2}\in Y$と $t\in[0,1]$$y\in Y$に対して, $y_{0}\in Y$ が存在して,$f(x, y_{0})\leq(1-t)f(x, y_{1})+tf(x, y_{2})$ ,$x\in X$

さらに, $f(\cdot, y)$ は $X$ 上で上に有界とする. このとき, $\mathcal{F}=\{f(\cdot, y) : y\in Y\}$ とおとする.

に対して, $W=[0,1],$ $S(w)(x)=(1-w)f(x, y_{1})+wf(x, y_{2})$ とおくとやはり補題 2.1 の (i) から (iv) を満たす.

き,$y_{1},$$y_{2}\in Y$

実際,$S(w)\in \mathcal{F}^{*}$であることは convexlikeness よりでて, (i) から (iii) は明らか.

関しては, 注意 2.1 と同様な$\alpha$が存在したとすると,$S(w)(x_{1})>\alpha,$なる$\mu,$$x_{1},$$\nu\geq 0$$x_{2}\in L$

が存在する.

$S(w)(x_{2})>\alpha,$$f_{1}(x_{1})>\alpha,$$fi(x_{2})<\alpha$$f_{2}(x_{2})>\alpha$だから, $\alpha=\mu fi(x_{1})+\nu fi(x_{2}),$ $\mu+\nu=1$ なるが存在して, concavelikeness より $x_{0}\in L$ が存在して, $\alpha\leq fi(x_{0})$ . 一方$\alpha$(iv) に$<$$\mu S(w)(x_{1})+\nu S(w)(x_{2})$$=$$(1-w)\alpha+w(\mu f_{2}(x_{1})+\nu f_{2}(x_{2}))$$\leq$$(1-w)\alpha+wf_{2}(x_{0})$

3

140

が成立するから,$\alpha\leq(f_{1}\wedge f_{2})(x_{0})\leq M_{L}(f_{1}\wedge f_{2})<\alpha$となり, 矛盾がでる.
補題 22 補題 2.1 と同じ仮定のもとに$f_{i},$$f_{n}$$\ldots,$を$\mathcal{F}$の有限個の要素とすると,$\inf_{h\in \mathcal{F}}M_{X}(h)\leq M_{X}(f_{1}\wedge\cdots\wedge f_{n})$が成立する.

として, $n-1$ に対し, 上の命題が成立するものと仮定する. $\inf_{h\in \mathcal{F}^{M_{X}(h)}}>\alpha$ なる任意の に対して, 帰証明$n=1$ のときは明らか. $n=2$ のときは補題 2.1 そのもの.

$n\geq 3$$\alpha$納法の仮定より任意のに対して,$g\in \mathcal{F}$$\alpha<M_{X}(f_{1}\wedge\cdots\wedge f_{n-2}\wedge g)$

従って, 各$g$に対して, $x\in X$ が存在して,$\alpha<(f_{1}\wedge\cdots\wedge f_{n-2}\wedge g)(x)$

よって,

とおくと,

$L=\{x\in X : \alpha<(f_{1}\wedge\cdots\wedge f_{n-2})(x)\}$だから, $\alpha\leq\inf_{g\in \mathcal{F}}M_{L}(g)$ .
$\alpha\leq M_{L}(f_{n-1}\wedge f_{n})$定理 2.1$X$なる集合とし,連結位相空間となり,をコンパク$\mathcal{F}$$W$を$\mathcal{U}(X)$と写像$L\neq\emptyset$

で,$\alpha<M_{L}(g)$補題 2.1 より, $\inf_{9\in \mathcal{F}}M_{L}(g)\leq M_{L}(f_{n-1}\wedge f_{n})$ .
$\alpha\leq M_{X}(f1\wedge\cdots\wedge f_{n})$ト位相空間とし,$\mathcal{U}(X)$の部分集合とする.

$S:Warrow \mathcal{F}^{*}$$\mathcal{F}$

これより,

がでる.

を $X$ 上の上半連続実数値関数の全体からの任意の元 $f$ と$g$に対し, 次の性質を満たすがあるとする.

(i) $f,$ $g\in S(W)$ .
(ii) 任意の $x\in X$ に対し, $S(\cdot)(x)$ : $Warrow R$ は下半連続である.

(iii) 任意の $w\in W$ に対して,$f\vee g\geq S(w)$(iv) 任意の $w\in W$ と任意の空でない$\mathcal{F}$のレベル集合

.
$L$

に対して,

$M_{L}(f\wedge g)\geq M_{L}(f\wedge S(w))\wedge M_{L}(g\wedge S(w))$.

このとき等式$\max_{x\in}\inf_{X}f(x)=\inf_{ff\in}\max_{x\in X}f(x)$が成立する.

に対し, $X_{h}=\{x\in X : h(x)\geq\alpha\}$ とおくと,補題 2,2 より $\{X_{h}\}$ は有限交叉性を持っから,なるが存在する. 従って,

証明$\alpha=\inf_{h\in \mathcal{F}}M_{X}(h)$とおき,$h\in \mathcal{F}$$x_{0} \in\bigcap_{h\in \mathcal{F}}X_{h}$$\alpha\leq\inf_{h\in \mathcal{F}}h(x_{0})\leq M_{X}(\inf_{h\in \mathcal{F}}h)$.

4$x_{0}$

141

前述の注意 2.1 と注意 22 より, 次の系が得られることは明らかである.
系 2.1 (Kindler-Trost) $X,$
$Yarrow R$

(i)

$Y$

を二っの Interval Spaces とし,X はコンパク トで, $f$ : $X\cross$は次の性質を満たすとする.
は上半連続で擬凹である.

$f(\cdot, y)$(ii) $f(x, \cdot)$ は下半連続で擬凸である.
このとき等式$\max_{x\in X}\inf_{y\in Y}f(x, y)=\inf_{v\in Y}\max_{x\in X}f(x, y)$が成立する.

(Fan) $X$ をコンパク ト位相空間,

系 22

$Y$

を空でない集合とし, $f$ : $X\cross Yarrow R$ は次の性質を満たすとする.

(i)は第一変数に関して concavelik である.

$f$

(ii)

$f$

(iii)

は第二変数に関して convexlike である.

$f(\cdot, y)$は上半連続である.

このとき等式$\max_{x\in X}\inf_{y\in Y}f(x, y)=\inf_{y\in Y}\max_{x\in X}f(x, y)$が成立する.

3

K\"onig の定理にっいてFan のミニマ ッ クス定理 (系 2.2) に関連して, K\"onig[4] は concavelike, convexlike の概念を拡張した s-concavehkeness, t-convexlikeness を導入し新たなミニマックス定理を証明
した.
$X,$

$Y$

を集合とし,

であるとは, 任意の$s,$$t\in(0,1)$$x_{1},$$x_{2}\in X$とする. $f$ : $X\cross Yarrow R$ が第一変数に対して s-concavelikeに対して,$x_{0}$が存在して,$f(x_{0}, y)\geq(1-s)f(x_{1}, y)+sf(x_{2}, y)$,$y\in Y$が成立することをいい, $f$ が第二変数に対して t-convexlike であるとは, 任意のに対して,が存在して,$y_{0}$$f(x, y_{0})\leq(1-t)f(x, y_{1})+sf(x, y_{2})$が成立することをいう.
次の定理は K\"onig による.

5,

$x\in X$$y_{1},$$y_{2}\in Y$

142

定理 3.1$s,$($K\ddot{o}$(iii): $X\cross Yarrow R$ はは第一変数に関して s-concavelike である.

$f$

(ii)

$f$

が存在して次の性質を満たすとする.

$t\in(0,1)$(i)nig) $X$ をコンパク ト位相空間, $Y$ を空でない集合とし,$f$は第二変数に関して t-convexlike である.
は上半連続である.

$f(\cdot, y)$

このとき等式$\max_{x\in X}\inf_{y\in Y}f(x, y)=\inf_{y\in Y}\max_{x\in X}f(x, y)$が成立する.

この定理 3.1 の仮定 (i) 及び (ii) はそれぞれ次の $(i’),(\ddot{u}’)$ に置き換えることができることは容易にわかる.

$(i’)[0,1]$ の稠密部分集合 $D$ が存在し, 任意の $s\in D$ と任意の$x_{0},$$x_{1}$

に対して,$x_{s}$が存在して, すべての $y\in Y$ に対して,$f(x_{s}, y)\geq(1-s)f(x_{0}, y)+sf(x_{1}, y)$が成立する.

(ii’) $[0,1]$ の稠密部分集合 $E$ が存在し, 任意の $t\in E$ と任意のして,すべての $x\in X$$y_{0},$$y_{1}$

に対して,$y_{t}$が存在に対して,$f(x, y_{t})\leq(1-t)f(x, y_{0})+tf(x, y_{1})$が成立する.

Fan のミニマックス定理の仮定と上の二っの仮定の違いは二っの不等式が $[0,1]$ 上のすべての数に対して成立するか, その稠密部分集合に対して成立するかの違いだが, この K\"onigの定理も定理 2.1 と同様にして証明されることを示すことができる. 実際, 定理 3.1 を証明するためには次の補題を証明すれば十分であることは, 第 2 節の考察より明らかである.
補題 3.1 $X_{f}Y$ を集合とし, $f$ : $X\cross Yarrow R$ は上の $(i’)$ , (ii’) を満たし, $f(\cdot, y)$ は各とに $X$ 上で上に有界とする.

$y_{0},$$y_{1}\in Y$

とし,

$L$

$\inf_{y\in Y}\sup_{x\in L}f(x, y)\leq\sup_{x\in L}\min(f(x, y_{0}),$

6

ごを $X$ 内の $f$ のレベル集合または $X$ そのものとすると \rangleが成立する.

$y$$f(x, y_{1}))$

143

証明

$\sup_{x\in L}\min(f(x, y_{0}),$ $f(x, y_{1}))< \alpha<\beta<\inf_{y\in Y}\sup_{x\in L}f(x, y)$を仮定して, 矛盾を導く. $t\in[0,1]$ に対して,$L(t)=\{x\in L:(1-t)f(x, y_{0})+tf(x, y_{1})>\alpha\}$とおく. $t\in E$ のときは, $(1-t)f(x, y_{0})+tf(x, y_{1})\geq f(x,$り $L(t)\neq\emptyset$ はよい. $t\not\in E$ で $L(t)=\emptyset$ なる$(1-t)f(x, y_{0})+tf(x, y_{1})\leq\alpha$.

$t$$y\ovalbox{\tt\small REJECT}$と $\alpha<\inf_{y\in Y\sup_{x\in L}}f(x, y)$ よがあったとすると, すべての $x\in L$ に対して,$t$に十分近い $t’\in E$ をとって, $(1-t’)f(x, y_{0})+t’f(x, y_{1})<\beta$とできる.

実際, $M>0,$ $M>2\beta$ なる $f(\cdot, yo)$ と$f(\cdot, y_{1})$に共通の上界 $M$ を選ぶ. このとき,$d= \min(\frac{1-t}{2}, \frac{(1-t)(\beta-\alpha)}{3(1+t)M-6\beta}, \frac{\beta-\alpha}{3M})$

とおくと, $t<t’<t+d$ なる $t’\in E$ を選べば, すべての $x\in L$ に対して,$(1-t’)f(x, y_{0})+t’f(x, y_{1})<\beta$である. 実際, $L$ を次の三っの集合$L_{1},$$L_{2},$$L_{3}$に分割する.

$y_{1} \{x\in L:f(x, y_{0})<\frac{2\beta-(1+t)M}{)<0^{1}\}^{-t}}\}$$L_{1}L_{2}$

,

$==$

$\{x\in L\backslash L_{1}:f(x,$$L_{3}$$=$$L\backslash (L_{1}\cup L_{2})$.

$x\in L_{1}$ のとき, $t’<t+(1-t)/2=(t+1)/2$ より, $1+t>2t’$ . $1-t=2(1-(t+1)/2)>$$2(1-t’)$ に注意すると$f(x, y_{0})< \frac{2\beta-2t’M}{2(1-t)}=\frac{\beta-t’M}{1-t}$.

従って,$\beta$$x\in L_{2}\cup L_{3}$$>$$(1-t’)f(x, y_{0})+t’M$$>$$(1-t’)f(x, y_{0})+t’f(x, y_{1})$のときは,$t<t’<t+ \frac{(1-t)(\beta-\alpha)}{3(1+t)M-6\beta}$より,$\frac{\beta-\alpha}{3}$$>$$\geq$$( t’-t)\frac{(1+t)M-2\beta}{1-t}$$(t-t’)f(x, y_{0})$従って,$(1-t’)f(x, y_{0})<(1-t)f(x, y_{0})+ \frac{\beta-\alpha}{3}$

7

.

144

ここで, $x\in L_{2}$ のときは, $t<t’,$ $f(x, y_{1})<0$ より, $t’f(x, y_{1})<tf(x, y_{1})$ となり,$(1-t’)f(x, y_{0})+t’f(x, y_{1})$$<$$\leq$$<$$(1-t)f(x, y_{0})+tf(x, y_{1})+ \frac{\beta-\alpha}{3}$$\alpha+\frac{\beta-\alpha}{3}$$\beta$.

また, $x\in L_{3}$ のときは, $t’<t+(\beta-\alpha)/3M$ に注意すると $f(x, y_{1})\geq 0$ だから,$t’f(x, y_{1})$$\leq$$tf(x, y_{1})+ \frac{\beta-\alpha}{3M}f(x, y_{1})$$\leq$$tf(x, y_{1})+ \frac{\beta-\alpha}{3}$よって,$(1-t’)f(x, y_{0})+t’f(x, y_{1})$$\leq$$(1-t)f(x, y_{0})+ \frac{\beta-\alpha}{3}+tf(x, y_{1})+\frac{\beta-\alpha}{3}$$\leq$$\beta$.

従って, $f(x, y_{t’})< \beta<\inf_{y\in Y}\sup_{x\in L}f(x, y)$ がすべての $x\in L$ に対して成立するがこれは矛盾. よって, $t\in[0,1]$ に対して,. さらに, 背理法の仮定より $L(O)\cap L(1)=\emptyset$$L(t)\neq\emptyset$が成立するのは明らか.
$T_{0}=\{t\in[0,1]:L(t)\subset L(0)\}$とおくと, $0\in\tau_{0},1\in T_{1},$$\tau_{0\cap T_{1}}=\emptyset$,$T_{1}=\{t\in[0,1]:L(t)\subset L(1)\}$は明らか. さらに,$L(t)\subset L(0)\cup L(1)$も明らか. ここで, $x_{0}\in L(t)\cap L(O),$ $x_{1}\in L(t)\cap L(1)$ なる $t\in[0,1]$ と$x_{0},$ $x_{1}$

があるとす

ると,

従って,

$t$

$(1-t)f(x_{0}, y_{0})+tf(x_{0}, y_{1})>\alpha$,$f(x_{0}, y_{0})>\alpha$,$(1-t)f(x_{1}, y_{0})+tf(x_{1}, y_{1})>\alpha$,$f(x_{1}, y_{1})>\alpha$.

に十分近い $t’\in E$ をとれば, 上の不等式は$x_{0}\in L(t’)\cap L(0),$ $x_{1}\in L(t’)\cap L(1)$である.

$\sup_{x\in L}\min(f(x, y_{0}),$なる $\epsilon>0$ をとる.

$f(x_{1}, y_{0})\leq\alpha,$

ここで,

$t$

を $t’$$t’\neq 0,$に入れ換えても成立するので,$t’\neq 1$は明らか.

$f(x, y_{1}))< \alpha-.\frac{1-t’}{t’}\epsilon$$f(x_{0}, y_{0})>\alpha$より, $s\in D$ が存在して,$\alpha\leq(1-s)f(x_{0}, y_{0})+sf(x_{1}, y_{0})<\alpha+\epsilon$

8

145

左側の不等式より, $\alpha\leq f(x_{s}, y_{0})$ .
$x_{1}\in L(t’)$$\alpha$$x_{0}\in L(t’)$

より, $\alpha<(1-t’)f(x_{0}, y_{0})+t’f(x_{0}, y_{1})$ .

より, $\alpha<(1-t’)f(x_{1}, y_{0})+t’f(x_{1}, y_{1})$ . 従って,$<$$(1-s)((1-t’)f(x_{0}, y_{0})+t’f(x_{0}, y_{1}))+s((1-t’)f(x_{1}, y_{0})+t’f(x_{1}, y_{1}))$$=$$(1-t’)((1-s)f(x_{0}, y_{0})+sf(x_{1}, y_{0}))+t’((1-s)f(x_{0}, y_{1})+sf(x_{1}, y_{1}))$$<$$(1-t’)(\alpha+\epsilon)+t’f(x_{s}, y_{1})$従って,$\alpha-\frac{1-t’}{t’}\epsilon\leq f(x_{s}, y_{1})$よって,$\alpha-\frac{1-t’}{t’}\epsilon$$\min(f(x_{s}, y_{0}),$ $f(x_{s}, y_{1}))$$\leq$$\leq$$\sup_{x\in L}\min(f(x, y_{0}),$$f(x, y_{1}))$となり矛盾である. 従って,$L(t)\subset L(O)$,または$L(t)\subset L(1)$

このとき, To は開である. 実際, $to\in To$ をとり, $\alpha<$(l–to) $f(x_{0}, y_{0})+t_{0}f(x_{0}, y_{1})$ なる $x_{0}\in L$ をとり固定する. このとき, $x_{0}\in L(t_{0})\subset L(1)$ .
即ち, $[0,1]=To$$\cup T_{1}$さらに, $G=\{t\in[0,1] :$t\in G$

即ち,

とすると,
$G\subset T_{0}$となる.

\alpha<(1-t)f(x_{0}, y_{0})+tf(x_{0}, y_{1})\}$$x_{0}\in L(t)$. よって,. 同様にして,$T_{1}$$x_{0}\in L(t)\cap L(O)$とおく と, $G$ はとなり,も開となりこれは $[0,1]$

注意 3.1 補題 3.1 の証明は定理 3.1 の仮定の (iii) と $X$$L(t)\subset L(O)$to の開近傍で,が出て,$t\in\tau_{0}$.

の連結性に反する.

のコンパク

ト性を使えばかなり簡

単になるが, ここではこれらの仮定を使わなかった. 従って, 補題 22 に対応する命題はこれらの仮定なしに成立する. このことを考慮すると有理数体をスカラーとする線型空間における次のミニマックス定理が成立することがわかる.
定理 3.2 $X$ と $Y$ をそれぞれ有理数体をスカラーとする線型空間内の凸集合 (即ち, その任意の二点の有理凸結合が再びそれに属す集合) と凸多角形 (即ち結合の全体)(i)$f(\cdot, y)$とする. $f$ : $X\cross Yarrow R$ は次の性質を満たすとする.

は中点凹で, 上に有界である.

(ii) $f(x, \cdot)$ は中点アフィンである.
このとき等式$\sup_{x\in X}nujnf(x, y)=\inf_{yy\in\in Y}\sup_{x\in X}f(x, y)$が成立する.

9$f$

有限個の点の有理凸

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参考文献

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