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2022/6/23

第4章

フェーザー・複素数を使ったインピーダンス計算

交流信号を正弦波による波の式で表すことで、R,L,C を含む線形回路における電圧や電流を計算することができるが、微分、積分がたくさん出てきて、計算が困難である。３章では、
R-L-C の直列回路を題材とした講義をすすめてきたが、さらに回路が複雑になると学んできた微分方程式による計算は困難になる。電気回路の世界では、交流信号をフェーザー表示（ベクトル表示）にすることで、複素数による線形代数式にしてしまう方法がある。第３章の話は重要であるが、複素数の計算に慣れてしまうと、こちらの計算だけで十分に仕事ができるようになる。本章では、フェーザー表示について理解を深め、複素数の計算、そしてベクトル図との関係、回路の計算練習を通して、本技術を身に着けていく。

１．正弦波を複素数で表すとどうなる
1)正弦波を複素数で表す試み

このような具合である。
この式を使って、次の計算をしてみる。

その 1

電流 I を𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜑𝜑) としたときに、結論を急ぐ読者においても、この節から読み始めてほしい。実効値 VE の正弦波

VL を求めてみる。の交流の波の式は、
𝑉𝑉(𝑡𝑡) = √2𝑉𝑉𝐸𝐸 sin (𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)(1)と表現される。この式の代わりに次の複素数の式を使うとしよう。
𝑉𝑉(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜑𝜑)(2)
𝑉𝑉𝐿𝐿 = 𝑉𝑉𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜑𝜑) = 𝐿𝐿

上記の(1)と(2)式は完全に等価ではない

𝑑𝑑𝐼𝐼= 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜑𝜑)
𝑑𝑑𝑑𝑑

が、これを使うというルールを仮決めし(4)ておく。このなかで j とでてくるが、これとなる。この結果において、正弦波の式は√−1であり、電気回路では i を使わずにに戻してみよう。

ｊを使う。これは、電気回路では i は電流

𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜑𝜑) = 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝐸𝐸 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑) +を標記するのにつかわれるため、誤解を𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)) = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝐸𝐸 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑) +防ぐためである。(2)式から、(1)の瞬時値

𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝐸𝐸 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)の表現に戻す場合は、オイラーの式を使より√2𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝐸𝐸 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)と戻すことがでって、虚数部（ｊの係数）を取り出し、それに√2をかければよい。

𝜋𝜋

きる。 (4)の式において、j は𝑒𝑒 𝑗𝑗 2 であるこ

𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜑𝜑) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑) + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)とから、(3)34

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𝑉𝑉𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜑𝜑) = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝐸𝐸 𝑒𝑒

𝜋𝜋2𝑗𝑗�𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜑𝜑+ �となる。

以上の試みから、正弦波を𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜑𝜑) を使は I=𝐼𝐼𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜑𝜑 で、コイルのインピーダンスは、𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗であり、V＝𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝐼𝐼𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜑𝜑 = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐼𝐼𝐸𝐸 𝑒𝑒っても、L を含む微分式でもきちんと計算ができるということがわかる。この式

𝜋𝜋2𝑗𝑗�𝜑𝜑+ �と計算できる。ここから V の瞬時値はの変換はコンデンサ C を含む積分の計算√2𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝐸𝐸 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑 + 2 �=𝜋𝜋でも利用可能である。
2)正弦波を複素数で表す試み

その 2√2𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝐸𝐸 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)

実効値 VE の正弦波の交流の波の式、𝑉𝑉(𝑡𝑡) = √2𝑉𝑉𝐸𝐸 sin (𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)と求めることができる。

(3)

非常に長く説明したがこういうことでについて、さらに踏み込んで、𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 の部分ある。

も消して、① 正弦波の式は実効値と位相角だけ取(4)𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜑𝜑

り出して、複素数化する。としてみよう。このように、交流信号を大きさと位相角のみで表すことを、フェーザー表示という。ベクトル表示ともいい、√2𝑉𝑉𝐸𝐸 sin (𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)⇒𝑉𝑉𝐸𝐸 ∠𝜑𝜑⇒𝑉𝑉𝐸𝐸 𝑒𝑒𝑗𝑗𝜑𝜑

単純に複素数で表すことと考えてもよい。 ② 正弦波の式にしたければ、𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 をかけて、オイラーの式に基づき、虚数

そして、R、L、C のインピーダンスは部をとり、√2をかけて求める。

複素数を含む次のように表現とする。
素子

複素インピーダンス
R ⇒R

コイル L ⇒
コンデンサ C ⇒𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗

抵抗③ インダクタンスのインピーダンスは複素数込みの𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗として計算する。Cのインピーダンスは1�𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 、抵抗のイ

1�
𝑗𝑗𝑗𝑗𝐶𝐶

ンピーダンスは実数 R として計算する。

※ 誤解なきよう、複素インピーダンスの単位はどの素子もΩである。
そして、計算結果を瞬時値にしたい時には、複素数に𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 をかけて、その虚数部を√2倍こうすることで、R,L,C を含む線形回路の交流の計算が、微分積分を使わなくても済むという恩恵を受ける。

すればよい。

2. 複素数の計算に慣れていく

電流を𝐼𝐼 = √2𝐼𝐼𝐸𝐸 sin (𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)として、コイルの起電力を求めてみよう。これは、そのこれから回路の問題を解いていこうと思１の節で示したものと同じである。電流うところであるが、基礎を抜きにしての練35

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𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 + 𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑗𝑗= (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐) + 𝑗𝑗(𝑏𝑏 + 𝑑𝑑)

習はいささか危険である。まずはひとつず
つ固めていきたい。

(𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗) − (𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑗𝑗)= (𝑎𝑎 − 𝑐𝑐) + 𝑗𝑗(𝑏𝑏 − 𝑑𝑑)1)複素数の大きさと角度加減は、実数項どうし、虚数項どうしを複素数の標記をすると、a+jb というよ加減すればよい。

うに、a は実部であり、ｂは虚部とするが、乗法・除算複素数は２つの数値情報をもち、これを次のベクトル表示に書き換えることがで(𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗) × (𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑗𝑗)

きる。すなわち、横軸を実部、縦軸を虚部= 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑗𝑗(𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑎𝑎)とする２次元平面にかくとこうなる。

乗法は各項ごとに掛け合わせ、足して虚数軸ｂいけばよい。ここで𝑗𝑗 2 = −1であるので、a+jb𝑗𝑗𝑗𝑗 × 𝑗𝑗𝑗𝑗 = −𝑏𝑏𝑏𝑏がでてくる。

大きさ

割り算は、分母の共役複素数を分母分角度 φa子にかけて計算する。

実軸

𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗)(𝑐𝑐 − 𝑗𝑗𝑗𝑗)=
𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑗𝑗)(𝑐𝑐 − 𝑗𝑗𝑗𝑗)

この平面を複素平面とも言う。原点からの長さを複素数の大きさといい、これを|a+jb|と表す。長さと大きさとは同じ意味でどちらも非常によく使われる。また水3)共役複素数

平軸からの仰角 φ を角度（位相角）とい=𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑗𝑗(𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝑐𝑐 2 + 𝑑𝑑2

共役複素数とは、もととなる複素数のう。次の計算がなりたつ。

虚数部を正負逆転させた複素数のことである。共役複素数のマークとしてトップ

複素数の大きさ（長さ）

バーをつける、あるいはアスタリスクを|𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗|＝�𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2上に添えるなどの表現がある。
��������(𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗)∗ = 𝑎𝑎+ 𝚥𝚥𝚥𝚥 = 𝑎𝑎 − 𝑗𝑗𝑗𝑗

複素数の角度

この教科書では、トップバーを使う。

∠(𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝜑𝜑 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1となる。

𝑏𝑏𝑎𝑎��������
|𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗| = �(𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗)�𝑎𝑎
+ 𝚥𝚥𝚥𝚥�の関係も覚えておきたい。

2）複素数の加減乗除

3)複素数の分数の整理
複素数が分数の分母に含まれる時には、加法・減法できる限り分母を実数化しておくと、計36

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角度分だけ大きくなるということである。

算がわかりやすくなる。分母の複素数を整理するときには、分母と分子に分母のここで重要共役複素数をかけると覚える。

オームの法則も複素数の積である。
𝑉𝑉 = 𝑍𝑍 × 𝐼𝐼11×(𝑎𝑎−𝑗𝑗𝑗𝑗)
𝑎𝑎−𝑗𝑗𝑗𝑗= (𝑎𝑎+𝑗𝑗𝑗𝑗)(𝑎𝑎−𝑗𝑗𝑗𝑗) = 2 +𝑏𝑏2
𝑎𝑎+𝑗𝑗𝑗𝑗𝑎𝑎となるが、フェーザー表示された関係においては、複素数の性質から次の関係が簡単に求められる。

4)オイラーの公式を上手に使う
どんな複素数もオイラーの式に基づけ

大きさは掛け算

ば、大きさと角度に置き換えることがで|𝑉𝑉| = |𝑍𝑍| × |𝐼𝐼|きる。

位相角は足し算
オイラーの式
𝑒𝑒𝑖𝑖𝜑𝜑= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝜑𝜑

𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 = �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜑𝜑となる。

𝜑𝜑 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1③ 複素数のべき乗

𝑏𝑏𝑎𝑎

複素数のべき乗を計算するには、大きさと角度に直して計算すると簡単である。

以上の関係を使うとわかりやすい事例がある。

∠𝑉𝑉 = ∠𝑍𝑍 + ∠𝐼𝐼(𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗)のｎ乗を計算するなら、一旦長さと角度を計算して、それぞれ、ｎ倍しても① 複素数の逆数は大きさがその逆数にとの複素数に戻すだけである。

なり、角度は-1 倍になる。
11
1==𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝜑𝜑
22𝑗𝑗𝜑𝜑2𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 √𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑒𝑒√𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2𝑛𝑛(𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗)𝑛𝑛 = ��𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 �になる。

ｎ= (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 ) 2 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑛𝑛𝜑𝜑② 複素数の積は、複素数の大きさ同士はここから、通常の複素数に戻せばよい。

掛けて、角度同士は足し合わせる。
𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗の角度を φ、𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑗𝑗の角度を θ とする。

例題

(𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗) × (𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑗𝑗)=�1
1 4+ 𝑗𝑗 2� を求めよ。
2√√

これは大きさ１、角度𝜋𝜋�4である。

�𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜑𝜑 × �𝑐𝑐 2 + 𝑑𝑑2 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜃𝜃= �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 �𝑐𝑐 2 + 𝑑𝑑2 𝑒𝑒 𝑗𝑗(𝜑𝜑+𝜃𝜃)�1√2= －1

つまり、とある複素数をかけるということは、複素数の大きさは掛ける複素数の+ 𝑗𝑗

1√24𝜋𝜋� = 𝑒𝑒 𝑗𝑗4× �4 = 𝑒𝑒 𝑗𝑗と求められる。非常に便利な式である。

大きさ倍になり、角度は掛ける複素数の37Internet 版

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タンス成分は虚数部の L となる。インピ

3. 複素インピーダンス

ーダンスの大きさ|Z|は、複素数の大きさとして求める。

前節のように、R,L,C の各々のインピー|𝑍𝑍| = �𝑅𝑅 2 + (𝜔𝜔𝜔𝜔)2

ダンスは、R、𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗、1�𝑗𝑗𝑗𝑗𝐶𝐶 とそれぞれ表すインピーダンスの位相角∠Zことができる。これら組み合わせとなる𝜔𝜔𝐿𝐿∠Z= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 𝑅𝑅

回路は、すべてのインピーダンスは上記の値をもつ抵抗 R と同じ扱いで計算できとなり、力率はる。そしてすべての R,L,C を含む線形回

cos∠Z=

路のインピーダンスは、𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗という複素数の形で表すことができ、実数の R のとなる。

𝑅𝑅

�𝑅𝑅2 +(𝜔𝜔𝜔𝜔)2部分は抵抗成分、X の部分はリアクタン

R-L-C 直列回路

ス成分となる。

R-L-C の直列回路は前章のメイン題材

また、𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗とインピーダンスの大きさは、複素数の大きさとなる。この他、主であるが、複素数を使うことでたちどこ要なインピーダンスの計算を列挙しておろに計算ができる。

く。
インピーダンスの大きさ|Z||𝑍𝑍| = |(𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗)| = √𝑅𝑅 2 + 𝑋𝑋 2合成インピーダンス Z は
Z = 𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐿𝐿 +インピーダンスの位相角∠Z𝑋𝑋∠Z＝∠(𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝜑𝜑 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 𝑅𝑅= 𝑅𝑅 + 𝑗𝑗 �𝜔𝜔𝐿𝐿 −𝑅𝑅1×𝑗𝑗とに注意願いたい。インピーダンスの大√𝑅𝑅2 +𝑋𝑋 2

きさ|Z|も、複素数の演算通りに行えばよい。

R-L 直列回路
R1となる。このとき、𝑗𝑗 = 𝑗𝑗×𝑗𝑗 = −𝑗𝑗となるこ

インピーダンスの力率
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑 =cos∠(𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗) =1
�𝜔𝜔𝜔𝜔1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗|𝑍𝑍| = �𝑅𝑅 2 + �𝜔𝜔𝜔𝜔 −L

この場合抵抗 R は実数 R になるので、合成インピーダンス Z はインピーダンスの位相角∠Z∠Z= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1

Z = 𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐿𝐿𝜔𝜔𝐿𝐿−となり、力率はとなる。この回路の抵抗成分は R、リアク
38

1 2�𝜔𝜔𝜔𝜔

𝑅𝑅1𝜔𝜔𝜔𝜔Internet 版cos∠Z =となる。

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𝑅𝑅

�𝑅𝑅2 +�𝜔𝜔𝜔𝜔− 1 �𝜔𝜔𝜔𝜔

例題 32次の R-L-C のインピーダンスに関わる計算をせよ。

以上のように、インピーダンスの直角三角形を用いなくても、簡単にインピーダンスに関わる計算が可能になる。
例題 2次の R-L-C 回路のインピーダン解法）

スに関わる計算をせよ。

これも各素子は並列の抵抗と同じ扱いで求める。
111

𝑍𝑍 = 11𝑍𝑍|𝑍𝑍| =まず、L と C の直列のインピーダンスは、となる。

11�𝜔𝜔𝜔𝜔12
� 12 +�𝜔𝜔𝜔𝜔− 1 �𝜔𝜔𝜔𝜔𝑅𝑅

分母の複素数の角度にマイナスをつけた値となる。となる。計算技法の問題であるが、分母の∠𝑍𝑍 = −𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1複素数はできる限り、分子にもっていく努力をする。
これに抵抗 R のインピーダンスを足せばよい。

𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗1−𝜔𝜔2 𝐿𝐿𝐿𝐿2𝜔𝜔𝜔𝜔�21−𝜔𝜔 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑍𝑍| = �𝑅𝑅 2 + �𝑅𝑅�1−𝜔𝜔2 𝐿𝐿𝐿𝐿�と求められる。

1= + 𝑗𝑗 �𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔�

インピーダンスの位相角であるが、Zの

1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔𝐶𝐶==
2
1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 + 𝑗𝑗𝜔𝜔𝐶𝐶 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 ∙ 𝑗𝑗𝜔𝜔𝐶𝐶 + 1 1 − 𝜔𝜔 𝐿𝐿𝐿𝐿
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 ∙∠Z= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1

1

�𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑅𝑅+𝑗𝑗�𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑅𝑅解法）

𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 += 𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 + 1𝜔𝜔𝜔𝜔

39

1𝑅𝑅�𝜔𝜔𝜔𝜔−1�𝜔𝜔𝜔𝜔Internet 版

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練習問題 4

5. 次の複素数の計算をせよ。

1. 次の交流の瞬時値を複素数で表せ(a)𝜋𝜋(a) √2 ∙ 20sin �𝜔𝜔𝜔𝜔 + 3 �𝜋𝜋(b) √2 ∙ 100sin �𝜔𝜔𝜔𝜔 + 2 �(b)

1

[V]
[A]

(c)

1+𝑗𝑗2
�1 + √3𝑗𝑗

2.次の複素数で表される交流の瞬時値を求めよ。ただし角周波数はωとする。
(e)(a) 100[V](d)(1 + 𝑗𝑗)8(f)𝜋𝜋2𝑒𝑒 𝑗𝑗 2 + 1(b) 10＋10ｊ [A](1 + 𝑗𝑗3) × (2 − 𝑗𝑗1)

3+𝑗𝑗
2𝑗𝑗+ 𝑗𝑗

6. 次の回路の複素インピーダンスを求め(c) 20jよ。ただし角周波数はωとする。

[V]

(a)

(ｂ)

3.次の交流電圧の足し合わせた電圧の瞬時値を求めなさい。

+V𝜋𝜋√2 ∙ 20sin �𝜔𝜔𝜔𝜔 + 3 �+7. 次の回路の複素インピーダンスを求め

𝜋𝜋√2 ∙ 10sin �𝜔𝜔𝜔𝜔 + 4 �よ。インピーダンスの大きさが 20ΩになるときのＬの値を求めよ。ただし角4. 次のように接点に交流電流Ｉ1 とＩ2 が周波数ωは 100 rad/s とする。

流れ込んでおり、Ｉ3 が流れ出ている。
Ｉ1 は大きさが 10 A で、位相角は 0、𝜋𝜋4Ｉ2 は大きさが 5 A で、位相角は のときに、Ｉ3 を求めよ。
Ｉ18. 次の 2 端子回路の力率が最大になるときの角周波数ωを求めよ。

Ｉ3Ｉ240Internet 版

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章末問題略解電界回路の世界では、このまま複素数

1.

表示でも答えとしては十分である。より𝜋𝜋𝜋𝜋1√3= 20 �2 + 𝑗𝑗 2 � = 10 + 10√3𝑗𝑗𝜋𝜋

丁寧には、大きさ 14.0Ａで位相角 14.7°

𝜋𝜋(a) 20∠ 3 = 20 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 3 �の電流が流れると計算できる。
5.

[V]

(a)

𝜋𝜋𝜋𝜋(b) 100∠ 2 = 100 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 2 �
2.

= 100𝑗𝑗

15− 𝑗𝑗15(b) (1 + 𝑗𝑗3) × (2 − 𝑗𝑗1) = 5 + 𝑗𝑗5[A]𝜋𝜋𝜋𝜋(c) �1 + √3𝑗𝑗 = �2𝑒𝑒 𝑗𝑗 3 = √2𝑒𝑒 𝑗𝑗 6(a) √2 ∙ 100sin (𝜔𝜔𝜔𝜔) [V]√312√6√2= √2 � 2 + 𝑗𝑗 � = 2 + 𝑗𝑗 2𝜋𝜋(b) 20sin �𝜔𝜔𝜔𝜔 + 4 � [A]𝜋𝜋8(d) (1 + 𝑗𝑗)8 = �√2𝑒𝑒𝑗𝑗4 � =24=16𝜋𝜋(c) √2 ∙ 20sin �𝜔𝜔𝜔𝜔 + 2 � [V](e) 1+2j(f) 3j-1

3. 要は、
𝜋𝜋𝜋𝜋√2 ∙ 20 sin �𝜔𝜔𝜔𝜔 + � + √2 ∙ 10sin �𝜔𝜔𝜔𝜔 + �
346.
(a) R と L の並列インピーダンスです
が、を計算するという意味だが、せっかく複素数で計算する方法を覚えたので、複素𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗

𝑅𝑅+𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗数に変換する。
𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋になるので、合成インピーダンスは𝜋𝜋20 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 3 �+10 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 4 �
1=20 �2 + 𝑗𝑗

1√3√2√2
�+10�+𝑗𝑗�
222(b)
1(𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗)
𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔=11 − 𝜔𝜔 2 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑗𝑗𝜔𝜔𝐶𝐶𝐶𝐶+𝑅𝑅+𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔=17.1+24.4 𝑗𝑗=29.7∠55.0°＝29.7∠55.0°＝
0.960rad求める合成電圧の瞬時値は√2 ∙ 29.7 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 0.96 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟)7

次の関係式が|10 + 𝑗𝑗100 ∙ 𝐿𝐿| = 20

4. 複素数で表すとこうなる。
𝜋𝜋

�102 + (100𝐿𝐿)2 = 20𝜋𝜋Ｉ１＋Ｉ２＝10＋5�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 �＝13.5＋3.54j[A]

4𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗+ 𝑅𝑅+𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔

4より

41

L=0.173 HInternet 版

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この問題は、三角形の面積で考えるのが力率が 100％の 1.0 が最大。このときに常套手段であろう。三角形 ABC の面積をインピーダンスのリアクタンス（虚数S とすると△ABC 以外の残り部分の面積部）がゼロになる。

から計算すると 1/3 となる。
1𝑆𝑆 = ����𝐴𝐴𝐴𝐴 ∙ ����𝐴𝐴𝐴𝐴 sin (𝑥𝑥)3

全インピーダンスは次の通り
𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗より、𝑥𝑥 = 𝜋𝜋/4と求められる。

𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗=
2
1
𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 1 − 𝜔𝜔 𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗

これも複素数を使うと一発で求められ�����⃗ 、�����⃗𝐴𝐴𝐴𝐴 を複素平面を仮定して、複る。𝐴𝐴𝐴𝐴

素数で表すと、それぞれ

ここで分子の位相角と分母の位相角が等1�����⃗𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 + 𝑖𝑖3

しいときに、全体で位相角がゼロとなり、力率が 100％となる。

より、𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1�����⃗ = 1 + 𝑖𝑖𝐴𝐴𝐴𝐴2とすることができる。

𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔
= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1𝑅𝑅1 − 𝜔𝜔 2 𝐿𝐿𝐿𝐿1+𝑖𝑖𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔
=𝑅𝑅1−𝜔𝜔2 𝐿𝐿𝐿𝐿= ∠�

312 +� �� = tan−1 1 = 𝜋𝜋/43�

受験生の時に知っていれば、もっと図形

𝐿𝐿−𝐶𝐶𝑅𝑅2

𝜔𝜔 = � 𝐿𝐿2 𝐶𝐶

問題が楽に解けたと思う。数学は実に面しろい。となる。
閑話休題

面白い問題を出したい。受験界で有名な問題だそうだ。次の１辺が 1 の正方形で、角度 x を求める。
1/2CA

5 5+ 𝑖𝑖
6 61091+ 𝑖𝑖

131 2つまり 45°となる。筆者も、この知識をこの式を解くと

Bx?

1� +𝑖𝑖��1− 𝑖𝑖�∠𝑥𝑥 = ∠ � 2 1 � = ∠ � 2

1/3
142