高校数学の復習

場合の数・確率
確率を考えるための基礎として、場合の数と確率について勉強してきましょう。

場合の数
1.順列の総数
異なる n 個から異なる r 個を選ぶ場合の数
𝑛𝑛 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 2) ⋯ (𝑛𝑛 − 𝑟𝑟 + 1)r個

2.円環順列異なる n 個から異なる r 個を選んで円状に並べた場合の数
𝑛𝑛 𝑃𝑃𝑟𝑟 を選んだ個数 r で割ればよい。

3.同じものを含む順列
n 個のものに同じものが、r 個、s 個、t 個・・と含まれているときの、n 個の並べ方の数
𝑛𝑛!

(例題)

𝑟𝑟!∙𝑠𝑠!∙𝑡𝑡!⋯

6 個のくじがあり、〇が 3 個、△が 2 個、×が１個あるときに、順にとって全部並べたときにのきの場合の数
6!

3!∙2!∙1!

=

6×5×4×3×2×1

3×2×1 × 2×1 ×1= 60通り4.組み合わせの場合の数1

異なる n 個から異なる r 個を選ぶ組み合わせの数
𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑟𝑟 =𝑛𝑛(𝑛𝑛−1)(𝑛𝑛−2)⋯(𝑛𝑛−𝑟𝑟+1)
𝑟𝑟(𝑟𝑟−1)⋯1𝑛𝑛!

= (𝑛𝑛−𝑟𝑟)!𝑟𝑟!

この組合わせの記号ですが、つぎの式の性質も覚えておきましょう。

𝑛𝑛!

𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑟𝑟 = (𝑛𝑛−𝑟𝑟)!𝑟𝑟!

=

𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑛𝑛−𝑟𝑟

n 個中 r 個を選ぶ組み合せはそれと同じ数だけの残ったものの組み合わせがあるということですね。

確率の計算
1. 確率の計算
ある事象 A がおきる場合の数を n(A)、全体の事象 U がおきる場合の数を n(U)とすると、事象 A が起きる確率 P(A)𝑃𝑃(𝐴𝐴) =例

A が起きる場合の数全体の場合の数=

𝑛𝑛(𝐴𝐴)
𝑛𝑛(𝑈𝑈)〇、△、□、×のカードが 4 枚あるときに、1 枚引いて〇である確率

全体 4 通りのなかで、〇は 1 通りなので、確率は 1/4 になる。
𝑃𝑃 =142.確率の性質〇100％起こる事象の確率は 1 であり、絶対に起きえない場合の確率は 0 である。つまり確率は 0 から 1 の範囲である。
〇余事象の確率 事象 A がおきる確率を𝑃𝑃(𝐴𝐴)とすると、それが起きない確率𝑃𝑃(𝐴𝐴̅)𝑃𝑃(𝐴𝐴̅) = 1 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴)〇事象 A と事象 B が独立事象であるとき、A と B が同時に起きる確率𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐵𝐵)〇事象 A と事象 B が独立事象であるとき、A と B のどちらか、あるいは両方が起きる確率𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵)

2

𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵) − 𝑃𝑃(𝐴𝐴)𝑃𝑃(𝐵𝐵)A と B が同時に起きる場合の重複分を減算〇条件確率 A という事象がおこることが分かって、事象 B が起きる確率𝑃𝑃�𝐵𝐵｜𝐴𝐴�
𝑃𝑃�𝐵𝐵｜𝐴𝐴� =例題

𝐴𝐴と𝐵𝐵が同時に起きる確率
𝐴𝐴が起きる確率=

𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐴𝐴)

令和 3 年共通テスト追試験数 1A 題 3 問より二つに袋 A（赤玉 2、白玉 1）と袋 B（赤玉 3、白玉 1）と空箱がある。
(1)A,B から 1 個ずつ取り出し箱に入れる。少なくとも 1 個が赤の確率？
場合確率

袋A 赤 袋B

白袋A 白 袋B

赤袋A 赤 袋B

赤

1
6

1412

全体の確率は + + =

2
11× =
346

袋 A から赤を取る確率は 2/3、袋 B から白は 1/4

13
1× =
344

袋 A から白を取る確率は 1/3、袋 B から赤は 3/4

231× =
342

袋 A から赤を取る確率は 2/3、袋 B から赤は 3/4

1112

別のやり方として、２個とも白である場合の余事象と考える。
場合

確率

袋A 白 袋B

白求める確率は1 −111=1212111× =3412(2)箱から無作為に 1 個取り出した時の赤の確率?
箱の中が赤と白の場合
1614

その確率は + =5であり、12515× =12224

そこで赤を引く確率は 1/2 なので箱の中が赤２個の場合
3

1212

その確率は で、そのとき必ず赤をひくので、確率は求める確率は5117+ =24224(3) (2)の条件の時に赤は袋 B からのもであっときの確率?
最終的に１個を取り出すわけだが、袋 B から赤を１個引く確率は A,B 合わせて 7 個から３個をひくので確率 3/7 である。条件確率と考え P(赤は袋 B から｜赤を引く確率)を求める。
P(赤を引く確率)=

袋A 白

袋B 赤

袋A 赤 袋B
よって1724赤1311× × =342812× は白赤から赤を引く確率

2311× × =3424P(赤は袋 B から｜赤を引く確率) =12× は赤が袋 B からの確率

P(赤は袋 B)

P(箱から赤を引く)

1 1+= 8174 =24917(3)A,B から 2 個ずつ取り出すときに、箱の中がちょうど赤二つになる確率？

袋 A 赤白

袋 B 赤白2 𝐶𝐶1 ×1 𝐶𝐶13 𝐶𝐶2×3 𝐶𝐶1 ×1 𝐶𝐶14 𝐶𝐶223×1= 3×2 × 4×3 =2×12×113

袋 A では 3 個中 2 個選ぶ組あわせが全事象であり、赤２個から 1 つ選ぶ組あわせと城個から 1 個選ぶ組み合わせの積が対象の事象と考える。
袋 B では 4 個中 2 個選ぶ組あわせが全事象であり、赤 3 個から 1 つ選ぶ組あわせと城個から 1 個選ぶ組み合わせの積が対象の事象と考える。
(4) A,B から 2 個ずつ取り出すときに、箱の中がちょうど赤三つになる確率？

袋 A 赤赤
袋 A 赤白

袋 B 赤白
袋 B 赤赤2 𝐶𝐶23 𝐶𝐶2×3 𝐶𝐶1 ×1 𝐶𝐶12 𝐶𝐶1 ×1 𝐶𝐶13 𝐶𝐶2

この二つの確率を足して 1/2 となる。

×44 𝐶𝐶23 𝐶𝐶24 𝐶𝐶2

13×1= 3×2 × 4×3 =2×12= 3×2 ×2×12×1

3×12×1
4×32×1164314= × =13

（5）（4）のときに、箱から 2 個取り出すときに赤玉 2 個となる確率？

袋A袋A袋A
袋A

赤白
赤赤赤白
赤赤袋B
袋B
袋B
袋B

赤白
赤白
赤赤赤赤

2 𝐶𝐶21×34 𝐶𝐶23 𝐶𝐶21×64 𝐶𝐶23 𝐶𝐶21×32 𝐶𝐶23 𝐶𝐶24 𝐶𝐶2×13

1= × 4×3 =2×13×216= × 2×14×3 =2×13×2131181121312= × 2×1× =4×3 =3 𝐶𝐶24 𝐶𝐶22×11= 4×3 =2×1

161
この場合は 100％赤 2 個
6111
12+3+1217+ + + ==1812663636

全確率の総和は(6）（5）のときに 1 個のみ B の袋のものが入っている確率

袋A

赤白

袋B赤白袋A赤赤袋B

赤白袋A

赤白袋B袋A

赤赤袋 B 赤赤

全確率の総和は

赤赤

1181×121×61×6

必ず袋 B から 1 個入っている。
2 𝐶𝐶1 ×1 𝐶𝐶13 𝐶𝐶22 𝐶𝐶1 ×1 𝐶𝐶13 𝐶𝐶22 𝐶𝐶1 ×2 𝐶𝐶14 𝐶𝐶21×12＝=136
162 𝐶𝐶1 ×1 𝐶𝐶12×23 𝐶𝐶2= × 4×3 =11112+9+1+4
16+ + + ==184
36936362×1=52×11
この場合は 100％赤 2 個9（5）の条件が成立した前提での確率は、(5)の確率で割ればよい。
161716
÷ =363617

11312× 3×2= =12124