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第2章

半導体工学のための電磁気学

半導体デバイスの働きを理解するためには、電磁気学の知識が必要である。とりわけ、電荷の作る電界、電位の計算は必須である。多くの大学課程でこれらを計算するために、電気力線図を使って電界ベクトルをイメージし、ガウスの式、電位と電界の関係式を積分を使って解くことを教わる。しかし、半導体の世界では、ガウスの式の微分形、ポアソン式を使って解くことになるため、初学者はかなりの混乱を伴う。筆者は学生時代、電磁気学はマクスウェル方程式とベクトル解析から習ったため、半導体の勉強に違和感はなかった。実は積分型の計算は、球体や円筒の計算が得意であり、微分で解く方法は面状に分布している電界の計算に向いているのである。ここでは、半導体デバイスを勉強するための電磁気学について解説する。ここでは電荷と電界、電位の関係が中心である。磁気についてはよほどの特殊な事例を除いてお目見えすることはないので、他の良著に解説をゆずりたい。蛇足ではあるが、筆者は電磁気学を理解するのは演習書を片手に、丹念に問題を解きながら覚えていくものと考えている。スポーツと同じである。本書ではその練習問題を提供できるほどの紙面はなく、必要なところは大学２年課程で使う教科書を参考に自習していただきたい。あくまでもここの章では忘れかけた点を復習するための総括にあたる。
-ベクトルの大きさ-

１．ベクトル表示とベクトル演算
半導体の世界ではほとんどの事例が１次|𝐄𝐄|＝�Eｘ 2 ＋Eｙ 2 ＋Eｚ 2

元で説明されているが、今後の応用も含め-単位ベクトル-て３次元ベクトルになれておきたい。まず向をもった長さ１のベクトルのことである。

３次元ベクトルの表記であるが、xyz 座標で成分が(l, m, n)で E ベクトルが表わされ𝐄𝐄� =るときに、
E=(l,m,n)

そのベクトルと同じ方或いは𝐄𝐄
=
|𝐄𝐄|

1

�EX 2＋E𝑌𝑌 2 ＋E𝑍𝑍 2(Ex, Ey, Ez)-ベクトルの内積-=li + mj + nkと記述される。電磁気学の教科書では単位

E・F＝(Ex Fx, Ey Fy, Ez Fz)

ベクトルの ijk 表示がよくつかわれている＝|E|| F|cosθ

が、筆者は半導体の世界で ijk 表示が使われただし、θ は E と F のなす角のことである。ているのを目にしたことはない。カッコ表－ベクトルの外積－示で十分である。
次に示すベクトル演算は覚えておくべきめったに使うことはない外積であるが、である。ここではベクトル E＝(Ex, Ey, Ez)と半導体技術者は磁気の問題も周辺分野で扱F＝(Fx, Fy, Fz)の演算例を示す。

うことであろう。

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𝒊𝒊
𝐄𝐄 × 𝐅𝐅＝ �Ex
Fx𝒋𝒋EyFy𝒌𝒌Ez �FzP

V = − � 𝑬𝑬 ∙ d𝒍𝒍P0

電位 V から電界ベクトル E をもとめると= 𝒊𝒊�𝐸𝐸𝑦𝑦 𝐹𝐹𝑧𝑧 − 𝐸𝐸𝑧𝑧 𝐹𝐹𝑦𝑦 � + 𝒋𝒋(𝐸𝐸𝑧𝑧 𝐹𝐹𝑥𝑥 − 𝐸𝐸𝑥𝑥 𝐹𝐹𝑧𝑧 )-ベクトルの勾配-

きは次のとおりである。

+ 𝒌𝒌�𝐸𝐸𝑥𝑥 𝐹𝐹𝑦𝑦 − 𝐸𝐸𝑦𝑦 𝐹𝐹𝑥𝑥 �

𝑬𝑬 = −grad 𝑉𝑉

grad グラディエント
grad𝑬𝑬 = �

∂Ex,
∂x

-ベクトルの発散-

∂Ey,
∂y∂Ez
�∂z

３.

点電荷の作る電界

点電荷からは電気力線が四方八方に飛び出している。電気力線の面密度を電界である

これはガウスの式の微分計や拡散方程式と理解してよい。

で使う。
div ダイバージェンス
div𝑬𝑬 =

∂Ey∂Ez
∂Ex++
∂x
∂y∂z

Q‐ベクトルのラプラシアンこれはポアソン式で使う。
∇2 𝐄𝐄 =

∂2 Ey
∂2 Ex
∂2 Ez++22∂x∂y∂z 2

図正の点電荷からの電気力線図

Q[C]の点電荷からでる電気力線の総数は、-ベクトルの回転-誘電率をεとすると、Q/εである。距離ｒrot ローテーション𝐢𝐢𝐣𝐣𝐤𝐤∂∂ ∂rot𝑬𝑬＝ ����∂x ∂y ∂z
Ex Ey Ez[m]で離れたところにできる球面の面積は4πr２であるから、それで割った値は距離 rで離れたところの電界強度となる。

|𝐸𝐸| =

２．電界と電位の関係

電界ベクトル E から電位 V を計算するときは、基準となる点 P０を定めた時、求める

𝑬𝑬 =点を P としたとき、次の線積分の関係式で記述される。

30𝑄𝑄(𝑉𝑉/𝑚𝑚)
4𝜋𝜋𝑟𝑟 2 𝜀𝜀0𝑄𝑄

4𝜋𝜋𝑟𝑟 2 𝜀𝜀0𝒓𝒓� (𝑉𝑉/𝑚𝑚)

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2022/10/4‐例‐ 正電荷 Q が原点にあるとしたとき

４.電荷と電界の関係 -ガウスの式-に、ｒで表された点にできる電界は次のと半導体の世界では面状に分布した電荷をおりである。

扱うことが多いため、ここでは微分型のガzウスの式を覚えてもらいたい。電界を E、

r=( x, y, z )電荷密度をρ、誘電率をεとしたときに次の式であらわされる。

Qdiv𝑬𝑬＝yρϵ

なお積分型については次の式のとおりである。

x《例題》
電界強度 E は簡単な式であらわされるが、次の面状に分布する電荷の中の電界強度

ベクトル表記では、それにｒ方向の単位ベをもとめてみる。xyz 座標において、-a<x<aクトルをつける。の範囲で、電荷密度ρ[c/m3]で分布している

𝑄𝑄

𝑄𝑄とする。

𝑬𝑬 = 4𝜋𝜋𝑟𝑟 2 𝜀𝜀 𝒓𝒓� = 4𝜋𝜋𝑟𝑟 2𝜀𝜀 ·�𝑥𝑥0y0𝑦𝑦

電荷密度ρ[c/m3]𝑧𝑧,,�
�𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2３.

面状電荷の作る電界

a―a平面上に電荷密度σ[C/m2]で面状電荷がxσある場合は、その面に垂直に の電界がで2εていると覚える。ガウスの式をイメージすればわかるとは思うが、半導体工学の技術者にここで思考するのは時間がもったいな−𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑎𝑎－解法‐

い。
面密度σ[C/m2]で帯電∂E∂Eydiv𝐄𝐄 = ∂xx + ∂y +∂Ez∂z=ρϵ

面状電荷の場合、電気力線はｘ方向に平行σ／２εの電界が面に垂直に出るになるため、ｙ方向およびｚ方向の変化はないため、ガウスの微分形は次のようになる。
∂Ex
∂x31

ρ

=ϵInternet 版

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１回積分をすると、ｘ方向の電界成分 Ex はρρ[c/m3]で分布しているとする。となる。 C は積分定数

Ex ＝ x + Cϵ

この系は yz 平面に対して対称であり、x=0

電荷密度ρ[c/m3]で電界強度はゼロになるため、積分定数もゼロでる。電界ベクトルのｘ成分は
ρ

Ex＝ϵ xa―aとなる。なお x>a の範囲では、電荷密度はxゼロのため、∂Ex=０∂xを解けばよい。この領域では Ex は定数に－解法‐−a < 𝑥𝑥 < 𝑎𝑎で次のポアソン式がなりた

なるが、-a<x<a の範囲のとの連続性から、つ。

ρ∂ 2Vx=−2ε∂xρ

Ex＝ ϵ aとなる。x＜-a の範囲ではなおここではｘ方向成分のみを考える。

ρ

この式の微分方程式は次の通りである。

Ex＝− ϵ aVx = −となる。

ρ 2x + C1 x + C 22ε

なお C1 と C2 は積分定数である。ｘ＝0 で５.ポアソン式の電位をゼロとすると、C2 はゼロである。

点電荷が分布していて電位を直接求めるた

なお電界の大きさ E は、上式を１回微分しめには次のポアソン式を使う。てマイナスすればよい。

∇ 2V = −ρεEx =ρx − C1ε

ここで、V は電位、ρは電荷密度である。εｘ＝0 での電界ゼロなので、C1 はゼロとなは誘電率である。このポアソン式は xyz 平る。電位は面では次の式で与えられる。

Vx = −ρ∂ 2Vx ∂ 2Vy ∂ 2Vz++=−222ε∂x∂y∂zρ 2x2εとなる。なお−a < 𝑥𝑥 < 𝑎𝑎の範囲外は考えないこととする。この系で無限円点では無限大の電位となる。電磁気学者はこのように《例題》

実際に実現すると無限大のエネルギーを要

前項と同じ例題であるが、面状に分布すする系は例題にしたがらない傾向にあるが、る電荷の中の電位 V をもとめてみる。xyz

ここで出てくる例題は半導体の電位障壁を座標において、-a<x<a の範囲で、電荷密度計算するために必要な計算であり、批判を

y32Internet 版

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恐れず例題としておく。

これらの表面電荷は導体内部の至る所で E＝０が実現できるように分布する。

６.導体と静電遮蔽

5.

導体とは電気抵抗が非常に低い、たとえこれは証明が大変難しいのが、単純にば金属である。半導体デバイスの世界でも異種材料の境界では電界ベクトルの境金属膜は導体として扱う。電磁気の世界で界面に平行な成分は連続性をたもつたは導体の抵抗はゼロとみなす。導体には次め、導体内では電界はゼロのため、電界の性質がある。
1.

導体表面では電界ベクトルは直交する。

ベクトルは導体に垂直入射する。

導体内部では電位は一定である。もし-例- 一様電界に導体球を置いた場合内部に電位差があれば、電位差に違う部分で無限大の電流がながれてしまう。
抵抗がゼロということは、導体内部で電位の分布はあってはならないのである。
2.

導体内部では電界はゼロである。電位の勾配にマイナスしたもので電界であ電気力線は曲げられ、導体球に垂直に入射り、電位はどこでも一定であるので、勾する。電気力線が入るところは負の表面電配がないためゼロになる。これは外部荷が現れ、電気力線が出るところは正の電から導体に電界をかけたときに、電気荷が現れる。導体内の電界はゼロとなる。

力線が導体内を貫けないということである。導体内部には電荷は存在しない。
3.

+++++

導体内の電荷は常に中性である。電磁気学では導体内に電荷が存在できないと教わるが、意味は中性、差し引きゼロ--であることを意味する。もし導体内で電荷が正或いは負に帯電したとき、電気力線が発生し、電界ができてしまう。
電界がでると無限電流が流れて、たち導体の近くに電荷を置くと、導体付近には表面電荷が現れて、電気力線図は次のようどころに帯電した部分は打ち消されてになる。

しまう。
4.

７.鏡像電荷導体自体が帯電すると、電荷は導体の表面に分布する。これを表面電荷とい―Qう。帯電していない導体でも外部電場に中におくと表面に電荷分布が現れる。
33＋Q

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この表面電荷によって電荷は導体側にクーd

ロン力を感じるが、あたかも導体表面を対面積 S

称に逆極の電荷を置いたものとみなせる。
この逆極の電荷を鏡像電荷と呼ぶ。点電荷ε周りの電位や電界分布を計算するには、導体はないものとして、鏡像電荷を仮定して、このコンデンサに電圧 V をかけた時に、点電荷の作る電界、電位を重ね合わせて求めればよい。

コンデンサに蓄積される電荷Ｑは次の式で導体の性質であるが、接地された（或いはあらわされる。

電位が固定された）導体板を超えて電界はＱ＝ＣＶつきぬけることはできない。これを静電遮さらに、蓄積されるエネルギーU は、蔽という。小型ラジオをアルミホイルでく

11
U = QV = CV 222

るむとラジオがきこえなくなるのは、外界であらわされる。

から電波がアルミホイルに阻まれてラジオまでとどかないためである。このように金

８－２．２層コンデンサ属などの導体が接地されている場合は、導体は電波などの電磁波、電界の侵入させな図のように２層の異なる誘電率からなるい働きをする。業界では静電シールドと呼コンデンサであるが、これは半導体デバイぶ。同軸ケーブルも静電シールドされた電スの世界ではＭＯＳＦＥＴのＭＯＳキャパ線であり、外部からの電磁波がノイズとしシタがこれに相当する。て信号線に乗りにくくする働きがある。

d1d2

面積 S

８.平行平板コンデンサ
８－１.単層コンデンサ

ε1ε2

平行平板の中が真空或いは均一の誘電体で満たされている場合のコンデンサについて述べる。このときのキャパシタンス C は

このようなコンデンサは、誘電体の境界に次の式であらわされる。

電極を置いて二つにわけた、コンデンサの直列構造と等価である。

C=

εSdd1

このときεは誘電率、S は電極の面積、d はε1d2ε2電極間距離である。
この合成容量は、左のコンデンサをＣ １34

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2022/10/4(=ε 1S/d)、右のコンデンサの容量をＣ ２半導体においては、電流を作るキャリア(=ε2S/d)とすると、次の式であらわされる。

は電子とホールがあるが、電子電流とホー

Ｃ＝

C1 C2
C1 + C2ル電流には偏りがあっても総和の電流は直列回路のどこをとっても等しくなる。
次の図にキルヒホッフの電流総和は一定

９.電荷中性則とキルヒホッフの法則の法則の模式図を示す。素子１と素子２に電気回路の世界で直列回路において、流それぞれ電流が I1 と I2 で流れて素子 3 に電流 I3 が流れている時に、I3 は I1 と I2 の和にれる電流はどこも一定であると教わるが、等しい。これももし等しくなければ、途中のこれを単に法則としてではなく、なぜ一定導線に電荷が溜まることになり、その電荷であるのか考えてみよう。つぎの直列回路が電気力線を発して、等しくなるように電があったとする。仮に素子 Z1 に流れる電流荷の流れを変えてしまうのである。

が I1、素子 Z3 に流れる電流を I3 とする。
仮に I1 に対して I3 が大きいという事態がおI1きたとする。電流は電荷の流れであるから、

Z1I2

Z1 の方をとおる電流が大きいということ
は素子２のところで正電荷が溜まることを

I3= I１＋I2Z3Z2意味する。正電荷の溜まった素子２から四以上の考察からあきらかなように、半導方八方に電気力線が発することになる。こ体中ではコンデンサの双極子の部分、たとの電気力線によって、素子 1 では正の電荷

えば MOS キャパシタの両端などの部分をは流れ込みにくくなり、電子はより素子２除いて、いかなる箇所も電荷の中性が保たにひきつけられる。これは溜まった電荷がれる。MOS キャパシタもそれ自体は正味の電流 I1 を下げるように働く。同じようなこ電荷はゼロと考えれば、これも中性がなりとが素子３でも起こり、電流 I3 はより増強たっていると考えることができる。中性でされるように働く。つまり、直列回路で電流なければ、電気力線を発して回りのキャリは常に同じになるように流れる。これは電アを動かして中和されてしまう。以上のよ荷の溜まりを作らないようにするためであうにあらゆる場所で電荷が中性であることを電荷中性則という。余談ではあるが、半導る。

体のデバイスの電気特性を予測するデバイ
I1Z1スシミュレーションと呼ばれる技術がある。

I3＋Z2

これは半導体中のポアソン式、キャリア連Z3続の式、周辺の電位条件と電荷中性則を満足するように解くことで所定の特性の計算を行っているが、計算資源が必要であることが欠点である。一方、パソコン程度の環境
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2022/10/4でも容易に答えが求められるモンテカルロ

閑話休題

法を原理として、キャリア 1 個の振る舞い

電磁気学については半導体の教科書でを多数計算して積算する方法が知られてい書くには余りにも尺がたりない。電磁気学

るが、この計算では電荷中性則を全く考慮の要点と演習ということで、教科書化を考されていないため、大電流時の計算には大えたい。電磁気学は球技のようなスポーツきな誤差を生じることが問題である。半導であり、練習して覚えていくものである。

体デバイスの動作を考える上で、電荷中性そういう意味では学びなおしの演習書が則は常に念頭におかなければいけない。

あればと思うが、あとは筆者の気力次第である。

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9.Maxwell 方程式と電荷連続の式れる。単位体積の空間に電流が流れ込むと、電磁気学でも原理原則を求めてを紐解け

そこに蓄積される電荷の量の増分が電流にば、Maxwell 方程式にたどりつく。半導体等しいという式である。電線や抵抗器では工学の中でマクスウェル方程式が出てくる

電荷の蓄積がないため、(7)式はことはほとんどないが、いずれ磁気効果もdiv𝑰𝑰 =0 (8)勘案したデバイス構造設計や、電磁波との相互作用を考えるうえで Maxwell 方程式ととなる。これは、ある部分に電流があったとは無縁ではなくなる。Maxwell 方程式とは

きに、流れ込む電流と出る電流の差引きは次の４式を指す。
（細かい話であるが、本来ゼロとなる。これは電気回路の世界ではキの Maxwell 方程式は(3)、(4)式のみとするルホッフの法則となる。

専門家もいる。
）

10.波動方程式の導出

ガウスの式
𝜌𝜌(1)

div𝑩𝑩 = 0

(2)

div𝑬𝑬 = 𝜀𝜀

半導体技術者に必要かどうかは分野によるが、教育者としては Maxwell 方程式から磁気の湧き出しはゼロ

電磁波の伝搬をつかさどる波動方程式が導かれることを語ることを禁じ得ない。

電磁誘導の式

rot𝑬𝑬 = −(4)式の両辺をそれぞれ rot をとる。電流𝑑𝑑𝑩𝑩(3)𝑑𝑑𝑑𝑑は流れないとして、rotrot𝑯𝑯 = 𝜀𝜀アンペールの周回積分の式
𝑑𝑑𝑬𝑬

rot𝑯𝑯 = 𝑰𝑰 + 𝜀𝜀 𝑑𝑑𝑑𝑑(4)となる。の関係から、また divH は(2)式からゼロにる電荷連続の式を導く。(1)のガウスの式のなるので、両辺の時間微分をとる。

div𝑑𝑑𝑑𝑑=

1 𝑑𝑑𝜌𝜌

𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬−divgrad𝑯𝑯 = 𝜀𝜀 𝑑𝑑𝑑𝑑

(5)𝜀𝜀 𝑑𝑑𝑡𝑡

rot𝑯𝑯−𝑰𝑰1 𝑑𝑑𝑑𝑑

� = 𝜀𝜀 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜀𝜀

divgrad𝑯𝑯 = 𝜀𝜀(6)div𝑰𝑰 = −𝑑𝑑𝑡𝑡

2

𝑑𝑑 𝑩𝑩
𝑑𝑑𝑡𝑡2(11)

B=μH の関係を使って式を整理する。また
divgrad はラプラシアン ∇ 2 となるのでとなる。divrotH は 0 になるので、𝑑𝑑𝜌𝜌(10)となる。これに(3)式を代入すると、(4)式を(5)式に代入すると、

div �(9)𝑑𝑑𝑑𝑑

rotrot𝑯𝑯 = graddiv𝑯𝑯 − divgrad𝑯𝑯

この式から半導体分野では基本法則とな

𝑑𝑑𝑬𝑬

𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑬𝑬∇2 𝑩𝑩 = μ𝜀𝜀(7)2𝑑𝑑 𝑩𝑩
𝑑𝑑𝑡𝑡2(12)これが波動方程式である。同様に電界についても次のような波動方程式が導かれる。

が導かれる。この式は電荷連続の式と呼ば
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2022/10/4∇2 𝑬𝑬 = μ𝜀𝜀2𝑑𝑑 𝑬𝑬
𝑑𝑑𝑡𝑡2(13)この波動方程式の一般解は、

E = A𝑒𝑒 −𝑖𝑖ω√𝜇𝜇𝜇𝜇x+𝑖𝑖ωt + B𝑒𝑒 −𝑖𝑖ω√𝜇𝜇𝜇𝜇x+𝑖𝑖ωt (15)で表され、波の式となる。A,B は定数、x は位置、ωは角周波数となる。波の伝搬速度は

v=1√μ𝜀𝜀(16)で表され、光速となる。

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