1

Mémoire de synthèse des résultats de recherche
pourl’habilitation à diriger les recherches.

Théorie d’Iwasawa Cyclotomique.

Jean-Robert Belliard

2Table des matières
1 Introduction.
1.1 Liste des publications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Articles parus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Prépublications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Unités circulaires.
7
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Relations de distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Formules analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Indice des unités circulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Une conjecture de Gras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Théorie d’Iwasawa.
3.1 Généralités algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fonctions L de Kubota-Leopoldt. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Interpolation p-adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Série d’Iwasawa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Morphisme de Coleman et élément cyclotomique. . . .
3.3 Conjecture Principale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Modules Standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Les formulations totalement réelles. . . . . . . . . . . .
3.3.3 Dualité de Kummer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Retour aux classes d’idéaux. . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Une question de Kolster.
4.1 Washington contre Sinnott. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Gn -Structure des unités circulaires. . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Sous-modules d’Unités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Critère de Λ-liberté des unités circulaires. . . . . . . .
4.3.2 Contre-exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3

4

TABLE DES MATIÈRES
4.4

Des exemples de liberté de C ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Classes d’idéaux et classes d’unités.
5.1 Formules d’indice raffinées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Méthode de Gillard et unités circulaires. . . . . . . . .
5.1.2 Idéaux de Fitting et structure galoisienne. . . . . . . .
5.2 Unités circulaires modifiées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Hilbert 90 en Théorie d’Iwasawa. . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Annulations de classes d’idéaux réelles. . . . . . . . . .
5.2.3 Idéaux de Fitting de classes d’unités. . . . . . . . . . .
5.2.4 Un critère pour la conjecture de Greenberg. . . . . . .
5.3 Co-descente pour les classes d’unités. . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Conséquence de la conjecture de Leopoldt. . . . . . . .
5.3.2 Noyaux et co-noyaux de descente. . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Le théorème d’Iwasawa pour les classes d’unités. . . . .
Bibliographie.

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Chapitre 1
Introduction.
1.1

Liste des publications.

1.1.1

Articles parus.

1. Sur la structure galoisienne des unités circulaires dans les Zp -extensions, J. Number Theory 69 (1998), no. 1, 16–49.
^
en-Quang-—D~^o, Formules de classes pour les corps abéliens
2. avec T. Nguy~
réels, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 51 (2001), no. 4, 903–937.
3. avec H. Oukhaba, Sur la torsion de la distribution ordinaire universelle
attachée à un corps de nombres, Manuscripta Math. 106 (2001), no. 1,
117–130.
4. Sous-modules d’unités en théorie d’Iwasawa, Théorie des nombres, Années 1998/2001, Publ. Math. UFR Sci. Tech. Besançon, 2002, 12 p.
~~
5. avec T. Nguy^
en-Quang-—D^o, On modified circular units and annihilationof real classes, Nagoya Math. J. 177 (2005), 77–115.

1.1.2

Prépublications.

1. Sur la structure galoisienne des unités circulaires dans les Zp -extensions, Thèse de l’université Bordeaux I (1997).
2. Global units modulo circular units : descent without Iwasawa’s Main
Conjecture, preprint (2005).
^
en-Quang3. Appendice à l’article de M. Lescop, A. Movahhedi et T. Nguy~
~
D
^
o
,
Iwasawa
descent
andco-descent
for
units
modulocircularunits,—
preprint (2005).
5

6

1.2

CHAPITRE 1. INTRODUCTION.

Introduction.

Je présente dans ce mémoire un aperçu rapide et sans démonstration dela théorie d’Iwasawa cyclotomique. A part de brèves allusions les chapitres 2
et 3 ne parlent pas de mes résultats. Je redonne simplement et sans aucune
démonstration les définitions, les théorèmes fondamentaux et les motivations
de cette théorie, en insistant sur les outils dont je me suis servi par la suite. Je
décris ensuite des résultats extraits des articles listés en §1.1 de ce mémoire.
J’ai regroupé en deux catégories ces énoncés. Je regroupe sous l’intitulé "question de Kolster" ceux de mes résultats qui ont trait à la Λ-liberté des unités
circulaires. Autant que je puisse en juger cette question est maintenant fermée. Je regroupe ensuite sous l’intitulé "classes d’idéaux et classes d’unités"les autres résultats ayant trait à la cyclotomie. Ce découpage est arbitraireet les deux chapitres sont connectés, même si l’absence de démonstration
rend le lien moins apparent dans ce texte. Précisons ce lien maintenant. La
majorité des résultats du chapitre 5 s’obtiennent par montée puis/ou par codescente dans une Zp -extension cyclotomique. Plusieurs auteurs (et j’en faispartie) ont cru pendant longtemps que la "question de Kolster" admettait
une réponse positive. Et dans ce cas tous les processus de montée/descente
avec les unités circulaires sont vraiment beaucoup plus simples. Comme laréponse à la question de Kolster est "en général non" les démonstrations etcertains énoncés du chapitres 5 sont plus techniques.
L’article [BO01], numéroté 3 dans la liste d’articles parus, ne concerne pasla théorie d’Iwasawa cyclotomique. Faute de pouvoir l’insérer dans le corps dece mémoire j’en dis quelques mots dans cette introduction. Dans cet article
écrit avec Hassan Oukhaba, nous étudions une généralisation sur un corps debase arbitraire des distributions ordinaires universelles à la Kubert sur Q. La
compréhension (partielle) des distributions à la Kubert dans le cadre cyclotomique contient déjà toutes les informations dont on dispose sur la constantede Sinnott c décrite dans le §2.4 : c’est la démarche de Sinnott pour établir sa
formule d’indices, et j’utiliserai souvent les distributions cyclotomiques dansce mémoire. Pour les distributions attachées à (l’extension abélienne maximale) d’un corps de nombres arbitraire la simple question de l’existence d’unsous-groupe de torsion (non trivial) se posait. Nous avons donné des exemples
pour lesquels ce sous-groupe est non trivial ce qui contredit une conjecturede Yin [Yin00]. En étendant à ce cadre certaines des techniques de [Bel98], et
en utilisant des outils standards de cohomologie galoisienne, nous majorons
ce sous-groupe lorsque le corps de base est un corps quadratique imaginaire.
Cette majoration suffit pour les applications arithmétiques développées dansd’autres travaux d’Oukhaba. Nous donnons également des cas particuliers
dans lesquels notre majoration est atteinte.

Chapitre 2
Unités circulaires.
2.1

Définition.

Depuis l’étude par Kummer de l’arithmétique du p-ième corps cyclotomique (p un nombre premier) et sa définition des unités cyclotomiques dansce cas particulier, de nombreux auteurs (comprenant Leopoldt, Gillard, Washington, Sinnott, Thaine ...) ont proposé diverses versions "d’unités cyclotomiques" dans le but de généraliser cette définition pour des corps abéliens
sur Q arbitraires. Trop de versions différentes, chacune avec ses avantages
ont été proposées. On trouve dans la littérature des articles de bon niveau
consacrés à la démonstration que telle variante coïncide avec telle autre. Pourma part je pense qu’actuellement le module des unités circulaires à la Sinnott ([Sin80]), dont une définition suit, est la meilleure version disponible. Je
crois aussi que ce module est optimal si l’on fait abstraction de la 2-partie
de son indice dans les unités. On fixe F un corps de nombres absolument
abélien totalement réel. On note G = Gal(F/Q) et cond(F ) le conducteurde F . Pour tout d ∈ N on note ζd = exp(2iπ/d) la racine primitive d-ièmecomplexe de l’unité. Pour tout d ∈ N on note
εF,d = NQ(ζd )/F ∩Q(ζd ) (1 − ζd ).
L’entier algébrique εF,d est une (`)-unité si d est une puissance du nombre
premier ` et est une unité si d est composé. Pour obtenir un système comprenant uniquement des unités il suffit de procéder comme suit. Pour tout ` ettout s ∈ N le groupe Gal(Q(ζ`s ) ∩ F/Q) est cyclique (lorsque ` = 2 on utilise
le fait que F est totalement réel). On fixe un générateur gls ,F de ce groupe.
On note½(εF,ls )1−gls ,F si d = `s
εeF,d =
εF,d si d est composé.
7

8

CHAPITRE 2. UNITÉS CIRCULAIRES.

Même si les éléments εeF,d dépendent des choix (non canoniques) des gls ,F ,les modules galoisiens qu’ils engendrent n’en dépendent pas. Et tous les εeF,dsont des unités.
Définition 2.1 ([Sin80]) On appelle groupe des unités circulaires et l’onnote CF l’intersection du sous-Z[G]-module de F × engendré par −1 et les
εF,d pour d 6= 1 parcourant N, avec le groupe des unités UF de F .
Cette définition est trivialement équivalente à celle de Sinnott qui fait intervenir les normes de nombres de la forme 1 − (ζn )a . Ces normes sont despuissances d’un conjugué par Galois de εF,d pour d = n/(a, n). Cette définition ne donne pas directement de système générateur fini explicite de CF .
Pour obtenir un tel système on doit utiliser les relations de distribution satisfaites par les nombres 1 − ζd , que je rappelle tout de suite.

2.2

Relations de distribution.

Soit d ∈ N et soit ` un nombre premier divisant d. On note σl le Fröbenius
arithmétique défini sur Q(ζn ) pour tout n non divisible par `. Alors on a
 1 − ζd/` si ` | d/`` si d = `NQ(ζd )/Q(ζd/` ) (1 − ζd ) =−1(1 − ζd/` )(1−σ` ) si ` - d/` et d 6= `Ces formules permettent (à un 2-groupe abélien fini près) de décrire toutes
les relations Z-linéaires liant les 1 − ζd (voir [Bas66] corrigé et complété par[Enn72]). Elles permettent aussi de démontrer le lemme :Lemme 2.2 CF est engendré comme Z[G]-module par les εeF,d si d 6= 1 parcourt l’ensemble des diviseurs de cond(F ).
Dans le cas particulier initialement étudié par Kummer le groupe des unités
cyclotomiques de Q(ζp )+ est non seulement un sous-groupe explicite de Zrang maximal des unités de Q(ζp )+ mais satisfait aussi la formule d’indice :(UQ(ζp )+ : CQ(ζp )+ ) = # Cl(Q(ζp )+ )où Cl(Q(ζp )+ ) est le groupe des classes d’idéaux de Q(ζp )+ . En réalité lessimilarités entre Cl(Q(ζp )+ ) et le quotient (appelons-le groupe des classes
d’unités) UQ(ζp )+ /CQ(ζp )+ dépassent largement l’égalité des ordres. Les définitions plus générales d’unités cyclotomiques se sont succédées et il s’agissait detrouver pour F abélien (totalement réel) quelconque un sous-module d’unités
EF tel que

2.3. FORMULES ANALYTIQUES.

9

1. EF coïncide avec les unités cyclotomiques classiques lorsque F est (souscorps réel maximal d’un corps) cyclotomique.
2. EF soit explicitement défini.
3. EF soit d’indice fini dans UF et le quotient UF /EF soit lié (formulesd’indice, d’indice raffinées, etc ...) au groupe des classes d’idéaux de F .

2.3

Formules analytiques.

La motivation initiale de l’étude des nombres de la forme 1−ζd et la raison
pour laquelle on s’attend à l’existence de sous-groupes d’unités cyclotomiques
satisfaisant les propriétés 1 à 3 ci-dessus provient bien sûr des fonctions L
de Dirichlet. Soit χ un caractère de Dirichlet primitif modulo f , soit L(s, χ)X χ(n)
la fonction L qui prolonge la série de Dirichlet s 7→
, et soit τ (χ) =
s
n
n≥1
Pa=f
a
χ(a)ζ
,
la
somme
de
Gauß
classique.
fa=1
Théorème 2.3 ([Was97] theorem 4.9 ) Si χ(−1) = 1 alorsf¯¯τ (χ) X
L(1, χ) = −χ(a)−1 log ¯1 − ζfa ¯
f a=1

Via l’équation fonctionnelle la formule du théorème 2.3 conduit à
Corollaire 2.4 Si χ(−1) = 1 alorsf¯¯1X
L (0, χ) = −χ(a) log ¯1 − ζfa ¯
2 a=1
0Cette formule montre que l’unité cyclotomique 1 − ζf est une unité de Stark
sur Q au sens de Tate ([Tat84], chapitre III§5 et chapitre IV). Le seul autre
cas non trivial connu d’existence de telles unités est fourni par les unités
elliptiques (au dessus d’un corps quadratique imaginaire) avec la "seconde
formule limite de Kronecker" (analogue de celle du corollaire 2.4).
Ces formules sont à comparer avec la formule analytique du nombre declasses. Soit ζF (s) la fonction zeta de Dedekind associée au corps abélien F ,betYsoit G le groupe des caractères de Dirichlet associé à F . Alors ζF (s) =L(s, χ).
b
χ∈G

10

CHAPITRE 2. UNITÉS CIRCULAIRES.

Théorème 2.5 Soit F un corps de nombres totalement réel1 . Soit [F : Q]
le degré de F sur Q, R le régulateur de Dirichlet de F , et h = # Cl(F ) lenombre de classes d’idéaux de F . Alors ζF a un zéro d’ordre [F : Q] − 1 ens = 0 et on a
ζF (s)hRlim [F :Q]−1 =s→0 s
2Avec cette formule, connue sous le nom de "formule analytique du nombre
de classe", on peut considérer qu’on connaît explicitement le produit hR. Un
problème fondamental dans la théorie des nombres est de séparer le nombre
entier h de la quantité transcendante R. Naïvement on pourrait espérer déduire une expression explicite pour R à partir d’une expression explicite d’unsystème fondamental d’unités de F . Bien sûr on ne sait pas expliciter un telsystème en général. De là provient l’intérêt de systèmes générateurs dansle goût de ceux du lemme 2.2. En effet la formule du corollaire 2.4 s’interprète alors comme le calcul de la χ-partie d’un régulateur cyclotomique etconduit à une formule d’indice (dans laquelle naturellement le nombre declasses d’idéaux réapparaît). C’est l’esprit de la démonstration de la formule
d’indice de Sinnott que je rappelle maintenant.

2.4

Indice des unités circulaires.

Théorème 2.6 ([Sin80]) Soit cF la constante de Sinnott de F , alors(UF : CF ) = cF hF .
Pour que ce théorème ait un contenu on doit définir la constante cF indépendamment de cette égalité. Soit Z[G] l’algèbre de groupe et soit Iw(F ) lesous-Z[G]-module de Q[G] noté U dans [Sin80] et redéfini dans la définition
2.1 de [BN01]. Alors on a :Q[F :Q]−1l [F ∩ Q(ζl∞ ) : Q]
cF = 2(Z[G] : Iw(F ))[F : Q]Il est possible de corriger la définition de CF pour supprimer le facteur2[F :Q]−1 . La constante "dure" et techniquement difficile est l’indice généralisé (Z[G] : Iw(F )). Le réseau Iw(F ) apparaît dans le contexte plus généraldes distributions ordinaires universelles attachées (à la théorie du corps declasses) d’un corps global. En effet c’est le module noté I dans [Yin00] etétudié sous le nom de distribution d’Iwasawa dans [BO01]. L’essentiel du1

La formule analytique du nombre de classes est vraie en toute généralité, mais pouréviter d’introduire des notations supplémentaires je suppose que F est totalement réel.

2.5. UNE CONJECTURE DE GRAS.

11

travail technique de l’article [Sin80] consiste à "contrôler" la constante cF .
En raisonnant nombre premier par nombre premier, on sait par exemple quesi p est impair et ne divise pas [F : Q] alors p ne divise pas non plus cF .
Disons pour simplifier que l’ordre du groupe des classes d’unités UF /CF est
essentiellement égal à celui du groupe des classes d’idéaux Cl(F ) de F . Sil’on interprète (et on verra que c’est là le bon point de vue) la collection desunités cyclotomiques comme des incarnations "algébriques" de la collection
des fonctions L de Dirichlet, cette formule d’indice doit être vue comme la
traduction algébrique de la formule analytique du nombre de classes.

2.5

Une conjecture de Gras.

Fixons un nombre premier p et pour tout Z[G]-module M notons M le
Zp [G]-module obtenu par pro-p-complétion à partir de M , autrement dit
M = lim← n∈N

M/pn M.

Lorsque p - [F : Q], puisque p - cF , la formule d’indice de Sinnott donnel’égalité des ordres des p-adifiés UF /CF et Cl(F ). Dans un premier temps
on pourrait espérer que cette égalité provienne d’un isomorphisme entre ces
deux modules galoisiens. Cela ne se peut pas puisque par exemple pour lescorps quadratiques réels, le groupe UF /CF est cyclique tandis que le p-rang
de Cl(F ) peut-être rendu arbitrairement grand. En cherchant des similarités moins fortes entre les p-adifiés de ces deux groupes de classes, Gras aconjecturé que les Zp [G]-modules UF /CF et Cl(F ) ont les mêmes invariantsde Jordan-Hölder. Cette conjecture est équivalente à l’égalité des ordres desb Grâce à Greenχ-composantes des deux Zp [G]-modules pour tout χ ∈ G.
berg on sait que la conjecture principale de la théorie d’Iwasawa entraîne laconjecture de Gras. Dans le contexte présent la conjecture principale est un
théorème de Mazur et Wiles, puis Wiles (voir [MW84] et [Wil90]). En utilisant la Conjecture Principale et en suivant une démarche par co-descente très
technique, Kuz0 Min ([Kuz96]) a démontré une généralisation de la conjecture
de Gras pour des corps abéliens réels F quelconques (y compris ceux de degré
divisible par p). Dans les deux premières parties de [BN01], je re-démontre lerésultat de Kuz0 Min. J’utilise aussi la Conjecture Principale mais l’essentiel
de la démonstration a lieu au niveau fini. Cette approche est sensiblement
plus simple que celle de Kuz0 min mais utilise elle aussi le point de vue padique et la théorie d’Iwasawa que je décris dans le prochain chapitre.

12

CHAPITRE 2. UNITÉS CIRCULAIRES.

Chapitre 3
Théorie d’Iwasawa.
L’objet de ce chapitre est de passer en revue des notions classiques dethéorie d’Iwasawa, relevant de la théorie algébrique ou de l’analyse p-adique,pour arriver à formuler la version de la Conjecture Principale (théorème deMazur-Wiles et Wiles dans le cadre qui nous intéresse) qui est l’un des outils
les plus puissants de l’arithmétique contemporaine.

3.1

Généralités algébriques.

Soit p un nombre premier impair fixé1 . La théorie d’Iwasawa a pour objet
l’arithmétique des Zp -extensions (éventuellement des (Zp )s -extensions). Soit
K un corps de nombres et K∞ /K une Zp -extension. On utilise les notationsnΓnhabituelles suivantes Γ := Gal(K∞ /K), Γn := Γp , Gn := Γ/Γn , Kn := K∞,et Λ := Zp [[Γ]] est l’algèbre d’Iwasawa usuelle. Le choix d’un générateur topologique γ de Γ permet d’identifier Λ à l’anneau Zp [[T ]] des séries formelles
à une indéterminée à coefficients dans Zp , en posant γ = T + 1. Étant donnée une suite (Mn )n∈N de Zp [Gn ]-modules munie de morphismes de norme
Gn+1 -équivariant Nn+1,n : Mn+1 −→ Mn , on obtient par passage à la limite
projective un Λ-module M∞ = lim Mn . De tels modules sont classifiés à← npseudo-isomorphisme près de la même façon que les modules sur les anneaux
principaux (à isomorphisme près).
Définition 3.1 On dit qu’un morphisme de Λ-module f : M −→ N est un
pseudo-isomorphisme lorsque ker f et Coker f sont finis.
Pk
Définition 3.2 Un polynôme P (T ) = T n + k=n
k=1 ak T ∈ Zp [T ] est dit distingué lorsque p | ak pour tout k 6= n.
1

La théorie d’Iwasawa s’énonce aussi pour p = 2. Mais cela simplifie considérablement
la partie technique de l’exposé de supposer p 6= 2.

13

14

CHAPITRE 3. THÉORIE D’IWASAWA.

Théorème 3.3 Soit M∞ un Λ-module de type fini. Il existe r, s, et t ∈ N ;i=s
des polynômes distingués (fj )j=t
j=1 de Zp [T ] ; des entiers (ni )i=1 , des entiers
j=t(mj )j=1 et un pseudo-isomorphisme f de Λ-modules
Ã i=s
!
!
Ã j=t
M M
M M
Λ
Λ
f : M∞ −→ Λr(pni )(fj (T )mj )i=1
j=1
Ce théorème permet d’associer à tout Λ-module de type fini les fameux invariants d’Iwasawa.
Définition 3.4 Soit M∞ un Λ-module de type fini. On reprend les notations
du théorème 3.3.
1. On appelle invariants ρ, λ et µ d’Iwasawa les quantitésρ = r,

λ=j=t
X

mj deg(fj (T )),

µ=

j=1

i=s
X

ni .

i=1

2. Si M∞ est de torsion on appelle polynôme caractéristique de M∞ et onnote car(M ) le polynômeµcar(M ) = p

j=tYfj (T )mj .

j=1

Le théorème 3.3 reste vrai et la notion de polynôme caractéristique (définition 3.4.2) subsiste si l’on remplace Zp [[Γ]] par O[[Γ]] pour tout O anneaud’entiers sur Zp d’une extension finie de Qp (éventuellement on doit remplacer p par une uniformisante de O). Bien entendu l’invariant naturel n’est
pas le polynôme car(M ) mais l’idéal caractéristique (car(M )) qu’il engendre.
Cet idéal se comporte vis-à-vis des suites exactes de Λ-modules de torsion detype fini comme une caractéristique d’Euler-Poincaré (multiplicativement).
Les invariants λ et µ sont utilisés dans les formules asymptotiques.
Proposition 3.5 Soit M∞ un Λ-module de torsion tel que car(M∞ ) soit sansnfacteur commun avec tous les (T + 1)p − 1 pour n ∈ N, et soit λ et µ les
invariants d’Iwasawa de M∞ . Alors pour tout n, l’ordre des Γn -co-invariants#(M∞ )Γn est fini. En outre, il existe N ∈ N et ν ∈ Z tels que pour toutn ≥ N on aitn#(M∞ )Γn = pµp +λn+ν .

3.2. FONCTIONS L DE KUBOTA-LEOPOLDT.

15

Dans l’esprit des formules asymptotique mentionnons ici le fameux théorèmed’Iwasawa (même si sa nature est plus arithmétique que celle des autresénoncés de cette section). Pour tout n on note Xn = Cl(Kn ) la p-partie dugroupe des classes de Kn et on forme le Λ-module X∞ := limXn .
←Théorème 3.6 Soient λ et µ les invariants associés à X∞ . Alors il existe
N ∈ N et ν ∈ Z tels que pour tout n ≥ N on aitn#Xn = pµp +λn+ν .
Les énoncés 3.5 et 3.6 sont similaires. On pourrait croire que le théorème 3.6 sedéduit directement de la proposition 3.5 par comparaison entre (X∞ )Γn et Xn .
Il n’en est rien et d’ailleurs la démonstration d’Iwasawa qui est parallèle à ladémonstration classique de la proposition 3.5, est valable en toute généralité,même pour des extensions K∞ /K pour lesquelles on ne sait pas démontrer
la finitude des co-invariants (X∞ )Γn .

3.2

Fonctions L de Kubota-Leopoldt.

On connaît à ce jour (au moins) trois façons différentes de construire
les fonctions L p-adiques de Kubota-Leopoldt. Je les rappelle brièvement ensuivant essentiellement l’exposé de [Iwa72] pour les deux premières constructions et de [Tsu99] et [Tsu01] pour la troisième construction. On fixe définitivement et simultanément un plongement de la clôture algébrique Q de Q
dans le corps des nombres complexes C et dans le corps de Tate Cp . Ces plongements définissent le caractère de Teichmüller ω : Z −→ Q et permettent
de comparer les valeurs algébriques des fonctions analytiques complexes etp-adiques.

3.2.1

Interpolation p-adique.

Soit χ un caractère de Dirichlet primitif modulo f . On suppose une fois
pour toutes χ(−1) = 1, cela évite de construire des fonctions Lp identiquement nulles. Soit Fχ (s) la fonction analytique complexeFχ (s) =fX
χ(a)seas
a=1

ef s − 1.

On définit les nombres de Bernoulli généralisés Bn,χ ∈ Q(ζf ) à partir dudéveloppement de Taylor de Fχ , c’est-à-dire comme vérifiant la formule
XsnFχ (s) =Bn,χ .
n!
n∈N

16

CHAPITRE 3. THÉORIE D’IWASAWA.

La motivation pour introduire ces nombres algébriques est le théorème suivant.
Théorème 3.7 Pour tout entier n ≥ 1 on aL(1 − n, χ) = −

Bn,χ
.
n

La fonction Lp (−, χ) de Kubota et Leopoldt a été définie historiquement
comme une sorte de compromis p-adiquement analytique entre les p − 1 fonctions de la variable complexe (1 − χω n (p)p−s )L(s, χω n ), n = 0, · · · , p − 1.
Théorème 3.8 Il existe une ¯unique fonction Lp (−, χ) méromorphe (holomorphe si f 6= 1) sur {s ∈ Cp ¯|s| < pp−1/(p−1) } telle que pour tout n ≥ 1 :
Lp (1−n, χ) = −(1−χω −n (p)pn−1 )Bn,χω−n= (1−χω −n (p)pn−1 )L(1−n, χω −n )nL’existence de cette fonction est donnée par un développement de Mahler(en 1 − s) dans [Was97] theorem 5.11, par exemple. Lorsque f = 1 la seulesingularité est en s = 1 : on retrouve le pôle d’ordre 1 de la fonction zeta deRiemann. Pour χ non trivial la valeur en 1, qui n’est pas décrite par la formule de définition, joue un rôle très important dans la présente approche. La
formule du théorème 2.3 reste valable telle quelle dans le monde p-adique (enremplaçant fonction L par Lp et logarithme complexe log par le logarithme
d’Iwasawa logp ). Je rappelle qu’on a fixé définitivement des plongements de
Q dans Cp et C, sans lesquels la formule qui suit n’aurait absolument aucun
sens.
Théorème 3.9 (theorem 5.18 of [Was97]) Si f 6= 1 alorsµχ(p)Lp (1, χ) = − 1 −
p

¶

f
¡
¢
τ (χ) X
χ(a)−1 logp 1 − ζfa
f a=1

Mentionnons dès maintenant que la conjecture de Leopoldt pour Q(ζf ) est
équivalente à Lp (1, χ) 6= 1 pour tout χ pair non trivial de conducteur divisant
f . La seconde construction de cette même fonction p-adique est due à Iwasawa
et définit la série formelle qui intervient dans la conjecture principale.

3.2.2

Série d’Iwasawa.

On reprend, sans les démonstrations, la démarche exposée dans [Iwa72]§6 et [Was97] §7 ; en essayant autant que possible de simplifier les notations.

3.2. FONCTIONS L DE KUBOTA-LEOPOLDT.

17

On a fixé un caractère de Dirichlet χ pair et primitif modulo f . On factorisef = dpj avec p - d. On note ∆ = Gal(Q(ζdp )/Q) et pour tout n on note
Gn = Gal(Q(ζdpn+1 )/Q(ζdp )). Pour tout n le groupe Gal(Q(ζdpn+1 )/Q) s’identifie au produit ∆ × Gn et il en va de même pour les groupes de caractères\bb
Gal(Q(ζdpn+1 )/Q) = ∆ × Gn . Pour tout a ∈ Z tel que (a, dp) = 1 on définita
σa ∈ Gal(Q(ζdpn+1 )/Q) par σa (ζdpn+1 ) = ζdp
n+1 . En accord avec les décompositions ci-dessus on note σa = δ(a)γn (a) avec δ(a) ∈ ∆ et γn (a) ∈ Gn ;et dès que n ≥ j − 1 on peut voir χ comme un caractère modulo dpn+1 et
b et ψ trivial ou ψ ∈ G
bj−1 . On dit alors que θécrire χ = θψ avec θ ∈ ∆(de conducteur divisant dp) est un caractère de première espèce et que ψ(d’ordre une puissance de p et de conducteur divisant pj ) est un caractèrede seconde espèce. Les caractères de seconde espèce décrivent les représentations de Gn . Avec le théorème de classification on a vu comment la théorie
algébrique d’Iwasawa permet de "trivialiser" l’action de Galois de Gn . Au
contraire l’action de ∆, surtout lorsque p | #∆, requiert un traitement nettement plus fin (dans le goût des conjectures principales équivariantes, voir
par exemple [RW02, BG03]).
Pour tout n on part de l’élément de Stickelberger ξn associé aux fonctions
ζ partielles de l’extension Q(ζdpn+1 )/Q :
ξn

1
= n+1
dp

a=pn+1

X(a,dp)=1, a=1
a=pn+1

X

=

µ

¶
dpn+1
− a σa−12

ζ(σa , 0)σa−1∈ Q[∆ × Gn ].

(a,dp)=1, a=1

Il est plus commode de raisonner en chassant le dénominateur p-adique deξn et pour ce on introduit aussi :ηn = (1 − (1 + dp)γn (1 + dp)−1 )ξn .
L’étape suivante consiste à projeter ηn et ξn sur la composante isotypique
1 X ∗associée au caractère miroir θ∗ = ωθ−1 de θ. Soit εθ∗ =θ (δ)δ −1#∆ δ∈∆
l’idempotent de Cp [∆] associé à θ∗ . Alors il existe un unique ξn (θ) et ununique ηn (θ) dans Qp (θ)[Gn ] tels que εθ∗ ξn = ξn (θ)εθ∗ et εθ∗ ηn = ηn (θ)εθ∗ .
Proposition 3.10 ([Was97] proposition 7.6)
1. 12 ηn (θ) ∈ Zp [θ][Gn ].
2. Si θ est non trivial alors 12 ξn (θ) ∈ Zp [θ][Gn ].

18

CHAPITRE 3. THÉORIE D’IWASAWA.
3. Si m ≥ n ≥ 0 alors ηm (θ) (respectivement ξm (θ)) s’envoie sur ηn (θ)(respectivement ξn (θ)) par l’application de restriction Gm ³ Gn .

On pose Γ = Gal(Q(ζdp∞ )/Q(ζdp ) = lim Gn . Cette proposition montre qu’on
obtient par passage à la limite deux élémentsξ∞ (θ) = lim(ξn (θ)) ∈ Qp (θ)[[Γ]] et η∞ (θ) = lim(ηn (θ)) ∈ Zp [θ][[Γ]],avec dans ξ∞ (θ) ∈ Zp [θ][[Γ]] si θ est non trivial.
Pour obtenir les séries d’Iwasawa il suffit maintenant de spécifier le bon
choix d’isomorphisme Zp [θ][[Γ]] ∼= Zp [θ][[T ]]. Soit
γ∞ (1 + dp) = lim(γn (1 + dp)).
Alors γ∞ (1 + dp) engendre Γ et il existe un unique isomorphisme d’anneauxα : Zp [θ][[Γ]] −→ Zp [θ][[T ]] tel que α(γ∞ (1+dp)) = 1+T . On peut maintenant
définir les séries d’Iwasawa :Définition 3.11 On poseh(T, θ) = 1 −1 + dp∈ Zp [θ][[T ]].
1+T

g(T, θ) = α(η∞ (θ)) ∈ Zp [θ][[T ]].
 α(ξ∞ (θ)) ∈ Zp [θ][[T ]] si θ est non trivial.
g(T, θ)f (T, θ) =∈ Qp (θ)[[T ]] sinon.
h(T, θ)Remarquons que pour tout θ on a g(T, θ) = h(T, θ)f (T, θ). C’est la sérief (T, θ) qu’on voulait définir dans cette section. Cette série permet de formuler(une des versions de) la conjecture principale et redonne les fonctions Lp parle théorème :Théorème 3.12 Soit χ = θψ un caractère de Dirichlet pair avec θ de première espèce et ψ de seconde espèce. On pose ζχ = χ(1 + dp)−1 . Alors pour
tout s ∈ Cp avec |s| < pp−1/(p−1) et s 6= 1 si χ est trivial on a
Lp (s, χ) = f (ζχ (1 + dp)s − 1, θ).
Le facteur ψ de seconde espèce intervient uniquement à travers la racine del’unité ζχ = χ(1 + dp)−1 = ψ(1 + dp)−1 . En particulier pour retrouver lesfonctions Lp il suffit de construire les séries f (T, θ) associées aux caractèresde première espèce : c’est le pendant analytique de la trivialisation de l’actionde Γ vu dans le paragraphe 3.1.

3.2. FONCTIONS L DE KUBOTA-LEOPOLDT.

3.2.3

19

Morphisme de Coleman et élément cyclotomique.

Cette troisième construction est plus récente que les deux précédentes.
Elle est due à Coleman [Col83] dans le cas particulier où le caractère étudié est de la forme ω i . Le cas général est traité par T. Tsuji dans [Tsu99]§4. Essentiellement on retrouve la série formelle f (T, θ) en appliquant à unélément cyclotomique bien choisi le morphisme de Coleman ([Col79]). On
commence par rappeler la définition de ce morphisme (pour le groupe formel multiplicatif). On fixe un caractère θ de première espèce. Ce n’est pas
une restriction de généralité pour le problème qui nous concerne : voir le§3.2.2. Le conducteur de θ est égal à d ou à dp avec p - d. Soit B∞ /Q la
Zp -extension de Q. On reprend les notations de [Tsu99] : on note F = Q(ζd ),∆ = Gal(F/Q), G0 = Gal(Q(ζp )/Q), et pour n ≥ 0 on note Kn = Q(ζdpn+1 )et Γ = Gal(B∞ /Q). Le groupe Gal(K∞ /Q) se décompose canoniquement enproduit direct Gal(K∞ /Q) = Γ × ∆ × G0 . Soit P une place de F divisant p etsoit ∆P = Gal(FP /Qp ) le sous-groupe de décomposition en P. Le Fröbenius
σp est ainsi un élément bien défini de ∆P ⊂ ∆ ⊂ Gal(K∞ /Q). Pour tout
Zp [∆P ]-module M on notera IndP (M ) le Zp [∆]-module induit :IndP (M ) = M ⊗Zp [∆P ] Zp [∆].
Soit κ : Γ × G0 −→ Z×
p le "caractère" cyclotomique et soit OP l’anneau
de valuation de FP . Le groupe ∆P agit via les coefficients sur l’anneau deséries formelles OP [[X]]. On définit une action de Γ et G0 sur OP [[X]] par laformule :(τ f )(X) = f ((1 + X)κ(τ ) − 1).
Soit MP := {f (X) ∈ OP [[X]] | f (0) ≡ 1[p]}. Pour les actions définies cidessus, le groupe multiplicatif MP et le groupe additif OP [[X]] sont des modules topologiques sur Zp [[∆P × G0 × Γ]]. Soit N : OP ((X))× −→ OP ((X))×
l’opérateur norme de Coleman caractérisé parY(N f )((1 + X)p − 1) =f (ζ(1 + X) − 1).
ζ p =1

Théorème 3.13 ([Tsu99] theorem 4.1) Soit α = (αn )n≥0 une suite cohérente en norme dans limn FP (ζpn+1 )× . Alors il existe une unique série formellefα ∈ OP ((X))× telle que :nfα (ζpn+1 − 1) = (αn )(σp )etN fα = (fα )σp .

1
1
Soit UP,∞la limite projective des unités principales UP,ndes FP (ζpn+1 ), etN =σpσpsoit M:= {f ∈ M |N f = f } . L’application α 7→ fα est un Zp [[∆P ×
G0 × Γ]]-isomorphisme∼
1
UP,∞−→ MN =σp .

20

CHAPITRE 3. THÉORIE D’IWASAWA.

Soit ϕ l’endomorphisme continu de OP [[X]] défini par(ϕf )(X) = f σp ((1 + X)p − 1).
La formuleµΨ(f (X)) =

ϕ
1−
p

¶
log(f (X))

définit un Zp [[∆P × G0 × Γ]]-morphisme Ψ : M −→ OP [[X]]. De plus l’image
par Ψ de MN =σp est contenue dans le OP [[G0 × Γ]]-module libre engendrépar (1 + X) :Ψ(MN =σp ) = OP [[G0 × Γ]](1 + X).
Définition 3.14 La formule
Ψ(fu (X)) = ColP (u)(1 + X)
définit un Zp [[∆P × G0 × Γ]]-morphisme
1
ColP : UP,∞−→ OP [[G0 × Γ]].
1
On note Zp (1) ⊂ UP,∞la limite projective des racines de l’unité. Le mor1
phisme ColP détermine complètement la structure de UP,∞grâce au théorèmesuivant.

Théorème 3.15 ([Tsu99] theorem 4.2) On a une suite exacte :/ U1/ Zp (1)

0

ColP

P,∞

/ OP [[G0 × Γ]]κ/0/ Zp (1)

On note Col le morphisme obtenu à partir de ColP par induction de ∆P à∆. On obtient ainsi la suite exacte :IndP (Zp (1)) / IndP (U 1

P,∞ )

Col /

IndP (OP )[[G0 × Γ]]κ //IndP (Zp (1)) .

Le morphisme Col s’étend de manière unique en un homomorphisme
Col : IndP (lim FP (ζpn+1 )× ) −→ IndP (OP )[[G0 × Γ]]∼ ,n

où IndP (OP )[[G0 × Γ]]∼ désigne l’ensemble des éléments f du corps des fractions de IndP (OP )[[G0 × Γ]] vérifiant (τ − 1)f ∈ IndP (OP )[[G0 × Γ]] pour
tout τ ∈ G0 × Γ. Pour tout n on note
Un0 := {x ∈ F (ζpn+1 )× |v(x) = 0 en toute place finie v - p de F (ζpn+1 )},3.2. FONCTIONS L DE KUBOTA-LEOPOLDT.
0

21
0

0

le module galoisien des (p)-unités, on note U n le pro-p-complété de U n et U ∞0la limite projective (pour les applications de norme) des U n . Le morphisme0"diagonal" diag : U ∞ −→ IndP (limn FP (ζpn+1 )× ) est connu pour être injectif(c’est une version "faible" de la conjecture de Leopoldt). On choisit l’élément
cyclotomique suivant :σ −nηd = diag((1 − ζpn+1 ζd p )n∈N ) = diag((σ(p,d) (1 − ζdpn+1 ))n∈N )∈ IndP (limn FP (ζpn+1 )× ).
Où σ(p,d) est l’unique élément de G0 × ∆ × Γ vérifiant σ(p,d) (ζpn ) = ζpdn pour
tout n et σ(p,d) (ζd ) = ζdp . Pour tout générateur γ de Γ on note αγ : Zp [[Γ]] −→Zp [[T ]] l’isomorphisme défini par γ 7→ T + 1. Alors αγ (Col(ηd )) est une sériede Laurent bien définie. En fait αγ (Col(ηd )) ∈ (1/T ) IndP (OP )[G0 ][[T ]] etmême αγ (Col(ηd )) ∈ IndP (OP )[G0 ][[T ]] si d > 1. Comme pour la série de
Stickelberger on doit projeter cette série sur une composante θ-isotypique.
Pour ce on est contraint de choisir un générateur (canonique ?) de cette "θcomposante". Soit
Xeθ = (p − 1)−1
θ(g)g −1 ∈ Zp [θ][∆ × G0 ],g∈∆×G0le pseudo-idempotent associé à θ. Alors pour tout x ∈ IndP (OP )[G0 ] ⊗ Zp [θ],il existe un unique xeθ ∈ Zp [θ] tel que eθ x = xeθ eθ (ζd ⊗1) (c’est une conséquence
du lemme 5.1 de [Tsu99] par exemple).
Proposition et définition 3.16 Il existe une unique série formelle1
Zp [θ][[T ]], telle que gθ,γ (T )eθ ζd = eθ αγ (Col(ηd ))T
Bien entendu si θ est non trivial gθ,γ (T ) ∈ Zp [θ][[T ]]. On voit aussi facilement
que si θ est impair alors gθ,γ (T ) = 0. Tsuji démontre alors le théorèmegθ,γ (T ) ∈Théorème 3.17 ([Tsu99] theorem 4.3) Pour tout θ pair on agθ,γ ((κ(γ))s − 1) = Lp (1 − s, θ).
Pour expliciter le lien avec les séries d’Iwasawa f (T, θ) il suffit de rappelerl’identité Lp (1 − s, θ) = f ((1 + dp)1−s − 1, θ) du théorème 3.12. On en déduit
immédiatement le corollaire :Corollaire 3.18 Choisissons γ tel que κ(γ) = (1 + dp) ∈ Z×
p . Alors on af (T, θ) = gθ,γ ((1 + dp)(T + 1)−1 − 1),et réciproquementgθ,γ (T ) = f ((1 + dp)(T + 1)−1 − 1, θ).

22

CHAPITRE 3. THÉORIE D’IWASAWA.

De cette façon, on a retrouvé la collection des fonctions Lp à partir de lacollection des suites cohérentes en normes d’unités cyclotomiques. Pour cetteraison on doit vraiment comprendre les unités cyclotomiques comme des incarnations algébriques des fonctions L. Ce point de vue motive évidemmentl’étude de ces unités pour elles-mêmes. Il rend aussi nettement plus naturel
les formules analytiques comme celle du corollaire 2.4 et du théorème 3.9.
Ces formules trouvent leur explication ultime avec la Conjecture Principale
qui affirme que les séries précédentes engendrent les idéaux caractéristiques(car(M )) du §3.1 associés aux modules M provenant au niveau fini des invariants algébriques fondamentaux de l’arithmétique (essentiellement des variations sur le groupe des classes d’idéaux).

3.3

Conjecture Principale.

Les principaux objets algébriques étudiés dans l’arithmétique des corps
globaux sont des variations sur les unités d’une part et sur les groupes declasses d’idéaux d’autre part. Ces deux types d’objets ont toujours été naturellement reliés. Mentionnons par exemple les formules d’ordre provenant
de l’analyse, comme la formule analytique du nombre de classes, et les suites
exactes issues de la théorie du corps de classes. Le lien ultime est établidans la Conjecture Principale qui affirme "l’égalité" entre les séries caractéristiques, d’une part de certains groupes de classes d’unités, et d’autre partde certains groupes des classes d’idéaux. De plus un générateur de cette série
caractéristique commune s’explicite à l’aide des séries f (T, θ) ou gθ,γ (T ) duparagraphe 3.2.

3.3.1

Modules Standard.

On rappelle ici les notations classiques de la théorie d’Iwasawa cyclotomique, dont certaines ont déjà été utilisées précédemment. La lettre K
désigne un corps de nombres, et p 6= 2 est le nombre premier fixé depuis ledébut du §2.5.
- Pour tout groupe abélien A, on note A la p-completion de A, i.e. lanlimite projective A = lim A/Ap . Si A est de type fini sur Z, alorsĀ ∼= A ⊗ Zp .
- UK désigne le groupe des unités de K.
- UK0 désigne le groupe des (p)-unités de K, c’est-à-dire les éléments de
F × de valuation triviale en toute place finie v ne divisant pas p.
des nombres semi-locaux. Comme mo- NK est le groupe multiplicatifQ×dule sur Zp , NK = v|p Kv où Kv est le complété de K en la place3.3. CONJECTURE PRINCIPALE.

23v.
- UK est le groupe multiplicatif
des unités semi-locales de K. CommeQ
module sur Zp , UK = v|p Uv1 où Uv1 est le groupe des unités principalesde Kv , c’est-à-dire les unités ≡ 1 modulo l’idéal maximal de Kv .
- XK est le groupe de Galois sur K de la pro-p-extension abélienne (p)ramifiée (c’est-à-dire non ramifiée en toute place ne divisant pas p)
maximale de K.
0
désigne la p-partie de Cl0 (K) qui lui même est le quotient de Cl(K)- XK
par le sous-groupe engendré par les classes des idéaux premiers divisantp.
- XK désigne la p-partie de Cl(K) le groupe des classes d’idéaux de K.
La conjecture de Leopoldt prédit que l’application basique U K −→ UK est
injective. Lorsque F est abélien sur Q la conjecture de Leopoldt pour F est
démontrée : Ax dans [Ax65] réduit cette conjecture pour les corps abéliens
à l’analogue p-adique du théorème de Baker, et Brumer a démontré cet analogue dans [Bru67]. Lorsque K est galoisien sur Q, de groupe G(K/Q), lesmodules semi-locaux UK et NK sont munis de l’action induite à G(K/Q)
définie par l’isomorphisme
NK ∼= Kv× ⊗Zp [G(Kv /Qp )] Zp [G(K/Q)].
Considérons maintenant la Zp -extension cyclotomique F∞ /F d’un corps abélien F , et notons Fn l’unique sous corps de F∞ tel que [Fn : F ] = pn . On
va noter par C n le pro-p-complété des unités circulaires de Fn . On indiquepar un indice n les modules arithmétiques relatifs à Fn . On indique la limite
projective de ces objets (pour les applications de normes) par un indice ∞ .
Cela définit les notations Un , U n , . . . et U∞ , U ∞ etc. . . L’étude du groupede classes Cl(F ) puis de son analogue au niveau infini X∞ furent les premières motivations de la théorie d’Iwasawa. À l’usage il devenu clair que lemodule X∞ (ou plutôt sa Λ-torsion) est plus pertinent en théorie d’Iwasawa.
La conjecture de Leopoldt (démontrée ici puisque F est abélien) pour F etp est équivalente à l’égalité rangZp (X∞ )Γ = r2 où r2 désigne le nombre deplongements complexes de F . Je vais maintenant rappeler trois formulationsclassiques (et équivalentes) de la Conjecture Principale.

3.3.2

Les formulations totalement réelles.

On suppose dans cette sous-section que F est totalement réel. Pour simplifier la suite de l’exposé on suppose en outre que p est (au plus) modérément
ramifié dans F/Q. Je rappelle maintenant l’une des suites exactes issues dela théorie du corps de classes et qui décrit (en partie) X∞ . Il s’agit de la suite

24

CHAPITRE 3. THÉORIE D’IWASAWA.

de ramification :
(R)

/U

0

/ U∞

∞

/X

/X

/0.

∞

∞

En prenant le quotient par C ∞ on obtient :
(R0 )

0

/U

/ U /C∞∞∞ /C ∞

/X

∞

/ X∞

/0.

Il est bien connu que chacun des quatres Λ-modules intervenant dans cettesuite est de type fini et de torsion. En outre les invariants µ de ces modules
sont triviaux, même si ce fait est un peu moins connu des non-spécialistes.
Pour le module U ∞ /C ∞ une démonstration (comprenant p = 2) est donnéepar Greither dans [FG04]. Je donne une autre démonstration et un aperçu
×
concernant les trois autres modules dans [Bel05]. Soit θ : G(F/Q) −→ Q
un caractère de Dirichlet non trivial. Puisque les invariants µ concernés sonttriviaux, en appliquant à (R)0 n’importe quel foncteur (raisonnable2 ) de θcomposante M Ã M (θ), on obtient un complexe pseudo-exact (i.e. à groupes
de cohomologie finis) :(R0 (θ)) 0/U∞ /C ∞ (θ)/ U /C (θ)∞∞/ X∞ (θ)/ X∞ (θ)/0.

De par sa construction même, la série gθ,γ (T ) engendre l’idéal caractéristique sur Zp [θ][[T ]] de U ∞ /C ∞ (θ). En effet, en partant de la suite exacte duthéorème 3.15 on obtient un complexe pseudo-exact :0/ IndP (Zp (1))(θ)/ U∞ (θ) θ(Col)/ Zp [θ][[T ]]C ∞ (θ)κ(gθ,γ (T ))/ IndP (Zp (1))(θ)/0.

La Conjecture Principale de la théorie d’Iwasawa (dans ce cadre c’est lethéorème de Mazur-Wiles [MW84]) affirme l’égalité :Théorème 3.19
(car(X∞ (θ))) = (gθ,γ (T )).
Cette formulation de la conjecture principale est, à mon avis, à la fois la plus
parlante et la plus simple. Par la construction du §3.2.3 cette conjecture estéquivalente à l’égalité(car(X∞ (θ))) = (car(U∞ /C ∞ (θ))).
Par le complexe (R0 (θ)) la conjecture principale est aussi équivalente à l’égalité(car(X∞ (θ))) = (car(U ∞ /C ∞ (θ))).
C’est cette dernière égalité qui se démontre avec le système d’Euler cyclotomique (voir l’appendice de Rubin dans [Lan90] et la démonstration générale
incluant p = 2 dans [Gre92]).
2

Par exemple les θ-parties et θ-quotients.

3.3. CONJECTURE PRINCIPALE.

3.3.3

25

Dualité de Kummer.

Pour pouvoir utiliser la dualité de Kummer on suppose dans cette soussection que ζp appartient à F . Pour simplifier l’exposé, on suppose en outre
que F = K(ζp ) pour un corps K abélien totalement réel non ramifié en p.
On peut donc identifier Gal(F/Q) au produit direct Gal(F/Q) = ∆ × G0 ,avec G0 = Gal(F/K) ∼= Gal(Q(ζp )/Q). Soit τ la conjugaison complexe dansGal(F/Q). L’hypothèse K totalement réel est équivalente à τ ∈ G0 . Pour
tout i ∈ Z on note ei l’idempotent de Zp [G0 ] associé à la i-ième puissance ducaractère de Teichmüller ω i . On note A∞ = limXn la limite inductive (pour→les morphismes d’extension des idéaux) des p-groupes de classes des Fn . Soit
V ⊂ lim(Fn ⊗ Qp /Zp ) le radical de Kummer de X∞ , et E∞ = limUn la limite→→
inductive des unités des Fn . On a une suite exacte :0/ E∞ ⊗ Qp /Zp

/V

/ A∞

/0.

Lorsque i est impair, puisque τ ∈ G0 , l’involution τ agit simultanément
trivialement et par −1 sur E∞ . En particulier pour tout i impair on a unisomorphisme de modules galoisiens ei V ∼= ei A∞ . Pour tout Zp -module gakloisien M et tout entier k ∈ Z on note M (k) = M ⊗Zp Zp (1)⊗ le k-ième
twist de Tate. On obtient l’isomorphisme (galoisien) :Proposition 3.20 ([Was97] proposition 13.32) On munit le Zp -module
HomZp (A∞ , Qp /Zp ) de l’action de Galois (gf )(x) := f (g −1 x). Soit j un entierpair. Alors
ej X∞ (−1) ∼= HomZp (e1−j A∞ , Qp /Zp ).
b
Soit θ un caractère pair de F . Alors θ peut s’écrire θ = ω j ϕ avec ϕ ∈ ∆.
Comme ∆ commute avec G0 × Γ tout foncteur (raisonnable) M Ã M (ϕ) de
ϕ-composante va commuter avec le twist de Tate. Il suit un isomorphisme
ej X∞ (ϕ)(−1) ∼= HomZp (e1−j A∞ , Qp /Zp )(ϕ). De sorte que si F (T ) est unesérie caractéristique de X∞ (θ) avec θ = ω j ϕ alors F (κ(γ)(1 + T ) − 1) est
une série caractéristique de HomZp (e1−j A∞ , Qp /Zp )(ϕ). Soit d le conducteurde ϕ. Reprenons le générateur γ de Γ vérifiant κ(γ) = 1 + dp. En observantl’égalité gθ,γ ((1 + dp)(1 + T ) − 1) = f ((1 + T )−1 − 1, θ) on obtient la seconde
formulation équivalente de la Conjecture Principale :Théorème 3.21 Soit ϕ un caractère de Dirichlet pair tel que ϕ(p) 6= 0.
Alors pour tout entier j pair on a l’égalité entre idéaux de Zp [ϕ][[T ]] :car(HomZp (e1−j A∞ , Qp /Zp )(ϕ)) = (f ((1 + T )−1 − 1, ω j ϕ))

26

CHAPITRE 3. THÉORIE D’IWASAWA.

3.3.4

Retour aux classes d’idéaux.

En utilisant la théorie des modules adjoints d’Iwasawa on démontre que
e∞ défini à partir de
HomZp (A∞ , Qp /Zp ) est pseudo-isomorphe au module X
X∞ en inversant l’action de Γ (voir par exemple [Was97] proposition 15.34).
Cependant on doit ici en outre se préoccuper de l’action de ∆.
Remarque technique : Pour fixer les idées et suivre cette action dans lesconstructions de l’adjoint §15.5 de [Was97] il semble plus facile d’utiliser lesfoncteurs ϕ-partie M Ã M ϕ (exact à gauche) et ϕ-quotient M Ã Mϕ (exact
à droite) ; voir par exemple [Tsu99] et [Belt] pour les définitions et propriétés
basiques. A l’arrivée, puisque les invariants µ concernés sont triviaux, toutes
ces différentes ϕ-composantes sont pseudo-isomorphes.
On a des pseudo-isomorphismes−1^
ϕ−1
HomZp (e1−j A∞ , Qp /Zp )ϕ ∼ HomZp (e1−j Aϕ∞ , Qp /Zp ) ∼ e1−j X∞.

On obtient ainsi la troisième formulation équivalente de la Conjecture Principale :Théorème 3.22 Soit ϕ un caractère de Dirichlet pair tel que ϕ(p) 6= 0.
Alors pour tout entier j pair on a l’égalité entre idéaux de Zp [ϕ][[T ]] :1−j ϕ−1ωcar(X∞)) = (f (T, ω j ϕ)).

C’est essentiellement cet énoncé qui est démontré dans [MW84] (modulo latrivialité de l’invariant µ). Ce théorème ne donne aucune information sur lesclasses réelles puisque le caractère ω 1−j ϕ−1 est impair. Pour un caractère θpair le pendant analytique Lp (s, ωθ−1 ) est identiquement nul. La conjecture+
de Greenberg prédit que X∞
est fini autrement dit que l’on peut prendre
f (T, ωθ−1) = 1 dans l’énoncé de 3.22 pour les caractères ϕ impairs. Cette
conjecture a été vérifiée par une multitude de calculs numériques. Elle est
aussi équivalente à la finitude de U ∞ /C ∞ . En particulier si l’on reprendla suite exacte (R0 ) du §3.3.2 on constate que la conjecture de Greenberg
entraîne immédiatement la formulation totalement réelle de la Conjecture
Principale. Compte-tenu de la technicité des preuves actuelles de la Conjecture Principale, cela laisse peu d’espoir pour une démonstration simple de laconjecture de Greenberg.

Chapitre 4
Une question de Kolster.
Dans ce chapitre F désigne un corps de nombres abélien réel, et p 6= 2 unnombre premier fixé. On va étudier l’arithmétique de la Zp -extension F∞ /Fde F .

4.1

Washington contre Sinnott.

Définition 4.1 Soit K un corps abélien de conducteur n. Rappelons que
CQ(ζn ) (définition 2.1) désigne le module des unités circulaires à la Sinnottde Q(ζn ). On appelle unités cyclotomiques de Washington de K et l’on note
WasK le module\
WasK = CQ(ζn ) K.
La terminologie "unités de Washington" apparaît à ma connaissance pourla première fois dans [KN95], où il est fait référence à la première page duchapitre 8 de [Was97]. Bien entendu dans la suite on notera Wasn = WasFn
et Was∞ = limWasn la limite projective des pro-p-complétés Wasn . On a←trivialement l’inclusion CK ⊂ WasK . D’autre part le module des unités deWashington satisfait la "propriété de descente" WasL ∩K = WasK pour touteextension L/K (par définition on se ramène au cas particulier L et K cyclotomique ; puis c’est un théorème de Gold et Kim [GK89]). Pour le modulede Sinnott on dispose de contre-exemples à la propriété de descente (voir[Gre93]). En particulier l’inclusion CK ⊂ WasK est stricte en général. Cependant la question (attribuée à Kolster dans [KN95]) de l’égalité entre C ∞et Was∞ se posait encore jusqu’a récemment. Dans l’article [KN95] Kučera
et Nekovar montrent que l’indice (Was∞ : C ∞ ) est fini (en majorant uniformément avec n les indices (Wasn : C n ) mais échouent à démontrer l’égalité
C ∞ = Was∞ . En fait, cette égalité n’a pas lieu en général : j’ai donné des27

28

CHAPITRE 4. UNE QUESTION DE KOLSTER.

contre-exemples dans [Bel02] et Kučera en a trouvé indépendamment et simultanément d’autres (voir [Kuč03]), ce qui clôt cette question. Cette question, à mon avis depuis sa motivation même, est liée à la Gn = Gal(Fn /F )structure des C n c’est-à-dire à la Λ-liberté de C ∞ . Pendant et après mathèse j’ai essayé d’établir en toute généralité cette Λ-liberté jusqu’à trouver
des contre-exemples et démontrer l’équivalence entre la Λ-liberté de C ∞ etl’égalité Was∞ = C ∞ dans [Bel02].

4.2

Gn-Structure des unités circulaires.

Avant d’arriver à décrire la structure de Λ-module de C ∞ j’ai étudié dans
ma thèse ([Bel98],[Bel97]) la Zp [Gn ]-structure de C n . Pour ces travaux, j’ai
supposé que p ne se ramifie pas dans F/Q.
J’ai défini par des générateurs explicites un module galoisien noté Dn (F )qui contient les unités cyclotomiques "nouvelles" de Fn en ce sens que l’intersection Dn (F ) ∩ Cn et le sous-groupe C0 engendrent C n sur Zp . J’ai aussi
démontré que le module explicite Dn (F ) contient toutes les "normes universelles" d’unités cyclotomiques (en particulier C ∞ ⊂ lim Dn (F ), avec un← nco-noyau évident).
J’ai mis en évidence deux hypothèses techniques mais naturelles (appelées
hypothèse A et B, dans le texte) l’hypothèse B étant le p-adifié de l’hypothèse
A. Sous l’hypothèse A j’ai décrit explicitement la Z[Gn ]-structure de D(K),et respectivement la Zp [Gn ]-structure de Dn (K) ⊗ Zp sous l’hypothèse B([Bel97] théorème 4.5). Dans les deux cas, on trouve la somme directe d’unfacteur libre avec une puissance de l’idéal d’augmentation. Le rang de chaquefacteur s’exprime très simplement à partir de la décomposition de p dans F .
J’ai aussi démontré que les hypothèses ci-dessus sont vérifiées dans denombreux cas particuliers intéressants. Par exemple l’hypothèse A qui entraîne l’hypothèse B est réalisée lorsque le groupe de Galois de K/Q est
cyclique ou bien lorsque K est un corps de genre à la Fröhlich. En conséquence l’hypothèse B est vraie pour p 6= 2 lorsque K est le sous-corps réelmaximal d’un corps cyclotomique. Je décris aussi deux exemples de corps qui
ne satisfont ni l’hypothèse ni la conclusion du théorème 4.5 de [Bel97].
Par un passage à la limite projective évident on déduit du théorème 4.5 de[Bel97] la Λ-liberté de C ∞ sous l’hypothèse B. La situation générale n’était
pourtant toujours pas claire. Cela a fournit (beaucoup) d’exemples pour lesquels la réponse à la question de Kolster est positive, et à ce stade de mes
recherches je croyais encore possible de démontrer la Λ-liberté de C ∞ en toute
généralité.

4.3. SOUS-MODULES D’UNITÉS.

4.3

29

Sous-modules d’Unités.

L’objet de l’article [Bel02] est de dégager une condition nécessaire etsuffisante à la liberté du Λ-module C ∞ . La proposition 4.2 fournit un critère
suffisamment fin pour conduire à une équivalence si on l’applique au module
C ∞ . Cette équivalence (théorème 4.4) est le résultat principal de [Bel02].
Ensuite j’illustre le théorème 4.4 par des contre-exemples à la Λ-liberté deC ∞ . Je donne une famille infinie d’exemples pour lesquels on démontre quecette liberté n’a pas lieu. D’autres exemples avec la même propriété ont étéétudiés indépendamment par R. Kučera ([Kuč03]) dans le but d’établir ladifférence entre les modules C ∞ et Was∞ . En cours de route j’établis aussique ces modules sont égaux si et seulement si C ∞ est Λ-libre (proposition
4.6).

4.3.1

Critère de Λ-liberté des unités circulaires.

On détaille le contexte général dans lequel le critère de la descente galoisienne s’applique, contexte qui se produit très souvent en arithmétique. Il
s’agit de la donnée de deux suites, disons Mn ⊂ Ln , de Zp [Gn ]-modules munis,
pour m ≥ n, d’homomorphismes équivariants de norme Nm,n : Lm −→ Ln etd’extension in,m : Ln −→ Lm tels que :1) Les restrictions des Nn,m et des im,n définissent des homomorphismes
Nm,n : Mm −→ Mn et in,m : Mn −→ Mm2) les composés in,m ◦P
Nm,n coïncident avec la multiplication par la trace
algébrique Trm,n := g∈Gal(Km /Kn ) g ∈ Zp [Gm ].
3) les composés Nm,n ◦ in,m coïncident avec la multiplication par pm−n .
Dans ce contexte on a le critère :Proposition 4.2 ([Bel02] proposition 1.3) On suppose que les suites Ln
et Mn vérifient les conditions suivantes :1. L∞ := lim Ln est Λ-libre.
←

Gal(Fm /Fn )2. Les homomorphismes in,m : Ln −→ Lmsont injectifs.

3. La suite Mn vérifie asymptotiquement la "descente galoisienne", (i.e. il
Gal(F
/F )
existe un N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on l’égalité Mn+1 n+1 n =in,n+1 (Mn )).
Alors M∞ := lim Mn est aussi Λ-libre.
←

0

Par le théorème 7.2 de [Kuz72] le module U ∞ est Λ-libre (ici de rang [F : Q]).
Ce résultat a été redémontré dans [KNF96] et une troisième preuve plus
simple mais s’appuyant sur la conjecture de Leopoldt (valide ici car F est

30

CHAPITRE 4. UNE QUESTION DE KOLSTER.
0

abélien) est donnée dans [Bel05]. Le module L∞ = U ∞ satisfait donc aux
conditions 1. et 2. de la proposition 4.2. Puisque la suite Mn = Wasn satisfait
à la troisième et dernière condition de 4.2, cela démontre le corollaire :Corollaire 4.3 Was∞ est Λ-libre (de rang [F : Q]).
Par contre si l’on prend pour M∞ = C ∞ on obtient alors une équivalence.
Théorème 4.4 ([Bel02] théorème 2.2) Le Λ-module C ∞ est libre si etseulement si la suite Mn = C n vérifie la condition 3 de 4.2, à savoir :Gal(Kn+1 /Kn )C ∞ est Λ libre ⇐⇒ ∃ N ∈ N, ∀n ≥ N, C n+1= in,n+1 (C n ) ∼= C n.

Pour démontrer ce théorème j’utilise un "lemme-clé" qui est essentiellement
une conséquence des relations de distribution du §2.2.
Lemme 4.5 ([Bel02] lemme 2.5) Soit n ∈ N et soit In le corps d’inertie
en p de Kn (i.e. le plus grand sous-corps de Kn dans lequel p ne se ramifie
en les "normes universelles d’unités circulaires" c’est-à-direpas). On note C
l’image du morphisme naturel C ∞ −→ C n . Alors on aen .
C n = C In C
La suite de corps In est manifestement stationnaire et si I désigne le corps
d’inertie de p dans K∞ , on a l’égalité pour tout n tel que I ⊂ Kn :en
Cn = CI C
Le corollaire 4.3 en conjonction avec le théorème de Kučera et Nekovar sur
la finitude de (Was∞ : C ∞ ) permet de reformuler la question de Kolster :Proposition 4.6 ([Bel02] proposition 3.6) C ∞ est Λ-libre si et seulement si C ∞ = Was∞ .

4.3.2

Contre-exemples.

A partir du théorème 4.4 qui donne une équivalence, il est naturel de
se demander si les deux alternatives peuvent effectivement se produire. On
connaît de nombreux exemples de corps F pour lesquels C ∞ est Λ-libre. Je
reviens là-dessus en section 4.4. Cependant on a vu que les unités circulaires
à la Sinnott ne vérifient pas toujours la "descente galoisienne". En particulier
4.4 n’ entraîne pas la liberté de C ∞ . Je présente une liste d’exemples de corps
F pour lesquels cette liberté n’a pas lieu. Pour produire ces contre-exemples
on va utiliser des hypothèses de décomposition assez contraignantes dans le4.4. DES EXEMPLES DE LIBERTÉ DE C ∞ .

31style de [Gre93]. Ces hypothèses permettent de mieux contrôler la structure
galoisienne des unités circulaires et simplifient notablement les calculs qui
suivent. Ce fait justifie la terminologie “günstige (p + 1)-tuple” de [Gre93].
Énonçons ces conditions. A partir d’ici, et jusquà la fin de cette sous-section,
on suppose que le corps de nombres abélien F et le nombre premier p vérifientles trois conditions suivantes :Qi=p+1
1– le conducteur de F est le produit sans facteurs carrés fF = i=1lide p + 1 nombres premiers li tels que li ≡ 1[p] et pour chaque j 6= i il
existe un entier xi,j tel que li ≡ xpi,j [lj ].
2– G := Gal(F/Q) ' (Z/pZ)2
3– Notons F 1 , F 2 , . . . , F p+1 les (p + 1) sous-corps non triviaux de F . On
suppose en outre que quitte à renuméroter ces sous-corps, leur conducteur vaut :
i=p+1
Y
j
cond(F ) =li
i=1,i6=jRemarque :– En reprenant le raisonnement de [Gre93] qui s’appuie sur le théorème
de densité de Čebotarev, on peut démontrer l’existence (d’une infinité) de (p + 1)-uples de premier (li )p+1
i=1 tels que p et tout sous-corps
Q
de Q(ζ li ) vérifie la condition 1. Ce sont de tels (p + 1)-uples qui
furent dénommés günstige (p + 1)-tuple dans [Gre93].
– Ensuite étant fixé un tel günstige (p + 1)-uple l1 , . . . , lp+1 on peut
vérifier que Q(ζQ li ) contient un sous-corps F vérifiant 2- et 3- : c’est
un exercice sur les groupes abéliens laissé au lecteurs.
– Alternativement l’exemple du §IV.2 de [Bel98] vérifie les conditions
ci-dessus pour p = 3.
Théorème 4.7 ([Bel02] théorème 3.1) Si F vérifient les hypothèses 1– à
3– alors C ∞ n’est pas Λ-libre.

4.4

Des exemples de liberté de C ∞.

Lorsque le corps F est le sous-corps réel maximal d’un corps cyclotomique,on sait par des résultats sur les distributions à la Kubert-Lang que C ∞ est
Λ-libre (voir par exemple [Kuz96]). Plus généralement, par un passage à lalimite immédiat, on peut déduire de [Bel98] une condition suffisante et desexemples supplémentaires où C ∞ est Λ-libre avec p non ramifié dans F . Dansl’appendice à [LMN] j’ai formulé une condition (appelée (gHB)) indépendantede la ramification de p dans F et qui entraîne la Λ-liberté de C ∞ . De plus,
tous les exemples connus de corps F tels que C ∞ soit libre sur Λ satisfont

32

CHAPITRE 4. UNE QUESTION DE KOLSTER.

à la condition (gHB). Il n’y a pas d’autre raison de penser qu’il y ait uneéquivalence (et personnellement j’en doute).
Lemme 4.8 ([LMN] lemma 6.1) Soit L ⊂ F∞ le sous-corps maximal de
F∞ tel que p soit (au plus) modérément ramifié dans L. On note L∞ /L sa
Zp -extension cyclotomique, on pose ΛL := Zp [[Gal(L∞ /L)]]. On a :1. C ∞ dépend seulement de F∞ et pas de F .
2. L∞ = F∞ .
3. C ∞ est Λ-libre si et seulement si C ∞ est ΛL -libre.
On utilise quelques notations supplémentaires. Elles sont proches de celles
utilisées dans [Bel98] mais pas formellement identiques. Soit P l’ensemble
des premiers rationnels l 6= p qui sont ramifiés dans F/Q. Le cas P = ∅ esttrivial mais autorisé. Pour tout nombre supernaturel s on pose
= Q(ζs ).
Q Q(s)∞ ∞Pour tout J ⊂ P et tout n ∈ N ∪ {∞}, on pose Fn (J) := Q( l∈J l p ) ∩ Fn .
On notera F (J) := F0 (J), G(J) = Gal(F∞ (J)/B∞ ), et G = G(P). Pour tout
corps de nombres abélien K on écrit cond(K) pour son conducteur. Pourchaque n ∈ N et tout J ⊂ P on note εn (J) le nombre cyclotomique suivant(c’est une unité si J 6= ∅) :εn (J) := NQ(cond(Fn (J)))/Fn (J) (1 − ζcond(Fn (J)) ).
Les εn (J) forment une suite cohérente en norme. De sorte qu’en fixant un γ
engendrant Gal(B∞ /Q) on peut définir ε∞ (J) ∈ C ∞ par la formule :½(εn (J))n∈N if J 6= ∅ε∞ (J) :=(εn (∅)(γ−1) )n∈N else.
Cela permet de formuler un lemme utile (c’est un variante du lemme 2.3 de[Gre92]).
Lemme 4.9 ([LMN] lemma 6.2) Le système {ε∞ (J), J ⊂ P} engendre
C ∞ sur ΛL [G].
Bien sûr ces générateurs ne sont pas linéairement indépendants. Ils vérifient
les relations déduites par passage à la limite à partir des relations de distribution. C’est pour mieux contrôler ces relations que j’utilise l’hypothèse(gHB) que j’énonce ci-dessous :Définition 4.10 Pour tout J ⊂ P on appelle l’idéal de norme associé à J
on note N (J) l’idéal de Zp [G(J)] engendré par les traces­®
N (J) := TF∞ (J)/F∞ (J−{l}) ; l ∈ J .
On dit que le couple (F, p) vérifie l’hypothèse B généralisée (en abrégé (gHB))
si et seulement si pour tout J ⊂ P le quotient Zp [G(J)]/N (J) est sans torsion.

4.4. DES EXEMPLES DE LIBERTÉ DE C ∞ .

33

Cette hypothèse est plutôt technique mais parfaitement naturelle vis-à-vis dela preuve de 4.12. La proposition qui suit donne une multitude d’exemples
de corps vérifiant (gHB).
Proposition 4.11 ([LMN] proposition 6.5) Pour tout l ∈ P on noteIl ⊂ G le sous-groupe d’inertie pour l relativement à l’extension F∞ /B∞ .
L’une quelconque des conditions ci-dessous entraîne que le couple (F, p) satisfait à (gHB) :directs les uns des autres. Autrement dit le1. Les I l , l ∈ P sont facteursLmorphisme naturel l∈P I l −→ G est injectif.
2. dimFp (G/pG) ≤ 1, ou de façon équivalente G est cyclique.
3. #P ≤ 2
Le résultat principal de l’appendice à [LMN] est le théorème suivant :Théorème 4.12 ([LMN] theorem 6.6) On suppose que le couple (F, p)vérifie la condition (gHB). Alors C ∞ est ΛL -libre de rang [L : Q] et Λ-librede rang [F : Q].
En corollaire, la question de Kolster admet une réponse positive dès que lecouple (F, p) vérifie (gHB). Il me semble que la condition (gHB) est optimale.
En effet cette condition permet de réunir en une seule démonstration tous les
exemples où la Λ-liberté de C ∞ était connue auparavant par des méthodes
plus ou moins sophistiquées. Mais aussi, avec la proposition 4.11, on obtient
une très large classes d’exemples nouveaux de corps abéliens F pour lesquels
C ∞ est libre. Par exemple tout corps abélien F tel que XF = 0 vérifie lacondition 1 de la proposition 4.11.

34

CHAPITRE 4. UNE QUESTION DE KOLSTER.

Chapitre 5Classes d’idéaux et classes
d’unités.
5.1

Formules d’indice raffinées.

Le résultat principal de l’article [BN01] (théorème 5.4) est un raffinement
de la formule de Sinnott (Théorème 2.6), qui est p-adique (p 6= 2) et "caractère par caractère". La formule p-adique sans caractère est facile à obtenir :il suffit de tensoriser par Zp les réseaux qui interviennent dans la formule deSinnott. Si l’on fait intervenir les caractères (p-adiques) de G, le problème
est beaucoup plus compliqué. Il suffit pour s’en convaincre de se rappeler quele passage de la formule analytique donnant la partie “moins” du nombre declasses d’un corps abélien imaginaire, aux formules “caractère (p-adique) par
caractère”, ne constitue rien d’autre que la Conjecture d’Iwasawa-Leopoldt,
dont toute démonstration passe par la Conjecture Principale sous la forme duthéorème 3.22 ! (D’ailleurs, notre démonstration utilise aussi la Conjecture
Principale).
Un commentaire s’impose à ce stade : ce programme avait déjà été réalisépar Kuz’min dans un long et difficile article [Kuz96] paru peu de temps
auparavant avec une démarche par co-descente nettement plus compliquée
que la nôtre.
Pour notre part, nous découpons d’abord en ψ-parties au niveau de F(ψ parcourt les caractères de Gal(F/Q) d’ordre premier à p). Pour cela,
nous suivons un raffinement de la méthode de Gillard ([Gil79]). Le bonus est
de pouvoir “expliquer” les divers facteurs parasites qui apparaissent, commeétant des “constantes structurelles” attachées aux divers modules. Des applications sont ensuite données à la théorie d’Iwasawa des unités circulaires
et des unités semi-locales (essentiellement, des résultats asymptotiques de35

36

CHAPITRE 5. CLASSES D’IDÉAUX ET CLASSES D’UNITÉS.

structure galoisienne). Enfin, nous proposons, dans l’esprit de [Kuz96], une
modification des (p)-unités circulaires qui permet de donner des formules de
co-descente sans facteur parasite.

5.1.1

Méthode de Gillard et unités circulaires.

Gillard dans [Gil79] calcule les indices de divers groupes d’unités cyclotomiques, essentiellement construits à partir des "unités formelles" de Leopoldt.
Ces modules ont une structure galoisienne plus simple que la version de
Sinnott. On obtient des formules d’indice complètement explicites, mais le“facteur parasite” est nettement moins bon que celui de Sinnott (à l’étage
n il est divisible par pn#∆ ). Soit F un corps abélien totalement réel. On
pose G = Gal(F/Q). Alors G s’écrit G = ∆ × P avec p - #P . Dans lesous-paragraphe qui suit, on applique la méthode de Gillard à CF , avec deux
variations :1. On tient compte de l’indice de structure (S(C F ) : C F ) (voir [BN01]
définition 1.1 pour la définition du module semi-simplifié associé à unmodule M et noté S(M )).
2. On doit faire avec la diversité des générateurs de CF , qui fait intervenir
les bχ de la définition 5.1.
On fixe ψ un caractère Qp -irréductible de ∆. On note eψ l’idempotent de
Zp [∆] ⊂ Zp [G] associé à ψ et pour tout Zp [∆]-module M , on note Mψ = eψ M .
On note Nψ = (S(Zp [G]ψ ) : Zp [G]ψ ) le (ψ)-indice de structure maximal. Pour
tout caractère de Dirichlet χ on note fχ son conducteur.
Définition 5.1 ([BN01] définition 1.6) Pour tout nombre premier l divisant cond(F ), on fixe un générateur gl de Gal(F ∩ Q(l∞ )/Q). Si m est un
entier divisant cond(F ), et divisible par fχ on note :b(χ,m) = [F : F ∩ Q(ζm )]Y(1 − χ(l)−1 ) ∈ Qp ,l|moù le produit est pris sur les nombres premiers l qui divisent m. On note :(b(χ,m) si m est composéb(χ,m,0) =(1 − χ(gl ))b(χ,m) si m est puissance d’un nombre premier lSoit mχ (resp. m(χ,0) ) l’entier naturel tel que la valuation p-adique deb(χ,mχ ) (resp. de b(χ,mχ ,0) ) soit minimale. On note bχ := b(χ,mχ ) (resp. b(χ,0) :=b(χ,m(χ,0) ,0) ).

5.1. FORMULES D’INDICE RAFFINÉES.

37

Ces constantes explicites interviennent dans le lemme-clé ci-dessous qui estl’étape essentielle pour la démonstration du théorème 5.4. Dans toutes lasuite de ce paragraphe pour a, b ∈ Zp la notation a ∼ b signifie que a et b onmême valuation p-adique.
Lemme 5.2 ([BN01] Lemme 1.8) Pour tout caractère χ sur G absolument irréductible on note eχ l’idempotent associé à χ. Soit ψe l’ensemble descaractères absolument irréductibles de G divisant ψ (concrètement vérifianteχ eψ 6= 0). Lorsque ψ est non trivial, on a :(UF,ψ : C F,ψ ) ∼(S(C F,ψ ) : C F,ψ ) Ybχ Lp (1, χ)
Nψ
e
χ∈ψ

Lorsque ψ est trivial, on a :(UF,ψ : C F,ψ ⊕ (1 + p)Zp ) ∼[F : Q](S(C F,ψ ) : C F,ψ )Nψ

Yb(χ,0) Lp (1, χ)e χ6=1χ∈ψ,

Ce lemme se démontre en utilisant la formule d’analyse p-adique du théorème 3.9 et le principe de calcul d’indices χ-partie par χ-partie avec les indicesde structure exposé dans le §1.1 de [BN01]. En comparant la structure galoisienne du réseau Iw(F ) et de C F (essentiellement ils sont isomorphes) on
obtient une expression du ψ-indice des unités circulaires dans les unités semilocales. Notons cF,ψ la ψ-partie de la constante de Sinnott définie ci-dessous : (Zp [G]ψ : Iw(K)ψ ) siQψ 6= 1 ∞cF,ψ =[F ∩ Q(l ) : Q]
 (Zp [G]ψ : Iw(K)ψ ) lsi ψ = 1[F : Q]
Théorème 5.3 ([BN01] Théorème 2.5)
1. Si ψ 6= 1 on a :(UF,ψ : C F,ψ ) ∼ cF,ψY

Lp (1, χ) .

eχ∈ψ

2. Si ψ = 1 on a :(UF,ψ : C F,ψ ⊕ (1 + p)Zp ) ∼ [F : Q]cF,ψ

Y
e =1χ∈ψ,χ6

Lp (1, χ).

38

CHAPITRE 5. CLASSES D’IDÉAUX ET CLASSES D’UNITÉS.

Jusqu’ici on n’a utilisé ni la théorie du corps de classes ni la Conjecture
Principale. La suite exacte de ramification (R) du §3.3.2 et la Conjecture
Principale (sous la forme du théorème 3.19), permettent de passer de l’indicedans les unités semi-locales à l’indice dans les unités globales et de remplacer
le produit des Lp (1, χ) par la ψ-partie de l’ordre du groupe des classes. Il
suit :
Théorème 5.4 ([BN01] théorème 2.8) Soit hψ la ψ-partie de la p-partie
du nombre de classes de F , on a :(U F,ψ : C F,ψ ) ∼ cF,ψ hψ .
Ce théorème contient en particulier la conjecture de Gras (pour p 6= 2) du§2.5 (il suffit de prendre le cas particulier ∆ = G).

5.1.2

Idéaux de Fitting et structure galoisienne.

La formule d’indice du théorème 5.4 montre que la ψ-partie du groupe desclasses d’idéaux XF,ψ et celles du groupe des classes d’unités (U F /C F )ψ ont
essentiellement le même ordre. On a vu que cette démonstration ne repose
pas sur un isomorphisme, ne serait ce qu’à cause des cas de non-trivialitéde la constante cF,ψ . En montant dans la Zp -tour F∞ /F et en étudiant l’action de Gn on va établir des relations plus algébriques d’abord entre lesgroupes Un /C n et Xn ; puis entre Xn et U n /C n . On procède par co-descenteen comparant (U∞ /C ∞ )Γn avec Un /C n . Évidemment les morphismes naturels entre ces deux modules ne sont en général pas des isomorphismes. Posons ker(ψ) = {δ ∈ ∆|ψ(δ) = ψ(1)}. Si p n’est pas totalement décomposé
dans le sous corps F P ker(ψ) de F fixé par ker(ψ) et P , alors le morphisme(U∞ /C ∞ )Γn ,ψ −→ (Un /C n )ψ est surjectif. On va utiliser cette hypothèse :abrégeons-la par ψ(p) 6= 1. Soit Aψ l’anneau eψ Zp [∆]. Alors (Un /C n )ψ et(Xn )ψ sont des Aψ [Gn ]-modules.
Théorème 5.5 ([BN01] Théorème 3.3) On suppose que le couple (F, p)satisfait (gHB) et soit ψ un caractère Qp -irréductible de ∆ tel que ψ(p) 6= 1.
Alors, pour tout n ≥ 0, on a :1. cFn ,ψ = 1.
2. Les modules (Un /C n )ψ et (Xn )ψ ont même idéal de Fitting sur l’algèbreAψ [Gn ].
Ce théorème généralise un résultat de Cornacchia ([Cor98] theorem 2). La
version publiée dans [BN01] ne mentionne pas l’hypothèse (gHB). C’est une
erreur qui depuis a été corrigée p. 86 de [BN05]. La propriété 1. indique que

5.2. UNITÉS CIRCULAIRES MODIFIÉES.

39

la constante de Sinnott se "concentre" en les caractères ψ qui décomposent
totalement p. Donc, pour les autres caractères, les ordres de (U n /C n )ψ etde Xn,ψ sont égaux. En étudiant et en comparant les propriétés fines de ces
objets, j’ai l’impression qu’ils se comportent un peu comme des groupes en
dualité. Évidemment l’existence d’une telle dualité suppose la trivialité desconstantes de Sinnott. On sait que les groupes finis en dualité sont isomorphes(non canoniquement). Sous la conjecture de Greenberg les modules X∞ et
U ∞ /C ∞ sont finis. On pourrait donc espérer que la conjecture de Greenberg
entraîne l’existence d’un isomorphisme entre X∞ et U ∞ /C ∞ . Dans cet ordred’idée on a le théorème
Théorème 5.6 ([BN01] Théorème 3.5) On suppose que le couple (F, p)satisfait (gHB) et soit ψ un caractère Qp -irréductible de ∆ tel que ψ(p) 6= 1.
On suppose la conjecture de Greenberg pour F et p. Alors il existe un rang
N ∈ N tel que pour tout n ≥ N , (Xn )ψ et (U n /C n )ψ sont isomorphes (commemodules galoisiens).
Ce théorème généralise des résultats de [KS95] et [Oza97]. Les résultats decette sous-section s’appliquent uniquement aux caractères ψ ne décomposant
pas p. Que dire des caractères décomposant p ? Dans le §4 de [BN01] on
00
propose une modification C ∞ des unités circulaires au niveau infini, et par
e00 de U 0 . On arrive avec
co-descente de cette modification un sous-module Cnncette modification, pour tout caractère non-trivial, à des énoncés analogues
à ceux des théorèmes 5.6 et 5.5 (mais l’hypothèse (gHB) omise dans cettepartie doit être rajoutée). Ces résultats ne sont pas satisfaisants. D’abord
parce que les modifications proposées ne sont pas du tout explicites, ensuite
parce que rien n’est dit au sujet d’un caractère ψ trivial. Il est connu (phénomènes des zéros triviaux) qu’aux caractères décomposant p, la co-descenteen théorie d’Iwasawa est bien plus compliquée. L’astuce pour contourner leszéros triviaux est due originellement à Solomon et consiste à remplacer leco-descendu des unités circulaires (ici trivial !) par celui des p-unités circulaires modifiées. Je reviens sur cette construction dans la section suivante(qui concerne F pour p totalement décomposé dans F ).

5.2

Unités circulaires modifiées.

Dans cette section on suppose F totalement réel et p totalement décomposé dans F . En particulier ψ(p) = 1 pour tout ψ et les théorèmes 5.6 et
5.5 ne donnent aucune information sur l’arithmétique de F . Notre principal
but dans l’article [BN05] est de présenter une construction alternative des punités circulaires modifiées définies dans [Sol92]. L’essentiel de notre apport

40

CHAPITRE 5. CLASSES D’IDÉAUX ET CLASSES D’UNITÉS.

est de “fonctorialiser” la construction élément par élément de Solomon. En
d’autres termes nous travaillons avec des homomorphismes et des modules.
Cela permet de comparer les modules d’Iwasawa avec leurs analogues au niveau fini par des homomorphismes naturels mais non triviaux (au contrairede ceux obtenus par co-descente naïve). De plus, ces homomorphismes, en
conjonction avec la machinerie des “unités spéciales” à la Rubin (on dirait
plutôt aujourd’hui "systèmes d’Euler") nous permettent de démontrer unrésultat d’annulation de classes réelles conjecturé par Solomon.

5.2.1

Hilbert 90 en Théorie d’Iwasawa.

Pour tout v divisant p, on note Fbv× le sous-groupe de Fv× qui correspondpar la théorie du corps de classe à la Zp -extension cyclotomique Fv,∞ /Fv ;c’est-à-dire Fv× /Fbv× ' Gal(Fv,∞ /Fv ). Le groupe Fbv× est parfois appelé groupedes normes universelles (cyclotomiques) de Fv,∞ /Fv . Soit0

δ : U F −→ ⊕v∈S Fv× /Fbv× ,l’homomorphisme provenant du morphisme diagonal.
Définition 5.7 On appelle Noyau de Gross ([FGS81] ; voir aussi [Kuz72])
b 0 le noyau de δ :et on note UF
b 0 = ker δ.
UFb 0 sont les (p)-unités de F qui localement sont normes
Les éléments de UFuniverselles cyclotomiques en toute place.
Dans la terminologie logarithmique de Jaulent le nombre p fixé dans ce méb 0 est noté EeF et appelé "`-groupe des unimoire est noté `. Le groupe UF
tés logarithmiques" (voir par exemple [Jau94] définition 3.1 et proposition0f F et appelé "`-groupe des classes logarith3.2) ; le groupe (X∞)Γ est noté Cl
miques". L’approche logarithmique permet d’expliciter δ et donc d’étudier
son co-noyau. La finitude de ce co-noyau est équivalente à la conjecture deGross généralisée ([Jau94] théorème & conjecture 2.3). Dans le contexte abélien totalement réel de ce mémoire la conjecture de Gross généralisée est
une conséquence de la conjecture de Leopoldt et on s’intéresse d’abord au
noyau de δ. Le point de départ de notre construction des (p)-unités circulaires
modifiées est un lemme très simple :Lemme 5.8 ([BN05] lema 1.1)
b 0 ∩ U F = {1}UF

5.2. UNITÉS CIRCULAIRES MODIFIÉES.

41

Ce lemme permet d’abord de cerner le problème : les unités de F provenantb 0 donc triviales. Autrement dit lede la descente "naïve" sont toutes dans UFmorphisme naturel U ∞ −→ U F est trivial. Mais un théorème de Kuz0 min
00affirme l’injectivité du morphisme naturel (U ∞ )Γ ,→ U F . En particulier le000noyau du morphisme naturel U ∞ −→ U F est égal à (γ − 1)U ∞ pour toutγ (à partir de maintenant fixé) engendrant Γ. Cela permet de démontrer lethéorème (de division par T ) :0

Théorème 5.9 ([BN05] theorem 2.7 et corollary 2.8) Soit (U ∞ )(0) =00ker(U ∞ −→ U F ) le noyau du morphisme de descente naïve. La multiplicationpar (γ − 1) donne un isomorphisme de Λ-modules :00∼

U ∞ −→ (U ∞ )(0) = U ∞ .
Le morphisme réciproque à celui de ce théorème revient essentiellement àdiviser par T = γ − 1, ce qui ne serait pas possible sans ce théorème. On
peut maintenant définir des morphismes de descente non triviaux :Définition 5.10 ([BN05] definition 2.9)
1. On définit :
Θ: U∞

∼

/ U0

∞

nat. /

³

0

U∞

´ 

Γ

/ U0 .
F

Le premier isomorphisme est l’inverse de celui du théorème 5.9 ; ladernière injection vient du théorème de Kuz0 min. La définition de Θ
dépend du choix de γ.
0
2. On définit ΘC : C ∞ −→ U F comme la restriction de Θ à C ∞ .
Le morphisme ΘC redonne les (p)-unités de Solomon ([Sol92]) à moindrecoût. En fait le choix de tout élément intéressant de C ∞ fournit par ΘC0un élément intéressant de U F . Précisément si on reprend la suite d’unités
circulaires ε∞ (P) du §4.4, alors on obtient en conséquence des définitions
ΘC (ε∞ (P)) = κ(F, c), où κ(F, c) est l’unité construite dans [Sol92]. En exploitant le morphisme ΘC on re-démontre et généralise diverses formules derang et d’indice contenus dans [Sol92]. Mais cette construction a aussi beaucoup d’autres applications. Parmi ces applications j’en détaille deux dans lessous-sections à venir.

5.2.2

Annulations de classes d’idéaux réelles.

Un problème intéressant, accessible et encore ouvert est de décrire leFitting initial, voire l’annulateur dans Zp [G] des modules XF et U F /C F

42

CHAPITRE 5. CLASSES D’IDÉAUX ET CLASSES D’UNITÉS.

(ces idéaux doivent être liés). Je vais maintenant énoncer une conjecture
de Solomon dans cet ordre d’idées. Pour cela je renonce temporairement
à l’hypothèse p totalement décomposé et je suppose seulement que F est
abélien et que p est non ramifié dans F . Notons ı : Q ,→ Qp , le plongement
fixé depuis le §3.2 et soit O l’adhérence dans Cp in Qsepp ). Pour chaque souscorps M 6= Q de F , on définit un élément de Solomon solM comme dans
[Sol92], §4 :solM :=

1
p

X

¡
¢
logp (ı(εgM )) g −1 ∈ O[Gal(M/Q)].

g∈Gal(M/Q)

Par convention solQ = 1. Ces éléments doivent être considérés comme lesanalogues totalement réels des éléments de Stickelberger ξn du §3.2.2. En
effet le théorème de Solomon ([Sol92], theorem 2.1) montre que ces éléments
sont construit sur les valuations p-adiques des "sommes de Gauß" totalementréelles κ(F, c) = ΘC (ε∞ (P)). Et l’analogue totalement réel du théorème de
Stickelberger est la conjecture de Solomon :Conjecture 5.11 (voir [Sol92], conjecture 4.1) solF annule ClF ⊗ O.
Cette conjecture est vraie dans le cas "semi-simple" (i.e. p - [F : Q]), maisn’apporte rien de nouveau puisque dans ce cas c’est une conséquence directede la Conjecture Principale (théorème 3.19) comme expliqué dans les commentaires suivant 4.1 de [Sol92]. Pour le cas général introduisons un élément
de Solomon modifié :Définition 5.12 ([BN05] definition 5.2) Soit F un corps abélien totalement réel dans lequel p est non ramifié. Soit w | p la place de F correspondant
au plongement ı. Par abus de notation on note encore w pour la place correspondante de tout sous-corps M de F .
F

f un quelconque élément de OFw [Gal(F/Q)] qui
1. Soit M ⊂ F . Soit sol
Mredonne solM ∈ OMw [Gal(M/Q)] ⊂ OFw [Gal(M/Q)] par restriction.
On définit solFM par la formule (la multiplication est celle de l’anneau
commutatif OFw [Gal(F/Q)]) :f F × TrF/M .
solFM := solM
fF .
Ce produit ne dépend plus du choix du relevé sol
M
2. Pour tout corps abélien réel M tel que cond(M ) est puissance d’unseul nombre premier, on fixe un générateur gM du groupe cyclique5.2. UNITÉS CIRCULAIRES MODIFIÉES.

43

Gal(M/Q). Pour tout sous-corps M de F on définit :
si cond(M ) est puissance d’un seul
 (1 − gM ) solFM
F
nombre premier,solM,2 :=solFMsinon.
Avec cet élément de Solomon modifié (i.e. augmenté par 1 − gF lorsque leconducteur de F est puissance d’un seul nombre premier) on démontre dans
[BN05], pour le cas particulier crucial p totalement décomposé dans F , lethéorème :Théorème 5.13 ([BN05] theorem 5.4) Pour tout corps abélien F totalement réel et tout p totalement décomposé dans F :solFF,2 XF = {0}.
Ce théorème se démontre directement en utilisant la technique maintenantclassique des systèmes d’Euler [Rub87] et cette démonstration peut se faire
directement avec la définition de κ(F, c) et sans la construction naturelle du§5.2.1. Si le conducteur de F est divisible par deux nombres premiers distincts
ceci est la conjecture de Solomon, parce que par définition même dans ce cas
ClF ⊗O = XF et solFF,2 = solF . Lorsque le conducteur de F est puissance d’unseul nombre premier ` ce théorème est légèrement plus faible que la conjecture
5.11. Par contre c’est l’analogue exact d’un théorème d’annulation pour lesclasses d’unités que j’énonce dans la sous-section suivante.

5.2.3

Idéaux de Fitting de classes d’unités.

Dans cette sous-section on suppose à nouveau p totalement décomposé
dans F . Les éléments définis explicitement dans la définition 5.12 permettent
de définir des idéaux de Zp [G].
Définition 5.14 ([BN05] definition 5.5) On définit les idéaux Sol2 (F ) ⊂Sol1 (F ) dans Zp [G] par les systèmes de générateurs suivants :­®
Sol1 (F ) := solFM |Q ⊆ M ⊆ F­®
Sol2 (F ) := solFM,2 |Q ⊆ M ⊆ F .
Ces idéaux sont les idéaux de Fitting de deux quotients de (U∞ )Γ .
Théorème 5.15 ([BN05] theorem 5.7) On suppose F abélien totalementréel et p totalement décomposé dans F .

44

CHAPITRE 5. CLASSES D’IDÉAUX ET CLASSES D’UNITÉS.
1. On a un isomorphisme(U∞ /C ∞ )Γ ∼=Zp [G].
Sol1 (F )En particulier Sol1 (F ) est le Fitting initial de (U∞ /C ∞ )Γ .
2. Sol2 (F ) annule U F /C F .
Dans le théorème 5.7 on réalise aussi Sol2 (F ) comme le Fitting initial d’unquotient de (U∞ )Γ . Ce quotient contient comme sous-module U F /C F , ce qui
montre le 2. J’ai préféré, dans ce mémoire, simplifier les énoncés (quitte àaffaiblir les résultats).
Question : Sol1 (F ) annule-t-il U F /C F ?
Corollaire 5.16 ([BN05] corollary 5.8) On note κF := #TorZp ((C ∞ )Γ )et RFLeop le régulateur de Leopoldt de F .
(Zp [G] : Sol1 (F )) = κF #TorZp XF ∼ κF hF RFLeop p1−[F :Q]
Cette formule donne un analogue totalement réel de la formule d’indice
de l’idéal de Stickelberger (voir la première partie de l’article [Sin80] par
exemple). Ici la constante κF , qui est triviale sous l’hypothèse (gHB), joue lerôle de la constante de Sinnott.

5.2.4

Un critère pour la conjecture de Greenberg.

La conjecture de Greenberg dont il a été question en §3.3.4 a été vérifiée
par des calculs numériques pour énormément de corps abéliens. Parmi ces
corps les cas de décomposition de p étaient soigneusement évités et considérés comme très difficiles (jusqu’aux résultats de Taya [Ta99]). Cette difficulté
supplémentaire est probablement liée au phénomène des "zéros triviaux" quenous venons de contourner. Toujours est-il que l’approche explicite et canonique développée au paragraphe 5.2.1 permet de retrouver plus simplement
le critère de Taya pour la conjecture de Greenberg dans le cas p totalement
décomposé (voir [Ta99], theorem 1.3 ; Taya utilise seulement la conjecture de
Leopoldt) :Théorème 5.17 Soit F un corps abélien totalement réel et soit p un nombre
premier impair totalement décomposé dans F . On note Dn ⊂ Xn le sousmodule engendré par les images des places de Fn divisant p. Alors la conjecture de Greenberg pour F et p est vraie si et seulement si#Dn = #torZp (XF )pour tout n assez grand.

5.3. CO-DESCENTE POUR LES CLASSES D’UNITÉS.

5.3

45

Co-descente pour les classes d’unités.

Les suites de groupe de classes d’idéaux Xn et Xn sont depuis le début, età bon escient, au cœur de la théorie d’Iwasawa. La co-descente pour Xn est
tautologique ce qui, en soi, avec la proximité entre Xn et Xn , justifie l’intérêt
porté à ce module. Le fait que Xn co-descende (asymptotiquement) bien suitdu théorème d’Iwasawa (théorème 3.6). Par contre les suites des groupes declasses d’unités U n /C n et Un /C n ont (à mon avis à tort) moins souvent étéétudiées pour elles-même. Dans l’article [Bel05] je borne uniformément avecn et sans utiliser la Conjecture Principale, l’ordre des noyaux et co-noyaux
des applications naturelles(U∞ /C ∞ )Γn −→ Un /C net
(U ∞ /C ∞ )Γn −→ U n /C n .
J’en déduis l’analogue pour les classes d’unités du théorème d’Iwasawa pourles classes d’idéaux. Le même résultat est démontré dans l’article [Ngu05] en
utilisant la Conjecture Principale. Ultérieurement, et toujours en utilisant laConjecture Principale, Lescop Movahhedi et Nguyen Quang Do ont dévissé
ces noyaux et co-noyaux dans le corps de [LMN].

5.3.1

Conséquence de la conjecture de Leopoldt.

Comme dans tout ce mémoire, F désigne un corps abélien réel, p 6= 2 lenombre premier fixé et G = Gal(F/Q). Soit M∞ = lim(Mn ) un Λ-module←(Par exemple Mn = U n , C n , Un . . . ). Bien sur les projections M∞ −→ Mn
se factorisent à travers (M∞ )Γn −→ Mn , mais en général ces morphismes
ont des noyaux et co-noyaux non triviaux. On va noter Kern (M∞ ) pour lefn ⊂ Mn pour l’image M
fn =noyau Kern (M∞ ) = ker((M∞ )Γn −→ Mn ), M
fn pour le co-noyau. Bien sûrIm((M∞ )Γn −→ Mn ) et Cokern (M∞ ) = Mn /M
ces trois objets dépendent de la suite (Mn ) et pas seulement de sa limite M∞
mais j’étudie uniquement des suites provenant de l’arithmétique des Fn et
ces notations n’introduisent aucune ambiguïté. Avant d’étudier des propriétés
plus précises des noyaux Kern et co-noyaux Cokern de co-descentes des classes
d’unités j’établis leur finitude en utilisant la conjecture de Leopoldt et lethéorème de Tsuji (voir la proposition-définition 3.16 et le théorème 3.17)
qui sont en amont de la Conjecture Principale.
Théorème 5.18 ([Bel05] theorem 1.1) On fixe un générateur γ du groupe de Galois Γ = Gal(F∞ /F ). On rappelle que la notation gθ,γ (T ) désigne

46

CHAPITRE 5. CLASSES D’IDÉAUX ET CLASSES D’UNITÉS.

la série d’Iwasawa-Coleman-Tsuji associée au caractère de première espèce θ(voir la proposition-définition 3.16).
1. On suppose que p est au plus modérément ramifié dans F . Alors à une
puissance de pY
près l’idéal caractéristique de U∞ /C ∞ est engendré parle produit :gθ,γ (T ).
b =1θ∈G,θ6

2. En toute généralité et pour tout n ∈ N, les Γn -co-invariants (U∞ /C ∞ )Γnet (U ∞ /C ∞ )Γn sont finis.
Ce théorème fait partie du folklore depuis bien longtemps (Iwasawa et Coleman avaient traité le cas F = Q(p)+ ). Je ne connais pas de référence contenant une démonstration complète et générale de ces affirmations et j’ai donné
une démonstration p.3 et 4 de [Bel05]. La version de [Bel05], malheureusement déjà soumise, comporte deux erreurs mineures qui sont corrigées dansles versions jointes et seront corrigées dans l’article définitif avant sa publication. Je précise ces erreurs et leurs corrections :– L’hypothèse "B∞ ∩ F = Q" dans 1. doit être remplacée par "p modéb soientrément ramifié dans F ", de sorte que tous les caractères de G
de première espèce (c’est la seconde hypothèse, plus restrictive, qui est
utilisée dans [Tsu99]). Cela ne change rien à la démonstration de 1. et
2.
– Ligne -14 p.3 l’affirmation "T divides no generator of the two characteristic ideals" doit être remplacée par "both characteristic ideals arenprime to all (T +1)p −1 for all n ∈ N". La conjecture de Leopoldt dansla formulation "Lp (1, χ) 6= 1" donne aussi cette seconde condition pourla série gθ,γ (T ). En effet pour θ fixé soit ζ une racine de l’unité d’ordre
une puissance de p, reprenons le choix de γ du corollaire 3.18 et soit
ψ l’unique caractère de seconde espèce tel que ψ(γ) = ζ −1 . Alors on agθ,γ (ζ − 1) = f (ζ −1 (1 + dp) − 1, θ) = Lp (1, θψ) 6= 0, et donc gθ,γ est premier avec le polynôme minimal de ζ − 1. Le reste de la démonstrationde 5.18 donnée dans [Bel05] ne change pas.
Après avoir démontré que (U∞ /C ∞ )Γn et (U ∞ /C ∞ )Γn sont finis (et donc
aussi les deux Kern concernés) je passe en revue les propriétés de descente desmodules multiplicatifs locaux et semi-locaux habituels dans le §2 de [Bel05].
Ensuite je reviens aux classes d’unités.

5.3.2

Noyaux et co-noyaux de descente.

Je démontre que la descente fonctionne bien (asymptotiquement) pour(0)
les modules M∞ = U ∞ /C ∞ ou (ce qui est équivalent pour M∞ = U∞ /C ∞

5.3. CO-DESCENTE POUR LES CLASSES D’UNITÉS.

47(voir les explications et la notation ci-dessous pour le symbole (0) ). Cela signifie que pour chacun de ces deux cas Kern (M∞ ) et Cokern (M∞ ) sont finis
et d’ordre bornés avec n. Ma stratégie est la suivante. D’abord je démontre
que borner les noyaux (resp. les co-noyaux) d’un module est équivalent àborner les noyaux (resp. les co-noyaux) de l’autre. Puis j’utilise la trivialité0
des Kern (U ∞ ) (théorème de Kuz0 min [Kuz72], theorem 7.3) pour borner les
Kern (U ∞ /C ∞ ). Enfin j’utilise la théorie du corps de classes local pour borner(0)
les co-noyaux de descente pour U∞ /C ∞ . Avant tout cela je modifie légèrement la suite Un /C n . En effet, pour tout n, le module Un /C n est (par la
conjecture de Leopoldt) de Zp -rang 1 alors que (U∞ /C ∞ )Γn est de torsion.
Ce rang 1 vient NKn /Q (U n ) = {0}, ou encore du point de vue de la théorie
du corps de classes il correspond au rang de la Zp -extension F∞ /F . On pose
la(0)
Notation : Soit K un corps de nombres. Dans tout ce qui suit UF
désignera le noyau de
NK/Q : UK −→ UQ .
(0)

(0)

(0)

De façon cohérente on notera Un pour le noyau de NFn /Q et U∞ = lim Un .
←(0)
Par la théorie du corps de classes local on a Uen ⊂ Un et en particulier(0)(0)
U∞ = lim(Un ). De plus Un /C n est de torsion et puisque NFn /Q (Un ) est sans
←

(0)

(0)

torsion on a Un /C n = TorZp (Un /C n ), et de même Un /U n = TorZp (Un /U n ).
Pour toute ces raisons il est clairement plus agréable de travailler avec la(0)
suite (Un )n∈N en lieu et place de (Un )n∈N , et c’est ce que je fais à partir
(0)
(0)
(0)
de maintenant. Cela définit les notations Uen , kern (U∞ ), Cokern (U∞ ) et de(0)(0)
même pour les suites Un /C n , Un /U n etc. . . Bien entendu seuls les différents(0)
Cokern changent vraiment lorsqu’on remplace Un par Un .
Lemme 5.19 ([Bel05] lemma 3.3)(0)

1. Kern (U ∞ /C ∞ ) et Kern (U∞ /C ∞ ) sont finis. Leurs ordres sont bornés(uniformément en n) simultanément ou pas.
(0)2. Cokern (U ∞ /C ∞ ) et Cokern (U∞ /C ∞ ) sont finis. Leurs ordres sont bornés (uniformément en n) simultanément ou pas.
Lemme 5.20 ([Bel05] lemma 4.1)
1. Les ordres de Kern (U ∞ /C ∞ ) sont bornés (uniformément en n).
(0)

2. Les ordres de Kern (U∞ /C ∞ ) sont bornés (uniformément en n).
Le 1 du lemme 5.20 se reformule en :48

CHAPITRE 5. CLASSES D’IDÉAUX ET CLASSES D’UNITÉS.

Corollaire 5.21 ([Bel05] corollary 4.2) ∃c, N ∈ N tel que pour tout n ≥N on ait les inégalités |(U ∞ /C ∞ )Γn | ≤ c|U n /C n |.
En comparant avec l’ordre asymptotique de U n /C n donné par la formule
d’indice de Sinnott et le théorème d’Iwasawa j’obtiens (avec une preuve plus
courte) le théorème de Greither :Théorème 5.22 ([Bel05] theorem 4.5) L’invariant structurel µ du module U ∞ /C ∞ est nul.
Ce théorème est aussi démontré par Greither dans l’appendice de l’article[FG04]. La démonstration par Greither est différente parce qu’il n’utilise pasla conjecture de Leopoldt et doit donc affronter des |(U ∞ /C ∞ )Γn | éventuellement infinis. Pour contourner cette difficulté Greither doit introduire la
notion de suite "modérée" (grosso modo cela signifie que ces suites donnent
à la limite des modules sans invariant µ).
L’ultime étape dans la codescente est le lemme :Lemme 5.23 ([Bel05] lemma 5.1)
1. Les ordres | Cokern (U ∞ /C ∞ )| sont bornés (uniformément avec n).
(0)

2. Les ordres | Cokern (U∞ /C ∞ )| sont bornés (uniformément avec n).

5.3.3

Le théorème d’Iwasawa pour les classes d’unités.

En réunissant les lemmes 5.23 et 5.20 on obtient le théorème
Théorème 5.24 ([Bel05] theorem 6.1)
1. Soient λ1 et µ1 les invariants d’Iwasawa des modules U ∞ /C ∞ . Alorsµ1 = 0 et les ordres des U n /C n sont asymptotiquement équivalents à
pλ1 n .
2. Soient λ2 et µ2 les invariants d’Iwasawa des modules U∞ /C ∞ . Alors(0)µ2 = 0 et les ordres des Un /C n sont asymptotiquement équivalents à
pλ2 n .
Ce théorème est l’exact analogue pour les classes d’unités du théorème d’Iwasawa pour les classes d’idéaux. Par la formule d’indice de Sinnott on sait que
ces deux groupes de classes ont des ordres asymptotiquement équivalents etpar la Conjecture Principale (dans la formulation du théorème 3.19) on sait
aussi que ces modules ont même invariants λ et µ. Le théorème 5.24 est
donc une conséquence directe de la Conjecture Principale. Cependant cetteobjection se retourne. En effet par la formule d’indice de Sinnott les ordres
des Xn et de U n /C n sont asymptotiquement équivalents. Donc en utilisant lethéorème d’Iwasawa et le théorème 5.24 on obtient sans utiliser la Conjecture
Principale le corollaire :5.3. CO-DESCENTE POUR LES CLASSES D’UNITÉS.

49

Corollaire 5.25 ([Bel05] corollary 6.2)
1. Les Λ-modules U ∞ /C ∞ et X∞ ont mêmes invariants λ et µ.
(0)

2. Les Λ-modules U∞ /C ∞ et X∞ ont mêmes invariants λ et µ.
Dans la démonstration par le système d’Euler cyclotomique de la Conjecture Principale on procède ainsi. On commence par utiliser la machinerie dessystème d’Euler pour "majorer le groupe des classes" et on démontre quecar(X∞ )(θ) divise car(U ∞ /C ∞ )(θ) (pour tout θ de première espèce) commec’est fait en toute généralité dans [Gre92]. Il faut ensuite se raccrocher aux
formules analytiques du nombre de classes pour avoir la divisibilité réciproque. À ce stade de la démonstration le corollaire 5.25 suffit et donne unedémonstration directe (entièrement en partie +) de la Conjecture Principale.
Pour comparaison voici le plan de la fin de la démonstration classiquetelle que ébauchée dans le début de §3 de [Gre92]. Il faut d’abord utiliser
la dualité de Kummer pour parvenir aux formulations concernant la partiemoins du groupe des classes (voir §3.3.4). Ensuite on utilise le théorèmed’Iwasawa pour montrer l’équivalence asymptotique entre les ordres de la−suite des co-descendus de X∞
et des Xn− . Enfin les ordres de Xn− sont donnésen termes du degré de Weierstraß du produit des séries f (T, θ) grâce à laformule analytique du nombre de classes (partie −).

50

CHAPITRE 5. CLASSES D’IDÉAUX ET CLASSES D’UNITÉS.

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