Internet 版 2022/6/2

第 10 章伝送線路

⻑い線路に信号を通すと、線路を伝わる信号は⼀定の速度で、伝搬し、減衰し、終端部分では反射や定在波が発⽣する。あたかも電気信号である電圧信号、電流信号は波動の伝送のような振る舞いをする。ここでは、伝送線路を伝送線路⽅程式に基づき、伝送線路の伝送定数、特性インピーダンス、反射⽐について理解を試みる。

１． 伝送線路と伝送線路方程式

パシタンス C[F/m]が付帯している。これらが一様に分布していることから分布定電気信号を比較的長い距離を伝送する

数回路とも呼ばれる。

線路を考える。伝送線路には、図１に示す
平行線路、同軸線路の 2 種類がある。
平行線路

IRI

L
C G

同軸線路

I

等価回路

I

図 1 平行線路と同軸線路

低周波の電力線路ではコストの安い平図 2 伝送線路には単位長さ当たり、R と L が行線路が使われ、高周波や微弱な信号伝直列に挿入されており、また C と G（アドミッ

送には同軸線路が使われる。同軸線路のタンス）が線路間につながっていると考える。

場合、磁力線と電界が中心線と被覆線（外G は抵抗と同じ記号を使っているが、G の数値径線）との間に集中し、電磁波を外部に出は抵抗の値の逆数で標記する。

さず、低損失な信号伝送が可能になる。
伝送線路は、電磁気学的な考えから、単ここで左から交流信号を与え、右方向位長さ当たり一定のインダクタンスに信号が伝わるとする。交流信号の角周L[H/m]と抵抗 R[Ω/m]が直列に乗ってい波数をωとし、単位長さ（Δx）を 1ｍとる。また往路と復路の電線間で、漏れ電流する。単位長さを進んだ時の電圧の低下のもとになる単位長さ当たりのアドミッ

分－ΔV は次のように表される。

タンス（コンダクタンス）G[S/m]と、キャ88

Internet 版 2022/6/2∆VRjωL Δx ∙ Iと求められる。電流 I に対する電圧 V の(1)比が特性インピーダンス Z となり、次の同様に電流の低下分を－ΔI とすると
∆I

GjωC Δx ∙ Vように表すことができる。

(2)

𝑍となる。これらを微分方程式にするとつ

なお、無損失線路である R と G がともにぎのようになる。

ゼロとなる場合

𝑅𝑗𝜔𝐿 𝐼(3)𝐺𝑗𝜔𝐶 𝑉(4)𝑍

ここで進行波V 𝑒の項に時間成分がないが、時間項を考え

𝑅𝑗𝜔𝐿 𝐺𝑗𝜔𝐶 𝑉 (5)𝑅𝑗𝜔𝐿 𝐺𝑗𝜔𝐶 𝐼 (6)る場合は𝑒𝛽𝑥ここで𝛼𝑗𝛽V 𝑒(8）

れ電流が小さいときに、√(14)ほぼ光速に近いと思っていただきたい。
伝送線路を電気信号は光速に近い速さで電流 I は(3)式より、伝搬するということである。また、線路をV 𝑒

伝搬する波の波長λは、
𝜆𝑗𝜔𝐶
V𝑒𝑗𝜔𝐿

(13)となる。
L と C は線路の形状にもよるが、れぞれ進行波と反射波の振幅になる。

𝐺𝑅一定として、時間微分すると𝑣≅数部のβは位相定数になる。V とV はそV𝑒は波の式の項である。

わち、伝送線路の線路抵抗が十分低く、漏反射波

𝑗𝛽 の実数部αは信号の減衰定数、虚I(12)が、𝑅 ≪ 𝜔𝐿, 𝐺 ≪ 𝜔𝐶の関係がある、すな(5)式の一般解は、次のように表される。

𝛼𝜔𝑡𝑒となる。これを計算するのは大変である

(7)

とおくと、

進行波

V𝑒

（伝搬速度）𝑣

送線路方程式と呼ぶ。

V𝑒𝑒

ここで、𝑒は波動方程式と呼ばれるが、ここでは伝Vをかければよい。

V𝑒

これは二階微分方程式で物理の世界で𝑗𝜔𝐶について、波の伝搬速度を求めてみよう。この進行波と、次の式が得られる。

𝑗𝜔𝐿 𝐺(11)となる。

(3)式および(4)式の両辺を x で微分する

𝑅(10)

V 𝑒

(15)となる。
先ほどらい用いてきたαおよびβにつV𝑒V 𝑒(9）いて解説する。
89Internet 版 2022/6/2

容量 C を計算する。１ｍあたり、内線にαは減衰係数で、はλ[C]、外線には－λ[C]の電荷が帯電し

α12𝑅

𝜔 𝐿𝐺

𝜔 𝐶

𝜔 𝐿𝐶ていたとする。中心からの外径方向の距

𝑅𝐺

離を r とし、a < r < b 間の外径方向の電(16)界強度 E はガウスの式より

βは位相定数で、
β12𝑅

𝜔 𝐿𝐺

𝜔 𝐶

𝜔 𝐿𝐶

𝑅𝐺(17)

2𝜋𝑟𝐸(18)

𝐸(19)と求められる。内線と外線の電位差は、となる。なお、無損失線路である R と G𝑉がともにゼロとなる場合

𝑑𝑟𝑙𝑜𝑔(20)[F/m]α0となる。単位長さ当たりの容量 Cβω√𝐿𝐶はとなる。

𝐶２．同軸線路の特性インピーダンスと伝搬速度(21)＝と求められる。
次に単位長さ当たりのインダクタンスL [H/m]を求める。これは内線に電流 I がここで、エレクトロニクスの世界で広流れて、外線で電流 I が戻ると考え、内線く使われる同軸線路の特性インピーダンと外線間の鎖交磁束φをもとめる。アンスを求めてみよう。ここは簡単な電磁気

ペールの法則より、a < r < b での計算になる。同軸線路の長さは無限に2𝜋𝑟𝐵続いている仮定で、単位長さ 1 m 分の現(22)𝜇 𝐼となる。鎖交磁束𝛷は、象を考える。内径と外径との間には、比誘真空の誘電率をε0、真空の透磁率をμ0 と

𝐵 𝑑𝑟𝛷

電率εs の誘電体が詰まっているとする。

(23)

𝑙𝑜𝑔となる。Φ＝LI の関係より、する。

𝐿
内径 a(24)𝑙𝑜𝑔となった。
外径 b

特性インピーダンス Z であるが𝑍∙ 𝑙𝑜𝑔(25)と求められた。さて具体的な数値をいれ

図 3 同軸線路の寸法て計算してみよう。
まず、長さ当たりの内径と外径間の電気90は計算するとおInternet 版 2022/6/2

よそ 60 である。したがって、𝑙𝑜𝑔𝑍(26)とすれば、簡単に電卓で計算できる。なお
図 3 長さ l の伝送線路の従属行列を考える。

𝑙𝑜𝑔 は自然対数の計算である。
比誘電率εs は樹脂であるとするなら、従属行列は２くらいであろう。外径を 3ｍｍ、内径を𝑉𝐼１mm とするなら Z は 46.6Ωと求められ

𝐵 𝑉
𝐷 𝐼𝐴𝐶る。だいたい同軸線路では、50 Ωに近いで表される。線路を従属行列で表すこと値となる。オシロスコープなどの高周波で、異なる線路を継続させたときの信号測定器の入力インピーダンスが 50Ωのモ伝達や、送信側のインピーダンスの計算ードをもっているのも、同軸ケーブルとが容易になる。(８)式に x=0 を代入して、Vインピーダンスマッチングをさせるためである。インピ―ダンスマッチングは後IΩ近い値になることも知識として覚えておいて損はないだろう。
り、となる。

(27)

VV

(29)

VV

𝑍I

(30)

VV

𝑍I

(31)となる。距離 L だけ後退した点、つまりは真空中の電磁波の伝搬速

送信点では、(８),(9)式より、度、つまり光速(c=3×108 m/s)である。つまり、光速の(28)となる。つまり、同軸線路の伝搬速度であるが、(14)式よ√Vとなる。また電流𝐼 は、節でも説明する。なお平行線路では 300𝑣≅

VV

倍の速度で同時線路中を1
V
2

𝑍I 𝑒1V2

信号は伝搬する。
V

３． 伝送線路と継続行列表示
ここで長さが L [m]の電線の従属行列

I 𝑍を考える。

V 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼

𝑍I 𝑒𝑒𝑒2𝑒𝑒2𝑗𝛽 𝐿

I 𝑍𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼𝑗𝛽 𝐿
(32)

91

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1V𝑒𝑍IV 𝑒𝑍

伝送線路が送信元から無限遠に延びてV 𝑒

いるときに、送信側からみた伝送線路のインピーダンスは伝送線路の特性インピ𝑒
2ーダンス Z に等しく、反射がない状態にIV𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼𝑍𝑗𝛽 𝐿𝑒なる。

𝑒2

I 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼(２)𝑗𝛽 𝐿

終端に線路の特性インピーダンスに等しい負荷抵抗 Z をつけた場合(33)
IOとなる。ここでは、cosh および sinh は、双極関数と呼ばれ、次のように定義され特性インピーダンス Z VOViる。
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥(34)𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥(35)

この場合、線路の特性インピーダンスを Zとして、線路の長さを L とする。すると、従属行列は、𝐴𝐶𝐵𝐷(37)𝑍

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿
1𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿
𝑍

𝑍𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼𝑗𝛽 𝐿𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼𝑗𝛽 𝐿

Zとすることができる。この関係を(30)、(31)式にいれると、(36)となる。
なおこの従属行列は無損失線路の場合、αがゼロとなり、

VV

𝑍I

V

(38)

VV

𝑍I

0

(39)となり、進行波だけとなり、反射波はゼロ
𝐴𝐶𝐵
𝐷

𝑐𝑜𝑠𝛽𝐿
𝑠𝑖𝑛𝛽𝐿𝑗𝑍となる。これは整合状態であり、インピー

𝑗𝑍𝑠𝑖𝑛𝛽𝐿ダンスのマッチングが取れているとも表

𝑐𝑜𝑠𝛽𝐿現される。となる。
(３)終端を開放させた場合

４．信号波の反射

この場合、(30)式は、V(1) 無限遠線路の扱い
送信側

𝑍I 𝑒

VV

無限延

この場合はI92

𝑍I 𝑒0となるので、(40)Internet 版 2022/6/2

VV 𝑒V 𝑒５．無損失伝送線路(41)

伝送線路に信号を入力して、終端までとなり、進行波と反射波が等しくなる。
𝑥送るときに、負荷と線路のインピーダン𝐿の位置において、上式の第１項はス整合を取ることが重要であるが、その進行波であり、第２項は反射波である。こ

上で理想として線路抵抗の R と漏れ電流の状態では送り出した進行波は同一の振に相当するコンダクタンス G を両方とも幅で反射して帰ってくる全反射になるこ0 にする必要がある。このような場合、αとを意味する。

＝0、β=𝜔√𝐿𝐶となり、特性インピーダン
ス Z は 𝐿⁄𝐶 となり、これを無損失線路と(4)負荷 ZL をつけた場合呼ぶ。

この場合、次の式が成り立つ。

R と G が有限値として、損失が最小に(42)𝑍なるようにしたいとする。この場合は、αを最小にする。式(１５)よりαの二乗を最

この場合、(30)式は、
1V2V小にするとして、

𝑍I 𝑒
1V2𝑍I 𝑒V 𝑒

11𝛼𝑅𝜔 𝐿𝐶𝑅𝐺𝜔 𝐿𝜔 𝐶(46)から、この式の L の微分を 0 とする。
𝑍/𝑍 V 𝑒√(43)となる。この式において、第一項は𝑥√𝐿∙𝜔 𝐿を表している。ここでは反射比Γを反射波の振幅進行波の振幅

0 (47)(48)(44)のときである。この条件のときに伝送線路の特性インピータンスはと定義すると、

𝛤𝜔 𝐶

この式がゼロとなるのは、の位置における進行波、第二項は反射波

𝛤𝐺(45）𝑍となる。つまり Z＝ZL のときがインピー(49)で、実数になる。このとき、ダンスマッチングの状態であり、無反射𝛼状態が実現できることになる。

√𝑅𝐺となる。

93(49)

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例題

Zi は線路の特性インピーダンスと一致す

長さ L の伝送線路の終端に負荷抵抗 ZLる。

が取り付けられている。線路の特性インピーダンスを Z0 とし、減衰定数をα、位

例題 2

相定数をβとする。送信側から線路を見次のような二継続線路があったとする。左たときの、インピーダンスを求めよ。

から線路の特性インピーダンスは 200 Ω、100 Ωである。右側の終端に負荷 50 ΩがつLIiIO

えたときに、負荷に加わる交流信号の振幅をZL

特性インピーダンス Z0 VOVi

ながれたとする。左から 1 V の交流信号を加求めよ。第一線路の長さ、第二線路の長さはそれぞれ、信号波長λ、λ/4 に等しいとする。

（解法）
𝑉
𝐼𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿
1𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿
𝑍𝑍 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼𝑗𝛽 𝐿𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼𝑗𝛽 𝐿

𝑉
𝐼

（解法）
第一線路と第二線路の、従属行列を求める。

より、
𝑉𝑉 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼𝑗𝛽 𝐿

𝐼 𝑍 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼𝑗𝛽 𝐿𝐼

𝑉𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼𝑍𝑗𝛽 𝐿

𝐼 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼𝑗𝛽 𝐿

第一線路では、
𝑐𝑜𝑠 𝛽𝜆1𝑠𝑖𝑛 𝛽𝜆𝑗200となる。線路の入力インピーダンス Zi は𝑍𝑉𝐼𝑍𝑐𝑜𝑠 𝛽𝜆𝑐𝑜𝑠 𝑗2𝜋1
𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑗200𝑉 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿 𝐼 𝑍 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿𝑉𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿 𝐼 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿𝑍𝑉 /𝐼 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿 𝑍 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿𝑉 /𝐼𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿𝑍となる。

𝑗200𝑠𝑖𝑛 𝛽𝜆𝑗200𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑐𝑜𝑠 𝑗2𝜋

1 00 1

第二線路では𝑐𝑜𝑠 𝑗𝛽𝜆/4
𝑠𝑖𝑛 𝛽𝜆/4

𝑗＝𝑍 より0𝑗Z 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿 𝑍 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿Z𝑠𝑖𝑛ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛼 𝑗𝛽 𝐿𝑍𝑗1000𝑗100𝑠𝑖𝑛 𝛽𝜆/4
𝑐𝑜𝑠 𝛽𝜆/4したがって、

0𝑗1000𝑗1001 0110 1 𝑗0𝑗0100100となる。入力電圧を Vi、入力電流を Ii とすと求められる。負荷側でインピーダンス整合している ZL=Z0 のとき、入力インピーダンスると、

94

Internet 版 2022/6/2𝑉𝐼𝑗𝑉01𝑗100100𝑉𝐼01𝑗100𝐼1𝑗100𝐼したがって、求める負荷の電圧 VL は、
𝑉𝑗0.5となり、振幅としては 0.5 V になる。

95