数理解析研究所講究録
第 741 巻 1991 年 1-14

Various Strategies of Multicriteria
Two-Person Games
Tamaki TANAKA*(Faculty of Science, Hirosaki University)

田中
環(弘前大学 理学部 情報科学科)

1

Introduction

一般にはゲームの Payoff が実数値であるとは限らず、相対的価値が確定されないいくつかの報酬を表す数量を成分とするようなベクトル値の場合がある。 このような複数の比較のできない criteria を持 \supset ゲームを “games with vector payoffs” と力\‘‘multicriteria games”という。
このようなゲームについては 1956 年の [1] や 1959 年の [ において、早くから研究されてきたが、近年の vector optimization に影響さ杁 [ や [ に見られるように、再び議論されるようになった。また、ベクトル値関数のミニマックス定理や “鞍点 (saddle points)”の概念の]b についての研究も最近の [ $7|-[14|$ に見られるように盛んに研究されている。
このような研究の背景には、実数値 Payoff の場合に本来備わっているいくっかのゲームの性質がベクトル値 Payoff の場合にも成立しているかどうか、あるいはベクトル値ならではの新しい性質があるのかどうかが興味としてあったからである。 これまでの研究で、まだ未解決の点がたくさんあるが、今までの結果を中心に、本報告では、 (非協力)2 人零和
ゲームの立場から、実数値 Payoff を持つゲームを全順序型、ベクトル値 Payoff を持っゲー
ムを半順序型として取扱い、この 2 っの型における類似点、相違点を明らかにする、また、
新しい最適戦略 (optimal strategies) と新しい (錐) 鞍点の概念を導入する。
さて、そこで全順序型の (非協力)2 人零和ゲームについての主な性質をいくっかまとめておこう。 Payoff を $X\cross Y$ 上の実数値関数とし、
$4|$

$5|$

$6|$

$f$

最小化プレイヤー playerl は Payoff を最小にするように、戦略 $x\in X$ を選択する。
$f$’Department of Information Science, Faculty of Science, Hirosaki University, Bunkyo-cho
3, Hirosaki 036, Aomori JAPAN

2

最大化プレイヤー player2 は Payoff を最大にするように、戦略 $y\in Y$ を選択する。
$f$

このとき、一般に次のことが成立している。
(a) 常に、次の不等式が成り立っ :$\sup_{y\in Y^{x}}\inf_{\in X}f(x, y)\leq\inf_{x\in X}\sup_{y\in Y}f(x, y)$;(b) 各 player の均衡戦略と最適戦略は一致する;(c) Payoff$f$が鞍点 $(x_{0}, y_{0})\in X\cross Y$ を持っことと、次の等式が成立することは同値 :$\max_{y\in Y}\inf_{x},$$f(x, y)= \min_{x\in X}\sup_{y\in Y}f(x, y)$(d) Payoff が鞍点 $(x_{0}, y_{0})\in X\cross Y$ を持てば、適戦略でもある;$f$$x_{0\text{、}}y_{0}$;は各 player の均衡戦略であり、最(e) 異なる均衡点から各 player は同じ Payoff を受け取る;(f) Payoff の 2 っの鞍点 $(x_{1}, y_{1}))(x_{2}, y_{2})\in X\cross Y$ が存在したとき、
Payoff の鞍点となる。
$f$$(x_{1}, y_{2}),$ $(x_{2}, y_{1})$も$f$

これらの性質について、半順序型のゲームの場合、どうなっているのかを次に考えてみよう。

2

Multicriteria Two-Person Zero-Sum Games
半順序型の非協力 2 人零和ゲームとして、次のような都合の良い設定を与えることにする。
$X,$ $Y$

は (実 Hausdorff locally convex t.v.s. の) コンパクト凸集合: $X\cross Yarrow Z$ は連続なベクトル値 Payoff
ただし、 目的空間 Z も実 Hausdorff locally convex t.v.s. で原点の近傍の基として、 を持っ$f$$B_{Z}$

最小化プレイヤー playerl は Payoff
戦略 $x\in X$ を選沢する。
最大化プレイヤー player2 [ま Payoff
戦略 $y\in Y$ を選択する。

2$f$を最小にするように、$f$を最大にするように、

3

ここでの最大化、最小化とは、 Payoff の評価の基準として目的空間

$Z$

に半順序

$(\leq c)$

を定める

pointed $(C\cap(-C)=\{0\})$ な凸錐 (Convex Cone)
ただし、 int$C$$C\neq\emptyset$が与えられていて、 この順序構造について最適化をはかるものとする。 このような凸錐 Cを domination cone と呼ぶ。

cf. $Z=R^{n},$$C=R_{+}^{n}$の時はPareto optimization$z_{2}\in Z$ に対して、 $z_{2}-z_{1}\in C$ の時、と定め、ベクトルの最大化、すなわち、最小化を考える。 $Z$ の部分集合 のあるベクトル $z_{0}\in A$ が の C-extreme point であるとは、$z_{1}\leq cz_{2}$$\forall z_{1},$

$A$

$A$

$\{z\in A|z\leq cz_{0}, z\neq z_{0}\}=\emptyset$が成り立っ場合をいい、そのような の C-extreme points 全体を $Ext[A|C]$ と表す $(Ext[A|$の詳しい性質については、 $[15],[16],[17|$ などを見よ) 。ここでは、この集合のことを の最小元の集合と呼び、
$A$

$($

$A$

$MinA$ $:=Ext[A|C]$と書くことにする。従って、のように定義する。

$A$の最大元の集合や、弱最小元の集合、弱最大元の集合も次$MaxA:=Ext[A|-C]$${\rm Min}_{w}A:=Ext[A|C^{0}]$${\rm Max}_{w}A:=Ext[A|-C^{0}]$$:=intC\cup\{0\}$ とする。 この時また、 “\leq co’’ は ‘\mbox{\boldmath $\zeta$}\leq c’’ より弱い順序となる。 さ
ただし、て、このゲームにおける各 player の最適戦略というものを定義しておこう。 player2 の各戦
略 $y\in Y$ に対する playerl の (弱) 最適反応戦略の集合を$C^{0}$$R_{1}(y)$(resp.

$:=\arg Minf(X, y)=\{x\in X : f(x, y)\in Minf(X, y)\}$$R_{1}^{w}(y)$$:=\arg{\rm Min}_{w}f(X,$ $y)=\{x\in

X$ : $f(x,$ $y)\in{\rm Min}_{w}f(X,$ $y)\}$ )とし、 playerl の各戦略 $x\in X$ に対する player2 の (弱) 最適反応戦略の集合を$R_{2}(x)$(resp.

$:=\arg Maxf(x, Y)=\{y\in Y : f(x, y)\in Maxf(x, Y)\}$$R_{2}^{w}(x)$$:=\arg{\rm Max},,f(x,$ $Y)=\{y\in Y$: $f(x,$ $y)\in{\rm Max}_{w}f(x,$ $Y)\}$ )とする。 これらは各 player の自然な行動原理の表現と考えられる。従って、各 (弱) 最適
反応集合は$D_{1}^{(w)}$$:=\{(x, y)\in X\cross Y|x\in X,$ $y\in R_{2}^{(w)}(x)\}$3

4$D_{2}^{(w)}$$:=\{(x, y)\in X\cross Y|y\in Y,$ $x\in R_{1}^{(w)}(y)\}$となり、 また、$m_{ax}^{in}(x):=\{y\in Y|(x, y)\in\arg Minf(D_{1}^{(w)})\}$$m_{in}^{ax}(y):=\{x\in X|(x, y)\in\arg Maxf(D_{2}^{(w)})\}$となる $x\in X$ であり、 player2 のマノ ‘とおくと、 playerl のミニマックス戦略は
クスミニ戦略は Ranx(y)\neq \emptyset となる $y\in Y$ である。 しかし、 これらの戦略は最適戦略と考えられるだろうか。最適反応の意味では最適になっているが、 [18] で述べられているように、“後悔’ という状況が現れて、相手の戦略の選び方によっては最適であるとは判断しがたい。
しかしながら、. ここではこれらのミニマックス戦略及びマックスミニ戦略を最適戦略と呼ぶことにしよう。そして、各 player の最適戦略集合を$m_{ax}^{in}(x)\neq\emptyset$$M_{ax}^{in}$$M$$;=\{x\in X|m_{ax}^{in}(x)\neq\emptyset\}$盆:$=\{y\in Y|_{\mathfrak{R}^{a_{n^{X}}}}(y)\neq\emptyset\}$と表すことにする。また、以下では、弱最適反応集合
えば、実数値 Payoff の場合と比較すると、$D_{1}^{w}$と$D_{2}^{w}$を取り扱うことにする。例$\min_{x\in X}\max_{y\in Y}f(x, y) Minf(D_{1}^{w})$$(={\rm Min} \bigcup_{x\in X}{\rm Max}_{w}f(x, Y))$$\max_{y\in Y}\min_{x\in X}f(x, y) Maxf(D_{2}^{w})$$(={\rm Max} \bigcup_{y\in Y}{\rm Min}_{w}f(X, y))$を考えることになる。 このような最適戦略では、 Introduction で述べた全順序型のゲームの性質については、 もはやほとんど成立していないように思われる。 ただし、 いくっかの興味ある結果がある。まず、各 player の最適戦略の存在性にっいて次のことがわかる。今の場合、っまり戦略空間がコンパクトで、 Payoff が違続である時、$f$(I) 目的空間 が有限次元なら、各 player の最適戦略は存在する
Theorem 4.1 in [16]$Z$$\epsilon x\not\in 9)_{0}$$($が次のいずれか(II) 目的空間 が有限次元、無限次元に関わらず、 domination coneの条件を満たしているならば、各 player の最適戦略は存在する。ただし、条件 2 を満たす凸錐ならば条件 1 も満たす (Lemma 2.1 in [10] を見よ) 。また、 目的空間 $Z$ が有限次元ならば、条件 1 は成立する (Remark 2.1 in [19] を見よ)
$Z$

$C$

。

For every closed vector subspace of $Z$ ,$C\cap L$ is a vector subspace whenever $c1(C\cap L)$ is a vector subspace.
$L$

4

5

.

$(C\backslash \{0\})+c1C\subset C$(1)

また、両 player が最適戦略をとったとき、 “均衡’ という状況が起きるだろうか。例えば、$Minf(D_{1}^{w})\cap Maxf(D_{2}^{w})\neq\emptyset$

ならば

(2)

$f(x_{0}, y_{0})\in Minf(D_{1}^{w})\cap Maxf(D_{2}^{w})$をこのゲームの均衡点と考えても良い。 しかし、 -般に各となるような戦略の組
player の最適戦略
諮に対して上の条件 (2) が成り立っとは限らない。
そこで、次に鞍点との関係に注目してみる。実は、興味深い結果がいくつか成り立っている。まず、次の 3 っのベクトル値鞍点の定義をする。
$(x_{0}, y_{0})$$x^{*}\in M_{ax^{\text{、}}}^{in}y^{*}\in M$

DEFINITION 1. ( $SeeDefinition2.1$ in [14])(a) A point
point for short, if$(x_{0)}y_{0})$is said to be a C-saddle point of$f$with respect to $X\cross Y$ , a C-saddle$f(x_{0}, y_{0})\in Maxf(x_{0}, Y)\cap Minf(X, y_{0})$(b) A pointis said to be a weak C-saddle point of
weak C-saddle point for short, if$(x_{0}, y_{0})$

$f$

.

(3)

with respect to $X\cross Y$ , a$f(x_{0}, y_{0})\in{\rm Max}_{w}f(x_{0}, Y)\cap{\rm Min}_{w}f(X, y_{0})$.

(4)is said to be a proper C-saddle point of with respect to $X\cross Y$ , a(c) A pointis a -sadde point andproper C-saddle point for short, if the point$(x_{0}, y_{0})$

$f$

$C$

$(x_{0)}y_{0})$

$0$

$\in$

${\rm Max}$[c1K $(f(X,$ $y_{0})-C;f(x_{0},$$\cap{\rm Min}$$y_{0}))$[cl $K(f(x_{0},$ $Y)+C;f(x_{0},$]$y_{0}))$](5)of at awhere the set $K(A;z)$ denotes the contingent cone of tangents to a subset
vector (e.g., see [21, p.55]), i.e., a vector in belongs to $K(A;z)$ if and only if, for, there exist a scalar
and a vector $w\in v+U$ such that
any
and
$z\in
c1A$
$z+tw\in A$ (thusnecessarily).
For the convenience, we will denote the set of all C-saddle points (resp. weak C-saddle).
points, proper C-saddle points) by (resp.
$A$$U\in \mathcal{B}_{Z}$

$Z$

$v$

$z$

$\epsilon>0$$t\in(0, \epsilon)$$S$$S^{w},$$S^{p}$

この時、 このような鞍点をそれぞれ、(a) 錐鞍点(b) 弱錐鞍点5(c) 真の錐鞍点$Z$

6と呼ぶことにする。実際には、定義からすぐわかるように$S^{p}\subset S\subset S^{w}$

なる関係が成立していて、 $C^{0}=C$ ならば $S=S^{w}$ であることもわかる。 また、$S=D_{1}\cap D_{2}$,$S^{w}=D_{1}^{w}\cap D_{2}^{w}$ということもわかる。これは最適反応集合の共通部分が錐鞍点になっているということで、は先ほど (2) 式で考えたゲームの均衡点$(x_{0}, y_{0})$$f(x_{0}, y_{0})\in Minf(D_{1}^{w})\cap Maxf(D_{2}^{w})$を満たしているので、弱錐鞍点にもなっている。 これらの弱錐鞍点の特徴付けについては[14] を見よ。存在定理もいくっかあり、 Payoff にある種の凸性の条件が満たされていれば十分である。 しかし、 弱錐鞍点の場合だけはもっと一般に次のようになる。
$f$

THEOREM 1. (See Theorem 3.1 in [9]) Letandbe two nonempty compact convex
subsets of two locally convex Hausdorff topological vector spaces, respectively, and let thepayoff function : $X\cross Yarrow Z$ be continous. If the weak optimal response strategy setsare convex for every $y\in Y$ and $x\in X_{f}$ respectively, then the payoff
andhas at least one weak C-saddle point.
$X$

$Y$

$f$

$R_{1}^{w}(y)$$f$$R_{2}^{w}(x)$PROOF. Although this theorem is the same as Theorem 3.1 in [9], for the reader’s convenience we give here an outline of the proof. Since the cone
satisfies the condition (1)(条件 2), for every $y\in Y$ and $x\in X$ , the setsandare nonempty by Theorem
2.2 in [19]. Also, it is easily seen that the two sets are closed. Moreover, they are convex
sets by the assumption. Further, we can prove that the set-valued maps
andare u.s. , and then based on Browder’s coincidence theorem ([2,3]), there exists a point$(x_{0}, y_{0})\in X\cross Y$ such that$C^{0}$$R_{1}^{w}(y)$$R_{2}^{w}(x)$$R_{1}^{w}(\cdot)$$R_{2}^{w}(\cdot)$$c.$$x_{0}\in R_{1}^{w}(y_{0})$Therefore$(x_{0}, y_{0})\in D_{1}^{w}\cap D_{2}^{w}$$f(\cdot, y)$$f(x, \cdot)$(2)$f(\cdot, y)$$f(x, \cdot)$$y_{0}\in R_{2}^{w}(x_{0})$, and hence $(x_{0}, y_{0})\in S^{w}$ .

各 player の弱最適反応戦略の集合
条件には次のようなものがある。
(1)

and

$R_{1}^{w}(\cdot)$と$R_{2}^{w}(\cdot)$.

$\square$が凸であるための Payoff

is properly quasi C-convex for every $y\in Y$ andis properly quasi C-convcave for every $x\in X$ ;is properly quasi C-convex for every $y\in Y$ andis C-concave for every $x\in X$ ;6$f$に関する十分(3)$f(\cdot, y)$$f(x, \cdot)$(4)

is C-convex for every $y\in Y$ andis properly quasi C-convcave for every$x\in X,\cdot$is C-convex for every $y\in Y$ and$f(x, \cdot)$ is C-concave for every $x\in X$ .

$f(\cdot, y)$

さらに、全順序型のゲームの性質 (c) に関連して、次の結果がある。

THEOREM 2. (See Lemma 3.1’ in [10]) Letandbe two nonempty compact convex
subsets of two locally convex Hausdorff topological vector spaces, respectively. Assume thatthe payoff function : $X\cross Yarrow Z$ be continous and the pointed convex cone
satisfies$(x_{0},y_{0})\inS^{w}$
条件
point
.
the
has
weak
C-saddle(1), therepayoffconditionatheIfexist some vectors$z_{1}\in Minf(D_{1}^{w})$and $z_{2}\in Maxf(D_{2}^{w})$
$X$

$Y$

$C$

$f$

$($

$2)$

$f$

such that$z_{1}\leq cf(x_{0}, y_{0})$and$f(x_{0}, y_{0})\leq c^{z_{2}}$.

口を意味し、全順序型のゲームの性質 (c) の式に類似している。つまり、 (c)の式を性質 (a) により次のように考える。
これは$z_{1}\leq c^{z_{2}}$$\max_{y\in Y}\inf_{x\in X}f(x, y)\geq\min_{x\in X}\sup_{y\in Y}f(x, y)$.

しかし、全順序型のゲームの性質 (d) が成り立っとは限らない。ただし、ある( $=D_{1}^{w}\cap D$屋に対して、 (2) 式が満たされれば、$(x_{0}, y_{0})$$\in$$\Rightarrow$$\arg Minf(D_{1}^{w})$$m_{ax}^{in}(x_{0})\neq\emptyset$$\Rightarrow x_{0}\in M$$\Rightarrow x_{0}$$(x_{0}, y_{0})$$E$$(x_{0}, y_{0})\in S^{w}$

滋は player 1 の最適戦略 (ミニマックス戦略)$\arg Maxf(D_{2}^{w})$$\Rightarrow$$\mathfrak{R}_{n}^{ax}(y_{0})\neq\emptyset$$\Rightarrow$$y_{0}\in M$$\Rightarrow y_{0}$蓄

は player2 の最適戦略 (マックスミニ戦略)

は各 player の最適戦略であり、また均衡戦略ともなる。だが、このようとなって、な場合は特別であり、 ゲームが決着するとは限らない。 そこで、 次に新しい行動原理について考えてみる。
$x_{0\text{、}}y_{0}$783Optimal Security Strategies and Strong Saddle Points
いままで述べてきたように、目的空間 には domination cone によって半順序の構造が入っている。 しかし、必ずしも “交わり (meet)–greatest lower bound や “結び (ioin)
least upper bound が一意に存在するとは限らず、 目的空間 が “束 (lattice)” になるとは限らない。そこで、この順序による “交わりの集合’–the set of greatest lower bounds と“結びの集合’–the set of least upper bounds を次のように定義しよう。任意のベクトル$y\in Z$ に対して、$x\wedge y:={\rm Max}${ $z\in Z|z\leq cx$ and $z\leq cy$ }
$C$

$Z$

–

$Z$

$x,$

を

$x$

と

$y$

の交わりの集合 (the collection of meets) と呼び、
$x\vee y:={\rm Min}${ $z\in Z|x\leq cz$ and $y\leq cz$ }の結びの集合 (the collection of joins) と呼ぶ。特に、次の Lemma で示されるようの場合、 dornination cone $c$ がその次元数と同じ数の一次に、 目的空間 が有限次元
や $x\vee y$ は singleton となる o
独立なベクトルから生成される polyhedral cone ならば、
この時は、 目的空間である順序空間 $(Z, \leq c)$ は “束 (lattice)) となる。
を

$x$

と

$y$

$Z$

$(R^{n})$$x\wedge y$

LEMMA 1. Let $n:=\dim Z<\infty$ . If the domination coneby$n$linearly independent vectors, then both the sets

$a\wedge b$of joins of
PROOF. We only prove that the collectionin order to show the set $a\vee b$ to be nonempty, let$a\vee b$

is a polyhedral cone generated
and $a\vee b$ are singleton.
$C$

$a$

and is a singleton set. First,$b$$C(a, b)$ $:=(a+C)\cap(b+C)$ ,and note that$a\vee b=MinC(a, b)$ .

, there exist a vector $z_{0}\in C$ and a convex symmetric neighborhood
Since intof the origin such that$C\neq\emptyset$$z_{0}+U\subset C$$U\in \mathcal{B}_{Z}$.

Also, the neighborhood is an absorbing set, i.e., for any $z\in Z$ there exists $t>0$ such
. Thus, we havethat $z\in tU$ , and so there exists
such that$U$$t^{\sim}>0$

$a,$

$a,$

$b\in tU\sim$$b\in t^{\sim}z_{0}-C$,. Moreover, it is easy to prove that the cone is closed and that theand hence
set $C(a, b)$ is C-bounded and C-closed (in the sense of [17]), i.e., $C(a, b)\subset\tilde{z}+C$ for someand $C(a, b)+c1C$ is closed. Therefore, from Proposition 4.1 in [17] it follows thatthe set $a\vee b(=MinC(a, b))$ is nonempty.
$C$$C(a, b)\neq\emptyset$$\tilde{z}\in Z$8

9

to consist of a single element, we assume that the. If $a\leq cb$ ,domination cone is generated by linearly independent vectors$b\leq c$andthen obviously $a\vee b=\{b\},$ $a\vee b=\{a\}$ , respectively. Assume that$\beta_{i}^{1}>0(i=1, \ldots, n)$. We consider any vectors
V . Hence, there aresuch that
Next, in order to show the set

$a$

$Vb$

$C$

$n$

$e_{1},$$e_{n}$$a\not\leq cb$$a$$b\not\leq ca$$z_{1},$$z_{2}E$$z_{1}$and there are$\ldots,$$\alpha_{i}^{2},$$\beta_{i}^{2}>0(i=1, \ldots, n)$$z_{2}$$a$$b$$\alpha_{i}^{1},$$=$$a+ \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}^{1}e_{i}$$=$$b+ \sum_{i=1}^{n}\beta_{i}^{1}e_{i}$,(6)such that$=$$a+ \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}^{2}e_{i}$$=$$b+ \sum_{\dot{\iota}=1}^{n}\beta_{i}^{2}e_{i}$(7).

Therefore, we have.

$z_{1}-z_{2}= \sum_{i=1}^{n}(\alpha_{i^{1}}-\alpha_{i}^{2})e_{i}=\sum_{\dot{\iota}=1}^{n}(\beta_{i}^{1}-\beta_{i}^{2})e_{i}$Since the vectors$e_{1},$$e_{n}$$\ldots,$are linearly independent,$\alpha_{i}^{1}-\alpha_{i}^{2}=\beta_{i}^{1}-\beta_{i}^{2}$$(i=1, \ldots, n)$.

(8)Also, we have$a-b= \sum_{=1}^{n}(\beta_{i}^{1}-\alpha_{i}^{1})e_{i}=\sum_{i=1}^{n}(\beta_{i}^{2}-\alpha_{i}^{2})e_{i}$, all coefficients
Since
and
and so we may assume that$a\not\leq cb$$b\not\leq ca$$\beta_{i}^{1}-\alpha_{i}^{1}$.

of the above can not have the same sign,,$\beta_{i^{1}}>\alpha_{i^{1}}$$(i=1, \ldots, r)$$\beta_{i}^{1}\leq\alpha_{i}^{1}$$(i=r+1, \ldots, n)$ .

$\beta_{i}^{2}>\alpha_{i}^{2}$$(i=1, \ldots, r)$$\beta_{i}^{2}\leq\alpha_{i}^{2}$$(i=r+1, \ldots, n)$ .

(9)

By (8) and (9),

,

(10)

From (6) and (9), it follows that$a+ \sum_{i=r+1}^{n}(\alpha_{i^{1}}-\beta_{\mathfrak{i}}^{1})e_{i}=b+\sum_{i=1}^{r}(\beta_{i}^{1}-\alpha_{i}^{1})e_{i}$

9

.

(11)

10

Let us set.

$\alpha_{i}^{1}-\beta_{i}^{1}$$\gamma_{i^{1}}=\{$$0$,, if $i=r+1,$
otherwise,

and$\ldots,$$n$$ifi=l,$ .
$rotherwise$$\delta_{i}^{1}=\{\begin{array}{l}\beta_{t}!-\alpha_{l}!0\end{array}$$..\cdot,$

Then, the expression (11) becomes$a+ \sum_{i=1}^{n}\gamma_{i^{1}}e_{i}=b+\sum_{i=1}^{n}\delta_{i}^{1}e_{i}$

.

Since
$\sum_{i=1}^{n}\gamma_{i^{1}}e_{i}$,$\sum_{i=1}^{n}$犀$e_{i}\in C$

and$\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}^{1}e_{i}\geq c\sum_{i=1}^{n}\gamma_{i^{1}}e$$\sum_{i=1}^{n}\beta_{l}!_{e_{i}\geq c\sum_{i=1}^{n}\delta_{i}^{1}e_{i}}$商,

we have$\alpha_{l}!=\gamma_{l}!$,$\beta_{l}!=\delta_{l}!$$(i=1, \ldots, n)$because $z_{1}\in a\vee b$ . Hence,$\{\begin{array}{l}\alpha_{l}!=O\beta_{t}!=0\end{array}$$()(i=r+1,\ldots, n)$

(12)

.

Similarly,(13)$\{\begin{array}{l}\alpha_{i}^{2}=0(i=1,\ldots,r)\beta_{i}^{2}=0(i=r+1,\ldots,n)\end{array}$

From (8), (12) and (13), it follows that$\alpha_{i^{1}}=\alpha_{\dot{l}}^{2}$$(i=1, \ldots, n)$.

Thus, $z_{1}=z_{2}$ , and so $a\vee b$ is a singleton set.
次に、全順序型では意識されなかった保証水準というものを考えてみる。確かに、 ミニ
マックス戦略とマックスミニ戦略による最適値は最適な保証水準を与えているが、保証水準を与える戦略は最適反応戦略と一致していたために、保証水準を最適にすることは特に意識されなかったと思う。 しかし、半順序型の場合では最適反応戦略が保証水準を与えるとは限らないので、異なる様子を呈している。そこで、まず、目的空間 において、集合の最大保証水準 (maximal security level) と最小保証水準 (minimal security level) を次のように定める。
$\square$

$Z$

$A$

$\overline{sl}(A)$$:={\rm Min}\{z\in Z|A\subset z-C\}$

旦 (A) $:={\rm Max}\{z\in Z|A\subset z+C\}$1011の場合、 domination cone がその次明らかに、前と同様に、 目的空間 が有限次元と-sl(A)
元数と同じ数の一次独立なベクトルから生成される polyhedral cone ならば、は singleton となり、それぞれ の最大元 (の集合) 、最小元 (の集合) となる (ここでの方法とは異なるが、このような集合の最大元、最小元などを取り扱って、ベクトル値関数のミニマックス問題を考察している文献として [11] がある) 。すると、 player 1 の各戦略 $x\in X$
に対する最大保証水準は-sl(f(x, )) となり、 player2 の各戦略 $y\in Y$ に対する最小保証水準
は $sl(f(X, y))$ となる。そこで、 playerl の最適保証戦略の集合を
$Z$

$C$

$(R^{n})$$\overline{sl}(A)$

$A$

$Y$

$OS_{1}$$:= \arg{\rm Min}\bigcup_{x\in X}\overline{sl}(f(x, Y))$とし、 player2 の最適保証戦略の集合を$OS_{2}$$:= \arg{\rm Max}\bigcup_{y\in Y}\underline{sl}(f(X, y))$とすれば、 この時、全順序型のゲームの性質 (a) に似た関係式が成立する。

THEOREM 3. Let
generated by

$n$

$n$

$:=\dim Z<\infty$ .

$C$is a polyhedral conelinearly independent vectors, then$z_{1}\leq cf(x^{*}, y^{*})$

for any

If the domination cone$x^{*}\in OS_{1},$ $y^{*}\in OS_{2}$

and

and

$f(x^{*}, y^{*})\leq cz_{2}$

(14)

,

$z_{1}\in\underline{sl}(f(X, y^{*})),$ $z_{2}\in\overline{sl}(f(x^{*}, Y))$ ,PROOF. Obviously, (14) holds for any $x^{*}\in X$ and $y^{*}\in Y$ .
これは、各 player が最適保証戦略をとっている限り、その Payofff の値は保証値 (security
level) を越えることはないことを示している。
最後に、上の定理の仮定の下で (有限次元で domination cone が有限生成) 、強鞍点の概念を導入しよう。前の章で 3 っの錐鞍点を考えたが、ゲームを決定するような性質は持た$\square$なかった。

DEFINITION 2. A pointis said to be a strong C-saddle point of
to $X\cross Y$ , a strong C-saddle point for short, if$(x_{0)}y_{0})$

$f$

(15)

$f(x_{0}, y_{0})\in\overline{sl}(f(x_{0}, Y))\cap\underline{sl}(f(X, y_{0}))$

この時、 このような鞍点を強鞍点と呼び、強鞍点全体の集合をwith respect$S^{s}$と表せば、$S^{s}\subset S^{p}\subset S\subset S^{w}$となっていることがわかる。 さらに、全順序型のゲームの性質 (c)(d)(f) に類似の次のような結果が成り立っこともわかる。

11

12
THEOREM 4. Let

and the domination conebe a polyhedral cone
, thengenerated by linearly independent vectors. If the payoff has a point
the following properties hold:$n$$:=\dim Z<\infty$$C$$(x_{0}, y_{0})\in S^{s}$

$f$

$n$

(i)
(ii)

$x_{0}\in OS_{1}$and$y_{0}\in OS_{2}$,.

$f(x_{0}, y_{0}) \in{\rm Min}\bigcup_{x\in X}\overline{sl}(f(x, Y))\cap{\rm Max}\bigcup_{y\in Y}\underline{sl}(f(X, y))$PROOF. We only prove the part (i) of the assertion. Let a point $(x_{0}, y_{0})\in X\cross Y$ be a
. Then, for any
strong C-saddle point of . We suppose to the contrary that$z(x_{0})E\overline{sl}(f(x_{0}, Y))$ , there exists
such that$f$$x_{0}\not\in OS_{1}$$\hat{x}\in X$

and$z(\hat{x})\leq c^{z(x_{0})}$for some$z(\hat{x})E\overline{sl}(f(\hat{x}, Y))$$z(\hat{x})\neq z(x_{0})$. Therefore, there exists nonzero $c_{1}\in C$ such that$f(\hat{x}, y_{0})+c_{1}=z(x_{0})$Since $z\leq cf(\hat{x}, y_{0})$ for any,$z\in\underline{sl}(f(X, y_{0}))$

.

(16)

, there exists $c_{2}\in C$ such that$z+c_{2}=f(\hat{x}, y_{0})$

.

(17)

From (16) and (17), it follows that$z+(c_{1}+c_{2})=z(x_{0})$ .

and
Since bothfrom (18) it follows that$\underline{sl}(f(X, y_{0}))$$\overline{sl}(f(x_{0}, Y))$(18)

are singleton by assumption, and $0\neq c_{1}+c_{2}\in C$ ,$\underline{sl}(f(X, y_{0}))\cap\overline{sl}(f(x_{0}, Y))=\emptyset$

which is a contradiction. Thus we have

THEOREM 5. Let$x_{0}\in OS_{1}$,. Similarly,$y_{0}\in O_{\sim}S_{2}$.

$\square$and the domination conebe a polyhedral conelinearly independent vectors. The set
generated byof strong C-saddle points has
is of the form
whereinterchangeability, $i.e,$ , the set$n$$:=\dim Z<\infty$$C$$S^{s}$$n$$S^{s}$$A_{0}\cross B_{0}$$A_{0}\subset X$

and.

$B_{0}\subset Y$, the point
belongs to .
PROOF. Obviously, for any
が存在すれば、その点、において最適保証水準のTheorem 4 により、強鞍点意味で均衡するので、 は playerl の均衡戦略、 は player2 の均衡戦略となり、また各
player の最適保証戦略にもなっている。従って、 Payoff が強鞍点を持てば、この行動原理の下ではゲームは決定されることになる。 また、 この強鞍点によって、ゲームの値が一意に決まり、 Theorem 5 のような性質も持つことになる。
$(x_{1}, y_{1}),$ $(x_{2}, y_{2})\in S^{s}$$(x_{1}, y_{2})$$(x_{0}, y_{0})\in S^{s}$$x_{0}$$y_{0}$$f$

12$S^{s}$$\square$13
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