Internet 版 2021/7/15

第5章

複素数を使った交流回路計算

前章から、交流信号のフェーザー表示（複素数表示）を学んできた。複素数は、大きさと位相を同時に含むため、微分方程式にたよることなく、単純な代数学で交流回路の計算に活用できる。
これを使いこなすには、練習も必要である。ここでは様々な交流回路の計算事例を通して、その取り扱いに慣れることを目的とする。また、消費電力、フィルター回路、利得計算、ボーデ線図、Y－Δ変換を使った計算についても取り扱う。

1𝑗𝜔𝐶
1𝑗𝜔𝐿
𝑗𝜔𝐶

１．交流回路の電圧電流計算

𝑗𝜔𝐿

交流電圧や電流、R,L,C を複素インピーダンスで扱うことで、交流回路の各所の𝑗𝜔𝐿
1 𝜔 𝐿𝐶

定常的な電圧、電流、それらの位相を計算することができる。１章で学んだ抵抗でこの並列インピーダンスは、R と直列での計算法をそのまま複素数でのインピーあるので、Vo は直列接続の電圧分割則ダンス計算でも使うことが可能である。

により、つぎのように求められる。

次の例をみてもらいたい。角周波数ω
𝑉の電圧源がつながれており、L と C の並列部分の電圧を計算してみる。

𝑗𝜔𝐿
𝐸 1 𝜔 𝐿𝐶𝑗𝜔𝐿
𝑅
1 𝜔 𝐿𝐶𝑅 1𝑗𝜔𝐿𝐸𝜔 𝐿𝐶𝑗𝜔𝐿

この式の意味であるが、求める電圧 Vo は、電源電圧の E の直列全インピーダンス𝑅分の、求める箇所のインピーLC 並列のインピーダンスは抵抗の並列ダンスとなる。電圧 Vo は複素数でと同じ様に計算する。ここは１章で学んでてきたが、Vo の実効値は大きさ|Vo|でだ、二並列抵抗の式を活用する。

あり、|Vo|のノルムとなる。

𝜔𝐿𝐸
𝑅 1

𝜔 𝐿𝐶

𝜔 𝐿

読者の皆さんで、この時点で式の変形がわ

合成抵抗からない方がいらしたら、一度、踏みとどまこの式を使って、次のようになる。

り 4 章の複素数の計算方法復習をしていた
だきたい。
43

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Vo の位相角について求めてみる。複素端⼦間にかかる電圧 V、電流 I がそれぞれ数分数の位相角は(分子の位相角) ― (分複素数で表されるなら、複素電⼒ P を計母の位相角)になることより、次の計算が算すればよい。複素電⼒ P は、𝑃できる。

𝑉𝐼𝑃𝑗𝑃と表すことができる。𝑉 は V の共役複素∠𝑉𝑡𝑎𝑛数である。共役複素数とは、虚数部の符号を変えた複素数のことである。複素電⼒

この式のの P の実数部𝑃 が有効電⼒、虚数部𝑃 がは分子の位相角で、分子が𝑗𝜔𝐿無効電⼒となる。と虚数成分のみのため、この値となる。
次の例で練習してみよう。

この結果から Vo の瞬時値を求めるには、前章で述べた変換ルールに基づけばRLCよい。交流電圧源の位相角を 0 としたとき、
√2|Vo|sin 𝜔𝑡

𝑉V＋∠𝑉となる。もし交流電圧源の位相角が φ0 であるなら、ここで交流電圧は位相⾓ゼロで定数 V と√2|Vo|sin 𝜔𝑡𝑉∠𝑉

しよう。電流 I はφとなる。
𝐼𝑉𝑉𝑅

1𝑗𝜔𝐶𝑗𝜔𝐿

２． 消費電力の計算

𝑅𝑗 𝜔𝐿

1𝜔𝐶＝2 端⼦間の消費電⼒、すなわち有効電⼒
PE は次のように求めてきた。インピーダンスの位相⾓をφとしたときの有効電⼒となる。複素電力 P は

は、

𝑃𝑃𝑃𝑅
√𝑅𝑋

𝑉𝐼

1𝜔𝐶
1 2

𝑉2 𝑅 𝑗𝑉2 𝜔𝐿
𝑅2𝜔𝐿𝜔𝐶と求めることができる。

𝑃 𝑐𝑜𝑠𝜑実効電力 𝑃 と無効電力 𝑃 はそれぞれ次のように求められる。と表される。Ps は⽪相電⼒といい、2 端𝑃⼦にかかる電圧の実効値と電流の実効値の積である。
複素数を使った電⼒計算においては、2𝑃
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𝑉2 𝑅
𝑅2𝜔𝐿

𝑉2 𝜔𝐿
𝑅2𝜔𝐿

1 2𝜔𝐶
1𝜔𝐶
1 2𝜔𝐶

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複素電⼒の符号について触れる。複素V の複素共役を求めるが、分数の共役の電⼒を計算するときに電圧の共役を取る
計算は、電圧を基準にした計算といわれ、

̅

無効電⼒𝑃 が負の場合は回路のインピー𝑃ダンスがインダクタンス性であることを⽰し、正であるときは容量性を表していの関係式を使う。

𝑉𝐼＝𝐸る。負であることにエネルギー的意味はなく、無効電⼒はその電⼒が、回路と電源∙𝐸の間を⾏ったり来たりするだけで、エネルギー消費に寄与しない分である。

＝

例題１次の回路に、R2 で消費される複素電と、虚数成分はなくなり、上記の値が有効電⼒となる。

力を計算しなさい
３．テブナンの定理を用いた最大電力の供給条件の計算
１章の抵抗回路で習ったテブナンの定理は R、L、C を含む正弦波交流回路でも成り⽴つ。つまり、どのような複雑な回路であっても、たった⼀つの交流電圧源と解法複素インピーダンスの直列で表すことがまず R2 と L の並列インピーダンスを求できる。

める。
∙となる。R2 にかかる電圧 V は、
𝑉𝐸
ここで開放電圧 Voc の求め⽅であるが、𝐸単純に⼆端⼦の開放電圧を計算すればよい。また内部インピーダンス Z を求める

𝐸𝐼には、中の電圧源、電流源をそれぞれ、短絡、開放して⼆端⼦間のインピーダンス𝐸求めればよい。

45

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例題 2

次の⼆端⼦回路をたった⼀つのである。このように、電圧源と内部インピ電圧源と内部インピーダンス（直列インーダンスの回路は、電流源と並列インピピーダンス）で表しなさい。

ーダンスで書き換えることが可能である。

𝑉𝑍

解法

〇重要

これもテブナンの定理を使って求める。

Z

電⼒供給最⼤の法則

電圧源、または電流源が含まれる R、L、開放電圧であるが、⼆端⼦解放時に C にC からなる回路は、⼀つの電圧源と内部は電流が流れないので、R にかかる電圧インピーダンス Z で表すことができるこがそのまま⼆端⼦の開放電圧になる。とを学んだ。これに任意の負荷 ZL をつな𝑉いだ時に、最⼤電⼒が取れる条件を考え𝐸てみる。となる。内部インピーダンス Z は、電圧
Z＝R+jX

源を短絡させたときのインピーダンスを求めればよい。
𝑉ZZLとなる。
内部インピーダンス Z が R + jX で表されるとき、ZL が内部インピーダンスの共役
複素数 R－jX となるときに、負荷に最⼤の電⼒が供給される。
電⼒供給最⼤条件
𝑍𝑍̅ 𝑅 𝑗𝑋

回路図としてはこのような形になる。
なお Voc について、𝐸は複素成分をもっており、Voc の位相⾓は問題中の電このときに、内部インピーダンス中のリ圧源の位相⾓とずれていることに注意しアクタンス成分 X が打ち消されて、回路てほしい。なおこの回路を電流源で表す全体としては純抵抗となる。このとき、内と次のようになる。これも抵抗回路の章

部インピーダンスの抵抗成分と同じ抵抗で述べた性質がそのままあてはめたもの

成分を負荷がもつときに、電⼒は最⼤で46Internet 版 2021/7/15伝達される。このような条件をインピーという。
伝達関数をG 𝑗𝜔 、⼊⼒信号を Vin、ダンス整合といい、無線通信のアンテナ

出⼒信号を Vout とすると、や、⾼周波プラズマにおいては、この条件

G 𝑗𝜔

を満たすように、適度にリアクタンスととなる。この伝達関数のノルム|G 𝑗𝜔 |が抵抗成分を調整する。

利得となる。利得は⼊⼒に対して、出⼒の例題 3振幅の⽐である。

次の⼆端⼦回路において、負荷と通常、利得 G はデシベル表示される。

して最⼤電⼒となる負荷のインピーダン電圧、電流などの利得をあらわすときにスを求めよは、常⽤対数の 20 倍（20𝑙𝑜𝑔 𝐺）とする。
単位は dB（デシベル）である。デシベル
表⽰は、この教科書の巻頭にも表にしてあるが、10 倍は 20ｄB、100 倍は 40ｄBと覚えておくとよい。
ここで C−R フィルターを使って、伝解法

達関数を理解していきたい。フィルター

これも負荷から左をみた内部インピーとは、特定の周波数成分を除去したり、取ダンスを求める。この場合も電圧源をシり出したりする回路のことである。

ョートしてみると、R と C の並列になるため、
1𝑗𝜔𝐶
1𝑅𝑗𝜔𝐶

① 低周波通過回路

𝑅∙Z𝑅𝑗𝜔𝐶𝑅

1低い周波数のみを通す回路のことでロ𝑅 1 𝑗𝜔𝐶𝑅
1 𝜔 𝐶 𝑅ーパスフィルター（LPF）とも呼ばれる。

𝑗となる。つまりこれの共役となる負荷であれば、供給電⼒は最⼤となる。この負荷は虚数成分が正であり、インダクタンスローパスフィルター性の負荷ということになる。
𝑍

この回路の伝達関数を計算してみる。

𝑗

G 𝑗𝜔

４．利得とボーデ線図～C-R フィルターを例に～となる。利得は⼊⼒した信号に対して、出⼒される信G号の⽐を複素数で表したものを伝達関数
47|G 𝑗𝜔 |√Internet 版 2021/7/15と計算することができる。この式を見てで減衰する。その傾きは－20dB/dec と表わかるように、周波数が非常に低い、すな記する。dec はディケードと呼び、周波数わちωが 0 に近いときは、利得は 1、すなが 10 倍変化するという意味である。周波わち入力信号がそのまま出力されること数２倍の変化をオクターブとよび、２倍がわかる。ここで、G の分母が√2となるで－6dB 減衰するので、この傾きを－ときの角周波数𝜔 は6dB/oct と表記することもある。これは次となるが、これをカットオフ角周波数という。このときの周波数 fの数式からもわかる。

をカットオフ周波数と20𝑙𝑜𝑔 𝐺20𝑙𝑜𝑔いう。これは、周波数が除去されはじめる≅周波数と考えてよい。ここで CR の積は時定数(単位は秒)と呼ばれる。

ω≫

なれは約－６dB 下がることが分かる。

変動するかを表す。この場合、𝑡𝑎𝑛20𝑙𝑜𝑔 𝐶𝑅

ωが 10 になれば－20dB 下がり、2 倍ににたいして出力信号はどの程度位相角が∠G 𝑗𝜔

20𝑙𝑜𝑔 𝜔𝐶𝑅20𝑙𝑜𝑔 𝜔伝達関数の位相角∠G 𝑗𝜔 は、入力信号√次に位相角の周波数特性をみてみよう。

𝜔𝐶𝑅となる。
ここで、横軸を周波数の対数表示、縦軸を利得を dB で表した利得の周波数特性を示す。ここでは、2πCR=0.01 として、カットオフ周波数を 100Hz とした。

周波数が高くなるにつれ、位相は 0 から－９０°と遅れの度合いが増えていく。
カットオフ周波数の 1/10 以下の周波数であれば、位相に遅れはほとんどなく、10 倍以上の周波数で－90°と遅れることがわかる。重要なこととして、カットオフ周波数さえわかれば、それ以上で利得は－カットオフ周波数より低い周波数では、20dB/dec で下がり、位相は前後 10 倍で大きく変動するイメージをもてばよい。

利得は 0 dB となるが、これは１倍という以上、伝達関数からノルムを取ると利ことである。カットオフ周波数から周波得が計算でき、位相角をとると出力信号数が高くなると利得は下がり始め、周波の位相が計算できる。利得と位相角の周数が 10 倍になるにつれて、－20 dB で減波数特性の両図を、ボーデ線図という。ボ衰していく。このとき、横軸を周波数の対ーデ線図は電子回路の周波数特性を議論数、縦軸を dB 表示にしたときに、直線状
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するのに重要な指標であり、フィードバックを有する制御回路では、回路の安定性や発振条件の判定にも使われる。
② 高周波通過回路
高い周波数のみを通す回路のことでハイパスフィルター（HPF）とも呼ばれる。

C-R 直列回路で R から信号取り出すと、高周波通過フィルターとなる。伝達関数、利得、位相角はそれぞれ次のようになる。

＜参考＞
以上は C-R 回路でのフィルター回路の例を示したが、L-R 回路でも同様の特性

G 𝑗𝜔

G𝑉𝑉

|G 𝑗𝜔 |𝑅
1𝑗𝜔𝐶

𝑅を得ることができる。

𝑗𝜔𝐶𝑅
1 𝑗𝜔𝐶𝑅

低周波通過回路𝜔𝐶𝑅√1∠G 𝑗𝜔𝑡𝑎𝑛𝜔 𝐶 𝑅
𝜔𝐶𝑅となる。ボーデ線図で表すと次にようになる。低周波通過回路と逆の傾向になる

高周波通過回路が、カットオフ周波数以下の利得の傾きは 20dB/dec となる。

上のいずれも時定数は、L/R であり、カットオフ周波数𝑓 は、𝑓 ＝49である。

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5.

れを通過させる回路として働く。G の利共振回路

得についてみてみよう。この計算では、R、

L-C 回路には並列と直列があるが、R とL、C をそれぞれ 500Ω、1H、2.53μF と組み合わせることで、特定の周波数のみして共振周波数を 100Hz としてある。Rを取り出したり、また特定の周波数のみを高くしていくと、スカートのような減を除去したりすることが可能である。

衰特性をよりシャープにすることができ① 並列共振回路る。

このように、C と L の並列共振回路で信号を取り出す。この時の伝達関数、利得、 ② 直列共振回路
位相角はそれぞれ次のようになる。

L と C の直列部分から出力を取り出す𝑗𝜔𝐿𝜔 𝐿𝐶𝑗𝜔𝐿
1 𝜔 𝐿𝐶と、共振周波数のみを通過させない回路

𝑉𝑉𝑅

𝑅 1𝑗𝜔𝐿𝜔 𝐿𝐶

G 𝑗𝜔

G1としてはたらく。このときの共振周波数もf√となる。

𝑗𝜔𝐿|G 𝑗𝜔 |

∠G 𝑗𝜔

伝達関数、利得はつぎのようになる。
1𝑗 𝜔𝐿𝑉𝜔𝐶G 𝑗𝜔
1𝑉
𝑅 𝑗 𝜔𝐿𝜔𝐶𝑡𝑎𝑛となる。利得の式をみていただくとわかるように、共振時であるω
すなわちf が√のときに、

√のとき、
G

𝜔𝐿𝐶

𝜔𝐿|G 𝑗𝜔 |𝑅はゼロとなり、G は最大値 1 となる。つまり、この周波数信号の入力があれば、そ50

1
𝜔𝐶
𝜔𝐿

1𝜔𝐶

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∠G 𝑗𝜔

𝜋2𝑡𝑎𝑛

𝜔𝐿
𝑅

1𝜔𝐶

但し、𝜔𝐿＞0𝜋2𝜔𝐿

∠G 𝑗𝜔

𝑡𝑎𝑛

但し、𝜔𝐿G 𝑗𝜔|G 𝑗𝜔 |G𝑅

1𝜔𝐶ωのとき、すなわちfのとき√に、利得 G は最大の 1 となる。

＞0

この回路では、共振時に𝜔𝐿√は6.

Y-Δ変換を使った回路計算ゼロになり、利得 G は 0 になる。こここでは、便利な計算として等価回路の利得の周波数特性をみてみよう。

を使った計算法を⽰す。端⼦の数は同じであるが、回路は異なるが、端⼦からみた回路の機能が全く同じであるものを等価であるという。
ここで Y−Δ変換という等価回路を⽰す。
Δ型回路（π型ともいう）
Z12
12共

この計算では、R、L、C をそれぞれ 500
Ω、1H、2.53μF として共振周波数をZ32Z13100Hz としてある。利得は、100Hz のときに 0 となり、dB 表⽰では−∞となる。
R-L-C 直列回路において下図のように3Y 型回路（T 型ともいう）

抵抗を介して信号を取り出すようにする

21と、共振周波数の信号のみをとりだすフィルターとして機能する。

Z2Z1Z33

この回路の伝達関数、利得はつぎのようになる。
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これらの関係は次の通りである。
𝑍

勉強のヒント𝑍
この章では、複素数を使って交流電圧下𝑍での R、L、C 回路の計算⽅法の事例を述𝑍べた。複素数を使うことで、単純なオーム𝑍の法則、すなわち V=ZI の式にすることが𝑍でき、微分⽅程式を解かなくても交流回路の計算ができるようになった。この章では解説しなかったが、キルヒホッフの法則、例題 3次のブリッジ回路の両端の抵抗多数電源が内蔵される回路、また並列回路をもとめよ。

での電流分割則など、1 章で解説した⽅法はすべて使えるとおもっていただきたい。
⼀⽅、この⽅法での計算の限界も知らなければならない。この計算は、交流信号の定常状態の計算に限られるということである。急に変化するような信号、例えばステップ信号やインパルスなど、また不規則に変化する信号では、過渡現象の扱いとな解法

り、この複素数を使った計算⽅法は使えなくなる。過渡現象の扱いは、後の章で解説

この場合、キルヒホッフで連⽴⽅程式する。

を⽴てて解くが、Y−Δ変換をつかう。
上の１Ωの３つがΔ回路になっているとみなす。すると次のように変換できる。

全抵抗は
0.33.

.

.

.

1.85 Ωと求められる。

52

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5章

練習問題

4. 次の二端子回路があるが、一つの電圧源と内部インピーダンス回路で表せ。これ

1. 次の回路に流れる電流 I を複素数で表示に負荷を付け場合、電力を最大で供給でし、回路の消費電力 PE を求めなさい。角

きる負荷の複素インピーダンスを求め

周波数ωは 100 rad/s とする。

よ。

2. 二端子間の複素インピーダンス Z をもとめ、インピーダンスの大きさ|Z|、イ

5. 次の回路において、C が 0.001μF、R がンピーダンスの位相角∠Z を求めよ。こ100Ωのときに、そのボーデ線図の外形の二端子回路はインダクタンス性か、そを書きなさい。

れともキャパシタンス性か。

6. 次の回路の伝達関数 G(jω)、利得|G(j3. 次の交流回路について次の問いに答えω)|を計算しなさい。

よ。電源の角周波数をωとる。
(1)|I1|と|I2|を求めよ。
(2) |I1|=|I2|が成り立つとき、L と R1 との関係を示せ。
(3) (2)が成り立ち、しかも I1 と I2 の位相角差がπ/4 であるときの条件を求めよ。

53

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115 章 練習問題略解

𝑗100 ∙ 0.02

F のインピーダンスは－j100 となる。全インピーダンス Z はZ𝑗100= 50

𝑗100𝑗100𝑗2𝑗となる。

|𝑍|2.12 Ω∠𝑍𝑡𝑎𝑛 145°

なお、この二端子回路は複素インピーダンス𝑗50+50の虚部が正であり、位相角も正であるのでイ𝑗50ンダクタンス性である。

電流 I は
I3

したがって、∙𝑗100

4 3𝑗3 𝑗𝑗𝑗となる。全インピーダンスは、

１H のインピーダンスは j100 、1×10-41.

𝑗2 2𝑗2 2100050 𝑗50

20

1120𝑗

1011𝑗
13.

𝑗10

複素電力 P は1000 ∙ I

P10000j10000となる。有効電力はこの実数部であるので、(1)複素インピーダンスを使って計算して10000 W(10 kW)となる。

いけばよい。
2.

まずこの回路において、右半分の並列回𝐼路のインピーダンスをから求めていく。

𝑅𝐸𝑗𝜔𝐿𝐸𝐼

𝑅𝑅(2)電流の絶対値を計算する。
|𝐼 |
|𝐼 |

1𝑗100 ∙ 0.005𝐹

11𝑅𝑗22𝑅𝑅となり、２Ωと 0.01F の直列インピーダンス

𝑗100 ∙ 0.012𝑅𝑅𝑅𝜔𝐿𝜔𝐿

これを解くと、は、2がなりたつ。

つまり、1Ωと 0.00F の直列インピーダンスは、

𝑅𝑗𝑅となる。これらの並列インピーダンスは、

54𝑅

𝜔𝐿

Internet 版 2021/7/15(3)まず電流 I２は純抵抗を流れる電流なの4.

で、電源の位相角に対して、この電流の位グラフにすればよいが、ここでは簡易な方相角はゼロである。電流 I1 はインダクタン法を示す。まずはこの形は、高周波通過フス性なので、電源に位相角に対して遅れィルターである。カットオフ周波数を計算る。題意を満たすには、電流の位相角が-する。

π/4 になればよい。ここで、

f𝐸
𝑅 𝑗𝜔𝐿

𝐼1.6.

10 Hzとなる。
利得であるが、カットオフ周波数を中心は表され、分母のみが複素数となる。分母にこのように書けばよい。の位相角が+π/4 になればよい。つまり、分母の実数部と虚数部が等しいときであ0Gる。すなわち、次が成り立つ。
𝑅

精密には利得を計算して、エクセルで－3 dB(dB)𝜔𝐿

20dB/dec

4. 2H のインピーダンスは j200 、1×10-4

1.6

F のインピーダンスは－j100 となる。

10 Hz 対数表示

開放電圧 Voc は、
1𝐸𝑉

位相角はカットオフ周波数を中心に前後１𝑗桁で変化する図を書けばよい。となる。
内部インピーダンス Z は、
Z

∙

𝑗200
50𝑗200位相𝑗50+5090°

𝑗15045°となる。
等価回路はこの形になる。

0°

1.6

10 Hz 対数表示

5.
消費電力を最大にする負荷インピーダンス

G 𝑗𝜔

ZL は
𝑍 ＝50𝑗150𝑅となる。

55

𝑉𝑉𝑅

𝜔 𝐿𝐶𝑅
𝜔 𝐿𝐶𝑅𝑗𝜔𝐶𝑅 𝑅𝑗𝜔 𝐿 𝐶𝑅 𝑅

Internet 版 2021/7/15

G|G 𝑗𝜔 |𝑅

𝜔 𝐿𝐶𝑅𝑅𝜔 𝐿𝐶𝑅𝜔𝐶𝑅 𝑅
𝜔 𝐿

𝐶𝑅 𝑅

56