計測自動制御学会東北支部第17剖可研究集会（1997．12．14〕
資料番号179＿11

LM‖＝よる白色変動パラメータを含む離散時間線形系の最適制御

OptimalControlerDesign払rDiscrete−TimeSystemswithLinea
StochasticParametersviaLMIApproach0柿下栄二，石原正，岡田正巳，措岡光
OEijiKakishita，TadashiIshihara，OkadaMasami，InookaHikaru

東北大学大学院情報科学研究科
GraduateSchoolofInhrmationScienees，TbhokuUniversity
キーワLド＝ 線形行列不等式（LinearMatrixhlequaJity），確率変動パラメ，タ（St8ChasticPramcter），
最適制御（OptimalCo・1trOl），E2誘導ノルム（E2itlducedBOrm〕

連絡先：〒980 仙台市育英区片平コート1東北大学大学院情報科学研究科情報基礎科学専攻情報基礎数学講座
柿下栄二，TelT＝（022）217−702l，F乱Ⅹ・：（022）217−7019，E−mail＝kakisit血ohtrOl．is．tohoh．ac．jp

1 はじめに列不等式で表現されることである．LMIを数値的に解く半正定値計画法の高速なアルゴリズムによ線形時不変系の最適制御系設計法として知られり，LMIはシステム制御理論の．基本的ツールとしるLQG手謝礼 制御対象の状態方程式や出力方程て定着し，制御系の解析・設計問題がLMI問題に

式にはモデル化誤差や外乱を考慮するための項が帰着することができれば凸計画法により数値計算付加されている．しかし，これらの項は状簡ベクで効率の良い解析・設計が可能となる．

トルや入力ベクトルに依存しない形で表現され，LMIは安定化フィードバックゲインを求めるだけ

パラメータ変動が存在する制御対象に適用しても安定性，最適性が保証されない【1】．パラメータ変でな〈，出力動的補償器にも有効であることが報動に対してもロバストな制御系を構成するのに，告きれ【Tl，且β叩d【8］，兼政ら囲によってLMIと確率変動パラメータを含む離散時間線形系の最適制御

仇∬血両は制御対象のパラメータを確率系列でモデル化Lた線形離散時間システムの最適補償問との関係が示唆されている．本研究では，兼政ら題を提案している剛叶制御対象がパラメータを確の反復法による一般化Riccati方程式を用いた設計に射し，数値計算上有効であるLMIに基づく動的率系列でモデル化できる系として，化学反応炉【4】補償器の構成法を考察し，さらに∬仰の拡張としてや高性能小型航空機【5】，マニビュレ岬タ【8】などが報上2誘導ノルムを最小化する軌的補償器についても告されている．

考え，数値例によって，その有効性を確かめる．

線形行列不等式（LMI）とシステム制御理論には密接な関係は，安定性，正美性，有界実性などのシステム制御理論で扱われる重要な基本概念が行

1、l

2 準備

定蕪3・2「上〕亡打血mg州ノ＝系「タ．りけ引力ミ任意のた≧0に対し鞘榊〕封錘）T］二0⇒ご。＝0ならばシ

凸集合，P】関数に対して次の凸計画問題は数値的に効率よく解くことができる．

ステムは自乗平均可観測であるという．

凸計画問題：与えられた凸関数即諾〕と凸集合亡に対自乗平均可観測性よりも弱い意味での可観測仕でして，次の最適値7＊とそれを与える∬−を求めよ．

ある自乗平均可検出性を定義する．

7■叫）

定義3・3岬e肋mim仇J郎抑」＝系揮J〟叩挿任意

凸計画問題の局所最適解は必ず大域的にも最適でのた≧0に対し鞘㈱舶明＝n⇒豆→∞＝制」0あることが保証されるため．凸計画問題は数値的ならば，システムは自乗平均可検出であるという．に解くことができる．
自乗平均可観測でないモードが自乗平均安定ならば，自乗平均可検出である1次に，式（3．1）（3．2）の定義コ．1ム〟丁の一般系は次の不等式で与えられる．

離散時間確率パラメーター系に外部入力のあるシ叫）皇凡庸1月＋勘坑＋…＋∬m軋＞0（2■l）

ステムに拡張する．
ここで，旦〔盲＝0，1，…，m）は与えられた対称行列
ご（た十1）＝ A二こ（た）＋月び址（七）で，エ竺（町・・エm）Tは変数ベクトルである・

上・∑戸棚＋恥両州〔叫∫（可＞0は∬に対して凸の制約条件を課すもので，上＝1

封（た）＝ CJ（た）＋かMⅢ（克〕∫皇Ⅰ∬：印）＞叫は凸集合になる■

上、・∑匝珊・恥可車i（醐・4〕3 確率変動パラメータを含む離散時間線

i＝1形系システムの安定性

ここで，1脚（た）は外部入力ベクトルで，且肌上㌦は適次の確率変動パラメータを含む離散時間線形系当な次元の実行列である．

を考える．
自乗平均可安定性 状態フィードバックコントロー

上訂（た）〔山∑血叫柵（叫ラを適用したときの安定性を定義する．

i＝1
上．

y（可〔c＋吉C捕）州（叫定義3．4「加納几盲叩ノ：薬指．釘付抑こ対し任意の状態フィードバックを適用した閉ループ系が自乗ただし，坤）∈月n，甘拉）∈月Jはそれぞれ状憶，入力平均安定ならば系は自乗平均可安定であるという．

ベクトルを表し，A｝武，〔丁，仁一は適当な次元の実行列である・p（呵は．平均が0，共分散∑＝d壱叩（叫，■‥，叱）自乗平均可安定ならば，状態フィードバックを適であるi・i・d・（independe叫identicallydistributed）確用した系も自乗平均可安定性が保存されるが，出率変数である・この時雷（鳥）（磨（た＋1）＝A引た）＋力の直接挿入を適用した場合は自乗平均可安定性

乱．叫割）を状態の平均1∬（た）：＝可桓（たト雷錘））（ご（たトは保存されない．そこで．その様な系にも保存さ坤）T阿）】を状鮎（た）の共分散とし†自乗平均安定

れる強い意味の自乗平均可安定性，自乗平均可検性と，自乗平均可観測性が定義される．

出性を定義する．

定義ユ・1四日鯨油㌦リ：系け刃が安定．すなわ

定義8．5価政【9リ：システムが任意のフィードバッ

ち芳（叩こよらず1imた→此∬（た）＝0ならば，システクに射し自乗平均可安定であるならば，その系はムは自乗平均安定であるという．

自乗平均強可安定である．
山2−

定義3・6「兼政上り＝システムが任意のフィードバッ

ここで，l購）∈打 】は入力ベクトルを示L，Aっ月，軋り

クに対Lて自乗平均可検出であるなら，その系はC，β，軋は適当な次元の実行列である・叫車は平自乗平均強可検出である．

均が0，可叫た匝（叶r］＝Ⅳの白色確率変数で，pと独立である．

フィードバックの存在条件 系（3−3）〔3，叫こおいて，定常状態フィードバック叫〕＝飢申）を適用L

状態フィードバック，動的補償器が存在する条件はたとき閉ループ系は次のようになる．

自乗平均可安定性，自乗平均可検出惟を満たすこ訂（た＋1）＝ト4＋乱打〕諾（た）＋仇〃㈱とである．

上」∑匝楓誹榊）＋町叫輌）（4・2）定理3．1次は同値

i＝1

式（4．3〕（4．4）のシステムに対する定常フィードバッ
クの存在条件は定理3．3より，式（3．5）（3．6）によって尊かれている．

rJノ系け封「封ノを安定化するフィードバックまたは，動的補償器が存在する．

∃q≧0，y≧O su血七山ai

倒系甘割けイノが自乗平均可安定かっ

1im鞘碓舶折］＜Uを満たす． た→○〇匝＋札現代4＋軋何丁十軋月ニエ＋∑串匝＋恥呵恥周り叫㌧恥成．〕くP（4・3）何次の行列不等式を満たすPが存在する．

i十1

変数変換y＝打Q≧0，q＝P￣1によって，式エ（4．4）は次の行列不等式になる．

ア＞APAT逓ひβ￡＋訂揖耳吼．戒，一）（M〕∃i＝1

Q≧0，r≧O s正htbat⊥（Aq＋軋y帽￣1（Aq＋軌y）r＋乱β三

U＞CPビア＋軋現十∑（qP打＋恥一花i）（3■6）

上i＝1＋∑J2（匝糾軋弟q￣1い即叫げ十軋寓 ）く射4・4）

さらに，最適な動的補償器唯一存在する条件とL（＋1て次の定理が示されている．

4．2 動的補償器の存在条件
状態フィードバックを用いるには全状態が観測定理3．2価政【13リ最適な動的補償器唯一存在する可能である必要がある．ここでは，全状態が観測必要十分条件は自乗平均強可安定性，自乗平均強可能でない場合，または，フィルタを通したい場可検出性を満たすことである．

合に対して動的補償器を用いた制御系に対して考える．

4 解の存在条件の導出（4・1〕（4・2）に加えて，次のような出力と観測皇がある，離散時間確率線形システムを考える．

制御入力がある確率変動パラメータを含む離散1

時間線形システムに対して安定化状態フィードバッ

訂（可＝C∬（た）＋仇址（た）＋仇ル（可上ク，動的補償器の存在条件を導出する．

1∑巨琳）＋抽（叶吼卿錘））州（4・5）J＝1ヱ錘）＝叫∬（た）＋上丘Ⅶ（た）＋旦押（可4．1定常状態フィードバックの存在条件

上ヰ：匝琳）砧， ㈱十和両州（4・6〕次の確率変動パラメータを含む離散時間線形シ

i＝1〟p，エ封βヱ，叫，l，エ之、i，恥iはそれぞれ適当な次元のステムを考える．

実行列である．これらの系に対して次の動的補償器を適用する．

J笹＋1）＝Aご錘〕＋軋Ⅶ錘）＋βwt坤）丘（た＋1）＝ A。丑（た）＋昂甜（た）（4■7〕

上 在匝嘲吼叫）十恥叫恒）〔云・1）

項頃 ＝＝〔b（た）＋β〔訂（た）（4▲B）

王＝1−3−ここで，孟（呵∈Ⅳ1は補償器の状態ベクトルで，5 最適補償問題

J4。，βい仁，β。は適当な次元の実行列である．ニの系（4・1〕〔4■2）（4．5）に対し，外乱唖＝0の場合を考時間ル仙プ系は次式で表す．

える．
㌔（た←1〕＝瓦l㌔〔た）＋瓦川（た〕上5・1定常状態フィードバックによる最適＋∑〔4狸（町姉小〕〕抽〕（4■9〕 i＝l制御拍）＝百。げCJ（た〕＋瓦押（た）評価関数，

上＋∑中世（小串（叫州（4■1D） 1＝1

打∞＝1im且掛軸榊）rr｛叫（叫jV・・十OD

ここで・エヱ≠0，ム上，f≠0のとき，設計パラメータを考える．ここで，9，ーはそれぞれ正走な実行列でに対して非凸になっており適当な線形変換により，ある・（5・1）式の評価関数を最小にする補償器を見凸になるようにする必要がある．従って，ここでつける問題，あるいは，評価関数の最小値を見つは上ヱ＝上ヱ，i＝0の場合について考える．閉ループ

ける問題を最適補償問題という．ここで，新たな系の各行列は次のようになる．

出力変数ベクトル叫）を次のようにとる．

牙l＝〟＋月℃札 止；王＝ペ＋耳匿叫

軒＝甜＋β一郎，埠＝叫＋郎昂

ユ（た）＝［甘∴用剖｛5・2）

F」＝C・＋打叫 吋＝q＋即叫

この時，評価関数は

軒＝β′＋耶且，吋＝巧＋月沌筍（4・11）
爪U﹈Aと表すことができるので，（3．占）（ユ朝の解の存在条nU

件を満たし，かつ評価関数を最小にする解は評価﹈関数の上限をUとすると．次の凸関数最適化間層

ハリーー﹂になる．

﹁﹂

0minimize y上ヨubjectto中γ軸＋∑榊㌻如i≦卓（5・4）

﹁■﹂

几U ∫．

㍉

二qハリ﹈

q叫0ニ叫﹈JCニ︵U鴫Oニ且几U r⊥ ■．．．−ニα〃〟

﹇﹁Lト．

軋0軋0

﹁■■L

ニ旦ニ甜

﹁﹂

Tl且0︵U﹈

−LOOO

■・−−−

ハリ﹈

A

ここで，A′

J＝監坤圃咄］〔5・3）i＝l．4＋仇蘭中，留叩廿招打＝ t矧rH岳 九＋軋㌢］．

u βトニ﹈

卓＝［言汀■ 一札0ニ

且

吼0﹈

■一︳β︳lニ＝ ［，i∬，申i

卓＝［言プ∫］

亡﹁﹂∬qによって，次の固有値最小化間者に帰着する．

亡二Gけ12）minimiヱe Tニ

且︐仇ニ

∬

■■■■一 口仇乱﹁さらに，解の存在条件同様に変数変換￠＝クー1，y＝

A O

［恥0］，

ム

Subjectto缶Te．）中＋∑桝丁豆￣l缶f≦白（5・5）であるt系（4・1）（4・5）（4．6）に対する動的補償器が存i＝1在する条件は，式（3．5）（3．6）と同様にして，次の行列不等式で表される．

転揉≡諾r帥 ＝［A帆y刊∃p＞0，∃G suchtbat

咄］，

一

上 君再㌣店督電坤配礪呵＜叩・1ユ）i＝1⊥豆＝［官∫］式（4・4）（4・13）（4．14）を含め．式（5．4）〔5，5）の形をした

F貯徳軒㌔∑坤師 恥部り＜P（叫行列不等式はβ亡月山「仇叫由m訂正を用いてLMIへi＝1変換できる．

ー4−めて高感度な系として知られている次のような連5．2 動的補償器による最適制御

続時間系E12】を考える．

式（4■l）（4．2）〔4・与）のシステムに対し式（4．7）（4・8）で表される動的補償器を適用させたとき，評価関数
孟 ＝ Ap￡＋恥11＋月叩Ⅶ∫
封 ＝ qエ＋軋蝕

J叫＝忠信細柚軸（た）丁榊）））（5・6｝を最小とする最適保証問題を考える，ここで，甘，r−1 0はそれぞれ正定な実行列である．状態フィードバッ

・・lI〉＝クの場合と同様に，評価関数を共分散の形に置き

丁β♪

0 −2

恥＝［車＝［ト1ト札＝1

換えると，LMIに変換可能な式（5．4）と同様の行列不等式条件が得られることが予想される．

ここで，エ，肌叫址Jはそれぞれ，状態，出力，入九及612誘導ノルムを最小化問題

び外乱を表すベクトルである・またpは平均且b］＝軋1状態フィードバックの条件0の確率変動パラメHタである．この系を専政ホールドの使用を前提とし．サンプリンダ周期r＝0．01

J2誘導ノルムを最小化する状態フィードバックゲ【βedで離散化すると次の離散時間系が得られる．

イン∬を求める間層岬を考える．式（4．1）〔4．5）のシステムに対しほ誘導ノルムを次式で定義する．

ヱ（鳥＋1）＝A∬匝）＋軋可た）＋軌湖（た〕＋β両可た）p錘）（7・3）

可卸瑚勘瑚車l）

訂肘＝仇埴）＋軋w錘）0．009900．009！I5

0．0

p〔呵はパラメータ変動の影響が大きく，かつ解の︹V存在するものとして共分散を0，03とした．
J2誘導ノルムで表す評価関数を次式で与える．
﹈﹈
0 27−﹂O叫β 叫﹇qCiq十仇，iylW

Ai匂＋軋，王ylu

Cq＋βⅦy 上）［，旦再＝ヰ茎軽泄帽抑（可（7・5｝定常状態フィードバック 式（7．5）の評価関数を最軋2 動的補償器の条件小とする定常フィードバックゲイン∬は，式（与，古）の行列不等式をLMIに変換し，数値計算によって動的補償器の存在条件（4．13）（4．14）を満たし，式（6．1）の届緯導ノルムを最小にする動的補償器は．式 得られた㌣qより次のように得られた■（5．4）の町中iを式（4．11）の芽，評∫，F 茸−，A錘デー，畔吋

打＝町1＝ト7・6聞3■2437］〔7・6）を用いて中＝描引，中 ＝［器引確率変動を考慮しないコントローラは，

垢＝ト9・286114朋6］（7■7）とした行列不等式条件から求められる．

式（7．3）（7．4）に射し可り＝∬D∬（た），鮎（た）＝∬∬（た）を適用した初期値応答の結果の一例をFig．1に示す．

丁 数値例パラメータ変動を有する制御対象に対して前節

動的補≠器 式（7．3）什4）の確率変動パラメータをで示した状態フィードバックと動的補償器により含む離散時間線形系に対し6．2節の手法を用いて動制御系を構成する．パラメータ変動に対してきわ−5一

一﹁■■■．﹂

A亡ヨ＋且J■ 月

0．00995β≠ ＝］一札。，92。

［のようにおけばよい．

中i＝0．9900占 0占A ＝

行列不等式条件は式（5．5）の表現を用いて缶，中iを次﹇﹈式（3・6）と同様にLて，叩の上限を7として得られた（7・4）

− u ⊥

8 おわりにCon■旭O「巾95T8亡h■■lkP■l■［■lH8＝亡Dn■ld●rhg

本研究では確率変動パラメータを含む離散時間線形系のシステムについて定常状態フィードバッ

ク，動的補償器を設計L，数値例によりその有効性について検証した．まず，確率変軌パラメータを含む離散時間線形系に対し自乗平均強可換出帆

自乗平均強可安定性，自乗平均強可観測性を定義し，次に，確率変動パラメータを含む離散時間線形系システムに対して．状態フィードバック，動的し、−￣÷コ㌢

補償器の存在条件を示した．さらに最適補償問題を考察し，その間歴点を挙げ，Jコ誘導ノルムを最小とする状態フィードバックと．動的補償器を示した．この動的補償器は制御畳と観測量が異なる一般化してフィルタ効果を持たせたので，制御系の■■J■■l●¶unヽ■rFig，1定常状態フィード′くックを用いた初期値応性能向上を期待することができる．

答の一例

参考文献
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Fig．2 動的補償器を用いた初期値応答の一例

44，19舶．

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た動的補償器（A。，月。，G，β。）は次のようになった．

仁。

ト ﹁■■−LA。＝

6）H．K且jiwaLra．P．Apkarian．P．Gahinet， Wide−R且nge
Stabili2atiom of aLn Azrm＿DriYe皿 LinYerted

0．46畠00．5025

0．21500．7457，月。＝Pezldulum tJsing LinezLr Para皿eter−Ⅵ町ing

0．4602

T虹11niques ，AIAA，98，−0．2706

7）T・Iwasaki，R・E・Skelton， Allcontro11c［S血rgeneraL‰亡OntrOlpr（）blen：LMIe逼stence伽ndetion ，，β。＝ −0．5023

5．阜108 −3．朗66

AlltOma七ica30（8），1397−131丁，1994

一方，確率変動パラメータを考慮しない動的補B）S．Ihyd，L．且GtlaLOui，E，FbronandV．Bal且h址na叫 Lin臨ー皿atriェIneqⅦ山itiesinsy如mand

価器（A亡．則，軋和，C。，加，恥加）は次のように得ら

t controltbeory，竹SIAM，1卵4．

れる．
0，氾45 0．6（娼gA。．伽＝O．D659 0．卓628−23．6643

C亡，月0＝［1阜．4663，β。，則＝g）兼政干−¶確率変動パラメータを含む線形系の最適制御に関する研究 ．東北大学情報科学研究科修0．4201

士論文，1996．

−0．30021d）W．L．DeKoning，¶DetectabilityofLineardiscrete−timesystenswithstocha占ticpara皿eterS． lnt・J・
Contr．，VOl．ユ8，pP．10ユ5−1（146，1983．

I上）亡，月0＝011）R．E．SkeltoIl，T．IwaBakiandI（＿Grigoriadis． AUni−

fied ALgebraic Approad to Lhear ControIDe−（A亡，軌月。1月0，C。，恥恥加）と，確率変動パラメータを考鹿して設計した動的輔備器（A。，β亡，C。，刀。）

Slgn，T町lorandn・乱n亡is，199812）E．Sorol凪，U．Sh止血， On比erob朋tne畠5ローLqre苫一の初期値応答の結果をFig．2に示す．固から分かる

ulaLt，OrS7 ，IEEE TlazIS．Automat．Contr．，VOl．AC−29一

ように，状憶フィード′くック．動的補償器のどちら

丁，pp9仙・9（I3，1984．の場合も確率変動パラメータを考慮しない場合に比べ，安定した応答を示している．

−・6−−