（様式 20）成果報告書

TSUBAME 共同利用 令和３年度 学術利用 成果報告書

超流動ヘリウムにおける量子乱流の数値的研究
Numerical study of quantum turbulence in superfluid helium
湯井 悟志
Satoshi Yui
慶應義塾大学 自然科学研究教育センター
Research and Education Center for Natural Sciences, Keio University
https://www.sci.keio.ac.jp/
我々は，量子流体力学における重要問題である 2 流体結合ダイナミクスを研究している．本課題では，量子乱流と常流体乱流の結合ダイナミクスを研究した．そのような 2 流体同時乱流は，未解決問題である量子乱流の T2 状態の原因だと予想されてきた．我々は，2 流体結合ダイナミクスの数値計算を行い，2 流体同時乱流を解析した．我々の研究結果は常流体乱流が量子乱流を強化することを明らかにし，得られた結果は実験と一致していた．
We study the coupled dynamics of two fluids, which is an important problem in quantum
hydrodynamics. In this project, we studied the coupled dynamics of quantum turbulence andnormal-fluid turbulence. The dual-turbulent state has been expected to be the cause of the unsolved
T2 state of quantum turbulence. We performed numerical simulations of the coupled dynamics of
two fluids, and analyzed the dual-turbulent state. The results of our study showed that thenormal-fluid turbulence enhances the quantum turbulence, and the obtained results are consistent
with the experiments.

Keywords: 量子流体力学，超流動，量子渦，量子乱流，2 流体モデル，渦糸モデル

背景と目的

2 流体の両方が乱流である状態は，量子乱流におけ我々の研究目標は，超流動ヘリウム中の量子乱流の物る長年の未解決問題である T1-T2 遷移の原因であると理を明らかにすることである．液体ヘリウム 4 は，大気圧予想されてきたが[4]，2 流体結合ダイナミクスを考慮し下の温度 2.17 K 以下で粘性が消失する超流動性をなければ取り組めない問題である．ここで，T1-T2 遷移示す．ティサとランダウの 2 流体モデルによると，超流動状とは超流体が T1 状態と T2 状態の 2 段階で乱流遷移態の液体ヘリウム 4 は非粘性の超流体と粘性をもつ常する現象のことである．これに対して，T2 状態は 2 流体流体の混合流体として理解できる[1,2]．本課題で取り両方が乱流の状態である，という仮説がある．我々は，組む量子乱流とは超流体の乱流のことであり，量子渦量子乱流の T2 状態を解明するために，2 流体モデルの(渦芯まわりの速度循環が量子化された渦)のタングルと数値計算を用いて 2 流体同時乱流状態の研究を行なして実現される[3]．量子乱流は，他の様々な系(超流った．具体的には，超流体の渦糸モデルと常流体のナビ

動ヘリウム 3，原子気体ボース・アインシュタイン凝縮体，エ・ストークス方程式を連立して数値計算を実行する．

中性子星など)においても出現し得る．したがって，量子

我々の先行研究において，2 流体結合ダイナミクスの乱流の研究は，物理学の広範囲の分野に対して重要計算の基本的な導入には成功し，興味深い物理を明な意味をもつだろう．

らかにしてきた[5,6]．しかし，T2 状態の量子乱流等に本課題では，超流動ヘリウム 4 における超流体と常流対しては数値計算コストが非常に大きい等の問題点が体の結合ダイナミクスの解明に取り組んだ．量子乱流状あった．そこで，渦糸モデルの数値計算に対して Fast態では，量子渦を介して 2 流体間に相互摩擦力が働く

Multipole Method [7,8]などの計算高速化を適用しようになり，2 流体が互いに影響を与えながら運動を行う．て TSUBAME の性能を活用する．

そのような 2 流体結合ダイナミクスは，量子流体力学における根本的かつ重要なテーマである．

（様式 20）成果報告書
概要の値が一定値の周りを揺らぐようになる．これは，エネルギー超流動とは非粘性の流れのことであり，極低温において量の注入と散逸がつりあった統計的定常状態に到達したこと子力学的な効果がマクロに現れた現象である．そのようなを示している．

超流動の非線形・非平衡状態である量子乱流は，超流以上のようにして得られた量子乱流および常流体乱流

動ヘリウム 3 および 4，冷却原子気体，中性子星等分野をの統計量を解析していく．統計量は，統計的定常状態に横断する重要な現象である．我々は，典型的な系であるおいて時間平均されている．量子乱流の統計量は上述の超流動ヘリウム 4 の量子乱流の研究を行う．本課題では，

渦糸長密度 L であるが，常流体の統計量としては常流量子乱流の長年の未解明問題である T1-T2 遷移に関連

体速度ゆらぎ I を採用する．常流体速度ゆらぎ I は，した研究を行う．

量子乱流の可視化実験等により調べられており，それらの実験と値を比較することが可能である．数値計算では，外結果および考察力の振幅を調整することにより，常流体乱流のゆらぎの大

超流体に対する渦糸モデルでは，量子渦の芯の太さを無きさを変化させることができる．各平均常流体流速 Vn に対視して糸で近似する[3]．通常の古典流体と違い，超流動して，外力の振幅を変化させていくつかの数値計算を実行

ヘリウム 4 に対しては渦糸モデルが非常に有効な方法としてし，ゆらぎ I と渦糸長密度 L の関係を探索した．さらに，知られている．超流動速度場は，全渦糸に沿って積分をゆらぎ I が実験と一致するように外力の振幅を調整した行なうビオ・サバール則によって決定される．温度 0 K にお状況において，平均流速 Vn と渦糸長密度 L の関係をいては，渦糸は超流動速度場に完全に追随して運動を行解析した．その結果，多くの実験で知られているように[3,4]，なうとされる．しかし，有限温度においては常流体との相互L1/2 が Vn に比例することを確認した．この比例関係の係摩擦の影響も受けて運動を行なう．一方，常流体はナビ数γは，量子乱流の T1 状態と T2 状態を判別するパラメエ・ストークス方程式のような運動方程式に従い，外力としータであり，T2 状態のγは T1 状態のものより大きい傾向て量子乱流から受ける相互摩擦力が考慮される．このようがある．我々の数値計算の結果，2 流体同時乱流状態のに 2 流体は相互摩擦を介して互いに影響を与えながら運γの値は，T2 状態のものと一致することが明らかになった．

動 を 行 な う ． 今 回 の 研 究 で は ， 常 流 体 に Arnold

以上の結果は，背景と目的で説明した「T2 状態は 2 流体–Beltrami–Childress 型の外力をさらに与えることで常の同時乱流状態である」という考えを支持している．

流体を乱流にしている．また，常流体には非圧縮条件を課している．

まとめ、今後の課題mm)3 の空間 3 次元の系で行

以上のように，我々は量子流体力学における長年の未なう．x, y, および z 方向に周期的境界条件が課されてい解明問題である T1-T2 遷移に関連する研究を行なった．

る．x 軸方向に熱対向流を印加して量子乱流を駆動する．

具体的には，T2 状態では常流体と超流体の両方が乱温度 1.9 K に対応するパラメータを用いる．超流体の時間流である，という仮説を確かめるために，2 流体結合ダイ積分は 4 次の Runge–Kutta 法，常流体の時間積分はナミクスの数値計算を実行した．結果として，2 流体同2 次の Adams–Bashforth 法で行う．平均の常流体流時乱流の統計的定常状態を得ることに成功し，得られ速を Vn = 2.5 mm/s, 3.0 mm/s, 4.0 mm/s, 4.5 mm/s

た統計量は T2 状態の実験値と一致していた．これらのとして数値計算を行う．

結果は，T2 状態の仮説を支持しており，大きなインパク数値計算は，体積(1.0数値計算の結果，2 流体同時乱流の統計的定常状態トがあるだろう．

が得られた． 量子乱流の統計量としては，渦糸長密度 L

しかしながら，研究結果を論文としてまとめて投稿した(単位体積あたりに含まれる渦糸の長さ)に注目した．初期

ところ[9]，いくつかの批判を受けて掲載拒否となった．批状態として少数の渦糸を配置しているが，熱対向流からエ判の一つは，数値計算を行なったパラメータの範囲に関ネルギー注入を受けて時間とともに L の値が増加していく．

することであった．そこで，我々は TSUBAME の計算機

今回の数値計算の場合，時間が 5 s 程度経過すると L資源を活用してさらに広いパラメータでのデータを集める

（様式 20）成果報告書など，研究内容の説得力を上げていたが，利用期間中には計算が完了しなかった．今後も，TSUBAME を利用してデータを集め，近い内に論文として結果を発表したいと考えている．
参考文献[1] L. Tisza, Nature 141, 913 (1938).
[2] L. Landau, J. Phys. U.S.S.R. 5, 71 (1941).
[3] R. J. Donnelly, Quantized Vortices in Helium

II, (Cambridge University Press, Cambridge,England, 1991).
[4] J. T. Tough, Superfluid Turbulence, in Prog.
in Low Temp. Phys. 8, Chap. 3 (1982).
[5] S. Yui, M. Tsubota, and H. Kobayashi, Phys.
Rev. Lett. 120, 155301 (2018).
[6] S. Yui, H. Kobayashi, and M. Tsubota, Phys.
Rev. Lett. 124, 155301 (2020).
[7] R. Yokota, T. Sheel, and S. Obi, J. Comput.
Phys. 226, 1589 (2007).
[8] R. Yokota et al., Comput. Phys. Commun. 180,2066 (2009).
[9] S. Yui et al., arXiv:2105:09499.