計測自動制御学会東北支部 第 308 回研究集会 (2017.5.29)
資料番号 308-1

リセットイベントデータに基づくリセットシステムのフローセット推定
Flow set estimation from reset event data of reset systems
佐藤哲郎 ∗ ，○佐藤淳 ∗∗Tetsuro Sato∗ , ○ Atsushi Satoh∗∗*日立住友重機械建機クレーン株式会社，**岩手大学*Hitachi Sumitomo Heavy Industries Construction Crane Co., Ltd., **Iwate University
キーワード : ハイブリッドシステム (hybrid system)，リセットシステム（reset system），パラメータ推
定 (parameter estimation)，最小２乗フィッティング (least square fitting)

連絡先 : 〒 020-8551 盛岡市上田 4-3-5 岩手大学理工学部システム創成工学科機械科学コース
佐藤1.

淳，Tel./Fax.: (019)621-6404，E-mail: satsushi@iwate-u.ac.jp

はじめにハイブリッドシステムとは一般に連続状態と離散状態を併せ持つダイナミカルシステムとされるが，本研究で扱うリセットシステムは連続状態のみを持つサブクラスである．リセットシ
ステムは基本的に連続時間システムとして振る
舞うが，リセットイベントの発生に応じて不連続な状態の変化（ジャンプ）を生じる．その振る舞いは，ハイブリッドタイムと呼ばれる拡張された時間概念の下での離散時間ダイナミクスとして表現できる．
リセットシステムは力学系の衝突現象のモデリングによく用いられる．これは物体同士の接触から離反までの時間経過を微小として無視すれば，衝突前後での速度変化は状態ジャンプとして表現できるためである．
ハイブリッドシステムの表現に用いられる数
理モデルとして区分的アファインシステム，線形相補性システム，混合論理動的システムなどがあるが 1) ，リセットシステムではハイブリッドオートマトンがよく用いられる 2, 3) ．これは基本システムと呼ばれるフロー（連続時間）ダイナミクス，ジャンプ前後での状態変化を表現するジャンプ（離散時間）ダイナミクスおよび，いずれのダイナミクスが有効であるかを決定するリセット条件からなる表現である．
リセット条件は状態に依存した代数的条件で与え，状態空間の適当な（例えば超平面，多面錐，2 次錐などによる）分割を考えることが多い．
ハイブリッドオートマトン表現に基づくリセットシステムの同定を考えるとき，フローおよびジャンプダイナミクスの同定には既存の連続時間及び離散時間システムの同定手法が利用できる．しかしリセット条件の同定については著者らの知る限り議論されていない．そこで本研究では衝突を含む 1 自由度の物体の運動（例えば地面に落下する物体の運動）を模した 2 次の 2–1–次錐型リセットシステムについて考え，リセッとなる．

トイベント前後における状態データに基づき未知のリセット条件を推定する手法を提案する．

2.

問題設定

2.1

対象システムリセット条件は物体と地面との衝突（x1 = 0）であり，その発生条件はリセット行列を[]
1 0
M=, ϵ>00 −ϵ2(5)とおけば，ϵ → 0 の極限 ∗ として表せる．

以下のリセットシステムについて考える．

また 2 次形式リセット関数 F (x) が与えられ

ẋ = Ax + Bd,

if x ∈ FM ,(1a)x+ = AR x,

ifx ∈ JM

(1b)

リセット条件は x ∈ JM の成立である．ただしフローセット FM ，ジャンプセット JM はリセッたとき，適当な係数ベクトル[]T
α= a c d fが存在して (y, x2 ) についての F の多項式表現

ト行列 M = M T ∈ Rn×n およびリセット関数

F (x) := xT M x を用いて次のように定義する．
FM = {x ∈ Rn | F (x) >= 0},(2a)

JM = {x ∈ Rn | F (x) <= 0}

(2b)

(6)

F (x) = ay 2 + cx22 + dy + f(7)= xα =: F (x, α),[]x := y 2 x22 y 1(8)(9)を得る．例えば (5) 式の M については a = 1, c =なお FM , JM の境界 F (x) = 0 は，2 次のシス−ϵ2 , d = −2y0 , f = y02 となる．なお (2), (3)テムでは状態平面上の交差する 2 直線になる．

式より，y0 は FM , JM の境界（以後 F/J 境界）

つぎに物体の鉛直方向の落下運動を， (1), (2)式の 2 次錐型リセットシステムとしてモデリン線の交点の，x1 方向オフセットである．

2.2

グすることを考える．外力（重力や空気抵抗）を d で表せば，質量 m の物体の運動方程式は基準点からの高さを y として mÿ = d である．また地面の位置を y0 とし，物体の相対高さを考え

x := [x1 , x2 ]T , x1 := y − y0 , x2 := ẏ(3)以上の議論より，本研究では次の仮定のもとで 2 次の 2 次錐型リセットシステム (1) ∼ (3)式の F/J 境界推定問題を考える．
仮定 1. 行列 AR , M はそれぞれ (4), (5) 式の構造を持つ．とおけば，物体が空中にあるときの運動がフローに相当し，フローダイナミクス (1a) 式において
[]
[]
0 10
A=, B=0 0m−1

フロー/ジャンプ境界推定問題

なお仮定 1 はリセット関数 F の多項式表現 (7)式において次の条件が成立することを要求する．となる．

ac < 0,(10a)

4af − d2 = 0(10b)

また地面との衝突に伴い物体の速度が瞬間的(10) 式は， (7) 式の多項式が (5) 式の構造を持に変化する挙動がジャンプに相当し，物体と地つ M についての 2 次形式表現を持つための必面との反発係数を e > 0 とおけばジャンプダイ

要十分条件である．

ナミクス (1b) 式において r := −e,[]1 0
AR =,0 r

以降，リセット発生時刻での状態およびジャンプ後の状態をそれぞれ (·)− , (·)+ で表すもの(4)–2–∗

このとき JM のセクターは退化して直線になるとする．また N 組のリセットイベントデータ

また問題 1 の制約条件のうち， (10a) 式は 2++(y − (j), x−2 (j), y (j), x2 (j)), j = 1, . . . , N が与次曲線 F (x, α) = 0 が双曲線となる条件であり，えられたとき，次の行列を定義する．
X(1) . D :=  ..  ,X(N )(10b) 式は双曲線が退化して 2 本の交差する直線になることの条件である．
さらに，問題 1 の最適解を αo = [ao , co , do , f o ](11)とおくと，交差 2 直線 F (x, αo ) = 0 は任意の

α = [ao , co , do , ∗] についての双曲線群 F (x, α) =X(j) := [(x− (j))T , (x+ (j))T ]T ,(12)0 に対する共通の漸近線になっている．
問題 1 の解より所望のパラメータの推定結果

2 −x− (j) := [(y − (j))2 , (x−2 (j)) , y (j), 1], (13)2 +x+ (j) := [(y + (j))2 , (r−1 x+2 (j)) , y (j), 1](14)は次のように得られる．

ϵ2 =x− はリセット発生時の状態データであり，x+は， (4) 式にもとづきジャンプ後の状態データから逆算したリセット発生時の状態データであ3.

−c,ay0 =−d2a(18)F/J 境界推定問題の近似解法

るため，両者とも JM の境界上にある．すなわ

問題 1 は 2 次制約付き 2 次最適化問題 (Quadra-ち (10) 式をみたす適当な α が存在し，すべて

tic Constrained Quadratic Programming) であの j について次式を満たす．

るため，直接解くことは難しい．そこで (10b) 式

F (x− (j), α) = F (x+ (j), α) = 0(15)しかしデータに誤差が含まれる場合は，そのような α が存在するとは限らない．
以上の議論より，最小 2 乗近似に基づき，リの制約を除去した次の緩和問題を導入し，O’Learyand Zsombor-Murray4) による一般化固有値問
題を利用した解法を適用することを考える．
問題 2. （緩和問題 1）セット行列のパラメータ ϵ および F/J 境界の交min ||Dα||2α

点の x1 方向オフセット y0 を推定するために次s.t.

(10a) 式(19)

問題 1 は，与えられたデータに（何らかの双の最適化問題を考える．

曲線の）漸近線を最小 2 乗近似の意味でフィッ
問題 1. （F/J 境界推定問題）トさせる問題であるのに対し，問題 2 は双曲線AR（すなわち r）は既知であるとする．与えをフィットさせる問題である．

られたリセットイベントデータについて次の最適化問題を解け．

そこで本研究ではまず問題 2 を解いてデータに双曲線をフィットさせ，次にその漸近線を求

min ||Dα||2s.t.

α(10) 式(16)めることで問題 1 を近似的に解くことを考える．
また (10a) 式は等価的に次のように書ける．

ここで以下のように書けることから，問題 1の最適解は (15) 式に対する最小 2 乗近似解になっている．

αT Cα < 0,||Dα||2 =N∑(F (x− (j), α))2j=1+N∑(F (x+ (j), α))201C := 0010000000

0000(20)(20) 式および問題 2 の目的関数において変数ベ(17)クトル α はスカラー倍の自由度を持つため，問

j=1–3–

題 2 の制約条件はさらに次の等式制約に置き換(18) 式に従いd∗c∗y0 = − ∗ , ϵ2 = − ∗ と決定する．
2aa

Step 3えることができる．

αT Cα = −1(21)

そこでラグランジュ乗数 λ を導入し，次の制約なし最適化問題を解くことを考える．

なお上記の手続きから得られる問題 1 の近似解(d∗ )2は α̃ = [a∗ , c∗ , d∗ , f˜]T , f˜ =である．
4a∗4.

おわりに問題 3. （緩和問題 2）
本研究ではリセットシステムのリセット条件

min ||Dα|| − λ(α Cα + 1)
2Tα(22)

問題 3 の最適解は (21) 式および次の条件を満を決めるフローおよびジャンプセット境界の推定問題について議論した．
衝突を含む物体の運動を模した 2 次の 2 次錐たすことが知られている．

型リセットシステムを考え，ジャンプダイナミ

D Dα − λCα = 0,T(23)(23) 式をみたす (λ, α) の組は，(C, D T D) についての一般化固有値問題を解いて求まる．
Lemma 1,24) より，(C, D T D) の一般化固有値の符号は，適当に順序付けた C の固有値の符号と一致する．また各々の固有構造 (λi , αi ) について，λi の符号と αTi Cαi の符号は一致する．

(20) 式より eig (C) = {−1, 0, 0, 1} であるため負の一般化固有値が常にひとつ存在し，対応すクスが既知であるという設定のもとで，リセットイベント前後の状態データに基づいてリセッ
ト行列およびフロー/ジャンプ境界の交点のオフセットを推定する問題を，所望の境界を漸近線にもつ双曲線の最小 2 乗推定問題とみなすことで QCQP 問題として記述した．
また一般に QCQP 問題を解くことは困難であるため，その緩和問題の解を利用した近似解法を提案した．

る固有ベクトルを α とおけば αT Cα < 0 とな

参考文献

る．そこで

(24)

1) 井村順一，東 俊一，増渕 泉: ハイブリッドシステムの制御, コロナ社 (2014)とおけば，α∗ は (21), (23) 式を満たし問題 3の最適解となり 4) ，2 次曲線 F (x, α∗ ) = 0 は双2) D. Nesic, L. Zaccarian, and A. R. Teel: Stability properties of reset systems, Automatica,
Vol. 44, No. 8, pp. 2019–2026 (2008)

曲線となる．

3) L. Zaccarian, D. Nesic and A. R. Teel: Stability and performance of SISO control systems
with First Order Reset Elements, IEEE Trans.
Auto. Contr., Vol. 56, No. 11, pp. 2567–2582(2011)α∗ = √

1−αT Cαα

ただし α∗ は一般に (10a) 式を満たさないので，問題 1 の解ではないことに注意する．
以上の議論より，次の近似解法を提案する．

[問題 1 の近似解法]
Step 1 与えられた AR およびリセットイベン
トデータから (11) 式の D を構成する．

Step 2

一般化固有値問題 (23) 式を解き，負の一般化固有値に対応する固有ベクトルα から， (24) 式の α∗ = [a∗ , c∗ , d∗ , f ∗ ]Tを求める．これは問題 2 の最適解である．

–4–4) P. O’Leary and P. Zsombor-Murray: Directand specific least-square fitting of hyperbolae
and ellipses, Journal of Electronic Imaging,
Vol. 13, No. 3, pp. 492-503 (2004)