計測自動制御学会東北支離第17引司研究集会（1998．1l．2n）
資料番号17呂−4

フィードバック線形化による無段変速機の制御

ControlofContinuouslyV五riableTransmissionsbyFbedback
Lineari2；ation○ヨーケンホク，季載寛，阿部健一

OKian−hockYeoh，Jae−kwanLee，KenichiAbe
東北大学大学院工学研究科
Grad11ateSchooIofEngineerlng，TohokuUmiversity
キーワード：無段変速機（ContinuouslyVarjableTransmis＄ious；CVT〕，フィードバック線形化〔FbedbackLiz）eariz孔tioIl〕Tスライディングモード制御（SlidingModeControl）

連絡先：〒980−8579 仙台市青葉区荒巻字音乗D占東北大学大学院工学研究枠電気▼通信工学専攻阿部研究室
ヨーケンホタ，T軋：（022）封了−7074，F叩．：（022）263−9ヨ90，駐Ⅲ1ail＝y現b鮎b色．粥扇．tobo加．虻．jp

用いたシステムの制御特性はゲインの選び方に大1． はじめにきく依存する1）．また，よりよい特性を碍るため自動車のエンジンで発生された出力は変速機をに，単・−・ゲインではなく，ゲインを変化きせる必

通して，車の走行条件に応じた適切な値に変換さ要があが）．本稿では．広い状態空間で線形化でれ，旨匡動輪に伝達される．

きる非線形制御理論のフィードバック線形化を用

一般的に，エンジンの出力が一定のとき，高回いた制御の可能性について検討する．

転．低トルクで運転するよりも，低回転，高トルクで運転する方がエンジン摩擦の軽減により燃料2．制御モデル消費率が向上する．数組の異なったギヤセットで構成される変速機を用いた駆動システムの場合，エンジンの回転数と車速との間が一定の関係に固定され，エンジンは燃料消費率の最適点での運転ができないという難点がある．これに対して，無段変速機はエンジンの回転数と車速の関係を連続的に変化させることが可能でtエンジンの特牲を最大限に生かし，良好な動力性能と燃費性能を両立きせた運転をすることができる．

従来は，無段変速機を用いた駆動システムの制御に，PID制御が用いられてきた1）叶pID制御を
椚1−

Fi酎は制御プラントを示している．運転者が車

ここで，に与えた制御信号入は制御器Clによって目標とすん（m凸才芸一也）∬箸＋叫知1∬…＋n叩2−Cん＋鴫∬茎る状態址叫d（駆動絵の速度）及び月d（変速比）を作り一円左∬1こr2

出す．この2つの目標状態は与えられたものとし

ダw
ん＋−1J挿妄て，プランtの出力であるぴu及び月がそれぞれ目

制御プラント（7）の状腰変数は標状腰l仙d．月dに追従するように，制御人力uを決棚仙声Iin≦諾1≦Ⅷ叫m。露

める．また，燃料・消費率特性は制御器rが最適となるように制御きれているとする．

見品．≦∬コ≦月m。正

燃費最適点でのエンジントルク特性℃はエンジ
ⅧE．汀貢n≦ヱ1エ2≦w ，m。正ンによって違うが，次の2衆多項式で近似できるに制限されている．その許容制御領域をFig2に示場合が多い．

す（高速走行モードのみを考える一瓶blel）．
㌔＝αぴ≡＋β叫＋7（1）

外部トルク特性㍍はで表きれ，右の第1項はドラッグを表し，帯2墳

知は各種の抵抗（路面抵臥登り抵抗など）を表す．

劇

音一；盲一重−一−（2）脚㌔＝αW吉＋c

先vr，だとコtvT．uをそれぞれ無段変速機のエンジン側と駆動輪例のトルクとすると，運動方程式は凸●■■r■鵬■ X壬吼已 ＝＝」rl（㌔一指rr，e）
軋 ＝㍍1苗Ⅳ和一n）Fig．2 状鮭の制御領域（3）となる．左，Jwはエンジン及び車の慣性である．回

3．フィードバック線形化

転速度の間には
叫＝月棚w

1人力の非線形システム（4）が成り立つ．エネルギー保存則より
Ⅷw先vT，仙＝mW￠先vr，亡曳＝J（ヱ）＋〟（諾）叫霊∈月n，u∈月 （即が次の町制御な線形システム（BrullOVSky標準型）〔5）

ただし，和は伝達効率である．

0 1 0 ‥・0
0 0 1 ‥・
ヱ ＝状態変数を訂＝恒也月Irとすると．制御プラン

A。ヱ＋わ。叫ヱ∈月n，U∈月

トは次の非線形微分方程式で表せる．
ユフ︵U O

（6）

nU 爪U

nU 爪U

ガ＝Il0・・・ l nU

＝・

無段変速債自身は単一の積分器で表せる4）．とフィードバック等価であるとき，非線形システ
J（∬）＋g（ヱ〕uム（叫まフィードバック線形化可能という．フィー〔H十〔汀（7）ドバック線形化可能の必要十分条件として，ペク−」2「（9）トル即（け由）が次の条件を満たす5河（以下文とすると．線形座標之（坤こ関するシステムの状態

献5いこよる記号を用tlる）．

方程式は式（9）のような可制御な線形システムとなる．

1）呼叫即如，・＝，叫￣l如＝即制御プラント（7）に対して，†訊α中抑ま2）Ⅰ肘叫価‥り叫￣㌔†がインポリューティ了｛鋸舶＝（㌣唖￣幣詮条件1）は線形システムにおいては‡となる．従って，フィードバッグ線形化可能である

抽Aむ，．．，An￣蟻Iためには，曲線となり，ある埋の可制御性の条件と考えることが一鮎一＝0ん

できる．条件2）は線形システムの場合は常に成り（15）が制御領域内に入ってはならない．その曲線は立つ・また，状態変数の数がn≦2の場合，条件2）は常に満たされる．

J：1＝一βん和一√＝（16）

翫2（αJ亡＋αん∬2）

フィードバック線形化可能な非線形システム（別で表される．ここで，に対して巨艦密に線形化された線形座標巾〕はJl＝〔刺し勘）2
ニ

諾

l⁚・

Jコ ＝ 弛2（Tん＋cJe勘）（□左＋αんご2）（10）式（1G）の曲線はFig2で示Lたように．制御領域以外の所にある．従って，制御プラント（7）はフィーで表される．ただし，線形座標zlはドバック裸形化可能である．
上8digヱ1＝ 0，蒼＝0，＝，n−2 （11）エ叫−1㌔l≠ 0（12）式（11），（12）を満たす線形座標才1の1つは￡1＝｛2g癖1）・帆＋巾茎）I（17）を満たすものである．一般的に，式（叫，（12）を満と求まる．ただし，たは任意の定数である．従って，たす解ヱlは唯一な解ではなく．多数存在する．ま

線形座標匂はた，簡単に求められない場合もある．

、 （m凸ユ喜一瓜）諾‡＋nβごl訂茎＋nr′∬2−C

厳密に線形化きれた線形座横言（坤まある種の座こ2＝人

標変換であるから，その道変換ヱ￣1（∬）が存在しな（18）

丁症勘（ん＋鴫堵となる．

くてはならない．つまり，座標変換は微分同相写

線形座標z（可＝（zIZ2）Tが微分伺相写像である像でなければならない．線形座標ヱ（可が微分伺相ためには写像であるためには
一≠0（19）dヱとなる．微分同相写像でない曲線d∬塾生＿∂∬1∂∬2 ∂ヱ2∂諾1が正則でなくてはならない．

＝0は式（16）で表され，線形化不能な曲線と同じ曲線非線形システム（8）の人力uをとなる．すなわち，制御領域内に，線形座標ヱ（葺）＝†J＝トムプzl十U‡（14）（ヱ1ヱ2）Tは微分同相写像である．

エgエフ￣1ヱ1−3u（20）人力Ilを

1．■﹁＃一割（叫側トエ∫上ノヱ1＋可上gエ／ヱ1一▼

ステムは去＝［川H骨出︻一召上 l 一 身 ■ t − 暮と与えると，線形座席巾）＝（z．句）Tに関するシ

Pb■‖R■一−▼叫帥・■−−1一事い山一−−ll量6・t主賓●I1占■●T llT■M【■】（22）となり，Uは新たな線形入力である．

4．線形制御器の設計
4．1極配置lこよる設計式（22）の可制御な線形システムは

ヱ1＝U（23）

Pd●Ph州（l，・・■・−E．一斗トl鵬■l−11宣占倉．判と表せる．状態才1を目標状態如に追従させるために，入力uをU＝ヱ1（ゴーロ1ヱ1−α0ヱl12｝■

12

き■（24）とすると，システムが
芝1＋叫亘1＋α0羞1＝0（25）5Thl■】

Fig．4 極配置による設計その2となる・ただし，和ま状態誤差で，次のように定義される．
Zl＝ヱ1一之1dコ

丑hdoを誤差方程式（式（叫）の極が左半面に配置さコれるように選ぶと，安定なシステムが得られる．

Unqく・∩■dhbil叶Im■■叶Obn．

Fig3とFig4は極配置による設計の結果を示してUn亡■nll下Ih血l呵＝■甘bnhllln●■r▲hhいる（恥blelの諸パラメータを用いた）．両方は同刊H→＼、l＼一． 4

じ日標状態に設完され，初期状態が違う．シミュ
レーションの結果から分るように，ほんの少しの＼」ln■■r細Ir■9bn

違いの初期状儲で，Fig3の例は目標状態に達したのに対して．Fig4の制御が失敗となった．

ITくlア⊇

丁■

丁一β

11

Fig．5 線形領域・線形制御不能な領域

初期状潜と目標状態によって，線形座捷ではかなり離れた状態となり，過渡状恐が制御不能な領域に達し，制御ができなくなる場合がある．

ー4−

丁■

Fig与では線形制御不能な領域を示している．線を満たす．

形領域において．状態は常に軌御領域に拘束する切換え超平面∫を微分すると必要がある．極配置による設計だけでは達成でき∫＝βTAご＋㌔玩＝0ない．となり，線形制御項は4．2 スライデインクモード制御による設叫＝−（βT叶￣甘心（32）

計で表きれる．

スライデインダモード制御を用いて．状態を切換

非線形制御項は

え超平面（スライディングモード）に拘束し，滑りながら目標状態に到着きせることが可能である．切触＝一柳）了換え超平面を制御領域に設定することによって，状（33）で表される．古はチャタリング防止するための項で態を常に制御領域に拘束でき，制御が可能である．

あり．正の値をとる．関数頃項）は式〔29）を満たす

1入力の線形システム

ように選ぷ．式（32），（33）の制御入力を代入すると

蕊＝Aェ十叫‡∈兄n，U∈月 （26）￠＝叫湖1h品に対して．切換え超平面∫はT∫＝βJ＝β1∬1十…＋βmJ。となり，町村）は（27）

剛＝（叫‡と定義きれる．
で与えられる．
スライディングモードが存在するために，gに関式（30）で与えられた制御法は最終スライディンするリアプノフ関数がリアプノフ安定性を満たさグモード制御法といい，状態が切換え起平面引こなければならない．そのリアプノブ関数の候補を至るまで一度もスライディングモードを生じない
Ⅴ＝∫2で，引こ入ったあと，一機にスライディングモード（28）を生じる．線形制御項叫は切換え超平面∫への収と選ぶと束の速きを調整する役割を担う．非線形制御項祝nJlノ■ ＝ ∫∫＝ ∫￡T（血十わu）く0

は状態を常に換え超平面引こ拘束するためのものである．

（29）

スライディングモード制御による設計の結果はとなる．

Fig6とFig7で示している，Fig6とFiがはそれぞれ一般的に，スライデインダモード制御人力はFig3とFig4と同じ初期状態から山菜して，ともにU＝叫＋甘山目標状態に収束する．しかし，適応性という点は（30）

なお改善する必要がある．のように，線形制御項と非線形制御項の2つの独立した項から構成される．

与． おわりにスライディングモードが生じたとき．換え起平面∫は線形制御器の設計において，線形状腰を常に制
ざ＝βT訂＝0｛34）

御領域に拘束する必要はあるが，フィードバック

（31）

一5−

仙M

一書警︼召l聖l墓

Tabl亡1諸パラメータ

加■．■■｝

1tl

童OaOTh■t■l

Fi掛6 スライディングモードによる設計その1

月mi¶

2．2

月仰M

6．0

u叫mi円

100（rαd／占）ひ叫mlュ欝180（rdd／占）叫叩血200（rqd／β）

榔亡Im山王600（rdd／占）JM

75（たぎm望）叫神

0・12与（軸m2）

瓜0月1（桓m2）

亡

3与（桓m㌔￣コ）

α・3・13♯10￣4（軸m2）

β0・255（桓m2β￣1）7

岨8〔たgm2g￣コ〕

神経．1■■
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0．8

謝〉
T■■■叫＝・、 二 l ．．」 l10量○3）Li）10GuzEe11aandAndrea眉MiehaelSchmid：
FbedhackLinearizationofSpark−IgnitionEn・g）neSwith Continuotl＄1Y V瓦riable Thnsmis−
Sion＄，IEEETtaェ1SaCtionst）nControISystem＄

ュO
T■MI叫

TbdlI10logy，Va13，Ⅳ01，Mar血1995

Fig．7 スライデインヴモードによる設計その24）A・Sdlmid：ModellingofaCVT，MeaBurement
andControILab−Repol・t，Mot2−93，Swi自写Fbd・線形化による無段変速横を用いた駆動システムのeralInstituteofTedlnO）ogy（ETfI），Zuridl，

SwitEerland，1993

制御は可能である．今回はバラメータ及びプラントに関する不確定な部分はないと仮定したが，実5）A・hidori： Nonlinear ControISy8temS，

SpringerVもrlag（19叫際には仁パラメータの変動，特に抵抗cの変動が大

6＝・J・E．Slotine，WeipingLi：AppliedNonlincar
Control，Prentice−Hall（1991）

きい．そのため，パラメータの変動に関するロバスト性を持つ制御器を構成する必要がある．また，

7）AlaIIS，Ⅰ・Zi110ber（Ed．）：Vari止Ie Stru亡tureandLyapunovControl，LectureNotesinCon−
trolaLndInfbrmation SeierlCCSlg3，Springer

スライディングモード制御による設計の場合，適応性をよくするための制御パラメータを最適に選Verlag（1g94）
ぷ必要がある．

8）野披健蔵編著，西村秀和，平田光男共著：
MATLAI】による制御系設計，東京電機大学出版局（19開）

参考文献
りC・Ch叫 T■Ⅶ1E，D．Breitw壷叫 A．n且叫
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2）S．1Iir且rlO，A．LMiller，K．F．Sclmeidcr：SCVTr A State of the Art Electroni亡al1y Con−
tro11ed Continuously V卸iabIe Tf肌Smission，SAE−Paper910410，1g91

ー6一