測度論的位置解析の試み

partially based on an ongoing work
M. Izumi, R. Kobayashi and P. Lin, “Riemann-Hurwitz Approach to Nevanlinna Theory, the Ahlfors-Yamanoi LLD and
Measure Concentration Phenomenon”

小林亮一

24 March 2023, 最終講義 @ 名古屋大学

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

1 / 19• 今子有大樹。患其無用。何不樹之於無可有郷。廣漠之野。彷徨乎無為其側。逍遥乎寝臥其下。（荘子）• God created the integers ; everything else is man-made. (Leopold
Kronecker)• God created inﬁnity, and man, unable to understand inﬁnity, had toinvent ﬁnite sets. (Gian-Carlo Rota)

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

2 / 19

発端

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

3 / 19発端
定理 (1)
可分な無限次元 Banach 空間における平行移動不変かつ局所有限な Borel
測度は自明である．
（証明：ℓ2 の場合：“直交補空間” をとるプロセスが終わらない．一般の場合：Riesz の不等式．
）

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

3 / 19発端
定理 (1)
可分な無限次元 Banach 空間における平行移動不変かつ局所有限な Borel
測度は自明である．
（証明：ℓ2 の場合：“直交補空間” をとるプロセスが終わらない．一般の場合：Riesz の不等式．
）
素朴に考えればnVoleuc ([0, 1]n ) = 1,π21Voleuc (B n ( )) = n n
2
2 Γ( 2 + 1)

だからだが，この定理は自然の摂理である．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

3 / 19発端
定理 (1)
可分な無限次元 Banach 空間における平行移動不変かつ局所有限な Borel
測度は自明である．
（証明：ℓ2 の場合：“直交補空間” をとるプロセスが終わらない．一般の場合：Riesz の不等式．
）
素朴に考えればnVoleuc ([0, 1]n ) = 1,π21Voleuc (B n ( )) = n n
2
2 Γ( 2 + 1)

だからだが，この定理は自然の摂理である．
だから次の問題意識が発生する（問題を考えたくなる）：

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

3 / 19発端
定理 (1)
可分な無限次元 Banach 空間における平行移動不変かつ局所有限な Borel
測度は自明である．
（証明：ℓ2 の場合：“直交補空間” をとるプロセスが終わらない．一般の場合：Riesz の不等式．
）
素朴に考えればnVoleuc ([0, 1]n ) = 1,π21Voleuc (B n ( )) = n n
2
2 Γ( 2 + 1)

だからだが，この定理は自然の摂理である．
だから次の問題意識が発生する（問題を考えたくなる）：

問題 (Basic Question)
有限次元の普通の幾何にこの定理の影があるはずだ．それを見つける数
学はどんな数学か？
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

3 / 19

発端

小林亮一

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24 March 2023

4 / 19発端
定理 (2 測度集中現象 Borel’s Lemma)
X = (X1 , . . . , Xn ) は Sn−1 ⊂ Rn 上の一様ランダムベクトルとする. この√とき nX1 は n → ∞ のときガウス分布に従う確率変数に弱収束する：
∫ t
√
x2
1
n→∞
P[ nX1 ≤ t] −→ √e− 2 dx .
2π −∞

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

4 / 19発端
定理 (2 測度集中現象 Borel’s Lemma)
X = (X1 , . . . , Xn ) は Sn−1 ⊂ Rn 上の一様ランダムベクトルとする. この√とき nX1 は n → ∞ のときガウス分布に従う確率変数に弱収束する：
∫ t
√
x2
1
n→∞
P[ nX1 ≤ t] −→ √e− 2 dx .
2π −∞定理 (1)+ 定理 (2) ⇒ n → ∞ のとき，測度論的 sphere packing という概念が漸近的に well-deﬁned になる．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

4 / 19発端
定理 (2 測度集中現象 Borel’s Lemma)
X = (X1 , . . . , Xn ) は Sn−1 ⊂ Rn 上の一様ランダムベクトルとする. この√とき nX1 は n → ∞ のときガウス分布に従う確率変数に弱収束する：
∫ t
√
x2
1
n→∞
P[ nX1 ≤ t] −→ √e− 2 dx .
2π −∞定理 (1)+ 定理 (2) ⇒ n → ∞ のとき，測度論的 sphere packing という概念が漸近的に well-deﬁned になる．
格子点に中心を持つボールの和集合が測度論的に全空間を近似する．これらのボールは disjoint ではないが，有界閉集合の体積をボールの体積の和でいくらでも近似できる．これは一例．もっと驚くべき例があるはず．

小林亮一

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24 March 2023

4 / 19発端
定理 (2 測度集中現象 Borel’s Lemma)
X = (X1 , . . . , Xn ) は Sn−1 ⊂ Rn 上の一様ランダムベクトルとする. この√とき nX1 は n → ∞ のときガウス分布に従う確率変数に弱収束する：
∫ t
√
x2
1
n→∞
P[ nX1 ≤ t] −→ √e− 2 dx .
2π −∞定理 (1)+ 定理 (2) ⇒ n → ∞ のとき，測度論的 sphere packing という概念が漸近的に well-deﬁned になる．
格子点に中心を持つボールの和集合が測度論的に全空間を近似する．これらのボールは disjoint ではないが，有界閉集合の体積をボールの体積の和でいくらでも近似できる．これは一例．もっと驚くべき例があるはず．
問題：こういう観察を有限次元幾何に射影したらどんな影が見える？

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

4 / 19発端
定理 (2 測度集中現象 Borel’s Lemma)
X = (X1 , . . . , Xn ) は Sn−1 ⊂ Rn 上の一様ランダムベクトルとする. この√とき nX1 は n → ∞ のときガウス分布に従う確率変数に弱収束する：
∫ t
√
x2
1
n→∞
P[ nX1 ≤ t] −→ √e− 2 dx .
2π −∞定理 (1)+ 定理 (2) ⇒ n → ∞ のとき，測度論的 sphere packing という概念が漸近的に well-deﬁned になる．
格子点に中心を持つボールの和集合が測度論的に全空間を近似する．これらのボールは disjoint ではないが，有界閉集合の体積をボールの体積の和でいくらでも近似できる．これは一例．もっと驚くべき例があるはず．
問題：こういう観察を有限次元幾何に射影したらどんな影が見える？
衝撃的な例：[AS] K. Adiprasito and R. Sanyal, Whitney numbers ofarrangements via measure concentration of intrinsic volumes,arXiv:1606.09412 [math.CO] Rota-Heron-Welsh conjecture の解決．
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

4 / 19Basic Question と相性のいい議論の例

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

5 / 19Basic Question と相性のいい議論の例
観察
ランダム射影と楕円曲線の一意化（議論 (E)） ．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

5 / 19Basic Question と相性のいい議論の例
観察
ランダム射影と楕円曲線の一意化（議論 (E)） ．

• E : 楕円曲線．L → E を豊富直線束とする．µ ∈ G(1, |mL|) ⇔ 射影
µ : E → P1 （deg(µ) = 2d と仮定）．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

5 / 19Basic Question と相性のいい議論の例
観察
ランダム射影と楕円曲線の一意化（議論 (E)） ．

• E : 楕円曲線．L → E を豊富直線束とする．µ ∈ G(1, |mL|) ⇔ 射影
µ : E → P1 （deg(µ) = 2d と仮定）．
℘E
rat
有理型写像 µ : E → P1 は E → P1 → P1 と分解する．これを Galois 被覆
℘
′
d:1
E
E → E′ →P1 で近似する．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

5 / 19Basic Question と相性のいい議論の例
観察
ランダム射影と楕円曲線の一意化（議論 (E)） ．

• E : 楕円曲線．L → E を豊富直線束とする．µ ∈ G(1, |mL|) ⇔ 射影
µ : E → P1 （deg(µ) = 2d と仮定）．
℘E
rat
有理型写像 µ : E → P1 は E → P1 → P1 と分解する．これを Galois 被覆
℘
′
d:1
E
E → E′ →P1 で近似する．
分岐因子に対する Shiﬀman-Zelditch 収束定理（⇐ 測度論的 spherepacking）⇒ d が大きいほど精密な近似がとれる．
∃d:1
楕円曲線は自己被覆を持つ ⇒ E ′ → E （異なる大きさ同じ形）.

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

5 / 19Basic Question と相性のいい議論の例
観察
ランダム射影と楕円曲線の一意化（議論 (E)） ．

• E : 楕円曲線．L → E を豊富直線束とする．µ ∈ G(1, |mL|) ⇔ 射影
µ : E → P1 （deg(µ) = 2d と仮定）．
℘E
rat
有理型写像 µ : E → P1 は E → P1 → P1 と分解する．これを Galois 被覆
℘
′
d:1
E
E → E′ →P1 で近似する．
分岐因子に対する Shiﬀman-Zelditch 収束定理（⇐ 測度論的 spherepacking）⇒ d が大きいほど精密な近似がとれる．
∃d:1
楕円曲線は自己被覆を持つ ⇒ E ′ → E （異なる大きさ同じ形）.
d:1
列 {E ′ → E}d の GH 極限が楕円曲線の一意化 C∗ → E を与える．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

5 / 19Basic Question と相性のいい議論の例
観察
ランダム射影と楕円曲線の一意化（議論 (E)） ．

• E : 楕円曲線．L → E を豊富直線束とする．µ ∈ G(1, |mL|) ⇔ 射影
µ : E → P1 （deg(µ) = 2d と仮定）．
℘E
rat
有理型写像 µ : E → P1 は E → P1 → P1 と分解する．これを Galois 被覆
℘
′
d:1
E
E → E′ →P1 で近似する．
分岐因子に対する Shiﬀman-Zelditch 収束定理（⇐ 測度論的 spherepacking）⇒ d が大きいほど精密な近似がとれる．
∃d:1
楕円曲線は自己被覆を持つ ⇒ E ′ → E （異なる大きさ同じ形）.
d:1
列 {E ′ → E}d の GH 極限が楕円曲線の一意化 C∗ → E を与える．
• d → ∞ のとき
∫
1
dzdz
′
M(τ (E )) =ℜ(z)=∞|F |ωhyp Fℑ(z)2の反映（F はガウス基本領域）を観察していると解釈できる．
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

5 / 19Basic Question と相性のいい議論の例
観察
ランダム射影と楕円曲線の一意化（議論 (E)） ．

• E : 楕円曲線．L → E を豊富直線束とする．µ ∈ G(1, |mL|) ⇔ 射影
µ : E → P1 （deg(µ) = 2d と仮定）．
℘E
rat
有理型写像 µ : E → P1 は E → P1 → P1 と分解する．これを Galois 被覆
℘
′
d:1
E
E → E′ →P1 で近似する．
分岐因子に対する Shiﬀman-Zelditch 収束定理（⇐ 測度論的 spherepacking）⇒ d が大きいほど精密な近似がとれる．
∃d:1
楕円曲線は自己被覆を持つ ⇒ E ′ → E （異なる大きさ同じ形）.
d:1
列 {E ′ → E}d の GH 極限が楕円曲線の一意化 C∗ → E を与える．
• d → ∞ のとき
∫
1
dzdz
′
M(τ (E )) =ℜ(z)=∞|F |ωhyp Fℑ(z)2の反映（F はガウス基本領域）を観察していると解釈できる．
• 議論 (E) の類似として議論 (C∗ ) も考えられる．
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

5 / 19

測度論的位置解析を考える動機（小林双曲性）

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

6 / 19

測度論的位置解析を考える動機（小林双曲性）
小林双曲性．測度双曲性．距離空間と測度論の有効性（小林昭七）．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

6 / 19

測度論的位置解析を考える動機（小林双曲性）
小林双曲性．測度双曲性．距離空間と測度論の有効性（小林昭七）．
代数的極小曲面 M のガウス写像の値分布問題を基本群の問題と思う∑
AreaFS (Fα ∩D(r))
アプローチでは，極限 limr→1 Z(r) = α∈π1 (M ) Area
(D(r)) が問
hyp題になる．r → 1 のとき，普遍被覆面 D に働く自由 Fuchs 群 π1 (M )の基本領域 {Fα }α∈π1 (M ) と D(r) の位置解析を行う必要がある．
r → 1 とすると関わる基本領域の個数 → ∞ ゆえ測度論的になる．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

6 / 19

測度論的位置解析を考える動機（小林双曲性）
小林双曲性．測度双曲性．距離空間と測度論の有効性（小林昭七）．
代数的極小曲面 M のガウス写像の値分布問題を基本群の問題と思う∑
AreaFS (Fα ∩D(r))
アプローチでは，極限 limr→1 Z(r) = α∈π1 (M ) Area
(D(r)) が問
hyp題になる．r → 1 のとき，普遍被覆面 D に働く自由 Fuchs 群 π1 (M )の基本領域 {Fα }α∈π1 (M ) と D(r) の位置解析を行う必要がある．
r → 1 とすると関わる基本領域の個数 → ∞ ゆえ測度論的になる．
Nevanlinna 理論の第二主予想を，射影代数多様体 X n への正則曲線の Wronskian を定義する問題と思うアプローチでは，存在しない射影構造をあるかのように思える設定をどう作るかが問題になる．そこで豊富直線束の冪 → ∞ の時，小平埋め込み X → |mL|∗ に付随するランダム射影の集まり {µ : X → Pn }µ∈G(n,|mL|) から誘導される分岐つきランダム射影構造を考えて，冪が巨大という設定で正則曲線とランダム分岐因子の位置解析を測度論的に行いたくなる．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

6 / 19

測度論的位置解析を考える動機（小林双曲性）
小林双曲性．測度双曲性．距離空間と測度論の有効性（小林昭七）．
代数的極小曲面 M のガウス写像の値分布問題を基本群の問題と思う∑
AreaFS (Fα ∩D(r))
アプローチでは，極限 limr→1 Z(r) = α∈π1 (M ) Area
(D(r)) が問
hyp題になる．r → 1 のとき，普遍被覆面 D に働く自由 Fuchs 群 π1 (M )の基本領域 {Fα }α∈π1 (M ) と D(r) の位置解析を行う必要がある．
r → 1 とすると関わる基本領域の個数 → ∞ ゆえ測度論的になる．
Nevanlinna 理論の第二主予想を，射影代数多様体 X n への正則曲線の Wronskian を定義する問題と思うアプローチでは，存在しない射影構造をあるかのように思える設定をどう作るかが問題になる．そこで豊富直線束の冪 → ∞ の時，小平埋め込み X → |mL|∗ に付随するランダム射影の集まり {µ : X → Pn }µ∈G(n,|mL|) から誘導される分岐つきランダム射影構造を考えて，冪が巨大という設定で正則曲線とランダム分岐因子の位置解析を測度論的に行いたくなる．
これらの問題を解こうとすると G(n, |mL|) を像への双有理写像
G(n, |mL|) → |Fm | (Fm = [Rµ ] は分岐因子によって定められる X
上の正則直線束）により |Fm | に拡張する必要が生じる（非線形射影も考える）．
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

6 / 19

測度論的位置解析を考える動機（小林非双曲性）

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

7 / 19

測度論的位置解析を考える動機（小林非双曲性）
小林双曲性（cf. 上記の二つの問題）が測度論的位置解析を動機づけるのであれば，その逆である小林非双曲性もそうだろう．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

7 / 19

測度論的位置解析を考える動機（小林非双曲性）
小林双曲性（cf. 上記の二つの問題）が測度論的位置解析を動機づけるのであれば，その逆である小林非双曲性もそうだろう．
代数的双曲性の概念 (Demailly).

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

7 / 19

測度論的位置解析を考える動機（小林非双曲性）
小林双曲性（cf. 上記の二つの問題）が測度論的位置解析を動機づけるのであれば，その逆である小林非双曲性もそうだろう．
代数的双曲性の概念 (Demailly).
射影代数多様体 X が代数的双曲性を持つとは，正数 ε で，任意の既約曲線 C ⊂ X に対し −χ(C) = 2g(C) − 2 ≥ ε degω (C) が成り立つことを言う（ω は Kähler 計量）．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

7 / 19

測度論的位置解析を考える動機（小林非双曲性）
小林双曲性（cf. 上記の二つの問題）が測度論的位置解析を動機づけるのであれば，その逆である小林非双曲性もそうだろう．
代数的双曲性の概念 (Demailly).
射影代数多様体 X が代数的双曲性を持つとは，正数 ε で，任意の既約曲線 C ⊂ X に対し −χ(C) = 2g(C) − 2 ≥ ε degω (C) が成り立つことを言う（ω は Kähler 計量）．
非双曲的と考えられる Calabi-Yau 多様体で，いくらでも次数の高い楕円曲線の族，Fano 多様体ではいくらでも次数の高い有理曲線の族が見つかれば，非双曲性に関して何らか面白い帰結が得られるはず
である．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

7 / 19

測度論的位置解析を考える動機（小林非双曲性）
小林双曲性（cf. 上記の二つの問題）が測度論的位置解析を動機づけるのであれば，その逆である小林非双曲性もそうだろう．
代数的双曲性の概念 (Demailly).
射影代数多様体 X が代数的双曲性を持つとは，正数 ε で，任意の既約曲線 C ⊂ X に対し −χ(C) = 2g(C) − 2 ≥ ε degω (C) が成り立つことを言う（ω は Kähler 計量）．
非双曲的と考えられる Calabi-Yau 多様体で，いくらでも次数の高い楕円曲線の族，Fano 多様体ではいくらでも次数の高い有理曲線の族が見つかれば，非双曲性に関して何らか面白い帰結が得られるはずである．
議論 (E)(C∗ ) から自然に生じる問題：Calabi-Yau 多様体，Fano 多様体への full-rank entire holomorphic map をどう構成するか？反標準因子はその観点からどう理解できるか？
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

7 / 19

測度集中現象に基づく測度論的位置解析

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

8 / 19

測度集中現象に基づく測度論的位置解析
設定：L → X:豊富直線束，X → |mL|∗ :小平埋め込み，µ ∈ G(n, |mD|):
ランダム n-dim 部分線形系．m が大きいと巨大な射影空間やグラスマン
多様体が出現する．これらの巨大空間の測度論的な性質から何がわか
るか？

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

8 / 19

測度集中現象に基づく測度論的位置解析
設定：L → X:豊富直線束，X → |mL|∗ :小平埋め込み，µ ∈ G(n, |mD|):
ランダム n-dim 部分線形系．m が大きいと巨大な射影空間やグラスマン
多様体が出現する．これらの巨大空間の測度論的な性質から何がわかるか？
次の定理は測度集中現象 (Borel’s Lemma) の一つの現れである：

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

8 / 19

測度集中現象に基づく測度論的位置解析
設定：L → X:豊富直線束，X → |mL|∗ :小平埋め込み，µ ∈ G(n, |mD|):
ランダム n-dim 部分線形系．m が大きいと巨大な射影空間やグラスマン
多様体が出現する．これらの巨大空間の測度論的な性質から何がわかるか？
次の定理は測度集中現象 (Borel’s Lemma) の一つの現れである：

定理 (A（大偏差原理型不等式）)
ε > 0 : 勝手な正数．X n (n ≥ 2) : 非特異射影代数多様体. C ⊂ X:非特異既約曲線, degmL (C) = O(mn )．巨大だが巨大すぎない整数 m を例えば
2+δm ≈ ε− n にとる（δ > 0 は ε, m に依存しない小さい正数）．このとき∃µ ∈ G(n, |mL|) s.t. C と Rµ は (Rµ )reg で交わり，交点における角∡([νp C], [νp Rµ ])（νp ：直交補空間をとる操作，[νp Rµ ] := Ker(dµ)p ）の直角からの差は ε より小さい．実際，このような µ は Haar 測度に関して
G(n, |mL|) の大部分を占める．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

8 / 19

測度論的位置解析の典型的な例

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

9 / 19

測度論的位置解析の典型的な例
次の定理は定理 A からの帰結である：

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

9 / 19

測度論的位置解析の典型的な例
次の定理は定理 A からの帰結である：

定理 (B （測度論的位置解析）)
ε > 0 : 勝手な正数．m ≈ ε− n : 定理 A と同様．
(1) X n (n ≥ 2) : 非特異射影代数多様体. C ⊂ X:非特異既約曲線,
degmL (C) = O(mn )．このとき ∃µ ∈ G(n, |mL|) で以下の性質を満たすものが在る :2+δ(i) C と Rµ は (Rµ )reg で交わる．
(ii) ∀p ∈ C ∩ Rµ において，角 ∡([νp C], [νp Rµ ]) と直角の違いは ε より小さい．
(2) (1) と同じ状況で，射影 µ ∈ G(n, |mL|) を C ∞ に改変して (Rµ )reg における C と Rµ の全ての交点で角 ∡([νp C], [νp Rµ ]) を直角，即ち[νp Rµ ] = Ker(dµ)p にできる. もっと強く，実は初めから問題の角は直角である（不等式 ⇒ 等式という整数論的な議論が可能である！）．
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

9 / 19

測度論的位置解析と Calabi-Yau 多様体における楕円曲線
定理 (C)(X, L) を n 次元射影的 Calabi-Yau 多様体とその上の豊富直線束，l ⊂ Pn
を直線とする．G(n, |mL|) を |Fm | に拡張する．
仮定：∃µ ∈ |Fm | s.t. l は (n − 1) 点 {p1 , . . . , pn−1 } で Bµ に接し（条件(†)），他のすべての Bµ との交わりは横断的．
結論：仮定は実現可能であり，この仮定が実現すれば C = µ∗ l ⊂ X の正規化は楕円曲線である．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

10 / 19

測度論的位置解析と Calabi-Yau 多様体における楕円曲線
定理 (C)(X, L) を n 次元射影的 Calabi-Yau 多様体とその上の豊富直線束，l ⊂ Pn
を直線とする．G(n, |mL|) を |Fm | に拡張する．
仮定：∃µ ∈ |Fm | s.t. l は (n − 1) 点 {p1 , . . . , pn−1 } で Bµ に接し（条件(†)），他のすべての Bµ との交わりは横断的．
結論：仮定は実現可能であり，この仮定が実現すれば C = µ∗ l ⊂ X の正規化は楕円曲線である．
理由：定理 A,B と Hörmander’s L2 -method for ∂-eq. を組み合わせると，µ ∈ G(n, |mL|) を動かして仮定を満たすような曲線 C = µ∗ l を見つけられる．(µ∗ ζ|C )0 = C ∩ Rµ , (µ∗ ζ|C )∞ = C ∩ µ∗ KP−1n だから
deg(µ∗ ζ|C ) = (µ∗ ζ|C )0 − (µ∗ ζ|C )∞ = deg(C ∩ Rµ ) − deg(C ∩ µ∗ KP−1n ) =nにdeg((Rµ − µ∗ KP−1
)|
)
=
deg(K
|
)
=
deg(O
|
)
=
0
（
µ
:
X
→
P
n
C
X C
X C
対する Riemann-Hurwitz 公式 KX = Rµ − µ∗ KP−1n ）．この式にµ|C : C → l = P1 に対する Riemann-Hurwitz 公式を適用すると−χ(C) = 0 がわかる．
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

10 / 19

Calabi-Yau 多様体の代数的非双曲性

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

11 / 19

Calabi-Yau 多様体の代数的非双曲性定理 C により，射影的 Calabi-Yau 多様体にはいくらでも次数の高い楕円曲線がある．これは Calabi-Yau 多様体の代数的非双曲性を意味する．ここから面白い帰結を得るために定理 C の族バージョンを考える：

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

11 / 19

Calabi-Yau 多様体の代数的非双曲性定理 C により，射影的 Calabi-Yau 多様体にはいくらでも次数の高い楕円曲線がある．これは Calabi-Yau 多様体の代数的非双曲性を意味する．ここから面白い帰結を得るために定理 C の族バージョンを考える：

定理 (D)
定理 C で見つかる楕円曲線を発生させるデータ µ ∈ G(n, |mL|) と l のうち，µ を動かすことにより，射影多様体 V n−1 ⊂ |Fm | を勝手にとると，ある有限集合 ⊂ V n−1 上で {Ct }t∈U は定理 C の楕円曲線たちの有限族である．m → ∞ とすると有限族に含まれる楕円曲線の個数 → ∞ で際限な
く大きくなり pointed Gromov-Hausdorﬀ 収束を考えられる．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

11 / 19

Calabi-Yau 多様体の代数的非双曲性定理 C により，射影的 Calabi-Yau 多様体にはいくらでも次数の高い楕円曲線がある．これは Calabi-Yau 多様体の代数的非双曲性を意味する．ここから面白い帰結を得るために定理 C の族バージョンを考える：

定理 (D)
定理 C で見つかる楕円曲線を発生させるデータ µ ∈ G(n, |mL|) と l のうち，µ を動かすことにより，射影多様体 V n−1 ⊂ |Fm | を勝手にとると，ある有限集合 ⊂ V n−1 上で {Ct }t∈U は定理 C の楕円曲線たちの有限族である．m → ∞ とすると有限族に含まれる楕円曲線の個数 → ∞ で際限な
く大きくなり pointed Gromov-Hausdorﬀ 収束を考えられる．
条件 (†)⇒ 有限族．議論 (E) は定理 C の族バージョンに拡張できて，次の結果を導く．V n−1 として Pn−1 や An−1 (Abel 多様体) をとるといい：小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

11 / 19

Calabi-Yau 多様体の代数的非双曲性定理 C により，射影的 Calabi-Yau 多様体にはいくらでも次数の高い楕円曲線がある．これは Calabi-Yau 多様体の代数的非双曲性を意味する．ここから面白い帰結を得るために定理 C の族バージョンを考える：

定理 (D)
定理 C で見つかる楕円曲線を発生させるデータ µ ∈ G(n, |mL|) と l のうち，µ を動かすことにより，射影多様体 V n−1 ⊂ |Fm | を勝手にとると，ある有限集合 ⊂ V n−1 上で {Ct }t∈U は定理 C の楕円曲線たちの有限族である．m → ∞ とすると有限族に含まれる楕円曲線の個数 → ∞ で際限な
く大きくなり pointed Gromov-Hausdorﬀ 収束を考えられる．
条件 (†)⇒ 有限族．議論 (E) は定理 C の族バージョンに拡張できて，次の結果を導く．V n−1 として Pn−1 や An−1 (Abel 多様体) をとるといい：

定理 (E （Calabi-Yau 多様体への full-rank 正則写像）)
X : 射影的 Calabi-Yau 多様体．このとき，超越的な full-rank 正則写像
（全射）F : C∗ × V n−1 → X が存在する．
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

11 / 19

Fano 多様体の代数的非双曲性

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

12 / 19

Fano 多様体の代数的非双曲性• Fano 多様体では議論 (E) を議論 (C∗ ) に置き換えて族バージョン化．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

12 / 19

Fano 多様体の代数的非双曲性• Fano 多様体では議論 (E) を議論 (C∗ ) に置き換えて族バージョン化．

定理 (F（定理 C の Fano バージョン）)
X : Fano 多様体．l ⊂ Pn−1 は直線.
仮定：∃µ ∈ |Fm | s.t. l は (n − 1) 点 {p1 , . . . , pn−1 } で Bµ に接し（条件(†)），他の全ての交点は横断的．
結論：この仮定は実現可能．仮定が実現 ⇒C = µ∗ l ⊂ X は有理曲線で
ある．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

12 / 19

Fano 多様体の代数的非双曲性• Fano 多様体では議論 (E) を議論 (C∗ ) に置き換えて族バージョン化．

定理 (F（定理 C の Fano バージョン）)
X : Fano 多様体．l ⊂ Pn−1 は直線.
仮定：∃µ ∈ |Fm | s.t. l は (n − 1) 点 {p1 , . . . , pn−1 } で Bµ に接し（条件(†)），他の全ての交点は横断的．
結論：この仮定は実現可能．仮定が実現 ⇒C = µ∗ l ⊂ X は有理曲線で
ある．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

12 / 19

Fano 多様体の代数的非双曲性• Fano 多様体では議論 (E) を議論 (C∗ ) に置き換えて族バージョン化．

定理 (F（定理 C の Fano バージョン）)
X : Fano 多様体．l ⊂ Pn−1 は直線.
仮定：∃µ ∈ |Fm | s.t. l は (n − 1) 点 {p1 , . . . , pn−1 } で Bµ に接し（条件(†)），他の全ての交点は横断的．
結論：この仮定は実現可能．仮定が実現 ⇒C = µ∗ l ⊂ X は有理曲線である．
CY の場合と同様，定理 F のファミリーバージョン：際限なく増大する有理曲線の有限族を構成できる．その有限族の pointed GH 極限をとる．
V n−1 として An−1 を取るのがいいと思う．

定理 (G（定理 D の Fano バージョン）)
仮定：X : Fano 多様体．
結論：反標準因子 DX と，超越的な full-rank 正則写像
F : C × (C∗ )n−1 → X \ DX が存在する．
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

12 / 19

Nevanlinna 理論

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

13 / 19

Nevanlinna 理論
ランダム射影 {µ : X → Pn }µ∈G(n,|mL|) の方法で更なる面白い帰結を得ようとする（例えば X が一般型の場合とか混合型の場合に何か言いたい）と，Nevanlinna 理論の第二主定理が必要になる（と思う）．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

13 / 19

Nevanlinna 理論
ランダム射影 {µ : X → Pn }µ∈G(n,|mL|) の方法で更なる面白い帰結を得ようとする（例えば X が一般型の場合とか混合型の場合に何か言いたい）と，Nevanlinna 理論の第二主定理が必要になる（と思う）．

Griﬃths-Lang 予想：X : 非特異射影代数多様体，D : snc 因子，
ε : 任意の正数，E : 任意の豊富直線束.
∃Z = ZX,D,ε,E ⊂ X : 代数的真部分集合 s.t. ∀f : C → X : 正則曲線に対し，もし f (C) ̸⊂ Z ⇒mf,D (r) + Nf,Ram (r) ≤ Tf,−KX (r) + ε Tf,E (r) ∥.

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

13 / 19

Nevanlinna 理論
ランダム射影 {µ : X → Pn }µ∈G(n,|mL|) の方法で更なる面白い帰結を得ようとする（例えば X が一般型の場合とか混合型の場合に何か言いたい）と，Nevanlinna 理論の第二主定理が必要になる（と思う）．

Griﬃths-Lang 予想：X : 非特異射影代数多様体，D : snc 因子，
ε : 任意の正数，E : 任意の豊富直線束.
∃Z = ZX,D,ε,E ⊂ X : 代数的真部分集合 s.t. ∀f : C → X : 正則曲線に対し，もし f (C) ̸⊂ Z ⇒mf,D (r) + Nf,Ram (r) ≤ Tf,−KX (r) + ε Tf,E (r) ∥.
−1
X に射影構造がないと，KX
値正則曲線のゼロ切断に関する個数関数としては，分岐個数関数 Nf,Ram (r) を定義できない（次ページ）．
したがって「この形では定義できない分岐個数関数を，何らかの方法で定義できる枠組みをどうやって構築するか」が，GL 予想の解決への鍵である（と思う）．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

13 / 19

Nevanlinna 理論
ランダム射影 {µ : X → Pn }µ∈G(n,|mL|) の方法で更なる面白い帰結を得ようとする（例えば X が一般型の場合とか混合型の場合に何か言いたい）と，Nevanlinna 理論の第二主定理が必要になる（と思う）．

Griﬃths-Lang 予想：X : 非特異射影代数多様体，D : snc 因子，
ε : 任意の正数，E : 任意の豊富直線束.
∃Z = ZX,D,ε,E ⊂ X : 代数的真部分集合 s.t. ∀f : C → X : 正則曲線に対し，もし f (C) ̸⊂ Z ⇒mf,D (r) + Nf,Ram (r) ≤ Tf,−KX (r) + ε Tf,E (r) ∥.
−1
X に射影構造がないと，KX
値正則曲線のゼロ切断に関する個数関数としては，分岐個数関数 Nf,Ram (r) を定義できない（次ページ）．
したがって「この形では定義できない分岐個数関数を，何らかの方法で定義できる枠組みをどうやって構築するか」が，GL 予想の解決への鍵である（と思う）．
成功例：Brotbek : Demailly ジェットタワーに Wronskian イデアル層を構成．⇒ 小林予想の解決．[B] D. Brotbek, On the hyperbolicity ofgeneral hypersurfaces, Publ. math. de l’IHES, 126 (2017) 1-34.
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

13 / 19

Nf,Ram (r) へのランダム分岐つき射影構造アプローチ

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

14 / 19

Nf,Ram (r) へのランダム分岐つき射影構造アプローチ
f : C → Pn :線形非退化な正則曲線 ⇒ Pn の射影構造を使うとロンス
キアン W (f ) = det(f ′ , f ′′ , . . . , f (n) ) は KP−1
n -値正則曲線である．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

14 / 19

Nf,Ram (r) へのランダム分岐つき射影構造アプローチ
f : C → Pn :線形非退化な正則曲線 ⇒ Pn の射影構造を使うとロンス
キアン W (f ) = det(f ′ , f ′′ , . . . , f (n) ) は KP−1
n -値正則曲線である．
ランダム射影 : D を大変豊富と仮定して，完備線型系|mD|{|mD|}m=1,2,... の列に対応する小平埋め込み µ : X → PN = |mD|∗の埋め込み次元 N は O(mn ) のオーダーで増大する．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

14 / 19

Nf,Ram (r) へのランダム分岐つき射影構造アプローチ
f : C → Pn :線形非退化な正則曲線 ⇒ Pn の射影構造を使うとロンス
キアン W (f ) = det(f ′ , f ′′ , . . . , f (n) ) は KP−1
n -値正則曲線である．
ランダム射影 : D を大変豊富と仮定して，完備線型系|mD|{|mD|}m=1,2,... の列に対応する小平埋め込み µ : X → PN = |mD|∗の埋め込み次元 N は O(mn ) のオーダーで増大する．
アイディア：ランダム射影 {µ : X → Pn }µ∈G(n,|mD|) によりランダム
分岐つき射影構造を導入して m が巨大のときに現れる統計法則に着
目する．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

14 / 19

Nf,Ram (r) へのランダム分岐つき射影構造アプローチ
f : C → Pn :線形非退化な正則曲線 ⇒ Pn の射影構造を使うとロンス
キアン W (f ) = det(f ′ , f ′′ , . . . , f (n) ) は KP−1
n -値正則曲線である．
ランダム射影 : D を大変豊富と仮定して，完備線型系|mD|{|mD|}m=1,2,... の列に対応する小平埋め込み µ : X → PN = |mD|∗の埋め込み次元 N は O(mn ) のオーダーで増大する．
アイディア：ランダム射影 {µ : X → Pn }µ∈G(n,|mD|) によりランダム
分岐つき射影構造を導入して m が巨大のときに現れる統計法則に着目する．
測度論的位置解析．D を含む |mD| の n 次元部分線形系全体 Pm はG(n, |(m − 1)D|) ⇒ 測度集中現象が起きる．ランダム射影{µ : X → Pn }µ∈Pm に付随する分岐因子 Rµ は確率変数．f (C) の 1
点 f (z) ∈ X における n ジェットに対する分岐因子 Rµ の位置に測度論的位置解析を適用する．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

14 / 19

ランダム分岐つき射影構造の測度論的位置解析のロジックと Fubini
の定理

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

15 / 19

ランダム分岐つき射影構造の測度論的位置解析のロジックと Fubiniの定理
測度集中現象をこのように応用できる直観的理由 :小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

15 / 19

ランダム分岐つき射影構造の測度論的位置解析のロジックと Fubiniの定理
測度集中現象をこのように応用できる直観的理由 :
測度集中現象がその威力を発揮するのは，Fubini の定理
∫ r
∫ r
dt
dt
Mµ
nW (fµ ),S0 (t) =Mµ nW (fµ ),S0 (t)0 t
0 tの右辺においてである．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

15 / 19

ランダム分岐つき射影構造の測度論的位置解析のロジックと Fubiniの定理
測度集中現象をこのように応用できる直観的理由 :
測度集中現象がその威力を発揮するのは，Fubini の定理
∫ r
∫ r
dt
dt
Mµ
nW (fµ ),S0 (t) =Mµ nW (fµ ),S0 (t)0 t
0 tの右辺においてである．
そこでは，右辺の Mµ nW (fµ ),S0 (t) において，正則曲線 f : C → X が
f (z0 ) において分岐因子 Rµ と交わるとき（または近いとき），因子Rµ の f の n ジェットに対する相対的位置が「何らかの関係を満たす状態」が支配的になっている（この状態に測度が集中している）．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

15 / 19

ランダム分岐つき射影構造の測度論的位置解析のロジックと Fubiniの定理
測度集中現象をこのように応用できる直観的理由 :
測度集中現象がその威力を発揮するのは，Fubini の定理
∫ r
∫ r
dt
dt
Mµ
nW (fµ ),S0 (t) =Mµ nW (fµ ),S0 (t)0 t
0 tの右辺においてである．
そこでは，右辺の Mµ nW (fµ ),S0 (t) において，正則曲線 f : C → X が
f (z0 ) において分岐因子 Rµ と交わるとき（または近いとき），因子Rµ の f の n ジェットに対する相対的位置が「何らかの関係を満たす状態」が支配的になっている（この状態に測度が集中している）．
すなわち，f の n ジェットに対する Tf (z0 ) Rµ の相対的位置を確率変数と思ったとき，背景の確率分布が「何らかの関係を満たす」状態に集中している．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

15 / 19

ランダム分岐つき射影構造の測度論的位置解析のロジックと Fubiniの定理
測度集中現象をこのように応用できる直観的理由 :
測度集中現象がその威力を発揮するのは，Fubini の定理
∫ r
∫ r
dt
dt
Mµ
nW (fµ ),S0 (t) =Mµ nW (fµ ),S0 (t)0 t
0 tの右辺においてである．
そこでは，右辺の Mµ nW (fµ ),S0 (t) において，正則曲線 f : C → X が
f (z0 ) において分岐因子 Rµ と交わるとき（または近いとき），因子Rµ の f の n ジェットに対する相対的位置が「何らかの関係を満たす状態」が支配的になっている（この状態に測度が集中している）．
すなわち，f の n ジェットに対する Tf (z0 ) Rµ の相対的位置を確率変数と思ったとき，背景の確率分布が「何らかの関係を満たす」状態に集中している．
質問：その「何らかの関係」とは何か？
小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

15 / 19

Riemann-Hurwitz 公式と分岐個数関数

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

16 / 19

Riemann-Hurwitz 公式と分岐個数関数
射影 µ : X → Pn に対する Riemann-Hurwitz 公式−1µ∗ KP−1n = KX + Rµ .

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

16 / 19

Riemann-Hurwitz 公式と分岐個数関数
射影 µ : X → Pn に対する Riemann-Hurwitz 公式−1µ∗ KP−1n = KX + Rµ .
fµ := µ ◦ f : C → Pn に Cartan/Ahlfors 第二主定理を適用して µ に
対する RH 公式で書き直し：

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

16 / 19

Riemann-Hurwitz 公式と分岐個数関数
射影 µ : X → Pn に対する Riemann-Hurwitz 公式−1µ∗ KP−1n = KX + Rµ .
fµ := µ ◦ f : C → Pn に Cartan/Ahlfors 第二主定理を適用して µ に
対する RH 公式で書き直し：
mf,D (r) + NW (jn (fµ )),S0 (r) − Tf,Rµ (r) ≤Tf,−KX (r) + O(log rTf,E (r)) ∥.

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

16 / 19

Riemann-Hurwitz 公式と分岐個数関数
射影 µ : X → Pn に対する Riemann-Hurwitz 公式−1µ∗ KP−1n = KX + Rµ .
fµ := µ ◦ f : C → Pn に Cartan/Ahlfors 第二主定理を適用して µ に
対する RH 公式で書き直し：
mf,D (r) + NW (jn (fµ )),S0 (r) − Tf,Rµ (r) ≤Tf,−KX (r) + O(log rTf,E (r)) ∥.
測度論的位置解析 ⇒ f (z) が Rµ を通過するとき µ-almost surely にW (fµ ) = 0 である．
（質問の答）

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

16 / 19

Riemann-Hurwitz 公式と分岐個数関数
射影 µ : X → Pn に対する Riemann-Hurwitz 公式−1µ∗ KP−1n = KX + Rµ .
fµ := µ ◦ f : C → Pn に Cartan/Ahlfors 第二主定理を適用して µ に
対する RH 公式で書き直し：
mf,D (r) + NW (jn (fµ )),S0 (r) − Tf,Rµ (r) ≤Tf,−KX (r) + O(log rTf,E (r)) ∥.
測度論的位置解析 ⇒ f (z) が Rµ を通過するとき µ-almost surely にW (fµ ) = 0 である．
（質問の答）−1
測度論的位置解析⇒ K}
X 値有理型関数（µ-確率変数と思う）{

Ψ(jn (f )) :=W (jn (fµ ))ψµ (f )

（Rµ := (ψµ )) は ψµ (f ) → 0 のときµ∈Pm

almost surely に有界である．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

16 / 19

Riemann-Hurwitz 公式と分岐個数関数
射影 µ : X → Pn に対する Riemann-Hurwitz 公式−1µ∗ KP−1n = KX + Rµ .
fµ := µ ◦ f : C → Pn に Cartan/Ahlfors 第二主定理を適用して µ に
対する RH 公式で書き直し：
mf,D (r) + NW (jn (fµ )),S0 (r) − Tf,Rµ (r) ≤Tf,−KX (r) + O(log rTf,E (r)) ∥.
測度論的位置解析 ⇒ f (z) が Rµ を通過するとき µ-almost surely にW (fµ ) = 0 である．
（質問の答）−1
測度論的位置解析⇒ K}
X 値有理型関数（µ-確率変数と思う）{

Ψ(jn (f )) :=W (jn (fµ ))ψµ (f )

（Rµ := (ψµ )) は ψµ (f ) → 0 のときµ∈Pm

almost surely に有界である．
′
第一の解釈：Nf,Ram(r) := Mµ∈Pm (NW (fµ ),S0 (r) − Tf,Rµ (r)).

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

16 / 19

Riemann-Hurwitz 公式と分岐個数関数
射影 µ : X → Pn に対する Riemann-Hurwitz 公式−1µ∗ KP−1n = KX + Rµ .
fµ := µ ◦ f : C → Pn に Cartan/Ahlfors 第二主定理を適用して µ に
対する RH 公式で書き直し：
mf,D (r) + NW (jn (fµ )),S0 (r) − Tf,Rµ (r) ≤Tf,−KX (r) + O(log rTf,E (r)) ∥.
測度論的位置解析 ⇒ f (z) が Rµ を通過するとき µ-almost surely にW (fµ ) = 0 である．
（質問の答）−1
測度論的位置解析⇒ K}
X 値有理型関数（µ-確率変数と思う）{

Ψ(jn (f )) :=W (jn (fµ ))ψµ (f )

（Rµ := (ψµ )) は ψµ (f ) → 0 のときµ∈Pm

almost surely に有界である．
′
第一の解釈：Nf,Ram(r) := Mµ∈Pm (NW (fµ ),S0 (r) − Tf,Rµ (r)).
第二の解釈：Nf,Ram (r) := Mµ∈Pm NΨ(jn f ),S0 (r).

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

16 / 19

Riemann-Hurwitz 公式と分岐個数関数
射影 µ : X → Pn に対する Riemann-Hurwitz 公式−1µ∗ KP−1n = KX + Rµ .
fµ := µ ◦ f : C → Pn に Cartan/Ahlfors 第二主定理を適用して µ に
対する RH 公式で書き直し：
mf,D (r) + NW (jn (fµ )),S0 (r) − Tf,Rµ (r) ≤Tf,−KX (r) + O(log rTf,E (r)) ∥.
測度論的位置解析 ⇒ f (z) が Rµ を通過するとき µ-almost surely にW (fµ ) = 0 である．
（質問の答）−1
測度論的位置解析⇒ K}
X 値有理型関数（µ-確率変数と思う）{

Ψ(jn (f )) :=W (jn (fµ ))ψµ (f )

（Rµ := (ψµ )) は ψµ (f ) → 0 のときµ∈Pm

almost surely に有界である．
′
第一の解釈：Nf,Ram(r) := Mµ∈Pm (NW (fµ ),S0 (r) − Tf,Rµ (r)).
第二の解釈：Nf,Ram (r) := Mµ∈Pm NΨ(jn f ),S0 (r).
測度論的位置解析 ⇒1∃rm s.t. ∀r > rm , NW (fµ ),S0 (r) − Tf,Rµ (r) > −ε Tf,E (r) almost
surely in µ ∈ Pm .

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

16 / 19

Riemann-Hurwitz 公式と分岐個数関数
射影 µ : X → Pn に対する Riemann-Hurwitz 公式−1µ∗ KP−1n = KX + Rµ .
fµ := µ ◦ f : C → Pn に Cartan/Ahlfors 第二主定理を適用して µ に
対する RH 公式で書き直し：
mf,D (r) + NW (jn (fµ )),S0 (r) − Tf,Rµ (r) ≤Tf,−KX (r) + O(log rTf,E (r)) ∥.
測度論的位置解析 ⇒ f (z) が Rµ を通過するとき µ-almost surely にW (fµ ) = 0 である．
（質問の答）−1
測度論的位置解析⇒ K}
X 値有理型関数（µ-確率変数と思う）{

Ψ(jn (f )) :=W (jn (fµ ))ψµ (f )

（Rµ := (ψµ )) は ψµ (f ) → 0 のときµ∈Pm

almost surely に有界である．
′
第一の解釈：Nf,Ram(r) := Mµ∈Pm (NW (fµ ),S0 (r) − Tf,Rµ (r)).
第二の解釈：Nf,Ram (r) := Mµ∈Pm NΨ(jn f ),S0 (r).
測度論的位置解析 ⇒12∃rm s.t. ∀r > rm , NW (fµ ),S0 (r) − Tf,Rµ (r) > −ε Tf,E (r) almost
surely in µ ∈ Pm .
′Nf,Ram(r) = Nf,Ram (r) モジュロ ε Tf,E (r).

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

16 / 19

風呂敷
測度論的位置解析のひろがりは？
測度論的位置解析と小林双曲性に関わる問題（たくさんある）

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

17 / 19

風呂敷
測度論的位置解析のひろがりは？
測度論的位置解析と小林双曲性に関わる問題（たくさんある）
測度論的位置解析とアバンダンス予想

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

17 / 19

風呂敷
測度論的位置解析のひろがりは？
測度論的位置解析と小林双曲性に関わる問題（たくさんある）
測度論的位置解析とアバンダンス予想
測度論的位置解析と幾何学的量子化

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

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風呂敷
測度論的位置解析のひろがりは？
測度論的位置解析と小林双曲性に関わる問題（たくさんある）
測度論的位置解析とアバンダンス予想
測度論的位置解析と幾何学的量子化
測度論的位置解析と Calabi-Yau 多様体の SLAG トーラス

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

17 / 19

風呂敷
測度論的位置解析のひろがりは？
測度論的位置解析と小林双曲性に関わる問題（たくさんある）
測度論的位置解析とアバンダンス予想
測度論的位置解析と幾何学的量子化
測度論的位置解析と Calabi-Yau 多様体の SLAG トーラス
測度論的位置解析と Calabi-Yau 多様体の Levi 平坦超曲面

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

17 / 19

風呂敷
測度論的位置解析のひろがりは？
測度論的位置解析と小林双曲性に関わる問題（たくさんある）
測度論的位置解析とアバンダンス予想
測度論的位置解析と幾何学的量子化
測度論的位置解析と Calabi-Yau 多様体の SLAG トーラス
測度論的位置解析と Calabi-Yau 多様体の Levi 平坦超曲面
測度論的位置解析とコンパクト Riemann 多様体の第一固有値の評価

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

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風呂敷
測度論的位置解析のひろがりは？
測度論的位置解析と小林双曲性に関わる問題（たくさんある）
測度論的位置解析とアバンダンス予想
測度論的位置解析と幾何学的量子化
測度論的位置解析と Calabi-Yau 多様体の SLAG トーラス
測度論的位置解析と Calabi-Yau 多様体の Levi 平坦超曲面
測度論的位置解析とコンパクト Riemann 多様体の第一固有値の評価
測度論的位置解析と YTD 予想

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

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風呂敷
測度論的位置解析のひろがりは？
測度論的位置解析と小林双曲性に関わる問題（たくさんある）
測度論的位置解析とアバンダンス予想
測度論的位置解析と幾何学的量子化
測度論的位置解析と Calabi-Yau 多様体の SLAG トーラス
測度論的位置解析と Calabi-Yau 多様体の Levi 平坦超曲面
測度論的位置解析とコンパクト Riemann 多様体の第一固有値の評価
測度論的位置解析と YTD 予想
測度論的位置解析のアデール版．

小林亮一

測度論的位置解析の試み

24 March 2023

17 / 19References.

[AS] K. Adiprasito and R. Sanyal, Whitney numbers of arrangements via
measure concentration of intrinsic volumes, arXiv:1606.09412 [math.CO][A] L. Ahlfors, The theory of meromorphic curves, Acta Soc. Sci. Fenn.
Nova. (1941) Ser. A 3 no.4. 1-31.
[B] D. Brotbek, On the hyperbolicity of general hypersurfaces, Publ. math.
de l’IHES, 126 (2017) 1-34.
[IKL] M. Izumi, R. Kobayashi and P. Lin, Riemann-Hurwitz approach to
Nevanlinna Theory, ....
[M] E. Meckes, Concentration of Measure and the Compact ClassicalMatrix Groups, Lecture Notes (2014)

小林亮一

測度論的位置解析の試み

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ありがとうございました．

小林亮一

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