J. Plasma Fusion Res. Vol.91, No.1 (2015)１０‐１２

小特集

コーシー条件面（CCS）法によるプラズマ位置形状再構築
The Cauchy-Condition Surface (CCS) Methodfor Plasma Equilibrium Shape Reproduction

１．はじめに
1. Introductory Remarks
栗原研一
KURIHARA Kenichi
日本原子力研究開発機構核融合研究開発部門（原稿受付：２０１
４年９月２９日）

核融合エネルギーによる発電の早期実現をめざして研究

析解に勝るものはないという意味において，プラズマを囲開発が進展している．本格的な核燃焼を行う国際熱核融合

む真空場の磁気計測を基にする実践的な最外殻磁気面再構

実験炉 ITER は建設中であり，トカマク型プラズマ磁場閉築法としては，一種の「究極の方法」といえる．如何なるじ込め方式の原型炉設計が全日本体制で開始されようとし断面形状をもつドーナッツ型のプラズマが存在する場とトている．この磁場閉じ込め方式における炉心プラズマを知ポロジー的に同様な体系の電磁場解析に対して，次元等にる・操る方法の新たな展開が，プラズマ特性解明に重要な対応した適切な Green 関数の選択により，広い応用可能性役割を果たしてきたという事実は，装置の開発史と伴に広をもつ方法である．特に，解析的な論理展開にとことんこく知られている．本小特集のテーマである「コーシー条件

だわり，数値計算は最後の実体形への適用段階まで回避す面（Cauchy Condition Surface（CCS））法」も，新たなプラるという考え方は，高精度を必要とする他の課題解決におズマ最外殻磁気面形状を「知る」方法として日本で初めていても一つの普遍的アプローチとなると思われる．

提案されたものであり，２０００年に JT-60 の実時間制御時の一方，このような特長をもつ Cauchy 条件面法が登場す

プラズマ位置形状再構築手法として実用に供された．

る前の実験解析方法はどのような状況であったのか．これ

磁場閉じ込め方式におけるプラズマ位置形状の実時間制までのプラズマ最外殻磁気面位置形状を求める手法の開発

御および平衡状態の診断は，各種不安定性を予測したり，経過を数理的流れに注目してレビューしてみよう（詳しい手不安定性によるプラズマの急激な変化に対しても適切な位法の内容は，当学会誌解説記事［１］および文献［２］を参照）．

置および形状を維持して安全な運転に貢献したり，またダトカマク型プラズマの高い性能が初めて世界で注目されイバータ部におけるストライクポイントを適切に制御した

た１９６０年代頃，プラズマ圧力や電流等によるトーラスを広り，さらには電子サイクロトロン加熱等の共鳴位置を正確げようとする力を，外部コイルによる垂直磁場で抑えて平に定め不安定性を抑制するためなどにも非常に重要な課題

衡状態を作ることが実験上の最低要件であったことから，である．Cauchy 条件面法は，磁気センサー信号やコイル電軸対称円形断面プラズマの中心位置が磁気センサーから計流値から直接位置形状を高精度でかつ高速に再構築して，算する手法が求められた（下の①）．その後，非円形断面プこれら課題の本質的な解決策となり得る方法である．特にラズマへも適用可能なように改良されると伴に，断面形状近年トカマクに加え，ヘリカル，逆磁場ピンチ，球状トカがエネルギー閉じ込め性能を決める重要因子の一つである

マクでの応用が示され，磁場閉じ込め核融合分野においてことが実験で明らかになるにつれ，プラズマ中心位置だけ国内外において利用が広がりを見せている．

でなく，最外殻磁気面形状や平衡諸量までも計算する方法

この方法の最大特徴は，偏微分方程式の解析解法の一つでの研究開発へと発展していった（下の①②③）．

あるグリーン（Green）関数法に基づく解析解に基礎を置いてその時点で考案されていた方法は，変位電流を無視したいる点にある．そのことから他の如何なる方法も厳密な解において，電流・磁場間のマクスウェル方程式 #!!!!""$

Japan Atomic Energy Agency, Naka, IBARAKI 311-0193, Japanauthor’s e-mail: kurihara.kenichi@jaea.go.jp

１０!2015 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Special Topic Article

1. Introductory Remarks

K. Kurihara

解析領域の違いによる分類として当時の方法を今整理しながない場合，この内挿計算の精度劣化が再構築精度の劣化おすと，大きく以下の３種類と考えられる：に繋がる．これを解決すべく，個数に制限があるセンサー

で %%!の穴の開いた（＝プラズマは解析領①*"%!!%(+値については設置点での最小二乗的評価対象にすることで域外）真空場の方程式の変数分離解（無限級数解）にセンサー閉曲面（線）に沿う周回積分だけは回避する算法

おいて，最初の有限項で解を近似し，その線形結合係に 変 更 し，コ ー シ ー 条 件 面（Cauchy Condition Surface

数をセンサー信号から計算．

（CCS））法と名付けた．Cauchy 条件とは，２階偏微分方程で %'②*"%!!%(+%!のプラズマ領域および周辺の真空場式の解の一意性の議論における境界条件の種類の名前で，の両方を解析領域とし，プラズマ領域に置いた未知分デリクレ（Dirichlet）条件（境界で未知関数自身の数値が布電流源の位置，電流値，重心等をセンサー信号から規定される条件．この問題では磁束値が与えられることに計算．分布電流源としては，有限個のフィラメント電対応．），ノイマン（Neumann）条件（境界で未知関数の境流源，シート状の分布電流源，プラズマ電流分布の表界法線方向微分値が規定される条件．この問題では磁束密現関数自身，等々を採用．

度が与えられることに対応．
）とした時，Cauchy 条件と③磁場（＝磁束密度："），磁束（#）の両センサーをペは，境界で Dirichlet および Neumann 両条件が同時に規定アで設置し，磁束値をセンサー設置場所でのプラズマされる条件と定義される．仮想的に設置する閉曲面境界上!"

側展開式：#(# $"($#$#)"!$#$!)!)*+に従っ&#("#での Cauchy 条件をセンサー信号から計算する方法であるて外挿し，別の方法で求めた最外殻磁気面磁束値：ことから，Cauchy 条件面法という呼称に至った．

#(#)%#('"までの距離 #をセンサー設置箇所毎に算出

本小特集では，磁場閉じ込め型プラズマ核融合装置におし，多点を繋げて形状を求める．ここで #(，#(：#)!)

ける一つの基本的な実験解析手法についての紹介である

外挿点 x および０点での磁束，"(：０点での磁場ベ!)が，電磁場解析，ベクトル解析，偏微分方程式解法，実践

クトル，!：円柱座標系の中心軸からの距離，$,：外挿

的実時間算法などの課題克服では，数理的な格闘ならでは

方向の単位ベクトル，#：外挿方向距離，#：２章のの普遍性のある考え方が展開される面白さがあるように思

図２中で定義された変換行列．

われる．それが少しでも伝われば幸いである．

方法①は，一意解を提供するが，無限級数の項数制約に小特集の構成は以下のとおりである．

よる精度劣化影響の問題が円形（＝座標系のグリッド線の第２章「CCS 法の原理」では，プラズマの位置形状制御形状）からずれるに伴い発生する．方法②は，単純周回分を行う一般化された体系の中で，問題の定式化を行う．原布電流（＝平衡を無考慮）の可同定性について一意性が原理的に CCS 法が解析解の形式を維持しているので，セン理的になく，解が分布電流源の場所に敏感過ぎて非適切解サー数の増加に従って境界積分方程式解に近づくことかとなり易い．方法③は，非常に粗い近似に基づいており，ら，最も精度のよい解を与えることがわかる．また，どの最外殻磁気面がセンサーから少し離れれば，直ちに精度劣ような磁気センサーが，位置形状同定の必要十分条件にな化をもたらす．このようにそれまでの方法には，非円形断るのか，といった計測条件を導くまでの応用にも言及す

面プラズマの実験解析や制御に適用できる満足な方法はなる．再構築結果については，JT-60U および ITER（非円形かったことがわかる［脚注＊１］．

度が大きい初期設計のケース）への適用例を示す．CCS

Cauchy 条件面法の理論的基礎である境界積分方程式解法の精度について，現在でも EFIT の前段や多くの装置での導出は，このような課題克服をめざして行われた．方法

実施されているフィラメント電流近似法との大規模な比較①の無限級数解を，Green 関数を用いた積分形式解にするデータを提示するとともに，多くの素朴な疑問について Qことで，解析解の表現段階でいささかも近似を含めないと&A 形式で回答を記述する．

いう方針で精度劣化要因を極力排除した．前述したとおり

第３章「各磁場閉じ込め方式におけるプラズマ解析・制断面形状が閉じ込め性能に大きく影響を与えるという実験御への CCS 法の応用」では，磁場閉じ込め方式毎に CCS事実がちょうど明らかになってきた時期でもあり，非円形法の適用例について紹介する．具体的には，トカマク型装断面プラズマである初期 ITER（非円形度κ＞2）や JT-60U

置 KSTAR および JT-60SA，球状トカマク装置 QUEST，逆（κ＞1.6）に適用し最外殻磁気面形状が精度よく再構築で磁場ピンチ装置 RELAX，ヘリカル型装置 LHD（３次元体きることを示して，実験解析や制御の高度化にとって新展系として）への適用検討・実適用結果について，各装置の開となった．

特徴，適用における課題と対策にも触れながら，それぞれ境界積分方程式解法は，全ての境界（即ち設定した閉曲の装置に適用した専門家による．

面（線））での周回積分を必要とすることから，センサーが第４章「CCS 法によるプラズマ位置形状再構築の課題と設置された閉曲面（軸対称系では閉曲線）では離散設置セ展望」では，今後原型炉に向けたプラズマ計装に想定されンサー間の内挿を伴う計算となるが，十分な数のセンサーる幾つかの状況（ブランケット構造材中の渦電流の存在，脚注＊１：方法②の一つであるフィラメント電流源を用いた方法でまず真空場を求め（米国 GA 社DIII-Dで初提案），次にプラズマ中の電流分布・圧力分布を表現する未知変数を含む関数形を予め指定して，真空場情報と平衡条件 %#"%&*$%)を課して未知変数を求める算法が世界の多くの装置で開発され稼働していた．特に DIII-D で開発された EFIT は現在も世界中の多くの装置で使用され，Motional Stark 効果を利用した内部の磁場計測を制約条件として付加するなど改良が適宜加えられている．しかし，多くの使用実績にも係らず EFIT が算出した最外殻磁気面が他の計測との比較がKSTAR で行われ，Cauchy 条件面法より誤差が大きいことが最近報告されている．この事実を説明する明確な理由は解の一意性という本質的な問題が背景にあり，後の章で触れることになる．

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Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.1 January 2015

参考文献

プラズマ近傍に設置できないピックアップ型磁気センサーの課題，積分器を必要とする磁束センサーの代わりに磁束［１］栗原研一：プラズマ・核融合学会誌 76, 65 (2000).
［２］K. Kurihara, Fusion Eng. Des. 51-52, 1049 (2000).

値を絶対磁場の計測から計算で求める方法，等々）について言及し，検討の方向性にコメントする．その結果，将来の研究課題への発展性について示し，CCS 法を巡る興味ある話題に触れる．最後の第５章では，小特集を振り返って総括する．

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