超伝導MgB2 バルク磁石の複数使用における磁束分布の有限要素法による解析

電子情報工学科
小田部研究室12232015
上田元輝

平成 28 年 2 月 18 日

目次
第1章

序論 ............................................................................................................. 1

1.1 超伝導体 .............................................................................................................. 1
1.1.1 超伝導体の歴史 ............................................................................................. 1
1.1.2 第 1 種・第 2 種超伝導体 ............................................................................. 2
1.1.3 ニホウ化マグネシウムMgB2 ......................................................................... 3
1.1.4 着磁.............................................................................................................. 3
1.1.5 超伝導バルク ............................................................................................... 5
1.2 有限要素法(FEM : Finite Element Method) ...................................................... 6
1.3 JMAG ................................................................................................................. 6
1.4 𝑨-𝜙法.................................................................................................................. 7
1.5 FEM による着磁特性の計算 ............................................................................... 8
1.6 本研究の目的 .................................................................................................... 10
第2章

FEM 解析 .................................................................................................. 12

2.1 解析方法 ........................................................................................................... 12
2.2 解析内容 ............................................................................................................ 18
2.2.1 正三角形を複数配置したモデルの解析 ....................................................... 18
2.2.1 正方形を複数配置したモデルの解析 .......................................................... 18
2.2.3 正六角形を複数配置したモデルの解析 ....................................................... 19
2.2.4 円盤を複数配置したモデルの解析 .............................................................. 20
第3章

結果及び考察 ............................................................................................. 22

3.1 正三角形を複数配置したモデルの解析 .............................................................. 22
3.2 正方形を複数配置したモデルの解析................................................................. 24
3.2 正六角形を複数配置したモデルの解析 ............................................................. 28
1

3.4 円盤を複数配置したモデルの解析 .................................................................... 32
3.5 各形状における最大磁束密度の比較................................................................. 34
第4章

まとめ ........................................................................................................ 37

謝辞 ............................................................................................................................ 39
参考文献 ..................................................................................................................... 402

図目次
図 1.1 超伝導状態と常伝導状態の関係 ......................................................................... 1
図 1.2 第 1 種・第 2 種超伝導体の相転移(a)第 1 種超伝導体の温度Tと外部磁界He による状態変化。(b)第 2 種超伝導体の温度Tと外部磁界He による状態変化。 ............. 3
図 1.3 FCM(Field Cool Magnetization)による着磁(a)FCM における外部磁界He と温度Tの変化の様子。(b)FCM により印加される磁界。 ............................................ 4
図 1.4 ZFCM(Zero Field Cool Magnetization)による着磁(a) ZFCM における外部磁界
He と温度Tの変化の様子。(b)ZFCM により印加される磁界。 .............................. 5
図 1.5 外部磁界He が充分でなかった場合の ZFCM による着磁(a)HP < He < 2HP のときに印加される磁界(b) He < HP のときに印加される磁界 ...................................... 5
図 1.6 有限要素法の概念 ............................................................................................... 6
図 1.7 FEM 計算の解析モデル[7] .................................................................................. 9
図 1.8 外部磁界の印加と温度の時間依存関係[7] ........................................................ 10
図 1.9 外部磁界の減少速度と温度上昇及び捕捉磁界の関係[7] .................................. 10
図 2.1 解析状況のイメージモデル ............................................................................... 13
図 2.2 JMAG を用いて作成した解析モデル ................................................................ 13
図 2.3 20 K におけるJc -B特性[9,10] ............................................................................ 14
図 2.4 JMAG を用いて作成したメッシュモデル......................................................... 15
図 2.5 本研究で使用した着磁方法。(a)本研究で使用した着磁方法における外部磁界Heと温度Tの変化の様子。(b)本研究で使用した着磁方法により印加される磁界。 15
図 2.6 ソレノイドに流した正弦波電流 ....................................................................... 16
図 2.7 円盤状バルクの FEM 計算におけるステップ数を変化させた場合の最大磁束密度の変化 ................................................................................................................. 17
図 2.8 正三角形を複数配置したモデル。(a)正三角形単体のモデル。(b)正六角形を 4 個組み合わせたモデル。(c)正六角形を 7 個組み合わせたモデル。(d)正六角形を 19個組み合わせたモデル。 ....................................................................................... 18
図 2.9 正方形を複数配置したモデル。(a)正方形単体のモデル。(b)正方形を 4 個組み合
わせたモデル。(c)正方形を 9 個組み合わせたモデル。(d)正方形を 16 個組み合わせたモデル。.......................................................................................................... 19
図 2.10 正六角形を複数配置したモデル。(a)正六角形単体のモデル。(b)正六角形を 4個組み合わせたモデル。(c)正六角形を 7 個組み合わせたモデル。(d)正六角形を 19個組み合わせたモデル。 ....................................................................................... 20
図 2.11 円盤を複数配置したモデル。(a)円盤単体のモデル。(b)円盤を 4 個組み合わせたモデル。(c)円盤を 7 個組み合わせたモデル。(d)円盤を 19 個組み合わせたモデル。 ........................................................................................................................ 213図 3.1 正三角形を複数配置した場合の磁束密度(0.5 mm 上部) ................................. 23
図 3.2 正三角形を複数配置した場合の磁束密度(5 mm 上部) ..................................... 24
図 3.3 正方形を複数配置した場合の磁束密度(0.5 mm 上部) ..................................... 26
図 3.4 正方形を複数配置した場合の磁束密度(5 mm 上部) ........................................ 27
図 3.5 正方形を複数配置した1⁄4モデルの電流密度分布。(a)正方形を 9 個配置した場
合の1⁄4モデルの電流密度分布。(b) 正方形を 16 個配置した場合の1⁄4モデルの電流密度分布。.......................................................................................................... 27
図 3.6 正方形を複数組み合わせたモデルの電流密度分布。(a)バルクを 1 個配置した場
合と 9 個配置した場合の電流密度分布の比較。(b)バルクを 9 個配置した場合の電流密度分布の比較。............................................................................................... 28
図 3.7 正六角形を複数配置した場合の磁束密度(0.5 mm 上部) ................................. 30
図 3.8 正六角形を複数配置した場合の磁束密度(5 mm 上部)..................................... 31
図 3.9: 正六角形を複数組み合わせた場合の電流密度分布 ......................................... 31
図 3.10 円盤を複数配置した場合の磁束密度(0.5 mm 上部) ....................................... 33
図 3.11 円盤を複数配置した場合の磁束密度(5 mm 上部) ........................................... 33
図 3.12 0.1 mm 間隔でバルクを 7 個用いた場合の配置。(a)円盤状バルクを 7 個用いた場合の配置。(b)正六角形バルクを複数用いた場合の配置。 ................................ 34
図 3.13 バルク上部 0.5 mm と 5 mm における各形状での個数変化による最大磁束密度の変化 ................................................................................................................. 36
図 3.14 円盤状バルクにおける最大磁束密度の径依存性[8] ....................................... 364

表目次
表 3.1 正三角形を複数配置した場合の最大磁束密度[T]............................................. 23
表 3.2 正方形を複数配置した場合の最大磁束密度[T] ................................................ 26
表 3.3 正六角形を複数配置した場合の最大磁束密度[T]............................................. 30
表 3.4 円盤を複数配置した場合の最大磁束密度[T] .................................................... 32

5

第1章

序論

1.1 超伝導体
1.1.1 超伝導体の歴史
1908 年にオランダのヘイケ・カマーリン・オンネス（Heike Kamerlingh Onnes）
は初めてヘリウムの液化に成功した。さらに 1911 年には極低温における水銀の電気抵抗を調査する過程において、4 K 付近で水銀の電気抵抗が突然測定不可能な程に小さくなる（電気抵抗がゼロになる）ことを発見した。この現象を超伝導現象と名付け、超伝導状態に対応する電気抵抗がゼロでない状態を常伝導状態と呼ぶ。このことから、ある温度領域（通常は極低温）において超伝導現象を示す物質は超伝導体と呼ばれ、電気抵抗ゼロの性質を持つことから様々な機器への応用が期待された。しかしながら、当初において発見された超伝導体の多くは小さな磁界によっても超伝導状態が壊されてしまい、工学的な応用は難しいと考えられていた。このように、超伝導現象はある温度、磁界の範囲内のみにおいて観測される現象であり、超伝導状態から常伝導状態へと転移す
る温度、磁界をそれぞれ臨界温度𝑇c 、臨界磁界𝐻c と呼ぶ。また、超伝導体を応用する際には電気抵抗がゼロであれば制限無く電流を流すことができるというわけでない。超伝導体の特徴である電気抵抗ゼロは、無限に電流が流せるわけではなく、ある一定以上の電流を通電すると電気抵抗が発生する。この時の電気抵抗ゼロで流せる最大の電流密度を臨界電流密度𝐽c と呼ぶ。よって、超伝導状態は図 1.1 に示すように、𝑇c 、𝐻c 、𝐽c の 3 つの値で制限されている。

𝐻
𝐻c
常伝導状態

超伝導状態

𝑇
𝑇c

𝐽

𝐽c
図 1.1 超伝導状態と常伝導状態の関係

1

超伝導状態では電気抵抗ゼロであることから大電流が通電できるということが期待されたが、理論研究では 40 年間決定的な発見はなかった。しかし、1957 年にジョン・バーディーン(John Bardeen)、レオン・ニール・クーパー(Leon Neil Cooper)、ジョン・
ロバート・シュリーファー(John Robert Schrieffer)らが BCS 理論を発表したことにより超伝導の発現機構が説明された。BCS 理論では、超伝導体の𝑇c が 30 K 程度だろうと考えられていたが、1860 年に 30 K 以上の高温の𝑇c を持つLa2−𝑥 Ba𝑥 CuO4などの
La-Ba-Cu-O 系超伝導体がドイツの物理・鉱物学者のヨハネス・ゲオルグ・ベドノーツ(Johannes Georg Bednorz)とスイスの物理学者のカール・アレクサンダー・ミュラー(Karl Alexander Muller)によって発見された。これらは、化学式に酸素を含んでおり、そのことから酸化物超伝導体と呼ばれている。酸化物超伝導体が発見されてから、𝑇c が液体窒素の沸点(77.3 K)を超える高温超伝導体が発見された。2015 年になると、ドイツのミハイル・エレメッツ(Mikhail Eremets)らにより、H2 Sが高圧下において203 K で超伝導状態になることが発見され、大きな注目を集めている[1]。

1.1.2 第 1 種・第 2 種超伝導体
超伝導体には電気抵抗ゼロという特性のほかに、完全反磁性という性質がある。この完全反磁性というのは、超伝導体の外部から、磁界𝐻e をかけても超伝導体内部の磁束密度の強さ𝐵はゼロに保たれるという性質である。この性質は、フリッツ・ヴァルター・
マ イ ス ナ ー (Fritz Walther Meissner) と ロ バ ー ト ・ オ ク セ ン フ ェ ル ト(Robert Ochsenfeld)が 1933 年に発見し、Meissner 効果と呼ばれている。
外部磁界𝐻e を大きくしていき、臨界磁界𝐻c を超えると、反磁性の性質が失われてしまい、常伝導状態となる。臨界磁界𝐻c 以上の外部磁界中で反磁性の効果が完全に失われる超伝導体を第 1 種超伝導体といい、Pb や Hg が第 1 種超伝導体に含まれる。これに対して第 2 種超伝導体は、臨界磁界以上の外部磁界中で Meissner 効果が壊れ、磁束が部分的に超伝導体内に侵入してしまう。さらに磁界を大きくしたときに反磁性が完全に失われ、常伝導状態になる。Nb や V およびほとんどの合金超伝導体や化合物超伝導体
はこれに含まれている。第 2 種超伝導体において、Meissner 効果が失われ始める最初の臨界磁界を下部臨界磁界𝐻c1といい、常伝導状態に移行してしまう臨界磁界を下部臨
界磁界𝐻c2といい、図 1.2 のように見られる。
第一種超伝導体の臨界磁界𝜇0 𝐻cは 10—100 mT であるから、マグネットや電力輸送のような実用目的にはあまり適していない。しかし、第 2 種超伝導体の上部臨界磁界
𝜇0 𝐻c2 は非常に高く、実用超伝導体であるNb37 Ti63では 15 T、Nb3 Snでは 29 T、イットリウム系銅酸化物高温超伝導体YBa2 Cu3 O𝑥 では 350 T である。このような、上部臨界磁界が大きな第 2 種超伝導体は高磁界での運用が必要なエネルギー機器への応用が期待されている。
2

𝐻e

𝐻e

常伝導状態

𝐻c2 (0)

常伝導状態
𝐻c (0)

𝐻c2 (𝑇)
𝐻c (𝑇)

混合状態

超伝導状態(Meissner 状態)
0(a)𝐻c1 (0)0𝑇c

Meissner 状態(b)𝑇c

図 1.2 第 1 種・第 2 種超伝導体の相転移(a)第 1 種超伝導体の温度𝑇と外部磁界𝐻e による状態変化。(b)第 2 種超伝導体の温度𝑇と外部磁界𝐻e による状態変化。

1.1.3 ニホウ化マグネシウム(MgB2 )ニホウ化マグネシウム(MgB2 )は、1950 年代からその存在は知られており市販もされていたが、その主な用途は試薬粉末としてであった。しかし、2001 年に超伝導体であることが判明した[2]。MgB2 の臨界温度𝑇c は金属超伝導体では最高の 39 K を記録しており、液体ヘリウム(4.2 K)ではなく冷却機や液体水素(20 K)を用いて超伝導状態にすることができる。そして、このMgB2 を構成しているのはマグネシウム(Mg)とホウ素(B)であり、これらは自然界に多く存在しているため、レアアースを用いる超伝導体と比較して手に入れることが容易である。さらに、高温超伝導体と違い、結晶間の結合が強いため、一つの結晶粒から隣の結晶粒へ大きな超伝導電流を流すことができ、結晶粒の向きをそろえる配向化が不必要である。現在実用されているのは Nb3Sn や NbTi であるが、それらの代わりとして利用することで、高いコストパフォーマンスや高い臨界温度を活かした MRI や超伝導ケーブルなど、様々な用途での応用が期待されている[3][4]。

1.1.4 着磁超伝導体に外部磁界をかけることで、超伝導体内に磁界を残すことを着磁という。通常、着磁実験を行う際には、磁場中冷却法 FCM(Field Cooled Magnetization)と呼ばれる着磁方法を用いる。この着磁方法は、図 1.3 にあるように、一度臨界温度以上の温度で外部磁界を印加し、その外部磁界を維持したまま温度を臨界温度以下まで小さくした
後で磁界を小さくすることで着磁を行う方法である。外部磁界を小さくすることで超伝導体の表面から磁界が出ていき、捕えられた磁束が内部に定着することで磁界を着磁させている。FCM と比較される着磁方法が零磁場冷却法 ZFCM(Zero Field Cooled
3Magnetization)である。ZFCM では図 1.4 に示すように、磁界をゼロにした状態で温度を測定温度まで小さくした上で外部磁界を印加し、ゼロまで下げることによって着磁を行っている。Meissner 状態の超伝導体に磁界をかけることになるので、超伝導体の表面から磁界は侵入していく。磁界が超伝導体の中心に到達したときの磁界を中心到達磁界𝐻p といい、減磁したときに、中心の磁束密度を最大にするには𝐻p の 2 倍以上の磁界をかけなければならない。もし、十分な磁界がかかっていなければ、図 1.5 のような不十分な磁界が着磁されてしまう。よって、FCM と同等の磁界を残すためにはより強力な磁界をかける必要があり、その点で ZFCM は劣っている。この 2 つのほかにパルス
着磁 PFM(Pulsed-Field Magnetization)と呼ばれる着磁方法がある。この着磁方法では、一定温度のもとで強力なパルス磁界を加えることで着磁を行っている。この方法は磁束線の運動が起こることで急激な熱上昇を引き起こし、その熱上昇による超伝導体の破損や補足磁界の低下などを引き起こすという問題も存在する。実際の実験には急激な熱上昇のない FCM と設備が簡単である PFM が利用されることが多い。

(a)

(b)

図 1.3 FCM(Field Cool Magnetization)による着磁(a)FCM における外部磁界𝐻e と温度𝑇の変化の様子。(b)FCM により印加される磁界。

4

(b)

(a)

図 1.4 ZFCM(Zero Field Cool Magnetization)による着磁(a) ZFCM における外部磁界𝐻e と温度𝑇の変化の様子。(b)ZFCM により印加される磁界。

(a)

(b)

図 1.5 外部磁界𝐻e が充分でなかった場合の ZFCM による着磁(a)𝐻P < 𝐻e < 2𝐻Pのときに印加される磁界(b) 𝐻e < 𝐻Pのときに印加される磁界

1.1.5 超伝導バルク
まずバルクとは塊を意味している。したがって超伝導バルクとは超伝導体の塊である。
このバルク体に着磁を行うことで強力な磁力を持たせ、様々なことに利用している。これは、超伝導体の持つ磁気的特徴を強く押し出したもので、磁気的現象を利用する際に用いる。超伝導バルク素材と超伝導コイルの違いは、素材の小型化が望める点やその小さな形状と対称的に大きな磁束密度を発生させることができる点にある。さらに、それに伴った冷凍機の小型化を望むことができ、冷凍機に対しても小型化や低コスト化を実現できる点などの利点があり、コイル型超伝導磁石に代わる存在として期待がかけられている[5]。また、磁石の近傍では強力な磁束密度が発生するが、距離減衰が高いために、磁石の周囲の影響が小さい点も利点として考えられる。
5

これまでの研究においては、金属低温超伝導体では熱的不安定性から起こるクエンチのためにバルク体の実用化には至っていなかった。クエンチとは温度上昇による超伝導
から常伝導への転移である。そこで、REBa2Cu3Oy(RE: 希土類元素)超伝導相を基本とする RE-Ba-Cu-O (RE: Nd, Sm, Eu, Gd, Y, Ho, Yb)の高温超伝導体が主体となっていた[6]。しかし、MgB2 が金属超伝導体において比較的高温である 39 K で超伝導状態となることが発表され、軽量である点や製造コストが低い点、磁気が均一に発生するといった利点のためにMgB2 超伝導バルクもまた研究がおこなわれるようになった。
現在では、上記の利点を用いることによる、超伝導体バルク体に関して卓上用
NMR(NMR: Nuclear Magnetic Resonance)、小動物用 MRI(MRI: Magnetic ResonanceImaging)、磁気誘導薬物伝達システム(MDDS: Magnetic Drug Delivery System)や汚水浄化用磁気分離装置などの応用が検討されている[6]。

1.2 有限要素法(FEM : Finite Element Method)
有限要素法(FEM : Finite Element Method)は、解析的に解くことが難しい微分方程式の近似解を数値的に得る方法の 1 つである。有限要素法のイメージを図 1.6 に示す。
円柱や無限平板のような簡単な形状ではなく、複雑な形状だと解析的に解くことは非常に困難である。そこで、封雑な形状の解析を行う場合は対象物を単純な形状の要素の集合としてとらえ、それぞれの要素間で境界条件を満たすように方程式を立てる。それから、各要素での方程式を、対象物全体の連立一次方程式として組み立てて計算を行う。
計算の際は、メッシュという分割された要素を細かくすることで計算精度は増す。この有限要素法は単に数値解析を行っているだけであるため、解析対象物のモデリングが適切でないと間違った解析結果を導き出す可能性が高いので、解析対象物についてよく理解しておく必要がある。

複雑な図形

それぞれ計算分割

再構成

図 1.6 有限要素法の概念

1.3 JMAGJMAG は 1983 年に株式会社 JSOL が開発した電気機器設計、開発のためのシミュレ
ーションソフトウェアであり、有限要素法を用いて高速に解析することにより、バルク
6内部の複雑な物理現象を正確に捉えることができる。また、JMAG は「高い分析能力」、「高速計算」、「高い生産性」、「オープンインターフェース」の 4 つのコンセプトから成り立っている。

1.4 𝑨-𝜙法
渦電流問題を高速に解く方法として、磁気ポテンシャル𝑨と電気スカラポテンシャル
𝜙を未知数として解くベクトルポテンシャル法(𝑨-𝜙法)というものがある。
磁束密度𝑩は、磁気ポテンシャル𝑨を用いると、

𝜝=∇×𝑨

(1.1)

∇ × 𝑬 + 𝑩̇ = 0(1.2)∇ × 𝑬 = −𝑩̇ = −∇ × 𝑨(1.3)∇ × (𝑬 + 𝑨̇) = 0(1.4)と表せる。これを Maxwell 方程式に代入すると、
すなわち、と表せる。𝑬は電場の強度、𝑩̇は𝜕𝑩⁄𝜕𝑡である。任意のスカラ関数𝜙について、∇ × ∇𝜙 = 0であるから、𝑬は𝑬 = −𝑨̇ − ∇𝜙

(1.5)

と表せる。
透磁率𝜇、電気伝導率𝜎の導体中の磁場強度を𝑯、電流密度を𝑱とする。

∇ × 𝑯に関する Maxwell 方程式は、∇ × 𝑯 = 𝑫̇ + 𝑱 = 0(1.6)

であるが、周波数が極めて低い場合を考えるので、磁束密度𝑫の時間微分は無視できると考えると、
∇×𝑯=𝑱

(1.7)

∇∙𝑱=0

(1.8)

1
𝑩
𝜇

(1.9)

𝑱 = 𝜎𝑬(1.10)

1∇ × 𝑯 = ∇ × ( ∇ × 𝑨)𝜇(1.11)∇ ∙ 𝑱 = ∇ ∙ 𝜎𝑬 = −𝜎∇ ∙ (∇𝜙 − 𝑨̇) = 0(1.12)となる式(1.7)に式(1.1)及び関係式

𝑯=を代入すると、となる。任意のベクトル𝑨において、∇ × ∇ × 𝑨 = ∇(∇ ∙ 𝑨) − ∇2 𝑨
7

(1.13)

が成立する。これにクローンゲージ条件(∇ ∙ 𝑨 = 0)を代入すると、∇ × ∇ × 𝑨 = −∇2 𝑨(1.14)となる。式(1.11)、式(1.12)に代入すると

1 2∇ 𝑨 = 𝜎(𝑨̇ + ∇𝜙)𝜇(1.15)となる。ここで𝜙＝𝚽̇と定義して、式(1.12)、式(1.15) に代入すると、それぞれ

1 2∇ 𝑨 = 𝜎(𝑨̇ + ∇𝚽̇)𝜇∇ ∙ 𝜎(𝑨̇ + ∇𝚽̇) = 0(1.16)(1.17)となる。これらが導体中の支配方程式である。
次に、空気領域では、𝑱ex を外部電流密度とすると、Maxwell 方程式から、∇ × 𝑯 = 𝑱e𝑥
1

1

0

0

(1.18)

𝑯 = 𝜇 𝑩 = 𝜇 ∇ × 𝑨は(𝜇0 は空気中の透磁率)と Maxwell 方程式から、
1∇ × ∇ × 𝑨 = 𝑱ex
𝜇0(1.19)1 2∇ 𝑨 = −𝑱ex𝜇0(1.20)

よって空気中の支配方程式は、となる。
支配方程式を空間で離散化すると誤差が生じる。たとえば、導体中の支配方程式では、

1 2∇ 𝑨 − 𝜎(𝑨̇ + ∇𝚽̇) = 𝛿𝑥
𝜇0(1.21)となり、𝛿𝑥が誤差である。有限要素法では、左辺の微分方程式と右辺の誤差に重み𝛿𝑤をかけて体積積分したものをゼロと考えることにより、誤差𝛿𝑥を考量しなくてもいいようにしている。

∫ 𝛿𝑤・ {𝑉

1 2
∇ 𝑨 − 𝜎(𝑨̇ + ∇𝚽̇)} d𝑉 = ∫ 𝛿𝑤・𝛿𝑥 d𝑉 = 0
𝜇0𝑉(1.22)

𝑨-𝜙法の有限要素法では、重み𝛿𝑤を𝑨の各成分の微小変化

𝛿𝑤 = (𝛿𝐴𝑥 ，𝛿𝐴𝑦 ，𝛿𝐴𝑧 )(1.23)とする。
他の支配方程式についても同様の操作を行う。

1.5 FEM による着磁特性の計算
近年、FEM を用いた様々な超伝導体の着磁特性が計算されてきた。現在では、MgB2 においても FEM による着磁特性の計算が行われており、岩手大学工学部マテリアル工学
8

科に在籍している藤代博之教授によって、MgB2 バルクの FEM 解析において FCM を再現することで、正確に実験結果を再現することができるということが報告されている[7]。この研究では、直径 26 mm、厚さ 6.5 mm と直径 30 mm、厚さ 10 mm の 2 種類の円盤状バルクについて定義し、内径 120 mm、外径 150 mm、高さ 100 mm の円筒状ソレノイドコイルを使用して 5 T の外部磁界を印加する状況を再現することで着磁状況を再現している。図 1.7 で実際に解析された FEM 計算の解析モデルを紹介している。

図 1.7 FEM 計算の解析モデル[7]図 1.8 では、左側の縦軸を温度右側の縦軸を補足磁界の大きさ、横軸を時間として、外部磁界の印加に伴う温度の変化と補足磁界の変化を示している。補足磁界はバルク表面に発生する磁界を計算している。この計算では、外部磁界の減少速度を−0.22 T/minとして、FCM による着磁をおこなっており、温度上昇が 0.5 K であることが確認できる。
このことから、FCM による着磁において温度上昇はほとんど存在しないと言える。
図 1.9 では、左側の縦軸を温度変化の最高値、右側の縦軸を補足磁界の大きさ、横軸を時間として、外部時間の印加に伴う温度変化と捕捉磁界の変化を示している。ここでは、外部磁界減少速度が−0.52 T/min以下になると、捕捉磁界が 2 T 付近において 0.01 T
以下の範囲でほとんど変化していないことがわかる。このことについては、外部磁界減少速度が−0.52 T/min以下になったところで捕捉磁界の結果への影響は飽和したと考えられる。これらのことから、FCM における温度上昇が小さいこと、その温度上昇から生じる捕捉磁界の影響が小さいことがわかる。したがって温度変化を考慮せずに FEM
計算することができると考えられる。
9

図 1.8 外部磁界の印加と温度の時間依存関係[7]図 1.9 外部磁界の減少速度と温度上昇及び捕捉磁界の関係[7]1.6 本研究の目的
ここまでで、MgB2 が研究されている経緯やMgB2 を利用することの利点を示してきた。
現在では、FEM を利用することで、実験結果を推移する試みがみられており、岩手大学の藤代博之教授によって FCM を再現することにより、MgB2 超伝導バルク磁石の捕捉磁界の評価を行うことができることが示されている[7]。この研究の中で、FCM による着磁の際、MgB2 の温度上昇が 0.5 K と小さいこととその温度上昇による捕捉磁界の変化が 0.01 T に満たないほど小さいこと報告されている。そこで、通常 FCM を再現
10するための熱方程式、熱伝導率等、様々な計算を省略し、より簡略的な FCM 計算を行った。
MgB2 バルクについては FEM による研究だけでなく、実際にMgB2 バルクを作成した研究もおこなわれている。その中の一つである円盤状MgB2 バルクの径依存性に関する研究では、厚さ 10 mm のバルクにおいて、直径を大きくしていくと捕捉磁界に飽和傾向がみられるという課題が見つかった[8]。この課題に対する解決策として、比較的小型なバルクを複数用いる方法がある。そこで、本研究では FEM による、比較的小型且つ単純な形状のバルクを複数利用したMgB2 超伝導バルク磁石の着磁特性を評価した。

11

第2章

FEM 解析

2.1 解析方法
今回解析を行ったモデルは、MgB2 バルク超伝導体の周囲にコイルを置いた簡単なモデルを基本として作成されている。解析状況としては、図 2.1 に示すようなMgB2 超伝
導バルク磁石の周囲にソレノイドコイルを配置している状況を想定している。本来であれば、スペーサや冷却器といった周辺機器も考慮するが、今回はそう言った部分を省略してより簡単なモデルとして解析を行っている[7]。さらに、今回はモデルが角度方向に対して対称性を持っていることから計算時間の短縮のために、正三角形は 1/3 の120°モデル、正方形は 1/4 の 90°モデル、正六角形と円盤は 1/6 の 60°モデル(正六角形 4 つのモデルに関しては 1/2 の 180°モデル)を作成し、計算を行っている。計算
精度を増すために、細かい要素に分解する FEM 計算では、モデルの分割数、および大きさが計算時間に影響するため、このように解析区間を省略することで大きく時間の短縮が図れる。
今回の FEM 計算に用いたソフトウェアは、第 1 章の 1.3 で紹介した、JSOL 社製の
JMAG-Studio ver. 10.0 である。JMAG 内で作成した解析モデルを図 2.2 に示す。今回作成したモデルは 3 種類の物質で構成されており、図 2.1 のイメージモデルに示すように、MgB2 バルク超伝導体、ソレノイドコイル、そして空気という基本的な構成になっている。図 2.2 は、2 次元モデルを作成し、垂直方向に引き伸ばした 3 次元モデルである。この 3 次元モデルもMgB2バルク超伝導体、ソレノイドコイル、空気の 3 要素から構成されていることがわかる。本研究ではMgB2 バルク超伝導体に𝑧方向の外部磁界を印加しているため、ソレノイドコイルは超伝導体に対して 6 倍ほど𝑧軸方向に対して大きく設計し、MgB2 バルク超伝導体に均一に磁界がかかるようにしている。
JMAG による FEM 計算を行う際には、𝐽c -𝐵特性のデータを用いる必要がある。図 2.3に本研究で用いた 20 K における𝐽c -𝐵特性を示す[9,10]。この𝐽c -𝐵特性は東京大学にて、
山本明保教授により SQUID 磁束計を用いて計測された。

12

Solenoidal coil

Bulk superconductor

図 2.1 解析状況のイメージモデル

超伝導バルク
ソレノイド
コイル

図 2.2 JMAG を用いて作成した解析モデル13図 2.3 20 K における𝐽c-𝐵特性[9,10]

FEM 解析では、図 2.2 の解析モデルをさらに細かく要素分けすることで、より詳細な解析を行うことができ、この要素分けしたモデルをメッシュモデルという。図 2.4 に
図 2.2 におけるメッシュモデルを示す。メッシュモデルを製作する際は、詳細な解析結果が必要な部分を細かく要素分けすることで正確な結果を得ることができる。本研究においては、バルク部分とその周辺が特に必要な結果であるから、バルク周辺の要素は細かく、コイル部分及びバルクから離れた部分に関しては要素が大きくなっている。
図 2.4 のメッシュモデルでは、バルク自体のメッシュカットを 0.5 mm に設定しており、コイル及び空気部分に関しては自動設定によって最適化している。そのため、バルク周辺からコイル(紫部分)及び空気(緑部分)に向かってメッシュカットが大きくなっている
ことがわかる。このように、より詳細に計算結果を必要とする場合は、必要な部分に対して要素を細かくすることによって詳細な結果を得ることができる。
着磁のためにかける外部磁界は最大 9 T 以上になるようにコイルの巻き数及び印加電流を設定しなければならない。これは、FCM で利用された最大外部磁界が 4.5 T であること[7]をふまえて、中心到達磁界の 2 倍以上の外部磁界をかけることで FCM と同等の着磁を行うためである。通常の着磁では 1.3 節で述べた FCM を利用して着磁を行うが、今回はより簡潔で着磁を目的とした温度変化のない着磁方法を用いている。FCM
をはじめとした通常の着磁方法では温度変化が起こることが前提となっている。そこで、一定温度を維持したまま、外部磁界を印加する。印加した外部磁界が最大になったとこ
ろでゼロ磁界まで落とすことで着磁を行っている。今回の着磁の様子を図 2.5 に示す。

14

図 2.4 JMAG を用いて作成したメッシュモデル

(b)

(a)

図 2.5 本研究で使用した着磁方法。(a)本研究で使用した着磁方法における外部磁界𝐻e と温度𝑇の変化の様子。(b)本研究で使用した着磁方法により印加される磁界。

15

MgB2 バルクに着磁を行う際には、ソレノイドコイルに大きな電流を流しその電流に対応した磁界を発生させなければならない。今回コイルに流している電流は、図 2.6 に示すような 0.25 Hz、400 A の交流電流である。これにより、外部磁界を 1 sec で最大磁界まで上昇し、さらに 1 sec でゼロ磁界まで減少させることで、図 2.5 のような外部磁界の印加を行っている。また、コイルに電流を流すほかにも、コイルの巻き数も変更することができる。今回のコイルの巻き数はコイルの厚さ 1 mm に対して 30 回に設定している。今回のシミュレーションでは、コイルに 2 sec の間電流を流しているが、この 2 sec をいくつかに分割して解析を行っている。この分割数をステップという。FEM
計算においてこのステップ数は計算精度に大きく影響を与える。図 2.7 は直径 60 mmの円盤状バルクにおいて、ステップ数を変化させて FEM 計算を行った際の最大磁束密度を示している。図 2.7 を見てみるとステップ数が 8 付近で最大磁束密度が安定していることがわかる。このことから、FEM 計算においてステップ数は 8 より大きければ正確な計算ができると言える。今回の FEM 計算では、余裕を持ってステップ数は 10に設定している。
今回の FEM 計算では温度変化を考慮していないため、計算過程で温度上昇が起こらないようになっている。

curent [A]

400

200

0
0

1
t [s]
図 2.6 ソレノイドに流した正弦波電流

162Maxmum trapped field [T]

MgB 2, Disc, FEM, 0.5 mm from top surface
20 K, Thickness = 10 mm
Diameter = 60 mm
3

2
0

10

20

Step
図 2.7 円盤状バルクの FEM 計算におけるステップ数を変化させた場合の最大磁束密度の変化172.2 解析内容
2.2.1 正三角形を複数配置したモデルの解析作製したモデルの概要を図 2.8 に示す。MgB2 超伝導体の形状を 1 辺の長さが 10 mmの正三角形とし、厚さを 10 mm、間隔を 0.1 mm、温度を 20 K、個数を 1—16 個まで変化させた場合の磁束密度分布を FEM で計算し、考察を行った。計算した磁束密度分布はバルク上部 0.5 mm 及び 5 mm の z 軸成分である。図 2.8 に示すように、計測範囲
はモデルを 1 つの正三角形とみなしたときの、1 つの辺の中心とその正面にある頂点を通る直線状とし、モデルの中心(重心)を原点とする。

(a)
(b)

(c)

(d)

図 2.8 正三角形を複数配置したモデル。(a)正三角形単体のモデル。(b)正六角形を 4 個組み合わせたモデル。(c)正六角形を 7 個組み合わせたモデル。(d)正六角形を 19 個組み合わせたモデル。

2.2.1 正方形を複数配置したモデルの解析作製したモデルの概要を図 2.9 に示す。MgB2 超伝導体の形状を 1 辺の長さが 10 mmの正方形とし、厚さを 10 mm、間隔を 0.1 mm、温度を 20 K、個数を 1—16 個まで変化させた場合の磁束密度分布を FEM で計算し、考察を行った。計算した磁束密度分布はバルク上部 0.5 mm 及び 5 mm の z 軸成分である。図 2.9 に示すように、計測範囲はモデルを 1 つの正方形とみなしたときの、対角線上とし、モデルの中心を原点とする。
18

(a)

(b)

(c)

(d)

図 2.9 正方形を複数配置したモデル。(a)正方形単体のモデル。(b)正方形を 4 個組み合わせたモデル。(c)正方形を 9 個組み合わせたモデル。(d)正方形を 16 個組み合わせたモデル。

2.2.3 正六角形を複数配置したモデルの解析作製したモデルの概要を図 2.10 に示す。
MgB2 超伝導体の形状を 1 辺の長さが 10 mmの正六角形とし、厚さを 10 mm、間隔を 0.1 mm、温度を 20 K、個数を 1—19 個まで変化させた場合の磁束密度分布を FEM で計算し、考察を行った。計算した磁束密度分布はバルク上部 0.5 mm 及び 5 mm の z 軸成分である。図 2.10 に示すように、計測範
囲は、中心に配置された正六角形を二等分するように 2 辺の中心を通る直線上とし、モデルの中心を原点とする。

19

(b)

(a)

(c)

(d)

図 2.10 正六角形を複数配置したモデル。(a)正六角形単体のモデル。(b)正六角形を 4 個組
み合わせたモデル。(c)正六角形を 7 個組み合わせたモデル。(d)正六角形を 19 個組
み合わせたモデル。

2.2.4 円盤を複数配置したモデルの解析作製したモデルの概要を図 2.11 に示す。MgB2 超伝導体の形状を直径が 20 mm の円盤とし、厚さを 10 mm、間隔を 0.1 mm、温度を 20 K、個数を 1—19 個まで変化させた場合の磁束密度分布を FEM で計算し、考察を行った。計算した磁束密度分布はバル
ク上部 0.5 mm 及び 5 mm の z 軸成分である。計測範囲は、図 2.11 に示す直線上とし、モデルの中心を原点とする。

20

(b)

(a)

(c)

(d)

図 2.11 円盤を複数配置したモデル。(a)円盤単体のモデル。(b)円盤を 4 個組み合わせたモデル。(c)円盤を 7 個組み合わせたモデル。(d)円盤を 19 個組み合わせたモデル。

21

第3章

結果及び考察3.1 正三角形を複数配置したモデルの解析
図 3.1 と図 3.2 はバルク表面上 0.5 mm 及び 5 mm の磁束密度の測定結果である。更
に、表 3.1 にバルクの各配置個数と 0.5 mm 及び 5 mm 上部での最大磁束密度を示す。
FEM 計算においては、MgB2 超伝導体の形状を 1 辺の長さが 10 mm の正三角形とし、厚さを 10 mm、間隔を 0.1 mm、温度を 20 K、個数を 1—16 個まで組み合わせたモデルを定義している。
図 3.1 と表 3.1 を見てみると、バルクの個数 1—16 個まで増える間に、0.98 T, 1.02 T,
1.44 T, 1.44 T と最大磁束密度が大きくなったことがわかる。そして、計測範囲である
直線が通過するバルクの数だけ極大値をとっている。これは、それぞれのバルクにおける磁界が主にそれぞれのバルクに流れる電流から影響を受けているからであると考えられる。隣接しているバルクの向かい合っている辺と辺には逆向きに平行な電流が流れている。そのため、アンペールの法則で発生した磁界の𝑧軸方向正の成分はその電流が流れているバルクに大きく影響し、周辺のバルクに与える影響は小さいと考えられるからである。逆に、𝑧軸方向正の成分以外はバルクとバルクの間の空間に集中し、その部分で極小値をとるようになっている。そのため、バルクを複数組み合わせた場合、図 3.1のような磁束分布になるのである。図 3.1 の磁束分布に負の値がみられるのも同じ原因であると考えられる。磁束密度が負の値をとっている場所はいずれも、バルク間の空間、もしくは 1 番外側に配置されたバルクの他のバルクと隣接していない面付近である。こられの場所は、電流が流れている場所付近でもある。上にも書いたが、電流から発生した磁界の𝑧軸方向正の成分はバルク内側に集中し、負の成分はバルク外側に集中する。
そして、バルク上部 0.5 mm では磁束密度の減衰が小さいため、負の成分もあまり減衰しておらず負の値が生じたと考えられる。
図 3.2 を見てみると、5 mm 上部においてもバルクの個数が増えるにつれ、磁束密度が大きくなっていることがわかる。磁束密度の値だけ比較すると 5 mm 上部の方が0.5 mm 上部よりも劣っている。そこで、5 mm 上部において、バルクが 1 個の場合と16 個の場合の最大磁束密度を比べると、16 個の場合は 0.40 T、1 個の場合は 0.14 T である。0.5 mm 上部でも同じように比べてみると、16 個の場合は 1.44 T、1 個の場合は0.98 T である。5 mm 上部においては 16 個の場合が 1 個の場合の約 3 倍の最大磁束密度を記録しており、0.5 mm 上部においては、約 1.5 倍と最大磁束密度の上昇率ならば5 mm 上部のほうが勝っている。さらに、0.5 mm 上部と 5 mm 上部における磁束密度分布の概形を見比べると、5 mm 上部の方が凹凸が少なく、なだらかであることがわかる。これらは、バルク表面近傍では隣接するバルクの磁束から影響を受けやすいためであり、バルク表面から離れることでその影響が小さくなったためであると考えられる。
22つまり、バルク同士から発生する磁束の𝑧軸方向負の成分がバルク表面から離れるほど小さくなるため、図 3.2 のように上に凸の概形になったのであり、最大磁束密度の上昇率も大きくなったのである。
表 3.1 正三角形を複数配置した場合の最大磁束密度[T]

1 個配置

4 個配置

9 個配置

16 個配置

0.5 mm 上部

0.98

1.02

1.44

1.44

5 mm 上部

0.14

0.28

0.34

0.40

MgB 2 , 20 K, FEM, 0.5 mm from top surface
Triangle
1

16 Bulks

Bz [T]

9 Bulks
4 Bulks
1 Bulk

0.5

0
−25

0
x [mm]

25

図 3.1 正三角形を複数配置した場合の磁束密度(0.5 mm 上部)

23

0.5

MgB 2 , 20 K, FEM, 5 mm from top surface
Triangle
16 Bulks

Bz [T]

9 Bulks
4 Bulks
1 Bulk0−25

0x [mm]

25

図 3.2 正三角形を複数配置した場合の磁束密度(5 mm 上部)

3.2 正方形を複数配置したモデルの解析
図 3.3 と図 3.4 はバルク表面上 0.5 mm 及び 5 mm の磁束密度の測定結果である。更
に、表 3.2 にバルクの各配置個数と 0.5 mm 及び 5 mm 上部での最大磁束密度を示す。
FEM 計算においては、MgB2 超伝導体の形状を 1 辺の長さが 10 mm の正方形とし、厚さを 10 mm、間隔を 0.1 mm、温度を 20 K、個数を 1—16 個まで組み合わせたモデルを定義している。
図 3.3 を見てみると、0.5 mm 上部においてはバルクの配置個数が 1—16 個まで増える間に最大磁束密度が大きくなっていることがわかる。バルク個数の変化に応じて表
3.2 のように変化している。バルクの配置数が 1 個のときと比較するとどの個数も最大磁束密度に増加がみられるが、4 個配置と 9 個配置では変化が見られなかった。これはバルクの配置が関係していると考えられる。4 個配置では 1 個のバルクは 2 個のバルクとしか隣接しないが、9 個配置において、中心に配置してあるバルクは 4 個のバルクと隣接している。バルクに流れる電流はバルク内部には𝑧軸方向正、バルク外部には𝑧軸方向負の影響を与えるため、より多くのバルクと隣接していると𝑧軸方向負の影響を受けやすい。そのため、バルクを 9 個配置した場合の最大磁束密度は 4 個配置した場合とあまり差が出なかったと考えられる。
そして、図 3.3 において磁束密度の極大値は𝑥の値が 0 に近づくほど大きくなってい24

る。つまり、複数配置したバルクのうち、内側に配置されたバルクほど大きな磁束密度を記録している。これはバルク表面に流れる電流が関係している。図 3.5 は正方形バル
クを 9 個配置した場合と 16 個配置し、着磁を行ったときの電流密度を表している。
図 3.5 を見ると、バルク同士が隣接している辺のみ電流密度が大きくなっていることがわかる。これは隣接するバルクの辺どうしに流れる平行な電流が互いに逆向きであることが原因であると考えられる。互いの電流はお互いに磁界を発生させる。この時、ローレンツ力が働き、お互いのバルク中の電子は隣接面に対して垂直なバルク内側向きの力を受ける。それにより、電流はローレンツ力を受けていない状態よりバルク内側を流れるようになり、バルク内側の電流密度が大きくなる。図 3.6(a)は、バルクを 1 個だけ配置した場合と 9 個配置した場合の電流密度分布を示しており、図 3.6(b)はバルクを 4 個配置した場合と 16 個配置した場合の電流密度分布を示している。それぞれの配置個数において、電流密度分布は図 2.10 に示すモデルの𝑧 = −5 mm の𝑥軸上を計測した。
図 3.6(a)を見てみると、電流が流れるはずのバルク端部付近で電流密度が大きくなっていることがわかる。そして、バルクを 1 個だけ配置した場合の電流密度と、バルクを 9個配置した場合の中心に配置されたバルクに該当する電流密度を比較するとその分布の概形は一致していないことがわかる。バルク 1 個配置の場合は、電流密度の極大値どうしの距離がおよそ 12.72 mm だが、9 個配置した場合の中心に配置されたバルクではその距離がおよそ 11.78 mm と短く、電流密度も大きい。図 3.6(b)を見てみると、
図 3.6(a)と同様に電流が流れるはずのバルク端部付近で電流密度が大きくなっている
ことがわかる。そして、バルクを 4 個配置した場合の電流密度と、バルクを 16 個配置
した場合の内側に配置されたバルク 4 個の部分に該当する電流密度を比較するとその分布の概形は一致していないことがわかる。図 3.6(a)と同じように極大値どうしの距離を求めてみると、4 個配置の場合はおよそ 12.02 mm だが、16 個配置した場合の内側に配置されたバルクでは 11.42 mm と短くなっている。このことから、周りに配置されたバルクと多く隣接しているバルクは、電流の流れが通常よりも小回りになり、バルク
内部により強力な磁束を発生させている。
図 3.4 を見ると、バルクの個数が増えるにつれ、最大磁束密度が上昇していることがわかる。3.1 節と同じように最大磁束密度の上昇率では 0.5 mm 上部より 5 mm 上部の方が勝っているが、磁束密度分布の概形に凹凸がみられ、図 3.2 のような単純な上に凸の形ではない。上昇率が向上した理由は 3.1 と同じで、バルク表面から離れるほど磁束の𝑧軸方向負の成分が小さくなるからであると考えられる。概形については捕捉している磁束の大きさによるものが大きいと思われる。図 3.3 と図 3.4 を見比べてみると、
図 3.3 の磁束密度分布では極小値が 0 T を下回っているものが図 3.4 の磁束密度分布よりも多い。つまり、バルク表面近傍では𝑧軸方向正の成分は大きいが、バルクが隣接している付近では𝑧軸方向正の成分はゼロに近い。しかし、バルク表面から離れることで、バルク同士が隣接している付近にも𝑧軸方向正の成分が現れ図 3.4 のような磁束密度分25布の概形になったと考えられる。図 3.2 と比べて外径に凹凸がみられるのはバルク表面
から 5 mm 離れても磁束密度の減衰が少なく、バルクが隣接している付近上部の𝑧軸方向正の成分よりも大きかったからである。更に上部の磁束分布を調査していくと、
図 3.2 のような上に凸の概形になると予想できる。
表 3.2 正方形を複数配置した場合の最大磁束密度[T]

1 個配置

4 個配置

9 個配置

16 個配置

0.5 mm 上部

1.36

1.48

1.48

1.54

5 mm 上部

0.34

0.46

0.51

0.61

1.5

MgB 2 , 20 K, FEM, 0.5 mm from top surface
Square16 Bulks

Bz [T]

9 Bulks
1

1 Bulk
4 Bulks

0.5

0
−25

0
x [mm]

25

図 3.3 正方形を複数配置した場合の磁束密度(0.5 mm 上部)

26

MgB 2 , 20 K, FEM, 5 mm from top surface
Square16 Bulks
0.5

Bz [T]

9 Bulks
4 Bulks
1 Bulk0−25

0x [mm]

25

図 3.4 正方形を複数配置した場合の磁束密度(5 mm 上部)

(a)

(b)

図 3.5 正方形を複数配置した𝟏⁄𝟒モデルの電流密度分布。(a)正方形を 9 個配置した場合の
𝟏⁄𝟒モデルの電流密度分布。(b) 正方形を 16 個配置した場合の𝟏⁄𝟒モデルの電流密
度分布。
27

+9

9 Bulks
1 Bulk2

Current density [A/m ][10 ]

2

1

0

−20

−10

0

10

20

x [mm](a)+92

Current density [A/m ][10 ]

2

16 Bulks
4 Bulks

1

0
−30

−20

−10

0

10

20

30

x [mm](b)
図 3.6 正方形を複数組み合わせたモデルの電流密度分布。(a)バルクを 1 個配置した場合と9 個配置した場合の電流密度分布の比較。(b)バルクを 9 個配置した場合の電流密度分布の比較。

3.2 正六角形を複数配置したモデルの解析
図 3.5 と図 3.6 はバルク表面上 0.5mm 及び 5mm の磁束密度の測定結果である。FEM
計算において、MgB2 超伝導体の形状を 1 辺の長さが 10 mm の正六角形とし、厚さを10 mm、間隔を 0.1 mm、温度を 20 K、個数を 1—19 個まで組み合わせたモデルを定
28

義した。
0.5 mm 上部において、バルクの個数を変化させた場合、最大磁束密度は表 3.3 のように変化した。バルクを 1 個だけ配置した場合からバルクの個数を増やすことで、最大磁束密度は上昇し、19 個配置した場合では 1 個配置した場合に比べて約 0.1 T 上昇している。これは 3.2 で書いたように、バルクと隣接するバルクの数が影響していると考えられる。正六角形の場合はバルクの配置が図 2.8 のようになる。バルクの個数が増えるごとにバルク同士が隣接している面も増えている。そのため、隣接しあうお互いのバ
ルクに流れる電流が影響しあい、最大磁束密度が増加している。バルクの個数が 7 個の場合と 19 個の場合での磁束密度分布の極大値を見てみると、7 個の場合は、3.2 のように𝑥の値が 0 に近いほど極大値が大きくなっている。しかし、19 個の場合は𝑥の値が小さい順番に、1.92 T、1.89 T、1.93 T、1.89 T、1.92 T という極大値をとっている。中心の極大値が大きくなっていることは変わりないが、バルクの外側から中心へ向かって極大値が大きくなっているのではなく、一旦小さくなってから中心で最大になっている。
これは、バルクを流れている電流が原因であると考えられる。図 3.9 にバルクの配置個数が 7 個の場合と 19 個の場合の電流密度分布を示している。それぞれの配置個数において、電流密度分布は図 2.8 に示すモデルにおける𝑧 = −5 mm の𝑥軸上を計測した。
図 2.8 を見ると分かるように、正六角形のバルクを 7 個配置した周りに、さらにバルクを配置したものが正六角形を 19 個配置したモデルである。
よって、19 個配置における、内側に配置された 7 個のバルクの配置は 7 個配置の並びと一致している。図 3.9 に示す
電流密度分布について、バルク 7 個配置における外側 6 個のバルクに相当する部分の電流密度分布と、19 個配置における中間に配置された 6 個のバルクに相当する部分に注目してみる。バルク端部に相当する 2 箇所での電流密度の上昇が確認できるが、19 個配置の場合より 7 個配置の方が電流密度は大きくなっている。加えて、19 個配置における中間に配置された 6 個のバルクに相当する部分の電流密度と外側 12 個に相当する部分の電流密度を比較する。どちらの部分においても、バルク端部に相当する 2 箇所で電流密度の上昇が確認できるが、その値に差がみられる。中間 6 個に相当する部分では、
1.92 × 109 A⁄m2 と 1.62 × 109 A⁄m2 だ が 、 外 側 12 個 に 相 当 す る 部 分 で は
1.66 × 109 A⁄m2 と1.98 × 109 A⁄m2 であり、外側 12 個に相当する部分の方が電流密度は大きい。バルクを流れる電流が大きいほど発生する磁束も大きいので、19 個配置
における外側に配置されたバルクの磁束密度が中間よりも大きくなったのである。
図 3.8 を見ると、バルクの個数が増えるにつれ、最大磁束密度が上昇していることがわかる。バルク個数の変化に応じて表 3.3 のように数変化しており、1 個から 19 個まで変化する間に 0.23 T の上昇がみられる。3.1 節と 3.2 節と同じように最大磁束密度の上昇率では 0.5 mm 上部より 5 mm 上部の方が勝っているが、磁束密度分布の概形に凹凸がみられ、図 3.2 のような単純な上に凸の形ではない。上昇率が向上した理由は 3.1
節と同じで、バルク表面から離れるほど磁束の𝑧軸方向負の成分が小さくなるからであ29

ると考えられる。磁束密度分布の概形については前記のバルク表面から離れることで𝑧軸方向負の成分が小さくなったことと、捕捉している磁束が大きいことが原因であると考えられる。バルク同士の隣接部近傍は𝑧軸方向負の成分が大きいが、バルク表面から離れることでそれは小さくなり、𝑧軸方向正の成分が現れる。しかし、それもバルク中心部に捕捉されている磁束に比べると小さいため、図 3.2 のような上に凸の概形にはならなかった。更に上部の磁束密度を調査すると、凹凸はなだらかになると考えられるが、単純な上に凸の形ではなく、多少凹凸のある概形になると予想できる。
表 3.3 正六角形を複数配置した場合の最大磁束密度[T]

1 個配置

4 個配置

7 個配置

19 個配置

0.5 mm 上部

1.81

1.80

1.88

1.93

5 mm 上部

0.69

0.75

0.75

0.91

MgB 2 , 20 K, FEM, 0.5 mm from top surface
Hexagon4 Bulks 7 Bulks 19 Bulks
2
1 BulkBz [T]

1.5

1

0.5

0
−50

0
x [mm]

50

図 3.7 正六角形を複数配置した場合の磁束密度(0.5 mm 上部)

30

MgB 2 , 20 K, FEM, 5 mm from top surface
Hexagon1 Bulk 4 Bulks 7 Bulks 19 Bulks

Bz [T]

1

0.5

0
−50

0
x [mm]

50

図 3.8 正六角形を複数配置した場合の磁束密度(5 mm 上部)+92

Current density [A/m ][10 ]

2

19 Bulks
7 Bulks

10−50 −40 −30 −20 −10

0

10

20

30

x [mm]
図 3.9: 正六角形を複数組み合わせた場合の電流密度分布
31

40

50

3.4 円盤を複数配置したモデルの解析
図 3.10 と図 3.11 はバルク表面上 0.5mm 及び 5mm の磁束密度の測定結果である。
FEM 計算において、MgB2 超伝導体の形状を直径が 20 mm の円盤とし、厚さを 10 mm、間隔を 0.1 mm、温度を 20 K、個数を 1—19 個まで組み合わせたモデルを定義した。
表 4 にバルク上部 0.5 mm と 5 mm における各配置個数での最大磁束密度をまとめている。
0.5 mm 上部において、バルクの配置個数を増やした場合、最大磁束密度は 1.86 T、
1.77 T、1.84 T、1.82 T と変化した。3.3 節までは、バルクの配置個数を増やすことで最大磁束密度は増加したが、円盤状バルクにおいては増加傾向がみられなかった。これはバルクを敷き詰めた際にできる隙間が原因であると考えられる。図 3.12 のように、隣接面が 0.1 mm 間隔で配置された正六角形バルクと円盤状バルクを比べてみると、円盤状バルクの場合は余分な隙間ができてしまうことがわかる。3.2 節でも述べたが、バ
ルクを複数用いることで捕捉磁界が上昇するのは、隣接するバルクどうしに流れる電流が原因であると考えられる。前述の正三角形、正方形、正六角形の場合は隙間なくバル
クを敷き詰めることができるが、円盤状バルクの場合はどうしても隙間が生まれてしまう。隙間があるということはそれだけ隣接しているバルクに流れている電流との距離も大きくなり、バルクに流れる電流が受けるローレンツ力は小さくなる。そのため、バル
ク内側の電流密度は大きくならず最大磁束密度も上昇しなかったと考えられる。
5 mm 上部においてバルクの配置個数を増やした場合、最大磁束密度は 0.78 T、0.76 T、0.80 T、0.78 T と変化し、0.5 mm 上部と同様に増加傾向は見られなかった。図 3.11を見てみると、5 mm 上部での磁束分布の概形は 0.5 mm 上部よりもなだらかになっていることがわかる。これは、3.3 節までで述べているように、バルク表面から離れることで磁束密度の𝑧軸成分方向負の成分及び正の成分が小さくなったためであると考えられる。更に上部の磁束分布を調査するとこの凹凸はなくなっていくと思われる。
表 3.4 円盤を複数配置した場合の最大磁束密度[T]
1 個配置

4 個配置

7 個配置

19 個配置

0.5 mm 上部

1.86

1.77

1.84

1.82

5 mm 上部

0.78

0.76

0.80

0.78

32

MgB 2 , 20 K, FEM, 0.5 mm from top surface
Disc
4 Bulks 7 Bulks 19 Bulks
2
1 BulkBz [T]

1.5

1

0.5

0
−50

0
x [mm]

50

図 3.10 円盤を複数配置した場合の磁束密度(0.5 mm 上部)

Bz [T]1

MgB 2 , 20 K, FEM, 5 mm from top surface
Disc
1 Bulk 4 Bulks 7 Bulks 19 Bulks

0.5

0
−50

0
x [mm]

50

図 3.11 円盤を複数配置した場合の磁束密度(5 mm 上部)

33

(b)

(a)

図 3.12 0.1 mm 間隔でバルクを 7 個用いた場合の配置。(a)円盤状バルクを 7 個用いた場合の配置。(b)正六角形バルクを複数用いた場合の配置。

3.5 各形状における最大磁束密度の比較
図 3.13 にバルク上部 0.5 mm と 5 mm における、各形状でのバルクの個数変化による最大磁束密度の変化を示す。正多角形の場合、0.5 mm 上部と 5 mm 上部どちらも正三角形、正方形、正六角形の順に各個数における最大磁束密度が大きくなっていることがわかる。これは、バルクが大型化したことが主な原因だと考えられる。バルク表面を流れる電流により磁界は発生する。バルクの形状が正三角形、正方形、正六角形と変わるにつれ、バルクひとつあたりの表面積、体積が増加すると、流れる電流も大きくなる。
さらに、正三角形、正方形、正六角形の順に回転対称性も高くなり、電流が流れる辺も増える。そのため、バルク中心付近に、各辺を流れる電流から生じる磁界がより集中し、結果的に最大磁束密度が上昇したのである。1.7 節において、円盤状バルクでは直径を大きくしても捕捉磁界に飽和傾向があると示したが、これはバルクの円周からバルクの中心まで距離が大きくなったからではないかと考えられる。円盤状バルクは回転対称性が非常に高いが、電流から生じる磁界は電流から離れるほど減衰するので、直径を大きくしていくと最大磁束密度が伸び悩んだのだ。今回の解析では最も高い磁束密度を記録した正六角形バルクも、重心から頂点までの距離を大きくしていくと磁束密度に飽和傾向がみられる可能性がある。
図 3.14 は厚さ 10 mm の円盤状バルクにおけるバルク上部 0.5 mm での最大磁束密度の径依存性を表している[9]。図 3.14 を見てみると、最大磁束密度が 2.7 T 付近で飽和傾向がみられる。今回計算した各形状各配置個数における最大磁束密度は最も大きなもので正六角形を 19 個配置した場合の 1.93 T と、2.7 T には及ばなかった。しかし、六角形 1 個の場合と、円盤状バルクのバルク上部 0.5 mm における最大磁束密度を比較す
ると、正六角形バルクが 1.81 T、円盤状バルク 1.86 T でありその差は 0.05 T である。
34

この差は正三角形及び正方形と円盤状バルクの最大磁束密度を比較したときの差よりも明らかに小さい。更に、図 3.13 における正六角形バルクと円盤状バルクの最大磁束密度の配置個数依存性を見てみると、バルクが 1 個のときは円盤状バルクの方が勝っているが、配置個数を増やしていくと正六角形バルクの最大磁束密度がそれを上回ってい
ることがわかる。この正六角形バルクは円盤状バルクにちょうど内接しており、その体積は正三角形、正方形に比べれば円盤状バルクに近い。前述のように、正六角形バルクにも捕捉磁界の飽和傾向がみられる可能性は十分にあるが、円盤状バルクと違い、複数組み合わせることで最大磁束密度の上昇が期待できる。
バルク上部 0.5 mm と 5 mm における最大磁束密度のバルク個数による変化を見比べてみると。どの形状においても 5 mm 上部の方がバルクの配置個数を増やすことによる最大磁束密度の上昇率が 0.5 mm 上部よりも大きいことがわかる。正三角形の場合、0.5 mm 上部では配置個数 1 個と 16 個における最大磁束密度の差が 0.16 T だが、
5 mm
上部では 0.26 T と 5mm 上部が上回っている。正方形の場合でも、0.5 mm 上部では配置個数 1 個と 16 個における最大磁束密度の差が 0.18 T だが、5 mm 上部では 0.27 Tと 5mm 上部が上回っている。そして、正六角形においても 0.5 mm 上部では配置個数1 個と 19 個における最大磁束密度の差が 0.12 T だが、5 mm 上部では 0.24 T と 5mm
上部が上回っている。これは、3.3 節まででも述べてきたが、やはり隣接しているバルクから受ける𝑧軸方向負の影響がバルク表面から離れることで小さくなっているのが原因であると考えられる。

35

MgB 2 , 20 K, FEM

Maxmum trapped field [T]Hexagon

0.5 mm from top surface

2
Disc

Square1.5
Triangle

5 mm from top surface

1
Hexagon
0.5

0
0

Disc

SquareTriangle
1020

The number of MgB 2 bulk
図 3.13 バルク上部 0.5 mm と 5 mm における各形状での個数変化による最大磁束密度の変化

Maxmum trapped field [T]3

MgB 2, Disc, FEM, 0.5 mm from top surface
20 K, Thickness = 10 mm

2

1
0

50

100

Diameter [mm]図 3.14 円盤状バルクにおける最大磁束密度の径依存性[8]
36

第4章

まとめ

本研究では、様々な形状のMgB2 超伝導バルクの FEM による磁束分布解析を行い、その計算結果について考察を行った。今回の FEM 計算では、岩手大学藤代博之教授によって、MgB2 超伝導バルク磁石の捕捉磁界特性を FEM により評価することができると示されたことを参照している。その論文中で、FCM による着磁過程では超伝導体の温度上昇が 0.5 K 程度であること、その温度上昇による捕捉磁界の変化が 0.01 T に満たないほど小さいことが示されている。そこで、今回は温度上昇を省略化した簡略的なFEM 計算を行った。FCM では、外部磁界を一定まで上昇させたのちに、温度を臨界
温度以下まで低くすることで着磁を行っている。それに対して、本研究では、臨界温度以下の一定温度で外部磁界を上昇させ、中心到達磁界の 2 倍以上の強力な磁界をかけ、その後磁界をゼロまで減少させることで温度変化を考慮せずに着磁を行っている。この
着磁法を用いることで、磁束分布が FCM と同等ながらも、より簡略化された計算を行うことができる。
本研究において、解析を行ったモデルは 4 種類である。1 種類目は正三角形を複数組み合わせたモデルである。1 辺の長さを 10 mm とし、厚さを 10 mm、バルク間の間隔を 0.1 mm、温度を 20 K、個数を 1—16 個まで変化させた。バルク上部 0.5 mm においてバルクの配置個数が増えることで最大磁束密度は 0.98 T から 1.14 T まで上昇した。
バルク上部 5 mm においては、最大磁束密度の上昇率は 0.5 mm よりも大きく、またその磁束分布はなだらかであった。2 種類目は正方形を複数組み合わせたモデルである。
1 辺の長さを 10 mm とし、厚さを 10 mm、間隔を 0.1 mm、温度を 20 K、個数を 1—16個まで変化させた。バルク上部 0.5 mm においてバルクの配置個数が増えることで最大磁束密度は 1.36 T から 1.54 T と正三角形よりも上昇した。その磁束密度はモデルの中心に配置されたバルクほど高いことがわかった。バルク上部 5 mm においては、最大磁束密度の上昇率は 0.5 mm よりも大きく、またその磁束分布はなだらかであり、さらに上部の磁束分布はより平坦になると予測される。3 種類目は正六角形を複数組み合わせたモデルである。1 辺の長さを 10 mm とし、厚さを 10 mm、間隔を 0.1 mm、温度を20 K、個数を 1—19 個まで変化させた。バルク上部 0.5 mm においてバルクの配置個数が増えることで最大磁束密度は 1.81 T から 1.92 T と正三角形、及び正方形よりも上昇した。その磁束密度はモデルの中心と外側に配置されたバルクほど高いことがわかった。バルク上部 5 mm においては、最大磁束密度の上昇率は 0.5 mm よりも大きく、またその磁束分布はなだらかであった。4 種類目は円盤状バルクを複数組み合わせたバルクである。直径を 20 mm とし、とし、厚さを 10 mm、間隔を 0.1 mm、温度を 20 K、個数を 1—19 個まで変化させた。バルク 1 個だけの場合、その最大磁束密度は 1.86 Tとすべての形状の中で最高であった。しかし、バルクを複数組み合わせた場合の最大磁束密度は正六角形に劣る。
37

これらのモデルの解析結果から、多角形で同じ辺の長さならば回転対称性の高い正六角形のバルクが、バルク 1 個では 1.81 T と他の 2 種類に比べて大きな磁束を補足することができることがわかった。円盤状バルクは単体では 1.86 T と最も大きな最大磁束密度を誇るが、複数組み合わせても最大磁束密度が上昇すすることはなく、正六角形に劣る。さらに、バルク表面から離れた場所ではバルクを複数組み合わせて利用した場合、バルク表面よりも配置個数による磁束密度の上昇率が高いことがわかった。今後は、同体積異形状での捕捉磁界の解析や大型の単体バルクとの比較でより最適な形状のバルクの模索が考えられる。

38

謝辞
まず、九州工業大学大学院情報工学研究院電子情報工学研究系エレクトロニクス分野
小田部荘司教授にお礼を申し上げます。私の研究、および学生生活に多くの助言や励ましの言葉、数々のサポートをしていただきました。研究の際にかけていただいた数々の言葉には救われたこともあります。小田部荘司教授の数々のサポートに深い感謝を致します。
そして、多大なご指導を頂いた九州工業大学大学院情報工学研究院電子情報工学研究
系エレクトロニクス分野 木内勝准教授にも深く感謝致します。本研究では、多くの電磁界解析を行っておりますが、その多くに詳しい助言や厚いサポートを行っていただきました。その全てに深く感謝申し上げます。
岩手大学工学部マテリアル工学科 藤代博之教授には、その論文から FEM 解析について多くのことを学ばせていただきましたことを深く感謝申し上げます。
鉄道総合技術研究所の富田優氏、赤坂友幸氏、石原篤氏には、バルクの着磁の実験データから、研究のヒントになることをたくさん学び、深く感謝申し上げます。
九州工業大学大学院情報工学府先端情報工学専攻 平松佑太氏には、JMAG の利用方法をはじめとして本研究における基礎を教えていただきました。その全てに深く感謝申し上げます。
その他にも、小田部研究室・木内研究室にてお世話になりました九州工業大学大学院
情報工学府先端情報工学専攻の大隈翔悟氏、増田嘉道氏、木戸竜馬氏、同研究室にて苦楽を共にしました、同大学情報工学部電子情報工学科 4 年生の高橋亮太氏、永田望氏、
久野昌隆氏、伊原大輔氏、大瀧敦士氏、田邊裕也氏、原田將敬氏、行本孝氏、技術職員の新山誠司氏に感謝申し上げます。
最後に、私をこれまで育ててくださり、ここまでの学生生活にたくさんの助言や支援をしてくださった両親に多大な感謝を申し上げます。

39

参考文献
[1] A. P. Drozdov, M. I. Eremets,I. A. Troyan, V. Ksenofontov, S. I. Shylin, Nature 525(2015) 73.
[2] J. Nagamatsu, N. Nakagawa, T. Muranaka, Y. Zenitani, and J. Akimitsu, Nature

410 (2001) 63.
[3] 村中隆弘, 秋光純, 「超伝導体 MgB2 の発展と応用」, 応用物理 78 (2009) 554[4] X. H. Li, L. Y. Ye, M. J. Jin, X. J. Du, Z. S. Gao, Z. C. Zhang, L. Q. Kong,

X. L. Yang, L. Y. Xiao and Y. W. Ma, “High critical current joint of MgB2 tapes using
Mg and B powder mixture as flux”, Superconductor Science and Technology 21(2008) 025017.
[5] 佐保 典英, 磯上 尚志, 西嶋 規世, 田中 弘之, 窪田 純, 「携帯型高温超電導バルク

磁石システムの開発」, 低温工学 Vol. 46 (2011) No. 3 p102—110[6] 村上 雅人, 「高温超電導材料Ⅴ―バルク超伝導体のプロセスと応用―」,

低温工学 Vol. 47 (2012) No. 47 p660-666[7] Fujishiro, Superconductor Science and Technology 27 (2014) 065019.

[8] S. Mizukami, E. S. Otabe, K. Yoshitomi, Vladimir S. Vyatkin, M. Kiuchi,
T. Matsushita, Physics Procedia 65 (2015) 241—244.
[9] 山本明保, Private Communication.
[10] Yamamoto, Applied Physics Letter 105 (2014) 032601.

40