2018 年度
数学･････1

数学（問題）〔問題１から問題３を通じて必要であれば（付表）に記載された数値を用いなさい。
〕
問題１．次の（１）～（１２）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。
各５点（計６０点）（１）次の（ア）～（オ）のそれぞれの場合において、ｐとｑの関係を考える。
（ア）確率事象 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 について、
ｐ： 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 は独立

ｑ： P{𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵} = 𝑃𝑃{𝐴𝐴} + 𝑃𝑃{𝐵𝐵}ｐはｑであるための①（イ）確率事象 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 について、P{𝐵𝐵} ≠ 0 とするとき、
ｐ： 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 は独立

ｑ： P{𝐴𝐴|𝐵𝐵} = 𝑃𝑃{𝐴𝐴}ｐはｑであるための②（ウ）確率事象 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 について、

ｐ： 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 は独立 かつ 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 は独立 かつ 𝐶𝐶, 𝐴𝐴 は独立
ｑ： 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 は独立

ｐはｑであるための③（エ）確率変数 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 について、
ｐ： 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 は独立

ｑ： 𝑋𝑋 2 , 𝑌𝑌 2 は独立

ｐはｑであるための④（オ）確率変数 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 について、𝑋𝑋, 𝑌𝑌, 𝑋𝑋𝑋𝑋の期待値がそれぞれ存在するとき、
ｐ： 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 は独立

ｑ： 𝐸𝐸[𝑋𝑋𝑋𝑋] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋]･𝐸𝐸[𝑌𝑌]

ｐはｑであるための⑤（Ａ）必要十分条件である。
（Ｂ）必要条件であるが、十分条件ではない。
（Ｃ）十分条件であるが、必要条件ではない。
（Ｄ）必要条件でも十分条件でもない。

2018 年度
数学･････2（２）確率変数 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 の結合確率密度関数が8𝑥𝑥𝑥𝑥,
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �
0,(0 < 𝑦𝑦 < 𝑥𝑥 < 1)
(その他)で与えられるとき、𝑍𝑍 = 𝑋𝑋 + 𝑌𝑌 の確率密度関数は𝑔𝑔(𝑧𝑧) =

である。

4 3
2
3
1
3

,

0,

(0 < 𝑧𝑧 ≤ 1)
(1 < 𝑧𝑧 < 2)
(その他)

2 3

（Ｂ） 𝑧𝑧（Ｃ） 𝑧𝑧（Ｅ） 𝑧𝑧（Ｆ）− 𝑧𝑧 3 + 4𝑧𝑧 −

3

3

8 3

（Ｄ） 𝑧𝑧（Ｇ）− 𝑧𝑧 3 +

②

⎨
⎩

,

1 3

（Ａ）𝑧𝑧 3

3

①

⎧

13
10
𝑧𝑧 −
3
3
5
3

（Ｊ）− 𝑧𝑧 3 + 𝑧𝑧 −

2
3

3

2
3

4
3

（Ｈ）− 𝑧𝑧 3 + 𝑧𝑧 2 + 𝑧𝑧 −

4
3

2
3
1
3

（Ｉ）− 𝑧𝑧 3 + 2𝑧𝑧 −

8
3
4
3

（３）確率変数𝐴𝐴および𝐵𝐵が互いに独立で、それぞれ[0,1]上の一様分布に従うものとする。𝑋𝑋 = max(𝐴𝐴, 𝐵𝐵)、𝑌𝑌 = min(𝐴𝐴, 𝐵𝐵)とした時、𝑋𝑋の積率母関数𝑀𝑀𝑋𝑋 (𝑡𝑡)はある。

𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 + 1（Ａ）2 �
�
𝑡𝑡 2𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 + 1（Ｅ）2 �
�𝑡𝑡 2

𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 + 1（Ｂ）2 �
�
𝑡𝑡 2𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 − 1（Ｆ）2 �
�
𝑡𝑡 2𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 1
𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 1（Ｉ）2 �
�
（Ｊ）2
�
�
𝑡𝑡 2
𝑡𝑡 2

①

、𝑌𝑌の積率母関数𝑀𝑀𝑌𝑌 (𝑡𝑡)は𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 − 1（Ｃ）2 �
�
𝑡𝑡 2𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 − 1（Ｇ）2 �
�𝑡𝑡 2②

𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 − 1（Ｄ）2 �
�
𝑡𝑡 2

で𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 1（Ｈ）2 �
�
𝑡𝑡 2

2018 年度
数学･････3（４）表の出る確率が𝑝𝑝、裏の出る確率が1 − 𝑝𝑝であるコインを使い、𝑛𝑛(𝑛𝑛 ≥ 3)回のコイントスを行う。
𝑋𝑋𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛𝑛 − 1)を下表の値をとる確率変数とする。

𝑋𝑋𝑖𝑖

コイントスの結果

𝑖𝑖回目

𝑖𝑖 + 1回目

表

裏

裏

表

裏

裏

表

0

表

𝑋𝑋 = ∑𝑛𝑛−1
𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖 としたとき、𝑉𝑉[𝑋𝑋] = 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝) ��01
� 𝑛𝑛 +①

0②

� である。

（Ａ）3𝑝𝑝2 + 3𝑝𝑝 + 1（Ｂ）3𝑝𝑝2 − 3𝑝𝑝 + 1（Ｃ）3𝑝𝑝2 + 3𝑝𝑝 − 1（Ｄ）−3𝑝𝑝2 + 3𝑝𝑝 + 1（Ｅ）−3𝑝𝑝2 + 3𝑝𝑝 − 1（Ｆ）5𝑝𝑝2 + 5𝑝𝑝 + 1（Ｇ）5𝑝𝑝2 + 5𝑝𝑝 − 1（Ｈ）5𝑝𝑝2 − 5𝑝𝑝 − 1（Ｉ）−5𝑝𝑝2 + 5𝑝𝑝 − 1（Ｊ）−5𝑝𝑝2 + 5𝑝𝑝 + 1（５）[𝑎𝑎, 𝑏𝑏](ただし、𝑎𝑎 < 𝑏𝑏)上の一様分布に従う母集団から次の標本値を得た。モーメント法により𝑎𝑎, 𝑏𝑏を推定すると、𝑎𝑎に最も近い値は①法で推定すると、𝑎𝑎に最も近い値は
−2.6,

−1.7,

②

であり、𝑏𝑏に最も近い値は③−1,であり、𝑏𝑏に最も近い値は
0,

1,

1.9,

である。一方、最尤

④

である。

2.4

[①、③の選択肢］（Ａ）−3.2（Ｂ）−3.1（Ｃ）−3.0（Ｄ）−2.9（Ｅ）−2.8（Ｆ）−2.7（Ｇ）−2.6（Ｈ）−2.5（Ｉ）−2.4（Ｊ）−2.3（Ａ） 2.1（Ｂ） 2.2（Ｃ） 2.3（Ｄ） 2.4（Ｅ） 2.5（Ｆ） 2.6（Ｇ） 2.7（Ｈ） 2.8（Ｉ） 2.9（Ｊ） 3.0[②、④の選択肢］

2018 年度
数学･････4（６）ある試験の受験者のうち男性40人に結果を確認したところ、16人が合格していた。一方、女性5人に結果を確認したところ、2人が合格していた。このとき、男性の受験者全体の合格率を近似法によって信頼係数90%で区間推定すると、信頼区間の下限に最も近い値は間の上限に最も近い値は②④であり、信頼区である。一方、女性の受験者全体の合格率を精密法によって信頼係数90%で区間推定すると、信頼区間の下限に最も近い値はに最も近い値は①③であり、信頼区間の上限である。

[①、③の選択肢］（Ａ）0.05（Ｂ）0.07（Ｃ）0.08（Ｄ）0.10（Ｅ）0.12（Ｆ）0.14（Ｇ）0.25（Ｈ）0.27（Ｉ）0.30（Ｊ）0.39（Ａ）0.40（Ｂ）0.50（Ｃ）0.53（Ｄ）0.55（Ｅ）0.75（Ｆ）0.81（Ｇ）0.84（Ｈ）0.85（Ｉ）0.90（Ｊ）0.94[②、④の選択肢］（７）ある箱に赤玉と白玉が合計で4個入っており、その内訳は次のいずれかであることがわかっている。
・赤玉が3個、白玉が1個である・赤玉が1個、白玉が3個である
いま、帰無仮説を「赤玉が3個、白玉が1個である」とする。この箱から玉を1個取り出し、色を確認したあとに玉を箱に戻し、赤玉が3回出るまで繰り返す試行を行う。1回目の試行と2回目の試行
でともに白玉が出た回数が2以上であれば帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する検定を行うとき、第1種の誤りの起こる確率に最も近い値は①であり、検出力に最も近い値はある。
［①の選択肢］（Ａ）0.024（Ｂ）0.050（Ｃ）0.068（Ｄ）0.088（Ｅ）0.106（Ｆ）0.156（Ｇ）0.223（Ｈ）0.262②

で2018 年度
数学･････5［②の選択肢］（Ａ）0.051（Ｂ）0.054（Ｃ）0.099（Ｄ）0.365（Ｅ）0.635（Ｆ）0.901（Ｇ）0.946（Ｈ）0.949（８）ある洋菓子店が、来店した男性と女性にチーズケーキとショートケーキのどちらが好きかアンケートを行ったところ、下表の結果を得た。このアンケート結果をもとに、男女間でケーキの嗜好に差があるかを確認したい。帰無仮説𝐻𝐻0を「性別とケーキの嗜好は互いに独立である」として、有意水準5%で検定を行う。まず、独立性の検定を行うと、検定統計量χ2 に最も近い値はあり、帰無仮説𝐻𝐻0 は
い値は

③

②

①

′2

される。次に、イェーツの補正を行うと、検定統計量χ に最も近となり、帰無仮説𝐻𝐻0は

④

される。

男性

女性

計

4

12

16

13

17

30

チーズケーキが好き
ショートケーキが好き
計

9

5

14

[①、③の選択肢］（Ａ）2.4（Ｂ）2.9（Ｃ）3.2（Ｄ）3.7（Ｅ）4.2（Ｆ）4.7（Ｇ）5.1（Ｈ）5.5（Ｉ）5.9（Ｊ）6.4[②、④の選択肢］
（Ａ）採択

で

（Ｂ）棄却

2018 年度
数学･････6（９）都市 A の 1 日の最高気温と最低気温を 7 日間にわたって測定したところ、下表のデータを得た。
このデータから都市 A の最高気温𝑦𝑦について、説明変数を都市 A の最低気温𝑥𝑥とした回帰直線を最小二乗法により求めると、𝑦𝑦 =

①

+

②

𝑥𝑥であり、決定係数は回帰直線によって推定するときの誤差分散の推定値は

④

である。

③

である。また、𝑦𝑦をこの

1 日目

2 日目

3 日目

4 日目

5 日目

6 日目

7 日目

最低気温(℃)

22

24

25

24

24

26

23

最高気温(℃)

26

29

32

33

30

34

33

［①の選択肢］
（Ａ）−9

（Ｂ）−7

（Ｃ）−5

（Ｄ）−3

（Ｅ）−1

（Ｆ）1

（Ｇ）3

（Ｈ）5

（Ｉ）7

（Ｊ）9

（Ｃ）

1

（Ｄ）

1

（Ｅ）

2

5

（Ｉ）

4

（Ｊ）

3

11

（Ｄ）

17

（Ｅ）

25

21

（Ｉ）

37

（Ｊ）

29

22

（Ｄ）

33

（Ｅ）

47

77

（Ｉ）

88

（Ｊ）

68

［②の選択肢］
（Ａ）−1
（Ｆ）1

（Ｂ）−

6

（Ｇ）

5

1
2

3

（Ｈ）

4

2
3

3
2

［③の選択肢］

11

（Ｂ）

15

（Ｇ）

（Ａ）

48

（Ｆ）

32

9

（Ｃ）

25

（Ｈ）

11

（Ｃ）

51

（Ｈ）

32
48

32
32

48
48

64
32

［④の選択肢］

7

（Ｂ）

57

（Ｇ）

（Ａ）

5

（Ｆ）

7

9

10

7
6

10
9

6
5

2018 年度
数学･････7（１０）標準ブラウン運動 {𝑋𝑋𝑡𝑡 }𝑡𝑡≥0 について、6 次の積率 E�𝑋𝑋𝑡𝑡 6� =5とき、E �𝑋𝑋𝑠𝑠 ･𝑋𝑋𝑡𝑡 � =である。また、 𝑠𝑠 > 𝑡𝑡 の①である。ただし、必要ならば、𝑝𝑝 > 0 に対して以下で定義される

②

ガンマ関数

∞

Γ(𝑝𝑝) = � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑝𝑝−1 𝑑𝑑𝑑𝑑0において、Γ(1⁄2) = √𝜋𝜋 となることを用いても良い。
（Ａ）0（Ｂ）𝑡𝑡 3（Ｆ）120𝑡𝑡 3（Ｇ）𝑠𝑠 2 𝑡𝑡 2

1（Ｃ）3𝑡𝑡 3
51（Ｄ）4𝑡𝑡 3
5（Ｅ）15𝑡𝑡 3
1（Ｈ）3𝑠𝑠 2 𝑡𝑡 2

51（Ｉ）15𝑠𝑠 2 𝑡𝑡 25（Ｊ）120𝑠𝑠 2 𝑡𝑡 2（１１）定常 𝐴𝐴𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(1,1) モデル

1
1
𝑌𝑌𝑡𝑡 = 𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜀𝜀𝑡𝑡−1 + 𝜀𝜀𝑡𝑡 �𝜀𝜀𝑡𝑡 ～𝑁𝑁(0, 22 )�
32

において、{𝑌𝑌𝑡𝑡 }の分散 𝛾𝛾0 の値は

値は

②

①

である。

であり、ℎ ≥ 1の時、{𝑌𝑌𝑡𝑡 }に関する時差ℎの自己共分散𝛾𝛾ℎ の［①の選択肢］

33

（Ｂ）

33

（Ｆ）

（Ａ）

16

（Ｅ）

8

13

（Ｃ）

13

（Ｇ）

6
3

19

9

（Ｄ）

9

（Ｈ）

4

8

19

2

4

［②の選択肢］

58

1 𝒉𝒉−𝟏𝟏3（Ａ）�− � � �
（Ｅ）�−

5
9

1 𝒉𝒉−𝟏𝟏3（Ｂ）�− � � �12

1 𝒉𝒉−𝟏𝟏3（Ｃ）�− � � �

5 1 𝒉𝒉−𝟏𝟏
5 1 𝒉𝒉−𝟏𝟏
1 1 𝒉𝒉−𝟏𝟏�� �（Ｆ）�− � � �（Ｇ）�− � � �
4 3
16 3
18 3

（Ｄ）�−
（Ｈ）�−

5 1 𝒉𝒉−𝟏𝟏�� �
12 3
5 1 𝒉𝒉−𝟏𝟏
�� �
24 3

2018 年度
数学･････8（１２）確率変数𝑋𝑋は平均𝑖𝑖(𝑖𝑖 = 1,2,3)の幾何分布𝑃𝑃𝑖𝑖 (𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝑘𝑘) = 𝑝𝑝𝑖𝑖 (1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 )𝑘𝑘 (𝑘𝑘 = 0,1, ⋯ )で重み付き平均として表される確率変数

1
5
1
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑘𝑘) = 𝑃𝑃1 (𝑋𝑋1 = 𝑘𝑘) + 𝑃𝑃2 (𝑋𝑋2 = 𝑘𝑘) + 𝑃𝑃3 (𝑋𝑋3 = 𝑘𝑘)
3
124とし、𝑋𝑋について、以下の1～3の手順でシミュレーションを行う。

１．(0,1)区間の一様分布に従う確率変数を𝑈𝑈とし、一様乱数により𝑈𝑈の実現値𝑢𝑢1 、𝑢𝑢2 を生成する。

２．１で得られた実現値𝑢𝑢1 により合成法を用いて𝑋𝑋が従う分布を決定する。なおその際には、𝑃𝑃𝑖𝑖 (𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝑘𝑘)の重みが小さいものから順に、𝑢𝑢1 の範囲を定めるものとする。

３．１で得られた実現値𝑢𝑢2 により逆関数法を用いて𝑋𝑋の実現値を決定する。

いま、一様乱数により𝑈𝑈の実現値を生成したところ、𝑢𝑢1 = 0.9、𝑢𝑢2 = 0.4を得た。このとき、𝑋𝑋の実

現値は

である。

（Ａ）0

（Ｂ）1

（Ｃ）2

（Ｄ）3

（Ｅ）4

（Ｆ）5

（Ｇ）6

（Ｈ）7

（Ｉ）8

（Ｊ）9

2018 年度
数学･････9問題２．次の（１）～（３）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から 1 つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。
また、空欄のうち⑩～⑰については、最も近い値を選択しなさい。
（２０点）（１）Ａさんはあるカードを集めている。このカードについては次のことが分かっている。
・カードは1枚ずつ袋に入った状態で販売されており、入っているカードの種類は購入するまで分からない。

・袋に入っているカードは全部で100種類あり、うち3種類は「プレミアム」と呼ばれている。

・どの種類のカードも購入回数に関わらず常に確率0.01で袋に入っている。
・カードは常に製造されており、どれだけ購入してもなくなることはない。

Ａさんが、この「プレミアム」を1枚も持っていない状態からカードを購入し続けて、3種類の「プレミアム」をすべて集めるまでにかかる購入回数の平均値を、次の2通りの方法で求めたい。なお、3種類の「プレミアム」をすべて集めた以降はカードを購入しないものとする。

Ⅰ）Ａさんが持っていない「プレミアム」の種類が𝑘𝑘 種類(𝑘𝑘 = 1,2,3)である状態からカードを購入し続け、𝑘𝑘 種類のうちいずれか1種類を引き当てるまでにかかった購入回数として確率変数𝑋𝑋𝑘𝑘 を定義する。まず、𝑘𝑘 = 3の場合を考えると、𝑃𝑃(𝑋𝑋3 = 𝑛𝑛) =と表せることから、𝐸𝐸[𝑋𝑋3 ] =

④

①

×�

②

を得る。

�

③

(𝑛𝑛 = 1,2,3, ⋯ )𝑘𝑘 = 1,2の場合についても同様に考えることで𝐸𝐸[𝑋𝑋1 ]、𝐸𝐸[𝑋𝑋2 ]を計算すると、求める購入回数の平均
値は

⑤

となる。

Ⅱ）Ａさんが持っていない「プレミアム」の種類が𝑘𝑘 種類(𝑘𝑘 = 1,2,3)である状態からカードを購入し続け、3種類の「プレミアム」をすべて集めるまでにかかった購入回数の平均値を𝐸𝐸𝑘𝑘 と置くと、次の漸化式が成り立つ。

𝐸𝐸𝑘𝑘 = 1 +⑥

× 𝐸𝐸𝑘𝑘−1 + (1 −以上より、求める購入回数の平均値

⑤

を得る。

⑥

) × 𝐸𝐸𝑘𝑘(𝑘𝑘 = 2,3)

2018 年度
数学･････10（２）（１）のカードについて20枚が1セットになったパックが発売されることになった。このパックに入っているカードについては次のことが分かっている。

・パックに入っているカードの種類は購入するまで分からない。
・パックに入っている20枚のカードのうち19枚については、いずれの1枚も100種類のカードのうちの1種類がそれぞれ確率0.01で入っている。

・残りの1枚については「プレミアム」である確率が10倍になっている。つまり、この1枚が「プレミアム」である確率は0.3であり、3種類のいずれかである確率は互いに等しい。

・パックには同一種類のカードが複数枚入っている場合もある。

・パックは常に製造されており、どれだけ購入してもなくなることはない。

Ａさんが「プレミアム」を1枚も持っていない状態からこのパックのみを購入し続けたとき、3種類の「プレミアム」をすべて集めるまでにかかる購入回数の平均値を求めたい。なお、3種類の「プレミアム」をすべて集めた以降はパックを購入しないものとする。また、必要であれば0.9919 =

0.8262、0.9819 = 0.6812、0.9719 = 0.5606を用いなさい。

Ａさんが持っていない「プレミアム」が𝑖𝑖 種類 (𝑖𝑖 = 1,2,3) の状態で、パックを1つ購入したとき、
この𝑖𝑖 種類のうち𝑗𝑗種類 (0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑖𝑖) の「プレミアム」が入っている確率を𝑃𝑃(𝑖𝑖, 𝑗𝑗)とする。また、Ａさんが持っていない「プレミアム」が𝑖𝑖 種類 (𝑖𝑖 = 1,2,3) の状態からパックのみを購入し続けた
𝑝𝑝

とき、3種類の「プレミアム」をすべて集めるまでにかかる購入回数の平均値を𝐸𝐸𝑖𝑖 とする。

まず、𝑖𝑖 = 3 の場合を考える。このとき、（１）Ⅱ）と同様に考えることで、次の関係式を得る。
𝑝𝑝

𝐸𝐸3 = 1 +⑦

次に𝑃𝑃(𝑖𝑖, 𝑗𝑗)を求めたい。

𝑝𝑝× 𝐸𝐸3 +⑧

𝑝𝑝

× 𝐸𝐸2 +

⑨

𝑝𝑝

× 𝐸𝐸1

……（Ａ）

（ア）𝑗𝑗 = 0 の場合

この場合、20枚の中に「プレミアム」が１枚も入っていない確率であるから、（イ）𝑗𝑗 = 1 の場合

𝑃𝑃(3,0) =⑩

パックに入っている20枚のカードのうち「プレミアム」である確率が高い1枚のカードの種類が「プレミアム」であるかどうかで場合分けして考えると、求める確率は、

𝑃𝑃(3,1) =⑪

2018 年度
数学･････11（ウ）𝑗𝑗 = 2 の場合（イ）と同様に考えれば、

𝑃𝑃(3,2) =𝑝𝑝⑫

𝑖𝑖 = 1,2 の場合についても同様に考えることで𝐸𝐸𝑖𝑖 を求めると、
𝑝𝑝

𝐸𝐸1 =

以上より、これらを（Ａ）に代入して、
𝑝𝑝

𝐸𝐸3 =

を得る。

𝑝𝑝

、𝐸𝐸2 =⑬⑭⑮（３）カード1枚の値段は100円であり、パック1つの値段は2,700円であるという。Ａさんはなるべく少ない金額で「プレミアム」をすべて集めたいと考え、次の方法をとることにした。

【方法】次の段階Ⅰ、段階Ⅱの順番で実行する。
段階Ⅰ）「プレミアム」を少なくとも𝑚𝑚種類(𝑚𝑚 = 0,1,2,3)入手するまでパックを購入する。
ただし、𝑚𝑚 = 0の場合は初めから段階Ⅱを実行するものとする。

段階Ⅱ）段階Ⅰで入手できなかった残りの「プレミアム」をすべて集めるまでカードを1枚ずつ購入する。3種類の「プレミアム」をすべて集めた以降はカードを購入しない。

なお、段階Ⅰで3種類の「プレミアム」がすべて集まった場合には、段階Ⅱは実行
しないものとする。

Ａさんは、「プレミアム」を1枚も持っていない状態で𝑚𝑚の値を一つ定め、上記の方法をとる。
このとき、支払う金額の平均値が最も小さくなるような𝑚𝑚の値を求めたい。

なお、必要であれば0.9919 = 0.8262、0.9819 = 0.6812、0.9719 = 0.5606を用いなさい。
まず、𝑚𝑚 = 0の場合に支払う金額の平均値は、（１）よりまた、𝑚𝑚 = 3の場合に支払う金額の平均値は、（２）より

𝑚𝑚 = 1の場合に支払う金額の平均値を求めると、平均値を求めると、⑰

以上より、求める𝑚𝑚の値は

円である。
⑱

である。

⑯

⑤
⑮

× 100円である。

× 2,700円である。

円であり、𝑚𝑚 = 2の場合に支払う金額の2018 年度
数学･････12［①～⑥の選択肢］（Ａ）𝑛𝑛 − 2（Ｂ）𝑛𝑛 − 1（Ｃ）𝑛𝑛

（Ｄ）𝑛𝑛 + 1

（Ｅ）

（Ｆ）

（Ｇ）

（Ｈ）𝑘𝑘

1

𝑘𝑘

100
𝑘𝑘

𝑘𝑘

100

（Ｉ）0.01（Ｊ）0.02（Ｋ）0.03（Ｌ）0.97（Ｍ）0.98（Ｎ）0.99

（Ｏ）

（Ｐ）

（Ｑ）

（Ｒ）48

（Ｓ）49

（Ｔ）50

（Ｕ）98

（Ｖ）99

（Ｗ）100

（Ｘ）

（Ｙ）

（Ｚ）

100
3

541
3

550

94
3

97
3

532
3

3

［⑦～⑨の選択肢］（Ａ）𝑃𝑃(1,0)（Ｂ）𝑃𝑃(2,0)（Ｃ）𝑃𝑃(3,0)（Ｄ）𝑃𝑃(1,1)（Ｅ）𝑃𝑃(2,1)（Ｆ）𝑃𝑃(3,1)（Ｇ）𝑃𝑃(2,2)（Ｈ）𝑃𝑃(3,2)（Ｉ）𝑃𝑃(3,3)

2018 年度
数学･････13［⑩～⑫の選択肢］（Ａ）0.0606（Ｂ）0.0947（Ｃ）0.1041（Ｄ）0.1382（Ｅ）0.1816（Ｆ）0.2250（Ｇ）0.2569（Ｈ）0.2888（Ｉ）0.3406（Ｊ）0.3924（Ｋ）0.4250（Ｌ）0.4576（Ｍ）0.4979（Ｎ）0.5381（Ｏ）0.5783（Ｐ）0.5854（Ａ）1.34（Ｂ）2.02（Ｃ）2.71（Ｄ）3.31（Ｅ）3.90（Ｆ）4.22（Ｇ）4.61（Ｈ）4.92（Ｉ）5.27（Ｊ）5.60（Ｋ）6.08（Ｌ）6.44（Ｍ）6.75（Ｎ）7.29（Ｏ）7.87（Ｐ）8.36

（Ａ）0

（Ｂ）1

（Ｃ）2

（Ｄ）3

（Ｅ）17,654（Ｆ）17,690（Ｇ）17,727（Ｈ）17,763（Ｉ）17,799（Ｊ）17,836（Ｋ）17,872（Ｌ）17,908（Ｍ）17,944（Ｎ）17,981（Ｏ）18,017（Ｐ）18,053（Ｑ）18,089（Ｒ）18,126（Ｓ）18,162（Ｔ）18,198［⑬～⑮の選択肢］［⑯～⑱の選択肢］

2018 年度
数学･････14

問題３．次の（１）～（３）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から 1 つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。
（２０点）（１）一様分布𝑈𝑈(0,1)の母集団からの標本変量𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 ⋯ , 𝑋𝑋𝛼𝛼+𝛽𝛽−1 （𝛼𝛼, 𝛽𝛽は自然数）を小さいものから順番に並べ替えて、小さい方から𝛼𝛼番目を順序統計量𝑋𝑋(𝛼𝛼) とすると、𝑋𝑋(𝛼𝛼) はベータ分布𝐵𝐵𝐵𝐵(𝛼𝛼, 𝛽𝛽)に従う。

以下では、ベータ分布𝐵𝐵𝐵𝐵(𝛼𝛼, 𝛽𝛽)の確率密度関数を𝑓𝑓𝑋𝑋(𝛼𝛼) (𝑥𝑥)とすると、𝑓𝑓𝑋𝑋(𝛼𝛼) (𝑥𝑥) =1
𝑥𝑥 𝛼𝛼−1 ∙ (1 − 𝑥𝑥)𝛽𝛽−1𝐵𝐵(𝛼𝛼, 𝛽𝛽)𝐵𝐵(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) =𝛤𝛤(𝛼𝛼) ∙ 𝛤𝛤(𝛽𝛽) (𝛼𝛼 − 1)! ∙ (𝛽𝛽 − 1)!
=(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 − 1)!
𝛤𝛤(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽), (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1) ・・・（Ａ）

また、ベータ関数𝐵𝐵(𝛼𝛼, 𝛽𝛽)は𝛼𝛼, 𝛽𝛽が自然数のとき、で与えられることを用いてよい。

ここで、一様分布𝑈𝑈(0,1)の母集団からの標本変量𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 ⋯ , 𝑋𝑋2𝑚𝑚+1 （𝑚𝑚は自然数）の中央値を𝑋𝑋�とする。
中央値𝑋𝑋�の確率密度関数𝑓𝑓𝑋𝑋� (𝑥𝑥)は、式（Ａ）において、

𝛼𝛼 =

、𝛽𝛽 =

①

𝑓𝑓𝑋𝑋� (𝑥𝑥) =

④

③

×

②

とすることで、

⑤

×

⑥

・・・
（Ｂ）

となる。
（⑤と⑥の解答は順不同）

この確率密度関数を用いて、中央値𝑋𝑋�の期待値𝐸𝐸[𝑋𝑋�]と分散𝑉𝑉[𝑋𝑋�]を算出すると、𝐸𝐸[𝑋𝑋�] =⑦、𝑉𝑉[𝑋𝑋�] =

⑧

となる。

一方、標本変量平均𝑋𝑋�の分散は𝑉𝑉[𝑋𝑋�] =⑨であるため、𝑚𝑚が自然数のもとでは常に中央値𝑋𝑋�の分散の方が標本変量平均𝑋𝑋�の分散よりも大きくなる。

（２）次に、正規母集団𝑁𝑁(𝜇𝜇, 22 )からの標本変量𝑌𝑌1 , 𝑌𝑌2 ⋯ , 𝑌𝑌2𝑚𝑚+1 （𝑚𝑚は自然数）の中央値を𝑌𝑌�とし、母平均𝜇𝜇を中央値𝑌𝑌�で推定することを考える。

正規分布𝑁𝑁(𝜇𝜇, 22 )の分布関数を𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)、確率密度関数を𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦)とする。

式（Ｂ）において、分布関数の逆関数𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝑌𝑌−1 (𝑥𝑥)で変数変換を行うことで、
中央値𝑌𝑌�の確率密度関数𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦)は𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) =

⑪

⑩

×

⑫

×

⑬

× 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦)2018 年度
数学･････15となる。
（⑫と⑬の解答は順不同）
𝜇𝜇

さらに、 � 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 =⑭であることに着目して式変形を行うことで、−∞⑪

𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) =

× �

⑩

𝑦𝑦

− ��

⑮

⑱

⑰

𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑�

⑯

�

× 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦)

・・・
（Ｃ）

となる。
中央値𝑌𝑌�の確率密度関数𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦)は𝜇𝜇を中心とした偶関数であるため、∞

𝐸𝐸[𝑌𝑌�] = � 𝑦𝑦 𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑑𝑑 =となり、中央値𝑌𝑌�は不偏性を満たすことが分かる。

⑲−∞（３）次に、（２）と同じ中央値𝑌𝑌�の推定量としての性質を検証するために、𝑍𝑍 = √2𝑚𝑚 + 1�𝑌𝑌� − 𝜇𝜇�の漸近的分布を求めることを考える。

𝑍𝑍 = √2𝑚𝑚 + 1�𝑌𝑌� − 𝜇𝜇�の確率密度関数を𝑓𝑓𝑍𝑍 (𝑧𝑧)とおくと、式（Ｃ）において𝑧𝑧 = √2𝑚𝑚 + 1(𝑦𝑦 − 𝜇𝜇)として変数変換を行い、整理することで、𝑓𝑓𝑍𝑍 (𝑧𝑧) =

1

×

⑳

×

㉑

× �1 −

��

㉒

𝜇𝜇+

⑪
⑩

𝑧𝑧
√2𝑚𝑚+1⑯⑱⑰

𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑�

�× 𝑓𝑓𝑌𝑌 �𝜇𝜇 +となる。
（⑳と㉑の解答は順不同）

𝑧𝑧√2𝑚𝑚 + 1�1

ここで、スターリングの公式 𝑛𝑛! ~√2𝜋𝜋 ∙ 𝑛𝑛𝑛𝑛+2 ∙ 𝑒𝑒 −𝑛𝑛 (𝑛𝑛 → ∞)を用いると、
lim

𝑚𝑚→∞

⑳

1

×

×

㉑

となり、さらに、

�1 −

㉒

��

𝜇𝜇+

𝑧𝑧
√2𝑚𝑚+1

⑯

⑪
⑩

=

㉓

⑱

⑰

𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑�

�

は �1 −㉒

近似できることを用いると、

lim �1 −

𝑚𝑚→∞

となる。

㉒

𝜇𝜇+

��

𝑧𝑧
√2𝑚𝑚+1⑯⑱⑰

𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑�

�

=

㉔

𝑧𝑧 ∙ 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝜇𝜇)×��√2𝑚𝑚 + 1

⑱

⑰

�

で

2018 年度
数学･････16

最後に、
lim 𝑓𝑓𝑌𝑌 �𝜇𝜇 +

𝑚𝑚→∞

𝑧𝑧

√2𝑚𝑚 + 1�=㉕となることから、𝑍𝑍 = √2𝑚𝑚 + 1�𝑌𝑌� − 𝜇𝜇�の漸近的分布は正規分布𝑁𝑁 �

中央値𝑌𝑌�は漸近正規性を満たすことが分かる。

㉖

,

㉗

�であり、

一方、同じく母平均𝜇𝜇の推定量として漸近正規性を満たす標本変量平均𝑌𝑌�を変形した√2𝑚𝑚 + 1(𝑌𝑌� − 𝜇𝜇)は正規分布𝑁𝑁 �

㉘

,

㉙

�に従う。

中央値𝑌𝑌�よりも漸近分散が小さい漸近正規推定量が存在するため、中央値𝑌𝑌�は漸近有効性を満たさないことが分かった。

2018 年度
数学･････17［①～④、⑩、⑪、⑱、⑳、㉑の選択肢］（Ａ）𝑚𝑚（Ｂ）𝑚𝑚 − 1（Ｃ）𝑚𝑚 + 1（Ｄ）2𝑚𝑚（Ｅ）2𝑚𝑚 − 1（Ｆ）2𝑚𝑚 + 1（Ｇ）𝑚𝑚2（Ｈ）(𝑚𝑚 − 1)2（Ｉ）(𝑚𝑚 + 1)2（Ｊ）(2𝑚𝑚)2（Ｋ）(2𝑚𝑚 − 1)2（Ｌ）(2𝑚𝑚 + 1)2（Ｍ）2𝑚𝑚（Ｎ）2𝑚𝑚+1（Ｏ）22𝑚𝑚（Ｐ）22𝑚𝑚+1（Ｑ）𝑚𝑚!

（Ｒ）(2𝑚𝑚)!

（Ｓ）(2𝑚𝑚 − 1)!

（Ｔ）(2𝑚𝑚 + 1)!

（Ｕ）(2𝑚𝑚 + 2)!

（Ｖ）(𝑚𝑚!)2（Ｗ）{(𝑚𝑚 − 1)!}2（Ｘ）{(𝑚𝑚 + 1)!}2（Ｙ）{(2𝑚𝑚 + 1)!}2（Ｚ）(𝑚𝑚 + 1)! (𝑚𝑚 − 1)!

1

1［⑤、⑥の選択肢］（Ａ）𝑥𝑥 𝑚𝑚（Ｂ）𝑥𝑥 𝑚𝑚−1

（Ｃ）𝑥𝑥 𝑚𝑚+1

（Ｄ）𝑥𝑥 2𝑚𝑚（Ｅ）𝑥𝑥 2𝑚𝑚−1（Ｆ）𝑥𝑥 2𝑚𝑚+1（Ｇ）(1 − 𝑥𝑥)𝑚𝑚（Ｈ）(1 − 𝑥𝑥)𝑚𝑚−1（Ｉ）(1 − 𝑥𝑥)𝑚𝑚+1（Ｊ）(1 − 𝑥𝑥)2𝑚𝑚（Ｋ）(1 − 𝑥𝑥)2𝑚𝑚−1（Ｌ）(1 − 𝑥𝑥)2𝑚𝑚+1

2018 年度
数学･････18［⑦～⑨の選択肢］
（Ａ）1

（Ｅ）

（Ｉ）

（Ｍ）

1
12

1
2𝑚𝑚 + 214(2𝑚𝑚 + 1)

（Ｂ）

（Ｆ）

（Ｊ）

（Ｎ）

1
2

1
𝑚𝑚

1
2𝑚𝑚 + 314(2𝑚𝑚 + 3)

（Ｃ）

（Ｇ）

（Ｋ）

（Ｏ）

1
3

1
𝑚𝑚 + 113(2𝑚𝑚 + 1)

1
12(2𝑚𝑚 + 1)

（Ｄ）

（Ｈ）

（Ｌ）

（Ｐ）

1
4

1
2𝑚𝑚 + 113(2𝑚𝑚 + 3)

1
12(2𝑚𝑚 + 3)［⑫、⑬の選択肢］（Ａ）{𝐹𝐹𝑌𝑌−1(𝑦𝑦)}𝑚𝑚（Ｂ）{𝐹𝐹𝑌𝑌−1(𝑦𝑦)}𝑚𝑚−1（Ｃ）{𝐹𝐹𝑌𝑌−1(𝑦𝑦)}2𝑚𝑚（Ｄ）{𝐹𝐹𝑌𝑌−1(𝑦𝑦)}2𝑚𝑚−1（Ｅ）{𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)}𝑚𝑚（Ｆ）{𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)}𝑚𝑚+1（Ｇ）{𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)}2𝑚𝑚（Ｈ）{𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)}2𝑚𝑚+1（Ｉ）{1 − 𝐹𝐹𝑌𝑌−1 (𝑦𝑦)}𝑚𝑚（Ｊ）{1 − 𝐹𝐹𝑌𝑌−1 (𝑦𝑦)}𝑚𝑚−1 （Ｋ）{1 − 𝐹𝐹𝑌𝑌−1 (𝑦𝑦)}2𝑚𝑚（Ｌ）{1 − 𝐹𝐹𝑌𝑌−1 (𝑦𝑦)}2𝑚𝑚−1（Ｍ）{1 − 𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)}𝑚𝑚（Ｎ）{1 − 𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)}𝑚𝑚+1（Ｐ）{1 − 𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)}2𝑚𝑚+1（Ｏ）{1 − 𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)}2𝑚𝑚

2018 年度
数学･････19［⑭～⑰、⑲、㉒、㉓、㉕～㉙の選択肢］
（Ａ）0

（Ｂ）1

（Ｃ）2

（Ｅ）8

（Ｆ）16

（Ｇ）

（Ｉ）

（Ｍ）

1
8

（Ｑ）𝜋𝜋 2（Ｕ）

1（Ｙ） − 𝑦𝑦（Ｈ）

14（Ｌ）2𝜇𝜇（Ｎ）𝜋𝜋（Ｏ）2𝜋𝜋（Ｐ）4𝜋𝜋（Ｒ）4𝜋𝜋 2（Ｓ）16𝜋𝜋 2

（Ｔ）

（Ｖ）

√2𝜋𝜋

1
2

（Ｋ）𝜇𝜇

（Ｊ）

𝜇𝜇
2

1
16

（Ｄ）4

1

2
（Ｗ）�
𝜋𝜋

√𝜋𝜋

（Ｘ）

1

2√2𝜋𝜋
2

√𝜋𝜋

（Ｚ） − ∞［㉔の選択肢］（Ａ）exp �−（Ｅ）exp �−（Ｉ）exp �−（Ｍ）exp �−

𝑧𝑧 2
�
2

𝑧𝑧 2
�
2𝜋𝜋

（Ｂ）exp �−（Ｆ）exp �−

𝑧𝑧 2
�
4

𝑧𝑧 2
�
4𝜋𝜋

（Ｃ）exp �−（Ｇ）exp �−

𝑧𝑧 2
�
8

𝑧𝑧 2
�
8𝜋𝜋

（Ｄ）exp �−（Ｈ）exp �−

𝑧𝑧 2
�
16

𝑧𝑧 2
�
16𝜋𝜋

(𝑧𝑧 − 𝜇𝜇)2
(𝑧𝑧 − 𝜇𝜇)2
(𝑧𝑧 − 𝜇𝜇)2
(𝑧𝑧 − 𝜇𝜇)2
� （Ｊ）exp �−� （Ｋ）exp �−� （Ｌ）exp �−
�
2
4
8
16
(𝑧𝑧 − 𝜇𝜇)2
(𝑧𝑧 − 𝜇𝜇)2
(𝑧𝑧 − 𝜇𝜇)2
(𝑧𝑧 − 𝜇𝜇)2
� （Ｎ）exp �−� （Ｏ）exp �−� （Ｐ）exp �−
�
2𝜋𝜋
4𝜋𝜋
8𝜋𝜋
16𝜋𝜋

2018 年度
数学･････20(付表)Ⅰ.標準正規分布表

P(x > 0.25) = 0.4013

上側ε 点 u (ε ) から確率εを求める表u (ε )→ε

*=0

*=1

*=2

*=3

*=4

*=5

*=6

*=7

*=8

*=9

0.0*

0.50000.49600.49200.48800.48400.48010.47610.4721

0.46810.46410.1*

0.46020.45620.45220.44830.44430.44040.43640.43250.42860.42470.2*

0.42070.41680.41290.40900.40520.40130.3974

0.3936

0.38970.38590.3*

0.38210.37830.37450.37070.36690.36320.35940.35570.35200.34830.4*

0.34460.34090.33720.33360.33000.32640.32280.31920.31560.31210.5*

0.30850.30500.30150.29810.2946

0.29120.28770.28430.28100.27760.6*

0.27430.27090.2676

0.26430.26110.25780.25460.25140.24830.24510.7*

0.24200.23890.23580.23270.22960.22660.22360.22060.21770.21480.8*

0.21190.20900.20610.20330.20050.19770.19490.19220.18940.18670.9*

0.18410.18140.17880.17620.17360.17110.16850.16600.16350.16111.0*

0.15870.15620.15390.15150.14920.14690.14460.14230.14010.13791.1*

0.13570.13350.13140.12920.12710.12510.12300.12100.11900.11701.2*

0.1151

0.11310.11120.10930.10750.10560.10380.10200.1003

0.09851.3*

0.09680.0951

0.09340.09180.09010.08850.08690.08530.08380.08231.4*

0.08080.07930.07780.07640.07490.07350.07210.07080.06940.06811.5*

0.06680.06550.06430.06300.06180.0606

0.05940.05820.05710.05591.6*

0.05480.05370.0526

0.05160.05050.04950.04850.04750.04650.04551.7*

0.0446

0.04360.04270.04180.04090.04010.03920.03840.03750.03671.8*

0.03590.03510.03440.03360.03290.03220.03140.03070.03010.02941.9*

0.02870.02810.02740.02680.02620.02560.02500.02440.02390.02332.0*

0.02280.02220.02170.02120.02070.02020.01970.01920.01880.01832.1*

0.01790.01740.01700.01660.01620.01580.01540.01500.01460.01432.2*

0.01390.01360.01320.01290.01250.01220.01190.01160.01130.01102.3*

0.01070.01040.01020.00990.00960.00940.00910.00890.00870.00842.4*

0.00820.00800.00780.00750.00730.00710.00690.00680.00660.00642.5*

0.00620.00600.00590.00570.00550.00540.00520.00510.00490.00482.6*

0.00470.00450.00440.00430.00410.00400.00390.00380.00370.00362.7*

0.00350.00340.00330.00320.00310.00300.00290.00280.00270.00262.8*

0.00260.00250.00240.00230.00230.00220.00210.00210.00200.00192.9*0.00190.00180.00180.00170.00160.00160.00150.00150.00140.00142018 年度
数学･････21

P( x > 1.9600) = 0.025
確率εから上側ε 点 u (ε) を求める表
ε →u (ε )
0.00*
0.01*
0.02*
0.03*
0.04*
0.05*
0.06*
0.07*
0.08*
0.09*
0.10*
0.11*
0.12*
0.13*
0.14*
0.15*
0.16*
0.17*
0.18*
0.19*
0.20*
0.21*
0.22*
0.23*
0.24*
0.25*
0.26*
0.27*
0.28*
0.29*
0.30*
0.31*
0.32*
0.33*
0.34*
0.35*
0.36*
0.37*
0.38*
0.39*
0.40*
0.41*
0.42*
0.43*
0.44*
0.45*
0.46*
0.47*
0.48*
0.49*

*=0
∞
2.32632.05371.88081.75071.64491.55481.47581.40511.34081.28161.2265
1.17501.12641.0803
1.0364
0.99450.95420.91540.87790.84160.80640.77220.73880.70630.67450.64330.61280.58280.55340.52440.49590.46770.43990.41250.38530.35850.33190.30550.27930.25330.22750.20190.17640.15100.12570.10040.07530.05020.0251*=1
3.09022.29042.0335
1.8663
1.7392
1.6352
1.5464
1.4684
1.3984
1.33461.27591.2212
1.17001.12171.07581.03220.99040.95020.91160.87420.83810.80300.76880.73560.70310.67130.64030.60980.57990.55050.52150.49300.46490.43720.40970.3826
0.35580.32920.30290.27670.25080.22500.19930.17380.14840.1231
0.09790.07280.04760.0226*=2
2.87822.25712.0141
1.8522
1.72791.62581.5382
1.4611
1.39171.32851.2702
1.21601.16501.11701.0714
1.02790.98630.94630.90780.87050.83450.79950.76550.73230.69990.6682
0.63720.60680.57690.54760.51870.4902
0.46210.43440.40700.37990.3531
0.32660.30020.27410.24820.22240.19680.17130.14590.1206
0.09540.07020.04510.0201*=3
2.74782.2262
1.9954
1.8384
1.71691.61641.53011.45381.3852
1.32251.26461.21071.1601
1.1123
1.06691.02370.9822
0.94240.90400.86690.83100.7961
0.76210.72900.69670.66510.63410.60380.57400.54460.51580.48740.45930.43160.40430.37720.35050.32390.2976
0.27150.2456
0.21980.19420.16870.14340.1181
0.09290.06770.04260.0175*=42.6521
2.1973
1.97741.82501.70601.6072
1.52201.4466
1.37871.31651.25911.2055
1.1552
1.10771.06251.01940.97820.93850.90020.86330.82740.79260.75880.72570.69350.66200.63110.60080.57100.54170.51290.48450.45650.42890.40160.37450.34780.32130.29500.26890.24300.21730.19170.16620.14080.11560.09040.06520.04010.0150*=52.57582.17011.96001.81191.6954
1.5982
1.51411.43951.3722
1.3106
1.25361.20041.1503
1.10311.05811.0152
0.97410.9346
0.89650.85960.82390.78920.75540.72250.69030.65880.62800.59780.5681
0.53880.5101
0.48170.45380.4261
0.39890.37190.34510.3186
0.2924
0.26630.24040.21470.18910.16370.13830.11300.08780.06270.03760.0125*=62.51212.1444
1.94311.79911.68491.58931.50631.43251.36581.30471.2481
1.1952
1.1455
1.09851.05371.01100.97010.93070.89270.85600.82040.78580.75210.71920.68710.65570.62500.59480.56510.53590.50720.47890.45100.4234
0.39610.3692
0.34250.31600.28980.26370.23780.21210.18660.16110.13580.11050.08530.06020.03510.0100*=72.45732.1201
1.92681.78661.67471.5805
1.49851.42551.3595
1.29881.24261.19011.1407
1.09391.04941.00690.96610.92690.88900.85240.81690.78240.74880.71600.68400.6526
0.62190.59180.5622
0.53300.50440.47610.44820.42070.39340.36650.33980.31340.28710.26110.23530.20960.18400.15860.13320.10800.08280.05770.03260.0075*=8
2.40892.09691.91101.7744
1.6646
1.57181.49091.41871.3532
1.29301.23721.18501.13591.08931.04501.00270.9621
0.92300.88530.84880.81340.77900.74540.71280.68080.64950.61890.58880.55920.53020.50150.47330.44540.41790.39070.36380.33720.31070.28450.25850.23270.20700.18150.15600.13070.10550.08030.05520.03010.0050*=92.36562.07491.89571.76241.65461.5632
1.4833
1.41181.34691.28731.23191.18001.13111.08481.04070.9986
0.95810.91920.88160.84520.80990.77560.74210.70950.6776
0.64640.61580.58580.55630.52730.49870.47050.44270.41520.38800.36110.33450.30810.28190.25590.23010.20450.17890.15350.12820.10300.07780.05270.02760.0025

2018 年度
数学･････22

Ⅱ.自由度φ のχ2分布の上側ε 点： χ ϕ (ε )
2

φ＼ε

0.990

0.975

0.950

0.900

0.500

0.100

0.050

0.025

0.010

1

0.00020.00100.00390.01580.45492.70553.84155.02396.634920.02010.05060.10260.21071.38634.60525.99157.37789.2103

3

0.11480.21580.35180.58442.36606.25147.81479.348411.344940.2971

0.48440.71071.06363.35677.77949.4877

11.1433

13.276750.55430.8312

1.14551.61034.35159.236411.0705

12.8325

15.086360.8721

1.2373

1.63542.2041

5.348110.6446

12.5916

14.4494

16.81197

1.23901.68992.16732.8331

6.345812.0170

14.0671

16.012818.47538

1.64652.17972.73263.48957.344113.3616

15.5073

17.5345

20.090292.08792.70043.3251

4.16828.342814.6837

16.9190

19.0228

21.6660102.5582

3.24703.94034.86529.341815.9872

18.3070

20.4832

23.209311

3.05353.81574.57485.577810.341017.2750

19.6751

21.9200

24.725012

3.57064.40385.22606.303811.340318.549321.0261

23.3367

26.2170

13

4.10695.00885.89197.041512.3398

19.811922.3620

24.7356

27.6882144.66045.62876.5706

7.789513.339321.0641

23.6848

26.1189

29.141215

5.22936.26217.26098.546814.338922.3071

24.9958

27.4884

30.577916

5.8122

6.90777.96169.312215.3385

23.5418

26.2962

28.845431.9999176.40787.56428.671810.0852

16.3382

24.7690

27.587130.191033.408718

7.01498.23079.390510.8649

17.3379

25.989428.869331.5264

34.805319

7.63278.906510.1170

11.650918.337727.2036

30.1435

32.8523

36.190920

8.26049.590810.850812.4426

19.3374

28.4120

31.4104

34.169637.566221

8.8972

10.2829

11.5913

13.239620.3372

29.6151

32.6706

35.4789

38.9322229.542510.9823

12.3380

14.0415

21.3370

30.8133

33.924436.780740.289423

10.1957

11.6886

13.0905

14.8480

22.3369

32.0069

35.1725

38.0756

41.6384

24

10.856412.401213.8484

15.6587

23.3367

33.1962

36.4150

39.364142.979825

11.5240

13.1197

14.611416.4734

24.3366

34.381637.652540.646544.314126

12.1981

13.8439

15.3792

17.291925.3365

35.5632

38.8851

41.9232

45.641727

12.8785

14.5734

16.151418.1139

26.3363

36.741240.1133

43.194546.962928

13.5647

15.3079

16.9279

18.9392

27.336237.9159

41.337144.4608

48.278229

14.2565

16.0471

17.7084

19.7677

28.3361

39.0875

42.5570

45.722349.587930

14.9535

16.7908

18.4927

20.5992

29.3360

40.2560

43.7730

46.9792

50.892231

15.6555

17.5387

19.2806

21.4336

30.3359

41.421744.9853

48.2319

52.191432

16.362218.2908

20.071922.2706

31.3359

42.584746.1943

49.480453.485833

17.0735

19.0467

20.8665

23.110232.3358

43.7452

47.399950.725154.775534

17.7891

19.8063

21.664323.952333.3357

44.9032

48.602451.9660

56.060935

18.5089

20.569422.4650

24.7967

34.3356

46.0588

49.8018

53.2033

57.342136

19.2327

21.3359

23.2686

25.6433

35.335647.212250.998554.4373

58.619237

19.960222.1056

24.0749

26.492136.3355

48.3634

52.192355.6680

59.892538

20.691422.8785

24.8839

27.3430

37.3355

49.5126

53.3835

56.8955

61.162139

21.4262

23.6543

25.695428.1958

38.335450.6598

54.572258.120162.428140

22.1643

24.4330

26.509329.0505

39.335351.805155.758559.341763.690741

22.9056

25.2145

27.3256

29.9071

40.335352.9485

56.9424

60.5606

64.950142

23.6501

25.9987

28.1440

30.7654

41.335254.090258.1240

61.7768

66.206243

24.3976

26.785428.9647

31.6255

42.3352

55.230259.3035

62.990467.459344

25.1480

27.5746

29.7875

32.487143.3352

56.3685

60.480964.201568.709545

25.901328.3662

30.612333.350444.3351

57.505361.656265.410269.956846

26.6572

29.160131.4390

34.2152

45.3351

58.640562.8296

66.6165

71.201447

27.4158

29.9562

32.267635.081446.3350

59.774364.001167.8206

72.443348

28.1770

30.7545

33.098135.949147.3350

60.9066

65.1708

69.022673.682649

28.9406

31.5549

33.930336.8182

48.335062.0375

66.338670.222474.919550

29.7067

32.3574

34.7643

37.688649.3349

63.167167.5048

71.420276.1539

2018 年度
数学･････23

Ⅲ．分母の自由度n 、 分子の自由度m のF 分布の上側ε点： Fnm (ε )ε ＝ 0.100n＼ m
12
8.5263
3
5.5383
44.544854.06046
3.77597
3.58948
3.457993.3603103.285029.00005.46244.3246
3.77973.46333.2574
3.11313.00652.92453
9.16185.39084.19093.61953.28883.07412.92382.81292.727749.24345.3426
4.10723.5202
3.18082.96052.80642.69272.6053

59.29265.30924.05063.45303.10752.88332.72642.61062.521669.32555.28474.00973.40453.05462.82742.66832.55092.4606

7
9.34915.2662
3.97903.36793.01452.78492.62412.50532.414089.36685.25173.95493.33932.98302.75162.58932.46942.377299.38055.24003.93573.3163
2.95772.72472.56122.44032.3473109.39165.23043.91993.29742.93692.70252.53802.41632.3226ε ＝ 0.050
n＼ m
1
2
18.51283
10.128047.708656.607965.98747
5.59148
5.317795.117410
4.96462
19.0000
9.5521
6.94435.78615.14334.73744.45904.2565
4.10283
19.16439.27666.59145.40954.75714.34684.0662
3.86253.7083

4
19.2468
9.1172
6.3882
5.19224.53374.1203
3.83793.6331
3.47805
19.29649.01356.25615.05034.38743.97153.68753.48173.32586
19.3295
8.9406
6.16314.95034.28393.86603.58063.37383.2172

719.3532
8.8867
6.09424.87594.2067
3.78703.50053.29273.13558
19.37108.8452
6.04104.8183
4.14683.72573.4381
3.2296
3.0717919.38488.8123
5.99884.77254.09903.67673.3881
3.17893.020410
19.39598.78555.96444.73514.06003.63653.3472
3.1373
2.9782ε ＝ 0.025
n＼ m
1
2
38.50633
17.44344
12.21795
10.007068.813178.07278
7.570997.209310
6.93672
39.0000
16.0441
10.6491
8.4336
7.25996.5415
6.05955.71475.45643
39.1655
15.4392
9.9792
7.76366.59885.88985.41605.07814.8256

4
39.2484
15.10109.60457.38796.22725.52265.05264.7181
4.4683

539.2982
14.88489.3645
7.14645.98765.28524.81734.48444.2361

6
39.3315
14.7347
9.1973
6.97775.81985.11864.65174.31974.0721

739.3552
14.62449.0741
6.8531
5.69554.99494.5286
4.19703.9498839.3730
14.5399
8.97966.75725.5996
4.89934.43334.10203.8549939.3869
14.47318.90476.6811
5.52344.82324.35724.02603.77901039.3980
14.4189
8.84396.61925.46134.7611
4.2951
3.96393.7168ε ＝ 0.010
n＼ m
1
2
98.50253
34.11624
21.19775
16.2582613.7450712.24648
11.2586910.561410
10.04432
99.0000
30.8165
18.0000
13.2739
10.92489.54668.64918.02157.55943
99.166229.4567
16.6944
12.0600
9.77958.45137.59106.99196.5523

4
99.249428.7099
15.9770
11.39199.14837.84667.0061
6.4221
5.9943

5
99.299328.2371
15.5219
10.9670
8.74597.4604
6.63186.05695.6363

6
99.3326
27.910715.2069
10.67238.4661
7.19146.37075.80185.3858799.3564
27.671714.9758
10.4555
8.26006.99286.17765.61295.20018
99.374227.4892
14.7989
10.2893
8.10176.84006.02895.4671
5.0567999.388127.3452
14.6591
10.1578
7.9761
6.71885.91065.3511
4.942410
99.3992
27.2287
14.5459
10.05107.87416.62015.81435.25654.8491ε ＝ 0.005
n＼ m
1
2
198.5013
3
55.55204
31.33285
22.7848
6
18.6350
7
16.23568
14.6882913.613610
12.82652
199.0000
49.799326.2843
18.3138
14.5441
12.4040
11.0424
10.1067
9.42703
199.1664
47.4672
24.2591
16.5298
12.9166
10.8824
9.59658.71718.0807

4
199.2497
46.1946
23.1545
15.5561
12.0275
10.0505
8.8051
7.95597.34285
199.2996
45.391622.4564
14.9396
11.4637
9.52218.30187.4712
6.8724

6
199.3330
44.8385
21.9746
14.5133
11.0730
9.1553
7.95207.13396.5446

7
199.3568
44.4341
21.6217
14.2004
10.78598.8854
7.6941
6.88496.3025

8
199.3746
44.1256
21.3520
13.961010.5658
8.6781
7.49596.6933
6.11599199.3885
43.8824
21.1391
13.7716
10.3915
8.51387.33866.5411
5.9676

10
199.3996
43.6858
20.9667
13.6182
10.2500
8.38037.21066.41725.8467

2018 年度
数学･････24

Ⅳ．自由度φ のt 分布の上側ε点： tϕ (ε )Ⅴ．自然対数表

Ⅵ．指数関数表

φ＼ε

0.100

0.050

0.025

1

3.0777

6.313812.70621.1

0.0953-0.10

0.90482

1.88562.92004.30271.2

0.1823-0.09

0.9139

x

log x

x

exp(x)

3

1.63772.3534

3.18241.3

0.2624-0.08

0.92314

1.53322.13182.77641.4

0.3365-0.07

0.93245

1.47592.01502.57061.5

0.4055-0.06

0.94186

1.43981.94322.44691.6

0.4700-0.05

0.95127

1.41491.89462.36461.7

0.5306-0.04

0.96088

1.39681.85952.30601.8

0.5878-0.03

0.97049

1.38301.83312.26221.9

0.6419-0.02

0.980210

1.3722

1.81252.22812.0

0.6931-0.01

0.990011

1.3634

1.79592.20102.5

0.91630.00

1.000012

1.3562

1.78232.17883.0

1.09860.01

1.010113

1.35021.77092.1604

3.5

1.25280.02

1.020214

1.34501.76132.14484.0

1.38630.03

1.030515

1.34061.75312.13144.5

1.50410.04

1.04081.051316

1.33681.74592.11995.0

1.60940.05

171.3334

1.7396

2.10985.5

1.70470.06

1.061818

1.3304

1.73412.10096.0

1.79180.07

1.072519

1.32771.72912.09306.5

1.87180.08

1.083320

1.32531.72472.08607.0

1.94590.09

1.09420.10

1.105221

1.32321.72072.07967.5

2.014922

1.3212

1.71712.07398.0

2.079423

1.31951.71392.06878.5

2.140124

1.31781.71092.06399.0

2.197225

1.31631.70812.05959.5
10.0

2.25132.3026以上

2018 年度
数学･････1

数学（解答例）
問題１（１）（ア） 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 を確率事象とするとき、
ｐ： 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 は独立

ｑ： P{𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵} = 𝑃𝑃{𝐴𝐴} + 𝑃𝑃{𝐵𝐵}

ｐは、P{𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵} = 𝑃𝑃{𝐴𝐴}𝑃𝑃{𝐵𝐵}であることを言い換えたもの。

ｑは、P{𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵} = 0であることを言い換えたもの。

たとえば、1 回のコイントスで表が出ることを𝐴𝐴とし、５２枚のトランプから 1 枚引いてエースが出ることを𝐵𝐵としたとき、P{𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵} = 𝑃𝑃{𝐴𝐴}𝑃𝑃{𝐵𝐵}だが、P{𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵} = 0ではない。一方、１回のコイントスで表が出ることを𝐴𝐴とし、裏が出ることを𝐵𝐵としたとき、P{𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵} = 0だが、P{𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵} = 𝑃𝑃{𝐴𝐴}𝑃𝑃{𝐵𝐵}ではない。

よって、ｐはｑであるための必要条件でも十分条件でもない。
（イ） 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 を確率事象とし、P{𝐵𝐵} ≠ 0 とするとき、
ｐ： 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 は独立

ｑ： P{𝐴𝐴|𝐵𝐵} = 𝑃𝑃{𝐴𝐴}独立性の定義から明らかに、ｐはｑであるための必要十分条件である。
（ウ） 確率事象 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 について、

ｐ： 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 は独立 かつ 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 は独立 かつ 𝐶𝐶, 𝐴𝐴 は独立
ｑ： 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 は独立

ｐがｑであるための必要条件であることは独立性の定義から明らかである。
一方、たとえば、𝛺𝛺 = {𝜔𝜔1 , 𝜔𝜔2 , 𝜔𝜔3 , 𝜔𝜔4 } でとする。

P{𝜔𝜔1 } = P{𝜔𝜔2 } = P{𝜔𝜔3 } = P{𝜔𝜔4 } =1
4𝐴𝐴 = {𝜔𝜔1 , 𝜔𝜔2 }, 𝐵𝐵 = {𝜔𝜔2 , 𝜔𝜔3 }, 𝐶𝐶 = {𝜔𝜔3 , 𝜔𝜔1 }とおけば、𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {𝜔𝜔2 } より P{𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵} = 1/4 である。また、

P{𝐴𝐴} = P{𝐵𝐵} = 1/2 であるから、P{𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵} = P{𝐴𝐴} ∙ P{𝐵𝐵}が成立し、𝐴𝐴, 𝐵𝐵 は独立である。同様に、 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 は独立、 𝐶𝐶, 𝐴𝐴 は独立であることも分かる。一方で、 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶 = ∅ であるから、P{𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶} = 0 となる。したがって、P{𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶} ≠ P{𝐴𝐴} ∙ P{𝐵𝐵} ∙ P{𝐶𝐶}となり、𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 は独立でない。
よって、ｐはｑであるための必要条件であるが、十分条件ではない。
（エ） 確率変数 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 について、

ｐ： 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 は独立2018 年度
数学･････2
ｑ： 𝑋𝑋 2 , 𝑌𝑌 2 は独立
𝑋𝑋, 𝑌𝑌 が独立ならば 𝑋𝑋 2 , 𝑌𝑌 2 は独立である。

一方、たとえば、サイコロを１回振ったときに、確率変数 𝑋𝑋 :「６の目が出ればマイナス１、２か４の目なら１、それ以外なら０」

確率変数 𝑌𝑌 :「６の目が出ればマイナス１、３の目なら１、それ以外なら０」とすると、𝑋𝑋, 𝑌𝑌 は独立でないが、𝑋𝑋 2 , 𝑌𝑌 2 は独立である。

よって、ｐはｑであるための十分条件であるが、必要条件ではない。
（オ）確率変数 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 について、𝑋𝑋, 𝑌𝑌, 𝑋𝑋𝑋𝑋 の期待値がそれぞれ存在するとき、

ｐ： 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 は独立

ｑ： 𝐸𝐸[𝑋𝑋𝑋𝑋] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋]･𝐸𝐸[𝑌𝑌]
ｐならばｑであるが、その逆は一般には成り立たない。
例えば、4 点(1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1)となる確率がそれぞれ1⁄4であるような同時確率変数(𝑋𝑋, 𝑌𝑌)を考えると、𝐸𝐸[𝑋𝑋] = 𝐸𝐸[𝑌𝑌] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋𝑋𝑋] = 0 であるが、P(X = 1, Y = 0) = 1⁄4, P(X = 1)P(Y = 0) = (1⁄4)(1⁄2) = 1⁄8

よって、ｐはｑであるための十分条件であるが、必要条件ではない。
よって、解答は ①（Ｄ） ②（Ａ） ③（Ｂ）

④（Ｃ）

⑤（Ｃ）

（２）
z = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦, 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 とおくと、𝑥𝑥 =

𝑧𝑧+𝑤𝑤
2

, 𝑦𝑦 =𝑧𝑧−𝑤𝑤
2

0 < 𝑦𝑦 < 𝑥𝑥 < 1 より0 < 𝑧𝑧 − 𝑤𝑤 < 𝑧𝑧 + 𝑤𝑤 < 2 であるから、
𝒚

𝒘

𝟏

𝟐
𝟏

𝟎

0 < 𝑧𝑧 ≤ 1 のとき、
𝑧𝑧

𝑔𝑔(𝑧𝑧) = � 8 ∙0𝟏𝒙

𝑧𝑧 + 𝑤𝑤 𝑧𝑧 − 𝑤𝑤 1
2∙
∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑧𝑧 3222
3

1 < 𝑧𝑧 < 2 のとき、

𝟎

𝟏

𝟐

𝒛

2018 年度
数学･････3𝑔𝑔(𝑧𝑧) = �

2−𝑧𝑧

0

2
8
(𝑧𝑧 + 𝑤𝑤)(𝑧𝑧 − 𝑤𝑤)𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝑧𝑧 3 + 4𝑧𝑧 −33

よって、解答は ①（Ｃ） ②（Ｆ）
（３）

𝑋𝑋、𝑌𝑌の分布関数をそれぞれ𝐹𝐹(𝑥𝑥)、𝐺𝐺(𝑦𝑦)とし、確率密度関数を𝑓𝑓(𝑥𝑥)、𝑔𝑔(𝑦𝑦)とすると、

0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1において、𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(max(𝐴𝐴, 𝐵𝐵) < 𝑥𝑥) = P(𝐴𝐴 < 𝑥𝑥)P(𝐵𝐵 < 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥

0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 1において、𝐺𝐺(𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(min(𝐴𝐴, 𝐵𝐵) < 𝑦𝑦) = 1 − 𝑃𝑃(min(𝐴𝐴, 𝐵𝐵) > 𝑦𝑦) = 1 − P(𝐴𝐴 > 𝑦𝑦)P(𝐵𝐵 > 𝑦𝑦) = 1 − (1 − 𝑦𝑦)2𝑔𝑔(𝑦𝑦) = 2(1 − 𝑦𝑦)

従って𝑋𝑋、𝑌𝑌の積率母関数𝑀𝑀𝑋𝑋 (𝑡𝑡)および𝑀𝑀𝑌𝑌 (𝑡𝑡)は、
1

𝑀𝑀𝑋𝑋 (𝑡𝑡) = � 2𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑
0

1
1
1
1
= �2𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡 � − � 2 𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡
𝑡𝑡
0
0
1
1
1
= 2 𝑒𝑒 𝑡𝑡 − �2 2 𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝑡𝑡
𝑡𝑡
0𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 1
�
= 2�
𝑡𝑡 2
1

𝑀𝑀𝑌𝑌 (𝑡𝑡) = � 2(1 − 𝑦𝑦)𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑01

1

= � 2𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 2𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑
001
𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 1
1
�= �2 𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡 � − 2 �
𝑡𝑡 2
𝑡𝑡
0

𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 − 1
�
= 2�
𝑡𝑡 2

となる。

よって、解答は ①：
（Ｉ）

②：
（Ｄ）

（４）
𝐸𝐸[𝑋𝑋𝑖𝑖 ] = 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)、

𝐸𝐸�𝑋𝑋𝑖𝑖 2 � = 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)より、𝑉𝑉[𝑋𝑋𝑖𝑖 ] = 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)(1 − 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝2 )となる。

𝐸𝐸[𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖+1 ] = 0 ∙ 0 ∙ 𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑖𝑖 = 0, 𝑋𝑋𝑖𝑖+1 = 0) + 0 ∙ 1 ∙ 𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑖𝑖 = 0, 𝑋𝑋𝑖𝑖+1 = 1)
+1 ∙ 0 ∙ 𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑖𝑖 = 1, 𝑋𝑋𝑖𝑖+1 = 0) + 1 ∙ 1 ∙ 𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑖𝑖 = 1, 𝑋𝑋𝑖𝑖+1 = 1)

= 0 ∙ 0 ∙ {1 − 2𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)} + 0 ∙ 1 ∙ 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝) + 1 ∙ 0 ∙ (1 − 𝑝𝑝)𝑝𝑝 + 1 ∙ 1 ∙ 0 = 0 より、

2018 年度
数学･････4
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋𝑖𝑖 , 𝑋𝑋𝑖𝑖+1 ) = 𝐸𝐸[𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖+1 ] − 𝐸𝐸[𝑋𝑋𝑖𝑖 ]𝐸𝐸[𝑋𝑋𝑖𝑖+1 ] = −𝑝𝑝2(1 − 𝑝𝑝)2となる。

また、独立性より𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑋𝑋𝑗𝑗 , 𝑋𝑋𝑘𝑘 � = 0 (|𝑗𝑗 − 𝑘𝑘| ≥ 2) となるため、

𝑉𝑉[𝑋𝑋] = 𝑉𝑉[𝑋𝑋1 ] + ⋯ + 𝑉𝑉[𝑋𝑋𝑛𝑛−1 ] + 2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 ) + ⋯ + 2𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋𝑛𝑛−2 , 𝑋𝑋𝑛𝑛−1 )= 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝){(3𝑝𝑝2 − 3𝑝𝑝 + 1)𝑛𝑛 − 5𝑝𝑝2 + 5𝑝𝑝 − 1}

よって、解答は ①：
（Ｂ）

②（Ｉ）

（５）
まず始めにモーメント法による推計を行う。母集団は一様分布𝑈𝑈(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)に従うので母平均𝜇𝜇 =

母分散𝜎𝜎 2 =𝑎𝑎 + 𝑏𝑏、2(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2となる。これより𝑎𝑎 = 𝜇𝜇 − √3𝜎𝜎、𝑏𝑏 = 𝜇𝜇 + √3𝜎𝜎が得られる。標本値を小さい順に
12
𝑛𝑛1
標本値を小さい順に𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑥7 と置くと、母平均𝜇𝜇の推定値𝜇𝜇̂ = � 𝑥𝑥𝑖𝑖 および母平均𝜎𝜎 2 の推定値
𝑛𝑛

𝜎𝜎� 2 =

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

1
�(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2 を用いて、𝑎𝑎 = 𝜇𝜇̂ − √3𝜎𝜎�、𝑏𝑏 = 𝜇𝜇̂ + √3𝜎𝜎�と推定される。与えられた標本値から
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

1
1
𝜇𝜇̂ = � 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 0、𝜎𝜎� 2 = �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2 = 3.002 となるので、𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑏𝑏 = 0 + √3 × √3.002 = 3.001

𝑎𝑎 = 0 − √3 × √3.002 = −3.001と推定される。

次に、最尤法による推定を行う。一様分布の分布関数は𝑓𝑓(𝑥𝑥) =1(𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏)であるので、
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎1 7
尤度関数は𝐿𝐿(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = �� となる。𝑎𝑎, 𝑏𝑏を(𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥1 )、(𝑥𝑥7 ≤ 𝑏𝑏)なる範囲で動かして、𝐿𝐿(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)を最大
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎にすると、𝑎𝑎 = 𝑥𝑥1 = −2.6、𝑏𝑏 = 𝑥𝑥7 = 2.4と推定される。

よって、解答は ① （Ｃ） ② （Ｊ） ③ （Ｇ） ④ （Ｄ）（６）
まずは、男性の試験の合格率を近似法で区間推定する。
標本数𝑛𝑛 = 40、標本百分率は、𝑝𝑝̂ =16= 0.4 より、標準正規分布の上側 5%点𝜀𝜀(0.05)を用いることで、40

合格率の下限𝑝𝑝̂ 𝐿𝐿 、上限𝑝𝑝̂ 𝑈𝑈 はそれぞれ、𝑝𝑝̂ (1 − 𝑝𝑝̂ )0.4 × (1 − 0.4)
= 0.4 − 1.6449 × �= 0.27𝑝𝑝̂ 𝐿𝐿 = 𝑝𝑝̂ − 𝜀𝜀(0.05) ∙ �𝑛𝑛40

2018 年度
数学･････5𝑝𝑝̂ (1 − 𝑝𝑝̂ )0.4 × (1 − 0.4)
𝑝𝑝̂ 𝑈𝑈 = 𝑝𝑝̂ + 𝜀𝜀(0.05) ∙ �= 0.4 + 1.6449 × �= 0.53𝑛𝑛
40
次に、女性の試験の合格率を精密法で区間推定する。
𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝐹𝐹分布の上側 5%点𝐹𝐹𝑛𝑛21 (0.05)、𝐹𝐹𝑛𝑛43 (0.05)を用いるが、標本数𝑛𝑛′ = 5、出現数𝑘𝑘 ′ = 2 より𝐹𝐹分布の自由度は、

𝑛𝑛1 = 2(𝑛𝑛′ − 𝑘𝑘 ′ + 1) = 8、𝑛𝑛2 = 2𝑘𝑘 ′ = 4

𝑛𝑛3 = 2(𝑘𝑘 ′ + 1) = 6、𝑛𝑛4 = 2(𝑛𝑛′ − 𝑘𝑘 ′ ) = 6

よって、合格率の下限𝑝𝑝̂ 𝐿𝐿 ′、上限𝑝𝑝̂ 𝑈𝑈 ′はそれぞれ、
𝑝𝑝̂ 𝐿𝐿 ′ =′𝑝𝑝̂ 𝑈𝑈 =𝑛𝑛2
4== 0.08𝑛𝑛1
𝑛𝑛1 𝐹𝐹𝑛𝑛2 (0.05) + 𝑛𝑛2 8 × 6.0410 + 4
𝑛𝑛

𝑛𝑛3 𝐹𝐹𝑛𝑛43 (0.05)

6 × 4.2839== 0.81𝑛𝑛
𝑛𝑛3 𝐹𝐹𝑛𝑛43 (0.05) + 𝑛𝑛4 6 × 4.2839 + 6

よって、解答は ① （Ｈ） ② （Ｃ） ③ （Ｃ） ④ （Ｆ）（７）
2回の試行で得られた、白玉の個数をそれぞれ、𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2と置くと、これらの確率変数は負の二項分布

3
𝑁𝑁𝑁𝑁(𝑘𝑘, 𝑝𝑝)に従う。帰無仮説が正しいものとすると、𝑘𝑘 = 3、𝑝𝑝 = である。
4

第1種の誤りの起こる確率を𝛼𝛼とすると、
𝛼𝛼 = 𝑃𝑃(𝑋𝑋1 ≥ 2 ∩ 𝑋𝑋2 ≥ 2)

= 𝑃𝑃(𝑋𝑋1 ≥ 2) ∙ 𝑃𝑃(𝑋𝑋2 ≥ 2)
= {𝑃𝑃(𝑋𝑋1 ≥ 2)}2

= {1 − 𝑃𝑃(𝑋𝑋1 = 0) − 𝑃𝑃(𝑋𝑋1 = 1)}2

= �1 − 0.753 − 3𝐶𝐶1 × 0.25 × 0.753 �2= 0.068

よって、第1種の誤りの起こる確率は6.8%である。

1
次に、対立仮説が正しいものとすると、𝑘𝑘 = 3、𝑝𝑝 = である。
42018 年度
数学･････6

第2種の誤りの起こる確率を𝛽𝛽とすると、
𝛽𝛽 = 𝑃𝑃(𝑋𝑋1 ≤ 1 ∪ 𝑋𝑋2 ≤ 1)

= 1 − 𝑃𝑃(𝑋𝑋1 ≥ 2 ∩ 𝑋𝑋2 ≥ 2)

= 1 − 𝑃𝑃(𝑋𝑋1 ≥ 2) ∙ 𝑃𝑃(𝑋𝑋2 ≥ 2)
= 1 − {𝑃𝑃(𝑋𝑋1 ≥ 2)}2

= 1 − {1 − 𝑃𝑃(𝑋𝑋1 = 0) − 𝑃𝑃(𝑋𝑋1 = 1)}2

2

= 1 − �1 − 0.253 − 3𝐶𝐶1 × 0.75 × 0.253 �= 0.099

検出力は1 − 𝛽𝛽であるから、90.1%となる。
よって、解答は ① （Ｃ） ② （Ｆ）（８）
分割表の各要素を以下の通り置くと
男性

女性

計

𝑓𝑓11 = 4

𝑓𝑓12 = 12

𝑓𝑓1∙ = 16

𝑓𝑓∙1 = 13𝑓𝑓∙2 = 17

チーズケーキが好き
ショートケーキが好き
計

独立性の検定における検定統計量は

𝑓𝑓21 = 9

𝑓𝑓22 = 5𝑓𝑓2∙ = 14
𝑛𝑛 = 30

𝑓𝑓𝑖𝑖∙ 𝑓𝑓∙𝑗𝑗 2
�𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑛𝑛 �
(𝑓𝑓11 𝑓𝑓22 − 𝑓𝑓12 𝑓𝑓21 )2 ∙ 𝑛𝑛 (4 × 5 − 12 × 9)2 × 30
χ2 = � �=== 4.7
𝑓𝑓𝑖𝑖∙ 𝑓𝑓∙𝑗𝑗
𝑓𝑓1∙ 𝑓𝑓2∙ 𝑓𝑓∙1𝑓𝑓∙2
16 × 14 × 13 × 17
𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1𝑛𝑛
22

自由度は(2 − 1) × (2 − 1) = 1であるため、χ12 (0.05) = 3.84 < χ2 = 4.7となり、帰無仮説は棄却される。

次にイェーツの補正を行うと𝑛𝑛 2
�𝑓𝑓11 𝑓𝑓22 − 𝑓𝑓12 𝑓𝑓21 + 2� ∙ 𝑛𝑛 (4 × 5 − 12 × 9 + 15)2 × 30=
= 3.2 < χ12 (0.05) = 3.84
χ′2 =16 × 14 × 13 × 17
𝑓𝑓1∙ 𝑓𝑓2∙ 𝑓𝑓∙1 𝑓𝑓∙2となり、帰無仮説は採択される。

よって、解答は ① （Ｆ） ② （Ｂ） ③ （Ｃ） ④ （Ａ）

2018 年度
数学･････7（９）
まず、𝑦𝑦 = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 として、𝛼𝛼と𝛽𝛽を最小二乗法により推定すると、

𝛽𝛽 =∑7𝑖𝑖=1(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�) 15 3==
∑7𝑖𝑖=1(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )210 2

𝛼𝛼 = 𝑦𝑦� − 𝛽𝛽̂ ∙ 𝑥𝑥̅ = 31 − 1.5 × 24 = −5
次に決定係数を求めると、
𝑅𝑅 2 =(∑7𝑖𝑖=1(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�))2
152
15
=
=
7
7
2
2
∑𝑖𝑖=1(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ ) ∑𝑖𝑖=1(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�)
10 × 48 32

最後に誤差分散の推定値を求めると、
7

51
1
7
2
��𝑦𝑦𝑖𝑖 − �𝛼𝛼� + 𝛽𝛽̂ 𝑥𝑥𝑖𝑖 �� = 𝑆𝑆𝑦𝑦2 (1 − 𝑅𝑅 2 ) =
σ =
10
7−2
5
2

𝑖𝑖=1

よって、解答は ①（Ｃ） ②（Ｊ） ③（Ｆ）

④（Ｇ）

（１０）
∞

E�𝑋𝑋𝑡𝑡 6 � = �=1−∞ √2𝜋𝜋𝜋𝜋

8𝑡𝑡 3
√𝜋𝜋

∞

𝑥𝑥 2

𝑥𝑥 6 𝑒𝑒 −2𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 �� 𝑦𝑦 5/2 𝑒𝑒 −𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
0

8𝑡𝑡 3

∞

0

1

√2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑥𝑥 2∞

𝑥𝑥 6 𝑒𝑒 −2𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 �01√2𝜋𝜋𝜋𝜋(2𝑡𝑡𝑡𝑡)3 𝑒𝑒 −𝑦𝑦7
8𝑡𝑡 3 5 3 11Γ� � =･ ･ ･ ･Γ � � = 15𝑡𝑡 32√𝜋𝜋 2√𝜋𝜋 2 2 2である。また、 𝑠𝑠 > 𝑡𝑡 のとき、

E�𝑋𝑋𝑠𝑠 ･𝑋𝑋𝑡𝑡 5� = E�(𝑋𝑋𝑠𝑠 − 𝑋𝑋𝑡𝑡 + 𝑋𝑋𝑡𝑡 ) ∙ 𝑋𝑋𝑡𝑡 5 � = E�(𝑋𝑋𝑠𝑠 − 𝑋𝑋𝑡𝑡 ) ∙ 𝑋𝑋𝑡𝑡 5 � + E�𝑋𝑋𝑡𝑡 6 �である。(𝑋𝑋𝑠𝑠 − 𝑋𝑋𝑡𝑡 ) と 𝑋𝑋𝑡𝑡 は独立であり、E(𝑋𝑋𝑠𝑠 − 𝑋𝑋𝑡𝑡 ) = 0 なので、E�(𝑋𝑋𝑠𝑠 − 𝑋𝑋𝑡𝑡 ) ∙ 𝑋𝑋𝑡𝑡 5� = E(𝑋𝑋𝑠𝑠 − 𝑋𝑋𝑡𝑡 )E�𝑋𝑋𝑡𝑡 5 � = 0

したがって、E�𝑋𝑋𝑠𝑠 ･𝑋𝑋𝑡𝑡 5� = E�𝑋𝑋𝑡𝑡 6 � = 15𝑡𝑡 3である。

よって、解答は ①（Ｅ） ②（Ｅ）
（１１）
与えられた式を変形し、両辺の分散を計算すると、
1
1𝑉𝑉 �𝑌𝑌𝑡𝑡 − 𝑌𝑌𝑡𝑡−1 � = 𝑉𝑉 �− 𝜀𝜀𝑡𝑡−1 + 𝜀𝜀𝑡𝑡 �
3
2

1
1 2
1
𝑉𝑉[𝑌𝑌𝑡𝑡 ] − 2 ∙ ∙ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑌𝑌𝑡𝑡 , 𝑌𝑌𝑡𝑡−1 ) + 2 𝑉𝑉[𝑌𝑌𝑡𝑡−1 ] = �− � 𝑉𝑉[εt−1] + 𝑉𝑉[εt ]
3
2
3
2
1
1
𝛾𝛾0 − 𝛾𝛾1 + 𝛾𝛾0 = ∙ 22 + 22
3
9
4

3
9
𝛾𝛾0 = 𝛾𝛾1 +52･･･（１）

また、自己共分散𝛾𝛾1 の定義より、

√𝑡𝑡

�2𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑

2018 年度
数学･････8
11𝛾𝛾1 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑌𝑌𝑡𝑡 , 𝑌𝑌𝑡𝑡−1 ) = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜀𝜀𝑡𝑡−1 + 𝜀𝜀𝑡𝑡 , 𝑌𝑌𝑡𝑡−1 �
3
2
1
1
1
= γ0 − V[εt−1] = γ0 − 2332･･･（２）

式（１）、（２）より、
𝛾𝛾0 =33
8、𝛾𝛾1 = −58

また、ℎ ≥ 2 のとき、

11𝛾𝛾ℎ = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑌𝑌𝑡𝑡 , 𝑌𝑌𝑡𝑡−ℎ ) = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 � 𝑌𝑌𝑡𝑡−1 − 𝜀𝜀𝑡𝑡−1 + 𝜀𝜀𝑡𝑡 , 𝑌𝑌𝑡𝑡−ℎ �
3
2
=

1
1
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑌𝑌𝑡𝑡−1 , 𝑌𝑌𝑡𝑡−ℎ ) = 𝛾𝛾ℎ−13315𝛾𝛾ℎ は初項：𝛾𝛾1 = − 、公比： の等比数列であるため、
38
5 1 ℎ−1𝛾𝛾ℎ ＝ �− � � �
8 3(ℎ ≧ 1)

よって、解答は ①：
（Ｅ）

②：
（Ａ）

（１２）
確率𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑘𝑘)は、重みづけの確率として

1
5
1
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑘𝑘) = 𝑃𝑃1 (𝑋𝑋1 = 𝑘𝑘) + 𝑃𝑃2 (𝑋𝑋2 = 𝑘𝑘) + 𝑃𝑃3 (𝑋𝑋3 = 𝑘𝑘)3124と表わされることから、𝑋𝑋𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2,3)をそれぞれ独立に平均𝑖𝑖の幾何分布に従う確率変数とし、𝑋𝑋𝑖𝑖 と独立に𝑃𝑃(𝐼𝐼 = 1) =1
4

𝑃𝑃(𝐼𝐼 = 3) =5
12

𝑃𝑃(𝐼𝐼 = 2) =13となる確率変数𝐼𝐼を定義すると、𝑋𝑋~𝑋𝑋𝐼𝐼 である。

よって題意から、(0,1)区間の一様分布に従う確率変数𝑈𝑈の一様乱数による実現値を𝑢𝑢1 、𝑢𝑢2 とし、𝐺𝐺𝑖𝑖 (𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑖𝑖 (𝑋𝑋𝑖𝑖 ≤ 𝑥𝑥)とすると、

10 ≤ 𝑢𝑢1 ≤ ならば 𝑋𝑋 = 𝐺𝐺1−1 (𝑢𝑢2 )41
7< 𝑢𝑢1 ≤
ならば 𝑋𝑋 = 𝐺𝐺2−1(𝑢𝑢2 )4
127< 𝑢𝑢1 ≤ 1 ならば 𝑋𝑋 = 𝐺𝐺3−1 (𝑢𝑢2 )12

2018 年度
数学･････9
𝑢𝑢1 = 0.9であるから、𝑋𝑋 = 𝐺𝐺3−1 (𝑢𝑢2 )として𝑋𝑋の実現値が定まる。

ここで𝑋𝑋3 は平均 3 の幾何分布に従い、この幾何分布の平均は𝑗𝑗

1 − 𝑝𝑝31であるから、𝑝𝑝3 = である。
𝑝𝑝3
4

𝑋𝑋3 を生成するには、𝑝𝑝3 = 𝑃𝑃(𝑋𝑋3 = 𝑗𝑗)および𝑈𝑈に対し確率変数𝑌𝑌を
0 , 𝑈𝑈 ≤ 𝑝𝑝30⎧
⎪1 , 𝑝𝑝30 < 𝑈𝑈 ≤ 𝑝𝑝30 + 𝑝𝑝31

𝑗𝑗
𝑌𝑌 = ⋮ 𝑗𝑗−1⎨
𝑖𝑖
𝑖𝑖
⎪𝑗𝑗 , � 𝑝𝑝3 < 𝑈𝑈 ≤ � 𝑝𝑝3⎩ ⋮ 𝑖𝑖=0
𝑖𝑖=0
𝑗𝑗

𝑗𝑗−1

𝑗𝑗

とすると、𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 𝑗𝑗) = 𝑃𝑃�∑𝑖𝑖=0 𝑝𝑝3𝑖𝑖 < 𝑈𝑈 ≤ ∑𝑖𝑖=0 𝑝𝑝3𝑖𝑖 � = 𝑝𝑝3 である。

ここで、𝑢𝑢2 = 0.4であり、𝑝𝑝30 = 𝑃𝑃(𝑋𝑋3 = 0) = 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)0 =14𝑝𝑝30 + 𝑝𝑝31 = 𝑃𝑃(𝑋𝑋3 = 0) + 𝑃𝑃(𝑋𝑋3 = 1) = 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)0 + 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)1 =7
16

従って、𝑝𝑝30 < 𝑢𝑢2 ≤ 𝑝𝑝30 + 𝑝𝑝31であることから、𝑋𝑋3の実現値は1となる。
よって、解答は（Ｂ）
問題２（１）Ⅰ）Ａさんが持っていない「プレミアム」の種類が𝑘𝑘 種類(𝑘𝑘 = 1,2,3)である状態からカードを購入し続け、𝑘𝑘 種類のうちいずれか1種類を引き当てるまでにかかった購入回数として確率変数𝑋𝑋𝑘𝑘 を定義する。まず、𝑘𝑘 = 3の場合を考えると、と表せることから、

𝑃𝑃(𝑋𝑋3 = 𝑛𝑛) = 0.03 × 0.97𝑛𝑛−1∞を得る。

𝐸𝐸[𝑋𝑋3 ] = � 𝑛𝑛 × 0.03 × 0.97𝑛𝑛−1 =𝑛𝑛=1(𝑛𝑛 = 1,2,3, ⋯ )
0.03
100
=
2
(1 − 0.97)
3

同様に𝑘𝑘 = 1,2の場合についても同様に考えることで𝐸𝐸[𝑋𝑋1 ]、𝐸𝐸[𝑋𝑋2 ]を計算すると、求める購入回数

の平均値は

となる。

𝐸𝐸[𝑋𝑋3 ] + 𝐸𝐸[𝑋𝑋2 ] + 𝐸𝐸[𝑋𝑋1 ] =5503Ⅱ）Ａさんが持っていない「プレミアム」の種類が𝑘𝑘 種類(𝑘𝑘 = 1,2,3)である状態からカードを購入し続け、3種類の「プレミアム」をすべて集めるまでにかかった購入回数の平均値を𝐸𝐸𝑘𝑘 と置く。

持っていない「プレミアム」の種類が𝑘𝑘 種類である状態でカードを１枚購入したとき、それが持っていない「プレミアム」である場合は持っていない「プレミアム」の種類が1つ減り、そうでない

2018 年度
数学･････10
場合は持っていない「プレミアム」の種類は変わらないことから、次の漸化式が成り立つ。

𝐸𝐸𝑘𝑘 = 1 +

よって

𝑘𝑘
𝑘𝑘
× 𝐸𝐸𝑘𝑘−1 + (1 −) × 𝐸𝐸𝑘𝑘
100
100(𝑘𝑘 = 2,3)

100
100 100
100 100 550= 𝐸𝐸1 ++
= 100 +
+
=
3
2
3
2
3
3

𝐸𝐸3 = 𝐸𝐸2 +以上より、求める購入回数の平均値550�3を得る。
よって、解答は ①（Ｋ）

②（Ｌ）

③（Ｂ）

④（Ｑ）

⑤（Ｚ）

⑥（Ｇ）

（２）
Ａさんが持っていない「プレミアム」が𝑖𝑖 種類 (𝑖𝑖 = 1,2,3) の状態で、パックを1つ購入したとき、

この𝑖𝑖 種類のうち𝑗𝑗種類 (0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑖𝑖) の「プレミアム」が入っている確率を𝑃𝑃(𝑖𝑖, 𝑗𝑗)とする。また、Ａさんが持っていない「プレミアム」が𝑖𝑖 種類 (𝑖𝑖 = 1,2,3) の状態からパックのみを購入し続けた
𝑝𝑝

とき、3種類の「プレミアム」をすべて集めるまでにかかる購入回数の平均値を𝐸𝐸𝑖𝑖 とする。

まず、𝑖𝑖 = 3 の場合を考える。このとき、（１）Ⅱ）と同様に考えることで、次の関係式を得る。
𝑝𝑝

𝑝𝑝

𝑝𝑝

𝑝𝑝

𝐸𝐸3 = 1 + 𝑃𝑃(3,0) × 𝐸𝐸3 + 𝑃𝑃(3,1) × 𝐸𝐸2 + 𝑃𝑃(3,2) × 𝐸𝐸1……（Ａ）

次に𝑃𝑃(𝑖𝑖, 𝑗𝑗)を求めたい。

（ア）𝑗𝑗 = 0 の場合

この場合、20枚の中に1枚も「プレミアム」が入っていない確率であるから、（イ）𝑗𝑗 = 1 の場合

𝑃𝑃(3,0) = 0.7 × 0.9719 = 0.39242

パックに入っている20枚のカードのうち「プレミアム」である確率が高い1枚のカードの種類を𝑌𝑌、それ以外の19枚のカードの種類を𝑍𝑍𝑘𝑘 (𝑘𝑘 = 1,2, ⋯ ,19)とすると、この場合「𝑌𝑌 がプレミアムであり、 𝑍𝑍𝑘𝑘 のいずれも 𝑌𝑌 以外のプレミアムではない」または「 𝑌𝑌 がプレミアムではなく、{𝑍𝑍𝑘𝑘 |𝑘𝑘 = 1,2, ⋯ ,19}にプレミアムが1種類のみ含まれる」となる確率であるから、𝑃𝑃(3,1) = 0.3 × 0.9819 + 0.7 × �3 × (0.9819 − 0.9719 )�

（ウ）𝑗𝑗 = 2 の場合（イ）と同様に考えれば、= 2.4 × 0.9819 − 2.1 × 0.9719= 0.45762

2018 年度
数学･････11

𝑃𝑃(3,2) = 0.3 × �2 × (0.9919 − 0.9819 )� + 0.7 × �3 × (0.9919 − 2 × 0.9819 + 0.9719 )�
= 2.7 × 0.9919 − 4.8 × 0.9819 + 2.1 × 0.9719= 0.13824
𝑝𝑝

𝑖𝑖 = 1,2 の場合についても同様に考えることで𝐸𝐸𝑖𝑖 を求めると、
𝑝𝑝

𝐸𝐸1 =

1
1
=
= 3.899 ⋯ ≒ 3.90
1 − 𝑃𝑃(1,0) 1 − 0.9 × 0.9919

𝑝𝑝𝑝𝑝
1 + 𝑃𝑃(2,1) × 𝐸𝐸1 1 + (1.8 × 0.9919 − 1.6 × 0.9819 ) × 𝐸𝐸1
𝑝𝑝
𝐸𝐸2 =
=
= 5.602 ⋯ ≒ 5.60
19

1 − 𝑃𝑃(2,0)

以上より、これらを（Ａ）に代入して、

1 − 0.8 × 0.98

𝑝𝑝

𝐸𝐸3 = 6.752 ⋯ ≒ 6.75を得る。
よって、解答は ⑦（Ｃ）
⑬（Ｅ）

⑧（Ｆ）

⑨（Ｈ）

⑩（Ｊ）

⑪（Ｌ）

⑫（Ｄ）

⑭（Ｊ） ⑮（Ｍ）（３）
まず、𝑚𝑚 = 0の場合に支払う金額の平均値は（１）より、550� × 100 = 18,333.3 ⋯ ≒ 18,333円
3

また、𝑚𝑚 = 3の場合に支払う金額の平均値は（２）より、
𝑝𝑝

𝐸𝐸3 × 2,700 = 6.7526 ⋯ × 2,700 = 18,232.0 ⋯ ≒ 18,232円

次に、𝑚𝑚 = 1の場合に支払う金額の平均値を求める。まず、段階Ⅰから段階Ⅱに移行するまでに支払う金額の平均値は、∞

2,700 × � 𝑛𝑛�1 − 𝑃𝑃(3,0)�𝑃𝑃(3,0)𝑛𝑛−1 =
𝑛𝑛=1

2,700
= 4,443.8 ⋯1 − 0.7 × 0.9719となる。段階Ⅰから段階Ⅱに移行した時点で、持っている「プレミアム」の種類が1種類である

確率は、

𝑃𝑃(3,1)
1 − 𝑃𝑃(3,0)

同様に段階Ⅰで入手した「プレミアム」の種類が2種類であった確率は、

2018 年度
数学･････12

𝑃𝑃(3,2)
1 − 𝑃𝑃(3,0)

であるから、𝑚𝑚 = 1の場合に支払う金額の平均値は、

𝑃𝑃(3,1)
𝑃𝑃(3,2)
4,443.8 ⋯ + 100 × �
𝐸𝐸2 +𝐸𝐸 � = 18,016.8 ⋯1 − 𝑃𝑃(3,0)
1 − 𝑃𝑃(3,0) 1

より18,017円となる。

最後に、𝑚𝑚 = 2の場合に支払う金額の平均値を求める。まず、段階Ⅰから段階Ⅱに移行するまでに支払う金額の平均値は、

1
𝑃𝑃(3,1)× �1 +
� × 2,700 = 8,912.9 ⋯1 − 𝑃𝑃(3,0)
1 − 𝑃𝑃(2,0)となる。ここで、段階Ⅰから段階Ⅱに移行した時点で、持っている「プレミアム」の種類が2種類である確率は、

1
𝑃𝑃(3,1) × 𝑃𝑃(2,1)× �𝑃𝑃(3,2) +�
1 − 𝑃𝑃(3,0)
1 − 𝑃𝑃(2,0)

であるから、𝑚𝑚 = 2の場合に支払う金額の平均値は8,912.9 ⋯ + 100 × �

より17,763円となる。

1
𝑃𝑃(3,1) × 𝑃𝑃(2,1)× �𝑃𝑃(3,2) +�� × 𝐸𝐸1 = 17,763.3 ⋯1 − 𝑃𝑃(3,0)
1 − 𝑃𝑃(2,0)

以上より、求める𝑚𝑚の値は2である。
よって、解答は ⑯（Ｏ）

⑰（Ｈ）

⑱（Ｃ）

問題３
（１）
中央値𝑋𝑋�は、一様分布𝑈𝑈(0,1)の母集団からの標本変量𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 ⋯ , 𝑋𝑋2𝑚𝑚+1 （𝑚𝑚は自然数）を小さいものから順
番に並べ替えた場合、小さい方から𝑚𝑚 + 1番目であるため、順序統計量𝑋𝑋(𝑚𝑚+1) と等しい。

よって、中央値𝑋𝑋�の確率密度関数𝑓𝑓𝑋𝑋� (𝑥𝑥)は、式（Ａ）において、

𝛼𝛼 = 𝑚𝑚 + 1、𝛽𝛽 = 𝑚𝑚 + 1とすることで、
𝑓𝑓𝑋𝑋� (𝑥𝑥) =(2𝑚𝑚 + 1)! 𝑚𝑚𝑥𝑥 ∙ (1 − 𝑥𝑥)𝑚𝑚 となる。
(𝑚𝑚!)2
1

式（Ａ）より、 � 𝑥𝑥 𝛼𝛼−1 ∙ (1 − 𝑥𝑥)𝛽𝛽−1 𝑑𝑑𝑑𝑑 =0(𝛼𝛼 − 1)! ∙ (𝛽𝛽 − 1)!
であるから、(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 − 1)!

2018 年度
数学･････13
中央値𝑋𝑋�の期待値𝐸𝐸[𝑋𝑋�]は
1

𝐸𝐸[𝑋𝑋�] = � 𝑥𝑥 ∙ 𝑓𝑓𝑋𝑋� (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 ==0(2𝑚𝑚 + 1)! 1 𝑚𝑚+1
� 𝑥𝑥
∙ (1 − 𝑥𝑥)𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑚𝑚!)20(2𝑚𝑚 + 1)! (𝑚𝑚 + 1)! ∙ 𝑚𝑚!
𝑚𝑚 + 11∙==2(2𝑚𝑚 + 2)!
(𝑚𝑚!)
2𝑚𝑚 + 2 2となり、同様に中央値𝑋𝑋�の分散𝑉𝑉[𝑋𝑋�]は1
1 2 (2𝑚𝑚 + 1)! 1 𝑚𝑚+2
1
2
� 𝑥𝑥
∙ (1 − 𝑥𝑥)𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 −𝑉𝑉[𝑋𝑋�] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋� 2 ] − �𝐸𝐸[𝑋𝑋�]� = � 𝑥𝑥 2 ∙ 𝑓𝑓𝑋𝑋� (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � � =
2
(𝑚𝑚!)
2
4
0
0

=

となる。

(2𝑚𝑚 + 1)! (𝑚𝑚 + 2)! ∙ 𝑚𝑚! 1
1
∙
− =
2
(2𝑚𝑚 + 3)!
(𝑚𝑚!)
4 4(2𝑚𝑚 + 3)

また、標本変量平均𝑋𝑋�の分散𝑉𝑉[𝑋𝑋�]は
2𝑚𝑚+1

2𝑚𝑚+1

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

2
1
1
� 𝑋𝑋𝑖𝑖 � = �� 𝑉𝑉 � � 𝑋𝑋𝑖𝑖 �𝑉𝑉[𝑋𝑋�] = 𝑉𝑉 �
2𝑚𝑚 + 12𝑚𝑚 + 1

2
1
1
1 2
1
=�
� �(2𝑚𝑚 + 1) � 1 ∙ �𝑥𝑥 − � 𝑑𝑑𝑑𝑑� =2𝑚𝑚 + 12
12(2𝑚𝑚 + 1)
0となり、2つの分散の差を取ると、𝑉𝑉[𝑋𝑋�] − 𝑉𝑉[𝑋𝑋�] =

1
4𝑚𝑚
1
−
=
> 0 であるから、
4(2𝑚𝑚 + 3) 12(2𝑚𝑚 + 1) 12(2𝑚𝑚 + 3)(2𝑚𝑚 + 1)

𝑚𝑚が自然数のもとでは常に中央値の分散の方が標本変量平均の分散よりも大きくなる。

よって、解答は ①（Ｃ）②（Ｃ） ③（Ｖ）⑦（Ｂ） ⑧（Ｎ） ⑨（Ｏ）④（Ｔ）（⑤と⑥は順不同）（２）
式（Ｂ）において𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝑌𝑌−1 (𝑥𝑥)として変数変換を行う。

𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)、 �
𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) =𝑑𝑑𝑑𝑑� = 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦)であるから、𝑑𝑑𝑑𝑑(2𝑚𝑚 + 1)!
∙ {𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)}𝑚𝑚 ∙ {1 − 𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)}𝑚𝑚 ∙ 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦)となる。
(𝑚𝑚!)2正規分布𝑁𝑁(𝜇𝜇, 22 )は𝜇𝜇を中心に対称な分布であるから、𝜇𝜇∞� 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
−∞

𝜇𝜇

1
である。
2

これを用いて、𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦)を変形すると、

⑤（Ａ）

⑥（Ｇ）

2018 年度
数学･････14

𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) ===(2𝑚𝑚 + 1)!
∙ 𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)𝑚𝑚 ∙ (1 − 𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦))𝑚𝑚 ∙ 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦)(𝑚𝑚!)2
𝑚𝑚

𝑚𝑚

𝜇𝜇
𝑦𝑦
∞
𝑦𝑦
(2𝑚𝑚 + 1)!
(𝑡𝑡)
(𝑡𝑡)
(𝑡𝑡)
∙
��
𝑓𝑓
𝑑𝑑𝑑𝑑
+
�
𝑓𝑓
𝑑𝑑𝑑𝑑�
∙
��
𝑓𝑓
𝑑𝑑𝑑𝑑
−
�
𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑� ∙ 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦)𝑌𝑌𝑌𝑌
𝑌𝑌(𝑚𝑚!)2
−∞
𝜇𝜇
𝜇𝜇
𝜇𝜇
𝑚𝑚

𝑦𝑦
𝑦𝑦
(2𝑚𝑚 + 1)!
1
1
(𝑡𝑡)
∙
��
+
�
𝑓𝑓
𝑑𝑑𝑑𝑑�
�
−
�
𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑�� ∙ 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦)𝑌𝑌(𝑚𝑚!)2
2
2
𝜇𝜇
𝜇𝜇
2 𝑚𝑚

𝑦𝑦
(2𝑚𝑚 + 1)! 1
=
∙
�
−
��
𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑� � ∙ 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦) となる。
(𝑚𝑚!)24𝜇𝜇

中央値𝑌𝑌�の確率密度関数𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦)は𝜇𝜇を中心とした偶関数であるため、∞∞∞

𝐸𝐸[𝑌𝑌�] = � 𝑦𝑦 𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � (𝑦𝑦 − 𝜇𝜇) 𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑑𝑑
−∞

−∞

∞

−∞

𝜇𝜇

∞

= � (𝑦𝑦 − 𝜇𝜇) 𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � (𝑦𝑦 − 𝜇𝜇) 𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜇𝜇 �
𝜇𝜇

−∞

−∞

𝜇𝜇

𝜇𝜇

−∞

∞

∞

∞

= � (𝑦𝑦 − 𝜇𝜇) 𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � (𝑦𝑦 − 𝜇𝜇) 𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜇𝜇 �

= 0 + 𝜇𝜇 ∙ 1 = 𝜇𝜇𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑓𝑓𝑌𝑌� (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑑𝑑となるから、中央値𝑌𝑌�は不偏性を満たすことが分かる。

よって、解答は ⑩（Ｖ）⑪（Ｔ） ⑫（Ｅ）⑯（Ｋ） ⑰（Ｃ） ⑱（Ａ）

⑲（Ｋ）

⑬（Ｍ）

⑭（Ｇ）

⑮（Ｈ）

（⑫と⑬は順不同）（３）
式（Ｃ）において𝑧𝑧 = √2𝑚𝑚 + 1(𝑦𝑦 − 𝜇𝜇)として変数変換を行う。

𝑦𝑦 = 𝜇𝜇 +𝑧𝑧√2𝑚𝑚 + 1

𝑑𝑑𝑑𝑑1であるから、
�=
𝑑𝑑𝑑𝑑√2𝑚𝑚 + 1

、�

2 𝑚𝑚

𝑧𝑧

𝜇𝜇+
(2𝑚𝑚 + 1)! 1
𝑧𝑧√2𝑚𝑚+1∙∙�−��
𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑� � ∙ 𝑓𝑓𝑌𝑌 �𝜇𝜇 +�
𝑓𝑓𝑍𝑍 (𝑧𝑧) =
2
(𝑚𝑚!)
4
√2𝑚𝑚 + 1√2𝑚𝑚 + 1
𝜇𝜇

1

=

1

22𝑚𝑚 ∙ (2𝑚𝑚 + 1)

2 𝑚𝑚

𝑧𝑧

𝜇𝜇+
(2𝑚𝑚 + 1)!
𝑧𝑧√2𝑚𝑚+1
∙
∙
�1
−
4
��
𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑� � ∙ 𝑓𝑓𝑌𝑌 �𝜇𝜇 +
�
1
2
(𝑚𝑚!)
√2𝑚𝑚 + 1𝜇𝜇21

ここで、スターリングの公式 𝑛𝑛! ~√2𝜋𝜋 ∙ 𝑛𝑛𝑛𝑛+2 ∙ 𝑒𝑒 −𝑛𝑛 (𝑛𝑛 → ∞)を用いて、
122𝑚𝑚 ∙ (2𝑚𝑚 + 1)(2𝑚𝑚 + 1)!
~
1∙(𝑚𝑚!)22√2𝜋𝜋 ∙ (2𝑚𝑚 + 1)
1(2𝑚𝑚+1)+1
2 ∙ 𝑒𝑒 −(2𝑚𝑚+1)1

2

22𝑚𝑚 ∙ (2𝑚𝑚 + 1)2 ∙ �√2𝜋𝜋 ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚+2 ∙ 𝑒𝑒 −𝑚𝑚 �2018 年度
数学･････15=√2𝜋𝜋 ∙ 22𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚2𝑚𝑚+1(2𝑚𝑚+1)2
2
1= � ∙ 𝑒𝑒 −1 ∙ �1 +�→ � (𝑚𝑚 → ∞) となる。
𝜋𝜋
𝜋𝜋
2𝑚𝑚

さらに、
𝜇𝜇+

�1 − 4 ��𝜇𝜇𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝜇𝜇) =(2𝑚𝑚 + 1)(2𝑚𝑚+1) ∙ 𝑒𝑒 −11𝑧𝑧√2𝑚𝑚+1

2√2𝜋𝜋

2 𝑚𝑚

2 𝑚𝑚

�𝑧𝑧 ∙ 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝜇𝜇)�
� で近似できることを用いると、𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑� � は �1 − 4
2𝑚𝑚 + 1であるから、
𝑚𝑚

1 2⎫
⎧
𝑚𝑚
�𝑧𝑧
∙
�
⎪
�𝑧𝑧 ∙ 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝜇𝜇)�
𝑧𝑧 2
12√2𝜋𝜋 ⎪
�1 − 4
� = 1−4= �1 −∙
�
2𝑚𝑚 + 12𝑚𝑚 + 1 ⎬2𝜋𝜋 2𝑚𝑚 + 1
⎨
⎪
⎪
⎩
⎭
2 𝑚𝑚

𝑛𝑛 = 2𝑚𝑚 + 1 とおくと、
𝑚𝑚1
𝑛𝑛−1 2

𝑛𝑛−1

𝑧𝑧 2
1
𝑧𝑧 2 1 2
𝑧𝑧 2 1�1 −∙� = �1 −∙ �= ��1 −∙ �
2𝜋𝜋 2𝑚𝑚 + 12𝜋𝜋 𝑛𝑛2𝜋𝜋 𝑛𝑛1

𝑧𝑧 2 2→ �exp �− � � (𝑛𝑛 → ∞)2𝜋𝜋

= exp �−最後に、
𝑓𝑓𝑌𝑌 �𝜇𝜇 +

𝑧𝑧√2𝑚𝑚 + 1

�𝑧𝑧 2
� となる。
4𝜋𝜋

� → 𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝜇𝜇) (𝑚𝑚 → ∞)
=

1

2√2𝜋𝜋

となることから、𝑓𝑓𝑍𝑍 (𝑧𝑧) は漸近的に

1√2𝜋𝜋√2𝜋𝜋

exp �−𝑧𝑧 2
� である。
4𝜋𝜋

つまり、𝑍𝑍 = √2𝑚𝑚 + 1�𝑌𝑌� − 𝜇𝜇�の漸近的分布は正規分布𝑁𝑁(0 , 2𝜋𝜋)であり、中央値𝑌𝑌� は漸近正規性を満たす
ことが分かる。

一方、同じく母平均𝜇𝜇の推定量として漸近正規性を満たす標本変量平均𝑌𝑌�を変形した√2𝑚𝑚 + 1(𝑌𝑌� − 𝜇𝜇)は再生性により正規分布に従う。

𝐸𝐸�√2𝑚𝑚 + 1(𝑌𝑌� − 𝜇𝜇)� = √2𝑚𝑚 + 1(𝐸𝐸[𝑌𝑌�] − 𝜇𝜇) = √2𝑚𝑚 + 1(𝜇𝜇 − 𝜇𝜇) = 0

22+ 0� = 4
𝑉𝑉�√2𝑚𝑚 + 1(𝑌𝑌� − 𝜇𝜇)� = (2𝑚𝑚 + 1) ∙ (𝑉𝑉[𝑌𝑌�] + 𝑉𝑉[𝜇𝜇]) = (2𝑚𝑚 + 1) ∙ �
2𝑚𝑚 + 1

2018 年度
数学･････16であるから、√2𝑚𝑚 + 1(𝑌𝑌� − 𝜇𝜇)は正規分布𝑁𝑁(0 , 4)に従う。

つまり、中央値𝑌𝑌�よりも漸近分散が小さい漸近正規推定量が存在するため、中央値𝑌𝑌�は漸近有効性を満たさないことが分かった。

よって、解答は ⑳（Ｏ） ㉑（Ｌ）㉖（Ａ） ㉗（Ｏ）

㉒（Ｄ）

㉘（Ａ）

㉙（Ｄ）

①

（Ｄ）

1点

②

（Ａ）

1点

③

（Ｂ）

1点

④

（Ｃ）

⑤

㉓（Ｗ）

㉔（Ｆ）

㉕（Ｔ）

（⑳と㉑は順不同）

問題１
（１）

（２）

（３）

（４）

（５）

（６）

①

（Ｃ）

2点

②

（Ｆ）

3点

①

（Ｆ）

完答で 3 点

1点

②

（Ｂ）

（Ｃ）

1点

③

（Ｃ）

①

（Ｃ）

完答で 5 点

④

（Ａ）

②

（Ｆ）

①

（Ｃ）

①

（Ｉ）

2点

②

（Ｊ）

②

（Ｄ）

3点

③

（Ｆ）

2点

①

（Ｂ）

完答で 5 点

④

（Ｇ）

2点

②

（Ｉ）

（１０） ①

（Ｅ）

3点

①

（Ｃ）

②

（Ｅ）

2点

②

（Ｊ）

（１１） ①

（Ｅ）

3点

③

（Ｇ）

②

（Ａ）

2点

④

（Ｄ）

（Ｂ）

5点

①

（Ｈ）

②

（Ｃ）

③

（Ｃ）

④

（Ｆ）

（７）

（８）

（９）

完答で 3 点完答で 2 点（１２）
完答で 3 点完答で 2 点完答で 2 点
完答で 1 点2018 年度
数学･････17
問題２
（１）

（２）

⑩

（Ｊ）

2点

（Ｌ）

⑪

（Ｌ）

2点

③

（Ｂ）

⑫

（Ｄ）

2点

④

（Ｑ）

1点

⑬

（Ｅ）

1点

⑤

（Ｚ）

2点

⑭

（Ｊ）

1点

⑥

（Ｇ）

2点

⑮

（Ｍ）

1点

⑦

（Ｃ）

完答で 2 点

⑯

（Ｏ）

1点

⑧

（Ｆ）

⑰

（Ｈ）

1点

⑨

（Ｈ）

⑱

（Ｃ）

1点

①

（Ｃ）

⑮

（Ｈ）

完答で 2 点

②

（Ｃ）

⑯

（Ｋ）

③

（Ｖ）

完答で 2 点

⑰

（Ｃ）

④

（Ｔ）

⑤⑥は順不同

⑱

（Ａ）

⑤

（Ａ）

⑲

（Ｋ）

2点

⑥

（Ｇ）

⑳

（Ｏ）

完答で 1 点

⑦

（Ｂ）

1点

㉑

（Ｌ）

⑳㉑は順不同

⑧

（Ｎ）

2点

㉒

（Ｄ）

⑨

（Ｏ）

1点

㉓

（Ｗ）

1点

⑩

（Ｖ）

完答で 2 点

㉔

（Ｆ）

1点

⑪

（Ｔ）

⑫⑬は順不同

㉕

（Ｔ）

1点

⑫

（Ｅ）

㉖

（Ａ）

完答で 1 点

⑬

（Ｍ）

㉗

（Ｏ）

⑭

（Ｇ）

㉘

（Ａ）

㉙

（Ｄ）

①

（Ｋ）

②

完答で 1 点

（３）

問題３
（１）

（２）

完答で 1 点

（３）

1点

完答で 1 点以上