形の科学会誌 第 32 巻 第 1 号 (2017)目

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1【シンポジウム】
第 82 回 形の科学シンポジウム 「産業技術とかたち」
討論記録 ························································································· 41【会告など】
会告···································································································· 45
原稿募集 ···························································································· 54

解説論文形の科学会誌 第 32 巻 第 1 号

多面体コード– 多面体に隠されていた規則 –西尾憲吾*，宮崎剛英
産業技術総合研究所〒305-8568 つくば市梅園 1-1-1 中央第 2*k-nishio@aist.go.jp

Polyhedron code
- Polyhedron’s hidden rules Kengo Nishio, Tkehide Miyazaki
National Institute of Advanced Industrial Science & Technology (AIST),
Central 2, Umezono 1-1-1, Tsukuba, 305-8568, Japan(2017 年 4 月 7 日受付，2017 年 6 月 15 日受理)
Abstract: This paper is a commentary on the polyhedron code which we have createdrecently [Sci. Rep. 6, 23455 and Sci. Rep. 7, 40269]. The polyhedron code consists of (1)an encoding algorithm for converting a way of how polygons are arranged to form apolyhedron into a 𝑝3 -codeword (𝑝3 for short) and (2) a decoding algorithm for recovering
the original polyhedron from its 𝑝3 . By generalizing the polyhedron code, we have createdthe polychoron code for representing polychora.
Keywords: polygon, polyhedron, polychoron, polytope, tiling1. イントロダクション
多面体は人類が最も長く研究してきた対象の一つと考えてよいで しょう。エジプトのギ
ザにあるピラミッドの建設に四角錐の幾何学が応用されていることを考えると 、多面体の研究は少なくとも 4500 年以上の歴史を持つことになります [1,2]。このように長い歴史を持つ多面体ですが、驚くべきことに、プラトンの多面体やアルキメデスの 多面体などの対称性の高い多面体を除くと、無限に存在する多面体のほとんどに名前がありません 。多面体は複雑な形を表現するための基本となる形です。その多面体に名前がなければ形をうまく表現できません。そして、形を表現できなければ、形を理解することはできません。 なぜ無限に存在する多面体のほとんどに名前がないのでしょうか？対称性の高い 多面体はその美しさから人々に注目されてきたのに対し、美しくないその他多数の多面体はこれまで
あまり興味を持たれていなかったからだと著者は考えます。興味の対象が対称性の高い形だけであれば、対称性の低い多面体に名前がなくても問題にならないでしょう 。しかし、人類の興味の範囲が科学技術の進歩とともに広がるにしたがい、多面体に名前がないことが次第に問題になってきました。

–1–

著者の専門である材料科学の分野では、計算機の発展にともない 1950 年頃から、液体やアモルファスの原子構造がシミュレーションを用いて盛んに研究されるようになりました [3–6]。原子が周期的に配列した結晶と異なり、原子が不規則に配列した 液体やアモル
ファスの原子配列を理解することは現在でも挑戦的な課題です [7–11]。シミュレーション
を用いて液体やアモルファスの構造モデルを作ると、すべての原子の座標を手に入れることができます。しかし、すべての座標データを知っているからといって、原子配列を理解できたとはいえません。原子配列を理解するためには、座標データから重要な情報を人間が理解できる形で抽出する必要があります。そのための 方法の一つにボロノイ多面体解析があります。この方法では、原子をボロノイ多面体に置き換えて、ボロノイ多面体による空間充填として原子配列を表現します(図 1)。注目している原子のボロノイ多面体の形とその原子を取り囲む最隣接原子の配列パターンが一対一に対応しているため、ボロノイ多面体の形を調べることによって注目している原子近傍の原子配列を理解することができま

図 1：ボロノイ多面体の 空間充填による原子配列の表現。多面体の中に原子が１個だけ入っている。多面体の形は隣接原子の配列パターンを表している。

図 2：原子配列とボロノイ多面体 の関係。

–2–

す。例えば、ある原子のボロノイ多面体が十二面体であると すると、その原子に隣接する原子は二十面体の頂点を形成するように配列しています(図 2)。ボロノイ多面体に名前があれば、その名前によって原子配列を表現することができますが、不規則な原子配列に関係する多種多様なボロノイ多面体のほとんどに名前がありません。液体やアモルファスの
不規則な原子配列を理解するためには、任意の多面体に名前を与える方法が必要です。
多面体に名前を与えることは、一見、簡単なことだと思うかもしれませんが、実はとても奥の深い問題です。このことを説明するために、まずは多角形の名前について説明した
いと思います。多角形に名前を与えるということは、注目したい共通の性質に従って多角形を分類することです。我々は、辺が三つの多角形を三角形、辺が四つの多角形を四角形、辺が五つの多角形を五角形と呼んでいますが、このとき 、辺の数で多角形を分類しています(図 3a)。この分類法では長さや角度といった測量の違いを無視していますが、情報の細部を落とした結果、人間が容易に扱うことができる便利な名前になっています。じっさい、私たちは「三角形」、「四角形」、「五角形」といった名前を日常的に使っています。本記事
では辺は曲がってもよいとして、図 3b のような図形も四角形と呼ぶことにします。

図 3：辺の数による多角形の分類。

図 4：面の数による多面体の分類。

–3–

図 5：ボロノイ指標による多面体の分類。

図 6：ボロノイ指標の 問題点。多面体をグラフで 表している。六角形を塗りつぶして表している。

さて、１次元の辺の数で分類して２次元の多角形に名前が付けられていますが、この方法を拡張して、２次元の面の数で３次元の多面体を分類するとどうなるでしょうか？図 4aと 4b に描いている多面体はどちらとも六つの面からなる多面体なのでどちらとも六面体となります。しかし、図 4a は三角形と五角形から作られているのに対し、図 4b は四角形だけでできています。このように、異なる形をした多面体が同じ名前になるため、面の数で分類して得られる名前は便利な名前とはいえません。
不規則原子配列のボロノイ多面体解析では、しばしば、ボロノイ指標〈𝑛3 𝑛4 𝑛5 ⋯ 〉を用いて多面体を分類します。ここで、𝑛𝑖 は多面体を構成している面のうち𝑖角形の形をした面の数を表しています。図 4a の多面体は５枚の三角形と１枚の五角形から作られているので、ボロノイ指標を用いて表すと〈501000 ⋯ 〉となります(図 5a)。一方、6 枚の四角形から作られている図 4b の多面体は〈060000 ⋯ 〉となります(図 5b)。ボロノイ指標を用いると、面の数では分類できなかった図 4a と 4b の多面体を区別することができるようになります。しか–4–

し、異なる形をした多面体が同じボロノイ指標を持つことがよくあります。例えば、図 6aと 6b の多面体のボロノイ指標はともに〈028200 ⋯ 〉ですが、図 6a の二枚の六角形は隣接しているのにたいし、図 6b の二枚の六角形は離れています。このように、異なるボロノイ多面体が同じボロノイ多面体とみなされる場合があるため、ボロノイ指標を用いても 液体や
アモルファスの原子配列を詳細に調べることはできません。
さて、長さや角度といった測量を無視するという条件のもとで多面体の形を区別するということは、多面体の面の配列パターンを区別するということです。それは、多面体の頂点と辺が作る多面体グラフを区別するということと等価です。多角形の場合、辺の数を指定すると多角形の頂点と辺が作るグラフが決まりました。しかし、多面体の場合、面の数やボロノイ指標を指定してもグラフは一つに定まりません。多面体に名前を付けるのが難しい理由はここにあります。
さて、多面体グラフを分類する方法の一つに𝑡-指標を用いた分類があります [12]。𝑡-指標は氷クラスターの水素結合ネットワークを分類するために 著者の一人が考えた指標です。
𝑡-指標を用いるとボロノイ指標では区別できなかった多面体を区別でき るようになることが経験的に分かっていますが、すべての多面体グラフの同値判定を行えるのかどうか厳密には分かっていません。そのため、多面体を完全に分類できたのか？という問題が常に付きまとう方法でした。
上述のように多面体の分類法に関して思案していた中、E. A. Lazar らは [13]、ボロノイ
多面体解析に Weinberg コードワード [14,15]を適用しました。Weinberg コードワードは３連結平面グラフ(多面体グラフは３連結平面グラフの一種)の同値判定を行うために考案された数列で、Weinberg コードワードを用いると多面体グラフを厳密に分類することができます。しかし、Weinberg コードワードにも問題点がありました。例えば、十二面体をWeinberg コードワードで表すと「1 2 3 4 5 1 5 6 7 8 1 8 9 10 2 10 11 12 3 12 13 14 4 14 15
6 15 16 17 7 17 18 9 18 19 11 19 20 13 20 16 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4
3 2 1」となります。このように長いコードワードを人間が扱うのは困難です。
長すぎるという問題がありますが、多面体を厳密に区別するための素晴らしい手法です
ので、Weinberg コードワードの仕組みを調べてみました。多面体から Weinberg コードワードを生成するさい、図 7 のようにパスを描いていきます。何度かパスを描いていくうち

図 7：Weinberg コードワードの生成過程。

–5–

図 8：Weinberg コードワードの生成過程。パスに囲まれた 面を塗りつぶして表している。

に、ある重要な事実に気が付きました。それは、多面体の面を一つずつ囲むようにパスが描かれているという事実です(図 8)。このことから、面の名前の並びで多面体を表現する
ような方法を構築できるのではないかというアイディアが浮かびました。このアイディアを発展させて、多面体を構成する多角形の並び方によって多面体を表現する理論を 創出して Scientific Reports 誌で発表しました [16,17]。我々はこの理論を多面体コードと呼んでいます。
多面体コー ドは(1)多面 体を多面体 コードワー ドとよぶ 数列 に変換す るエンコード法と(2)多面体コードワードから元の多面体を復元するデコード法からなります 。補足しておくと、多面体コードワードとは多面体を表す数列、すなわち多面体の名前、であるのに対し、多面体コードとは多面体と多面体コードワードの間にある規則、いいかえると構成要素である多角形の並び方の規則を記述したものです。十二面体を多面体コードワードで表すと「555555555555」となります。5 が 12 回続いているので、「512 」と短く表すこともできます。この例から明らかであるように、多面体コードワードは Weinberg コードワードよりも短くて扱いやすいコードワードです。しかし、それ以上に重要な点は、多面体コードは４次元以上の多胞体を扱えるように簡単に拡張できる点です。ここで、多胞体とは３次元の多面体と２次元の多角形を一般の次元に拡張したものです。多面体は 3 次元多胞体、多角形は 2 次元多胞体です。Weinberg コードは多面体を表現する方法ですが、4 次元以上の多胞体を扱えるように拡張できるような理論ではありません 。著者の知る限り、任意の次元の任意の多胞体を簡潔に表現する方法は、我々の理論以外にありません。
この解説記事では、多面体コード、そして、多面体コードを４次元へ拡張した 4 次元多胞体コードを詳しく説明したいと思います。

2. 多面体コード
2.1. 多角形の部位と多面体の部位
多面体コードでは、多角形を多面体の部品とみなし、多角形の組み合わせで多面体が作–6–

図 9：多角形の部位と多面体の部位。多角形の角が 集まる０次元 領域を多面体の頂とよぶ。
多角形の縁が集まる１次元領域を 多面体の稜とよぶ。

られていると考えます。そして、多面体の部位と多角形の部位を区別します。具体的には、多角形の頂点を「角(かど)」、多面体の頂点を「頂(いただき)」と呼んで、多角形の頂点と多面体の頂点を区別します(図 9a)。多面体の頂とは 3 つ以上の多角形の角が出会う０次元領域です。同様に、多角形の辺を「縁(へり)」、多面体の辺を「稜(りょう)」と呼んで、多面体の辺と多角形の辺を区別します(図 9b)。多面体の稜とは多角形の縁と縁が出会う 1 次
元領域です。また、多面体の面は多角形ですが、多面体の部品であることを強調するときは多角形という言葉を用いるのに対し、多面体の部位であることを強調す るときは面という言葉を用いることにします。例えば、面も稜も多面体の部位ですので、「面の稜」という表現を用いる場合があります。同様に、「面の頂」という表現を用いる場合もあります。一方、稜や頂は多角形の部位ではないので、「多角形の稜」や「多角形の頂」という表現を用いることはありません。
多面体の部位と多角形の部位の関係を述べるために 「生む」という言葉を用います。例
えば、図 9a のような状況を、３つの角が頂を生む。もしくは、頂は 3 つの角から生まれると表現します。同様に、図 9b のような状況を、2 つの縁が稜を生む。もしくは、稜は２つの縁から生まれると表現します。また、多角形の角(縁)が頂(稜)を生んでいる場合、単に、
多角形が頂(稜)を生んでいると表現します。同様に、縁の端点の角が頂を生んでいる場合、
単に、縁が頂を生んでいると表現します。

2.2. 単純多面体
すべての頂が三価である多面体は「単純多面体」とよばれています。頂が三価であるとは、頂に三本の稜が入射していることを意味しています。単純多面体の例として四面体、六面体、十二面体などを挙げることができます(図 10a)。不規則原子配列のボロノイ多面–7–

図 10：単純多面体と非単純多面体。

体は偶然の一致を除くと単純多面体です。一方、八面体や二十面体は単純多面体ではありません(図 10b)。最初に単純多面体を対象とした方法を説明します。2.7 で説明するように、単純多面体の方法は一般の多面体を扱えるように簡単に拡張することができます。

2.3. デコード法(手順)
多面体コードは多面体を多面体コードワードに変換 するエンコード法と、多面体コード
ワードから元の多面体を復元するデコード法からなっています。 詳細な説明はあとで行いますが、エンコード法にデコード法が組み込まれているため 、エンコード法を説明するためにはデコード法を説明する必要があります。デコード法を構築するためには 、簡単ではあるものの新しい考え方をたくさん導入する必要があります。しかし、完成したデコード法を説明するのは比較的簡単に行えます。そこで、ここでは、多面体コードの概要をつかんでいただくために、多面体をデコードする手順の説明を天下り的に行います。デコード法の構築は、2.5 で行います。

34443-多面体を復元する方法
結論から言うと、我々の方法では、図 11 に描いた多面体を 34443-多面体とよびます。
34443 という 数 列は 多 面体 の 名前 であ る と同 時に 多 面体 の設 計 図に なっ て いま す 。 数 列「34443」のそれぞれの数字は多面体を構成している多角形の名前、すなわち形、を表しています。一番左の数字が 3 であるということは、一番目の多角形が三角形であることを表しています。同様に、二番目から四番目の多角形は四角形、五番目の多角形は三角形であることを表しています。34443 から多面体を復元するには、最初に、それぞれの数字を多角形に変換します(図 12a)。

–8–図 11：34443 多面体。

図 12：デコードの手順。

多角形から多面体を作る手順を説明するために、多角形𝑖の縁に時計回りで𝑖1 , 𝑖2 , 𝑖3 , ⋯と認
識番号(ID)を振ります(図 12b)。ここで、縁𝑖𝑗 とは多角形𝑖の𝑗番目の縁を意味します。この
𝑖𝑗 は値を持っています。図の例では、11 , ⋯ , 13 , 21 , ⋯ , 24 , 31 , ⋯ , 34 , 41 , ⋯ , 44 , 51 , ⋯ , 53 の順で値が大きくなるとみなします。
多角形 1 を部分多面体 1 とよびます(図 13a)。部分多面体 1 の縁11に多角形 2 の縁21をくっつけて得られる構造を部分多面体 2 とよびます(図 13b)。ここで、「孤独縁」という言–9–

図 13：部分多面体 1 と 2。

図 14：孤独縁。

葉を導入します。孤独縁とは他の縁にくっついていない縁のことです。図 14 の例では、縁12 , 13 , 22 , 23 , 24は孤独縁です。一方、縁11と21は互いにくっついているため孤独縁ではありません。孤独縁のうち最も ID が小さいものを「最小 ID 孤独縁」とよびます。図 14 の場合、孤独縁12が最小 ID 孤独縁です。
部分多面体 2 の最小 ID 孤独縁12に多角形 3 の縁31をくっつけると図 15a の構造がえられます。さて、多面体の頂とは多角形の角と角が出会う 0 次元領域だと述べましたが、多面体を復元する過程で得られる部分多面体では「孤立した角や集まった二つの角も部分多面体の頂を生む」とみなします。同様に、「孤独縁も稜を生む」とみなします。そうすると、
図 15b のように、部分多面体でも頂の価数を考えることができます。完成した単純多面体の頂はすべて３価ですが、部分多面体の頂の価数は２，３，４価のいずれかです。特に、４価の頂を「不都合な頂」とよび他と区別します。 その名前の由来は、不都合な頂をそのままにしていると、５価、６価、７価と頂の価数が制限なく大きくなって単純多面体を作ることができなくなることにあります。図 15b の例では、黒丸で示した頂が不都合な頂です。不都合な頂は必ず２つの孤独縁から生まれています。多面体を復元する過程で不都合な頂が作られたら、不都合な頂を生んでいる２つの孤独縁を互いにくっつけます(図 16)。
その結果、４価の頂が３価になり、不都合な頂が取り除かれます。こうして得られる構造
を部分多面体 3 とよびます。

– 10 –

図 15：部分多面体 3 と頂の価数。

図 16：不都合な頂を取り除く。

あとは上述の作業を繰り返すだけです。具体的には、部分多面体 3 の最小 ID 孤独縁13に多角形 4 の縁41をくっつけます。そうすると不都合な頂が作られますが、その不都合な頂を取り除いて得られる構造が部分多面体 4 です。その後、部分多面体 4 の最小 ID 孤独
縁23に多角形 5 の縁51をくっつけます。そうすると不都合な頂が作られますが、その不都合な頂を取り除くと孤独縁がなくなり、多面体が完成します。
さて、数列 34443 のほかにも、43434 と 44343 から図 11 の多面体を復元することができます。複数の数列が同じ多面体を表すのは不便ですので、数列を数とみなし、最も小さ
い三万四千四百四十三に対応する数列 34443 を名前として多面体に割り当てます。このように、任意の多面体に唯一の数列を割り当てることができます。

多面体コードワード
2.3.1 で述べたように、図 11 の多面体は 34443 と表されます。多面体を表す 34443、すなわち多面体の名前を、多面体コードワード(𝑝3 )とよびます。𝑝3 の添え字の 3 は、多面体– 11 –

が 3 次元の図形であることを示しています。
一般に、多面体コードワードは「多角形の並びのコードワード(𝑝𝑠2)」と「縁の対の並びのコードワード(𝑠𝑝)」からなります。一般の多面体の多面体コードワードを形式的にあらわすと、
𝑝3 = 𝑝𝑠2 ; 𝑠𝑝,(1)です。ここで、”;”は分離記号です。𝑝3 に含まれる𝑝𝑠2を形式的に表すと、
𝑝𝑠2 = 𝑝2 (1)𝑝2 (2)𝑝2 (3) ⋯ 𝑝2 (𝐹),(2)です。ここで、𝑝2 (𝑖)は𝑖番目の多角形の名前、すなわち多角形𝑖の縁の数、を表しています。
𝐹は多面体の面の数、いいかえると多角形の数、を表しています。一般に、𝑝3 = 𝑝𝑠2 ; 𝑠𝑝です
が、図 11 の多面体の𝑝3 は𝑝𝑠2だけでできています。すなわち、𝑝3 = 𝑝𝑠2 = 34443です。𝑝𝑠2だ
けで表すことができる多面体は沢山ありますが、なかには 𝑝𝑠2だけでは表すことができない多面体もあります。例えば、図 17 に示した Tutte の多面体は𝑝𝑠2だけでは表すことができ
ま せ ん 。 数 字 の 10 を 𝐴 で 、 数 字 の 13 を 𝐸 で 表 す と 、 Tutte の 多 面 体 の 𝑝3 は 𝑝3 =4555𝐴4559554𝐴𝐴55555454555; 𝐸6 96です。”;”の前にある数列 4555𝐴4559554𝐴𝐴55555454555が𝑝𝑠2で、多角形 1 が四角形、多角形 2 が五角形、多角形 3 が五角形、⋯、多角形 25 が五角形であることを表しています。一方、”;”の後にある数列 𝐸6 96が𝑠𝑝で、縁𝐸6 と縁96がくっついていることを表しています。𝑠𝑝を形式的に表すと、
𝑠𝑝 = 𝑦(1)𝑥(1)𝑦(2)𝑥(2)𝑦(3)𝑥(3) ⋯ 𝑦(𝑁nc )𝑥(𝑁nc ),(3)です。𝑦(𝑖)と𝑥(𝑖)が対になって表れていますが、これを「必要な追加の対」とよびます。語源の説明はあとで行いますが、ここでは、𝑦(𝑖)と𝑥(𝑖)は縁の ID で、縁𝑦(𝑖)と縁𝑥(𝑖)がくっつ
いていることを示しているとだけ覚えてください。 𝑁ncは必要な追加の対の数です。

図 17：Tutte の多面体。

– 12 –

多面体コードワードから多面体を復元する方法
34443-多面体を復元する方法を 2.3.1 で説明しましたが、ここでは一般の多面体を復元
す る 方 法 を 説 明 し ま す 。 ア ル ゴ リ ズ ム の 裏 付 け は あ と で 行 い ま す が 、 以 下 の 手 順 で 𝑝3 =𝑝𝑠2 ; 𝑠𝑝から多面体を復元することができます。
アルゴリズム A(図 18)1.

𝑖 = 1とする。
(a) 多角形𝛼は𝑝2 (𝛼)角形(1 ≤ 𝛼 ≤ 𝐹)。
(b) 時計回りで多角形𝛼の縁に ID(𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 , ⋯ , 𝛼𝑝2 (𝛼) )を振る。
(c) 多角形 1 が部分多面体 1。

2.

𝑖 = 𝑖 + 1とする。
(a) 多角形𝑖の縁𝑖1 を部分多面体𝑖 − 1の最小 ID 孤独縁にくっつける。
(b) 𝑦(𝛽)が多角形𝑖の縁ならば、縁𝑦(𝛽)を縁𝑥(𝛽)にくっつける(1 ≤ 𝛽 ≤ 𝑁nc )。
(c) 不都合な頂が存在したら取り除く。
(d) こうして得られる構造が部分多面体𝑖。

3.

すべての多角形を配置するまで手順 2 を繰り返す。

図 18：多面体を復元する手順。

– 13 –

2.4. エンコード法
Schlegel 図
これまでは３次元図形として多面体を取り扱ってきましたが、今後は利便性から図 19aのように多面体を２次元平面に射影した Schlegel 図 [2,18]を用います。ここで２点注意したいことがあります。1 点目は、Schlegel 図の外枠の多角形 abc の外部は、3 次元空間に置かれた多面体の多角形𝑎𝑏𝑐の内部に対応している点です。2 点目は、Schlegel 図の外枠の多角形以外の多角形では、反時計回りで多角形を一周することが、3 次元空間に置かれた多面体の多角形を時計回りで一周することに対応している点です。例えば、図 19a の Schlegel
図では𝑎 → 𝑐 → 𝑧 → 𝑥 → 𝑎は反時計回りですが、3 次元空間に置かれた多面体では時計回りです。一方、Schlegel 図の外枠の多角形𝑎𝑏𝑐の時計回りは、３次元に置かれた多面体の多角形𝑎𝑏𝑐の時計回りと一致します。Schlegel 図を用いて 34443-多面体を復元する過程を表すと図 19b の様になります。

𝑝𝑠2 の作り方
多面体から𝑝3 を生成する際、最初に種として任意の多角形とその縁を選びます。種の選び方によって得られる𝑝3 が異なりますが、𝑝3 を数とみなして最も値の小さいものをユニー
クなコードワードとします。そうすることで多面体に唯一の𝑝3 を与えることができます。
𝑝𝑠2だけからなる𝑝3 を数に変換する方法は 2.3.1 で説明しましたが、𝑠𝑝を含む一般の𝑝3 を数

図 19：Schlegel 図。(a)Schlegel 図の作り方。(b)Schlegel 図を用いたデコード過程の説
明。黒丸は 1 価の頂。白丸は不都合な頂。

– 14 –

図 20：エンコードの手順。最小 ID 孤独縁を点線で表している。

に変換する方法は 2.4.7 で説明します。
𝑝3 は𝑝𝑠2と𝑠𝑝からなりますが、最初に𝑝𝑠2の作り方を説明します。𝑝𝑠2は𝑝2 (𝑖)の並びですので、𝑝𝑠2の生成とは多角形に ID を振ることです。すでに ID が振られた多角形とこれから
ID を振る多角形を区別するために色を用います。最初にすべての多角形を色付けし、IDを振った多角形を透明にします。
これから、34443-多面体を例にとって𝑝𝑠2を生成する手順を説明します。図 20 では 34443多面体を Schlegel 図で表しています。種として外枠の多角形と矢印の縁を選ぶとします(図20a)。種となった多角形が多角形 1 です。したがって、𝑝2 (1) = 3です。種となった縁から
時計回りで多角形 1 の縁に ID を振ります。そして、多角形 1 を透明にします(図 20b)。
デコードの過程では他の縁にくっついていない縁を孤独縁とよびましたが、エンコードの 過 程 で は 色 付 い た 多 角 形 に く っ つ い て い る 透 明 な 多 角 形 の 縁 を 孤 独 縁 と よ び ま す 。図20b では、縁11、12、13が孤独縁です。そして、ID がもっとも小さい縁11が最小 ID 孤独
縁です。この最小 ID 孤独縁11にくっついている多角形が多角形 2 です。したがって、𝑝2 (2) =4です。縁11にくっついている縁から時計周りで多角形 2 の縁に ID を振り、多角形 2 を透明にします(図 20c)。図 20c では反時計周りで ID が振られていますが、これは、Schlegel
図の外枠以外の多角形の反時計周りは、3 次元空間に置かれた多面体の多角形の時計回りに対応するからです。
あとは上述の作業を繰り返すだけです。具体的には、最小 ID 孤独縁12にくっついている多角形が 3 番目の多角形ですので、𝑝2 (3) = 4です。縁に ID を振ったのち、多角形 3 を透明にします(図 20d)。多角形 4 は最小 ID 孤独縁13にくっついている多角形ですので、– 15 –

𝑝2 (4) = 4です。縁に ID を振ったのち、多角形 4 を透明にします(図 20e)。多角形 5 は最小
ID 孤独縁23にくっついている多角形ですので、𝑝2 (5) = 3です。縁に ID を振ったのち、多角形 5 を透明にします(図 20f)。すべての多角形が透明になり、𝑝𝑠2 = 34443の完成です。
まとめると、種を選んだ後、以下の手順で𝑝𝑠2を生成することができます。
アルゴリズム B(図 21)1.

𝑖 = 1とする。
(a) 種として選ばれた多角形が多角形 1。
(b) 種として選ばれた縁から時計回りで多角形 1 の縁に ID(11 , 12 , 13 , ⋯ , 1𝑝2(1))を振る。
(c) 多角形 1 を透明にする。

2.

𝑖 = 𝑖 + 1とする。
(a) 最小 ID 孤独縁にくっついている多角形が多角形𝑖。
(b) 最 小 ID 孤 独 縁 に く っ つ い て い る 縁 か ら 時 計 回 り で 多 角 形 𝑖 の 縁 にID(𝑖1 , 𝑖2 , 𝑖3 , ⋯ , 𝑖𝑝2 (𝑖))を振る。
(c) 多角形𝑖を透明にする。

3.

すべての多角形が透明になるまで手順 2 を繰り返す。

図 21：𝑝𝑠2 を生成する手順。

– 16 –

図 22：稜に ID を振る手順。

図 23：角に ID を振る手順。

𝑝𝑠2を生成することによって多面体の面に ID を振ることができますが、稜と頂にも IDを振ることができます。稜の ID は多面体コードを４次元多胞体コードへと拡張するときに用います。頂の ID は単純でない多面体を扱うときに用います。
まずは、多面体の稜に ID を振る方法を説明します。稜に ID を振るために、まずは、多角形の縁の ID を利用して仮 ID を稜に振ります。具体的には、稜は２つの縁から生まれているので、その２つの縁の ID のうち小さいほうを稜の仮 ID とします(図 22b)。すべての稜に仮 ID を振ったのち、𝑖番目に小さい仮 ID を持つ稜に本 ID として𝑖を与えます(図 22c)。
次に、多面体の頂に ID を振る方法を説明します。頂に ID を振るために、多角形の角にID を図 23 のように振ります。縁𝑖𝑝2(𝑖) と縁𝑖1 が共有する角に𝑖1 を振ります。1 < j ≤ 𝑝2 (𝑖)について、縁𝑖j−1と縁𝑖j が共有する角に𝑖j を振ります。こうして振られた多角形の角の ID を利用して頂に ID を振ります。具体的には、頂を生む角の ID のうち最も小さいものを頂の仮ID とし、𝑖番目に小さい仮 ID を持つ頂に本 ID として𝑖を与えます。以上のことから、𝑝𝑠2を生成する方法は多面体の部位に ID を振る方法であるともいえます。この方法を用いて単純でない多面体の部位にも ID を振ることができます。しかし、得られた𝑝𝑠2 をアルゴリ
ズム A にしたがってデコードしても多面体を復元することはできません。

– 17 –

𝑡𝑠𝑝(0)の概要
𝑠𝑝の生成方法を説明するためには、簡単ですが沢山の新しい考え方を導入する必要があります。その一つに𝑠𝑝を生成するための中間生成物ともいえる「𝑡𝑠𝑝(0) 」があります。𝑡𝑠𝑝(0)をゼロ番目の仮の𝑠𝑝とよびます。詳細な説明はあとで行いますが、𝑡𝑠𝑝(0)は次のような性質を持つように作られています。
(1) 𝑝𝑠2; 𝑡𝑠𝑝(0) をデコードすると元の多面体を復元できるが、(2) 多面体の復元に必要でない情報も含まれる可能性がある 。
𝑡𝑠𝑝(0)から不必要な情報を取り除いたものが𝑠𝑝です。
𝑠𝑝と𝑡𝑠𝑝(0)の関係をもう少し詳しく説明するために、多面体𝑃(𝑖)、部分多面体𝐸(𝑖)、部分多面体𝐷(𝑖)を導入します。𝑝𝑠2を生成するさい、多面体を構成する多角形が透明になっていきますが、多角形𝑖が透明になったときに得られる多面体が𝑃(𝑖)です。𝑃(𝑖)の多角形のうちす
でにエンコードされた多角形は透明ですが、まだエンコードされていない面は色付いています。𝑃(𝑖)から色付いている多角形を取り除いたものが部分多面体 𝐸(𝑖)です。図 20e の𝑃(4)を図 24a に再掲しています。真ん中の色の付いた面を取り除いたものが𝐸(4)です(図 24b)。
こうして得られた部分多面体の透明な多角形を認識するのは困難なので、𝐸(4)の多角形に色をさしたものを図 24c に示します。色の区別をしないので、もとの𝐸(4)と色をさした𝐸(4)を同じ部分多面体とみなします。一方、𝑝3 をデコードするさい、多角形𝑖が配置されたときにできる部分多面体が𝐷(𝑖)です。
ここで、エンコードのさいに得られる部分多面体の並び 𝐸(1)𝐸(2)𝐸(3) ⋯ 𝐸(𝐹)とデコードのさいに得られる部分多面体の並び𝐷(1)𝐷(2)𝐷(3) ⋯ 𝐷(𝐹)に注目します。𝑝𝑠2 ; 𝑡𝑠𝑝(0)をデコードすると、1 ≤ 𝑖 ≤ 𝐹で𝐸(𝑖) = 𝐷(𝑖)になるように𝑡𝑠𝑝(0)は作られています(図 25a)。しかし、実際に必要なのは𝐸(𝐹) = 𝐷(𝐹)だけです。そこで、𝑖 < 𝐹で𝐸(𝑖) ≠ 𝐷(𝑖)を許し、𝑡𝑠𝑝(0)から不必要な情報を取り除いたものが𝑠𝑝です(図 25b)。
さて、𝑡𝑠𝑝(0)の詳細を説明するためには「追加の対」という言葉を導入する必要があります。そのためには「プロット」という言葉を導入する必要があります。次の章でプロットの説明を行います。

図 24：多面体𝑃(𝑖)と部分多面体𝐸(𝑖)。

– 18 –

図 25：𝑡𝑠𝑝(0) と𝑠𝑝の違い。

プロット
異なる多角形の孤独縁が隣接している場合、隣接する孤独縁は連結しているとし、連結した孤独縁の集まりを「プロット」とよびます。また、連結していない単独の孤独縁もプ
ロットとよびます。プロットを構成する孤独縁の ID のうち最も小さいものをプロットのID とします。図 26 の例では、孤独縁12と24は異なる多角形の縁なので連結しています。
同様に、孤独縁14 と22 も連結しています。一方、孤独縁12 と13 は同じ多角形の縁なので連結していません。同様に、孤独縁13と14、孤独縁22と23、孤独縁23と24は連結していません。
したがって、孤独縁12と24 はプロット12を、孤独縁14 と22はプロット14を、孤独縁13はプロット13を、孤独縁23はプロット23を作っています。プロット12を構成する孤独縁12と24は同じ四角形にくっついています。一般に、同じプロットを構成する縁はすべて同じ多角形にくっついています。
論文 [16]では「隣接する孤独縁から生まれた頂が 2 つの透明な多角形からも生まれている場合、隣接する孤独縁は連結している」としましたが、解説記事を書いている最中に、

図 26：プロット。縁 と縁の連結部分を〇で表す。

– 19 –

「異なる多角形の孤独縁が隣接している場合、隣接する孤独縁は連結している」とした方が簡潔であることに気が付いたので、そのように説明することにしました。

𝑡𝑠𝑝(0)の作り方
𝑡𝑠𝑝(0) は追加の対を集めたものですので、まずは追加の対を説明します。𝑝𝑠2を生成している時、多面体は次第に透明になっていきます。その過程を 𝑃(1)𝑃(2)𝑃(3) ⋯ 𝑃(𝐹)の様に表すことができます。追加の対は多角形𝑖が透明になったときに得られる多面体𝑃(𝑖)と多角形𝑖に関係しています。このことを説明するために、図 27a の多面体の𝑝𝑠2を、種として外枠の多角形と矢印で示した縁を選び、2 回生成します。1 回目の生成が終わった時点で多面体と多角形のすべての部位に ID が振られているので、すべての部位の ID をあらかじめ知っている状況で２回目の生成を行うことができます。図 27b は多角形 1 が透明になったときに得られる𝑃(1)です。𝑃(1)では縁11、12、13、14が孤独縁ですが、これらはそれぞれプロット
11、12、13、14を作っています。𝑃(1)にはそれ以外のプロットはありません。𝑃(1)の多角形
2 は最小 ID プロット11にくっついています。一般に、多面体𝑃(𝑖 − 1)では、多角形𝑖は必ず最小 ID プロットにくっついています。それは、定義より、 𝑃(𝑖 − 1)の最小 ID 縁にくっついている多角形が多角形𝑖だからです。図 27c に示している𝑃(7)では、孤独縁56 と63がプロット56を作っています。多角形 8 は最小 ID プロット34に加えて、プロット56 にもくっついています。このプロット56を「追加のプロット」とよびます。一般に、多面体 𝑃(𝑖 − 1)において、多角形𝑖がくっついているプロットのうち、最小 ID プロット以外のプロットを追加のプロットとよびます。さて、定義より、追加のプロット56を構成する孤独縁のうち最も ID が小さいものは孤独縁56です。この孤独縁56は多角形 8 の縁85にくっついていますが、この縁85と56の対を追加の対85 56とよびます。ここで、値の大きい85を56の前に書いている点に注意してください。図 27d に𝑃(9)を示していますが、10454も追加の対です。図27a の多面体の𝑝𝑠2を矢印で示した縁を種として生成した場合、追加の対は85 56と104 54になります。これらを集めたものが𝑡𝑠𝑝(0) = 85 56104 54です。
一般の𝑡𝑠𝑝(0)を形式的に書くと、
𝑡𝑠𝑝(0) = 𝑦𝑎 (1)𝑥𝑎 (1)𝑦𝑎 (2)𝑥𝑎 (2)𝑦𝑎 (3)𝑥𝑎 (3) ⋯ 𝑦𝑎 (𝑁a )𝑥𝑎 (𝑁a ),(4)となります。ここで、𝑦𝑎 (𝑖)𝑥𝑎 (𝑖)は𝑖番目の追加の対です。𝑦𝑎 (𝑖) > 𝑥𝑎 (𝑖)と𝑦𝑎 (𝑖) < 𝑦𝑎 (𝑖 + 1)を満

図 27：追加の対の説明。

– 20 –

たします。𝑁a は追加の対の数です。

𝑡𝑠𝑝(0)から𝑠𝑝を作る方法
図 27a の 多 面 体 を 矢 印 で 示 し た 縁 を 種 と し て エ ン コ ー ド す る と 、 𝑝𝑠2 ; 𝑡𝑠𝑝(0) =458585574755433; 85 56 104 54が得られます。詳細はあとで説明しますが、2.3.3 で述べたアルゴリズム A は、𝑝𝑠2 ; 𝑡𝑠𝑝(0) から元の多面体を復元できるように作られています。しかし、
𝑡𝑠𝑝(0)には多面体を復元するために必要でない情報も含まれている可能性があります。そこ
で、追加の対104 54 が本当に必要かどうかを調べるために、𝑝𝑠2 ; 𝑡𝑠𝑝(0) から104 54 を取り除いた458585574755433; 85 56をデコードしてみます(図 28a)。追加の対104 54に関する情報を持っていないので、多角形 10 を配置した時に得られる部分多面体𝐷(10)では縁104 と54がくっ
ついていません。そして、𝐷(13)では多角形 13 が縁54にくっついてしまい、104 を54にくっつけることができなくなってしまいました。このことから、追加の対 104 54が必要であることが分かりました。一方、𝑝𝑠2 ; 𝑡𝑠𝑝(0) から85 56を取り除いた458585574755433; 104 54をデーコードすると、𝐷(8)では縁85 と56がくっついていませんが、𝐷(13)では縁85と56がくっついて、
最 終 的 に 元 の 多 面 体 を 復 元 で き ま す 。 従 っ て 、 追 加 の 対 85 56 は 不 必 要 で す 。 𝑡𝑠𝑝(0) =図 28：追加の対の説明。

– 21 –

85 56104 54から不必要な追加の対を取り除いた104 54が𝑠𝑝です。
以下の手順で、一般の𝑡𝑠𝑝(0)から𝑠𝑝を作ることができます。
アルゴリズム C1.

𝑖 = 0とする。
(a) 𝑡𝑠𝑝(0) = 𝑦𝑎 (1)𝑥𝑎 (1)𝑦𝑎 (2)𝑥𝑎 (2)𝑦𝑎 (3)𝑥𝑎 (3) ⋯ 𝑦𝑎 (𝑁a )𝑥𝑎 (𝑁a )。

2.

𝑖 = 𝑖 + 1とする。
(a) 𝑡𝑠𝑝(𝑖−1) から𝑦𝑎 (𝑁a − 𝑖 + 1)𝑥𝑎 (𝑁a − 𝑖 + 1)を取り除いたものが𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝑖)。
(b) 𝑝𝑠2; 𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝑖) をデコードする。
① 𝑝𝑠2; 𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝑖) から元の多面体を復元できた場合、𝑡𝑠𝑝(𝑖) = 𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝑖) 。
② 𝑝𝑠2; 𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝑖) から元の多面体を復元できなかった場合、𝑡𝑠𝑝(𝑖) = 𝑡𝑠𝑝(𝑖−1) 。

3.

𝑖 = 𝑁a まで手順 2 を繰り返す。𝑠𝑝 = 𝑡𝑠𝑝(𝑁a) 。

𝑡𝑠𝑝(0)から不必要な追加の対を取り除いたものが𝑠𝑝です。いいかえると、必要な追加の対を並べたものが𝑠𝑝です。

辞書的順序とユニークな𝑝3
種の選び方によって異なる𝑝3 が生成されます。複数の𝑝3 から唯一の多面体コードワードを選ぶために辞書的順序Lex(𝑝3 )を導入します。2.3.1 では、数列 34443、43434、44343 を数とみなし、最も小さい三万四千四百四十三に対応する数列 34443 を名前として多面体に割り当てました。この考え方を拡張したものが辞書的順序です。
Lex(𝑝3 )を𝑛進法で表された数とみなします。𝑛は十分に大きければどのような数でもよいのですが、どのくらい大きければよいのかは、あとで説明します。𝑝3 は𝑝𝑠2と𝑠𝑝からなります の で 、 Lex(𝑝3 )も Lex(𝑝𝑠2 )と Lex(𝑠𝑝)か ら な り ま す 。 ま ず は Lex(𝑝𝑠2)を 説 明 し ま す 。 𝑝𝑠2 =𝑝2 (1)𝑝2 (2)𝑝2 (3) ⋯ 𝑝2 (𝐹)は𝐹個の数字が並んだ数列です。数列𝑝2 (1)𝑝2 (2)𝑝2 (3) ⋯ 𝑝2 (𝐹)を𝑛進法で表示された𝐹桁の数とみなしたものがLex(𝑝𝑠2 )です。このとき、𝑝2 (𝑖)はLex(𝑝𝑠2 )の𝐹 − 𝑖 + 1
桁目の数です。同様に、数列𝑠𝑝 = 𝑦(1)𝑥(1)𝑦(2)𝑥(2)𝑦(3)𝑥(3) ⋯ 𝑦(𝑁nc )𝑥(𝑁nc )を𝑛進法で表示された2𝑁nc桁の数とみなしたものがLex(𝑠𝑝)です。
Lex(𝑝3 ) は Lex(𝑝𝑠2 ) と Lex(𝑠𝑝) を 結 合 し て 得 ら れ る 𝑛 進 法 で 表 示 さ れ た 𝐹 + 2𝑁nc 桁 の 数
𝑝2 (1)𝑝2 (2)𝑝2 (3) ⋯ 𝑝2 (𝐹)𝑦(1)𝑥(1)𝑦(2)𝑥(2)𝑦(3)𝑥(3) ⋯ 𝑦(𝑁nc )𝑥(𝑁nc )です。数の結合について補足
すると、例えば、十進法で表示された 24(二十四)と 5(五)を結合すると 245(二百四十五)になります。
Lex(𝑝3 )を𝑛進法で表示された数とみなすためには、𝑛は𝑝2 (𝑖)、𝑦(𝑖)、𝑥(𝑖)より大きく選ぶ必要があります。多面体に含まれる縁の数は2𝐸 = 6(𝐹 − 2)ですので、𝑛を2𝐸より大きな数にすればよいです。ここで、2𝐸 = 6(𝐹 − 2)は、オイラーの式𝐹 − 𝐸 + 𝑉 = 2と3𝑉 = 2𝐸から導くことができます [2]。
種の選び方に2𝐸種類あるので、多面体から2𝐸個の𝑝3 が得られます。注目する多面体とその鏡像を同じ多面体だと考えると、さらに、2𝐸個、合計4𝐸個の𝑝3 が得られます。4𝐸個の𝑝3– 22 –

のうちLex(𝑝3 )が最も小さいものを選ぶことで、任意の多面体に唯一の𝑝3 を与えることができます。注目する多面体とその鏡像を同じ多面体だと考えることによって、𝑝3 を多面体グ
ラフの同値判定に使うことができます。鏡像を区別したいときは、2𝐸個の𝑝3 からLex(𝑝3 )が最も小さいものをユニークとみなします。しかし、こうして作られた 𝑝3 を用いて多面体グ
ラフの同値判定はできません。多面体グラフは多重辺を持たない３連結平面グラフです。
ここで、多重辺を持たないとは、２つの頂点を結ぶ辺は多くても 1 つであることを意味しています。多重辺によって囲われた領域を二角形とみなすと、 𝑝3 を用いて３連結平面グラフの同値判定も行うことができます。

2.5. デコード法(構築)
デコード法の手順を 2.3.3 で述べましたが、ここではその裏付けを行います。多面体を
エンコードすると、多面体の列𝑃(1)𝑃(2)𝑃(3) ⋯ 𝑃(𝐹)が得られます。それぞれの𝑃(𝑖)は同じ多面体を表していますが、多角形の色付けかたに違いがあります。 𝑃(𝑖)から色の付いた多角形を取り除くと、多面体の列から部分多面体の列 𝐸(1)𝐸(2)𝐸(3) ⋯ 𝐸(𝐹)が得られます。𝑃(𝐹)の多角形はすべて透明ですので、𝐸(𝐹) = 𝑃(𝐹)です。
𝑝𝑠2; 𝑡𝑠𝑝(0) をデコードすると部分多面体の列𝐷(1)𝐷(2)𝐷(3) ⋯ 𝐷(𝐹)が得られます。デコード法の裏付けを行うために、これから、
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝐹で𝐷(𝑖) = 𝐸(𝑖),(5)になることを示します。𝐷(𝐹) = 𝐸(𝐹) = 𝑃(𝐹)なので、式(5)を示せば、𝑝𝑠2 ; 𝑡𝑠𝑝(0)をデコードすると元の多面体が復元されることを示したことになります。
2.4.4 では多面体𝑃(𝑖)に対してプロットを定義しましたが、その定義は部分多面体𝐸(𝑖)にも用いることができます。そして、𝑃(𝑖)でプロット𝑥を構成していた孤独縁は𝐸(𝑖)でもプロット𝑥を構成します。図 27a の多面体を矢印で示した縁を種としてエンコードしたさいに得られる𝑃(7)と𝐸(7)を図 29a と 29b に描いています。𝑃(7)では、孤独縁34と74が最小 ID プ
ロット34を、孤独縁56と63 は追加のプロット56を作っています。同様に𝐸(7)でも、孤独縁34と74が最小 ID プロット34 を、孤独縁56と63がプロット56を作っています。
これから、数学的帰納法を用いて式(5)を示します。すべての多角形の名前は𝑝𝑠2 に記録

図 29：図 27a の多面体をエンコードした時に 得られる多面体と部分多面体。

– 23 –

されているので、𝑝𝑠2からすべての多角形とその縁の ID を復元することができます。𝐸(1)は多角形 1 の縁に ID を振ったものです。アルゴリズム A-1 にしたがうと、多角形 1 の縁に ID を振ったものが𝐷(1)なので、𝐷(1) = 𝐸(1)です。
𝐷(𝑖 − 1) = 𝐸(𝑖 − 1)の時、アルゴリズム A-2 にしたがって多角形 𝑖を𝐷(𝑖 − 1)にくっつけて得られる𝐷(𝑖)は、 𝐷(𝑖) = 𝐸(𝑖)であることを示します。その準備として、𝑃(𝑖 − 1)、 𝐸(𝑖 − 1)、
𝐸(𝑖)の関係を調べます。定義より𝑃(𝑖 − 1)では、多角形𝑖の縁𝑖1 は最小 ID 孤独縁にくっついています。最小 ID 孤独縁は最小 ID プロットに属します。同じプロットに属する縁は同じ多角形にくっつくので、最小 ID プロットの縁はすべて多角形𝑖にくっついています。多角形𝑖が𝑃(𝑖 − 1)の追加のプロット𝑥𝑎 にもくっついている場合、𝑡𝑠𝑝(0) に追加の対𝑦𝑎 𝑥𝑎 が記録されています。ここで、𝑦𝑎 は縁𝑥𝑎 がくっついている縁の ID です。プロット𝑥𝑎 を構成する縁のうち最も ID の小さな縁が縁𝑥𝑎 であることと、縁𝑦𝑎 は多角形𝑖の縁であることに注意してください。さて、𝑃(𝑖 − 1)から色の付いた多角形をすべて取り除いたものが𝐸(𝑖 − 1)です。𝐸(𝑖)は𝑃(𝑖)から色の付いた多角形をすべて取り除いたものですが、𝑃(𝑖 − 1)から多角形𝑖を除く色の付いた多角形を取り除いたものともいえます。したがって、𝐸(𝑖)とは、多角形𝑖を(1)𝐸(𝑖 −1)の最小 ID プロットにくっつけて、(2)𝑡𝑠𝑝(0) = 𝑦𝑎 (1)𝑥𝑎 (1) ⋯ 𝑦𝑎 (𝑁𝑎 )𝑥𝑎 (𝑁𝑎 )に多角形𝑖の縁のID となる𝑦𝑎 (𝛽)が存在する場合はプロット𝑥𝑎 (𝛽)にもくっつけて得られる部分多面体です。
アルゴリズム A にしたがって多角形𝑖を𝐷(𝑖 − 1)(= 𝐸(𝑖 − 1))にくっつけて𝐷(𝑖)をつくる手
順は次の通りです。
(A-2-a) 多角形𝑖の縁𝑖1 を𝐷(𝑖 − 1)の最小 ID 孤独縁にくっつける。
(A-2-b) 𝑦(𝛽)が多角形𝑖の縁ならば縁𝑦(𝛽)を縁𝑥(𝛽)にくっつける(1 ≤ 𝛽 ≤ 𝑁nc)。
(A-2-c) 不都合な頂が存在したら取り除く。
不都合な頂を取り除く操作によって同じプロットに属する縁は全て同じ多角形にくっつくので、𝐷(𝑖)は𝐷(𝑖 − 1)の最小 ID プロットとプロット𝑥(𝛽)に多角形𝑖をくっつけて得られる部
分多面体です。𝐷(𝑖 − 1) = 𝐸(𝑖 − 1)なので、𝐷(𝑖) = 𝐸(𝑖)です。
このことを、図 27a の多面体を例として補足説明します。図 27a の多面体を矢印で示した縁を種としてエンコードした場合、𝑝𝑠2 ; 𝑡𝑠𝑝(0) = 458585574755433; 85 56 104 54になります。
また、図 29a に示した𝑃(7)から𝐸(7)と𝐸(8)を作ると、それぞれ図 29b と 29c のようになります。𝐸(7)、多角形 8、𝐸(8)を比較すると、𝐸(8)とは多角形 8 を𝐸(7)の最小 ID プロット34と追加のプロット56にくっつけたものです。さて、アルゴリズム A-2 にしたがって、多角
形 8、𝐷(7)(= 𝐸(7))、𝑝𝑠2; 𝑡𝑠𝑝(0) から𝐷(8)をつくる手順は次のようになります(図 30)。
(A-2-a) 多角形 8 の縁81を𝐷(7)の最小 ID 孤独縁34にくっつける(図 30b)。
(A-2-b) 追加の対85 56が𝑡𝑠𝑝(0)に記録されているので、縁85と縁56をくっつける(図 30c)。
(A-2-c) 不都合な頂を取り除く(図 30d、30e)。
不都合な頂を取り除く操作によって、𝐷(7)(= 𝐸(7))の最小 ID プロット34と追加のプロッ
ト56の縁はすべて多角形 8 にくっつくので、𝐷(8) = 𝐸(8)です。
以上、式(5)が示されたので、アルゴリズム A にしたがって𝑝𝑠2 ; 𝑡𝑠𝑝(0) をデコードすると元の多面体が復元されることが示されました。

– 24 –

図 30：𝐷(7)(= 𝐸(7))と𝑝𝑠2 ; 𝑡𝑠𝑝 (0) = 458585574755433; 85 56 104 54 から𝐷(8)(= 𝐸(8))が作られる 過程。

2.6. 𝒑𝒔𝟐 の冗長性
𝑝3 から多面体を復元するとき、部分多面体𝐷(𝐹 − 1)には一つのプロットが存在し、そのプ
ロットは𝑝2 (𝐹)個の孤独縁からできています。𝐷(𝐹 − 1)から𝑝2 (𝐹)が定まるので、𝑝𝑠2の 𝑝2 (𝐹)は冗長です。𝐷(𝐹 − 1)を作らなくても、𝑝2 (1)𝑝2 (2)𝑝2 (3) ⋯ 𝑝2 (𝐹 − 1)とオイラーの式から導き出される3𝑛3 + 2𝑛4 + 𝑛5 − 𝑛7 − 2𝑛8 − 3𝑛9 − ⋯ = 12より、𝑝2 (𝐹)を定めることができます。
実は𝑝2 (𝐹 − 1)も冗長で、 𝑝2 (1)𝑝2 (2)𝑝2 (3) ⋯ 𝑝2 (𝐹 − 2)から𝑝2 (𝐹 − 1)と𝑝2 (𝐹)を定めることができます。詳細は文献 [16]の Supplementary Information をご覧ください。

2.7. 非単純多面体
四価以上の頂を切り取る方法
これまで、すべての頂が三価である多面体、すなわち単純多面体を仮定して理論を構築しました。単純多面体の理論は、簡単に、四価以上の頂をもつ非単純多面体に拡張することができます。図 31 に五角錐が描かれていますが、五価の頂が存在するので、五角錐は単純多面体ではありません。しかし、その五価の頂を切り取ると単純多面体が得られます。
そして、頂を切り取ったさいに作られる五角形の断面を他の 面と区別すると、非単純多面体と断面を区別した単純多面体との間に一対一の関係を作ることができます(図 31)。四価– 25 –

以上の頂を切り取るという操作は、四色問題で重要な貢献をしたケンプのパッチ法をヒントに考え出しました [2]。断面を区別した単純多面体を利用すると、五角錐を5444445̇と表すことができます。一番右の 5 の上のドットは、その五角形が断面であることを意味しています。
単純多面体では、孤独縁のうち最も ID が小さいものを最小 ID 孤独縁と定義しました。
理由はあとで説明しますが、断面を区別した単純多面体では、最小 ID 孤独縁を「断面以外の多角形の孤独縁のうち最も ID の小さい孤独縁」とします。この定義の元、断面の稜を生まない縁を種に選んで断面を区別した多面体をエンコードした後に、断面に対応する多角形をドットで区別したものが非単純多面体の 𝑝3 です。
エンコードすることによって、非単純多面体の面、稜、頂に ID を以下の手順で与えることができます(図 32)。
(1) 断面を区別した単純多面体をエンコードして面、稜、頂に ID を振る。この ID を暫
定 ID とよぶ。
(2) 断面を点に縮約する。その結果、断面に関係する暫定 ID がなくなる。
(3) 𝑖番目に小さい暫定 ID を持つ面、稜、頂の本 ID を𝑖とする。
非単純多面体の最小 ID 孤独縁の定義を変更しましたが、その結果、上述の方法で与えら

図 31：非単純多面体 と断面を区別した単純多面体 との間の一対一対応。

図 32：非単純多面体の面と稜に ID を与える方法。

– 26 –

れる ID とアルゴリズム B を非単純多面体に直接適用して与えられる ID とが一致します。
補足ですが、単純多面体のエンコード法を非単純多面体に直接適用してもコードワードを生成することができますが、生成されたコードワード、例えば 533333、から非単純多面体
を復元できません。
非単純多面体にユニークな𝑝3 を与えるために、ドットを含んだ𝑝3 のLex(𝑝3 )を定義します。
(1)

(2)

そのために、ドットを含んだ𝑝𝑠2のLex(𝑝𝑠2 )を、Lex (𝑝𝑠2 )とLex (𝑝𝑠2 )を結合したものと定義
(1)

(2)

します。ここで𝑝𝑠2 と𝑝𝑠2 は𝑝𝑠2から作られる数列です。𝑝𝑠2の𝑝2 (𝑖)を、𝑝2 (𝑖)がドットを持た
(1)

(2)

ないとき 0 に置き換え、ドットを持つときドットを取り除いたものが𝑝𝑠2 です。𝑝𝑠2 は𝑝𝑠2
(1)(2)
からドットを取り除いたものです。例えば、𝑝𝑠2 = 5444445̇のとき、𝑝𝑠 = 0000005、𝑝𝑠 =225444445ですので、Lex(𝑝𝑠2 ) = 00000055444445となります。

多面体の双対を用いる方法
非単純多面体を表すためにドットを導入しましたが、その方法が非効率な場合もあります。例えば、ドットを用いて八面体を表すと、664̇64̇64̇64̇64̇64̇6になります。6 が２回続い6た後に4̇6が６回続いているので、62 (4̇6) と短縮して表すことができますが、美しい対称性を持つ八面体のコードワードが美しくないのは問題 です。そこで、多面体の双対 [19]を用いる方法を導入します。八面体は六面体の双対なので、八面体を ★ 46と表します。ここで、★ は双対を表し、46 は六面体のコードワードです。この方法の詳細をこれから説明します。

多面体の双対性はケプラーによって発見されました [20]。任意の多面体が与えられたとき、その多面体に双対な多面体を次の様に作ることができます(図 33)。
(1) 元の多面体の面𝑓𝑖 の上に、双対多面体の頂𝑣𝑖∗を置く。
(2) 元の多面体の面𝑓𝑖 と𝑓𝑗 が稜𝑒を共有する場合、双対多面体の頂𝑣𝑖∗と𝑣𝑗∗を稜𝑒𝑖𝑗∗ でつなぐ。
八面体の双対は六面体です。そして、六面体の双対は八面体です。 すなわち、八面体と六面体は互いに双対の関係にあります。すべての面が三角形である非単純多面体の双対は単純多面体ですので、 ★ を用いるとすべての面が三角形である非単純多面体を簡潔に表すことができます。

図 33：双対性。(a)八面体(灰色)の双対は六面体(黒)。(b)図(a)をグラフで表したもの。

– 27 –

双対多面体と元の多面体との間にある一対一関係から、元の多面体の部位の ID を双対多面体の部位の ID から定めることができます。例えば、八面体の面 dcf は六面体の頂 mに対応するため、六面体の頂 m の ID を八面体の面 dcf に与えます。また、八面体の稜 dc
は六面体の稜 mi に対応するため、六面体の稜 mi の ID を八面体の稜 dc に与えます。
多面体をエンコードするさい、最初に種を選び、選んだ種に対してコードワードを生成しました。種として選んだ縁が生む稜が稜 1 となり、種として選んだ多角形が面 1 となるので、種を選ぶということは稜 1 と面 1 を定めることでもあります。双対性を用いて多面体をエンコードする場合も最初に元の多面体から種 を選び、選んだ種にしたがって双対多面体をエンコードするための種を定めます。具体的には、元の多面体の種となった縁が生
む稜が稜 1 となり、種となった多角形が面 1 となるように、双対多面体の種を選びます 。
例えば、図 33a の八面体の多角形 dcf とその縁 dc を種とした場合、八面体の面 dcf に対応
する六面体の頂 m の ID が 1 になり、かつ、八面体の稜 dc に対応する六面体の稜 mi の ID
が 1 になるように六面体の種を決めます。具体的には、多角形 mihl とその縁 mi が種となります。ここで一点注意をしておきます。論文 [16]では種を選ぶことを頂 1 と稜 1 を定めることと暗にみなして元の多面体の種と双対多面体の種とを対応させていましたが、 解説記事を書いている最中に、種を選ぶことを稜 1 と面 1 を定めることとみなしたほうが簡潔な方法であることに気が付いたので、その方法を説明することにしました。
Lex( ★ )を 1 とし、Lex( ★ 𝑝3 )を Lex( ★ )と Lex(𝑝3 )を結合したものと定義します。そうす
る と 、 Lex(664̇64̇64̇64̇64̇64̇6) = 0040404040404066464646464646 に 対 し て 、 Lex( ★ 46 ) =1444444ですので、八面体のユニークなコードワードは ★ 46となります。
無限に存在する対称性の低い多面体に名前を与えるために多面体コードを創出しまし
たが、その方法は対称性のあるなしに関わらず任意の多面体に適用可能です。多面体コードを用いてプラトンの多面体を表すと、四角形は 34、六面体は46、八面体は ★ 46、十二面体
は512 、二十面体は ★ 512 となります(図 34)。

図 34：プラトンの多面体 。

– 28 –

2.8. 理論構築時のターニングポイント
多面体コードの黎明期は、いろいろな概念が整理されていなかったので、今よりも複雑な理論でした。数々のターニングポイントを経て、より簡潔な今の形式の理論が出来上がりました。ここでは、特に重要だったターニングポイントをいくつか簡単に紹介したいと思います。

多面体の稜について
通常、我々は多角形の辺と多面体の辺を区別しないで単に辺とよびます。同様に、多角形の頂点も多面体の頂点も単に頂点とよびます。そのため、多面体コードの黎明期には、
多角形の部位と多面体の部位を区別していませんでした。部位を区別しない黎明期の理論はかなり複雑で、説明が困難なものでした。しかし、ある時、多面体の辺を side(縁)とよび、多角形の辺を edge(稜)とよんで両者を区別すると、理論が簡潔になることに気が付きました。具体的には、縁と稜を区別することにより孤独縁という 言葉が生まれ、そのアイ
ディアは角と頂という言葉で多角形の頂点と多面体の頂点を区別するというアイディアへと一般化され、その結果、不都合な頂を取り除くという操作が生まれました。この操作によって、多角形から多面体を組み上げる方法の説明が簡潔になりました。
多角形の辺と多面体の辺を区別すべきという考えにたどり着いたとき、些細であるが重要な本質を発見したと興奮したのですが、その後文献を調べると [1,20]、オイラーがすでに発見していた考え方でした。1750 年 11 月 14 日に友人のゴールドバッハに宛てた手紙の中でオイラーは多面体公式𝐹 − 𝐸 + 𝑉 = 2の発見を報告していますが [1,20]、その準備として、多面体を構成する多角形の辺(latus)と辺が合う場所を acies とよびました。多面体の辺に acies という名前が与えられた瞬間が多面体の辺の発見です。不思議なことに、それ以前は、多面体の辺が明示的に言及されることはなかったようです。オイラーは多面体の辺を定義するために稜(acies)と縁(latus)を区別しましたが、それ以上の意味で稜と縁の区別が活用されることは著者が知る限りこれまでないようです。
「縁が稜を生む」や「稜は縁から生まれる」という考えに基づく多面体コードを創出したことによって、オイラーが発見した「多角形の辺と多面体の辺を区別する」という考え方の新しい意義を発見したのではないかと思っています。

デコードを組み込んだエンコード法について
最終的な多面体コードは、不必要な追加の対を取り除くために、エンコードにデコードを組み込んでいます。具体的には、すべての追加の対を含んだ𝑝𝑠2 ; 𝑡𝑠𝑝(0)から多面体を復元するアルゴリズム A を用いて、それぞれの追加の対が必要かどうかを判定しています。
一方、多面体コードの黎明期には、エンコードにデコードを組み込まないで、「領域」のトポロジーから追加の対が必要かどうかを判定しようとしていました。ここで領域とは、互いにつながった透明な多角形の集まりです。多面体をエンコードするさい、多角形の面は段階的に透明になっていきます が、追加の対が存在しない場合、 𝑃(𝑖)の領域に穴はありません。追加の対が存在するとき、領域に穴ができたり、できた穴が消えたりします。穴の形成は追加の対が存在することを意味し、穴の消え方は、追加の対が自然に治癒するかどうかに関係しています。

– 29 –

領域のトポロジーから追加の対が必要かどうかを定める方法は、追加の対が必要である
ことの起源に関係する方法ですが、領域のトポロジーの変化の仕方に沢山のパターンがあるため、複雑で説明が困難な方法でした。また、その方法は４次元以上の多胞体に拡張ができるのか、できないのか、分からない方法でもありました。しかし、ある時、エンコー
ドにデコードを組み込むことによって、簡単に説明ができ、かつ、４次元以上の多胞体に簡単に拡張できる方法を構築できることに気が付き、現在の理論ができました。

Spiral コードについて
イントロダクションでも述べましたが、多面体から Weinberg コードワードを生成する
さい、多面体の面を一つずつ囲むようにパスが描かれることに気が付きました。そして、この発見が切っ掛けとなって、多面体を構成する多角形の名前の並びで多面体を表現する
多面体コードを創出しました。
しかし、黎明期の理論では、多面体の Schlegel 図を年輪の様にとらえ、Schlegel 図を面が作る輪っか構造の集まりとみなしていました(図 35)。ここで、「多角形が作る輪っか構
造」ではなく「面が作る輪っか構造」と書いているのは、黎明期の理論では多面体の部位と 多 角 形 の 部 位 を 区 別 し て い な か っ た か ら で す 。 黎 明 期 の 理 論 で も 、 例 え ば 十 二 面 体を「555555555555」で表していました。いまの理論と同じ数列ですが、数列の解釈の仕方が今とは異なっていました。具体的には、最初の 5 は外枠の面が五角形であることを示し、続く 55555 は 5 枚の五角形が作る輪っかが外枠の五角形の内側にくっついていることを示し、続く 55555 はその輪っかの内側に 5 枚の五角形が作る輪っかがくっついていることを示し、最後の 5 は五角形がその輪っかの内側にくっついていることを示していました。黎
明期の理論でも現在の理論でいう追加の対を持たない多面体を簡単に扱うことができまし
たが(当時は追加の対という概念は存在していませんでしたが)、追加の対を持つ多面体の扱いはとても複雑でした。
そのような中、多面体の面の並びを渦巻きとみなした Spiral コードという理論がフラーレンの構造を記述するために提案されていることを知りました [21–23]。この方法では、
リン ゴ の皮 を むく よ う に多 面 体の 面 をむ い て 、む い た順 番 で面 に ID を 与え 、 多面 体を
𝑓2 (1)𝑓2 (2)𝑓2 (3) ⋯ 𝑓2 (𝐹)で表します(図 36)。ここで、𝑓2 (𝑖)は𝑖番目の面の辺の数です。ここで、「多角形の縁の数」ではなく「面の辺の数」と書いているのは、Spiral コードは多面体の

図 35：黎明期の理論 における多面体のとらえ方。

– 30 –

図 36：スパイラルコードにおける多面体のとらえ方。

図 37：non-spiral 多面体の例。左下の三角形にたどりつけない。

部位と多角形の部位を区別しない方法だからです。Spiral コードはフラーレンを対象としているため、非単純多面体を扱えませんが、多くの単純多面体を表すことができます。コードワードの背景にある数学的構造は異なりますが、Spiral コードで扱うことができる多面体の Spiral コードワードは、我々の多面体コードワードと一致します。 しかし、Spiral
コードはすべての単純多面体を扱うことができません。Spiral コードで扱うことができる
多面体は spiral とよばれています。一方、扱うことができない多面体は non-spiral とよばれています(図 37)。詳細は省略しますが、我々の理論で説明すると、spiral 多面体とは追加の対が現れないように種を選ぶことができる単純多面体のことです。一方 、non-spiral 多面体とはどのように種を選んでも追加の対が現れる単純多面体のことです。
Non-spiral 多面体を扱うために Generalized spiral コードが提案されています [22]。この方法は、多面体の辺の ID を用いて non-spiral 多面体を扱います。例えば図 37 の nonspiral 多面体を Generalized spiral コードを用いて表すと、6 3 8 3 8 3 6 0 24 46 3 3 となります。0 24 46 は、多面体のある辺に 24 と 46 という ID が与えられていることを示しています。Generalized spiral コードは図 37 に描いた non-spiral 多面体を扱うことができます
が、我々の多面体コードより長いコードワードになっています。 実際、我々の多面体コー
ド を 用 い る と 、 同 じ 多 面 体 を よ り 短 い 368838336 で 表 す こ と が で き ま す 。 Generalized
spiral コードワードが冗長である理由は、我々の理論でいう追加のプロットから生まれる
すべての稜に関係する情報が記録されているからです。我々は、追加のプロットの背景にある多面体の構造を調べ、不必要な追加の対の情報を削除する方法を構築しました 。その– 31 –

ため、我々の理論は多面体を簡潔に表現することができます。
Spiral コードには取り扱えない多面体が存在するという問題がありましたが、多面体の面を一枚ずつ処理する操作は参考になりました。面を一枚ずつ処理する操作 を我々の理論に取り入れた結果、複数の面が作る輪っかを扱うよりも簡潔な理論になりました。
また、Generalized spiral コードは non-spiral 多面体を扱うために辺の ID を導入しましたが、このことを参考にして、我々は多角形の縁の ID を導入しました。Generalized spiral
コードでは辺の ID は non-spiral 多面体を扱うための副次的なものでした。一方、多角形の縁の ID にしたがって多角形と多面体の部位に ID を与える我々の理論では、多角形の縁の ID は理論の根幹をなしています。多角形の縁の ID を用いることによって、多角形にID を振る方法の説明が簡潔になりました。

縁の ID の表示方法について
黎明期の理論では縁に1, 2, 3, ⋯という ID を振っていました。この方法を𝑖-表示とよぶことにします。一方、完成した理論では、𝑖番目の多角形の𝑗番目の縁に𝑖𝑗 を振ります。この方法を𝑖𝑗 -表示とよぶことにします。𝑖𝑗 -表示を導入することによって、例えば、「サイド𝑖1 を最小 ID ダングリングサイドにくっつける」という表現が可能になり、理論を簡潔に説明することができるようになりました。同じことを𝑖-表示の ID を用いて述べようとすると、少し複雑な表現になってしまいます。また、人間が手で多面体をエンコードするさい、𝑖𝑗 -表示を用いるとミスを減らすことができます。例えば、図 27a の多面体の𝑠𝑝は104 54ですが、
これを𝑖-表示で表すと 72 49 になります。𝑖-表示で𝑠𝑝を表すためには、沢山の縁に ID を振る作業が必要で、この作業は意外と頻繁にケアレスミスを引き起こします。一方、𝑖𝑗 -表示
では、必要な多角形の縁だけに ID を振ればよいので、ケアレスミスの頻度が減ります。

3. 多胞体コード
多面体コードは Weinberg コードや Spiral コードよりも簡潔に多面体を表現することができます。しかし、多面体コードが他の方法を真の意味で凌駕するのは、高次元の多胞体を扱えるように理論を拡張できる点にあります。多胞体コードを高次元に拡張できる理由
は、明示的に多胞体の階層構造を基礎として理論が構築されている点にあります。 多面体
コードは２次元多胞体である多角形の縁と縁をくっつけて３次元多胞体である多面体を組み上げる手順を𝑝3 で表す方法です。この考え方を拡張すると、３次元多胞体である多面体の面と面をくっつけて４次元多胞体を組み上げる手順によって４次元多胞体を表すことができます。一般に、𝑛 − 1次元多胞体から𝑛次元多胞体を組み上げる手順によって𝑛次元多胞体を表すことができます。ここでは、４次元多胞体コードについて説明します。𝑛次元多胞体コードの詳細は文献 [17]の Supplemental Information をご覧ください。以後、４次元多胞体を単に多胞体と書きます。
３次元空間に住む我々にとって、４次元空間に置かれた多胞体を理解することは簡単ではありませんが、３次元空間に射影された多胞体の Schlegel 図を理解することはさほど難しくありません。Schlegel 図を用いると３次元の多面体を２次元平面で表すことができました(図 19a)。同様に、Schlegel 図を用いると 4 次元空間の多胞体を３次元空間で表すことができます。図 38 に２つの 3333-多面体と４つの 34443-多面体からなる多胞体 abcdefgh– 32 –

図 38：Schlegel 図で表した多胞体。

の Schlegel 図を描いています。多面体の面と面とをくっつけることによって多胞体が作られていることが分かります。ここで、Schlegel 図の外枠の多面体 abcd の外部は、４次元空間の多面体 abcd の内部に対応することに注意してください。 多胞体コードを用いて図 38の多胞体を表すと、3333

34443

34443

34443

34443

3333 になります。この数列の並びを多胞体コードワード(𝑝4 )とよびます。𝑝4 の添え字の４は多胞体が４次元図形である
ことを示しています。𝑝4は多胞体の名前であると同時に、多胞体の設計図でもあります。
それぞれの数列は構成要素の多面体の名前を表しています。一番左の数列が 3333 である
ことは、一番目の多面体が 3333-多面体であることを示しています。同様に、二から五番目の多面体は 34443-多面体、六番目の多面体は 3333-多面体であることを示しています。
これから、多胞体を多胞体コードワードに変換するエンコード法と多胞体コードワードか
ら元の多胞体を復元するデコード法の手順を説明しますが、その準備として、まずは多面体の部位と多胞体の部位について説明します。

3.1. 多面体の部位と多胞体の部位
多胞体コードでは、多面体を多胞体の部品とみなし、多面体の組み合わせで多胞 体が作られていると考えます。そして、多胞体の部位と多面体の部位を区別します。具体的には、多面体の頂点を「頂」、多胞体の頂点を「節(ふし)」とよんで、両者を区別します(図 39a)。
多胞体の頂とは 4 つ以上の多面体の頂が出会う０次元領域です。同様に、 多面体の辺を「稜」、多胞体の辺を「束(たば)」と呼んで、両者を区別します(図 39b)。多胞体の束とは3 つ以上の多面体の稜が出会う 1 次元領域です。同様に、多面体の面を「面」、多胞体の面を「重(かさなり)」と呼んで、両者を区別します(図 39c)。多胞体の重とは 2 つの多面体の面が出会う 2 次元領域です。また、多胞体の胞は多面体ですが、多胞体の部品であることを強調するときは多面体という言葉を用いるのに対し、多胞体の部位であることを強調す
るときは胞という言葉を用いることにします。

– 33 –

図 39：多面体の部位と多胞体の部位の関係。

3.2. 準単純多胞体
全ての節の価数が四価である多胞体は単純多胞体とよばれています。単純多胞体を構成する多面体はすべて単純です。多胞体コードを構築するために、「準単純多胞体」という言葉を導入します。準単純多胞体とはすべての束が３つの多面体から生まれている多胞体のことです。単純多胞体の全ての束は３つの多面体から生まれているので、単純多胞体は準単純でもあります。準単純多胞体を構成する多面体は非単純多面体である場合もあります。
例えば、24 個の八面体から構成される二十四胞体の束はすべて３つの多面体から生まれているので準単純です。

3.3. 多胞体コードワード
一般に、𝑝4は「多面体の並びのコードワード(𝑝𝑠3)」と「面の対の並びのコードワード(𝑓𝑝)」からなります。𝑝4を形式的にあらわすと、
𝑝4 = 𝑝𝑠3 ; 𝑓𝑝,(6)です。𝑝4に含まれる𝑝𝑠3を形式的に表すと、
𝑝𝑠3 = 𝑝3 (1)𝑝3 (2)𝑝3 (3) ⋯ 𝑝3 (𝐶),(7)です。ここで、𝑝3 (𝑖)は𝑖番目の多面体の多面体コードワードを表しています。 𝐶は多胞体を構成する多面体の数です。𝑓𝑝を形式的に表すと、
𝑓𝑝 = 𝑤(1)𝑧(1)𝑣(1)𝑤(2)𝑧(2)𝑣(2)𝑤(3)𝑧(3)𝑣(3) ⋯ 𝑤(𝑁nc )𝑧(𝑁nc )𝑣(𝑁nc ),– 34 –(8)

です。𝑤(𝑖)𝑧(𝑖)𝑣(𝑖)は多胞体における必要な追加の対で、面𝑤(𝑖)と面𝑣(𝑖)がくっついていて、
そのさい、縁𝑧(𝑖)から生まれる面𝑤(𝑖)の稜が面𝑣(𝑖)の稜のうち最も ID の小さなものにくっついていることを示しています。𝑁ncは必要な追加の対の数です。また、𝑤(𝑖) > 𝑣(𝑖)、𝑤(𝑖) <𝑤(𝑖 + 1)です。

3.4. 𝒑𝒔𝟑 の作り方
多胞体から𝑝4を生成する際、最初に種として任意の多面体、その多面体の面、その面の稜を選びます。種の選び方によって得られる𝑝4が異なりますが、3.8 で説明する辞書的順序を用いることにより、多面体に唯一の𝑝4を与えることができます。𝑝4は𝑝𝑠3と𝑓𝑝からなりま
すが、最初に𝑝𝑠3の作り方を説明します。
𝑝𝑠3を生成することは、多胞体を構成する多面体に ID を振ることです。その方法を定めるために、多面体コードを用いて多面体の稜に ID を振ります。具体的には、𝑖番目の多面体の𝑗番目の稜に𝑖𝑗 を振ります。すなわち、稜𝑖𝑗 とは𝑖番目の多面体の𝑗番目の稜を意味します。
同様に、多面体の面にも ID を振ります。すでに ID が振られた多面体とこれから ID を振る多面体を区別するために色を用います。最初にすべての多面体を色付けし、ID を振った多面体を透明にします。色付いた多面体にくっついている透明な多面体の面を孤独面とよびます。
与えられた種に対して、次の手順で𝑝𝑠3を生成することができます。
アルゴリズム D1.

𝑖 = 1とする。
(a) 種となった多面体が多面体 1。
(b) 種となった面の ID が11になり、かつ、種となった稜の ID が11になるように多面体 1 をエンコードして𝑝3 (1)を求め、面と稜に ID を振る。
(c) 多面体 1 を透明にする。

2.

𝑖 = 𝑖 + 1とする。
(a) 最小 ID 孤独面にくっついている多面体が多面体𝑖。
(b) 最小 ID 孤独面にくっついている面の ID が𝑖1 になり、かつ、最小 ID 孤独面の稜のうち最も ID の小さい稜にくっついている稜の ID が𝑖1 になるように多面体𝑖をエンコードして𝑝3 (𝑖)を求め、面と稜に ID を振る。
(c) 多面体𝑖を透明にする。

3.

すべての多面体が透明になるまで手順 2 を繰り返す。
例として、図 38 に描いた多胞体の𝑝𝑠3を、種として多面体 abcd、面 abc、稜 ab を選んでエンコードした様子を図 40 に示しています。この多胞体の𝑝4は𝑓𝑝を含まないため、𝑝4 =𝑝𝑠3です。多面体の場合と同様な手順によって、多胞体の節、束、重なりに ID を与えることができます。

– 35 –

図 40：多胞体のエンコード過程。最小 ID 孤独面を太線で示している。最小 ID 孤独面の稜のうち ID が最小のものを破線で示している。

3.5. 𝒕𝒇𝒑(𝟎) の作り方
𝑓𝑝を説明するために、ゼロ番目の仮の𝑓𝑝(𝑡𝑓𝑝(0) )を説明します。そのために、いくつかの考え方を導入します。異なる多面体の孤独面が隣接している場合、隣接する孤独面は連結しているとし、連結した孤独面の集まりを「プロット」とよびます。また、連結していな
い単独の孤独面もプロットとよびます。多胞体のプロットは２次元領域であることに注意
してください。プロットを構成する孤独面の ID のうち最も小さいものをプロットの ID とします。
𝑝𝑠3を生成しているとき、多面体は１個ずつ透明になっていきます。𝑖 − 1番目の多面体が透明になったときに得られる多胞体で、多面体𝑖が最小 ID プロット以外のプロット𝑣𝑎 にく
っついている場合、そのプロットを追加のプロットとよびます。追加のプロットを構成する孤独面𝑣𝑎 がくっついている多面体𝑖の面の ID を𝑤𝑎 とします。孤独面𝑣𝑎 の稜のうち最も IDの小さい稜がくっついている面𝑤𝑎 の稜を稜𝜀とします。稜𝜀は多角形𝑤𝑎 の縁𝑧𝑎 から生まれて
いるとします。𝑤𝑎 𝑧𝑎 𝑣𝑎 を追加の対とよびます。追加の対を𝑤𝑎 (𝑖) < 𝑤𝑎 (𝑖 + 1)となるように集めたものが𝑡𝑓𝑝(0) で、
𝑡𝑓𝑝(0) = 𝑤𝑎 (1)𝑧𝑎 (1)𝑣𝑎 (1)𝑤𝑎 (2)𝑧𝑎 (2)𝑣𝑎 (2)𝑤𝑎 (3)𝑧𝑎 (3)𝑣𝑎 (3) ⋯ 𝑤𝑎 (𝑁a )𝑧𝑎 (𝑁a )𝑣𝑎 (𝑁a ),(9)と表されます。ここで𝑁a は追加の対の数です。

3.6. 𝒑𝒔𝟑 ; 𝒕𝒇𝒑(𝟎) から多胞体を復元する方法
多胞体を復元するための手順を説明するために、最初に、デコードにおける「孤独面」と「不都合な束」を説明します。多胞体を復元するとき、部分多胞体を構成する多面体の– 36 –

面のうち他の多面体にくっついていない面を孤独面とよびます。２つの孤独面から生まれた束が３つの多面体からも生まれている場合、その束を不都合な束とよびます。２つの孤独面をくっつけることによって不都合な束を取り除くことができます。
𝑝𝑠3; 𝑡𝑓𝑝(0) から以下の手順で多胞体を復元することができます。
アルゴリズム E
1.

𝑖 = 1とする。
(a) 多面体𝛼は𝑝3 (𝛼)-多面体(1 ≤ 𝛼 ≤ 𝐶)。
(b) 𝑝3 (𝛼)をデコードして、多面体𝛼の𝑗番目の面と稜に𝛼𝑗 を ID として振る。
(c) 多面体 1 が部分多胞体 1。

2.

𝑖 = 𝑖 + 1とする。
(a) 多面体𝑖の面𝑖1 を部分多胞体𝑖 − 1の最小 ID 孤独面にくっつける。
(b) 面𝑤(𝛽)が多面体𝑖の面ならば、面𝑤(𝛽)を面𝑣(𝛽)にくっつける(1 ≤ 𝛽 ≤ 𝑁a )。その時、多角形𝑤(𝛽)の縁𝑧(𝛽)から生まれた稜を、面𝑣(𝛽)の稜のうち ID の最も小さい稜にくっつける。
(c) 不都合な束が存在したら取り除く。
(d) こうして得られる構造が部分多胞体𝑖。

3.

すべての多胞体を配置するまで手順 2 を繰り返す。
3333

34443

34443

34443

34443

3333 から多胞体を復元する手順を文献 [16]のSupplemental Information に図示していますので、興味のある方はご覧ください。

3.7. 𝒕𝒇𝒑(𝟎) から𝒇𝒑を作る方法
𝑝𝑠3; 𝑡𝑓𝑝(0) から元の多胞体を復元することができますが、𝑡𝑓𝑝(0) には不必要な情報が含まれている可能性があります。𝑡𝑓𝑝(0) から不必要な追加の対を取り除いたものが𝑓𝑝です。
以下の手順で、一般の𝑡𝑓𝑝(0) から𝑓𝑝を作ることができます。
アルゴリズム F1.

𝑖 = 0とする。
(a) 𝑡𝑓𝑝(0) = 𝑤𝑎 (1)𝑧𝑎 (1)𝑣𝑎 (1) ⋯ 𝑤𝑎 (𝑁a )𝑧𝑎 (𝑁a )𝑣𝑎 (𝑁a )。

2.

𝑖 = 𝑖 + 1とする。
(a) 𝑡𝑓𝑝(𝑖−1) から𝑤𝑎 (𝑁a − 𝑖 + 1)𝑧𝑎 (𝑁a − 𝑖 + 1)𝑣𝑎 (𝑁a − 𝑖 + 1)を取り除いたものが𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝑖)。
(b) 𝑝𝑠3; 𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝑖) をアルゴリズム E を用いてデコードする。
① 𝑝𝑠3; 𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝑖) から元の多胞体を復元できた場合、𝑡𝑓𝑝(𝑖) = 𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝑖)。
② 𝑝𝑠3; 𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝑖) から元の多胞体を復元できなかった場合、𝑡𝑓𝑝(𝑖) = 𝑡𝑠𝑝(𝑖−1) 。

3.

𝑖 = 𝑁a まで手順 2 を繰り返す。𝑓𝑝 = 𝑡𝑓𝑝(𝑁a )。

– 37 –

3.8. 辞書的順序
種の選び方によって異なる𝑝4が得られます。ユニークな𝑝4を選び出すために、Lex(𝑝4 )を定義します。𝑝4 = 𝑝𝑠3 ; 𝑓𝑝なので、まずはLex(𝑝𝑠3 )を説明します。𝑝𝑠3 = 𝑝3 (1)𝑝3 (2)𝑝3 (3) ⋯ 𝑝3 (𝐶)は𝐶個の数列が並んだものです。数列の列を𝐶桁の数とみなしたものがLex(𝑝𝑠3 )です。このと き 、 Lex(𝑝3 (𝑖)) は 𝐶 − 𝑖 + 1 桁 目 の 数 で す 。 同 様 に 、 数 列 𝑓𝑝 =𝑤(1)𝑧(1)𝑣(1) ⋯ 𝑤(𝑁nc )𝑧(𝑁nc )𝑣(𝑁nc )を3𝑁nc桁の数とみなしたものが、Lex(𝑓𝑝)です。Lex(𝑝𝑠3)とLex(𝑓𝑝)を結合させたものがLex(𝑝4 )で、𝐶 + 3𝑁nc桁の数です。合計12𝑃個の𝑝4が多胞体とその鏡像から得られます。Lex(𝑝4 )が最も小さい𝑝4を選ぶことによって、多胞体に唯一の𝑝4を与えることができます。

3.9. 重なりの並びのコードワード
多胞体は多面体の面と面をくっつけて作られています。例えば、図 38 に描いた多胞体
では、2 番目の多面体である 34443-多面体の１番目の面(面21)は、1 番目の多面体である
3333-多面体の１番目の面(面11)にくっついています。面21と11がくっついていることから、
𝑝2 (21) = 𝑝2 (11 )になっています。ここで、𝑝2 (𝑖𝑗 )は𝑖番目の多面体の𝑝𝑠3の𝑗番目の𝑝2 の値です。
一般に、𝑎番目の多面体の𝑏番目の面が、𝑥番目の多面体の𝑦番目の面にくっついているとき、
𝑝2 (𝑎𝑏 ) = 𝑝2 (𝑥𝑦 ) = 3になります。さて、多面体の面と面が出会う２次元領域が多胞体の重です。さて、𝑎 < 𝑥のとき、仮 ID𝑎𝑏 の重なりの束の数を𝑟𝑡 (𝑎𝑏 )で表すと、𝑝2 (𝑎𝑏 ) = 𝑝2 (𝑥𝑦 ) = 𝑟𝑡 (𝑎𝑏 )です。重なりの束の数が２度記録されているので、𝑝4は冗長です。この冗長性の起源は多胞体を多面体の集合体とみなしている点にあります。詳細は文献 [17]で説明していますが、多胞体を重なりの集合体とみなし、「重なりの並びのコードワード (𝑟𝑠)」を導入することによって𝑝4の冗長性を取り除くことができます。𝑟𝑠を形式的に表すと、
𝑟𝑠 = 𝑟(1)𝑟(2)𝑟(3) ⋯ 𝑟(𝑅),(10)です。ここで、𝑟(𝑖)は本 ID が𝑖である重なりの束の数です。𝑅は多胞体を構成する重なりの数です。図 38 に描いた𝑝4 = 𝑝𝑠3 = 3333 34443 34443 34443 34443 3333で表される多胞体を𝑟𝑠で表すと、𝑟𝑠 = 33334443443433となり、𝑝𝑠3より簡潔に多胞体を表すことができます(図
41)。

3.10.

非準単純多胞体

非準単純多胞体は４つ以上の多面体から生まれる束を持っています。この束を切り取ると、準単純多胞体ができます。断胞(２次元断面を３次元に拡張したもの)の多面体を他の

図 41：重なりの並びのコードワード– 38 –

多面体と区別することで、非準単純多胞体と断胞を区別した準単純多胞体の間に一対一関係をつくることができます。この関係を利用することによって、非準単純多胞体を扱うことができます。詳細は文献 [16]をご覧ください。しかし、この方法は必ずしも最適でない
場合があるので、双対性も利用します。双対性を利用すると、五胞体を 𝑇 4 、八胞体を𝐻 8 、十六胞体を ★ 𝐻16、二十四胞体を𝑂24、百二十胞体を𝐷120、六百胞体を ★ 𝐷120と表すことができます。ここで、𝑇 = 34は四面体、𝐻 = 46は六面体、𝐷 = 512 は十二面体の𝑝3 です。

4. 多様体との関係
多面体コードでは、多面体を多角形による２次元球面(𝑆 2)のタイリングと暗にみなしています。多角形による２次元トーラス(𝑇 2 )のタイリングも、多面体コードによって表現することができます。しかし、ドーナツ型の多面体を表現するには、 ２次元トーラスを３次元ユークリッド空間にどのように埋め込むのか、その方法を指定する必要があります。また、多角形𝑖の縁に ID を振るさいの回転方向を、多角形𝑖の 1 番目の縁がくっついている多角形の回転方向によって定めることによって、クラインの壺のような向き付け不可能な２次元多様体の多角形タイリングを扱うように多面体コードを拡張することができます。
さて、𝑝3 の𝑠𝑝は２次元多様体のトポロジーと関係があります。例えば、𝑠𝑝を持たないように𝑆 2を多角形に分割することが可能です。一方、𝑇 2 をそのように分割することはできません。もう少し詳しく述べますと、２つの追加の対からなる𝑠𝑝を持つ𝑝3 によって表現できるように𝑇 2 を多角形に分割することはできますが、𝑠𝑝を持たない、もしくは 1 つの追加の対からなる𝑠𝑝を持つ𝑝3 によって表現できるように𝑇 2 を多角形に分割することはできません。
このような考え方を３次元多様体に拡張することができます。例えば、𝑓𝑝を持たないよ
うに 3 次元球面(𝑆 3)を多面体に分割することができます。ここで、多様体に関する知識が十分でない著者には答えられない次の問いが生じます。


ある３次元多様体を𝑓𝑝を持たないように多面体で分割できたとき、その多様体は𝑆 3と同相なのでしょうか？



その答えが YES であるならば、それはポアンカレ予想 [24]が真であることから保証されているのでしょうか？

上述の問いに答えを与えることができる読者がおられたら、その答えを著者に教えていた
だけると幸いです。

参考文献
[1]
[2]

[3]
[4]
[5]
[6]

P. R. Cromwell, Polyhedra (Cambridge University Press, 1999).
R. Wilson and I. Stewart, Four Colors Suffice: How the Map Problem Was Solved , Revised
Color edition with a New foreword by Ian Stewart edition (Princeton University Press,
Princeton, New Jersey, 2013).
J. D. Bernal, Proc. R. Soc. Lond. Ser. Math. Phys. Sci. 280, 299 (1964).
J. Finney, Proc. R. Soc. Lond. Ser. -Math. Phys. Sci. 319, 479 (1970).
J. Finney, Proc. R. Soc. Lond. Ser. -Math. Phys. Sci. 319, 495 (1970).
F. Yonezawa, Solid State Phys. 45, 179 (1991).

– 39 –

[7] Y. Q. Cheng and E. Ma, Prog. Mater. Sci. 56, 379 (2011).
[8] K. Nishio, T. Miyazaki, and H. Nakamura, Phys. Rev. Lett. 111, 155502 (2013).
[9] K. Nishio, J. Kōga, T. Yamaguchi, and F. Yonezawa, J. Phys. Soc. Jpn. 73, 627 (2004).
[10] K. Nishio, W. Shinoda, T. Morishita, and M. Mikami, J. Chem. Phys. 122, 124715 (2005).
[11] A. Hirata, L. J. Kang, T. Fujita, B. Klumov, K. Matsue, M. Kotani, A. R. Yavari, and M. W.
Chen, Science 341, 376 (2013).
[12] K. Nishio and M. Mikami, J. Chem. Phys. 130, 154302 (2009).
[13] E. A. Lazar, J. K. Mason, R. D. MacPherson, and D. J. Srolovitz, Phys. Rev. Lett. 109,095505 (2012).
[14] L. Weinberg, IEEE Trans. Circuit Theory 13, 142 (1966).
[15] L. Weinberg, SIAM J. Appl. Math. 14, 729 (1966).
[16] K. Nishio and T. Miyazaki, Sci. Rep. 6, 23455 (2016).
[17] K. Nishio and T. Miyazaki, Sci. Rep. 7, 40269 (2017).
[18] G. M. Ziegler, Lectures on Polytopes (Springer, New York, 2012).
[19] R. J. Wilson, Introduction to Graph Theory , 5 edition (Pearson, Harlow, England ; New
York, 2012).
[20] D. S. Richeson, Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology , Reprint
edition (Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012).
[21] D. E. Manolopoulos, J. C. May, and S. E. Down, Chem. Phys. Lett. 181, 105 (1991).
[22] G. Brinkmann, Chem. Phys. Lett. 272, 193 (1997).
[23] P. W. Fowler and D. E. Manolopoulos, An Atlas of Fullerenes (Dover Publications,Mineola, N.Y, 2007).
[24] D. O’Shea, The Poincare Conjecture: In Search of the Shape of the Universe , Reprint 版(Walker & Co, New York, 2007).

– 40 –

シンポジウム・討議記録

形の科学会誌 第 32 巻 第 1 号

第 82 回 形の科学シンポジウム 「産業技術とかたち」
討議記録（記録のあるもののみ掲載）【主催】形の科学会【後援】国立研究開発法人 産業技術総合研究所【会期】2016 年 10 月 7 日（金）、8 日（土）、9 日（日）【会場】国立研究開発法人 産業技術総合研究所（つくば市）つくばセンター 共用講堂
【代表世話人】 中島善人（産業技術総合研究所 地圏資源環境研究部門）〒305－8567 茨城県つくば市東 1-1-1 中央第 7 E-mail: nakashima.yoshito@aist.go.jp【参加費】 会員・非会員ともに一般 5,000 円、学生 1,000 円【懇親会】 2016 年 10 月 7 日（金）17：30 より、共用講堂１階ホワイエにて【懇親会費】一般 4,000 円、学生 1,000 円
討論記録は質問者の討論記録シートの記載にもとづいており、講演者の校正がないものもあります。
Q: 質問、A: 回答、C: コメント
討論記録
構造化光投影による 3 次元計測の分類とワンショット動体形状計測法
佐川立昌（産業技術総合研究所）、川崎洋（鹿児島大学）、
古川亮（広島市立大学）
Q. 山下樹里
内視鏡で見た手術中の患部の変形計測に興味がある。出血しても計測できるのか。
A
腹腔鏡で話があり、市販ブタ肝臓(食肉用)で計測した実績は10 月 7 日（金）産業技術と形（公開講演）
材料の原子構造を表現するための多面体の命名法
西尾憲吾（産業技術総合研究所）
Q. 高木隆司
命名されたコードから決まる多面体は 1 つに限るか。コードの左端の数字はどのような原理で選ぶのか。
A.
辞書的順序を用いることによって、任意の多面体に唯一のコードワードを与えることができます。
例えば、３つの数列 34443、43434、44343 はすべて三角柱(注１)を表します。
数列を数とみなしたものが辞書的順序です。
34443 が最も小さいので、34443 を唯一のコードワードとして選びます。
注１：本手法は長さや角度の違いを無視するので、正確には、三角柱を連続的に変形して得られる多面体です。

あるが、生体は試したことはない。血液がパターンを反射す
れば、その表面の形状は計測可能と思われる。血液などによって、カメラ、プロジェクタが汚れた場合は計測ができなくなる。
Q. 中島善人
アクティブ 3 次元計測システムはいろいろ商品化されているということであるがどんな業界の人が買っているか。
A
工場内での部品の計測や、人体の計測（医療、アパレル、スQ. 手嶋吉法
正多面体 5 種類を表現したスライドにおいて、1 頂点が 3 稜を持つ多面体では直接表記で、1 頂点が 4 稜や 5 稜をもつ多面体(正 8 面体や正 20 面体)では双対表記が用いられていた。
ご提案手法は 3 稜頂点を前提とした表記法という理解でよいか。
A.
３稜頂点を前提としていませんが、３稜頂点の理論を基礎としています。３稜頂点だけからなる多面体を単純多面体とよびます。４つ以上の稜が集まる頂点を持つ多面体を非単純多面体とよびます。
最初に単純多面体を扱う理論を構築しました。非単純多面体
を扱うさい、最初に４つ以上の稜が集まる頂点を切り取りとります。その結果、単純多面体が得られます。
切り取った結果得られる断面を他の面と区別すると、非単純多面体と断面を区別した単純多面体との間に一対一関係を構築できます。この関係を利用して非単純多面体を扱うことができます。
例えば、５角錐の頂点は５稜頂点なので５角錐は非単純です
が、５角錐を 5 4 4 4 4 4 \dot{5}と表すことができます。
\dot{5}は５角形が断面であることを意味しています。
5 4 4 4 4 4 5 から５角柱をつくり、断面の５角形を頂点に縮約することによって５角錐が得られます。
８面体や２０面体を断面を区別した単純多面体を用いて表すと複雑な表記になりますが、双対性を利用すると簡潔な表記になります。
一般に、非単純多面体が３角形だけで作られている場合、その双対は単純多面体なので、双対を用いて表します。

ポーツ）などが挙げられる。

形の科学一般対称周期軌道の安定性は何が決めているのか
山口喜博（元帝京平成大学）
Q. 手嶋吉法
本講演の結論（「全ての周期軌道で同周期分岐を起こさない」
ことが主軸定理成立の必要十分条件)は観察された事実か、より普遍的な定理と呼べるものか。
A
二次元面積保存写像系で成り立つ定理である。講演の中では関係する事例をいくつか具体的に示した。
ニュートン力学誕生そしてヤコブ・へルマンの逆問題解析
ウェルフェア ジャスティン飛鳥（神奈川大学大学院）、
山口幸（神奈川大学）、杉本剛（神奈川大学）
Q. 高木隆司
最初のスライドで示したあった微積分学は「ライプニッツの方がニュートンよりも先に確立した」ということは、以前、聞いたことがある。それは史実か。
A
はっきりとは確立していないと思う。

Forum
反応拡散アルゴリズムを用いた肝類洞パターン抽出法とその応用
昌子浩登（京都府立医科大学）、山田耕太郎（阿南工業高– 41 –

等専門学校）Q. 中島善人
実データは異なる生検サンプルをコンフォーカルマイクロス
コピーで見たものだが、MRI などで同一サンプルを非侵襲で経時観察できないものか。
A.
今の MRI の分解能ではコンフォーカルほどのハイレゾ画像は達成できないので難しい。

対称性は如何にお考えでしょうか。
A.
17 種類の壁紙群のことだと思うが，そのことに関してはほとんど注目をしていないので、特別考察をしていない。これは、これまでの経験から、17 種類の壁紙群が凸五角形タイリング
に関する考察で重要な役割を果たすことがなかったため。
C. 松本崧生
17 plane group には、1group 毎に多数のものができます。
Heterogeneous orbits ですね。

10 月 8 日（土）第 15 回国際放散虫研究集会 (新潟,2017 年)と形の科学
松岡篤（新潟大学）
Q1. 鈴木英雄
放散虫の数(種類)、カラー、放散虫個別の性質や特色があるのかどうか。
A1.
放散虫はカンブリア紀に出現し、現在でも海洋に生息しているが，化石および現生の放散虫を合わせて、約１万種が認識されている。それらは形の違いにより区別される。種の多様性の高い生物であるといえる。
Q2. 鈴木英雄
個別の性質や特色の文章とその写真はあるか。
オセロ風ボードゲーム(当社開発)、カードゲーム（認知度、学習効果 up）を試作したい。(販売は当方ではしない)
そのための写真と文章が欲しい(50〜90 枚) 。個別の性質や特色の文章とその写真については後日連絡がほしい。
A2.
これまでに記載された種については、学術論文の中に種を定義する文書や写真・図がある。日本語での新種の記載は認められていないため、日本語による種を説明する文章はほとん
どない。放散虫の社会認知度をあげるためには、日本語の解説が必要である。
Q3. 鈴木英雄
放散虫写真を使った駐車、駐輪(禁止)ポール(立体認識)を試作したい。無料で提供します。認知度 up。写真がほしい。
A3.
第 15 回国際放散虫研究集会へはどなたでも参加できるので、形の科学一般
福島第 1 原発の放射能汚染パターン
小川進（長崎大学）、斎藤恵介（長崎大学）
Q. 石原正三
福島第一原発事故以降、気象庁などの機関が今も計測を継続しているのか。
2017 年度の秋に開催予定のシンポジウムを長崎大学で、講演者が世話人として予定されているようなので、本講演内容に関するセッションを聞いてもらいたい。
A
事故直後からの計測の中には、すでに終了しているものもあり、継続していてもデータを公表していないものもある。
凸五角形（Rice1995）を用いて形成出来るタイリング
杉本晃久（科学芸術学際研究所）
Q1. 手嶋吉法
1 つの形で様々な敷き詰めが出来るタイルの形は他にもいろいろありそうに思うが、ないのか。
A1.
例えば，辺長が 2 対 1 の長方形は畳の部屋でのような敷き詰め方なども可能で、no-edge-to-edge も考慮すれば無限のパターンを作れるタイルと言える。しかし、その敷き詰め方のパターンなどにあまり面白みを感じない（局所的な領域で見ると敷き詰め方の基本的なルールは多くない）。今回紹介した凸五角形のように敷き詰め方のパターンがここまで豊かで、い参加登録してほしい。

ろいろな模様が出来るような凸五角形タイルを私はしらない

展示物がある場合は、個別に相談いただきたい。

（この五角形は局所的な領域でわかる敷き詰め方の基本的な

Q. 松本崧生
放散虫、チャート、ともに石英質(amorphous or crystal)なのに溶解するとき差異がでるのですか。
A.
チャートから放散虫の殻を取り出す際には、フッ酸（HF）をルールも多めで，さらにそれらを組み合わせでどのようなものが出来るかが単純に予測できない）。
Q2. 手嶋吉法
ペンローズタイルが非周期敷き詰めのみ可能という意味は、マッチングルールを課した場合という理解でよいか。
A2.
ペンローズタイルはそもそもマッチングルールを含めてのも使用します。フッ酸により、放散虫の殻およびその周りの石
英質の基質もともに溶けます。溶ける速度の微妙な差を使って、殻を取り出していることになります。殻の方が先に溶けのである。もし、ペンローズタイルの 2 つのひし形（もしくるような岩石試料の場合には、化石が取り出せません。

はカイトとダーツ）に与えられているマッチングルールを取り除いて考えてしまうと、単体では周期的敷き詰めが出来てしまう。
「マッチングルールを課した場合」というのではなく、マッチングルールがあるからこそ非周期的敷き詰めのみしか出来なく、それがペンローズタイルということだと思う。
なお、「非周期」には、英語だと nonperiodic と aperiodic と2 つの異なった意味の敷き詰め方がある。講演でも述べたが，紹介したタイルが生成可能な非周期タイリングとは
nonperiodic の意味である。一方で、ペンローズタイルは
aperiodic な敷き詰めが可能である（aperiodic な敷き詰めが可能とは nonperiodic な敷き詰め可能ということ、しかしのその逆は必ずしも成り立たない）。
Q. 松本崧生

長方形の可撓体の一部を重ね合わせて作る立体の研究
阿竹克人（阿竹研究所）
C. 森田克己
教材としては有効活用できそうだ。パーツを色面分割等すると、多面体の塗り分けなど、新しい形が発見できる可能性がある。
Q1. 松浦執アナとハートのスリットのプロポーションなどは、ご発表のものが最適化されているのですかA1
最終的なプロポーションは作りながら最近到達したものである。大きいほうが、四回対称型と六回対称型の誤差が小さくなるが、今回のものが理論的に最大限。
Q2. 松浦執ユーザーの立場としてみると、設計図が難しそうに感じるが– 42 –

何かうまい表現技法はあるか。
A2.
確かにわかりにくいかもしれない。現在の説明書は形の科学
会向けのレベルで書いている。
Q. 手嶋吉法
名刺やトランプなど、長方形を組み合わせて多面体的な立体を形成した例は過去にもあったと思うが今回のお話は、切込
みの入れ方を工夫して特許出願をされたのか。
A.
切込みだけでは実施例に過ぎないので、切込みと穴の両方で接合可能な長方形として特許出願した。

は異様な雰囲気となる。その違和感を緩和する意味が黒板使用にはある。ネガティブなコメントに対するケアには、対面の授業形態が必要である。
３次元技術の活用によるカンボジア文化遺産の模型作製
内田龍之介（千葉工業大学）、宮本圭佑（千葉工業大学）、
手嶋吉法（千葉工業大学）
Q. 住田雅樹
概要の図 1 と図 4 を比べると屋根が滑らかで十分再現できていない点があると思う。改善策は？
A.
図 4 の模型の形状データ生成用の写真撮影は、人が地面に立ポリゴンメッシュで再現された歴史的木彫に対する形態分析
王健（千葉大学）、久保光徳（千葉大学）
Q. 髙木隆司
興味ある研究だと思う。これは発表者の研究室で開発したものか。
A.
ポリゴンメッシュの向きの異方性と等方性を検証する方法は、
当研究室で開発したものである
Q. 佐々木康成
全体的な理解としては、「波」のような空間を表現するようなのは異方性に関する特微量が強くでてきて、「龍」のようなオ
ブジェクト(対象物)を表現するときには等方性のある特微量が強くでてくるということでいいですか。
A.
束縛的で、西洋的であるかとか、近代的であるか、現代的であるかというような違いも見られることがあり、今回の分析
結果(手法も含めて)も今後の形態分析に生かしていくためのきっかけとしたいと考えている。
平面画像の立体認識による分離方法と製品
鈴木英雄（株式会社一心助け）、鈴木博英（株式会社一心助け）
C. 森田克己
デザイン教育の観点から作品制作において活用できれば面白い。
Q1. 松浦執そこにない立体物をあると感じてしまうので、急に立体物があると認識されるとあわてて回避操作してしまわないか。
A1.
実際にはない物をあると感じるだけなので、その立体物との衝突は起きないから危険はむしろ少ない。
Q2. 松浦執遠方から接近するとき、実際の物体が目に入るのとは異なる
違和感や、接近してから急に立体認識するなどのことはないか。
A.
画像と環境の比率の工夫が可能であろう。
Q. 手嶋吉法
車止めのブロックの場合は、それに当ててから止める人もいるので、平面画像だと当たらないので、壁などに衝突する恐れがあるが、どうするか。
A.
問題ないと考えている。

形と知可視化された相互コメントの時間的変化の分析
河野広和（東京学芸大学附属世田谷小学校）、松浦執（東京学芸大学）
Q. 松岡篤黒板を用いたデータのまとめがなされているが、黒板を使用するタイミングとその意味は何か？
A.
IC 機器の使用時に児童たちは下を向いて操作するため、教室っておこなった。そのため、建物を上方から撮影した情報が欠落しており、ご指摘の問題が残った。この点を改善する為、ドローンによる撮影を現地でおこなったが、そちらの形状データや模型は今回の発表には間に合わなかった。
Q. 松岡篤生成された 3 次元像がうまくいっているかどうかの判断は人間の眼によるものか。
A.
今回は、3 次元形状データと現物（あるいは現物を映した写真）を見比べての判断である。これは今回の目的（土産用の模型作製）には十分と考えているが、高精度な 3D スキャナなどを用いて生成される 3 次元形状データと今回の 3 次元形状
データを比較しておくことは重要である。

形の科学一般空間曲線による幾何学模様の生成
森田克己（札幌大谷大学）

10 月 9 日（日）
形の科学一般
筋電及び動作解析からみた剣道西畑大輔（福井大学大学院）、髙田宗樹（福井大学大学院）、平田隆幸（福井大学大学院）
Q. 中島善人
剣道経験者は下肢の筋肉の使い方がうまいとのことだが、やはり下肢を鍛えるアスリートと剣道経験者との間に差はあ
りうるか？
A.
ある。
Q. 三浦岳上腕の屈筋 2 つを計測していないのはなぜか。
A.
今回は振り上げ運動に焦点をあてて解析を行った。
Q. 手嶋吉法
身体運動は形の科学の重要な研究対象であるという考えに賛同する。まとめのスライドに、「理想的な体の動かし方を明らかに出来る可能性がある」というような記述があったと思う。
それ自体は熟練者の動きを計測することにより、ある程度明らかに出来ると思う。
しかし、それを明らかに出来たとして、このような科学的な解析は非熟練者を上達させる為にどのように役立つのか。
A.
熟練者の筋肉のどの部分が使われているのかが明らかになれ
ば、非熟練者の指導にも役立てることが可能と思う。
実際の指導に役立てる為の基礎研究としてやっている。
シミュレーションから連なり線を決定する新手法
根岸利一郎（埼玉工業大学）、関口久美子（埼玉工業大学）、
内田正哉（埼玉工業大学）
Q. 髙木隆司– 43 –

点配列のスペクトルはどのような方法で求めたか。
A.
いろいろな方向での点間隔から求めた。
Q. 中島善人
進化の戦略として何故ひまわりはフィボナッチ的な配置作戦を選んだか？
A.
諸説あるが、まだよくわかっていない。
Q1. 手嶋吉法
ヒマワリの場合は平面上の円内の点配置、パイナップルの場
合は円柱面（母線で開くと長方形）上の点配置を考えているという理解で良いか。
A1.
それで良い。
Q2. 手嶋吉法
点の大きさに依らないという意味は、２点間距離を考える時、大きさを持たない点同士の距離を見ているという理解で良いか。
A2.
それで良い。
Q3. 手嶋吉法
実際のヒマワリは、球面の一部の様な曲面上に種が配置されているように見える。パイナップルの場合、円柱の太さが多少変化しているように見える。２点間の距離を測る際、空間内で測るか、曲面上で測るかで距離が変わるように思う。
A3.
ヒマワリの種を球面上の点配置として考えたり、パイナップ
ルで円柱の太さの変化を考慮すれば、やや結果が変わるかもしれない。距離は、今回は空間内での直線距離を用いた。

Q. 石原正三
触覚の体験からある知識を教える場合どのように説明するのか。また、理解をどのように確認するのか。
A.
ご質問の趣旨は、今回の我々の発表内容を超えたところにあると思う。今回我々の触覚用地球儀を全盲の高校生に触ってもらい、最初に基準となる地球上の３地点を伝え、両手を使って３地点を同時に押さえ、それらの情報を拠りどころにして、小中学校で既に学習済みの六大陸を探してもらうなどした。被験者の世界地理の理解度を調査しようとしたのではな
く、「模型が触覚で理解し易いものになっているか」の調査である。
Q. 中島善人
なぜ立体模型で突起の B3 は溝の C3 より好評だったのか。
A.
手でなぞった時に、溝は検出しづらく、突起の方がわかりやすいので、後者が好まれたと考えている。

画像セグメンテーション用アルゴリズム GrowCut の紹介
中島善人（産業技術総合研究所）
Q1. 住田雅樹
砂脈が何個もあるときは固定できるか。
A1.
複数の砂脈を異なる初期値で定義すれば可。
Q2.
連続的なものを固定するのが目的という理解でいいか。
A2. 住田雅樹
不連続用ということではなく連続用。
Q. 髙木隆司
Grow-Cut ではセグメンテーションは、各ピクセルの明るさによって判断しているように思える。一方、人間は各領域の質感も判断材料にしている。それは可能だろうか。
A.
各点について近辺との相関を調べ、砂状が縞模様か等の判断をすれば可能になる。
触覚学習用地球儀の開発と評価
手嶋吉法（千葉工業大学）、細谷洋介（千葉工業大学）、
酒井一磨（千葉工業大学）、中野司（産業技術総合研究所）、
田中明子（産業技術総合研究所）、青松利明（筑波大学附属視覚特別支援学校）、山澤建二（理化学研究所）
Q. 鈴木英雄
視覚障害者は触覚による図形は描けるかA.
視覚障害者は図形をフリーハンドで紙に描くことは苦手である。見える人（晴眼者）の場合、例えば円を描くとき、自分が描いた線を見ながらこれから描く線の軌道を修正できるが、見えない人はそれが出来ないので、格段に難しくなる。
Q. 住田雅樹
石膏の 3DP について、造形速度と表面のロウ付け、アロンア
ルファ含浸について石膏の割れ防止のためでしょうか。
A.
造形時間は 2105 層で約 15 時間である。ロウ付けやアロンア
ルファは、石膏模型の強度を高める為の処理。業務用アロン
アルファを購入し、球面全体に浸み込ませた。

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