エ989年1月王9日
保数一・・…・・…・1

保険数学I（問題）1次のい〕〜｛8）までについて、それぞれ五つの選択肢の中から、正しいものを一っ選んで、蕨定の解答
用紙に、例えば（A）とか（D〕のように記号で言己入せよ．
い〕

P、≡0．04，d≡0．05〔40点〕のとき、年12回分割払の終身保険の鈍保険料（P・lI2リの値に最も近いものは次のうちどれか．（保険金年未払）
〔A〕

（2〕

0．0州66｛B〕

O．04172（C〕

O．04180（D〕

O．04188（E〕

0．04197

μ・が年齢に関係なく定数。に等しいとき、δ・を表わす式は次のうちどれか．
（δは利力〕

（A）

1c一δ
13〕

1〔B〕

・…一一〔C〕

δ一。

次の式のうちで止V、，司亘（D〕

c＋δC〔E）

1＋δ

1

一δに等しくないものはどれか．

｛A〕1一（P，，司十d〕δ、け，同δ舳いn（B〕1一δ膿祠

（C〕

（4〕

A

いn−A■！司一一一lA＾！司（D〕

Pい高一P。！司p t≡n−dP、、司一Pと、習（E）

P■≡「一P…≡て1返済頷が毎期同額となる元利均等返済｛期末払〕において、返済態間をn年、年k回返済、年実利率をi、返済年額をRとするとき、1回目の均等返済金中の利息は次のうちどれか．

R〔1−v0）
Rvn
Rv−1・〕。
1・〕r〔C〕。
〔D〕Rα一｝旧R｛I−v■〕。

（5〕

一A、、司を表わす式は次のうちどれか。

一一一μ■4t＋｛μ、t一δ〕dt（C〕（B〕e｛D）v■一i16〕一jδ〕dt（A〕ev㌧戸■μtdt（E）1一δj1−jv㌦戸■μtdt

v㌦戸口d七

死亡保険金（1＋。V、〕を保険年度末に支払い、保険料は終身払という終身の保険について、年払
鈍保険料

PぺO．02、トIV、・O．4801、セV、・O．5244，i・5．5音とすると、

q、．。．1に最も近いものは次のうちどれか．
（、V，はこの保険の純保険料式責任準備金を表わす．〕
（A）

3．21治

｛B〕

3．23％

〔C〕

3．25垢｛D〕

一9一

3，27％

（E〕

3．29治

係数I・…

｛7〕d，。・十δ、，lA）

1一＾

2tVのとき・V・・＾を表わす式は次のうちどれか・

I− 2tV■州lB〕
1− tV■。V。

1−t

（C〕

2一 セV t1− 2．V 七

一V。一I21V

■一1

1−

2．Vt

1一一Vt

D■19397．8，

D1≡8850−5、戸0．99827のとき、利率iの値に最も近いものは次のうち

（D〕

〔8）

日3a1E〕

どれか．
〔A〕

2．

5．0％

2。＝m0−x

（B）

5．5，

〔C〕

6．O％

（D〕

6．5％

（E〕

7．0篶のとき、養老保険の年払鈍保険料P。＝司をX 。 n ．V 〔＝ここに、1 〕 を用いて表わせ。

1＋i

保険金は年末払

Xは加入年齢nは保険期間（20点〕とする．

3．

予定利率が、保険料払込期間中はi、払込済後は三．であるようなn年払込終身保険1保険金年未払）〔20点〕

において、将来法と過去法の純保険料式責任準備金は一致することを示せ。

4．11〕次の3つの給付を行なう生命保険の年払鈍保険料の算式を示せ一x歳加入、n年満期とする。）
a．満期時に被保険者が生存している場合、満期保険金1が支払われる。
b．被保険者が災害で死亡した時、保険年度末に保険年度末責任準備金の11＋k〕倍が支払われる．
o、被保険者が災害以外で死亡した時、保険年度未に保険年度末責任準備金が支払われる．

ここで、災害による死亡率は一定（q．1で年齢によらないものとする．

（2〕hが〔正1＋h＝i・予定利率1＋q・kを満たす時

1＋ihを用いて11〕の保険料の算式を示し言葉で説明せよ・
（20点〕

〕

一10一2保険数学I

（解答例）

問題番号

解答欄

ω

lB〕

12〕

lC〕

13〕

（D〕

14〕

lA〕

（5〕

囚

（6）

lA）

（7〕

（E〕

18〕

lC〕

正解は上表のとおりであるが，以下問題を再掲するとともに解法を略記する。
ω戸、：0．04，a竺O．05のとき，年12回分害1」仏の終身保険の純保険料（戸工u2〕）の値に最も近いものは次のうちどれか。

（A）O，04ユ66（答）（B）O．04172（C）

O．04ユ80（D）

O．04ユ88（E）

0．04197（B）戸ω≒ユ12）μ（保険金年末払）

戸工O．04＝no＿l

ト2m（戸・十6）＝O．041720

O．95875

が年齢に関係なく定数。に等しいとき，瓦を表わす式は次のうちどれか。

（δは利カ）
（A）

1（B）

C一δ
（答）

王

δ一C

（C）

C

C＋δ（D）1＋δ（C）

μエ＝

@

61・g

工6

＝C一、工。占より

4＝e

ψ戸e

一d・一〜一11ポ／・t一［、黒、ll一。1δ

一1正一

ユ（E）一δ

（3〕次の式のうちで，γ工痢に等しくないものはどれか。

δ工十圭．同（B）1δ工、司（・）H戸工司十4）o一・扁（・）4崇詞（・）㌻音（・）青ま（答）（D）
工γ工、司＝λ、十、、岡i戸、、司δ工十！．同・11一（戸工、司十a）δ工。，、同δ州、同＝1α工司．．
1（芦エホτ「め1一λ工十、同一14（∵λ工。，、同＝1一助工。，、→

6＿1一λ、刷・1一λ
fji1（・蜥一6など）

λ工→一1．月1一λ工．例1イ，捌以上より（・）、（・）、（・）は，γ工、司」に等し1㌔〃一M
また・・γオユ・、、＝十〃一M戸蜴f・ユ、，淵より（・）の分母・篶｛片、封判（守…刑＝戸工司一戸、．由＝（亙）の分子
よって（E）はさらに，，γ、司に等しい。

，γ工、莉＝λ工十、、目＿戸工、4ユ十、、司＝（戸。。、、同一戸工、非、。，同p工。、、πrP銅戸∫十、、同十a
よって（D）は，γ工司に等しくない。

一12一14）返済額が毎期同額となる元利均等返済（期末払）において，返済期間をn年，年々回返済，年実利率を4，返済年額をRとするとき，1回目の均等返済金中の利息は次のうちどれか。
』]〆）（・）芋（・）芋（・）・1㍍（・）R（（・）沢（（答）

（A）

1麦・τ）
．ω

第1回目の均等返済額を考えると，それまでの利息は・元金硝に対し÷である。
．胆〕

㈱

一一｝

R倫×T＝R．〔瑚が（I一りリ

掘一⊥×T

冶（1一が）

二R．他〕

1一リ

ゴ！

㈹×τ

R（1一の冶
⑤

λ、、芸を表わす式は次のうちどれか。

（A）、一∫；（1…十δ）（、）、■∫；（1バδ）㌦）1−1；小μノ（・）1−ll；軌励（・）・一1；々工μ州批

（答）

（A）
P；μ一・・幽、冊．。

ん：司＝ヘカエ＝e

一1；（μ工。汁1）比一e＝e16〕死亡保険金（1＋，γ工）を保険年度末に支払い，保険料は終身払という終身の保険について，
年払純保険料戸工＝O．02，、．、γ、＝O・4801，。γ工＝0・5244・i＝5・5％とすると・9∫十Hに最も近いものは次のうちどれか。

（γf工はこの保険の純保険料式責任準備金を表わす。）（A）3．2ユ％o（答）（B）3，23％o（C）3．25％o（D）3．27％o（A）

題意より

r、、、γエ十ρ工）（用）一（1・，γ、）・工十、．、一、γ工（1一・工、、．、）（，＿1γエ十戸、）（1＋ゴ）一，γ工＝9、十，＿1

9工。、一F0・003205…

一13一（E）3．29％o17）δ工十、十δ、十3、＝3δ工十2、のとき、V工十2、を表わす式は次のうちどれか。

1一γ（A） 一 工十1

1−2V
1 工十三

（D）

γ

1−2γ
一 工十三

（B）

一1t工十｛

（E）

（C）

1一γ
三 五十一

2V

1−2γ！ 工十2一γ
一 工十t
1−2γ
一 工十三

−1

工十三

1一γ
一 工十，（答）（E）

δエ→．3fγ ・＝1一＝1三∫十21δ』＝≒ト2｛＝一 Q＋3δエ≒ト2f一δエ十t
δ
エ・ト2！

δ用

δ工十。。

1 2！工。，一1＝玉一γ
1一γ
f 工十一
三 工十｛

＝一 Q＋18〕D、＝9397・8，0、十1＝8850，5，

力、＝O，99827のとき，利率4の値に最も近いものは次の（B）

6．O％

うちとれか。

（A）5．0％

5．5％（C）（D）6．5％（E）7．O％（答）（C）り工。1ir＝リ

l1＋｛＝一＝久リ：1．0600

D・ル
工十1・冊一I
Σ6、、，u｛十1＋j工十制・ノ

2・λ刷一H@王

1冊一1三十1＝τ（曇り十z工・掘一1・蜆り）（壮チ）・（・・一一・）・／

d 工十一＝王工十f一4工十1十I＝1OO一（π十卜｛l00一（＝1）＿リ（三一♂）十（1一リ）（I00一五＿n）♂
（lOO一）（1一〃）一王4一十た斗1）｝

λ工例（1一〃）ん、副（∵1一助工、司＝4、司）戸箏一＝州δ 1一λユ．・司工河（1一・喋〃（1一〃）十（1一〃）（1OO一工一n）〃（100−z）（1一〃）卜・）／・（1一ノ）・（1一・）（1・・サ・）ノ／（100−z）（1一〃）一〇（1−o）一（1一リ）（100一3．

を用いる計算基数を0，M一n）o

等と書くことにする。

（すなわち・1一（、÷、）㌃・・1一三。・1。τ等）

題意よ／年払保険料月一肌．ヒ（ぺ㌦十剛工十蜆｛i〕0≦サ≦nのとき

戸

1、γ、（過去法）＝万丁（M∫一Mユ十。）一万丁（Mエー〃州）

ユ十一

工十f
一÷／（M工一M工十2一（〃工十三一〃工、リ／一十（仏一仏、，）工十f

1＝可（戸工十一

エーD、｛十D芦叱切）

工十π

1万丁｛・V∫・・rV。十制）一万丁（M工一Mユ十・）J＋f

工十一1D、仏h）iτ（戸 ・べ㌦）

＝可（㌦一仏向十D…十ユ十制
二＝Cγユ（将来法）｛ii〕広＞mのとき

D ｾ十掘万十制（㌧一N一・）一。・広蜆（M一■M一・）戸
D工十掘一1ハ過去法）＝
工十

ユ十一・・一丁（1 工十、一Mf＋、）
D工。、

一た1・・士（仏一㌦・妻1：購一15一D工十掘

11・・一。・・工十制（仏一仏・・トア（M一べM一・・）
工十工十1

1・＝一・MDエ。， 工十t＝、γ、（将来法）
4．記号を次のとおり定める。

n：保険期間五：加入年齢，γ、：第庄保険年度未責任準備金

9∫：予定死亡率

戸：求める保険料（1〕題意より，次の等式が成立する。
uα■q工十三）

整理してここに、十1V工＝、γ、十戸ユー。（q工十、一9）・，十1γ工一〃・9リ（1＋g・（1＋冶）・，十1γ工后）．，十、γ、＝，γ工十戸、

ブ＝o（1＋g冶）

とおくとプ・、十1γ工＝，γ工十戸工……①

オ＝0のとき①はゴ・1γ工＝Oγ∫十月エ
サ＝1のときゴ！γ、＝1γ工十戸工より。

ゴ・＝γ工＝プ・1γ、十分戸工以下同様にして1
ゴ・蜆γユ＝ブi・蜆．、γ工十ダー一P、！

・辺々加えて整理すると
γ、＝戸、（1＋ゴ・！・……・ゴー1）十。V工題意より。γユ＝o，、，γ、＝1。蜆

．2．蜆一1
J＝戸工（玉十ゴ斗3＋……十3〕戸、ゴ＝州一∫）、ノ／1＋・号I一・一16一冶）／l一・（1＋・1一ノ（1＋・1）π冶）／12）

1・
1＋ん＝u（1＋9尾）

なので・ωより1月
ρ＝（1＋ゐ）11冊（1＋ゐ）l（1＋が一1．（1＋ん）（1＋ん）一11
1一一1＋ゐここで，予定利率みの期始払確定年金終価を峠ωとすると1

J −p＝一．ω

5司とかける。すなわち，戸は，m年後に積立金がユとなる予定利率みの定期積金の年払掛金に等しい。

一17一