J. Plasma Fusion Res. Vol.93, No.4 (2017)１
６
３‐
１６
８

解説

実験データの新しい解析方法−順列エントロピーと統計的複雑性を用いた時系列データ評価−
Evaluation of Time-Series Data Using
Permutation Entropy and Statistical Complexity
恩地拓己
ONCHI Takumi
九州大学応用力学研究所（原稿受付：２
０
１
７年０
２月１
０日）

ノイズを含んだ時系列データを解析する際，順列エントロピーと統計的複雑性を求めることで従来よりも再現よくカオス性，ランダム性，周期性などの特性を区別して理解することが可能になった．近年では基礎プラズ
マ実験やトカマク・逆磁場ピンチなどの高温プラズマ実験で得られる時系列データへ適用した研究結果が発表され始めている．本稿では順列エントロピーと統計的複雑性を求める計算手法を示し，視覚的な理解に役立つ C -H
面を利用した特性評価方法について解説する．
Keywords:
statistical complexity, permutation entropy, C-H plane, data analysis

１．はじめに

２．順列を使った時系列データの解析

プラズマの振る舞いは複雑である．またプラズマはしば

２．
１ 統計的複雑性

しば「複雑なシステム（複雑系）」の例としてあげられる．

統 計 的 複 雑 性 は１９８９年 に James P. Crutchfield と Karl

複雑系研究の発展で提唱されてきた様々な「複雑さ」を表Young によって提唱された概念で，「システムを情報源とす指標の中で，本解説では「順列エントロピー（Permuta-

して観測し，過去と未来の統計的振る舞いが矛盾しない最tion Entropy）［１］と「統計的複雑性（Statistical Complex」

も単純なモデルの情報量」に相当する［２，１８］．彼らはラン

ity）」
［２，
３］を紹介する．（複雑さを表す量は「複雑度」やダム（乱雑）な振る舞いの統計的単純性（Statistical sim-

「複雑量」とも呼ばれるが，本解説では「複雑性」と呼ぶこ

plicity）に注目した．周期的振る舞いは情報エントロピーとにする）．ノイズを含んだ時系列データの複雑性解析でが低く，ランダムな振る舞いは高い．一方で周期的振る舞は，順列エントロピーの導入が効果的である．また統計的

いは有限のパターンを，ランダムな振る舞いは乱数を使え

複雑性（!）を縦軸に，（順列）エントロピー（"）を横軸にばモデル計算は容易である．言い換えると情報エントロ

取 っ た グ ラ フ を !-" 面（!-" plane）と 呼 ぶ［４‐７］．!-"

ピーは複雑系モデル計算の計算量に相関が無い．よってエ面を利用し，解析した時系列データが面上のどの位置にプ

ントロピーは「ランダム性」を表すが，「複雑さ」を表せそロットされるかを調べることで，その時系列データの振るうもない，と考察される．ゆえに周期的振る舞いとランダ

舞いを視覚的に分類できる．

ムな振る舞い，両者の中間領域の複雑性が高いと考えた．

これら二つのパラメータと !-" 面は医学［８］，経済学

これは現実社会のシステムをよく表すので，直感的に正し［９］，物理化学［１０］
，気象学
［１
１，
１２］，音響学［１３］など多岐そうである．例えば，インクが水に落ちた様子を想像してに渡る複雑系研究分野で用いられている．プラズマ物理にみよう．水中は「落とす前」や「充分時間経過してインクおいても２０１３年頃から密度揺動や乱流の性質［１４‐１６］，まが広がりきった状態」よりも「その間のインクが広がってた磁束管ロープに伴う磁場揺動のカオス性の研究［１７］に適いく状況」の方が複雑な気がしないだろうか．

用され始めており，時系列データの（"，!）を調べ，プラ

統計的複雑性の物理学への導入は「完全結晶」と「理想ズマの性質を複雑性の観点から定量的に評価する試みが広気体」の考察が始まりと言われている（時系列データへのがりつつある．

応用はもう少し後になる）［３］．両者には複雑性が無い．完
全結晶は熱力学的エントロピーがゼロである．すなわち乱雑さがゼロであり，情報エントロピーは最小になる．一方

Research Institute for Applied Mechanics, Kyushu University, Kasuga, FUKUOKA 816-8580, Japanauthor’s e-mail: onchi@triam.kyushu-u.ac.jp

１６３!2017 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.4 April 2017

で理想気体は最も乱雑な状態であり，情報エントロピーはある［１］．具体的には「時系列データにおいて )‐順列の確最大となる．やはり複雑性を情報エントロピーだけで表す率分布から得られる規格化された情報エントロピーの総ことは難しいようである．ここで ! 個の状態 !
"
"
"
"!
"!
!!
!#
#!

和」と定義される．

を取りうる ! 系統があるとすると各々の状態になる確率

次のような離散的データ

は!
，$#""
$!!
$#!
$! #となる．このとき !!
"!
"!
#$!
#$!$

"
"
"
"
"!
!!
&!
*#
#)!
*

である．情報エントロピーを確率分布の関数として%$%&! !
$%$#
##
#$!$

に関して，順列のタイプ別個数を順列の総数で割った値（１）

は，そのタイプの順列の存在確率である．ここで )‐順列のタイプを $で表すことにする．$は +$)*種類あることにと表せる．

なる．離散データ中の $,の個数を -,として順列の総数

情 報 エ ン ト ロ ピ ー に 加 え て「不 均 衡 性（Disequilib-*%)+!（$**）で割ると，確率はrium）」というパラメータ ' が重要となる．この不均衡性
は系が取りうる状態の等確率分布からの距離を表す．よって '""である．! 系統を考えると，' は各状態確率から

$,$

等確率 !
#
! への二次距離を足し合わせたもの，すなわち
&
'$! !
$#%!
#
!'
#$!&

-,
**

（４）

であり，確率分布は .$&$,!
$+）となる．離散
$!!
"!
"!

（２）

データの情報エントロピーは式（１）と同じくと表すことができる．よって完全結晶で不均衡性は最大と%$%! +
$,'
#
+$,
,$!&

なり，理想気体ではゼロをとる．これらの特徴から情報エ（５）である．最大値は .が $,$!
#+の等確率を持つときに得らントロピー %と不均衡性 ' を掛け合わせたれ，%( $#+'である．そして順列エントロピーは+&%('()$'(
&
!!
$#%!
#
!'
$%$#' （３）
'
(
&
%&! !
$&
##
#$!&
#$!$

/,$%#
%(

（６）

は完全結晶でも理想気体でもゼロとなり，その他の場合はである．最大値で規格化されるため，",/,,!の範囲の(""となる．ここで &$!
##$%! である．情報エントロ値を持つ．
次のような簡単な数列

ピー %を横軸に，不均衡性 ' と複雑性 ('() を縦軸にとると，３つのパラメータの関係性は，図１に示した概念図の

!
!
!
!
!
!
!
!
&
!
.
/
0
1
2
3#
!

ようになる．この統計的複雑性 ('() は発案者に由来して，LMC（LópezRuiz-Mancini-Calbet）Complexity と呼ばれての順列エントロピーを求めてみよう．)$&のとき，この中

いる［４，
５］．

!）が
には２‐順列が８個ある．ここで "+!の順列（$$"#%"#２．
２ 順列エントロピー#
1，そして "
８個中５個，ゆえに確率は $"$2
+!の順
#""
#

フラクタル次元解析やリアプノフ指数解析の発展によ#
1である．
列（$$!"）が８個中３個なので，確率は $!$/
また +$&である．よって順列エントロピーはり，フラクタルやカオスなど，複雑性を持って変化する時
系列データを詳細に理解することが可能になった［１
９］
．一

#
#
#
#
2
1
#
+&
2
1
/
1
#
+&
/
1
%&
'
'
%&
'
'
#
/4$ !
#
+&
&'
&
.2
-"

方，実験などで得られる現実の信号にはノイズが伴うた
め，解析の再現性などに問題があった．そこで Christoph
Bandt と Bernd Pompe によって提案されたのが，ノイズを（７）伴った場合でも有効に時系列データを解析し，周期的信号となる．時系列データ 0も )‐順列の集合であると考える．

やカオス信号を判別するための尺度，順列エントロピーで)$/の場合，図２に示すようにデータの順列エントロ
ピーを求める．*$!""のデータ点を持つ 0中の連なる
"
"
!&で
３点（"
が"
%!，
+!）
#
#，
#
%!%"
#
#%"
#+!であれば，$$"示されるとしよう．①順序の組は
（０１２，
０２１，
１０２，
１２０，
２
０１，
２１０）
の３の階乗 3!＝6 個ある．②時系列データ 0から各々の個
数 -,を検索，③順列の合計数 **で -,を割ることで確率分）を得る．④ .に対し
布 .$&
-!#
$!!
$3'
**!
-3#
**'
$&
"!
"!
式（５），（６）に示した計算を行うことで，時系列データの情報・順列エントロピーを得ることができる．次数の値は)$/"-が推奨されている．解析する時系列データのデー
タ長 1 は 1 "2)*を満たしたい．)"-の場合，計算機の図１

能力が十分高い必要があり，1 が長くなりすぎる可能性が情報エントロピー H ，不均等性 D ，統計的複雑性 C = D・Hの概念図．完全結晶の場合は H が最小，D が最大，理想気体の場合は H が最大，D が最小になるため，C はその中間で最大値をとる．

ある．
２．
３ Jensen-Shannon 複雑性
順列エントロピーを用いれば，ノイズを含む時系列デー
１６４

Commentary

Evaluation of Time-Series Data Using Permutation Entropy and Statistical Complexity

T. Onchi２．
４ C -H 面
図１のよう に ( を縦軸，' を横軸にとったグ ラフは(-'面と呼ばれ，'が中間の値をとる場合に(は最大値をとる．'/と (#-による (-' 面上のプロット位置は時系列
データの性質を表し，周期性，カオス性，ランダム性，ノイズ性などの理解に対して視覚的なサポートを与える．ま
た)
!
'-!
(#-*
(
!*のとき，信号は完全ランダム，すなわち#)白色雑音である．
統計的複雑性(には最小値 ($0,と最大値 ($%&が存在し，エントロピーに依存する［５，６，１２］．($0,はある１つの状態（順列）の確率 )1 が !
#%%)* %!の値を持ち，他のすべての状態が等しい確率 )2を持つ場合に得られる．このとき
図２

d ＝ 3 時の順列エントロピーの求め方．ある時系列データの中から３‐順列を種類ごとに数え上げ，確率分布として情報で（シャノン）エントロピー S［P ］を求める．最大値 S［Pe］
規格化すると順列エントロピー HS が得られる．

)+#

!&)*
，
%&!

（+#!
!
!
%!
+
"
(!
+
#*）

（１４）

#
"で あ る と す る とである．例えば &#3のと き，)* #!
)+#!
#34となる．もし )!#)*であるとするなら確率分布は

タ（信号）の統計的複雑性を求めることができ，Jensen!
"##!!!!!!
(! $" 34 34
34

Shannon（JS）複雑性は周期性やカオスの判別に優れている［７］．JS 複雑性は JS ダイバージェンス !
"!!
"""を不均
!
衡性 ##に導入する．##は次のように表される．

と表すことができ る．次 に ($%&は あ る１つ の 状 態（順列）の確率 )* が (,)*),*,!
#
%&,
)
%!
*で他の %-,個の状

##!
"!!
"!!
"""
"""
!
##$%&!

態が等確率

"!"
"""
$!
"!"!%"""""##$%&$
&"!$!
&""$!
'
（８）

)+),*#)
#
%&,
!&)**
)
*
（ +#!
，
（１５）
!
!
%&,
!
+
"
(!
%!
+
#*）

##は「二つの確率分布同士の距離」と定義される．本解説の場合に得られる．このとき ,は,#!
!
!
%&!の整数で"(!

では簡単に，""を等確率分布と考え，""#"'#$
#
%!
#
%'
!
!
(!

ある．すなわち幾つかの状態（順列）に限定し，その中の（９）１つの状態 と それ以外の等確率で起きる状態 に分かれ て い る 場 合 を 考 え れ ば よ い．具 体 的 に は &#3，$
)として，とする．また "!#""#(
$!
"" $!
"'"
$!"%"'"####$%&#
&
&
$
"
"
"

#
"のときの確率分布は%&,#"，)!#)* #!
（１０）!
"##!!!!!!
(
($，
-!
"33

と表すことができる．#$%&は ##の最大値であり，次式で表さらに %&,#5!
3の場合は，

される．

"##!!!!!!!!
!
(
($，
-!
"444

&%!
&*
&*
#$%&#&!# *
+
,)
,)
"
,&*
%!
*
&"+
*
%+
$ （１１）" ""##!!!!!!!!!!
(
($，
-!
"6666

また順列エントロピーは式（６）で示したように
'-!
""
#

（%&,#"）

$!
"" $!
""
#
$.
$!
"'"

（%&,#5）（%&,#3）のようになる．)'!
(*の値は (-' 面上にお け る ($0,と（１２）($%&の二つの曲線に囲まれた範囲に限定される．

である．JS不均衡性と順列エントロピーの積がJS複雑性で具体的に三角関数，カオス，非整数ブラウン運動の関数

あり，

の)
'-!
(#-*を求め，それぞれを (-' 面にプロットしてみ

(#-!
""
"!
"'"
'-!
""
###!

る．またここでは &#3，解析する離散データ数は１５０とし（１３）た．例えば単純な三角関数 &.
0,)#/*の場合，(-' 面では図３に示すような位置にプロット（●）される．

である．ここで '/と (#-を導入した時系列データの解析手

次にカオスの代表例としてロジスティック写像について順を以下にまとめる．

考える．ロジスティック写像は

１．時系列データを順列の集合として整理し，確率分布
を求める．

-)
.
-)
.
.
!&%!
*
#/
*
)
)
*
*

２．その確率分布の情報（順列）エントロピーを計算．

（１６）

３．また確率分布の JS 不均衡性を計算．

で表され，その振る舞いは (,/,3のパラメータに依存し４．'/と ##の積を取って JS 複雑性 (#-を算出．

て大きく変化する．/が３を超えると，固定点付近で振動
１６５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.4 April 2017となる．" と %の間には"*2"! %'2, %!%
%

（２１）

!
,の場合，
の関係があり，%は 2+%+!の値を持つ．%!%
関数は図５に示すような波形になる．#-" 面上では図３に示すように "
!
"
!
#$##
"#"
"
"
%#付近にプロット（◆）され-"る．%!2のときは "
"#"
"
#$##
2
"#に近い値にな る．%!"
を増大させていくと，"#は減少，#$#は増大し，#-" 面上では図３に示すように，#./0と #.'(の中間あたりに曲線を描く．この fBm の %が変化して描かれる曲線は，解析した
時系列データの特徴を表す重要な基準となる．具体的に述べると，曲線より上にプロットされる場合はカオス的，下にプロットされる場合はストキャスティック（ランダム）的である．よってこの曲線を基準として，その時系列デー
タの振る舞いが決定論的であるかランダムなのかを判断す
図３

ることができる．

d ＝ 4 である場合の C -H 面．sine 波（●），ロジスティック
写像（■），非整数ブラウン運動（%＝ 2.4，◆）をプロットしている．非整数ブラウン運動の関数に関して %を変化させると，点線のような曲線が描ける．曲線よりも上にある
場合カオス性，下にある場合はストキャスティック性を表す．

Rosso 等は文献［７］で，様々な種類の関数を #-" 面上にプロットして分析し，カオスとノイズを明確に分離できることを示した．本解説では sin 信号，ロジスティック写像，
fBm を#-"面上の目安としてプロットした．他にもテント
写像，エノン写像，レスラー方程式などを #-" 面上のカオ

し始め，3.4を超えるまでは二点間を行き来する周期性が現!
"の と き，れ る．図４（a）の よ う な 波 形 に な る !!!
!
"
!
"#"
#$##
"
%
"
%#付近にプロット（■）され，その位置!""は上で求めた &'(関数と近い．!を 3.4 よりもさらに増大さ!
)*++,*$ で無限せると，周期が突然倍増していき，!!!
!
"
!
"
!
)
!
,
"と 増 大 さ せ た 場 合， $は 図４
大 に な る．!!!
（b）‐（d）のように振る舞う．また図３に示すように #-"面では曲線に沿うように #./0付近を移動 す る．ロジス
ティック写像は自由度１の非常に単純な非線形写像による決定論的カオスであり，それらの "#は中程度で #$#は最高値に接近する．
次に非整数ブラウン運動（Fractional Brownian Motion，
fBm）の複雑性を求めてみよう．fBm はその名の通り有色雑音であり，
%"
%"
&
"%&
"
#
#
!'"

（１７）

図４

ロジスティック写像の係数 r を変化させた場合の波形．

で表される確率過程である．平均は０，分散は &のベキで変化する．また分散は
%
%"
&
)
&
(1 "
#
'(1 "
#
#
(
!#%)
')
)
"
!&

（１８）

共役分散は
!&
&
(1 "
)
(1 "
#
#
(
!

%"
%"
&
&
"
*)%" ')
')
)
#
%

（１９）

である．" はハースト指数であり，"+"+2の値をとる．
"!2$%のとき通常のブラウン運動になる．また fBm のパ
ワースペクトルは
2
*"
$
#
% %
$

（２０）
図５

１６６

非整数ブラウン運動（%＝ 2.4）の波形．

Commentary

Evaluation of Time-Series Data Using Permutation Entropy and Statistical Complexity

T. Onchiスの指標に，また fractional Gaussian Noise などを有色雑音の指標にすることも可能だろう．

３．プラズマ実験研究への C -H 面の適用
近年，基礎プラズマ研究で得られた実験データを !-"面上で分析する研究手法が適用され始めている．MaggsとMoralesは単結晶LaB6 電極を用いた電子ビームで作られる電子温度フィラメント構造を静電プローブで計測し，イオン飽和電流の揺動成分を解析した［１４］．Gekelman 等は
LAPD 装置で生成される磁束管ロープを計測対象とし，磁気プローブを挿入して三方向の磁場揺動を調べた［１７］．この磁場揺動信号は空間・時間に依存し，磁束管ロープ中にカオスが局在することがわかった．また Weck や Brown
はスフェロマックや太陽風におけるプラズマ乱流を !-"面や周波数スペクトルを利用して分析している［１５，１６］．
さらに高温プラズマ実験結果の解析例もあり，Maggs 等は
DIII-D トカマクの L モードプラズマで得られた Doppler
Backscattering 信号を詳細に調べ，周辺プラズマ密度揺動がカオス的であることを明らかにした［２０］．
逆磁場ピンチ（Reversed Field Pinch，RFP）プラズマで得られる時系列データへの適用も行われた［２１］．低アスペクト比 RFP 装置 RELAX［２２］で得られた制動放射軟 X 線，
紫外光，トロイダル磁場揺動の時系列データを解析している．軟 X 線検出はジルコニウム箔を介しており，RELAXのプラズマでは中心部からの発光を観測している．一方で

図６

逆磁場ピンチ装置 RELAXで得られた放電波形．上からプラ
ズマ電流，軟 X 線放射，紫外放射，それら放射の信号の順
列エントロピーと統計的複雑性を示す．

図７

RELAXで得られた軟X線放射と磁場揺動データをプロットした C -H 面．高密度プラズマ（３１ショット平均）と低密度プラズマ（１
８ショット平均）で比較．

紫外光はプラズマ周辺部からの寄与が大きいと考えられている［２３］．図６に放電波形を示す．上からプラズマ電流，
軟 X 線，紫外線，それら放射検出信号から求めた "!と!"!の時間変化を示している．プラズマ電流が増大し，軟 X
線放射強度が上昇すると，紫外線放射強度は低下する．軟
X線信号の!
"!!
!"!"は放射強度の上昇に合わせて低下する傾向にあるが，紫外線信号は !
"!!
"
!
"
!"!"
#
$
#
%$"付近の#!
値から大きく変化しない傾向にある．
また高密度（#&#3×1019 m−3）と低密度（#&$1019 m−3）のプラズマで制動放射軟 X 線及びトロイダル磁場揺動を比較した．ここで磁気プローブは真空容器壁位置に設置しており，周辺磁場揺動を計測している．高密度プラズマ及び低密度プラズマはピンチパラメータ $ と反転パラメータ
$では!
$!
$"
"
!&#
"
$!
$"
"
!&#
"
'
(
'"及び!
%
'
$"と特徴
%!
%!
付けられる．RELAX で生成される RFP プラズマの詳細は
文献［２４‐２７］などを参照していただきたい．図７に示すよう に !-" 面 に お い て，軟 X 線 信 号 は #""$，)'"!'#""#%'!"!'#*の範囲に集まる．低 密 度 プ ラ ズ マ の方が!"!は高くなり，よりカオス的になっていることがわかる．
磁 場 揺 動 を 比 較 す る と，高 密 度 プ ラ ズ マ で は
"
!
"
"!!
!"!"
#
+$
#
'+"付近にプロットされ，fBm の曲線よ%!
!
り も 低 い 位 置 に あ る．一 方 低 密 度 で は
"!!
"
!
"
!"!"
#
,#
#
'#"付近にプロットされ，ちょうど fBm!
%!
の曲線上に乗る．ここで示したように，#&や !
$!
$"のよう

４．複雑性の定量化，今後の展望

な RFP プラズマの性質が異なる場合には !-" 面上でも違の複雑性を定量化するためのアプローチから生まれたパラいが充分に現れることがわかった．

メータだと言える．そもそも複雑系という言葉は何を指す

順列エントロピーと統計的複雑性は物事の，特に複雑系のだろうか．自然の中や社会の中には複雑なシステム，複
１６７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.4 April 2017

雑系は多く存在する．複雑系を組織作る一つ一つの個体は

the next century will be the century of complexity"［２８］．プ

比較的単純であるが，それらは集団としてパターンを成

ラズマの複雑性を理解する研究の発展に期待したい．

し，情報を利用し，適応する．その複雑な振る舞いは中央制御されることなく生じる．例えば「脳」という複雑なシ謝辞

ステムの場合，ニューロンが単純な個体である．ニューロ

本解説を執筆するにあたり，京都工芸繊維大学の比村治

ンは他の個体からのシグナルを受け，自身でもシグナルを彦准教授に大変お世話になった．また実験研究では九州大発生する，という単純な活動を行う．しかし無数のニュー

学藤澤彰英教授，京都工芸繊維大学政宗貞男教授，三瓶明

ロン（人間の大脳皮質は平均で１４０億個のニューロンを持希夫講師，RELAX チームの学生皆様のご協力をいただいつ）が生み出すのは，「思考」や「感情」といった極めて複た．

雑な脳活動である．脳の他にも免疫系，遺伝子（DNA）な
ど の 生 物 学 的 な も の か ら，経 済，イ ン タ ー ネ ッ ト

参考文献（WWW），気象海洋などが複雑系の代表例としてあがる．

［１］C. Bandt and B. Pompe, Phys. Rev. Lett. 88, 174102 (2002).
［２］J.P. Crutchfield and K. Young, Phys. Rev. Lett. 63, 105(1989).
［３］K.D. Sen, Statistical Complexity (Netherlands Springer,2011), 65-127.
［４］R. López-Ruin et al., Phys. Lett. A 209, 321 (1995).
［５］X. Calbet and R. López-Ruin, Phys. Rev. E 63, 066116(2001).
［６］M.T. Martin et al., Physica A 369, 439 (2006).
［７］O.A. Rosso et al., Phys. Rev. Lett. 99, 154102 (2007).
［８］O.A. Rosso et al., J. Neurosci. Methods 153, 163 (2006).
［９］L. Zunino et al., Physica A 389, 1891 (2010).
［１０］H.V. Ribeiro et al., PLoS ONE 7, e40689 (2012).
［１１］P.M. Saco et al., Physica A 389, 5022 (2010).
［１２］L. Zunino et al., Phys. Rev. E 86, 046210 (2012).
［１３］H.V. Ribeiro et al., Physica A 391, 2421 (2012).
［１４］J.E. Maggs and G. J. Morales, Plasma Phys . Control. Fusion 55, 850015 (2013).
［１５］P.J. Weck et al., Phys. Rev. E 91, 023101 (2015).
［１６］M.R. Brown et al., Phys. Plasmas 22, 055601 (2015).
７］W. Gekelman et al., Plasma Phys. Control. Fusion 55,［１064002 (2014).
［１８］M. Mitchell：ガ イ ド ツ ア ー 複 雑 系 の 世 界 サ ン タ
フェ研究所講義ノートから（紀伊國屋書店，２
０
１
１）
．
［１
９］合原一幸 他：カオス時系列解析の基礎と応用（産業図
書，２
０
０
０）
．
［２
０］J.E. Maggs et al., Plasma Phys. Control. Fusion 57, 045004(2015).
［２
１］T. Onchi et al., to be published in Phys. Scripta.
［２２］S. Masamune et al., J. Phys. Soc. Jpn. 76, 123501 (2007).
［２３］T. Onchi et al., Rev. Sci. Instrum. 85, 113502 (2014).
［２４］T. Onchi et al., J. Phys. Soc. Jpn. 80, 114501 (2011).
［２５］R. Ikezoe et al., Plasma Phys. Control. Fusion 53, 025003(2010).
［２６］R. Ikezoe et al., Plasma Phys. Control. Fusion 55, 015005(2012).
［２７］R. Ikezoe et al., J. Phys. Soc. Jpn. 81, 115001 (2012).
［２８］S. Hawking in San Jose Mercury News, Morning Final
Edition, January 23 (2000).

これらに共通する性質から，M. Mitchell は複雑系の定義を「数多くのコンポーネントから構成されながらも単純な運用規則を持つのみで中央制御機構を持たない大規模なネッ
トワークから，集合体としての複雑な振る舞い，複雑な情報処理や，学習，進化による適応が生じるシステム」とする［１８］．また「創発的で自己組織化する振る舞いをはっきりと示すシステム」ともしている．これらの定義に対し，荷電粒子という単純なコンポーネントで構成される一方，自己組織化を伴いながら集団として複雑に振る舞うプラズ
マは，「複雑系」であると言えそうである．
複雑系の「複雑性」を定量的に測定したり，計算したりするために，様々な基準が提案され，議論されてきた．しかし多岐に渡る分野で広く一般的に受け入れられている「複雑性の定量的指標」は，実は現時点で存在していない．
ゆえに「複雑性」の意味は其々の科学研究分野で異なり，複数が併存している．研究者達はまず，サイズやエントロ
ピーのような単純なパラメータで複雑性を測ろうとした．
その後の研究により，これまで述べたもの以外にも，コルモゴロフ複雑性，熱力学的深度，構造の階層度などの指標が発展している．
順列エントロピーと統計的複雑性は数ある指標の一部である．今回いくつか紹介したものの，これらの量で物理を議論したプラズマ実験研究は２０１７年始めの時点ではそれほど多くない．世界中で様々なプラズマが生成されているな
かで，時系列データの揺動の理解やカオスの判定に !-"面は便利であろう．過去に取ったデータの順列エントロ
ピーや統計的複雑性を求めてみると，また何か新しいことが見つかるかも知れない．
プラズマの複雑性を定量化するための試みは，今後も複雑系研究や計算法の発展と共にあるだろう．Steven Hawking
は前世紀の末，２０００年に次のように述べている．"I think!!!!!!!!!!!!

おん

ち

たく

み

恩 地 拓 己!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

九州大学応用力学研究所高温プラズマ理工学センター助教．
主に磁場閉じ込め高温プラズマの実験研究に従事．これまでに逆磁場ピンチ，トカマク，球状トカマクに関わる．最近は球状トカマク装置 QUEST のプラズマ加熱のために電気回路，ジャイロトロン，クライストロンなどと格闘中．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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