JEMEA Journal Vol.6 (2022.12)

学術論文
無次元数を用いたマイクロ波照射中の温度分布予測

Prediction of Temperature Distribution during Microwave Irradiation Using
Dimensionless Numbers
矢形凌平 1、薗部智史 1、朝熊裕介 1*、Anita Hyde 2、Chi Phan 2
Ryohei Yakata, Satoshi Sonobe, Yusuke Asakuma, Anita Hyde, Chi Phan
１. 兵庫県立大学大学院工学研究科化学工学専攻
２. Department of Chemical Engineering, Curtin University
1. 〒671-2280 兵庫県姫路市書写 2167
2. CDT 250 Miri, Sarawak, Malaysia, 98009
1. 2167 Shosha, Himeji, Hyogo 671-2280, Japan
2. CDT 250 Miri, Sarawak, Malaysia, 98009
corresponding author*, e-mail address: asakuma@eng.u-hyogo.ac.jp
キーワード: 局所加熱、無次元数、沸騰Keywords: local heating, dimensionless number, boiling
Abstract
The boiling experiment for a cylindrical vessel was conducted at different operating parameters such as stirring speed, microwave
power, and the penetration depth of microwave. The heating rates and the time until boiling were obtained for the heatinghomogeneity, which is defined as ratio of the local heating within the penetration depth and the heating of the whole vessel. Theratio was estimated by correlation with two dimensionless numbers, the mixing Reynolds number (Re) and our dimensionlessmicrowave number (As) proposed in our previous study. Although the heating ratio is linearly correlated to the simple combinationof Re and As. However, it was found that the multiplier of As number depends on microwave power.
1. 緒言
マイクロ波照射には、急速な熱応答、高い加熱効率おに起因する不均一加熱は、依然として課題となっていよび選択的な加熱等の特徴があり、加熱プロセスにおる。特に、局所的に引き起こされる過加熱は突沸などをいて非常に効果的である。そのため、マイクロ波は、家引き起こし、プロセスを不安定化するため防ぐ必要が庭用の電子レンジのような従来の加熱用途に加えて、ある。過加熱の例としては、気泡の核生成[1]、熱や化化学反応プロセスや分離工程等への産業応用が期待さ

学反応の暴走[2, 3]があげられる。その結果、加熱の制れている。しかし、選択的加熱による過加熱や透過厚さ御と温度分布の予測は、マイクロ波の産業用応用にと6

JEMEA Journal Vol.6 (2022.12)って重要な課題である。

イクロ波加熱の分野では、その吸収レベルに関する無水などの極性溶媒にマイクロ波が吸収される場合、次元数が提案されていなかったため、他の加熱方法にその吸収度合いは均質とはならない。例えば、媒質内のみられるような簡便な相関式はなかった。近年、我々のマイクロ波の吸収は距離とともに指数関数的に減衰す研究において、マイクロ波局所加熱における熱エネルる。その結果、容器壁または気液もしくは液液界面の近ギー集中の指標として無次元数(As:アサクマ数)を提案

く溶液は、その内部よりも速く加熱されるため、透過厚した[12]。例えば、As 数は、このエネルギー集中によるさが重要な因子となる。透過厚さと同サイズ程度の小界面活性剤の脱着などの界面改質の評価に役立つこと

さな容器の場合、マイクロ波は溶液全体に吸収され、加が示されている。同時に、攪拌がない場合の沸騰の有無熱される。一方、より大きな容器の場合、マイクロ波吸の指標でも有効である[13]。さらに、マイクロ波加熱に収によって容器壁や界面近傍の溶液のみが先に加熱さ関する無次元数と他の熱流体に関する無次元数から、れ、内部の加熱は伝導伝熱と対流伝熱となる。このようマイクロ波加熱において温度分布を予想できる相関式に、透過厚さ内の発熱によって温度勾配が強く生じるを導入できている[14]。一方で、マイクロ波加熱システ

場合、均一な温度分布を得るためには攪拌が必要となムのスケールアップや設計に向けて、マイクロ波出力る[4]。しかし、マイクロ波による局所加熱の度合いやの影響が不十分であり、課題が示された。そこで、本研

均一な温度分布を得るために必要とされる攪拌条件は究では、マイクロ波出力を変更し、提案された無次元数定量化されていない。例えば、マイクロ波加熱の分野でを含む相関式の高精度化を図ることを目的とする。

数値シミュレーションが多用されているものの[5,6]、2.実験装置

流体と熱移動を組み合わせた連成解析は必ずしも十分とは言えず、マイクロ波の産業用に対して必ずしも実本研究では、攪拌速度、マイクロ波照射出力の異なる用的なレベルとなっていない。また、数値解析では槽内状態で、水溶液の加熱速度および沸騰までの時間を測の中心温度を予想できるものの、自然対流や強制対流定する。まず、マイクロ波導波管（四国計測㈱社製、電は含まれていないため精度が問題となる[7]。特に、気界集中型 2.45 GHz）の中心に、円筒形のガラス容器（直液界面付近でのマイクロ波加熱は、界面からの沸騰の径 35 mm、高さ 62 mm）を設置する（Fig.1(a)）
。発振器ために複雑となり[8]、また、様々な対流が界面付近のの反対側に反射板があり、照射時の溶液の温度上昇が温度分布を乱す[9]。このように、マイクロ波が引き起最大となるように、その反射板位置を調整している。導

こす界面での熱エネルギー集中度合いを正確に評価し、波管の上部に円筒部分があるものの、寸胴の蓋をとり界面近傍での熱収支を厳密に評価する必要がある。今つけ導波管内の矩形のスペースは確保しており、比較回の研究では、種々の無次元数を用い、攪拌とマイクロ的安定な電磁界部分となっている。今回、すべての実験

波照射中の温度分布を検討できるモデルを開発するこにおいて、沸騰させる水溶液の体積は一定としたとを目的とする。

。導波管の側部に小窓があり、照射中の沸（Vt=30 mL）

一般に、流体力学や熱および物質移動の分野では、騰挙動を観察することができる[13,14]。Fig.1(b)のよう様々な無次元数が使用されている。無次元数は、計算コに、円筒形の攪拌子(ds=0.024 m)を容器の底に置き、回ストを削減し、必要な加熱量や操作方法を予測できる転速度(nm [rpm], ns [1/s])を変化させた。この攪拌状態は、ことから、パラメータ入力として簡易モデルや数値シ次式のように攪拌レイノルズ数で評価できる[14]。

ミュレーションで重要な役割を果たす。例えば、流体のヌッセルト数(Nu)[10]として説明できる。また、Nu 数に𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑑𝑑𝑠𝑠 (𝜋𝜋𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑠𝑠 )⁄𝜈𝜈はレイノルズ数(Re)とプラントル数(Pr)を含む経験式

ロ波局所加熱のレベルは、次式のアサクマ数 (As)[12]でが提案されており、熱交換器や化学反応器などの設計説明できる。

境界層内の熱伝達は、対流伝熱と伝導伝熱の比である(1)

ここで、νは液体の動粘度[m2/s]である。また、マイクと最適化に重要な役割を果たしている[11]。一方で、マ7

JEMEA Journal Vol.6 (2022.12)

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑊𝑊⁄�𝐻𝐻𝑑𝑑𝑝𝑝 𝛼𝛼𝛼𝛼�

して 2 つの例を示す。この加熱速度は、出力、攪拌速(2)度、電解質濃度で異なる。攪拌速度が遅く、高出力およ

ここで、W、H、α、ρは、マイクロ波出力[J/s]、蒸発潜

び高 NaCl 濃度の場合、速く沸騰に達する。一方で、攪

熱[J/kg]、熱拡散率[m2/s]、液体の密度[kg/m3]である。ま拌速度が速く、低出力で NaCl 濃度が薄い場合は、マイた、dp は透過厚さであり、水溶液の NaCl 濃度によってクロ波から加えられる熱エネルギーが均一となり、加変化し、次式から算出する。

熱速度が遅く沸騰までの時間が長くなる。このように、沸騰までの時間や加熱速度は、攪拌速度に依存する。各𝑑𝑑 = 3.32 × 107 ⁄𝑓𝑓 √𝜀𝜀 ′ tan 𝛿𝛿

(3)

条件で加熱速度 r [K/s]は、温度上昇開始から沸騰時間までの温度の傾きとして計算される。今回、Re 数を定この透過厚さの算出式には、マイクロ波の周波数 f と義するため攪拌があり、容器が小さく、壁からの放熱量水溶液の比誘電率𝜀𝜀′、誘電損失角δが含まれている[15]。

が小さい条件では、加熱速度である傾きは一定となる。

例えば、室温での水と NaCl 水溶液(0.5 mol/l)の透過厚

なお、Re 数 60 以上では、一定の加熱速度が得られるこさ dp は、NaCl 水溶液の誘電特性を用いると[16]、それとを確認しているものの[14]、攪拌がない条件やより低ぞれ約 12 mm と 3 mm であった。

Re 数で高 NaCl 濃度の水溶液を高出力で加熱した場合、沸騰実験では、Table 1 に示すように、各マイクロ波バルク温度と自由表面の温度に大きな差がでることが出力 W に対して、回転速度 nm、および食塩水濃度 C を予想される。

変更し、加熱現象を観察する。例えば、溶液内の中心温度と自由表面での沸騰の有無を確認する。溶液の初期温度は室温であり、Fig.1(b)に示すように、光ファイバ

光ファイバー温度計

ー(安立計器㈱)によって照射中の容器中央の溶液の温ガラスセル度を測定し、その履歴から加熱速度 r [K/s]を算出した。

ライト

容器の底から先端までの距離は 25 mm である。沸騰が確認されるまで、100-800 W のマイクロ波を照射する。

54.6

なお、Table 1 の条件において、(1)式と(2)式で算出した

カメラ

Re 数および As 数は、それぞれ 1079～4314、 24.81～109.2(a) Microwave reactor

2094 の間で変化する。なお、より低 Re 数の場合は、攪拌子を小さくすることで対応でき、Re=60 以上での実光ファイバー温度計

験の有効性を前報[14]で確認済である。今回は、出力のマイクロ波影響を検討するため、攪拌子の大きさは固定した。
照射中の自由表面付近の様子は、導波管側部のカメ
ラよって確認できる。Fig.2 に、動画から抽出された界面付近の画像の(a)照射前、(b)沸騰時の計 3 例を示す。

放射温度計

例えば、(b)左図では、攪拌が強い場合は比較的静かに沸騰する。一方で、(b)右図ではマイクロ波によるエネガラス容器ルギー集中が強い時、自由界面が激しく乱れる。いずれにおいても、沸騰挙動を容易に確認でき、沸騰までの時(b) Glass cell

間 tb [s]を各条件で計測した。特に、透過厚さが薄い場

Fig. 1: Experimental set-up

合、界面近傍での発熱量が大きく、局所的に熱エネルギーが集中するため沸騰が速く起こる。
Fig.3 に、マイクロ波照射中の溶液の温度の履歴に関8攪拌子JEMEA Journal Vol.6 (2022.12)

𝑞𝑞2 = 𝑉𝑉𝑡𝑡 𝜌𝜌𝐶𝐶𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑡𝑡𝑏𝑏

Table 1 Operating conditions
Microwave power [W]100, 200, 400, 600, 800

Stirrer speed, nm [rpm]100, 200, 300, 400

NaClconcentration,C(5)Vt と r は、全液量とそれぞれ Fig.3 の直線から求められる加熱速度となる。
この時、比 q2/q1 は、マイクロ波照射中の温度分布の0, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1不均一性・均一性、つまり、エネルギー集中度合となり、[mol/l]

値が大きいほうが不均一加熱を、1 に近い場合は、均一加熱を示している。また、Fig.4 (a)に示すように、透過厚さが薄い場合、厚さ内の溶液は溶液内部よりも速く加熱される。この場合、溶液内部の温度は 100 ℃より低いものの、沸騰は自由界面から突沸のように起こる。
一方、Fig.4(b)のように、透過厚さ内での発熱領域の熱(a) Before heating (b) After boiling

移動が攪拌によって促進されると、より均一な温度分

Fig. 2: Images of interface

布が得られる。このように、透過厚さに加えて、温度分

Tempareture [℃]

布は、攪拌速度等の攪拌条件に強く影響を受けること120になる。従って、この温度分布は熱エネルギー集中度合

100いの指標である As 数と、攪拌の指標である Re 数の両80方に依存すると仮定し、最近の研究において、次式を提60案した[14]。

40100W, 400rpm, C=020800W, 100rpm, C=10050100Time [s]150𝑞𝑞2 ⁄𝑞𝑞1 − 1 = 𝑎𝑎𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑏𝑏 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑐𝑐

ここで、a、b、c は、Table 1 に示したすべての実験デ200ータに対してパラメータフィッティングすることによって得られる。

Fig. 3: Temperature profiles during microwave hearing

マイクロ波照射による加熱の場合も通常加熱と同様に熱損失を考慮する必要がある。この熱損失には、容器

3. 温度分布の評価

壁面および自由界面からの放熱の 2 つがあげられる。

温度分布の均一性を評価するために、2 種類の熱エネ

壁からの熱損失は周囲の空気の自然対流によって引きルギーを計算した。まず、マイクロ波エネルギーは、容起こされる。赤外放射温度計を用い、照射中の容器壁の器壁と上部の自由界面からの透過厚さ dp 内の容積 Vp

平均温度を測定したところ、壁の温度は常に内部温度(Fig.4)で消費されると仮定し、総エネルギーq1 [J]は次式

Tb よりも低いことがわかった。垂直面に関する空気ので計算される。

𝑞𝑞1 = 𝑉𝑉𝑝𝑝 𝜌𝜌𝐶𝐶𝑝𝑝 ∆𝑇𝑇(6)自然対流伝熱の熱伝達係数 hwall は約 3 W/m2K であり、

(4)壁からの総熱損失(Awhwall∆T, Aw:円筒側部の面積)はマイ
クロ波吸収熱量 q2 の数％程度で十分小さいことがわか

ここで、ρ、Cp は溶液の密度[kg/m3]と比熱[J/(kgK)]で、る。一方、上部の自由界面からの熱損失は、対流伝熱お∆T は沸騰面(100 °C)と初期温度の温度差とする。
なお、よび後述の蒸発潜熱である[16]。同様に、上部からの対沸騰実験は大気圧下で行われたため、表面の沸点は流伝熱は小さいと考えられ、蒸発による熱移動は重要

100 °C とした。

であると考えられるものの、今回は考慮しなかった。

次に、平均マイクロ波吸収エネルギーq2 [J]を計算する。この q2 の値は、沸騰までの照射時間 tb [s]内での容器内の溶液全体の加熱を表し、次式で計算される。

9

JEMEA Journal Vol.6 (2022.12)と思われる。
108(b)

Wider

penetration
q2/q1-1(a) Thinner penetration depth

depthFig. 4: Images of temperature distribution in solution

6424. 結果と考察

0Fig.5 に、例として 200 W および 400 W において、マ0246aRebAsc

810246aRebAsc810

イクロ波と攪拌の相関関係を示す。プロットの形状は
攪拌速度(△：100 rpm、□：200 rpm、◇：300 rpm、〇：(a) 200 W

400 rpm)を示している。また、色の濃さは NaCl 濃度 Cで、白抜きプロットは純水、塗りつぶしプロットは 110mol/l を示している。横軸は、それぞれ a, b, c の値を入8q2/q1-1

れ、実験条件および物性値から得られる各 Re 数、As 数から算出した(6)式右辺の値、縦軸は、実験データから(4)(5)式により q1, q2 を求めた(6)式の左辺の値となる。

64

図中の対角の直線にプロットがより近いほうが、パラ2メータフィッティグできたことを意味している。いず0れの出力の条件においても、a = 0.065、b = -0.15 におい0て、良好な相関関係を示し、線形関係が得られた。一方で、c の値は各出力で異なった。Fig.6 に、出力と c の(b) 400 W
Fig.5: Fitting curve of experimental data and Eq.(5)関係を示す。c は正の値であり、温度分布の均一性に対する As 数の逆の影響を示す。NaCl 濃度が高い場合(1mol/l)、例えば As 数が高いほど、透過厚さは薄くなり、1.2界面でのマイクロ波の熱エネルギーの集中が強く、分1Parameter, c布は不均一になる。このとき、比率 q2/q1 は 1 よりもはるかに大きくなる。逆に、純水に近く透過厚さが厚い場合は、q2/q1 は 1 に近くなり、均一加熱に近づく。一方、攪拌の効果は均一加熱を促進するため、b は負となる。
なお、今回、比較的高 Re 数における攪拌での沸騰実験

0.80.60.40.20を行っており、良好な相関関係が得られた。攪拌が弱い条件ではより局所加熱が顕著になり、直線関係からは0200400600

Power [W]

800

1000

Fig.6: Relation between parameter, c and power

ずれることが予想され、Re 数の適用範囲には注意が必要である。特に、Re 数が 60 以下で 800W のような高出力加熱では、相関関係が得られない可能性がある。例

マイクロ波による熱エネルギーは、主に透過厚さ内えば、パラメータフィッティングする際に Fig.3 におで消費される。界面での熱エネルギー密度を下げ、温度ける加熱速度の直線関係が得られることが重要であるの均一性を達成するために、攪拌が必要となる。式(6)10

JEMEA Journal Vol.6 (2022.12)は、温度分布の均一性を予想するために有効な相関式を変化させてマイクロ波加熱の均一性を検討した。攪

である。このように、本モデルは、特定のマイクロ波出拌の指標である Re 数とマイクロ波局所加熱の指標で力に対して必要な攪拌を推定することができた。一方

ある As 数を組み合わせることで、温度分布を予測できで、出力とともに、パラメータ c が減少することに注た。相関式によると、透過厚さが薄い水溶液を加熱する意する必要がある。今回の熱収支の計算の仮定では、容場合、浴槽内の温度分布を均一にするためには、高 Re器上部の自由界面からの蒸発(相変化)による熱損失は数による攪拌が必要となる。この無次元数を含む相関蒸発量を測定していないことから算出できなかったた

式は、マイクロ波加熱を工業プロセスに適用する場合、め考慮していない。一般的に、通常加熱における水の沸均一な温度分布を得るためのマイクロ波操作条件の選騰に関する熱伝達係数 hcv は 2×104 W/m2K 程度と、上述定に役立つと考えられる。一方で、このモデル式に出力の壁からの熱伝達係数 hwall (約 3 W/m K)よりも極端にの影響、特に、自由表面からの蒸発による熱損失を正確大きい。強制対流がなかったとしても、高温の蒸気によに考慮する必要があり、今後の課題として示唆された。

2る比重差のため浮力による自然対流で熱が自由界面から放出されていく。そのため、沸騰した時点での熱損失引用文献は無視できないほど大きくなると考えられる。通常加[1]G.L. Lee, M.C. Law, V.C.C. Lee, Numerical

熱においては、自由界面付近での温度は加熱壁面でのmodelling and investigation of microwave heating

温度を下回り沸点より低いため、沸騰開始まで蒸発にand boiling phenomena in binary liquid mixtures

よる熱損失は小さい。一方で、マイクロ波加熱の場合、

using OpenFOAM, International Journal of Thermal

自由表面上の水分子は振動・回転はバルク内よりも激Sciences, 159 (2021) 106538.
[2]

しく、通常加熱と比べて照射開始時から蒸発しやすい

Z. Tang, T. Hong, Y. Liao, F. Chen, J. Ye, H. Zhu, K.

ものと考えられる。水の場合、蒸発すれば、マイクロ波

Huang, Frequency-selected method to improveのエネルギーが蒸発潜熱(2259 J/g)として消費されるこ

microwave heating performance, Applied Thermalとになる。この現象は出力に大きく依存するため、各出Engineering, 131 (2018) 642–648.
[3]

力に対してパラメータ c が変化したものと考えられる。

S. Horikoshi, M. Kamata, T. Sumi, N. Serpone,

つまり、出力が高いほど蒸発量が多く、その潜熱によるSelective heating of Pd/AC catalyst in heterogeneous

熱損失の影響が大きくなった。特に、通常加熱と異なりsystems for the microwave-assisted continuous

マイクロ波加熱では、照射開始直後から自由界面でのhydrogen

蒸発が考えられる。今後、各出力において、時間ごとのTemperature distribution in the fixed-bed reactor,蒸発量を算出して、蒸発潜熱による放熱を正確に考慮

International Journal of Hydrogen Energy, 41 (2016)

する必要がある。さらに、マイクロ波照射時の自由表面

12029–12037.
[4]での蒸発に関する熱伝達係数 hMW は通常加熱の hcv よevolution

fromorganic

hydrides:H. Zhu, J. Ye, T. Gulati, Y. Yang, Y. Liao, Y. Yang, K.

りもさらに大きいことが想定される。そのため、正確なHuang, Dynamic analysis of continuous-flow

熱収支を得ることで、この出力で変化すると考えられ

microwave reactor with a screw propeller, Applied

る係数 hMW を算出し、(6)式の相関式の高精度化を図る

Thermal Engineering, 123 (2017) 1456–1461.
[5]

ことが今後の課題である。つまり、(4)式の q1 に上部かS.Wu, Y.Song, X.Wang, J.Xu, B.Xiao, K.Qiao,

らの相変化(蒸発)を伴う熱損失が AshMW∆T (As:自由界面Simulation and optimization of heating rate andの面積)として加算され、今回の相関式で可変となった

thermal uniformity of microwave reactor for biomass

パラメータ c が固定できば、より便利な相関式となる。

pyrolysis, Chemical Engineering Science, 250,(2022) 117386.
[6]

5. 結論
本研究では、マイクロ波出力、攪拌条件と NaCl 濃度

Q.Yi, J.Lan, J.Ye, H.Zhu, Y.Yang, Y.Wu, K.Huang, A
simulation method of coupled model for a microwave

11JEMEA Journal Vol.6 (2022.12)

heatingprocess

withmultiple

movingmicrowave reactor during mixing, Thermal Scienceelements,Chemical Engineering Science, 231 (2021)

and Engineering Progress, 29 (2022) 101206.

116339.
[7][15]

V.R. Romano, F. Marra, U. Tammaro, Modelling of

the magnetic field component of the microwave

microwave heating of foodstuff: Study on theradiation on aqueous electrolyte solutions, Journal ofinfluence of sample dimensions with a FEM

Microwave Power and Electromagnetic Energy, 46approach, Journal of Food Engineering, 71 (2005)(2012) 215–228.

233 - 241.
[8]

S. Horikoshi, T. Sumi, N. Serpone, Unusual effect of[16]T. Meissner, F.J. Wentz, The complex dielectric

Y. Asakuma, R. Nakata, M. Asada, Y. Kanazawa, C.

constant of pure and seawater from microwave

Phan, Bubble formation and interface phenomena ofsatellite observations, IIEEE Transactions on

aqueous solution under microwave irradiation,Geoscience and Remote Sensing, 42 1836-1849

International Journal of Heat and Mass Transfer, 103(2004)(2016) 411–416.
[9]

R. Pasquetti, P. Cerisier, C. Le Niliot, Laboratory andManuscript received:

Apr. 15, 2022

numerical investigations on Bénard-Marangoni

Revised:Apr. 27, 2022

convection in circular vessels, Physics of Fluids, 14

Accepted:May 10, 2022

(2002) 277–288.
[10]

M. Mac Giolla Eain, V. Egan, J. Punch, Local Nusselt
number enhancements in liquid-liquid Taylor flows,
International Journal of Heat and Mass Transfer, 80(2015) 85–97.

[11]

K. Milani Shirvan, R. Ellahi, S. Mirzakhanlari, M.
Mamourian, Enhancement of heat transfer and heatexchanger effectiveness in a double pipe heatexchanger filled with porous media: Numericalsimulation and sensitivity analysis of turbulent fluid
flow, Applied Thermal Engineering, 109 (2016) 761–774.

[12]

S. Sonobe, Y. Shibata, Y. Asakuma, A. Hyde, C.
Nguyen, C. Phan, A dimensionless number for
microwave non-equilibrium local heating throughsurfactant desorption, Colloids and Surfaces, A:
Physicochemical and Engineering Aspects, 591(2020) 124560.

[13]

S. Sonobe, Y. Shibata, Y. Asakuma, A. Hyde, C. Phan,
Characterization of the microwave-induced boilingbehaviour at oil/water interface, International Journalof Heat and Mass Transfer, 159 (2020) 120107.

[14]

R.Yakata, S.Sonobe, Y.Asakuma, A.Hyde, C.Phan,
T.Sen, Characterisation of heating behaviour of a12