テンソル解析
一般相対性理論では座標系の変換に対して物理法則は不変という要請があるために、これに合った数学を使う必要があり、それがテンソルです。ここではテンソルの定義や関係をまとめてます (特殊相対性理論は知ってること前提)。
ほとんどが定義を並べているだけなので、より数学的な背景は「ベクトル、1-形式、テンソル」や「多様体」を見てください。
添え字の注意ですが、「テンソルの対称、反対称」までは特に明言しない限り、空間 (もしくは時空) の次元を任意に取ります。「測地線方程式」以降では逆に、明言しない限り 4 次元空間を使います。

一般相対性理論では、重力が存在しても任意の座標系で物理法則は同じになることが要求されています。この要求のためにテンソルが必要になります (座標系に依存しなく、曲がった空間にも使える数学)。これは共変性のことで (例えば運動方程式の形が変換の前後で同じ)、テンソルによる方程式は共変性を持ちます。
しかし、一般相対性理論を勉強する最初の頃はテンソルの関係をなんとなく暗記して、実際に使われているのを見ながらどんなものか知っていけばいいと思います。いきなりテンソルで悩むのは専門的に勉強していこうと思わない限り時間の無駄です。実際、一般相対性理論の結果としての物理を理解することが目的なら、テンソル解析なんかすっ飛ばしていいです。これを実践している本がジェームズ・ハートル著 (訳：牧野伸義) の「重力アインシュタインの一般相対性理論入門」です。この本だとテンソルの細かい説明が最後に出てきます。
テンソルに関する話を並べていきます。

• 座標変換
座標変換は 2 つの座標系をつなぐ変換です。例えば 4 次元空間において、x0 , x1 , x2 , x3 によって与えられる座標系と、x′0 , x′1 , x′2 , x′3 によって与えられる座標系とを

x′µ = f µ (x0 , x1 , x2 , x3 )(µ = 0, 1, 2, 3)xµ = g µ (x′0 , x′1 , x′2 , x′3 )(µ = 0, 1, 2, 3)

このように繋ぐものとして座標変換は定義されます。f µ , g µ はそれぞれが独立な 4 つの関数です。簡単に言えば、座標 xµ によって表現される空間上のある点を違う座標 x′µ で書くということです。さらに別の言い方をすれば、同じ点を異なった基底で見ていると言えます。
また、添え字が上についてる xµ は 3 次元ユークリッド空間で言えば、(x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z) に対応します。

xµ , x′µ の偏微分は∑ ∂xj ∂x′ii∂x′i ∂xk= δkj ,

∑ ∂x′j ∂xii

∂xi ∂x′kという関係を持っています。δji はクロネッカーデルタで{δji =11i=j0i ̸= j= δkj

と定義されます (添え字を上付きと下付きにしてるのは、共変、反変というより、慣習としての意味合いが強いです)。これは、偏微分の逆は分母と分子を入れ替えたものではないという性質からすぐには分かりづ
らいですが、座標変換の定義から

δji =∑ ∂xi ∂x′k
∂xi
∂g i (x′ ) ∑ ∂g i (x′ ) ∂x′k===jj′kj∂x∂x∂x∂x∂x′k ∂xjkkとなることから分かります。例えば、2 次元直交座標 (x, y) から 2 次元極座標 (r, θ) への変換を見ると、実際に∂x1 ∂x′i∂x ∂θ∂x ∂r+= cos2 θ + sin2 θ = 1=∂x′i ∂x1∂r ∂x ∂θ ∂x∂x∂r= cos θ ,= cos θ∂r∂x∂θsin θ∂x= −r sin θ ,=−∂θ∂xrとなっています。また、x′ から x への変換における n × n 行列のヤコビアン (i, j = 0, 1, 2, . . . , n)|J(x, x′ )| = |

∂xi|=
∂x′j

∂x1
∂x′1..
.

···
..
.

∂x1
∂x′n..
.

∂xn∂x′1···∂xn∂x′nからも分かります。| | は行列式です。|J(x, x)| = |J(x, x′ )||J(x′ , x)| という性質に、x = x、∂xj /∂x′i を行列A、∂x′i /∂xk を行列 A′ として入れれば|∑ ∂xj ∂x′i
∂xj′′|=|A||A|
=|AA|
=||
∂xk
∂x′i ∂xkiとなることからも分かります。
座標変換において、座標変換でのヤコビアン |∂xi /∂x′j | と |∂x′i /∂xj | が 0 にならないことが要求されます。0 になってしまうと線形代数の話から分かるように逆変換が出来ず、片方の座標系からもう一方への座標系への変換が一方通行になってしまうからです。

• スカラー
空間に存在する任意の点 x における値 f (x) はどんな座標系で見ようとも同じ点であるかぎり不変とされるのがスカラーです。これが最も単純な座標系に依存しない不変量です。
スカラーの座標を座標系 (x) から座標系 (x) に変換したときの値は、関数 f でなく違う関数 f によって表現されますがf (x) = f (x)2という関係を持ちます。これによって座標系に依存しない不変量であることが表現されます。ちなみに、このように f (x) と表されるものをスカラー場と呼びます。
例えば、線素 (line element)ds の 2 乗は、計量テンソル gik によって

ds2 =

∑

gik dxi dxki,kと与えられ、計量テンソルの項で触れますが、座標変換に対して不変であるためにスカラーです。

• 反変ベクトル
座標系（x）でのある点のベクトル xi と、そこから微小移動させた点 xi + dxi を考えます。差 dxi が、違う座標系 (x) においてどう表現されるのかは、座標変換の定義から

dxi =∑ ∂f ij∂xjdxj =∑ ∂xi∂xjjdxjという変換則によって表されます。

xi は座標を表すものなので、次にこの座標を変数に持つベクトル V i (x) を考えます (ベクトル場)。dxi とi同じように、座標系 (x) でのベクトル V i (x) と座標系 (x) でのベクトル V (x) がiV =∑ ∂xij∂xjVj

このような変換で表せるものを反変ベクトル (contravariant vector) と呼びます。当たり前ですが、これを逆向きに書けばVi =∑ ∂xij∂xjVjとなります。

• 共変ベクトル
適当なスカラー f (x) を用意します。これの ∂f (x)/∂xi の変換は偏微分の規則から∑ ∂xj ∂f∑ ∂xj ∂f∂f==ii ∂xj∂x∂x∂xi ∂xjjj∑ ∂xj ∂f∑ ∂xj ∂f∂f==∂xi
∂xi ∂xj∂xi ∂xjjjとなります。(f (x) = f (x))。そして、これと同じ変換則3∑ ∂xj

Vi =

∂xij

Vi =

∑ ∂xj
∂xijVjVjで表されるものを共変ベクトル (covariant vector) と呼びます。
微分 ∂/∂xi は共変ベクトル、∂/∂xi は反変ベクトルの変換規則に従います。微分では ∂/∂xi の添え字はxi のように上付きになっていますが、共変ベクトルなので実際には下付きです。共変と反変をはっきりさせるために記号として ∂/∂xi = ∂i 、∂/∂xi = ∂ i というのがよく使われます。

• 反変ベクトルと共変ベクトルの内積
共変ベクトル Ai 、反変ベクトル B i の内積はP =∑Ai B iiと書くことができます。これに対して、座標変換したときの内積P =∑Ai Biiがどうなるのか求めます。共変と反変の変換則から∑ ∂xk∂xi,j,kiAk∂xi j ∑ ∂xk ∂xi
B =Ak B j∂xj∂xi ∂xj(Ai =i,j,k∑ ∂xkik∂xi

Ak , B =∑ ∂xij∂xjBj )この微分部分は座標変換の項で出てきたように∑ ∂xk ∂xi
∂xk= δjk =j∂x∂xi ∂xjiとして、クロネッカーデルタになります。添え字の j がクロネッカーデルタの下についているように、微分演算子 ∂/∂xj は、添え字が下付きの量であるというのには注意してください (∂/∂xj では上付き)。
よって、内積はP =∑j,kδjk Ak B j =∑Aj B j = P(δjk Ak = Aj )jとなり、変換の前後で同じです。内積は座標変換で不変なのでスカラーです。

4• アインシュタインの規約
添え字に対する和の記号 Σ が大量に出てきて煩わしいのでVi =∑ ∂xjj∂xi

Vj ⇒ V i =∂xj
Vj∂xiとして、Σ を省くことをアインシュタインの規約と言います。和を取っている添え字 j のことをダミーインデックス (dummy index) と言い、そうでない添え字をフリーインデックス (free index) と言います。ダミーとついているのは

Vi =

∂xj
∂xkV=
Vkj∂xi∂xiのように添え字の文字を j → k としても結果に何も影響を与えないからです。なので、ダミーインデックスの文字は計算の途中に好き勝手に変えていいです。
また、一般相対論でアインシュタインの規約が行われるのは一般的に添え字が上下に現れるときで、別の例として ds2 では

ds2 =∑gik dxi dxk ⇒ ds2 = gik dxi dxki,kのように書けます。定義によっては添え字が上下に分かれていない時にもΣを省いて書いてあるものもある
ので気をつけたほうがいいです。
アインシュタインの規約は便利なので他の分野で使われています。

• テンソル
あからさまに分かりづらいですが

j1
j2
jb···iaB(2)· · · B(b))
P = (Tji11ji22···j)(Ai1 Ai2 · · · Aia )(B(1)
b(1)

(2)

(a)

として多重積を作ります。左辺の P はスカラーで、右辺で (T )(A · · · )(B · · · ) のように括弧をつけているの(1)は区別をはっきりさせるためです。Ai1 は (1) でのベクトルの i1 成分のことを表します。なので、A(1) とA(2) は違うベクトルで、下についている添え字がベクトルの成分を表わしています。この式を満たすような···ia
Tji11ji22···jのことを (a + b) 階テンソル (tensor of rank (a+b)) と言います。例えば、T i1 i2 を 2 階の反変テンbソル、Tj1 j2 を 2 階の共変テンソル、Tji11 を 2 階の混合テンソルと言います。一般に l 階の反変テンソルを(l, 0) 型、k 階の共変テンソルを (0, k) 型、混合テンソルでは (l.k) 型と言います。0 階のテンソルはスカラーです。線素ds2 = gik dxi dxk

での計量 gik は 2 階共変テンソルです。

5ここでははっきりと分からない注意をしておきます。v をベクトル、vi をベクトルの成分と言うように、···ia
T をテンソル、Tji11ji22···jをテンソルの成分と言います。そして、ベクトルが座標変換に対して不変と言うとb

きは v を指すように、テンソルは座標変換に対して不変と言うときは T のことを指します (「ベクトル、1形式、テンソル」参照)。しかし、テンソルの座標変換に対する不変性は今与えた変換則に従うものをテンソルと定義することと同じで、大抵は変換則からテンソルかどうか判別するので、実用上は気にする必要がないです。
計量テンソルの細かい話もしておきます。テンソルはki
B(2)P = Tik B(1)として定義されており、(1),(2) と付いているようにこの二つは違うベクトルとされています。dxi , dxk は添え字が違うだけで同じ反変ベクトルなので、微妙にテンソルの定義が異なっています。実際にうなのかは、

dx(1) , dx(2) の任意の二つのベクトルによって dx が作られているとして計算してみればわかって

ds2=

gik (dxi(1) + dxi(2) )(dxk(1) + dxk(2) )=gik dxi(1) dxk(1) + gik dxi(2) dxk(2) + 2gik dxi(1) dxk(2)

第一項、第二項はスカラーと分かります。一方で、左辺はスカラーなので、第三項もスカラーでなくてはならないことから、gik は 2 階の共変テンソルとなります。

• テンソルの変換則
テンソルの変換はi1 i2 ···ia

(1)

(a)

j1

jb

(T j1 j2 ···jb )(Ai1 · · · Aia )(B (1) · · · B (b) )j1j2
jb···ia
B(2)= (Tji11ji22···j)(Ai1 Ai2 · · · Aia )(B(1)· · · B(b))
b(1)

(2)

(a)となるように行われます。これの左辺に共変と反変ベクトルの変換則を適用させれば

i1 ···ia(T j1 ···jb )(

∂xm1
∂xjb
∂xma∂xj1n1nb(1) (2)(a)···)(B (1) · · · B (b) )···)(AA···A)(
m1 m2ma
i1iann1b∂x∂x∂x∂xnan1···ma(a)= (Tnm11···n)(A(1)
m1 · · · Ama )(B(1) · · · B(b) )b

右辺の添え字は自由に変えられるので、こうしても問題ないです。そうすると

i1 ···ia

T j1 ···jb (∂xjb∂xm1∂xma ∂xj1···ma······)() = Tnm11···nb
∂xnb
∂xi1
∂xia ∂xn1

これに6(∂xk1∂xka ∂xn1∂xnb···)(···)∂xm1∂xma ∂xl1∂xlbを掛けてやれば

k1 ···ka

T l1 ···lb = (∂xka ∂xn1
∂xnb m1 ···ma∂xk1···)(···)Tn1 ···nb∂xm1∂xma ∂xl1∂xlbとなり、これがテンソルの変換則になります。例えば

ij

Tk =

∂xi ∂xj ∂xc abT∂xa ∂xb ∂xk cとなっています。ついでに線形性より

aTcab + bScab = Ucab
このように添え字が等しいもの同士を足せばまたテンソルになります (a, b は任意の定数)。
特に変なことでもなく話の流れから当たり前のことですが、この変換則からわかるように、もしテンソルT と T ′ がある座標系で等しかったら (テンソルの成分でなくテンソル)、他のあらゆる座標系においても Tと T ′ は等しくなります。こういったことから、テンソルだと分かっているいくつかの量が等しいことを導きたいなら、最も証明しやすい座標系を選ぶことが可能です。

• テンソル積
テンソル同士の積である

Gαβµν= Tγαβ S µνγというものを考えます。これがある座標系では

αβµν

Gγ

αβ= Tγ Sµνになっているとして、テンソルの変換則を使って

αβµν

αβµν

Tγ S=∂xα ∂xβ ∂xk ij ∂xµ ∂xν lmST∂xi ∂xj ∂xγ k ∂xl ∂xm=∂xα ∂xβ ∂xk ∂xµ ∂xν ijlmG∂xi ∂xj ∂xγ ∂xl ∂xm kG に変えればTγ S7なのでαβµνGγ=∂xα ∂xβ ∂xµ ∂xν ∂xk ijlmG∂xi ∂xj ∂xl ∂xm ∂xγ kとなることがわかります。これによって、２つのテンソルによる Tγαβ S µν = Gαβµνはテンソルと示せたこと
γになります。このようなテンソル同士の積はテンソル積と呼ばれます (もっと数学的な定義は「補足：多様体」参照)。もっと単純なのはベクトル Vi , Wj によるテンソル積は 2 階のテンソル Tij となります。

• テンソルの分解
n 次元空間で階数が q > 1 のテンソルは、q 個によるベクトルのテンソル積を足していくという形で書けます。そして、その分解されたテンソルのベクトル積の最低数は nq−1 となっています。証明は省きます。
例えば、4 次元における 2 階のテンソルはkkkk
T ik = Ai(1) B(1)+ Ai(2) B(2)+ Ai(3) B(3)+ Ai(4) B(4)と書けます (4 次元なので、42−1 = 4 項出てくる )。ここでも ( ) のついた添え字は違うベクトルを表します。
また、3 階の混合テンソルであれば(1)

kTjik = Ai(1) B(1)
Cj(2)

(16)

kk+ Ai(2) B(2)Cj · · · + Ai(16) B(16)Cjと書けます。(43−1 = 16)• 縮約テンソルとしてi i ···iµTj11j22···ja−1b−1 µのように添え字の一つが上下で等しいものを作ります。アインシュタインの規約から、µ の和を取るので、µは消えて 2 階低いテンソルになります（a + b − 2）。このことを縮約（contraction）と言います。2 階低くなることは、変換i1 ···ia−1 µT j1 ···jb−1 µ =( ∂xi1
∂xα1···∂xia−1 ∂xµ )( ∂xβ1
∂xβb−1 ∂xβb ) α1 ···αa···Tβ1 ···βbjαα∂x a−1 ∂x a
∂x 1
∂xjb−1 ∂xµを見れば分かります。これに出てきている µ の部分は∂xµ ∂xβb= δαβba∂xαa ∂xµというように潰れ、クロネッカーデルタによって βb = αa = ν となるので

8

i1 ···ia−1 µT j1 ···jb−1 µ =∂xi1∂xia−1 ∂xβ1
∂xβb−1 α1 ···αa−1 νT······j∂xα1∂xαa−1 ∂x 1
∂xjb−1 β1 ···βb−1 ν

これから、階数が (a − 1) + (b − 1) = a + b − 2 となります。具体的に書くと

i ···ii i ···iν

Sj11 ···ja−1= Tj11j22···ja−1b−1b−1 ν
また、縮約はΣ記号を省かずに書くとAjkl =∑ijBikliとなっています。

• 商定理 (Quotient Theorem)
ある任意のベクトル V jb があり···ia···ia jb
Sji11 ···j= Tji11···jVb−1b···ia···iaνとしたとき、Sji11 ···jがテンソルなら Tji11···jもテンソルです。一般的には、任意のテンソル Rijab ···j···iµ としてb−1bi ···ii ···ii ···ijb ···jνa−1 aµSj11 ···ja−1= (Tj11···jb−1jb ···jν )(Ria ···iµ )b−1i ···ii ···ia−1 aµがテンソルなら、Tj11···jb−1jb ···jν はテンソルになります。簡単に示しておきます。

簡単にするために

Sa1 a2 ···an = Ta1 ···an b V bの場合を使います。Sa1 a2 ···an がテンソルなら、テンソルの変換則から

bT a1 ···an b V = Ti1 ···in j∂xi1∂xin ∂xj k ∂xb
Va1 · · ·∂x∂xan ∂xb∂xk= Ti1 ···in j∂xi1∂xin k j
V δka1 · · ·∂x∂xan= Ti1 ···in j∂xin j∂xi1Va1 · · ·∂x∂xan= Ti1 ···in j∂xi1∂xin ∂xj bVa1 · · ·∂x∂xan ∂xb

9bV は任意なので

T a1 ···an b = Ti1 ···in j∂xi1∂xin ∂xj
a1 · · ·∂x∂xan ∂xb

よって、Ti1 ···in j はテンソルの変換則に従っているので、Sa1 a2 ···an がテンソルなら Ta1 ···an b はテンソルです。

• 添え字の上げ下げテンソル T jk に 2 階の共変テンソル gik を作用させてT ji = gik T jkのように 2 階の混合テンソルにすることができます。また

gab gik T ak = Tbiのように反変を共変に変える作業も行えます。この 2 階の共変テンソル gik は基本テンソル (fundamentaltensor) と呼ばれ、テンソルの計算では多用されるものです。添え字を下げるものが出てきましたが、逆に添え字を上げるものは g ik になり、gik の逆行列にあたります。これを使えば

g ab g ik Tak = T biのように共変を反変に変えられます。添え字の上げ下げで注意することはTij = gik T jk , Tij = gik T kj
といったものは一般的には等しくなりません (例えば、T kj の添え字 k, j の入れ替えに対して符号が変わるものとか)。なので、表記としては

T ji = gik T jk , Ti j = gik T kj
このように添え字の位置をずらして書きます。T jk = T kj であればこんなことは気にしないでも大丈夫です。
ここで基本テンソルと言っているものは計量テンソル (計量空間の計量テンソル) のことです。なので、基本テンソルは一般相対性理論では対応する 4 次元空間の計量テンソルとなります。

• 計量テンソル
リーマン空間における計量テンソルは線素を作る時にds2 = gij dxi dxj
10として定義されます。特に D 次元ミンコフスキー空間では

g00 = +1 , g11 = −1 , g22 = −1 , g33 = −1 , · · · gD−1D−1 = −1となっています (もしくは g00 = −1, g11 = +1, · · · )。上付きと下付きの計量テンソルは逆行列の関係なので

gij g ik = δji
i = j ならトレースとなって空間の次元の数と一致します。例えば 4 次元ならgij g ij = 4となり、次元と一致します。
一般相対性理論の計算では計量の行列式 g = det gij がわりと頻繁に出てきます (gij の行列式であることに注意)。なので、行列式 g の微分を求めておきます。g ik と gik は逆行列の関係 (g ik gik = δii ) で、逆行列は余因子 ∆ik を使うことでg ik =∆ikgで求められます (数学の「行列」参照)。∆ik は gik の余因子です。余因子を使って行列式を表すと

g=∑gik ∆ikiと書けることから∂g
1 ∂g= ∆ik ,= g ik∂gikg ∂gikとなります。なので、行列式の計量の変化に対する変化量 dg はdg = gg ik dgikとなります。
この場合、gik dg ik = g ik dgik ではないことに気をつけてください。このことは、g ik gik = δii を使うと分かります。定数なので微分すれば 0 になることから

d(g ik gik ) = gik dg ik + g ik dgik = 011つまりgik dg ik = −g ik dgikのように添え字の上付き下付きを変えると符号が反転します。これを使えば

1 ∂g= −gikg ∂g ikとなっていることも分かります。同様に、gik g kj = δµν から∂g kj∂gik kjg+g=0ik∂xl∂xlというのも出てきます。
通常、計量テンソルの行列式は g = det gij のように下付きに対して定義され、g ij に対する行列式はgik g kj=δij

det(gik g kj )=det δijdet(gik ) det(g kj )

=

1kj

=

1

g det(g )より、det g kj = g −1 となります。

• テンソル密度テンソル密度 tij···ab··· はij···tmn··· =( ∂(x1 , x2 , · · · ) )W ∂xi xj∂xc ∂xd· · · m n · · · tab···cd···12ab∂x ∂x∂x ∂x∂(x , x , · · · )このような変換に従うものです。|∂(x1 , x2 , · · · )/∂(x1 , x2 , · · · )| はヤコビアンで∂(x1 , x2 , · · · )|=|∂(x1 , x2 , · · · )

∂x1
∂x12
∂x
∂x1..
.

∂x1
∂x22
∂x
∂x2..
.

······..

.

| | は行列式です。0 階のテンソル密度をスカラー密度、1 階のテンソル密度をベクトル密度と言います。例
えば、計量の行列式 det gij = |gij | = g は12

g = |g ij | = |gab∂xa ∂xb∂xa ∂xb∂xa| = |gab || i || j | = g| i |2ij∂x ∂x∂x ∂x∂xと書けるので W = 2 でのスカラー密度です。
ヤコビアンが計量の行列式 g になっているなら(−g)−W/2 tmn = (−g)−W/2ij∂xi xj∂xc ∂xd· · · m n · · · tab···cd···ab∂x ∂x∂x ∂x

ここで W = 1 のとき、tab···cd··· がtab···cd··· =

√

ab···
−gTcd···ab···ab···
このようになっていれば、Tcd···はテンソルの変換則に従うので、Tcd···はテンソルです。大抵の場合で、テ√ンソル密度といったときはこの形を指します。なぜなら、 −g は不変な体積要素を作る時に出てくるから√√です (「共変微分」参照)。 −gA ならスカラー密度、 −gAi ならベクトル密度です。

• クロネッカーデルタクロネッカーデルタの基本的な形は

{
δji =

1i=j0i ̸= j

トレースはD∑δii = Di=1

クロネッカーデルタはさらに拡張することができて

abδij= (δia δjb − δib δja ) =δia δibδja δjb| | は行列式です。同じようにして添え字の数を増やしていけます。例えば、6 個ならδia δib δic
abc
δijk=

δja δjb δjc
δka δkb δkcとなります。また、この構造から分かるように13 +1 a ̸= b , a = i , b = jabδij =−1 a ≠ b, b=i, a=j
0それ以外
 +1 a ̸= b ̸= c , i,j,k を固定して a,b,c が偶置換
abc
δijk=−1 a ≠ b ̸= c , i,j,k を固定して a,b,c が奇置換
0
それ以外添え字の数が増えても同じようになります。

• レヴィ・チビタテンソル
レヴィ・チビタ記号はいろいろなところに出てくる反対称な記号で、4 次元において

 +1 ijkl が偶置換
ϵijkl =−1 ijkl が奇置換
0
それ以外

反対称な記号なので添え字の文字が同じだと 0 になります (例えば、ϵ1123 = ϵ1223 = 0 とか)。
jikl
ここで、4 次元空間における 4 つのベクトル ξ(1), ξ(2), ξ(3), ξ(4)を用意します (括弧つきの添え字がベクトルの区別をしています)。これによって

jlik
D = ϵijkl ξ(1)
ξ(2)
ξ(3)
ξ(4)iというのを考えます (i, j, k, l は 1 ∼ 4)。これは ξ(a)の行列式に対応します。D の変換はベクトルの変換iξ (a) =∂xi l
ξ∂xl (a)によるのでD=∂(x1 , x2 , · · · )D∂(x1 , x2 , · · · )となっています。これとテンソル密度の式を比べると、D−1 はスカラー密度になっていることが分かりま√√す。よって、D−1 がスカラー密度なので −g で割ればスカラーになることから、 −gD はスカラーです。
√
つまり、両辺に −g をかけた

√

−gD =

√jikl−gϵijkl ξ(1)
ξ(2), ξ(3)
ξ(4)√√
これの左辺はスカラーであるために、 −gϵijkl はテンソルになっていなければいけません。そのため −gϵijkl√
をレヴィ・チビタテンソルと呼びます。また、 −g がついているので、すぐに ϵijkl はテンソル密度になっていることも分かり、レヴィ・チビタテンソル密度と呼んだりします (共変での)。式の形から分かるように、

14

W = +1 となっています。この話によって、±1 の値を持つのはレヴィ・チビタテンソル密度になっています。添え字が上付きの場合も同じように作ることができて、その場合ヤコビアンが逆になるだけなので、すぐに

1√ ϵijkl−gが反変でのレヴィ・チビタテンソルであることが分かります (W = −1)。
レヴィ・チビタテンソルはテンソルなので添え字の上げ下げが (レヴィ・チビタテンソルを eabcd , eabcd と書きます)

eijkl = gia gjb gkc gld eabcd

eijkl = g ia g jb g kc g ld eabcdと素直に行うことができます。この式から、共変でのレヴィ・チビタテンソル密度の値がどうなっているのか分かります。反変でのレヴィ・チビタ密度 ϵabcd が a, b, c, d = 1, 2, 3, 4 の並びに対して偶置換なら +1、奇置換なら −1 と定義し、i, j, k, l = 1, 2, 3, 4 としたときに1√ ϵijkl−g1 1234
√ ϵ−g√
= g ia g jb g kc g ld −gϵabcd√= g 1a g 2b g 3c g 4d −gϵabcd

g 1a g 2b g 3c g 4d ϵabcd は g ij の行列式なので

1√ ϵ1234−gϵ1234

=

1√
−gg

= −1

この結果から、ϵ1234 = +1 に対して ϵ1234 = −1 と分かり、他の場合も同様なので、符合が反転します。反変と共変のレヴィ・チビタテンソル密度の符号の定義は本によって違う場合があるので注意してください。さらに、ただの反対称な記号の意味で使っていることが多く、そのときは上付き、下付きで同じものです (計量で添え字の上げ下げを行ったものではない)。

15