〔問〕

昭 和 42年 度

(問題)

午前の部
1.

ニ組の正規母集団の平均値が等しいととの検定を行左いたい。方法とその理論的根拠を記せ。ただし，各母集団の分散は未知ではある治ヰ目等しいととがわかっているものとする。

2.

平均値勾指数分布くすなわち確率密度関数が α e̲ a.
z') ~したがう母集団からの任意抽出による標本 (X1，X2 ，・・・・・・， Xn.)が与えられたとき，

Y劫X時}{XI，X2，.…・・とbけば， Yは平均して刊〉の指数分布 K したがうととを証明せよ。

午後の部
F(x;α， s)をベータ分布関数とする。ナ左わち，(1~玉 x )￠‑J︑ 一np

一一丸︿一Brtt1111EFEtlit‑‑LQurα♂

F‑foo五( 0< ♂ <1 )〈♂三三日 〉とのとき， 0<p く 1， r = 1 ， 2 ， .
.
.
.
， n (nは自然数〉という条件のもと~，去h (1)Ph〈1‑pf‑hzF(p;T，n‑T+1)==rと左るととを証明せよ o4.

1
力 条件 AYJ= b ， Y孟 0

Y の目的関数の係数ベクトル(C~ついて， C = Cl)のときの任意の最適解を Y。とし， cz c1 のときの任意のもと~， max C'の最適解をYl1 とすれば，‑48‑

〔問〕(C 1 ‑ ((:0)'(y1 ‑ Y0 ) 主 Oであるととを証明せよ o付) X t を時刻 t をパラメーターとする確率~数(非負の整数値をとるものとする〉とする。

また時刻 tV
C沿いて Xtn である左らば時間区間(t， t+ん)で 1変化す左わち次c(t， t+ん〉の値 n+1への推移が起る確率は』ん+o(均忙等しく (1:>0)，さら vの間 VC2変化〈すなわち n十 2 への推移〕またはそれ与しとの変化の起る確率は o(h，)v
c等
しいものとし， p {Xo=とのとき， t:>Ovc
対しo}==1 とする。
P{Xt=n} を求めよ。

‑49‑

昭 和 42年 度

(解答)

午前の部
2つの母集団はそれぞれ N CP1，σ2)，N CP2， σ2) vcしたがうものとナる。

1.

NC
メII'σ2)vcしたがう母集団から標本 (X1，X2，・・・・Xm )， N(μ2'σ2)t'C
したがう母集団から標本 (Yl '，Y.
.
.
，.
.
.
.
， Y̲)が抽出されたとする。
2'n.
IY品σ2Xは N(p"ーー1" mZ=17Y一xmZZ一m1一xとなくと，，σ2ーcv，Yは N (P...
'一vしたがう2n )c)'1一ーoX， Yはたσ2σ2がい vc~虫立だから X ー Y は N メ(41‑P2'7J+7〉K したがう。

，田ユ‑}J (X.ー玄〉 ，VV

一方，

1

出くと，

2

勿i:l

E」‑ Z 〈Y.‑Y〉n毛V， 2 7 hはそれぞれ自由度 m ‑ 1 J ‑ M X 2分布 Kしたが(rσ&ーうo さら V
C， V" V はたがい K独立だから Z LV +」LV2 は自由度 m+n‑2のσ σ z2x分布 Kしたがう。ととで，

X‑ Yー〈メll‑P2)/σσ2T一一)
ν石す Vm+nー 2

X‑Y‑CP1‑ P2

折 nV1+72V2

V玄 芋7とb くと， Tは自由度 m + nー 2 の t分布忙したがう。しかも， Tは未知数係となる。さら Kいま帰無仮設 H。を

メt2
1= Pと$‑{と， HOが正しければ T は Pl，P2 V
Lも無関係となる。
‑50‑ivc無関

いま Sが自由度 m + n ‑ 2の t分布 Kしたがうものとして，

P(Isl>tα)= αを満足する tα を求めて$‑‑<。

H。が正しければ

p ( 1TI>ta) = αと左る o したがって，有意水準 αで次のよう左検定ができる oEJtA︑置︐︐.
︑ITI>ta 左らば Hoは棄却(2) I
TI~ta 左らば H。は棄却し左い。
(注)以上述べたととろでは，

Tはある程度天下 b的 K定義されたわけであるが，尤度比X2検定法を適用するとと Kすれば，上の検定法が直接導びかれる o すまわち， (X1，，，.
.
.
.
， Xm )， (Y1 ' Y2，・・・・， Y得〉の同時分布の確率密度関数はL( X1' ・・・・， X m ' Yl' ・・・・， y九;P1'μ2'σ2)

主主m(一去 {2〈3 4 ‑ P 1〉2+九一人 )2})=(ZF)4 e却
L.Uz=1~=1となる。 ととで・・・ ， X m ‑，Y1，.
.
.
.
， Yお〉
人〈♂ l' ・︿'∞∞pμ21
u=1 ︿SU246

L(x1，.
.
.
.
， Xm' Y1' …
・， Yπ ;P1，P2，σ2)

sup‑∞〈 μl'μ2<∞σ2<∞(末、L(♂l'・・・・，♂m'Y1'・・・・， Y;
PI，P2， σ2)叫を計算ナる oθ θθ。

まず分母は一一一‑L=0，一一一一 L = 0，一一‑"L=O を満足するメtl' P2

θメt1 θメt2

σ2を LVC代入してえられる。
‑51‑σZム ーO 18‑θ=ァ一一一 L=一一一 logL=てー2 ・E (η ‑Pl)から P=一一二ー =x1
υ 7‑=1mレ θメt1 θ メt.1

P2 =同様 K

27Y~

一一二nY。
。

さて目的は Lの最大値を計算するとと Kあるから，計算を楽Kするため一一一ァ L=O(J"θs σ と台いて，一一一一logL=O を用いるとと Kする oθSのかわ !
'JVC，2万三均 L 去(与同会 ‑÷{J(zt‑P1 2 dくれ ‑P汁〕〉

2m+n 1=‑T7‑7{zh‑pf+Z(yt‑P2f}m~=+nmx)+2'"(Yi̲Y)~' (xiー1 ) 2+2'(Yi‑ P2)2
メ.
1

方会L 0'
222+nFj× exp(:;tく〕の分子は1:(円 ‑山﹁(:;tく〉 の分母=一π
1一2とうして，+ nZ(34‑4E〕2十之J(Y4‑7〕2(-~γ)

るL(2弓，.
.
.
.
， X m，Y1'.
.
.
.，Y ;p，p，σ )=0叫を満足する P，σ 2 を L ( X1'・・・・，
X m ' Yl' •••，& Yn ;p，ρ，σ 2)K代入すればよい。結果は
m十 1~・1/.

』

m+nm+nとタしてγ去(‑ z ( 3 4 ‑ j Jkr+~(Yi---J
2x+2 .
2Jk)

0・m +)2(zs+Zγ2

九一﹁m+n︾L内R2'(x4ーゎ〈ロY4‑7)
2+ Z(2一?
?
コ:;'L)2mL)
2+ .
E(Y;:;i2'(η分は母内の山ケ/

さて， との式の(ーす:;Y)}2;‑‑τ:;Y)}2+Z{(yt‑7H(72'{(町一五)+(mm♂ +ny，2'y
九 一 仇x+n♂一J() +)2'(弓 ̲:;‑)2+L:
Eくれ ̲y)2+E ("yーi=1i=1m+nm+nーヲ〕2.)2+n(m(;;‑y2Zb‑Z〕2+Z〈yt‑7)2+m(nG.m+n )m+n+ヱ呉‑G‑7〕2Zh‑Z〉2du‑7〕2m;‑n/八=3F‑y)22yt‑7〕2'(♂ t‑zf+Z(有意水準 α Kなける尤度上院食定は，P (^ く 』 α ) αEI且‑︐︐••︑となるよう左 Aa をきめて
人 く え a まら Ha 左らH(2) 八二とえーーo を棄却を棄却しまいとするものである。 ととで八の形から明らか K‑53‑

p ( 八 く え α) = αとするのとpcIT¥>t ) =αaとするのは全〈同じととである。とうして前に述べた t分布 Kよる検定K帰着する。

2.

x > 0 ~対し00

71.

at〉川田(イ α e‑ dt)叫=〈 f fp (Y>♂〕 =H1P〈XiJ nα e‑n.
00e‑71.01.
:
1:国lltdts

す左わち，C/~(jYの確率密度関数は nα e.
‑n.a. と左る。
.
:
I:解〕
‑01.
:
1:

αnfC:x:)={0x>Ox三二 0とb くと， Y の確率密度関数は ， x>O~ 対しn (ffU〕山)九一 f(心= nしたがって，y‑1α e‑a=n (f~二 e4tdt(← e‑lltJ∞ )ト 1αeー 吋nα e
九一aYは平均値ーユーの指数分布K したがう。
nα‑54ー.
:l:

午後の部
3.

定義 KょpB(α ，β 〕=/lr‑1(1‑tf‑1 4tとれを部分積分すれば

へ

a 1t ‑ (1̲t)

うL
Jta‑2(1‑tfdt
a‑130+

α‑1s B (α ‑1， s+1)である。との計算を繰 b返えして行けば

α‑2
一一一 B(α ー 2，s+2)
B(α ー 1，s+1)=一s+1

B (2，s+α‑2)=̲ B(1，s+α‑1 )
α+β‑2が得られる。とこでB (1，α+8‑1HfI(1‑tT+F‑2dt=(α +s‑1)
ー1であるから，上記の諸式を辺々相乗ずるとと Kよ bn1‑くす ‑p)
n01 ・1‑t)B‑1(1. n) ( ‑ 〈¥ I~ (，) )

aqE

ト1J‑

F(p;1， n)=B‑l(1， n〉fp(1‑t) 1dt

ご回・﹀

Qurが得られる。以下では問題を数学的帰納法を用いて証明する。

B‑' (1， n )Is(，9+1)…・・・〈 α+8.‑1)

AP一1(一一)
一+一・一α1
一一︿〆sk‑(α ー 1)r

α一B(α ，s)=EJRd

1ー (1‑ p)

岱

しかる K

2(1}Ph(1-p 〉ぉ -tZ2(;)ph(1-p 〉九 -k ー (~)pO(1_p) 九k~lk~o-"

J一 (1‑p)(p+(1‑p)符

1ー (1‑p)叫とれで γのとき Kついては証明された。つぎ~r1・・・・， .
.
6‑1田v
cついては等式は正しいと仮定して， T =.
.
dV
Cついて証明する。
p1 •.
.
6̲ 1 .

̲ "‑̲..6F (p ;.
6， n‑.
.
6十 1)=B‑'(A， n‑.
.
6十 1)ft~-l (1‑t)n ‑.o，dt=

B‑1 (.
6， n‑.6+1){一(tA‑1(1‑t〉a‑A+1pn‑..d+10+二+1JptA‑2〈1 ‑ t f峠 1 れ}

nt
.
.
6‑1
11‑‑.
.
6+1‑ ‑ ‑ ‑t
(1‑t)
(.
.
d‑1)t(n‑.
.
.
6+1)tP+ B‑t(.
.
.
6‑1，n‑.6+2)f.t ‑2 (1‑t)

い.
.
6t

A十 1 ，dととで帰納法の仮定を用いて=一(ム)ドー 1( 1‑t)+ 三 (~) Pk(1‑p) h+111‑‑.
.
6トk~ .ð -li(~) pk(1一Pk~ ..6とれで)11九‑ト.一‑'kT =1，…・ ，n K
ついて等式が成り立っととが証明できた。

‑56ー【知j解 1)
証明すべき等式の左辺を pで微分すると ， tr‑1( 1̲t)n.‑r は tの連続函数だから，B‑1 (r，n‑ r+1)Pr‑I (1‑P )九 イ
前解で得た結果

B ( r， n‑r+1)(r‑1 ) I(n‑ r) 1 /n I を用いれば

巴nγ‑1Cr ‑1) ! Cn‑r)! pC1‑p)九 イ

一方右辺を pで微分すると2(η)hph‑1(1‑pT‑h‑31(n)〈n‑h〉Fh(1‑py‑h‑1:r¥kI ".l.
l‑ .
k‑‑=‑r¥k710n k九hnk，. n‑k‑l-p-1 〈 1-p 〉ー-~
一一:‑::‑p'"C1‑p)k=γ (k‑1 )I(n‑k)! ~r 'k~ r k! (n‑k‑ 1)
得一

npf‑1 〈1‑p〉Cr‑1 )ICn‑r)r
したがって，F (p;r，η一γ+1)
一.
三2(fり)
pk (1一p)ドR=γ "

はpの値 K工らない定数である。しかるに

p=o と$"<と，との式の芳 1項，分 2項ともに 0であるから証明すべき等式の成 b立っととが解るoC別 解 2)
証明すべき等式の両辺とも ， pの巾級数であるから任意の k(1孟 k ~ n)~っき，、pkの係数が両辺 K沿いて等しいととを証明すればよ ν
まず，右辺 VC$‑‑けるその係数は1←1Tザムk (r‑1) n‑r)‑L(n‑T)〈‑1)hJz) k ¥k‑ rI '‑57‑r(IX ""7""::(n ‑ r ) .ft‑γ一一一回¥.‑"' )k)! 、knI(r‑1)

証明は rvc関する帰納法Kよる o まず， T=nなら，あきらか K定理は成 b立つ。 r=ro のとき成 b立つとして r=T‑1 のとき Kも成 b立つととを証明しよう。
O‑ 1の と きr=To「証明すべき等式の左辺 Jii=fι(ふべけ幻よi(ひφ;)一三kヰ
之=ヰ
乙‑叶JJ1J(cφ;D)J門k1)P戸山
内
九'o(い1一Pρ〉ゾ付略吋?

pkい(11 げP)n.
昂トベ‑k+「左辺の pkの係数 J一一+ )ム究nl(~-!~:)(‑1ナボ( ‑1)!(n‑k)J(k一π)1 (_~~π‑1 'k一句 +1= (‑1l‑7oム 川I= (‑1)k勺+
1{_~'"~.
nー+k (1o‑1)1(n‑k)!(k‑1o)

‑'I︐.
︑J

7R

J

1士︑.︐︐

︑一n4•︐‑r︑tfn t(、nI.̲
kー (k‑Tn+1)}k(n‑k)1(k‑'1o+1)1(~-1 ) 也 、 .
~ザ+1 1(‑1)h"'‑'0kI

一 hun︑一ゲ(;';";1)kーも +17R，(~-:-1 )!(n-"-~+1 )1笠﹀一+二村

f711十n1‑ : ‑(n-k)t(k- T;， +1)1(~ 一 2 ) 1

すなわち ， T =η‑1 のとき Kも定理は成 b立つ。

日4.

tn (~\ー￠。 γ(yI-y 。)=〈 C; yIー￠ ( Y。)+〈 C; y。‑c;y1〕m;
意 Kよって。

ιr
lY1‑CFIY 三 0， <C'O Y
JO ‑ C~ Y
l1孟 0〈C1 ‑ c o y ( yl ‑ Y。 ) ミ

ゆえ K0である ot) とな〈と ， tから t +んの間で 1増える確率は
P{Xt=n}=人 (付式 ん +o(均，変化のない確率は1ー え ん +0(h) であるから，h，))P。
P0 (t+ ん)=(1ー え ん +0(伝)，P九

1ー え ん +0Gornミ 1ん))pn伝)+(えん +o((t+ん )=(h.
))Pn̲t(t)，fを得る。とれらの式から。

P (t+ん)‑PO(t)んo(均) P0(t)=(一点 +n(t)pn (t+λ)‑ Pん
とこでん→ D とすれば︐唱s︑zAz'︑・P;(t)︑︑.︐︐4b︐︐.
WAn(2)(‑，t+oん)〉 pn(t)+ 〈え+O伝)h.
)) P路 ー I{(t)一式 Po(，P .
(t)，for n2
一え P 伝)+t:1
島ー1路

微分方程式0)を解〈と，R伝)=Coe‑H 初期条件 P。(0)=1 を入れると， coZ1である。微分方程式(2)~ :j;~いて ， n=1 ぬ い て 解 〈 わ 守 (t)= ーえ P
1(t) の一般解

は

C1e‑ At， pI(t)=ーぇ pl(t)+ え e‑At の特殊解は

躍はとの場合の一般jよb4te‑1tであるから，‑ であるo しかる K初期条件は，題意K
P1(t)=(C1+えt)eJ.t。

P (O)=1

また，一日一p0(0)+P1(0) +P2(口)+・・・・・・ =1
ゆえ K

for n~ 1P~(O) = 0 t(3)， CIEO で，ゆえ tcPl(t)== At e‑ltを得る。ととでP~-l 伝)=(At)← 1/(n‑1)t e‑J.t を仮定して，微分方程式(2)を解〈と， P~nt)
̲(t) の一般解は.(.
.
. = ‑ AP~.

λP~_l(t) の特殊解は

C e‑At， P'(t)=ーえ P‑(劫+~~〈 え り ツ nte‑J.t であるから， Pn(t)::: (Cn.+(At)':/n1)e‑J.t が一概となる。初勝仰のを仮定すれば，

時f‑zt〈式 tnI

P_(t)=~であるから， n=O. .
1 乙・・・・・・についてとれが求める解である。

‑60一