平成6年12月21日
保険数学1………1

保険数学1（問題）1

次の（玉）から（10）までについて、それぞれ五つの選択肢の中から正しい答を一つ選んで、所定の解答用紙にその記号〔（A）から（E）のいずれか一っ〕を記入せよ。
（1）次の①〜⑤のうち・1①a司③に等しいものはいくっあるか。

Ia司

S司

②（Ia）司一a［十n・・la一Pゼ1④D皿D州（A）1っ（50点）（B）2っPぺ身互。■＝i■⑥

弘司一1（C）3っ（D）4っ弘一aバA。
A。十a克（E）5っ（2）40歳の人が年金年額1を各年始に受けとる即時開始終身年金に加入し、同時に必要掛金全額を支払った。
その人は受けとった年金年額ユを利率jで積み立てを行ない、その人の死亡した保険年度の末日に積立額全額を遺族が受け取れるようにしておいた。遺族が受け取る額の期待値が22．00のとき、利軸に最も近い値
は次のうちどれか。但しtp他出（01907）［とする。
（A）4．50％（B）4，75％（C）5．00％

b（D）5，25％（E）5．50％。

（3）μ其＝一xb−1（a〉0，b〉I）のとき、e。は次のうちどれに等しいか。

a但し・・十とし・（・）一∫1・VI・・とする。
（A）パ・F（c）（B）a■・r（1＋c）（4）定常社会でμ。＝ 2120−x（A）20（B）30（C）c・ゴ・F（1＋c）（D）c・1og．a・F（c）（E）c・1og．a・r（1＋c）（0≦xくユ20）のとき、この人口の平均年齢は次のうちとれに等しいか。

（C）40（D）50（E）60（5）ム三100−x（0≦x≦I00），トO．0400であるときP脚の値に最も近い値は次のうちどれか。
但し、必要ならば、v帥≒0．1407126を用いよ。
（A）O．0290（6）P、＝（B）0．0293（C）0．0296（D）0．0299（E）O．0302

1 ，p皿・a、一F1200のとき予定利率！の値に最も近いのは次のうちとれか。
20（A）3．00％（B）3，25％（C）3．50％（D）3．75％（E）4．00％（7）x歳加入、保険期間n年（保険料全期払込、死亡の場合の給付はすべて死亡保険年度末払、n〉1）のときの年払純保険料が、各種保険につきア〜ウであった。

ア．満期保険金1、死亡保険金1の養老保険では0．0156
イ．満期保険金2、死亡保険金1の保険ではO．0288
ウ．満期保険金1、死亡の場合に既払込純保険料を支払う保険では0．0138
このとき二満期保険金1、死亡の場合に既払込純保険料の2倍を支払う保険の年払純保険料の値に最も近いものは次のうちどれか。
（A）0．0143（B）O．0145（C）O．0147（D）O．0149

一16一（E）O．0151

イ呆6粂萎吏彗圭1・…

2（8），。〉吾。＝2x、。V。。の関係があるとき、葛目。は次のうちどれに等しいか。
（A）3葛。o−2量70（B）3量70−2量60（C）2身直。一身τo（D）2葛τo一幕60（E）葛。o一身70（9）X歳加入、n年満期養老保険（保険料年払かつ全期払込、保険金額1、保険金期末払、n＞I）において、第t保険年度末の危険保険金をR・（＝1rV州）とするとき、

1い、一一・（1・一1州一1）lll。コ1111／ll／1！／l．
C坦、［C。キt，1（A）一D皿（B）一D皿、｛C。、tD．

（C）一（D）一D。．、且、1D。、lD。、t（E）一D。一一、■（1O）A州＝O．50，d＝0．05のとき、。一1V州の値に最も近いものは次のうちどれか。
（A）0．852（B）0．88（C）0．90（D）O．93（E）O．95−t
一年を通じて死亡が一様に起こると仮定し、さらにv帖≒1一一1（ユ≦t≦k）と仮定する。このとき、まずka舳を求め・その結果を用いてa隻。の近似式を求めたい。次の区コ〜巨ヨに適当な数値又は記号を解答用紙の所定欄に記入せよ。

（25点）

死亡に関する仮定より⊥p茸＝1−r二二二］・q、であるので

k12・鮎一［二］｛・下（1一［二］）・・τ（1一［二］）・
1里

1

一［二］（。τ・。「・〜一一一！

・。）一［二］（。丁・2。マ・・。（1一「■］）｝・k。）t

ここでvkに関する仮定v一≒1一一jを代入すると
k一［］（・一r11）一［］（k（号）r∴1）

一（一一］）一・、（□1一）
したカキって。1土〕一・鮎・［二］・出・［二］・出・一（［1一［］）・ド（旨是一［］）（1・1）［］
上式の戸の項を省略して整理すると

一（「二］一r■■一）・ド（「二］・「T］一）（［二］一d［二］）d＝I−v≒jとし、かつ戸の項を省略すると

・1・〕一・ド「■■一「二］！

一・皿・［二］一［二］一一17一

保険数学1……・3

3

1 dP
予定利率をjとするとき、純保険料Pの金利感応度FをF＝一一一により定義する。
P d｛
x歳加入n年満期養老保険（保険金額1、保険金期未払）の一時払純保険料をP1、年払純保険料（保険料全期払込）をP、とし、それぞれあ金利感応度をF、、F、とするとき、次の各問に答えよ。

（25点）（1）次式が成り立つことを証明し解答用紙に記せ。

卜呈／（1一・）・W／（2）ある予定利率の近傍でFl，F。がいずれもvの一次式で表わされるとするとき、次式が成り立つことを証明し、解答用紙に記せ。

FドF。＝k・q，・v（kは定数）

一18一

保険数学1（解答例）
1．

設問番号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

解（D）

（C）

（B）

（B）

（A）

（A）

（B）

（D）

（E）

（C）

答欄

正解は上表のとおりであるが、以下に各設問の解法を略記する。
（1）・…・・（D）

1

1

ゴ
1−vn

① a司
一一一＝
S万｛；

（1＋づ）n−1a［（Ia）司一a万十n・n■a田＝一一d｛
1−vn

Vn・｛
＝｛
1−vn

・引・・・…同引（÷一1）一㌣n・Vn｛（・…r≡v一÷）a引；｛（Ia）司一a司十n・。■a−D．

vx・4．

Dx．1 Pド1里vx＋1・4、十14。、112．

V

1国一一1＝ゴき、、引＝1＋v・P。・さ。、1＝高よりA。＝1−da。

（2），a、＝a。一1

Px・直x＋1、司a。：司一1

1＝一＝1＋5キづVよりき、一a、一A、るx一（きx−1）一（1−d・ax）

d・身、A。十a。

（1−d・色x）十（ax−1）（1−d）a。

・・・…

＝d ；ゴ

1−d（C）

期待値二q40（1＋ゴ）斗1−q40｛（1＋ゴ）十（1＋｛）2｝十2■q40｛（1＋ゴ）十（1＋｛）2＋（1＋5）3卜…
＝（1＋5）（q40＋1−q40＋2■q40＋…

）十（1＋5）2（1■q40＋2−q40＋…）十（1＋ゴ）3（2−q40＋…

＝（1＋ゴ）十（1＋ゴ）2・P40＋（1＋ゴ）3・2P40＋…
＝（1＋ゴ）十（1＋ゴ）2×0，907＋（1＋5）3×（0，907）2＋…

1一ト｛
＝22
1−0，907x（1＋ゴ）＝

これを解いて

一19一ド00499）十…

（3）

・・・…

（B）

1。一∫；t・炸∫；…1一∫1μ…1・t一∫；…1一∫1昔…一1・・1・t

一∫；…1一［1…lll・t一∫；…1÷t・1・t⊥

ここで、t＝a⊥b・ybと置換すればdt＝

1・abl
一1
一一1b・ybdyより

一∫；…1−1（・古・・古）bl・1・・古・・古一1・・l1

一∫；…1一・1・占・・τ・・τ一1・・一∫；・一…小・・一1・・（・…一占）

二ao・c・F（c）＝ao・F（1半。）

（4）

・・・…

（一．

F（c＋1）＝c・F（c））（B）

1：一…1一∫；1．1−t・tl一…1一・∫；1．1−t・t／

120−t＝yとおくと一dy＝dtより
一…1一・∫：：：．x（一1）去・・1一…1・レ…ll：：■xl

一…1…（1−1姜。）21一（1−1姜。）2

総人口は・・…一［110・パ（1一、姜。）3112。一…

総人口の年齢の合計は∫12＾・・刈2。・・（11姜。）2改
刈［」10・・（1−1姜。）3r・

一20一10∫12｝

1姜。）3砒1一・…［一1麦0（11蓑。）41㌘＝40・3040
よ一て平均年齢は十∫㌘・・・…一40云。書ト・・（5）……（A）

M． ＝d・M． （P、＝N．

D。一M。

M、；D。一d・N、）

ここでD。＝vx・4。＝vx（100−x）また、d。＝2、一2。十1＝（100−x）一｛100一（x＋1）｝＝1より
99−x

99−x

1−v1oo−xt三〇

t＝O

1−VM、；Σvx＋t＋ld、、t＝Σvx＋t＋」vx＋1・

1−v50

d・v50

d・M。。

P50＝
D50−M50

1−vloo−x5d（1−v㍉

1−v50v50（100−50）一v50＝50｛一（1−v50）

5d＝0．04
1．04ド004

1＝＝vx

v50昌01407126を代入してP50＝002897（6）……（A）

A．

1−d・首。

1P、＝一＝色。

a。

邑、＝1＋v．P、邑、・1……②・。・・川…一P、≡

1

1＝一一d＝一一（1−v）……①
邑。
a。
①、②より乞。を消去すると^・。・・。・1（・。・1）一11・一・・一・，P、．邑、十、；12を代入して

20
12v2− 23220v一120＝0

これを解いてv＝0970957

一21一ゴ≒0．0299

（7）・・・…

アより（B）

P、、司＝P圭、引十P、、｛＝0．0156

イより

・1：司・…、＝｛一α・…下社式より・、｛一A五：L・・1・・
ε。：□
A。：｛0．0132孔：司ウより邑。、司一（IA）土、司 ＝00138（IA）圭司＝0．0006
a、司0．0138
A、＝十求める保険料は＝0．0138

ざ。、司一（IA）三、□＝邑、＝司一2・（岨）圭、莉

0．0132δ、：司．、

ax司一2x0．00060．0138＝0014457ax■（8）・・…・（D）

tV、＝1一昼。十t直70．a80
より loV60＝1一，20V60＝1一乞。
邑60乞。O

これらを与えられた関係式に代入して・（1−lll）一1−lll（9）・・・…

・1・バ・1一一1・一ぺ・・1・一・1・。一1・（E）

責任準備金の再帰式より

tV。＝証P。、司一v．q。十t＝v．P。十t．t，lV。、引両辺よりv・P。、tを差引くとRt＝1−tV、：司tV。、司十P。、司一v＝一v・P。・t（1−t・1V。：司）v＝1−dより（1−Rt）十P、＝司一（1−d）＝一v・px＋t・Rt＋1・…一u．1、十、1・t一（・・司・・）l14x＋tDx＋tv・P。、tv・4。十t，lD。、t，1

一22一（10）・・・…

（C）。一1V。、司＝A。十、一1，11−P。：［・a瓦。、一1，11＝v−P。、司昌（1−d）一P。、司一方A。、引A。、頑・d0．5x0．05

a・1司1−A。、司1−0．5p。：干＝0．05、．lV。、司＝（1−0．05）一0．05昌0．9

2．正解は以下のとおりである。

「日日［1D4（k＋1）（2k＋1）

6G3（k＋1）（2k＋1）

6k2

雪1「罰「■一23一3・（1）

P、！A、、引＝1−da、、引，P、邑、＝司＝P、より、P，P、十（1−v）P、一P、＝0……①①の両辺を
dPp2

d5l＋Pl

ここで、dVで微分すると、一昌一V2より、
dゴ
dP2

dP＋v2p一十（1−v）

d51dP

Fl＝一一p1

ld5，F2＝一ldP2d5dゴ

1P2dP2＝0だからdゴ

一P1P2Fl−P］P2F2＋v2Pl一（1−v）P］Fl＋P2F2＝0（F1＋F。）Plp。十｛（1−v）Fl−v2｝PrF．P。＝O……②①、②よりPlP。の項を消去すると、（F1＋F2）（1−v）Pゴー（Fl＋F2）P2＝｛（1−v）Fl−v2｝P1−F2P2

整理して、｛F2（1−v）十v2｝Pl＝FlP2

P1｛（1−v）F2＋v2｝
P2

Fl＝

（証明終）
（2）（1）の結果より、

題意より、あるF1＝｛（1−v）F。十v2｝邑、：引……③の近傍で

F1＝α1＋βlv，F。；α。十β。v（α1，α。，β1，β。は定数、β1，β。キO）が成り立つ。

これらを③式に代入すると、
α1＋βlv＝｛（1−v）（α2＋β2v）十v2｝｛1＋P，v＋2P亜v2＋…
＝α2＋｛α2P、ヰ（β2一α2）｝v＋｛（1一β2）十P十。．lP，vnIl｝

x（β2一α2）十α22Px｝v2＋＋…（Vの多項式）

これはjの近傍で任意のVに対して成立することから、両辺の定数項およびVの1次の項の係数は等しく、右辺の2次以上の項の係数は0でなければならない。
α1＝α2，β1＝α2Px＋β2一α2
よって、Fl−F2＝（α1一α2）十（β1一β。）v＝α2（P。一1）v；一α2q．v

一α2をkとおくと、

Fl−F2；kq．vとなる。

（証明終）

（追記）

本問について、出題時に意図していた解答は上の解答例のとおりであるが、（2）については別解も存在する。最も強力な結果を導く解法を次に示しておくので、参考とされたい。

A、、司＝P、：司・乞、：司を辺々で微分して、一24一÷・・：司一（÷・・河）・・。：証・・＝引・（昔1一引）

1dA、、司A。＝司F1−F2≡

ある

1曲dP。、司P、＝司d5

1d邑、、司a。、調曲

1da、：司・a、、司dゴの近傍でFl，F2がともにvの一次式であることから、この式をvの一次式として、

1da。＝引量。＝司dづ＝α十βV（α，βは定数）と表すことができる。

d乞。：司＝（α十βV）a、、司dゴ

一．．
・一1， da。：司；一Σt・vt＋1・tp、を用いて、
・I1a、司＝Σvt．tp、および」ごて、
n−lΣt・vt−ot＋ヨ・tP

d5n−1x＝（α十βv）Σv

t＝1v2・P、十2v3・。P、十…

t＿1

t・tP，t＝0些α十（αP、十β）v＋（α2P五十βP、）v2＋…

vについての0次、1次の項の係数を辺々比較すれば、α＝0，αp。十β＝0α＝0，β＝0これよりFrF2＝0

これは題意のk＝0の場合の結果に等しい。

（注）この解法によれば、さらに次の結果を導くことができる。
n−1

Σt・vt＋1・tp、＝0

t＝lより

tp、＝0（t星1，…，n−1）

dd．．．q、＝1

このとき・A・＝司＝P・：司＝・・TA・＝正Tp・：引＝■・2

よって、FFF2＝v

一25一