単位立体を追加することによる一様ブロック積みを剛にする手法

A Methodology of Making Uniform Space Filling Rigid by Adding Unit Solid○小林 祐貴*1
Yuki Kobayashi＊1*1 大阪市立大学大学院工学研究科講師

博士（工学）

Lecturer, Graduate School of Engineering, Osaka City University, Dr. Eng.
キーワード ：図形科学; 形態生成; 折畳み

Keywords: Graphic science; Form generation; Folding.とによって立体同士をつなぐことで新たな立体を構成す

1. はじめに平坦に折り畳むことができ、部分的に動かすことで全体ることを提案した。本稿ではこれらの立体を構成する単位の形状が変化する立体は展開構造物として有用である。そとさらに、このようにして出来る立体のうち、12 種類の立のような立体を考えるために、本稿で扱う立体の面同士は体 (Figure 2) が柔軟であることを述べている。このとき、ヒンジで接続されており、各面はヒンジ周りに回転できる立方体に関しては各辺から立ち上げる面の長さを立方体こととする。また、立体の動きが元の立体の合同変換のみの 1 辺と同じ長さにすることで、ねじれ正多面体と同じ立であるとき、その立体は剛であるとし、合同変換以外の動体となる。

きがある立体は柔軟であるとする。
ねじれ正多面体と呼ばれる Coxeter1) が発見した 3 つの立体には、立方体で構成される立体がある (Figure 1)。このねじれ正多面体は柔軟な立体で、平坦に折り畳むことが(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

(x)

(xi)

(xii)できる。筆者らはこれまでに立方体で構成されたねじれ正多面体に、一つの立方体を追加するだけで、全体を剛な立体にする方法を明らかにした 4)。

Figure 2. The unit solids.
これまでに奈良 5) は、一様ブロック積みの一つである切頂八面体の空間充填立体から特定の面を取り除くことで、(a)

(b)

(c)

Figure 1. Regular skew polyhedra.

平坦に折り畳み可能な立体を提案し、筆者らは、その立体を剛にする方法を検討した。
本稿では、柔軟な一様ブロック積みに基づく立体を、単2 種類以上の正多角形が各頂点まわりに同じ状態で集ま位立体を追加することにより剛にする手法を検討する。

る多面体を半正多面体と呼び 3)、正多面体あるいは半正多面体が各頂点まわりに同じ状態で集まる空間充填立体を一様ブロック積みと呼ぶ。一様ブロック積みは 28 種類存

2. 準備
整数 n ≥ 3 としたとき、以下の 3 つの操作を定義する。

在し、Overvelde ら 2) は一様ブロック積みを構成する立体

ここで、操作 2、操作 3 は文献 4) の操作を一般化した操作同士を離して再配置し、さらに各辺から面を立ち上げるこである。

日本建築学会情報システム技術委員会
第 42 回情報･システム･利用･技術シンポジウム論文集， 120-123 ， 2019 年 12 月，東京
Proceedings of the 42nd Symposium on Computer Technology of Information ，Systems and Applications ， AIJ ， 120-123 ， Dec. ， 2019 ， Tokyo－ 120 －一様ブロック積みを定義した 3 つの操作によって構築で操作 1 (Add 1-panel). 剛体に対して、1 枚のパネルを追加きることを確認した。したがって、一つの剛な立体を適切し、2 箇所のヒンジで接続する。

な場所に追加することによって、剛な立体とすることがで

操作 2 (Add 2-panel). 剛体に対して、互いにヒンジによっきる。図 2 柔軟な立体となる単位立体は、図 2 (ii)、(v) をてつながれた 2 枚のパネルを追加する (Figure 3 (a))。

除き、高さが等しい多角柱のみで構成されている。単位立操作 3 (Add n-panel). 剛体に対して、互いにヒンジによっ体が高さの等しい多角柱のみの場合は、文献 4) と同様に剛てつながれた n 枚のパネルを追加する (Figure 3 (b))。

な立体となることを示すことができる。一方で、図 2 (ii)、(v) には回転した三角柱が単位立体に含まれているため注意が必要である。
ここでは高さが等しい多角柱のみで構成されていて、構成要素が最も多い図 2 (vii) の場合と、2 種類の回転した三角柱が含まれる図 2 (ii) の場合について示す。

(a)

(b)

(a)

(b)

Figure 3. (a) Operation 1. (b) Operation 2.
このとき、以下の補題を示すことができる。
補題 1 剛な立体に対して、操作 1、2、3 のいずれの操作を行った場合においても、操作後の立体もまた剛である。
3. 柔軟な一様ブロック積みを剛にすることについて(c)
Figure 5. The Flexible solid based on the unit of Figure 2 (ii).

(a)

(b)

3.1 高さが等しい多角柱のみで構成された立体の場合
図 2 (vii) を単位とする一様ブロック積みに基づいた立体 (Figure 4 (c)) を構築する操作列を示す (Figure 6)。
操作列 1 (Figure 6)(i)

六角柱に対して操作 3 を行う。

(ii)

操作 2 を行う。

(iii)

操作 2 を行う。

(iv)

操作 3 を行う。

(v)

操作 1、操作 2 を行う。

(vi)

操作 2 を行う。

(vii)

操作 1 を行う。

Figure 4. The Flexible solid(viii)

操作 3 を行う。

based on the unit of Figure 2(vii).

(ix)

操作 1、操作 2 を行う。

(c)

報告 H16－ 121 －(iii)

操作 2 を行う。

(iv)

操作 2 を行う。

(v)

操作 2 を行う。

(vi)

操作 1、操作 2 を行う。

(i)

このように操作列 2 を適用することで、同一方向の三角柱を剛な状態で構築することができる。
次に、異なる方向の三角柱についても剛に構築する操作列を考える。このとき、はじめに操作列 2 の (ii) ~ (vi) を再度適用し、三角柱を 3 つ剛な状態で構築した立体から考(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

(viii)

える。

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vii)

(ix)

Figure 6. Sequence of operations 1.

(vi)

操作列 1 により、六角柱に隣接する三角柱を構築するこ

Figure 7. Sequence of operations 2.とができる。操作列 1 を繰り返し適用することで図 4 (c)を剛な状態で構築することができ、したがって図 4 (c) に

操作列 3 (Figure 8)

対して一つの六角柱を追加することで、全体を剛にするこ(i)

三角柱を 3 つ剛な状態で構築した立体に対して、
操作 3 を行う。とができる。
(ii)

操作 2 を行う。

(iii)

操作 2 を行う。

4 種類の方向の三角柱 (Figure 2 (ii)) を単位とする一様(iv)

操作 2 を行う。

ブロック積みに基づいた立体 (Figure 5 (c)) を剛な状態で(v)操作 2 を行う。

構築する操作列 1、2 を示す (Figure 7)。

(vi)

操作 1、操作 2 を行う。

(vii)

操作 1、操作 2 を行う。

操作列 2 (Figure 7)(viii)

操作 1、操作 2 を行う。

(i)

三角柱に対して操作 3 を行う。

(ix)

操作 1、操作 2 を行う。

(ii)

操作 2 を行う。

3.2 回転した三角柱が含まれる場合

報告 H16－ 122 －このように、操作列 3 により異なる向きの三角柱も剛な状態で構築することができる。したがって、操作列 2、操作列 3 を繰り返し適用することで、図 5 (c) を剛な状態で構築することができ、図 5 (c) に対して一つの三角柱を追加することで、全体を剛にすることができる。
また、図 9 は操作列 2、操作列 3 (ii) ~ (v) を繰り返し適用することで構築できる立体であり、このような面状に埋め尽くした立体も考えることができる。

(i)(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

Figure 9. The example of rigid sold generated by sequence ofoperation 2 and 3.

［参考文献］
1）H. S. M. Coxeter: Regular skew polyhedra in three andfour dimensions, and their topological analogues, Proc.
London Math. Soc., 2(43):33–62, 1937. Improved reprint
in: Twelve Geometric Essays, Southern Illinois
University Press, Carbondale IL, 1968. Reissued as:Dover, 1999.
2） J. T. B. Overvelde, J. C. Weaver, C. Hoberman, and K.
Bertoldi: Rational design of reconfigurable prismaticarchitected materials, Nature, 541:347–352, 2017.
3） 宮崎興二: 多面体百科, 丸善出版, 2016.
4） 小林祐貴, 伊藤仁一, 加藤直樹: 剛体追加による剛なpanel-hinge フレームワークの生成手法, 第 40 回情報・システム・利用・技術シンポジウム論文集, 報告 H85, pp. 79–82, 2017.
5）小林祐貴, 奈良知惠: 切頂八面体に基づく柔軟な空間充填立体を剛にする手法, 第 41 回情報・システム・利用・技術シンポジウム論文集, 報告 H03, pp. 75–78, 2018.

(ix)
Figure 8. Sequence of operations 3.
4. まとめ
本稿では、一様ブロック積みに基づく柔軟な立体を単位立体を追加することにより剛にする方法を検討した。剛な立体を一つ追加することで全体が剛になる立体を、効果的に活用する方法について今後検討していきたい。
謝辞 : 本研究は JST、CREST JPMJCR1402、JSPS 科研費

25240004 の助成を受けたものである。

報告 H16－ 123 －