機械学習による小規模ブレース付骨組の特徴分析とそれに基づく大規模骨組の最適化
Optimization for Large-scale Frames Based on Machine Learning for Feature
Analysis of Placement of Braces of Small-scale Frames○阪口 一真 *1，大崎 純*2，木村 俊明 *3
Kazuma Sakaguchi＊2, Makoto Ohsaki＊2 and Toshiaki Kimura＊3*1 京都大学大学院工学研究科大学院生
Graduate Student, Graduate School of Eng., Kyoto Univ.
*2 京都大学大学院工学研究科 教授・博士（工学）Professor, Graduate School of Eng., Kyoto Univ., Dr. Eng.
*3 京都大学大学院工学研究科 助教・博士（工学）Assist. Prof., Graduate School of Eng., Kyoto Univ., Dr. Eng.
キーワード：機械学習; サポートベクターマシン; 特徴量分析; 非線形カーネル; ブレース配置最適化; 鋼構造骨組
Keywords: Machine learning; support vector machine; feature analysis; nonlinear kernel;
optimization of brace placement; steel frame.

1. はじめに建築構造物のトポロジー最適化に用いられる焼きなまし法(SA)などの発見的手法において，計算量を低減するブレースによる伝達を考慮するため，剛床仮定とせず梁部材の軸剛性を 10 倍に設定して解析を行う。柱脚は固定支持とする。

ためには探索点での構造解析の実行回数を削減するのが設計変数の数 m は，骨組の構面数と一致し， m  n f ns有効である。田村ら[1, 2]は，平面骨組のブレース配置のとなる。図 1 のように， m 個の構面に配置されるブレー組合せ最適化問題において，焼きなまし法に機械学習をスの種類としてブレースなしを含めた計 5 通りを想定し，導入することで，応答量が優良でない近傍解の構造解析対応する値を定める。設計変数ベクトル x は以下のようを省略する手法を提案した。に表される。

また，一般に機械学習において，次元の呪いにより，x   x1 , x2 , , xm  ただし， xi  0,1, 2,3, 4

(1)

学習データの次元が増えるにしたがって学習に要する計算量は爆発的に増加する一方，その汎化能力は低下する。
そのため，小規模で低次元の学習データを用いて作成した分類器を高次元のデータに適用させることは，学習を現実的なものとする上で重要である。著者ら[3]は，既報[2]で提案された方法を拡張し，部材応力の絶対値の最大値や外力仕事を評価指標として様々な大規模骨組に対して小規模骨組での分類器の適用する手法を提案した。
本稿では既報で示された数値例題より大規模な骨組に対しても，小規模骨組での分類器をもとに最適化時の解析回数の低減が可能であることを検証する。
2. 最適化問題の定式化
図 1 に示す n f 層 ns スパンの鋼構造平面骨組のモデルを対象とし，骨組の応答量を目的関数として各構面に配置するブレースの組合せを最適化する。
地震時の付加応力のみを考えるため，Ai 分布に基づく静的地震力のみを考慮する。また，せん断力の梁・柱と日本建築学会情報システム技術委員会
第 42 回情報･システム･利用･技術シンポジウム論文集， 102-105 ， 2019 年 12 月，東京
Proceedings of the 42nd Symposium on Computer Technology of Information ，Systems and Applications ， AIJ ， 102-105 ， Dec. ， 2019 ， Tokyo

図 1. 骨組モデル（左）とブレースの種類（右）目的関数となる骨組の応答量は，各部材の最大縁応力 i  x  の絶対値について，p-ノルムを考える（以下の例
では p  10 ）。制約条件として，第 i 層に設置できるブレース数 nbi に指定値 nb を与え，柔な解を除去するため層間変形角の最大値 rmax  x  に上限値 r を与える。ブレース－ 102 －を含めた部材数を M として，最適化問題を以下のように見逃し）や FP（false positive, 誤検知）となったデータの定式化する。

個数と，誤差率（FN または FP となったデータ数の学習pMF  x     i  x  i 1
Minimizenbi  nb (i  1,2,Subject to

データ総数に対する割合）を算出する。ここで，FN は1p

SVM が優良解を非優良解と判断した数，FP は非優良解(2), nf )を優良解と判断した数である。
線形カーネルの場合，特徴量のラベルの値への寄与度

rmax  x   rは重みベクトルの各成分の値により求めることができる。
一方，非線形の RBF カーネルでは，重みベクトルをその3. 機械学習の概要まま用いて評価することができない。本研究では，重み3.1. サポートベクターマシン（SVM）

ベクトル β を定義して特徴量の寄与度を評価する[5]。

機械学習の手法の 1 つである SVM は，事例 x の集合を線形あるいは非線形の関数によって 2 つのクラスに分β の j 番目の要素  j は次式のように定める。ただし，
 j , j は j 番目の特徴量において 1 及び 0 を標準化したも類するのに最適な係数  i , b を見つけるアルゴリズムでので， s j は， j 番目の特徴量における x の標準偏差であある。学習データ（事例とラベル y のペア）の n 個のセり， xij は xi の j 番目の成分である。

なるスコア S  x  は RBF（radial basis function, 放射基底関  x   2   x   2 ijjijj j  s j  yi  exp   exp 22kki 1

*ット  x1, y1  ,*,  xi , yi  , ,  xn , yn  に対し，分類の基準と数）をカーネル関数とすると以下のようになる。ここで，n*i(4)

k は倍率を定めるパラメータである。
3.3. 大規模骨組への適用

n  xi  x 2  *2S  x     yi  i* exp  bk2i 1 

(3)

n f 1 層の小規模骨組の学習結果に基づく式(3)の値は，

n f 2   n f 1  層の大規模骨組にそのまま適用できない。そSVM は通常は順序尺度の変数に対して用いられるたこで，重み係数の行列 C および優良解・非優良解の閾値め，入力 x が名義尺度の場合，2 値化を行う[4]。図 1 のを定めるバイアス b* を用いて以下の手順に従い，式(3)5 種類のブレースに対して，図 2 のように 2 値化する。に代入する事例 x の次元数を削減する。
n

Step 1. ベクトル x を n f 2 行 5 列の行列 X f 2 に置き換える。このとき各行の成分は小規模骨組の各層，5 つの列は 2 値化したブレースの種類を表す数値とする。
Step 2.

n f 1 行 n f 2 列の重み係数の行列 C を用いて，次式nより行列 X f1 を求める。

X f1  CX f 2n

図 2. 5 種類のブレースの 2 値化

nStep 3. 行列 Xから小規模骨組の次元に縮約した設計変数ベクトルを計算する。

3.2. 小規模骨組の学習と評価の方法
ランダムに 10000 個の許容解を生成し，学習データを作成する。クラス分類は，目的関数の小さい解から上位10% 優良解  y  1 ，下位 10% を非優良解  y  1 とする。

C の各行の成分は縮約後のモデルにおける各層の重み係数に対応し，各列は縮約前のモデルに対応する。 Cと b* は次の最適化問題を解いて求める[3]。
Find

表 1. 予測値と学習データの組合せ対応表
学習データのラベル

SVM の 1
予測した
ラベル 1(5)
n f1

1

1

真陽性 TP

偽陽性 FP(false positive,誤検知)

偽陰性 FN(false negative,見逃し)真陰性 TN

Minimize
Subject toC,b*Vc  S x xi  fn  fp cij  0sS 2i2

 w1  cij  w2 R(6)i, ji  1,2, , n , j  1,2, , n f1f2

ここで， sS 2 はスコア S  x i  の全学習データでの分散，fn, fp はそれぞれ FN, FP となったデータの集合，w1 , w2 は任意に定めた重み係数（以下の例では w1  0.05, w2  2 ），R はスコア―目的関数間の相関係数である。最適化には学習データと同様にして，優良解・非優良解の評価用データを作成する。表 1 に示すような FN（false negative,

報告 H04

逐次 2 次計画（SQP）法を用いる。

－ 103 －表 2. 骨組の部材断面
12 層モデル
柱梁断面

A[cm2]Iz[cm4]

24 層モデルブレース断面

AIz[cm2] [cm4]A[cm2]

柱梁断面

Iz
[cm4]

ブレース断面AIz[cm2] [cm4]95.43 32,900 19F-24F 2L-65x65x6

15.05 0058.8

11G-RG H-390x300x10x16 133.3 37,900 11F-12F [ -100x50x5x7.5 11.92

188 19G-RG H-450x200x9x148G-10G H-488x300x11x18 159.2 68,900 8F10F [ -125x65x6x8

424 13G-18G H-500x200x10x16 112.30 46,800 13F-18F H-100x100x6x8

17.112G-7G H-588x300x12x20 187.2 114,000 2F-7F [ -150x75x6.5x10 23.71
1C-12C □-400x400x16

237.0 57,1001F21.59 378

861 2G-12G H-600x200x11x17 131.70 75,600 2F-12F H-125x125x6.5x9 30.00 839[ -150x75x9x12.5 30.59 1050 1C-24C □-600x600x28

4. 最適化アルゴリズム
焼きなまし法と機械学習の手法を用いて，最適化を以

600.30 314,000

1F

H-150x150x7x10 39.65 1620の階は 8 kN/m2 とする。鋼材のヤング率は 2.05×105N/mm2 とする。 r  1 200 ， nb  2 とする。

下のように実行する。
5.1. 小規模骨組の学習結果
Step 1. 優良解・非優良解 1000 個ずつの学習データから，SVM による学習結果を表 3 に示す。線形カーネルよりSVM の分類器を作成する。また，式(6)の最適化問題

非線形の RBF カーネルの方が誤差は小さく，非線形のカを解き， C と b* を求める。

ーネル関数による学習精度の向上が見られる。

Step 2. ランダムに初期の許容解を生成する。初期温度
T  1.0 を与える。初期解で，目的関数が 10％ 増加

表 3. 小規模骨組（12 層 4 スパン）の学習結果
線形カーネルしたときの受理確率が 1 2 となるようにスケーリン
グパラメータ s p を設定する。
Step 3. 現在のステップにおける暫定解から，1 層毎にRBF カーネル

誤差

FNFP

誤差

FNFP

10.35 %

105/1,000

102/1,000

8.00 %

85/1,000

75/1,000

1 10 の確率でランダムにブレース配置を変化さ，制約条件を満たす近傍解を 50 個生成する。

次に，優良解に寄与する特徴量の上位 6 つを図 3 に示

Step 4. 近傍解の次元数を行列 C により削減し小規模す。ここで，優良解のほとんどで，応力の絶対値の最大骨組の SVM 分類器を用いて評価を行う。スコアが閾値（以下，最大応力）はブレースの材端で発生している。

値以下の近傍解は解析せずに棄却する。

どちらのカーネル関数も，1, 2 層及び 7 層の特徴量が選

Step 5. 構造解析を行い，目的関数を計算する。

ばれており，これらの層のブレース配置が骨組の応答量

Step 6. 近傍解のうち最も目的関数が小さい解について，を低減するために重要であると考えられる。とくに 7 層暫定解より目的関数が改善されている場合，その近では梁とブレースの部材寸法が下層と異なるため，層剛傍解を受理する。改善されていない場合でも T と s p性が変化している。これによりブレースの最大応力が大より定められる確率でその解を受理する。

きくなったことが影響していると考えられる。

Step 7. 現在のステップでの解析回数が生成した近傍解の半数（25 回）未満なら閾値を下げ，半数以上なら線形カーネル

RBF カーネル

閾値を上げることで，近傍解の半数程度を解析する
ようにスコアの閾値を更新する。
Step 8. 温度更新パラメータを c p   0.92  として，温度パラメータを T  c pT とする。
Step 9. 温度更新回数が 3000 回に達していなければ，Step 3.に戻る。達していれば，最も目的関数が小さい解を出力して終了する。
5. 数値例題
焼きなまし法による最適化と静的骨組解析のプログラ

図 3. 優良解への寄与度の大きい特徴量

ムは MATLAB を用いて作成し，機械学習には Statics andMachine Learning Toolbox を，SQP 法での最適化には

5.2. 大規模骨組の学習精度の確認

Optimization Toolbox を使用する。12 層 4 スパンの骨組で12 層骨組の学習結果を 24 層骨組への適用した結果と，作成した SVM 分類器を 24 層 4 スパンの骨組に適用する。

24 層骨組のモデル自体を用いて作成した SVM 分類器に

階高は 3 m，スパン長は 6 m とする。部材断面を表 2 による評価結果を表 4 に示す。小規模骨組の分類器を用い示す。設計用床荷重は最上階のみ 10 kN/m2 とし，残りると，実際に大規模骨組に対して学習を実行した場合と報告 H04－ 104 －比べて誤差率は 20％ ほど増加したが，それぞれの誤差率の値は数% 程度と小さく，いずれの場合も高い精度で予測できていることが分かる。

5.3. 最適化例
4 節で示した機械学習を用いた SA の手法と，4 節の手法のうち Step 1, 4, 7 を含まない通常の SA による結果を比較して，提案手法の有効性を検証する。各手法で 10

表 4. 分類の精度の比較
12 層の学習結果を使用回ずつ最適化を行い，それぞれ最良の結果を表 5 に示す。

24 層で学習

ここで，学習データを作成する時間，および，行列 C と誤差

FNFP

誤差FNFP

バイアス b* の最適化する時間は，解析時間には含めない

2.70 %

32/1,000

22/1,000

2.30 %

8/1,000

38/1,000ものとする。最適解の模式図は応力図であり，色の濃いものが応力の絶対値

0.00 0.45 0.23 0.25 0.43 0.00 0.50 0.13 0.21 0.02 0.04 0.00 0.16 0.32 0.74 0.21 0.06 0.27 0.00 0.00 0.00 0.00 0.06 0.22.
.
 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 0.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.27 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 .
 0.00 0.00 0.00 0.38 0.42 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.41 0.00 0.00 0.00 0.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.04 .
. 0.00 0.00 0.00 0.00 0.36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.42 0.00 0.54 0.10 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.31 .
 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
. 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.69 0.00 0.56 0.00 0.00 0.00 0.12 0.00 0.18 0.00 0.00 0.00 0.54 0.00 0.00 .
5C= 
  10 (7)0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.45 0.00 0.45 0.00 0.00 0.00 0.50 0.49 0.04 0.00 0.00 0.00 0.70 0.07 .
.

. 0.00 0.41 0.01 0.00 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00 0.45 0.00 0.17 0.00 0.00 0.00 .
 0.00 0.00 0.52 0.38 0.00 0.63 0.08 0.50 0.00 0.00 0.83 0.00 0.45 0.00 0.00 0.00 0.20 0.00 0.00 0.64 0.66 0.00 0.00 0.00 
. 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.51 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 .
 0.09 0.00 0.18 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.27 0.91 0.00 0.00 0.02 0.26 0.49 0.42 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
. 0.00 0.00 0.15 0.00 0.00 0.69 0.59 0.76 0.59 0.42 0.00 0.61 0.43 0.43 0.00 0.52 0.00 0.49 1.26 0.22 0.00 0.76 0.21 0.01 .

が最大の部材を示す。
表 5 に示すとおり，機械学習を用いた
SA では，ステップごとにスコア関数の閾値を調整すること
で，解析がほぼ半数となっているものの，通常の SA と比べてまた，行列 C は式(7)のようになる。濃いグレーは大き目的関数の値に大きい値を示しており，最下層や最上層に対応する行に多くな差は見られない。本数値例題の場合，目的関数を SVMの非ゼロ成分が分布していることがわかる。このことかで評価するのに必要な時間は，その解の解析に必要な時

ら，最下層や最上層のブレース配置が優良解・非優良解間のおよそ 1 14 であり，最適化の試行回数を多くするなの分類に重要であると考えられる。

どして解析回数が増えるほど，提案手法が有効になる。
6. 結論
本稿では，小規模骨組の分類器の特徴を分析し，層数表 5. 最適化の結果の比較の異なる大規模骨組へ適用可能であることを示した。ま

予測ありの SA

通常の SA

た，大規模骨組に適用可能な SVM 分類器を用いて，既総解析時間4077 s7611 s

報よりも規模の大きな骨組ブレースの最適配置問題の計分類器の作成時間

0.67 s0s近傍解の評価時間

272.9 s0s

解析回数75,262150,000

目的関数

294.6 N/mm2

295.0 N/mm2

算量を低減した。
謝辞
本研究の一部は科研費 No. JP18K18898 による。ここに記して謝意を表する。

最適解

報告 H04［参考文献］
1） T. Tamura, M. Ohsaki and J. Takagi, Machine learning for
combinatorial optimization of brace placement of steel frames,
Japan Architectural Review, Vol. 1(4), pp. 419-430, 2018.
2） 田村拓也，大崎純，木村俊明，高木次郎：機械学習を用いた鋼構造骨組のブレース配置の性能予測と組合せ最適化，
日本建築学会大会学術講演梗概集（東北）構造 I，pp.375-376，
2018．
3） 阪口一真，大崎純，木村俊明：機械学習を用いた大規模鋼構造骨組のブレース配置の性能予測，2019 年度日本建築学会近畿支部研究発表会，2019．
4） 石村貞夫，石村光資郎：入門はじめての多変量解析，東京
図書，2007．
5） 阪口一真，大崎純，木村俊明：機械学習を用いた鋼構造骨組の最適ブレース配置の特徴抽出，日本建築学会大会学術講演梗概集（北陸）構造 I，pp.195-196，2019．

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