三角関数

先導的若手NMRスペシャリスト育成プログラム 第１回研修会（追加研修会）
2011.1.20-22. 大阪大学蛋白質研究所（大阪府吹田市）

Q１．図１の扇型において中心角 θ を弧度で表記したとき、中心角 θ 、円弧の長さ l 、半径 r の関係式を示せ。

円弧の長さl中心角θ
半径Ａ１． 弧度法
中心角を円弧の長さと半径との比として角度を測る方法

l"=r
弧度法では l = r の時の中心角が１弧度
θ＝360 の時 l = 2πr なので 2π＝360!１弧度（ラジアン；radian）＝ 360 / 2πr

図１三角関数

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Q３．NMRの共鳴周波数 ω の単位は何か？
Ａ３．rad/s（角速度）BrQ５．図２を参考に下記の式を証明せよ。

r sinθ# 1 &1+ tan " = % 2 ($ cos " '2Ａ５．図２の各辺を r cosθ で割ると
AB = 1/cosθAC = 1!
BC = tanθ
三平方の定理より(AC)2 + (BC)2 = (AB)2
1 + tan2θ= (1/cosθ)2Aθ
r cosθ

C
図２

三角関数

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Br

Q７．図２を参考に sin(-θ) と sinθ の変換式を表せ。

r sinθ

Aθ
r cosθ

Ａ７．-θをθの逆回転と見た図２ʼから sin(-θ) = - sinθAr cos θC-θ-r sin θrB

図２ʼC
図２先導的若手NMRスペシャリスト育成プログラム 第１回研修会（追加研修会）
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Q９．sin(α+β) を加法定理で展開せよ。
Ａ９．sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ

Q11．sinθ cosθ に加法定理を適用して 2θ の関数として表示せよ。
Ａ11．sin関数の加法定理においてα=β=θとするとsin(θ+θ) = sinθcosθ + cosθsinθ
sin(2θ) = 2sinθcosθ
sinθcosθ = (1/2) sin(2θ)
Q13．sin2θ に加法定理を適用して 2θ の関数として表示せよ。
Ａ13．cos関数の加法定理においてα=β=θとするとcos(θ+θ) = cosθcosθ - sinθsinθ
cos(2θ) = cos2θ - sin2θ
cos(2θ) = (1 - sin2θ) - sin2θ
cos(2θ) = 1 - 2sin2θ
sin2θ = (1/2)(1 - cos(2θ))

三角関数

三角関数

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Q15．sinα sinβ に加法定理を適用して α β の関数として表示せよ。
Ａ15．cos関数に関する加法定理から
cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ
cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ
cos(α-β) - cos(α+β) = 2 sinαsinβ
sinαsinβ = (1/2) (cos(α-β) - cos(α+β))Q17．NMR信号は一般に exp(iωt) で表現される。
オイラーの公式を用いて sin および cos で表示せよ。
Ａ17．オイラーの公式
exp(iωt) = cosωt + i sinωtzy右手系

x
図３

Q19．スピン1/2の直積演算子 Iz に位相 90 (y 軸) で 90 パルスを与えた。
Iz はどのように変換されるか？図３の座標系を用いよ。
yz
90°
Ａ19．図３ʼより I へ変換される。
x図３ʼx三角関数

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Q21．スピン1/2の直積演算子 Ix に位相 0 (x 軸) で 30 パルスを与えた。
Ix はどのように変換されるか？図３の座標系を用いよ。
zy
図３z
Ａ21．図３”より Ix のまま。
y右手系
30°xx

図３ʼʼ

ω0Q23．Iz が共鳴周波数 ω0 で時間 t だけ自由歳差した。
Iz はどのように変換されるか？図４の座標系を用いよ。
Ａ23．図4ʼより Iz のまま。

ω0t図４ʼzyzxy

図４x

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Q25．Iy が共鳴周波数 ω0 からのオフセット ωI で時間 t だけ自由歳差した。
Iy はどのように変換されるか？図４の座標系を用いよ。
ω0zyx
図４

Ａ25．図４”より Iy cos(ω0+ωI)t - Ix sin(ω0+ωI)t(ω0+ωI)t z(ω0+ωI)tyx

図４ʼʼ- Ix sin(ω0+ωI)ty
Iy cos(ω0+ωI)tx

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Q27．Iy が共鳴周波数 ω0 からのオフセット ωI で時間 t だけ自由歳差した。
検出系は角速度 ω0 で回転している。
Iy はどのように検出されるか？図４の座標系を用いよ。
ω0z
Ａ27．A25より検出系が回転していない場合
Iy cos(ω0+ωI)t - Ix sin(ω0+ωI)t
検出系が ω0 で回転している場合、図4ʼʼʼより
Iy cosωIt - Ix sinωIt(ω0+ωI)tyx
図４(ω0+ωI)t(ω0+ωI)t ‐ ω0t zy

図４ʼʼʼ- Ix sin(ω0+ωI)tx

ω0ty

Iy cos(ω0+ωI)txyωIt

Iy cosωItx- Ix sinωIt三角関数

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Q29．Iz は、図５のパルス系列（90 x-t-180 x-tʼ）でどのように変換されるか？
Iz は共鳴周波数 ω0 で回転している 。
(180°)x(90°)xttʼ

Ａ29．Izt1

図５(90 )x  - Iy(t)  - Iy cosω0t + Ix sinω0t(180 )x  Iy cosω0t + Ix sinω0t(tʼ)  (Iy cosω0tʼ - Ix sinω0tʼ) cosω0t + (Ix cosω0tʼ + Iy sinω0tʼ) sinω0t
最終項を整理するとIy cosω0tʼcosω0t - Ix sinω0tʼcosω0t + Ix cosω0tʼsinω0t + Iy sinω0tʼsinω0t= Iy (cosω0tʼcosω0t + sinω0tʼsinω0t) + Ix (-sinω0tʼcosω0t + cosω0tʼsinω0t)= Iy cosω0 (t-tʼ) + Ix sinω0 (t-tʼ)

Q31．Q29において t = tʼ のとき、Iz はどのように変換されるか？
A31．A29において t = tʼ とおくと Iy が得られる。

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Q33．Q31において検出系が位相 0 (x 軸) のときのNMRスペクトルを示せ。
また検出系が位相 90 (y 軸) のときのスペクトルを示せ。
A33．A31から Iy が観測される。
t1期で検出  Iy cosωIt1 - Ix sinωIt1
位相 0 (x 軸) で検出- sinωIt1 負の分散波形（図５ʼ左）位相 90 (y 軸) で検出cosωIt1 正の吸収波形（図５ʼ右）Ix の係数 ＝ I核を位相 0 (x 軸) で検出したときの磁化 Mx
Iy の係数 ＝ I核を位相 0 (y 軸) で検出したときの磁化 My

図５ʼ