〔問〕

昭 和 37年 度(問題).
1 年払全期ム込養老保険 K沿いて，死亡保険金の支払時期を保険期間満了の時としたときの純保険料を Pとすると，色) P>Pnl (P司は定期積金の掛金率)を示せ。

(b)責任準備金の算式を求めよ。

2. 全其払込保険(年払 )vc孝子いて，被保険者の死亡に際し，死亡保険金として満期保険金と同額の金額(1(，既払込純保険料を加えたものを支払う場合の，年払純保険料卦よび平準純保険料
式で責任準備金の算式を求めよ。

(11)

3. 死亡率を，すべての xVCっきg.xからg‑.
x.
=~ x十戸に変えた場合， px:"iil 長よび色。̲
̲̲̲(，6)
長よびも Yx'::il VC変るとする oVx :‑nl はそれぞれ Px:司.
Apx:ii1

百.

'aF}Z‑8ー(V山となるととを証明せよ。

+〆4︑zzトZ一司一ρufα口U‑z，dP x :司一一とお・〈とき，め(= Px:司 ‑px:百昭 和 37 年 度(解答)(司求める養老保険は，

pa'x:司収 入d見価

支出の現価は，生死にか込わらず，つね陀満期時に保険金を支払うこと KなるからUnであることから，純保険料はUB

p=αx:・吉lと左る。一方，
UP司n=でア一一一α百，であ 9αlil >αx:司 で あ る か ら>pp

司(b)被保険者生存中の t年経過の責任準備金は，支出の現価=U n 一七Pαx+色 : 古ττ1

収入の現価である ζ とから屯v

v

・‑‑ p・αx~ も:すごτ1

又，死亡後 Kついてはもv

UIl‑色となるロ

2. 契約時 K台ける支出の現価は，純保険料を P とすれば，(1+P)すま十(1十 2P)す x+l+(1+3P)古;+2+…+¥1+nP)古X+Il‑l+DX+Il
Dx
Mx‑Mx+n+ Dx+ロ
Dx+Rx ー京支+百一 n 間I.X~ nDx‑ 9ー一一一・ P

・

収入の現価は P αx 司 で あ る か ら

Nx‑Nx+nP・
Dx

Mx‑:
Mx+n+Dx+n
Rx‑Rx+n‑nMX+ll+ P・一一一一一一一一一一一一Dx
Dx

在るととからMx‑Mx+n+DX‑f.np=(Nx‑Nx:"'n)ー (Rx‑Rx+ロ ‑ nMx+n)となる。次に七年経過の平準純保険料式責任準備金を求めるに，支出叫尾価はC1+(じ+1)P)す x‑
f.t
日も+1+.
.
.
+C
1+nわ す 叶n‑I十Dx+n+C1十(t+2)p)Cr
Dx+色‑Mxい ‑Mx+n+Dx→n

Rx+tー哀 x+n十 七 百[x+色ー η:
Mx+nDx+もDx+も+p.

Ax+t:τττ+ p.

Rx+色 ‑Rx+n+
七 Mx+t‑nMx+n
Dx+官

であ!J，叉収入の現価は

p .αx+t:nττ!
であることからもV

Rx‑J.t‑Rx‑J.n+ 七Mx+も‑nMx+n
Ax+色:宝二一切 + P・
Dx+もー‑p.ax‑f.色:n亡 τ1に=Ax+色:宝亡可 ‑ Pla玄+色:"iiττIーlRx+も ‑Rx+n十七百 x+t‑.nMx+n i!
DX+t/

3. 責任準備金の帯局方程式 K よ!J，( β (.8)・/.
~~(持、。
~J..8)
x司VlfX+も(1‑ t+1 V'X':司 )+ V ・も+l
V'X':宝 l
ーも γx:司わい+め (1=11(一 山(，8) '¥.

~_(.8)

̲̲(.
8)

Vz':司 )
+v・ 山 Vx:司 ‑tV'X';司(。
)~xr +t=
frx+t+P VCよ!)J)‑10ー両辺氏 Dx+tを掛けるとDxい‑pkx〉:
司 =(Ox+吋̲1ft)

vsDxい)(1‑ t+1V'"x':司".
̲̲(ft)
0+vDx+色川→ 1V'X":司‑ーが)ーJJx +色。も vx司̲.
(，9)
/.
̲J
吟
= 0x+も (1一 川 zV x:司)+1I sDxぃ (1ー も +1Vx":司)‑j坤̲
J均+v・Dx+色。も+1VX:II
I ー υx+t・も Vx玄:1， 、 ( ， 9 ) 円j，e)= 0x+屯+(v・Dx+色 ‑CX→t)
色+1VX:τ1+v戸Dx+t(1一色← 1VX~吉‑Dxぃ . tJ~): 司= 0x+叶 Dxい +1 • t+1;.
}!
):
百十 vsDxい(1‑ t+1.J~): τ;)‑‑(，9)‑Dx+も・も Vx.五i(VDX+官 ‑cx
十DX+t+l による。〉(.8)伊)
X・O
x+t+ (DX+官+1 t+lV'n":‑D:!
C+"・，"V"x':"
司j・+vsD山 (1一 山vf)・司)

七を Oから n‑1まで変えて加えると伊)(PJz‑TJz+a〉P z:司 =Mz‑Mx+n+D叶 E+Uペぞ。

伊)Dx+1(1‑1+1V: ・ 百 〉

両辺を D Z で割ると，FZ。 Ez(1‑t+Ed:)同伊)αx.司・ pz:司 =Az:τ1+U一ZZJ・ごα一一+zp司

一一dz

故に/ 伊 )Ex ¥.1一 世 十 lVコすなわち伊)ム Px~."~=F'._"-PーnlX.nl
x:n1lJ

s n‑l.;‑‑:
I/""x ・ii
1 1，;
:0‑11ー(β)

Ex (1ー も +1vx ・司)3.の別解1

責任準備金の再帰方程式はβ(V P x斗七・色村.
̲̲
(fJ)

v
‑も伊)併)
V''+p ー(.
8)
vl
t‑x+七(.
8) μ )̲ (.
8)
v(px十もー β)・
も +1 V"
もV'，+p'‑‑‑v(:f'x十も+点〉

すなわち。 ) 判 。 ) 併 )vf}‑x十 t‑V s(1ー も +IV'<')vP x+色・ 叶 1V-~ もv' + P'<‑

両 辺 VLDx+色をかけるとヤ'~i.8)

/.

申L

̲
1Dx十 吋 1・ t+1Y'
" = Dx+も・ tvr~p\"".JDx+t_O 叫 t-vßD 内 (1 一時 z 廿)
七=0I

1，…， n‑1と赴いて.
/̲̲Y')

戸!DX+I ・1ずか)ヤ)̲
'"'̲ ，̲ ̲̲(.
8)
Dxo・V 十 p'，Dx‑Cx‑ vsDx(1.
.V'‑'). j ) = D z h v"~FÝ') Dx+1‑ C叶 1‑ZJHDH1(1‑2V(F))

1D内・)~y) ‑ ‑~~). ‑(功¥Dx+n nず = Dx十且ー I n‑lV +P" Dx十n‑I ‑0叶‑n‑)‑ vsDx+n‑l・・× (1‑JF)〉" ̲̲(.8)併)

とれを両辺たして， ( nV"=1，0Y'~O 在るととを考慮して〉

(p)
.̲
̲
~ n，::1 ̲̲1.
8)
Dx十 n= p‑C'Nxー]トJx十 n)ー(Mx‑Mx+n)‑vs E Dx+t(1‑t十Eγ

コ

両辺を Dxで割!J，整頓すると，的

p αx:"nl‑Mx‑Mx+n+Dx+nn‑l
地= vsE も Ex(1一色村 V )也=。

Dx
す在わち，A︐︑V(リJ+〆gx︑・E

4FQ 町unDurtz

一一司

いα‑Pム‑12‑

3，0別 解2.

責任準備金の再帰方程式はE︑︐︐︐‑‑‑
A︐︐︑竜vp x十も・ t+1V = tV+P‑v，‑& x+官(p) T~(P) ， ̲(p)v(P%十t‑s)・色十 IY'=♂
'1'=‑v(ø--%+~ +戸) (2)+P'(2)ー(1):vpX+t・ム吋 IV‑Vs・叶 IJp)=ムも V +ム p‑vs(β)

(ことに，ムも V=tV 一色 V)
す左わち(p)6.P=vs(1ーも十 IV")+ vPx十z・ム也十 IV ‑6.
もV
両辺 V
CDx+tをかけると(P)ム p.D x+屯 =vsDx十も(1‑t+1V'')+Dx+t十1・ム z
十1V‑Dx十也ムも V七=0J1，…， η‑1とないてfムPDx{p)vsDx(1‑1V'"')+Dx+，・
ム IV‑Dx・ム N

jム PDx十1= VβDX+I (1‑zY~(均'')+ DX+2 ・ム:1V‑Dx十1・ム，V、が)
!
¥ム PD
X+ll
‑l= vsDx十n‑
1 (1‑nV'')十D::c
十2 ・ム nV‑Dx+n・ム nV( 均 約ムov=oV''':''oV=O‑O=O，ム旦 V= nV''':''nV =1‑ 1= 0を考慮して，辺々たすと，ム P(Nx‑Nx十n)

D̲I
内vs E Dx+色(1一色 +1V )‑ム p(ix;苛vsE(P))

1tEx(1ーも十 1 V‑13ー