平成 26 年度
修士論文

超伝導直流送電ケーブルのリップル電流による交流損失の解析

小田部研究室吉富 邦和(学籍番号：13674038)

平成 27 年 2 月 10 日
九州工業大学 大学院情報工学府
情報システム専攻

目次
第 1 章 序論 ............................................................................................................................ 1
1.1 超伝導について ............................................................................................................ 1
1.1.1 超伝導現象............................................................................................................. 1
1.1.2 マイスナー効果 ..................................................................................................... 2
1.1.3 第一種超伝導体と第二種超伝導体 ........................................................................ 3
1.1.4 高温超伝導............................................................................................................. 3
1.1.5 超伝導ケーブル ..................................................................................................... 5
1.2 超伝導直流送電の応用 ................................................................................................. 8
1.2.1 超伝導ケーブルを用いた電力網 ............................................................................ 8
1.2.2 整流 ..................................................................................................................... 10
1.3 本研究の目的.............................................................................................................. 14
第 2 章 ヒステリシス損失の理論式 ..................................................................................... 15
2.1 Bean モデルを用いたヒステリシス損失の評価 ......................................................... 15
2.2 Irie-Yamafuji モデルを用いた交流電流のヒステリシス損失の評価 ......................... 15
2.3 Irie-Yamafuji モデルを用いたリップル電流のヒステリシス損失の評価 .................. 16
2.4 これまでの研究 .......................................................................................................... 17
2.4.1 リップル電流によるヒステリシス損失の理論値 ................................................ 17
2.4.2 リップル電流によるヒステリシス損失のシミュレーション .............................. 20
第 3 章 整流電流とヒステリシス損失の評価 ....................................................................... 23
3.1 評価試料 ..................................................................................................................... 23
3.2 交流損失 ..................................................................................................................... 23
3.3 整流電流波形.............................................................................................................. 24
3.4 リップル電流によるヒステリシス損失 ..................................................................... 26
第 4 章 結合損失の評価 ....................................................................................................... 27
第 5 章 結果および考察 ....................................................................................................... 30
第 6 章 結論 .......................................................................................................................... 32
謝辞 ....................................................................................................................................... 33
参考文献 ............................................................................................................................... 34
付録 A Norris による理論式 ................................................................................................. 37
付録 B 超伝導体内の交流損失 ............................................................................................. 39
付録 C 円柱超伝導線の磁界分布 ......................................................................................... 41
付録 D ヒステリシス損失の計算(𝐼DC > 𝐼m ).......................................................................... 43
付録 E ヒステリシス損失の計算(𝐼DC < 𝐼m ) ......................................................................... 49i図 1.1 1911 年にオンネスが発表したグラフ[1] ............................................................ 1
図 1.2 マイスナー効果の模式図[2]............................................................................... 2
図 1.3 超伝導体の電気特性[3] ...................................................................................... 3
図 1.4 超伝導材料のゼロ抵抗状態を伴う超伝導転移温度の変遷[5]............................ 4
図 1.5 超伝導ケーブルの冷却[7] .................................................................................. 5
図 1.6 高温超伝導直流ケーブル[8]............................................................................... 6
図 1.7 高温超伝導交流ケーブル[7]............................................................................... 6
図 1.8 既存の洞道(地下トンネル)を利用した超伝導ケーブルの敷設[9]...................... 7
図 1.9 多芯線の断面の例 (a)円断面、(b)矩形断面、(c)テープ状[10] .......................... 7
図 1.10 現在の交流送電と直流送電の比較[11]............................................................. 9
図 1.11 鉄道用超伝導ケーブルシステム[15] ................................................................ 9
図 1.12 6 相整流器 ...................................................................................................... 10
図 1.13 12 相整流器 .................................................................................................... 10
図 1.14 24 相整流器 .....................................................................................................11
図 1.15 A. N. Arvindan の 24 相整流器[16] .................................................................. 12
図 1.16 A. N. Arvindan の 24 相整流器のフェーザ図[16] ............................................ 13
図 2.1 様々な 𝛾に対するヒステリシス損失[19] ......................................................... 18
図 2.2

𝛾 = 0.5で𝑖DC を 変 化 さ せた 場 合 のリ ッ プル 電 流に よ る ヒス テ リシ ス損失

𝑄ripple[19] ................................................................................................................ 20
図 2.3 円筒超伝導体の全体図[27] .............................................................................. 21
図 2.4 FEM の計算に用いた円筒超伝導体の部分モデル(5 度モデル)[27].................. 21
図 2.5 交流損失のリップル振幅依存性[26] ................................................................ 22
図 3.1 超伝導直流ケーブル ........................................................................................ 23
図 3.2 6 相、12 相、24 相整流電流波形 ..................................................................... 25
図 4.1 ビスマス系多芯線材の断面[21] ....................................................................... 27
図 4.2 典型的なビスマス系超伝導多芯線材の横断面[7] ............................................ 28
図 4.3 典型的なビスマス系超伝導多芯線材の縦断面[7] ............................................ 28
図 4.4 ブロック状複合導体の結合電流[22] ................................................................ 28
図 4.5 Bi2223 テープ(SrZr3+Bi2212 バリア)の交流損失[29] ....................................... 29
図 5.1 6 相、12 相、24 相整流電流によるヒステリシス損失 .................................... 31
図 D.1 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I = 𝐻u) ................................................................. 43
図 D.2 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I ：𝐻u → 𝐻d) ......................................................... 44
図 D.3 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I = 𝐻d) ................................................................. 45
図 D.4 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I ：𝐻d → 𝐻u) ......................................................... 46
図 E.1 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I = 𝐻u) .................................................................. 49ii

図 E.2 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I ：𝐻u → 0) ............................................................ 50
図 E.3 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I ：0 → −𝐻d) ......................................................... 51
図 E.4 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I ：0 → −𝐻d) ......................................................... 52
図 E.5 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I ： − 𝐻d → 0)........................................................ 55
図 E.6 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I ： − 𝐻d → 0)........................................................ 55
図 E.7 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I ：0 → 𝐻d) ............................................................ 57
図 E.8 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I ：0 → 𝐻d) ............................................................ 57
図 E.9 超伝導円柱内の磁束分布(𝐻I ：𝐻d → 𝐻u) .......................................................... 59iii

表 3.1 最大振幅１の多相整流電流の直流値とリップル振幅 ..................................... 25
表 5.1 2 kA 級超伝導直流ケーブルに整流電流を流した時の交流損失 ...................... 30

iv

第1章 序論
1.1 超伝導について
1.1.1 超伝導現象
オランダのライデン大学のオンネス(H. K. Onnes）は 1908 年に初めてヘリウム(He)の液化に成功し、極低温での自由電子に関する Drude Lorentz 理論を検証するため、1 K 近
くまでの金属の電気抵抗を調べていた。1911 年、当時最も純度の高かった水銀(Hg)の電気抵抗を測定しているときに、4.2 K 以下で電気抵抗が消失することを発見した(図 1.1)。
そしてこの現象を超伝導と呼んだ。電気抵抗を示す状態である常伝導状態から超伝導状態へ転移する温度を臨界温度𝑇c と呼ぶ。
オンネスは電流密度がある値以上の電流を流すと、超伝導が壊れて電気抵抗が出現することを見出した。このときの電流密度を臨界電流密度𝐽c という。また、外部磁界を加えたとき、その値がある値以上になると超電導が壊れることも見出した。この値を臨界磁界𝐻c と呼ぶ。

図 1.1

1911 年にオンネスが発表したグラフ[1]

横軸が絶対温度(K)、縦軸が電気抵抗(Ω)、4.19 K で、急速に電気抵抗が低下している1

1.1.2 マイスナー効果
1933 年、マイスナー(F. W. Meissner)とオクセンフェルト(R. Ochsenfeld)はスズ(Sn)と鉛(Pb)について磁気的特性の詳細な実験を行い、弱い磁界中におかれた超伝導体の内部から磁束は常にはじき出されるという性質を得た。この性質をマイスナー効果と呼び、図1.1 にこのマイスナー効果を模式的に示す。図 1.2 の(a)は臨界温度𝑇c 以上で磁界を加え、𝑇c 以下に冷やした場合、(b)は𝑇c 以下に冷やしてから磁界を加えた場合で、いずれの場合
でも𝑇c 以下の超伝導状態では磁束がはじき出される。そのため、超伝導体内で磁束密度𝑩に対し次式が成り立つ。
𝑩=0
(1.1)
このマイスナー効果は、電気抵抗率𝜌 = 0という完全導電性から導くことができず、
𝜌 = 0とは独立な超伝導の最も基本的な性質である。

図 1.2 マイスナー効果の模式図[2](a)𝑇c 以上で磁界を加え、𝑇c 以下に冷やした場合(b)𝑇c 以下に冷やしてから磁界を加えた場合

2

1.1.3 第一種超伝導体と第二種超伝導体
超伝導体の磁界特性は単一ではなく、印加磁界𝐻に対する反応の仕方で図 1.3 に示すように 2 種類に分けられる。一つは磁界を高くしていくと突然ある値(臨界磁界𝐻c )で電気抵抗𝑅 = 0と磁束密度𝐵 = 0の状態が同時に消失する第一種超伝導体である。もう一つ
は比較的低い磁界(𝐻c1)で𝐵 = 0の状態が消失し磁束が超伝導体に侵入し始め、それより高い磁界(𝐻c2)で𝑅 = 0の状態が消失する第二種超伝導体である。𝐻c1を下部臨界磁界、𝐻c2を上部臨界磁界という。𝐻c1と𝐻c2の間では超伝導状態が局部的に破れ常伝導相と超伝導相が混在するので混合状態と呼ぶ。この𝐻c2 は発生磁界を限定するので実用上重要である。

図 1.3 超伝導体の電気特性[3]
第一種超伝導体と第二種超伝導体の相異1.1.4 高温超伝導
1911 年にオンネスが水銀の超伝導を発見して以来、𝑇c の最高温度は年々上昇した。
1973 年には Nb3Ge が𝑇c = 23 Kを記録した。しかし、その後 13 年間は𝑇c の上昇はほとん
ど見られなかった。ところが、1986 年に IBM チューリッヒ研究所のベドノルツ(J. G. Bednorz)とミュラー(K. A. Muller)は銅(Cu)を含むランタン(La)とバリウム(Ba)の酸化物(セラミックス)の電気抵抗が 30 K 付近から急に低下し、約 13 K で 0 になることを発見した。この報告を受け東京大学の田中昭二、笛木和雄らのグループが(La1-xBax)2CuO4-δ(δ は酸素欠損量)が超伝導体の本体であること、マイスナー効果を示す
ことを確認した。1987 年にはヒューストン大学のチュー(P. Chu)らのグループが3

YBa2Cu3O7-δ で𝑇c が 90 K を超えることを見出したが、この𝑇c は液体窒素温度である 77 Kを超えるものである。その後、ビスマス(Bi)系物質で𝑇c = 110 K、チタン(TI)系物質で𝑇c = 125 K、水銀(Hg)系物質で𝑇c = 134 Kが得られた。2008 年には鉄(Fe)系超伝導体が発見された。
特にビスマス系酸化物超伝導体はビスマス(Bi)、ストロンチウム(Sr)、カルシウム(Ca)、
銅(Cu)、酸素(O)という 5 つの元素からなるセラミックスであり、1988 年に日本で発見された臨界温度が 100 K を超える初めての高温超伝導体である。Bi：Sr：Ca：Cu の比
率が 2：2：2：3 の酸化物(Bi2223)は臨界温度が 110 K であり、液体窒素温度よりも 30
度以上高い温度で超伝導状態となるため、送電ケーブルをはじめとして幅広い応用が期待されている[4](図 1.4)。

図 1.4 超伝導材料のゼロ抵抗状態を伴う超伝導転移温度の変遷[5]これまでで最高温度となる 153 K での超伝導転移を観測

4

1.1.5 超伝導ケーブル
超伝導ケーブルのメリットは、送電損失の改善、それに伴う二酸化炭素(CO2)排出量の削減、そして敷設コストの削減である。
超伝導体は電気抵抗を伴わずに流せる電流密度が、通常の銅線材の電流密度に比べて1000 倍以上大きいという特徴を持つ。そのため、電力ケーブルを超伝導化することでケーブルの小型化、大容量化が期待されている。
発電所で作られた電力の一部は送電時に送配電線の電気抵抗などによる熱として失われており、この送電損失は約 5％である。超伝導技術を利用したケーブルは、電気抵抗がゼロであるため、送電損失を大幅に低減することができる。全ての送電ケーブルを銅から超伝導に置き換えると、送電損失は約 2 %に低減できる[6]。超伝導ケーブルの場
合の送電損失は、電気抵抗によるものではなく、超伝導ケーブルの冷却のために消耗される電力である (図 1.5)。
図 1.6 は高温超伝導直流ケーブル、
図 1.7 は高温超伝導交流ケーブルの構成図である。
超伝導ケーブルは軽量でケーブル径が細いため、既存の地下スペースを利用することで管路敷設が可能とされている。銅ケーブルを超伝導ケーブルに置き換えるだけよく、長距離の配管を敷設する工事は必要ないため、土木工事費の削減や工期の短縮が可能となる(図 1.8)。
その他にも、送電損失の削減により CO2 排出量抑制も期待されている。超伝導体の電力応用のためには、交流損失の低減が不可欠である。そのため、有効な損失低減対策を見出すことが課題となる。
超伝導ケーブルは図 1.9 に示すように多芯線と呼ばれる形状をしている。これは、細い（数百 nm から数十 µm 径）超伝導フィラメントが多数（数十から数十万本）、銅などの常伝導金属マトリクス（母材）の中に埋め込まれ、軸のまわりにねじられたものであり、このねじりはツイストと呼ばれる。超伝導ケーブルによく用いられるビスマス系超伝導体 Bi2223 は図 1.9(c)のような多芯テープ形状で使われる。

図 1.5 超伝導ケーブルの冷却[7]5図 1.6 高温超伝導直流ケーブル[8]図 1.7 高温超伝導交流ケーブル[7]6図 1.8 既存の洞道(地下トンネル)を利用した超伝導ケーブルの敷設[9]図 1.9 多芯線の断面の例 (a)円断面、(b)矩形断面、(c)テープ状[10]71.2 超伝導直流送電の応用
1.2.1 超伝導ケーブルを用いた電力網
現在、発電所で作り出される電流は交流である。一方、オフィスや家庭、工場などで使用する電化製品やコンピュータ、生産設備の大半は直流電流で動いている(図 1.10)。
そのため、発電所の電気を交流のまま送電し、オフィスや家庭で直流に変えて使っている。しかし、交流電流のまま送電すると超伝導線の交流損失というメカニズムのために
電気エネルギーが熱エネルギーに変換されてかなり失われてしまう。発電した電気を直流に変えて送電する直流送電ならば、こうしたエネルギー損失を抑えられる。
しかし、現在交流で構築されている送電システムは高い信頼性を確立しており、直流送電に切り替えることで電力消費量を減らせるとしても、すべて直流送電に置き換える
ことは現実的に難しい。
電気の需要地に近い変電所からデータセンターや工場などの大口電力利用者への経路だけを直流化するだけでも、送電ロスや排熱が減らせることができ、トータルで 4 割
程度消費電力量が削減できるという試算もある[11]。
また、国際的には海底ケーブルによる電気のパイプラインを構築して、世界の様々な地域に電力を融通する構想も存在する。たとえば、砂漠などの太陽力発電に適した地域
から、電力需要地に電気を送ることで自然エネルギーの利用を促進したり、時差による電力需要の波を利用して、電気が余っている夜の地域にある発電所から、電気が足りな
い昼の地域に送電したりするなど、世界的に電力需要を平準化することができ省電力につながる[12]。
そのほかにも鉄道の架線に電力供給するため、架線と並行して設けられるき電ケーブ
ルとしても応用が期待されている(図 1.11)。現在、鉄道で使われている銅線でできた送電線を超電導ケーブルに置き換えることで、送電時の電気抵抗による損失がなくなり、冷却に必要な電力を差し引いても電力消費量を 5 %程度減らすことができると見込まれている[13, 14]。

8

図 1.10

現在の交流送電と直流送電の比較[11]図 1.11 鉄道用超伝導ケーブルシステム[15]91.2.2 整流交流を直流に変換することを整流という。電流を一方向にしか流さない性質をもったダイオード等の回路素子を用いて整流機能を実現するものを整流器とよぶ。整流器とは交流電力を直流電力に変換する電力変換装置である。順変換装置、コンバーターともいう。
整流の機能をもつ回路は整流回路とよばれ、整流素子の接続法により各種の整流回路が実現できる。整流器は直流電力を利用するために用いられるので、出力する直流電力の脈動が少ないことが要求される。交流の 1 周期に現れるリップル数は整流の相数(パルス数）と呼ばれる。整流回路の等価的な相数が多いほど脈動が少ないので、大容量の場
合、6 相、12 相、24 相の多相整流回路が使われる。図 1.12 ~ 1.14 に 6 相、12 相、24 相の整流器をそれぞれ示す。図 1.12 の 6 相整流器では、整流素子 6 個により三相電源の各相を全波整流し、6 相整流が得られる。図 1.13 の 12 相整流器では、Δ-Y 結線の変成器の二次側の三相交流は Δ-Δ 結線の二次側の三相交流に比べて 30 度の位相差がある。
それぞれの 3 相交流出力を全波整流することにより、12 相整流が得られる。

図 1.126 相整流器図 1.1312 相整流器10図 1.1424 相整流器

１次巻線側で±7.5 度位相をずらした 2 組の 12 相整流回路の出力を全波整流すること
により 24 相整流が得られる。他にも、12 相整流回路の変成器出力の 30 度位相差を利用して、それらを Y-Δ 結線変成器の 1 次側でベクトル合成することにより位相差が 15
度の 3 相交流を生成して 24 相整流を得る新しい方法が提案されている。[16]A. N. Arvindan の 24 相整流器を図 1.15 に示し、3 相交流のフェーザ図を図 1.16 に示す。まず、3 相交流に接続された Y-Y-Δ 結線変成器の出力電圧a0 、b0 、c0 、および、30度位相が進んだ出力電圧a−30、b−30 、c−30が生成される。次に、Y-Y-Δ 結線変成器の 2次側に接続された Y-Δ 結線変成器の一次側に(a0 − b0 ) + (a−30 − b−30 )、(b0 − c0 ) +(b−30 − c−30 )、(c0 − a0 ) + (c−30 − a−30 )の電圧が印加され、2 次側には 30 度位相が進んだa−15 、b−15、c−15 が生成される。さらに、a−15 、b−15 、c−15 を Y-Δ 結線変成器によって 30 度位相が進んだa−45 、b−45 、c−45 が生成され、基本となる 3 相交流および 15 度、
30 度、45 度の位相が進んだ 3 相交流が生成される。それぞれをダイオードブリッジによって全波整流されることにより 24 相整流電流が得られる。

11

図 1.15

A. N. Arvindan の 24 相整流器[16]単一 3 相交流から 4 組の 3 相交流への変換による 24 相整流器

12

(a0 − b0 ) + (a−30 − b−30 )

a0
a−30

a−30 − b−30

c−30

a−15
a 0 − b0

c0

b0
b−30
(a)

(b)

a0

a−15

a−30
a−45

c−45
c−30
c−15
b0

c0

b−15

b−45

b−30

(c)

図 1.16

A. N. Arvindan の 24 相整流器のフェーザ図[16](a) 3 相交流a0 、b0 、c0 と 30 度位相が進んだ 3 相交流a−30、b−30 、c−30 のフェーザ(b)15 度位相が進んだ 3 相交流a−15のフェーザ(c)15 度ずつ位相が異なる 4 組の 3 相交流のフェーザ

13

1.3 本研究の目的
電力網の送電損失を大幅に減らす方法として、直流超伝導送電が注目されている[17]。
直流超伝導送電ケーブルの伝送損失は交流超伝導送電ケーブルの伝送損失の 10 分の 1
以下、通常の銅の送電ケーブルの送電損失の 30 分の 1 以下であると見積もられる[18]。
直流超伝導送電ケーブルを用いれば大電流および大電力を従来の銅ケーブルよりも効率よく送ることができる。この場合、交流電流は整流されリップル電流の重畳した直流
電流に変換されるが、このリップル電流による交流損失のため、エネルギー損失が発生する[19, 20]。
本研究では、直流超伝導送電で問題となる整流電流に含まれるリップル電流による交流損失を評価することが目的である。評価するモデルは 2 kA 級直流超伝導送電ケーブ
ル[21]とする。交流損失としてヒステリシス損失と結合損失を考える。ヒステリシス損
失は Norris の超伝導円柱に対する交流損失の評価式で求め、結合損失はブロックモデル[22]で求める。ここでは多層整流電流として、6 相、12 相、24 相の整流電流を考えている。第 1 章では研究背景、第 2 章でヒステリシス損失の評価式、第 3 章でリップル電流
によるヒステリシス損失の評価、第 4 章で結合損失の評価、第 5 章でリップル電流による交流損失の結果と考察を行い、第 6 章では本研究で得られた結論を述べる。

14

第2章 ヒステリシス損失の理論式
2.1 Bean モデルを用いたヒステリシス損失の評価
超伝導円柱の交流損失は Bean モデルに基づいてハンコック(R. Hancox)により導かれた[23]。Bean モデルでは臨界電流密度が印加磁界対して一定であると仮定している。ノリス(W. T. Norris)はハンコックの方程式が断面積の同じ楕円形の超伝導線に対しても適応できることを明らかにした[24]。一方、Irie-Yamafuji モデルは臨界電流密度の磁界依存性を評価するモデルとしてに対して広く使われている。
ハンコックやノリスにより臨界電流密度が磁界によって変わらない Bean モデルを用いた時の自己磁界によるヒステリシス損失が求められている。交流電流 1 周期、単位長
さあたりのヒステリシス損失𝑄ac [J/m/cycle]についてノリスによって求められた式を以下に示す。超伝導線の断面が円形、楕円形のとき、断面の大きさによらず、𝑄ac = 𝑄0 [(1 − 𝑖m ) ln(1 − 𝑖m ) +(2 − 𝑖m )𝑖m
]
2
(2.1)

で与えられる。また、厚さがゼロの超伝導ストリップ線のヒステリシス損失は、ストリップの幅によらず
2]
𝑄ac = 𝑄0 [(1 − 𝑖m ) ln(1 − 𝑖m ) + (1 + 𝑖m ) ln(1 + 𝑖m ) − 𝑖m(2.2)
で与えられる。ここで、
𝑄0 =𝜇0 𝐼c2
,
𝜋

𝑖m =

𝐼m
𝐼c
(2.3)

であり、𝐼m は交流電流の振幅、𝐼c は臨界電流、𝜇0 = 4𝜋 × 10−7は真空の透磁率である。𝑄0 は交流振幅が臨界電流に一致するとき (𝐼m = 𝐼c ) の値である。

2.2 Irie-Yamafuji モデルを用いた交流電流のヒステリシス損失の評価
ノリスによって求められたヒステリシス損失の評価式は、臨界電流密度が磁界に依存しない Bean モデルを仮定しているが、実際には臨界電流密度は印加磁界により変化する。Irie-Yamafuji モデルの臨界電流密度は𝐽c (𝐵) = 𝛼𝐵𝛾−1 を仮定している。𝐵は磁束密度、𝛼はピン力密度の大きさ、𝛾は磁界依存性を表すパラメータであり、多くの場合0 ≤ γ ≤ 1である。𝛾 = 1のとき Irie-Yamafuji モデルは Bean モデルと一致する。交流電流を流した
15

時のヒステリシス損失は次のようになる。
ℎm

𝑄ac = 𝑄0 ∫02−𝛾dℎI ℎI

𝛾−1
𝛾−1
𝑥0
1
1
2−𝛾
2−𝛾
(1 + ℎI − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 d𝑥 + ∫(1 − ℎI − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 d𝑥
𝑥1 𝑥
𝑥2 𝑥
1

[− ∫

𝛾−1
1 3−𝛾
2−𝛾
− 1 + ℎI )2−𝛾 d𝑥]
(𝑥
𝑥0 𝑥
1

+∫

(2.4)
ここで
1
2−𝛾 3−𝛾𝑥0 = (1 − ℎI

)

,

1

1

3−𝛾
3−𝛾
1 2−𝛾
1 2−𝛾
2−𝛾
2−𝛾
𝑥1 = (1 − (ℎm − ℎI )), 𝑥2 = (1 − (ℎm + ℎI )) ,22ℎm = 𝑖m =

𝐼m
,
𝐼c

𝑄0 =

𝜇0 𝐼c2
𝜋
(2.5)

である。

2.3 Irie-Yamafuji モデルを用いたリップル電流のヒステリシス損失の評価
リップル電流によるヒステリシス損失𝑄ripple を求めるため、直流電流𝐼DC に振幅𝐼m の交流が重畳した電流が半径𝑅の無限長円柱に流れる場合の損失を考える。𝐼DC が𝐼m よりも大きい場合は電流の向きが常に直流電流の向きであるが、𝐼DC が𝐼m よりも小さい場合は電流の向きが１周期の間に逆転する。そのため、𝐼DC と𝐼m の大小関係により𝑄ripple の評
価式が異なる[19, 25]。
(i) 𝐼DC > 𝐼m の場合
𝑄ripple =

𝑄0 ℎu
∫ 𝑑ℎI
2 ℎd
2−𝛾

2−𝛾

𝛾−1
𝛾−1
1
ℎ
ℎ
2−𝛾
2−𝛾
∙ [∫ − I (ℎI + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 d𝑥 + ∫ I (ℎI − 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 d𝑥]
𝑥
𝑥1
𝑥1′ 𝑥
1

(2.6)
ここで、
1

1

1 2−𝛾
2−𝛾 3−𝛾𝑥1 = [1 − (ℎu − ℎI )]
,
2

1 2−𝛾
2−𝛾 3−𝛾𝑥1′ = [1 − (ℎI − ℎd )]
2
(2.7)

である。
16

(ii) 𝐼DC < 𝐼m の場合
2−𝛾

𝑄ripple =

𝛾−1
1
𝑄0 ℎu
ℎ
2−𝛾
∫ 𝑑ℎI ∫ − I (ℎI + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 d𝑥
2 0
𝑥
𝑥1
2−𝛾

+

𝛾−1
𝑥0
𝑄0 ℎd
ℎI
2−𝛾
∫ 𝑑ℎI ∙ [∫(−ℎI + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 d𝑥
2 0
𝑥
𝑥2
2−𝛾

𝛾−1
ℎI
2−𝛾
(ℎI − 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 d𝑥
𝑥0 𝑥
1

+2 ∫

2−𝛾

1

+∫ −
𝑥1′

𝛾−1
ℎI
2−𝛾
(ℎI + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 d𝑥
𝑥

2−𝛾

𝛾−1
ℎI
2−𝛾
(−ℎI + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 d𝑥]
𝑥
𝑥2′
𝑥0

+∫

2−𝛾

+

𝛾−1
1
𝑄0 ℎu
ℎ
2−𝛾
∫ 𝑑ℎI ∫ I (ℎI − 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 d𝑥
2 ℎd
𝑥2′ 𝑥

(2.8)
ここで、
𝑖DC =

𝐼DC
, ℎu = 𝑖DC + 𝑖m , ℎd = |𝑖DC − 𝑖m |,𝐼c12−𝛾 3−𝛾𝑥0 = (1 − ℎI

)

,

1

1

1

1

1 2−𝛾
1 2−𝛾
2−𝛾 3−𝛾2−𝛾 3−𝛾𝑥1 = [1 − (ℎu − ℎI )], 𝑥2 = [1 − (ℎu + ℎI )] ,
2
2
1 2−𝛾
1 2−𝛾
2−𝛾 3−𝛾2−𝛾 3−𝛾𝑥1′ = [1 − (ℎd − ℎI )], 𝑥2′ = [1 − (ℎd + ℎI )]
2
2
(2.9)
である。

2.4 これまでの研究
2.4.1 リップル電流によるヒステリシス損失の理論値
以前の我々の研究で、臨界電流密度が磁界に依存しない場合は、直流電流の有無によらず、ヒステリシス損失はほぼ同じであることがわかっている。
交流振幅が直流電流に対して十分小さい(𝑖m ≪ 𝑖dc )とき、リップル電流のヒステリシ
ス損失の値は Norris の評価式の値に近づき、またその値は Norris の評価式の値を超えないことが分かっている。そのため、リップル電流のヒステリシス損失は Norris の評価式
により求めることができるといえる[19]。
17図 2.1 に様々な𝛾に対する正規化最大リップル電流振幅𝑖m と 1 周期・単位長さあたりのヒステリシス損失の関係を示す。実線は𝑖DC = 0.01の場合のリップル電流によるヒステリシス損失𝑄ripple、破線は𝑖DC = 0の場合の純粋な交流によるヒステリシス損失𝑄ac である。𝑄rippleは𝑖m < 𝑖DC のとき𝑖m の 3 乗、𝑖m > 𝑖DC のとき𝑖m の 4 乗に比例して増大する。
Bean モデルに対応する𝛾 = 1の場合は、臨界電流の磁界依存性が無視されるため、
𝑖DC = 0と𝑖DC = 0.01の場合のヒステリシス損失は同じ結果になっている。
一方、𝛾 ≠ 1の場合は直流電流の有無によりヒステリシス損失の値は変化している。𝛾
の値が小さくなるにつれて、𝑄ac と𝑄rippleの違いは大きくなる。その理由は、𝛾の値が小さくなると、𝐽c (𝐵) = 𝛼𝐵𝛾−1 に従って𝐽c の磁界依存性が大きくなるためである。

図 2.1 様々な 𝜸に対するヒステリシス損失[19]𝑖DC = 0と𝑖DC = 0.01の場合の比較

18

𝑖DC = 0.01における𝑄ripple (図 2.1 に実線)は、𝑖m < 𝑖DC の場合、𝑖DC = 0の場合の𝑄ac (図2.1 に破線)よりも大きい。これは直流電流があるときは自己磁界により臨界電流が小さくなるため、大きな侵入磁界が変化するためである。
逆に𝑖m > 𝑖DC の場合は、交流が 1 周期の変化中に超伝導円柱の表面の磁界がゼロになることがあるため、𝑖DC = 0.01に対する𝑄rippleは𝑄ac よりも小さくなる。Irie-Yamafuji モ
デルでは、超伝導円柱表面で磁界がゼロになるような変化をする場合には臨界電流密度が大きくなるためヒステリシス損失が低下することがわかる。
図 2.2 に𝛾 = 0.5の時の、𝑖DC の変化も対する𝑄rippleと𝑄ac を示す。結果を比較するため、Norris の楕円型の評価式とストリップ型の評価式をプロットしている。𝑖m ≅ 𝑖DC で
𝑄ripple と𝑄ac が交差していることがわかる。𝑖m ≪ 𝑖DC のとき、𝑄ripple は𝑄ac とほぼ同じ減少率であることがわかる。
実際の超伝導直流送電ケーブルの断面は、薄い超伝導テープを層状に円柱に巻きつけた構造であり、中の詰まった円柱状の構造ではない。この場合、理論結果は円柱超伝導体の表面に近い領域のみに電流が流れる場合の計算により得られる。このことは𝐼c 非常に大きく、𝑖DC と𝑖m が𝐼c よりも十分小さいことに対応する。さらに、実際の場合には𝑖DC ≫ 𝑖mが成り立つ。したがって、𝛾 ≠ 1の場合、𝑖m が小さいときは𝑄ripple は𝑄ac よりも何倍も大きい。しかし、図 2.2 のように𝑄rippleは𝑄0 と比べ十分小さいため、𝑄ripple⁄𝑄0 は実際の直流送電線では非常に小さくなる。
直流に交流電流が重畳した整流電流の場合、ヒステリシス損失は純粋な交流電流の場
合よりも大きくなる。しかし、薄い超伝導テープで作られた直流送電ケーブルでは、臨界電流に対する交流電流の振幅の比率は非常に小さい。
ヒステリシス損失𝑄ac 及び𝑄rippleは、交流振幅𝐼m と臨界電流𝐼c の比𝑖m の 3 乗又は 4 乗に比例して発生する。交流送電では交流振幅𝐼m が臨界電流𝐼c に近い大きな値であるのに対し、直流送電ではリップル電流の振幅𝐼m は直流電流値𝐼DC の数%未満であるため、交流
振幅𝐼m と臨界電流𝐼c の比𝑖m は 1 に比べて非常に小さくなる。そのため、直流送電のリップル電流によるヒステリシス損失は、交流送電の場合に比べて何桁も小さくなる。

19

図 2.2 𝜸 = 𝟎. 𝟓で𝒊𝐃𝐂 を変化させた場合のリップル電流によるヒステリシス損失
𝑸𝐫𝐢𝐩𝐩𝐥𝐞[19]2.4.2 リップル電流によるヒステリシス損失のシミュレーション𝛾 ≠ 1のとき、リップル電流の交流成分が直流値よりも十分小さい場合にヒステリシ
ス損失𝑄ripple が純粋に交流分だけによるヒステリシス損失𝑄ac よりも大きくなる現象に関しては、有限要素法(Finite Element Method、FEM)による数値シミュレーションによっても確認されている[26, 27]。シミュレーションで用いた円筒超伝導体モデルを図 2.3 に示す。この計算モデルは、超伝導テープで構成された送電ケーブルをモデル化したものである。超伝導体は内径 1 mm、外径 1.3 mm の円筒状である。図 2.4 は FEM の計算に用いた円筒超伝導体の部分モデルである。この円筒超伝導体の臨界電流𝐼c = 2200 A、
𝛾 = 0.5、直流電流𝐼DC = 432 Aとしたときの交流電流振幅 100~1000 A に対する単位体積20当たりのヒステリシス損失を計算したものが図 2.5 である。FEM の計算結果はIrie-Yamafuji モデルによる理論結果とよく一致していることがわかる。

図 2.3 円筒超伝導体の全体図[27]図 2.4 FEM の計算に用いた円筒超伝導体の部分モデル(5 度モデル)[27]21図 2.5 交流損失のリップル振幅依存性[26]22第3章 整流電流とヒステリシス損失の評価
3.1 評価試料
中部大学では 200 m 級の高温超伝導直流送電実証実験装置-2 号機(CASER-2)が建設され、超伝導送電技術の実証的研究開発が行われている[28]。第 3 章及び第 4 章では、この中部大学の実験装置で使用されている超伝導ケーブルの構成(第 1 章の図 1.6)を参考にする。図 3.1 は超伝導直流ケーブルの模式図である。この図は、フォーマとよばれる銅でできた芯に、テープ状の超電導線材をらせん状に多数本巻きつけ、その上に絶縁層、超電導シールド層、保護層を設けてケーブルコアとし、液体窒素を流す断熱管に収納した構造を表している。テープ線材の本数𝑁は 39 本である。フォーマの直径は 40 mm、テープの幅と厚さはそれぞれ𝑤 = 4 mm、𝑡 = 0.2 mmである。ケーブルが 60 Hz の 3 相交流電流から整流された 2 kA の直流電流を送電するとき、各テープの直流電流値は
𝐼dc = 2000⁄39 = 51.3 Aとなる。テープ線材の臨界電流は𝐼c = 100 Aである。

図 3.1 超伝導直流ケーブル

3.2 交流損失
交直変換により得られた多相整流電流は、直流電流にリップル電流が重畳したものである。そのため、超伝導直流送電の損失を評価するには、リップル電流による交流損失を評価する必要がある。多相整流電流による交流損失𝑊は、ピン止め力による超伝導内部の損失であるヒステリシス損失𝑃h と常伝導金属を介して超伝導体間の結合が生じる
23

ために発生する損失である結合損失𝑃c から式(3.1)のように求めることができる。
𝑊 = 𝑃h + 𝑃c
(3.1)
これまでの研究から、交流振幅が直流電流に対して十分小さい(𝑖m ≪ 𝑖dc )とき、リップル電流によるヒステリシス損失は Norris の評価式に近づくことが分かっている。そのため、リップル電流によるヒステリシス損失は Norris の評価式により求めることができる。超伝導ストリップ線材における交流電流の振幅を𝐼m 、直流電流を𝐼dc、臨界電流を 𝐼cとすると𝑖m = 𝐼m ⁄ 𝐼c 、𝑖dc = 𝐼dc⁄ 𝐼c と表せる。また、𝛾は磁界依存性を示すパラメータ(0 ≤ 𝛾 ≤ 1)である。

3.3 整流電流波形
振幅 1 の正弦波電流を整流した𝑝相整流電流として、式(3.2)に示す整流電流波形を考える。
𝐼𝑝 (𝑡) = cos (𝜔𝑡 −

𝑛𝜋
)
𝑝
(3.2)

ここで、𝜔は正弦波電流の角周波数であり、式(3.2)は区間|𝜔𝑡 − 𝑛𝜋⁄𝑝| < 𝜋⁄𝑝 (𝑛は整数)での波形である。図 3.2 は式(3.2)の整流電流波形を示している。この𝑝相整流電流波形
は、フーリエ級数展開により式(3.3)で表される。
∞

𝑝𝜋2
𝐼𝑝 (𝑡) = sin [1 − ∑cos(𝑝𝑛𝜔𝑡)](𝑝𝑛 − 1)(𝑝𝑛 + 1)
𝜋
𝑝
𝑛=1

(3.3)
このように、整流電流は(𝑝⁄𝜋) sin(𝜋⁄𝑝)の大きさの直流電流と角周波数𝑝𝑛𝜔の高調波電流で構成されている。
第 2 章の 2.4 節で述べたように、リップル電流が重畳した直流電流が超伝導線で発生するヒステリシス損失は、リップル電流の振幅が直流電流値よりも十分小さい場合には、Norris の評価式が良い近似となることがわかっている。このヒステリシス損失はリップ
ル電流の波形には依らず、そのピークピーク値によって決まる。リップル電流は最大値
𝐼𝑝 (𝜋⁄𝑝𝜔) 、 最 小 値 𝐼𝑝 (0) で あ る か ら 、 ピ ー ク ピ ー ク 値 は 𝐼𝑝 (𝜋⁄𝑝𝜔) − 𝐼𝑝 (0) = 1 −cos(𝜋⁄𝑝) = 2 sin2 (𝜋⁄2𝑝)となる。このピークピーク値の 2 分の 1 の振幅の交流電流が直流電流に重畳しているとみなして、Norris の評価式によりリップルのある整流電流によるヒステリシス損失を近似的に評価できる。振幅sin2(𝜋⁄2𝑝)の交流電流と直流電流の比は𝑘𝑝 = (𝜋⁄2𝑝) tan(𝜋⁄2𝑝)である。
6 相、
12 相、
24 相整流に対してこの比はそれぞれ 7.01%、
1.72%、0.43%となる(表 3.1)。
24

図 3.2

6 相、12 相、24 相整流電流波形

表 3.1 最大振幅１の多相整流電流の直流値とリップル振幅
相数

直流値

リップル振幅

交流振幅／直流値𝑝(𝑝⁄𝜋) sin(𝜋⁄𝑝)（ピークピーク値）

𝑘𝑝 = (𝜋⁄2𝑝) tan(𝜋⁄2𝑝)2sin2 (𝜋⁄2𝑝)
6

0.955

0.13400.070112

0.989

0.03410.017224

0.997

0.00860.004325

3.4 リップル電流によるヒステリシス損失
超伝導円柱のリップル電流によるヒステリシス損失を Bean モデルを用いて見積もる。
リップル電流の 1 周期・単位長さあたりのヒステリシス損失𝑄h は次式で与えられる[23,28]。
𝑄h = 𝑄0 [(1 − 𝑖m ) ln(1 − 𝑖m ) +(2 − 𝑖m )𝑖m
]
2
(3.4)

ここで、𝑄0 = 𝜇0 𝐼c2 ⁄𝜋、𝑖m = 𝐼m ⁄𝐼c である。𝐼m と𝐼c はそれぞれ 1 本の超伝導テープを流れる交流の振幅及び臨界電流である。一方、ケーブル全体に流れる直流電流値𝐼DC は
𝐼DC = 𝑁𝐼dc である。超伝導テープに流れる𝑝相整流電流の交流振幅と直流成分の比は𝑘𝑝 であるから𝐼m = 𝑘𝑝 𝐼dc となる。
以上のことから、𝑁本の超伝導テープで構成された円柱超伝導直流ケーブルの単位長さあたりのヒステリシス損失𝑃h は式(3.5)から求められる。
𝑃h = 𝑄h 𝑓𝑝𝑁(3.5)
ここで𝑓 = 𝜔⁄(2𝜋)は電源の周波数である。

26

第4章 結合損失の評価
中部大学の 200 m 級高温超伝導直流送電実証実験装置-2 号機(CASER-2)に使用されているビスマス(Bi)系多芯線材の断面写真を図 4.1 に示す。典型的な Bi 系超伝導多芯線材の横断面と縦断面の模式図をそれぞれ図 4.2 と図 4.3 に示す。
超伝導多芯線材の常伝導金属を介して超伝導体間の結合が生じる場合についての損失を、図 4.4 に示したブロック状複合導体モデルを用いて評価する。このモデルは厚さ𝑠、長さ𝑙の超伝導平板の間に厚さ𝑛、長さ𝑙の常伝導金属がはさまれたブロック状の複合導体である。今、これに一様な変動磁界が図の向きに印加されているとする。1 周期・単位体積当たりの超伝導テープの結合損失𝑄c は、このブロックモデルに基づいて計算することができ、式(4.1)のように与えられる。
𝑄c = 𝛤c𝐵m2
2𝜋𝑓𝜏s
2𝜇0 (2𝜋𝑓𝜏s )2 + 1(4.1)

ここで、𝛤c は定数、𝐵m = 𝜇0 𝐼m ⁄(2𝜋𝑅) = 𝑘m 𝜇0 𝐼dc ⁄(2𝜋𝑅)は外部磁界、𝑘m = 𝐼m ⁄𝐼dc の𝐼dc は直流電流、𝑅はケーブルの直径、𝜏s = 𝜇0 (𝑙 ⁄2)2⁄(2𝜌𝑛 )は結合時定数、𝑙はツイストピッチ
長、𝜌𝑛 は常伝導ブロックの抵抗率である。定数𝛤c は𝛤c = 4𝜋[2𝑠⁄(𝑠 + 2𝑛)]⁄3で与えられ、𝑠 ≅ 𝑛である。また長いツイストピッチや、ノンツイスト直流超伝導テープでは結合周波数𝑓c = 1⁄2𝜋𝜏s が 1 Hz より十分小さい（𝑓c ≪ 1）と仮定でき、式(4.2)のように単位時間・単位長さ当たりの結合損失𝑃c を得ることができる。
𝑃c = 𝑄c 𝑓𝑁𝑤𝑡 ≅4𝜋𝐵m2 𝑓c 𝑁𝑤𝑡 4𝜋𝐵m2 𝑁𝑤𝑡
≪
9𝜇0
9𝜇0
(4.2)

図 4.5 は Bi2223 テープの交流損失の周波数依存性を示す。交流損失は周波数が結合
周波数𝑓c のとき最大となる。周波数が𝑓c から離れると交流損失が減少することがわかる。

図 4.1 ビスマス系多芯線材の断面[21]27図 4.2 典型的なビスマス系超伝導多芯線材の横断面[7]図 4.3 典型的なビスマス系超伝導多芯線材の縦断面[7]superconductor
normal conductor
superconductor

coupling currentsnExternal magnetic fieldsl

図 4.4 ブロック状複合導体の結合電流[22]28図 4.5 Bi2223 テープ(SrZr3+Bi2212 バリア)の交流損失[29]29第5章 結果および考察
表 5.1 は、2 kA 級の Bi 2223 超伝導直流ケーブル[21]の単位長さあたりの 6 相、12 相、
24 相整流電流の交流損失を式(3.5)から計算した結果である。ケーブルは 39 本の超伝導テープ線材で構成される円柱超伝導体であり、ケーブルの直径は𝑅 = 40 mmである。超伝導テープ 1 本の臨界電流は𝐼c = 100 Aであり、テープの幅と厚さはそれぞれ𝑤 = 4 mm、
𝑡 = 0.2 mmである。ケーブルが 60Hz の 3 相交流電流から整流された 2 kA の直流電流を送電するとき、各テープの直流電流は𝐼dc = 2000⁄39 = 51.3 Aとして与えられる。得られた交流損失は、新たに開発されたケーブル[17]を使用した際の熱漏えい損失の0.5 W/m[21]よりはるかに小さいことが判明した。
図 5.1 は、臨界電流𝐼c = 100 Aと𝐼c = 200 Aを仮定した場合の整流電流𝐼dcとヒステリシ
ス損失の関係について相数をパラメータとして示す。臨界電流に比べリップル電流が非常に小さい(𝑖m ≪ 1)ため、式(3.4)は式(5.1)のように近似することができる(付録 A)。
𝑄h = 𝑄0

3
𝑖m
6

(5.1)
)2

ここで𝑘𝑝 = (𝜋⁄2𝑝) tan(𝜋⁄2𝑝) ≅ (𝜋⁄2𝑝 と近似すると、𝑖m = 𝐼m ⁄𝐼c および𝐼m = 𝑘𝑝 𝐼dcであるから式(3.5)のヒステリシス損失は次式のような簡単な式で表すことができる。
3
𝑄0 𝜋 6 𝐼dc 3
𝜇0 𝜋 5 𝐼dc
𝑓𝑁
𝑃h = ( ) ( ) 𝑓𝑝𝑁 =6 2𝑝
𝐼c
384 𝐼c 𝑝5(5.2)
この式は、リップル電流のヒステリシス損失が𝐼c および 𝑝の 5 乗に反比例することを示している。したがって、ヒステリシス損失は臨界電流の大きな超伝導ケーブルを用いる
ことによって低減できるが、整流の相数𝑝を増加させることによってより効果的に低減することができることがわかる。
𝑝 = 6, 12, 24の結合損失は式(4.2)で与えられる。𝑓c = 1 Hzと仮定して求めた結合損失を表 5.1 に示している。直流ケーブルであるため、結合周波数 𝑓c は非常に小さくなり、
ヒステリシス損失と比較し無視できることがわかる。
表 5.1

2 kA 級超伝導直流ケーブルに整流電流を流した時の交流損失

相数𝑝 ヒステリシス損失 𝑃h (µW/m)

結合損失 𝑃c (µW/m)

6

444

68.2

12

13.0

4.12

24

0.399

0.255
30

Hysteresis loss (mW/m)

16−pulse12−pulse
24−pulse
Ic=100 (A)0.5

Ic=200 (A)Idc=51.3 (A)0050
Idc (A)

図 5.1

6 相、12 相、24 相整流電流によるヒステリシス損失

31

100

第6章 結論
超伝導直流電力伝送システムにおいて多相整流器から生じるリップル電流により、超伝導直流ケーブルに生じるヒステリシス損失および結合損失を求めた。まず、臨界電流で正規化した交流振幅の値が 1 よりも十分小さい(𝑖m ≪ 1 )とき、Norris の評価式によればヒステリシス損失は正規化交流振幅の 3 乗に比例することがわかった。次に、ヒステ
リシス損失は、臨界電流および整流相数の 5 乗に反比例することがわかった。一方、結合損失はヒステリシス損失と比較して非常に小さく、無視できることがわかった。本論文で評価した Bi2223 超伝導直流ケーブルの 2 kA 直流電流送電システムにおいて、臨界
電流 100 A のテープ線材を 39 本用いた超伝導直流ケーブルの交流損失は 6 相、12 相、
24 相整流でそれぞれ、444 µW/m、13.0 µW/m、0.399 µW/m であった。これらの交流損
失はケーブルの熱漏えい損失である 0.5 W/m を十分下回っている。これらの結果から、
超伝導直流電力伝送ケーブルの交流損失を低減するために、多相整流器が有効であることがわかった。

32

謝辞
本研究に関して、終始ご指導ご鞭撻をいただきました本学小田部荘司教授、ならびに松下照男名誉教授、木内勝准教授、ビャトキン・ウラジミール研究員に感謝いたします。
また、有益な議論をさせていただきました中部大学の山口作太郎先生、浜辺誠先生、豊橋技術科学大学の稲田亮史先生に感謝いたします。最後に、日々の研究活動において様々な支援をいただきました小田部研究室、木内研究室の皆様に感謝いたします。

33

参考文献
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[11]日本経済新聞「超電導直流送電、実用化へ産学が結集 実験設備が始動」(2010/3/23 0:20)<http://www.nikkei.com/article/DGXBZO04233360X10C10A3000001/>(2015/2/9 アクセス).
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[13]日本経済新聞「超電導で 300 メートル、電車走行に成功 鉄道総研」(2014/7/3 19:02)<http://www.nikkei.com/article/DGXNASDG0303D_T00C14A7CR8000/>(2015/2/9 アクセス).
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34

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[25]大橋潔人：「直流電流に交流電流を重畳した時の超伝導体円柱に生じる交流損失」九州
工業大学 情報工学部 電子情報工学科 平成 21 年度卒業論文 (2010).
[26]E. S. Otabe, S. Komatsu, V. S. Vyatkin, M. Kiuchi, T. Kawahara, S. Yamaguchi: “Numericalestimation of AC loss in superconductors with ripple current,” Physica C, Vol. 494, (2013) pp.
173-176.
[27]江藤航介：「リップル電流を印加した場合の超伝導体に生じる交流損失の FEM による評価」九州工業大学 情報工学部 電子情報工学科 平成 24 年度卒業論文 (2012).
[28]「中部大学超伝導センター」<http://www.sntt.or.jp/~fsst/13405-chubu.pdf>(2015/2/9 アクセス).

35[29]R. Inada, Y. Nakamura, A. Oota, C. S. Li, P. X. Zhang: “Fabrication and characterization of
Bi2223 tapes with interfilamentary SrZrO3 + Bi2212 barrier for AC loss reduction,” Supercond. Sci.
Technol. 22, (2009) 085014 (8pp).

36

付録A Norris による理論式
ノリス[24]によって求められた断面が円形および楕円形の超伝導線のヒステリシス
損失は
𝑄 = 𝑄0 [(1 − 𝑖m ) ln(1 − 𝑖m ) +(2 − 𝑖m )𝑖m
]
2
(A.1)

断面が矩形ストリップのときのヒステリシス損失は
2]
𝑄 = 𝑄0 [(1 − 𝑖m ) ln(1 − 𝑖m ) + (1 + 𝑖m ) ln(1 + 𝑖m ) − 𝑖m(A.2)

で与えられる。ただし𝑄0 =𝜇0 𝐼c2
𝜋
(A.3)

𝑖m =

𝐼m
𝐼c
(A.4)

であり、𝐼m は交流電流の振幅、𝐼c は臨界電流である。交流電流の振幅が臨界電流に比べて微小の場合である𝑖m ≪ 1のときの近似式を求める。ln(1 − 𝑥)は|𝑥| ≪ 1のとき

ln(1 − 𝑥) = −𝑥 −𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5− − − −⋯
2
3
4
5
(A.5)

と級数展開できるので(1 − 𝑥) ln(1 − 𝑥) +=(2 − 𝑥)𝑥(2 − 𝑥)𝑥𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5= (1 − x) (−𝑥 − − − − − ⋯ ) +
2
2
3
4
5
2

𝑥3 𝑥4 𝑥5+++⋯
6 12 20(A.6)

である。従って、𝑖m ≪ 1のとき式(A.1)は

𝑄 = 𝑄0 (𝑖m 3 𝑖m 4 𝑖m 5
𝑖m 3+++ ⋯ ) ≅ 𝑄0
6
12 20
6
37

(A.7)となる。また、|𝑥| ≪ 1のとき式(A.5)の展開により(1 − 𝑥)ln(1 − 𝑥) + (1 + 𝑥)ln(1 + 𝑥) − 𝑥 2 =

𝑥4 𝑥6
+
−⋯
6 15
(A.8)

となるので、式(A.2)は𝑖m ≪ 1のとき

𝑄 = 𝑄0 (𝑖m 4 𝑖m 6
𝑖m 4++ ⋯ ) ≅ 𝑄0
6
15
6
(A.9)

となる。

38

付録B 超伝導体内の交流損失
超伝導体内の交流損失が生じるのは、磁束密度𝑩が時間的に変化して超伝導体の表面に電流と平行な電界が発生するからである。この損失は円柱表面の電界ベクトル𝑬、磁界ベクトル𝑯によるポインティングベクトル𝑺P を用いて計算できる。
𝑺P = 𝑬 × 𝑯 =1(𝑬 × 𝑩)
𝜇0
(B.1)
3⁄

超伝導体の表面を𝑆、体積を𝑉としたとき、1 周期・単位体積あたりの損失𝑊 [J⁄m cycle]は1
𝑊 = − ∮ d𝑡 ∫ 𝑺P ∙d𝑺
𝑉
𝑆
(B.2)
で与えられる。
半径𝑅の超伝導体円柱の場合には式(B.2)は𝑊=

2𝜋1∮ d𝑡 ∫ 𝐸𝑧 (𝑅, 𝑡)𝐵𝜑 (𝑅, 𝑡)𝑅𝑑𝜑
𝑉
0

(B.3)
となる。マクスウェルの方程式より
∇×𝑬=−

∂𝑩
∂𝑡
(B.4)

である。円柱座標系において、対称性により、𝜕⁄𝜕𝑧 = 0、𝜕⁄𝜕𝜑 = 0、𝑩 = 𝒊𝜑 𝐵、すなわ
ち磁界は𝜑成分のみであるから、式(B.4)は∂𝐸𝑧 𝜕𝐵
=
∂𝑟
𝜕𝑡
(B.5)
となる。磁束密度は交流電流によって変化するが、磁束密度の時間変化は円柱表面に近い領域から発生するので、中心に近い領域では時間変化がない。この磁束密度の時間変化の境目あるいは分布の折れ曲がり点が半径𝑟𝑏 であるとすると、0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟𝑏 では
𝜕𝐵⁄𝜕𝑡 = 0である。このことに注意して式(B.5)を𝑟に関して0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅で積分すると次のようになる。
𝑅𝑅∂𝐸𝑧∂𝐵
𝑑𝑟 = 𝐸𝑧 (𝑅, 𝑡) − 𝐸𝑧 (0, 𝑡) = ∫
𝑑𝑟
0 ∂𝑟
𝑟𝑏 ∂𝑡

∫

(B.6)
39

円柱の中心では超伝導状態であるとすると𝐸𝑧 (0, 𝑡) = 0であるから、結局、式(B.6)は𝑅∂𝐵(𝑟, 𝑡)𝑑𝑟∂𝑡𝑟𝑏

𝐸𝑧 (𝑅, 𝑡) = ∫(B.7)となる。半径𝑅における円柱表面の自己磁界を𝐻I (𝑡)とすると、𝐵(𝑅, 𝑡) = 𝜇0 𝐻I (𝑡)であるから、式(B.3)は
𝑊=

𝑅
2𝜋𝑅
2
𝜕
(𝑅,
(𝑡)𝑑𝑡
(𝑡)
∮
𝐸
𝑡)𝐻
=
∮
d𝑡
∙
𝐻
∫
𝐵(𝑟, 𝑡)d𝑟
𝑧
I
I
2
𝜋𝑅
𝑅
𝑟b 𝜕𝑡

(B.8)
となる。ℎI = 𝐻I (𝑡)/𝐻IP と置いて、∂𝐵(𝑟, 𝑡) ∂𝐵 ∂ℎI＝∂𝑡∂ℎI ∂𝑡の関係を用いれば、式(B.8)は
𝑊=

𝑅
2𝐻IP
∂𝐵
∮ 𝑑ℎI ∙ ℎI ∫𝑑𝑟𝑅
𝑟𝑏 ∂ℎI

(B.9)
となる。

40

付録C 円柱超伝導線の磁界分布
円柱超伝導線に磁界に働くローレンツ力とピン力の釣り合いの式は次のようになる。
−

𝐵̂ 𝑑(𝑟𝐵̂)= 𝛿𝛼c 𝐵̂𝛾
𝜇0 𝑟 𝑑𝑟(C.1)

ただし、𝐵̂ = |𝐵|、δは符号因子であり、磁束線が円柱の外側に移動する場合はδ = 1、中心方向に移動する場合はδ = −1とする。式(C.1)の一般解は
2−𝛾
= −𝛿
(𝑟𝐵̂)

2−𝛾
𝛼 𝜇 𝑟 3−𝛾 + 𝐶
3−𝛾 c 0(C.2)

となる。ただし、𝐶は積分定数である。半径𝑅の円柱超伝導線に電流𝐼を流すことにより、円柱表面において磁界の大きさが𝐻Iであるとし、またδ = −1とすると、𝑟 = 𝑅で𝐵 = 𝜇0 𝐻Iの境界条件を適用すると積分定数𝐶は𝐶 = (𝑅𝜇0 𝐻I )2−𝛾 −2−𝛾
𝛼 𝜇 𝑅 3−𝛾
3−𝛾 c 0(C.3)

となるので、磁束密度の解は2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻I )2−𝛾 −
(𝑟𝐵̂)

2−𝛾
𝛼 𝜇 (𝑅3−𝛾 − 𝑟 3−𝛾 )3−𝛾 c 0(C.4)

となる。臨界電流𝐼c が流れるときの円柱表面磁界を𝐻IP とすると
𝐻IP =

𝐼c
2𝜋𝑅
(C.5)

である。また、臨界電流が流れるときに円柱内の磁束密度は𝑟 = 0でちょうど零になるから、式(C.4)に𝑟 = 0、𝐵 = 0、𝐻 = 𝐻IP を代入して(𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾
2−𝛾
𝜇0 𝛼c =
3−𝛾
𝑅 3−𝛾
(C.6)
の関係式が得られる。この式から𝐻IP および𝐼c は
1

2−γ
2−𝛾
𝐻IP = (
𝛼c 𝑅𝜇0 𝛾−1 )
,
3−𝛾

1

2−𝛾
2 − 𝛾 𝛾−1𝐼c = 2𝜋 (𝜇0 𝛼c 𝑅3−𝛾 )
3−𝛾

(C.7)
となる。また、式(C4)はℎI = 𝐻I⁄𝐻IP、𝑥 = 𝑟⁄𝑅と置くと
41

2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎI 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 )
(𝑟𝐵̂)

(C.8)
と表現できる。𝐵̂ = 0となる半径を𝑟I 、及び半径𝑅による正規化半径𝑥I は次式で与えられる。
1⁄(3−𝛾)𝑥I = 𝑟I ⁄𝑅 = (1 − ℎI 2−𝛾 )

42

(C.9)

付録D ヒステリシス損失の計算(𝑰𝐃𝐂 > 𝑰𝐦 )円柱超伝導線に次式で与えられる交流電流が重畳した直流電流が流れる場合の交流損失（ヒステリシス損失）を求める。
𝐼(𝑡) = 𝐼DC ＋𝐼m cos 𝜔𝑡
ただし、𝐼DC > 𝐼m とする。電流の最大値は𝐼u = 𝐼DC + 𝐼m 、最小値は𝐼d = 𝐼DC − 𝐼m である。
最大電流𝐼u が流れるときの円柱表面磁界を𝐻u とし、ℎu = 𝐻u ⁄𝐻IP とおくと、磁界の分布は式(C.7)においてℎI = ℎu に置き換えるだけよいので次式で与えられる(図 D.1)。
2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎu 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 )
(𝑟𝐵̂)

(D.1)
また、𝐵̂ = 0となる半径𝑟u 、及び半径𝑅による正規化半径𝑥u は式(C.8)で与えられる。
1⁄(3−𝛾)𝑥u = 𝑟u ⁄𝑅 = (1 − ℎu 2−𝛾 )

(D.2)

1

|B|/(µ0HIP)ℎI = ℎu

0.5

0
0

𝑥u

0.5

1

𝑥x

図 D.1 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 = 𝑯𝒖)(i)

𝐻Iが𝐻u → 𝐻dと減少する場合
円柱表面磁界𝐻Iが𝐻u よりも低下する場合を考える。円柱の表面に近い領域では、磁界に働くローレンツ力とピン力の釣り合いの式は−

𝐵̂ 𝑑(𝑟𝐵̂) = 𝛿𝛼c 𝐵̂𝛾
𝜇0 𝑟 𝑑𝑟であり、磁束線は円柱表面方向に移動するから𝛿 = 1である。𝑟 = 𝑅で𝐵 = 𝜇0 𝐻Iの境界条
43

件を満足する解は2−γ= (𝑅𝜇0 𝐻I )2−γ +
(𝑟𝐵̂)

2−𝛾
𝛼 𝜇 (𝑅3−𝛾 − 𝑟 3−𝛾 )3−𝛾 c 0(D.3)

となる。ℎI = 𝐻I⁄𝐻IP とおいて整理すると、
2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ (ℎI 2−𝛾 + 1 − 𝑥 3−𝛾 )
(𝑟𝐵̂)

(D.4)

となる。式(D.1)と式(D.4)の交点𝑟 = 𝑟b1 とすると、正規化半径𝑥1 は
1

3−𝛾
𝑟b1
1
𝑥1 =
= [1 − (ℎu 2−𝛾 − ℎI 2−𝛾 )]
𝑅
2

(D.5)
となる。式(D.4)は𝑟b1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 (𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 1)における磁界分布を表す(図 D.2)。

|B|/(µ0HIp)

1

ℎI

0.5

0
0

𝑥u

0.5

𝑥1

1

𝑥x

図 D.2 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 ：𝑯𝐮 → 𝑯𝐝 )(0 < 𝐻d < 𝐻I < 𝐻u )電流が最小値になるときの円柱表面磁界を𝐻d とすると、このときの磁界分布は
2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎu 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 ), 𝑥u < 𝑥 < 𝑥̃1(𝑟𝐵̂)= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ (ℎd 2−𝛾 + 1 − 𝑥 3−𝛾 ),𝑥̃1 < 𝑥 < 1(D.6)となる(図 D.3)。ただし、ℎd = 𝐻d ⁄𝐻IPである。

44

|B|/(µ0HIp)1

0.5ℎI = ℎ d
0
0

𝑥u

0.5

𝑥̃1

1

𝑥x

図 D.3 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 = 𝑯𝐝 )外部磁界𝐻Iを𝐻u → 𝐻dと変化をさせるとき、円柱内の磁束密度が変化する部分から円
柱表面に軸方向の電界が発生して交流損失𝑊1 を生じる。損失は次式で与えられる。
𝑊1 =𝑅
2𝐻IP ℎd
𝜕𝐵∫ 𝑑ℎI ∙ ℎI ∫𝑑𝑟𝑅 ℎu
𝑟𝑏1 𝜕ℎI(D.7)
領域𝑟b1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 (𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 1)の磁束密度は式(D.6)より
2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ (ℎI 2−𝛾 + 1 − 𝑥 3−𝛾 )(𝑟𝐵̂)で表わされる。式(D.8)の両辺を𝐵̂とℎ𝐼 で微分する。

(D.8)

𝑟 2−𝛾 (2 − 𝛾)𝐵̂1−𝛾 𝑑𝐵̂ = (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ (2 − 𝛾)ℎI1−𝛾 𝑑ℎI
この式から𝑑𝐵̂ 1 (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ ℎI1−𝛾 1
=
=
1−𝛾
𝑑ℎI 𝑟
𝑟
(𝑟𝐵̂)
= 𝑅𝜇0 𝐻IP

(𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ ℎI1−𝛾
1−γ(𝑅𝜇0 𝐻IP )1−γ (ℎI 2−𝛾 + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−γ

γ−1
ℎI1−𝛾
(ℎI 2−𝛾 + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−γ𝑟(D.9)
となり、式(D.7)は
𝑊1 =

𝑅
γ−1
2𝐻IP ℎdℎI1−𝛾∫ 𝑑ℎI ∙ ℎI ∫ 𝑅𝜇0 𝐻IP(ℎI 2−𝛾 + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−γ 𝑑𝑟
𝑅 ℎu
𝑟
𝑟b1

(D.10)となる。ここで𝑥 = 𝑟⁄𝑅および𝑑𝑥 = 𝑑𝑟⁄𝑅であるから、

45

ℎ𝑑

1

γ−1
1 2−𝛾
+ 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−γ 𝑑𝑥
(ℎI
𝑥1 𝑥

𝑊1 = 2𝜇0 𝐻IP 2 ∫ 𝑑ℎI ∙ ℎI 2−𝛾 ∫
ℎ𝑢

ℎu

1

γ−1
1 2−𝛾
+ 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−γ 𝑑𝑥
(ℎI
𝑥1 𝑥

= −2𝜇0 𝐻IP 2 ∫ 𝑑ℎI ∙ hI 2−𝛾 ∫ℎd(D.11)となる。
(ii)

𝐻Iが𝐻d → 𝐻uと増加する場合

次に、円柱表面磁界𝐻Iが𝐻d から𝐻u に向かって増加する場合を考える。磁界に働く
ローレンツ力とピン力の釣り合いの式は−

𝐵̂ 𝑑(𝑟𝐵̂) = 𝛿𝛼c 𝐵̂𝛾
𝜇0 𝑟 𝑑𝑟であり、磁束線は円柱の中心方向に移動するから𝛿 = −1である。𝑟 = 𝑅で𝐵 = 𝜇0 𝐻Iとな
る磁界分布は、次のように得られる。
2−γ= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ [hI 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 ](𝑟𝐵̂)

この分布曲線は式(D.6)のx̃1 < 𝑥(D.12)′< 1の領域の分布曲線と𝑟 = 𝑟b1で交わる。この交点の正規化半径𝑥1′ は
1

′
3−𝛾
𝑟b1
1
𝑥1′ =
= [1 − (ℎI 2−𝛾 − ℎd 2−𝛾 )]𝑅2(D.13)′
である。𝑟b1< 𝑟 < 𝑅 (𝑥1′ < 𝑥 < 1)の領域の磁束は式(D.12)で与えられる(図 D.4)。円柱表

面磁界𝐻Iが𝐻u に戻ると磁界の変化の 1 周期が完了する。

|B|/(µ0HIp)

1

ℎI

0.5

0
0

𝑥u

0.5

𝑥̃1

𝑥1′

1

𝑥x

図 D.4 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 ：𝑯𝐝 → 𝑯𝐮 )(0 < 𝐻d < 𝐻I < 𝐻u )46

外部磁界𝐻Iを𝐻d → 𝐻uと変化をさせるときの交流損失𝑊2 は次式で与えられる。
𝑊2 =𝑅
2𝐻IP ℎu
𝜕𝐵∫ 𝑑ℎI ∙ ℎI ∫𝑑𝑟𝑅 ℎd𝑟 ′ 𝜕ℎI
b1(D.14)′
領域𝑟b1< 𝑟 < 𝑅 (𝑥1′ < 𝑥 < 1)の磁束密度は式(D.12)より
2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ (ℎI 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 )(𝑟𝐵̂)である。両辺を𝐵̂とℎI で微分すると
𝑟 2−𝛾 (2 − 𝛾)𝐵̂1−𝛾 𝑑𝐵̂ = (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ (2 − 𝛾)ℎI1−𝛾 𝑑ℎIとなるから𝑑𝐵̂ 1 (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ ℎI1−𝛾 1
=
=
1−𝛾
𝑑ℎI 𝑟
𝑟
(𝑟𝐵̂)
= 𝑅𝜇0 𝐻IP

(𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ ℎI1−𝛾
1−γ(𝑅𝜇0 𝐻IP )1−γ (ℎI 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−γ

γ−1
ℎI1−𝛾
(ℎI 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−γ𝑟

(D.15)となる。損失𝑊2 は𝑅
γ−1
2𝐻IP ℎuℎI1−𝛾
𝑊2 =∫ 𝑑ℎI ∙ ℎI ∫ 𝑅𝜇0 𝐻IP(ℎI 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−γ 𝑑𝑟
𝑅 ℎd
𝑟
𝑟′
b1

(D.16)となる。ここで𝑥 = 𝑟⁄𝑅、𝑑𝑥 = 𝑑𝑟⁄𝑅の変形をすると
ℎu

1

γ−1
1 2−𝛾
− 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−γ 𝑑𝑥
(ℎI
𝑥1′ 𝑥

𝑊2 = 2𝜇0 𝐻IP 2 ∫ 𝑑ℎI ∙ ℎI 2−𝛾 ∫ℎd(D.17)となる。
外部磁界𝐻Iが𝐻u → 𝐻d → 𝐻u と 1 周期の変化をするときの損失𝑊は𝑊 = 𝑊1 + 𝑊2 であり、円柱の単位長さ当たりの損失𝑄は
𝑄 = 𝜋𝑅 2 𝑊(D.18)
で与えられる。ここで、𝐻IP = 𝐼c ⁄2𝜋𝑅の関係を用いて、
𝐼𝑐 2
𝜇0 𝐼c22𝜇0 𝐻IP 2 ∙ 𝜋𝑅 2 = 2𝜇0 () ∙ 𝜋𝑅 2 =2𝜋𝑅2𝜋と変形し、𝑄0 = 𝜇0 𝐼c 2 ⁄𝜋とおくと式(D.18)の損失𝑄は次のようにまとめられる。
2−𝛾

2−𝛾

𝛾−1
𝛾−1
1
1
𝑄0 ℎu
ℎ
ℎ
2−𝛾
2−𝛾
𝑄=
∫ 𝑑hI ∙ [∫ − I (ℎI + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥 + ∫ I (ℎI − 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥]
2 ℎd
𝑥
𝑥1
𝑥1′ 𝑥

(D.19)

47

1

1

1 2−𝛾
1 2−𝛾
2−𝛾 3−𝛾2−𝛾 3−𝛾𝑥1 = [1 − (ℎu − ℎI )], 𝑥1′ = [1 − (ℎI − ℎd )]2
2(D.20)
である。式(D.19)-(D.20)は文献[19]の式(8)-(9)と一致する。
𝐼m ≪ 𝐼DC の場合は、ℎu ≈ ℎd ≈ ℎI となり、式(D.19)を直接数値計算する際は計算精度が低下する傾向が見られるため、次の変数変換を行う。
𝑡 = 1 − 𝑥 3−𝛾 ,

𝑑𝑥
−𝑑𝑡
=
(3 − 𝛾)(1 − 𝑡)𝑥
(D.21)

式(D.19)の損失𝑄は
2−𝛾

𝛾−1

𝑡1
2−𝛾
𝑄0 ℎu
−ℎI
2−γ
𝑄=
∫ 𝑑ℎ𝐼 ∙ [∫𝑑𝑡
(hI + 𝑡)2 ℎd0 (3 − 𝛾)(1 − 𝑡)
𝑡1′

2−𝛾

𝛾−1

2−𝛾
ℎI
2−𝛾
+∫
𝑑𝑡]
(ℎI − 𝑡)0 (3 − 𝛾)(1 − 𝑡)

(D.22)となる。ただし、
1 2−𝛾
1 2−𝛾
2−𝛾
2−𝛾
𝑡1 = (ℎu − ℎI ), 𝑡1′ = (ℎI − ℎd )2
2
(D.23)
である。式(D.22)を用いると𝐼m ≪ 𝐼DC の場合でも精度よく損失が計算できる。

48

付録E ヒステリシス損失の計算(𝑰𝐃𝐂 < 𝑰𝐦 )円柱超伝導線に次式で与えられる交流電流が重畳した直流電流が流れる場合の交流損失（ヒステリシス損失）を求める。
𝐼(𝑡) = 𝐼DC ＋𝐼m cos 𝜔𝑡
ただし、𝐼DC < 𝐼m とする。電流の最大値は𝐼u = 𝐼DC + 𝐼m 、最小値は𝐼d = |𝐼DC − 𝐼m |である。
最大電流𝐼u が流れるときのローレンツ力とピン力の釣り合いの式は次のようになる。
−

𝐵̂ 𝑑(𝑟𝐵̂)= 𝛿𝛼c 𝐵̂𝛾
𝜇0 𝑟 𝑑𝑟磁束線は円柱の中心方向に移動する場合を考え、δ = −1とする。𝑟 = 𝑅において𝐵 = 𝜇0 𝐻uの境界条件を適用すると磁束密度の解は2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎu 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 )
(E.1)
(𝑟𝐵̂)
となる。ただし、ℎu = 𝐻u ⁄𝐻IP、𝑥 = 𝑟⁄𝑅であり、𝐻IP は臨界電流が流れるときの円柱表面の磁界である。式(E.1)が円柱表面磁界の大きさが𝐻u のときの円柱内部の磁界分布を与える式である(図 E.1)。
1|B|/(µ0HIp)ℎI = ℎ u

0.5

0
0

𝑥u

0.5

1

𝑥x

図 E.1 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 = 𝑯𝐮 )(i)

𝐻Iが𝐻u → 0と減少する場合
円柱表面磁界が𝐻u よりも低下し、𝑟 = 𝑅で𝐵 = 𝜇0 𝐻I(𝐻I < 𝐻u )となる場合を考える。

円柱の表面に近い領域では、磁界に働くローレンツ力とピン力の釣り合いの式は−

𝐵̂ 𝑑(𝑟𝐵̂) = 𝛿𝛼c 𝐵̂𝛾
𝜇0 𝑟 𝑑𝑟49

であり、磁束線は円柱表面方向に移動するから𝛿 = 1である。𝑟 = 𝑅で𝐵 = 𝜇0 𝐻Iの境界条件を満足する解は2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ (ℎI 2−𝛾 + 1 − 𝑥 3−𝛾 )
(E.2)
(𝑟𝐵̂)
となる。ただし、ℎI = 𝐻I⁄𝐻IPである。となる。式(E.1)と式(E.2)の交点を𝑟b1 とし、正規化半径を𝑥1 とすると
1

3−𝛾
𝑟b1
1
𝑥1 =
= [1 − (ℎu 2−𝛾 − ℎI 2−𝛾 )]
𝑅
2

(E.3)
となる。式(E.2)は𝑟b1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 (𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 1)における磁界分布を表す(図 E.2)。

|B|/(µ0HIp)

1

0.5

ℎI

0
0

𝑥u

0.5

𝑥1

1

𝑥x

図 E.2 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 ：𝑯𝐮 → 𝟎)
𝐻Iが𝐻u → 0と変化する範囲での交流損失𝑊1 は次式で求められる。
𝑊1 =𝑅
2𝐻IP 0𝜕𝐵∫ 𝑑 ℎI ∙ ℎI ∫𝑑𝑟𝑅 ℎu𝑟b1 𝜕ℎI(E.4)
で与えられる。𝑟b1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅の磁束密度は式(E.2)で与えられる。
2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎI 2−𝛾 + 1 − 𝑥 3−𝛾 )(𝑟𝐵̂)

両辺を𝐵̂とℎ𝐼 で微分する。
𝑟 2−𝛾 (2 − 𝛾)𝐵̂1−𝛾 𝑑𝐵̂ = (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (2 − 𝛾)ℎI1−𝛾 𝑑ℎI
この式から𝑑𝐵̂ 1 (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ ℎI1−𝛾 1
=
=
1−𝛾
𝑑ℎI 𝑟
𝑟
(𝑟𝐵̂)

(𝑅𝜇0 𝐻IP )2−γ ℎI1−𝛾
1−γ(𝑅𝜇0 𝐻IP )1−γ [ℎI 2−𝛾 + 1 − 𝑥 3−𝛾 ]2−γ50

= 𝑅𝜇0 𝐻IPγ−1ℎI1−𝛾 2−𝛾
+ 1 − 𝑥 3−𝛾 ]2−γ
[ℎI
𝑟

(E.5)
となる。式(E.5)を式(E.4)に代入する。区間𝑟b1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅では𝐵 = |𝐵| = 𝐵̂であるから
𝑅
2𝐻IP 0𝜕𝐵̂𝑊1 =∫ 𝑑 ℎI ∙ ℎI ∫𝑑𝑟𝑅 ℎ𝑢
𝑟𝑏1 𝜕ℎI𝑅
γ−1
2𝐻IP 0ℎI1−𝛾 2−𝛾=
∫ 𝑑 ℎI ∙ ℎI ∫ 𝑅𝜇0 𝐻IP+ 1 − 𝑥 3−𝛾 ]2−γ 𝑑𝑟
[ℎI
𝑅 ℎu
𝑟
𝑟b1
ℎ𝑢

1

γ−1
1 2−𝛾
+ 1 − 𝑥 3−𝛾 ]2−γ 𝑑𝑥
[ℎI
𝑥1 𝑥

= −2𝜇0 𝐻IP 2 ∫ 𝑑 ℎI ∙ ℎI 2−𝛾 ∫
0

(E.6)
となる。
(ii)

𝐻Iが0 → −𝐻d と減少する場合

次に、円柱表面磁界𝐻Iが0よりも低下し、𝑟 = 𝑅で𝐵 = 𝜇0 𝐻I (𝐻I < 0)となる場合を考̂I = |𝐻I |とおくと、𝐻I が0 → −𝐻d と変化するとき𝐻̂I は0 → 𝐻dと変化する。𝐵̂ の折える。𝐻
れ曲がり点は𝑟b2 (𝑥2 )と𝑟0 (𝑥0 )の 2 か所である。磁界に働くローレンツ力とピン力の釣り
合 い の 式 は 、 𝐵 で は な く 𝐵̂ に つ い て 与 え ら れ る こ と に 注 意 し 、 区 間 𝑟b2 < 𝑟 < 𝑅(𝑥2 < 𝑥 < 1)を区間𝑟b2 < 𝑟 < 𝑟0 (𝑥2 < 𝑥 < 𝑥0 )と区間𝑟0 < 𝑟 < 𝑅 (𝑥0 < 𝑥 < 1)に分けてそれぞれの区間で𝐵̂の分布を扱う。

|B|/(µ0HIp)

1

0.5

ℎ̂I

0
0

𝑥u

0.5

𝑥2

𝑥0

1

𝑥x

図 E.3 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 ：𝟎 → −𝑯𝐝 )

51

𝑥u

𝑥

𝑥2

𝑥0
ℎI

図 E.4 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 ：𝟎 → −𝑯𝐝 )区間𝑟u < r < 𝑟b2 (𝑥u < 𝑥 < 𝑥2 )では磁界の分布は
2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎu 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 )
(𝑟𝐵̂)

(E.7)

で表わされ、この曲線は𝐻Iが0 → −𝐻dと変化するとき変化しない。
区間𝑟b2 < 𝑟 < 𝑟0 (𝑥2 < 𝑥 < 𝑥0 )では磁束が外側に移動するのでδ = 1であり、磁束の分布
は
2−𝛾
=−
(𝑟𝐵̂)

2−𝛾
𝛼 𝜇 𝑟 3−𝛾 + 𝐶2
3−𝛾 c 0(E.8)

と表わされる。一方、区間𝑟0 < 𝑟 < 𝑅(𝑥0 < 𝑥 < 1)では磁束が内側に移動するので δ = −1
であり
2−𝛾
=
(𝑟𝐵̂)

2−𝛾
𝛼 𝜇 𝑟 3−𝛾 + 𝐶3
3−𝛾 c 0(E.9)

となる。未定定数𝐶2 、𝐶3 は𝑟 = 𝑟0 および𝑟 = 𝑅における境界条件で決定できる。
̂Iを代入すると
式(E.9)に𝑟 = 𝑅と𝐵̂ = 𝜇0 𝐻
̂I )2−𝛾 −𝐶3 = (𝑅𝜇0 𝐻

2−𝛾𝛼 𝜇 𝑅3−𝛾
3−𝛾 c 0が得られる。従って、式(E.9)は2−𝛾
̂I )2−𝛾 −= (𝑅𝜇0 𝐻(𝑟𝐵̂)= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 [(2−𝛾
𝛼 𝜇 (𝑅3−𝛾 − 𝑟 3−𝛾 )3−𝛾 𝑐 0̂I 2−𝛾𝐻𝑟 3−𝛾−1+( ) ]
)
𝐻IP
𝑅

52

2−𝛾
= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎ̂I
− 1 + 𝑥 3−𝛾 )(E.10)
̂I⁄𝐻IPとおいた。𝑟 = 𝑟0 では𝐵̂ = 0だから、式(E10)よりとなる。ただし、ℎ̂I = 𝐻
1𝑟02−𝛾 3−𝛾𝑥0 = = (1 − ℎ̂I )𝑅(E.11)となる。次に式(E.8)に𝑟 = 𝑟0 と𝐵̂ = 0を代入すると𝐶2 が求められる。
𝐶2 =

2−𝛾
3−𝛾
𝛼c 𝜇0 𝑟03−𝛾

従って区間𝑟b2 < 𝑟 < 𝑟0 (𝑥2 < 𝑥 < 𝑥0 )では
2−𝛾
=
(𝑟𝐵̂)

2−𝛾
3−𝛾
𝛼 𝜇 (𝑟− 𝑟 3−𝛾 )3−𝛾 c 0 0

𝑟0 3−𝛾𝑟 3−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 [( )−( ) ]𝑅𝑅
3−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (𝑥0− 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (1 − ℎ̂I− 𝑥 3−𝛾 )(E.12)となる。折れ曲がり点𝑟b2 は、式(E.10)と式(E.12)の交点である。𝑥2 = 𝑟b2 ⁄𝑅として
1

12−𝛾
𝑥2 = [1 − (ℎu 2−𝛾 + ℎI )]3−𝛾
2(E.13)となる(図 E.3、図 E.4)。
̂Iは0 → 𝐻dと変化）するときの交流損失𝑊2 は、𝐻
̂I = |𝐻I |の変化
𝐻Iが0 → −𝐻d と変化（𝐻が 0→ 𝐻dであることに注意すると次のようになる。
𝑊2 =
=

𝑅
2𝐻IP −ℎd𝜕𝐵∫ 𝑑 ℎI ∙ ℎI ∫𝑑𝑟𝑅 0
𝑟b2 𝜕ℎI
𝑅
2𝐻IP ℎd𝜕𝐵∫ 𝑑 ℎ̂I ∙ ℎ̂I ∫ (−
) 𝑑𝑟
𝑅 0
𝜕ℎ̂I
𝑟b2

=

𝑟0
𝑅 ̂
2𝐻IP ℎd𝜕𝐵̂𝜕𝐵∫ 𝑑ℎ̂I ∙ ℎ̂I [∫ (−𝑑𝑟]) 𝑑𝑟 + ∫
̂
𝑅 0
𝜕ℎ̂I
𝑟b2
𝑟0 𝜕ℎI

ここで、区間𝑟b2 < 𝑟 < 𝑟0 (𝑥2 < 𝑥 < 𝑥0 )では式(E.12)の両辺を𝐵̂とℎ̂I で微分して
𝛾−1
𝜕𝐵̂
ℎ̂I
2−𝛾
2−𝛾
= −𝜇0 𝐻IP (1 − ℎ̂I− 𝑥 3−𝛾 )𝑥𝜕ℎ̂I

また、区間𝑟0 < 𝑟 < 𝑅(𝑥0 < 𝑥 < 1)では式(E.10)の両辺を𝐵̂とℎ̂I で微分して

53

𝛾−1
𝜕𝐵̂
ℎ̂I
2−𝛾
2−𝛾
= 𝜇0 𝐻IP (ℎ̂I
− 1 + 𝑥 3−𝛾 )𝑥𝜕ℎ̂Iとなる。これらから、ℎd2𝑊2 = 2𝜇0 𝐻IP∫ 𝑑 ℎI
0

2−𝛾

2−𝛾

𝛾−1
𝛾−1
1
ℎI
ℎ
2−𝛾
2−𝛾
(1 − ℎI − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥 + ∫ I (ℎI − 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥]
𝑥
𝑥2
𝑥0 𝑥

∙ [∫

𝑥0

(E.14)
12−𝛾 3−𝛾𝑥0 = (1 − ℎI

)

,

1
2−𝛾
𝑥2 = [1 − (ℎu 2−𝛾 + ℎI )]
2

1
3−𝛾

(E.15)ℎd =𝐻d |𝐼DC − 𝐼m |== |𝑖DC − 𝑖m |𝐻IP
𝐼c
(E.16)である。
(iii)

𝐻I が−𝐻d → 0と増大する場合

次に、円柱表面磁界𝐻Iが−𝐻d → 0と増大する場合を考える。磁束密度の絶対値𝐵̂の折′れ曲がり点は𝑟̃b2 (𝑥̃b )、𝑟̃0 (𝑥̃0 )、𝑟b1(𝑥1′ )の 3 か所である。𝑟̃b2 は𝑟b2 のℎI をℎI = ℎd として固

定した点
1

1
2−𝛾
𝑟̃b2 = [1 − (ℎu 2−𝛾 + ℎd )]3−𝛾
2(E.17)

𝑟̃0 は𝑟0 のℎI をℎI = ℎd として固定した点
12−𝛾𝑟̃0 = (1 − ℎd )3−𝛾

(E.18)である。
′
𝐻Iが−𝐻d → 0と変化するときに生じる折れ曲がり点𝑟b1
は新たに求めなければならな

い。区間ru < 𝑟 < 𝑟̃b2 (𝑥u < 𝑥 < 𝑥̃2 )の磁束密度は2−𝛾2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎu − 1 + 𝑥 3−𝛾 )(𝑟𝐵̂)区間𝑟̃b2 < 𝑟 < 𝑟̃0 (𝑥̃2 < 𝑥 < 𝑥̃0 )の磁束密度は2−𝛾2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (1 − ℎd − 𝑥 3−𝛾 )(𝑟𝐵̂)′(𝑥̃0 < 𝑥 < 𝑥1′ )の磁束密度は
区間𝑟̃0 < 𝑟 < 𝑟b12−𝛾2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎd − 1 + 𝑥 3−𝛾 )(𝑟𝐵̂)(E.19)(E.20)(E.21)′
折れ曲がり点𝑟b1
は𝐻I を − 𝐻d → 0と変化するときに動くが、式(E.19)-(E.21)で与えられる′
磁束密度分布は変化しない。区間𝑟b1< 𝑟 < 𝑅では𝛿 = 1である。

54

|B|/(µ0HIp)

1

0.5

ℎ̂I

0
0

𝑥u

̃2
0.5𝑥

𝑥1′ 1

𝑥̃0

x𝑥

図 E.5 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 ： − 𝑯𝐝 → 𝟎)

𝑥u

𝑥̃2

𝑥̃0

𝑥1′

𝑥

ℎI

図 E.6 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 ： − 𝑯𝐝 → 𝟎)′
区間𝑟b1
< 𝑟 < 𝑅(𝑥1′ < 𝑥 < 1)の磁束密度は
2−𝛾
=−
(𝑟𝐵̂)

2−𝛾
𝛼 𝜇 𝑟 3−𝛾 + 𝐶4
3−𝛾 c 0(E.22)

̂Iであるから
𝑟 = 𝑅では𝐵̂ = 𝜇0 𝐻
2−𝛾

̂I )
𝐶4 = (𝑅𝜇0 𝐻+

2−𝛾𝛼 𝜇 𝑅3−𝛾
3−𝛾 c 0(E.23)′
従って領域𝑟b1< 𝑟 < 𝑅の磁束密度は式(E.22)(E.23)から

55

2−𝛾
̂I )2−𝛾 += (𝑅𝜇0 𝐻(𝑟𝐵̂)= (𝑅𝜇0 𝐻IP

)2−𝛾

2−𝛾
𝛼 𝜇 (𝑅3−𝛾 − 𝑟 3−𝛾 )3−𝛾 c 0̂I 2−𝛾𝐻𝑟 3−𝛾+1−( ) ]
[( )
𝐻IP
𝑅

2−𝛾
= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎ̂I
+ 1 − 𝑥 3−𝛾 )(E.24)′′⁄𝑅としてとなる。折れ曲がり点𝑟b1
は式(E.21)と式(E.24)の交点であるから、𝑥1′ = 𝑟b1
1
1
2−𝛾 3−𝛾𝑥1′ = [1 − (ℎd 2−𝛾 − ℎI )]2(E.25)となる(図 E.5、図 E.6）。
′
̂Iは
𝐻Iが−𝐻d → 0と変化するときの交流損失𝑊3 は𝑟b1
≤ 𝑟 ≤ 𝑅の範囲で生じる。𝐻𝐻d → 0と変化するから
𝑊3 =𝑅
2𝐻IP 0𝜕𝐵̂∫ 𝑑 ℎ̂I ∙ ℎ̂I ∫
𝑑𝑟
̂
𝑅 ℎd
𝑟 ′ 𝜕ℎIb1ℎd2= 2𝜇0 𝐻IP
∫
0

2−𝛾
𝛾−1
−ℎ̂𝐼
2−𝛾
(ℎ̂𝐼 + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥𝑥𝑥1′
1𝑑 ℎ̂I ∙ ∫(E.26)となる。
(iv)

𝐻I が0 → 𝐻dと増大する場合

円柱表面磁界𝐻Iが0 → 𝐻d と変化する場合を考える。磁束密度の絶対値𝐵̂の折れ曲がり′
点は𝑟̃b2 (𝑥̃2 )、𝑟̃0 (𝑥̃0 )、𝑟b2(𝑥2′ )、𝑟0′ (𝑥0′ )の４か所である。
′
𝑟̃b2 、𝑟̃0 はそれぞれ式(E.17)、式(E.18)で与えられる点である。𝑟b2と𝑟0′ が𝐻Iを0 → 𝐻d と変′化させるときに生じる折れ曲がり点である。𝑟u < 𝑟 < 𝑟̃b2 、𝑟̃b2 < 𝑟 < 𝑟̃0 、𝑟̃0 < 𝑟 < 𝑟b2の区間の磁束密度は式(E.19)、式(E.20)、式(E.21)で与えられ、𝐻Iを0 → 𝐻d と変えても変化′しない。磁束線の移動因子𝛿は𝑟b2< 𝑟 < 𝑟0′ では𝛿 = 1、𝑟0′ < 𝑟 < 𝑅では𝛿 = −1である。
′
区間𝑟b2< 𝑟 < 𝑟0′ での磁束密度は
2−𝛾
=−
(𝑟𝐵̂)

2−𝛾
𝛼 𝜇 𝑟 3−𝛾 + 𝐶5
3−𝛾 c 0(E.27)

区間𝑟0′ < 𝑟 < 𝑅での磁束密度は
2−𝛾
=
(𝑟𝐵̂)

2−𝛾
𝛼 𝜇 𝑟 3−𝛾 + 𝐶6
3−𝛾 c 0(E.28)と表わされる。境界条件は𝑟 = 𝑅で𝐵 = 𝜇0 𝐻I、𝑟 = 𝑟0′ で𝐵 = 0である。
56

|B|/(µ0HIp)

1

0.5

ℎI

0
0

𝑥2′

𝑥u

0.5

𝑥̃0 𝑥̃2 𝑥0′

1𝑥x

図 E.7 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 ：𝟎 → 𝑯𝐝 )

ℎI
𝑥u
𝑥

𝑥̃2 𝑥̃0𝑥2′𝑥0′

図 E.8 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 ：𝟎 → 𝑯𝐝 )𝑟 = 𝑅で𝐵 = 𝜇0 𝐻Iだから、
2−𝛾

̂I )
𝐶6 = (𝑅𝜇0 𝐻−

2−𝛾𝛼 𝜇 𝑅3−𝛾
3−𝛾 c 0(E.29)

従って区間𝑟0′ < 𝑟 < 𝑅における磁束密度は式(E.28)-(E.29) から2−𝛾
̂I )2−𝛾 −= (𝑅𝜇0 𝐻(𝑟𝐵̂)= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 [(2−𝛾
𝛼 𝜇 (𝑅3−𝛾 − 𝑟 3−𝛾 )3−𝛾 𝑐 0

𝐻I 2−𝛾𝑟 3−𝛾)−1+( ) ]𝐻IP𝑅= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎI 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 )57(E.30)

̂Iであり、ℎI = 𝐻I⁄𝐻IPである。𝑟 = 𝑟0′ においてとなる。ここで、𝐻I > 0であるから𝐻I = 𝐻
𝐵̂ = 0であるから、折れ曲がり点𝑥0′ は
1
2−𝛾 3−𝛾𝑥0′ = (1 − ℎI)

(E.31)となる。式(E.27)の𝐶5 は𝑟 = 𝑟0′ で𝐵̂ = 0であるから
𝐶5 =

2−𝛾
3−𝛾
𝛼c 𝜇0 𝑟0′3−𝛾(E.32)′となる。従って区間𝑟b2< 𝑟 < 𝑟0′ での磁束密度は
2−𝛾
=
(𝑟𝐵̂)

=

2−𝛾
3−𝛾
𝛼c 𝜇0 (𝑟0′− 𝑟 3−𝛾 )3−𝛾(𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 ′ 3−𝛾− 𝑟 3−𝛾 )
(𝑟0
𝑅 3−𝛾

= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (𝑟0′3−𝛾

− 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (1 − ℎI

− 𝑥 3−𝛾 )(E.33)′′⁄𝑅 はとなる。𝑟b2は式(E32)と式(E20)の交点であるから、正規化半径𝑥2′ = 𝑟b2112−𝛾𝑥2′ = [1 − (ℎd 2−𝛾 + ℎI )]3−𝛾
2(E.34)となる（図 E.7、図 E.8）。
′
円柱表面磁界𝐻Iが0 → 𝐻d と変化する場合の交流損失𝑊4 は区間𝑟b2< 𝑟 < 𝑟0′ と区間

𝑟0′ < 𝑟 < 𝑅の磁束密度の変化から生じる。

𝑊4 =𝑅
2𝐻IP ℎd𝜕𝐵∫ 𝑑 ℎI ∙ ℎI ∫
𝑑𝑟
′
𝑅 0
𝜕ℎ
I
𝑟
b2

𝑟0′
𝑅 ̂
2𝐻IP
𝜕𝐵̂
𝜕𝐵
=
∫ 𝑑 ℎI ∙ ℎI [∫ (−𝑑𝑟]) 𝑑𝑟 + ∫𝑅 0𝜕ℎI𝑟′𝑟0′ 𝜕ℎI
ℎd

b2

ℎd

2
= 2𝜇0 𝐻IP
∫
0

𝑥0′

2−𝛾

𝛾−1
ℎI
2−𝛾
𝑑 ℎI ∙ [∫(1 − ℎI − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥
𝑥
𝑥2′
2−𝛾

𝛾−1
ℎ
2−𝛾
+ ∫ I (ℎI − 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥𝑥0′ 𝑥1(E.35)
𝑥0′ は式(E.31)、𝑥2′ は式(E.34)で与えられる。

58

(v)

𝐻I が𝐻d → 𝐻u と増大する場合

円柱表面磁界𝐻Iが𝐻d → 𝐻u と変化する場合を考える。磁束密度の絶対値𝐵̂の折れ曲が′′り点は𝑟̃b2 (𝑥̃2 )、𝑟b2(𝑥2′′ )の２か所である。

1|B|/(µ0HIp)

ℎI
0.5

0
0

′′

𝑥u

̃2 𝑥2
0.5 𝑥

1

𝑥x

図 E.9 超伝導円柱内の磁束分布(𝑯𝐈 ：𝑯𝐝 → 𝑯𝐮 )区間ru < 𝑟 < 𝑟̃b2 (𝑥u < 𝑥 < 𝑥̃2 )の磁束密度は2−𝛾2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎu − 1 + 𝑥 3−𝛾 )(𝑟𝐵̂)(E.36)′′(𝑥̃2 < 𝑥 < 𝑥2′′ )の磁束密度は
区間𝑟̃b2 < 𝑟 < 𝑟b22−𝛾2−𝛾= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (1 − ℎd − 𝑥 3−𝛾 )
(𝑟𝐵̂)
′′
領域𝑟b2
< 𝑟 < 𝑅(𝑥2′′ < 𝑥 < 1)の磁束密度は𝛿 = −1に注意して
2−𝛾
=
(𝑟𝐵̂)

(E.37)2−𝛾
𝛼 𝜇 𝑟 3−𝛾 + 𝐶7
3−𝛾 c 0(E.38)と表現できる。境界条件は𝑟 = 𝑅で𝐵 = 𝜇0 𝐻Iであるから、
2−𝛾

̂I )
𝐶7 = (𝑅𝜇0 𝐻−

2−𝛾𝛼 𝜇 𝑅3−𝛾
3−𝛾 c 0(E.39)′′
従って、領域𝑟b2< 𝑟 < 𝑅で2−𝛾
= (𝑅𝜇0 𝐻I )2−𝛾 −
(𝑟𝐵̂)

2−𝛾
𝛼 𝜇 (𝑅3−𝛾 − 𝑟 3−𝛾 )3−𝛾 c 0= (𝑅𝜇0 𝐻IP )2−𝛾 (ℎI 2−𝛾 − 1 + 𝑥 3−𝛾 )59(E.40)′′となる。ここでℎI = 𝐻I⁄𝐻IP である(図 E.9)。𝑟b2
は式(E.37)と式(E.40)の交点であるから
1𝑥2′′ = [1 −1 2−𝛾2−𝛾 3−𝛾(ℎI + ℎd )]2(E.41)となる。円柱表面磁界𝐻Iが𝐻d → 𝐻u と変化する場合の交流損失𝑊5 は、
𝑅
𝑅
2𝐻IP ℎd𝜕𝐵
2𝐻IP ℎd𝜕𝐵̂∫ 𝑑 ℎI ∙ ℎI ∫𝑑𝑟 =∫ 𝑑 ℎI ∙ ℎI ∫
𝑑𝑟
𝑅 0
𝑅 0
𝑟 ′′ 𝜕ℎI
𝑟 ′′ 𝜕ℎI

𝑊5 =

b2

ℎu

1

ℎd

𝑥2′′

2
= 2𝜇0 𝐻IP
∫ 𝑑 ℎI ∙ ∫

b2

2−𝛾
ℎI

𝑥

2−𝛾

(ℎI

−1+𝑥

𝛾−1
3−𝛾 2−𝛾)𝑑𝑥(E.42)となる。
1 周期の磁界変化に対する単位体積あたりの交流損失は𝑊 = 𝑊1 + 𝑊2 + 𝑊3 + 𝑊4 +𝑊5 であり、単位長当りの交流損失𝑄は𝑄 = 𝜋𝑅 2 𝑊である。
2
𝑄0 = 4𝜇0 𝐻IP∙ 𝜋𝑅 2 =𝜇0 𝐼c2𝜋(E.43)と置き、𝑥0 = 𝑥0′ および𝑥2′ = 𝑥2′′ であるから、𝑥0′ を𝑥0 、𝑥2′′ を𝑥2′ で置き換えて整理すると、
2−𝛾

𝑄=

1
𝑄0 ℎu
−ℎI
∫ 𝑑 ℎI ∙ ∫
2 0
𝑥
𝑥1

2−𝛾

(ℎI

𝛾−1

+ 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥

2−𝛾

+

2−𝛾

𝛾−1
𝛾−1
𝑥0
1
𝑄0 ℎd
ℎI
ℎ
2−𝛾
2−𝛾
∫ 𝑑 ℎI [∫(−ℎI + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥 + 2 ∫ I (ℎI − 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥
2 0
𝑥
𝑥2
𝑥0 𝑥
1

2−𝛾

−ℎI
𝑥
𝑥1′

+∫

2−𝛾

(ℎI

𝛾−1

+ 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥

2−𝛾

𝛾−1
ℎI
2−𝛾
(−ℎI + 1 − 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥]
𝑥
𝑥2′
𝑥0

+∫

2−𝛾

+

𝛾−1
1
𝑄0 ℎu
ℎ
2−𝛾
∫ 𝑑 ℎI ∙ ∫ I (ℎI − 1 + 𝑥 3−𝛾 )2−𝛾 𝑑𝑥
2 ℎd
𝑥2′ 𝑥

(E.44)となる。ただし、
𝑖DC =

𝐼DC
,
𝐼c

𝑖m =

𝐼m
𝐼c
(E.45)ℎu = 𝑖DC + 𝑖m , ℎd = |𝑖DC − 𝑖m |(E.46)

60

1

1
2−𝛾
𝑥0 = (1 − ℎI )3−𝛾 ,

1

1 2−𝛾
1 2−𝛾
2−𝛾 3−𝛾2−𝛾 3−𝛾𝑥1 = [1 − (ℎu − ℎI )], 𝑥2 = [1 − (ℎu + ℎI )]
2
2
1

1

1 2−𝛾
1 2−𝛾
2−𝛾 3−𝛾2−𝛾 3−𝛾𝑥1′ = [1 − (ℎd − ℎI )], 𝑥2′ = [1 − (ℎd + ℎI )]22(E.47)
である。式(E.44)-(E.47)は文献[19]の式(10)-(13)と一致する。
IDC > 𝐼m の場合と同様に𝑡 = 1 − 𝑥 3−𝛾 と変数変換をする。ここで𝑑𝑡
1 −(3 − 𝛾)(1 − 𝑡)= −(3 − 𝛾)𝑥 2−𝛾 = −(3 − 𝛾)𝑥 3−𝛾 =
𝑑𝑥
𝑥
𝑥
だから
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=−
(3 − 𝛾)(1 − 𝑡)𝑥3−𝛾である。式(E.44)に𝑡 = 1 − 𝑥 3−𝛾 の変数変換を施す。𝑡0 = 1 − 𝑥03−𝛾、𝑡1 = 1 − 𝑥1

等のよ

うに置くと、
2−𝛾

𝛾−1
𝑡1
𝑄0 ℎu
−ℎI
2−𝛾
𝑄=
∫ 𝑑 ℎI ∙ ∫(ℎI + 𝑡)2−𝛾 𝑑𝑡
2 0
0 (3 − 𝛾)(1 − 𝑡)
2−𝛾

+

2−𝛾

𝛾−1
𝛾−1
𝑡2
𝑡0
𝑄0 ℎd
ℎI
ℎI
2−𝛾
2−𝛾
∫ 𝑑 ℎI [∫(−ℎI + 𝑡)2−𝛾 𝑑𝑡 + 2 ∫(ℎI − 𝑡)2−𝛾 𝑑𝑡
2 0𝑡0 (3 − 𝛾)(1 − 𝑡)
0 (3 − 𝛾)(1 − 𝑡)
𝑡1′

2−𝛾

′

2−𝛾

′

2−𝛾

𝛾−1
𝛾−1
𝑡2
−ℎI
ℎI
2−𝛾
2−𝛾
+∫
(ℎI + 𝑡)2−𝛾 𝑑𝑡 + ∫(−ℎI + 𝑡)2−𝛾 𝑑𝑡]
0 (3 − 𝛾)(1 − 𝑡)𝑡0 (3 − 𝛾)(1 − 𝑡)

+

𝛾−1
𝑡2
𝑄0 ℎu
ℎI
2−𝛾
∫ 𝑑 ℎI ∙ ∫(ℎI − 𝑡)2−𝛾 𝑑𝑡
2 ℎd
0 (3 − 𝛾)(1 − 𝑡)

(E.48)
ただし、
𝑖DC =

𝐼DC
𝐼m
, 𝑖m =𝐼c
𝐼cℎu = 𝑖DC + 𝑖m , ℎd = |𝑖DC − 𝑖m |2−𝛾𝑡0 = ℎI112−𝛾, 𝑡1 = 2 (ℎu2−𝛾𝑡1′ = 2 (ℎd

2−𝛾

− ℎI

1

2−𝛾

), 𝑡2 = 2 (ℎu

1

2−𝛾

− ℎI

), 𝑡2′ = 2 (ℎd

である。

61

2−𝛾

2−𝛾

+ ℎI

)

2−𝛾

+ ℎI

)
(E.49)