アインシュタイン方程式の線形化

非線形のアインシュタイン方程式を弱い重力として近似して線形化します。

重力は弱いとして、ミンコフスキー計量に微小な項を加えたものを使います。なので、計量 gαβ を′gαβ = ηαβ + ϵγαβ + ϵ2 γαβ+ ···として、ミンコフスキー計量 ηαβ に微小な項が加わった形で展開できるよします。ϵ は微小とします。微小項がミンコフスキー空間を曲げる寄与になります。ここでは、ϵ の 1 次までを考えます。ちなみに、1 次までの計量 gαβが gµα g αν = δµν を満たしているなら、

δµν = (ηµα + ϵγµα )(η αν + ϵγ αν ) ≃ ηµα η αν + ϵγµα η αν + ϵηµα γ αν= δµν + ϵγµα η αν + ϵηµα γ ανからγµα η αν + ηµα γ αν = 0ηµα γ αν = − η αν γµα
η βµ ηµα γ αν = − η βµ η αν γµα
δαβ γ αν = − η βµ η αν γµαγ βν = − η βµ η αν γµαとなります。このとき、添え字の上げ下げはミンコフスキー計量 ηµν で行えるとするなら

γ βν = η βµ η αν γµαとする必要があり、この場合上付きの計量 g αβ はg αβ = η αβ − ϵγ αβと定義されます。
ここではミンコフスキー計量の符号を統一させるために虚数時間で座標を定義し、時間座標を ict とします。これは単に時間軸を虚軸に持っていくという数学的な変換なので、現実に虚数時間があるとかそういった話ではないです (場の理論ではユークリッド化と言ったりします)。この変換によってミンコスフキー空間の 4 元ベクトルは (ict, x, y, z) となるので、ミンコフスキー空間の内積 xµ xµ はc2 t2 − x2 − y 2 − z 2 ⇒ −c2 t2 − x2 − y 2 − z 21となります。つまり、計量がηαβ ⇒ −δαβとして、クロネッカーデルタになります。マイナスがなければ、4 次元ユークリッド空間の計量です。この手続きは必ず必要というわけでなく、添え字の位置を気にせずに計算できるようにするためにしているだけです。基本的には内積部分をミンコフスキー計量に戻せば元に戻ります。
真空でのアインシュタイン方程式{Rµν =}αµν{−}

α−µα|α{}{αβν|ν}

β{+µα}{αβαβµν}=0のクリストッフェル記号に今の計量を適用させます。クリストッフェル記号は{}α1 αβg (gβµ|ν + gνβ|µ − gµν|β )2=µνなので、微分は微小項にのみ作用します (ミンコフスキー計量は定数)。そして、明らかにリッチテンソルの第一項と第二項部分には ϵ の 1 次の項が存在し、第三項と第四項には ϵ の 1 次の項は存在せず ϵ の 2 次以上で構成されています。今は ϵ の 1 次までを考えるので、第一項と第二項のみを取り、アインシュタイン方程式は{Rµν ≃}

αµν{−|ααµα}=0|νでいいことになります。これの第二項のクリストッフェル記号は計量の行列式で書けば{}

αµα=|ν

1(log |g|)|µ|ν
2| | は絶対値です。行列式 g は、gαβ = −δαβ + ϵγαβ から

g = det(gαβ ) = (−1)41 − ϵγ00−ϵγ01−ϵγ02−ϵγ03−ϵγ101 − ϵγ11−ϵγ12−ϵγ13−ϵγ20−ϵγ211 − ϵγ22−ϵγ23−ϵγ30−ϵγ31−ϵγ32

1 − ϵγ33| | は行列式です。今の近似での g は、この行列式から ϵ が一次までの項を取り出したものです。
見て分かるように、一次になる項を含むのは対角成分の積だけなので、行列式は

g = det(gαβ ) ≃ (1 − ϵγ00 )(1 − ϵγ11 )(1 − ϵγ22 )(1 − ϵγ33 )≃ 1 − ϵ(γ00 + γ11 + γ22 + γ33 )これを log |g| に入れて、テーラー展開すれば

2

1log |g| ≃ log[1 − ϵ(γ00 + γ11 + γ22 + γ33 )]2≃ − ϵ(γ00 + γ11 + γ22 + γ33 )よって、アインシュタイン方程式で必要なクリストッフェル記号の片方は{}

α=αµ|ν

1(log |g|)|µ|ν
21≃ − ϵ(γ00 + γ11 + γ22 + γ33 )|µ|ν
21 ∑= − ϵγαα|µ|ν
2 α=03と求まります。添え字が上下になっていないので、和の記号を書いています。もう一方のクリストッフェル記号は{}αµν=

η αβ + ϵγ αβ(gβµ|ν + gνβ|µ − gµν|β )2=

η αβ + ϵγ αβ(ϵγβµ|ν + ϵγνβ|µ − ϵγµν|β )2虚数時間にして、η αβ を −δ αβ に置き換えれば、クリストッフェル記号は ϵ の 1 次までで{}

α≃−µν
{

δ αβ(ϵγβµ|ν + ϵγνβ|µ − ϵγµν|β )
2}

αµν

|α1∑
(ϵγαµ|ν + ϵγνα|µ − ϵγµν|α )|α2 α=03=−となります。というわけで、アインシュタイン方程式は ϵ の 1 次までで−3∑(γαµ|ν + γνα|µ − γµν|α )|α +α=03∑

γαα|µ|ν = 0α=0

見て分かるように線形になっているので、これが線形化された真空でのアインシュタイン方程式です。この式は、γαβ の独立成分 10 個に対して 10 個の偏微分方程式で構成されているので、γαβ は理屈上では解けます。
線形化された方程式は共変性を持たなく、その方程式の解である γαβ もテンソルの必要はないです。元々はテンソルだった計量がテンソルでなくなっているのは、ϵ が 1 次のオーダでの近似で計算したためです。このため、厳密な計量（線形化されてないアインシュタイン方程式の解）との間に差が生じています。
′
しかし、テンソルとして扱うべきと考えることができます。厳密な計量 gαβと近似した計量 gαβ の差が 2 次の′オーダ表せるとしたら、gαβ− gαβ = O(ϵ2 ) と書けます。この関係が座標変換後でも維持されるべきと考えます。

そうすると、gαβ もテンソルとして座標変換すれば

3∂xα ∂xβ ′(g − gαβ ) = O(ϵ2 )∂xµ ∂xν αβと出来て、差は ϵ2 のオーダのままです。なので、gαβ をテンソルのように扱うべきで、γαβ もテンソルです。
ちなみに、虚数時間にしていない場合ではリッチテンソルはRµν =1 αβ
η (γαν|µ|β + γµβ|α|ν − γµν|α|β − γαβ|µ|ν )2となります。下の補足で簡単に導出しています。
線形化しても見るからに複雑な形をしていますが、簡易化することが可能です。見た目を分かりやすくするために、4 次元でのダランベルシャン□=−3∑∂α ∂αα=0を使うことにします。計量が −δµν になっていることに注意してください。これによって−3∑γµν|β|β = □γµνβ=0と書くことにして−3∑γαµ|ν|α −α=03∑γνα|µ|α − □γµν|α|α +

α=03∑γαα|µ|ν = 0α=0

左辺は変形すると−□γµν +

3333
∑∑
1∑
1∑
γαα|µ|ν +γαα|µ|ν −γαµ|ν|α −γνα|µ|α2 α=02 α=0α=0α=0= − □γµν +

33
∑
∑
11
( γαα|µ − γαµ|α )|ν +( γαα|ν − γνα|α )|µ2
2α=0α=0(1)

微分の順序は交換できることを使っています。ここで

Aµ =3∑1( γαα|µ − γαµ|α )
2α=0(2)と置き換えれば□γµν − Aµ|ν − Aν|µ = 0
ここまではただ変形しただけです。

4(3)ここで、Aµ がある関数 ϕµ にダランベルシャンを作用させたものと等しいと仮定してAµ = □ϕµ(4)とします。そうすると□γµν = □ϕµ|ν + □ϕν|µこの式からダランベルシャンを外せば、γµν は

γµν = ϕµ|ν + ϕν|µとなります。
しかし、これは仮定した結果なので、本当に (3) の解になるのかを確かめます。そのために、元の (1) に入れてみると−□γµν +3∑

γαα|µ|ν −3∑γαν|µ|α −= − □γµν +3∑γαµ|ν|αα=0α=0α=03∑((ϕα|α + ϕα|α )|µ|ν − (ϕα|ν + ϕν|α )|µ|α − (ϕα|µ + ϕµ|α )|ν|α )

α=0= − □γµν +3∑(2ϕα|α|µ|ν − ϕα|ν|µ|α − ϕν|α|µ|α − ϕα|µ|ν|α − ϕµ|α|ν|α )

α=0= − □γµν +3∑(2ϕα|α|µ|ν − ϕα|α|µ|ν − ϕν|µ|α|α − ϕα|α|µ|ν − ϕµ|ν|α|α )

α=0= − □γµν −3∑(ϕµ|ν|α|α + ϕν|µ|α|α )

α=0= − □γµν + (□ϕµ|ν + □ϕν|µ )=0となるので、解になっています。ϕη|λ + ϕλ|η の解をワイル解 (Weyl solutions) と呼びます。このように解が見つかりましたが、ワイル解は意味を持ちません。これを見ていくことで、解くべき方程式が簡単になります。
(0)(0)ある任意の解 γµν が求まっているとします。この解を (2) に入れれば、Aµ が求まります。そして、(4) に入れ(0)れば、ϕµ が求まります。そうすると、ワイル解として(0)(0)(w)γµν
= ϕµ|ν + ϕν|µ(0)(w)というのが作れます。γµν と γµν の差を見ていきます。
線形化されたアインシュタイン方程式の解なので、重ね合わせの原理から

5(0)(w)γ̂ηλ = γηλ − γηλ(0)(w)としても解になります。γηλ と γηλ のダランベルシャンは(0)(0)(0)□γηλ = Aη|λ + Aλ|η(w)(0)(0)(0)(0)□γηλ = □ϕη|λ + □ϕλ|η = Aη|λ + Aλ|ηこのため差は 0 になるので□γ̂ηλ = 0(5)という波動方程式になります。これからさらに見ていきますが、結局これが解くべき方程式となります。
波動方程式の性質から γ̂ηλ の波は光速で伝播します (∂/c∂t)。γ̂ηλ は空間の歪みを表すので、空間の歪みが伝播していくことになり、それを重力波と呼んでいます。このように影響が伝播していく現象が出てくるのは、ニュートンの重力理論と違い時間依存性があるためです。また、電磁波も重力波もヌル測地線を伝わっていきます。

(5) を見ていく前に、γ̂ηλ の成分の関係を求めておきます。そのために、キリング方程式

ξλ||η + ξη||λ = 0を持ち出します。この式と (3) での□γ̂ηλ = Âη|λ + Âλ|η = 0を比べればわかるように、Âη|λ はキリングベクトルに対応します。なので、計量が何かの対称性を持っていますが、ここでは触れずに先に進みます。
もう一回微分してÂη|λ|ν + Âλ|η|ν = 0
添え字のつけかえと微分の順序を入れ替えてÂη|λ|ν + Âλ|η|ν = 0Âλ|η|ν + Âν|λ|η = 0Âν|λ|η + Âη|λ|ν = 0という 3 パターンを作ります。これらによる連立方程式の解がどうなっているかは、行列として書いた

6

11

 010Âη|λ|ν1


1   Âλ|η|ν  = 001

Âν|λ|ηにおいて、係数の行列式が 0 かそうでないかを見ればいいです。係数の行列式は 1 + 1 = 2 なので、0 でないです。
よって、解としては 0 しかないのでÂη|λ|ν = 02 回積分すれば Âη になるので、Âη は 1 次関数です。
そして、空間の無限遠において Âη は 0 に近づくという境界条件を加えます。これは無限遠で重力場は 0 になるという仮定からです。この条件のために 1 次関数である Âη は 0 です（1 次関数 ax + b が x の ∞ で 0 になるためには、0 でないといけない）。そうするとÂη =3∑β=01(γ̂ηβ|β − γ̂ββ|η ) = 02となり、これから γ̂ηλ の成分の関係が与えられます。

γ̂ηλ が意味のある解であることを示します。なので、物理量であるリーマンテンソルを計算してみます。リーマンテンソルは{Rαηβλ =αλη}{−|β}

α{−βη}{αλτ|λ}τ{+βηこれに計量として

gαβ = ηαβ + ϵγαβを使えば、ϵ の 1 次で{Rαηβλ =α}{−λη|βαβη}|λこれはすでに計算しているので、添え字を今の場合に合わせれば{{αληαβη}|β}|λ1= − (ϵγαλ|η + ϵγαη|λ − ϵγλη|α )|β2
1= − (ϵγαβ|η + ϵγαη|β − ϵγβη|α )|λ2

よって、リーマンテンソルは

7αβτ}{τλη}ϵ(−γαλ|η|β − γαη|λ|β + γλη|α|β + γαβ|η|λ + γαη|β|λ − γβη|α|λ )2ϵ= − (γβη|α|λ + γαλ|η|β − γλη|α|β − γαβ|η|λ )2Rαηβλ =γαβ をワイル解 ϕα|β + ϕβ|α とすれば
ϵRαηβλ = − (ϕβ|η|α|λ + ϕη|β|α|λ + ϕα|λ|η|β + ϕλ|α|η|β − ϕλ|η|α|β − ϕη|λ|α|β − ϕα|β|η|λ − ϕβ|α|η|λ )2
微分の添え字を入れ替えて整理していくと、全て消えてRαηβλ = 0となるので、ワイル解によってリーマンテンソルは 0 になります。
(0)

任意の解 γαβ は(0)(w)

γαβ = γαβ + γ̂αβ(w)としているので、リーマンテンソルにおいてワイル解 γαβ の項は消えて、γ̂αβ のみが寄与します。つまり、ワイル解は線形化されたアインシュタイン方程式の解ですが、物理的には意味を持たない解です。
(w)

また、ミンコフスキー計量 ηαβ にワイル解を加えた計量 ηαβ + γαβ は明らかにリーマンテンソルを 0 にします。
(w)

これから、ワイル解 γαβ は重力とは無関係になっているのが分かるので、物理的に無意味と言えます。
計量に対しても見ておきます。今の計量は

gαβ = ηαβ + ϵγαβ ⇒ −δαβ + ϵγαβ
これに対して、座標変換

xµ = xµ − ϵϕµを行ってみます、計量の変換は

g µν =∂xα ∂xβ
gαβ∂xµ ∂xν

これの微分は∂ϕα∂xα= δµα + ϵ µ∂xµ∂xなので、変換後の計量は8g µν = (δµα + ϵ∂ϕα β∂ϕβ)(−δαβ + ϵγαβ )µ )(δν + ϵ∂x∂xν

≃ − δµν + ϵ(δµα δνβ γαβ − δαν= − δµν + ϵ(γµν −∂ϕα∂ϕβ− δβµ ν )∂xµ∂x∂ϕν∂ϕµ)µ −∂x∂xν= − δµν + ϵ(γµν − (ϕν|µ + ϕµ|ν ))ワイル解 ϕν|µ + ϕµ|ν がいます。この項のために、元の計量(0)(w)gαβ = −δαβ + ϵγαβ = −δαβ + ϵ(γαβ + γ̂αβ )から、変換後ではg µν = −δµν + ϵγ̂µνとなり、ワイル解が消えます。つまり、座標変換を上手く選べばワイル解は消せます。
このように、必要なのは γ̂αβ だけです。よって、解くべき方程式は γ̂αβ に対する□γ̂αβ = 0という波動方程式になります。γ̂αβ の成分の関係は
3∑β=01(γ̂ηβ|β − γ̂ββ|η ) = 02で与えられます。右辺は無限遠で 0 になるという境界条件から 0 にしてますが、一般的には定数です。
ワイル解を使って見てきましたが、今までやってきたことはゲージ変換です。すでに見た座標変換

xµ = xµ − ϵϕµが、一般相対性理論でのゲージ変換です。この座標変換によって計量がgµν = −δµν + ϵγµνg µν = −δµν + ϵ(γµν − (ϕν|µ + ϕµ|ν ))となり、γαβ の変換は

γ µν = γµν − (ϕν|µ + ϕµ|ν )9(6)となっています。見てきたように、ϕν|µ + ϕµ|ν がいても物理に影響しません。一方で、電磁気のゲージ変換は、電磁場の 4 元ベクトル Aµ を Aµ = Aµ + ∂µ Λ (Λ はスカラー関数 ) と変換しても物理が変わらないというものです。
なので、この対応としてゲージ変換です。
また、ゲージ条件は

γ̂αβ|β = 0となっています。

・補足
ミンコフスキー計量のままでリッチテンソルを求めます。やることは同じです。計量は

gαβ ≃ ηαβ + ϵγαβとします。ϵ が 1 次までのリッチテンソルは{Rµν ≃αµν}{−|ααµα}|ν

このクリストッフェル記号を求めます。
計量の行列式は

g = det(gαβ ) =1 + ϵγ00

ϵγ01

ϵγ02ϵγ03

ϵγ10−1 + ϵγ11ϵγ12ϵγ13ϵγ20

ϵγ21−1 + ϵγ22ϵγ23ϵγ30

ϵγ31

ϵγ32−1 + ϵγ33なので、ϵ の 1 次の部分は

g ≃ −1 − ϵγ00 + ϵγ11 + ϵγ22 + ϵγ33
そうすると1log |g| ≃ log[1 + ϵ(γ00 − γ11 − γ22 − γ33 )]2≃ ϵ(γ00 − γ11 − γ22 − γ33 )これから

10{}ααµ=1(log |g|)|µ|ν
2≃

1ϵ(γ00 − γ11 − γ22 − γ33 )|µ|ν
2=

1 αβϵη γαβ|µ|ν
2|ν

もう 1 つのクリストッフェル記号は{}αµν{α=

η αβ + ϵγ αβ(gβµ|ν + gνβ|µ − gµν|β )2=

η αβ + ϵγ αβ(ϵγβµ|ν + ϵγνβ|µ − ϵγµν|β )
2

≃

η αβ
(ϵγβµ|ν + ϵγνβ|µ − ϵγµν|β )2=

η αβ(ϵγβµ|ν + ϵγνβ|µ − ϵγµν|β )|α2}µν|αというわけで、ϵ の 1 次までの真空のアインシュタイン方程式は{Rµν ≃αµν}{−|ααµα}|ν

≃

1 αβ
1
η (γβµ|ν + γνβ|µ − γµν|β )|α − η αβ γαβ|µ|ν
2
2=1 αβη (γνβ|α|µ + γβµ|α|ν − γµν|α|β − γαβ|µ|ν )2となって、上で示した形になります。

11