logZ の摂動計算〜φ4 理論〜

統計力学を見れば分かるように熱力学な物理量を求めるには分配関数というより、それの対数を取ったもの、つまり熱力学ポテンシャルが重要になってきています。というわけで、log Z を摂動計算してみます。
摂動計算でなくてはならない理由は簡単で、相互作用があるときには汎関数積分を厳密に実行できないので、結合定数が小さいとして展開して計算しましょうということです。
分配関数の形自体はゼロ温度の場合とほぼ変わらないので同じ形で展開できることは分かりますが、対数を取るので若干形が変わります。分配関数を相互作用項 SI が小さいとして単純に展開してみると (S0 は相互作用項を含まない作用、規格化定数は無視します)

Z
Z=

Z
S

Dφe =

Z
S0 +SIDφeDφeS0 eSI=Z

DφeS0 (1 + SI + · · · )=Z=

DφeS0∞
X
1l=0l!

SIl

これに対して対数を取ればlog ZZ∞X
1 l= log[ DφeS0S ]l! Il=0Z∞X
1 l= log[ DφeS0 (1 +S )]l! Il=1ZZ∞
X
1 l= log[ DφeS0 + DφeS0S ]l! Il=1RP∞hZ
DφeS0 l=1 l!1 SIl iS0R)= log
Dφe (1 +DφeS0RPZ∞hDφeS0 l=1 l!1 SIl iR= log[ DφeS0 ] + log 1 +DφeS0= log Z0 + log ZIというわけで、計算の対象となるのは log ZI の中の第二項です。
具体的に実数スカラー場での φ4 理論を使って計算してみます。そうすると作用の相互作用部分は

Z β
SI = −λZdτ

d3 xφ40

このようになるので、log ZI の λ2 まで取り出すとlog ZIRRh
DφeS0 SI
1 DφeS0 SI2 iRR= log 1 ++2DφeS0
DφeS0
R
Rβ R
RR
R
βh− DφeS0 0 dτ d3 xφ4
λ2 DφeS0 0 dτ d3 xφ8 i
RR= log 1 + λ+
2
DφeS0
DφeS0

log 内の 1 以降は微小だということから展開して λ2 までの項を拾えば

log ZIR
R
DφeS0 SI
1 DφeS0 SI2
R= log[1 + R+]
2DφeS0
DφeS0
RRR
DφeS0 SI
1 DφeS0 SI2
1  DφeS0 SI 2RRR+−=22DφeS0
DφeS0DφeS0RRRRRβ RRRβ R
β− DφeS0 0 dτ d3 xφ4λ2 DφeS0 0 dτ d3 xφ8λ2  DφeS0 0 dτ d3 xφ4 2RRR= λ+−22DφeS0
DφeS0DφeS0= log Z1 + log Z2

λ が 1 次のオーダである log Z1 を具体的に計算していきます。まず φ(τ, x) のフーリエ展開
1X
φ(τ, x) =β nZd3 p −i(ωn τ −p·x)eφn (p)(2π)3(ωn = 2nπT )を代入します。相互作用なしの S0 は「虚時間法〜クライン・ゴルドン場〜」でやっていてZ βS0=Zdτd3 xL0====ZZ∂φ1 βdτ d3 x(( )2 + (∇φ)2 + m2 φ2 )2 0
∂τZ
1 X d3 pd3 p0−(2π)3 δ 3 (p + p0 )βδn,−n0 (−ωn ωn0 − p · p0 + m2 )φn (p)φn0 (p0 ))62β(2π)n,n0Z
1 X d3 pd3 p0 2 2−β (ωn + p2 + m2 )φn (p)φ−n (−p) (ωn0 = 2πn0 T = −2πnT = −ωn = ω−n )2β n(2π)3Z
1 Xd3 p−(ω 2 + p2 + m2 )φn (p)φn (p)2β n(2π)3 n−log Z1 でもフーリエ展開の式を入れて (測度を Dφ のまま書きますが、フーリエ変換したときの振幅 φn (p) に変わっています)log Z1 = λ=−1β4

RRβ R
DφeS0 0 dτ d3 xφ4R
DφeS0Z βZd3 xdτ01−λR×=−λβ4X Z d3 p1 · · · d3 p4exp[i(p1 + · · · + p4 ) · x] exp[−i(ωn1 + · · · + ωn4 )τ ](2π)12n ,···nZ βDφeS0
φn1 (p1 )φn2 (p2 )φn3 (p3 )φn4 (p4 )DφeS0Zd3 xdτ4R0X Z d3 p1 · · · d3 p4exp[i(p1 + · · · + p4 ) · x] exp[−i(ωn1 + · · · + ωn4 )τ ](2π)12n ,···n1R×41Dφ exp[− 2βP R

d3 q222(2π)3 (ωi + q + m )φi (q)φi (q)]φn1 (p1 )φn2 (p2 )φn3 (p3 )φn4 (p4 )RRP
d3 q1222Dφ exp[− 2βi(2π)3 (ωi + q + m )φi (q)φi (q)]iZ 3λ Xd p1 · · · d3 p4=− 4(2π)3 δ 3 (p1 + · · · + p4 )βδn1 ···n4β n ,···n(2π)1214R×1Dφ exp[− 2βP R

d3 q222(2π)3 (ωi + q + m )φi (q)φi (q)]φn1 (p1 )φn2 (p2 )φn3 (p3 )φn4 (p4 )RR
P3d q1222Dφ exp[− 2βi(2π)3 (ωi + q + m )φi (q)φi (q)]i汎関数積分の状況を見やすくするために、運動量を離散的だとして積分を和に置き換えて (V は三次元体積 )R1Dφ exp[− 2βV

R=DφP P
R222q (ωi + q + m )φi (q)φi (q)]φn1 (p1 )φn2 (p2 )φn3 (p3 )φn4 (p4 )PP
1222Dφ exp[− 2βV
iq ((ωi + q + m )φi (q)φi (q)]iQ Q
i1222q exp[− 2βV (ωi + q + m )φi (q)φi (q)]φn1 (p1 )φn2 (p2 )φn3 (p3 )φn4 (p4 )R
Q Q
1Dφ i q exp[− 2βV ((ωi2 + q 2 + m2 )φi (q)φi (q)]Z
このときに、分母、分子両方のDφ 積分はガウス積分の形っぽいので積分が実行できそうな雰囲気になっています。というわけで、積分を実行するために構造を調べます。

φ の変数が異なっていることから、exp 内のZ i が n1 , n2 , n3 , n4 、q が p1 , p2 , p3 , p4 のどれかと一致している場
合に φn1 (p1 ), φn2 (p2 ), φn3 (p3 ), φn4 (p4 ) がDφ 積分にひっかかるという形になっています。そして、i と q がn1 , · · · , n4 , p1 , · · · , p4 のどれかと一致していないなら分母と同じになって打ち消しあうために、何の寄与もしません ( 無限積の中で 1 をかけるだけ )。さらに、もし i = n1 , q = p1 というだけになっていたら、ガウス積分の性質によって積分は 0 になってしまいます。しかし、デルタ関数 δ 3 (p1 + · · · + p4 )、δn1 ···n4 によって、

p1 = −p3 , p2 = −p4 , n1 = −n3 , n2 = −n4 、もしくは入れ替えた p1 = −p4 , p2 = −p3 , n1 = −n4 , n2 = −n3 とか、p1 = −p2 , p3 = −p4 , n1 = −n2 , n3 = −n4 、という 3 つのパターンが許されるような制限がかけられています。この制限によって積分は 0 にならず、しかも簡単な格好をします。また、これらの制限に持っていくことで、積分は 2 つ落ち、デルタ関数は (2π)3 δ(0) となるので V に変わります ((2π)3 δ(0) = V )。
例えば、p1 = −p2 , n1 = −n2 , p3 = −p4 , n3 = −n4 でやっていくと

RDφQ Qi1222q exp[− 2βV (ωi + q + m )φi (q)φi (q)]φn1 (p1 )φ−n1 (−p1 )φn3 (p3 )φ−n3 (−p3 )RQ Q
1Dφ i q exp[− 2βV((ωi2 + q 2 + m2 )φi (q)φi (q)]

R=Q Q

DφRi

1222 222q exp[− 2βV (ωi + q + m )φi (q)]φn1 (p1 )φn3 (p3 )Q Q
1
Dφ i q exp[− 2βV((ωi2 + q 2 + m2 )φ2i (q)]そしてこの場合、i = n1 , q = p1 と i = n3 , q = p3 のときだけがガウス積分として値を返すことが分かります。これによって単純なガウス積分となってR

1dφ1 (p1 ) exp[− 2βV(ωn2 1 + p21 + m2 )φ21 (p1 )]φ21 (p1 )R1(ωn2 1 + p21 + m2 )φ21 (p1 )]
dφ1 (p1 ) exp[− 2βV=π12 +p2 +m2 ))34( 2βV(ωn111/2 1/2ππ12 +p2 +m2 ))34( 2βV(ωn312222βV (ωn1 +p1 +m )

=π4



=

=1dφ3 (p3 ) exp[− 2βV(ωn2 3 + p23 + m2 )φ23 (p3 )]φ23 (p3 )R1(ωn2 3 + p23 + m2 )φ23 (p3 )]dφ3 (p3 ) exp[− 2βV1/21/2π12222βV (ωn3 +p3 +m )

1/2 112 +p2 +m2 ))3( 2βV(ωn11π3R112222βV (ωn1 +p1 +m )

1/2

1/2112 +p2 +m2 ))3( 2βV(ωn33

112222βV (ωn3 +p3 +m )

1/2

111114 2βV
(ωn2 1 + p21 + m2 ) 2βV(ωn2 3 + p23 + m2 )β2V 2
(ωn2 1 + p21 + m2 )(ωn2 3 + p23 + m2 )というわけで、log Z1 にこの結果を入れると−λ X X
β2V 2βV
β 4 V 4 n ,n p ,p(ωn2 1 + p21 + m2 )(ωn2 3 + p23 + m2 )13=−13λ X X
1βV n ,n p ,p (ωn2 1 + p21 + m2 )(ωn2 3 + p23 + m2 )1=−3131λ XX()2βV n p ωn2 + p2 + m2

上で言ったように、p1 = −p2 , n1 = −n2 , p3 = −p4 , n3 = −n4 とすることでクロネッカ−デルタとデルタ関数は消えますし、(2π)3 δ 3 (0) = V です。
まだデルタ関数による場合分けは他に２つあります。しかし、行う計算は変わらないので、結果は同じになります。よって、単純に３倍すればいいだけなので log Z1 はlog Z1= −13λ X X()2βV n p ωn2 + p2 + m2= −3λ 1 X X
1β()22Vβ n p ωn + p2 + m2

運動量の和を積分にすれば

1Xlog Z1 = −3λβV (β nZd3 p1)232(2π) ωn + p2 + m2

ここで、ゼロ温度の場合と同じように考えると、図を描くことが出来そうです。つまり、

1ωn2 + p2 + m2
は、あからさまに伝播関数の形をしているということと、和と 3 次元積分 (ループ積分) があることからこんな図が描けます。これは、ループを持った場合のファインマン則そのものです。この前段階の図としてはこのようになっており、クロネッカーデルタとデルタ関数の制限に対応する (ωn , p) の線が結ばれます。このことから分かるように、線の結び方の場合の数が前にかかることになります (上の場合では最後にかけた 3 がそれに相当する)。
そして、真ん中の頂点に対しては、運動量保存のデルタ関数をくっつけて−λβ(2π)3 δf i δ 3 (pf − pi )保存している状況でなら単に−λβV((2π)3 δ(0) = V )となります。これが、log Z （少し変更すれば熱力学ポテンシャル) に対するファインマン則です。log Z のファインマン図は常にループを持った状況で作られるので、伝播関数はループ積分を含んで現われます。
次に log Z2 について見ていきます。log Z2 は

RR1  DφeS0 SI 2
1 DφeS0 SI2RR−log Z2 =22DφeS0
DφeS0
これの第二項は log Z1 の二乗なので、図としては単にこのようになり、線をくっつければ

次に第一項を見てみると、相互作用項 SI の二乗があることからという log Z2 の第二項と同じ図を用意します。今度の場合では、運動量はデルタ関数によって二つのバツの図の線にいる運動量はお互いにくっつけるのでこのような三種類の図を作れます (本来なら、これらの図の前には線の結び方の場合の数がかかります)。ここで、log Z2 の第二項と同じ図が現われているために、この図はお互いに打ち消しあいます。つまり、log Z2 の計算においては、このような分離した図というのは寄与しません。これは log Z2 の場合が特殊なのではなくて、log Z の計算においては常に分離した図は寄与を与えません。
log Z に対するファインマン則をまとめておきます• 分離している図は無視して、接続しているものだけを考える• 運動量保存 (δn1 ,n2 ,··· , δ 3 (p1 + p2 + · · · )) に対応する線の結び方による場合の数をかける
X Z d3 p• 結ばれている線に対してはG0 (ωn , p) を当てる。ここでの G0 (ωn , p) は対応する粒子の最低次(2π)3の伝播関数• 頂点に対しては −λ• 運動量保存に対応する頂点で βδn1 ,n2 ,··· (2π)3 δ(p1 + p2 · · · ) をかける。もしくは、保存した状態の頂点ではβV をかける。
また、ここでやったきたことは Z を計算してから log を取っても同じになります。実際に見ておきます。面倒なので、ゼロ温度での生成汎関数を使ってしまって (分配関数にしたければユークリッド化して、τ の積分範囲を 0 ∼ βにすればいいだけ)Z
Z0 [J] =
ZZiid4 xφ  + m2 φ exp −d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y)Dφ exp −22で、Dφ の積分にひっかかている部分は源のない生成汎関数なので Z0 と書くことにします (「経路積分〜クライン・ゴルドン場〜」では規格化定数に入れてましたが、今の場合では温度依存するので取り出しておきます)。ここでの、∆F は i を含めていない伝播関数です。そして、相互作用ありでの生成汎関数は

 ZZ1 δiZ[J] = Z0 exp i d4 zLint
exp −d4 xd4 y J(x)∆F (x − y)J(y)i δJ(z)2"Z−iλd z4!
4exp

1 δi δJ(z)4 #=1−iλ4!

Zd4 z1 δi δJ(z)4

規格化による分母は無視しています。で、相互作用による部分を計算していって J = 0 にすれば

ZZ = Z0 [1 − iλ2d4 z(−3 (∆F (0)) )]というのが出てきます（「経路積分〜クライン・ゴルドン場 (相互作用あり)〜」参照）。これの対数を取り、λ が小さいとして展開してZlog Z

2d4 z(−3 (∆F (0)) )]Z= log Z0 + 3iλ(∆F (0))2 dz 4Z= log Z0 − 3iλ(i∆F (0))2 dz 4
= log Z0 + log[1 − iλこれを有限温度の場合に変更します。i∆F (0) というのはファインマン図で言えばループによる図にあたり、ゼロ温度ではZ

id4 p42(2π) p − m2なので、p0 = iωn 、d4 p = id4 pE として有限温度に変更することで

1Xβ nZ1d3 p(2π)3 ωn2 + p2 + m2

そして、d4 z 積分は −idτ d3 z なので β と V をつくることになるので

1X
log Z = log Z0 − 3λβV (β n結局、同じものが出てきます。

Zd3 p1)2(2π)3 ωn2 + p2 + m2