〔問〕

昭 和 48年 度

(問題)

午前の部
1. 災害発生率 qの災害保険がある。との保険の被保険者 n入から在る群団があり，各被保険者の保険金は同額でとする。乙の群団全体の収支でみて，保険会社が損失を受ける確率が α(0<α<1)であるようま純保険料 Pを，正規分布近似で求めよ。

2. t時間の問K来る客の数 Xが平均 tAのポアソン分布 Kしたがうとする。
{
司

t時間の間(i(x人の来客を観側したとして，最尤法によって，スの推定量イトを求めよ。

他)上で求めた会の不偏性を証明せよ o(c) 上で求めたイトについて，次の式(クラメノレ・ラオの不等式 K関連した式)が成り立つととを証明せよ。

var令

1E ((‑ーとーlogf(X，入))2)
8;'ととに，正( x， A )=p(X=χ)とし，また，Eは期待値 varは分散を表わす記号とする。

a) 関数 1(u・ a， s)を，3. (1(u，a，s)と定義すれば，(α+1)
r~.
.
a.
，.
.
.
J. ，s¥u ! 戸+r" D~ J'Il(1‑，‑ .
t)r‑dto<
p<1， q= 1‑Pとして，n~(と )p υ qn-u = 1(p， x‑ 1，n‑ X )

u=U

主(~ )
pυqn‑u=1‑I (p，h n‑x‑1)
U=Dが成立するととを証明せよ。の表〈不完全ベータ一関数表)が与えられているとする。
他)上の関数 1(u， a， s)
いま，不良率 Pが未知左無限母集団から，大きさ nの標本(小標本)をとり出したときのその中の不良品の個数を Xとする。

‑105ー〔問〕
(b 1 ) 不良率 Pが， どのような数値以下であれば，不良品の個数Xが χ個以上出る確.
025以下Kむさまるか，率が 0

そのようず数1宣Pl(X )を，与えられた 1 (u，a， s)の表から求める方法を示せ。
( b2 ) 不良率 Pが，どのよう左数値以上であれば，不良品の個数Xが x個以下しか出.
025 以下になさまるか，そのよう左数値 P2(X )を，同じく 1(u，ない確率が 0.
a， s)の表から求める方法を示せ。
(c) 不良品の個数 Xの実現値が χ であるとき，不良率 Pの最尤推定量を用いて，点をとって作った Pの信頼区聞は，両側 0.
025(A(x)，P2(χ))と在るととを証明せよ。

午後の部
4. (a) 大きさ Nの有限母集団 {a1， a 2 ， ……， a~ }から，大きさ n の標本 Xl，.
X2'.

Xnをとり出す。
支Xl+…
・・・ +Xnnと金いたとき，次の事項を荏明せよ。
Ca1')' Xは母集団平均U。
l+…… +aNNの不偏推定量である。

(a2) Xの分散は，次の式で与えられる。
N ‑n (12var.
1
弘、=一一一一一一
N‑'1 nとと~，σa2は母集団分散会主(ai μ iーとする。
(b)大きさ Nの有限母集団 πを， L個の層(たがい K共通部分の左い部分集団 )πl' 7r2'…
，πL~_分割する dπ( z~ =:=.1;，……，L.)は，.
Ni個の元ail ，ai2'…
ー，. aiNiから左るとする。
0:.
.
.

106ー

〔間〕
層 πiから大きさ niの標本

ZJX

巧てん仰一lz
1す=X;
zni.
Ll.
.
t2L L玄パ

制一 Xを，町一NXiI‑，a)の結果を利用して証明せよ。と合くとき，次の事項が成り立つととを， 上の ((b 1 ) Xは母集団 πの平均 μの不偏推定量である。

(b 2 ) Xの分散は次の式で与えられる。

ーととこ~，

N.
.

9N，
.
‑n.σ?

乙(一二 y 一二一一ーニームi"
71 'N' Ni‑ 1varXσ; は，層 πiの分散N:

σ士~i可iJ=1(aii‑μi)2である。 ただし，

Niμ / .a"J
Nij=1 ZJ.，たがい K独立で，同じ分散 02 をもっとし，a) 確率変数 X
5. (.， Xz…
… ，Xnii:ai' b円︐ιn )を定数とするとき

nnnibicov(ト iXi，p i Xi)=σ2玄 aが成り立つことを証明せよ。とと~ covは共分散( Covariance)を表わす記号とする。

(b) ある量 Yが，パ ラ メ ー タ ‑x (確率変数ではまい)の 1次式

y =ß~ +s:e1 x+で表わされるとする o.ととに誤差項 εは，

χ の値 K関係左く，K したがうものとし， 毎回の観測について独立とする。
パ ラ メ ー タ ‑xの n個の値

，χ 2， ・・・・・・，XlχnKついて，各 1回ずつ観測した量 Yの値をそれぞれ‑107‑

つねに正規b布 N (0，σ2)

〔問〕
Y1，Y2，.

宵宮とする。

、ヘs'1 と推定される。
'ß~， 's1は，最小自乗法 Kよって， 次の ハとのとき， 回帰係数戸。，〈とれは証明し左くてもよい。)'ifo=壬一合 inへ's'1

人玄"(xi‑x)(Yiーす〉
P~(χi ー玄 )2

一n i=1

1n2yi，

一χ

す=土nz
‑
M

，と乙 tc乙のとき，上の (a)の関係を利用して，次の等式を証明せよ。

ペeov(ヘPo，P1)=‑(12i

玄 (χ i̲.X/‑108.，‑

(解答)昭 和 48年 度
午前の部

1. Xをこの群団からの災害発生件数とする。

Xは 2項分布 B(n， q )にしたがう。
:.EX= nq， varX= npq
ζ のことから Yー

X‑nq‑J百戸手一(P=1‑qとないた。)

はmean0， variance であるのでN (0， 1)で近似できる。との群団からの利益はnp‑ Xであるから，

α=p (np‑ X<0)=(ー〉

J.

ζ とで， X=nq+ npq Y を考えて，ヨ(ー) = p (np‑nq‑Jn qY<O)n(p‑q )

p (Y> ~ー?ー
ザ npq!
fi(=p (Y>pータ) )正規分布表から， α=P(Y>Xa)を満足する h を探せば，~ pnq (p̲q )=χα厚

p=q+χa‑tA (tA χ)

2. (a) P (X =X ) = e •.. ~勾 p (X=x )= ‑ t入+X(勾入+匂 t )一句 x !

去句 P(X=x)=‑Hf
これを Oとないて子

A=‑109ーnが大きいとき正規分布

︑AU7

一一一一一一一一X7
X7E

EAAAA

ω

t八Xt)
.
.
(c) var').
.
'=羽 t = ‑j2varX =一一t2).

勾よf(x， ).
.
)=p (X= x )= i).
.
{耐の結果から，ムf(x; ).
.
)= ‑t+~
8.
J入合〆 ( X，)..))2= E (‑ t弓)2E(=七E(X‑lt)2=(→ )EX=)..tだから(ー)=七 varX 与=÷
3. (a)部分積分 Kよって，一1( … ， れ 一1つ(α+戸+1)! 1 t
計 /~ ，sα!
(1‑ t)

州 国A，sττf;;tar (1‑t)
P‑1dt

U計 1l /A
(α + s + l ) s r
"a!
s!

a.
.

一 (α+戸+1 )! a+1 (/1~ ‑U4.，s)ド〈 α +1 )!戸!
4.

E(α+戸+1) 人(U Ut"'(α+1)fCP=‑i)!
J(，，1‑ t )t‑'.
dt

α+戸+1)U
4.a+1/ ~ ‑̲ U)
s=(ドfA.
' .( 1r‑+ 1(U，α+1，s‑1)α+1u

U=p， な +1=υ ， α+s+1=nとなくと，nυ n1(P， uー 1， nー υ )=(::)p~ q'"‑u~ +1(p， υ n‑ uー 1)
Uととで

aυ=1(P， u‑ 1， n ‑υ)と金くと，(;)ん日 =‑aU+1+aU=ーム a‑110ー三(7 ptJgn‑u=(‑aぷ=ax‑an〉

イ汁

an=I(p，n‑1，0)=(J!!0!

1dtnp
一一n.
:2:(%)pγω = aχ=1(p，χ‑1，n‑χ )υ=x

次I'L，χn2:(~ )pUq1

2:ゴ( )pUqn‑υ

=1‑
u=x+1

印

V=O=1‑1(P. x，n‑x‑1)(b)nP(Xミ乙三 川χIp)=~玄~ (~ )pUq1
か←1
一(b 1 )

υ=χ.
05=1 (p，x‑1，n‑x)豆 0乙の不等式をみたす最大の Pを表から求めればよい。
様I'L，(b 2 ) 同1‑ I(λχ.nー χ‑1)豆 0.05

す左わち 1(p，x，n‑χ‑1)ミ 0.
95
これをみたす最小の p(c)P(X=χIp)=(~ )pXqn‑xr
ザ P(x=xIp )=lIザ( ~ )+x勾 p +(nー χ )Ilザ( 1‑p)

匂￡ (x=xI =~一石7=λ723)
Pp)

Pの最尤推定量は子
その両側x2点 Kよ b信頼区間を作るの Kは，すのかわりI'LXを使っても同じことである。

Xの上側棄却域は.P (Xと χ Ip )三五0.
025}
AL(p)={x :Xの下側棄却域は
A2(P)={x :P (X;:;玉川 p)三五0.
025}

Xの実現値 xが与えられたとき，求める信頼区間は， その χ を棄却域にもっていくよう‑111‑

左 Pの集合を，全区間 (0， 1)から除いた区間，す左わち，(0， 1)から次の 2つの区間を除いたものである。

Bl(X)= {p :χε Tq (t)}
B2 ( X ) = {T :X e A2 (t)}ζ こで，Bl (X)={p: P ( Xと χIt)孟 0.
025}
I (x))= (0，PB2 (χ )={P:P(X三五 χIP)三 0.
025}= (T2(χ)，1J

午後の部︐列とすると，円ノ﹄a) (σ(1)，σ(2)，4. (σ(n)")を，(σ(1)，σ(2)，……，N}からランダム K とった 1つの j顕σ伊))は確率変数( n次元の)とみるととができる。

こうすると，︐N}から n個とった j顕列の集合とする。

rk

LV

σ一一aE

玄バ︐Lq4h‑nxp
ゐ=芝山
M内n(1‑nE(a1 )X一と解釈できる。

n{ 1一を=︑︐︐︐.
︐n E

Xi = ad.i)N乙とで， Eaσげ1/NPnの確率をもつから，P(σ (i)=u )=N‑1Pn‑1 + NPn(N‑1 )……(N ‑n+1N(N‑1 )…… (N‑n+1)
人 (*)=4EGH=μιυ
=1.
.(→)
=
去
三=1μ=μJ.
'1Zー~ 112N}から Uσ(n)の中からすで K きまってi)を除いた n‑1個をとる順列の数ト 1Pn‑1と在る。
いる σ(
各 1つの順列は，︐円︐ι凋︐︐︐)，σ位)，を除いた残りの N‑1個から， σ(1r.
1︑.
︐σ(i)=uであるよう左 σ‑ε.p( N， n )の数は，N

(a2 )

ai= ai‑μXi=Xi一μとお、く。
nn2 var玄 =E.(.
L支i)2n=E(~ 支~ +.L支i支i)t=1

晃i，jε{1，2. …，n }n=玄 E)考+LE(支i Z ) = (ー)
t=1t'
r.
.J

i，jε{1， 2，…，n}EXi =Eã~(i) = 芝 ã'~ P (σ (i)=u )υ=1=ド乃=σ2

i~j のときE (Xi Xj )= E (aσ(i)aa(i))=;
ロスsP((σ (i)， σ0・))二(r， s ))=(*)
r=sr，sε{1，2，…; N}j))=(r， s)(i~j ，(σ (i)， σ(ことで，︐nノ‑

a1EE︑︐fz︐︑︑︐︐︐

σ(2)，•︐(N，n )の数は，r~s) と左る j贋列 6εPN}から r，sを除いた N‑2個から， σσ(n)中すで K きまっている σ(i)，σび)を除いた nー 2個をとる

vc等しい。

j贋列の数N‑2Pn‑2人P((σ(i，)σω ))=(r，S))=Nっー P開NPn〓‑;‑NAn
N(N‑1)
どa必

四戸之NNa;)( * ) = ; E Z Z l 、 l > .T (l>.T ̲ 1 ¥ ( 2:Lã;-~-!
向 r N̲(N‑~_ ~ N (N ‑1).
¥r‑:1S‑:1r ハ1
r，'S e t1， 2，"'， N}

パ

̲

1.
E.
.̲

".
.
2

2 =一一一二一一ち "aN (N‑1 )万 γ N ‑ 1N+玄.
云27，̲2人(→)，=三 σ2' iJ・ε{1， 2，…， n}= n(J2 ー ( n2 ‑ n )一三二N‑1‑113‑

= nσ2̲n (n‑ 1)一三二N ‑1。
n‑ 1 、=nσ (一‑1一一}、1一一N'= ntT2 N‑n‑ N ‑1となく。 Xl， X
2，μ.J

叫

刊日ゼム・叶 rdL・叶円
η1 一
1一一一一一E︐九日(I竺N‑n σ2varA 一一一ーーーー
N‑1 n

XLはあきらかにたがいに独立。

そうすると，支=斗 Xi
Ni Jli支=苛 EXi= L寸土=μ(b 1 ) E…‑(b 2 ) v
ar支=玄(す )2v
arXi(司の結果からd︐一円

Ni‑niv
arA;一一一一ーー~Z ‑Ni一 1a) Xi=Xi ‑EXiとかくと，
5. (!

cov (LaiX
i' L biXi)=E ( aiXi Lbi支 )毛)=(→)=LaibiE(支iz，)
i~j 左ら，Xi' Xiはたがいに独立だから，E (XiXj)=EXi.EXj = 0(ー )=JEaibiE高 =Laibivar支 =Laibiσ2‑114‑

A，
A，(b) ß~ ，'ß~ を Yl ，

S2Ynの一次結合の形K書き在合す。

玄(xi‑X )2 となくと，一χ一2二S=i

χ一nz
一一A三= χi;2χ (Yi‑Y )nS~i=1

Y. ̲YnY=;E1‑i=1

仇、Y;‑y2:二L一二S~Y一
合1' X
一伊玄VU

1‑n玄一一a χ (Xi‑ x )=玄{すS2 '}Yi

問(合。，合t)=ペミユ {~-χ(γ~}子=i{玄一戸 (χi(χ i‑ X )σS
21. ‑iES2}ーσ2χS2〈参考〕

xp=Jから，最小自乗法で、 dを求める Kは，ズxs=x'1

一般 K，を解けばよい(記号を含めて 47年解答集 P 49参照)。

J=(XFX)‑M
上のJのかわり K誤差;を考えて， J+;を入れると， 戸は

s=(X'x)‑1 X(V+~ )‑115‑ー玄 )2}とかけ， 確率変数とまる(;が確率変数だから)。

Eε=0だから
EJ=(YX)ー1rJ
.
.
…
(1)

.‑J‑EJ=(XX)‑1y;(戸 ‑Es)(同一 Es)は ( ん ‑Esi) (戸'j‑Esj)をi，j )の要素とする行列に左る。

:.E((.
β ‑Es) (s‑Es))は， cov(si' sj)を ( i，j )の要素とする行列になる。
(1)から》 戸))=E ((X'X f1X'~ r
X (X'xー)1)=(XX)ー1XE (.~ ~ )X (X'xー) 1= (→)
E ((J‑E;)( ‑ E︑2Eεεnがたがい K独立で N(0， σ2 ) ~したがえば，‑Aす帽aσqa‑‑

一一向ーしW

一一︑︐︐︐

VR己hrr‑JIE¥111けoσε1，J(1は単位行列)
2 I)X(玄X ):.(ー)= (XXf1ど) (aー1

= σ 2(X'x)‑1X X(X'x)‑1= σ 2(X'Xf1

台り一一か¥)/

tf¥1111/χχqa︒
︒
一1 χ.
fio‑‑
¥n︐︐

¥IIll‑‑/‑Eだり

fIlli‑‑¥fk

一概fflit‑¥n

一一xrととに，

1 :・:・ 1 n d o

一‑nζ の問題では，

h‑‑‑‑‑‑vwy+‑
1と左る。
sl' s2' ……， snの covarianceから在る matrixは， σ2 ( X'X)

x

ナ左わち，

す=お i' 82=長(Xi一 言 )2χ(上の 2行 2列の要素 Kついて説明を加えると，
とれは = 2xi'=玄((χi‑‑:X )+王 )2=x2+222(Xi‑ X)2十 n"X"
X(Xi‑X)n 82+n X2= n (82+X2 ) )2だから，=8x S斗 X2‑116ー

(XX)‑1=す一↓一♂

S2

元子 σ2cov(sO' sl)=
ついでにいうと，nS2+χ2 。
v
arp o = nS 2 Fvarslヅu‑117ー