J. Plasma Fusion Res. Vol.87, No.7 (2011) 476‐480

講座 電磁波を用いたプラズマ診断の基礎と最前線

４．ITER 実験での課題と新たな取り組み
４．
３ 電磁波測定における相対論的効果の導入
北 條 仁 士，間 瀬淳１）

九州大学産学連携センター１）（原稿受付：２０１
１年５月３０日）

プラズマ中電磁波伝搬の理論およびプラズマの電磁波計測を議論する際，計測の対象とする電子の温度の効果は無視されることが多い．電子温度が上昇し，速度分布が 10−100 keV に分布してくると，相対論的効果を無視することができなくなる．本講座２章で紹介した透過干渉測定，反射測定，および電子サイクロトロン放射測定への相対論的効果を導入した場合の影響について記述する．
Keywords:
plasma diagnostics, electromagnetic waves, relativistic effect, interferometry, reflectometry, ECE

４．
３．
１ はじめに$#%"##" % ##!!
! &% !
'%$)

第２章では，プラズマ中電磁波伝搬の基礎方程式から，プラズマのパラメータ（密度，磁場）および電磁波の周波数の関数で表される誘電率（屈折率）の表式を導出し，計"!
#ただし，#&（%'は電子プラズマ振動数，$は%#(%!
'%"
%!( ）

測に利用する手法を記述した．その際，電磁波との相互作

光速，"!は真空中の誘電率，'%は電子の静止質量，!!

用の対象となるプラズマの電子温度を無視する低温プラズは外部磁場である．
（１）式は，外部磁場に垂直に伝搬すマ近似を適用した．電子温度 10 keV 以下の場合，低温プラる，正常波，異常波いずれの場合も記述することができる．

ズマ理論による誘電率の表式は良い近似で成り立つ．近年（!,は ,方向の単位ベクトル）のとき，#,成分を!!%"!!,の大型実験装置や ITER プラズマでは，電子温度が 10 keV

もつ正常波は次の分散関係をもつ．

以上となるため，温度の効果（相対論的効果）を含める必## ###%#&%"$& .

要がある［１‐４］．本節では，特に ITER マイクロ波計測でも（２）重要な役割を果たすと期待されている，透過干渉計測，反#および &は電磁波の振動数と波数である．他方，#*およ

射計測を中心に相対論的効果について記述する．

び #+成分を有する異常波の分散関係は次式で表される．

本節における式の導出および実験シミュレーションに####&##!#&&$%%! " %"! # $ # ## ，## # !#&%!#$%

は，主として有限差分時間領域（Finite Difference Time
Domain: FDTD）法コードによる計算を利用した．装置が（３）大型化するにつれ，計測システムの設計・製作を効率よく

ただし，#$%は電子サイクロトロン振動数である．

進めていくために，計算機を用いた装置のシミュレーショ

高温プラズマにおける電磁波伝搬の場合，上式における電ンを行っていくことが極めて有効な手段と考えられる［５］．

子の質量に相対論的効果を導入することが必要となる．以下，透過干渉測定および反射測定に対してこの影響を議論

４．
３．
２ 基礎方程式と分散関係する．

計算のための基礎方程式は，第２章でも記述したように，電場 "および磁場 !に対するマクスウェル方程式と誘４．
３．
３ 透過干渉測定における相対論的効果［６］導電流密度 #に対する式で構成される．

相対論的効果を導入した正常波（O-mode）の分散関係
は，マクスウェル分布をしたプラズマでは，（２）式より，$!%!&#"
$)
$"%$#
"
&#!! # ，"
$)
!

#

## "!

#%
&$"! "! &#%#"$! ##（１）（４）となる．!は電子の質量への相対論的効果による補正係数であり，次式で与えられる

4.3 Introduction of Relativistic Effect to Electromagnetic-Wave Diagnostics
HOJO Hitoshi and MASE Atsushi

４７６

corresponding author’s e-mail: mase@astec.kyushu-u.ac.jp!2011 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note!#

4.3 Introduction of Relativistic Effect to Electromagnetic-Wave Diagnostics

'$

#$()
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)!*'
* ' *,!
'$"，

H. Hojo and A. Mase

（５）

"#"
$，,#,
ただし， *#*+($"
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*+()，
(%+ ，'#(#",$)"#'*+./+．%+は電子温度，./+は電子の熱速度，#$(*)
は変形ベッセル関数である．
相対論的効果がそれほど強くない場合について補正係数!の値を評価してみよう．
,$,&!*$##"* $)!*'&)!*)

（６）

(図１

異なる電子温度に対する位相の径方向分布．と近似することができるので，!#&'を計算する．（１０）式を（１１）式に代入すると，次式が得られ*)#$(%る．

,&")!*''$)*$' *,("#$(*)%'*$)!*'$,$,&!**,,&) $ ##"* $++(#!# $&)
# +%
!
'（７）

（１２）

("

再構成された電子密度は，元の分布（９）式と比較して係)!* ) ##"#'$
%
*
*
(')$
&#"&'"$*$%)'$ !* $*) # $##! $**((数 !の値だけ低く表示されることになる．これは，再構成に使用するアーベル変換の式（（１１）式）に相対論的効果が含まれていないために生じるものである．アーベル変換のとなる．

式を#"$Mazucatto の論文では，!#(が導かれている"*)#"'+)'' *& */+()-#!! (，)$ - */(/$!-$［４］．近似式は，%+〜60 keV まで，元の !の値とよく一致していることが示されている［６］．
干渉計では，２章（２５）式で記述した透過波と参照波の間/#-（１３）のように修正することにより，正しい密度分布を導出するの位相差を測定する．++$+)の時，位相差 &(/)は次式のことが可能となる．

ようになる．

４．
３．
４ 反射測定における相対論的効果&++()) -*) ' ++(，&()/& ) '*0% $ '!
(+) &(+) / ! (-$!/$$

反射計測定では，相対論的効果による電子の質量の変化#-#/，によるカットオフ層の変位が直接影響することになる．電#"$とおくと，相対論的効果を考子の質量 *+を *+("*)#"'（８）

慮した場合と考慮しない場合のカットオフ密度の変化は，
ここで，+)#+$*+%)$は入射波の周波数に対応するカッ""$+ +)!.+,!+)"*!#& '* （O-mode）#& (#"'+)+)$（１４）"*!#-#"'（X-mode）+#!+)+"

トオフ密度，'はプラズマの半径である．
説明を簡単にするため，密度分布として軸対称なパラボリック分布を仮定すると，$+(#!# $&)#++%'（９）となる．これより，異常波モード（X-mode）の場合その影響が顕著になることがわかる．
図２および図３に，FDTD コードを用いてプラズマ中ので表わされ，位相差（８）式は次のようになる．
$

電磁波伝搬（電界成分およびポインティングベクトルの成%"$)' ++/&&(/)++%#!# $& .
#( !+)'%（１０）分）を計算した結果を示す．伝搬モードは異常波，計算の条件は，周波数 70 GHz，外部磁場 !"#""!0，""#2 T，電図１の縦軸は，（１０）式で与えられる位相の径方向分布に子温度は一様などである．また，密度分布は次式とした．

おいて，電子温度を０とおき，/#"での値で規格化したも$+()/#+"+0-*/"!
/#/!#("，$+)!(+ので，電子温度が 20 keV になると，電子温度を無視した場

ただし，+"#4×1013 cm−3，$+ #75 mm である．カットオフ合（低温近似）と比較して約１０％の差が生じることになる．の位置は，%+#0.1 keV に対して /)#98.2 mm，%+#20 keV

軸対称性の仮定より，アーベル変換を用いた再構成+)'' *& */+()-#!(，)$ - */(/$!-$（１５）に対して /)#112.5 mmが導出され，図２から評価される値/#-，とよく一致していることがわかる．

（１１）

実際に反射計による密度分布再構成への影響を，パルス
４７７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.87, No.7 July 2011$)!$20 keV および100 keV，外部磁場 !!$"!!-，"!$1 Tである．また，入射波は，パルス幅 16.7 ps のガウシアンパルスとする．
パルス反射計（レーダ）では群遅延 ()&が得られ，密度%分布は，次式で表わされるアーベル変換公式から導出される．
)&()&%.
,%).)&
$' ()
##!
&().
)!)
.)

（１７）

７）式
図３に，$)$20 keV および 100 keV に対して，（１を用いて再構成した密度分布を示す．)%,&はモデルとして与えた密度分布，)#%,&が相対論的効果を導入した場合の密度分布である．
)#%
,&$)%
,&.
$)%
,&
$""
()&#)

（１８）

電子温度が 100 keV になると相対論的効果による密度分布のずれが顕著になっていることがわかる．
図２

異 な る 電 子 温 度 に 対 す る 電 磁 界 の 振 る 舞 い：（上）電界
Ez (x, z, t) (z=0)，（下）
ポインティングベクトル成分，0.1 keV
（点線）
［）７］
．
Sx(x, z, t) (z=0)(Te = 20 keV（実線）干渉計の場合と同様，アーベル変換について考察する．
群遅延は群速度 +*を用いて計算することができる．群速度は正常波モードの分散関係（４）式より#)+*$ () $!
' "! "! .)"!
)('+（１９）となる．したがって，群遅延は
,,& %
(, #%
!!%
()
,!""%"$" %+$#'%&&&"!%
!, +
*
*（２０）

!となる．
相対論的効果を考慮しないアーベル変換の式は，& ),*$ '&!

()&%()##().)!),!%& %#%& $",!""%"$(" -+$ '# !
&& ! $#!-#&"!%(##% $ ($ !- （２１）$,!!%" '# (& ! "!.)#$#!""%'&###$,!"# (& ! "'#$#!""'-/)%,&#，!!
$,!"%!"% "("!$ $,)!
*
図３#).)#,&#)!
$#$!%).!&$!)%

異なる電子温度に対する密度分布再構成［７］．となるため，この式を用いて再構成された密度分布は，反射計に対する計算機シミュレーションで調べてみる．プ#)*)%*"!! "&&$ !%!
%ラズマの条件は，#,#",$,!"!!!
)%,&#)&!%($)!)0.'

#$)%
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た だ し，)!$2×10 cm
13（２２）となる．一方，相対論的効果を考慮したアーベル変換（１６）).)#!
+&,*$ '&!

，#) $200 mm，#& $300 mm，−3４７８()&%() .
###!
)( .) !)（２３）

Lecture Note

4.3 Introduction of Relativistic Effect to Electromagnetic-Wave Diagnostics

られることになる．

を適用することにより，当初モデルとして与えた

ECE 測定における相対論的効果の研究は，高温プラズマ#'&$'"!! "$%#&!##H. Hojo and A. Mase

（２４）の電子温度測定における最も大きな課題の一つとなっており，いくつかの報告がある［８，９］．ここでは，最近の話題にが得られる．

ついて記述する．

（２１）式およ
図４に "%#20 keV および 40 keV に対して，大型磁場閉じ込め装置における ECE 測定で大きな問題

び（２３）式のアーベル変換を用い再構成した密度分布を示となっているのは，Harmonic overlap と呼ばれる，装置のす．

外側，すなわち弱磁場側でみた場合の ECEの低次高調波と電子温度の違いが密度分布再構成に影響することを利用

高次高調波の重なりがある（第２章図６参照）．このとき，して，反射計測定を電子温度の評価に利用することが可能

ECE パワーの周波数スペクトルから電子温度分布を導出か考察する．密度分布&$'%が別の計測手段により求められすることができる領域が限定されることになる．放射の吸たとすると，反射計で得られた再構成分布 &"$'%から電子収領域の広がりも測定を困難にする［１０‐１２］．図６に ITER

温度は（１８）式を用いて，プラズマで想定される密度および温度に対する X-mode
ECE の吸収領域 Contour plot を示す．Contour plot の分布#% $# &"%$'%
# % #! "" !"$&$の色が白い領域では'(&"!!，すなわち"!"であり光学的（２５）厚さも大きく，放射が吸収されることになる．

とおくことができる．

高調波の重なりがなく，相対論的効果も無視できる場合

図５に反射計により得られた電子温度分布を示した．には，ECE 放射は，例えば，第２高調波周波数のところで（２５）式の&"には，図３で得られた分布を適用している．電のみ光学的厚さが大きく，その他の領域では光学的に薄い子温度が高くなると，モデル分布に近くなることが見られため，半径方向の全領域で受信し，電子温度分布を求める

る．

ことができたが，図６の特に高温・低密度（下図）のような場合には，ECE 第２高調波を弱磁場側から観測する場

４．
３．
５ サイクロトロン放射測定における相対論的効果の影響

合，!#4.5−5 m の領域からの放射は，第３高調波が受信パワーに寄与することになる．また，!#5−6 m の領域からの放射は強い吸収を受けることになる．

第２章 で 記 述 し た よ う に，電 子 サ イ ク ロ ト ロ ン 放 射（ECE）測定では，放射周波数でのプラズマの光学的厚さ４．
３．
４において，反射計測定から電子温度分布導出の可が１より大きいときには，放射パワーを測定することによ能性について議論したが，ECE 計測においても，相対論的り電子温度を決定することができる．また，放射周波数効果を用いて電子密度を評価する可能性についての報告も（ECE 周波数）は閉じ込め磁場の関数であるため，受信パある［１３］．ECE をトーラス内側（強磁場側）から観測した

ワーの周波数スペクトルから電子温度の半径方向分布が得

図４

アーベル変換により再構成された密度分布．実線：モデル分布，×印：（２１）式による再構成，○印：（２３）式による再構成結果．

図５４７９

電子温度 Te = 20 keV および 100 keV に対する電子温度の再構成結果：実線はモデル分布，○印は反射計により得られた再構成分布．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.87, No.7 July 2011

ら計測法は基本的なものであり，計測原理そのものは確立されたものであるが，ITER のような燃焼プラズマ装置に対しては，様々な新しい課題が生じることになる．ここで記述した相対論的効果の影響については，現在主要な課題の一つであり，二，三次元（Full Wave）コードを用いた電磁波伝搬解析が，実際の計測システムの設計・製作にも大きな役割を果たすと考えられている．

あとがき
本節は，北條仁士先生が発表された論文をもとに記述したものである．参考にした研究成果は，科学研究費特定領域研究（No.16082205，No.20026003）により行われた．

参考文献

図６

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ITER プ ラ ズ マ に お け る X-mode ECE 吸 収 領 域：（上）Te = 27 keV, line averaged density is 1.0×1020 m−3，（下）Te = 45 keV，line averaged density is 0.6×1020 m−3［１１，１２］．

場合，ECE 周波数が相対論的効果により低い周波数側に大きくシフトするが，この周波数のずれは電子温度にほぼ単調に比例し，電子密度に依存する．この依存性から電子密度を評価するものである．

４．
３．
６ まとめ
透過干渉法，反射法，および放射（ECE）法について，相対論的効果を導入した場合の影響について記述した．これ

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