MEC-23-015

2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題における位相安定化を考慮した周波数応答データ駆動マルチレートフィルタ設計
前 匡鴻∗ （東京大学）
Frequency Response Data-Driven Multirate Filter Designwith Phase Stabilization in Dual-Stage-Actuator HDD Benchmark Problem
Masahiro Mae∗ (The University of Tokyo)
Performance improvement of a Hard Disk Drive (HDD) enables a recent big-data society. The aim is data-driven auto-tuning of
the multirate ﬁlter for stability and disturbance rejection performance improvement in HDD. The single-rate controller is treatedas frequency response data extrapolated above Nyquist frequency. Multirate ﬁlter with phase stabilization is designed by convex
optimization using frequency response data. The performance is validated in Dual-Stage-Actuator HDD Benchmark Problem.

キーワード：位置制御，マルチレート制御，データ駆動設計，周波数応答データ，凸最適化，ハードディスクドライブ(position control, multirate control, data-driven design, frequency response data, convex optimization, hard diskdrive)

1.

序論

Disk

Spindle Motor
Position Data
User DataSector
Magnetic Head

近年のビッグデータ社会におけるデータ保存容量に対する需要の拡大に応じて，ハードディスクドライブ（Hard DiskDrive: HDD）の記憶容量を増大させるために，磁気ヘッドの制御性能の重要性が増している。構造上の問題から，HDD

PZT Actuator
PZTController

VCM

は位置測定用のトラックとデータ保存用のトラックが同じ
磁気ディスク上を共有しているため，一定回転数の HDD にVCM
Controller

おける磁気ヘッドの位置のサンプリング時間の短さと HDDe− r+の記憶容量の大きさの間にはトレードオフの関係が存在す
図 1 2 段アクチュエータのハードディスクドライブる。そのため，一般的に HDD はアクチュエーションのサンFig. 1.

プリング時間のほうがセンシングのサンプリング時間よりHard disk drive with a dual-stage actuator.

も短いマルチレート制御系として構成される。センシングのナイキスト周波数以上の機械特性はマルチレート系のシステム同定を行うことで取得可能である [1, 2]。
HDD のマルチレート制御系において，センシングのナイキスト周波数以上の機構共振による不安定化を防ぐために，ゲイン安定化を実現するノッチフィルタがマルチレートフィルタとして設計されている。マルチレートフィルタを設計する手法としては，線形周期時不変系の周波数応答行列を用いる方法 [3] や感度関数ゲインを用いる方法 [4]，H∞制御を用いる方法 [5]，周波数応答データを用いる方法 [1]など複数提案されているが，いずれの場合も位相安定化が考慮されておらず，また，磁気ヘッドの追従誤差が制御器設計の評価関数として直接用いられてはいない。本論文では，位相安定化を考慮し磁気ヘッドの追従誤差を評価関数とした周波数応答データ駆動マルチレートフィルタ設計を凸最適化により実現する。

2.

問題設定

図 1 に，本論文で扱う 2 段アクチュエータ HDD ベンチ
マーク問題における制御対象の概観を示す。この HDD は，ボイスコイルモータ（Voice Coil Motor: VCM）とピエゾアクチュエータ（PieZoelecTric actuator: PZT actuator）の 2 つのアクチュエータを用いて，ディスク上における磁気ヘッドの位置制御を行う制御系となっている。このベンチマーク問
題では，1 秒間の定常応答における連続時間の磁気ヘッドの位置 yc の標準偏差の 3 倍値の最悪ケースを最小化することを目的とする [6]。トラックピッチを T p = 52.7 nm，サンプリング時間を T s = 1/(7200/60)/420 ≈ 1.9841 × 10−6 s とする。また，機械的な可動域の制約から連続時間のピエゾアクチュエータの変位 ycp は ±50 nm より小さい必要がある。
2 段アクチュエータ HDD の制御系のブロック線図を図 2に示す。Pc は連続時間の制御対象，Cd はシングルレート制

MEC-23-015

Cp
Dm

Cdp

Pp
Um

Σm

Fp

Cv
r=0e

Dm+ −yp

SThdPv
Um

Cdv

ycp

Pcp

Hm

Σm

Fv

Hm

STh

Pcv++++

図 2 2 段アクチュエータのハードディスクドライブのブロック線図。各線は，シングルレート (レート ( )，連続時間 ( ) の信号をそれぞれ表す。
Fig. 2. Block diagram of a hard disk drive with a dual-stage actuator. Each line denotes single-rate (continuous-time ( ) signals, respectively.

40y)，マルチ), multirate (), and-160

0-40-80
102-200310104-2400-280-180-360
10210310410210310440
図40Fig. 4.

-40-80102103104

出力端外乱の周波数スペクトル

Frequency spectrum of output disturbances.

m ∈ N をマルチレート数として，マルチレート系のサンプリング時間 T h = T s /m とする。Dm を m サンプルごとの値を出力するダウンサンプラ，Um を m サンプルごとにシ0ングルレート系の値を出力しそれ以外の点を 0 で内挿する-180-360102

アップサンプラ，Σm = Σml=1 z1−l を平均化フィルタ，Hm を m倍のマルチレート系におけるマルチレート零次ホールド，

103

104

STh をサンプリング時間 T h のサンプラとする。

このベンチマーク問題において本論文で扱う出力端外乱 dFig. 3.

図 3 制御対象の周波数応答

は，HDD 本体に加わる回転加速度外乱 d f ，ストレージボッ

Frequency responses of controlled systems.

クス内で発生するファン起因外乱 d p ，位置信号に含まれる御器，F はマルチレートフィルタ，下付き添字の p と v はピエゾアクチュエータとボイスコイルモータをそれぞれ表す。連続時間の制御対象 Pc は 9 つの場合のモデル変動を持

誤差成分 dRRO の周波数応答から次のように求められる。
dkc (jωk f ) = Pcv,kc (jωk f )d f (jωk f ) + d p (jωk f ) − dRRO (jωk f )(1)

出力端外乱 d の周波数スペクトルを図 4 に示す。
以上の問題設定から，指令値 r = 0，出力 y，誤差 e = r − yち，モデル変動に対応したデータ番号 kc = 1, . . . , 9 を用いの関係性において，連続時間の磁気ヘッドの位置 yc の最悪て下付き添字で表す。ピエゾアクチュエータの周波数応答ケースを最小化する問題を等価な誤差 e の最悪ケースを最P p,kc (jωk f ) とボイスコイルモータの周波数応答 Pv,kc (jωk f ) を小化する問題として，出力端外乱 d の影響を抑圧するマル

図 3 にそれぞれ示す。ただし，n f を周波数応答のデータ点

チレートフィルタ F p と Fv を各アクチュエータにそれぞれ数とし，k f = 1, . . . , n f は周波数応答のデータ番号とする。

設計することを目的とする。

MEC-23-015

Fku (jωk f , ρku )F (s)ρ(1,1) s + ρ(1,0)
2
s2 + 2ζr,1 ωr,1 s + ωr,1=r(jωk f )2 + 2ζr,kr ωr,kr (jωk f ) + ω2r,kr

kr =1..
.
ρ(nr ,1) s + ρ(nr ,0)2
s2 + 2ζr,nr ωr,nr s + ωr,nrnrY(jωk f )2 + αkr 2ζr,kr ωr,kr (jωk f ) + ω2r,k++++

図5共振フィルタのブロック線図

Fig. 5.

Block diagram of resonant ﬁlters.

Im=1+nrX(0 ≤ αkr ≤ 1)

ρku ,(kr ,1) (jωk f ) + ρku ,(kr ,0)(jωk f )2 + 2ζr,kr ωr,kr (jωk f ) + ω2r,kr
kr =11T 
 1  1  ρk ,(1,0)   (jωk f )2 +2ζr,1 ωr,1 (jωk f )+ω2r,1 u(jωk f )  ρ  ku ,(1,1)   (jωk f )2 +2ζr,1 ωr,1 (jωk f )+ω2r,1 
 = ρTku ϕ(jωk f )=  .  ..

 .  .

 .   
ρku ,(nr ,0)   (jω )2 +2ζ ω1 (jω )+ω2 r,nr r,nrkfr,nr   k f(jωk f )ρku ,(nr ,1) 
2(2)(jωk f )2 +2ζr,nr ωr,nr (jωk f )+ωr,nr

ただし，各アクチュエータに対応する下付き添字を ku ∈ {p, v}，共振フィルタを設計する周波数の個数を nr ∈ N，共振フィルタを設計する周波数のデータ番号を kr = 1, ..., nr ，各アクチュエータの調整パラメータを ρku ∈ R2nr +1 ，共振角周波数

ws−1

G(jωr ) G(jωr )F (jωr )0Reを ωr,kr ∈ R>0 ，ダンピング係数を ζr,kr ∈ R>0 とする。本論文において，最適化に用いられる共振フィルタの共振角周波数 ωr,kr とダンピング係数 ζr,kr は初期値のマルチレートフィルタと同じ値を用いるものとし，分子多項式の係数である

図 6 ナイキスト線図における共振フィルタを用いた場合のベクトル軌跡の円条件と位相安定化
Fig. 6. Vector locus using a resonant ﬁlter with modulus marginand phase stabilization in Nyquist diagram.

3.

マルチレートフィルタの最適化設計

調整パラメータ ρku を最適化することを目的とする。設計する共振フィルタのブロック線図を図 5 に示す。
〈3・2〉 最適化問題の定式化

本論文では，ロバスト性能，ハードウェア制約，ロバスト安定性を周波数応答データから考慮する。ロバスト性能として，誤差の周波数スペクトルの最大値を最小化するように共振フィルタを最適化

2 段アクチュエータ HDD におけるマルチレートフィルタする。ハードウェア制約として，y p の周波数スペクトルのの最適化手法を示す。初期値のマルチレートフィルタであ最大値を制約条件として，PZT アクチュエータのストローる多段のノッチフィルタは共振フィルタの和として構造化ク制約を考慮する。ロバスト安定性として，特異点 (−1, j0)される。共振フィルタの設計問題は，周波数応答データをに対するベクトル軌跡のナイキスト安定性をゲインと位相直接用いた最適化問題としてロバスト性能，ハードウェアの両面から評価して制約条件として与える。これらの条件制約，ロバスト安定性を考慮して定式化される。最適化問から，最適化問題は次のように定式化される。

題は逐次線形化による反復凸最適化により計算される。
〈3・1〉 共振フィルタによるノッチフィルタの構造化
2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題において，初期値のマルチレートフィルタとしてナイキスト周波数以上の機構共振をゲイン安定化するために，多段のノッチフィルタが設計されている。ノッチフィルタはゲイン安定化を

max |ekc (jωk f )|(3a)|y p,kc (jωk f )| ≤ y p,max(3b)minimizeρsubject to∀ k ,∀ kcf∀ k ,∀ kcf

w s (jωk f )|S kc (jωk f , ρ)| ≤ 1 ππ− ≤ ∠ 1 + Lkc (jωk f , ρ) − ∠ 1 + L0,kc (jωk f ) ≤22(3c)(3d)行うため，位相安定化を行う場合に比べて保守的に設計さ

ただし，w s を感度関数の重み関数とし，Lkc ，S kc を次のよれ，低ゲイン化や位相遅れによって必要以上に制御性能をうに定義する。

悪化させてしまう場合がある。本論文では，多段のノッチ

Lkc (jωk f , ρ) = L p,kc (jωk f , ρ p ) + Lv,kc (jωk f , ρv )(4a)

ことにより，マルチレートフィルタのゲインと位相を再調

L p,kc (jωk f , ρ p ) = P p,kc (jωk f )F p (jωk f , ρ p )C p (jωk f )(4b)

整して，さらなる制御性能の向上を図る。

Lv,kc (jωk f , ρv ) = Pv,kc (jωk f )Fv (jωk f , ρv )Cv (jωk f )(4c)

11 + Lkc (jωk f , ρ)(4d)フィルタを共振フィルタの和として構造化し最適化を行う

各アクチュエータにおける多段のノッチフィルタは共振フィルタの和として次のように構造化される。

S kc (jωk f , ρ) =

MEC-23-015

また，ρ0 を調整パラメータの初期値，L0,kc を初期値 ρ0 にからマルチレート系のナイキスト周波数の 1/2T h = 50.4 kHz

おける開ループ周波数応答 Lkc とする。本論文で扱う周波まで線形に 1 Hz 刻みで取得し，データ点数を n f = 50301

数応答データ駆動の制御器最適化は，マルチレート系のサとする。シングルレート制御器のマルチレート系におけるンプリング時間 T h における周波数応答データを用いてお周波数応答 C = Σm Um Cd Dm を図 7 に示す。ここで，シンり，制御対象 P と出力端外乱 d の周波数応答データはマル

グルレート制御器はシングルレート系のナイキスト周波数チレート系のナイキスト周波数 1/T h まで必要となることに1/2T s までしか線形時不変系として扱うことはできないた

注意されたい。ここで，シングルレート制御器 Cd のナイめ，1/2T s 以上の周波数の周波数応答データはその周期性か

キスト周波数 1/2T s はマルチレート系のナイキスト周波数ら解析的に求められていることに注意されたい。初期値の) に示

1/2T h の 1/m であり，シングルレート系のナイキスト周波マルチレートフィルタの周波数応答を図 8 の赤線 (数 1/2T s までしか線形時不変系として扱うことはできない。

す。初期値のマルチレートフィルタは，基本的にシングルしかし，図 2 のダウンサンプラ Dm ，アップサンプラ Um ，レートのナイキスト周波数以上の機構共振をゲイン安定化

平均化フィルタ Σm と合わせたシングルレート制御器 Cd のするために多段のノッチフィルタにより構成されているこ

周波数応答 C = Σm Um Cd Dm は，ナイキスト周波数以上の周とが確認できる。本論文では，共振角周波数 ωr,kr とダンピ波数応答の周期性から解析的に求めることができる。本論

ング係数 ζr,kr は初期値のマルチレートフィルタと同じ値を文では，シングルレート制御器のマルチレート系における用いるものとし，分子多項式の係数である調整パラメータ

周波数応答データ C を用いて制御器最適化を行う。

ρku を最適化する。ロバスト安定条件において，感度関数の〈3・3〉 逐次線形化による凸最適化

式 (3a) において，タを用いた場合の誤差 e の周波数スペクトル，y p の周波数評価関数は次のように表すことができる。
1
minimize max |ekc (jωk f )| ⇔ maximize min∀ k ,∀ k |e (jω )|∀ k ,∀ kρρckckfcff
1⇔minimize −  min
1 + Lkc (jωk f , ρ) (5)∀ k ,∀ kρcf dkc (jωk f )ただし，誤差の周波数応答データは次のように求められる。
ekc (jωk f ) = S kc (jωk f , ρ)dkc (jωk f )(6)

式 (3b) において，PZT アクチュエータの出力の周波数ス
ペクトルは次のように評価される。
L p,kc (jωk f , ρ p )dkc (jωk f )|y p,kc (jωk f )| =1 + Lkc (jωk f , ρ)

最大値を 1/w s = 6 dB とする。初期値のマルチレートフィル
スペクトル，感度関数 S ，ナイキスト線図を図 9(a)，図 9(b)，図 9(c)，図 9(d) にそれぞれ示す。
〈4・2〉 最 適 化 結 果

最 適 化 計 算 は YALMIP [7] とMOSEK [8] を用いて行い，反復最適化は 1 つ前の結果と比較して評価関数の改善が 0.1 % 未満になるまで行う。最適化後のマルチレートフィルタの周波数応答を図 8 の青線() に示す。最適化後のマルチレートフィルタを用いた場

合の誤差 e の周波数スペクトル，y p の周波数スペクトル，(7)

感度関数 S ，ナイキスト線図を図 10(a)，図 10(b)，図 10(c)，図 10(d) にそれぞれ示す。最適化の結果より，共振フィルタ

また，既存のフィードバック制御器における最大値は次のが 9 つのモデル変動に対して，ロバスト性能，ハードウェアように表される。

制約，ロバスト安定性を満たすように設計されていること
L0,p,kc (jωk f )dkc (jωk f )(8)が分かる。y p の周波数スペクトルと感度関数 S において最式 (3d) において，ベクトル軌跡の位相は，ベクトル軌跡のが，これらは数値誤差によるものであると考えられる。取実部と虚部から atan2 関数により評価される。以上より，最り扱う周波数範囲が広くなると最適化計算における条件数

適化問題は逐次線形化により反復凸最適化問題として式 (9)が悪化するためであると考えられる。正規化周波数を用いのように定式化することができる。

たスケーリングや，最適化計算における条件数を考慮した

y p,max = max∀ k ,∀ kcf

4.

1 + L0,kc (jωk f )HDD ベンチマーク問題における性能検証

適化結果が制約条件を満たしていない周波数が確認される最適化問題の定式化は今後の研究課題とする。
〈4・3〉 時間領域シミュレーションによる性能評価

22 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題において，マ段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題において，9 つのルチレートフィルタの最適化による外乱抑圧性能の向上をモデル変動に対する初期値と最適化後のマルチレートフィ検証する。マルチレートフィルタはロバスト性能，ハードルタを用いた場合の時間領域シミュレーションでのトラッウェア制約，ロバスト安定性を考慮して反復凸最適化によ

ク追従性能の比較を図 11(a) に示す。図 11(a) より，9 つの全り設計され，初期値のマルチレートフィルタを用いた場合ての場合において最適化後のマルチレートフィルタを用いとトラック追従性能が比較される。
〈4・1〉 最適化条件

周波数応答データ点は，100 Hzた場合に追従誤差が小さくなることが確認できる。PZT ア
クチュエータの最大ストロークを図 11(b) に示す。図 11(b)より，最適化後のマルチレートフィルタを用いた場合において，初期値よりも PZT アクチュエータのストロークが少MEC-23-015

minimizeρki−γ(9a)

!∗


1

 dkc (jωk ) (1 + Lkc (jωk f , ρki −1 )) f1subject to γ − Re (1 + Lkc (jωk f , ρki )) ≤ 0



d(jω)
∀ k ,∀ kkk1cf
cf
 dk (jωk ) (1 + Lkc (jωk f , ρki −1 ))
cf




∗
∗
 1 + Lk (jωk , ρk −1 ) 


|dkc (jωk f )|  L p,kc (jωk f , ρ p,ki −1 ) cifL p,kc (jωk f , ρ p,ki )  − Re 1 + Lkc (jωk f , ρki )  ≤ 0Re  1 + L (jω , ρ ) L (jω , ρy p,maxp,kckfp,ki −1 )kckf
ki −1∗ 1 + Lk (jωk , ρk −1 ) 
cif
w s (jωk f ) − Re 1 + Lkc (jωk f , ρki )  ≤ 0
 1 + L (jω , ρ )

kc

kf

(9b)

(9c)

(9d)

ki −1









 Im(1 + L0,kc (jωk f , ρ))  π Im(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))  Re(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Im(1 + Lkc ,ki (jωk f , ρ)) − Im(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Re(1 + Lkc ,ki (jωk f , ρ)) 

 ± atan2 
 − ≤ 0+∓ atan2 2Re(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Re(1 + L0,kc (jωk f , ρ))2

1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ)when ± Re(1 + L0,kc (jωk f , ρ)) ≥ 0(9e)when ± Re(1 + L0,kc (jωk f , ρ)) ≥ 0(9f)







 Im(1 + L0,kc (jωk f , ρ))  π Im(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))  Re(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Im(1 + Lkc ,ki (jωk f , ρ)) − Im(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Re(1 + Lkc ,ki (jωk f , ρ)) 
 ∓ atan2  + − ≤ 0± atan2 2
Re(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Re(1 + L0,kc (jωk f , ρ))2
1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ)

20
00-40
-20102

103

104

102

180

18000-180102

103

104-180102

40

402000102103

104-40102180

18000-180102

103

104-180102103104103104103104103104

図 7 シングルレート制御器の周波数応答。ナイキスト周波数 ( ) 以上は線形時不変系ではないことに注意されたい。

図 8 マルチレートフィルタの周波数応答。各線は，初期値( ) と最適化後 ( ) をそれぞれ示す。

Fig. 7. Frequency responses of single-rate controllers. Note that it
is not a linear time invariant system above Nyquist frequency ( ).

Fig. 8. Frequency responses of multirate ﬁlters. Each line denotes
initial ( ) and optimized ( ) values, respectively.

し増加しているが，最適化後も PZT アクチュエータの最大結果より，最適化後のマルチレートフィルタを用いることストローク制約を満たしていることが確認できる。以上のによってトラック追従性能が改善されることが確認できる。

MEC-23-015

0.50.40.30.20.10102103104(a) Amplitude spectrum of e.

10.80.60.40.201021005-200-40-510310450403020100151051030104(b) Amplitude spectrum of y p .

20-60
10220123456789

123456789(a) 3σ(yc )(b) max|ycp |図 11 HDD ベンチマーク問題のシミュレーション結果。×，⃝ はそれぞれ初期値，最適化後をそれぞれ示す。
Fig. 11. Simulation results of HDD benchmark problem. ×, ⃝ denotes, with initial and with optimized values, respectively.

-10-10 -5周波数応答の周期性に注目することで，マルチレート系に0510おいてシングルレート制御器の周波数応答を扱い最適化を行った。最適化においては，9 つのモデル変動に対するロ(c) Sensitivity function.

バスト性能，ハードウェア制約，ロバスト安定性が考慮さ(d) Nyquist diagram.

図 9 初期値のマルチレートフィルタを用いた制御系
Fig. 9.

れている。2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題において，最適化されたマルチレートフィルタを用いることにControlled systems with initial multirate ﬁlters.

よる外乱抑圧性能の改善が確認された。シングルレート制

0.50.40.30.20.1
0102103104(a) Amplitude spectrum of e.

1005-200-40-5103104(c) Sensitivity function.

図 10御器とマルチレートフィルタの同時最適化，各入力での異なるマルチレート周期の活用，条件数や多数のデータ点に効率的な最適化手法については今後の研究課題とする。

文103-10-10 -50510(d) Nyquist diagram.

最適化後のマルチレートフィルタを用いた制御系

Fig. 10.

献104(b) Amplitude spectrum of y p .

20-601025.

10.80.60.40.20102

Controlled systems with optimized multirate ﬁlters.

結論

本論文では，2 段アクチュエータ HDD のトラック追従性能を改善するためのマルチレートフィルタの最適化手法を示した。多段のノッチフィルタは共振フィルタの和として構造化され，反復凸最適化計算により制御対象の周波数応答データから直接最適化された。ナイキスト周波数以上の（ 1 ） Bashash, S. and Shariat, S.: Performance enhancement of harddisk drives through data-driven control design and population
clustering, Precision Engineering, Vol. 56, No. vember 2018, pp.
267–279 (2019).
（ 2 ） van Haren, M., Mirkin, L., Blanken, L. and Oomen, T.: Beyond
Nyquist in Frequency Response Function Identiﬁcation: Appliedto Slow-Sampled Systems, IEEE Control Systems Letters, Vol. 7,
pp. 2131–2136 (2023).
（ 3 ） 原武生：周期時変システムの周波数応答行列に基く磁気ディスク装置のマルチレートノッチフィルタ設計, 第 47
回自動制御連合講演会, pp. 109–112 (2005).
（ 4 ） 熱海武憲：サンプル値位置決め制御系における外乱抑圧特性, 電気学会論文誌 D（産業応用部門誌）, Vol. 129, No. 12,
pp. 1178–1186 (2009).
（ 5 ） Nie, J., Conway, R. and Horowitz, R.: Optimal H∞ Control for
Linear Periodically Time-Varying Systems in Hard Disk Drives,
IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, Vol. 18, No. 1, pp.
212–220 (2013).
（ 6 ） Atsumi, T.: Magnetic-head positioning control system in HDDs
(2022).
（ 7 ） Lofberg, J.: YALMIP : a toolbox for modeling and optimization in MATLAB, in 2004 IEEE International Conference onRobotics and Automation (IEEE Cat. No.04CH37508), pp. 284–289, IEEE (2004).
（ 8 ） MOSEK, : MOSEK 10.1, https://www.mosek.com (2023).