共変解析力学のレビュー
S. Nakajima, EJTP 13, 95 (2016) (arXiv:1510.09048), arXiv:1602.04849, arXiv:1909.06779
http://physnakajima.html.xdomain.jp/CAM_rev.pdf (レビュー論文)

中嶋 慧
http://physnakajima.html.xdomain.jp/

1

自己紹介
興味: 原理的なこと
非平衡統計(M2～)(D論)

量子(連続)測定(D1)・非平衡でのエントロピー

測定,波束の収縮とは何か

S. Nakajima and Y. Tokura, J. Stat. Phys. 169, 902 (2017).

・Mensky制限経路積分のnon-Markovへ拡張

・量子(断熱)ポンプ
S. Nakajima, et al., PRB 92, 195420 (2015).

・博士論文
S. Nakajima, arXiv:1710.05646

共変解析力学(D2～)
時間と空間を平等に扱う解析力学。微分形式が基本変数。
S. Nakajima, EJTP 13, 95 (2016) (arXiv:1510.09048), arXiv:1602.04849, arXiv:1909.06779
http://physnakajima.html.xdomain.jp/CAM_rev.pdf
2目次(1)導入,背景(2)共変解析力学(3)文献, 歴史(4)重力場への適用(5)ポアソン括弧, 正準変換(6)ゲージ変換の生成子(7)ディラック場の共変解析力学

(1)導入, 背景

背景(1)
解析力学
ラグランジュ形式

量子力学
ハミルトン形式
量子力学はハミルトン形式と相性が良い

場の解析力学
ラグランジュ形式
ハミルトン形式

相対論はラグランジュ形式と相性が良い

相対論[問題1]時間を特別扱いし、相対論的共変性が自明でない5

背景(2):ゲージ固定
電磁場のラグランジアン密度

電磁場
スカラーポテンシャルの正準共役運動量:[問題2]正準運動量は独立ではない
ゲージ固定
ポアソン括弧の代わりにDirac括弧問題1,2は、重力の量子化(ハミルトン形式)の際に特に問題となる。
6

微分形式(1)1形式(ベクトルポテンシャル)
2形式(電磁場)微分形式は座標系に依らない
外微分

外積(反対称化積)

磁場についてのガウス則,ファラデー則7

微分形式(2)p形式(p=0,1,…,D)
完全反対称テンソル

Dualな(D-p)=r形式

ガウス則,アンペール・マクスウェル則

微分形式は座標系に依らないため、微分形式での定式化は相対論の精神(物理学の座標系からの解放)を最も完全な形で表している。

8

(2)共変解析力学

共変解析力学(一般論)
微分形式が基本変数(実体)。微分形式の微分形式による微分を使って、解析力学を再構成する。
Lagrangian D-form
Action
基本的な場の理論は、すべてこの形で書ける。

微分の定義

Euler-Lagrange equation

ここまでは遅くても1972年から知られている。

10

正準形式
ここからが新しいConjugate form
Hamilton D-form(D-p-1)=q-form
時間と空間が平等。座標系によらない。
問題1は解決。

恒等式

Euler-Lagrange equation

正準方程式

D=1で通常の質点の解析力学

112つのルジャンドル変換
共変解析力学

通常の解析力学

通常の解析力学のルジャンドル変換は、電磁場, ゲージ場, 重力場では上手く出来ない。
共変解析力学のルジャンドル変換は、電磁場, ゲージ場, 重力場でも上手くできる。

12

逆ルジャンドル変換
Lagrangian formのルジャンドル変換の逆ルジャンドル変換は、恒等式(正準方程式)

より、元に戻る13

電磁場(1)
Lagrangian form

導関数(微分形式)

オイラー・ラグランジュ方程式
は、

14電磁場 (2)共役微分形式

cf.

独立！
Hamilton D-form (not (D-1)-form)

問題2も解決!

ゲージ共変正準方程式

は、美しい！
[中村], [神長2012]
文献は第3部で。
15

De Donder-Weyl理論(1)[問題1]ハミルトン形式は、時間を特別扱いし、相対論的共変性が自明でない。

De Donder-Weyl理論
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Donder%E2%80%93Weyl_theory
De Donder(ド・ドンデ) (1930), H. Weyl (1934)

時間と空間を平等に扱う

16

De Donder-Weyl理論(2)De Donder-Weyl方程式

通常の正準方程式17

De Donder-Weyl理論の問題点
一般に独立ではない。

スカラー場以外では、一般には成立しない。
例：電磁場
D^2成分のうち独立なのはD(D-1)/2成分不成立
次にDe Donder-Weyl理論の修正版が共変解析力学と等価だと示す。

18

微分形式による導関数
D-formの微分は常に存在する：

一般のformの微分は存在するとは限らない(D=1なら存在する)。

19

De Donder-Weylとの関係(1)上の拘束の下での変分：

De Donder-Weyl方程式の修正版
反対称化[中嶋2016b]

20

De Donder-Weylとの関係(2)
De Donder-Weyl(修正)

共変解析力学

スカラー場
Dirac場
電磁場
非可換ゲージ場
重力場[1]で初めてDe Donder-Weyl theoryのポアソン括弧が導出された。
これは共変解析力学のものと近いが異なる。
ポアソン括弧の量子化への応用可能性は不明である。
しかし、Kanatchikovは、Dirac括弧に基づいたPrecanonical quantizationを提案[2].
[1] I. V. Kanatchikov, Rept. Math. Phys. 41, 49 (1998).
[2] I. V. Kanatchikov, J. Phys.: Conf. Ser. 442, 012041 (2013).

21量子化の困難
通常の正準量子化

共変解析力学のポアソン括弧 (電磁場)

位置と共役量の成分の数が異なる
Precanonical quantization(D-1)-form

22

(3)文献, 歴史文献(1)[中村]中村匡「微分形式で見た電磁気学～あるいは2+1次元人の電磁気学と時空平等解析力学について～」, 物性研究79, 2 (2002).
[神長2012]神長保仁, “Covariant Analytic Mechanics with Differential Forms and Its
Application to Gravity”, EJTP 9, 199 (2012).
[中嶋2016a]中嶋 慧, “Application of covariant analytic mechanics with differential forms
to gravity with Dirac field”, EJTP 13, 95 (2016). (arXiv:1510.09048)[中嶋2016b]中嶋 慧, “Reconsideration of De Donder-Weyl theory by covariant analyticmechanics”, arXiv:1602.04849[神長2018]神長保仁, “Poisson Bracket and Symplectic Structure of Covariant Canonical
Formalism of Fields” , EJTP 14, 55 (2018). (arXiv:1703.06718)[中嶋2019]中嶋 慧, “Generators of local gauge transformations in the covariant
canonical formalism of fields”, arXiv:1909.06779[中嶋rev]中嶋 慧「共変解析力学のレビュー」
http://physnakajima.html.xdomain.jp/CAM_rev.pdf

文献(2)[1985a]A. D'Adda, J. E. Nelson and T. Regge, “Covariant canonical formalism for thegroup manifold”, Annals of Physics 165, 384 (1985).
[1985b]A. Lerda, J. E. Nelson and T. Regge, “Covariant Canonical Formalism forSupergravity”, Phys. Lett. 161, 294 (1985).
[1985c]A. Lerda, J. E. Nelson and T. Regge, “The Group Manifold Hamiltonian forSupergravity”, Phys. Lett. 161, 297 (1985).
[1986]J. E. Nelson and T. Regge, “Covariant Canonical Formalism for Gravity”, Annals ofPhysics 166, 234 (1986).
[Castellani2019]L. Castellani and A. D'Adda, “Covariant hamiltonian for gravity coupledto p-forms”, arXiv:1906.11852.

歴史・1985年にA. D'Addaら[1985a]が正準形式を始めて考える。
1階形式の重力場を研究する。
ポアソン括弧の性質を公理として与える。
・2002年に中村[中村]が共変解析力学を再発見し、電磁場に適用。
・2012年に神長[神長2012]がディラック場がない場合の重力場(2階形式)に適用。
ただし、4次元のみ。
・[中嶋2016a]で、ディラック場ある場合の重力場(2階形式)が調べられる。
ただし、4次元のみ。[中嶋2019]で任意の次元に。
・[神長2018]で、ポアソン括弧とシンプレクティック理論が発見される。
・[Castellani2019]で、1階形式の重力場の局所ゲージ変換の生成子が研究される。
・[中嶋2019]で、物質場, ゲージ場, 2階形式の重力場に対する局所ゲージ変換の生成子が研究される。

(4)重力場への適用

重力場とDirac場への適用
従来の解析力学では、時空を(3+1)分解し、計量を位置変数と考える。
この結果、第1種拘束系となり、ゲージ固定(座標系の制限)が必要となる。
共変解析力学では(3+1)分解は不要。ゲージ固定も不要。
2階形式では非拘束系となる。1階形式では第2種拘束系となる。
ゲージ場,重力場(2階形式)という第1種拘束系は、非拘束系となり、ゲージ固定は不要となる。
第1種拘束系は、通常の解析力学が時間を特別視したことによって生じた困難。

Dirac場は、共変解析力学でも第2種拘束系。未定乗数法を使う必要がある。

第1種拘束系：未定乗数が決まらない拘束系。
第2種拘束系：未定乗数が決まる拘束系。
1階形式：4脚場(計量)と接続(ゲージ場)が独立変数。
2階形式：4脚場だけが独立変数。

28

多脚場
時空の各点に接空間(ミンコフスキー空間)を考える。
各点ごとに接空間のフレームを与えるのが多脚場θa(a=0,1,.., D-1)である。
計量テンソル

多脚場

Dirac場はローレンツ群に対するスピン1/2表現。
→ 一般座標変換に対してでなく、ローレンツ変換に対しての変換に意味がある。
Dirac場を記述するためには、時空の各点に接ミンコフスキー時空を考えて、その空間でのローレンツ変換の表現としてDirac場を扱う必要がある。
よって、4脚場が必要である(時空が平坦でも)。
29Dirac場

接続,ゲージ場(局所ローレンツ変換の)Torsion(捩率)重力場の方程式から決まる。
重力場ともDirac場とも独立とみなす。
30

重力場(2階形式)
スカラー場,ゲージ場は接続ω
を含まない。

κ: アインシュタイン定数
ゲージ不変でない 引かないと扱えない。
高次曲率項は扱えない。

31

オイラー・ラグランジュ方程式=0を要請.Torsionを決める式。
1階形式のωのオイラー・ラグランジュ方程式と一致。

32

N’の変形
第1式にを代入して、比べて、ところで、と書ける。

33

正準形式
共役形式

Nester-Witten form

ωをπで表せば良い
電磁場の場合と同様に、HG=LG (Θ=0のとき).
LGはdθの2次式
重力場は、非可換ゲージ場より、電磁場に似ている。

34

正準方程式後で示す
Sparling’s form

Dirac場がないなら0が示せる
アインシュタイン方程式35ωをπで表す36

πでの変分θの正準方程式

は、第1造方程式37θでの変分公式を使う。

内部積38

重力場の正準方程式
πの1次アインシュタイン方程式と等価πの2次という構造

中嶋[2019]
39

公式集

40

(5)ポアソン括弧, 正準変換

ポアソン括弧(1)微分形式fの、位置形式ψおよび共役形式πによる導関数が存在することを、f はメタ微分可能であると言う事にする。
でのメタ微分がfに作用した結果であると考える。

は、というメタ微分演算

メタ・ベクトル場

はメタ・微分可能なFに、と作用する。
[神長2018]42

ポアソン括弧(2)である。

メタ2形式を、で定義する。

43

ポアソン括弧(3)メタ・シンプレクティック形式：

内部積

メタ・ハミルトンベクトル場
ポアソン括弧：44

ポアソン括弧(4)F形式

メタ・ハミルトンベクトル場：

ポアソン括弧：f 形式

基本ポアソン括弧：

このポアソン括弧は、通常の場の解析力学のものよりも、質点系のものに近い。
質点系では、通常のポアソン括弧に帰着する。
45

ポアソン括弧の性質
運動方程式：

Hamiltion formであり、その積分ではない。
ポアソン括弧の引数は、同じ点での微分形式である。

[神長2018]46

微分形式と解析力学

これらの本で出て来る微分形式は、メタ微分形式だと解釈すべきである。

47

正準変換正準方程式を変えない変換を正準変換という。
正準変換は、メタ・シンプレクティック形式を変えない。

例1：位置形式と共役形式の入れ換え

例2：位置形式の点変換[中嶋rev]48

(6)ゲージ変換の生成子

局所ゲージ変換の生成子(1)
微小変換に対して、を満たす(D-1)形式Gが存在するとき、それを変換の生成子と呼ぶ。

上の微小変換に対して、Z^aで微分可能なFは、と変換される。

局所ゲージ変換の生成子(2)微小な局所ゲージ変換の生成子は、無限小パラメーター

ネーターカレント(D-1)形式

構造定数

物質場ではであり、ゲージ場, 重力場では、[中嶋2019]

局所ゲージ変換の生成子(3)物質場のLagrangian form

物質場

ゲージ場

ゲージ場のLagrangian form

局所ゲージ変換の生成子(4)[中嶋2019]

(7)ディラック場の共変解析力学

ディラック場の正準形式
オイラー・ラグランジュ方程式から、Dirac方程式を得る：

β=1で0

共役形式

位置変数と独立でない この3-formの4つの成分も独立ではない

Hamilton form

未定乗数1-form

Dirac場の微分を含まない
55

ディラック括弧[中嶋rev]でディラック場のディラック括弧が考察されたが不完全である。
[Castellani2019]で3次元の場合のみ、1階形式の重力場のディラック括弧が研究された。4次元では見付かっていない。