ディスク

スピンドルモータ

4.4 周波数応答データ駆動の共振フィルタ設計
4.4.1

位置情報

はじめにユーザ情報
セクタ

ビッグデータやクラウドコンピューティングの活用が進

磁気ヘッド

む現代において，それらのデータを蓄積するためにデータセ

PZTアクチュエータ

ンタで用いられているハードディスクドライブ（Hard DiskVCM

PZT

Drive: HDD）の重要性はこれまで以上に高まっている。HDD

制御器の内部で用いられる磁気ヘッドの制御性能の改善は，HDD

VCM
制御器に記録されるデータ容量の増大に直結しており，そのための制御器設計手法は大量のデータが蓄積される現代の情報化社会を支える上で欠かすことのできない技術であると言の振動，HDD の位置測定機構に起因するノイズなど，多くの外乱にさらされている。HDD の磁気ヘッドにおいてより高い位置決め制御性能を発揮するためには，複数の周波数の外乱を抑圧するためのフィードバック制御器を設計する必要があり，現代の日本の労働人口減少の背景からも，制御器が持つ複数の周波数の外乱に対応した多数のパラメータを自動調整する手法が望まれている。
HDD の外乱抑圧のための従来のモデルベースのフィードバック制御器として，適応制御 [1–4]，共振フィルタ [5]，繰り返し制御 [6, 7]，Youla–Kucera parameterization [8]，外乱オ
ブザーバ [9]，カップリング制御器 [10]，などを用いた手法が提案されている。それらのモデルベースの手法は基本的には制御対象のモデルが必要となるが，HDD のような大量生産される装置において制御対象のモデル変動は無視できない要素であり，多数のモデル変動に対して伝達関数モデルを作成するのは非常に時間と経験を要する。このようなモデルベースの手法の欠点を克服するために，H∞ ロバスト制御や H2 制御に基づくデータベースの手法 [11, 12] も提案されている。それらのデータベースの手法はゲイン安定化によりロバスト安定性を保証していることから，設計結果が保守的になってしまうという問題がある。また，最大ストロークといったハードウェア制約も実装の上では考慮して設計する必要がある。
このように，HDD の外乱抑圧のためのフィードバック制御器設計において複数の手法が提案されてきたが，位相安定化とストローク制約に関しては設計において考慮されていない。本節では，位相安定化とストローク制約を考慮した構造化された複数の共振フィルタを最適化を用いて設計する手法を紹介する。本手法の貢献は次の通りである。
（ 1 ） 2 入力 1 出力系に対する複数の共振フィルタを反復凸最適化により設計する。
（ 2 ） 複数の周波数応答データから HDD のモデル変動を直接扱う。
（ 3 ） 位相安定化とストローク制約を考慮した最適化計− r+

図 4.4.1 2 段アクチュエータのハードディスクドライブ。
Fig. 4.4.1.

える。HDD の磁気ヘッドの制御系は，ディスクの回転に起因する振動，ストレージボックス内で発生するファン起因

eHard disk drive with a dual-stage actuator.

算を行う。
4.4.2

問題設定

図 4.4.1 に，本節で扱う 2 段アクチュエータ HDD ベンチ
マーク問題における制御対象の概観を示す。この HDD は，ボイスコイルモータ（Voice Coil Motor: VCM）とピエゾアクチュエータ（PieZoelecTric actuator: PZT actuator）の 2 つのアクチュエータを用いて，ディスク上における磁気ヘッドの位置制御を行う制御系となっている。このベンチマーク問
題では，1 秒間の定常応答における連続時間の磁気ヘッドの位置 yc の標準偏差の 3 倍値の最悪ケースを最小化することを目的とする [13]。トラックピッチを T p = 52.7 nm，サンプリング時間を T s = 1/(7200/60)/420 ≈ 1.9841 × 10−6 s とする。また，機械的な可動域の制約から連続時間のピエゾアクチュエータの変位 ycp は ±50 nm より小さい必要がある。
2 段アクチュエータ HDD の制御系のブロック線図を

図 4.4.2 に示す。ここで，Pc は連続時間の制御対象，Cd は離散時間のシングルレートフィードバック制御器，Fm は離散時間のマルチレートフィルタ，下付き添字の p と v はピエゾアクチュエータとボイスコイルモータをそれぞれ表す。
連続時間の制御対象は 9 つの場合のモデル変動を持ち，モデル変動に対応したデータ番号 kc = 1, . . . , 9 を用いて下付き添字で表す。m ∈ N をマルチレート数として，Im を m 倍にアップサンプルするインターポレータ，Hm を m 倍のマル
チレート系におけるマルチレートホールド，S をサンプラとする。本節では，指令値 r = 0 の条件において連続時間の磁気ヘッドの位置 yc の最悪ケースを最小化するように，各アクチュエータにおける離散時間の既存の開ループ制御系G p ，Gv に対して，出力端外乱 d の影響を抑圧する離散時間のシングルレートフィルタ Frp と Frv を各アクチュエータにそれぞれ設計することを目的とする。
既存の開ループ系におけるピエゾアクチュエータの周波数
応答 G p,kc (jωk f ) とボイスコイルモータの周波数応答 Gv,kc (jωk f )を図 4.4.3 にそれぞれ示す。ただし，n f を周波数応答のデータ点数とし，k f = 1, . . . , n f は周波数応答のデータ番号とする。

Gp
Frp

Cdp

Fmp

ImPcp

Hmycp

SypdGv
r=0e+ −Frv

ImCdv

Fmv

HmPcv

S++++y

図 4.4.2 2 段アクチュエータのハードディスクドライブのブロック線図。
Fig. 4.4.2.

Block diagram of a hard disk drive with a dual-stage actuator.

-150
400-40-200

102103104

0-250-180-360
102103-300
102104103

図 4.4.4

40

Fig. 4.4.4.

0104

出力端外乱の振幅スペクトル。

Amplitude spectrum of output disturbances.

-40102

103

104の関係性において，連続時間の磁気ヘッドの位置 yc の最悪ケースを最小化する問題は，離散時間の誤差 e の最悪ケース0を最小化する問題として扱うことができる。本節では，離-180

散時間の誤差 e の最悪ケースを最小化するように，各アク-360
102103

チュエータにおける離散時間の既存の開ループ制御系 G p ，104Gv に対して，出力端外乱 d の影響を抑圧する離散時間のシングルレートフィルタ Frp と Frv を各アクチュエータにそ
図 4.4.3

既存の開ループ系の周波数応答。上：ピエゾアクれぞれ設計することを目的とする。

チュエータ G p 。下：ボイスコイルモータ Gv 。
Fig. 4.4.3.

Frequency responses of given open-loop systems.

4.4.3

2 段アクチュエータ HDD の制約を考慮した複数共振フィルタの凸最適化設計

Top: PZT actuator G p . Bottom: VCM Gv .

2 段アクチュエータ HDD における複数共振フィルタの最このベンチマーク問題において本節で扱う出力端外乱 d適化手法を示す。構造的に定式化された共振フィルタの設は，HDD 本体に加わる回転加速度外乱 d f ，ストレージボッ

計問題は，周波数応答データを直接用いた最適化問題とし

クス内で発生するファン起因外乱 d p ，位置信号に含まれる誤差成分 dRRO の周波数応答から等価的に次のように求められる。
dkc (jωk f ) = Pcv,kc (jωk f )d f (jωk f ) + d p (jωk f ) − dRRO (jωk f )(4.1)

出力端外乱 d の周波数スペクトルを図 4.4.4 に示す。
以上の問題設定から，指令値 r = 0，出力 y，誤差 e = r − yてロバスト安定性，ロバスト性能，ハードウェア制約を考慮して定式化される。最適化問題は逐次線形化による反復凸最適化により計算される。
設計される共振フィルタの構造
トラック追従性能を改善するために，共振フィルタ [5] を用いた外乱抑圧制御を行う。共振フィルタは外乱周波数と同じ周波数に共振周波数を持つことにより，内部モデル原理に基づき外乱を抑圧することができる。本手法でFr (s)

は，外乱周波数に合わせた複数の共振フィルタを設計し，

ρ(1,2) s2 + ρ(1,1) s
2
s2 + 2ζr,1 ωr,1 s + ωr,1

トラック追従性能を改善する。
設計する共振フィルタのブロック線図を図 4.4.5 に示..
.

す。各アクチュエータにおける共振フィルタは次のよう
Fr,ku (jωk f , ρku )nrX
ρku ,(kr ,2) (jωk f )2 + ρku ,(kr ,1) (jωk f )=1+(jωk f )2 + 2ζr,kr ωr,kr (jωk f ) + ω2r,kr
kr =1
1(jωk f )T 
 1   (jωk )2 + 2ζr,1 ωr,1 (jωk ) + ω2 ffr,1  
(jωk f )2
 ρku ,(1,1)  
  ρ
2 + 2ζ ω (jω ) + ω2)(jω
k,(1,2) u 
kfr,1 r,1kfr,1 =  .  .
 .  .
.
 .   
(jωk f )ρku ,(nr ,1)   
2 + 2ζ2 (jω)
ω(jω)+ωkr,nr,nkr,nr rrff
ρku ,(nr ,2) 2(jω)
kf(jωk f )2 + 2ζr,nr ωr,nr (jωk f ) + ω2r,nr= ρku ϕ(jωk f )T+ρ(nr ,2) s2 + ρ(nr ,1) s2
s2 + 2ζr,nr ωr,nr s + ωr,nrに定式化される。

+++図 4.4.5

共振フィルタのブロック線図。

Fig. 4.4.5.

Block diagram of resonant ﬁlters.

Im
ψκ

ws−1

(4.2)

G(jωr ) G(jωr )Fr (jωr )0Re

ただし，各アクチュエータに対応する下付き添字を ku ∈{p, v}，共振フィルタを設計する周波数の個数を nr ∈ N，共振フィルタを設計する周波数のデータ番号を kr = 1, ..., nr ，各アクチュエータの調整パラメータを ρku ∈ R2nr +1 ，共振角周波数を ωr,kr ∈ R>0 ，ダンピング係数を ζr,kr ∈ R>0 とする。本節において，設計する共振フィルタの共振角周波

図 4.4.6

ナイキスト線図における共振フィルタを用いた場合のベクトル軌跡の円条件と位相安定化。
Fig. 4.4.6.

Vector locus using a resonant ﬁlter with modulus

margin and phase stabilization in Nyquist diagram.

数 ωr,kr とダンピング係数 ζr,kr は外乱や誤差の周波数特性から予め与えられているものとし，分子多項式の係数でminimizeある調整パラメータ ρku を調整することを目的とする。

subject toρ∀ k ,∀ kcf

設計される共振フィルタは共振モードと位相補償器の和により次のように定義される。
κs2 + κψs(4.3)
F(s) = 2s + 2ζr ωr s + ω2r
共振フィルタのベクトル軌跡は図 4.4.6 のように表され、共振フィルタにおける分子の係数 κ と ψ は各共振モードとして，誤差の周波数スペクトルの最悪値を最小化する

PZT アクチュエータのストローク制約を考慮する。ロバ

スト安定性として，共振フィルタ有りのベクトル軌跡が(−1, j0) に対して共振フィルタ無しのベクトル軌跡と同じ側に存在し，かつ円条件の外側に存在するように制約条件を与える。これらの制約条件から，最適化問題は次のように定式化される。

(4.4b)(4.4c)

ただし，w s は感度関数の重み関数とし，Gkc ，Lkc ，S kc を次のように定義する。
Gkc (jωr )=G p,kc (jωk f ) + Gv,kc (jωk f )Lkc (jωk f , ρ)=L p,kc (jωk f , ρ p ) + Lv,kc (jωk f , ρv ) (4.6)

L p,kc (jωk f , ρ p )=G p,kc (jωk f )Frp (jωk f , ρ p )(4.7)

Lv,kc (jωk f , ρv )=Gv,kc (jωk f )Frv (jωk f , ρv )

(4.8)

=

1
1 + Lkc (jωk f , ρ)

(4.9)

S kc (jωk f , ρ)

ように共振フィルタを最適化する。ハードウェア制約として，y p の周波数スペクトルの最大値を制約条件として，|y p,kc (jωk f )| ≤ y p,max ππ− ≤ ∠ 1 + Lkc (jωk f , ρ) − ∠ 1 + Gkc (jωk f ) ≤ (4.4d)
22

最適化問題の定式化
ア制約を周波数応答データから考慮する。ロバスト性能(4.4a)w s (jωk f )|S kc (jωk f , ρ)| ≤ 1のゲインと位相に対応している。
本手法では，ロバスト安定性，ロバスト性能，ハードウェ

max |ekc (jωk f )|∀ k ,∀ kcf(4.5)

逐次線形化による凸最適化
式 (4.4a) において，評価関数は次のように表すことができる。
1|ekc (jωk f )| 
1 + Lkc (jωk f , ρ)  (4.10)

minimize max |ekc (jωk f )| ⇔ maximize minρρ∀ k ,∀ kcf⇔ minimize −  minρ∀ k ,∀ kcf

1dkc (jωk f )∀ k ,∀ kcfただし，誤差の周波数応答データは次のように求められる。
ekc (jωk f ) = S kc (jωk f , ρ)dkc (jωk f )(4.11)

式 (4.4b) において，PZT アクチュエータの出力の周波数スペクトルは次のように評価される。
L p,kc (jωk f , ρ p )dkc (jωk f )|y p,kc (jωk f )| =1 + Lkc (jωk f , ρ)

2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題において，9 つのモデル変動に対する共振フィルタ無しと有りの場合の時間領域シミュレーションでのトラック追従性能を図 4.4.15に示す。図 4.4.15 より，9 つの全ての場合において共振フィルタを用いた場合に追従誤差が小さくなることが確認(4.12)

できる。PZT アクチュエータの最大ストロークを図 4.4.16

また、既存のフィードバック制御器における最大値は次に示す。図 4.4.16 より，共振フィルタ有りの場合の最大のように表される。

ストロークは共振フィルタ無しの場合とほとんど同じか

y p,max = max

G p,kc (jωk f )dkc (jωk f )少しの増加で収まっており，ストローク制約を満たして(4.13)

いることが確認できる。以上の結果より，設計された共式 (4.4d) において，ベクトル軌跡の位相は，ベクトル軌振フィルタによってトラック追従性能が改善されること跡の実部と虚部から atan2 関数により評価される。以上が確認できる。

∀ k ,∀ kc
f

1 + Gkc (jωk f )の考察から，最適化問題は式 (4.14) のように表すことができる。式 (4.14) の非線形非凸最適化問題は，逐次線形

4.4.5 まとめ化により反復凸最適化問題として式 (4.15) のように計算

本節では，2 段アクチュエータ HDD のトラック追従性能することができる。

を改善するための最適な共振フィルタ設計手法に関して紹介した。共振フィルタは構造的に定式化され，反復凸最適

4.4.4

2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題におけ化計算により制御対象の周波数応答データから直接設計さる外乱抑圧性能の検証れた。最適化において，9 つのモデル変動に対するロバス

2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題において，共ト安定性，ロバスト性能，ハードウェア制約が考慮されて振フィルタによる外乱抑圧性能を検証する。共振フィルタいる。2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題においてはロバスト安定性，ロバスト性能，ハードウェア制約を考最適化された共振フィルタによる外乱抑圧性能の改善が確

慮して最適化により設計され，共振フィルタ無しの場合と認された。周波数領域と時間領域のデータをどちらも用いトラック追従性能を比較する。

た設計や共振フィルタ以外の制御器の同時最適化，マルチ設計条件

レートフィルタの最適化設計が今後の研究課題である。

制御対象と外乱の周波数応答のデータ点は，100 Hz からナイキスト周波数の F s /2 = 1/2T s = 25.2 kHz まで線形に1 Hz 刻みで取得し，データ点数を n f = 25101 とする。共振フィルタ無しの場合のナイキスト線図，感度関数，誤差の周波数スペクトル，y p の周波数スペクトルを図 4.4.7，
図 4.4.8，図 4.4.9，図 4.4.10 にそれぞれ示す。図 4.4.9 より，共振フィルタは垂直黒点線のある 8 つの周波数にそれぞれ設計され，共振フィルタのダンピング係数は全て
ζr = 0.05 とする。初期条件として，全ての調整パラメー

タを ρ = 0 とし，Frp = Frv = 1 とする。ロバスト安定条件において，円条件を 1/w s = 6 dB とする。
共振フィルタの設計結果
共振フィルタの最適化計算は YALMIP [14] と MOSEK [15]を用いて行い，反復最適化は 1 つ前の結果と比較して評価関数の改善が 0.1 % 未満になるまで行う。共振フィル
タ有りの場合のナイキスト線図，感度関数，誤差の周波数スペクトル，y p の周波数スペクトルを図 4.4.11，図 4.4.12，
図 4.4.13，図 4.4.14 にそれぞれ示す。最適化の結果より，共振フィルタが 9 つのモデル変動に対して，ロバスト安定性，ロバスト性能，ハードウェア制約を満たすように設計されていることが分かる。
外乱抑圧性能の評価

minimize−γ

subject toγ−ρ∀ k ,∀ kcf|dkc (jωk f )|y p,max(4.14a)
1
1 + Lkc (jωk f , ρ) ≤ 0dkc (jωk f )(4.14b)

L p,kc (jωk f , ρ p ) − 1 + Lkc (jωk f , ρ) ≤ 0(4.14c)

w s (jωk f ) − 1 + Lkc (jωk f , ρ) ≤ 0
 Im(1 + Gkc (jωk f , ρ))  π Im(1 + Lkc (jωk f , ρ))  − ≤ 0 when ± Re(1 + Gkc (jωk f , ρ)) ≥ 0∓atan2 
 ± atan2 Re(1 + Lkc (jωk f , ρ))Re(1 + Gkc (jωk f , ρ))
2




 Im(1 + Gkc (jωk f , ρ))  π Im(1 + Lkc (jωk f , ρ))  ∓ atan2  − ≤ 0 when ± Re(1 + Gkc (jωk f , ρ)) ≥ 0±atan2 Re(1 + Lkc (jωk f , ρ))Re(1 + Gkc (jωk f , ρ))2(4.14d)(4.14e)(4.14f)minimize−γ(4.15a)

subject to∗ 
1 
  dk (jωk ) (1 + Lkc (jωk f , ρki −1 )) 
1cf


γ − Re (1 + Lkc (jωk f , ρki )) ≤ 0



dkc (jωk f )1(1 + Lkc (jωk f , ρki −1 ))dkc (jωk f )(4.15b)ρki∀ k ,∀ kcf|dkc (jωk f )|y p,max L p,k (jωk , ρ p,k −1 ) ∗  1 + Lk (jωk , ρk −1 ) ∗ cciiff
Re L p,kc (jωk f , ρ p,ki )  − Re 
1 + Lkc (jωk f , ρki )  ≤ 0
 L (jω , ρ
 1 + L (jω , ρ )
)
p,kc

kf

p,ki −1kckf 1 + Lk (jωk , ρk −1 ) ∗ 

cif

w s (jωk f ) − Re 1 + Lkc (jωk f , ρki )  ≤ 0
 1 + L (jω , ρ )kckf(4.15c)

ki −1(4.15d)ki −1

 Im(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))  Re(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Im(1 + Lkc ,ki (jωk f , ρ)) − Im(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Re(1 + Lkc ,ki (jωk f , ρ)) 
 Im(1 + Gkc (jωk f , ρ))  π + ± atan2  − ≤ 0∓ atan2 2
Re(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Re(1 + Gkc (jωk f , ρ))2
1+L(jω , ρ)kc ,ki −1kf

when ± Re(1 + Gkc (jωk f , ρ)) ≥ 0(4.15e)
 Im(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))  Re(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Im(1 + Lkc ,ki (jωk f , ρ)) − Im(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Re(1 + Lkc ,ki (jωk f , ρ)) 
 Im(1 + Gkc (jωk f , ρ))  π ∓ atan2  + − ≤ 0± atan2 2
Re(1 + Lkc ,ki −1 (jωk f , ρ))Re(1 + Gkc (jωk f , ρ))21+L(jω , ρ)kc ,ki −1kf

when ± Re(1 + Gkc (jωk f , ρ)) ≥ 0

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200

4200

4100

2100

20000-100-2-100-2-200-200-100 0 100 200-4-4-200-200-100 0 100 200-4-4-2024-202

図 4.4.7 共振フィルタ無しのナイキスト線図。

図 4.4.11 共振フィルタ有りのナイキスト線図。

Fig. 4.4.7.

Fig. 4.4.11.

Nyquist diagram without resonant ﬁlters.

101000-10-10-20-20-30-30-40-40-50102103

図 4.4.8
Fig. 4.4.8.

104

共振フィルタ無しの感度関数。

Sensitivity function without resonant ﬁlters.

-50102

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.10.1104

図 4.4.9 共振フィルタ無しの誤差 e の振幅スペクトル。
Fig. 4.4.9.

Amplitude spectrum of e without resonant ﬁlters.

0102

Fig. 4.4.13.
10.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.20.2103104

図 4.4.10 共振フィルタ無しの y p の振幅スペクトル。
Fig. 4.4.10.

Amplitude spectrum of y p without resonant ﬁlters.

Sensitivity function with resonant ﬁlters.

103104図 4.4.13 共振フィルタ有りの誤差 e の振幅スペクトル。

10102104

図 4.4.12 共振フィルタ有りの感度関数。

0.5103

Nyquist diagram with resonant ﬁlters.

103

Fig. 4.4.12.

0.50102

40102

Amplitude spectrum of e with resonant ﬁlters.

103

104

図 4.4.14 共振フィルタ有りの y p の振幅スペクトル。
Fig. 4.4.14.

Amplitude spectrum of y p with resonant ﬁlters.

(2022).

20（14） Lofberg, J.: YALMIP : a toolbox for modeling and optimization in MATLAB, in 2004 IEEE International Conference on15Robotics and Automation (IEEE Cat. No.04CH37508), pp. 284–289, IEEE (2004).

10（15） Mosek, : MOSEK 9.3 (2021).
50123456789

図 4.4.15 トラック追従性能 3σ(yc ) のシミュレーション結果。× と ⃝ は最適化された共振フィルタ無しと有りの場合をそれぞれ示す。
Fig. 4.4.15. Simulation results of track-following performance3σ(yc ). × and ⃝ denote without and with optimized resonantﬁlters.
504030201001

図 4.4.16

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ピエゾアクチュエータの最大ストローク max|ycp |のシミュレーション結果。× と ⃝ は最適化された共振フィ
ルタ無しと有りの場合をそれぞれ示す。
Fig. 4.4.16.

Simulation results of maximum stroke in a PZT ac-tuator max|ycp |. × and ⃝ denote without and with optimized resonant ﬁlters.

Control Conference (ACC), pp. 3524–3529, IEEE (2017).

（10） Yabui, S., Atsumi, T. and Inoue, T.: Coupling Controller Designfor MISO System of Head Positioning Control Systems in HDDs,
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（13） Atsumi, T.: Magnetic-head positioning control system in HDDs