2020/12/18
第10 回巨大津波災害に関する合同研究集会

モード分解を用いた確率論的津波遡上評価ー鎌倉市でのケーススタディー

福谷 陽1 ・森口周二2 ・寺田賢二郎2
1 関東学院大学理工学部
2 東北大学災害科学国際研究所
1

研究背景・目的 確率論的津波ハザード評価(PTHA)は、L1/L2津波の想定、原子力安全、保険・不動産分野のリスク評価、防災まちづくり計画などのために利用される。
 しかしながら、陸域の津波ハザード（浸水深や流速など）の考え得る頻度分布を計算するには、多大な計算負荷がかかる。
確率論的津波ハザード評価の研究として、例えば、以下などがある。
 多数の津波計算（土木学会(2002), Løvholt et al. (2012) etc.)
 ロジックツリーアプローチ（Annaka et al. (2006), 土木学会(2011, 2016), 杉野ら(2014)、
Fukutani et al. (2015)、地震調査研究推進本部(2020) etc.）
 ランダムフェーズモデル(Goda et al. (2014), 安田ら（2016）, Miyashita et al.（2020)）
 KL展開法（LeVeque et al. (2016), Sepulveda et al. (2017) etc.)

何れも、数百～数千ケース程度の地震断層を想定するため、多大な計算負荷※想定断層、潮位、海底・陸上地形などの状況が変化すれば、再計算する必要が出てくる可能性もある【研究目的】
津波数値解析と固有直交分解（特異値分解）の手法を用いて浸水深分布の空間相関モードの特性を評価し、計算負荷を抑えつつ、地震断層の切迫性を考慮した確率論的津波ハザード評価を実施する。
2

対象地震（想定津波波源）
 首都直下地震モデル検討会（2014)の「相模トラフ沿いの海溝型巨大地震」（Mw8.7）の３パターンとした．
 地震調査研究推進本部の津波レシピを参考に断層全体のMw8.7を満足させるように，超大滑り域（23.5m)，大滑り域(11.7m)，背景領域(1.94m)の3段階滑りをもつ断層を３つ作成
(a)

(b)

西側モデル

中央モデル

東側モデル

相模トラフ沿いの海溝型地震のすべり量分布(m)(c)

相模トラフ巨大地震（Satake, K. (2015)より抜粋）

津波数値計算
 断層パラメータから、Okada(1985)の式を用いて津波の初期水位を求め，下記の条件で地震発生から3時間分の津波数値計算を行った．
(a)

(b)

津波数値計算条件
２次元非線形長波方程式

津波数値
計算領域

支配方程式
（東北大学TUNAMIN2モデル）

数値積分法

Staggered-leap frog法

初期条件

断層パラメータからOkada(1985)の式で評価した初期水位

境界条件

開放条件

座標系

平面直角座標IX系

潮位設定

T.P. +0.9 m（神奈川県津波想定設定潮位）

メッシュサイズ(ΔxΔy

270 m → 90 m → 30 m → 10 m

Domain 2 (90m)

Domain 1 (270m)

(a)

(b)

Domain 2 (90m)

Domain 1 (270m)

Domain 4 (10m)Domain 3 (30m)

Domain 2 (90m)4地震断層の不確実性
 各断層の不確実性として、断層のすべり量（Mw 8.7±0.1）と断層深さ(+2km,±0km, -1km)の変化を考慮 → ３×３＝９ケースの津波数値計算を実施
Mw 8.6
Depth ±0.0 km

Mw 8.6
Depth －1.0 km

Mw 8.7
Depth +2.0 km

Mw 8.7
Depth ±0.0 km

Mw 8.7
Depth －1.0 km

Inundation depth (m)西側モデルの計算結果（鎌倉市）

Mw 8.6
Depth +2.0 km

ControlMw 8.8Depth +2.0 km

全２７ケースの計算

Mw 8.8Depth ±0.0 km

Mw 8.8Depth －1.0 km

5地震断層の不確実性
 各断層の不確実性として、断層のすべり量（Mw 8.7±0.1）と断層深さ(+2km,±0km, -1km)の変化を考慮 → ３×３＝９ケースの津波数値計算を実施
Mw 8.6
Depth ±0.0 km

Mw 8.6
Depth －1.0 km

Mw 8.7
Depth +2.0 km

Mw 8.7
Depth ±0.0 km

Mw 8.7
Depth －1.0 km

Inundation depth (m)中央モデルの計算結果（鎌倉市）

Mw 8.6
Depth +2.0 km

ControlMw 8.8Depth +2.0 km

全２７ケースの計算

Mw 8.8Depth ±0.0 km

Mw 8.8Depth －1.0 km

6地震断層の不確実性
 各断層の不確実性として、断層のすべり量（Mw 8.7±0.1）と断層深さ(+2km,±0km, -1km)の変化を考慮 → ３×３＝９ケースの津波数値計算を実施
Mw 8.6
Depth ±0.0 km

Mw 8.6
Depth －1.0 km

Mw 8.7
Depth +2.0 km

Mw 8.7
Depth ±0.0 km

Mw 8.7
Depth －1.0 km

Inundation depth (m)東側モデルの計算結果（鎌倉市）

Mw 8.6
Depth +2.0 km

ControlMw 8.8Depth +2.0 km

全２７ケースの計算

Mw 8.8Depth ±0.0 km

Mw 8.8Depth －1.0 km

7

浸水深分布の固有モード抽出（特異値分解） 浸水深の空間分布（行方向）と解析ケース（列方向）のデータ行列𝑿を作成

𝒙𝟏𝟏𝑿

𝒙𝒎𝟏

… 𝒙𝟏𝒏
⋱
… 𝒙𝒎𝒏

m次元（空間メッシュ数）= 301×401 =120701

n次元（解析ケース数）= 27
 データ行列Xを特異値分解して、浸水深の固有モード抽出

𝑿𝑼𝜮𝑽𝒕

左特異ベクトルU（分散共分散行列𝑿ｔ 𝑿の基底）

𝑼|𝒖𝟏|

⋯|𝒖𝒏|

右特異ベクトルV（内積𝑿𝑿ｔ の基底）

特異値𝜆1
𝜮ー⋱𝜆𝑛𝑽𝒗𝟏⋮
ー 𝒗𝒏ーー 分散共分散行列𝑿ｔ 𝑿との関係から，浸水データのメッシュ間の空間相関に関する情報は，左特異ベクトル𝑼と特異値𝜮に集約
8抽出された固有モード（左特異ベクトル𝒖𝑘 ） 同符号のメッシュ間で正の相関，異符号のメッシュ間で負の相関を表現している．

左特異ベクトル𝑼を構成する𝒖𝑗 ( j = 1, …, 9)の空間分布（空間モード）
Mode 1𝒖1Mode 2𝒖Mode 3𝒖Mode 4𝒖Mode 5𝒖Mode 6𝒖Mode 7𝒖

Mode 8𝒖

Mode 9𝒖

空間モード
１～９のみ図示※正値を赤色，負値を青色で9示している．

代理モデルの構築
 ある解析ケース𝑗 の浸水深データ𝒙𝑗 は、以下で表される。

𝑿𝑼𝜮𝑽𝒕𝑿|𝒙1|… |… 𝒙𝑗… |𝑛𝒙𝑗෍
𝑘=1𝑇𝒖𝑘 (𝜆𝑘 𝑣𝑘𝑗
൯

|𝒖1|

… |
… 𝒖𝑗
… |

𝝀1
⋮𝑛෍
𝑘=1…
⋱ ⋮… 𝝀𝑗― 𝒗1⋮⋮― 𝒗𝑗― 𝑇⋮―𝑛𝜆𝑘 𝑣𝑗𝑘 𝒖𝑘෍
𝑘=1𝛼𝑗𝑘 𝒖𝑘

𝛼𝑗𝑘 ：モード𝑘に対する第𝑗ケースの係数
n ：解析ケース数（n=27）

 あるケースのデータベクトル𝒙𝑗 は左特異ベクトル𝒖𝑘 と係数𝛼𝑗𝑘 の線形和で表すことが可能
 左特異ベクトル𝒖𝑘 を保持し、係数𝛼𝑗𝑘 を、断層パラメータの不確実性を考慮したモンテカ
ルロ計算で与えることで，水深係数のサンプルベクトル𝒙𝑗 を合成
10

各モードに対応する係数𝛼𝑗𝑘 の応答曲面（2変数の場合）(a)の同時分布((観測値 と予測値(𝒎 (1(((1ベ観測値与えられたもとで従う条件付き分布 | （事後与えられたもとでの予測値
観測値
従う条件付き分布 | （事後分布）(𝒎 𝑽(の同((第5モードMode 6

ベイズ理論

|𝒎𝑽

観測値 と予測値
津波数値計算結果((係数𝛼𝑗𝑘

モード値

Gaussian Kernel（ガウシアンカーネル）(𝒙 𝒙 (𝒙 𝒙𝒙 𝒙
(係数𝛼𝑗𝑘 係数𝛼𝑗𝑘 は，ガウス過程を用いたベイズ推定の手法によりその分布を推定した．

第1モード(b)Mode 1

(|𝒎𝑽

(𝒎 𝑽
(1((൯ (a)第1モード，(b)第5モードに対する係数𝛼 の𝑗𝑘

推定例．曲面が平均値𝒎 を表す．赤点が津
11波数値計算の結果．

すべり量・断層深さ・すべり分布の確率分布の設定
変数

すべり量の倍率

S [倍]

断層深さ

D [km]
すべり分布A

平均1.00

0.00

標準偏差

分布形状

ばらつきの根拠

0.35

原子力土木委員会津波評価部会(2011)によれば、断層面対数正規 積の同じ既往地震を考慮する
分布とMwは±0.1程度、ばらつくと示唆。このときすべり量の変動幅は70～140%程度となる。

2.0

首都直下地震防災・減災特別プロジェクト(2012)のフィリピン
正規分布 海プレート上端の深さを評価した研究成果から数km程度の標準偏差があると判断-1.0～1.0までの一様分布

西側モデル：-1
中央モデル：０
東側モデル：１12

津波数値計算と代理モデルの結果比較
 入力パラメータ（すべり量、断層深さ）の確率分布を入力値として係数𝛼𝑗𝑘 を推定、各モードの線形和から空間相関を考慮した水深係数分布のサンプルを多数生成可能
津波数値計算の結果
Numerical
simulation results(a)(a)(b)
Inundation depth (m) 初めの２７ケースとは違う設定のケースで津波数値計算と代理モデルの結果を比較

代理モデルの結果
Surrogatemodel results(b)Mw: 8.75
Depth: +1.0 km
Asperity: West

Numerical simulation results(a)(a)

Mw: 8.7
Depth: ±0.0 km
Asperity: West-Center(b)Inundation depth (m) 代理モデルと津波数値計算の結果は、比較的良い一致を示した。

Surrogate model results(b)13確率論的津波ハザード評価
 時間依存した相模トラフ巨大地震の発生確率モデル（BPT分布）を取り入れて、10,000回のモンテカルロ計算により、確率論的津波ハザード評価を実施
Numerical simulationresults(a)Surrogate model results(b)確率論的津波浸水分布
Brownian Passage Time(BPT) Distribution(a)50-year今後50年の超過確率39%(a) 39％ probability(b)50-year 10％ probability
今後50年の超過確率10%(b)

Probability density

Inundation depth (m)BA
Mw: 8.7
Depth: ±0.0 km
Asperity: West-Center
再現期間約100年

𝑃

𝜇2𝜋𝛼

𝑒 𝑝

𝜇2𝜇𝛼

：最新の地震発生からの経過時間
𝜇：地震発生間隔の平均値
𝛼：地震発生間隔のばらつき

50-year frequency of exceedance

Elapsed years from the last event

A

再現期間約500年

津波ハザードカーブ
μ = 180B
μ = 200
μ = 250
μ = 300
μ = 350

μ = 180
μ = 200
μ = 250
μ = 300
μ = 350

14Tsunami inundation depth (m)Tsunami inundation depth (m)まとめ
本研究で得られた結論を次に示す．

 Mw、断層深さ、断層すべり分布を各々３ケース変動させた２７ケースの津波浸水深分布データの特異値分解により得られた空間モードと入力パラメータの確率分布を用いて，従来よりも計算負荷を大幅に軽減した、確率論的津波ハザード評価を実施した．
 代理モデルの結果と数値計算の結果は良い一致を示した．
 地震の発生確率モデルBPT分布を用いて、今後50年の超過確率（長期平均で500年や100年に1回）で発生する津波浸水深分布や津波ハザードカーブを得ることができた．
 確率論的津波浸水深分布やハザードカーブは、防災まちづくり計画、原子力・保険・不動産分野のリスク評価などのために活用されることが期待される．

ご清聴ありがとうございました。

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