九州大学大学院システム情報科学府
電気電子工学専攻

令和５年度入学試験問題【令和４年８月２９日（月）、３０日（火）】情報理工学専攻
電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和４年８月２９日）

九州大学大学院システム情報科学府

数 学 (Mathematics)（6 枚中の 1）

解答上の注意 (Instructions):

1. 問題用紙は，『始め』の合図があるまで開いてはならない．
Do not open this cover sheet until the start of examination is announced.
2. 問題用紙は表紙を含め 6 枚，解答用紙は 3 枚つづり (1 分野につき 1 枚) である．
You are given 6 problem sheets including this cover sheet, and 3 answer sheets (1 sheet foreach ﬁeld).
3. 線形代数，解析学・微積分の 2 分野に加えて，ベクトル解析および確率・統計から 1 分野を選択し，合計 3 分野について解答すること．選んだ分野毎に解答用紙を別にすること．

Answer three ﬁelds in total, including Linear algebra and Analysis and calculus, and either
Vector analysis or Probability and statistics. You must use a separate answer sheet for eachof the ﬁelds you selected.

1
2
3
4

分野
線形代数
解析学・微積分
ベクトル解析
確率・統計

field
Linear algebra
Analysis and calculus
Vector analysis
Probability and statistics

page
2
3
5
6

4. 解答用紙の全部に，専攻名，受験番号および氏名を記入すること．3 枚目の解答用紙について
は，選択した分野番号（3 または 4）を○で囲むこと．

Fill in the designated blanks at the top of each answer sheet with the department name, yourexaminee number and your name. Mark the selected ﬁeld number (3 or 4) with a circle on
the third answer sheet.
5. 解答は解答用紙に記入すること．スペースが足りない場合は裏面を用いても良いが，その場合は，裏面に解答があることを明記すること．

Write your answers on the answer sheets. You may use the backs of the answer sheets when
you run out of space. If you do so, indicate it clearly on the sheet.
6. 解答は，日本語，英語のいずれかで記入すること．
Your answers must be written in Japanese or English.

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電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和４年８月２９日）

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数 学 (Mathematics)（6 枚中の 2）
分野毎に解答用紙を別にすること．
Use a separate answer sheet for each field.

1. 【線形代数 (Linear algebra) 分野】

n × n 実対称行列 A = [aij ]n×n ∈ Rn×n に対して，A の各要素 aij が aij ∈ {0, 1} (1 ≤ i, j ≤ n)∑n
かつ aii = 0 (1 ≤ i ≤ n) を満たすとする．A に対して，D = [δij ( k=1 aik )]n×n と定義する．
ただし δij は，1 ≤ i, j ≤ n に対して，i = j のとき δij = 1，そうでないとき δij = 0 によって定義される．さらに，L = D − A と定義する．以下の各問いに答えよ．

(1) 以下の A に対して，L = D − A を求めよ．

0 1
1 0

A=
1 1
0 0

1
1
0
0


0
0


0
0

(2) (1) で求めた L の固有値を全て求めよ．
(3) (2) で求めた L の各固有値に対する固有空間を求めよ．
(4) 一般に L は固有値 0 を持つことを示せ．
For an n × n real symmetric matrix A = [aij ]n×n ∈ Rn×n , suppose that each element aij of A∑
satisﬁes that aij ∈ {0, 1} (1 ≤ i, j ≤ n) and aii = 0 (1 ≤ i ≤ n). Deﬁne D = [δij ( nk=1 aik )]n×n
for A, where δij is deﬁned by δij = 1 if i = j and δij = 0 otherwise for 1 ≤ i, j ≤ n.
Furthermore, deﬁne L = D − A. Answer the following questions.
(1) For the following matrix A, ﬁnd L = D − A.

0 1
1 0

A=
1 1
0 0

1
1
0
0


0
0

.
0
0

(2) Find all eigenvalues of L obtained in (1).
(3) Find the eigenspace for each eigenvalue of L obtained in (2).
(4) Prove that L has an eigenvalue 0 in general.

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電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和４年８月２９日）

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数 学 (Mathematics)（6 枚中の 3）
分野毎に解答用紙を別にすること．
Use a separate answer sheet for each field.

2. 【解析学・微積分 (Analysis and calculus) 分野】(1) R 上の関数 f (x) = cos x の k 階導関数を f (k) (x) で表す．ただし，R は実数全体の集合である．以下の各問いに答えよ．

(a) 全ての k ≥ 1 について f (k) (0) を求めよ．
(b) f (x) の原点周りでのテイラー級数を
∞
∑

ak xk

k=0

とするとき，全ての k ≥ 0 に関する ak を求めよ．

(c) 全ての x ∈ R について∞∑

|ak xk |k=0が収束することを示せ．

(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ．なお，y ′ は関数 y(x) の x に関する 1 階導関数を表している．

y ′′′′ − 2y ′′′ − y ′′ − 4y ′ + 12y = 0

I(3) 閉曲線 C に沿った複素積分
つ r ̸= 1 とする.

1dz を求めよ．ただし，C は円 |z| = r , r > 0 か
2
C z(z − 1)

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電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和４年８月２９日）

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数 学 (Mathematics)（6 枚中の 4）
分野毎に解答用紙を別にすること．
Use a separate answer sheet for each field.

(1) Let f (k) (x) denote the kth order derivative of the function f (x) = cos x over R, where
R denotes the set of all real numbers. Answer the following questions.
(a) Find f (k) (0) for all k ≥ 1.
(b) Let

∞
∑

ak xk

k=0

be the Taylor expansion of f (x) around the origin. Find ak for all k ≥ 0.
(c) Prove that∞∑|ak xk |k=0

converges for all x ∈ R.

(2) Find the general solution to the following diﬀerential equation. Here, y ′ denotes thederivative of ﬁrst order with respect to x for a function y(x).
y ′′′′ − 2y ′′′ − y ′′ − 4y ′ + 12y = 0.

I(3) Calculate the complex integralCa circle |z| = r, r > 0, and r ̸= 1.

1
z(z 2 − 1)dz, where the closed contour C is given by

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電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和４年８月２９日）

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数 学 (Mathematics)（6 枚中の 5）
分野毎に解答用紙を別にすること．
Use a separate answer sheet for each field.

3. 【ベクトル解析 (Vector analysis) 分野】
直交座標系において，x，y ，z 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i，j ，k とする．ベクトル場 F を F = yi − xj + zk とする．次の各問に答えよ．

(1) C を x2 + y 2 = 4, z = 0 で定義される円とする．次に示す C1 および C2 に沿った線積分∫∫
F · dr および C2 F · dr を求めよ．
C1√√(a) C1 : C 上を点 A(1, 3, 0) から 点 B(− 3, 1, 0) まで反時計回りに向かう曲線√√(b) C2 : C 上を点 A(1, 3, 0) から 点 B(− 3, 1, 0) まで時計回りに向かう曲線(2) S を半球面 x2 + y 2 + z 2 = 4 (0 ≤ z) と平面 z = 0 で囲まれた領域の境界とする．面積分∫∇ × F · dS を求めよ．外向き法線ベクトルを用いよ．
SThe unit vectors on x, y and z axes of Cartesian coordinates are denoted by i, j and k,
respectively. Let F be the vector ﬁeld F = yi − xj + zk. Answer the following questions.
∫(1) Let C be deﬁned by the circle x2 + y 2 = 4, z = 0. Find the line integrals C1 F · dr and∫
F · dr, where C1 and C2 are deﬁned as follows.
C2√√(a) C1 : the curve along C from point A(1, 3, 0) to point B(− 3, 1, 0) in the counterclockwise direction.
(b) C2 : the curve along C from point A(1,√√3, 0) to point B(− 3, 1, 0) in the clockwise

direction.
(2) Let S be the boundary of the region enclosed by the hemisphere x2 + y 2 + z 2 = 4 (0 ≤ z)∫
and the plane z = 0. Find the surface integral S ∇ × F · dS. Use the outward pointing
normal vector.

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電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和４年８月２９日）

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数 学 (Mathematics)（6 枚中の 6）
分野毎に解答用紙を別にすること．
Use a separate answer sheet for each field.

4. 【確率・統計 (Probability and statistics) 分野】
箱の中に５枚のコイン（コイン１〜コイン５）がある．箱から一様ランダムにコインを１枚選んで何度か投げる試行を考える．ただし，それぞれのコイン i の表が出る確率 pi は次の通りである．

p1 = 0, p2 = 1/4, p3 = 1/2, p4 = 3/4, p5 = 1
表が出る事象を H とし，コイン i が選ばれる事象を Ci とする．

(1) 選んだコインを１回投げるとする．表が出る確率 p(H) を答えよ．
(2) 選んだコインを１回投げたところ表が出たとする．条件付き確率p(Ci | H)を i = 1, . . . , 5についてそれぞれ求めよ．

(3) 選んだコインを２回投げるとする．条件付き確率p(H2 | H1 )を求めよ．ただし Hj は j 回目に表が出る事象であり，j = 1, 2 である.

(4) 選んだコインを４回投げるとする．p(Ci | B4 )を i = 1, . . . , 5 についてそれぞれ求めよ．
ただし B4 は４回目に初めて表が出る事象を表す．

A box contains 5 coins (coin 1, . . . , coin 5). Consider a trial in which we select a coin uniformly
at random, and toss it for a certain number of times. Let pi denote the probability of gettinga head on each coin i, and they are given as follows:
p1 = 0, p2 = 1/4, p3 = 1/2, p4 = 3/4, p5 = 1
Let H denote the event that a head shows up, and let Ci denote the event that coin i isselected.
(1) Select a coin and toss it once. Find the probability of getting a head p(H).
(2) Suppose a head was obtained after tossing the selected coin once. Find the conditional
probability p(Ci | H) for each i = 1, . . . , 5.
(3) Suppose we toss the selected coin twice. Find the conditional probability p(H2 | H1 ).
Here Hj (j = 1, 2) means that a head is obtained on the j-th toss.
(4) Suppose we toss the selected coin four times. Find p(Ci | B4 ) for each i = 1, . . . , 5. HereB4 means that the ﬁrst head is obtained on the fourth toss.

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(1/27)

解答上の注意 (Instructions):
1.

問題用紙は，『始め』の合図があるまで開いてはならない．
Do not open this cover sheet until the start of examination is announced.

2.

問題用紙は表紙を含め 27 枚，解答用紙は 3 枚つづり 2 部 (1 分野につき 1 部) である．
You are given 27 problem sheets including this cover sheet, and 2 sets of 3 answer sheets (1 set for eachfield).

3.

以下の 5 分野から 2 分野を選び解答すること．解答用紙は１分野につき１部，大問１つあたり１枚を使用すること．１枚に大問２問以上の解答を書いてはならない．
Select 2 fields out of the following 5 fields and answer the questions. You must use a separate set of answer
sheets for each of the fields you selected. One sheet in a set is for one question. You may not use one sheet
for two or more questions

4.

分野

field

A

電気回路

Circuit theory

B
C
D
E

電子回路

Electronic circuits
Control engineering
Electromagnetism
Semiconductor device

制御工学
電磁気学
半導体デバイス

page
2
6
10
15
20

解答用紙の全部に，選択分野名，受験番号，氏名および問題番号を記入すること．
Fill in the designated blanks at the top of each answer sheet with the selected field, your examinee number,your name, and the question number.

5.

解答は解答用紙に記入すること．スペースが足りない場合は裏面を用いても良いが，その場合は，裏面に解答があることを明記すること．
Write your answers on the answer sheets. You may use the backs of the answer sheets when you run out of
space. If you do so, indicate so clearly on the sheet.

6.

解答は，日本語，英語のいずれかで記入すること．
Your answers must be written in Japanese or English.

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(2 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

A. 【電気回路 (Circuit theory) 分野】
次の各問い（【問１】～【問４】）から 3 問を選び，解答用紙の問題番号欄に解答した問題番号を記入すること．

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(3 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(4 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

Select three out of the four questions【Q1】~【Q4】and write the number of the selected question
on the answer sheet.

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(5 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(6 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

B. 【電子回路 (Electronic circuits) 分野】
次の各問い（【問１】,【問２】）に答えよ．解答用紙の問題番号欄に解答した問題番号を記入すること．

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(7 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(8 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

Answer the following questions【Q1】,【Q2】and write the number of the selected question on
the answer sheet.

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(9 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(10 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

C. 【制御⼯学 (Control engineering) 分野】
次の各【問１】∼【問３】に答えよ．解答用紙の問題番号欄に解答した問題番号を記入す
ること.
【問１】

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(11 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

【問２】

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(12 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

【問３】

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(13 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

Answer the following questions (【Q1】【Q2】【Q3】) and write the number of the selected
question on the answer sheet.
【Q1】

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(14 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

【Q2】

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(15 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

【Q3】

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(16 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

D. 【電磁気学 (Electromagnetism) 分野】
以下の各問い (【問１】,【問２】) に答えよ．解答用紙の問題番号欄に解答した問題番号を記入すること.
【問１】誘電率 𝜀! の誘電体 1 と誘電率 𝜀" の誘電体 2 で満たされている空間を考える。
誘電体 1 と誘電体 2 とは図１のように接しており，その中に誘電体の境界面に中心がある半径 𝑎 の導体球が置かれている．導体球には電荷 𝑄 を与えた．この系に関して，以下の問いに答えよ．
(1) 導体球の中心からの距離を 𝑟 とすると，𝑟 > 𝑎 での電位は 𝑉 =#$る．ただし，𝑘 は定数である．ガウスの法則を用いて 𝑘 を求めよ．
(2) 系の静電容量を求めよ．
(3) 導体球が誘電体 1 と接している面上の全電荷を求めよ．
(4) 系の静電エネルギーを求めよ．

r1 r1

"
#

r1 r1

図1

!!

!"

の形で与えられ

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(17 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

【問２】図２に示すような，起電力 𝑉% の電池，抵抗 𝑅，ソレノイドコイルが直列に接続された回路が真空中に置かれており，電流が流れている．ソレノイドコイルの長さ，半径，単位長さ当たりの巻き数はそれぞれ 𝑙，𝑎，𝑛である．ただし，𝑙 ≫ 𝑎とし，端効果は無視できるとする．真空の透磁率は 𝜇% とする．
(1) 図２(a) に示すように，スイッチが端子 P につながれ，一定電流が流れている場合について考える．ソレノイドコイル内の磁束密度の大きさを求めよ．
(2) ソレノイドコイルの自己インダクタンスを求めよ．
(3) 時刻 𝑡 = 0 にスイッチを端子 P から Q に切り替えた後，回路に 𝐼(𝑡) = 𝐼% 𝑒 &'( (𝑡 ≥ 0) の電流が流れた (図２(b))．ソレノイドコイルに発生する誘導起電力を時間 𝑡 の関数として表せ．また 𝛽 を求めよ．
(4) (3)の場合において，ソレノイドコイル内に発生する電界を，ソレノイドコイルの中心軸からの距離 𝑟 と時間 𝑡 の関数として表せ．
(5) (3)の場合において，ソレノイドコイルの中心軸からの距離 𝑟 = 𝑎 におけるポインティングベクトルの大きさを時間 𝑡 の関数として表せ．またその向きを求めよ．
(6) (3)の場合において，単位時間当たりにソレノイドコイルから流出するエネルギーを
時間 𝑡 の関数として表せ．また，時刻 𝑡 = 0 から 𝑡 = ∞ の間にソレノイドコイルから流出したエネルギーの総和を求め，それがどこで消費されたか答えよ．

(a)

(b)
図２

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専 門 科 目 (Specialized subjects)(18 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

Answer the following questions【Q1】,【Q2】and write the number of the selected question on
the answer sheet.
【Q1】A space is filled with a dielectric 1 and a dielectric 2. The permittivity of the dielectric
1 is 𝜀! and the permittivity of the dielectric 2 is 𝜀" . They are contacted as shown in Fig. 1, anda conducting sphere of radius 𝑎 is set as its center is on the contacting plane. The conducting
sphere has charge 𝑄. Answer the following questions regarding this system.
#(1) For 𝑟 > 𝑎, the electrostatic potential is given as 𝑉 = $ , where 𝑟 is the distance from thecenter of the conducting sphere and 𝑘 is a constant. Find 𝑘 using the Gauss’s law.
(2) Find the capacitance of the system.
(3) Find the total charge on the surface of the conducting sphere, contacting with the dielectric
1.
(4) Find the electrostatic energy of the system．

r1 r1

"
#

r1 r1

Fig. 1!!

!"

九州大学大学院システム情報科学府電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （実施日 令和 4 年 8 月 29 日）

専 門 科 目 (Specialized subjects)(19 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

【Q2】As shown in Fig. 2, a series circuit consisting of a battery of electromotive force 𝑉% , a
resistor of resistance 𝑅, and a solenoid coil, is placed in a vacuum, and an electric current flows
through the circuit. The length, radius, and number of turns per unit length of the solenoid coil
are 𝑙, 𝑎, and 𝑛, respectively. Here, 𝑙 ≫ 𝑎, so that edge effects are negligible. The permeability of
vacuum is 𝜇% .
(1) Consider the case shown in Fig. 2(a) where the switch is connected to terminal P, and aconstant current flows through the circuit. Find the magnitude of the magnetic flux density
inside the solenoid coil.
(2) Find the self-inductance of the solenoid coil.
(3) After the switch is moved from terminal P to terminal Q at time 𝑡 = 0, a current 𝐼(𝑡) =𝐼% 𝑒 &'( (𝑡 ≥ 0) flows through the circuit (Fig. 2(b)). Show the induced electromotive force
in the solenoid coil as a function of time 𝑡. Also, find 𝛽.
(4) In the case of (3), show the electric field inside the solenoid coil as functions of time 𝑡 andof distance 𝑟 from the central axis of the solenoid coil.
(5) In the case of (3), show the magnitude of the Poynting vector as a function of time 𝑡 at the
distance 𝑟 = 𝑎 from the central axis of the solenoid coil. Also, find the direction of the
Poynting vector.
(6) In the case of (3), show the energy flowing out of the solenoid coil per unit time as afunction of time 𝑡. Also, find the total energy flowing out of the solenoid coil between time
𝑡 = 0 and 𝑡 = ∞, and describe where the energy is consumed.

(a)

(b)
Fig. 2

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専 門 科 目 (Specialized subjects)(20 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

E. 【半導体デバイス (Semiconductor device) 分野】
次の各問い（【問１】【問２】）に答えよ．解答用紙の問題番号欄に解答した問題番号を記入すること.
【問１】アクセプタ密度 NA の p 型領域と，ドナー密度 ND の n 型領域からなる pn 接合ダイオードに関する下記の設問に答えよ．ただし，電気素量を q，真性キャリヤ密度を ni とする．
(1) 平衡状態(バイアス電圧 V = 0)における p 型半導体中の自由電子密度 npo および n 型半導体中の自由電子密度 nno は，次式で与えられる．
𝑛!" = 𝑁# exp (−$!" %$#"&'$%$*, 𝑛(" = 𝑁# exp (− !$&' #$ *ここで，NC は伝導帯の有効状態密度，ECp，ECn は p 型および n 型領域の伝導帯の底，EFp，
EFn は p 型および n 型領域のフェルミ・エネルギーの位置，k はボルツマン定数，T は絶対温度である．これを用いて拡散電位 Vd を導出し，NA，ND，ni，k，T，q を用いて表せ．

(2) 逆バイアス状態(バイアス電圧: VR)のバンド図を描け．バンド図には，p 型領域を左側，n 型
領域を右側に描き，価電子帯の頂 EVp，EVn，伝導帯の底 ECp，ECn，フェルミ・エネルギーの位置 EFp，EFn，印加バイアス VR，pn 接合の拡散電位 Vd を記載すること．さらに，p 型領域
および n 型領域の空乏層端の位置 - xp，xn を図示せよ．ただし，pn 接合界面の位置を x=0 とせよ．

(3) 逆バイアス状態(バイアス電圧: VR)における pn 接合の空乏層内（- xp≦x≦xn）で成立するポ
アソン方程式を示し，これを解いて空乏層内の電界 E(x)を与える式を求めよ．ただし，半導体の誘電率を εs とせよ．

(4) p 型領域と n 型領域の電界は，x = 0 で一致することに注意して，xp と xn の比を，NA と ND を用いて示せ．

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専 門 科 目 (Specialized subjects)(21 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
Select 2 fields out of the 5 fields and answer the questions. Use a set of answer sheets foreach of the fields you selected and use an answer sheet for each question.

(5) pn 接合に逆方向バイアスを印加したとき，空乏層幅は 11.0 μm となり，接合界面から p 型側の空乏層領域，n 型側の空乏層領域の幅は，それぞれ 10.0 μm，1.0 μm であった．ただし，n 型領域のドナー密度 ND は 2.0×1021 m-3，真性キャリヤ密度は 1.5×1016 m-3 である．
① p 型側の中性領域における自由電子密度を求めよ．
② n 型領域のドナー密度は一定のまま，p 型領域のアクセプタ密度を 1.0×1020 m-3 に変えた．この pn 接合に逆方向電圧を印加し，接合界面から n 型側の空乏層領域の幅を 2.0 μm にした．
このときの p 型側の空乏層領域の幅を求めよ．

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専 門 科 目 (Specialized subjects)(22 / 27)
5 分野から 2 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙 1 部を用いよ．また，
大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
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【問２】金属-酸化膜-半導体構造を持つ電界効果トランジスタ（MOSFET）に関する以下の設問に答えよ．但し，ゲート金属の仕事関数は半導体の仕事関数と等しく，酸化膜中に電荷は存在せず，酸化膜と半導体の界面には界面準位がないものとする．またソース電極および半導体基板は接地し，ドレイン電極に十分小さい電圧を印加しているものとする．

金属ゲート

酸化膜

半導体

金属ゲート

酸化膜

半導体
EC

EC
EFS
EV

EFM

EFS
EV

qVG

qfS

EFM

0
図１．VG = 0 Vにおけるバンド図．

W

x

図２．VG > 0 V（弱反転）におけるバンド図．

(1) 図１はゲート電圧 𝑉) が 0 V の時の金属-酸化膜-半導体構造のバンド図である．𝐸*+ は金属のフェルミレベル，𝐸*, ，𝐸# ，𝐸- はそれぞれ半導体のフェルミレベル，伝導帯下端，価電子帯上端を表す．この MOSFET は pチャネル FET か n チャネル FET か答えよ．
(2) 図２はしきい値電圧未満の正のゲート電圧を加えて弱反転させたときのバンド図である．電気素量を𝑞，半導体の誘電率を𝜀, ，アクセプタ密度を𝑁. ，半導体中の電位を𝜙とし，図２のように界面からの距離を𝑥とする．半導体の空乏層中の電位に関するポアソン方程式は以下のようになる．
𝑑/ 𝜙 𝑞𝑁.
=𝑑𝑥 /𝜀,
図２のように半導体の表面電位を𝜙, (> 0) ，空乏層の厚みを𝑊としたとき，𝑊を𝜙, を用いて表せ．

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(3) 単位面積当たりの酸化膜の静電容量を𝐶01 ，単位面積当たりの空乏層の静電容量を𝐶2 とする．𝐶2 = 𝜀, ⁄𝑊 なので，𝐶2 は𝑉) の関数となるが，これを弱反転領域では一定だと近似し，
𝐶2 ⁄𝐶01 = 𝑚（定数）とする．弱反転領域において，𝑉) をわずかにΔ𝑉) だけ増加させたとき，半導体の表面電位がΔ𝜙, だけ増加したとする．Δ𝜙, をΔ𝑉) と𝑚を用いて表せ．

𝑞𝜙,>
𝑘𝑇*に比例するものとする．𝑘はボルツマン
定数，𝑇は絶対温度である．ゲート電圧がΔ𝑉) （半導体の表面電位がΔ𝜙, ）変化したときの，log(𝐼2 )の変化量Δlog(𝐼2 )を，Δ𝑉) と𝑚を用いて表せ．但し，logは常用対数，lnは自然対数とし，log(𝐼2 ) = ln(𝐼2 )/ln(10)を用いてもよい．

(4) 弱反転領域において，ドレイン電流𝐼2 はexp ((5) 𝐼2 を一桁増加させるのに必要なΔ𝑉) の大きさをサブスレッショルド係数 𝑆（V/decade）と呼ぶ．
前問(4)の結果を用いて 𝑆 を𝑞，𝑘，𝑇，𝑚を用いて表し，𝑆 の最小値がln(10) 𝑘𝑇⁄𝑞 で与えられることを示せ．
(6) ln(10) 𝑘𝑇⁄𝑞は室温で約 60 mV/decade であり，𝑆 がこの値に近づくほど，トランジスタの動作
電圧を下げることができる．𝑆 を最小値に近づけるには，酸化膜の厚み及び酸化膜の誘電率をどのようにすればよいか，また半導体のドープ量をどのようにすればよいか．設問(2)，(3)，および(5)を参考にして，それぞれ答えよ．

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Answer the following questions【Q1】,【Q2】and write the number of the selected question on
the answer sheet.
【Q1】Answer the following questions concerning a pn junction diode, composed of p-type region withan acceptor concentration NA and n-type region with a donor concentration ND. Here, the elementary charge
is q, and the intrinsic carrier concentration is ni.
(1) The free electron concentration in a p-type semiconductor npo and the free electron concentration in an ntype semiconductor nno under the equilibrium condition (applied voltage: V = 0) are given by the following
equations.
$

%$

$

%$

𝑛!" = 𝑁# exp (− !"&' #" *, 𝑛(" = 𝑁# exp (− !$&' #$ *where NC is the effective density of states in the conduction band, ECp and ECn are the bottoms of the
conduction bands in the p-type and n-type semiconductors, respectively, EFp and EFn are the Fermi levels in
the p-type and n-type semiconductors, respectively, k is the Boltzmann’s constant, and T is the absolutetemperature. Derive an equation for the diffusion voltage Vd using the equations above, and express Vd with
NA, ND, ni, k, T, and q.

(2) Sketch the band diagram for the diode under the reverse bias condition (applied voltage: VR). Draw the ptype and n-type regions at the left and right sides, respectively. The energy positions of the top of thevalence band EVp and EVn, the bottom of the conduction band ECp and ECn, the Fermi level EFp and EFn, andthe diffusion voltage Vd should be given in the drawing. Moreover, show the edge positions - xp and xn ofthe depletion region in p-type and n-type semiconductors, respectively. Here, the pn junction interface
position is x=0.

(3) Describe the Poisson’s equation for the depletion region (- xp ≦x≦xn) under the reverse bias condition(applied voltage: VR), and derive an equation of the electric field E(x) in the depletion region. Here, thepermittivity of the semiconductor is εs.

(4) The electric fields in the n-type region and the p-type region become equal at x = 0. Show the ratio of xp
to xn by using NA and ND.

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(5) When a reverse bias is applied to the pn junction, the width of the depletion region becomes 11.0 μm.
Here, the depletion layer widths of p-type and n-type regions are 10.0 μm and 1.0 μm, respectively. Here,the donor concentration in the n-type region ND is 2.0×1021 m-3 and the intrinsic carrier concentration in
the semiconductor is 1.5×1016 m-3.
① Answer the free electron concentration in the neutral region of the p-type semiconductor.
② The acceptor concentration in the p-type region was changed into 1.0×1020 m-3, with keeping thedonor concentration in the n-type region constant. Then, a reverse bias was applied to the pn junction to
make the depletion layer width of the n-type region to be 2.0 μm. Answer the depletion layer width ofthe p-type region.

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【Q2】Answer the following questions concerning a field-effect transistor with a metal-oxidesemiconductor structure (MOSFET). The work function of the gate metal is assumed to be equal to that of
the semiconductor, there is no charge in the oxide, and there are no interface levels at the oxide-semiconductor
interface. The source electrode and the semiconductor substrate are grounded, and a sufficiently small voltage
is applied to the drain electrode.

Metal gate

Oxide

Semiconductor

Metal gate

Oxide

Semiconductor
EC
EFS
EV

EC
qVG

EFS
EV

EFM

qfS

EFM

0
Fig. 1. A band diagram at VG = 0 V.

W

x

Fig. 2. A band diagram at VG > 0 V(weak inversion).

(1) Fig. 1 shows the band diagram of the metal-oxide-semiconductor structure when the gate voltage 𝑉) is
0 V. 𝐸*+ represents the Fermi level of the metal, and 𝐸*, , 𝐸# , and 𝐸- represent the Fermi level of thesemiconductor, the bottom of the conduction band, and the top of the valence band, respectively. Answer
whether this MOSFET is a p-channel FET or an n-channel FET.
(2) Fig. 2 shows the band diagram when a positive gate voltage (below the threshold voltage) is applied forweak inversion. The elementary charge is 𝑞 , the permittivity of the semiconductor is 𝜀, , the acceptor
concentration is 𝑁. , the electric potential inside the semiconductor is 𝜙, and the distance from the interface
is 𝑥 as shown in Fig. 2. The Poisson’s equation for the potential in the depletion layer of the semiconductor
is as follows.
𝑑/ 𝜙 𝑞𝑁.
=𝑑𝑥 /𝜀,
If the surface potential of the semiconductor is 𝜙, (> 0) and the thickness of the depletion layer is 𝑊 as inFig. 2, express 𝑊 using 𝜙, .

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専 門 科 目 (Specialized subjects)(27 / 27)
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(3) Let 𝐶01 be the oxide capacitance per unit area and 𝐶2 be the depletion layer capacitance per unit area.
Since 𝐶2 = 𝜀, ⁄𝑊 , 𝐶2 is a function of 𝑉) , which is approximated as constant in the weak inversion region;
𝐶2 ⁄𝐶01 = 𝑚 (constant). Suppose that in the weak inversion region, when 𝑉) is slightly increased by Δ𝑉) ,the surface potential of the semiconductor increases by Δ𝜙, . Express Δ𝜙, using Δ𝑉) and 𝑚.
𝑞𝜙(4) In the weak inversion region, the drain current 𝐼2 shall be proportional to exp ( ,>𝑘𝑇*. Here, 𝑘 is theBoltzmann’s constant, and 𝑇 is the absolute temperature. Express the change in log(𝐼2 ) (Δlog(𝐼2 )) by using
Δ𝑉) and 𝑚 when the gate voltage changes by Δ𝑉) (the surface potential of the semiconductor changes byΔ𝜙, ). You may use log(𝐼2 ) = ln(𝐼2 )/ln(10), where log is the ordinary logarithm and ln is the natural
logarithm.
(5) The magnitude of Δ𝑉) required to increase 𝐼2 by one order is called the subthreshold factor 𝑆 (V/decade).
Express 𝑆 using 𝑞, 𝑘, 𝑇, and 𝑚 using the results in the previous question (4), and prove that the minimum
value of 𝑆 is given by ln(10) 𝑘𝑇⁄𝑞.
(6) ln(10) 𝑘𝑇⁄𝑞 is about 60 mV/decade at room temperature. The closer 𝑆 is to this value, the lower theoperation voltage of the MOSFET could be. Answer how to design the oxide thickness, the oxide permittivity,
and the semiconductor doping level to bring 𝑆 close to the minimum value, with reference to questions (2),(3), and (5).