応用数学Ⅱ：書き込み式ノート

フーリエ解析とその応用（知能機械学科，バージョン3）

担当：綴木 馴1

●今までの電気回路直流（direct current）と交流（alternating current）
交流といっても特に正弦波形の交流回路を扱ってきた

６０Hzの正弦波形は中国電力が苦労して作っている
中国電力が優秀だからできる．
でも一般には，ひずみ(distortion)が混ざる．
図2

●ひずみ派の解析法（フーリエ解析）と周期関数ひずみ派を解析する方法にフーリエ解析がある．
フーリエ解析は電気回路のひずみ派だけでなく，周期関数であれば，一般の解析することができる．
周期関数とは(periodic function)式を満たす

Tは周期（fundamental period)

式である．

図

例えば，式等である．

3

●周期関数の性質と例
周期関数の線形性(linearity)関数とが周期の周期関数であればその線形結合もまた，周期の周期関数となる．

(証明)
式

4

●例題
次の関数の基本周期を求めよ

（解）

5

●例題
関数とがともに周期の周期関数であるときこの２つの関数の積も周期の周期関数となることを示せ．
（解）6

●フーリエ級数

いま関数
関数を周期２πの周期関数とする．のフーリエ級数展開(Fourier series expansion)とは，三角関数の級数（三角関数級数）によって，関数をあらわそうというものである．
式

周期２πの任意の周期関数はフーリエ級数に展開できる．
周期が２πでない場合はまた後でやる．
7

●フーリエ級数２
実は周期２πの周期関数であれば，どんな関数でも，とを適当に選ぶことにより以下のようにフーリエ級数展開することができる．
式

フーリエ係数（Fourier coefficient)
式

（）

（）
8

●偶関数と奇関数任意の（）にたいして偶関数とはとなるもの

奇関数とはポイント１関数を任意の関数とするとき

式はそれぞれ，偶関数および，奇関数となる
添え字のeは偶(even)，oは(odd)をあらわす
また式は次のようにあわせる．

式式

偶関数部分
奇関数部分

9

●偶関数と奇関数２
ポイント２
偶関数と偶関数の積は偶関数となる．
奇関数と奇関数の積は偶関数となり，偶関数と奇関数の積は奇関数となる
ポイント３
式，式をそれぞれ偶関数，奇関数とする，このとき式となる．

10

●フーリエ級数計算のコツ（１）偶関数 式のフーリエ係数は，計算しなくても式である．

フーリエ係数（Fourier coefficient)式

理由：

ポイント２の積より，偶関数式

式と奇関数式は奇関数である．

よって ポイント３ より式

11

●フーリエ級数計算のコツ（２）奇関数 式のフーリエ係数は，計算しなくても式である．

フーリエ係数（Fourier coefficient)式

理由：

ポイント２の積より，奇関数式

式と偶関数式は奇関数である．

よって ポイント３ より式

12

●フーリエ級数計算のコツ（３）ポイント１ より，任意の関数式は以下の様に分解できる式

よって，関数のフーリエ係数は以下のように計算できる式

コツ（１），（２）の結果ら明らか別の理解の仕方
関数の偶関数部分の奇関数部分のフーリエ係数はと ０のフーリエ係数は ０ と13

●フーリエ級数計算のコツ（４）フーリエ変形数の線形性について超重要！

関数
関数

式

式のフーリエ係数を 式のフーリエ係数を 式

このとき，関数式とする．

式のフーリエ係数はとなる．（ただし，，は定数．）

この性質をフーリエ係数の線形性という．

14

●例題１
関数をによって周期的に拡張した関数をフーリエ級数展開せよ．
図

ヒント：

を奇関数部分偶関数部分とに分け，コツ（４） を駆使せよ．

15

●例題１（続き１）解の奇関数部分をと置くと，は式をによって周期的に拡張した関数である．

図

また，の偶関数部分を式と置くと，はとなる．

図16

●例題１（続き２）解のフーリエ系数 式

は 式のフーリエ系数 式

はのフーリエ系数 式

はのフーリエ系数 式

は 式式

式

17

●例題１（続き３）解

よって コツ（４） フーリエ係数の線形性より，
式

以上から関数式のフーリエ級数展開は式と求まる．

18

●例題１（続き４）
1.2

1.2
1.0/2.0+2.0/3.14*(sin(x)+1.0/3.0*sin(3.0*x)+1.0/5.0*sin(5.0*x))

1.0/2.0+2.0/3.14*(sin(x)+1.0/3.0*sin(3.0*x))

1.2.14*(sin(x)+1.0/3.0*sin(3.0*x)+1.0/5.0*sin(5.0*x)+1.0/7.0*sin(7.0*x))1110.80.80.80.60.60.60.40.40.4

0.20.20.2000-0.2-202468

1012-0.2-2024

m=268

1012-0.2-2

110.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

0002

4

6m=58

1012 -0.2-20m=∞で元の関数

24

68

10

12-0.2-20m=6式

46m=4810

121.2.0*x)+1.0/9.0*sin(9.0*x)+1.0/11.0*sin(11.0*x)+1.0/13.0*sin(13.0*x))

1.2n(5.0*x)+1.0/7.0*sin(7.0*x)+1.0/9.0*sin(9.0*x)+1.0/11.0*sin(11.0*x))102m=31.2*sin(3.0*x)+1.0/5.0*sin(5.0*x)+1.0/7.0*sin(7.0*x)+1.0/9.0*sin(9.0*x)-0.2-20246810m=7と等価になる．

1912

●例題２関数をによって周期的に拡張した関数をフーリエ級数展開せよ．
図

ヒント：
コツ（１）

は偶関数．
より，式は考えなくても式20

●例題２（続き１）
解21

●例題２（続き２）
解

3.5
3
2.52
1.5
1
0.50-10

3.14/2.0-4.0/3.14*(cos(x)+cos(3.0*x)/9.0+cos(5.0*x)/25.0)-50m=352210

●例題３関数をによって周期的に拡張した関数

をフーリエ級数展開せよ．
図23

●例題３（続き１）
解24

●例題３（続き２）解43210-1-2-3-4-10

n=42.0*(sin(x)-sin(2.0*x)/2.0+sin(3.0*x)/3.0-sin(4.0*x)/4.0)

-50

510

n=84(3.0*x)/3.0-sin(4.0*x)/4.0+sin(5.0*x)/5.0-sin(6.0*x)/6.0+sin(7.0*x)/7.0-sin(8.0*x)/8.0)
32
10-1-2-3-4-10-5051025

●一般の周期を持つ周期関数に対するフーリエ級数
関数を周期の周期関数とする．

この関数をフーリエ級数展開することを考える．
□考え方□
周期の周期関数 の展開法ついてはもう知っている．

周期の周期関数

周期の周期関数 の関数に変換できる．

をスケール変換することで関数をスケール変換し，スケール変換した関数の級数展開をスケール逆変換すればいい．
26

●スケール変換の方法
変換前

変換後

周期変数関数
このときとの間には次の関係がある．
式

導出法：
よって，関数関数のとき =であるのでとおいて を求める===をスケール変換して得られる＝式

は周期の周期関数となり（次のページへ）27

●スケール変換の方法２式＝とフーリエ級数展開できる．
を変数式に戻すと式=により，=となる．

一方フーリエ係数は式28

●例題１（一般の周期関数）
関数をによって周期的に拡張した関数をフーリエ級数展開せよ．
解

29

解（の続き）30

●例題２（一般の周期関数）
関数をによって周期的に拡張した関数をフーリエ級数展開せよ．
解

31

解（の続き）32

●これからの流れ
１．複素フーリエ級数
実は，フーリエ係数こそが波のスペクトルをあらわす．
すなわち，フーリエ変換されたモノである．
しかしとと言う様に二つもあっては困る．
よって，一つの係数に統一する．
２．離散フーリエ変換
複素フーリエ係数こそが離散フーリエ変換されたモノ．
３．線形ＲＬＣ回路
電気回路を解析してみる．
４．線形システム
５．連続フーリエ変換が整数ではなく，実数を取る場合を考える．

33

●オイラーの公式
オイラーの公式
電気系の本では，通常以下のような表記を行うが，物理・数学系の本ではとすることが多い．本稿では，引き続き物理・数学系の表記を取ることにする．
電気系の表記を取るときはその都度，注意を促す．
34

●ド・モアブル（de Moivre)の公式
オイラーの公式に（１）を代入すると（２）式（１），（２）の和と差を取ることにより，式次のド・モアブルの公式を得る．
，

35

●複素フーリエ級数
ド・モアブルの公式，をフーリエ級数展開の式に代入すると，式となる，ここで，複素フーリエ係数を式と定義すると，次で与えられる複素フーリエ級数展開の式が得られる．
式（ここは小さい字で書いてね）

36

●複素フーリエ係数フーリエ係数をに代入すると，式（３行）

複素フーリエ係数複素フーリエ係数に対し，今までのフーリエ係数を実フーリエ係数という．

を得る．
37

●一般の周期の場合の複素フーリエ級数展開
周期の場合の複素フーリエ級数を考える．
とおくことができる．

（座標の上では，周期との間にであると考える．）の関係があるとするならとなり，よってと求まる．となり，と一般の周期の場合の複素フーリエ級数展開の式が得られる． 38

●一般の周期の場合の複素フーリエ係数
同様に周期座標の場合の複素フーリエ級数を考える．

上において複素フーリエ級数を以下のように置くと，が成り立つ．
及びより，と一般の周期の場合の複素フーリエ係数が得られる．

39

●離散フーリエ変換が周期の周期関数とするとき，その，離散フーリエ変換は次で与えられる．

「複素フーリエ係数の式」

理工学では，を求めることををスペクトル（SPECTRUM)と呼ぶ．のスペクトルを調べるとか，をスペクトルに分解するとか言う．

逆フーリエ変換は次の式で与えられる．

「複素フーリエ級数展開の式」

40

離散でない場合や周期関数でない場合は連続フーリエ変換を使う

●スペクトルの例（光）事前知識

１．太陽光はいろいろな周波数を持つ光の集まりである．
２．光の色はその周波数によって決まる．
３．いろいろな色の光が集まって太陽光となっている．
異なる周波数の光は屈折率が違う．
太陽光をプリズムに通すと，色が分解して現れる（分光）．
分光された光の強さの分布がスペクトル．

分光された番目の光の強度は赤で与えられる．

41

●光について（補足）１．光は物に当ると反射・吸収・透過する．
２．吸収された光は見えないが反射・透過した光は「色」として見える．

カボチャが橙色に見えるのはスペクトルの中の赤や橙色の光を反射して青や青紫の色を吸収しているからである．
物が光を反射や透過して見える色を物体色と呼ぶ．

42

●スペクトルについての例題１関数
ただし，が実数のときには，はの複素供役（，ただし， ととなることを示せ．のときは実数）解

43

●スペクトルについての例題２関数（）をによって周期的に拡張した関数のスペクトルを調べよ．

（豆知識）このような波形をのこぎり派と呼ぶ．電気工学では，テレビの走査線の調整に用いる-T０T２T

３T４T５T解44●スペクトルについての例題２（つづき）
解

3.5
3.02.52.01.51.00.5450.0-10-5０510

●複素直交関数系

重要！
（これからよく使う）

任意の整数，に対して，＝が成り立つ．
ただし， は複素共役を意味する．すなわち．

この成立を，複素関数直交関数系がなされている，と言う
言い換えればが値を持つのはその値はである

こっちの方をむしろよく使うのときのみで46

●複素直交関数系の証明
（証明）

（ｉ）

（ii）

47

●例題（逆変換の確認）
離散逆フーリエ変換：を離散フーリエ変換：
すると元に戻ることを確認せよ．
解48

●離散フーリエ変換の微分
周期の周期関数の離散逆フーリエ変換が項別に微分できるとすると，となる．
とおくと，よって離散フーリエ変換の微分はと求まる．
49

●離散フーリエ変換の積分１周期の周期関数の離散逆フーリエ変換が項別に積分できるとする．

このとき関数を不定積分した関数をとすると，分離

ここで，がを除く和を意味するものとすると，となるので，項別に積分すると

よって

50

●離散フーリエ変換の積分２元の式を展開するととなる，この式と以下の式を比較すると，（対応している箇所）

よって，次の離散フーリエ変換を積分した式が得られる．

単にで割れば良いだけ51

●演習問題１
周期関数が偶関数であれば，その複素フーリエ係数は実数となることを示せ，また，奇関数であれば純虚数となることを示せ．
解52

●演習問題２
ド・モアブルの公式を利用して，次の複素フーリエ級数展開を求めよ．
（１）
解

（２）

（１）

より

（２）

より

53

●整流回路（１）半波整流回路・ダイオードが１個で済む最も簡単な回路．
・交流の半サイクルのみ整流．
図S-1・小電流負荷の場合によく使用される．
・出力リップル（脈動）は電源周波数と同じになる．
・ダイオードの逆耐電圧は、トランス２次側交流電圧の３倍以上必要．

（２）両波整流回路・センタ・タップ付のトランスを使って半波整流回路で利用しなかった
残りの半サイクルも整流する回路．
・出力リップルは電源周波数の２倍になる．
・ダイオードの逆耐電圧は、トランス２次側交流電圧の３倍以上必要．

図S-2

54

●両波整流回路のスペクトル分析１
分析を簡単化するために，図S-2からコンデンサを取り去った以下の図S-3を考える．
出力

入力

図S-3

この回路において，入力電圧をとすれば，その出力電圧がになることが知られている．
この整流回路の出力電圧のスペクトルを求める．のグラフ
55

●両波整流回路のスペクトル分析２スペクトルを求めるにはここでの周期はを離散フーリエ変換すれば良い．
であるので，

2.2
2.0

ド・モアブルの定理を使うと

1.8
1.6
1.41.2
1.00.80.6

この間の計算は次ページ演習

0.40.20.0とのスペクトルが求まる-0.2024685610●演習問題（両波整流回路のスペクトル分析の計算）
前ページのが成り立つことを確認せよ．

解57

●線形システム
線形性をもつ系を線形システム(linear system)と呼ぶ
ここからは，これまでの知見を元に，周期的な外力（これを励振ともいう）を受ける，特に電気回路の線形システムの解析を行っていく．
線形システムでは，重ね合わせの原理がなりたつ．
線形性により，いくつかの解を足し合わせて（重ね合わせて）新しい解を作ること電気回路もフーリエ変換も線形性が成り立つ．
ここからはそれらの密接な関係を見ていく．
58

●線形RLC回路１図のようなRLC回路を考える．キャパシタに蓄えられる電荷をとすると，回路に流れる電流は次の式で与えられる．

さらに電圧源の電圧を次の式が得られる．

とおくと，キルヒホッフの第二法則よりであるのでを代入するとこの式の解を求める

59

●線形RLC回路２（定常解の解法）
いま，電圧源すなわち，が角周波数の周波波形であるとする．

は周期の周期関数とする．

以後の計算を簡単化するためにを以下のように複素フーリエ級数に展開する．
対応している

ここで，対応している

一般にこう書けるは複素数であり，複素振幅と呼ばれる．
←この式の線形性からで置き換えた式の解ををまずは求める．

60

●線形RLC回路３（定常解の解法）を求めることができれば，とすることでの解は，ここからはと同様にが求まる．
(★)の重ね合わせで求まる．
を実際に求める．
を複素フーリエ級数に展開することでを以下のように置く．

であるので(★)式にを代入すると次のようになる（次ページ演習），
よって，と，フーリヘ級数展開を用いることで特解を簡単に求めることができる．

61

●線形RLC回路４（演習問題）にを代入することで，を求めよ．
解62

●一般化された線形システム1
これまでの話しをより一般的にまとめてみる．
電圧を加えたときの出力として電荷が得られていると考えられる．

入力から出力への対応関係を数式にすると以下のようになる．

は関数関係とか微分演算とかを意味する．
数学的にはからを決める規則を与えている．
これを から への写像 (map)と言う．
電気回路の場合，を複素数として，このは以下の二つの式を満たしている．

（１）
（２）
63

●一般化された線形システム２

一般に上図のように入力に対し出力を対応させるシステムが，以下の性質を満たすとき，これを線形システムという．
（１）（２）
いま入力が周期関数でで与えられるとする．このとき線形システムの出力はとなる．
つまりに対する応答が分かっていれば，一般の周期入力に対応する応答を調べることができる．

64

●演習問題１（線形システム）

上図のRLC回路に下図に示すような方形波列が入力されたときの定常出力を求めよ．

ヒント：を使う．

65

●演習問題１（線形システム）その２
解66

●演習問題２（線形システム）
左図の回路に，ノコギリ派（を加えたときの定常解）を求めよ

ヒントを使う．
１．まず２．次にを求める．
を求める．

67

●演習問題２（線形システム）ー２解68

●演習問題２（線形システム）ー３解69●非周期関数１
非周期関数とは，周期のない関数，すなわちを満たすが存在しない関数である．
非周期関数は，周期関数の周期が考えることができる．となったものと1（例１）ソリトン：粒子のような性格を持った非線形波動として，ソリトンと呼ばれる．パルス波が理工学の様々な分野に現れる．
ソリトンは，各時刻で次のような単一パルス波形をしており，の非周期波形として

1/cosh(x)

0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0-10-501

あるいは，5101/cosh(x)**2

0.90.80.70.6
0.50.40.3とあらわされる．

0.2700.10-10-50510●非周期関数２（例２）概周期関数
において，で比を無理数とすると，は非周期関数となる．これを概周期関数と呼ぶ．
意味は，厳密に言うと周期関数ではないが，おおむね周期的と言う意味である．無理数を小数点以下第位までで打ち切った数をとするとは周期の周期関数である．ここでとすると，はになると考えられるので，この場合もやはり概周期関数は周期関数の極限と考えることができる．
21.5
10.50-0.5-1-1.5-2-20sin(x) + sin(3.1415926535*x)-15-10-50510152071

●フーリエ変換（まずはフーリエ積分公式）
フーリエ積分公式
これまで非周期関数とは周期関数の周期とした極限であることを確認した．

を

ここからは，周期の周期関数に対する離散フーリエ変換がでどのようになるかを考察し，非周期関数に対するフーリエ変換を導入する．
周期関数の周期関数を考える．
が複素フーリエ級数に展開できるとすると（１）（２）式（１）に式（２）を代入すると，フーリエ積分公式
右辺を関数が得られるに対するフーリエ積分表示と呼ぶ．

72

●演習問題（フーリエ積分公式の導出１）（１）（２）
式（１）に式（２）を代入することで，フーリエ積分公式を求めよ．

解73

●演習問題（フーリエ積分公式の導出２）解

74

●離散フーリエ変換の復習

フーリエ係数を求めること（離散フーリエ変換すること）は周期関数をフーリエ係数の組みに変換することであり，逆にフーリエ係数からを求めること（離散逆フーリエ変換すること）ははこの変換の逆変換を行うことである．
このような立場から，フーリエ積分公式を次のページのように置き直すことができる75

●（連続）フーリエ変換
フーリエ積分公式を次のように置き換える．

関数
関数を関数を関数のフーリエ変換（Fourier transform）のフーリエ逆変換（Fourier inverse transform）という

以下，フーリエ変換を行う写像をまた，であらわすことにする．の逆写像であるフーリエ逆変換をであらわす．
76

●（連続）フーリエ変換ー２
フーリエ変換とフーリエ逆変換の公式の対称性を良くするためにフーリエ逆変換の式の右辺の積分係数
その代わりにフーリエ変換の式の右辺につまり，をに改めを掛けても良い．

としても良い．上のペアを使うかしたのペアを使うかは本や論文によって異なるから注意を要する．
本講義では，上のペアを用いることにする．
77

●演習１次の非周期関数をフーリエ変換せよ｛0解

1(1/x)*sin(x)

0.8
0.6
0.4
0.2
0-0.2-0.4-15-10-5051015

78

●演習２次の非周期関数をフーリエ変換せよ

解2
1.8
1.6
1.4
1.2
10.8
0.6
0.4
0.2
0-15

2/(1+x*x)

79-10-5051015