弱値と一般擬確率分布
中嶋 慧
平成 30 年 3 月 22 日

このノートは、論文 [1, 2]、特に [1] を解読したものである。

目次
1弱測定

12

擬確率測度

33

Hashed operator
3.1 引数が実数の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 引数が複素数の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 擬確率測度の一致 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55781弱測定
注目系 S の物理量 A がポインター系 E の重心運動量 P と結合しているとする：

Hint (t) = G(t)AP.

(1.1)

A および、注目系の別の物理量 B は、(論文 [1] より一般性を落とし、) 離散固有値を持つとする:∑(1.2)A =an |an ⟩⟨an |,n

B =∑bk |bk ⟩⟨bk |.

(1.3)

kbk に縮退はないとする。
合成系の初期状態は相関がなく、注目系の初期状態を |ϕ⟩, ポインター系の初期状態を |ψ⟩ とする。
Hint (t) の相互作用の後の状態は (フリー・ハミルトニアンを無視して)∫g−igAP|Ψ ⟩ = e|ϕ⟩|ψ⟩, g = G(t)(1.4)
gである。相互作用後に、注目系の B を測定し、b が観測されたとする。測定後の状態 |ΨB=b ⟩ は、

|ΨgB=b ⟩ =|Ψ̃b ⟩, |Ψ̃b ⟩ = |b⟩⟨b|Ψg ⟩|⟨Ψ̃b |Ψ̃b ⟩|1/21(1.5)

である。これは、def|ψ̃b ⟩ = ⟨b|Ψg ⟩(1.6)

を使って、|ΨgB=b ⟩ =|b⟩|ψ̃b ⟩|⟨ψ̃b |ψ̃b ⟩|1/2(1.7)と書ける。注目系の状態は、

ρgB=b = TrS (|ΨgB=b ⟩⟨ΨgB=b |)gg= |ψB=b⟩⟨ψB=b|,(1.8)

eiθ |ψ̃b ⟩|⟨ψ̃b |ψ̃b ⟩|1/2(1.9)

g|ψB=b⟩ =と書ける。θ は実数である。|ψ̃b ⟩ は、|ψ̃b ⟩ = ⟨b|e−igAP |ϕ⟩|ψ⟩∑=⟨b|an ⟩⟨an |ϕ⟩e−igan P |ψ⟩n≡∑ϕn,b e−igan P |ψ⟩(1.10)

ϕ∗n,b ϕm,b ⟨ψ|eig(an −am )P |ψ⟩(1.11)nである。よって、⟨ψ̃b |ψ̃b ⟩ =∑n,mである。
ここで、g が非常に小さい場合 (弱測定) を考える。また、⟨ψ|P |ψ⟩ = 0(1.12)を仮定する。このとき、⟨ψ|eig(an −am )P |ψ⟩ = 1 + O(g 2 )(1.13)である。よって、⟨ψ̃b |ψ̃b ⟩ = |∑ϕn,b |2 + O(g 2 )n= |⟨b|ϕ⟩|2 + O(g 2 )(1.14)なので、θ を適当に選んで、
g|ψB=b⟩ =∑ ⟨b|an ⟩⟨an |ϕ⟩n⟨b|ϕ⟩e−igan P |ψ⟩ + O(g 2 )(1.15)を得る。ここで、⟨b|an ⟩⟨an |ϕ⟩⟨b|ϕ⟩2は弱値である 1) 。
今、

∑EA (∆) =Πa(1.16)a∈σ(A)∩∆とする。ここで、σ(A) は A の固有値の集合で、Πa は固有値 a の空間への射影子で、a が縮退していないなら、Πa = |a⟩⟨a| である。ポインターの重心 X の固有状態を |x⟩ とし、
defggψB=b(x) = ⟨x|ψB=b⟩(1.17)とすると、
gψB=b(x) =∑ ⟨b|E(a)|ϕ⟩⟨b|ϕ⟩a∫ψ(x − ga)dνb (a) ψ(x − ga)=(1.18)となる。ただし、
defνb (∆) =∑ ⟨b|E(∆)|ϕ⟩a⟨b|ϕ⟩(1.19)と置いた。

擬確率測度2ρgB=b のウィグナー関数は、∫gW ψB=b (x, p) =dy gg(x − y/2)eipy(x + y/2)]∗ ψB=b[ψ2π B=b(2.1)

である。これは、g∫W ψB=b (x, p) =dy ipye
R 2π∫R2d(νb∗ ⊗ νb )(a′1 , a′2 ) ψ ∗ (x − ga′1 + y/2)ψ(x − ga′2 − y/2)(2.2)と書ける。
今、( )( )a1a′1= T,a2a′2()
1/2 1/2def
T =−1/2 1/2(2.3)(2.4)とし、擬確率測度をdef
˜˜ def˜µϕA (∆|B= b) = T (νb∗ ⊗ νb )(∆)= (νb∗ ⊗ νb )(T −1 ∆)1)

物理量 A の、初期状態 |ϕi ⟩, 終状態 |ϕf ⟩ での弱値は、⟨ϕf |A|ϕi ⟩⟨ϕf |ϕi ⟩である。

3(2.5)

˜ は 2 次元の領域である。すると、a = a1 + ia2 として、で導入する。∆∫g
ψB=bW(x, p) =dµϕA (a|B = b) W ψ (x − ga1 , p)e−i2ga2 p(2.6)

Cを得る。ここで、W ψ は ψ のウィグナー関数。
今、{µϕA (a|B = b) b ∈ σ(B)defϕµA (a|B = b) =indefiniteb∈/ σ(B)(2.7)とする。また、def ⟨ϕ|EC (∆)|ϕ⟩µϕC (∆) =(C = A, B)(2.8)

˜ A |B = b)dµϕB (b)µϕA (∆(2.9)⟨ϕ|ϕ⟩とする。同時擬確率測度を、
def

˜ A × ∆B ) =µϕA,B (∆∫∆B˜ A は実 2 次元, ∆B は 1 次元の領域である。
で定義する。∆µϕA (C|B = b) = 1(2.10)µϕA,B (C × ∆B ) = µϕB (∆B )(2.11)

なので、である。また、以下に示すように、

˜ A)
˜ A × R) = µ̃ϕ (∆µϕA,B (∆A(2.12)である。ただし、˜⟨ϕ|ẼA (∆)|ϕ⟩˜ defµ̃ϕA (∆)=,⟨ϕ|ϕ⟩(2.13)ẼA (∆1 × ∆2 ) = EA (∆1 )E0 (∆2 )(2.14)

で、E0 はデルタ・スペクトル測度{E0 (∆) =1 (0 ∈ ∆)0 (0 ∈/ ∆)(2.15)である。さて、˜ A × R) =µϕA,B (∆∑˜ A )|⟨b|ϕ⟩|2(νb∗ ⊗ νb )(T −1 ∆b˜ A)≡ µ(T −1 ∆(2.16)

である。ただし、def

˜ A) =µ(∆∑˜ A )|⟨b|ϕ⟩|2(νb∗ ⊗ νb )(∆b4(2.17)

であり、µ(∆1 × ∆2 ) =∑⟨ϕ|EA (∆1 )|b⟩⟨b|EA (∆2 )|ϕ⟩bである。これは、= ⟨ϕ|EA (∆1 )EA (∆2 )|ϕ⟩(2.18)

dµϕA (a) χ∆1 (a)χ∆2 (a) ≡ Idiag (χ∆1 χ∆2 )(2.19)∫µ(∆1 × ∆2 ) =Rと書ける。ただし、defIdiag (f ) =∫ ∫RdµϕA (a) f (a, a).

(2.20)よって、

˜ A × R) = µ(T −1 ∆˜ A)µϕA,B (∆
= Idiag (χT −1 ∆˜ A)∫=dµϕA (a) χT −1 ∆˜ A (a, a)R∫=dµϕA (a) χ∆˜ A (a, 0)
R˜ A )|ϕ⟩= ⟨ϕ|ẼA (∆˜ A ).
= µ̃ϕ (∆(2.21)

A3Hashed operator

3.1

引数が実数の場合#(s, t) を、A, B の関数で、A, B を c 数 a, b に置き換えた時 ei(sa+tb) となり、#(s, 0) = eisA ,(3.1)

itB

(3.2)

#(0, t) = eとなる演算子とする。例えば、
 i(sA+tB)e eisA eitB#(s, t) =eitB eisA∑n
 n iαk sA iβk tB ∑nΠk=1 ee( k=1 αk = 1,k=1 βk = 1)

(3.3)

や、これらの線形結合である。例えば、#(s, t) =1 − α isA itB 1 + α itB isAe e +e e22(3.4)

や、

(∫ ∞

∫ ∞
#(s, t) =−∞defsdk G(k)#k (s, t)s#k (s, t) = ei 2 (1−k)A eitB ei 2 (1+k)A5)
dk G(k) = 1 ,(3.5)

−∞

(3.6)

でも良い。
擬確率分布を∫

dsdt −i(sa+tb)e
Tr[#(s, t)ρ](2π)2
≡ Tr[Π# (a, b)ρ],∫dsdt −i(sa+tb)
def
Π# (a, b) =e#(s, t)(2π)2def

W# (a, b) =で定義する。古典量 f (a, b) の量子化 Q# [f (q, p)] は、∫def
Q# [f (a, b)] =dadb f (a, b)Π# (a, b)で定義する。期待値は、

(3.8)

(3.9)

∫⟨Q# [f (a, b)]⟩ = Tr(Q# [f (a, b)]ρ) =dadb f (a, b)W# (q, p)と書ける。
W# (a, b) を a(または b) で積分したものは、b(または a) の確率分布となる。実際、
∫∫
∫
dsdt
db Π# (a, b) =db e−i(sa+tb) #(s, t)(2π)2∫dsdt −isae
δ(t)#(s, t)=2π∫ds −isa=e#(s, 0)2π∫
ds is(A−a)=e2π= δ(A − a)
なので、

(3.7)

(3.10)(3.11)∫db W# (a, b) = Tr[δ(A − a)ρ] ≡ W (a)(3.12)

は a の確率分布である。 同様に、
∫da W# (a, b) = Tr[δ(B − b)ρ] ≡ W (b).

(3.13)

また、

Q# [f (a)] = f (A), Q# [g(b)] = g(B)である。
Q# [an bm ] は、

(3.14)∫
Q# [a b ] =n m

dadb an bm Π# (a, b)∫∫
dsdt n m −i(sa+tb)
=dadb
a b e
#(s, t)(2π)2∫∫dsdt ∂ n+m e−i(sa+tb)=dadb#(s, t)(2π)2 ∂(−is)n ∂(−it)m∫∫dsdt ∂ n+m #(s, t)=dadb e−i(sa+tb)(2π)2 ∂(is)n ∂(it)m∂ n+m #(s, t)=∂(is)n ∂(it)m s=0,t=06(3.15)

で与えられる。

3.2

引数が複素数の場合

a, s を複素数とする。s = s1 + is2 とかく。#(s, t) を、A, B の関数で、#(s, 0) = eis1 A ,#(0, t) = e(3.16)

itB(3.17)となる演算子とする。例えば、
def#αcnv (s, t) = ei⟨s,(1−α)/2⟩A eitB ei⟨s,(1+α)/2⟩A(3.18)である。ただし、⟨s1 + is2 , a1 + ia2 ⟩ = s1 a1 + s2 a2(3.19)であり、α は複素数である。
擬確率分布を∫d2 sdt −i(⟨s,a⟩+tb)
eTr[#(s, t)ρ](2π)3≡ Tr[Π# (a, b)ρ],∫ 2
d sdt −i(⟨s,a⟩+tb)def
Π# (a, b) =e#(s, t)(2π)3def

W# (a, b) =で定義する。古典量 f (a, b) の量子化 Q# [f (q, p)] は、∫def
Q# [f (a, b)] =d2 adb f (a, b)Π# (a, b)で定義する。期待値は、(3.21)(3.22)∫⟨Q# [f (a, b)]⟩ = Tr(Q# [f (a, b)]ρ) =d2 adb f (a, b)W# (q, p)と書ける。
W# (a, b) を a(または b) で積分したものは、b(または a) の確率分布となる。実際、
∫∫ 2∫
d sdt
db Π# (a, b) =db e−i(⟨s,a⟩+tb) #(s, t)(2π)3∫ 2d sdt −i⟨s,a⟩=e
δ(t)#(s, t)(2π)2∫d2 s −i⟨s,a⟩=e#(s, 0)(2π)2∫d2 s i(A−a1 )s1 −is2 a2=ee(2π)2= δ(A − a1 )δ(a2 )および、(3.20)(3.23)(3.24)∫
d2 a Π# (a, b) = δ(B − b)

なので、その性質が従う。

7(3.25)

3.3

擬確率測度の一致#αcnv に対応する擬確率分布は、∫ 2d sdt −i(⟨s,a⟩+tb)
αWcnv (a, b) =e⟨ϕ|ei⟨s,(1−α)/2⟩A eitB ei⟨s,(1+α)/2⟩A |ϕ⟩(2π)3(3.26)

であり、逆変換して、∫⟨ϕ|ei⟨s,(1−α)/2⟩A itB i⟨s,(1+α)/2⟩Aee|ϕ⟩ =αdWcnv(a, b) ei(⟨s,a⟩+tb) ≡ uαcnv (s, t)(3.27)である。
ϕϕ
ところで、µI (a, b) を µA,B (a, b) で T を 2 次単位行列 12 に変えたものとすると、∫dµϕI (a, b) ei(⟨s,a⟩+tb) =∑eitb ⟨ϕ|eis1 A |b⟩⟨b|eis2 A |ϕ⟩b= ⟨ϕ|eis1 A eitB eis2 A |ϕ⟩ ≡ u(s, t)(3.28)˜ A ) × ∆B )˜ A × ∆B ) = µϕ ((T −1 ∆˜ A × ∆B ) = µϕ (∆µϕA,B (∆IT(3.29)

である。また、
defである。よって、
defuϕA,B (s, t) =∫dµϕA,B (a, b) ei(⟨s,a⟩+tb) = u(t T s, t) ≡ uT (s, t)(3.30)

である。今、()(1 − α1 )/2 (1 + α1 )/2Tα =−α2 /2
α2 /2
def

(3.31)と置くと、

uTα (s, t) = uαcnv (s, t)(3.32)

uϕA,B (s, t) = uicnv (s, t).

(3.33)

を得る。T = Ti であるから、

ϕつまり、同時擬確率測度 µA,B は #icnv に対応する擬確率分布である。

参考文献[1] 李 宰河, 筒井 泉, ”Quasi-probabilities in conditioned quantum measurement and a geometric/statistical interpretation of Aharonov s weak value”, PTEP 2017.5 (2017): 052A01[2] 李 宰河, 筒井 泉, ”On Quantisations, Quasi-probabilities and the Weak Value”, arXiv:1703.06068

8