会場 G
領域 1, 11G-1

量子ウォークの周波数変調モデル
佐賀大学大学院工学系研究科 AA

平良豊 , 遠藤隆

當間光A , 草場祥 A , 香月健一郎 A , 豊島耕一 A ,A

近年量子ウォークは、量子情報への応用が期待されており、関心が高まっている。始めに、１次元（x 軸）上に並んだ一定間隔 ∆x の格子点の間を拡散する量子ウォーク（ＱＷ）を考える。ここで ẑ −1 は、k 番目の格子点 |k 〉から隣接点 |k + 1〉に移す演算子である。この場合、変位 x0 の移動は、ユニタリー変換 Û = exp(x0 (ẑ −1 − ẑ)/2∆x) で与えられる。この変換に対する厳密解は既に知られているが、両側 z 変換を用いると、簡単に計算できる。すなわち、｜k 〉を z −k に対応させると、 ẑ −1 は単に複素数（スカラ） z −1 をかけ算することになり、ベッセル関数の公式∑exp(m(z −1 − z)/2) =Jk (m)z −k を用いて波動関数の時間変化が求まる。（単純な量子ウォークはベッセル関数で表すことができる。）さらに z を単位円上に制限すると（z = exp i∆ωt）、 Û が周波数変調（ＦＭ）に一致する。この対応関係により、量子ウォークと周波数変調の間に等価性があることがわかった。従って、量子ウォークを応用した量子計算に周波数変調を利用できる。さらに、周波数スペクトルを量子状態に対応させることで、様々な量子力学のシュミレーションを容易に実行できる可能性がある。講演では、量子ウォークの周波数変調モデルとして２つの例を示す。

52

G-2

位相変調による量子ウォークの制御
佐賀大学大学院工学系研究科 AA

平良豊 , 遠藤隆

草場祥A , 當間光 A , 香月健一郎 A , 豊島耕一 A ,A

1 次元空間（x 軸）に一定の間隔 ∆x の格子点から成る系を考え、隣接格子点間のみが結合しているとする。時刻 t = 0 で、原点（k = 0）に置かれた粒子の確率分布は、時間に比例して拡散する。
∑−1
これを量子ウォークと呼ぶ。この解は、ベッセル関数の公式 exp( m− z)) =Jk (m)z −k を2 (z用いて表すことができることが知られている。我々は、これ以外の様々な初期状態に対して、数値解析によってシミュレーションを行った。
シミュレーションでは、ハミルトニアンを 100 × 100 の行列で表し、一定の幅を持つ広がった初期状態がどのように運動するかを調べた。その結果、左右に広がる解ではなく、波束が一定の速度で運動する解が得られた。これは、初期状態の各点から広がった解が干渉した結果であり、量子ウォークが位相に対して敏感に変化することを示している。また、端点があると、そこで波束が反射することもわかった。
この他に、ある 1 点の初期状態から拡散した波束を、ある時刻に一斉に位相シフトすることで、元の状態へと戻すことができると予想されるので、この現象を数値計算によって確認した。

G-3

CNT からの電界放出に伴う光の特性
佐大院 工学系研究科

A岩松亮A , 帆足亮太 A , 豊島耕一 A , 遠藤隆 A , 平良豊 A

近年、次世代の材料として期待されているcarbon nanotube（CNT）の物理特性の研究が飛躍的に進んでいる。CNT とは、グラフェンシートを円筒状に丸めたものであり、単層のもの（SWCNT）と多層のもの (MWCNT) が存在する。今回、私たちは SWCNT の電界放出における発光現象に着目し、その偏光特性などを調べた。SWCNT を真空中に設置し、−800 − 1500V の電圧をかけ、電界放出に伴う発光を観測し、冷却 CCD カメラを用いて、偏光の測定・解析を行った。Fig.1 は、今回用いたFig.1

実験装置の略図である。偏光板とウェッジプリ

相対光量ズムとを組み合わせ、それらを一体として回転090.90.8し、偏光と全光量とを同時に測定した。Fig.20.70.6

は、今回得られた偏光データである。偏光板0.5の角度に対する相対光量を示す。相対光量は全0.40.3光量で規格化している。このデータより電界0.2放出に伴う発光に偏光があることが確認できた。

0.100102030405060708090Fig.253100110120130140150160170

G-4

電子衝突によるナトリウム様イオンの角運動量移行
宮崎大学 農学工学総合研究科 A , 宮崎大学 工学部 B 秋田健一A , 五十嵐明則 B

角運動量移行（L⊥ ）は散乱面に垂直な角運動量成分の期待値で定義される。この L⊥ は原子やイオンから放出された円偏光した光を散乱電子と同時に検出することで得られるので、散乱角 θ の関数である。電子衝突による原子やイオンの S → P 遷移に注目した場合、この L⊥ (θ) は P 状態の磁気副準位 M = ±1 への遷移強度の比を表し、次式のように与えられる。

L⊥ (θ) =|f+1 (θ)|2 − |f−1 (θ)|2|f+1 (θ)|2 + |f−1 (θ)|2(1)

ここで、fM (θ) は散乱振幅を表し、−1 ≤ L⊥ (θ) ≤ 1 の値をもつ。
入射電子のエネルギーが低い領域で且つ散乱角 θ が小さいところでの L⊥ (θ) は原子とイオンで様子が異なる。原子については、さまざまな理論及び実験的研究がなされており、その全てでL⊥ (θ) は正の値を示している。これは S → PM =+1 遷移が支配的であることを表している。しかしイオンについては、L⊥ (θ) は正の値だけでなく負の値もとるという理論的な報告しかない。
秋田らは、電子衝突によるリチウム様原子系列（Li, Be+ , B2+ , C3+ ）の L⊥ (θ) を緊密結合法及び摂動論を用いて計算した。その結果、散乱電子と標的イオン間にはたらく static-exchange ポテンシャルが L⊥ (θ) の符号を決めているという報告をしている。他のイオンでもこのような傾向が見られるのか調べるため、同様の計算手法を用いて、ナトリウム様原子系列について計算を行った。計算の詳細や結果は当日に発表する。

G-5

レーザー場におけるポジトロニウムの長寿命化
宮崎大学 工学部 A

脇本裕章A , 五十嵐明則 A , 大崎明彦 A

ポジトロニウムは電子と陽電子からなる水素様の原子である。ポジトロニウムはガンマ線を出して対消滅する。その寿命は、パラ-ポジトロニウム（スピン 0）については 10−10 s, オルソ-ポジトロニウム (スピン 1) については 10−7 s 程度である。消滅速度は陽電子と電子の接触確率で決まる。一方、高周波数で高強度の単色レーザー場中の原子の電子分布は、2 原子分子のように２つに分かれて局在するようになり、レーザーによるイオン化速度が小さくなることが知られている。ポジトロニウムの場合には波動関数が分裂することで、電子と陽電子の接触確率（消滅速度）が小さくなり、レーザーを利用することで寿命を延ばすことが期待できる。Lima 等 (J. Phys. B42, 055601,2009)
は、普段に使われるレーザーでさえ４ケタも寿命が延びると報告している。しかし、彼らの見積もりにはいくつかの近似が用いられているため、実際に時間依存のシュレディンガー方程式を解くことにより彼らの結果について検討した。結果として、普段に使われているレーザーでは、ほとんど寿命が伸びないことがわかった。しかし、レーザーが高周波数、高強度になれば長寿命化は起こるはずなので、どんな周波数と強度でどれほどの長寿命化が起こるのかをシミューレーションで調べる。

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変形 S=1BLBQ 鎖における相転移と SU(3) 対称性

G-6

九州大院理 A輿石健二A , 野村清英 A

VBS 状態を固有状態にもつ次近接相互作用ハミルトニアン [1]【このハミルトニアンを、変形 S=1 bilinear-biquadratic(BLBQ) 鎖と呼ぶ】

Hp =∑1i2(Si · Si+1 +Si+1 · Si+2 )+に対して、次の β∑

1 − 4p[(Si · Si+1 )2 +(Si+1 · Si+2 )2 ]+p[Si · Si+2 −(Si · Si+2 )2 ]6(1)i 1/2(Si · Si+1 ) の項を付け加えたハミルトニアン

Hp + β∑1i2(Si · Si+1 )(2)を p と β をパラメタとして数値解析を行った。
このモデルでは、p=0、β=-2/3 で SU(3) 対称性 [2] を持ち Uimin-Lai-Sutherland(ULS)[3] による厳密解がある。さらに、糸井ら [4] は繰り込み群を使い p=0、β=-2/3(ULS 点) 付近の相転移を調べ、この ULS 点で Berezinskii-Kosterlitz-Thouless(BKT) 的転移が起こることを示した。
我々は、ULS 点周辺の p6=0 の領域でも相転移が起こると考えた。現在、SU(3) 対称性に着目して数値解析を行い、massless 相と Haldane 相の相転移について調べ, その解析結果について議論する予定である。

[1] H.Nakano, and M.Takahashi : Phys.Rev.B 54,9000 (1996)[2] I.Aﬄeck : Nucl.Phys.B 265,409 (1986); 305,582 (1988)[3] G.V.Uimin : JETP Lett. 12, 225 (1970); C.K.Lai : J.Math.Phys. 15,1675 (1974);

G-7

Duﬃng 振動子系の時間相関関数とパワースペクトル佐大医 A , 九大応力研 B , 福岡県立大 C , 九州看護福祉大 D , 福岡女子大 E 富永広貴A ,森肇 B , 石崎龍二 C , 森信之 D , 黒木昌一 E

カオス力学系は、短時間スケールでは決定論的で予測可能だが長時間スケールでは確率論的で ran-dom な運動を行う。長時間スケールの random な軌道がカオス軌道の混合性や粘性などのカオス輸送現象を生み出す。我々は、それらを捉える中心的な物理量として時間相関関数を採用し、そこに表れる二つの時間スケールによる二重構造を射影演算子の手法を用い解明することなどで、カオス輸送現象の理論構築を目指している。
今回、散逸系カオスを示す最も簡単な力学系である Duﬃng 振動子において、典型的なカオス運動を示すパラメータで、軌道変数の時間相関関数やパワースペクトルの詳細な数値実験を行った結果、上述した二重構造は時間相関関数において異なった減衰形を持った初期レジームと終期レジームと呼ぶ 2 つの領域として現われることがわかってきた。実は、論文 [2] で、Duﬃng 振動子系では終期レジームはパワースペクトルで見れば Lorentzian で表現される指数関数型減衰の形を取ると主張したのであるが、最近のより詳細な数値計算により実際は stretched exponential 型減衰であることを見出した。また、初期レジームは代数型減衰であることもわかってきたので、ご報告させていただく。
[1 ] H.Mori et al.,Prog.Theor.Phys.109(2003),333.,111(2004),635.
[2 ] H.Tominaga et al.,Prog.Theor.Phys.109(2003),575.,120(2008),635. (e-mail:hirotaka@cc.saga-u.ac.jp)[3 ] R.Ishizaki et al.,Prog.Theor.Phys.109(2003),169.,116(2006),1051.

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G-8

ローレンツ系の非双曲性と拡大率スペクトル
京都大学情報学研究科 A

宮崎修次A , 松井克仁 A

少数自由度カオス力学系において，軌道不安定性を測る局所軌道拡大率は相空間内の不変集合の複雑な構造を反映して時間的に大きく揺らぐ．その長時間平均はリヤプノフ指数と呼ばれ，その符号が正であることが，実用的なカオスの判定条件となっている．局所軌道拡大率を時間的に粗視化したもの（有限時間リヤプノフ指数）の分布を中心とする大偏差統計に基づいた研究が数多くなされ，非双曲性や分岐点近傍の長時間相関による大きな揺らぎを捉えてきた [1]．最近，共変リヤプ
ノフベクトル [2] を用いて，ローレンツ系 [3] に双曲領域と非双曲領域があることが示された [4]．
ローレンツプロットは双曲性と非双曲性の差を反映するが，局所軌道拡大率のレート関数（拡大率スペクトル）にも両者の違いが現れることを示す．

参考文献[1] H. Mori and Y. Kuramoto, Dissipative Structures and Chaos, Springer, Berlin (1998).
[2] F. Ginelli et al., Phys. Rev. Lett. 99, 130601 (2007) [4 pages].
[3] E. N. Lorenz, Journal of the Atmospheric Sciences, 20 (1963) pp. 130-141.
[4] Y. Saiki and M. U. Kobayashi, JSIAM Letters 2 (2010) pp. 107-110G-9

チャネル内の 2 次元非線形シュレディンガー方程式のソリトンの数値計算
九州大学 A , 総合理工学府 B , 量子プロセス C

影山祐介A,B,C , 坂口英継 A,B,C

ボーズ凝縮体や光ファイバ内のソリトンの振る舞いは非線形シュレディンガー方程式で記述できることが知られている。本研究では、様々なポテンシャル内のソリトンの運動を数値計算を用い調べる。非線形シュレディンガー方程式のソリトンの研究は 1 次元で研究されていることが多いが、本研究では 2 次元性を考慮し幅のあるチャネル内に閉じ込められたソリトンの運動を考えていく。
初期条件としてギンツブルランダウ方程式より 2 次元ソリトンの定常解を数値計算より求め、非線形シュレディンガー方程式よりソリトンを動かす。ここではポテンシャルを溝形ポテンシャル（チャネルポテンシャル）を考える。幅をだんだん狭めていくようなポテンシャルにおいてソリトンが反射することが確認できた。またソリトンに与える運動エネルギーによって反射するか透過するかが変わる。またその臨界エネルギーはポテンシャルの大きさによって変わることがわかった。
また非線形シュレディンガー方程式に対するラグランジアンを考えると、有効ポテンシャル中のニュートン方程式が求まる。またポテンシャルの幅が狭くなると有効ポテンシャルが大きくなることがわかる。初期波数 k が小さいと運動エネルギーが高地と低地のポテンシャル差より小さいと反射される。初期波数が大きいと高地まで乗り上げるがその分速度が小さくなる。
数値計算による結果とラグランジアンより求められる臨界エネルギーやソリトンの高さを比較することにより近似計算の妥当性について考えた。

56

G-10半導体レーザーと Rb 原子の結合系におけるカオスおよびノイズによる制御 II
福岡大理 A中島渉A , 御園雅俊 A , 宮川賢治 A

半導体レーザー（LD）の出力光強度をそのバイアス電流に帰還すると、LD 周波数がカオス的な振る舞いを示すことが知られている。我々は、これまでに、LD 出力光を Rb 原子セルに通して LDに帰還すると、Rb 原子セル透過光強度がカオス的に変動することを示した。今回、我々は LD 周
波数変動を直接的に計測するため、Mach-Zehnder 型光干渉計（M-Z 干渉計）を使用した実験を行った。
実験に用いた LD の波長は約 780.2 nm であり、Rb 原子の D2 線に同調させた。ND フィルターで光強度を下げ、アヴァランシェ・フォトダイオード (APD) で Rb セルの透過光強度を測定した。
この APD 出力を 1.1 ms 遅延させ、LD のバイアス電流に帰還した。
また、LD 出力光の一部を分岐し、M-Z 干渉計に入射させた。M-Z 干渉計は、光路差の異なる 2つの光路に光を通して干渉させるものである。M-Z 干渉計の出力光強度は光周波数に依存して変化するので、これを利用すれば LD 光周波数を測定することができる。

G-11

アルミニウムの陽極酸化における細孔形成のモデル
九州大学 A , 総合理工学府 B

趙潔A,B , 坂口英継 A,B

アルミニウム陽極酸化における細孔形成モデル アルミニウムを陽極酸化すると表面に酸化アルミニウムの緻密な保護膜ができ、これ以上錆びにくいアルミニウム材料になる。これはアルマイトと呼ばれ、アルミのやかんなどのアルミ容器に古くから利用されている。この陽極酸化で作ったアルマイトの表面にはナノ程度の孔が生じることが電子顕微鏡の観察からわかっている。
この現象は古くから知られているが，その原因などは必ずしもよく分かっていない。 この研究では結晶成長の簡便な数理モデルとして結合写像格子モデルの一種を提案し、デンドライトなどの拡散律速成長を定性的に再現できることを示した。 界面成長現象としてこの問題の新しい点は、アルミニウムと酸化アルミニウムの間の界面と酸化アルミニウムと電解液の界面の２つの界面がある点である。アルミニウム電極は一定の正の電位 V、電解液は０電位に維持されているとすると、誘電体である酸化アルミニウム中で電位はラプラス場を満たすと考えられる。2 つの界面の成長速度が界面の電位勾配の増加関数とすると、酸化アルミニウムと電解液の電位勾配の方向に成長する界面なので、界面不安定性が生じ、凸凹が増大し、細孔に発展する。一方、アルミニウムと酸化アルミニウムの界面は、電位勾配と逆方向に成長する界面なので平らな界面は本来安定と考えられるが、酸化アルミニウムと電解液の界面が接近してくるとその影響で変形する。逆に，不安定な酸化アルミニウムと電解液の界面は、本来安定なアルミニウムと酸化アルミニウムの界面に接近することで、不安定化が止まる。

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G-12

沿面放電パターンのシミュレーション
九州大学

A,総合理工学府
A,B,C

Kourkouss Mohamed SahimB

量子プロセス理工学,, 坂口英継C

A,B,C

気体（液体）中の放電ギャップの間に絶縁体が存在する場合、中心部に高電圧をかけると、絶縁体の表面に沿って樹枝状の放電路が形成される。この現象は沿面放電と呼ばれている。放電パターンに対しては DLA を拡張した Niemeyer 等の確率モデルも提案されているが、ここではパターンのダイナミクスも調べるために、電気容量 C のコンデンサと電圧依存性を持つ抵抗の決定論的（力学）モデルを考える。抵抗のコンダクタンスσは電圧とともに 2 段の階段状に変化すると仮定する。すなわち、絶縁状態、弱い放電（コロナ放電）、強い放電（沿面リーダー）の間の遷移を念頭において、２つのしきい値により、２段階にコンダクタンスσが変化すると仮定する。このコンデンサ-抵抗モデルを三角格子の上におくと、放電パターンの時間変動のシミュレーションができる。初期条件には少しランダム性を入れるが、系は空間的には一様となっている。閾値などにランダム性はない。中心の六角形部分の電位を V0 とし、＋電極とする。そして、周囲の六角形 (辺長L) を−電極とし、そこの電位を０に保つ。中心電位と電気容量を変更し、シミュレーションを行った。雷放電では、雷雲と地面との間に放電路が形成されると、一瞬の間に大電流が流れるが、放電路の形成過程は比較的ゆっくりと間欠的に起こる。即ち、放電路先端部 (リーダー) は数十メートル進んでは数十ミリ秒止まり、また数十メートル進んでという過程を繰り返し、最終的に地面に到達する。この現象はステップトリーダーと呼ばれて古くから観察されているがその原因は十分に理解されていない。我々の簡単な 2 次元モデルでも、放電路の先端の時間変化を調べると、リーダーがステップ的に成長していることがわかった。これは弱い放電（コロナ放電）と強い放電（沿面リーダー）の相互作用が原因ではないかと考えられるが、より詳しい理論的解析は今後の課題である。

G-13

壺モデルでの線形応答におけるサンプル依存性九大理 A , 東電大理工 B

野口慎平A , 吉森明 A , 小田垣孝 B

Polya の壺モデルは確率過程を表現する定義することができる。この両者を比較して一つのモデルである。統計物理で用いられるだ、平均とサンプルでの振る舞いがどのようにけでなく、接触感染の拡大や経済成長率の分布異なるのかを調べた。Cole − Cole プロットを説明するのに用いられるなど、社会現象や経すると、χは中心に対してらせん状に落ちてい済現象に広く用いられている。このモデルのくのに対して、χsam は複雑な回転を示した。

特徴は、現在の壺の状態が過去の状態に強く依存していることである。本発表では、壺モデ3ルを特徴づけるパラメタ a に摂動δa cosωt を加Cole-Cole 𥫣箼穖穪sample
mean

2

えた壺モデルの線形応答を調べる。解析する

1

手段として、壺の状態を記述するマスター方

0

程式に連続近似を導入した。こうすることに-1Im]e̲

よって、壺の状態を容易に計算することができ-2る。摂動を加えた壺のアンサンブル平均から-3、複素アドミッタンスχ(t, ω) を定義した。一-4方、平均をとらないことで、一つの壺のサン-5-4-3-2-10Re]e̲

プルに対して複素アドミッタンスχsam (t, ω) を

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12345G-143 次元単成分系のガラス転移
九大院理 A才木将史A , 松井淳 A

等方的な二体間ポテンシャルを持つようなを作り、さらに加圧すると FCC 結晶が形成

単純系で単成分の過冷却液体やガラスが安定されることを見出した。この操作によってガに存在できるのだろうか？ガラスを形成するにラス状態と FCC 結晶の安定性を議論する。

は多成分系を用いることが経験的に知られている。長時間安定な単成分のガラスが実現できる候補として、二つの極小を持つ等方的なモデル
ポテンシャルが考案されている。そのモデルのあるパラメーター領域において、圧力 0 下の冷却過程で結晶化せず、過冷却液体やガラス状態（Tg=0.69/kB ）が安定であることがわかっている。一方、初期状態を F CC 結晶にとった場合、F CC 構造は融点 (T m = 1.43/kB ) 以下で保持される。ガラス状態と F CC 結晶のどちらが熱力学的に安定であるかが問題である。
低温のガラス状態から昇温させて液体状態

G-15

重力下での熱浴で駆動する粉体の非弾性コラプス
九大院理 A

北岸宏之A , 中西秀 A , 坂上貴洋 A

粉体系の最も単純で比較的数値シミュレーショシミュレーションは準備中であるが、図のよンの容易なモデルは非弾性剛体粒子系である。

うに有限の弾性定数では衝突頻度が反発係数のしかし、この系においては有限時間内に無限回関数として、非弾性コラプスに対応する値近傍の衝突が見られる “非弾性コラプス” という現で最大値をとると予想している。この関数は弾象が起きることが知られている。本研究では、性定数 k を大きくするとピークが鋭くなって重力下で床から熱浴によって励起された非弾性いくと考えているが、剛体極限でこのピークが系の振る舞いに対して、非弾性コラプスがどの発散するか有限に留まるかどうかや、非弾性ような影響を及ぼしているかについて、粉体粒コラプスに対応する値への近づき方に注目し子の剛体極限をとる事によって調べる。て、数値シミュレーションを進める予定である。

考える系は N 粒子の１次元非弾性軟体粒子系であり、１番下の粒子は温度 T の熱浴により励起されている。粒子間に働く力は粒子の表面間距離 x、相対速度 v を用いて、接触中では F =−kx−γv 、非接触状態では F = 0 で与えられる。
その結果、反発係数 r は弾性定数 k および散逸√係数 γ を用いて r = exp(−γπ/ (2k/m) − γ 2 )と表される。このようなモデルで反発係数 r、弾性定数 k 、粒子数 N を変えながら、単位粒子あたりの衝突頻度を、数値シミュレーションによって調べる。

59

G-16

同一音高の相関を利用した楽曲の１/f 型スペクトル解析
福教大 物理 A , 九大 芸工院 B

三谷尚A , 井手詩織 B

楽曲の音圧関数 X(t) のフーリエ変換によって、低周波数に 1/ f 型 (S(ω)〜ω−β ) の減衰型スペクトルが持たれることが知られている。以前の支部例会では、１つの音高を中心に振動数がゆっくり揺らぐ場合に低周波域のスペクトルが得られるが、指数型減衰等であることを示した。それ以降の研究では、各音が exp(-t) 型の減衰パルスを持つ場合、中間的周波数域においてスペクトルが1/f 型になるという結論を得た。
今回は、楽曲における楽譜を忠実に見る。楽譜の音符は振動数を表している。ここで同一音高を有する音のペアが音の相関関数を決め、次いで、相関関数から Wiener-Khintchin の定理によりスペクトル関数を導出できることを示す。以降、次の相関関数導出の式を中心に考えてゆく：< (X(t + τ ) − X(t))2 >= 2 < X(t)2 > −2 < X(t)X(t + τ ) >. ここに <> は時間 についての平均。
ここで、< (X(t + τ ) − X(t))2 >≡ D(τ )（変化関数） , < X(t)X(t + τ ) >≡ C(τ )（相関関数）と定義。< D(τ ) > の <> では曲全体にわたる平均を取ってもよいが、まず、音高が一致する音どうしで取られた場合 Dc (τ )、一致しないどうしでの場合 Dnon−c ((τ ) とする。これらと曲全体の平均との関係は、D(τ ) = α(τ )Dc ((τ ) + (1 − α(τ ))Dnon−c (τ ).

ここで、α(τ ) は、ある時間間

Dc (τ ) ≡ 0 であること、および、すべての2音符の振幅が同じ場合は、C(τ ) = ((C0 ) /2) × α(τ ) を得る

隔 τ に関して、同一音高を有する音のペアの割合。

次いで、Wiener-Khintchin の定理により相関関数 C(τ ) から楽曲のスペクトル関数 S(f ) が求められる。特に相関関数がべき関数の場合 C(τ ) ∝ 1/τ γ , (0 < γ < 1) → S(f ) ∝ 1/f 1−γ が得られる。現時点では、べき性が最も良いバッハ作曲の小品を中心に解析する。

G-17

カオス時系列のパターン・エントロピーとリアプノフ指数
福岡県立大人社 A , 鹿大名誉教授 B

石崎龍二A , 井上政義 B

私たちは、ラットの脳波や円ドル為替レートのような非定常時系列を対象にパターン・エントロ
ピー時系列解析による特徴づけを行ってきた [1][2]。
パターン・エントロピー時系列解析法は、時系列を記号化し、ある時間内にあらわれる異なるパターン数をエントロピー値として、時系列の複雑性を特徴づける手法である。パターン・エントロ
ピー値は、3 つのパラメータ (nc :チャンネル数，nw：ウィンドウ幅， θ：2 値化するときの閾値) により決定される。
今回、私たちは、カオス時系列のパターン・エントロピー時系列による解析の例を報告する。
ロジスティック写像の時系列の特徴づけを行うと、安定周期軌道があらわれるパラメータでは、チャンネル数 nc が周期と一致すると、パターン・エントロピー Spat はゼロとなり、チャンネル数nc が周期より少ない場合は、パターン・エントロピー時系列は振動する。一方、カオスが発生するパラメータでは、パターン・エントロピー値は揺らぐ。
講演では，パターン・エントロピー Spat のパラメータ (nc :チャンネル数，nw：ウィンドウ幅，θ：2 値化するときの閾値) 依存性等を調べた結果を報告し、従来のエントロピーとの違いについて考察する。

[1] R. Ishizaki, T. Shinba, G. Mugishima, H. Haraguchi, and M. Inoue, Time-series analysis ofsleep-wake stage of rat EEG using time-dependent pattern entropy , Physica A, Vol.387 No.13,
pp.3145-3154, 2008.
[2]「脳波パターンのエントロピー時系列解析」， 津田康民， 白水重憲， 菅野久信， 井上政義，
臨床神経生理学 30(4)， 307-314， 2002．

60

G-18

デントライト界面における成長速度のマルチフラクタル解析
九州大学大学院 A , 総合理工学府 B , 量子プロセス理工学 C綾介

A,B,C, 本庄春雄

坂田道太A,B,C , 高田

A,B,C

【目的】非平衡・開放系としての拡散場は様々ドライトをラプラス場に置き、場をシミュレーな形態を形成する。一般的には、形態の異方性ションから求めて界面成長速度を求めた。界面の強さ ² がゼロの場合は、ランダムに分析したでの境界条件は曲率を考慮したギブス・トムソ

フラクタル形態としての DLA となる。² が有ンの境界条件を用いた。得られたマルチスペク限の場合は、その異方性に従った横枝群が成長トルを図２に示す。図 2 では、界面曲率を無視して、比較的、規則的な形態であるデンドライした場合も示している。スペクトルのピークはトとなるが、DLA と同様にフラクタル性を示

約 1.25 でこのデンドライトの界面が造るフラす。一方、DLA は界面の成長速度を確率速度クタル次元 1.22 にほぼ一致している。とするとマルチフラクタル性を示すことが知ら

講 演 で は 、表 面 張 力 の 異 方 性 を 考 慮 しれているため、デンドライトのマルチフラクタ

た 場 合 も 含 め て 、よ り 詳 細 な 報 告 を 行 う。

ル性を解析することは興味深い。

100μm	

【結果】図 1 に準 2 次元的なセル内の過飽和の NH4 Cl 水溶液から成長させたデンドライトを示す。NH4 Cl 分子は 4 回対称性を示すため、横枝は主幹から垂直に 4 方向に成長する。界面の成長速度を画像解析から求める場合、一般的には、成長速度の小さい界面からの検出は非常

図１.NH4Clデンドライト	

図２.デンドライトのf(α)スペクトル	に困難である。そのため、実験で得られたデンG-20

セル・オートマトン法による音場の解析
九州大学大学院芸術工学府 A

儀保伸吾A , 河辺哲次 A

音場 (おんば) とは音波の存在する空間のことである。これまで、音場の解析法は様々な音響問題を解くために、いろいろと工夫がされてきた。本研究では、セル・オートマトン (Cellular Automata,CA) 法を適用して、従来とは異なる新しい音場解析法の可能性を探る。CA 法とは、解析対象をセル (cell) と称する区分領域に分割し、近接したセル間の相互作用に一定のルールを与えて、現象の時間発展を計算する手法である。このとき、独立変数と従属変数は離散的な値で定義される。CA法を用いると、簡単なモデルから複雑な現象が再現されるので、幅広い分野に応用されている。
音圧 p に対する波動方程式は (1) である。

∂2p1 ∂2p−=0(1)∂x2
c2 ∂t2
これに超離散化を施せば、音場解析の CA モデルが構築できるが、そのまま実行すると「負の問題」に遭遇する。そのため、(1) が x 軸の正方向と負方向に伝播する波を含むことに着目し、それぞれの波に超離散化を行い、それらの重ね合わせで解を記述する。その結果、次式を得る。
()
t
Fjt+1 = max Fjt − D, Fj−1−C(正方向の進行波)
( t)
t+1Gj
= max Gj+1 − C, Gtj − D(負方向の進行波)( t)tt
Pj = max Fj + A, Gj + B(重ね合わせの式)

(2)
(3)
(4)

ここで、C 、D は音速に対応するパラメーターである。これらの解は、パラメーター C や D のとり方に依存し、パラメーターの値によって、unphysical な振る舞いも現れる。
現段階では、波動方程式 (1) に等価な CA モデルをまだ見つけていないが、今回の発表では、モデル (2)-(4) の数値シミュレーション結果、および、モデルの有する問題点などを報告したい。

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