擬似的損傷を有する５層鉄骨試験体の構造損傷検出実験−その２ 直接層剛性同定手法による損傷検出−
Structural Damage Detection on Five-story Steel Structure with Simulated Damage
part2 Damage Detection Using Interstory-stiffness Identification Method〇正中村
竹脇充（大林組)、出（京都大学）

森田高市（国総研）

Mitsuru NAKAMURA, Obayashi Corporation, 4-640 Shimokiyoto Kiyose, TokyoKoichi MORITA, National Institute for Land and Infrastructure Management
Izuru TAKEWAKI, Kyoto University

The applicability of a damage identification method for structures was examined through randomvibration tests. The method is based on evaluation of interstory-stiffness. The proposed stiffness
identification method requires only Fourier spectrum amplitudes of upper and lower floors of the story to beidentified. The identification method successfully identified various simulated ‘damages’ to the structure,
which were realized by extraction of brace members, columns or splice plates, yielding reduction ofinterstory-stiffness in wide range from 5 to 70 percent.

keywords :Damage Identification, Structural Health Monitoring, System Identification, Shaking Table Test

１．はじめに
本報告では，（その１）の損傷検出試験体による振動台実験結果に対して層剛性を直接同定する手法[1]を適用し，同定結果から層損傷同定を試みた結果について述べる。
２ 層剛性同定手法
ここで適用した層剛性直接同定手法は以下の通りである。
詳細は参考文献[1],[2],[3]を参照されたい。
建物を線形せん断剛性と線形粘性減衰ならびに線形履歴減衰[4]（複素減衰、あるいは構造減衰とも呼ばれる[5]）を有する N 質点系せん断モデルと考える。建物最上階から質点・要素番号を付けることとし、第 j 番目の質点質量をmj、第 j 番目要素の層せん断剛性、粘性減衰係数、履歴減衰定数をそれぞれ、kj、cj、βj とする。この N 質点系せん
断モデルが水平地盤加速度入力 &z& を受ける際の周波数領域における運動方程式は以下のように記述できる。
( −ω 2M + iω C + K ) U(ω ) = F (ω ) Z (ω )

(1)

 k*
 1*
K = − k1



− k1*
k1* + k *2−c1 c1
− c c + c2C =  1 1− k 2*
O− k *N − 1 k *N − 1 + k *N 

− c2
O

− c N − 1 c N − 1 + c N i は虚数単位、uj は第 j 質点の絶対水平変位をそれぞれ表す。
u = { u1uN } T

Lu2(3)

また、F(ω)は次のようなベクトルを表す。
F (ω ) ={ 0 0 L iω c + k }
N*N

T

(2a)

(4)

ここで、(1)式を次のように簡略表現する。
A(ω )U(ω ) = F(ω )Z (ω )(5)

式中の A(ω)は0 a1(ω ) −b1 (ω )− b1 (ω ) a2 (ω )OA(ω ) = ω−OOb()N1−ωω−ba0()()
N −1N

(6)

ただし、a j (ω ) = −ω 2 m j + iω c j − 1 + k *j − 1 + iω c j + k *j
= −ω 2 m j + b j − 1(ω ) + b j (ω )M、C、K はそれぞれ次のような行列を表す。
M = diag ( m1 m2 L m N )Z(ω)は z のフーリエ変換を表す。ただし、 k *j = k j (1 + 2 β j i) 、b j (ω ) = iω c j + k *j

(7a)
(7b)

U(ω)の第 j 成分 Uj(ω)は次のように求められる。
(2b)(2c)

U(ω)は(3)式で示されるベクトル u のフーリエ変換を、

U j (ω ) =∆ j (ω )PN (ω )Z (ω )(8)

ただし、Pj(ω)は A(ω)行列の左上から定義した j×j 小行列の行列式を表し、Δj(ω)は A(ω)の第 j 列を F(ω)で置き換えた行列の行列式を表す。
ここで、Pj(ω)は以下のような漸化式関係を満足する。
Pj (ω ) = a j (ω ) Pj − 1 (ω ) − b 2j − 1(ω ) Pj − 2 (ω )(9)
なお、(9)式ならびに以下に示す(11)、(12)式の証明は

ここでは省略するが、参考文献[6]中に粘性減衰のみを対象とした場合についてラプラス変換に基づく同等の式に対する証明が示されているので、そちらを参照されたい。
次に、Qj(ω)を次式のように定義する。
b j (ω ) 
Pj − 1(ω ) 1 − b j (ω )Pj (ω ) iω 

Q j (ω ) =をフーリエ変換した表現となる。
このとき、Qj(ω)は次のような漸化式を満足する。
b j (ω )iω

iω m j + Q j − 1(ω )b j (ω )+ Q j − 1(ω )iω m j +iωlim

Q j (ω )iω

= m1 + m2 + L + m j* (iω ) 2U Niω c N + k N= lim QN − 1 ω →0 Z − UN
ω → 0
 mN +iω 
*kNiω cN= lim+ lim
QN − 1  ω → 0
QN − 1 ω → 0
 mN + mN +iω iω 
(12)


k *Nk N*(iω )2U N == limlim
N −1
QN − 1 ω →0 Z − UN
ω → 0
mN + ∑ mk
 mN +iω 
k =1=

き、kN、βN は唯一に決定される。
[証明] 以下の証明中では、(ω)を省略して表記する。まず(8)式より次式が成立する。
(13)(4)、(7b)とΔj、Pj の定義から、ΔN の演算を実行すると、∆ N = bN PN − 1(14)

ここで注目すべき点は、j=N の時にΔj を定義する行列の３重対角性が保持され、Δ N が比較的容易に表現できることである。このことが N 番目の質点の加速度が観測されている時に剛性と履歴減衰定数が唯一に同定できることと関連している。
(14)式を(13)式に代入すると次式が得られる。
UNb P= N N −1ZPN(15)

Qj の定義(10)式から、
QN =bN 
PN − 1 1 − bNPN iω (16)(16)式を変形して
bN

PN − 1iω= 1−QNPNbN(17)(17)式に(11)式を適用すると次式が得られる。
bN

PN − 1= 1−PNiω m N + QN − 1bN+ QN − 1iω(18)iω m N +さらに、(18)式の右辺の演算を実行して、
bN

PN − 1b= NPNiωiω m N +1bN+ QN − 1iω(19)(19)式と(15)式から次式が得られる。
biω m N + N + QN − 1Z
Z − UNiωiω−1 ==−1UNUNbN1iω
={ iω mN + QN −1}bN(20)式の逆数を取り、(7b)式を用いると、(20)k N*N=

∑ mkのフーリエ変換である Z&&(ω ) 、 U&&N (ω ) が求められていると∆NZPN(21)(22)(22)式に(12)式を適用すると、これらの式から以下のような定理を導くことができる。
[定理] {mj}が既知であり、 &z& 、 u&&N が観測され、それら

UN =*iω c N + k N1iωiω m N + Q N − 1lim(11)さらに次式の関係が成立する。
ω →0=(21)式の両辺に(iω)2 を乗じて ω → 0 とすると、(10)

Qj(ω)に −iω U j + 1 を乗じると第 j 要素に作用する層せん断力

Q j (ω ) =UNb
1= N
Z − UNiω iω m N + Q N − 1k =1(23)k N (1 + 2 β N i)
N

∑ mkk =1(23) 式 は 絶 対 水 平 変 位 に つ い て 示 さ れ て い る が 、
Z&&(ω ) = −ω 2 Z (ω ) 、 U&&N (ω ) = −ω 2U N (ω ) の関係を用いて次式のように絶対水平加速度についても成立することを示すことができる。

(iω )2 U&&N k N (1 + 2β N i)
N&& − U&& =ω →0 ZN∑ mklim

(24)

k =1

(24)式の実部より層せん断剛性 kN が、虚部より履歴減衰定数βN が同定される。(証明終了)
ここでの特徴は、一つの評価式の実部と虚部として層剛性と履歴減衰定数が同時に評価できることである。また、(24)式の結果は任意の層について成立することが明らかであり、ある層の上下質点の観測結果のみからその層の物理パラメータを同定する事ができるというのが、この手法の利点である。
同様の手法で，層粘性減衰定数・層履歴減衰係数を，対象層の上下質点の加速度フーリエ振幅のみから同定することが可能である[1]。
この手法は以下のような特徴を有する。
・ 同定対象層の上下層における観測結果のみから，対象層の物理パラメータを推定することができ，既往の方法では必須であった全層同時観測結果を必要としない。
・ フーリエ変換のみにより対象層の物理パラメータを評価することが可能であり，複雑な計算を必要としない。
・ 結果が振動数０Hz への極限値として求められることから，広い振動数範囲の測定結果を必ずしも必要としない。
・ 既往の同定手法では必ずしも保証されていなかった同定結果の唯一性が，提案手法では保証されている。
３ 損傷検出試験体への適用
前項で述べた層剛性同定手法を，（その１）のランダム波加振実験結果に適用した。
同定に際しては，各層に設置された加速度計の記録を用い，各ケースとも 40.96 秒分のデータを用いている。振動数０Hz での極値推定は，ケースごとに採用する振動数範囲を適宜決定し，２次関数近似を用いて推定した。
Fig.1 に，(24)式左辺極限値中の実部の値を振動数の関数としてグラフ化したものを，全層間柱無し(非損傷)のケースについて各層ごとに例として示す。
さらに，さまざまな損傷ケースについて得られた層剛性を，Table 1〜Table 3 にまとめて示す。表中の()内には，各同定結果を該当層の非損傷時の剛性に対する比率として求めたものを示す。間柱付と間柱無しのケースに対する表中，薄い網掛けと濃い網掛けを施した部分は，それぞれ非損傷状態に対して 5〜10%の剛性低下，10%以上の剛性低下が見られた層を示している。同じく，ブレース付のケース
ではそれぞれ 10〜20%の剛性低下，20%以上の剛性低下が見られた層を示している。さらに、Fig.2〜Fig.4 に各表の剛性低下率をグラフにしたものを示す。
層剛性の同定結果を概観すると，まず各ケースの非損傷状態においては，間柱付の場合は 17〜20tonf/cm，間柱無しの場合は 9〜11.5tonf/cm，ブレース付の場合はややばらつくが 30〜40tonf/cm 程度の値が得られている。
層損傷を想定した各ケースにおける同定結果については，間柱付きのケースでは，間柱を抜いた層において非損傷状態(間柱付き)に比べて約 40%の顕著な剛性低下が見られる。
一方，その他の層では剛性の変化が見られず，剛性の低下により損傷（間柱除去）を検出できることがわかる。
ブレース付のケースでは，やはりブレース除去層で 65〜70%という大きな剛性低下が見られる。その他の無損傷層においては結果がややばらついている傾向が見られるが，層剛性の低下という形で損傷(ブレース除去)を判別できる。
間柱を抜いた状態で梁や柱に損傷を想定した細工を施したケースでは，明らかな層剛性の低下が見られる層もあるが，損傷に関わらずほとんど剛性変化が見られない層もある。
例えば，１層ないし３層の梁スプライスを除去した場合，除去した層とその上の層において 15〜20%程度の剛性低下が見られるほか，５層の梁スプライスを除去した場合，５層で 10%程度の剛性低下が見られる。また，１層柱のスプライスを除去した場合，除去の程度に応じて 5〜10%程度の剛性低下が見られる。その他の損傷に対しては明確な層剛性の低下は評価できず，特に，梁損傷のケースでは，いずれの層における損傷でも層剛性に有意な低下は見られなかった。

1002

参考文献
[1] 中村充, 竹脇出, 安井譲, 上谷宏二：限定された地震観測記録を用いた建築物の剛性と減衰の同時同定, 日本建築学会構造系論
文集, 第 528 号, pp.75-82, 2000.2[2] 竹脇出, 中村充, 安井譲, 上谷宏二：１次元せん断棒有限要素モ
デルと限定された観測地震動を用いたシステム同定, 構造工学
論文集, Vol.46B, pp.453-461, 2000.3[3] Takewaki, I, and M.Nakamura : Stiffness-damping simultaneous
identification using limited earthquake records, Earthquake Engineeringand Structural Dynamics, Vol.29, pp.1219-1238, 2000
[4] Nashif,A.D., D.I.G.Jones and J.P.Henderson : Vibration Damping, John
Wiley & Sons, 1985.
[5] 柴田明徳：最新468

耐震構造解析、森北出版、1981.

[6] Udwadia,F.E., D.K.Sharma and P.C.Shah : Uniqueness of Damping
and Stiffness Distributions in the Identification of Soil and StructuralSystems, J. of Applied Mechanics, ASME, 45, 181-187, 1978.

30

thcase:wma3 layer:55 story

200

謝辞
本研究は日米共同構造実験研究｢高知能建築構造システムの開発｣(委員長：小谷俊介 東京大学教授)のセンサー部会(主査：北川良和 慶応義塾大学)における研究の一環として実施されたものである。関係各位に深甚なる謝意を表する。

stiffness (tonf/cm)

stiffness (tonf/cm)

30４ まとめ
以上の結果から，以下のような知見を得ることができた。
・ ここで適用した層剛性同定手法により，層剛性の低下という形で損傷を検出しうる可能性が示された。
・ 間柱やブレースが除去された場合，40〜70%という大きな層剛性の低下が見られる。
・ 純ラーメン構造では，梁や柱のスプライスが除去された場合，5〜20%程度の剛性低下が見られる。また，梁のスプライスが除去された場合では，該当層とその上層の両方において同程度の層剛性低下が見られる。
・ 純ラーメン構造において，梁フランジに亀裂を入れた程度の損傷に対しては，ここで適用した手法では剛性低下（すなわち損傷）を検出することは出来なかった。

2010010thcase:wma3 layer:44 story

024Freq. (Hz)30rdcase:wma3 3layer:3story

stiffness (tonf/cm)

stiffness (tonf/cm)

30
201000246Freq. (Hz)Fig.1

68106810Freq. (Hz)810ndcase:wma3 2layer:2story

20
100024Freq. (Hz)Plots of real‑part of function (24) for damage‑less case without studsth

4th

3rd

2nd

1ststory

story

story

story

story

no damage

16.7

18.0

18.8

19.9

20.1

(1.00)(1.00)(1.00)(1.00)(1.00)

10.2

18.7

19.0

20.5

19.9

w/o studs
5thstory(0.61)(1.04)(1.01)(1.03)(0.99)

w/o studs

16.4

18.5

11.5

19.7

20.7

3rd story(0.98)(1.03)(0.61)(0.99)(1.03)

w/o studs

16.3

17.9

18.8

20.3

12.3

1st story(0.98)(0.99)(1.00)(1.02)(0.61)

withoutstuds
studs at
at3Layer‑3
withoutstory

1.2

1

1

Interstory‑Stiffness Ratio

5thdamageInterstory‑Stiffness Ratio

simulated

0.8
0.6
0.40.2strd

withoutstuds
atat
5 Layer‑5story
without
studs

1.2

01.2

Interstory‑Stiffness Ratio

Table‑1 Identified interstory‑stiffness(Case‑1: with studs)[tonf/cm]

0.8
0.6
0.4
0.2

43
Layer

2

1

1
0.8
0.6
0.4
0.2
005

without studs
studs atLayer‑1without
at 1story

543
Layer

2

5143Layer2

1

Identified interstory‑stiffness ratio(Case‑1: with studs)

Fig.2

thrdstwithout
spliceat 5 atstory
spliceplatesLayer‑3without
spliceplatesLayer‑1
without
spliceplatesLayer‑5without
without
spliceat 3at story
without
spliceat 1 atstory

8.8

9.9

10.0

10.3

11.5

(1.00)(1.00)(1.00)(1.00)(1.00)

w/o splice

8.0

10.2

10.2

10.2

11.6

5th story(0.92)(1.03)(1.02)(0.99)(1.01)

loose bolts

9.0

9.1

10.0

10.3

11.6

5th story(1.03)(0.92)(1.00)(1.00)(1.01)

w/o splice

8.8

8.1

8.6

10.3

11.8

3rd story(1.01)(0.82)(0.86)(1.00)(1.03)

w/o splice9.2

9.8

10.0

8.8

9.4

1st story(1.05)(0.99)(1.00)(0.86)(0.81)

w/o bolts

9.1

9.8

9.9

10.3

11.6

1st(1.04)(0.99)(0.99)(1.00)(1.01)

beam damage

story

9.0

9.7

10.0

10.3

11.6

5th story(1.03)(0.98)(1.00)(1.00)(1.01)

beam damage

9.0

9.8

9.7

10.3

11.6

3rd story(1.03)(0.99)(0.97)(1.00)(1.01)

beam damage

9.1

9.8

9.9

10.1

11.3

1st story(1.04)(0.99)(1.00)(0.98)(0.98)

w/o col.

8.89.99.9

10.4

10.9(1.00)(0.99)(1.01)(0.95)

splice(half) (1.01)
1st story
w/o col.

9.1

splice(full) (1.04)

9.6

9.7

10.0

10.3

(0.96)(0.98)(0.97)(0.90)

0.4
0.2

0.6
0.4
0.2
0054

3
Layer

2

loosebolts
boltsat
at Layer‑5
5 story
loose

43
Layer

2

0.6
0.4
0.2

53
Layer

2

10.6
0.4
0.2

beam
5 story
beam damage
damage at at
Layer‑5

1.2

0.6
0.4
0.2
04

3
Layer

243
Layer

2

110.80.60.40.2

15rd

beam
3 story
beam damage
damage at at
Layer‑3

1.2

110.6
0.4
0.2

1543Layer

2

3Layer2

1

beam
1 story
beam damage
damage at at
Layer‑1

1.2

0.8

4

st05205th

13
Layer

1.2

0.8

10.8

4

st04

0.2

without
story w/ow/ocol.
splice(full)at 1 atstory
fullcol.
splice plates
Layer‑1
withoutbolts
boltsatat1 Layer‑1

050.4

11.2

10.6

st1.2

0.8

10.8

051th

1st story

Interstory‑Stiffness Rationo damage0.610.8

Interstory‑Stiffness Ratio

story

1.2

Interstory‑Stiffness Ratio

1ststory

Interstory‑Stiffness Ratio

2ndstory

10.8

Interstory‑Stiffness Ratio

3rdstory

1.2

Interstory‑Stiffness Ratio

4thstory

Interstory‑Stiffness Ratio

5thdamageInterstory‑Stiffness Ratio

simulated

Interstory‑Stiffness Ratio

Table‑2 Identified interstory‑stiffness(Case‑2: without studs)[tonf/cm]

1.2

0.8
0.6
0.4
0.201

54

3Layer21

Identified interstory‑stiffness ratio(Case‑2: without studs)

Fig.3

Table‑3 Identified interstory‑stiffness(Case‑3: with braces)[tonf/cm]
thrdwithoutstory
withoutbraces
braces at
at5Layer‑5

withoutstory
withoutbraces
braces at
at3Layer‑3st

without
story
withoutbraces
braces at
at1Layer‑1

3rd

2nd

1st

1.6

1.6

1.6

damage

story

story

story

story

story

1.4

1.4

1.4

no damage

30.5

33.0

38.2

40.6

34.9

(1.00)(1.00)(1.00)(1.00)(1.00)

w/o braces

10.6

29.7

41.2

42.0

46.5

5th story(0.35)(0.90)(1.08)(1.03)(1.33)

w/o braces

32.1

30.6

11.2

39.0

48.7

3rdstory

w/o braces
1ststory(1.05)(0.93)(0.29)(0.96)

1.2
10.8
0.6
0.4

1.2
10.8
0.6
0.4

(1.40)

0.2

0.2

00

32.8

34.0

38.8

38.2

11.7(1.08)(1.03)(1.02)(0.94)(0.34)

543
Layer

Fig.4

2

1

Interstory‑Stiffness Ratio

4thInterstory‑Stiffness Ratio

5thInterstory‑Stiffness Ratio

simulated

1.2
10.8
0.6
0.4
0.2
054

3
Layer

2

154

3
Layer

2

Identified interstory‑stiffness ratio(Case‑3: with braces)1