MEC-22-005

2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題における外乱抑圧のための周波数応答データ駆動型共振フィルタ設計
前 匡鴻∗ ，大西 亘，藤本 博志（東京大学）
Frequency Response Data-based Resonant Filter Design for Disturbance Rejectionin Dual-Stage-Actuator HDD Benchmark Problem
Masahiro Mae∗ , Wataru Ohnishi, Hiroshi Fujimoto (The University of Tokyo)
Disturbance rejection of a Hard Disk Drive (HDD) enables a large amount of data storage in a recent information society. The
aim of this paper is to design a feedback controller which rejects disturbances in several frequencies for HDD. The disturbancerejection is achieved using resonant ﬁlters which have a large peak in disturbance frequencies. The developed approach enables
the convex optimization of resonant ﬁlters using frequency response data of a controlled system. The disturbance rejection
performance of the optimized resonant ﬁlters is validated in a dual-stage-actuator HDD benchmark problem.
Magnetic-head positioning control system in the benchmark problem•

The control system has two actuators: VCM and PZT actuator.

キーワード：外乱抑圧，位置制御，データ駆動型設計，凸最適化，周波数応答データ，ハードディスクドライブ• The control variable is the magnetic-head position.
(disturbance rejection, positioning control, data-based• design,
convexfrequency
disk
The PZT
actuatoroptimization,
has a stroke limitation(In thisresponse,
benchmark:hard
50 nm).
• We focus on the track-following control.
drive)

1.

序論

ビッグデータやクラウドコンピューティングの活用が進む現代において，それらのデータを蓄えるデータセンタで用いられているハードディスクドライブ（Hard Disk Drive:
HDD）の重要性はこれまで以上に高まっている。HDD の内部で用いられる磁気ヘッドの制御性能の改善は，HDD に記憶されるデータ容量の増大に直結しており，そのための制御器設計手法は大量のデータが蓄積される現代の情報化社
会を支える上で欠かすことのできない技術であると言える。
HDD の磁気ヘッドの制御系は，ディスクの回転に起因す
る振動，ストレージボックス内で発生するファン起因の振動，HDD の位置測定機構に起因するノイズなど，多くの外乱にさらされている。HDD の磁気ヘッドにおいてより高い
位置決め制御性能を発揮するためには，複数の周波数の外乱を抑圧するためのフィードバック制御器を設計する必要があり，現代の日本の労働人口減少の背景からも，制御器が持つ複数の周波数の外乱に対応した多数のパラメータを自動調整する手法が望まれている。HDD のような大量生産される装置において制御対象のモデル変動は無視できない要素であり，また多数のモデル変動に対して伝達関数モデルを作成するのは非常に手間がかかることから，周波数応
答データを直接用いた制御器設計手法が必要である。
HDD の外乱抑圧のためのフィードバック制御器として，共振フィルタ設計手法 [1] が提案されているが，2 段アクチュエータに対する同時設計手法は提案されていない。モ
デル変動のある制御対象に対して複数の周波数応答データを用いたロバスト制御器設計手法 [2] も提案されているが，HDD の制御器設計にはこれまで適用されていない。
本稿では，2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題 [3]Disk

Magnetic head
VCM

PZT actuator（Micro-actuator）

7

図 1 2 段アクチュエータのハードディスクドライブ [3]Fig. 1. Hard disk drive with dual-stage-actuator [3].

において，外乱の影響を抑圧する共振フィルタのロバスト制御器設計問題を，モデル変動を含む制御対象に対するロ
バスト安定性を満たすような周波数応答データを直接用いた凸最適化問題として定式化し，最適化により設計された制御器の性能を 2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問
題において検証する。本稿の貢献は次の通りである。
（ 1 ） 2 入力 1 出力系の制御対象における複数の共振フィ
ルタの各アクチュエータに対する同時最適化（ 2 ） HDD に対するモデル変動を含む周波数応答データを直接用いたロバスト制御器の凸最適化設計
本稿は，次の流れで構成される。第 2 節で，本稿で扱う
2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題の問題設定を述べる。第 3 節で，外乱の影響を抑圧するための共振フィ
ルタの凸最適化設計手法について述べる。第 4 節で，第 3節の手法で設計された共振フィルタの性能を 2 段アクチュ
エータ HDD ベンチマーク問題において評価する。最後に，
第 5 節で本稿の結論を述べる。

2.

問題設定

図 1 に，本稿で扱う 2 段アクチュエータ HDD ベンチマー
1/6

Gp
Frp

Cdp

Im

Fmp

Pcp

Hm

ycp

S
d

Gv
r=0

e

Frv

+ −

Cdv

Im

Fmv

Hm

Pcv

S

+

+

+

+

y

図 2 2 段アクチュエータのハードディスクドライブのブロック線図
Fig. 2. Block diagram of hard disk drive with dual-stage-actuator.

40
-160

0
-40
102

103

104

-200

-240

0
-180

-280
-360
102

103

104

(a) G p

102

103

104

図 4 出力端外乱の周波数スペクトル
Fig. 4. Frequency spectrum of output disturbances.

40
0
-40
102

103

104

103

104

0
-180
-360
102

(b) GvFig. 3.

図 3 既存の開ループ系の周波数応答
Frequency responses of given open-loop systems.

ク問題における制御対象の概観を示す [3]。この HDD は，
ボイスコイルモータ（Voice Coil Motor: VCM）とピエゾア
クチュエータ（PieZoelecTric actuator: PZT actuator）の 2 つのアクチュエータを用いて，ディスク上における磁気ヘッドの位置制御を行う制御系となっている。このベンチマー
ク問題では，1 秒間の定常応答における連続時間の磁気ヘッドの位置 yc の標準偏差の 3 倍値の最悪ケースを最小化することを目的とする。トラックピッチを T p = 52.7 nm，サン
プリング時間を T s = 1/(7200/60)/420 ≈ 1.9841 × 10−6 s とする。また，機械的な可動域の制約から連続時間のピエゾア
クチュエータの変位 ycp は ±50 nm より小さい必要がある。
2 段アクチュエータ HDD の制御系のブロック線図を図 2に示す。ここで，Pc は連続時間の制御対象，Cd は離散時間のシングルレートフィードバック制御器，Fm は離散時間のマルチレートフィルタ，下付き添字の p と v はピエゾア
クチュエータとボイスコイルモータをそれぞれ表す。連続
時間の制御対象は 9 つの場合のモデル変動を持ち，モデル
変動に対応したデータ番号 kc = 1, . . . , 9 を用いて下付き添字で表す。m ∈ N をマルチレート数として，Im を m 倍に
アップサンプルするインターポレータ，Hm を m 倍のマル
チレート系におけるマルチレートホールド，S をサンプラとする。本稿では，指令値 r = 0 の条件において連続時間の磁気ヘッドの位置 yc の最悪ケースを最小化するように，
各アクチュエータにおける離散時間の既存の開ループ制御
系 G p ，Gv に対して，出力端外乱 d の影響を抑圧する離散時間のシングルレートフィルタ Frp と Frv を各アクチュエー
タにそれぞれ設計することを目的とする。
既存の開ループ系におけるピエゾアクチュエータの周波数応答 G p,kc (jωk f ) とボイスコイルモータの周波数応答2/6

Fr (s)

=1+

..
.
+
+
+
+
図 5 共振フィルタのブロック線図
Fig. 5. Block diagram of resonant ﬁlters.

Gv,kc (jωk f ) を図 3 にそれぞれ示す。ただし，n f を周波数応答のデータ点数とし，k f = 1, . . . , n f は周波数応答のデータ
番号とする。
このベンチマーク問題において本稿で扱う出力端外乱 d
は，HDD 本体に加わる回転加速度外乱 d f ，ストレージボッ
クス内で発生するファン起因外乱 d p ，位置信号に含まれる誤差成分 dRRO の周波数応答から等価的に次のように求められる。
dkc (jωk f ) = Pcv,kc (jωk f )d f (jωk f ) + d p (jωk f ) − dRRO (jωk f ) · · · · (1)

出力端外乱の周波数スペクトルを図 4 に示す。
以上の問題設定から，指令値 r = 0，出力 y，誤差 e = r − yの関係性において，連続時間の磁気ヘッドの位置 yc の最悪ケースを最小化する問題は，離散時間の誤差 e の最悪ケースを最小化する問題として扱うことができる。本稿では，離散時間の誤差 e の最悪ケースを最小化するように，各アクチュエータにおける離散時間の既存の開ループ制御系 G p ，
Gv に対して，出力端外乱 d の影響を抑圧する離散時間のシングルレートフィルタ Frp と Frv を各アクチュエータにそれぞれ設計することを目的とする。

3.

2 段アクチュエータ HDD の制約を考慮した複数共振フィルタの凸最適化設計

本節では，出力端外乱 d をの影響を抑圧するための制御器として，外乱周波数に対応した共振フィルタを各アクチュ
エータに対して設計する。モデルベースの手法で設計した
共振フィルタを初期値とし，共振フィルタ設計問題をモデ
ル変動を含む周波数応答データを直接用いたデータ駆動型
最適化問題として定式化し，逐次線形化を用いた凸最適化
により計算する手法を示す。
〈3・1〉 設計する共振フィルタ
本稿では，出力端外乱 d をの影響を抑圧するための制御器として，内部モデル
原理に基づき外乱周波数に対応した共振フィルタを設計する [1]。設計する共振フィルタのブロック線図を図 5 に示す。各アクチュエータにおける共振フィルタは次のように定式化される。
Fr,ku (jωk f , ρku )(jωk f )2 + 2ζr,kr ωr,kr (jωk f ) + ω2r,kr




1


(jωk f )T 

 1   (jωk )2 + 2ζr,1 ωr,1 (jωk ) + ω2 
f
f
r,1 

 

 ρku ,(1,1)  
(jωk f )2 
 ρku ,(1,2)   (jωk )2 + 2ζr,1 ωr,1 (jωk ) + ω2 
f
f
r,1 
 


=  .  ..

 ..  .
  
(jωk f )ρku ,(nr ,1)    (jω )2 + 2ζ ω (jω ) + ω2 

k
r,n
r,n
k
ρku ,(nr ,2) r,nr 
r
r
f
f



(jωk f )2(jωk f )2 + 2ζr,nr ωr,nr (jωk f ) + ω2r,nr
kr =1ρ(1,2) s2 + ρ(1,1) s
2
s2 + 2ζr,1 ωr,1 s + ωr,1

ρ(nr ,2) s2 + ρ(nr ,1) s
2
s2 + 2ζr,nr ωr,nr s + ωr,nr

nr
Xρku ,(kr ,2) (jωk f )2 + ρku ,(kr ,1) (jωk f )= ρTku ϕ(jωk f ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2)ただし，各アクチュエータに対応する下付き添字を ku ∈ {p, v}，
共振フィルタを設計する周波数の個数を nr ∈ N，共振フィルタを設計する周波数のデータ番号を kr = 1, ..., nr ，各アクチュエータの調整パラメータを ρku ∈ R2nr +1 ，共振角周波数を ωr,kr ∈ R>0 ，ダンピング係数を ζr,kr ∈ R>0 とする。本稿において，設計する共振フィルタの共振角周波数 ωr,kr とダン
ピング係数 ζr,kr は外乱や誤差の周波数特性から予め与えられているものとし，分子多項式の係数である調整パラメー
タ ρku を調整することを目的とする。
〈3・2〉 最適化問題の立式
まず，周波数データを用いた制御器設計において，誤差 e の最悪ケースを最小化することを目的として，誤差の周波数スペクトルの最大値を最小化することを目的関数として最適化問題を定式化する。
次に，ロバスト安定性のための感度関数の制約条件を設計する。各周波数点における感度関数のゲインの最大値
w s (jωk f ) を重み関数として，全周波数点においてw s (jωk f )|S kc (jωk f , ρ)| ≤ 1· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3)を満たすことをロバスト安定条件とする。ただし，感度関数の周波数応答データを
S kc (jωk f , ρ) =1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (4)1 + Lkc (jωk f , ρ)とし，全体の開ループ周波数応答データを
Lkc (jωk f , ρ) = G p,kc (jωk f )Fr,p (jωk f , ρ p ) + Gv,kc (jωk f )Fr,v (jωk f , ρv ) · · · (5)とする。
以上の考察から，誤差 e の最悪ケースを最小化するロバ
スト安定性を考慮した共振フィルタ設計は，次の最適化問
題として定式化できる。
minimizeρsubject to∀ k ,∀ kcfmax |ekc (jωk f )| · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (6)∀ k ,∀ kcfw s (jωk f ) − 1 + Lkc (jωk f , ρ) ≤ 0 · · · · · · · · · (7)

ここで，周波数領域において誤差の周波数応答データと外乱の周波数応答データは
3/6

ekc (jωk f ) = S kc (jωk f , ρ)dkc (jωk f ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (8)Imの関係性があることから，誤差の周波数スペクトルの最大値を最小化する最適化問題の目的関数は，次のように外乱と全体の開ループ周波数応答データで書き表すことができる。

ψ
κ
×K

1
∀ k ,∀ k |e (jω )|
ρ
c
kc
kf
f


 
1 + Lkc (jωk f , ρ)  · · (9)minimize max |ekc (jωk f )| ⇔ maximize minρ∀ k ,∀ kcf⇔ minimize −  minρ

∀ k ,∀ kcf1
dkc (jωk f )以上より，誤差の周波数スペクトルの最大値を最小化す
る最適化問題は，外乱の周波数応答データ dkc (jωk f )，全体の開ループ周波数応答データ Lkc (jωk f , ρ)，各周波数点における感度関数のゲインの最大値 w s (jωk f ) を用いて次のように定式化できる。
minimize −γ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (10)ρ

subject to∀ k ,∀ k
c
f

γ−



1
1 + Lkc (jωk f , ρ) ≤ 0· · · · (11)dkc (jωk f )w s (jωk f ) − 1 + Lkc (jωk f , ρ) ≤ 0 · · · · · · · · (12)〈3・3〉 逐次線形化による凸最適化定式化した最適化問題において，各制約条件の左辺は凸関数の差であり非凸関数となっている。これらの制約条件に対して，逐次線形化手法である ConCave-Convex Procedure（CCCP）[4] を用いることにより，非凸最適化問題を凸最適化問題の繰り返
し演算で求解することができる。CCCP は局所最適解ある
いは鞍点に単調に収束することが示されているが，大域最適解への収束は保証されておらず初期依存性があることに注意されたい。繰り返し演算のデータ番号を ki ∈ N とし，ki − 1 回目の最適化結果を動作点とした ki 回目の繰り返し演算における凸最適化問題は次のように定式化される。
minimizeρki− γ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (13)subject to∀ k ,∀ k
c
f

∗



1
 

  d (jω ) (1 + Lkc (jωk f , ρki −1 )) 
1
 kc k f
γ − Re (1 + Lkc (jωk f , ρki )) ≤ 0 · · (14)



dkc (jωk f )1(1 + Lkc (jωk f , ρki −1 ))dkc (jωk f )∗ 1 + Lkc (jωk f , ρki −1 ) 
w s (jωk f ) − Re 
1 + Lkc (jωk f , ρki )  ≤ 0 · · · · · · · · · · · · (15)
1 + Lkc (jωk f , ρki −1 )〈3・4〉 初期値の共振フィルタ設計
CCCP を用いた繰
り返し凸最適化による非凸最適化問題の求解は初期値依存性を持つため，より良い最適化結果を得るためには，できるだけ大域最適解に近い妥当な初期値を与える必要がある。
本稿では，安定な共振モードに基づく共振フィルタの設計
手法 [3] を用いて設計した共振フィルタを最適化の初期値として与える。ナイキスト線図における安定な共振モードに基づく初期値の共振フィルタのベクトル軌跡を図 6 に示す。この手法では，ナイキスト線図上における共振円を，位相条件が (−1, j0) の点と点対称になるように描くことによ×1
G(jωr )

−10Re

図 6 ナイキスト線図における安定な共振モードに基づく
初期値の共振フィルタのベクトル軌跡
Fig. 6. Vector locus with initial resonant ﬁlter in Nyquist
diagram.

り，安定な共振モードを持つ共振フィルタを設計することができる。
各共振モードの伝達関数が次のように表されるものとする。
F(s) =

κs2 + κψss2 + 2ζr ωr s + ω2r· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (16)

ここで，共振フィルタを設計する角周波数 ωr における相補G(jωr )とすると，ナイキ
感度関数の周波数応答を T (jωr ) = 1+G(jωr)
スト線図上で (−1, j0) の点と点対称になるように共振円を描く位相条件から，共振フィルタの分子多項式の係数 ψ は次のように求まる。
ψ = ωrRe{T −1 (jωr )}· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (17)
Im{T −1 (jωr )}共振フィルタを設計する角周波数 ωr における外乱抑圧
特性を K 倍改善するように設計する場合，共振フィルタの分子多項式の係数 κ は次のように求まる。
±2ζr ωr
κ= p(K − 1)|T −1 (jωr )| · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (18)
ψ2 + ω2r
ただし，正負の符号は∠T −1 (jωr ) = atan2

±ωr
±ψ

!
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (19)と対応するものとする。
本稿では，
G(jωk f ) = G p (jωk f ) + Gv (jωk f )· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (20)として，与えられた共振角周波数 ωr,kr とダンピング係数
ζr,kr を用いて，モデル変動のある 1 つの場合の周波数応答
データから，各アクチュエータに対して同じ共振フィルタ
F = Frp = Frv を設計し，それらを最適化の初期値とする。
ここで，初期値の共振フィルタはモデル変動を考慮できていないことから，設計に使用したモデル以外に対してロバ
スト安定性を保証できていない可能性があること，各アクチュエータに対して同じ共振フィルタを用いていることから，各アクチュエータの特性を活かしきれていないことに注意されたい。
4/6

0.5

4
0

0.4

2

0.3
-20

0

0.2
-2

0.1

-40

0
102

103

104

102

(a) Error amplitude spectrum.

104

-4
-4

(b) Sensitivity function.

-2

0

2

4

(c) Nyquist diagram.

図 7 共振フィルタを用いない場合の制御系
Fig. 7. Controlled systems without resonant ﬁlters.

0.5

4
0

0.4

2

0.3
-20

0

0.2
-2

0.1

-40

0
102

103

104

102

(a) Error amplitude spectrum.

104

-4
-4

(b) Sensitivity function.

-2

0

2

4

(c) Nyquist diagram.

図 8 初期値の共振フィルタを用いた場合の制御系
Fig. 8. Controlled systems with initial resonant ﬁlters.

0.5

4
0

0.4

2

0.3
-20

0

0.2
-2

0.1

-40

0
102

103

104

(a) Error amplitude spectrum.

102

104

-4
-4

(b) Sensitivity function.

-2

0

2

4

(c) Nyquist diagram.

図 9 最適化された共振フィルタを用いた場合の制御系
Fig. 9. Controlled systems with optimized resonant ﬁlters.

4.

2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題における外乱抑圧性能の検証

本節では，2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題において，本稿で提案する凸最適化により設計した共振フィ
ルタによる外乱抑圧性能を検証する。共振フィルタ無し，初期値，最適化後の共振フィルタを用いる 3 つの場合において，制御性能を 2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク
問題で評価し，それぞれ結果を比較する。
〈4・1〉 設計条件
制御対象と外乱の周波数応答のデー
タ点は，100 Hz からナイキスト周波数の F s /2 = 1/2T s =
5/6

50
40
30
20
10
0

15
14
13
12
123456789

123456789(b) max|ycp |(a) 3σ(yc )図 10 2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題のシ
ミュレーション結果。×，△，⃝ はそれぞれ共振フィルタ無し，初期値，最適化後を示す。
Fig. 10. Simulation results of dual-stage-actuator HDD benchmark problem. ×, △, ⃝ denotes, without, with initial and with
optimized resonant ﬁlters.

25.2 kHz まで線形に 1 Hz 刻みで取得し、データ点数を n f =25101 とする。
共振フィルタを用いない場合の制御系の誤差の周波数ス
ペクトル，感度関数，ナイキスト線図を図 7 にそれぞれ示す。図 7(b) の黒実線で示すように，9 つの場合のモデル変動について各周波数のデータ点において最も大きい感度関数のゲインの値にスケーリング定数を v s = 1/1.01 を掛けたものを感度関数のゲインの制約条件とし，感度関数のゲインの最大値 w s を次のように与える。
w s (jωk f ) = v s × max |1 + G p,kc (jωk f ) + Gv,kc (jωk f )| · · · (21)∀kc

図 7(a) の縦黒点線に示す 8 つの周波数を共振角周波数 ωrとする共振フィルタをそれぞれ設計し，ζr = 0.01 とする。
〈4・2〉 共振フィルタの設計結果
初期値の共振フィ
ルタは感度関数が初めて 0 dB になる周波数が最も小さい
kc = 9 の場合のモデルを用いて，感度関数の制約条件を満たすように各共振フィルタの設計周波数で外乱抑圧特性をK = 1.05 倍改善するように設計する。初期値の共振フィル
タを用いた場合の制御系の誤差スペクトル，感度関数，ナイキスト線図を図 8 にそれぞれ示す。
共振フィルタの最適化計算は YALMIP [5] と MOSEK [6]を用いて行い，繰り返し最適化は前の繰り返しと比較して評価関数の改善が 1 % 未満になるまで行う。最適化された共振フィルタを用いた場合の制御系の誤差スペクトル，感度関数，ナイキスト線図を図 9 にそれぞれ示す。最適化後の共振フィルタでは，初期値の設計に使用したモデル以外に対しても性能とロバスト安定性を考慮した設計を行っており，各アクチュエータに対して別々の共振フィルタを用いることで各アクチュエータの特性を活かしている。
〈4・3〉 2 段アクチュエータ HDD ベンチマーク問題における外乱抑圧性能の評価
各モデル変動の場合における，連続時間の磁気ヘッドの位置 yc の標準偏差の 3 倍値を図 10(a)にそれぞれ示す。図 10(a) より，連続時間の磁気ヘッドの
位置 yc の最悪ケースである kc = 9 において，3σ(yc ) が共振フィルタなし，初期値，最適化後と性能が改善していることが確認された。また，最適化後の共振フィルタを用いることで，全てのモデル変動の場合において連続時間の磁
気ヘッドの位置 yc の最大値が最小化していることが確認できる。
各モデル変動の場合における連続時間のピエゾアクチュ
エータの変位 ycp の最大値を図 10(b) に示す。いずれの場合
も ycp は ±50 nm より小さくなっていることから，初期値と最適化後の共振フィルタは実際の制御対象に適用可能であることも確認できる。

5.

結論

本稿では，HDD の複数周波数の外乱抑圧のためのフィードバック制御器として，外乱周波数に大きなピークを持つ
共振フィルタを設計する手法を示した。2 段アクチュエー
タを持つ HDD において、複数の外乱周波数に対応した複数の共振フィルタは，複数のモデル変動に対するロバスト安定性の制約条件を考慮し、制御対象の周波数応答データを直接用いた凸最適化により設計された。最適化された共振フィルタによる外乱抑圧性能は 2 段アクチュエータ HDD ベ
ンチマーク問題において検証された。時系列データも用いた最適化や制御対象の性能を最大限引き出す制約条件の設計，共振フィルタ以外のフィードバック制御器やマルチレー
トフィルタも含めた制御器設計が今後の研究課題である。

文

献（ 1 ） T. Atsumi, A. Okuyama, and M. Kobayashi, “TrackFollowing Control Using Resonant Filter in Hard Disk
Drives,” IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, vol. 12,
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