高校レベルから大学レベルまでの電磁気学書き込み式ノート，Ver. 2
担当：綴木

馴
1

●クーロンの法則（電気質量）物質は全て多数の原子から構成されている．

原子は陽子と中性子からなる原子核のまわりに電子が結合した構造をなしている．
陽子は正，電子は負の電荷を持ち，中性子は電荷を持たない．
電子と陽子の電荷は大きさが等しく，
e = 1.6021892×1013C（クーロン） である．
2

●クーロンの法則（電気質量）e = 1.6021892×1013C（クーロン）

これを電気容量という．
物体の帯電は陽子と電子の数の過不足によって生じるので物体のもつ電荷は常に e の整数倍でなければならない．
しかしeは巨視的なスケールから見ると非常に小さいので巨視的な現象（通常の計算）では電荷は連続に変わりうると見なして良い．
3

●クーロンの法則（電荷の単位系）

本テキストではMKSA単位系（東京大学系）を用いる．
m(メートル)，kg(質量），sec(秒），A(アンペア）
ちなみにcgs単位系（京都大学系）も存在する．
cm（長さ），g（グラム），sec（秒）これまで京大と東大が対立してきた背景があったが国際基準単位系がMKSA単位系になりつつある為本テキストでもMKSA単位系を用いる．
4

●クーロンの法則（電荷の単位系）

MKSA単位系での電荷の単位はクーロンで，1アンペア（A)の電流が1s間に運ぶ電荷量として定義される．

5

●クーロンの法則（点電荷）

微少な物体が帯電しているとき，物体の大きさに比べて十分遠くからみると，電荷の広がりを電荷の広がりを無視することができる．
この様な電荷を点電荷という．

6

●クーロンの法則（クーロンの法則）

電荷の間には，電荷が同符号のとき斥力（せきりょく）異符号のとき引力がはたらく．
図1-1(a)(b)

7

●クーロンの法則（クーロンの法則）

両者を結ぶ直線の方向を向き，大きさ
は，電荷を，電荷の距離をとして，真空中では斥力，は引力を表す．

ここで，を真空の誘電率という．

8

●例題1-1-1

大きさの等しい質量 m の2個の小球にそれぞれl の糸を付けて同じ点からつり下げ，おのおのの小球に正電荷q ，q とθ の間に成り立つ関係を求めよ．
12(解）右図のように小球間の距離がであるから，小球間に働くクーロン力の力の大きさF は(1)と表される．このクーロン力F は重力mgと糸の張力Tと互いに釣り合っている．

9

●例題1-1-1
そこで，釣り合いの式を書くと，水平方向：F＝鉛直方向：mg＝となり，これらの式からTを消去して，を得る．(2)
したがって，(1)，(2)式により，
q1 q 2 =(3)
10

●例題1-1-2

例題1-1-1における2個の小球をいったん接触させてから’再び離したら，糸の開きが2θになった．
q1 ≠ q 2ならば，’
θ＞θになることを示せ．
(解) 2個の同じ大きさの小球を接触させると，一方から他方へ電荷が移動し，両球とも同量の電荷を持つようになる．このとき，小球間のクーロン力の大きさF ’は，(1)式の右辺において q 1 と q 2 を’に，θをθにそれぞれ置き換えたものに等しい．また(2)式と同様に，つり合いの式からが成り立つ．
11

●例題1-1-2(続き)よって，(4)となる．q1 ≠ q 2 のとき，成り立つので，(3)式と(4)式からの不等式が(5)(5)となる．のとき，ゆえに(5)式の不等式からはθの単調増加関数である．
を得る．
12

●ベクトル（ベクトルとスカラー）

力や運動量の様に，大きさと向きを持つ量をベクトルと言う．
これに対し，質量やエネルギーの様に，大きさだけを持つ量をスカラーと言う．
このテキストでは，ベクトルを太文字で表す．などのように13

●ベクトル（ベクトルの成分）

ベクトルは図1-2の様に座標軸を選び，成分で表すこともできる．

この時ベクトルの大きさは

図1-214

●ベクトル（ベクトルの和）

2つのベクトルの和は，図1-3の様に「平行四辺形の規則」により定義される．

図1-3の様にそれぞれ成分で表すと，

15

●ベクトル（スカラー積「内積」）

2つのベクトルのスカラー積は次の様に定義される．2つのベクトルのなす角をθとすれば，成分で表すとスカラー積は席の順序を変えても値は変わらない．
また分配の法則が成り立つ
16

●ベクトル（ベクトル積「外積」）

2つのベクトルのベクトル積は次の様に定義される．
大きさが，図1-4のベクトルで，向きはの両方に垂直で， からに向けて回転する右ねじが進む方向を向く(図1-4)成分で表すと17

●ベクトル（基本ベクトル「単位ベクトル」）

x,y,z軸の方向を向いた大きさ1のベクトル(単位ベクトル)を基本ベクトルという．
基本ベクトルには次の性質がある

18

●ベクトル（一般のベクトル）

一般のベクトルの成分は基本ベクトルを用いて次の様に表される．

また，は基本ベクトルと成分によって次の様に表される．

19

●重ね合わせの原理（位置ベクトル）空間のある点Pの位置を表すのに，原点Ｏを選び，ＯからPに向けて引いたベクトルを位置ベクトルという．
座標軸を選び，座標である．
空間の2点をその成分とで表したものがの距離は20

●重ね合わせの原理（ベクトルで表したクーロンの法則）

点電荷からがそれぞれに働く力にあるとき，はこの力について作用反作用の法則が成り立つ．

21

●重ね合わせの原理（力の重ね合わせの原理）

2つの電荷があるとき，もう一つの点電荷に働く力は， だけがあるときの力と，だけがあるときの力の和に等しい．

0

点電荷が多数ある場合も，同様に力の重ね合わせの原理が成り立つ
22

●例題1-3

点Ａ(-a,0,0)および点Ｂ(a,0,0)にそれぞれ等質の点電荷ｑを置いたとき，点Ｐ(0,y,0)に位置する点電荷Ｑが受ける力Ｆを求めよ．ただし，ｑとＱは同符号とする．
(解)点Ａから点Ｐへ引いたベクトルｒPA はと表され，その大きさ（絶対値）はと与えられる．

23

●例題1-3

したがって，点電荷Ｑが点Ａの点電荷ｑから受ける力ＦA は，となる．同様に，点Ｂから点Ｐへ引いたベクトルｒPBは，と表されるので，Qが点Bのｑから受ける力FBは，
24

●例題1-3

よって，FAとFBを重ね合わせると，を得る．Fはｙ>0のときy軸の正の向き，ｙ<0のとき負を向いている．また，Fの大きさをｙの関数としてグラフに表すと次ページの様になる．
25

●例題1-3

Fが最大になるのは，により，のときである．

26

●点電荷の作る電場（電場）

電場：近接作用の立場では，電荷の間に働く力は，まわりの空間に生じた変化（空間の歪み）によって伝わるものと見なされる．
電荷をおいたとき，そのまわりに生じる空間の変化を電場（工学的には電界）という．
クーロンの法則によると，電荷ｑに働く力Ｆはｑに比例する．
したがって，

27

●点電荷の作る電場（電場）

Ｅは電荷ｑをおいた点の電場の強さをあらわすベクトルで，これを電場ベクトル，または，単に電場と呼ぶ．

図2-1電場の中におかれた電荷に働く力28●点電荷の作る電場

q2からq1に働く力F12と電荷に働く力の式
により，点ｒ1にある点電荷q1が点ｒに作る電場は
（２．２）
29

●点電荷の作る電場

（２．２）
30

成分に分けて表すと，ｒ＝(x,y,z)，r1＝(x1,y1,y1)としてx成分はｙ，ｚ成分も同様にあらわせれる．
30

●重ね合わせの原理

点電荷が2個以上あるときに生じる電場は，力の重ね合わせの原理により，各電荷がつくる電場の和になる
点電荷q1，q2，.....，qnがそれぞれｒ１，ｒ２，....，ｒｎにあるときｒに生じる電場は，qiが作る電場をEi（ｒ）とすれば

31

●電荷密度

電荷が空間的に連続的に分布しているとき，点ｒのまわりの微少な体積ΔVにΔｑの電荷があるとする．これを，と書くときρ(ｒ)を電荷密度という32

●連続分布する電荷のつくる電場

ΔVを十分小さくとれば，各微少体積にある電荷を点電荷と見なし，重ね合わせの原理を使うことができる．
ΔV→０の極限でΣ（和）は∫（積分）になる．
したがって，空間に密度ρ(ｒ)で連続的に分布する電荷が点ｒにつくる電場は積分は3次元の体積分を表す．直交座標をとり，ｒ’＝(ｘ’，ｙ’，ｚ’)とすればdV’=dx’dy’dz’でｘ’，ｙ’，ｚ’についての3重積分になる．
33

●連続分布する電荷のつくる電場

3重積分には幾つかの表し方がある．
いずれも同じ意味である．

34

●連続分布する電荷のつくる電場

電荷が線上に線密度λ(ｒ’)で分布しているとき，生じる電場は線積分で表され，電荷が面上に面密度σ(r’)で分布しているとき，生じる電場は面積分で表され，となる．

35

●電気力線

電場の中で点を，つねにその位置の電場の向きに動かす，という約束で動かすとき，その点の描く向きに付いた曲線を電気力線という．
電気力線は接線がその点の電場の向きを表す．
電気力線は正の電荷（または無限遠）から出て，負の電荷（または無限遠）で終わる．
途中で切れたり，2つに分かれたり，交差することは無い．
36

●電気力線の密度

電気力線に垂直な微少面積ΔSを考え，そこを貫く，電気力線の数をΔNとするとき，比ΔN/ΔSを電気力線の密度という．

●電荷，電場と電気力線

電気力線は，次の約束にしたがって引くものとする．
１．正の電荷から出る数，負の電荷に入る数は，電荷の大きさに比例する．
２．密度はその点の電場の強さに比例する．
電気力線とは電場を可視化したものと考えて良い．
38

●ガウスの法則（電気力線の保存）空間に閉じた曲面（ガウスの袋）を貫く電気力線を，内から外へ出るものを正，外から内に入るものを負と数えると約束する．
また，電荷を出る電気力線は正に，電荷に入る電気力線は負と考える
この時，曲面（ガウスの袋）を貫く電気力線の総数（代数和）は曲面の内部にある電荷を出る電気力線の総数（代数和）に等しい．曲面の形によらない→曲面を好きに作って良い．

●ガウスの法則

電気力線の代わりに電場と電荷を用いて表せば次の様になる
任意の閉じた曲面（ガウスの袋）Sについてｎ(ｒ)は曲面上の点ｒで面に垂直な，外向きの単位ベクトル（法線ベクトル）で，積分は電場に垂直な，外向きの成分を曲面S全体に渡って積分することを示す．

●ガウスの法則

は曲面の内部にある電荷についての和である．
これを（積分形の）ガウスの法則という．
電荷が密度ρ(r)で連続的に分布しているときのガウスの法則は右辺の積分は平曲面Sで囲まれた領域Vの全体に渡って積分することを示す．

●例題2.5

無限に長い直線上に一様な線密度λで電荷が分布している
ときガウスの法則を用いて，生じる電場を求めよ．
解 電荷分布の対称性から，電場は電荷の分布に直線に垂直に放射状に生じ，その強さは直線からの距離ｒだけに依存することが分かる．そこで，ガウスの法則を適用する閉曲面Sとして，右図の様に直線を軸とする半径ｒ，長さｌの円筒面をとる
この円筒面（閉曲面のこと）は，側面S1，上底面S2，下底面S3から成るので，閉曲面Sについての電場Eの面積分は，

●例題2.5

下記の様に3つの式に分けられる．

しかし，S2,S3の上下の底面では電場は面に平行で，面に垂直な成分が0だから，S2,S3についての面積分は0になる．
一方，S1上では，どの点においても電場は面に垂直であり，その強さE(ｒ)が同じだから，E(ｒ)・ｎ(r)はE(ｒ)に等しく一定の値をとる．したがって，S1についての面積分はE(r)にS1の面積2πｒｌを掛けたものになる．

●例題2.5

ゆえに，ガウスの法則によれば，上式は閉曲面Sの内部に含まれる全電荷Qをε0で割ったものに等しい．Qは長さｌの直線上に分布する電荷だからQ=λｌ．よって，となり，電場の強さE(ｒ)として，を得る．

●例題2.6 半径Rの球内に一様な密度ρで分布する電荷がつくる電場を求めよ．（金属ではあり得ない）(解) 電荷が球の中心のまわりに球対称に分布しているので，電場の向きは就寝から放射状であり，その強さは中心からの距離だけの関数となる．

そこで，ガウスの法則を適用するため，電荷の分布する球と同じ中心を持つ半径ｒの球面Sを考えることにする．

●例題2.6

図１の様に，電場はこの球面上のどの点でも面に垂直である．したがって，中心ｒの距離にある点での電場の強さをE(ｒ)とすると．
球面S上で E(r)・ｎ（ｒ）＝E(r)であり，ガウスの法則は以下の様になる●例題2.6

ガウスの法則の右辺により，この面積分の値は球面Sの内部に含まれる全電荷Qをε0 で割ったものに等しく，となる．よって，電話の強さE（ｒ）はと与えられる．

●例題2.6

球面Sが内部に含む全電荷Qはｒの大きさにより変化する．まず
ｒ＞Rのとき，Qは半径Rの球全体の電荷 (4πR 3/3)ρに等しい．
したがって，3となる．また r≦R のとき，Q = (4πr/3)ρだから，となる．

●例題2.6

電場の強さ E(r) を r の関数としてグラフに表すと，右下の図のようになり，ｒ＝R で E(r) は連続であるが，その微分係数が連続では無いことがわかる．

また，r＞R のときは，半径 R の球の3全電荷（4πR/3)/ρが中心に点電荷として集まった場合と同じである．
49

●電位(保存力の条件)

質点が力を受けながら任意の閉じた経路を一回りして元の位置に戻るとき，力が質園になす仕事が０であれば，力学的エネルギーが保存される．
この様な力を保存力という．
電荷の間にはたらくクーロン力も保存力である．
このことから，電場 E について次の式が証明される．
（2.11）50

●電位(保存力の条件)

t(r) は経路Cの上の点ｒで経路に接する単位ベクトル（接線ベクトル）で，積分は電場の接線成分：を閉じた経路Cに沿って一回り積分することを示す．

51

●電位(2.11)式
から次のことが分かる．
空間に基準点０を選ぶと，０から点Pにいたる経路に沿う積分はPの位置ｒの関数としてφ(ｒ)とかき，これを電位または，静電ポテンシャルという．
52

●電位と仕事qφ(r)は電荷ｑを０からPまで移動させるときに要する仕事である
また，は，ｑをｒ’からｒまで移動させるときに要する仕事である．
（問題）電位の単位は［v］ボルトであるが，仕事の単位は一般には［J］ジュールである．
［ｖ］と［J］はどのような関係にあるか？
考えて見よ．
53

●電位（等電位面）

電位が一定の面を等電位面という．
等電位面は，隣り合う面間の電位差が一定になるように描くものとする（図2-6)

電場は等電位面に垂直で（図2-7)，等電位面が密なところほど強い．
54

●電位（電位と電場の関係）

x方向に微少な距離Δxを隔てるた２点間の電位差をΔφとすれば，電位差と電場の関係は先の式により，となる．
したがって，Δx→0の極限をとると，を得る．
一般に電場E(r)は電位φ(r)から次の関係によって得られる．
55

●電位（電位と電場の関係）

一般に電場E(r)は電位φ(r)から次の関係によって得られる．

はナブラと読み，ベクトル演算子である．
をφ(r)の勾配(gradient)と言う．
56

●電位（電荷分布と電位）

1個の点電荷q1が点r1にあるとき，無限遠を基準とする点ｒの電位は，電位についても重ね合わせの原理が成り立つ．よってｎ個の点電荷q1,q2，…qnがそれぞれｒ１，ｒ２，…rnにあるとき，無限遠を基準とする点ｒの電位は，

57

●電位（電荷分布と電位）

電荷が密度ρ(r)で連続的に分布している場合は，●電位（電位と電場の単位）

1[C]の電荷を移動させるときに要する仕事が１[J]であるような2点間の電位差を1ボルト[V]という．1[m]へだてた2点間の電位差が１[V]であるような電場の強さを１［V/m］という．
エネルギーの単位：仕事率の単位：
電圧または電位の単位：

J = N･m = m2･kg･s-2
W = J/s = m2･kg･s-3
V = W/A = m2･kg･s-3/A

58

●例題2.7(1)電位φ(r)と電場E(r)の間の関係式E(r)＝-▽φ(r)を用いて，次の問いに答えよ．
(1)電場は等電位面に対して垂直であることを示せ．
(解) ある等電位面に，任意の2点r = (x, y, z)とr +Δr = (x+Δx, y+Δy, z+Δz)を選ぶと，φ(x, y, z) =となる．

この式はΔrの各成分Δx，Δy，Δzを十分小さくしても成り立つ
そこで，右辺をそれらについて１次の項まで展開することにより59

●例題2.7(1)φ(x+Δx，y+Δy，z+Δz) – φ(x, y, z)を得る．よって，電場ベクトルE(r)と等電位面上にある任意のベクトルΔrとのスカラー積が0だから，電場は等電位面に対して必ず垂直である．
60

●例題2.7(2)点電荷ｑが原点に置かれているとき，点ｒ=(x，y，ｚ)における電位は，
１qφ(r)＝―――
2 １/2224πε（x + y + z )0と与えられる．このφ(r)について，E(ｒ)＝-▽φ(r)を計算せよ
ｒ= （x2+ y2+ z2 )１/2 と置き，ｒのxについての偏微分を計算すると，ｙ，ｚを定数と見なして，となる
61

●例題2.7(2)

したがって， E(ｒ)＝-▽φ(r)のｘ成分は，Ex(r)＝これは，クーロンの法則で与えられる，ｘ成分の表記に他ならない．ｙ，ｚ成分についても同様である．
62●微分系ガウスの法則

積分系のガウスの法則を，微少な領域に適用することにより，次の様に書き直すことが出来る．
(3.1)
ただし，この式の左辺はと表し，これをEの発散(divergence)という．これはベクトル演算子▽とEのスカラー積とみることができる．
63

●ガウスの定理(3.1)式を任意の閉曲面Sで囲まれた領域Vに渡って積分することにより過去に以下の式を導いた．

このとき，(3.1)式と上式を組み合わせることにより，以下の式が導ける．

これをガウスの定理と呼ぶ．

64

●微分系の保存力の条件

微分系の保存力の条件は，であった．
微少な閉じた経路に適用することにより，次の微分系の法則に書き直すことができる．
この式の左辺は成分に分けて書くと，であり，これをEの回転(rotation)という．

65

●静電場の基本法則

微分形で書いた静電場の基本法則は次の2式である．

66

●ポアソン方程式

より，電場E(ｒ)は電位φ(r)を用いて，上式をに代入することにより，電位φ(r)に対する方程式が次の様に得られる．
この式をポアソン方程式と呼ぶ．
ただし，2演算子▽はΔともかき，ラプラシアンとよぶ

67