r(t)3.4 複数モード系に対するマルチレートフィード

r[k]

S

u[k]

H

F

u(t)

y(t)
G

e(t)

− +

フォワード制御
3.4.1

はじめに

厳密なモデル逆系に基づくフィードフォワード制御は，

図 3.4.1 軌道追従制御のブロック線図。連続時間のシステ
ム G は離散時間の制御器 F ，サンプラ S，零次ホールド H

制御対象のモデルに対する完全追従制御 [1] を可能とする。

により制御される。連続時間の誤差 e(t) を最小化すること

フィードフォワード制御器の性能は，半導体露光装置 [2]，を目標とする。

ワイヤボンダ [3]，ボールねじ駆動ステージ [4] などの精密位置決め装置の追従誤差に直結する。産業応用において，制御対象は離散時間で制御されるが，追従誤差は連続時間で改善されるべきである。

Fig. 3.4.1.

Block diagram of tracking control. The continuous-time system G is controlled by the discrete-time controller F withsampler S and zero-order-hold H . The objective is to minimize
the continuous-time error e(t).

連続時間モデルに存在する真性零点や離散化によって発生する離散化零点 [5] が非最小位相零点である場合，厳密逆系
が不安定系となる問題がある。Single-rate Stable Inversion [6]では，非最小位相零点を持つモデルに対して，非因果的な有界のフィードフォワード入力を生成することにより各サン
プル点に対して完全追従制御を達成する。しかし，フィー問題設定のブロック線図を図 3.4.1 に示す。指令値 r ∈ R，
入力 u ∈ R，出力 y ∈ R，誤差 e ∈ R とする。n 次の連続時s

間線形時不変システム Gc = (Ac , bc , cc , 0) は次のように与えられる。

ドフォワード制御器が z = −1 付近の極を持つことから，振ẋ(t)動的な制御入力が生成され，サンプル点間誤差を悪化させy(t)てしまう恐れがある。

=

Ac x(t) + bc u(t)

(3.1)

=

cc x(t)(3.2)

s

連続時間システム Hc = (Ac , Bc , Cc , Dc ) をサンプラ S と零サンプル点間応答を改善するために，マルチレートフィー

次ホールド H によりサンプリング時間 δ で離散化した離ドフォワード制御 [7, 8] が提案されている。マルチレート

散時間システム Hd = (Ad , Bd , Cd , Dd ) は次のように定義さフィードフォワード制御は n サンプルごとに n 個の状態変れる。

数に完全追従させることでサンプル点間の振動を防ぐことができる。マルチレートフィードフォワードには，完全追従させる状態変数の数と指令値のサンプリング周期にトレードオフが存在する。そのトレードオフを最適化するために，
和の分解 [9, 10] と積の分解 [11] によるモード正準形に基づ
くマルチレートフィードフォワード制御が提案されている。

z Ad

 C
d

 
Bd   e Ac δ = 
D   C
d

c


Ac δ
A−1
− I)Bc c (e (3.3)Dcx[k] = x(kδ)

(3.4)
z

離散時間システム Gd = (Ad , bd , cd , 0) = SGc H は次のように与えられる。

これら 2 つの手法は完全追従させる状態変数を選択するこẋ[k + 1]=

Ad x[k] + bd u[k](3.5)

とにより，トレードオフを最適化し，連続時間追従誤差を

y[k]

=

cd x[k]

(3.6)

改善する。
このように，完全追従を達成するためのフィードフォワー
ド制御器として複数の手法が提案されているが，連続時間追従誤差の観点からどの完全追従制御器を選ぶべきかとい事前に与えられた連続時間指令値 r(t) に対して，サン
プル点上とサンプル点間をどちらも含む連続時間誤差 e(t)を最小化することを制御目標とする。
逆系によるシングルレートフィードフォワード制御

う議論はなされていなかった。本節では，提案されているGd を 1 サンプルシフトした，入力 u[k] から出力 y[k + 1]

複数の完全追従制御器の周波数領域と時間領域の双方におまでのシステム G̃d は次のように与えられる。

ける評価を行い，連続時間追従誤差を改善するためのフィー
ドフォワード制御器の設計指針 [12] に関して紹介する。技
術的貢献は次の通りである。
（ 1 ） 複数モード系における連続時間追従誤差改善に着
目し完全追従制御法を考察する。
（ 2 ） 周波数領域と時間領域の双方において連続時間追従誤差を検証する。

ẋ[k + 1]=

Ad x[k] + bd u[k](3.7)

y[k + 1]=

cd Ad x[k] + cd bd u[k](3.8)

非特異の D を持つシステム H = (A, B, C, D) の逆システ
ム H−1 は一般に次のように定義される。
 A − BD−1 C BD−1 
−1

H
= 
−D−1 C
D−1 

(3.9)

G̃d の逆系より，シングルレートフィードフォワード制御
3.4.2

問題設定

サンプル値制御における連続時間追従誤差器により生成される制御入力 u は次のように与えられる。
u[k] = G̃−1
d r[k + 1]

(3.10)

ただし，シングルレートフィードフォワード制御器 G̃−1d

Gd の目標状態変数軌道は次のように定義される n サンプ

は次のように与えられる。
 Ad − bd (cd bd )−1 cd Ad

G̃−1
=
d

−(c b )−1 c A

ル毎のマルチレートサンプラ Sn から与えられる。

d ddbd (cd bd )






−1

(cd bd )−1dG̃−1d が不安定極を持つ場合は，次のような安定不安定分解を考える。
 x s [k + 1]
 x [k + 1]

=

u

u[k]

=


 A s

O
[


  
O   x s [k]  b s  
 +   r[k + 1] (3.12)
Au xu [k]  bu ]  x s [k] + dr[k + 1]
(3.13)cu 
xu [k]

csx̂[in ] = Sn x̂(t) = x̂(in nδ)(3.11)

ただし，|λ(A s )| ≤ 1，|λ(Au )| > 1 とする。有界のフィードフォワード入力 u は次のように与えられる。
u[k] = c s x s [k] + cu xu [k] + dr[k + 1]

(3.14)

ただし， x s は(3.21)

ただし， x̂(t) を連続時間の目標状態変数軌道とする。Gdの状態方程式の逆系から，マルチレートフィードフォワー
ド制御器から生成される制御入力 u は次のように与えら
れる。
u[k]

=

(
)
−1
L−1
B−1
n
d x̂[in + 1] − Bd Ad x̂[in ]

=

−1
−n
L−1
n Bd (I − z Ad ) x̂[in + 1]

(3.22)

ただし，z はサンプリング時間 δ のシフトオペレータとする。生成されたフィードフォワード入力 u により，n サ
ンプル毎に n 個の状態変数に対して完全追従制御が達成され，サンプル点間誤差が改善される。
モデルが零点を持たない場合，目標状態変数軌道 x̂ は

x s [k + 1] = A s x s [k] + b s r[k + 1], x s [−∞] = 0(3.15)

を時間軸順方向に解くと得られ， xu は可制御正準形において，指令値とその微分より与えられる。モデルが零点を持つ場合，目標状態変数軌道生成法

xu [k + 1] = Au xu [k] + bu r[k + 1], xu [∞] = 0(3.16)

を用いる必要がある。マルチレートフィードフォワード

を時間軸逆方向に解くと得られる [6]。生成されたフィー制御器は n サンプル毎に n 個の状態変数に対して完全追ドフォワード入力 u により各サンプル点に対して完全追従制御を達成するが，目標状態変数軌道のサンプリング

従制御が達成される。

周期は nδ となることから，モデルの次数 n が大きくな

シングルレート安定逆系により生成されたフィードフォ
ワード入力は有界であるが，λ = −1 周辺の振動的な極に対しては対処できない。振動的なフィードフォワード入ればなるほど，指令値のサンプリング周波数 1/nδ は低くなってしまう。
要求事項
これらの考察から，最適な完全追従制御器は次の要求事

力はサンプル点間誤差を悪化させうる。
マルチレートフィードフォワード制御による状態追従項を満たす必要がある。

離散化によるフィードフォワード制御器の振動的な極に対（ 1 ） 離散化によって発生するフィードフォワード制処するために，マルチレートフィードフォワード制御 [7]御器の振動的な極が状態追従制御により対処されている。
（ 2 ） 指令値のサンプリング周期を十分高くするために基づく完全追従制御が提案されている。
z

Hd = (Ad , Bd , Cd , Dd ) を n サンプルリフティングしたシ

ステム Hd は一般に次のように定義される。
 Ad Bd zn−1
Hd = Ln Hd Ln = CD 

マルチレートフィードフォワード制御により，状態追従させることができ，モード分解によりその状態変数を選択することができる。和の分解 [9, 10] と積の分解 [11] のddに，完全追従制御させる状態変数が選択されている。


Bd 
O .. 
. ..  (3.17)
. 


O 
Dd

2 種類のマルチレートフィードフォワード制御器につい∈ R (3.18)

ただし，Ln は n サンプルリフティングオペレータ [13] とのように与えられるとする。
B(s)bm sm + · · · + b1 s + b0
Gc (s) =(3.23)= nA(s)s + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0
ただし，n > m，b0 , 0 とする。Gc の可制御正準形

する。

Gc,cc f = (Ac,cc f , bc,cc f , cc,cc f , 0) は次のように与えられる。



And


C
d


 Cd Ad=  .
..



 C An−2 d d
Cd An−1
d

An−1
d Bd

An−2
d Bd

···

Ad Bd

Dd

O

···

Cd Bd
..
.

Dd
..
.

Cd An−3d Bd
Cd An−2d Bd

Cd An−4d Bd
Cd An−3
d Bd

···
..
.
..
.
..
.
···

Cd Bd

[
u[in ] = Ln u[k] = u[nin ][y[in ] = Ln y[k] = y[nin ]

···
···

..

.

Dd

u[nin + (n − 1)]y[nin + (n − 1)]

]T

]T

n

∈ Rn (3.19)て，連続時間追従誤差の観点で従来の完全追従制御法との比較を行う。
3.4.3 目標状態変数軌道生成

1 入力 1 出力 n 次の連続時間線形時不変システムが次sn サンプルリフティングされたシステム Gd は次のように与えられる。


 A
zn
−1
Gd = Ln Gd Ln =  dCdBd 
Dd (3.20)

ただし，

ẋcc f (t)=Ac,cc f xcc f (t) + bc,cc f u(t)(3.24)

y(t)=cc,cc f xcc f (t)(3.25)

 Ac,cc f cc,cc fbc,cc f
0


 0

  
 =   0 −a0

b0

1
..
.

0
..

.

0

1

···

···

−an−1

···

bm

0


0 

... 
0 

1 

0

れる。

]

β(t) = L−1 B(s)−1(3.27)

ただし，L[·] は片側ラプラス変換を示す。可制御正準形
における目標状態変数軌道は次のように与えられる。
∫ tβ(t − τ)rn (τ)dτ(3.28)
x̂cc f (t) =0

ただし，x̂cc f (t)=rn (t)=[[

Ac,mod xmod (t) + bc,mod u(t)(3.38)

y(t)=cc,mod xmod (t)(3.39)

 Ac,mod
cc,mod

状態変数軌道生成のためのフィルタは次のように与え
[

=

ただし，

とする。
られる。

ẋmod (t)(3.26)

  A
bc,mod  
 = 
0   O[xmod (t) = xmod,1 (t)

···

1

]T
x̂cc f,n−1 (t)
]T
dn−1
r(t)
dtn−1

···

(3.30)とする。
もし，B(s)−1 が不安定極を持つ場合は，次のように安定不安定分解することを考える。

不安定部の状態変数軌道生成フィルタは次のように与え=

βu (t)=[]
L−1 B−1s (s)[]L−1 B−1u (−s)m=x̂u (t)=∫−∞∞(3.34)βu (t − τ)rn (τ)dτ(3.35)−2ζkm ωkm

κkm

0xmod,km ,1 (t)

]T


0 

1  (3.42)
0(3.43)

可制御正準形からモード正準形への状態変数変換行列 Tmod[

Tmod = bc,mod··· a1 .
]  ..
n−1
Ac,mod bc,mod an−1

1

···
.
..
.
.
.

an−1
.
..


1 







O

(3.45)

ただし，
Gc,mod=T (Gc,cc f , Tmod )(3.46)

xmod (t)=Tmod xcc f (t)(3.47)とする。
和の分解によるマルチレートフィードフォワード制御
全体像を図 3.4.2 に示す。µ は選択したモードに対応し，
次のように定義される。

道 x̂cc f は次のように与えられる。
x̂cc f (t) = x̂ s (t) + x̂u (t)µ = {km |km ∈ 1, . . . , nm }
ν = 2 × number{µ}

れる。

ド制御

Tµ

s + 2ζkm ωkm s + ωkm

km =1

ただし，ω を共振角周波数，ζ をダンピング係数，κ を
モードゲイン，nm をモードの数とする [14]。Gc のモード
正準形 Gc,mod = ( Ac,mod , bc,mod , cc,mod , 0) は次のように与えら(3.49)

選択したモードに対応する置換行列は次のように定義さ複数モード系の定義
連続時間の複数モード系を次のように定義する。
nm
nm
∑
∑
κkm
Gc (s) ==(3.37)
Gc,mod,km (s)22(3.48)

選択したモードの次数 ν は次のように定義される。

(3.36)

モード分解によるマルチレートフィードフォワーs1

よる状態変数変換を一般に次のように定義する。
 T AT −1 TB 
T (H, T) = (3.44)
CT −1
D 

t

km =1

(3.41)

和の分解によるマルチレートフィードフォワード制御のβ s (t − τ)rn (τ)dτ

以上より，可制御正準形における有界な目標状態変数軌

3.4.4

]T

(3.40)

システム H = (A, B, C, D) に対する状態変数変換行列 T に(3.33)∫ tx̂ s (t)xmod,nm (t)c,mod,km(3.32)

安定部と不安定部の状態変数軌道は次のように与えられる。

cc,mod,nmは次のように与えられる。
  Ac,mod,kbc,mod,km   0m =  −ωk2
 c

0

B−1
u (s) の全ての極 pu ∈ C は Re(pu ) > 0 とする。安定部とβ s (t)Ac,mod,nm···

cc,mod,1とし，サブシステム Gc,mod,km = ( Ac,mod,km , bc,mod,km , cc,mod,km , 0)(3.31)

ただし， B−1s (s) の全ての極 p s ∈ C は Re(p s ) ≤ 0 であり，

られる。

.

は次のように与えられる。

−1
B(s)−1 = B−1
s (s) + Bu (s)bc,mod,1..
.

s

xmod,km (t) = xmod,km ,0 (t)(3.29)..

···[

x̂cc f (t)







bc,mod,nm 

0

O

c,mod,1=

 
 Eµ  
E×(3.50)

ただし，Eµ と E× は選択したモードと選択しなかったモードの正規基底ベクトルにより構成され，モード km に対する正規基底ベクトルは次のように定義される。
[]
Ekm = O2×2(km −1) I2 O2×2(nm −km )(3.51)

上側 ν 個の状態変数を取り出すモデル低次元化行列を次のように定義する。

x̂µ (t)x̂mod (t)Tµx̂µ [iν + 1]

Sν

Tν

z

ν

u[iν ]

−ν
B −1
Aµ )
µ (I − z

u[k]
L−1
ν

図 3.4.2 和の分解によるマルチレートフィードフォワード制御のブロック線図。
Fig. 3.4.2.

Block diagram of multirate feedforward control with additive decomposition.

x̂mod (t)x̂mr (t)

Tµ

Tms

Tν

Sν

rsr [iν ]x̂mr [iν + 1]
z

ν

−ν
B −1
Amr )
mr (I − zrsr [k]

L−1
ν

u[k]

G−1
sr

図 3.4.3 積の分解によるマルチレートフィードフォワード制御のブロック線図。
Fig. 3.4.3.

[
T ν = IνBlock diagram of multirate feedforward control with multiplicative decomposition.

Oν×(n−ν)](3.52)

選択したモードのシステム Gc,µ は次のように与えられる。
ẋµ (t)=Ac,µ xµ (t) + bc,µ u(t)(3.53)y(t)=cc,µ xµ (t)(3.54)

積の分解によるマルチレートフィードフォワード制御
積の分解によるマルチレートフィードフォワード制御の全体像を図 3.4.3 に示す。モード正準形の離散時間システz

ム Gd,mod = ( Ad,mod , bd,mod , cd,mod , 0) = SGc,mod H を 1 サンプ
ルシフトさせた，入力 u[k] から出力 y[k + 1] までのシスz

テム G̃d,mod = ( Ãd,mod , b̃d,mod , c̃d,mod , d̃d,mod ) は次のように与え

ただし，
Tν Tµ xmod (t)

Ac,µ

=

Tν Tµ Ac,mod Tµ−1 TνT(3.56)bc,µ=Tν Tµ bc,mod(3.57)V ∈ Rn×ν と V× ∈ Rn×(n−ν) をそれぞれ Gmr の極と G sr の零=

cc,mod Tµ−1 TνT(3.58)

点に対応する不変部分空間 A = Ãd,mod と A× = Ãd,mod −[]−1b̃d,mod d̃d,modc̃d,mod の行空間とし，フルランクの S = V V×cc,µ(3.55)とする。Gc,µ の離散時間システムは次のように与えられる。
 Ad,µ bd,µ zGd,µ = SGc,µ H = (3.59)
cd,µ0 
Gd,µ を ν サンプルリフティングしたシステムは次のように与えられる。


 A
d,µ
Cd,µ


Bd,µ 
D (3.60)d,µ

Gd,µ の状態方程式の逆系から，和の分解によるマルチレー

トフィードフォワード制御器から生成される制御入力 uは次のように与えられる。
)(−1u[k] = L−1
B−1
νd,µ x̂µ [iν + 1] − Bd,µ Ad,µ x̂µ [iν ]= Ãd,mod

 c̃
d,mod

 
Ad,modb̃d,mod   = 
d̃d,mod   cd,mod Ad,mod

−1
−ν
L−1
ν Bd,µ (I − z Ad,µ ) x̂µ [iν + 1]

cd,mod bd,modΠ を次のように定義する。
 Iν
Oν×(n−ν)  −1 S
Π = S 
O
O

d,mod

G sr fÃd,mod= 
c̃d,mod (I − Π)b̃d,mod 

d̃

z 


T (Gmr f , Tµ )ドフォワード入力 u により，ν サンプル毎に選択したモード µ に対応する状態変数に対して完全追従制御が達成される。
選択した状態変数に対しての完全追従は出力に対する完全追従を保証していないが，目標状態変数軌道はモデ
ルの全状態変数に対して生成されており，選択された ν(≤ n) 個の状態変数に対する指令値のサンプリング周波数は 1/nδ から 1/νδ に高くなることから，連続時間追従誤(3.62)T (G sr f , Tµ )(3.63)

 Amrz =  O
cmr Amrz =  O0(3.64)(3.65)

d,mod置換行列 Tµ を用いて，(3.61)






(n−ν)

そして，次のような状態空間実現を得る。
 Ãd,mod Π b̃d,mod d̃−1z d,mod 
Gmr f = c̃
1

ただし，x̂µ [iν ] = Sν Tν Tµ x̂mod (t) とする。生成されたフィー差を改善することができる。

bd,modより，選択したモード µ に対応する状態変数 ν に対して，(n−ν)×ν
Gd,µ = Lν Gd,µ L−1

ν = 
zν

られる。

=

xµ (t)

O
A sr
cmrr
O
A sr
c sr


bmr 

0 
1

b srr b sr 
d sr(3.66)(3.67)のように状態変数変換を行い，状態変数 xmr に対するシ
ステム Gmr と状態変数 x sr に対応するシステム G sr は次のように与えられる。

 Amr
Gmr = 
c
z 


mr


 A sr
G sr = 
c
z 


sr


bmr 
1 


b sr d (3.68)(3.69)

H1 = ( A1 , B1 , C1 , D1 ) と H2 = ( A2 , B2 , C2 , D2 ) のシステムの積は一般に次のように定義される。

 A1 B1 C2 B1 D2 
H1 H2 =  O
A2
B2 
C1 D1 C2 D1 D2(3.70)

u

状態変数変換行列 Tms は次のように与えられる。
−1 Iν
X 

Tms = (3.71)
Oν×(n−ν) I(n−ν) yただし， X ∈ Rν×(n−ν) は次のシルベスター方程式の解とする。
Amr X − X A sr = bmr c sr

(3.72)z

図 3.4.4

超精密位置決めステージ。入力電流 u [A] によりG̃ms = ( Ãms , b̃ms , c̃ms , d) = T (G̃d,mod , Tms Tµ ) = Gmr G sr は次のリニアモータの推力で駆動し，リニアエンコーダで出力変ように与えられる。
 Ãms b̃ms 


c̃ms
d 

位 y [m] が測定される。

=

 Amr

 O


cmr


bmr d b sr  (3.73)
dbmr c srA src srFig. 3.4.4.

High-precision positioning stage with input current u[A] generating force with linear motor and output displacement y[m] measured by linear encoder.

Gmr を ν サンプルリフティングしたシステムは次のよ

 A
zν
−1
Gmr = Lν Gmr Lν =  mrCmr
Bmr 

0 (3.74)

0−40|G| [dB]

うに与えられる。

−80−120

Gmr の状態方程式の逆系より，シングルレート逆系の

=

−1
−ν
L−1
ν Bd,mr (I − z Ad,mr ) x̂mr [iν + 1]

(3.75)

ただし， x̂µ [iν ] = Sν Tν Tms Tµ x̂mod (t) とする。以上より，積

−160
0
−90

∠G [deg]

指令値 r sr の指令値は次のように与えられる。
()−1
r sr [k] = L−1
B−1
νd,mr x̂mr [iν + 1] − Bd,mr Ad,mr x̂mr [iν ]

−180
−270
−360
100

の分解によるマルチレートフィードフォワード制御器か

101
f [Hz]

ら生成される制御入力 u は次のように与えられる。
u[k] = G−1
sr r sr [k]ただし， A sr − b sr d−1 c sr
sr
−1
G sr = 
−d−1
c
sr sr

(3.76)
b sr d−1
sr
d−1
sr






(3.77)

図 3.4.5 制御対象のボード線図。連続時間モデル Gc ()，

離散時間モデル Gd ()

model Gc (G̃ms を 1 サンプルシフトしたシステムは次のように与) をそれぞれ示す。垂直黒点線 (はナイキスト周波数を示す。
Fig. 3.4.5.

とする。

102

Bode diagram of controlled system: continuous-time), and discrete-time model Gd (quency is shown in a vertical black dotted line (). Nyquist fre).

えられる。



 Ams bms 
Gms = T (Gd,mod , Tms Tµ ) = 
cms
0 


  Amr bmr c sr bmr d 




 Ãmsb̃ms  
 =  O= 
A sr
b sr 
−1


c̃ms Ãms
0∗ ∗∗c∗mr dmr
c sr dmrd Amr bmr   A sr b sr 



 ,
 
=  ∗
(3.78)∗
cmr dmrc∗srd ∗
ただし，dmrd = 0 であり，出力は次のように与えられる。
∗ ∗y[k] = c∗mr xmr [k] + dmr
c sr x sr [k](3.79)

ここから，マルチレート逆系は状態変数 xmr に対して ν∗
サンプル毎に完全追従制御を達成するため，dmr= 0 の場合，出力に対する ν サンプル毎の完全追従制御が達成されることがわかる。もし，分解されたシステムにおいて∗
dmr, 0 の場合，状態変数 x sr に対する完全追従制御が保証されていないため，出力に対して完全追従制御をする∗ことができない。したがって，V と V× は dmr= 0 となる

ように選択する必要がある。
3.4.5

複数モード系における検証

検証条件
図 3.4.4 に示す検証に用いる複数モード系のモデルは次の

ように与えられる。
Gc (s)

表 3.4.1 手法ごとの誤差の平均二乗平方根。T r は指令値の

=

2.44
1.1
+ 2
s2
s + 2 × 0.024 × (2π × 30)s + (2π × 30)2=

Gc,mod,1 (s) + Gc,mod,2 (s)=3.54
s2 + 2 × 0.02 × (2π × 25)s + (2π × 25)2× 2
s2
s + 2 × 0.024 × (2π × 30)s + (2π × 30)2(3.80)N1 (s) N2 (s)=(3.81)
×D1 (s) D2 (s)サンプリング時間を δ = 4 ms とする。連続時間モデル Gcと離散時間モデル Gd を図 3.4.5 に示す。比較する 8 つの手法を表 3.4.1 に示す。
周波数領域における評価
周波数領域では，Performance Frequency Gain により，連続時間追従誤差を評価する。Performance Frequency Gain は，
単一周波数の正弦波を指令値として規格化された定常的な連続時間追従誤差として，次のように定義される。
RMS(ejω (t))(3.82)|Er (jω)| =RMS(rjω (t))

サンプリング時間を示す。Gc,mr と Gc,sr はマルチレートとシングルレートの逆系のための連続時間モデルをそれぞれ示す。
Table 3.4.1.

Root Mean Square error eRMS in each approach.

T r is the reference sampling time.

Gc,mr and Gc,sr are thecontinuous-time model for the multirate and single-rate inversion.

Case

Approach

Tr

Gc,mr

Gc,sr

eRMS [µm]1LineSingle-rate

δ

-

Gc

1.1454

2

Multirate

4δ

Gc

-

0.32923

Additive2δ

Gc,mod,1-

0.38684Additive2δ

Gc,mod,2-

13.4153

5

Multiplicative2δ

N1 /D1N2 /D20.3688

6

Multiplicative2δ

N2 /D1N1 /D2

1.1555

7

Multiplicative2δ

N1 /D2N2 /D10.3688

8Multiplicative2δ

N2 /D2

N1 /D1

1.1555

ただし，rjω (t) はそれぞれの周波数で単一の周波数成分を持つ正弦波である。連続時間追従誤差の Performance Fre-80

quency Gain を図 3.4.6 に示す。ここから，離散化によっ40て発生するフィードフォワード制御器の振動的な極に対大きな誤差が発生していることがわかる。低周波数では，|Er | は Case 1 < Case 5 = Case 7 < Case 3 < Case 2 の順で小さい。これらの考察から，Case 2，Case 3，Case 5，Case 7が望ましい手法であると分かる。
時間領域における評価

0|Er | [dB]

処できていない手法において，ナイキスト周波数付近で

−40
−80
−120
−160
100

時間領域では，図 3.4.7 に示す連続時間指令値に対して，
連続時間追従誤差を評価する。サンプリング時間 0.1δ =0.4 ms のシミュレーションにおける誤差 e(t) の時間波形を

図 3.4.8 に示す。誤差の平均二乗平方根 eRMS = RMS(e(t))

101f [Hz]

102

図 3.4.6 連続時間追従誤差の Performance Frequency Gain。
垂直黒点線 (

) はナイキスト周波数を示す。

を表 3.4.1 に示す。これらの結果より，ナイキスト周波数

Fig. 3.4.6.

まで主に成分を持つ指令値に関して，Case 2 は（反）共tracking error. Nyquist frequency is shown in a vertical black dot-

Performance frequency gain of the continuous-time

振周波数に対して十分高い指令値のサンプリング周期を

ted line ().

持つため，Case 2 において連続時間追従誤差が最も小さ

引用・参考文献

くなっていることがわかる。
3.4.6

まとめ

複数モード系における連続時間追従誤差に着目して複数の完全追従制御法の比較を行った。複数モード系のモデル（ 1 ） Tomizuka, M.: Zero Phase Error Tracking Algorithm for Digital
Control, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 109, No. 1, p. 65 (1987).

は複数の状態変数の組み合わせとして分解することが可能（ 2 ） Steinbuch, M., Oomen, T. and Vermeulen, H.: Motion Control,

であり，完全追従制御を達成する状態変数を選択すること

Mechatronics Design, and Moore’s Law, IEEJ Journal of Indus-ができる。複数モード系における検証において，状態追従

try Applications, Vol. 2, No. 4, p. 21006010 (2021).

制御により離散化によって発生するフィードフォワード制（ 3 ） Poot, M., Portegies, J., Mooren, N., Haren, van M., Meer, van M.

御器の振動的な極に対処することが必要であると確認されand Oomen, T.: Gaussian Processes for Advanced Motion Con-た。（反）共振周波数に対してサンプリング周波数が十分高trol, IEEJ Journal of Industry Applications, No. 41, p. 21011492

くない場合の最適なモード選択や，モデル化誤差に対する(2022).

ロバスト性能の検討が今後の研究課題である。

（ 4 ） Hayashi, T., Fujimoto, H., Isaoka, Y. and Terada, Y.: Projection-

（ 5 ） Åström, K., Hagander, P. and Sternby, J.: Zeros of sampled sys-r [µm]

600

tems, Automatica, Vol. 20, No. 1, pp. 31–38 (1984).

400（ 6 ） Zundert, van J. and Oomen, T.: On inversion-based approaches

200

for feedforward and ILC, Mechatronics, Vol. 50, No. November

0
0

0.04

0.08
t [s]

0.12

0.16

2016, pp. 282–291 (2018).

（ 7 ） Fujimoto, H., Hori, Y. and Kawamura, A.: Perfect tracking control based on multirate feedforward control with generalized

図 3.4.7

連続時間 4 次多項式軌道指令値 r(t)。( )，( )，( ) はそれぞれ δ，2δ，4δ のサンプリング点を示す。

Vol. 48, No. 3, pp. 636–644 (2001).

Continuous-time 4th order polynomial trajectory ref-（ 8 ） Ohnishi, W., Beauduin, T. and Fujimoto, H.: Preactuated Mul-

erence r(t). ( ), ( ), and ( ) show sampling points every δ, 2δ, andtirate Feedforward Control for Independent Stable Inversion of4δ.

Unstable Intrinsic and Discretization Zeros, IEEE/ASME Trans-e [µm]

e [µm]

e [µm]

e [µm]

e [µm]

e [µm]

e [µm]

e [µm]

Fig. 3.4.7.

sampling periods, IEEE Transactions on Industrial Electronics,

actions on Mechatronics, Vol. 24, No. 2, pp. 863–871 (2019).

4（ 9 ） Ohnishi, W. and Fujimoto, H.: Multirate Feedforward Control

0−4
4

Based on Modal Form, in 2018 IEEE Conference on Control
Technology and Applications (CCTA), No. 2, pp. 1120–1125,
IEEE (2018).

0−44（10） Mae, M., Ohnishi, W. and Fujimoto, H.: Multirate Feedforward
Control based on Modal Form with Mode Selection Applied to0−4
4Multi-Modal High-Precision Positioning Stage, in 2021 IEEE International Conference on Mechatronics (ICM), pp. 1–6, IEEE
(2021).

0−44（11） Zundert, van J., Ohnishi, W., Fujimoto, H. and Oomen, T.: Improving Intersample Behavior in Discrete-Time System Inversion: With Application to LTI and LPTV Systems, IEEE/ASME

0−4
4

Transactions on Mechatronics, Vol. 25, No. 1, pp. 55–65 (2020).

（12） Mae, M., Ohnishi, W. and Fujimoto, H.: Review on Multirate

0−4
4Feedforward Control with Mode Decomposition for Intersample

0−4
4

and Optimization (SAMCON 2023), pp. 271–276 (2023).

0−4

Performance in Multi-Modal Motion Systems, in The 9th IEEJ
international workshop on Sensing, Actuation, Motion Control,（13） Chen, T. and Francis, B. A.: Optimal Sampled-Data Control Systems, Springer London, London (1995).

（14） Gawronski, W. K.: Advanced Structural Dynamics and Active

0

0.04

0.08
t [s]

0.12

0.16

図 3.4.8 時間刻み 0.1δ = 0.4 ms のシミュレーションにおける誤差 e(t)。( )，( )，( ) はそれぞれ δ，2δ，4δ のサンプリン
グ点を示す。
Fig. 3.4.8.

Error e(t) in simulation with sampling time 0.1δ =0.4 ms. ( ), ( ), and ( ) show sampling point every δ, 2δ, and4δ.

based Iterative Learning Control for Ball-screw-driven Stage
with Consideration of Rolling Friction Compensation, IEEJ
Journal of Industry Applications, Vol. 9, No. 2, pp. 132–139(2020).

Control of Structures, Springer, New York (2004).