医療保健学研究

６号：1-8頁（2015）
ISSN 2185-2227

原著論文

単一ラドン変換を用いた回転角度推定アルゴリズム
中世古和真1，橋本雄幸2，篠原広行3
1

つくば国際大学医療保健学部

2

横浜創英大学こども教育学部
3

首都大学東京────────────────────────────────────────────
【要 旨】（目的）現在、臨床で多く利用される CT 装置では、計測データとしてラドン変換が得られる。CT 撮影中に患者が回転することはモーションアーチファクトの原因となり、回転角度の推定はアーチファクトの解析に役立つ。そこで本研究では、投影間の相関を求めることで単一ラドン変換より xy 面の回転量を推定する手法を提案する。（方法）本手法はラドン変換上で隣り合う投影間の相関より回転位置を導出する。次に、回転角度はラドン変換の特性を利用して導出した。（結果）
本研究は複数のラドン変換を用いて導出する従来法と同等の精度で回転量の推定ができた。
キーワード：ラドン変換，CT 画像，回転角度推定，投影────────────────────────────────────────────
序論

上で回転角度を求めることを目的とする。
ラドン変換を利用した物体の回転角度の推定

現在、臨床現場ではさまざまな場面で CT 装は、長谷川および坪井らが行っている。長谷川置による撮影が行われている。頭部領域などのはラドン変換に対して対数自己相関を適応する

撮影では患者自身による動きによりモーション方法（長谷川，2006）で、また、坪井らは位相アーチファクトが生じ（坂本と佐藤，1993）、限定相関を適用する方法（坪井と平井，2004）適切な画像が得られないことがある。その場合、により推定している。これら従来法はあらかじ

患者の動きを CT 装置の Raw data であるラドめ原画像を回転させたラドン変換とテンプレーン変換上で求められるならば、モーションアー

トとなる回転が生じていないラドン変換の２つチファクトの解析につながるため有効である。のラドン変換を用いて推定している。しかし、本研究では、コンベンショナル CT における患臨床現場で起こる患者の回転は、ラドン変換の者の動きのうち回転運動に着目し、ラドン変換作成中に生じ、テンプレートとなるラドン変換がないのが一般的である。

─────────────────────
連絡責任者：中世古和真〒300-0051 茨城県土浦市真鍋6-20-1
つくば国際大学医療保健学部
TEL: 029-826-6000（内線：2313）
FAX: 029-826-6937
E-mail: k-nakazeko@tius.ac.jp

そこで本研究ではラドン変換上で患者の回転が生じ、その位置と回転角度を、回転が生じたラドン変換のみを用いて求める手法を提案し、検討することを目的とする。

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中世古和真 他／医療保健学研究

方６号：1-8頁（2015）

製 Alexion 4、人体ファントムは京都科学社製法

CT ファントム PBU-60であり、撮影条件は管電圧120［kV］、スライス厚1.0［mm］、ヘリカル

使用機器
────ピッチ1.35とした。画像サイズは全て Matrix =提案手法の検討には、Ｃ言語を用いて作成し256×256［pixels］とした。

たプログラムにより行った。Ｃ言語開発環境には CPU：intel Core 2 Quad CPU Q8200、メモ回転が生じたラドン変換
───────────

リ：4.00 GB、Microsoft Visual C++ 2010
Express を用いた。検討に用いた２つの数値フ

本研究で用いる文言の定義としてラドン変換

ァントムを図１に示す。(a)は Shepp ファント

R(s,θ)を図２に示す。パラレルビームを想定しム、(b)は脳領域のセグメンテーションデータたラドン変換を用い、検出器と垂直に交わる直（Brain web）を加算して作成したより実際の脳線が通過する画素値とその画素を通過した距離領域に近い構造を持つ Brain ファントム、(c)の積の総和とした。また、n 番目の検出器の回は人体ファントムを実際に CT 装置で撮影した

転角度をθn、そのとき得られる投影をR(s,θn)

画像である。用いた CT 装置は東芝メディカルとする。患者の回転は、図３のようにラドン変(a) Shepp ファントム(c) CT 画像(b) Brain ファントム
図１．ファントム画像

図２．ラドン変換

図３．患者の回転

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換 R(s,θ)の作成中に i -1 番目の投影を収集し、る。本研究における投影間の相関値は、位相限i 番目の投影収集を開始する際に、ƒ［°］の回転定相関法（小林他，1996；伊藤と中島，2000）を起こしたと仮定する。実際に、Shepp ファンなどと比較して演算時間が短いことから相関係

トムを用いて回転が生じたラドン変換の例を図数を用いた。以下の式(2-1)よりCn( j )を求め──────た。なお、R( s, θ)は R( s, θ)の平均値を示す。

４に示す。
回転角度ƒの導出────────
本研究で提案する手法のフローチャートを図（2-1）

５に示す。回転角度ƒの推定は、回転が起こっi 番目の検出器には θi に患者の回転角度 ƒた投影の位置 i をまず特定し、次に回転角度のが加算されるため、角度 θi + ƒ の投影が収集

ƒ の導出を行った。

されているため、投影 R(s,θi+ƒ)となる。回転前の投影 R(s,θ i–1 )と回転直後の投影 R(s,θ i

回転位置 i の導出──────────+ƒ)は、その他の R(s,θj-1) と R(s,θj) より相関が低いと考え、Cn( j )のうち最も相関値が低回転が起こった投影の位置 i の推定は、任意

い j-1, j の間に患者が回転したと考える。実際の j 番目の投影に注目すると、投影 R (s,θj-1)との i = 100 の場合の Cn( j )［1≦ j ≦N-1］を図６投影 R (s,θj)の相関値 Cn( j )［ 1 ≦ j ≦ N-1］に示す。図のように、最小値を示す j の位置をより求めた。このとき、投影の比較は隣り合う求めることで回転位置 i が求められる。

θj-1とθj で行うため、j の値は 1≦ j ≦ N-1とな

図４．Shepp ファントムのラドン変換

図６．回転位置 i の導出回転が生じたラドン変換の特徴──────────────
回転位置 i を導出後、ƒの値を導出する。回転角度ƒの推定は、ラドン変換の性質およびラドン変換上にどのような投影角度の投影があるか、その特徴から推定する。提案手法では、以下のラドン変換の性質を利用した。
性質 1：R(s,θ)とR(s,θ+180°)は左右反転の関
図５．フローチャート係にある

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図７．回転と投影角度の関係

性質 2：R(s,θ)= R(s, θ + 360°)

図７に case 1 ˜ 4 の場合の R(s, θ)の投影角度を、図８には実際の回転が生じたラドン変換

また、回転が生じたラドン変換では、ƒの正の例を示す。図７の黒線は R(s, θ)内に示され負とθi+ƒの値との関係より４つに場合分けでる投影角度であり、灰色線は回転角度ƒを示しきる。以下は場合分けした条件を示す。ている。ラドン変換上のどの位置に、どのような投影角度の投影があるのか、その特徴を確認

case 1. ƒ＞ 0 、かつ、θi ＋ƒ＜ 360°するため、ラドン変換上で、j ＜ i の投影 R(s,case 2. ƒ＞ 0 、かつ、θi ＋ƒ≧ 360°θj ) を領域①、j ≧ i の投影 R( s, θj ) を領域②

case 3. ƒ＜ 0 、かつ、θi ＋ƒ≧ 360°としたとき、以下に、case 1˜4 の場合に領域

case 4. ƒ＜ 0 、かつ、θi ＋ƒ＜ 360°①と②にどのような投影角度となるかを示す。
case １．ƒ＞ 0 、かつ、θi +ƒ＜ 360°の場合
領域①：0°≦θj ＜θi-1
領域②：θi +ƒ≦θj ＜ƒ+360°
case２．ƒ＞ 0、かつ、θi +ƒ＞360°の場合
領域①：0°≦θj ＜θi-1
領域②：θi +ƒ- 360°≦θj ＜ƒ+ 360°
case３．ƒ＜ 0、かつ、θi +ƒ＞ 0°の場合
領域①：0°≦ θj ＜ θi-1
領域②：θi +ƒ≦θj ＜ƒ+360°
case４．ƒ＜ 0 、かつ、θi +ƒ＜ 0°の場合
領域①：0°≦θj ＜θi-1
領域②：θi +ƒ≦θj ＜ƒ+360°
以上のラドン変換の性質と特徴を利用して回図８．回転が生じたラドン変換

転角度の導出を行った。

5中世古和真 他／医療保健学研究６号：1-8頁（2015）

式(2-3)で求めた。

回転角度の導出───────
患者の回転角度ƒは R(s,θi)を基準とし（以(2-3)

下、R(s,θi)を基準投影と呼ぶ）、基準投影と同θi −θmax＜ 130°の場合、case 3 として ƒ

じ投影が通常の処理で得られるラドン変換R(s,の値は式(2-4)で求めた。

θj)、また、ラドン変換の性質 2 を利用するために左右反転させたラドン変換 R (s,θj)中に存(2-4)

在する位置から求めた。基準投影と R(s,θj)とR (s,θ)に jmax がある場合、回転が考えられの相関値を C( j )［0≦ j ≦N-1］とし、また左右るのは case 1 および case 4 である。このとき反転させたラドン変換 R (s,θj)との相関値をの場合分けには検出器の角度が 0°のときの投影C’( j )［0≦ j ≦N-1］とする。このとき、基準投（以下、0°投影を呼ぶ）を用いる。0°投影を判影と２つのラドン変換 R(s,θj)、R (s,θj)の相定に用いるのはラドン変換上に常に存在するた関は全ての投影で求めるため j の範囲は 0≦ j ≦めである。もしθi = 0 のときに回転が生じてN-1 となる。C( j )と C’( j )の最大値を示す位も、回転後の患者が通常の回転なしの患者のラ

置 j max はそれぞれの投影角度とラドン変換の性ドン変換として収集されるため問題は生じない。

質とを合わせて、最も高い相関を示す投影の位

従って、本研究の回転が生じたラドン変換には置から求めた。図７より、case 1、4 は θi+ƒθi = 0 の場合は含まれず、0°投影は常に存在が領域①、②に含まれないのが分かる。またすることになる。 i ≦ j ≦ N-1 に 0°投影がラド

case 2 では性質 1 より領域①に、case 3 では領ン変換上に存在する位置を j 0、またそのときの域①に基準投影と同じ角度の投影が含まれてい投影角度をθ0 とする。図７より、case 1ではることが分かる。回転角度の導出は jmax での投360°投影（= 0°投影）が、case 4 では回転が生影角度をθmax として行う。まず、領域①に jmax

じた後すぐに 0°投影が存在する。これらを頸椎がある場合、回転が考えられるのは case 2 およの回旋運動の可動域を考慮すると、case 1 では

び case 3 である。そこで頸椎の可動域を考慮し0°投影とラドン変換の下端 θN-1 との角度差はて場合分けを行う。回旋運動の可動域（斎藤他、

θN-1 –θ0 ＜130°、case 4 ではθN-1 - θ0 ＞ 230°

2006）が−65°˜ 65°とすると、ƒ＞0 の場合にとなるため、θ0 とθN-1 との角度差を求めて場合は、可動域の最大値であるƒ=130°のときθ i分けを行った。θN-1 –θ0 ＜ 130°の場合、case 1+ƒ＞360°の条件を満たすためには、θ i ＞として ƒ の値は式(2-5)で求めた。

230°となる必要がある。また、i =N–1の場合に回転が起こった場合には、基準投影の投影角度(2-5)

は式(2-2)となる。

θN-1 – θ0＞230°の場合、case 4 としてƒの値は式(2-6)で求めた。
(2-2)
従って、θi−θmax＞230°だと考えられる。次(2-6)に、ƒ＜ 0 の場合を考えると、ƒ=−130°のとき θi +ƒ＞ 0°の条件を満たすためには、θi ＞130°である必要があるので、θi −θmax＜ 130°

プログラム化する際の補正────────────だと考えられる。これより、θi −θmax を利用して、case 2 と case 3 の場合分けを行った。θ

提案手法をプログラム化する際に、ƒ によっi −θmax＞230°の場合、case 2 として ƒ の値はては case 2 や case 3でも適切な投影が基準投

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中世古和真 他／医療保健学研究

影と相関値の最大値を示さない。それは、ƒ と６号：1-8頁（2015）

結果

検出器の単位移動あたりの回転量、すなわち360°を N で割った角度（=θi -θi-1 ）の差によ

本研究で提案する手法の検討として、３つのって決まる。例としてƒ=−6.0、θ i −θ i-1

数値ファントムを用いて回転位置と回転角度を=4.0 の場合、提案手法で考えると、θj ＜θi のランダムに設定した20例に対して推定を行った。

投影 R(s,θj) に最も相関を示すことが推測され３つのファントムを用いて回転位置および回転るが、実際のプログラムでは ƒ とθi−θi-1 の量を推定した結果、回転位置についてはそれぞ差が2.0°であるため、θi＜180°の場合はθj =θ

れのファントムの20例で正確に求められた。

i + 180°、θi＞180°の場合はθj=θi−180°の回転角度推定については表１に示す結果が得ら

R (s,θj)に最も相関を示す場合がある。このよれた。

うな場合、ƒ とθi−θi-1 の差により適切な投影を求めることができない。そこで、これを補正するためにθj =θi ±180°の R (s, θj)に相関の考察最大値を示す場合に、0°投影 R(s, 0) を用いて補正した。まず、患者がどのように回転したか

本研究では物体の回転角度推定について、従判別するため、0°投影と R(s,θj) の相関値 C 0来法との推定精度の比較を行った。従来法とし( j)[ i ≦ j ＜N–1]を求め、得られた相関値よりて、テンプレートとなるラドン変換との一次元最大値に対して閾値を0.99に設定して、場合分位相限定相関を用いた回転角度推定をとりあげ、けを行った。最大値が閾値以上の場合は、図７３つの数値ファントムを用いたランダムに設定

より case 1 と case 4 となる。これらの場合は、した回転角度20例に対して提案手法との比較を上述の式から回転角度を導出した。また、閾値行った。それらの推定結果を表１および表２に未満の場合は case 2 または case 3 であり、基示す。これより従来法と提案手法を比較すると、準投影を R (s,θj)［0≦ j ＜ i］の相関値によって提案手法は従来の手法と同等の推定精度がある導出した。上述のように、R (s,θj) に最も相関と考えられる。

を示す場合でも case 2 と case 3 は基準投影とほぼ同じ投影角度での投影を示す。そのため領域①に最大値がある場合と同様に頚椎の可動域結論に基づき場合分けを行い、回転角度を導出した。
本研究はラドン変換上で生じた患者の回転に対して、回転が生じた位置および回転角度を推表１．提案手法による回転角度推定結果

表２．従来法による回転角度推定結果

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中世古和真 他／医療保健学研究(a) θ = 0°

６号：1-8頁（2015）(b) θ = 180°

図９．ファンビームによる投影定する手法を提案した。３つのファントムに対

小林孝次，中島寛，青木孝文，他(1996)位相限して提案手法を用いた結果、回転が生じた位置定相関法の原理とその応用．テレビジョンについては正確に求められ、回転角度について学会技術報告．20(41):1-6.

はファントム間での差はなく、テンプレートを齋藤米蔵，平野秀利，黒瀬雅之，他(2006) 電子用いた従来法と同等の推定精度が得られた。こ式 Goniometer を用いた頭部屈曲・回転運

れより提案手法はラドン変換上で生じた回転に動時の関節可動域の解析と運動軌跡の観対して良好な回転角度推定ができると考える。

察．日本顎口腔機能学会雑誌．13(1):21-

提案手法は回転角度の推定にパラレルビームを30.

用いたラドン変換を利用した。今後は、実際に坂本隆，佐藤俊輔 (1993)被写体回転によるＸ線

CT で用いられるファンビームによるラドン変

CT 画像のぶれ：点源を被写体断層とする換に適用した推定方法を提案することを課題と場合．電子情報通信学会論文誌．J76-D-する。ファンビームを用いたラドン変換では、

2(3): 747-754.

図９に示すようにラドン変換の性質１が成立し坪井辰彦，平井慎一 (2004) ラドン変換と一次ないため、ファン-パラレル変換などの処理を用

元位相限定相関を用いた複数物体の平面運い補正を行うことが課題となる。

動検出．電子情報通信学会論文誌．J87-DⅡ(10): 1963-1972.
長谷川誠 (2006) Radon変換ドメインの対数自参考文献

己相関による拡大縮小・平行移動・回転不変性の考察．電子情報通信学会技術報告．

伊藤憲彦，中島慶人(2000)位相限定相関法を用いた３次元物体の位置・姿勢推定方法．情報処理学会研究報告．82: 1-8.

106(423): 31-36.
Brain web. http://mouldy.bic.mni.mcgill.ca/brainweb/ （2014年８月20日）

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中世古和真 他／医療保健学研究

６号：1-8頁（2015）

Original article

A study on estimation rotation angle algorithm
using single radon transform
Kazuma Nakazeko1, Takeyuki Hashimoto2, Hiroyuki Shinohara2
1

Department of Radiology, Faculty of Health Science, Tsukuba International University
2

Department of Education, Yokohama Soei University
3

Tokyo Metropolitan University

Abstract[Purpose] When patients are rotated during execution of Radon transform, CT image have the motion
artifact. The rotation angle is estimated by analyzing the motion artifact. This paper proposes an estimation
method of the rotation angle under the execution of the Radon transform by using correlation coefﬁcient
between projections. [Materials and Method] In the proposed method, the rotation position is estimated byusing correlation coefficient between neighbor projections. Rotation angle is estimated by using Radontransform properties and range of cervical movement. [Result] The effect of proposed method is veriﬁed bysimulation using three phantom images.
Keywords: Radon transform, CT image, Estimation of image rotation angle, Projection