ＮＦＩリサーチ・レビュー2015 年 3 ⽉

Research Report

ペアトレード戦略におけるポジション構築

2015 年 3 ⽉ 23 ⽇

および解消⼿法の理論的導出に関する考察

資産運⽤研究所
シニア・アナリスト
⼩⼜

要

雄⼀郎

約

本稿では、2014 年 12 ⽉ 24 ⽇にプレプリント・サーバーarXiv にて公開された、Ngo と Pham によるプレプ
リント論⽂ “Optimal switching for pairs trading rule: a viscosity solutions approach” [1]のレビューを⾏う
とともに、その⽇本市場における活⽤の可能性について考察する。まず、Ngo と Pham らの⼿法に従い、ペアト
レード戦略を Hamilton-Jacobi-Bellman ⽅程式による最適化問題として定式化し、その解の存在からポジション
構築・解消を判断するしきい値がどのように導き出されるのかについて解説した後、そのしきい値を利⽤した独⾃の視点による複数のモンテカルロシミュレーションを⾏うことで、このペアトレード戦略の有効性を検証する。
さらに、このペアトレード戦略から得られるリターンに関して、平均回帰性を特徴づけるパラメータや取引コスト率に対する依存性について詳しく検証し考察する。そして、それらの結果をもとに、このペアトレード戦略の応⽤可能性を考察していく。
本稿で紹介する⼿法は、実務へ応⽤するときの課題は多々あるものの、⼀旦ペア銘柄が決まってしまえば、その後は、厳密な数学の理論の帰結を利⽤することで、膨⼤なシミュレーションなどせずに売買タイミングを決定するしきい値が⼀意的かつ⾃動的に決まってしまうため、戦略アルゴリズム決定プロセスが⼤幅に短縮される可能性が⾮常に⾼い。これによって、⾮常に多くのペア銘柄による投資が可能となる、急な市場環境の変化にも柔軟に対応可能となるといった様々なメリットを享受することができると考えられる。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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⽬次
1. はじめに
2. プレプリント論⽂の帰結とその解釈、考察
2.1 効⽤関数の定義と最適化問題の定式化
2.2 論⽂における帰結
2.3 各 switching region、しきい値の算出⽅法
2.4 効⽤関数内のコストとリスク回避度について
3. モンテカルロシミュレーションによるサンプル
3.1 シミュレーションの流れ
3.2 単⼀のパラメータの組み合わせによるシミュレーション
3.3 複数のパラメータの組み合わせによるシミュレーション
3.4 シミュレーション結果のまとめ
4. 考察と課題
4.1 当ペアトレード戦略のメリット
4.2 実務へ応⽤するときの課題
5. まとめ謝辞
参考⽂献

１．はじめにペアトレード戦略とは、⼀般的には、同じような値動きをする 2 つの銘柄のペアを選び、双⽅のリターンの差＝スプレッドの⽔準に応じて、⼀⽅をロングポジションとし、もう⼀⽅をショートポジションとした投資を実⾏することにより、そのスプレッドがある⽔準に収斂していく性質＝平均回帰性を利⽤することで、超過収益を狙う投資戦略のことである。
ペアトレード戦略を構築する上での最初の課題は、平均回帰性を持つペアをどのように⾒つけるかであるが、仮に何らかの⽅法で適切なペアが⾒つかったとしても、その次には、それらをどのようなタイ
ミングで売買していけばよいのか、その投資ルール、アルゴリズムを決定しなければならないという課
題が待ち構えている。
ペアトレードに関しては古くから数多くの研究が実証的及び理論的に⾏われており[2]、特に最近では確率過程からのアプローチによる研究がより多くなされている。具体的には、株価およびそのペアのスプレッドが従う確率過程を利⽤し、ペアトレード戦略から得られるリターンに関する効⽤関数を期間最適化する HJB ⽅程式（Hamilton-Jacobi-Bellman ⽅程式）を扱うことにより、最適な保有⽐率もし
くはポジション構築・解消すべき最適なしきい値を決定するという⼿法である。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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HJB ⽅程式を考えることで最適な投資⽐率を決定する⼿法については、Mudchanatongsuk, S.,
Primbs J. and W. Wong [3]や Tourin A. and R. Yan [4]の研究などがある。⼀⽅、同じく HJB ⽅程式を考えるが、最適な投資⽐率を決定するのではなく、その解の存在条件を議論することによって、ポジションの構築・解消をすべき最適なしきい値を求める⽅法が、Zhang and Zhang[5]、Kong[6]、Songand Zhang[7]、Leung and Li[8]らによって研究されている。
本稿では、後者の⽴場による研究、すなわち HJB ⽅程式を扱うことを通して、ポジションの構築・解消をすべき最適なしきい値を理論的に算出するという、2014 年 12 ⽉ 24 ⽇にプレプリント・サーバー
arXiv1にて公開された、Ngo と Pham によるプレプリント論⽂ "Optimal switching for pairs trading
rule: a viscosity solutions approach" [1]（以下、プレプリント論⽂。
）を紹介する。そして、そのプレプリント論⽂内で使⽤されている⼿法の、⽇本市場における活⽤の可能性について考察する。
Ngo と Pham[1]によれば、彼らの研究は Song and Zhang[7]らの研究をさらに進化させたものであり、より⼀般的な平均回帰性をもつ確率過程に拡張したこと、そして直接的に最適なカットオフ（しきい値）を算出する⽅法を⾒出したことを主張している。
図１: スプレッドの推移としきい値の例

図 1 のチャートは、あるペア銘柄 A および B のスプレッド X の推移（X=A のリターン
ーB のリターン）を表す。⽔平に引かれた 4 つの線は、上からそれぞれ、フラットポジション（なにも持たないポジション）から A をショートし B をロングするポジションに移⾏（open-to-sell）、A をロングし B をショートしているポジションからフラットポジションに移⾏（sell-to-open）、A をショートし B をロングしているポジションからフラットポジションに移⾏（buy-to-open）、フラットポジションから A をロングし B をショートするポジションに移⾏（open-to-buy）するしきい値を表している。
出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

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arXiv とは、1991 年から開始された、物理学をはじめとした数学から情報⼯学など数多くの学術論⽂が投稿される、世界最⼤の学術プレプリント投稿サイトである。分野によっては⽇々数⼗から数百もの投稿数になることもある。近年は、⾦融や経済学に関する投稿も増えてきている。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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今回紹介するプレプリント論⽂においても、前述の指摘の通り、適切なペアを⾒つけるという点では同様の課題を持っているといえよう。しかし、⼀旦、その適切なペアが⾒つかってしまえば、その後の投資戦略は、膨⼤なシミュレーション等をしなくとも、厳密な数学の理論の帰結により、売買タイミングを決定するしきい値が⼀意的かつ⾃動的に決まってしまうことから、実証的⼿法及びモンテカルロシ
ミュレーションを通して戦略を策定する⽅法と⽐べて、計算負荷の⼤幅な削減が期待される。
本稿で紹介するペアトレーディング戦略には、実務への応⽤のために乗り越えなければならない課題
がまだまだ数多く存在するとはいえ、HJB ⽅程式を取り扱うものの、最適投資⽐率を求めるのではなく、「投資のレシピ」を⾒出す、つまり、適切なしきい値の存在を導き、それに基づき将来の投資アルゴリ
ズムを決定するという発想は、直感的にも理解しやすいため、実務への応⽤を容易に想像しやすく⼤変興味深い内容といえよう。
本稿では、第２章で Ngo と Pham らが⾏った、スプレッドが従う確率過程の定義、具体的な効⽤関数を⽤いての最適化問題の定式化、その解の存在からどのようにしきい値が導き出されるのかについて解説した後、第３章でそのしきい値を利⽤した独⾃の視点による複数のモンテカルロシミュレーション
を⾏い、このペアトレード戦略における各種パラメータ依存性を検証する。ただし、その際、プレプリント論⽂で議論されているような、しきい値や効⽤関数に対するパラメータ依存性ではなく、当戦略から得られるリターン、リスク、1 パーセント点（下側から 1%の値）、ポジション構築回数、ポジション
構築期間といった、投資的により関⼼の⾼い指標に対するパラメータ依存性に着⽬する。そして、第４章でこれらのシミュレーション結果とそこから得られる各指標のパラメータ依存性を考慮することにより、当戦略が実務的にどの程度応⽤可能なのかを考察し、最後の第 5 章でまとめを述べる。

２．プレプリント論⽂の帰結とその解釈、考察
この章では、Ngo と Pham らのプレプリント論⽂で展開されている、ポジションの構築・解消をすべ
き最適なしきい値の算出⽅法について要約する。

２．１

効⽤関数の定義と最適化問題の定式化

まず、A および B という銘柄ペアを考え、銘柄 A の累積リターンから銘柄 B の累積リターンを引いたものをスプレッド：X とする。以降、この銘柄 A および B のうち、⼀⽅をロングしもう⼀⽅をロング銘
柄と等⾦額でショートすることで、ペアトレード戦略を実⾏することを考える。
プレプリント論⽂に従い、各ポジションの状況を表す以下の"regime"を定義しておく。
 regime 1: ロングポジション - 銘柄 A をロングし、銘柄 B をショートしている状態。
 regime 0: フラットポジション - 銘柄 A、銘柄 B ともにポジションをもたない状態。
 regime -1: ショートポジション - 銘柄 A をショートし、銘柄 B をロングしている状態。

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次に、スプレッド X に関する次式で表される平均回帰性を持つ確率過程を考える2。

ここで、

は

上の標準ブラウン運動に従う確率変数、

準偏差に相当する

は上の、⾮縮退条件

程式 (2.1) は、任意の初期値

、

は定数、標

を満たすリプシッツ関数である。確率微分⽅に対し⼀意の解を持つことが知られている。

続いて、次のような時間を含む効⽤関数を定義し、この効⽤関数の最適化問題を考える。

それぞれの項の意味は以下のとおりである。

: スプレッドの初期値



: 時点

におけるポジションの 2 変数で表される量(以下、switching control と呼ぶ): ディスカウントファクター



:



: リスク回避度

における regime

効⽤関数 (2.2) の第⼀項は、ペアトレード戦略を繰り返すことで得られる累積の利益を、第⼆項は、ポジションを持つことによるリスク（保有または在庫リスク）を現す。
効⽤関数内にある（添字は各 regime を表す）は、それぞれ、以下のアクションを実⾏した時のキャッシュフロー関数＝ゲイン関数:

: ロングポジションを構築（open-to-buy）した時のキャッシュフロー。

: ショートポジションを解消（sell-to-open）した時のキャッシュフロー。

: ショートポジションを構築（open-to-sell）した時のキャッシュフロー。

: ロングポジションを解消（sell-to-open）した時のキャッシュフロー。

である。具体的には、

2

本稿では、以後、それぞれの数式内で⽤いられる記号になかで、特に重要と思われるもののみをピックアップして説明する。より詳細な記号の定義に関しては、プレプリント論⽂を参考にされたい。

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ＮＦＩリサーチ・レビュー2015 年 3 ⽉と定義される。

はその時点でのスプレッド、 は取引コスト率を表している。

以上の定義を⽤いて、このペアトレード戦略における最適化問題を次のように定式化する。

ここで、は switching control の集合であり、 はの初期値への依存性を⽰す。
（open ポジシ

ョンから開始する場合は 0、buy ポジションから開始する場合は 1、sell ポジションから開始する場合は-1。
）
式 (2.5) は、HJB ⽅程式の要請および regime 間の遷移を考慮すると、次の 3 つの⽅程式を満たす必要がある。

ここで、２．２は、次式で表される確率過程 (2.1) の⽣成演算⼦である。

論⽂における帰結

以下では、スプレッド X に関する確率過程として、式 (2.10) であらわされる Ornstein-Uhlenbek
過程（O-U 過程）のみを取り上げて説明する。

プレプリント論⽂では、式 (2.6) から (2.8) の要請を利⽤して、次のような 4 つの"switchingregion"を構成する数が必ず存在し、

さらに、これらの 4 つの領域は、必ず以下を満たすことを⽰している。
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この領域の意味は、その名称の通り、ョンを閉じる(open にする)、の値が buy-to-open region に存在する場合は buy のポジシの値が open-to-sell に存在する場合は open から sell のポジションに移⾏するという意味である。sell-to-open、open-to-buy についても同様である。
この switching region を利⽤したトレーディング戦略のイメージを図⽰したものが図 2 である。
図２: 4 つの switching region とペアトレード戦略のアルゴリズム

出所: Ngo, M and Pham, H: “Optimal switching for pairs trading rule: a viscosity solutions approach” [1]

各領域に関する条件 (2.11) は、このようなロング・ショートポジションの構築・解消が現実的に可能であることを表している。この値域が必ず存在する、そしてそれらが⼀意に求まることこそ、この論⽂の最⼤の帰結である。

２．３

各 switching region、しきい値の算出⽅法

次に各 switching region における、しきい値の算出⽅法について説明する。プレプリント論⽂ではTheorem 4.1 で展開されている。
各 regime における最適化された効⽤関数 (2.5) は、以下の微分⽅程式：の基本解:を利⽤して、次のように与えられる。
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そして、(2.14) から (2.16) が、それぞれの regime の境界でなめらかに接続されるという、次の"smooth-fit conditions"を満たす条件を課すことにより、各定数が決定される。

プレプリント論⽂では、これらの条件は更に次のように集約されることを⽰している。

この 2 つの 2×2 の⾏列⽅程式 (2.25)、(2.26) を解くことにより、各 switching region を決定する
しきい値を算出することが可能となる。

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２．４

効⽤関数内のコストとリスク回避度について

2.4.1 取引コスト率について
取引コスト率は、ロング、ショートポジションの構築時及び解消時いずれにおいても⼀定値としている。今回のペアトレード戦略では、常に両サイドのポジション、つまり⼀⽅の銘柄を買うと同時にもう⼀⽅の銘柄を売り建てる、あるいはそれらを同時に閉じることを考慮すると、いずれの投資⾏動においても取引コスト率は対称かつ⼀定と考えることは妥当であるといえる。
2.4.2 リスク回避度と貸株コスト率
信⽤取引（売建）を⾏うと、それに応じた貸株コスト率が発⽣するが、プレプリント論⽂では貸株コ
スト率についての指摘がない。しかし、効⽤関数内の第⼆項のリスク項が、ポジションを構築すること＝リスクという単純な構造となっているため、貸株コスト率をこのリスク回避度の項に組み⼊れること
で、その影響を考えることができる。
つまり、貸株コスト率をとすると、効⽤関数第⼆項の係数を、と修正すればよい。この修正は単なる係数の修正に過ぎないため、プレプリント論⽂での帰結に影響することはない。なお、プレプリント論⽂ではなわちとしているため、本稿においても同じ前提、すとして分析を進める。

３．モンテカルロシミュレーションによるサンプル
３．１

シミュレーションの流れ

本稿では、確率過程（O-U 過程）に関する複数の組み合わせを⽤意し、それぞれのパラメータの組み合わせに対して、以下のような流れでシミュレーションを⾏い、プレプリント論⽂の⼿法の有効性について議論していく。
1.

確率過程 (2.1) および効⽤関数 (2.2) を特徴づけるパラメータを⽤意し、そのパラメータに応じたしきい値を、⾏列⽅程式 (2.25)、(2.26) を解くことによって算出する。

2.

上記パラメータを利⽤して、O-U 過程に従う確率パスをランダムに 1,000 回発⽣させる。なお、
使⽤周期は⽇次（すなわち 1,000 営業⽇、⼀年間を 250 営業⽇と想定）、初期値は

と

する。
3.

前章のロジックに従い、ポジション構築・解消を⾏う。

4.

ポジションを構成するごとにゲイン関数を計算し、その累積値を求める。

5.

999 営業⽇にポジションを構築していた場合には、1,000 営業⽇にポジションを解消する。

6.

最終的な累積ゲイン関数（累積リターン）、それぞれのポジション構築・解消回数を計算する。

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7.

以上を 10,000 回繰り返し、最終的な累積ゲイン関数の平均値、標準偏差、1 パーセント点（下側から 1%の値）、99 パーセント点（下側から 99%の値＝上側から 1%の値）、リターンリスク⽐、それぞれのポジションの構築・解消回数および構築期間の平均を計算する（いずれも年率換算する）。

以上の⼿法によるモンテカルロシミュレーションを、プレプリント論⽂で使⽤されているパラメータ、
J-REIT 銘柄のペアから推定したパラメータ、そして本稿が独⾃に選択した複数のパラメータの組み合わ
せで⾏い、当ペアトレード戦略のパラメータ依存性を議論する3。

３．２

単⼀のパラメータの組み合わせによるシミュレーション

3.2.1 プレプリント論⽂で使⽤されているパラメータでの結果論⽂と同じ条件:の場合の検証結果について考察する4。
各しきい値は、⾏列⽅程式 (2.25) 、(2.26) を解くと、となる。
これらのパラメータおよびしきい値を利⽤してモンテカルロシミュレーションを⾏い、得られたリターン分布が図 3 である。

3

しきい値のパラメータ依存性については、プレプリント論⽂で詳しく展開されている。本稿では、パフォーマンス指標を中⼼に

4

プレプリント論⽂[1]で利⽤されている例は、その本⽂中には具体的に明⽰されていないものの、[7] で使われている例と⼀致し議論する⽬的に鑑み、パラメータのしきい値に対する依存性については、（⼀部を除き）詳しい議論は⾏わないこととする。
ていることから、Wal-Mart Stores Inc. (WMT)と Target Corp. (TGT)の、1992 年から 2000 年における⽇次スプレッドより推定したものであると考えられる。
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図３: 論⽂で使⽤されたパラメータ例によるリターン分布

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

表 1：論⽂で使⽤されたパラメータ例での結果、各種統計量
年率リターン(%)

標準偏差（%）

1 パーセント点(%)

99 パーセント点(%)

リターンリスク⽐

14.7769

29.1457-15.3401

33.6834

0.5070

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

表 2：論⽂で使⽤されたパラメータ例での結果、ポジション構築・解消回数と構築期間 年間平均
open-to-buy(回)open-to-sell(回)buy-to-open(回)

Sell-to-open(回)構築期間（⽇）0.50870.51900.51090.5087196.9878

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

プレプリント論⽂で使⽤されているパラメータによるシミュレーションの結果は、年率リターンが14.7769%であることが分かった。ただし、1 パーセント点が-15.3401%とマイナス値になっていることから、戦略が機能しなかった時のリスクが⼤きいといえよう。リターンリスク⽐も 0.5070 と 1 を下回っていた。
3.2.2

J-REIT 銘柄ペアから算出したパラメータでの結果

プレプリント論⽂のパラメータ例は、⽶国市場における銘柄をもとに推定されたこともあり、抵抗係数

および標準偏差が⽇本のペア銘柄から推定されるものと乖離している可能性がある。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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そこで、⽇本の市場に上場している銘柄のうち、⽐較的相関が⾼く適度な平均回帰性を持つであろう5「⽇本ビルファンド投資法⼈(証券コード 8951)」と「ジャパンリアルエステイト投資法⼈(証券コード8952)」のペア(2011 年 1 ⽉から 2014 年 12 ⽉までの⽇次データの相関=0.7750)のスプレッドから
推定した

および

を

⽤いて、同様のシミュレーションを⾏ってみた。パラメータ推計にあたっては、最⼩⼆乗法を利⽤した6。
各しきい値は、⾏列⽅程式 (2.25) 、 (2.26) を解くと、

5,

となる。
これらのパラメータおよびしきい値を利⽤してモンテカルロシミュレーションを⾏い、得られたリターン分布が図 4 である。
図４: J-REIT 銘柄ペアから算出したパラメータによるリターン分布

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

表 3：論⽂で使⽤されたパラメータ例での結果、各種統計量
年率リターン(%)

標準偏差（%）

1 パーセント点(%)

99 パーセント点(%)

リターンリスク⽐

21.981010.220715.3680

28.4555

2.1506

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

5

本稿では平均回帰性を持つペア銘柄を⾒つけることが主⽬的ではないので、具体的なペア選定⽅法についての説明は省略する。

6

実際には L=0.0556 であったが、今回の検証では L=0 としてシミュレーションを⾏った。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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表 4：論⽂で使⽤されたパラメータ例での結果、ポジション構築・解消回数と構築期間 年間平均
open-to-buy(回)open-to-sell(回)buy-to-open(回)

Sell-to-open(回)構築期間（⽇）3.24793.2491

3.2491

3.2479209.7755

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

年率リターンは、年率 21.9810%、1 パーセント点は 15.3680%とマイナスになることもなく、リ
ターンリスク⽐も 2.1506 であり、先の例と⽐べて⼤幅に好パフォーマンスであることがわかった。

３．３

複数のパラメータの組み合わせによるシミュレーション

続いて、スプレッドの標準偏差、抵抗係数、取引コスト率の 3 つのパラメータに着⽬し、これらが当ペアトレード戦略に与える影響を把握するため、これらの複数の組み合わせによるシミュレ
ーションを⾏う。
3.3.1 スプレッドの抵抗係数と標準偏差の関係性
プレプリント論⽂で使⽤したパラメータと J-REIT 銘柄ペアから推定したパラメータを⽐較すると、それぞれのスプレッドの標準偏差に⼤きな差があるが、それよりもむしろ、スプレッドの抵抗係数と標準偏差の⽐のオーダーのほうがオーダーレベルで⾮常に差があることの⽅が気になるところである。



プレプリント論⽂のパラメータ：

J-REIT 銘柄ペアから推定したパラメータ：

そこで、これらの量の影響を把握するため、スプレッドの標準偏差および抵抗係数の組み合わせを複数⽤意して、それぞれの変化による影響を、モンテカルロシミュレーションを⾏い調べてみた。
パラメータの組み合わせは以下の⽅法で⾏う。



スプレッドの標準偏差:

スプレッドの抵抗係数:



その他の指標は固定:

シミュレーション結果について、横軸をスプレッドの標準偏差、抵抗係数、縦軸を年率リターンとしてプロットしたのが、図 5 である。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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図５: 年率リターン（縦軸）とスプレッドの標準偏差および抵抗係数（横軸）【グラフ内のパラメータ】
sigma: スプレッドの標準偏差
nu: 貸株コスト率

mu: スプレッドの抵抗係数
lambda:
リスク回避度epsilon: 取引コスト率

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

スプレッドの標準偏差、スプレッドの抵抗係数が⼤きいほど、年率リターンが⾼くなることがわかる。
⼀⽅、図 5 において、年率リターンの代わりにリターンリスク⽐を採⽤すると、図 6 となる。
図 6: リターンリスク⽐（縦軸）とスプレッドの標準偏差および抵抗係数（横軸）【グラフ内のパラメータ】
sigma: スプレッドの標準偏差
nu: 貸株コスト率

mu: スプレッドの抵抗係数
lambda:
リスク回避度epsilon: 取引コスト率

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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リターンリスク⽐は、スプレッドの抵抗係数に強く依存していることがわかる。スプレッドの標準偏差については、およびの⼀部を除くと、その⽔準が⾼くなるにつれてリターンリスク

⽐は低下しているが、その影響度はスプレッドの抵抗係数ほど顕著ではない。
3.3.2 スプレッドの標準偏差と取引コスト率の関係性
続いて、取引コスト率による影響を調べる。まず、スプレッドの標準偏差との関係性を調べる。抵抗係数と標準偏差と時のシミュレーションと同様、パラメータの複数の組み合わせを⽤意し、それぞれの変化による影響を、モンテカルロシミュレーションを⾏い調べてみた。



スプレッドの標準偏差:



取引コスト率:

スプレッドの抵抗係数は固定:



その他の指標は固定:

シミュレーションで得られた結果を、横軸を取引コスト率に、縦軸を年率リターン、リターンリスク
⽐とし、同じスプレッドの標準偏差ごとに線で結んで表⽰すると、図 7 のようになる。
図 7: スプレッドの標準偏差別、年率リターン、リターンリスク⽐（縦軸）と取引コスト率（横軸）【グラフ内のパラメータ】
sigma: スプレッドの標準偏差
nu: 貸株コスト率

mu: スプレッドの抵抗係数
lambda:
リスク回避度epsilon: 取引コスト率

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

年率リターンに関しては、スプレッドの標準偏差が⼀定の場合はそれぞれ、コストが増加するに従い累積リターンは低下しているが、その影響はスプレッドの標準偏差の変化（すなわちある線から別の線

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への遷移）と⽐べると軽微である。
リターンリスク⽐は、スプレッドの標準偏差が⼤きくなるほど、取引コスト率とともにリターンリス
ク⽐がおおむね低下傾向にある。
3.3.3 スプレッドの抵抗係数と取引コスト率の関係性
今度は取引コスト率とスプレッドの抵抗係数との関係性を調べる。
基本的にスプレッドの抵抗係数が⾼いほど、より平均に回帰する傾向が強くなるため、⼀度ポジションを構築したとしても、短い間にそのポジションを閉じる可能性が⾼くなる。よって、取引回数は増加
することが予想される。当然ながら、取引回数が多いほど収益の機会が増えるため、累積リターンは上昇すると考えられる。さらに、抵抗係数が⾼いほどその投資効率が上がるということが、前述の分析結果より判明している。しかし⼀⽅で、取引回数増加は取引コスト率による影響が強くなることを意味する。
ゆえに、このトレードオフの関係を⾒積もるためにも、スプレッドの抵抗係数と取引コスト率の関係性についての評価が必要になってくる。
ここでは、次のようなパラメータの組み合わせを考える。



スプレッドの抵抗係数:



取引コスト率:

スプレッドの標準偏差は固定:



その他の指標は固定:

シミュレーションで得られた結果を、横軸を取引コスト率に、縦軸を年率リターンまたはリターンリ
スク⽐とし、同じスプレッドの抵抗係数ごとに線で結んで表⽰すると、図 8 のようになる。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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図 8: スプレッドの抵抗係数別、年率リターン、リターンリスク⽐（縦軸）と取引コスト率（縦軸）【グラフ内のパラメータ】
sigma: スプレッドの標準偏差
nu: 貸株コスト率

mu: スプレッドの抵抗係数
lambda:
リスク回避度epsilon: 取引コスト率

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

年率リターンは当然ながら取引コスト率増加とともに減少するが、リターンリスク⽐に関しては、わずかに低下する程度であった。これは、理論的には取引コスト率が増加するとしきい値が増加する傾向にあるため、しきい値が上がることで当ペアトレード戦略⾃体のリスクが軽減された影響であると考えることができる。図 9 に open-to-buy のしきい値、スプレッドの抵抗係数と取引コスト率を図⽰しておく。

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図 9: スプレッドの抵抗係数別、open-to-buy のしきい値（縦軸）と取引コスト率（横軸）【グラフ内のパラメータ】
sigma: スプレッドの標準偏差
nu: 貸株コスト率

mu: スプレッドの抵抗係数
lambda:
リスク回避度epsilon: 取引コスト率

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

3.3.4 ポジションの構築回数への影響
これまでは、各パラメータの、ペアトレード戦略におけるリターンやリスクに対する影響度を⾒てきたが、今度はそれらがポジションの構築回数にどの程度影響するのかを調べてみる。
まず、端的にその影響度を⾒るため、上記検証で利⽤したすべてのパラメータの組み合わせから得られた結果を⽤いて、



被説明変数: open-to-buy の回数の平均 + open-to-sell の回数の平均



説明変数: スプレッドの標準偏差、抵抗係数、取引コスト率

として、重回帰分析を⾏ってみた。その結果を以下に⽰す。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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表 5: ポジションの構築回数平均 重回帰分析
項⽬

回帰係数

t値

p値

切⽚

0.19503.85300.0001

スプレッドの標準偏差3.667019.73700.0000

スプレッドの抵抗係数

0.260476.94500.0000

取引コスト率-333.1935-16.7810

0.0000

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

ポジションの構築回数平均は、t 値や p 値で判断する限りにおいては、スプレッドの標準偏差、抵抗係数、取引コスト率からの影響が強いことがわかる。
スプレッドの標準偏差、抵抗係数の変化によるポジションの構築回数平均の推移を⽰したのが、図 10である。
図 10: ポジションの構築回数平均（縦軸）とスプレッドの標準偏差または抵抗係数（横軸）【グラフ内のパラメータ】
sigma: スプレッドの標準偏差
nu: 貸株コスト率

mu: スプレッドの抵抗係数
lambda:
リスク回避度epsilon: 取引コスト率

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

取引コスト率の影響は、図 11 のようになる。

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図 11: ポジションの構築回数平均（縦軸）とスプレッドの標準偏差または抵抗係数（横軸）【グラフ内のパラメータ】
sigma: スプレッドの標準偏差
nu: 貸株コスト率

mu: スプレッドの抵抗係数
lambda:
リスク回避度epsilon: 取引コスト率

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

スプレッドの標準偏差や抵抗係数がどの⽔準であっても、コスト増加とともにポジション構築回数が減少していることがわかる。
3.3.5 ポジションの構築期間への影響
最後に、各パラメータの、ポジションの構築期間の影響度を調べる。
まず、構築回数と同様の重回帰分析を⾏ってみる。
 被説明変数: ポジションの構築期間平均
 説明変数: スプレッドの標準偏差、抵抗係数、取引コスト率
その結果を以下に⽰す。
表 6: ポジションの構築期間平均 重回帰分析
項⽬

回帰係数

t値

p値

切⽚

71.6467

11.10500.0000

スプレッドの標準偏差338.8095

14.3060

0.0000

スプレッドの抵抗係数

8.7641

20.31700.0000

取引コスト率-1849.5483-0.73100.4660

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

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ポジションの構築期間平均は、t 値や p 値で判断する限りにおいては、スプレッドの標準偏差、抵抗係数が⼤きくなると増加することがわかる。また、取引コスト率の影響は統計的には有意ではないといえる。
スプレッドの標準偏差、抵抗係数の変化によるポジションの構築期間平均の推移を⽰したのが、図 12である。
図 12: ポジションの構築期間平均（縦軸）とスプレッドの標準偏差または抵抗係数（横軸）【グラフ内のパラメータ】
sigma: スプレッドの標準偏差
nu: 貸株コスト率

mu: スプレッドの抵抗係数
lambda:
リスク回避度epsilon: 取引コスト率

出所: ⽇興フィナンシャル・インテリジェンス

３．４

シミュレーション結果のまとめ

以下、本稿で⾏ったシミュレーション結果をまとめる。
1.

プレプリント論⽂で使⽤されているパラメータによるシミュレーションの結果は、年率リターンが 14.7769%であることが分かった。ただし、1 パーセント点が-15.3401%とマイナス値になっていることがわかった。戦略が機能しなかった時のリスクが⼤きいといえよう。リターンリス
ク⽐も 0.5070 と 1 を下回っていた。

2.

実際に⽇本の株式市場で取り扱われている銘柄の性質に近い数値でシミュレーションを⾏った。
実際のサンプルとして J-REIT 2 銘柄を選択。それらのスプレッドから推定したパラメータを利⽤してシミュレーションを⾏った結果、年率リターンは 21.9810%、1 パーセント点は15.3680%とマイナスになることもなく、リターンリスク⽐も 2.1506 であり、プレプリント論
⽂のパラメータ例による結果を上回る結果となった。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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さらに複数のパラメータの組み合わせで、シミュレーションを⾏った結果、それぞれのパラメータが当ペアトレード戦略に与える影響度として、次のような結果が得られた。
1.

⾼い年率リターンを狙うには、スプレッドの標準偏差や抵抗係数が⾼いペアを選んだほうがよい。

2.

スプレッドの標準偏差が同じならば、スプレッドの抵抗係数がより⾼いほうが、リターンリスク
⽐が⾼く投資効率がよい。

3.

取引コスト率の影響よりも、スプレッドの標準偏差や抵抗係数のほうが、当ペアトレード戦略に与える影響が⼤きい。

4.

スプレッドの抵抗係数増加は、ポジション構築回数を⾼めるため、取引コスト率が増加するほど
年率リターンは低下してしまうが、⼀⽅でしきい値が上昇することにより、当ペアトレード戦略
⾃体のリスクが低下するため、リターンリスク⽐で⾒た投資効率性にはあまり影響を与えない。

5.

ポジション構築回数の平均は、スプレッドの標準偏差や抵抗係数が増加するにつれて増え、取引コスト率が増加するほど減る。特にスプレッドの抵抗係数に強く影響を受ける。

6.

ポジションの構築期間平均は、スプレッドの標準偏差や抵抗係数が⼤きくなると増加することがわかる。また、取引コスト率の影響は⼩さい。

４．考察と課題
４．１

当ペアトレード戦略のメリット

ペアトレード戦略を構築する上で、はじめの障壁は、平均回帰性を持つペアを具体的に⾒つけることであることは⾔うまでもない。しかし、仮にそのような適切なペアが⾒つかったとしても、次にどのようなタイミングで売買をしていけばよいのかを決めなければならない。よく⾒られるケースは、ヒスト
リカルデータを利⽤して条件を変えながらシミュレーションを何度も繰り返すことで、売買タイミングを決めるしきい値を⾒出すという⽅法である。ところが、この⽅法では、選んできたペアの固有の性質、どの時点でのヒストリカルデータを⽤いるのか等に依存し、その都度、シミュレーションを⾏わなければならないため、膨⼤な計算量と時間がかかってしまうと予想される。
その⼀⽅、今回紹介した論⽂では、適切な平均回帰性をもつペアを⾒出すことの困難さに関しては、
他の多くの⼿法と同様の課題はあるが、⼀旦適切なペアが⾒つかってしまえば、その後は、膨⼤なシミュレーションなどせずに、厳密な数学の理論の帰結を利⽤して、売買タイミングを決定するしきい値が⼀意的に決まってしまう。よって、戦略アルゴリズム決定プロセスが⼤幅に短縮されると期待される。
これにより、例えば以下のようなメリットが享受できるのではないかと考えられる。
メリット１：ペア銘柄数が⾮常に多くなったとしても⼗分機能すること
ペアトレード戦略は、⼀般的には⾮常にリスクの⾼い戦略であるが、分散投資、すなわち多くのペア
本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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銘柄への投資を⾏うことで、その固有リスクを軽減できる可能性が⾼い。今回紹介した⼿法は、ペアさえ決まってしまえば、あとは⼀意的かつ⾃動的にポジション構築のルールが決定してしまうため、実証的にルールを決定する⽅法と⽐較すると、はるかに数多くのペアによる運⽤が実現しやすいといえる。
メリット２：急な市場環境の変化にも柔軟に対応が可能なこと急な市場環境の変化が起こった場合、すでに選択された銘柄ペアにおいて、その平均回帰性は失っていないものの、そのスプレッドが⽀配する O-U 過程のパラメータが変わってしまう可能性は⼤いにありうる。しかし、その場合であっても、従来のような実証的⼿法によりしきい値を決定するように再び膨⼤な検証をする必要がなく、新しく推計された O-U 過程のパラメータを⽤いて⾏列⽅程式 (2.25) 、(2.26) を改めて解き直すだけでよい。したがって、市場環境の変化に対しても柔軟に対応できると考えられる。
メリット３：パラメータ⽔準から将来のリターンやリスクを推定するプロファイルが作成可能なこと
このペアトレード戦略は、⾮常に限定されたパラメータによって特徴づけられる戦略である。本稿で展開したような複数のパラメータの組み合わせによるシミュレーションを事前に⾏っておくと、平均回帰性を持つペア銘柄を⾒つけ、そのスプレッドから推測される各種パラメータさえわかってしまえば、どのくらいのリターンが期待できるかをあらかじめ推測することが可能となる。事前にペアトレード戦
略の「プロファイル」を⽤意できるといえよう。
メリット４：戦略の妥当性、客観性が⾼いこと多くの実証的な⼿法では、しきい値の決定の際に利⽤するヒストリカルデータの期間に⼤きく依存してしまう。したがって、⼀度決定したしきい値が、将来においても有効なのかということについて説明を求められた場合、合理的な回答をすることは⼀般的には難しいと考えられる。仮に⼀時的に合理的な回答ができたとしても、その先も引き続き、その根拠が正しいのかをどうかを、分析対象期間を変化させながら検証し続けなければならない。しかし、本稿で紹介した⼿法は、スプレッドが平均回帰性を持
つ確率過程にさえしたがっている限りにおいては、厳密にしきい値が⼀意的に存在することを証明しているため、その決定⽅法については普遍的であり、⾮常に客観的で⾼い説得⼒を持っているといえる。

４．２

実務へ応⽤するときの課題

本稿で紹介するペアトレーディング戦略は、実務への応⽤のために乗り越えなければならない課題も多い。
課題１: 実際の銘柄を利⽤したバックテストでは効果があるのか
本稿では、⼀部の検証において、J-REIT の銘柄ペアから推定した O-U 過程のパラメータを利⽤した
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が、実際には各パラメータの組み合わせを変化させた場合におけるシミュレーションしか⾏っておらず、実際にペアをピックアップしての実証的検証はなされていない。より現実的な可能性を議論する上では、具体的な銘柄ペアを⽤いたバックテストが不可⽋であるのは⾔うまでもない。
課題 2: 平均回帰点とのかい離をどのように把握するのか
今回、本稿では、出発点=平均回帰値として、open ポジションからシミュレーションを開始している。
しかし、実際には、buy もしくは sell ポジションから開始されるケースも考えられる。実際に戦略を実⾏する場合には、戦略開始時点で、銘柄ペアのスプレッドが平均回帰値と⽐べてどの⽔準にあるのかを、把握しておく必要がある。
課題 3: 平均回帰性が失われた場合の判断をどのように⾏うのか
本稿でのシミュレーションは、あくまでもシミュレーション期間中において、スプレッドが⼀定のパラメータで特徴づけられる平均回帰性に常に従うことを前提にしている。当然ながら現実的にはこの性質が崩れる可能性がある。実務での応⽤の際には、どのようなタイミングでこうした平均回帰性の喪失を判断するのかについて⼗分に議論しておく必要がある。
課題 4: ロスカットを考慮するとしきい値にどう影響を与えるのか
プレプリント論⽂および本稿では、最終営業⽇（本稿では 1,000 営業⽇）以外、特にロスカットを考慮していないが、実際の運⽤を⾏う上では、その導⼊は不可⽋であるといえる。ただし、もしロスカッ
トを⾏う新たなしきい値を⽤意する場合には、プレプリント論⽂で展開されている効⽤関数の最適化問
題にどのように影響するのか、より具体的には、switching region の存在証明および smooth-fit
conditions への影響度を、理論的にあらためて検証し直す必要がある。

５．まとめ
本稿では、2014 年 12 ⽉ 24 ⽇に公開された Ngo と Pham によるプレプリント論⽂ “Optimal
switching for pairs trading rule: a viscosity solutions approach” [1]のレビューを⾏うとともに、
その⽇本市場における活⽤の可能性を考察するため、様々な平均回帰性を持つ銘柄ペアを想定したシミュレーションを⾏った。あわせて銘柄ペアの平均回帰性に関連するパラメータ（抵抗係数、ボラティリティ）や取引コスト率といったパラメータ依存性についても検証した。
その結果、当ペアトレード戦略は、そのリスクに⾒合う⼗分なリターンが得られることが判明した。
パラメータ依存性に関しては、スプレッドの標準偏差が⾼いほど⾼いリターンを得られる可能性が⾼いが、ペアトレード戦略のリスクを考慮すると、リターンリスク⽐で⽐較する限り、その投資効率はスプレッドの標準偏差が⾼いほど低く、スプレッドの抵抗係数が⾼いほど⾼くなることがわかった。また、ポジション構築回数の平均およびポジションの構築期間平均のパラメータ依存性について検証した結本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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果、スプレッドの抵抗係数からの影響が特に強いこと、取引コスト率の増減に応じてしきい値が変化することで、回数や期間が適切に調整されていることを確認できた。
本稿で紹介した⼿法の持つ、⼀旦ペア銘柄が決まってしまえば、その後は厳密な数学の理論の帰結を利⽤して、売買タイミングを決定するしきい値が⼀意的に決まってしまうという強⼒なメリットにより、
１．ペア銘柄数が⾮常に多くなったとしても⼗分機能すること、２．急な市場環境の変化にも柔軟に対応が可能なこと、３．パラメータ⽔準から将来のリターンやリスクを推定するプロファイルが作成可能
なこと、４．戦略の妥当性、客観性が⾼いこと、といった数多くのメリットをもたらすことが期待される。
しかし、現実的な応⽤のためには、１．実際の銘柄を利⽤したバックテストでは効果があるのか、２．
平均回帰点とのかい離をどのように把握するのか、３．平均回帰性が失われた場合の判断をどのように⾏うのか、４．ロスカットを考慮するとしきい値にどう影響を与えるのか、についての検証をさらに進めていく必要があると考えられる。

謝辞
本稿の執筆においてレビューした Ngo と Pham の論⽂で展開されている⽅程式に関する数値計算解法について、多⼤なる助⾔とご指導をいただいた Symboric Systems, Inc. 松⽥裕幸⽒に感謝申し上げます。

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参考⽂献[1] Ngo, M and Pham, H: “Optimal switching for pairs trading rule: a viscosity solutions
approach”, http://arxiv.org/abs/1412.7649.
[2] Elliott, R. J., Van der Hoek J. and W. P. Malcom, “Pairs Trading”, Quantitative Finance,
5(2005) 271-276.
[3] Mudchanatongsuk, S., Primbs J. and W. Wong (2008): “Optimal pairs trading: A stochastic
control approach", American Control Conference, IEEE, 2008.
[4] Tourin A. and R. Yan (2013): “Dynamic pairs trading using the stochastic control approach”,
Journal of Economic Dynamics and Control, vol 37, 1972-1981.
[5] Zhang, H. and Q. Zhang (2008): “Trading a mean-reverting asset: Buy low and sell high",
Automatica, vol 44, 1511-1518.
[6] Kong, H. T. (2010): “Stochastic control and optimization of assets trading", PhD thesis,
University of Georgia.
[7] Song, Q. and Q. Zhang (2013): “An optimal pairs-trading rule”, Automatica, vol 49,
3007-3014.
[8] Leung, T. and X. Li (2013): “Optimal Mean Reversion Trading with Transaction Costs andStop-Loss Exit", Social Science Research Network Working Paper Series.

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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