目次

イントロダクション

5

なぜゲーム理論は必要か

8

ゲーム理論的アプローチ

11

本書の使い方

15第１章  均衡を理解する

19

概要と目的

20

戦略とは何か？

21

ナッシュ均衡22

均衡を証明する

24

シナリオ：映画に出かける

25

エクイティと期待値

29

シナリオ：借金から逃げる

36

無差別にするとは相手から「より好ましい選択肢」を無くすことである
君の頭脳は乱数を作り出せるようにはできていない

42
45

ポーカーで複雑なシナリオを分析するにはコンピュー
タの助けがいる

第２章  両極化レンジと凝縮レンジ
Play Optimal Poker by Andrew Brokos
Copyright © 2019 by Andrew Brokos
Japanese translation rights arranged with Andrew Brokos
through Japan UNI Agency, Inc.

46

49

概要と目的

50

両極化レンジと凝縮レンジを認識する

51

シナリオ：千里眼ゲーム（オパールの戦略）

54

シナリオ：千里眼ゲーム（イワンの戦略）

61

混合戦略が登場するのは無差別な選択肢がある時のみ62

無差別はバランスが取れたベッティングレンジの目標
である

65

ベット額とポットサイズに応じた最適なコール頻度

70

このゲームを学ぶ意味は何か？

72

現実世界への応用

76

理解度自己診断テスト

85

結論

94

第３章  相互レンジ

101

概要と目的

102

シナリオ：相互レンジ、ハーフストリートゲーム

103

シナリオ：相互レンジ、フルストリートゲーム

111

現実世界への応用

115

ポジションが持つバリュー

116

理解度自己診断テスト

117

結論

122

第４章  リアルにやろうぜ！

125

概要と目的

126

シナリオ：UTG VS. BB

127

第５章  エクスプロイト戦略を編み出す 141
概要と目的

142

エクスプロイトの４ステッププロセス

143

シナリオ：相互レンジゲームにおけるエクスプロイト150

現実世界への応用

159

理解度自己診断テスト

165

結論

170

第６章  複合レンジ

173

概要と目的

174

シナリオ：エースファイブゲーム

175

シナリオ：エースファイブゲームにおけるエクスプロイト 189
現実世界への応用

201

理解度自己診断テスト

208

結論

212

第７章  レイズ

215

概要と目的

216

シナリオ：相互レンジゲームにおけるレイズ

216

シナリオ：エースファイブゲームでのレイズ

218

シナリオ：レイズありのエースファイブゲームにおけるエクスプロイト227

理解度自己診断テスト

240

結論

243

第８章  すべてをまとめ上げる

247

概要と目的

248

ブロッカーは相手が何を持っていないかを教えてくれる

249

シナリオ：ターンがチェックで回った後で

250

現実世界への応用

260

エクスプロイト戦略のまとめ

266

結論

274

謝辞

276

著者紹介

278

イントロダクション

君はノーリミットテキサスホールデムをプレイしている。ちょうど
今、リバーカードが開かれた所で、４枚目のクラブだ。君はもう一度
手札をチェックしてみるものの、残念ながら何も変わっていない。フ
ラッシュも無ければペアもできておらず、どうやらこのポットは取れそうもない。残された道はただ１つ、ブラフである。
君はチップを手元に引き寄せてベットするそぶりを見せつつ、相手から恐怖または歓喜の様子が見て取れないか注視するが、その表情は石のようにぴくりともしない。時間は刻一刻と過ぎていく。決断を下さなくてはならない。ここはオールインすべきか？
答えを出す前に、多分君はもっと情報が欲しいと言いたいのではないだろうか。ボードに並んでいるカードは何か？
のアクションはどんなものだったか？

リバーに至るまで

相手は一体誰か？

そいつの

プレイスタイルは荒っぽいか保守的か、それともその中間か？
プはいったいどれぐらい残っているのか？

チッ

ポットの大きさはどれぐ

らいか？
その質問には全部答えてあげられるし、それ以外にもっと聞いてくれてもいい。何なら相手の手札が何かを教えてあげてもいいくらいだ！

それでもなお君にはブラフすべきかどうかはっきりとはしないはずだ。なぜなら、君には絶対に知り得ない決定的に重要な一片の情報があるからだ。それは相手が君のベットに対してどう反応するか、
つまり彼はコールするかそれともフォールドするかである。ほとんどのケースでは、どれほど情報が与えられていようとも、相手が何をするかだけは確証が得られないのだ。
45http://www.tradersshop.com/bin/showprod?c=9784775949269

立読み――イントロダクション

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

これこそがポーカーを、他のギャンブルゲームとは一線を画した、頼が置けない、というか信頼できる指針そのものが存在しない。この

楽しく興味深いゲームにしてくれる本質だと言える。クラップスやブ世界に入って最初の10年間は、私にとって暗闇の中で何かをつかもう

ラックジャックと異なり、君は他人から隔絶された中で決断を下すわとするようなもので、確実な何かを探し求めたものの手にしたのは一けではない。君がどれぐらいペイオフしてもらえるか、あるいはして握の砂だけであった。

しまうかは、君の選択だけではなく他のプレイヤーの選択によっても影響されるのである。

最初は私も、他の人達と同じように結果に注目した。相手がフォー
ルドすれば、私のブラフは成功、もし降りなかったらそれはミスとい

君と相手との利益はお互いに相反している、つまり君が勝ち取る金うわけだ。

は相手の誰かが負けた金なので、そこには対立とだまし合いが存在しやがて私はレンジについて学ぶようになり、その中でブラフがコーている。自分が望む結果を得るためには、相手には君にとってベストルされたとしてもそれは単に運が悪かっただけという場合があるのにのアクションをとってもらわなくてはならない。だが普通は君の利益気付いた。オールインして相手がコールしてクワッズを開いたら、そ3は相手の不利益なので、相手は君が望んでいるようなアクションは取
3

3

3

3

3

3

らないように心掛けるはずだ。相手は自分が何をしようとしているか
3

3

3

3

君に悟られまいとするし、それは君の方でも同じように彼に何をして
3

3

3

3

3

こから何か新しいことが分かるわけではない、というのもそういうハ
ンドならコールされるのが当然だと最初から予期していたからだ。もし相手が持っていたかもしれないハンドにそれよりも弱い、相手が降ほしいのかを欺こうとするのと同じだ。彼は君をじっくり観察して、りるようなハンドが数多くあったのなら、ブラフは成功したかもしれ

君がこれからどんなアクションを取るのかを予測しようとするし、君

ないし、そうなったら私のブラフはいいブラフで、今回はただ単にアの方でもまた相手のアクションを予測しようとする。

ンラッキーだっただけかもしれないのだ。

ポーカーで何が苛立たしいかといえば、相手が何をするつもりなのだが相手が何をしていたかもしれない、できたかもしれないなんて

か確証を得られないという点だ。すなわちそれは、大半のケースで自いうことを、どうやったら分かるのだろうか？

分にとって最良のプレイが何かが分からないことを意味する。結果がるが、答えてくれないかもしれない。答えても嘘かもしれない。ある出た後でさえも、自分のプレイがミスだったのかどうか知ることはな

いは彼自身、自分がどうしたであろうかを分からないかもしれない。

いだろう。

自分がどんなレンジでプレイしているかを自覚していないプレイヤー

我々人間は経験から学習することに慣れている。何か行動を起こしてその結果が良ければまたそれを繰り返す。結果がまずければ何か別の事をしようとする。

直接聞くこともでき

なんて沢山いるからだ。
そんなわけで、当時皆と同じような失敗を私も繰り返してきた。上3

3

手く行くプレイを見つけるとそれを続けはしたものの、なぜそれが上ポーカーではそうはいかない。つまり経験のみでは何かを学ぶこと

手く行くのかを説明できなかったし、そのために間違ったアイデアと、が不可能なのだ。もちろん実践を重ねることで上達もするのだが、そ正しいアイデアであっても今回はたまたま上手く行かなかっただけのこで悪い癖が身に付いてしまうことだってある。

アイデアを区別することができなかったのだ。

結果というものは、自分がミスを犯したのかどうかの指針として信6

確固たる足場を築こうとしているうちに出合ったのがゲーム理論で7http://www.tradersshop.com/bin/showprod?c=9784775949269

立読み――イントロダクションある。ゲーム理論は不確実性から抜け出す術こそ与えてはくれないもうものはタフなゲームをプレイするエリートプレイヤーのためだけにのの、不確実性の中で生き抜くための方法は与えてくれるし、それこあるというものだ。そんなことはない。ゲーム理論はポーカーテーブ

そが私たちがこの無慈悲なゲームをプレイする中で手に入る最高の手

ルでどうプレイしたらいいか分からなくなった経験を持つ者すべてに段なのだ。

とっての理論だ。そんな経験はないという人が１人でもいたらぜひ私

ゲーム理論は不確実性の状況下における意思決定についての理論だ。
相手がどんな手を持っているのか我々には分からないが、持っている
3

3

3

3

3

3

3

可能性のある手なら分かる。相手が何をしてくるかは分からないが、
3

3

3

3

3

3

3

相手が何をしてくる可能性があるかなら分かる。

にご一報いただきたい。あなたの御著書をありがたく拝読させていただこう。
オックスフォード辞書の定義によれば、ゲーム理論とは「数学の一分野で、競合が起きている状況、すなわちある参加者がアクションをここで良いニュースもあって、それは相手の方でも同じ不確実性と選択して得られる結果が他の参加者のアクションに大きく依存する場

悪戦苦闘しなくてはならないことだ。相手は君が何を持っているのか

合における戦略の分析を取り扱う」である。手短かに言うなら、ゲー分からないし、君が何をしてくるかも分からない。不確実性が敵であム理論は相手がどんなアクションを取るかに関わらずそれなりに良い

る点では相手も君と何ら変わりないのだ。この点を突き詰めて考える

結果をもたらしてくれるような戦略を作り上げるための手助けとなると、ポーカーというものは直感や機転のゲームではなく、不確実性の理論である。

状況下で誰がより優れた意思決定を下すかのゲームであって、ゲーム理論はそのための大切な味方となってくれるのである。

過去には数学にものすごく長けたポーカープレイヤーだけがゲーム理論の応用を考えていた時期もあった。彼らの成果は大まかな戦略的

そこに気付いたことで私のポーカーに対する考え方は一変した。今

原則を理解する手助けとはなったが、ポーカー自体がとても複雑なたではポーカーをプレイする時、私の目標はタイトにプレイすることでめ、プレイの詳細な部分になると結局当て推量に頼る必要があった。

もなければ、相手を周回遅れにするような凄いプレイを見せることでだが今では専用のソフトウェアができて、情報処理能力も安く利用もないし、金を稼ぐことでさえない。私の目標は相手に難しい決断をできるため、どんなポーカープレイヤーであってもゲーム理論の原則

迫ること、そして正しいプレイが何なのかさっぱり分からなくなる場

をポーカーへ厳密かつ正確に応用できるようになった。たとえ君自身

面に相手を追い込むことだ。相手に無理矢理ミスを強要はできないが、がポーカー学習のためにソフトウェアを直接利用していなかったとしミスへと導くような状況を作り出すのならできるし、結果的にそれこても、過去数年の間にポーカー教則本を読んだりインストラクション

そが利益や楽しみにもつながるのである。

ビデオを見ているのなら、間接的にそうしたソフトウェアから得られた洞察の恩恵にあずかっているのである。
ゲーム理論は決して万能薬ではない。だがこの理論はポーカーを見なぜゲーム理論は必要かる上で通すべきレンズというに留まらず、もはや不可欠にさえなりつつある。もしポーカーの根底を支える基本的ゲーム理論を理解できなある悪影響をもたらしている神話があって、それはゲーム理論とい8いのなら、それはポーカーを全く理解できないのと同じだ。それで到9http://www.tradersshop.com/bin/showprod?c=9784775949269

立読み――イントロダクション達できるのはせいぜい試行錯誤を通じての、ある特定のプレイヤータ

るものも含まれている。あるいは君がすでに十分上手くできているだ

イプにだけ通用する戦略の習得といったところだろう。よく起きる状

ろうプレイは、どんな理論に支えられているのかにスポットライトを況に対しては自信を持ってプレイできるかもしれないが、頻繁には起当てるケースもある。これを通じて、君がすでに上手く取り入れられきない状況となると多分苦労するだろうし、相手の方がゲーム理論にているプレイがなぜ有効なのか、どういう状況になるとそれが上手く習熟してくると、彼らから君を難しい場面へと追い込んでくるようにいかなくなるかをより深く理解できるようになるだろう。

なるだろう。

最終的には、ゲーム理論が分かるようになればポーカーテーブルでゲーム理論ソルバーソフトウェア（ゲーム理論的プレイの解析ソフより安心してプレイできるようになるはずだ。スキルで劣る相手のミトウェア）はものすごく複雑な戦略を提示してくるのだが、そこからスにより上手くつけ込めるようになれるし、スキルが上の相手に対し何かを学習するのに、そうした戦略を詳細に理解したりそのまま正確てもそう簡単に屈することが無くなるだろう。そして何より素晴らしに運用したりする必要はない。ポーカーの最高レベルで競いあっていいことに、この我々が大好きなゲームが次々に突きつけてくるどんなるのでもない限り、ゲーム理論を学習する上でのゴールは、あらゆる状況でも、より自信が持てて、何が起きても大丈夫だと感じられるよ

状況でのプレイを詳細な部分まで全部覚え込むなんていう話には全くうになることだろう。

ならないのである。そうではなく君のゴールとなるべきは、ベストの戦略が何かよく分からない時に、広い範囲での原則の下に様々な状況でガイドラインとなるような、大まかな原則を取り出せるような引きゲーム理論的アプローチ

出しを作ることなのである。
本書は君がその道を突き進むための手助けとなるはずだ。シンプル

君が今知っているポーカー戦略といえば、その大半はエクスプロイ

なシナリオから始まって、ポーカー戦略を支えている最重要な理論的ト（つけ込み）*の枠組みから来たものではないだろうか。その戦略はコンセプトを垣間見るところまでいくつもりだ。それぞれのステージ

言い換えれば、相手がどうプレイしてくるかをどう仮定するか次第でで、すぐに役立つようなツールを習得できるだろうし、もっと複雑な決まってくる戦略だ。どういう仮定かは意識していないかもしれない状況を研究するための分析スキルを身に付けられるであろう。また、が、君は間違いなくそういう仮定を置いている。

どうすれば正しい問題を設定できるかを学び、正しい結論を導き出し、

例えば、プリフロップでレイズしたら、フロップを完全にミスしてそうしたコンセプトを実際のプレイ場面で応用できるようにもなるだ

も「コンティニュエーションベット」を打つべきだ、という話なら多ろう。

分聞いたことがあるのではないか。だがそれはポーカー鉄の掟というここで我々が重視するのはいろいろな傾向を特定すること、そして様々な原則を理解することであり、どういうプレイをどの頻度で行なうべきかの丸暗記ではない。取り上げるケースの中には、ポーカー戦
略について君がすでに知っていると思っている事柄に疑問を突き付け
10*訳注：現代ポーカーにおいて“exploit”はカギとなるコンセプトであるが、どの日本語が適訳かは論者、訳者の間で意見の一致が現状見られていない。「エクスプロイト」とカタカナ化される場合が多いが、本書では「ポーカーにおけるexploitとは相手の弱点を発見しそこにつけ込むこと」という理解に基づき専ら「つけ込む」を訳語として当てることにする。ただし、“exploitative strategy”のように「つけ込み戦略」の言葉がやや収まりが悪く感じられる場合もあるので、「エクスプロイト」のカタカナ語も文脈に応じて併用していくことにする。

11

http://www.tradersshop.com/bin/showprod?c=9784775949269

立読み――イントロダクション

わけではない。そうしたベットでどれほど利益が出るかは相手に関す

ム理論はそれが必要な時が来たら取り出して使えるようなツールと考るある仮定が成り立つかどうかに掛かっている。すなわち、相手がプえればいいのである。もしある相手がある特定のミスをしていると確リフロップでコールし過ぎる、フロップでの諦めが良すぎる、ブラフ

信しているなら、それに従ってプレイすれば良い。そういう状況につでのレイズはほとんどしない等の仮定だ。

け込むのにゲーム理論は要らないかもしれない。だがそのプレイヤー

プレイしている環境次第では、そう仮定しても全く問題ない場合もがあらゆる状況でそれぞれどうプレイするのかまでは、多分分からなあり得る。だがつけ込み狙いのプレイには問題もあって、相手の方もいのではないだろうか。そういう時こそゲーム理論の出番なのだ。

何をされているか理解して君の戦略に対してつけ込み返してくる可能はっきりさせておきたいが、何も我々は相手が君のハンドが何か知性があるのだ。相手があるミスを犯してくれるだろうと期待してそこっていると仮定するわけではない。だが相手が君の戦略が何かは知っにつけ込むべく自分のプレイを修正すると、必ず君の方もつけ込まれていると仮定する。もし君がリバーでフラッシュを持ってオールインる隙を見せることになるのだ。もし自分が立てた仮定が間違っていた

した時、彼が君にフラッシュがあるのを知っているとは仮定しないが、り、相手の方がどういうプレイが来るかを見通して予測の裏をかかれ君がフラッシュを持っているかもしれないのを知っているとは仮定すたりしたら、つけ込まれるのは君の方になるのである。

る。その場面でもし君がフラッシュ無しにオールインは絶対しないの

例えば、相手が降りすぎると考えて、君がブラフ頻度を上げていく

なら、相手もそのことを知っていると仮定する。そしてもしその通りと決めたとしよう。その仮定が正しければそれは上手い戦略となる。

君が本当にフラッシュ無しにはオールインしないのであれば、相手のだが君の仮定が間違っていて、実際には相手がコールし過ぎだとする対抗戦略が何かは明らかだ。フラッシュに負けていればフォールド、と、その戦略は高くつくミスとなる。

勝っていればコールすれば良い。

それに対してゲーム理論は、ポーカーを考えるための全く違った枠

相手にそんな簡単な対抗戦略を使わせないようにするためには、ブ組みを与えてくれる。この理論では、数学的に正しいプレイが存在す

ラフでもベットしてバランスを取らなくてはならない。本書の後半でる場合、相手は常にその通りプレイしてくると仮定している。そこでどのハンドでブラフすべきかの決定方法について詳細に論ずるつもり

君のゴールとなるのが、相手にとって正しいプレイが存在しない状況なので、とりあえず今は相手に利益を出す機会を与えないためには、を作り出すことである。もし相手がブラフにしか勝てない強さの手で君のベットは、というか大抵のアクションは、多種多様なハンドからコールしてくるなら、君は相手がちょうどそれを後悔するぐらいの頻繰り出されなくてはならないとだけ理解しておけばいいだろう。

度で勝っている手を持っているであろう。もし相手がそういう手はフリバーベットはその分かりやすい例であるが、バランスというのはォールドするなら、君は相手がちょうどそれを後悔するぐらいの頻度

すべてのプレイに関係してくる。プリフロップでレイズする時には、でブラフするのである。

通常様々なハンドを取り混ぜるべきで、その中にはリレイズしてもら

多分君は今、あきれて目を回しながら、どんな相手にならそんなこ

いたくて仕方ないハンドもあれば、リレイズが来たら苦悶しつつもコとが可能なのか考えているのではなかろうか。それはゲーム理論をどールするようなハンドもあり、中にはリレイズされたらフォールドす

ういう時に用いるべきかについてとても重要なポイントとなる。ゲー

るハンドも入れていくべきだ。そういうミックスを正しい比率で行え

1213

http://www.tradersshop.com/bin/showprod?c=9784775949269

立読み――イントロダクション

れば、相手はリレイズを仕掛けた場合に君がどう反応してくるか全くを導き出す練習を行なう。本書を読み終えるころには、読者は均衡と予想が付かなくなり、ある状況でリレイズすべきかどうか決めるのがエクスプロイトという観点のどちらからも考えるのに慣れ親しんでいとても難しくなるのである。

ると同時に、どちらのアプローチがベストか決めるための知識も身によくある誤解に、ゲーム理論はハンドリーディングなんてきれいさ付いていることだろう。

っぱり忘れ去って、相手が完璧にプレイしているがごとく振る舞うよう求めてくるというのがある。だがゲーム理論の方から君に何かを要求することはない。ゲーム理論とはツールであり、他のツールと同様、本書の使い方今取り組んでいるタスクに適しているかどうかを決めるのは君の方なのである。

本書『ポーカーとゲーム理論』は、それぞれある特定のコンセプト

もし君が相手の戦略が何かを分かっている、あるいは少なくとも推にスポットライトを当てるようデザインされた「シナリオ」を中心と測ぐらいはできるというのであれば、エクスプロイト戦略を作り上げして構成されている。まずは、ポーカーに似ているがそれよりもずっるべきだ。だが相手が強いとか、あるいは単純に相手がある特定の場と複雑性を抑えた疑似ゲームを題材として取り上げる。疑似ゲームは面でどうプレイしてくるか確信が持てない、という理由で相手の戦略解決が比較的簡単で、一度に１つか２つのコンセプトに焦点を当てる

が何かを仮定するのが難しいのであれば、その時こそゲーム理論といことができて、実際のポーカーのように何を優先して考えるべきか競う道具箱を漁るべきなのである。

合となるのを避けられる。シナリオが進むごとに複雑さを一段階ずつ

ゲーム理論的アプローチは、相手につけ込む新たな機会へと目を開増やしていくことで、それらすべてのコンセプト同士がどうフィット

かせてくれることだってある。例えば、どういう手でブラフすればいして組み合わさっているのかがよく分かるはずである。その作業を続いかよく分からないという状況は数多く起きるし、大抵の人がそういける中で、やがて我々は疑似ゲームのコンセプトを実際のポーカープう場面ではブラフをせずに終わる。だがまさにそういう状況でブラフ

レイ状況へと応用できるところまで登り詰めていくことになるであろ

ベットされることがほとんどないという理由で、多くの相手がベットう。

に対してフォールドし過ぎているのである。だからもし君がそういう各シナリオの分析は、まずそのシナリオにおける最適化戦略が何か

直感では察知しにくいブラフのチャンスを見つけ出せるならば、そこを君の方で推測するところから始まる。中には難しいものもあるので、で大きく稼ぐことができるはずだ。ゲーム理論はそういう場面を見つ

完璧な答えを出そうとして七転八倒までする必要はない。だがある程

け出し、どのハンドがブラフを繰り出すのにベストかを特定する手助

度は時間を取って、君１人で問題について考えてから、解答と解説へけとなってくれるのである。

と読み進めてほしい。そんな風に自分自身へとチャレンジを課すこと

本書では、まずシンプルなゲームやポーカーでよく起きる状況を題で、学べることも記憶に残ることもより多くなるであろう。

材として、それらの均衡解を検討するところから話を始めていく。そシナリオはそれぞれが下から上へと積み重なるように構成されていの後で、そうした均衡解の探求から教訓を学び、エクスプロイト戦略

るので、各章で中心となるコンセプトを完全に理解した上で次の章へ

14

15

http://www.tradersshop.com/bin/showprod?c=9784775949269

立読み――イントロダクションと進むのが大切である。概要とチャレンジ問題では学ぶべき主な事柄

ン（In Position）とアウトオブポジション（Out of Position）を意味にスポットライトを当てるとともに、自分がどれほど理解できているする。ここではその頭文字を取って人の名前にすることで、読者がシかをテストできるようになっている。それぞれのシナリオに設けられナリオで起きていることを想像しやすくなるだろうというのが私の意ている問題でおさらいをして、答えを理解しているのを確認してから図だ。

次へと進むというのが、理解度チェックとして上手いやり方だろう。

シナリオ内でのゲームから学んだレッスンがそのまま応用できるのゲーム理論についてすでにそれなりの知識を持っている読者にとっは２人のプレイヤーで競われるポットのみである。実際のポーカーハては、最初の方のシナリオはとても簡単だと感じるかもしれない。解ンドでも、10人テーブルであろうとリバーにたどり着くころには２人答がすでにおなじみの人さえいるかもしれない。各セクションの冒頭だけにまで絞り込まれている場合が多いし、ゲーム理論的分析の２プにある問題は取り上げる予定の題材についてどれぐらい知っているか

レイヤーシナリオから学んだ全般的レッスンは、そのほとんどがマルをテストするためのものだ。もしそれに全部正解できるようであれば、チウェイ（多人数）ポットにも応用ができるし、数学的な内容が多少

そのセクションは軽く読み流すか、なんだったら飛ばして次のセクシ

変わる程度である。

ョンへと進んでもいいだろう。ただ注意して確認してほしいのは、ゲ

その通り、ここでは数学が用いられる。だがそのことに捕らわれ過ーム理論に比較的詳しい人であっても詳細な部分では間違って理解しぎたり怯えたりはしないでほしい。数学的に詳細な部分が問題になるていることが多いと言うことだ。私自身も本書を執筆する中で、出てことはほとんど無い。そうではなくコンセプトのレベルで何が起きてくるコンセプトについて自分で思っていたほど理解できていなかった

いるのかを理解することに専念してほしい。例えばベットサイズとブのに気付かされたぐらいなのだ！

ラフ頻度との関係や、あるハンドでのブラフはなぜ別のハンドでのブ各シナリオで均衡解について検討したら、エクスプロイトプレイに

ラフよりバリューが大きいのか、といったことだ。

それをどう応用するか考えていく。やり方としては、まず相手がどう本書で取り扱うシナリオは楽しく、興味深く、そして何より役に立いうミスをしてくる可能性があるかを想定して、そのミスに一番上手つはずだ。中には抽象的なものもあって、それがポーカーテーブルで

くつけ込める方法を考えていく。つけ込み狙いでプレイしている時での実際の決断とどう関係しているのかを説明するのには大いに苦労さあっても、どのようなつけ込めるチャンスがあるかを見つけ出すためせられた。つまるところ、君がやるべきは自分に役立つ部分を学び取の第一歩として、均衡解が何かを理解しておくことに価値があるのでることで、後は無視してしまえばいいのだ。本書はゲーム理論そのもある。

のと同じで、君の道具箱の中にあるツールの１つに過ぎないのである。

本書のシナリオでは基本的に２人の主役プレイヤーにスポットライ
トを当てる。名前をイワン（Ivan）とオパール（Opal）という。インポジションにいるのは常にイワンの方で、オパールは常にアウトオ
ブポジションにいる。他のポーカー教科書でプレイヤーをIPとOPと呼んでいるのを見たことがあるかもしれないが、これはインポジショ
16

17

第１章

均衡を理解する
Understanding Equilibrium

概要と目的
戦略とは何か？
ナッシュ均衡
均衡を証明するシナリオ ： 映画に出かける
エクイティと期待値
シナリオ ： 借金から逃げる
無差別にするとは相手から 「より好ましい選択肢」 を無くすことである
君の頭脳は乱数を作り出せるようにはできていない
ポーカーで複雑なシナリオを分析するにはコンピュータの助けがいるhttp://www.tradersshop.com/bin/showprod?c=9784775949269

概要と目的
3

立読み――第１章 均衡を理解する

戦略とは何か？

333

均衡というコンセプトはゲーム理論を理解する上での基本となって戦略とはゲーム理論においてはある特定の意味を持った専門用語でいる。そこでポーカーそのものの検討に入る前に、１つの章をすべてある。ウィキペディアの定義によると「ゲームをプレイするための完費やして均衡についてだけ考えていくことにしよう。ここで検討する

全なアルゴリズムで、ゲーム内で発生するあらゆる状況に対してプレのは、ポーカーの代わりとなる別の「ゲーム」である。それらのゲー

イヤーに何をすべきか教える」となっている。本書の目的に沿う形とムはものすごくシンプルなので、君たちもこれまで何度となくプレイ

しては、ポーカー戦略とは、漠然としたスタイル（例えば「タイトアしてきたかもしれないが、そんなものがゲーム理論の練習になるとは

グレッシブ」のような）に留まらず、発生し得るあらゆる状況で、そおそらく考えたこともないだろう。だが立派に練習になるのだ！

の時持っているかもしれないあらゆるハンドの場合について、何をす

均衡というものがそうしたシンプルなケースにどう応用できるかをべきかを厳密に言い表したもの、ということになるだろう。

探究することで、このコンセプトの全体像を理解して、実際のポーカ

例えば、９人テーブルでの最初のポジションにいる時、私のプリフーで現れるようなより複雑なシナリオでもそれを利用できるよう準備

ロップ戦略としてあり得るのが、７のペア以上、ＡＱｏ以上、あるい33を整える。またそれ以外に「戦略」などのゲーム理論で重要となるコはスーテッドのブロードウェイハンドのハンドでビッグブラインドのンセプトについて述べ、より複雑なゲームで均衡解を求めるのにコン３倍をレイズ、Ｔ９ｓから７６ｓまでのスーテッドコネクターで20％

ピュータがどう役立つかについても話をすることにしよう。

の割合でレイズ、それ以外の手は全部フォールド、というものである。

本章を読み通して理解すれば、以下のことができるようになっているだろう。

より完全なものにしようと思ったら、これにそれぞれの相手から様々なサイズのスリーベットが返ってきた時にどう反応するかについても記述する必要があるだろう。

◦「均衡」と「戦略」をゲーム理論内で使われている意味で定義できる。

こういうのは人間の頭脳が一度に蓄積して処理できる情報量を越えてしまっている。だからこそゲーム理論を厳密に学ぶためにはコンピ◦２つの戦略が均衡であるとはどういう意味かを理解できる。

ュータがツールとして非常に役立つのである。ポーカーを実際にプレ◦２つの戦略同士が均衡でない場合を認識できる。

イする時には、そこまでの精度で戦略を作り上げることはできないが、◦純粋戦略と混合戦略の違いを説明でき、どういう時にそれぞれの戦

今おかれている状況で優れた決断を下すためには、今後出くわすかも略が用いられるか分かる。
◦自分のプレイをランダムに変えて予測不能でつけ込まれないようにできる。

しれない状況でどう対処するかをフロップ前と後の両方について検討しなくてはならない。
同時にまた、我々は相手がどういう戦略で来そうか、あるいは少な
くとも相手にどういう戦略が可能かについて、ある程度の考えを持っておく必要がある。例えば、どういうリバーならブラフに対して弱み

20

21

http://www.tradersshop.com/bin/showprod?c=9784775949269

立読み――第１章 均衡を理解するがでてくるかということを知っておけば、ターンでどのハンドでコーかを予測することができないのである。もし彼が右に寄ったとして、ルするかについて情報を与えてくれるのである。

安全に進めるかもしれないし、衝突してしまうかもしれない。結果がどうなるかは相手ドライバーが何を選択するかに掛かっているのである。

ナッシュ均衡以下の表はこのゲームで起き得ることすべてを表している。左側が第１のドライバーが取り得る選択肢で、上側が第２のドライバーが取均衡とは、あるゲームに参加している全プレイヤーが用いる戦略のり得る選択肢である。２つの選択肢が交差するボックスには、もし各集合で、この時どのプレイヤーにも自分の戦略から一方的に離れたくドライバーがその選択肢を選んだ場合の報酬が記述されている。ペア

なるような誘因が存在していない状態を言う。これは数学者ジョン・になっている数字のうち最初の数字が第１のドライバーの報酬で、２ナッシュの名前を取ってナッシュ均衡と呼ばれることもある。例えば番目の数字が第２のドライバーの報酬である。お互い上手くすれ違う

君と私がポーカーのヘッズアップで均衡戦略を取っている状態だとしことができた場合のスコアが１になっており、衝突という両方のドラよう。そこでは私はあらゆる状況であらゆるハンドをどうプレイする

イバーにとって望まない結果が出た場合は－10となる。

かを君に教えても構わないし、君も同じ情報を私に教えられるが、そのように相手のプレイについて完全情報が与えられた後でも我々のどちらも戦略を変えたいとは思わないのである。この公式的定義は、言葉にすると実際よりも複雑そうに聞こえるので、簡単な例を１つ見ていくことにしよう。

ドライバー２
ドライバー１

右

中央

左

右

(1,1)

(-10,-10)(-10,-10)

中央(-10,-10)(-10,-10)(-10,-10)

左(-10,-10)(-10,-10)(1,1)

２台の自動車が１本の道を反対方向から走ってきているとする。各
3

3

3

3

3

ドライバーは（自分から見て）右側を走ることもできるし、左側を走

ハイライトで強調されているボックスが、２つの異なる戦略のペアることもできるし、あるいは真ん中を走ることもできる。両者とも道によって、どちらのドライバーにも良い結果が出ている場合を示してのどちら側を走りたいという希望は特にはないが、絶対に衝突は避けいる。それぞれが右側または左側を通行した場合だ。もしどちらのプたいと考えている。

レイヤーも同じ選択を一貫して続ければ、それが均衡となる。どちら

通常の感覚ではこれをゲームだとは捉えないであろうが、我々の目的に沿って考えればゲームなのである。プレイヤーが複数おり、それ33

ぞれが複数の行動からどれかを選ぶことができる。それぞれのプレイ
3

3

3

3

も望む結果、つまり衝突無しでの運転が続けられるし、それ以外を選択する誘因は存在しない。
右側を走り続ける方が左側を走り続けるよりも良いと考える固有のヤーに対する見返り（ペイオフ）は自分自身の選択と、他のプレイヤ

理由はないし、現実世界でも右側も左側も均衡として成立している場

ーの選択によって決まってくる。つまり、自分以外のプレイヤーがど所が確かに存在する。アメリカでは伝統的に右側通行である。イギリ

うするかを知らずして、プレイヤーは自分の選択の結果何が起きるの

スやその旧植民地では伝統的に左側通行である。どちらを選ぶかは問

22

23

http://www.tradersshop.com/bin/showprod?c=9784775949269

立読み――第１章 均衡を理解する

題ではなく、この状況が起きた時に、全員が同じルールに乗っ取ってケースを考えて見よう。これは両プレイヤーに－10の報酬をもたらす。

行動すればいいのである。

より高い報酬を得るのが可能だというのは我々にも分かるが、それだ

合理的なプレイヤーであれば、右側か左側のどちらかを通行するだけでは均衡への反証とはなり得ない。そのためには１人のプレイヤー

ろうが、真ん中を進むことは絶対にない。それがもたらすのは衝突のが単独で自分の戦略を変えてより高い報酬を得られることを示さなけ

みで、それはどちらのプレイヤーにとっても望ましくない。厳密にはればならないのだ。そのためには他のプレイヤーは戦略を変えないも

これもゲーム内の行動に含まれてはいるが、実際にそれを用いる理由のとして、１人のプレイヤーだけが自分の戦略を変えてより高い報酬

3

3

3

3

3

はない。ゲーム理論の用語ではこれを被支配戦略と呼んでいる。

を得るための方法を見つけ出さなくてはならない。
このケースではどちらのプレイヤーもそれが可能だ。ドライバー１均衡を証明するは左側を走るという戦略へと変えることができる。それによって彼の報酬を１へと高めることができる（そして相手の報酬も変わるわけだがここではそれは重要ではない）。それだけでも現状が均衡にはない

２つの均衡、すなわち両プレイヤーとも右側を走るか両プレイヤー

ことを証明するのに十分だが、もちろんドライバー２も右側を走ることも左側を走る、は誰の目にも明らかで直感的にも分かりやすいので、とで、一方的に報酬を上げることができる。もしどちらのプレイヤー

それが均衡であることを証明する必要など無いだろう。だが、ある戦もが戦略を変えたら、そこで問題が発生するが、その点はこれが均衡

略のペアが均衡しているということをどうやったら証明または反証でかどうかのテストとは関係がない。

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

きるかを知っておくことには価値がある、というのもこれから出てくる話には均衡かどうかがそう明らかでないものもあるからだ。
均衡の定義では、どちらのプレイヤーも一方的に自分の戦略を変え

シナリオ：映画に出かけるてよりよい結果を得ることはできないとなっていたことを思い出してほしい。２つの戦略が均衡していることを証明するには、１人のプレ

ここで日常の交流で起きそうな話（そんな話あり得ないよとの声もイヤーだけが戦略を変えて、そのプレイヤーがより高い報酬を得られ聞こえてきそうだがそこは抑えていただきたい）を題材にしたシンプ

るかどうか見てみればいい。もしプレイヤーが両者とも同時に戦略をルなシナリオをもう少し見ていくことにしよう。それぞれのシナリオ

変えればより高い報酬を得られる可能性もあるが、それでは元々の戦について説明した後で、それまで学んだ均衡に関するコンセプトがベ

略が均衡していたかどうかについては何も証明できない。

ースとなっているようを問題を出すことにする。

表を見てみると分かるが、どちらのプレイヤーも１より高い報酬をアンドリューとブランカという２人の友達がいて一緒に映画に行き得ることはできない。従ってどちらのプレイヤーも１の報酬を得ていたいと考えている。アンドリューはドラマを見たいと思っており、ブるボックスは均衡になっている。

ランカはコメディを見たいと思っているのだが、両者にとって何よりでは今度はドライバー１が右側を走り、ドライバー２が左側を走る
24

大切なのは一緒に見たいということである。つまりアンドリューはブ25

http://www.tradersshop.com/bin/showprod?c=9784775949269

ランカとコメディを見る方が、１人でドラマを見るよりも良いと思っており、逆もまた同様である。

立読み――第１章 均衡を理解する

１人でドラマを見るのが０ポイントである。
これでゲーム全体を表わすことができる。以下の表には両プレイヤ

前の例と同じように、これもまた俗に言う「ゲーム」には当てはまーの戦略的選択肢とその報酬が示されている。

らないが、ここには複数のプレイヤーがいて、それぞれは２つの異な
3

ブランカ

3

る行動（コメディを見るかドラマを見る）の中から選択して、それぞれのプレイヤーが得る報酬は他者の選択が何か次第で影響されるのである。

アンドリュー

コメディを見る

ドラマを見る

コメディを見る

(4,5)

(0,0)

ドラマを見る

(1,1)

(5,4)

この例で受け入れなくてはならない「そんな話ないよ」は、それぞれのプレイヤーは行動を独立して決定し、お互いに相談することはな

左上のボックスに表わされているのは、どちらのプレイヤーもコメい、というものである。アンドリューはブランカがどんな戦略で映画ディを見ると選択した時の報酬である。数字のペアのうち最初の数字を選択するかは知っているかもしれないが、実際に何を選択するかはがアンドリューの報酬、２番目の数字がブランカの報酬だ。

33分からない。つまり、もしブランカの戦略がコインフリップで決めるであるとしたら、アンドリューは彼女がコインを投げるのは知ってい■ 問題

るが、フリップの結果が何であるかまでは知らないと言うことである。
（もし２人が映画を一緒に見に行く約束だけして何を見るかまでは決できる限りベストを尽くして、君１人で誰の手も借りることなく以めずにいたところアンドリューが携帯を無くしてしまったために相談下の質問に答えてもらいたいが、どういうアプローチを取れば答えがができなくなった、なんていう場面を想像してそれで納得がいくのな

出るのか分からなくても心配することはない。まずはともあれ挑戦しら、そうしてくれてもいい）

た上で、次のセクションに進んでもらいたい。そこでどうやって答え

このシナリオではちょっとした計算が必要となるので、我らがプレを出せばいいのか論じていくことにしよう。

イヤーの選択に対して数字をあてがうことにしよう。アンドリューについては、ブランカとドラマを見ることが彼にとってのこのシナリオ

１．どちらのプレイヤーも常にコメディを見るという純粋戦略を取る

でのベストケースで、これには５ポイントを割り当てることにしよう。

とする。これは均衡だと言えるか？

ブランカと一緒にコメディを見るというのがそれに近いぐらい良い結

ント：均衡の定義は、あるゲームにおける全プレイヤーが用いる果なので、これを４ポイントにしておこう。１人でドラマを見るとい戦略の集合で、この時どのプレイヤーにも一方的に戦略を変更す

うのが１ポイントで、１人でコメディを見るというのが最悪の結果なる誘因が存在しない状態、であったのを思い出すこと）

ので０ポイントにしておこう。ブランカについてはその逆となる。ア

なぜそう言えるのか？ （ヒ２．もしアンドリューの戦略が常にドラマを見るで、ブランカの戦略

ンドリューとコメディを見るのが５ポイントで、アンドリューとドラが常にコメディに行くであったらこれは均衡だろうか？

マを見るのが４ポイント。コメディを１人を見るのが１ポイントで、

う言えるのか？

26

なぜそ27