共変解析力学における局所ゲージ変換の生成子
S. Nakajima, arXiv:1909.06779
中嶋慧・松尾衛『一般ゲージ理論と共変解析力学』(現代数学社, 2020年10月)

中嶋 慧(博士(理学), フリー)
現代ベクトル解析研究会20201講演内容(1)導入,背景(2)共変解析力学(3)ポアソン括弧(4)ゲージ変換の生成子(5)文献, 歴史2

(1)導入, 背景

3

背景(1)
解析力学
ラグランジュ形式

量子力学
ハミルトン形式
量子力学はハミルトン形式と相性が良い

場の解析力学
ラグランジュ形式
ハミルトン形式

相対論はラグランジュ形式と相性が良い

相対論[問題1]時間を特別扱いし、相対論的共変性が自明でない4

背景(2):ゲージ固定
電磁場のラグランジアン密度

電磁場
スカラーポテンシャルの正準共役運動量:[問題2]正準運動量は独立ではない
ゲージ固定
ポアソン括弧の代わりにDirac括弧問題1,2は、重力の量子化(ハミルトン形式)の際に特に問題となる。
5

微分形式(1)1形式(ベクトルポテンシャル)
2形式(電磁場)微分形式は座標系に依らない
外微分

外積(反対称化積)

磁場についてのガウス則,ファラデー則6

微分形式(2)p形式(p=0,1,…,D)
完全反対称テンソル

Dualな(D-p)=r形式

ガウス則,アンペール・マクスウェル則

微分形式は座標系に依らないため、微分形式での定式化は相対論の精神(物理学の座標系からの解放)を最も完全な形で表している。

7

(2)共変解析力学

8共変解析力学(一般論)
微分形式が基本変数(実体)。微分形式の微分形式による微分を使って、解析力学を再構成する。
Lagrangian D-form
Action
基本的な場の理論は、すべてこの形で書ける。

微分の定義

Euler-Lagrange equation

ここまでは遅くても1972年から知られている。

9

正準形式
ここからが新しいConjugate form
Hamilton D-form(D-p-1)=q-form
時間と空間が平等。座標系によらない。
問題1は解決。

恒等式

Euler-Lagrange equation

正準方程式

D=1で通常の質点の解析力学10電磁場(1)
Lagrangian form

導関数(微分形式)

オイラー・ラグランジュ方程式
は、11電磁場 (2)共役微分形式

cf.

独立！
Hamilton D-form (not (D-1)-form)

問題2も解決!

ゲージ共変正準方程式

は、美しい！
中村, 物性研究79, 2 (2002).
神長, EJTP 9, 199 (2012).

12

2つのルジャンドル変換
共変解析力学

通常の解析力学

通常の解析力学のルジャンドル変換は、電磁場, ゲージ場, 重力場では上手く出来ない。
共変解析力学のルジャンドル変換は、電磁場, ゲージ場, 重力場でも上手くできる。

13

De Donder-Weyl理論(1)[問題1]ハミルトン形式は、時間を特別扱いし、相対論的共変性が自明でない。

De Donder-Weyl理論
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Donder%E2%80%93Weyl_theory
De Donder(ド・ドンデ) (1930), H. Weyl (1934)

時間と空間を平等に扱う

14

De Donder-Weyl理論(2)De Donder-Weyl方程式

通常の正準方程式15

De Donder-Weyl理論の問題点
一般に独立ではない。

スカラー場以外では、一般には成立しない。
例：電磁場
D2成分のうち独立なのはD(D-1)/2成分

不成立
次にDe Donder-Weyl理論の修正版が共変解析力学と等価だと示す。

16

De Donder-Weylとの関係(1)上の拘束の下での変分：

De Donder-Weyl方程式の修正版
反対称化

中嶋, arXiv:1602.04849

17

De Donder-Weylとの関係(2)
De Donder-Weyl(修正)

共変解析力学

スカラー場
Dirac場
電磁場
非可換ゲージ場
重力場[1]で初めてDe Donder-Weyl theoryのポアソン括弧が導出された。
これは共変解析力学のものと近いが異なる。
ポアソン括弧の量子化への応用可能性は不明である。
しかし、Kanatchikovは、Dirac括弧に基づいたPrecanonical quantizationを提案[2].
[1] I. V. Kanatchikov, Rept. Math. Phys. 41, 49 (1998).
[2] I. V. Kanatchikov, J. Phys.: Conf. Ser. 442, 012041 (2013).

18

(3)ポアソン括弧19ポアソン括弧ポアソン括弧：基本ポアソン括弧：

f 形式

pA 形式

このポアソン括弧は、通常の場の解析力学のものよりも、質点系のものに近い。
質点系では、通常のポアソン括弧に帰着する。

神長, EJTP 14, 55 (2018)20

シンプレクティック理論(1)微分形式fの、位置形式ψおよび共役形式πによる導関数が存在することを、f はメタ微分可能であると言う事にする。
でのメタ微分がfに作用した結果であると考える。

は、というメタ微分演算

メタ・ベクトル場はメタ・微分可能なFに、と作用する。
神長, EJTP 14, 55 (2018)21

シンプレクティック理論(2)である。

メタ2形式を、で定義する。

22

シンプレクティック理論(3)
メタ・シンプレクティック形式：
内部積

メタ・ハミルトンベクトル場

F形式

ポアソン括弧：23

ポアソン括弧の性質
運動方程式：

Hamiltion formであり、その積分ではない。
ポアソン括弧の引数は、同じ点での微分形式である。

神長, EJTP 14, 55 (2018)24微分形式と解析力学

これらの本で出て来る微分形式は、メタ微分形式だと解釈すべきである。

25

(4)ゲージ変換の生成子

26

局所ゲージ変換の生成子(1)
微小変換に対して、を満たす(D-1)形式Gが存在するとき、それを変換の生成子と呼ぶ。

a上の微小変換に対して、Z で微分可能なFは、と変換される。

L. Castellani and A. D'Adda, Phys. Rev. D 101, 025015 (2020)27

局所ゲージ変換の生成子(2)微小な局所ゲージ変換の生成子は、無限小パラメーター

ネーターカレント(D-1)形式

構造定数

物質場ではであり、ゲージ場, 重力場では、

中嶋, arXiv:1909.06779

28局所ゲージ変換の生成子(3)物質場のLagrangian form

物質場

ゲージ場

中嶋, arXiv:1909.06779

ゲージ場のLagrangian form29

重力場
フレーム形式

計量テンソル
スピン接続
重力場のラグランジアン形式

30

局所ゲージ変換の生成子(4)中嶋, arXiv:1909.06779

31

(5)文献, 歴史32

文献(1)[中村]中村匡「微分形式で見た電磁気学～あるいは2+1次元人の電磁気学と時空平等解析力学について～」, 物性研究79, 2 (2002).
[神長2012]神長保仁, “Covariant Analytic Mechanics with Differential Forms and Its
Application to Gravity”, EJTP 9, 199 (2012).
[中嶋2016a]中嶋 慧, “Application of covariant analytic mechanics with differential forms
to gravity with Dirac field”, EJTP 13, 95 (2016). (arXiv:1510.09048)[中嶋2016b]中嶋 慧, “Reconsideration of De Donder-Weyl theory by covariant analyticmechanics”, arXiv:1602.04849[神長2018]神長保仁, “Poisson Bracket and Symplectic Structure of Covariant Canonical
Formalism of Fields” , EJTP 14, 55 (2018). (arXiv:1703.06718)[中嶋2019]中嶋 慧, “Generators of local gauge transformations in the covariant
canonical formalism of fields”, arXiv:1909.06779[中嶋rev]中嶋 慧「共変解析力学のレビュー」
http://physnakajima.html.xdomain.jp/CAM_rev.pdf

33

文献(2)[1985a]A. D'Adda, J. E. Nelson and T. Regge, “Covariant canonical formalism for thegroup manifold”, Annals of Physics 165, 384 (1985).
[1985b]A. Lerda, J. E. Nelson and T. Regge, “Covariant Canonical Formalism forSupergravity”, Phys. Lett. 161, 294 (1985).
[1985c]A. Lerda, J. E. Nelson and T. Regge, “The Group Manifold Hamiltonian forSupergravity”, Phys. Lett. 161, 297 (1985).
[1986]J. E. Nelson and T. Regge, “Covariant Canonical Formalism for Gravity”, Annals ofPhysics 166, 234 (1986).
[Castellani2020a]L. Castellani and A. D'Adda, “Covariant hamiltonian for gravity coupledto p-forms”, Phys. Rev. D 101, 025015 (2020). (arXiv:1906.11852)[Castellani2020b]L. Castellani, “Covariant hamiltonian for supergravity in d=3 and d=4”,
Journal of High Energy Physics 2020.2002.05523, 1 (2020). (arXiv:2002.05523)

34

文献(3)
中嶋慧・松尾衛『一般ゲージ理論と共変解析力学』(現代数学社, 2020年10月)

35

歴史・1985年にA. D'Addaら[1985a]が正準形式を初めて考える。
1階形式の重力場を研究する。
ポアソン括弧の性質を公理として与える。
・2002年に中村[中村]が共変解析力学を再発見し、電磁場に適用。
・2012年に神長[神長2012]がディラック場がない場合の重力場(2階形式)に適用。
ただし、4次元のみ。
・[中嶋2016a]で、ディラック場ある場合の重力場(2階形式)が調べられる。
ただし、4次元のみ。[中嶋2019]で任意の次元に。
・[神長2018]で、ポアソン括弧とシンプレクティック理論が発見される。
・[Castellani2020a]で、1階形式の重力場の局所ゲージ変換の生成子が研究される。
・[中嶋2019]で、物質場, ゲージ場, 2階形式の重力場に対する局所ゲージ変換の生成子が研究される。
36

(6)補足スライド37

量子化の困難
通常の正準量子化

共変解析力学のポアソン括弧 (電磁場)

位置と共役量の成分の数が異なる
Precanonical quantization(D-1)-form38

正準変換
正準方程式を変えない変換を正準変換という。
正準変換は、メタ・シンプレクティック形式を変えない。

例1：位置形式と共役形式の入れ換え

例2：位置形式の点変換[中嶋rev]39

公式集40