ラマヌジャンのある公式
中嶋 慧

December 24, 2022
Abstract
ラマヌジャン (ハーディへの手紙) によると、∞∑
n=1

1nn−2− δ,=n(1000 + n)1000
δ ≈ 1.0125 × 10−440(0.1)(0.2)

である。これについて考える。

Contents1

解析的な結果

22

数値解析

53

精度を上げる
3.1 (2.13) の精密化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 N = 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 ラマヌジャンの式の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 オイラー・マクローリンの総和公式からの精密化 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 N = 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7778810A δ(α) の正確な公式

1111

解析的な結果xx−2(α > 0)(α + x)xfα (x) :=(1.1)とし、S(α) :=∞∑fα (n)(1.2)

n=1と置くと、S(α) ==∞∑nn−2(α + n)nn=1∞∑nn−1Γ(n)n! (α + n)nn=1(1.3)

である。公式

Γ(s)
=βs

∫ ∞

dt ts−1 e−βt(1.4)

0より、S(α) =∫∞∑
nn−1 ∞
n=1

∫ ∞
=0n!

dt tn−1 e−nt e−αt0∞∑nn−1 −t n e−αtdt
(te )
=:
n!
tn=1

∫ ∞

dt U (t)e−αt(1.5)

0である。U (t) のグラフを Figure 1 に示す。いま、W (x) :=∞∑(−n)n−1n=1n!

(xn−11)≤x≤ee(1.6)とすると、これはランベルトの W 関数なので、t < 1 のとき、W (−te−t ) = −t(1.7)

W (−te−t )U (t) = −t(1.8)

である。また、である。よって、∫ 1S(α) =dt e−αt∫ ∞+0dt U (t)e−αt1=: S1 (α) + S2 (α)
2(1.9)

Figure 1: U (t), e−t+1 , 1 − 2(t − 1) のグラフとなる。ここで、S1 (α) =1 e−α−,α∫α∞

S2 (α) =(1.10)

dt U (t)e−αt(1.11)1である。
さて、y ≤ −W (−y) ≤ ey(0≤y≤1)e(1.12)より、

e−t ≤ U (t) ≤ ee−t (t ≥ 1)

(1.13)

e−(α+1)e−α< S2 (α) <α+1
α+1(1.14)なので、となる。いま、S(α) =1− δ(α)α(1.15)と置くと、

e−α(1(1 )
1 1 )
−α 1−
< δ(α) < e−α α+1
α eα+13(1.16)

となる。
ところで、ラマヌジャンによると、( 1141S2 (α) = e−α−+α + 1 (α + 1)(α + 2) 3 (α + 1)(α + 2)(α + 4))
14,−3 (α + 1)(α + 2)(α + 4)(α + 23/3 + θα )1
θ0 = 0.0023 , θ1 = 0.1379 , θ∞ =5(1.17)(1.18)である (付録 A も参照)[1]。よって、81 )28e−α (+ O( 3 )+δ(α) = 2 2 1 −α3α 3α2α(1.19)

δ(1000) = 1.0124940... × 10−440(1.20)

U (t) ≥ max{1 − 2(t − 1), 0} (t ≥ 1)

(1.21)

e−αe−α− 2 2 (1 − e−α/2 ) < S2 (α)αα(1.22)であり、となる。
また、Figure 1 より、なので、これを使うと、を得る。これと (1.16) より、

e−α(11 )e−α−< δ(α) < 2 2 (1 − e−α/2 )α α+1α(1.23)となる。ここで、下限は、e−α(1α−1 )e−α= 2 + ···α+1αである。

4(1.24)

2

数値解析
今、

Sm,n (α) :=n∑fα (k)(2.1)]
1 [1] [+ − fα (N ) + SN,∞
= S1,N −αα(2.2)k=mと置くと、−δ(α) = S(α) −である。ここで、

S1,N −

1=: −δN (α)α(2.3)と置く。また、

dN (α) := −fα (N ) + SN,∞

(2.4)

δ(α) = δN (α) − dN (α)(2.5)と置くと、となる。Python で mpmath を用いて 465 桁の精度 (mpmath.mp.dps = 465) で δ107 (1000) を求めると、

δ107 (1000) = 1.064543969... × 10−440(2.6)

であった。この計算には 42 分かかった。
dN (α) をオイラー・マクローリンの総和則で評価する。オイラー・マクローリンの総和則より、∫ n
1dx fα (x) + [fα (m) + fα (n)] + Rm,n ,Sm,n =(2.7)
2m∫ nRm,n =dx B̃1 (x)fα′ (x)(2.8)
mである。B̃k (x) は周期ベルヌーイ多項式である。さて、12(2.9)1dx |fα′ (x)| = [fα (m) − fα (n)]2m(2.10)[ 1 η]
dx fα (x) + − + fα (N ) ,2 2(2.11)|B̃1 (x)| ≤なので、

1|Rm,n | ≤2∫ nとなる。よって、∫ ∞dN (α) =N5|η| ≤ 1である。
ところで、

1α− x ln(1 + )2xx21αα3α4= ln 2 − α +− 2 + 4 − ··· ,x2x 3x4x[1]24 (αα8 )fα (x) = e−α 2 + 3 + 3 1 −+ ···x
2x8x2α(2.12)

α2ε(2.14)

ln fα (x) = ln

(2.13)なので、

N =とすると、∫ ∞dx fα (x) = εN]e−α [ε ε2 (8 )31++1−+O(ε)α24 242α(2.15)となる。よって、

e−α [ε ε2 (8 )ξ]3dN (α) = ε 2 1 + +1−+ O(ε ) +,α4 242αN[ 1 η ][]
ε ε2 (8 )ξ= − +1+ +1−+ O(ε3 )2 2282α(2.16)(2.17)である。これより、

α = 1000 ,ε = 0.1(2.18)

として、

d107 (1000) = 0.0520496... × (1 + O(10−4 )) × 10−440≈ 0.05205 × 10−440(2.19)を得る。これより、δ(1000) = δ107 (1000) − d107 (1000)≈ (1.064543969... − 0.05205) × 10−440≈ 1.01249 × 10−440(2.20)を得る。これはラマヌジャンの結果 (1.20)、すなわち、δ(1000) = 1.0124940... × 10−440と整合する。

6(2.21)

3

精度を上げる3.1(2.13) の精密化

(2.13) を精密化すると、∞( α 2 )l ]e−α [α2 ∑fα (x) = 2 1 ++Al (α),
x2x l=2x1(8)A2 (α) =3−,24α(18 12 )A3 (α) =1− + 2 ,48
α α
1 (240 1040 1152 )
15 −A4 (α) =+ 2 − 3 ,5760
ααα(
180 680 2112 1920 )
A5 (α) =3−+ 2 − 3 + 411520
αααα(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)となる。よって、∫ ∞N5]e−α [ε ∑ Al (α) ldx fα (x) = ε 2 1 + +ε + O(ε6 ) ,α4 l=2 l + 1dN (α) = ε[ξ=(3.6)

5e−α [ε ∑ Al (α) lξ]
6
1++ε+O(ε)+,α24 l=2 l + 1
N(3.7)

5]∑
1 η ][l6Al (α)ε + O(ε ) ,1+− +2 2
l=2(3.8)|η| < 1を得る。よって、

d107 (1000) = 0.0520499370... × (1 + O(10−7 )) × 10−440 ,(3.9)δ(1000) = δ107 (1000) − d107 (1000)≈ 1.01249403 × 10−440(3.10)を得る。これはラマヌジャンのδ(1000) = 1.0124940... × 10−440(3.11)

δ108 (1000) = 1.0175827047960000597... × 10−440(3.12)と整合する。

3.2

N = 108

ところで、Julia を使うと、7が 46.5 分で得られた。 setprecision(1550) とした1) 。一方、

d108 (1000) = 0.00508866991... × (1 + O(10−8 )) × 10−440(3.13)なので、δ(1000) = δ108 (1000) − d108 (1000)≈ 1.0124940349 × 10−440(3.14)

を得る。

3.3

ラマヌジャンの式の評価

なお、(1.17) で θα を θ で置き換えた式から δ(α) を計算したものを δ(α, θ) と書くと、

δ(1000, θ1 ) = 1.0124940349471... × 10−440 ,δ(1000, θ∞ ) = 1.0124940349060... × 10−440(3.15)(3.16)となり、δ(1000) = 1.0124940349... × 10−440(3.17)まで確定する。これは (3.14) と整合する。

3.4

オイラー・マクローリンの総和公式からの精密化

オイラー・マクローリンの総和公式より、

∫ nN]
∑1
B2k [ (2k−1)(2k−1)
dx fα (x) + [fα (m) + fα (n)] +f(n) − fα(m)Sm,n =2(2k)! αm
k=1(2N +1)+Rm,n,∫ n
1(2N +1)Rm,n=dx B̃2N +1 (x)fα(2N +1) (x)(2N + 1)! m(3.18)(3.19)(2N +1)である。B2k はベルヌーイ数である。Rm,nの絶対値は、∫ n1(2N +1)|Rm,n | <dx |B̃2N +1 (x)||fα(2N +1) (x)|(2N + 1)! m∫ n1≤ B2N +1
max |B̃2N +1 (x)|dx |fα(2N +1) (x)| , B2N +1 :=(2N + 1)!
m(3.20)(3)となる。ところで、{Al (1000)}5l=2 は全て正であるから、fα (x) < 0 である。よって、(3)|Rm,n| < B3 [fα(2) (m) − fα(2) (n)] ,1)

B3 =1√ = 0.008018 · · ·72 3

setprecision(1550) で δ107 (1000) を計算するのに 3.8 分かかった。

8(3.21)

であり、

∫ n]
1[ ′1′f (n) − fα (m)Sm,n =dx fα (x) + [fα (m) + fα (n)] +212 αm+B3 η3 [fα(2) (m) − fα(2) (n)] , |η3 | < 1となる。n → ∞ とすると、∫ ∞]1
1[Sm,∞ =dx fα (x) + fα (m) +− fα′ (m) + B3 η3 fα(2) (m)212m(3.22)(3.23)である。よって、

dN (α) = ε5] 1e−α [ε ∑ Al (α) l6
1++ε+O(ε)− fα (N )α24 l=2 l + 12]1[+− fα′ (N ) + B3 η3 fα(2) (N )12(3.24)となる。さて、∞∑α2l ]α2A(α)++lx2 2x3xl+2
l=2(3.25)∞∑α2α2l ]2(l + 2)Al (α) l+3 ,− 3 −3 4 −x2xx
l=2(3.26)

fα (x) = e−α[1なので、fα′ (x) = e−αfα(2) (x) = e−α[∞α2l ]
α2 ∑(l + 2)(l + 3)Al (α) l+4+6 5 +x4xxl=2[6(3.27)となる。よって、∞]]∑
1[e−α 1 [3′l(l + 2)Al (α)ε ,− fα (N ) = ε 22+ ε+12α 12N 22
l=2e−α ξ,α2 N 3
ξ = B3 η3 (6 + 6ε + · · · ) = 0.04811 · · · × η3 (1 + ε + · · · )B3 η3 fα(2) (N ) = ε(3.28)(3.29)(3.30)となる。従って、∞∞}∑e−α [ε ∑ Al (α) l1 {3ξ ]ldN (α) = ε 2 1 + +ε +2+ ε+(l + 2)Al (α)ε + 3α4 l=2 l + 1
12N 22N
l=21− fα (N )2(3.31)

である。これより、δ(1000) = δ108 (1000) − d108 (1000) = 1.0124940349070... × 10−440を得る。これは (3.15), (3.16) と整合する。

9(3.32)

3.5

N = 109

Julia で、setprecision(1650) で 8 時間ほど計算して、
δ109 (1000) = 1.0130017577166019123182544811067051... × 10−440(3.33)を得た。また、(3.31) より、

d109 (1000) ≈ 0.000507722809569511604692103011 × 10−440(3.34)を得る (Wolfram を用いた)。よって、

δ(1000) ≈ 1.0124940349070324007135623780962 × 10−440となる。これは (A.10) と整合し、(A.27) と一致する。

10(3.35)Aδ(α) の正確な公式

すぐ後で示すように、a, p > 0 で、p が ∞ に向かうとき、以下の式が成り立つ：∞∑(a + n)n−1
1=− δ(a, p),n+1(2p+a+n)2apn=0∞[∑11(−1)l pl−1 Pl (p) ]−2pδ(a, p) ∼ e−,+2l+12p(p + a) 6(p + a)3(p+a)
l=2S(a, p) :=11+,6 30p
511P3 (p) =++,18 6p 42p235
731P4 (p) =+++,254 9p 10p
30p3
35 35
1755P5 (p) =++ 2+ 3+,18 9p 6p
6p
66p4
385 385451
616691691
P6 (p) =+++++,
2345418p 18p
45p
210p
2730p55005 7007 2002 26026 7709
357P7 (p) =+++++ 5 + 6.
234
16254p
9p
135p
90p
2p
6p
P2 (p) =

(A.1)
(A.2)
(A.3)
(A.4)
(A.5)
(A.6)
(A.7)
(A.8)

∼ は漸近展開を表す。これもラマヌジャンの結果のようである。特に、a = 1 とすると、S(α) = S(1, α/2) ,δ(α) = δ(1, α/2)

(A.9)

である。よって、上の式から、

δ(1000) ≈ 1.012494034907032401 × 10−440(A.10)となる。これは (3.15), (3.16), (3.35) と整合する。
(A.2) を示す [1]。まず、S(a, p/2) ==∞∑(a + n)n−1(p + a + n)n+1n=0∞∑(n=0 (a + n)21p
1 + a+n)n+1(A.11)

である。|x| < 1 のとき、∞
∑1(−1)k Γ(m + k) kx=(1 + x)mk!
Γ(m)k=011(A.12)

なので、0 < p < a のとき、S(a, p/2) =∑ (−1)k Γ(n + k + 1) ( p )k1(a + n)2 k=0 k!
Γ(n + 1)a+nn=0∞∑∞∞∞∑(−p)k ∑ Γ(n + k + 1)

1
k! n=0 Γ(n + 1) (a + n)k+2
k=0
∫ ∞
∞
∞
∑
1
(−p)k ∑ Γ(n + k + 1)
dt tk+1 e−(a+n)t=
k! n=0 Γ(n + 1) Γ(k + 2) 0
k=0
∫ ∞
∞
∞
∑1
(−p)k ∑ Γ(n + k + 1)=dt
(e−t )n tk+1 e−atk!
Γ(n+1)(k+1)Γ(k+1)
0
n=0
k=0
∫ ∞
∞k∑
(−p)
1=dt
tk+1 e−at−t )k+1(k+1)!
(1−e0k=0∫ ∞∞∑1
1 ( −pt )k+1 −at=−dtep 0(k + 1)! 1 − e−tk=0∫( −pt )]
1 ∞ [dt exp− 1 e−at=−p 0
1 − e−t∫( −pt )
11 ∞(A.13)=−dt expe−at−tap p 01−e=となる。両辺は Re(a) > 0, Re(p) > 0 のとき解析的である。解析接続より、上式は、Re(a) > 0,Re(p) > 0 のときに成立する (0 < p < a の条件は不要である)。よって、∫( −pt )1 ∞δ(a, p/2) =dt exp(A.14)
e−at ,p 0
1 − e−t∫ ∞(2pt )
1dt e−(a+p)t exp pt + −t,δ(a, p) =(A.15)
2p 0
e −1
∫ ∞
12pdt e−(a+p)t exp(pw(t))
e δ(a, p) =(A.16)
2p 0となる。ここで、w(t) := 2 + t += −22te−t − 1∞∑B2n(2n)!
n=1

t2n (|t| < 2π)(A.17)である。さて、Qn (p) を、∞∑exp(pw(t)) − 1(−1)n Qn (p) 2n=t (|t| < 2π)2p(2n)!
n=1(A.18)

Qn (p) = pn−1 Pn (p)(A.19)

で定義し、12で Pn (p) を定義する。すると、∫ 2π2pe δ(a, p) =dt e
0+12p−(a+p)t∫ ∞(12p+∞∑(−1)n Qn (p)n=1(2n)!

t2n)dt e−(a+p)t+pw(t)(A.20)

2πを得る [1]。よって、e δ(a, p) ∼2p∫ ∞0=∫∞
1 −(a+p)t ∑ (−1)n Qn (p) ∞e+dt t2n e−(a+p)t
dt2p(2n)!
0
n=1∞∑1(−1)n Qn (p)+2p(p + a) n=1 (a + p)2n+1∞∑1(−1)n pn−1 Pn (p)=+2p(p + a) n=1 (a + p)2n+1(A.21)となる。
Wolfram を用いて、(A.18) から Pn (p) を計算すると、25025 70070 55055 23023 161369 10151 3617
3617+++++++, (A.22)
23456162
81p
27p
9p
90p
15p
30p
510p7425425 170170 527527 901901 3034109
P9 (p) =++++486
27p
27p2
27p3
90p4901357 4158829 43867 43867++++,(A.23)
45p5630p6
42p7
798p88083075 8083075 5311735 35565530 32454071
P10 (p) =++++1458162p
27p2
81p3
54p4
230773487 502625791 24571142 1222277 174611+++++,(A.24)
450p5
1890p6
315p7
110p8
330p9
56581525 622396775 337872535 476578102
P11 (p) =+++1458
1458p
162p2
81p3
1695829135 16310575897 134811479 20748684++++162p4
1350p515p6
5p7
10986081 854513 854513+++,(A.25)
10p8
6p9
138p101301375075 2863025165 33947298385 39346145839
P12 (p) =+++4374
729p
1458p2486p33264592331 61061090552 306733737442 13539078938++++18p4
225p5
1125p675p73162639541 1145930909 1181820455 236364091(A.26)
++++
42p8
63p9
546p102730p11P8 (p) =を得る。n = 15 までの和から、Wolfram を用いて、δ(1000) ≈ 1.0124940349070324007135623780962 × 10−440を得た。(3.35) と一致する。

13(A.27)

References[1] Bruce C. Berndt, “Ramanujan’s Notebooks: Part V”, Springer (2012).

14