量子開放系におけるスピード限界：
エントロピー生成とトレース距離

S. Nakajima and Y. Utsumi, New. J. Phys. 24, 095004 (2022).

三重大学大学院工学研究科

中嶋 慧(共同研究者：内海 裕洋)
2022年10月11日量子基礎論・量子情報オンラインセミナー

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自己紹介
履歴
2010年3月 群馬工業高等専門学校 物質工学科 卒業 (準学士(工学))2012年3月 筑波大学 理工学群物理学類 卒業 (学士(理学))2014年3月 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 物理学専攻 修士課程 修了(修士(理学))2017年3月 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 ナノサイエンス・ナノテクノロジー専攻(博士(理学), 指導教員：都倉 康弘)
2017年4月から10月 ITエンジニア
2020年10月中嶋 慧, 松尾 衛『一般ゲージ理論と共変解析力学』 (現代数学社)
2021年4月三重大学大学院工学研究科 研究員(ポスドク)
専門
非平衡統計力学(M2から)量子ポンプ(修士)
過剰エントロピー生成(博士)スピード限界(ポスドク) ← 今日の話共変解析力学(D2から)重力場への応用De Donder-Weyl理論との関係
変換の生成子2

今日の流れ(1)先行研究・イントロ・量子孤立系(Mandelstam-Tammの関係式)
・古典開放系(白石・布能・齊藤, 2018)
・量子開放系
布能・白石・齊藤, 2019
Vu・長谷川, 2021

(2)我々の研究
・結果の紹介と具体例での比較・導出

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スピード限界とは状態(または物理量)の変化の速さの上限や下限。
特に、状態間の何らかの距離Lについての上限(や下限)を与える式。
本発表で注目するのは、Lの上限をエントロピー生成σを用いて与えるもの。
逆に言うと、 σの下限を距離Lを用いて与えるもの。

または変化にかかる時間の下限についての式。
特にそれをL, σおよびアクティビティAを用いて与えたもの。

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スピード限界の研究の歴史
孤立量子系
L. Mandelstam and I. Tamm, J. Phys. (Moscow) 9, 249 (1945).
N. Margolus and L. B. Levitin, Physica D 120, 188 (1998).
今も盛んに研究されている。
量子開放系(2013年頃から)
M. M. Taddei, et al., PRL 110, 050402 (2013).
A. del Campo, et al., PRL 110, 050403 (2013).
S. Deffner and E. Lutz, PRL 111, 010402 (2013).
レビュー論文
S. Deffner and S. Campbell, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 453001 (2017).

古典開放系(2018年)
N. Shiraishi, K. Funo and K. Saito, PRL 121, 070601 (2018).
量子開放系(関連する先行研究)
K. Funo, N. Shiraishi and K. Saito, New. J. Phys. 21, 013006 (2019).
T. V. Vu and Y. Hasegawa, PRL 126, 010601 (2021).
T. V. Vu and K. Saito, PRL 128, 010602 (2022).
S. Nakajima and Y. Utsumi, New. J. Phys. 24, 095004 (2022).

5時間依存する開放系
近年、時間依存する開放系が盛んに研究されている。
(1)量子ポンプや過剰エントロピー生成の研究
S. Nakajima and Y. Tokura, J. Stat. Phys. 169, 902 (2017).

(2)熱機関の効率とパワーの研究
N. Shiraishi, K. Saito and H. Tasaki, PRL 117, 190601 (2016).
H. Tajima and K. Funo, PRL 127, 190604 (2021).

(3)断熱ショートカット
D. Guéry-Odelin, et. al., Rev. Mod. Phys. 91, 045001 (2019).

(4)熱力学的不確定性関係
T. V. Vu and K. Saito, PRL 128, 140602 (2022).
V. T. Vo, T. V. Vu, and Y. Hasegawa, J. Phys. A: Math. Theor. 55, 405004 (2022).

(5)スピード限界の研究
N. Shiraishi, K. Funo and K. Saito, PRL 121, 070601 (2018).
K. Funo, N. Shiraishi and K. Saito, New. J. Phys. 21, 013006 (2019).
T. V. Vu and Y. Hasegawa, PRL 126, 010601 (2021).
T. V. Vu and K. Saito, PRL 128, 010602 (2022).

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最適輸送理論との関係
最近、熱力学的不確定性関係やスピード限界を最適輸送理論の観点から統一的に理解しようという試みがある。
K. Yoshimura, A. Kolchinsky, A. Dechant, and S. Ito, arXiv:2205.15227
T. V. Vu and K. Saito, arXiv:2206.02684
おそらく本発表の結果を最適輸送理論の観点で理解するのは難しい：
最適輸送理論ではWasserstein distanceが重要だが、その量子版はトレース距離を表せない。
N. Yu, L. Zhou, S. Ying, and M. Ying, arXiv:1803.02673

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Mandelstam-Tammの式(混合状態)

Bures angle (距離)Fidelity

L. Mandelstam and I. Tamm,“The Uncertainty Relation Between Energy and Time in Non-relativistic Quantum Mechanics”

J. Phys. (Moscow) 9, 249 (1945).
8証明(1)
まず純化する。
アンシラ系Aの規格直交系

対角化

純化

Robertson inequality9証明(2)Robertson inequalityとシュレーディンガー方程式
から

これと、Nielsen＆Chuangなど

より、 Mandelstam-Tammの式が示される。

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トレース距離の上限
Nielsen＆Chuangなど

Mandelstam-Tammの式より、弱いMandelstam-Tammの式11弱いMandelstam-Tammの式の別証

純化のうちの1つ

Nielsen＆Chuangなどであり、TrAはCPTP mapである。また、なので、を得る。これより示される。
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古典マスター方程式

熱浴bからの寄与確率の保存
熱浴bの逆温度
局所詳細つり合い

状態nのエネルギー13

エントロピー生成率
仕事率

エントロピー生成率

熱流

熱浴bから系への熱流

シャノン・エントロピー

14エントロピー生成率の変形

局所詳細つり合い
熱力学第2法則15白石・布能・齊藤(1)* 以下、三角不等式とコーシー・シュワルツの不等式を多用する。

コーシー・シュワルツの不等式

16白石・布能・齊藤(2)エントロピー生成より、が許される。

この場合がN. Shiraishi, K. Funo and K. Saito, PRL 121, 070601 (2018)に対応。

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白石・布能・齊藤の改良
対数平均

白石・布能・齊藤
N. Shiraishi, K. Funo and K. Saito, PRL 121, 070601 (2018).
等号成立の例：S. Nakajima and Y. Utsumi, PRE 104, 054139 (2021).
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量子マスター方程式
GKSL方程式

jump operator

Lamb shift
Hamiltonian

熱浴のラベルエネルギー差局所詳細つりあい

19注意Born-Markov近似 + 回転波近似(RWA)ならGKSL方程式 + 局所詳細つり合い逆は成り立たない(多分)Born-Markov近似 + coarse-grained approximation (CGA)でGKSL方程式。
CGAで粗視化時間が大きい極限でRWAになる。
D. A. Lidar, arXiv:1902.00967

GKSL方程式なら完全正値性が保たれる(Kraus表現で表せるので)。
量子マスター方程式(Born-Markov + RWA)は特異摂動論で理解できる：
久木田真吾
博士論文「特異摂動理論から見た量子開放系の摂動的手法」
名古屋大学2018年3月
S. Kukita, Phys. Rev. E 96, 042113 (2017).

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エントロピー生成率
熱浴bから系への熱流対角化

アクティビティ21

布能・白石・齊藤(1)「マスター方程式」

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布能・白石・齊藤(2)白石・布能・齊藤と同様にして散逸がない時には、弱いMandelstam-Tammの式となる。
量子マスター方程式が古典マスター方程式になる極限で白石・布能・齊藤の式になる。

K. Funo, N. Shiraishi and K. Saito, New. J. Phys. 21, 013006 (2019).

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Vu・長谷川とその改良

半古典的な距離アクティビティT. V. Vu and Y. Hasegawa, PRL 126, 010601 (2021).
T. V. Vu and K. Saito, arXiv:2206.2684.

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注意dT は異なる量子状態の間でもゼロになる事がある。
量子コヒーレンスを測れない。
対角化

古典極限

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Vu・長谷川の式の別証
T. V. Vu and Y. Hasegawa, PRL 126, 010601 (2021)とは別の証明を紹介する。
この論文の証明法は我々の研究で重要となる(第2部で解説する)。

白石・布能・齊藤の式の改良を示すのと同様にして、を得るので、Vu・長谷川の式の改良(よりタイトな式)が示された。

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第2部

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主要結果(1)相互作用描像でのトレース距離28

主要結果(2)29量子ドットでの比較

パウリ行列

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2準位系での状態間距離31

Qubit系(1)T. V. Vu and K. Saito, PRL 128, 010602 (2022)の例。Non-optimal protocol.
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Qubit系(2)33アクティビティの時間積分34主要結果の導出(1)

半内積

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散逸項の変形第2等号で以下の公式を用いた：

36主要結果の導出(2)= エントロピー生成率

コーシー・シュワルツの不等式
S. Nakajima and Y. Utsumi, New. J. Phys. 24, 095004 (2022).

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Vu・長谷川の導出
対角化

T. V. Vu and Y. Hasegawa, PRL 126, 010601 (2021).

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シュレーディンガー描像でのトレース距離

極分解

白石・布能・齊藤 type
Mandelstam-Tamm type

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まとめ
Lindblad型の量子マスター方程式に従う系において、エントロピー生成と相互作用描像のトレース距離との間の普遍的な関係式を導出した。

相互作用描像のトレース距離は、Vu・長谷川の距離より小さくなることはないので、我々のバウンドはVu・長谷川のものより劇的に良くなることがある。
S. Nakajima and Y. Utsumi, New. J. Phys. 24, 095004 (2022).

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