章末問題詳細解説

第1章【1】 単位ステップ関数𝑢𝑢(𝑥𝑥)のランニング積分はランプ（ramp）関数や ReLU関数と呼び，𝑅𝑅(𝑥𝑥) = ∫𝑥𝑥−∞𝑢𝑢(𝜏𝜏 )𝑑𝑑𝑑𝑑 と表せる。

(1) 𝑅𝑅(𝑥𝑥)を区分関数形式の数式より示せ。
(2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑢𝑢(6 − 𝑥𝑥) ⋅ [𝑅𝑅(𝑥𝑥) − 𝑅𝑅(3𝑥𝑥 − 6) + 3𝑅𝑅(𝑥𝑥 − 4)]のグラフを描け。
(3) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)の微分関数とランニング積分関数のそれぞれのグラフを描け。
【解答】(1) 𝑅𝑅(𝑥𝑥) = �

0, 𝑥𝑥 < 0𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≥ 0(2) 途中結果のグラフを含めて以下になる。

⎧ 𝑥𝑥 ,
�6 − 2𝑥𝑥 ,𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ⎨𝑥𝑥 − 6 ,�⎩ 0 ,0 < 𝑥𝑥 ≤ 2
2 < 𝑥𝑥 ≤ 4
4 < 𝑥𝑥 ≤ 6others(3) 微分関数は𝑓𝑓(𝑥𝑥)各区間の傾き，この問題ではそれぞれ定数となる。1 次関数のランニング積分は，正の傾きは凸関数，負の傾きは凹関数の特性がある。
⎧1 ,
�−2 ,
𝑑𝑑
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ⎨
1 ,
𝑑𝑑𝑑𝑑
�
⎩0 ,

0 < 𝑥𝑥 ≤ 2
2 < 𝑥𝑥 ≤ 4
4 < 𝑥𝑥 ≤ 6
𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥2 /2 ,0 < 𝑥𝑥 ≤ 2⎧��3 − (𝑥𝑥 − 3)2 , 2 < 𝑥𝑥 ≤ 4
� 𝑓𝑓(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑑𝑑 =⎨ (𝑥𝑥 − 6)2 /2 , 4 < 𝑥𝑥 ≤ 6−∞��⎩others
0 ,
𝑥𝑥

1

【2】

次に示す関数𝑓𝑓(𝑥𝑥)の奇関数成分と偶関数成分をそれぞれ図示せよ。
𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝 � � (𝑥𝑥 + 1) + 2𝑝𝑝(𝑥𝑥 − 1.5),
2
ここで𝑝𝑝(𝑥𝑥)は単位パルス関数とする。

【解答】
まず𝑓𝑓(𝑥𝑥)と𝑓𝑓(−𝑥𝑥)のグラフを示す。偶関数成分𝑓𝑓𝑒𝑒 (𝑥𝑥)と奇関数成分𝑓𝑓𝑜𝑜 (𝑥𝑥)は，式(1.21)より求められる。

【3】複素数値信号𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 2𝑒𝑒𝑗𝑗(3𝑡𝑡+1) とする。

(1) 𝑥𝑥(𝑡𝑡)の奇関数と偶関数成分をそれぞれ実部と虚部に分けて示せ。
(2) 𝑥𝑥(5𝑡𝑡 − 1)の複素正弦波表現式を示し，角周波数と初期位相を示せ。
(3) 𝑥𝑥(𝑡𝑡)の基本周期を示せ。
(4) 基本周期が 1/6 となる周期信号の 1 つの例を，𝑥𝑥(⋅)関数表記より示せ。
(5) 𝑥𝑥(𝑡𝑡)をサンプリングレート𝑓𝑓𝑠𝑠 より離散化した s𝑥𝑥[𝑛𝑛]を指数関数に表し，
s𝑥𝑥[𝑛𝑛]は周期関数となるために𝑓𝑓𝑠𝑠 の条件を示せ。

2

【解答】
(1) 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 2𝑒𝑒𝑗𝑗(3𝑡𝑡+1) = (2𝑒𝑒𝑗𝑗 )𝑒𝑒𝑗𝑗3𝑡𝑡 のように，時間𝑡𝑡の関数𝑒𝑒𝑗𝑗3𝑡𝑡 と，時間𝑡𝑡に依存しない
複素定数(2𝑒𝑒𝑗𝑗 )に分けて考える。
𝑒𝑒𝑗𝑗3𝑡𝑡 = cos 3𝑡𝑡 + 𝑗𝑗 sin 3𝑡𝑡より，直接に偶関数成分cos 3𝑡𝑡と奇関数成分𝑗𝑗 sin 3𝑡𝑡に分解できるが，式(1.21)よりも，

�𝑒𝑒𝑗𝑗3𝑡𝑡 +𝑒𝑒−𝑗𝑗3𝑡𝑡 ��𝑒𝑒𝑗𝑗3𝑡𝑡 −𝑒𝑒−𝑗𝑗3𝑡𝑡 �= cos 3𝑡𝑡 ，= 𝑗𝑗 sin 3𝑡𝑡が求まる。
22さらに，𝑒𝑒𝑗𝑗 = cos 1 + 𝑗𝑗 sin 1に展開して，以下の結果が得られる。
𝑥𝑥𝑒𝑒 (𝑡𝑡) = 2 cos 1 cos(3𝑡𝑡) + 𝑗𝑗2 sin 1 cos(3𝑡𝑡)𝑥𝑥𝑜𝑜 (𝑡𝑡) = −2 sin 1 sin(3𝑡𝑡) + 𝑗𝑗2 cos 1 sin(3𝑡𝑡)複素指数関数と三角関数の関係を示すオイラーの式の活用がポイントである。
(2) 𝑥𝑥(5𝑡𝑡 − 1) = 2𝑒𝑒𝑗𝑗(3(5𝑡𝑡−1)+1) = 2𝑒𝑒𝑗𝑗(15𝑡𝑡−2) より，角周波数=15，初期位相=−2
一般的に，正弦波（複素正弦波も同）の時間変形によって，角周波数と初期位相の変化は以下に示せる。
𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏; 𝐴𝐴, 𝜔𝜔, 𝜃𝜃) = 𝑠𝑠(𝑡𝑡; 𝐴𝐴, 𝑎𝑎𝜔𝜔, 𝜃𝜃 + 𝜔𝜔𝑏𝑏)(3) 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 2𝑒𝑒𝑗𝑗(3𝑡𝑡+1) の角周波数=3，よって，周期𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋/3(4) 横軸伸縮によって周期が変化し，𝑥𝑥(𝑎𝑎𝑎𝑎)の周期は𝑇𝑇 /𝑎𝑎となるため，
𝑥𝑥(4𝜋𝜋𝑡𝑡) = 2𝑒𝑒𝑗𝑗(12𝜋𝜋𝑡𝑡+1) は周期=1/6 となる。
(5) サンプリング間隔𝑇𝑇𝑠𝑠 = 1/𝑓𝑓𝑠𝑠 ので， s𝑥𝑥[𝑛𝑛] = 2𝑒𝑒𝑗𝑗(3𝑛𝑛𝑇𝑇𝑠𝑠 +1) = 2𝑒𝑒𝑗𝑗(3𝑛𝑛/𝑓𝑓𝑠𝑠 +1) となる。
s𝑥𝑥[𝑛𝑛]は周期関数となるために，𝑇𝑇𝑠𝑠 と CT 信号𝑥𝑥(𝑡𝑡)の周期𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋/3の関係が𝑇𝑇 /𝑇𝑇𝑠𝑠 ∈ ℚを満たす必要がある。この条件，2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑠𝑠 /3 ∈ ℚは，𝜋𝜋𝑓𝑓𝑠𝑠 ∈ ℚと同等
例えば，𝜋𝜋𝑓𝑓𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑁𝑁

(𝑀𝑀, 𝑁𝑁 ∈ ℤ ∖ {0})の場合， s𝑥𝑥[𝑛𝑛] = 2𝑒𝑒𝑗𝑗(3𝜋𝜋𝑛𝑛𝑛𝑛/𝑀𝑀+1) となり，周期はLCM(2𝑀𝑀, 3𝑁𝑁 )/(3𝑁𝑁 )となる。

【4】

確率変数𝑥𝑥は連続の場合，その確率は確率密度関数PDF(𝑥𝑥)より示され，𝑏𝑏

𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏]の確率は∫ PDF(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑となる。物理的意味によって，PDF(𝑥𝑥) ≥ 0，
かつ ∫

∞

−∞

𝑎𝑎

PDF(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1は PDF の特性である。例えば𝑥𝑥 ∈ [0,1]の一様分布の乱数はPDF(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥 − 0.5)となり，確実に𝑥𝑥 = 2の場合はPDF(𝑥𝑥) =𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 2)と表せる。δ関数と単位パルス関数𝑝𝑝(𝑥𝑥)を用いて，次の裏表を当てる公平のコイン投げゲーム得点の PDF 表現式とグラフを示せ。
3

ルール：当たったら 1~3 の一様分布乱数を加点，外れると 2 点減点。
【解答】
公平なコインであれば，表裏の当たり外れはそれぞれ 0.5 の確率となり，この 0.5 ずつの確率を得点の PDF に反映させる。当たる場合の PDF は𝑥𝑥 ∈ [1,3]の有限区間矩形パルス，外れる場合では𝑥𝑥 = −2でのδ関数となるので
1
1 𝑥𝑥
PDF(𝑥𝑥) = 𝛿𝛿(𝑥𝑥 + 2) + 𝑝𝑝 � − 1�24 2が得られる。下図に示す。

δ関数は，連続関数として「1 点に集中する」コンセプトを表すものと理解しておきたい。なお，この例では，確率密度関数として，単位パルス関数𝑝𝑝(𝑥𝑥)もδ関数と同様に，物理単位は変数𝑥𝑥の物理単位の逆数となっている。

【5】次の微分方程式を満たす信号𝑥𝑥(𝑡𝑡)の正弦波定常解を求めよ。
5 cos(2𝑡𝑡 − 1) =𝑑𝑑2
𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 4 𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 10𝑥𝑥(𝑡𝑡)
2
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑑𝑑

【解答】
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 cos(2𝑡𝑡 + 𝜃𝜃) = Re(𝐴𝐴𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑡𝑡 )とし，例題 1.7 のように複素数領域に拡張する。ここで，左辺に合わせて角周波数=2 とした。その要旨は，正弦波信号の時間微分は，振幅と初期位相が変わるが，周波数が変化しないためである。
5𝑒𝑒−𝑗𝑗 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃 (−4)𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑡𝑡 + 4𝐴𝐴𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃 (2𝑗𝑗)𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑡𝑡 + 10𝐴𝐴𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑡𝑡 より𝐴𝐴𝑒𝑒𝑗𝑗𝜃𝜃 =5𝑒𝑒−𝑗𝑗
−1 4= 0.5𝑒𝑒𝑗𝑗�−1−tan 3�
6 + 8𝑗𝑗

𝐴𝐴 = 0.5, 𝜃𝜃 = −1 − tan−1 43が求まり，𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 0.5 cos�2𝑡𝑡 − 1 − tan−1 43�となる。
なお，問題の微分方程式を満たす全体解は，この定常解𝑥𝑥(𝑡𝑡)と次の斉次微分方4

程式を満たす一般解𝑥𝑥0 (𝑡𝑡)の結合𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 𝑥𝑥0 (𝑡𝑡)となる。
𝑑𝑑2
𝑑𝑑
𝑥𝑥
(𝑡𝑡)
+
4
𝑥𝑥 (𝑡𝑡) + 10𝑥𝑥0 (𝑡𝑡)0𝑑𝑑𝑑𝑑 0
𝑑𝑑𝑡𝑡2√⟹ 𝑥𝑥0 (𝑡𝑡) = 𝐴𝐴0 𝑒𝑒−2𝑡𝑡 cos� 6𝑡𝑡 + 𝜃𝜃0 � (∀𝐴𝐴0 , 𝜃𝜃0 ∈ ℝ)
0=

第2章
【1】

次に示す各システム𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑆𝑆{𝑥𝑥(𝑡𝑡)}の線形性と時不変性を判定せよ。

(1) 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = sin(𝑡𝑡) 𝑥𝑥(𝑡𝑡)(4) 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = �

2𝑥𝑥(𝑡𝑡),𝑥𝑥(𝑡𝑡),(2) 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑡𝑡 ≥ 0𝑡𝑡 < 0𝑑𝑑
𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑

(3)

𝑑𝑑2
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒3 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡2

𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ≥ 0(5) 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = �0,𝑥𝑥(𝑡𝑡) < 0【解答】(1) 従属変数𝑦𝑦(⋅)と𝑥𝑥(⋅)とは線形関係であるが，係数sin(𝑡𝑡)は独立変数𝑡𝑡に依存する
ため，システムは線形であり，時不変ではない。
𝑑𝑑(2) 𝑥𝑥(𝑡𝑡)と𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)はそれぞれ線形・時不変演算であるが，両者の積は非線形となるため，システムは時不変であり，線形ではない。
2𝑑𝑑
3(3) 2 階微分𝑑𝑑𝑡𝑡
2 と定数𝑒𝑒 増幅とはいずれも線形時不変演算であるため，システム

は線形・時不変である。
(4) 𝑥𝑥(𝑡𝑡)と2𝑥𝑥(𝑡𝑡)ともに線形時不変演算であるが，時間𝑡𝑡によって切り替わる操作は時不変ではない。一般的に，時間𝑡𝑡によって区分関数として定義されるシステ
ムは時不変ではない。よって，このシステムは線形であり，時不変ではない。
(5) まず，定数 0 は線形時不変演算の特例として考えられる。ただし，このシステムでは，従属変数𝑥𝑥(⋅)によって出力が切り替わるため，「操作」は入力信号値に依存し，線形ではない。一般論として，このような信号値によって場合分けて定義するシステムは線形ではない。よって，このシステムは時不変であり線形ではない。

5

【2】図 2.15 に示す各信号は LTI システム𝐻𝐻{⋅}の入出力とする。

図 2.15(1) 𝐻𝐻{𝑎𝑎(𝑡𝑡)} = 𝑏𝑏(𝑡𝑡)の場合，𝐻𝐻{𝑐𝑐(𝑡𝑡)}を図示せよ。
(2) 𝐻𝐻{𝛿𝛿(𝑡𝑡)} = 𝑏𝑏(𝑡𝑡)の場合，𝐻𝐻{𝑎𝑎(𝑡𝑡)}を図示せよ。
(3) 𝐻𝐻{𝛿𝛿(𝑡𝑡)} = 𝑢𝑢(𝑡𝑡)（単位ステップ関数）の場合，𝐻𝐻{𝑏𝑏(𝑡𝑡)}を図示せよ。
【解答】(1) 𝑐𝑐(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎(𝑡𝑡 + 1) + 2𝑎𝑎(𝑡𝑡) + 𝑎𝑎(𝑡𝑡 − 1)と表せるた
め，LTI システムの遅延・線形結合保存によって，𝐻𝐻{𝑐𝑐(𝑡𝑡)} = 𝑏𝑏(𝑡𝑡 + 1) + 2𝑏𝑏(𝑡𝑡) + 𝑏𝑏(𝑡𝑡 − 1)が得られる。

(2) 𝑏𝑏(𝑡𝑡)は IRF であるため，𝐻𝐻{𝑎𝑎(𝑡𝑡)} = 𝑎𝑎(𝑡𝑡) ∗ 𝑏𝑏(𝑡𝑡)となる。畳み込み積分結果は以下に示す。
2⎧ (𝑡𝑡 + 1) ,�
�2 − (𝑡𝑡 − 1)2 ,𝑎𝑎 ∗ 𝑏𝑏(𝑡𝑡) =⎨ (𝑡𝑡 − 3)2 ,
�
�
⎩
0 ,

−1 < 𝑡𝑡 ≤ 0
0 < 𝑡𝑡 ≤ 2
2 < 𝑡𝑡 ≤ 3𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(3) 𝐻𝐻{𝑏𝑏(𝑡𝑡)} = 𝑢𝑢(𝑡𝑡) ∗ 𝑏𝑏(𝑡𝑡)となり，𝑏𝑏(𝑡𝑡)のランニング積分に同等。「ランニング積分」
は LTI 操作であり，その IRF は単位ステップ関数になる。𝑢𝑢(𝑡𝑡) = ∫𝑡𝑡−∞𝛿𝛿(𝜏𝜏 )𝑑𝑑𝜏𝜏

【3】 3 cos(2𝑡𝑡 + 1) ∗ 𝑝𝑝(𝑡𝑡)（𝑝𝑝(𝑡𝑡)は単位パルス関数）を求め，正弦波数式に表せ。
【解答】

6

∞

3 cos(2𝑡𝑡 + 1) ∗ 𝑝𝑝(𝑡𝑡) = � 3 cos(2𝜏𝜏 + 1) 𝑝𝑝(𝜏𝜏 − 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝜏𝜏 = �

𝑡𝑡+1
2

𝑡𝑡−1
2

−∞

3 cos(2𝜏𝜏 + 1) 𝑑𝑑𝜏𝜏3
= [sin(2𝑡𝑡 + 2) − sin 2𝑡𝑡] = 3 sin 1 cos(2𝑡𝑡 + 1)
2
LTI システムの操作は，入力信号のシフトと線形結合に相当し，この 2 種類の操作はいずれも正弦波の周波数を変えないため，正弦波信号を入力した場合での出力は同じ周波数の正弦波となることは本問題のポイントである。この例
では初期位相 1 も変化していないが，これは IRF に相当する𝑝𝑝(𝑡𝑡)の偶関数対称性によるもので，一般的に振幅と初期位相は変化する。例えば，畳み込み積分の時間シフト特性式(2.25)により，IRF は𝑝𝑝(𝑡𝑡 − 1)の場合での出力は
3 cos(2𝑡𝑡 + 1) ∗ 𝑝𝑝(𝑡𝑡 − 1) = 3 sin 1 cos(2(𝑡𝑡 − 1) + 1) = 3 sin 1 cos(2𝑡𝑡 − 1)となるため，初期位相の変化も現れる。

【4】線形回路のある端子間電圧（物理単位[V]）を入力，ある枝路電流（物理単位[A]）を出力と見立てた場合に，このシステムのインパルス応答関数の物理単位を考察せよ。ここで，すべての回路素子は時不変性を満たすものとし，時間の物理単位は[s]とする。

【解答】
LTI システムにおいて，出力信号は入力信号と IRF との畳み込み積分より表せる。また，畳み込み積分の結果の物理単位には独立変数の単位も含まれていることに留意しよう。
IRF の単位×入力信号の単位[V]×時間単位[s]＝出力信号の単位[A]よって，この問題の IRF の物理単位は[A ⋅ V−1 ⋅ s−1 ]となる。物理単位の観点から，このシステムはアドミタンス（SI 単位は[S] = [A ⋅ V−1 ]）の特性をもつ。IRFの単位に現れる時間逆数[s−1 ]は，その場合での入力であるδ関数の単位である。

【5】

図 2.3 に示す 3 種類のシステムの結合例において，𝑆𝑆1 {⋅}と𝑆𝑆2 {⋅}はそれぞれの IRF がℎ1 (𝑡𝑡)とℎ2 (𝑡𝑡)の LTI システムとする。𝑆𝑆1 {⋅}と𝑆𝑆2 {⋅}が結合し7たシステム全体の IRF をℎ(𝑡𝑡)とした場合，これら 3 種類のシステム(a), (b),(c)それぞれ，ℎ(𝑡𝑡)とℎ1 (𝑡𝑡)，ℎ2 (𝑡𝑡)の関係式を示せ。
【解答】(a) 並列結合の場合での入出力関係は式(2.4)に示すように表せる。
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑆𝑆1 {𝑥𝑥(𝑡𝑡)}(𝑡𝑡) + 𝑆𝑆2 {𝑥𝑥(𝑡𝑡)}(𝑡𝑡)ここで入力𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝛿𝛿(𝑡𝑡)とした場合での出力𝑦𝑦(𝑡𝑡) = ℎ(𝑡𝑡)となるため，以下となる。
ℎ(𝑡𝑡) = 𝑆𝑆1 {𝛿𝛿(𝑡𝑡)}(𝑡𝑡) + 𝑆𝑆2 {𝛿𝛿(𝑡𝑡)}(𝑡𝑡) = ℎ1 (𝑡𝑡) + ℎ2 (𝑡𝑡)(b) 直列結合の場合では式(2.5)𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑆𝑆2 {𝑆𝑆1 {𝑥𝑥(𝑡𝑡)}(𝑡𝑡)}(𝑡𝑡)より，ℎ(𝑡𝑡) = 𝑆𝑆2 {𝑆𝑆1 {𝛿𝛿(𝑡𝑡)}(𝑡𝑡)}(𝑡𝑡) = 𝑆𝑆2 {ℎ1 (𝑡𝑡)}(𝑡𝑡)が得られ，
ここでℎ1 (𝑡𝑡)を𝑆𝑆2 {𝛿𝛿(𝑡𝑡)} = ℎ2 (𝑡𝑡)の LTI システムの入力と見なし，ℎ(𝑡𝑡) = ℎ1 (𝑡𝑡) ∗ ℎ2 (𝑡𝑡)が得られる。
(c) 帰還結合の場合では，式(2.6)より，以下の関係が得られる。
ℎ(𝑡𝑡) = 𝑆𝑆1 �𝛿𝛿(𝑡𝑡) + 𝑆𝑆2 {ℎ(𝑡𝑡)}� = �𝛿𝛿(𝑡𝑡) + ℎ(𝑡𝑡) ∗ ℎ2 (𝑡𝑡)� ∗ ℎ1 (𝑡𝑡)
= ℎ1 (𝑡𝑡) + ℎ(𝑡𝑡) ∗ ℎ2 (𝑡𝑡) ∗ ℎ1 (𝑡𝑡)
この場合，移行してℎ(𝑡𝑡) − ℎ(𝑡𝑡) ∗ ℎ2 (𝑡𝑡) ∗ ℎ1 (𝑡𝑡) = ℎ(𝑡𝑡) ∗ �𝛿𝛿(𝑡𝑡) − ℎ2 (𝑡𝑡) ∗ ℎ1 (𝑡𝑡)� = ℎ1 (𝑡𝑡)と示すことができるが，時間領域の信号形式でℎ(𝑡𝑡)を直接に表すことができな
い。このような，𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑧𝑧(𝑡𝑡)の関係より，𝑦𝑦(𝑡𝑡)と𝑧𝑧(𝑡𝑡)から 𝑥𝑥(𝑡𝑡)を求める問題
は，デコンボリューション（deconvolution）という。

第3章
【1】

行列𝑨𝑨とその固有ベクトル𝒑𝒑1 , 𝒑𝒑2 を以下に与える。
1
𝑨𝑨 = �
2

2
�,
−2

2
𝒑𝒑1 = � � ,1

𝒑𝒑2 = �1�−2(1) 2 つの固有ベクトルのそれぞれの固有値𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 を求めよ。
8

(2) 𝒙𝒙 = 𝑎𝑎𝒑𝒑1 + 𝑏𝑏𝒑𝒑2 （𝑎𝑎, 𝑏𝑏は定数）とし，ベクトル𝒚𝒚 = 𝑨𝑨2 𝒙𝒙 + 𝑨𝑨−1 𝒙𝒙を求めよ。
【解答】
−3
4
(1) 𝑨𝑨𝒑𝒑1 = � � = 2𝒑𝒑1 , 𝑨𝑨𝒑𝒑2 = � � = −3𝒑𝒑2 より，𝜆𝜆1 = 2, 𝜆𝜆2 = −3が求まる。
62(2) 𝒚𝒚 = 𝑨𝑨2 𝒙𝒙 + 𝑨𝑨−1 𝒙𝒙𝑎𝑎(𝜆𝜆2 + 𝜆𝜆1−1 )𝑎𝑎𝑎𝑎= 𝑨𝑨2 (𝒑𝒑1 𝒑𝒑2 ) � � + 𝑨𝑨−1 (𝒑𝒑1 𝒑𝒑2 ) � � = (𝒑𝒑1 𝒑𝒑2 ) � 21�𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(𝜆𝜆2 + 𝜆𝜆−12 )に各固有ベクトルと固有値を代入し，以下が求まる。
𝒚𝒚 = �

【2】

2
1

9𝑎𝑎/2
9𝑎𝑎 + 26𝑏𝑏/3
1
��
�=�
�
−2 26𝑏𝑏/3
9𝑎𝑎/2 − 52𝑏𝑏/3

𝑧𝑧 3 = 1を満たす複素数𝑧𝑧の 3 つの根を𝑧𝑧1 = 1, 𝑧𝑧2 , 𝑧𝑧3 とする。

(1) 𝑧𝑧2 , 𝑧𝑧3 を求めよ。ただし，Im(𝑧𝑧2 ) > Im(𝑧𝑧3 )とする。
(2) 3 次元複素数空間において，ベクトル(1 1 1)𝑇𝑇 と(1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3 )𝑇𝑇 の両方と直交するベクトルを(1 𝑎𝑎 𝑏𝑏)𝑇𝑇 とした場合，複素数𝑎𝑎と𝑏𝑏を求めよ。
【解答】(1) 1 を複素数𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑛𝑛𝜋𝜋 (𝑛𝑛 ∈ ℤ)とし，𝑧𝑧 = 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑛𝑛𝜋𝜋/3 となり，𝑛𝑛 = 0,1,2の 3 つの異なる根が得られる。それぞれ以下となる。
𝑧𝑧1 = 1,𝑧𝑧2 = 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝜋𝜋/3√
1
3= − + 𝑗𝑗,22

𝑧𝑧3 = 𝑒𝑒𝑗𝑗4𝜋𝜋/3= 𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝜋𝜋/3√13= − − 𝑗𝑗22(2) ベクトル直交によって，〈(1 1 1)𝑇𝑇 , (1 𝑎𝑎 𝑏𝑏)𝑇𝑇 〉 = 1 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 0と〈(1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3 )𝑇𝑇 , (1 𝑎𝑎 𝑏𝑏)𝑇𝑇 〉 = 1 + 𝑎𝑎𝑧𝑧2∗ + 𝑏𝑏𝑧𝑧3∗ = 0がそれぞれ得られ
2𝜋𝜋

1 + (−𝑏𝑏 − 1)𝑒𝑒

−𝑗𝑗2𝜋𝜋/3+ 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑗𝑗2𝜋𝜋/3= 0 ⟹ 𝑏𝑏 =𝑒𝑒−𝑗𝑗 3 − 1
2𝜋𝜋

2𝜋𝜋

𝑗𝑗 3
= 𝑧𝑧2
2𝜋𝜋 = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑗𝑗 3 − 𝑒𝑒−𝑗𝑗 3

よって，𝑎𝑎 = −1 − 𝑏𝑏 = 𝑧𝑧3 , 𝑏𝑏 = 𝑧𝑧2 が求まる。
なお，この 3 つの複素数ベクトルは互いに直交し，3 次元直交基底となる。

9【3】 4 次元複素数空間における次の 2 種類の基底ベクトル𝒓𝒓と𝒒𝒒それぞれの直交性，および巡回置換行列𝑷𝑷 に対する固有性を確認せよ。

(𝒓𝒓1 𝒓𝒓2 𝒓𝒓3

1 1
1
1
⎛
⎞
1
1
−1
−1
𝒓𝒓4 ) = ⎜⎜1 −1 1 −1⎟⎟,⎝1 −1 −1 1 ⎠(𝒒𝒒1 𝒒𝒒2 𝒒𝒒3

1 1
⎛
1 𝑗𝑗
𝒒𝒒4 ) = ⎜⎜⎜1 −1
⎝1 −𝑗𝑗0⎛
1
𝑷𝑷 = ⎜
⎜0
⎝0

0
0
1
0

0
0
0
1

1
−1
1
−1

1
−𝑗𝑗 ⎞
⎟
⎟
−1⎟
𝑗𝑗 ⎠

1
0⎞
⎟
0⎟
0⎠

【解答】
〈𝒓𝒓1 , 𝒓𝒓2 〉 = 1 + 1 − 1 − 1 = 0, 〈𝒒𝒒2 , 𝒒𝒒4 〉 = 1 + 𝑗𝑗∗ (−𝑗𝑗) + 1 + (−𝑗𝑗)∗ 𝑗𝑗 = 0
同様に，〈𝒓𝒓𝑚𝑚 , 𝒓𝒓𝑛𝑛 〉 = 4𝛿𝛿𝑚𝑚,𝑛𝑛 と〈𝒒𝒒𝑚𝑚 , 𝒒𝒒𝑛𝑛 〉 = 4𝛿𝛿𝑚𝑚,𝑛𝑛 が確認できる。この 2 種類の基底
ともに 4 次元直交基底である。
また，𝑷𝑷 𝒓𝒓1 = 1𝒓𝒓1 ，𝑷𝑷 𝒓𝒓3 = (−1)𝒓𝒓3 となるが，𝑷𝑷 𝒓𝒓2 = (−1 1 1 − 1)𝑇𝑇 と
𝑷𝑷 𝒓𝒓4 = (1 1 − 1 − 1)𝑇𝑇 によって，𝒓𝒓2 と𝒓𝒓4 は𝑷𝑷 の固有ベクトルでないことが判る。
一方，𝑷𝑷 𝒒𝒒1 = 1𝒒𝒒1 , 𝑷𝑷 𝒒𝒒2 = (−𝑗𝑗)𝒒𝒒2 , 𝑷𝑷 𝒒𝒒3 = (−1)𝒒𝒒3 , 𝑷𝑷 𝒒𝒒4 = 𝑗𝑗𝒒𝒒4 より，𝒒𝒒は𝑷𝑷 の固有ベクトルであることが確認できる。

【4】

次に示す各周期信号の𝑡𝑡 ∈ [0, 2𝜋𝜋]の区間内積をそれぞれ求めよ。

(1) 〈sin 𝑡𝑡 , cos 𝑡𝑡〉(2) 〈sin 𝑡𝑡 , sin 3𝑡𝑡〉

(3) 〈cos 𝑡𝑡 , cos 𝑡𝑡〉

【解答】
2𝜋𝜋

2𝜋𝜋

0

0

(1) ∫ sin 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 12 ∫ sin 2𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
2𝜋𝜋

2𝜋𝜋

0

0

(2) ∫ sin 𝑡𝑡 sin 3𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 12 ∫ (cos 4𝑡𝑡 − cos 2𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
2𝜋𝜋

2𝜋𝜋

0

0

(3) ∫ cos 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 12 ∫ (cos 2𝑡𝑡 + 1)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜋𝜋10(4) 〈𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑡𝑡 〉

2𝜋𝜋

2𝜋𝜋

0

0

(4) ∫ (𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 )∗ 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0【5】 信号𝑥𝑥(𝑡𝑡)を区間𝑡𝑡 ∈ [0,2𝜋𝜋]において次のように近似する場合の最小二乗解の係数𝐴𝐴と𝐵𝐵をそれぞれ示せ。
(1) 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 + 𝐵𝐵𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗(2) 𝐴𝐴 cos 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵 sin 𝑡𝑡

【解答】
2𝜋𝜋

2𝜋𝜋

0

0
2𝜋𝜋

(1) 〈𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 〉 = ∫ (𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 )∗ 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0のため，𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 と𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 は直交である。
さらに，〈𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 〉 = 〈𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 〉 = ∫ 1𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋ので，A, B は以下に求まる。
0𝐴𝐴 =〈𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝑥𝑥(𝑡𝑡)〉1 2𝜋𝜋=
� 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 ,2𝜋𝜋 0〈𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 〉𝐵𝐵 =〈𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝑥𝑥(𝑡𝑡)〉1 2𝜋𝜋=
� 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑
〈𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 〉 2𝜋𝜋 0(2) 〈cos 𝑡𝑡 , sin 𝑡𝑡〉 = 0より，cos 𝑡𝑡とsin 𝑡𝑡は直交することが判る。また，〈cos 𝑡𝑡 , cos 𝑡𝑡〉 = 〈sin 𝑡𝑡 , sin 𝑡𝑡〉 = 𝜋𝜋を用いて，A, B は以下に求まる。
𝐴𝐴 =〈cos 𝑡𝑡 , 𝑥𝑥(𝑡𝑡)〉 1 2𝜋𝜋= � 𝑥𝑥(𝑡𝑡) cos 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 ,〈cos 𝑡𝑡 , cos 𝑡𝑡〉 𝜋𝜋 0𝐵𝐵 =〈sin 𝑡𝑡 , 𝑥𝑥(𝑡𝑡)〉 1 2𝜋𝜋= � 𝑥𝑥(𝑡𝑡) sin 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑
〈sin 𝑡𝑡 , sin 𝑡𝑡〉 𝜋𝜋 0

第4章
【1】

FS 係数が次に与えられた場合の各周期信号の実数関数形を示せ。ここで基本周期𝑇𝑇0 = 𝜋𝜋とする。なお，未定義部分の FS 係数は0とする。

(1) {−1, 2, −1}(2) {2, 1 − 𝑗𝑗, 1, 1 + 𝑗𝑗, 2}(3) {2, 0, 1 − 𝑗𝑗, 0, 1, 0, 1 + 𝑗𝑗, 0, 2}【解答】(1) ∑∞
FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] ⋅ 𝑒𝑒
𝑘𝑘=−∞

2𝜋𝜋
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇𝑡𝑡
0= −1𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑡𝑡 + 2 + (−1)𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑡𝑡 = 2 − 2 cos 2𝑡𝑡(2) 2𝑒𝑒−𝑗𝑗4𝑡𝑡 + (1 − 𝑗𝑗)𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑡𝑡 + 1 + (1 + 𝑗𝑗)𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑡𝑡 + 2𝑒𝑒𝑗𝑗4𝑡𝑡= 1 + 2(𝑒𝑒−𝑗𝑗4𝑡𝑡 + 𝑒𝑒𝑗𝑗4𝑡𝑡 ) + (𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑡𝑡 + 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑡𝑡 ) + 𝑗𝑗(𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑡𝑡 − 𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑡𝑡 )√𝜋𝜋= 1 + 4 cos 4𝑡𝑡 + 2 cos 2𝑡𝑡 − 2 sin 2𝑡𝑡 = 1 + 4 cos 4𝑡𝑡 + 2 2 cos �2𝑡𝑡 + �4(3) 2𝑒𝑒−𝑗𝑗8𝑡𝑡 + (1 − 𝑗𝑗)𝑒𝑒−𝑗𝑗4𝑡𝑡 + 1 + (1 + 𝑗𝑗)𝑒𝑒𝑗𝑗4𝑡𝑡 + 2𝑒𝑒𝑗𝑗8𝑡𝑡√
𝜋𝜋= 1 + 2 2 cos �4𝑡𝑡 + � + 4 cos 8𝑡𝑡
4
11

【2】

例題 4.2 の FS 係数結果は奇数番のみ非零値が取り得る。逆に偶数番のみ非零値が取り得る FS 係数である場合の信号にはどの特徴があるかを考察し，次式に示す FS 係数が成り立つ信号𝑦𝑦(𝑡𝑡)と𝑥𝑥(𝑡𝑡)との関係を説明せよ。
FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑛𝑛],𝑘𝑘 = 2𝑛𝑛FS[𝑦𝑦(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] = �0,𝑘𝑘 = 2𝑛𝑛 + 1【解答】FS 展開の式(4.6)より，𝑘𝑘 = 2𝑛𝑛のみ非零値が取り得る場合∞

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇0 ) = � FS[𝑦𝑦(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] ⋅ 𝑒𝑒

𝑗𝑗𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑇𝑇 𝑡𝑡
0∞= � FS[𝑦𝑦(𝑡𝑡)][2𝑛𝑛] ⋅ 𝑒𝑒

𝑗𝑗2𝑛𝑛2𝜋𝜋𝑇𝑇0 𝑡𝑡

𝑛𝑛=−∞

𝑘𝑘=−∞

と表すことができ，この場合でのすべての基底関数𝑒𝑒2𝜋𝜋𝑗𝑗2𝑛𝑛𝑇𝑇𝑡𝑡
0= 𝑒𝑒

𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇2𝜋𝜋/2𝑡𝑡
0

は，周期が

𝑇𝑇0 /2の周期関数となり，𝑇𝑇0 /2は信号𝑦𝑦(𝑡𝑡)の周期でもある。すなわち，𝑇𝑇0 は基本周期（最小正周期）ではない。
例題 4.3 の(1)に類似し，FS 係数は整数番号を独立変数としているため，𝑇𝑇0 が明示されていないことが要注意のポイントである。
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇0 )の基本周期は𝑇𝑇0 とし，FS の算出に使われる周期をパラメータとして明示すると，次の関係が成り立つ。本問題では𝑚𝑚 = 2の場合となる。
FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘; 𝑇𝑇0 ] = FS[𝑥𝑥(𝑎𝑎𝑎𝑎)][𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝑚𝑚𝑇𝑇0 /𝑎𝑎]【3】

(𝑎𝑎 > 0, 𝑚𝑚 ∈ ℤ+ )例題 4.1 に示した周期矩形パルス信号の振幅を𝐴𝐴 = 1，デューティー比を𝐷𝐷/𝑇𝑇0 = 1/2とした場合の信号を𝑥𝑥(𝑡𝑡)とする。

(1) 例題 4.1 の結果よりFS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘]を示せ。
(2) 𝑥𝑥(𝑡𝑡)の FS 展開表現式に𝑡𝑡 = 0を代入して，以下に示すライプニッツ級数より円周率を求める公式を証明せよ。
∞
𝜋𝜋(−1)𝑚𝑚1 1 1 1 1=�
=1− + − + − +⋯4 𝑚𝑚=0 2𝑚𝑚 + 1
3 5 7 9 11(3) 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡 − 𝑇𝑇0 /4) − 1/2とし，FS の線形性と時間シフト特性などを利用してFS[𝑦𝑦(𝑡𝑡)][𝑘𝑘]を求め，例題 4.2 の矩形振動波の FS 係数𝑐𝑐𝑘𝑘 と比較せよ。
12

【解答】
(1) 𝐴𝐴 = 1, 𝐷𝐷/𝑇𝑇0 = 1/2を代入し，以下に求まる。
𝐷𝐷 1
FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][0] = 𝐴𝐴 = ,𝑇𝑇0 2

FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] =𝐴𝐴 sin �𝑘𝑘𝜋𝜋𝐷𝐷
𝑇𝑇 �
𝜋𝜋𝑘𝑘

(2) 𝑡𝑡 = 0と(1)の結果を𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇0 ) = ∑𝑘𝑘 FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘]𝑒𝑒

02𝜋𝜋𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇𝑡𝑡
0=sin �𝑘𝑘𝜋𝜋2�
𝜋𝜋𝑘𝑘(𝑘𝑘 ≠ 0)に代入し

∞ sin�𝑛𝑛𝜋𝜋 �∞ sin�𝑛𝑛𝜋𝜋 �1𝜋𝜋22𝑥𝑥(0) = 1 = + 2 �
⟹ =�
2
4
𝜋𝜋𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛=1
𝑛𝑛=1

が得られる。また
⎧ 0,
� 1,
𝑛𝑛𝜋𝜋
sin � � = ⎨
0,
2
�
⎩−1,

𝑛𝑛 = 4𝑙𝑙0,𝑛𝑛 = 2𝑚𝑚
𝑛𝑛 = 4𝑙𝑙 + 1=�𝑚𝑚(−1) , 𝑛𝑛 = 2𝑚𝑚 + 1
𝑛𝑛 = 4𝑙𝑙 + 2
𝑛𝑛 = 4𝑙𝑙 + 3

を代入すると，以下が証明できる。
∞(−1)𝑚𝑚1 1 1 1 1𝜋𝜋=�
=1− + − + − +⋯3 5 7 9 114 𝑚𝑚=0 2𝑚𝑚 + 1(3) まず，時間シフト特性式(4.19)より
⎧

1/2,

�
⎩

2
𝑘𝑘𝜋𝜋

�
𝜋𝜋
FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡 − 𝑇𝑇0 /4)][𝑘𝑘] = FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘]𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗2 = sin �𝑘𝑘𝜋𝜋� 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑘𝑘𝜋𝜋2⎨

𝑘𝑘 = 0,𝑘𝑘 ≠ 0なお𝑘𝑘𝜋𝜋
0,𝑘𝑘 = 2𝑚𝑚sin � � = �
,
𝑚𝑚
(−1)
,
𝑘𝑘
=
2𝑚𝑚 + 12

𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑘𝑘𝜋𝜋2(−1)𝑚𝑚 ,𝑘𝑘 = 2𝑚𝑚=�𝑚𝑚−𝑗𝑗(−1) , 𝑘𝑘 = 2𝑚𝑚 + 1と線形性FS[𝑦𝑦(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] = FS�𝑥𝑥�𝑡𝑡 − 𝑇𝑇40 ��[𝑘𝑘] − FS[12][𝑘𝑘] = FS�𝑥𝑥�𝑡𝑡 − 𝑇𝑇40 ��[𝑘𝑘] − 12 𝛿𝛿[𝑘𝑘]より，以下が得られる。
0,FS[𝑦𝑦(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] = �−𝑗𝑗,𝑘𝑘𝜋𝜋

𝑘𝑘 = 2𝑚𝑚
𝑘𝑘 = 2𝑚𝑚 + 1

よって，例題 4.2 の結果とは，FS[𝑦𝑦(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] = 𝑐𝑐𝑘𝑘 /2の関係がわかる。
この問題の𝑦𝑦(𝑡𝑡)は例題 4.2 の𝑥𝑥(𝑡𝑡)と類似することは，時間領域の波形よりも直接確認できるが，FS 係数の表現式には周期の具体値に対する縛りがない。
13

【4】

周期三角形パルス信号を𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 2), 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 1 − |𝑡𝑡| (|𝑡𝑡| ≤ 1)とする。

(1) FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘]を定義式より求めよ。
𝑑𝑑(2) 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)とし，FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘]の結果に FS の時間微分特性を適用して，

FS[𝑦𝑦(𝑡𝑡)][𝑘𝑘]を求め，例題 4.2 の𝑐𝑐𝑘𝑘 と比較せよ。
【解答】(1) 積分の周期区間は𝑡𝑡 ∈ [−1,1]とし，定義式(4.5)より
1 1
1 0
1 1
FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝜋𝜋𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � (1 + 𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝜋𝜋𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � (1 − 𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝜋𝜋𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑
2 −1
2 0
2 −1
1 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜋𝜋𝑡𝑡 − 1 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜋𝜋𝑡𝑡 0
1 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜋𝜋𝑡𝑡 − 1 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜋𝜋𝑡𝑡 1
1 − cos 𝑘𝑘𝜋𝜋
𝑒𝑒
�
−
�
𝑒𝑒
�
=
= �
2
2
2 (−𝑗𝑗𝑗𝑗𝜋𝜋)
𝑘𝑘2 𝜋𝜋22 (−𝑗𝑗𝑗𝑗𝜋𝜋)
𝑡𝑡=−1
𝑡𝑡=0

(𝑘𝑘 ≠ 0)𝑘𝑘は偶数の時にcos(𝑘𝑘𝜋𝜋) = 1，𝑘𝑘は奇数の時にcos(𝑘𝑘𝜋𝜋) = −1より，以下が求まる。
⎧ 1/2,
� 0,
FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] = ⎨� 2 ,⎩ 𝑘𝑘2 𝜋𝜋2𝑘𝑘 = 0𝑘𝑘 = 2𝑚𝑚 ≠ 0
𝑘𝑘 = 2𝑚𝑚 + 1
1

ここで，𝑘𝑘 = 0の場合ではFS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][0] = 12 ∫ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1/2となる。
−1(2) 時間微分の特性式(4.20)より
0,
FS[𝑦𝑦(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] = 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜋𝜋FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] = � 2𝑗𝑗,
𝑘𝑘𝜋𝜋

𝑘𝑘 = 2𝑚𝑚
𝑘𝑘 = 2𝑚𝑚 + 1が得られ，例題 4.2 の結果とはFS[𝑦𝑦(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] = −𝑐𝑐𝑘𝑘 の関係がなりたつ。𝑦𝑦(𝑡𝑡)の時間波形からも例題 4.2 の信号と極性反転することが確認できる。
この問題のように，(1)のように直接計算しにくい場合，(2)のように時間微分
信号の FS 係数から
FS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][𝑘𝑘] =𝑇𝑇0
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)FS �
� [𝑘𝑘]
𝑗𝑗𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑑𝑑𝑑𝑑求めることもできるが，𝑘𝑘 = 0を特別に扱う必要がある。𝑘𝑘 = 0の FS 係数は時間変化しない DC 成分を表すため，時間微分によって消えることが理解できる。

【5】𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇 ) = −𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇 /2)は周期信号の半波対称性といい，これを14

満たす信号の FS 係数はFS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][2𝑚𝑚] = 0の特性があり，すなわち𝑥𝑥(𝑡𝑡)に奇数次高調波しか含まれないことを証明せよ。
【解答】
まず，−𝑇𝑇 /2～𝑇𝑇 /2の 1 周期を例とし，半波対称性のイメージを以下に図示する。参考のため半波ごとの極性が反転しない𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑦𝑦(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇 ) = 𝑦𝑦(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇 /2)も示すが，この信号においては𝑇𝑇 /2が周期となるため議論しない。

偶関数

奇関数

T/2 周期半波対称

偶数番の FS 係数は，定義式によって以下となるがFS[𝑥𝑥(𝑡𝑡)][2𝑛𝑛] ==2𝜋𝜋
1 𝑇𝑇 /2
� 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑛𝑛 𝑇𝑇 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇 −𝑇𝑇 /2

2𝜋𝜋
2𝜋𝜋
1 0
1 𝑇𝑇 /2
� 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑛𝑛 𝑇𝑇 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑛𝑛 𝑇𝑇 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇 −𝑇𝑇 /2
𝑇𝑇 0

第 2 項のダミー変数を𝜏𝜏 = 𝑡𝑡 − 𝑇𝑇 /2に変換すると
2𝜋𝜋
𝑇𝑇
1 𝑇𝑇 /2
1 0−𝑗𝑗2𝑛𝑛2𝜋𝜋𝑡𝑡𝑇𝑇� 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒
𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑥𝑥(𝜏𝜏 + 𝑇𝑇 /2)𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑛𝑛 𝑇𝑇 �𝜏𝜏+ 2 � 𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑇𝑇 0
𝑇𝑇 −𝑇𝑇 /2

=

2𝜋𝜋
2𝜋𝜋
1 0
1 0
� −𝑥𝑥(𝜏𝜏 )𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑛𝑛 𝑇𝑇 𝜏𝜏 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗2𝜋𝜋 𝑑𝑑𝜏𝜏 = − � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑛𝑛 𝑇𝑇 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇 −𝑇𝑇 /2
𝑇𝑇 −𝑇𝑇 /2
2𝜋𝜋

第 1 項と打ち消すことが判る。これは，関数𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝑛𝑛 𝑇𝑇 𝑡𝑡 は𝑇𝑇 /2の周期性があるので，
𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝑠𝑠(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇 /2)と𝑥𝑥(𝑡𝑡) = −𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇 /2)の乗算結果も半波対称性をもち，
1 周期の積分は 0 となるためである。
第5章【1】 F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = 𝑋𝑋(𝜔𝜔)とし，次の各信号のスペクトルを𝑋𝑋(⋅)関数形より表せ。
(1) 𝑥𝑥(3 − 𝑡𝑡)𝑑𝑑(2) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥(2𝑡𝑡)(3) 𝑡𝑡 ⋅ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)15(4) cos(2𝑡𝑡 − 1) ⋅ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)【解答】(1) 複数の操作の組合せでは，一つずつ仲介関数を用いるとわかりやすい。
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 3) ⟹ 𝑌𝑌 (𝜔𝜔) = 𝑋𝑋(𝜔𝜔)𝑒𝑒𝑗𝑗𝜔𝜔3𝑥𝑥(3 − 𝑡𝑡) = 𝑦𝑦(−𝑡𝑡) ⟹ F[𝑥𝑥(3 − 𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = 𝑌𝑌 (−𝜔𝜔) = 𝑋𝑋(−𝜔𝜔)𝑒𝑒−𝑗𝑗3𝜔𝜔
(2) まず時間伸縮 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(2𝑡𝑡) ⟹ 𝑌𝑌 (𝜔𝜔) = 12 𝑋𝑋(𝜔𝜔2)より，以下が得られる。
F�

𝑑𝑑
𝑑𝑑
𝑗𝑗𝜔𝜔
𝜔𝜔
𝑥𝑥(2𝑡𝑡)� (𝜔𝜔) = F � 𝑦𝑦(𝑡𝑡)� (𝜔𝜔) = 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑌𝑌 (𝜔𝜔) = 𝑋𝑋 � �
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
2
2

𝑑𝑑
(3) 周波数微分特性の式(5.17)より，F[−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = 𝑑𝑑𝜔𝜔𝑋𝑋(𝜔𝜔)さらに線形性より

F[𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = F[𝑗𝑗(−𝑗𝑗)𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = 𝑗𝑗

𝑑𝑑
𝑋𝑋(𝜔𝜔)𝑑𝑑𝜔𝜔(4) まず正弦波の FT スペクトルを示す。
F[cos(2𝑡𝑡 − 1)](𝜔𝜔) = 𝜋𝜋𝑒𝑒−𝑗𝑗 𝛿𝛿(𝜔𝜔 − 2) + 𝜋𝜋𝑒𝑒𝑗𝑗 𝛿𝛿(𝜔𝜔 + 2)
次に畳み込み積分の特性より，以下が求まる。
F[cos(2𝑡𝑡 − 1) 𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) =1
F[cos(2𝑡𝑡 − 1)](𝜔𝜔) ∗ 𝑋𝑋(𝜔𝜔)
2𝜋𝜋11= 𝑒𝑒𝑗𝑗 𝑋𝑋(𝜔𝜔 + 2) + 𝑒𝑒−𝑗𝑗 𝑋𝑋(𝜔𝜔 − 2)
2
2

【2】

信号𝑥𝑥(𝑡𝑡) = cos 𝑡𝑡とし，F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔)はcos 𝑡𝑡の FT スペクトルとなる。

(1) 時間シフト特性よりF[𝑥𝑥(𝑡𝑡 − 𝜋𝜋2)](𝜔𝜔)を求めF[sin 𝑡𝑡](𝜔𝜔)と比較せよ。
(2) 畳み込み積分特性よりF[𝑥𝑥(𝑡𝑡) sin 𝑡𝑡](𝜔𝜔)を求めF[sin(2𝑡𝑡)](𝜔𝜔)と比較せよ。
(3) 時間伸縮特性よりF[𝑥𝑥(2𝑡𝑡)](𝜔𝜔)を求めF[cos(2𝑡𝑡)](𝜔𝜔)と比較せよ。
【解答】
F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = 𝑋𝑋(𝜔𝜔) = 𝜋𝜋𝜋𝜋(𝜔𝜔 − 1) + 𝜋𝜋𝜋𝜋(𝜔𝜔 + 1)
𝜋𝜋𝜋𝜋

𝜋𝜋𝜋𝜋

𝜋𝜋𝜋𝜋

(1) F[𝑥𝑥(𝑡𝑡 − 𝜋𝜋2)](𝜔𝜔) = 𝑒𝑒−𝑗𝑗 2 𝑋𝑋(𝜔𝜔) = 𝜋𝜋𝑒𝑒−𝑗𝑗 2 𝛿𝛿(𝜔𝜔 − 1) + 𝜋𝜋𝑒𝑒−𝑗𝑗 2 𝛿𝛿(𝜔𝜔 + 1)
ここで，δ関数の物差し特性を利用して，𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)より

16

𝜋𝜋𝜋𝜋

𝜋𝜋

𝜋𝜋𝑒𝑒−𝑗𝑗 2 𝛿𝛿(𝜔𝜔 − 1) = 𝜋𝜋𝑒𝑒−𝑗𝑗 2 𝛿𝛿(𝜔𝜔 − 1) = −𝑗𝑗𝜋𝜋𝜋𝜋(𝜔𝜔 − 1)
𝜋𝜋𝜋𝜋

𝜋𝜋

𝜋𝜋𝑒𝑒−𝑗𝑗 2 𝛿𝛿(𝜔𝜔 + 1) = 𝜋𝜋𝑒𝑒𝑗𝑗 2 𝛿𝛿(𝜔𝜔 + 1) = 𝑗𝑗𝜋𝜋𝜋𝜋(𝜔𝜔 + 1)が得られる。よって，F[𝑥𝑥(𝑡𝑡 − 𝜋𝜋2)](𝜔𝜔) = 𝑗𝑗𝜋𝜋𝜋𝜋(𝜔𝜔 + 1) − 𝑗𝑗𝜋𝜋𝜋𝜋(𝜔𝜔 − 1) = F[sin 𝑡𝑡](𝜔𝜔)(2) 畳み込み積分の特性より，以下が得られる。
F[𝑥𝑥(𝑡𝑡) sin 𝑡𝑡](𝜔𝜔) =

=

1
𝑗𝑗
𝑗𝑗
F[sin 𝑡𝑡](𝜔𝜔) ∗ 𝑋𝑋(𝜔𝜔) = 𝑋𝑋(𝜔𝜔 + 1) − 𝑋𝑋(𝜔𝜔 − 1)
2𝜋𝜋
2
2

𝑗𝑗𝜋𝜋
�𝛿𝛿(𝜔𝜔) + 𝛿𝛿(𝜔𝜔 + 2) − 𝛿𝛿(𝜔𝜔 − 2) − 𝛿𝛿(𝜔𝜔)�
2

1
1= � 𝑗𝑗𝜋𝜋𝜋𝜋(𝜔𝜔 + 2) − 𝑗𝑗𝜋𝜋𝜋𝜋(𝜔𝜔 − 2)� = F[sin 2𝑡𝑡](𝜔𝜔)22(3) F[𝑥𝑥(2𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = 12 𝑋𝑋(𝜔𝜔2) = 𝜋𝜋2 𝛿𝛿(𝜔𝜔2 − 1) + 𝜋𝜋2 𝛿𝛿(𝜔𝜔2 + 1)
1
ここで，δ関数の伸縮特性を利用し，𝛿𝛿(𝑎𝑎𝑎𝑎) = |𝑎𝑎|𝛿𝛿(𝑥𝑥)より，以下が得られる。

F[𝑥𝑥(2𝑡𝑡)](𝜔𝜔) =

𝜋𝜋 𝜔𝜔
𝜋𝜋 𝜔𝜔
𝛿𝛿 � − 1� + 𝛿𝛿 � + 1� = 𝜋𝜋𝜋𝜋(𝜔𝜔 − 2) + 𝜋𝜋𝜋𝜋(𝜔𝜔 + 2)2222

= F[cos(2𝑡𝑡)](𝜔𝜔)【3】 三角形パルス信号𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑝𝑝(𝑡𝑡/2) ⋅ (1 − |𝑡𝑡|)と表せる。F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔)をそれぞれ
次の 3 種類の方法より求めよ。ここで𝑝𝑝(𝑡𝑡)は単位パルス関数である。
(1) 𝑥𝑥(𝑡𝑡)を区分関数に表し，FT 定義式より求めよ。
𝑡𝑡(2) 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = ∫ [𝑝𝑝(𝜏𝜏 + 12) − 𝑝𝑝(𝜏𝜏 − 12)]𝑑𝑑𝜏𝜏 とし，単位パルス関数の FT スペクトル−∞と FT の時間シフト特性と時間積分特性を併用して求めよ。
(3) 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑝𝑝(𝑡𝑡) ∗ 𝑝𝑝(𝑡𝑡)とし，FT の畳み込み特性を利用して求めよ。
【解答】
1 + 𝑡𝑡,(1) 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = �1 − 𝑡𝑡,
0,− 1 ≤ 𝑡𝑡 < 00 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1
𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒0F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = � (1 + 𝑡𝑡)𝑒𝑒−1−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡

1

𝑑𝑑𝑑𝑑 + � (1 − 𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑
0

17

=�

−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑗𝑗𝜔𝜔 − 1 −𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 0
𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑗𝑗𝜔𝜔 + 1 −𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 1
𝑒𝑒
�
+
�
𝑒𝑒
�
(−𝑗𝑗𝜔𝜔)2(−𝑗𝑗𝜔𝜔)2
𝑡𝑡=−1
𝑡𝑡=0

2 𝜔𝜔
1 + 𝑗𝑗𝜔𝜔 − 𝑒𝑒𝑗𝑗𝜔𝜔 e−𝑗𝑗𝜔𝜔 − 1 + 𝑗𝑗𝜔𝜔 2 − 2 cos 𝜔𝜔 4 sin � 2 �
−
=
=
=
𝜔𝜔2
𝜔𝜔2
𝜔𝜔2
𝜔𝜔2

𝜔𝜔
= sinc2 � �
2(𝜔𝜔 ≠ 0)
0

1

−1

0

𝜔𝜔 = 0の場合ではF[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](0) = ∫ (1 + 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫ (1 − 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 = lim sinc2 (𝜔𝜔2)のため，
𝜔𝜔→0𝜔𝜔 = 0は除去可能の特異点であり，F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = sinc2 (𝜔𝜔2)とまとめられる。
(2) 単位パルス関数のスペクトルF[𝑝𝑝(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = sinc 𝜔𝜔2より
1
1
1
1
F �𝑝𝑝 �𝑡𝑡 + � − 𝑝𝑝 �𝑡𝑡 − �� (𝜔𝜔) = F �𝑝𝑝 �𝑡𝑡 + �� (𝜔𝜔) − F �𝑝𝑝 �𝑡𝑡 − �� (𝜔𝜔)
2
2
2
2
𝜔𝜔
𝜔𝜔 𝜔𝜔
𝜔𝜔
𝜔𝜔
= sinc �𝑒𝑒𝑗𝑗 2 − 𝑒𝑒−𝑗𝑗 2 � = 2𝑗𝑗 sin � � sinc � �222𝜔𝜔 = 0の場合ではsin(𝜔𝜔2) = 0ので，F[𝑝𝑝(𝑡𝑡 + 12) − 𝑝𝑝(𝑡𝑡 − 12)](0) = 0と式(5.18)より
F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) =

1
𝜔𝜔
𝜔𝜔
𝜔𝜔
2𝑗𝑗 sin � � sinc � � = sinc2 � �
𝑗𝑗𝜔𝜔
2
2
2

(3) 畳み込み積分の特性より，以下が求まる。
𝜔𝜔
F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = F[𝑝𝑝(𝑡𝑡) ∗ 𝑝𝑝(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = F[𝑝𝑝(𝑡𝑡)](𝜔𝜔)F[𝑝𝑝(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = sinc2 � �
2【4】 信号𝑥𝑥(𝑡𝑡) = sinc(𝜋𝜋𝑡𝑡/2) , 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = sinc(𝜋𝜋𝑡𝑡)とする。F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔)とF[𝑦𝑦(𝑡𝑡)](𝜔𝜔)をそれぞれ図示し，信号𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗ 𝑦𝑦(𝑡𝑡)を FT スペクトルより求めよ。
【解答】sinc 関数の FT スペクトルより以下が得られ，F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔)とF[𝑦𝑦(𝑡𝑡)](𝜔𝜔)をそれぞれ実線，破線で図示する。
𝜔𝜔F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = 2𝑝𝑝 � �
𝜋𝜋18F[𝑦𝑦(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = 𝑝𝑝 �

𝜔𝜔
�
2𝜋𝜋

畳み込み積分の特性より，F[𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗ 𝑦𝑦(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = F[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) F[𝑦𝑦(𝑡𝑡)](𝜔𝜔)となるため，グラフよりこれらの乗算結果はF[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝜔𝜔) = 2𝑝𝑝(𝜔𝜔𝜋𝜋)と同様であるので，𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡)がわかる。
sinc 関数は矩形パルスのスペクトルをもつので，理想 LPF の Kernel とされている。この問題では，𝑦𝑦(𝑡𝑡)を|𝜔𝜔| ≤ 𝜋𝜋の理想 LPF と見なせば，帯域幅|𝜔𝜔| ≤ 𝜋𝜋/2の𝑥𝑥(𝑡𝑡)はこの帯域内にあるので，完全通過になると考えられる。

【5】 信号𝑥𝑥(𝑡𝑡) = sinc(𝜋𝜋𝑡𝑡/2)とし，次の各信号の FT スペクトルを順番に求めて図示せよ。ここで𝛿𝛿1 (𝑡𝑡)は周期 1 のインパルス列である。
(1) 𝑥𝑥(𝑡𝑡)(2) 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑥𝑥(𝑡𝑡)(4) ℎ(𝑡𝑡) = 𝑔𝑔(𝑡𝑡) cos(𝜋𝜋𝑡𝑡)(3) 𝑔𝑔(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝛿𝛿1 (𝑡𝑡)(5) 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = ℎ(𝑡𝑡) + 𝑔𝑔(𝑡𝑡)【解答】(1) 𝑋𝑋(𝜔𝜔) = 2𝑝𝑝(𝜔𝜔𝜋𝜋)

2⎧ 𝜋𝜋 (𝑡𝑡 + 𝜋𝜋) ,�1(2) 𝐹𝐹 (𝜔𝜔) = 2𝜋𝜋 𝑋𝑋(𝜔𝜔) ∗ 𝑋𝑋(𝜔𝜔) = ⎨𝜋𝜋2 (𝜋𝜋 − 𝑡𝑡),�
⎩ 0,

− 𝜋𝜋 ≤ 𝑡𝑡 < 0

1(3) 𝐺𝐺(𝜔𝜔) = 2𝜋𝜋
𝐹𝐹 (𝜔𝜔) ∗ FT[𝛿𝛿1 (𝑡𝑡)](𝜔𝜔)∞= 𝐹𝐹 (𝜔𝜔) ∗ 𝛿𝛿2𝜋𝜋 (𝜔𝜔) = � 𝐹𝐹 (𝜔𝜔 − 2𝜋𝜋𝑚𝑚)𝑚𝑚=−∞1(4) 𝐻𝐻(𝜔𝜔) = 2𝜋𝜋
𝐺𝐺(𝜔𝜔) ∗ FT[cos 𝜋𝜋𝑡𝑡](𝜔𝜔)11= 𝐺𝐺(𝜔𝜔 + 𝜋𝜋) + 𝐺𝐺(𝜔𝜔 − 𝜋𝜋)22= 𝐺𝐺(𝜔𝜔 + 𝜋𝜋) = 𝐺𝐺(𝜔𝜔 − 𝜋𝜋)(5) 𝑌𝑌 (𝜔𝜔) = 𝐻𝐻(𝜔𝜔) + 𝐺𝐺(𝜔𝜔) = 2
19

0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

【6】 例題 5.4 のように矩形窓より切り出した正弦波のスペクトルを下図の実線に示す。ピーク位置，メインローブ幅，リップルの大きさの違いより，
点線スペクトルに対応する信号の周波数と窓関数の変化を考察せよ。

図5.17
【解答】
図より点線のスペクトルは実線と比べて以下の特徴が見受けられる。
①メインローブのピーク位置は原点により近い
これより，主周波数成分はより低いことが考えられる。
②メインローブの幅はより狭い
時間領域の有限長窓関数により，周波数漏洩が発生するが，同じ有限区間であれば，矩形窓の周波数スペクトルは最小メインローブ幅をもつ。これを直観的に理解するには，任意の窓関数であっても，それと同時間幅の矩形窓との乗算に等しいので，周波数スペクトルの畳み込み積分によって，矩形窓のスペク
トルのメインローブ以上の幅になる。したがって，点線スペクトルに対応する
時間窓の幅はより広いと考えられる。
③リップルはより小さい（サイドローブのピーク値はより低い）
時間領域窓関数の形状によって，スペクトルのサイドローブの具体的な形も様々あるが，時間窓の両端の切り捨てによる不連続点はリップルの要因の一つである。Gibbs 現象によって，スペクトル上の sinc 関数形のリップルであればサイドローブのピーク値は時間関数の不連続点でのジャンプの高さに比例する。
ここでの点線スペクトルのサイドローブは明らかに低くなるため，時間窓の両端は矩形窓より低く，不連続ジャンプはより小さいと推測できる。なお，応用
上比較的によく用いられている時間窓は，Hanning, Hamming, Blackman, Gauss な
どが挙げられ，いずれも図 5.10 に示した点線のように，時間幅の中央部が高く，両端が抑えられるようになっている。

20

【7】 例題 2.3 の図 2.7 に示す𝑥𝑥1 (𝑡𝑡)を入力した場合の出力が𝑦𝑦1 (𝑡𝑡)となる LTI シ
ステムは存在しないことを証明せよ。
【解答】
LTI システムの入出力信号の FT スペクトルと周波数応答関数との関係は
𝑌𝑌 (𝜔𝜔) = 𝐻𝐻(𝜔𝜔)𝑋𝑋(𝜔𝜔)と表され，入力信号の FT スペクトルが𝑋𝑋(𝜔𝜔) = 0となる周波数において，出力
信号の FT スペクトルも𝑌𝑌 (𝜔𝜔) = 0になることは肝要である。
この問題の入力信号𝑥𝑥1 (𝑡𝑡) = 𝑝𝑝(𝑡𝑡/2)であり，その FT スペクトルは sinc 関数で𝜔𝜔 = ±π, ±2π, ±3π, ⋯にて 0 となる。一方，出力信号𝑦𝑦1 (𝑡𝑡) = 𝑝𝑝(𝑡𝑡 − 0.5) ∗ 𝑝𝑝(𝑡𝑡 − 0.5)と表せ，FT スペクトルの 0 点は𝑝𝑝(𝑡𝑡 − 0.5)と同じく𝜔𝜔 = ±2π, ±4π, ±6π, ⋯となる。
すなわち，𝜔𝜔 = ±π, ±3π, ±5π, ⋯にて入力信号の FT スペクトルが 0 であるのに，出力信号の FT スペクトルは 0 ではない。これを実現する LTI システムの周波数応答関数𝐻𝐻(𝜔𝜔)は存在しない。
なお，時間域の信号を直観的に考えると，LTI システムの入出力信号ともに有限区間である場合，𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗ ℎ(𝑡𝑡)のため，ℎ(𝑡𝑡)はδ関数でない限り，出力信号の継続区間は入力信号より広くなることは一般的である。

第6章【1】 実数値信号𝑥𝑥(𝑡𝑡)と𝑦𝑦(𝑡𝑡)の非零値周波数帯域はそれぞれ 0～20 kHz と 50 ～80 kHz とする。次の各信号の非零値周波数帯域，およびナイキストレー
トをそれぞれ示せ。
(1) 5𝑥𝑥(3𝑡𝑡) + 2𝑦𝑦(𝑡𝑡 − 20)(2) 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑦𝑦(𝑡𝑡)𝑑𝑑(3) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑦𝑦(𝑡𝑡)【解答】(1) 時間信号𝑥𝑥(𝑡𝑡)の横軸１次変形𝑥𝑥(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)は，各周波数成分の周波数の|𝑎𝑎|倍，初期位相の𝜔𝜔𝑏𝑏/aの変化に相当する。よって，𝑥𝑥(3𝑡𝑡)の帯域は 0~60 kHz，𝑦𝑦(𝑡𝑡 − 20)の
帯域は 50～80 kHz となり，5𝑥𝑥(3𝑡𝑡) + 2𝑦𝑦(𝑡𝑡 − 20)の帯域はこれらの合成で 0～80
kHz となる。
ナイキストレートはこの領域最大周波数の 2 倍，160 kHz になる。
21

(2) 時間信号の乗算は周波数スペクトルの畳み込み積分になり，その結果は 2 つの信号のそれぞれの周波数の和と差の成分が現れる。三角関数の和積の定理や畳み込み積分の区間拡張から理解できる。よって，𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑦𝑦(𝑡𝑡)の帯域は 30～100 kHzになり，ナイキストレートは 200 kHz となる。
(3) 時間微分は周波数領域の𝑗𝑗𝜔𝜔増幅に相当し，各周波数成分に対して𝜋𝜋/2の位相𝑑𝑑
変化と振幅|𝜔𝜔|倍に相当するが，非零帯域は変化しない。よって，𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑦𝑦(𝑡𝑡)の帯域は50～80 kHz，ナイキストレートは 160 kHz となる。

【2】 サンプリング間隔 0.5 s の信号𝑥𝑥[𝑛𝑛]の DTFT スペクトルを DT𝑋𝑋 (𝜔𝜔)とする。
(1) DT𝑋𝑋 (𝜔𝜔)の周期を【rad/s】単位で示せ。
(2) DT𝑋𝑋 (3.5𝜋𝜋)が対応する信号の周波数を【Hz】単位で示せ。
【解答】(1) DTFT スペクトルの周期は𝜔𝜔𝑠𝑠 = 2𝜋𝜋/𝑇𝑇𝑠𝑠 ，𝑇𝑇𝑠𝑠 = 0.5 s ので𝜔𝜔𝑠𝑠 = 4𝜋𝜋 rad/s(2) ナイキスト周波数𝜔𝜔𝑠𝑠 /2 = 2𝜋𝜋より超えたので，𝜔𝜔 = 3.5𝜋𝜋 − 𝜔𝜔𝑠𝑠 = −0.5𝜋𝜋 rad/s
これを周波数（Hz 単位）に換算，かつ，応用上では周波数を正の数値のみ使う場合が多いため，𝑓𝑓 = |𝜔𝜔|
= 0.25 Hz となる。
2𝜋𝜋
【3】

𝑁𝑁 = 8の DT 信号𝑥𝑥[𝑛𝑛]の DFT スペクトルを𝑋𝑋[𝑚𝑚]とする。

(1) 𝑋𝑋[𝑚𝑚] = {−1,0.25, 0.5𝑗𝑗, 0, 0, 0, −0.5𝑗𝑗, 0.25}の場合𝑥𝑥[𝑛𝑛]の実数関数形を示せ。
(2) 𝑥𝑥[𝑛𝑛] = (−1)𝑛𝑛 の場合𝑋𝑋[𝑚𝑚]を求めよ。
【解答】(1) DFT は信号とスペクトルともに有限個の数値になるが，関数形が求められる場合では，FS 展開に類似し，基底関数の代入が必要となる。式(6.9)より
𝑥𝑥[𝑛𝑛] =

𝜋𝜋
𝜋𝜋
𝜋𝜋
1 7
1 0.25 𝑗𝑗𝜋𝜋𝑛𝑛
0.5𝑗𝑗 𝑗𝑗𝜋𝜋2𝑛𝑛
� 𝑋𝑋[𝑚𝑚]𝑒𝑒𝑗𝑗4 𝑚𝑚𝑚𝑚 = − +�𝑒𝑒 4 + 𝑒𝑒𝑗𝑗 4 7𝑛𝑛 � +�𝑒𝑒 4 − 𝑒𝑒𝑗𝑗 4 6𝑛𝑛 �
8 𝑚𝑚=0
8
8
8

1 1
𝜋𝜋
1
𝜋𝜋
= − + cos � 𝑛𝑛� − sin � 𝑛𝑛�
8 16
4
8
2
(2) 信号ベクトルを 𝒙𝒙 = (1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1)𝑇𝑇 とし，式(6.8′ )より求め22

られる。ここで𝑁𝑁 = 8の変換行列は以下となる。
1
⎛
1
⎜
⎜
⎜
⎜
1
⎜
⎜
⎜
⎜1
𝑾𝑾 = ⎜
⎜
⎜
1
⎜
⎜
⎜
1
⎜
⎜
⎜
⎜1
⎝1

1

𝜋𝜋
𝑒𝑒−𝑗𝑗 4−𝑗𝑗
3𝜋𝜋𝑒𝑒−𝑗𝑗 4−1
3𝜋𝜋𝑒𝑒𝑗𝑗 4
𝑗𝑗

1
−𝑗𝑗
−1
𝑗𝑗
1
−𝑗𝑗
−1

𝜋𝜋

𝑒𝑒𝑗𝑗 4𝑗𝑗

1

3𝜋𝜋
𝑒𝑒−𝑗𝑗 4𝑗𝑗
𝜋𝜋𝑒𝑒−𝑗𝑗 4−1
𝜋𝜋𝑒𝑒𝑗𝑗 4−𝑗𝑗
3𝜋𝜋𝑒𝑒𝑗𝑗 4

1
−1
1

1

3𝜋𝜋
𝑒𝑒𝑗𝑗 4−11−11

𝑒𝑒𝑗𝑗 4−1
𝜋𝜋𝑒𝑒−𝑗𝑗 4𝑗𝑗

−1𝑒𝑒−𝑗𝑗 4

−𝑗𝑗
𝜋𝜋

3𝜋𝜋

1
𝑗𝑗
−1
−𝑗𝑗
1
𝑗𝑗
−1
−𝑗𝑗

1
𝜋𝜋
𝑒𝑒𝑗𝑗 4 ⎞
⎟
⎟
⎟
𝑗𝑗 ⎟
⎟
⎟
𝑗𝑗3𝜋𝜋
𝑒𝑒 4 ⎟
⎟
⎟
⎟
−1 ⎟
⎟
⎟
−𝑗𝑗3𝜋𝜋𝑒𝑒 4 ⎟
⎟
⎟
−𝑗𝑗 ⎟
⎟
−𝑗𝑗𝜋𝜋
𝑒𝑒 4 ⎠𝑾𝑾𝑾𝑾より，𝑋𝑋[𝑚𝑚] = {0,0,0,0,8,0,0,0}が求まる。
この問題では𝒙𝒙は 4 番目の基底関数と同じので，𝑋𝑋[4]しか非零値を取らない。
また，このビンは𝑁𝑁 /2であり，DFT スペクトルに表せる最大周波数に相当し，時系列 DT 信号は±1 交互に現れることが理解できる。

【4】

サンプリングレート 1 MHz で取得した 2000 点の信号𝑥𝑥[𝑛𝑛]に，10 kHz 以
上の周波数成分を遮断するように理想 LPF 処理を施すため，𝑥𝑥[𝑛𝑛]の DFT
スペクトル𝑋𝑋[𝑚𝑚]を求め，高周波数成分の𝑋𝑋[𝑚𝑚]を 0 にしてから IDFT より所望の信号が得られる。ここで𝑋𝑋[𝑚𝑚]を 0 にすべき𝑚𝑚の範囲を示せ。

【解答】
DFT スペクトルの周波数分解能は𝑓𝑓0 = 𝑓𝑓𝑠𝑠 /𝑁𝑁ので，１周波数ビンは 0.5 kHz の周波数に対応する。10 kHz は m=10/0.5=20 となり，𝑁𝑁 /2以上の場合での巡回シフトも考慮して，周波数ビンの 20～1000 と 1000～(2000-20)=1980 はそれぞれ
10 kHz 以上の正周波数成分と負周波数成分に対応する。よって，遮断すべき𝑚𝑚の範囲は 20～1980 となる。

【5】

独立変数の離散と連続を組み合わせた 4 種類のフーリエ変換 FS, FT,
DTFT, DFT は，すべて次式に示す複素回転因子の特性から導かれる。
1 𝑁𝑁+𝑚𝑚−1 𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑘𝑘𝑘𝑘
𝛿𝛿𝑁𝑁 [𝑛𝑛] =� 𝑒𝑒 𝑁𝑁
𝑁𝑁 𝑘𝑘=𝑚𝑚
23

ここで𝛿𝛿𝑁𝑁 [𝑛𝑛]は周期𝑁𝑁 の離散インパルス列である。任意関数𝑥𝑥(⋅)に対した
𝛿𝛿 関数の物差し特性𝑥𝑥[𝑚𝑚] = ∑𝑛𝑛 𝛿𝛿[𝑚𝑚 − 𝑛𝑛]𝑥𝑥[𝑛𝑛]に合わせ，次式が得られる。
𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑘𝑘) = 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑁𝑁𝑁𝑁)
𝑁𝑁−𝑝𝑝−1

𝑁𝑁−𝑞𝑞−1= � � � 𝑥𝑥(𝑛𝑛𝑛𝑛)𝑒𝑒
𝑚𝑚=−𝑝𝑝−𝑗𝑗2𝜋𝜋�𝑚𝑚 1 �(𝑛𝑛𝑛𝑛)
𝑗𝑗2𝜋𝜋�𝑚𝑚 1 �(𝑘𝑘𝑘𝑘)
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝜇𝜇� 𝑒𝑒𝑛𝑛=−𝑞𝑞1
𝑁𝑁𝑁𝑁

これは次の変数と極限定義の条件下で式(5.8′ )と一致することを示せ。
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝜏𝜏 ≔ 𝜇𝜇 → 0,𝑡𝑡[𝑘𝑘] ≔ 𝑘𝑘 ⋅ 𝑑𝑑𝑑𝑑,

𝑝𝑝 = 𝑞𝑞 = 𝑁𝑁 /2 → ∞,𝑁𝑁𝑁𝑁 → ∞,𝜏𝜏[𝑛𝑛] ≔ 𝑛𝑛 ⋅ 𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑑𝑑𝑑𝑑 ≔ (𝑁𝑁𝑁𝑁)−1 → 0,

𝑓𝑓[𝑚𝑚] ≔ 𝑚𝑚 ⋅ 𝑑𝑑𝑑𝑑
【解答】
本書に紹介した 4 種類のフーリエ変換は，時間と周波数の離散や連続の扱い方に違いのあるものの，本質的に同じである。離散間隔の無限小極限，及び積分のリーマン和表現によって，連続関数と離散関数を数学的に結びつけることもできる。ここでは，合同整数に基づく複素回転因子特性，式(I)より，フーリ
エ変換の式変形を確認する。
∞

𝛿𝛿𝑁𝑁 [𝑛𝑛] = � 𝛿𝛿[𝑛𝑛 − 𝑙𝑙𝑙𝑙 ] =𝑙𝑙=−∞

1 𝑁𝑁+𝑚𝑚−1 𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑘𝑘𝑘𝑘
� 𝑒𝑒 𝑁𝑁
𝑁𝑁 𝑘𝑘=𝑚𝑚(I)

周期𝑁𝑁 の任意離散関数𝑓𝑓[𝑛𝑛] = 𝑓𝑓[𝑛𝑛 + 𝑁𝑁 ]において，任意 1 周期内に対し𝛿𝛿 関数との畳み込みより，次の関係があり
𝑚𝑚+𝑁𝑁−1

𝑓𝑓[𝑘𝑘] = � 𝛿𝛿𝑁𝑁 [𝑘𝑘 − 𝑛𝑛]𝑓𝑓[𝑛𝑛]𝑛𝑛=𝑚𝑚

式(I)を代入し，総和の順番を入れ替えると，次式が得られる。
𝑁𝑁−𝑝𝑝−1

𝑓𝑓[𝑘𝑘] = 𝑓𝑓[𝑘𝑘 + 𝑁𝑁 ] =𝑁𝑁−𝑞𝑞−1

𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑚𝑚𝑚𝑚
1
� � � 𝑓𝑓[𝑛𝑛]𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝜋𝜋 𝑁𝑁 � 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝜋𝜋 𝑁𝑁
𝑁𝑁 𝑚𝑚=−𝑝𝑝 𝑛𝑛=−𝑞𝑞

離散関数の独立変数に時間間隔𝜇𝜇を導入し，さらに係数変形すると式(II)になる。
𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑘𝑘) = 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑁𝑁𝑁𝑁)
𝑁𝑁−𝑝𝑝−1

𝑁𝑁−𝑞𝑞−1= � � � 𝑥𝑥(𝑛𝑛𝑛𝑛)𝑒𝑒
𝑚𝑚=−𝑝𝑝−𝑗𝑗2𝜋𝜋�𝑚𝑚 1 �(𝑛𝑛𝑛𝑛)
𝑗𝑗2𝜋𝜋�𝑚𝑚 1 �(𝑘𝑘𝑘𝑘)
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝜇𝜇� 𝑒𝑒𝑛𝑛=−𝑞𝑞

24

1
𝑁𝑁𝑁𝑁

(II)

これより，各種のフーリエ変換は，変数の条件定義によってそれぞれ表現できる。一例として，連続フーリエ変換への変形を示す。
変数定義：
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝜏𝜏 ≔ 𝜇𝜇 → 0,
𝑝𝑝 = 𝑞𝑞 =

𝑁𝑁
→ ∞,
2

𝑡𝑡[𝑘𝑘] ≔ 𝑘𝑘 ⋅ 𝑑𝑑𝑑𝑑,

𝜏𝜏[𝑛𝑛] ≔ 𝑛𝑛 ⋅ 𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑑𝑑𝑑𝑑 ≔ (𝑁𝑁𝑁𝑁)−1 → 0,

𝑁𝑁𝑁𝑁 → ∞,𝑓𝑓[𝑚𝑚] ≔ 𝑚𝑚 ⋅ 𝑑𝑑𝑑𝑑

よって，式(II)は以下になる。
∞

∞

𝑚𝑚=−∞

𝑛𝑛=−∞

𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡 + ∞) = � � � 𝑥𝑥�𝜏𝜏[𝑛𝑛] �𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓[𝑚𝑚] 𝜏𝜏[𝑛𝑛] 𝑑𝑑𝜏𝜏 � 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓[𝑚𝑚] 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑
リーマン和を積分に変形すると，式(5.8′)が得られ，（）内は CTFT スペクトルである。
∞

𝑥𝑥(𝑡𝑡) = � FT[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝑓𝑓) ⋅ 𝑒𝑒𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 ,∞FT[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝑓𝑓) = � 𝑥𝑥(𝜏𝜏 )𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑

−∞

−∞

第7章
式(7.5)に示す Morlet 変換の𝜆𝜆を大きくするとスカログラムの周波数分【1】

解能と時間分解能はどのように変化するかを考察せよ。
【解答】
Kernel 関数は2(𝜋𝜋𝑓𝑓)2 𝑡𝑡2−+𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑓𝑓
𝜆𝜆2
𝑒𝑒2(𝜋𝜋𝑓𝑓)2 𝑡𝑡2𝜆𝜆2であり，複素正弦波𝑒𝑒𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑓𝑓 に振幅包絡𝑒𝑒−より構成されている。この包絡は𝑡𝑡√2に対して正規分布𝑒𝑒−(𝛼𝛼𝑡𝑡) の形状となり，𝑡𝑡 の係数𝛼𝛼 = 2𝜋𝜋𝑓𝑓/𝜆𝜆によって横方向伸縮する。𝜆𝜆 が大きくなると係数が小さくなり，実質上の横方向の広がりとなる
ため，周波数分解能が向上し，時間分解能が低下すると考えられる。ここで分解能の向上とは，分解可能な間隔が小さくなることを意味する。

【2】

以下の各ラプラス変換を証明せよ。ただし，ℒ[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) = 𝑋𝑋(𝑠𝑠)とする。

(1) ℒ[𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) = 1/𝑠𝑠
25

𝑑𝑑(2) ℒ[−𝑡𝑡 ⋅ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑢𝑢(𝑡𝑡)] = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑋𝑋(𝑠𝑠)

ヒント：式(7.8)を利用(3) ℒ[𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) = 𝑛𝑛!/𝑠𝑠𝑛𝑛+1 (𝑛𝑛 ≥ 0)

ヒント：(1)と(2)の結果を利用(4) ℒ[𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) = 𝑋𝑋(𝑠𝑠 + 𝑎𝑎)

ヒント：式(7.8)を利用(5) ℒ[sin(𝜔𝜔𝑡𝑡) 𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) = 𝜔𝜔/(𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔2 )(6) ℒ[𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑎𝑎 cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) 𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) =ヒント：(1)と(4)の結果を利用

𝑠𝑠 + 𝑎𝑎(𝑠𝑠 + 𝑎𝑎)2 + 𝜔𝜔2【解答】(1) 式(7.8)より，次式となる。
∞ℒ[𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 =0−1 −𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡𝑡=∞ 1[𝑒𝑒 ]𝑡𝑡=0 = (1 − 𝑒𝑒−𝑠𝑠⋅∞ )𝑠𝑠𝑠𝑠

ここで𝑒𝑒−𝑠𝑠⋅∞ は𝑠𝑠 の値によるが，収束領域の条件を考慮し，収束領域は𝑠𝑠 >0 であり，𝑒𝑒−𝑠𝑠⋅∞ = 0が考えられる。よって，ℒ[𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) = 1/𝑠𝑠
(2) 式(7.8)の両辺に𝑠𝑠に対して微分すると
∞
∞
𝑑𝑑
𝑑𝑑 ∞
𝑑𝑑
𝑋𝑋(𝑠𝑠) = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � [−𝑡𝑡 ⋅ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)]𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 0𝑑𝑑𝑑𝑑
00= ℒ[−𝑡𝑡 ⋅ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑢𝑢(𝑡𝑡)](3) 数学的帰納法より証明する。まず，𝑛𝑛 =0 の場合にℒ[𝑡𝑡0 𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) =

0!
𝑠𝑠0+1

=

1
𝑠𝑠

は，(1)より確認できる。次に𝑛𝑛 の場合ℒ[𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) = 𝑛𝑛!/𝑠𝑠𝑛𝑛+1が成立すると仮定し，𝑛𝑛 + 1でも成立することを確認する。
ℒ[𝑡𝑡𝑛𝑛+1 𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) = ℒ[𝑡𝑡 ⋅ �𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑢𝑢(𝑡𝑡)�](𝑠𝑠)なので，(2)の結果ℒ[−𝑡𝑡 ⋅ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑢𝑢(𝑡𝑡)] =𝑑𝑑
𝑋𝑋(𝑠𝑠)
𝑑𝑑𝑑𝑑を適用し，以下に証明できる。

26

ℒ[𝑡𝑡𝑛𝑛+1 𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) = ℒ[𝑡𝑡 ⋅ �𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑢𝑢(𝑡𝑡)�](𝑠𝑠) = −𝑑𝑑𝑛𝑛!
(𝑛𝑛 + 1)!
� 𝑛𝑛+1 � = 𝑛𝑛+2
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠(4) 式(7.8)に𝑠𝑠 を𝑠𝑠 + 𝑎𝑎 に置き換え，以下が得られる。
∞∞

𝑋𝑋(𝑠𝑠 + 𝑎𝑎) = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−(𝑠𝑠+𝑎𝑎)𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � [𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥(𝑡𝑡)]𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ℒ[𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑢𝑢(𝑡𝑡)]00

1 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡
1 −𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡
(5) sin(𝜔𝜔𝑡𝑡) = 2𝑗𝑗
𝑒𝑒 − 2𝑗𝑗𝑒𝑒と(4)，(1)の結果を利用して

1
1
1
1
1
ℒ[𝑒𝑒𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑢𝑢(𝑡𝑡)] − ℒ[𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑢𝑢(𝑡𝑡)] = �
−
�
2𝑗𝑗
2𝑗𝑗
2𝑗𝑗 𝑠𝑠 − 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑠𝑠 + 𝑗𝑗𝜔𝜔ℒ[sin(𝜔𝜔𝑡𝑡) 𝑢𝑢(𝑡𝑡)] ==𝜔𝜔
𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔2(6) ℒ[cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) 𝑢𝑢(𝑡𝑡)]は(5)の方法を使って，次に求まる。
1
1
1
1
1
ℒ[cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) 𝑢𝑢(𝑡𝑡)] = ℒ[𝑒𝑒𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑢𝑢(𝑡𝑡)] + ℒ[𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑢𝑢(𝑡𝑡)] = �+�222 𝑠𝑠 + 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑠𝑠 − 𝑗𝑗𝜔𝜔=𝑠𝑠
𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔2

さらに(4)より，以下証明できる。
ℒ[𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑎𝑎 cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) 𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) = ℒ[cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) 𝑢𝑢(𝑡𝑡)](𝑠𝑠 + 𝑎𝑎) =【3】

𝑠𝑠 + 𝑎𝑎(𝑠𝑠 + 𝑎𝑎)2 + 𝜔𝜔2

以下の各𝑧𝑧 変換を証明せよ。ただし，𝒵𝒵�𝑥𝑥[𝑛𝑛]�(𝑧𝑧) = 𝑋𝑋(𝑧𝑧)とする。

(1) 𝒵𝒵�𝑢𝑢[𝑛𝑛]�(𝑧𝑧) = 1/(1 − 𝑧𝑧 −1 )(3) 𝒵𝒵�sin(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 𝑛𝑛) 𝑢𝑢[𝑛𝑛]� =(2) 𝒵𝒵�𝑎𝑎−𝑛𝑛 𝑥𝑥[𝑛𝑛]𝑢𝑢[𝑛𝑛]� = 𝑋𝑋(𝑎𝑎𝑎𝑎)sin(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 ) 𝑧𝑧 −1
1 − 2 cos(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 ) 𝑧𝑧 −1 + 𝑧𝑧 −2【解答】(1) 式(7.34)より∞

𝒵𝒵�𝑢𝑢[𝑛𝑛]�(𝑧𝑧) = � 𝑧𝑧
𝑛𝑛=0

−𝑛𝑛

𝑧𝑧 −∞ − 1
= −1
𝑧𝑧 − 1が得られる。ここで収束する条件として，|𝑧𝑧| > 1は収束領域となり, 𝑧𝑧 −∞ =27

0より，𝒵𝒵�𝑢𝑢[𝑛𝑛]�(𝑧𝑧) = 1/(1 − 𝑧𝑧 −1 )(2) 式(7.34)に𝑧𝑧を𝑎𝑎𝑎𝑎として代入し，以下が確認できる。
∞

𝑋𝑋(𝑎𝑎𝑎𝑎) = � 𝑥𝑥[𝑛𝑛](𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝑛𝑛=0

−𝑛𝑛

∞

= �(𝑎𝑎−𝑛𝑛 𝑥𝑥[𝑛𝑛])𝑧𝑧−𝑛𝑛 = 𝒵𝒵�𝑎𝑎−𝑛𝑛 𝑥𝑥[𝑛𝑛]𝑢𝑢[𝑛𝑛]�
𝑛𝑛=0

1 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 𝑛𝑛
1 −𝑗𝑗𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 𝑛𝑛(3) sin(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 𝑛𝑛) = 2𝑗𝑗
𝑒𝑒
− 2𝑗𝑗
𝑒𝑒
と(1)，(2)の結果を利用して，以下が得られる。
𝒵𝒵�sin(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 𝑛𝑛) 𝑢𝑢[𝑛𝑛]� =

1
1
1
−
�
�
−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑇𝑇−1
𝑗𝑗𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 𝑧𝑧)
2𝑗𝑗 1 − (𝑒𝑒1 − (𝑒𝑒 𝑠𝑠 𝑧𝑧)−1

1 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 − 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 )𝑧𝑧 −1sin(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 ) 𝑧𝑧 −1
2𝑗𝑗 (𝑒𝑒==1 − (𝑒𝑒𝑗𝑗𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 + 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 )𝑧𝑧 −1 + 𝑧𝑧 −2 1 − 2 cos(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 ) 𝑧𝑧 −1 + 𝑧𝑧 −2【4】 LT の時間微分特性を示す式(7.17)と ZT の定義式(7.34)それぞれより，以下の初期値定理を証明せよ。
𝑥𝑥(0) = lim 𝑠𝑠 ⋅ ℒ[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) ,𝑠𝑠→∞𝑥𝑥[0] = lim 𝒵𝒵�𝑥𝑥[𝑛𝑛]�(𝑧𝑧)𝑧𝑧→∞

また，初期値定理を利用して，十分に高いサンプリングレートの条件下，
𝐻𝐻(𝑠𝑠)から双一次法より𝐺𝐺𝐵𝐵 (𝑧𝑧)を求める場合，𝑔𝑔𝐵𝐵 [0] ≈ ℎ(0)𝑇𝑇𝑠𝑠 /2を証明せよ。
【解答】
まず LT の初期値定理について証明する。
式(7.17)の左辺に LT の定義式(7.8)を適用し，以下となり∞
𝑑𝑑
𝑑𝑑ℒ � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)� (𝑠𝑠) = � � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)� 𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
0
𝑑𝑑
lim 𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠 = 0 (𝑡𝑡 > 0)のため，𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)が存在する場合に，以下が確認できる。

𝑠𝑠→∞

∞

lim � �

𝑠𝑠→∞

0

∞
𝑑𝑑
𝑑𝑑
𝑥𝑥(𝑡𝑡)� 𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)� 0𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
0

= lim 𝑠𝑠 ⋅ ℒ[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝑠𝑠) − 𝑥𝑥(0)𝑠𝑠→∞

よって，𝑥𝑥(0) = lim 𝑠𝑠 ⋅ ℒ[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝑠𝑠)がわかる。ここで，lim 𝑠𝑠 ⋅ ℒ[𝑥𝑥(𝑡𝑡)](𝑠𝑠)が存在する
𝑠𝑠→∞

𝑠𝑠→∞

ことを条件とする。
次に ZT の初期値定理について証明する。
28

lim 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 = 0 (𝑛𝑛 > 0)を定義式(7.34)に適用し，以下が得られる。

𝑧𝑧→∞

∞

lim 𝒵𝒵�𝑥𝑥[𝑛𝑛]�(𝑧𝑧) = 𝑥𝑥[0] + lim � 𝑥𝑥[𝑛𝑛]𝑧𝑧 −𝑛𝑛 = 𝑥𝑥[0]

𝑧𝑧→∞

𝑧𝑧→∞

𝑛𝑛=1

双一次変換のスペクトル式(7.45)に示す次式と ZT の初期値定理によって2 𝑧𝑧 − 1
𝐺𝐺𝐵𝐵 (𝑧𝑧) = 𝐻𝐻 ��𝑇𝑇𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1
𝑔𝑔𝐵𝐵 [0] = lim 𝐺𝐺𝐵𝐵 (𝑧𝑧) = lim 𝐻𝐻 �
𝑧𝑧→∞

𝑧𝑧→∞

2 𝑧𝑧 − 122𝑇𝑇2� = 𝐻𝐻 � � = 𝑠𝑠 � 𝐻𝐻 � ��
𝑇𝑇𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1
2 𝑇𝑇𝑠𝑠𝑇𝑇𝑠𝑠
𝑇𝑇𝑠𝑠が得られ，サンプリングレートが十分に高い場合では𝑇𝑇𝑠𝑠 が小さくなり
22
𝐻𝐻 � � ≈ lim 𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑠𝑠) = ℎ(0)
𝑠𝑠→∞
𝑇𝑇𝑠𝑠
𝑇𝑇𝑠𝑠
が考えられる。よって，𝑔𝑔𝐵𝐵 [0] ≈ ℎ(0)𝑇𝑇𝑠𝑠 /2
ここで，双一次変換のインパルス応答はサンプリング間隔のスケールに依存することは，式(7.46)と一致する。また，インパルス不変法の𝑔𝑔𝐼𝐼 [0] = ℎ(0)なので，
𝑇𝑇𝑠𝑠 = 1での例題 7.2 に𝑔𝑔𝐵𝐵 [0]は𝑔𝑔𝐼𝐼 [0]の約半分になっていることも例示される。

【5】ある LTI システムの入力𝑥𝑥(𝑡𝑡)と出力𝑦𝑦(𝑡𝑡)の関係は以下に示される。
𝑑𝑑2
𝑑𝑑𝑦𝑦(𝑡𝑡) + 6 𝑦𝑦(𝑡𝑡) + 25𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 4𝑥𝑥(𝑡𝑡)
2
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑑𝑑

(1) このシステムの伝達関数𝐻𝐻(𝑠𝑠)とインパルス応答ℎ(𝑡𝑡)を求めよ。
(2) インパルス不変法より𝐻𝐻(𝑧𝑧)を求め，DT システムの差分方程式を示し，デジタルフィルタを設計せよ。ただし𝑇𝑇𝑠𝑠 = 0.1とする。
【解答】(1) まず LT より微分方程式を代数方程式に変換し，𝐻𝐻(𝑠𝑠)を求める。
𝑠𝑠2 𝑌𝑌 (𝑠𝑠) + 6𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑠𝑠) + 13𝑌𝑌 (𝑠𝑠) = 4𝑋𝑋(𝑠𝑠) ⟹ 𝐻𝐻(𝑠𝑠) =𝑌𝑌 (𝑠𝑠)4= 2
𝑋𝑋(𝑠𝑠) 𝑠𝑠 + 6𝑠𝑠 + 25

分母が 0 となる s の根は，−3 ± 4𝑗𝑗となるため，𝐻𝐻(𝑠𝑠)を部分分数分解し29

𝐻𝐻(𝑠𝑠) =

−𝑗𝑗/2
𝑗𝑗/2
+
𝑠𝑠 + 3 − 4𝑗𝑗 𝑠𝑠 + 3 + 4𝑗𝑗

式(7.27)よりインパルス応答ℎ(𝑡𝑡)が求まる。
𝑗𝑗ℎ(𝑡𝑡) = 𝑢𝑢(𝑡𝑡)𝑒𝑒−3𝑡𝑡 (𝑒𝑒−𝑗𝑗4𝑡𝑡 − 𝑒𝑒𝑗𝑗4𝑡𝑡 ) = 𝑢𝑢(𝑡𝑡)𝑒𝑒−3𝑡𝑡 sin(4𝑡𝑡)2(2) 𝑇𝑇𝑠𝑠 = 0.1の場合でのインパルス不変法より，DT インパルス応答は𝑔𝑔𝐼𝐼 [𝑛𝑛] = 𝑢𝑢[𝑛𝑛]𝑒𝑒−0.3𝑛𝑛 sin(0.4𝑛𝑛)となる。この𝑧𝑧 変換は𝒵𝒵�sin(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 𝑛𝑛) 𝑢𝑢[𝑛𝑛]� =sin(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 ) 𝑧𝑧 −1
1 − 2 cos(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑠𝑠 ) 𝑧𝑧 −1 + 𝑧𝑧 −2𝒵𝒵�𝑎𝑎−𝑛𝑛 𝑥𝑥[𝑛𝑛]𝑢𝑢[𝑛𝑛]� = 𝑋𝑋(𝑎𝑎𝑎𝑎)
を併用して，以下に求まる。
sin(0.4) (𝑒𝑒0.3 𝑧𝑧)−1
𝐻𝐻(𝑧𝑧) = 𝒵𝒵�𝑔𝑔𝐼𝐼 [𝑛𝑛]� =1 − 2 cos(0.4) (𝑒𝑒0.3 𝑧𝑧)−1 + (𝑒𝑒0.3 𝑧𝑧)−2=

sin 0.4 𝑒𝑒−0.3 𝑧𝑧−1
𝑌𝑌 (𝑧𝑧)=1 − 2 cos 0.4 𝑒𝑒−0.3 𝑧𝑧−1 + 𝑒𝑒−0.6 𝑧𝑧 −2 𝑋𝑋(𝑧𝑧)

上式を変形し𝑌𝑌 (𝑧𝑧) − 2 cos 0.4 𝑒𝑒−0.3 𝑧𝑧−1 𝑌𝑌 (𝑧𝑧) + 𝑒𝑒−0.6 𝑧𝑧 −2 𝑌𝑌 (𝑧𝑧) = sin 0.4 𝑒𝑒−0.3 𝑧𝑧 −1 𝑋𝑋(𝑧𝑧)
次の差分方程式，およびデジタルフィルタが得られる。
𝑦𝑦[𝑛𝑛] = sin 0.4 𝑒𝑒−0.3 𝑥𝑥[𝑛𝑛 − 1] + 2 cos 0.4 𝑒𝑒−0.3 𝑦𝑦[𝑛𝑛 − 1] − 𝑒𝑒−0.6 𝑦𝑦[𝑛𝑛 − 2]ー30