九州大学大学院システム情報科学府

電気電子工学専攻

令和３年度入学試験問題【令和２年１２月５日（土）、６日（日）】令和３年度

九州大学大学院システム情報科学府

情報理工学専攻
電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和２年１２月５日）

数 学 (Mathematics)（7 枚中の 1）

解答上の注意 (Instructions):

1. 問題用紙は，『始め』の合図があるまで開いてはならない．
Do not open this cover sheet until the start of examination is announced.
2. 問題用紙は表紙を含め 7 枚，解答用紙は 3 枚つづり (1 分野につき 1 枚) である．
You are given 7 problem sheets including this cover sheet, and 3 answer sheets (1 sheet foreach ﬁeld).
3. 以下の 6 分野から 3 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙を別にすること．
Select 3 ﬁelds out of the following 6 ﬁelds and answer the questions. You must use a separate
answer sheet for each of the ﬁelds you selected.

1
2
3
4
5
6

分野
線形代数
微分積分
微分方程式
ベクトル解析
複素関数論
確率・統計

ﬁeld
Linear algebra
Calculus
Diﬀerential equation
Vector analysis
Complex function theory
Probability and statistics

page
2
3
4
5
6
7

4. 解答用紙の全部に，専攻名，選択分野番号（○で囲む），受験番号および氏名を記入すること．

Fill in the designated blanks at the top of each answer sheet with the department name, theselected ﬁeld number (mark with a circle), your examinee number and your name.
5. 解答は解答用紙に記入すること．スペースが足りない場合は裏面を用いても良いが，その場合は，裏面に解答があることを明記すること．

Write your answers on the answer sheets. You may use the backs of the answer sheets when
you run out of space. If you do so, indicate it clearly on the sheet.
6. 解答は，日本語，英語のいずれかで記入すること．
Your answers must be written in Japanese or English.

令和３年度

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情報理工学専攻
電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和２年１２月５日）

数 学 (Mathematics)（7 枚中の 2）
6 分野のうちから 3 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙を別にすること．
Select 3 ﬁelds out of the 6 ﬁelds and answer the questions. Use a separate answer sheet
for each ﬁeld.

1. 【線形代数 (Linear algebra) 分野】
n × m 実行列 A ∈ Rn×m の第 j 列 (j = 1, 2, . . . , m) を aj ∈ Rn とする．各部分集合 J ⊆{1, 2, . . . , m} について，その要素数を |J| で表し，aj (j ∈ J) を j に関する昇順で左から並べて得られる A の部分行列を A[J] ∈ Rn×|J| で表す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 以下の行列 A に対し，{ aj | j ∈ J } が線形独立であるような部分集合 J ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
をすべて求めよ．


1
0 0 −2 0
0


A= 0
1 0 −2 −3 −5 
−2 −2 0 4
60(2) (1) の行列 A に対し，rank(A[J]) < |J| を満たす部分集合 J ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6} であって，J の任意の真部分集合 I ⊊ J について rank(A[I]) = |I| が成り立つものをすべて求めよ．
ただし，空集合 ∅ に対しては rank(A[∅]) = 0 と定義する．

(3) 一般の A ∈ Rn×m について，I ⊆ J ⊆ {1, 2, . . . , m} かつ rank(A[J]) = |J| のとき，rank(A[I]) = |I| が成り立つことを示せ．
For an n × m real matrix A ∈ Rn×m , let aj ∈ Rn (j = 1, 2, . . . , m) be the j-th column of
A. For each subset J ⊆ {1, 2, . . . , m}, let A[J] ∈ Rn×|J| denote the submatrix of A obtainedby arranging aj (j ∈ J) in the ascending order of j, where |J| denotes the cardinality of J.
Answer the following questions.
(1) For the following matrix A, ﬁnd all subsets J ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6} such that { aj | j ∈ J }is linearly independent:
10 0 −2 0
0


A= 0
1 0 −2 −3 −5  .
−2 −2 0 4
6
0(2) For the matrix A in (1), ﬁnd all subsets J ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6} such that rank(A[J]) < |J|and rank(A[I]) = |I| for any proper subset I ⊊ J, where rank(A[∅]) = 0 for the empty
set ∅.
(3) Prove for any A ∈ Rn×m that, if I ⊆ J ⊆ {1, 2, . . . , m} and rank(A[J]) = |J|, thenrank(A[I]) = |I|.

令和３年度

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情報理工学専攻
電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和２年１２月５日）

数 学 (Mathematics)（7 枚中の 3）
6 分野のうちから 3 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙を別にすること．
Select 3 ﬁelds out of the 6 ﬁelds and answer the questions. Use a separate answer sheet
for each ﬁeld.

2. 【微分積分 (Calculus) 分野】

R2 上の関数( x2 + y 2 )f (x, y) = (x + y) exp −2について次の各問いに答えよ．
(1) f の停留点を全て求めよ．
(2) f の極大点と極小点を全て求めよ．
(3) f の最大値または最小値が存在する場合，それらを求めよ．
For the function( x2 + y 2 )f (x, y) = (x + y) exp −2
over R2 , answer the following questions.
(1) Find all the stationary points of f .
(2) Find all the local maximum and the local minimum points of f .
(3) Find the maximum and the minimum values of f , if they exist, respectively.

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情報理工学専攻
電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和２年１２月５日）

数 学 (Mathematics)（7 枚中の 4）
6 分野のうちから 3 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙を別にすること．
Select 3 ﬁelds out of the 6 ﬁelds and answer the questions. Use a separate answer sheet
for each ﬁeld.

3. 【微分方程式 (Diﬀerential equation) 分野】

次の微分方程式の一般解を求めよ．

dy x2 + 6y 2
(1)
=
dx
4xy
(2)

dy
= e2x+y+1 − 1dxFind general solutions to the following diﬀerential equations.
(1)

dy x2 + 6y 2
=
dx
4xy

(2)

dy
= e2x+y+1 − 1dx令和３年度

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情報理工学専攻
電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和２年１２月５日）

数 学 (Mathematics)（7 枚中の 5）
6 分野のうちから 3 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙を別にすること．
Select 3 ﬁelds out of the 6 ﬁelds and answer the questions. Use a separate answer sheet
for each ﬁeld.

4. 【ベクトル解析 (Vector analysis) 分野】
直交座標系において，x，y ，z 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i，j ，k とする．次の各問に答えよ．

(1) 3 点 (2, −6, 2), (1, −10, −1) および (−1, 2, 3) が決定する平面と点 (2, −2, −2) との距離
を求めよ.

(

)
xy
y2
(2) ベクトル場 F を F = −i + (z − x) j + (x + y) k とする．曲線 C: x =, y = −z
4
8
(
)
∫
9
に沿って, (0, 0, 0) から, 6, −6 までの線積分
F × dr を計算せよ.
2
C
The unit vectors on x, y and z axes of Cartesian coordinates are denoted by i, j and k,
respectively. Answer the following questions.
(1) Find the distance from the point (2, −2, −2) to the plane determined by the points(2, −6, 2), (1, −10, −1) and (−1, 2, 3).
()xy(2) Let the vector ﬁeld F = −i + (z − x) j + (x + y) k. Evaluate the line integral
4
(
)
∫
9
y2
F × dr along the curve C: x =, y = −z, from (0, 0, 0) to, 6, −6 .
82C令和３年度

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電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和２年１２月５日）

数 学 (Mathematics)（7 枚中の 6）
6 分野のうちから 3 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙を別にすること．
Select 3 ﬁelds out of the 6 ﬁelds and answer the questions. Use a separate answer sheet
for each ﬁeld.

5. 【複素関数論 (Complex function theory) 分野】
次の各問に答えよ．

1を z = 0 でローラン展開せよ．
z(z − 2)21
(2) 複素関数 g(z) = z sin
を z = −2 でローラン展開し，級数が収束する領域を示せ．
z+2
次に，z = −2 における留数を求めよ．
(1) 複素関数 f (z) =Answer the following questions.
1in a Laurent series about z = 0.
z(z − 2)21
(2) Expand the complex function g(z) = z sin
in a Laurent series about z = −2 andz+2give the region of convergence of the series. Then, ﬁnd the residue at z = −2.

(1) Expand the complex function f (z) =令和３年度

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情報理工学専攻
電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題（令和２年１２月５日）

数 学 (Mathematics)（7 枚中の 7）
6 分野のうちから 3 分野を選び解答すること．選んだ分野毎に解答用紙を別にすること．
Select 3 ﬁelds out of the 6 ﬁelds and answer the questions. Use a separate answer sheet
for each ﬁeld.

6. 【確率・統計 (Probability and statistics) 分野】
実数 p は 0 < p < 1 を満たすものとする．確率変数 X と Y は独立に同一の確率関数

f (k) ={
p(k = 1)

1 − p (k = −1)に従うものとする．Z = XY として，以下の各問に答えよ．

(1) 期待値 E[Z] を求めよ．
(2) X と Z の共分散 E[(X − E[X])(Z − E[Z])] を求めよ．
(3) X と Z が独立となる p を求めよ．求めた p に対し，Y と Z も独立であることを示せ．
(4) (3) で求めた p に対し，確率 Pr[X + Y + Z ≤ 2] を求めよ．

Let p be a real satisfying 0 < p < 1. Let X and Y be independent random variables which
respectively follow the identical probability function{p(k = 1),f (k) =
1 − p (k = −1).
Let Z = XY , and answer the following questions.
(1) Find the expectation E[Z].
(2) Find the covariance E[(X − E[X])(Z − E[Z])] between X and Z.
(3) Find p such that X and Z are independent. Prove that Y and Z are also independent
for the same p.
(4) Find the probability Pr[X + Y + Z ≤ 2] for p obtained in (3).

令和３年度 九州大学大学院システム情報科学府 電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （2020 年 12 月 5 日）

専門Ⅰ

(Special subjects I)

解答上の注意 (Instructions):
1.

問題用紙は，『始め』の合図があるまで開いてはならない．
Do not open this cover sheet until the start of examination is announced.

2.

問題用紙は表紙を含め 9 枚，解答用紙は 3 枚である．
You are given 9 problem sheets including this cover sheet, and 3 answer sheets.

3.

以下の 3 分野から 1 分野を選び解答すること．
Select 1 out of the following 3 fields and answer the questions.

4.

分野

field

1

電気回路

Circuit theory

2 ～

2

電子回路

Electronic circuits

4 ～

3

制御工学

Control engineering

6 ～

page

解答は解答用紙に記入すること．大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．スペースが足りない場合は裏面を用いても良いが，その場合は，裏面に解答があることを明記すること．
Your answers should be written on the answer sheets. Use one sheet for eachquestion. You may continue to write your answer on the back of the answer sheets if
you need more space. In such a case, indicate this clearly.

5.

解答用紙の全部に，受験番号，氏名，選択分野名および問題番号を記入すること．
Fill in the designated blanks at the top of each answer sheet with your examinee
number, your name, the selected field and the question number.

6.

解答は，日本語，英語のいずれかで記入すること．
Your answers must be written in Japanese or English.

1令和 3 年度 大学院システム情報科学府入学試験問題 電気回路（令和 2 年 12 月 5 日）
4 問中 3 問を選び，解答用紙欄に解答した問題番号を記入すること．
√√【問 1】 図 1 に示す回路において，C = 3 F，L = 63 H，電源の角周波数 ω = 2 rad/s，端子間電圧 V と電流 I の位相差はarg( VI ) = − π6 rad であり，回路は定常状態にあるとする．以下の問いに答えよ．

IRV(1) R の値を求めよ．

C(2) 電流 I の時間関数が i(t) = sin(2t + π6 ) A であり，これに対π応するフェーザ電流を I = ej 6 A と表すとき，フェーザ電
圧 V を求め，その時間関数 v(t) を答えよ．

L

図1
j

【問 2】 図 2 の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，図 2(a) と図 2(b) は等価である．

2

2

J

Z0

-j 

(1) 図 2(b) のインピーダンス Z1 ，Z2 ，Z3 を求めよ．
(2) 図 2(b) において，端子対 1-1’ から右側を見たときのインピーダンス ZR および左側を見たときのインピー
ダンス ZL を記号 Z0 ，Z1 ，Z2 ，Z3 を用いずに表せ．
ただし，インピーダンス Z0 = R + jX である．

(a)
1

Z1

Z2

Z3

J

(3) 図 2(b) の Z0 において，R も X も可変であるとき，Z0における消費電力を最大とする R および X を求めよ．

Z0
-j 

(b)

1’

図2
【問 3】 図 3 の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，電源の角周波数を ω とする．
11(1) 図 3(b) が図 3(a) の端子対 11’ の左側の 2 端子回路と等価なとき，電流源 J0 とアド
ミタンス Y0 を求めよ．

𝑅

𝐼

𝐸

𝑅
𝐽

𝑅

𝐿

𝑌0

𝐽0

𝐸

(2) 図 3(a) の電流 I を求めよ．

1’

(a)

(b)

図3
【問 4】 図 4 の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，e(t) =50 sin t V とし，スイッチ S を閉じる前の回路は定常状態にあると
する．

t=0

S
i(t)

(1) t = 0 でスイッチ S を閉じた直後の電流 i(+0) を求めよ．
(2) t > 0 における電流 i(t) を求めよ．

図4
2

1’

Circuit Theory (2021 ISEE Entrance Examination (December 5, 2020))
Choose three out of the four questions and write the chosen question number on each answer sheet.
√√【Q1】 Consider the circuit shown in Fig. 1, where C = 3 F, L = 63 H, the angular frequency of thesource ω = 2 rad/s, the phase diﬀerence arg( VI ) = − π6 rad, and the circuit is in steady state. Answer
the following questions.
IR(1) Find the resistance R.
(2) The current I in the time domain expression is i(t) =πsin(2t+ π6 ) A and the corresponding phasor is I = ej 6 A.
Find the phasor V and the corresponding time domain
expression v(t).

V

C

L

Fig. 1j【Q2】 Consider the circuit shown in Fig. 2. Here, the circuit shownin Fig. 2(b) is equivalent to Fig. 2(a). Answer the following quesJ
tions.

2

2

Z0

-j 

(1) Find the impedance Z1 , Z2 , and Z3 of Fig. 2(b).
(a)(2) In Fig. 2(b), express ZR and ZL without using symbols Z0 ,
Z1 , Z2 , and Z3 , where ZR is defined as the impedance measured rightward from the terminals 1-1’, ZL is defined as the
impedance measured leftward from the terminals 1-1’, andthe impedance Z0 = R + jX.

1

Z1

Z2

Z3

J

Z0
-j 

(3) When R and X are variable, find the value of R and X which
maximize the power consumption at the impedance Z0 .

(b)

1’

Fig. 2【Q3】 Consider the circuit shown in Fig. 3, where the sources have the angular frequency ω. Answer
the following questions.

(1) Find the current source J0 andthe admittance Y0 when the circuit in Fig. 3(b) is equivalent tothe circuit seen from the terminals 1-1’ to the left in Fig. 3(a)
.

1

1

𝑅

𝐼

𝐸

𝑅
𝐽

𝑅

𝐿

𝑌0

𝐽0

𝐸
1’

(a)

(b)

(2) Find the current I.
Fig. 3
t=0【Q4】 Consider the circuit shown in Fig. 4, where e(t) = 50 sin t V
and the circuit is in steady state before the switch S is closed.

Si(t)(1) Find the current i(+0) just after the switch S is closed at t = 0.
(2) Find the current i(t) for t > 0.
Fig. 43

1’

専門Ⅰ 電子回路

試験問題

２０２０年（令和２年）１２月５日（土）次の各問（１，２，３）に答えよ。解答はすべて解答用紙に記入すること。
１．次の問に答えよ。ただし，演算増幅器は理想的であるとする。
（１）図１(a)に示す回路の伝達関数 G(s) = Vo (s) / Vi (s)を求めよ。
（２）図１(b)に示す回路の伝達関数 G(s) = Vo (s) / Vi (s)を導き，G(j)について電圧利得および位相のボーデ図の概形を描け。
Z2

R2

Z1

C

R1

Vo

Vi

Vo

Vi

(a)

(b)
図１

２．図２(a)に示す特性を持つツェナーダイオード Z を用い，図２(b)に示すように抵抗 R と組み合わせてリミッタ回路を作った。次の問に答えよ。
（１）このリミッタ回路の入出力電圧特性を図２(c)に示した座標系に図示せよ。
（２）入力電圧 Vi として図２(d)に示すような正弦波を与えたときの出力電圧 Vo の波形を図示せよ。
ID

Vi

VZ

ID
Z

Vo

R

VD

VZ

VD

VF

Vi

Vo

Z

Vi

VF
VF

t

VZ

(a)

(b)

(c)

(d)

図２
３．図３に示すRC正弦波発振器について，次の問に答えよ。ただし，演算増幅器は理想的であるとする。
（１）Aの非反転増幅器の部分の電圧利得 GA を求めよ。
（２）BのRC回路の部分の電圧利得（減衰率）GB を求めよ。
（３）RC正弦波発振器のループ利得 T を求めよ。但し，T = GA GB である。
（４）発振が定常状態にある時の発振角周波数と振幅条件を求めよ。
A
R1

B
R2
R

C

C

図３
4

R

Specialized subjects I

Electronic circuits
Dec. 5, 2020

Answer the following questions (1, 2, 3). All answers should be written on the answer sheets.

1. Answer the following questions. The operational amplifiers are assumed to be ideal.
(1) Derive the transfer function G(s) = Vo (s) / Vi (s) for the circuit shown in Fig. 1 (a).
(2) Derive the transfer function G(s) = Vo (s) / Vi (s) for the circuit shown in Fig. 1 (b), and sketch the Bode plotsof the voltage gain and the phase for G(j).
Z2

R2

Z1

C

R1

Vo

Vi

Vo

Vi

(a)

(b)
Fig. 1

2. By using a Zener diode with its voltage-current characteristic shown in Fig. 2 (a), a limiter circuit as shown in Fig. 2 (b)has been constructed with a resistor R.
(1) Sketch the input-output voltage characteristic of the limiter circuit on the coordinate plane as shown in Fig. 2 (c).
(2) Sketch the waveform of the output voltage Vo when the sinusoidal input voltage Vi is applied as shown in Fig. 2 (d).
ID

Vi

VZ

ID
Z

Vo

R

VD

VZ

VD

VF

Vi

Vo

Z

Vi

VF
VF

t

VZ

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 2
3.

Solve the following problems on the RC sinusoidal oscillator shown in Fig. 3. The operational amplifier is assumed
to be ideal.
(1) Derive the voltage gain GA of the non-inverting amplifier (part A).
(2) Derive the voltage gain (attenuation rate) GB of the RC network (part B).
(3) Derive the loop gain T of the RC sinusoidal oscillator, where T = GA GB .
(4) Obtain the oscillation frequency and the condition of the amplitude for steady-state oscillation.
A
R1

B
R2
R

C

C

Fig. 35R令和 3 年度電気電子工学専攻修士課程入学試験問題
制御工学分野 （令和 2 年 12 月 5 日実施）
次の各問（[1]，[2]，[3]）に答えよ．文中，t は時刻，s はラプラス演算子を表す．

K（K と T は実定数）で表されるシステムがある．このシステ
1 + Ts
ムにある正弦波入力を継続して加え，十分時間が経過した後の出力を測定する実験を，複数回行なったところ，毎回，同じ波形の出力が得られた．図 1 に十分時間が経過した後の入力（破線）と出力（実線）を示す．以下の問に答えよ．なお，解答の中で平方根と tan−1
は数値として求める必要はない．

[1] 伝達関数 G(s) =(1) このシステムは安定であるか不安定であるか．理由とともに答えよ．
(2) このシステムに一定値 2 を継続して入力し，十分時間が経過した際の出力を数値または式で表せ．
(3) このシステムに sin 20t を継続して入力し，十分時間が経過した際の出力を数値または式で表せ．

図1

6

[2] 3 個の伝達要素から構成されるシステムがある．このシステム全体として 2 つの入力 r，d を受取り，1 つの出力 c を出す．また，3 個の伝達要素の入力と出力をそれぞれ x1 ，x2 ，
x3 および y1 ，y2 ，y3 とする．これらの信号の間には以下の関係がある．
dx1
dy1+ 10y1 =− x1
dt
dt
d2 y2 dy2x2 = y1 + d,
= x2
−
dt2
dt
x3 = y2 , y3 = x3
x1 = r − y3 ,c = y2
以下の問に答えよ．

(1) このシステムを表すブロック線図を描け．各伝達要素を表すブロックの中にはその伝
達要素の伝達関数を書き入れよ．
(2) 入力 r から出力 c までの伝達関数を求め，その安定性を議論せよ．
(3) 入力 d から出力 c までの伝達関数を求め，その安定性を議論せよ．
[3] 次の制御対象を考える．
dx(t) =
dt

[

]
0 1
−1 0

[

]
0
1

x(t) +

u(t), x(0) = x0y(t) = [b 1]x(t) + d(t)ここで，x は状態ベクトル，u は制御入力，y は制御量，d は外乱，b は定数，x0 は状態ベ
クトルの初期値である．外乱はdd(t) = 0, d(0) = d0dtと仮定する．ここで d0 は外乱の初期値である．外乱の影響を抑制するため，以下に示す新
しい変数 w を導入し積分器を用いて系を拡大する．

dw(t) = y(t)dt
以下の問に答えよ．

(1) u，d を入力とし，w を出力とする拡大システムの状態方程式および出力方程式を示せ．ただし拡大システムの状態ベクトルは [xT w]T とする．
(2) 状態フィードバック制御[
u(t) = −K

]
x(t)
w(t)

を用いて，拡大システムを安定化できるために課される b の条件を示せ．ここで K
は状態フィードバックゲインである．

(3) 状態フィードバック制御により拡大システムが安定化されているとき，limt→∞ u(t)の値を示せ．

7

令和 3 年度電気電子工学専攻修士課程入学試験問題
Control engineering (5 December 2020)
Answer the following questions ([1], [2] and [3]). In the following, t denotes the time, ands the Laplace operator.
K, where K and T are
1 + Tsreal constants. When we repeatedly performed the experiment where a certain sinusoidal
input was continuously fed to the system and its output was measured after suﬃciently
long time passed, we always obtained the same waveform of output. Figure 1 shows the
input (broken line) and the output (solid line) after suﬃciently long time passed. Answer
the following questions. Note that you do not need to show the numerical value of squareroot or tan−1 in your answers.
[1] Consider the system whose transfer function is G(s) =(1) Answer, with the reason, whether this systems is stable or not.
(2) Suppose that the constant input 2 is continuously fed to the system. Express, with anumerical value or a formula, the output that we will get after suﬃciently long time
has passed.
(3) Suppose that the input sin 20t is continuously fed to the system. Express, with anumerical value or a formula, the output that we will get after suﬃciently long time
has passed.

Figure 18[2] Consider a system consisting of three transfer elements. The system, as a whole, receives
two inputs r and d and gives an output c. Let us denote the inputs and the outputs of thethree transfer elements by x1 , x2 and x3 , and y1 , y2 and y3 , respectively. The signals satisfy
the following relationships:
dx1
dy1+ 10y1 =− x1 ,
x1 = r − y3 ,dt
dt
d2 y2 dy2x2 = y1 + d,
= x2 ,−
dt2
dtx3 = y2 , y3 = x3 ,c = y2 .
Answer the following questions.
(1) Draw the block diagram of the system. In the blocks that represent the transfer
elements, write down the corresponding transfer functions.
(2) Find the transfer function from the input r to the output c, and discuss its stability.
(3) Find the transfer function from the input d to the output c, and discuss its stability.
[3] Consider the controlled object below:
[
]
[ ]
d
0 1
0
x(t) =
x(t) +
u(t), x(0) = x0 ,
dt
−1 0
1
y(t) = [b 1]x(t) + d(t),where x is the state vector, u is the control input, y is the controlled output, d is thedisturbance, b is a constant, and x0 is the initial value of the state vector. Assume thatthe disturbance is expressed as follows:dd(t) = 0, d(0) = d0 ,dtwhere d0 is the initial value of the disterbance. Augment the system using an integrator
for disturbance attenuation, introducing a new variable w deﬁned by the equation belowdw(t) = y(t).
dtAnswer the following questions.
(1) Show the state equation and the output equation of the augmented system thatreceives the inputs u and d, and gives the output w. Here let the state vector of theaugmented system be [xT w]T .
(2) Show the condition for b so that the augmented system can be stabilized by the state
feedback control[]x(t)u(t) = −K,w(t)where K is an appropriate state feedback gain.
(3) Show the value of limt→∞ u(t) when the augmented system is stabilized by the feedback control.

9令和３年度 九州大学大学院システム情報科学府 電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題 （2020 年 12 月 5 日）

専門Ⅱ

(Special subjects Ⅱ)

解答上の注意 (Instructions):
1.

問題用紙は、『始め』の合図があるまで開いてはならない．
Do not open this cover sheet until the start of examination is announced.

2.

問題用紙は表紙を含め 19 枚、解答用紙は 3 枚である．
You are given 19 problem sheets including this cover sheet, and 3 answer sheets.

3.

以下の 3 分野から 1 分野を選び解答すること．
Select 1 out of the following 3 fields and answer the questions.

4.

分野

field

page

1

電磁気学

Electromagnetism2 ～2

半導体デバイス

Semiconductor device

8 ～

3

計算機工学

Computer engineering

14 ～解答は解答用紙に記入すること．大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．スペースが足りない場合は裏面を用いても良いが，その場合は，裏面に解答があることを明記すること．
Your answers should be written on the answer sheets. Use one sheet for eachquestion. You may continue to write your answer on the back of the answer sheets if
you need more space. In such a case, indicate this clearly.

5.

解答用紙の全部に，受験番号，氏名，選択分野名および問題番号を記入すること．
Fill in the designated blanks at the top of each answer sheet with your examinee
number, your name, the selected field and the question number.

6.

解答は，日本語，英語のいずれかで記入すること．
Your answers must be written in Japanese or English.

1令和３年度大学院入学試験問題 電磁気学
次の各問（問１

問２（令和２年１２月５日）

問３）に答えよ．

問１(1) 誘電率 𝜀𝜀0 の真空中にある無限に長い半径 a の直線導線が単位長当たり λ の電荷を有している．電界分布を求めよ.
(2) 誘電率 𝜀𝜀0 の真空中に無限に長い半径 a の 2 本の直線導線が間隔 d (d >> a)で平行に設置されている．単位長当たりの静電容量を求めよ．
(3) 誘電率 𝜀𝜀 の大気中に地上 h の高さに無限に長い半径 a の直線導線が設置されている．単位長当たりの静電容量を求めよ．
(4) (3)で h = 5.0 m, a = 1.0 mm の場合に単位長当たりの静電容量を求めよ．ただし，大気の誘電率は 𝜀𝜀 = 8.85 × 10-12 F/m であり，log 𝑒𝑒 10 = 2.3 とする.

2

令和３年度大学院入学試験問題 電磁気学

（令和２年１２月５日）

問２ 図 2 のような半径 a, b, c の 3 個の薄い同心球殻導体 A，B，C が真空中にある．AB間は誘電率 𝜀𝜀1 ，𝜀𝜀2 の誘電体が左右半分ずつ満たされ，BC 間は誘電率 𝜀𝜀3 の誘電体ですべて満たされている．真空中の誘電率を 𝜀𝜀0 とする．次の各問に答えよ．
(1) 導体 B に電荷 Q を与えた場合，図に示す領域 1（導体 A と導体 B 間の左半分），領域 2（導体 A と導体 B 間の右半分），領域 3（導体 B と C の間），および領域 4（導体 C の外側）における各電界の大きさを求めよ．
(2) 導体 B の静電容量を求めよ．
(3) 導体 B ではなく，導体 A に電荷 Q を与えた場合，導体 A の領域 1 に接する部分に分布する電荷量 Q1，および領域 2 に分布する電荷量 Q2 を求めよ．
(4) (3)の場合，領域 1，領域 2，領域 3，および領域 4 の各電界の大きさを求めよ．
(5) 導体 A の静電容量を求めよ．

図23令和３年度大学院入学試験問題 電磁気学

（令和２年１２月５日）

問３ 以下の問に答えよ．
(1) 図３(a)に示すような，長さ  の直線導線 AB に電流 I を流す．導線から距離 d の点 P に生じる磁界 H について考える．ただし，電流は B から A の向きに流すものとし，点 P から
AB に下ろした垂線が AB と交わる点を O，∠PAO を𝜃𝜃1 ，∠PBO を𝜃𝜃2 とする．O から距離s の点 Q における電流素片 I ds が点 P に作る磁界 dH の向きと大きさを求めよ．ただし，∠AQP を𝜃𝜃とおく．
(2) 前問の結果を用いて，図３(a)の BA を流れる電流 I が点 P に作る磁界 H の向きと大きさを求めよ．
(3) 次に図３(b)に示す様に導線 AB に平行に，同じく長さ  の直線導線 CD を間隔 d 隔てて置き，B から A の向きに電流 I1，D から C の向きに電流 I2 をそれぞれ流す．導線 CD 上
で点 D から距離 x の点 P’における微小区間 dx が受ける力 dF の向きと大きさを求めよ．
(4) (3)において二本の導線間に作用する力 F の向きと大きさを求めよ．

(a)

(b)
図３

4

2021 Entrance Examination for ISEE (Electromagnetism)
Answer the following questions(December 5, 2020)([Question 1] [Question 2] [Question 3]).

[Question 1](1) In vacuum of permittivity 𝜀𝜀0 , there is an infinitely long straight wire of radius a that carries acharge λ per unit length. Give the electric field distribution.
(2) In vacuum of permittivity 𝜀𝜀0 , there are two infinitely long straight wires of radius a placedparallel with a distance d (d >> a). Give the capacitance per unit length.

(3) In the air of permittivity 𝜀𝜀 , there is an infinitely long straight wire of radius a, which is located ata height h above the ground. Give the capacitance per unit length.
(4) In the case of (3), give the capacitance per unit length for h = 5.0 m, a = 1.0 mm, wherepermittivity of air 𝜀𝜀 = 8.85 × 10-12 F/m and log 𝑒𝑒 10 = 2.3.

52021 Entrance Examination for ISEE (Electromagnetism)(December 5, 2020)[Question 2] As shown in Fig.2, three thin concentric spherical shell conductors A, B and C withradii a, b and c are located in vacuum space. Dielectric with electric permittivity ε 1 is filled in the left
half part of the area between the conductors A and B. Dielectric with electric permittivity ε 2 is filledin the right half part of the area. Dielectric with electric permittivity ε 3 is filled in the space between
the conductors B and C. Electric permittivity in vacuum is ε 0. Answer the following questions.
(1) When electric charge Q is applied to the conductor B, give the magnitude of electric fields of theregion 1 (the left half part of the area between the conductors A and B), the region 2 (the righthalf part of the area between the conductors A and B), the region 3 (the spherical shell between B
and C) and the region 4 (outside of the conductor C), respectively.
(2) Give the capacitance of the conductor B.
(3) When an electric charge Q is applied to the conductor A, not to the conductor B, give charge
quantity Q1 distributed on the conductor A in contact with the region 1 and charge quantity Q2
distributed on the conductor A in contact with the region 2.
(4) In the case of (3), give the magnitude of each electric field in the region 1, the region 2, the region
3 and the region 4, respectively.
(5) Give the capacitance of the conductor A.

Fig. 26

2021 Entrance Examination for ISEE (Electromagnetism)(December 5, 2020)[Question 3] Answer the following questions.
(1) As shown in Fig. 3(a), a current I flows through the straight conductor AB of length  . Consider
the magnetic field H at the point P of the distance d from the conductor. The current flows in the
direction from B to A. O is the point where the perpendicular line from point P intersects with AB,
𝜃𝜃1 is the angle ∠PAO, and 𝜃𝜃2 is the angle ∠PBO, respectively. Find the direction andmagnitude of the magnetic field dH generated at point P by a piece of current I ds at point Q witha distance s from O, where the angle ∠AQP is θ.
(2) Using the previous results, find the direction and magnitude of the magnetic field H generated atpoint P by the current I flowing through BA in Fig. 3(a).
(3) Next, in parallel to the conductor AB, straight conductor CD of the same length  is placed atintervals d as shown in Fig. 3(b), where the current I1 flows from B to A and the current I2 flows
from D to C, respectively. Find the direction and magnitude of the force dF experienced by theshort interval dx at point P’ which is in distance x from point D on the conductor CD.
(4) In the case of (3), find the direction and magnitude of the force F acting between the two
conductors.

(a)

(b)
Fig. 37

令和 2 年 12 月 5 日 修士課程入学試験

半導体デバイス
次の各問（ １２３ ）に答えよ．

１
図 1 の(A)，(B)，および(C)は，半導体のエネルギー・バンド構造の模式図である．

エネルギー(E)エネルギー(E)エネルギー(E)

伝導帯

伝導帯

伝導帯

価電子帯

価電子帯

波数(k)

波数(k)

波数(k)

(A)

価電子帯

(B)

(C)

図１

(1) (A)～(C)のエネルギー・バンド構造を有する半導体について，自由電子の有効質量が最も小さいものから最も大きいものまでを順番に，その記号(A～C)を列挙せよ．
(2) (A)～(C)のエネルギー・バンド構造を有する半導体について，正孔の有効質量が最も小さいものから最も大きいものまでを順番に，その記号(A～C)を列挙せよ．
(3) (A)～(C)のうち，間接遷移型バンド構造に対応するものをすべて列挙せよ．
(4)

高速トランジスタおよび高効率発光デバイスの，両方の材料として適しているものは，(A)～(C)のいずれか，理由と共に答えよ．

(5) (A)～(C)の半導体の抵抗を，印加電圧を大きくしながら測定したところ，ある半導体では，印加電圧の上昇に伴い，抵抗値が大きくなった．この現象が発現した半導体を(A)～(C)のうちから選択するとともに，この現象が発現した理由を述べよ．

8

２アクセプター密度 NA の p 型シリコン(Si)とドナー密度 ND の n 型 Si で構成される pn
接合ダイオードに関する下記の設問に答えよ．ただし，絶対温度を T，真性キャリア密度を ni，電気素量を q とする．

(1) p 型 Si の中性領域における正孔密度，および自由電子密度を答えよ．
(2) p 型 Si のアクセプター密度を 1/10 に減らした．pn 接合の拡散障壁(内蔵電位)は，元の値と比べ，大きくなるか，小さくなるか，理由とともに答えよ．
(3) この pn 接合に順方向バイアスを印加するとき，n 型 Si に印加すべきバイアスの極性(正,負)を答えよ．
(4) この pn 接合に順方向バイアス(バイアス電圧:VF)を印加したまま，十分に長い時間が経過した．図 2 のように x 軸を定義し，p 型 Si 側の空乏層端を x=0，p 型 Si 側の端を x=W とする．x=0 および x=W における自由電子密度を与える式を示せ．ただし，ボルツマン定数を k とする．なお，p 型 Si の中性領域の長さ W は，自由電子の
拡散長 L に比べて十分に大きいものとする．
(5) p 型 Si の中性領域における自由電子密度の分布のグラフを描くとともに，点 x (0≦x≦W)での自由電子密度を与える式を示せ．自由電子密度の分布のグラフは，縦軸を自由電子密度，横軸を x とすること．

空乏層
n型Si

p型Si

中性領域

中性領域

0
図2

9

W

x

３
p 型シリコン(Si)基板を用いた金属-酸化膜-半導体(MOS)構造に関する下記の設問(1)
および(2)に答えよ．ゲート電極を構成する金属の仕事関数は，p 型 Si の仕事関数と等しく，ゲート絶縁膜中に電荷は存在せず，ゲート絶縁膜と p 型 Si との界面には界面準位がない．

(1) ゲート電極に正のバイアス VG を印加すると反転層が形成され，反転層中の自由電子密度は，p 型 Si のアクセプター密度と等しくなった．このときのゲート電極から
Si 基板の内部(中性領域)までの領域のエネルギー・バンド図を描け．エネルギー・
バンド図には，ゲート電圧 VG，ゲート電極金属のフェルミ・エネルギーの位置 EFM，
p 型 Si の価電子帯の頂 EV，伝導帯の底 EC，フェルミ・エネルギーの位置 EF，真性フェルミ・エネルギーの位置 Ei，表面電位 φs を記載せよ．電気素量は q とする．
(2) ゲート電圧 VG を上記(1)の値から増加しても，空乏層幅は拡大しない．その理由を述べよ．

チャネル長 L，チャネル幅 W，ゲート酸化膜厚 tox，ゲート酸化膜の誘電率 εox の n チャ
ネル MOS 型電界効果トランジスタ(MOSFET)に関する下記の設問(3)～(5)に答えよ．な
お，ソースからドレイン方向に x 軸をとり，ソース端を x=0，ドレイン端を x=L とせよ．

(3) ソース・ゲート間に正のゲート電圧 VG を加えると，チャネル領域に自由電子が誘起される．MOSFET のしきい値電圧を Vth，チャネルの x 点における電位を V(x)としたとき，チャネル領域の位置 x における電荷密度 Qn(x)を式で示せ．
(4) ソース・ドレイン間に正のドレイン電圧 VD を印加すると，チャネル領域の自由電子がソースからドレインへと流れる．自由電子の移動度を μ としたとき，ドレイン
電流 ID を表す式を導け．ただし，ソース・ドレイン間でチャネルは均一に形成され，移動度 μ はチャネル内で一定の値を持つものとする．
(5) ゲート電極の材料を，仕事関数の大きな金属に変えた．このとき，しきい値電圧は，どのように変化するか．理由とともに答えよ．

10

Entrance Examination, Dec. 5. 2020

Semiconductor devices
Answer the following questions ( １

２

３ ).

１
Figures 1(A), (B), and (C) show schematics of energy band structures of semiconductors.
Answer the following questions.
Energy (E)Energy (E)Energy (E)Conduction band

Conduction band

Conduction band

Valence band

Valence band

Valence band

Wave number (k)Wave number (k)Wave number (k)

(A)

(B)

(C)

Fig. 1(1) Write down the letters (A-C) corresponding to the semiconductors having the energy band
structures (A) to (C) in the ascending order of the effective mass of free electrons.
(2) Write down the letters (A-C) corresponding to the semiconductors having the energy band
structures (A) to (C) in the ascending order of the effective mass of holes.
(3) Among (A)-(C), list all semiconductors having indirect-transition energy band structures.
(4) Which is suitable for application to both high-speed transistors and high-efficiency lightemitting devices among (A)-(C)? Answer with the reason.
(5) When the values of resistance of semiconductors (A)-(C) were measured with increasing theapplied bias, the resistance of a semiconductor increased with the increase in the applied bias.
Select the semiconductor among (A)-(C) that shows this phenomenon, and explain the reason.

11

２
Answer the following questions concerning a pn junction diode, composed of a p-type silicon(Si) with an acceptor concentration NA and an n-type Si with a donor concentration ND. Here, theabsolute temperature is T, the intrinsic carrier concentration is ni, and the elementary charge is q.
(1) Answer the concentrations of holes and free electrons in the neutral region of the p-type Si.
(2) The acceptor concentration in the p-type Si is decreased to 1/10. Will the diffusion barrier(built-in potential) increase or decrease compared with the original value? Answer with thereason.
(3) Answer the polarity (positive or negative) of a bias voltage applied to the n-type Si, when aforward bias is applied to this pn junction.
(4) A sufficiently long time has passed with applying a forward bias (bias voltage: VF) to this pnjunction. The x-axis is defined as shown in Fig. 2, where the position of the depletion region
side edge of the p-type Si is x=0, and the other side edge of the p-type Si is x=W. Showequations for the free electron concentration at x=0 and x=W. Here, Boltzmann’s constant isrepresented as k. The length W of the neutral region of the p-type Si is much longer than the
diffusion length L of free electrons.
(5) Sketch a profile of the free electron concentration in the neutral region of the p-type Si, andshow an equation for the free electron concentration at position x (0≦x≦W). In the sketch, set
the free electron concentration and x on the vertical axis and horizontal axis, respectively.

depletion
regionn-type Si

p-type Si

neutral region

neutral region

0
Fig. 2

12

W

x

３
Answer the following questions (1) and (2) concerning a metal-oxide-semiconductor(MOS) structure consisting of a p-type silicon (Si) substrate. The work function of the metal of thegate electrode is the same as that of the p-type Si, there is no electric charge in the gate insulator,
and there is no interface state at the interface between the gate insulator and the p-type Si.
(1) When a positive bias VG was applied to the gate electrode, an inversion layer was formed, andthe concentration of the free electrons in the inversion layer became equal to the acceptor
concentration in the p-type Si. Sketch an energy band diagram in the region from the gateelectrode to the inside (neutral region) of the p-type Si substrate. The gate bias VG, the energy
positions of the Fermi energy EFM of the gate electrode metal, the top of the valence band EV,
the bottom of the conduction band EC, the Fermi level EF, the intrinsic Fermi level Ei, and thesurface potential φs of the p-type Si should be shown in the energy band diagram. The
elementary charge is represented as q.
(2) Even when the gate bias VG is increased from the value in the previous question (1), the widthof the depletion layer does not extend. Explain the reason.

Answer the following questions (3)-(5) concerning an n-channel MOS field effect transistor(MOSFET) with the gate length L, the gate width W, the thickness of the gate oxide tox, and thedielectric constant of the gate oxide εox. Take the x-axis in the direction from the source toward thedrain, and x=0 and L at the edges of the source and drain, respectively.
(3) By applying a positive bias voltage VG between the source and gate, free electrons are inducedin the channel region. Show an equation for the charge density Qn(x) at position x in the channel
region, using the threshold voltage Vth of the MOSFET, and the potential V(x) of thesemiconductor surface at position x.
(4) By applying a positive bias voltage VD between the source and drain, free electrons in thechannel region flow from the source to the drain. Show an equation for the drain current ID,
using the free electrons mobility μ. Assume that the channel is uniformly formed between thesource and the drain, and μ is constant in the channel region.
(5) How does the threshold voltage Vth change, when the gate electrode metal is changed to thathaving a larger work function? Answer with the reason.

13

2020.12.05
令和３年度

九州大学大学院システム情報科学府 電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題

計算機工学 (Computer Engineering)（6 枚中の 1）
次の各問い（【問 1】〜【問 3】）に答えよ．大問一つあたり一枚の解答用紙を用いよ．
【問 1】与えられた真理値表で表される論理関数 F (a, b, c, d) が以下の論理式を満たす時，論理関数 G(X, Y, Z, W ) の最簡積和形を示せ．ただし，最簡積和形とは積和形論理式のうち，積項数が最小のものを指す．積項数が等しい積和形論理式が複数ある場合にはそのなかでリテラル数が最小のものを指す．

a

b

c

d

F

0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1

0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1

0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1

0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0

X = āb̄c̄ + b̄d + abd¯
Y = ācd¯ + bcd + ab̄d + ac̄d¯Z = ābc̄ + bc̄d + b̄d
W = ābd¯ + abd + cd + āc
F (a, b, c, d) = G(X, Y, Z, W )14

2020.12.05
令和３年度

九州大学大学院システム情報科学府 電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題

計算機工学 (Computer Engineering)（6 枚中の 2）【問 2】 5 つのステージからなるパイプライン式データパスを有するマイクロプロセッサについて考える．実装されたパイプラインステージは，IF（命令取得），ID （命令デコード），

EX（実行），MEM（メモリアクセス），ならびに，WB（ライトバック）である．以下の各問いに答えよ．

(1) IF，ID，EX，MEM，WB の遅延時間は，それぞれ，240 ps，400 ps，200 ps，250
ps，180 ps である．このデータパスの最大動作周波数を答えよ（単位は GHz）．
(2) IF，ID，EX，MEM，WB のいずれか 1 つを 2 つのステージに分割し，パイプラ
インステージ数を 5 から 6 へと増加することを考える．ここで，分割された各パイ
プラインステージの遅延時間は，分割前のパイプラインステージの遅延時間の半分になると仮定する．パイプラインの動作周波数を最大にするために分割すべきパイ
プラインステージを選択せよ．また，この設計最適化により達成できる最大動作周
波数を答えよ（単位は GHz）．

15

2020.12.05
令和３年度

九州大学大学院システム情報科学府 電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題

計算機工学 (Computer Engineering)（6 枚中の 3）【問 3】 2 つの数の加算，乗算および大小比較は各々単位時間で行えるものとする．以下の各問
いに答えよ．

(1) 与えられた d1 × d2 行列 A と d2 × d3 行列 B に対し，アルゴリズム 1 はそれらの積
C = AB を求める．アルゴリズム 1 の時間計算量を答えよ．
アルゴリズム 1.
入力: d1 × d2 行列 A = (aij ) と d2 × d3 行列 B = (bij )1 for i ← 1 to d1
2
for j ← 1 to d33
cij ← 0
4
for k ← 1 to d2
5
cij ← cij + aik bkj
6 return C = (cij )(2) 10 × 100 行列 A と 100 × 1 行列 B と 1 × 100 行列 C と 100 × 10 行列 D が与えられた
とき，これらの積 E = ABCD をアルゴリズム 1 をサブルーチンに用いて求めたい．

(a) 数式 E = (A(BC))D で表される積の順に従う場合，行列 E の計算における加算と乗算の回数の合計を答えよ．

(b) E の計算にかかる時間が最小となる積の順を，問 (a) に倣った数式で記述せよ．
また，その積の順に従う E の計算における加算と乗算の回数の合計を答えよ．

(3) Mi (i = 1, . . . , n) は di × di+1 行列とし，これらの積 X = M1 · · · Mn をアルゴリズム
1 を用いて求めたい．X の積の順に伴う時間計算量について，アルゴリズム 2 はその最小を求めることを証明せよ．またアルゴリズム 2 の時間計算量を答えよ．
アルゴリズム 2.
入力: 正整数 d1 , . . . , dn+1
1 for j ← 1 to n
2f (j, j) ← 0
3 for i ← 1 to n
4
for j ← 1 to n − i
5f (j, j + i) ← min {f (j, k) + f (k + 1, j + i) + dj dk+1 dj+i+1 }j≤k<j+i6

return f (1, n)

16

2020.12.05
令和３年度

九州大学大学院システム情報科学府 電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題

計算機工学 (Computer Engineering)（6 枚中の 4）
Answer the following questions (【Q1】〜【Q3】).
【Q1】 Let F (a, b, c, d) be a logic function whose truthtable is shown below. When the following

logic equations hold, show the minimum sum of products form of the logic function
G(X, Y, Z, W ). The minimum sum of products form of a logic function f has the smallest
number of product terms among those which represent f . If there are more than one
forms having the smallest number of product terms, forms with the minimum numberof literals are chosen.
a

b

c

d

F

0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1

0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1

0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1

0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0

X = āb̄c̄ + b̄d + abd¯
Y = ācd¯ + bcd + ab̄d + ac̄d¯Z = ābc̄ + bc̄d + b̄d
W = ābd¯ + abd + cd + āc
F (a, b, c, d) = G(X, Y, Z, W )17

2020.12.05
令和３年度

九州大学大学院システム情報科学府 電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題

計算機工学 (Computer Engineering)（6 枚中の 5）【Q2】 Let us consider a microprocessor that has a 5-stage pipelined datapath. The imple-

mented pipeline stages are IF (Instruction Fetch), ID (Instruction Decode), EX (EXecution), MEM (MEMory access), and WB (Write Back). Answer the following questions.
(1) The latency of pipeline stages, IF, ID, EX, MEM, and WB, is 240 ps, 400 ps, 200
ps, 250 ps, and 180 ps, respectively. Answer the maximum clock frequency of thisdatapath (unit is GHz).
(2) Consider increasing the number of pipeline stages from 5 to 6 by partitioning asingle pipeline stage, IF, ID, EX, MEM, or WB, to two stages. Assume the latencyof the partitioned pipeline stages is half of that of the original stage. Choose one
pipeline stage that should be partitioned for maximising the clock frequency of thedatapath, and answer the maximum clock frequency we can achieve by this design
optimization (unit is GHz).

18

2020.12.05
令和３年度

九州大学大学院システム情報科学府 電気電子工学専攻修士課程 入学試験問題

計算機工学 (Computer Engineering)（6 枚中の 6）【Q3】 Suppose that each of additions, multiplications and comparisons of two numbers takes

a unit time. Answer the following questions.
(1) Given a d1 ×d2 matrix A and a d2 ×d3 matrix B, Algorithm 1 computes the product
C = AB. Show the time complexity of Algorithm 1.
Algorithm 1.
Input: d1 × d2 matrix A = (aij ) and d2 × d3 matrix B = (bij )1 for i ← 1 to d1
2
for j ← 1 to d33
cij ← 0
4
for k ← 1 to d2
5
cij ← cij + aik bkj
6 return C = (cij )(2) Given a 10 × 100 matrix A, a 100 × 1 matrix B, a 1 × 100 matrix C and a 100 × 10
matrix D, we wish to compute E = ABCD using Algorithm 1.
(a) Show the total number of additions and multiplications in the computation of E
according to the multiplying order represented by the equation E = (A(BC))D.
(b) Show the multiplying order of E, in the form of an equation similar to thequestion (a), minimizing the execution time. Also, show the total number of
additions and multiplications in the computation of E according to the order.
(3) We wish to compute X = M1 · · · Mn using Algorithm 1 where Mi is a di ×di+1 matrix
for each i = 1, . . . , n. Prove that Algorithm 2 finds the minimum time complexity
over the multiplying orders of X. Also, show the time complexity of Algorithm 2.
Algorithm 2.
Input: positive integers d1 , . . . , dn+1
1 for j ← 1 to n
2f (j, j) ← 0
3 for i ← 1 to n
4
for j ← 1 to n − i
5f (j, j + i) ← min {f (j, k) + f (k + 1, j + i) + dj dk+1 dj+i+1 }j≤k<j+i6

return f (1, n)

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