構造物‐杭‐地盤連成系への地震エネルギー入力のメカニズムM2 大渕 邦之
指導教官 竹脇 出
同1 序教授

上谷 宏二 教授

上部構造は２質点モデルとする。これは、ここでは比較的構造物と地盤の動的相互作用に関するこれまでの研究は、主長周期のモデルを扱うため、２次モードの影響も考慮した取として変形や力に関するものが多く、地震入力エネルギーを論り扱いとするためである。剛性分布は、基礎固定時の１次固じた研究は数少ない。その原因としては、両者の動的相互作用有モードが逆三角形となるよう設定する。剛性の大きさは、を考慮した場合には挙動が複雑となり、入力エネルギーを定義

基礎固定時の１次固有周期を種々変化させることにより変動することが容易ではなかったことや、地震動の有する不確定性させる。本モデルの定式化は文献 6)に示されている。と地盤物性等の不確定性とが相俟って、基礎固定モデルに比べu2て評価のばらつきが大きいこと等が挙げられる。また、地盤をu1同時に扱う場合には、エネルギー入力を考える系をどのようにするかという問題も存在する。
本研究では、構造物‐杭‐地盤連成系モデルを取り上げ、こugupugupのモデルに入力される地震エネルギーを明らかにする。特に、地盤まで含めた全体システムに入力されるエネルギーと、構造(a)物に入力されるエネルギーの関係について論じる 1, 2)。これま(b)(c)

図２ 自由体と作用する力

でに、構造物に入力される地震エネルギーに関する研究は数多く行われ、多くの成果が得られている（例えば 1-3）)。本論文
は、文献 2, 3)で提案された方法を構造物‐杭‐地盤連成系モデ3ルに拡張し、そのような表層地盤による増幅効果を含む相互作‐地盤連成系への入力エネルギー用系に入力される地震エネルギーの取り扱い方やそのメカニ

解放工学的基盤面水平加速度入力を受ける構造物‐杭前節で定義された構造物‐杭‐地盤連成系が、解放工学的基

盤面水平加速度入力 ug (t ) = a (t ) を受ける場合を考える。ここズムについて論じた研究である。

では、簡潔明快な提示のため、表層地盤は２層とし、上部構造は２質点とする。解放工学的基盤面水平加速度のフーリエ変換

2 Winkler 型ばねを用いた構造物‐杭‐地盤連成系モデル
本論文では、図 1 に示すような水平境界を有する層状地盤を A(ω ) で表し、それに対する 1, 2 層自由地盤変位（フーリエ内に杭が存在する場合を対象とする。ここでは１本の杭に関変換U g1 ( z1, ω ) , U g 2 ( z2 , ω ) ）の伝達関数を次式で定義する。
H g1( z1,ω ) = U g1( z1,ω ) / A(ω ) , H g 2 ( z2 ,ω ) = U g 2 ( z2 ,ω ) / A(ω )する定式化を行う。上部構造物はせん断型構造物モデルとし(1a, b)て扱い、杭頭は回転が拘束されているものとする。基礎のロ

これらは、文献 6）で示した１次元重複反射理論により求めらッキングは考慮しない。動的 Winkler 型ばねの剛性は杭頭拘れる。同様に、 A(ω ) に対する 1, 2 層杭変位（フーリエ変換束に対応する値（地盤のヤング係数の 1.2 倍）を用い 4, 5)、減衰係数は水平方向への逸散減衰（１次元波動伝播理論とのアナU p1 ( z1, ω ) , U p 2 ( z2 , ω ) ）の伝達関数を次式で定義する。

ロジーにより評価）と履歴減衰の和で表現する 5)。従って、減H p1( z1,ω ) = U p1( z1,ω ) / A(ω ) , H p 2 ( z2 ,ω ) = U p 2 ( z2 ,ω ) / A(ω )(2a, b)衰係数は振動数依存型となる。

これらは、文献 6）で示した連立方程式を解くことにより求められる。(1), (2)式の伝達関数は、解放工学的基盤面水平加速度に対する伝達関数であり、文献 6)で示されている水平変位に対する伝達関数とは異なる。すなわち、文献 6)の伝達関数を(−ω 2 ) で除した関数に相当する。

図 2(a), (b)のような自由体を考え、地盤側方および杭先端に作用する力が対応する変位に対して為す仕事を、構造物‐杭‐地盤連成系への入力エネルギーと定義する。この入力エネルギーは、時間領域では次のように表現される。
図1

構造物‐杭‐地盤連成系モデル

1

2∞
EIA = ∑ ∫0Li ∫−∞{k xi (u gi − u pi ) + cxi (u gi − u pi )}u gi dtdzi(10)式を次のように表現する。

i =1∞+ ∫−∞{− E p I pu p 2′′′ ( L2 )}u p 2 ( L2 )dt

2∞(11)
EIS = ∫−∞FS (ω ) A(ω ) dωFS (ω ) を構造物へのエネルギー伝達関数と呼ぶことにする。

(3)(3)式の右辺の第１項が地盤側方からの入力エネルギーを示し、第２項が杭先端からの入力エネルギーを示している。 Li は第 i

5 損傷限界レベル地震動と安全限界レベル地震動に対する入層地盤の層厚を表す。自由地盤と杭の変位について逆フーリエ力エネルギー：数値例

変換を行うと、(3)式は次のように変形できる。

ここでは、A 地盤（軟弱地盤: Ground A）、B 地盤（硬質地盤:2∞ ⎡∞EIA = ∑ ∫0Li ∫−∞(1/ 2π ) ∫−∞Si (U gi − U pi )eiω t dω ⎤ u gi dtdzi⎣⎦
i =1Ground B）の２種類の表層地盤モデルに対する数値例を示す。
両地盤モデルのせん断波速度の profile を図 3 に示す。地震動の∞∞E p I p ⎡⎢ (1/ 2π ) ∫−∞U p 2′′′ ( L2 ,ω )eiω t dω ⎤⎥ u p 2 ( L2 )dt− ∫−∞⎣⎦(4)
ここで、U p 2′′′ ( L2 , ω ) は u p 2′′′ ( L2 ) のフーリエ変換を表す。

入力レベルとしては、2000 年改正の建築基準法に基づく損傷限界レベルと安全限界レベルを採用する。ここでは地盤特性は等価線形解析により評価するものとし、地盤のひずみレベル依存(4)式の u gi と u p 2 ( L2 ) にフーリエ変換を適用し、(1), (2)の伝達性としては、図 4 で示される特性を採用する。地盤の等価線形関数を用いると、(4)式は次のようになる。

解析の際には、１次元重複反射理論による方法（所謂 SHAKE

2∞ Li
EIA = −(1/ 2π ) ∑ ∫−∞∫0 (iω ) Si {H gi ( zi ,ω ) − H pi ( zi ,ω )} ⋅と同様のプログラムを用いた方法）と、線形変位関数に基づく

i =12H gi ( zi , −ω ) A(ω ) dzi dω

１次元有限要素法と複素固有値解析を用いた応答スペクトル

2∞+ ( E p I p / 2π ) ∫−∞(iω ) H p 2′′′ ( L2 ,ω ) H p 2 ( L2 , −ω ) A(ω ) dω法の両者を採用する。地盤の sub-layer の厚さは 1m とする。１次元重複反射理論による方法では、
2000 年改正の建築基準法に(5)基づく損傷限界レベルと安全限界レベルの設計用応答スペク(5)式を次のように表現する。
2∞
EIA = ∫−∞FA (ω ) A(ω ) dω

トルに適合する地震波を作成し、それを用いている。また、後者の応答スペクトル法では、減衰は粘性減衰を用いて近似し、(6)減衰行列を作成する際には剛性比例型の減衰行列を用いていFA (ω ) を構造物‐杭‐地盤連成系に対するエネルギー伝達関る。さらに、底面では粘性境界を用いている。

数と呼ぶことにする。

応答スペクトル法により評価された剛性を自由地盤の剛性

本節の定式化で注意すべき点は、負の振動数領域を含む領域

および Winkler 型ばね剛性に用い、得られた減衰定数を自由地で履歴減衰を扱う際に、減衰を含む虚部に振動数による符号盤の履歴減衰定数および Winkler 型ばねに対応する減衰の履歴sgn(ω)を導入する必要があることである 7)。

減衰部分に用いる。Winkler 型ばねに対応する減衰では、履歴

これまでに、１自由度系に対して地震入力エネルギーを振動減衰以外に水平方向への逸散減衰が付加される４-６)。得られた数領域で表現する方法はいくつか提案されているが、多自由度剛性を用いた表層地盤の１次固有周期は、A 地盤の損傷限界と系に対しては、著者らにより文献 2, 3)で初めて提示された。

安全限界でそれぞれ 1.0, 1.6(s)、B 地盤の損傷限界と安全限界でそれぞれ 0.6, 1.2(s)である。

4 構造物への入力エネルギー

5た面に作用する力（上部慣性力の総和）が対応する変位に対し1015sand202530

clay
clay Engineering Bedrock
0clay
Engineering Bedrock

35100200300
400shear wave velocity (m/s)

40500

0100200300
400
shear wave velocity (m/s)

図３ A 地盤（軟弱地盤），B 地盤（硬質地盤）のせん断波(8a, b)速度分布(9)(9)式の u p1 (0) にフーリエ変換を適用し、(8)の伝達関数を用いると、(9)式は次のようになる。
∞
EIS = (1/ 2π ) ∫−∞(iω 3 ){∑ 2j =1 m j H j (ω )}H p1 (0, −ω ) A(ω ) dω
(10)
22

1.2

0.4

stiffnessof clay

10.80.35

damping ratioof sand0.60.30.25

stiffnessof sand0.2

damping ratioof clay
0.150.4

0.1
0.2010 -6

0.05
10 -5

10 -4

10 -3

10 -2shear strain

図４ 地盤特性のひずみレベル

010 -1

damping ratio β

stiffness reduction ratio G/G 0

j =12540により求められる。1, 2 層質点の変位について逆フーリエ変換

−∞

clay

2035

これらの伝達関数は、文献 6）で示した連立方程式を解くこと−∞

1015sandU 2 (ω ) ）の伝達関数を次式で定義する。

IGround B

clay

5

sand30(7)A(ω ) に対する 1, 2 層質点の変位 u1, u2 （フーリエ変換U1 (ω ) ,を行うと、(7)式は次のように変形できる。
E S = ∫ ∞ (1/ 2π ) ∫ ∞ {∑ 2 m jU j }eiω t dω u p1 (0)dt

Ground A

Depth (m)Depth (m)エネルギーは、時間領域では次のように表現される。

H1 (ω ) = U1 (ω ) / A(ω ) , H 2 (ω ) = U 2 (ω ) / A(ω )sandclayて為す仕事を構造物への入力エネルギーと定義する。その入力∞
EIS = ∫−∞{∑ 2j =1 m j u j }u p1 (0)dt

GL- 0

GL- 0

図 2(c)のような自由体を考え、構造物下端で仮想的に切断し

500

8000

8000

Re{FS}Continuum
Re{FS}FEM

Ground A

Re{FA}Continuum
Re{FA}FEM
6000

Ground A

FA (ω ) , FS (ω ) の実部を表す。上部構造の基礎固定時の１次固6000

有周期は 0.3(s)である。図 6 の実線は、A 地盤と B 地盤に対す
Re{FS}

Re{FA}

4000

4000

2000

2000

00-2000-60-40-2002040-2000-6060

る、安全限界レベル地震動入力時の、(6), (11)式で定義されるエ
ネルギー伝達関数 FA (ω ), FS (ω ) の実部を表す。虚部は振動数の奇関数となり、入力エネルギー評価には関係しないため、ここでは示していない。A 地盤、B 地盤とも、損傷限界レベル-40-200204060の入力については、上部構造物の１次固有円振動数付近（約circular frequency (rad/s)

circular frequency (rad/s)(a) 全体システム（地盤 A）(b) 構造物（地盤 A）

20rad/s）で大きな値を示すことがわかる。一方、安全限界レベルの入力については、軟弱な A 地盤では、上部構造物の１次固8000

8000

有振動数付近よりも表層地盤の１次固有振動数付近（約 4rad/s）

Ground B

Re{FS}Continuum
Re{FS}FEM

Ground Bで大きな値を示すことがわかる。

6000

6000

4000

4000

2〜4 節で提案されている本手法の妥当性を検証するため、
図2000

2000

5, 6 には、文献 6)で示されている有限要素モデルを用いた方法

00Re{FS}

Re{FA}

Re{FA}Continuum
Re{FA}FEMによる結果が破線で示してある。文献 6)で示されている有限要素モデルを用いて(9), (10)式の伝達関数を求め、有限要素化を行-40-20020

40-2000-6060-40

circular frequency (rad/s)-200204060

circular frequency (rad/s)(c) 全体システム（地盤 B）

いる。図 5, 6 から、2〜4 節で提案されている本手法は、文献(d) 構造物（地盤 B）

6)で示されている有限要素モデルによる方法とも極めて良好

図 5 全体システムと構造物へのエネルギー伝達関数の実部な対応を示し、十分な精度を有するといえる。

（損傷限界レベル入力）
3000

2000

2000

1500

1500

Re{FS}

Re{FA}

2500

1000と構造物への地震入力エネルギーを、上部構造物の基礎固定時

50000-500

Re{FA}Continuum
Re{FA}FEM-1000-60-40-200

Re{FS}Continuum
Re{FS}FEMの１次固有周期に対して描いた図を示す。ただし、損傷限界レベルで地震動の最大速度を 10(cm/s), 50(cm/s)に設定している。
損傷限界レベルに対する図を図 7 に示す。軟弱な A 地盤では、全体系と構造物への地震入力エネルギーで差が見られるが、硬質な B 地盤では極長周期域を除き、両者にはほとんど差が見ら-5002040-1000-6060-40-200204060

circular frequency (rad/s)

circular frequency (rad/s)(a) 全体システム（地盤 A）

に対して、硬質な B 地盤では、そのようなエネルギーが小さいことを示している。

3000

Re{FA}Continuum
Re{FA}FEM

Ground B
2500

れない。これは、軟弱な A 地盤では、地盤が消費する（あるいは地盤を介して周辺へ逸散する）エネルギーが比較的大きいの(b) 構造物（地盤 A）

3000

Re{FS}Continuum
Re{FS}FEM

Ground B
3 104

3 104

1000

1000
500

500
00-500-500-40-200204060

overallstructure1500

input energy (J)Re{FA}

Re{FS}

1500-1000-60-40-2002040

2 104

1 104

overallstructure
2 104

1 104

60

circular frequency (rad/s)

circular frequency (rad/s)(c) 全体システム（地盤 B）

Ground B

Ground A2000

2000-1000-60

Ground A

1000500

2500

次に、El Centro NS (Imperial Valley 1940)による全体システム

3000

Ground A
2500

う際と同様の変位関数を伝達関数の要素内変位補間に用いてinput energy (J)-2000-6000(d) 構造物（地盤 B）

2468

natural period (s) (fixed-base)図 6 全体システムと構造物へのエネルギー伝達関数の実部

図7（安全限界レベル入力）
モ デ ル の 質 量 は 、 上 部 mi = 10 × 103 (kg )(i = 1, 2) , 基 礎

10002

468

natural period (s) (fixed-base)(a) 地盤 A(b) 地盤 B
上部構造物の基礎固定時の１次固有周期に対して描いた El Centro NS (Imperial Valley 1940)による全体システムと構造物への地震入力エネルギー（損傷限界レベル入力）

m0 = 30 ×103 (kg ) であり、階高は hi = 3.5(m)(i = 1, 2) とする。地盤の密度とポアソン比は ρ = 1.6 × 103 (kg / m3 ) , ν = 0.45 とす

図 8 には、損傷限界入力による全体システムへの地震入力エる。上部構造の減衰は剛性比例型とし、減衰定数は基礎固定のネルギー（実線）と、杭先端からの地震入力エネルギー（破線）を示す。A,B 両地盤とも、杭先端からの地震入力エネルギーは、１次固有振動に対して 0.05 とする。
図 5 の実線は、A 地盤と B 地盤に対する、損傷限界レベル地上部構造の１次固有周期に関係なくほぼ一定値をとることが震動入力時の、(6), (11)式で定義されるエネルギー伝達関数わかる。また、上部構造物の１次固有周期が 0.5-1.5 秒付近（A310地盤）および 0.3-3 秒付近（B 地盤）では、全体システムへの界入力に対しては図(a)に、安全限界入力に対しては図(b)に示

地震入力エネルギーは杭先端からの地震入力エネルギーよりす。上部構造の基礎固定時の１次固有周期は 0.5(s)である。深も大きく、地盤側方からの入力エネルギーが正の値をとることさに依存して、構造物‐杭‐地盤連成系にエネルギーが入力がわかる。一方、それ以外の上部構造物の１次固有周期の領域される部分と、構造物‐杭‐地盤連成系からエネルギーが出では、全体システムへの地震入力エネルギーは杭先端からの地ていく部分が存在することがわかる。尚、図 9 と図 10 では横震入力エネルギーよりも小さく、地盤側方からの入力エネルギ軸のスケールが異なることに注意が必要である。

ーが負の値をとることがわかる。すなわち、地盤により消費される（あるいは水平方向に逸散する）エネルギーが増大するこ

6 結論とを意味している。

(1) 構造物‐杭‐地盤連成系モデルが解放工学的基盤面水平Ground B

Ground A

ステムと構造物の両者に入力される地震エネルギー（系overallfrom pile-tip(z=29m)

overallfrom pile-tip (z=37m)

input energy (J)input energy (J)

加速度入力を受ける場合を取り上げ、地盤を含む全体シ3 104

3 10 4

2 10 4

1 10 42 104に為す仕事）を振動数領域で評価する方法を提示した。
(2) 本手法は振動数領域における定式化であるため、杭に対1 104する地盤の抵抗を振動数に依存する動的 Winkler 型ばねで表現する場合や、自由地盤の応答を波動論を用いて表002468010024610

natural period (s) (fixed-base)natural period (s) (fixed base)

性を見出すことが比較的容易である。
(4) 地中の側方から入力されるエネルギーは、地盤特性と深さに依存して、系に入力される場合と系から出て行く場

Ts=0.5(s), Tg=1.6(s)Ts=0.5(s), Tg=1.0(s)-5-5Ground A-10-15-15depth (m)-10-20-25-35-350

用し、エネルギー伝達関数と全体系や構造物への入力エネルギーを有効に求めることができることを示した。

-40 4-8 10 -6 104 -4 104 -2 104

2 104 4 104 6 104 8 104合が存在することを明らかにした。
(5) 損傷限界レベルと安全限界レベルの解放工学的基盤面入力を受ける軟弱地盤と硬質地盤の例について本手法を適-25-30-40 4-8 10 -6 104 -4 104 -2 104

Ground A-20-30

図9関数）が定義できるため、地震波によらない一般的な特00現する場合にも有効に利用できることを示した。
(3) 振動数領域における方法では、エネルギー伝達関数（F(a) 地盤 A(b) 地盤 B
上部構造物の基礎固定時の１次固有周期に対して描いたEl Centro NS (Imperial Valley 1940)による全体システムへの入力エネルギーと杭先端からの入力エネルギー（損傷限界レベル入力）

図8depth (m)8(6) エネルギー伝達関数について、著者らが別途提案する有02 104 4 104 6 104 8 104

input energy density (J/m)

input energy density (J/m)

限要素モデル 6)による結果との比較を行い、本論文で提案(a) 損傷限界入力(b) 安全限界入力

する方法は、有限要素モデルによる結果と良好な対応を示すことを明らかにした。

地盤Aにおける地盤側方からの入力エネルギー密度の深さ方向分布（損傷限界レベル入力と安全限界レベル

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盤側方からの入力エネルギー密度の深さ方向分布を、損傷限depth (m)depth (m)入力）4