ECOH/YG 技術論文 No. 7

2007年11月13日

既往資料に基づく砕波に係わる諸統計量の再整理 (Version 2)
REANALYSIS OF STATISTICAL PROPERTIES OF BREAKING WAVESBASED ON ARCHIVAL DATA

合田良実
Yoshimi GODA
土木学会名誉会員

工博

横浜国立大学名誉教授 (株) エコー（〒110-0014 東京都台東区北上野 2-6-4）
Honorary Member of JSCE, Dr.Eng., ECOH Corp.

A review is made on the statistical features of breaking waves in the nearshore waters. Physicalcriteria of wave breaking are discussed with a table of theoretical breaking limit on a horizontal bed. The
breaker index for regular waves is not a deterministic value but a stochastic value with a certain range ofvariation. The coefficient of variation increases from 6% for 1/100 slope to 14% for 1/10 slope as thebottom becomes steep. The incipient breaker index for random waves is lower than the regular wave
index by 30%. Both indices should be expressed with the parameters of the bottom slope and the relative
depth h/L0. The wave height distribution becomes wider than the Rayleigh just outside the surf zone,
narrower in the middle of the surf zone, and nearly the same near the shoreline. No truncation of theprobability density at the breaking limit is observed in the field and laboratory data. The wave heightratios such as H1/10/H1/3 and Hrms/H1/3 vary gradually throughout the surf zone, as demonstrated by thefield and laboratory data. Discussions are made on the method of incorporating wave breaking process innumerical models of wave transformation with demonstration of different prediction of wave heightdecay by various numerical models.
Key Words: breaker index; statistical variability; random wave height ratio; wave nonlinearity

１．まえがき高さを測るには計測器を特別に設置しなければならない。実験室であれば造波水路でいろいろな観察・測定が可能であるが，砕波をテーマとする研究者以外は，
海の波が大きく巻き込んで砕ける現象は人々を魅了
し，サーフィングに絶好の場を提供する。工学的にも， 砕波の現象を十分に観察する機会を得ていないであろう。
砕波は構造物に巨大な力を発現して破壊の危険にさら砕波に関する知見はこれまでの諸研究の成果に基づすとともに，沿岸に海浜流を惹起して海浜の侵食・堆いている。調査設計や研究の上で砕波に関する情報が積を引き起こす主因となる。こうした砕波の現象を的必要なときには，技術指針，マニュアル，公式集など
確に理解しない限り，海岸・港湾の施設を適切に計画に記載されている砕波高のグラフその他を参照するにし，設計することは困難であり，これは海岸工学の研とどまり，元の研究論文までも吟味することは少ない究においても同様である。
と思われる。そうしたためか，砕波指標，すなわち砕しかしながら，波が白波を立てて砕け，エネルギー
波地点の波高と水深の比率は，与条件によって確定さを失いつつ前進し，やがて再び波高の小さな波となっれた値であると解釈されることが多い。しかし砕波指て再生する過程をじっくりと観察することは容易では
標は，かなりのばらつきのある実験データの平均的なない。海岸から突き出された桟橋，あるいは岸近くの関係として導かれたものであり，そうしたばらつきは
高台など，観察に適した場所が必要である。それでも
砕波現象に特有な変動性に起因している。
普通は定性的な観察にとどまり，砕波しつつある波の近年は数値計算手法の発達によって沖合から海岸までの波浪変形を詳細に解析することができるようになりつつある。砕波の始まる地点よりも沖側については信頼度の高い計算値が得られる。一方，現地で不規則
波浪が砕波するような外浜域については，砕波の始まる条件を設定し，エネルギー減衰過程をモデル化する必要がある。しかしながら，これまでの数値計算法の開発においては，開発者が使いやすいと考えた砕波モ
デルを，物理的メカニズムを十分に検討しないまま数値計算法に組み込んだ事例が幾つか見受けられる。
この技術論文においては，これまでに発表されている諸研究を精査し，現在までの知見をもう一度見直す。
そして各種のデータを再整理し，実務ならびに研究に使用可能な砕波に係わる諸統計量を整備することを目的としている。本論文の成果が各位の業務・研究に役立つことがあれば何よりも幸いである。

２．砕波の流体力学的定義
水の波が砕けるというのは，波の峰に白い泡が現れてそれが広がる，あるいは運動している波の水面から
波峰の水粒子が分離し，前方あるいは上方へ飛び出す現象である。すなわち，滑らかな水面の連続性が壊されることである。砕波の形状は，一般に崩れ波，巻き波，砕け寄せ波の三種類に分類される。

崩れ波と言っても，現実の海では飛行機の窓から少し荒れた海を見下ろすと分かるように，大きな波が少し巻き込んで砕け，その後に白波の部分を残して前へ
通り抜けて青波となる。その次の波は波高を増大させて砕け，白波を残していき，これが何波か繰り返される。これは，波のエネルギーが波速の1/2の群速度で伝播される状況を如実に示すものである。
砕波の現象を流体力学的条件として表すと次の3通りの条件となる。
1) 波峰の水粒子の水平軌道運動速度が波の位相速度を超える。
2) 波峰の水粒子の上向き鉛直軌道運動加速度が重力加速度を超える。
3) 波峰における全水圧の鉛直勾配が負となる。
第1の条件は，水平床上を伝播する変形しない波(permanent waves) の理論的限界波高の波を求めるために利用されてきた。McCowan (1894) による孤立波の限界波高 Hb が 0.78 hであるとの計算結果（ここに hは水深）はこの砕波条件によるものである。こうした限界状態の波は摂動展開法では計算がむずかしく，波の峰が120ºの隅角をなすとの条件を用いる理論展開で導かれてきた。現在のところ，最も信頼度が高いと思われる理論解は，周期波についてはYamada・Shiotani(1968)，孤立波については Yamada et. al. (1968) によるものであり，その計算結果を表−1 に示す。

表−1 砕波限界における変形しない波の特性値（Yamada−Shiotani (1968) をとりまとめた合田(1970) による）

hb/L0
infinity
0.935
0.471
0.286
0.18560.11170.07630.04740.02840.016690.01095
0.00575
0.002390.001144
0.0004370hb/LA*
infinity
0.935
0.474
0.300
0.216
0.15100.11980.09150.06940.05250.04220.03060.01953
0.01351
0.00833
0hb/Lb
infinity
0.76860.40110.25970.18850.13310.10500.07915
0.05909
0.04398
0.03499
0.24830.015700.01075
0.00660
0Cb/CA*
1.193
1.189
1.181
1.154
1.143
1.134
1.141
1.156
1.174
1.193
1.207
1.231
1.244
1.257
1.263
1.285**

Hb/Lb
0.14120.14090.13860.12770.11150.08997
0.074100.057710.04430
0.033710.027200.01962
0.01260
0.00871
0.005380Hb/hb
00.17910.3456
0.49190.5912
0.66830.70590.72930.7496
0.76660.77740.79040.80280.80990.81600.8261**

注：* LA とCA は微小振幅波の波長と波速を表す。
** これらの数値はYamada, Kimura and Okabe (1968) による孤立波のものである。

2

ηc/Hb
0.6706
0.67650.69080.71650.76190.79390.83920.87660.90610.92420.94530.96490.97570.98491.0000**

表−1 の記号は，h が水深，H が波高，L が波長，L0が深海波長，C が波速であり，添字の b と A はそれぞれ
砕波および微小振幅波に係わる量であることを示す。
なお，深海波の限界波形勾配として Miche (1944) が求めた (H/L)b = 0.142 の値は非線形波浪の波長に対するものであり，微小振幅波の波長に換算すると Hb/(L0)A =0.1684 となる。
第2の条件は重複波の砕波限界を求めるためのものとして提案されている。岸 (1955) はこの条件を用いて 2
次オーダーの有限振幅重複波の砕波限界を求めており，
岩田 (1984) が紹介している。
第3の条件は灘岡・大野・栗原 (1996) が提唱したもので，波動場の径時変化を数値計算する際に有効である。なお，全水圧の鉛直勾配がゼロというのは，波峰の直下に水が存在しないこと，すなわち砕波を意味する。

３．砕波指標のパラメータの選択
砕波の現象はこれまでにも多くの研究者が調べており，砕波地点の波高と水深の比率として定義される砕波指標についても，多数の表示式が提案されてきた。
なお，「砕波指標」は上の定義のみならず，砕波波高と換算沖波波高との比率あるいは砕波水深と換算沖波
波高との比率も含めて言う場合があり，Kaminsky ・Kraus (1995) は混同を防ぐために「砕波波高水深指標」などと詳しく記述することを推奨している。ただし本
技術論文では，「砕波指標」の語を砕波点における波高水深比に限定して用いる。
砕波指標式としてたとえば Kamphuis (1991) は，11種類の表示式について自らの水理実験データ 225セットとの適合性を調べており，また Rattanapitikon ・ Shibayama (2000) は24 編の論文/報告から 574個の砕波データを収集し，24 種類の砕波指標式と比較している。両者とも既往の砕波指標式を改良した指標式を幾つか提案している。さらに，Rattanapitikon ほか (2003) は大型水路実験 121 データを追加して検討した砕波指標の改良式を提案している。
砕波指標式は，Rattanapitikon ほか (2003) を参考にして次の 4 形式に分類できる。

Hb/hb = f1(0) = 定数(1)

Hb/hb = f2 (hb/L0 または hb/Lb)(2)

Hb/hb = f3 (s)(3)

Hb/hb = f4 (s, hb/L0 または hb/Lb)(4)

メータ hb/L0 は分散関係式を用いてパラメータhb/Lb に簡
単に変換されるので，二つのパラメータを区別する必要はない。
第1の形式の代表例は McCowan による Hb = 0.78 hb であり，海外ではしばしばこれを孤立波以外に拡大適用している。
上に分類した以外の砕波指標式としては，沖波波形
勾配 H0/L0 をパラメータとするものもある。そうした砕波指標式は規則波に適用するには有用であろう。しかし不規則波では，砕波地点の個々の波は沖の個別の波と何ら対応していない。したがって不規則波の砕波を対象とする場合には，沖波波形勾配 H0/L0 をパラメータとする砕波指標式は無用のものといえる。
砕波指標式の有用性は，砕波の波高水深比の予測値が観測値とどれだけ一致するかによって判断される。
すなわち，平均的な偏りならびに予測値と観測値とのばらつきの大きさであり，後者は両者の差の自乗平均誤差または両者間の相関係数の大きさで判断できる。
Rattanapitikon・ Shibayama (2000) は自乗平均誤差を用いて式 (1)〜(4) の砕波指標式の有用性を検討したけれども，相互の優劣は必ずしも明確にしていない。ただし，砕波指標の改良式としてはHb/hb = f4 (s, hb/L0 または hb/Lb)の形式のものを対象としているので，この関数形を推奨していると推測される。
Kamphuis (1991) の場合には11種類の砕波指標式による推定値と実験データとの間の相関係数を計算している。砕波指標式は，それぞれの提案者による表示式の比例定数を実験値にもっとも良く適合するようにあらかじめ修正してあり，その修正式で求めた推定値と実験データとを比較した。その結果では，式 (1) の f1 (0) を用いたときが R2 = 0.69，式(2) の f2 (hb/L0 または hb/Lb) を用いたときが R2 = 0.67，式 (3) の f3 (s) を用いたときが R2= 0.84，式 (4) の f4 (s, hb/L0 または hb/Lb) を用いたときがR2 = 0.88 となった。すなわち，砕波指標の表示式としては水底勾配と水深波長比の二つのパラメータを導入するほうが観測値と良く一致する結果が得られることを示している。

４．砕波波高のばらつきの問題(1) 規則波の砕波波高のばらつき
著者は以前に4 種類の水底勾配を対象として規則波の実験データを取りまとめ，砕波指標のグラフを作成した（合田 1970）。この際には 8 編の論文 / 報告に記載の実験データを用い，その中にはHb = 42〜93 cm という著
者自身の大型実験データも含まれていた（Rattanapitikon
ほか (2003) の解析では取り上げられていない）。表−2 は

ここに s は水底勾配であり，深海波長 L0 は周期を T として L0 = g/(2π)T 2 として計算される。水深波長比のパラ

3その時に用いた実験データならびに今回追加するデー
表―2

著者

Iversen (1951)

岸・庵原 (1958)
Mitsuyasu (1962)
Goda (1964)
合田ほか (1966)
豊島ほか (1968)
Bowen et al. (1968)
Galvin (1969)
Li et al. (1991)
Li et a. (2000a)
Lara et al. (2006)

海浜勾
配
1/10
1/20
1/30
1/50
1/9
1/17
1/15
1/30
1/50
1/100
1/10
1/20
1/30
1/12
1/10
1/20
1/30
1/50
1/200
1/20

タの概要である。

規則波の砕波指標作成に使用した実験データの概要
周期T (s)0.80 – 2.50
0.74 – 2.24
1.49 – 2.65
0.90 – 2.65
0.9 – 2.0
0.65 – 2.0
1.02 – 2.57
1.02 – 2.57
1.02 – 2.57
2.30 – 7.30
1.36 – 2.24
1.84 – 3.04
1.94 – 3.75
0.82 – 2.27
1.00 – 6.00
2.00 – 6.00

砕波高
Hb (cm)4.9 – 12.2
4.3 – 12.8
5.3 – 12.7
5.5 – 12.1
7.0 – 10.6
5.0 – 12.5
10.4 – 15.0
9.6 – 11.1
9.8 – 14.1
41.7 – 93.1
14.0 – 21.5
6.2 – 40.8
11.9 – 50.0
4.4 – 13.0
3.8 – 15.0
9.3 – 17.6

砕波水深hb (cm)4.3 – 13.7
4.9 – 16.2
7.0 – 15.5
6.5 – 15.6
7.9 – 10.0
6.5 – 13.5
12.4 – 14.5
15.3 – 20.6
17.7 – 19.0
60.3 – 125.0
11.0 – 18.0
7.3 – 61.0
13.1 – 61.6
4.2 – 9.7
3.9 – 12.0
10.0 – 18.2

–

–

–

–
1.20 – 4.00–
6.7 – 18.5–
6.8 – 19.5

⎡
⎤⎫
Hb
hb
A ⎧
=
1 + 15s 4 / 3 ⎥ ⎬ : A = 0.17
⎨1 − exp⎢− 1.5π
hb
hb / L0 ⎩
L0
⎣
⎦⎭

)

(5)
この式 (5) は，元々の実験データと照合して当てはめたものではなかった。 Rattanapitikon ・ Shibayama (2000) によると，この砕波指標式は勾配が急な場合に過大な波高値を与える傾向があり，水底勾
配 の 影 響 項 で あ る (1 + 15 s4/3) を (1.033 + 4.71s –10.46s2) で置き換えることを推奨している。そこで今回，原データと比べたところ，確かにそうした傾向があり，修正の必要性が認められた。そこで，次のように修正することを提案する。

⎡
⎤⎫
Hb
hb
A ⎧
=
1 + 11s 4 / 3 ⎥ ⎬ : A = 0.17
⎨1 − exp⎢− 1.5π
hb
hb / L0 ⎩
L0
⎣
⎦⎭

(

実験水路の寸法
L×D×B (m)

15
19
15

16.4 × 0.9 × 0.3

4
21
4
4
4
32
6
22
44
11
8
6
10
11
19
12

13.0 × 0.5 × 0.6
22.0 × 0.5 × 0.6
105.0 × 2.5 × 3.0
33.1 × 0.9 × 0.5
112.0 × 2.5 × 1.5
40.0 × 0.75 × 0.5
29.3 × 0.6 × 0.46
69.0 × 2.0 × 2.0
69.0 × 2.0 × 2.0
24.0 × 0.8 ×0.6

最 近 Muttray ・ Oumeraci (2000) は ， 水 底 勾 配
1/30 における規則波の砕波実験に良く適合するのは，
式 (5) の比例定数を 0.170 から 0.167 に修正した場合であると述べている。式 (6) を当てはめたならば，最適値は 0.173 となろう。
新しい砕波指標式と実験データとを比較したのが
図−1 である。水底勾配は，1/9〜1/12，1/20，1/30，
1/50, 1/100〜1/200，および水平床 の 6 グループである。実験データの概要は表−2 に記載の通りである。なお，水底勾配 1/20 については最近の Lara ほ
か (2006) のデータを追加している。
また，水平床のデータはDanel (1951) が水路幅が緩やかに狭まる特殊な造波水路を使い，砕波点ごとに測定した結果である。このデータは Hamm (1995)が使用したものを原著者のご厚意によって提供して頂いた。Danel の実験では砕波点の波長すなわち有限振幅の波長を実測していて，微小振幅の波長はHamm の換算によるものである。
図−1 で明らかなように，水底勾配が急になるに
つれて砕波波高は大きくなっており，砕波指標式に
水底勾配のパラメータを導入することが不可欠である。なお，実験値は砕波指標式の値の周りに分散しているため，恣意的ではあるが上・下限のカーブ(115%および87%) を引いてある。

その後に著者は，このグラフの曲線の近似式として次式を提案した（合田 1973）。

(

デー
タ数

)

(6)
この修正によって，水底勾配 s = 1/10 では最大
11% の低減となるが，s = 1/50 では 2% の低減にとどまる．

4ため，相対誤差 E = 1 – γmeas/γest を計算した。ここに，
γmeas は波高水深比 Hb/hb の実験値，γest は式 (6) による推定値である。相対誤差の平均値 Emean は砕波指標式の偏りを表し，その標準偏差はばらつきの度合いを示す。E は相対値として定義されているので，標準偏差 σ (E) は変動係数 CoV に相当する。表−3
は式 (6) による砕波指標の推定値の偏りと変動係数
を水底勾配ごとに取りまとめたものである。正の偏りは過大評価，負の偏りは過小評価を表す。水底勾
配 1/9 と 1/12 のデータは実験数が少ないので除外し
た。

0.6
0.5
0.4
0.3
0.001

Breaker Index, γ = Hb /hb

Kishi-Iohara 1/9
Iversen 1/10
Goda et al. 1/10
Galvin 1/10
Bowen et al. 1/12
Index curve 1/10
Upper 115%
Lower 87%

0.01

0.1

Relative water depth, hb /L0

Slope = 1/50

0.6

Iversen 1/50
Mitsuyasu 1/50
Li Y.C. et al. 1/50
Index curve 1/50
Upper 115%
Lower 87%

0.5
0.4

0.01
Relative water depth, hb /L0

0.1

1.0
0.9
0.8
0.7
0.6

Slope = 1/100 to 1/200

0.5Goda 1/100
Li Y.C. et al. 1/200
Index curve 1/100
Index curve 1/200
Upper 115%
Lower 87%

0.4

0.01
Relative water depth, hb /L0

0.1

1.0
0.9
0.8
0.7
0.6

No slope: s = 0

0.5

Danel
Index curve
Upper 115%
Lower 87%

0.4

0.3
0.001

1.5

0.01

0.1

0.5

Relative water depth, hb /L0

Slope = 1/20
Breaker Index, γ = Hb /hb

0.7

0.3
0.001

1.0
0.9
0.8

Breaker Index, γ = Hb /hb

Breaker Index, γ = Hb /hb

Slope = 1/9 to 1/12

0.7

1.0
0.9
0.8

0.3
0.001

2.0

図−1 規則波に対する砕波指標式 (6) と実験値の比較

1.0
0.9
0.8

表−3 砕波指標式 (6) の偏りと変動係数

0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.001

Iversen 1/20
Galvin 1/20
Toyoshima 1/20
Lara 1/20
Index curve 1/20
Upper 115%
Lower 87%

0.01
Relative water depth, hb /L0

0.1

1.2
Breaker Index, γ = Hb /hb

Breaker Index, γ = Hb /hb

砕波指標式と実験値の適合度を定量的に評価する

Slope = 1/30

1.0
0.9
0.8
0.7

0.4

0.3
0.001

Iversen 1/30
Mitsuyasu 1/30
Toyoshima 1/30
Li Y.C. et al. 1/30
Index curve 1/30
Upper 115%
Lower 87%

0.01
Relative water depth, hb /L0

デー

偏り

変動係数

勾配

タ数

σ (E)

データ出典

1/10

29

Emean
-0.5%

14.0%

1/20

59

+3.9%

11.3%

1/30

63

+2.2%

9.0%

1/50
1/100
1/200
水平

17
32
19
46

-2.4%
+6.2%
+3.6%
+1.7%

7.7%
5.5%
7.4%
6.3%

Iversen, Goda et al.
Iversen, Galvin, Toyoshima et al., Lara et al.
Iversen,Mitsuyasu,
Toyosima et al.
Iversen, Mitsuyasu
Goda
Li et al.
Danel

式 (6) の砕波指標の推定値の偏りは，水底勾配によって異なるけれども−2.4% から+6.2% の範囲にあり，平均的にほぼ妥当な砕波波高の推定値を与えるといえる。
変動係数で表されているデータのばらつきは，水
底勾配 0 から1/100 では 6% 程度であり，勾配とともに増加して，勾配 1/10 では 14% となっている。

0.6
0.5

水底

0.1

5

こうした変動係数は砕波の現象に特有な確率的変動性に基づくものであり，砕波指標の表示式の適合度とは無関係である。
砕波に関しては，実験条件をコントロールし，再現性に十分に注意して行ったとしても，砕波地点と砕 波 高 は 1 波 ご と に あ る 程 度 変 動 す る 。 Smith ・Kraus (1991) は規則波の砕波実験について，“実験には十分に注意し，データには 10 波平均値を用いたにもかかわらず，ある種の測定結果は大きくばらつき，これは実際の砕波現象に特有なものと見なさざるを得ない”と述べている。
砕波現象の変動の一つの原因は，実験水路に発生する長周期の水位変動 （振幅は小さい） である。しかし，砕波の現象は実験者のコントロールを超えた
幾つもの微小な要因によって引き起こされる。砕波は確定論的に定まるものではなく，確率論的な現象であって，ある範囲の変動を付随する現象であると見なすべきである。砕波波高の変動範囲は，表−3に示すように水底勾配が緩ければ比較的小さくなる。
砕波を取り扱う研究においては，こうした確率論的な現象の本質を十分に考慮する必要がある。

ける個々波の砕波波高の測定結果を報告している。
水底勾配は 1/50 で，有義波高 46 cm ，スペクトル
ピーク周期 2.9 s の不規則波列の個々の砕波に対して式 (5) を当てはめたところ，比例定数（ 本 来は0.17）の最適値が 0.09〜0.18 の範囲に広がった。最適 値 の 平 均 は 0.142 ( 式 (5) の 84%) ， 標 準 偏 差 は0.017 (変動係数 12%) であった。
なおここで付言すると，著者の不規則砕波変形モデル (合田 1975) では，砕波波高の変動性を取り込んだモデル化を行っている。すなわち，式 (5) による
砕波指標の 71% の波高 (A = 0.12) から個々波の砕波が始まり，砕波確率が波高とともに線形に増加して砕波指標の 106% の波高 (A = 0.18) 以上ですべて砕波するという仮定を導入している。したがって，
個々波の砕波波高の平均値が式 (5) あるいは (6) の予測値よりも小さいというのは，当然に予期されることである。

５．不規則波に対する砕波指標の適用性(1) Kamphuis による有義波の砕波点の定義(2) 不規則波の砕波波高のばらつき

式 (5) あるいは (6) は規則波の砕波指標式の事例である。こうした規則波の砕波指標を実際の海の波あるいは不規則波にそのまま適用しても，正しい答えは得られない。不規則波列中の最大波高の波には適用できるであろうが，有義波高，平均波高その他の代表波高に適用することはできない。不規則波が岸に近づくにつれ，まず波高の大きな波が岸から離れたところで砕け，中程度の波高の波がやや近くで砕け，波高の小さい波が汀線近くで砕けるというように，個々の波は順々に砕けてくる。有義波高は沖から岸へ向かってゆっくりと減少するので，規則波では明確に定義可能な砕波線の概念を不規則波に適用することが困難である。
こうした定義が難しい有義波の砕波点について，
Kamphuis (1991) は 「 初 期 砕 波 」 (incipient wave
breaking) の概念を提唱した。彼は沖合から汀線までの浅水・砕波変形全域の有義波高の岸沖変化を実験で測定してまず砕波帯の沖側の浅水変形の変化曲線を描き，一方で砕波帯内の波高の減衰曲線を引き，二つの曲線の交点をもって初期砕波点と定義した。
そしてこの地点の有義波高のデータを用いて 11 種
類の砕波指標式と比べ，最適係数値を定めた。式(5) に対しては，原式の係数 0.17 に対し，最適値としてA = 0.12 を得ている。また，Li et al. (2000b) も勾配 1/200 の緩斜面上の不規則波の砕波を測定し，不規則な波列の個々の波の砕波波高を測定して解析したのは，木村・瀬山 (1986) の研究が最初である。この研究では，斜面上の砕波をビデオカメラで判別し，水底勾配 1/10，1/20，1/30 および 1/50 についてそれぞれ約 1000 個の個別砕波を識別して砕波波高を波高計で計測した。個々の波の砕波指標は広い範囲に散らばり，論文中のグラフから判断すると変動係数として 18% から 23% に相当するようである。この研究ではデータの散らばりを縮める方策
として，個々の波の峰と谷の中分面から水底までを水深と定義し直した。これによって，砕波指標の変動係数は 8% から 11% に縮小した。
また，大半の実験値は式 (5) の砕波指標よりも小さかったため，砕波指標の修正式を提案した。もっとも，通常の水深を用いた砕波指標の実験データの中央曲線に式 (6) の修正指標をあてはめると，水底
勾配 1/10 の実験値は予測値の約 85% ，その他の勾配では約 95% となる。
現地における個別砕波の判定の試みは， Black ・Rosenberg (1992) が南オーストラリアのアポロ湾の
水深 1.0〜1.5 m の自然海浜で行っている。測定された砕波指標の中央値は式 (5) の約 84% ，式 (6) の約87% に相当する。
さらに Kriebel (2000) もまた，大型水路実験にお6波群中の大きな波が砕け始めた限界として，同じくA = 0.12の値が適用できるとしている。したがって，不規則波の有義波高の初期砕波指標としては，次の式 (7) が適当と判断される。
(hb ) incipient⎛ H 1 / 3, b ⎞⎡⎤ ⎫⎪0.12 ⎪⎧⎜⎜⎟⎟
1 + 11s 4 / 3 ⎥ ⎬=⎨1 − exp ⎢− 1.5π
h
h
/
L
L
b
0 ⎪
0
⎝ b ⎠ incipient
⎣
⎦ ⎪⎭
⎩

(

)

(7)
すなわち，有義波高に対する砕波指標は規則波よりも約 30% 小さいことになる。
なお，合田の1975年の砕波変形モデルによって一様斜面上の有義波高の変化を計算した結果として，非線形浅水変形による波高が 2%だけ減少する限界を求め，これを設計図表に表示している。この 2%減衰限界に対して式 (6) を当てはめると，A = 0.10〜
0.12の値が得られる。また，有義波高がピークとなる水深のグラフも作成しているが，このピーク水深
はA = 0.11〜0.13に相当する。したがって，有義波
高の初期砕波水深は，波群の中の波高の大きな波
数%が砕けた事象に相当すると考えられる。

このうち，有義波高H1/3に関するデータについて整理すると，図−2 の結果が得られる。実験データ
勾配が 1/35 〜 1/70 と異なるので，式 (6) を当てはめるときの勾配としては1/50を用いている。実験におけるH1/3/h の比率は，水深波長比が大きいところでは A = 0.12 の砕波指標曲線に近く，水深波長比が小さくなるにつれて H1/3/h の比が次第に増加して A= 0.18 の曲線に近づいていく。
1.0
0.9

Breaker index, H1/3 /h

0.8
0.7
0.6
0.5

0.4

Ting: s = 1/35
Goda: s = 1/50
Tomi.-Hashi.: s = 1/70
A = 0.18 (s = 1/50)
A = 0.15 (s = 1/50)
A = 0.12 (s = 1/50)

0.3
0.01

0.1
Relative depth, h /L0(2) 砕波帯内の有義波高と水深の比率

図−2

砕波帯内を波が進行するにつれて砕波する波の数が次第に増加する。このときの有義波高と水深の比率は，式 (7) の初期砕波条件よりも次第に増大する。このことは，不規則波の砕波変形図表からも伺われる。
砕波帯内の不規則波の有義波高および2乗平均平方根波高を測定した事例を調べると，たとえば表−
4 のようなものがある。
表−4

著者

勾配

富 永 ・
橋本
(1972)
合田(1975)

1/70

デ
ー
タ
数
5

1/50

Ting
(2001,
2002)
Battjes(1972)
Ting(2001,
2002)

なお，Muttray ・ Oumeraci (2000) も不規則波の浅水・砕波変形の実験を水底勾配 s = 1/30 のケースについて行っている。この実験ではゼロクロス法ではなく，以下に定義されるエネルギー換算有義波高
Hm0 で整理している。

H m 0 = 4.0η rms = 4.0 m0

水深
h
(cm)

H0’
(cm)

1.5

11.5

20.0
– 4.3

37

1.0 –
1.9

8.5 –
12.1

25.0
– 6.0

1/35

12

1.7,
2.0

14.2

27.0
– 6.3

1/20

14

1.3,
2.2

≃ 12

15.9
– 4.1

1/35

12

1.7,
2.0

14.2

27.0
– 6.3

代表波
高 (cm)Valueof A

H1/3 =
10.8 –
3.32
H1/3 =
10.3 –
3.86
H1/3 =
15.8 –
4.47
Hrms =
9.3 –3.54
Hrms =
11.4 –
3.58

0.13 –
0.17(7)

ここに，ηrms は波形の 2 乗平均平方根水位，m0 は周
波数スペクトルの 0 次モーメントである。
この波高 Hm0 に対して式 (5) を当てはめたときの最適係数値は 0.101，係数値の変動係数は 17.5% と報告されている。この係数値は図−2 における比例係数の値よりもかなり小さい。実験条件や実験方法の違いに影響しているのであろうが，一つの理由はエネルギー換算有義波高 Hm0 が個別にゼロクロス法で算定した有義波高 H1/3 のよりも小さい傾向があるためで，これは波の非線形効果によるものである。
これについては６節で詳述する。

不規則波の砕波実験の概要
T1/3
(s)

室内実験データに基づく H1/3 の砕波指標

0.11 –
0.17
0.12 –
0.16
0.08 –
0.20(3) 砕波帯内の2乗平均平方根波高と水深の比率
0.09 –
0.12

次に，欧米で代表波高として多用される2乗平均
平方根波高Hrmsについて同様に調べると図−3 の結果が得られる。

7めると，s = 1/35 に対して Hrms/h = 0.39 とかなり低い値である。一つの理由は波形の直接計測でないため，
非線形性の影響が考慮されていないことであろう。

1.2
1.0

Breaker index, Hrms /h

0.9

Ting: s = 1/35
Battjes: s = 1/20
A = 0.15 (s = 1/25)
A = 0.12 (s = 1/25)
A = 0.09 (s = 1/25)(4) 解析に用いる現地観測データの概要

0.8

海岸の固定地点における波浪観測の場合，ビデオ
カメラなどによって波の同時観測が行われない限り，
0.6
個々の波が砕波しているかどうかを判別することは0.5できない。しかし，水深が一定でも周期がいろいろ異なる波の有義波高のデータを集成し，有義波高の0.4
砕波指標の上限値を求めることは可能である。こう
した解析のデータとして，先に合田・永井 (1974)
0.3が報告した沿岸域の定常波浪観測データを取り上げ
0.01
0.1
Relative depth, h /L0
る。この観測データの概要を表-5 に示す。留萌港，
山背泊港，および苫小牧港 (水深 11, 14 m) のデータ
図−3 室内実験データに基づく Hrms の砕波指標
は階段抵抗式波高計によって表面波形を観測したものである。苫小牧港 ( 水深 20 m) と金沢港のデータ
Battjes (1972) の 実 験 は 勾 配 1/20 で あ り ， Tick
ならびにコスタリカ国 Caldera 港の遠地うねりの(2001, 2002) の実験は勾配1/35であるので，式 (6) は
データ (Goda, 1983a) は超音波式波高計によるもの
勾配 1/25 の場合について計算している。 Battjes ので，これらは６節で取り扱う。
データの一つが他と離れて大きな値を示しているが，表-5 には，酒田港の水深 14.5 m と 10.5 m の地点
これを除くとHrms/h の値はA = 0.08〜0.15 の範囲に
において水圧式波高計で観測されたデータも記載し広がっており，相対水深が小さくなるにつれて比例てある。これらは，著者が 1975 年に不規則砕波変
係数Aの値が増大する傾向は有義波高と同じである。
形モデルを構築した際に現地検証データとして使用
なお， 2 乗平均平方根波高 Hrms は波高がレーリーしたものである。水圧式波高計による記録は水面波分布に従うときにはHrms = 0.706H1/3の関係にあるの形への換算の問題があるけれども，水深が比較的浅で，式 (7) の有義波高の初期砕波に関する比例係数
いので換算誤差は少ないと考え，データ総数を増す
A = 0.12 はA = 0.085 に換算される。
ために追加したものである。
なお，Ting (2001, 2002) のデータは一様勾配 1/35
表−5 定常波浪観測データの概要の斜面上の不規則砕波について綿密な測定を行った（合田・永井, 1974; 合田, 1975; Goda, 1983a）
ものである。実験波はピーク増幅係数が γ = 3.3 の広 観測地 波高 水深
T1/3
デー
H1/3
∆t
帯域スペクトルと γ = 100 の狭帯域スペクトル波浪
(s)
(m)
点
計
タ数
(m)
(s)
階段
を用い，有義波高は Hs = 15 cm，スペクトルピーク–12
0.5 2.2 – 7.1 5.9–11.7
留萌港
44
抵抗
周期は Tp = 2.0 s であった。測定は水深 45.7 cm の一–13
0.5 1.9 – 6.2 7.7–15.6
山背泊港 同上
9様水深部および斜面上の水深 27〜6.25 cm の 6 地点
苫 小 牧
–11
1.0 2.9 – 5.8 7.7–10.9
9
同上で行われた。斜面上の 6 測定地点では砕波が始まっ 港–14
0.5 2.6 – 2.8 6.7 –7.5
2
超音ており，砕波率は 5% 〜 94% ( 広帯域スペクトル波浪 )–20
0.5 2.4 – 2.5 6.9 –7.4
同 上2
波式であった。波形記録はゼロクロス法で解析され，得–20
1.0 1.0 – 6.8 4.7–12.4
金沢港
同上
13
られた代表波高・周期の値は数表で提示されている
Caldera14.2 ––18
0.5 1.5 – 3.6
同上50
ので，これを使ってデータを整理した。
18.4
港
水圧
–14.5
1.7 – 9.7 6.3–13.4 123
なお，Sallenger・Holman (1985) は電磁流速計に 酒田港
0.5
–10.5
1.7 – 6.1 6.5–15.0 123式
よる流速のスペクトルを水面波形のスペクトルに変換し，Hrms の砕波指標の実験式を求めている。これ
砕 波 帯 内 の 観 測 デ ー タ と し て は ， 堀 田 ・ 水口は Hrms/h = 0.30 + 3.2s と海底勾配の影響を考慮し(1979, 1986) および Hotta・Mizuguchi (1980) によるているが，沖波波形勾配の影響は認められないとし
多点ポールのメモモーションカメラによる測定結果ている。欧米では波エネルギーを直接に表示するもが貴重である。この観測は茨城県阿字ヶ浦海岸の旧のとして2 乗平均平方根波高 Hrms で議論することが建設省土木研究所の観測桟橋の上に 11 台の 16 mm
多い。なお，この実験式を Ting のデータに当ては
0.78メモモーションカメラを据えて，汀線から沖へ 120m の区間の波の変形を測定したものである。その際には，水位の指標として測量ポール約 60 本を汀線に直角にほぼ 2 m 間隔で打設した。
観測は1978 年 9 月 5 日，同年 12 月 13, 14 日に行われており， 12 月の観測結果は詳しい数表として提示されているので，それを使用した。9 月のデータ
はグラフから読みとって使用した。カメラ撮影は0.2 s 間隔で行われ，記録中の各 760 s の画像を解析している。
この日本の観測に触発され， Ebersole ・ Hughes(1987) はアメリカ合衆国ノースカロライナ州米国陸軍工兵隊水路実験センターの海岸工学研究センター
現地研究施設で 1985 年 9 月に実施された DUCK85
とういう総合現地観測の一環として，海面波形のカ
メラ撮影・解析を行った。この際には堀田博士が6台のカメラを携行して観測に参加した。波形観測は
翌 1986 年 9 月の SuperDuck プロジェクトでも続けられており，そのときの波浪統計データは Hughes 博
士のご厚意で著者に提供された。 DUCK85 では，
約 650 s の記録を解析対象とした。
この日米の砕波帯内の観測データは 1 ケースを除き，すべてうねりが対象であり，観測日時，沖波波
高・周期などを表−6 に示す。周期は各ポールにおける値の平均値であり， DUCK85 のデータは有義
波周期を平均周期 Tmean の 1.05 倍および SuperDuckの データはスペクトルピーク周期の 0.95 倍と見なして換算した。沖波波高は一番沖側の有義波高の観測値から浅水変形のみを考慮して換算した。
阿字ヶ浦海岸の観測波浪は波形勾配が 0.0064 〜
0.0081 と小さいうねり，DUCK85 の波は波形勾配がさらに小さくて 0.0017 〜 0.0024 ， SuperDuck の波は
1 ケースだけ波形勾配が 0.0254 と風波に近いけれど
も，あとはすべて波形勾配が 0.0023〜0.0064 と小さ
いうねりである。なお，各ポールの水深は観測時刻の潮位によって異なり，さらに波形データから求められた平均水位を加算した結果を用いている。
なお，阿字ヶ浦海岸の海底は必ずしも一様でない
けれども，平均的には勾配 1/70 程度，アメリカでの
DUCK85 の観測時期には汀線から約 25 m の間が平均水位からの水深が約 0.5 m と平坦であり，その沖側は約 1/30 の勾配であった。

が 図−4 である。ゼロクロス法で算定した有義波高

観測年月日時刻デー
タ数

1978/09/05
1978/12/13-1
1978/12/13-2
1978/12/14-1
1978/12/14-2
1985/09/04/1400
1985/09/04/1510
1985/09/05/0955
1985/09/05/1055
1985/09/05/1352
1985/09/05/1525
1985/09/06/0915
1985/09/06/1015
1985/09/06/0915
1986/09/11/1744
1986/09/13/1535
1986/09/15/1445
1986/09/15/1345
1986/09/15/1357
1986/09/16/0950
1986/09/16/1114
1986/09/19/1015
1986/09/19/1100

54
40
47
41
47
9
11
11
10
12
12
10
12
12
15
17
15
12
9
17
17
18
20

表−6

水深

(m)
0.6–2.7
0.3–1.5
0.1–1.8
0.1–1.5
0.1–1.8
0.7–1.7
0.5–1.5
0.8–2.1
1.0–1.8
0.8–2.2
0.6–1.9
0.5–1.4
0.8–2.1
1.0–2.4
0.4–2.9
1.0–3.7
0.7–2.9
0.8–1.6
0.8–1.6
0.6–2.5
0.5–2.2
0.6–3.2
0.5–3.1

H0
(m)
0.7
0.6
0.5
0.7
0.7
0.5
0.5
0.4
0.4
0.5
0.4
0.3
0.3
0.4
0.5
1.1
0.9
0.9
0.9
0.5
0.5
0.7
0.5

T1/3
(s)
8.4
7.9
7.6
7.2
7.4
11.0
11.0
10.8
10.5
10.7
11.1
11.0
10.8
10.3
9.6
5.4
10.0
9.3
9.7
10.8
10.7
9.6
11.5

H0/L0
0.00640.00590.00600.00810.00810.00240.00280.00240.00200.00260.00190.00180.00170.00230.00330.02540.00550.00640.00630.00270.00290.00470.0026

砕波帯内の波形観測データの概要

H1/3 を図示しなかったのは，ここに扱ったような波形勾配がきわめて小さいうねりの場合には波の非線形効果が非常に強く現れ， H1/3 が Hm0 の 1.5 倍以上になるケースがあるためである。なお，沿岸域の波
浪データは，すべて風波であって非線形性は非常に小さく，二つの有義波高はほぼ同等と見なすことができる(６節参照)。
図−4 では，相対水深によって表−3の定常波浪
観測のデータと表−4の砕波帯内の波浪データの2グ
ループに分かれている。定常波浪観測のデータの大半は非砕波の波であるが，上限に近い波は砕波していると考えられる。砕波帯内の観測波浪は砕波しな
い波から砕波率の大きい波までが混在ししている。
図中には，式 (6) の砕波指標の定数を A = 0.12,
0.15, 0.18 と 3 通りに変えた曲線を示してある。式(7) の初期砕波は A = 0.12 の曲線に相当し，相対水
深 h/L0 > 0.07 では観測値がこの曲線を超えていない。
しかし，相対水深が小さくなるにつれて Hm0/h の値のうちで A = 0.12 の曲線を超えるものが増えるようになり，中には A = 0.18 の曲線に近づくものも現れる。なお， Hm0/h が 1.0 を超えるデータが 4 点あるが，(5) 現地観測データにおける有義波高の砕波指標
以上の表−5 と表−6 のデータについて式 (7) のエ
ネルギー換算有義波高 Hm0 と水深の比を求めた結果

9

これは SuperDuck において最も岸側のポールで観測されたデータであり，特別なケースと考えられる。
図−4によれば，砕波が始まる砕波帯の外縁ではA = 0.12 の砕波指標式が適用でき，砕波帯内で岸に近づくにつれてHm0/h の値が次第に増大することが検証される。これは図−2 に示した実験室内の不規則砕波と同じ傾向であり，砕波帯内の波の特性と考えられる。なお，相対水深 h/L0 > 0.04 の定常波浪観測のデータを A = 0.12 と 0.15 の曲線と比べてみると，
有義波高が水深の 0.5 倍を超えたあたりで砕波が始まり，水深の約 0.6 倍が上限値と見なすことができよう。このことは，後出の図−10 の個別波高の頻度分布でも確認される。
以上の知見を取りまとめると，不規則波に対する砕波指標は規則波に対するものよりも小さく，波群
中の数 % の波が砕ける初期砕波点では約 30% 減であって，式 (6) の定数を A = 0.12 と設定したものにほぼ相当する。しかし，砕波帯の外縁から汀線に近づくにつれてエネルギー有義波高に対する砕波指標の値は次第に増加し，式 (6) の定数値がA = 0.15 から0.18 と増大する。
この傾向は2乗平均平方根波高Hrms についても同様である。Hrmsの初期砕波はほぼ A = 0.085 で表され，砕波帯内で定数値が次第に増加してA = 0.15 程度までに増大する。
Step-resistance (h = 11 - 14 m)
Presssure gage (h = 10 - 14 m)
Photopole Ajigaura (h = 0.4 - 1.8 m)
Photopole DUCK85 (h = 0.5 - 2.4 m)
Photopole SuperDuck (h = 0.5 - 3.2 m)
A = 0.18 (s = 1/70)
A = 0.15 (s = 1/70)
A = 0.12 (s = 1/70)

1.5

海の波は波面水位がほぼ正規分布に従うなど，線形な性質が強く，この波浪の線形性がスペクトル表
示・解析の基本となっている。実際には，歪み度(skewness) が正の値を示し，尖鋭度 (kurtosis) が 3.0よりもやや大きいなど，弱い非線形性がある。とはいっても，非線形性は微小であり，多くの場合には無視できる程度である。歪み度と尖鋭度は以下のよ
うに定義される。ここに η は波形記録中の平均水位からの波面高である。
N
歪み度： β1 = 1 ⋅ 1 ∑ (ηi − η )33

η rms N i =1

尖鋭度： β 2 =

1
4
η rms

⋅

1 N
∑ (η i − η ) 4
N i =1(8)(9)

歪み度は頻度分布が左右対称のときにはその値が0 であり，右側（値の大きな方）の裾が広がれば正値，左側の裾が広がれば負の値を取る。尖鋭度は正規分布では 3.0 の値であり，頻度分布のピークが尖って両側の裾が長く広がるにつれてその値が大きくなる。
波が沖から伝播して岸へ近づくにつれ，波の非線形性が次第に強まり，歪み度も尖鋭度も顕著に増大する。図−5, 6 はこの変化を示したものであり，図の横軸は著者が 1983 年に提唱した非線形性パラ
メータ Π1/3 であり，次式で定義される (合田 1983)。

Π1 / 3 =1.0
Wave height ratio, Hm0 / h(1) 砕波帯内外の skewness と kurtosis の変化

H1/ 3
2π h
coth 3
LA
LA

(10)

0.8

ここに， LA は微小振幅波理論で算定される波長である。
表−5 の酒田港の水圧式波浪資料を除く定常波浪
観測，および表−6 に記載の阿字ヶ浦，DUCK85，
SuperDuck の砕波帯内波形データについて波形の歪み度の変化をプロットしたのが図−5，尖鋭度の変化を示したのが図−6 である。阿字ヶ浦海岸の 1978
年 9 月 5 日の歪み度と尖鋭度の資料は堀田博士から提 供 さ れ た も の で あ り ， SuperDuck に つ い て は
Hughes 博士から歪み度の資料のみを提供していた
だいた。
図−5, 6 の両者ともに，左側は水深波高比 h/H0 が2.5 よりも大きいデータであり，右側は h/H0 が 2.5 よ
りも小さいデータである。これは h/H0 = 2.5 を砕波
帯の内外を区分する境界として仮に設定したもので
ある。

0.6

0.4

0.2

0.1
0.001

0.01

0.1

1

Relative depth, h /L0

図−4

現地データにおけるエネルギー換算有義波高の砕波による上限値

６．砕波帯の内外における波の非線形性の空
間的変化

10

2.5

2.5

1.0

0.0

0.0

0.1
1
Nonlinearity parameter, Π1/3

-0.5
0.4

10

1.2

1.4

砕波帯の内部 (h/H0 < 2.5)(b)

砕波帯内外の波形水位の歪み度の変化
10.5

10.5
0.001 < H0 /L0 < 0.002
0.003 < H0 /L0 < 0.004
0.005 < H0 /L0 < 0.009
0.010 < H0 /L0 < 0.029
0.030 < H0 /L0 < 0.049
Empirical

h /H0 < 2.5

h /H0 > 2.5

9.0

Kurtosis, β 2

Kurtosis, β 2

0.8Height-to-depht ratio, H0 /h

砕波帯の外部 (h/H0 > 2.5)
図−5

7.5

1

1.0

0.5

9.0

0.6

1.5

0.5

(a)

0.001 < H0 /L0 < 0.002
0.003 < H0 /L0 < 0.004
0.005 < H0 /L0 < 0.009
0.010 < H0 /L0 < 0.029
0.030 < H0 /L0 < 0.049

2.0

1.5

-0.5
0.01

h /H0 < 2.5
h /H0 > 2.5

Skewness, β 1

Skewness, β1

2.00.001 < H0 /L0 < 0.002
0.003 < H0 /L0 < 0.004
0.005 < H0 /L0 < 0.009
0.010 < H0 /L0 < 0.029
0.030 < H0 /L0 < 0.049
Semi-theoretical

6.0
4.5

0.001 < H0 /L0 < 0.002
0.005 < H0 /L0 < 0.009
0.010 < H0 /L0 < 0.029
0.030 < H0 /L0 < 0.049

7.5
6.0
4.5
3.0

3.0
1.5
0.01

0.1
1
Nonlinearity parameter, Π1/3

(a)

10

砕波帯の外部 (h/H0 > 2.5)
図−6

1.5
0.4

0.6

(b)

0.8
1.2
1.0
Height-to-depht ratio, H0 /h

1.4

砕波帯の内部 (h/H0 < 2.5)

砕波帯内外の波形水位の尖鋭度の変化

詳しくは後出の表−7 に示すように，沖波波形勾配によって砕波帯外縁の位置が異なるけれども，ここでは全データを統一的に扱うために一定値を用いたものである。左側の図は砕波帯のほぼ外側，右側の図がほぼ内側と見なされる。左側のグラフは横軸が非線形性利用したもので，不規則波に対して個別波高の出現確率を重みとする加重平均によって計算した結果，すな
わち期待値である。具体的な算出方法については付録を参照されたい。尖鋭度に関して図−6 の左側の h/H0
> 2.5 のグラフの点線の曲線は，視察によって描いた
経験的関係である。

パラメータ Π1/3 であり，右側は沖波波高と水深との比H0/h （相対水深 h/H0 の逆数）を横軸に取っている。
波高水深比 H0/h を用いたのは，砕波帯の外側と内側の波浪データの変化を分かりやすく対比できるようにしたものである。
図−5 の左側の h/H0 > 2.5 のグラフにおいて Semitheoretical と記した破線の曲線は，有限振幅規則波の波形の歪み度に対して Goda (1983b) が求めた結果を砕波帯の外側では，非線形性パラメータ Π1/3 の増大とともに，歪み度と尖鋭度の両者ともに単調に増加しており，Π1/3 = 4 付近で歪み度は 2.0，尖鋭度は 9.0 という大きな値を示す。データは沖波波形勾配 H0/L0 をパラメータとして分類してある。第 1 グループは波形
勾配が 0.001 〜 0.0029 ，第 2 グループは波形勾配が0.0030〜0.0049，第 3 グループは波形勾配が 0.0050〜

110.0099，第 4 グループは波形勾配が 0.010〜0.029，最後が波形勾配 0.030〜0.049 である。ただし，図の凡例には数値の桁数を落として示している。
加重平均による期待値計算の結果と比べると，非線形性パラメータの小さい範囲では観測値の歪み度が大きめであり，非線形性パラメータが大きな範囲では，観測値が小さめである。しかし，波形の歪み度が非線
形性パラメータによって支配される傾向は観測値と期待値の両者とも同様である。
砕波帯の外側では，非線形性パラメータに伴う歪み度と尖鋭度の増加の度合いが波形勾配にあまり影響されていない。ただし，波形勾配が 0.01 よりも大きなグ
ループで左側の図にあるデータは非線形性パラメータが Π1/3 = 0.3 どまりであり，それを超えると右側の砕波帯内部のグラフに移ってしまう。波形勾配が 0.0050〜0.0099 のグループは非線形性パラメータが Π1/3 =1.2 付近で砕波帯の内部へ移行する。
一方，砕波帯のほぼ内側のデータである図−5, 6 の右側のグラフでは，波高水深比 H0 /h の増大，すなわ
ち波が汀線に近づくにつれて歪み度と尖鋭度の両者が減少し，歪み度は 0，尖鋭度は 3.0 の値に収束する傾向が見られる。すなわち，汀線に近づくにつれて波の非線形性が失われ，線形性が回復する。
砕波帯の内側では，沖波の波形勾配が小さい波ほど非線形性を強く保持する。たとえば，波形勾配が 0.01以上の波は砕波帯の境界で歪み度がほぼ 1.0 以下，尖鋭度がほぼ 4.5 以下と小さな値であるのに対し，波形勾配が 0.001〜0.0029 の波は砕波帯の境界で歪み度が約 2.0，尖鋭度が約 9.0 という高い値を示す。
こうした砕波帯内部での波形勾配の影響は次のように説明できる。すなわち，波形勾配の小さい波は水深
波長比がかなり小さくなるまで砕波の影響を受けずに岸へ向かって進むことができため，非線形な浅水変形が発達する。これに対して波形勾配の大きな波は水深
波長比の大きな場所から砕波の影響を受けるため，非線形浅水変形が十分に発達できないのである。こうした非線形浅水変形に対する波形勾配の影響は，浅水変形係数のグラフ (たとえば合田 1975) にも明瞭に示されている。これについては後出の表−7 を参照されたい。
(2) ゼロクロス法による代表波高とエネルギー換算有義波高との比率の変化
有義波高はゼロクロス法で個々の波を定義して算定するのが本来のやりかたである。しかし欧米では，式(7) を用いてスペクトルのエネルギーから推定するケースが大半である。水深がある程度深くて波の非線形性が無視できる状態では，ゼロクロス法で定義され12た有義波高 H1/3 が平均的にはエネルギー換算有義波高
Hm0 の 0.95 倍である。この差異は，周波数スペクトルで表されるように，ある幅の周波数範囲に波のエネル
ギーが広がっていることによるものである (合田・久高 2006)。
しかしながら浅水域で非線形性が強まると，波高比
H1/3/Hm0 は 1 を超えて次第に大きな値となる。規則波の場合には，波が浅水域へ伝播するにつれて波の峰が高く尖り，波の谷が浅く扁平になる。こうした非線形な波形の波は，波高が同じ正弦波形の波に比べてポテ
ンシャルエネルギーが小さくて済む。逆に言えば，同一のエネルギーで見かけ上は大きな波高となる。こうした変化は不規則波中の個々の波にも発現し，波高の大きな個別波ほど見かけ上の波高の増大が大きく現れる。こうした変化の結果として，波高比 H1/3/Hm0 が次第に大きくなるのである。
図−7 は砕波帯の外側と内側における波高比
H1/3/Hm0 の変化を表示したものである。波形水位の歪み度や尖鋭度と同様に，砕波帯の外側では非線形性パラメータにほぼ比例して波高比 H1/3/Hm0 が大きくなる。
こうした不規則波の代表波高の変化については，先に Goda (1983b) が H1/3/ηrms の比率が非線形性パラメー
タとともに増加することを示しており，また Thompson と Vincent (1985) が規則波に対する流れ関数法の計算を援用して不規則波の実験結果と比較している。また，Hamm (2001) も波別解析有義波高とエネルギー換
算有義波高との差について注意を喚起している。
砕波帯の外側のグラフにおいて Semi-theoretical と記した破線の曲線は，波形の歪み度と同様に，有限振幅規則波における波高の見かけ上の増大率を個別波高の出現確率を重みとして不規則波に対して計算したものである。計算方法については付録を参照していただ
きたい。なお，個別波高がレーリー分布に従うときには H1/3 = Hm0 であるけれども，実際には前述のようにゼロクロス法による波高が小さめである。したがって，
加重平均の結果はすべて 0.95 倍して表示してある。
波別解析有義波高とエネルギー換算波高との比
H1/3/Hm0 を加重平均によって不規則波に対する期待値として計算した結果は，非線形性パラメータに応じて波高比が変化する観測値の傾向をほぼ再現している。
観測値では波形勾配の大きなグループの方が波高比の増大率が大きな傾向がある。これは規則波に対する非線形浅水係数の計算においても認められている。波形
勾配の大きな波は波高増大が大きいけれども，砕波が早く始まるため，波高比 H1/3/Hm0 の最大値はあまり大きくなることができない。たとえば，波形勾配が 0.01よりも大きな波では 1.1 を超えることは稀である。こ1.75
0.001 < H0 /L0 < 0.002
0.003 < H0 /L0 < 0.004
0.005 < H0 /L0 < 0.009
0.010 < H0 /L0 < 0.029
0.030 < H0 /L0 < 0.049
Rayleigh
Semi-theoretical

1.50

h /H0 > 2.5

h /H0 < 2.5
Wave height ratio, H1/3 / Hm0

Wave height ratio, H1/3 / Hm0

1.75

1.25

1.00

1.50

1.25

1.00

0.75

0.75
0.01

0.1

1

10

0.4

(b)

2.2

1.8

h /H0 > 2.5

h /H0 < 2.5
2.0
Wave height ratio, H1/10 / Hm00.001 < H0 /L0 < 0.002
0.003 < H0 /L0 < 0.004
0.005 < H0 /L0 < 0.009
0.010 < H0 /L0 < 0.029
0.030 < H0 /L0 < 0.049
Rayleigh
Semi-theoretical

2.0
Wave height ratio, H1/10 / Hm0

砕波帯の内部 (h/H0 < 2.5)

砕波帯内外の波別解析有義波高とエネルギー有義波高の比率の変化

2.2

1.6

1.4

1.2

0.001 < H0 /L0 < 0.002
0.003 < H0 /L0 < 0.004
0.005 < H0 /L0 < 0.009
0.010 < H0 /L0 < 0.029
0.030 < H0 /L0 < 0.049
Rayleigh

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0
0.01

(a)

1.0
0.1
1
Nonlinearity parameter, Π1/3

10

(b)

10

砕波帯の内部 (h/H0 < 2.5)

砕波帯内外の波別解析 1/10 最大波高とエネルギー有義波高の比率の変化

1.2

1.2

h /H0 > 1.5

h /H0 < 1.5

1.1
Wave height ratio, Hrms / Hm00.001 < H0 /L0 < 0.002
0.003 < H0 /L0 < 0.004
0.005 < H0 /L0 < 0.009
0.010 < H0 /L0 < 0.029
Rayleigh
Semi-theoretical

1.1

1
4
Height-to-depht ratio, H0 /h

0.4

砕波帯の外部 (h/H0 > 2.5)
図−8Wave height ratio, Hrms / Hm0

10

Height-to-depht ratio, H0 /h

砕波帯の外部 (h/H0 > 2.5)
図−7

4

1

Nonlinearity parameter, Π1/3

(a)0.001 < H0 /L0 < 0.002
0.003 < H0 /L0 < 0.004
0.005 < H0 /L0 < 0.009
0.010 < H0 /L0 < 0.029
0.030 < H0 /L0 < 0.049

1.0

0.9
0.8

0.7

0.001 < H0 /L0 < 0.002
0.003 < H0 /L0 < 0.004
0.005 < H0 /L0 < 0.009
0.010 < H0 /L0 < 0.029
Rayleigh

1.0

0.90

0.80

0.70

0.6
0.01

0.1
1
Nonlinearity parameter, Π1/3

(a)

0.60

10

砕波帯の外部 (h/H0 > 1.5)
図−9

0.4

(b)

1
4
Height-to-depht ratio, H0 /h

砕波帯の内部 (h/H0 < 1.5)

砕波帯内外の波別解析 rms 波高とエネルギー有義波高の比率の変化

1310

Wave height ratio, H1/3 / Hm01.75

0.001<H0/L0<0.002
0.002<H0/L0<0.003
0.003<H0/L0<0.005
0.005<H0/L0<0.007
0.007<H0/L0<0.010
0.010<H0/L0<0.020
0.020<H0/L0<0.040
Semi-theoretical

1.50

1.25
H0/L0 =
0.002
0.003
0.005
0.007
0.01
0.02

1.00

0.75
0.01

0.1

1

10

100

Nonlinearity parameter, Π 0
図−10

波別解析有義波高とエネルギー有義波高の比率と非線形性パラメータΠ0との関係れに対して，波形勾配が 0.003 未満のうねりでは 1.6にも達する。
砕波帯の内側では，沖波の波形勾配が小さいほど
波高比 H1/3/Hm0 が大きく，砕波帯内を進行するにつれて波高比が次第に小さくなって 1.0 よりもやや小さな値に収束する。
さらに，1/10 最大波高 H1/10 と 2 乗平均平方根波
高 Hrms についてエネルギー換算有義波高 Hm0 との関係を調べた結果を図−8, 9 に示す。図中の Semitheoretical と記した曲線は，有義波高と同様な加重平均による期待値である。
図−8 の左側に示すように，砕波帯の外側では，
非線形性パラメータの値が小さいときには波高比
H1/10/Hm0 が 1.20 の値であって，レーリー分布の理論値 1.271 よりも小さい。そのため，期待値の計算
結果はすべて 0.944 倍してある。観測値と期待値の両者とも，非線形性パラメータの増大につれて波高
比 H1/10/Hm0 が増大し， 2.1 を超えるケースも生じる。
増大率で言えば約1.75 倍であり，有義波高よりも増大傾向が著しい。これは，1/10 最大波高が非線形効
果を大きく受ける波高の大きな個別波を対象にしている以上，当然に予期されるところである。
砕波帯内の内側における 1/10 最大波高の変化は，
図−8 の右側に示す通りである。この代表波高の場
合には，砕波帯への移行が 1/3 最大波高よりも沖側で起きるため，砕波帯の境界として h/H0 = 2.5 を用

14

いるとデータは全て砕波減衰の状態であり， 1/3 最大波高に対する図−7 (b) よりもデータの散らばりが小さい。逆に図−8 (a) では実質的に砕波減衰を受けているデータもプロットされており，そのためにデータが下方へも散らばっている。
2 乗平均平方根波高 Hrms については図−9 (a), (b)に示す通りである。この波高については周波数帯の広がりによるレーリー分布の理論値からのずれがあまり見られないので，加重平均による波高比
Hrms/Hm0 の期待値計算結果の調整は行っていない。
ただし，この波高については砕波減衰の影響が始まるのが 1/3 最大波高よりも岸側によっているため，砕波帯の区分を h/H0 = 1.5 に変更している。波高比
Hrms/Hm0 は非線形性パラメータが小さいときはレーリー分布の 0.706 の値であるが，汀線近くで線形性が回復した状態では 0.70 以下となるケースも見られる。波高比 Hrms/Hm0 の最大値は約 1.15 であり，これはレーリー分布による値の1.63 倍である。
さらに，図−10 は図−7 の有義波高のデータを再表示したもので，横軸に沖波波高 H0 に基づく次式の非線形性パラメータを用いている。
H
2π h
(11)
Π 0 = 0 coth 3LALA
また，波形勾配の区分をより細かくし，砕波後の減衰については波形勾配ごとの境界線を目視の判断で
書 き 入 れ て あ る 。 こ の 種 の 表 示 は Thompson とVincent (1985) が最初に行ったが，データの表示がなかったために，その妥当性を判断することができなかったものである。図−10を用いれば，波形勾配ごとに砕波によって波高減衰が始まる地点の推定がほぼ可能となる表として取り上げて，波の特性値をグラフから読みとって整理すると表−7 のようになる。
すなわち，沖波波形勾配 H0/L0 に応じて砕波帯外縁の相対水深 h/H0 が定まり，非線形性パラメータの上限値が与えられる。なお，この外縁部は砕波が始まりかけたところであり，式 (7) の初期砕波指標に該当する地点よりもやや沖側に相当する。

(3) 砕波帯内外の非線形性の変化のまとめ
以上の波形水位の歪み度と尖鋭度ならびに波別解析有義波高とエネルギー換算波高との比の空間変化
は，次のようにまとめられる。
海の波は水深がある程度大きな場所ではほぼ線形な性質を保持しており，波形水位の歪み度はほぼ 0，
尖鋭度はほぼ 3.0 ，波高比 H1/3/Hm0 が平均値 0.95 である。しかし，波が岸へ向かって伝播し，水深が小さくなるにつれて次第に非線形性が強まり，歪み度
は 0 から 2.0 へ，尖鋭度は 3.0 から 9.0 へ，波高比
H1/3/Hm0 は 0.95 から 1.5 まで増加する。また，波高
比 H1/10/Hm0 は最大 2.1 ，波高比 Hrms/Hm0 は最大 1.15にまで達する。ただし，これらの増大は波形勾配が0.003 未満のうねりの場合であって，波形勾配が大きな波ではこうした極大値に達する前に砕波の影響を受けて非線形性が十分に発現しない。
砕波帯の内部では，岸に近づいて砕波する波が増えて全体のエネルギーが減衰するとともに，残されたエネルギーに見合う小さな波が再生される。また，長周期の水位変動が発達する。これとともに，歪み度，尖鋭度，波高比のいずれも次第に減少し，汀線
近くではほぼ線形な波の性状を呈する。すなわち，砕波によって波の非線形性が失われるといってよい。
表−7 砕波帯外縁部の波浪諸元（勾配 1/100 における H1/3 減衰 2% の条件）
H0/L0

h2%/L0(Ks)2%H/LA

Π

h2%/H0(H/h)2%0.00050.00305

3.178

0.0115

6.00

6.1

0.52

0.001

0.00505

2.503

0.0141

3.66

5.1

0.50

0.002

0.008252.020

0.0179

2.24

4.1

0.49

0.005

0.01604

1.552

0.0249

1.17

3.2

0.48

0.01

0.026851.283

0.0321

0.71

2.7

0.48

0.02

0.04601.089

0.0425

0.44

2.3

0.47

0.04

0.08600.960

0.0574

0.27

2.2

0.45

なお，ここで砕波帯の外縁部の位置についてもう少し吟味してみる。著者の一様勾配斜面の不規則砕
波変形モデル ( 合田 1975) においては，砕波が始まって有義波高が 2% だけ減衰した状態を浅水変形の岸側境界とみなし，非線形浅水変形の算定グラフ
上にその位置を示している ( 上記論文中の図−48, 49
または合田 (1990) の 図−3.21)。この境界は水底勾配によって若干異なるけれども，いま勾配 1/100 を代

15

７．砕波帯の内外における波高分布形状の変化(1) 波高の頻度分布の変化
数値計算モデルとして不規則波の砕波変形を最初に取り上げたのは Collins (1970) である。彼は波高の確率密度関数としてレーリー分布をまず仮定し，所定の水深における砕波限界を超える波はすべてエネルギーを失って砕波限界波高 Hb と同じ値を持つと仮定した。すなわち，確率密度関数を H = Hb の箇所でカットし，その位置に波高の確率密度をデルタ関数的に集中させた。Battjes (1972) の最初のモデルも同じ手法であった。しかしKuo ・ Kuo (1974) は，
0 < H ≤ Hb の範囲に残存する未砕波の波の確率密度に比例させて，砕波した波を再配分した。
これに対して合田 (1975) のモデルでは確率密度関数の急激な変化を避けるため，砕波を限界波高以
下の波高範囲の上位 1/3 にわたって砕波が生じると仮定した。この仮定は，規則波の砕波指標の確率的変動性を考慮したもので，また表−5 の沿岸波浪観測データ （酒田港を除く） の解析によって得られた以下の知見に基づいていた。
図−11 は全体で 79 例の観測記録について個別の波高分布を求め，各記録中の平均波高で正規化したものを集計した結果であり，観測地点の有義波高
H1/3 と水深 h の比によって 4 グループに分けて表示している。まず，波高水深比 H1/3/h が 0.4 未満のグループでは，波高分布がレーリー分布にほとんど一致している。図ではよく見えないけれども，
H/Hmean = 3.25〜3.50 の級にも波が計数されており，
その出現確率はレーリー分布の理論値に近い。
第 2 番目の 0.4 ≤ H1/3/h < 0.5 のグループでは，
H/Hmean > 3.25 の級から波高の計数値が消えており，
波高分布も若干左側へ偏っている。
波高水深比がさらに大きくなるにつれて，大波高の波は消えていき，波高の確率密度分布がレーリー分布から逸脱する状況が明瞭となる。しかしながら，
Collins (1970) が最初に仮定したような，波高の大きな箇所に頻度分布が集中するような様相は全く見られない。
波高水深比がさらに大きくなった場合のデータは現地観測では得られていないが，室内実験では調べることが容易であり，合田 (1975) ， Baldock et al.
(1988)，Ting (2001, 2002) などの報告事例がある。
そうした例として，ここでは Ting (2001) が Fig. 5 として提示したものを図−12 に再録する。
この図は，水深波高比 h/H0 = 1.90〜0.48 の 6 測定
地点ごとの波高頻度分布を示している。図中の太実
線はレーリー分布であり，波線はデータに当てはめたベータ・レーリー分布である。この図では一番沖側の h/H0 = 1.90 の地点でも既にレーリー分布からのずれが見られ，水深が浅くなるにつれてずれの度合
いが次第に大きくなって， h/H0 = 1.0 付近ではレーリー分布と大きく異なる形状となる。
しかしながら，水深がさらに浅くなるにつれて相
対的に波高の大きな波が現れるようになり，波高分
布はふたたびレーリー分布に近づく。これは，一度波が砕けて部分的にエネルギーを失った後，残されたエネルギーに見合う波に再生されるためである。

1.0

Probability density, p (x)H1/3/h = 0 - 0.399
52 records with 5111 waves
0.8

Observation
Rayleigh

0.6

0.4

0.2

0
0

1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.5
Normalized wave height, x = H /Hmean

3.5

1.0

Probability density, p (x)H1/3/h = 0.400 - 0.499
17 records with 1398 waves
0.8
Observation
Rayleigh

0.6

0.4

0.2

0
0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Normalized wave height, x = H /Hmean(a) h/H0 = 1.90(d) h/H0 = 0.97

1.0

H1/3/h = 0.500 - 0.599
7 records with 534 waves

Probability density, p (x)0.8

Observation
Rayleigh

0.6

0.4(b) h/H0 = 1.60(e) h/H0 = 0.69(c) h/H0 = 1.28(f) h/H0 = 0.48

0.2

0
0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Normalized wave height, x = H /Hmean

1.0

H1/3/h = 0.600 - 0.630
3 records with 188 waves
Probability density, p (x)0.8
Observation
Rayleigh

0.6

0.4

図−12

0.2

砕波帯内の波高頻度分布の変化 (Ting 2001 より再録：実線はレーリー分布，波線はデータに当てはめたベータ・レーリー分布)

0
0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Normalized wave height, x = H /Hmean

図−11さらに，波高の非超過確率の形で砕波帯内外の波
高分布の変化を表示したのが図−13 である。図(a)はHammとPeronnard (1997) によるもので，図(b)は

波高水深比ごとに整理した現地波浪における個別波高の頻度分布16図−11のTing (2001) のデータを再表示したものである。横軸は H/Hmean または H/H1/3 の相対波高であり，縦軸は非超過確率 P を[1 – ln(1 – P)]1/2と変換したものである。この変換によって，波高がレーリー分布に従うときには図中の直線に乗ることになる。
図中には記号ごとに相対水深 h/H0 の値を示しており，これを指標として非超過確率の分布の水深による変化を調べることができる。

分布，波高の大きな部分には形状母数がk = 3.6のワ
イブル分布をあてはめ，二つの分布の接合点を水深に応じて変える，すなわち複合ワイブル分布を用いることを提案している。しかし，そうした複合ワイ
ブル分布では汀線近傍でレーリー分布に復帰する傾向を再現することができない。図−11〜13に見られるように，波高分布は砕波帯の中で連続的に変化するものであり，これに特定の分布関数を当てはめようとするのは無益な努力といえよう。

3.0(2) 代表波高間の比率の変化

0.999
Rayleigh
h /H0' = 2.73
h /H0' = 1.51
h /H0' = 0.66
h /H0' = 0.16

2.0

0.99
0.95
0.90

1.5

0.75
1.0
0.50
0.25
0.10
0.05
0.01

0.5
0
0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Non-exceedance Probability, P

Reduced variate, SQRT [ -ln (1 - P)]

Lab. Data by Hamm & Peronnard
2.5

個別波高の頻度分布が砕波帯内で変化するにつれ，
代表波高間の比率もまた変化する。一般に，波高比
Hmax/H1/3, H1/20/H1/3, および H1/10/H1/3 は波が砕波帯に入って進行するにつれて次第にその値が減少し，砕波帯の中央部で最小値を取る。これに対して波高
比 Hrms/H1/3 と Hmean/H1/3 は逆に増大して 1.0 に近づく。
しかしながら，波がさらに進行して汀線に近づくと，
波高比はレーリー分布による値に戻っていく。
こうした砕波帯内の波高比の変化を不規則波実験
データで検討したのが図−14である。図中に示したのは，Smith et al. (2002) による勾配1/100斜面におけるH2%の変化，Ting (2001) による勾配1/35斜面におけるHrmsの変化，および著者 (2003, 2004a) の段階的
砕波変形モデル PEGBIS による計算結果である。
H2%はヨーロッパで用いられる代表波高で，H1/20とほとんど同じである。

3.0

Relative wave height, H /Hmean(a) HammとPeronnard (1997) の実験データ
2.5
0.99

1.5

0.95
0.90
0.75

1.0
0.50
0.5

0.25

0

0.10
0.05
0.01
0

0.5

1.0

1.5

1.50
Wave height ratios, Hrms/H1/3 & H2%/H1/3

2.0

Non-exceedance Probability, P

Reduced variate, SQRT [ -ln (1 - P)]

Ting's Lab. Data
Rayleigh
h /H0' = 1.90
h /H0' = 1.60
h /H0' = 1.28
h /H0' = 0.97
h /H0' = 0.69
h /H0' = 0.48

2.0

Relative wave height, H /H1/3(b) Ting (2001) の実験データ
図−13

不規則波実験における水深による波高の非超過確率の変化

実験データのうちで最も沖側のデータ，すなわちh/H0 の大きなものはレーリー分布の直線に近いけれ
ども，h/H0 の値が小さくなるにつれて非超過確率の分布が左へ移動する。すなわち，波高の大きな波が減少し，波高分布の幅が狭まる。しかし，h/H0 の値
が1よりも小さくなると，非超過確率の分布が右へ移動してレーリー分布に近づく傾向が認められる。
研究者によっては，砕波帯内の波高分布に対して何らかの統計分布を当てはめ，分布の母数を経験的に求めようと試みる者もいる。たとえば Battjes とGroenendijk (2000) は波高の低い部分にはレーリー

1.25

H2%/H1/3: Smith et al.
H2%/H1/3: PEGBIS
Hrms/H1/3: Ting
Hrms/H1/3: PEGBIS

1.00

0.75

0.50
0

1.0

2.0

3.0

4.0

Relative depth, h / H0

図−14

砕波帯内外の波高比 H2%/H1/3 と Hrms/H1/3 の空間的変化 (Smith et al. (2002) およびTing (2001) の実験
データ)

図−14で明らかなように，波高比H2%/H1/3 は沖では 1.4 の値をとるけれども，波が岸に近づくにつれ

17これは，それぞれの記録中に含まれる波数が 70 〜
100 程度と少ないための統計的変動性によるものである。たとえば，2 シグマ限界をとると片側 10% が信頼区間となる（Goda (1988), Table 4 参照）。
また，図−9 に示したように 1/10 最大波高は有義
波高よりも非線形浅水変形の影響を強く受ける。段階的砕波変形モデルは線形な浅水変形しか考慮していないため，現地観測における波高比 H1/10/H1/3 は線形な予測値よりも平均的に大きな値となるのである。
一方，2 乗平均平方根波高 Hrms の場合には非線形
浅水変形の影響が有義波高よりも小さめであるため，
波高比 Hrms/H1/3 は段階的砕波変形モデルの予測値よりも平均的に小さくなっている。
個別波高の頻度分布の形状が変化することによる
代表波高の比率の変化は，構造物の設計にも影響を与える。すなわち，直立部を持つ混成堤防破堤など
は波群中の最高波高 Hmax に対して安定性を検討するのが原則である。また，傾斜防波堤では被覆材の安定性を 1/20 最大波高 H1/20 を用いて検討する。したがって，不規則波浪の数値計算モデルとしては個
別波高の頻度分布までを的確に予測できることが求められるのである。

て一度減少し，相対水深 h/H0 = 1.4付近で最小値1.2程度の値をとる。しかし，さらに岸に近づくと次第に増大して汀線では初期値 1.4 に復帰する傾向を見せる。一方，波高比 Hrms/H1/3 は沖では 0.706 の値であり，波が岸に近づくにつれて一度増大した後，汀
線ではまた元に値に戻る。最大値は相対水深 h/H0 =0.7付近に現れ，0.80程度の値をとる。
段階的砕波モデルによる計算値は，実験値に比べて波高比の変化が狭い範囲に集中して起こる傾向があるけれども，波高比が岸沖方向に変化する状況はほぼ再現している。
一方，波高比の岸沖変化を現地データで検討したのが図−15 である。ここには，表−4 に記載の砕波帯内の波形観測に基づく H1/10/H1/3 および Hrms/H1/3の変化を表示している。また，段階的砕波モデルによる計算結果も記載してある。
図−14 の波高比の変化は，図−11〜 13 で示した
波高頻度分布の変化によく対応している。1/10 最大
波 高 と 有 義 波 高 と の 比 率 H1/10/H1/3 は 相 対 水 深 が
h/H0 = 1〜2 付近で最小値 1.15 前後の値をしめす。
一方，波高比 Hrms/H1/3 は相対水深 h/H0 = 1 付近で最大値 0.8 程度の値をとる。
現地観測値はばらつきが大きいのが特徴である。

H1/10 /H1/3 : Ajigaura
H1/10 /H1/3 : DUCK
H1/10 /H1/3 : SuperDuck
H1/10 /H1/3 : PEGBIS

Hrms/H1/3: Ajigaura
Hrms/H1/3: DUCK
Hrms/H1/3: SuperDuck
Hrms/H1/3: PEGBIS

Wave height ratios, Hrms/H1/3 & H1/10/H1/3

1.50

1.25

1.00

0.75

0.50
0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

Relative depth, h / H0
図−15

砕波帯内外の波高比 H1/10/H1/3 と Hrms/H1/3 の空間的変化（現地観測値および段階的砕波モデルによる計算値を示す）

18

6.0

2) 規則波の砕波指標は平均値の周りに変動する確率変数であり，その変動係数は 1/00 勾配斜面で 約6% であり，斜面勾配が急になるにつれて増大して，1/10
浅海域の海岸工学の諸問題を取り扱う場合には，不勾配斜面では 14% 程度になる。
規則砕波の現象を適切に取り込むことが不可欠であり， 3) 砕波指標の関数式としては，水底勾配と相対水深の
規則波の砕波の知見を直接に利用しようとしても正し
二つのパラメータが必要である。
い答えが得られない。不規則砕波変形モデルはこれま
4) 不規則波中の数%の波が砕けるときを初期砕波と定でに数多く提案されているけれども，既に著者が論じ義すると，そのときの有義波高に対する砕波指標は，たように（合田 2004, 2004c; Goda 2006），水深が沖波有規則波よりも約30%小さな値である。
義波高の 2 倍以下の水深では，各種モデルによる波高が
5) 砕波帯内では，初期砕波点から岸に向かうにつれて有義波高と水深との比率が次第に増加する。
2 倍以上異なることが珍しくない。これによって，沿岸
流速の岸沖分布なども大きく異なってしまう。
6) 波形水位の歪み度と尖鋭度ならびに有義波高の波別
解析値とエネルギー換算値の比で表される波の非線
また，Smith (2001) も 5 種類の砕波指標を用いた砕波
形性は，波が岸へ向かって伝播するにつれて強まり，変形モデルを現地データと比較し，モデルによって現砕波帯の外縁部で最大となる。波形勾配の著しく小地データとの適合度が異なることを例示している。
さいうねりでは，非線形性パラメータが 4.0 付近で
ここで述べた砕波変形モデルは位相平均型，すなわ
ち波高の空間分布のみを対象としている。そうしたモ
歪み度が 2.0，尖鋭度が 9.0，有義波高の波別解析値
デルの中で個別波高の頻度分布を推定できるのは，一とエネルギー換算値の比が 1.6 にも達する。
様勾配斜面を対象とした著者の以前のモデル ( 合田7) 1/10 最大波高は非線形浅水変形の影響が有義波高よりも大きく，波形勾配の著しく小さいうねりでは，
1975) と任意形状地形を対象とした段階的砕波モデル
エネルギー換算有義波高の 2.1 倍を超えることがあ(合田 2003, 2004a; Goda 2004) のみと思われる。
る。
これに対して時間領域型の数値モデル，たとえばブ
シネスク方程式は波形の変化を追跡し，部分的にでは
8) 2 乗平均平方根波高 Hrms は非線形浅水変形の影響あるものの海浜流なども予測可能である。しかし，砕が有義波高よりもやや小さいものの，エネルギー換波条件の組み込み方によっては必ずしも妥当な結果が算有義波高の 1.15 倍になることがある。
得られない。そうした中で，平山・原 (2002) および平9) 波形勾配の大きな風波などは，相対水深が比較的大山・平石 (2004) は，灘岡ほか (1996) の全水圧の鉛直勾
きな地点から砕波が始まるため，波の非線形性の影
響があまり強く発現しない。
配ゼロの砕波条件を修正して導入し，1/10 勾配斜面における波高頻度分布や遡上高などの再現に成功してい10) 波の非線形性は砕波帯内で砕波が激しくなり，小さる。
な波が再生されるにつれて次第に失われ，汀線近く
では線形性が回復する。
時間領域型の数値モデルは膨大な計算時間を必要とすることが難点であるが，コンピュータの能力向上は
11) 個別波高の頻度分布は，水深が小さくなって砕波が急速であり，近い将来には設計計算に日常的に利用可
始まって大波高の波が消滅するにつれてレーリー分
能となることが期待される。そのためにも，本技術論
布よりも分布幅が次第に狭まる。しかし，さらに砕文で紹介したような砕波統計量が適切に再現されるよ
波が激しくなるにつれて波の再生などによって波高う，砕波モデルを慎重に選定して使用することが望ま
分布の幅が広がり，汀線近くでは再びレーリー分布
れる次第である。
に近づく。
12) 代表波高 H1/10, H1/3, Hrms などの値は，砕波帯の中央部で相互に接近し，波高比は 1.0 に近づく。しかし，
９．むすび
汀線近くでは各波高の差異が増大し，波高比はレーリー分布の理論値に近づく。段階的砕波変形モデル
この技術論文で述べた内容を要約すると以下のようはこうした波高比の変化を再現可能である。
になる。
13) 数値計算モデルの開発に当たっては，ここで述べたような不規則砕波の現象を的確に再現できることが
1) 規則波の砕波点における波高と水深の比率，すなわ
ち砕波指標について，合田 (1973) の指標式の勾配要求される。
影響をゆるめた新指標式を提案した。

８．波浪数値計算モデルにおける不規則砕波モデ
ル選択について19

平口博丸・丸山康樹 (1986)：斜め入射波に対する放物型方程式の適用性の拡張，第43回海岸工学講演会論文集，

謝辞
本論文中でも述べたように，阿字ヶ浦海岸における砕波帯内の観測波形の歪み度と尖鋭度のデータは日本大学教授堀田新太郎博士から恵贈していただいた。また，Hughes 博士からは Ebersole・Hughes (1987) の文献
コピーならびに SUPERDUCK のデータを恵贈していただいた。両博士のご厚意によって本論文の主要な成果の解析が可能となったものであり，ここに，両博士に対して深甚の謝意を表明する次第である。また，水平床における砕波限界に関する Danel の実験データはHamm博士からご提供いただき，勾配1/100斜面におけるH2% のデータは van Gent 博士からご提供いただいたものであることを記し，謝意を表明するものである。

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付録：非線形統計量の変化の推定
本文６節においては，波形の歪み度や代表波高とエ
ネルギー換算有義波高との比について，準理論式による推定値を観測値とともに提示した。この準理論式は以下の手順によって求めたものである。
Goda (1983b) は式 (10) の非線形性パラメータを提案するに際して，ストークス第 3 次解とクノイド波第 2 次
解による有限振幅波の波形を計算し，波形の歪み度な
らびに波高と 2 乗平均平方根水位との比 H/ηrms を求め，
非線形性パラメータとの関係を求めている。この計算
は波高水深比 H/h = 0.1 および 0.2 について水深波長比をいろいろ変えて行っており，これによって非線形性
パラメータが Π = 0.03〜3.3 の範囲の歪み度と波高比
H/ηrms を得ている。二つの有限振幅波理論の結果は矛盾なく接続していた。
計算結果は図に表示されているが，その平均的なグラフの値を図から読みとって近似式で当てはめると次のようになる。

β1 = f1(ξ)=0.0677ξ 5+0.1825ξ 4–0.0323ξ 3+1.9233ξ +1.9804: ξ = log10Π;
0.01 < ξ(付1)
H/HE = 81/2H/ηrms = f2(ξ)= –0.0177ξ5 – 0.0822ξ4 – 0.0514ξ3 + 0.2881ξ2+ 0.5515ξ + 1.2878: ξ = log10Π;0.019 < ξ(付2)
ここで HE は規則波のエネルギー換算波高であり，HE =81/2 ηrms で定義される。なお，非線形性パラメータ Π は
規則波に対しては以下で定義される。

Π=

H
2π h
coth 3
LA
LA

(付3)

3.5
Calculation
Prediction

3.0

Skewness, β 1

2.5

（以 上）

2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.01

0.1
1
Nonlinearity parameter, Π

付図−1 波形歪み度の計算値と予測値の比較

21

10

1.75

Wave height ratio, H / HE

Calculation
Prediction

1/ 2
H rms ⎡ ∞ 2= ∫ f 2 ( x ⋅ Π 1 / 3 ) p ( x)dx ⎤⎥⎦H m 0 ⎢⎣ 0

1.50

(付6)

ここでは，波高の 2乗平均に対応させて式 (付2) の関数の 2 乗値について加重平均を行った。この計算結果に対しては，以下に述べる有義波高や 1/10 最大波高に対するような調整は行っていない。
有義波高 H1/3 に対しては式 (付2) の関数を用い，次式で推定する。

1.25

1.00

0.75
0.01

0.1
1
Nonlinearity parameter, Π

10

∞
H1/ 3
1
= 3∫ f 2 ( x ⋅ Π 1 / 3 ) p( x)dx : x3 =
ln 3
x
3
H m0
a

付図−2 波高比 H/HEの計算値と予測値の比較(付7)

この二つの近似式とグラフの値との関係を付図−1, 2に示す。なお，変数ξ に下限値が設けられているのは，
5 次多項式式の性質からこの値より小さい箇所では歪み度が負値をとったり，波高比が 1.0 を上回る値をとるよ
うになるためである。
不規則波に対しては，レーリー分布に基づく波高の確率密度を重みとする加重平均操作をおこなう。
波形の歪み度に対しては式 (付1) の関数を用い，次式で推定する。
∞( β1 )1 / 3 = ∫ f1 (Π 1 / 3 ⋅ x) p ( x) dx0

ただし，周波数スペクトルの影響によって波の非線形性の影響が現れないときには，個別波高の分布がレーリー分布よりも狭く，平均的に H1/3 = 0.95Hm0 の関係がある。したがって，すべての計算値を 0.95 倍して推定値とする。
1/10 最大波高に対する推定式は次の通りである。
∞
H 1 / 101
= 10∫ f 2 (Π 1 / 3 ⋅ x) p ( x)dx : x10 =
ln 10
x10
H m0
a

(付4)

(付8)

ここに，x = H/H1/3 であって，波高の確率密度関数p(x) は有義波高 H1/3 を基準波高として次のように定義される。

ただし，個別波高がレーリー分布に厳密にしたがうと
きには H1/10 = 1.271Hm0 の関係があるけれども，実際にはスペクトル幅の影響によって図−7 に見られるように，
この関係は H1/10 = 1.20Hm0 となっている。そこで，計算
結果はすべて 1.20/1.271 = 0.944 倍して調整することとしたものである。

p( x)dx = 2a 2 x exp[−a 2 x 2 ]dx : a = 1.4156 (付5)2乗平均平方根波高 Hrms に対しては式 (付2) の関数を用い，次式で推定する。

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